/
Автор: Кудрявцев Л.Д.
Теги: анализ математический анализ функциональный анализ математика естественные науки издательство высшая школа
ISBN: 5-06-001290-5
Год: 1988
Текст
учебник
для вузов
Л. Д. КУДРЯВЦЕВ
КУРС
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
В ТРЕХ ТОМАХ
Том 1
Издание второе,
переработанное и дополненное
Допущено Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебника для студентов
физико-математических и инженерно-физических
специальностей вузов
I®
Москва «Высшая школа» 1988
ББК 22.16
К88
УДК 517(0.75.8)
Рецензент: проф. В. А. Ильин (зав. кафедрой общей матема-
тики факультета вычислительной математики и кибернетики Москов-
ского государственного университета им. М. В. Ломоносова)
Кудрявцев Л. Д. \
К88 Курс математического анализа: Учеб, для студентов
университетов и вузов. В 3 т. Т. 1.— 2-е изд., перераб. и
доп.— М.: Высш, шк., 1988.— 712 с.: ил.
ISBN 5 06 — 001290--5
Учебник написан чл.-кор. АН СССР. зав. кафедрой высшей математики Московского
физико-технического института, главным научным сотрудником Математического института
им. В. А. Стеклова АН СССР.
Учебник соответствует новой программе для вузов.
Особое внимание в учебнике обращено на изложение качественных и аналитических
методов, в нем нашли отражение и некоюрые геометрические приложения анализа. В первом
томе излагаются дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной
простейшие сведения о функциях многих переменных.
1702050000(4309000000)—353 ББК 22.16
К---------------------------37 — $$
001(01)—88 517.2
Учебное издание
Кудрявцев Лев Дмитриевич
Курс математического анализа
Том 1
Зав. редакцией учебно-методической литературы по физике и мащматике Е. С. Гридасова.
Редактор Ж. И. Яковлева. Оформление художника В И. Казаковой. Художественный
редактор В. И. Пономаренко. Технический редактор А. К. Нестерова. Корректор Г. И.
Кострикова
ИБ № 6758
Изд. № ФМ-890а. Сдано в набор 23.10.87. Поди. в печать 17.05.88.
Формат 60 х 88716- Бум. офс №2. Гарнитура Таймс. Печать офсетная.
Объем 43,61 усл. печ. л. + форзац 0.25 усл. печ. л. 44,10 усл. кр.-огг. 38.74 уч.-изд. л.
-1-форзац 0,37 уч.-изд. л. Тираж 65 000 экз. (1-й завод 1 30000 экз.) Зак №1807
Цена 1 р. 60 к.
Издательство «Высшая школа». 101430, Москва, ГСП-4, Неглинная ул., д. 2914.
Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени МПО «Первая
Образцовая типография» им. А. А. Жданова Союзполиграфпрома при Государственном
комитете СССР по делам издательств полиграфии и книжной торговли. 113054. Москва,
Валовая, 28.
ISBN 5—06—001290—5 © Издательство «Высшая школа»,
1981
© Издательство «Высшая школа»,
1988, с изменениями
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 9
Введение ...... 12
ГЛАВА I
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ
§ 1. Множества и функции. Логические символы 18
1.1. Множества. Операции над множествами ... 18
1.2* . Функции................................................ 21
1.3* . Конечные множества и натуральные числа. Последователь-
ности . .... . . 26
1.4. Группировки элементов конечного множества 31
1.5. Логические символы........................................ 34
§ 2. Действительные числа.......................................... 37
2.1 . Свойства действительных чисел . 37
2.2 *. Свойства сложения и умножения 40
2.3 *. Свойства упорядоченности.............................. 47
2.4 *. Свойство непрерывности действительных чисел ... 50
2.5 *. Сечения в множестве действительных чисел............... 51
2.6 *. Рациональные степени действительных чисел 56
2.7 . Формула бинома Ньютона 58
§ 3. Числовые множества.......................................... 61
3.1. Расширенная числовая прямая............................... 61
3.2. Промежутки действительных чисел. Окрестности 61
3.3. Ограниченные и неограниченные множества . 64
3.4. Верхняя и нижняя грани числовых множеств ... 67
3.5* . Арифметические свойства верхних и нижних граней 71
3.6. Принцип Архимеда........................................ 74
3.7. Припцип вложенных отрезков 75
3.8* . Единственность непрерывного упорядоченного поля 80
§ 4. Предел числовой последовательности............................ 87
4.1. Определение предела числовой последовательности 87
4.2. Единственность предела числовой последовательности 94
4.3. Переход к пределу в неравенствах . . . . 95
4.4. Ограниченность сходящихся последовательностей . . 100
4.5. Монотонные последовательности . 101
4.6. Теорема Больцано- -Всйерштрасса.......................... 105
4.7. Критерий Коши сходимости последовательности . . 107
4.8. Бесконечно малые последовательности .... 109
4.9. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями
над последовательностями...................................... 111
4.10. Изображение действительных чисел бесконечными десятич-
ными дробями . . . . . .... 122
4.11* . Счетные и несчетные множества ............ 129
4.12* . Верхний и нижний пределы последовательности .... 136
3
§ 5. Предел и непрерывность функций 139
5.1. Действительные функции . . . . 139
5.2. Способы задания функций ............. 141
5.3' . Элементарные функции и их классификация 145
5.4. Первое определение предела функции 146
5.5. Непрерывные функции................................. 155
5.6. Условие существования предела функции . . . . . 159
5.7. Второе определение предела функции ... 161
5.8. Предел функции по объединению множеств..........165
5.9. Односторонние пределы и односторонняя непрерывность 166
5.10. Свойства пределов функций...................... 169
5.11. Бесконечно малые и бесконечно большие функции ... 174
5.12. Различные формы записи непрерывности функции в точке 177
5.13. Классификация точек разрыва функции................. 181
5.14. Пределы монотонных функций .... . . 182
5.15. Критерий Коши существования предела функций 187
5.16. Предел и непрерывность композиции функций 189
§ 6. Свойства непрерывных функций на промежутках 192
6.1. Ограниченность непрерывных функций. Достижимость экстре-
мальных значений......................................... 192
6.2. Промежуточные значения непрерывных функций 194
6.3. Обратные функции 197
§ 7. Непрерывность элементарных функций.......................... 203
7.1. Многочлены и рациональные функции....................... 203
7.2. Показательная, логарифмическая и степенная функции . . 204
7.3. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции 213
7.4. Непрерывность элементарных функций 214
§ 8. Сравнение функций. Вычисление пределов 215
8.1. Некоторые замечательные пределы 215
8.2. Сравнение функций ... 219
8.3. Эквивалентные функции . 228
8.4. Метод выделения главной части функции и его применение к
вычислению пределов........................................ 232
§ 9. Производная и дифференциал 235
9.1. Определение производной 235
9.2. Дифференциал функции.................................... 238
9.3. Геометрический смысл производной и дифференциала 243
9.4. Физический смысл производной и дифференциала .... 247
9.5. Правила вычисления производных, связанные с арифметиче-
скими действиями над функциями . . 250
9.6. Производная обратной функции............................ 253
9.7. Производная и дифференциал сложной функции...............256
9.8. Гиперболические функции и их производные . 263
§ 10. Производные и дифференциалы высших порядков 265
10.1. Производные высших порядков........................... 265
10.2. Производные высших порядков суммы и произведения
функций......................................................267
10.3. Производные высших порядков от сложных функций, от
обратных функций и от функций, заданных параметрически 269
10.4. Дифференциалы высших порядков . . 271
§ 11. Теоремы о среднем для дифференцируемых функций 273
11.1. Теорема Ферма..........................................273
11.2. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши о средних значениях 275
4
§ 12. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя 283
12.1. Неопределенности вида 284
12.2. Неопределенности вида 287
12.3. Обобщение правила Лопиталя . . 293
§ 13. Формула Тейлора........................................... 295
13.1. Вывод формулы Тейлора.............'...................295
13.2. Многочлен Тейлора как многочлен наилучшего приближения
функции в окрестности данной точки.........................299
13.3. Формулы Тейлора для основных элементарных функций 302
13.4. Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора (метод
выделения главной части) ...... 305
§ 14. Исследование поведения функций 307
14.1. Признак монотонности функции......................... 307
14.2. Отыскание наибольших и наименьших значений функции 309
14.3. Выпуклость и точки перегиба ......................... 317
14.4. Асимптоты................ . . . 324
14.5. Построение графиков функций 327
§ 15. Векторная функция......................................... 336
15.1. Понятие предела и непрерывности для векторной функции 336
15.2. Производная и дифференциал векторной функции 340
§ 16. Длина кривой 346
16.1. Понятие пути . 346
16.2. Понятие кривой....................................... 349
16.3. Ориентация кривой. Дуга кривой. Сумма кривых. Неявное
задание кривых................. .... . . . 354
16.4. Касательная к кривой. Геометрический смысл производной
векторной функции . . 357
16.5. Длина кривой . . 360
16.6. Плоские кривые . ... 366
16.7. Физический смысл производной векторной функции 368
§ 17. Кривизна и кручение кривой.................................369
17.1. Две леммы. Радиальная и трансверсальная составляющие
скорости ... ........... ...............369
17.2. Определение кривизны кривой и ее вычисление 373
17.3. Главная нормаль. Соприкасающаяся плоскость 376
17.4. Центр кривизны и эволюта кривой.......................378
17.5. Формулы для кривизны и эволюты плоской кривой . . 379
17.6. Эвольвента ... .............. ... 383
17.7. Кручение пространственной кривой 386
17.8. Формулы Френе............................... 387
17.9. Формулы для вычисления кручения 390
ГЛАВА II
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ
ПЕРЕМЕННЫХ
§ 18. Многомерные пространства ... ............... 392
18.1. Окрестности точек. Пределы последовательностей точек 392
18.2. Различные типы множеств .................. 404
18.3. Компакты.......................... . . 417
18.4. Многомерные векторные пространства....................423
5
§19. Предел и непрерывность функций многих переменных 429
19.1. Функции многих переменных ...... . 429
19.2. Пределы функций многих переменных 431
19.3. Непрерывные функции............................... 437
19.4. Свойства пределов функций многих переменных. Свойства
непрерывных функций 438
19.5. Предел и непрерывность композиции функций . . 439
19.6. Теоремы о функциях, непрерывных на множествах . . . 442
19.7. Равномерная непрерывность функций. Модуль непрерывности 444
§ 20. Частные производные. Дифференцируемость функций многих пе-
ременных .....................................................452
20.1. Частные производные и частные дифференциалы . 452
20.2. Дифференцируемость функций в точке 455
20.3. Дифференцирование сложной функции.....................464
20.4. Инвариантность формы первого дифференциала относительно
выбора переменных. Правила вычисления дифференциалов 467
20.5. Геометрический смысл частных производных и полного
дифференциала . 473
20.6. Градиент функции..................................... 475
20.7. Производная по направлению............................. 476
20.8. Пример исследования функций двух переменных 481
§ 21. Частные производные и дифференциалы высших порядков 483
21.1. Частные производные высших порядков . . 483
21.2. Дифференциалы высших порядков . . 487
ГЛАВА III
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ
§ 22. Определения и свойства неопределенного интеграла 492
22.1. Первообразная и неопределенный интеграл 492
22.2. Основные свойства интеграла ........................... 494
22.3. Табличные интегралы.............................. . 495
22.4. Интегрирование подстановкой (замена переменной) 498
22.5. Интегрирование по частям ..... 501
22.6* . Обобщение понятия первообразной 503
§ 23. Некоторые сведения о комплексных числах и многочленах 508
23.1. Комплексные числа...................... . . 508
23.2* . Формальная теория комплексных чисел . . 515
23.3. Некоторые понятия анализа в области комплексных чисел 516
23.4. Разложение многочленов на множители.....................519
23.5* . Наибольший общий делитель многочленов................523
23.6. Разложение правильных рациональных дробей на эле-
ментарные . . . 527
§ 24. Интегрирование рациональных дробей 534
24.1. Интегрирование элементарных рациональных дробей 534
24.2. Общий случай........................ . 536
24.3* . Метод Остроградского 538
§ 25. Интегрирование некоторых иррациональностей.................. 543
25.1. Предварительные замечания ... .... 543
25.2. Интегралы вида К х, | | \ | & 544
\cx + dl \cx + d I
6
25.3. Интегралы вида fA(x, ах2 + Z?x+c)dx. Подстановки Эйлера 546
25.4. Интегралы от дифференциальных биномов....................549
25.5. Интегралы вида —fife)**4. _ .... 551
J у/ах2+Ьх + с
§ 26. Интегрирование некоторых трансцендентных функций . . . 553
26.1. Интегралы вида f/?(sinx, cosx)<7y ......................553
26.2. Интегралы вида fsinmxcos"xdx ........556
26.3. Интегралы вида fisin а хcos Р хdx................. 557
26.4. Интегралы от трансцендентных функций, вычисляющиеся с
помощью интегрирования по частям ... 557
26.5. Интегралы вида J J?(shx. ch.x)dx................. 559
26.6. Замечания об интегралах, не выражающихся через эле-
ментарные функции . 560
§ 27. Определенный интеграл...................................... 561
27.1 . Определение интеграла Римана . . ........... 561
27.2 *. Критерий Коши существования интеграла 566
27.3 . Ограниченность интегрируемой функции...................568
27.4 . Верхние и нижние суммы Дарбу. Верхний и нижний
интегралы Дарбу................................................570
27.5 . Необходимые и достаточные условия интегрируемости 573
27.6 . Интегрируемость непрерывных и монотонных функций 575
27.7 *. Критерии интегрируемости Дарбу и Римана . . 578
27.8 *. Колебания функций................................... 582
27.9 *. Критерий интегрируемости Дюбуа-Реймона 586
27.10 *. Критерий интегрируемости Лебега . 590
§ 28. Свойства интегрируемых функций.......................... 593
28.1. Свойства определенного интеграла....................593
28.2. Первая теорема о среднем значении для определенного
интеграла................................................ 604
28.3* . Интегральные неравенства Гёль дера и Минковского . 608
§ 29. Определенный интеграл с переменным верхним пределом 610
29.1. Непрерывность интеграла по верхнему пределу .... 610
29.2. Дифференцируемость интеграла по верхнему пределу. Суще-
ствование первообразной у непрерывной функции . 611
29.3. Формула Ньютона — Лейбница ......... 615
29.4* . Существование обобщенной первообразной. Формула Нью-
тона-Лейбница для обобщенной первообразной 616
§ 30. Формулы замены переменной в интеграле и интегрирования по частям 619
30.1. Замена переменной ... ................... 619
30.2. Интегрирование по частям . 623
30.3* . Вторая теорема о среднем значении для определенного
интеграла................................................ 626
30.4. Интегралы от векторных функций 628
§ 31. Мера плоских открытых множеств.......................... 630
31.1. Определение меры (площади) открытого множества 630
31.2. Свойства меры открытых множеств 633
§ 32. Некоторые геометрические и физические приложения определенного
интеграла.............................................. . . 638
32.1. Вычисление площадей . 638
32.2. Объем тела вращения......................................645
32.3. Вычисление длины кривой................................. 647
7
32.4. Площадь поверхности вращения . . 652
32.5. Работа силы..............................................655
32.6. Вычисление статических моментов и координат центра тя-
жести кривой ... 656
§ 33. Несобственные интегралы 659
33.1. Определение несобственных интегралов .... 659
33.2. Формулы интегрального исчисления для несобственных ин-
тегралов ..................................................... 667
33.3. Несобственные интегралы от неотрицательных функций 673
33.4. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов 680
33.5. Абсолютно сходящиеся интегралы................... . 681
33.6. Исследование сходимости интегралов...................... 686
33.7. Асимптотическое поведение интегралов с переменными преде-
лами интегрирования . . . ..................... ... 693
Предметно-именной указатель...................................... 701
Указатель основных обозначений......................................710
ПРЕДИСЛОВИЕ
В предлагаемом курсе математического анализа излагаются
как традиционные классические методы, так и современные,
которые возникли в последние десятилетия. Действительные
числа вводятся аксиоматически. Этот путь дает возможность
наиболее компактно и полно изложить необходимые для
анализа сведения о числах. Вместе с тем он и логически
наиболее совершенен, поскольку при других, так называемых
«конструктивных», методах построения теории действительных
чисел (когда за основу берутся бесконечные десятичные дроби
или сечения в области рациональных чисел, или классы
эквивалентных фундаментальных последовательностей рацио-
нальных чисел) все равно необходимо вводить аксиому су-
ществования (непротиворечивости) множества действительных
чисел, без которых проводимые построения не имеют логически
завершенного характера. Поэтому проще всего сразу, исходя из
аксиоматического задания действительных чисел, перейти к
изучению математического анализа в собственном смысле
слова.
В основном же изложение материала в курсе ведется
индуктивным методом: по возможности все вводимые понятия
изучаются сначала в простейших ситуациях и лишь после
обстоятельного их рассмотрения и накопления достаточного
числа конкретных примеров производятся дальнейшие обоб-
щения. Так, например, понятие предела сначала изучается для
числовых последовательностей, затем для функций одного
действительного переменного, далее вводится понятие предела
по множеству в евклидовом пространстве, предела интеграль-
ных сумм и, наконец, все завершается рассмотрением общего
понятия предела по фильтру в топологическом пространстве.
Формула Тейлора рассматривается сначала для действитель-
нозначной функции на отрезке, а в конце курса — для отображе-
ний линейных нормированных пространств; рассмотрение мно-
гочисленных критериев Коши существования тех или иных
пределов завершается критерием Коши существования предела
по фильтру отображения в полное метрическое пространство;
изучение рядов Фурье начинается с рассмотрения классических
тригонометрических рядов и заканчивается изучением рядов
9
Фурье в гильбертовых пространствах по ортогональным систе-
мам; свойства непрерывных функций на отрезках обобщаются
на отображения метрических компактов и континуумов и т. д.
Доказываемые теоремы не всегда формулируются с наиболь-
шей общностью; иногда для лучшего выявления сущности
изучаемого вопроса и идеи излагаемого доказательства рас-
смотрение проводится лишь для достаточно гладких функций.
Такая точка зрения оправдана также тем, что, в силу плотности
гладких функций в соответствующих функциональных про-
странствах, многие теоремы, доказанные для гладких функций,
могут быть единым методом с помощью предельного перехода
перенесены на более широкие классы функций. К сожалению,
эту идею невозможно довести до конца без существенного
увеличения объема книги. Поэтому вопрос о плотности
«хороших» функций в различных функциональных простран-
ствах рассмотрен в курсе лишь в простейших случаях.
Из существенных методических новшеств, которые автор
считает целесообразными, следует отметить, что при определе-
нии предела функции по множеству при х->х0 не требуется
выполнения условия х/х0, так как это позволяет излагать
вопросы, связанные с теорией пределов, проще и короче:
например, само определение предела делается короче (на одно
условие меньше), а тем самым упрощаются и доказательства, в
которых участвуют пределы функций; не нужно рассматривать
отдельно от теории пределов функций непрерывные функции;
упрощаются формулировка и доказательство важной теоремы о
пределе композиции функций и т. д.
Большое внимание в учебнике уделяется решению задач
методами, основанными на излагаемой теории; кроме того, для
самостоятельной работы рекомендуются упражнения и задачи.
Решение упражнений весьма полезно для активного усвоения
математического анализа. Вместе с тем их набор по своей
полноте ни в коей мере не заменяет задачника. Отдельные же из
предлагаемых задач довольно трудны. Их решение не является
необходимым для овладения материалом и может потребовать
довольно длительного времени. Как правило, они связаны с
интересными и достаточно глубокими математическими фак-
тами, подробное изложение которых ограничено объемом
книги. Упражнения нумеруются отдельно в каждом параграфе,
нумерация же задач и рисунков — сквозная.
Изложение математического анализа ведется на уровне,
доступном широкому кругу студентов. Вопросы, выходящие за
рамки программ по высшей математике для инженерных и
экономических специальностей и посвященные более глубокому
изучению разделов анализа, необходимых студентам физико-ма-
тематических специальностей, отмечены звездочкой. В силу
этого, учебник можно использовать в высших учебных заведе-
10
ниях с разным уровнем математического образования. Значи-
тельная часть материала, вошедшего в книгу, в течение многих
лет читается автором в Московском физико-техническом
институте в лекционном курсе математического анализа.
Автор выражает глубокую благодарность своим коллегам
по кафедре высшей математики С. М. Никольскому, В. С. Вла-
димирову, О. В. Бесову, С. А. Теляковскому и Г. Н. Яковлеву,
результаты многолетних обсуждений с которыми различных
аспектов курса нашли свое непосредственное отражение в
содержании книги.
Особенно автор признателен рецензентам книги — Н. В. Ефи-
мову и В. А. Ильину, подробные и обстоятельные рецензии
которых позволили во многом улучшить изложение материала.
Автор считает своим приятным долгом выразить благодар-
ность преподавателям кафедры высшей математики Москов-
ского физико-технического института К. А. Бежанову, И. А. Бор-
ачинскому, Ф. Г. Булаевской, А. Д. Кутасову, В. А. Ходакову,
В. И. Чехлову, сделавшим много полезных замечаний, которые
были учтены при окончательном редактировании текста.
ВВЕДЕНИЕ
Ни одно человеческое исследование не
может называться истинной наукой,
если оно не прошло через математи-
ческие доказательства.
Никакой достоверности нет в науках
там, где нельзя приложить ни одну из
математических наук, и в том. что не
имеет связи с математикой.*’
Леонардо да Винчи
Математика является точной абстрактной наукой, изу-
чающей количественные соотношения и пространственные фор-
мы.
Точность математики означает, что основным методом в
математических исследованиях являются логические рассужде-
ния, а результаты исследований формулируются в строгой
логической форме. Абстрактность же математики означает, что
объектами ее изучения являются модели (математические). В
этих моделях математика изучает соотношения между их
элементами, количественные и качественные связи между ними,
их форму. Одна и та же математическая модель может
описывать с определенным приближением свойства очень
далеких друг от друга по своему конкретному содержанию
реальных явлений. Для математики важна не природа рассмат-
риваемых объектов, а лишь существующие между ними
соотношения. Абстрактность математики порождает определен-
ную трудность ее применения к описанию и решению конкрет-
ных задач, в то же самое время абстрактность математики
придает ей силу, универсализм и общность. Роль математики,
*’ Леонардо да Винчи. Избранные естественнонаучные произведения
M., 1955.
**} раОтщос (греч.) — познание, наука.
12
конечно, не сводится только к описанию с помощью тех или
иных моделей определенных сторон каких-то явлений. Она
представляет интерес и имеет большую ценность прежде всего
сама по себе как наука, как знание. Математика дает мощ-
ные методы для познания мира, для изучения его закономер-
ностей.
Математические методы исследования всегда играли и
продолжают играть огромную, все увеличивающуюся роль в
естествознании. В качестве примера можно привести уже
ставшие хрестоматийными такие теоретические открытия, как
открытие планеты Нептун, открытие электромагнитных волн
или открытие позитрона, сделанные сначала математически «на
кончике пера» и лишь потом нашедшие свое экспериментальное
подтверждение.
Математика неустанно продолжает развиваться, в ней
создаются новые методы, появляются новые разделы. Развитие
математики в целом определяет уровень ее использования и
оказывает существенное влияние на развитие других наук и
техники. В свою очередь, задачи практики, прогресс других
фундаментальных и прикладных наук приводят к созданию
новых направлений математики, стимулируют ту или иную
направленность математических исследований, расширяют воз-
можность применения математических методов. В силу этого
область применения математики постоянно расширяется. В
последнее время благодаря появлению быстродействующих
вычислительных машин в использовании математических мето-
дов произошел большой качественный скачок. Они стали
применяться не только в тех областях, где математика
использовалась уже давно (например, в механике, физике), но и
в тех областях человеческого знания, где математика еще
совсем недавно либо применялась мало, либо ее применение
даже не представлялось возможным (медицина, экономика,
лингвистика, социология и т. п.). Проникновение качественных
и количественных математических методов в другие науки,
использование в этих науках уже имеющегося математического
аппарата, создание новых математических понятий и методов
для описания и изучения рассматриваемых явлений, т. е. все то,
что обычно называется математизацией науки, является харак-
терной чертой всего естествознания наших дней.
Современный научный работник или инженер должен в
достаточной степени хорошо владеть как классическими, так и
современными математическими методами исследования, кото-
рые могут применяться в его области. Для того чтобы иметь
возможность с успехом применять математические методы при
изучении того или иного вопроса, нужно, конечно, прежде всего
иметь необходимые знания, уметь правильно обращаться с
математическим аппаратом, знать границы допустимого ис-
13
пользования рассматриваемой математической модели. Этим,
однако, не исчерпываются характерные особенности решения
задач математическими методами, да и вообще математичес-
кого творчества, т. е. познания объективно существующих
математических истин. Для правильной постановки задачи, для
оценки ее данных, для выделения существенных из них и для
выбора способа решения необходимо обладать еще математи-
ческой интуицией, фантазией и чувством гармонии, позволяю-
щими предвидеть нужный результат прежде, чем он будет
получен. Однако интуитивно почувствовать ожидаемый резуль-
тат и наметить путь исследований с помощью правдоподобных
рассуждений — это далеко не все. Интуитивное чувство гармо-
нии является в математике лишь первой, хотя и весьма важной
ступенью; интуитивные соображения и правдоподобные рассуж-
дения отдаются на суд холодного рассудка для их изучения,
доказательства или опровержения. Для записи проводимых
исследований и получающихся результатов используются язык
цифр, разнообразные математические символы и словесные
логические описания.
При математическом доказательстве гипотезы, при матема-
тическом решении задачи правильный выбор аппарата и мето-
да— залог успеха и, более того, часто причина того, что в
результате будет получено больше полезной информации об
изучаемом предмете, чем заранее предполагалось. Это связано с
тем, что математический аппарат таит в себе много скрытой
информации и скрытого богатства, накапливавшихся в нем в
течение веков, благодаря чему формулы могут оказаться
«умнее» применяющего их и дать больше, чем от них
ожидалось.
Следует отметить, что в математике справедливость рас-
сматриваемого факта доказывается не проверкой его на ряде
примеров, не проведением ряда экспериментов, что не имеет
для математики доказательной силы, а чисто логическим путем,
по законам формальной логики.
Конечно, и эксперименты и примеры также играют большую
роль в математических исследованиях: они могут или дать
иллюстрацию утверждения, или опровергнуть его, или натолк-
нуть на какую-либо (в том числе и новую) идею. За последние
годы в связи с быстрым развитием вычислительной техники
особенно возросло значение математического эксперимента в
прикладных исследованиях: здесь открылись качественно совер-
шенно новые возможности и перспективы.
Безусловно, вся эта схема весьма идеализирована. Прежде
всего использование знаний, математического аппарата, интуи-
ции, чувства гармонии, фантазии, логики, эксперимента проис-
ходит не последовательно по этапам — все это все время
взаимодействует между собой в течение всего процесса. Далее,
14
далеко не всегда удается довести проводимые исследования до
желаемого конца, но было бы, например, большим заблужде-
нием думать, что для математики имеют значение только
доказанные утверждения, только исследования, доведенные в
известном смысле до логического завершения. Можно привести
много примеров математических теорий и положений, которые,
будучи сформулированы лишь в виде гипотез, тем не менее ока-
зывали или оказывают существенное влияние на развитие
математики или ее приложений.
Окончательные результаты, полученные в математике, опи-
сывая те или иные свойства логических абстрактных моделей,
имеют в определенном смысле абсолютный и вечный харак-
тер и, следовательно, не меняются и не могут измениться
в связи с развитием наших знаний. Так, например, за пос-
ледние две тысячи лет наши представления об окружающем
нас мире и об управляющих им закономерностях претерпе-
ли существенные изменения, а теорема Пифагора осталась
и останется всегда такой же, какой она была в Древней Гре-
ции. Это, конечно, не исключает того, что в процессе сво-
его исторического развития многие математические понятия
и утверждения не сразу обретали и обретают свою окон-
чательную логически законченную форму, не исключает и
того, что в процессе развития одни и те же объекты изу-
чения математики воспринимаются с разных точек зрения,
что приводит к раскрытию их новых свойств, наполняет их
новым содержанием, что, в свою очередь, нередко сущест-
венно меняет наше представление об их значимости и важ-
ности.
При использовании математики для описания каких-либо
конкретных явлений нередко бывает достаточно лишь интуитив-
ных представлений о соответствующих математических поняти-
ях, однако тогда, когда математика используется в качестве
метода исследования, как правило, для завершения проводимо-
го исследования необходимо четкое представление об исполь-
зуемых при этом математических понятиях — только в этом
случае может быть объективная уверенность в правильности
сделанных выводов. Поэтому, для того чтобы применять
математику как метод исследования, весьма важно осознать и
хорошо освоить сущность и взаимосвязь ее основных идей и
понятий, важно стремиться овладеть процессом творческого, а
не формального мышления.
Свободное владение математическими методами, знания и
интуиция приобретаются, накапливаются и развиваются в
процессе систематических занятий, в результате длительной и
настойчивой работы. Тот, кто последовательно овладевает
математическим аппаратом, кто последовательно' получает
твердые и точные знания математических фактов, будет
15
уверенно двигаться дальше, и математика станет послушным
инструментом в его руках.
Часто мнение о трудности изучения математики связано с
туманным и нечетким ее изложением на интуитивном уровне.
Кажущаяся трудность тех или иных математических методов
нередко обусловлена тем, что эти методы не были своевременно
достаточно хорошо разъяснены и поэтому остались непоня-
тыми.
Четкое введение математического понятия по сравнению с
введением на интуитивном уровне, как правило, оправдывает
себя при его применении, позволяет правильно использовать и
не нуждается в дополнительных пояснениях.
Лучший и кратчайший способ в процессе обучения матема-
тики разъяснить какое-либо понятие — это дать его точную
формулировку. Лучший способ на первом этапе обучения
объяснить теорему, выяснить ее смысл, установить ее связь с
ранее изученными фактами — это доказать теорему. Сделать
это надо просто, естественно и доходчиво, что часто совсем не
легко. В умении осуществить это на достаточно высоком уровне
и состоит прежде всего искусство преподавания математики.
Однако было бы неправильно думать, что с овладением
доказательством математической теоремы кончается процесс ее
познания. До конца смысл и роль теорем раскрываются лишь
при их применении к изучению других теоретических вопросов и
решении тех или иных конкретных задач. Трудно переоценить
огромную роль анализа отдельных примеров, иллюстрирующих
теоретические утверждения, и решения с помощью последних
соответствующих частных задач. Безусловно, при достаточно
хорошей математической культуре вполне допустимо знакомст-
во с рядом утверждений, ограничивающееся лишь их формули-
ровкой без проведения доказательства. Однако на первом этапе
обучения это явно нецелесообразно.
Косвенная польза от изучения математики состоит в том,
что оно совершенствует общую культуру мышления, дисципли-
нирует ее, приучает человека логически рассуждать, воспитыва-
ет у него точность и обстоятельность аргументации. Математи-
ка учит не загромождать исследование ненужными подроб-
ностями, не влияющими на сущность дела, и, наоборот,
не пренебрегать тем, что имеет принципиальное значение
для существа изучаемого вопроса. Все это дает возмож-
ность эффективно исследовать и осмысливать новые задачи,
возникающие в различных областях человеческой деятель-
ности.
Умение логически мыслить, владение математическим аппа-
ратом, правильное использование математики дают большую
экономию мышления, снабжают человека мощным методом
исследования.
16
Овладеть в достаточной мере математическим методом,
математической культурой мышления, почувствовать силу и
красоту математических методов —- далеко не простая задача. Но
для того, кто сумеет этого достичь, труд не пропадет зря. Для
него откроются новые перспективы человеческой деятельности,
заманчивые дороги в неизвестное, откроются качественно новые
возможности творчества и познания мира. Причем важно
отметить, что все это доступно каждому, кто хочет овладеть
математикой, кто серьезно и последовательно займется ее
изучением.
/
/
ГЛА^А I
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 1. МНОЖЕСТВА И ФУНКЦИИ.
ЛОГИЧЕСКИЕ СИМВОЛЫ
1.1. МНОЖЕСТВА. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ
В математике первичными понятиями являются понятия
множества, элемента и принадлежности элемента множеству.
Множества будем обозначать большими буквами латинского
или какого-либо другого алфавита: А, В, X, Y, 91, 93, а
элементы множеств — малыми буквами: а, Ь, х, у, а,
Р, ... . Если а является элементом множества А, то пишут ас А
(читается: «а принадлежит множеству А») или, что то же, Аэа.
Если же а не принадлежит множеству Л, то пишут афА или Афа.
Множества А и В называются равными, если они состоят из
одних и тех же элементов. Таким образом, равенство А=В
означает применительно к множествам, что одно и то же
множество обозначено разными буквами А и В.
Запись А = {а, Ь, с, ...} означает, что множество А состоит из
элементов а, Ь, с и, возможно, каких-то других, заданных тем
или иным способом.
Если множество А состоит из элементов где а пробегает
некоторое множество индексов 91, то будем писать А = {яа} или,
подробнее, А = {аа), ае91, или, если это не может привести к
недоразумению, просто А = [а}. Если множество А состоит из
всех элементов, обладающих определенным свойством, то
будем писать А = {а\ ...}, где в фигурных скобках после
двоеточия записано указанное свойство элементов множества А.
Например, если а и b — два таких действительных числа, что
а^Ь, и через [a, /?] обозначено множество всех действительных
чисел х, удовлетворяющих неравенствам а^х^Ь, то определе-
ние этого множества (отрезка) с помощью введенных символов
можно записать следующим образом:
[а, = а^х^Ь}.
Для удобства вводится понятие множества, не содержащего
никаких элементов. Оно называется пустым множеством и
18
Рис. 1
обозначается символом 0. По определению, оно не содержит
элементов, но причисляется к множествам.
Если каждый элемент множества А является элементом
множества В, то говорят, что множество А есть часть
множества В или что А является подмножеством множества В,
и пишут А^В (читается: «множество А содержится во
множестве В») или, что то же, В^А (читается: «множество В
содержит множество А»).
Упражнение 1. Доказать, что включения А^В и В^А выполняются
одновременно тогда и только тогда, когда А = В.
Из определения подмножества следует, что АсА, каково бы
ни было множество А; принято также считать, по определению,
что пустое множество считается подмножеством каждого
множества: 0с=Л. Если А—произвольное множество, то 0 и
А называются его несобственными подмножествами} если же
Лс=В и существует такой элемент хеВ, что хфА, то множество А
называется собственным подмножеством множества В.
Если заданы два множества А и В (рис. 1, а), то через A[JB
обозначается множество, называемое их объединением или
суммой, состоящее из всех тех элементов, каждый из которых
принадлежит хотя бы одному из множеств А и В (рис. 1, б).
Таким образом, если некоторый элемент принадлежит множест-
ву A(JB, то он принадлежит либо только множеству А. либо
только множеству В, либо обоим этим множествам.
Для любого множества А (непустого или пустого) полага-
ется
АШ = А.
Через AQ\B обозначается множество, состоящее из всех
элементов, которые одновременно принадлежат как множеству
А. так и множеству В (рис. 1, в). Множество А(^В называется
пересечением множеств А и В. Если А и В не имеют общих
элементов (в частности, одно из них или оба пусты), то
полагают
А(}В=0.
В этом случае множества А и В называются непересекаю-
щимися.
19
Отметим, что пустое множество, как и всякое множество,
совпадает само с собой: 0 = 0, но вместе с тем оно и не
пересекается само с собой: 0П0 = 0.
Через А\В обозначается множество, называемое разностью
множеств А и В и состоящее из всех элементов, которые
принадлежат множеству Л, но не принадлежат множеству В
(рис. 1, г). Говорят также, что А\В получается из множества А
вычитанием из него множества В.
Если Ва А. то разность А\В называется дополнением
множества В до множества А или дополнением В в А. По
определению, полагается
А\А = 0.
Упражнение 2. Доказать, что
Если задана система множеств Аа (термины «множество»,
«система», «совокупность», «класс» будут употребляться как
синонимы), где значения а образуют некоторую совокупность
индексов 21, то объединением (J Аа множеств Аа называется
ае$1
множество, каждый элемент которого принадлежит хотя бы
одному из заданных множеств Ла, т. е. условие хе U Ла
аеЭД
равносильно следующему: существует такое аеЭД, что хеАа.
Пересечением множеств Аа, осе21, называется такое множест-
во, обозначаемое через
А Аа,
аечЛ
что каждый его элемент принадлежит всем множествам Аа, т. е.
условие хе Q Аа означает: для всех осе?! имеет место хеА^.
аеЛ
Для любой системы множеств {^а}, и любого
множества X справедливы следующие соотношения:
Д U 4= А (*\А), О Л
аеЛ аеЛ
У\ А Аа= и (XVJ. (1.2)
аеЛ аеЛ
Докажем, например, равенство (1.1). Если хеХ\ (J Аа, то, в
осе91
силу определения разности множеств, хеХ и хф (J Ла. В свою
аеЛ
20
очередь, это, согласно определению объединения множеств,
эквивалентно тому, что хеХ и для всех ае21 имеет место
соотношение хфАа. Это же, снова по определению разности
множеств, равносильно утверждению, что для всех аеЭД имеем
хеХ\Аа. Наконец, последнее утверждение, по определению
пересечения множеств, означает, что хе Q (У\Ла). Итак, уело-
вия хеХ\ (J Аа и х е А (Х'\Ла) эквивалентны, поэтому выполня-
а еЭД ае21
ется равенство (1.1). Равенство (1.2) доказывается аналогично.
Подобными же рассуждениями доказывается справедливость и
следующих равенств для любых множеств А, В, С:
(ли^)ПС=(лпс)и(впс),
(лпБ)ис=(^ис)А(вис).
В следующем пункте 1.2* рассмотрено понятие функции, а
пункт 1.3* будет посвящен понятиям конечных множеств и
последовательности. Пункты и параграфы курса, отмеченные
звездочкой, при первом чтении можно опустить и вернуться к
ним лишь в случае внутренней потребности. В частности, для
понимания дальнейшего материала достаточно имеющегося в
курсе элементарной математики представления о функции как
об определенном соответствии между элементами двух мно-
жеств. При этом понятие соответствия можно понимать как
первичное.
1.2*.ФУНКЦИИ
Будем говорить, что число элементов множества А равно
единице, если в нем имеется элемент оеА и нет других (иначе
говоря, если из множества А вычесть множество, состоящее из
элемента а. то получится пустое множество).
Множество А называется множеством из 2 (двух) элементов.
если после вычитания из него множества, состоящего только из
одного элемента аеА. т. е. множества, число элементов которо-
го равно 1, останется множество, число элементов которого
также равно единице. Нетрудно доказать, что это определение
не зависит от выбора указанного элемента оеА. т. е. если аеА и
ЬеА. причем состоит из одного элемента, то и множество
Л\{М также состоит из одного элемента (а именно из элемен-
Пусть теперь заданы множества Х={х} и У=£у}. Множест-
во, состоящее из двух элементов хеХ и yeY. называется парой
{х. у} элементов х, у.
Пара вида {х. {х. Н}, где хеХ. yEY. {х. у}—пара элементов
х. у. называется упорядоченной парой элементов х и у. Элемент
21
х называется первым элементом упорядоченной пары {х,
{х, у}}, а элемент у — вторым. Упорядоченная пара {х, {х,
обозначается через (х, у). В дальнейшем под парой обычно
понимается упорядоченная пара.
Множество всех упорядоченных пар (х, j), хеХ, yeY,
называется произведением множеств X и Y и обозначается через
X х Y. При этом не предполагается, что обязательно множество
X отлично от множества У, т. е. возможен и случай, когда
X=Y.
Определение 1. Всякое множество /={(х, .у)} упорядоченных
пар (х, у), хеХ, yeY такое, что для любых пар (х', y')ef и (х",
У')е/ из условия у'+у" следует, что х'^х”. называется
функцией или, что то же, отображением.
Наряду с терминами «функция» и «отображение» в опреде-
ленных ситуациях употребляются им равнозначные термины
«преобразование», «морфизм», «соответствие».
Функции будут обозначаться различными буквами: /, g,..., F,
G,..., ср, \|/,... .
Множество всех первых элементов упорядоченных пар (х, у)
некоторой функции / называют множеством задания или
множеством (областью) определения этой функции и обозна-
чают через Xf, а множество всех вторых элементов — множест-
вом ее значений и обозначают через Yf.
Очевидно, что Xfcz.X. YfczY. Само множество упорядочен-
ных пар f={(x, у)}, рассматриваемое как подмножество
произведения X х У, называется графиком функции f.
Элемент xeXf называется аргументом функции f или
независимой переменной, а элемент уеУ—зависимой перемен-
ной.
Если /={(х, у)} есть функция (отображение), то пишут
/ : Ху->У и говорят, что f отображает множество Х<- в
множество У. В случае X=Xf пишется просто / : X-+Y.
Если f: X-^Y—функция, т. е. множество упорядоченных пар
/={(х, y)k xgX, yeY. удовлетворяющих условиям определе-
ния 1, и (х, y)ef. то пишут у=/(х) (иногда просто у=/х) или
/: хе-+у и говорят, что функция f ставит в соответствие, элементу
х элемент у (отображение f отображает элемент х в элемент у)
или, что то же самое, элемент у соответствует элементу х.
Для пары (х, j’), где у=/(х). говорят также, что элемент у
является значением функции f в точке х или образом элемента х
при отображении f.
Наряду с символом /‘(х0) для обозначения значения функции
f в точке х0 употребляется также обозначение /(х)|х=х .
Иногда сама функция / обозначается символом 0 /(х).
Обозначение функции / : X—► У и ее значения в точке хеХ одним и
тем же символом /(х) не приводит к недоразумению, так как в
каждом конкретном случае всегда ясно, о чем именно идет речь.
22
Обозначение /(х) обычно удобнее обозначения f : хь->у при
вычислениях. Например, запись f(x)=x2 значительно удобнее и
проще использовать при аналитических преобразованиях, чем
запись f : хь-»х2.
При заданном yeY совокупность всех таких элементов хеХ,
что f(x)=y, называют прообразом элемента у и обозначают
Таким образом,
f-i(y) = {x хеХ, f(x)=y}.
Очевидно, если yeY\Yf. то =
Пусть задано отображение / : А7-» У, т. е. отображение
множества X в множество Y. Иначе говоря, каждому элементу
хеХ поставлен в соответствие, и притом единственный, элемент
yeY и каждый элемент yEYf<^ Y поставлен в соответствие хотя
бы одному элементу хеХ.
Если Y— X, то говорят, что отображение f отображает
множество X в себя.
Если Y = Yf, т. е. множество Y совпадает с множеством
значений функции /, то говорят, что f отображает множество X на
множество Y или что отображение f является сюръективным
отображением, короче — сюръекцией. Таким образом, отображе-
ние f : X-+Y есть сюръекция, если для любого элемента yEY
существует по крайней мере один такой элемент хеХ, что f(x)=y.
Очевидно, если f: Х-+ Y и Yf— множество значений функции f9
то f : X-*Yf является сюръективным отображением.
Если при отображении f : Х-+ Y разным хеХ соответствуют
разные yEY, т. е. при х'=/=х" имеет место /(%')//(%"), то
отображение f называется взаимно однозначным отображением
(взаимно однозначным соответствием) X в У, а также однолист-
ным отображением или инъекцией. Таким образом , отображение
f : X-+Y однолистно (инъективно) тогда и только тогда, когда
прообраз каждого элемента у, принадлежащего множеству
значений функций f : yEYf, состоит в точности из одного эле-
мента.
Если отображение f : X-+Y является одновременно взаимно
однозначным и на множество У, т. е. является одновременно
инъекцией и сюръекцией, то оно естественно называется взаимно
однозначным отображением множества X на множество У или,
что то же, биективным отображением (биекцией) в У.
Таким образом, отображение f : X-^Y является взаимно
однозначным отображением множества X на множество У
тогда и только тогда, когда для любых х'еХ и х”еХ, х'^х",
справедливо неравенство /(х')//(х"), и, каково бы ни было yEY,
существует такой элемент хеХ, что f(x)=y.
Взаимно однозначное отображение множества X на мно-
жество У часто называют также взаимно однозначным соот-
ветствием элементов этих множеств.
23
Если f : X-+Y и AcX, то множество
5={j> : ycY, y=f(x), xgA},
т. e. множество всех тех у, в каждый из которых при
отображении f отображается хотя бы один элемент из
подмножества А множества X, называют образом подмножест-
ва А и пишут S=f(A). В частности, всегда имеем Yf=f(X\
Для образов множеств АсХ и В с X справедливы следую-
щие легко проверяемые соотношения:
/(лив)=/(л)и/(в),
/(ЛПВ)о/(>|)(У(Б),
а если АаВ, то
Если / : X-+Y и Вс=К, то множество
А = {х : хеХ, f(x)eB}
называют прообразом множества В и пишут A—f~x [В). Таким
образом, прообраз множества В состоит из всех тех элементов
хеХ, которые при отображении f отображаются в элементы
из В или, что то же самое, он состоит из всех прообразов то-
чек уеВ:
/-*(В)= иГЧЦ
уеВ
Для прообразов множеств ЛсК и Вс Y справедливы
следующие также легко доказываемые соотношения:
ГЧ^П^)=/"Ч^)АГ"Ч^
ГЧав)=ГЧл)\ГЧ*)г
а если Ас.В, то
ГЦА)^ГЦВ).
Если А<^Х, то функция f : У-»У естественным образом
порождает функцию, определенную на множестве Л, ставящую
в соответствие каждому элементу хеА элемент Дх). Эту
функцию называют сужением функции f на множество А и
иногда обозначают через f\A или просто через fA. Таким
образом, fA отображает А в Y и для любого хеА имеет место
/л : Если множество А не совпадает с множеством X, т. е.
является собственным подмножеством множества X, то сужение
fA функции f на множество А имеет другую область определе-
ния, чем функция и, следовательно, является другой, чем f9
функцией. Нередко сужение функции f : X^>Y на множество
24
AczX обозначают тем же символом f и называют «функцией f
на множестве Л»;
Если две функции f и g рассматриваются на одном и том же
множестве X, точнее, если рассматриваются сужения функций f
и g на одно и то же множество X, то запись f=g на X
означает, что /(x)=g(x) для каждого хеХ. В этом случае
говорят, что функция f тождественно равна функции g на
множестве X.
Иногда знак « = » будет употребляться между символами,
обозначающими один и тот же объект (обычно один из
употребленных в этом случае символов содержит более
подробное описание объекта, чем другой символ), например
запись/(х)=/(х1?..., означает, что х = (х1,..., хп), и тем самым
запись /(х) и /(х1?..., хп) обозначает одну и ту же функцию.
Отметим, что функции, у которых всем элементам некоторо-
го множества соответствует один и тот же элемент, т. е.
функции, у которых при изменении значения аргумента значение
функции не меняется, называются постоянными* (на данном
множестве) или константами.
Итак, если при изменении одной переменной (аргумента
функции) другая переменная, являющаяся функцией первой, не
меняется (т. е. «не зависит» от первой переменной), то это
частный и в определенном смысле простейший случай функци-
ональной зависимости.
Если f : X-+Y и каждый элемент yeYf представляет собой
множество каких-то элементов y = (z], причем среди этих
множеств {z} имеется по крайней мере одно непустое множест-
во, состоящее не из одного элемента, то такая функция f
называется многозначной функцией. При этом элементы z
множества f(x) = {z} часто также называют значениями функции
f в точке х.
Если каждое множество /(х) состоит только из одного
элемента, то функцию /называют также однозначной функцией.
Если /: Х-+ Y и g : Y-+Z, то функция F : X->Z, определенная
для каждого хеХ равенством F(x)=g(/(x)), называется компози-
цией (иногда суперпозицией) функцией / и g или сложной
функцией и обозначается через g°f.
Таким образом, по определению для каждого хеХ
(g°/)(x)=g (/(%)).
Пусть задана функция / : X-+Y и Yf — множество ее
значений. Совокупность всевозможных упорядоченных пар вида
(j^, /-1(j)). образует функцию, которая называется
обратной функцией для функции / и обозначается через /-1.
Обратная функция f~1 ставит в соответствие каждому элементу
yeYf его прообраз /1 (j), т. е. некоторое множество элементов.
Тем самым обратная функция является, вообще говоря,
25
многозначной функцией. При этом для любой точки хеХ имеет
место равенство /-1 (/(%)) = х, а для любой точки yeYf — ра-
венство ./'(/' ~1 (у))=у.' _
Отображения / и f называются взаимно обратными.
Если отображение f : X-+Y однолистно (инъективно), то
обратное отображение, определенное, как всегда, на Yf9
является однозначной функцией и отображает Yf на Х9 т. е.
jT"1 : Yf-->X. Действительно, в этом случае прообразы всех
точек yeYj- состоят точно из одной точки хеХ.
1.3*. КОНЕЧНЫЕ МНОЖЕСТВА И НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА.
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
В определенном смысле простейшими множествами являют-
ся так называемые конечные множества. Определим это
понятие.
Уже известно (см. п. 1.2*), что если множество X содержит
некоторый элемент х и не содержит никакого другого, т. е.
после вычитания из множества X множества, состоящего только
из элемента х, получается пустое множество
Х\{*} = 0,
то множество X называется множеством, состоящим из одного
элемента. Таким образом, понятие множества, состоящего из
одного элемента, равносильно понятию элемента. Очевидно,
что два множества, состоящие из одного элемента, отобража-
ются друг на друга взаимно однозначно.
Говорят, что число элементов каждого множества, состоя-
щего из одного элемента, равно единице, и слово «единица»
обозначают символом 1.
Если множество X после вычитания из него множества,
состоящего из одного какого-либо элемента хеХ, превращается
в множество, состоящее только из одного элемента уеХ. т. е.
Ал\{х} = {>’}, то множество X после удаления из него элемента у
также превращается в множество, состоящее только из одного
элемента, а именно элемента х, т. е. Ar\{j;} = {x}. Из сказанного
следует, что других элементов, кроме х и у, в множестве X нет,
поэтому свойство множества превращаться после удаления
одного его элемента в множество, число элементов которого
равно единице, не зависит от выбора удаляемого элемента.
Всякое множество, обладающее этим свойством, называется
множеством, состоящим из двух элементов. Любые два
множества, состоящие из двух элементов, отображаются друг
на друга взаимно однозначно. Говорят, что число элементов
каждого множества, состоящего из двух элементов, равно двум,
и слово «два» обозначают символом 2.
Если множество X после вычитания из него множества,
состоящего из одного элемента хеХ, превращается в множество,
26
состоящее из двух элементов, то множество X называют
множеством, состоящим из трех элементов, или множеством,
число элементов которого равно трем, и слово «три» обозна-
чают символом 3.
Аналогично, последовательно определяются множества, сос-
тоящие из четырех, пяти, шести и т. д. элементов, или, что то
же самое, множества, число элементов которых равно четырем,
пяти, шести и т. д. Слова «четыре», «пять», «шесть» и т. д.
обозначаются символами 4, 5, 6 и т. д.
Элементы множества
{1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} (1.3)
называются натуральными числами. Множество всех натураль-
ных чисел обозначают через №
Обозначим через п произвольно фиксированное натуральное
число: neN, а натуральное число, непосредственно следующее за
числом п в множестве (1.3), обозначим через д+1. Число п
будем называть предшествующим числу д+1. Очевидно, что
всякое натуральное число д, кроме 1, имеет предшествующее,
которое будем обозначать д—1. Таким образом, (д —1)+1=д.
Согласно определению натуральных чисел, каждое натураль-
ное число д представимо в виде
д = (...((1 + 1)+1... + 1)+1. (1.4)
(Рассматривая множества, состоящие из д «одинаковых»
элементов, можно сказать, что в формуле (1.4) в правой части
стоит множество из д единиц, соединенных последовательно
знаком « + ».)
Согласно конструкции, определяющей натуральные числа,
число д+IgTV характеризуется тем свойством, что каждое
множество, состоящее из д +1 элемента, после удаления любого
из них превращается в множество, которое состоит из д
элементов.
Согласно той же конструкции, любые два множества,
состоящие из дG^ элементов, отображаются друг на друга
взаимно однозначно.
Если из двух натуральных чисел т и д число т встречается
раньше, чем д в ряде натуральных чисел (1.3), т. е. число т
стоит левее числа д, то число т называют меньшим числа д и
пишут т<п или, что то же, число д называют большим числа
т и пишут п>т.
Например, д — 1 <д<д + 1, д/1. Для любых двух различных
натуральных чисел т и д имеет место точно одно из
соотношений т<п или т>п. При этом если т<п и п<р. то
т<рь т, д, peN.
Если число meN меньше числа neN, то в каждом множестве,
состоящем из д элементов, имеются подмножества, состоящие
27
из т элементов. Это следует из самой конструкции последова-
тельного определения натуральных чисел.
Множество натуральных чисел N обладает следующим
замечательным свойством.
Если множество М таково, что:
1) M^N\
2) 1еМ;
3) из пеМ следует, что п+leM, то
M=N. (1.5)
Действительно, согласно условию 2), имеем 1еМ, поэтому,
согласно свойству 3), и 2еМ\ тогда, согласно тому же свойству
3), получаем ЗеМ. Но любое натуральное число neN получается
из 1) последовательным переходом от предыдущего натураль-
ного числа к последующему, поэтому пеМ. Итак, равенство
(1.5) доказано.
Из всего сказанного следует, что множество натуральных
чисел обладает следующими свойствами.
1°. Каждому элементу neN поставлен в соответствие точно
один элемент этого множества, обозначаемый через п+\ и
называемый элементом, следующим за элементом п.
2°. Каждый элемент из N может следовать только за одним
элементом neN.
3°. Существует единственный элемент, обозначаемый симво-
лом 1, который не следует ни за каким элементом.
4°. Если множество MczN таково, что 1еМ, и из включения
теМ следует, что т+1еМ, то M=N.
Справедливо и обратное утверждение в том смысле, что
всякое множество, удовлетворяющее условиям 1° — 4°, может
быть взаимно однозначно отображено на множество N с
сохранением соотношения «больше — меньше».
Это обстоятельство позволяет получить аксиоматическое
определение множества натуральных чисел: достаточно принять
утверждения 1° — 4° за аксиомы (они называются аксиомами
Пеано*}. Таким образом, аксиоматическое определение мно-
жества натуральных чисел выглядит следующим образом.
Определение 2. Множество, удовлетворяющее условиям
1° — 4 , называется множеством натуральных чисел.
При таком определении свойство 4Ъ называется аксиомой
индукции.
Из доказанного равенства (1.5) следует так называемый
принцип доказательства методом математической индукции.
Если имеется множество утверждений, каждому из кото-
рых приписано натуральное число (его номер) п=\. 2, ..., и если
доказано, что:
Д. Пеано (1858 —1932) — итальянский математик.
28
1) справедливо утверждение с номером 1;
2) из справедливости утверждения с любым номером neN
следует справедливость утверждения с номером и+1,
то тем самым доказана справедливость всех рассматривае-
мых утверждений, т. е. справедливость утверждения с произ-
вольным номером neN (пример доказательства, проведенного
методом математической индукции, см., например, п. 1.4,
теорема 1).
Про пустое множество говорят, что число его элементов
равно нулю. Слово «нуль» обозначается символом 0. Мно-
жество натуральных чисел, к которому добавлен нуль, обозна-
чается 7V0:
def
No = MJ{0}. (1.6)
Нуль считается меньшим любого натурального числа: 0<п,
neN.
Натуральные числа можно складывать между собой и с
нулем: операция сложения в множестве 7V0 определяется с
помощью операции объединения множеств. Суммой т + п чисел
meN и neN называется число элементов объединения двух
непересекающихся множеств, одно из которых содержит т, а
другое — п элементов.
Это определение не зависит от выбора указанных множеств.
Легко видеть, что в случае п = 1 число т +1 в смысле операции
сложения совпадает со следующим за т числом, обозначенным
раньше тем же символом т+1.
Также непосредственно из определения вытекают следующие
свойства операции сложения в множестве NQ.
1°. n + 0 = n, neN0.
2°. Закон коммутативности: т + п = п + т, т, neN0.
3°.3акон ассоциативности: т + (п+р) = (т-\-п)+р, т, п,
peN0.
Упражнение 3. Доказать равенство
т + п = (... ((т+1)-Т 1) ...-T 1)+1. (1.7)
п раз
Операция вычитания в множестве 7V0 определяется с по-
мощью операции вычитания множеств. Если т^п*\ т, neN0, то
разностью т — п называется число элементов множества, кото-
рое получается из множества, содержащего п элементов, с
помощью вычитания из него множества, содержащего т
элементов.
Это определение не зависит от выбора рассматриваемых
множеств, содержащих п и т элементов.
*} T. е. либо т = п, либо т<п.
29
Операция вычитания в множестве 7У0 является обратной для
операции сложения: если
т + п=р, т. neN0,
то
п=р — т.
Из определения натурального числа п следует, что мно-
жество {1, 2, п} состоит из п элементов. Поэтому каждое
множество, состоящее из п элементов, взаимно однозначно
отображается на множество {1, 2, ..., п}.
Определение 3. Если для множества существует такое
натуральное п, что число его элементов равно п, то такое
множество называется конечным.
Всякое множество, не являющееся конечным, называется
бесконечным. Примером бесконечного множества является
множество натуральных чисел.
Пустое множество, по определению, причисляется к конеч-
ным множествам.
Определение 4. Пусть X—какое-либо множество и N—мно-
жество натуральных чисел. Всякое отображение f: N->X (см.
п. 1.2*J, называется последовательностью элементов множест-
ва X. Элемент f(n) обозначается через хп и называется п-м
членом последовательности / : N-+X, а сама эта последова-
тельность обозначается через {хи} или хп, п=Х, 2, ... .
Каждый элемент хп последовательности {х„} представляет
собой упорядоченную пару, состоящую из числа neN и
соответствующего ему при отображении / : N-+X элемента х
множества X. т. е. хп = (п, х). Второй элемент этой пары
называется значением элемента хп последовательности {х„}, а
первый — его номером.
Множество элементов последовательности всегда бесконеч-
но. Два различных элемента последовательности могут иметь
одно и то же значение, но заведомо отличаются номерами,
которых бесконечное множество.
Множество значений элементов последовательности (обычно
говорят короче: множество значений последовательности) мо-
жет быть конечным. Например, если всем ntN поставлен в
соответствие один и тот же элемент аеХ. т. е. при всех neN
имеет место равенство /(и) = я, то множество значений последо-
вательности хп = а, п=\, 2, .... состоит из одного элемента аеХ.
Такие последовательности называются стационарными.
Если пг<п2. пге№ n2eN. то член хП1 последовательности {хл}
называется членом, предшествующим члену х„2, а член х„2 —
членом, следующим за членом х . В этом смысле члены
последовательности всегда упорядочены.
Иногда в качестве номеров бывает удобно употреблять не
все натуральные числа, а лишь некоторые из них. Например,
натуральные числа начиная с некоторого натурального числа
30
п0: хп, п=п0, и0 + 1 или одни четные числа: хп, п=2, 4, ... .
Случается, что для нумерации употребляются не только
натуральные, но и другие числа, например х„, п = 0, 1, 2, ...
(здесь в качестве еще одного номера добавлен нуль). Во всех
этих случаях можно перенумеровать заново хп, используя все
натуральные числа т и только их. В первом примере следует
положить т = п — п0 + 1, во втором — т=~, в третьем — т =
= и+1. Поэтому в подобных случаях также говорят, что хп
образуют последовательность, и, конечно, указывают, какие
значения принимают номера п.
1.4. ГРУППИРОВКИ ЭЛЕМЕНТОВ КОНЕЧНОГО МНОЖЕСТВА
Если задано какое-либо конечное множество, то бывает
полезным составить из его элементов некоторые группы,
удовлетворяющие тем или иным условиям, и изучить их
свойства, например выяснить, сколько всего можно составить
таких групп. Рассмотрим группы элементов, называемые разме-
щениями, перестановками и сочетаниями.
Пусть задано множество, состоящее из п элементов,
хг, х2, ..., хп (1.8)
и фиксировано некоторое натуральное число к^п. В дальней-
шем в настоящем пункте под элементами всегда будут
пониматься элементы (1.8), если, конечно, не оговорено
что-либо другое.
Определение 5. Группы элементов, состоящие из к элементов в
каждой и отличающиеся друг от друга либо самими элементами,
либо их порядком, называются размещениями из п элементов по к.
Например, группы {1, 2}, {2, 1}, {1, 3}, {3, 1}, {2, 3}, {3, 2}
образуют всевозможные размещения из трех натуральных чи-
сел 1, 2, 3 по два из них.
Число всех размещений из п элементов по к элементов
обозначается через Ак, л? =1, 2. ..., к=\. 2, ..., п.
Лемма. Если к<п, то
Ак+1=Ак(п-к). (1.9)
Доказательство. Из каждого размещения по к элемен-
тов из п, т. е. из каждой упорядоченной группы к элементов
{xfi, xi9 ..., xik}, добавлением одного из не входящих в него
элемента xik+i (таких элементов всего п—к) можно получить
п — к размещений по к+\ элементов вида {xfi, ..., xik, Х/к+1},
причем таким способом получаются все размещения по к+1
элементов и точно по одному разу. Поэтому Ак (п — к) = А(к+1).
Теорема 1. Имеет место формула
Ак = п(п—\} ... (п — &+1), к=\. 2, ..., п. (1-Ю)
31
Доказательство. Очевидно, что
А1п=п. (1.11)
Далее,
<1Л2)
Вообще, если
А^~1} = п(п-\) ... (п-к+2), (1.13)
то
т. е. имеет место формула (1.10). Теорема доказана. Очевидно,
что, согласно методу математической индукции, достаточно
было проверить справедливость равенства (1.11) и показать, что
из формулы (1.13) вытекает формула (1.10).
Определение 6. Группы, состоящие из одного и того же числа
элементов и отличающиеся друг от друга только порядком
элементов, называются перестановками.
Таким образом, перестановки — это размещения из п эле-
ментов по п элементов в каждом, и=1, 2, ... .
Например, группы {1, 2, 3}, {1, 3, 2}, {2, 1, 3}, {2, 3, 1},
{3, 1, 2} и {3, 2, 1} образуют всевозможные перестановки из
первых трех натуральных чисел 1, 2, 3.
Число всех перестановок из п элементов обозначается Рп.
Теорема 2. Имеет место формула
Рп=12 ... п.
Это сразу следует из формулы (1.10) при к = п. Произведение
Т2 ... п обозначается п\ (читается: «эн факториал»).
В этих обозначениях
Рп = п\ (1.14)
Для удобства полагают
дРо = 0! = 1.
Определение 7. Группы, состоящие из к элементов в каждой
и отличающиеся друг от друга по крайней мере одним
элементом, называются сочетаниями.
Например, группы {1, 2}, {1, 3} и {2, 3} образуют все
сочетания из натуральных чисел 1, 2, 3 по два из них.
Число всех сочетаний из п элементов по к элементов в
каждом обозначается С„.
32
Теорема 3. Имеет место формула
т. е.
,к _п[п—1) ...(п—ку\)
(1-15)
(1.16)
Следствие. Справедлива формула
Доказательство. Если в каждом сочетании из п элемен-
тов по к (их всего С*) сделать всевозможные перестановки его
элементов (число таких перестановок равно Рк), то получатся
размещения из п элементов по к, причем таким способом
получаются все размещения из п элементов по к, и притом по
одному разу. Поэтому
ск р —Лк
откуда и следует формула (1.15). Формула (1.16) получается из
формул (1.10), (1.14), (1.15).
Если умножить числитель и знаменатель дроби, стоящей в
правой части формулы (1.16), на (« — /:)!, то получится формула
(1-17).
Теорема 4. Имеет место формула
Скп = Спп~к, к = 0, 1, 2, п,
(1-18)
def
где =1.
Доказательство. Формулу (1.18) легко получить непос-
редственно из определения сочетаний: если из п элементов
выбрать какую-либо группу (сочетание), состоящую из к
элементов, то останется группа (сочетание) из п — к элементов,
при этом таким способом получаются все сочетания из п
элементов по п — к элементов и по одному разу. Поэтому число
сочетаний из п элементов по к. т. е. С*, равно числу сочетаний
из п элементов по п — к, т. е.
Формула (1.18) следует сразу и из равенства (1.17), в силу
которого
/~<к s"in — k
п~к\(п-к)С п ~(п-к)\кС
т. е. числа Скп и Спп~к равны.
2-1807
33
Теорема 5. Имеет место формула
СкЦ = Ск+Ск+1. (1.19)
Доказательство. Пусть дан п+1 элемент, из которых
составляются сочетания по £+1 элементов. Зафиксируем один
из этих элементов; тогда число сочетаний, в которые вошел
этот элемент, равно Ск (так как если его отбросить в каждом
таком сочетании, то получатся всевозможные сочетания из п
элементов по к элементов и по одному разу), а число сочетаний,
в которые он не входит, равно Ск+1 (ибо они образуют
всевозможные сочетания по к+1 элементов из оставшихся п
элементов). Это и доказывает формулу (1.19).
Замечание. Числа Ск можно находить с помощью
следующей треугольной таблицы, называемой треугольником
Паскаля*\ где первые и последние числа во всех строчках
равны 1, и начиная с третьей строчки каждое число, отличное
от первого и последнего, получается сложением двух ближай-
ших к нему чисел предшествующей строчки:
1
1 1
1 2 1
13 3 1
14 6 4 1
1 .....cL.-cr1... 1
1 .........сШ....... 1
Из равенств Ci = C^ = C^=l и формулы (1Л9) следует, что в
п-и строчке этой таблицы стоят числа 1, С*, С„, С”-1, 1.
1.5. ЛОГИЧЕСКИЕ СИМВОЛЫ
В математических рассуждениях часто встречаются выраже-
ния «существует элемент», обладающий некоторыми свойства-
ми, и «любой элемент» среди элементов, имеющих некоторое
свойство. Вместо слова «существует» или равносильного ему
слова «найдется» иногда пишут символ 3, т. е. перевернутую
латинскую букву Е (от англ. Existence — существование), а
вместо слов «любой», «каждый», «всякий» — символ V, т. е.
перевернутое латинское А (от англ. Any — любой). Символ 3
называется символом существования, а символ V — символом
всеобщности.
Примеры. 1. Определение объединения U Аа множеств Ла,
осей, записывается с помощью логического символа существо-
Б. Паскаль (1623 —1662) —французский математик.
34
вания следующим образом:
IJ Аа = {х : Эае21, хеАа},
а определение пересечения Q Аа, записанное с помощью
осеЭД
символа всеобщности, имеет вид
П Аа = {х : Vocg9I, хеАа}.
OCG$I
2. Пусть R— множество действительных чисел и пусть
задана функция f : /?->/?, т. е. функция, определенная на
множестве действительных чисел и принимающая действитель-
ные значения. Функция f называется четной функцией, если для
любого xeR выполняется равенство /( — х )=/(%). Используя
логическую символику, это условие можно записать короче:
v xeR : /(-%)=/(%).
3. Функция f \R-*R называется периодической, если су-
ществует такое число Т>0, что, каково бы ни было xeR,
справедливо равенство /(х+Т)=/(х). Употребляя логические
символы, это можно записать следующим образом:
(3T>0)(V%eJ?) : Дх+Т)=/(х).
Обычно для удобства чтения утверждений, записанных с
помощью нескольких логических символов, все, что относится к
каждому из них отдельно, заключается в круглые скобки, как
это и сделано в последней формуле. Двоеточие в подобных
формулах означает «имеет место». Часто подобные выражения
записывают для краткости без скобок (мы будем поступать так
же):
ЭГ>0 У xeR : f(x+ Г) =/(х).
4. Функция f : R-+R не является четной, если условие
/(—х)=/(х) не выполняется для всех xeR. Однако подобные
отрицательные формулировки не очень удобны, когда прихо-
дится их использовать, так как трудно делать выводы из того,
чего нет. Гораздо удобнее иметь дело с позитивными, как их
называют, утверждениями, которые не содержат отрицаний. В
данном случае утверждение, что равенство /( — x)=f(x) не
выполняется для всех xeR, равносильно утверждению, что
существует такое xeR, что /( —или в символической
записи
3 xeR : /( — *)//(•*).
35
5. Функция /: R-+R не является периодической, если любое
число Т>0 не является ее периодом, т. е. для любого Т>0
равенство f(x+T^—f(x) не должно выполняться для всех xeR,
или в позитивной форме: для любого Т>0 найдется xeR, для
которого /(х+Г)^/(х). С помощью логических символов это
определение записывается следующим образом:
VT>0 3xeR : Дх+т)//(х).
Сравнив запись с помощью логических символов утвержде-
ний в примерах 2 и 3 с их отрицанием в примерах 4 и 5, видим,
что при построении отрицаний символы существования и
всеобщности заменяют друг друга. Для того чтобы в некотором
множестве не существовал элемент, обладающий каким-то
свойством, надо, чтобы все элементы не обладали этим
свойством, т. е. в этом случае при отрицании символ существо-
вания 3 переходит в символ всеобщности V. Если же каким-то
свойством обладают не все элементы рассматриваемого мно-
жества, то это означает, что в нем существует элемент, не
обладающий данным свойством: символ всеобщности заменил-
ся символом существования.
Символ => означает «следует» (одно высказывание сле-
дует из другого), а символ <=> означает равносильность
высказываний, стоящих по разные от него стороны. Значок
def означает, что сформулированное утверждение справед-
ливо по определению (от англ, definition — определение).
Например,
def
A cz Во V хе А охеВ,
def
(g°/)(*) = £(/(*))•
Определение часто используемого в математике символа £
(греческая заглавная буква «сигма») для обозначения суммы
слагаемых можно записать следующим образом:
п def
Е ак = Д1 + «2+ ••• + «„
к=1
Как правило, изложение материала ведется в классическом
стиле без использования логических символов. Ойи употребля-
ются лишь параллельно с основным текстом. Это, с одной
стороны, поможет читателю привыкнуть к их применению, что,
например, полезно при конспектировании, а с другой — более
кратко и, следовательно, иногда более выразительно разъяснить
нужную мысль.
В дальнейшем конец проводимого доказательства сформули-
рованного утверждения будет отмечаться символом □.
36
§ 2. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
2.1. СВОЙСТВА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
В элементарной математике изучаются действительные
(вещественные) числа. Сначала в процессе счета возникает так
называемый натуральный ряд чисел 1, 2, 3, ..., п. ... . В
арифметике вводятся действия сложения и умножения над
натуральными числами. Что же касается операций вычитания и
деления, то они уже оказываются не всегда возможными в
множестве натуральных чисел. Чтобы все четыре арифметичес-
кие операции были возможны для любой пары чисел (кроме
операции деления на нуль, которой нельзя приписать смысла),
приходится расширить класс рассматриваемых чисел. К необхо-
димости такого расширения запаса чисел приводят также
потребности измерения тех или иных геометрических и физичес-
ких величин. Поэтому вводятся число нуль и целые отрицатель-
ные числа (вида —1, —2, ..., —п, ...), а затем и рациональные
(вида plq, где р, q — целые, #/0).
Та же потребность измерения величин и проведения таких
операций, как извлечение корня, вычисление логарифмов,
решение алгебраических уравнений, приводит к дальнейшему
расширению запаса рассматриваемых чисел: появляются ирраци-
ональные и, наконец, комплексные числа. Все рациональные и все
иррациональные числа образуют множество всех действитель-
ных чисел.
Множество всех действительных чисел, как принято, будем
обозначать через R (от лат. realus — действительный). Это
множество образует совокупность, в которой определены
взаимосвязные операции сложения, умножения и сравнения
чисел по величине и которая обладает определенного рода
непрерывностью. Напомним кратко свойства действительных
чисел, известные из элементарной математики, и дополним их
описанием некоторых свойств, обычно не рассматриваемых там
достаточно полно.
I. Операция сложения. Для любой упорядоченной пары
действительных чисел а и b определено, и притом единственным
образом, число, называемое их суммой и обозначаемое через
а~уЬ. так что при этом имеют место следующие свойства.
1Р Для любой пары чисел а и b
a + b = b + a.
Это свойство называется переместительным или коммута-
тивным законом сложения. ,
12. Для любых чисел а. b и с
а+(Ь + с) = (а + Ь) + с.
37
Это свойство называется сочетательным или ассоциативным
законом сложения.
13. Существует число, обозначаемое 0 и называемое нулем,
такое, что для любого числа а
я4-0 = я.
14. Для любого числа а существует число, обозначаемое
— а и называемое противоположным данному, такое, что
а+( — я) = 0.
II. Операция умножения. Для любой упорядоченной
пары чисел а и b определено, и притом единственным образом,
число, называемое их произведением и обозначаемое ab, так что
при этом имеют место следующие свойства.
Пр Для любой пары чисел а и b
ab = Ьа.
Это свойство называется переместительным или коммутатив-
ным законом умножения.
П2. Для любых чисел а, Ь, с
a(bc) = (ab) с.
Это свойство называется сочетательным или ассоциативным
законом умножения.
II3. Существует число, обозначаемое 1 и называемое едини-
цей, такое, что для любого числа а
а • 1 =а.
П4. Для любого числа а^О существует число, обозначаемое
\/а или - и называемое обратным данному, такое, что
III. Связь операций сложения и умножения. Для
любых чисел а, Ь, с
(a + b)c = ac + bc.
Это свойство называется распределительным или дистрибу-
тивным законом умножения относительно сложения.
IV. Упорядоченность. Для каждого числа а определено
одно из соотношений я>0 (а больше нуля), а = 0 (а равно нулю}
или а<0 (а меньше нуля) так, что условие a>Q равносильно
условию — а<0.
При этом если а>0, Ь>0, то имеют место неравенства’.
IVP a + b>$.
IV2. ab>0.
38
Свойство IV дает возможность „„ /I . в
ввести понятие сравнения или, как Jlli 11 444 1 iH 11,11 11,1
иногда говорят, сравнения по вели- Ри* 2
чине для любых двух чисел.
Число b называют числом, большим числа я, и пишут Ь>а^
или, что то же самое, число а называют меньшим числа b и
пишут а<Ь, если Ь — я>0.
Наличие сравнения «больше» или «меньше» для любой пары
действительных чисел называется свойством упорядоченности
множества всех действительных чисел.
Действительные числа обладают еще так называемым
свойством непрерывности.
V. Свойство непрерывности. Каковы бы ни были
непустые множества A<cRu Вс:R, у которых для любых двух
элементов ас А и ЬеВ выполняется неравенство а^Ь, существу-
ет такое число а, что для всех аеА и ЬеВ имеет место (рис. 2)
соотношение
а^ъ^Ь.
Свойство непрерывности действительных чисел связано с
самым простейшим использованием математики на практике —
с измерением величин. При измерении какой-либо физической
или какой-нибудь другой природы величины часто получают с
большей или меньшей точностью ее приближенные значения.
Если в результате экспериментального измерения данной
величины получается ряд чисел, дающих значение искомой
величины с недостатком (они играют роль множества А в
приведенной выше формулировке свойства непрерывности) и с
избытком (множество 5), то свойство непрерывности действи-
тельных чисел выражает объективную уверенность в том, что
измеряемая величина имеет определенное значение, расположен-
ное между ее приближенными значениями, вычисленными с
недостатком и избытком.
Из свойств I — V действительных чисел вытекают другие
многочисленные их свойства, поэтому можно сказать, что
действительные числа представляют собой совокупность эле-
ментов, обладающую свойствами I — V.
Для вдумчивого читателя заметим, что ссылка в начале
параграфа на то, что действительные числа и их свойства
известны из курса элементарной математики, не является
необходимой. Сформулированные выше свойства действитель-
ных чисел можно взять за исходное определение. Следует
только исключить тривиальный случай: легко проверить, что
для множества, состоящего только из одного нуля, выполняют-
ся все свойства I — V (в таком множестве 0=1). Множество, в
котором имеется хоть один элемент, отличный от нуля, будем
здесь для краткости называть нетривиальным.
39
fl Ь Перефразируя сказанное, получим
о / следующее определение.
Определение 1. Нетривиальное мно-
гие. 3 жество элементов, обладающих свойст-
вами I — V, называется множеством
действительных чисел. Каждый элемент этого множества
называется действительным числом.
Построение теории действительных чисел, основывающееся
на таком их определении, называется аксиоматическим, а
свойства I — V — аксиомами действительных чисел.
Геометрически множество действительных чисел изобража-
ется направленной (ориентированной) прямой, а отдельные
числа — точками этой прямой. Поэтому совокупность действи-
тельных чисел часто называют числовой прямой, а также
числовой или действительной осью, а отдельные числа — ее
точками (рис. 3). При такой интерпретации действительных
чисел иногда вместо а меньше b (а больше Ь) говорят, что точка
а лежит левее точки b (что а лежит правее Ь).
В п. 2.2* — 2.6* будут более детально проанализированы
свойства I — V действительных чисел и выведены некоторые их
следствия. Как и все пункты, отмеченные звездочками, эти
пункты при первом чтении можно без существенного ущерба
для усвоения курса математического анализа опустить. Для
понимания дальнейшего материала (в § 3 и следующих) вполне
достаточно представления о действительных числах, которое
дается в курсе элементарной математики.
2.2*. СВОЙСТВА СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ
Рассмотрим некоторые свойства сложения и умножения,
которые вытекают из свойств I, II и III. Прежде всего заметим,
что для операции сложения существует обратная операция —
вычитание; определим ее.
Для любой упорядоченной пары чисел aeR и beR число
а+ (—Ь) называется разностью чисел а и b и обозначается через
а — Ь. т. е.
а-ЬА=а+ (—Ь), (2.1)
Если
аЛ-Ь^с. (2.2)
то, прибавляя к обеим частям этого равенства число — Ь.
получаем (а + Ь) + ( — //) = с-р ( — />). Отсюда, согласно ассоциа-
тивному закону 12 и определению разности, имеем
а + (Ь + ( — ЬУ) = с—b ,
40
но b+ (—/>) = 0; следовательно,
a=c—b. (2.3)
Таким образом, после прибавления к числу а числа b число а
восстанавливается вычитанием из суммы a-yb числа Ь, поэтому
операция вычитания и называется операцией, обратной операции
сложения.
Перейдем теперь к свойствам сложения и умножения
действительных чисел.
1°. Число, обладающее свойством нуля, единственно.
Действительно, допустим, что существуют два нуля 0 и О';
тогда, в силу 13; 0' + 0 = 0', 0 + 0' = 0. Согласно коммутативному
закону 12, левые части этих равенств равны, следовательно,
равны и правые, т. е. 0 = 0'. □
2°. Число, противоположное данному, единственно.
Пусть числа b и с противоположны некоторому числу а.
т. е. а+b^Q и а-Ус = 0. Тогда из первого равенства имеем
(a-yb) + с = 0-Ус, т. е. (а + Ь) +с = с, откуда (а+с) + Ь = с\ но
й-гс = 0, следовательно, Ь^с. □
3°. Для любого числа а справедливо равенство
— ( — а) = а.
Из равенства а-У ( — а) = 0, определяющего противоположный
элемент, в силу коммутативности сложения, получим — я + я =
Это и означает, что а= — ( — а). □
4°. Для любого числа а справедливо равенство
а — а = 0.
В самом деле, а — а = а-У ( — а) = 0. □
5°. Для любых чисел а и b имеем
— a — b = — (a-yb),
т. е. число, противоположное сумме двух чисел, равно сумме
противоположных им чисел.
Действительно, a-yb-y ( — a — b) = (a — a) + (Ь — Ь) = О. □
6 . Уравнение а + х = Ь имеет в R решение, и притом
единственное'. х = Ь — а.
В самом деле, если решение существует, то, в силу
(2.2) —(2.3), х = Ь — а. Этим и доказана единственность решения
уравнения а-Ух = Ь. Для существования решения достаточно
проверить, что число х = Ь — а является решением. Это действи-
тельно так:
а-У (Ь — а) = а~У [Ь + ( —я)] = [«+ ( — я)] -УЬ^Ь.□
Для операции умножения также существует обратная опера-
ция; она называется делением и определяется следующим
образом.
41
Для любой упорядоченной пары чисел а и b. b 0, число а •
называется частным от деления а на b и обозначается через -,
ь
или alb. или а: Ь. т. е.
a def 1 z . р.
~ = а'-. Ь^О.
b b
Свойства, аналогичные свойствам 1° — 6° для сложения,
справедливы и для операции умножения:
7°. Число, обладающее свойствами единицы, единственно.
8°. Число, обратное данному числу, отличному от нуля,
единственно.
9°. Для любого числа а^О справедливо равенство
1
—=а.
1/«
10°. Для любого числа а^О справедливо равенство
-=1 .
а
11°. Для любых чисел а^О и Ь^О имеем равенство
1 1_ 1
a b ab’
т. е. число, обратное произведению чисел, отличных от нуля,
равно произведению обратных им чисел.
12°. Уравнение ах — Ь, я/0, имеет в множестве действи-
л Ъ
тельных чисел и притом единственное решение х = ~.
а
Свойства 7°—12° доказываются аналогично свойствам
1° —6°.
13°. Равенство
а _с
b~~d"
справедливо тогда и только тогда, когда ad=bc.
Следствие (основное свойство дроби). Каковы бы ни были
дробь а/b, b^Q. и число с^О, имеет место равенство
а _ас
b Ьс'
Действительно, умножая обе части равенства ajb = cjd на bd
и используя определение деления, имеем следующую цепочку
эквивалентных равенств:
42
-=-o-b d=-dboa--b d=c-db<>ad=cb . □
b d b d b d
Все рассмотренные свойства 1°—13° касаются только
операций сложения и умножения. Эти операции позволяют
определить натуральные, целые и рациональные числа, опе-
рацию возведения в целую степень и операцию извлечения
корня. Проделаем это.
Число 1 +1 обозначается через 2, число 2+1 —через 3 и т. д.
Числа 1, 2, 3, ... называются натуральными числами. Их
обозначение и название совпадают с числами элементов в
конечных множествах (см. п. 1.3*). Это не случайно, поскольку,
для того чтобы получить натуральное число п в новом смысле,
надо взять конечное множество единиц, число элементов
которого в п. 1.3* было обозначено тем же символом д, и
сложить их (см. (1.4)). При этом отношение порядка, введенное
в множестве натуральных чисел (см. п. 1.3*), совпадает с
порядком, имеющимся в этом множестве согласно упорядочен-
ности множества всех действительных чисел (см. свойство IV в
п. 2.1), причем натуральным числом, непосредственно следую-
щим за д, является п +1. Как уже отмечалось, множество
натуральных чисел обозначается через 7V.
Заметим, что, хотя, как это было доказано выше, единица
единственна, можно рассматривать несколько экземпляров
единицы (как и вообще несколько экземпляров любого элемента
некоторого множества) хотя бы для того, чтобы можно было
написать выражение 14-1.
Числа 0, ±1, ±2, ..., называются целыми числами. Множе-
ство целых чисел обычно обозначается через Z.
В дальнейшем будет показано (см. свойство 8° в п. 2.3*), что
из всех перечисленных в п. 2.1 свойств действительных чисел
следует, что 1>0.
Числа вида m/д, где т и п — целые, а д^О, называются
рациональными числами. Множество всех рациональных чисел
обозначается обычно через Q. Действительные числа, не
являющиеся рациональными, называются иррациональными. Их
множество обозначается через I.
Отметим теперь несколько свойств, которые связывают
операции сложения и умножения.
14°. Для любых чисел а, b и с имеет место равенство
a(b — c) = ab — ac.
В самом деле,
a(b — с) = а(b — с) +ac—ac = a(b — c+c) — ac = ab — ac. □
15°. Для любого числа а выполняется равенство
«•0 = 0.
43
Действительно, возьмем какое-либо число Ь; тогда Ь — Ь = О
(см. свойство 4°). Поэтому, согласно свойству 14°, имеем
а-0 = а(Ь — b) = ab — ab = 0. □
Из свойства 14°, между прочим, вытекает, что утверждение
1/0 при выполнении свойств I — III эквивалентно тому, что
существует хотя бы одно число, отличное от нуля. Очевидно,
достаточно показать, что если существует число а^О, то 1/0.
Докажем это: пусть существует я/0; тогда из равенства а • 1 = а
следует, что 1/0, так как в противном случае, согласно
свойству 15°, имело бы место равенство а = 0.
16°. Если ab = 0, то по крайней мере один из сомножителей а
и b равен нулю.
Пусть, например, «/0; тогда, умножив равенство ab = Q на
-, получим -(а Ь\ = ~- 0, откуда (-я) 6 = 0, следовательно, Ь =
а а. ' а \а J
= 0. □
17°. Для любых чисел а и b имеем
( — a)b=—ab, ( — a)( — b) = ab;
в частности. ( — 1)а = — а.
В самом деле,
( — d]b = ( — d)b+ab — ab = ( — a + a)b — ab = —ab . □
Используя это равенство, получаем
(-a)(-Z>)=-«(-&)=(-1) [«(-/>)]=(-l)(-aZ>)=-(-aZ>)=
= ab. □
Из свойств I, II, III действительных чисел и перечисленных
выше их следствий можно получить правила арифметических
действий с дробями, т. е. числами вида аД. /?/0, aeR, beR.
18°. Сложение дробей производится по правилу
6^0, <^0.
b d bd
Докажем справедливость этого равенства. Использовав
определение деления, дистрибутивность сложения относительно
умножения и основное свойство дроби, получим
л d~\~ be / 7 т \ 1 j 1 . 1 1 a, d b с а с I—।
-~—={ad+bc)—y=ad—+bc—=- + —=- + - □
bd 'bd bd bd bd bd b d
19°. Умножение дробей производится no правилу
а с _ac
b d~Td"
Z?/0, rf/0.
Использовав определение деления и свойство 11°, получим
44
ас 1 11/ ( 1 \ а с
— = ас—= ас—=[а-- с- = —.
bd bd^Q bd у bj\ dj bd
20°. Обратным элементом дроби у, а^О, 6/0 является дробь
ь
b а b Л
т. е. -•-=!.
а b а
Это сразу следует из правила умножения дробей.
21°. Деление дробей производится по правилу
7:^=^,с*°> d*°-
b d be
Использовав определение деления, предыдущее свойство и
правило умножения дробей, будем иметь
а с _а 1 _а d_ad j—।
b d be be be
d
Пусть заданы действительное число а и натуральное н.
Число а, умноженное п раз на себя, называется и-й степенью
числа а и обозначается через ап. Таким образом,
п раз
л def
По определению полагается а — 1 и для любого neN
def 1
а п = —.
я"
Выведем теперь из полученных выше свойств сложения и
умножения действительных чисел правила действий со степеня-
ми.
22°. Если т и п — целые числа, причем в случае, когда т^О
или п < 0, имеет место а / 0, то
атап = ат+п, (ат)п = атп.
Если т = 0 или п = 0, то справедливость формул очевидна.
В том случае, когда т и п — натуральные числа, согласно
определению степени,
атап = а аа.......а = ат+п.
т раз п раз
Если т<0, и>0 и «/О, то, полагая к=—т и используя
основное свойство дроби (возможность одновременного деле-
ния числителя и знаменателя дроби на одно и то же не равное
нулю число без нарушения равенства), при к^п будем иметь
п раз
атсГ = сГкап=-к
СТ
к раз
= а а =ап~к = ат+п
а ... а
45
а при k>n
im ап = -=-^=ап~к = ат+п
сг a
Если m<0, n<0 и я/О, то, полагая, к=—т,
используя свойство 11°, получаем
/= —п и
атап = а ка 1 = ^-\=_±—=а (к+1> = ат+п
ста ак
Подобным образом проверяется и вторая формула свойства
22°. □
Легко показать, что свойства I19 I2, II19 П2 и III распростра-
няются по индукции на любое конечное число членов. В
качестве примера покажем, что для любых чисел а1} а2, ..., ап
(и ^2) и b
(ai+a2 + ... + an)b = a1 Ь + а2Ь + ...+апЬп. > (2.4)
В самом деле, при п = 2 эта формула справедлива согласно
свойству III.
Пусть теперь (2.4) справедлива при п = к. покажем, что она
будет справедлива и при п = к +1. Применив свойство 12 для
/г+1 слагаемых (считая, что оно уже доказано), затем свойство
III и использовав предположение индукции, получим
(<+ +я2 +... + <4 + 1) b = [(^1 + ... + ak) ~l~cik + 1] Ь =
— щ i +... + b + +1 Ь — а± £ + ... + /> + +1 b .
Из формулы (2.4) в случае аг=а2 = ... = а„=1. следует, что
nZ> = Z>+--+^,
п раз
т. е. что умножение числа на натуральное число и сводится к
сложению этого числа п раз.
Замечание. Отметим, что свойства I — III п. 2.1 не
описывают полностью действительные числа в том смысле, что
существуют и другие множества, отличные от совокупности
действительных чисел, удовлетворяющие тем же свойствам
I — III, если в них слово «число» всюду заменить словом
«элемент» рассматриваемого множества. Именно в этом смысле
всюду в дальнейшем понимается выражение «множество,
удовлетворяющее каким-либо из свойств I — III».
Примером множеств, удовлетворяющих условиям I, II и III,
являются одни только рациональные числа или известные из
элементарной математики комплексные числа, а также совокуп-
ность рациональных функций, т. е. функций вида /(%)=—+4, где
Q W
Р (х) и Q (х) — многочлены.
46
Элементы всех перечисленных множеств можно складывать
и умножать, причем эти операции будут подчиняться условиям
I, II и III. Множества, удовлетворяющие этим требованиям и
содержащие хотя бы один элемент, отличный от нуля,
называются полями.
Таким образом, рациональные числа, действительные числа,
комплексные числа и рациональные функции образуют поля.
Проанализируем теперь свойства, выделяющие поле дей-
ствительных чисел среди всех других полей. Одним из таких
свойств является свойство упорядоченности его элементов.
2.3*. СВОЙСТВА УПОРЯДОЧЕННОСТИ
Выведем некоторые следствия из свойств упорядоченности
IV и свойств сложения и умножения I, II и III.
Прежде всего напомним понятие сравнения по величине для
любых двух чисел при условии, что для любого числа а
определено, меньше ли оно нуля, равно ли нулю или больше
его, причем никакое число и противоположное ему не могут
быть одновременно больше или, соответственно, меньше нуля
(в этом состояло свойство IV): число b называется числом,
большим числа а: Ь>а, если b — a>Q.
Соотношения а<Ь или равносильное ему Ь>а называются
неравенствами (иногда строгими неравенствами).
Заметим, что соотношение а<Ь в случае a = G или
b = 0 совпадает с исходным соотношением IV. Действитель-
но, если, например, 6 = 0 и а<0 в первоначальном смысле,
то, согласно свойству IV, имеет место неравенство — а>0.
Но —а = 0 — а, поэтому 0 — а>0 и, следовательно, а<0 и
в смысле последующего определения. Обратно: если а<0 в
смысле последующего определения, т. е. 0 —«>0, следова-
тельно, — я>0, то, согласно свойству IV, это равносильно
условию а<0.
Рассмотрим теперь основные свойства сравнения чисел по
величине.
1°. Если а>Ъ и Ь>с. то а>с.
Это свойство называется транзитивностью упорядочен-
ности (сравнения по величине) чисел.
Если а>Ь и Ь>с, то, согласно определению, это означает,
что а — 6>0 и Ь — с>0. Складывая эти неравенства, согласно IVj
получаем (а — 6) + (Ь — с)>0, т. е. а — с>0. Это и означает, что
а>с. □
2°. Если а>Ь, то для любого числа с имеем а+с>Ь + с.
В самом деле, неравенство а>Ь означает, что а — 6>0. Так
как, согласно свойству 5° из п. 2.2*, а — Ь = а + с—с — Ь —
= (а + с) — (Ь + с), то (а + с) — (6 + с)>0 и, следовательно,
а + с>Ь + с. □
47
Соотношение a<b читается: «а меньше Ь». Соотношение
а = Ь читается: «а равно Ь». Соотношение а>Ь читается: «а
больше Ь».
Наличие транзитивного отношения порядка «больше»,
«меньше» между любыми двумя числами называется обычно
свойством упорядоченности множества действительных чисел
или отношением порядка.
Запись а^Ь равнозначна записи Ь^а и означает, что либо
а = Ь„ либо а<Ь. Например, можно написать 2^2, 2^5.
Конечно, можно написать более точно: 2 = 2, 2 <5, однако
неравенства 2^2 и 2^5 также верны, так как означают, что
«два не больше двух», соответственно что «два не больше
пяти».
3°. Для любых двух чисел а и b имеется в точности одно из
трех соотношений порядка а>Ь. а = Ь или а<Ь.
Действительно, пусть заданы два числа а и Ь. Для их
разности а — Ь. согласно свойству IV, имеет место точно одно из
соотношений a — 6>0, а — 6 = 0 или $>а — Ь.
Если а — 6>0, то, по определению, а>Ь. Если <7 — 6 = 0, то,
прибавив к обем частям равенства число 6, получим а~Ь.
Наконец, если 0>я —6, то, прибавив последовательно к обеим
частям неравенства 0><7 —6 числа — а и 6 (см. предыдущее
свойство), получим 6 —<7>0. Это и означает, что Ь>а, или, что
то же, а<Ь. □
4°. Если а<Ь. то —а>—Ь.
Действительно, из а <Ь в силу определения имеем 6 —<7>0.
Поэтому ~а= — я + 6+ ( — 6) = (6 — а) 4- ( —6)>0 + ( — 6)= —6. □
5°. Если а<Ь и c^d, то a + c<b + d, т. е. можно произво-
дить почленное сложение неравенств одного знака.
В самом деле, если а<Ь и c^d, то, согласно свойству 2°
этого пункта, <7 + с<6 + с и c+b t^d+b, поэтому, в силу
транзитивности упорядоченности, имеем a+c<b + d. □
6°. Если а<Ь и c^d, то a — c<b — d, т. е. неравенства
противоположных знаков можно вычитать в указанном смысле.
Действительно, из c^d имеем, согласно свойству 4° этого
пункта, — — d. Сложив неравенства а<Ь и — c^—d, получим
a — c<b — d. □
7°. Если а<Ь и с<0, то aobc.
В самом деле, согласно свойству 4° этого пункта, — с>0,
поэтому, в силу свойства IV2, имеем а( —с)<6( —с). Отсюда,
согласно свойству 17° п. 2.2*, получим — ас<- Ьс и, следова-
тельно (см. свойства 4° этого пункта), aobc. □
Из свойства?0 следует, что если 6>0, d>0, то условие
а с
~b>d
48
равносильно условию ad<bc. В самом деле, второе из
неравенств получается из первого умножением обеих его частей
на bd, а первое из второго — делением на bd.
Из свойства 7° (при а = 0) и из свойства IV2 вытекает
правило знаков при умножении действительных чисел: произве-
дение двух сомножителей одного знака (либо одновременно
положительных, либо одновременно отрицательных) положи-
тельно, а произведение двух сомножителей разных знаков (один
из них положителен, другой — отрицателен) отрицательно.
8°. В упорядоченном поле всегда справедливо неравенство
1>0.
В самом деле, как уже было показано (см. замечание после
свойства 14° в п. 2.2*), из условия существования элемента а /О
(это условие входит в определение поля, см. конец п. 2.2*)
следует, что 1/0. Покажем, что неравенство 1<0 невозможно.
Допустим противное, пусть 1<0. Возьмем какое-либо а>$.
Согласно определению единицы, имеем я • 1 = а. По правилу
знаков произведение положительного числа а и отрицательного,
по предположению 1, является отрицательным числом, т. е.
а<0, что противоречит условию. □
Действительные числа снова не являются единственным
объектом, который удовлетворяет аксиомам I — IV. Множества,
для которых справедливы эти аксиомы, называются упорядочен-
ными полями. Примером упорядоченного поля, отличного от
поля действительных чисел, является поле рациональных чисел.
Однако уже ни поле комплексных чисел, ни поле рациональных
функций не являются упорядоченным полем.
Во всяком упорядоченном поле можно ввести понятие
абсолютной величины его элементов. При ее определении и
изучении ее свойств для единообразия изложения будем все
время говорить о числах, а не об элементах произвольного
упорядоченного поля.
Для любого числа а число, обозначаемое |а| и определяемое
по формуле
. । I а, если я 0,
’а'“” 1 — а, если я<0,
называется абсолютной величиной числа а, или, что то же, его
модулем.
Отметим ряд свойств абсолютной величины.
1°. Для любого числа а выполняются соотношения
Н^О, (2.5)
-а\. (2.6)
— а<|а|. (2.7)
Докажем неравенство (2.5). Если то \a\ = a~^fy если же
а < 0, то |а|= — а >0.
49
Докажем равенство (2.6). Если а^О, то 1а) = а и — а^О,
поэтому, согласно определению абсолютной величины и свой-
ству 3 из п. 2.2*, получим | —я|= — ( — а) = а = \а\. Если же а<0,
то |я|=— а и —я>0; это означает, что |— я|=— а. □
Докажем неравенство (2.7). Если то я = |я| и — <7^0^
^а = |бг|, т. е. (2.7) выполняется. Если же а<0, то а<0<
<— a = lal, т. е. (2.7) также выполняется. □
2°. Для любых чисел а и b
k+z>|<k*l + 1Я (2.8)
||л| - (2.9)
Докажем эти неравенства. Согласно (2.7), имеем:
— <7^|я|,
Отсюда, в силу свойства 5° из п. 2.3* и свойства 5° из п. 2.2*,
a + b^\a\ + \b\, -(a+b)^\a\ + \b\.
Одно из чисел а + Ь или — (а + b) неотрицательно и, следовате-
льно, совпадает с |я + />|. Неравенство (2.8) доказано.
Неравенство же (2.9) является следствием (2.8). В самом
деле,
|л| - \b\ = \(a — b) +b\ - \b\^\a-b\ + |й| - \b\ = \a-b\;
аналогично, |Z?| — |я|^|6 — я| = |я — Ь\.
Согласно свойству 5° п. 2.2*, |Z?| — |<7| = — (|я| — |й|). Одно из
чисел |а| — |Z>| и — (|я| — |Z?|) совпадает с ||я| — |Z?||. Неравенство
(2.9) также доказано.
3°. Для любых чисел а и b выполняется равенство |«Z?| = |tz| |£|.
Это сразу следует из определения абсолютной величины,
свойства 17” п. 2.2* и правила знаков при умножении.
Рассмотрим теперь свойство непрерывности, которое выде-
ляет поле действительных чисел среди всех прочих упорядочен-
ных полей.
2.4 .* СВОЙСТВО НЕПРЕРЫВНОСТИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Упорядоченное поле, удовлетворяющее свойству V, назы-
вается непрерывным упорядоченным полем. Поле рациональных
чисел уже не является непрерывным упорядоченным полем: в
нем имеются множества А и В, для любых элементов аеА и ЬеВ
которых выполняется неравенство а<Ь, вместе с тем не
существует такого рационального числа г, чтобы для всех ЬеВ и
аеА выполнялось соотношение а^г^Ь. Можно показать,
например, что этим свойством обладают множество В, которое
состоит из всех положительных рациональных чисел г, удов-
летворяющих неравенству г2 >2, и множество А, в которое
отнесены все остальные рациональные числа.
50
В терминах упорядоченных полей определение множества
действительных чисел можно сформулировать следующим
образом.
Определение 2. Множеством действительных чисел назы-
вается непрерывное упорядоченное поле.
Поле рациональных чисел, как уже отмечалось выше,
не обладает свойством непрерывности, а поле действи-
тельных чисел — обладает. Поэтому заведомо существу-
ют действительные числа, не являющиеся рациональными,
т. е. существуют иррациональные числа. Таким образом,
множество действительных чисел является расширением мно-
жества рациональных чисел в том смысле, что множест-
во рациональных чисел является собственным подмножест-
вом множества действительных чисел. При этом расшире-
нии сохраняются свойство упорядоченности и операции сло-
жения и умножения. Оказывается, что действительные чис-
ла, в отличие от рациональных, уже нельзя расширить
до большего множества так, чтобы сохранялись указан-
ные свойства (упорядоченность и операции сложения и умно-
жения). Это свойство называется свойством полноты дейст-
вительных чисел относительно их упорядоченности, сложе-
ния и умножения. Его доказательство будет дано в
п. 3.8*.
2.5 *. СЕЧЕНИЯ В МНОЖЕСТВЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Свойство непрерывности действительных чисел можно фор-
мулировать в различных терминах. Рассмотрим формулировку
этого свойства в терминах так называемых сечений действи-
тельных чисел. Прежде всего определим это понятие.
Определение 3. Два множества AczR и B^R называются
сечением множества действительных чисел R, если'.
1°) объединение множеств А и В составляет все множество
действительных чисел R, A\JB=R\
2°) каждое из множеств А и В не пусто, А^ 0, В^ 0;
3°) каждое число множества А меньше любого числа
множества В: если аеА, ЬеВ, то а<Ь.
Свойство 10 означает, что каждое действительное число
принадлежит по крайней мере одному из множеств А и В.
Из свойства 3° очевидно следует, что множества А и В не
пересекаются: 0. Действительно, если бы нашелся
элемент xeAf\B, т. е. хеА и хеВ, то из свойства 3° следовало
бы, что х<х.
Сечение множества действительных чисел, образованное
множествами А и В, обозначается через А |В. Множество А
называется нижним, а множество В — верхним классом данного
сечения.
51
Простые примеры сечений можно получить следующим
образом. Зафиксируем какое-либо число aeR. Отнесем сначала к
множеству А все числа а к множеству В — все числа у>а:
А = {х: , В = {у \y>v} . (2.10)
Так определенные множества А и В образуют сечение, что
устанавливается непосредственной проверкой выполнения усло-
вий 1°, 2° и 3° определения 3.
Можно поступить иначе: отнести к множеству А все числа
х<ос, а к множеству В — все числа у^а:
А^= {х: х<а}, В^= {у: у^а} . (2.11)
Снова множества А и В образуют сечение. В обоих случаях
(2.10) и (2.11) говорят, что сечение производится числом а, и
пишут а = Л|_В.
Отметим два свойства сечений, производящихся некоторым
числом.
1°. В случае (2.10) в классе А есть наибольшее число, им
является число а, а в классе В нет наименьшего числа.
В случае (2.11) в классе А нет наибольшего, а в классе В есть
наименьшее число, им является число а.
Рассмотрим, например, первый случай (2.10). То, что а
является наибольшим числом в классе А, ясно из первой
формулы (2.10), задающей множество А.
Покажем, что в множестве В нет наименьшего числа.
Допустим противное: пусть в В есть наименьшее число.
Обозначим его через (3. Из условия |ЗбД в силу второй формулы
(2.10), справедливы неравенства а<р, следовательно, а + а<
<а+Р, т. е. откуда снова, в силу второй формулы (2.10),
получаем, что ^^-еВ. Аналогично из ot< Р имеем а+Р<Р + Р,
т. е. <р, и так как р — наименьшее число в классе В, то
—tie Л. Полученное противоречие доказывает утверждение. □
2°. Число, производящее сечение, единственно.
В самом деле, допустим, что существует сечение, которое
определяется двумя разными числами: а = А \В и р = Л \В. Пусть,
например, а<р. Тогда, как было показано при доказательстве
предыдущего свойства, справедливы неравенства Р- Из
52
неравенства ос<^1Ё следует, что как в случае (2.10), так и в
случае (2.11) имеет место условие Аналогично из
неравенства следует, что ^^-еА. Это противоречит
тому, что множества Л и В не пересекаются. □
Свойство непрерывности действительных чисел состоит в
том, что никаких других сечений действительных чисел, кроме
тех, которые производятся некоторым числом, не существует.
Рассмотрим следующее свойство.
V*. Для каждого сечения А \В множества действительных
чисел существует число ос, производящее это сечение'.
ъ = А\В.
Это число, согласно доказанному выше, является либо
наибольшим в нижнем классе, тогда в верхнем классе нет
наименьшего числа, либо наименьшим в верхнем классе, тогда
в нижнем нет наибольшего числа.
Таким образом, если А \В является сечением множества
действительных чисел, то, согласно свойству их непрерывности,
сформулированному в форме V*, не может случиться так, что в
классе А будет наибольшее число и одновременно в классе В
будет наименьшее число (рис. 4, а). Не может также быть и
того, чтобы в классе А не было наименьшего числа и
одновременно в классе В не было наименьшего числа (рис. 4, б).
Образно говоря, непрерывность действительных чисел означает,
что в их множестве нет ни скачков, ни пробелов, короче, нет
пустот.
Сечение А \В геометрически означает разбиение числовой
прямой на два луча, имеющих общее начало и идущих в
противоположных направлениях, причем один из них содержит
их общее начало (замкнутый луч), а другой — нет (открытый
луч).
Сформулированное свойство непрерывности действительных
чисел V, так же как и эквивалентное ему свойство V*\
называется принципом непрерывности действительных чисел по
Дедекинду*\ В дальнейшем мы встретимся с другими подхода-
ми к понятию непрерывности множества действительных чисел
(см. п. 3.7).
Покажем, что свойство V* равносильно свойству V. Пусть
сначала выполнено свойство V и задано какое-либо сечение
А |2?. В силу требования 3° в определении сечений для любых
аеА и ЬеВ выполняется неравенство а<Ь, поэтому
*}Р. Дедекинд (1831 — 1916) — немецкий математик.
53
A | t fl л * fi пара множеств А и В удовлет-
> ff) воряет условию, сформулиро-
ванному в свойстве V. Следо-
Рис 4 вательно, согласно этому
свойству, существует такое
число а, что для всех аеА и ЬеВ выполняется соотношение
а^а^Ь. Число а, согласно первому свойству сечений, принадле-
жит одному из классов А или В. Если аеЛ, то для всех аеА и
ЬеВ выполняется неравенство а^и<Ь, т. е. число а производит
сечение А \В и является наибольшим в нижнем классе. Анало-
гично, если аеВ, то число ос также производит сечение А \В и
является наименьшим в верхнем классе В.
Пусть теперь, наоборот, выполнено условие V* и заданы два
таких непустых множества Лё:/? и что для любых аеА и
bc:R выполняется неравенство а^Ь. Обозначим через В* такое
множество чисел, что, каково бы ни было Ь*еВ*, для любого
аеА выполняется неравенство а^Ь* (число Z?*, обладающее
этим свойством, называется числом, ограничивающим сверху
множество А). Очевидно,
ВсВ*. (2.12)
Через Л* обозначим все остальные действительные числа:
Л* = Я\£*.
Покажем, что множества Л* и В* образуют сечение в
множестве действительных чисел и что число а, производящее
это сечение, удовлетворяет условию, указанному в формулиров-
ке свойства V, для заданных множеств А и В.
Прежде всего проверим, что множества А* и В* удовлетво-
ряют всем условиям, которым должны удовлетворять множе-
ства, образующие сечение. Действительно, в множество Л*
отнесены все числа, на попавшие в множество В*, поэтому их
объединение A*\JB* является множеством всех действительных
чисел R\
A*{JB* = R. (2.13)
Множество В* заведомо не пусто в силу включения (2.12),
так как, по условию, множество В не пусто. Итак,
0. (2.14)
Докажем, что и множество Л* не пусто. По условию,
множество Л не пусто**. Это означает, что существует по
крайней мере одно число аеА. Тогда число а— 1 заведомо не
Заметим, что не обязательно ЛсЛ*. Более того, в случае, когда
множество А состоит из одной точки а^В (это допустимо), множества А и Л*
даже не пересекаются, так как в этом случае Л — {а} с=В<= В*
54
принадлежит множеству В*, поэтому z
а— 1<а, аеА, т. е. в множестве А 1 1
нашелся элемент, больший чем а— 1. °
Таким образом, а— 1£В*, так как ис‘
множество В* состоит только из чисел, больших всех чисел из А
или равных некоторым из них. Поэтому а— 1еЛ*, поскольку к
множеству И* относятся все числа, не вошедшие в множество
В* Итак, множество Л* также не пусто:
Л*# 0. (2.15)
Докажем теперь, что каждое число б/*еЛ* меньше любого
числа Ь*еВ*\
а*<Ь*. (2.16)
Допустим противное: пусть найдутся такие числа а*еЛ* и
Ь*еВ*, что Тогда, в силу определения множества В*, для
любого аеА выполняется неравенство а^Ь*, а следовательно, и
неравенство а^а*. Это означает, что а*еВ*. Таким образом,
число а* одновременно принадлежит как множеству Л*, так и
множеству 5*. Это невозможно, так как к множеству Л* были
отнесены только те числа, которые не содержатся в множестве
В*. Полученное противоречие показывает, что неравенство
при условии я*еЛ, Ь*еВ невозможно, а тем самым
выполняется неравенство (2.16).
Выполнение условий (2.13) —(2.16) означает, что множества
Л* и Б* действительно образуют сечение в множестве действи-
тельных чисел (см. определение 3).
Пусть а — число, производящее это сечение: ос = Л* |3*. Такое
число ос существует в силу предположения о выполнении свойства
V*. Покажем, что ыеВ*. Если бы это было не так, то нашлось бы
такое число аоеЛ, что я0>ос. Выберем какое-либо х так, чтобы
oc<x<tzo (рис. 5). Из условий х>аиа = Л* |В* вытекает, что хеВ*,
следовательно, для любого аеА должно выполняться неравенство
х^а, так как В* состоит только из таких чисел. Однако это
неравенство не выполняется при а = а0. Полученное противоречие
доказывает, что осей*, и поэтому число ос является наименьшим
в верхнем классе но В<^В*, следовательно, для любых ЬеВ
выполняется неравенство ос^д. Наконец, в силу самого опреде-
ления множества 3*, из включения осеЗ* вытекает, что для
любого числа аеА справедливо неравенство я^ос.
Итак, для всех аеА, be В имеет место неравенство
Это и означает, что наличие свойства V* влечет за собой
наличие свойства V. □
Аналогично определению 3 формулируется определение се-
чения в множестве рациональных чисел Q. Всякое действитель-
55
ное число производит такое сечение и можно доказать, что
всякое сечение в Q производится действительным числом.
Упражнение 1. Пусть В={х: х2>2. х>0, и A = Q\B. Доказать,
что множества А и В образуют сечение в поле рациональных чисел Q и что это
сечение не определяется никаким рациональным числом.
2.6*. РАЦИОНАЛЬНЫЕ СТЕПЕНИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Число b такое, что Ьп = а (если оно, конечно, существует),
называется корнем п-тл степени из числа а и обозначается через
пу[а\ или я1/п, т. е.
=f а.
Отметим, что в множестве действительных чисел для
любого числа и любого натурального числа п всегда
существует число 6^0, являющееся корнем /7-й степени из а.
т. е. существует п^/а. Мы не будем пока останавливаться на
доказательстве этого важного утверждения, хотя его можно
было бы провести и здесь, например на основе понятия сечения,
а докажем его позже (см. пример в п. 7.2). Конечно, в
некоторых случаях корень может существовать и для а<0.
Например, существует Зл/—8 = — 2, но уже корень х/ —4 не
существует в том смысле, что не существует действительного
числа 6 = ^/ —4, так как в противном случае было бы
справедливо равенство Ь2=— 4, которое противоречит правилу
знаков при умножении.
Если b^'^fa и Z/^О, то число b называется арифмети-
ческим значением корня /7-й степени из числа а. В дальнейшем
под корнем из неотрицательного действительного числа будем
понимать арифметическое значение корня, если не оговорено
что-либо другое.
Сформулируем свойства корня. Пусть п и т — натуральные
числа и Z/^0; тогда справедливы следующие формулы:
5°. (\/c7)m = \/am .
Все эти формулы доказываются одинаковым приемом.
Докажем, например, первую из них.
Пусть b^nyj™yfa . Согласно определению корня и свойству
22° из п. 2.2*, это означает, что bn^m^fa и что Ьтп = а. Отсюда,
в силу того же определения корня, следует, что b = m\fa. Таким
56
образом, имеем
пу/\/а = b = mnJa . □
Если а<0 и все корни, входящие в формулу 1°, существуют,
то она также справедлива и приведенное ее доказательство
сохраняет силу. Вообще, если а<0 и все корни, входящие в
какую-либо из формул 1° — 5°, существуют, то они справедли-
вы при соответствующем выборе значений корней.
Имея понятие целочисленной степени и корня, определим
понятие рациональной степени. Пусть а>0 и reQ, т. е. г—т/п,
meZ, neZ, л/0.
Степень сГ определяется равенством
Отметим основные свойства рациональной степени. Пусть
а>0, b>0, r^Q, r2eQ; тогда:
6°. а"г = -. 7°. ariar2 = ari+r2.
аг
8°. (cfi)r2 = arir2. 9°. (ab)r = arbr.
Докажем свойство 6°. Если г=—, где т и п — целые числа,
п
п^О, то
Из формул 7°, 8° и 9° докажем, например, формулу 7°
(остальные доказываются аналогично). Если г<=-, r2 = —,
q п
Ит^О, р. q, т, neZ, то, использовав определение рациональной
степени, свойства корней 2°, 3° и свойство 22° из 2.2*, получим
а 1 а2 = а а
п dn —nq cfp nq dnq =nq.
.np + mq _
Из свойства 9° следует, что
а
b
аг
~ЬГ'
57
Действительно, " '
(-\ = (ab-lY = cf(b-iY=arb-r=~. □
\ D J ' ' Х ' Ьг
Задача 1. Доказать с помощью сечений, что для любого числа я>0 и
любого натурального п существует корень Пу/а .
2.7. ФОРМУЛА БИНОМА НЬЮТОНА
Многочлены, представляющие собой сумму двух слагаемых,
называются двучленами или биномами. Выведем формулу для
и-й степени бинома х-Уа, называемую формулой бинома
Нъютона*\
(х + а)п = хпУ-С^хп-1У-С^хп-2а2 + „. + Спп-1 хап~1-Уап .(2Л7)
С помощью символа S формула (2.17) записывается в виде
(x+a)n= S Скхп~как. (2.18)
к = 0
Приведем два доказательства этой формулы: первое — эв-
ристическое, оно позволит одновременно установить вид фор-
мулы (2.18), второе, более короткое, будет состоять просто в
проверке написанной формулы (2.18).
Первое доказательство. Вычислим произведение п
биномов, вторые члены которых обозначены буквой а с
различными индексами:
(х+а1)(х+а2)...(х+а„). (2.19)
Очевидно, что в произведении получится многочлен степени
п относительно х. Сосчитаем последовательно коэффициенты у
различных степеней х начиная с наибольшей.
В произведении (х+а1), (х+а2), ...9(х-Ьап) член с хп может
получиться только в результате перемножения х-в, взятых из
каждой скобки; поэтому коэффициент у хп равен 1:
_ (х+й1)(х+«2)...(х+«п) = Хп+... .
Член с хп~1 при вычислении произведения (2.19) может
получиться только в том случае, когда во всех скобках, кроме
одной, выбран х, а из оставшейся — свободный член, которым
может быть любое из аап. Поэтому коэффициент в
произведении (2.19) при х"-1 равен аг+а2 + ... + ап:
(x + tz1)(x+tz2) ... (х+ап) = хп + хп~1 (аг + а2 + ... + ап) + ....
И. Ньютон (1643 —1727) — английский физик, механик, математик и
теолог.
58
Член с хп~2 может получиться только если из всех
сомножителей произведения (2.19), кроме двух, выбран член х, а
в оставшихся двух — свободные члены; поэтому коэффициент
при 2 в произведении (2.19) является суммой всевозможных
произведений ai2 различных и at , причем их всегда
можно расположить в порядке возрастания индексов, т. е. так,
что i1<i2, h’ z2 = l, 2, ..., п:
(x+«1)(x+<22) ... (х+а„) = хп + хп~1 S п,+У-2 S at at +...
-=i 1 2
*1 l2
Число слагаемых в сумме X at равно числу всевозмож-
у1
11<12
ных выборов пар различных членов из я15 а2. .... ап. т. е. числу
сочетаний С^.
Вообще, член с хп~к. £=1, 2, п—1. может получиться
только если из всех сомножителей произведения (2.19), кроме к
их, выбран член х. а в оставшихся к— свободные члены.
Поэтому коэффициент при хп~к в произведении (2.19) является
суммой всевозможных произведений at щ ...at различных аг.
Сомножители ал в этих произведениях бсе^да йожно располо-
жить в порядке возрастания их индексов, т. е. считать, что <
<i2<...<ik, z7e{l, 2, ..., п}, j=l, 2, ..., к:
(х+а1)(х+п2)(х+«п) = У+ У-1 S я(+У~2 Z at at +
i=i 1 2
Ч<12
+У-,£ Е а, а, ...а, + ....
. , Ч *2 1к
Ч’Ч”"’Ч=1
Число слагаемых в сумме, являющейся коэффициентом при
хп~к. равно числу сочетаний из п элементов по к. т. е. равно С„.
Наконец, свободный член произведения (2.19) получится
лишь в том случае, когда перемножаются свободные члены
каждой из скобок, т. е. свободный член произведения (2.19)
равен а1а2...ап. Итак,
(x + tz1)(x + a2)... (x + an) = x” + xw-1 S ai + xn~2 S airai2 + ...
n
...+xn~k X at ...a,-+... + «! a2 ... a„. (2.20)
l<,2<-<4
59
Число слагаемых в каждой из сумм, написанных со знаком
2, равно, соответственно, С„, С2, ..., Ск, ... и С° = С" = 1, поэтому
при а±=а2 = ... = а„ = а из формулы (2.20) получим
(х+«)п = С° х” + С»1 хп-1 а+С2 хп~2 а2 +... + Ск хп~к с^ + ... + Сппап,
т. е. формулу (2.18).
Второе доказательство проведем методом математи-
ческой индукции (для него надо заранее знать формулу (2.18),
тогда как при первом доказательстве мы ее нашли)
При п=1 формула (2.18) очевидно верна, так как в этом
случае она имеет вид
х+а=х+а.
Пусть формула (2.18) верна при некотором neN. Докажем,
что тогда она верна и при п+1:
(x+a)n+1=(x+a)"(x+n) = (х" + С^х" 1а+С^х" 2а2 + ...
... + Ckxn-kak + Ck+l хп~к~1 ак+1 + ... + ап)(х+а) = хп+1 + Скхпа+
+ С2 х"-1 а2 + ... + Ck+1 хп~к ак+1 + ... + х п" + х" а + С„ х"-1 <я2 +...
... + Скпхп-как+1 + ...+ап+1=хп+1+ (Ск + С°)хпа + (С2 +
+ С„1)хл“1«2 + ...+ (C£+1 + C*)x"“fcat+1 + ... + «"+1 -
Вспомнив, что Ck+k + Ck = Cktl (см. 1.19)), получим
(х+а)и+1 = хи+1 + Ск+ х х" а+С2+, х"+1 а2 +... + Ckt {х"~к ап+1 +...
... + <?+1,
т. е. формулу (2.17), в которой п заменено на п+1. □
Замечание. Отметим два интересных свойства биномиаль-
ных коэффициентов С„, к=0, 1, ..., и: их сумма равна 2", при-
чем сумма коэффициентов, стоящих на четных местах, равна
сумме коэффициентов, стоящих на нечетных местах. Дейст-
вительно, подставив в формулу бинома Ньютона (2.18) х=а =1,
получим
S Ск = 2п,
к = 0
а подставив х=1, — имеем
к —О
Упражнение 2. Доказать, что
(х1+х2 + ...+х„)и= S —------------х^...х^.
т + ... + т =т •
60
§ 3. ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА
3.1. РАСШИРЕННАЯ ЧИСЛОВАЯ ПРЯМАЯ
Часто бывает удобно дополнить множество действительных
чисел R элементами, обозначаемыми через +оо и — оо и
называемыми соответственно плюс и минус бесконечностями,
считая при этом, что, по определению,
— оо< + оо,
(+оо) 4- (4-оо)= 4-00, (— оо) 4- (— оо)= — оо,
(4-оо)(4-оо) = (— оо)( — оо)= 4-оо
(4~ оо) (— оо) = (— оо) (4“ оо) = — оо .
Но, например, операции (4-оо) 4-(—оо) или уже не
+ оо
определены (см. также п. 4.9). Кроме того, для любого aeR по
определению полагается выполненным неравенство
— оо <а< 4-оо
и справедливость следующих операций:
а+ (4-оо)= 4-оо4-47 = +оо, — оо + а = а + (— оо)= — оо;
для а>0
я(4-оо) = (4-00)47= 4-00, tz(—оо) = (—00)47= — 00;
ДЛЯ 47 < О
47(4-00) = (4- 00)47=— 00, 47(—Оо) = (—00)47 = 4-00.
Бесконечности 4-оо и — оо называют иногда «бесконечными
числами» в отличие от действительных чисел aeR, которые
называются также конечными числами.
Множество действительных чисел R, дополненное элемента-
ми 4-со и —оо, называется расширенным множеством действи-
тельных чисел (или расширенной числовой прямой) и обозна-
чается через /Г. Элементы 4-00 и — оо называются иногда
бесконечно удаленными точками расширенной числовой прямой
в противопоставление точкам числовой прямой R, которые
называются также и конечными точками.
В дальнейшем под числом всегда понимается конечное
действительное число, если не оговорено что-либо другое.
3.2. ПРОМЕЖУТКИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ. ОКРЕСТНОСТИ
Напомним определения некоторых основных подмножеств
действительных чисел, которые часто будут встречаться в
дальнейшем. Если a^b, aeR, beR, то множество {х:а^х^Ь}
61
называется отрезком расширенной числовой прямой R и
обозначается через [«, 6], т. е.
[a, {х: a^x^b} , aeR, beR.
В случае а = Ь отрезок [а, состоит из одной точки.
Если а<Ь, то множество {х: а<х<Ь} называется интерва-
лом и обозначается через (а, Ь), т. е.
(«, b) {х : а < х < Ь} .
Интервал (а, Ь) называется внутренностью отрезка [а, 6] .
Множества
[«, b) {х : а х < Ь} и (a, £>] {jc : а < х < Ь}
называются полуинтервалами.
Отрезки [a, Z>], интервалы (а, Ь) и полуинтервалы [«, Ь), (а, £]
называются промежутками, точки а и b — их концами’, а —
левым концом, а b — правым, а точки х такие, что а < х < Ь,— их
внутренними точками.
Если а и b конечны, т. е. aeR и beR, то промежуток с
концами а и b называется также конечным промежутком, а
число Ь~а — его длиной.
Если хотя бы одно из а и b является бесконечным, то
промежуток с концами а и b называется бесконечным.
Замечание 1. Промежутки всех типов расширенной
числовой прямой обладают следующим свойством: если точки
aeR и pel?, а<р, принадлежат некоторому промежутку с
концами aeR и beR. то и весь отрезок [а, Р] принадлежит
этому промежутку.
Для промежутка каждого типа это непосредственно следует
из его определения.
Важным понятием для дальнейшего является понятие
6-окрестности точки расширенной числовой прямой.
В случае aeR, т. е. когда а является действительным числом,
8-окрестностью U (а, 8)*\ 8>0, числа а называется интервал
(а —8, «4-8):
U (а, е) =f (« — 8, я + е).
Если же «=+оо, то
Обозначение окрестности точки символом U происходит от слова
Ungebung (нем.) — окрестность.
62
тт/ к def/ 1
U ( 4~ оо, 8) — I —, 4~ оо
а если а =—оо, то
С7( —оо, е) = —оо,
Таким образом, во всех случаях, т. е. когда а — действитель-
ное число или когда а — одна из бесконечностей 4-оо, — оо, при
уменьшении числа 8 соответствующие 8 — окрестности U (а, 8)
уменьшаются: если 0<81<82, то U(a, 8t) cz U(a, 82).
Иногда бывает удобно пополнить множество действитель-
ных чисел не двумя, а одной бесконечностью (без знака) оо. Ее
8-окрестность С/(оо, е), 8>0, определяется равенством
Е/(оо, е) jx: xeR, |х|>-л IJ {оо} .
Иначе говоря, 8-окрестность С7(оо, ь) состоит из двух бесконеч-
( Л Л .
ных интервалов I — оо, — -1,1-, 4-оо I и самого элемента оо.
Этот элемент также называется иногда бесконечно удаленной
точкой числовой прямой. В отличие от бесконечностей со
знаком 4-оо и — оо бесконечность оо без знака не связана с
действительными числами отношением порядка.
Всякая 8-окрестность конечной или бесконечно удаленной
точки числовой прямой называется ее окрестностью и часто
обозначается просто через [/(я). Иногда мы будем обозначать
окрестности и другими буквами, например К, W.
Наряду с определенными выше окрестностями бесконеч-
ностей в пополнениях ими множества действительных чисел
иногда рассматривают и окрестности бесконечностей оо, 4-оо и
— оо в самом множестве действительных чисел: U (оо)
С/(4- оо )А*и и( — оо) (~}R. Сами бесконечности, конечно, уже не
попадают в эти окрестности. Мы будем придерживаться
первоначально данных определений (отметим, впрочем, что
доказываемая ниже лемма справедлива и в случае, когда в ней
под окрестностями бесконечностей понимают их окрестности в
множестве действительных чисел).
Сформулируем в виде леммы одно важное свойство окре-
стностей.
Лемма. У любых двух различных точек расширенной
числовой прямой (расширенной либо с помощью двух бесконечно-
стей со знаком или при помощи только одной бесконечности без
знака) существуют непересекающиеся окрестности.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай расши-
ренной числовой прямой JR, полученной добавлением к мно-
63
U(a;^) U(b;^
U(a,l)
<"------
a b=-°°
6)
жеству действительных чисел R двух
бесконечностей со знаком. Покажем, что
для любых aeR и beR. a<b. существуют
такие 8t>0 и г2>0. что U(a. ej р| U{b.
82) = 0- В самом деле, если а и о — дей-
ствительные числа, то можно взять
8t = 82 = -у- (рис. 6, а). Если а — дей-
ствительное число, а />= + оо, то в
качестве указанных 8t>0 и 82>0 подхо-
дят, например, 8Х = 1 и £2=—— (рис. 6,
б). Если а = — оо, b — действительное
1 .
х z ЧИСЛО, ТО МОЖНО ВЗЯТЬ 8i =------, 8? — 1
1/-.' йУ • 1'4+'
" (рис. 6, в). Наконец, если а= — оо
а=-°° ь 6= + ос, то при произвольном 8>0 ок-
. рестности ?7( —оо, е) и С/(+оо, ь) не
°' пересекаются (рис. 6, г).
Если же числовая прямая R допол-
нена лишь одной бесконечностью оо, то
(J(-oo;e) U(+°°;e) достаточно рассмотреть лишь случай
—aeR и Ь = оо (так как случай aeR и beR
а=-оо о 1*4=+°° рассмотрен выше), в котором можно
~у У снова (как и при aeR. 6=+ 00) взять
81 = 1, а 82=—-—. □
Рис. 6 W+1
Замечание 2. В случае a<b. aeR.
beR и U(a. sj Q U(b. 82) = 0 для лю-
бых xeU(a. 81) и yeU(b. 82), очевидно, справедливо неравенство
Его справедливость устанавливается непосредственной про-
веркой во всех возможных здесь случаях, т. е. при aeR. beR.
при aeR. b=+co. при а= — со. beR и при а=—оо.
Ь~- + оо.
3.3. ОГРАНИЧЕННЫЕ И НЕОГРАНИЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА
Введем ряд нужных для дальнейшего понятий и изучим
некоторые свойства числовых множеств.
Определение 1, Если для подмножества X действительных
чисел существует такое число Ь. что оно не меньше каждого
числа хеХ. т. е. для любого хеХ выполняется неравенство х^Ь.
64
то множество X называется ограниченным сверху, а число
b — числом, ограничивающим сверху множество X.
Множество, не являющееся ограниченным сверху мно-
жеством, называется неограниченным сверху множеством.
С помощью логических символов определение ограничен-
ного сверху множества записывается следующим образом:
множество Ac R ограничено сверху оЗ beR V хеХ : х^Ь;
отсюда
множество XczR не ограничено сверху <^>V beR 3 хеХ : x>b,
т. е. множество X не ограничено сверху, если, каково бы ни
было число beR. найдется такое число хеХ. что х>Ь.
Заметим, что если число b ограничивает сверху множество
X, т. е. для всех хеХ выполняется неравенство х^Ь и b<b'.
то для всех хеХ. очевидно, имеет место и неравенство
х^Ь'. следовательно, число Ь' также ограничивает сверху
множество X.
Если в множестве X имеется число Ь. которое не меньше
всех других чисел из X. т. е. ЬеХ. и для всех хеХ выполняется
неравенство х^Ь. то число b называется наибольшим или
максимальным числом множества X: Ь = тахХ.
Очевидно, что если в множестве X имеется наибольшее
число, то оно единственно, а само множество X в этом случае
ограничено сверху этим числом.
Отметим еще, что если множество X не ограничено сверху,
то, согласно определению, это означает, что для любого числа
beR существует по крайней мере один такой элемент хеХ. что
х>Ь. Обратим внимание на то, что на самом деле таких
элементов бесконечно много. Действительно, допустим, что их
оказалось лишь конечное число: х±. .... хп, neN. Иначе говоря,
для всех хеХ и x^xk. к=\. 2, .... п. справедливо неравенство
х^Ь. Тогда ясно, что для Л0 = шах {Ь. хг. .... и всех хеХ
будет выполняться неравенство х^Ь0. т. е. вопреки предположе-
нию множество X оказалось ограниченным.
Аналогично множеству, ограниченному сверху, определяется
множество, ограниченное снизу.
Определение. Если для подмножества X действительных
чисел существует такое число а, что оно не больше каждого
числа хеХ, т. е. для любого хеХ выполняется неравенство а^х,
то множество Е называется ограниченным снизу, а число
а — числом, ограничивающим снизу это множество.
Множество, не являющееся ограниченным снизу множе-
ством, называется неограниченным снизу множеством.
С помощью логических символов определение ограничен-
ного снизу множества записывается следующим образом:
множество XclR ограничено снизу <=>3 aeR хеХ : х^а;
отсюда
3-1807
65
множество XczR не ограничено снизу oV aeR 3 хеХ : х < а,
т. е. множество X не ограничено снизу, если, каково бы ни было
число aeR, найдется такой элемент хеХ, что х<а.
Очевидно, что если число а ограничивает снизу множество
X, то и любое число а' <а также ограничивает снизу это
множество.
Если в множестве X имеется число а, которое не больше всех
других чисел из X, т. е. аеХ, и для всех хеХ выполняется
неравенство а^х, то число а называется наименьшим или
минимальным числом множества X \ a — min X.
Если в множестве X имеется наименьшее число, то оно
единственно, а само множество X в этом случае ограничено
снизу этим числом.
Определение 3. Множество, ограниченное и сверху и снизу,
называется ограниченным множеством.
Другими словами, множество XczR называется ограничен-
ным, если существуют такие числа а и Ь, что для любого хеХ
выполняется неравенство а^х^Ь.
Множество, не являющееся ограниченным, называется не-
ограниченным. Очевидно, что неограниченное множество может
быть неограниченным и сверху и снизу или только сверху или
снизу.
Упражение 1. Доказать, что множество X^R ограничено тогда и только
тогда, когда существует такое число что для всех хеХ выполняется
неравенство |х| < а.
Примерами ограниченных множеств являются отрезок [1, 2],
интервал (0, 1), множество значений функции sinx. Бесконечный
интервал ( — 5, +оо), множество натуральных чисел 1, 2, 3, ...
являются множествами, ограниченными снизу, но неограничен-
ными сверху. Наконец, множество всех целых чисел, всех
рациональных чисел суть множества, неограниченные как
сверху, так и снизу.
Формальное обобщение понятий ограниченного сверху,
ограниченного снизу и просто ограниченного множества на
подмножества расширенного множества R действительных
чисел R (см. п. 2.5) не приводит к содержательным понятиям,
так как все подмножества расширенного множества действи-
тельных чисел ограничены сверху символом + оо и снизу
символом —оо, а поэтому и просто ограничены в R. Однако
понятие наибольшего (наименьшего) элемента множества явля-
ется содержательным и в этом случае. Его определение
формально совпадает с соответствующим определением для
подмножеств не расширенного множества действительных чи-
сел:
66
конечное или бесконечное число ceXczR называется наиболь-
шим (наименьшим) в множестве Yczj?, если для всех хеХ
выполняется неравенство х<с (соответственно х^с).
В дальнейшем мы воспользуемся этим понятием.
3.4. ВЕРХНЯЯ И НИЖНЯЯ ГРАНИ ЧИСЛОВЫХ МНОЖЕСТВ
Среди всех чисел, ограничивающих сверху (снизу) данное
множество, наименьшее (наибольшее) из них имеет специальное
название.
Определение 4. Наименьшее среди всех чисел, ограничивающих
сверху множество X^R, называется его верхней гранью и
обозначается*^ через sup X или sujd {х} .
Определение 5. Наибольшее среди всех чисел, ограничивающих
снизу множество XczR, называется его нижней гранью и
обозначается**} через inf X или inf {х} .
хеХ
Иногда верхнюю (нижнюю) грань множества называют
точной верхней (нижней) гранью этого множества.
Отметим, что в сделанных определениях не обсуждается
вопрос о том, существует или нет наименьшее (наибольшее)
число среди всех чисел, ограничивающих сверху (снизу) данное
множество,— это будет сделано позже. Здесь же лишь говорит-
ся, что если такое число существует, то оно называется верхней
(нижней) гранью рассматриваемого множества. Из самого
определения верхней (нижней) грани следует, что если у данного
множества эта грань существует, то она единственна, так как во
всяком множестве максимальное (минимальное) число может
быть только одно.
Проанализируем определения 4 и 5. Пусть p = supJf. Это
означает, во-первых, что число [3 ограничивает сверху мно-
жество X, т. е. для каждого хеХ справедливо неравенство х^Р;
во-вторых, что число Р является наименьшим среди всех чисел,
ограничивающих сверху множество X. т. е., каково бы ни было
число р' < Р, оно уже не ограничивает сверху множество X, а это
означает, что в множестве X найдется такое число х, что х>р'.
Таким образом, в «арифметической форме» определение 4
можно записать в следующем виде.
Определение 4'. Число Р называется верхней гранью мно-
жества X, если’.
1°) VxeY: х^р;
2°) Vp'<p ЗхеУ : х>Р'.
Условие 2°) можно переписать следующим образом:
*J лат. supremum — наибольший.
**) qt лат — наименьший.
67
2') V е>0 3 хеХ : х>р —8.
Для того чтобы убедиться в равносильности условий 2° и 2',
достаточно взять р' и р, связанные равенством Р' = Р —8, из
которого следует, что условие 8>0 эквивалентно условию р'<р.
Аналогичным образом, если а = inf X, то, согласно определе-
нию 5, во-первых, число а ограничивает снизу множество X, а
во-вторых, любое число а!>а уже не ограничивает снизу это
множество, ибо число а является наибольшим среди всех таких
чисел. Это означает, что для любого а'>а найдется такой хеХ,
что х<а'. Следовательно, определение 5 можно перефразиро-
вать следующим образом.
Определение 5'. Число ос называется нижней гранью мно-
жества X, если’.
1 °) V хеХ : х > ос;
2°) Voc'>oc ЗхеХ : х<сс'.
Условие 2°) эквивалентно условию
2') Ve>0 ЗхеХ : х<осЗ-8.
Для того чтобы убедиться в эквивалентности условий 2°) и
2'), достаточно взять ос'= ос+ 8.
Сделаем несколько очевидных замечаний. Если непустое
множество XaR имеет верхнюю грань pel? (имеет нижнюю
грань осе/?), то оно ограничено сверху (снизу). Это следует из
условия I6 определения 4' (определения 5').
Если P^supX (oc = infX) и число b (число а) ограничивает
сверху (снизу) множество X, то (соответственно а Сос). Это
следует из того, что верхняя (нижняя) грань множества является
наименьшим (наибольшим) числом среди всех чисел, ограничи-
вающих сверху (снизу) данное множество.
Если в множестве существует наибольшее (наименьшее)
число, то оно является верхней (нижней) гранью этого
множества. В частности, такая ситуация имеет место для
конечных множеств: любое конечное множество чисел имеет
наибольшее и наименьшее числа, а потому нижнюю и верхнюю
грани. В принципе их можно найти простым перебором всех
чисел из данного множества, так как оно конечно. Однако,
вообще говоря, только в принципе, а не на практике: если в
данном конечном множестве, заданном какими-то свойствами
его элементов, будет «достаточно много» элементов, то
перебрать их все будет не под силу даже сверхмощной
современной вычислительной машине.
Приведем примеры, иллюстрирующие понятие верхней и
нижней граней множества.
Множество всех положительных действительных чисел (обо-
значим его через /?+) ограничено снизу числом нуль, ибо для
любого xeR+ имеет место х>0; более того, infj?+=O.
Множество /?+ не ограничено сверху, так как нет числа, которое
бы ограничивало сверху все положительные числа.
68
Если Х=[а, b]— отрезок, то infX=tz, supJf=/?. Если
Х=(а, Ь)— интервал, то также infX=cz, supy=£. Если, наконец,
множество X состоит из двух точек а и Ь, а^Ь, т. е.
Х~{а} U {Ь} , то снова inf Х = а, sup X—b. Эти примеры показы-
вают, в частности, что верхняя (нижняя) грань множества
может как принадлежать самому множеству, так и не принадле-
жать ему.
Если q = A \В — сечение в области действительных чисел (см.
п. 2.5*), то
£, = sup^=inf В. (3.1)
Выясним теперь вопрос: всегда ли у числового множества
существует его верхняя (нижняя) грань? Если множество не
ограничено сверху (снизу), то не существует чисел, которые бы
ограничивали его сверху (снизу). Следовательно, не существует
среди них и наименьшего (наибольшего). Таким образом, если
множество не ограничено сверху (снизу), то у него нет верхней
(нижней) грани. В этом случае ответ на поставленный вопрос
получился совсем просто. Если же множество ограничено сверху
(снизу), то ответ дается следующей теоремой.
Теорема 1. Всякое ограниченное сверху непустое числовое
множество имеет верхнюю грань, а всякое ограниченное снизу
непустое числовое множество имеет нижнюю грань.
Доказательство. Пусть X — ограниченное сверху не-
пустое числовое множество. Обозначим через Y множество всех
чисел, ограничивающих сверху множество X. Множество X
ограничено сверху, поэтому множество Y не пусто. Каждый
элемент ye Y ограничивает сверху множество X, т. е. для любого
элемента хеХ выполняется неравенство Элементы х и у
являются произвольными элементами соответственно множеств
X и Y, поэтому, в силу свойства непрерывности действительных
чисел (см. свойство V в п. 2.1), существует такое число Р, что
для любых хеХ и veY имеет место неравенство
x<P<J. (3.2)
Выполнение неравенства х<Р для всех хеХ означает, что
число р ограничивает сверху множество X, а выполнение
неравенства р<у для всех yeY, т. е. для всех чисел, ограничи-
вающих сверху множество X, означает, что число Р является
наименьшим среди всех таких чисел, т. е. верхней гранью
множества X:
P-supX. (3.3)
Итак, существование верхней грани у ограниченного сверху
непустого множества доказано.
Если теперь Y — непустое ограниченное снизу числовое
множество, то отнесем к множеству X все числа, ограничиваю-
69
X щие снизу множество У. Далее, рас-
1 1111111,11 1 суждая аналогично рассмотренному
Рис 7 случаю верхней грани, легко убеж-
даемся, что, в силу свойства не-
прерывности действительных чисел, существует такое чис-
ло ос, что для любых хеХ и ye Y выполняется нера-
венство
x^oc^j;. (3.4)
Это, очевидно, и означает, что
ос = inf У. □
Впрочем, утверждение о существовании нижней грани у
ограниченного снизу непустого множества можно получить и из
уже доказанного утверждения о существовании верхней грани у
непустого ограниченного сверху множества. Достаточно заме-
тить, что если X — ограниченное снизу множество, то мно-
жество — X всех чисел — х, где хеХ, т. е. множество на числовой
прямой, симметричное с множеством X относительно нуля,
является уже ограниченным сверху множеством, и, наоборот,
если X—ограниченное сверху множество, то множество — X
ограничено снизу (рис. 7). Действительно, если число а
ограничивает снизу множество X, то число — а ограничивает
сверху множество —X, а если число b ограничивает сверху
множество X, то число — Ь ограничивает снизу множество — X.
Отсюда следует, что
sup( — Х) = — inf X, inf( —X) = supX. (3.5)
Из существования верхней грани у ограниченного сверху
непустого множества и каждого из равенств (3.5) следует
существование нижней грани у ограниченного снизу непустого
множества.
Теорема о существовании верхних и нижних граней принад-
лежит к так называемым чистым теоремам существования: в
ней доказывается, что при определенных условиях у множества
существует верхняя (нижняя) грань. Однако из рассуждений,
проведенных при доказательстве этой теоремы, не следует
способ нахождения этих граней в конкретном случае. Это ясно
из того, что построение множества У, с помощью которого
проводилось доказательство теоремы и которое состояло из
всех чисел, ограничивающих сверху рассматриваемое мно-
жество, равносильно отысканию верхней грани р этого мно-
жества. В действительности задача нахождения верхней (ниж-
ней) грани множества, заданного какими-либо своими свой-
ствами, может оказаться очень трудной задачей.
Если множество не ограничено сверху (снизу), то, как уже
отмечалось, никакое число не может являться его верхней
70
(нижней) гранью, так как вообще нет чисел, которые его
ограничивают сверху (снизу). Для удобства вводится следующее
определение.
Верхней гранью неограниченного сверху числового множества
называется +оо, а нижней гранью неограниченного снизу
числового множества называется — оо.
Это определение естественно, так как при соглашениях,
принятых относительно употребления символов +оо и — оо в
п. 2.5, определенные таким образом бесконечные грани мно-
жеств также удовлетворяют условиям 1° и 2° определений 4' и
5'.
Удобство же этого определения состоит в том, что теперь
каждое непустое числовое множество имеет верхнюю грань,
принадлежащую расширенному множеству действительных чи-
сел. При этом если заданное множество ограничено сверху, то
его верхняя грань конечна, если же оно не ограничено сверху,
то бесконечна и равна + оо .Аналогичное утверждение
справедливо и для нижней грани.
3.5*. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ВЕРХНИХ
И НИЖНИХ ГРАНЕЙ
Рассмотрим четыре свойства верхних и нижних граней
множеств, связанные с арифметическими операциями над
числовыми множествами.
Прежде всего определим такие операции.
Арифметической суммой ... +ХИ числовых множеств
Xlf Хп называется множество всех чисел х, представимых в
виде
х = хг + ... +хп, х1еХ1, ..., хпеХп.
Арифметической разностью X— Y числовых множеств X и Y
называется множество всех чисел z, представимых в виде
z = x—y, хеХ, yEY.
Следует, конечно, отличать понятие арифметической суммы
Х±+ ... +Хп и разности X— Y от понятия теоретико-мно-
жественных суммы (объединения) A\|J ... |JXn и разности X\Y
тех же множеств.
Произведением XX числа X на числовое множество X
называется множество всех чисел вида Хх, хеХ.
Произведением XY двух числовых множеств X и Y
называется множество чисел z, представимых в виде
z = xy, хеХ, veY.
Первое свойство.
sup (+ ... + А„) —supA"1 + ... +supjrn. (3.6)
71
inf^T ... +y„) = infX1+ ... +infy„. (3.7)
Второе свойство.
sup [X- Y) = sup X — inf Y. (3.8)
Докажем первое свойство. Если xeXr + ... +Х„, т. е.
x=Xj+ ... +хп, х^Ху, хпеХ„, то xt<supJffc, к=1, 2, ..., п,
и, следовательно,
x=Xj+ ... + x„^supX1 + ... + supJf„. (3.9)
Если
y<supJf1 + ... EsupA^, (3.10)
то число у можно представить в виде
У=У1+ - ++„, №<supyfc, к=1. 2, ..., n. (3.11)
В самом деле, выберем сначала числа у*, ..., у* так, чтобы
выполнялись неравенства
y*<supA)[, к = 1, 2, ..., п,
У<У* + ... у*
(это всегда можно сделать в силу неравенства (3.10)). Тогда
У-(j’* + - +j’?-i)<y?<supA'„
и, следовательно,
У=>’*+ - +у*-1 + [у-(31+ - +У*-1)]
— искомое представление числа у:
Ук=Ук, к=\, 2, ..., д-1, у„ = У-(Л + ... +y*_i).
Из неравенств (3.11) следует, что существуют такие хкеХк.
что
j’^cx^supA;, А:=1, 2, ..., п.
Полагая х = х14- ... + хп, получим
хеХ.+ ... +Х„, (3.12)
х = хг + ... + х„>п + ... +уп=у.
Таким образом, выполняются оба условия определения
верхней грани (см. (3.9) и (3.12)), т. е. supA\+ ... Tsup^
действительно является верхней гранью множества Xt + ...
... -УХП □.
Аналогично доказывается формула (3.7).
Докажем второе свойство. Если У, т. е. у,
хеХ, уеУ, то x^supX у inf У и, следовательно,
z — х — у sup X — inf У. (3.13)
72
Если
z0<sup X— inf У,
то число z0 можно представить в виде
ZO ~Z\ ~Z2’
где
z]<supX. z2>infK (3.15)
В самом деле, возьмем сначала zf и zj так, чтобы
zf<supX, z^>infy, z0<zt —z?
(в силу неравенства (3.14), это всегда возможно). Тогда
z0 + z?<zf <supX
(3.14)
и поэтому
z0 “ (Z0 Z*) ~~ Z2
является искомым представлением: zl=z0 + z2, z2 = z*.
Из неравенств (3.15) следует, что существуют такие числа
хеХ и уеУ, что
z1<x<supX, z2>r>infy. (3.16)
Полагая z = x — у, получим
zeX— К
z = x-y>z1-z2 = z0. (3.17)
Таким образом, снова выполняются оба условия определе-
ния верхней грани (см. (3.13) и (3.17)). т. е. sup X— inf У
действительно является верхней гранью множества X— Y. □
Третье свойство. Если Х^О, то
sup кX = X sup X. infXX=XinfX, (3.18)
а если Х<0, то
sup XX= XinfX infXХ= Xsup X. (3.19)
Докажем первое из равенств (3.18). Пусть Х>0. Если jgXX,
т. е. у = Хх, где хеХ и, следовательно, x^supX то у = Хх^
^XsupX. Если j^<XsupX, т. е. ^-<supX. то найдется такое хеХ,
л.
что и, следовательно, Хх>;’, где ХхеХХ. Таким образом,
X sup X является верхней гранью множества XX, т. е. первое из
равенств (3.18) доказано. Аналогично доказывается и второе
равенство (3.18).
Пусть теперь Х<0. Если уеХХ, т. е. j = Xx, где хеХ и,
73
следовательно, x>infT, то Если ^<XinfT, т. е.
^>infX, то найдется такое хеХ, что х<~, а поэтому Хх>у, где
\xekX. Это означает, что X,infX является верхней гранью
множества XX. Первое равенство (3.19) доказано. Аналогично
доказывается и второе равенство (3.19). □
Четвертое свойство. Если все числа, входящие в
множества X и Y, неотрицательны, то
sup ХУ = sup Xsup У, infXy=infXinf У. (3.20)
Доказательство этого свойства проводится тем же методом,
что и доказательство предыдущих трех свойств верхних и
нижних граней множеств, и предоставляется читателю.
Покажем теперь, что из теоремы о существовании верхних и
нижних граней вытекают два важных свойства действительных
чисел, так называемые принцип Архимеда и принцип вложен-
ных отрезков.
3.6. ПРИНЦИП АРХИМЕДА
Принцип Архимеда действительных чисел состоит в сле-
дующем.
Теорема 2. Каково бы ни было действительное число а,
существует такое натуральное число п, что п>а, т.е.
VaeR 3neN:n>a. (3.21)
Доказательство. Допустим, что принцип Архимеда не
выполняется. Это означает, что существует такое число а, что
для всех натуральных п выполняется неравенство п^а, т.е.
3aeR VneN: п^а. Это означает, что число а ограничивает сверху
множество натуральных чисел. Поэтому множество натураль-
ных чисел, как всякое непустое ограниченное сверху числовое
множество, согласно теореме 1 п. 3.4 имеет конечную верхнюю
грань. Обозначим ее через Р, p = sup7V
Так как Р— 1<Р, то, согласно свойству 2° верхней грани в
определении 4 п. 3.4, существует такое натуральное число п, что
п > р — 1. Но тогда п +1 > р, причем, согласно определению
натуральных чисел, и+le/V. Неравенство «+1>р противоречит
тому, что P = sup 7V, так как верхняя грань множества ограничи-
вает его сверху (см. свойство 1° верхней грани в определении 4'
п. 3.4). Полученное противоречие показывает, что указанного
числа а не существует, т. е. принцип Архимеда справедлив. □
Следствие. Каковы бы ни были числа а и Ь, 6<а<Ь.
существует такое натуральное число п, что
па>Ь. (3.22)
Архимед (287—212 до н. э.) — древнегреческий математик и механик.
74
Действительно, согласно принципу
Ь па
Архимеда, для числа - существует ---------- « » i.» ----
г а О а b
b
такое натуральное и, что п>~, Это Рис. 8
а
число искомое, так как, умножая
ь
неравенство п>- на положительное число а. получаем па>Ь.
Это утверждение имеет простой геометрический смысл: если
взять два отрезка соответственно длины а и Л, Q<a<b. то,
последовательно откладывая на большем отрезке от одного из
его концов меньший отрезок, мы через конечное число шагов
выйдем за пределы большего отрезка (рис. 8).
Пример. Пусть множество X состоит из чисел вида -, п = 1,
п
2, ... . Найдем sup У и inf У.
Множество X имеет наибольшее число 1, поэтому оно и
J1! 1 ГТ
является его верхней гранью: sup<->= 1. Для отыскания нижнеи
neN
грани множества X заметим, что для любого л = 1, 2, ...
1 л
справедливо неравенство ->0, т. е. число нуль ограничивает
п
снизу множество X. Покажем, что оно наибольшее среди всех
таких чисел. Пусть 8>0; тогда, согласно принципу Архимеда,
1
существует такое натуральное л, что п>-, или, что то же самое,
—<8. Это неравенство показывает, что любое число 8>0 уже не
п
ограничивает снизу множество У, ибо - еХ при любом п = 1,
п
2, ... . Итак, нуль — наибольшее из всех чисел, ограничивающих
снизу множество У, т. е. inf<-> = 0.
neN (и J
3. 7. ПРИНЦИП ВЛОЖЕННЫХ ОТРЕЗКОВ
Прежде всего поясним, какая система отрезков называется
вложенной.
Определение 6. Система числовых отрезков
[йр 6J, [а2, Ь2], [а„, Z>„], a„eR, bneR, п=1, 2,
называется системой вложенных отрезков, если
а^а2^ ... ^ап^ ... ... ^b2^bx, (3.23)
75
/----------т. е. если каждый следующий отре-
' ~ \ зок [flw+1, £„+1] содержится в пре-
> дыдущем [ап, Ьп\ (рис. 9):
а, X t“i’ b2]=> ... =) [an, Z>„]^ ... .
Теорема 3. Для всякой систе-
Рис 9 мы вложенных отрезков существу-
ет хотя бы одно число, которое
принадлежит всем отрезкам данной системы.
Это свойство действительных чисел называют также непре-
рывностью множества действительных чисел в смысле Кан-
тора
Доказательство. Пусть задана система вложенных от-
резков (3.23). Обозначим через А множество всех левых концов
ап — отрезков этой системы, а через В — множество их правых
концов Ьп. Для любых номеров тип выполняется неравенство
ат^Ьп. (3.24)
В самом деле, если п^т, то из неравенств (3.23) следует, что
@т
а если п<т, то
Ьт
Поэтому из неравенства (3.24), в силу свойства непрерывно-
сти действительных чисел, следует, что существует такое число
для которого при всех, номерах тип выполняется
неравенство
Ьп1
в частности неравенство и=1, 2, ... .
Это и означает, что число £, принадлежит всем отрезкам
[ап, ЬД □
Приведем условие, при котором пересечение системы вло-
женных отрезков состоит только из одной точки.
Определение 7. Пусть задана система отрезков [ап^ ЬД aneR,
bneR. п=1, 2, ... . Будем говорить, что длина Ьп — ап отрезков
этой системы стремится к нулю, если для каждого числа 8>0
существует такой номер что для всех номеров п > пг
выполняется неравенство
Ь„ — а„<Е. (3.25)
В курсе элементарной математики вводится понятие предела
последовательности. Сформулированное определение в терми-
Г. Кантор (1845 - 1918) — немецкий математик
76
нах предела означает, что lim (Z>„ —а„) = 0. В данном курсе
п—<-оо
пределу последовательности будет посвящен следующий
параграф.
Отметим, что термин «номер» является синонимом термина
«натуральное число» Индекс е у числа показывает, что это
число зависит от задаваемого числа г>0.
Теорема 4. Для всякой системы \ап, Ьп\, п—\. 2,
вложенных отрезков с длинами, стремящимися к нулю, суще-
ствует единственная точка г, принадлежащая всем отрезкам
данной системы (рис. 9), причем
£ = sup{a„} = inf{Z>„}. (3.26)
Доказательство. Если точки и ц принадлежат всем
отрезкам рассматриваемой системы, т. е.
£>„], Т|£[«п> 2,
то для всех номеров п выполняются неравенства
|Т) — —Я„,
а следовательно, в силу условий (3.25), для любого е>0
справедливо неравенство
(3.27)
Так как е — произвольное положительное число, то неравен-
ство (3.27) может иметь место только тогда, когда £, = г| (если
бы £,/т|, то, например, при е = ||т| —£>| неравенство (3.27) было
бы противоречиво). Это означает, что существует единственное
число принадлежащее всем отрезкам [ап. Ьп}\
ап^Ьп, п=\. 2, ... . (3.28)
Из этих неравенств видно, что число £ ограничивает сверху
числа ап и снизу числа Ьп, поэтому, в силу определения верхней
и нижней граней, справедливы неравенства
апsupinf{bn}^bn, n=l, 2, ... (3.29)
Если бы, например, оказалось, что sup{fl„}<^, то любое
число т| такое, что sup{an} <т| <£,, в силу неравенства (3.29), для
всех п=19 2, ... удовлетворяло бы условию ап^Т[^Ьп, т.е. также
бы принадлежало всем отрезкам [ап, Ьп], что невозможно, так
как т| / £>. Аналогично доказывается невозможность неравенства
£,<inf{bn}. Итак, соотношение (3.26) доказано. □
Очень часто в различных доказательствах применяется
следующая конструкция построения системы вложенных отре-
зков с длинами, стремящимися к нулю. Берется отрезок [а, Ь] и
77
~ a+b
точкой -у- делится на два равных отрезка
а + Ь
------
’ 2
и Т-’ b
длины Далее выбирается один из этих отрезков (какой
именно — это зависит от условий конкретной задачи), обозна-
чается через [а19 ZjJ и снова своей серединой делится на два
равных отрезка, один из которых обозначается [а2, Z>2] и т. д. В
результате получается система вложенных отрезков \ап, Ьп],
п—1, 2, ..., с длинами Ьп — ап = ^-^-. Покажем, что эти длины
стремятся к нулю.
Действительно, для всякого о 0, согласно принципу Архи-
v. • Ь — а
меда, найдется такое натуральное п£, что п£>----. но тогда и
. г Ь — а
для всех п^п£ будет выполняться неравенство п>---------- и,
8
следовательно, неравенство ^—^<8. Замечая, что
2" = (1 + 1)я=1+и+^_0+ ... >п, (3.30)
получаем у<- Для п=1, 2, .... Поэтому для всех п>п£
Ь — а Ь — а ъ
справедливо неравенство ~^г<----<8- Это и означает стремле-
ние к нулю длин отрезков [ап, й„]при возрастании п.
Заметим, что принцип вложенных отрезков является свой-
ством, присущим именно множеству действительных чисел. Так,
поле одних только рациональных чисел уже не обладает
аналогичным свойством.
Например, если взять последовательности «рациональных
отрезков», [1; 2], [1,4; 1,5], [1,41; 1,42], [1,414; 1,415)4 т. е.
последовательность множеств рациональных чисел, лежащих на
отрезках, концы ап и bn, п = 1, 2, ..., которых — значения ^/2,
вычисленные соответственно с недостатком и с избытком с
точностью 1/10", и = 0, 1, 2, ...* **\ то, очевидно, не существует
никакого рационального числа, принадлежащего всем этим
отрезкам. В самом деле, таким числом могло быть только
В том случае, когда концы отрезка [а, Ь ] записаны в виде десятичной
дроби, запятая между а и b заменяется точкой с запятой.
**) зто означает, что а„^2<^ и д — а =—, л? = 0, 1, 2.......
" л п п Ю” ’ ’ ’
78
число ^/2 (почему?), которое, однако, не является рациональ-
ным *’.
Можно доказать и более точное утверждение. Назовем поле
архимедовым, если для него выполняется принцип Архимеда,
т. е. справедливо утверждение теоремы 2 из п. 3.6. Свойство
упорядоченного поля (определение поля см. в замечании в
конце п. 2.2*), состоящее в том, что для его элементов
выполняется свойство V из п. 2.1, называется непрерывностью
поля по Дедекинду (см. также п. 2.5*), а свойство упорядочен-
ного поля, выражающееся в том, что каждая система его
вложенных отрезкой имеет непустое пересечение,— непрерыв-
ностью поля по Кантору.
Для архимедовых упорядоченных полей можно показать,
что их непрерывность по Дедекинду, непрерывность по Кантору
и существование конечной верхней грани у каждого непустого
ограниченного сверху множества эквивалентны между собой,
т. е. из любого из этих свойств, принятого за аксиому,
вытекают остальные два.
Было показано, что из непрерывности по Дедекинду следует
существование конечной верхней грани у ограниченного сверху
множества, откуда, в свою очередь, следует непрерывность по
Кантору. Для того чтобы завершить доказательство указанной
эквивалентности трех понятий непрерывности архимедовых
полей, достаточно показать, что из непрерывности по Кантору
следует непрерывность по Дедекинду. Доказательство этого
утверждения можно найти, например, в книге: Кудрявцев Л. Д.
Математический анализ. М., 1973, т. 1.
Отметим еще, что при доказательстве утверждения, что
упорядоченное поле, непрерывное по Дедекинду, является
непрерывным и по Кантору, требование архимедовости поля
можно отбросить. Действительно, в п. 3.6 было доказано, что
из непрерывности упорядоченного поля по Дедекинду, т. е. из
наличия свойства V, сформулированного в п. 2.1, следует
выполнение принципа Архимеда.
В заключение обратим внимание на то, что утверждение,
аналогичное теореме 3, оказывается уже неверным для число-
вых промежутков других типов, чем отрезки. Например,
система вложенных интервалов ( О, -), п=1, 2, ...: каждый
\ п /
последующий интервал содержится в предыдущем, т. е.
Доказательство иррациональности числа у/1, обычно проводимое в
элементарной математике, воспроизведено ниже в п. 6.3.
79
имеет пустое пересечение. Но, конечно, существуют и такие
системы вложенных интервалов, которые имеют непустое
пересечение.
3.8*. ЕДИНСТВЕННОСТЬ НЕПРЕРЫВНОГО УПОРЯДОЧЕННОГО
ПОЛЯ
Множество действительных чисел является в некотором
смысле единственным непрерывным упорядоченным полем,
точнее единственным с точностью до изоморфизма. Разъясним,
что это означает.
Два поля & и называются изоморфными, если существует
такое взаимно однозначное отображение / поля на поле
что для любых двух элементов хе^ и уеёР выполняются
условия
/(x+jO =/'(*)+/(Л f(x> У)=/(х)Ду)-
Отображение / называется в этом случае изоморфизмом или
изоморфным отображением.
Короче, два поля называются изоморфными, если су-
ществует взаимно однозначное отображение одного из них на
другое (биекция), сохраняющее сложение и умножение их
элементов.
Если поля & и & упорядоченные и существует изоморфное
отображение / поля на поле ^*, сохраняющее отношение
порядка, т. е. такое, что для любых хе& и для которых
х<у\ имеет место соотношение Дх) </(}>), то поля & и
называются изоморфными упорядоченными полями.
Докажем, что множество, действительных чисел однозначно
определяется системой аксиом I — V (см. п. 2.1) с точностью до
природы элементов.
Теорема 5, Все непрерывные упорядоченные поля изоморфны
между собой.
Доказательство. Пусть даны два непрерывных упорядо-
ченных поля R и /?*. Будем последовательно устанавливать
соответствие между их элементами xeR и x*eR*. Это соответ-
ствие обозначим через f В каждом из полей R и R* есть нуль и
единица, соответственно Ои 1 в J? и 0* и 1* в R* Поставим в
соответствие нулю 0 нуль 0*, а единице 1—единицу 1*:
de/ def
/(0) = 0*, /(!)=!*: (3.31)
Элементу +1 + ...
п раз
Ч- [, поставим в соответст вие элемен г
/'(1)+/(1)+ ... +/(!) = 1* +1*+ ... +1*, таким образом,
п ])аз п раз
80
f(n) =J* + 1*+ ••• +1*,
n"' раз
(3.32)
а элементу — n элемент —f(n)
(3.33)
Установленное соответствие / является взаимно однознач-
ным, при этом каждый целый элемент поля /?*, т. е. его нуль О*,
элемент вида и* = 1*+ 1* + ... +1* или —и*, оказывается, в силу
равенств (3.31) — (3.33), поставленным в соответствие какому-то
целому элементу поля R. Таким образом, отображение f
устанавливает взаимно однозначное соответствие между мно-
жествами Z и Z* целых элементов полей R и R*.
Это соответствие сохраняет отношение порядка: если
О < т< п. то
f(m) =J* + 1* + ... +1* <1* + 1* + ... +1* -/(и). (3.34)
гп"' раз раз
В силу соответствия (3.33), отношение порядка сохраняется и
для всех целых элементов любого знака.
Сохраняются и операции сложения и умножения: для любых
meZ и neZ имеют место следующие равенства:
Дт+и)=/(т)+/(и),
Действительно, если щ>0 и и>0, то
(3.35)
(3.36)
f(m + п) = 1* + ... +1* = 1*+ ... +1* + 1*+ ... +1* =
=/(m)+7$ ПРа3 (3-37)
Если же т < 0 и 0 < — т < п, то
f(m + n) = 1* + ... +1* =
п + т — п — (— т) раз
= ~Л* + +1 *),+ (!*+ „ +1*)= -/(-т)+/(«)(3з3)
— т раз п раз , ч
„ъ/й+m р-38)
Случай 0<т< — п сводится к предыдущему:
Л™ + п\ = -f(m - п) = - (/(- т) +/(- ")) Ъ/» +/(«)
Наконец, если т < 0. п < 0, то
Дт + /г)(3Зз) -Л - т - и)(3Зд - - w) +Л - И))(3^3) Лт) +Л«)-
81
Если m = Q или л = 0, то соотношения (3.35) и (3.36) очевидны.
Для доказательства соотношения (33.6) заметим, что в полях
R и /?*, как и вообще во всех упорядоченных полях, имеется
понятие абсолютной величины элементов и для их умножения
справедливы соотношения:
если х^О, у^О или х^О, у^О, то xy = lxyl, (3.39)
если х>0, у<0 или х<0, j>0, то ху= — |xj|. (3.40)
Из равенств (3.32) и (3.33) следует, что для каждого neZ имеет
место равенство
Д|«1) = |Д«)|. (3.41)
Если для сомножителей т, heZwmqq']. место случай (3.39), то, в
силу (3.33), такой же случай имеет место и для сомножителей
f(m), ffn\ поэтому
|ли| |п| раз
= (1*+ + !*),(!* + +1Ч
ГйГ''' пач v j .<+ г/
|т| раз 1П1 PUJ
= (3.42)
Если же сомножители т и п разного знака, то, в силу (3.32) и
(3.33), Дт) и Ди) также имеют разные знаки; следовательно,
ЛИ(35о) Л-|т1 W)(333)-(>l l”l)(3S2)
= -Д1^1)Л1«0(з51)_ । Дт)Д«)1(3:5о/НЖ
Итак, отображение f взаимно однозначно отображает
множество Z на Z*, сохраняет отношение порядка и операции
сложения и умножения.
Поставим далее каждому рациональному элементу поля Л,
т. е. элементу вида —, где meZ. neZ, n^Q, элемент поля /?*,
п f(n)
т. е. положим
Теперь (как это легко проверить) / отображает взаимно
однозначно поле Q всех рациональных элементов поля R на поле
Q* всех рациональных элементов поля /?*. Это соответствие
является изоморфизмом упорядоченных полей Q и (?* В самом
деле, если
0< — <-, т, и, р, qeZ, n>Q, q>0, (3.44)
п q
82
то mq<np, а тогда, в силу (3.34), f(mq)<f(np), откуда
/(тУТо) < fMf(p) и, следовательно, '4^ <4^, т.е. согласно
J v Дз.зб) Дп) Д?)
(3.43),
(3.45)
Для рациональных элементов с произвольными знаками
сохранение отношения порядка при отображении f следует из
(3.44)— (3.45) и того, что
_ Д-w) _ /(w) _ _ J т
(3.43) Д«) (З.'ЗЗ) Дп)(3.43)
Далее, для любых — eQ и -eQ имеем
п q
w | Р Д | — fj^+np} _ +Д»)Др)_
\ п q) \ nq Дз.43) f(nq) /3.35) f(n)f(q)
' (3.36)
_/и,/(р) = уЛЛ , лр\
f(n) f(q)(3A3)\nJ \qj
и, наконец,
П V \nq J (ЗАЗ) f(nq) {з.36) f(n)f(q)
= AAP |
f(n)f(q)(3A3)\nj' \q)'
(3.46)
(3-47)
(3.48)
Иррациональные элементы, т. e. элементы, не являющиеся
рациональными, определяются сечениями в областях рацио-
нальных элементов, причем, в силу изоморфизма между
множествами Q и Q* рациональных элементов, между их
сечениями также существует взаимно однозначное соответствие:
если А \В — сечение в Q, то /(Л)|/(В)— сечение в Q* и мы
положим
J\A |В)=/(Л)|/(В). (3.49)
Теперь взаимно однозначное соответствие установлено меж-
ду всеми элементами полей R и R*. Покажем, что оно также
сохраняет отношение порядка и операции сложения и умноже-
ния элементов, т. е. является изоморфизмом полей R и R*.
Для этого заметим, что (см. п. 3.4)
А | В=sup А = inf В, f(A) |/(В) = sup/(7t) = inf/(B) (3.50)
Если для заданного множества XczQ обозначить через А
множество таких рациональных чисел г, что для каждого геА
83
существует хеХ, для которого г<х, и положить B=Q\A, то
множества А и В образуют сечение А | В в поле Q и
sup X=sup А = А | В.
В силу же изоморфизма полей Q и Q* имеем
sup/(J) = sup/(A) =f(A) |/(5) = f(A | 5) =/(sup X).
(3.49)
Подобным же образом доказывается аналогичное соотноше-
ние для нижних граней. Таким образом, имеют место равенства
sup/(A)=/(sup A), inf/(A)=/(infA), Xc:Q. (3.51)
Пусть теперь А | В и С | D — сечения в поле Q и
A\B^C\D, (3.52)
тогда Л с С и, следовательно, f{A} <=/(С), откуда вытекает, что
/(Л)|/(В)^/(С)|/(Р). (3.53)
Далее, для любых сечений А | В и С | D поля Q имеем
/(Л|5+С|£>) = /(sup А + sup С) = /(sup (А + С)) =
(3.50) (3.6) (3.51)
= sup/(y4 + C) = sup(/p)+/(C)) = sup/(J) + sup/(C) =
(3.47) v (3.6) (3.50)
=/(Л)|/(5)+/(С)|/(5).
Аналогично для А | В0, С | D О имеем
f(A\B-C\D\ = /(inf^inf£>)=/(infBZ>) -
(3.50) * (3.51)
= inf/(#D) = inf(/J?)/(jD)) = inf/(5)inf/(Z>) =
(3.36) (3.50)
=/(Л)|/(5)/(С)|/(Р). (3.54)
Соотношение
f(A\BC\D)=f(A\B)f(C\D)
для произвольных сечений следует из формул (3.39). (3.40),
(3.54) и равенства
/(-(Л|В)) = /( — sup Л) =/(inf(-J)) = inf/(-X) =
(3.50) '(3 5) (3.51) ' '(3.46)
= inf (-/(Л)) = - 8ир/(Л) = - (/(Л) |/(5)).
(j. jv)
Изоморфизм R и R* доказан. □
84
В заключение докажем, что множество действительных чисел
нельзя расширить до большего непрерывного упорядоченного
поля с сохранением соотношения упорядоченности и операций
сложения и умножения. Предварительно сформулируем одно
определение.
Подмножество поля & называется подполем поля если это
подмножество само является полем в силу операций сложения и
умножения элементов поля Подполе поля называется
собственным, если оно не совпадает со всем полем.
Подполе упорядоченного поля с соотношением упорядочен-
ности, порожденным соотношением упорядоченности поля,
называется упорядоченным подполем.
Например, поле всех рациональных чисел является собст-
венным упорядоченным подполем поля всех действительных
чисел.
Заметим, что нуль и единица подполя некоторого поля
являются нулем и единицей поля.
В самом деле, пусть — подполе поля аОи 0* — соот-
ветственно нули подполя & и поля ^*. Обозначим через а
элемент, противоположный элементу 0 в поле ^*:
0 + а = 0* (3.55)
В подполе & имеет место равенство 0 + 0 = 0. Прибавим к
обеим его частям элемент а : 0 + (0 + я) = 0 + я, отсюда, в силу
(3.55), получаем 0 + 0* = 0*. Но левая часть этого равенства,
согласно определению нуля 0* поля ^*, равна нулю; следо-
вательно,
0 = 0*.
Аналогично, если 1 и 1* — соответственно единицы подполя
и поля <+>*, то из равенства 11 = 1, умножая его на элемент
I-1, обратный в поле ^* элементу 1: 11 “1 = 1*, получаем
1-1*=:1*? но 11* = 1, следовательно, 1 = 1*.
Теорема 6. Не существует непрерывного упорядоченного
поля, содержащего в себе поле действительных чисел в качестве
собственного упорядоченного подполя.
Следствие. Множество действительных чисел не изоморф-
но никакой своей собственной части.
Доказательство. Пусть Л*— непрерывное упорядочен-
ное поле, содержащее в себе поле действительных чисел R как
упорядоченное подполе. Покажем, что из этого следует, что
/?* = /?.
При доказательстве теоремы 5 было показано, что между
двумя любыми упорядоченными полями, а следовательно, в
частности, между полями Л и Л*, можно установить изомор-
физм /, продолжив соответствующим образом отображение
/(0) = 0*, (3.56)
85
на все элементы поля R, где 0 и 1 —нуль и единица поля R, а О*
и 1* — нуль и единица поля R*.
Согласно сказанному выше, из того, что поле R является
подполем R*, вытекает, что 0 = 0* и 1=1*, и, следовательно,
равенства (3.56) превращаются в равенства
Д0) = 0, /(1)=1. (3.57)
Покажем, что из этих соотношений вытекает, что и для
любого элемента xeR имеет место равенство
f(x) = x. (3.58)
В самом деле, если и —натуральное число, то из формул
(3.32) и (3.57) следует, что
f(n)= 1 + 1 + 1 + ... + 1 =п. (3.59)
Если п — целое число, то из формул (3.33) и (3.59) имеем
также
/(«) = «• (3.60)
Далее, если х=— — рациональное число, то
у И у(3 43) Ди) П
Все рациональные числа при отображении f остаются на
месте, поэтому для любого сечения А | В в области рациональ-
ных чисел имеем
/(+) =+, /(В)=В (3.61)
и, следовательно,
(3-62)
Каждое действительное число определяет два сечения в
области рациональных чисел. Для данного числа xeR обозна-
чим через А\В одно из таких сечений: х = А\В. Тогда будем
иметь
/М=Д/1|в)(-2/|в-х.
Итак, равенство (3.58) доказано для всех действительных
чисел х.
Отображение /, будучи изоморфизмом полей R и 2?*,
является отображением поля R на все поле /?*, поэтому
соотношение (3.58) означает, что f является тождественным
отображением поля R на поле /?*, т. е. R* = R. □
86
§ 4. ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
4.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Одним из важнейших понятий математического анализа
является понятие предела. Мы начнем его изучение с предела
последовательности действительных чисел (определение после-
довательности см. в п. 1.3*). Под бесконечно удаленной точкой
числовой прямой будем понимать одну из бесконечностей + со,
— оо или оо (см. п.3.1).
Определение 1. Точка а (конечная или бесконечно удаленная)
числовой прямой называется пределом некоторой числовой
последовательности действительных чисел, если, какова бы ни
была окрестность точки а, она содержит все члены рассматри-
ваемой последовательности начиная с некоторого номера.
Этот номер зависит, вообще говоря, от выбора окрестности
точки а.
Сформулированное условие равносильно тому, что вне
любой окрестности точки а находится лишь конечное множест-
во членов рассматриваемой последовательности, в частности ни
одного (т. е. пустое множество, которое причисляется к
конечным множествам).
Вспомнив, что окрестности конечных и бесконечно удален-
ных точек числовой прямой определяются заданием некоторого
числа 8>0 (см. п. 3.2), определение предела последовательности
действительных чисел можно перефразировать следующим
образом.
Точка а (конечная или бесконечно удаленная) числовой пря-
мой называется пределом последовательности {хи} действи-
тельных чисел, если для любого г>0 существует такой номер пг,
что для всех номеров п>пг члены хп содержатся в окрестности
U (а; е):
xneU(a\ а).
Если выполняется это условие, то пишут lim хп = а или хА-+а
при «->оо и говорят, что члены последовательности {хи}
стремятся к а.
С помощью логических символов существования и всеобщ-
ности определение предела записывается следующим образом:
def
«=limx„oV8>0 3ne V«>«e : xneU(a\ ь)
и—>00
(здесь и в дальнейшем буквой «, быть может с тем или иным
индексом, всегда будем обозначать натуральное число, если
специально не оговорено что-либо другое).
87
Индекс е у номера пг подчеркивает, что этот номер зависит,
вообще говоря, от выбранного 8>0. Эта зависимость отражена,
конечно, уже в самой формулировке определения предела,
поэтому ее можно и не отражать в записи (что было сделано
лишь для большей наглядности). Действительно, часто вместо
пг пишут, например, nQeN или NeN.
Если предел последовательности действительных чисел
является конечной точкой числовой прямой, т. е. числом,
то говорят, что последовательность имеет конечный пре-
дел.
Определение 2. Если числовая последовательность имеет
конечный предел, то она называется сходящейся.
Если использовать логические символы, то это определение
можно записать следующим образом:
3 aeR V е > 0 3nzeN V п>пг : | хп — а | < 8.
Последовательность, не являющаяся сходящейся, называется
расходящейся.
Для случая конечного предела определение 1 предела можно
перефразировать следующим образом.
Число а является пределом последовательности {хп}
действительных чисел, если для любого 8>0 существует
такой номер пг, что для всех номеров п>щ выполняется
неравенство
|.V„—й|<8. (4.1)
С помощью логических символов это определение записы-
вается следующим образом:
def
а= lim хпо Ve>0 Зде Уп>пъ : |хп —я|<8.
и—>00
Очевидно, что неравенство (4.1) равносильно неравенству
а — 8<хи<а+е.
Если lim х==а и хп<а (соответственно хп>а} для всех /7^1,
и—*00
2, ..., то говорят, что последовательность {xw} сходится к числу
а слева (соответственно справа}, и иногда вместо lim хп — а
пишут lim х=а — 0 (соответственно lim х„ = а+0).
И—00 п—>00
В том случае, когда а = 0, вместо 0 3-0 и 0 — 0 пишут
соответственно просто 4-0 и —0.
Сформулируем на языке 8 определение предела числовой
последовательности в том случае, когда этот предел является
той или иной бесконечно удаленной точкой (или, как говорят,
равен бесконечности).
88
Например, со является пределом последовательности {хп},
если для любого е>0 существует такой номер пг, что для всех
номеров п>пг выполняется включение
x„et/(oo; г),
или, что то же самое, неравенство
С помощью логических символов это утверждение записы-
вается следующим образом:
def ]
lim хп = со о Ve>0 3nz V n>nz : |хи|>-
Аналогично определение предела последовательности переф-
разируется для случая, когда этот предел равен бесконечности с
определенным знаком. Для краткости ограничимся записью
этих определений только с помощью логических символов:
def
lim xt. = + со <^> V 8 = 0 3 nF V n>nF
lim л = — оо <=>Vs>0 V«>«. : х„<—.
п—* ос " е " Е
Очевидно, что если limxn= + oo или limx„=—оо, то и
п—>00
lim хп = оо.
И—>00
Определение 3. Последовательность, пределом которой явля-
ется бесконечность, называется бесконечно большой.
Понятие конечного предела последовательности связано в
определенном смысле с встречающейся на практике задачей
получения значения некоторой интересующей нас величины с
наперед заданной фиксированной точностью 8>0. Последова-
тельные приближенные значения хп рассматриваемой вели-
чины могут получаться в результате проведения каких-либо
экспериментов или вычисления по каким-нибудь рекуррентным
формулам или каким-то другим путем. Эта задача будет,
очевидно, решена, если найдется номер ле, начиная с которого
все значения хп будут отклоняться от точного значения
рассматриваемой величины в пределах заданной точности.
Конечно, если указанное nz существует лишь для одного
данного 8>0, это еще не означает, что последовательность
сходится: в определении предела последовательности требуется,
чтобы соответствующий номер nz можно было подобрать для
любого 8>0.
89
В дальнейшем всегда под пределом последовательности
будем понимать конечный предел, т. е. число, если,
конечно, не оговорено противное.
Примеры. ЬПоследовательность < - > сходится и имеет своим
(и J
пределом нуль. В самом деле, каково бы ни было 8>0, согласно
принципу Архимеда (см. п. 3.6) действительных чисел, существу-
ет такое натуральное число де, что пг>-. Поэтому для всех п>пг
а 1 1
выполняется неравенство 0 <-< — <8, а это и означает, что
П ПЕ
lim- = 0. Последовательность сходится к нулю справа.
и— оо П (И J
2. Последовательность | является расходящейся. В
самом деле, каково бы ни было число а. вне его 8-окрестности,
например при 0<8<1, заведомо лежит бесконечное число
членов данной последовательности, и, значит, оно не является
ее пределом.
3. Последовательность /-sin-и У сходится и lim -sin-77 = O,
(п 2 J п—*оо п 2
что следует (почему?) из того, что
1 . п Л v 1 п
-sin-И И 11Ш - = 0.
П 2 п п
Сходящаяся последовательность /-sin-п > не является после-
(и 2 J
довательностью, сходящейся к своему пределу слева или справа.
4. Последовательность {п} расходится.
Действительно, каково бы ни было число а, для любого
8 > 0, в частности для 8=1, найдется, согласно принципу
Архимеда, такое натуральное л0, что и0>я+1. Следова-
тельно, и для всех натуральных n>nQ имеем п>а+1. Поэтому
никакое число а не может являться пределом последователь-
ности {п}.
В примерах 2 и 4 при доказательстве расходимости
последовательностей было использовано позитивное определе-
ние того обстоятельства, что некоторое число а не являлось
пределом данной последовательности.
Определение 4. Конечная или бесконечно удаленная точка а
числовой прямой R не является^ пределом последовательности
xneR, п—19 2, ..., если существует такое 8>0, что для всякого
Здесь частица «не» входит не в определение, а в определяемое понятие.
90
натурального п существует такое натуральное т>щ что
xm$U(a; г).
С помощью логических символов это определение записы-
вается следующим образом:
lim хпа^>3 е>О V neN Зт>п
п—-сс
хтфи(а; е).
Напомним, что при формулировании отрицания како-
го-либо утверждения логические символы существования
3 и всеобщности V меняются местами. Именно так и про-
изошло в данном случае, в чем легко убедиться, сравнив за-
пись определений 1 и 4, записанное с помощью логических
символов.
Заметим, что определение 4 не является самостоятельным
определением — оно является логическим следствием определе-
ния 1.
Упражнения. 1. Сформулировать позитивное определение понятия
расходящейся последовательности.
2. Доказать, что если lim хп — а, то lim |хи| = |а|.
и—*00 п—-со
Задача 2. Доказать, что последовательность {х„} расходится тогда и только
тогда, когда существует такое число о 0, что, каково бы ни было
действительное число а и каков бы ни был номер и, найдется такой номер т>п,
для которого выполняется неравенство |хж —я|>8.
Упражнение 3. Записать позитивное определение расходящейся последо-
вательности и условие задачи 2 в логических символах и сравнить их.
В рассмотренных выше примерах существование или отсут-
ствие пределов у данных последовательностей было достаточно
очевидным, а доказательства сводились к элементарной провер-
ке определения предела последовательности.
В качестве более сложного примера отыскания предела
последовательности рассмотрим предел средних арифметичес-
ких членов заданной сходящейся последовательности.
Пример 5. Если последовательность {хп} сходится, то
последовательность средних арифметических ее членов
также сходится и притом к тому же пределу, что и сама
последовательность {хп }.
Пусть lim хп = а. Прежде всего заметим, что для любых
И—>00
натуральных чисел nQ и n>nQ имеет место равенство
а = *i + - + *„_а = Х1 + - + л-„0-иоа + (%„04.,-a) + - + (x„-a) „
п п п п
91
Если теперь задано £>0, то, согласно определению предела,
существует такой номер и0, что для всех n>nQ выполняется
неравенство
(4.3)
Число хг + ...+х —поа фиксировано, a lim - = 0, поэтому
0 п—>оо п
Нт ^-+л"'-'г»а = 0.
и—>оо п
Следовательно, существует такой номер т0, что для всех n>mQ
выполняется неравенство
п
£
2*
Пусть ?7е = тах{/70, т0}. Тогда для всех номеров п>пг. в силу
(4.2) — (4.4), получим
(4-4)
\Уп~а\
п
'Я0+1-^1 + -.- + |ля-бг|^£ , е
2Т п 2 2^2
п
Это и означает, что lim уп = а. □
и—>00
Упражнение 4. Доказать: 1) что отбрасывание или замена конечного
числа элементов последовательности не влияет на ее сходимость, причем в
случае сходящейся последовательности не влияет и на величину предела.
, , (хк при n — lk— 1,
2) Если lim хп — а, lim и zn — < , к = 1, 2,..., то и lim z=a.
и-^оо ™ [Л при п = 2к,
Наряду с числовыми последовательностями в данном курсе
будут встречаться последовательности точек расширенной чис-
ловой прямой, т. е. занумерованные натуральными числами
совокупности {хп} элементов расширенного множества действи-
тельных чисел R (см. п. 3.1). Таким образом, элементами этих
последовательностей наряду с действительными числами могут
быть бесконечно удаленные точки +оо и — оо. Для таких
последовательностей также можно ввести понятие предела,
аналогичное пределу числовых последовательностей и содержа-
щее его в себе как частный случай.
Определение 5. Точка а расширенной числовой прямой R
называется пределом последовательности точек этой прямой,
если, какова бы ни была окрестность точки а, она содержит все
члены рассматриваемой последовательности начиная с некоторо-
го номера.
Отличие от рассмотренного выше случая состоит в том, что
здесь членами последовательности могут быть не только
92
действительные числа, но и бесконечности с определенным
знаком.
Конечно, понятие предела можно обобщить и на случай
последовательности точек прямой, расширенной с помощью
только одной бесконечно удаленной точки — бесконечности без
знака.
Замечание 1. Для любой окрестности Ufa, е), о0, где
а — либо число: aeR, либо одна из бесконечностей оо, 4-оо или
оо, существует такое натуральное л, что выполняется включение
и(^а, -^czUfa, ь). Чтобы в этом убедиться, достаточно взять
такое neN, что -<8.
п
Поэтому, если последовательность xneR такова, что для
любого и=1, 2, ... выполняется включение x„eUl а, -) (здесь
\ п /
а — либо действительное число, либо одна из бесконечностей
оо, +оо или — оо), то lim х=а. В самом деле, для лю-
п—>ос
бой окрестности Ufa) существует такое натуральное и0, что
Ula, — )с=С7(б/); тогда для всех номеров п>п$ будем иметь
\ П0 /
хпеи(а, -\czu(a, — )сз{7(я).
\ п / \ П0 /
Это и означает, что lim х^а.
и—>00
Замечание 2. Если последовательность xneR, п~1, 2, ...,
такова, что все ее члены равны между собой: хп = хт при всех
neN и meN, то она, как это отмечалось выше (см. п. 1.3*),
называется стационарной.
Всякая стационарная последовательность точек расширен-
ного множества действительных чисел имеет предел, равный
общему значению ее членов. Это сразу следует из того, что
каждая точка расширенной числовой прямой содержится в
любой своей окрестности. В самом деле, если для всех neN
имеет место xn = aeR, то для любой окрестности Ufa) точки а и
всех neN очевидным образом выполняется включение хп —
= aeU(a).
В дальнейшем под последовательностью всегда понимается
числовая последовательность, т. е. последовательность,
элементами которой являются действительные числа, если,
конечно, специально не оговорено что-либо другое.
Упражнения. 5. Привести пример неограниченной последовательности,
не являющейся бесконечно большой.
93
6. Доказать, что если и=1, 2, и lim яи=+ со, то
«—►оо
lim bn~ оо.
«—►со
7. Доказать, что почленное произведение бесконечно большой последо-
вательности на последовательность, абсолютная величина всех членов которой
ограничена снизу положительной постоянной, является бесконечно большой
последовательностью.
4.2. ЕДИНСТВЕННОСТЬ ПРЕДЕЛА
ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Докажем прежде всего корректность определения предела в
том смысле, что если он существует, то он единствен.
Теор ема 1. Последовательность точек расширенной
числовой прямой может иметь на этой прямой только один
предел.
Следствие. Числовая последовательность может иметь
только один предел, конечный или определенного знака бесконеч-
ный.
Доказательство теоремы. Допустим, что утвержение
теоремы несправедливо. Это означает, что существует последо-
вательность xneR. п = 1, 2, ..., у которой имеется по крайней
мере два различных предела: aeR и beR. Выберем е1>0ие2>0
так, чтобы вj -окрестность точки а не пересекалась с 82-окрест-
ностью точки Ь. Это всегда можно сделать согласно лемме п.
3.2 (см. рис. 6,я, б, в, г). В силу определения предела, из условия
lim х=а следует, что существует такой номер nreN, что для
и—*00
всех номеров n>nr, neN. имеет место включение xneU(a. 8t), а
из условия lim x=b следует, что существует такое n2eN. что
л—*00
для всех п>п2, neN, справедливо включение x„eU(b, е2).
Следовательно, если обозначить через п0 наибольший из
def
номеров п{ и п2; и0=тах {и15 п2}. то для любого п>п0
одновременно будем иметь xneU(a. 81) и xneU(b, 82), т. е.
xneU(a, 82). Это противоречит условию
U(a. 8jrW, е2) = 0. □
Следствие является частным случаем утверждения теоремы.
Для единственности бесконечного предела последовательнос-
ти элементов из R существенным является рассмотрение лишь
бесконечностей определенного знака, так как если последова-
тельность имеет своим пределом бесконечность с определенным
знаком, то одновременно ее пределом является и бесконечность
94
без знака. Например, если lim а:„= + оо, то, конечно, и
И—>00
lim хя = со.
п—*00
Докажем теперь некоторые простые свойства конечных и
бесконечных пределов.
4.3. ПЕРЕХОД К ПРЕДЕЛУ В НЕРАВЕНСТВАХ
Сформулируем и докажем три часто используемых свойства
пределов последовательностей точек расширенной числовой
прямой, связанные с равенствами и неравенствами для членов
последовательностей.
1. Если для всех 2, ... имеет место равенство xn = ceR
(т. е. последовательность {%„} стационарна), то
lim х=с.
и—+00
Коротко говоря, предел постоянной равен самой этой постоян-
ной.
Доказательство. Действительно, в этом случае для
любой окрестности U(я) точки а в качестве номера п0,
указанного в определении 5, можно взять, например, п0=1, так
как для всех номеров п=1, 2, ... имеет место включение
xn = aeU(a). □
II. Если
xneR, y„eR, zneR,
xn^yn^zn, n=l, 2,
и
lim хп = lim zn = aeR,
П—+СС n—^co
mo
lim y„ = a.
и—>oo
Доказательство. Зафиксируем произвольно окрестность
U (а) точки а. В силу условий (4.6), существуют такой номер и15
что для всех номеров п>пг выполняется включение
л„е(7(а), (4.8)
и такой номер п2, что для всех номеров п>п2— включение
z„et/(a). (4.9)
95
(4.5)
(4-6)
(4-7)
Ufa)
—*—I------1---1-----1----s
?n Un °- zn
Рис. 10
(4.9); тогда (рис. 10), в
выполняется включение
Возьмем в качестве номера п0
наибольший из номеров пх и п2 :
и0 = тах{и1; п2 }. Тогда для но-
меров п>п0 одновременно вы-
полняются включения (4.8) и
силу условия (4.5), для всех n>nQ
yn^U(a),
а это и означает справедливость утверждения (4.7). □
Следствие. Если хп^уп. xneR, yneR, п=1, 2, ..., и
ft ✓ fl J fl ' •/ fl ' J J '
lim xn — + oo,
mo
lim у = + oo
n—*00
(4.10)
(4.И)
а если lim yn = — co, mo lim xn = — oo.
n—*oo n—*oo
Доказательство. Пусть выполнено условие (4.10). Рас-
смотрим вспомогательную последовательность z„=+oo, и=1,
2, ..., тогда, очевидно, для последовательностей {%„}, {}'„}, {z„}
выполняются условия (4.5) и (4.6) при а=+со, а поэтому, в
силу утверждения (4.7), имеет место и равенство (4.11).
Аналогично рассматривается и случай limy„= — оо. □
п—*оо
III. Если xneR, yneR, п=1, 2, ..., и
lim х=а, limy =А (4.12)
И~*00 п—*00
причем
a<b. aeR. beR, (4.13)
то существует такой номер п0, что для всех номеров п>п0
выполняется неравенство
хп<уп- (4.14)
Доказательство. Пусть U= U(a) и V=V(b) — какие-либо
непересекаюгциеся окрестности точек а и Ь. тогда из условия
а<Ь следует, что для любых хе U и уеЕ выполняется
неравенство (рис. 11)
х<у. (4.15)
В силу условия (4.12), существует такой номер п0. что для
всех номеров п>п() выполняются включения
хибС/, yneV. (4.16)
а поэтому, согласно неравенству (4.15), имеют место неравенст-
ва (4.14). □
96
Следствие 1. Пусть а. b, хп Ufa) Ufb)
принадлежат R, и=1, 2, ... . Если --1-1— ----*----I-I—»
а in Ь уп
lim х„ = а и а<Ь (соответ-
и—*оо Рис. 11
ственно а>Ь), то существует
такой номер nQ, что для всех номеров n>nG выполняется
неравенство
хп<Ь (4.17)
(соответственно неравенство хп>Ь).
Доказательство. Пусть а<Ь. Рассмотрим вспомогатель-
ную последовательность у = Ь. п=1. 2, ... ; тогда для
последовательностей {ли} и (уп} выполняются условия (4.12) и
(4.13), следовательно, и условие (4.14), которое в данном случае
превращается в неравенство (4.17).
Аналогично рассматривается случай а>Ь. □
Следствие 2. Если lim хп = a. lim у„ = b. xneR, y„eR. п = 1,
2, ..., aeR. beR и для всех п—1. 2, ... выполняется неравенство
(4.18)
то
а^Ь. (4.19)
Доказательство. Пусть выполнено условие (4.18). Если
бы оказалось, что а>Ь. то, согласно свойству III пределов,
нашелся бы такой номер и0, что для всех номеров n>nQ
выполнялось бы неравенство
>Уп>
что противоречит условию (4.18). Следовательно, выполняется
неравенство (4.19). □
Из следствия 2 вытекает, в частности, что если хп^Ь. п=\.
2, ..., и lim хп = а. то имеет место неравенство а^Ь.
п—>00
В самом деле, если взять вспомогательную стационарную
последовательность уп = Ь. и=1, 2, ..., то для последовательнос-
тей {хл} и {уп} будут выполняться условия следствия 2, т. е.
lim х=а. xneR. п=\. 2, ..., aeR.
П—ОС
и для всех п = \. 2, ... справедливы неравенства
хп^Уп = Ь.
Поэтому, согласно следствию 2, имеет место и неравенство
а^Ь. Г
4-1807
97
Следствие 2 означает, что если последовательности {%„} и
{у.} имеют пределы lim х=а, lim у =6, aeR, beR, то в
4 J п—->ОО п—>00
неравенствах хп<уп и хп^уп можно переходить к пределу,
причем даже в первом случае в результате получается, вообще
говоря, нестрогое неравенство
а = lim хп < lim уп = Ь.
п—>00 и—>00
Отметим, что нас в основном интересуют числовые после-
довательности. Последовательности же точек расширенной
числовой прямой введены прежде всего для большей компакт-
ности изложения: они позволяют не рассматривать отдельно
случаи конечных и определенного знака бесконечных пределов
последовательностей. В дальнейшем определения и утверждения
будут в основном формулироваться для числовых последова-
тельностей, хотя многие из них без всякого труда обобщаются
на случай последовательностей точек расширенной числовой
прямой.
Замечание 1. Если последовательность {хл} имеет конеч-
ный предел, равный а. и если фиксировано некоторое число
о О, то для каждого 8>0 существует такой номер (который
будет, так же как и в определении предела, обозначаться ие),
что для всех номеров п>пг выполняется неравенство
|x„ —fl|<C8.
Действительно, если положить то, согласно опреде-
лению предела последовательности, существует такой номер и£1,
что для всех номеров n>nz выполняется неравенство
|х„ — а\ <81 =С8
и в качестве номера пг можно взять номер nz .
Например, если lim хп = а, то для всякого е>0 существует
п—->00
такой номер ие, что для всех номеров п>пг выполняется
неравенство
\х„~а\<^.
Иногда бывает полезно рассмотреть последовательность,
получающуюся из данной последовательности перенумерацией
ее членов. В дальнейшем для таких последовательностей будет
неоднократно использоваться следующая лемма.
Лемма. Если последовательность xneR, п=1, 2, ..., имеет
конечный или бесконечный предел и {пк} — такая последователь-
ность натуральных чисел, что
98
limnfc= + co, (4.20)
к—>oo
то последовательность {хИ(.} имеет тот же предел и последо-
вательность {х„}.
Доказательство. Пусть lim хп = а. Это означает, что для
любой окрестности U (а) точки а существует такой номер п0, что
для всех номеров п>п0 выполняется включение
xneU(a).
В силу выполнения условия (4.20), для номера п0 существует
такой номер к0, что для всех номеров к>к0 справедливы
неравенства '
и, следовательно, имеет место включение
xnk^U(a).
Это и означает, что lim х„ = а. □
. нк
/с—>00
Замечание 2. Если lim хп=со и lim пк= + оо, то иногда о
пределе последовательности {хПк} можно сказать больше, чем
только то, что lim х =со: может оказаться, что lim хп = + оо
к—->оо к—>оо к
или lim хп= — оо. Например,
/с—>оо к
lim ( —и)”=Ъо, a lim ( — 2к)2к = +оо, lim [ — (2к — 1)]2к 1 = —оо.
w—>оо к—>оо к—>оо
Определение 6. Последовательность {хп}, которая состав-
лена из членов последовательности {%„} и в которой порядок
следования ее элементов совпадает с их порядком следования в
исходной последовательности {хп}> называется подпоследова-
тельностью этой последовательности.
Таким образом, последовательность {хПк} является подпосле-
довательностью последовательности {хи},* если условие к<к'
равносильно условию пк<пк>, к, к'=\, 2, ... .
Так, последовательность 1, 3, 5, ..., 2л+1, ... является, а
последовательность 2, 1, 3, 4, ..., п, ... не является подпоследова-
тельностью натурального ряда чисел 1, 2, ..., п, ... . В обоих
случаях элементы последовательностей образуют подмно-
жество множества натуральных чисел, но в первом случае
** Напомним (см. п. 1.1), что само множество также считается своим
подмножеством.
99
члены последовательности расположены в том же порядке, что
и в натуральном ряде чисел, а во втором случае этот порядок
нарушен.
Если {хПк} —подпоследовательность последовательности
{%„}, то, очевидно, пк^к, к=1, 2, ..., и, следовательно,
lim пк — + оо.
к—►оо
Отсюда следует, в силу леммы, что если последовательность
имеет конечный или бесконечный предел, то и любая ее
подпоследовательность имеет тот же предел.
Упражнение 8. Пусть из членов последовательности натуральных чисел
{п} образована новая последовательность пк так, что разные члены последова-
тельности {и} переходят в разные члены новой и каждый член последователь-
ности {п} переходит в некоторый член новой. Это равносильно тому, что задана
биекция п\-*пк множества натуральных чисел N на себя. Доказать, что в этом
случае
lim пк — оо.
к—>оо
4.4. ОГРАНИЧЕННОСТЬ СХОДЯЩИХСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
Следует различать последовательность {хи}, т. е. множество
элементов ап и множество значений ее элементов. Первое
множество всегда бесконечно, так как состоит из совокупности
элементов, отличающихся по крайней мере номерами п=1,
2, ... . Второе множество состоит из всех чисел, являющихся
значениями элементов данной последовательности, оно может
быть и конечным. Например, последовательность х„=1, и=1,
2, ..., как и всякая последовательность, состоит из бесконечного
числа элементов, а множество значений ее элементов состоит из
одного числа 1.
Определение 7. Последовательность называется ограниченной
сверху (снизу), если множество значений ее элементов ограни-
чено сверху (снизу).
В терминах элементов последовательности это определение
может быть перефразировано следующим образом.
Определение 7'. Последовательность {х„} называется ограни-
ченной сверху (снизу), если существует такое число Ь, что для
всех номеров п=1, 2, ... выполняется неравенство хп^Ь
(соответственно неравенство хп^Ь).
Определение 8. Последовательность, ограниченная сверху и
снизу, называется просто ограниченной.
Очевидно, что последовательность {хи} ограничена тогда и
только тогда, когда существует такое число Ь. что для всех
номеров п=1, 2, ... выполняется неравенство |xn|<Z>.
100
Определение 9. Последовательность, не являющаяся ограни-
ченной (сверху, снизу), называется неограниченной (сверху,
снизу).
тт J 1 I I • ТС (
Например, последовательности <-> и ограничены.
Последовательность {п} не ограничена, точнее, она ограничена
снизу, но не ограничена сверху, а последовательность
является неограниченной как сверху, так и снизу.
Теорема 2. Если последовательность имеет конечный
предел, то она ограничена.
Доказательство. Пусть дана сходящаяся последователь-
ность {%„} и пусть lim хп = а. Возьмем, например, 8=1.
п—>-оо
Согласно определению предела последовательности, существует
такое л1? что для всех п>пх выполняется неравенство |х„ —я|<1.
Пусть d—наибольшее из чисел 1, Ijq — а|, ..., |хП1 — а\. Тогда для
всех и=1, 2, ... справедливо неравенство |x„ — a\^d. т.е. для
всех п
a — d^xn^a + d.
Это и означает ограниченность заданной последователь-
ности. □
4.5. МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
г Определение 10. Верхняя (нижняя) грань множества значе-
ний элементов последовательности {хп} называется верхней
(нижней) гранью данной последовательности и обозначается
sup{x„} или sup хп (соответственно inf{xn} или inf хп).
п=1, 2, ... и=1,2,...
Если верхняя (нижняя) грань является числом, то это
определение можно сформулировать следующим образом.
Определение 11. Число а является верхней (нижней) гранью
последовательности хп, п=\, 2, ..., если:
1) для всех п=1, 2, ... выполняется неравенство хп^а
(неравенство хп^а);
2) для любого 8 > 0 существует такой номер пЕ, что хп > а — 8
(соответственно х^ < а + 8).
Аналогично можно сформулировать определение верхней
(нижней) грани последовательности в том случае, когда
указанная грань бесконечна. (Сделайте это.)
В качестве примеров отметим, что sup {1/и} = 1, inf {1/и} = 0,
sup {п} = + оо, тПи} = 1. Здесь везде л=1, 2, ...
Определение 12. Последовательность {%„} называется воз-
растающей (убывающей) последовательностью, если для каждо-
му
(J(fi) го n=l, 2, ... выполняется нера-
----венство + 1 (соответствен-
ft Хпо но неравенство хп^хп + 1) *\
Рис 12 Возрастающие и убывающие
последовательности называются
монотонными.
тт I1!
Например, последовательность <-> убывает, последователь-
(и)
ность {п} возрастает, а последовательность
монотонной.
Теорема 3 (теорема Вейерштрасса **}). Всякая возрастаю-
щая числовая последовательность {%„} имеет предел, конечный,
если она ограничена сверху, и бесконечный, если она не ограничена
сверху, причем
. л
SH1-A2
2
не является
lim x„ = sup {x„}.
n—>00
(4.21)
Аналогично, всякая убывающая числовая последовательность
{хи} имеет предел, конечный, если она ограничена снизу, и
бесконечный, если она не ограничена снизу, причем
lim xn = inf{xn}.
и—>00
(4-22)
Доказательство. Пусть последовательность {х„} воз-
растает. Докажем равенство (4.21). Остальные утверждения
теоремы для возрастающих последовательностей следуют из
него очевидным образом.
Пусть Р = sup {хп} (значение Р может быть как конечным, так
и бесконечным). Возьмем произвольную окрестность С/(Р) точки
Р и обозначим через р' ее левый конец (рис. 12). Очевидно,
Р'<Р.
Согласно определению верхней грани:
1) для любого номера neN имеет место неравенство
xw^P, (4.23)
2) существует такой номер п0, что
*ио>₽'. (4.24)
В силу возрастания последовательности {%„}, из (4.23) и (4.24)
следует, что для всех номеров п>п0 выполняется неравенство
*’ Возрастающие (убывающие) последовательности называются также
неубывающими (невозрастающими)
**) К. Вейерштрасс (1815—1897) — немецкий математик
102
₽' < х ^хп р, (4.25)
(4.24) 0 (4.23)
и так как
IP', pw(p),
то при n>nQ имеет место включение
-jf
х„ е ?7(Р),
(4.25)
а это и означает, что р является пределом последовательности
Аналогично рассматривается случай убывающей последова-
тельности. □
Замечание 1. Таким образом, всякая монотонная последо-
вательность имеет предел: конечный, если она ограничена, и
бесконечный, если она не ограничена. Этот предел равен +оо,
если монотонная последовательность не ограничена сверху, и
равен —оо, если она не ограничена снизу.
Всякая подпоследовательность монотонной последователь-
ности также монотонна, поэтому она, в свою очередь, всегда
имеет конечный или бесконечный предел, который, очевидно,
совпадает с пределом всей последовательности (см. лемму в п.
3.3).
Было показано, что если последовательность сходится, то
она ограничена (теорема 2), отсюда, в частности, следует, что
если возрастающая последовательность сходится, то она огра-
ничена сверху; с другой стороны, если возрастающая последова-
тельность ограничена сверху, то она сходится (теорема 3).
Таким образом, справедливо следующее утверждение.
Следствие. Для того чтобы возрастающая последователь-
ность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была
ограничена сверху.
Аналогичное утверждение справедливо и для убывающей
последовательности.
Замечание 2. Если {[ап, Ьп]} — система вложенных отрез-
ков, по длине стремящихся к нулю, а S,— точка, принадлежащая
всем отрезкам данной системы, то
£ = lim ап = lim bn. (4.26)
п—*00 Ь—*оо
В самом деле, в п. 3.7 было показано, что ^ = sup{a„} =
(=inf{Z>„}. С другой стороны, последовательность {ап} (соответ-
ственно {Ьп} возрастает (убывает), откуда и следует (4.26).
Пример. Число е.
/ Л"
Пусть хп = I 1 -I—I, п = 1, 2, ... .
\ п /
103
Покажем, что эта последовательность сходится. Применяя
формулу бинома Ньютона, получаем
। »(п~1)(и-2) 1
1-2-3 п3
п(п— 1) ... (п — А;+1) 1 (
1-2 ... к +
(4.27)
При переходе от п к и+1 в сумме, стоящей в правой части
равенства (4.27), число слагаемых, которые все положительны,
возрастает и, кроме того, каждое слагаемое начиная с третьего
увеличивается, так как
, 5=1, 2, ..., п-1, п=1,2, ...,
п п + 1
поэтому
х„<х„+1, п = 1, 2, ... .
Далее, замечая, что в (4.27) каждая из скобок вида 11—-
\ п
меньше единицы и ~для всех и=1, 2, 3, ..., имеем
х„<2+-!-+1+
" 2! 3!
(4.28)
Сумма ••• (которую легко подсчитать по
при
известной из элементарной математики формуле для суммы
членов геометрической прогрессии: она равна
1 2""1
любом п — 1, 2, ... меньше единицы, поэтому окончательно
имеем
2^х„<х„+1<3.
(4.29)
Итак, последовательность {%„} возрастает и ограничена
сверху, а значит, согласно теореме 3, имеет предел. Этот предел
и обозначается буквой е.
104
Переходя к пределу в (4.29), получаем 2<е^3. Более
точными оценками можно получить, что справедливо прибли-
женное равенство
е^2,718281828459045.
Доказывается также, что число е иррационально (см. п.
34.14*)) и, более того, трансцендентно, т. е. не является корнем
никакого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами.
Число е в математическом анализе играет особую роль. Оно, в
частности, является основанием натуральных логарифмов.
4.6. ТЕОРЕМА БОЛЬЦАНО —ВЕЙЕРШТРАССА
В п. 4.4 было доказано, что всякая сходящаяся последова-
тельность ограничена. Обратное утверждение, конечно, неверно.
Например, последовательность хп = ( — 1)”, п=1, 2, ..., ограничена
и расходится. Однако оказывается, что всякая ограниченная
последовательность содержит сходящуюся подпоследователь-
ность. Это утверждение называется теоремой Больцано-Вейер-
штрасса *) или свойством компактности ограниченной последо-
вательности.
Теорема 4. Из любой ограниченной подпоследовательности
можно выделить сходящуюся подпоследовательность, а из
любой неограниченной последовательности — бесконечно большую
подпоследовательность, имеющую своим пределом бесконечность
определенного знака:
Доказательство. Пусть последовательность {хи} ограни-
чена, т. е. существует такой отрезок [а, £], что а^хп^Ь для всех
и=1, 2, ... Разделим отрезок [a. Z?] на два равных отрезка. По
крайней мере один из получившихся отрезков содержит
бесконечно много элементов данной последовательности. Обо-
значим его через [а19 Z^]. Пусть хп^ — какой-либо из членов
данной последовательности, лежащий на отрезке [а19 Z^].
Разделим отрезок \ar, Ьг ] на два равных отрезка; снова хотя
бы один из получившихся отрезков содержит бесконечно много
членов исходной последовательности; обозначим его через \а2,
Ъ2}. В силу того что на отрезке \а2, Ь2] бесконечно много
членов последовательности {х„}, найдется такой член х„2, что
хпе[а2.Ь2} и п2>пх. Продолжая этот процесс, получим
последовательность отрезков \ак, Ьк], в которой каждый
последующий является половиной предыдущего, и последова-
тельность таких элементов хПк данной последовательности, что
xnje[6zk, М, k=l, 2, ..., и пк„>пк, при к">к'. Последовательность
{хиД является, в силу построения, подпоследовательностью
последовательности {%„}. Покажем, что эта подпоследователь-
ность сходящаяся.
Б. Больцано (1781—1848) — чешский математик.
105
Последовательность отрезков [ак, bk], к=1, 2, ..., является
последовательностью вложенных отрезков, по длине стремя-
щихся к нулю, так как Ьк — ак=-^—*0 при к-^со. Согласно
принципу вложенных отрезков (см. п. 3.7), существует един-
ственная точка £, принадлежащая всем этим отрезкам. Как
было показано (см. формулу (4.26)) в замечании 2 к теореме 3,
lim flk=lim Ьк = ^, но ак^х ^Ьк, к=\, 2, ..., поэтому, согласно
к—*оо к—*со
свойству II (см. п. 4.3 сходящихся последовательностей),
последовательность {х } также сходится и lim х„ , =Ц.
к—*оо
Пусть теперь последовательность {хп} не ограничена. Тогда
она либо не ограничена сверху, либо не ограничена снизу, либо
имеет место и то и другое. Пусть для определенности
последовательность {хп} не ограничена сверху. Тогда существу-
ет такой номер nxeN, что хп >1.
Очевидно, последовательность хп, п = пг + \, их+2, ..., также
не ограничена сверху, так как получается из данной не-
ограниченной сверху последовательности хп, « = 1, 2, ...,
отбрасыванием конечного числа членов. Поэтому существует
такое n2>nr, n2eN, что хП1>2.
Продолжая этот процесс, получаем последовательность
таких номеров пк, что п1<п2< ... <пк< ... и хЛ1>1, х„2>2, ...
...хПк>к ... . Отсюда следует, что {х„Д — подпоследовательность
последовательности {*„} и, согласно следствию свойства II
п. 4.3, что lim х =оо. □
к—*оо
Замечание. Второе утверждение теоремы 4 можно уточ-
нить. В доказательстве теоремы 4 было показано, что если
последовательность не ограничена сверху, то у нее существует
подпоследовательность, стремящаяся к + оо. Аналогично, если
последовательность не ограничена снизу, то у нее существует
подпоследовательность, стремящаяся к — оо.
Определение 13. Предел, конечный или определенного знака
бесконечный, подпоследовательности данной последовательности
называется ее частичным пределом.
Теорема Больцано — Вейерштрасса (первая часть теоремы 4)
и ее аналог для неограниченных последовательностей (вторая
часть теоремы 4) показывают, что
всякая последовательность имеет хотя бы один частичный
конечный или бесконечный предел, причем заведомо конечный, если
данная последовательность ограничена.
Таким образом, каждая числовая последовательность {%„},
xneR, имеет хотя бы один частичный предел в расширенном
множестве действительных чисел, т. е. множество частичных
пределов в R для любой последовательности всегда не пусто.
106
Упражнения. 9. Доказать, что, для того чтобы последовательность была
сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена и имела
единственный частичный предел.
10. Доказать, что элемент а (число или одна из бесконечностей со знаком:
+ оо или — оо) является частичным пределом последовательности тогда и
только тогда, когда в любой его окрестности содержится бесконечно много
членов данной последовательности.
4.7. КРИТЕРИЙ КОШИ СХОДИМОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
До сих пор не было дано достаточно общего критерия, с
помощью которого можно было бы узнать, сходится ли данная
последовательность. Само определение сходящейся последова-
тельности для этого неудобно, так как в него входит значение
предела, которое может быть и неизвестным. Поэтому жела-
тельно иметь такой критерий для определения сходимости и
расходимости последовательностей, который основывался бы
только на свойствах элементов данной последовательности.
Следующая ниже теорема 5 и дает как раз подобный критерий.
Определение 14. Будем говорить, что последовательность
{хи} удовлетворяет условию Коши если для любого е > 0
существует такой номер пг, что для всех номеров пит,
удовлетворяющих условию п>пг, т>пг, справедливо неравенство
|л„-хт|<£. (4.30)
Последовательности, удовлетворяющие условию Коши, на-
зываются также фундаментальными последовательностями.
С помощью логических символов условие Коши записы-
вается следующим образом:
Ve>0 3nzeN VneN VmeN, п>пг, т>пг:\хп — хт\<Е.
Условие (4.30) можно сформулировать и так.
Для любого е>0 существует такой номер пг, что для всех
номеров п>пг и всех целых неотрицательных р
1*и+р-*„1<£- (4-31)
Для того чтобы убедиться в равносильности условий (4.30) и
(4.31), достаточно положить р = п — т, если п^т. и р = т — п,
если т>п.
Теорема 5 (критерий Коши). Для того чтобы последова-
тельность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она
удовлетворяла условию Коши.
Доказательство необходимости. Пусть последова-
тельность {хл} сходится и lim хп = а. Зададим s>0; тогда,
согласно определению предела последовательности, существует
О. Коши (1798—1857) — французский математик.
107
такое ле, что для всех номеров п>пЕ выполняется неравенство
|*п-л|<|-
Пусть теперь п>пе и т>пе; тогда
т. е. выполняется условие Коши.
Доказательство достаточности. Пусть последова-
тельность удовлетворяет условию Коши, т.е. для всякого 8>0
существует такое пг, что если п>п£ и т>пг, то |х„ — хт|<8.
Возьмем, например, 8=1; тогда существует такое и1? что при
п>пг и т>п1 выполняется неравенство |х„—хт|<1. В частности,
если п>п1 и т = п1 + 1, то |х„-х„1 + 1|<1, т.е. х„1 + 1 —1<хи<
<хи+1 + 1 ПРИ и>Иг Это значит, что последовательность
п = пг+1, их+2, ... ограничена. Поэтому, в силу теоремы 4,
существует ее сходящаяся подпоследовательность {хп ).
Пусть lim х=а. Покажем, что вся данная последователь-
к—*оо к
ность {хп} также сходится и имеет пределом число а. Зададим
некоторое 8>0. Тогда, во-первых, по определению предела
последовательности, существует такое кг, что для всех номеров
к>кг или, что то же самое, согласно определению подпоследо-
вательности, для всех пк>пк* выполняется неравенство
Во-вторых, так как последовательность {%„} удовлетворяет
условию Коши, то существует такое ле, что для всех п > пг и всех
т>пг выполняются неравенства
|%и Хт\ <
Положим 2Уе = шах{ие, пке} и зафиксируем некоторое nk>Nz.
Тогда для всех n>Nz получим
к> - «I = 1(*п - хПк+(хПк - а)|
^kn-*nJ + kni-a|<|+|=£,
а это и доказывает, что lim хп = а. □
И—►ОО
Упражнения. 11. Сформулировать позитивные необходимые и достаточ-
ные условия, являющиеся отрицанием критерия Коши, для того чтобы
последовательность не имела предела.
12. Доказать, что, для того чтобы последовательность {%„} была
сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для любого е>0 существовало
108
такое nEeTV, что для всех п>пе, выполнялось неравенство |xn—xnJ<e.
Задача 3. Выяснить, вытекает или нет сходимость последовательности
{хп} из условия, что для любого натурального р существует предел
lim (хп -j. р хп) 0.
П—*00
4.8. БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
- Над последовательностями можно производить арифметиче-
ские операции сложения, вычитания, умножения и деления.
Определим их.
Определение 15. Пусть заданы последовательности {%„}
и {уп}: суммой, разностью и произведением этих последова-
тельностей называются соответственно последовательности
{Хп+Уп}> {хп~Уп} и {хпУп}‘ Если Уп£^ « = 2, *, то частным
от деления последовательности {хи} на последовательность {уп}
называется последовательность {х^у^. Наконец, произведением
последовательности {хи} на число с называется последователь-
ность {схл}.
Если последовательность {jn} такова, что в ней имеется
лишь конечное число элементов, равных нулю, т. е.< существует
такое n^eN, что при п^п^ neN, выполняется неравенство уп=£0,
то можно рассматривать последовательность [хп/уп}, понимая
под ней последовательность с номерами п^п0.
Определение 16. Последовательность {ос„} называется беско-
нечно малой последовательностью, если lim осп = 0.
л—*00
В п. 3.1 уже были рассмотрены бесконечно малые последова-
1 1 . Л 1 п
тельности ос =-, ос и=1, 2, ... .
" п п п 2
Отметим несколько свойств бесконечно малых последова-
тельностей.
I. Любая конечная линейная комбинация бесконечно малых
является бесконечно малой.
Доказательство. Пусть числовые последовательности
{аи} и {Р„} — бесконечно малые, т. е.
lim оси = lim р„ = 0, (4.32)
п—*00 р—*00
а X и ц — какие-либо действительные числа. Покажем, что
последовательность (Хал + цРп} также бесконечно малая. Зада-
дим произвольно Е>0 и возьмем какое-либо число с такое, что
с>|Х| + |ц|. (4.33)
Тогда, согласно определению предела, из (4.32) следует, что
существует такой номер и0, что для всех номеров n>nQ
109
выполняются неравенства
(4.34)
а следовательно, и неравенство
|Ха„ + цР„|<|Х| |а„| + |р.| |₽и!
|Х|+|р|с
8.
Это и означает, что
lim (Ха„ + ц[Зп) = О.
п—>00
т.е. что последовательность {А.а„ + цР„} — бесконечно малая.
Соответствующее утверждение для любой конечной линей-
ной комбинации бесконечно малых следует из доказанного
методом математической индукции. □
Задача 4. Определив сумму бесконечного числа занумерованных слагаемых
(обобщающую понятие суммы конечного числа слагаемых), а затем сумму
бесконечного числа последовательностей, построить пример бесконечного числа
бесконечно малых последовательностей, сумма которых не является бесконечно
малой последовательностью.
II. Произведение бесконечно малой последовательности на
ограниченную последовательность является бесконечно малой
последовательностью.
Доказательство. Пусть {ап} — бесконечно малая после-
довательность, а {%„} — ограниченная последовательность, т. е.
существует такое число &>0, что для всех номеров п = \. 2, ...
выполняется неравенство |хп| Ь.
Зададим 8>0; в силу определения бесконечно малой после-
довательности, существует такой номер ие, что для всех п>пг
выполняется неравенство |а„|<|. Поэтому для всех n>nz имеем
1“л1 = |аи1 W <7‘(’ = £-
и
что и означает, что последовательность бесконечно
малая. □
Следствие. Произведение конечного числа бесконечно малых
последовательностей является бесконечно малой последователь-
ностью.
Это сразу следует по индукции из свойства II, если заметить,
что бесконечно малая последовательность, как и всякая
последовательность, имеющая предел, ограничена (см. теорему
2 п. 4.4).
Задача 5. Определив произведение бесконечного числа занумерованных
сомножителей (обобщающее понятие произведения конечного числа сомножите-
110
лей), а затем произведение бесконечного числа последовательностей, построить
пример бесконечного числа бесконечно малых последовательностей, произведе-
ние которых не является бесконечно малой последовательностью.
Упражнение 13. Доказать, что, для того чтобы последовательность
и=1, 2, ..., была бесконечно малой, необходимо и достаточно, чтобы
последовательность —, п=\, 2, ..., была бесконечно большой.
4.9. СВОЙСТВА ПРЕДЕЛОВ, СВЯЗАННЫЕ С АРИФМЕТИЧЕСКИМИ
ОПЕРАЦИЯМИ НАД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯМИ
х Ле м м а. Для того чтобы число а являлось пределом
последовательности {хп}> необходимо и достаточно, чтобы ее
члены хп имели вид хп = а+ап, 2, ..., где {а„} — бесконечно
малая последовательность.
В самом деле, пусть заданы какая-либо последовательность
def
{хп} и число а; положим ап = хп — а. Тогда условие lim хп = а,
п—*00
согласно определению предела последовательности, равносиль-
но следующему: для любого 8>0 существует такое nQeN. что
для всех п>п$, neN, выполняется неравенство |хн — я|<8, т. е.
неравенство |ос„| <8, а это и равносильно тому, что lim а„ = 0. □
Эта лемма показывает особую роль бесконечно малых
последовательностей при изучении понятия предела, так как
общее понятие предела последовательности с помощью этой
леммы сводится к понятию нулевого предела. Это обстоятель-
ство далее широко используется при изучении ряда свойств
сходящихся последовательностей.
Докажем свойства пределов последовательностей, связанные
с некоторыми операциями над членами последовательностей.
1°. Если последовательность {хп} сходится, то сходится и
последовательность {|х„|}, причем если limxn = <2, то
п—*00
lim|x„| = |a|.
И—*00
Доказательство. Если lim хп = а, то для каждого 8>О
существует такой номер пг. что для всех номеров п > пг
выполняется неравенство |хл — а|<8, но ||хи| —|а||<|хи —а|. Следо-
вательно, для всех номеров п>пг имеет место неравенство
1|хл| —|я||<8, а это и означает, что lim |хп|==|я|. □
п—*00
2°. Конечная линейная комбинация сходящихся последователь-
ностей также является сходящейся последовательностью, и ее
111
предел равен такой же линейной комбинации пределов данных
последовательностей.
Доказательство. Пусть
lim хп = aeR, lim уп = beR. (4.35)
п—*оо п—*00
Тогда, в силу необходимости условий леммы для существова-
ния конечного предела, члены последовательностей (хп} и {уп}
можно представить в виде
х„ = д + а„, у„ = 6 + Р„, и=1, 2, ..., (4.36)
где {а„} и {р„} — бесконечно малые:
lim а„= lim Р„ = 0. (4.37)
п—*00 п—*00
Пусть теперь X и ц— какие-либо числа. Тогда члены
последовательности {Хх„ + руп} представимы в виде
Ххи + цл = (Хя + цМ + (Хал + црп), п=1, 2, ..., (4.38)
(4.36)
где последовательность (Хап + цВп}, в силу бесконечной малости
последовательностей {аи} и {|3И}, также бесконечно малая (см.
свойство 1° бесконечно малых последовательностей в п. 4.8):
lim (Хоси + цр„) = 0. (4.39)
и-*оо (4.37)
Поэтому, в силу достаточности условий леммы для существова-
ния конечного предела, из равенств (4.38) следует, что
последовательность + имеет предел, равный +
lim (Ххп + = Ха + \\b,
т. e. (см. (4.35))
lim (Xxn + py„) = X lim xn + p lim yn.
n—*oo n—*oo n *oo
Соответствующее утверждение для любой конечной линей-
ной комбинации сходящихся последовательностей следует из
доказанного, если воспользоваться методом математической
индукции. □
3°. Если последовательности {л:и} и {уп} сходятся, то их
произведение также сходится и
lim х„уп = lim хп limj„,
п—*00 п—*00 п—*00
112
т. е. предел произведения сходящихся последовательностей
существует и равен произведению пределов данных последова-
тельностей.
Доказательство. Пусть lim хп = a, lim уп = Ь; тогда
п—>со п—>00
x„ = a+a„, y„ = Z> + ₽„, л=1, 2,
Где lim а„= lim Р„ = 0; поэтому xny„ = (a+an)(fi+bn') = ab+(a„b +
п—>-00 и—>оо
, 4" РПЯ "I” ®иРп)’
В силу свойств I и II бесконечно малых последовательностей
(см. п. 4.8), lim (anb + Р„й+а„Р„) = О; поэтому
п—*00
lim х„уп = ab = lim хп lim уп. □
«—>00 л—>00 п—>00
Следствие 1. Если последовательность {%„} сходится, то
для любого числа с последовательность {cxj также схо-
дится и
lim схп = с lim хп,
п—^со и—*00
т. е. постоянную можно выносить за знак предела.
Это утверждение сразу вытекает из свойства 3°.
Следствие 2. Если {х„}— сходящаяся последовательность
и к — натуральное число, то
lim Xn = (lim xw)\
Л—>00 и—>00
Это следует по индукции из свойства 3°.
4°. Если последовательности {х„} и {уп} сходятся, ^„^0,
п — 1, 2, .... и lim уп^0, то последовательность { —} сходится и
п—*сс Уп
lim хп
lim
И СО У„ lim у„
п—>со
т. е. при сделанных предположениях предел частного сходящих-
ся последовательностей существует и равен частному от
пределов данных последовательностей.
Доказательство. Пусть lim хп = a. lim уп = b0 и для
п—>00 п—>00
определенности b > 0. Тогда
113
x„ = a+a„, y„ = b+fi„, п=1, 2,
где lim ос„ = lim 0И = О, а согласно следствию 1 из свойства III
п—>00 п—>00
пределов последовательностей в п. 4.3, существует такой номер
и0, что для всех номеров n>nG выполняется неравенство
<у„>|>0 (действительно, |<#, здесь используется предположе-
1 2
ние, что Ь>0); поэтому при п>п0 имеем — <- (у„АО, поэтому
Уп b
на него можно делить).
Далее
хп а _а + ап а
Уп b *+₽„ b
1
£(£+₽„)
(a„Z>-₽„a).
(4.40)
Здесь О
112 1
—г——- <-з-, т. е. последовательность п =
Ь{Ь+^ ЬУп Ь2 “ ь(ь+рпу
= д0 + 1, и0 + 2, ограничена (отсюда, конечно, следует, что эта
последовательность ограничена и при всех л=1, 2, ...).
Согласно свойствам бесконечно малых последовательностей,
последовательность {anb — $nb} является бесконечно малой,
поэтому и последовательность к 1—- (аи b — Ви а) > бесконечно
малая. В силу этого, из (4.40) следует, что
lim хп
1 • Х„ С1 п—>-оо
lim —=-=---------.
> оо Уп b lim Уп
П-Ч-О0
Аналогично рассматривается случай, когда Ь<0. □
Замечание. В случае последовательностей, имеющих бес-
конечные пределы, утверждения, аналогичные свойствам 2° —
4°, вообще говоря, не имеют места. Например, пусть хп = п +1,
уп = п, п=\, 2, ...; тогда
lim хп= lim у„ = оо и lim (xn— j„)= 1.
п—>оо п—>00 п—>00
Если хп = 2п, уп = п, п=\, 2, ..., то
lim хп = lim уп = оо и lim (хп —к)= + °0-
п—>00 И—>00 п—>00
Если же xn = « + siny, уп = п, п=1, 2, ..., то
lim хп = lim уп = + оо,
п—>00 п—>00
114
а последовательность хп— , п = 1, 2, ..., не имеет ни
конечного, ни бесконечного предела.
Эти примеры показывают, что при одинаковых предположе-
ниях о последовательностях {хп } и имеющих бесконечные
пределы, для последовательностей {хп—уп} MoryJ, встретиться
самые разнообразные случаи. Вместе с тем отдельные обобще-
ния свойств 2° —4° на случай последовательностей с бесконеч-
ными пределами все-таки имеют место. Например, если
limxw= + oo и lim уп= + оо (или lim уп конечен), то lim (хи +
п—>00 п—>00 п—>00 п—>00
+к)=+°о, или если а>0 и limx„= + oo, то lim ахп =
п—>00 п—>00
= а lim хп = +оо (рекомендуется доказать самостоятельно).
Замечание. Если разность {хп—уп} последовательностей
{%„} и {уп} является бесконечно малой, то они одновременно
имеют или не имеют конечные пределы, причем если эти
пределы существуют, то они равны.
В самом деле, пусть хп—уп = ап, п = 1, 2, ..., где lim ап = 0.
п—*сс
Если существует конечный предел lim хп = а. то существует и
п—>00
конечный предел
lim уп = lim (хп — аи) = lim хп — lim = а.
«—>00 «—>00 «—>00 Л—>00
Последовательности {хп} и {уп} равноправны, поэтому
утверждение доказано.
Упражнения. 14. Доказать, что если разность {хп—уп} последователь-
ностей {%„} и {уп} является бесконечно малой, то они одновременно имеют или
не имеют бесконечные пределы, причем если эти пределы существуют, то они
равны.
15. Доказать, что если lim хп= + со, а последовательность {уп} ограничена,
п—>00
ТО
lim (х„+;>„)=+со.
п—>00
Примеры. 1. Пусть а>0, хо>0 и
аег / л \
хп = (хп_}+—\ п=1, 2, ... . (4.41)
\ Хп - 1 /
115
Докажем, что lim хп = ^[а. По индукции сразу ясно, что
п—*00
хп>& для всех и = 0, 1, 2, ... . Более того, покажем, что
п—1, 2, ... . (4.42)
Для этого предварительно заметим, что из очевидного нера-
венства (/ —1)2^0 в случае />0 следует неравенство /+-^2.
Используя это неравенство при 1=-^=, в силу (4.41) получаем
а
а, п = 0, 1, 2, ...
Покажем теперь, что последовательность хп, п=1, 2,
убывает Применяя неравенство (4.42), получаем
хп+1^-(хл+^}=^(1+^}^2=х„, л = 1, 2, ... .(4.43)
Z \ хп 1 L \ X
nJ
Итак, x/tz^...^xn+1^xn^...^x1, где бы ни было расположе-
но «нулевое приближение» хо>0, т. е. последовательность {х„}
ограничена снизу и монотонно убывает, поэтому, согласно
теореме 3, она имеет предел.
Пусть lim хп = х. Переходя к пределу в равенстве (4.41) при
получаем равенство
откуда х2 = а, и так как х„>0, то и х^О, поэтому х^^Га.
Формула (4.41) может служить для приближенного вычисле-
ния значений квадратного корня из числа а. Ее действительно
применяют на практике с этой целью, в частности при
вычислениях на быстродействующих счетных машинах.
Нетрудно подсчитать и точность, с которой л-е приближе-
ние, т. е. член х„, дает значение корня ^Ja.
Из рекуррентной формулы (4.41) имеем
=2t(x"-V")2’ и=0> ь 2> - •
пб
Применяя неравенство (4.42), отсюда находим
-V«)2>
LyJа
и = 1, 2,
Полученная оценка не совсем удобна на практике, поскольку
мы не знаем значения корня у/а— мы его ищем. Однако всегда
можно найти приближенно такое с, что 0 < с < у/a, причем
можно выбрать и xQ^c, тогда из полученной оценки будем
иметь
0^хп+1-у/а^-(х„-у/а)2, п=0, 1, 2, ....
или
Отсюда по индукции находим:
Если выбрать нулевое приближение х0 так, чтобы
то из (4.44) получится, что
— yfa^lcq1 , п=1, 2, ...,
т. е. последовательность (4.41) сходится к значению корня
гораздо быстрее геометрической прогрессии со знаменателем
0<#< 1.
Для иллюстрации приближенного вычисления корня по формуле (4 41)
приведем результаты вычисления у/2 на ЭВМ в случае, когда в качестве
нулевого приближения х0 было выбрано х0 = 1:
Xi = 1,5000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000,
х2 = 1,416666666666666666666666666666666666666666666666666666666666,
х3 = 1,41421568627450980392156862745098039215686274509803921568627,
х4 = 1,41421356237468991062629557889013491011655962211574404458490,
х5 = 1,41421356237309504880168962350253024361498192577619742849828,
х6 = 1,41421356237309504880168872420969807856967187537723400156101
х7 = 1,41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667.
Здесь полужирным шрифтом выделены числа, являющиеся правильным
приближением у/2 с точностью до числа значащих цифр, входящих в
117
выделенное число (эти цифры стабилизируются в процессе вычисления). Число
правильных в этом смысле цифр удваивается (как это видно из таблицы) при
переходе к следующему приближению: в х± имеется одна правильная цифра, в
х2— уже 3, в х3 — 6, в х4—12, в х5 — 24, в х6 — 48, а х7 дает уже правильное
приближение у/2 с 60 значащими цифрами, т. е. со всеми использованными
разрядами.
Заметим, что если число а>0 таково, что корень из него
вычисляется в конечном виде в том смысле, что существует
такая конечная десятичная дробь х, что х2 = а, то эта дробь
может быть найдена (во всяком случае, принципиально) с
помощью классического метода извлечения корня «столбиком».
В случае же извлечения корня из этого числа с помощью
формулы (4.41), если х0 выбрано отличным от точного значения
корня: х0^у/а, то указанное точное значение корня не
получится ни на каком шаге. Это следует из того, что в случае
последовательность (4.41) строго убывает: хп+1<хп,
п=1, 2, ... .
Прежде чем рассматривать дальнейшие примеры, докажем
следующее полезное неравенство.
Лемма (неравенство Бернулли*^. Пусть а>0, тогда для
любого натурального п справедливо неравенство
(1+а)л>1+иа. (4.45)
Доказательство. По формуле бинома Ньютона имеем
(1 + сх)л = 1 +па+п^ ^а2 + ... + ал.
Все слагаемые в правой части равенства положительны:
отбросим все из них, кроме первого и второго, в результате
правая часть может только уменьшиться и мы получим
исходное неравенство (4.45). □
Вернемся к рассмотрению примеров.
2. Если />>1, то lim />”= + оо, а если 0<р< 1, то lim рп = 0.
п—>00 п—►оо
Пусть сначала р>1; тогда /> = 1+а, где а>0, и, согласно
неравенству Бернулли (см. (4.19)),
/>” = (1 +а")> 1 +па>па.
Так как lim сш = а lim п= +оо, а>0, то и limp"= + oo.
И—00 п—>00 И—►ОО
Если теперь 0</><1, то q = ->\ и
Р
*> Я. Бернулли (1654—1705) — швейцарский математик
118
lim pn= lim —=—?—=0,
n—оо л—*oo q" lim
И—+ОС
ибо, по доказанному, lim#”= + oo.
«—►co
3. Для любого a>0
г
lim al/n=l, (4.46)
у n->-oo
lima-1/n=l. (4.47)
«—►00
def r
Пусть сначала а>1, тогда b = ya>\. В самом деле,
согласно, определению корня, Ьп = а. Если Z>^1, то, перемножив
это неравенство п раз, мы получим, что a = b”^ I, но это
противоречит условию а > 1. Положим
def г—
хп = \/а-\. (4.48)
Согласно сказанному, х„>0. Из (4.48) следует, что а=(1+х„)п.
Применив неравенство Бернулли, получим
а = (\+х^”>пхп.
Следовательно, 0<хи<-, поэтому lim хи = 0; откуда, согласно
П «—♦со
(4.48),
lim !(/«= 1.
«—*00
def ।
Если теперь 0<п<1, то b —и так как, в силу
доказанного, lim\/b=l, то
«—►ос
Если а=1, то !(/а=1, п — 1, 2, ..., и, следовательно, также
lim ”/а=\.
и—* оо
Таким образом, (4.46) доказано при любом я>0. Отсюда
сразу следует (4.47):
119
lim «=lim^=—?—=1. □
И—>00 n—*00 n -
a lim an
4. lim —=0, a>0. (4.49)
Действительно, пусть nQeN таково, что — <-. Тогда при всех
и0 2
а 1
п>Пг) справедливо неравенство -<-, поэтому
п 2
ап апо а а а ап® /1 У"0
п\ п0! п0+1 и0 + 2 п и0!\2
п .. апо / 1\”-"о 2подпо / 1Y п
Заметив, что lim —- - ----—lim - I =0, получим
п—*со и0! у 2 у и0! \ 2 /
lim —=0.
и—*оо И!
Равенство (4.49) можно доказать и иначе. Рассмотрим
ап а , л
последовательность хп=—; тогда хп+1=хп------ и при п+1>а
п\ п +1
выполняется неравенство хп+1<хп, т. е. начиная с некоторого
номера последовательность {%„} убывает. Кроме того, при всех
neN имеет место неравенство хи>0, поэтому эта последо-
вательность ограничена снизу и, следовательно, имеет конечный
предел. Пусть х — lim хп. Переходя к пределу при и-*оо в
и—* со
равенстве хп+1 = хп —получаем х = х-0, откуда х = 0, т. е. снова
1
имеем (4.49).
5. lim nyfn\ — + оо. (4.50)
При любом а>0 имеет место равенство (4.49), поэтому для
любого а>0 существует такое naeN, что для всех п>па
выполняется неравенство
т. е. при п>па имеет место <{/п1>а, и так как а>0 произвольно,
то это и означает справедливость равенства (4.50).
6. lim f 1 +2+~+ —+~7 ) = е-
1! 2! nil
(4-51)
120
Напомним (см. п. 4.5), что число е является пределом
последовательности
1 \"
1+- , п=\, 2.
« /
т. е.
lim хп = е.
(4-52)
причем в силу строгого возрастания последовательности {%„}
имеет место неравенство
(4.53)
Положим
(4-54)
sn=i+l+l+...+l
Было показано (см. (4. 28)), что
Х„<5„, п = 1, 2, ...
С другой стороны, зафиксировав в формуле (4.27) произ-
вольное 1 и выбрав п>к. отбросим в правой части равенства
(4.27) все слагаемые начиная с (Л+2)-го. В результате получим
неравенство .
1 . 1 . 1 Л1 1 \ . 1 ( 1 Л А А:—1 \
1! 2!у nj к\\ пп) \ п J
Перейдя в этом неравенстве к пределу при я—>ос и
фиксированном к и заметив, что правая часть имеет своим
пределом sk. получим, в силу (4.52) и (4.53), неравенство
e^sk. к=\. 2, ... . (4.55)
Объединив (4.54) и (4.55), имеем
xn<sn^e, п=1, 2, ... .
Отсюда, согласно (4.52), непосредственно следует, что lim sn = e,
п—*ой
т. е. равенство (4.51).
Замечание. Для приближенного вычисления числа е
формула
е
1+-
п
не очень удобна, так как при переходе от п к и+1 приходится
нее вычисления производить заново. Приближенная формула
121
более удобна для числовых расчетов, ибо при переходе от п к
и+1 надо к уже найденному значению sn прибавить число
1
(и+1)! ’
+ („+1)Г
т. е. проделанные при нахождении значения sn вычисления
не пропадают зря. Кроме того, в этом случае легко ус-
тановить и оценку погрешности при замене числа е на
значение суммы sn. (Это будет сделано в п. 34.14*, при-
мер 4.)
Упражнение 16. Пусть яо>0, £>о^0, лп = х/«л_1 Ьп1, Ъп =,
и=1, 2, ... Доказать, что последовательности {ап} и {Ьп} стремят-
ся к одному и тому же пределу а и что 0^а—ап^Ь°2Па°\ —
4.10. ИЗОБРАЖЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
БЕСКОНЕЧНЫМИ ДЕСЯТИЧНЫМИ ДРОБЯМИ
Пусть задано какое-либо число а, для определенности а^О.
Согласно принципу Архимеда, существует целое число п0>а.
Среди чисел п = 1, 2, ... , п0 возьмем наименьшее, обла-
дающее свойством п>а, и обозначим его ос0+1, тогда
а0^о<а0+1.
Разобьем отрезок /0 = [а0, а0 + 1J на десять равных отрезков,
т. е. рассмотрим отрезки
а0, ах; а0, <4+-^
где а0, а(—десятичная дробь, причем oq обозначает поряд-
ковый номер отрезка, содержащего число а и получившегося
при разбиении отрезка /0 на десять равных отрезков при
последовательной их нумерации слева направо числами 0, 1,
2, ... , 9.
Возможны два случая: либо точка а не совпадает ни с од-
ной точкой деления (рис. 13), либо точка а совпадает с од-
ной из точек деления (рис. 14, 15). В первом случае точка
а принадлежит только одному из этих отрезков. Обозна-
чим его It, т. е.
«о, «0=^+1
122
Рис 13
Рис. 14
об©
а
Рис. 15
Во втором случае точка а может принадлежать двум сосед-
ним отрезкам (рис. 15). Тогда через Ix= а0, о^;
обозначим тот из них, для которого точка а является левым кон-
Разобъем отрезок Д, в свою
очередь, на десять равных отрезков и через 12 = а0, ос2;
цом. Во всех трех случаях aelr.
а0, 0Ci\a2+^2 обозначим тот из получившихся отрезков, который
содержит а и для которого точка а не является правым концом.
Продолжив этот процесс, получим систему вложенных отрезков
б, 1, 2, ...,
где
, 1
ал = а0, ап = ^^2... ос„+—,
а — одна из цифр 0, 1, 2, ..., 9. Каждый из отрезков 1п
содержит а, причем а не является его правым концом,
ое1п, а^ап. п = 1, 2,
длина отрезка 1п равна 10“" и, следовательно, стремится к нулю
при и—>оо.
Конечные десятичные дроби ап и ап называются десятич-
ными дробями, приближающими число а. Более точно, число ап
называется нижним десятичным приближением порядка л, а
число ап — верхним десятичным приближением того же порядка
числа а. Они обладают следующими свойствами, непосредст-
венно вытекающими из их определения:
ап < а < а п9
Hn^:Qn+ J , & п + 1^: & П’
й„ —а„=10~".
(4.56)
(4.57)
(4.58)
123
В том случае, если а<0, полагая Ь=— а, определяем
SLn & ап Ьп,
при этом свойства (4.56) — (4.58), очевидно, сохраняются, лишь
в неравенстве (4.56) знаки < и < поменяются местами.
Свойство (4.57) означает, что отрезки [а„, а„] образуют
вложенную систему отрезков. Из свойства (4.58) следует, что
длины отрезков [а„, ап] стремятся к нулю. Наконец, (4.56)
означает, что точка а принадлежит всем этим отрезкам,
поэтому, согласно замечанию 2 п. 4.5, она является пределом их
концов ап и ап.
Итак, в частности, доказана следующая лемма.
Лемма 1. Каково бы ни было число а, последовательность
{а„} возрастает, последовательность {ап} убывает и
lim ап= lim ап = а.
п—“00 п—►оо
Следствие. Всякое действительное число является преде-
лом последовательности рациональных чисел.
Следствие леммы вытекает из того, что ап и ап суть
рациональные числа.
Пусть теперь снова а 0 и ап = а0, осг ос2 ...ал. Поставим
в соответствие числу а бесконечную десятичную дробь
осо, ос2 ...ап... . Подчеркнем, что здесь а0 является неотрица-
тельным целым числом, а а„, п=\. 2, ....— одной из цифр О, 1,
2, ..., 9. Число а является единственным числом, принадлежа-
щим всем отрезкам п=Л. 2, ..., поэтому при указанном
соответствии разным числам соответствуют разные десятичные
дроби, т. е. отличающиеся хотя бы одним ock (/с = 0, 1, 2, ...).
Заметим далее, что при таком построении не может
получиться дробь с периодом, состоящим из одной цифры 9.
Действительно, пусть числу а соответствует дробь а0, ...
...а„о9...9 ..., где в случае ио/0 выполняется неравенство а„ ^9.
Тогда, согласно построению, 0
ае а0, 04... а„о 9... 9; а0, ах... а„о+^
для всех п>п0, где п — число десятичных знаков после запятой
в дроби а0, а15 ... аи 9... 9. Отсюда следует, что а является
правым концом всех отрезков In. п > nQ, что противоречит
выбору этих отрезков.
Таким образом, в силу установленного соответствия каждому
действительному числу а 0 соответствует некоторая бесконечная
десятичная дробь, не имеющая периода, состоящего из одной
цифры 9. Такие десятичные дроби называются допустимыми
124
I
, п=1, 2.
Наконец, каждая бесконечная допустимая десятичная дробь
а0, а15 а2...а„... в результате описанного соответствия оказывает-
ся поставленной в соответствие некоторому числу а, а именно
тому единственному числу, которое принадлежит всем•.отрез-
кам:
а0, а!...аи; а0, а1...ап+^
Это соответствие можно распространить и на отрицательные
'числа: если числу а>0 соответствует дробь а0, а,... а„..., то
Числу — а поставим в соответствие дробь — а0, аг
которую также будем называть допустимой
Полученные результаты можно сформулировать в виде
„следующей теоремы.
Теорема 6. Между множеством всех действительных
чисел и множеством допустимых десятичных дробей существу-
ет взаимно однозначное соответствие; причем если при этом
соответствии числу а соответствует дробь + ос0, ах а2..то
+ lim а0, аха2 ...а„ = а.
Бесконечная десятичная дробь +а0, соответству-
ющая числу а, называется его десятичной записью и исполь-
зуется для его обозначения; поэтому пишут
a=±a0> ai«2
Если бесконечная десятичная дробь имеет период, состоящий
только из нулей: a0, a1a2 ...a„0 0...0... , причем аи/0, то
говорят, что эта дробь имеет п значащих цифр цосле запятой;
при этом обычно нуль в периоде не пишется, т. е. указанное
число записывается конечной десятичной дробью а0, а2... аи
(именно такая запись и употреблялась выше).
Замечание 1. Любой бесконечной десятичной дроби
.Or a0, ax a2...an...
(не обязательно допустимой) можно также естественным обра-
зом поставить в соответствие единственное действительное
число, принадлежащее всем отрезкам:
йг Г , 1 ~|
«о, «1, ..., a„; а0, а15 ..., а„+— .
н Однако получившееся при этом соответствие уже не является
взаимно однозначным: имеются разные бесконечные
Десятичные дроби, которым соответствует одно и то же
Действительное число. Именно дробям вида
а0, axa2... ос„ 99...9... и OCq, Otj 0С2*** (a„+1)0 0...0... (a^S),
125
соответствует одно и то же число. В описанной выше
конструкции соответствия действительных чисел и бесконечных
десятичных дробей мы получили бы не только допустимые
десятичные дроби, если бы отказались от условия каждый раз
выбирать такой отрезок что число а не является его правым
концом.
Используя запись действительных чисел, с помощью бесконеч-
ных десятичных дробей можно получить правило для их сравнения
по величине и правила арифметических действий над ними. И то и
другое сводится к аналогичным операциям над соответствующи-
ми их десятичными приближениями и, быть может, предельному
переходу. Сформулируем эти результаты в виде лемм.
Лемма 2. Пусть а и b — действительные числа. Тогда а<Ь
в том и только том случае, когда существует такое
натуральное п0, что для всех п>п0 имеет место неравенство
@П<Ь-ТГ
Доказательство. Пусть а<Ь. Из lim ап = я, lim bn = Ь.
п-^-сс и—ос
согласно свойству III пределов последовательностей (см. п. 4.3),
сразу следует существование требуемого номера п0, т. е. такого,
что для всех номеров п>п0 выполняется неравенство ап<Ьп.
Обратно: если указанный номер существует, то случай
а>Ь невозможен в силу только что доказанного. Невозможен и
случай а = Ь, так как тогда бы, в силу однозначности записи
чисел с помощью допустимых десятичных дробей, для всех
л?=1, 2,... имело бы место равенство ап = Ьп. Следовательно.
а<Ь. □
Лемма 3. Пусть а и b — два действительных числа, тогда
lim (an + bn) = a + b, lim (an — bn) = a — b, lim anbn = ab. а при Ь^О
П—>(Х) и—>00 и—>00
lim
и—>оо h &
Все утверждения этой леммы непосредственно следуют из
леммы 1 и свойств пределов, связанных с арифметическими
действиями над последовательностями (см. п. 4.9).
*) Может получиться, что при некоторых п имеет место равенство Ьп = 0 и,
следовательно, выражение ап1Ьп лишено смысла. Однако, в силу условия Z>/0
и следствия 1 свойства [II пределов последовательностей, доказанного
в п. 4.3, существует такое п0, что при п^п0. В этом случае вместо после-
довательности ап1 Ьп. и=1, 2, ... , следует рассматривать последовательность
ajb*, п = п0, и0 + 1,... .
126
Замечание 2. Из леммы 3 следует, что, для того чтобы
произвести с заданной степенью точности какое-либо арифмети-
ческое действие над числами, записанными в виде допустимых
десятичных дробей, надо взять с достаточной точностью
конечные десятичные приближения и выполнить соответствую-
щие действия. При этом при сложении, вычитании и умножении
в результате получается снова конечная десятичная дробь. В
сйучае же деления частное двух конечных десятичных дробей
будет, вообще говоря, бесконечной десятичной дробью, причем,
как это известно из элементарной математики, периодической.
Однако и в этом случае можно с любой степенью точности
получить результат, выраженный конечной десятичной дробью.
Например, если (яи/£>„)„ является нижним десятичным прибли-
жением порядка п для частного ап)Ьп. то
и—>оо у b
(4.59)
и, следовательно, частное alb, b^=0, можно с любой степенью
точности выразить с помощью конечных десятичных дробей
/ ап
вида I —
Kt,
Для доказательства равенства (4.59) положим
в силу леммы 3, имеем (см. лемму в п. 4.9) lim а„ = 0. Теперь,
и—>00
используя (4.56) и (4.58), получаем
( —пА а f Qn\ —п । / —п аА
2,
Ь.
g,
Ь,
И, поскольку lim
Замечание 3. В результате указанных выше вычислений с
нижними десятичными приближениями порядка п в случае
сложения ап + Ьп, вычитания ап — Ьп и деления
Йи/£и)п мы снова получим конечные десятичные дроби с не
более чем п значащими цифрами после запятой. При умноже-
нии же апЬп получается, вообще говоря, десятичная дробь с 2п
значащими цифрами после запятой. Если (#„£„)„ является
127
нижним десятичным приближением произведения ап Ьп, то
аналогично (4.59) доказывается, что
lim (anbn)n = ab.
п—►оо ---
Таким образом, при приближенных вычислениях сумм а + Ь.
разностей а — Ь, произведений ab и частных afb. соответст-
венно по формулам
—п 4“ bn, Cln b_nf (Q.n bn И ( (2п / Ьп
в результате указанных действий над конечными десятичными
дробями ап и Ьп. имеющими не более чем п значащих цифр
после запятой, получаются снова десятичные дроби с не более
чем п значащими цифрами после запятой, при этом результат
может быть получен с любой заданной степенью точности.
Именно таким образом и выполняют обычно действия с
числами на практике.
Замечание 4. Отметим, что при построении способа
записи действительных чисел последовательностями цифр за
основу было взято число 10 (отрезки последовательно делились
на десять равных частей). Вместо числа 10 можно взять любое
натуральное число п. При использовании быстродействующих
вычислительных машин часто употребляется так называемая
двоичная система записи чисел, соответствующая случаю п = 2.
При записи числа в двоичной системе участвуют только две
цифры: 0 и 1. Например, число 14,625 в двоичной системе имеет
вид 1110,101, так как
14,625 -1-23 +1 -22 + 1-21 + 0-2° +1 -2 ”1 + 0-2'2 + 1 -2 “ 3,
а цифры в двоичной системе записи числа являются соответ-
ствующими коэффициентами его разложения по степеням чис-
ла 2.
Аналогично теореме 6 доказывается, что между всеми
действительными числами и всеми бесконечными двоичными
дробями, не имеющими периода, состоящего только из одних
единиц, существует взаимно однозначное соответствие.
Чтобы это доказать, надо последовательно делить отрезки
[и, п +1 ], и = 0, + 1, +2, ..., не на десять частей, как это мы
делали при доказательстве теоремы 6, а на два равных отрезка.
Замечание 5. При изложении теории действительных
чисел можно рассуждать и в обратном порядке: определить
действительные числа как бесконечные допустимые десятичные
дроби и, используя эту запись, ввести в них соответствующим
образом соотношение порядка и арифметические действия.
Существуют и другие способы построения действительных
чисел, которые исходят из других конкретных объектов, однако
128
все они приводят к совокупностям элементов, удовлетворяющих
свойствам I—V п. 2.1. Напомним (см. п. 3.8*), что свойства
I-—V однозначно определяют совокупность элементов, обла-
дающих этими свойствами. Однозначно в том смысле, что
любые две совокупности, для элементов которых выполнены
условия I—V, изоморфны относительно операций сложения,
умножения и свойства упорядоченности. Здесь мы встречаемся с
характерной чертой математических методов исследования, для
которых совершенно безразлична природа элементов, а важны
лишь «количественные связи» между ними, которые в данном
случае выражаются свойствами I—V.
4.11*. СЧЕТНЫЕ И НЕСЧЕТНЫЕ МНОЖЕСТВА
Возникает естественный вопрос: все ли бесконечные мно-
жества содержат одинаковое число элементов или бесконеч-
ности бывают разными? Прежде всего оказывается, что
непонятно, что вообще означает термин «одинаковое число
элементов» для бесконечных множеств. Сравнение бесконечных
множеств по количеству содержащихся в них элементов, или,
как принято говорить, по их мощности, удобно выполнять с
помощью понятия взаимно однозначного соответствия между
элементами множеств (см. п. 1.2*).
Определение 17- Два множества называются равномощными,
если между их элементами можно установить взаимно одно-
значное соответствие.
С этой точки зрения натуральные числа 1, 2, ..., п, ...
образуют множество, равномощное множеству четных чисел 2,
4, ..., 2д, ..., хотя на первый взгляд последних кажется в два
раза меньше. Требуемое взаимно однозначное соответствие
получается, если натуральному числу п поставить в соответ-
ствие число 2д, п—1, 2, ... .
Четные числа составляют часть множества натуральных
чисел, однако эти множества равномошны, следовательно, в
случае бесконечных множеств часть может быть равна в нашем
смысле целому!
Определение 18. Множество, равномощное множеству всех
натуральных чисел, называется счетным.
Таким образом, если X счетно, то между множеством X и
множеством натуральных чисел можно установить взаимно
однозначное соответствие, или, как говорят, можно занумеро-
вать элементы множества X, понимая под номером каждого
элемента хеХ соответствующее ему при указанном соответствии
натуральное число
Счетные множества являются в определенном смысле
простейшими бесконечными множествами. Именно, справед-
лива следующая лемма.
5-1807
129
Лемма 1. Любое бесконечное множество содержит счетное
подмножество.
Доказательство. Действительно, пусть X—бесконечное
множество. Возьмем какой-либо его элемент и обозначим его
х±. В силу того, что X—бесконечное множество, в нем
заведомо имеется хотя бы один элемент, отличный от элемента
х±.Выберем какой-либо из таких элементов и обозначим его х2.
Пусть в множестве X уже выбраны элементы xv ..., хп. Так
как X—бесконечное множество, то в нем заведомо есть еще и
другие элементы; выберем какой-либо из оставшихся элементов
и обозначим его через хп + 1 и т. д. В результате мы получили
элементы хпеХ, п = 1, 2, ..., которые образуют счетное подмно-
жество множества X.
Лемма 2. Любое бесконечное подмножество счетного
множества счетно.
Доказательство. Пусть X—счетное множество, его
элементы могут быть перенумерованы: Х={аг, а2, ..., ап, ...}.
Пусть Y—бесконечное подмножество множества X. Обозначим
через Ь± первый встретившийся в ряде alf а2, ..., ап, ... элемент
множества У, т. е. тот из элементов апеХ9 который принадлежит
множеству Y и имеет наименьший номер п$. Ь1=аПо. Через Ь2
обозначим тот из элементов ап9 который принадлежит множест-
ву У и имеет наименьший номер среди номеров n>nQ и т.д.
Каждый элемент множества У имеется в ряде бг15 а2, ..., ап9 ...,
поэтому через какое-то конечное число шагов он будет
обозначен через Ьт9 и так как множество У бесконечно, то
индекс т примет любое значение 1, 2, 3, ... . Таким образом,
все элементы множества У окажутся занумерованными нату-
ральными числами т=\9 2, ... . Это и означает, что множество
У является счетным множеством. □
Следующая теорема дает интересный пример счетного
множества.
Теорема 7. Множество всех рациональных чисел счетно.
Доказательство. Расположим рациональные числа в
таблицу следующим способом. В первую строчку поместим все
целые числа в порядке возрастания их абсолютной величины и
так, что за каждым натуральным числом поставлено ему
противоположное:
О, 1, —1, 2, ..., п, —п, ..., heN.
Во вторую строчку поместим все несократимые рациональные
дроби со знаменателем 2, упорядоченные по их абсолютной
величине, причем снова за каждым положительным числом
поставим ему противоположное:
1 3 _3 5 _5
2’ 2’ 2’ 25 2’ ~2“‘ ‘
ВО
Вообще, в п-ю строчку поместим все несократимые рациональ-
ные дроби со знаменателем п, упорядоченные по их абсолютной
величине, так что за каждым положительным числом следует
ему противоположное. В результате получим таблицу с
бесконечным числом строк и столбцов:
-1
з
2
2
3
2
з
2
2
3
-2... .
5
2”
4
3
п п
Очевидно, что каждое рациональное число попадает на какое-то
место в этой таблице.
Занумеруем теперь элементы получившейся таблицы соглас-
но следующей схеме (в кружочках стоят номера соответствую-
щих элементов, стрелки указывают направление нумерации):
В результате все рациональные числа оказываются зануме-
рованными, т.е. множество Q рациональных чисел счетно. □
Возникает естественный вопрос: а существуют ли бесконеч-
ные множества, не являющиеся счетными? Оказывается, что да,
существуют, и они называются, естественно, несчетными
множествами. Важный пример несчетных множеств устанав-
ливается следующей ниже теоремой.
Теорема 8 (теорема Кантора). Множество всех действи-
тельных чисел несчетно.
Доказательство. Допустим противное: пусть удалось
занумеровать все действительные числа: xlf х2, хп, ...;
запишем их с помощью допустимых десятичных дробей:
x1=a(J), ... ...
х2 = а(о\ ... а^) ...
хп = а($, ос(;)ос(5) ... а{”} ...
(4.60)
131
Здесь ос^, п=1, 2, т=1, 2, ..., обозначает одну из цифр 0, 1,
2, ..., 9, а а^, п=\, 2, ....— целое число с тем или иным знаком.
Выберем цифру ос„, п = 1. 2, .... так, чтобы и ос„^9.
Тогда дробь 0, аха2 ... ап ... является допустимой, но числа а =
= 0, а1ос2 ... ...заведомо нет среди чисел хп, п=1. 2, ..., так как
десятичная дробь 0, а19 ... ап ... хотя бы одним десятичным
знаком отличается от каждой из десятичных дробей (4.60).
Полученное противоречие и доказывает теорему. □
Следствие 1. Множество действительных чисел, образую-
щих любой интервал, несчетно.
Доказательство. Покажем, что, более того, множество
действительных чисел любого интервала равномощно мно-
жеству всех действительных чисел.
В самом деле, прежде всего любой интервал равномощен
интервалу (—1, 4-1). Взаимно однозначное соответствие между
интервалом (а, Ь) и интервалом (—1, 4-1) можно установить,
например, с помощью линейного отображения х = — . Если
a<t<b, то — 1<х<4-1. Интервал (—1, 4-1) взаимно однознач-
но с помощью отображения
отображается на всю действительную ось (проверьте это).
Таким образом оказывается, что интервал (а, о) равномощен
всей действительной оси и, следовательно, является несчетным
множеством. □
Взаимно однозначное соответствие между интервалом и всей
прямой можно наглядно осуществить геометрическим методом:
сначала спроецируем открытую полуокружность, т. е. полу-
окружность без концевых точек, с помощью параллельной
проекции на интервал (рис. 16) и тем самым установим между
их точками взаимно однозначное соответствие. Затем с по-
мощью центральной проекции из центра полуокружности
спроецируем ее на прямую (рис. 17). Эта проекция также
устанавливает взаимно однозначное соответствие, но на этот
раз между указанной полуокружностью и всей прямой.
Следствие 2. На любом интервале имеются иррациональ-
ные числа.
Доказательство. Действительно, если бы на некото-
ром интервале не оказалось иррационального числа, то это
означало бы, что все точки этого интервала являются рацио-
нальными числами, т. е. подмножеством счетного множества
рациональных чисел, и, значит, образуют конечное, или счетное,
множество (см. лемму 2), что противоречит следствию 1. □
132
Рис. 16
Рис. 17
Замечание. В п. 4.10 доказано, что действительное число
есть предел последовательности рациональных чисел (например,
своих верхних десятичных приближений). Отсюда сразу следует,
что всякий интервал содержит бесконечно много рациональных
чисел. В самом деле, пусть задан интервал (а, Ь), Выберем
какое-либо число Ь), например =------. Пусть для
определенности ^>0. Тогда если п=}, 2, ...— верхние
десятичные приближения для то из определения верхних
десятичных приближений (см. п. 4.10) следует, что среди чисел
имеется бесконечно много различных между собой и что
lim £й = £. Интервал (а, Ь) является окрестностью выбранной
п—>00
точки поэтому, согласно определению- предела последова-
тельности, почти все рациональные числа содержатся в этом
интервале. Иначе говоря, найдется такой номер и0, что для всех
номеров п>п0 будет выполняться неравенство а<^п<Ь, т. е. £и,
и = и0+1, и0 + 2, ...,— искомые рациональные числа.
Таким образом, на любом интервале числовой оси содер-
жатся как рациональные, так и иррациональные числа. Это
свойство кратко выражают, говоря, что «рациональные и
иррациональные числа образуют всюду плотные подмножества
множества действительных чисел».
Упражнение 17. Доказать, что множества точек интервала, отрезка и
полуинтервала равномощны.
Метод, которым была доказана теорема о счетности
рациональных чисел, позволяет доказать следующее пред-
ложение.
Теорема 9. Сумма конечного или счетного множества
непустых конечных или счетных множеств является конечным
или счетным множеством.
Доказательство. Обозначим через множество нату-
ральных чисел, попавших в и-ю строку при нумерации
рациональных чисел, изображенной на схеме на с. 131. Тогда
7V= U
п= 1
133
является представлением множества натуральных чисел в виде
объединения счетного множества попарно не пересекающихся
счетных множеств.
Если Хп, и = 1, 2, ...,— конечные или счетные множества, то
множества
Yi = X1, Y2=X2\XU .... Г„=Ш4 -
к= 1
попарно не пересекаются и
def 00 00
и хп= и Yn.
п=1 п=1
Каждое из множеств Хп конечно или счетно, следовательно,
и каждое множество Yn конечно или счетно. Поэтому для
каждого п=19 2, ... существует взаимно однозначное соответ-
ствие между элементами множества Yn и некоторым подмно-
жеством AnczNn. В силу же того, что множества Yn попарно не
пересекаются, это соответствие порождает взаимно однозначное
соответствие между множествами
00 00
х= U Yn и и An^N.
п=1 п=1
00
Согласно лемме 2, множество (J Ап конечно или счетно, как
и= 1
подмножество счетного множества. Следовательно, конечно или
счетно множество X. □
Из этой теоремы вытекает следующее полезное утверждение.
Теорема 10. Множество всех конечных подмножеств
счетного множества счетно.
Следствие. Множество всевозможных конечных размеще-
ний из элементов счетного множества является счетным.
До казательство. Пусть X — счетное множество и xlf х2, ...
..., хп, ...—все его элементы. Очевидно, что множество всех его
подмножеств, состоящих из одного элемента: {xj, {х2},..., {%„}, •••
..., является счетным множеством. Пусть уже доказано, что
множество всех подмножеств множества X, состоящее из т
элементов, m^l, счетно. Обозначим эти подмножества Х^,
п=1, 2, ... . Если для каждого w = l, 2, ... к множеству Х^}
поочередно добавлять по одному не принадлежащему ему
элементу множества X то получится счетное множество
множеств, которые будем обозначать /г=1, 2, ... .
Совокупность всех множеств Х^, и=1, 2, ..., k=l, 2, ...,
составляет совокупность всех подмножеств множества X,
состоящих из т+1 элементов. Этих множеств при фиксирован-
134
ном п= 1, 2, ... счетное множество (индекс к принимает значения
1, 2, ...), а следовательно, всего счетное множество счетных
множеств, объединение которых, согласно теореме 9, также
является счетным множеством.
Итак, для любого и?=1, 2, ... множество всех подмножеств
множества X, состоящих из т элементов, счетно, а тогда,
согласно той же теореме 9, счетно и множество всех конечных
подмножеств множества X. □
Докажем следствие. Чтобы получить всевозможные
конечные размещения из элементов данного множества, надо во
всех его конечных подмножествах сделать всевозможные пере-
становки элементов, которых для каждого такого подмножества
конечное множество. Если исходное множество X было счет-
ным, то, согласно теореме 10, множество всех его конечных
подмножеств счетно, а поэтому множество всех конечных
размещений из элементов множества X является счетной
суммой конечных множеств и, следовательно, будет счет-
ным. □
С помощью теоремы 10 легко устанавливается счетность
множества всех алгебраических чисел, т. е. действительных
чисел, являющихся корнями многочленов с целыми коэффи-
циентами.
Теорема И (теорема Кантора). Множество всех алгебраи-
ческих чисел счетно.
Доказательство. Каждый многочлен с целыми коэффи-
циентами задается набором своих коэффициентов, т. е. в данном
случае конечным множеством натуральных чисел, взятых в
определенном порядке, т. е. некоторым конечным размещением
натуральных чисел. Согласно следствию из теоремы 10, та-
ких многочленов всего лишь счетное множество. Но каж-
дый многочлен имеет лишь конечное множество действитель-
ных корней: их число не превышает степени многочлена.
Следовательно, множество всех таких корней не более чем
счетно (множества корней различных многочленов могут
иметь непустое пересечение, поэтому нельзя еще утверждать
счетность всего рассматриваемого множества корней). Од-
нако каждое натуральное число является алгебраическим —
оно является корнем уравнения х — п = 0. Поэтому алгебра-
ические числа действительно составляют счетное множест-
во. □
В теореме 10 не случайно рассматривались не все, а только
конечные подмножества счетного множества. Для всех подмно-
жеств справедливо другое утверждение.
Теорема 12. Множество всех подмножеств счетного
множества несчетно.
До казательство. Пусть X={xlf х2, ..., хп, ...}—счетное
множество. Поставим в соответствие каждому его подмно-
135
жеству Е функцию %£, определенную на множестве натуральных
чисел и задаваемую следующим образом:
1, если хпеЕ,
О, если хпфЕ
(4.61)
(функция называется характеристической функцией множе-
ства Е). Это соответствие является взаимно однозначным
между множеством всех подмножеств множества X и мно-
жеством всех функций, определенных на множестве натураль-
ных чисел N и принимающих только значения 0 и 1. Каждой
функции (4.61) поставим в соответствие действительное число,
двоичная запись которого имеет вид
О, 8^2, ..., 8„, ..., (4.62)
где 8И=1, если хЕ(п)=1, и ея = 0, если Х£(и) = 0. Это соответствие
является взаимно однозначным соответствием между множест-
вом всех функций (4.61) и множеством бесконечных двоичных
дробей вида (4.62). Последнее множество содержит подмно-
жество всевозможных дробей вида (4.62), не имеющих в периоде
1. Это подмножество находится во взаимно однозначном
соответствии с несчетным множеством всех действительных
чисел полуинтервала [О, L). Поэтому множество двоичных
дробей (4.62), как всякое множество, содержащее несчетное
подмножество, также является несчетным. Следовательно, не-
счетным является и множество всех подмножеств счетного
множества. □
Задача 6. Доказать, что для любого множества не существует взаимно
однозначного соответствия между всеми его элементами и всеми его
подмножествами
4.12.* ВЕРХНИЙ И НИЖНИЙ ПРЕДЕЛЫ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
В п. 4.6 было показано, что любая числовая последователь-
ность всегда имеет по крайней мере один частичный предел,
конечный или бесконечный. Наибольший и наименьший из них
(ниже будет показано, что они всегда существуют) играют
особую роль в теории последовательностей. Здесь понятия
«наибольший» и «наименьший» понимаются в смысле расши-
ренного множества действительных чисел (см. п. 3.1), т. е.. в
частности, наибольшим (наименьшим) элементом множества
XczR может оказаться +оо (соответственно — оо). Эго имеет
место тогда, когда + уэеХ ( —oogJV). В данном случае это будет
означать, что бесконечность соответствующего знака является
частичным пределом рассмагриваемой последовательности.
Не всякое множество на расширенной числовой прямой
имеет наибольший (наименьший) элемент. Однако если это
136
множество является множеством частичных пределов некоторой
последовательности, то, как это будет показано ниже, в нем
всегда существуют наибольший и наименьший элементы.
Определение 19. Наибольший частичный предел последова-
тельности {хи} называется ее верхним пределом и обозначается
Т1пГхиз а наименьший частичный предел — нижним пределом и
обозначается lim хп.
п—+ 00
Теорема 13. У любой последовательности {х„} существует
как наибольший, так и наименьший частичный предел.
Доказательство. Докажем существование наибольшего
частичного предела. Для заданной последовательности {хи}
возможны два случая: либо она ограничена сверху, либо нет.
Если она не ограничена сверху, то +оо является ее частичным
пределом и, очевидно, наибольшим, т.е. limx„=4-oo.
п—>00
Если же последовательность {хи} ограничена сверху,
то снова возможны два случая: либо множество ее конеч-
ных пределов, которое мы обозначим через Л,' не пусто,
либо оно пусто. Рассмотрим сначала первый случай. Из
ограниченности сверху данной последовательности {хи}
следует и ограниченность сверху непустого множества А
ее конечных частичных пределов. В силу этого, множество А
имеет конечную верхнюю грань. Покажем, что & = 8ирЛ
является частичным пределом, т.е. что be А. Действительно,
если бы ЬфА, то существовало бы такое £>0, что в интервале
(Ь — в, Ь + &] содержалось бы лишь конечное число членов
последовательности {хи} (в частности, ни одного) и поэтому
(почему?) в этом интервале не было бы ни одного элемента Л,
чго противоречит условию Ь = $ырА.
Таким образом, ЬеА и, следовательно, является наибольшим
элементом множества Л, поэтому Z>=limx„.
п—-*00
В оставшемся случае, т. е. когда последовательность {хД
ограничена сверху и множество ее конечных частичных пределов
А пусто, то limx„=—оо (докажите это), т.е. в этом случае
множество ее частичных пределов состоит из одного элемента
— оо, который тем самым является и наибольшим в этом
множестве, т. е. здесь
lim xn~ lim хп~ — оо.
п—>00 п—►СР
Аналогично для любой последовательности доказывается и
существование наименьшего (конечного или бесконечного)
частичного предела. □
137
Упражнение 18. Пусть хп=-—+и=1, 2, ... . Найти lim хп,
п 2 п—>00
hm,r„, inf{x„}, sup{x„}.
п—*00
Теорема 14. Для того чтобы число а было верхним
пределом последовательности {хп}> необходимо и достаточно
выполнение для любого числа 8>0 совокупности следующих двух
условий.
1. Существует номер пг такой, что для всех номеров п>щ
справедливо неравенство хп<а + ъ.
2. Для любого номера nQ существует номер п' (зависящий от
8 и от п0) такой, что п'>п0 и хп>>а — г.
Условие 1 означает, что при любом фиксированном 8>0 в
последовательности {хи} существует лишь конечное число
членов хп таких, что хп>а + ъ (их номера не больше ие).
Условие же 2 означает, что при любом фиксированном 8>0
в последовательности {х„} существует бесконечно много членов
хп таких, что хп>а — 8.
Доказательство необходимости. Пусть а — lim хп и
и—*00
8>0 фиксировано. Если бы на полуинтервале [а+ 8, +оо)
оказалось бесконечно много членов последовательности {%„}, то
нашлась бы подпоследовательность {х„}, элементы которой
принадлежат этому полуинтервалу и которая имеет конечный
или бесконечный предел. Обозначим его через Ь. Очевидно,
Ь^а + г>а, что противоречил тому, что а — наибольший
частичный предел последовательности. Условие 1 доказано.
Далее, верхний предел является и частичным пределом,
следовательно, существует подпоследовательность {х } такая,
что lim хп =а. Почти все члены последовательности }
к—>00
больше а —г и, следовательно, существует бесконечно много
членов данной последовательности {х„}, больших, чем а — 8.
Условие 2 также доказано.
Доказательство достаточности. Пусть число а
удовлетворяет условиям 1 и 2. Покажем, что тогда а является
частичным пределом. Возьмем /с=1, 2, ... . Для каждого
К
1 - 1
натурального к существует номер nk такой, что хп >а — -
к к
(согласно условию 2) и х„ <а+| (согласно условию 1). Так как
к к
для любого к множество элементов хп данной последователь-
1 , 1
ности, для которых выполняются неравенства а—-<хп<а+-
бесконечно, то номера пк можно последовательно (к=1, 2, ...)
138
выбрать так, чтобы пк1<пк2 при кг<к2. В результате мы
получим подпоследовательность {х } данной последователь-
ности {%„}. Из неравенства |й—хп |<- следует, что lim х =а, т. е.
к к—>оо
что а является частичным пределом последовательности {%„}.
Покажем теперь, что число а является наибольшим частич-
ным пределом. Действительно, если бы нашелся частичный
предел b последовательности {хи} такой, что Ь>щ то, выбрав
£>0 так, что а + г<Ь, получим, что на промежутке (я+в, +оо)
будет находиться бесконечно много членов последовательности
{%„} (а именно почти все члены подпоследовательности,
сходящейся к Ь). Это противоречит условию 1. □
Упражнения. 19. Доказать, что, для того чтобы последовательность
имела предел (конечный или бесконечный, равный одному из символов + оо или
— оо), необходимо и достаточно, чтобы lim х„ = lim х„.
п—*оо п—*00
20. Доказать, что lim lim х„+ lim
п—*00 И—*00 И—*00
21. Доказать, что
lim хп = inf {supxm} = lim {sup xm},
и—*oo n m~^n n—*oo m^n
lim xn = sup{ inf xm} = lim {inf xm}.
n—*00 n n—*oo m^n
§ 5. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ
5.1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
При изучении процессов реального мира (физических, хими-
ческих, биологических, экономических и всевозможных других)
мы постоянно встречаемся с характеризующими их величинами,
меняющимися в течение рассматриваемых процессов. При этом
часто бывает, что изменению одной величины сопутствует и
изменение другой или даже, более того, изменение одной
величины является причиной изменения другой. Взаимосвязные
изменения числовых характеристик рассматриваемых величин
приводят к их функциональной зависимости в соответствующих
математических моделях. Поэтому понятие функции является
одним из самых важных понятий в математике и ее при-
ложениях.
В данном курсе математического анализа будут сначала
изучаться только действительные функции одного действитель-
ного аргумента, т. е. функции f: X^>R, где X^R и Х^0.
Независимые и зависимые переменные называются в этом
случае действительными (вещественными) переменными. Затем
появятся функции многих переменных, т. е. функции, определен-
ные на некотором множестве элементов, каждый из которых
139
представляет собой упорядоченную совокупность чисел. Будут
также изучаться функции, принимающие комплексные значения,
функции, аргументами которых являются комплексные числа, и
другие функции более общей природы.
Над функциями, принимающими числовые значения (такие
функции называются числовыми функциями), можно произво-
дить различные арифметические операции. Если даны две
числовые функции f и g, определенные на одном и том же
множестве X. а с — некоторое число (или, как часто говорят,
постоянное), то функция cf определяется как функция, прини-
мающая в каждой точке хеХ значение с/(х); функция /+g— как
функция, принимающая в каждой точке хеХ значение f(x)+g(x\,
fg — как функция, в каждой точке принимающая значение
/(x)g(x); наконец,/^ — как функция, в каждой точке хеХ равная
/(x)/g(x) (что, конечно, имеет смысл лишь при g(x)^O).
Числовая функция/, определенная на множестве X. называется
ограниченной сверху (снизу), если множество ее значений ограни-
чено сверху (снизу). Иначе говоря, функция / ограничена сверху
(снизу), если существует такая постоянная М. что для каждого хеХ
выполняется неравенство f(x)^M (соответственно f(xy^M).
Функция /, ограниченная на множестве X как сверху, так и
снизу, называется просто ограниченной на этом множестве.
Очевидно, что функция f ограничена на множестве X в том и
только том случае, если существует такое число М>0, что
|/(х)| для каждого хеХ.
Верхняя (нижняя) грань множества значений Yf числовой
функции у=/(х), определенной на множестве X, называется
верхней (нижней) гранью функции / и обозначается
sup/, sup/ sup/(x) (inf/ inf/ inf/(x)).
X хеХ X xeX
Более подробно это означает, что, например, X = sup/, если,
во-первых, для каждого хеХ выполняется неравенствои,
во-вторых, для любого Х'<Х существует такое х^еХ что
' Индекс X у элемента множества X показывает, что он
зависит от выбора числа X'.
В приведенном определении верхняя (нижняя) грань функции
может быть как конечной, так и бесконечной.
Согласно результатам п. 3.4, функция f ограничена сверху
(снизу) на множестве X тогда и только тогда, когда она имеет
на этом множестве конечную верхнюю (нижнюю) грань.
Упражнения. 1. Доказать, что если функция f нс ограничена сверху
(снизу) на отрезке [а, />], то существует такая последовательность точек
6], п=\, 2, что lim/(*„)=+ оо (соответственно Нт/'(хл)= — оо).
Л—СО Л— f
2. Доказать, что если функция не ограничена на отрезке, то существует
точка этого отрезка, в каждой окрестности которой функция не ограничена.
Справедливо ли это утверждение для интервала?
140
3. Построить пример функции, определенной на отрезке и неограниченной
на нем.
Будем говорить, что числовая функция /, определенная на
множестве X, принимает в точке хоеХ наибольшее значение
(наименьшее), если /(х)^/(х0) (соответственно Дх)^/(х0)) для
каждой точки хеХ. В этом случае будем писать Дх0) = max f или
х
Дх0) = тах/ (соответственно Дх0) = шт/ или /(x0) = min/).
Наибольшее (наименьшее) значение функции называется
также ее максимальным (минимальным) значением. Макси-
мальные и минимальные значения называются экстремальными.
Очевидно, что если функция f принимает в точке х0
наибольшее (наименьшее) значение, то /(x0) = sup/ (соответ-
ственно Дх0)==т(/).
Отметим еще, что если заданы множества X, Y и соответ-
ствие /, ставящее в соответствие каждому элементу множества
X единственный элемент множества У, то этим функция /,
определенная на множестве X и с множеством значений,
содержащимся в множестве У, полностью определена. В
частности, безразлично, какой буквой обозначить аргумент и
какой — значение функции. Так, при заданном указанном
соответствии / записи _у=Дх), хеХ, yeY и v=f(u), иеХ, veY,
обозначают одно и то же. Например, j = logox, х>0, и x = logflj\
у>0 обозначают одну и ту же функцию.
Сделаем в заключение еще одно замечание. В случае
окрестности точки наряду с выражением «функция определена
на окрестности» используется термин «функция определена в
окрестности». В подобных выражениях предлоги «в» и «на»
имеют одинаковый смысл.
5.2. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИЙ
В этой главе изучаются только действительные функции
одной действительной переменной, т. е. такие функции /, что
f'.X-*R, X^R, Х^0. Поэтому остановимся здесь только на
способах задания таких функций
Прежде всего функции могут задаваться с помощью формул:
аналитический способ. Для этого используется некото-
рый запас изученных и специально обозначенных функций,
алгебраические действия и предельный переход. Например,
y~ax + b, у = ах2, j^sinx, y = ^/l — х2, у= 1 4-^/lgcos2лх.
При этом всегда под функцией, заданной некоторой фор-
мулой, понимается функция, определенная на множестве всех
тех действительных чисел, для которых, во-первых, указанная
формула имеет смысл и, во-вторых, в процессе проведения всех
необходимых вычислений по этой формуле получаются только
действительные числа, причем окончательный результат вы-
141
числений для данного числа х из области определения
рассматриваемой функции является ее значением в точке х. Так,
областью существования функции является интер-
V 1 х
вал (—1, 1), хотя эта функция принимает действительные
значения и на полупрямой х < 1.
Отметим, что при таком определении действительные
функции f(x] = x и /(х) = (Л/^)2 имеют разные области определе-
ния: первая определена на множестве всех действительных
чисел, а вторая — только на множестве всех неотрицательных.
Иногда функция задается с помощью нескольких формул,
например
| 2х
/(*) = < О
1х— 1
для х>0,
для х=0,
для х<0.
(5-1)
Функция может быть задана также просто с помощью
описания соответствия. Поставим в соответствие каждому
числу х>0 число 1, числу 0—число 0, а каждому х<0— чис-
ло— 1. В результате получим функцию, определенную на всей
числовой оси и принимающую три значения: 1, 0 и —1. Эта
функция имеет специальное обозначение sign х и может быть
записана с помощью нескольких формул:
{1 для х>0,
О для х = 0, (5.2)
— 1 для х<0.
Другой пример: каждому рациональному числу поставим в
соответствие число 1, а каждому иррациональному — число
нуль. Полученная функция называется функцией Дирихле **\
Отметим, что всякая формула является символической
записью некоторого описанного ранее соответствия, так что, в
конце концов, нет принципиального различия между заданием
функции с помощью формулы или с помощью описания
соответствия; это различие чисто внешнее.
Следует также иметь в виду, что всякая вновь определенная
функция, если для нее ввести специальное обозначение, может
служить для определения других функций с помощью формул,
включающих этот новый символ.
Если речь идет о действительных функциях одного действи-
тельного аргумента, то для наглядного представления о
характере функциональной зависимости часто строятся графики
*’ Signum (лат.) означает «знак».
Л Дирихле (1805—1859) — немецкий математик.
142
функций на координатной
плоскости (координатной на- hJ/
зывается плоскость, на кото-
рой задана прямоугольная де- . . . . 7 ....
картова система координат).
Из общего определения Д Д Д ф 0 J J
графика функции (см. п. 1.2*)
следует, что график функции
(х и у — числа, хеХ)
представляет собой множество
точек (х, /(х))> хеХ, на коорди- Рис. 20
натнои плоскости переменных
х и у.
Так, график функции (5.1) имеет вид, изображенный на рис.
18, график функции signx (см. формулы (5.2))—на рис. 19, а
график функции у = 1+ ^/ig cos 2лх состоит из отдельных точек
(рис. 20).
Множество точек {(х, у): хеХ, у^/М} называется надграфи-
ком данной функции /, а множество {(х, Д: хеХ, у /(х)} — ее
подграфиком.
Графическое изображение функции также может служить для
задания функциональной зависимости. Правда, это задание
будет приближенно, потому что измерение отрезков практиче-
ски можно производить лишь с определенной степенью
точности. Примерами графического задания функций, встречаю-
щимися на практике, могут служить, например, показания
осциллографа.
Функцию можно задать еще спомощью таблиц, т. е. для
некоторых значений переменной х указать соответствующие
значения переменной у. Данные таблиц могут быть получены как
непосредственно из опыта, так и с помощью тех или иных ма-
тематических расчетов. Примерами такого задания функций яв-
ляются логарифмические таблицы тригонометрических функций.
143
Наконец, при проведении числовых расчетов на компьюте-
рах функции задаются с помощью программ для их вычисления
при нужных значениях аргумента или требуемые значения
функции в готовом виде закладываются тем или иным
способом в память компьютера.
Рассмотрим более подробно некоторые специальные анали-
тические способы задания функции.
Неявные функции. Пусть дано уравнение вида
F(x, у)—О, (5.3)
т. е. задана функция F(x, у) двух действительных переменных х
и т, и рассматриваются только такие пары х, у (если они
существуют), для которых выполняется условие (5.3).
Пусть существует такое множество X. что для каждого х^еХ
существует по крайней мере одно число у. удовлетворяющее
уравнению _у) = 0. Обозначим одно из таких чисел через у0
и поставим его в соответствие числу хоеХ. В результате
получим функцию /, определенную на множестве X и такую, что
F(x0, /(xq)) = 0 для всех хобХ В этом случае говорят, что
функция j задается неявно уравнением (5.3). Одно и то же
уравнение (5.3) задает, вообще говоря, не одну, а некоторое
множество функций.
Функции, неявно задаваемые уравнениями вида (5.3), назы-
ваются неявными функциями в отличие от функций, задаваемых
формулой, разрешенной относительно переменной у9 т. е.
формулой вида y=f{x\
Термин «неявная функция» отражает не характер функцио-
нальной зависимости, а лишь способ ее задания. Одна и та же
функция может быть задана как явно, так и неявно. Например,
функции (х) = Л/1 — х2 и /2{х}= — -^/1— х2 могут быть заданы
также и неявным образом с помощью уравнения x24-j2 — 1 = 0 в
том смысле, что они входят в совокупность функций, задавае-
мых этим уравнением.
Сложные функции. Напомним, что если заданы функции
y=f(x) и z = F(y), причем область задания функции F содержит
область значений функции ф то каждому х из области
определения функции f естественным образом соответствует z
такое, что z^F(y\ тле Эта функция, определяемая
соответствием z = [/(%)], называется, как известно, сложной
функцией или композицией (суперпозицией) функции / и F и
обозначается через Frf, т. е.
def
(fo/)W = W)).
Сложная функция отражает не характер функциональной
зависимости, а лишь способ ее задания: может случиться, что
одна и та же функция может быть задана как с помощью
144
композиций каких-либо функций, так и без их помощи.
Например, сложная функция z = 2-v, j =log2 (1 + sin2x), заданная с
помощью суперпозиций показательной и логарифмической
функций, может быть задана и без этой композиции:
1+sin2 х.
Подобным образом можно рассматривать сложные функ-
являющиеся композицией более чем двух функций,
можно рассматривать как
ции,
например функцию и—sin 1g И +—
композицию следующих функций:
w = sinr, и— 1+z, z = -, y — yjxt
5.3. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ
Функции: постоянная у —с, с — константа, степенная у = ха,
показательная у = ах (а > 0), логарифмическая у — logrt х (а > 0,
а ф 1), тригонометрические у = sin х, у = cos х, у = tg х, у = ctg х и об-
ратные тригонометрические у = arcsin х, у = arccos х, у = arctg х,
7=arcctgx— называются основными элементарными функциями.
Всякая функция, которая может быть явным образом
задана с помощью формулы, содержащей лишь конечное число
арифметических операций и композиций основных элементарных
функций, называется просто элементарной функцией.
Под областью существования элементарной функции в
соответствии с общим соглашением о функциях, заданных
формулами (см. п. 5.2), обычно понимают множество всех
действительных чисел х, для которых, во-первых, формула,
задающая рассматриваемую элементарную функцию, имеет
смысл и, во-вторых, в процессе проведения всех необходимых
вычислений по этой формуле получаются только действитель-
ные числа.
Выше рассмотренные функции, задаваемые формулами
У~ах+Ь, у = ах2, y — ^/l —х2, у = 1 + -^/igcos2кх, y = sinln^l +
+~ ], у = ~ (заметим, что Ixf^/x2 — элементарная функ-
V х / у/ 1 “ х~
иия), являются элементарными функциями.
Элементарные функции обычно делят на следующие классы.
1. Многочлены (полиномы). К многочленам относят-
ся функции, которые могут быть заданы формулами вида
у = Рп(х) = а() + а1х+... + апхп = £ akxk.
к = О
145
Если «„7^0, то число п называется степенью данного
многочлена. Многочлены первой степени называются также
линейными функциями. Нулевому многочлену не приписывается
никакая степень, ибо, какую бы степень ему ни приписать, все
равно не будет справедливо правило: «степень произведения
многочленов равна сумме их степеней», если хотя бы один из
сомножителей окажется нулевым многочленом.
2. Рациональные функции (рациональные дро-
би). К этому классу относятся функции, которые могут быть
заданы в виде
у сП’
где Р(х) и (х) —многочлены, причем Q(x) ненулевой много-
член.
Заметим, что класс многочленов содержится в классе
рациональных функций.
3. Иррациональные функции. Иррациональной назы-
вается функция, не являющаяся рациональной, которая может
быть задана с помощью композиций конечного числа рацио-
нальных функций, степенных функций с рациональными показа-
телями и четырех арифметических действий. Например, функция
j?=5x/(-x-1)/(-x2+4A)
является иррациональной функцией.
4. Трансцендентные функции. Элементарные функ-
ции, не являющиеся ни рациональными, ни иррациональными,
называются трансцендентными, элементарными функциями.
Можно показать, что все прямые и обратные тригонометричес-
кие функции, а также показательная и логарифмическая
функции являются трансцендентными функциями.
В данном курсе анализа изучаются в основном действитель-
ные функции от одного или нескольких действительных
аргументов, поэтому вместо «действительная функция» будем
говорить и писать просто «функция». В тех случаях, когда будут
рассматриваться функции другой природы, это будет специаль-
но оговариваться или ясно из контекста.
5.4. ПЕРВОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ
Перейдем теперь к изучению одного из самых основных
понятий математического анализа — понятию предела функции.
Под «точками» будем понимать либо конечные точки, либо
бесконечно удаленные, т. е. либо действительные числа, либо
одну из бесконечностей оо, + оо или — оо. Дадим сначала
определение предела функции / : X-+R, XaR в терминах
146
пределов последовательностей. Это определение часто называ-
ют определением предела функции по Гейне**.
Определение 1. Точка а называется пределом функции
/: X^R в точке xQ (или, что то же, при х-^х0**}), если для
любой последовательности хпеХ, п=\. 2, ..., имеющей своим
пределом точку х0, т. е. такой, что
lim хи = х0, (5.4)
«—►со
последовательность {/(хи)} имеет своим пределом точку а, т. е.
lim/(x„) = a. (5.5)
и—оо
В том случае, когда а является пределом функции f в точке
х0, пишут
lim /(х) = <7 или /(х)->я при х-»х0,
х^хо
а если х0 — число: xoe/f, то иногда пишут также
lim f(x) = a.
х — xQ—►О
Подчеркнем, что в определении 1 х0 и а могут быть как
действительными числами, так и бесконечностями: оо, +оо и
—Н Если lim f(x) = a и а — действительное число, то говорят,
х^хо
что в точке х0 функция / имеет конечный предел (рав-
ный а).
Определение предела при заданной функции / : X-+R
содержательно, конечно, только тогда, когда для точки х0
действительно существуют последовательности точек хпеХ,
п=1, 2, ... , имеющие своим пределом (конечным или
бесконечным) точку х0: lim х„ = х0.
«—►оо
Определение 2. Пусть XclR. Точка х0, для которой
существует последовательность хпеХ. п=1, 2, ... , имеющая
своим пределом точку х0,
lim хи = х0 (5.6)
«—►со
называется точкой прикосновения множества X.
Если точка прикосновения х0 множества X является одной
из бесконечностей оо, +оо или — оо, то она называется тЖже и
Г. Гейне (1821—1881) — немецкий математик
Запись «при х—>х0» читается: «при х, стремящемся к х0».
147
бесконечно удаленной точкой прикосновения. Очевидно, что
если х0 = оо — бесконечно удаленная точка прикосновения мно-
жества X, то оно не ограничено, если х0 = + оо (х0 = ~ °о)
является бесконечно удаленной точкой прикосновения множест-
ва X, то оно не ограничено сверху (снизу).
Очевидно, что любая точка х0, принадлежащая самому
множеству X является его точкой прикосновения, так как
стационарная последовательность хп=хоеХ, /7=1, 2, ... , удов-
летворяет условиям определения 2: lim хп = х0 и хпеХ, п—1,
п—*со
2, ... Но, безусловно, у множеств могут существовать и
конечные точки прикосновения, не принадлежащие этим мно-
жествам. Так, например, точки х = а и х — Ь являются точками
прикосновения интервала и не содержатся в нем.
Упражнение 4. Доказать, что если точка х0 является точкой прикоснове-
ния множества X и Ха Yс R, то точка х0 является и точкой прикосновения
множества У.
Замечание 1. Нетрудно убедиться, что некоторая точка
является точкой прикосновения данного множества тогда и
только тогда, когда любая ее окрестность пересекается с этим
множеством.
Действительно, если х0 — точка прикосновения множества X,
то существует такая последовательность хпеХ, п=\, 2, ... , что
lim xtl = x0 и. следовательно, в любую окрестность точки х0
и—►эо
попадут все члены этой последовательности начиная с некото-
рого номера (а они являются точками множества X).
Наоборот, если в любой окрестности точки х0 имеются
точки множества X, то, выбрав для каждого натурального п
какую-либо точку в непустом по условию пересечении XQ
Р)С/(х0, - ) и обозначив ее через хп, т. е.
х„еХ(^и(х0, л=1, 2, ... ,
\ п /
получим такую последовательность {*„}, что хп-^х0 (см.
замечание 1 в п. 4.2) и хпеХп, /7=1,2,.... Это и означает, что х0
является точкой прикосновения множества X. □
Для любого непустого множества Xcz/f его верхняя грань
P = supX и нижняя грань oc = infX являются его точками
прикосновения (Они могут быть конечными или бесконечными).
Это сразу следует, в силу леммы 1, из определения 4' верхней
грани и определения 5' нижней грани множества, так как в этих
определениях требуется, чтобы в любой окрестности соответст-
148
вуюгцей грани множества находилась его точка (и даже с одной
стороны от рассматриваемой грани).
Из определения 1 предела функции непосредственно следует,
что в точке прикосновения своего множества определения
функция не может иметь двух различных пределов, т. е.
указанное определение однозначно.
Далее, из определения предела функции следует, что
значения, которые принимает функция в точках, лежащих вне
любой фиксированной окрестности точки х0, не влияют ни на
существование, ни на значение предела функции в точке х0.
Образно говоря, существует или нет предел функции в данной
точке х0, а если существует, то каково его значение, полностью
определяются значениями функции на пересечении U (х0 )QX
любой окрестности (7(х0) точки х0 (являющейся точкой
прикосновения множества X) с самим этим множеством.
Действительно, какова бы ни была окрестность U (х0) и какова
бы ни была последовательность хпеХ, п=1, 2, ... , lim х„ = х0,
и—*00
найдется такой номер и0, что при п>п0, neN, будет иметь место
включение xneU(x0)QX а конечное число членов /(л^),/(х2),...
) последовательности {/(хи)} не влияет ни на существо-
вание fee предела, ни на его значение, если он существует.
Свойства функции, которые зависят лишь от значений
функции в любых окрестностях рассматриваемой точки, точнее
говоря, которые не меняются при переходе к сужению функции
на пересечение ее множества определения с любой окрестностью
точки, называются локальными свойствами функции в данной
точке. Из сказанного следует, что как существование предела в
точке, так и его значение, если он существует, являются
локальными свойствами функции в этой точке.
Примеры. 1. Пусть
(5.7)
Множество X, на котором определена функция (5.7) получается
из множества всех действительных чисел R удалением из него
единицы: X=R\{1}. Выясним, существует или нет предел
функции f (5.7) в точке хо = 0.
Возьмем какую-либо последовательность хпеХ, п = 2, ... ,
такую, что lim хи = 0. Тогда на основании теорем п. 4.9
И—"00
получаем
lim/(xj = lim^pl
И—*00 Хп~ 1
2 (lim х„ )2 + lim х„ — 1
п—*00 п—"00 __ J
lim хп — 1
149
Рис. 21
Таким образом, существует
lim/(x„)=l, а так как он не
И—*00
зависит от выбора последова-
тельности хп -*0, хпеХ, п = 1,
2, , то существует и предел
lim/(x)=l.
2. Рассмотрим (рис. 21) функцию
/(x) = sinl.
(5.8)
Она определена на множестве Х=Л\ {0}. Снова выясним,
существует или нет у функции / предел в точке хо = 0. Возьмем
две последовательности
1 , 1 т ~
х=— и хп —----------, п=1, 2,... .
п лп 5+2ли
Очевидно, что lim хп = lim х'п = 0, хи^0, х'п^0 (условие х#0 в
п—-*О0 п—*00
данном случае означает, что хеХ), f[x„) = sinnn = O, f(x’n) =
= sin( -+2лп )= 1, и=1, 2, ... . Поэтому lim/(x„) = 0 и
lim /(х^)=1, а это означает, что предела функции (5.8) при х->0
и—*00
не существует.
3. Пусть
Найдем предел этой функции при х->оо. Ее областью опреде-
ления является множество X=R\{y/2, — ^/2}. Взяв какую-либо
последовательность хпеХ, 2, ... , limxn = oo, будем иметь
и—*00
2 . 14---1—у 1 4- lim -4- lim Д
lim f(x„)= lim x"+x"+1 = нт —=i.
n—*00 n—*00 Xn~ 2 n—*00 ,2 1
1--7 1 —2 lim —z
„^oo xi
4~ x 4~ 1
Отсюда следует, что lim—5----------=*•
150
Упражнение 5. Доказать, что предел lim —— не существует, а
X—СО у/Х2+ 1
пределы lim — и lim ................—- существуют, и найти их.
х—+ со /х2+\ X—- оо ^/x2+ 1
При рассмотрении пределов функции часто приходится
иметь дело с пределами сужений функций на том или ином
множестве, т. е. с пределами функций: получающихся из данных
функций, рассмотрением их не на всем множестве, на котором
они заданы, а на каком-то содержащемся в нем.
Определение 3. Пусть / : X^>R. Предел в точке х0 сужения
fE : E-^R. EczX. функции / на множество Е называется пределом
функции f по множеству Е в этой точке и обозначается через
lim f(x\
Таким образом,
def
lim/(x)= lim/E(x), (5.9)
х^х°
т. е. предел функции по множеству ЕсХ не является новым
понятием по сравнению с пределом функции — это просто
предел в смысле определения 1 функции, являющейся сужением
данной на некоторое множество Е.
Понятие предела функции по множеству в точке х0
содержательно только для такого множества Е. для которого
точка х0 является его точкой прикосновения (в этом случае
она является, очевидно, и точкой прикосновения множест-
ва X).
Употребляя терминологию определения 3, можно сказать,
что предел функции в смысле определения 1 является ее
пределом в точке х0 по всему множеству определения X
функции /:
lim /(х) = lim f(x).
В том случае, если функция / задана некоторой формулой,
под lim /(х) понимается предел этой функции в точке х0 по
х~" хо
всему множеству значений X, для которых указанная формула
имеет смысл и для которых в процессе проведения всех
вычислений по этой формуле получаются только действитель-
ные числа (см. п. 5.2).
151
Пример 4. Пусть-/^функция Дирихле (см. п. 5.2), т. е.
функция, равная 1 на* множестве Q всех рациональных чисел и
нулю на множестве I всех иррациональных чисел. Тогда в точке
хо = 0 ее предел по множеству рациональных чисел равен 1:
х—>0
XEQ
а по множеству иррациональных чисел — нулю:
lim/(x) = 0-
. х—>0
хе/
По всему же множеству действительных чисел (т. е. по
множеству определения функции Дирихле) предел ее в точке
хо = 0 не существует, так как уже существование или нет предела
последовательности {/‘(х„)} при и->ос зависит в данном случае от
выбора последовательности {х„}, стремящейся к нулю.
Отметим следующее простое утверждение.
Лемма 1. Если f : X—►/?, jEcX х0— точка прикосновения
множества Е и существует предел lim /(х) функции f в точке
х—х0
х0 (т.е. предел по множеству X), то в этой точке существует и
предел функции / по множеству Е и значения обоих пределов
равны.
lim f(x)= lim /(х). (5.10)
х->х0 х-><х0
ХЕЕ
Доказательство. Если для любой последовательности
хпеХ, п—1, 2, ..., lim х„ = х0 все последовательности {/(хи)}
п—>00
имерт один и тот же предел а. то это заведомо верно и для
любой последовательности хпеЕ, /7=1, 2, ... , lim х„ = х0, ибо
Е^Х. □
Отметим один часто встречающийся случай предела функ-
ции в точке, когда предел берется по проколотой окрестности
(она определена ниже) этой точки или по пересечению
проколотой окрестности с множеством определения рассматри-
ваемой функции.
Определение 4. Проколотой г-окрестностыо точки х0 называ-
ется множество, получающееся удалением точки х0 из ее
• ^-окрестности.
Проколотая 8-окрестность точки х0 обозначается через
е): °
t/(x0, е)=<7(л0, е)\{х0}. (5.11)
.152
Всякая проколотая е-окрест- Н
порть точки х0 называется и просто
проколотой окрестностью, причем _________________________
обозначается также и через U (х0).
Пример 5. Рассмотрим функцию
Дх) = | sign х ((определение функции _________п__________г
signx см. в п. 5.2). Ее график . о х
изображен на рис. 22. Какова бы ни
была окрестность нуля U (0), у этой Рис- 22
функции в точке х0 = 0, о очевидно, существует предел по
проколотой окрестности С (0):
lim | sign х | = 1.
х—-О
xeV (0)
Вместе с тем предел lim (sign х | по всей окрестности (7(0) в
точке хо = 0 у функции | sing х ( не существует, так как, например,
для последовательности
{-, если п — 2к,
П к— 1 2
0, если п~2к—\, ’ ’
имеем limxn = 0 (и, следовательно, все ее члены начиная с
п—>ОО
некоторого будут лежать в заданной окрестности U (0)), а
последовательность | sign х„ | не имеет предела (на четных местах
у нее стоят единицы, а на нечетных — нули).
Рассмотренные примеры 4 и 5 показывают, в частности, что
одна и та же функция может по одному множеству иметь
предел в некоторой точке, а по другому не иметь предела в той
же точке или иметь, но другой.
Замечание 2. Если функции f и g определены в некоторой
окрестности (7(х0) точки х0, кроме, быть может, самой точки
х0, и при каждом х, принадлежащем проколотой окрестности
U (х0): хе(7(х0), они принимают равные значения
/(x)=g(x),
то тогда их пределы по проколотой окрестности U (х0)
одновременно существуют или нет, а если существуют, то
равны между собой:
lim /(х)= lim g(x),
хеU (х0) хей (х)
153
ибо в их определении участвуют отолько значения функций в
точках проколотой окрестности U (х0).
На этом простом замечании основано правило раскрытия
неопределенностей вида - с помощью сокращения дробей.
Поясним его на примере.
Пример 6. Найдем
г (2х2 + х—1)х {С
lim--------(5.12)
х—О хг-х
Повторяя рассуждения, аналогичные тем, с помощью которых
был вычислен предел в примере 1, приходим к выражению
т. е. к неопределенности, и тем самым не получаем ответа ни на
вопрос о существовании предела (5.12), ни на вопрос о его
значении, если он существует. Поэтому рассмотрим функцию
\ 2х2 + х — 1
получающуюся из функции
стоящей под знаком предела в выражении (5.12), сокращением
правой части равенства на х. Функции / и g совпадают в
проколотой окрестности U (0,1) = (— 1,1) \ {0} точки х0 = 0 и
поэтому, согласно сделанному выше замечанию, одновременно
имеют или нет пределы в этой точке по указанной проколотой
окрестности, причем в случае существования этих пределов они
равны. В примере же 1 было показано, что Iim/(x)=l по всей
области определения функции /, следовательно, и по ее
подмножеству U (0,1). Таким образом,
limg(x)= lim g(x) = lim /(x) = lim/(x)= 1
x—>0 x—*0 x—>0 x—>0
xe(7(0,l) (0,1)
(первое равенство справедливо в силу того, что предел является
локальным свойством функции). Эти рассуждения являются
обоснованием вычислений, которые в обычно употребляемой
записи имеют следующий вид:
v (2х2 + х—1)х v 2х2 + х— 1 .
lim ---=----— = lim--------= 1.
х—»0 % — х х—* О X— 1
154
Замечание 3. Частным случаем предела функции (конеч-
ного или бесконечного) является предел последовательности
(конечный или бесконечный). Действительно, последователь-
ность xneR, п=1, 2, является функцией, определенной на
множестве натуральных чисел:
f
причем f(n}=x„, п=1, 2, ... . Данное раньше определение
предела последовательности lim хп (см. определение 1 в п. 4.1) и
определение ее предела как частного случая определения
предела функции lim Дл) (см. определение 1 этого пункта)
п—►оо
равносильны, в силу того что если последовательность {хи}
имеет предел (конечный или бесконечный) в смысле определе-
ния 1 п. 4.1, то при любом выборе последовательности
натуральных чисел {пк} такой, что lim пк= + со, последователь-
к—*оо
ность имеет тот же предел, что и последовательность {%„}
(см. лемму в п. 4.3), как это и требуется в определении 1.
5.5. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
При рассмотрении предела функции / : X^R при х-^х0
может оказаться, что хоеХ (тогда х0 является числом: xogR)
или, наоборот, что хофХ. Случай xqgX представляет особый
интерес, так как приводит к важному понятию непрерывной
функции. Его изучение начнем с доказательства следующей
леммы.
Лемма 2. Пусть f : X-+R и хоеХ. Тогда, для того чтобы
функция f имела предел в точке х0, необходимо и достаточно,
чтобы
lim/(x)=/(x0). (5.13)
Доказательство. Достаточность условия (5.13) для су-
ществования предела функции f в точке х0 очевидна: это
условие даже сильнее, так как оно утверждает не только
существование предела, но и определяет его значение, равное
Докажем необходимость условия (5.13) для существования
предела функции f в точке х0. Пусть у функции / в точке х0
существует предел, равный а*.
lim /(х) = я.
(5.14)
О
155
Согласно определению предела, это означает, что для любой
последовательности хп<=Х, п=1, 2, ... , lim хп = х0, справедливо
равенство
lim f(xn) = a. (5.15)
п—*ос
В частности, поскольку xogI, это равенство справедливо и для
стационарной последовательности, составленной из одной точки
х0, т. е. для последовательности хп = х0, и=1, 2, ... . В этом
случае (5.15) имеет вид
lim Дх0)=а. (5.16)
и —оо
С другой стороны, так как предел постоянной равен самой
этой постоянной, то
lim /(х0)=/(х0). (5.17)
«—►ос
Сравнив (5.16) и (5.17), получим
/(х0) = а. □
Определим теперь понятие функции, непрерывной в данной
точке.
Определение 5. Функция f: X-+R называется непрерывной в
точке х0 е X, если
Нт /(х)=/(х0). (5.18)
П-Хо
Условие (5.18) означает, что в случае непрерывности функции в
точке х0 предел / в этой точке находится по очень простому
правилу: следует вычислить значение самой функции / в точке
х0.
Согласно лемме 2, условие (5.18) равносильно тому, что
функция f: X-+R имеет предел в точке х0 и что х^Х. Само
собой разумеется, что в том случае, когда для функции f\X^>R
предел lim /(х) равен одной из бесконечностей оо, +оо
X—х0
или —оо, заведомо х$фХ. В противном случае для стацио-
нарной последовательности хп = х0, и=1, 2, ... , имело бы место
lim /(х„)= lim /(х0)=/(х0), и так как, по условию, функция f
И —00 П—00
принимает только числовые значения, то вопреки предположе-
нию предел lim /(х) был бы конечным. Из сказанного следует,
X—х0
в частности, что если у функции в некоторой точке существует
156
бесконечный предел, то в ней функция заведомо не является
непрерывной.
Отметим еще, что в определении 5 точка х0, в которой
определяется понятие непрерывности функции, принадлежит
числовой прямой /?, т. е. не является бесконечно удаленной
точкой.
Для проведения анализа понятия непрерывности функции в
точке дадим определения изолированных и предельных точек
множеств.
Определение 6. Точка xQ^X называется изолированной
точкой множества X^R, если существует окрестность
этой точки, пересечение которой с множеством X
состоит только из одной точки х0:
Цх0)ПХ={х„}. (5.19)
Все точки множества натуральных чисел N изолированы, а
множество Q всех рациональных чисел вовсе не имеет
изолированных точек.
Определение 7. Точка x0^R называется предельной точкой
множества X^R, если в любой ее окрестности существует
отличная от нее точка, принадлежащая множеству X.
Иначе говоря, точка х0 называется предельной точкой
множества X, если всякая ее проколотая окрестность имеет с
этим множеством непустое пересечение: для любой окрестнос-
ти U (х0) точки х0 выполняется условие U (xo)QAV0.
Предельная точка множества может как принадлежать
самому множеству, так и не принадлежать. Например, каждая
точка отрезка [а, b ] является предельной точкой интервала (а,
b). При этом точки а и b не принадлежат указанному
интервалу, а все остальные содержатся в нем.
Если точка принадлежит множеству, то в силу определений 6
и 7, она является его изолированной точкой тогда и только
тогда, когда она не является его предельной точкой.
Всякая точка прикосновения х0 множества является либо
изолированной точкой этого множества, либо его предельной
точкой, так как либо в любой окрестности содержится точка
множества, отличная от х0 (тогда х0— предельная), либо у х0
существует окрестность, не содержащая не совпадающих с х0
точек множества, и тогда, в результате того что в этой
окрестности все-таки существует точка множества (поскольку
точка х0 по условию является его точкой прикосновения), этой
точкой оказывается х0; следовательно, во-первых, х0 принадле-
жит рассматриваемому множеству, а во-вторых, является его
изолированной точкой.
Справедливо следующее предложение.
Лемма 3. Всякая функция непрерывна в каждой изолирован-
ной точке множества своего определения.
157
Доказательство. Пусть х0— изолированная точка мно-
жества определения X функции /. Тогда, согласно определению
6, существует окрестность £7(х0) точки х0, пересечение которой с
множеством X состоит из единственной точки х0, т. е.
^(хо)П^Л=={хо}- Какова бы ни была последовательность хп^Х,
2. ... , lim х„ = х0, Для указанной окрестности, в силу
п—>00
определения предела последовательности, существует такой
номер ftq, что для всех номеров n>nG выполняется включение
xn^U(x0) и, следовательно, включение хп<= Г(х0)р|Т. Но
С7(х0)Р]Х={х0}, поэтому для всех п>п0 имеем х„ — х0. Это
означает, что начиная с номера «0+1 последовательность
{/(%„)} становится стационарной: /(х„)=/(х0) при п>п0. Поэто-
му существует предел lim /(х„)=/(х0), что, в силу произвольного
п—>00
выбора последовательности хпеХ, п=1, 2, ... , lim хп=х0,
означает выполнение условия (5.18), т. е. непрерывность функции f
в точке х0. □
Пример. Функция /(х) = 1 + x/ln cos 2 их (см. п. 5.2) определе-
на лишь для целочисленных значений аргумента х = 0, +1, +2,....
Таким образом, каждая точка множества определения этой
функции является его изолированной точкой, поэтому, согласно
лемме 3, рассматриваемая функция непрерывна во всех точках
ее множества определения.
Из леммы 3 следует, что вопрос о пределе функции в
изолированной точке множества ее определения решается
совсем просто: он всегда существует и равен /(х0). Поэтому
понятие предела функции (в частности, ее непрерывность)
содержательны лишь для предельных точек множества опреде-
ления функции.
Упражнение 6. Доказать, что функция f\X-+R непрерывна в предельной
точке множества X тогда и только тогда, когда
lim /(х)=/(х0).
X—>XQ
хеХПС/(х0)
Подобно тому, как рассматривался предел функции по
какому-либо множеству, принадлежащему ее области определе-
ния, можно, в частности, рассмотреть и непрерывность функции
по соответствующему множеству.
Определение 8. Пусть f\X-+R и x0^EczX. Функция f
называется непрерывной в точке х0 по множеству Е, если
lim/(x)=/(x0).
Л'->Х0
леЕ
158
Иначе говоря, функция / называется непрерывной в точке
по множеству Е, если в этой точке непрерывно сужение fE
этой функции на множестве Е:
lim /£(х)=/£(х0).
Например, функция Дирихле f (см. пример 4 в п. 5.4)
непрерывна в точке хо = 0 по множеству Q всех рациональных
чисел, ибо
lim /(х)=1=/(0),
,г-*0
леЦ
и не является в ней непрерывной по множеству всех действи-
тельных чисел, так как предел в точке хо = 0 по множеству всех
действительных чисел у функции Дирихле просто не существует.
Очевидно, что функция Дирихле не является непрерывной ни в
какой точке числовой оси.
Про функцию/: X-»/?, непрерывную в точке хое!в смысле
определения 5, можно сказать, что она непрерывна в этой точке
по множеству X.
5.6. УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ
Согласно определению предела, функция f\X-+R имеет
предел в точке х0, если, какова бы ни была последовательность
хиеХ л = 1, 2, ... , последовательность соответствующих
значений функции {/(хп)} имеет предел (конечный или бесконеч-
ный), и эти пределы не зависят от выбора указанных
последовательностей {%„}, т. е. все последовательности {/(*„)}
имеют, и при том один и тот же, предел а: lim — а. Это
п->оо
значение а и является пределом функции / в точке х0.
Покажем, что если предположить несколько меньше, а
именно только существование конечного или определенного
знака бесконечного предела у каждой рассматриваемой после-
довательности {/(%„)}, то уже из одного этого следует, что все
эти пределы совпадают и тем самым функция / в этом случае
имеет предел в точке х0.
Лемма 4. Для того чтобы функция f'.X-*R имела конечный
или определенного знака бесконечный предел в точке х0,
являющейся точкой прикосновения множества X, необходимо и
достаточно, чтобы для любой последовательности хп-^х^,
/7=1, 2, ... , последовательность соответствующих
значений функции {/(*„)} имела конечный или определенного знака
бесконечный предел.
159
Следствие. Для того чтобы функция f : X-*R имела
конечный предел в точке х0, являющейся точкой прикосновения
множества X, необходимо и достаточно, чтобы для любой
последовательности хп-»х0, хпеХ. п — \, 2, ... , последователь-
ность соответствующих значений функции {f(xn}} была сходя-
щейся.
Доказательство леммы. Необходимость сформулиро-
ванного в условиях леммы условия для существования предела
функции f при х-»х0 содержится в самом определении этого
понятия (см. определение 1 в п. 5.4), в котором утверждается
существование предела lim /(х„) для всех рассматриваемых
п—>00
последовательностей
Докажем достаточность указанного в лемме условия для
существования предела функции. Пусть f : X>R и для любой
последовательности х„->х0, х„еХ, п = \, 2, ... , последователь-
ность {f(x„y имеет предел (конечный или определенного знака
бесконечный).
Рассмотрим какие-либо две последовательности х'п-+х0 и
Хп-^х0, х'пеХ, х'п&Х, п—\, 2, ... . Тогда последовательность
f х'„, если т = 2п — 1, , „
’ п=1, 2, ... ,
( л если т — 2п,
также имеет своим пределом (конечным или бесконечным)
точку х0 и хтеХ, т—1, 2, ... . Поэтому, согласно сделанному
предположению, существуют пределы lim f(x'n), lim /(%„) и
и—>00 и—->оо
lim /(хга), причем последовательности {/(х„)} и {/(х")} явля-
ж—>00
ются подпоследовательностями последовательности {
ибо последовательности {х^} и {х„} являются подпоследова-
тельностями последовательности {хт}.
Вспомним теперь, что если у некоторой последовательности
имеется предел (конечный или бесконечный), то любая ее
подпоследовательность имеет тот же предел (см. п. 4.3).
Поэтому
lim f(x’n)= lim /(хга),
п—>00 т—»оо
lim /(х") = lim f(xm),
n-->oo m—*oc
откуда
lim ,/'(xr,)= lim Дх").
160
Таким образом, пределы последова-
тельностей {/(%„)}, где х„->х0, хпеХ,
и==1, 2, ... , не зависят от выбора
последовательностей {х„}. Обозначая об-
щее значение пределов последователь-
ностей {/(хп)} через а будем иметь,
согласно определению 1 п. 5.4, что
lim f(x) = a.
х->х0
Утверждение следствия непосредст-
венно следует из леммы 4 (напомним,
что термин «сходящаяся последователь-
ность» употребляется только для последовательностей, имею-
щих конечный предел). □
5.7. ВТОРОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ
Существует другое определение предела функции, не исполь-
зующее понятия предела последовательности, а формулируемое
в терминах окрестностей и называемое определением предела
функции по Коши. Это определение равносильно определению 1
в п. 5.4.
Определение 9. Точка а называется пределом функции
f'.X-+R при х—>Хл (или, что то же, в точке xQ), если для любой
окрестности U(а) точки а существует такая окрестность
(7(х0) точки х0, что
f(XC\U(x0))^U(a). (5.20)
Предел функции по Коши также будем обозначать через
lim /(%). Это естественно, так как понятие предела функции по
Х~*ХО
Коши, как это было отмечено выше и будет вскоре доказано,
эквивалентно ранее данному в п. 5.4 определению предела
функции.
Рис. 23 иллюстрирует определение 9 в случае, когда х0 и
а — действительные числа, а множество X является проколотой
окрестностью точки х0.
Используя логические символы, определение 9 можно
записать в следующем виде:
def
lim Дх) = а о V U(а) 3 17(х0): Д XQ Дх0)) cz V \а\
X—х0
Расшифровывая подробнее включение (5.20), определение 9
Можно сформулировать следующим образом.
6-1807
161
Точка а называется пределом функции f : X-+R при х->х0,
если для любой окрестности U(a) точки а существует такая
окрестность (7(х0) точки х0, что для любой точки
xeXC\U(x^ (5.21)
выполняется включение
f(x}EU(a). (5.22)
Используя логические символы, это определение можно
записать следующим образом:
lim f(x) = ao V U(a) ЗС7(х0) VxgXP|{7(x0): f(x}eU(a\ (5.23)
x->x0
Вспоминая определения окрестностей конечных и бесконечно
удаленных точек, определение 9 можно в каждом конкретном
случае перефразировать в терминах неравенств. Сформулируем
сначала в таком виде определение конечного предела в
конечной точке.
Число а называется пределом функции f в точке xgeR, если
для любого 8>0 существует такое 8>0*\ что для всех х,
удовлетворяющих условиям
|х —х0|<8, хеХ,
выполняется неравенство
| Дх) - а I < £.
В логических символах это определение выглядит следую-
щим образом:
z ч def
lim f(x) = aERo Ve>0 38>0 V хеХ, |x —x0|<8: |/(x) —a|<8.
x->x0
Приведем пример определения бесконечных пределов в
терминах неравенств. Например, запись lim /(х)=—оо для
х—-’+ 00
функции f : X-+R означает, что для любого 8>0 существует
такое 8>0, что для всех х, удовлетворяющих условию
х>8, хеХ,
выполняется неравенство
/(*)<-£.
С помощью логических символов это определение записывается
следующим образом:
Иногда пишут 8 = 8(e) > О, чтобы подчеркнуть, что выбор 8 зависит от £
162
lim f(x) = — оо о Ve>0 38>0 V xeX. x>8: /(x)<—8.
Из сказанного следует, что могут встречаться различные
сочетания перехода к предельным значениям (как конечным, так
и бесконечным) зависимых и независимых переменных. Форму-
лировка определения предела функции для каждого отдельного
случая в терминах неравенств, или, как еще иногда говорят, на
«языке £ и 8», хотя часто и удобнее в конкретных ситуациях,
хуже приспособлена к решению общих вопросов, чем определе-
ние предела функции в терминах окрестностей, так как требует
проведения специальных доказательств отдельно для каждого
случая в соответствии с данной формулировкой определения.
Поэтому удобнее использовать определение 9, охватывающее
все конкретные случаи.
Перейдем теперь к сравнению определений предела функции
по Гейне (определение 1) и по Коши (определение 9).
Теорема 1. Определения 1 и 9 предела функции в точ-
ке прикосновения множества определения функции эквива-
лентны.
Доказательство. Докажем сначала, что если функция
имеет в некоторой точке предел в смысле определения 1, то она
имеет тот же самый предел в этой точке и в смысле
определения 9. Пусть х()— точка прикосновения мно-
жества X и lim f(x) = a в смысле определения 1. Покажем,
X—х0
что тогда выполняется и условие в правой части форму-
лы (5.23).
Допустим, что это не так, т. е. что
3U(a] VL7(x0) 3xeXQC/(x0): ф(х)фЩа), (5.24)
или, иначе говоря, найдется такая окрестность U (а) точки а. что
в любой окрестности t/(x0) точки х0 существует точка хеХ,
значение функции /(х) в которой не принадлежит к окрестности
U(a). В частности, указанные точки х найдутся в каждой
окрестности U\ х0, Обозначим их через х„, т. е.
\ п /
хпеХ{}и(х0, 1) (5.25)
и
.Г(хпп=\, 2, ... . (5.26)
Из условия (5.25) следует, что
lim хп = х0
п—*-сс>
(5-27)
163
(см. замечание 1 в п. 4.2). Поскольку lim f(x) = a в смысле
X—х0
определения 1, для любой последовательности и=1,
2, ... , имеет место равенство lim f(xn) = a. Согласно определе-
и-*оо
нию предела последовательности, это означает, что для любой
окрестности U (я), в частности и для выбранной выше,
существует такой номер и0, что для всех номеров п>п0 имеет
место
ЖИ(4 (5.28)
Это противоречит условию (5.26).
Полученное противоречие доказывает сделанное утвержде-
ние. □
Теперь докажем, что если функция имеет в некоторой точке
предел в смысле определения 9, то она имеет в этой точке тот
же самый предел и в смысле определения 1. Пусть lim /(х) = я в
х-*х0
смысле определения 9 предела функции, f:X^R. х0 — точка
прикосновения множества X, и пусть
хи->х0, хпеХ. п=1, 2, ... . (5.29)
Покажем, что тогда
lim/(*„) = я, (5.30)
п—>сс
т. е. что точка а является и пределом функции f в смысле
определения 1.
Зададим произвольно окрестность U(a) точки а и выберем
для нее окрестность U(xQ) точки х0, удовлетворяющую услови-
ям (5.21) — (5.22). Для этой окрестности С/(х0), в силу условия
(5.29), найдется такой номер л0, что для всех номеров п>п0
будет выполняться включение
х„еАГ)С/(х0).
Но тогда, в силу (5.22), имеем
/(х„)еС/(я).
Это и означает выполнение условия (5.30). □
Предел функции, как это было отмечено в п. 5.4, является
локальным свойством функции в том смысле, что его существо-
вание для функции в данной точке (а если он существует, то и
его значение) не зависит от сужения функции на пересечение
любой окрестности точки х0 с множеством определения
заданной функции. Это хорошо также видно и из определения 9:
если задать произвольную окрестность С70(х0) точки х0 и
164
добавить в определение 9 дополнительное условие, состоящее в
том, что все окрестности С/(х0), существование которых там
утверждается, должны кроме всего прочего содержаться в
окрестности U0(x0):
U(x(J)cU(l(x0),
to получится равносильное исходному определение. Действи-
тельно, если условие (5.23) выполняется для некоторой окрест-
ности U(х0) точки х0, то оно выполняется и для любой
содержащейся в ней окрестности этой точки.
(g В заключение отметим, что под пределом функции в данной
точке обычно понимается конечный предел, если не оговорено
что-либо другое, а через lim /(*), когда ничего не сказано о
множестве, по которому берется предел, обозначается конечный
или бесконечный предел по всему множеству определения
функции /.
Упражнение 7. Доказать, что если Р(х) — многочлен степени и^1, то
lim Р(х)=со, lim Р(х)=оо.
х—+—оо х—»+оо
Определение предела функции в точке без труда можно
обобщить и на функции, у которых как множества их значений,
так и множества их определений принадлежат расширенному
множеству действительных чисел R, т. е. на функции вида
XczR. Читатель в случае необходимости самостоя-
тельно сформулирует соответствующие определения.
5.8. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ПО ОБЪЕДИНЕНИЮ МНОЖЕСТВ
Докажем еще одно простое, но полезное для дальнейшего
свойство пределов функций по множествам.
Лемма 5. Пусть /: X-+R, Х2<^Х, А\/0, Х2^0, и
точка х0 является точкой прикосновения множеств Хг и Х2.
Тогда если в точке х0 функция f имеет равные пределы
(конечные или бесконечные) по множествам Xt и Х2, то она
имеет тот же предел и по их объединению.
Доказательство. Если
lim /(*) = lim /(х) = я, (5.31)
X—*Xq х—*XQ
xeXt xeX2
TO для любой окрестности U (я) точки а существует такая
окрестность U (х0) точки х0, что образы ее пересечений
^ifW(-Xo) и с множествами Хг и Х2 содержатся в
окрестности U[a), а тогда и образ их объединения
также содержится в окрестности U(a). Это и означает,
165
что
lim f(x) — a. □
X—x0
xeXl\JX2
Пример. Если {хи}—такая последовательность, что
lim х21с— lim х2/с_1=а и а — либо действительное число, либо
к—*оо к—*оо
одна из бесконечностей оо, +оо или — оо, то и lim хп = а. Это
п—*00
сразу следует из леммы 5, если рассмотреть функцию f(ri) = xn,
neN. и положить Х± = {2к}. Х2 ={2/с—1}, к=\. 2, ... .
5.9. ОДНОСТОРОННИЕ ПРЕДЕЛЫ
И ОДНОСТОРОННЯЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ
При изучении функций иногда оказывается полезным рас-
смотреть пределы их сужений на множествах, соответствующих
частному случаю, когда эти множества являются частями
множеств определения данных функций, лежащими по одну
сторону от точки, в которой рассматривается предел. Такие
пределы называются односторонними пределами. Это понятие
содержательно лишь тогда, когда действительно существуют
указанные множества, как с одной, так и с другой стороны от
точки х0, в которой рассматривается предел. В том случае, если
точка х0 является одной из бесконечностей оо, +оо или —h,
это заведомо невозможно. Поэтому в настоящем пункте в
дальнейшем будем всегда предполагать, что х0— действитель-
ное число: XqeR. Введем для упрощения записи некоторые
обозначения.
Для всякого множества XczR и для точки xoeR положим
def
X (х0) = {х : хеХ, х^х0},
def
X (х0) = {х : хеХ, х^х0}.
Иначе говоря, множество Х> (х0), соответственно X< (х0),
является пересечением множества X с замкнутым Лучом
числовой оси, вершиной котррого является точка х0 и который
направлен в положительном (отрицательном) направлении.
Определение 10. Пусть f: X—>R и xoeR. Точка а называется
пределом функции f слева (соответственно справа) при х->х0,
если оно является пределом при х->х0 функции f по множеству
X (х0), т. е.
lim f(a) = a,
х^хо
хеХ^(х0)
166
соответственно по множеству X (х0), т. е.
lim f(x) = a.
хеУ^(х0)
} г Для пределов слева и справа функции f по множеству
у \ {х0} имеются специальные обозначения: предел слева
обозначается /(х0 —0) или 1™ а предел справа —
х—— О
f ) о
/(хо + 0) или lim /(х). Таким образом,
х—+xQ + О
def
/(х0 — 0)= lim /(х)= lim /(х), (5.32)
Х~^Х0 ~ ° Х—>Х0
хеА^(х0)\{х0}
/(•vo+0)= lim /(х) = lim /(х). (5.33)
^0 + 0 X—Хо
хеА^(х0)\{х0}
Если хо = 0, то вместо 0 + 0 (вместо 0 — 0) в случае пределов
функций, как и в случае пределов последовательностей (см. п.
4.1), пишут просто +0 (соответственно —0).
Пределы слева и справа называются односторонними преде-
лами. Если же точка х0 является верхней гранью для множества
Х< (х0) \ {х0 } и нижней гранью для Х> (х0) \ {х0 } (X — мно-
жество определения функции /):
х0 = sup (У (х0) \ {х0 }) = inf (Х^ (х0) \ {х0 }),
то обычный предел функции f при называется также и ее
двусторонним пределом.
В качестве примера рассмотрим функцию y = signx (см.
пример в п. 5.2 и рис. 19). Пусть х„>0, х^<0, и=1, 2, ... , и
lim хп = lim х'п = 0. Тогда
п~*°° и->оо lim sign хп = lim 1 = 1,
п—>00 п—->00
lim sing х'п = lim (— 1) = 1.
п—+ ОО п—+ 00
Это означает, что
lim sign х=1 и lim sign 1.
х—► + 0 х—+ — О
Понятие предела слева (справа) при х-»х0, как и вообще
понятие предела в точке, содержательно только тогда, когда
точка xQ является точкой прикосновения множества, по кото-
рому берется предел, в данном случае множества Х^(х0)
167
(множества (х0)). Каждое из этих множеств лежит по одну
сторону от точки х0, поэтому она является их точкой
прикосновения тогда и только тогда, когда
x0 = sup Х^(х0)
и, соответственно,
хс0 = irif X^(xq).
Теорема!. Функция f:X-*R имеет предел в точке
x0==sup Х^ (x0) = infХ^ (х0), X<(хо)^0, У^(хо)^0, в том и
только том случае, когда в этой точке у функции f существуют
пределы как слева, так и справа и они равны. В этом случае их
общее значение и является пределом функции в точке х0.
Следствие. Для того чтобы у функции f;X-*R существо-
вал в точке х0 двусторонний предел по множеству Jf\{x0},
необходимо и достаточно, чтобы существовали и были равны
между собой односторонние пределы f(xQ — 0) и /(хо + 0).
Доказательство теоремы. В самом деле, пусть
f'.X-*R, x0 = supX^(x0) = infX^(x0) и lim/(xj==£, т. е. у
х-^0
функции / существует предел (по множеству X) в точке х0. Но
тогда в этой точке тот же предел существует и у ее сужения по
любому множеству (см. лемму 1 в п. 5.4), в частности и по
множествам A^(x0) и Х^(х0), т. е. существуют оба односторон-
них предела при х->х0^и они равны а:
lim /(х) = lim f(x) — a. (5.34)
х~^хо ' Х >Х'о
Пусть, наоборот, в точке x0 = sup Х<Дх0) = т£ У^(х0) вы-
полняется условие (5.34). Тогда так как X—A^(xo)(J^(.*o),
то согласно лемме 5, существует предел lim/(x) и он равен а'.
lim /(х) = а.
Для того чтобы убедиться в справедливости следствия,
достаточно применить теорему 2 к сужению функции f:X-+R на
множество Х\{х0}. □
Если один из односторонних пределов функции в некоторой
точке совпадает со значением функции в этой точке, то такая
функция называется односторонне непрерывной в рассматрива-
емой точке. Сформулируем это определение более подробно.
168
Определение 11. Функция f:X-+R на-
зывается непрерывной слева, соответст-
венно справа, в точке х0^Х, если
lim /(х)=/(х0),
X—х0
х^Х^(х^)
соответственно если
11Ш /(х)=/(х).
-7 0 *7 2 } 4 J
Рис. 24
Пример. Рассмотрим функцию, определенную на всей числовой
оси и равную для каждого действительного числа х наибольшему
целому числу, меньшему или равному х. Эта функция имеет
специальное обозначение г = [х], читается: «у является целой
частью числа х» или «у равно entier х» *\ Ее график изображен на
рис. 24. Функция [х] в целочисленных точках х = п, т? = 0, + 1,
±2,..., числовой прямой непрерывна справа и разрывна слева. Во
всех же других точках она непрерывна как справа, так и слева.
Таким образом, в частности, функция [х] непрерывна справа во
всех точках числовой оси.
Замечание. Если для функции f:X->R существует конеч-
ный предел lim f(x) = a, причем для всех х^Х выполняется
неравенство/(х) < а (неравенство f (х) > а), то пишут lim/(х) = а — О
X—*х0
(соответственно lim/(x)==# + 0). При этом если <7 = 0, то также
вместо 0 + 0 и 0 — 0 пишут просто +0 и —0.
5.10. СВОЙСТВА ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИЙ
Все функции, рассматриваемые в этом пункте, определены на
некотором множестве Ус: 1?, и все их пределы берутся по
множеству X в некоторой точке х0, которая является точкой
прикосновения (конечной или бесконечно удаленной) множества
X. Напомним, что если х0 — действительное число: хоей, то
х0— обычная точка прикосновения множества X. Если х0 = оо,
то множество X не ограничено, а если х0=+оо, или
= — оо то множество X не ограничено сверху (соответственно
снизу).
entier (франц.)--целый.
169
1°. Если функция f:X-^>R имеет в точке х0 конечный предел,
то существует такая окрестность С/(х0) точки х0, что
функция f ограничена на пересечении U(x^(\X этой окрестности
с множеством определения X функции f.
Следствие. Функция f:X-+R, непрерывная в точке
х0^Х, ограничена на пересечении некоторой окрестности этой
точки с множеством X.
Доказательство. Пусть Нш/(х) = я— конечный предел,
тогда, согласно определению 9 из п. 57, для любого е>0, в
частности для 1, существует такая окрестность U(x0) точки х0,
что /(Xp|C/(x0))cz U(a, 1), т. е. для всех xeXQC/(x0) выполняется
включение /(х)е U(a, 1). Иначе говоря, для всех xeJfQJ7(x0)
справедливо неравенство
а— 1 </(х)<«+1,
а это означает ограниченность функции f на пересечении
W(x0).D
Следствие непосредственно вытекает из доказанного утвер-
ждения, так как непрерывность функции в точке является частным
случаем существования у нее в точке конечного предела.
2° (лемма о сохранении знака). Если функция f:X-*R имеет в
точке х0 не равный нулю конечный предел: lim f(x) = a, то
X-^Xq
существуют такие окрестность С/(х0) точки х0 и число о 0, что
для всех точек х из области определения X функции f,
принадлежащих окрестности С/(х0), т. е. для всех хе ур|[/(х0),
выполняется неравенство
f (х) > с, если а > О,
(5.35)
/(х) < — с, если а < 0.
Следствие 1. Если функция f:X^>R непрерывна в точке х0 е X
и /(хо)т^0, то существуют такие окрестность
С/(х0) точки х0 и постоянная с>0, что для всех xeXQJ7(x0)
выполняется неравенство
f (х) > с, если f (х0) > 0,
(5.36)
/(х) < — с, если /(х0) < 0.
Следствие 2. Если функция f:X-+R непрерывна в точке х0 е X
и ф\хф>с (соответственно f(x^)<c), то существует такая
окрестность и(х0) точки х0, что для всех точек xeAYW(xo)
выполняется неравенство /(х)>с (соответственно f(x)<c).
170
Доказательство свойства 2°. Пусть lim f{x) = a^R
X—х0
и я/0. Тогда, согласно определению предела, для любого е>0,
в частности для а=у, существует такая окрестность С/(х0) точки х0,
что для всех хеХР|С7(х0) выполняется включение /(х)е и( а^- 1
т. е. справедливо неравенство
Ы г( х , Н
а---<j\x)<aA—.
2 2
Иначе говоря, при а>0
z-z х |а| а
/(х)>а-у = ->0,
а при а < О
/V Л , 1°1 II, 1а1 1°1
/(%)<й + у = -|й|+-= --
Таким образом, неравенства (5.35) выполняются при с = у.
Следствие 1 вытекает из доказанного утверждения, так как в
случае непрерывности функции / в точке х0 ее предел
lim/(x) конечен и равен /(х0). Как видно из приведенного
х-х0
доказательства, в качестве константы с в этом случае можно
К(*о)1
взять с =---.
2
Чтобы получить утверждение следствия 2, достаточно
применить следствие 1 к функции /(%) —с, которая, как это
легко видеть, также непрерывна в точке х0.П
Замечание. Если в точке х0 у функции f:X-+R существует
бесконечный предел*, равный со, + оо или —со, то для
любого о0 имеет место утверждение, аналогичное свойству
2°. Это непосредственно следует из определения бесконечного
предела функции, сформулированного в терминах нера-
венств. А именно: lim/(x) = oo (соответственно + оо или — оо)
X—-х0
171
означает, что для любого о О существует такая окрестность
U (х0) точки х0, что для всех хеХр|С7(х0) выполняется не-
равенство \f(x)\>c (соответственно неравенство f(x)>c или
f(x)<-c).
3°. Если f\x) = c — постоянная, х^Х, то limf(x) = c.
х->х0
4 . Если f(x)^a, х<=Х, и существует конечный или определен-
ного знака бесконечный предел lim /(х), то
lim f(x)^a. х~^хо (5-37)
5°. Если (х) </(х)< (х), xgI, и существуют конечные или
определенного знака бесконечные пределы lim ф(х)= lim \\j(x) = a,
Х~*хо х~*хо
то
lim f(x) = a. х-^х0 (5.38)
6°. Если существуют конечные пределы lim /(x)w lim g(x),mo
x“*x0 x — x0
существуют и конечные пределы lim [ffx)+g(x)], lim /(x)g(x),
X—x0 x—x0
* f 00
а если lim g(x)/0, то и предел lim —причем
Х-ЛО x-x0 g(x)
lim [/VO+g (*)]= lim /(x)+ lim g(x), X Xo X->XQ X~>X0 (5.39)
lim/(x)g(x) = lim f(x) lim g(x), x^x0 x XO X — *0 (5.40)
lim T’W lim . x”"xo lim gOO (5.41)
Следствие!. Если существует конечный предел lim /(х),
х~>хо
то для любого числа x^R существует и предел lim cf(x),
причем
172
lim cf(x) = c lim f(x).
^0 x"**o
(5.42)
В случае c^O равенство (5.42) справедливо и для бесконечных
пределов определенного знака.
Следствие 2. Если функции fug непрерывны в точке
то функции cf (с — постоянная), f+g, fg, а если, кроме
f
того, g (хо)=£0, то и функция - также непрерывны в точке х0.
Заметим, что при предположениях, в которых сформулиро-
ваны утверждение о и следствие 2 из него, частное-, конечно,
g(x)
может быть не определено на всем исходном множестве Х9 так
как на нем могут существовать точки х, в которых g(x) = 0.
Однако, согласно свойству 2°, из условия limg(x)/0 следует,
что существует такая окрестность С/(х0) точки х0, на пересече-
нии которой с множеством X выполняется неравенство g(x)/0
и, следовательно, на этом пересечении уже определено частное
В формуле (5.41) под пределом подразумевается предел
s(x)
сужения функции на множество £7(х0)ПХ В силу того что
предел функции в точке является локальным свойством (см. п. 5.4 и
п. 5.7), этот предел не зависит от выбора указанной окрестности
^о). о 0
Свойства 3 —6 могут быть доказаны одинаковым мето-
дом, основанным на соответствующих свойствах пределов
последовательностей (см. п. 4.9).
Докажем, например, формулу (5.40). Пусть я=Нт/(х),
х-*х0
Z>=limg(x). Тогда, согласно определению 1 предела функции
(см. п. 5.4), для любой последовательности хп^Х, и=1, 2, ...,
limx„ = x0, справедливы равенства
a= lim/(x„),
b= lim g(x„).
Поэтому, вспомнив, что предел произведения сходящихся
последовательностей существует и равен произведению их
пределов (см. п. 4.9), получим, что существует предел
173
lim/(x„)g(x„) = a/>. (5.43)
п—*00
Этот предел не зависит от выбора указанной последователь-
ности {хн}: он всегда равен ab, поэтому, согласно тому же
определению 1, доказанное равенство (5.43) и означает, что
lim f(x)g(x) = ab — lim f(x) lim g(x). □
x -> x0 X x0 X — x0
Следствие 1 (в силу свойства 3°) представляет собой частный
случай формулы (5.40). Следствие 2 непосредственно вытекает
из свойства 6°, поскольку непрерывность функции в точке
означает существование у нее в этой точке конечного предела,
равного значению функции в этой точке. Например,
lim/(x)g(x) = lim/(x) lim g(x)=/(x0)g(x0), (5.44)
~X^XO x X0
так как пределы lim /(x) и lim g (%), в силу непрерывности
х->х0 х->хо
функций / и g в точке х0, равны соответственно /(х0) и g(x0).
Выполнение равенства (5.44) и означает непрерывность произве-
дения fg в точке х0. □
5.11. БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ
ФУНКЦИИ
Все рассматриваемые в этом пункте функции будем предпо-
лагать определенными на множестве X^R и рассматривать их
конечные и бесконечные пределы при стремлении аргумента к
конечной или к бесконечно удаленной точке х0.
Определение 12. Функция ос; X^>R называется бесконечно
малой при х^х0, если
lim ос(х) = О. (5.45)
х—ХО
Бесконечно малые функции играют особую роль среди всех
функций, имеющих предел, связанную, в частности, с тем, что
общее понятие конечного предела может быть сведено к
понятию бесконечно малой. Сформулируем это утверждение в
виде леммы.
Лемма 6. Конечный предел lim /(х) существует и равен а
X—>х0
тогда и только тогда, когда /(х) = а + а(х), хеХ, где ос = ос(х) —
бесконечно малая при х->х0.
174
Доказательство. Если lim f(x) = a, то, положив а(х) =
==Дх)~ а, хеХ, получим, что х
lim а(х) = lim f(x) — a = a — a = 0.
X—-ХО X—>-xq
Наоборот, если f (х) = а + а(х), хеХ и lima(x) = 0, то lim Дх)
Х-*ХО х~*х0
= а+ lim и(х) = а. □
х—х0
Теорема 3. Сумма и произведение конечного числа бесконеч-
но малых при x-+Xq, а также и произведение бесконечно малой
при x-^Xq на ограниченную на X функцию являются бесконечно
малыми при x-^Xq.
Доказательство. То, что сумма и произведение конеч-
ного числа бесконечно малых являются бесконечно малыми,
непосредственно следует из свойства суммы и произведения
пределов функций (см. свойство 6 в п. 5.10) в том частном
случае, когда эти пределы равны нулю.
Докажем последнее утверждение теоремы. Пусть lim Дх) = 0
и Дх)— ограниченная функция, т. е. существует такая по-
стоянная Z?>0, что для всех хеХ выполняется неравенство
Дх)|^£. Если хпеХ, п=1, 2, ..., — такая последовательность, что
limxn = x0, то, согласно определению 1 предела функции (см.
и—“ОО
п. 5.4), имеем lima(x„) = 0. Для всех л?= 1, 2, ... выполняется
неравенство Дхи)| < Ь, т. е. последовательность {Дхп)} ограни-
чена. Но произведение бесконечно малой последовательности, в
данном случае последовательности {а (%„)}, на ограниченную
последовательность, в данном случае на {Дх„)}, является
бесконечно малой последовательностью (см. свойство 2° в п. 4.8),
поэтому lim Дх„)ос(х„) = О. Так как это верно для любой указанной
последовательности {хп}, то согласно тому же определению
предела функции получим lim Дх)а(х) = 0, а это и означает, что
функция Дх)а(х) является бесконечно малой при х-*х0. □
Наряду с бесконечно малыми в анализе часто встречаются
бесконечно большие функции. Определим их.
Определение 13. Функция f'.X^R называется бесконечно
большой при х—>х0, если
lim Дх) = оо. (5.46)
х—х0
175
Между конечно большими и бесконечно малыми существует
тесная связь. Именно величина, обратная бесконечно большой,
является бесконечно малой, и наоборот. Более точно, справед-
ливы следующие утверждения.
Лемма 7. Если функция f:X->R бесконечно большая при
X-+XQ, то функция - является бесконечно малой при х-^х^.
Доказательство. Пусть произвольно фиксировано 8>0.
Тогда, согласно условию lim Дх)=оо, существует такая окрест-
х—>Х0
ность U(x0) точки х0, что для всех точек xeU(xQ)(\X выполняет-
ся неравенство
следовательно, и неравенство
<8.
А это и означает, что lim-~т = 0, т.е. что функция является
х—х0Дх)
бесконечно малой. □
Замечание 1. Как всегда, когда речь идет о частном
функций со знаменателем, предел которого отличен от ну-
1 г
ля, здесь под понимается, вообще говоря, частное от
/(*)
деления 1 на сужение функции / на пересечение 1/(х0)ПХ та-
кой окрестности U{x^ точки х0 с множеством определения X
функции /, что для всех точек хе£/(х0)Р|У функция f не равна
нулю. Существование указанной окрестности f/(x0) следует из
свойства 2° пределов функций (см. п. 5.10). Впрочем, оно еще
раз было получено в процессе доказательства леммы 7:
очевидно, что из условия |/‘(х)|>|, 8>0, следует, что /(х)#0.
Замечание 2. Если, наоборот, а(х)— бесконечно малая
при х->х0 функция, то может случиться, что обратная величина
-4- не будет определена на множестве, для которого точка
Ф)
является точкой прикосновения (например, это заведомо имеет
место при ос(х) = О на X), и поэтому понятие предела lim -i-r
х—Хо ос (х)
при хеУ будет бессодержательно. Однако если Уо — такое
подмножество множества У, на котором а(х)^0:
Х0 = {х: хеХ, ос(х)/О},
176
и если х0 является точкой прикосновения множества Хо, то
1 TZ
функция —(-j определена на Хо и на этом множестве
lim —— = oo.
леУ0
Именно в этом смысле говорят, что функция, обратная
бесконечно малой, является бесконечно большой.
То обстоятельство, что функция, обратная бесконечно
малой, является бесконечно большой, и наоборот, делает
естественными следующие символические обозначения, часто
употребляющиеся для сокращения записи: для любого числа
а>0 пишут:
67 @ i А А — А /С /1*74
, —= —оо, — = ос, --------------=+0, ---------= -0, — = 0.(5.47)
-О 0 +ос -оо оо
Замечание 3. На бесконечно большие функции свойства
конечных пределов, связанные с арифметическими действиями
над пределами (см. свойство 6° в п. 5.10), непосредственно не
переносятся. Однако некоторые аналогии имеют место.
Например, если lim/(x)=+oo, limg(x)= + oo, то и
х—>ХО х—>ХО
lim [/(%)+g(х)]=+оо. Однако о существовании какого-либо
х->х0
предела lim [/(х) —g(x)] здесь, вообще говоря, уже ничего
X—-Хо
утверждать нельзя. Можно показать, что «позитивные» утверж-
дения о бесконечных пределах имеют место в случаях, для
которых формулами (5.47) и в п. 3.1 были определены
некоторые «арифметические операции» с бесконечностями.
5.12. РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМЫ ЗАПИСИ НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ
В ТОЧКЕ
Условие непрерывности в точке х0 (см. (5.18))
lim /(.х)=/(.х0)
х—хо
функции /, заданной на множестве X, можно понимать как в
смысле определения предела функции по Гейне (см. определение
1 в п. 5.4), так и в смысле определения по Коши (см.
определение 9 в п. 5.7). В первом случае это означает, что для
любой последовательности
хпеХ, т?=1, 2, ..., limx„ = x0, (5.48)
п—>00
177
выполняется условие
lim/(x„)=/(x0). (5.49)
n—*оо
Во втором случае это означает, что
для любого 8>0 существует такое
8>0, что для всех точек х, удовлет-
воряющих условию
|х —х0|<8, хеХ, (5.50)
выполняется (рис. 25) неравенство
|/(х)-/(л0)|<£. (5.51)
Понятие непрерывности функции, сформулированное в тер-
минах последовательностей (определение (5.48) — (5.49)) отра-
жает собой ситуацию, часто встречающуюся на практике при
косвенном вычислении какой-либо величины у. т. е. вычислении
ее с помощью измерения некоторого параметра х, от которого
эта величина непрерывно зависит, y=f(x). Именно знание
непрерывности функции y=f(x) в точке х0 дает объективную
уверенность в том, что чем точнее будут последовательно
получаться (в результате экспериментов, измерений или расче-
тов) значения хи, п=\. 2, ..., приближающие значение параметра
х0, тем точнее будут и соответствующие приближенные
значения yn=f(xn) величины Уо=/(хо).
Определение (5.50) — (5.51) непрерывности функции / в
точке х0 можно еще перефразировать так: функция f не-
прерывна в точке х0, если, какова бы ни была заданная степень
точности £>0 для значений функции/, существует такая степень
точности 8 = 8 (е) >0 для аргумента, что коль скоро мы выбе-
рем значение аргумента х, равное х0 с точностью до 8, т. е.
удовлетворяющее условию (5.50), и возьмем значение функ-
ции Дх), то получим значение Дх0) с заданной степенью
точности, т. е. будет выполнено неравенство (5.51). Это вы-
сказывание является, конечно, перефразировкой определения
(5.50) — (5.51), разъясняющей интуитивное представление о
непрерывной функции.
Так как непрерывность функции в точке является частным
случаем существования предела функции, то определение
непрерывности функции в точке можно дать в терминах
окрестностей, надо лишь к условию (5.20) добавить требование
хоеХ. Таким образом, функция /, определенная на множестве X,
непрерывна в точке х0, если для любой окрестности U(y0) точки
Уо=/\Хо) существует такая окрестность t/(x0) точки х0, что
выполняется включение
f(U(xo)C}X)c:U(yo), хоеХ.
(5.52)
178
Наконец, перенося постоянную /(х0) в равенстве (5.18) в
левую часть, внося ее под знак предела и замечая, что
обозначение х->х0 при пределе функции равносильно обозна-
чению х—хо->0 (см. п. 5.4), получим
Нт [/(х)-/(хо)] = 0. (5.53)
Х-Хо—О
Разность х—х0 называется приращением аргумента и обозна-
чается через Ах, а разность /(х)—/(х0)— приращением функции
y=f(x\ соответствующим данному приращению аргумента Ах,
и обозначается через Ajy. Таким образом,
Ах = х —х0, А<у=/(х0 + Ах)—/(х0), хоеХ, хеХ. (5.54)
В этих обозначениях равенство (5.53) принимает вид
lim Ау = 0, (5.55)
Ах—>0
т. е. непрерывность функции в точке означает, что бесконечно
малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое
приращение функции.
Примеры. 1. Функция f(x) = с, где с — постоянная, непрерыв-
на на всей числовой прямой.
В самом деле, для любого xogJ? имеет место равенство
lim /(х)= lim с = с=/(х0). □
х—х0 х->х0
2. Функция /(х) = - непрерывна в каждой точке хо=/0.
В самом деле,
^У=/(Хо + ^Х)~ДХо) = — = “7 Ад9х >
' и 7 v 7 х+Ах х0 (х0 + Ах)х0
откуда при хОт^0 имеем
lim Ах
lim Ау = — lim -—^=0.
Ах—о Дх—-o(Xo + A*)*o нт (>Со + Д*)хо xt,
Ax—*0
Это, согласно (5.52), и означает непрерывность функции /(х) = -
в точке хо^0. □
3. Функция /(x) = |signx| (см. рис. 22) не является непрерыв-
ной в точке хо = 0, так как предел этой функции (по всей
числовой оси) в точке хо = 0 не существует (см. пример 5 в п.
5.4).
179
Упражнения. 8. Выяснить, с какой степенью точности достаточно задать
значения аргумента функции х3 в данной точке х0, чтобы получить значение
функции с заданной степенью точности 8>0.
9. Выяснить, является ли функция
{xcos- при х/0,
X
О при х = 0,
непрерывной в точке х=0.
До сих пор в качестве примеров функций, определенных на
отрезках и имеющих разрывы, мы рассматривали функции, у
которых имелось либо конечное множество точек разрыва
(например, функция у = signx имеет на отрезке [—1, 1] одну
точку разрыва х = 0), либо множество точек разрыва совпадало
со всем отрезком (функция Дирихле). Приведем теперь пример
функции, имеющей бесконечное множество точек разрыва, не
совпадающее со всем отрезком, на котором задана функция.
Пример 4. Пусть функция f равна - в каждой не равной нулю
рациональной точке г = — отрезка [0, 1 ], где —— несокра-
тимая рациональная дробь, и равна нулю во всех остальных
точках отрезка, т. е. в нуле и в иррациональных точках. Эта
функция называется функцией Римана*\
Функция f разрывна в каждой рациональной точке г^О, так
как для любой такой точки существует последовательность
иррациональных чисел п=\. 2, ..., стремящихся к г, для
которых, согласно определению функции Римана, /(£,„) = () и,
следовательно,
lim ДУ=0 lim = г,
п—^оо п—^оо
т. е. функция Римана разрывна во всех рациональных точках
г т^О.
Покажем, что в каждой иррациональной точке и в нуле
функция Римана непрерывна. Пусть число £ либо нуль, либо
иррационально. Зададим произвольно 8>0 и выберем натураль-
ное п так, чтобы — <8. Обозначим через 5 расстояние от точки £
до ближайшего из чисел |, ..., -, 1. Очевидно, 8>0, так как
не равно ни одному из указанных чисел и их конечное
множество. Пусть |х — ^|<5 и х—рациональное число, т.е.
Б. Риман (1826—1866) — немецкий математик.
180
выражается несократимой рациональной дробью х=~; тогда,
согласно выбору 8, имеет место неравенство q>n, поэтому
= 1<1<8? ибо /(^) = 0. Если же |х —^|<8 и х — ирра-
циональное число, то Дх) = 0 и Дх)—Д^)| = 0<8. Это и означает
непрерывность функции Римана в точке □
5.13. КЛАССИФИКАЦИЯ ТОЧЕК РАЗРЫВА ФУНКЦИИ
Определение 14. Пусть функция f определена в некоторой
окрестности точки х0, кроме, быть может, самой этой точки.
Точка х0 называется точкой разрыва функции f, если функция
f не определена в точке х0 или если она определена в этой точке,
но не является в ней непрерывной.
Упражнение 10. Сформулировать в «позитивном» смысле определение
точки разрыва функции.
Определение 15. Если х0 — точка разрыва функции f и
существуют конечные односторонние пределы
Дхо-0)= lim /(х) и /(*о + 0)= lim Лх).
х—>Х0 — О X—.Xq + О
то точка х0 называется точкой разрыва первого рода.
Величина Дх0 +»)-/( х0 —0) называется скачком функции f в
точке х0. Если скачок функции /в точке разрыва х0 равен нулю,
т е. Дхо+0)=/(хо — 0), то х0 называется точкой устранимого
разрыва.
Последний термин оправдан тем, что если в этом случае
переопределить или доопределить (если функция f была не
определена в точке х0) функцию /, положив
Ж) =Дх0 - 0) =Дх0 + 0), (5.56)
то получим непрерывную в точке х0 функцию.
Действительно, покажем, что если для функции f: X-+R
выполнено условие (5.56), то она непрерывна в точке х0.
Положим У^У'Лхо] и Хэ = {х0}. В силу теоремы 2 п. 5.9, из
равенства Дхо + 0)=Дхо —0) следует, что в точке х0 существует
предел функции j по множеству Х19 причем, согласно условию
(5.56), он равен Дх0):
НтДх)=Дх0).
X—х0
хеХг
С другой стороны, предел функции f при х—>х0 по
одноточечному множеству Х2 = {х0}, очевидно, равен Дх0)
(предел постоянной равен самой этой постоянной):
Напомним, что односторонние пределы f(x0 — 0) и /(хо + 0) берутся по
множеству, не содержащему саму точку х0.
181
lim/(x)=/(x0).
X—x0
Поэтому, в силу леммы 5 п. 5.8,
при л->х0 У функции f существует и
предел, равный /(х0), по множеству
У=^и^2:
lim Дх)=/(х0).
х^хо
Это и означает непрерывность функ-
ции f в точке х0. □
Точка разрыва функции, не яв-
яющейся ее точкой разрыва пер-
вого рода, называется точкой раз- Рис. 26
рыв а второго рода.
Очевидно, что в точках разрыва второго рода по крайней
мере один из пределов lim /(х) или lim /(х) не существует.
х-хо-О х-хо + О
Здесь под пределом, как обычно, понимается лишь конечный
предел.
Упражнение 11. Сформулировать в «позитивном» смысле определении
точки разрыва второго рода.
Функции signx (см. рис. 19) и |sign х| (см. рис. 22) имеют в
точке хо = 0 разрыв первого рода, причем у |sign х| это
устранимый разрыв, а функции i (рис. 26) и sin- (см. рис. 21) в
X X
точке хо = 0 имеют разрыв второго рода.
5.14. ПРЕДЕЛЫ МОНОТОННЫХ ФУНКЦИЙ
Определение 16. Функция f:X-+R9 X<^R, называется возра-
стающей (убывающей) на множестве X, если для любых таких
точек х^еХ и х2еХ, что хг<х2, выполняется неравенство
/(xi) ^/(х2) (соответственно неравенство /(xj >/(x2j).
Возрастающие (убывающие) функции называются иногда
неубывающими (невозрастающими).
Если функция является возрастающей (убывающей) на
множестве X, то говорят также, что она возрастает (убывает) на
этом множестве.
Если функция f возрастает (убывает) на множестве X, то
функция —получающаяся из / изменением знака у всех ее
значений, т. е.
def
(-у) (%)=-/(%), хеХ,
является убывающей (возрастающей) на X функцией.
182
Возрастающие и убывающие на множестве X функции
называются монотонными на этом множестве.
Теорема 4. Пусть функция f\X-+R возрастает на мно-
жестве X, а = inf X, Р = sup X, причем ыфХ, р^Х; тогда у функции
f в точке ос существует предел справа и
lim /(x) = inf/(J),
х~►ос 4- О хеХ
а в точке Р — предел слева и
Таким образом, если в условиях теоремы функция f
ограничена сверху, то в точке Р у нее существует конечный
предел слева, а если / не ограничена сверху, то lim f(x) = +оо.
х—►р - О
Аналогично, если функция / ограничена снизу, то в точке ос у
нее существует конечный предел справа, а если f не ограничена
снизу, то lim f(x)= — оо.
х—►ос + О
Подобные утверждения справедливы и для убывающих
функций; их можно получить, перейдя от функции/к функции —
Следствие. Если функция f монотонна на множестве X,
def def
XqeR, множества Х< (х0) = {х: хеХ, х < х0} и Х> (х0) =
def
= {х:хеХ, х>х0} не пусты, а х0 является точкой прикосновения
каждого из них, то в точке х0 существуют конечные
односторонние пределы
/(хо-0) = sup f(x) и /(хо + О)= inf f(x), (5.57)
X < (х(р X > (х(р
причем в случае возрастающей функции
Дхо-0)^/(хо + 0), (5.58)
а в случае убывающей функции
Ж-0)^/(хо + 0). (5.59)
Доказательство теоремы. Пусть
b = sup /(х) < + оо
х
и P = supX Р^Х. Зададим произвольно окрестность U(b) точки
Ь, и пусть г| — ее левый конец. Очевидно, г|<6 и поэтому, в
силу определения верхней грани функции, существует такая
точка ^gX, что
Ж>П, (5.60)
причем, в силу условий ^gX, p^supX и Р^Х, имеем
^<р.
183
Рис. 27
всех х, удовлетворяющих
Обозначим через 17 (Р) окрест-
ность точки Р, для которой
является левым концом (т. е. ес-
ли Р — действительное число, то
левым концом интервала U(р, s) =
= fP —8, p + ej, 8~р —а если
Р=4-оо, то левым концом бес-
конечного полуинтервала (£,,
+ оо]). Тогда для любой точки
%eXQZ7(P) (5.61)
имеет место (рис. 27) неравенст-
во ^<х, а следовательно, в силу
возрастания функции /, и нера-
венство /(^ЫДх). Поэтому для
ювию (5.61) имеем
Т| < f(x)^supf(x)=b.
(5.60) X
(5.62)
Вспоминая, что точка г| является левым концом окрестности
U(6) точки Ь, из (5.62) получим из включение
f(x)eU(b),
Таким образом, для любой окрестности U (й) точки b
существует такая окрестность С7(р) точки р, что как только
xeX(}U\fy, то выполняется включение/(х)еU\b\ Это и означает,
что
lim fix) — b — supf(x\
x—»p —о x
Аналогично доказывается, что lim /(x) = inf/(x). □
x—*a + 0 X
Доказательство следствия. Пусть для определенно-
сти функция возрастает на множестве X и xQ является точкой
прикосновения непустых множеств Х< (х0) и Х> (х0). Тогда,
каковы бы ни были точки x'gJ<(x0) и хг,еХ> (х0), справедливо
неравенство
Дх')^Дх").
Поэтому функция f ограничена сверху на множестве Х< (х0)
числом Дх") и ограничена снизу на множестве Х>(х0) числом
Дх'). Следовательно,
sup Дх)<Дх"), inf Дх)^Дх'). (5.63)
X < <Хо) % >
В частности, указанные верхние и нижние грани конечны,
причем первое из неравенств (5.63) справедливо для любой
точки х"еХ> (хд), поэтому, перейдя в его правой части к нижней
грани значении функции на множестве Х> (х0), получим
184
sup f(x)^ inf Дх). (5.64)
X< (x0) X>(x„)
Этим завершается доказательство следствия, так как, согласно
теореме 4, пределы слева /(х0 — 0) и справа /(хо + 0) существуют,
причем
Дхо-0)= sup Дх), Дхо+0)= inf f(x),
X< (*о) % >
поэтому неравенства (5.58) совпадают с неравенством (5.64). □
Замечание 1. В теореме 4 для возрастающей функции
f\X—>R рассмотрены случаи, когда infA=a^y и supX=P^X
Если же, например, аеХ, то, как и для произвольной
(немонотонной) функции, здесь возможны два случая: предел
1ппДх) существует (тогда функция f является непрерывной в
х->а
хеХ
точке а) (рис. 28) или не существует (рис. 29). Аналогичная
ситуация имеет место и для точки [3.
Замечание 2. Из элементарной математики известно, что
функция
Дг) = аг, а>0, (5.65)
где г—рациональное число, reQ, монотонна на множестве всех
рациональных чисел Q (см. также п. 2.6*). Так как всякое
действительное число является пределом рациональных чисел
(см. следствие леммы 1 в п. 4.10), то, согласно следствию
теоремы 4, для любого xeR существуют пределы Дх—0) и
Дх+0) (по множеству рациональных чисел, так как только на
них определена рассматриваемая здесь функция f). В дальней-
шем (см. п. 7.2) будет показано, что в случае функции (5.65)
имеет место равенство
Дх-0)=/(х+0).
Это общее значение односторонних пределов функции (5.65) в
точке х обозначается через ах.
Данный пример показывает, что понятие предела по
множествам встречается уже в самых простейших ситуациях.
185
Замечание 3*. Из теоремы 4 следует, что всякая
монотонная на конечном (бесконечном) интервале функция
может иметь только точки разрыва первого рода, причем их
множество не более чем счетно (т. е. конечно или счетно).
В самом деле, пусть для определенности функция /:(я,
возрастает на интервале (a, b), — oo^acb^ + оо. Прежде всего,
согласно следствию из теоремы 4, функция / в каждой точке
Ь) имеет конечные пределы слева Дх0—0) и справа
Дхо + 0), а следовательно, может иметь только разрывы первого
рода (определение точки разрыва первого рода см. в п. 5.13),
при этом у нее не может быть точек устранимого разрыва.
Действительно, если хое(я, Ь), то для всех х'е(а, х0) и х"е(х0> Ь),
в силу возрастания функции /, справедливо неравенство
откуда
sup inf f(x). (5.66)
(a, xQ) (xQ, b)
Здесь (а, х0) = {хе(я, Z?):x<x0}, a (x0, b} = {xE(a, £):x>x0),
поэтому, согласно (5.57), неравенство (5.66) можно записать в
виде
/(xo-0)^/(xo)</(xo+0). (5.67)
Если х0 — точка устранимого разрыва, т. е. имеет место
неравенство Дх0 —0)=Дхо + 0), то, в силу (5.67), выполняется
условие
Дх0 - о) =/(*o) =Дхо +
что означает (см. п. 5.9) непрерывность функции f в точке х0.
Итак, если х0— точка разрыва функции /, то
/(х0 — 0) </(х0 + 0).
Сопоставим каждой точке разрыва х0 функции / интервал
Дх0 —0), Дхо + 0)) и покажем, что эти интервалы не пересе-
каются. В самом деле, если х} и х2— две точки разрыва
функции f и, например, х1<х2, то Дх1 + 0)<Дх2 — 0). Докажем
это. В силу возрастания функции /, для любых точек х' и х"
таких, что х± <х'<х"<х2, справедливо неравенство Дх')^Дх").
Перейдя в этом неравенстве к пределу при х'—►а^+О, получим
Дх1 + 0)^/(х"). Устремляя здесь х” к х2 слева: х"->х2 —0, будем
иметь
/(x1+0)</(x2-0),
т. е. правый конец интервала Дхх — 0), Дх1 + 0)) не больше
левого конца интервала Дх2 — 0), Дх2 + 0)). Отсюда, очевидно, и
следует, что указанные интервалы не пересекаются.
186
Итак, точкам разрыва монотонной функции f\(a, b]-+R
можно поставить во взаимно однозначное соответствие некото-
рую систему попарно не пересекающихся интервалов. В каждом
таком интервале выберем по одному рациональному числу
(такие числа всегда существуют, поскольку множество рацио-
нальных чисел всюду плотно на числовой оси (см. замечание в
п. 4.11*)). В результате получим взаимно однозначное соответ-
ствие между интервалами указанной системы, а следовательно,
и между точками разрыва функции и некоторым подмножест-
вом множества рациональных чисел. Но всякое подмножество
счетного множества (каким является множество рациональных
чисел (см. п. 4.11*)) либо конечно, либо счетно, следовательно,
конечно либо счетно множество точек разрыва монотонной
функции. □
5.15. КРИТЕРИЙ КОШИ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРЕДЕЛА
ФУНКЦИИ
В настоящем пункте по аналогии со случаем последователь-
ностей будет получено необходимое и достаточное условие
того, что функция имеет конечный предел в данной точке х0,
причем это условие будет сформулировано только в терминах
значений самой функции, следовательно, значение указанного
предела в этом условии не участвует.
Как и раньше, под точкой х0 понимается либо действитель-
ное число, либо одна из бесконечностей оо, +оо или — оо, и х0
является точкой прикосновения множества определения рас-
сматриваемой функции.
Теорема 5 (критерий Коши). Для того чтобы функция
f'X-^R. имела в точке х0 конечный предел, необходимо и
достаточно, чтобы для любого е>0 существовала такая
окрестность U(x0) точки х0, что для любых x'eU^x^^X и
х"еи(х^Д\Х выполнялось бы неравенство
|/(л")-/(х')|<8.
Доказательство необходимости. Пусть f\X-+R и
lim J\x} = aeR. Это означает, что для любого 8>0 существует
такая окрестность [/(х0) точки х0, что для каждого xeU(x$\X
справедливо неравенство
|/-(х)-«|<|. (5.68)
Пусть и х"е£7(х0)ПХ; тогда, в силу (5.68), будем
иметь
187
I7(x")-/(x')l=![/(*")-«]+[й-Ж)]1 <
^|/(x") —a| + |a—/(x')l<|+|=e- □
Доказательство достаточности. Пусть функция
f\X->R такова, что для любого 8>0 существует такая
окрестность U(x^ точки х0, что для всех
х'е£7(х0)ПХ x"eU{x0)Q\X, (5.69)
выполняется неравенство
|/(х")-Дх')|<8. (5.70)
Покажем, что отсюда следует существование у функции f
конечного предела в точке х0. Возьмем какую-либо последова-
тельность хпеХ, л=1, 2, ...,
limxn = x0 (5.71)
«—►со
и произвольно зададим 8>0. Для этого 8, согласно сделанному
предположению, существует окрестность U(х0) точки х0, удовлет-
воряющая условиям (5.69) — (5.70). В силу же условия (5.71), для
этой окрестности U (х J существует такое noeN, что при всех п > п0,
neN, имеет место xneU(х0), а так как хпеХ, то xneU(x$\X, п = п0 + 1,
и0 + 2, ... . Отсюда, принимая во внимание (5.69) — (5.70), полу-
чаем, что для всех n>nG и всех т>п0 выполняется неравенство
\f(xn)-f(xm)\<£,
т. е. последовательность {/(хи)} удовлетворяет условиям крите-
рия Коши для числовых последовательностей (см. п. 4.7) и,
следовательно, сходится.
Таким образом, для каждой последовательности хпеХ, п = 1,
2, ..., lim хи = х0, последовательность {/(хи)} сходится. Отсюда,
и—►оо
как известно (см. лемму 4 в п. 5.6), следует существование
конечного предела lim /(х). □
В том случае, когда х0 является числом, условие Коши
можно сформулировать следующим образом:
для любого 8>0 существует такое 8>0, что для любых х'еХ
и х"еХ, удовлетворяющих условиям |х' —х0|<8, |х"—х0|<8,
выполняется неравенство
|/(х")-/(х')|<Е.
При х0 = оо условию Коши можно придать следующий вид:
для любого 8>0 существует такое 8>0, что для любых х'еХ
и х"еХ, удовлетворяющих условиям |х'|>8, |х"|>8, выполняется
неравенство |/(х") — Дх')| < £.
Для случая односторонних пределов условие Коши можно
перефразировать без термина «окрестность» следующим образом:
188
для любого 8>0 существует такое т| (ц<х0, когда
рассматривается предел слева, и т]>х0, когда предел справа),
что для любых х'еХ и х"еХ, удовлетворяющих условию
Г|<х'^х0, т|<х"^х0 или соответственно х0^х'<т|, х0^х"<т|,
выполняется неравенство |/(х") —/(%') | < 8.
к Отметим, что все эти критерии существования предела
функции, относящиеся к разным случаям и имеющие разную
формулировку, благодаря удачно выбранной терминологии
(понятию окрестности) получили единое доказательство.
5.16. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ КОМПОЗИЦИИ ФУНКЦИЙ
* Рассмотрим вопрос о существовании конечных и бесконеч-
ных пределов композиций функций, каждая из которых имеет
соответствующий предел.
Если f\X-^R, g:Y-+R и выполнено условие f(X)czY, то на
множестве X определена композиция go/ функций / и g или, как
говорят, сложная функция g[/(x)]. Рассматриваемые ниже
пределы lim f(x) и lim g(y) могут быть конечными или
х->х0 y-+yQ
бесконечными, а х0 и — конечными или бесконечно удален-
ными точками прикосновения (см. п. 5.4) соответственно
множеств X и f(X)-
Теорема 6. Пусть f\X-+R. g: Y-+R, f(X)<=Y и существуют
конечные или бесконечные пределы
lim/(x)=y0, (5.72)
lim g(y); (5.73)
у-^у0
тогда при х->х0 существует и предел (конечный или бесконеч-
ный) сложной функции g [/(*)], причем
lim g [/(%)]= lim g(y).
x0 У-^Уо
Следствие. Если f'.X^>R, g:Y-*R, f(X)ciY и функция f
непрерывна в точке хоеХ, а функция g непрерывна в точке
Ув=/(х^, то сложная функция g[/(x)] непрерывна в точке х0.
Короче (но менее точно), непрерывная функция от непрерыв-
ной функции непрерывна.
Доказательство теоремы. Обозначим значение преде-
ла (5.73) через z0:
limg(y) = z0
у—у0
(z0 — число либо одна из бесконечностей) — и зафиксируем
произвольным образом окрестность U=U(z0) точки z0. Тогда,
согласно определению предела, существует такая окрестность
К= V(у0) точки у, что если
уеУПК(у0), (5-74)
189
то
g(y)ef7(z0). (5.75)
Далее, для полученной окрестности Е(у0), в силу существо-
вания предела (5.72), найдется такая окрестность W= IV (х0), что
если
хеХПИ/(х0), (5.76)
то
/(х)еИ(уо),
а так как /(х)еУ, то
/(x)eW(y0). (5.77)
Из выполнения условий (5.76) — (5.77), в силу (5.74) — (5.75),
при у=/(х) имеем: если выполнено включение (5.76), то (рис. 30)
g [/(*)] e£/(z0).
Так как окрестность L7(z0) точки z0 была произвольна, то
это означает, что при х—>х0 у функции g [/(^)] существует
предел, равный z0:
lim g[/(x)] = z0 = lim g(y). □
x-^x0 y->y0
Утверждение следствия является частным случаем теоремы,
когда lim /(х)=/(х0) и lim g(y)=g(y0) (при этих предполо-
х-^%0 У~*Уо
жениях точки х0 и у0 принадлежат соответственно множествам
X и У, поэтому являются их точками прикосновения):
lim g[/(x)]= lim g(y)=g(y0)=g [/(*o)] •
y-+yG
Замечание 1. Если f.X-^>R,g:X^>R, существует предел
(5.72) и множество У содержит некоторую окрестность V(yG)
точки у0:
Г(у0) с У, (5.78)
то, в силу существования предела (5.72), найдется такая окрест-
ность И/=Й/(х0) точки х0, что
ЖГЖ)^И(у0),
и, следовательно, для сужения /0 функции f на множестве УрИ7
выполнено включение
/0(ХПИЭ<=У. (5.79)
Таким образом, если перейти к сужению /0 функции /, то при
указанном дополнительном предположении (5.78) в условиях
теоремы 6 можно не требовать существования композиции
190
функций g и /0, т. е. выполнения
условия f(X)<^Y—в указанном
выше смысле оно выполняется
автоматически, а именно имеет
место включение (5.79) и поэто-
му существует композиция g°f0.
Замечание 2. Утверждение
следствия теоремы 7 можно за-
писать в виде формулы
lim g[/(x)]=g[ lim /(х)], (5.80)
X—*Xq X~>Xq
из которой видно, что, образно
говоря, операция предельного пе-
рехода перестановочна с опера-
цией взятия непрерывной функ-
ции.
В самом деле, левая часть равенства (5.80), в силу
непрерывности функции g [/(х)] в точке х0 (см. следствие
теоремы 6), равна g [/(x0)J. сЭтому же значению g [/(а0)] равна
и правая часть равенства, но уже в силу непрерывности функции
f в той же точке х0.
Замечание 3. Доказанную в теореме 6 формулу
lim g [/(%)]= lim g(y),
-v->xo y-^0
(5.81)
где y0= lim /(x), можно рассматривать как правило заме-
Х-^Л-0‘
ны переменного для вычисления пределов слож-
ных функций.
Употребляя обозначение композиции функций go/, равенство
(5.81) можно записать в виде
lim (g°»(x)= lim g(y).
x^xQ y^yQ
Замечание 4. Пусть f'.X-^R, g:Y-+R, f(X)c:Y и
lim f(x)=y0. В этом случае, согласно теореме 6, из сущест-
вования предела (конечного или бесконечного) в правой части
равенства (5.81) следует существование соответствующего пре-
дела в левой части и равенство этих пределов. Если, кроме того,
отображение f:X^>Y является взаимно однозначным отобра-
жением множества Уна множество У (т. е. на У существует
однозначная обратная функция У^1) и если lim (y) = xG, то и
У^Уо
191
наоборот, из существования конечного или бесконечного преде-
ла в левой части равенства (5.81), следует существование
соответствующего предела в правой части этого равенства.
Таким образом, при сделанных предположениях предел (ко-
нечный или бесконечный) lim g [/(х)] существует тогда и
х—>х0
только тогда, когда существует (конечный или бесконечный)
предел lim g(y), причем в случае их существования они равны.
У^Уо
С одной стороны, это утверждение составляет содержание
теоремы 6. С другой —оно также следует из этой теоремы, если
ее применить к композиции (g0/)-/1 функций у1 и grf.
Согласно теореме 6, из существования пределов lim 1 (у) = х0
У~+Уо
и lim (g°/)(x) следует, что существует предел
lim ((go/)o/^1)(r)= lim (g7)(x),
У~+Уъ
но (gof) jjp1 =g° (f°f~1)=g- Тем самым существует предел
lim g(j), причем lim g(y) = lim (g°/)(x).
У-^Уо У~*Уо л-->л0
§ 6. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
НА ПРОМЕЖУТКАХ
6.1. ОГРАНИЧЕННОСТЬ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ.
ДОСТИЖИМОСТЬ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ
В настоящем параграфе будет изучен ряд важных, находящих
многочисленные применения свойств непрерывных функций.
Определение 1. Функция f\X-+R. XczR. называется непрерыв-
ной на множестве X, если она непрерывна по множеству X в
каждой его точке (см. определения 5 и 8 в п. 5.5).
Важным классом непрерывных функций является класс
функций, непрерывных на промежутках числовой оси. Начнем
его изучение с функций, непрерывных на отрезках. Если
функция /непрерывна на отрезке [а, А], то ее непрерывность в
точке х = а означает непрерывность справа, а ее непрерывность
в точке х = Ь -непрерывность слева в этих точках.
Будем говорить, что функция /: X-+R достигает на мно-
жестве X своей верхней (нижней) грани P = sup/(a = inf/), если
X X ‘
существует такая точка хоеХ, что /(х0) = р (соответственно
Дх0) = а).
192
Теорема 1 (теорема Вейерштрасса). Всякая непрерывная на
отрезке функция ограничена и достигает на нем своей верхней
грани и своей нижней грани.
Доказательство. Пусть функция/непрерывна на отрезке
[а9Ь\ и ПУСТЬ
М= sup /(х);
М, как и всякая верхняя грань непустого множества чисел,
может быть либо конечной, либо бесконечной, равной +оо.
Покажем, что М< +оо и что существует такая точка хое[я, й],
что f(x0) = M.
Выберем какую-либо последовательность таких чисел ап,
77=1, 2, ..., что
lim ап = М, ап<М, п= 1, 2, .... (6.1)
«->00
Согласно определению верхней грани функции, для каждого а„
77=1, 2, ..., существует такая точка хпе[а, д], что
/(%„)>«„,«= 1,2,.... (6.2)
С другой стороны, поскольку М — верхняя грань функции /, для
всех точек хе[а, д] справедливо неравенство
Дх)^М. (6.3)
Последовательность {х„} ограничена: а^хп^Ь, и =1,2, ...,
поэтому по теореме Больцано — Вейерштрасса (см. п. 4.6) из
нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность {хп }
к
lim хп =х0 . (6.4)
к-+со к
Так как а^х„ ^Ь, к = 1, 2, ..., то (почему?) и а^х0^Ь.
к
Из неравенств (6.2) и (6.3) следует, что для всех Л=1, 2, ...
справедливы неравенства
ап <f(xn (6.5)
к к
Предел всякой подпоследовательности последовательности,
имеющей конечный или бесконечный предел, равен пределу всей
последовательности; поэтому из (6.1) имеем lim ап = М. Пере-
се->00 к
ходя в (6.5) к пределу при к-*сс, получаем
lim f(xn ) = М. (6.6)
к—>сс к
7-1807
193
С другой стороны, в силу непрерывности функции f на отрезке
[a, Z>j она непрерывна в точке х0 этого отрезка и, следователь-
но, из (6.4) следует, что
lim/(х„ )=/(х0). (6.7)
k-*cv к
Из (6.6) и (6.7) имеем Л/=/(х0).
Таким образом, доказано, что верхняя грань М функции f
совпадает со значением функции в точке х0 и, следовательно,
конечна. Тем самым функция f ограничена сверху и ее верхняя
грань достигается в точке хое[я, />].
Аналогично доказывается, что непрерывная на отрезке
функция ограничена снизу и достигает на нем своей нижней
грани. □
Теорема, аналогичная теореме 1, несправедлива для проме-
жутков, не являющихся отрезками; в этом легко убедиться,
тт д. 1
построив соответствующие примеры. Например, функция у = -
непрерывна в каждой точке интервала (0, 1) и вместе с тем не
ограничена на нем; функция у-=х непрерывна на всей числовой
оси и не ограничена на ней.
Отметим еще, что если функция f непрерывна не на отрезке,
а на промежутке другого типа и даже, кроме того, ограничена
на нем, она, вообще говоря, не имеет наибольшего и
наименьшего значения. Например, функция у = х на интервале
(О, 1) и y = arctgx на всей числовой прямой, хотя они
непрерывны (непрерывность функции j = arctgx будет доказана
в п. 7.3) и ограничены в указанных промежутках, не достигают
своих верхних и нижних граней.
Упражнения. 1. Пусть функция f определена и непрерывна на отрезке
[а, 6] и /'(х)>0 для всех хе[а, Л]. Тогда существует такое о О, что f(x[>c для
всех хе[а, Л].
2. Доказать, что функция /, непрерывная на конечном или бесконечном
полуинтервале [я, Ь), а<Ь^+ оо, и имеющая конечный предел lim f(x),
x-^b — 0
ограничена на [а, Ь).
6.2. ПРОМЕЖУТОЧНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
Теорема 2 (теорема Больцано — Коши). Если функция f
непрерывна на отрезке \а. ЬЛ и f(a) = A,f(b) = B, то для любого
С, заключенного между А и В, существует такая точка
£,е[я, £], что —
Иначе говоря, непрерывная на отрезке функция, принимая
какие-либо два значения, принимает и любое лежащее между
ними значение.
194
Доказательство. Пусть для определенности /(#) =
и А<С<В. Разделим отрезок \щ Z?] точкой х0 на
два равных по длине отрезка; тогда либо j\x0) = C и, значит,
искомая точка ^ = х0 найдена, либо /(х0)/С и тогда на концах
одного из полученных отрезков функция f принимает значения,
лежащие по разные стороны от числа С, точнее — на левом
конце значение, меньшее С, на правом — большее.
Обозначим этот отрезок [а1? b{ J и разделим его снова на
два равных по длине отрезка и т. д. В результате либо через
конечное число шагов придем к искомой точке в которой
Д^) = С, либо получим последовательность вложенных отрезков
[аи, £и], по длине стремящихся к нулю и таких, что
/(«„)< С<Ж). (6.8)
Пусть S,— общая точка всех отрезков [а„, п=1, 2, ... (см.
п. 3.7). Как известно (см. (4.26)), = lim ап= lim Ьп. Поэтому, в
силу непрерывности функции /’
77->ОС
/7—>00
Ж= lim /(«„) = lim /(£„). (6.9)
/7—>00 /7—>00
Из (6.8) же получим (см. п. 3.3)
lim Да„)<С< lim j\bn).
П-^СО
(6.10)
Из (6.9) и (6.10) следует, что /(^) = С. □
Следствие 1. Если функция непрерывна на отрезке и на его
концах принимает значения разного знака, то на этом отрезке
существует хотя бы одна точка, в которой функция обращает-
ся в нуль.
Это следствие — частный случай теоремы (рис. 31).
Следствие 2. Пусть функция f непрерывна на отрезке
[я, £>] и M=supf, m = inff. Тогда функция f принимает все
значения из отрезка [т, 7И] и только эти значения.
Для доказательства заметим, что если
М= sup J\ т = inf то m^f(x)^M
М] [а,Ь]
и, согласно теореме 1, существуют такие точки осе[я, и
Ре[я, £>], что = /(р) = 7И. Теперь рассматриваемое след-
ствие непосредственно вытекает из теоремы 2, примененной к
отрезку Гос, pl, если а^р, или соответственно к отрезку Гр, осТ,
если р<ос.
Таким образом, множество всех значений функции, заданной
w непрерывной на некотором отрезке, представляет собой
^акже отрезок.
195
—। Отметим, что свойство непрерывных
; функций принимать все промежуточные
а / 1б значения справедливо для любого проме-
~[ у 1 жутка (конечного или бесконечного). Имен-
но: если непрерывная на некотором про-
Рис. 31 межутке функция принимает в двух его
точках а и Ь, причем а<Ь. два каких-то
значения, то она принимает и любое промежуточное. В самом
деле, согласно теореме 2, рассматриваемая функция заведомо
принимает указанное значение в некоторой точке отрезка [а, 6],
который является частью исходного промежутка.
Замечание. Как в теореме 1, так и в теореме 2 было
доказано существование точки на данном отрезке, в которой
значение рассматриваемой непрерывной функции обладает
определенным свойством (в первой теореме в этой точке
достигается экстремальное значение, во второй — принимается
заданное промежуточное значение). Однако между методами,
примененными для доказательства этих утверждений, имеется
принципиальное различие. Метод доказательства теоремы 2
дает возможность не только доказать в общем случае существо-
вание указанной точки, но и фактически найти ее с любой
заданной степенью точности для каждой конкретной функции:
нужно разделить отрезок, на котором ищется точка, достаточ-
ное число раз пополам, выбирая каждый раз половину согласно
правилу, указанному при доказательстве; концы получившегося
отрезка и будут приближенными значениями указанной точки.
Метод же доказательства теоремы 1 не позволяет указать
способ, с помощью которого для каждой непрерывной на
отрезке функции можно было бы найти точки, в которых она
принимает экстремальные значения. Это обусловлено тем, что
доказательство этой теоремы основано на теореме Больцано —
Вейерштрасса, утверждающей лишь возможность выделения
из каждой ограниченной последовательности сходящейся под-
последовательности. Конкретного метода, или, как это принято
говорить, алгоритма, для выделения из любой ограниченной
последовательности сходящейся подпоследовательности не су-
ществует.
Заметим еще, что при использовании какого-либо алгоритма
на практике важно, как быстро он приводит к цели. С этой
точки зрения при приближенном решении уравнения /(х) = 0
обычно применяется не метод последовательного деления
отрезка пополам, а другие алгоритмы, быстрее приводящие к
цели (см. § 62 во втором томе).
Задача 7. Доказать, что периодическая непрерывная на всей числовой оси
функция, отличная от постоянной, имеет наименьший период. Привести пример
периодической функции, определенной на всей числовой оси и отличной от
постоянной, которая не имеет наименьшего периода.
196
6.3. ОБРАТНЫЕ ФУНКЦИИ
Определение 2. Функция f, определенная на числовом
множестве X, называется строго возрастающей (строго убы-
вающей), если для любых двух чисел хгеХ и х2еХ таких, что
х.<х2, выполняется неравенство /(х1)</(х2) (соответственно
Функция, строго возрастающая или строго убывающая,
называется строго монотонной.
Если функция является строго возрастающей (убывающей)
на множестве Х9 то будем также говорить, что она строго
возрастает (убывает) на этом множестве.
i Очевидно, что строго монотонная (возрастающая, убываю-
щая) функция является и просто монотонной (соответственно
возрастающей, убывающей) функцией в смысле определения 16
из п. 5.14.
Лемма 1. Пусть функция f строго возрастает (убывает)
на некотором множестве X^R и пусть Y—множество ее
значений. Тогда обратная функция (см. п. 1.2*J является
однозначной строго возрастающей (убывающей) функцией на
множестве Y.
Доказательство. Пусть для определенности функции f
строго возрастает на множестве X. Докажем, что обратная
функция однозначна.
Допустим противное. Пусть существует такая точка yeY. что
множество f~*(y) содержит по крайней мере две различных
точки хг и х2:
W И X2ef~X (Л
и, следовательно,
Ж)=Ж)- (6.11)
Для двух чисел xt и х2, х1У:х2 справедливо одно из двух
неравенств: хх<х2 или Xi>x2, в первом случае, в силу строгого
возрастания функции /, имеем /(^t)</(x2), а во втором
/(xi)>/(x2), т. е. в обоих случаях равенство (6.11) не выполняет-
ся. Таким образом, для каждого yeY множество X1 0') состоит
в точности из одной точки, т. е. функция однозначна.
Докажем теперь, что функция f~l строго возрастает на
множестве Y. Пусть
У1<У2^ ТЖ у2^У (6.12)
и пусть x1=f~l{yi\x2=f~1(y2). Следовательно,
>;2:=/(х2). Для любых двух чисел хг и х2 справедливо одно из
трех соотношений: либо х1>х2, либо хг=х2, либо х1<х2. Если
*i>x2 или х1=х2, то соответственно было бы yt>y2 (в силу
строгого возрастания функции /) или Т1=Т2 (в силу однознач-
197
ности), что противоре-
чило бы неравенству
(6.12). Таким образом,
из неравенства (6.12)
следует, что хг<х2, а
это и означает строгое
возрастание функции
/-1 на множестве Y,
В случае строго
убывающей на мно-
жестве функции f дока-
зательство можно ли-
бо провести аналогичным образом, либо свести к уже рассмот-
ренному случаю рассмотрением функции —/ ибо когда функция
f строго убывает на множестве X. функция —f строго
возрастает на этом множестве. □
Теорема 3. Пусть функция f определена, строго воз-
растает (убывает) и непрерывна на отрезке [a, />]; тогда
обратная функция f~r определена, однозначна, строго воз-
растает (убывает) и непрерывна на отрезке с концами в точках
Да) и ДЬ) (рис. 32).
Доказательство. Проведем доказательство теоремы для
строго возрастающих функций. Пусть c=f(a\ d=f(b\
Покажем, что областью определения обратной функции /-1
является сегмент [с, d], или, что то же, [с, d] — множество
значений функции /. В самом деле, из возрастания функции f
следует, что /(я) </(*) </(&), т. е. что f(x)e[c, d} для любого
хе[а, b\. С другой стороны, каково бы ни было d], т. е.
согласно теореме 2, существует такая точка
хе[а, Z?], что f(x)=y. Таким образом, все значения заданной
функции /лежат на отрезке [с, dy и каждая точка этого отрезка
является значением функции / в некоторой точке. Это и
означает, что отрезок [с, г/] является множеством значений
функции /.
Отметим, что это утверждение следует также и из следствия
2 теоремы 2, если заметить, что в данном случае
с= min /(х), d= max /(х).
\а, Ь] _ [а, Ь]
В силу леммы, функция / 1 однозначна и строго возрастает
на отрезке [с, d\.
Покажем, наконец, что функция /-1 непрерывна на [с, d\
Пусть d\ и х0==/-1 (j0). Пусть c<yQ<d, т. е. у0 — внут-
ренняя точка отрезка [с, <71, тогда, в силу строгого возрастания
функции /-1, и а<х$<Ь. Зафиксируем некоторое 8>0. Не
ограничивая общности дальнейших рассуждений, можно счи-
тать (почему?), что 8 таково, что
198
а^х0-г<х0<х0 + г^Ь. (6.13)
Пусть =/(х0 - е), у2 =У(х0 + с).
Тогда из условия (6.13), в силу
строгого возрастания функции f,
следует, что <y0<y2^d.
Возьмем 8>0 так, чтобы
yi^Jo-8<3’o + S^J;2 (Рис- 33)-
Если теперь выбрать у так, что
у0 — 8<у<у0 + 8, то, тем более,
и, следовательно, в силу строго-
го возрастания функции У""1, справедливо неравенство
*0-£=У M-FtW +
Таким образом, для е>0 указано такое 8>0, что для всех
уе (Уо ~ У о + 5) выполняется неравенство
I/-1 (у)-У-1(Уо)1<£»
т. е. функция У-1 непрерывна в точке у0. Если теперь у0 = с или
y0 = d, то аналогичными рассуждениями доказывается, что
функция У-1 непрерывна справа в точке с и непрерывна слева в
точке d.
Теорема для строго возрастающих функций доказана пол-
ностью.
Напомним, что функция f строго убывает тогда и только
тогда, когда функция —f строго возрастает, поэтому справедли-
вость теоремы для строго убывающих функций следует из
рассмотренного случая. □
Рассмотрим теперь случай функции, определенной на ин-
тервале.
Теор ем а 4. Пусть функция f определена, строго возрас-
тает (убывает) и непрерывна на интервале (а, Ь) (конечном или
бесконечном) и пусть
с~ lim f(x),d= lim f(x).
х->я + 0 x-*b—0
Тогда обратная функция f~v определена, однозначна, строго
возрастает (убывает) и непрерывна на интервале (конечном или
бесконечном) с концами cud (рис. 34).
При этом в случае а= — оо под lim f(x) понимается пре-
х-> — со+0
Дел lim f(x), а в случае Ь= + оо под пределом lim f(x) —
х-> —оо v 7 х-> + оо—О
предел lim /(х).
х-> + оо
199
Доказательство. Пусть для опреде-
♦ ления функция f строго возрастает в
d_________ интервале (а, Ь). Покажем, что в этом
у? случае множеством ее значений является
/1 интервал (с, d). Действительно, согласно
I теореме о пределах монотонных функций
с | (см. п. 5.14), имеем с= inf / d= .sup/ и,
___1______।__(а, b) (а, Ъ)
0 а 6 х следовательно, для любого хе(а, Ь) спра-
РИС. 34 ведливо неравенство c^f(x)^d. Более того,
для всех хе(а, Ь) выполняются еще неравен-
ства /(x)/c,/(x)/d. В самом деле, если бы, например, существо-
вало такое х0, что a<xG<b и /(х0) = с (это, очевидно, возможно
только тогда, когда нижняя грань с конечна), то при a<x<xG
выполнялось бы неравенство /(х)</(х0) = с, что противоречило
бы тому, что c = (inf)/ Итак, для всех хе(а, Ь) выполняются
неравенства c<f(x)<d. С другой стороны, с = inf / sup /
(a, b) (a, b)
поэтому для любого у, c<y<d, существуют такие х1с(«, Ь) и
х2е(я, by что Л=/(х1) и У2=1\х1) удовлетворяют неравенствам
с<У\<y<y2<d.
Отсюда следует, что х1<х2*), и поскольку f(x1)=y1 и f(x2)=y2,
по теореме Больцано — Коши о промежуточных значениях
непрерывных функций, существует такая точка хеГх1? х2], что
/(х)=^. Таким образом, для любой точки уе(с, d) существует
такая точка хе(а, Ь), что f(x)=y.
Тем самым доказано, что действительно множеством значе-
ний функции / или, что то же, множеством определения
обратной функции /-1, является интервал (с, d). То, что
функция /~г однозначна и строго монотонно возрастает в
интервале (с, d), следует из леммы. Ее непрерывность доказы-
вается дословным повторением доказательства непрерывности
обратной функции в предыдущей теореме. Как и выше, теорема
для строго монотонно убывающей функции следует из уже
доказанной теоремы о строго монотонно возрастающей функ-
ции с помощью рассмотрения функции —/ □
Замечание. Аналогично доказывается, что если функция
строго возрастает и непрерывна на полуинтервале \а, Ь)9
— оосжб^+оо, или на (а, Ь], — со^а<Ь< +оо, то обратная
функция определена, строго возрастает и непрерывна на
*) Случай хг^х2 невозможен, так как тогда бы в силу возрастания функции
f выполнялось неравенство
200
полуинтервале [с, d), где c=f(a\ d= lim f(x\ соответственно
x-+b —0
на (c,d], где c= lim^/(x), d=f[b) (рис. 35).
Случай строго убывающей на полуинтервале функции Дх)
можно свести к случаю строго возрастающей функции, рас-
смотрев функцию —Дх).
Пример. При любом целом положительном п степенная
функция у = хп строго возрастает и непрерывна на положитель-
ной полуоси х>0.
Действительно, если 0^х1<х25 то, перемножая п раз эти
неравенства, получим Xi<x2, т. е. функция у = хп, м=1, 2, ...,
строго монотонно возрастает. Для доказательства непрерыв-
ности функции у = хп заметим, что функция y=f(x) = x непре-
рывна в любой точке хоеЯ. Действительно, в этом случае
Л)=Дх0) = х0, поэтому Ау=у— J;o = x — х0 = Ах. Следовательно,
если задано 8>0, то, взяв 5 = 8, получим, что из условия |Ах| < 5
следует |А j/| = |А х| < 5 = 8. Это и означает непрерывность функ-
ции у — х в точке х = х0. Функция же у = хп является произведе-
нием п одинаковых функций f(x) = x и потому (см. п. 5.10) также
непрерывна во всех точках xeR.
Из того, что lim х=4-оо, очевидно, следует, что
х-+ + 00
Вт х"=+оо, п = 1, 2, ... . Кроме того, в нуле функция у — х"
х—* + оо
обращается в нуль. Поэтому, согласно замечанию к теореме 4,
Множеством значений степенной функции у = хп при х О
является неотрицательная полуось у^О.
Обратной функцией для функции уп = х является корень
и-й степени уу, и=1, 2, ... . Согласно теореме 4 и доказан-
ным свойствам степенной функции у = хп, корень п-й степе-
ни и=1,2,..., определен для любого неотрицатель-
ного у.
201
Таким образом, из доказанных теорем следует, в частности,
существование и единственность положительного корня п-й
степени из любого положительного числа.
Замечание. Из рассмотренного примера еще раз следует,
что любой промежуток содержит иррациональные числа (см.
следствие 2 из теоремы 8 в п. 4.11*). Покажем сначала, что
число yfl (существование которого вытекает из рассмотренного
выше примера) является иррациональным. Допустим против-
ное: пусть существует рациональное число, равное квадратному
корню из двух. Запишем это число в виде несократимой дроби р~
Я
(р и q — взаимно простые натуральные числа):
Тогда p2 = 2q2 и, следовательно, число р делится на 2.
Действительно, если бы р было нечетным, т. е. p = 2k+\. keN,
то число р2 = (2 к+ 1)2 = 4/с2 + 2 к+ 1 также было бы нечетным и
равенство р2 = 2к2 не имело бы места. Итак, р = 2к. но тогда
4/r2 = 2g2, или q2^=2k2. Отсюда, как и выше, следует, что
q — четное число. Четность чисел р и q противоречит предполо-
жению о несократимости дроби -.
я
Из доказанного, очевидно, следует, что всякое число вида
—-—, т и п — натуральные, также иррационально. В самом
п
деле, если бы оно было рациональным 7??з/Е=£, то и ^/2
п q v
оказалось бы рациональным числом: х/2 . Отсюда, в свою
v т q
очередь, следует, что всякий интервал содержит иррациональное
число (сравните с п. 4.11*), и притом вида , т и п — целые.
п
Действительно, пусть 0 а < Ь. Выберем натуральное п так,
чтобы ^^-<Ь — а, а затем натуральное т так, чтобы
п
(т — < т yjl
п л
in р2.
Тогда а< -~-<Ь. Если же а<Ъ^к то, в силу доказанного,
п
существуют такие целые т и и, что
202
0^ — Ь<..У-.< — а;
п
поэтому
т -Jl 1
а< ——-—<о .
п
В случае a<S)<b, согласно доказанному, существуют такие
/ \ т 1 I—।
целые тип, что а<\э<—-—<b. U
п
§ 7. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
7.1. МНОГОЧЛЕНЫ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
Теорема 1. Любой многочлен непрерывен в каждой точке
числовой оси.
В самом деле, функция у = с, где с—постоянная, непрерывна
на всей числовой оси R. Это показано в примере 1 п. 5.12.
Функция вида у = хп также непрерывна при каждом фиксиро-
ванном neN в любой точке xeR. Это показано в п. 6.3 (см.
приведенный там пример).
Всякий же многочлен получается из функций вида у = с и
у = хп с помощью их сложения и умножения, а поэтому является
непрерывной функцией в каждой точке числовой оси R (см. п.
5.10). □
Р (х}
Теорема 2. Всякая рациональная функция —уЦ (Р(х) и
Q (х) — многочлены) непрерывна во всех точках числовой оси R, в
которых ее знаменатель Q(x) не обращается в нуль.
Это непосредственно следует из того, что многочлены Р(х) и
2(х) непрерывны в каждой точке xeR и частное непрерывных
функций также непрерывно во всех точках числовой оси, в
которых делитель не обращается в нуль (см. п. 5.10).
Эту теорему удобно использовать при нахождении пределов
рациональных функций. Пусть требуется найти lim —Для
v Y Q и)
л—>ло
этого нужно сначала, если, конечно, это возможно, сократить
Р ( v)
Дробь -44 на множитель (х —х0)п с наибольшим возможным
показателем п 1. Если получившуюся рациональную дробь
Р Ы
обозначить 1 , то (см. п. 5.4)
203
lim lim
6W v^v W
Л * A,q A * A q
Если Cj(xo)^0, то, в силу теоремы 2, этот предел равен
, если же Q± (хо) = 0 (и, значит, Pt (хо)#0, ибо в противном
случае дробь 1 у; можно было бы сократить на х — х0), то этот
предел равен оо.
л г х2 — Зл- + 2 .. х — 2 1
Примеры. 1. lim —-------= lim-----= — -.
^2-1 2
_ .. х2— х—2 .. х—2
2. lim —5----= пт-------= оо.
Х-И х2-1
7.2. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ, ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ
И СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИИ
Напомним
число: r=plq.
1°. Пусть
свойства степени а\ я>0, г — рациональное
р и q — целые, (см. п. 2.6*).
rt<r2. Если а>\, то ari<ar2, а если а<1, то
а1 >а 2.
2°. ari • ar2 = ari+r2.
3°. (ari)r2 = arir2.
Здесь везде г, гг и г2—рациональные числа. Вспомним, что
а° =1. Из свойства 2° следует, что ar сГг = сР = 1, откуда
(7.D
Далее, из свойства 1° и из (7.1) вытекает, что аг>0 для
любого рационального г. Действительно, если г>0 и я>1, то, в
силу 1°, аг^а°=1>0. Отсюда, согласно (7.1), имеем
сГг=—>0.
аг
Аналогично доказывается неравенство аг>0 при а<\.
Отметим еще, что для любых я>0, Z?>0 и reQ имеет место
равенство
(ab}r = ar Ьг.
Напомним, что (см. пример 3 в п. 4.9)
1 _1
lim ап= lim а " = 1,я>0, (7.2)
п—юо и->оо
и с помощью этого докажем следующую лемму.
204
Лемма 1. Для любого а>0 имеет место равенство
lim ях=1. (7.3)
х—>0
xeQ
Доказательство. Пусть, для определенности, а> 1. За-
фиксируем произвольно 8>0. В силу (7.2), найдется такое
что
1 1
Р- 1| <8, |л’”°-1|<8.
Следовательно (см. свойство 10 степени с рациональным
показателем),
_ х х
ио по
1— г<а <а <1+8. (7.4)
1°
Если х— рациональное число и |х|<—, т. е.
то, согласно тому же свойству 1°, выполняется неравенство
_х х
«о "о
а <ах < а .
а поэтому и неравенство
1 — г<ах< 1 +8 .
Таким образом, если х — рациональное число и |х| < 8, где
8 = —, то
"о
А это и означает справедливость равенства (7.3).
Если 0<б/<1, то лемма доказывается аналогично, надо
только использовать строгое убывание функции ах, 0 < а < 1, на
множестве рациональных чисел Q. В случае а = 1 лемма
очевидна. □
Определим теперь степень ах для любого действительного х
и я>0.
Определение 1. Пусть а>0, х — произвольное действительное
число, Q—множество всех рациональных чисел. Положим
ах= lim аг.
г->х0
keQ
(7-5)
205
Это определение имеет смысл, так как каждая точка
числовой оси является точкой прикосновения множества всех
рациональных чисел (см. следствие из леммы 1 в п. 4.10). Оно
корректно в том смысле, что указанный предел существует, как
это доказано ниже, для любого действительного числа xeR.
При доказательстве будем использовать определение предела
функции по Гейне (см. определение 1 в п. 5.4).
Пусть а>0, xeR. rneQ. п=А, 2, ... , и lim гп = х. Покажем,
Я->00
что последовательность {cf»} удовлетворяет условиям критерия
Коши (см. п. 4.7) и, значит, является сходящейся. Для этого
необходимо оценить разность
\аГп — аг^\^аГт\аГп~Гт—\\. nEN, meN. (7.6)
Последовательность {гп} сходится и, следовательно, ограничена
(см. п. 3.4), поэтому существует такое число А, которое без
ограничения общности можно считать рациональным (почему?),
что —А<гп<А. Отсюда в случае а^Л имеем а~А^аг”<аА, а в
случае а<\—соответственно а~А>аГп>аА. /7=1,2,..., поэтому
при любом я>0 существует такое число В. что
аг^В. /?=1, 2, ... (7.7)
(В = ял при сГ^\ и В = а~А при а< 1), т. е. последовательность
{cfn} ограничена сверху числом В.
Далее, по лемме 1, для любого фиксированного £>0
существует такое 5 = 5 (г) > 0, что для всех рациональных г,
удовлетворяющих условию |г| < 5, выполнено неравенство
|^-1|<J. (7.8)
Из сходимости же последовательности {гп}, в силу критерия
Коши (см. п. 3.7), следует, что для найденного 5>0 существует
такой номер что для всех п>пБ и т>пь выполняется
неравенство \rn — rj<5 и, значит, в силу (7.8), неравенство
|^"^-1|<|. (7.9)
Из (7.6), (7.7) и (7.9) вытекает, что для всех п>пь и т>пъ
справедливо неравенство \аГп — аг™\<ъ, откуда, в силу критерия
Коши, следует, что последовательность {аГп} сходится.
Итак, для любой последовательности рациональных чисел гл,
/7=1, 2, ... , lim гп = х. последовательность cf* сходится. Отсюда,
п—> J0
206
согласно лемме 4 из п. 5.6, непосредственно следует существова-
ние предела (7.5) функции ar, reQ, в точке xeR.
Корректность определения ах доказана.
Определение 1 естественно в том смысле, что в том случае,
когда х является рациональным числом г, степень ах совпадает
со значением аг в ранее известном смысле. В самом деле, если
х = г — рациональное число, то в качестве последовательности
рациональных чисел г„, «=1, 2, ... , сходящейся к х = г, можно
взять гп = г, л=1, 2, ... . Тогда, согласно определению 1,
ах= lim аГп= lim ar = ar.
п-+сс «~>00
(7.Ю)
Определение 2. Пусть задано некоторое число а>0. Функция
ах, определенная для всех xeR, называется показательной
функцией с основанием а.
Согласно определению 1, Iх =1 для всех действительных х.
Поэтому случай а = 1 не представляет интереса и в дальнейшем
мы не будем его рассматривать.
Теор е м а 3. Показательная функция ах {а > 0) обладает
следующими свойствами.
1°. При а>\ она строго возрастает, а при а<Л—строго
убывает на всей числовой оси.
Для любых действительных х и у справедливы следующие
равенства.
2°. ахау = ах+у.
3°. (ах)у = аху
4°. Функция ах непрерывна на всей числовой оси.
5°. Множеством значений функции ах, а>0, а^1, является
множество всех положительных чисел.
Доказательство свойства 1°. Пусть для определен-
ности а>\ и х<у. Существуют (почему?) такие рациональные
числа г' и г", что х<г'<г"<у. Выберем какие-либо последова-
тельности рациональных чисел (г'п} и {г„} так, чтобы
lim r'n = x, lim г„=у и чтобы г'п<г' <г" <г” для всех п=1, 2, ... .
«—>00 «->00
Тогда
а п <а <а < а«;
перейдя к пределу при п->оо, получим
ах < аг < аг ^ау .
(7.И)
(7.12)
Таким образом, если х<у, то ах<ау, что и означает строгое
возрастание функции ах при а > 1.
Случай а<\ рассматривается аналогичным образом. □
Доказательство свойства 2°. Пусть {г^} и {/„}—
207
такие последовательности рациональных чисел, что lim r„ = x,
«—>оо
lim г'п=у и, значит, lim (гп + г^') = х+у (см. п. 3.9). Тогда, в силу
«->оо «—>оо
определения показательной функции,
ах+у — lim arn+rn = lim (cfncfn\ = lim ar« lim arn = axay. □
«—>oc «->oo «->oo «->oo
Прежде чем переходить к доказательству следующих
свойств, заметим, что из свойства 2° следует, что для любого
действительного х справедливо равенство ах а~х = а° = 1, поэто-
-х
му а = —.
Доказательство свойства Прежде всего отме-
тим, что
lim ах = 1 .
х—>0
xeR
Это равенство, в силу уже установленной строгой монотонности
на всей числовой оси функции ах (свойство 1°), доказывается
так же, как и равенство (7.3) (см. лемму), только не следует
предполагать, что xeQ, а рассматривать любые xeR.
Пусть xeR, х фиксировано, у = ах и
Ау = ах+&х — ах = аха^х—ах = ах(а^х— 1).
Тогда, в силу сказанного,
lim аАх=1
Д х->0
и поэтому
lim \у = ах lim (аЛх—1) = 0,
Дх->0 Д y—>0
а это и означает непрерывность функции ах в точке х. □
Доказательство свойства 3°. Пусть сначала у=р—
целое положительное число; тогда применив р раз свойство 2°,
получим р раз
(ах)р = д* ах = ^+x^~7P^ ахР (7.13)
р раз
Пусть, далее, где С1— целое положительное число.
Покажем, что (axyiq = axlq, т. е. что ax/q является корнем д-й
степени из числа ах. Для этого, согласно определению корня,
Свойство 3° будет доказано после доказательства свойства 4°.
208
/
надо доказать, что (aq\ = ах; это следует из равенства (7.13).
Пусть теперь у=-, р и q — натуральные, тогда, согласно уже
доказанному,
(ах)Р1“ = [(нх)р]1/9 = (axpy-'q = axp/q .
р
Если же у = — -, то
ч
(ax}~plq = -]— = -l— = a~xp/q
' ' (ax)plq axp/q
Наконец, очевидно, что (ях)° = 1 = aQ. Таким образом доказа-
но, что для любого действительного х и любого рациональ-
ного г
(ах)г = ахг. (7.14)
Пусть теперь задано еще одно действительное число у.
Рассмотрим произвольную последовательность {гп} рациональ-
ных чисел, сходящуюся к у. Тогда, в силу (7.14), для всех
п=1, 2, ... будем иметь
(ax)r» = dxr«. (7.15)
Поскольку lim xrn = xj>, согласно доказанной выше непре-
п^>со
рывности функции ах.
Итахг» = аху. (7.16)
н->со
С другой стороны, в силу определения показательной функции,
lim (ах)Гп = (ах)у.
7?—>00
(7.17)
Переходя к пределу в равенстве (7.15) при и->оо, из (7.16) и
(7.17) получим рассматриваемое свойство для любых х, yeR. □
Из свойств 2° и 3*° следует, что
(1V 1
-) =—, я>0, xeR.
а) ах
Действительно,
Доказательство свойства 5°. Пусть снова для опреде-
ленности а > 1. Для того чтобы доказать, что множеством
значений функции ах является множество всех положительных
209
чисел, т. е. бесконечный интервал (0, + оо), в силу ее непрерыв-
ности и строгого возрастания на всей числовой оси, согласно
теореме 4 п. 6.3, достаточно показать, что
lim ах= + со, lim ах = 0. (7-18)
JC-> + oO Х-+ — СО
В силу монотонности функции ах, пределы (конечные или
бесконечные) lim ах и lim ах существуют, следовательно,
х-> + оо Л-> — ОО
достаточно доказать, что
lim ах„= + оо, lim ах» = 0
п—>со п-^-со
для каких-либо фиксированных последовательностей хи-> + а и
xj,= —со, например для последовательностей хп = п, х'п— —и,
п = 1, 2, ... .
По предположению, а>1, т.е. а=1+а, где а>0. Поэтому,
согласно неравенству Бернулли (см. лемму в п. 4.9),
а" = (1 + а)" > п а,
и так как lim иа=4-оо, то и
п-»оо
lim ап = + оо .
и—>ос
Отсюда
lim сГп = —-— = 0.
п ->оо lim ап
П-+00
Тем самым равенство (7.18) при а>1 доказано.
Если теперь 0<я<1, то /?=->! и
а
lim ах = lim =—1— = 0,
х—+ + оо х^> + оо Vv lim bx
х-> + со
lim ах =—-—=+оо. □
_ qq lim bx
Л-> — 00
Замечание 1. Множество всех значений функции ах, я>0,
1, составляет множество всех положительных действитель-
ных чисел, поэтому, в частности, при любом xeR имеет место
неравенство
ах>0.
210
Замечание 2. Если я>0, Z?>0, то для любого xeR
справедливо равенство
(ab)x = ax Ьх.
Действительно, если rn^x. rneQ, и = 1, 2, ... , то
(ab)x= lim (ab)rn = lim ar^br^= lim ar« lim brn = axbx. □
n-^cc n—>oo n-^co n-^co
Упражнение. Пусть я>0, b>0. Доказать, что для любого xeR имеет
/а\х ах
место равенство - = —.
у я у Ьх
Замечание 3. Если г — рациональное число и г>0, то
ОГ = О, и, следовательно, для любого действительного числа х>0
существует предел
lim ОГ = О.
г^х
reQ
Поэтому при х>0 определение (7.5) можно распространить и на
случай (2 = 0, причем будет иметь место равенство
0х = О, х>0.
Отметим, что в области действительных чисел возведению
нуля в неположительную степень: 0х, х^О— нельзя приписать
смысла.
Пусть а — положительное число, не равное единице. Из
элементарной математики известно, что операция, обратная
возведению в степень и ставящая в соответствие данному числу
х>0 такое число у, что ау = х (если, конечно, указанное у
существует), называется логарифмированием по основанию а.
Число у называется логарифмом числа х по основанию а и
обозначается через logflx. Таким образом, по определению,
6/log«x = x (п>0, а^\].
При а = е логарифм числа х обозначается 1пх и называется
натуральным логарифмом числа х.
Определение 3. Функция, ставящая в соответствие каждому
числу х его логарифм logax по основанию а (а>0, a^l), если
этот логарифм существует, называется логарифмической функ-
цией p = logflx.
Теорема 4. Функция y = logflx, я>0, а^\, определена для
всех х>0 и является на этом множестве строго монотонной
(возрастающей при а>\ и убывающей при <з<1) непрерывной
функцией. Она имеет следующие свойства.
1°. loga %! X^logoXj + iogax2, Х1>0, х2>0.
2°. logo xa = a loga x, x > 0, aeR.
211
Доказательство. Множеством значений функции ах,
я>0, <2^1, является множество всех положительных чисел (О,
+ оо), поэтому это же множество является и множеством
определения обратной функции, т. е. функции logflx. Этим, в
частности, доказано существование логарифма любого положи-
тельного числа. Остальные утверждения теоремы 4 непосред-
ственно следуют из теоремы 4 п. 6.3 и теоремы 3 настоящего
параграфа.
Например, покажем, как свойство 1° вытекает из свойств
показательной функции, указанных в теореме 3. Положим
= loga хх, У2 = 1°£ах2' Согласно определению логарифма, это
означает, что
х± = ayi, х2 = ауг.
Отсюда (см. свойство 2° показательной функции в теореме 3)
имеем
xr х2 = ау^ ау2 = ayi +у2 ,
и, следовательно, снова, согласно определению логарифма,
loga х2 =уг +у2 = logo хг + loga х2. □
Определение 4. Пусть задано действительное число ос.
Функция ха, определенная для всех х>0, называется степенной
функцией с показателем ос.
Теорема 5. Степенная функция х“ непрерывна при всех
х>0.
Действительно, из определения логарифма имеем х = е1пх, а
поэтому х“ = еа1пх, т. е. ха есть композиция показательной
функции еи и логарифмической функции, умноженной на
постоянную: ц = ос!пх. Показательная и логарифмическая функ-
ции непрерывны (см. теоремы 3 и 4), поэтому, в силу теоремы о
непрерывности композиции непрерывных функций (см. п. 5.2),
функция х* также непрерывна. □
При рассмотрении функции у = ха предполагалось, что х>0,
так как при х^О выражение ха имеет смысл не для всех ос в
области действительных чисел. Однако если а рационально и ха
имеет смысл при х<0 (например, х2, \/х), то функция у = х*
будет при ос> 0 непрерывной на всей действительной оси, а при
ос<О — на всей действительной оси, кроме точки х = 0. (В этих
случаях функция у = х* также называется степенной.) При х/0
это непосредственно следует из теоремы 5, так как функция
>’ = ха, если она определена и для всех х<0, будет всегда четной
или нечетной, а если четная или нечетная функция непрерывна
при х>0, то она непрерывна и при х<0 (почему?). Если же в
точке х = 0 четная или нечетная функция непрерывна справа и
212
равна нулю, то она просто непре-
рывна в этой точке (почему?). Этот
случай имеет место при а>0:
lim ха = 0 = 0а,
х->+0
ибо ха = еа1пх и (см. теорему 4)
lim 1пх=—оо, поэтому в этом
х->+0
случае функция ха непрерывна и
при х = 0.
7.3. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
И ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Перейдем к вопросу о непрерывности тригонометричес-
ких функций. При этом не будем приводить строгих аналити-
ческих определений этих функций (как это было сделано выше
в случае показательной функции), а используем их геометри-
ческое определение, известное из элементарной математики.
Всюду в дальнейшем х— действительное число, а под sinx,
cos х, tg х, ctg х будем подразумевать значение соответствующей
тригонометрической функции угла, радианная мера которого
равна х.
Лемма 2. При любом действительном х справедливо
неравенство
| sin х| < | х|.
Доказательство. Рассмотрим окружность радиуса R с
центром в точке О. Пусть радиус О В образует угол х, О^х^,
с радиусом О А, а радиус ОВ± симметричен радиусу ОБ
относительно ОА (рис. 36).
Опустим из точки В перпендикуляр ВС на радиус О А. Тогда
BC=Rsinx и, так как ВС=СВГ, имеем BB1=2Asinx. Как
известно, длина дуги ВАВХ равна 2 Ах. Длина отрезка,
соединяющего две точки, не превышает длины дуги окруж-
ности, соединяющей те же точки, значит, 2 A sin х^2 Ах, т.е.
sinx^x.
Если теперь — |^х<0, то 0<—х^|, и поэтому, в силу
Доказанного, sin( —х)^—х, но в данном случае sin( — x) = |sinx|
и — х = |х|, следовательно, |sinx|^|x|. Таким образом, если
то |sinx|^|x|. Если же |х|>р то |sinx|^ 1 <^<|х|. □
213
Теорема 6» Функции у = sinх, у = cosх непрерывны на всей
числовой оси.
Следствие. Функции у = tgх и у = ctgх непрерывны при всех
х, при которых cos х (соответственно sinx) не обращаются в
нуль.
Доказательство. Так как |sinа|1, |cosос|1 при любом
ос и, в силу леммы, |sin^|^||Ax|, то
|sin(x + Ax) — sin х|^ 2 sin
А х
~2
|cos (х + А х) — cos х| 2
COS
. А х
S1H-----
2
Отсюда следует, что при Ах->0 левые части неравенства также
стремятся к нулю. Это и означает непрерывность функций sinx
и cosx.
тт х sinx cosx
Непрерывность tgx =---- и ctgx =--- в точках, в которых
COS X sin X
знаменатели не обращаются в нуль, следует из непрерывности
sin х и cos х и теоремы о частном непрерывных функций (см. п.
5.10). □
Теор ем а 7. Каждая из обратных тригонометрических
функций arcsin х, arccos х, arctg х и arcctg х непрерывна в области
своего определения.
Это сразу следует из теорем 3 и 4 в § 6 и из непрерывности и
строгой монотонности функций sinx на отрезке Г —л/2, л/2],
cos х на отрезке [0, л], tgx на интервале ( — л/2, л/2) и ctgx на
интервале (0, л).
7.4. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
Непрерывность основных элементарных функций, доказан-
ная в этом параграфе, позволяет доказать теорему и о
непрерывности произвольных элементарных функций.
Теорема 8. Всякая элементарная функция непрерывна во
всех точках своего множества определения.
Доказательство. Согласно определению, всякая элемен-
тарная функция получается из основных элементарных функций
с помощью конечного числа арифметических операций и
композиций (см. п. 5.3), поэтому ее непрерывность на множе-
стве определения сразу следует из непрерывности основных
элементарных функций на множествах их определения (теоремы
1 — 7), из свойств пределов функций, связанных с арифметиче-
скими действиями над функциями (см. п. 5.10), и непрерывности
композиции непрерывных функций (см. п. 5.16). □
214
§ 8. СРАВНЕНИЕ ФУНКЦИЙ.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ
8.1. НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ
В этом пункте вычисляются пределы, которые неоднократно
будут встречаться в дальнейшем.
Лемма 1.
.. sinx .
lim-----= 1 .
о х
(8.1)
Доказательство. Рассмотрим круг радиуса R с центром в
• точке О. Пусть радиус О В образует
угол х, 0<х<р с радиусом О А.
Соединим точки А и В отрезком и
восставим из точки А перпендику-
ляр к радиусу О А до пересечения в
точке С с продолжением радиуса
ОВ (рис. 37). Тогда площадь тре-
угольника А О В равна R2 sin х,
площадь сектора АО В равна | R2 х,
а площадь треугольника АОС рав-
на ^7?2tgx. Треугольник АО В является частью сектора АО В,
который, в свою очередь, является частью треугольника АОС;
поэтому
- R2 sin х < - R2 х < - R2 tg х,
2 2 2 е’
откуда sinx
tgx, следовательно,
1<—<—
sin х cos х
или, заменяя величины им обратными,
sm х .
cosx<----< 1
(8.2)
г, i w sm x
Заметим, что в силу четности функции cos х и ------------,
неравенство (8.2) справедливо и при — п/2<х<0.
Так как функция cosx непрерывна и cos 0=1, то из (8.2) при
следует (см. п. 5.10) равенство (8.1). □
215
Следствие 1.
lim—=1. (8.3)
х-»0 X
В самом деле,
lim — = lim SU1X lim ——= 1 .
х->0 х х->0 х x-^Ocosx
Следствие 2.
limarcsinx=i (84)
х->0 х
Функция у = sin х строго монотонна и непрерывна на отрезке
[ —я/2, л/2], поэтому обратная функция х = arcsin у также строго
монотонна и непрерывна на отрезке [—1; 1]. Так как sin 0 = 0,
то
lim у = lim sin х = 0 и lim х= lim arcsin х = 0 .
х->0 х->0 у->0 >’->0
Чтобы вычислить предел (8.4), применим правило замены
переменного для пределов непрерывных функций (см. теорему 6
в п. 5.16). Положив x = sinj^, имеем
.. arcsin х v arcsin (sin у) .. у .
hm------= lim-----*—— = lim -Л- = 1 .
x->0 x smy
Следствие 3.
(8.5)
%—*0 x
Это равенство получается аналогично предыдущему из (8.3).
Лемма 2.
lim (1 +х)х=е. (8.6)
Ранее (см. и. 4.5) было доказано, что
lim (1+-4) =е, (8.7)
77—>СО\ nJ
где Л2= 1, 2, ... . Отсюда, в силу леммы п. 4.3, следует, что для
любой последовательности {пк} натуральных чисел такой, что
lim пк = + оо , (8.8)
к ->оо
имеем
/ 1С
lim ( 1Ч—) =е . (8.9)
Zc—>оо\ nkJ
216
Пусть теперь последовательность {хк} такая, что lim хк =
к-^со
= +0, т. е.
lim хк = 0и хк>0. (8.10)
/<—>сс
Покажем, что lim (l+xk) = е. При этом без ограничения
общности можно считать, что хк<1, к=\,2, ... (почему?). Для
всякого хк найдется такое натуральное пк, что пк + 1>—~^пк и,
Хк
следовательно,-------<хк^ — , причем в силу (8.10), lim пк = +оо.
«fc+l пк к->со
Поэтому имеем
Замечая, что, согласно (8.9),
/ 1 \
lim 1 н-------= lim
к-+со
1+-Ц- lim (1+А-')
пк+^ к->оо\ пк+У
И
пк + 1
( 1) 1-
lim П— = hm
/с-*оо\ nkJ /с—юс
lim
к —юо
1\
1+-
«к/
= е,
и переходя к пределу в неравенстве (8.11) при к->оо, получим
lim (1+xt)1/xfc = e. (8.12)
к—*оо
Так как {хк} — произвольная последовательность, удовлетво-
ряющая условиям (8.10), то тем самым доказано, что
lim (1+х)1/х = е. (8.13)
X— +0
Пусть теперь последовательность {хк} такая, что lim хк= — О,
к—-со
т. е.
lim хк = 0, хк<0. (8.14)
к—-со
Положим ук = — хк, тогда ук > 0 и lim ук = 0, причем без
ограничения общности можно считать, что ук<1, к=1, 2, ... .
217
Тогда
lim (1 + хк)1/х& = lim fl — yk) 1/yfc=lim(-I =
k~-*oc k—*oo ' к—*oo yl—УкJ
= lim I I +-— j = lim (1 +zk)1/zfc+1,
к—*00 у 1 ~~Ук/ к—*oo
где
zk = ~^— >0 и limzt=0,
1 — у к к—+со
и, в силу уже доказанного равенства (8.13),
lim (1 +xfc)1/Xfl= lim (1 -PzJ1^ lim (1 + zt) = e.
k—*co к—*<х> k—»ce>
Ho {xk} — произвольная последовательность, удовлетворяющая
условиям (8.14), поэтому
lim (1 +x)l/x = e. (8.15)
х—-О
Таким образом, функция (1+х)1/х, х^О, имеет в точке О
пределы слева и справа, равные одному и тому же числу е.
Поэтому существует и ее двусторонний предел при х->0, также
равный е (см. п. 5.9).
Следствие 1.
limlos°(1+xL_L) а>0, а/1, (8.16)
х—>0 х In а
и, в частности, при а=^е
Ит1п(1М=1
х—*0 X
В самом деле, приняв во внимание непрерывность ло-
гарифмической функции (см. теорему 4 из § 7), теорему о
пределе композиции функций (см. п. 5.16) и равенство (8.6),
получим
limlogo^+^ = lim logJl + x)1/x = logfl lim (1 + x)1/x = logae=—.
x_0 X x—*0 ' x—>ov 7 Intz
Следствие 2.
lim-—- = ln«. (8.17)
x—*0 X
В частности, при a = e имеет место равенство
lim—=1. (8.18)
х—*0 X
218
функция у = ах—1 строго монотонна и непрерывна на всей
числовой оси, поэтому обратная функция х = также
In а
строго монотонна и непрерывна при у> — 1. При х = 0 имеем
также и у = 0, поэтому обозначения х->0 и j->0 эквивалентны
(см. замечание 4 в п. 5.16). Воспользуемся для вычисления
предела (8.17) правилом замены переменного. Положив
In (1 +>’)
х=—-——, получим
In я
lim------- = lim -ylng = In a-----------;=In a.
x—О X y->oln(l+y)
У—О у
8.2. СРАВНЕНИЕ ФУНКЦИЙ
Как мы уже знаем, сумма, разность и произведение
бесконечно малых функций являются также бесконечно малыми
функциями; этого нельзя, вообще говоря, сказать об их
частном: деление одной бесконечно малой на другую может
привести к разнообразным случаям, как это показывают
приведенные ниже примеры бесконечно малых при х—>0
функций а(х) и р(х).
Пусть, например, а(х) = х и Р(х) = х2; тогда
lim 44 = lim х = 0, lim 44=z:: ]jm 1= оо.
Х^оа(х) х—о х—о₽(а) х-*ох
Если же сх(х) = х, В(х) = 2х, то lim ^4 = 2, а если а(х) = х,
х—-оа(х)
P(x) = xsin-, то предел lim ^4 не существует.
х Х^оа(х)
Все рассматриваемые в этом параграфе функции предпола-
гаются определенными на некотором множестве Хс/?, под х0
понимается либо число xoeR, либо одна из бесконечностей оо,
+ оо или —оо. В том случае, когда х0— число, х0 является
точкой прикосновения множества X, причем содержательным
является лишь тот случай, когда х0 — предельная точка
множества X. При этом возможно, что х^еХ и что х^фХ.
Последнее заведомо имеет место, если рассматриваемая функ-
ция имеет в точке х0 какой-либо бесконечный предел. Если же
точка х0 является одной из бесконечностей оо, + оо, — оо, то
множество X предполагается неограниченным, соответственно
неограниченным сверху или снизу.
Рассмотрим вопрос сравнения функций в окрестности точки,
в частности сравнение бесконечно малых и бесконечно больших
функций; эти случаи являются основными.
219
Определение 1. Если для функций f:X-+R и g:X-+R
существует такая постоянная с>0, что в некоторой окрестно-
сти точки х0 для всех точек хеХ выполняется неравенство
(8.19)
то функцию f называют ограниченной по сравнению с функцией g
в окрестности точки х0 и в этом случае пишут
f(x)=O(g(x)\ х^х0
(читается: «f(x) есть О большое от g(x), при х стремящемся к х0»).
Подчеркнем, что запись х->х0 имеет здесь другой, чем
обычно, смысл: она только указывает на то, что рассматривае-
мое свойство имеет место лишь в некоторой окрестности точки
х0; ни о каком пределе здесь речи нет.
Лемма 3. Если Дх) = ср (х)g(х), хеХ, и существует конечный
предел
lim ф(х) = /<,
х—х0
то
а
. Это,
Xf). L
Доказательство. Из существования конечного предела
lim ф(х) = /г (см. свойство 1° пределов функций в п. 5.10) следует
x->xQ
существование такой окрестности J7(x0) точки х0, что функция ф
ограничена на XQC/(x0), т.е. имеется такая постоянная с>0, что
для всех хеХР|С/(х0) выполняется неравенство | ф (х) |
следовательно, и неравенство | Дх) | = | ф (х) 11 g (х) | c\g (х)
согласно определению 1, и означает, что Дх) = O(g(x)J, х-+
Примеры. 1. -=О
1
Z2
при х->0, поскольку
2. -4=0(1
х Уд-
Запись
1
при х—>оо, так как -у
~2 ПРИ
Дх) = О(1), х-+х0,
означает, что функция J ограничена в некоторой окрестности
точки х0, например ^^=0(1) при х—>0, ибо lim ^^- = 2 и,
X х—0 X
значит, функция ограничена в окрестности точки х = 0.
Определение 2. Если функции Дх) и g(x) такие, что f=O[g) и
g=O(j) при х—>х0, то они называются функциями одного
порядка при х—>х0; это записывается в виде
220
/(x)xg(x), х—>х0.
Это понятие наиболее содержательно в том случае, когда
функции f и g являются либо
бесконечно большими при х->х0.
являются при х-»0
бесконечно малыми, либо
Например, функции а = х и
бесконечно малыми одного
В = х| 2 + sin-
г \ х
порядка, поскольку
а
₽
1
Г
2 + sin -
1
~ ГТ
2— sm —
- = 2 + sin-
а х
2+ sin-
3.
Лемма 4. Если существует конечный предел lim =
ШО х->х0.
Доказательство. При х-»х0 определен предел дроби Д4,
поэтому существует такая окрестность Щхщ точки Xq, что для
всех точек xeX(\U(x^ выполняется неравенство g(x)^0. Для
этих х положим
Тогда /( x) = <p(x)g(x) и lim <р(х) = /с. Следовательно, по лемме 3,
/(x) = O(g(x)), х^х0.
Из условия lim 0 следует, что существует и такая
х______________Р'(х)
окрестность С/(х0) точки х0, что для всех хеУр|[/(х0) выполняет-
ся неравенство (см. свойство 2° пределов функций в
s Pv
п. 5.10), а следовательно, и неравенство /(х)#0. Для хеXQ U(х0)
положим 'Нх) = тгт> тогда g (х) = ф (х)/(х) и lim \|/(х) = -. По-
f\x) Х—>ХО
этому, снова согласно лемме 3, g(x)^O(/‘(x)), х->х0.П
В качестве примера возьмем функции /(х) = 3х2 и g(x) = sinx2.
Имеем lim ^4 = -limslrlTz=l (см. (8.1)), поэтому, согласно
х->о f\x) 3 3
лемме 4, функции Зх2 и sinx2 одного порядка при х->0.
Определение 3. Функции f.X-+R и g:X->R называются
эквивалентными при х->х0, если существует такая функция
g>\X-*R, что в некоторой окрестности точки х0 для всех точек
хеХ выполняется равенство
221
и
(8.20)
lim ф (х) = 1.
(8.21)
Сразу заметим, что существование предела у функции в
данной точке является локальным свойством функции, поэтому
значения функции ф вне указанной в определении окрестности
не играют роли.
Если выполнено свойство (8.21), то найдется такая окрест-
ность U = U(xA точки х0, что при xeX(~]U' выполняется
неравенство ф(х)^0 (см. свойство 2*э пределов функций в п.
5.10). Полагая ф(х) = —L- xeXC\U', видим, что условия (8.20) и
<pW
(8.21) равносильны условиям
g(x) = ^(x)/(x), xeXC\U,
lim \|/(х) = 1.
(8.20')
(8.2Г)
Таким образом, если функции / и g эквивалентны при х—>х0,
то и функции g и / также эквивалентны при х->х0, т.е., как
говорят, эквивалентность двух функций обладает свойством
симметричности.
Отметим, что свойство функций быть функциями одного
порядка, также является симметричным свойством, а свойство
одной функции быть «О большим» относительно другой уже не
симметрично.
Функции Дх) и g(x), эквивалентные при х-»х0, называются
также асимптотически равными при х->х0. Асимптотическое
равенство (эквивалентность) функций обозначается симво-
лом
/(x)~g(x) при х-*х0. (8.22)
Из сказанного выше следует, что если f~g при х->х0, то и
& J л~ Ао-
Отметим, что если в условиях определения 3 функции f и g, а
следовательно, и функция ф, определены в точке х0, т.е. хоеХ,
то предел (8.21) берется при х->х0 по множеству, содержащему
точку х0, поэтому функция ф непрерывна в точке х0; тогда из
условия (8.21) следует, что
ф(х0)=1.
2 при х->0. Действительно, полагая
х2
Примеры. 1. ----4
получаем
Х . = ф (х) х2 и lim —~ = 1.
1 -4- V4 Y V / .. л 1 _L Y4
222
х4
2. ---т~х2 при х—>оо. В самом деле, если ф(х) =------т, то
1+х* ' ’ 1+х4
г6 V4
—?=ф(х)х2 и lim—^=1.
А I Л х—>00 1 I Л
Пусть существует такая проколотая окрестность U =U (х0)
точки х0, что для всех xeX(~}U выполняются неравенстваДх)/О
и g(x)^O, а в случае хоеХ функции f и g, кроме того,
непрерывны в точке х0. Тогда условия (8.20) и (8.21) равно-
сильны соотношению
lim ZW =!
х~*хо g(x)
xeX(]U
и, следовательно, соотношению
lim |Ц=1.
х-х0/(х)
xeXQU
Действительно, ясно, что эти соотношения при сделанных
предположениях о необращении в нуль функций f и g на
множестве JfQ £7 сразу вытекают из условий (8.20) и (8.21).
Наоборот, если они выполнены, то достаточно положить
очевидно, для функции
Если
а если хоеХ, то еще ср(х0)=1; тогда,
Ф выполняются условия (8.20) и (8.21).
f~g и g~h при х->х0
(8.23)
то
f~h при х->х0. (8.24)
В самом деле, из условий (8.23) следует, что существуют
такие окрестность (7=(7(х0) точки х0 и функции y-.Xf\U^>R и
ф:УПU->R, что для всех xeXQ\U имеют место равенства
/(х) = ф(х)£(х), g(x) = \|/(x)A(x)
И
lim ф(х) = lim ф(х)=1,
X—х0 х-*х0
поэтому
Дх) = ф(х)ф(х)Л(х),
где lim ф(х)ф(х)= 1, т. е. выполняется асимптотическое ра-
венство ° (8.24).
223
Из результатов п. 8.1 следует, что при х->0 справедлива
следующая эквивалентность бесконечно малых:
x~sinx~tgx~arcsinx~arctgx~ln(l + х)~ех — 1.
Из этой эквивалентности следуют и более общие соотноше-
ния, которые сформулируем в виде отдельной леммы.
Лемма 5. Если функция и(х) такова, что
lim w(x) = 0, (8.25)
X—^х0
то при х-^х0
и (х) ~ sin и (х) ~ tg и (х) ~ arcsin и (х) ~ arctg и (х) ~
~ln[l+w(x)]~euW-l. (8.26)
Доказательство. Покажем, например, что
sinw(x)~w(x) при х-»х0, (8.27)
где ir.X->R и lim w(x) = 0. Определим для всех хеХ функцию
X >-Xq
ср:X->R следующим образом:
{sini/(x) Z \ / А
—т-V, если н
и(х) v 7 (8.28)
1, если и(х) = 0,
и покажем, что
lim ф(х)— 1. (8.29)
X—>х0
Для этого разобьем множество X на два подмножества:
X} ={хеХ: w(x)^0} и Х2 = {хеХ: и(х) = 0}. (8.30)
Пусть сначала множества Xt и Х2 не пусты, а х0 является
конечной или бесконечно удаленной точкой прикосновения
- sin и (х)
каждого из них. Функция —определена на множестве Хг и по
и(х)
теореме о пределе сложной функции (см. теорему 6 в п. 5.16) имеем
.. /х .. sinw(x) .. sin и .
lim ф(а:)= hm—74z = lim---= 1.
х—х0 х-*х0 U (х) и—>0 и
хеХх xeXi
Здесь было использовано еще одно свойство пределов функций:
L I sin и \
если функция в данном случае----- имеет предел при u^>uG по
\ и J
некоторому множеству, то она, согласно лемме 1 п. 5.4, имеет
тот же предел при u-+uQ по любому подмножеству этого
множества (в рассматриваемом случае по подмножеству число-
вой оси, состоящему из множества значений функции и (х),
отличных от нуля).
224
На множестве же Х2 функция ф тождественно равна 1,
поэтому
lim <р (х) = lim 1 = 1.
Х~^Х0 Х-^Х0
кеХ2 хеХ2
Таким образом, на каждом из множеств Xt и Х2 функция <р
при х-»х0 имеет один и тот же предел, равный 1, а так как
то тот же предел при х->х0 она имеет и по всему множеству
(см. лемму 5 в п. 5.8), т. е. в рассмотренном случае равенство
(8.29) доказано.
Если же одно из множеств Хг или Х2 окажется пустым или
точка х0 не является точкой прикосновения (конечной или
бесконечно удаленной) одного из них, то равенство (8.29) также
будет иметь место, так как в этих случаях предел функции ср
при х-хх0 по множеству X сведется к пределу по одному из
множеств Х± или Х2, для которых, как уже установлено,
рассматриваемый предел равен единице.
Итак, равенство (8.29) доказано, а так как из (8.28) следует,
что для всех xgXQC/(x0) имеет место соотношение sinw(x)^
= (р (х) и (х), то доказана и справедливость асимптотического
равенства (8.27).
Аналогично доказываются и остальные асимптотические
формулы (8.26). □
Определение 4. Функция U.X-+R называется бесконечно
малой при х—>х0 по сравнению с функцией f\X-*R, если
существует такая функция s:X-^R, что в некоторой окрест-
ности точка Xq для всех хеХ выполняется равенство
а (х) = £ (х)/(х) (8.31)
и
lim е(х) = 0. (8.32)
х~*х0
Как и для эквивалентных функций, в силу локальности
свойства существования предела функции в точке, значения
функции е(х) вне указанной в определении окрестности несуще-
ственны и могут быть выбраны произвольно.
Если функция ос является бесконечно малой при х->х0 по
сравнению с функцией /, то пишут
ос (х) = о (/(х)), х->х0
(читается: «ос(х) есть о малое от Дх) при х->х0»).
В силу этого определения, например, запись «ос (х) = о(1),
х—>х0» означает просто, что функция ос является бесконечно
малой при х-»х0.
8-1807
225
Если существует такая проколотая окрестность LJ=U (х0)
точки х0, что для всех точек хеАрД выполняется не-
равенство Дх)^0, а в случае хоеХ функции ос и /, кроме того,
непрерывны в точке х0, то условия (8.31) — (8.32) равносильны
условию
lim ^=0. (8.33)
f(x)
хеХр\й
В самом деле, при сделанном предположении о неравенстве
нулю функции / условие (8.33) сразу следует из (8.31) — (8.32).
Наоборот, если выполнено (8.33), то достаточно положить
eW=70’ х6*пЛ
а если хоеХ, то еще е (х0) = 0,чтобы были выполнены условия
(8.31) —(8.32).
Отметим, что если в условии определения 4 бесконечно
малой функции по сравнению с другой функции ос и /, а
следовательно, и функция е(х) определены в точке х0, т. е. хоеХ,
то предел (8.32) берется при х->х0 по множеству, содержащему
точку х0. Поэтому в этом случае функция е(х) является
непрерывной в точке х0 и, следовательно, согласно (8.33), имеет
место равенство
е(х)(хо) = 0.
Этот факт мы неоднократно будем использовать в даль-
нейшем.
В том случае, когда Дх) сама является бесконечно малой при
х-»х0, говорят, что функция ос = <?(/) при х->х0 есть бесконечно
малая более высокого порядка, чем /. При этом если
ос = о (Дх))”), х—>х0,
то бесконечно малая а называется бесконечно малой порядка п
относительно бесконечно малой /, п=1, 2, ... .
Например, x3 = c>(sinx2) при х->0, так как
lim —Х-—^ = lim х1пп-^Д = 0-1 =0.
х—>0 Sinr х—>0 sinx
Бесконечно малая а(х) = х3 является бесконечно малой первого
порядка относительно бесконечно малой /(x) = sinx2, х->0.
Аналогично, ос(х)=-^ является бесконечно малой третьего
порядка относительно бесконечно малой Дх) = - при х-+со-
226
Конечно, символ «о малое» можно применять не только к
бесконечно малым: например, х = о(х2) при х->оо.
Отметим, что если /=o(g) при х-»х0, то и подавно /=<9(g)
при х->х0. В самом деле, пусть f=zg, где lim е = 0. Тогда
, \ х~*хо
функция е = е(х) ограничена на пересечении множества X с
некоторой окрестностью С7(х0) точки х0 (см. п. 5.10): |е(х)|^с и,
следовательно, |/(х) | с | g (х) | для всех xeTQ£/(x0). А это и
означает, что f=O(g), х-^х0.
Соберем вместе введенные в этом пункте основные понятия.
Пусть заданы функции f:X-+R и g-.X^R и существует такая
функция g>-.X^>R, что для всех точек множества X, лежащих в
некоторой окрестности U=U(х0) точки х0, выполняется равен-
ство
/(x) = <p(x)g(x),
тогда:
если функция <р(х) ограничена на U, то /'(х) = О (g (х));
если lim<p(x)=l, то /(x)~g(x), х->х0;
X—XQ
если lim ср(х) = 0, то /(х) = о (g (х)), х->х0.
Упражнение. Пусть Р = б>(а2)при х->х0, lim а = 0. Доказать, что в этом
случае р = о (ос) при х-^х^.
Отметим, что в частном случае множество X может быть
множеством натуральных чисел N, и тогда при х0 = + оо мы
получим понятия последовательности {хп}, ограниченной по
сравнению с последовательностью {уп};
хп = О(уп), и—со,
последовательности {%„} одного порядка с последовательностью
{Уп}
х„^уп, п-^со,
последовательности {хп}, асимптотически равной последова-
тельности {уп},
и последовательности {хп}, бесконечно малой по сравнению с
последовательностью {уп},
*п = УуУ п—>оо.
При использовании равенств с символами О и о следует
иметь в виду, что они не являются равенствами в обычном
смысле этого слова. Так, если
ах=й(р) при а2 = б>(Р) при х->х0,
227
то было бы ошибкой сделать отсюда заключение, что
как это было бы в случае обычных равенств. Например,
х3 = о(х) и х2 = о(х) при х->0, но х2^х .
Аналогично, если
f+O(f)=g + O(f) при х-*х0,
то было бы ошибкой сделать заключение, что f=g.
Дело в том, что один и тот же символ д(/) или может
обозначать разные конкретные функции. Это обстоятельство
связано с тем, что при определении символов (?(/) и <?(/) мы по
существу ввели целые классы функций, обладающих определен-
ными свойствами (класс функций, ограниченных в некоторой
окрестности точки х0 по сравнению с функцией /, и класс
функций, бесконечно малых по сравнению с /(х) при х->х0), и
было бы правильнее писать не ос = (?(/) и oc = <s>(/), а соответ-
ственно осеО(/) и схе<9 (/). Однако это привело бы к существенно-
му усложнению вычислений по формулам, в которых встреча-
ются символы Ойо. Поэтому мы сохраним прежнюю запись
ос = б?(/) и ос = <?(/), но будем всегда читать эти равенства, в
соответствии с приведенными выше определениями, только в
одну сторону: слева направо (если, конечно, не оговорено
что-либо другое). Например, запись
ос = <>(/), х->х0,
означает, что функция ос является бесконечно малой по
сравнению с функцией f при х->х0, но отнюдь не то, что всякая
бесконечно малая по сравнению с f функция равна ос.
В качестве примера использования этих символов докажем
равенство
о = (8.34)
где с — постоянная.
Согласно сказанному, надо показать, что если g=o(cf], то
g = o(f). Действительно, если g = o(cf), то g = zcf, где lim е(х) = 0.
Положим = тогда g = 8t/^ где, очевидно, lim 81|х) = 0 и,
х—
значит, g=o{f\ □
В заключение отметим, что сказанное об использовании
символов о и О не исключает, конечно, того, что отдельные
формулы с этими символами могут оказаться справедливыми
не только при чтении слева направо, но и справа налево; так,
формула (8.34) при с /0 верна и при чтении справа налево.
8.3. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ
Если функция /(х) заменяется
/’(х)— g(x) называется абсолютной
функцией g(x), то разность
погрешностью, а отношение
228
— относительной
' Ax)
погрешностью сделанной замены.
Если изучается поведение функции fix) при х->х0, то часто
целесообразно заменить ее функцией g(x) такой, что: 1) функция
g(x) в определенном смысле более простая, чем функция Дх); 2)
абсолютная погрешность стремится к нулю при х-»х0:
lim [Дх)—g(x)] = 0.
х~*хо
В этом случае говорят, что g(x) приближает или аппрокси-
мирует функцию Дх) вблизи точки х0. Таким свойством
обладают, например, все бесконечно малые при х-»х0 функции f
и g.
Ниже будет показано, что среди них лишь те, которые
эквивалентны между собой:
£(*)~/(А')’ х^х0,
обладают тем свойством, что не только абсолютная погрет-
Л*)—#(*)
но и относительная -- --- т / стремится к нулю
ность Дх)—g (х),
при х-*х0:
г f(X)~ Г\
f(x)
В этом смысле функции, эквивалентные заданной, приближают
ее лучше, чем другие функции.
Например, функции х, ^х, 2х, 10х являются бесконечно
малыми при х->•(), так же как и sinx, а поэтому абсолютные
погрешности при замене sinx каждой из них стремятся к нулю
при х->0:
lim (sin х—х) = lim (sin х—- х) = lim (sin х — 2х) =
х—►О х—>0 2 х—>0
= lim (sin х — 1 Ox) = 0.
Х"*0
Но лишь одна из всех перечисленных функций, а именно
g(x) = x, обладает тем свойством, что относительная погреш-
ность при замене sinx этой функцией будет стремиться к нулю
при х->0:
lim Пт (i _^L) = o.
sin x x—*o sin jt
Стремление относительной погрешности
7(x)-g(x)
Л*)
к нулю при
х~+х0 можно записать, используя символ «о малое»:
229
f(x)-g(x)= о (/(%)), x-»x0.
Сформулируем высказанное характеристическое свойство
эквивалентных функций в виде теоремы.
Теорема 1. Для того чтобы функции f\X-*R и g:X-+R
были эквивалентны при х-»х0, необходимо и достаточно, чтобы
при х—>х0 выполнялось условие
f(x)=g{x) + o(g(x)}, х^х0. (8.35)
Доказательство необходимости. Пусть f^g при
х->х0; тогда, согласно определению 3, существуют окрестность
U=U(x0) точки х0 и функция <p:XP\U-+R такие, что для всех
xeXf] и выполняются условия
/(x) = <p(x)g(x) и 1ш1ф(х)=1.
X х0
Тогда
/(*) - g (х)=Ф (х) g (х) - g (х) = [ф (х) -1 ] g (х) = е (х) g (х),
где е(х) = ср(х)—1, хбУПС/, и поэтому lim е(х) = 0. Это означает,
что £(x)g(x) = c>(g(x)), х->х0, т.е. имеет ° место (8.35).
До казательство достаточности. Если выполнено
условие (8.35), то, согласно определению 4, существуют такая
окрестность U=U(x^ точки х0 и такая функция £:У(°| [/->/?, что
для всех хеХ^уи выполняются условия
/(*)=g(*)+£(*)g(*) и lim s(x) = 0;
х~~х0
тогда /(х) = [1 + £ (х)] g (х) = ф (х) g (х), где ф (х) = 1 + е (х), хеУП U,
следовательно, lim ф(х)=1. Это и означает, что f~g, х->х0. □
х~>хо / \
Пример. ctgx = - + £>( - х->0.
X \х]
Действительно, в силу теоремы 1, достаточно показать, что
ctgx~-, х->0. Это же сразу следует из равенства (8.3):
lim lim —= 1.
х—о J_ x-otgx
X
В том случае, когда существует такая проколотая окрест-
ность U (х0) точки х0, что функции J.X-+R и g\X-+R не
обращаются в нуль на пересечении УП?7 (х0), теорема 1
равносильна утверждению, что функции fug эквивалентны при
х—>х0 тогда и только тогда, когда относительная погрешность
(или’ в СИЛУ симметричности понятия эквивалентности
230
функций, отношение
-) стремится к нулю при х->х0.
Следствие. Пусть lim ^-^=с^0. Тогда g~cf и g(x) =
Доказательство. Если lim 44=с/0, то limJ44=l, и
А х-~х0/(х) х-х0С/(х)
поэтому g~cf при х-*х0. Отсюда по теореме 1 имеем
g(x) = c/(x) + o(c/(x)), откуда (см. конец и. 8.2) g(x) = cf(x)+
+o(/”(x)), х-»х0. □
Теорема 2. Пусть функции f, Т, g, gx заданы на мно-
жестве X и gixf^giix) при х—>х0. Тогда если
существует
lim<lE2
(8.36)
то существует и lim Д4> причем
X—Хо£(х)
lim 44 = Пт ^4. (8.37)
Доказательство. Условия f~fr и g^g13 х-»х0, хеХ,
означают, что существуют такая окрестность U= U(x0\ точки х0
и такие функции (риф, определенные на пересечении aQL/, что
/(х) = ф(х)/1(х), g(x) = \|/(x)g1(x), xeXQt/,
lim ф (х) = lim ф (х) = 1.
X—>х0 X—х0
Поэтому
/ . / ч / х Нт ф(х)
lim Нт . Нт = цт
X^og(x) x-x0<|/(x)gl(x) Д^Мх^Дх) х-^лДх)’
Л XQ
т. е. имеет место равенство (8.37). К этому можно лишь
добавить, что из существования предела lim ф (л) = 1 следует,
что окрестность U
что окрестность £/= U (х0) можно выбрать таким образом, что
для всех точек xeXQC/ будет выполняться неравенство ф(х)/0, а
1 • f(X) Т 7
из существования предела lim следует, что окрестность U
может быть выбрана еще и так, что при g(x0) ^0 для всех хеХ^ U
будет выполняться неравенство g(x)^0, а при g(xo) = 0 (в этом
случае хофХ) неравенство g(x)^0 выполняется для всех xeX^U,
где, как обычно, U=U (х0) — проколотая окрестность точки л0.
Поэтому все написанные выше выражения имеют смысл. □
231
Обе части равенства (8.37) равноправны, поэтому из
доказанной теоремы следует, что предел, стоящий в левой
части, существует тогда и только тогда, когда существует
предел в правой части, причем в случае их существования они
совпадают. Это делает очень удобным применение теоремы 2
на практике: ее можно использовать для вычисления пределов,
не зная заранее, существует или нет рассматриваемый предел.
8.4. МЕТОД ВЫДЕЛЕНИЯ ГЛАВНОЙ ЧАСТИ ФУНКЦИИ
И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ К ВЫЧИСЛЕНИЮ ПРЕДЕЛОВ
Пусть заданы функции а : X-*R и £: X-+R. Если функция £
для всех хеХ представима в виде
Р(х) = ос(х)4-я(ос(х)), х—>х0,
то функция ос называется главной частью функции £ при х-»х0.
Примеры. 1. Главная часть функции sinx при х->0 равна х,
ибо sinx = x + fl(x) при х->0.
2. Если />п(х) = а„хн + ... + я1 x+tz0, tzw^O, то функция апхп
является главной частью многочлена Ри(х) при х->оо, так как
Р„ (х) = ап хп + о (хи) при х->оо.
Если задана функция £ : то ее главная часть при х->х0
не определяется однозначно: согласно теореме 1, любая
функция ос, эквивалентная £ при х-»х0, является ее главной
частью при х->х0.
Например, пусть £ = х + х2 + х3. Так как, с одной стороны,
х2 + х3 = я(х) при х->0, то £ = х + <?(х) при х->0, а с другой
стороны, х3 = б»(х + х2) при х->0, поэтому р = х + х2 + ^(х + х2)
при х->0. В первом случае главной частью можно считать ос = х,
во втором ос = х-|-х2. Однако если задаваться определенным
видом главной части, то при его разумном выборе можно
добиться того, что главная часть указанного вида будет
определена однозначно.
В частности, справедлива следующая лемма.
Лемма 5. Пусть XczR^ xoeR и х0 — предельная точка
множества X. Если функция £ : X-+R обладает при х->х0
главной частью вида А(х — х0)\ А^О, где А и к — постоянные,
то среди всех главных частей такого вида она определяется
единственным образом.
Действительно, пусть при х-*х0
Р (х) = А (х - х0 f + о ((х - х0 )*), А / О,
И
Р(х) = Л1(х-х0)'‘1 + о((х-х0)'‘1), А^о.
Тогда Р(х)~Л (х—л0)'1 и Р(х)~Л। (х—х0)к‘ при х->х0, хеХ.
Поэтому А (х — х0),£~ A , (х—х0)*‘, х->х0, хеХ, т. е.
232
I = lim Xq\ =— lim (x—x0)k kl,
что справедливо лишь в случае А=АГ и к = кг. □
Понятие главной части функции полезно при изучении
бесконечно малых и бесконечно больших и с успехом исполь-
зуется при решении разнообразных задач математического
анализа. Довольно часто удается бесконечно малую сложного
аналитического вида заменить в окрестности данной точки с
точностью до бесконечно малых более высокого порядка более
простой (в каком-то смысле) функцией. Например, если |3(х)
удается представить в виде Р(х)^Л (х — х0)к + б>((х — х0)к), то это
означает, что с точностью до бесконечно малых более высокого
порядка, чем (х —х0)к при х->х0, бесконечно малая р(х) ведет
себя в окрестности точки х как степенная функция А\х — х0)к.
Покажем на примерах, как метод выделения главной части
бесконечно малых применяется к вычислению пределов функ-
ций. При этом будем широко использовать полученные
соотношения эквивалентности (8.26).
Пусть требуется найти предел (а значит, и доказать, что он
существует)
lim
х-> о
In (1 + х + х2) + arcsin Зх — 5х3
sin 2х -F tg2 х 4- (ех — 1 )5
Используя доказанную выше (см. соотношения (8.26))
эквивалентность In (1 + и) и при и ->0, имеем In (1 + х + х2) ~
~х+х2 при х->0, поэтому (см. теорему 1) 1п(1+х + х2) =
= х-Ьх2 + о(х+х2). Однако я(х+х2) = о(х) (почему?) и х2 = о(х)
при х-*0, а следовательно,
1п(1+х + х2) = х + о(х) при х->0.
Далее, arcsin Зх ~ Зх, поэтому
arcsin Зх = Зх + о (Зх) = Зх + о (х).
Очевидно также, что 5х3^о(х). Из асимптотического ра-
венства sin2x~2x получаем
sin 2х = 2х + о (2х) = 2х + о (х),
из tg2x^x2 будем иметь
tg2 х = х2 + о (х2) = о (х),
а из (еЛ —1)5~х5, аналогично,
(ех — 1 )5 = х5 + о (х5) = о (х).
Все эти соотношения выполняются при х->0. Теперь имеем
In (1 + х + х2) + arcsin Зх — 5х 3 = х + о (х) + Зх +
+ о (х) — о (х) = 4х + о (х),
sin 2х + tg2 х + (ех — 1)5 = 2х + о (х) + о (х) = 2х + о (х),
233
поэтому
.. ln(l+x + x2) + arcsin3x—5х3 _r 4x+fl(x)
x—>0 sin2x+tg2x-\-(ex— l)5 1ГП 2х+о(х)'
Ho 4л + о(л) —4л, a 2x+o(x)~2x при л->0 и, значит, по тео-
реме 2,
lim------y-2=lim —=2.
x—*-0 2x + <?(x) x—о 2x
Таким образом, искомый предел существует и равен 2.
При вычислении пределов функций с помощью метода
выделения главной части следует иметь в виду, что в случаях,
не рассмотренных в п. 8.3, вообще говоря, нельзя бесконечно
малые заменять им эквивалентными. Так, например, при
отыскании предела выражения lim smx_ х было бы ошибкой
х—о X5
заменить функцию sinx эквивалентной ей при л->0 функцией х.
Естественный метод решения подобных задач будет дан в п.
13.4.
Для отыскания пределов выражений вида м(л)г(х) целесооб-
разно находить предел их логарифмов. Рассмотрим подобный
2
пример. Найдем предел limcos1/x 2л. Из равенства
х—>0
cos1/x2 2x=elncosl/*22* (8.38)
видно, что достаточно вычислить предел
v , l/х2 n 1- lncos2x 1 .. In(1 — sin22х)
lim In cos ' 2x = lim--—=- lim —<.
X—0 x—*0 X 2 x— 0 X1
Так как
ln(l —sin2 2л) — —sin2 2л — — (2л)2 = — 4л2,
то отсюда, согласно теореме 2 этого параграфа, имеем
1 v ln(l — sin22x) 1 .. 4х2 -
- пт —---------= —- hm—-= —2;
2 х—*0 X2 2 х2
таким образом,
limlncos1/x 2х=— 2.
х—0
В силу непрерывности показательной функции, из (8.38) имеем
2 limlncos^^X 2х
limcos1/x 2л = еЛ^° =—.
х->о е2
Способ вычисления пределов с помощью выделения главной
части функции является очень удобным, простым и вместе с тем
234
весьма общим методом. Некоторое затруднение в его примене-
нии связано пока с тем, что еще нет достаточно общего способа
выделения главной части функции. Это затруднение будет
устранено в дальнейшем (см. § 13).
§ 9. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ
9.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ
Определение 1. Пусть функция y=f(x) определена в некото-
рой окрестности точки xoeR и пусть х — произвольная точка
этой окрестности. Если отношение
Л^-fM
х-х0
имеет предел при x-*Xq, то этот предел называется производной
функции f в точке х0 или, что то же, при х = х$, и обозначается
Т(*о):
Л*о) = lim (9.1)
x->xQ Х-Хо
Если ввести обозначение х — х0 = Ах, то определение (9.1)
запишется в виде
Полагая /(х0 +Ах)—/(х0) = A j, опуская обозначения аргу-
мента и обозначая производную просто через у\ получаем еще
одну запись определения производной:
у'— lim —.
Дх—*-0 Дх
Если для некоторого значения х0 существуют пределы
lim —=оо,
Дх—>0 Дх
или
lim ^=+оо, или lim ^-=—оо,
Дх—-О Дх Дх—”0 Дх
то говорят, что при х = х0 существует бесконечная производная
или соответственно бесконечная производная определенного зна-
ка, равная Ч-оо или — оо.
В дальнейшем под выражением «функция имеет производ-
ную» будем понимать всегда наличие конечной производной,
если не оговорено противное.
235
Введем для удобства следующее определение. Пересечение
окрестности точки xoeR с лучом х^х0 (х^х0) назовем
правосторонней (левосторонней) окрестностью точки х0.
Определение 2. Если функция / определена в некоторой
правосторонней (левосторонней) окрестности точки xQ и су-
ществует конечный или бесконечный (определенного знака)
предел
г /(л04-Ал)-/(л0) ( г /(л0 + Ал)-/(х0)А
lim —7 v 07 hm —7 7 v 07 , то он называется
Ах—+ О Ах \ Ах— - 0 Ал J
соответственно конечной или бесконечной правой (левой) произ-
водной функции / в точке х0 и обозначается f'+ (х0) (или
/'-(л'о)Л
Правая и левая производные называются односторонними
производными.
Из теоремы об односторонних пределах (см. п. 5.9) следует,
что функция Дх), определенная в некоторой окрестности точки
х0, имеет производную Д(х0) тогда и только тогда, когда
/'-(х0) и/'+(х0) существуют и (х0) =/'+ (х0). В этом случае
Г (Л'о)=/- (*о )=/'+.Цо)’
Если функция Дх) определена на некотором промежутке и в
каждой его точке существует производная (причем под произ-
водной в конце этого промежутка, который принадлежит
промежутку, естественно, понимается соответствующая однос-
торонняя производная), то она, очевидно, также является
функцией, определенной на данном промежутке; ее обозначают
через Д(х). Если г=Дх), то вместо Д(х0) пишут также .
Вычисление производной от функции называется дифферен-
цированием.
Примеры. 1. у = с (с—постоянная)
Так как Aj = c — с = 0, то lim — = 0 и, таким образом,
Ах—о Ал
2. j’ = sinx. Имеем
А у — sin (х+Ах) — sin х = 2cos
. Ал
sin —
2
поэтому
lim lim cos
Ах—О А Л Ах—О
lim
Ах—О
Ал
sm —
2
-----= COS X.
Ал
2
Таким образом,
(sin х)' = cos х.
236
3. j? = cosx. Так как
Aj? = cos(x+Дх) —cos(x) = — 2sin^x+^^ sin^,
то будем иметь
. Ax
lim —= — lim sinfx+—lim A-— = — sinx.
Ax—*0 Ax Ax—-0 \ 2 J Ax—>0 Ax
T
Таким образом,
(cos л')' = — sin x.
4. y = ax. Имеем Ay = ax+Sx —ах = ах(а^х — 1), поэтому
AT xa&x~1
——a -------,
Ax Ax
откуда, в силу формулы (8.17), получаем
lim ^-=аАх lim ——- = аДх1п«.
Ах—►0 Ах Ах—>0 Ах
Таким образом,
(ах)' = ах 1п а,
в частности
[ех)' = ех.
Последнее равенство показывает, что число е обладает замеча-
тельным свойством: показательная функция с основанием е имеет
производную, совпадающую с самой функцией. Этим и объясняется то
обстоятельство, что в математическом анализе в качестве основа-
ния степени и основания логарифмов используется преимущест-
венно число е. Это очень удобно, так как упрощает вычисления.
5. = п — натуральное число. Используя правило возве-
дения бинома в степень, находим
Д у = + Дх)” — хп — пхп~х Аххп~2 Дх2 + ... + Дх”,
откуда при Дх^О имеем
— = пхп —— х” 1Дх + ... + Дх” \
Ах 2
Так как при Дх->0 все слагаемые правой части, содержащие
множитель Дх в степени с натуральным показателем, стремятся
к нулю, то lim — = пхп~1; таким образом,
Ах—>о Ах
237
(хп}' = ПХП х.
В дальнейшем будет показано, что эта формула справедлива
и тогда, когда п— произвольное действительное число.
9.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
Определение 3. Функция y=f(x), определенная в некоторой
окрестности U (х0) точки xoeR, называется дифференцируемой
при х = х$, если ее приращение в этой точке, т. е.
&y=f(x0 + bx)-f(x0), х0 + АхеГ(х0),
представимо в виде
Ду = А Ах+я (Ах), Ах->0, (9.2)
где А — постоянная
Линейная функция Л Ах (от переменной Ах) называется
дифференциалом функции f в точке х0 и обозначается б?/(х0) или,
короче dy.
Таким образом,
dy = А А х
и
Ay = dy + о (Ах), Ах->0.
Функция Ах определена для всех значений Ах, в частности и
для Ах = 0, а функция о (Ах) = Ау — Л Ах определена в некото-
(9.2)
рой окрестности точки Ах = 0, в том числе и в самой этой точке,
где она равна нулю:
(7(0) = (Ау —Л Ах)|Дх=о = 0.
(9.2)
Поэтому, согласно определению символа «о малое», сущест-
вует такая функция 8 (Ах), также определенная на всей
указанной окрестности точки Ах^О (а следовательно, в самой
этой точке), и такая, что для всех Ах = 0 из этой окрестности
выполняется равенство
о (Ах) = £ (Ах) Ах (9.3)
и
lim е(Ах) = 0. (9.4)
Ах—О
При фиксированной точке х0 постоянная А есть некоторое число, не
зависящее от Ах; конечно, при изменении точки х0 число Л, вообще говоря,
меняется.
238
Предел берется по всей окрестности, поэтому отсюда
следует, что
е(0) = 0 (9.5)
(если точка, в которой берется предел функции, принадлежит
множеству, по которому берется предел, то функция непрерыв-
на в этой точке).
Заметим, что дифференциал dy = A\x. как и всякая линейная
функция, определен для любого значения Ах: — оо<Ах< +оо, в
то время как приращение Ау=/(х0 + Ах)—/(х0), естественно,
можно рассматривать только для таких Ах, для которых х0 + Ах
принадлежит области определения функции f.
Если А ф 0, т. е. если ф^О, то дифференцируемость функции
в точке х0 означает, что с точностью до бесконечно малых
более высокого порядка, чем приращение аргумента Ах,
приращение функции tsy является линейной функцией от Ах.
Используя терминологию п. 8.4, можно сказать, что главная
часть приращения функции \у в точке х0 является линейной
функцией относительно Ах; при этом приращение &у и
дифференциал dy — эквивалентные бесконечно малые при Ах-*0
(см. п. 8.3).
Если же А = 0, т. е. dy = 0, то Ау = о(Ах) при Ах->0. Таким
образом, при А = 0 приращение Aj является бесконечно малой
более высокого порядка, чем Ах, когда Ах->0.
Для большей симметрии записи дифференциала приращение
Ах обозначают dx и называют его дифференциалом независимо-
го переменного. Таким образом, дифференциал можно записать
в виде
dy = Adx.
Пример. Найдем дифференциал функции j = x3.
В этом случае
Ау = (х+Ах)3 — х3 = Зх2 Ах + Зх (Ах)2 + (Ах)3.
При Ах->0 главная линейная часть выражения, стоящего
справа, равна Зх2Ах; поэтому dy = 3x2dx.
Пусть /(х0)=^р- Подставив в (9.3) значения А^=/(х) —^0,
Ах = х —х0, dy = A\x— х0), получим
f(x)=y0+A(x-x0)+o(x-x0\ х-*х0.
Итак, если функция Дх) дифференцируема в точке х0, то с
точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем
х —х0, вблизи х0 она равна линейной функции; иначе говоря, в
этом случае функция / в окрестности точки х0 ведет себя «почти
как линейная функция»
у0+А(х-х0),
причем погрешность при замене функции f этой линейной
функцией тем меньше, чем меньше разность х —х0, и, более
239
того, отношение этой погрешности к разности х — х0 стремится
к нулю при х-+х$.
Если функция / дифференцируема в каждой точке некоторого
интервала, то ее дифференциал является функцией двух пере-
менных— точки х и переменной dx\
dy = A (х) dx.
Выясним теперь связь между дифференцируемостью в точке
и существованием производной в той же точке.
Теорема 1. Для того чтобы функция /была дифференци-
руемой в некоторой точке х0, необходимо и достаточно, чтобы
она имела в этой точке производную; при этом
dy=f'(x0)dx.
Доказательство необходимости. Пусть функция f
дифференцируема в точке х0, т. е. Ду = Л Ах + о (Ах), Ах->0.
Тогда
lim ~ = Л+ lim =
Ах—*0 Ах Ах—>0 Ах
Поэтому производная f (х0) существует и равна А. Отсюда
dy (х0) dx.
Доказательство достаточности. Пусть существует
производная /'(х0), т. е. существует предел lim — =/'(х0)
Дх—*0 Л X
Тогда
Av
-Г-=/'(х0) + е(Ах), Ах/О,
где lim е(Дх) = 0 и, следовательно, для Дх^О справедливо
Ах—>0
Ах^ 0
равенство
Ду = /“ (х0) Дх + 8 (Дх) Дх.
Полагая здесь 8 (0)^0, получаем, что в некоторой окрестности
точки х0 имеет место равенство
Ду = /' (х0) Дх + о (Дх), Дх-»0,
т. е. равенство (9.2) при Л=/ (х0). Таким образом, функция f
дифференцируема в точке х0. П
Подчеркнем, что в теореме 1 речь идет о конечной
производной.
Таким образом, дифференцируемость функции /(х) в
точке х0 равносильна существованию в этой точке
конечной производной /' (х0).
240
Из доказанного следует, что коэффициент А в определении
дифференциала (см. (9.2)) определен однозначно, а именно
A=f'\xQ]', тем самым и дифференциал функции в данной точке
определен однозначно. Это, впрочем, вытекает также из леммы
п. 8.4 о единственности главной части вида А(х — х0)к бесконеч-
но малой функции при x-+Xq.
В силу теоремы 1, у' = —. Правая часть представляет собой
dx
дробь, числитель которой — дифференциал функции, а знаме-
натель — дифференциал аргумента.
Формулу (9.2) для приращения функции, согласно теореме 1
и формуле (9.3), можно записать в виде
Ay = f' (х0) Дх + 8 (Дх) Дх, (9.6)
где выполняется условие (9.4) и, как его следствие, условие (9.5):
lim е(Дх) = 0, 8(0) = 0, (9.7)
Дх—-О
т. е. ь(Дх) — непрерывная в нуле функция.
Формула dy =f' (х0) dx позволяет находить дифференциалы
функций, если известны их производные. Так, например,
используя производные, найденные в п. 9.1, получаем:
de = 0 (с — постоянная), dcos х = — sin х dx,
d sin x = cos x dx, dax = ax In a dx,
в частности dex = exdx,
dxn = nxn ~1 dx (n — натуральное число).
В заключение выясним связь между дифференцируемостью и
непрерывностью в данной точке.
Теорема 2. Если функция f дифференцируема в некоторой
точке, то она и непрерывна в этой точке.
Следствие. Если функция в некоторой точке имеет
производную, то она непрерывна в этой точке.
Доказательство. Пусть функция f дифференцируема в
точке х0, т. е. в этой точке \у = А Дх + о(Дх) при Дх->0. Тогда
lim Ду = А lim Дх+ lim о(Дх) = 0,
Дх—►О Дх—>0 Дх—>0
что и означает непрерывность функции f при х = х0. □
Следствие непосредственно вытекает из теорем I и 2.
Обратим внимание на то, что если функция имеет в точке
бесконечную производную, то она может быть разрывной, в
этой точке.
Упражнение 1. Построить пример функции, имеющей в некоторой точке
бесконечную производную и разрывную в этой точке.
241
ну Заметим, что утверждение,
обратное теореме 2, неверно’
f т. е. из непрерывности функции f
у. /f в данной точке не следует ее
у\ / дифферецируемость или, что
\ пХХЛ / равносильно (см. теорему 1), су-
\/х \1/ ществование производной в этой
у0 х точке.
/ Приведем примеры, подтвер-
/ х. ж дающие это.
/ 1. Функция Дх) = |х|, очевид-
но, непрерывна в точке х = 0 (как
РИС. 38 и во всех других), но не имеет в
этой точке производной.
В самом деле, при х^О имеем у = |х|=х, поэтому для точки
хо = 0 получим Ау = Ах. Следовательно,
/'+(о)= lim ^=1.
Аналогично, при х^О имеем j? = |х| = — х, поэтому для точки
хо = 0 в этом случае получим Ау=—Ах. Следовательно,
/-(0)= lim ^=-1.
Ах—>о Ах
Тем самым доказано, что функция Дх) = |х| не имеет при
х = 0 производной, однако в этой точке существуют как левая,
так и правая производные.
Отметим еще, что при х>0 имеет место равенство
(|х|)'= х'= 1, а при х<0 соответственно (|х|)' = ( —х)'= — 1,
поэтому для любого х/0 справедлива формула
| х |' = sign х.
Следующий пример показывает, что у функции может не
быть в точке непрерывности никакой односторонней производ-
ной.
2. Пусть (рис. 38)
г xsin- при хт^О,
( 0 при х = 0.
Тогда в точке х = 0 имеем Ay = Axsin^-, откуда | Лу |<| Ах|,
и поэтому lim Ау = 0, т. е. рассматриваемая функция непрерыв-
Дх—-О
242
на при х=0. Вместе с тем =
— sm—, и так как функция sm-
Дх х
не имеет в точке х = 0 предела ни
слева, ни справа (см. пример 2 в
п. 5.4), то у функции /(%) не
существует односторонних про-
изводных при х = 0.
Упражнения. 2. Ввести понятие рис 39
дифференцируемости функции справа
(слева) в данной точке и доказать, что дифференцируемость справа (слева) в
данной точке эквивалентна существованию в этой точке производной справа
(слева).
3. Доказать, что если функция имеет в некоторой точке левостороннюю
(правостороннюю) производную, то в этой точке функция непрерывна слева
(справа).
Если функция f имеет производную в каждой точ-
ке некоторого промежутка (дифференцируема в каждой точ-
ке этого промежутка), то говорят, что функция / имеет
производную или что она дифференцируема на указанном
промежутке.
9.3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
И ДИФФЕРЕНЦИАЛА
Понятия производной и дифференциала функции в данной
точке связаны с понятием касательной к графику функции в
этой точке. Чтобы выяснить эту связь, определим прежде всего
касательную.
Пусть функция у—определена на интервале (а, Ь) и
непрерывна в точке лое(я, Z?). Пусть = лД
х0+Ахе(й, b\ Aj=/(x0+Ax)-/(x0), M=(xQ + \x, j0 + Aj’).
Проведем секущую М$М (рис. 39). Она имеет уравнение
у=к(Ьх)(х-х0)+у0, (9.8)
где
А:(Ах) = ^.
v 7 Ах
(9.9)
Покажем, что при Ах->0 расстояние | MQM | от точки Мо до
точки М стремится к нулю (в этом случае говорят, что точка М
стремится к точке А/о, и пишут М->М0). Действительно, в силу
243
непрерывности функции /, при x = xQ имеем lim Ау = 0. Следо-
Дх—*0
вательно, при Ах->0
| Мо МI = 7Дх2 + Д>-2 ^0.
Определение 4. Если существует конечный предел lim к (Ах) =
Дх—>0
= &0, то прямая, уравнение которой
у=к0(х-х0')+у0 (9.10)
получается из уравнения у = /с (Ах)(х —x0)+j20 при Ах—>0 (рис.
39/ называется (наклонной) касательной к графику функции f в
точке (х0, j;0).
Если lim £(Ах)=оо, то прямая (рис. 40/ уравнение которой
Дх—>0
(9.П)
получается при Ах->0 из уравнения секущей, записанного в виде
-ггг-\ = х~хъ + ty ч? называется (вертикальной) касательной к
к (Дх) к (Д v)
графику функции f в точке (х0, у0).
Прямые (9.10) в случае конечного предела lim А: (Ах) и (9.11)
Дх—*0
в случае, когда этот предел бесконечен, называются предельны-
ми положениями прямой (9.8). В силу этого, данное выше
определение касательной к графику функции можно перефрази-
ровать следующим образом.
Предельное положение секущей MQM при Ах->0, или, что то
же, при M-*MQ, называется касательной к графику функции f в
точке Мо.
Заметим теперь, что, в силу
равенства (9.9), существование ко-
нечного предела lim к (Ах) = lim
Дх—>0 Дх—*0 & х
означает существование конеч-
ной производной f'(x0) = k. Следо-
вательно, если у функции f в точке
х0 существует производная, то
уравнение касательной к графику
функции в точке (х0, /(х0)) имеет
вид
244
Д'=/'(хо)(*-*о)+Ль (9-12)
где Jo—/(xo)- Если же lim ^=оо, т. е. /'(х0) = со, то, в силу
Дх—*0 Ах
(9.9), lim к (Ах) = оо и, следовательно (см. (9.11)), уравнение
Дх—*0
касательной имеет вид
х = х0.
Как известно из аналитической геометрии, коэффициент
/'(х0) в уравнении (9.12) равен тангенсу угла (см. рис. 30),
который рассматриваемая прямая образует с положительным
направлением оси Ох:
f'(x0)=tga,
т. е. производная функции в некоторой точке равна тангенсу
угла между касательной в соответствующей точке графика
функции и осью абсцисс.
Первое слагаемое в правой части уравнения (9.12), т. е.
выражение /'(х0)(х—х0)=/'(х0) Ах, Лх = х — х0, является диф-
ференциалом dy функции f в точке х0. Следовательно, в силу
равенства (9.12),
y-yQ = dy,
где у — текущая ордината касательной. Таким образом, диф-
ференциал функции в данной точке равен приращению ордина-
ты касательной в соответствующей точке графика функции.
Замечание. Если в точке х0 существует бесконечный предел
lim ~ =оо, то может оказаться, что он будет равным 4-оо или
Дх—>0 Дх
— оо. В этом случае при х = х0 существует бесконечная производная
^'= + 00 или у'=—оо и график функции y=f(x) в окрестности
точки х0 имеет вид, схематически изображенный на рис. 41 и 42.
245
Возможен также и случай, когда предел lim — =оо не
Ах—>0 А X
является бесконечностью определенного знака и, следовательно,
в этой точке не существует ни конечной, ни бесконечной
определенного знака производной, а лишь /'(х0)=оо. Это
может, например, случиться, если в точке х0 существуют
односторонние бесконечные производные разного знака. Тогда
в окрестности точки х0 график функции имеет вид, схематичес-
ки показанный на рис. 43 и 44.
Пример. Найдем касательную к параболе у = х2 в точке
(h 1).
Согласно п. 9.1 (см. пример 5), у' = 2х, поэтому у'|х=1=2. В
силу формулы (9.12), искомая касательная имеет уравнение
у = 2(х —1)+1, т.е. у = 2х — 1.
Если функция f дифференцируема в точке х0, то, подставляя
в формулу (9.5) A=f'(x0) (см. теорему 1 настоящего параг-
рафа), имеем
/(*)=У о +Г (*о) (* - *0) + о (х - ХО ), * -* х0
и, значит, согласно (9.12) (Лас—/’(хо)(х—хо)+7оК получим
Дх)-У™с = о(х-х0), х->х0.
Таким образом, наклонная касательная к графику функции
обладает тем свойством, что разность ординат графика и этой
касательной есть величина бесконечно малая более высоко-
го порядка при х-+х0 по сравнению с приращением аргу-
мента.
Обратно: если существует невертикальная прямая
Упр = Л(*-*о)+Л» (9.13)
проходящая через точку (х0, у0) и такая, что
f{x)-ynv=o(x-x0), х^х0, (9.14)
246
то эта прямая является касательной к графику функции в точке
(х0, Jo)- Действительно, в этом случае
/(х) - [ А (х - х0)+у0 ] = О (х - х0),
т. е.
&У =f (*) - У о = А (х - х0) + о (х - х0), х->х0;
следовательно, функция f дифференцируема в точке х0 (см. (9.2))
и Л=/'(х0) (см. теорему 1), т. е. указанная прямая совпадает с
касательной (9.12).
Таким образом, условие (9.14) необходимо и достаточно для
того, чтобы прямая (9.13) являлась наклонной касательной к
графику функции /(х) в точке (х0, у0 ). Отсюда, в частности,
следует, что она единственна (последнее вытекает, например, из
того, что дифференциал функции единствен, или из того, что
касательная к графику функции в данной точке единственна).
9.4. ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
И ДИФФЕРЕНЦИАЛА
, Пусть функция /(х) определена в некоторой окрестности
точки х0. Воспользуемся, как и выше, обозначениями Ах =
= х —х0, Aj/=/(x0 + Ax0)—/(х0). Пусть для определенности
Ах>0. Отношение равное изменению переменной у на
отрезке [х0, х0 + Ах], отнесенному к единице измерения
переменной х, естественно назвать значением средней скорости
изменения у на отрезке [х0, х0Ч-Ах] относительно х. При
стремлении Ах к нулю, т. е. при стягивании отрезка [х0,
х0 + Ах] к точке х0, отношение определяет значение средней
скорости изменения у относительно х во все меньшем и
меньшем отрезке, содержащем точку х0. Все сказанное, конечно,
справедливо и при Ах<0 для отрезка [х0 + Ах, х0].
Предел lim —, если он существует, т. е. производную
Дх—*о Ах
/' (х0), естественно поэтому назвать скоростью изменения
переменной у относительно переменной х в точке х0.
Заметим, что если в точке х0 существует производная /'(х0),
то, рассматривая предел средних скоростей изменения у
относительно х на отрезках [х0 —Ах, х0 + Ах] (Ах>0), содержа-
щих точку х0 внутри себя в качестве центра, при стягивании их
к точке х0 (при Ах->0) мы получим в пределе то же значение
скорости изменения у относительно х в точке х0, т. е. /'(х0).
Действительно, значение средней скорости изменения перемен-
ной у относительно х на отрезке [х0 —Ах, х0 + Ах] равно
247
/(x0+Ax)^/(xu—Дх) (частноМу от деления изменения функции на
длину отрезка, на котором произошло это изменение); отсюда
]im Дхо+Ал)~/(^о~ Аг) _ 1 Г ут /(ч+Ах)-/(х0) !
Ах—»-0 2Ах 2 Дх—ю Ах
+ ]im Ж-М-/(*о)
Ах—>0 —Ах
=/'(хо)-
Интересно заметить, что разностное отношение
f(x+ Ах)— fix — Ах) _
—----- -------в известном смысле лучше приближает значение
2Ах
- Г' /(х+Ах)-/(х)
производной / в точке х, чем —---------7 v 7 (см. п. 62.6).
Ах
На интерпретации производной
как скорости изменения одной вели-
чины относительной другой и осно-
вано применение производной к
изучению физических явлений.
Применение же дифференциала
основано на том, что замена при-
ращения функции ее дифференциа-
лом позволяет заменить любую
рис 45 дифференцируемую в точке х0
функцию линейной функцией в до-
статочно малой окрестности точки х0, т. е. считать, что процесс
изменения зависимой переменной «в малом» происходит линей-
но относительно аргумента. Иначе говоря, можно считать, что
изменение функции прямо пропорционально изменению аргу-
мента или, как говорят, упомянутый процесс «в малом»
происходит равномерно. Получающаяся при такой замене
погрешность оказывается бесконечно малой более высокого
порядка, чем приращение аргумента.
Примеры. 1. Пусть s = s(t)— закон движения материальной
точки*1 (рис. 45); а — длина пути, отсчитываемая вдоль траек-
тории от некоторой начальной точки Мо; t — время. Пусть
М — положение точки в момент времени /, а М' — в момент
/Ч-Az и Ал — длина пути от М до М', т. е. Аа = а(/ + A/) — s(t).
гл A.v
Отношение — называется в механике числовым значе-
А/
нием средней скорости движения на участке от М до М', а
Не следует путать закон движения точки с уравнением ее траектории,
которое имеет вид r=r(t), где г -радиус-вектор движущейся точки.
248
Л 5 л
Jim —=v — скоростью в точке М или мгновенной скоростью в
дг—*о Аг
момент времени /; таким образом, г =
По определению дифференциала, ds = vdt\ следовательно,
дифференциал пути равен расстоянию, которое прошла бы
точка за промежуток времени от момента t до г + Аг, если бы
она двигалась равномерно со скоростью, равной мгновенной
скорости точки в момент i. Величина же \s действительного
перемещения точки равна &s = ds+o(&t\
Мы видим таким образом, что с точки зрения механики
замена As на ds означает, что мы считаем движение на
рассматриваемом участке равномерным (в смысле числового
значения скорости**).
2. Пусть q = q(t)—количество электричества, протекающее
через поперечное сечение проводника; t—время; Аг— некото-
рый промежуток времени; Kq = q (t 4- Ar) — q (z) — количество эле-
ктричества, протекающее через указанное сечение за промежу-
ток времени от момента t до момента r+А/. Тогда
называется средней силой тока за промежуток времени Аг и
обозначается Zcn, а предел lim /гп = lim — — силой тока в
р Д£->0 р дг-о Аг
данный момент времени t или мгновенным током и обознача-
ется I. Таким образом, Дифференциал dq^I&t равен
количеству электричества, протекшего через поперечное сечение
проводника за промежуток времени Аг, если сила тока была бы
постоянной и равной силе тока в момент t. Как всегда,
Ag — dq = o (Аг), Аг->0.
3. Пусть дан неоднородный стержень*** длины / и пусть
т = т(х) — масса части стержня длины х, О^х^/, отмеряемой
от одного фиксированного конца (рис. 46). Тогда \т =
= w(x+Ax) —/л(х)— масса части стержня, ограниченной точка-
ми, расположенными соответственно на расстоянии х и х + Ах
ТЛ А/77 л ~
от указанного конца. Величина — называется средней линеинои
плотностью стержня на указанном участке и обозначается р
Предел lim р = lim — называется линейной плотностью стерж-
Дх—*-0 Дх—*0 Ах
*j Следует иметь в виду, что скорость - вектор и поэтому характеризуется
не только значение.м, но и направлением.
*** Стержень называется однородным, если два любых его участка
одинаковой длины имеют одинаковую массу, и неоднородным в противном
случае.
249
ня в данной точке и обозна-
т№ Лпг чается р. Таким образом,
Рис. 46
Если плотность р посто-
янна, то стержень является однородным.
Для произвольного, вообще говоря, неоднородного стержня
дифференциал dm = pAx равен массе однородного стержня
длины Ах с постоянной плотностью р, равной плотности
рассматриваемого стержня в данной точке.
Как показывает этот пример, интерпретируя производную
как скорость, мы должны понимать это в широком смысле
слова. Например, плотность стержня тоже «скорость», а именно
скорость изменения массы с изменением длины.
9.5. ПРАВИЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ, СВЯЗАННЫЕ
С АРИФМЕТИЧЕСКИМИ ДЕЙСТВИЯМИ НАД ФУНКЦИЯМИ
Получим теперь формулы для производных суммы, произ-
ведения и частного функций.
Теорема 3. Пусть функции (х) и у 2 =/2(х) определены
в окрестности точки x$eR и имеют в самой точке х0
производные, тогда и их сумма /1(х)+/2(х), произведение
/1(х)/2(х), а если f2(xQ)^0, то и частное имеют в точке х0
J2\X)
производные, причем
(л+Уг)'=/i+j2, (9-15)
(У1У2)'=У1У2+У1У2, (9.16)
/ Ji Y_^ij2-Tiy2 /9 17)
У2
(в формулах (9.15), (9.16) и (9.17) х = х0).
Следствие 1. Если функция y=f(x) имеет производную в
точке х0 и ceR, то функция cf(x] также имеет в этой точке
производную, причем
(су} = су’ (х=х0). (9.18)
Следствие 2. Если функции yk=fk(x\ k=\. 2. ..., п, имеют
в точке х0 производные, то всякая их линейная комбинация
также имеет в этой точке производную, причем
(c1yi + ... + cnyn)’=cly'1 + ...+cny'n,
ckeR, k=\, 2, п. (9.19)
Доказательство теоремы. Пусть функции
и у2 =/2(х) определены в окрестности L/(x0) точки х0,
250
Xo + kxeU(xo) и Ajj ^/Дхо + Лх)-/!^), Ду2 =f2(x0+Ax)-
—/2(х0). Для простоты записи будем иногда опускать обозначе-
ние аргумента, рассматривая при этом приращения функций
только в точке х0.
Если у=У1+у2, то
А/ = (У i + by I + У 2 + ) - (У1 + У 2) = AFi +
откуда при Ах / 0 получим
Аг_Лг, Л г.
Ах Ах Ах
Переходя здесь к пределу при Дх->0 и замечая, что в силу
существования производных функций уг и в точке х0 предел
правой части этого равенства существует и равен у\ +у'2,
получим, что существует и предел его левой части, т. е.
существует производная у', причем
У'=У1+У2.
т. е. формула (9.15) доказана.
Если у=у\у2, то аналогичным образом будем последова-
тельно иметь
Ду = (Ул + Ду! )(у2 + Ду2 )-у 1 у2 = Ay 1 -у2 +У1 -Ду2 + ДУ1 -Ауг,
— — v +v л>’2 , Д>Т *
д%~дл- F2+^1 дГ+дГл>2-
Из существования производной /Дхо) следует непрерыв-
ность функции /2 в точке х0: lim Ду2 = 0: кроме того, lim —=
Дх—0 Дх—о Ах
=^i, lim —=j’2- Поэтому, перейдя к пределу при Дх->0, из
Ах—О Ах
полученного равенства имеем
У'=У\У2+У1 ^2,
т. е. формула (9.16) доказана.
Наконец, если v = — и то
Уг
У 2 + &У1 У 2
(тг+ДъЫ
А у _ Ах Ах
Ах (>’2 + Ат2)>’2
Отсюда при Лх->0, вспомнив снова, что из существования
производной следует непрерывность функции, и, следовательно,
251
lim Ду2 = 0, получим
Дх—+0
,_У'1У2-У1У2
У2
т. е. формула (9.17) также доказана.
Следствие 1 сразу вытекает из (9.16), если вспомнить, что
с' = 0 (см. пример 1 в п. 9.1), а следствие 2 сразу получается из
формул (9.15) и (9.18) методом математической индукции. □
Замечание. Используя свойства бесконечных пределов,
относящиеся к арифметическим действиям над функциями (см.
п. 5.10), можно установить и соответствующие свойства
бесконечных производных. Например, если существует конечная
производная у\ (х0) и бесконечная (определенного знака) произ-
def
водная У2(*о), то у функции у(х)=у1(х)+у2(х) в точке х0
существует бесконечная производная того же знака. Например,
если у2 (х0) = + со, то у' (х0) = + оо. Действительно, Ау =
= Ау1+Ау2‘ Поэтому, если существует конечный предел
lim—, a lim—=+оо, то
Дх—-О Ах Дх—*0 &Х
lim — = lim
Дх—>0 Ах Дх—>0
lim
Ах Ах / Дх—>о Ах
lim — = + оо,
Дх—*о Ах
т. е. у(х0)=+оо.
Примеры. 1. Пусть у = ех sin х — 2х2 cos х\ в силу формул
(9.15), (9.16) и (9.18), имеем
у' = (ех sin х)' — 2 (х2 cos х)' =
= ех sin х + ех cosx — 2 (2х cos х — х2 sin х).
2. Пусть y = tgx; так как tgx=-^^, то по формуле (9.17)
COSX
получаем
, / sinx \ cosxcosx — sinx( — sinx) 1
у _ I -- I------------
\ COS X / , COS X COS X
Таким образом,
(tg,v) =-—.
7 cos2X
3. Аналогично, для y = ctgx
, I cosx\_( —sinx)sinx—cosxcosx 1
У \ sin x) sin2x sin2x'
252
т. е.
(ctgx)' = —4-.
v 7 sin2 X
Свойства (9.15)—(9.18) переносятся и на дифференциалы
функций. При тех же предположениях относительно дифферен-
цируемости в точке х0 имеем:
d(y1+y2) = dyl+dy2; d(yly2)=y2dy1+yldy2;
d(cy) = cdy;
\ У 2 ) У 2
Вычислим, например, дифференциал произведения
dy=y' dx = (yvy2}' dx=y\y2dx+yiy'2dx=y2dyl+yldy2, так как
y\dx = dyr, y'2dx = dy2.
Аналогично доказываются и остальные формулы.
9.6. ПРОИЗВОДНАЯ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ
Теорема 4. Пусть функция y=f(x) непрерывна и строго
монотонна в некоторой окрестности точки х0 и пусть при х=х0
существует производная 0; тогда обратная функция
x=f~l (у) имеет производную в точке у0 =Дх0), причем
df Ч-Уо)- 1
dy df(xQ\
dx
(9.20)
т. е. производная обратной функции равна обратной величине
производной данной функции.
Доказательство. Зафиксируем какую-то окрестность
точки х0, на которой функция / определена, непрерывна и
строго монотонна, и будем рассматривать f только в этой
окрестности. Тогда, как доказано ранее (см. п. 6.3), обратная
функция определена и непрерывна на некотором интервале,
содержащем точку у0 и являющемся образом указанной выше
окрестности точки х0. Поэтому если Ах = х — х0, Ау=у—у0,
У=/(х), то Ах->0 равносильно Aj^->0 в том смысле, что
lim А^ = 0 (для функции А и lim Ах = 0 (для функции /-1).
Дх—О Ду—О
Для любых Ах/0, Ау^О имеем
Ах_ 1
Ат
Ах
253
При Аэс-^О (или, что то же, в силу сказанного выше, при Ау->0)
предел правой части существует, значит, существует и предел
левой части, причем
1
lim —= lim — =
Ay—о Av
.. Ах 1 _
Ах—о Ат Ат #(%о)’
11Ш --7—-
дх—о Ах dx
Но
lim
Ay—>о Ат dy
Рис. 47
df х(т0) 1 .
поэтому -—= —О
dy
dx
Этой теореме можно
глядную геометрическую
тацию (рис. 47). Как
#(*о)
дать на-
интерпре-
известно,
= tgoc, где ос — значение угла,
dx
образуемого касательной графика
функции f в точке (х0, j0) с поло-
жительным направлением оси Ох. а
^i^ = tgP, где Р — значение угла,
образованного той же касательной
с осью Оу.
Очевидно, Р = |—ос, поэтому
# 1(j;o) = tgp = —
dy ctgp
1
1 _ 1
tga #(x0)~
dx
Упражнения. 4. Доказать, что если функция т=/(х) непрерывна и строго
монотонна в некоторой окрестности точки х0 и если в этой точке существует
производная и ^^ = 0. то обратная функция /-1(т) имеет в точке То=/'(хо)
бесконечную производную; следовательно, если считать условно, что то
формула (9.20) справедлива и в этом случае.
5. Сформулируйте и докажите аналог теоремы 3 для односторонних
производных (конечных и бесконечных).
Примеры. 1. y = arcsinx, x = siny, —
Применяя формулу (9.20), получаем
dy / v 1 1
у- = arcsin х) =—=---.
ах 7 dx cosy
dy
254
Так как — то cos у > О, поэтому cosy = ^/1 — sin2y =
= у/1 — х2. Таким образом,
(arcsin х)' =—-1
V 7
2. y = arccosx, x^cosy, О^у^л, — 1^х<1.
Аналогично предыдущему примеру имеем:
— = (arccosx)'= —
dx х 7 ах
dy
1 - _ 1 - _ 1
s^n У У1 — cos2^ у/1 —х2
т. е.
(arccos xY = 1 .
v 7
3. y = arctgx, x = tgy, —2<J?<p — oo<x< + °o. Имеем:
^(arclgxj-l.cos2^-^-^;
dx
итак,
(arctgx)'^-^.
4. y = arctgx, x = ctgy, 0<у<л, — oo<x<oo.
В этом случае
dy / \z 1 -2 1 1
-~ = (arcctg) = — = -sm2y= ---— = --—
dx v 7 dx l+ctg2j^ 1+x2
dy
t. e.
(arcctgx)'= -?1?.
5. Если y = logflx, x = ay, a>0, a^l, x>0, —oo<y< + oo, to
^=(log хУ=±=-^=-1-
dx ' a dx ay\na x In a ’
dy
t. e.
255
(logox)' = -—;
v 7 xlntz
в частности, при a = e имеем
(1пх)——.
9.7. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ СЛОЖНОЙ
ФУНКЦИИ
Теорема 5. Пусть функция y=f(x) имеет производную в
точке х0, а функция z = F(y) имеет производную в точке
у0 = f(xo)- Тогда сложная функция Ф(х) = F [/’(х)] также имеет
производную при х = х0, причем
Ф'(х0)=Е'(у0)/'(х0). (9.21)
Если сложную функцию Ф обозначить символом Ф = F°f (см
и. 5.2), то формулу (9.21) можно записать в виде
(Еоу)'(х0)=Г(Г(х0))/'(х0).
Следует обратить внимание на то, что утверждение о
существовании в точке х0 производной сложной функции
F[f(x)] содержит предположение о том, что рассматриваемая
сложная функция имеет смысл, т. е. определена в некоторой
окрестности точки х0.
Опуская значение аргумента и используя запись производной
с помощью дифференциалов, равенство (9.21) можно переписать
в виде
dz _ dz dy
dx dy dx
Доказат ельство. Прежде всего, в силу самого определе-
ния производной, функция F определена в некоторой окрестно-
сти К(у0) точки у0, а так как из существования производной
/'(х0) следует непрерывность функции /, то для указанной
окрестности У(ур) существует такая окрестность С7(х0) точки х0,
что /(C/(x0))cz V(у0), и, следовательно, для всех xet/(x0) имеет
смысл сложная функция F (см. замечание 1 к теореме 6 п.
5.16).
Положим, как всегда, Ах = х —х0, Ау^у —у0, Az = F(y)~F(y0).
Функция F имеет в точке yQ производную и поэтому дифферен-
цируема в этой точке (см. п. 9.2). Это означает, чго ее
приращение Az при всех Ау, принадлежащих некоторой окрест-
ности точки Ау = 0 (в том числе и при Ау = 0), представимо (см.
формулы (9.6) и (9.7)) в виде
Az = F' (у0) Ау + 8 (Ау) Ау, (9.22)
256
где е(Д^)— непрерывная в нуле функция и
lim е(Д>’) = 0.
Ду—*0
Разделив обе части равенства (9.22) на Дл/0, получим
, <9-23)
Функция j=/(x) имеет производную в точке х0, т. е.
существует предел
Alim^ = fW- (9'24)
Ах—>0 А'А'
Из существования производной /'(х0) следует непрерывность
функции в точке х0:
lim Aj = 0.
Дх—>0
При Лх = 0 имеем Ау = О. Следовательно, приращение Aj,
рассматриваемое как функция Ах, непрерывно в точке Ах = 0.
Поэтому, согласно правилу замены переменных в предельных
соотношениях, содержащих непрерывные функции (см. п. 5.16),
lim е(Ай = 0. (9.25)
Дх—>0
Теперь из (9.23), переходя к пределу при Ах->0, в силу (9.24)
и (9.25), получим формулу (9.21). □
Замечание 1. Формула (9.21) для производной сложной
функции справедлива и в том случае, когда под производными
понимаются соответствующие односторонние производные,
если только предварительно потребовать, чтобы сложная
функция, которая необходима для определения рассматриваемой
односторонней (или двусторонней) производной, стоящей в
левой части формулы (9.21), имела смысл.
Следствие (инвариантность формы первого дифференциала
относительно преобразования независимой переменной):
dz = F' (j0) dy = Ф' (х0) dx. (9.26)
В этой формуле dy=f (х)<7х является дифференциалом
функции, a dx — дифференциалом независимой переменной.
Таким образом, дифференциал функции имеет один и тот же
вид: произведение производной по некоторой переменной на
«дифференциал этой переменной» — независимо от того, являет-
ся эта переменная, в свою очередь, функцией или независимой
переменной.
Докажем это. Согласно формуле (9.6), dz = Ф' (х0) dx. отсюда,
применив формулу (9.21) для производной сложной функции,
9-1807 257
получим dz=F' {y^f (x^dx, но f'(x^dx = dy. поэтому dz —
= F'(yo)dy. □
Формулу (9.26) можно интерпретировать и несколько иначе,
если вспомнить,что дифференциалом функции в точке является
функция, линейная относительно дифференциала независимой
переменной. Согласно (9.21), дифференциал функции Ф(х) =
=F(f(xty имеет вид dQ = F' (у) f' (x^dx, т. е. является результатом
подстановки линейной функции dy =f" (х0) dx. с помощью
которой задан дифференциал df (где у =/(%)), в линейную функ-
цию dz = F' (y^dy. задающую дифференциал dF (где z = F(j)).
Иначе говоря, дифференциал композиции ® = F°f является
композицией дифференциалов dF и df.
d^Ff^dF^df.
Отметим, что теорема 5 по индукции распространяется на
суперпозицию любого конечного числа функций. Например, для
сложной функции вида z(y (x(t))) в случае дифференцируемости
функций z(y), у(х) и x(t) в соответствующих точках имеет место
формула
dz _ dz dy dx
dt dy dx dt
Для обозначения производной z сложной функции z = z(y),
употребляют также нижний индекс х или у, указываю-
щий, по какой из переменных берется производная, т. е. пишут
z'x или z'y. Часто для простоты штрих опускают, т.е. вместо z'x
пишут просто zx. В этих обозначениях формула (9.21) имеет вид
?х = 2уУх-
Примеры. 1. Пусть у = ха, х>0, найдем —. Имеем = где
dx
. г. du a
1/ = яшх. Замечая, что —= получаем
dx х
dx de de du a in x ухУ ~
dx dx du dx x x
Таким образом,
(xa)' = axa-1.
Так, если y^x2, то У = 2х;
если у = -=х~\ то у = (—1)%-2= —-L;
если у = х/х = х1/2, то у = ix~1/2=—1—.
V 2 2^
258
Если функция у = х* определена при х<0, то при этих
значениях х она также имеет производную у' = иха.
2. Пусть jy = ln|х|, тогда при х>0 имеем
у=(1пх)'=1,
а при х<0
у = [1п(-х)]'=2_(-х)'=1.
Таким образом, для всех х^О справедлива формула
(1п|х|)'=1. (9.27)
Отсюда, по правилу дифференцирования сложной функции, для
любой функции и (х) в точках х, в которых существует
производная а и(х)^0, имеет место соотношение
К (1п|„(х)|)-=£« (9.28)
Замечание 2. Формула (9.27) может быть получена и
сразу для всех х^О из формулы дифференцирования сложных
функций, если вспомнить, что при х^О справедливо равенство
|х|' = signх (см. пример 1 в конце п. 9.2). Действительно,
положив u = \xl, для всех х^О получим
din I х I din и du 1 . sign х 1
---—- =-----= - Sign Х = —
dx du dx и | x | x
3. Найдем производную функции
1 , x—a
y = — In --
2a xia
x^a. x^—a.
В силу формулы (9.28), имеем
, 1 х+а I х—а\ _ 1 х+а х+а — (х—а)_ 1
2а х —а ух+ду 2а х—а (х+а)2 х2 — а2
4. Найдем производную функции >у = 1п|х+х/х2 + Л |. Анало-
гично предыдущему примеру получим
У ' =-7 U + Vх2+^)' =---у1 * * (1 + 7= = у 1 -
x + yJx2 + A x+y/x2iA \ у/х2 + А/ у/х2 + А
5. Пусть j> = ln2arcsin-, х>1. Найдем производную и
Дифференциал этой функции:
259
у' = (In2 arcsin - I = 2 In arcsin-
= 2 In arcsin----------
x . 1
arcsin -
2 In arcsin -
x
In arcsin -
x
1
arcsin -
x
| x | dx2 — \ arcsin -
x
Отсюда дифференциал находится непосредственно по формуле
dy=yr dx; однако если бы мы еще не имели готового выражения
для производной, то дифференциал можно было бы найти и
непосредственно, используя его инвариантность относительно
выбора переменных:
d( In2 arcsin — ) = 21 n arcsin - d \ In arcsin - I =
\ X) X \ X /
Э1 • 1 1 Л • 1
= 2 In arcsm----------d arcsin -
X . 1 \ X
4 arcsin - 4
2Inarcsin- / \ — 2Inarcsin-
x 1 J 1 \ x .
=-------------r..- d\ - =----------------dx.
• 1 / Г \ X / r-j . 1
arcsin- /1___ 4 6 7 |x|y/x — 1 arcsin-
x aJ x2 x
6. Выведем с помощью теоремы 5 еще одну часто
применяемую формулу. Пусть у = и\ где w = w(x)>0, v = v(x).
Представим даную функцию в виде y = evhlu и вычислим
dy devlnu vinu d z . \ v( dv\ , v du\
----= evlnu — (vlnu) = uvl — lnu +---=
dx dx dx ' \dx и dxJ
= uv^\nu+vuv~l (9.29)
Таким образом, производная функция uv равна сумме двух
слагаемых, из которых первое совпадает с производной uv в
предположении, что и—постоянная, а второе — с производной
uv в предположении, что v — постоянная.
С помощью правила дифференцирования сложной функции
можно находить и производные функций, заданных неявно.
260
7. Пусть дифференцируемая функция у=у(х) задана неявно
уравнением F(x, у) = 0 (см. п. 5.2). (Вопрос о том, как
установить, что данное уравнение на самом деле определяет
некоторую функцию, и является ли она дифференцируемой,
будет рассмотрен в дальнейшем.) Дифференцируя тождество
F(x, J'Cv)) = O как сложную функцию, можно вычислить ПрОИЗ-
^Т
водную -.
В качестве примера вычислим производную неявной функ-
ции у(х), задаваемой уравнением х2+у2 = а2. В данном конкрет-
ном случае существование такой функции не вызывает сомне-
ния, например это у = у[а2 — х\ а также у = —yja2 — x2. Продиф-
ференцируем уравнение х2 +у2 = а\ считая у функцией от х.
Получим 2х+2уу' = 0; отсюда у'=—
у
С подобными задачами приходится сталкиваться в геомет-
рии. Пусть, например, требуется найти касательную к окруж-
ности jv2+>’2 = 25 в точке (3, 4). Угловой коэффициент к
касательной равен производной; к=у\ и, значит, в данном
х 3
случае к= — Для рассматриваемой точки к=поэтому
уравнение искомой касательной можно записать в виде у — 4 =
= т.е. Зх+4у —25 = 0.
Применим метод дифференцирования неявных функций к
выводу формул, полученных ранее другим путем.
8. Рассмотрим снова функцию y = uv. Логарифмируя, полу-
чаем ее неявное задание lnj^ = rlnw. Дифференцируя обе части
этого уравнения, имеем —= v'lnu+-u' (выражение (1п^)' = —
называется логарифмической производной функции у (х)) или
у,=.y(r,lni/+-w'); подставляя у = и\ приходим снова к формуле
(9.29).
Рассмотрим еще функцию у = arcsin х. Она неявно задается
уравнением x^sinj’. Дифференцируя обе части по х, получаем
l=./cos;p, откуда
i _ 1 _ 1
У cosr — sin2^ -у/1 — х2
т. е. то же, что и в п. 9.6.
9. В случае, когда функция задана не одной формулой, а
несколькими, производную приходится иногда вычислять непо-
261
средственно, исходя из определения производной. Найдем,
например, производную функции
х2 sin- при х/0
X
О при х = 0.
При х^О производная существует и вычисляется по форму-
лам дифференцирования: /'(x) = 2xsin-—cos-. В точке же х = 0
7 X X
производная находится непосредственно, исходя из опреде-
ления:
f (0) = lim = lim х sin - = 0.
х—о х х—>0 х
Таким образом, функция f(x) дифференцируема на всей
числовой оси.
Замечание. Используя теорему 4, можно все полученные
формулы для производных основных элементарных функций
записать в более общем виде: если и — и(х)—дифференцируемая
функция, то
(sin и}' = и' cos и\
(cosz/)' = — z/'sm п;
(tgw)' =
и'
cos2 и
(ctg и)' =
(г/а)' = оша 1 и' (u>ty
(au)' = auu'\n. a;
(eu) = euuf;
(lnM)'=^ (M>0);
(arcsin uY =.u :
(arccosw)' = — ," ;
(arctgw)^^;
(arcctgw)' = -^-2.
sin2 w’
Из перечисленных формул видно (при z/ = x), что производ-
ные основных элементарных функций являются элементарными
функциями.
Полученные же в совокупности формулы дают возможность
вычислить производную и дифференциал любой элементарной
функции в случае, если эта производная существует.
Следует иметь в виду, однако, что не всякая элементарная
функция имеет производные во всех точках своей области
определения. Примером элементарной, дифференцируемой не
во всех точках функции, является функция \x\ = ^/x^, она, как
мы знаем, не имеет производной в точке х = 0 (см. п. 9.2).
262
Упражнения. 6. Можно ли доказать формулу —=----при dy/O,
dx dy ах
dz dx
просто умножив и разделив — на dy! Можно или нет доказать формулу —=
r dx dy
1 dx
=— при разделив числитель и знаменатель дроби — на dx!
dy dy
dx
7. Выяснить, является ли функция
{. 1
XSlDr- при Х0О,
* л
О при х — О
непрерывной в точке у — 0? Имеет ли она производную в этой точке? Будет ли
она иметь в ней односторонние производные?
9.8. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
И ИХ ПРОИЗВОДНЫЕ
Определение 5. Функции (ех + е~х)/2 у (ех — е~х)/2 называются
соответственно гиперболическим косинусом и гиперболическим
синусом и обозначаются chx и shx:
ех + е~х . ех — е~х .
-----= chx, ------= shx.
2 2
Справедлива формула
ch2x—sh2x = 1. (9.29)
Действительно,
1 2 к2 (+ (ех — е~х\2
chzx—sh2x =------- — ------------- =
у 2 у у 2 у
=Це2х+2 + е2х-е~2х+2-е~2х)= 1.
4
Справедлива также формула
sh2x = 2shxch х;
в самом деле,
к п ех + е~х ех—е~х е2х — е~2х . о
2sh хсп х = 2----------— =----------=sh 2 х.
2 2 2
Эти формулы напоминают соотношения между обычными
(как их иногда называют, круговыми) синусом и косинусом.
Для sh х и ch х имеется и ряд других соотношений, аналогичных
соответствующим формулам для sinx и cosx. Этим и объяс-
няется название функций shx и chx. Слово же «гиперболиче-
ский» связано с тем обстоятельством, что формулы
263
x = 6zch/, y = «shz (9.30)
параметрически задают ветвь гиперболы, подобно тому как
формулы
x = acos/, y = asinZ (9.31)
параметрически задают окружность. В самом деле, если
возвести в квадрат равенства (9.30), вычесть одно из другого и
воспользоваться формулой (9.29), то получим х2— у2 = а2, т.е.
уравнение равнобочной гиперболы.
Аналогично, из соотношений (9.31) вытекает, что х и у
удовлетворяют уравнению х2-У у2 = а2, т.е. уравнению окруж-
ности.
Найдем производные гиперболических синуса и косинуса.
Замечая, что (е ~ х)' = — е ~ х, имеем
——) =—— = shx,
(рх _р~х\ рх р~ х
—2—) —2—
Таким образом,
(ch х)' = sh х, (sh x)f = ch x.
Частные и —, по аналогии с обычными синусами и
сп х sh х
косинусами, называют соответственно гиперболическим танген-
сом и гиперболическим котангенсом и обозначают
shx - chx х1
-— = thx, — = cthx.
ch х sh x
Функции, обратные гиперболическому синусу sh х и ги-
перболическому косинусу ch х, обозначаются соответственно
Areash х, Areach х (читается: «ареасинус, ареакосинус»; area
(лат.) — площадь, мера). Появление здесь площади связано с
тем, что обратные гиперболические функции связаны с выраже-
нием для площадей секторов гиперболы (см. п. 32.1).
Обратные гиперболические функции Areash х и Areach х
выражаются через логарифмы иррациональных функций. По-
кажем это.
Для нахождения функции, обратной shx, перепишем равен-
рх Я- Х
ство shx = —-— в виде
е2х — 2уех — 1—0
и решим получившееся квадратное относительно ех уравнение.
Отбросив отрицательный корень (ех не бывает отрицательным),
264
получим
ex=7+V/ + 1-
Отсюда
х = Areashу = In (у + ^/jp2 -j-1).
Функция Areash у однозначно определена на всей числовой
оси.
Аналогично для у = ch х получается квадратное относительно
ех уравнение
е2х — 2jex4-1 — 0,
откуда
ех=у±ч//-1
и, следовательно,
х = Areach у=In (у + ^/у2 — 1).
Функция Areachу определена для всех и двухзначна
(кроме значения у=1).
Упражнение 8. Вычислить производные функций Шхи cthx Построить
графики функций y = chx, j, = shx, j/ = thx, p = cthx. Найти производные их
обратных функций.
§ 10. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
юл. производные высших ПОРЯДКОВ
Определение 1. Пусть функция f(x), определенная на интер-
вале (а, Ь), имеет в каждой точке хе(а, о) производную f'(x) и
пусть х$е(а, Ь\ Если при х = х0 производная функции /'(х)
существует, то она называется второй производной (или
производной второго порядка) функции f и обозначается f" (х0)
или /(2)(х0).
Таким образом, /" (х0) = [/'(х)']'|х или, если опустить
обозначение аргумента, Аналогично определяется
производная Уи) любого порядка п = \, 2,... '.если
существует производная у(п~1} порядка п— 1 (при этом под
производной нулевого порядка подразумевается сама функция
у^=уг а под производной первого порядка—у'), то, по
определению, у{п}=
Вспоминая определение производной (см. п. 9.1), определе-
ние /t-й производной в точке х0 можно записать в виде предела:
265
/(")(x0)= ]im/<,,~1>(*о+Д*) n=\, 2, ....
Дх—*0 Ax
Отметим, что из предположения, что функция / имеет в точке
производную порядка п. следует, в силу определения
последней, что в некоторой окрестности точки х0 у функции /
существует производная порядка п — 1, а следовательно, при
п>1 и все производные более низкого порядка к<п— 1, в
частности сама функция определена в некоторой окрестности
точки х0. При этом все производные, порядок которых меньше
п— 1, непрерывны в указанной окрестности, поскольку во всех ее
точках они имеют производную (см. теоремы 1 и 2 в п. 9.2).
Все сказанное здесь естественным образом переносится и на
так называемые односторонние производные высшего порядка,
которые читатель без труда определит самостоятельно.
Определение 2. Функция называется п раз непрерывно
дифференцируемой на некотором промежутке, если во всех
точках этого промежутка она имеет непрерывные производные
до порядка п включительно (п = 0, 1, 2, ...).
При этом на каком-либо конце рассматриваемого проме-
жутка в том случае, когда этот конец принадлежит промежутку,
под производными, как обычно, понимаются соответствующие
односторонние производные.
Для того чтобы функция была п раз непрерывно дифференци-
руемой на некотором промежутке, достаточно, чтобы она имела
на нем непрерывную производную порядка п. Действительно,
согласно определению, существование производной порядка п на
рассматриваемом промежутке предполагает существование на
нем производной порядка п— 1 и, поскольку из существования
производной какой-либо функции в некоторой точке следует, как
это уже отмечалось выше, непрерывность функции в этой точке,
производная порядка п — 1 непрерывна на данном промежутке.
Аналогично, в случае п > 1 доказывается непрерывность на
рассматриваемом промежутке производной порядка п — 2 и т. д.
Примеры. 1. у = х3, у' = 3х2, у" = 6х, у(3) = 6, у(4)=у(5)= ... =0.
2. у = ах, y'=axha, у" = ах\п2 а, у{3} = ах\х\3 а. Вообще, по
индукции легко установить, что у(п} = ах In” а. В частности,
(ех)(п) = ех,л7-0, 1, ....
3. y = sinx. Вычисляя последовательно производные, получим
y = cosx, у” = — sinx, У3)=—cosx, j(4) = sinx, далее производные
повторяются в том же порядке. Чтобы записать полученный
результат в виде одной формулы, заметим, что cos ос =
• / , Я \ / • I , Т^\ п I .
= Sinloc + -l, поэтому у =COSX = Sinl х + ~ ), ^cosl х + -1 =
= sin ( х+2| j и т. д.
266
По индукции (sin х)(п} = sin I х+п~ / для ЛК)бого и=1, 2, ... .
4. у = cos х. Замечая, что — sin ос = cos I ос + | I, аналогично
предыдущему примеру получим
(cos х)(п) = COS и=1, 2, ... .
10.2. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ СУММЫ
И ПРОИЗВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ
Теорема 1. Пусть функции уг=ф\(х) и у2=/2(х) имеют
производные п-го порядка в точке х0; тогда функции У1+у2 =
=/1 (х) +/2(х) и У1У2— /1 (х)/2(х) также имеют производные п-го
порядка в точке х0, причем
(у1+УгУп'=УР+уУ, (Ю.1)
(У1У2)(п)=У(1>У2 + с^У1~1)У^1)+СпУ1~2)У^2)+ ... +лЛ”) =
= Z Скпу^у^, (10.2)
к = 0
где, как обычно, Сп — число сочетаний из п элементов по к (к = 0,
1, 2, ..., и).
Формулу (10.2) обычно называют формулой Лейбница *}, ее
символически можно записать в следующем удобном для
запоминания виде:
(У1У2){п) = (У1+У2){п}'
Индекс {п} означает, что выражение (У1+^2){”} записывается
подобно биному Ньютона, т. е. в виде суммы с теми же
коэффициентами, что и в биномиальной формуле, только
степени функций у± и у2 заменяются их производными
соответствующего порядка (см. (10.2)).
Формулы (10.1) и (10.2) доказываются по индукции. При
п=1, т.е. для производных первого порядка, они были
Доказаны в п. 9.5. Пусть теперь эти формулы верны для
производных и-го порядка. Докажем их справедливость для
производных порядка п + 1.
В случае суммы функций имеем
(.У1 + ^2)*" + = [(>’1 +ь)(",]' = И"’+Л"’)' =
=(У1п))'+(^?,)'=^(1п+1)Л',+1).
Г. Лейбниц (1664— 1716) — немецкий философ и математик.
267
Формула (10.2) доказана.
В случае произведения функций выкладки несколько слож-
нее:
п
(»Г'ЧЫ“] = Z cb'r'W
_/с = 0
п
k = 0
£ с^?+1-«у?>+ i ckn/rk)y^+1>=
k = O k=O
=yf+1№+ t сЩ"+1-*у2+ £^*/гМ+1ЧИ0)7Гп.
k=l k=O
Здесь мы воспользовались тем, что С° = С"=1. Теперь изменим
индекс суммирования во второй сумме, положив к=р — 1; тогда
новый индекс суммирования р будет меняться от 1 до п. После
этого в полученных суммах объединим попарно слагаемые,
содержащие производные одинаковых порядков. Обозначая
общий индекс суммирования через р. будем иметь
(^2)(п+1,=/1п+1^(2о)+ £ («+сг1)/г+1-₽)^)+^<т+1).
Р=1
Отсюда, заметив, что С^ + С^~1 — С^+1 и что C°+i = C"t} = l,
получим
(У1У2)(и+1)=Лв+1,Л0)+ £ GX 1 'ХУнТуг п=
р= 1
м+1
= £ срп+1У^+1~р)у^. □
р = 0
Следствие. Если с — постоянная, a y=f(x)— функция,
имеющая производную п-го порядка в точке х0, то функция cf(x)
также имеет производную порядка п при x = xQ, причем
(су){п} = су{п\ (10.3)
Действительно, если в формуле (10.2) положить уг = с, у2=У^
то получится формула (10.3). Впрочем, она следует очевидным
образом и из я-кратного применения формулы (9.18) к функции
су.
Рассмотрим пример. Пусть y = x3sinx. Найдем с помощью
формулы Лейбница производную j/10):
(х3sinx)(10) = x3sin| х + 10- )+ 10-Зх2sin( х + 9--^+
V 7 \ 2 / \ 2
268
+10-9-3 x sin ^x+8-^ + 10-9-8 sin ^x+7- | j =
= — x3 sin x + 30x2 cos x+270x sin x — 720 cos x.
10 3 ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ОТ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ,
от ОБРАТНЫХ ФУНКЦИЙ И ОТ ФУНКЦИЙ,
ЗАДАННЫХ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ
Пусть функция у=у(х) имеет вторую производную в точке
х0, a z=z(y)— вторую производную в точке j’o=J;(xo)- Тогда
сложная функция имеет при х = х0 вторую производную,
причем
zxx = zyyyf3-yz'yyxx. (10.4)
Действительно, поскольку существуют производные У'(л0) и
/' (уо), существуют также у’ (х0) и z’ (у0). Следовательно, функции
Дх) и z(y) непрерывны соответственно в точках х0 и ;у0.
Поэтому в некоторой окрестности точки х0 определена сложная
функция z = z[y(x)j. Дифференцируя ее и опуская для простоты
обозначение аргумента, имеем z'x = z'yyfx, дифференцируя еще раз
по х, получим
XX ~ (%у)хУх %уУхх — ^ууУх “Ь % уУ хх- I
Аналогичным образом вычисляются, при соответствующих
предположениях, и производные высших порядков сложной
функции. Этот метод позволяет также доказывать существова-
ние и находить производные высших порядков от обратной
функции.
Пусть функция у=у(х) непрерывна и строго монотонна в
некоторой окрестности точки х0 (см. п. 9.6) и пусть при х = х0
существуют производные у' и у", причем у'(хо)/0; тогда и
обратная функция х = х(у) имеет вторую производную в точке
Уо~у(хо\ причем она может быть выражена через значения
производных у' и у” функции у(х) при х = х0.
В самом деле, опуская, как и выше, обозначения аргумента,
согласно теореме 3 § 9 (см. п. 9.6), имеем ху=1/ух. Вычисляя
производную по у от обеих частей и применяя к правой части
правило дифференцирования сложной функции, получаем
Аналогично при соответствующих предположениях вычис-
ляются и производные высших порядков для обратной функции.
Подобным же образом можно поступать и в случае так
называемого параметрического задания функции.
Определение 3. Пусть функции х = х(/) и у=y(t) определены в
некоторой окрестности точки t0 и одна из них, например x = x(t),
269
му непрерывна и строго монотонна
в указанной окрестности; тогда
существует обратная х(/) функ-
~~~~~ция t = t(x), и в некоторой окрест-
к У ности точки x0 = x(z0) имеет
\(_________________у смысл композиция y\t(xty. Эта
Ч х функция у от х и называется
Рис 48 параметрически заданной форму-
лами x = x(t), y=y(t) функцией.
Выведем формулы для дифференцирования параметрически
заданных функций.
Если функции x(t) и y(t) имеют в точке t0 производные и если
x то параметрически заданная функция у(/(х)) также
имеет в точке х0 = х(/0) производную, причем
/ — ^(zo)
*;Go)’
(10.5)
В самом деле, по правилу дифференцирования сложной
функции имеем (опуская обозначение аргумента)
(Ю.6)
по правилу же дифференцирования обратной функции
(Ю.7)
Из формул (10.6) и (10.7) и следует формула (10.5).
Если, кроме того, существуют x"t (/0) и y"t (z0), то существует
w ухх (*о)’ причем
Уих1 Угхи
Аналогично вычисляются производные более высокого порядка
параметрически заданных функций.
Рассмотрим в качестве примера параметрически заданную
функцию
x = a(t — sinz), у = б/(1 — cost), (a^0, — oo<Z<+oo). (10.8)
Ее график называется циклоидой (рис. 48). Пусть для определен-
ности <7>0; тогда функция x(t) — a(t—sin z) строго возрастает.
Действительно, пусть Az>0; тогда, замечая, что 0<siny<y,
имеем
x(z + Az) — x{i) = a {A/ — [sin(/Ч- A/) — sin z]} =
А , L . LSL \ . LSI
Az —2cos Z+— sm —
\ 2 / 2
a At-21- 1 = 0,
\ 2 /
270
что и означает строго монотонное возрастание функции x(t). В
силу этого, существует однозначная обратная функция t = t(x).
Далее, х£ = я(1 — cos /) = 26zsin2|^0, y't = a sin t и x't обращается
в нуль только в точках вида t = 2kn, к = 0, ±1, + 2, ... . Поэтому
если t^2kn, то, согласно правилу дифференцирования функции,
заданной параметрически, имеем
Ух sin Г t
= -,=-------; = ctg-;
xt М 2
2 sm2 -
2
A z
4 a sin -.
2
Упражнение. Доказать, что циклоида (10.8) является траекторией точки
окружности радиуса а, катящейся без скольжения по оси Ох.
10.4.ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
В настоящем пункте для удобства будем иногда вместо
символа дифференцирования d писать букву 5,т. е. вместо dy, dx
писать Sjp, 8x.
Пусть функция y=f{x} дифференцируема на некотором
интервале (а, Ь). Как известно, ее дифференциал
dy =f' (х) dx,
который называется также ее первым дифференциалом , зависит
от двух переменных: х и dx. Пусть функция f'(x), в свою
очередь, дифференцируема в некоторой точке хое(а, Ь). Тогда
дифференциал в этой точке функции dy, рассматриваемой как
функция только от х (т. е. при некотором фиксированном dx),
если для его обозначения использовать символ 8, имеет вид
8(dy) = 8 [/'(х) dx] |х=Хо = [/(х) dx]' |х=Хо 8x=f"(х0) dxbx.
Определение 4. Значение дифференциала §(dy}, т. е. диффе-
ренциала от первого дифференциала, в некоторой точке х0 при
dx = bx называется вторым дифференциалом функции f в этой
точке и обозначается через а2 у, т. е.
d2 у =f" (х0) dx2. (Ю-9)
(Через dx2 и вообще через dxn, neN, обозначается (dx)2,
соответственно (dx)n, а не d(xn)).
Заметим, что, в силу этого определения, d2 x = Q, так как при
вычислении дифференциалов мы считаем приращение dx = Ax
постоянным.
Подобным же образом в том случае, когда производная
(п — 1)-го порядка ^(и-1), дифференцируема в точке х0 или, что
271
эквивалентно, когда при х=х0 существует производная и-го
порядка у(п), определяется дифференциал п-го порядка dn у
функции y=f(x) в точке х0 как дифференциал 3(б?"-1у) от
дифференциала (п — 1)-го порядка dn~1y, в котором 5x = dx:
dny = d(dn~1y)\&x=dx.
Покажем, что справедлива формула
dny=yndx\ «=1, 2, ... . (10.10)
Ее доказательство проведем по индукции. Для п=1 и п = 2 она
доказана. Пусть эта формула верна для дифференциалов
порядка п= 1:
d^^y^y^-^dx11-1.
Тогда, согласно данному выше определению, для вычисления
дифференциала и-го порядка d{n^y необходимо вычислить
сначала дифференциал (мы его обозначим символом S) от
dn~l у\
b(dn~l >') = 8(y(n~lj dx(n~1)) = (y(n~1) dxni)' 5xdxn~i,
а затем положить 5x — dx:
dny = d(dn-ly)\&x=dx=y^dx”. □
Из формулы (10.10) следует, что
(Ю.И)
Приведем некоторые свойства дифференциалов высших
порядков.
1°. dn(y1+y2) = d"y1+dny2.
2°. dn(cy) = cdn у, с — постоянная.
3°. dn(yry2)= £ Ck dy i~k dy 2, или, если использовать симво-
к = 0
лическую запись,
^(У1У2) = ^У1+^У2^"^
где выражение (dyi + dy2}{n} записывается по биномиальной
формуле Ньютона, т. е. является суммой вида
£ Ckdn~k ytdk у2;
k = 0
при этом для любой функции и считается, что dQu = u(0)dx° = и.
Эти свойства непосредственно следуют из соответствующих
формул для производных д-го порядка (см. формулы (10.1),
(10.2), (10.3) и (10.10)).
Важное замечание. Формулы (10.10) и (10.11) справедли-
вы, вообще говоря, при п>\ (в отличие от случая л=1) только
272
тогда, когда х является независимым переменным. В случае
дифференциалов высших порядков по зависимым переменным
дело обстоит сложнее.
Пусть z = z(y), у=у(х), имеет смысл суперпозиция ^[^(х)] и
функции z(y) и у(х) дважды дифференцируемы. Тогда
dz = z'y dy.
Дифференцируя еще раз и не прибегая для простоты к символу
8, т. е. считая запись d(dz} равносильной записи b(dz}\bx=dx (так
всегда и поступают на практике), причем здесь под b(dz)
понимается дифференциал по х от функции dz = z'y(y}dy =
=zy [ у (х) ] у х (х) dx, получаем
d2 z = d(dz) = d(z'y dy) = d(z'y) dy+z'yd(dy) =
= zyydy2 + zyd2y (10.12)
(мы написали dzy = zyydy на основании формулы (9.26), т.е.
использовав инвариантность первого дифференциала).
Сравнивая формулы (10.9) и (10.12), видим, что они
отличаются вторым членом, и так как, вообще говоря, d2у^О,
то существенно различны. Разделив обе части равенства (10.12)
на dx2, получим формулу второй производной для сложной
функции
% XX уу У X ~У^уУ ХХ9
которая была получена ранее (см. (10.4)) другим путем.
Подобным же образом могут быть вычислены дифференциа-
лы и производные высших порядков сложной функции.
§ 11. ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ
ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ
11.1. ТЕОРЕМА ФЕРМА
Если функция f определена на некотором множестве X, то
говорят, что она принимает в точке х0 наибольшее (наимень-
шее) значение на множестве X, если для всех точек хеХ
выполняется неравенство ,/(х)^/(х0) (неравенство /(х)^/(х0).
Если для всех хеХ и хИ=х0 выполняется неравенство
/(x)</(xoj (неравенство /(х)>/(х0)), то говорят, что в точке х0
функция j принимает строго наибольшее (наименьшее) значение
на множестве X.
Если функция / имеет в некоторой точке х0 конечную или
определенного знака бесконечную производную, то /(х) называ-
ется функцией, имеющей при х = х0 производную в широком
смысле.
273
Теорема 1 (теорема Ферма*)). Пусть функция f определена
в некоторой окрестности точки х0 и принимает в этой точке
наибольшее или наименьшее значение. Тогда если при x = xG
существует производная в широком смысле, то она равна нулю.
Доказательство. Пусть функция f определена в окрест-
ности t/(x0) точки х^ и принимает для определенности при
x = Xq наибольшее значение, т. е. для всех хе?7(х0) выполняется
неравенство Дх)^/(х0). Тогда если х<х0,
Л*)-Л*о)>0, (п j)
а если x>Xq. то
Ж-Ж)^о (112)
X-Xq
Если существует производная в широком смысле, т. е. если
существует конечный или определенного знака бесконечный
предел
7 (л0) = lim
X
то, перейдя к пределу при х—>х0 —О в неравенстве (11.1),
получаем /'(хо)^0; аналогично из неравенства (11.2) при
х->хо + 0 находим /'(хо)^0. Эти неравенства выполняются
одновременно лишь при /'(хо) = 0. □
Геометрическая интерпретация теоремы Ферма состоит в
том, что если при х = х0 функция / принимает наибольшее
(наименьшее) значение на некоторой окрестности точки х0, то
касательная к графику функции в точке (х0,/(х0)) параллельна
оси Ох (рис. 49).
Замечание. Если функция f принимает наибольшее (наи-
меньшее) значение при х = х0 по сравнению с ее значениями в
точках, лежащих по одну сторону от точки х0, и имеет в х0
соответствующую одностороннюю производную, то эта произ-
П. Ферма (1601—1665) — французский математик.
274
водная может быть не равна нулю. Так, например, функция
= рассматриваемая на отрезке [0, 1], принимает при х = 0
минимальное, а при х=1—максимальное значение, однако как
в той, так и в другой точке производная равна единице (рис. 50).
11.2. ТЕОРЕМЫ РОЛЛЯ, ЛАГРАНЖА И КОШИ
О СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЯХ
Теорема 2 (теорема Ролля*}). Пусть функция f:
1) непрерывна на отрезке [a, Z?];
2) имеет в каждой точке интервала (а, Ь) конечную или
определенного знака бесконечную производную^
3) принимает равные значения на концах отрезка, т. е.
f(a)=f[b\
Тогда существует хотя бы одна такая точка а<^<Ъ,
что fr(Q = Q.
Доказательство. Мы уже знаем, что функция, непрерыв-
ная на отрезке, принимает наибольшее и наименьшее значения в
некоторых точках этого отрезка (см. п. 6.1). Пусть Af=max /(л),
m = тогда для всех хе[а, Z>1 выполняется неравенство
Если т = М. то функция f постоянна и, значит, /' = 0 на
[а, Ь]. В качестве точки Е, в этом случае можно взять любую
точку интервала (а, Ь).
Если же т^М. то из условия f(a)=f(b) следует, что хотя бы
одно из значений т или М не принимается на концах отрезка
[а, 6]. Пусть этим значением является М, т. е. существует такая
точка ^е(а, Ь\ что f(Q = M. Ясно, что в этой точке функция/
принимает наибольшее значение и на интервале (а, Ь). Поэтому
из теоремы Ферма следует, что /'(£>) = (). □
Геометрически теорема Ролля означает, что у графика
непрерывной на отрезке и дифференцируемой внутри него
функции, принимающей на его концах одинаковые значения,
существует точка, в которой касательная параллельна оси
абсцисс (рис. 51).
М. Ролль (1652—1719) — французский математик.
275
Заметим, что все предпосылки теоремы Ролля существенны.
Чтобы в этом убедиться, достаточно привести примеры
функций, для которых выполнялись бы два из трех условий
теоремы, третье же не выполнялось бы и у которых не
существует точки £ такой, что = (При этом, в силу
условия 3, в котором говорится о значениях функции в
концевых точках промежутка, следует рассматривать лишь
функции, определенные на отрезках.)
Функция /(х), определенная на отрезке [0, 1] и равная х, если
0^х<1, и 0, если х=1, удовлетворяет условиям 2 и 3, но не
удовлетворяет условию 1 (рис. 52).
Рис. 53
Рис. 54
Функция /(х) = |х|, хе[—1; 1] удовлетворяет условиям 1 и 3,
но не удовлетворяет условию 2 (рис. 53).
Наконец, функция /(х) = х, xg[0; 1] удовлетворяет условиям 1
и 2, но не удовлетворяет условию 3 (см. рис. 50).
Для всех этих функций не существует точки, в которой их
производная обращалась бы в нуль.
Обратим внимание на то, что по условиям теоремы Ролля
отрезок [а, b ] может содержать точки, в которых функция
имеет определенного знака бесконечную производную, т. е. в
которых lim — = + оо или lim — оо. Это требование
Дх—*0 Дх Дх—>0 Дх
нельзя ослабить, заменив его условием lim — =оо. Например,
Дх—О Дх
для функции Дх) = ^/[х], — l^x^l, не существует точки 2,6
е[— 1, +1], в которой производная этой функции обращалась
бы в нуль. Вместе с тем функция/(x) = ^/|x| удовлетворяет всем
условиям теоремы Ролля на отрезке [—1, 1], за исключением
того, что в точке х = 0 эта функция не имеет ни конечной, ни
определенного знака бесконечной производной (рис. 54).
В самом деле, для этой точки lim — = оо, причем этот
Дх—О Дх
предел не является бесконечностью определенного знака.
276
Этот пример показывает целесообразность того, что в
п. 11.1 к понятию «производной в широком смысле» наряду с
конечными производными были причислены только определен-
ного знака бесконечные производные.
Заметим, что построением соответствующих примеров (если,
конечно, это удается сделать) и проверяют обычно в математи-
ке существенность тех или иных условий доказываемых теорем.
В дальнейшем мы не будем проверять необходимость
условий теорем, предоставляя это делать читателю по мере
внутренней потребности.
Если функция /(х) удовлетворяет условиям теоремы Ролля
на отрезке \а, А], то функция F(x) =/(х) —f(a} равна нулю на его
концах и Fh(x)=f' (х), в частности эти производные одновремен-
но обращаются в нуль. Поэтому теорема Ролля равносильна
утверждению: если функция непрерывна на некотором отрезке,
обращается в нуль на его концах и дифференцируема во всех
его внутренних точках, то существует его внутренняя точка, в
которой производная обращается в нуль. Короче говоря, между
двумя нулями дифференцируемой функции всегда лежит хотя бы
один нуль ее производной.
Упражнения. 1. Доказать, что если функция / удовлетворяет условиям
теоремы Ролля на отрезке [а, b ] и не является постоянной, то на этом отрезке
существуют такие точки и что /'(^i)>0 и /'(^2)<0-
2. Привести пример функции, непрерывной на отрезке [a, Z?], имеющей
производную в каждой точке интервала (а, Ь), но не имеющей производной
(односторонней) в точке а.
Теорема 3 (теорема Лагранжа**). Если функция f непрерыв-
на на отрезке [а, Ь] и в каждой точке интервала (а, Ь) имеет
конечную или определенного знака бесконечную производную, то в
этом интервале существует по крайней мере одна такая точка
что
f(b)-f(a)=f'($(b-a). (11.3)
Эта теорема является, очевидно, обобщением теоремы Ролля.
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функ-
цию
F(x)=f(x) — kx
и определим число к так, чтобы F(a) = F(b),
f(a) — ka=f(b} — kb. Это равносильно тому, что
?_Л^)~Л«)
Ь — а
(И-4)
т. е. чтобы
(П-5)
Для функции F выполняются все условия теоремы Ролля.
Действительно, функция /(х) непрерывна на отрезке [а, £], а
Ж.-Л. Лагранж (1736—1813) — французский математик и механик.
277
функция Хх, будучи линейной,
в непрерывна на всей числовой
оси; поэтому и функция F(x) =
=f \x) — кх также непрерывна на
f(b)-f(a) отрезке [а, &]. Функция f имеет в
каждой точке интервала (а, Ь)
конечную или определенного
знака бесконечную производную,
а функция кх — конечную про-
изводную во всех точках число-
РИС. 55 вой оси, поэтому их разность
F(a) также имеет всюду в интер-
вале (а, b) конечную или определенного знака бесконечную
производную (см. замечание в п. 9.5). Наконец, на концах
отрезка [а, £], в силу выбора X (см. (11.5)), функция F принима-
ет одинаковые значения. Поэтому существует хотя бы одна
такая точка £ (а<^<Ь), что F'(^) = 0. Из (11.4) получаем
F'(x)=/'(x) — поэтому /'(£) — Х = 0. Подставив сюда X из
(11.5), получим
(11.6)
Ь — а
Геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в следую-
щем. Пусть А=(а, /(я)), B=(b, f(b)) — концы графика функции f,
АВ—хорда, соединяющая точка А и В (рис. 55). Тогда
отношение vv 7 равно тангенсу угла р между хордой АВ и
Ь — а
осью Ох, т. е.
Ь — а
а производная /'(£>), как известно (см. п. 9.3), равна тангенсу
угла а между касательной к графику функции / в точке (^,/(^)) и
положительным направлением оси Ох, т. е. /'(£) = tgoc. Поэтому
равенство (11.6) может быть переписано в виде
tgoc = tgp.
Таким образом, теорема Лагранжа показывает, что в
интервале (а, Ь) должна найтись точка (может быть, и не
одна: на рис. 55 условию теоремы удовлетворяют точки и ^")?
в которой касательная к графику параллельна хорде АВ.
Теорема Лагранжа найдет ряд важных приложений в
дальнейшем.
Приведем другие формы записи формулы (11.3). Пусть
а<^<Ь и Тогда
Ь — а
278
^ = a+Q(b-a), O<0<1. (11.7)
Наоборот, если £ выражается формулой (11.7), то, как легко
видеть, a<t)<b. Таким образом, в виде (11.7) могут быть
представлены все точки интервала (а, Ь) и только они. Поэтому
формула (11.3) может быть записана в виде
f(b)-f(a)=f'\_a+Q(b-a)](b-a), О<0<1. (11.8)
Положим теперь а = х, Ь—а=кх и, значит, Л = х+Ах; тогда
(11.8) можно переписать в виде
/(л + Ах) -/(х) =/' (х+6Ах) Ах, 0 < 0 < 1. (11.9)
Формулу (11.9), а также каждую из равнозначных ей формул
(11.3) и (11.8) называют формулой конечных приращений
Лагранжа или просто формулой конечных приращений в отличие
от приближенного равенства
f(x+\x)-f(x)Kf'(x)\x, (11.10)
которое иногда называют формулой бесконечно малых прира-
щений. Она выражает тот факт, что левая и правая части
приближенного равенства (И. 10) равны между собой для
дифференцируемой в точке х функции f «с точностью до
бесконечно малых более высокого порядка, чем приращение Дх
при Дх->0».
Замечание. Формула Лагранжа (11.3) может быть предс-
тавлена в виде
где а<Ь. Отсюда следует, что формула (11.3) справедлива не
только при а<Ь. но и для а>Ь.
Отметим три следствия из теоремы Лагранжа, полезные для
дальнейшего.
Следствие 1. Если функция f непрерывна на отрезке и во
всех его внутренних точках имеет производную, равную нулю,
то функция постоянна на указанном отрезке.
Доказательство. Пусть функция/непрерывна на отрезке
[а, Ь] и дифференцируема в его внутренних точках. Выберем
произвольно Xjeffl, b\ и х2е[а, Z?], х1<х2; тогда, очевидно,
функция/ является непрерывной на отрезке [х19 х2]<=[а, 7>] и
дифференцируемой на интервале (х19 х2)с(я, Ь). Поэтому, по
теореме Лагранжа,
f(x2)-f(x1)=f’^)(x2-x1), X1<t,<x2. (11.11)
По условию, /'(х) = 0 на (а, />), в частности /'(^) = 0, так как
^е(х19 х2)с(я, Ь). Таким образом, из формулы (11.11) следует,
что /(х1)=/(х2), а поскольку хх и х2 — произвольные точки
отрезка [я, Z?], это и означает, что функция / постоянна на
отрезке [a, й]. □
279
Следствие 1 имеет наглядную механическую интерпрета-
цию: если функция y=f(x) является законом движения ма-
териальной точки по прямой, х — время, у — расстояние
(со знаком) от начала отсчета на прямой, то условие /'(х) = 0
для всех хе(а, b) означает, что скорость рассматриваемой
точки в течение временного интервала (а. Ь) все время рав-
но нулю, т. е. точка неподвижна, но тогда за это время
положение точки, а потому и пройденный ею путь не
изменятся. Это и означает, что функция /(х) постоянна на
интервале (а, Ь).
Следствие 2. Если функция f непрерывна на некотором
промежутке (конечном или бесконечном) ц имеет производную,
равную нулю во всех точках этого промежутка, кроме, быть
может, конечного множества его точек, то функция f
постоянна на указанном промежутке.
Доказательство. Пусть функция f удовлетворяет пере-
численным условиям на промежутке А и ххеА, х2еА, х1<х2.
Перенумеруем в порядке возрастания те из точек промежутка А,
в которых производная /' либо не существует, либо существует,
но не равна нулю и которые лежат на интервале (х19 х2).
Обозначим их tz19 а2. ..., ап. Согласно следствию 1 функция /’
постоянна на каждом из отрезков [х19 al][al, 6z2J, ...,
аи], [а„, х2], а тогда она постоянна и на всем отрезке [х19 х2].
Поскольку х^ и х2 — произвольные точки промежутка А, это и
означает, что функция f постоянна на А. □
Следствие 3. Если функции fug непрерывны на некотором
промежутке и во всех его точках, кроме конечного их
множества, имеют равные производные
f(x)=g'(x),
то эти функции отличаются на рассматриваемом промежутке
лишь на постоянную:
f(x)=g(x)+C, (11.12)
где С — константа.
Действительно, функция F=f—g удовлетворяет условиям
следствия 2, т. е. / непрерывна на заданном промежутке и F' = 0
во всех его точках, кроме, быть может, конечного их мно-
жества. Поэтому F=C, т. е. имеет место равенство (11.12). □
Следствие 4. Пусть функция <р(х):
1) непрерывна на полуинтервале \_а, Iff
2) дифференцируема во всех точках интервала (а, А);
3) у производной (р'(х) существует конечный предел справа в
точке х = а.
Тогда в этой точке у функции ср (х) существует правосторон-
няя производная ср + (я) и
280
ф + (я) = lim ф' (х).
х—>а + О
Пусть в точке х = а у производной ф'(х) существует конечный
предел справа и lim ф' (х) = Л. Применив к функции ф(х)
х—>а + О
теорему Лагранжа на отрезке [а, х], где а<х<Ь, будем иметь
ф(х)~ф(а) = ср'(^)(х—а), а<^<х,
откуда
х — а ' '
Точка является функцией точки х и притом, вообще
говоря, многозначной: £ = £ (х). Выберем произвольно для
каждого хе(я, Z?) одно какое-либо значение тогда получим
однозначную функцию (как говорят, однозначную ветвь
многозначной функции). Так как a<j;(x)<x, то
lim 2, (х) = а.
х—+ О
Применив правило замены переменного для пределов
функций (см. п. 5.16*), получим, что существует предел
lim <p'(Q = A,
х—+а + О
а следовательно, существует и предел
lim
х—а + 0 Х-а
Это и означает, что правосторонняя производная ф'+ (я)
существует и равна А. □
Утверждение, аналогичное следствию 4, имеет место и для
левосторонних производных.
Упражнение 3. Пусть функция f непрерывна на интервале (а, Ь) и
Дифференцируема во всех точках этого интервала, кроме, быть может,
некоторой точки хое(а, Ь). Пусть существуют lim f'(x) и lim причем
х->хо-О х-хо + О
они не равны между собой. Доказать, что при этих предположениях
производная f'(xQ) не существует.
В теоремах Ролля и Лагранжа (а также и в следующей ниже
теореме Коши) речь идет о существовании некоторой точки %,
ее можно назвать «средней точкой», для которой
выполняется то или иное равенство. Этим и объясняется
название «теоремы о среднем» для этой группы теорем.
Докажем последнее нужное нам утверждение этого типа.
281
Теорема 4 (теорема Коши). Пусть функции f и g:
1) непрерывны на отрезке \а, bj;
2) имеют производные в каждой точке интервала (a, Ь);
3) g'^0 во всех точках интервала (а. Ь).
Тогда существует такая точка а<^<Ь, что
ж-ж_ж)
(11.13)
g(b)-g(a) g'(£)’
Заметим, что из условий теоремы следует, что формула
(11.13) имеет смысл, т. е. g(tf)#g(b). В самом деле, если
g(^)=g(^), то функция g удовлетворяла бы условиям теоремы
Ролля и, значит, нашлась бы такая точка что =
а<^<Ь, что противоречило бы условию 3.
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функ-
цию
F(x)=/(x)-Xg(x), (11.14)
где число X выберем таким образом, чтобы F(a) = F(b), т. е.
чтобы f(a} — ^g(a} =f(b) — Xg(b). Для этого нужно взять
Л _/(^)-Ж
g(Z>)-g(a)‘
(11.15)
Функция F удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля,
следовательно, существует такая точка а<^<Ь, что F'(td = Q.
Но из (11.14) F'(x)=/'(x) — Xg'(x), поэтому
/'(^)-Xg'(^) = 0,
откуда следует, что
' - у (1116>
Сравнив (11.15) и (11.16), получим формулу (11.13), обычно
называемую формулой конечных приращений Коши. □
Отметим, что формула конечных приращений Лагранжа
является частным случаем формулы конечных приращений
Коши, в которой g(x) = x. Мы привели независимые доказа-
тельства этих формул, во-первых, из-за той важной роли,
которую играет формула Лагранжа, а во-вторых, чтобы иметь
возможность, используя одну и ту же идею (построения
вспомогательной функции, удовлетворяющей условиям теоремы
Ролля), применить ее дважды в доказательствах, причем
сначала, для большей наглядности, в более простом случае.
Формула Коши (11.13), так же как и формула Лагранжа
(11.3). справедлива не только если а<Ь, но и если а>Ь.
Упражнения. 4. Пусть f(x) = x2 sin^ при /(0) = 0. Применим к этой
функции на отрезке [0, х] формулу Лагранжа:
282
x2 sini=^2^ sini—cos0x,
где ()<£,<%. Сократим обе части равенства на х при х/0:
. 1 . 1 1
х sm 2с, sm -—cos -.
Переходя к пределу при х->0 (при этом, очевидно, £;->0), получаем
lim cos |=0,
*о
так как два других слагаемых, очевидно, стремятся к нулю. Вместе с тем предел
1
функции COS-
при стремлении аргумента к нулю не существует! Где ошибка?
5. Доказать, что если функция дифференцируема на интервале и ее
производная принимает значения разных знаков, то существует точка, в
которой производная обращается в нуль.
6. Доказать, что если функция дифференцируема на интервале и ее
производная не обращается на нем в нуль, то функция строго монотонна.
7 (теорема Дар бу**). Доказать, что если функция дифференцируема на
отрезке, то ее производная, принимая какие-либо два значения, принимает и
любое промежуточное.
Задача 8. Доказать, что многочлен (х/ 2,,z?! dxn (называемый многоч-
леном Лежандра***) имеет на интервале (—1, 1) п различных действительных
корней.
Задача 9. Доказать, что многочлен Нп (х) = ( — 1)” ех2 d (называемый
многочленом Чебышева — Эрмита****) имеет п различных действительных
корней, лежащих на интервале (—у/2п+1, у/2п +1), и=1, 2, ... .
§ 12. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
ПО ПРАВИЛУ ЛОПИТАЛЯ
Во многих случаях отыскание предела функции, заданной
аналитически, при стремлении аргумента к некоторой точке
(числу или к одной из бесконечностей оо, +оо или — оо),
выполняемое формальной подстановкой соответствующего зна-
чения вместо аргумента в формулу, задающую рассматривае-
мую функцию, приводит к выражениям вида -, —, Осо, оо —оо,
0°, оо° или Iе0. Они называются неопределенностями, так как по
ним нельзя судить о том, существует или нет указанный предел,
** Г. Дарбу (1842—1917) — французский математик.
*** А. М. Лежандр (1752—1833) — французский математик.
**** П. Л. Чебышев (1821—1894)—русский математик и механик; Ш. Эрмит
(1822—1894) — французский математик.
283
не говоря уже о нахождении его значения (если он существует).
В этом случае вычисление предела называется также раскрыти-
ем неопределенности.
Наряду с основным приемом нахождения пределов функ-
ции— методом выделения главной части — существуют и дру-
гие способы отыскания пределов. Некоторые из них, носящие
общее название правил Лопиталя*\ мы изложим в этом
параграфе.
12.1. НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ВИДА ?
Теорема 1. Пусть функции Дх) и g(x), определенные на
отрезке Га, ЬД, таковы, что:
1) f(a)=g(a)=0;
2) существуют производные (правосторонние) ф\а) и g'(a),
причем g’(a)^Q.
Тогда существует предел
г /(х)
x-a + OgW g'(tf)
Доказательство. Применим метод выделения главной
части. В силу условия 2, имеем (см. п. 9.2)
/(*) =/(а) +/’ (а) (х - а)+о (х - а),
g(x)=g(a)+g'(a)(x-a)+o(x-a).
Отсюда, согласно условию 1, получим, что
f(x)=f'(a)(x-a)+o(x-a), g(x)=g'(a)(x-a) + o(x-a),
а поэтому
/'М +
Г Лх) г
lim lim
х—*a + Og\X) х—*а + 0
□
В теореме I предполагалось существование производных в
точке а. Докажем теперь теорему, близкую по содержанию к
предыдущей, в которой, однако, не будет предполагаться
существование производных /'(а) и g'(a).
Теорема 2. Пусть функции Дх) и g(x):
1) дифференцируемы на интервале (а, £);
2) lim f(x) = lim g(x) = 0;
x—a + О X—a + 0
3) g'(x)^0 для всех xe(a, b);
Г. Лопиталь (1661—1704) — французский математик.
284
4) существует конечный или бесконечный, равный Н-оо или
— оо, предел lim
х—-а + 0 g V*7
Тогда существует предел
г Лх) г Л(х)
lim lim 'ЛЦ.
х—»о 4- О g (х) х—*а 4-0 g' (-Х)
Доказательство. В силу условий теоремы, функции f и g
не определены в точке а\ доопределим их, положив /(^)=g(«) =
= 0. Теперь f и g непрерывны в точке а и удовлетворяют
условиям теоремы Коши о среднем значении (см. п. 11.2) на
любом отрезке [а, х], где а<х<Ь. Поэтому для каждого х,
а<х<Ь. существует такое £ = ^(х)е(я, х), что
Л*)_Л*)-Ла)_г(£) п?п
g(x) g(x)-g(a) g'ltf 1 >
причем lim S, (x) = a.
x-^a + 0
Поэтому, если существует lim f{ = k, то из правила
x—>a + 0g (%)
замены переменного для пределов функций следует, что
л (И
существует и lim —^ = к. Теперь из (12.1) получаем
X—*а 4- 0 g' (£>)
lim lim □
x->a + 0g(x) x^a + 0 g (£)
Теоремы 1 и 2 остаются верными с естественными видоизме-
нениями как в случае левостороннего, так и двустороннего
предела.
Теорема 3. Пусть функции fug:
1) дифференцируемы при х>с;
2) lim /(х) = 0, lim g(x) = 0;
х—► + ОО X—* + 00
3) для всех х>с\
4) существует конечный или бесконечный, равный +оо или
— оо, предел
Тогда существует и предел
г /(*) г /'(*)
lim lim —rf.
x— 4-00 g(x) x—4-00 g'(X)
285
Доказательство. Без ограничения общности можно
считать, что о 0 (если с<0, то в качестве нового значения с
возьмем, например, с=1).
Выполним замену переменного 2С=|. Функции ср (/)=/(!/t) и
Ф(/)=^(1Д) определены на интервале (0, 1/с); если х-» + оо, то
Н+Ои наоборот. На интервале (0, 1/с) существуют производ-
ные
/ / \ 1 I 7 / \ ‘ 1
ф (0= -f (^7)72 и 'l' 0)= s
где штрихом обозначены производные функций f и g по
первоначальному аргументу.
Из сказанного и условий теоремы следует, что функции ср (г)
и ф(/) удовлетворяют на интервале ^0, условиям 1, 2 и 3
теоремы 2. Покажем еще, что из существования предела
lim ^-7-;, который обозначим через /с, следует существование
х—а + 0 g'(x)
предела lim и равенство его к, т. е. что выполняется и
x->a + OV|/'(z)
условие 4 теоремы 2. Действительно, используя полученные
выражения для производных <£>'(/) и ф'(/), находим
lim lim — р-!= lim ^~~~=к.
t^ + OV(t) r-^ + Og'(l//) х—+oog'(x)
Теперь из теоремы 2, примененной к функциям <р(/) и ф(/),
следует, что lim ^-^- = к. Но
Ф (г )_/(1/г)_/(%)
#0/0 #(*)’
1
где х — -, поэтому
lim ^4= lim □
->+oog(*) t->4-0Vp'(/)
Эта теорема остается верной с соответствующим видоизме-
нением И При X—> —ОО.
Правилом Лопиталя называется нахождение предела отно-
шений функций по формуле
г f(x) г f'(x)
lim ^44 = lim—У4,
х->ag(x) x—^ag \Х)
286
где а — конечная или бесконечно удаленная точка числовой оси,
а функция f и g заданы во всех точках некоторой ее
двусторонней или односторонней окрестности, кроме самой
этой точки.
В случае конечной точки а правилом Лопиталя называется
также и нахождение предела отношений функций по формуле
g'(a)
12.2 НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ВИДА —
оо
Теорема 4. Пусть функции Дх) и g(x):
1) дифференцируемы на интервале (а, Ь);
2) lim Дх)=оо, lim g(x) = oo; (12.2)
х—+ 0 х—« + О
3) на (сц £);
4) существует конечный или бесконечный, равный +оо или
— оо, предел
г /'(х)
lim ^44.
x-« + 0g'W
Тогда существует и предел
г /(х) г /'(х)
lim 44= lim -Ц4-
х—a + og(o x->« + og (х)
Доказательство. Пусть существует конечный или бес-
конечный предел
Пт ^=k. (12.3)
х—*а + О g (х)
Покажем, что при выполнении остальных условий теоремы
имеет место равенство
г /(х) 7
lim J-y-=k.
—a + 0g(x)
(12.4)
Если a<x<x0<b, то на отрезке [х, х0] функции f и g
удовлетворяют условиям теоремы Коши (см. теорему 4 в п.
11.2), поэтому существует такая точка £=Цх0, х), что
/(х)-/(х0)
g(x)-g(x0)
(12.5)
Далее, в силу (12.2), существует такая точка х1=х1(х0),
а<х1<х0, что при всех хе(а, xg) выполняются неравенства
287
g(x)/O, /(x)^/(x0) (12.6)
и, следовательно, можно выполнять деление на /(х), g(x) и
1— '4^ (а также и на 1 —поскольку, в силу условий
/(*) g(x)
теоремы, g(x)=£g(x0), см. теорему 4 в и. 11.2). Для этих
значений х из (12.5) вытекает равенство
/(хр)
Дх) Дх)
g(*) . g(*0) g'ft)’
g(x)
откуда
, g(*o)
/(*)_/'(£) g(x) z1971
g(*) g'U) , /(*<>)'
ДД
f'
В правой части равенства первый сомножитель стремит-
ся к А: при хо->я + 0, так как а<£><х0, а второй, в силу условия
(1 2.2), стремится к 1 при х-^а + О и фиксированном л0:
lim
х—а + о
1 g(x0)
g(x) _]
.Дхо)
/м
(12.8)
Непосредственно перейти к пределу в равенстве (12.7) нельзя.
поскольку указанные выше предельные переходы в сомножите-
лях в правой части равенства происходят при разных условиях:
при хо->а+0 и при фиксированном х0, но х^>а + 0. Однако если
задать произвольно окрестность U(k) предела /с, то, в силу
условия (12.3), можно сначала зафиксировать точку х0 столь
близко к точке а, что отношение попадет в эту окрестность.
&
ибо а<^<х0. Согласно же условию (12.8), для всех точек %,
достаточно близких к а, отношение ЦЦ- (см. (12.7)) также будет
принадлежать указанной окрестности U(/с), а это означает
справедливость утверждения (12.4). Собственно говоря, теорема
доказана и можно поставить знак □.
Однако для полноты изложения сделаем некоторые дополни-
тельные разъяснения, которые каждый, кто достаточно хорошо
288
овладел предшествующим материалом, легко может провести
самостоятельно.
Пусть сначала к — конечный предел. Зададим произвольно
£>0 и так зафиксируем х0, чтобы кроме условий (12.6) для всех
х, а<х<х0, выполнялось неравенство
Ж)
£'(*)
(12.9)
(Это возможно в силу условия (12.3).) Таким образом, если
положить
а(х) =
g (х)
(12.10)
то при а<х<х0 выполняется неравенство
|а(х)|
(12.11)
Если
def
₽(х) =
g(x) _ 1
, Ж)
ж
(12.12)
то, согласно (12.8),
lim Р (х) = 0,
х—« + 0
(12.13)
поэтому существует такое хх, а<х1<х0, что для всех точек хе
е(а, xt) имеют место неравенства
IPWKl,
(12.14)
ТО
Так как
ф - (t+«(y)(i+₽W),
g(-x) (12.7)
' ’ (12.10)
(12.12)
^-& = a(i;)+fc₽(x)+a(£)p(x), а<^<х0,
где при a<x<x1 имеем
|a(£)+fc₽(x) + a(£)0(x)|^|a(£)| + |&ll ₽(*)! +
10-1807
289
+ |а(^)||₽(х)|
<С —Т —7-------г£“Ь — £.
H2.11J3 3(|Л| + 1) 3
а это и означает справедливость равенства (12.4).
Так раскрываются на «языке неравенств» сделанные выше
высказывания о выборе достаточно близких значений х0 и х к
точке а. обеспечивающих нужную близость отношения ЦЦ- к
числу к.
Рассмотрим теперь случай бесконечного предела. Пусть
Г 1 пг
lim ^-4-4= +оо. Тогда в некоторой окрестности точка а имеет
х—a + 0g'(X)
(почему?) и, следовательно, lim ^4 = 0. Поэтому,
X—-а + О J (х)
р- /дЛ
согласно доказанному выше, Пт^-^ = 0, откуда следует, что
г Лх)
11Ш ^44=00.
x->fl + 0g(x)
Но нужно доказать более сильное утверждение, а именно что
этот предел равен +оо. Покажем это.
Зададим произвольно число с>0. Из условия (12.3) при
к — + оо следует, что существует такое хое(я, b), для которого
при всех хЕ^а, х0), кроме условий (12.6), будет выполняться еще
неравенство
®>2с. (12.15)
s (*)
В силу же условия (12.8) или равносильного ему условия
(12.13), существует такое х1? «<х1<х0, что для всех х, а<х<хг,
выполняется неравенство
1+РМ>1.
(12.16)
Теперь для всех хе(а, х}) имеем (вспомним, что
j ёМ
g(x) (12.7) g (У Дхо) (12.12) g (i;) V '"(12.15) 2
/(*)
fix}
Это означает, что lim -4-4= + 00. Случай k= — 00 сводится к
x->« + 0g(x)
случаю к= + со заменой функции /(х) на функцию —/(х).
Теорема 4 вместе с ее доказательством остается в силе с
естественными видоизменениями и при х-^а — 0, х-> + оо и
290
—оо, а также в случае двусторонних пределов.
Можно показать, что при выполнении условий 1, 2 и 3,
входящих в любую из теорем 2, 3 или 4, не может существовать
1 • Г W
предел lim ^-Ц=оо без существования одного из двух
х—a + 0g\X)
f (х)
«знакоопределенных» бесконечных пределов lim .<-Ц=+оо
х—+ О g'
f' (х)
или lim оо (см. упражнение 2 в п. 12.3). Таким
x—a + og'n)
- „со
образом, рассмотрены все случаи неопределенностей вида —.
00
Примеры. 1. Найдем lim а>0. Замечая, что
х—* + 00 Ха
(1пх)' = -, (хаУ = аха-1 и lim - =- lim —=0,
v X V 7 х->+ооах“ ах—+оо*“
получаем
Это означает, что при х-> + оо функция 1пх растет медлен-
нее, чем любая положительная степень переменной х.
Иногда правило Лопиталя приходится применять несколько
раз.
2. Найдем lim —, где п — натуральное число и я>1.
х—+оо ах
Имеем
lim = lim = lim — = ...= lim хп‘п =0. (12.17)
х—+ + оо Я* X—»- 4- оо (аХ ) х—* 4-оо ОС* In <7 х—* 4- оо In” а
Таким образом, при х-> + оо любая степень хп растет
медленнее, чем показательная функция ах. а > 1.
3. Следует иметь в виду, что вычисления по правилу
Лопиталя оправданы только в том случае, когда в результате
получается конечный или бесконечный предел. Так, например,
было бы ошибкой написать
.. х—sinx .. (х —sinx)'
lim ;—= lim } ;
х—оо x+sinx х->00 (x + sinx)'
так как предел
lim s*n%) — Jim cos%
х—»-оо (x+sinx)7 х—>-оо 1+cosx
не существует.
291
В самом деле, беря последовательности х^ = 2лн-> + оо и
х"=|+2тш-> + <х> при и—>со, получаем
v 1—COSX^ ~ v 1—COSXn 1
lim --------- = 0, lim------ = 1.
и— оо 1+COSXi л-*оо l+COSXn
Вместе с тем заданная в этом случае неопределенность — может
быть раскрыта элементарно:
SHU
1-----
V х — S1HX v X 1
lim-------= lim-----= I.
x^oo x + sinx X—00 S1DX
l+—
X
Упражнение 1. Пусть /(x) = x2sin-, g(x) = sinx. Найти Пт:Ц-т и
х ^og(x)
доказать, что в зтом случае правило Лопиталя неприменимо.
4. Может случиться, что применение правила Лопиталя не
упрощает задачу отыскания предела функции. Например,
применив правило Лопиталя для вычисления предела
lim х • , получим
х-*+со ^/1 +х2
.. X г х' г х/1 + х2
lim = hm —-.................= lim --------,
х—>+оо J-|~Х2 х—* T оо (^/1 +x2)' x—+co X
t. e. получился предел дроби, обратной данной, т. е. задача
осталась той же. Вместе с тем заданный предел легко находится
элементарно:
lim
X— + СО ^/1
lim
X—►+ 00
5. Неопределенности 0°, оо° или Iе0 можно раскрыть,
предварительно прологарифмировав соответствующие функции.
Например, чтобы найти lim хх, следует найти предел:
х—* + О
lim xlnx = lim — = — lim-^=— lim х = 0.
x—* + 0 x—* T 0 l/% 1/x2 X—+ 0
Поэтому, в силу непрерывности показательной функции,
lim хх = lim exlnx = 1.
х—+ 0
+ 0
292
Неопределенности вида 0-oo и oo —oo следует привести к
О оо т-т
виду - или —. При этом, как и всегда при применении правила
О со
Лопиталя, по ходу вычислений рекомендуется упрощать получа-
ющиеся выражения. Поясним это на примере
6. lim | -4—ctg2x ) = lim
х—о \ х J х—*0
• 7 7 7
sm x—x cos x
x2 sin2 x
Заметим, что
sin2x—x2cos2x sinx + xcosx sinx—xcosx
2 • 2
7 •
sm X X sin X
Предел первого сомножителя правой части находится непос-
редственно:
.. sinx+xcosx .. /.
lim-----;-------= lim 1 + -
x—*0 sinx X—>-0
cosx } = 2,
sinx /
а предел второго — с помощью правил Лопиталя:
.. sinx —xcosx v xsinx 1
lim
х—О
1 • Л &U1 л . •
-г-,------= lim —---------2-----= lim
х sin х х—о 2х sm х+х cos х х-*о х 3
2 Н—; COS X
sinx
1
Таким образом, liml -=—ctg2x
х—►О \ X
2
3
12.3. ОБОБЩЕНИЕ ПРАВИЛА ЛОПИТАЛЯ
Усовершенствовав доказательство теоремы 4, можно пока-
зать справедливость правила Лопиталя при более слабых
ограничениях. Рассмотрим для разнообразия случай, когда
аргумент стремится к +оо. Приведенное ниже изложение
доказательства теоремы 5 принадлежит В. А. Ходакову.
Теорема 5. Пусть функции /(х) и g(x):
1) дифференцируемы при х>а;
2) g'(x)^0 при х>а\ (12.18)
3) lim g(x)=oo; (12.19)
X—* + оо
4) существует конечный или определенного знака бесконечный
предел
lim Ш-=к. (12.20)
х—+оо g'(x)
Тогда lim '^-=к.
x-*+oog(x)
Как и выше, можно показать, что из условий (12.18) —
293
f' M f' M
(12.20) следует, что если lim —Ц=оо, то либо lim —у— + оо
x^+oog'U) х— +oog'(x)
f' (х)
либо lim —гг\=— оо. Поэтому случай к = со рассматривать не
х—-+ 00 g (•*)
надо.
Доказательство. 1) Пусть сначала к^±со. Зафиксируем
произвольно 8>0. Выберем такое х0>а, чтобы для всех х>х0
выполнялись неравенства g(x) / 0 и
(12.19)
J-^-k
8
2
Согласно теореме Коши, для каждого x>xQ
такое £ = £(%, х0)>х0, что
/(*)=[ S (*) - S (*о) ] +Ж )•
Отсюда
(12.21)
существует
/ft)
s' ft)
Положив
будем иметь
44-4
/'ft)
/ft)
(12.22)
В силу условия (12.21), отношение *4^ ограничено при х>х0.
Следовательно, lim а(х) = 0. Поэтому найдется такое
х-> + оо (12.19)
х1>х0, что для всех х>хг будет выполняться неравенство
а(х)<-
(12.23)
и, таким образом,
при х>х± верно неравенство
/(*) ь
в(х)
(12.22)
.£ft)_£
S' ft)
I / \ 8 I £
+ a(.x) < - + -=e,
(12.21)
а это и означает,
ЧТО
lim ^-=k.
^ + oogW
(12.23)
294
2) Если, например,
lim -£^=+00, (12.24)
то для любого о О существует такое xG>a, что для всех х>х0
выполняются неравенства g(x)^0 и
> -^4>3с. (12.25)
g и)
Согласно теореме Коши, при любом х>х0 имеет место
равенство
/(*)_/'$ Г1 g(Ao)l I Л*о)
?(*) /(£)[. sWj g(x) ’
где ^ = ^(х0, х)>х0. В силу условия (12.19), существует такое
х1>х0, что для всех х>хх выполняются неравенства
। _ g(x0)> 2 Дх0)
Н*) 3 ’ g(x)
(12.26)
а следовательно, и неравенство
Это и означает,
Дх) 1 2
-Д4- > 3 с ----с = с.
g(x) 3
v 7 (12.25)
(12.26)
Г /(*) ।
что lim ^44= + оо.
Утверждение теоремы для к= — оо следует из случая
£=+оо, надо лишь /(х) заменить на —/(х). □
Упражнение 2. Доказать, что если функции/(х) и g(x) дифференцируемы
на интервале (a, b), g' (х)/0 на (а, Ь), и lim 4гт=оо, то либо lim 4тт= + 00>
Х-> + 00 8 W Х-> + 00 8 Vх)
Г (г)
либо lim -44 = — оо .
x^ + oog (-V)
Указание. Полезно воспользоваться упражнениями 5 и 6 в п. 11.2.
§ 13. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
13.1. ВЫВОД ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА
Если функция j’=/(x) имеет в точке х0 производную, то
приращение этой функции можно представить в виде
Ду = 4 Дх+о(Л х), А х->0 ,
295
где Дх=х-х0, Ду=/(х)-у0, уо=7Но) и A=f'(x0), т. е.
f(x)=y0+A (х —х0) + о(х — х0). Иначе говоря, существует линей-
ная функция
Pi(x)=y0+A(x-x0) (13.1)
такая, что
/(х) = Рх (х) +о(х — Хо) , Х-*Х0 ,
причем
Л (*0 ) = У О =/(*0 ) ,Р 1 (*о) = А =Г (*о) •
Поставим более общую задачу. Пусть функция f имеет п
производных в точке х0. Требуется выяснить, существует ли
многочлен Рп(х) степени не выше п такой, что
Дх) = Рп(х) +о((х-х0)"), х->х0, (13.2)
И
/(х0) = Р„ (х0), f (х0) = Р'п (х0),..., /<"> (х0) = Р™ (х0). (13.3)
Будем искать этот многочлен, по аналогии с формулой (13.1), в
виде
Pn(x)=A0+Ai(x-x0) +А2(х-х0)2+ ... + Л„(х—х.о)".
Замечая, что Рп{х0) = А0 из первого условия (13.3), т. е.
условия /(х0) = />„(х0), имеем Л0=/(х0). Далее,
Р'п(х) = А1 + 2А2(х-х0) + ... +п Ап(х-х0)п~\
отсюда Р'(х0) = Л1, и так как Р'п(х0) = /'(х0),
то Ar=j (х0). Затем найдем вторую производную многочлена
РЛД
Щх) = 2 • 1 • А2 + ... +п(п— 1)Л„(х—х0)" 2.
f" (х )
Отсюда и из условия /"(х0) = Р'п(х0) получим А2——Х^- и
(13.3) 2!
вообще
= 1,2, ...,».
В силу самого построения, для многочлена
Л(л-)=/(хо) +Л(*о)(*-*о) + - +‘Цу^(*-*о)'1 + -
выполнены все соотношения (13.3). Проверим, удовлетворяет ли
он условию (13.2).
296
Пусть
rn(x) = f(x) -Рп(х).
Из условия (13.3) следует, что
Ua>) = <(x0) = - = Н„"’(хо)=0.
(13.4)
Поэтому, применив п раз правило Лопиталя для раскрытия
неопределенности
при х->х0,
а именно: сначала п— 1
раз
теорему 2 из § 12, а затем теорему 1 из того же параграфа,
получим
т.е. действительно гп (х) = о ((х — х0 )п), х -> х0.
Итак, доказана следующая очень важная теорема.
Теорема 1. Пусть функция /(х), определенная на интервале
(а. Ь), имеет в точке xQe\a. b) производные до порядка п
включительно. Тогда при х—>х0
/и-ж)+q^
(х-хр)+...+^-^(х-хо)"+о((х-хо)")! (13.5)
или
/W = I ^тг^(х-х0)'[ + о((х-х0)п).
к-0 к-
Эта теорема остается справедливой вместе с ее доказатель-
ством и для функции /, определенной на отрезке \а. &] при
хое[я, 6], если для xQ = a и xQ = b под производными понимать
соответствующие односторонние производные.
Формула (13.5) называется формулой Тейлора*} п-го порядка
с остаточным членом в форме Пеано.
Многочлен
Тя(х)=/(х0) + ^(х-х0) + ... +^(х-Х0)" (13.6)
называется многочленом Тейлора степени п, а функция
г„(х)=/(х)-Л(х) (13.7)
— остаточным членом п-го порядка формулы Тейлора. Как
показано, остаточный член гп (х) является бесконечно малым
при х->х0 более высокого порядка, чем все члены многочлена
Тейлора (13.6).
Б. Тейлор (1685—1731) — английский математик.
297
Приведем другой вид записи формулы (13.5). Положив
х-л0 = Ах, Aj=/(x0 + Ax) -/(х0),
получим
Ау= f^^AxH^Ax), Ах-Л). (13.5')
к=1 к~
Если в формуле (13.5) хо = 0, то получается частный вид
формулы Тейлора, называемый обычно формулой Маклорена*}:
Дх)= Е f~~xk + o(xn), х^О . (13.8)
к = 0 К •
Доказанная теорема позволяет любую функцию, удовлетво-
ряющую условиям этой теоремы, заменить в окрестности
некоторой точки многочленом с точностью до бесконечно
малых более высокого порядка, чем члены многочлена. Таким
многочленом является многочлен Тейлора. Величина погреш-
ности определяется при этом остаточным членом.
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано дает
общий метод выделения главной части функции в окрестности
данной точки. На этом обстоятельстве и основаны многочис-
ленные и разнообразные приложения формулы (13.5) в различ-
ных вопросах анализа.
Отметим полезное следствие из теоремы 1.
Следствие. Пусть функция /(х) определена на интервале
(а. Ь\ и пусть в точке х она имеет производные до порядка п+ 1
включительно. Тогда
П /’(к) / \
/(4 = Е + х^х0. (13.9)
Действительно, в силу теоремы 1, при х->х0
/(*)= Е ^тг^(Л-Ло)'£ + <’((^-л:о)" + 1) (13.10)
и, поскольку
^(х-х0)п+1 + о((х-х0)и+1) = О((х-х0)л+1) при х->х0,
из формулы (13.10) непосредственно следует формула (13.9). □
Упражнение 1. Доказать, что если функция/(х) в некоторой окрестности
точки Л'о имеет производную порядка и, то, каковы бы ни были точка х этой
окрестности и функция ф (/), непрерывная на отрезке с концами в точках х0 и х,
имеющая не равную нулю производную внутри этого отрезка, найдется такая
точка лежащая между х0 и х, что для остаточного члена гп^1(х) формулы
Тейлора функции /(х) имеет место формула
К. Маклорен (1698—1746) — шотландский математик.
298
п = 1, 2,
Получить отсюда следующие виды записи остаточного члена:
Ги-1
(х—х0 )р (х—£)" р, р > 0 (форма Шлёмильха — Роша**);
W (л-1)!р
тп _ t (х) =^—© (х—х0)" (форма Лагранжа);
гп_! (х) =/*Ч*о+е(* Х|,)- (1 - е)" ’1 (л - ХО)", 0 < е < 1 (форма Коши).
Указание. Рассмотреть вспомогательную функцию
к = 0
и применить к функциям (риф теорему Коши о среднем значении. Для вывода
остаточного члена в виде Шлёмильха Роша положить \|/(z) = (x—t)p.
13.2. МНОГОЧЛЕН ТЕЙЛОРА КАК МНОГОЧЛЕН
НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИИ
В ОКРЕСТНОСТИ ДАННОЙ ТОЧКИ
Заметим предварительно, что, очевидно, всякий многочлен
(13.11)
к = 0
может быть представлен для любого х0 в виде
Л(*)= Z (13.12)
к = 0
В самом деле, достаточно в (13.11) положить x = x0 + h и
разложить правую часть по степеням h; тогда Рп(х) = Л0 +
+ А± h+ ... + Anh\ где h = x — х0, т.е. получилась формула
(13.12).
Докажем теперь единственность многочлена, обладающего
свойством (13.2).
Теорема 2. Пусть функция f дифференцируема до порядка п
включительно в точке х0, и пусть
f(x) = Pn(x) +о((х-х0)п), х-*х0, (13.13)
п
где Рп(х) = £ яДх —x0)fc— некоторый многочлен степени, менъ-
к = 0
шей или равной п. Тогда
*} О. Шлёмильх (1823—1901) — немецкий математик; Э. Рош (1820- -
— 1883) — французский астроном и математик.
299
ak=f-^-,k = Q,\, ... ,п, (13 14)
m. e. Pn{x} является многочленом Тейлора.
Иначе говоря, никакой многочлен степени, меньшей или
равной п. отличный от многочлена Тейлора порядка и, не
может приближать данную функцию с точностью до о((х — х0)п)
при x-*Xq (а поэтому и с более высокой точность о((х —Хр)ж)
т>п. поскольку при т>п имеет место соотношение <?((х —
— х0)ш) = б>((х —х0)л), x^>Xq,— напомним, что подобные формулы
читаются только слева направо). Таким образом, многочлен
Тейлора является единственным многочленом, обладающим
свойством (13.13),— все остальные многочлены той же степени
или меньшей «хуже приближают» функцию f при х->х0. Именно
в этом смысле и говорят, что многочлен Тейлора является
многочленом наилучшего приближения рассматриваемой функ-
ции в окрестности данной точки х0 при х->х0.
Доказательство. Из формул (13.5) и (13.13) следует, что
и \ п
£ Ч^(х~хо)* + <’((*-*о)") = X + Х~+Хо,
к=0 к=0
откуда, перейдя к пределу при х-»х0, получим a0=f(x0).
Отбрасывая слева и справа этот член, сокращая оставшиеся
в обеих частях выражения на множитель х—х0 (х^х0) и
замечая, что
° ((* - хо)") = е (*) (•* - *0 )">
где lime(x) = 0, а следовательно, при х-»х0 имеет место
х-»-х0
равенство
^-^ = с(х)(х —х0)л-1 = б>((х —х0)л-1), х/х0, п=1, 2, ...,
х—х0
получим
Ё Ёг(-)'-'1соГ'|+в^“^Гн)=
к-1 К-
= Ё х0)к“ 1+о((х—х0)”-1), х-+х0.
к=1
Перейдя снова к пределу при х->х0, находим a1=f(x0).
Продолжая этот процесс, получим
я k = 0, 1, 2, ... , п. □
. А!
300
Единственность представления функции в виде (13.13) может
быть иногда использована для ее разложения по формуле
Тейлора. Именно: если удается каким-либо косвенным путем
получить представление (13.13), то, в силу теоремы 2, можно
утверждать, что это и есть разложение по формуле Тейлора
(13.5), т. е. что коэффициенты найденного многочлена выра-
жаются по формулам (13.14).
Так, например, соотношение (13.12) представляет собой
разложение многочлена (13.11) по формуле Тейлора, причем в
этом случае гп(х) = 0, поэтому, в силу единственности много-
члена, удовлетворяющего условию (13.13), коэффициенты мно-
гочлена (13.12) имеют вид
д _П»(х0)
Ак кГ-
Таким образом,
(13-15)
к - О
Отметим, что из того, что многочлен (13.12) совпадает со
своим многочленом Тейлора (13.15), в силу единственности
представления функции в виде (13.13), следует, что если два
многочлена принимают одинаковые значения на каком-нибудь
интервале числовой оси, то все их коэффициенты одинаковы.
Пусть требуется разложить по формуле Тейлора функцию
в окрестности точки хо = 0. Замечая, что - 1 - есть не
что иное, как сумма бесконечной геометрической прогрессии
—= 1 + х + х2 + ... + хи + ..., |х|< 1,
1 — х
и положив гл (x) = xn+1+xn+2-h ... =-—:,|х|<1, получим
—L-=l + x+ ... +xn + rn(x),
где rn(x) = O(xn + l) и, значит, гп(х) = <?(хп) при х->0. Таким
образом, представление
-----= 1 +х+ ... + хп + о (хп) = £ xfcH-6?(xw), х->0 ,
1-х--к = 0
и есть разложение функции 1 по формуле Тейлора в
окрестности нуля.
301
13.3. ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА
ДЛЯ ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
l. /(x) = sinx. Функция sinx обладает производными всех
порядков. Найдем для нее формулу Тейлора при хо = 0, т. е.
формулу Маклорена (13.8). Было доказано (см. и. 10.1), что
) при х->0.
для т, 2 /г, 7 л 1 о /1 о 1
f (°) = S,n- = )(-!)> дл» m-2t+l , * = 0’ ’ 2' -(13Л6>
и, согласно формуле (13.5),
у-З -у-5 И “Ь 1
sinx = x— — +---------F ... + (— 1)"/-г- +о(х2п+2),
3! 5! 7! ' ’ (2л+1)! ' ’ ’
при х-»0, п = 0, 1, 2, ..., или, короче,
" v2k+l
Мы записали здесь остаточный член в виде о(х2п+2), а не в виде
o(x2n+1), так как следующий за последним выписанным
слагаемым член многочлена Тейлора, в силу (13.16), равен
нулю.
2. /(x) = cosx. Как известно (см. п. 10.1),/(m)(x) = cos^x+^^,
а поэтому
0 для п? = 2&+1, 2
тп _
COS 2 )(— 1)* для т = 2к,
и
v2 v4 6 v2 п
COSX= 1 1)"^ +o(x2n+1),
при x->0, н = 0, 1, 2, .... или, короче,
cosx= +6?(%2n + 1) ПРИ *->0, п = 0, 1, 2, ...
к = о (2к)!
3. f(x] = ex. Так как (ехуп) = ех. то /п)(0)=1, n = Q, 1, ... ,
следовательно,
е'=1+х+£ + £+...+£+«(х"), (13-17)
при .х->0, п = 0, 1, 2, .... или, короче,
302
ех = ^+о(хл)при х->0.
к = 0
Отсюда, заменив х через — х. получим
е~х = £ (-1)к^+фл)прих-*0, л = 1,2, ... (13.18)
к = 0 *’
gx_q х gx _|_ х
4. shx=--- и chx=-------. Сложив и вычтя (13.17) и
2 2
(13.18), будем иметь
И 2 к ч-1
chх= £ -Д— + o(x2w + 1) при х->0 и = 0, 1, 2, ... .
к=о (2
В силу единственности представления функции в указанном
виде (см. п. 13.2), полученные соотношения являются формула-
ми Тейлора для функций shx и chx.
5. Дх) = (1 + х)а, а —некоторое фиксированное число. Так как
/(и)(х) = а(а — 1)... (ос~и+1)(1 4-х)а-п, то
/(л) (0) = а(а— 1)... (а — п +1),
следовательно,
(I +х)"_ 1 +«Х+ ... +
п!
при х->0, и = 0, 1, 2, ..., или, короче,
(1 + х)“ = 1 + £ ——fe+^xfc + <?(xn) при х-^-0, (13.19)
к=1
и=1, 2, ... .
6. /(х) = 1п (1+х). Легко видеть, что
/,W=T^=(1+^)’1,/"M=-(1+^)’2
и, вообще, fw(%)=(— 1)к-1 (к— 1)! (1 + х)-*, к=1, 2, ... . Поэтому
/<'t>(0) = (-l)fc“1 (^-1)!Л=1, 2, ... , и, так как /(0) —0, то
1п(1+х) = х-^+...+(-1Г,^+<>(х")
при х^О, л?=1, 2, ..., или, короче,
303
In (1 + x) = У (— l)k 1 у +o(xn) при x->0, n = 1, 2, ... .
k=i k
Замечание 1. В силу следствия теоремы 1, полученные
формулы можно записать, используя символ О (О большое),
следующим образом:
'" ' Д1
" 2к
СО8Л= Ёо(~1)'‘(ЩТ+<9(х2п+2)’
к = 0К •
И 2 Л + 1
shx= У -Д----г-+О(х2п+3),
chx = Е т^л] + О(х2п + 2), п = 0, 1, 2, ... ,
k = 0\Z4-
(1+х)“=1+ Е —•"<а~*+Хк + О(хп+1),
k—l к'
In(1 + х) = ]Г (— 1)к-1у- + O(xw + 1), «=1, 2, ... , при х-^х0 .
к=1 к
Такая запись формул Тейлора в некоторых вопросах
оказывается более удобной, чем их запись с символом о (р
маленькое).
Замечание 2. Из полученных разложений элементарных
функций по формуле Тейлора в окрестности нуля можно с
помощью линейной замены переменного получать и их разло-
жения в окрестности любой точки, принадлежащей их области
определения.
Например, разложим с помощью этого метода по формуле
Тейлора с остаточным членом в форме Пеано функцию
/(х) = 5yfx в окрестности точки х0 = 1. Положив х = 1 +1 и
применив формулу (13.19), получим
= l + l(x-l) - 2J.(x-l)2+-ly^(x-l)’+ ... +
304
(—1)" 1-4-9 ... (5и—6) / lV, , // 1А„ч
—----------------(x~ 1) +°((*-1) )
при х->1 (или, что то же самое, при t->0). Это и есть искомое
разложение.
Замечание 3. Комбинируя указанные выше разложения
функций, можно выделять главную часть (см. п. 8.4) различных
элементарных функций в окрестностях тех точек, при стремле-
нии аргумента к которым функция стремится к нулю или к
бесконечности,— эти случаи встречаются наиболее часто.
В качестве примера выделим главную часть функции ctgx
при х->0 до порядка О(х3):
COS X
sin х
ctgx =
Здесь были использованы разложения по формуле Тейлора
косинуса
cosx=l — у + 0(х4), х-»0,
синуса
х3
sin х = х — — + О (х5), х-^0 ,
6
и бинома
(1 + uf — 1 + а и + О (и2)
х2
при а= — 1 и и= — — +0(х4), х-»0.
13.4. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛЫ
ТЕЙЛОРА (МЕТОД ВЫДЕЛЕНИЯ ГЛАВНОЙ ЧАСТИ)
Формула Тейлора дает простое и весьма общее правило для
выделения главной части функции. В результате этого метод
вычисления пределов функций с помощью выделения главной
части приобретает законченный алгоритмический характер.
Рассмотрим сначала случаи неопределенности вида -. Пусть
305
требуется найти предел lim где lim f(x) = lim g(x) = O. В
этом случае рекомендуется разложить по формуле Тейло-
ра функции f и g в окрестности точки х0 (если, конечно,
это возможно), ограничившись в этом разложении лишь
первыми не равными нулю членами, т. е. взять разложения в
виде
/(х) = а(х-х0)и + о((х-х0)"), а^О,
g(x) = b(x-x0)m+o((x-x0)m), Ь^О,
тогда
lim = lim Ф~*оГ+<>((х-*оУ)=? lim
x->xog(x) x^x0b(x-x0)m+o((x-x0)m) bx^x0
(x-x0)n~m =
0. если n > m,
a
-, если n = m ,
b
оо , если n<m .
Часто бывает удобно для разложения функций f и g по
формуле Тейлора использовать готовый набор разложений
элементарных функций, полученный в п. 13.3. Для этого следует
в случае хо/0 предварительно выполнить замену переменного
t = x — x0; тогда х-»л0 будет соответствовать /->0. Случай х-*сс
1
заменой переменного х = - сводится к случаю /->0.
Если имеется неопределенность вида —, т. е. требуется
00
найти lim ЦЦ, где lim f(x) = lim g (x) = оо , то ее легко
X-+Xq x->x0
° /(*)
привести к рассмотренному случаю - преобразованием =
, ч 0 S\x)
1//W *
Подобно вычислению пределов с помощью правила Лопи-
таля, при применении метода выделения главной части к
раскрытию неопределенностей вида 0 • оо и оо — оо их следует
преобразовать к неопределенности вида . Наконец, для
раскрытия неопределенностей вида 0°, оо° и I00 указанным
методом необходимо предварительно прологарифмировать
рассматриваемые функции.
Посмотрим на примерах, как применяется формула Тейлора
к вычислению пределов функций. Пусть требуется найти
306
ех-е“х-2х
lim ----------
с—>х0 x-smx
Заметив, что (см. п. 13.3)
2 3 2 3
ех=1+х + + *— +о(х3), е~х=\ — х+^~ — + я(х3),
2 3 v 7 2 3 ' 7
х , / зх
smx = x- — +б>(хг),
получим
lim
х->0
ех — е х — 2х г х3/34-о (х3) г х3/3 ~
------------— lim —-_______- '- = lim —— = 2
х - sin X---х-0 Х3/6 + о (х3) х->0 х3/6
Рассмотрим неопределенность вида оо — оо:
lim х_>0\х sin ху • 2 2 । .. sm х—х .. = lim —-—-—= lim X Sin2 X x-»0 x- +o(x3) 6 2 —x2
x2 [x + о (x) 2
4 4
X , ИЧ X . ..
-у+о(л'4) -у+о(.Х4)
= lim -5-=^—г~^ = lim—s—гтп-= l’m
x-HJx2 [x2 + o(x2)] x->0 x4+o(x4) x->0
1
3'
В качестве последнего примера вычислим предел
limf^Xr, т. е. раскроем неопределенность вида Iе0. Согласно
х->0 \ х J
общему правилу, найдем предел логарифма выражения, стоя-
щего под знаком предела:
1п*+о(х2)
lim lln“i= lim------ lim Н1+ДЙ= lim £«=0.
х-*0* х х->0 х х->0 х х->0 х
Следовательно,
§ 14. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ
14.1. ПРИЗНАК МОНОТОННОСТИ ФУНКЦИИ
Теорема 1. Для того чтобы дифференцируемая на интерва-
ле (а, Ь) функция f возрастала (убывала) на этом интервале,
необходимо и достаточно, чтобы во всех его точках производная
была неотрицательной, /' (Зг)>0 (неположительной, /'(х)^0).
307
Если всюду на (а, Ь) производная положительна: f'(x)>Q
(отрицательна: f'(x)<Q), то функция f строго возрастает
(строго убывает) на рассматриваемом интервале.
Необходимость. Если функция/возрастает (убывает) на
(а, Ь), то для любой точки хое(а, Ь) при Ах>0 имеем
Ay=f(xG +Ах) —/(хо)^0 (Aj>^0). Поэтому —^0 f—
Д х \ Д х /
перейдя к пределу при Ах->0, получим /' (хо)^0 (/'(-Хо)^О).
Достаточность. Пусть а<хг<х2<Ь. Тогда, по формуле
Лагранжа (см. п. Н-2),/(х2) —/(х1)=/'(^)(х2 —jcJ, где х±<х2.
Так как х2 — хг>0, то при/'(х)>0 на (а, Ь) (откуда следует, что,
в частности, /'(^)^О) будем иметь т. е. функция/
возрастает. Аналогично, при /' (х)<0 на (а, Ь) имеем /'(Е,)^0 и,
следовательно, f(x2 )</(xi), т. е. функция / убывает.
Если же/'(х)>0 на (а, Ь), то/'(£,)>() и поэтому/(х7)>/(х1),
т. е. функция f строго возрастает. Пусть теперь /' (х) < 0 на
(а. Ь); тогда /'(^)<0, следовательно,/(х2)</(х1), т. е. функция /
строго убывает. □
Отметим, что условия /'(х)>0 и /' (х)<0 не являются
необходимыми для строгого возрастания (строгого убывания)
дифференцируемой на интервале функции, что показывают
примеры функций /t(x) = x3 и f2(x) = — х3. Первая из них строго
возрастает, а вторая строго убывает на всей числовой оси, но
при х = 0 их производные обращаются в нуль.
Аналогичная теорема верна для непрерывных функций, не
имеющих в конечном числе точек производной. Утверждение
второй части теоремы остается в силе, если, кроме того, в
конечном числе точек производная обращается в нуль. Напри-
мер,
если функция непрерывна на некотором интервале и имеет
всюду в нем положительную (отрицательную) производную,
кроме, быть может, конечного числа точек, в которых
производная обращается в нуль или не существует, то функция
строго возрастает (строго убывает) на рассматриваемом
интервале.
Это непосредственно следует из теоремы 1: достаточно ее
последовательно применить ко всем промежуткам, на которые
разбивается заданный интервал указанным конечным мно-
жеством точек.
Пример. Исследуем функцию
Ж
sin х ~ п
— при 0<х^-,
1 при х = 0 .
308
функция f дифференцируема (следовательно, и непрерывна)
на
отрезке
В специальной проверке нуждается лишь
существование производной в точке х = 0. Применяя, например,
дважды правило Лопиталя, получаем
sin Ах
lim 11т л ' '
Ах—>0 Ах Ах->0 Ах
v sin t — t .. cost— 1
= lim —z— = lim----------=
r->0 i2 t-*0 21
— -limsin r = 0 .
2r->0
Это и означает, что существует /'(0) = 0.
Для всех х/0 имеем
х cos х—sin х cos х / \
—р—=^k-tgx)<o,
так как x<tgх, если 0<х<^ (см. доказательство леммы 1 в
п. 8.1). Следовательно, функция f строго убывает на отрезке
О, " , поэтому /(0)>/(х)>/(1), т. е.
2 sin х . л л /1 л 1\
-<----<1 приО<х<~. (14.1)
л х 2
Упражнение 1. Доказать, что, для того чтобы дифференцируемая на
интервале (а, Ь) функция строго возрастала на нем, необходимо и достаточно,
чтобы во всех точках хе(л, Ь) выполнялось неравенство /'(х)>0 и чтобы для
любых точек х'е(а, Ь) и х"е(я, 6), х'<х", существовала бы точка £е(х', х"), для
которой /'(£,)>().
14.2. ОТЫСКАНИЕ НАИБОЛЬШИХ И НАИМЕНЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ
ФУНКЦИИ
Определение L Пусть функция f определена в некоторой
окрестности точки х0. Тогда х0 называется точкой максимума
(точкой минимума) функции f, если существует такое 8>0, что
оля всех А х, удовлетворяющих условию | А х\ < Ъ, выполняется
неравенство /(х0 + А х)</’(х0) (неравенство /(х04-Ах)^/(х0)).
Если существует такое 5>0, что для всех Ах^О таких,
что |Д х| <8, выполняется неравенство /(х0 + А х)</(х0) (нера-
венство Дх0 + Ах)>/(х0)), то х^ называется точкой строгого
максимума (строгого минимума).
Точки максимума (строгого максимума) и минимума (стро-
гого минимума) называются точками экстремума (строгого
экстремума).
309
Для точек х0 строгого экстремума функции /, и только для
них, приращение A f=f (х0 + А х) —/(х0) не меняет знака при
переходе аргумента через х0, т. е. при изменении знака Ах.
Именно: А/<0 для точек строгого максимума и А/>0 в случае
строгого минимума независимо от знака достаточно малого
А х/0.
Теорема 2 (необходимые условия экстремума). Пусть х0
является точкой экстремума функции f, определенной в некото-
рой окрестности точки х0. Тогда либо производная f'{x] не
существует, либо f' (х0) = 0.
Действительно, если х0 является точкой экстремума для
функции /, то найдется такая окрестность U (х0, 8), что значение
функции f в точке х0 будет наибольшим или наименьшим на
этой окрестности. Поэтому если в точке х0 существует
производная, то она, согласно теореме Ферма (см. п. 11.1),
равна нулю. □
Отметим, что условие f (хо) = 0 не является (для дифферен-
цируемой при х = х0 функции) достаточным условием наличия
экстремума, как это показывает пример функции /(х) = х3,
которая для х = 0 имеет производную, равную нулю, но для
которой х = 0 не является точкой экстремума.
Упражнение 2 (достаточные условия экстремума). Пусть функция /
определена на интервале (а, Ь) и непрерывна в точке xQe(a, b). Доказать, если f
(строго) возрастает на интервале (а, х0) и (строго) убывает на (х0, Ь), то х0
является точкой (строгого) максимума; если же функция f (строго) убывает на
(а, х0) и (строго) возрастает на (х0, Ь), то х0 является точкой (строгого)
минимума.
Теорема 3 (достаточные условия строгого экстремума).
Пусть функция f дифференцируема в некоторой окрестности
точки х0, кроме, быть может, самой точки х$е(а, Ь), в которой
она является, однако, непрерывной. Если производная /' (заменяет
знак при переходе через х0 (это означает, что существует такое
число 8>0, что значения производной fr имеют один и тот же
знак всюду в (х0 —8, х0) и противоположный знак для всех
хе(х0, х0 + 8)), то х0 является точкой строгого экстремума.
При этом если при х0 —8<х<х0 выполняется неравенство
f'(x}>$, а при х0<х<х0 + 8 — неравенство /'(х)<0, то х0
является точкой строгого максимума, а если при х0 —8<х<х0
выполняется неравенство /'(х)<0, а при х0<х<х0 + 8 — неравен-
ство /'(х)>0, то х0 является точкой строгого минимума
(рис. 56).
Доказательство. Рассмотрим случай /'(х)>0 для х<х0
и /'(х)<0 для х>х0, где х принадлежит окрестности точки х0,
указанной в условиях теоремы. По теореме Лагранжа (см.
п. 11.2),
~Дх0) =/' (£) (х - х0),
где £ лежит на интервале с концами х0 и х.
310
Если x<xQ. то х — хо<0 и /'(^)>0, так как х<^<х0. Если
x>xQ. то х — хо>0 и /'(£)< О, так как в этом случае х0<^<х.
Таким образом, всегда А/< 0, т. е. точка х0 является точкой
строгого максимума. Аналогично рассматривается второй слу-
чай. □
Из п. 14.1 следует, что если функция имеет всюду в
некоторой проколотой окрестности данной точки х0 производ-
ную одного и того же знака, а в самой точке х0 производная
либо равна нулю, либо не существует, однако сама функция
непрерывна, т. е. если производная непрерывной функции «не
меняет знака» при переходе через точку х0, то эта точка
заведомо не является точкой экстремума рассматриваемой
функции (более того, функция в указанной окрестности строго
возрастает или убывает в зависимости от того, положительна
или отрицательна производная в точках х#х0).
Объединяя это утверждение с доказанной выше теоремой 3,
получим следующий результат.
Если функция Дх) определена в некоторой окрестности точки
х0> непрерывна при х = х0, имеет всюду в рассматриваемой ок-
рестности, кроме, может быть, точки х0, производную и эта про-
изводная с каждой стороны от х0 сохраняет постоянный знак
(следовательно, можно говорить о сохранении или перемене знака
У производной при переходе через xQ), то, для того чтобы npux = xQ
Функция достигала экстремума, необходимо и достаточно, чтобы
производная меняла знак при переходе через точку х0.
Следует, однако, обратить внимание на то, что рассмотрен-
ный здесь случай, т. е. случай,когда можно в указанном смысле
говорить о перемене знака производной при переходе через
точку х0, не исчерпывает возможные ситуации (даже для всюду
Дифференцируемых функций): может случиться, что в сколь
Угодно малых односторонних окрестностях точки х0 производ-
ная функции меняет знак. В этом случае приходится применять
Другие методы для исследования функции на экстремум при
311
Таким образом, в более широком классе функций, диф-
ференцируемых в окрестности рассматриваемой точки, кроме,
быть может, самой этой точки, условие изменения знака
производной в точке является лишь достаточным условием
экстремума.
Задача 10. Построить пример функции, которая дифференцируема на
интервале, достигает в некоторой его точке х0 строгого экстремума, а ее
производная в любой окрестности точки (как слева, так и справа от нее)
принимает и положительные и отрицательные значения (таким образом,
показать, что условие изменения знака производной в данной точке, являясь
достаточным для наличия строгого экстремума, не является вместе с тем
необходимым).
Введем еще одно понятие, которым будем пользоваться в
дальнейшем.
Определение 2. Пусть функция f определена в некоторой
окрестности точки х0. Будем называть х0 точкой возрастания
(убывания) функции ф\ если существует такое 8>0, что при
Хр — 8<х<х0 выполняется неравенство /(х)</(хр) (неравенство
Дх)>/(х0)), а при х0<х<х0 + 8— неравенство f(x)>f\x0) (нера-
венство / (х) </(х0)).
Таким образом, точки возрастания и убывания функции f
характеризуются тем, что при переходе через них приращение
меняет знак с « —» на « + » в точке возрастания и с « + » на « —»
в точке убывания (рис. 57).
Не следует думать, что если функция определена на
интервале, то всякая точка этого интервала является либо
точкой экстремума функции, либо точкой возрастания, либо
точкой убывания: могут существовать точки, не принадлежащие
ни к одному из указанных типов. Например, точка х = 0 для
функции
{x2sin- при х 0,
х (14.2)
О при х — 0
не является ни точкой экстремума, ни точкой возрастания, ни
точкой убывания.
Производная функции (14.2) равна (см. пример 8 в п. 9.7)
312
{2x sin- — cos- при x^O, (14.3')
X X
О при х = 0.
F (14.3")
Таким образом, функция (14.2) дифференцируема на всей
числовой оси. При х = 0 ее производная имеет разрыв второго
рода, поскольку
lim 2xsin- = 0,
х—*0 X
(14.4)
а второе слагаемое в правой части равенства (14.3'), т.е. —cos-,
X
не имеет предела при х->0.
Кроме того, это слагаемое, из-
меняясь в любой односторон-
ней окрестности точки х = 0 от
— 1 до +1, бесконечно много
раз меняет знак. Отсюда, в силу
формул (14.3') и (14.3") и (14.4),
следует, что и производная
функции (14.2) в любой сколь
угодно малой односторонней
окрестности нуля также меняет
знак. Общий характер поведе-
ния функции (14.2) изображен
на рис. 58.
Сформулируем теперь осно-
ванные на использовании про-
изводных высших порядков
Рис. 58
достаточные условия нали-
чия строгого экстремума, а также точек возрастания и
убывания.
Теорема 4. Пусть в точке х0 у функции f существуют
производные до порядка п^Л включительно, причем
/ш(хо) = 0 для z=l, 2, ..., и-1, /^(хо)/0. (14.5)
Тогда если п — 2к, к—1, 2, ..., т.е. п — четное число, то функ-
ция f имеет в точке х0 строгий экстремум, а именно мак-
симум при /(2к,(хо)<0 и минимум при /(2к)(-Хо)>0. Если же
n~2k-\-\, k^Q. 1, ..., т. е. п —нечетное число, то функция
J не имеет в точке х0 экстремума; в этом случае х0 являет-
ся^ точкой возрастания при /(2к+1)(хо)>0 и убывания при
Предпошлем доказательству теоремы одно простое замеча-
ние: если в некоторой окрестности точки х0 имеет место
соотношение [3 (х) = о (ос (х)), х-»х0, то существует такое 5>0, что
при | х — х01 < 5 справедливо неравенство
313
I ₽(*)1^|а(*)1-
В самом деле,
Р (х) = 8 (х) ОС (х),
где lim г(х) = 0, существует такое 5, что при |х—х01 < 8
х^хо
выполняется неравенство
Отсюда и следует указанное выше неравенство.
Доказательство. Прежде всего заметим, что функция f
имеет в точке х0 производную порядка п 1, поэтому (согласно
определению производной) производная порядка п— 1 рассмат-
риваемой функции определена в некоторой окрестности точки
х0. Следовательно, и сама функция / также определена, во
всяком случае в той же окрестности точки х0.
Запишем формулу Тейлора «-го порядка для функции / в
окрестности точки х0. В силу формулы (13.5) и условий (14.5), имеем
А/=/(^о + Ах) -/(*о) = Лх" + а (Ч (14.6)
где
а (х) — о (Ах") *\ Ах—>0.
откуда вытекает (см. п. 8.2), что
а(х) = о Р Ах"), Ах—>0.
х 7 \ п! /
Поэтому, согласно сделанному замечанию, существует такое
8>0, что при | Дх | < 8
|а(х)|<^
Из этого неравенства следует, что при J Дх | < 8, Дх^О, знак
правой части равенства (14.6), следовательно, и знак Д/
совпадают со знаком первого слагаемого правой части.
Если п = 2к. к—\, 2, ..., то в (14.6) Дх возводится в четную
степень, поэтому знак Д/ не зависит от знака Дх#0 и, значит,
х0 является точкой строгого экстремума, причем точкой
строгого максимума при /(2к)(хо)<0 (в этом случае Д/<0) и
строгого минимума при f(2k) (хо)>0 (в этом случае Д/>0).
Здесь Дх” = (\х)п (а не Д(х”)).
314
Если же п = 2к+ 1, к = 0, 1, 2,
то Ах возводится в нечетную
степень, поэтому знак А/ меняется
вместе с изменением знака Ах
и, значит, х0 не является точ-
кой экстремума. Если Ах меняет
знак с « —» на « + », то при
y-(2/c+i) ^о)>0 приращение А/ ме-
Хо
minimum
Рис. 59
няет знак с « — » на « + » и, значит,
х0 является точкой возрастания функции /, а при /(2/с+1)(хо)<0
приращение А/ меняет знак с « + » на « —» и, значит, х0 является
точкой убывания функции /. □
Из доказанной теоремы вытекают, в частности, при п=\ и
и = 2 два следствия.
1. Если ф'[хЛ>0. то Xq является точкой возрастания
функции; если f\x^<S), то Xq—точка убывания функции.
2. Если /'(хо) = 0, a f”(хо)^0, то при f"(хо)>0 х0 является
точкой строгого минимума, а при /,,(хо)<0 — точкой строгого
максимума функции f (рис. 59).
Следствие 1 остается в силе и для бесконечных производных:
если /'(лД^Ч-ос (соответственно/'(х0)= — оо), то х0 является
точкой возрастания (убывания) функции. В самом деле, если,
например,/'(х0)=+ оо, то для любого 8>0и, в частности, для
8=1 существует такое 8>0, что при всех Ах, удовлетворяющих
условию | Ах | <5, имеет место неравенство ^>1. Поэтому при
0<Ах<8 имеем Aj^>Ax>0, а при — 8<Ах<0 аналогично
имеем &у < Ах < 0, т. е. х0 — точка возрастания. Аналогично
рассматривается случай f (х0) = — оо.
Заметим, что из первого следствия еще раз вытекает теорема
Ферма (см. теорему 1 п. 11.1). Действительно, если функция Дх)
определена в некоторой окрестности точки х0 и имеет в этой
точке экстремум, то производная в х0 не может быть ни
положительной, ни отрицательной, так как в противном случае
функция либо возрастала, либо убывала бы в этой точке.
Следовательно, производная в х0 или не существует, или, если
существует, необходимо равна нулю.
Отметим еще, что из теоремы 4 непосредственно вытекает
следующий критерий наличия точек экстремума.
Пусть у функции f в точке х0 существуют производные до
порядка п^\ включительно, причем
f{k\xQ^ k=\, 2, ..., п-\. fn\xQ^Q.
Тогда, для того чтобы при х = х0 функция достигала экстре-
мума, необходимо и достаточно, чтобы п было четным числом.
Все полученные правила справедливы лишь в том случае,
когда функция f определена в некоторой окрестности точки х0.
315
Однако • об экстремуме функции можно говорить не только в
этом случае: пусть функция f определена на некотором
числовом множестве Х\ будем называть хоеХ точкой макси-
мума (минимума) если существует такое 6>0, что если хеХ
и |х—х0|<8, то/(х)^/(х0) (соответственно /(х)>/(х0)). Подоб-
ным же образом определяются в этом случае и понятия
строгого максимума и строгого минимума, следует лишь знаки
нестрогих неравенств заменить знаками строгих неравенств и
дополнительно потребовать, чтобы х^х0.
Например, если функция f определена на полуинтервале
[а, Ь\ то точка а в указанном смысле может являться
экстремальной. Заметим, однако, что производная (правосто-
ронняя) в этой точке, вообще говоря, не обязана обращаться в
нуль (см. п. 11.1). Так, функция у = х на отрезке [0, 1] имеет
строгий минимум при х = 0 и строгий максимум при х=1,
однако в этих точках, как и всюду на отрезке [0, 1 ], у' = 1.
Выяснение обстоятельства, имеет или нет функция экстре-
мум на концах промежутка, принадлежащего ее области
определения (такой экстремум будем называть концевым),
требует специального исследования.
Упражнение 3. Пусть функция / определена на отрезке [а, 6] и имеет
производные при х = а и х=Ь. Доказать, что если f’+(ay>$ (соответственно
/‘_(Z>)<0), то точка х = а (соответственно х = Ь) является точкой строгого
минимума, а если f'+(a)<0 (соответственно (Z?)>0), то х = а (соответственно
х = Ь) является точкой строгого максимума.
Установленные теоремы лежат в основе метода, позволяю-
щего единообразно решать многочисленные математические,
физические, экономические и технические задачи, в которых
изучаются экстремальные значения какой-либо величины.
Пусть, например, требуется определить наибольшее значение
функции f на отрезке [а, b ]. Может случиться, что это возможно сде-
лать достаточно просто каким-либо способом исходя из конк-
ретного вида функции. Если же не ясно, как это сделать, то следует
найти все ее критические точки, лежащие на [а, b ] (точка, в которой
функция определена, а ее производная либо равна нулю, либо не
существует, обычно называется критической точкой этой функции).
Затем из этих значений х необходимо исходя из сказанного
отобрать те, в которых возможен максимум (можно заведомо
отбросить точки, удовлетворяющие достаточным условиям
наличия минимума). После этого достаточно сравнить между собой
по величине значения функции в полученных точках и числа f(a) и
/(£); наибольшее из этих чисел и является наибольшим значением
функции на отрезке [а, Ь]. Эта задача принципиально заведомо
может быть решена, если множество критических точек конечно.
Правильнее было бы добавить — локального, но не будем усложнять
терминологию.
316
Если функция определена на полуинтервале (конечном или
бесконечном), например на полуинтервале вида [а, Ь), задача об
определении ее наибольшего значения на этом полуинтервале
требует дополнительных исследований; найдя множество ука-
занных выше точек, надо изучить еще поведение функции при
х-+Ъ — 0. Аналогично решаются и задачи на определение
наименьших значений функций.
Не следует, однако, думать, что изложенный метод позво-
ляет находить точки экстремума данной функции с любой
нужной степенью точности. Это не так, поскольку если его
использовать, то надо прежде всего уметь решать уравнение
/'(%) = 0 с заданной степенью точности, что является другой
математической задачей. Как она решается с помощью диффе-
ренциального исчисления в тех случаях, когда точное решение
уравнения не записывается в явном виде, будет показано в
дальнейшем (см. § 62).
Пример. Две точки движутся с постоянными скоростями и
v2 по двум прямым, образующим прямой угол, в направлении
вершины этого угла, от которой в начале движения первая
точка находилась на расстоянии а, а вторая — на расстоянии Ь.
Через какое время после начала движения расстояние между
точками будет наименьшим?
Пусть р = р(/) — расстояние между точками через время t
после начала движения, которое будем считать начавшимся при
/=0. Тогда
р2 (/)=(a-vrt}2 + {b-v2i)2.
Функция p(z), очевидно, достигает минимума при том же
значении /, при котором достигает минимума функция у = р2 (t).
Из физических соображений ясно, что расстояние p(z)
должно достигать минимума (тела начинают сближаться), а
максимума заведомо нет, ибо р(/)-> + оо при > + оо. В силу
необходимого условия экстремума, это может быть только в
точке, в которой у’ = 0, и так как у’ = —
то из условия У = 0 получаем единственное значение
0 Г1 + г2
которое и дает ответ на поставленный вопрос.
14.3. ВЫПУКЛОСТЬ И ТОЧКИ ПЕРЕГИБА
Пусть функция f определена на интервале (a, Z?) и пусть
а<х±<х2<Ь. Проведем прямую через точки A = (xlf f(xj) и
f(x2)), лежащие на графике функции /. Ее уравнением
является
317
у -Ж) (* ~ *1) +/(*1) (*2 - -У)
Обозначим правую часть этого уравнения через /(х); тогда
оно кратко запишется в виде
Очевидно, /(xj =/Ul)> l(X2)=f(X2)-
Определение 3. Функция f называется выпуклой вверх
(выпуклой вниз) на интервале (а, Ь), если, каковы бы ни были
точки х± и х2, а<х1<х2<Ь, оля любой точки х0 интервала
(xlf х2) выполняется неравенство
/(хоНЛ*о)> (14.7)
(соответственно неравенство
/(хо>/(*о))- (14.8)
Геометрически это означает, что любая точка хорды АВ
(т. е. отрезка прямой у = /(х) с концами в точках А и В) лежит не
выше (не ниже) точки графика функции /, соответствующей
тому же значению аргумента (рис. 60).
Определение 4. Если вместо (14.7) и (14.8) выполняются
строгие неравенства /(х0)</(х0) и соответственно /(х0)>/(х0)
при любых х0, Xj и х2 таких, что а<х1<х0<х2<Ь, то функция
f называется строго выпуклой вверх (строго выпуклой вниз) на
интервале (а, Ь).
В этом случае любая точка хорды АВ, исключая ее концы,
лежит ниже (выше) соответствующей точки графика функции.
Определение 5. Всякий интервал, на котором функция
(строго) выпукла вверх, соответственно вниз, называется интер-
валом (строгой) выпуклости вверх, соответственно вниз, этой
функции.
Теорема 5 (достаточное условие строгой выпуклости).
Пусть функция f дважды дифференцируема на интервале (а, Ь).
Тогда, если f"<T) на (а, Ь), то функция f строго выпукла вверх, а
318
l(x) -f(x)
если /">0 на (а, Ь), то функция /строго выпукла вниз на этом
интервале.
Доказательство. Пусть а<х1<х<х2<Ь. Тогда
_/(x2)(x-xt) +/(*i)(*2-x) у-лл (x-*i) + (х2~х)_
х2—х1 ' ' x2—xl
_ [Ж) -Дх)] (^ —JC1) -[/(*) ~/Ю] (х2~х)
х2-хх
Применяя теорему Лагранжа (см. и. 11.2), получаем
/(х) ,Д^_/'(т1)(х2-х)(х-х1) -/'fe)(x-x1)(x2-x)_
[/'(ч) -/'(ЗД(х2-х)(х-х1)
Х2— Х1
где х1<^<х<г|<х2.
Применим снова теорему Лагранжа:
I(х) _/(х) =/"(0(х2-х)(х-х1)(д-^), <п
Х2~ Х1
Отсюда видно, что если /"<0 на (я, Ь\ следовательно, в
частности, /" (Q < 0, то /(%)</(%), т. е. функция / строго выпукла
вверх; если же /">0 на (я, Ь), то /(х)>/(х), т.е. функция f
строго выпукла вниз. □
Условие знакопостоянства второй производной, являясь
достаточным для строгой выпуклости (вверх или вниз), не
является вместе с тем необходимым. Так, функция у = х4 строго
выпукла вниз на всей числовой прямой, однако ее вторая
производная j" = 12x2 обращается в нуль при х = 0.
Отметим, что если функция f (строго) выпукла вверх на
интервале {а. Ь\ то функция —f (строго) выпукла вниз на этом
б/2 г />/ \-i d2f(x)
интервале и обратно, а поскольку 7(X)J= — —то’
d х d х
например, приводимое в теореме 5 достаточное условие строгой
выпуклости вверх следует из содержащегося в этой же теореме
Достаточного условия строгой выпуклости функции вниз.
Упражнения 4. Доказать, что для функции
Г . 1 /П
I xsm- при ,
/(х) = ) х
( 0 при х — 0
точка х = 0 не принадлежит никаким интервалам выпуклости вверх или вниз и
не является концом какого-либо из этих интервалов.
5. Доказать, что функция у = х4 строго выпукла вниз на всей числовой
прямой.
Таким образом, выпуклость вверх или вниз функции f
зависит от знака ее второй производной. Оказывается, что
319
У расположение графика дважды диф-
ференцируемой функции относи-
/ьФ тельно касательной также в опреде-
ленном смысле связано со знаком
| второй производной.
‘ I ’ Теорема 6. Пусть функция f
-хД I * имеет на всем интервале {а, Ь\
------1—|-----1____J__положительную {отрицательную)
0 а х х0 ь х втОруЮ производную: /”{х)>$ {со-
ответственно f" (х)<0), Хб(<2, Ь)*\
Рис. 61 Тогда, какова бы ни была точка
хое{а, Ь), все точки (х,Дх)), хе(а, Ь), графика функции f лежат
выше {ниже) касательной, провеоенной к нему в точке (х0, Дх0))>
кроме, конечно, самой этой точки, которая лежит на указанной
касательной**} (рис. 61).
Действительно, уравнением касательной к графику функции
в точке (х0, Дх0)) является
.У =/' (л0) (* - *0) +/(*о) •
Обозначим правую часть этого уравнения через Цх). Тогда,
применив теорему Лагранжа к разности Дх) —/(х0), получим
/(*) - L (х) = [/(х) -Дх0)] -f (х0) (х - х0) =
=/' (£) (х- х0) -f (х0) (х - х0) = [/' (£) (х0)] (х - х0),
где а<х0<Ь, а<х<Ь, а точка £ лежит между х и х0.
Применив еще раз теорему Лагранжа, но уже к приращению
производной, получим
/(х) - L (х) =/" (Т|) (£, - х0) (х - х0),
где точка ц лежит между Е и х0.
При х#х0 имеем (2, — х0) (х — хо)>0, ибо точка £, всегда
лежит между х и х0 и, следовательно, всегда по ту же сторону
от точки х0, что и точка х.
В силу этого знак разности Дх) — £(х) совпадает, при х^х0,
со знаком f" (г|). Поэтому, если на интервале {а, Ь) вторая
производная положительна (следовательно, она положительна и
в точке г|), то для всех хе{а, Ь), кроме точки х = х0, выполняется
неравенство Дх) — £(х)>0; если же на интервале {а, Ь) вторая
производная отрицательна, то для указанных точек справедливо
неравенство Дх) — £(х)<0. □
*) Отсюда следует, что функция f строго выпукла вниз (вверх) на (а Ь).
Если функция /' кроме того, определена и имеет одностороннюю
производную в конце а или b интервала, то указанное свойство, как это вили о
из приводимого ниже доказательства, выполняется и для касательной в точке
{а, Та)) (соответственно в точке (b, f (b)).
320
Поясним эту теорему исходя из несколько иных соображе-
ний. Если функция f имеет всюду на некотором интервале
вторую производную, то в окрестности любой точки х0 этого
интервала можно выделить главную часть функции f в виде
многочлена Тейлора второго порядка
и, следовательно, график функции / «ведет себя в окрестности
точки х0 почти как парабола»
У=Дх0) +/'(х0)(х-х0) + f//(x-x0Y,
,, 2 f'M
которая, когда ее коэффициент при х/ т. е. 2 •> положителен,
выпукла вниз и лежит выше любой касательной, в частности и
выше касательной в точке (х0,/(х0)) (эта прямая является и
касательной к графику функции /), а когда указанный коэффи-
циент отрицателен, выпукла вверх и лежит ниже любой своей
касательной.
Мы снова видим, как целесообразно при изучении функции в
окрестности данной точки выделить с помощью формулы
Тейлора главную часть функции в этой точке. В дальнейшем
при решении разнообразных задач анализа мы еще неоднократ-
но будем иметь возможность убедиться в больших возмож-
ностях и плодотворности метода выделения главной части.
Определение 6. Пусть функция / дифференцируема при x = Xq
и пусть y = L(x\—уравнение касательной к графику функции f в
точке (х0,/(х0)). Если разность /(*) — L(x) меняет знак при
переходе через точку х0, то х0 называется точкой перегиба
функции /
Более подробно и точно это означает, что существует такая
5-окрестность U (х0, 5) точки х0, что на каждом из интервалов
(х0 —8, х0) и (х0, хо + о) разность /(х) — £(х) сохраняет постоян-
ный знак, противоположный ее знаку на другом интервале.
Геометрический смысл точки перегиба х0 состоит в том, что
график функции /переходит в точке (х0,/(х0)) с одной стороны
наклонной касательной в этой точке на другую (рис. 62).
Если Xq — точка перегиба функции, то точка (х0,/(х0))
называется точкой перегиба графика функции /.
Примеры. 1. /(х) = х3, /" (х) = 6х. Очевидно, что в этом
случае /"(х)<0 для х<0 и /"(х)>0 для х>0.
Поэтому на бесконечном интервале (—оо, 0) функция /(х) = х3
строго выпукла вверх, на интервале (0, + оо) она строго
выпукла вниз, а точка х = () является одновременно концом
интервалов выпуклости вверх и вниз. Она является и точкой
11—1807 321
перегиба, поскольку уравнением касательной
О, и при х<0 имеет место неравенство
х > 0 — неравенство /(х) > 0.
2./(x) = 3v/x^~ график этой функции (рис.
в ней является
/(х)<0, а при
63) называется
полукубической параболой. Здесь f" (х) = —
, поэтому для
всех х#0 справедливо неравенство /"(х)<0. Следовательно,
интервалы ( —оо, 0) и (0, +оо) являются промежутками строгой
выпуклости вверх. Вместе с тем при любом х^О
ЖМ_^=/(х)>0=/(0),
поэтому точка х = 0 не принадлежит никакому интервалу
выпуклости вверх (интервалов выпуклости вниз у этой функции
нет).
График функции /(х)^3^/^” в точке (0, 0) имеет вертикаль-
ную касательную, и его ветви, для которых х>0 и х<0, лежат
по разные стороны от нее. Однако х = 0 не является точкой
перегиба, поскольку, в силу вертикальности касательной в этой
точке, функция f не дифференцируема в ней, следовательно,
х = 0 не удовлетворяет условиям определения 6.
Образно говоря, график полукубической параболы «не
перегибается» при переходе через касательную в точке (0, 0), а
«возвращается назад»; поэтому точки такого типа называются
точками возврата.
Теорема 7 (необходимое условие, выполняющееся в точке
перегиба). Если в точке перегиба функции существует вторая
производная, то она равна нулю.
Доказательство. Действительно, пусть функция/имеет в
точке х0 вторую производную и, как и выше, >’ = £(х) -
уравнение касательной к графику функции/в точке (х0, /(х0)), т. е.
322
L (x) =/(x0) +/' (*o) (x - xo) •
Тогда, в силу формулы Тейлора,
/(*) -£(х)=^-^(х-х0)2 +о((х-х0)2), х—>х0.
Если /"(хо)^0, то знак разности Дх) — £(х) в некоторой
окрестности точки Хл совпадает со знаком числа /"(х0). ® этом
случае разность Дх) — £(х) не меняет знака в точке х0 и,
следовательно, эта точка не является точкой перегиба. Итак,
если х0 — точка перегиба функции /, то /"(хо) = 0. □
Замечание. Подобно тому, как все точки экстремума
функции принадлежат множеству точек, в которых производная
либо равна нулю, либо не существует, так и все точки перегиба
функции (дважды дифференцируемой для всех значений аргу-
мента, кроме, быть может, конечного числа его значений)
входят во множество точек, в которых вторая производная
либо равна нулю, либо не существует.
Теорема 8 (первое достаточное условие наличия точки
перегиба). Если функция f, дифференцируемая в точке х0,
дважды дифференцируема в некоторой проколотой окрестности
U (х0, 8) этой точки и вторая производная f" функции f меняет
знак при переходе аргумента через х0 (т. е. либо при
х0 —8<х<х0 и f"(x\>Q при х0<х<х0 + 8, либо f" (х)>0 при
х0 —8<х<х0 и /"(х)<0 при х0<х<х0 + 8), то х0 является
точкой перегиба функции f.
В самом деле, представим, как и выше, уравнение касатель-
ной y—f' (х0)(х — х0) +Дх0) в виде j> = £(x). При доказательстве
теоремы 6 было показано, что
/(х) - L (х) =/" (п) (£ - х0) (х - х0),
где точки х и лежат по одну сторону от х0, поэтому при х/х0
имеем (£ —х0)(х—хо)>0 и, следовательно,
sign [/(*) - L (х)] = sign/" (т|).
Точка т| лежит между £, и х0, т. е. по ту же сторону от х0,
что и точка х. Отсюда имеем, что если f" меняет знак при
переходе аргумента через точку х0, то разность Дх) — £(х)
меняет знак и, следовательно, х0 является точкой перегиба. О
Теорема 9 (второе достаточное условие наличия точки
перегиба). Пусть f” (хо) = 0, а /"'(хо)^0; тогда х0 является
точкой перегиба.
Доказательство. По формуле Тейлора, в силу условия
f" (хо) = 0, имеем
/(х)=/(х0) +/'(хо)(х“хо) +^т^(х-хо)3 + п((х-хо)3), х->х0,
и, поскольку L (х) =/(хо) +/' (хо) (х —х0),
323
Дх) -£(х)=0^(х-х0)3 + о((х-х0)3), х->х0.
Отсюда следует (см. замечание о бесконечно малых перед
доказательством теоремы 4 этого параграфа), что знак разности
/(х) — £(х) меняется при изменении знака х —х0. Это и означает,
что х0 является точкой перегиба. □ 2
Пример. Рассмотрим функцию f{x) = e~x и найдем ее точки
перегиба. Имеем
2
f'(x}= — 2хе~х ,
/"(х)= — 2е х + 4х2е х = 4^х2—х = 4^х+ —Vx—
\ 2/ \ х/2/\ х/2,
Отсюда видно, что вторая про-
изводная функции f обращается в
1
нуль в точках х= + ——- и при
х/2
переходе через них меняет знак.
Следовательно, согласно теореме
8, эти точки являются точками
перегиба функции f (рис. 64).
Задача 11. Доказать, что если функция f непрерывна на интервале (а, Ь) и
если для любых точек хг и х2, а<х1<х2<Ь, выполняется неравенство
ЛХ) +/(*2) < г(
2 2 7’
то (а, Ь) является интервалом выпуклости вверх для функции f
Задача 12. Доказать нижеследующие утверждения. Для того чтобы
дифференцируемая функция была выпуклой вверх (вниз) на некотором
интервале, необходимо и достаточно, чтобы ее производная убывала (возраста-
ла) на нем. Для того чтобы дифференцируемая функция была строго выпуклой
вверх (вниз) на некотором интервале, достаточно, чтобы ее производная строго
убывала (строго возрастала) на нем.
14.4. АСИМПТОТЫ
Определение 7. Пусть функция /(х) определена для всех х>а
{соответственно для всех х<а). Если существуют такие числа к
и /, что
lim [/(х) — (Zr х+/)] = 0
х-> + оо
{при х-> —оо), то прямая
у — кхА-1
(14.9)
324
называется асимптотой графика функции f(x] при х-> + оо (при
х->-со).
Иногда вместо «асимптота графика функции» говорят
короче: «асимптота функции».
Существование асимптоты графика функции означает, что
при х-> + оо (или х-> —со) функция ведет себя «почти как
линейная функция», т. е. отличается от линейной функции на
бесконечно малую.
3 _'У
Найдем, например, асимптоту графика функции у=———.
Разделив числитель на знаменатель по правилу деления
многочленов, получим у = х—4+—?—. Так как 2—=о(1) при
X I 1 х I 1
х—> ± оо, то прямая у = х—4 является асимптотой графика
данной функции как при х-> + оо, так и при х-+ — оо.
Рассмотрим геометрический смысл асимптоты. Пусть М=
= (%,/(%))— точка графика функции /, Мо — проекция этой
точки на ось Ох. АВ — асимптота (14.9), 0 — угол между
я
2 ’
асимптотой и положительным направлением оси Ох. 0=/
МР — перпендикуляр, опущенный из точки М на асимптоту
АВ. Q — точка пересечения прямой MMG с асимптотой А В
(рис. 65). Тогда MMQ=f(x\ QM0=kx+l. MQ=MM0-QMq =
=f(x) — (kx+1). MP = MQcosQ. Таким образом, MP отли-
чается от M Q лишь на не равный нулю множитель cos 9,
поэтому условия М Q-А) и М Р-+0 пру х-> + оо (соответственно
при х-> — оо) эквивалентны, т.е. если lim МО = 0 то и
х-> + оо ’
lim МР = 0. и наоборот.
+ 00
Отсюда следует, что асимптота может быть определена как
прямая, расстояние до которой от графика функции, т. е.
отрезок М Р. стремится к нулю, когда точка M=(x.f(x^
«стремится, оставаясь на графике, в бесконечность» (при
х-> + оо или, соответственно, х-> — оо).
Укажем теперь общий метод отыскания асимптоты (14.9),
т. е. способ определения коэффициентов к и I в уравнении (14.9).
Будем рассматривать для определенности лишь случай х—>4-00
(при х-> — оо рассуждения проводятся аналогично). Пусть
график функции f имеет асимптоту (14.9) при х-> + оо. Тогда, по
определению,
/(%) = & х+/+б>(1).
(14.10)
Разделим обе части равенства (14.10) на х и перейдем к
325
пределу при х-> + оо. Тогда
lim ^- = к.
(14.11)
(14.10) для
(14.12)
Используя найденное значение к. получим из
определения I формулу
1= lim (f(x)-kx).
х^ + оо V V 7
Справедливо и обратное утверждение: если
такие числа к и /, что выполняется условие (14.12), то прямая
у=кх+1 является асимптотой графика функции Да:). В самом
деле, из (14.12) имеем
существуют
lim [Дх) — (кх+ /)] = 0 ,
х > Ч- оо
т. е. прямая у = кх+1 действительно удовлетворяет определе-
нию асимптоты, иначе говоря, выполняется условие (14.10).
Таким образом, формулы (14.11) и (14.12) сводят задачу
отыскания асимптот (14.9) к вычислению пределов определен-
ного вида. Более того, мы показали, что если существует
представление функции f в виде (14.10), то к и / выражаются по
формулам (14.11) и (14.12). Следовательно, если существует
представление (14.10), то оно единственно.
Найдем по этому правилу асимптоту графика функции
х2 — 3 х — 2
Дх) =—-—j—, найденную нами выше другим способом:
к = lim lim %2~3x~2=l ,
X—>ОО х х—>сс х(х+1)
1 г /х2 —Зх —2 \ .. —4х —2 .
1= lim---------— х = hm --------=—4,
х—>со\ х+1 у Х~>00 х+1
т. е. мы, как и следовало ожидать, получили то же уравнение
асимптоты у=^х — 4, как при х-> + оо, так и при х-> —оо.
326
В виде (14.9) может быть записано уравнение любой прямой,
непараллельной оси Оу. Естественно распространить определе-
ние асимптоты и на прямые, параллельные оси Оу.
Определение 8. Пусть функция f определена в некоторой
окрестности точки (быть может, односторонней} и пусть
выполнено хотя бы одно из условий
lim f(x)=oo , или lim f(x]=co .
x-^x0-Q v 7 x-*xo + 0 v 7
(14.13)
Тогда прямая x = xG (рис. 66) называется вертикальной асимпто-
той графика функции f (в отличие от асимптоты вида (14.9),
которая называется также наклонной асимптотой}.
В случае вертикальной асимптоты, как и в случае на-
клонной, расстояние МР=х — х0 между точкой М и пря-
мой х—'Xq стремится к нулю, если точка М(х,/(х)) стремится
вдоль графика в бесконечность, т. е. когда х-*х0 —О или
х->хо + 0.
Чтобы найти вертикальные асимптоты графика функции /,
надо найти такие значения х0, для которых выполняется одно
х^1 — 3 х—"2.
или оба условия (14.13). Например, функция у=——— имеет
вертикальную асимптоту х—— 1. Вообще если Дх) =
ра-
ей
циональная функция ((Р(х) и Q(x)— многочлены), <2(хо) = 0,
Р(хо)/0, то прямая х=хп является асимптотой графика
функции Дх).
14.5. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ
Изучение заданной функции и построение ее графика с
помощью развитого нами аналитического аппарата целесооб-
разно проводить в следующем порядке.
1. Определить область существования функции, область
непрерывности и точки разрыва.
2. Найти асимптоты.
3. Приблизительно, вчерне, нарисовать график функции.
4. Вычислить первую, а если нужно, и вторую производную
(без производных более высокого порядка часто удается
обойтись).
5. Найти точки, в которых первая и вторая производные
либо не существуют, либо равны нулю.
6. Составить таблицу изменения знака первой и второй
производных. Определить промежутки возрастания, убывания,
выпуклости вверх или вниз функции, найти точки экстремума (в
том числе концевые) и точки перегиба.
7. Окончательно вычертить график.
327
При этом чем большую
точность графика мы хотим
достигнуть, тем больше, во-
обще говоря, необходимо най-
ти точек, лежащих на нем.
Обычно целесообразно найти
(быть может, с определенной
точностью) точки пересечения
графика с осями координат и
точки, соответствующие экст-
ремумам функции; другие точ-
ки находятся по мере потреб-
ности.
В случае очень громоздких
выражений для второй произ-
водной иногда приходится
ограничиваться рассмотрени-
ем тех свойств графика, кото-
рые можно изучать лишь с
помощью первой производ-
ной.
Пример 1. Построим гра-
фик функции f(х) = ---~3х- 2.
' ' V -1- 1
Эта функция определена и непрерывна для всех х / — 1. Она,
как мы уже знаем (см. п. 14.4), имеет асимптоты у = х—4 и
х= — 1, причем lim Дх)=+оо, lim Дх)= —оо. Было
х-> —1—0 х-> —1+0
отмечено также, что Дх) = х—4 +------, поэтому f(x)>x — 4
при х > — 1 (график функции находится выше асимптоты) и
f(x)<x — 4 при х< — 1 (график лежит ниже асимптоты).
График функции Дх) пересекает ось Ох в точках, в которых
х2 —Зх —2 = 0, т. е. при х19х2 = (3±х/17')/2 или приблизительно
в точках Xj=3,5, х2= — 0,5. Ось Оу график пересекает в точке
у=—2. Это позволяет нарисовать график функции Дх) в виде,
указанном на рис. 67.
Дальнейшее исследование имеет своей целью нахождение
экстремумов точек перегиба и интервалов, выпуклости вверх
или вниз графика функции. Для этого найдем у' и у”:
___х2 + 2 х — 1 4
у= (х+1)2 ’ -v =(7++’
Отсюда видно, что +'= 0 при х= — 1 — ^/2 « — 2,4 и х= — 1+-
4- ^/2 ^0,4. В точке х= — 1 производные у' и у" не существуют.
328
Составим таблицу изменения знака первой и второй
производных в зависимости от изменения аргумента, включив в
нее критические точки:
X -1-^/2 -1 -1+х/2
у' + 0 — Не существует — 0 +
1 у" — — . — Не существует + + +
Из этой таблицы видно, что функция f(x) имеет в точке
х=—1+у/2 строгий минимум, а в точке х= —1—^/2—
строгий максимум; при х < — 1 функция строго выпукла вверх, а
при х> — 1 —строго выпукла вниз. Точек перегиба нет, так как
при х=—1 функция разрывна.
В дальнейшем для краткости подобные таблицы будем
называть таблицами поведения функций и иногда сразу отмечать
в них точки экстремума, точки перегиба и интервалы вы-
пуклости.
Мы нашли общий характер поведения функции. Чтобы
построить график более точно, надо найти ряд точек графика,
как это отмечалось выше.
Пример 2. Построим график функции /(х) = (х+1)3 Зх/х2~.
Область определения этой функции — множество всех дей-
ствительных чисел, причем она непрерывна в каждой точке и
поэтому не имеет вертикальных асимптот. Из того, что
Г ЛХ)
11Ш — =00,
±00 X
следует, что нет и наклонных асимптот.
Для построения графика вчерне заметим, что:
I) /(х) обращается в нуль в точках х= — 1 и х=0;
2) />0 при х> — 1, Хт^О;
3) /< О при х < — 1;
4) lim /(%)= +оо и lim f(x)= — со.
Х-> + 0С' Х-> — 00
Приблизительный вид графика функции, который можно
нарисовать на основании этих замечаний, изображен на рис. 68.
Проведем теперь более подробное исследование функции с
помощью производных. Найдем у' и у":
, _(х+ I)2 (11 х+2) ,„_2(х+1)(44х2 + 16х-1)
У ~ 3\/Г ’ У ~ 9х\/х
Отсюда видно, что у* = 0 при х= —1 и х=—2/11; у" = 0 при
х= — 1, а также когда 44х2 + 16х—1 =0, т. е. приблизительно
329
при =—9/22 и х2 = 1/22. При х = 0 производные у* и у” не
существуют.
Составляем таблицу поведения функции (см, с. 331).
Теперь график функции у> = (х+1) Зх/х^~ можно нарисовать
более точно. Его вид изображен на рис. 69. Как видно,
исследование с помощью производных позволило существенно
уточнить вид графика (ср. рис. 68 и 69).
Развитый аппарат позволяет строить и графики функций,
локально заданных параметрически: х=х(/), y = y(z). Здесь не
предполагается, что пара функций x = x(t). y=y(t) определяет
однозначно одну функцию вида у^=у\х) или x = x(t\ Под
графиком параметрически заданной функции подразумевается
объединение графиков всех функций вида y=f\x) и x=g(x),
задаваемых формулами x = x(t).
Сделаем несколько предварительных замечаний. Для нахож-
дения асимптот, параллельных оси Оу. необходимо найти такие
значения /0*}, для которых существует конечный предел
lim x(t\ = a или lim х(О = а. a lim v(z), соответственно
z-^o+0 v 7 r->ro-0 V 7 Z-^o + O" v 7
lim y(t\ равен Ч-оо или
Zo~0
Если такие значения /0 существуют, то
х = я (14.14)
является уравнением искомой асимптоты.
Аналогично, нахождение асимптот, параллельных оси Ох.
сводится к определению таких значений t0. для которых
существует конечный предел
lim y(t) = b или lim y(t) = b. а
t-t0+o v 7
lim x(t). соответственно lim x(/), равен H-oo или — oo.
z-^zo + 0 v 7 v 7
Здесь и в дальнейшем z0— число или одна из бесконечностей +оо, — оо.
330
X (-оо,-1) -1 2 *1 1 2 “ТТ 0 Г* ‘о) х2 (со + ‘гх)
у' + 0 + + + 0 — Не сущес- твует + + +
У" — 0 + 0 - — — Не сущес- твует — 0 +
Интервалы монотонности и точки экстремума Возрастание Максимум Убывание Минимум Возрастание
Интервалы выпуклости и точки перегиба Выпуклость вверх Точка перегиба Выпуклость вниз Точка перегиба Выпуклость вверх Выпуклость вверх Точка перегиба Выпуклость вниз
Если окажется, что такие значения Zo существуют, то
у = Ь (14.15)
является уравнением искомой асимптоты.
Наконец, для нахождения
ни оси О х, ни оси О у, надо
для которых пределы lim x(z) и
асимптот, не параллельных
найти такие значения t0,
lim у (t) (или lim x(t) и
t^lo + 0 ' ' Z-»Z0 —О ' ’
существует конечный предел
lim н4 = /с). Если для
+zo-O x(z) ’
lim ^y(z)) Равны +00 или — 00 и
lim ^44=к т^О (соответственно
Z~>Z0 + Ox(z)
этого значения, кроме того, существует конечный предел
lim [у (г) —к х(/)] = /(соответственно lim [у(/) — &x(z)] = /),
Z->Zo + 0 l Z-»Z0 —0
331
то прямая
y=kx+l
(14.16)
является асимптотой графика рассматриваемой функции.
Здесь везде /0 может быть как конечным, так и бесконечным.
Упражнение 6. Вывести уравнение асимптот (14.14), (14.15) и (14.16),
исходя из того, что асимптотой называется прямая, расстояние до которой от
точки (x(z), j(z)) графика функции, заданной параметрически: x=x(t), j=y(r),
стремится к нулю, когда точка стремится, оставаясь на графике функции, в
бесконечность, т. е. когда ^/х2 (/) +у2 (t) -*оо при r-*Zo + 0 или Г->Г0—0.
При предварительном построении графика функции, задан-
ной параметрически, часто бывает полезно построить сначала
отдельно графики функций x = x(t) и y=y(t).
Для определения промежутков возрастания и убывания
функции, заданной параметрически, нахождения ее экстремумов,
точек перегиба, а также интервалов выпуклости вверх и вниз
надо использовать выражения для производных ухх и ухх через
производные x't, y't. x"t и у”+. При этом следует иметь в виду, что
уравнения x = x(t), y=y\t\ вообще говоря, не определяют
однозначно функцию вида у=у(х), так что при исследовании
графика функции надо все время внимательно следить за тем,
какая «ветвь» графика рассматривается. Иногда, наоборот,
полезнее рассматривать х как функцию от у.
Пример 3. Построим график функции
Z2+l t
4(1 —г)’ 1 + /‘
(14.17)
Параметрическое представление имеет смысл для всех /,
кроме г=±1. Асимптоты, параллельные оси Ох, получаются
при t=\ и t = ±оо; их уравнения соответственно j=l/2 и у=1.
Асимптота, параллельная оси Оу, получается при t= — 1;
ее уравнение х=1/4. Наклонных асимптот в данном случае
нет.
Для построения графика вчерне полезно составить таблицу
изменения знаков переменных х и у в зависимости от изменения
t; в нее могут быть включены и некоторые характерные
значения х и у. Так, в данном случае полезна следующая
таблица:
t — 00 -1 0 1 + 00
X + оо + 1/4 + 1/4 + оо — — оо
У 1 + 00 — 0 + 1/2 1
332
Теперь строим график (рис. 70). Для наглядности на графике
указано, как ветви графика соответствуют изменению парамет-
ра.
Далее имеем
,_l+2t-t2 1
Xt~ 4(1 -О3 ’ ^“(ГнУ’
поэтому
(14.18)
У
В данном случае луч-
ше рассматривать х как
функцию от у. а не на-
оборот, так как из по-
строенного графика вид-
но, что естественно ожи-
дать, что х определяется
однозначно как функция
у, у /1/2 и у /1. Это
легко установить и ана-
литически, если заметить,
t
что уравнение у = -—
4(1-г)2
разрешимо
параметра
однозначно
относительно
Л
Из (14.18) видно, что
Ху = 0 при t= — 1 и когда
t~ 1 — . Значению t = — 1
фика, а при t=l+^/1 и
1+2 г — /2 = 0, т. е. при /=1+^/2 и
не соответствует никакая точка гра-
t = 1 — х/2 имеем соответственно
Составим теперь таблицу изменения знака производной х'у;
эта таблица позволяет найти и точки экстремума:
t — оо -1 1- 1 1+х/2 4-оо
У 1 00 -V2/2 1/2 х/2/2 1
Ху — 0 — 0 + + 0 —
Экстремумы Мимимум Максимум
333
Из таблицы видно, что в точке y = функция х=х(у)
имеет максимум, в точке —^/2/2— минимум и строго
монотонна на интервалах
Следует обратить внимание на то, что, взяв у за независи-
мую переменную, х — за зависимую, т. е. взяв ось Оу за
первую координатную ось, а Ох — за вторую, мы получим
систему координат, ориентированную противоположно рас-
сматриваемой все время системе координат, у которой первой
осью является Ох, а второй — Оу. Читателю полезно убе-
диться, что доказанные выше критерии, например, для наличия
экстремумов и точек перегиба геометрически не связаны с той
или иной ориентацией осей координат.
Для исследования выпуклости и точек перегиба функции х (у)
найдем х”уу\
X
Луу
</у,,_(1-')3(з+зг-з/2+г3)
' y,t у 2(1-г)3
Производная
которых
х'уу равна нулю при t= — 1 и для тех /, для
P(r) = 3 + 3/-3P + P = O.
Замечая, что Р' (^) = 3 (/ —1)2^0, причем Р' = 0 только в одной
точке /=1, видим, что Р(/) строго монотонно возрастает на
всей вещественной оси (почему?). Следовательно, существует
единственное /0 такое, что Р(/о) = 0. При этом Р(0) = 3>0, а
Р(—1)=— 4<0, откуда — 1<го<0. Если у0 = -^-, то, очевидно,
1 -Но
— оо<у0<0 (можно, конечно, получить и более точную оценку
для у0, выбирая более близкие и t2 такие, что Р^сО,
Р(/2)>0). Составим теперь таблицу изменения производной х'уУ
и определим с ее помощью интервалы выпуклости вверх и вниз,
а также точки перегиба (см. табл, на с. 335).
График функции (14.17) исследован. Он изображен на
рис. 70.
Пример 4. Построим график функции
(14.19)
Асимптот, параллельных осям координат, в данном случае
нет; так как х->оо и у-^оо при /—> — 1, то, возможно, существует
334
наклонная асимптота. Для ее нахождения вычислим соответ-
ствующие пределы:
lim - = lim 1= — 1, т. е. к=~1,
i х 1
г—> — I г—> — I
lim (у —кх)= lim f—Л = lim -Л—= —I.
' ^_Al+'2 1+л f-._i'2-'+i 3
Отсюда следует, что наклонная асимптота существует и что
ее уравнением является
l
у = — X--.
Л 3
Построим приблизительно графики функций x(z) и у (/); для
этого предварительно найдем производные:
I —2 Z3 '_?(2-/3)
7~(Т+ТТ’
Производная x't обращается в нуль при
(14.20)
t = ПРИ ЭТОМ
знак производной изменяется с « + » на «—», поэтому это точка
максимума; производная y't обращается в нуль при t = 0, меняя
знак с « —» на «+» (значит, это точка минимума), и при / = Л__
\/2
меняя знак с « + » на «—» (следовательно, это также точка
максимума). Из этих замечаний следует, что графики функций
x(z) и y(z) имеют вид, изображенный на рис. 71.
t — оо (-со, -1) -1 (-Мо) to (*о, О 1 (1, +оо) + со
У 1 - (1, +со) 00 (—со, у0) Уо (Уо> 1/2) 1/2 (1/2, 1) 1
Ху + — 0 + Не су- ще- ствует -
Интер- валы вы- пуклости Выпук- лость вниз Выпук- лость вверх Выпук- лость вниз Выпук- лость вверх
Точки перегиба и точки разрыва Точ- ка раз- рыва Точ- ка пе- реги- ба Точка разры- ва Точ- ка раз- рыва
335
По этим графикам, зная уравнение асимптоты, можно найти
приблизительно график искомой функции (14.19). Он имеет вид,
изображенный на рис. 72.
Исследование производной у'х по-
зволит уточнить размеры «петли»,
образуемой графиком. Из (14.20)
, г(2 —г3)
имеем ух = —----.
1-2 г3
Отсюда следует:
1) = ® ПРИ ^0 и / = 3х/2~, т. е. каса-
тельная к графику параллельна оси
Ох в точках (0,0) и (з/2"/3, ^/Т/3);
2) при и t=co, т. е.
касательная параллельна оси О у в
точках (з/4/З, 3>Д/3) и (0, 0). Таким
Рис 72 образом, точке (0, 0) (являющейся, как
говорят, точкой самопересечения гра-
фика) соответствуют два значения параметра t = 0 и t=co,
если только доопределить функции (14.19), положив х(оо) = 0,
у(ос) = 0. В этой точке две части графика имеют соответственно
своими касательными координатные оси.
График функции (14.19) называется декартовым^ листом.
Из формул (14.19) нетрудно получить его неявное задание
х3+у3 — ху = 0.
§ 15. ВЕКТОРНАЯ ФУНКЦИЯ
15.1. ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА И НЕПРЕРЫВНОСТИ
ДЛЯ ВЕКТОРНОЙ ФУНКЦИИ
В этом параграфе рассматриваются функции, значениями
которых являются векторы, а аргументами — числа. Такие
** Р. Декарт (1596-1650)—французский философ, математик, физик,
физиолог.
336
функции называются векторными функциями (числового аргу-
мента). Они обозначаются в тексте полужирным шрифтом: г(/),
/еХ где X—некоторое числовое множество.
В этом определении в зависимости от рассматриваемых
задач под значениями г векторных функций могут пониматься
как свободные векторы, так и векторы с закрепленными
началами. Если начала всех векторов закреплены в одной и той
же точке, то такие векторы называются радиусами-векторами.
Если в пространстве задана прямоугольная система коорди-
нат, то, как хорошо известно, каждому вектору соответствует
упорядоченная тройка действительных чисел — его координат и,
наоборот, каждой упорядоченной тройке чисел соответствует
вектор, для которого числа, входящие в эту тройку, являются
его координатами. Поэтому задание векторной функции эквива-
лентно заданию трех скалярных (числовых) функций %(/), y(t\
z(t\ являющихся его координатами:
г(?) = (х(/), y(z), z(/)), teX.
Если при всех teX имеем z(z) = O, то векторная функция
задается двумя координатами х(?) и y(z); в этом случае пишут
г(/) = (х(/), у (г)).
Длина всякого вектора р обозначается через |р|. Будем
предполагать известными основные алгебраические свойства
векторов, понятие скалярного и векторного произведений, а
также свойства этих произведений. Скалярное произведение
векторов а и b обозначается через а b или (а, Ь). а векторное —
через а х b или [а, 6].
Введем понятие предела, непрерывности, производной и
дифференциала для векторных функций.
Определение 1. Вектор я называется пределом векторной
функции г(/), teX, при t-^tQ (или в точке t = t0), если
lim |г(г) —^| = 0 . (15.1)
В этом случае пишут
limr(/) = a. (15.2)
В этом определении |r(z)—я|—числовая функция. Таким
образом, понятие предела векторной функции сводится к
понятию предела скалярной функции (15.1). Вспомнив определе-
ние этого понятия, получим, что (15.2) означает, что для
любого 8 > 0 существует такое 8 > 0, что для всех
teXC\U(t0; 8) (15.3)
ньшолняется неравенство
|г(/) — а|<8 . (15.4)
Как и в случае скалярных функций, будем предполагать, что
tG — точка прикосновения (конечная или бесконечно удаленная)
множества X. Если /0 — конечная точка, то условие (15.3) можно
записать в виде
|Z —/0|<3, teX.
а если t0 — одна из бесконечно удаленных точек оо, +оо или
— оо, то соответственно в одном из следующих трех видов:
i.i 1 1 1
\t >-, t>- или t< — -,
1 1 8’ 6 8’
где всюду teX.
Если начало всех векторов r(z) поместить в одну точку
(например, начало координат), то условие (15.4) будет означать,
что концы всех векторов г(/) при ГеХР|С/(г0; 5) (см. (15.3)) лежат
в шаре радиуса е с центром в конце вектора а (рис. 73).
Если /•(/) = (%(/), j(z), z(V)) и а=(аг, a2. я3), то
НО -а| = 7[х(г) -«1]2+ [НО ~а2]2+ (НО -«з]2 (15.5)
и, следовательно,
к(0 -*11 < НО-а\,
1И0 -а21 < НО -а\, (15.6)
НО — аз1 НО -о| •
Поэтому
lim r(t) = a (15.7)
t-+t0
в том и только том случае, когда
lim x(t) = a1, lim y(t) = a2, lim z(t) = a3. (15.8)
t-h t-+t0
Действительно, в силу соотношений (15.5) и (15.6), для того
чтобы выполнялось условие (15.1), необходимо и достаточно,
чтобы
lim |x(z) — aJ = O, lim |j(/) — 6Z2| = 0, lim |z(r) — tz3| = 0.
Определение 2. Если t0 — конечная точка (m. e, число) и для
функции r(t), teX, имеет место равенство
lim г(/) = г(/0), (15.9)
то эта функция называется непрерывной в точке t0.
Как и в случае скалярных функций, условие (15.9) выпол-
няется тогда и только тогда, когда существует предел lim r(t) и
338
точка z0 принадлежит множеству X.
Лз эквивалентности условий (15.7) и
(15.8) следует, что векторная функция
непрерывна в некоторой точке тогда и
только тогда, когда в этой точке
непрерывны все ее координатные фун-
кции.
Отметим некоторые свойства пре-
делов векторных функций.
1°. Бс/шНш r(t) = a,mo lim|r(z)| = |a|.
z->z0 t—^tQ
Это непосредственно следует из неравенства ||г| — |я||^|г—а|.
2°. lim [fj (?) +г2 (?)] = lim (?) + lim r2 (?).
Z~*Z0 Z-*Zo Z—>Zo
3°. lim/(z)r(z) = lim /(z) lim r(z) (/(z)— скалярная функция).
t-*tQ
4°. lim i\ (?) r2 (?) = lim i\ (?) lim r2 (?).
t->t0 t^t0 t-+t0
5°.
lim rx (?)
Z~►Zn
X r2
(z) = lim i\ (z) x lim r2 (z).
t-^t0 t->t0
В свойствах 1° — 5° все рассматриваемые функции определе-
ны на некотором множестве X<=R0. В свойствах 2° — 5°
предполагается, что все пределы, входящие в правые части
равенств, существуют при выполнении этих условий, и утверж-
дается, что существуют пределы, стоящие в левых частях
равенств, причем имеют место написанные формулы.
Все эти свойства доказываются аналогично тому, как были
доказаны подобные утверждения, встречавшиеся раньше (см. п.
4.9, 5.10). Докажем, например, свойство 5°. Предварительно
заметим, что для любых векторов р и q
Ip X 9l = lpll9|sin/^^|p||9|. (15.10)
Поэтому если р=р(?), q=q(t\ причем lim|/>(?)| = 0, а |^(?)|—
z~^z0
ограниченная функция, то из (15.10) имеем (см. п. 5.11)
lim \р х <?| = 0 . (15.11)
- Пусть теперь limr^z)^#, lim r2(z) = h. Положим a(z) =
P(z) = r2 (z) — й; тогда, согласно (15.1),
339
lim jot(z)| = lim |p(r)| = 0 (15.12)
t—*tQ
И
rx(z) x r2(z) = [a+a(0] x [*+₽(z)] = a x b+a x P(0 +
+a(z)Z>+a(z) x P(z),
где, в силу (15.11),
lim |a x p(/)|=lim |a(z) x Z>| = lim |a(z) x p(z)| = 0,
t->tQ t-*tQ t-*tQ
а так как
\a x p(z) +a(z) x Z>+a(z) x 0(z)| <\a x P(z)| + |a(z) x b\ +
+ l«(z) x p(z)|,
то и lim \a x 0(z) + a(z) x Z>+a(z) x 0(z)| = 0. А это, согласно
(15.1), и означает, что
limr1(z) х r2(t) = a x b. □
Отметим, что свойства 1° — 5° пределов векторных функций
можно, конечно, получить с помощью формул (15.5) из
соответствующих свойств скалярных функций, если перейти к
координатной записи векторов и их скалярных и векторных
произведений.
Из свойств пределов векторных функций следует, что сумма,
скалярное и векторное произведения векторных функций, а
также произведение скалярных функций на векторные являются
непрерывными в некоторой точке, если в этой точке непрерыв-
ны все слагаемые, соответственно сомножители.
15.2. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ
ВЕКТОРНОЙ ФУНКЦИИ
Всюду в дальнейшем в настоящем параграфе будет пред-
полагаться, что /() — число, т. е. что tG не является бесконечно
удаленной точкой прямой.
Пусть векторная функция r(t) определена в некоторой
r(t) — r(t0)
окрестности точки /0; тогда отношение определено в
соответствующей проколотой окрестности этой точки.
Определение 3. Предел
lim£?W°)
t^-t0 t-t0
340
(если он, конечно, существует) называется производной данной
векторной функции в точке t0 и обозначается /(z0) или r(t0).
Таким образом, производная векторной функции в точке
есть вектор.
Если положить At — t —10, Ar=r(t0 + At)—r(t0), то
Для того чтобы функция r(z) = (x(z), y(z), z(z)), определенная
в некоторой окрестности точки t0, имела производную в 10,
необходимо и достаточно, чтобы функции х (z), у (z) и z (z) имели
производные при Z = Z0, причем в этом случае
У('о)> z'(z0)), |г(/0)| = ч/х' (z0)+y (z0)+z/ (Zo) .
Это непосредственно следует из эквивалентности двух подходов
(15.7) и (15.8) к определению предела для векторной функции:
lim r(t0-At)-r(t0)_
А r->0 A t
f цт ^(r0 + Ar)-x(r0) j(r0+Ar) -y(r0) z(r0 + Ar)-z(r0)\
\Ar->0 Ar ’Ar->0 Ar ’ Ar->0 Ar у
Производную /(/) векторной функции г(/) называют также
скоростью изменения вектора r(t} относительно параметра t. В
том случае, когда длины векторов r(z) не меняются, производ-
ная / (/) называется также и скоростью вращения вектора г(/), а
ее абсолютная величина — числовым значением скорости его
вращения.
По аналогии со случаем скалярных функций, векторную
функцию оф), teX, называют бесконечно малой относительно
скалярной функции Р(/), teX, при /->0, и пишут а(/) = о(Р(/)),
*-*0, если существует такая векторная функция е(/), определен-
ная на том же множестве X, что и функции а(/), Р(/), для
которых в некоторой окрестности точки t = tQ имеет место
равенство
a(z) = s(/) Р (/), teX,
и
lim е(/) = 0.
А г->г0
Как и для скалярных функций, если tQeX, то функция е(/)
Непрерывна в точке /0 и поэтому е(/о) = 0.
Векторная функция аргумента t называется линейной, если
°на имеет вид af + Л, где а и b—какие-либо два фиксированных
нектора.
341
После вводных замечаний можно определить понятие
дифференцируемости и дифференциала векторной функции. #
Определение 4. Векторная функция r(t), определенная в
некоторой окрестности точки t0, называется дифференцируемой
при t = tQ, если ее приращение
Ar=r(z0 + Az) —r(z0)
в точке tG представимо в виде
Ar=aA/+о(А/), Аг->0 . * (15.14)
При этом линейная векторная функция a A t приращения
аргумента A t называется дифференциалом векторной функции
r(t) в точке /0 и обозначается через dr, т. е. dr=akt.
Таким образом,
Ar=dr+o(Af), Аг->0. (15.15)
Здесь функция о (A t] определена при A 1 = 0; она также равна
нулю:
о (А /)
= (Аг—а А г)
At = O (15.14)
-0.
А( = 0
Следовательно, если представить эту функцию о(А/) в виде
о(А /) = е(А t) A t,
то функция е(А г) будет также определена при A t = 0, а поэтому
здесь предел
lim е(А/) = 0
A z->0 v 7
(15.16)
рассматривается не по проколотой, а по целой окрестности
точки А/ = 0; как было отмечено выше, в этом случае е(0) = 0.
Из (15.14) очевидным образом следует, что если векторная
функция г(/) дифференцируема в точке t0, то она и непрерывна
в этой точке.
Далее, из (15.14) имеем
lim —= lim
Д МА/ A
Az
т. e. если векторная функция г (^дифференцируема в точке t0, то
она имеет в этой точке производную и
• f'('o) = a-
Наоборот, если существует производная /(/0) = J[im^^
следовательно,
342
г'(/0)=^+е(А/), Д//0,
где
lim s(A/)=0, (15.17)
Д/-»0
rpQ Д Z 7^ О
Ar=r'(z0) А/+е(А z) А / (15.18)
Если положить е(0) = 0, то, в силу выполнения условия
(15.17), равенство (15.18) равносильно равенству (15.14) при
а=г'(/0)- Таким образом, функция r(t) дифференцируема в
точке t0 и
dr(t0)=r'(t0)bt.
Полагая по определению и в этом случае dt=kt, имеем
(опуская для простоты обозначение аргумента)
dr=r'd t
или
, d
г = —
d t
Пусть теперь t = t(x)— дифференцируемая в точке т = т0
функция, /0 = г(т0) и Ат=т-т0. Из соотношения (15.18) следует,
что
= г -|_£Д/) (15.19)
Дт Д т v 7 Д г
где г;=г'(г0).
Функция z = z(t) дифференцируема в точке т0, следовательно,
она непрерывна в ней, т. е. имеет место равенство lim А г = 0.
Д т—>0
Поэтому из (15.16) получаем, что
^lim^ е (А /) = 0. Кроме того,
в
точке т0 существует конечная производная /'(т0)^^Нт^^-. В
силу всего этого, в точке т0 существует производная векторной
Функции г(/(т)):
Или в другой записи
rft — lim — = lim
Д т-»0 Д т (15Л9) Д т-*0
dr _drdt
dr dtdx
343
Из этой формулы, аналогично случаю скалярных функций,
вытекает инвариантность записи дифференциала векторной
функции: как для зависимой переменной /, так и для не-
зависимой т имеем
d r= dtdt, d г r'^dt;
чтобы из второй формулы получить первую, надо подставить
во вторую формулу r[=rj t'T и заметить, что t'x d т = d t.
Приведем формулы дифференцирования векторной функции
(аргумент для простоты обозначений опущен):
1- (П +/‘2,)' = Г1+Г2-
2-
3. г2)' = г{г2 + г1г2-
4. (гх х r2)'=rj х г2+гх х г2.
Здесь все рассматриваемые функции определены в некоторой
окрестности точки /0 и предполагается, что все производные в
правой части каждого равенства существуют при t = t0; тогда в
точке /0 существуют и производные, стоящие в левой части
равенства, причем справедливы написанные формулы.
Все эти формулы доказываются аналогично случаю диф-
ференцирования скалярных функций (см. п. 9.5). Докажем,
например, формулу 4.
Использовав свойства 2° и 5° пределов векторных функций,
получим
[г, (г) X r2(0];=Io= lim
А/->0
lim
А/-»0
Г1 Йо + Ar) -гДГр)
Аг
X Г2 (zo +A t) +rt (zo) X ^Оо + Д^) гг0о)
= Г1('о) Х -М'о) +*'1('о) X гИ^о)-
Производные высших порядков для векторной функции
определяются по индукции: если у векторной функции г(/) в
некоторой окрестности точки t0 задана производная
def
порядка п, п = 0, 1, 2, ... (r(0)(z) = то производная порядка
77+1 в этой точке (если эта производная, конечно, существует)
определяется по формуле
r(n+1,0o) = +)(/))l=(o.
Если векторная функция г(/) = (х(/), у (г), z(/)) определена в
некоторой окрестности точки t0 и имеет п производных в этой
точке, то для нее справедлива формула Тейлора
Аг=г(?0 + А/) -г(г0)= Е p^7^Az't + °(Az")-
к= 1 Л
344
Она непосредственно следует из разложения по формуле
Тейлора координатных функций x(t\ y(t] и z(i).
Мы видим, что многие факты, установленные в теории
скалярных функций, дословно переносятся на векторные функ-
ции. Однако было бы ошибкой думать, что это всегда так:
например, в определенном смысле аналог формулы конечных
приращений не имеет места для векторных функций.
Действительно, рассмотрим векторную функцию г(/) =
= (cos /, sin/), 0^/^2л. Так как /(/) = ( —sin/, cos/), то |г'(/)| =
==5ysin2 Z-hcos2 t = 1 при любом /е[0, 2я]. Следовательно, не
существует такой точки ^е[0, 2 я], для которой было бы
справедливо равенство, аналогичное формуле конечных прира-
щений Лагранжа для скалярных функций,
г(2к) —r(0) = 2 7i/(^)5
так как в левой части равенства стоит нулевой вектор
(поскольку г(2я) = г(0)^, а справа — ненулевой: |/(£)| = 1.
Некоторой заменой формулы конечных приращений для
векторных функций является следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть векторная функция r(t) непрерывна на
отрезке [а, Ь] и дифференцируема внутри него. Тогда суще-
ствует такая точка ^б(а, Ь], что
|r(Z>)-r(a)|<(Z>-a)|/(^)|. (15.20)
Доказательство. Если т(а) = г(/>), то неравенство (15.20)
справедливо при любом выборе точки ^е(«. Ь), так как его левая
часть обращается в нуль.
Пусть г(а)/г(й). Оценим длину | r(Z>) — г(я) | вектора r(b) —
— г(д)#=0. Если задан какой-либо вектор х, то, обозначая через е
единичный вектор в направлении вектора х, получим
И=(*’ е)’
ибо, согласно определению скалярного произведения,
(х, е) = | х| | е| cos хе,
где |е| = 1, хе = 0, и, следовательно, cosxe=l. Поэтому, если
е—единичный вектор в направлении вектора г(Ь) — г (а) / 0, то
|r(6)-r(«)| = (r(Z>)-r(a), e)=(r(Z>), е)-(г(а), е),
т. е. получилась разность значений числовой функции
/(/) = (г(/), е) (15.21)
на концах отрезка [а, &]:
|г(/>)-ф)|=»-/(й). (15.22)
345
Из (15.21) следует, что функция /(г) непрерывна на отрезке
[а, Л] и дифференцируема во всех его внутренних точках, так
как, согласно условиям теоремы, этими свойствами обладает
функция r[t). Поэтому, в силу формулы конечных приращений
Лагранжа, существует такая точка Ь), что f(b)—/(«) =
—я). Но, согласно правилу дифференцирования скаляр-
ного произведения, имеем
/'('Н4), е),
откуда
/(6)-/(а) = (/(^), е)(Ь-а), а<$<Ь. (15.23)
Для любых двух векторов х и у из определения скалярного
произведения следует неравенство
(х, у)<|(х, у)| = |х| |j| |cos х| |у|;
в частности,
Следовательно, из (15.23) получаем
f(b)~f(a)^\r'^)\(b-a), a<^<b.
Из этого неравенства и формулы (15.22) сразу следует
неравенство (15.20). □
§ 16. ДЛИНА КРИВОЙ
16.1. ПОНЯТИЕ ПУТИ
Рассмотрим отображения отрезков в трехмерное пространст-
во R3. Пусть [a, 6]—некоторый отрезок, а г(?) — его отобра-
жение в R3, т. е. отображение, ставящее в соответствие каж-
дой точке te\a, 6] точку г(/) пространства /?3, короче —
г: Га,
Будем считать, что в пространстве R3 фиксирована система
координат. В этом случае задание точки пространства равно-
сильно заданию трех ее координат. Обозначим координаты
точки r(z) через х(1), у (г), z(/):
т(/) = (х(/), у(1), z(l)). (16.1)
Тогда задание отображения оказывается равносильным
заданию трех числовых функции x(t), y(t), z(t), называемых
координатными функциями отображения r(t\
Понятие предела отображения г(1) определим с помощью
его координатных функций. Будем говорить, что отображение
r[t) имеет предел в точке t0, если в этой точке имеют предел
все координатные функции, причем
346
lim r(t) = (lim x(t), limj(z), limz(z)).
t^O **o r—**o **o
(16.2)
Отображение r(/) называется непрерывным на отрезке \а, 6],
если на этом отрезке непрерывны все его координатные функции.
В этом случае
limr(z)(1=2) (limx(z), limy(z), limz(z)) =
t—*-to *Z0
=(*('o)> УМ z(Zo)) =,/('<))• (16-3)
(10.1)
Для отображения r(/) будем обозначать полужирным шриф-
том г(/) векторную функцию, у которой координаты вектора
г(/) совпадают с координатами точки r(t\ т. е. r(r) = (x(z), y(t\
znj), и будем называть отображение г(/) и векторную функцию
r\t) соответствующими друг другу.
Очевидно, что отображение r\t\ a^t^b, непрерывно на
отрезке [а, Ь] тогда и только тогда, когда на этом отрезке
непрерывна соответствующая ему векторная функция г(/).
Действительно, векторная функция непрерывна на отрезке в том
и только том случае, когда на нем непрерывны все ее
координаты (см. п. 15.1), что, по определению, является
условием непрерывности отображения r(z) на отрезке.
Определение 1. Непрерывное отображение отрезка в про-
странство называется путем, а образ отрезка при рассматри-
ваемом отображении — носителем этого пути.
Одно и то же множество пространства может быть
непрерывным образом отрезков при различных отображениях,
т. е. оно может быть носителем разных путей.
Рассматриваемые непрерывные отображения отрезков в
пространство не предполагаются взаимно однозначными, поэ-
тому для данного пути
г(/)е/?3, (16.4)
в одну и ту же точку пространства может отобразиться
несколько точек отрезка [я, 6]. Точки носителя пути (16.4), в
которые отображается более одной точки отрезка [а, Ь],
называются кратными точками этого пути или точками его
самопересечения.
Для пути (16.4) переменная t называется его параметром.
Если точка М носителя пути (16.4) является его кратной
точкой, то существует по крайней мере два таких разных
значения параметра tr и /2, a^t2^b. что =
= r(z2) = M.
Точкой пути (16.4) называется всякая пара (z, r(z)), а
пространственная точка r(z)e/?3 — носителем этой точки пути.
347
Очевидно, что точка пути (16.4) однозначно определяется
значением параметра t.
Точка (а, г (а)) называется началом пути (16.4), а точка (Ь,
г(Ь))— его концом. Точка (/, г(/)), для которой значение
параметра t лежит в интервале (а, Ь\ называется внутренней
точкой пути (16.4).
Если r(a) = r(b}, то путь называется замкнутым, а его
носитель — замкнутым контуром. Носитель замкнутого пути,
не имеющего точек самопересечения, кроме носителей начала и
конца пути, называется простым замкнутым контуром.
Носитель пути, заданного взаимно однозначным непрерыв-
ным отображением отрезка в пространство, называется простой
дугой.
Будем говорить, что последовательность (tn, r(tn)) точек
пути (16.4) стремится по этому пути к его точке (/0, г(/0)), если
lim tn = tQ, toe[a, Z>], tnE[a, Z>], n=l, 2, ... .
«—►oo
В этом случае
Как уже отмечалось, отображение (16.4), т. е. путь, можно
задавать в координатном виде, иначе говоря, задать координа-
ты точки г(/) как функции параметра t:
г(z) = (%(/), y(z), z(/)), a^t^b.
В этом случае тройка функций x(z), y(t), z(t), a^t^b,
называется координатным представлением пути.
Отображение (16.4) можно задать и соответствующей ему
векторной функцией
r(z), a^t^b, (16.5)
где, как обычно, вектор г(?) имеет те же координаты, что
и точка r(z). Если не оговорено что-либо другое, то всег-
да предполагается, что г(/) является радиусом-вектором
с началом- в начале координат. В этом случае носитель пути
(16.4) называется годографом векторной функции r(z), а сама
векторная функция r(z)— векторным представлением пути
(16.4).
Если путь лежит в некоторой плоскости, то он называется
плоским. Если эта плоскость является координатной плос-
костью, например плоскостью переменных х и у, то координат-
ное представление пути (16.4) имеет вид
x = x(t), y=y(t), z = 0, a^t^b,
причем уравнение z = 0, если это не может привести к
недоразумению, обычно не пишут.
348
Всякая непрерывная на некотором отрезке [я, Л] функция
является плоским путем, а ее график — носителем этого
пути.
Рассмотрим конкретные примеры.
Примером замкнутого контура является окружность. Возь-
мем для определенности окружность радиуса R с центром в
начале координат. Ее можно, например, представить как
непрерывный образ отрезка [0, 2л] с помощью координатных
функций
x = Rcost, y = Rsint, 0^/^2л. (16.6)
Очевидно, окружность является простым замкнутым конту-
ром. Пример незамкнутого пути можно получить, взяв сужение
отображения (16.6) на отрезке [0, а], где 0^а<2л.
Отметим, что носитель пути
x^Rcost, y = Rsint, 0^/<4л, (16.7)
совпадает с носителем пути (16.6): и в том и другом случае им
является окружность x2+y2 = R2 на плоскости переменных х и
у. Однако получена она как результат разных отображений: при
отображении (16.6), т. е. при изменении параметра t от 0 до 2л,
эта окружность проходится один раз, а при отображении (16.7),
т. е. при изменении параметра t от 0 до 4л, она проходится
дважды — отображения (16.6) и (16.7) представляют собой
разные пути.
Наряду с общим понятием пути нам понадобятся в
дальнейшем специальные виды путей: (непрерывно) дифферен-
цируемые, дважды (непрерывно) дифференцируемые и т. п.
Определим понятие п раз (непрерывно) дифференцируемого
пути.
Путь
r(/) = (x(z), у(/), z(z))g1?3, a^t^b,
называется п раз (непрерывно) дифференцируемым путем, если
все его координатные функции x{t\ y(t), z(t} п раз непрерывно
Дифференцируемы на отрезке \а, Z?].
16.2. ПОНЯТИЕ КРИВОЙ
При определении понятия кривой будем исходить из
физического представления о траектории пути движущейся в
пространстве материальной точки. На такой траектории можно
выбирать различные параметры, точно описывающие положе-
ние на ней движущейся точки, например время движения t,
Длину пройденного пути 5 или что-либо другое. Различным
параметрам соответствуют разные отображения отрезков на
траекторию, каждое из которых дает ее полное описание. .
349
С геометрической точки зрения иногда два разных пути,
например
х = cos /, у = — sin /, — л < Z ^.0
и
У=у/1 — х2, — l^x^l,
естественно было бы считать представлением одной и той же
«кривой», в данном случае полуокружности x2+j,2 = l,
В силу всех этих соображений, естественно определить
кривую как класс в каком-то смысле равноправных непрерыв-
ных отображений отрезков в пространство, т. е. как соответст-
вующий класс путей.
Определение 2. Путь
r(z), a^t^b, (16.8)
называется эквивалентным пути
р(т), (16.9)
если существует такая непрерывная строго монотонная функ-
ция (р (возрастающая или убывающая), отображающая отрезок
[а, р] на отрезок а. 6], что для каждого те[а, Р] справедливо
равенство (рис. 74)
г(ф(т))=р(т). (16.10)
Функция ср называется в этом случае допустимым преобразо-
ванием параметра т в параметр t или отображением, осуществ-
ляющим эквивалентность пути (16.8) с путем (16.9).
Если путь (16.8) эквивалентен пути (16.9), то пишут
г(0~р(4
Легко убедиться, что каждый путь эквивалентен самому
себе: г(/)~г(/) (здесь допустимым преобразованием параметра
является тождественное отображение z = t, я = а^т^р = />). Это
свойство эквивалентности называется ее рефлексивностью. Мож-
но проверить также, что если путь (16.8) эквивалентен пути
(16.9): г(/)~р(г), то и путь р(?) эквивалентен пути г(г): р(/)^г(^)
(в самом деле, если ср — допустимое преобразование параметра
т в /, то обратная функция (р-1 также непрерывна и строго
монотонна, следовательно, является допустимым преобразова-
нием параметра, на этот раз t в т). Это свойство эквивалент-
ности называется ее симметричностью.
Наконец, если для трех путей г2(/2) и гз (*з) имеем
Г1^1)^Г2^2) И Г2(^)^Гз(^з), ТО Г1 (Z1 ) ~ Г3 (Z3 )• Это СВОЙСТВО
эквивалентности называется ее транзитивностью (оно сразу
вытекает из того, что композиция непрерывных строго моно-
тонных отображений отрезков также непрерывна и строго
монотонна, т. е. композиция допустимых преобразований пара-
метров является допустимым преобразованием).
350
Если в некотором множестве элементов
введено соотношение эквивалентности,
обладающее свойствами рефлексивности,
симметричности и транзитивности, то та-
кое множество распадается на непересекаю-
щиеся классы эквивалентных элементов J £---*---J
(см. § 63). В данном случае получаются
непересекающиеся классы эквивалентных рис 74
между собой путей.
Отметим еще, что если два пути (16.8) и (16.9) эквивалентны,
то их носители совпадают. Это сразу следует из условия (16.10).
Перейдем теперь к определению кривой.
Определение 3. Всякий класс Г эквивалентных путей называ-
ется кривой или, более подробно, непрерывной параметрически
заданной кривой.
Каждый путь из этого класса, т. е. отображение вида (16.4),
называется представлением кривой Г, тройка соответствующих
координатных функций (16.1) — ее координатным представлени-
ем. а соответствующая векторная функция —ее векторным
представлением.
Очевидно, что параметрически заданная кривая однозначно
определяется каждым из своих представлений, так как если
имеется один путь, то все эквивалентные ему пути получаются с
помощью всевозможных допустимых преобразований парамет-
ров. Таким образом, для того чтобы задать кривую, надо
задать некоторое ее представление.
Кривая Г, заданная каким-либо своим представлением вида
(16.4), (16.1) или (16.5), обозначается соответственно следующим
образом:
T = {r(z); a^t^b}.
Г = {х(/), y(t), a^t^b},
Г = {г(/); a^t^b}.
(16.11)
Пример. В силу определения эквивалентных путей, два пути,
рассмотренные выше,
x = Rcost, y = Rsint,
x = Rcost, y = Rsint. 0^Г^4ти,
не являются эквивалентными (докажите это), но носители их
совпадают: они представляют собой одну и ту же окружность
Два же пути
эквивалентны между собой и поэтому задают одну и ту же
кривую. Действительно, функция т = 1+sinZ непрерывна, строго
возрастает на отрезке
и переводит одно представление
в другое. Носителями этих путей является полуокружность
х2-Ьу2=1, х^О.
Как уже отмечалось выше, два эквивалентных пути имеют
один и тот же носитель, поэтому носители всех путей,
составляющих кривую, т. е. всех путей, эквивалентных между
собой, совпадают.
Определение 4. Общий носитель всех представлений данной
кривой называется носителем этой кривой.
В случае, когда все пути, составляющие кривую, являются
взаимно однозначными и непрерывными отображениями соот-
ветствующих отрезков в пространство (для этого достаточно,
чтобы этим свойством обладал хотя бы один путь, т. е. хотя бы
одно представление кривой) и, следовательно, их носители
являются простыми дугами (см. п. 15.1), то и сама кривая
называется простой дугой.
Определим теперь, что называется точкой параметрически
заданной кривой, т. е. кривой, определенной как класс эквива-
лентных путей.
Определение 5. Пусть (16.8) и (16.9) — два представления
кривой Г, а ср— отображение, осуществляющее их эквивалент-
ность (см. определение 2):
/ = <р(т), a^t^b.
Точки (Z, г(г)) и (г, р(т)) соответственно путей (16.8) и (16.9)
называются эквивалентными, если
/ —<р(т). (16.12)
Очевидно, что две эквивалентные между собой точки
эквивалентных путей имеют один и тот же носитель — это сразу
следует из выполнения условий (16.10) и (16.12).
Эквивалентность точек путей будем снова обозначать
символом —:
О’ r(z))~(T’ ф(т))^=<р(4
Легко проверить, что это соотношение эквивалентное: и
также обладает свойством рефлексивности: (z, r(z)),
симметричности: если (t, г(/)^(т, р(т)), то и (т, p(x))~(z, r(z)),
транзитивности: если (z15 r1(z1))~(z2, r2(t2)) и (t2, r2(/2))~(G’
то (zn (zi))~('з> r3(t3)).
Поэтому множество всех точек путей, составляющих задан-
ную кривую, распадается на непересекающиеся классы эквива-
лентных между собой точек этих путей.
Определение 6. Каждый класс {(/, г(/))} эквивалентных
между собой точек путей, составляющих некоторую кривую,
352
называется точкой этой кривой, а их общий носитель — носителем
этой точки кривой.
Точка кривой {(г, г (z))} называется ее началом, концом или внут-
ренней точкой, если эта точка кривой содержит соответственно
начало, конец или внутреннюю точку некоторого (следовательно,
и любого) пути, являющегося представлением данной кривой.
Будем говорить, что последовательность точек {(z, г(?))}„,
и=1, 2, ..., кривой Г стремится по ней к ее точке {(/, r(z))}0 при
я->оо, если при некотором (а следовательно, и при любом)
представлении r0(z), a^t^b кривой Г существуют такие tne
е[а, Z>], что (?„, r0(/„))e{(z, п= 1, 2, (/0. г0(?0))е{(л г(/))}0 и
lim tn = t0.
п—*со
Каждая точка {(/, г(г)} кривой Г однозначно определяется
каждой отдельной входящей в нее точкой (/, r(z)), т. е.
соответствующей точкой пути, являющегося одним из представ-
лений кривой Г, а каждая точка (г, г(z)) пути (16.8) однозначно
определяется значением параметра t. Таким образом, каждая
точка кривой Г при выборе какого-либо ее представления r(z),
a^t^b, однозначно определяется значением параметра t.
Поэтому точка кривой Г вместо {(z, r(z)} обычно просто
обозначается через r(z). В силу сказанного, это обозначение
имеет однозначный смысл.
Точка носителя кривой называется кратной или точкой
самопересечения кривой, если она кратная для некоторого,
следовательно, и для всякого ее представления.
Очевидно, что совокупность всех носителей точек кривой
составляет ее носитель (см. определение 4).
Если кривая является простой дугой, то, так как кратные точки
отсутствуют, каждая точка носителя простой дуги однозначно
определяет точку кривой, носителем которой она является, и
поэтому в данном случае понятие носителя кривой в указанном
смысле равносильно понятию кривой и мы не будем их различать.
Как уже было показано на примерах в п. 16.1 (см. (16.6) и
(16.7)), неэквивалентные пути могут иметь один и тот же
носитель, следовательно, разные кривые также могут иметь
один и тот же носитель. Заметим еще, что если r(z/) = r(6) при
одном представлении кривой, то это условие выполняется и при
любом другом ее представлении, т. е. если носитель одного
представления кривой является замкнутым контуром, то и
носитель всякого другого ее представления также является
замкнутым контуром. В этом случае носитель соответствующей
кривой также называется замкнутым контуром.
Аналогично, только одновременно все носители представле-
ний кривой могут оказаться простыми замкнутыми контурами,
и в этом случае носитель этой кривой также называется
простым замкнутым контуром.
12-1807
353
Перейдем теперь к определению кривых других классов:
понятие эквивалентности можно вводить в более узких классах
путей и более сильным способом. Это дает возможность
определить специальные классы параметрически заданных кри-
вых: п раз дифференцируемых и п раз непрерывно дифференци-
руемых кривых, /7=1, 2, ... .
Определим для этого сначала соответствующее отношение
эквивалентности путей.
Определение 7. Два п раз (непрерывно) дифференцируемых
пути (см. п. 15.17 называются п раз (непрерывно) дифференци-
руемо эквивалентными, если существует функция ср, осуществ-
ляющая их эквивалентность в смысле определения 2, которая как
сама, так и ей обратная п раз (непрерывно) дифференцируемы.
Это отношение эквивалентности также обладает свойствами
рефлексивности, симметричности и транзитивности.
Определение 8. Всякое множество п раз (непрерывно)
дифференцируемых и п раз (непрерывно) дифференцируемо
эквивалентных между собой путей называется п раз (непрерывно)
дифференцируемой параметрически заданной кривой.
Каждый из путей, входящих в данную кривую, называется ее
представлением и полностью определяет кривую, т. е. множество
всех эквивалентных ему путей в указанном смысле. Функция, осу-
ществляющая эквивалентность двух представлений одной и той же
кривой, называется допустимым преобразованием параметра.
Каждая п раз (непрерывно) дифференцируемая кривая содер-
жится как множество путей в некоторой непрерывной кривой, а
именно в совокупности всех путей, эквивалентных в смысле
определения 2 (тем самым без предположения соответствующей
дифференцируемости допустимых преобразований параметров)
произвольно выбранному представлению данной кривой. Носи-
тель этой непрерывной кривой называется и носителем исходной п
раз (непрерывно) дифференцируемой кривой.
Очевидно, что для п раз (непрерывно) дифференцируемых
кривых, как и для непрерывных кривых, их обозначение любым
из способов (16.11) имеет однозначный смысл.
16.3. ОРИЕНТАЦИЯ КРИВОЙ. ДУГА КРИВОЙ.
СУММА КРИВЫХ. НЕЯВНОЕ ЗАДАНИЕ КРИВЫХ
Порядок чисел (по величине) на отрезке [я, 6] с помощью
данного фиксированного представления г(/) кривой Г{г(/);
а b }, естественно, порождает соответствующий порядок
точек на кривой. Точка r(f )еГ считается предшествующей точке
г(Г)еГ, или, что то же, точка г (г") считается следующей за
точкой r(f), если a^t'<t”^Ь. Если этот же порядок точек
желательно сохранить и при других представлениях кривой, то
необходимо сузить класс допустимых преобразований парамет-
354
pa, а именно допускать лишь строго возрастающие преобразо-
вания параметра.
Два пути (16.8) и (16.9) будем называть ориентировано
эквивалентными, если функция ф, осуществляющая их эквива-
лентность в смысле определения 2, строго возрастает.
Определение 9. Всякая совокупность всех ориентировано
эквивалентных между собой путей называется ориентированной
кривой.
Вместо выражения «задана ориентированная кривая» гово-
рят иногда, что «на кривой задана ориентация» (или порядок
точек).
Если дан путь
r(z), a^t^b. (16.13)
то путь, задаваемый представлением
p(t) = r(a + b — /), a^t^b, (16.14)
называется путем, противоположным данному.
Путь и противоположный ему путь не могут являться
представлением одной и той же ориентированной кривой, так
как для них преобразование параметра x = a + b — t является
строго убывающей функцией.
Определение 10. Если путь (16.13) является представлением
ориентированной кривой Г, то ориентированная кривая, пред-
ставлением которой является путь (16.14), называется кривой,
ориентированной противоположно кривой Г, и обозначается —Г.
Таким образом,
г(г)еГ, г(а+Ь — /)еГ—, a^t^b. (16.15)
Подобным же образом определяются ориентированные и
противоположно ориентированные п раз (непрерывно) диффе-
ренцируемые кривые.
Если путь r = r(t\ a^t^b, является представлением ориен-
тированной кривой Г, а функция ф(т), а^т^В, непрерывна,
строго убывает и ф(ос) = £>, <р(Р) = б/, то путь г(ф(т)), ос^т^р,
является представлением кривой —Г, т. е. противоположно
ориентированной кривой.
Если тое[а, р] и /0 = ф(т0), то точки г(/0) и г(ф(т0))
соответственно кривой Г и противоположно ориентированной
кривой —Г называются соответствующими друг другу. Одна
^гочка кривой Г предшествует другой точке этой кривой тогда и
только тогда, когда точка кривой —Г, соответствующая первой
точке, следует за точкой, соответствующей второй точке. Этим
оправдывается термин «противоположно ориентированная кри-
вая».
В заключение сформулируем еще несколько полезных для
Дальнейшего определений.
Пусть задана кривая Г = {г(г); a^t^b}.
355
Определение 11. Если [o', b']cz[a, 6], то кривая Г' = {г(^
dназывается частью кривой Г (или ее дугой) и пишется
ГсГ.
Если кривая Г ориентирована, то ее ориентация порождает
ориентацию и на всякой ее части Г': одна точка кривой Г'
считается следующей за другой ее точкой, если то же самое
имеет место для этих точек и на кривой Г.
Определение 12. Если toe(a, b\ Г2 = {г(/),
t^t^b}, то кривая Г называется суммой кривых Гх и Г2 и
пишется Г —F1|jr2.
Аналогично определяется сумма конечного числа кривых.
Определение 13. Сумма конечного числа непрерывно диффе-
ренцируемых кривых называется кусочно-непрерывно дифференци-
руемой кривой.
Определение 14. Пусть Г = {г(7); — плоская кривая,
расположенная на плоскости х, у. Если существует такая
функция F(x, у), что координаты х, у точек r(t) кривой Г
удовлетворяют условию
F(x, у) = 0, (16.16)
то говорят, что уравнение (16.16) является неявным представле-
нием кривой Г.
Следует, однако, иметь в виду, что, вообще говоря, мно-
жество всех точек, удовлетворяющих уравнению вида (16.16), не
является кривой в определенном выше смысле даже для доста-
точно «хороших» функций F(x, у). Например, множество точек,
координаты которых удовлетворяют уравнению (х2+<у2)х
х(х2 + у2 —1) = 0, представляет собой окружность х2+у2 = 1 и
точку (О, 0). Можно показать, что это множество не является
непрерывным образом отрезка.
Можно и в пространственном случае задавать кривые
неявным образом, но уже с помощью системы двух уравнений:
ГДл, у, z) = Q, F2(x, у, z)=0.
Более подробно этот вопрос рассмотрен в п. 41.3.
Наконец, отметим, что кривая всегда ограничена, т. е. лежит
в некотором шаре; это следует из того, что функции координат-
ного представления кривой, согласно теореме Больцано — Вей-
ерштрасса, ограничены в силу их непрерывности. Вместе с тем уже
в элементарной математике встречаются неограниченные кривые:
прямая, парабола, гипербола, синусоида, график tgx и т. п. Что-
бы охватить и такие «кривые», можно определить класс так
называемых открытых кривых по схеме, подобной приведенной
выше, в которой за основу взято непрерывное отображение
интервала, а не отрезка, как это было сделано выше. Откры-
тые кривые, в частности, могут быть и неограниченными. По-
дробно и точно сформулировать все эти понятия представляем
356
читателю по мере потребности.
Иногда кривыми называют и
объединение конечного множест-
ва кривых в указанном выше
смысле. Так, говорят, что гипер-
бола, заданная, например, урав-
нением х2—у2=1, является кри-
вой, хотя она состоит из двух
непересекающихся «ветвей», каж-
дая из которых представляет со-
бой открытую кривую.
16.4. КАСАТЕЛЬНАЯ К КРИВОЙ. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ
ПРОИЗВОДНОЙ ВЕКТОРНОЙ ФУНКЦИИ
Пусть задана кривая Г = {г(/), a^t^b}, векторная функция
г(?) дифференцируема в точке гое[я, 6] и г'(го)^0. В силу
определения дифференцируемости,
Аг= г(г0 + Аг) — г(г0) = г' (г0) Аг4- о(А/), Az->0,
поэтому для всех достаточно малых Аг/0 имеет место
неравенство
г(/0 + А/)/г(/0).
Действительно, при сделанных предположениях r'(zo)A//0,
поэтому для всех достаточно малых А//0 имеем и
г (го)Аг + о(А/)#0.
Прямая, проведенная через точки г(/0) и г(/0 + А/), называет-
ся секущей для кривой Г. Обозначим ее через /Д/ (рис. 75).
Для всех достаточно малых А/^0, в силу условия г(/0)#:
/г(г0 + А/), секущая /Дг определена однозначно. Вектор Аг=
= г(г0 + А/) — r(z0) параллелен этой секущей, поэтому вектор
А^О, отличающийся от вектора Аг лишь скалярным множите-
лем также ей параллелен.
По условию, в точке /0 существует производная, т. е. предел
lim^=r'(z0). (16.17)
Аг—О Д'
Так как все секущие проходят через одну и ту же точку г(/0),
то геометрически формула (16.17) означает, что секущие 1М при
А/->0 стремятся к некоторому предельному положению, т. е. к
прямой, проходящей через ту же точку r(z0) в направлении
вектора г'ц0). Эта прямая, в силу условия г'(/о)^0, определена
однозначно. Она и называется касательной к кривой Г в точке
357
Таким образом, в силу самого определения касательной к
кривой Г в точке r(z0), производная г'(/0) векторной функции
r(z) в том случае, если г'(/о)#0, является вектором, параллель-
ным касательной в точке г(/0). Если начало вектора г'(/0)
поместить в эту точку, как это обычно и делается, то он будет
направлен по касательной.
В рассматриваемом случае дифференциал dr(tQ) = г (r0) dt
также направлен по касательной к кривой, так как он
отличается от производной лишь скалярным множителем dt.
Вектор rV0, является единичным вектором, направлен-
ным по касательной. Вектор Аг при Az>0 направлен от точки
кривой с меньшим значением параметра к точке с большим
значением параметра, поэтому, можно сказать, что вектор Аг
при Аг>0 показывает направление, в котором параметр на
кривой возрастает, г. е., как говорят, положительное направле-
ние на кривой. Вектор при Д/>0 имеет то же направление,
что и вектор Лг. Поскольку lim ^=г'(/), естественно говорить,
что вектор /(/), а следовательно, и вектор t, который
отличается, быть может, от вектора г'(/) положительным
- 1
числовым множителем ....., также направлены в сторону
возрастания параметра и что их ориентация (направление) соот-
ветствует ориентации кривой. Направление вектора t (или, что
то же, вектора /) называется положительным направлением ка-
сательной, задаваемым данным ее представлением г(/),
Уравнение касательной к кривой Г в точке г(/0), для которой
r,(zo)#0, в векторной записи имеет вид
г=г(г0) + г'(/0)т, — оо<т< + оо,
где г — текущий радиус-вектор касательной. В координатной
записи уравнение касательной в этом случае имеет вид
x=x(z0)+x'(z0)t, .У=.У0о)+/(МТ’ z=z(t0)+z'(t0)T,
— 00 <т< + 00.
Исключив переменную т, получим
х~хо _У~Уо __z — Zq
*'(zo) У(*о)
При определении касательной в данной точке дифференциру;
емой кривой было бы правильнее говорить о касательной
данного представления (пути) кривой. Однако если г(г), a^t^b
является представлением кривой, то всякое другое ее представ-
358
ление имеет вид г(г(т)), ос^т^р, где / = /(т)— допустимое
преобразование параметра, и, следовательно, как сама функция
/(т), так и ей обратная, являются строго монотонными
дифференцируемыми функциями. Поэтому, в силу теоремы 3
п. 9.6 о производной обратной функции, имеем т'т£=1, а
поэтому для всех те[ос, PJ выполняется неравенство г'(т)/О.
Из равенства
<=/ г;
и условия f'^0 следует, что если один из векторов rt и гх не
равен нулю, то не равен нулю и другой и они коллинеарны. Это
означает, что вектор, касательный при одном представлении
кривой, будет касательным и при другом ее представлении, а
поэтому его естественно называть, как это и было сделано,
касательным к кривой.
Отметим еще, что если рассматривается ориентированная
кривая, то так как в этом случае допустимые преобразования
параметра /(т), ос^т^Р, строго возрастают, то /'(т)>0 во всех
точках отрезка [ос, Р]. Поэтому из формулы г' = r'ttx явствует,
что положительное направление касательной т одинаково для
всех представлений ориентированной кривой, т. е. положитель-
ное направление касательной является свойством кривой в
целом, а не только ее отдельных представлений.
Определение 15. Пусть Г — дифференцируемая кривая и r(t\>
a^t^b — ее векторное представление. Точка r(t] кривой Г, в
которой называется неособой, а точка, в которой
г' (г) = 0,— особой.
Выше было показано, что в данной точке кривой при всех
представлениях г(с) этой кривой либо одновременно г'^0, либо
г' — 0, поэтому неособая точка при одном представлении
дифференцируемой кривой будет неособой и при другом ее
представлении. Таким образом, понятие неособой и особой
точки не зависит от выбора представления кривой.__________
Если r(x(f), ^(f), z(t)), то из равенства | /-' | = 4-j7'2 +
(см. п. 15.2) имеем: точка (*(/), у(/), z(/)J кривой Г неособая
тогда и только тогда, когда в ней х,2+у 2 + z'2>0, т. е. хотя
бы одна из производных х\ у’ и z' не обращается в нуль.
Согласно доказанному выше, во всякой неособой точке
кривой Г существует касательная.
Определение 16. Непрерывно дифференцируемая кривая без
особых точек называется гладкой.
Кривая, представимая как сумма конечного числа гладких
кривых, называется кусочно-гладкой.
Отметим, что если плоская кривая имеет явное представле-
ние у=у(х) или x = x(t\ то для нее вектор r'(f) = (x'(f), ./(f))
всегда не нулевой: в первом случае это (1, у'\ а во втором —
(х’, 1).
359
Аналогично определяется касательная как предельное поло-
жение секущей и кривой Г = (г(А в точке r(z0), zoe
е[а. /?], и в случае, когда r'[t0) = 0, но существует некоторое
натуральное я>1, для которого /п)(/о)#0.
Если все г(/с) (z0) = 0. к=\. 2, п— 1, а /л)(го)/0, то,
раскладывая Дг по формуле Тейлора, получаем
Дг= r(z0 Н-Д/) - г(г0) = 1 r{n} (z0) Дг” + о (Д/л), Дг->0.
Вектор — направлен параллельно секущей /Дг, проходящей
через точки r(z0) и r(z0TAz). Из написанного равенства следует,
очевидно, что существует предел
lim —?п)(/оУ0.
Поэтому в этом случае предельное положение секущей /Др т. е.
касательная в точке r(z0), является прямой, проходящей через
точку r(z0) параллельно вектору rn)(z0), и, следовательно,
уравнение касательной имеет вид
г=?п)(/0)т + г(г0), — оо < т < Тео.
16.5. ДЛИНА КРИВОЙ
Прежде чем определить понятие длины кривой, введем
понятие разбиения отрезка, которое будет неоднократно встре-
чаться в дальнейшем.
Определение 17. Для отрезка \а. Л] всякую систему его
точек th z = 0, 1, 2, ..., zT, таких, что
a = tQ<t1< =
будем называть его разбиением и обозначать т= [z, =
Пусть задана кривая r = {r(z), zz^Z^7>} и пусть t = {zz У/Zb —
некоторое разбиение отрезка [я, /?]. Положим
)1-
Очевидно (рис. 76), сут — длина
ломаной с вершинами г (б/), r(zt),
..., r(zn_1), т. е., как обычно,
говорят, ломаной, вписанной в
кривую Г.
Всякую ломаную, в частности
и вписанную в кривую r = {r(z);
а z h}, можно рассматривать
как кривую в смысле данного
360
выше определения, если только задать ее представление. Пусть
д — ломаная, т. е. множество, состоящее из конечного числа
отрезков с вершинами в точках Мо, Mlf Мп (эти
отрезки называются звеньями ломаной). Возьмем некоторый
отрезок [а, Ь] и какое-либо его разбиение на п отрезков: т =
= Будем для простоты всегда считать, что представле-
нием ломаной является непрерывное отображение р(/), линейно
отображающее каждый отрезок [^_г, /£] на отрезок М^М^,
/=1, 2, ..., 77; таким образом, если обозначить через рг
радиус-вектор точки Mif i=0, 1, ..., п, то векторное представле-
ние ломаной имеет вид
/=1’ 2....«•
ч ч-i
Если при z=l, 2, ..., 77, то ломаная называется
невырожденной.
Определение 18. Для заданной кривой Г {г (г); a^t^b}
величина
Sv = sup от,
где верхняя грань взята по всевозможным разбиениям т отрезка
[а, b ], называется длиной кривой J .
Если Sr<+oo, то кривая Г называется спрямляемой.
В силу этого определения, спрямляемость кривой и ее длина
не зависят от выбора представления кривой и всегда
0^5г^+оо.
Упражнение 1. Доказать, что кривая, являющаяся частью спрямляемой
кривой, также спрямляема.
Лемма 1. Пусть r = ru(jrfc, тогда
SY = Sr + 5^. (16.18)
Доказательство. Пусть а<с<Ь и
Г = {г(?), ra = {r(z), rfc={r(z),
Пусть т—разбиение отрезка [а, Л], а т* — разбиение этого же
отрезка, совпадающее с т, если точка с входит в разбиение т, и
получающееся из т добавлением к нему точки с, если эта точка
не входит в разбиение т. Разбиение т* является объединением
двух разбиений отрезков [и, с] и [с, /?], которые мы обозначим
соответственно та и ть, т. е. T* = Ta|jTb. Очевидно, для длин
ломаных, соответствующих разбиениям т*, тй и ть, справедливо
равенство = ст + от. Но sup о\ = Sr , sup сгт = 5Г . следова-
а b Т а а т, b b
a
тельно,
а b
361
При переходе от разбиения т к разбиению т*, быть может,
лишь одно звено заменяется двумя: rit^^rfc) и
r(c)r(z;), а так как |r(/i_1)r(zi)|^|r(/i_1)r(c)| + |r(c)r(zi)|, то
от < crv следовательно,
cjt Sp 4- Sp .
Но S*p = sup от, поэтому а ь
Sr Sp^ + Spb.
Докажем теперь обратное неравенство. Для произвольных
разбиений та и ть соответственно отрезков [я, с] и [с, Z?] и
разбиения т* = тя0ть отрезка \а. Z?] имеем сут +сгт = от^5г.
Отсюда от —сгТь; фиксируя разбиение тъ и переходя к
верхней грани суТй при всевозможных та, получаем неравенство
5Гд Sr — и, следовательно, неравенство
>Sp 4- о» *Sp«
Беря верхнюю грань множества чисел сТь, которое
получается при всевозможных разбиениях ть, имеем Sr + 5Г <
Отметим, что в лемме 1 не предполагается, что рассматри-
ваемые кривые спрямляемы.
Задача 13. Построить пример неспрямляемой кривой.
Докажем одно достаточное условие спрямляемости кривой и
получим оценку ее длины.
Теорема 1. Если кривая Г = {г(Д непрерывно
дифференцируема, то она спрямляема и ее длина SY удовлетво-
ряет неравенству
\r(b)-r(a}\^SY^M(b-a\ (16.19)
где
7И = шах |r'(z)|. (16.20)
[«,Ы
Отметим, что, в силу непрерывности производной г' (г), ее
абсолютная величина | г' (t\ | также непрерывна и поэтому
достигает на отрезке \а, Ь\ своего наибольшего значения М.
Доказательство. Возьмем какое-либо разбиение т =
= отрезка \а, />]. Тогда, применив неравенство (15.20),
получим
|r(Z>)-r(a)| =
i= 1
1 = 1
X Ir'fe)!ti-У
i = l
(16.21)
где 6), z=l, 2, ix.
362
Так как
Е l^(zi)-r(zi-i)l=ar
r= 1
__ длина вписанной в кривую Г ломаной, соответствующей
разбиению т, и для всех i= 1, 2, zT, в силу (16.20), имеет место
неравенство то из неравенства (16.21) для любого
разбиения т имеем
\r(b)-r(a)\^ot^M Е (16.22)
i= 1
Перейдя в этом неравенстве к верхней грани по т, получим
утверждение теоремы. □
Теорема 2. Пусть кривая Г = {г(г) = (х ('). >('). ?('));
a^t^b} непрерывно дифференцируема. Тогда переменная длина
дуги s, отсчитываемая от начала г (а) кривой Г (от ее конца
г(Ь)\ является возрастающей (убывающей)непрерывно диффе-
ренцируемой функцией параметра t; при этом
dr
dt
(16.23)
соответственно
ds
dt
(16.24)
Доказательство. Пусть s = s(t) —длина дуги кривой Г от
точки г (а) до точки г (г). Пусть t0E[a, b], r0 + Are[zz, b] и
= — Очевидно, что функция s = s(t) возрастает на
отрезке [а, Ь], т. е. если А/>0, то As^O; если же А/<0, то
Ду
Ал^О. Поэтому всегда — ^0.
Применив неравенство (16.19) к части кривой Г, соответству-
ющей отрезку [/0, /0 + А/] при Az>0 или отрезку [/0 + Az, /0] при
Az<0, получим
I r(t0 + А/) - г(/0) I < I Ал-1 МI А/1,
откуда
(16.25)
где М — наибольшее значение | г'(/11 на отрезке [r0, /0 + Аг] при
Az>0 или на отрезке [z0 + Az, r0J при Аг<0.
363
В силу непрерывности производной /(г), ее абсолютная
величина |г'(/)| также непрерывна. Поэтому существует наи-
большее значение |г'(/)| и оно достигается в некоторой точке
^ = Zo + 0A/, 0<0< 1, указанного отрезка. Поэтому неравенство
(16.25) можно переписать в виде
r(z0 + A/)-r(/0)
Лг
|г'(/о+0д/)1, о<е<1.
Перейдя здесь к пределу при Az->0, в левой части неравенства в
силу определения производной, а в правой в силу непрерывнос-
ти производной r'(t) в точке t=t0. получим |г'(г0)|. Следова-
тельно, предел lim — существует и также равен |г'(г0)|, т- е.
Af—*0 А/
существует производная s' (г0) и имеет место равенство
•s'('o)= I f'(zo) I-
Если г(/) = (х(г), z(/)), TO /(/) — (x'(z), y'(t\ z'(z)) и
поэтому
/ w=। г' (') । - x/M')]2+[r(<)r+k(»)]2.
Если теперь o = — переменная длина дуги, отсчитывае-
мая от конца г(/?) кривой Г, то, очевидно, о = s, откуда,
дифференцируя это равенство по г, имеем
do ds dr |—।
dt dt dt
Следствие 1. Если параметром непрерывно дифференциру-
емой кривой является переменная длина дуги s. то
-=1. (16.26)
Это сразу следует из формулы
dr ds
— =— при t = s.
dt dt
Замечание. Формула (16.26) имеет простой геометричес-
кий смысл. Поясним его. Пусть параметром непрерывно
дифференцируемой кривой Г является переменная длина дуги s :
r = {r(s); 0^s^5r}. Величина |Ar| = |r(s+As) — r(sj| равна дли-
не отрезка, соединяющего точки r(s) и r(s+As). Этот отрезок
называется обычно хордой, стягивающей дугу кривой Г с
точке r(s + As). Длина
'dr __
ds
началом в точке r(s) и концом в
указанной дуги, очевидно, равна | As | (рис. 77). Так как
lim
As—*0
Ar
As
то из равенства (16.26) следует
r |Ar|
hm -—-
As—>0 I A$ |
364
Это означает, что предел отношения —
длины дуги к длине стягивающей ее хорды
равен единице, когда дуга стягивается в /
точку. В этом и состоит геометрический r(s)
смысл формулы (16.26). 7
Следствие 2. Для всякой непрерывно / .s' \
дифференцируемой кривой Г без особых //'''''(&+&$) 1
точек, т. е. для всякой гладкой кривой, О*
существует ее представление r=r\s), в рис 77
котором за параметр s взята переменная
длина дуги кривой Г.
Доказательство. Пусть непрерывно дифференцируемая
кривая Г = {г(г); я^/^6} не имеет особых точек, т. е. г'(г)/О
для всех te[a. />]. В этом случае переменная длина дуги s = s(t)
является строго возрастающей непрерывно дифференцируемой
функцией, ибо ^=|/|>0 во всех точках [я, й]. Поэтому
существует обратная функция / = /(5), которая также
строго возрастает и имеет непрерывную, не обращающуюся в
нуль производную на отрезке [О, 5Г], т. е. функция t = t(s)
является допустимым преобразованием параметра для непре-
рывно дифференцируемых кривых без особых точек и представ-
ление является искомым представлением, в котором
роль параметра играет переменная длина дуги. □
Выясним теперь геометрический смысл координат вектора
—. Обозначим через ос, В и у углы, образованные вектором —
as as
или, что то же, касательной к кривой Г —{г(.у)} соответственно
с осями Ох. Оу и Oz. Тогда из равенства
dr
ds
= 1, очевидно,
следует, что проекции вектора
dr
— на оси координат равны
ds
dr о
соответственно направляющим косинусам вектора —: cos ос, cos р
ds
и cosy, т. е.
—=(cosa, cos В, cosy).
ds ' 7
(16.27)
Наряду с этим для векторной функции ф) = (х(А ^(5), z(>$’)),
как для всякой векторной функции (см. п. 15.2), имеем
dr/dx dy dz
ds \ ds’ ds" ds
(16.28)
Сравнивая (16.27) и (16.28), получаем
365
dx dy n dz
— = cosa, -y- = cosp, — = cosv.
ds ds ds
(16.29)
В качестве примера рассмотрим кривую, называемую винто-
вой линией. Эта кривая задается представлением
x = 6zcosz, j2 = 4zsinZ, z^bt, 6z2 + Z?27^O,
Очевидно, что винтовая линия является бесконечно диффе-
ренцируемой кривой, и так как
2 2 2
х' +у' + z' =6z2sin2/+<72cos2 t + b2 = a2y-b2^0,
то она не имеет особых точек (рис. 78). Следовательно,
переменную длину ее дуги можно принять за параметр.
Найдем соответствующее представление. Согласно формуле
(16.23), имеем
/ 2 2 2 /-------------
— = у/х' +у' + z' =у/а2 + Ь2.
dt J v
Отсюда — = , и так как г(0) = 0, то / = -—=. Поэтому
искомое представление имеет вид
Упражнение 2. Доказать, что для спрямляемой кривой без точек
самопересечения переменная длина дуги является непрерывной строго монотон-
ной функцией параметра.
16.6. ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ
Пусть Г = {т(г); а t b } — непрерывно дифференцируемая
плоская кривая, лежащая в плоскости хОу.
г(?) = (х(/),
и пусть 5 = 5(г) — переменная длина дуги кривой Г; для ее
производной из формул (16.23) и (16.24) получаем
здесь знак плюс берется, если длина дуги s(t) отсчитывается от
начальной точки г (я) кривой, и знак минус, если от конечной
точки г(£). Из формулы (16.30) для дифференциала дуги
получаем выражение
ds2 = dx2 + dy2.
(16.31)
366
Пусть точка (х ('о)’ У (?0)) — неосо-
2 2
бая, т. е. х' (/0)+т' (^о)>0, например
x'(z0 )=/=(). Пусть для определенности
х'(/о)>0; тогда в некоторой окрестности
точки Гл также х'(г)>0 и, значит, функ-
ция х(/) строго монотонно возрастает в
этой окрестности; поэтому существует
обратная непрерывно дифференцируемая
функция t = t(x). Подставляя ее в пред-
ставление кривой Г, находим
р=у(/(Л-)) = /(Л-)5
т. е. в некоторой окрестности неособой рис
точки непрерывно дифференцируемая
кривая является графиком непрерывно дифференцируемой функ-
ции /; точнее, существуют окрестность точки tG и непрерывно
дифференцируемая функция определенная на некотором
интервале, содержащем точку x0 = x(z0), такие, что часть
кривой, соответствующая значениям параметра, принадлежа-
щим указанной окрестности точки z0. является графиком
функции f.
В том случае, если кривая Г является графиком непрерывно
дифференцируемой функции г=/(х), формула (16.30) принимает
вид
и, следовательно,
ds = +>/1 +у' dx.
Рассмотрим геометрический смысл формулы (16.31) в том
случае, когда Г является графиком непрерывно дифференциру-
емой функции y=f(x), a^x^b, и длина дуги кривой отсчиты-
вается от начальной точки кривой (рис. 79). Пусть
хоб[а. Z?], x0+dxe[a, Z>], y0=f(x0), М0 = (х0, у0),
y+&y=f(x0+dx), M=(x0 + dx, v0 + Aj)’
M0N—касательная в точке Л/о; РМ = /Уу — приращение функ-
ции в точке х0 + dx; PN = dy — приращение ординаты ка-
сательной в точке x0 + dx. Треугольник MGNP прямоугольный;
так как M^P^dx, PN=dy, то
MQN2 = MQP2pPN2 = dx2-Ydy2^ds2,
т. е. длина отрезка касательной Мо N равна ds. Иначе говоря,
приращение длины касательной, т. е. yjdx2 + dy 2, равно главной
части ds приращения длины дуги As.
367
Если теперь на кривой Г в качестве параметра взять
переменную длину дуги л Г = {/-(л); • }. го, согласно
(16.29),
-- = cosa, — = cos (3 = sinoc, а + Р = -, (16.32)
ds ds r r 2
где (рис. 80) ос— угол, образованный касательной с положитель-
ным направлением оси Ох. а Р - с положительным направле-
нием оси Оу. Отметим, что эти формулы можно получить
применяя к «криволинейному треугольнику» MQMP (см. рис.
79) формулы, выражающие синус и косинус углов обычного
прямоугольного треугольника через его катеты и гипотенузу,
считая стороны указанного «треугольника» Л/о МР равными
соответственно dx. dy, ds. Подобное обстоятельство имеет
место и для формул (16.29). г. е. для случая пространства.
Такой метод получения формул (16.29) и (16.32) является,
конечно, необоснованным — он не имеет доказательной силы,
однако облегчает запоминание этих формул.
16.7. ФИЗИЧЕСКИЙ смысл ПРОИЗВОДНОЙ
ВЕКТОРНОЙ ФУНКЦИИ
Пусть теперь годо! раф Г непрерывно дифференцируемой
векторной функции г(/) есть траектория движущейся материаль-
ной точки, а параметр / — время движения. Обозначим перемен-
ную длину дуги, оз счи тываемую от некоторой начальной точки
г(/0), через s = s(t). Пусть t>t0; положив Лл = s(/-4-Аг) — ^(/),
согласно (16.23), получим
dr
dt
ds «. Ал
— = шп — ,
dt дг-ч) А/
dr
т. е. длина вектора совпадает с числовым значением скорости
368
в рассматриваемой точке (см. п. 9.4); сам же вектор —, как
известно (см. п. 16.2), направлен по касательной. Вектор —
dt
называется в этом случае скоростью движения в данной точке и
обозначается v:
dt ’
§ 17. КРИВИЗНА И КРУЧЕНИЕ КРИВОЙ
17.1. ДВЕ ЛЕММЫ. РАДИАЛЬНАЯ И ТРАНСВЕРСАЛЬНАЯ
СОСТАВЛЯЮЩИЕ СКОРОСТИ
Докажем две полезные для дальнейшего леммы о производ-
ных векторных функций.
Лемма 1. Пусть векторная функция r(t) имеет производную
в точке tQ, Если длина вектора r(t} в некоторой окрестности
точки Zo постоянна, то вектор г' (z0) ортогонален вектору
т. е.
r'(z0) r(Zo) = 0. (17.1)
Доказательство. По условию, существует окрестность
точки z0, в которой длина вектора r(z) постоянна: |r(z)| = c, где
с — константа. Поэтому для всех точек указанной окрестности
имеем | г(г) |2 = с2, а следовательно, и r2(z) = c2. Продифференци-
ровав обе части этого равенства в точке /0, получим (см. п. 15.2)
2r(z0)r'(z0 ) = 0, откуда и следует (17.1).
Физическая интерпретация этой леммы состоит в том, что у
материальной точки, движущейся так, что она все время
остается на поверхности сферы, ее скорость направлена по
касательной к этой сфере и, следовательно, перпендикулярна
радиусу-вектору.
Пусть функция r(z) определена в некоторой окрестности
t/(z0) точки z0 и пусть в этой окрестности r(z)^O (если
векторная функция r(z) непрерывна в точке Zo, то неравенства
нулю радиусов-векторов r(z) в достаточно малой окрестности
точки z0 всегда можно добиться переносом начала координат).
Пусть z = Z04-Azg£/(z0) и пусть <р = <р (/ ) — угол (выраженный в
радианах) между векторами r(z0) и r(z), |ф|^л, причем будем
считать, что <p(z)^O для Az^O и ф^О для Az<0. В точке Zo для
369
приращения Аф функции ср имеем
Аф = ф(/) —ф(/0) = ф(/),
так как <p(Zo) = 0; поэтому всегда до-
определение 1. Производная называется угловой скоро-
стью вращения векторной функции r(t) в точке t0 и обознача-
ется со = со(Го; г f 0):
Заметим, что если выбрать противоположный отсчет углов,
т. е. определить угол между векторами г(70) и r(t) как угол
\|/= — ср, то очевидно,
^<0 и co(Zo; г) =
dt at dt
dtp _ бЛ|/_ dty
dt
Таким образом, как при одном, так и при другом отсчете
угла (р между векторами г(70) и r(t) всегда
®(?°; г)=^-
Лемма 2. Пусть векторная функция r(t) определена в
некоторой окрестности точки tQ и Тогда, если в точке
t0 существует производная г'(/0)’ то 6 этой точке существует и
угловая скорость вращения cd = co(zo; г(/)), причем
®=^77T kOo)x/(Z0)l- (17-3)
Г VO7
Следствие. Если в дополнение к условиям леммы длина г
вектора r(t) постоянна: |г(/)| = г — константа, то
(17.4)
Доказательство. В силу существования производной
r'(Z0)> Функция г (г) непрерывна в точке t0. Отсюда и из условия
г(/о)^0 следует, что для всех достаточно малых А/ выполняется
неравенство r(zo + Az)^0 и, следовательно, определен угол Аф
между векторами г(70) и г(/0 + А/). Из непрерывности
векторной функции г(7) в точке /0 следует также *) и непрерыв-
ность в точке t0 функции ф(7), т. е.
*) это
вытекает, например, из равенства cos ср =
'•('оИ/)
И'о)1И')Г
370
lim Дф = О
Al—О
(как всегда, Дг = г —г0, Дф = ф(/) — ф(/0) = ф(/), поскольку ф(/о) = 0).
Для вычисления производной (17.2) заменим бесконечно
малую Дф эквивалентной ей при Д?->0 бесконечно малой sin Дф
(см. лемму в п. 8.2), которую можно найти из формулы
|r(Z0)xr(Z0 + Az)| = |r0(Z0)||r(Z0 + Az)||sin Дф|.
В силу теоремы 2 п. 8.3 о замене бесконечно малых им
эквивалентными при вычислении пределов, имеем
d(D v Дф г
G)=—= lim —— lim
dt дг—о Д? At—о
— = lim sin Аф = lim
Дг дг—>о Д? дг—о |r(Z0)l к('о + д01 I'M
1 цт |г(/о)хг(;оч-Дг)|
r4to) At—О |Д^1
(17.5)
Здесь снова была использована непрерывность векторной
функции r(Z) в точке t0: lim r(Z0 +Az) = r(zo).
ДГ-*о
Далее, поскольку функция r(Z) дифференцируема в точке t0,
r(t0 + Az) = r(Z0) + + e(Az)Az,
где lim8(Az) = 0 Подставив это выражение для r(z0 + Az) в (17.5)
дг-о
и заметив, что |r(zo)xr(zo)| = 0, lim |r(z0) х e(Az)| =0, полу-
At—*0
чим
со =
= lim А(р - |r(Zp) Х г'^ П
dt Дг—0 Д/ r2(t0)
Доказательство следствия. Если |r(z)| = r— постоян-
ная, то, в силу леммы 1, r(z0) r'(Zo) = 0, т. е.
|r(z0)||r'(z0)|cos ^' = 0. Так как |r(Zo)|^0, то либо |jt'(Z0)| = 0, либо
угол гг между векторами r(z0) и r'(Z0) равен ±я/2 и
следовательно, |sin | =1. В обоих случаях
|г(/о)хг'(го)| = |г(?о)| |г'0о)1 |sin rr'| = r|r'(z0)|.
371
Подставляя это выражение в формулу (17.3), получим
(17.4). □
Леммы 1 и 2 остаются справедливыми и в том случае, если
под окрестностями понимать односторонние окрестности.
Для выяснения физического смысла формул (17.3) и (17.4)
будем снова интерпретировать кривую, описываемую концом
радиуса-вектора г(0, как траекторию движения материальной
точки, а параметр t — как время. Пусть длина вектора г(г)
остается постоянной: |г(г)| = г, т. е. точка движется по сфере
радиуса г. Рассмотрим движение точки в каждый момент
времени как вращение около так называемой мгновенной оси
вращения, т. е. оси, проходящей через начало координат
перпендикулярно плоскости движения (так называется плос-
кость, проходящая через радиус-вектор r(t) параллельно ско-
dr(t\ -г гхг' 1
рости v=——). Тогда вектор о = —— физически означает вектор
dt г
угловой скорости, а формулы (17.3) и (17.4) выражают связь
между угловой скоростью со и линейной скоростью у. В
частности, формула (17.4) в этих обозначениях принимает вид
Замечание. Используя лемму 1, можно легко получить
полезное разложение производной векторной функции на две
ортогональные составляющие: в направлении вектора г(/)
(радиальная составляющая) и в перпендикулярном направлении
(трансверсальная составляющая).
Пусть векторная функция г(/) определена в некоторой
окрестности точки /0, r(zo)^0, и существует производная r'(Z0).
/*(/)
Положим г0(г) = р-^|, очевидно, |г0(/)| = 1. В точке /0 существует
производная
Гл — гг'
dt dt^ |г|
= ror',
следовательно, в точке t0 существует и производная —кото-
dt
рая, согласно лемме 1, ортогональна вектору г0(/0), поэтому и
вектору r(z0).
Дифференцируя равенство r(t) = | r(f) \r0(t) в точке t0,
получим
dt dt 0
Это и есть искомое разложение.
372
В том случае, если годограф векторной функции г(7)
является траекторией движущейся материальной точки, полу-
ченная формула дает разложение ее скорости на составляющую
поступательного движения (радиальная составляющая) и со-
ставляющую вращательного движения (трансверсальная состав-
ляющая).
17.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИВИЗНЫ КРИВОЙ
И ЕЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ
Рассмотрим дважды дифференцируемую кривую Г без
особых точек. Такая кривая спрямляема и у нее существует
дважды дифференцируемое представление r=r(s), в котором за
параметр принята переменная длина дуги s, Пусть O^s0^5,
As=s—s0, a oc = oc(s)— угол между касательными к кривой Г в
точках r(s0) и r(s0 + As), причем будем считать, что oc(s)^O для
As 0, a(s) 0 для As < 0 и | ос | ^ |. Очевидно, Аос = oc(s) — oc(s0) = oc(s),
так как oc(s0) = 0.
Пусть теперь f(s) = ^-l Как было показано, t(s) является
ds
единичным вектором (см. (16.26)), параллельным касательной к
кривой в соответствующей точке (см. п. 16.4), поэтому угол Аос
является и углом между векторами f(s0) и f(s0 + As).
Определение 2. Угловая скорость вращения касательного
единичного вектора t — — в данной точке кривой называется
ds
кривизной k(s0) кривой в этой точке, £(s0) = co(so; t) =
ds
Опуская для краткости значение аргумента, получаем
def >
к = —. (17.6)
ds
Кривая Г дважды дифференцируема, поэтому существует
dt (Рг .
производная —, и так как вектор t единичный, то, в силу
ds ds
следствия леммы 2 из п. 17.1, отсюда имеем
dt
ds
(17.7)
Определение 3. Величина, обратная кривизне, называется
радиусом кривизны в данной точке и обозначается R, т. е.
R—Xjk.
373
Рис. 81
Пусть Г — окружность радиуса 7?.
В этом случае угол Да между каса-
тельными равен углу, образованному
радиусами, проведенными в точки
касания (рис. 81), а для длины дуги Д^
между этими точками имеет место
формула Лл^АЛа. Поэтому
Да
Д5
1
R'
По определению же кривизны для
окружности имеем
к= lim
As—>-0
Да 1
\s R
Таким образом, в случае окружности ее кривизна к
постоянна (не зависит от точки) и равна обратной величине
радиуса; радиус же кривизны окружности равен ее радиусу.
Отсюда и произошел термин «радиус кривизны».
Обозначим через п единичный вектор в направлении вектора
—. Из формулы (17.7) следует, что вектор п однозначно
определен лишь для тех точек, в которых кривизна к не равна
нулю, и что в этих точках
dt j
— = кп.
ds
(17.8)
Вектор t—единичный, поэтому его производная, а следова-
тельно, и вектор п перпендикулярны ему (см. лемму 1 в п. 17.1):
Определение 4. Вектор п называется вектором главной нор-
мали (короче, главной нормалью) кривой Г в данной ее точке.
Достаточные условия существования кривизны в данной
точке и метод ее вычисления дает следующая теорема.
Теорема 1. Пусть Г = { г(/); } — дважды дифферен-
цируемая кривая без особых точек. Тогда в каждой ее точке
существует кривизна к и она следующим образом выражается
через производную по переменной длине дуги:
(17.9)
и через производные по произвольному параметру:
(17.10)
374
Штрих здесь и в дальнейшем обозначает производные по
произвольному параметру t. Производные по длине дуги s
r d
будем обозначать символом —
Доказательство. При предположениях теоремы пере-
менная длина дуги s = s(t), a^t^b, S, кривой Г может
быть принята на этой кривой за параметр (см. следствие 2 из
теоремы 2 в п. 16.5). При этом единичный касательный вектор
f=— является дифференцируемой векторной функцией, поэтому
ds
dt d2r
у него существует производная —=—следовательно, и
ds dsz
кривизна
dt
ds
d2r
ds2
(cm. (17.7)).
Для того чтобы доказать формулу (17.10), рассмотрим
длину векторного произведения векторов
d2r
ds2
dt j dr .
— = кп и — =t.
ds^u.s) ds
Заметив, что k^O, что вектор t перпендикулярен вектору л, а
длины их равны единице, получим
d2r dr
—?Х —
ds ds
= к\пх t\ = k.
(17.11)
Выразив производные
dr
и — через производные по
ds
t:
будем иметь
dr .dt г
— -Г
ds ds s'
(17.12)
d2r_ d fr'\_s'r" — s"r' dt _s'r" — s"r'
ds2 ds\s') s'2 ds s'2
d2 г dr s'r"—s"r' г' r' X г" _|г' X г"|
ds2 ds 3 s' s' 3 У кТ
(17.13)
поскольку г' X г' = 0 и |У| = |г'|.
(16.13)
В равенствах (17.11) и (17.13) равны левые части, поэтому
равны правые части, а это означает справедливость формулы
(17.10). □
375
От формулы (17.10) легко перейти к выражению для
кривизны в координатной записи. В самом деле, замечая, что
г' = (х', У, /), г" = (х", у", z") и что
1 j к
х! У z’
х" у" z"
(где /, у, к — единичные векторы соответственно в направлении
осей Ох, Оу, Oz), получаем
|г' х г"I = Vo^"-/z')2 + (z'x"-z"x')2 + (x'/-x"j')2 ,(17.14)
с другой стороны,
/ 2 2 2
|г'| = х/х +у +z' . (17.15)
Подставив (17.14) и (17.15) в (17.10), мы и найдем искомое
выражение.
17.3. ГЛАВНАЯ НОРМАЛЬ.
СОПРИКАСАЮЩАЯСЯ ПЛОСКОСТЬ
Рассмотрим некоторые свойства вектора главной нормали п.
о d2 г 1 d2 г г
Вектор —у, поэтому и вектор п=-—- не зависят от выбора
ds к ds
ориентации кривой. Действительно, если а—переменная длина
дуги кривой, отсчитываемая в противоположном направлении, и,
следовательно, если u = S—s, то, заметив, что —= — 1, получим
d s
d2 г _d2 г (d о\2 _d2 г
ds2 da2 yds) d<52
Определение 5. Всякая прямая, проходящая через точку
кривой и перпендикулярная ка-
сательной в этой точке, назы-
вается нормалью к кривой в
данной точке. Нормаль к кри-
вой, параллельная вектору п.
называется главной нормалью.
Вектор главной нормали п
при Ал-*0 с точностью до бес-
конечно малых более высокого
порядка, чем А У. указывает
направление, в котором кривая
в окрестности данной точки
отклоняется от своей касатель-
ной (рис. 82). Действительно,
выбрав на кривой в качестве
параметра переменную длину дуги s, согласно формуле Тейлора
для векторной функции (см. п. 15.2), будем иметь
Д r=r(s0 + As) — г(50) = ^у^Д 5+ 52 + о(Д 52) , Д 5->0 ,
или, заметив, что
(см. 17.8))
с/г_^ d2 г
ds J s2
d t .
— = kn
ds
(У1Л6)
получим
Д г= Д 5 t+ ^к Д s2 л+о(Д 52), Д5->0;
7 л 2
поскольку -АД s
>0, эта формула и доказывает справедливость
нашего утверждения.
Определение 6. Плоскость, проходящая через касательную и
главную нормаль в данной точке кривой, называется соприкасаю-
щейся плоскостью.
В силу этого определения, соприкасающаяся плоскость
определена для точек, в которых А^О. Найдем уравнение этой
плоскости для кривой, заданной представлением r=r(z) с
произвольным параметром t. Как и выше, производные по
переменному I будем обозначать штрихом, а производные по
длине дуги 5— символом —. Дифференцируя г=г(г) как
сложную функцию г=г(б), s = получим (см. (17.16))
, dr . , .
г = — s =s t,
ds
Эти формулы, очевидно, являются
обращением формул (17.12).
Отсюда следует, что векторы г'
и г" также параллельны соприка-
сающейся плоскости; в силу же
условия А^О выполняется неравенс-
тво г' х г'70 (см. (17.10)) и, сле-
довательно, / и г" не коллинеарны.
Обозначим теперь через г0, г'о и г'о
векторы г, г' и г" в некоторой
фиксированной точке данной кри-
вой Г, а через г—текущий вектор
соприкасающейся плоскости; тогда
смешанное произведение векторов
г—г0, г'о и г'о должно быть равно
377
нулю, так как все они параллельны соприкасающейся плоскости
(рис. 83):
(г-г0, г'о, Го) = 0.
Это и есть уравнение указанной плоскости в векторном виде. В
координатном виде оно запишется следующим образом:
%-х0 У~Уо
х'о Уо
х'о Уо
z-z0
А
где г=(х, у, z), r0 = (x0, у0, z0), r'o = (x'o, у'о, z'o), г" = (%о, у о, z’o).
В том случае, если в данной точке к = 0, любая плоскость,
проходящая через касательную в этой точке, называется
соприкасающейся.
17.4. ЦЕНТР КРИВИЗНЫ И ЭВОЛЮТА КРИВОЙ
Определение 7. Точка пространства, ле-
жащая на главной нормали, проведенной в
данной точке кривой, и находящаяся от
этой точки кривой на расстоянии R в
направлении вектора главной нормали п,
называется центром кривизны кривой в
указанной ее точке (рис. 84).
Таким образом, если р — радиус-вектор
центра кривизны, а г, как обычно, ра-
диус-вектор данной точки кривой, то
p = r+R п.
а
(17.18)
Найдем выражение для р через производные векторной
функции по произвольному параметру t. Для этого подставим в
формулу (17.18)
„ d2 г
выражение для второй производной —- через
ds
t (см. (17.12)), в результате получим
(17.19)
производные по
К *2 У
простоты, что при возрастании параметра t
/ 2~2?2
I также возрастает) л-=|.г | = -У у + z ,
где (считая для
длина дуги s(t}
откуда
378
_х' х"-У у' у”+ z' z'
х' +/ +z'
Формулы (17.18) и (17.19) можно рассматривать как пред-
ставления некоторой кривой, точками носителя которой явля-
ются центры кривизны данной кривой. Эта кривая называется
эволютой данной кривой.
17.5. ФОРМУЛЫ ДЛЯ КРИВИЗНЫ
И ЭВОЛЮТЫ ПЛОСКОЙ КРИВОЙ
Все сказанное в предыдущем пункте, в частности, справедли-
во и для плоских кривых. Заметим лишь, что если кривая
Г = {г(^)} лежит в некоторой плоскости, то все производные
векторной функции r(z), если их начало поместить на эту
плоскость, будут также лежать в ней. В самом деле, в ней лежит
приращение векторной функции Дг^ф-hAz) — ф), поэтому и
отношение . Отсюда легко следует, что и предел этих
. , г Аг - о
отношении г = lim — лежит в указанной плоскости. Применяя
то же рассуждение к г', мы докажем, что и г" находится в той
же плоскости, и т. д.
Из сказанного следует, что если кривая лежит в некоторой
плоскости, то касательный вектор t , а если ее кривизна к^О, то
и вектор главной нормали п лежат в той же плоскости.
Поэтому эта плоскость является соприкасающейся плоскостью
для рассматриваемой кривой.
Отметим также, что если в I/
случае кривой Г = {ф)}, лежащей Mf
в плоскости х О j, в отличие от
п. 17.2 через оф) обозначить
угол, образованный касательной
в точке r(s) с осью Ох (рис. 85), ---/
то Аос = оф0 + Дs)-офо) являет-
ся углом между касательными в 0 7 я
точках гф) и ф0 + Аф однако '
его знак может оказаться дру- Рис 85
гим, чем в п. 17. 2.
_ Дог п
Если угол ос возрастает вместе с 5, т. е. если — при
As>0, то
379
если же а убывает с возрастанием s, то
. .. Аа det
к= — lim —= — —.
. ЛAs as
As->0
Запишем некоторые из формул, полученных в предыдущем
пункте, считая, что кривая Г =={/(/); a^t^b} лежит в плоскости
хОу: r(/) = (x(z), у(/)). Из формул (17.10), (17.14) и (17.15) имеем
к= 1 |У/-х"У|
Л/v,2
(17.20)
Обозначая (Е,, т|) центр кривизны кривой Г, из формулы
(17.17) получим формулы, выражающие координаты Е, и т| через
производные по 5:
а из формул (17.19) и (17.20) следуют формулы, выражающие
координаты центра кривизны через производные по произволь-
ному параметру t:
к +У )3
V-' -I ч"_ v" -I /
1 2 2 х' х" + у' у'
х' -у у' —х' !---
(У +У )3/2
(17.21)
аналогично,
Г|=у + х'
(17.22)
Упражнение 1. Пусть Г —дважды дифференцируемая плоская кривая
без особых точек, пусть а — угол наклона ее касательной к оси Ох и пусть
(сдедоватедьно, |/с* | = k) и R*=^- Показать, что £, = х —/?* sin а,
as 'к*
п = у + Я * cos а, а также что £ = х—п = у+4--
da. da
В том случае, когда кривая является графиком функции
y=f(x\ формулы (17.20), (17.21) и (17.22) принимают вид
2 - ’
(!+У )2
(17.23)
380
1+У /
-y-у >
П=У +
1+у2
у"
(17.24)
Примеры. 1. Найдем кривизну и эволюту параболы у = а х2,
а>0-
Замечая, что у'= 2 ах, у" = 2 а, по формуле (17.23) имеем
£=----——-. Чтобы найти уравнение эволюты, воспользуемся
(1+4 а2 х2)2
формулами (17.24):
~ 1 + 4 а2 х2 ~ л23
t = x-----2ах = — 4а х ,
ъ 2а
Г| = а х2 +
1 + 4 я2 х2
2 а
6 а2 х2 +1
2а
Получено параметрическое представление эволюты параболы с
параметром х. Можно получить и ее явное представление,
исключив этот параметр х. Для этого из первого равенства
w з £ 2 2ау\ — \
найдем х — — а из второго х =---------Ц—. Возводя первое из
4 а2 6 а2
равенств в квадрат, а второе — в куб
части, имеем
откуда
4?/ Д 6а2 ) ’
Эта кривая, изображенная на рис.
86, является, как известно (см. пример
2 в п. 14.3), полукубической пара-
болой.
2. Найдем радиус кривизны и эво-
люту эллипса х = a cos t, y = b sin t,
a^b>Q.
Заметив, что xf = — a sin t, y’ = b cos t,
x"= — a cos r, y" = —b sin /, по формуле
(17.20) получим
и приравнивая правые
Рис. 86
2 4
1 _ (a2 sin2 Г + b2 cos2 t) _ (a2 sin2 t + b2 cos2 г)
к ab sin2 t+ abcos2 t ab
Поэтому из формул (17.21) и (17.22) следует, что
Р
= #cos t — bcos t
a2 sin2 t + b2 cos2 t
a b
a2—b2
cos3 t,
a
381
n
= b sin t — a sin t
a2 sin2 t + b2 cos2 t
ab
b2 — a2
b
sin31.
Это параметрическое представление искомой эволюты; пара-
метр t можно исключить, возводя получившиеся равенства в
степень 2/3 и складывая их:
2 2 2
Н)3+(М3=(«2-^2)3.
Эта кривая называется астроидой (рис. 87).
Иногда для изображения кривой бывает удобно использо-
вать так называемые полярные координаты (р, ср), р^О,
— л<(р^л, где р — длина радиуса-вектора данной точки М. а
ср— угол, образованный этим радиусом-вектором с осью Ох.
Таким образом, каждой точке плоскости, кроме начала коорди-
нат, взаимно однозначно соответствует указанная упорядочен-
ная пара (р, ср); для начала же координат имеем р = 0, а угол ср
не определен (рис. 88).
Если М=(х, у), где, как обычно, х и у — декартовы
координаты точки М, то
x = pcos<p, j’ = p sin ф.
(17.25)
Обратная связь выражается формулами
p^-^A^+j2 , <p = arctg-+&л,
где к = 0, если х^О, к=Л, если х<0, у>0, и к— — 1, если у<0;
при этом, как обычно, при х = 0, у^О считается arctg- = -sign у.
х 2
382
Иногда на угол <р не накладывают ограничения -л<ф^я, а
обозначают через ср любой угол, для которого tg ср=-. В этом
случае соответствие между упорядоченными парами (р, ср), р/0
и точками плоскости, отличными от начала координат, уже,
очевидно, не является взаимно однозначным.
Если задана непрерывная функция
р = р(ф), asScpsCP, (17.26)
то, подставляя ее в (17.25),получаем
x=p(<p)cos ср, у = р (ср) sin ср, (17.27)
т. е. параметрическое представление некоторой кривой Г. В
этом смысле можно говорить, что уравнение (17.26) задает в
полярных координатах кривую Г. Для вычисления кривизны,
радиуса кривизны и эволюты кривой Г, заданной уравнением
(17.26), надо перейти к ее параметрическому представлению
(17.27) и воспользоваться выведенными выше формулами.
Упражнения. 2. Пусть в полярных координатах задана кривая р = р(ср),
пусть а — угол наклона ее касательной к оси Ох, а со— угол, образованный
этой касательной с продолжением радиуса-вектора точки касания. Доказать, что
р
а=со + ф и igco = ~.
р
3. Найти эволюту кривой р = б/(1+cos ф), 0^ф^2л, называемой кардиои-
дой.
Указание. Воспользоваться результатами упражнений 1 и 2.
Задача 14. Пусть Г — дважды дифференцируемая кривая без особых точек,
г={г(г);« и пусть гое[я, Z>], Го + Д i^a, Z>], t0 + A г2е[я, />]. Проведем
через точки r(t0), г(г0-ТД /д) и r(z0 + Az2) плоскость; доказать, что если в точке
г(/0) кривизна к/0, то при и Дг2->0 эта плоскость стремится
(определите это понятие) к соприкасающейся плоскости в точке r(t0).
Задача 15. В предположении предыдущей задачи проведем через те же три
точки r(z0), r(z0 + Az1) и г(?0 + Лг2) окружность. Доказать, что эта окружность
при Д/^—>0 и Az2->0 стремится к окружности (определите это понятие),
лежащей в соприкасающейся плоскости с центром в центре кривизны кривой и
радиусом, равным радиусу кривизны в точке r(t0).
Эта предельная окружность называется соприкасающейся окружностью в
данной точке кривой.
17.6. ЭВОЛЬВЕНТА
Как известно, —=кп. Покажем, что для плоских кривых
ds
—=-kt. (17.28)
ds
В самом деле, поскольку п—единичный вектор и, следова-
dn
тельно, имеет постоянную длину, его производная — перпенди-
ds
383
кулярна ему. Касательный вектор t также перпендикулярен
вектору п. На плоскости два вектора, перпендикулярные
третьему, коллинеарны, поэтому
^=af. (17.29)
Для того чтобы найти значение а, продифференцируем по
длине дуги тождество
tn=0.
В результате получим
т-r d t j d п ,
Подставив сюда значения —^кп, — = и заметив, что
d s ds
tt=nn=l, получим
ос= —k.
Отсюда, в силу равенства (17.29), и следует формула (17.28).
Формулы (17.9) и (17.28), т. е.
называются формулами Френе*} для плоской кривой.
Определение 8. Если кривая Г\ является эволютой плоской
кривой Г, то кривая Г называется эвольвентой кривой Гг
При изучении взаимных свойств эволют и эвольвент
ограничимся случаем, когда рассматриваемая плоская кривая Г
трижды непрерывно дифференцируема, задана своим представ-
лением r=r\s\ 0 ^5^5, где s—длина ее дуги, радиус кривизны
R кривой Г не обращается ни в нуль, ни в бесконечность и
dR А
всюду на кривой выполняется неравенство —^0.
ds
1°. Нормаль к эвольвенте является касательной к эволюте.
/Доказательство. Уравнение эволюты кривой имеет вид
‘ (см. п. 17.4)
p = riRn. (17.30)
Из этой формулы следует, что если кривая Г является трижды
непрерывно дифференцируемой кривой, то ее эволюта Г\
непрерывно дифференцируемая кривая. Примем длину дуги 5
кривой Г за параметр на эволюте Г\ и продифференцируем по
нему уравнение эволюты (17.30):
** Ж. Ф. Френе (1816 1900)— французский математик.
384
dp dr , dR , „dn
-~=~ + , ,
ds ds ds ds
Заметив, что
— = f, = — Rkt= — t, (17.32)
ds ds (17.28)
так как Rk=l; подставив выражения (17.32) для — и R— в
ds ds
равенство (17. 31), получим
(17.31)
dp dR
— =-----П.
ds ds
(17.33)
Таким образом, вектор касательный к эволюте Г1?
ds
коллинеарен с вектором л, нормальным к эвольвенте. Поэтому
прямая, касательная к эволюте в центре кривизны некоторой
точки эвольвенты, совпадает с нормальной прямой, проходящей
через эту точку, так как обе эти прямые проходят через
указанный центр кривизны (см. рис. 86, 87).
2°. Приращение длины дуги эволюты равно приращению
радиуса кривизны эвольвенты.
Доказательство. Из равенства (17.33) следует, что
dp __ dR
ds ds
(17.34)
Обозначим через а длину дуги эволюты Г\ кривой Г,
отсчитываемой в направлении возрастания дуги 5 самой кривой
Г. Тогда
dp _ d<3
ds (16.23) ds
(17.35)
Если для определенности положить, что на рассматриваемой
части кривой Г ее радиус кривизны возрастает, то на этой части
будет выполняться неравенство —^0; тогда из равенств (17.34)
ds
и (17.35) следует, что
do _dR
ds ds
(17.36)
Из равенства производных двух функций вытекает, что эти
функции отличаются на константу:
c(s) = A(s)+c, (17.37)
13—1807 385
где с — некоторая постоянная. Приращение постоянной равно
нулю, поэтому отсюда сразу имеем, что приращение длины
дуги эволюты А с = (s+A 5) — совпадает с соответствую-
щим приращением радиуса кривизны A j? = _/?(.$ +As) —7? (s), т. е.
Ас = А7?. □
\ Свойства 10 и 2° эволюты и
эвольвенты имеют изящную механи-
I ческую интерпретацию. Представим
р 3 2 себе, что на кривую Гх от точки Ро до
Ч ? натянута гибкая нерастяжимая нить,
закрепленная в точке Ро. Если, туго
4 натягивая нить, сматывать ее с кривой
РИС. 89 Г15 то ее конец Р опишет кривую Г,
являющуюся эвольвентой кривой Г\
(рис. 89), так как длина дуги Рг Р2 кривой Г\ равна
приращению длины отрезка Рг Мг прямой, касательной к
кривой Г1 в точке Рг: |Р1Р2| = Р2 ТИ2 — Р1М1.
Таким образом, эвольвента кривой Г\ получается как бы
развертыванием этой кривой, поэтому эвольвенту кривой
называют также ее разверткой.
Из сказанного следует также, что эвольвента кривой
описывается точкой прямой, катящейся без скольжения по этой
кривой.
17.7 КРУЧЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРИВОЙ
Плоские кривые полностью с точностью до положения в
пространстве описываются своей кривизной. Именно в диф-
ференциальной геометрии доказывается, что для всякой непре-
рывной неотрицательной функции к(s), можно по-
строить единственную с точностью до ее положения в
пространстве плоскую кривую, для которой заданная функция
является кривизной (см.: Рашевский П. К. Курс дифференциаль-
ной геометрии.— М.: ГИТТЛ, 1956).
Пространственные же кривые полностью описываются с
помощью кривизны и так называемого кручения. Для его
определения введем понятие бинормали.
Рассмотрим пространственную кривую Г = {г(5); 5},
где 5 — переменная длина дуги.
Определение 9. Векторное произведение единичного касатель-
ного вектора t и главной нормали п в данной точке кривой
называется бинормалью кривой в этой точке.
Бинормаль обозначается через Ь. Таким образом,
b=txn. (17.38)
386
Очевидно, что бинормаль определена в тех точках, в
которых определена главная нормаль, т. е. в которых кривизна
не равна нулю.
Тройка единичных взаимно перпендикулярных векторов t, п
и b называется основным репером или, менее точно, основным
трехгранником кривой в данной точке.
Из свойств векторного произведения следует, что кроме
соотношения (17.38) имеют место соотношения
t=nx b, n=bx t.
Пусть г (5) — трижды дифференцируемая
ференцировав равенство (17.38), получим
db dt , . dn j .
— = — x n + t x — = к n x n + t x
ds ds ds (17.i4)
Согласно определению векторного произведения, вектор
t х — перпендикулярен вектору I Кроме того, вектор b—еди-
ds
(17.39)
функция. Продиф-
dn , dn
---=t X —.
ds ds
ничный, поэтому, согласно лемме 1 п. 17.1, вектор —
ds
, Ti db . . db . ,
ортогонален вектору b. Итак, —±t, —±b.
ds ds
Вектор главной нормали n также ортогонален векторам t и
> d b
b, следовательно, векторы — и п коллинеарны, т. е. существует
ds
такое число х, что
-=-хя. (17.40)
ds
Определение 10. Коэффициент и в формуле (17.40) называется
кручением кривой в данной точке.
В отличие от кривизны кручение кривой может быть как
положительным, так и отрицательным (и, конечно, нулем).
Из формулы (17.40) следует, что абсолютная величи-
на кривизны х является угловой скоростью вращения би-
нормали, или, что то же самое, угловой скоростью вращения
соприкасающейся плоскости (так как она перпендикулярна
бинормали).
17.8. ФОРМУЛЫ ФРЕНЕ
Найдем производную главной нормали:
dn d db . , » dt . . . 1
— = — =— x t-yb x — = —xn x t+b x kn =
ds{ll29)ds ds <^(17.40) (17.38)
(17.8) (17.39)
= -kt+ub. (17.41)
387
Итак, для производных основного репера кривой имеют
место формулы (см. (17.8), (17.40) и (17.41)) разложения их по
векторам этого репера:
d t
ds
— = —к t+w b,
ds
db
ds
к п,
-ип.
(17.42)
Таким образом, матрица этих разложений кососимметрична и
имеет вид
/ 0 к 0 \
I — к Ox I .
\ 0 — х 0 /
Формулы (17.42) называются формулами Френе.
Как известно, плоскость, проходящая через точку кривой
параллельно касательному вектору и вектору главной нормали,
т. е. перпендикулярно бинормали, называется соприкасающейся
плоскостью.
Плоскость, проходящая через точку кривой параллельно
главной нормали и бинормали, т. е. перпендикулярно касатель-
ному вектору, называется нормальной плоскостью кривой в этой
точке.
Рис. 90
координатных осей х,
отвечает значение длины
по формуле Тейлора в
Плоскость, проходящая через точ-
ку кривой параллельно касательной и
бинормали, т. е. перпендикулярно
главной нормали, называется спрям-
ляющей плоскостью кривой в этой
точке (рис. 90).
Для дальнейшего анализа геомет-
рического смысла кривизны и круче-
ния пространственной кривой в дан-
ной точке кривой поместим начало
координат в эту точку, а векторы к п
и b примем за единичные векторы
у, z. Если рассматриваемой точке
дуги 5 = 50, то разложим функцию r(s)
окрестности этой точки:
г($) = г(л0) +/(s0)As+ |/'(50)А52+ ^/"(50)А.У3 + о(А53),
где А 5 = 5 — 5о->0.
Применив формулы Френе, получим
388
Ar=r(s) — r(s0)=tAs+'^k nAs2+ А53 + о(А 53) =
= tAs+-knAs2 + -(—п—к2 t+къ b\&s3 + o(As3), As->0,
2 6\as j 7
или в координатной записи (учитывая сделанный выбор
координатной системы)
х = As — -к2 As3 + o(As3) , (17.43)
6 х 7
у = ^-к As2-}- As3 + o(As3), (17.44)
1 7 л з /л з\ (17.45)
z = -kw As3 -ho(As3).
Рассмотрим проекцию кривой на ее соприкасающуюся
плоскость, т. е. кривую; задаваемую уравнениями (17.43)—-
(17.44). Из (17.43) имеем x~As, As->0, поэтому As = x+
+ о(Аs) = x+o(x), х-»0. Подставив это выражение для As в
уравнение (17.44), получим
у=^к(х+ о(х))2 + о(х2) = ^кх2 + о(х2), х->0.
Таким образом, проекция кривой на соприкасающуюся
плоскость является с точностью до бесконечно малых высшего
порядка параболой у = }кх2. Кривизна кривой положительна,
поэтому ветви этой параболы отходят от касательной в ту же
сторону, в которую направлен вектор п (то, что вектор главной
нормали указывает направление, в котором отклоняется кривая
от своей касательной, было установлено и раньше, см. п. 17.3).
Рассмотрим теперь проекцию кривой на ее нормальную
плоскость. Из равенства (17.45) следует, что z^-/cxA?, As->0,
6
А /6z\1/3 А А (6z\113 / 1/з \
откуда As~ (— , z->0, и, следовательно, As =— -Fo(z1/O),
ykvj ykuj v 7
z—*Q. Подставив это выражение для A s в формулу (17.44), получим
В этом случае проекция кривой с точностью до бесконечно
малых высшего порядка является полукубической параболой
/ 9 Hl f
(рис. 91) .У = (^~2) z и’ следовательно, лежит по одну сторону
от бинормали.
389
Для получения проекции на спрямляющую плоскость снова
заметим, что из (17.43) следует, что А s = x+o(x), х->0.
Подставив это выражение для As в равенство (17.5), имеем
z = ^kux3 + о(х3).
Таким образом, в этом случае проекция кривой с точностью до
бесконечно малых более высокого порядка является кубической
параболой
z=X-kv.x3,
О
поведение которой зависит от знака кручения (рис. 92). Если
кручение х>0, то при возрастании параметра s кривая отходит
от соприкасающейся плоскости в направлении бинормали Л, а
при х<0— в противоположном направлении (именно для того,
чтобы имел место этот факт, в формуле (17.40) был взят знак
минус, а не плюс).
17.9. ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ КРУЧЕНИЯ
Уже были получены (см. п. 17.2) формулы
^=/сп. (17.46)
ds as
Продифференцировав вторую из них, получим
d3 г dк , dn
-Г1=-—п+к-г =
4/5 ds ^(17.31)
dk
ds
п—к2 t+kub.
(17.47)
Возьмем смешанное произведение векторов
dr
ds ’
d2 г d3 г
ТТ и Уз
ds ds
d г d2 г d3 г
ds 9 ds2 ’ ds3
= к
(17.46)
(17.47)
t, n, —n—k2 t+ku b] = k2 x,
ds J
390
ибо п X П— £ X t—0
Таким образом,
и (f, л, £) — 1.
dr d2 г J3?
ds9 ds2 9 ds3.
(17.48)
и так как
d2
ds2
ТО
dr d2 r d3 ?
d s ’ d s2’d s3;
cP r
(17.49)
ds2
Для получения формул кручения при произвольном трижды
дифференцируемом параметрическом задании r(z), a^t^b,
„ dr d2 г cP г ,
кривой выразим производные —, и через производные г,
г" и г"' по параметру t:
d2 r—r" (dt^\ ±.rf^L d3 r^-r"f (dt\3 jL-2r"^L^l । r’d3t
ds ds’ ds2 yds) ds2’ ds3 yds) ds ds2 ds3*
значения производных по у в формулу
yds
Подставив полученные
(17.48), имеем x = (r ’-р-—
»=WT (17.50)
Заметив, что из формулы (17.10) для кривизны кривой
следует, что |г'|3 = 'г !, получим из (17.50) еще одну формулу
для кручения кривой:
(г‘, г", г'")
х=уп—
|г х г г
Можно показать, что кривизна и кручение полностью определя-
ют форму пространственной кривой в том смысле, что для любых
двух непрерывных функций к (л) > 0 и х (s), 0 < s S, существует един-
ственная кривая с точностью до ее положения в пространстве, для
которой две данные функции являются соответственно кривизной и
кручением как функциями длины дуги 5 кривой (см.: Рашевский П. К.
Курс дифференциальной геометрии.— М.: ГИТТЛ, 1956).
Упражнения. 4. Доказать, что если у кривой во всех точках ее кривизна
равна нулю, то кривая является прямой.
5. Доказать, что если у кривой во всех точках ее кручение равно нулю, то
кривая является плоской.
6
I , и так
как
ds
d t
dr
d t
ГЛАВА II
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ МНОГИХ
ПЕРЕМЕННЫХ
§ 18. МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
18.1. ОКРЕСТНОСТИ ТОЧЕК.
ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ТОЧЕК
Прежде чем перейти к изучению функций многих перемен-
ных, ознакомимся с некоторыми свойствами множеств, на
которых эти функции задаются. Будем предполагать, что на
рассматриваемой плоскости или в пространстве всегда задана
некоторая прямоугольная система декартовых координат. Точ-
ки будем, как правило, обозначать буквами а, Ь, ... , х, у, z, ... **,
а их координаты — теми же буквами с индексами, т. е. в случае
плоскости будем писать х = (хг, х2), у=(у1, у2), а в случае
пространства — х = (х1, х2, х2), у = (ул, у2, Уз)- Расстояние между
точками х и у будем обозначать р (х, у). Как известно, формула для
расстояния между точками х и у в случае плоскости имеет вид
Р(а'> у) = V^i~yiY+ (а2~У2)2 >
а в случае пространства —
Р(а, у) = ч/(х1-^1)2+ (а2—Уг)2+ (а3-Уз)2 •
В дальнейшем придется иметь дело не только с функциями двух
и трех переменных, но и с функциями большего числа переменных,
поэтому полезно ввести понятие ^-мерного пространства для
любого п = 1, 2, 3, ... .
Определение 1. Точкой х n-мерного пространства назы-
вается упорядоченная совокупность п действительных чисел
(%1, ... , х„) = х.
Число xt называется i-координатой точки х, i—l,2,...n.
Расстояние между двумя точками (х1? ... , хи) и ... , уп)
определяется по формуле
Р(а, у) = х/(А1-У1)2+ - + (а„-У„)2 (18.1)
Иногда точки обозначаются и большими буквами, например М, N, Р, а
их координаты-- буквами х, у, z.
392
Совокупность всех точек п-мерного пространства, в котором
определено расстояние согласно формуле (18.1), называется
п-мерным евклидовым пространством (или, более полно, п-мер-
ным арифметическим евклидовым пространством} и обозначает-
ся через Rn или Rnx.
Иногда для краткости вместо х = (х19 ... , хп} будем писать
x=(xf)-
В случае п = 1 пространство Rn совпадает с прямой, в случае
п = 2 — с плоскостью, а в случае п = 3— с пространством,
изучаемым в элементарной и аналитической геометрии. В
случае произвольного п>3 не следует искать в приведенном
определении скрытый физический или гебметрический смысл.
Нашей целью является лишь построение некоторого математи-
ческого аппарата, удобного для изучения функций многих
переменных; определения и терминологию мы заимствуем из
обычной геометрии, так как это позволяет включить прямую,
плоскость и трехмерное пространство в одну более общую
схему.
Расстояние между точками в /7-мерном евклидовом про-
странстве Rn обладает следующими свойствами.
1°. р(х, у)^0, причем р(х, ;у) = 0 в том и только том случае,
когда х—у.
2°. р (х, у} = р (у, х) для любых двух точек х и у из Rn.
3°. р(х, z)^p(x, у) + р(у, z) для любых точек х, у и z из Rn.
Свойства 1° и 2° непосредственно следуют из формулы (18.1),
третье же , обычно называемое «неравенством треугольника» и
хорошо известное для обычного трехмерного пространства, в
общем случае (при произвольном п) требует доказательства.
Докажем предварительно лемму.
Лемма 1 (лемма Коши — Шварца*)). Для любых действи-
тельных чисел ак и Ьк, к=\,...,п, выполняется неравен-
ство
Следствие.
(18.2)
Гп Гп Гп
X X . (18.3)
Доказательство. Если все ар=0, /=1, 2, ... и, то неравен-
ство (18.2) очевидно — обе его части превращаются в нуль.
*}Г. Шварц (1843—1921) —немецкий математик
393
Если же al+ ... +а„>0, то рассмотрим квадратичную функ-
цию
п п п
f(z)= Ё GV+^)2 = ?2 Ё aj + 2t Ё atbi+^bi . (18.4)
i = 1 i = 1 i = 1
Очевидно, что
F(r)»0.
Из этого условия следует, что квадратный трехчлен (18.4)
имеет либо совпадающие действительные корни, либо суще-
ственно комплексные корни, поэтому его дискриминант не
положителен:
' п \ 2
Ё aibi]
j = 1 /
п п
Ё ai Ё bi^-
i=l i=l
Перенося второе слагаемое в правую часть и извлекая
квадратный корень, получим (18.2). □
Для доказательства неравенства (18.3) оценим сумму
и
применяя неравенство (18.2):
i=i
п п п п п п
Z (ai+bly= X «?+ Е ь?+2 X X «? + Z Ь1+
1=1 i=l i=l i= 1 i=l i=l
Извлекая из обеих частей квадратный корень, получим
(18.3). □
Вернемся теперь к свойству 3° расстояния между точками в
пространстве R”.
Пусть x=(xx, ... , хп), y = (j'i, ... ,у„) и z = (z1, ... , z„). Поло-
жим ai = xi—yt, b—yi—Zi и, значит, а; + 6; = х£—zf, z=l, 2, ... , п.
Тогда неравенство (18.3) можно переписать следующим обра-
зом:
J х (*.-^)2 <1 у (*.-*)2 +J i (л-^)2,
V i=l V i=l V i=l
или, согласно (18.1), р(х, z)^p(x, у) +р(у, z\ □
В дальнейшем в этом параграфе пространство Rn бу-
дем считать фиксированным (т. е. считать фиксированным
число п\
394
Определение 2. Множество точек х = (х15 ... , хп) п-мерно г о
евклидова пространства Лп таких, что хг = х2 =... = xt _ j =
= xi+i = ...= хп = 0, называется i-й координатной осью
... 9 п) этого пространства. Точка О = (0, 0, ... , 0) называется
началом координат.
Очевидно, в случае /7 = 2 и /7 = 3 приведенное определение
дает обычные координатные оси
Пусть Q<k<n. Пространства Rk и Rn состоят соответствен-
но из точек (х1? ... , хк) и (х15 ... , хп). Между множеством всех
точек пространства Rn вида (х19 ... , хк, 0, ... , 0) и множеством
всех точек (х1? ... , хк) пространства Rk существует взаимно
однозначное соответствие (х19 ... , хк, 0, ... , 0)ь->(х19 ... , хД при
котором сохраняется расстояние между точками. Поэтому
естественно множество всех точек (х19 ... , хк, 0, ... , 0) простран-
ства Rn обозначать также Rk, и, следовательно, при этом
соглашении
R^R”, к^п.
Замечание. Пусть на плоскости заданы две прямо-
угольные системы координат, точка М в одной системе
имеет координаты (х, Д а в другой (£>, р), т. е. М = (х,у) =
=(£,, р). Ставя в соответствие упорядоченной паре чисел
(х, j) упорядоченную пару (^, р), получаем взаимно одно-
значное соответствие между множеством всех упорядоченных
пар (х, у) и множеством всех упорядоченных пар (£,, р). При
этом если
М' = (х’. У) = (^', 11'), М"=(х", /)=((;", п"),
то
р (ЛГ, М") = х/(х"-У)2+ (У'-у)2 = ХЖ"~Ч')2 + (п"-п')2 •
Этот пример делает естественным следующее определение.
Пусть каждой точке х = (х19 ... , хл)е/?и поставлен в соответ-
ствие упорядоченный комплекс из п действительных чисел
£(х)=Ц£19 ... 9 £Д таким образом, что для любых двух точек
x' = (xi, ... , х„) и x" = (xi, ... , х") и соответствующих им ком-
плексов ^(x') = (^i, ... , ^) и £,(х" ) = (?;], ... , £,") выполняется
равенство
п п
у«-у)2=Х(^-^)2;
i=l i=l
тогда числа, входящие в совокупность (£19 ... , £,Д также
называются координатами точки х («в другой системе ко-
ординат»). При таком определении координат расстояние
между двумя данными точками не меняется при измене-
395
нии систем координат, т. е. при замене одной системы
координат другой. В дальнейшем, если не оговорено что-
либо другое, система координат считается фиксирован-
ной.
Если точка х задается координатами (х19 ... , х„), то иногда
для ясности пространство будем обозначать Rxlt...,x •
Определение 3. Пусть xeRn и 8>0. Совокупность всех точек
yeRn
таких, что
р(х, у)<е,
называется п-мерным шаром с центром в точке х и радиусом 8
или г-окрестностью (а иногда сферической или, правильнее,
шаровой окрестностью) точки х в пространстве Rn и обозна-
чается U (х; г).
Таким образом,
V(х; е) = {у: yeRn, р (х, у) < е} . (18.5)
В координатной записи это определение выглядит так:
С7(х; е) = {у = (л> ... ,Упу. £ (yf-x;)2}, (18.6)
i= 1
Х = (х1, ... , Х„) , £>0.
В случае прямой, т.е. при п=1 (рис. 93), х = х1? у=у^
поэтому
С7(х; fi) = {y : |у—х|<е} .
х-с х х+е
Рис. 93
Таким образом, С/(х; 8) является интервалом длины 28 с
центром в точке х, т. е. окрестностью точки х в рассмотренном
выше смысле (см. п. 3.2).
В случае плоскости, т. е. при п = 2 (рис. 94), х = (х15 х2),
У=(У1,У2) и
t/(x; е) = {у = (у1, y2):(yi-x1)2 + (у2~х2)2<е} , £>0,
396
т. e. U(x; в)— круг радиуса 8 с центром в точке х = (х19 х2)
(круговая окрестность), а в случае пространства, т. е. при « = 3,
окрестность точки х = (х19 х2, х3) задается формулой
и (х-, г) = {у = (у х, у2, Уз ) (-F1 - Х1 )2 + (у2 - х2 )2 + (у3 - х3 )2 < £2 } ,
8>0,
ц является шаром радиуса 8 с центром в точке (х19 х2, х3).
Рис. 94
Таким образом, понятие окрестности обобщено на случай
«-мерного евклидова пространства Rn. Однако наряду с
указанным обобщением бывает полезно и другое обобщение
этого понятия, а именно понятие так называемой прямоуголь-
ной окрестности.
Определение 4. Пусть х = (х19 ... , хп)е/?”, 8t->0, z=l, 2, ... , п.
Множество
Р(л; 8„ ... , 8J = {j> = (71, ... ,л):|г-х;|<8;, /=1, 2, ... ,п} (18.7)
называется п-мерным параллелепипедом, а точка х — его цен-
тром.
Определение 5. Если 81 =82 = ... = 8П = 8, то Р(х; 8, 8, ... , 8)
называется п-мерным кубом с центром в точке х и обозна-
чается Р(х; 8).
Очевидно, что если для чисел 819 82, , 8„ положить
80 = min {819 ... , 8Л}, 8 = шах {819 ... , 8И},
то
Р(х; 80)с=Р(х; 819 ... , 81)с=Р(х; 8). (18.8)
Если /7=1, то множество Р (х; 8) является интервалом с
центром в точке х длины 2 8; если п = 2, то множество
Р(х; 8Х, 82) является прямоугольником со сторонами, парал-
лельными осям координат (их длины равны соответственно 2 8t
и 2 82); при п = 3 множество Р(х; 819 82, 83) представляет собой
397
прямоугольный параллелепипед с ребрами, параллельными
осям координат (их длины соответственно равны 2 81? 2 82, 2 83).
Под /i-мерным параллелепипедом, соответственно //-мерным
кубом, понимается также множество, определенное указанными
выше условиями хотя бы в одной системе координат (а не
обязательно в данной, как это было сделано выше). В
дальнейшем /7-мерный параллелепипед и //-мерный куб пони-
маются лишь в узком смысле, т. е. в смысле данного выше
определения при фиксированной системе координат.
Определение 6. Всякий п-мерный параллелепипед Р(х; 319 ... 8Д
называется прямоугольной окрестностью точки х.
Если прямоугольная окрестность точки является //-мерным
кубом, то она называется также и кубической окрестностью
этой точки.
Лемма 2. Любая сферическая окрестность точки простран-
ства содержит прямоугольную окрестность и содержится в
прямоугольной окрестности этой точки.
Любая прямоугольная окрестность точки содержит сфери-
ческую окрестность и содержится в сферической окрестности
этой точки.
Эти утверждения геометрически очевидны при // = 1,2,3.
Действительно, при //=1 понятия сферической и прямоугольной
окрестностей совпадают. При п = 2 лемма означает, что во
всякий круг можно вписать прямоугольник и около всякого
круга описать прямоугольник так, что центры прямоугольников
будут совпадать с центром круга. Соответственно во всякий
прямоугольник можно вписать круг с цен-
тром в центре прямоугольника и около
/ ——1\ всякого прямоугольника можно описать
/ ( \ круг с центром в центре прямоугольника
I ( • ) 1 (рис. 95). Аналогичный смысл имеет лемма
\ V J I и при // = 3, следует только круги заменить
\ | S J шарами, а прямоугольники — параллелепи-
/ педами. Нетрудно записать и доказать эти
утверждения в аналитической форме, ис-
РИС< 95 пользовав координатную запись. Этот спо-
соб, как это сейчас будет показано, легко
обобщается и на случай пространства любой размерности.
Доказательство. Прежде всего отметим, что для любых
чисел ах, а2, ... , ап справедливо неравенство
+^2 + ^3 + ... + «„ ^k'il + khl + 1^з1 + ...+ ,
z = 1, 2, ... , n.
(18.9)
Справедливость этого неравенства доказывается возведением
обеих его частей в квадрат.
398
Рис. 96 Рис. 97
В силу данного неравенства, для координат двух любых
точек х=\хх, х2, ... , хп) и = у2> ••• , л) пространства Rn
справедливо неравенство
I Л - *i I < Р (У, х) = х/(^1-А'1)2+ (^2-^2)2+ ••• + 6’л-*П)2 <
+ \У2-х2\ + - + * = 1, 2, ... , п. (18.10)
Из этого неравенства следует, что для любого g>0 имеет место
вложение
Pyx', -) с U(x', g) с Р(х; в) cz U (х\ п g). (18.11)
Действительно, если уеР(х;-|, то |у.—хД<-, /1,2, ... . п.
у nJ п
поэтому (рис. 96)
р(ь *)= /Е 6i-Ai)2 < Е 1л-*г1< Е ,; = 8’
V £=1 (18.10) 1=1 1=1"
т. е. yeU(x. g).
Если уеЩх, g), то |уг—xj < р(у, x)<s, /=1, 2, ... , п, а это
(18.10)
означает, что ye Р (х; g) (рис. 97).
Наконец, если уеР(х; в), то из первого включения (18.11),
заменив в на пг, получим, что yeU(х; п в).
Из включений (18.11) утверждение леммы следует очевид-
ным образом. □
399
Упражнение 1. Доказать, что для любого 8>0 и любой точки xeR
справедливы включения
Р (х; cz U (х, е) с Р (х, б) cz U(х, 8 .
Лемма 2 показывает, что определения в и-мерном простран-
стве выбираются таким образом, чтобы в нем имели место
утверждения, аналогичные некоторым простейшим утвержде-
ниям в трехмерном пространстве. От поспешного использова-
ния аналогий, не подкрепленных математическими доказатель-
ствами, предостерегает пример, содержащийся в следующем
ниже упражнении.
Упражнение 2. Доказать, что при п=\, 2, 3, 4 «-мерный куб с ребрами,
длины которых равны единице, содержится в шаре единичного радиуса и с
центром в центре куба, а при «^5 аналогичное утверждение неверно.
Определение 7. Пусть каждому натуральному числу т
поставлена в соответствие некоторая точка x(m)eRn [не
обязательно разные точки для разных т). Тогда множество
{х(т): ти= 1, 2, ...}, состоящее из точек пространства Rn с
различными номерами, называется последовательностью точек
этого пространства и обозначается
х(т\ т=1, 2, ... , или {хОи)} .
Последовательность {x(ZWfc)}, образованная из членов данной
последовательности {х(ш)} с сохранением порядка их следова-
ния, называется подпоследовательнос гью последовательности
Таким образом, если {x("lfc)} — подпоследовательность после-
довательности {x(w)}, то условие k1<k2 равносильно условию
Определение 8. Точку xeRn называют пределом последова-
тельности {x(w)} и пишут
х = lim х(т\ если lim p(x(w), х) = 0.
«7—>00 П?—>00
Если х = lim х(т\ то говорят, что последовательность {xJW)}
/«—>СО
сходится к точке х. Последовательность, которая сходится к
некоторой точке, называется сходящейся.
Используя понятие окрестности, легко установить, что
х = lim х(т} тогда и только тогда, когда для любого 8>0
>00
существует такое тъ, что для всех m>mz выполняется включе-
400
ние x(w)g£7(x; е). Согласно лемме 2, получаем такжё х = lim х(т)
\ т-+со
в том и только том случае, когда для любой прямоугольной
окрестности Р(х\ б19 ... , 8„) существует номер /и0 (зависящий от
этой окрестности) такой, что для всех m>mQ
х(т)еР(х; 81? ... , 8„). (18.12)
В силу включений (18.8), при определении предела можно
ограничиться и только одними кубическими окрестностями.
В случае п = 1 определение 8 превращается в обычное
определение предела числовой последовательности.
При п = 2 сходимость последовательности {х(т)} точек
плоскости R2 к точке xeR2 означает, что, каков бы ни был круг
с центром в точке х, начиная с
некоторого номера, зависящего от
радиуса этого круга, все члены данной
последовательности лежат в этом кру-
ге (рис. 98). В случае п = 3 сходимость
последовательности точек [х{т}} про-
странства к точке xeR2 означает, что,
каков бы ни был обычный трехмерный
Рис. 98
шар с центром в точке х, начиная с неко-
торого номера, зависящего от радиу-
са шара, все члены данной последовательности лежат в этом шаре.
Как и в случае числовых последовательностей, можно сказать,
что lim x(w) = x, x{'n]eRn, т=\, 2, ... , если всякая 8-окрестность
/77->‘Х
точки х содержит почти все точки данной последовательности, т. е.
все, за исключением, быть может, конечного числа их.
Понятие предела последовательности {x(w)} точек простран-
ства Rn может быть сведено к понятию предела числовых
последовательностей, а именно последовательностей координат
точек х(т\ /77 = 1, 2, ... .
Теорема 1. Для того чтобы последовательность x(w) = (x(f°,
... , x\™})eRn. /77=1, 2, ... , сходилась к точке х = (х1? ... , хн)е/?",
необходимо и достаточно, чтобы
lim x!w) = x/, z=l, 2, ... , /7.
/77—>ОС
(18.13)
Доказательство. Докажем необходимость условия
(18.13). Пусть limx(w) = x. Зафиксируем произвольное 8>0;
тогда, сотласно (18 12), существует такое /7?е, что при всех т>тг
выполняется включение
х{т}еР (х; г),
401
т. е. для любого z=l,2, ... , п и при т>тг справедливо
неравенство
|х|т) — Xi | < 8,
а это и означает, что
lim x[m) = xh i=\, 2, ... , п.
/77—>СС
Докажем достаточность условия (18.13). Пусть lim =
т->со
z=l, 2, ... , п. и Р(х; е19 ... , 8„) — заданная прямоугольная окре-
стность точки х. Тогда для каждого 8г>0 (z= 1, 2, ... , zz)
существует такой номер mi = mi(&i), что для всех m>n'ii
выполняется неравенство
\x^-Xi\<^ z=l, 2, ... , п. (18.14)
Обозначим через т0 наибольший из номеров т15 ... , тп\
m0 = max {m19 ... , тп} ;
тогда при m>mQ и всех z=l, 2, ... ,п будут одновременно
выполнены условия (18.14) и, следовательно (см. (18.7)), при
т > т0 имеем включение
х(т)еР(х; £л, ... , £„),
что и означает, согласно (18.12), что
lim х(т} = х. □
m-+<xi
Из теоремы 1 и свойств пределов числовых последователь-
ностей следует, что если последовательность точек имеет
предел, то он единствен, и что всякая подпоследовательность
сходящейся последовательности сходится к тому же пределу,
что и вся последовательность.
Упражнение 3. Сформулировать и доказать необходимое и достаточное
условие сходимости последовательности точек пространства /?”. аналогичное
критерию Коши для числовых последовательностей.
Определение 9. Множество X<^Rn называется ограниченным,
если существует п-мерный куб Р(О; а) с центром в начале
координат О такой, что Х<^Р(О; а).
Согласно лемме 2, можно дать еще одно эквивалентное
предыдущему определение ограниченного множества.
Определение 9'. Множество Xcz Rn называется ограничен-
ным, если существует п-мерный шар U (О; г) такой, что
Х^и(О- е).
Определение 10. Последовательность точек x(m)eRn, т =
= 1, 2, ... , называется ограниченной, если множество ее значе-
ний, т. е. {x(w): т= 1, 2, ...}, ограничено в пространстве Rn.
402
Если последовательность х{т) = (х{™\ ..., xj"°), т=\. 2, ...,
сходится, то она ограничена, ибо каждая из координатных пос-
ледовательностей х\т), т=\, 2, ... (z фиксировано, z=l, 2, ..., п) в
этом случае также сходится, и, значит, ограничена.
Теорема 2. Из любой ограниченной последовательности
точек пространства Rn можно выделить сходящуюся подпосле-
довательность.
Эта теорема, как и в одномерном случае, обычно называется
теоремой Больцано — Вейерштрасса.
Доказательство. Пусть задана ограниченная последо-
вательность точек х{т}= (х{™\ ..., х(пт)), т = 1, 2,..., пространства Rn.
Тогда, согласно определению 9, существует такой куб Р(О; а),
что при всех т = 1, 2, ..., выполняется включение х{т}<^Р(О\ о), а
следовательно, и включения х\т}<=( — а, а), т. е. каждая из п
числовых последовательностей {x<m)}, z=l, 2, ..., п, также
ограничена. Поэтому, согласно теореме Больцано — Вейер-
щтрасса (см. п. 4.6), последовательность {х(™}} содержит
сходящуюся подпоследовательность; пусть это последователь-
ность x^Q, k=[, 2, .... Последовательность {х^М}, как
подпоследовательность последовательности {х(2ш)}, также огра-
ничена и поэтому содержит сходящуюся подпоследователь-
ность. Пусть это последовательность х^М k=l, 2, .... Последо-
вательность {х([Пк2}}, как подпоследовательность сходящейся
последовательности {х^?}, очевидно, также является сходя-
щейся. Продолжая это рассуждение, через п шагов получим п
сходящихся последовательностей {х^}, /= 1, 2, ..., и, каждая
из которых является подпоследовательностью соответственно
последовательности Тогда, согласно теореме 1, последо-
вательность точек {x(Wfc?} пространства Rn будет также схо-
дящейся. □
Аналогично одномерному случаю, предел подпоследователь-
ности последовательности точек д-мерного пространства назы-
вается частичным пределом. Теорема 2 показывает, что
множество частичных пределов ограниченной последователь-
ности точек из Rn всегда не пусто.
Иногда бывает удобно рассматривать последовательности
точек, стремящиеся к бесконечности.
Определение 11. Последовательность точек x(m}(=Rn, т=19
2, ..., называется стремящейся к бесконечности, если расстояние
ее членов от начала координат (9 = (О, 0, ..., 0) стремится к
бесконечности, т. е. если
lim р(х(ж), (9)= + оо. (18.15)
т—*оо
В этом случае пишут
403
lim x{m) = co.
Для любой точки a^Rn. в силу неравенства треугольника
p(x(w), <9)^p(x(w), «) + р(«, О),
справедливо неравенство
p(x(w), а)^р(х(т), О)-р(А О),
(18.16)
поэтому при выполнении условия (18.15) имеем
lim р(х(т\а) = + оо, т. е. если lim x(w) = oo, то расстояния от
т—>оо т—►оо
точек последовательности {х(ш)} до любой фиксированной
точки a^Rn стремятся к бесконечности.
Упражнение 4. Последовательность х(т}<^Rn называется неограничен-
ной, если множество ее значений не ограничено. Доказать, что всякая
неограниченная последовательность точек «-мерного пространства содержит
подпоследовательность, стремящуюся к бесконечности.
По аналогии со случаем прямой, бесконечность оо называ-
ется также и бесконечно удаленной точкой «-мерного простран-
ства. В отличие от случаев прямой, на которой имеется два
направления и поэтому можно ввести понятия бесконечностей
со знаком, для пространства Rn. «>1, вводится только
бесконечность без знака.
18.2. РАЗЛИЧНЫЕ ТИПЫ МНОЖЕСТВ
В настоящем пункте рассматриваются вспомогательные для
дальнейшего изложения математического анализа вопросы,
связанные с геометрией «-мерного пространства.
Определение 12. Пусть X—некоторое множество точек
евклидова пространства Rn. Точка х^Х называется внутренней
точкой этого множества (относительно пространства Rn),
если существует г-окрестностъ этой точки, содержащаяся в
множестве X, т. е. существует такое £>0, что U(x;
Совокупность внутренних точек множества называется его
внутренностью.
Упражнение 5. Если пересечение Y, XczRn, Y<^Rn, содержит
хотя бы одну точку, являющуюся внутренней как для множества X, так
и для множества Y, то множество внутренних точек пересечения XQ Y не
пусто.
Определение 13. Множество, каждая точка которого явля-
ется его внутренней точкой (относительно рассматриваемого
пространства Rn), называется открытым множеством.
Таким образом, открытыми являются множества, которые
совпадают со своими внутренностями.
404
Следует иметь в виду, что одна и та же точка одного и того
же множества может быть его внутренней точкой относительно
одного пространства, содержащего это множество, и не быть
внутренней точкой рассматриваемого множества относительно
другого пространства, также содержащего это множество,
рассмотрим, например, пространство R2xyi т. е. плоскость с
некоторой фиксированной системой декартовых координат,
которые будем обозначать х и у. Ось Ох этой плоскости, как
всякая числовая ось, является евклидовым пространством R[
Каждая точка какого-либо интервала (а, Ь) этой оси, т. е.
множество точек
{(х, у):а<х<Ь, ^-0}
плоскости R^y. является внутренней точкой этого интервала
относительно указанного пространства R * (оси Ох) и не
является внутренней точкой этого интервала относительно всей
плоскости R$y. Таким образом, интервал (а, Ь) является
открытым множеством пространства R* и не является откры-
тым множеством пространства R*y.
Важный класс открытых множеств устанавливается следу-
ющей леммой.
Лемма 3. Всякая г-окрестностъ U (х; е) любой точки
x^Rn является открытым множеством.
Доказательство. Пусть задана некоторая окрестность
С7(х; е) и пусть y^U(x\ е). Положим
8-Е-р(у, х)
и покажем, что U(y\ b)czU{x\ е) (рис. 99).
Если zg(/(j’; 5) и, значит,
p(z; у) <8, то, применив неравенство
треугольника и (18.17), получим
p(z, x)^p(z, у) + р(у, x)<8 + p(j, x) = e,
т. e. ze[/(x; e). Так как z—произ-
вольная точка множества U(у; 8), то
это означает, что U(y; 8)с=[/(х; е). □
На примере доказательства этой
леммы хорошо видно, как, используя
для наглядности плоский чертеж,
можно проводить доказательства в
(18.17)
«-мерном пространстве. РИС 99
Открытые множества пространства
Rn будем обозначать, как правило, буквой G.
Упражнения. 6. Доказать, что внутренность всякого множества явля-
ется открытым множеством.
7. Доказать, что прямоугольная окрестность точки является открытым
множеством.
405
Лемма 4. Пересечение конечного числа, так же как и
объединение любой совокупности открытых множеств, является
открытым множеством.
Доказательство. Пусть Glf G2, ..., Gk — открытые
к
множества пространства Rn. Если их пересечение Q Gt— пустое
7=1
множество, то оно является открытым, поскольку его мно-
жество внутренних точек пусто и, следовательно, совпадает
с самим пересечением. Если же указанное пересечение не пус-
к
то и хе QG., то в силу открытости множеств Gj, для каждого
7 = 1
j=l9 2, ..., к, существует такое г7>0, что U(x; s^czGj. Полагая
s^minfe^ ..., гД, получим, что для каждого j справедливо вклю-
к
чение U(x, s)<^Gj (j=l, 2, ..., к). Следовательно, U(x, а)с= Q Gj,
7=1
к
т. е. точка х является внутренней для пересечения Q Gj.
7=1
Поскольку х — произвольная точка этого пересечения, оно
является открытым множеством.
Пусть теперь дана произвольная система открытых мно-
жеств {Ga}, 7,е21 где 91 — некоторое множество индексов и
G= (J Ga. Покажем, что G — открытое множество. Действи-
тельно, какова бы ни была точка x^G, существует такой индекс
осое91, что xeG^. Поскольку Gao —открытое множество, най-
дется такое е>0, что U(x; 8)czG Но тогда U(x; s)cz |J Ga = G,
т. e. x — внутренняя точка множества G и, значит, это
множество открыто. □
Очень удобным оказывается следующее определение.
Определение 14. Всякое открытое множество, содержащее
точку, называется ее окрестностью.
Окрестность точки х будем, как правило,.обозначать через
U—U(х), быть может, с теми или иными индексами, а иногда,
как и в одномерном случае, другими буквами, например V, W.
Замечание. Во всякой окрестности U(х) точки х, очевид-
но, содержится как сферическая, так и прямоугольная окрест-
ность этой точки. Далее, если окрестность точки понимать в
смысле определения 14, то точка х является пределом последо-
вательности {x(w)} тогда и только тогда, когда для каждой ее
окрестности с/(х) существует такой номер т0, что для всех
т > т0 выполняется включение х(т} U (х).
Определение 15. Точка x^Rn называется точкой при-
косновения множества X<^Rn, если любая окрестность этой
406
точки содержит по крайней мере одну точку множества X.
Очевидно, что каждая точка множества X является его точкой
прикосновения, ибо всякая окрестность точки хеХ содержит
саму точку х. Вместе с тем могут, конечно, существовать и
точки прикосновения данного множества, не принадлежащие
ему (например, концы интервала на прямой являются его
точками прикосновения).
Упражнение 8. Доказать, что, для того чтобы точка x<^Rn была
точкой прикосновения множества Л'с/?л, необходимо и достаточно, чтобы
существовала последовательность точек х{тУ^Х, 2, такая, что
lim х{т} — х.
т- +ос
Определение 16. Если у точки существует окрестность,
не содержащая никаких других точек множества X, кроме самой
точки х, то эта точка называется изолированной точкой
множества Е.
Определение 17. Точка x^Rn называется предельной точкой
множества X, если любая окрестность точки х содержит по
крайней мере одну точку множества X, отличную от ух.
Очевидно, что предельная точка множества является и его
точкой прикосновения.
Определение предельной точки удобно сформулировать с
помощью понятия проколотой окрестности точки .ч-мерног о
пространства, которое вводится по аналогии со случаем числовой
прямой.
Определение 18. Проколотой окрестностью U (х(0)) точки
х(0)е Rn называется всякое множество, получающееся удалением
точки из некоторой окрестности U{x(Q}) этой точки:
о def
U (х(0))- U(xw)\.{x(^}.
Используя термин проколотой окрестности, предельную точку
множества можно определить как точку, любая проколотая
окрестность которой пересекается с данным множеством (в то
время как у точки прикосновения любая ее (целая) окрестность
обязана пересекаться с рассматриваемым множеством).
Мы уже встречались с понятиями точек прикосновения,
предельных и изолированных в одномерном случае (см. п. 5.4 и
5.5). Напомним некоторые их свойства
У всякой точки прикосновения х0 множества X либо
существует окрестность, содержащая лишь одну точку из X (в
этом случае этой точкой является сама точка х0), либо такой
окрестности нет, т. е. в каждой окрестности точки х0 имеется по
крайней мере две точки множества X (следовательно, по
крайней мере одна из них отлична от х0). Поэтому всякая точка
прикосновения множества X является либо его изолированной
точкой, либо его предельной точкой (в последнем случае она
407
может как принадлежать, так и не принадлежать самому
множеству).
Если —предельная точка множества XczRn, то суще-
ствует последовательность точек х(т) е X таких, что lim х(ж) = х(0),
т—*оо
x(w/)/x(w)^x(0), т^т', т’ т. е. последовательность
{x(w)} состоит из различных точек множества X, отличных от то-
чки х(0), и сходится к этой точке. В самом деле, посколькух(0) —
предельная точка множества X для окрестности U(x(0\ 1) суще-
ствует точка (обозначим ее через x(f)) такая, что
x{1)^U(x(0\ 1)QX
и х(1Мх(0). Пусть 8Х =min р(х(0), х(1))|. Для окрестности
найдется такая точка (обозначим ее через х(2)), что
х(2)е Z7(x(0), 8JQX х2^х(0) и х(2)т^х(1). Продолжая этот про-
цесс, мы получим искомую последовательность.
Из доказанного следует, что любая окрестность предельной
точки множества содержит бесконечно много точек этого
множества (ими, например, являются точки построенной выше
последовательности).
Пример. Пусть п=1, Х=(0, 1) — интервал. Каждая точка
отрезка [0, 1 ] является точкой прикосновения и предельной
точкой множества X, при этом точки 0 и 1 не принадлежат
самому множеству X. Если Х= [0, 1 ] — отрезок, то множество
точек прикосновения множества X совпадает с самим множе-
ством. Наконец, если множество X состоит из интервала (0, 1) и
точки 2, т. е. Х=(0, l)(J{2}, то точка 2 является его изо-
лированной точкой, а множеством его точек прикосновения
является [О, 1]|J{2}.
Определение 19. Совокупность всех точек прикосновения
множества X^Rn называется замыканием множества X и
обозначается X.
Как уже отмечалось, каждая точка множества X является его
точкой прикосновения, поэтому
Хс=Х (18.18)
Определение 20. Множество X называется замкнутым, если
Х—Х, т. е. если оно содержит все свои точки прикосновения.
Например, при /7=1 интервал (0, 1) не является замкнутым
множеством, а отрезок [0, 1] — замкнутое множество.
Все пространство и пустое множество являются одновремен-
но замкнутыми и открытыми в Rn множествами (проверьте
это). Можно показать, что в пространстве Rn не существуе!
других одновременно замкнутых и открытых множеств.
408
Всякая точка прикосновения множества является либо его
предельной, либо его изолированной точкой, а изолированная
точка, в силу своего определения, принадлежит множеству,
поэтому требование принадлежности каждой точки прикосно-
вения к множеству эквивалентно требованию принадлежности к
этому множеству каждой его предельной точки. Иначе говоря,
множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно
содержит все свои предельные точки.
Упражнения. 9. Доказать, что из включения X cz Y следует включение
X<=:Y.
10. Пусть Xc:RkczRn. Доказать, что x^Rn является точкой прикосновения
множества X в пространстве Rn тогда и только тогда, когда она принадлежит
пространству Rk и является в нем точкой прикосновения множества X.
Отсюда следует, что множество X является замкнутым множеством
пространства Rk тогда и только тогда, когда оно является замкнутым
множеством пространства Rn. Таким образом, свойство множества быть
замкнутым в некотором пространстве Rn является «внутренним» свойством
этого множества, т. е. свойством, которое не зависит от выбора пространства
Rn, в котором лежит рассматриваемое множество. Как было отмечено выше,
свойство множества быть открытым не является «внутренним» свойством в
указанном смысле, одно и то же множество может быть открытым в одном
пространстве Rn и не быть открытым в другом.
Отметим следующее очевидное свойство замкнутых мно-
жеств.
Если F—замкнутое множество, a {x(w)}-—сходящаяся по-
следовательность, все члены которой принадлежат множеству
F:xM^F, т—1, 2, ..., то ее предел также принадлежит
множеству F.
Действительно, если х(0)= lim х{т\ то из определения преде-
т—>00 А
ла последовательности точек следует, что в любой окрестности
точки х(0) имеются точки данной последовательности (и, более
того, там лежат почти все точки последовательности, т. е. все,
за исключением конечного числа их), являющиеся, по предполо-
жению, и точками множества F. Таким образом, точка х(0)
является точкой прикосновения множества F, и так как
F—замкнутое множество, то х(0)е£.
Лемма 5. Точка прикосновения замыкания множества
является и точкой прикосновения самого множества.
Следствие. Замыкание всякого множества является зам-
кнутым множеством. _
Доказательство леммы. Пусть XcXRn, X—замыка-
ние множества X и х — точка прикосновения множества X, т. е.
х<=Х. Покажем, что хс=Х.
Из условия х^Х следует, что любой окрестности У=и(х)
точки х принадлежит хотя бы одна точка у множества X:
409
vgeL/PiX Поскольку Uf как всякая окрестность, является
открытым множеством, она является и окрестностью содержа-
щейся в ней точки у. Но уаХ, следовательно, в любой
окрестности точки у, в частности в U, имеется точка z из
множества z а 1]{\Х.
Итак, в любой окрестности U точки хаХ имеется точка из
Это означает, что х является точкой прикосновения
множества X: х еХ □
Док а з ате л ьст в о следствия. В лемме 5 доказано,
что
XczX
и так как, согласно (18.18), Ха X, то
Х = Х. (18.19)
Примеры. 1. Всякий «-мерный шар
2« = {Л=(Л1) хп):^(х{-а^<г2} (18.20)
i=l
является открытым множеством (см. лемму 1), поэтому его
часто называют также п-мерным открытым шаром. Множество
же
6Л = {Л-=(Л1, .... %„)•• X (х, —а;)2^г2}, (18.21)
i= 1
замкнуто, так как нестрогие неравенства сохраняются при
предельном переходе. Оно является замыканием открытого
шара Qn и называется п-мерным замкнутым шаром. В случае
« = 2: Q2— открытый круг, Q2 —замкнутый круг; в случае «=1:
Q1—интервал, Q* —отрезок.
2. Замкнутый шар Qn получается из открытого шара Qn
присоединением к нему множества
п
{х = (х1( ..., х„): (хг —д,)2 = г2}>
1 = 1
называемого \п— \)-мерной сферой радиуса г с центром в точке
а — (а1, .... а„) и обозначаемого S”. В случае п — 2 S1 —
окружность, в случае « = 1 S0—пара точек.
Сфера
И
5л-1 = {л=(х1.. х„): £ (х(-аг)2 = г2} (18.22)
410
также служит примером замкнутого множества (почему?).
Заметим еще, что «-мерный шар радиуса 1 с центром в
начале координат обычно называется п-мерным единичным
шаром (замкнутым или открытым), а (« —1)-мерная сфера
радиуса 1 с центром в начале координат — («—1)-мерной
единичной сферой.
Определение 21. Для всякого множества XaRn множество
Rn\X называется его дополнением в пространстве Rn (см.
п. 1.1).
Лемма 6. Для того чтобы множество было открытым,
необходимо и достаточно, чтобы его дополнение было замк-
нутым.
Доказательство необходимости. Пусть G — откры-
тое множество. Тогда никакая точка xeG не является точкой
прикосновения его дополнения F=Rn\G, так как множество G,
будучи открытым, является окрестностью точки х и не
содержит точек множества F. Следовательно, все точки при-
косновения множества F содержатся в F, что и означает
замкнутость множества F.
Доказательство достаточности. Пусть F—замкну-
тое множество, G = Rn\F и xeG. В силу замкнутости F, точка х
не является его точкой прикосновения, поэтому существует ее
окрестность U (х), не пересекающаяся с множеством F и,
следовательно, такая, что t/(x)czG. Таким образом, любая
точка множества G является внутренней, т. е. G открыто. □
Следствие 1. Множество замкнуто тогда и только
тогда, когда его дополнение открыто.
Это сразу следует из леммы 6, так как если множество В
является дополнением множества А в /?”, т. e.B = Rn\A, то и,
наоборот, множество А является дополнением В в Rn:A = Rn\B.
Следствие 2. Пересечение любой совокупности и объедине-
ние конечного числа замкнутых множеств являются замкну-
тыми множествами.
В самом деле, пусть Fa — замкнутые множества, тогда, по
лемме 6, множества Ga = Rn\Fa, осе91, являются открытыми.
Согласно формуле (1.1), имеем
Л^=П(я"\са)=яп\1М-
a a a
Множество |J Ga, по лемме 4, открыто как объединение
открытых множеств. Следовательно, его дополнение QFa =
==/f"\(J(7a, согласно лемме 6, замкнуто,
a
Аналогично с помощью формулы (1.2) доказывается замкну-
тость объединения конечного числа замкнутых множеств. □
411
Упражнение 11. Доказать, что если G — открытое множество, a F—
замкнутое, GczRn, F<=:Rn, то G\F—открытое множество
Лемма 7. Пусть X и Y—замкнутые непустые непересекаю-
щиеся множества из Rn и множество X ограничено; тогда
существует такое число d>0, что для любых двух точек хеХ и
yeY выполняется неравенство р(х, y)^d.
Доказательство. Допустим, что такое число d не
существует. Тогда для любого т = \, 2, ... существует пара точек
х{т}еХ и y{m}eY таких, что р(х("2), у{т))< —. Поскольку X—ограни-
ченное множество, из последовательности {x(w)} можно
выделить сходящуюся подпоследовательность Пусть
lim x(rnk} = х(0}. В силу замкнутости множества X, имеем х(®}еХ.
Из неравенства
Р (x(0), y{mty Р Х{т^) + р < р (х(0), X(w*>) + —
следует, что lim р(х(0), у(т^) = 0. Поэтому точка х(0) является
точкой прикосновения множества У и, в силу его замкнутости,
х(0)бУ. Таким образом, х(0)еХ и х(0)еУ, а это противоречит тому,
что X и Y не пересекаются. □
Определение 22. Для двух множеств X и Y величина
р(х У)= inf р(х, 7)
хеХ, уеУ
называется расстоянием между X и Y. В частности, если X
состоит из одной точки х, то р(Х, У) = р(%, У) называется
расстоянием от точки х до множества Y.
Применяя этот термин, лемму 7 можно сформулировать
следующим образом.
Если два замкнутых непустых множества не пересекаются и
по крайней мере одно из них ограничено, то расстояние между
ними положительно.
Удобным является не только понятие окрестности точки, но
и понятие окрестности множества.
Определение 23. Всякое открытое в Rn множество G,
содержащее множество X^Rn, называется окрестностью мно-
жества X и обозначается U (X).
Объединение t-окрестностей всех точек множества X назы-
вается г-окрестностью этого множества и обозначается
U(X; е).
Таким образом,
U(X, 8).
хеХ
412
Очевидно, 8-окрестность множества, являясь суммой откры-
тых множеств 8-окрестностей точек данного множества, также
является открытым множеством и, следовательно, его окрест-
ностью.
В терминах окрестностей множеств лемму 7 можно пере-
фразировать следующим образом.
Если два непустых замкнутых множества не пересекаются и
по крайней мере одно из них ограничено, то они имеют
непересекающиеся г-окрестности.
В самом деле, если X и Y—непустые замкнутые множества
и X ограничено, тогда, согласно лемме 7, расстояние между
ними больше нуля:
def
d=p(X, Y)
d
— и достаточно взять, например, ъ =
Упражнения. 12. Привести пример двух непересекающихся непустых
замкнутых множеств, расстояние между которыми равно нулю.
13. Доказать, что два любых непересекающихся непустых замкнутых
множества имеют непересекающиеся окрестности. Привести пример двух
непустых непересекающихся множеств, у которых нет непересекающихся
окрестностей.
Лемма 8. Если F—замкнутое множество, F^Rn, x<^Rn и
р(х, F*) = d, то существует такая точка yeF, что р(х, y)=d.
Доказательство. Если р(х, 7^ = infp(x, y) = d, то для
уеГ
любого п?=1, 2, ... найдется такая точка y(m)eF, что р(х,
Уш))<б/+—. Очевидно, для каждого т справедливо включение
y{m}eU(x, d+1), поэтому последовательность {j(w)} ограничена и,
следовательно, из нее можно выделить сходящуюся подпосле-
довательность {r(w^}. Пусть НтУт^=У0). В силу замкнутости
множества F, имеем y0)eF; далее,
г р(х, У0))^р(х, Ут*))+р(У"Ч ,у0) <</+—+р (У "Ч уо)).
тк
Переходя здесь к пределу при £->оо, получим p(x0, Jo)^- С
другой стороны, р(л, Уо)^р(х, F} = d, следовательно, р(х,
У0))-4/. □
Определение 24. Точка xeRn называется граничной точкой
множества XcR'\ если в любой ее окрестности существуют
точки, как принадлежащие множеству X, так и не принадле-
жащие ему.
Совокупность всех граничных точек множества X назы-
вается его границей и обозначается дХ.
413
Очевидно, что SXczX. При этом каждая точка прикоснове-
ния множества X является либо^его граничной точкой, либо его
внутренней точкой, поэтому Х= X Q дХ.
Если G — открытое множество, то в объединении G = G (J dG
G и dG не пересекаются.
Действительно, поскольку множество G открыто, всякая его
точка является внутренней и тем самым не принадлежит его
границе.
Примеры. Пусть п = 2. Q2 = {(xr. х2): xj + x2<l } — открытый
круг. Если X=Q2. то любая точка окружности
S1 = {(*!, x2):xl+x^=\}
является граничной точкой множества X и других граничных
точек нет, т. е. S'1 = dX. В этом случае граница множества X не
принадлежит ему.
Пусть X=Q2 —замкнутый круг, и в этом случае окружность
S* также является границей для X. причем теперь дХ^.Х.
Наконец, если — окружность, то каждая точка мно-
жества X является его граничной точкой и других граничных
точек нет, т. е. X=dX.
Вообще, (п — 1)-мерная сфера (18.22) является границей как
«-мерного открытого шара (18.20), так и замкнутого (18.21), а
также совпадает со своей собственной границей (почему?)
Упражнения. 14. Доказать, что, для того чтобы множество X^R" было
замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы дХ<=Х.
15. Доказать, что граница всякого множества является замкнутым
множеством.
В дальнейшем понадобится еще понятие кривой в «-мерном
пространстве. Обобщим данное выше определение кривой в
трехмерном пространстве как класса эквивалентных путей.
Предварительно заметим, что отображение x(t) = (x1(t). ..., xn(t))
отрезка [«, Л] в пространство Rn называется непрерывным, если все
числовые функции xY{t\. .... xn(t) непрерывны на отрезке [а. Ь\.
Определение 25. Непрерывное отображение отрезка в про-
странство Rn называется путем в этом пространстве.
Два пути x(t)eRn. a^t^b. и y(y)eRn ос^т^р, называются
эквивалентными, если существует такая непрерывная строго
монотонная числовая функция / = <р(т), а^т^р, что для всех
те [а, Р] выполняется равенство
х(ф(т))=Цт).
Класс эквивалентных путей в пространстве Rn называется
кривой в этом пространстве.
Все изложенное в п. 16.1 и 16.2 о кривой в трехмерном
пространстве естественным образом переносится на случай
произвольного «-мерного пространства.
414
Для дальнейшего является важным также понятие прямой в
и-мерном пространстве.
Определение 26. Пусть х(0) = (х(10), х^0))е/? и а19
п
а —некоторые фиксированные числа У а?>0. Множество
i= 1
точек х = (х19 хп) пространства Rn, координаты которых
представимы в виде
хЛ — х^} + а-t, z—1, 2, п, — oo<Z<+oo,
называется прямой в пространстве Rn, проходящей через точку
х(0).
Очевидно, что в случае я —3 получается прямая в обычном
трехмерном пространстве, а (ос19 ос2, ос3) является направляющим
вектором этой прямой.
Часть прямой, соответствующая изменению параметра t в
некотором отрезке |7', /"], называется отрезком в пространстве
Rn. Точки х' и х" этого отрезка, соответствующие значениям
параметра tr и Г", называются его концами, и рассматриваемый
отрезок обозначается [х', х"]. Расстояние р(х', х") между
концами отрезка называется его длиной.
Пример. Пусть ^ = (б/19 ..., a^eR\ d>0 и
Qn = {x = (x1, ..., х^'.а^х^а^ф z=l, 2, ..., n}
— w-мерный открытый куб. Каждая точка вида («1+х1б/, ...,
ап + мпа^ где х£, /= 1, 2, ..., я, могут принимать только значе-
ния 0 и 1, называется вершиной как открытого куба Qn, так
и его замыкания, т. е. замкнутого куба Q п. Две вершины ку-
ба, которые отличаются только значением одного х/9 на-
зываются соседними. Отрезок, соединяющий соседние вершины
куба, называется его ребром. Длина ребра куба Qп, а
следовательно, и куба Q п равна d. Две вершины куба, у
которых все значения х£ различны, называются противопо-
ложными. Отрезок, соединяющий противоположные вершины
куба, называется его диагональю; ее длина равна d^Jn.
Нетрудно убедиться, что
dyjn = sup р(х, у) = sup р(х, у).
x,yeQn x.yeQл
Часть прямой, соответствующая изменению параметра t в
бесконечном промежутке числовой оси, называется лучом в
пространстве R".
Если даны две различные точки (х{, ..., х„) и (х'{, ..., х"), то
уравнение прямой, проходящей через эти точки, имеет вид
Xi = Xi+(x"—х'У, i—1, 2, ..., п, —оо</< + со.
415
L
Определение 27. Множество XczRn, любые две точки
которого можно соединить целиком лежащей в нем непрерывной
кривой, называется линейно связным
Иначе говоря, множество X называется линейно связным,
если, каковы бы ни были точки х'еХ и х”еХ. существует
непрерывная кривая x(z) = {xt(/); такая, что ее началом
является точка х', т. е. х(«) = х', концом — точка х", x(Z?) = x", и
все точки этой кривой принадлежат множеству X:x[t)eX для
всех te[a. Ь].
Примерами линейно связных множеств являются точка,
отрезок, а примером линейно несвязного множества — пара
различных точек.
Лемма 9. Если линейно связное множество пересекается с
некоторым множеством и с его дополнением в Rn, то оно
пересекается и с границей этого множества.
Доказательство. Пусть X—линейно связное множество
Xcz.Rn, Y—некоторое множество, Ус=/?", и пусть пересечения
yQy и X(^(Rn\Y) не пусты. Пусть x(1)GXQy и х(2)еУр| (Rn\Y).
Поскольку X—линейно связное множество, существует такая
непрерывная кривая х(г), a^t^b, что х(«) = х(1), х(Ь) = х(2) и
x(t\eX для всех te [а\ Ь]. Обозначим через т верхнюю грань тех
te [а. 6], для которых х(/)еУ. Очевидно, а^т^Ь. В любой
окрестности точки х(т) содержатся как точки, принадлежащие
У, так и не принадлежащие У (почему?). Следовательно,
х(т)е?У. Поскольку х(т)еХ, пересечение dY[]X не пусто. □
Определение 28. Открытое линейно связное множество
называется областью **\
Примеры. В случае п=\ всякий интервал является областью,
а множество, состоящее из двух (или более) непересекающихся
интервалов (рис. 100), хотя и представляет собой открытое
множество, не является областью.
В случае п = 2 всякий открытый круг есть область, а
множество, состоящее из двух (или более) непересекающихся
открытых кругов (рис. 101), хотя и открыто, но не является
областью, так как две точки х и у, принадлежащие разным
ком внутри рассматриваемого множества.
Всякий «-мерный открытый шар является областью.
Определение 29. Область, любые две точки которой можно
соединить отрезком, целиком в ней лежащим, называется
выпуклой областью.
Всякий /7-мерный открытый шар является выпуклой об-
ластью.
Кроме понятия линейной связности существует понятие связности
множества, которое будет рассмотрено в § 57.
**> Не следует смешивать понятие области в смысле этого определения с
понятием области определения функции.
416
Рис. 100 Рис. 101
Определение 30. Множество, лежащее в пространстве Rn и
являющееся замыканием некоторой области, называется замкну-
той областью.
Замкнутый /7-мерный шар является замкнутой областью.
Упражнения. 16. Доказать, что «-мерный шар и «-мерный параллелепи-
йед являются выпуклыми множествами.
17. Построить пример невыпуклой области
Задача 16 (теорема Жордана *}). Доказать, что всякий простой контур (см. п.
16.1) на плоскости разбивает плоскость на две области (ограниченную и не-
ограниченную); это означает, во-первых, что он является границей каждой из этих
областей, во-вторых, что никакие две точки, принадлежащие различным
указанным областям, нельзя соединить кривой, не пересекающей данный контур.
18.3. КОМПАКТЫ
В этом пункте будут рассмотрены некоторые свойства
множеств, называемых компактами и играющих важную роль в
математическом анализе.
Определение 31. Множество AczRn называется компактом,
если из любой последовательности его точек можно выделить
сходящуюся подпоследовательность, предел которой принадле-
жит множеству А.
Важное свойство, характеризующее компакты в R п. устанав-
ливает следующая теорема.
Теорема 3. Для того чтобы множество XczRn было
компактом, необходимо и достаточно, чтобы оно было ограни-
ченным и замкнутым.
Доказательство необходимости. Пусть AczRnn А —
компакт. Если множество А было бы неограниченным, то для любо-
го натурального числа т нашлась бы такая точка х(гп)еА, что р(<9,
х(т))>т, /77= 1, 2, ... . Здесь, как всегда, О = (0, 0, ..., 0). Очевидно,
lim х(т) = оо. Поэтому любая подпоследовательность последовате-
т—*со
льности {х(ш)} также имеет пределом ос, и, следовательно, из {х(w)}
нельзя выбрать сходящуюся подпоследовательность, что противо-
речит тому, что А — компакт. Итак, А - - ограниченное множество.
*J К. Жордан (1838—1922) — французский математик.
14-1807 417
Если множество А не было бы замкнутым, то у него
существовала бы точка прикосновения %, которая в нем бы не
содержалась: хфА. Для этой точки нашлась бы такая последова-
тельность x(w)czyl, m=i. 2, что lim х(ж) = х. Поэтому любая
тп—*00
ее подпоследовательность также имела бы своим пределом
точку х^А, т.е. множество А снова не было бы компактом.
Следовательно, А — замкнутое множество.
Доказательство достаточности. Пусть X—ог-
раниченное замкнутое множество, {х(ж)}—какая-либо по-
следовательность его точек: х{т}еХ, т=А, 2, .... В силу
ограниченности множества X. эта последовательность так-
же ограничена. Следовательно, по теореме 2 п. 18.1, из
нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность
{хжь}. Обозначим ее предел через х: lim = ОчеВИД-
fc—*оо
но, что х — точка прикосновения множества X, ибо х(т^еХ. а
так как X—замкнутое множество, то хеХ, т. е. X действительно
компакт. □
Доказанная теорема позволяет легко устанавливать ком-
пактность многих часто встречающихся множеств, например
отрезков, замкнутых шаров и параллелепипедов, сфер в
пространствах Rn любой размерности,— все перечислен-
ные множества, будучи ограниченными и замкнутыми, яв-
ляются компактами. Так же легко с помощью теоремы 3
устанавливается и некомпактность многих множеств. Например,
конечные интервалы, не будучи замкнутыми, а бесконечные, не
будучи ограниченными множествами, не являются компактами.
Отметим, что, в силу той же теоремы 3, лемму 7 из п. 18.2
можно сформулировать следующим образом: если два замкну-
тых непустых множества не пересекаются и по крайней мере
одно из них является компактом, то расстояние между ними
больше нуля.
Прежде чем перейти к другим характеристическим свойствам
компактов, введем ряд определений и докажем одно вспомога-
тельное утверждение.
Последовательность /7-мерных кубов {<2k}, к=\9 2, ...,
называется последовательностью вложенных кубов, если
- ^Qk^Qk^i^ -
Лемма 10. Для последовательности замкнутых вложенных
кубов {Qfc}, длины ребер которых стремятся к нулю при
существует одна и только одна точка, принадлежащая всем
кубам рассматриваемой последовательности.
Доказательство. Пусть кубы
Qk = {x = [x^:a{k}^xi^a{k}-\-d{k}\ z=l, 2, ..., п} (18.23)
418
с ребрами длин d(k) образуют последовательность вложенных
кубов** и пусть lim $к} = 0. Тогда отрезки [aа{к} + d-k)], к=1,
2, ..., образуют систему вложенных отрезков, длины d(k)
которых стремятся к нулю при к->со. Поэтому существуют, и
притом единственные, числа такие, что при фиксированном i
(z=l, 2, ..., п) и любом к=1, 2, ... имеет место включение
+ Отсюда следует, что точка ^ = (^1, Q
принадлежит всем кубам рассматриваемой последовательности
к=\. 2, ..., и эта точка единственна.
Определение 32. Пусть XcRn. Система
Q = (18.24)
множеств X^R" (21 = {ос}—некоторая совокупность индексов
а) называется покрытием множества X, если
Таким образом, система (18.24) называется покрытием
множества X, если каждая точка этого множества принадлежит
хотя бы одному множеству Ха системы Q.
Покрытие (18.24) множества X, состоящее из конечного
числа множеств Ха, называется конечным покрытием этого
множества.
В том случае, когда все множества системы Q открытые,
покрытие Q называется открытым покрытием множества X.
Теорема 4. Для того чтобы множество XczRn было
компактом, необходимо и достаточно, чтобы из любого его
открытого покрытия можно было выделить конечное покрытие.
Доказательство необходимости. Пусть А — ком-
пакт и пусть система
Q = {Ga}, осе21, (18.25)
— его открытое покрытие. Допустим, что из этого покрытия
нельзя выделить конечного покрытия компакта А. Согласно
теореме 3, из того, что множество А является компактом,
следует его ограниченность. Поэтому существует замкнутый куб
Q, содержащий множество А.
Пусть
Q = {x = (xiy.ai^xi^ai + d, z=l, 2, ..., п}.
Разобьем куб Q на 2” равных замкнутых кубов Qp опре-
деляемых набором п неравенств вида
Напомним, что мы договорились (см. п. 18.1) под кубом всегда
понимать лишь кубы, задаваемые неравенствами вида (18.23) при данной
фиксированной системе координат.
419
d
2
a.+d, a,;
i 3
d
2
(z, j=l, 2, n)
(на рис.
102 изображен
случай, когда
п = 2), тогда
2п
a-U а,-
j=l
(18.26)
Система (18.25) образует откры-
тое покрытие каждого из множеств
\j=^ 2, ..., 2й). Среди этих
множеств существует такое непус-
тое множество (обозначим его че-
рез Af^QjJ, что из покрытия (18.25)
нельзя выделить конечное покрытие
этого множества — в противном
случае из системы (18.25) можно
было бы, в силу равенства (18.26),
выделить конечное покрытие и все-
го множества А, что противоречило
бы сделанному предположению.
Разобьем куб Qj снова на 2п равных замкнутых кубов
б7 .(/=1, 2, ..., 2"). Обозначим через Qjlj2 тот из кубов Qj
пересечение которого с компактом А нельзя покрыть конечным
числом множеств системы Q, и т. д. В результате получим
последовательность вложенных замкнутых кубов
<18-27>
r d d
длины ребер которых равны соответственно
d
... И,
2*
следовательно, стремятся к нулю при к^>со.
Каждый из кубов С/р2...7-к последовательности (18.27) обла-
дает тем свойством, что2изk системы (18.25) нельзя выделить
конечное покрытие непустого множества
Ar\Qjlj2...jk
j\ принимает одно из значений 1, 2, 3, ..., 2й; v= 1, 2, ..., k; k=L
2, ... . Согласно лемме 10, существует, и притом единственная,
точка принадлежащая всем кубам системы (18.27). Ребра
кубов этой системы стремятся к нулю, и каждый куб имеет
непустое пересечение с множеством А, поэтому в любой
окрестности точки £ имеются точки множества А. Действи-
тельно, заметим, чю длина диагонали куба Qjlj2...jk равна
420
Далее, каково бы ни было 8>0, выберем к0 так, что
^<£. (1828)
Это возможно, ибо lim ^" = о. Теперь, замечая, что любая
к—>оо 2
точка xeQ} , : находится от точки tpQ; i j на расстоянии,
** 1 2 к()
не превышающем длины диагонали куба Q; ; ; , будем иметь
1 2'"J/co
I р(*.
Это означает, что х лежит в 8-окрестности точки Следова-
тельно, весь куб 2/7 / > в том числе его точки, принадле-
12 /с q
жащие множеству А, содержится в рассматриваемой 8-окрест-
ности точки Таким образом, £ является точкой прикоснове-
ния множества А. Согласно же теореме 3, множество А, будучи
компактом, замкнуто, и поэтому ^еА.
Построенная вспомогательная последовательность кубов
(18.27) позволяет легко показать невозможность выполнения
сделанного предположения о том, что из покрытия (18.25)
компакта А нельзя выделить конечного покрытия этого
компакта. В самом деле, система (18.25) является покрытием
множества Л, поэтому существует такой индекс ос0е31, что .
Множество 67 открыто, следовательно, найдется такое числЪ
8>0, что 8-оЧкрестность 8) точки будет целиком
содержаться в Са :
U& 8)с=Сао. (18.29)
Заметим, что для любого 8 > 0, в частности для 8,
удовлетворяющего условию (18.29), найдется, как показано
выше, такой номер к0, что будет выполнено включение
4 <183О>
Из (18.29) и (18.30) имеем
ЛСЮ; i i ^Qi i i c e) c ,
1 2 K° 1 0 (18.30) (18.29) °
и, следовательно, из системы (18.25) можно выделить конечное
покрытие множества AHQj у , а именно покрытие, состоя-
Щее только из одного множества Ga . Это противоречит
допущению, в соответствии с которым выбраны кубы Qj1j2...jk-
Таким образом, предположив, что из системы (18.25) нельзя
421
выделить конечного покрытия компакта, мы пришли к противо-
речию. Тем самым необходимость условия доказана.
Доказательство достаточности. Пусть XaRn и
пусть из любого открытого покрытия множества X можно
выделить конечное покрытие. Допустим, что X не является
компактом. Это, согласно определению 29, означает, что
существует последовательность {х(гп)}аХ, 2, ..., из
которой нельзя выделить сходящуюся к некоторой точке из X
подпоследовательность. Следовательно, какова бы ни была
точка хеХ, она не является частичным пределом последователь-
ности {х(пг)}. Поэтому у каждой точки хеХ найдется окрестность
(обозначим ее через Gx), содержащая лишь конечное число
элементов последовательности {х(ш)}; в противном случае из
последовательности {x(w)} можно было бы выделить сходящую-
ся к х подпоследовательность (если все элементы последова-
тельности {х(И1)}, лежащие в Gx, отличны от точки х, то из
конечности множества этих элементов, очевидно, следует, что у
точки х можно выбрать даже такую окрестность, которая вовсе
не будет содержать элементов последовательности {х(ш)}).
В силу выбора окрестностей Gx, каждая точка х множества X
принадлежит соответствующей окрестности: xeGx. Поэтому
совокупность Q = {GX}, хеХ, всех таких окрестностей образует
открытое покрытие множества X. Согласно условию теоремы, из
него можно выделить конечное покрытие. Пусть это покрытие
&хк^'
Каждый элемент этого покрытия содержит конечное число
членов последовательности {х(п7)}. Следовательно, все элементы
покрытия Qo также содержат конечное число членов последова-
тельности {х(ш)}. Это, однако, невозможно, так как, покрывая
все множество X. элементы конечного покрытия Qo должны
содержать все члены последовательности {х(т)}, которых беско-
нечно много. Полученное противоречие доказывает достаточ-
ность условий теоремы. □
Замечание. Необходимость условий теоремы, т. е. утвер-
ждение, что из всякого открытого покрытия компакта можно
выделить конечное покрытие, обычно называют леммой Гей-
не — Бореля
Подчеркнем, что в теореме 4 существенным является то, что
рассматриваются покрытия, состоящие именно из открытых
множеств. Так, например, из покрытия отрезка [0, 1 ] (который,
как уже отмечалось, будучи ограниченным замкнутым множест-
вом, является компактом) отрезками
1
п + Г
1
п
2, ..., и
отрезком [—1, 0] нельзя выделить конечного покрытия. Это
Э. Борель (1871 1956) французский математик.
422
объясняется тем, что здесь покрытие состоит не из открытых, а
из замкнутых множеств.
Упражнение 18. Доказать, что для любого конечного открытого
покрытия Q = {Gfe} (Zr=l, 2, m) компакта AeRn существует такое число />0,
что, каково бы ни было множество Х<=А, для которого sup р(х, у)^1,
х, уеХ
существует такой элемент Gk покрытия Q, что XaGk .
ef 0
В заключение этого пункта докажем еще одно вспомогатель-
ное утверждение. Предварительно введем следующее обозначе-
ние: для всякого множества XaRn обозначим через Хл, где
П > 0, совокупность всех точек, расстояния которых от X не
превосходят числа т|, т. е. положим, что
def
= {* • р(*<
Лемма 11. Если А—компакт, A^.Rn, то при любом г| > О
множество Ац также является компактом.
Доказательство. Согласно теореме 3, множество Л,
будучи компактом, ограничено и замкнуто. Ограниченность
множества А означает, что существует такое я>0, что А
содержится в шаре U(O, а).
Покажем, что Ацси[О, я + т|). Если хеЛл, то, согласно
лемме 8, найдется такая точка уеА, что р(х, j) = p(x, Л)^г|. Из
условия же AczU(O, а) следует, что у)<а, поэтому
р(О, х)^р(О, ^)+р(у, х)<б/ + т|.
Таким образом, xeU(O, я + г|). Точка х является произвольной
точкой множества А^. Следовательно, A^ с= U(O, я + т|), и
поэтому множество А^ ограничено.
Покажем теперь, что А^ — замкнутое множество. Если
х — точка прикосновения множества А^ : хеА^, то для любого
8>0 существует такая точка уеА^, что р(%, j^)<8. Из
определения множества Ац и леммы 8 следует, что существует
такая точка z0<=X что р(у, z0) = p(j, Л)^т|; поэтому
р(х, J)=infp(x, z)*Sp(x, z0)^p(x, _у) + р(ь z0)<E + ri-
zeA
Это неравенство верно для любого 8>0. Устремляя 8 к нулю,
получаем р(х, Л)^т], т. е. хеА^, что и доказывает замкнутость
множества А .
Итак, множество Ац ограничено и замкнуто, следовательно,
в силу той же теоремы 3, является компактом. □
18.4. МНОГОМЕРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
В п. 15.1 отмечалось, что при фиксированной системе
координат в трехмерном пространстве, задание вектора равно-
сильно заданию трех его координат. При сложении векторов и
423
их умножении на числа те же действия выполняются и с их
координатами. В «-мерном случае вектор можно определить с
помощью его координат.
Определение 33. Упорядоченная система п действительных
чисел
(х1? ..., хп); x^R, /=1, 2, ..., п,
называется п-мерным действительным вектором х, а числа
х15 ..., хп—его координатами. Число п называется размер-
ностью вектора.
Суммой х+у векторов х=(хр ... хп) и y=(yJf уи)
называется вектор (xj+y^ ..., хп+уп), т. е.
def
А'+У= U'i+J’h •••’ *«+л)>
а произведением вектора х на число XeR называется вектор
def def
Хх=хХ = (Ххт, ..., Ххп).
Множество всех «-мерных векторов, в котором введены
операции сложения векторов и умножения вектора на действи-
тельное число, называется п-мерным действительным вектор-
ным пространством или, более полно, п-мерным арифметическим
векторным пространством над полем действительных чисел.
Вектор 0 —(0, 0, ..., 0) называется нулевым вектором или
нулем п-мерного векторного пространства.
def
По определению, век гор — х=(— 1)х называют противопо-
ложным вектору х.
Упражнение 19. Доказать, что если х, у, z любые векторы, а числа X.
pel? произвольны, то: 1) х-Ь у=у+ х; 2) (x+y) + z=x-b(y+z); 3) х+0 = х:
4) Гх=х; 5) Х(цх) —(X ц) х: 6) (Х + р) х=Х х+цх; 7) Х(х+у) = Х х+Ху.
Таким образом, «-мерное арифметическое пространство (см.
определение 1 в п. 18. Г) превращается в «-мерное арифметичес-
кое векторное пространство, если в нем ввести операции
сложения его элементов и умножения их на число согласно
определению 33.
В трехмерном случае связь между точками пространства и
векторами в нем можно установить (считая, как всегда, систему
координат фиксированной), сопоставляя каждой точке М=(х19
х2, х3) этого пространства ее радиус-вектор, т. е. вектор
ОМ = (х1? х2, х3). Это сопоставление является взаимно одноз-
начным соответствием между точками трехмерного пространст-
ва и векторами в нем.
Иногда «-мерное арифметическое пространство, введенное в
определение 1 п. 18.1, в отличие от «-мерного векторного
пространства называют точечным пространством.
424
Итак, как «-мерное точечное, так и «-мерное векторное
пространства состоят из одних и тех же элементов — из
упорядоченных совокупностей п действительных чисел. Поэтому
как то, так и другое пространство будет обозначаться одним и
тем же символом Rn. Они отличаются друг от друга тем, что в
арифметическом «-мерном пространстве вводится понятие рас-
стояния между его элементами (см. определение 1 в п, 18.1), а в
«-мерном векторном определяются операции сложения векторов
и умножения их на действительные числа (см. определение 33
этого пункта).
1 Если обозначить через ек «-мерный вектор, все координаты
которого равны нулю, кроме к-й, равной единице, к — фиксиро-
ванное натуральное число (/се{1, 2, ..., «}), то для любого
«-мерного вектора х=(хг, ..., хп) справедливо равенство
+ ... + %„ (18.31)
правая часть которого называется разложением вектора х по
векторам ..., еп. При этом коэффициенты х1? ..., хп этого
разложения единственны, т. е. однозначно определяются самим
вектором х, и, следовательно, в силу равенства (18.31),
совпадают с его координатами ..., хп.
Векторы ек, к=1, 2, ..., п, называются координатными или
базисными векторами, а их совокупность {е1? ..., еп} — стан-
дартным базисом пространства Rn (общее рпределение базиса
будет дано в п. 58.1).
Подмножество L векторного пространства Rn называется
подпространством пространства Rn, если для любых векторов
xeL, yeL и любых чисел Хе/?, ре/? имеет место включение
Хх+цуеЛ.
Определение 34. Скалярным произведением векторов х=
= (xt.... хп) и у=(У1, уЛ, «>3, называется число,
обозначаемое через (х, у) и определяемое по формуле
(х, у) = х1ух+... + хпуп. (18.32)
Иногда при обозначении скалярного произведения скобки
опускают, т. е. вместо (х, у) пишут ху.
Из элементарной математики известно, что формула (18.32)
справедлива и при обычном определении скалярного произве-
дения векторов, т. е. и для «^3.
Всякое «-мерное векторное пространство, в котором введено
скалярное произведение, называется евклидовым.
Число (х, х) = у/ xl + ...+х„ называется длиной вектора хи
обозначается через |х|:
(18.33)
425
Очевидно, что для любого вектора xeR и любого числа XeR
имеет место равенство
|Хх| = |Х| |х|, (18.34)
а из неравенства (18.3) (см. п. 18.1) следует, что для любых
xeR\ yeRn выполняется неравенство
|Х+Ж1*1 + 1Л (18.35)
называемое неравенством треугольника.
Из (18.35) следует, что
1|х|-|у||<|х-у|. (18.36)
Действительно, | х | = | х—у+у| <| х—у| +1у\, поэтому
В силу равноправия х и у, имеем также
Из двух последних неравенств и следует (18.36). □
Если х=(х15 ..., х„) и у=(у15 ..., уи), то ...
..., хп—уп) и поэтому
Iх-y| = V(%1-л )2 + ...+(х„-= р(х, у), (18.37)
где х и у — точки точечного ^-мерного пространства с теми же
координатами, что и векторы х и у. Таким образом, в л-мерном
векторном пространстве со скалярным произведением определе-
но расстояние |х—у| между его элементами, совпадающее с
расстоянием р(х, у), определенным в п. 18.1. Поэтому все
понятия, введенные в п. 18.1 —18.3 для точечных пространств,
имеют смысл и для векторных пространств со скалярным
произведением.
В качестве примера использования векторной символики
отметим, что замкнутый шар Qn(x0, г) радиуса г с центром в
точке х0 в векторных обозначениях определяется равенством
а ограничивающая его (п — 1)-мерная сфера Sn г(х0, г) — Ра“
венством
Скалярное произведение обладает следующими, непосредст-
венно проверяемыми свойствами:
1°. Коммутативность Для любых xeR\ yeRn (х, у) =
=(к х\
2 . Дистрибутивность. Для любых xeR\ yeRn, zeRn
(х+у, z) = (x, z) + (y, z).
3°. Однородность. Для любого xeRn и любого числа XeRn
(А.х, у) = Х(х, у).
426
1 при i=j, .
I, 7=1, 2, ..., п.
О при i Фj,
4°. Невырожденность. Для любого xeRn (х, х)^0,
причем
(х, х) = 0ох=0.
Дистрибутивность и однородность скалярного произведения
образуют вместе свойство, называемое линейностью скалярного
произведения.
Если .... еп — координатные векторы в Rn. то, согласно
(18.32),
«,)=
Поэтому для любого вектора х=(хх, .... хп). в силу свойств
скалярного произведения, получим
(х, ei) = (x1e1 + ... + xnen, ei)=x1 (е15 е;) + ... + х„(е„, е.)=
= Xj (et- ) = х^ (18.38)
т. e. z-я координата вектора х равна скалярному произведению
(*, е,)-
Используя обозначение скалярного произведения и длины
вектора, неравенство Коши — Шварца (см. (18.2) в п. 18.1) для
векторов х=(х19 хп) и уп) можно записать в виде
1(х, у)1^М1у|. (18.39)
Углом ср между векторами xeRn и yeRn. п>3. называется
угол ср, О^ср^я, определяемый равенством
[ СО81₽=|ШуГ <18'40)
В силу неравенства Коши —Шварца (18.39), это определение
корректно, поскольку, согласно (18.39), для ср, определяемого
формулой (18.40), имеет место неравенство | cos ср | 1.
Здесь снова, как и в случае определения скалярного
произведения, за исходное определение принимается высказыва-
ние, аналогичное которому в пространстве Rn. п^З. является
доказываемым утверждением. Благодаря этому формулы (18.32)
и (18.40) оказываются справедливыми во всех пространствах Rn,
n=i. 2. ... .
Векторы, скалярное произведение которых равно нулю,
называются ортогональными.
Вектор единичной длины кратко называют единичным
вектором.
Если а и b—единичные векторы, то для косинуса угла
между ними из формулы (18.40) получаем
cos ср = (a, b). |а| = |Л| = 1. (18.41)
Если а=(а15 ап) — единичный вектор, то, обозначая через
а- угол между векторами а и et. согласно (18.38) и (18.41), имеем
427
а{=(а, e;) = cosa;, т. е. a=(cosa15 cosa„).
Косинусы cosa;, z=l, n, называются направляющими
косинусами вектора a.
Поскольку |а| = 1, в силу (18. 33), имеем
cos2a1 + ... + cos2a„ = 1.
(18.42)
Если а не единичный вектор и а/О, то, очевидно, вектор —
I я'
уже единичный и его направляющие косинусы называются
также и направляющими косинусами вектора а.
Уравнение прямой в пространстве /?" (см. определение 26 в
п. 18.2) в векторной записи имеет вид
x=xw + ta, —оо</< + оо,
(18.43)
х=(х}, ..., Х„), Х<0) = (Д0),
х<0)), а=(аг, ..., а„)
(при сложении координат векторов сами векторы также
складываются, а при умножении их координат на число они
умножаются на то же число). Прямая (18.43) называется
прямой, проходящей через точку х(0^ = (х(10), ..., х£0)) точечного
пространства в направлении вектора а.
Если я— единичный вектор, |я| = 1 и, следовательно, я =
= (cosa1? ..., cosoc„) (cos a-—направляющие косинусы вектора я;
z=l, 2, ..., /7), то прямая (18. 43) в координатной записи имеет
вид
х{ = ?40) +1cosaf; z=l, 2, ..., 77; — оо</<+оо. (18.44)
Пусть заданы две точки х'= (х\. .... х'п) и x" = (xi, .... х„)
точечного пространства; обозначим через У и х" векторы с
теми же координатами. Тогда уравнение прямой, проходящей
через точки х' и х" (см. п. 18.2), в векторной записи имеет
вид
х==х/ + (х" — У) t. — со < t < 4-00.
(18.45)
По аналогии с § 15 можно рассмотреть /7-мерную векторную
функцию
r(z) = (xt(z), •••> *»('))’ teXcR
(R. как всегда, множество всех действительных чисел). Анало-
гично тому, как это было сделано в § 15, при любом
натуральном п определяются понятия предела, непрерывности и
производной векторной функции г(г)е/?л. Как и для /7^3, при
дифференцировании векторной функции дифференцируются ее
координаты: r'(t) = (x\ t, ..., *„(/)).
428
§ 19. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ
МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 19.1. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
В этом параграфе рассматриваются функции, которые
определены на множествах «-мерного арифметического евклидо-
ва пространства /?" и значениями которых являются действи-
тельные числа. Таким образом, все функции будут являться
функциями точек пространства. Это означает, что если имеется
какая-либо функция f(xr. ..., хп) и в пространстве Rn задана
система координат х19 ..., хи9 то в другой системе координат
..., связанной с исходной преобразованием
*.•=*.(£1, •••> i=i’ 2’ •••’ п>
под той же функцией понимается не /(^, £„), а функция
хп(^, £„)]•
Рассматриваемые функции будем обозначать либо одной
буквой, например/, либо более подробно, с указанием аргумента,
черезДх) или Дх19 ..., хп). При «>1 они называются функциями
многих переменных. В случае п = 2 вместо Дх19 х2) будем писать
также Дх, Д в случае п = 3 вместо Дх19 х2, х3) также Дх, у, z).
Для функции Дх)=Дх19 х2,..., хп) ее аргументом называют как
точку х, так и каждую из ее координат х19 х2, ..., хп.
Каждой функции y=f(x1, х2, ..., х„) п переменных х1? х2, ...
..., хп соответствует ее график в («+1)-мерном пространстве
точек (х19 х2, ..., х„, Д Определим это понятие.
Определение 1. Пусть на множестве X евклидова прост-
ранства Rn определена функция y=f(x), х Дх15 ..., хп)еХ, и пусть
Hxv1— («+1) -мерное евклидово пространство точек (х, у) =
= (xj, ..., хи9 j). Множество точек пространства Rnx? 1 вида
(х, Дх)) = (х19 ..., х„, Дх)), где хеХ, называется графиком функции f.
График функции многих пере-
менных, так же как и график
функции одной переменной,
удобно использовать для геомет-
рической интерпретации вводи-
мых понятий и доказываемых
утверждений. Конечно, изобра-
жение графика на рисунке в
случае, когда число независимых
переменных
сложнее, чем в одномерном слу-
чае. На рис. 103 изображен вид
графика функции двух перемен-
ных y=f\xi, х2).
больше единицы,
429
Сформулированное здесь определение графика функции п
переменных является частным случаем общего определения
графика функции, сформулированного в п. 1. 2*.
Пусть снова функция f определена на множестве Ха Ry
Множество точек х = (х19 хп) пространства Rn, удовлетворяю-
щих уравнению
/(*!’ Л„) = С,
где с — некоторая постоянная, называется множеством уровня
функции f\ соответствующим данному значению с.
В случае п = 2 множество уровня называется также линией
уровня, в случае п — 3— поверхностью уровня, а при п>3— ги-
перповерхностью уровня.
Изучение функций многих переменных начнем с понятия их
предела. Для того чтобы не рассматривать отдельно случаи,
когда аргумент функции стремится к точке пространства или
«неограниченно возрастает», удобно, как и в случае пределов
последовательностей точек «-мерного пространства, использо-
вать понятие его бесконечно удаленной точки (см. конец п.
18.1).
Определим понятие окрестности бесконечно удаленной точки
оо пространства.
Окрестностью L/(co) бесконечно удаленной точки оо в
пространстве Rn называется дополнение в Rn до любого
лежащего в нем компакта.
Нередко встречается частный вид окрестностей бесконечно
удаленной точки — так называемые ее Е-окрестности.
Внешность «-мерного замкнутого шара с центром в начале
координат О и радиусом, равным -, т. е.
8
def С 1 'J
J7(oo; е) = р(х, (?)>->,
называется г-окрестностью бесконечно удаленной точки оо.
Бесконечность оо будем называть бесконечно удаленной
точкой прикосновения всякого неограниченного множества. Это
естественно, так как если X—неограниченное множество в Rn,
то пересечение любой окрестности С/(оо) бесконечно удаленной
точки оо с множеством X не пусто. Это равносильно тому, что
существует такая последовательность хтеХ9 что lim х{т) = эо.
т—-ос
В отличие от бесконечно удаленной точки оо пространства
Rn его обычные точки будем называть также конечными
точками. Просто под точкой пространства всегда будем
понимать его конечную точку.
430
19.2. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Понятие предела функции многих переменных является
обобщением понятия предела функции одного переменного.
Пусть, как и там, точка а является либо конечной точкой
числовой оси, либо одной из ее бесконечно удаленных точек: оо,
4-оо, —со.
Определение 2. Пусть функция f определена на множестве
X<^Rn, Ес_Х и х(0) — конечная или бесконечно удаленная точка
прикосновения множества Е.
Точка а называется пределом функции f по множеству Е в
точке х(0) или, что то же самое, при х->х(0), если для любой
последовательности точек х(т]еЕ, т=\, 2, ..., таких, что
lim х('и) = х(0), (19.1)
т—>эс
числовая последовательность {/(х*"”)} сходится к точке а:
lim/(x(m)) = a. (19.2)
В этом случае пишут
lim f(x\ = a. (19.3)
V-ч-V(0)
хеЕ
По аналогии с одномерным случаем (см. п. 5.4 и 5.7) можно
дать другое, эквивалентное сформулированному, определение
предела функции в терминах окрестностей.
Определение 3. Пусть функция f определена на множестве
XczRn, ЕаХ и х(0) — конечная или бесконечно удаленная точка
прикосновения множества Е.
Точка а называется пределом функции f по множеству Е в
точке х(0) (или при х-+х(0}),если для любой окрестности U(ci)
точки а существует такая окрестность t/(x(0)) точки х(0), что
f{E^\U(x^}))cLU(a\ (19.4)
Если а — число, то в терминах неравенств это условие
можно перефразировать следующим образом.
Для любого 8>0 существует такое 8>0, что для любой
точки xeEQ J7(x(0), 8) выполняется неравенство
|./(х)-а|<е. (19.5)
Наконец, если и а. и х(0) — конечные точки, то равносильным
будет еще и следующее условие.
Для любого 8>0 существует такое 8>0, что для любой
точки х множества Е, для которой
р(х, х(0))<8,
выполняется неравенство (19.5).
431
Эквивалентность определений 2 и 3 доказывается совершен-
но аналогично случаю функций одного переменного.
В том случае Е=Х, т. е. когда предел берется по всему
множеству задания функции, предел (19.3) называется пределом
функции f в точке х<0) и обозначается
lim/(х). (19.6)
у->х<0’
Понятие предела функции по множеству не является более
общим, чем понятие предела функции,— они равноправны, так
как в определениях 2 и 3 речь идет о понятии предела функции,
примененного к сужению fE функции f на множество Е:
lim /(%)= lim fE(x).
y->x(0)
xgE
Так же как и для функций одного переменного, в случае
задания функции многих переменных некоторой формулой под
lim f(x) понимается предел этой функции в точке х0) по всему
Y(°’
множеству значений х = (хг, ..., xn)eRn, для которых указанная
формула имеет смысл и для которых в процессе проведения
всех необходимых вычислений по этой формуле для получения
значений функции /' получаются только действительные числа.
Наряду с обозначеним (19.6) для предела функции / в точке
х(0) применяются обозначения
lim /(х), lim /(х). (19.7)
р(.г,л(О,)-0 |г-х(0)НО
Существование предела функции / многих переменных
f : X-*R, XcRn, в точке х(0)е/?и, а если он существует, то его
значение, полностью определяются значениями функции на
пересечении U(х(0) )QX произвольной окрестности t/(x(0)) точки
х(Ф с множеством определения X функции /, т. е. не зависят от
выбора указанной окрестности. Точная формулировка этого
утверждения состоит в следующем.
Если функция f: X-+R. X<^Rn. имеет предел lim /(х), то для
Y-*Y(0)
любой окрестности U (х(0)) точки х(0) она имеет тот же предел
по множеству С/(х(0) )QX:
lim/(x)= lim /(х). (19.8)
,V->Y(0)
.vfT/(.y<0))CH
Если же функция f X->R, XczRr\ имеет предел lim /(x)
.Y-->Y(0’
agC(.y<0,)P|A*
хотя бы для одной окрестности U (х(0)) точки х(0), то она имеет
432
предел в этой точке и по множеству X (причем в силу уже
первого утверждения выполняется равенство (19.8)). Все это
совсем легко проверить и потому может быть самостоятельно
проделано читателем.
Свойство функции, не зависящее от выбора достаточно
малой окрестности, содержащей данную точку, называется
локальным свойством функции в этой точке. Очевидно, сущест-
вование предела функции f : X-+R в точке х(0), являющейся
точкой прикосновения множества X, и его значение (если он,
конечно, существует) являются локальными свойствами функ-
ции в указанной точке
Упражнения. 1. Доказать эквивалентность определений 2 и 3 предела
функции многих переменных в данной точке.
2. По аналогии со случаем функции одной переменной сформулировать и
доказать критерий Коши существования предела функции многих переменных.
Часто приходится рассматривать пределы функций f: X-+R,
Xc=.Rn, в точках х(0}еХ по множеству АД^0*}. В этом случае
удобно пользоваться понятием так называемой проколотой
окрестности точки в л-мерном пространстве (см. определение 18
в п. 18. 2).
Именно рассмотрение предела функции / в точке х(0) по
множеству Х\{х(0)} равносильно с точки зрения существования
и значения предела рассмотрению предела функции f в точ-
ке х(0) по множеству X(~]U (х(0)), где U (х(6))— произвольно
фиксированная проколотая окрестность точки х(0).
Если в определении предела функции f: X-+R по множеству
Ес: X в качестве множества Е взято пересечение множества X с
некоторой кривой Г, в частности с прямой £, проходящей через
точку х(0), то предел
lim f(x)
X->Xl0)'
(соответственно предел lim /(х)) называется пределом функции f
¥(0)
xeX(\L
в точке х(0) по кривой Г (соответственно по прямой L).
Как и в одномерном случае, если у функции f: X-^R, X-^Rn,
существует lim /(х), т. е. указанный предел существует по всему
* У-*Л(0)
множеству определения X функции /, то существует и предел
lim fix) этой функции по любому подмножеству Е множества
х-»х<0)
хеЕ
X, для которого х(0) является точкой прикосновения: х(0)еЕ,
ЕаХ, и они равны:
lim/(x) = lim /(х).
x-*xw х-> х(0)
хеЕ
433
Пример. Пусть f(x. у)=~~% у 2. Эта формула задает функцию
х + у
во всех точках плоскости, кроме начала координат (0, 0)
Исследуем пределы этой функции по различным направлениям
в точке (0, 0). Уравнение прямой, проходящей через начало
координат (0, 0) в направлении вектора (а, Р), имеет вид
х = y = $t, а2 + р2>0.
Имеем f(oc/, Р< )= ?
м н ' а4г2 + р
0 при £->0, т. е. предел по любому
направлению существует и равен нулю. Если же у = х2. то
f(x, х2) = | следовательно, предел вдоль параболы у = х2
также существует, но равен -.
Таким образом, для рассмотренной функции существует
один и тот же предел по любому направлению, а предел по
указанной параболе, хотя и существует, отличен от общего
значения пределов по направлениям; тем самым просто предел
в точке (0, 0) не существует.
Упражнение 3. Исследовать пределы по направлению в точке (О, 0)
функции /(х. =
Аналогично случаю функций одного переменного для преде-
лов функций многих переменных по множествам имеют место
соответствующие теоремы о пределах суммы, произведения и
частного, так как, в силу приведенного выше определения,
предел функции п переменных по множеству также сводится к
понятию предела последовательности, а для последовательнос-
тей подобные теоремы были уже доказаны (см. п. 4.9).
Наряду с рассмотренными пределами у функций многих
переменных существует понятие и предела другого вида,
связанное с последовательным переходом к пределу по различ-
ным координатам:
lim lim lim f(xr. ..., xn), (19.9)
Y. v -»y<0' V -»v<0)
4 fl '2 *2 '/>
где (z\, z2, ..., in\—некоторая перестановка чисел 1, 2, ..., n,
x(0) = (x(10), ..., x£0)), a функция f определена, например, в
некоторой проколотой или целой окрестности точки л(0). Здесь
идет речь о последовательном переходе к пределу каждый раз в
функции одной переменной. Так, Нп^0)У(х19 ..., хи) означает, что
у функции/: X-+R фиксированы все значения координат x^j^i.
ее аргумента х = (х19 ..., хп}еХ и тем самым указанный предел
означает предел функции по множеству
434
{х = (хъ .... xn\. Xj фиксированы, j^i}Q\X.
Пределы вида (19.9) называются повторными пределами.
Это понятие отражает собой специфическую особенность
функций многих переменных
Рассмотрим определенную на всей плоскости функцию
xsin-4-ysin-, если и у^О,
У " х
О , если х = 0 или j = 0.
Исследуем различные ее пределы в точке (0, 0).
Очевидно, lim f(x. >’) = 0. Повторные пределы
(х,у)->(0.0)
1- Tv • 1 к • 1
lim lim х sm - 4- lim у sin -
у—-О _ x—*0 У х—>0 X
и lim lim х sin - + lim у sin -
х—0 у—О У у—*0 X
не существуют, так как не существуют даже пределы lim у sin -
(у/0) и limxsin- (х/0), a limxsin- = 0 (у/0) и lim^sin- = 0
у—О у х—-О у у—>0 X
Для функции же f(x. у} =
ху
х2+у2 ’
определенной этой форму-
лой на всей плоскости, кроме начала координат, оба повторных
предела в точке (0, 0) существуют и lim lim f(x. у ) = lim lim f(x,
у—*0 x—0 x—*0 у—*0
y) = 0. Однако предела функции / в точке (0, 0) не существует,
так как предел вдоль координатных осей равен нулю, а вдоль
прямой у = х он равен 1/2.
Таким образом, из одного лишь существования предела
функции в данной точке не следует существования повторных
пределов в этой точке и, наоборот, из существования повторных
пределов не следует существования предела в соответствующей
точке. Тем не менее определенная связь между этими понятия-
ми может быть установлена.
Теорема 1. Пусть функция f(x. у) определена на множест-
ве X. содержащем все точки некоторой прямоугольной окрест-
ности Р((х0, т0); 5t, 62) точки (х0, у0), кроме, быть может,
точек прямых х = х0 и у=у0. Если существует предел функции f
в точке (х0, у0) по множеству X и при любом уе(у0 — б2, То + ^Ь
для которого
(х, j)eP((x0, Jo); §1, 82)АХ |х-х01<81<
существует предел
435
lim/(x, y)=g(y), (19.10)
X—Xo
то повторный предел lim lim/(x, у) существует и
У~*Уо x^xo
lim lim/(x, ^) = lim /(x, y). (19.11)
У-^Уо x-^x0 (x,yWx0,y0),
(x,y)€X
Доказательство. Пусть
lim /(x, y) = a
(X, y)-*(x0, y0), (x, y)eX
и пусть фиксировано произвольное е>0. Существует прямоу-
гольная окрестность Р=Р((х0, у0); т|15 г]2), 0<т]1<81, 0<г>2<б2
такая, что если (х, у)еР{}Х, то
|/(х, у)-а\<г-. (19.12)
В силу существования предела (19.10), для любого числа у
такого, что (х, у)бРР|Х |х—х0|<т]15 из (19.12) следует, что
|g(y)-a|<|<s
(для этого достаточно перейти к пределу при х-»х0 в равенстве
(19.12), а это и означает, что lim g(y] = d). □
У—Уо
Пример. Рассмотрим функции, Дх. Д = Эта
функция определена во всей плоскости, кроме точек оси Ох.
Обозначим ее область определения через X Очевидно, сущест-
вуют пределы
lim /(х, у) = 0 и lim/(x, у) = 0, уУ=0,
(х,у)— (0,0) х~*°
хеХ
поэтому, согласно доказанной теореме, существует и повторный
предел lim lim/(х, = Это ясно и непосредственно. Заметим,
у—>0 х—>0
что другой повторный предел lim lim/(х, И в этом случае не
х—>0 у—”0
существует.
Отметим, что аналог теоремы 1 имеет место и в случае,
когда аргументы функции стремятся к бесконечности.
Замечание. Если множество Xczi?2, на котором определе-
на функция f : X^>R, состоит только из точек х, координаты
которых суть натуральные числа: х = (т, п), meN, neN то
функция / называется двойной последовательностью и ее
436
значение y=f(m, и) обозначается через утп, а сама последова-
тельность — через
Для двойных последовательностей {утп} можно рассматривать
предел lim утп и повторные пределы
(т.п)—*оо
lim lim ут„, lim lim ут„.
т—* + оо п—* + оо п—* + оо т—* + оо
Двойные последовательности будут еще рассмотрены в
п. 38.1.
Пример. Пусть утп = cos"12т! х, meTV, neN, xeR; тогда
fl, если х — рациональное число,
lim lim cos 2л п! х = <
n-*+oom-*+oo [0, если х — иррациональное число.
Действительно, если х = -, peZ. qeZ. q > 0, то при neN.n^q имеет мес-
то равенство cos2tw!x=1 и, следовательно, lim cos"12 ли! х =
m—* + оо
= 1, n^q, поэтому lim lim cos"12m\x= 1. Если же число x
n—> + oo m—* + oo
иррационально, то при любом натуральном п справедливо
неравенство | cos 2тг лг! jv | < 1, из которого и вытекает, что
lim со$т2кп1х = 0 и, следовательно, lim lim cos"12лп\ х-
т—+ + оо п—* + оо т—* + оо
= 0. □
В результате получено аналитическое задание функции
Дирихле:
/(%) = lim lim cos'” 2л nix, xeR
n—~* + ос, m - * + оо
19.3. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
Как и в случае функций одного переменного (см. п. 5.5), если
точка х(0) принадлежит множеству определения X функции / то
Для существования конечного предела lim/(x) необходимо и
достаточно, чтобы
lim/(x)=/(x<°>). (19.13)
Определение 4. Если для функции f : X-^R. XczRn, в точке
х(0)еУ выполняется условие (19.13), то функция f называется
непрерывной в этой точке.
Естественным образом вводится и формальное обобщение
понятия непрерывности функции/: X-+R, XczRn, в точке х(0) по
подмножеству Е<^Х, если х(0)еЕ.
437
Определение 5. Если f : X—>/?, E^X^Rn и для функции f в
точке х(0]еЕ выполняется условие
Д^/(х)=/(Л<0))’ (19.14)
хеЕ
то функция f называется непрерывной в точке х(0) по множеству
Е.
Как и в одномерном случае (см. лемму 3 в п. 5.5), если точка
х(0)еХ является изолированной точкой множества X, то функция
f : X-+R всегда непрерывна в ней.
Если в равенстве (19.13) перенести Дх(0)) в левую часть и
положить Aj=/(x)—/'(x(0)), то условие (19.13) принимает вид
lim Ау = 0.
р(а-,.х<°’Н0
хеЕ
Число &у называется приращением функции в точке х(0),
соответствующим изменению аргумента от точки х(0) =
= (x(i0), ... х<0)) до точки х = (хп ..., хп). Так как р(х, х(0)) =
= ^/Axi + ... + Ах^, где Ах - = xf — xf0), i = 1,2,..., п. то непрерывность
функции f в точке х(0) по множеству Е означает, что ее
приращение Aj’ в этой точке стремится к нулю, когда
приращения Ахг- всех ее аргументов одновременно стремятся к
нулю (т. е., таким образом, когда р(х, х(О))->0).
Можно, конечно, сформулировать понятие непрерывности
функции и на языке последовательностей.
Функция /(х), определенная на множестве X, непрерывна по
этому множеству в точке х(0)еХ в том и только в том случае,
когда для любой последовательности точек х(/с)бХ, /с = 1, 2, ...,
для которой lim x(k) = x(0), выполняется условие
к-^х
lim /(х(Л))-/(х(0)). (19.15)
к—★ зо
Это сразу следует из равносильности определений 2 и 3
предела функции f : Х->Д X<^Rn, в точке х(0)еХ.
19.4. СВОЙСТВА ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
Для пределов функций многих переменных справедливы
свойства, аналогичные свойствам функций одного переменного,
сформулированным и доказанным в п. 5.10. В случае функций
многих переменных формулировки утверждений и их доказа-
тельства остаются по существу теми же самыми, только под
множеством определения X рассматриваемой функции следует
438
понимать подмножество и-мерного пространства Rn, под
точкой х — точку этого пространства, под окрестностью — ок-
рестность в этом пространстве и т. п., поэтому мы не будем
даже формулировать эти свойства (это привело бы к почти
дословному их переписыванию), следует при этом, правда,
отметить, что в случае п > 1 аргумент функции п переменных
может стремиться только к бесконечности оо, т. е. к бесконеч-
ности без знака; его стремление к +оо или —со уже не имеет
смысла, так как множество точек пространства Rn при п> 1 уже
неупорядоченно. Все указанные свойства пределов функций
многих переменных в дальнейшем используются без дополни-
тельных комментариев.
Для функций /(х1ч ..., х„), п> 1, наряду с их непрерывностью
в определенном выше смысле, которую называют также
непрерывностью по совокупности переменных х15 ..., х„, можно
рассматривать и непрерывность по отдельным переменным х£.
Функция /(х1? ..., хи), определенная, например, в некоторой
окрестности точки х(0) = (х(10), ..., х^0)), называется непрерывной в
точке х(0) по переменной х£, если функция
def
(р(х;) =/(x(i0), Х^19 X£, X^i, ..., x<0))
одной переменной х£ непрерывна в точке х^0). Очевидно, что функ-
ция ср является сужением функции/на пересечение прямой ху- = х (р
j= 1,2,..., i— 1, z’4-1,.... п. с множеством определения функции/ тем
самым непрерывность функции по некоторому пе ременному озна-
чает непрерывность ее сужения по соответствующему множеству.
Отметим, что из непрерывности функции по всем переменным в
отдельности не следует ее непрерывность по их совокупности.
Например, функция
С ху , если x2+j2>0,
f( ’) = < Х +У
и, у) q ч если х==^=0,
непрерывна по каждой переменной х и у в отдельности в
каждой точке плоскости, но не непрерывна по их совокупности
в точке (0, 0), так как не имеет в этой точке даже предела
(проверьте это).
19.5. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ КОМПОЗИЦИИ ФУНКЦИЙ
Рассмотрим несколько подробнее композицию функций
многих переменных, так как в этом случае проявляется
некоторая специфика многомерного анализа, не имеющая
аналога для функций одного переменного,— здесь можно брать
композиции функций разного числа переменных.
439
Пусть на некотором множестве XczRn задана система т
функций J\ : : X-+R. и пусть на некотором
множестве Y<^Rm задана функция ..., ут). y^Y.
Если для любой точки хеХ выполняется включение (/Дх), ...
...,Д(х))еУ, то имеет смысл говорить о сложной функции g(/19 ...
..., /ш) : X-+R. т. е. функции, ставящей в соответствие каждой
точке хеХ число g(/t(x), .4, (-4)- Функция у{/\. ..., /и)
называется также композицией функций jx. .... fm и g.
Мы будем рассматривать пределы
lim /(х), z—1, 2, т. (19.16)
х-х(О)
где х(0) — либо точка из Rn, и тогда она является точкой
прикосновения множества X. либо х(0) —оо, и тогда X— неогра-
ниченное множество. Для простоты формулировки теоремы
ограничимся случаем, когда все пределы (19.16) конечны.
Теорема 2. Пусть имеет смысл сложная функция
g(fi, ..., fm). Если существуют конечные пределы (19.16),
def
/О) = 0.(О\ J,(O)) (19.17)
и конечный или бесконечный предел lim g(y). то существует и
r_>V(0’
предел lim g(J\ (х), ..., fm(x\\ сложной функции g(J\. .., /Д
причем
,/m(.v))= lim gO). (19.18)
V-->Y(0) Г->Г<0)
Следствие. Если имеет смысл сложная функция g(fx. ...
.... fm). функции f\. ..., fm непрерывны по множеству X в точке
x{Q)eXczR{\ а функция g непрерывна по множеству Y в точке
у{0) = (/Дх(0)), ..., /Дх{0))еУс:/?ж, то с южная функция g(J\,
.... /Д непрерывна по множеству X в точке х(0).
Таким образом, можно сказать, что непрерывная функция от
непрерывных функций является непрерывной функцией.
Теорема 2 аналогична теореме о пределе композиции
пределов функций одного переменного. Для разнообразия
выберем метод ее доказательства, основанный на определении
предела функции в терминах последовательностей.
Доказательство. Возьмем произвольную последоватеь-
носгь точек х{к}ЕХ. А = 1, 2, .... стремящуюся к точке х(0):
lim х(А) = х(0).
к—*«'
В силу существования пределов (19.16), отсюда следует, что
lim/;(^('i))=g!0’, z=l. 2, ..., т.
к— х
440
Таким образом, координаты точек
def
/к) = (Л(^), (19.19)
имеют своим пределом точку у<0) = (у i0), (см. (19.17)), а
поэтому, согласно теореме 1 п. 18.1, последовательность {у(Л)}
сходится к точке у*01:
lim yw=ym.
к-~оо
В силу же существования предела lim g(y), имеем
^у(О)
lim g(y('t)) = lim g(y),
k—oo p->y0)
t. e.. согласно (19.19),
limgt/iCx01’. .... ,/m(xw))= lim g(y), (19.20)
k—*oo
и поскольку последовательность {x(fc)} является произвольно
выбранной последовательностью точек множества X, сходящей-
ся к точке х(0), равенство (19 20) означает справедливость
равенства (19.18). □
Следствие непосредственно вытекает из теоремы в силу
определения (19.13) непрерывности функции. Действительно, так
как Пт/ДхД/Дх^’ДуГ*, к=\, 2, ..., т и lim g(y)=g(y<0)), то,
Y<°> y->j(0)
согласно теореме,
limg(/t(x), ..., /m(x))= lim g(y)=g(y(0))=g(y<i0), ..., y^0)) =
X->X(0’ y->j/0)
=Ж(*(О,)>
т. e. сложная функция g(/1? ..., fm) действительно непрерывна в
точке х(0). □
Замечание. Как и в одномерном случае, если в множество
определения функции g входит некоторая окрестность Е/(у(0))
точки j’(0) —(j’i°\ •••? Ут})^ где У(к\ к=\, 2, ..., т, определяются
равенствами (19.16), то существует такая окрестность 6/(х(0))
точки х(0), что для сужений функций /15 ..., на пересечении
ХР|С/(х(0)) (обозначим их соответственно /10, ..., /ж0) определена
композиция g(/10, ..., До)-
В самом деле, из существования пределов (19.16) следует, что
для указанной окрестности t/(y(0)) точки у(0) существует такая
окрестность точки х(0), что если xet/(x(0))P|X го
(/Дх), ..., Д(х))е/7(у<°’).
441
С помощью теоремы 2 можно легко установить непрерыв-
ность функций, наиболее часто встречающихся на практике, а
именно элементарных функций многих переменных.
Определение 6. Функции, получающиеся из переменных х19 ...
..., хп с помощью конечного числа композиций элементарных
функций одного переменного, операций сложения, умножения и
деления, называются элементарными функциями переменных
х1? ..., хп.
Например, функция /(х, y) = xeysin*+y является элементарной
функцией двух переменных х и у. Действительно,
/(х, y) = xw, w = ev, v=yz, z = sint, r = a = xy, P = x+y.
Из теоремы 2 и сохранения непрерывности в соответствую-
щих точках при арифметических операциях над непрерывными
функциями (см. п. 19.4) следует, что всякая элементарная
функция любого числа переменных непрерывна в каждой точке
области своего определения.
19.6. ТЕОРЕМЫ О ФУНКЦИЯХ, НЕПРЕРЫВНЫХ НА МНОЖЕСТВАХ
Функция f называется непрерывной на множестве X. если она
непрерывна по этому множеству в каждой его точке. Иногда в
этом случае говорят также, что функция f непрерывна в
множестве X.
Докажем ряд теорем о функциях, непрерывных на множествах.
Эти теоремы доказываются аналогично соответствующим теоре-
мам для функций одного переменного. Рассмотрим их при
достаточно общих предположениях, это позволит более глубоко
выяснить, с чем связаны рассматриваемые свойства непрерывных
функций. Начнем с обобщения теоремы Вейерштрасса (см. п. 6.1)
на многомерный случай. Определение ряда понятий, которые
будут рассматриваться ниже, таких, как, например, ограничен-
ность функции, верхняя и нижняя грани функции и т. п., см. в п. 5.1.
Теорема 3. Всякая функция, непрерывная на компакте,
ограничена на нем и достигает своей верхней и своей нижней
грани*\
Доказательство. Пусть функция / непрерывна на ком-
пакте AczRn и пусть Л/^sup/ Выберем по аналогии с
А
одномерным случаем (см. доказательство теоремы 1 в п 6.1)
последовательность таких чисел ат, что
lim ат = М и ат<М, т=\, 2, ... .
т—-сс
** Иначе говоря, функция, непрерывная на компакте, принимает на нем
наибольшее и наименьшее значения.
442
Для каждого т= 1, 2, ... существует такая точка х(щ)еЛ, что
/(х(^)>^ш- Множество А—компакт, поэтому из последователь-
ности (х(ш)} можно выделить сходящуюся подпоследователь-
ность {x(Wfc)}, предел х(0) которой лежит в А:
lim х(т^ = х(0)ЁА.
/с—*00
Для любого Zr= 1, 2, ... справедливо неравенство
Переходя в нем к пределу при к-+со, получим
lim f(x(md) = M. В силу же непрерывности функции f в точке х(0)
/с—со
по множеству А, имеем lim /(х(тл})=/(х(0)) и, следовательно,
Таким образом, верхняя грань функции f конечна, поэтому
функция f ограничена сверху; кроме того, эта верхняя грань
достигается в точке х(0)еА. Аналогично доказывается, что
функция / ограничена снизу и что ее нижняя грань достигается в
некоторой точке множества А. □
Рассмотрим теперь обобщение теоремы Коши о промежу-
точных значениях (см. п. 6.2) для случая функций многих
переменных.
Теорема 4. Пусть функция f определена и непрерывна в
области GczRn; тогда, принимая какие-либо два значения в G,
функция f принимает в G и любое значение, заключенное между
ними.
Доказательство. Пусть функция / определена и непре-
рывна в области G(^Rn, пусть x^}eG, x(2)eG, /(х(1)) = я, f(x(2}) = b
и, например, а<Ь. Пусть, далее, с — какое-либо число такое,
что а<с<Ь. Согласно определению области (см. определения 27
и 28 в п. 18.2), существует такая кривая x(t), oc^Z^p, что
х(оф=х(1), х(р) = х(^ и x(z)gG при всех Zg[oc, Р].
Если x(z) = (x1(z), ..., xn(z)), то, по определению кривой,
функции xf(z) непрерывны на отрезке [ос, р]. Согласно же
теореме 2 о суперпозиции непрерывных функций многих
переменных, функция/(x(z))=/(x1 (z), ..., xn(z)) также непрерыв-
на на отрезке [ос, р]. Так как (аг(ос)) = 6/, /(x(P)) = h и a<c<b,
то, согласно теореме Коши (см. п. 6.2), существует точка zoe
такая, 4to/(x(z0)) = c. Полагая x(0) = x(z0), имеем x(0)eG и
Следствие. Функция ф определенная и непрерывная в
замкнутой области G, принимая какие-либо два значения,
принимает в G и любое промежуточное значение.
Доказательство. Пусть G — область, функция /опреде-
лена и непрерывна на ее замыкании G, x(1)gG, х(2) eG,
443
/(х(1)) = д, f(x(2}) = b и пусть для определенности а<с<Ь.
Докажем, что существует точка I^eG такая, что /(Q = c.
Возьмем число £ > О, определяемое равенством
8 = min {с — а, Ь — с}.
В силу непрерывности функции /, в точке х(1) существует такое
8 = 8(е)>0, что если хеС/(х(1); 8)QG, то |/(х)—/(х^1))<е и,
значит, |/(х) — а\<с — а. в частности f(x)<c. Точка х(1)е5, т. е.
точка л(1) является точкой прикосновения множества G, поэтому
в окрестности С/(х(1); 8) заведомо существует точка, принадле-
жащая G; обозначим ее у{1\ Таким образом, j(1)ei7(x(1s 8)QG,
поэтому /(^(1))<с. Аналогичным методом доказывается су-
ществование точки j(2)eG такой, что /(j(2))>c. Из существова-
ния в области G точек j(1) и /2) с указанным свойством, в силу
теоремы 4, вытекает существование в G точки £ такой, что
Ш = с. □
Отметим, что ни при доказательстве самой теоремы 4, ни
при доказательстве ее следствия не использовалось то, что
множество G открыто. Принималось во внимание лишь то, что
любые две его точки можно соединить кривой, принадлежащей
самому множеству, т. е. что оно линейно связно.
Упражнение 4. Пусть функция f непрерывна и принимает значения
разных знаков на открытом множестве. Доказать, что множество точек, в
которых //0, является открытым множеством, но не является областью.
Задача 17. Построить пример области О, в замыкании G которой
существуют две точки, не соединяемые в G непрерывной кривой.
19.7. РАВНОМЕРНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ.
МОДУЛЬ НЕПРЕРЫВНОСТИ
Наряду с понятием непрерывности функции в точке в
математическом анализе большую роль играет понятие равно-
мерной непрерывности функции на множестве.
Определение 7. Функция f(x\ определенная на множестве
X<ziRn, называется равномерно непрерывной на X, если для
любого £>0 существует такое 8 = 8(е)>0, что для любых двух
точек хеХ, х'еХ, удовлетворяющих условию
р(х, х')<8, (19.21)
выполняется неравенство
|/(х)-/(*')1<е- (19.22)
Отметим, что если функция f равномерно непрерывна на
множестве X, то она и просто непрерывна на X, т. е.
непрерывна в каждой точке х(0)еХ. Чтобы в этом убедиться,
достаточно, например, в (19.21) и (19.22) положить х' — х(0).
Если же функция f непрерывна в каждой точке хеХ, то для
любого £>0 существует лишь 8 = 8(е; х) такое, что для всех
444
х'еХ удовлетворяющих условию р(х, х')<8, выполняется
неравенство х'еХ. В этом случае выбор 8 зависит не только от
но, вообще говоря, и от точки х.
Подчеркнем, что в том случае, когда функция / равномерно
непрерывна на множестве X, выбор соответствующего 8 зависит
только от е и не зависит от выбора рассматриваемых точек
множества X.
Отличие понятия равномерной непрерывности функции от
понятия ее непрерывности на множестве хорошо видно при
записи определений этих понятий с помощью логических
символов. Условие непрерывности функции f на множестве X
имеет вид
Ve>0 ЧхеХ 3 8>0 Ух'еУ, р(х', х)<8: |/(х') —/(*)|<8,
а условие ее равномерной непрерывности на X—вид
V8>0 3 8>0 VхеХ, Vх'еХ, р(х', х)<8: |/(х') —f(x)\<z.
Примеры. 1. Функция f(x) = x равномерно непрерывна на
всей числовой оси, так как, если задано 8>0, достаточно взять
8 = 8; тогда если |х—х | < 8, то, в силу равенств /(х) = х,
/(х') = х', получим |/(х)—/(х')|<8.
2. Функция /(x) = sin-, х^О, будучи непрерывной на своей
области определения, т. е. на числовой оси, на которой удалена
точка х = 0, не будет на ней равномерно непрерывна.
В самом деле, если взять, например, 8=1, то при любом
сколь угодно малом 8 = 1 найдутся точки х и х', например точки
вида
1 , 1
х =------ и х =-------
л 3
-+2ли -я + 2о
2 2
(и — достаточно большое натуральное число) такие, что
|х—х'|<8, а вместе с тем |/‘(х) —Дх')|> 1.
3. Функция /(х) = х2 не равномерно непрерывна на всей
числовой оси R. Это следует из того, что для любого
фиксированного W0 имеет место равенство
lim [/(х4-Л) —/(х)]= lim [(х + /?)2 —х2] = lim (2хЛ + Л2) = оо.
X—>00 х—>оо х—>00
Поэтому если задано 8 > 0, го, каково бы ни было 8 > О,
зафиксировав А=£0, |Л|<8, можно так выбрать х, что будут
выполняться неравенства |/(х+Л) —/(х)|>8, |Л|<8.
В качестве достаточного признака равномерной непрерыв-
ности функций одного переменного на интервале отметим
следующий.
445
Лемма 1. Если функция f(x) определена и имеет ограничен-
ную производную на некотором интервале (а, Ь), то она
равномерно непрерывна на этом интервале.
Действительно, если |./'(х)|^с (с — постоянная) на (а, 6), то
с помощью формулы конечных приращений Лагранжа (см.
п. 11.2) получим
I Ж) ~/(х)1=I/' (£) ’
а<х<Ь, а<х'<Ь, а<^<Ь. (19.23)
Поэтому для £>0 достаточно взять §=-; тогда если |х'—х|<8,
С
а<х<Ь, а<х'<Ь, то, в силу (19.23), справедливо неравенство
|/(х') —/(х)| <£, что и означает равномерную непрерывность
функции f на (а, Ь). □
Аналогичный результат имеет место для любого промежут-
ка, конечного или бесконечного. Обобщение этого критерия на
многомерный случай будет дано в п. 39.2.
Принципиальное значение имеет следующая теорема.
Теорема 5 (теорема Кантора). Функция, непрерывная на
компакте, равномерно непрерывна.
Следствие. Непрерывная на отрезке функция, равномерно
непрерывна.
Доказательство теоремы. Воспользуемся методом от
противного. Допустим, что существует функция /, определенная
и непрерывная на некотором компакте AcRn, но не равномер-
но непрерывная на нем. Тогда существует такое со>0, что для
любого 8>0 найдутся точки х'ьеА и х%еА (индекс 8 у точек
означает, что они зависят от выбора 8), для которых р(х5,
х§)<8 и вместе с тем |/(xg) —/(х§)|>80. Возьмем какую-либо
последовательность чисел 8W так, чтобы lim 8m = 0, например
т-+со
8т = —, т=1,2, ... . Пусть х'м = х'& , х"(т) = Х8 и, значит,
п т
р(х'(т), х',(т))<Д |/(х"(т)) -/(х'(т))|^Е0. (19.24)
Множество А является компактом, поэтому из последова-
тельности {x,(w)} можно выделить сходящуюся подпоследова-
тельность {х'{тд}, предел которой принадлежит компакту Л,
lim х,(шл) = ^ = Л. Точка £ является точкой прикосновения
k-+co
замкнутого множества А, и поэтому Е>еА.
Рассмотрим теперь подпоследовательность {х"(гпд} последо-
вательности {х"(т)}, соответствующую подпоследовательности
446
ix',mk>}- Докажем, что lim = Действительно,
/<-*оо
р(х"("Ч ^)^р(х"(т‘), х'(тД + р(х'("Ч £)<— + р(х'<’Ч £),
тк
и так как р(х'(т,‘), ^)-»0 и — -»0 при к->со, то и р(х"<т^, £,)->0
тк
при к-+со, а это и означает, что х"(ГПк}-^^ при к-+оо.
В силу непрерывности функции f в точке ^еА, имеем
И при /с->со и, следовательно,
-f(x,{rnk))-^0 при £^оо. (19.25)
Но, согласно способу построения последовательностей {х,(ш)} и
{х”(т)} (см. (19.24)),
\Дх"(гПк}) ~/(х'(тА)\^г0 (19.26)
для всех к= 1, 2, ... .
Очевидно, условия (19.25) и (19.26) противоречат друг другу.
Это и доказывает теорему 5. □
Справедливость следствия вытекает из того, что отрезок
является компактом.
Отметим, что при отказе от требования, чтобы множество,
на котором рассматриваемая функция непрерывна, было ком-
пактом, она может уже не оказаться равномерно непрерывной.
Например, функция Дл) = - определена и непрерывна на
интервале (0, 1), который хотя и является ограниченным
множеством, но не является замкнутым; эта функция не
является равномерно непрерывной на интервале (0, 1). Функция
у = х2 определена и непрерывна на всей действительной оси,
которая хотя и является замкнутым множеством, но не является
ограниченным. Эта функция также неравномерно непрерывна на
. 1
действительной оси. Доказательство того, что функция у = -
неравномерно непрерывна на интервале (0, 1) дано ниже в этом
пункте.
Часто оказывается более удобным другой подход к понятию
равномерной непрерывности, а именно с помощью модуля
непрерывности функции.
Определение 8. Пусть функция f определена на множестве
XczRn. Ее модулем непрерывности со (5;/; X) называется функ-
ция
со (5;/; Х)= sup [Дх")-Дх')], (19.27)
р (%',
447
Часто для краткости вместо со (8;/; X) пишут просто со (8;/)
или даже со (8).
Здесь под функцией со понимается функция, которая прини-
мает, вообще говоря, значения в расширенном множестве
действительных чисел, а именно она может принимать значение
+ 00.
Нетрудно убедиться, что
sup [/(%') -/(*")]= sup \f(x")-f(x')\, х’сХ, х"еХ,
р (У, х") 5 р (%', х") < 5
т. е. в правой части равенства (19.27) под знаком верхней грани
можно писать или не писать знак абсолютной величины, при
этом величина указанной верхней грани не меняется.
Очевидно также, что со (8)^0.
Далее, если 0<81<82, то
{j: У =.f(x") р (У, х")} с
<= {У У =f(x") -f(x'), р (У, х") 52},
откуда
sup №")-Ж)]< sup №")-/(*')]
р (У, х") < р (У, х") б2
(так как при расширении числового множества его верхняя
грань может только возрастать), т. е. со(81)^со(82), иначе
говоря, модуль непрерывности является возрастающей функ-
цией.
Задача 18. Пусть G — область в Rn. Доказать, что если lim то
8->о ь
J— постоянная функция.
Примеры. 1. Найдем со (8) для функции >’ = х2, — оо<х<+оо.
Для любого 8>0 и произвольного фиксированного х0 имеем
со(8;х2)^ sup (х" -х' )^Xq — (х0 —8)2 = 2х0 8 — 82. (19.28)
Это неравенство верно для всех х0, и гак как при любом
фиксированном 8 имеем lim (2х0 8 — 82)= + оо, то из (19.28)
%0-> + сс
получаем
со(8; х2)=4-оо, —оо<х< + оо.
Найдем теперь модуль непрерывности функции у = х2 на
448
отрезке [0, 1 ]. Интуитивно ясно,
что так как модуль непрерывности
со (8) описывает, согласно определе-
нию, наибольший рост функции на
отрезке длины 8, то, чтобы по-
лучить модуль непрерывности
функции, в данном случае следует
взять отрезок [1—8, 8], на котором
функция /(х) = х2, O^x^l, растет
наиболее быстро: модуль непрерыв-
ности совпадает (рис. 104) с прира-
щением функции на этом отрезке
(о(8)=/(1) —/(1 — 8)= 1 — (1 —8)2 = 2 8 —82. .
Аналитически это проверяется следующим образом. Пусть
0 < х" — 8 х' х" 1, тогда, в силу неравенства
х"2-х'\х"2- (х" —8)2 = 2 х" 8 —82^2 8 —82,
получим
со(8;х2) = sup (х" — х' )^28 —82, (19.29)
|х"-х'|^3
но если взять х' = 1—8, х"=1, то
со(8;х2) = sup (х"2-х,2>1 -(1-8)2 = 2 8-82. (19.30)
Из оценок (19.29) и (19.30) следует, что на отрезке [0, 1]
имеем со(8; х2) = 2 8 — 82.
2. Рассмотрим функцию j’ = sin-, х#0. С одной стороны,
л • ц
со I о; sin ) = sup
.1 .1
sm — — sin —
i • 1
sup I sm —
|х"-х'|^Д x"
sup 2 = 2.
|x" — У к 6
X \ f 3 \
С другой стороны, выбрав x"= 1/1 -+2 л и), х^ = 1/1 - л + 2 л п \ и
зафиксировав п так, что |х^|^8/2, |х"|^8/2, и поэтому |х" — х'и|^
|х^| + \х'п|<8, будем иметь
Л • 1V • 1 • 1 1 , 1 о
со 8; sm - 1 > sm — — sm — = 1 +1 = 2.
Из полученных оценок следует, что со (8; sin-j = 2.
15-1807
449
3. Рассмотрим функцию у=- на интервале (0, 1).
При любом фиксированном 8, 0 < 8 < 1, имеем
cofs;-1= sup (——-) = sup f— — —— —!—** =
' X' |х"-У|^5'Г A' x"' X° A'o + 5
8
=—-----+ при xo->+0.
x0(.r0+8)
Таким образом, со(8; 1/л)= Too.
В терминах модуля непрерывности равномерная непрерыв-
ность может быть выражена следующим образом.
Теорема 6. Для того чтобы функция f, определенная на
множестве X, была равномерно непрерывной на этом мно-
жестве, необходимо и достаточно, чтобы
lim ш (8;/; Х) = 0.
8->Т0
(19.31)
Доказательство. Пусть функция/равномерно непрерыв-
на на множестве X, т.е. выполнены условия (19.21)—(19.22);
тогда для любого е>0 существует такое 8е>0, что если х'еХ,
х'еХ, р(лЛ %")<8е, то |/(х") —/(.y')|<e/2. Отсюда явствует, что
для любого 8<8е выполняется неравенство
sup |/(х")
р(У,л-"М
т. е. если 0<8<8с, то со (8) <8. Это и означает, что lim со (8) = 0.
Необходимость условия (19.31) доказана.
Докажем достаточность условия (19.31). Выполнение условия
(19.31) означает, что для любого 8>0 существует такое 8е>0,
что если 0 < 8 < 8£, то со (8; /; X) < 8. Выберем какое-либо из
указанных 8. Тогда при р(х', х")<8, х'еХ, х”еХ, будем иметь
(см. (19.27)) |/’(х") —/(.y')|<co(8,/, Х)<8, т.е. функция / равно-
мерно непрерывна на X. □
Мы видели выше, что на отрезке [0,1] со (8; х2) = 2 8 — 82,
поэтому lim со(8;х2) = 0 и, следовательно, функция х2 равно-
8->+0
мерно непрерывна на этом отрезке, как и должно быть согласно
теореме 5. Модуль непрерывности той же функции х2, но уже
рассматриваемой на всей вещее гвенной оси, так же как и
модули непрерывности со( 8, sin -), х=^0, и со( 8; - ], 0<х<1, не
\ X/ \ X/
Здесь х0 таково, что 0<хо<1—8.
450
стремится к нулю при 8—>+0, поэтому все эти функции не
являются равномерно непрерывными на соответствующих мно-
жествах.
Упражнения. 5. Доказать теорему Кантора о равномерной непрерыв-
ности функции, непрерывной на компакте, с помощью леммы Гейне — Бореля
(см. теорему 4 в п. 18.3 и замечание после нее).
6. Непрерывная на отрезке [а, функция f(x) называется кусочно-линейной,
если существует такое разбиение отрезка [а, /?] на конечное число отрезков
[*i-P *4
а = х0 <x1<...<xi<...<xn_1 <xn = b,
что функция /(х) линейна на каждом отрезке [x._pxf], i= 1, 2, ... , п — 1.
Доказать, что всякая непрерывная на отрезке [a, функция Г(х) может
быть с любой степенью точности аппроксимирована кусочно-линейной функ-
цией, т. е. для любого 8>0 существует такая кусочно-линейная функция/(х), что
для всех хе[й,/?] выполняется неравенство |Г(х) —/(х)| <8.
Введем теперь еще некоторые понятия, полезные для
дальнейшего.
Определение 9. Пусть XcRn. Число (конечное или бесконеч-
ное] d= sup р(У, х") называется диаметром множества X и
х'еХ х"еХ
обозначается через diam (X).
Упражнение 7. Доказать, что множество Хс-К" ограничено тогда и
только тогда, когда diam (Х)< + оо.
Определение 10. Пусть функция f определена на множестве
Xcz Rn; тогда значение модуля непрерывности со (8; ф X] при 8,
равном диаметру множества X, т. е. со (diam (X); /; X), назы-
вается колебанием функции / на множестве X и обозначается
через со (/; X) или просто со (/).
Очевидно, что, в силу (19.27),
(О Ц; X) = sup [f(x") -f(x')] .
х'еХ, х"еХ
Напомним, что если в правой части этого равенства взять
верхнюю грань абсолютных величин написанных там разностей,
то получится то же самое значение.
Замечание. Из сказанного в этом и предыдущем парагра-
фах, в частности, видно, что в ряде вопросов, относящихся к
функциям многих переменных, всю их специфику можно в
достаточной мере усмотреть уже в двумерном или трехмерном
случае. Благодаря удачно выбранным определениям и обозна-
чениям доказательства теорем автоматически переносятся со
случая л = 2 на произвольный и-мерный случай, что иногда
приводит лишь к некоторому усложнению записи. Случай же
и = 2 имеет преимущество геометрической наглядности и более
простой записи, когда в ней участвуют координаты точек.
Поэтому для большей ясности и простоты изложения мы, как
451
правило, будем подробно рассматривать лишь случай п = 2 или
/7 = 3, а в случае произвольного п лишь формулировать
соответствующие результаты или даже только отмечать воз-
можность их обобщения на случай произвольного п. Если же
при рассмотрении какого-либо вопроса при п>3 возникают
специфические трудности, то этот вопрос будет детально
рассматриваться в общем случае.
§ 20. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ.
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ МНОГИХ
ПЕРЕМЕННЫХ
20.1. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ЧАСТНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
Рассмотрим сначала случай функций трех переменных.
Определение 1. Пусть в некоторой окрестности точки
(х0, j/0, zo) задана функция и = и{х, у, z). Фиксируя переменные у и
z; У=У^ Z=:Z^ получим функцию одного переменного х:
и = и{х, у0, z0). Обычная производная {см. п. 9.1) этой функции в
точке х = х0 называется частной производной функции и (х, у, z)
в точке (х0, у0, z0) по х и обозначается через Уо> z°).
Таким образом,
д и (х0, у0, z0) def dи (х, у0, z0)
дх dx
X = XQ
Заметим, что обозначение частной производной по перемен-
ной х через
традиционно. Правильнее было бы
писать
так
д и
как — является единым символом,
д х
обозначающим новую функцию, значение которой и рассматри-
вается в точке (х0, у0, z0).
Если вспомнить определение обычной производной — (см. п.
dx
9.1) то, согласно этому определению, можно написать
д и(*о, Уо-> zo) _ ।ц(х0 + Ах, у0, z0) — и(х0, у0, z0)
д х дл А х
Ах->0
или, если ввести обозначение м(х0 + Ах, у0, z0) —и(х09 у,
= Лхи, (Лхи — приращение функции по переменной х),
ди .. \и
—- = lim
дх . .Ах
Ах->0
О’
452
Аналогично вводятся частные производные по у и z:
То. ^о) _ du(xQ, у, z0)
dy
У=Уо
о du(x0, То. *о) = d и (х0, То. z)
dz dz
Z = ZQ
ИЛИ
du , • Av и du !. A_ и
— = lim , — = lim ,
dy A A А т dz A Л Az
z Aj’-^O z Az->0
где Ayu и Azu — приращения функции соответственно по
переменным у и z.
Частным дифференциалом dx и функции и (х, у, z) в данной
точке называется ее дифференциал по переменной х при условии,
что переменные у и z фиксированы.
Из свойств дифференциала функции одного переменного
следует, что
dxu = — dx.
х dx
Аналогично определяются частные дифференциалы dyu, dzu.
Для них имеют место формулы
7 d U 7 7 d U J
cLu =— dy. d7u = —dz.
y dy J z dz
Подобные определения имеют место для любого числа
переменных.
Если функция y=f(x1, ... , хп) определена в некоторой
окрестности точки х(0) = (х(!0), ... , х^0)), то, по определению,
df(x(?\ ... 40)) def df(x[°\ ... , х№
(20.1)
.(О)
или, что то же, если опустить обозначение аргумента,
lim
d х, . Л Ах
' Axt—>0 1
где Ах.^=Дл\°\ , х<°>ь х<0)+Ал(, ... , х<0)) ...
х^ь xi0), х5+\, , х^0)). Для обозначения частной производ-
ной применяются также обозначения ух или fx.
С Xi i i
Частным дифференциалом dx у функции y=J\x1. ... . х„) назы-
вается дифференциал этой функции, рассматриваемой как
функция только одной переменной xit остальные переменные
фиксированы.
453
Из свойств дифференциала функций одного переменного
следует, что
dx y — ^dxh i=l, 2, ... , п, (20.2)
и тем самым частный дифференциал dx у является линейной
функцией переменной Jy-, называемой дифференциалом незави-
симой переменной хР Здесь везде i= Ь, 2, ... , п. В случае п=1
частная производная совпадает с обычной производной, а
частный дифференциал—с обычным дифференциалом.
Подчеркнем, чго — — единый символ, т. е. в нем числитель
С X,
и знаменатель не имеют самостоятельного смысла. С другой
? у г
стороны, частная производная —-, конечно, может быть
д х{
записана и в виде частного двух дифференциалов: -^4 = -211.
с xt d Xi
Из определения частных производных, как обычных произ-
водных при условии фиксирования всех переменных, кроме
одной, по которой берется производная, следует, что при
вычислении частных производных можно использовать правила
вычисления обычных производных. Пусть, например, требуется
найти производную — функции z=xvd. Для этого, Зафиксиро-
вал’
вав в этой формуле х, получим функцию одной переменной у;
вычисляя ее производную, будем иметь
CZ $ J a fx\ х(у—х)еу
—=хе +ху еу— - =---—-— .
$У Gy\yJ у
В заключение этого пункта отметим, что из непрерывности в
данной точке функции п переменных не вытекает существование
у нее в этой точке частных производных. Соответствующий
пример в случае п = \ был приведен ранее (см. п. 9.2). Важно
заметить, что при /7^2 из существования даже всех частных
производных в некоторой точке не следует непрерывность
функции в этой точке Это естественно, поскольку условие
непрерывности функции нескольких переменных в точке накла-
дывает определенное ограничение на ее поведение при прибли-
жении к этой точке по всем направлениям, в то время как
существование частных производных в точке означает, что
Напомним, что при и=1, т. е. для функции одной переменной из
существования в точке производной, вытекает и непрерывность функции в этой
точке (см. п. 9.2).
454
функция удовлетворяет определенным условиям при приближе-
нии к указанной точке лишь в направлении координатных осей.
Чтобы в этом наглядно убедиться, рассмотрим функцию
Дх, /), равную нулю, если ху = 0, и единице, если ху^О.
Очевидно, Дх, 0)=Д0, Д = 0 и, следовательно,
а/(о, о)_ гдо, о)
Однако эга функция разрывна в точке (0, 0), так как, например,
ее предел вдоль прямой у = х с удаленной из нее точкой (0, 0)
при (х, г)—»(0, 0) равен 1, а ДО, 0)^0.
Более того, существуют функции, имеющие частные произ-
водные во всех точках и все-таки разрывные. Примером
является функция
Эта функция имеет частные производные во всей плоскости и
разрывна в точке (0, 0) (почему?).
20.2. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ В ТОЧКЕ
По аналогии с функцией одного переменного, функция ос(х),
х=(х15 ..., хи), многих переменных, заданная на множестве л,
называется бесконечно малой при х->х(0) по сравнению с
функцией р(х), заданной на том же множестве если
существует такая функция ф(х), определенная также на мно-
жестве X, что в некоторой окрестности точки х(0) для всех точек
х множества X выполняется равенство
ос (х) = ф (х) р(х)
lim ф(х) = 0.
х-*х(0)
В этом случае пишут
ОС = б?(Р), х->х(0),
Как и для функции одного переменного, если х(0)еХ, т. е.
если функции а, [3 и ф определены в точке х(0), то из
приведенного определения «о-малого» следует непрерывность
функции ф в точке х(0), а поэтому и равенство ф(х(О)) = 0
При определении дифференцируемости функций многих
переменных рассмотрим сначала случай двух переменных: здесь
хорошо видна сущность понятия дифференцируемости, а соот-
ветствующие формулы, естественно, выглядят короче и проще,
чем в общем случае.
455
Пусть функция z=f(x, у)
определена в некоторой 5-ок-
рестности U = U(Мо, 5) точ-
ки М0=(х0, у0) и пусть
(рис. 105)
Л/ = (х, у)еЩМ0; 5),
Ах = х-х0, Ау=у-у0,
а следовательно,
р = р(Л/, Мо) = -УАх2 + Ау2<5.
Пусть, наконец
Az=/(x0 + Ax, у0 + Ау)-/'(х0, у0).
Обычно Az называется полным приращением функции; это
название объясняется тем, что здесь, вообще говоря, все
независимые переменные получают приращения, отличные от
нуля.
Определение 2. Функция z=f(x, у) называетея дифференци-
руемой в точке (х0, у0), если существуют два такие числа А и В,
что
Az = A Ах + ВАу+о(р). р->0. (20.4)
Определение 3. В случае дифференцируемости функции f в
точке (л0, у0) линейная функция ААх + ВАу переменных Ахи Аг
называется полным дифференциалом или просто дифференциа-
лом функции f в точке (х0, у0) и обозначается через dz.
Таким образом, dz = A Ах + ВАу.
Вместо Ах и Ау используют также равнозначные обозначе-
def def
ния dx и dy. т. е. dx^Ax. dy — Ay. Таким образом,
dz= A dx-\-Bdy.
функцию о (р), согласно определению символа «о малое», можно
представить в виде
о(р) = е(Ах, А у) р,
где
lim 8 (А х. Ау) = 0, (20 5)
р—о
и функция 8 (A y, Ау) определена, согласно тому же определению,
в точке (0, 0), так как в этой точке определены функции р и
456
я(р) = Az — A Ax —В Ay.
Поэтому
£ (0, 0) = 0. (20.6)
Таким образом,
Az = A Ax + B Ay + e(Ax, Ay)p (20.7)
причем выполняется условие (20.5).
Запишем соотношение (20.7) в другой форме, при этом все
Ниже написанные пределы будут браться по целой окрестности
точки (0, 0).
Лемма 1. Условие (20.7) эквивалентно условию
ос(Ах, A>’)^e(A х) p = Ej (А х, Ау)АхЧ-£2(Ах, Ау)Ау, (20.8)
где lim Et = lim е2 = 0.
р—*о р->о
Доказательство. Пусть выполнено условие (20.7) и
а = ер, где е-*0 при р—>0; тогда при р#0
а=ер = е ^/Д х2 + Ду 2 =
= е =----Л.х4-е Aj;—Ay = £i Дх+£2 Ду,
^/Д х2 + Ду2 УДх2+Ду2
где £,=£——Лл=, £-. = £ = Заметив, что
УД х2 -Г Ду2 УДх2 + Ду2 ^/Д х2 + Ду2
———, имеем |е, |^|е|, I£21I £| при р/0. Если же р = 0, то
Ч/Дх2 + Ду2
положим е1=£2 = 0. В результате lim£1 = lim£2 = 0, т.е. получи-
р—-0 р—-о
лось представление функции а в виде (20.8).
Пусть, наоборот, выполнено условие (20-8), т.е. a = £jAx +
+ £2Ду, где с^О и е2->0 при р->0. Тогда при р/0 имеем
а—
Ах , А у
. —£1 + —====
^/А х2 + Ду2 ^/А х2 + Ах2
е2 I у/А х2 + Ау2 = ер,
где "---Еч 4- у —е? и, следовательно, IeK|8iI + |82I
7Лх2 + Ау2 >/Ах2+Ах2
при рт^О. Если же р = 0, то положим е = 0. В результате
получим, что е—>0 при р->0, а это означает, что функция а
представлена в виде (20.7). □
Теорема 1. Если функция z=f(x, j) дифференцируема в
точке (х0, j^0), то она непрерывна в этой точке.
457
Действительно, так как | А х | р и |Ау|^р, то из формулы
(20.7) и следует, что при р—>0 имеет место Az~»0. Это и
означает непрерывность функции f в точке (х0, у0). □
Теорема 2. Если функция z=f(x, у) дифференцируема в
точке (х0, у0) и dz = Adx + Bdy—ee дифференциал в этой точке,
то в точке (х0, у0) у функции f существуют все частные
производные и
То) = А То) в z ?0 9•
сх ' су '
Таким образом,
dz = ~ dx 4- dy. (20.10)
ох су
Доказательство. Согласно определению дифференцируй
мости (см. (20.4) и (20.8)),
Az = A Ax+BAy + Ci Ax + Ej Ay,
где
lim = lim e2 = 0. (20.11)
p—*0 p—0
Если Ap = 0, то Az — Axz = А Ат+в, Ax, где limc^O (это
Ax-»0
следует из (20.11), поскольку, полагая Ау = 0, получим р = |Дх|).
Отсюда, разделив на Ах при Ах^О, будем иметь
Д 7
^-=л + е]> (20.12)
Дх
где при Ах->0 правая часть стремится к пределу, равному А.
поэтому и левая часть при Ах->0 имеет тот же предел, а это и
означает (см. (20.1)), что в точке (х0, у0) существует частная
производная — =А. Аналогично, полагая в (20.4) Ах = 0 и
дх
переходя к пределу, при Ар—>0, Лу/О получим — □
(У
Следствие. Если функция /(х, у) дифференцируема в точке
(х0, то она имеет единственный дифференциал.
Единственность дифференциала непосредственно вытекает из
формул (20.9), так как частные производные в данной точке
определяются однозначно.
Вспоминая определения частных дифференциалов (см.
(20.2)), формулу (20.10) можно переписать в виде
dz — dx z 4~ dy z^
т. e. полный дифференциал функции (когда он существует)
является суммой ее частных дифференциалов.
458
Заметим, что утверждение, обратное теореме 2, не имеет
места: существуют функции, имеющие все частные производные
во всех точках плоскости, но не дифференцируемые в некоторой
точке. Примером может. служить функция (20.3), приведенная в
конце предыдущего пункта: в точке (0, 0) эта функция не
непрерывна, откуда, в силу теоремы 1, вытекает, что в точке
(0, 0) она и не дифференцируема.
Из сказанного следует, что не всегда выражение dxz+dyz,
когда оно имеет смысл, является полным дифференциалом
функции. Связь между дифференцируемостью функции в точке
и существованием в этой точке частных производных сложнее,
чем связь между дифференцируемостью и существованием
производной функции одной переменной.
Сформулируем достаточные условия в терминах свойств
частных производных для дифференцируемости функции.
Теорема 3. Пусть функция z=f(x, у) в некоторой
окрестности точки (х0, у0) имеет частные производные и
которые непрерывны в самой точке (х0, у0); тогда функция
z=f(x, у) дифференцируема в этой точке.
следствие. Если функция z=f(x, у) имеет в некоторой
/ \ х cz dz
окрестности точки (х0, у0) частные производные — и —, причем
эти частные производные непрерывны в самой точке (х0, у0), то
и функция z—f(x, у) также непрерывна в этой точке.
Доказательство теоремы. Обозначим через U (8)
8-окрестность точки (х0, у0), в которой определена вместе со
своими частными производными fx и fy функция /. Выберем А х
и Ау так, чтобы (х0 + Ах, у0 + Ау)е С/(8). Замечая, что
Az=/(x0 + A%, y0+ky)-f(x0, j0)=
= [/(х0 + Ах> Jo + AJ’)~/(xo> Jo + AJ’)]+Jo + Aj)-/(*o> Jo)]»
применим к выражениям в квадратных скобках, являющимся
приращениями функций только одной переменной, формулу
конечных приращений Лагранжа (см. п. 11.2). Это возможно,
поскольку функция Дх, у04-Ау), рассматриваемая как функция
одного переменного х, имеет на отрезке с концами в точках х0
и х0 + Ах производную (являющуюся частной производной по х
функции f). Действительно, отсюда следует непрерывность этой
функции на указанном отрезке и, конечно, дифференцируемость
в его внутренних точках. Таким образом, функция Дх, у0 + Ау)
удовлетворяет всем условиям, при которых была доказана
формула конечных приращений Лагранжа. Аналогично прове-
ряется и возможность применения формулы Лагранжа к
функции Дх0, у), рассматриваемой как функция одного пере-
459
менного у на отрезке с концами в точках >’о и у0 + Лу. Тогда
Az =А (*о + 61 &х, у0+Ду) А х +fy(х0, у0 + 02 Ау) Ау, (20.13)
0<91<1, О<02<1,
причем 0Х и 02 зависят, конечно, от выбора точки (х0 + Ах,
j/0 + Aj), т.е. от А % и Ау.
Если
А(*о + 91д*> .Уо + Ду)-А(*о> Уо) = £1,
fy(x0, y0 + e2Ay)-fy(x0, Уо) = £2, (20.14)
где
е^еДАх, Ау), е2 = е2(Ах, Ау),
то, в силу непрерывности частных производных fx и f в точке
(х0, у0), имеем
lim£1 = lim£2 = 0. (20.15)
р—*-0 р—"О
Найдя из (20.14) выражения для/х(хо + 01 Дх, у0 + Ау) и /Дх0,
уо + 02Ау) и подставив их в (20.13), получим
Az=/X(xo, y0)Ax+/J,(x0, y0)Ay + E! Ах + £2Ау, (20.16)
что, в силу выполнения условий (20.15), и означает дифференци-
руемость функции f в точке (х0, (см. (20.4) и (20.8)). □
Следствие из теоремы вытекает из того обстоятельства, что
функция, дифференцируемая в некоторой точке, является и
непрерывной в ней (см. теорему 1).
Теорема 3 имеет важное значение, поскольку понятие
дифференцируемости функции играет первостепенную роль в
ряде разделов теории функций многих переменных. Однако
непосредственная проверка дифференцируемости функции (на-
пример, для выяснения возможности применения тех или иных
теорем) часто бывает затруднительна, проверка же непрерыв-
ности частных производных, для вычислений которых имеется
удобный аналитический аппарат, оказывается проще.
Определение 4. Функция, имеющая в некоторой точке (на
некотором множестве) непрерывные частные производные, назы-
вается непрерывно дифференцируемой в этой точке (на этом
множестве).
Сопоставим определение дифференцируемости функции
(определение 2) и определение непрерывной дифференцируе-
мости (определение 4). Дифференцируемость функции в точке
означает существование в этой точке дифференциала, т. е.
справедливость для этой точки формулы (20.4). Непрерывная же
дифференцируемость функции в точке означает непрерывность в
этой точке ее частных производных. Таким образом, дифферен-
цируемость функции связана с понятием дифференциала, а
460
непрерывная дифференцируемость — с понятием частных про-
изводных. Вместе с тем из непрерывной дифференцируемости в
точке (на открытом множестве) следует дифференцируемость в
этой точке (на этом множестве); в этом состоит утверждение
теоремы 3.
В дальнейшем понадобятся некоторые дополнительные
свойства функций и 82 из формулы (20.16).
Определение 5. Пусть А и В — два плоских множества,
Ac=-Rxy, B<^R2 и пусть функция f=f(x, уч ич v) определена для
(х, у)еА, (и, v)eB.
Функция f называется равномерно стремящейся к нулю на
множестве А точек (х, j) при (и, г)—>(п0, г0), если для любого
8>0 существует такое 8>0, что для всех (и. г), удовлетворяю-
щих условию yj(u — w0)2 + (г — г0)2 < 8, и всех (х, у)еА выполняется
условие |/(х, у, и, г)|<8.
Общее определение равномерного стремления функции к
пределу будет дано в п. 39.4.
Теорема 4. Пусть функция z=f(x, у) непрерывно дифферен-
цируема на открытом множестве GczR2. Тогда
kz=fx(x, y)kx+fy(x, + Ах + 82Ау, (20.17)
где функции 81 = 81(x, у, Дх, Ау) и 82 = 82(х, у, Дх, Ау) равномерно
стремятся к нулю при р^^/Ах2 + Aj2—>0 на любом компакте
AczG.
Доказательство. Пусть А — компакт, лежащий в G
Тогда замкнутые множества А и R2\G не пересекаются, и так
как А ограничено (см. теорему 3 п. 18.3), то d=p(A, R\G)>Q
(см. лемму 7 п. 18.2).
Множество Ad/2 = {(x, ^):р((х, у), A) ^d/2} содержится в
множестве G и является компактом (см. лемму И п. 18.3).
Пусть теперь р = у/Дх2 + Ду2<^; тогда при (х0, у0)еА
получаем
(хо + 0! Ах, у0 + А^)еЛа/2, (х0, + 02 Ау)бЛ„/2,
о<е1<1, о<е2<1,
и, следовательно, согласно формулам (20.14), имеем неравен-
ства
|£il^®(p; /х; Ad/2), |е2|^<в(р; fy; Ad/2),
где в их правых частях стоят соответственно модули непрерыв-
ности функций fx и fy. Из непрерывности частных производных
fx и fy на компакте Ad/2 следует, что
lim со (р; fx; Ad/2)=0 и lim со (р; fy, Ad/2)=0.
р—>0 Р—”0
461
Поэтому для любого 8>0 существует 8>0 такое, что для всех
р < 8 выполняются неравенства
Мр; А; Л/2)<е, <о(р; Л; Л/2)<е-
Следовательно, для всех р<8 и всех (х0, у0)еА справедливы
неравенства
|8d<8, |s2|<8.
Это и означает равномерное стремление к нулю при р->0
функций 8j и е2 на компакте А. □
Замечание. В предположениях теоремы 4 приращение
функции Az представимо также в виде
Az=/X(x, у)Ах+/у(х, у)Ау + 8р, (20.18)
где 8 = 8 (х, у, Ах, Ау) равномерно на каждом компакте A^G
стремится к нулю, когда р = х/Ах2 + Ау2->0. Для доказательства
достаточно в формуле (20.18) положить 8 = 8!—+ е2 — при р=^0
р Р
и 8 = 0 при р = 0 (сравните с доказательством леммы в начале
этого пункта).
Все определения и утверждения этого пункта переносятся и
на случай функции у=/(х), х = (хг, ..., х„) любого числа п
переменных, определенной в некоторой окрестности точки х(0).
Например, условие дифференцируемости в данной точке х(0) в
общем случае выглядит так:
Ау = Л1Ах1 + ... +АпДхп+о(р), р->0, (20.19)
где
Р = Je by =f(xr, х„)-/А1°\ •••>
Axf = xf —х<0), i— 1, 2, ..., п.
Таким образом, если функция f дифференцируема, то
/(х)=/(х<0)) +л(х1-х(1о))+ - +Л„(х„-х!,0)) + о(р), р-0, (20.20)
т. е. функция f в окрестности данной точки с точностью до бес-
/я
конечно малых более высокого порядка, чем р= / £ (х£ —х^0))2,
V i— 1
равна линейной функции Образно говоря, дифференцируе-
Функция вида y = c0 + cix + ... + спхп, где с, постоянные, i=0, 1, 2, .... п,
называются линейными функциями п переменных или, что то же самое.
линейными функциями точки х — (х1г ... , лн)е/?".
462
мость функции в данной точке означает, что функция f «почти
линейна» в окрестности этой точки; точный смысл выражения
«почти линейна» заключается в формуле (20.20).
Если функция / дифференцируема, т. е. имеет место равен-
ство (20.19), то у нее существуют все частные производные
Ip—и они равны коэффициентам Аг\
гг д, df(x\ \ . #(л) А
Линейная функция —— Ах <4- ... + --—'Ах„ о г переменных
дх дхп
.Дх15 ..., Ахи (здесь вместо х(0) написано х) называется
дифференциалом функции или, подробнее, полным дифференциа-
лом функции в данной точке х и обозначается df(x):
df(x)=^^Xl + ... + -'-Ахи. (20.21)
дхг дхп
Дифференциал, как и всякая линейная функция п перемен-
ных, определен на всем ^-мерном пространстве Rn. Таким
образом, формула (20.21) имеет смысл для всех значений &xi9
z=l, 2, ..., п. в то время как формула (20.19) — только для тех,
которые не выводят за область определения функции f.
Переменные Axf называются также дифференциалами пере-
менных Xi и обозначаются cby z = 1, 2, ..., п. В этих обозначениях
дифференциал функции f записывается в виде
#(х)=^Йй?х1+ ... + ^dx„.
дх{ дхп
Очевидно, что А/(х) = Jf(x) + 6>(p) при р-*0.
Если функция / дифференцируема в данной точке, то ее
дифференциал является суммой всех ее частных дифференциа-
лов (см. п. 20.1) в этой точке:
df(x)= £ dx.f(x).
i = 1
Однако не всегда, когда существуют все частные дифферен-
циалы 6?x/(x), z—1, 2. ..., и, функция f дифференцируема
(соответствующие примеры для случая функций двух перемен-
ных были рассмотрены выше).
Если же рассматривать дифференциал и при изменении
точки x = (x1, ..., х„), то он уже является функцией от 2п
переменных: х1? ..., х„, dxl9 ..., dxn.
463
Теоремы 1—4 настоящего параграфа очевидным образом
обобщаются на функции и переменных, поэтому приводить их
формулировку не будем.
20.3. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
Теорема5. Пусть функции х(z) и у(z) одного переменного t
дифференцируемы в точке t0 (что, как мы знаем, эквивалентно
существованию у них производных в точке (см. п. 9.2)) и пусть
xQ = x(tX Если функция z=f(x, у) дифференцируема в
точке (х0, j0), то сложная функция z=f(x(t\ j(z)) определена в
некоторой окрестности точки Zo, имеет в Zo производную и эта
производная выражается формулой
dz
dt
dz dx dz dy
dx dt dy dt 9
(20.22)
или подробнее
df(x(t0), y(tQ))_ df(xQ, j0) dx(tQ) + df(x0, j0) dy(t0)
dt dx dt dy dt
Доказательство. Функция /(x, 32), согласно определению
дифференцируемости функции, определена в некоторой окрест-
ности точки (х0, j>0). Из дифференцируемости же функций x(z) и
y(z) следует их непрерывность в точке Zo. Поэтому, согласно
замечанию к теореме 2 в п. 19.5, в некоторой окрестности точки
Zo определена сложная функция /(x(z), y(z)).
Дифференцируемость функции z=f(x, у\ в точке (х0, у0)
означает, что ее полное приращение Az=/(x0 + Ax, ^О + Ау) —
—/(х0, То) представимо в виде
Az=—Ах+—Ау + е ^/Ах2^-Ау2, (20.23)
ex dy v
где функция £ — г (Ах, Ау) определена в некоторой окрестности
точки (0, 0), непрерывна в ней и
lime (Ах, Ау) = 0.
р—*0
Здесь, как обычно.
р = х/Дх2 + А]’2.
Пусть теперь Az - приращение переменной z и Ах==
= x(z0 + Az) — x(z0), Ay=y(z0 + Ax)—у (z0). Разделим обе части
равенства (20.23) на AZ:
^=^+^±е /f^¥ + W (20.24)
Az dxAt dy At yJ\AtJ \AtJ
464
(при А/>0 берется знак плюс, а при Az<0— знак минус). При
А/->0, в силу непрерывности функций x[t) и в точке /0,
получим Ах->0 и Aj->0, а значит, и lim р^О. Отсюда, по
At—О
теореме о пределе композиций функции , lim 8 (Ах, Ау) = 0.
At—О 4
Заметим, наконец, что существует конечный предел
Из всего этого следует, что при At-+0 правая часть формулы
(20.24) стремится к конечному пределу
dz dx dz dy
dx dt dy dt 0>
поэтому и левая часть этой формулы, т. е.
Az
—, стремится к тому
же пределу, а это и означает, что в точке г0 существует
dz
производная — и выражается формулой (20.22). □
dt
Отметим, что, хотя в окончательную формулу производной
сложной функции (20.22) входят только частные производные —
dx
dz
и — функции z=/'(x, у), по ходу
доказательства
использовалось
более сильное свойство этой функции, чем существование
частных производных, а именно ее дифференцируемость.
Упражнение 1. Показать, что при отказе от требования дифференцируе-
мости фУнкаии z=/(x, у) в точке (х0, у0), а лишь при предположении
dz dz
существования в этой точке частных производных — и — и существования
производных — и — в точке /0 формула (20.22), вообще говоря, несправедлива и,
dt dt
более того, сложная функция f[x(t), j(r)] (предполагается, что она имеет
смысл), вообще говоря, не имеет производной в точке t0.
Следствие. Если функции х = х(и, г) и у=у(и, г) непрерывны
в точке (i/0, г0) и имеют в ней частные производные а
функция z=f(x, у1) дифференцируема в точке (х0, у0), где
x0 = x(i/0, г0), гоЬ то в точке (w0, v0) существует
частная производная — сложной функции z=f(x(u. г), у (и. г)),
причем
dz _dz dx । dz dy
du dx du dy du
(20.25)
а
у
465
Доказательство. Функция f дифференцируема в точ-
ке (х0, j^0) и, следовательно, определена в некоторой ее
окрестности. В силу непрерывности функции х(и, г), у (и, 0
в точке («0, г0), в некоторой окрестности этой точки име-
ет смысл сложная функция f(x(u, г), у (и, г)) (см. замечание в
п. 19.5).
Зафиксируем v = v0 и рассмотрим сложную функцию
z=f\x(u, г0), у (и, г0)) одного переменного и. Согласно теореме 5,
эта функция определена в некоторой окрестности точки uG и
имеет в этой точке производную. Таким образом, производная
в точке (w0, г0) существует и из формулы (20.22) вытекает
формула (20.25). □
Аналогично, если в точке («0, г0) существуют частные
производные у и то у сложной функции z=/(x(«, г), у (и, г))
существует в точке («0, г0) частная производная по v и для нее
справедлива формула
CZ
CV
dz дх dz dy
Рассмотрим общий «-мерный случай. Пусть в окрестности
точки x{®} = (x{i \ ..., х^ задана функция у=у(х1, ..., хЛ а на
некотором множестве EtczRk— функции xi = xi(t1, ..., Zj, z=l,
2, ..., «, такие, что x^t{i \ ..., /10)) = х|0). Если функция у=j(x) =
..., xw) дифференцируема в точке х(0’ и если в точке
дх
= ..., z[0)) существуют частные производные —!, j=L
2, ..., k, i= 1, 2, ..., п, то сложная функция y(x(ty имеет в точке
/(0) частные производные у=1, 2, ..., /с, причем
6 0
^-=У = 1, 2, к. (20.26)
1 = 0
Заметим, что если при сделанных предположениях частные
производные — и —, z=l, 2, ..., «, j= 1, 2, ..., н, непрерывны
дх{ dtj
соответственно в точках х(0) и у{®\ то, в силу формулы (20.26),
частные производные сложной функции y=j(x(z)) также непре-
рывны в точке /(0) и, следовательно, она будет дифференцируе-
мой в этой точке (см. теорему 3 п. 20.2). В следующем пункте
будет доказана дифференцируемость композиций функций при
более слабых предположениях.
466
20.4. ИНВАРИАНТНОСТЬ ФОРМЫ ПЕРВОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛА
ОТНОСИТЕЛЬНО ВЫБОРА ПЕРЕМЕННЫХ.
ПРАВИЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ
Теорема 6. Пусть функция Дх), х = (х1? х„), определена в
некоторой окрестности точки х(0) = (х(10), х^0)), а функции
xi = xi(t), t = (tr, ..., tk), z=l, 2, n, определены в некоторой
окрестности точки ?(0) = (/(10), ?j>0)) и пусть х J0) = х Д(0)), z=l,
2, п.
Тогда если функция Дх) дифференцируема в точке х(0), а
функции х£ = хД), z= 1, 2, п. дифференцируемы в точке ?(0), то
сложная функция f(x{ty=f(xx(t\ .... xn(ty определена в некото-
рой окрестности точки /(0) и дифференцируема в этой точке.
При этом дифференциал df функции Дх(/)) в точке /(0) может
быть записан в следующих двух видах:
1 df= f (20.27)
J=1 ctj
и
у
Л д—~dx^ где dx{ = dxt (?) | (0). (20.28)
Доказательство. Функции хД), z= 1, 2, ..., n. определены
в некоторой окрестности точки ?(0), и так как из дифференцируе-
мости функций следует их непрерывность, то сложная функция
Дх(/)) определена в некоторой окрестности точки ?(б) (см.
замечание к теореме 2 п. 19.5). Зафиксируем какие-либо два
числа 8>0 и т| >0 так, чтобы функция Дх) была определена на
т|-окрестности точки х(0), функции хД), z=l, 2 ..., п. на
8-окрестности точки ?(0) и чтобы (хД), ..., х(?))е£/(х(0); т|) при
teU(t{0); 8). Тогда на окрестности (Д(0); 8) определена сложная
функция Дх(?)). Возможность выбора таких чисел 8 и ц
(очевидно, 8 зависит от выбора ц) была показана в п. 19.5.
Функция Дх) дифференцируема в точке х(0); поэтому при
/ и
г = / Axf<T| имеем
V i=l
АДДх^ + Ах,, ..., х^ + Ахп)-Дх(10), ... х^) =
| =£^рдХ1+ег, (20.29)
где функция 8 = е(Ах15 Ах2, ..., Ахл) определена в некоторой
окрестности точки (0, 0, ..., 0). непрерывна в ней и
lim 8 = 0.
г->0
467
В силу дифференцируемости функций = i=l, 2, ..., п,
l~k
в точке Д0), при р= / £ At]<5 получим
Ах^х^Ч^.... + ..., t^) =
JL яг /доп
= X ^у^М + ^-Р, i=l, 2, и, (20.30)
j=i j
где limcf = 0, z=l, 2, ..., п. Подставив значения Axf из (20.30) в
р—►о
(20.29), имеем
A>j^^A/j+₽, роз.)
i=l CXi j=l 01 j
где
P = £ ^p£ip+8r. (20.32)
j=i Sx‘
Переставив порядок суммирования в (20.31), найдем
А/= I ( £ ^(0,)^<0)))Дг.+р. (20.33)
j=l \i=l Xi J J
Теперь, для того чтобы доказать, что сложная функция
/(%(?)) дифференцируема в точке г(0), надо показать, что (3 = <? (р)
при р—>0. В силу непрерывности функций xt (/), i= 1, 2,..., п, в точке
Г°\ имеем IimAxf = 0 и, следовательно, limr = 0. Отсюда, в силу
р—*-0 р—*0
теоремы о композиции непрерывных функций (см. п. 19.5),
lime = 0. (20.34)
р—-о
Заметим, что
Ё = у +еГ. (20.35)
Р (20.32) 1 Р v
Докажем ограниченность отношения -. Использовав фор-
мулы (20.30), получим
Мы воспользовались неравенством
п
следствием очевидного неравенства £ я? <
i=l
^2 которое является
i= 1
(см. (18.9)).
468
Из условия lim 8—0 вытекает, что в некоторой окрестности
р—о
точки tw функции £; ограничены, и так как 1, то функция -
Р Р
ограничена в некоторой окрестности точки /<0). Поэтому из
(20.34) и (20.35) следует, что lim-=0, т.е. что Р = о(р) при р->0.
(I р—-о р
Дифференцируемость сложной функции в точке /т. * (0)
^доказана.
Из формулы (20.31) имеем
l=l j=l 01
dx.(z(0))
Отсюда, замечая, что У ——-At:=dxi9 i=l, 2, ..., л, мы и
j=l 8tJ
получаем формулу (20.28). Формула же (20.27) является
обычной формулой для дифференциала (см. (20.21)). □
Формально обе записи (20.27) и (20.28) дифференциала
функции выглядят одинаково: в обеих формулах дифференциал
равен сумме произведений частных производных на соответ-
ствующие дифференциалы, однако в формуле (20.27) dtj—
дифференциалы независимых переменных, а в формуле (20.28)
dx{ — дифференциалы функций. Свойство дифференциала функ-
ции, выражаемое формулами (20.27) и (20.28), называется
инвариантностью формы первого дифференциала относительно
выбора переменных.
Замечание. 1. Из формулы (20.33) следует, что
' ’ -Л , dXi dt; / 1
J=1 \l = 1 1 1 /
Но коэффициенты дифференциала функции при дифференциалах
независимых переменных определяются однозначно и равны
соответствующим частным производным, поэтому, сравнивая
эту формулу с формулой (20.27), получаем
cf = у д/(ЛМ(0))
i£J1 dxi dtj
т. е. снова формулу (20.26). Правда, она выведена при более
сильных ограничениях, чем раньше: на этот раз предполагалась
дифференцируемость функций лД/), 2, ..., п, в то время как
в п. 20.3 — лишь существование у этих функций соответствую-
щих частных производных.
Замечание 2. Если функции Дх15 ..., х„) и xt =
= лД/), Г = (^.. tk)ERk> z = 2, ..., л, имеют непрерывные
частные производные соответственно в точке (x(i0), ..., х„ })eRn и
469
в точке Z(0)elfk, где x^0) = xf(z(0)), то эти функции, согласно
теореме 3 п. 20.2 (см. также замечания в конце п. 20.2 об общем
случае), дифференцируемы в указанных точках и поэтому
удовлетворяют условиям теоремы 6. Следовательно, для них
справедливы утверждение этой теоремы и вытекающая из него
формула для вычисления частной производной сложной функ-
ции (см. предыдущее замечание).
Инвариантность формы первого дифференциала широко
используется при практическом вычислении дифференциалов и
частных производных. Если и и v — функции какого-то числа
переменных, то с помощью формулы (20.28) легко получаются
следующие формулы:
1. d(u + v) = du + dv.
2. d\uv) = v du + и dv. (20.36)
n 7 (u\ v du+ udv
3. d - =------—.
v / v
Докажем, например, формулу 3. Пусть z — -, где и =
V
= (хо х„), v = v(xr, х„). Замечая, что ~=~ и ^-=
согласно формуле (20.28), имеем
7 1 7 и 7 vdu — udv ,
dz = -du—-5dv =------. □
v v v
При вычислении конкретных дифференциалов функций мно-
гих переменных можно использовать формулы, полученные
раньше (см. § 9) для дифференциалов элементарных функций.
При этом следует заметить, что если функция у=у(х1, .... хп)
представлена в виде y = F(u), где w = ..., хи), то при
соответствующих предположениях, согласно формуле (20.28),
dy = F'(u)du, и = и(х1, .... х„).
Например, если j = sinn, то dy = cos и du; если jr = In л/, то
7 du t 7 du
dy = ~; если y = arctgn, то dy=--- и
и 1 +и
везде w = z7(x1? ..., х„)).
В качестве примера найдем
z = arctg -. Вычисления произведем
т. д. (подчеркнем, что здесь
дифференциал функции
в следующем порядке:
dz = d\ arctg- ) = —.d\ -
\ х' 1+^
Y2 х dy— у dx _xdy—y dx
x2+y2 x2 x2+y2
470
При вычислении дифференциала мы воспользовались
„ кл > / и \ v du —и dv
формулой а \ - 1 = —. доказанной выше для случая, когда и
и v являются функциями одних и тех же переменных.
Использование этой формулы в указанном случае правомерно,
так как можно считать, что у дроби - и числитель и
X
знаменатель являются функциями одних и тех же переменных х
и у, что можно даже выразить, например, следующей формулой
г + Ох
х х 4- Оу
Если требуется найти частные производные функции многих
переменных, особенно если надо вычислить все производные, то
целесообразно вычислить дифференциал этой функции, тогда
искомыми частными производными являются коэффициенты
при соответствующих дифференциалах.
Так, в рассмотренном примере T=arctg-, беря коэффициен-
ты при dx и dy из найденного для дифференциала выражения,
получим
& _ _)• дх _ х
дх х2+у2 ду х2-1-у2
Замечание 3. Всякую функцию у—ф(х^ .... хп) от п
переменных можно рассматривать в определенном смысле и как
функцию от любого числа п-Ут>п переменных .xt> x2, .... хк, ...
..., хп+т- Именно для всякой функции /(хр .... лп), заданной на
множестве определим функцию/дд^, ..., хп. .... хп+п}) на
множестве точек (х1? ..., хп. .... xn+m) таких, что (х^, .... хп)еХ.
— co<Xj< 4-со, j=n+\. п-Ут. следующим образом:
/*(*!> ..., х„, ..., х„+,и)=/'(^р х„). (20.37)
Таким образом, рассмотрение функции п переменных как
функции п-Ут переменных означает фактически продолжение по
формуле (20.37) функции /с множества ее определения Jfczlf" на
множество
Х* = {(хр ..., л'„+т):(.Х1, ..., л„)бХ ~co<Xj< +оо,
7=п 4-1, п-Ут],
лежащее уже в пространстве Для функции/*, полученной
после такого продолжения, имеем
471
A„+m)_Q, j_n+m,
поэтому
4/*(xn ..., Xn+J = =
= E e^~^^-dxi = df(x1, ..., x„).
Например, когда мы говорим, что функцию одного перемен-
ного z =/(%), определенную на некотором интервале (а. Ь). мы
рассматриваем как функцию двух переменных f\x) = F(x. у),
хе (а. 6), — оо<у<Ч-оо; это означает, что функция F(x, у)
является постоянной, равной /‘(х) на любой прямой, проходящей
через точку х интервала (а. Ь) оси Ох параллельно оси Оу. При
этом
S£V=/’W- dF^
a<x<b. — oc<y<+co.
Полезно для дальнейшего отметить обратный факт. Пусть
XcRn. Если функция /*(jq, ..., хп. хи + 1) определена на
множестве
У* = {(лл, х„, x„ + i):(xj, х„)еХ а<хп+у<Ь}
И
С/* (X, .4, а„±2) = 0 на (20.38)
то существует такая функция f(xx. .... хп) от п переменных,
определенная на множестве У, что/* Eq, ..., хп, xn+^=f(x1. ...
.... хп) для всех (х1? ..., хп)еХ. хп + 1е(а. Ь). В этом случае говорят,
что функция /* фактически не зависит от переменной
хп+1. В самом деле, из условия (20.38) следует, что функция /*
постоянна как функция xn+i (см. следствие 1 теоремы 3 из п.
11.2) при фиксированной точке (ад, ..., хи), г. е., зафиксировав
какое-либо се (а, Ь) для любой точки (х1? ..., хп)еХ и хп + 1е(а. Л),
имеем /*(*19 ..., хп. xn+l)=f*(xl. .... хп. с). Искомая функция /’
очевидно, определяется равенством /‘(jq, ..., xn)=/*(7q, ..., хп. с).
причем она не зависит от выбора се (а. Ь).
Из сказанного, в частности, следует, что формулы (20.36)
для дифференциалов остаются справедливыми и в том случае,
когда функции и и v зависят от разного числа переменных, так
472
как всегда, в силу указанного приема, этот случай можно свести к
разобранному выше случаю функций одного числа переменных.
20.5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
И ПОЛНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛА
Для большей геометрической наглядности и для того, чтобы не
вводить новых понятий, в этом пункте ограничимся рассмотре-
нием функций двух переменных.
Рассмотрим функцию z=/(x, у), определенную на плоском
открытом множестве G, т. е. множестве G, лежащем на плоскости
R2. Пусть (х0, и пусть в точке (х0, р0) существует частная
dz т-, .
производная —. Ее геометрический смысл сразу получается из
определения частной производной — как обычной производной
дх
функции Дх, Д по х при фиксированном у и из геометрического
смысла обычной производной (см. п. 9.3). В самом деле, возьмем
замкнутый круг Q радиуса г с центром в точке (х0, у0) и лежащий в
G*}. Пусть Г — кривая, заданная представлением
т. е. кривая, которая получается в результате сечения
функции z=/(x, у), (х, y)eQ
плоскостью у=у0 (рис. 106).
тг df(x^ То)
Как известно, =
= tg су, где а —
О
То)
dx
угол, образованный каса-
тельной к графику функции
/(х, у0) в точке (х0, f(x0, у0))
с осью Ох, т. е. угол, обра-
зованный касательной к кри-
вой Г в точке (х0, у0, Дх0,
^0)) с осью Ох.
Таким образом.
графика
#Uo- То)
дх
-tg а;
в этом и состоит геометрический смысл частной производ-
. cf
нои —.
дх
*’ Такой круг Q всегда существует. Действительно, в силу определения откры-
того множества, существует такая 8-окрестность V точки (х0, у0), что UciG. Тогда
замкнутый круг Q радиуса 8/2 с центром в точке (х0, То) будет заведомо лежать в G.
473
Аналогично устанавливается и геометрический смысл част-
ной производной 231) Как тангенса угла наклона, образован-
ду
ного с осью Оу касательной в точке (х0, у0, /(х0, у0)) к кривой,
получающейся в результате сечения графика функции z=f(x, у),
(х, у)еО плоскостью х = х0.
Что же касается геометрического смысла дифференциала, то
из формулы (20.4) получим
Дх, у) = z0 + A(x- х0) + В (у —-у0) + о (р), р->0, (20.39)
^=--уДх^х0)2+(у-у0)2, z0=f(x0, Л))’
Уравнение
z = z0 + A (л- - х0)+В (j - j-0) (20.40)
является уравнением плоскости, проходящей через точку (х0,
у0, Zq\ и не параллельной оси Oz. Как известно, коэффициенты
А и В однозначно определяются из соотношения (20.39), причем
>о) р__ <У(хо» Го) /20 41)
дх ' ду
и, значит, плоскость (20.40) однозначно определена соотноше-
нием (20.39). Эта плоскость называется касательной плоскостью
к графику функции z=/(x, у) в точке (х0, у0, z0).
Таким образом, мы пришли к следующему определению.
Определение 6. Касательной плоскостью к графику функции
f[x, у) в данной точке называется такая плоскость, что
разность ее аппликаты и значения функции Дх, у) является
величиной, бесконечно малой по сравнению с р при р—>0.
В силу (20.41), уравнение этой касательной плоскости имеет
вид
z-z0 = sZK^)(x_%0)+ (20.42)
сх су
В дальнейшем (см. т. 2, п. 50.5) мы познакомимся с другим
подходом к понятию касательной плоскости.
Полагая Ах = х —х0, Ау=у—у0, правую часть уравнения
(20.42) запишем в виде
>о)Ах+
дх ду
Это есть обычная запись дифференциала dz функции z=/(x, у) в
точке (х0, у0), поэтому уравнение (20.42) можно переписать в
виде
z — z0 = dz.
474
Таким образом, геометрический
смысл полного дифференциала функ-
ции в точке (х0, у0) состоит в том, что
он равен приращению аппликаты
плоскости, касательной к графику
функции (рис. 107).
Более подробно, дифференциал
dz = ^/Куо) дх+
дх дх
Ах = х — х0,
Ьу=У~У0,
совпадает с приращением в точке
х=х0 + Ах, j^ = y0 + Ay аппликаты плос-
кости, касательной к графику функции
в точке (х0, у0, f(x0, j0)).
20.6. ГРАДИЕНТ ФУНКЦИИ
Пусть функция F(x, у) дифференцируема в точке (х0, у0), а
кривая Г такова, что функция х = х (О, у=у (/), a^t^b, с
помощью которых она задана в параметрической форме,
удовлетворяют уравнению
F(x, т) = 0.
т. е. с его помощью осуществляется неявное задание кривой Г.
Пусть toe[a, Л], х0 = х(/0), у=у(/0), а функции х(г) и у (г)
дифференцируемы при t = 10.
Дифференцируя при Z = Z0 тождество F(x(z), у(/)) = 0, a^t^b,
получим
х!—+yj —= 0, t = t0,
дх ду
i ,/ \ / / \\ (dF(xQ, dF(Xf), уп)\
т. е. векторы (х (/0), у [t0)) и (— " v g I ортогональны.
Вектор a = (xj, y't) в случае, когда он не равен нулю, является, как
известно, касательным вектором к кривой Г в точке (х0, у0) = (х (/0),
у (z0)). Вектор называется градиентом функции F
в точке (х0, j>0) и обозначается через gradF(x0, j0). Из сказанного
следует, что градиент функции F ортогонален касательной к кри-
вой, неявно задаваемой уравнением F(x, у) = 0. Прямая, перпен-
дикулярная касательной к плоской кривой и лежащая в одной плос-
кости с ней, называется (см. п. 17.3) нормалью к данной кривой.
475
Таким образом, градиент функции F коллинеарен нормали
в соответствующей точке к кривой, задаваемой уравнением
F(x, j)=0.
В случае дифференцируемой функции Дх19 ..., хи) ее
/ а/ д/\
градиентом называется вектор —, ..., — .
\дхх dxnJ
20.7. ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ
Частные производные от функции являются производными
«в направлениях координатных осей». Естественно поставить
вопрос об определении и вычислении производной по любому
фиксированному направлению. Определим это понятие, рас-
смотрев этот вопрос на примере функций трех переменных.
Пусть, как всегда, в пространстве зафиксирована система
координат х, у, z, заданы точка Л/0 = (х0, у0, z0) и ненулевой
вектор 1. Обозначим через cosot, cosp, cosy направляющие
косинусы вектора L Как известно,
COS2Ot + COS2p + COS2y= 1,
и если /0 — единичный вектор в направлении вектора /, то
. 1 /
1(} = — = cos ot,
° |/| V
COS Р, cos у).
Проведем из точки Мо луч в направлении вектора /. Его
уравнение в координатной форме имеет вид
x = x0-Hcosot, y=j0 + zcosp, z = z0 + rcosy, Г^О, (20.43)
где параметр t равен расстоянию от точки М до точки Мо:
IМ0МI = - х0)2 + (j - j'o)2 + (z - z0)2 =
= t ^/cos2 ot + COS2 P + cos2 y = t.
(20.44)
Пусть функция ДМ), где М =
Дх, у, z), определена на некото-
ром отрезке [Мо, М^\ с концами в
точках Мо и Мг рассматривае-
те df
мого луча. Ее производная — в
dl
точке Мо в направлении вектора I
определяется (рис. 108) равенст-
вом
W) tf lim
cl m-*mq I MI
В силу равенств (20.43) и
476
(20.44), это определение можно записать в следующем виде:
d/(Mo)_ ]jm /(*0 + < cos а, у0 +1 cos р, z0 + rcos у) ~/(х0, j>0, z0)
31 +о t
Таким образом, производная функции f в точке Мо по
направлению вектора I является производной справа сложной
функции /(x0 + /cosa, y0 + Zcos|3, z0 + Zcosy) в точке / = 0:
)=JtAxo +zcos”, y0 + ?cosp, z0 + zcosy)|I=0. (20.45)
Если функция/(x, у, z) определена в некоторой окрестности
точки М0 = (х0, yQ. z0) и дифференцируема в этой точке, то,
заметив, что вдоль луча (20.43)
dx dy n dz
—= cos ос, —=cosp, —=cosy,
dt dt dt
и продифференцировав no t в точке t = 0 сложную функцию
/(x0 + /cosoc, j;0 + rcos(3, z0 + /cosy), получим
df(M0) = df(M0)dx df(MQ)dy df(M0)dz_
SI (20.45) dx dt dy dt dz dt
df(MQ} , df(M0) Q , а/(м0)
dx dy dz
или, короче, опустив обозначения аргумента,
—=—cos ос+|^ cos P+^cosy. (20.46)
dl dx dy dz
Эта формула при сделанных предположениях имеет место
для любого ненулевого вектора /. С ее помощью производная
по направлению вектора 1 выражается через частные производ-
ные по координатам х, у. z и направляющие косинусы вектора /
с координатными осями.
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 7. Пусть функция f дифференцируема в точке (х0,
yQ, z0). Тогда в этой точке функция f имеет производную по
любому направлению и эта производная находится по форму-
ле (20.46).
Любопытно отметить, что из полученной формулы (20.46)
для производной по направлению сразу не видно, что эта
производная не зависит от выбора системы координат. Эта
независимость непосредственно следует из самого определения
производной по направлению, откуда, в свою очередь, выте-
кает, что правая часть формулы (20.46) не зависит от выбора
прямоугольной декартовой системы координат, а определяется
только вектором 1.
471
D df(M0) df(M0) df(M0)
Вектор с координатами ———, v — , ——— называется, как
дх dy dz
известно, градиентом функции /(Л/) в точке Мо и обозначается
grad/ (Мы уже встречались с понятием градиента функций при
рассмотрении кривых, заданных неявным образом; см. п. 20.6).
Таким образом, если /, j и к—координатные орты, то
grad/=#z+//+?*. (20.47)
сх ду oz
Часто оказывается удобно использовать символический
вектор Гамильтона*1
V7 • , • $ , »
V — I-—\-j— + k—,
ох су CZ
называемый наблой. Набла является обозначением определен-
ной операции, которую следует произвести над той или иной
функцией.
Для функции / по определению, полагаем
V7Z' I I I
сх су CZ
Формально это равенство можно рассматривать как «произве-
дение» вектора V на число / Итак, grad/ и V/ являются
обозначениями одного и того же выражения.
Пусть теперь вектор / единичный и, следовательно, /=(cosa,
cosP, cosy). С помощью градиента формула для производной
функции / по направлению вектора / запишется следующим
образом:
|^=cosoc-^-+cosp^+cosy — = (/, grad/), (20.48)
cl дх cy dz
где в правой части стоит скалярное произведение векторов / и
grad/. Отсюда, поскольку 1 — единичный вектор,
~| grad/1 cos q>,
где (р — угол, образованный вектором / и grad/ Из этой
формулы видно, что если в данной точке
igrad/P=(|/y+(|y+(|<y^o,
у сх J у су J \dz J
то производная дифференцируемой функции по направлению
достигает наибольшего значения в единственном направлении, а
У. Гамильтон (1805—1865) — ирландский математик.
478
именно том, при котором coscp = l, т. е. в направлении
градиента. Из этого следует, что для заданной функции точки
/(М) градиент в каждой точке однозначно определяется самой
функцией и не зависит от выбора системы координат, как это
могло бы сначала показаться из формулы (20.47).
Действительно, прежде всего, если градиент равен ну-
лю в одной декартовой системе координат, то он равен
нулю и в каждой другой подобной системе координат. В
самом деле, равенство нулю градиента в некоторой точ-
ке, согласно формуле (20.48), равносильно равенству ну-
лю в этой точке производных по всем направлениям, по-
следнее же не зависит от выбора декартовой системы ко-
ординат, поскольку от этого выбора не зависит производ-
ная по направлению. Если же градиент не равен нулю, то
его независимость от выбора декартовой системы коорди-
нат следует непосредственно из доказанного выше его гео-
метрического смысла: направление градиента показывает
направление наибыстрейшего роста функции (оно единст-
венно), а его величина равна производной в этом направ-
лении.
Возьмем теперь любую непрерывно дифференцируемую
кривую без особых точек, проходящих через точку (х0, у0, zQ), и
такую, что вектор I является ее касательным вектором.
Обозначим через 5 переменную длину дуги этой кривой,
отсчитываемую от точки 7И0 в таком направлении, чтобы
вектор / давал положительное направление на касательной.
Если х = л(5), y=y(s), z — z(s^ — представление этой кривой, то,
/ 1 г dx dv о dz
как известно (см. п. 16.5), — = cosot, — = cosp, — = cosy, т. е.
ds ds ds
справедливы те же формулы, что и для луча (20.43). Поэтому,
если взять производную в точке Л/0(х0, у0, z0) от дифферен-
цируемой функции /(х, у, z) по данной кривой в направлении
возрастания длины дуги s, т. е. производную по s сложной
функции у (б*), ^(^)), 5^0, При 5 = 0, то для этой
производной, если ее также обозначить через справедлива
формула (20.46). Это означает, что производная в некоторой
точке от функции вдоль кривой, проходящей через указанную
точку, совпадает с производной по направлению касательной в
той же точке.
Все сказанное переносится на функции любого числа п
переменных (л ^2). Сформулируем лишь для этого случая
определение производной по направлению.
Пусть в некоторой окрестности точки х(0) = (х(10), ..., х^0))
определена функция /(х) и пусть х(1) = (х(11), ^1)) — точка этой
окрестности, х(1) # х(0).
479
Проведем прямую через точки х(0) и х(1). Ее уравнение (см.
(18.44) и (18.45)) имеет вид
Xi = jvj0) +1coscxf, /= 1, 2, ..., n, —oo <t< 4-oo,
где cosotj — направляющие косинусы вектора
Рассмотрим функцию f только на точках этой прямой, т. е.
рассмотрим функцию
' f(x(i} + tcosa1. ..., x^0)4-Zcos(xH).
Производная функции /(х15 ..., хп) в точке х(0) в
направлении точки х(1) или, что то же, в направлении вектора
/ х #
(cos ос19 ..., cosa„) определяется как производная — от сложной
v dt
функции
/(xi^ + zcoso^, ..., х(п0)4-zcos<хи), z^O.
В том случае, если функция / дифференцируема в точке х(0),
согласно формуле для производной сложной функции, в этой
точке имеем
dl ds
df df
— cos Ob 4-... 4-coscx„.
oxr cxn
Вспоминая определение градиента функции п переменных
(см. п. 20.6), с помощью скалярного произведения «-мерных
векторов (см. (18.32)) формулу производной функции f по
направлению вектора 1 для любого «-мерного пространства Rn
можно записать в виде (20.48), т. е.
|=(grad/, /0),
где /q —(созоц, ..., cosocn).
В заключение отметим, что из того, что функция в
некоторой точке имеет производные по всем направлениям, не
следует, что функция в этой точке дифференцируема или даже
непрерывна. Например, функция
/4 \ (о, если У^х2 или х=у = 0,
/Iх’ У) если у=х^ и x24-j?2>0,
имеет в точке (0, 0) по любому направлению производную,
равную нулю. Однако в точке (0, 0) функция f разрывна и тем
более не дифференцируема (рис. 109).
480
20.8. ПРИМЕР ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ
ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
С помощью частных производ-
ных можно изучать поведение
функций многих переменных, по-
добно тому как исследовалось по-
ведение функции одной переменной
с помощью ее производной. Вопрос
отыскания наибольших и наимень-
ших значений рассмотрен в § 40 и 43,
здесь же ограничимся одним приме-
ром изучения функции двух пере-
менных, который позволит полу-
чить полезное для дальнейшего
неравенство.
Покажем, что для любых а\
определяемого равенством
р я
0, 6^0, р > 1 и числа q.
(20.49)
справедливо неравенство
ар , bq
р q
(20.50)
Прежде всего отметим, что уравнение (20.49), связывающее
числа р и q. равносильно соотношению
(20.51)
которое эквивалентно условию
<7=Д- (20.52)
Это устанавливается непосредственной проверкой.
Для доказательства неравенства (20.50) рассмотрим функ-
цию
F(x, у) = ху-^-у~, х^0, у^0. (20.53)
Вычислим ее частные производные:
dJ^21=y-xp-^ 9-1 (20.54)
дх ду
Из (20.51) следует, что при х^0 и у^0 уравнения
_у_А-р-1 = о (20.55)
и
x-y^-i = Q (20.56)
равносильны. Таким образом, точки (х, j), удовлетворяющие
dF(x, у) Л dF(x, Н Л
как условию —-—— = 0, так и условию —-—— = 0, лежат на
сх ду
кривой (20.55) или, что то же, на кривой (20.56).
В силу (20.49) и (20.52), вдоль кривой (20.55) имеем
хр хр / 1 1 \
= хр---- = хр[ 1-1-1 =0. (20.57)
Р Ч \ Р 4J
Обозначим теперь через G + множество всех точек, располо-
женных выше кривой (20.55) и на самой кривой:
def
G + = {(х, j) : у^хр~\ х^0},
а через G ~ — множество всех точек первой координатной
четверти (включая ось Ох), лежащих ниже этой кривой и на ней
самой:
def
G~={(x, у); 0^у^хр~1, х^0}.
Согласно формулам (20.54), при
“У / \ , „-I dF(x, у) п
/п о., [X, y)eG , у^хр имеем —V^>0, а
/ У * дх
• ~7 при (х, y)eG~, ут£хр~\ соответственно
/ г —-—— >0 (здесь использована эквивален-
__ тность уравнений (20.55) и (20.56)). Поэ-
я тому вдоль любого отрезка, лежащего
на множестве G+ и параллельного
Рис ио оси Ох (рис. ПО), функция F(x, р)
строго возрастает. Следовательно, если
(х, y)eG+, у^хр~\ то (см. (20.57))
F(x, y)<F(x, xp~1) = Q.
Аналогично, на любом отрезке, лежащем на множестве G -
и параллельном оси Оу, функция F(x, у) также строго
возрастает. Поэтому если (х, “ и у^хр~\ то опять
F(x, j)<F(x, хр-1) = 0.
Таким образом, если у^хр~\ х^0, у^0, то всегда F(x, j^)<0.
Итак, вспоминая вид функции F (см. (20.53)), имеем: если
a^Q, b^0, то
482
U ^аР b* КР-1
ab<—+— при b^ap ,
р q
, ар bq к p_i
ab=—+— при b = ap .
p q
Тем самым неравенство (20.50) доказано.
§ 21. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
21.1. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Пусть задана функция /(х, у)- Тогда каждая из ее частных
, х df(x, у) dflx, й
производных (если они, конечно, существуют) ——— и ———
дх ду
которые называются также частными производными первого
порядка, снова является функцией независимых переменных х, у
и может, следовательно, также иметь частные производные.
тт д (bf\ d2f .
Частная производная — l ~ I обозначается через —4 или Jxx. а
С/Л \ С/Л / С/Л
d ( df\ d2f . _
— — через —— или fxv. Таким образом,
ду\дх J дудх у
д / df\_ d2f_ f д ( df\ d2f _ f
dx \ dx J dx2 xx’ dy \ dx J dy dx xy
и, аналогично,
a (df\_ d2f _f
dx \ dy J dx dy yx’
ду у dy J dy2 yy
Производные fxx. fxy, fyx и fyy называются частными производ-
ными второго порядка. Рассматривая частные производные от
них, получим всевозможные частные производные третьего
порядка:
а3/ а3/ а3/
и т- д*
dx dy дх ду дх
Аналогично определяются частные производные произволь-
ного порядка и для функций любого числа переменных.
Определение 1. Частная производная (по любой из независи-
мых переменных) от частной производной порядка т— 1, т=1,
2, ...,*) называется частной производной порядка т.
Частной производной нулевого порядка для удобства обозначений
считают саму функцию.
483
Частная производная, полученная дифференцированием по
различным переменным, называется смешанной частной произ-
водной. Частная же производная, полученная дифференцирова-
нием только по одной переменной, называется чистой частной
производной.
Число различных производных при увеличении т, очевидно,
возрастает, однако оказывается, что при определенных предпо-
ложениях многие из них совпадают, а именно смешанные
частные производные по одним и тем же переменным не
зависят от порядка дифференцирования.
Более точно имеет место следующая теорема.
Теорема 1. Пусть функция f\x9 у) определена вместе со
своими частными производными fx, fy. f и fyx в некоторой
окрестности точки (х0, j0), причем fxy и/ух непрерывны в этой
точке; тогда
fxy(x0, Уо)=/уХ(хо, _у0)- (21.1)
Доказательство. Пусть функция /(х, у) определена
вместе с производными /х, /у, fxy и fyx в 8-окрестности точки (х0,
у0) и пусть Ах и Ау фиксированы так, что Ах2 + Ау2<82. Будем
обозначать, как и раньше (см. п. 20.1), символом Ах,
соответственно Ау, приращение функции f по аргументу х,
соответственно у, в точке (х0, Уо)**. Введем обозначения
Аху/=Ах(Ау/), А,х/=Ау(Ах/)
и покажем, что
Аху = Аух/. (21.2)
Действительно,
Л^/=Лх(А/) = Ах[/(л:0, y0 + \y}-f(x0, у0)] =
= №о + Л) + Лу) ~/(хо + Ах, j'o) ] -
- [/(*о, Jo+Ду) ~f(x0, У о)]; (21-3)
аналогично,
Дух/=дЛАх/) = [/(Л'о + Лх, Уо + Ау)-/(хо, >’0 + Aj’)]-
- [/(л0 + Ах, y0)-f(x0, j0)]. (21.4)
Сравнивая (21.3) и (21.4), убеждаемся в справедливости соотно-
шения (21.2).
Положим теперь
< р(х)=/(х, y0 + by)-f(x, ,у0);
Напомним (см. п. 20.1), что для заданной функции F(x, у) ее приращения
Ах и Ау в данной точке (х0, у0) определяются по формулам
AxF(x0, >’0) = Ffx0 + Ax, y0)-F(x0, у J,
AyF(x0, y0) = F(x0+y0 + Ay)-F(x0, y0).
484
тогда (21.3) можно переписать в виде
Axyf= Ф (х0 + Ах) - ф (х0).
В силу того что в рассматриваемой окрестности точки (х0, у0)
существует частная производная fx, функция ф(х) дифференци-
руема на отрезке с концами в точках х0 и х0 + Ах. Из теоремы
Лагранжа о конечных приращениях следует, что
Аху/=ф'(хо + 01 Ах) Ах, O<0j <1.
Но ф'(х)=/х(х, у0 + Ау)-/х(х, у0), поэтому
4Д=[А(л'о + 61 Ах, У о + Ay)-fx (х0+01А х, у0)]Ах.
Применяя еще раз ту же теорему о конечных приращениях, но
теперь уже по переменной у, имеем
^xyf=fxy (*+61 Ах, у0 + 02 Ау) Ах Ау
О<0!<1, О<02<1. (21.5)
Аналогично, полагая ф(у)=/(х0 + Ах, у)—/(х0, у), имеем
Аух/=Ф(Уо+Ау)-ф(уо)=Ф'(Уо+63Ау)Ау=
= [Л(*о + Ах, уо + 03Ау)-/Дхо, уо + 03Ау)]Ау =
=А(*о + 94Ах, уо + 03Ау)АхАу, О<03<1, О<04< 1.(21.6)
Согласно (21.2), левые части равенства (21.5) и (21.6) равны
между собой, значит, равны и правые; приравнивая их и
сокращая на AxAj’ при Ах^О и А>М0, получаем
Ау(*о + 61Ах, уо + 02Ау)=/ух(хо + 04Ах, уо + 03Ау),
О<0,<1, z=l, 2, 3, 4. (21.7)
В силу непрерывности частных производных fxy и fyx в точке
х0, у0, переходя в (21.7) к пределу при Ах->0, А^->0, получаем
(21.1). □
Замечание 1. Из доказанной теоремы по индукции
следует, что если у функции п переменных смешанные частные
производные m-го порядка непрерывны в некоторой точке, а
производные низших порядков непрерывны в ее окрестности, то
производные порядка т в этой точке не зависят от порядка
дифференцирования. Это следует из того, что любые две
последовательности дифференцирования, отличающиеся только
порядком дифференцирования (т. е. такие, что по каждому
фиксированному аргументу они содержат одно и то же
суммарное число дифференцирований), можно перевести одну в
другую конечным числом шагов, при каждом из которых
меняется порядок дифференцирования только по двум перемен-
ным, а другие остаются фиксированным. Таким образом, при
каждом шаге фактически рассматривается изменение порядка
дифференцирования у функции лишь двух переменных, а в этом
случае выполняются условия доказанной выше теоремы. Тем
485
самым общий случай и сводится к случаю функций двух
переменных.
Поясним это на примере. Докажем, например, что
fxyz .fzyx’
Согласно сказанному выше, имеем последовательно
Замечание 2. В заключение этого пункта отметим, что, на
первый взгляд, доказанная теорема может показаться не очень
содержательной: для того чтобы судить о том, имеет ли место
равенство fxy=fyx. надо, согласно этой теореме, проверить
непрерывность функций fxy и fyx, а для этого надо, казалось бы,
их знать, но если они уже известны, то без всякой теоремы
можно сказать, равны они или нет. Тем не менее теорема 1
все-таки содержательна. Дело в том, что о непрерывности
функции можно иногда судить на основании некоторых общих
теорем, не прибегая к конкретному вычислению и исследованию
самой функции. Так, все элементарные функции многих
переменных непрерывны в своей области определения (см.
п. 19.5). С другой стороны, частные производные элементарных
функций сами являются элементарными, поэтому если, напри-
мер, частная производная некоторой элементарной функции
определена на некоторой окрестности какой-либо точки, то эта
производная и непрерывна в каждой точке указанной окрест-
ности.
Задача 19. Доказать, что если функция /(л, j) определена вместе со своими
частными производными fx, f и fxy в некоторой окрестности точки (х0, j0),
причем частная производная }ху непрерывна в точке (хр, j/0), то в этой точке
существует частная производная fyx и fyx(xQ, y0)=fxy(x0, j0).
Функция, имеющая в некоторой точке (на некотором
открытом множестве) непрерывные частные производные всех
порядков до некоторого порядка т включительно, называется
т раз непрерывно дифференцируемой в этой точке (на этом
множестве).
Заметим, что, для того чтобы функция имела в точке (на
открытом множестве) непрерывные частные производные всех
порядков до некоторого порядка т включительно, достаточно,
чтобы она имела в этой точке (на этом множестве) непрерыв-
ные частные производные порядка т. Действительно, из
непрерывности всех частных производных порядка т в точке
(на открытом множестве), согласно следствию из теоремы 3 в
п. 20.2, вытекает непрерывность всех частных производных
порядка т — 1 в рассматриваемой точке (на рассматриваемом
множестве). Из непрерывности же частных производных поряд-
ка т— 1 вытекает (в случае т>1) непрерывность частных
производных порядка т — 2 и т. д.
486
21.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Функция от 2п переменных х1? хп. уг. ... уп, или, что то же,
от упорядоченной пары (х, у) точек «-мерного пространства
х=(х15 х„), у=(у1г у„) вида
п
А(х, y)=A(xt, хп; уг, ..., у„)= X а1кх1Ук,
i,k=l
где aik — заданные числа (/, к=1. 2, ..., «), называется билинейной
формой от х и у. Это название объясняется тем, что если одну
из точек х и у зафиксировать, то функция будет линейной
относительно координат оставшейся точки.
Функция А (х, х^ называется квадратичной формой, соот-
ветствующей данной билинейной форме А(х. у):
п
А(х, х)=А(хк, х„; хг, х„) = X aikxixk-
i, к = 1
В случае, когда aik = aki, i, к=1, 2, п, билинейная форма
А(х, у) и соответствующая ей квадратичная форма А(х, х)
называются симметричными.
Например, скалярное произведение двух векторов х=
= (х15 х2, х„) и y=(yt, у2, к) «-мерного евклидова
пространства Rn
хУ=хкУг + х2У2 + - + хпУп
является симметричной билинейной формой точек х=(х15 х2, ...
..., х„) и у=(ук, у2, Уп), в квадрат длины вектора
|х|—соответствующей ей квадратичной формой
|x|2 = Xi+X2 + ... + X2.
В дальнейшем для удобства изложения будем обозначать
дифференциалы не только символом d, но и символом 8,
например писать не только
7 dz 7 , dz 7 ~ dz ~ dz ~
dz =— ах-У—ау. но и oz = — ох+— оу,
dx dy 7 dx dy J
причем дифференциал какой-либо функции будем называть
также и ее первым дифференциалом.
Пусть функция z = z(x, у) имеет непрерывные первые и
вторые частные производные на некотором открытом плоском
множестве G (такие функции, согласно определению предыду-
щего пункта, называются дважды непрерывно дифференцируе-
мыми на множестве G). Из непрерывности на множестве G
dz dz z
частных производных — и — следует, как мы знаем (см. теоре-
487
му 3 в п. 20.2), дифференцируемость самой функции z(x, в
каждой точке этого множества. Таким образом, для всех точек
(х, y)eG определен дифференциал
dz^^Adx^-^dy.
дх ду
Согласно сделанным предположениям, частные производные
dz dz
— и — имеют на открытом множестве непрерывные частные
производные
д ( dz\ d2z д (dz\ d2z д / dz\ d2z д (dz\ d2z
— I — I =.- — I — I =--- — | — j =---- и — I — I =--
dx\dx J дх2' dy\dx J дудх' дх\ду J дхду ду\ду J ду2'
поэтому, в силу теоремы 3 из п. 20.2, — и — также
дх ду
дифференцируемы на множестве G. Поэтому дифференциал dz,
рассматриваемый как функция только переменных х и у, в свою
очередь является дифференцируемой на множестве G функцией.
Вычислим дифференциал от первого дифференциала dz, считая
dx и dy фиксированными, а точку (х, у)— принадлежащей
области G: (х, y)eG, при этом новое дифференцирование
обозначим символом- 8:
> (dz) = 8 f ~dx-\~—dy\ = ( Ъ— ^б/x + f b—\dy =
' ' \dx dy J \ dx J \ dy J
(d2z R d2z ~ \ , ( d2z d2z ~ ,
- (. S? 6x+J dx+(. s*+M dy =
- У dx(dx °j + 5* dy)+dy
Обратим внимание на то, что непрерывность вторых произ-
водных была использована не только для того, чтобы
проведенные вычисления имели смысл (т. е. для того чтобы во
всех рассматриваемых точках существовали дифференциалы 8 —
дх
и 8—1, но и для того, чтобы в процессе вычислений не
ду)
обращать внимания на порядок дифференцирования. Действи-
тельно, было показано (см. п. 21.1), что в случае непрерывности
d2z d2z
смешанных частных производных ------ и ---- они совпадают,
дх ду ду дх
поэтому для их обозначения может быть использован один и
тот же символ, что и было сделано при указанных вычислениях.
В результате получилась симметричная билинейная форма
488
переменных dx, dy, 8x, 8>\ Полагая 8x = dx, 8y = dy, получим
соответствующую ей квадратичную форму, которая и называет-
ся вторым дифференциалом функции z = z\x, j) в данной точке
(х, у)eG и обозначается d2 z.
Таким образом, мы пришли к следующему определению.
Определение 2. Вторым дифференциалом d2z функции z —
=f(x, у) в данной точке называется квадратичная форма от
дифференциалов dx и dy независимых переменных, соответству-
ющая билинейной форме дифференциала от первого дифферен-
циала, т. е.
d2 z = dx2 + 2 dx dy+^-^dy2. (21.8)
дх dx dy dy
На практике при конкретном вычислении дифференциалов
обычно совмещаются оба шага — вычисление дифференциала от
дифференциала 8(dz} и приравнивание дифференциалов аргу-
ментов при последовательных дифференцированиях: 6x = dx,
8y = dy. Например, пусть z = x3cos?y и требуется найти d2z.
Последовательно имеем:
dz = Зх2 cos2 у dx — х3 sin 2j; dy,
d2z = 6x cos2 у dx2 — 3x2 sin 2j dx dy — 3x2 sin 2j dx dy —
— 2x3 cos 2y dy 2 = 6x cos2 у dx2 — 6x2 sin 2jp dx dy — 2x3 cos2 2j? dy 2.
Аналогичным образом при непрерывности частных про-
изводных третьего порядка можно вычислить и дифферен-
циал от второго дифференциала 8(d2z), после чего, пола-
гая 8х = dx и 8j = dy, мы получим по определению третий
дифференциал. По индукции определяется и дифференциал
(m-hl)-ro порядка dm+iz„ т=\, 2, .... Именно, чтобы в
предположении непрерывности у рассматриваемой функ-
ции z(x, j) всех ее частных производных до порядка т+1
включительно на некотором открытом множестве получить
ее дифференциал dm+iz, надо взять дифференциал от диф-
ференциала dmz порядка т: b(dmz} и положить §x = dx, 6y = dy.
При этом для дифференциалов порядка ги=1, 2, ... справедлива
формула
т г™
= C^e^^dxm~kdy\ (21-9)
ее обычно символически записывают в следующем виде, более
удобном для запоминания:
(г г V™}
f-dx+^-dy) f(x, у). (21.10)
дх ду )
Докажем формулу (21.9) по индукции. При т=1 она,
очевидно, верна. Пусть она справедлива при некотором т,
покажем ее справедливость при т+\. Имеем
489
т / /W+l Дш+1 \
S(</"2)- £ СЦ,,6х <&-—,» + а_ ' .
__Q у V-A, С/у UЛ (Jу J
Положим 8x = dx и 8j’ = dy, тогда
m r)m+l 7
dm+1 z = У Ckm —d—Z—dxm~k+1 dyk +
t = 0 m8xm~k+i8yk Л
m Am+l7
+ У C£-^——,dxm~pdyp+1.
p=o 8xm~p8yp 1 Л
Заменим во второй сумме индекс суммирования р на к — 1 и
заметим, что Cm + Cm~=Cm+i', окончательно получим:
dm+1z= У С*-kdxm~k+1dyk +
к=0 дхт~к+18ук У
m+1 й™+17
+ У С*-1___-__-__dxm~k + l dvk =
+ т 8хт-к+1дука У
т + 1 ят+1
к = о дхт+1~кдук Л
Замечание. Следует иметь в виду, что, как и в случае
функций одного переменного, для функций большего числа
переменных дифференциалы порядка выше первого не облада-
ют свойством инвариантности формы записи относительно
выбора переменных. Например, для сложной функции z =
=/(х, у), где х = х(у v), у=у(и, v), второй дифференциал
функции /, записанный через дифференциалы переменных х и у,
уже не будет, вообще говоря, иметь вид (21.8), а, как правило,
выглядит сложнее. Таким образом, в случае дифференциала
высшего порядка (т. е. порядка, большего или равного двум) не
имеет места инвариантность формы дифференциала относитель-
но выбора переменных. Чтобы в этом убедиться, вычислим в
рассматриваемом случае второй дифференциал функции z =
=f(x, у), где х — х[и, v), у=у(и, г). В силу инвариантности
формы первого дифференциала, имеем
dz=^-dx+—dy.
дх ду
Далее вычислим дифференциал 8(dz), считая что 5u = du,
bv = dv. Использовав инвариантность формы первого дифферен-
циала относительно выбора переменных при вычислении
о. f dz \
и 6 — , имеем
\дУ/
490
~ / dz\ d2z ~ d2z ~
Ь Н^Ьх+т-^-оу,
\dx J dx2 dy dx
~ / dz\ d2z ~ , d2z ~
\ dy J dxdy dy2
заметив, что дифференциал 8(dx) является дифференциалом
функции и, значит, вообще говоря, не нуль, получим
d2z = 8 (dz)
ои = du
bv — dv
dz . dz j
— dx+—dy
dx dy
6u = du
Sv = dv
-8 (1 +6 (I)dy+I5 <Л )+I6 >dy' --
\OX J \ cy J OX oy 8u = dv
d2z , 2 . о z j j 1
= —r dx + 2-----dx dy 4-
dx dx dy
d2z
dy2
dy2 + ^d2x^~d2y.
dx dy
На практике и в этом случае обе операции: вычисление
дифференциалов и приравнивание дифференциалов Ъи = du,
5v = dv — выполняют одновременно, т. е. запись 8(dz)
Sx = dx
5y = dy
счита-
ется равноправной записи d(dz).
Все сказанное, в частности определение дифференциалов
высших порядков, естественным образом переносится на функ-
ции большего числа переменных. Отметим, что дифференциал
m-го порядка от функций п переменных у=у(хг. ..., хп) имеет
вид
/ Л Л \{™}
dmy = ( —-dx1+...+—-dx\ y[xr. .... хп). (21.11)
Доказывается эта формула аналогично формуле (21.10).
ГЛАВА III
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 22. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И СВОЙСТВА
НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
22.1. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
В этом параграфе рассматривается задача отыскания
функции, для которой заданная функция является произ-
водной.
Пусть А — конечный или бесконечный промежуток числовой
оси, т. е. интервал, полуинтервал или отрезок*), и на А
определены функции f и F,
Определение 1. Функция F называется первообразной функци-
ей (или, короче, первообразной) функции f на промежутке Л, если
F дифференцируема на А и в каждой точке этого промежутка
производная функции F равна значению функции f:
Г'(х)=/(х), хеА. (22.1)
При этом если некоторый конец промежутка А принадлежит
промежутку, то под производной в этом конце понимается
соответствующая односторонняя производная. Функция, имею-
щая в данной точке производную, непрерывна в этой точке
(односторонне непрерывна, если речь идет об односторонней
производной), поэтому первообразная F функции f непрерывна
на промежутке А.
х3
Пример. Функция F(x) = — является первообразной функции
f(x) = x2 на всей числовой оси.
Иногда вместо первообразная данной функции говорят
«первообразная для данной функции».
Лемма 1. Две дифференцируемые на промежутке А функции
F и Ф являются первообразными одной и той же функции в том
и только том случае, когда они отличаются на постоянную:
Ф(х) = Г(х) + С, xgA, С=const. (22.2)
Если рассматриваемый промежуток является отрезком, то само собой
разумеется, что он может быть только конечным.
492
Доказательство. Если F—первообразная функция /,
т. е. F' =f> то и функция F+C является первообразной той же
функции /, так как (F+C)r = F' =f.
Если F и f— первообразные для одной и той же функции /
т. е. Р' = Ф'=/, то (F— Ф)' = Г- Ф' = 0 и, следовательно, согласно
следствию 1 теоремы Лагранжа (см. теорему 3 п. 11.2), разность
F— Ф = С — постоянная на промежутке А. □
Определение 2. Пусть функция f определена на некотором
промежутке. Совокупность всех ее первообразных на этом
промежутке называется неопределенным интегралом от функ-
ции f и обозначается
$f(x)dx. (22.3)
Символ J называется знаком интеграла, а /(х)— подынтег-
ральной функцией.
Если F—какая-либо первообразная функции/на рассматри-
ваемом промежутке, то пишут
f/(x)dx = F(x) + C, (22.4)
хотя правильнее было бы писать
f/(x)<Zx={jF(*)+C}
(здесь и в дальнейшем С — произвольная постоянная).
Иногда под J/(x)dx понимается не совокупность всех
первообразных функции / а произвольный элемент этого
множества, т. е. произвольная первообразная рассматриваемой
функции.
Аналогичные ситуации уже встречались и раньше, например
символом /(х) обозначается как сама функция, так и ее значение
в точке х. Из контекста обычно всегда бывает ясно, в каком
смысле в данном месте употреблено то или иное обозначение.
Следует, однако, иметь в виду, что всякое равенство, в обеих
частях которого стоят неопределенные интегралы, есть ра-
венство между множествами.
Интеграл j/(x)rfx есть совокупность первообразных функций
/ поэтому, вместо того чтобы сказать, что у функции /
существует первообразная, говорят также, что существует
интеграл \f(x)dx.
Под знаком интеграла пишут для удобства не саму функцию
/ а ее произведение на дифференциал dx. Это делается,
например, для того чтобы указать, по какой переменной ищется
первообразная:
j х2 zdx = ^-+C, J x2z dz = ^--yC.
Здесь в обоих случаях подынтегральная функция равна x2z, но
ее неопределенные интегралы в первом и втором случаях
493
различны, так как в первом случае она рассматривается как
функция от переменной х, а во втором — как функция от z.
Другие (более важные) соображения, показывающие целесо-
образность использования записи J/(x)dx, будут указаны в
дальнейшем (см. замену переменного в интеграле, п. 22.3).
Если F—какая-либо первообразная функции / на промежут-
ке А, то, согласно формуле (22.4), под знаком интеграла стоит
дифференциал функции F:
tZF(x) = F'(x) dx=f(x) dx.
По определению будем считать, что этот дифференциал под
знаком интеграла можно записывать в любом из указанных
видов, т. е., согласно этому соглашению,
|Дх)б?х = | F'[x)dx = \ dF(x). (22.5)
22.2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА
Все рассматриваемые в этом пункте функции определены на
некотором фиксированном промежутке А.
1°. Если функция F дифференцируема на некотором проме-
жутке, то на нем
\dF=F{x)+C
или, что то же самое,
f F' (x]dx = F(x) + C.
Это сразу следует лз определения неопределенного интегра-
ла как совокупности всех дифференцируемых функций, диффе-
ренциал которых стоит под знаком интеграла.
2°. Пусть функция /имеет первообразную на промежутке А;
тогда для всех хеА имеет место равенство
6? J Дх) dx =Дх) dx. (22.6)
Отметим, что в этом равенстве под интегралом J/(x)dx
понимается произвольная первообразования F функции /.
Поэтому равенство (22.6) можно записать в виде
б/р(х)=/’(х) б/х,
справедливость последнего равенства следует из того, что
F— первообразная /.
3°. Если функции Д и Д имеют первообразные на промежутке
А, то и функция /г+/2 имеет первообразную на этом проме-
жутке, причем
f (/1М+Л (*)) dx = J/1 (*) dx+\f2 (х) dx. (22.7)
Это равенство выражает собой совпадение двух множеств
функций и означает, что сумма каких-либо первообразных для
функций и Д является первообразной для функции fr +f2 и,
наоборот, всякая первообразная для функции Д+Д является
суммой некоторых первообразных для функций Д и Д.
494
Свойство интеграла, выражаемое формулой (22.7), называ-
ется аддитивностью интеграла относительно функций.
Доказательство. Пусть Ft и F2— первообразные соот-
ветственно функций /t и Л, т. е. в каждой точке хеД
выполняются равенства F\ (xj= ф (х), F'2 (х) =/2 (х). Положим
F\x) = F1 (х )+^2(х); тогда функция г является первообразной
для функции Д+Д, так как
F’ (х) = F; (х)+F’2 (х) =>! (х) +/2 (х), хеА.
Следовательно, интеграл f (Д (х)+/2(х))4/х состоит из функ-
ций F(x) + C=F1(x) + F2(x) + C, а сумма ) + С
2. Посколь-
ку С, С1 и С2 — произвольные постоянные, оба эти множества,
т. е. левая и правая части равенства (22.7), совпадают. □
4°. Если функция f имеет первообразную на промежутке Д и
к—число, то функция kf также имеет на Д первообразную,
причем при k^Q справедливо равенство
J к /(х) dx = к j /(х) dx. (22.8)
Доказательство. Пусть F—первообразная функции /,
т. е. F'(x)=/(x), хеД. Тогда функция kF является первообразной
функции кф ибо {кЕ(х))' = кЕ'[х) = кф(х), хеД. Поэтому интеграл
]kf[x)dx состоит из всевозможных функций вида kF+C, а
интеграл кJ ф (х) dx — из всевозможных функций к (F+ С) =
= kF+kC. В силу произвольности постоянной С, /с^О, обе
совокупности функций совпадают. Это и означает справед-
ливость равенства (22.8). □
Следствие (линейность интеграла). Если функции фг и ф2
имеют первообразные на промежутке Д, a k^R и k2eR— такие
числа, что ki + X2>0, то функция + имеет
первообразную на Д, причем
J (Х1Л (х)+(х)) dx = X, f Я (х) dx+Х2 f /2 (х) dx.
Это непосредственно следует из свойств 3° и 4°.
Вопрос о существовании первообразной рассмотрен ниже
(см. п. 29.2), теперь же изучим простейшие методы вычисления
первообразных для элементарных функций.
Упражнение 1. Доказать, что для функции /(x) = signx не существует
такой функции F. что для всех xeR выполняется равенство F’ (х) = sign х.
22.3. ТАБЛИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Операция нахождения неопределенного интеграла от данной
функции, называемая интегрированием, является действием,
обратным дифференцированию, т. е. операции нахождения по
данной функции ее производной (см. свойства 1° и 2°
неопределенного интеграла в п. 22.2). Поэтому всякая формула,
495
выражающая производную той или иной функции, т. е. форму-
ла вида F' (x)=f(x\ может быть обращена (записана в виде
интегральной формулы):
f/(x) dx = F(x) + C.
Используя это соображение, запишем таблицу значений ряда
неопределенных интегралов, получающуюся непосредственно из
соответствующей таблицы производных элементарных функций
(см. § 9)
1. \x*dx = -—+С, х>0, —1.
J а+1
Если число ос таково, что степень ха имеет смысл и для всех
х^О, то формула 1 справедлива на любом промежутке.
Например, формула
[ х2 dx =—+C
J 3
справедлива на всей числовой оси.
Однако для интеграла уже нельзя написать подобную
единую формулу, справедливую для всей ее области определе-
ния, т. е. для всей числовой оси, из которой исключено число
ноль. В этом случае имеем:
Cdx f-i+G Для х>0’
~i= л I
Jx - + С2 для х<0.
2.
на любом промежутке, на котором х^О.
Г ах
3. axdx = -—+С, я>0, а^\.
J In а
В частности, f е}
4. "
5.
6.
7.
8.
9.
sinx<7x= —cosx+ С.
cos х dx = sin х+С.
~^-=tgx+C.
COS X
' dX < I
^-= — ctgx + C.
sinz X
shxdx = chxFC.
chxdx = shx+C.
10.
496
11. 12. Г dx л —-у— = —cthx+C. 1 shzx — — 1arctgx+C— —-arccte-+C
x + a a a a a
13 Г dx 1 , — n x — a -4-C
и. n o — 111 x2 — a2 la x+a 1 V'*
14. — = я rc.ein - -4- C — — я rccnR — -4- C
-J a2 — x2 a a
15. I ? dx , . — — In 1 । y/x2 + a2 X +y Jx2 ± a2 I + C,
? т
причем, когда под корнем стоит х — а , предполагается, что
|х|>|а|.
Само собой разумеется, что если знаменатель подынтеграль-
ной функции обращается в нуль в некоторой точке, то
написанные формулы будут справедливы лишь для тех проме-
жутков, в которых не происходит обращения в нуль указанного
знаменателя (см. формулы 2, 6, 7, 11, 13, 15). Это замечание
относится и к аналогичным ситуациям, которые встретятся нам
в дальнейшем и не будут каждый раз специально оговари-
ваться.
To, что производными функций, стоящих в правых частях
этих формул, являются соответствующие подынтегральные
выражения, проверяется непосредственным дифференцировани-
ем (см. примеры в § 9).
С помощью интегралов 1 —15, называемых обычно таблич-
ными интегралами, и доказанных выше свойств неопределен-
ного интеграла можно выразить интегралы и от более сложных
элементарных функций также через элементарные функции.
Например,
5cosx+2 —Зх +-—-у-
dx = 5 cosxdx +
х2 dx+
dx
= 5 sinx + 2x — x3H-ln | x | —4arctgx+C.
Отметим, что для всякого многочлена степени п существует
первообразная и она является многочленом степени и+1,
точнее,
J(aQ + аА х + а2х2 + ... + anxn]dx =
= дох+^+^+...+^+С. (22.9)
2 3 п+\
Это следует из свойств 3 и 4 неопределенного интеграла (см. п.
22.1) и формулы 1 этого пункта.
497
Если первообразная некоторой функции f является элемен-
тарной функцией, то говорят, что интеграл \f(x}dx выражается
через элементарные функции или что этот интеграл вычисля-
ется.
22.4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПОДСТАНОВКОЙ
(ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ)
В этом и следующем пунктах будут рассмотрены два
свойства неопределенного интеграла, часто оказывающиеся
полезными при вычислении первообразных элементарных функ-
ций.
Теорема 1. Пусть функции Дх) и ср(z) определены
соответственно на промежутках Ах и Ар причем
(р(4)с4с-
Если функция f имеет на Ах первообразную F(x) и,
следовательно,
\f(x)dx—F(x)+C, (22.10)
а функция ф дифференцируема на Ар то функция Дф(/))ф' (z)
имеет на Аг первообразную и
1/(ф(0)ф'(/)б//=1Ях)^1«=Ф(О- (22.11)
Доказательство. Функции f и F определены на проме-
жутке Дх, и так как, по условию теоремы, справедливо
включение ф(Дг)сДх, что имеют смысл сложные функции
/(ф(?)) и 7?(ф(/)). При этом так как
F’(x)=J\x\ хеДх, (22.12)
то по правилу дифференцирования сложной функции получим
Это и означает, что функция Дф^))фД) имеет в качестве
одной из своих первообразных функцию F^(z)). Отсюда,
согласно определению интеграла, следует, что
J ДФ (z)) ф' (z) dt = Г(ф (z)) + С. (22.13)
Подставив же в формулу (22.10) х = ф^), получим
W) dx |х=ф(0 = Г(ф (/)) + С. (22.14)
В формулах (22.13) и (22.14) равны правые части, значит
равны и левые, т.е. имеет место равенство (22.11). □
Формула (22.11) называется формулой интегрирования под-
становкой, а именно подстановкой ф(;) = х. Это название
498
объясняется тем, что если формулу (22.11) записать в виде
f Дф (?)) Jcp (/) = f/(х) dx |я=ф0), (22.15)
то будет видно, что, для того чтобы вычислить интеграл
j/(cp(/)) ср'(/) А = |/(ф(/))б?(р(/), можно сделать подстановку х =
= ср(/), вычислить интеграл $f(x)dx и затем вернуться к
переменной Z, положив х = ф(г).
Примеры. 1. Для вычисления интеграла Jcosaxdx естественно
сделать подстановку и = ах, тогда
’ if ] 1 .
cos axdx = - cos udu = - sin и + C=- sin ax + C, a / 0.
J aJ a a
2. Для вычисления интеграла
подстановку и = х2 + а2:
Г xdx
J х2 + а2
удобно применить
^=1^=11п|п| + С=11п(^ + ^)+С.
3. При вычислении интегралов вида
полезна подстановка м = ф(х):
'<р (x)dx
<р(х)
ф(х)/0,
№л=Р*£> = |П|фМ| + С.
J <рМ J фи)
Например,
tgxdx = —
dcosx^ —in |cosx|-i_(7e
COSJC
Иногда, прежде чем применить метод интегрирования
подстановкой, приходится проделать более сложные преобразо-
вания подынтегральной функции:
dx
sinx
dx
X X
J 2sin-cos-
2 2
1 dx
x 9х
tg — 2 cos2 —
62 2
tg| +C.
Отметим, что формулу (22.11) бывает целесообразно исполь-
зовать и в обратном порядке, т. е. справо налево. Именно,
иногда удобно вычисление интеграла j/(x)Jx с помощью
соответствующей замены переменного x = (p(z) свести к вычис-
лению интеграла
1/(ф(0) ф'(0^
< 499
(если этот интеграл в каком-то смысле «проще» исходного).
В случае когда функция ср имеет обратную (р-1, то, перейдя
в обеих частях формулы (22.11) к переменной х с помощью
подстановки / = (р-1(х) и поменяв местами стороны равенства,
получим
f/(x) dx=f/(<p(z)) Ср'(/)Л|Г=Ф-1(Х).
Эта формула называется обычно формулой интегрирования
заменой переменной.
Для того чтобы существовала функция (р-1, обратная ср, в
дополнение к условиям теоремы 1 достаточно, например,
потребовать, чтобы на рассматриваемом промежутке Дг функ-
ция ср была строго монотонной. В этом случае, как известно
(см. п. 6.3), существует однозначная обратная функция ср-1.
Г Дх
Примеры. 4. Интегралы вида —, а^О, в том
J у/ах^+Ьх+с
случае, когда подкоренное выражение неотрицательно на
некотором промежутке**, легко сводятся с помощью замены
переменного к табличным.
Действительно, замечая, что ах2 + Ьх+с = а( х4— ) +с----,
у 2а / 4а
сделаем замену переменной /=У[а1^х+^-) и положим d—
= с——. Тогда dx=-^L= и, в силу формулы (22.11), получим
dx _ 1 Г dt
J yfax2 + bx+c J -J +t2 + d
(перед t2 стоит знак плюс, если я>0, и знак минус, если а<0).
Интеграл, стоящий в правой части равенства, является таблич-
ным (см. формулы 14 и 15 в п. 22.2). Найдя его по
соответствующим формулам и вернувшись от переменной t к х,
получим искомый интеграл.
Подобным же приемом вычисляются и интегралы вида
dx
ах2 + Ьх+с*
а^О
(см. об этом в п. 24.1).
5. Интеграл §у/а2 — х2 dx можно вычислить с помощью
подставновки x = flsin/ (см. также пример 2 в п. 22.5). Имеем
dx — a cos t dt. поэтому
В противном случае, т. е. когда подкоренное выражение отрицательно
для всех xs=R, подучится интеграл от комплекснозначной функции Такие
интегралы здесь не рассматриваются.
500
a2—x2 dx = a2 [cos2tdt = a2 11+c^os2/ dt =
‘ a2t a2
cos 2t dt=---1— sin It+C.
2 4
Подставляя в полученное выражение t = arcsin - и заме-
fl
чая, что sin 2 arcsin — = 2 sin ( arcsin - ) cos | arcsin - | = 2 /1 — =
fl \ a J \ a J ay] a2
=^xja2--xy окончательно будем иметь
Jу!a2 — x2 dx = a^- arcsin -+| d2—x2 + C.
Заметим, что для проверки результата, полученного при
вычислении неопределенного интеграла, достаточно его продиф-
ференцировать, после чего должно получиться подынтегральное
выражение вычисляемого интеграла.
Другие примеры на интегрирование с помощью замены
переменного рассмотрения в § 25, 26.
22.5 . ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ
Теорема 2. Если функции и(х) и v(x) дифференцируемы на
некотором промежутке и на этом промежутке существует
интеграл j vdu, то на нем существует и интеграл J udv, причем
J и dv = uv — j vdu. (22.16)
Доказательство. Пусть функции и и v дифференцируемы
на промежутке А; тогда по правилу дифференцирования
произведения для всех точек этого промежутка имеет место
равенство
d(uv) = vdu + udv,
и поэтому
udv = d(uv) — vdu.
Интеграл от каждого слагаемого правой части существует,
так как, согласно свойству 1° п. 22.1,
$ d(uv) = uv + C,
а интеграл \vdu существует по условию теоремы. Поэтому на
основании свойства 3° п. 22.2 существует и интеграл judv,
причем
J udv = § d(uv) — fv (du). (22.17)
501
Подставляя в правую часть (22.17) ш? + С вместо JJ(wr) и
относя произвольную постоянную С к интегралу f vdu, получим
формулу (22.16). □
С помощью формулы (22.16) вычисляются многие интегра-
лы. При ее практическом использовании задана левая часть
(22.16), т. е. функция и и дифференциал dv, а поэтому v
определяется неоднозначно. Обычно в качестве v выбирается
функция, записываемая наиболее простой формулой.
Примеры. 1. Пусть требуется вычислить интеграл §xexdx.
Полагая
и = х, dv = exdx, откуда du = dx, v = ex,
имеем
J хех dx = J xdex = хех — J exdx = хех — ех + С.
Заметим, что взяв и = ех и dv = xdx, откуда du = exdx и
г = х2/2, мы имели бы
хех dx = - х2 ех
2
1 Г 2
- х е dx,
т. е. интегрирование по частям привело бы к интегралу, более
сложному, чем исходный. Отсюда видно, что при вычислении
интегралов с помощью формулы (22.14) не каждый способ
выбора функций и и v приводит к интегралу, более простому,
чем первоначальный.
2. Вычислим интеграл 7 = J а2 —х2 dx посредством интег-
рирования по частям (ранее, см. п. 22.3, пример 5, он был
вычислен с помощью замены переменного).
Полагая и = а2 — х2, dv = dx и, следовательно, du =
v = x, получим
(22.18)
Добавим и вычтем а2 в числителе подынтегральной функции
интеграла, стоящего в правой части равенства; тогда, произведя
деление на а2 — х2, будем иметь
a2 — x2dx = a2 arcsin - — I.
Подставив это выражение в (22.18), получим
1= х J а2 — х2 + a2 arcsin - — I.
v а
(22.19)
502
Как уже отмечалось, всякое равенство такого вида представ-
ляет собой равенство между двумя множествами функций,
элементы каждого из которых отличаются друг от друга на
постоянную. Поэтому общее выражение для элемента множест-
ва 7, согласно (22.19), имеет вид
______ 2
т х 2 . а * Х ।
I=-J а —х +—arcsin —I- С.
2V 2 а
3. Иногда для вычисления интеграла правило интегрирова-
ния по частям приходится применять несколько раз, например,
xdx
arcsin 2 xdx = х arcsin 2 х — 2 arcsin х
= х arcsin2 х + 2 J arcsin xd ^/1 —х2 =
\ = х arcsin2 х + 2 arcsin х ^/1 — х2 — 2х + С.
4. Если Р„(х) — многочлен степени п,
интеграла
то для вычисления
Pn(x)eaxdx следует формулу интегрирования по
частям применить п раз. Выполнив это,
получим
Pn(x)e*xdx = eax
^-^Р+...+ +с.
а а2 v 7 а" 1 J
Другие примеры на применение интегрирования по частям
будут рассмотрены в § 26.
22.6 *. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ ПЕРВООБРАЗНОЙ
Введенные выше понятия первообразной и интеграла могут
быть обобщены в разных направлениях, причем таким образом,
что будут сохраняться как свойства к — 4° п. 22.2, так и
теоремы 1 и 2. Ограничимся здесь лишь одним обобщением,
которое нам понадобится в дальнейшем, например при интегри-
ровании так называемых кусочно-непрерывных функций.
Пусть функции f и F определены на некотором конечном или
бесконечном промежутке А.
Определение 3. Функция F называется обобщенной первооб-
разной функции f на если:
1) функция F непрерывна на промежутке А;
2) в любой точке промежутка А, кроме некоторого конечного
множества
Е—— Еj- р с А,
функция F имеет производную, равную значению функции f в
этой точке:
F' (х) =/(х), xgA\ Ef. (22.20)
503
В точках множества Ef функция F, будучи согласно условию
1 обязательно непрерывной, может иметь или не иметь
производной, причем, если производная существует, то
F'(xW(x)-
В частности, множество Ef может быть пустым. В этом
случае понятие обобщенной первообразной совпадает с поняти-
ем первообразной в смысле определения 1.
В этом пункте рассматривается только обобщенная первооб-
разная в смысле определения 3, поэтому для краткости она
будет, как правило, называться первообразной, т. е. каждый раз
эпитет «обобщенная» не будет употребляться.
Пример. Для функции /(x) = signx функция F(jQ=|x|,
— со<х<Ч-оо, является первообразной на всей числовой оси.
Здесь множество Ef состоит из одной точки —нуля: £signx = {0}.
Для любой же точки х^О имеет место равенство | х |' = signх.
Отметим, что функция F(x) = |x| является первообразной и
для функции
— 1 при х<0,
отличающейся от функции /(x) = signx значением в нуле.
На этом примере видно, что одна и та же функция F может
быть первообразной для разных функций /, однако, в силу
условия (22.20), эти функции f могут отличаться друг от друга
только значениями на конечном множестве точек (зависящем от
выбираемых функций /).
Очевидно, что если функция F является первообразной
функции / на некотором промежутке А, т. е. функция F
непрерывна на А и во всех его точках, кроме некоторого
конечного множества, выполняется условие F' (х)==/(х), то для
любой постоянной С функция F(x) + C также непрерывна на
промежутке А и во всех его точках, кроме указанного выше
конечного их множества, выполняется условие
(F(x) + C)' = F'(x) + C'=/(x),
т. е. функция F(x} + C также является первообразной функции
на промежутке А.
С другой стороны, если функции F и Ф являются первооб-
разными для функции f на промежутке А, т. е. если F и Ф
непрерывны на А и во всех его точках, кроме конечных
множеств Ef F и соответственно Ef^ выполняются условия
/'(х)=/(х) и Ф'(х) =/(•*)>
то для всех точек промежутка А, кроме множества Ef yF\jEf ф,
будет выполняться условие
Г'(х)=/(х) = Ф'(х),
504
причем множество EfF\jEf^9 где это условие нарушается,
конечное как объединение двух конечных множеств.
Отсюда, в силу следствия 2 теоремы 3 из п. 11.2, вытекает,
что функции F и Ф отличаются на промежутке А лишь на
некоторую постоянную С:
Ф (х) = F(x) + С, хеА. (22.21)
Таким образом, совокупность обобщенных первообразных
одной и той же функции, как и совокупность обычных
первообразных в смысле определения 1, состоит из функций,
отличающихся друг от друга на постоянную.
По аналогии с определением 2 вводится в рассматриваемом
случае и понятие интеграла.
Определение 4. Совокупность всех обобщенных первообразных
функции f\ заданной на некотором промежутке А, называется
неопределенным интегралом от функции f на этом промежутке
и обозначается тем же символом, что и раньше.
J7(x) dx.
Если F—первообразная функции / на промежутке А, то,
согласно определению 4, в формуле (21.3) под знаком интеграла
стоит дифференциал функции F в точках хбА\Е/ г:
J/(x) dx = j F'(x) dx = J dF(x). (22.22)
Покажем, что для интеграла, состоящего из обобщенных
первообразных, сохраняются свойства интеграла, доказанные в
п. 22.2, 22.4 и 22.5.
I1. Пусть функция F непрерывна на промежутке А и
дифференцируема во всех его точках, кроме некоторого конечно-
го их множества ЕсЛ, тогда
JdF(x)-F(x) + C,
или, что то же самое (см. (22.20)),
J F' (х) dx = F (х) + С.
Справедливость этого равенства вытекает из определения
неопределенного интеграла как совокупности всех функций,
непрерывных на данном промежутке А, дифференциал которых
во всех точках хеА, кроме конечного их множества (своего для
каждой функции F) стоит под знаком интеграла (см. (22.20)), и
из общего вида (22.21) всех первообразных данной функции.
21. Пусть функция f имеет первообразную на промежутке А.
Тогда для любой точки xeA\Ef имеет место равенство
d\f(x) dx=f(x) dx. (22.23)
Как и в п. 21.1, здесь под интегралом j/(x)t/x понимается
произвольная первообразная функции f. Справедливость форму-
лы (22.23) очевидна в силу определения первообразной.
505
З1. Если функции fr и f2 имеют первообразные на некотором
промежутке, то и функция также имеет первообразную
на этом промежутке, причем
f (/1 (х)+/2 (x))dx=f/Jx)dx+f/2(x)dx. (22.24)
Доказательство. Пусть функции /t и /2 имеют на
некотором промежутке А первообразные Е\ и F2, следователь-
но, |/1(х)б?х = ^(х)+С19 J/2(x)6Zx = F2(x) + C2, функции Fr и F2
непрерывны на промежутке А, а в его точках хеА\ Ef и
xe\\Efi соответственно выполняются условия F\ (x)=fr (х) и
F'2 (х) ==/2 (х), где Efi и Ef2 — некоторые конечные множества
Положим F=F1+F2. Тогда функция F непрерывна на
промежутке А, как сумма непрерывных на этом промежутке
функций Fx и F2, и для любой точки
имеет место равенство
F' (*) = [ Fl W + F2 (*) ]' = F t (x) + F2 (x) =/l (x) +/2 (x),
причем множество Ef [jEf , для точек которого это равенство
нарушается, является конечным, как объединение двух конечных
множеств Efi и Ef2.
Это означает, что F является первообразной для функции
/1+/2 на А? поэтому
f (/1 (х) +/2 (х)) dx=F(x)+С=Fj (х)+F2 (х)+С.
Таким образом, левая часть формулы (22.24) состоит из
функций вида Ft(x) + F2(x) + C, правая — из функций вида
F1(x) + C1+F2(x) + C2. Так как постоянные С, Сг и С2
произвольные, то эти совокупности совпадают. □
А1.Если функция f имеет на некотором промежутке первооб-
разную и к — число, то функция kf также имеет на этом
промежутке первообразную, причем при к^О справедливо ра-
венство
J kf(x) dx = k J/(x) dx. (22.25)
Доказательство. Пусть на некотором промежутке А
имеем J/(x)dx = F(x) + C, т. е. функция F непрерывна на А и во
всех точках хеА, кроме конечного множества F,, выполняется
условие
F'(x)=/(x).
Тогда функция kF также непрерывна на А и во всех точках
xeA\Fy имеет место равенство
(A:F(x))' = kF' (х) = kf(x).
Это означает, что функция kF является первообразной для kF,
поэтому j/r/(x) Jx = ^F(x) + C1.
506
Таким образом, левая часть формулы (22.25) представляет
собой совокупность функций вида £Г(х) + С1? а правая состоит
из функций вида k(F(x)-\-C) = kF(x) + kC. Постоянные С и С1?
произвольны, поэтому при условии к^О эти совокупности
совпадают. □
Теорема 3. Пусть функции Дх) и ср(х) определены
соответственно на промежутках Ах и Ар <p(Aj<=Ax, функция f
имеет на Ах первообразную Дх) и, следовательно,
J Дх) dx = F(x) + С, (22.26)
Ef — такое конечное множество, что и для всех
xe&x\Ef выполняется равенство
F'(x)=f(x\
Если функция ср непрерывна на промежутке Ар дифференци-
руема во всех его точках, за исключением некоторого конечного
множества, и полный прообраз ср'ДД) множества Е, также
является конечным множеством, то функция Дср(/)) ср' (z) имеет
на промежутке Az первообразную Д(р(/)), и поэтому
(/(ф(?))ф'(?)Л = Дф(?)) + С = R(x)rfx|x= (22.27)
(22.26)
Доказательство. Функции Дх) и F(x) определены на
промежутке Ах и по условию теоремы справедливо включение
<p(AjcAx, поэтому имеют смысл сложные функции Д<р(/)) и
F(<p(z)). Согласно условиям теоремы, функция (р непрерывна на
промежутке А, и существует такое конечное множество (обозна-
чим его через Еф), что функция ср дифференцируема во всех
точках ГбАДЕф. Следовательно, функция F((p(/)) непрерывна
на А, как композиция непрерывных функций и, по прави-
лу дифференцирования сложных функций, для всех точек
teА, \ (£ф (J ср ~1 (Ef)) имеет место равенство
причем множество £ф(Д<Р-1 (Д), гДе указанное равенство может
не иметь места, является конечным множеством как сумма двух
конечных множеств: Д и <р-1(Д). Это и означает, что функция
Дср(/))<р'(Д имеет в качестве одной из своих первообразных
функцию г(ср(/)). Отсюда сразу и следует формула (22.27). □
Теорема 4. Если каждая из функций и\х) и Дх), заданных
на данном промежутке, дифференцируема во всех его точках,
кроме конечного их множества, и на этом промежутке
существует интеграл J vdu, то на том же промежутке
существует и интеграл J udv, причем
J udv — uv — § vdu. (22.28)
507
Доказательство. Пусть функции и(х) и v(x) заданы на
промежутке А, причем и (х) не дифференцируема только на
конечном множестве Еи с: A, a v (х) не дифференцируема на
конечном множестве Ev^& и E=Eu[jEv. Очевидно, что Е—
также конечное множество и что для всех точек xgA\E, по
правилу дифференцирования произведения, будем иметь
d(uv) = vdu + udv,
поэтому
udv = d(uv) — vdu.
Интеграл от каждого слагаемого правой части этого
равенства существует, так как, согласно свойству I1,
§ d(uv) = uv + C,
а интеграл $vdu существует по условию теоремы. Поэтому на
основании свойства З1 существует и интеграл $udv, причем
§udv = J d(uv) — J vdu.
Подставляя в правую часть этого равенства uv + C вместо
$d(uv) и относя произвольную постоянную С к интегралу §vdu,
получим формулу (22.28). □
§ 23. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О КОМПЛЕКСНЫХ
ЧИСЛАХ И МНОГОЧЛЕНАХ
23.1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Как известно из алгебры, комплексными числами называются
выражения вида
z = x+zy,
где i — некоторый элемент, называемый мнимой единицей, ахи
у— любые действительные числа. Множество всех комплексных
чисел обозначается через С. Число х называется действительной
частью, у — мнимой частью комплексного числа z = x + iy. Это
записывается следующим образом: x = Rez, y = Imz*).
Комплексное число z, не являющееся действительным, т. е. у
которого Imz^O, будем называть существенно комплексным
числом. Число yjx2+y2 называется модулем комплексного
числа z = x + zy и обозначается |z|, т.е. |z| = л/х2 + у2.
Каждому комплексному числу z = x + iy соответствует упо-
рядоченная пара действительных чисел (х, у), и обратно; каждой
От лат. realis — действительный и imaginarius — мнимый.
508
упорядоченной паре действительных чисел (х, >) соответствует
комплексное число z = x + iy. В силу этого взаимно однозначно-
го соответствия (а также и в силу других обстоятельств, о
которых речь будет и идти ниже) комплексное число z = x + iy
геометрически удобно интерпретировать либо как точку (х, у),
либо как радиус-вектор на плоскости с координатами х и у (при
некоторой фиксированной прямоугольной декартовой системе
координат).
Координатная плоскость, точка (х, >) которой (при любых х,
yeR) отождествлена с числом x+yi, называется комплексной
плоскостью и обозначается, как и множество комплексных
чисел, буквой С.
В плоскости С ось Ох называется действительной, а
Оу — мнимой осью.
Угол ср, образованный радиусом-вектором z, z/О, с поло-
жительным направлением оси Ох, называется аргументом
комплексного числа z и обозначается Argz. Значения ф
аргумента комплексного числа z, такие, что -Жф^я, обычно
обозначают argz. Очевидно, что Argz определяется комплекс-
ным числом z#0 с точностью до целочисленного, кратного
числу 2л, в то время как argz определяется уже числом z^O
однозначно. Очевидно также, что
arg z = arctg -+kn,
где k = 0 для первой и четвертой координатных четвертей, k=l
для второй четверти и k= 1 для третьей. Если х = 0, то при
у^О считается, что argz = |signj/, а при x=y = Q argz не
определен.
Пусть |z| = r, Argz = 9; тогда
(рис. Ill) х = гсо8ф, у = rsin(p,
поэтому
z = х + iy = r (cos ф + i sin ф).
Правая часть этого равенства
называется тригонометрической
формой комплексного числа z в
отличие от записи его в виде
z = x + iy, которая называется его
алгебраической формой.
Мы будем употреблять тригонометрическую форму записи
комплексных чисел и для числа z = 0: в этом случае г = 0, а ф мо-
жет принимать любое значение — аргумент нуля не определен.
Комплексные числа x1+y1i и x2+y2i считаются равными
тогда и только тогда, когда хг=х2 и уг=у2. По определению
полагают также x + 0z = x, 0+yi=yi, 0 + 0z = 0.
509
Сумма двух комплексных чисел z1=x1 + zy1 и z2 = x2-\-iy2
определяется формулой
Zi+z2 = (%1+х2) + *( Л+Щ- (23.1)
Иначе говоря, действительная и мнимая части суммы z1+z2
равны суммам соответственно действительных и мнимых частей
и z2.
Вычитание комплексных чисел определяется как действие,
обратное сложению, т. е. разность z = zr — z2 является таким
числом z, что z2 + z = z1. Следовательно, если z = x + zy, то
x2 + x + z(j2+j) = x1 + zv1. Отсюда x = xt—х2, у=Ух~J2, т. е.
действительная и мнимая части разности zt — z2 равны разностям
соответственно действительных и мнимых частей чисел z1 и z2.
Геометрически действительная и мнимая части комплексно-
го числа являются его координатами и при сложении (вычита-
нии) координат векторов сами векторы также складываются
(вычитаются), поэтому формула (23.1) означает, что геометри-
чески комплексные числа складываются как векторы (рис. 112 и
ИЗ).
Модуль комплексного числа z = x-\-iy является, очевидно,
длиной соответствующего ему вектора (х, у). Длина каждой
стороны треугольника не превосходит суммы длин двух других
его сторон, а абсолютная величина разности длин двух сторон
не превосходит длины третьей стороны, поэтому для любых
двух комплексных чисел zx и z2 имеют место неравенства
(рис. 112 и ИЗ)
. | + |z2|, II Zj |-|z2||^|z1-z2|.
Второе из этих неравенств можно получить из первого тем же
приемом, который был использован для получения аналогично-
го неравенства для действительных чисел в п. 2.3*.
510
Произведение двух комплексных чисел z1=x1 + zy1 и z2 =
= x2 + zy2 определяется по формуле
Z1 z2=(хх + iyr) (х2+iy2) = (%! х2 - У1 J2) +
+ i(xly2+y1x2). (23.2)
Умножим, согласно этому правилу, число г = 0+ Н само на
себя. Получим ii= — 1. Произведение и естественно обозначить
i2. Таким образом,
i2 = — 1.
Если иметь в виду это соотношение, то формула (23.2) означает
не что иное, как обычное формальное почленное умножение.
Найдем формулы умножения комплексных чисел в тригоно-
метрической форме. Если
zt = г 1 (cos (р! + i sin <р ,), z2 = г2 (cos <p2 + i sin ср2),
то
ziz2 = rirz [(cos Ф1 С08ф2 —8Шф1 зтф2)+г(со8ф1 sin ф2 +
+ sin ф1 COS ф2 )] = Г2 [cos (ф! + ф2 ) + isin (ф! + ф2 )]
и, таким образом,
kiz2| = |zi|-|z2|, Arg(z1-z2) = Argz1+Argz2. (23.3)
Второе равенство, как и вообще все равенства, содержащие
Arg, следует понимать как равенство соответствующих мно-
жеств, причем каждый элемент множества, стоящего в правой
части равенства, является суммой некоторых элементов соот-
ветственно из множеств Argzt и Argz2.
Методом математической индукции легко показать, что
|z1z2...z„| = |z1|-|z2|...|z„|,
Arg(z1z2...zn) = Argz1+Argz2 + ...+Argzn,
т. е. при умножении комплексных чисел их модули перемно-
жаются, а аргументы складываются.
Отсюда, полагая zt=z2 = ... zn = z, для степени z", и=1, 2,
3, ..., комплексного числа z имеем
|z"| = |z|", Axgzn = nArgz + 2кп, к = 09 +1, ±2, ... .
Следует обратить внимание на то, что формула для аргумента
степени комплексного числа представляет собой равенство
множеств: если ср — какое-либо значение аргумента числа z, то
множество всех аргументов числа zn составляют числа вида
w(p + 27im, т = 0, ±1, +2, ... . Отсюда ясно, что если то
Arg z” Ф п Arg z,
так как здесь правая часть представляет собой совокупность
всех чисел вида я((р + 27т7) = жр + 2тшт, т. е. к числу жр
511
добавляются не всевозможные, кратные числу 2л, как в случае
Argz”, а лишь кратные числу 2тш.
Отметим еще, что формула для аргумента степени комплекс-
ного числа равносильна следующему утверждению.
Если (peArgz, то ncpeArgz”. Поэтому если z = r(coscp-h
4-zsincp), то
z" = rn (cos n ф + i sin n (p).
Отсюда для комплексного числа, абсолютная величина
которого равна 1 (г=1) и, следовательно, имеющего вид
z = cos ф + i sin ср, имеем
(cos ф + i sin ф)п — cos п ф + i sin п ф. (23.4)
Это соотношение называется формулой Муавра*\
Деление — комплексного числа zt на комплексное число
Z2
z2^0 определяется как операция, обратная умножению, т.е.
число z = — называется частным от деления zt на z2. если
Z2
z1=z2z. Поэтому
|z1| = |z2||z| и Argzx = Argz2 + Argz,
откуда
|z|-
fl
Z2
^4, Argz = Arg^-Argz1~Argz2
IZ2 I Z2
(23.5)
т. e. при делении комплексных чисел их модули делятся, а
аргументы вычитаются.
Формулами (23.5) комплексное число z = — при заданных zv и
Z2
z2^0, очевидно, определено однозначно. Ряд других свойств
комплексных чисел, как, например, коммутативность и ассоциа-
тивность сложения и умножения, дистрибутивность умножения
относительно сложения и другие свойства, непосредственно
следуют из формул, с помощью которых определены эти
операции для комплексных чисел, и из соответствующих
свойств действительных чисел. Поэтому не будем на них
подробно останавливаться.
Если п — натуральное число, то корнем л?-й степени из
комплексного числа w=^Jz называется такое число и7, и-я
степень которого равна подкоренному выражению:
w" = z.
** А. Муавр (1667—1754) — французский математик.
512
Рис. 114 Рис 115
Например, f2 = — 1, поэтому 1 = L Однако этой формулой
задаются не все значения корня ^/— 1, так как ( —z)2= —1 и,
следовательно, — i также корень из — 1, т. е. верно не только
равенство — 1 = z, но и равенство ^/ — 1 = — z.
Если
z = г (cos ф + z sin ф), а и— р (cos ф + z sin ф),
то
р” (cos п ф + z sin п ф) = г (cos ф + z sin ф);
отсюда
р=^/г.
Здесь корень понимается в арифметическом смысле - как
неотрицательное действительное число, так как, по определе-
нию модуля комплексного числа, р^О.
Далее,
/?ф — ф + 2Ъг (к— целое), или ф = ^ + 2/с7\
По существу, различные значения аргумента получаются при
значениях А=0, 1, ..., п— 1: различные в том смысле, что если
обозначить эти значения аргумента через фк и положить
wk = р (cos \\fk + sin фк), то при р ф 0 получаются различные комп-
лексные числа. При всех остальных к значения ф будут
отличаться от указанных чисел фк на кратное 2л, т. е. эти
значения аргумента будут приводить к одному из комплексных
чисел А? = 0, 1, п—\. Таким образом, корень ”/z имеет при
z^O точно п значений и’о, vtj, ..., р
В комплексной плоскости числа к = 0, 1, ..., /7 — 1,
располагаются в вершинах правильного н-угольника, вписан-
17-1807 513
ного в круг радиуса р с центром в начале координат. Это
следует из того, что аргумент числа wk отличается от аргумента
числа юк_! при всех к= 1, 2, п — 1, так же как и аргумент
от аргумента w0, на одно и то же число —. На рис. 114
изображен случай п = 5.
Каждому комплексному числу z = x+iy соответствует число
x — iy\ которое называется сопряженным с z и обозначается z;
z — x — iy. Геометрически число z изображается вектором,
симметричным с вектором z относительно оси Ох (рис. 115).
Свойства сопряженных комплексных чисел
1°. | z | — | z I, arg z = -arg z.
T. zz = \z\\
3". z = z.
4 z1+z2^z! + z2.
5°- ~~Z2 ~Z 1 ~~Z 2*
6°. ziz2 = zlz2.
Рис. 116
последняя диагональ, как
Свойство Г очевидно (см. рис. 115).
Далее, согласно правилу умножения комплексных чисел,
zz = (x + z>’) (x-zv) = x2+j2 = |z|2. □
Свойство 3° также очевидно: если z = x + iy, то z = x — iy и
В справедливости свойства 4
можно убедиться геометрически,
взяв параллелограмм, симметрич-
ный относительно оси Ох с парал-
лелограммом, построенным на век-
торах zY и z2 как на сторонах (рис.
116), т. е. параллелограмм, натяну-
тый на векторы z { и z2. Диагонали
этих параллелограммов будут так-
же симметричными друг другу от-
сительно оси Ох и, следователь-
но, будут соответственно равными
z1+z2 и z1+z2. С другой стороны,
сумма векторов z 3 и z2, равна также
и z1+z2. □
Свойство 5 доказывается аналогично.
Свойства 6° и 7° следуют из того, что модули и аргументы
выражений, стоящих в разных частях соответствующих равен-
ств, совпадают. Действительно, используя свойство Г, получим
514
|z1z2| = |z1 z2| = |z1|-|z2| = |z1|-|z2| = |z1-z2|,
Argztz2 = — Argztz2 = — (Argzt+Argz2)= .
= — ArgZj —Argz2 = Argzj + Argz2 = Argzrz2. □
Аналогично доказывается свойство 7°.
23.2* . ФОРМАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
Вдумчивый читатель обратил внимание на то, что приводи-
мая в и. 23.1 формулировка «выражения вида z = x + iy
называются комплексными числами» не является четким опре-
делением комплексных чисел.
Множество комплексных чисел С можно определить как
множество упорядоченных пар (х, у) действительных чисел, xeR,
yeR. в котором введены операции сложения и умножения
согласно следующему определению:
(л, у)+(х', у’)=(х+х', }>+/),
def
(х, у)(х', у’)=(хх'-уу', ху' + х'у),
(х, у)еС, (х', у')еС.
Нетрудно проверить, что в результате этого определения
множество указанных пар превращается в поле, т. е. удовлетво-
ряет условиям I, II, III п. 2.1. Полученное таким образом поле,
а также каждое изоморфное ему, называется полем комплексных
чисел.
Пары (х, 0) обозначаются просто через х (их совокупность
изоморфна полю действительных чисел), а пара (0, 1) обозна-
def
чается через i: z = (0, 1).
Согласно определенной операции умножения
z2 = (0, 1)(0, 1) = (-1, 0)=-1, т.е. z2=-l.
Для любого комплексного числа (х, у) имеет место легко
проверяемое тождество
(х, y) = x+zy.
Действительно,
(х, у) = (х, 0) + (0, у)=(х, 0)+(0, 1)(у, 0) = x+z>,
515
и мы снова пришли к записи комплексных чисел, из которой
исходили в п. 23.1.
/ a b\
Упражнение 1. Доказать, что матрицы вида с обычными
\ — b а]
матричными операциями образуют поле, изоморфное полю комплексных чисел
23.3. НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИЗА
В ОБЛАСТИ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
Понятия числовой последовательности и ее предела легко
обобщаются и на случай комплексных чисел.
Функция, определенная на {множестве натуральных чисел и
имеющая своими значениями комплексные числа, называется
последовательностью комплексных чисел. Как и в случае
действительных чисел, комплексное число z, соответствующее
натуральному числу л, снабжается индексом п: zn. п = 1, 2, ... .
Определение 1. Пусть задана последовательность комплекс-
ных чисел zn = xn + iyn, п = 1, 2, ... . Число £ = ^ + гг| называется ее
пределом, если для любого действительного числа £>0 существу-
ет такой номер п£, что при п>пг выполняется неравенство
|z„-q<£.
В этом случае пишут lim zn = и говорят, что последователь-
Ц—*00
ность {z„} сходится к числу
Таким образом, по форме это определение совершенно такое
же, как для предела последовательности действительных чисел.
Геометрически, если обозначить через Мп конец радиуса-
вектора z„, т. е. точку с координатами (хп, у„), а через N—точку
с координатами (£, т|), то равенство limz„ = £ будет иметь место
и—*00
в том и только в том случае, когда lim Mn = N в смысле п. 18.1.
Это непосредственно следует из того, что совокупность концов
М=(х, у) векторов z = x+iy таких, что \z—£|<8, образует
8-окрестность точки N=(t), т|) (рис. 117).
Из сказанного следует (см. п. 18.1), что последовательность
z„ = xn + zy„ сходится к числу ^ = ^ + zt| тогда и только тогда,
когда
limxn=^, limj/n = r|.
п—*00 и—*00
Последовательность комплексных чисел, имеющая своим
пределом нуль, называется бесконечно малой.
516
На последовательности ком-
плексных чисел естественным об-
разом переносится ряд теорем о
пределах последовательностей
действительных чисел, например
теорема о единственности преде-
ла, об ограниченности последо-
вательности, имеющей предел,
критерий Коши и т. п.
В § 8 были введены обозначе-
ния о и О для сравнения функ-
ций. В дальнейшем понадобятся
такие же обозначения и для
последовательностей комплекс-
ных чисел.
Определение 2. Будем говорить, что последовательность {zn}
ограничена относительно последовательности {ип}, и писать
zn = O(w^*\ если существует постоянная о О такая, что
2, ... .
Это определение в случае %/0, п=\, 2, ..., эквивалентно
следующему: для двух данных последовательностей {zn} и {wn}
существуют постоянная с'>0 и номер п0 такие, что
п = п0, л0+1, ... .
Действительно, полагая
в этом случае
с = тах
получим
п=19 2, ...,
т. е. первоначальное определение.
Определение 3. Если zn = O(w^ и w=O(zn), то будем
говорить, что последовательности {zn} и {ип} одного порядка, и
писать zn^wn.
Определение 4. Будем говорить, что последовательность {zn}
является бесконечно малой по сравнению с последовательностью
{w„}, и писать zn = o(yv^ если существует бесконечно малая
последовательность {ос„} такая, что zw = ocn%, л? = 1, 2, ... .
Определение 5. Последовательности {zn} и {и’п} называются
эквивалентными или асимптотически равными, если существует
такая последовательность {ел}, что
lim 8„=1 и zn = tnwn, 77=1, 2, ... .
** Иногда к этому добавляют: при я->оо.
517
В этом случае пишется zn~wn, п=Х, 2, ... .
Упражнения. 2. Доказать, что, для того чтобы zn~w„, необходимо и
достаточно, чтобы zn — wn + о(w„), я=1, 2, ... .
3. Доказать: если zn = cwn + о (vv„), и = 1, 2, ..., то zn = O(wn).
Можно рассматривать и функции комплексного аргумента.
Например,/(z) = |z|, /(z) = z2. Обе эти функции определены на
множестве всех комплексных чисел, первая из них принимает
только неотрицательные действительные значения, вторая же,
наряду с действительными, и существенно комплексные.
Геометрически если функция f определена на некотором
множестве X «-мерного евклидова пространства Rn и прини-
мает комплексные значения, то она задает отображение
множества X в плоскость. Например, функция w = |z| отобра-
жает плоскость на полупрямую, а функция w = z2— всю
плоскость на всю плоскость, как говорят, двукратным обра-
зом — в данном случае это означает, что при отображении
w = z2 каждая точка образа кроме нуля имеет прообраз,
состоящий из двух точек.
Если множество У, на котором задана некоторая функция,
лежит на плоскости R2, то его можно рассматривать всегда при
фиксированной системе координат как множество комплексных
чисел, а заданную функцию — как функцию комплексного
аргумента.
Для комплекснозначных функций, определенных на мно-
жестве X «-мерного пространства Rn, можно ввести многие из
понятий, введенных ранее для действительнозначных функций
(предел, непрерывность, частные производные, дифференцируе-
мость, интеграл и др.). В ближайших параграфах придется
встретиться лишь с понятием ограниченности и непрерывности
комплекснозначных функций.
Комплекснозначная функция /(Р), РеХ, называется ограни-
ченной на множестве X, если на этом множестве ограничена
функция |/(Р)|.
Таким образом, понятие ограниченности комплекснозначной
функции f сводится к понятию ограниченности действительно-
значной функции |/|.
Определение 6. Пусть комплекснозначная функция f опреде-
лена на множестве XczRn и пусть Р^Х. Функция / называется
непрерывной в точке Ро, если для любого 8>0 существует 8>0
такое, что для всех точек РеХ. удовлетворяющих условию
р (Р, Ро) < 5, выполняется неравенство
Мы видим, что по форме это определение полностью
совпадает с определением непрерывности для действительно-
значных функций (ср. с п. 19.3).
518
В том случае, когда X—плоское множество и, стало быть,
его точки можно рассматривать как комплексные числа z,
определение непрерывности принимает следующий вид: функ-
ция /(z) непрерывна в точке зоеУ, если для любого £>0
существует 8>0 такое, что для всех zeX удовлетворяющих
условию |z-z0|<8, выполняется неравенство
I/(Z)-/(ZO)|<£.
Комплекснозначная функция, непрерывная в каждой точке
некоторого множества, называется непрерывной на этом мно-
жестве. В силу определения непрерывности функции и нера-
венства
нж)|-|/(^о)н<т-ж)ь
очевидно, что если функция ДР), определенная на множестве
Ус/?”, непрерывна в какой-то точке Ро этого множества: РоеУ,
то и действительнозначная функция |/(Р)| непрерывна в этой
точке. Поэтому если комплекснозначная функция f непрерывна
на компакте Ус/?”, то, согласно сказанному, функция |/| также
непрерывна, а следовательно, и ограничена на этом компакте.
Это, по данному выше определению ограниченности функции,
означает ограниченность и самой функции /. Таким образом,
для непрерывных комплекснозначных функций справедлив ана-
лог первого утверждения теоремы Вейерштрасса (см. теорему 3
в п. 19.6): функция, непрерывная на компакте, ограничена на
нем.
Переносятся на комплекснозначные функции и теоремы о
том, что если две функции f и g, определенные на некотором
множестве Ус/?”, непрерывны в точке РоеУ, то и функции/+g,
г
fg, а если g(Po)^0, то и-, непрерывны в этой точке. Из этой
теоремы следует, например, что любой многочлен Pn(z) =
п
— £ akzk с комплексными коэффициентами ак, к = 0, 1, ..., я,
к = 0
непрерывен в любой точке zoeC (ср. с п. 7.1).
23.4 . РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ
Пусть
Pn(z) = Anzn+An_tzn-r + ... +Л^ + Л0, zeC, (23.6)
— многочлен с комплексными в . общем случае коэффициентами
Ар J=0, 1, ..., п. Если Лпт^0, то число п называется степенью
многочлена.
Из алгебры известно, что если степень т многочлена Qm(z)
не превышает степени п многочлена Pn(z\ то существуют такие
многочлен Sk (z) степени к и многочлен Rt (z) степени / или
519
равный нулю, что п = т + к, Q^l<m, и многочлен Pn(z)
представим в виде
P„(z) = 5t(z)em(z)+Pz(z).
При этом такое представление единственно.
Операция нахождения многочленов Sk (z) и Pt (z) по заданным
многочленам Pn(z) и Qm(z) называется делением многочлена Pn(z)
на Qm(z}, многочлен Pn\z)— делимым, Qm(z) — делителем, Sk—
частным, Ri(z) — остатком от деления r„(z) на Qm(z).
Отметим, что из т = \ следует, что 7=0, т. е. в этом случае
остаток от деления является константой.
Комплексное число z0 такое, что
P„Uo)=0.
называется корнем данного многочлена (23.6).
Если многочлен Pn(z] степени п$Л разделить на z —где
£— какое-либо комплексное число, то получим
-pn(z)=(z-0 Qn-i(^+r,
где <2n-i(z)— многочлен степени п — 1, а остаток г — постоян-
ная. Отсюда непосредственно следует, что число z0 является
корнем многочлена Рп (z) тогда и только тогда, когда многочлен
Pn(z) делится без остатка на z—z0 (теорема Безу*}).
Если многочлен ^делится на (z — z0)k (k — положительное
целое) и не делится на (z —z0)k + 1, то число к называется
кратностью корня z0.
Однократный корень называется простым, а /с-кратный при
k> 1 —кратным корнем.
Таким образом, если комплексное число z0 является корнем
кратности к многочлена Pn(z), то
p„(z)=(z-z0)*e„_k(4
где Qn_k(z) — такой многочлен степени п — к, что Qn-k(zo)^0.
В курсе алгебры доказывается, что всякий многочлен Pn(z)
степени п^\ имеет по крайней мере один корень zr Если его
кратность равна к. то, как отмечалось, справедливо разложение
p„(z)=(z-Z1)^en_fcl(4 e„_4(Z1)^o,
где степень многочлена Qn^ki(z) меньше п. Многочлен Qn_k (z),
если его степень больше 1, также имеет хотя бы один корень z2.
Если кратность этого корня равна к2, то
T„(z) = (z-Z1)ki (z-z2)k2 Qn_ki (z),
6n-fc1-k2(zl)7^0, Qn-kl-k2
Продолжая этот процесс дальше, через конечное число т
шагов получим многочлен нулевой степени Рп_к^_ _к (z)~An
Э. Безу (1730—1783)--французский математик.
520
и, следовательно, для многочлена Pn(z) справедливо следующее
разложение на множители:
Pn(-) = An^-zi)kl(z~z2)k2 - (z-zm)4 (23.7)
где к±+к2 + ... +кт = п, откуда следует, что каждый многочлен
степени п 1 имеет точно п корней, если каждый корень
считать столько раз, какова его кратность._
Для многочлена (23.6) обозначим через Pn(z) многочлен,
коэффициенты которого являются комплексными числами,
сопряженными коэффициентам многочлена Pn(z):
= + +^1^ + Л0.
Многочлен Рn(z] называется многочленом, сопряженным мно-
гочлену Рп (z).
В силу свойств сопряженных комплексных чисел имеем
Действительно,
Pn(z) = Aj,Z" + An-lzn~1+ - + An_Z + A0 =
= Anzn + An_1z"^ + ... +A.Z+A 0 = P„(f).
Очевидно также, что P„(z) = P(z).
Покажем, что если число z0 является корнем многочлена
Pn(z) кратности к, то сопряженное ему число z0 является
корнем сопряженного многочлена Р w(z) и притом той же
кратности.
В самом деле, переходя в формулах
P„(z) = (z-z0)kQn_k(z), 2„_k(zo)^0,
к сопряженным выражениям, получим
P„(z)=(z-Z 0)kQ„_k(z), Qn_k(zo)^0.
Полагая для наглядности = z (z, как и z — произвольные
комплексные числа), перепишем полученные формулы в виде
P^=^~zJkQn-k& Q„-k(z0)^o.
Это и означает, что число z0 является корнем кратности к для
многочлена Р п (z).
Пусть теперь все коэффициенты многочлена P„(z) суть
действительные числа. В этом случае сопряженный многочлен
Pn(z), очевидно, совпадает с самим многочленом P„(z). Поэтому
из доказанного следует, что если комплексное число z0 является
корнем кратности к многочлена Рп (z) с действительными
коэффициентами, то и сопряженное ему число z 0 также является
корнем кратности к этого многочлена.
Отметим далее, что произведение (z—z0)^z — z0) всегда
является многочленом (относительно z) с действительными
521
коэффициентами. Действительно, пусть z0 — а + Ы, где а и Ь
действительны. Тогда z0 — a—bi, и поэтому
(z-z0)(z —z0) = (z —a—bi)(z-a+bi) =
—(z—a)2 + b2=z2 — 2az+a2+b2 — z2+pz+q, (23.8)
где положено p = — 2a и q = a2 + b2-, очевидно, p и q действитель-
ны Отметим, что q=— b2, поэтому при 6/0, т. e. тогда,
когда корень z0 является существенно комплексным числом,
выполняется неравенство
^-^<0. (23.9)
Обратим внимание и на справедливость обратного утверж-
дения: если выполнено неравенство (23.9), то корни трехчлена
z2+pz + q (р и q действительны) — существенно комплексные
числа.
Из сказанного следует, что для всякого многочлена степени
п с действительными коэффициентами справедливо разложение
на множители вида
Pn(x) = An(x-ai)ai (х-агу>-(х2+ргх + д1у1 ...
... (л-2+р3х+д,)|Ц (23.10)
где
= у-Qj<0, 7=1, 2, ..., s.
i=l i=l 4
и все коэффициенты Ап. ..., яг: q^ ..., ps, qs действительны.
При этом а1, ..., аг — все действительные корни многочлена
Рп(х), а каждому существенно комплексному корню z0 и ему
сопряженному корню z0 соответствует множитель вида
х2 рхq— (х —z0)(x— z о). Вместо буквы z, употреблявшейся
выше для обозначения аргумента рассматриваемого много-
члена, здесь по традиции написана буква х. чтобы подчеркнуть,
что все рассмотрения происходят в действительной области.
Формула (23.10) непосредственно следует из формул (23.7) и
(23.8): нужно в разложении (23.7) сгруппировать попарно
множители с сопряженными корнями и записа ть произведения
вида (z — z0)(z — z0) в форме (23.8). Тогда, замечая, что кратность
сопряженных корней z0 и z0 одинакова, мы и получим формулу
(23.10).
Разложение многочлена на множители вида (23.10) един-
ственно, так как оно "однозначно определяется корнями этого
многочлена и их кратностями.
Упражнение 4. Доказать, что если существует разных чисел
522
Zjl, z2, z„+1, в которых многочлен P(z) степени обращается в нуль, то все
его коэффициенты равны нулю.
Указание. Воспользоваться тем, что определитель Вандермонда
11 ... 1
Z1 Z2 ••• Zn+1
в данном случае не равен нулю.
23.5 *. НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ МНОГОЧЛЕНОВ
Пусть дан многочлен Всякий многочлен R(x), на
который делится многочлен Р(х), т. е.
P(x) = R(x)r(x), (23.11)
где г(х)— также многочлен, называется делителем многочлена
m
Было показано, что многочлен Р(х) можно записать в виде
Р(х) = А (х — ... (х —6zr)“»'(x2+/7x + ^1)pi ...
- (х2+дх+^)Ч (23.12)
где ..., аг — действительные корни многочлена, а множители
вида х2 -\~PjX-\-qj соответствуют существенно комплексным
корням этого многочлена,
у-?7<0, 2=1, 2, s;
коэффициенты Л, pj и qj (/= 1, 2, ..., s) действительны. Отсюда
следует, что всякий делитель Р(х) многочлена Р(х) может быть
записан в виде
R(x) = B(x — ... (х — <7г)^(х2+/71х + ^1)ц1 ...
... (x2+/?sx+<7s)4 (23.13)
где
1=1, 2, ..., г, j=\, 2, ..., s. (23.14)
Действительно, никаких других множителей вида
х — а и x2+/zx + g, (23.15)
Р2 п
где а, р и q действительны и ^—q<\) в разложении многочлена
Р(х) быть не может, ибо, с одной стороны, многочлен Р(х), как
всякий многочлен, может быть разложен на множители вида
(23.15), с другой стороны, из формулы (23.11) следует, что если
в разложении А(х) на множители имеется множитель вида х— а,
соответственно вида х2 A-px + q, то х=^а, соответственно корни
523
трехчлена x2+px+q, являются и корнями многочлена Р(х);
поэтому указанные множители входят в разложение (23.12).
Неравенства (23.14) также очевидны: из той же формулы (23 11)
следует, что кратность корня многочлена R (х) не может
превышать кратности того же корня многочлена Р(х).
Пусть теперь даны два многочлена Р(х) и Q(x\ Всякий
многочлен, являющийся делителем как многочлена Р(х), так и
многочлена Q (х), называется их общим делителем. Общий
делитель двух многочленов, который делится на любой общий
делитель этих многочленов, называется их наибольшим общим
делителем.
Если многочлены Р(х) и Q(x) записаны в виде (23.12):
Р(х) = Л'(х-а'1)“’ — (А'~a'r)ar(x2+pi+qi)fi'i ...
... (x2+p'sx+q'S’)ps, (23.16)
Q(x)=A"(x—a’[)a'i ... (х—a''-)ar-(х2 +pix + qi)p'i ...
... (x2+p^+q"s..fe, (23.17)
то всякий их общий делитель /?(х) можно записать в виде
(23.13), где множители
х—ак (А=1, 2, ..., г), x2+PiX + qt (1=1. 2, ..., 5) (23.18)
входят как в разложение (23.16), так и в разложение (23.17).
Пусть индексы у коэффициентов множителей (23.18) в
разложениях (23.16) и (23.17) равны соотвественно i'k, j'i и ik,j'{,
тогда, в силу неравенств (23.14), имеем
&=1, 2, ..., г,
1к 1к
1=1, 2, ..., 5.
(23.19)
Для того чтобы многочлен (23.13) был наибольшим общим
делителем многочленов Р(х) и Q(x), необходимо и достаточно,
чтобы показатели степени к = 1, 2, г и 7=1, 2, 5 были
максимальными из возможных, т. е. чтобы
A,k = min{a'z, а" }, /<=1, 2, ..., г,
Ч i'k
ji; = min{P', p'J, /=1, 2, ..., 5.
(23.20)
Действительно, при выполнении этих условий многочлен
7?(х) будет общим делителем многочленов Р(х) и Q(x], кроме
того, он будет делиться на любой многочлен вида (23.13), для
которого выполнены условия (23.19), т. е. будет делиться
на любой общий делитель многочленов Р\х) и 2(a). □
Из найденного вида общего делителя и, в частности,
наибольшего общего делителя следует, во-первых, что наиболь-
524
ший общий делитель двух многочленов не единствен; однако
два наибольших общих делителя двух данных многочленов
могут отличаться друг от друга лишь постоянным множителем
(постоянную В в формуле (23.13) можно брать произвольной,
неравной нулю); во-вторых, что наибольший общий делитель
двух многочленов имеет степень, большую, чем любой их
общий делитель, не являющийся наибольшим общим де-
лителем.
В качестве примера, полезного для дальнейшего, найдем
наибольший общий делитель многочлена Р(х) и его произ-
водной Р'(х\
Предварительно заметим, что если число а является действи-
тельным корнем кратности а многочлена Р(х), т. е.
Р(х)=(х-д)“Р1(х), Pjaj/O, . (23.21)
то а является корнем кратности а—1 для многочлена Р'(х).
Действительно, дифференцируя (23.21), имеем
Р' (х) = а(х — а)“~1 Рг (х)+(х—а)а Р\ (х) = (х—а)а ~1Р2 (х),
где
Р2 (*) = а Л (х) + (х - а) Р\ (х)
И
Р2(а) = иР1 (а)^0.
Подобным образом, если
Р(х) = (х2+дх+<7)₽ Р3(х), (23.22)
где ^-—^<0, и, значит, корни zr и z2 (z2 = zt) трехчлена
x2+px + q существенно комплексны, и если
P3(zy}^=Q, P3(z2)^0, то P'(x) = (x2+px+q)p~1 Р4(х),
где P4(z1)^0, P4(z2)/0, т. е. P4(z) не делится на x2+px+q.
Действительно, дифференцируя (23.22), получим
Р'(х) = Р(х2+дх+^)₽-1(2х+р)Р3 (х)+
+ (х2 +рх + q)₽ Р 3 (х) = (х2 + рх + q)₽ ~1 Р4 (х),
где Р4(х) = Р(2х+д)Р3(х) + (х2+/?х + ^) Р'з(х), откуда следует, что
Р4 (zj = ₽ (2zt +р) Р3 (zj / 0, Р4 (z2) = ₽ (2z2 +р) Р3 (z2) / 0,
ибо и z27^— р/2, так как они существенно комп-
лексны. □
Из доказанного следует, что если многочлен Р(х) записан в
виде (23.12), то его производную Р'можно представить в
виде
525
P'(x)=C(x—Oj)®! 1 ... (x—ar)ar 1 (л'2+/?)х+<71)₽1 1 ...
...(х2+^х+^)₽»-1Р5(х),
где многочлен Р5(х) не делится ни на х — й;, /=1, 2, ..., г, ни на
х2 +pjx+qj, j=\, 2, ..., s, т.е. не имеет общих корней с
многочленом Р (х).
Из формул (23.13) и (23.20) получаем, что наибольший общий
делитель R(x) многочлена Р(х) и его производной Р'(х) имеет вид
R(x) = (х—aj"1-1 ••• (х—а,г)“г”1 (х2+д1х + <?1)р1-1 ...
... (x2+psx + q^~l. (23.23)
Изложенный выше метод получения наибольшего общего
делителя двух многочленов Р(х) и <2(х) принципиально пол-
ностью решает вопрос о существовании и виде наибольшего
общего делителя. Практическое же его применение может,
однако, быть достаточно трудным: для использования этого
метода надо знать разложения на множители вида (23.16) и
(23.17) данных многочленов Р(х) и 2(х), которые не всегда
удается написать в явном виде.
Существует, однако, другой способ получения наибольшего
общего делителя двух многочленов Р(х) и Q(x), называемый
обычно алгоритмом Евклида Опишем его.
Пусть для определенности степень многочлена Р(х) больше
или равна степени многочлена Q(x). Разделив Р(х) на О(х),
получим в качестве частного некоторый многочлен Qx (х) и
остаток Pt(x), который является либо нулем, либо его степень
меньше степени многочлена Q(x) (в противном случае процесс
деления на Q(x) можно было бы продолжить):
р (*) = Q (х) Qr (х) + Rr (х).
Из этой формулы следует: 1) если многочлены Р(х) и Q(x)
делятся на некоторый многочлен г(х), то многочлен Рых)
делится на этот многочлен; 2) если многочлены Q(x) и PJxj
делятся на какой-то многочлен г(х), то и многочлен Р(х)
делится на этот многочлен г(х). Отсюда, в свою очередь,
следует, что общие делители многочленов Р(х) и Q(x\ в
частности их наибольшие общие делители, совпадают с общими
делителями, соответственно с наибольшими общими делите-
лями, многочленов Q(x) и РДх).
Разделим далее многочлен Q(x) на многочлен R1(x):
е(х)=л1(л-)е2(.х)+р2(лф
продолжая процесс далее, будем иметь
rX^r2(x)Q3W+rAX
Pk- 2 (Х) = Pk - 1 (Х) Qk (Л) + Рк (Л)‘
Евклид (ок 365 -ок. 300 до н. э.) -древнегреческий математик.
526
Степени многочленов 7?f(x), z=l, 2, убывают, поэтому
существует номер (обозначим его т+1) такой, что 1?т+1(х) = 0
и, следовательно,
Rm-i(x) = Rm(x) Qm+1(x).
Пары многочленов Р(х) и 2(х), Q(x) и R}\х), ЛДх) и R2(x).
.... Fm_t(x) и Fm(x) имеют одинаковые общие делители, а
значит, и одинаковые наибольшие общие делители. Но Fwl(x)
делится на Rm(x). поэтому Rm(x) является наибольшим общим
делителем Rmi(x) и 7?ж(х), следовательно, и наибольшим
общим делителем многочленов Р(х) и Q(x).
23.6. РАЗЛОЖЕНИЕ ПРАВИЛЬНЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
НА ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ
Пусть Р(х) и g(x)— многочлены, вообще говоря, с комплек-
сными коэффициентами, причем Q(x)— ненулевой многочлен.
Рациональная дробь называется правильной, если либо
Р(х)— нулевой многочлен, либо его степень меньше степени
многочлена 2(х), и неправильной, если степень многочлена F(x) не
меньше степени многочлена Q (х).
Всякая рациональная дробь является либо правильной, либо
неправильной.
Т-, г- Р(х)
Если рациональная дробь неправильная,
числитель на знаменатель по правилу деления
получим равенство
то, разделив
многочленов.
F(*)
eW
= /?(x)-F
А (а)
еЛл-)’
(23.24)
где F(x), /\(х) и Qi(x) — некоторые многочлены.
А (а)
61(a)
пра-
вильная рациональная дробь.
Лемма 1. Пусть
А*)
2(a)
правильная рациональная дробь. Если
число а является действительным корнем кратности ос^1
многочлена б(х), т. е.
а
Q(x) = (x-df Qr(x) и
то существуют действительное число А и многочлен Рг (х) с
действительными коэффициентами такие, что
527
Р(х)_ А Л(х)
е(%) Сг-бг)а (х-й)а-] ejx)’
где дробь ------также является правильной.
Доказательство. Каково бы ни было действительное
число А, вычитая из дроби
(Дх) (x-dfQ^x)
А
выражение ----у и
затем прибавляя его, получим
Р(х)_ А Р(х) А
Q(.x) Jx-aYQ^x) (х-а)а
(х — а)а (x-a/Q^x) ’
(23.25)
По условию, степень многочлена Р(х) меньше степени
многочлена Q(x) = (x — a^Q^x). Очевидно, что и степень много-
члена Qi(x) меньше степени многочлена Q(x) (так как а^1),
поэтому при любом выборе числа А рациональная дробь
Р(х) — AQAx)
/ 7 Л // является правильной.
Выберем теперь число А таким образом, чтобы число а
было корнем многочлена Р(х) — AQr (х) и, следовательно, чтобы
этот многочлен делился на х — а. Иначе говоря, определим А из
условия
поскольку, по условию, Qi(a)^0, отсюда имеем А =
Р^
QAaY
При
таком выборе А второе слагаемое правой части в формуле
(23.25) можно сократить на х — а, в результате получим дробь
вида
(а—«)а-101(А)’
Эта дробь получена сокращением правильной рациональной
дроби с действительными коэффициентами на множитель х — а,
где а действительно, поэтому и сама она является также
правильной рациональной дробью с действительными коэф-
фициентами. □
Замечание 1. Если многочлены P(z) и Q(z) имеют
комплексные коэффициенты и z=^a— комплексный корень крат-
ности 1 многочлена Q(x), то разложение (23.25) также имеет
место, но число А в этом случае является, вообще говоря, уже
528
комплексным числом. Справедливость этого непосредственно
следует из рассуждений, проведенных при доказательстве
леммы 1.
Лемма 2. Пусть -Д4
у ew
правильная рациональная дробь. Если
комплексное число z1 = a + bi (а и b действительны, 6^0)
является корнем кратности многочлена т. е.
е(х)=(х2+лх+я)₽21 (4
где Qi(zi)^0> а х1 +px + q = (x — zx)(x — z Д то существуют
действительные числа М, N и многочлен Д(х) с действитель-
ными коэффициентами такие, что
Р(х) = Mx+N Р, (х)
Q(x) (x2+px + qf (х2+/7х + б/)р-1 бДх)’
ч ч Pl (х)
где дробь также является правильной.
1 (х2+Лу+^)р-1е1(л) 1
Доказательство. Для любых действительных М и N
имеем
GW (x2+px+^)₽2iU)
Mx + 7V Р(х) Mx + N
(х2 + рх + д)р (х2 +px + qf Qi (х) (х2 + рх + г/)₽
Мх + N Р (х) - (Мх + N) Q! (х)
(х2 Урх + qf (л-2 +рх + qf Qi (х)
(23.26)
причем второе слагаемое правой части равенства (23.26)
является, как нетрудно видеть, правильной дробью.
Постараемся теперь подобрать М и N так, чтобы числитель
этой дроби делился на x2-ypx-yq = (x — z1)(x — z Д Для этого
достаточно выбрать М и N так, чтобы zt было корнем
многочлена Р(х) — (Afx + ;V)2i(x). Действительно, тогда, соглас-
но сказанному в п. 23.3, число z 19 сопряженное с z19 также будет
являться корнем указанного многочлена. Отсюда и следует, что
этот многочлен в силу существования его разложения вида
(23.10) делится на + Итак, пусть
р(’0 - + X) Q, (21) = 0. (23.27)
р(" )
Если это имеет место, го Mzx + где’ по Условию’
Qi
Пусть z^a + bi, P{zl)/Q(zi) = Ay- Bi; тогда
A-yiB = Mzx-\- N = M (а-У bi) A- N.
529
Отсюда, приравнивая действительные и мнимые час-
ти, получим уравнения Ma-\-N=A и МЬ = В и, следова-
тельно,
М=— и N=A—-B.
b ь
(23.28)
При этих значениях М и N многочлен
P(x)-(M(x+7V)ei(x))
делится на многочлен x2+px + q. Сокращая второе слагаемое
правой части равенства (23.26) на x2+px + q, получим дробь
вида
Л Су)
(х2+рх+^)р-1е1(х)’
Эта дробь получена сокращением правильной рациональной
дроби с действительными коэффициентами на многочлен с
действительными коэффициентами, поэтому и сама она являет-
ся также правильной рациональной дробью с действительными
коэффициентами. □
Сформулируем теперь основную теорему этого пункта.
Теорема 1. Пусть правильная рациональная дробь *\
Р(х) и Q(x) — многочлены с действительными коэффициентами.
Если
Q(x}=(x-a^ ... (x-«r)a4^2+^i^ + <7i)₽1 ... + (23.29)
at— попарно различные действительные корни многочлена 0(a)
кратности a£, z=l, 2, ..., г, х2 +pjx+qy= (х—z7)(x—zj, z; и
zj— попарно различные при разных j существенно комплексные
корни многочлена Q(x) кратности Pj, j= 1, 2, ..., 5, то
существуют действительные числа z=l, 2, ..., г, a—1, 2, ...
...,
му» и Np j=\, 2, s, 0=1, 2,
такие, что
Без ограничения общности можно считать, что коэффициент старшего
члена многочлена Q (а) равен единице, так как в случае, когда он равен
какому-то другому числу (отличному от нуля), можно разделить числитель и
знаменатель дроби----на это число, после чего v получившегося в знаменателе
eU)
многочлена коэффициент старшего члена окажется равным единице.
530
Р(х)_ А^ А^ А^>
Q(x) (x-a^i (x-a^i-1 (x-aj
А^ А^ А^А
(х—аг)а' (х—аг)“г-1 (х—о,)
+ Affix+№’ ! Affix+ 7Vfi j [ MfAx + N^A_ j
(x2+/7ix + ^1)₽i (x2+p1x+gI)₽s"1 ’" x2+plx+ql
Affix+fVfi Affix+A‘2) + А^хаМ"»’
(x2+psx + </s)1’.' (х2+р5х + ^)^-1 x2+psx+qs '
Доказательство. Из разложения (23.29) имеем:
6(x) = (x-a1)aig1(x).
Здесь
Ci(x)=(x-a2)“2 ... (x-ar)“>-(x2+/21x+^1),!i ... (х2+ррс+д^
и, следовательно, Qi(^i)^0, поэтому, согласно лемме 1,
Р(х)_ Л(х)
q(x) (х-д)а1
Применяя в случае > 1 подобным образом эту же лемму к
- Л (х) /
рациональном дроби —т-г, получим
^(х)
р(х)_ Л(У А™ Р2(х)
Q(x) (x-^)ai (x-fli)*!"1 (^-«i)ai“2e2(x)*
Продолжая этот процесс далее, пока показатель степени у
сомножителя хг — а не станет равным нулю, а затем поступая .
аналогичным образом относительно множителей x — ab i=2, ...,
г, будем иметь
Р(х)_
Q(x) (х-а^ (х-а^^1 х-аг
А^ А(г2) А^ РЦХ)
(х—аг)*г (х—«,.)“»•-1 х — аг 2*(х)"
где — снова правильная рациональная дробь, причем Р*(х)
и 2*(х) — многочлены с действительными коэффициентами и
многочлен Q*(x) не имеет действительных корней.
Применяя последовательно лемму 2 к дроби и к
получающимся при этом выражениям, в результате получим
формулу (23.30). □
531
Рациональные дроби вида
Д л , с. Мх + N > гУ . » г2 Л
---vz, Л/0 и M2 + N2>0,
(х-а) (х2+/>х+?)₽
2
где я, р, q. Л, М и N — действительные числа и ^-—^<0 (корни
трехчлена x2+px-\-q существенно комплексные), называются
элементарными рациональными дробями.
Таким образом, доказанная теорема утверждает, что всякая
ненулевая правильная рациональная дробь может быть разло-
жена на сумму элементарных рациональных дробей.
При выполнении разложения вида (23.30) для конкретно
заданной дроби обычно оказывается удобным метод неопре-
деленных коэффициентов. Он состоит в следующем. Для
данной правильной дроби —Ц записывают разложение (23.30), в
Q W
котором коэффициенты А^\ N(p считают неизвестными
(z=l, 2, ..., г, а=1, 2, ..., af, у=1, 2, ..., s, 0=1, 2, ..., 0J. После
этого обе части равенства приводят к общему знаменателю и у
получившихся в числителе многочленов приравнивают коэф-
фициенты. При этом если степень многочлена Q(x) равна п, то,
вообще говоря, в числителе правой части равенства (23.30)
после приведения к общему знаменателю получается многочлен
степени п — 1, т.е. многочлен с п коэффициентами, число же
неизвестных А^, Nf} также равно п (см. (23.10)):
Е af + 2 Е $j=n-
i=l j=l
Таким образом, получена система п уравнений с п неиз-
вестными. Существование у нее решения вытекает из дока-
занной теоремы.
Отметим, что после приведения выражения (23.30) к общему
знаменателю и его отбрасывания, в случае когда Q(x) имеет
действительные корни, целесообразно подставить в обе части
получившегося равенства последовательно эти корни; в резуль-
тате получаются некоторые соотношения между искомыми
коэффициентами, полезные для их окончательного определения.
Примеры. 1. Разложим дробь ---------- на элементарные
IX 111X ZI
дроби. Согласно (22.30), искомое разложение имеет вид
X АВС
Приводя к общему знаменателю и отбрасывая его, получим
х=А(х+ 1)(х-2)+В(х- 1)(х-2)+С(х- 1)(х+1). (23.31)
532
Здесь имеет место случай, когда все корни знаменателя
действительны. Полагая в равенстве (23.31), согласно сказан-
ному выше, последовательно х=1, х= — 1 и х=2, находим
1 = -2А, -1=6.6, 2 = ЗС,
откуда
Таким образом, искомое разложение имеет вид
________________*____=_____!_______!__I__2__ (23 32'
(,y2_1)(.v_2) 2(х—1) 6(х+1) ' 3(х—2)' V '
— 1
2. Найдем разложение на элементарные дроби для —
х I х Ч-1I
Общий вид разложения в этом случае
х2 — 1 _А Вх+С Dx + E
х(х2 + 1)2 х (х2+1)2 х2+1
Приводя к общему знаменателю и отбрасывая его, имеем
х2 — 1 = А (х2 + 1)2 + (£х + С)х+(£>х + £)(х2 + 1)х.
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х:
-1=Л 0-С+£, 1-2Л+ £+£>, 0 = £, 0-Л + £>,
отсюда находим
Л=-1, В = 2. С-0, £-1, £-0,
поэтому искомое разложение имеет вид
х2 — 1 _ 1 2х х
х(х2 + 1)2 х (х2+1)2 х2+1’
(23.33)
Следует заметить, что в отдельных случаях разложение на
элементарные дроби можно получить быстрее и проще, не
прибегая к методу неопределенных коэффициентов, а каким-
либо другим путем. Например, для разложения дроби
1
х2(1+х2)2
на сумму элементарных дробей проще всего дважды прибавить
и вычесть в числителе х2 и произвести деление так, как это
указано ниже:
I _(1 +х2)—х2 _ 1 1
-y2(1+x2)2 х2(1+х2)2 %2(1+х2) (1+х2)2
533
__(1+х2)—х2 1 _ 1 1 1
= х2(1+х2) “(1+х2)2-?”Т+72“(1+х2)2'
Полученное в результате разложение и является разложением
данной дроби на сумму элементарных дробей.
Упражнение 5. Доказать, что разложение вида (23.30) правильной
рациональной дроби единственно.
р(х)
Замечание 2. Если — правильная рациональная дробь
с комплексными коэффициентами, то, в силу замечания 1,
применяя к ней последовательно разложение (23.25), как это
было сделано при доказательстве теоремы 1 (см. замечание 1),
получим разложение заданной дроби только на дроби вида
----г-, где а и л, вообще говоря, комплексные числа
\z~aY
P(z)^y у
2(z) i=Y '
Здесь ..., ак — все различные корни многочлена g(z).
— кратность корня аь z=l, 2, ..., к. поэтому сумма
а1 + ос2 + ... + оск равна степени многочлена Q(z\
§ 24. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
24.1. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
В этом и следующем параграфах рассмотрены методы
интегрирования некоторых классов элементарных функций. При
этом каждый раз, не оговаривая специально, будем предпола-
гать, что речь идет о вычислении интеграла на некотором
промежутке, во всех точках которого определена подынтеграль-
ная элементарная функция (иначе говоря, на котором формула,
задающая подынтегральную функцию, имеет смысл (см. п. 5.3)).
В предыдущем параграфе показано, что всякая рациональная
дробь представима в виде суммы многочлена и элементарных
рациональных дробей (см. (23.24) и (23.30)). Интеграл от
многочлена вычисляется, и притом очень просто (см. п. 22.2).
Рассмотрим вопрос об интегрировании элементарных рацио-
нальных дробей.
Сначала рассмотрим вычисление интегралов от дробей вида
Если п—\, то (см. формулу 2 в п. 22.2)
534
A
-----dx = A In |x — a\ + C,
J x — a
а если to (cm. формулу 1 в п. 22.2)
A , _ A_____ . c
(x—a)n (n~ l) pc—a)n~l ~Г
Рассмотрим теперь интегралы от дробей
Mx + N
(л2 +px+q)" ’
(24.1)
(24.2)
р х
где ——д<0, 77=1, 2, .... Снова начнем со случая н-1. Замечая,
что
2 ( Р\2
xz+/>.y + <7 = I х+'- ) +
и полагая г=х+~, а2=а——>0. имеем
2 1 4
, Мр\ С dt М. / 2 . 2'1 TN-Mp t ~
+ -z—J= ~lnU +« H--x—-arctg-+C=
\ 2 Jjt2 + a2 2 ' ’ 2a a
M. < 2 . , \ , ZN—Mp . 2x+p . „
=- In (.v2 +px+q)+——2- arctg —2 4- C. (24.3)
В случае n>\,
p ? p
полагая, как и выше, t~х-Ь-, a —q~ —,
2 4
подобным же образом получим
Mx + N , tdi
----------dX ~ М --z-------т—
(x2+px-tq}n (t2 + a2]n
IN-pM Г dt
(24.4)
Рассмотрим отдельно каждый из получившихся интегралов в
правой части этого равенства. Что касается первого из них, то
он вычисляется сразу:
tdt __ 1 Cd(t2 + a2) _ 1 .
(t^+a2)"~2 J (72+о2)" “ ~2(п-1)(/2 + й2)"-1 + '
Второй же интеграл правой части равенства (24.4) вычисляется
несколько сложнее. Пусть
535
Проинтегрируем интеграл 1п по частям, положив
1 7 z 7 2ntdt
и=—э—ут-, dv = dt. и, следовательно, du=— ——т—7, v = L
(t2 + a2)n (t2 + a2)n 1
а затем, добавив и вычтя а2 в числителе получившейся под
знаком интеграла функции и произведя деление так, как это
указано ниже, получим
(г2+л2)"
2/7
(t2 + a2)
откуда
т. е. 1„ =
2п1„ — 2па21„+1,
J- ___ 1 t . 2/7 1 J ___ -j ~
и+1-2и«2(/2 + а2)"+ П~ ’
(24.6)
Интеграл Ц легко вычисляется (см. в п. 22.2 формулу 12);
формула (24.6) позволяет вычислить /2; зная же Z2, по той же
формуле можно найти значение Z3, продолжая этот процесс
дальше, можно найти выражение для любого интеграла 1п (п =
= 1, 2, ...).
24.2. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ
Из результатов п. 23.6 и предыдущего п. 24.1 непосредствен-
но вытекает следующая теорема.
Теорема 1. Неопределенный интеграл от любой рациональ-
ной дроби на всяком промежутке, на котором знаменатель
дроби не обращается в нуль, существует и выражается через
элементарные функции, а именно он является алгебраической
суммой суперпозиций рациональных дробей, арктангенсов и
натуральных логарифмов.
Теорема 1 есть прямое следствие формул (23.24), (23.30),
(22.6), (22.8), (24.1) — (24.6). Эти формулы дают и конкретный
способ вычисления интеграла от рациональной функции: снача-
ла делением числителя на знаменатель выделяется «целая
часть», т. е. данная рациональная дробь представляется в виде
суммы многочлена и правильной рациональной дроби (23.24).
Если получившаяся правильная рациональная дробь оказывает-
ся ненулевой, то она раскладывается на сумму элементарных
дробей (23.30), после чего, используя линейность интеграла
(22.6), можно вычислить интегралы от каждого слагаемого
отдельно, согласно формулам (22.8) и (24.1)—(24.6).
536
Примеры. 1. Вычислим
(23.32)), что
xdx
Уже известно (см.
х _ _ 1 _ 1 । 2
(х2 —1)(х — 2) 2(х— 1) 6(х+1) 3(х —2)’
поэтому
2. Вычислим
xdx 1 Г dx 1
х2— 1)(х — 2) 2^ х— 1 6
1 1 2
-Mn|x-l|-|ln|x+l|+-ln|x-2| + C.
2 6 3
х6 + 2л:4 + 2х2—1 j
----t-z-----ах.
dx
3 х—2
Согласно общему правилу,
выделим целую часть, разделив
имеем
числитель на знаменатель;
х6 + 2х4 + 2х2—1 _ х2 — 1
х (х2 + 1 )2 * х (х2 + 1 )2 ’
Для получившейся правильной рациональной дроби уже найде-
но ее разложение на элементарные дроби (см. формулу (23.33)):
х2 — 1 _ 1 2х х
х(х2+1)2 х (х2 + 1)2 х2+1’
поэтому
Г х6 + 2jv4 + 2х2 — 1 » f ,
-----5—-rr—dx — xdx —
J *(*2+02 J
*d(x2 + l) 1 Сб/(х2 + 1)
(x2+l)2 '2j x2 + l
x2-hl
dx = —— In |x| +
2
= y—ln|x|—-2--+|ln(x2 + l) + C.
Следует иметь в виду, что указанный метод вычисления
неопределенного интеграла от рациональной дроби является
общим: с помощью его можно вычислить неопределенный
интеграл от любой рациональной дроби, если можно получить
конкретное разложение знаменателя на множители вида (23.10).
Однако естественно, что в отдельных частных случаях бывает
целесообразнее для значительного сокращения вычислений
действовать иными путями.
Например, для вычисления интеграла
f f х2 dx
ЧО-Т
dx , 2
537
проще не раскладывать подынтегральную функцию на элемен-
тарные дроби, а применить правило интегрирования по частям.
Положив
, х dx it 1
и~х, av~-------и, следовательно, аи = ах, v=—/---------
(1— х2у 4(1—х2)2
получим
1 Г б7(1-х2)
2 JX(l-x2)3
х 1 Г 1
4(1 -х2)2 4] (1-х2)2
Прибавляя и вычитая к числителю получившейся подынтег-
ральной функции х2, производя деление, получаем два интегра-
ла, из которых первый табличный, а второй легко вычисляется
интегрированием по частям:
х 1 Hi — х2) + х2 j _ х 1 Г dx 1 х2 dx
4(1—х2)2 4J (1—х2)2 4(1—х2)2 4jl—х2 4* (1—х2)2
II II i 1 * 1 00 1 — 00 | — In - 1- 1 4“Х 1 -х ж т г-< | оо 1 + оо + Ж 1 Ж- 2)2 f/x _ 1 —X2
х 1 . 1+х х с
4(1—х2)2 16 1-х 8(1-х2)
24.3* о МЕТОД ОСТРОГРАДСКОГО
В п. 23.6 было показано, что всякая правильная ненулевая
рациональная дробь может быть представлена в виде суммы
элементарных дробей. Но из п. 24.1 следует, что первообраз-
- 1 Mx + N /р2
ные элементарных дробей --- и —-------- ——^<0 являют-
х — а x2+px + q\4 /
ся трансцендентными функциями вида A arctg (аг х+а2) +
х+Ь2)+С (см. (24.1) и (24.3)); первообразная элемен-
тарной дроби
А/(%-«)“, а = 2, 3. ...,
является рациональной дробью; первообразная же элементар-
ной дроби (MxA-N)I(х2A-pxA-qY. ₽ = 2, 3, ..., в силу формул
(24.4), (24.5), (24.6) и формулы 12 п. 22.2 может быть, вообще
говоря, представлена в виде суммы правильной рациональной
дроби и трансцендентной функции вида A arctg (at х+а2) 4- С,
~ fz - г В / р2 гх\
являющейся первообразной от дроби вида —— I ~—д<0 ).
538
Поэтому всякая первообразная любой рациональной дроби
представима, вообще говоря, в виде суммы рациональной
дроби (алгебраическая часть) и трансцендентной функции,
являющейся первообразной от суммы дробей вида
A Mx+N р2 „
--- и —-------, ——#<0.
х — а х +px + q 4
Таким образом, если Р(х)/ Q(x)— правильная рациональная
дробь и
g(x)=(x-a1)“i ... (л--аг)“--(х2+^1Л+9])₽1 ... (x2+/,sX+?jps
— разложение ее знаменателя в виде (23.10), то
f у А‘ । у MjX+Nj (24 7)
J ем"' e.W+J La А «* ’
отсюда, произведя под знаком интеграла сложенйе дробей,
имеем
(24.8)
где e2(x) = uc-(zj ... + ... (х2+А*+^)- Из
формул (24.2) и (24.6) следует, что многочлен Qi\x) имеет вид
01 М=
= (лс—)“1 1(х2+р1х+^1)₽1 1...(х2 +psx+qs)₽5 \
т. е. является наибольшим общим делителем многочлена б(х) и
его производной Q'(x) (см. (23.23)).
Формула (24.8) называется формулой Остроградского*\
Второе слагаемое правой части формулы (24.8) называется
трансцендентной частью интеграла
Ж
еМ
это естественно,
ибо из сказанного выше следует, что всякая первообразная
дроби P2(x)l Qifa) с точностью до постоянного слагаемого
представляет собой линейную комбинацию логарифмов и
арктангенсов от рациональных функций и, значит, как это
можно показать, будет являться, вообще говоря, трансцендент-
ной функцией. Первое же слагаемое, называемое алгебраической
частью, может быть найдено чисто алгебраическим путем, если
известны многочлены Р(х] и 0(х) (а значит, и (2'(*)), т. е. без
интегрирования каких-либо функций. В самом деле, многочлен
Qr (х). являясь наибольшим общим делителем многочленов
Q(x) и (2'(х), всегда может быть найден с помощью алгоритма
Евклида (см. п. 23.5*), тем самым для отыскания многочлена
Qr(x) не требуется знания корней многочлена Q(x\ однако,
если корни многочлена Q(a) известны, а значит, известно и его
*) М. В. Остроградский (1801 —1869) — русский математик.
539
разложение вида (23.17), то многочлен 2х(х) сразу записывается
по формуле (23.23). Многочлен Q2(x) находится как частное от
деления б(х) на Qi(x)-
Для отыскания же многочленов РДх) и Р2(х) можно
применить метод неопределенных коэффициентов. Поясним его.
Обозначим степень многочлена Qr(x) через п2, степень многоч-
лена Q2 (х)— через п2; тогда из равенства
СМ-С1(х)е2(х) (24.9)
получим п = п1+п2. В силу ТОГО ЧТО Дроби 7’1(х)/21(х) и
X>2(x)/Q2(x) правильные, степени многочленов Pt(x) и Р2(х)
соответственно не выше, чем nt — 1 и п2 — 1 и, значит, в этих
многочленах число отличных от нуля коэффициентов соот-
ветственно не превышает пх и п2; таким образом, число
неизвестных коэффициентов равно и1+л2 = л. Дифференцируя
первообразные, входящие в обе части формулы (24.8), получим
(опуская для краткости обозначение аргумента) соотношение
Q \Qj Q1'
Дифференцируя, имеем
p_p',e1-p1gi. л
Q Ql Q2'
Заметим, что
Ql QiQ2
(24.10)
(24.11)
где —многочлен. Действительно, если z — корень
многочлена Qx кратности X, то, как известно (см. п. 23.4), z
является корнем кратности X—1 для производной Q\ и
однократным корнем многочлена Q2, поэтому в этом случае z
является и корнем кратности X для многочлена 6162- Отсюда,
согласно формуле (23.7), сразу следует, что многочлен Qi62
нацело делится на многочлен Qr, т. е. что R также многочлен.
Итак, из (24.9), (24.10) и (24.11) имеем
P_P'1g2-P1P . Л
g g gz’
откуда
P=P'1Q2-PlR+P2Q1. (24.12)
Многочлен P имеет степень не выше чем п — 1 (так как дробь
р
— — правильная). Приравняв коэффициенты при одинаковых
степенях к, к = 0, 1, ..., п—\, переменного х в обеих частях
540
равенства (24.12), получим п линейных уравнений относительно
п неизвестных. Выше было доказано (см. (24.8)), что многоч-
лены и Р2 всегда (в частности, при некотором фиксирован-
ном многочлене Q и при любом многочлене Р степени, не
превышающей п— 1) существуют; поэтому полученная система
линейных уравнений имеет решение при любой правой части**.
Отсюда, следует, что определитель этой системы не равен
нулю, а значит, про рассматриваемую систему можно сказать,
что она не только имеет решение, но и что оно единственно.
Тем самым не только получен метод определения неизвестных
коэффициентов в формуле (24.8), но и доказана единственность
этого представления.
Формула (24.8) сводит, вообще говоря, задачу интегрирова-
ния любой правильной рациональной дроби к задаче интегри-
рования правильной рациональной дроби, у которой знаме-
натель имеет только простые корни. С помощью этой формулы
при интегрировании правильной рациональной дроби можно
найти указанным выше способом алгебраическую часть интеграла
j а затем проинтегрировать более простую рациональную
дробь , если, конечно, случайно не окажется, что Р2 (х) — тож-
Qi W
дественный нуль; в этом случае задача будет уже решена.
Описанный метод интегрирования рациональных дробей
называется методом Остроградского.
При использовании метода Остроградского для интегриро-
вания рациональных дробей часто оказывается целесообразней
записывать формулу Остроградского (24.8) в виде (24.7), так как
в этом случае после нахождения неизвестных коэффициентов в
подынтегральной функции ее сразу можно проинтегрировать.
Неизвестные коэффициенты в формуле (24.7) находятся
методом, который описан для формулы (24.8): следует продиф-
ференцировать обе части равенства (24.7), привести к общему
знаменателю все рациональные дроби, получившиеся в обеих
частях равенства, приравнять коэффициенты у одинаковых
степеней переменной х в многочленах, стоящих в числителях, и
решить получившуюся систему линейных уравнений.
Пример. Применим метод Остроградского для вычисления
х +2Х ~2х ^Х dx. Согласно формуле (24.8),
f.
интеграла
— 2х2 + Кх3 + Lx2 + Мх+N
kx2 + lx+m j
----V7---2\“Х>
*> Как обычно, предполагается, что все члены уравнений, содержащие
неизвестные, и только они перенесены в левую часть равенства.
541
поэтому
л4 + 2х3 — 1х2 + х _ Kx2 + Lx2 + Mx+N ' f кх2 + lx+m
(1-х)3(1+х2)2 1 (1 -х)2(1+х2) J +(1 -х)(1+х2)’
Произведя дифференцирование, получим
х4 + 2х3 — 2х2 + х _
(1-х)3(1+х2)2 ”
_(ЗКх2 + 2Lx + М)(1 — х)(х2 + 1) — (Кх2 + Lx2 + Мх + N) [ — 2(1 + х2) + (1 — х)2х] (
(1-х)3 (1+х2)2 +
кх2 + 1х + т
+(1-)(1-Т
Отсюда имеем:
х4 + 2х3 — 2х2+х = (ЗКх2 + 2Lx + М)( —х3 + х2 — х+ 1 ) —
—(Кх2+Lx2 + Мх+Х)(-4х2 + 2х-2) +
+ (кх2 + /х+т) (х4 — 2х3 + 2х2 — 2х+1).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х,
получим
M + 2N+m = 0,
-M+2L + 2M-2N-2m + l= 1,
3K-2L+M+2L-2M+4N+k-2l+2m = -2,
— M+2L—3K+2K—2L+4M—2k+2l—2m = 2,
3K-2L-2K+4L + 2k-2l+m=l,
-3K+4K-2k+l=0,
k=0,
или
M+2N+m = 0,
2L+M-2N+l-2m=l,
3K-M+4N+k-2l+2m= -2,
- K+ 3M-2k+21—2m = 2,
K+2L+2k-2l+m=\,
K-2k + l=0,
k = 0.
Решая эту систему уравнений, находим:
К=1-, L=-}~, M=l, N=-l, k = Q, 1=--, т=~;
2 2 2 5 2 2
поэтому
\4 + 2х3 —2х2 + х , _ 1 х3—х2 + 3х —2
С (1-х)3(х2+1)2 ^~2(1-х)2(1+х2) +
1 Г — х+1 , 1х3 —х2 + 3х—2 1
+- dx = - --Г5--—+- arctg х + С.
2 J (1 -х)(1 +х2) 2(1 —х)2 (1+х2) 2 &
542
§ 25. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ
ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЕЙ
25.1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Функции вида
R{ult -.' “4 (25.1)
Q(ur,...,un)
где Р и Q— многочлены от переменных ulf ип, т. е. функции
вида
Е %’ к
к1 + ...+кп^к
называются рациональными функциями от иг, ..., ип.
Если в формуле (25.1) переменные .... ип в свою очередь
являются функциями переменной х : и^срдх), z= 1, 2, .... п. то
функция
Я[ф1(х), ..., <р„(х)]
называется рациональной функцией от функций срДх), ..., <pw(x).
Например, функция
является рациональной функцией от х и радикалов ^/х, ^/х2 —1,
и у/х2 +1:
/(х) = Л(х, у/х. \/х2 — \. X1 + 1);
г»/ \ Wi+Мз / / 2 Г
здесь R(ulf и2, и3, и4г) =------, иА=х. и2 = у/х. и3 = ух —-1,
1Л-2 — Ид.
и4_ = у/х2^у}.
Если в формуле (25.1) переменные ulf ..., ип являются
элементарными тригонометрическими функциями, то получаю-
щаяся сложная функция называется рациональной относительно
элементарных тригонометрических функций. Примером такой
функции является следующая:
• 2 2
sin х —COS X
sin3 jr + cosx
= R (sin x,
cosx).
Перейдем теперь к интегралам от функций рассмотренных
типов и покажем, что в ряде случаев они сводятся к интегралам
от рациональных функций.
543
25.2. ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
R x,
ax+b у1
сх-ЬсГ J
ax+b\r*
cx+d J
dx.
а b
с d
Рассмотрим интегралы, указанные в заглавии пункта, при
условии, что постоянные г19 ..., rs рациональны, и
(я, Ь, с, d—постоянные). Последнее предположение естественно,
так как если
#0
а b
с d
= 0, то коэффициенты а, b были бы пропорци-
ональны коэффициентам с, d и поэтому отношение — не
cx + d
зависело бы от х. Подынтегральная функция в этом случае была
бы обыкновенной рациональной дробью от одного переменного,
вопрос об интегрировании которой был
Пусть т — общий
т
знаменатель чисел
Pi — целое, / = 1, 2
рассмотрен
выше.
s.
Положим
fm = ax+h
cx+d'
(25.2)
откуда
p(z) является
рациональная
dtm-h z x
a-ct,n '
рациональной функцией, поэтому
функция; далее,
dx= p'(r) di,
f ax + b
(25.3)
p'(t) также
(25.4)
= tmri = tpi, 2, ..
(25.5)
Подставляя (25.3), (25.4) и (25.5) в подынтегральное выражение
рассматриваемого интеграла, получим
ах + b
R х,
ах+b
dx =
—tpiy tp,\p’(t)dt= R*(t)dt,
где R*(t}=dtp>, ..., tp-.
очевидно, является
рациональной функцией переменного t. Таким образом, вычис-
ление интеграла
544
ax+b V1
cx+d )
ax+b\s
cx + d J
сводится к интегрированию рациональных дробей.
Конечно, для того чтобы найти выражение для исходного
интеграла, надо после вычисления интеграла §R*(t)dt, сделав
обратную замену переменного t = ((ax+b) / (cx + rf))1^1, прпигутк™
к первоначальной переменной х. --------~-------------------
ситуациях мы не будем каждый раз оговаривать необходимость
обратного перехода к исходной переменной х.
Отметим, что к рассмотренному типу интегралов относятся
интегралы вида
JR [х, (ях+6)г1, ..., (flx+Z>)rs] dx, я/0,
в частности
dx
(25.6)
((ax+b)l(cx+d))lfm, вернуться
В дальнейшем в аналогичных
Пример. Вычислим интеграл
j
общему правилу, x = t(', dx = 6t5 dt, получим
3 ГС
— dt = 6 н/2 — /+ 1) dt-
. Полагая, согласно
-6
Г3 I2
dx z
----— — б
=2 7* - з V *+6 Vх ~ 61п (Vх +1)+с-
К интегралам вида (25.6) сводятся иногда с помощью
элементарных преобразований и интегралы других типов,
например, типа
J у/\х—а) (x—b) dx.
Покажем метод вычисления подобных интегралов на приме-
ре интеграла
(25.7)
Вынося в подынтегральной функции множитель
знак радикала, получим интеграл вида (25.6): именно
dx,
а при x < 1
dx.
При 1 < л < 2 подынтегральное выражение чисто
18-1807
мнимое.
545
Рассмотрим, например, случай л*>2. Положим здесь (см.
(25.2)) /2 = ^—тогда
2 — t2 . 2tdt
~ i dx — ,
1 __/2 /1 _/2\2 ’
поэтому
Г ---------- f / ? _ /2
V(x-l)(x-2)Jx= (£-L-l
2z2 dt
(T^y
t2 dt
0^7
— получился интеграл от рациональной дроби, который был
вычислен раньше (см. п. 24.2).
25.3. ИНТЕГРАЛЫ ВИДА J /?(х, ^/ах2 + Ьх+с ) rfx.
ПОДСТАНОВКИ ЭЙЛЕРА
Указанные интегралы могут быть сведены с помощью
замены переменного к интегралам от рациональных функций.
Рассмотрим три замены переменного, называющиеся подста-
новками Эйлера*\ Итак, пусть дан интеграл
j /?(х. у/ах2 + bc+c]dx, а^О. (25.8)
Первый случай: а>0.
Выполним замену х на t следующим образом:
у/ ах2 + bx+c = +Xy/a+t (25.9)
(знаки можно брать в любой комбинации). Возведем обе части
написанного равенства в квадрат:
ах2 4- Ьх + с = ах2 + 2 у/а xt + t2,
отсюда
(/) — рациональная функция от Z, значит, R\(t) также
рациональная функция.
Далее, dx = R\ (t)dt, y/ax2 + bx + c = ±RY (t)y/a±t = R2(t). где.
очевидно, R2(t) -рациональная функция. Окончательно,
J/?(x, y/ax2 + bx + c)dx = $ R(RX (z), A2(z)) (ZHZ = JR*(i)dt,
где 7?*(z) = 7?(/?1 (z), /?2(z)) ^i(z)— рациональная дробь. П
Второй случай: корни трехчлена ах2 + Ьх + с действитель-
ные.
*' Л. Эйлер (1707 -1783)- швейцарский математик.
546
Пусть х± и х2 действительны и являются корнями трехчлена
ах2 + Ьх + с. Если xt=x2, то
у/ ах2 + Ьх+с = у>/~а(х — х1 )2 = | л: — \yfa.
Отсюда следует, что в этом случае либо под корнем стоит
отрицательная при всех значениях х^хг величина, т. е. корень
принимает только чисто мнимые выражения,— этот случай имеет
место при tz<0 и мы его не рассматриваем, либо при после
указанного элементарного преобразования получаем, что пере-
менное х не входит под знак корня, т. е. под интегралом стоит
просто рациональная функция от х, вообще говоря, разная для
каждого из промежутков ( —оо, хг) и (х19 +оо).
Рассмотрим теперь случай, когда хх/х2. Замечая, что
ах2 + Ьх + с = а (х — хг) (х — х2), и вынося х — хА из-под знака
корня, получаем, что
(25.10)
здесь R2(u, г) — рациональная функция переменных и и v.
Как известно (см. п. 25.1), интеграл от функции (25.10)
может быть вычислен с помощью подстановки (см. 25.2)
а(х — х2)
t = —---что в нашем случае дает
x—xv
+ (х — хт) t = у/а(х — х^(х — х2),
или, беря ?>0 при х^х1 и кО при х^х19 (х—xt)z =
= yj ах2 + bx + c. □
Рассмотренный в предыдущем пункте интеграл (25.7) яляется
примером случая 2; этот интеграл был сведен выше к рацио-
нальной дроби приемом, разобранным сейчас в общем случае.
Два изученных нами способа вычисления интеграла (25.8)
позволяют всегда свести этот интеграл к интегралу от
рациональной дроби на любом промежутке, если только корень
yjах2 + Ьх +с на этом промежутке не принимает чисто мнимые
значения (естественно, изучая анализ в действительной области,
исключить этот случай из рассмотрения). В самом деле,
допустим, что ни первый, ни второй случай не имеют места,
т. е. а<0 и корни хх и х2 трехчлена ях2 + £х + с существенно
комплексны: xt=g + hi, x2=g — hi, h^O. Тогда
yjах2 4- Z?x + с = yjа (х—х j )(х—х2) =
=-yJ а (х—g — /zz)(x—g + /2z) = x/«[(x—g)2 + /z2],
547
и так как ж О, a h /0, то под корнем при любых х стоит
отрицательное выражение. □
Третий случай: с>0.
В этом случае можно применить подстановку
х/ ax2 + bx+c = +yjc+xt
(комбинация знаков произвольна). Возводя в квадрат, получим
равенство
ах2 + Ьх = ± 2 yfc xt + х212,
откуда
х = dx=R\(t)dt,
y/ax2 + bx + c== ±Л/с±/?4(?) ? = Л5(?), где Я4(?), Ri(t) и R5(t)
суть рациональные функции t. Поэтому
yj ах2 + bx+c)dx=^ R (Л4 (?), R5(t)) А4(?) dt = $ R (?) dt.
где R (?) = А(А4(г), Л5(?)) Т?4(?)— рациональная дробь. □
Интегралы вида J А(х, yjax+b. y/cx + d)dx сводятся подста-
новкой
t2 = ax + b
к рассмотренным интегралам вида (25.8).
В самом деле, из (25.11) имеем:
(25.11)
t2 — b
х =--------,
а
j 2 j
dx — -t dt.
а
. С cb J
где А = ~. В~ — —\~d. поэтому
а а
j R (х, у/ax + b. у/cx + d )dx = j Rb(t. yj At2 + В )dt.
где R6(u, v)—рациональная функция переменных и и v.
В правой части последнего равенства стоит интеграл ти-
па (25.8). □
Вычисление интегралов с помощью подстановок Эйлера
обычно приводит к громоздким выражениям, поэтому их
следует применять, вообще говоря, лишь тогда, когда рассмат-
риваемый интеграл не удается вычислить другим, более
коротким способом. Например, замечая, что ах2 + Ьх + с =
/ ь \2 ь2
= а\ л*+— +с- —, нетрудно убедиться, что интеграл (25.8) в
у 2аJ 4а
случае, когда подкоренное выражение положительно на некото-
548
ром интервале, с помощью линейной подстановки может быть
приведен (ср. с п. 22.4) к одному из трех интегралов:
J R (/, ^/1 —/2) dt. J R (t, у/ t2—l }dt. j Л (t. .j t2 + \) dt
(конечно, здесь символом R обозначена, вообще говоря, другая,
чем в формуле (25.8), рациональная функция). Для вычисления
полученных интегралов часто оказывается очень удобным
использовать тригонометрические подстановки
t = sin и, t = cos и, t = tg и.
а также гиперболические подстановки
t — shi/, t — chi/, t — thw.
Пример. Вычислим интеграл j ^/1 -j-x2 dx с помощью замены
переменного x — sh/, из которой следует (см. п. 9.8), что
t — In (х + х/х2 +1). Имеем
^/1 +х2 dx = ch 2 tdt —
T+ch2/
2~
dt=-+-sh 2t + C=
2 4
= ~(/ + sh /ch t ) + C=^[ln (x + x/x2 +1 j + x^/l +x2 + C.
25.4. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ БИНОМОВ
Выражение xm{a-ibxny dx (<я^0, Z>^0) называется дифферен-
циальным биномом. Будем рассматривать случаи, когда п, т и
р — рациональные, а а и b — действительные числа.
Положим
х-/«, (25.12)
, I 1-1 ,
тогда dx =-tn dt п, следовательно,
п
г* । р т+1
xm(a + bxn)p dx = - (a + bt)p t п 1 dt.
Таким образом, интеграл
$xm(a + bxn)pdx (25.13)
сводится подстановкой (25.12) к интегралу типа
$(a + bt)ptqdt. (25.14)
где р и q рациональны. В рассматриваемом случае
Q —-----1.
п
Первый случай: р — целое число
549
Пусть q = ~. где г и s — целые числа. Согласно результатам
1
п. 25.2, в этом случае подстановка z = t^ сводит интеграл (25.14)
к интегралу от рациональной дроби.
Второй случай: q— целое число.
Пусть теперь р=-> г и s — целые числа. Согласно резуль-
S
татам п. 25.2, интеграл (25.14) приводится в этом случае
подстановкой z — (я + /ц)* к интегралу от рациональной дроби.
Третий случай: p + q — целое.
Пусть р = - и 5 — целые. Запишем для наглядности интеграл
S
(25.14) в виде
(a + bt)p t9 dt=tp+qdt.
Снова имеем интеграл типа, рассмотренного в том же п.
25.2. На этот раз к интегралу от рациональной дроби его
приводит подстановка
„ ( и + bt\s
" \ z /
Итак, в трех случаях, когда одно из чисел р, q или p + q
является целым, интеграл (25.14) при помощи указанных выше
подстановок приводится к интегралу от рациональной дроби.
Применительно к интегралу (25.13) этот результат выглядит
т+1 т-\-1 ,
следующим образом: когда одно из чисел р, -- или ---+р
п п
является целым, интеграл (25.13) может быть сведен к
интегралу от рациональной дроби. При этом в том случае,
когда р целое, это сведение осуществляет подстановка
п
Z — X^^
~ т+\ т +1 г
где число л является знаменателем дроби -, т. е. -в
и ns
т-\-1
том случае, когда ---—целое,— подстановка
п
1
z=(а + Ъхп)»,
где число 5 является знаменателем дроби р, т. е. р=-, а в том
т+1 (
случае, когда----\-р — целое,— подстановка
550
1
z==(nx-" + Z>)?,
где число s также является знаменателем дроби р.
Этот факт известен еще И. Ньютону. Л. Эйлер высказал
предположение, что ни для каких других показателей т. п и р
интеграл от дифференциального бинома нельзя свести к
интегралу от рациональных функций. Для рациональных пока-
зателей т, п и р. не удовлетворяющих указанным выше
условиям, это было доказано П. Л. Чебышевым, а для
иррациональных — Д. Д. Мордухай-Болотовским
Пример. Рассмотрим интеграл
Здесь т = п = “р И
Сделаем указанную выше
гп I 1 1 ~ W
----= — 1; имеем второй случаи.
п
подстановку:
3 1
Z = (l —
(25.15)
отсюда
2 я 5
х = (1 —z4)~3, dx = -(l — z4)”3z3dz.
поэтому
T_ z4 , 2f , 1
1 з](1-.-4)2^ -з]^i-.-4
2- 1 (7 1 , 1 X л _ 2z 1 ,
3(1—z4) 3j(l-z2+l+z2J 3(1-z4) 6
1+z 1 ♦ ,
-— —-arctgz + C,
1 — z 3
где z выражается через x по формуле (25.15).
25.5. ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
у/ ax2 + bx+ c
Рассмотрим интеграл
—Pn^ -dx. a^O.
у/ax2+ bx + c
где Pn(x)— многочлен степени и^1. С принципиальной точки
зрения этот интеграл всегда можно свести к интегралу от
рациональной дроби с помощью одной из подстановок Эйлера
*’ Д. Д. Мордухай-Болотовский (1876- 1952) — русский математик.
551
(см. п. 25.3). Однако в данном конкретном случае значительно
быстрее к цели приводит обычно другой прием.
Именно покажем, что справедлива формула
f —dx = Pn_i(x)y/ax2 + bx + c + a f---- dx- —, (25.16)
J у/ax2 + bx-\-c J yjax2 + bx+c
где Pn_i(x) — многочлен степени не выше, чем и— 1, а а — неко-
торое число.
Итак, пусть многочлен
Pw(x) = 4zwxn + ^_1x"“1 + ... + tz0 (25.17)
задан. Если существует многочлен
JP„_1(x) = Z>„_1x'1-1 + Z>„_2xn-2 + ... + Z>0, (25.18)
удовлетворяющий условию (25.16), то, дифференцируя это
равенство, получим:
- = Р' _х(х)^/ax^+bx+с++ а ,
у/ах2 + Ьх -Ь с 2 yj ах2 -\-bx-\-c ^/ах2 + Ьх + с
ИЛИ
2f,„(x) = 2/>JI_1 (x)(ax2 + Z>x+c)+P„_1 (х)(2цх+6) + 2а. (25.19)
Здесь слева стоит многочлен степени п, а справа каждое
слагаемое также является многочленом степени не больше п.
Замечая, что
P'n-1(x) = (n-l)b„_1xn-2 + ...+kbkxk~1 + ... + b1, (25.20)
и подставляя (25.17), (25.18) и (25.20) в (25.19), имеем равенства
2(апхп+ап_1хп~1 + ... + агх+а0) =
= 2(ах2 + bx+c) [(n — l)Z>n_1x''-2 + ... + /c/?kx/£”1 + ... + 61] +
+(2ax+b)(bn_lxn~l + ... + bkxk +.. , + b0)+2а.
Приравнивая коэффициенты у одинаковых степеней х,
получим следующую систему п +1 линейных уравнений с п +1
неизвестными Ьо, Ьк, b„_k, а:
2а0 = 2cbl + bb0 + 2а,
2ак — 2bb! + 4cb 2 + 2ab0 + bb j,
2ак = 2(к-1)abk_t + 2kbbk + 2(к + 1)cbk +; + 2abk^k+bbk., (25.21)
2а„-1 = 2(«-2) abn_2 + 2(п-1) bbn_ t + 2а6„_2 4 bb„_
2ап = 2 (п — 1) abn _ t + 2abn _ j.
552
Из последнего уравнения сразу находится Ьп_1:
Подставляя это выражение в предпоследнее уравнение и
замечая, что в этом уравнении коэффициент у неизвестного Ьп_2
равен 2а (п — 1) ф 0, найдем значение Ъп _ 2. Подставляя далее
значения и Ьп_2 в предыдущее уравнение, найдем значение
Ьп_^ и т. д. Последовательно получим все значения неизвестных
bk (к = 0, 1, ..., и—1). После этого из первого уравнения сразу
находится неизвестное а.
Таким образом, система (25.21) имеет решение при любых
значениях я0, а±, ..., ап. поэтому определитель этой системы не
равен нулю и указанное решение единственно.
На практике многочлен Рп_1(х) в формуле (26.16) пишут с
неопределенными коэффициентами, которые находят, решая
систему (25.21). После этого вычисление данного интеграла
сводится к вычислению интеграла
у/ах2 + Ьх + с
который в случае, когда подкоренное выражение положительно
на некотором промежутке, легко сводится к табличному (см.
п. 22.3).
Интегралы вида
(% — X )к у/ах2 + Ьх+с
подстановкой
сводятся к интегралам рассмотренного типа (25.16).
§ 26. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ
ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ
26.1. интегралы вида f/?(sinx, cosx)dx
Подстановка
сводит интегралы вида J7^(sin_v, cosx)t/x к интегралу от
рациональной дроби. Действительно, имеем
553
поэтому
.XX X
2sm-cos- 2tg-
2 2 2
sm x =---------=------
7x „X X
cos2-+sin2- 1+tg2-
2 • 2 2
2u
1 + u2 ’
2 • 2 л
cos —sm2- _ _
2 2 1—tg2?c 1— u2
COSX =----------=------— “-----
7X • 1X
cos2—Fsm2-
2 2
1 +tg2x
x = 2arctgw, dx = -^^,
R (sin x, cos x
2u 1— u2
1+w2’ 1+w2
du
_J_„2 *
(26.1)
Таким образом получен интеграл от рациональной функции.
dx
Вычислим указанным методом интеграл fy—:—• Используя
формулы (26.1), получим:
__э Г I Л1 ।
“ I /Т V7 7 I i •
1 + sin X (1 + и) 1 + и X
Следует, однако, иметь в виду, что, хотя с принципиальной
точки зрения рассматриваемые интегралы всегда можно привес-
ти к интегралу от рациональной дроби указанным методом,
при практическом его применении он часто приводит к
громоздким вычислениям; вместе с тем другие методы, в
частности подстановки вида
и — sm х, и — cos х, и = tg х,
(26.2)
—-г—. Представим его в
cos х
иногда значительно быстрее позволяют вычислить нужный
интеграл.
Примеры. 1. Рассмотрим интеграл
Г dx fl dx
виде ——z------------z—. Сразу видно, что в этом случае очень
J COS X J COS X COS X
удобна подстановка n = tgx:
1 +tg2x)dtgx= (1 -\-u2^du —
= i/+y+C=tgx+^+C.
554
~ т-т Г dx С dx
2. Представляя интеграл — ----------- в виде —--------=
J sin хcosx J sin х cos х
sin х dx ~ ~
= —т-------, убеждаемся в целесообразности подстановки и =
J sin х cos х
= cos х. Действительно,
dx _ Г d cosx _ Г du _ 1 f du2
sin3 xcos A' J sin4 xcos a J(l— u2)2u 2j(l— u2)2 u2
1 f dv **_ 1 f(l— r) + t? ,
2J(1—r)2r “ “2J (l-r)2v dV
1 C dv if dv
1 Cdv 1 f dv 11 liii.
= --—-----= —-In гH-
2 J v 2 Jl-г 21-v 2 11
+lln|l-v|-l-L+C=ln|tgx|--2^+C.
2 2 1—г 2sm x
Конечно, интегралы, рассмотренные в примерах 1 и 2, могут
быть вычислены и с помощью подстановки (26.1), например,
dx _ 1 Г(1 + w2)3 du .
sin3xcosx 4J i/3(l—w2)’
однако при таком способе пришлось бы интегрировать более
сложную рациональную дробь, чем в результате применения
подстановки и = cos х.
3. Иногда при вычислении интегралов, подынтегральное
выражение которых содержит sin х и cos х, бывает полезно
прибегать и к другим искусственным приемам, используя
известные тригонометрические формулы, как, например, форму-
лу sin2 х + cos2 х = 1. Покажем на рассмотренном только что
примере способ применения этой формулы:
С dx
J sin3хcosx
"sin2x + cos2x у f dx CcosxJx
—r-ч-------dx = --------+ ——;—
sin xcosx J sinxcosx J sin X
dtgx
f^Zsinx
J sin3 v
uv i| । 11 * । । 1 ,--1
— + -3 = ln|w -T^+C = ln|tgX -+C.
и v 2v 2sm x
Как и следовало ожидать, получился тот же результат, что и
выше.
*) Здесь сделана подстановка v = u2
555
26.2. ИНТЕГРАЛЫ ВИДА fsin"1 y cos” xdx
Пусть m и n — рациональные числа. Интеграл J sin"2 x cos”x dx
с помощью подстановок u = sin x или u = cos x сводится к
интегралу от дифференциального бинома.
Действительно, полагая, например, w^sin х, получим
1
cos х = ^/'1 — sin2x = (1 ~W2)2, du = cosxdx,
dx=—~=(\—u2) 2 du,
COS X
поэтому
И ~ 1
Jsinwxcos”xdx = JzZ"(l — ?r) 2 du.
Таким образом, можно выразить или нет интеграл
J sin”1 х cos” х dx через элементарные функции, зависит от того,
обладает этим свойством или нет получающийся интеграл от
дифференциального бинома.
В том случае, когда пг и п —целые (не обязательно
положительные) числа, интеграл J sin”1 х cos” х dx относится к
типу интегралов, рассмотренных в предыдущем пункте, в
частности, для их вычисления целесообразно применять подста-
новки (26.2).
Например, когда т = 2к +1 (соответственно п--=2^+1) - не-
четное число, то можно сделать подстановку u = cos х (со-
ответственно и = sin х):
Jsin2A + 1x cos”x dx = — J (1 — cos2x)A cos”x dcosx = — J (1 ~u2)kundu.
Рассматриваемый интеграл сведен к интегралу от рациональной
дроби.
Аналогичный результат можно получить и для интеграла
Jsinwx cos2A+1xdx с помощью подстановки w = sinx.
Если т~2Л+ 1, п — 2/+1, то бывает полезной подстановка
t — cos2x:
jsin2A4 *x cos2/ + 1 dx = Jsin2Ax cos2/x sinx cosx dx~
= - sin2*x cos2/x sin2x dx —
2 J
- |Ydcos 2x = f(1 - t)k (I +t)1 dt,
4J\ 2 J \ 2 J 2m,+2J
556
т. е. снова получен интеграл от рациональной дроби; подчер-
кнем, что здесь к и I могут быть как положительными, так и
отрицательными целыми числами.
Если оба показателя т и п положительны и четны (или один
из них нуль), то целесообразно применять формулы
• ?
sin х =
1 — cos 2х
~~2 '
1 +cos 2х
~2 '
2
COS х =
которые, очевидно, приводят рассматриваемый интеграл к
интегралам того же типа, но с меньшими, также неотрицатель-
ними показателями. Например,
7 . fl+cos2x . х , sin2x , ~
cos х dx = --------dx = - -------h С.
2 2 4
26.3. интегралы вида J sin ах cos рх dx
Интегралы Jsin ах cos рх dx, fsin ах sin Рх dx и Jcos ах cos Рх dx
непосредственно вычисляются, если их подынтегральные функ-
ции преобразовать по формулам
sin ах cos Рх = | [sin(a 4- Р)х + sin(a — Р)х],
sin ах sin Рх = [cos(a — Р)х — cos(a + Р)х],
cos ах cos Рх =[cos (а + Р)х+cos (а — Р)х]
Например,
sin2x cosx dx = ^ (sin3x + sinx) Jx = —|cos3x—|cosx+C.
26.4 ИНТЕГРАЛЫ ОТ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ,
ВЫЧИСЛЯЮЩИЕСЯ С ПОМОЩЬЮ
ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ЧАСТЯМ
К таким интегралам относятся, например, интегралы
J eaxcos Рх dx, j eaxsin рх dx, j xwcos ax dx, J x”sin ax dx,
J xneaxdx, J x”arcsin x dx, J xnarccos x dx, J x"arctg x dx,
557
J x"arcctg x dx, \xn\nxdx (n— целое неотрицательное).
Все эти интегралы вычисляются с помощью, вообще говоря,
последовательного интегрирования по частям. Действительно,
имеем
1= eaxcos рх dx = eaxd sin^A = £shiJx _ a Je«xsjn _
eaxsin px
cos px \ _ eaxsin Px aeaxcos px
Т/ P + p2^
Jeaxcos $xdx =
P2
eax (p sin Px + a cos px)
откуда
eax (p sin px + a cos px)
a2 + p2
(26.3)
Аналогично интегралу jeaxcos fixdx вычисляется интеграл
eaxsin Px dx =
eax (a sm Px — p cos px)
a2 + P2
а через эти два интеграла легко выражаются интегралы
J shax cos рх dx, j sh ос sin Px dx, f ch ax cos Px dx, J ch ax sin Px dx.
Впрочем, последние четыре интеграла можно вычислить и
непосредственно с помощью интегрирования по частям по-
добно тому, как был вычислен рассмотренный выше интег-
рал (26.3).
В интегралах J x”cos ax dx, J x”sin ax dx, J xne*xdx, положив
u~xn и соответственно dv = cosaxdx, dv = smaxdx, dv = e*xdx,
после интегрирования по частям снова придем к интегралу
одного из указанных видов, но уже с показателем степени,
меньшим на единицу. Применяя этот прием п раз, придем к
интегралу рассматриваемого типа с /7 = 0, который, очевидно,
сразу берется. Например,
j x2sin х dx = f x2d (— cos x) = — x2cos x+2 J x cos x dx =
= — x2cos x + 2 j x d sin x = — x2cos x + 2xsin x — 2 J sin x dx =
= — x2cos x + 2x sin x + 2cos x + C.
Используя интегралы, рассмотренные выше, можно вычис-
лить и более сложные интегралы. Вычислим, например,
интеграл
558
[ xneaxcos Px dx.
Интегрируя по частям и применяя (26.3), имеем
xV*cos =
= ₽sin^+a^_ _пр ^veax^xdx_
а2 + ₽2 а2 + Р2 J н
— 2”а 2 х" ~1 <?“*cos Рх dx.
В правой части равенства получились интегралы того же
типа, что и исходный, только степень у х на единицу меньше.
Применяя последовательно указанный прием, придем к интегра-
лам вида
J e“*sin Рх dx и J e“xcos Рх dx,
которые рассмотрены выше.
Наконец, интегралы f х" arcsin х dx, J х" arccos х dx,
fx"arcctg х dx и fx"lnxr/x сводятся интегрированием по частям к
интегралу от алгебраической функции, если в них положить
dv=xndx, а за функцию и взять оставшуюся трансцендентную
функцию, т. е. одну из функций arcsin х, arccos х, arctgx, arcctgx,
in х. Например,
26.5. ИНТЕГРАЛЫ ВИДА f/?(sh X, ch x)dx
Подстановка
t -/V
w = th-
2
сводит интеграл j7?(shx, chx)dx к интегралу от рациональной
дроби.
Действительно, при указанной замене переменной имеем
. 2и 1 1 + и2 , 2du
shx =----chx =-------dx =-------
1— и 1— и 1— и
поэтому
559
Л (sh х, ch x)dx = 2 f R( 2ц,,
J
1 + u2\ du
1 ~u2J 1 — u2
В конкретных примерах иногда оказывается значительно
удобнее использовать подстановки вида w = shx, i/ = chx или
n = tgx, позволяющие вычислить интеграл существенно проще (ср.
п. 26.1).
Интегралы вида
J shmx ch”x dx,
где т и п— рациональные числа, с помощью подстановок r = shx
(и = ch х) приводятся к интегралу от дифференциального бинома
(ср. п. 26.2).
26.6. ЗАМЕЧАНИЯ ОБ ИНТЕГРАЛАХ, НЕ ВЫРАЖАЮЩИХСЯ
ЧЕРЕЗ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
Мы рассмотрели различные классы элементарных функций и
нашли их первообразные, которые также являются элементар-
ными функциями. Однако не всякая элементарная функция имеет в
качестве своей первообразной элементарную же функцию. С
подобным обстоятельством мы уже встретились при рассмотре-
нии интеграла от дифференциального бинома: в этом случае
подынтегральная функция — элементарная (иррациональная), а
интеграл от нее, как отмечалось, вычисляется далеко не всегда.
Можно показать, что интегралы
— dx,
хп
---dx
(п — натуральное число) также не выражаются через элементар-
ные функции.
Имеется ряд интегралов от элементарных функций, не
выражающихся через элементарные функции и играющих
большую роль как в самом математическом анализе, так и в
его разнообразных приложениях. К таким интегралам отно-
сится, например, интеграл
2
\е~х dx,
а также так называемые эллиптические интегралы
J R (х, у/Р (x))dx,
где П(х) — многочлен третьей или четвертой степени. В общем
560
случае эти интегралы не выражаются через элементарные
функции. Особенно часто встречаются интегралы
dx
J(\~X2)(\-k2x2)
x2dx
У(1-х2)(1-Л2х2)
0<к< 1,
И
которые подстановкой x = sincp приводятся к линейным комби-
нациям интегралов
а^/1 —к2 sin2cp
и ^/1 — к2 sin2(рt/ср;
они называются соответственно эллиптическими интегралами
первого и второго рода в форме Лежандра.
§ 27. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
27.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА РИМАНА
Напомним (см. п. 16.5), что разбиением т отрезка [a. Z?]
называется любая конечная система его точек xb i=Q. 1, 2, ..., zT,
такая, что
a = x0<xl<...<xi _1<xi =b.
При этом пишут T = {xf}-^(j. Каждый из отрезков [Xj_15 xf]
называется отрезком разбиения т, его длину обозначают через
Axf, Ax^jq —jQ.p z=l, 2, ..., zT.
Величину
| т | = max Axr-
назовем мелкостью разбиения т.
Разбиение т' отрезка \а, Л] называется следующим за
разбиением т (или продолжающим разбиение т) того же
отрезка, а также вписанным в разбиение т, если каждая точка
разбиения т является и точкой разбиения т', иначе говоря, если
каждый отрезок разбиения т' содержится в некотором отрезке
разбиения т (говорят еще, что т' — измельчение разбиения т). В
этом случае пишут т'Е-т или. что то же, т-Зт'.
Совокупность всех разбиений данного отрезка обладает
следующими свойствами.
1 . Если т1-^т2, а т2-Зт3> то т1“Зтз-
2°. Для любых и т2 существует такое т, что тЕ-Ti и тЕ-т2.
В самом деле, первое свойство следует просто из того, что, в
силу условия т38-т2, каждый отрезок разбиения т3 содержится
561
в некотором отрезке разбиения т2, который, в свою очередь,
согласно условию содержится в каком-то отрезке
разбиения т1; таким образом, всякий отрезок разбиения т3
лежит на определенном отрезке разбиения т1ч а это и означает,
что ТзЕ-Тр
Для доказательства второго свойства разбиений заметим
лишь, что если заданы два разбиения тг и т2, то разбиение т,
состоящее из всех точек, входящих как в разбиение т1ч так и в
разбиение т2, очевидно, будет следовать за и за т2. □
Пусть теперь на отрезке fa, Л] определена функция/и пусть
T = {x,.}-=(j — некоторое разбиение этого отрезка,
Axf = xf —xf_19 i=l, 2, ..., zT,
а |т| — мелкость этого разбиения.
Зафиксируем произвольным образом точки ^[х^, х£],
z=l, 2, ..., zT, и составим сумму:
i
от(/; У
i=l
Суммы вида с>т(/; ) называются интегральными
суммами Римана функции /. Иногда для краткости будем их
обозначать через сгт(/), или даже просто через ат.
. Геометрически в том случае, когда функция f неотрицатель-
на (рис. 118), каждое слагаемое интегральной суммы Римана <гт
равно площади прямоугольника с основанием длины Axf и с
высотой /(^). Вся же сумма равна площади «ступенчатой
фигуры», получающейся объединением всех указанных прямо-
угольников.
Определение 1. Функция f называется интегрируемой (по
Риману) на отрезке [а, Ъ\, если существует такое число А, что
для любой последовательности разбиений отрезка \а, b ]
= 2, ...,
у которой lim | тп | = 0, и для любого
п-»оо
выбора точек
^И)Т i=
= 1, 2, iT, л=1, 2,
п
существует предел последовательнос-
ти интегральных сумм
сут (/; ..., ^и)) и он равен А:
п тп '
562
где
lim £ =
(27.1)
Ьх(? = х<Сz=l. 2, ..., zT ; zz=l, 2, ... .
n
При выполнении этих условий число А нызывается (римано-
вым) определенным интегралом функции f на отрезке [а, Ь] и
ь
обозначается J /(х) dx.
а
b
Выражение j f(x)dx читается: «интеграл от а до b f(x)dx>y. х
а
называется переменной интегрирования, f— подынтегральной
функцией, а — нижним, а b — верхним пределом интеграла;
отрезок \а„ —промежутком интегрирования.
Таким образом,
def
f/(x) dx = lim <5T (/; ..., Ц°),
П n
a
где последовательность тп такова, что lim | т„ | = 0.
Для краткости будем в этом случае писать просто
f/(x)z/x=lim стт(/).
Подобно тому как определение предела функции можно
сформулировать двумя эквивалентными способами с помощью
пределов последовательностей и с помощью «(в —8)-языка», так
и определение интеграла можно сформулировать иначе.
Определение 2. Число А называется определенным интегра-
лом функции f на отрезке \а. Z>], если для любого в>0
существует такое 8>0, что, каково бы ни было разбиение
T = {xf}-Z(j (отрезка \а. £]) мелкости, меньшей 5 : |т|<8, и
каковы бы ни были точки ^6[xf_15 хв«], выполняется неравенство
<е’
где
Axi = xi — xi_i. z=l, 2, ..., ix.
Упражнение 1. Доказать, что два данных выше определения определен-
ного интеграла эквивалентны.
563
Из определения 1 следует, что для неотрицательных функций
ь
определенный интеграл \f(x)dx является пределом при |т|->0
само понятие площади
сделано ниже, в § 31.
последовательности площадей соот-
ветствующих ступенчатых фигур; по-
этому он, естественно, оказывается
связанным с понятием площади, а
именно равен площади фигуры (на-
зываемой «криволинейной трапеци-
ей»), границей которой является гра-
фик функции /, отрезок [а. Л] оси Ох
и, быть может, отрезки прямых х = а и
х = Ь, ординаты точек которых меня-
ются соответственно от нуля до f(d) и
до /(£) (рис. 119). Для того чтобы это
доказать, надо прежде всего уточнить
рассматриваемых фигур. Все это будет
Заметим, что введенное здесь понятие предела интегральных
сумм Римана является новым понятием, не укладывающимся
ни в понятие предела последовательности, ни в понятие предела
функции.
В дальнейшем придется использовать аналогичное понятие
предела не только для интегральных сумм Римана, но и для
других объектов. Поэтому сформулируем общее определение
предела этого вида.
Определение 3. Рассмотрим множество 2 = {т} всех разбие-
ний отрезка [а, 6]. Пусть на этом множестве определена
числовая, вообще говоря, многозначная функция Ф(т), Будем
говорить, что функция Ф(т) при | т |—*0 имеет предел, равный А,
и писать
lim Ф(т) = А.
М-о
если для любой последовательности разбиений тлел, п=\, 2, ...,
такой, что lim | т„ | = 0, при любом выборе значений Ф (тп)
числовая последовательность Ф(т„) сходится к числу А, т. е.
lim Ф (т„) = А.
л-*ос
Это понятие предела определено с помощью понятия
предела последовательности, поэтому для него справедливы
Привычный из элементарной геометрии термин «фигура» употребляется
здесь всюду в смысле «плоское множество».
564
многие свойства, аналогичные соответствующим свойствам
предела последовательности.
Пусть, например Фг(т) и Ф^т)— однозначные функции
разбиений т некоторого отрезка [я, Ь] и существуют пределы
НтФДт) и 1ппФ2(т). Тогда если для всех т выполняется
|ТНО |т|->0
неравенство Фх (т)^Ф2(т), то и lim Ф! (т)^Нт Ф2(т). А если
|т|->0 |т|-О
Т(т) — такая функция, что для всех т имеют место неравенства
(т)^Ф2(т) и lim Фх (т) = 1пп Ф2(т) —
м--*о |тН0
то существует предел lim Т (т) и он также равен а. Мы будем
м-о
использовать эти свойства в дальнейшем.
Как и в случае предела интегральных сумм Римана, понятие
этого предела можно сформулировать на «(а — 5)-языке», что
предоставляется читателю.
Отметим в заключение, что многозначность функции Ф, о
которой идет речь в определении 3, в случае интегральных сумм
Римана связана с различным способом выбора точек
xt], /=1’ 2’ 4-
Нами было введено понятие определенного интеграла
ь
§f(x)dx от функции f по отрезку [я, /?], а<Ь.
а
Для любой функции f, определенной в точке а, положим, по
определению,
а
(27.2)
ь
а дая функции /, интегрируемой на отрезке [а, £].
а b
\ f(x}dx^f(x}dx, a<b. (27.3)
Ь а
Эги определения в известной мере естественны. В первом
случае, т. е. при а = Ь, следует считать, что все промежутки
разбиения отрезка [a, /?] становятся точками, а их длины Ах-
равны нулю. Поэтому все интегральные суммы /(^)Axf в
i= 1
этом случае также равны нулю, а вместе с ними обращается в
нуль и интеграл в левой части равенства (27.2).
Во втором случае следует считать отрезки [х^, xf]
565
разбиения t = {xJU(J отрезка [а, /?] ориентированными в
отрицательном направлении оси Ох (понятие ориентированного
отрезка знакомо читателю из аналитической геометрии), поэто-
му их длины Axf— отрицательными. Отсюда следует, что все
интегральные суммы, образуемые для интеграла \f(x)dx,
отличаются лишь знаком от соотвтетствующих интегральных
сумм интеграла что и делает естественной формулу
(27.3).
Этим интуитивным соображениям можно, конечно, придать
и строгую логическую форму, введя соответствующие определе-
ния, однако гораздо проще и короче ввести равенства (27.2) и
(27.3) по определению.
27.2*. КРИТЕРИЙ КОШИ СУЩЕСТВОВАНИЯ ИНТЕГРАЛА
Аналогично критерию Коши существования предела функ-
ций формулируется и доказывается аналогичный критерий
существования предела интегральных сумм.
Теорема 1. _Пля того чтобы функция f была интегрируема
на отрезке \а. Ь\, необходимо и достаточно, чтобы для любого
£>0 существовало такое 8>0, что, каковы бы ни были
разбиения т'=={х-}- = У и т" = {x'j }j=iz'' мелкостей меньше 8 /
| т' | <8, | т" | <5 и точки х-], z= 1, 2, ..., ix, %'•],
7=1, 2, ..., 7т”, выполняется неравенство
|ат(/; (27.4)
Доказательство необходимости условия (27.4).
Если функция f интегриуема, т. е. существует предел (27.1), то,
согласно определению 1, для любого 8>0 существует такое
8>0, что для любого разбиения т = {х-}\=1$ мелкости меньше 8 :
|т|<8 и при любом выборе точек xj, z=1, 2..zT, для
интегральных сумм ат = ат(/; ..., ^-) выполняется нера-
венство
|ат-Л |
(27.5)
Если теперь ст, = ат,(/; ^,) и (/; $„) -
две такие интегральные суммы, "что | т' | < 8 и | т" | < 8, то
|aT,-Qt„| = |(av->l)+(?l-QT„)|^|cT,-/f ЖЛ-стт,,1 < |+| = г..
566
Доказательство достаточности условия (27.4).
Пусть для функции /, заданной на отрезке [а, Ь~\, выполнено
условие (27.4) и стт =<7Т ( /'; ЗДП), ..., ^п>), п=\, 2, ...,— такая
последовательность интегральных сумм функции что
Нт|т„| = 0.
(27.6)
Если 8>0 произвольно фиксировано, а 8>0 выбрано так,
что выполняется условие (27.4), то, в силу условия (27.6),
существует такой номер п0, что для всех п>п0 выполняется
условие
Поэтому для любых n>n0 и т>п0 выполняются неравенства
| ти | < 8, | тт | < 8 и, следовательно, согласно условию (27.4), имеет
место неравенство
Это означает, что числовая последовательность {с\ } удовлет-
воряет критерию Коши сходимости последовательностей и
поэтому существует конечный предел
lim сут.
1п
Последовательность {сут } являлась произвольной последо-
вательностью интегральных сумм, для которой выполнялось
условие (27.6), поэтому все такие последовательности сходятся,
причем к одному и тому же числу. В самом деле, пусть
последовательности {с ,} и {о „} таковы, что
lim | т'п | = lim | т" | = О
и, следовательно, существуют конечные пределы
lim о , = Аlim с „ = А ".
(27.7)
(27.8)
Составим новую последовательность интегральных сумм
{ат }, у которой на нечетных местах стоят члены последова-
тельности {с,}, а на четных — {о „}:
где т = 2п — 1,
п
<эт", где т = 2п.
п=Л, 2, .
567
Тогда, очевидно,
и поэтому существует конечный предел
lim от .
Предел всякой подпоследовательности сходящейся последова-
тельности равен пределу всей последовательности, следователь-
но,
А ’ = lima, = lim су = lim =А ". □
(27.8) ТИ М27.8)
27.3. ОГРАНИЧЕННОСТЬ ИНТЕГРИРУЕМОЙ ФУНКЦИИ
Установим прежде всего необходимое условие, которому
удовлетворяют интегрируемые функции — их ограниченность.
Теорема 2. Если функция интегрируема на некотором
отрезке, то она ограничена на этом отрезке.
Доказательство. Пусть функция / не ограничена на
отрезке [с/, b ] и пусть фиксировано некоторое разбиение
т = {xi} этого отрезка. В силу неограниченности функции / на
всем отрезке \а. Z?], она не ограничена по крайней мере на
одном отрезке разбиения г. Пусть для определенности функция
f не ограничена на отрезке [%0, хг]. Тогда на этом отрезке
существует последовательность ^(1°б[х0, jq], п=1, 2, ..., такая,
что*}
Пт/(^>ш. (27.9)
Зафиксируем теперь каким-либо образом точки xz],
7 = 2, 3, ..., ix. Тогда сумма
Е
i = 2
будет иметь определенное значение. Поэтому, в силу (27.9),
limcrT(/; ^2, ^) = lim
i=2
Действительно, в силу неограниченности функции f на отрезке [х0, хх ],
например для любого натурального п=1, 2. ..., существует такая точка /''Ж[а'о,
л\], что |./'(^<г))1 >^- Очевидно, что последовательность {£<и)} и удовлетворяет
условию (2/.9).
568
и, следовательно, каково бы ни было число М>0, всегда можно
подобрать такой номер п0, что если на первом отрезке [х0, хх]
взять точку то
М/; ^2, \)\>м.
Отсюда следует, что суммы ст не могут стремиться ни к какому
конечному пределу при |т|->0.
Действительно, если бы существовал конечный предел
lim <зх = А, то для любого 8>0 нашлось бы такое 8е>0, что для
|тН0
всех разбиений T = отрезка [а, 6] мелкости |т|<5е при
любом выборе точек xf], z=l, 2, ..., zT, выполнялось бы
неравенство | сут — А | < 8 и, следовательно,
| сгт| = |(огт—А) + А |^|ат-^| + |Л|<£+|Л|.
В данном случае, т. е. в случае неограниченности функции /,
для любого разбиения т (в том числе и такого, что | т | < 8е, если
существовало бы указанное 8) при любом фиксированном 8>0
можно так выбрать точки что будет выполняться нера-
венство
| сгт I > IА 1 + в.
Полученное противоречие доказывает теорему. □
Условие ограниченности функции /, будучи необходимым
для ее интегрируемости, не является вместе с тем достаточным.
Примером, доказывающим это утверждение, может служить
функция Дирихле (см. п. 5.2)
z, х fl, если х рационально,
(О, если х иррационально.
Рассмотрим эту функцию на отрезке [0, 1]. Она. очевидно,
ограничена на нем. Покажем, что она не интегрируема.
Зафиксируем произвольное разбиение x = отрезка [0, 1].
Если выбрать точки xf], z=l, 2, ..., zT, рациональными,
то получим
Е Ж)д^= Е
i=l i=l
а если взять иррациональными, то
i — 1
Так как это верно для любого разбиения т, то интегральные
суммы сут заведомо не стремятся ни к какому пределу при
569
Y1A. ВЕРХНИЕ И НИЖНИЕ СУММЫ ДАРБУ.
ВЕРХНИЙ И НИЖНИЙ ИНТЕГРАЛЫ ДАРБУ
Пусть функция /(х) определена на отрезке [а, 6],
T = {x/}-Z(j — некоторое его разбиение и Дх^х, —xz_ /=1,
2, ..., /т. Положим (рис. 120)
sup /‘(х), inf /(х), f=l, 2, /т,
vv (./)= Е М
1=1 1
5T = 5T(/)= J т;Ал-;. (27.10)
С в о й с т в а сумм Дарбу
Очевидно, 5т<5т.
Сумма ST называется
верхней, а лт нижней
еум.мой Дарбу функции f
При заданной функ-
ции /'(х) ее верхняя ST и
нижняя \ суммы Дарбу
являются функциями раз-
биений отрезка [с/. Л].
Полому для них имеет
смысл попя гие пределов
lim 5. и lim \ (см. опре-
Г И) 1 .1)
деление 3 в и. 27.1).
1°. Если функция /’ ограничена, ню при .нобом разбиении
суммы ST и л\ определены.
В самом деле, в этом случае М, н I. ... /т. конечны,
поэтому выражения (27.10) имею? о:гк i
2°. Если т'8-т, то
и
Доказательство. Пусть т =-j .v,; I- и f !х'Д j-(7 два
разбиения отрезка [с/. Л] таких, что т-от' и
inf /(.v), /=1. 2... /т.
m'j^ inf /(х). j- L 2...... />.
V । \ • >
Если [x}-i, x}]<z[x,.. j. Л-]. го. очевидно.
mt мт!
(27.11)
570
(нижняя грань при уменьшении
множества может только увели- , , ГГ~11 ।___________
литься). & ДрД ь
В силу условия т-Зт7, каждый 4
отрезок [x^, а-] разбиения т Рис- 121
является объединением каких-то отрезков разбиения т7; будем
обозначать эти отрезки через [х{7-_п, х7- ]. Таким образом, если
Axt- = х• — xl _ j и Ах7- = х7- — х},
то (рис. 121)
Axf = £ Ах).
Используя эти обозначения и неравенство (27.11), получим
\ = £ те,.Ал;= J те;£Ах< = £
1 = 1 . 1 = 1 Л . ' 1=1 Л-
Ч А'
< Е Е m’j. Дл1 = Е тJ ДЕ = •
Z=1 ji 1 1 j=l
Мы доказали, что Аналогично доказывается, что
ST^ST, при т-Зт7. □
Следствие. Для любых двух разбиений и т2 отрез-
ка [a, h ] выполняется неравенство
(27.12)
т. е. любая нижняя сумма Дарбу меньше любой верхней.
Действительно, если даны два разбиения т1 и т2 отрез-
ка [с/, /?], то существует разбиение т этого отрезка такое, что
tFTj и т£-т2 (см. п. 27.1). Применяя свойство 2°, получим
aS*. X . ЕЗ
1 2
Очевидно, что суммы Римана и Дарбу связаны неравенствами
Следующее свойство является уточнением этого утвержде-
ния.
3°. Если от = от(/; ..., )—какая-либо интегральная
сумма Римана, соответствующая данному разбиению т, то
sx= inf сут, ST= sup ст.
? У- г- р
Доказательство. Пусть т = {хДразбиение отрезка
[а, Л] и х;], /=1, 2, /т.
Если заданы какие-либо числовые множества z=l, 2, ...,
zT, и постоянные r/z>0, z=l, 2, ..., zT, то для множества
У=<х : х= aixo xi^u 2, ..., zT>
571
справедливы равенства (см. п. 3.5*)
sup X = £ aL sup Xif inf Х= £ aL infУ-.
i=l
В силу этого, имеем
5t= Е ™<АЧ= Е [ inf /(£,, )] А х; = inf ЕЖ)АЧ =
1=1 1=1 xi xi-i^i^xt i=l
= inf ct(/; £,i, ..., ).
*i- 1
i= 1.2.ix
Аналогично,
4 = E M.t \xt = у [ sup ) ] Ax,. =
i=l i=l -4- i<^-4
= sup E Ж)Ал; = sup от(.Л ..., ^). П
xi -1 < < xi i = 1 ч -1 Л ч
1=1’2’-Л i '-=Г2.»т
4°. \-л-т=£ со,(/') Ах;,
i = 1
где соД/) — колебание функции /' на отрезке [х-_ 1? х-]
(см. п. 19.6), z=l, 2, ..., fT.
Доказательство. Отметим сначала, что если для двух
данных числовых множеств X и Y положить
Z^{z z = x—y\ хеХ, те У},
то supZ^supX— inf Y (см. п. 3.5*). Используя это, получим
sup /(х)— inf ,/(х) =
= sup [/(х")-/(х')] = ш,.(У), z=l, 2, zT,
Ч- 1 ^*'<Ч’
поэтому
4-^= Е (jW,-w,)Ax,.= Е
1=1 1 = 1
Положим теперь
/^^sup^, /* = infSx.
т
Число или отрицательная бесконечность I называется нижним
интегралом Дарбу функции / на отрезке^[tz, Л], а число или
положительная бесконечность /* —ее верхним интегралом.
572
Из свойств 1° и 2° сумм Дарбу следует, что если функция
ограничена, то как ее нижний интеграл Дарбу, так и верхний
конечны. В силу следствия из свойства 2°, будем также иметь
7 ^7*. (27.13)
В самом деле, перейдя в левой части неравенства (27.12) к
верхней грани по разбиениям т15 получим, что для любого
разбиения т2 выполняется неравенство 7^<5Т . Перейдя в этом
неравенстве к нижней грани по разбиениям т2, будем иметь
неравенство 7^7*.
27.5. НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ
ИНТЕГРИРУЕМОСТИ
Теорема 3. Для того чтобы ограниченная на некотором
отрезке функция была интегрируемой на нем, необходимо и
достаточно, чтобы
lim (\ — ) = 0.
|т|-0
(27.14)
Условие (27.14) означает (см. определение 3 в п. 27.1), что
для всякого 8 > 0 существует такое 8 > 0, что для любого
разбиения т мелкости |т|<8 выполняется неравенство
|5t-sJ<£. (27.15)
Так как sT^Sx, то (27.15) равносильно неравенству
ST-sT<£.
Доказательство необходимости. Пусть ограничен-
ная на отрезке [a, Z>] функция f интегрируема на нем и пусть
ъ
1= \flx\dx\ тогда lim ат = 7. Поэтому для любого 8>0 существу-
а М-0
ет такое 8>0, что если | т | < 8, то
|<эт —7|<8 или 7— 8<СУт<7+8.
Отсюда при | т | < 8, согласно свойству 3° сумм Дарбу (см. п.
27.4), получаем неравенство
7—8^5т^5'т<7+8.
Таким образом, если | т | < 8, то
0^5т-5т^28,
а эго и означает выполнение условия (27.14).
Доказательство достаточности. Пусть функция f
ограничена и выполняется условие (27.14). Из определения
нижнего и верхнего интегралов Дарбу и из неравенства (27.13)
имеем
573
(27.16)
поэтому
0^Z*-/^5T-sT,
откуда, в силу (27.14), следует, что 1* — 1=0. Обозначая общее
значение верхнего и нижнего интегралов Дарбу через /, т. е.
полагая 1=1 =1*, из (27.16) получим
поэтому
0^/-^5T-sT, 0^5т-/^5т-5т.
Отсюда, в силу (27.14), имеем
lim (l—sx) = lim — Z) = 0,
|т|—0 |t|->0
следовательно,
limsT = lim 5T = Z. (27.17)
ItHO |t|->0
Но, в силу свойства интегральных сумм Дарбу (см. п. 27.4),
(27.18)
Из (27.17) и (27.18) следует (см. п. 27.1), что
lim ат = /,
|тН0
а это и означает интегрируемость функции f. □
Следствие 1. Если функция f интегрируема, то не толь-
ко ее интегральные суммы Римана, но и ее суммы Дарбу
стремятся к ее интегралу при стремлении мелкости разбиения к
нулю.
Действительно, если функция / интегрируема, то выполняет-
ся условие (27.14), а из него, как мы видели, и следует
утверждение следствия, т. е. равенство (27.17). □
Следствие 2. Для того чтобы ограниченная на некотором
отрезке функция f была интегрируемой на этом отрезке,
необходимо и достаточно, чтобы
lim £ соД/)Ал;.-0,
Н-о i=1
где соД/j —колебание функции f на отрезке [х--!, х,] разбиения
т = {xf-} ' отрезка \сц 6].
Это следует непосредственно из свойства 4° сумм Дарбу (см.
п. 27.4).
574
27.6. ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ НЕПРЕРЫВНЫХ
И МОНОТОННЫХ ФУНКЦИЙ
Теорема 4. Функция, определенная и непрерывная на
некотором отрезке, интегрируема на нем.
Доказательство. Пусть функция / непрерывна на отрезке
П/, Л]; тогда, как известно, она ограничена (см. теорему 1 в п.
6.1) и равномерно непрерывна (см. теорему 5 в п. 19.7) на этом
отрезке. Зафиксируем произвольно 8>0. В силу равномерной
непрерывности, существует такое 8>0, что для любых точек
Е,е[а, /?] и tjg[<7, />], удовлетворяющих условию |т| — ^|<8,
выполняется неравенство
1./(п)-/О<^- (27.19)
Возьмем какое-либо разбиение т = {х-}-=3 мелкости |т|<8.
Пусть, как всегда, Axf = xf —mt = inf /(x), = sup /(x),
f=l, 2, ..., zT. Непрерывная на отрезке функция достигает своей
нижней и верхней грани на этом отрезке, поэтому существуют
такие точки 5,zg[xz_ j — х-] и rpefx--!, xf], что
.Ж )='«/ ./’(nj=Mi.
Точки и ц- принадлежат одному и тому же отрезку разбиения
т, следова тельно.
Отсюда, в силу (27.19), вытекает неравенство
! /(nj-/fe)=l/(nj-/(^)l<^, /=1, 2,
Следовательно, для любого разбиения т мелкости |т|<8
выполняется условие
0<5т — 5’т= £ (Л7,— пц) Axz =
i - 1
= z [лп,)-жл t ж=е-
/--1 ' 1 “i=l
Эю означает, что lim (ST — \) = 0. Поэтому, согласно теореме 2,
функция /’ интегрируема на отрезке [г/, />]. □
Теорема 5. Функция, определенная и монотонная на
отрезке [ж Л], интегрируема на этом отрезке.
Доказательство. Пусть функция /(х) монотонна на
отрезке [г/, /?], например возрастает на нем. Тогда
,/Д/)</(.¥)</(Л), т/<х^Л.
575
Таким образом, функция / ограничена на отрезке [а, b .
Далее, для любого разбиения T = отрезка [a. Z?],
очевидно, имеем
Mi=f(xi), z=l, 2, ..., zT,
поэтому
5'г(/)-^(/)= Е (Mi-mi)Axi = £ [/(хг)-/(^-1)]Л^<
i=l i=l
E [Ж)-Ж-1)] = [/(6)-/(а)]|т|,
i = 1
так как в сумме £ взаимно уничтожаются все
i=i
слагаемые, кроме ДА) и ДД.
Из полученного неравенства следует, что
lim [5Д/)-Д/)>0.
М-о
Поэтому (см. п. 27.5) функция / интегрируема на отрез-
ке [а, А]. □
Монотонные функции могут иметь счетное множество точек
разрыва и вместе с тем, согласно доказанной теореме, быть
интегрируемыми.
Примером немонотонной функции, имеющей счетное мно-
жество точек разрыва и вместе с тем интегрируемой, является
функция Римана, которая была определена в п. 5.12. Докажем
это.
Напомним, что упомянутая функция f равна - в каждой, не
п
„ „ т т
равной нулю, рациональной точке г = — (где — — несократимая
п п
рациональная дробь) отрезка [0, 1] и равна нулю во всех
остальных точках этого отрезка. Покажем, что
1
f Дх) dx = 0.
о
Зададим произвольно е>0. Выберем натуральное число п.
так, чтобы
- < Е (27.20)
П 2
и число 8 > 0 так, чтобы
8 < 1 (27.21)
п
576
Для любого
отрезок назовем
чисел вида
разбиения т = {хг-}^ мелкости |т|<8 его
отрезком первого рода, если он не содержит
—, /77 = 1, 2,
Р
(27.22)
и второго рода, если он содержит хотя бы одну из указанных
точек. Ясно, что каждый отрезок разбиения т является либо
отрезком первого рода, либо второго.
Всякую интегральную сумму от функции f представим в виде
суммы двух слагаемых следующим образом:
<У = £ ^)Axi = £'/fe)Axi+E'M)Axi, (27.23)
где знак штрих у сигмы означает, что суммирование произво-
дится только по отрезкам первого рода, а два штриха у сиг-
мы— что суммирование производится только по отрезкам
второго рода. Оценим отдельно каждое слагаемое правой части
равенства (28.63).
В точках отрезков первого рода, согласно заданию функ-
1
ции /, все ее значения меньше -, следовательно,
п
|ЕЖ)Ах,.|^Р|Ж)|Ах;<1у'Ах,<1у Ах;=1 < (27.24)
Для оценки второго слагаемого заметим, что для всех точек
х отрезка [0, 1], согласно определению функции имеет место
неравенство |/(х)|^1 и что число отрезков второго рода не
превышает и2, так как число всех точек (27.22). очевидно, не
превышаез суммы 1 4-2 Ч-._. +/? —-^у, а каждая точка
может принадлежать не более чем двум отрезкам разбиения т.
Поэтому
| У"f^) I < У" |.<) I Ах; Y< «2 М <
£
п2 8
(27.21) П (27.20)
(27.25)
Из соотношений (27.23), (27.24) и (27.25) следует, что для
любой интегральной суммы от, соответствующей разбиению т
мелкости | т | < 8, выполняется неравенство
| СУТ1 <е.
1
что, в силу произвольности 8>0, и означает, что J/’(x)tZx = O.
о
19-1807
577
27.7*. КРИТЕРИИ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ДАРБУ
И РИМАНА
Покажем, что для ограниченных на отрезке функций нижний
I* и верхний /* интегралы Дарбу (см. п. 27.4) являются не
только верхней и нижней гранями соответственно нижних и
верхних сумм Дарбу, но и их пределами.
Теорема 6. Если функция f ограничена на отрезке, то
I. = lim Г = lim 5Т. (27.26)
М-0 |тН0
Здесь, как обычно, \ и — соответственно нижняя и
верхняя суммы Дарбу функции /, соответствующие разбиению т
отрезка [си 6].
Доказательство. Докажем справедливость первой из
формул (27.26) (вторая доказывается аналогично). В силу
ограниченности функции / на отрезке [<7, /)], существует такая
постоянная о 0, что
|/(х)|^с, хе[а. Ь]. (27.27)
Зададим произвольно 8>0. Согласно определению нижнего
интеграла (см. п. 27.4), т. е., согласно равенству I = sup\,
т
существует такое разбиение T0 = {xj-0)}отрезка [a, Z?], что
Г Е
> Л 2
(27.28)
Положим
8 = — . (27.29)
47ОС
Пусть т = {х/}-=о — произвольное разбиение отрезка \а, 6]
мелкости,_ ,меньшей 8, т. е. |т|<8. Рассмотрим разбиение
т* = {х*}-=о, получающееся объединением разбиений т0 и т.
. .*
Если \ = £ ггц \xt и sy = £ т* Ах* — соответствующие разбие-
i = 1 i = 1
ниям тит* нижние суммы Дарбу, то, поскольку разбиение т*
вписано в разбиение т0, выполняется (см. п. 27.4) неравенство
поэтому (см. (27.28)) т. е.
(27.30)
578
Оценим разность sT*—sx. Разбиение т* получается из разбие-
ния т добавлением к нему точек разбиения т0. Поэтому тем
отрезкам разбиения т, внутрь которых не попали точки
разбиения т0, соответствуют одинаковые слагаемые в суммах sx
и 5Т*. Если же внутрь отрезка [л^_19 xz] разбиения т попали одна
или несколько точек разбиения т0, то такой отрезок является
объединением отрезков [X/.-i, х* ] разбиения т*: Дх£ = ^Дхр
ц
Так как
\тД с, i=l, 2, ix, \т*\ с, i=\, 2, /*, (27.31)
(27.27) (27.27)
ТО
Е т\ - miАх. = Z (т\- mi ) (27^п
<2с£Дх‘=2сДх^2с8. (27.32)
ц
Число таких отрезков не превышает числа /0 точек разбиения
т0. Поэтому
s.-^2CS,0(2-91|. (27.33)
Таким образом, если | т | < S, то
о^4-А=(4-^)+к—\) < 1+|=£
(27.30) 2 2
(27.33)
Это и означает, что Нш5т = Д. □
|тН0
Теорема 7 (теорема Дарбу). Для того чтобы ограниченная
на отрезке функция была на нем интегрируема по Риману,
необходимо и достаточно, чтобы были равны ее верхний и
нижний интегралы Дарбу.
Доказательство необходимости. Пусть функцияf
интегрируема на отрезке [a, Z?]. Так как то
0</* —Z <ST —sT и так как для интегрируемой функции (см.
(27.14)) Нш (5т-\) = 0, то /=/*.
Доказательство достат очност и. Если f— ограни-
ченная на отрезке [а, Ь] функция и = то. в силу теоре-
мы 5,
lim (5Т —\)= lim ST—lim sx = I* — I= 0.
|?H0 |t|->0 |tH0
579
Отсюда, согласно теореме 2 (см. п. 27.5), функция f интегри-
руема на отрезке [а, Ь]. □
Теорема 8 (теорема Римана). Для того чтобы ограничен-
ная на отрезке функция была на нем интегрируема по Риману,
необходимо и достаточно, чтобы для любого е>0 существовало
такое разбиение т отрезка [а, Ь}, что
Sx-sx<s. (27.34)
Следствие. Для того чтобы ограниченная на отрезке
[а, Л] функция f была интегрируема на нем, необходимо и
достаточно, чтобы для иобого о 0 существовало такое
разбиение т = {xj1/:^ отрезка [а, Ь], что
i
Ё ®;(/)Ах,<е.
i = 1
Здесь cof(/)—колебание функции f на отрезке [х^р xj,
Axf = xf —х/_1, z=l, 2, ..., zT.
Доказательство необходимости. Если функция J
интегрируема на отрезке, то, согласно теоремам 6 и 7,
lim s=I = р = lim Sx, откуда lim (5— sT) = 0. Следовательно,
14-0 * |tHO |tHO
для любого £>0 найдется такое разбиение отрезка [а, Ь], что
Sx — sx<z.
Доказательство достаточности. Если выполняет-
ся условие (27.34), то, в силу неравенства при
любом е > 0 справедливо неравенство
O^Z*-Z <£.
*
Следовательно, /* = /*, откуда, согласно теореме 6, вытекает
интегрируемость функции f. □
Следствие сразу следует из доказанной теоремы, так как
(см. п. 27.4)
i= 1
Теорема 7 называется критерием Дарбу, а теорема 8—кри-
терием Римана интегрируемости функции.
Замечание 1. Критерий Римана удобнее использовать для
выяснения интегрируемости функции, чем теорему 3 (см. п. 27.5),
так как здесь достаточно найти хотя бы одно разбиение т
отрезка, удовлетворяющее условию (27.34), тогда в первом
случае надо проверять это условие для всех достаточно мелких
разбиений.
С помощью критерия Римана легко, например, устанавли-
вается, что если функция задана на отрезке [а, Л] и
580
интегрируема на отрезках [а, с] и [с, /?], а<с<Ь, то она
интегрируема и на отрезке [а, £].
В самом деле, прежде всего из интегрируемости функции /
на отрезках [а, с] и [с, следует ее ограниченность на этих
отрезках, а потому и ограниченность на всем отрезке [а, Ь].
Далее, из интегрируемости функции /на отрезках [а, с] и [с, Ь]
следует, в силу критерия Римана, что для любого 8>0
существуют такие разбиения Tj и т2 соответственно отрезков
[а, с] и [с, Z>], что соответствующие им верхние и нижние
суммы Дарбу отличаются друг от друга меньше, чем на |, но
тогда верхняя и нижняя суммы Дарбу, соответствующие
разбиению отрезка [а, Л], которые получаются объединением
разбиений Tt и т2, отличаются меньше чем на 8. Согласно
критерию Римана, это означает, что рассматриваемая функция
интегрируема на отрезке [я, Ь].
Замечание 2. В качестве другого примера применения
критерия интегрируемости Римана докажем, что функция /
ограниченная на некотором отрезке [а, Ь] и интегрируемая по
Риману на любом отрезке [а, т|], а<т\<Ь, интегрируема по
Риману и на всем отрезке [а, /?]. Действительно, если |/(х)|
х^[а,Ь] и задано 8>0, то выберем 5, 0<5<й — а, так, чтобы
8<^. Тогда, в силу интегрируемости функции / на отрезке
[а, Ь — 8], существует такое его разбиение т, что если sx и
— нижняя и верхняя суммы Дарбу функции для этого
разбиения, то
Обозначим через т0 разбиение отрезка [а, Z?], получаю-
щееся из разбиения т0 отрезка [а, Ь — 8] добавлением точки
£>.*т0 = т( 1Ш, и пусть т0 = inf /(х), Мо = sup Дх). Если и
[Ь-6, Ь] [ь —8, Ь] 0
5То — нижняя и верхняя суммы Дарбу функции для разбиения
т0? то
\О = 8’Т + Л/О8, \0 = 5’т + /я08.
Поэтому
5to-5to = St-5T + (Mo-^o)8<| + A/8 = |+| = 8
и, следовательно, согласно замечанию 1, функция / интегри-
руема по Риману на отрезке [а, Ь}.
581
27.8*. КОЛЕБАНИЯ ФУНКЦИЙ
Пусть функция /задана на множестве X^R. Как и выше
(см. п. 19.7), со(/ X)— колебание функции /на множестве X
^(f;X)= sup |/(х')-/(х)|. (27.35)
х, х'^Х
Очевидно, что если то
^/Х/)^/;Х) (27.36)
(при переходе от множества к подмножеству верхняя грань не
возрастает), и что для любых двух пересекающихся подмно-
жеств X', X” множества Х:Х'<^Х, Х'(^Х" ^0 выполняется
неравенство
со(/; X'UJT'KK/; + X"). (27.37)
Определение 4. Колебанием функции / в точке х0^Х называ-
ется нижняя грань колебаний функции на пересечениях всевоз-
можных окрестностей U(х0) этой точки с множеством X:
def
ю О’ хо) = О’ ^Оо)V). (27.38)
Очевидно, что
О^со(/; х0К + со.
Лемма 1. Если функция / ограничена на множестве X, т. е.
если |/(х)|^с для всех х^Х, то для любой точки х^Х
выполняется неравенство
со(/- х)^2с. (27.39)
Доказательство. В самом деле,
ю(Л^о) = inf ®(/; t/(x0)|V) =
(27.38) Т(х0)ПХ
= inf sup |/(x')-/WI^
и(х0)ПХ х.х'е1/(х0)Г1Х
inf sup (|/(х')| + |/(х)|^2с. □
П(х0)ПХ х,х'е<7(х0)ПХ
Для дальнейшего полезно ввести множества
X = {х е Хо (/; х) s}, (27.40)
где 8>0 произвольно.
582
Если r| < е, то ясно, что из неравенства со (/; х) 8 следует
неравенство со(/;х)^т|, а поэтому
*£<=^. (27.41)
Лемма 2. Функция f непрерывна в точке х<=Х тогда и
только тогда, когда
a(f; х) = 0. (27.42)
Следствие. Если Хо — множество точек разрыва функции
/ то
^0=0^1- (27.43)
п= 1 п
Доказательство леммы. Если функция/ непрерывна в
точке х0*=Х, то для любого 8>0 существует такое 8>0, что
для всех точек х^Х, для которых |х — х0|<8, выполняется
неравенство |/(х)—/(х0)|<|. Поэтому для любых точек х,
х'^(х0 —8, x0 + 8)QJV имеем
1Ж) -/(х)| |/(х') -/(х0)| + |/(х0)-/(х)| <|+| = 8 (27.44)
и, следовательно,
® (Л *о) = inf со (/ С/(х0)р|Т) со (/; (х0- 6, х0 + 8)QУ) =
С/(х0)ПХ
sup 1Ж)-Ж>1 < £•
х,х'^(х0-й,х0 + 8)ПХ (27.44)
А так как 8>0 произвольно, то это означает, что со(/; хо) = 0.
Наоборот, если со (/; х0) = 0, то для любого 8 > 0 существует
такая окрестность U (х0) точки х0, что со(/; С/(х0)Р|Г)<е.
Выберем 8>0 так, чтобы (х0 —8, х0 + 8)с U(х0). Тогда для
любого хе(х0-8, x0 + 8)Qy будем иметь
l/(*)-/(*o)l < со(/; (х0-8, х0 + 8)Р|.Х) < ®(Л
(27.35) (27.36)
т. е. функция f непрерывна в точке х0.
Докажем следствие. Если точка х0<=Х является точкой
разрыва функции / то, в силу леммы 2, со (/; х0) > 0, а поэтому
х0^Х£ при 8 = со(/;хо). Отсюда следует, что
» XO=(JXS. (27.45)
£> 0
583
Ясно, что |J с U ибо каждое слагаемое левой части
п = 1 п £>0
включения является и слагаемым правой. С другой стороны,
если для данного 8>0 выбрать так натуральное п, чтобы -<8,
п
то, в силу включения (27.41), будем иметь Хг^Хг и, следова-
п
тельно, Таким образом,
Е > 0 П П
ОС
UX=Ux = х>- □
и=1 « £>0 (27.45)
Лемма 3. При любом 8 > 0 все точки прикосновения мно-
жества ХЕ, содержащиеся в X, содержатся и в ХЕ, т. е. если
х<^Х£(уХ, то х^ХЕ.
Следствие 1. Если множество X, на котором задана
функция /’ замкнутое, то при любом 8>0 множество ХЕ также
замкнутое.
Следствие 2. Если функция f задана на отрезке X— [а, Л],
то при любом 8>0 множество ХЕ является компактом.
Доказательство леммы. Пусть 8>0 и х0^ХЕ(~\Х.
Зададим произвольно р>0. В силу определения (27.38) колеба-
ния функции в точке, существует такая окрестность U (х0) точки
х0, что
и(х0)ПГ)<<: х0) + р. (27.46)
Точка х0 является точкой прикосновения множества УЕ, по-
этому существует такая последовательность хп<=Хг, п=\, 2,
чю limxH = x0, следовательно, найдется такой номер п0, что
п—-ОС
хп g= [/(х0)Р|Хе. Согласно определению колебания функции в
то^ке, отсюда вытекает, что
со(/; [/(хо)П30>со(/; хПо) (27.47)
(окрестность U (х0) точки х0 является и окрестностью точки хп ).
Таким образом, 0
со(/; Хо) > «(/. «(./; Л'„ )-р^е-р. (27.48)
(47.46) (27.47) °
ибо хп^Хг и, следовательно, со(/; хп^г.
Так как со(/;хо) > 8 —р при любом ц >0, то со(/; х0)^8,
(27.48)
т. е. хоеХе. Лемма доказана.
584
Следствие 1 вытекает из того, что всякая точка прикоснове-
ния подмножества (в данном случае УЕ) является и точкой
прикосновения самого множества (в данном случае X). Поэтому
если х<=Х то х^Х.В случае замкнутого множества X имеем
Х=Х, поэтому а тогда, согласно лемме 3, х^Х£,
т. е. множество Хг содержит все свои точки прикосновения, что
и означает его замкнутость.
Следствие 2 вытекает из того, что отрезок является
замкнутым ограниченным множеством и, следовательно, любое
его замкнутое подмножество также ограничено, т. е. является
компактом. □
Установим теперь важное для дальнейшего свойство колеба-
ний функций, заданных на отрезке.
Лемма 4. Пусть функция f задана на отрезке [а, Ь] и
существует такое е>0, что для всех точек х отрезка [а, Ь}
выполняется неравенство
со (/;%)< г, (27.49)
тогда существует такое разбиение т — {х{}\^отрезка [а, Ь], что
для всех Z= 1, 2, ..., ix имеет место неравенство
о)Д/>со(/; [х1_1,х/])<8. (27.50)
Следствие. В условиях леммы
<£(/)-47). (27.51)
i= 1
Доказательство. В силу выполнения условия (27.49), для
любой точки £, е [а, Ь ] существует такой интервал (Е, — 8^, Е, + 8^),
что
®(Т /7])<8. (27.52)
Система интервалов
й-^Д+1§,), ^[fl, b], (27.53)
образует покрытие отрезка [a, Z?], и если
def 1 1 —
Д4= (27.54)
ТО
(0(./: Ар < со(/. й-8^^ + 5,))П[«,/7] < 8. (27.55)
(27.36) (27.52)
Выделим, согласно лемме Гейне — Бореля (см. теорему 4 в
п. 18.3), из покрытия (27.53) конечное покрытие
585
s,-jsS1. e.-X-
и обозначим концы промежутков
^+^)О. *1
через а7- и Р7, у=1, 2, ..., п.
Пусть T = — разбиение отрезка {а, Ь]. состоящее из
всех точек а;, [/. Каждый отрезок [xf-i, xj этого разбиения
имеет один из следующих видов: [ос7, PJ, [а7, aj, [Р7, ocj,
[₽р 2, п, и целиком содержится в одном из
отрезков А^, ..., (см. (27.54)). Иначе говоря, для каждого
отрезка [х^-ь х-] существует такой отрезок А;. что
а поэтому
®i(/) = co(/; [х,-!, х,]) «С ®(/;А=) < £
(27.36) (27.55)
Лемма доказана. Из нее сразу следует неравенство (27.51):
£ cof(/)Axf < 8 £ Axf = г(Ь — а). □
1=1 (27.50) i=l
Замечание. Если во всех точках отрезка [а, Ь] при
некотором 8>0 выполняется неравенство (27.49), то функция /
ограничена на этом отрезке. В самом деле, если бы она была на
нем не ограничена, то на отрезке нашлась бы такая точка х0,
что в любой ее окрестности функция / была бы не ограничена, а
тогда со (/; х0) = + оо.
27.9*. КРИТЕРИЙ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ДЮБУА-РЕЙМОНА
Докажем теперь теорему, которая называется критерием
интегрируемости Дю6уа-Реймона*К Предварительно сделаем
следующее замечание.
Если какое-либо множество числовой прямой нельзя по-
крыть конечной системой интегралов с суммой их длин меньше
некоторого 5, то это множество нельзя покрыть и конечной
системой отрезков с суммой их длин меньше 5 — т|, где
т| > 0 — произвольное число.
В самом деле, если бы нашлась такая система, состоящая из
п отрезков, покрывающих рассматриваемое множество, то,
заменив каждый из них содержащим его несколько большим
** П. Дюбуа-Реймон (1831—1889) —немецкий математик.
586
интервалом, а именно таким, чтобы его длина отличалась от
длины отрезка не более чем на р получим конечную систему
интервалов, покрывающих данное множество с суммой длин
меньше 5; что противоречит сделанному предположению.
Теорема 9 (теорема Дюбуа-Реймона). Ограниченная на от-
резке [а, b ] функция f интегрируема на этом отрезке тогда и
только тогда, когда для любого г>0 и любого 8>0 множество
всех точек x<=\a,h], в которых со(/;х)^8, можно покрыть
конечной системой интервалов с суммой длин, меньшей 8.
Доказательство необходимости. Пусть функция f
интегрируема на отрезке Х= [а, Ь] и существуют такие 8>0 и
8>0, что, какую бы конечную систему интервалов, покрыва-
ющих множество Xv = {a, Z?]e (см. (27.40)), ни взять, сумма их
длин всегда не меньше 8.
Пусть T = {xJ.ZilJ—произвольное разбиение отрезка [а, Ь\.
Каждая точка х, в которой
со(/;х)^8, (27.56)
как и всякая точка отрезка {а, Л>], принадлежит одному или
двум отрезкам разбиения т. Если она принадлежит одному
отрезку xj этого разбиения, то возможны следующие
случаи. Точка х является внутренней точкой указанного отрезка:
x^{xi-i, х-); тогда
ю/=юг(/; х;]) (£»(/ (х,-!, xj)
(27.36) (27.38)
со(/(х))^е. (27.57)
(27.38)
Возможны еще два случая: либо х = а, либо х = Ь. И в том и
в другом случае доказывается аналогично неравенство (27.57).
Если точка х принадлежит двум отрезкам разбиения т, то
это возможно только тогда, когда она является их общим
концом: х = х^ [xt_b xf]Q[x-, xi+1]. В этом случае выполняется
по крайней мере одно из неравенств, либо cof (/)^|, либо
co/+i(/)^|, так как если бы cof(/)<| и со/+1 (/)<|, то
со(/;х£) со(/; (%/_!, xi+1) со(/; [х/-!, Х/]) +
(27.38) (27.36)
(27.37)
4-со(/ [X/, Х/+1]) = С0/(/) + С01 + 1(/)<|+| = 8,
что противоречит условию (27.56).
587
Итак, в любом случае для каждой точки х, удовлетворяю-
щей условиям (27.56), существует такой отрезок [Xf.^xJ
разбиения т, что х<^ [х/-!, xf] и
cofCm|. (27.58)
Отберем все такие отрезки. Они покрывают множество ХЕ,
поэтому, согласно предварительному замечанию (в котором
надо положить т|=-), сУмма их Длин не меньше Следователь-
но, обозначив звездочкой у знака сигмы сумму, распространя-
емую только на отобранные отрезки, будем иметь
Е А-^|- (27.59)
Из неравенств (27.58) и (27.59) вытекает неравенство
Е ®>(.лал-,.^е*®/(/)Ах,- > |Е*Аа'. 7>0-
1 = о (27.58) (27.59)
Так как числа 8 и с фиксированы, а т — произвольное
разбиение, то полученное неравенство противоречит, например,
критерию интегрируемости (27.14) (см. п. 27.5), т. е. / не
интегрируема на [а, 6].
Доказательство достаточности. Пусть для любых
чисел е>0 и 8>0 множество Хс = [а, Л]е можно покрыть
конечной системой интервалов, сумма длин которых меньше б.
Функция / ограничена на отрезке [а, Ь], поэтому существует
такая постоянная о 0, что
\f(x)\^c, хе [а, Ь]. (27.60)
Зададим произвольно £>0 и возьмем 8=—. Существует
4с
конечная система интервалов (ocf, Pf), i=l, 2, ..., п, покрывающих
V Е
множество X е , с суммой длин меньше —:
2(Ь-а) 4с
п
X е CZ (J (щ, р(), (27.61)
2(b~a) i=l
£(р.-а.)<±. (27.62)
Объединение всех соответствующих отрезков [ocf, PJ,
/=1, 2, ..., п, можно представить в виде объединения конечного
множества отрезков [Xz, щ], /=1, 2, ..., т, с не пересекающимися
588
попарно внутренностями и с концами Х(, ц;, равными либо ос;,
либо р;, /=1, 2, п. Тогда
т tn
£ (ц,->.,)= Z (Pj-tXj) < £ (27.63)
1=1 j=l (27.62)С
Так как
со (Л [Ч ц,]) 2с, (27.64)
(27.39)
(27.60)
ТО
т т
Z®(/; [Х„ц;])(ц,-М < 2с1(ц;-Х;) < |. (27.65)
1=1 (27.64) 1=1 (27.63Г
Удалим из отрезка [а, Ь] все точки, принадлежащие от-
резкам [ос£, PJ. Оставшееся множество представляет собой объе-
динение конечного множества интервалов (^., т|7), j=l. 2, р,
при этом, согласно включению (27.61), пересечение каждого из
отрезков [^-, т|7] с множеством X е пусто, следовательно, в
любой точке хе [^., t|j], у=1, 2, ...^/выполняется неравенство
со(/; х)
£
2(h — а)
Отсюда, в силу следствия леммы 4, вытекает, что для
каждого отрезка [£ ., т|7 ] существует такое его разбиение
kj = ;
Tj—{^kj} kj=O ’
ЧТО
k'j
Z со СЛ К, 15 1)(^ -г; (27.66)
Пусть теперь r = {xv}v=oT—разбиение всего отрезка [а, Ь],
состоящее из всех точек Xz, щ, /=1, 2, ..., т, к;=\, 2,
...кх,, у=1, 2, ..., р. Тогда
vt т
Z cOv(/)A^v= Е «(/; [Х„ Ц,])(Щ-Х,) +
V= 1
р kxj £
+ Z Z С0(/; К,.-ьЦ])(Ц-^.-О | +
j=l к:= 1 (27.65) Z
J (27.66)
589
Согласно следствию из критерия интегрируемости Римана
(см. теорему 8), отсюда вытекает, что функция f интегрируема
на отрезке [а, Ь]. □
27.10*. КРИТЕРИЙ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ЛЕБЕГА
Докажем еще критерий интегрируемости функций, принад-
лежащий Лебегу*). Он прост по форме и удобен для приложе-
ний. При его формулировке придется иметь дело с бесконеч-
ными суммами положительных слагаемых. Определим это
понятие.
Если ап>0, 77=1, 2, ..., то суммой ап называется конечный
или бесконечный предел
lim + +
Этот предел, конечный или равный +оо, всегда существует,
так как последовательность {ахв силу условия <7„>0,
возрастает. Таким образом,
def п
Е a„=lim Е ак-
п = 1 И—>СС £ — I
Суммы бесконечного числа слагаемых будут подробно рассмот-
рены в гл. IV.
Определение 5. Множество X, лежащее на числовой оси,
называется множеством лебеговой меры нуль, если для любого
8 > 0 существует покрытие этого множества конечной или
счетной системой интервалов, сумма длин которых меньше 8.
Пример. Всякое конечное или счетное множество является
множеством лебеговой меры нуль.
Пусть —конечное или счетное множество (индекс п
может быть либо любым натуральным числом, когда X—
счетное множество, либо принимать только значения, не
превосходящие некоторого фиксированного натурального числа,
когда множество X конечно). Зададим произвольно 8>0.
Система интервалов + /7=1, 2, ..., очевидно,
покрывает множество X, а сумма их длин меньше 8:
£ _ £ 1 _ £
2"+1 41_1 2
*’ А. Лебег (1875- 1941) - французский математик.
590
Например, множество всех рациональных чисел является
множеством лебеговой меры нуль.
Задача 20. Построить пример несчетного множества лебеговой меры нуль.
Задача 21. Построить пример открытого на числовой оси множества,
граница которого не является множеством лебеговой меры нуль.
Теорема 10 (теорема Лебега). Для того чтобы ограничен-
ная на отрезке функция была на нем интегрируема, необходимо
и достаточно, чтобы множество ее точек разрыва было мно-
жеством лебеговой меры нуль.
Доказательство необходимости. Пусть функция /ин-
тегрируема на отрезке Х= [а, Ь] и Хо— множество ее точек раз-
рыва. Зададим произвольно 8>0. Согласно критерию интегри-
руемости Дюбуа-Реймона, для каждого п = 1, 2, ... существует
такая конечная система интервалов, покрывающая множество
Xi (см. (27.40)), сумма длин которых меньше 4- Объединение всех
п
таких систем состоит из не более чем счетного множества ин-
ое
тервалов, покрывающих, в силу формулы Уо= |J А/ (см. (27.43)),
п = 1 п
все множество Хо точек разрыва функции/. При этом сумма длин
этих интервалов меньше, чем 4 = ь, т- е- действительно
п= 1
является множеством лебеговой меры нуль.
Доказательство достаточности. Пусть множество
Хо точек разрыва функции/ ограниченной на отрезке Х= [а, Ь].
является множеством лебеговой меры нуль. Зададим произ-
вольно 8>0 и 8>0. Тогда существует не более чем счетная
система интервалов, покрывающая множество Хо, с суммой
длин интервалов меньшей 8. Выберем натуральное число п
Г 1 \7
так, чтобы -<8. Указанная выше система интервалов,
п
являясь покрытием множества Хо, покрывает, в силу формулы
Хо = (J Xi (см. (27.43)), множество А/, а следовательно, и
п = 1 п п
множество Хг, ибо XsczXi (см. (27.41)). Множество Хг является
компактом (см. следствие 2 леммы 3), поэтому из рас-
сматриваемой системы интервалов, покрывающих его, можно
выделить конечную систему интервалов, по-прежнему покры-
вающих множество Хг (см. теорему 4 в п. 18.3), причем сумма
длин входящих в нее интервалов (она не превосходит суммы
длин всех интервалов исходной системы, покрывающей мно-
жество Xq) меньше 8. В силу критерия интегрируемости
Дюбуа-Реймона, отсюда следует интегрируемость функции / □
591
Из критерия интегрируемости
Лебега следует, например, что вся-
кая ограниченная на отрезке функ-
ция, имеющая конечное или счет-
ное множество точек разрыва, яв-
ляется интегрируемой. Множество
всех рациональных чисел счетно и,
следовательно, является множест-
вом лебеговой меры нуль, поэтому
из критерия интегрируемости Ле-
бега сразу следует интегрируемость функции Римана, рассмот-
ренной в п. 27.6.
В дальнейшем будем использовать интегрируемость так
называемых кусочно-непрерывных функций. Определим эти
функции.
Определение 6. Функция называется кусочно-непрерывной на
отрезке, если она имеет на нем только конечное множество точек
разрыва и притом все они первого рода (рис. 122). На концах
отрезка функция может быть определена или не определена.
Это означает, что если функция / кусочно-непрерывная на
отрезке [а, /?], то существует такое разбиение т = {xj1/1* этого от-
резка, что функция /непрерывна на каждом интервал^ (х,-!, xt)
и существуют конечные пределы
/CXi-i+O)- * lim /(*)
f(Xi~0)= lim /(х), z=l, 2, ..., zT.
Такой функции f бывает удобно сопоставить набор непре-
рывных функций /, заданных соответственно на отрезках
[xf _ j, х- ] равенствами
/(х) при Xi t < х < xif
ф(х)=- < /(х,_1+0) при x — Xj j.
(27.67)
/(xf —0) при x = xf.
Функция /• действительно непрерывна на отрезке [x^-^xj,
так как во всех внутренних точках этого отрезка она совпадает
с непрерывной функцией / а на его концах значения функции
получены «непрерывным продолжением»: /(xt_ L )=/(х,-__ t+0) и
/(xf)=/(xr- -0). Все функции /, будучи непрерывными на
соответствующих отрезках, ограничены и этих функций конеч-
ное множество, поэтому ограничена и функция f (множество ее
592
значений может отличаться от объединения множества значений
функций /•, z=l, 2, д, только лишь на конечное множество
значений функций f и Д- в точках х0, х„).
Итак, всякая кусочно-непрерывная на отрезке функция
ограничена.
Всякая кусочно-непрерывная функция, очевидно, интегрируе-
ма, так как она ограниченная и имеет конечное множество
точек разрыва.
§ 28. СВОЙСТВА ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ
28.1. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
В дальнейшем обозначения и терминологию, введенные в
предыдущем параграфе, будем использовать, не делая специаль-
ных ссылок.
Прежде всего заметим, что интеграл от функции является
числом, сопоставляемым заданной функции согласно данному
выше определению, поэтому это число не зависит от выбора
обозначения для аргумента подынтегральной функции, т. е. от
обозначения переменной интегрирования'.
ъ ь ь
f/(x) dx = Jf (?) dt = £/(£) dt,. (28.1)
a a a
Перейдем теперь к рассмотрению основных свойств опреде-
ленного интеграла:
ь
1°. \dx = b — а.
а
Действительно, здесь подынтегральная функция равна еди-
нице, поэтому при любом разбиении T = {xf}-Z{j все интеграль-
ные суммы Римана равны Ь — а*.
V &хр=Ь — а. □
i= 1
2°. Если функция f интегрируема на отрезке [я. Z?], то она
интегрируема на любом отрезке [а*, />*], содержащемся в [а, 6].
Доказательство. Прежде всего, если функция f ограни-
чена на отрезке [a, Z>], то она, очевидно, ограничена и на
[a*, £*]. Далее, каково бы ни было разбиение =
отрезка Га*, />*] мелкости 8Т*. его всегда можно продолжить в
разбиение T = {xJотрезка [а, />] такой же мелкости |т| = |т*|;
для этого достаточно добавить к точкам х*, /=1, 2, ..., zT*
конечное число соответствующим образом выбранных точек,
593
принадлежащих отрезку [а, bl, но не принадлежащих отрезку
[«*, />*].
Полагая
т* = inf /(х), М*= sup /(х),
Дх* = х* —х*-!, z=l, 2, /т., (28.2)
и, как обычно,
mt= inf /(х), Л/(= sup /(х)
Ах; = х; — х;_|, i=\, 2, .... ix, (28.3)
замечая, что каждое слагаемое суммы £ (Л/* —/и*)Дх* является
i = 1
и слагаемым суммы £ — т^ Ахг- и что все слагаемые обеих
i= 1
сумм неотрицательны, имеем
= £ {M-m^x^S^s,. (28.4)
i=l i=l
Если функция / интегрируема на отрезке [а, bl, то (см.
п. 27.5)
lim(5T-sT) = 0. (28.5)
М-0
Поскольку |т| = |т*|, из (28.5) и из неравенства (28.4) следует,
что
lim (£т*-л>) = 0, (28.6)
|т*Н0
т. е. (см. п. 27.5) функция f интегрируема на отрезке [я*, Z?*]. □
3° (аддитивность интеграла). Пусть а<с<Ь. Если функция f
интегрируема на отрезках [а, с] и [с, bl, то она интегрируема и
на отрезке [a, 6], причем (см. рис. 123)
Ь с b
J/(x) dx = $f(x) dx + J/(x) dx. (28.7)
Доказательство. Интегрируемость функции f на отрезке
а, b] при условии, что она интегрируема на отрезках [а, с] и
с, Z?], доказана в п. 27.7* (см. замечание 1). Докажем форму-
лу (28.7). Пусть и т2—какие-либо разбиения соответственно
отрезков \а, с] и [с, £>], а т — разбиение отрезка \а, Z>],
получающееся объединением разбиений и т2. Тогда, оче-
видно,
(28.8)
594
Если а и с> - какие-
либо суммы Римана функ-
ции /’ соответствующие
разбиениям и т2, то
от = оТ]+с>Т2 (28.9)
является некоторой суммой
Римана функции /’ соответс-
твующей разбиению т. В
силу интегрируемости функ-
ции / на отрезках
[а, /?], [я, с] и [с, Л]
существуют конечные пре-
делы
ь
Рис. 123
limaT = \f(x)dx, lim сут =[/(х)б/л\ lim с>т = \f(x)dx.
о а КНО 1 а |т2|->0 2 с
Поэтому, перейдя к пределу при |т|->0 в равенстве (28.9),
получим, в силу (28.8), формулу (28.7). □
4°. Если функции f и g интегрируемы на отрезке [ел Z>], то их
сумма f+g также интегрируема на нем, причем
b b ь
f [./ ’(*)+8 (*)] dx = f /’(*)dx + f 8 (*)dx- (28.10)
a a a
Доказательство. В самом деле, каковы бы ни были
разбиение т= (л,-}отрезка [<з, и точки п х,],
/=1, 2, .... ix, имеем
<W+g) = £ Ал, = £/(£,) Дх,-+ J 8^i)^xi =
= aT(/) + a'“(g). (28.11)
В силу интегрируемости функций f и g, существуют пределы
интегральных сумм сут (/’) и <jT(g) при | т|—>0, поэтому из (28.11)
следует, что существует и предел (почему?) интегральной суммы
£4 (/+#)' причем
lim aT(/+g) = lim c>T(/) + Iim aT(g), (28.12)
|тН0 |т|-Л) |тН()
что и означает интегрируемость функции /4- g на отрезке [а, Л].
Согласно же определению интеграла,
ъ
lim aT(/+g) = f [./(x)+g(.v)] dx.
IrHO a
b b
lim = f f\x) dx, lim cyT(g) = fg(*) dx.
k|->0 a |t|->0 a
595
Подставляя эти выражения в формулу (28.12), получим
(28.10). □
5 . Пусть функция / интегрируема на отрезке \_а, Л] и
с — постоянная; тогда функция cf также интегрируема на
этом отрезке и
ь ь
J cf(x)dx = c $f(x)dx. (28.13)
а а
Доказательство. Каковы бы ни были разбиение т =
= отрезка [а, Л] и точки хг], i=l, 2, ..., zT,
имеем
пт(с/)= Е cf(^)^xi=c
i=l i=l
отсюда
b b
f cf(x) z/x = lim aT(c/) = lim с<зх (/) = c lim csAf\ = c \f(x\dx. □
a M~>0 |t|-+0 |tH0 a
Из последних двух свойств вытекает следствие: если каждая
из функций i=l. 2, ..., п, интегрируема на отрезке \а. Z>], а
п
\ — произвольные постоянные, то функция Kfi интегрируема
i = 1
на [a. Z>], причем
b п п b
.( Е Kfi(x)dx= Е K\fi(x)dx. (28.14)
a i = 1 i = 1 а
Это свойство определенного интеграла называется его линей-
ностью.
6°. Пусть функции /'(х) и g(x) интегрируемы на отрезке
[a, 6]. Тогда и их произведение f(x)g(x) интегрируемо на нем.
Доказательство. В силу интегрируемости функций/и g
на отрезке [я, 6], они ограничены на этом отрезке, т. е.
существуют постоянные А>0 и В>0 такие, что
|g(x)|^ (28.15)
для всех хе[а, />]. Поэтому произведение /(x)g(x) также
ограничено: для всех точек хе[а, 6] выполняется неравенство
|/(x)g(x)|^5. (28.16)
Пусть т = {х;}7<5— какое-либо разбиение отрезка [а, 6].
Оценим выражение /(x")g(x")—/(x')g(x'); для этого добавим и
вычтем из него /(x')g(x"):
/(х") g (х") -/(х') g (х') = [/(х") -/(*')] S (х") +
+ [g(x")-g(x')]/(x'). (28.17)
596
Для точек x'efxi-j, х,] и х"е[х,_1, х;] из (28.15) и (28.17)
следует, что
|/(x")g(x")-/(V)g(x')|^B(oI.(/)+Ja)i(g), (28.18)
где со,(/) и co,(g)— колебания функций / и g на отрезках
[хг_Р х;], z=l, 2, ..., ix.
Из неравенства (28.18) для колебания ®f(/g) произведения
fg на отрезке [x;~i, х,] вытекает оценка
^(/к^ВоЦ/ЦЛсо,.^). (28.19)
Отсюда
Е cot(/g)Ax;^B £ со;(/)Ах; + Л £ го,^)Ах(. (28.20)
i = 1 i = 1 i=l
В силу интегрируемости функций f и g (см. следствие 2 из
теоремы 2 в и. 27.5),
lim У оД/) Ах, = lim У coJgjAx^O.
|т|-о/=1 М-о/:=1
Поэтому из оценки (28.20) следует равенство
lim £ co;(/g)Ax; = 0,
M-oi=1
которое и влечет за собой интегрируемость произведения jg на
отрезке [а, 6]. □
Методом математической индукции легко доказать, что если
каждая из функций /Дх), /=1, 2, ..., п. интегрируема на отрезке
[я, 6], то и их произведение интегрируемо на \а, bJ. В
частности, вместе с функцией /(х) интегрируема и [/(х)]л при
любом натуральном п.
1°, Если функция /(х) интегрируема на отрезке \а„ и
нижняя грань функции |/(х)| на [а, 6] положительна, то и
J Vх)
интегрируема на [я, 6].
Доказательство. Если inf |./(х)| = m > 0, то |/(х)|>т
всюду на [а, 61, следовательно, —для всех хе[а, 61;
L 1ДХ)1 гп
поэтому
1 _ 1
,/(Х2) /Д1)
при любых х19 х2б[а, 6].
597
CD,
Отсюда следует, что если T = {jvf }|=<j— произвольное разбиение
отрезка [a, Z?], то
Д со,- (Л, следовательно,
т2 у '
O^lim £ ДДИт £ соД/) Ал;- = 0. □
Следствие. Если функции f и g интегрируемы на отрезке
\а. bl и нижняя грань функции |g| положительна, то и -
g
интегрируема на [cz, 6].
f 1
Это вытекает, в силу свойств 6° и 7°, из того, что □
g ' g
8°. Если функция f неотрицательна и интегрируема на
отрезке [а, £], то
ь
J/(x)toO. (28.21)
а
Доказательство. В самом деле, каковы бы ни были
разбиение т== отрезка [а, /?] и точки ^[^-i, xj,
z=l, 2, ..., zT, для фУНК11ии /^0 имеем
<М/)=ЕЖ)Д^0. (28.22)
i = 1
Если функция f интегрируема на отрезке [cz, /?], то, переходя
к пределу в (28.22) при | т |->0, получим неравенство (28.21). □
Следствие. Если функции fug интегрируемы на отрез-
ке [a. Z?] и для всех хе[а,
f(x)^g(x), (28.23)
ТО
b b
J/(x) dx^ Jg(x) dx. (28.24)
Если интегрируемые функции f и g удовлетворяют нера-
венству (28.23), то
Л* )-£(*)> о, xe[«’
поэтому, замечая, что на основании следствия из свойств 4° и 5°
функция f—g интегрируема, в силу неравенства (28.21) имеем
f [/(A)-g(A')]^A^°-
Но (см. указанное выше следствие)
598
b b b
f [/(*)-g (*)]dx=1Я4dx - f g (*)dx
a a a
и, значит,
b b
J/(a:) dx — J g (x) dx 0. □
a a
Доказанное утверждение означает, что обе части неравенства
вида (28.23) можно интегрировать по одному и тому же
промежутку. (В связи с этим заметим, что дифференцирование
обеих частей неравенства без специальных дополнительных
предположений недопустимо.)
9°. Пусть функция f интегрируема на отрезке [я, 6]. Если
она неотрицательна на нем: хе[а, Ь] — и существует
точка хое[я, Ь], в которой функция f непрерывна и положитель-
на: /(хо)>0,— то
ь
$f(x)dx>0. (28.25)
а
Следствие. Если функции f и g интегрируемы на отрезке
[я, Z>], для всех точек хе[о, 6] выполняется неравенство
ЯУК^х\
существует такая точка -хое[я, Z>], что в ней обе функции /, g
непрерывны, и имеет место неравенство
/(x0)>g(x0),
то справедливо неравенство
ь ь
J/(x) dx> jg(x) dx. (28.26)
a a
Доказательство свойства 9°. Существует такое 8>0,
что для всех хе[а, /)]QC(x0, 8) выполняется неравенство
(см. следствие свойства 2° пределов функций в
п. 5.10). Пусть [a, p]cJ7(x0, 8)Q[a, Z>], а<Р; тогда
а а
Отметим, что если отказаться от условия непрерывности
функции / в точке х0, то может случиться, что для интегрируе-
мой неотрицательной на отрезке функции, положительной в
некоторой точке, интеграл по всему отрезку равен нулю. Так,
например, функция
z7v\_jO при 0<х^1,
' (1 при х = 0
599
интегрируема и неотрицательна, /(0)>0, но j/(x)<7x = 0. Это
о
равенство легко следует из определения интеграла.
Следствие свойства 9° доказывается аналогично следствию
свойства 8°.
10° Если функция f интегрируема на отрезке [а. /?], то
функция |/| также интегрируема на нем и
ь ь
J/(x)t/x |/(х)| dx. a<b. (28.27)
Действительно, во-первых, из ограниченности функции /
очевидно, следует и ограниченность функции |/|, а во-вторых,
для любых двух точек £>e[/z, Z?] и р = [а. А] имеет место
неравенство
откуда следует, что, каково бы ни было разбиение t =
отрезка [a, Z>], обозначая через co;(/j и со((|/|) соответственно
колебания функций f и |/| на отрезке [x.-j, xf], получим
сог(|/|)= sup ||/(x')|-|/(x)||< sup |/(х')-/(х)|^со/(/),
х.х'е[х,.
поэтому
Е ®,(|/|)Ахг^ Е ю, (/)Ах;.
i=l i = 1
Отсюда следует, что если
lim У соДЛАл^—0, то и lim У соД|/|) Axz = 0.
kH0f=1 * КН0/=1
Это означает (см. п. 27.5), что из интегрируемости функции f
следует интегрируемость функции |/|.
Пусть теперь xz], z=l. 2, .... zT; тогда
I СГт(/ )| =
1 = 1
Е |.Ж)|Ахг = <ут(|/|).
1 = 1
Переходя в этом неравенстве к пределу при |т|—>0 и замечая,
что
ь ь
lim |от(/)| = | lim от(/)| = \f(x]dx , lim qt(|/|)=J |/(х)| dx,
|т|->0 Ц|-»0 а |т«->0 а
получим неравенство (28.27). □
Если отказаться от ограничения а<Ь. т. е. допускать случаи
а = Ь и а>Ь. то аналог неравенства (28.27), имеет вид
ь
f/(x) dx
а
b
J |/(х)| dx
(28.28)
600
В самом деле, пусть а<Ь. Поскольку (см. свойство 8°)
ъ ь
||/(х)|б/А = $\f(x)\dx,
а а
неравенство (28.28) совпадает
(28.27). Если же а>Ь, то,
неравенство (28.27), получим
в этом случае с неравенством
используя свойство (27.3) и
ъ
J/(x) dx
а
f 1/(л')| dx
b
J|/(x)|<7x
a
£/'(л) Jx
ь
f |/(л-)| dx =
Наконец, при a = b неравенство (28.28) очевидно.
Примеры. 1. Пусть функция / — четная на отрезке [ — а, а]
и интегрируемая на отрезке [0, я]. Тогда она интегрируема и на
отрезке [ — а, а], причем
] f(x)dx=2]j(x)dx. (28.29)
— а О
Докажем, что функция /интегрируема на отрезке [ — а, 0] и
что
f f(x)dx=]f(x)dx,
-а О
(28.30)
отсюда, в силу аддитивности интеграла (свойство 3°), и следует
сразу формула (28.29), так как (опуская обозначение подынтег-
ральной функции)
а 0 а а
Равенство (28.30) следу-
ет из того, что если /—чет-
ная функция, то преобра-
зование симметрии число-
вой оси относительно нуля
переводит ее интегральные
суммы на отрезке [0, я] в
равные интегральные сум-
мы по отрезку [ — a, 0J и
наоборот. В самом деле,
если t = {a; }-Ziot- разбиение^ х л v
х| = — Xi i = 1, 2, ..., zT, является разбиением отрезка [0, <rz],
причем т мелкости обоих разбиений, очевидно, совпадают:
|т| — |т*|. Если для каждой точки а,] положить
_f+1, z=l, 2, ..., zT, то, в силу четности функции
/ получим/(£*)=/(£,• f+1) (рис. 124) и, следовательно, всякой
601
интегральной сумме Римана oT=^/(^)Axf функции f на
i = 1
отрезке [ — а, 0] будет соответствовать равная ей интегральная
сумма ^/(^*) Ах* = ат той же функции /, но на отрезке
i= 1
[0, а\ (здесь, как всегда, /^xi = xi — xi_r, Ах* = х* —x*-i и легко
видеть, что Ах—Ax*_l + 1, z=l, 2, ..., zT). Поэтому
]f(x)dx.
О
lim cjt = lim сгт* =
|тН0 ' ~
|T*H0
Таким образом, предел в
левой части этого равенс-
тва существует, а это
означает, что функция f
интегрируема на отрезке
[ — a, 0J. Поскольку же
указанный предел равен
интегралу J f(x)dx, ра-
венство (28.30) доказа-
но. □
обобщить. Если функция f
интегрируема на отрезке [а, й], 0^а<Ь, и
Рис 125
Рассмотренный пример можно
/*(*)=/(-*), -Ь^х^-а
(рис. 125), то функция /* интегрируема на отрезке [ — 6, —«] и
— а Ъ
J /*(х) Jx = J/(x) б/х. (28.31)
— Ъ а
Это утверждение доказывается аналогично рассмотренному
выше случаю.
Упражнение 1. Доказать, что если нечетная функция f интегрируема на
а
отрезке [ — а, а], то J f(x)dx = 0.
— а
2. Рассмотрим теперь периодические функции.
Функция f : X-+R, XeR, называется периодической на
множестве X с периодом Т>0, если для любого хеХ выполняет-
ся включение х+ТеХ и равенство
f(x+T)=f(x).
Например, для функции sin х периодом является любое
число, целочисленно кратное 2л, т. е. число вида 2т, п = 0, ±1,
602
±2....... Для постоянной функции периодом является любое
положительное число.
Упражнения. 2. Доказать, что у функции Дирихле (см. п. 5.2) любое
положительное рациональное число является периодом, а любое положительное
иррациональное число не является таковым.
3. Доказать, что функция sinx + tg.v имеет наименьший период, и найти его.
4. Привести пример двух функций, имеющих наименьший период, сумма
которых нс имеет наименьшего периода.
5. Доказать, что всякая непрерывная периодическая на всей числовой оси R
функция ограничена на R.
6. Доказать, что всякая непрерывная периодическая на всей числовой оси R
функция равномерно непрерывна на R.
Если функция f задана при х^а, имеет период Г>0 и
интегрируема на отрезке [а, а+Т], го. каково бы ни было h^a,
она интегрируема на отрезке \b, b + Г] и имеет место равенство
Ь + 7 а + Т
f f(x)dx = f f(x)dx, (28.32)
b a
т. e. интеграл от периодической функции по отрезку, равному
по длине периоду, не зависит от положения этого отрезка на
луче х^а (рис. 126).
а Ь-пТ а+Т а+пТ b а+(п+1)Т Ь+Т
Рис 126
Докажем это. Каково бы ни было Ь^а, существует такое
неотрицательное целое п, что
a + nT^b<a + (n+]) Т
и, следовательно (рис. 126),
я + (я+1) Т^Ь + Т<я + (/7 + 2) Г,
а^Ь — пТ<а+Т.
Заметим, что если при некотором Ь^а функция / интегриру-
ема на отрезке [/?, /> + с], о 0, то для любого неотрицательного
целого п функция /интегрируема на отрезке \Ь + пТ, Ь + с + пТД
и справедливо равенство
Ъ+с Ь+с+пТ
f f(x)dx = f f(x)dx. (28.33)
b b + nT
Действительно, в силу периодичности функции / при сдвиге
отрезка [/, Л + с] в отрезок \Ь + пТ, Ь + с+пТ], т. е. при
преобразовании аргумента х' = х + пТ, в соответствующих друг
другу точках этих отрезков функция f принимает одинаковые
603
значения. В силу этого, можно тем же методом, который был
применен в предыдущем примере, используя только вместо
симметрии сдвиг, легко показать, что функция / интегрируема
на отрезке \Ь + пТ, Ь+с+пТЛ и что имеет место равенство
(28.33).
Применив этот результат к отрезкам \а. Ь — пТ\ и
\Ь — пТ, а+Т~\, прибавив в первом случае к обоим концам
отрезка число (я 4-1) Г, а во втором—число пТ. получим,
во-первых, что функция / интегрируема на отрезках [tz4-(«4- 1) Т,
6+Г] и [6, а + (п + 1) Г], и, во-вторых, что
Ь-пТ Ь+Т
J f(x)dx = J f(x)dx,
а а + (и + 1) T
а+Т а + (п+1)Т
f f(x)dx = J f(x)dx. (28.34)
Ь-пТ b
Складывая эти равенства, в силу свойства аддитивности
интеграла (см. свойство 3°), получим формулу (28.32). □
Отметим, что справедливо и обратное в некотором смысле
утверждение: если при некотором Ь^а функция f интегрируема
на отрезке Гб, 64- Г], то она интегрируема и на отрез-
ке [я, а+Т]. Это также следует из формул (28.34), только в них
на этот раз заданы правые части.
Мы еще вернемся к формулам (28.31) и (28.32) в разделе о
замене переменного в интеграле (см. п. 30.1).
28.2. ПЕРВАЯ ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ
ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Теорема 1. Пусть:
1) функции fug интегрируемы на отрезке \а, 61;
2) m^f(x^M, хе[а, 6ф (28.35)
3) функция g не меняет знака на отрезке [а, 61, т. е. либо
неотрицательна, либо неположительна на нем. Тогда существу-
ет такое число ц, что
т^у^М (28.36)
и
b ь
jf(x)g(x)dx=njg(x)dx. (28.37)
а а
Следствие. При дополнительном предположении непрерыв-
ности функиииф на отрезке \_а. 6] существует такая точка £ на
интервале (а, Ь), что
ь ь
£/'(444 ^=/(4 144 dx- (28.38)
а а
604
В частности, при g(x)=l на [а, А]
ь
f/(x) dx=f(ty(b-d).
а
(28.39)
Последняя формула в случае неотрицательной на отрезке
[a, b ] функции / имеет простой геометрический смысл:
площадь криволинейной трапеции,
образованной графиком функции /,
равна площади прямоугольника с
основанием длины Ь — а и высотой
длины /(^) (рис. 127).
Доказательство теоремы.
Умножая неравенство (28.29) на
g(x), при g(x)^0 получаем
mg(x) </(х) g (х) Mg (х),
а при g(x)^0
mg(x\^f\x)g(x)^Mg(x\
Интегрируя эти неравенства на основании следствия из свойств
8° (п. 28.1), будем иметь
ь ь ь
m j g (х) dx^f(x) g (х) dx^M j g (x) dx, (28.40)
a a a
соответственно
b b b
m Jg(x) dx^ j/(x)g(x) dx^ M \ g(x] dx.
a a a
(28.41)
ъ
Если jg(x}dx = Q. то как в первом, так и во втором случаях
ъ
\f(x)g(x)dx=Q.
а
Ъ
Таким образом, если Jg(x)<7x = 0, то обе части равенства
а
(28.37) при любом ц обращаются в нуль, т. е. при выполнении
ь
условия Jg(x)6/x = 0 равенство (28.37) справедливо при любом
выборе числа ц, в частности и при т^ц^М.
ь
Если же j g(x)dx^0, то при g(x)^0, хе[а, Z>], имеем
а
605
b b
Jg(x)dx>0, а при g(x)^O, хе[я, />], соответственно Jg(x)dx<0.
a a b
Разделив неравенства (28.40) и (28.41) на интеграл Jg(x)dv,
а
получим в обоих случаях одно и то же неравенство
f/(x) g (х) dx
т^а—--------^М. (28.42)
jg(x)dx
Полагая
def f/Мл
ц = f------. (28.43)
fg(.v)4v
а
видим, что при таком выборе ц выполняются как условие
(28.36) (в силу (28.42)), так и (28.37) (в силу (28.43)).
ь
Доказательство следствия. Если Jg(x)Jx = 0, то, в
ь а
силу равенства (28.37), получим f/(x)g(x) dx = Q и, следова-
а
тельно, формула (28.38) справедлива при любом выборе точки
Ь). В дальнейшем для простоты будем считать, что
g(x)^0, хе[я, /?] (случай g(x)^0, хе[я, Ь\. рассматривается
аналогично или сводится к предыдущему заменой функции g(x)
на функцию — g^x)).
Пусть теперь jg(x)dx#0; тогда, в силу неотрицательности
. а
функции g(x), выполняется неравенство
ь
Jg(x)/7x>0. (28.44)
а
В дальнейшем будем считать, что т = inf/(х), A/ = sup/(x).
Это предположение допустимо, так как при таком выборе т и
М выполняется условие (28.35).
Из неравенства (28.36) следует, что возможны три случая:
\i = m и \i = M. Если т<ц<М, то, согласно теореме о
достижении непрерывной на отрезке функции своих наиболь-
шего и наименьшего значений (см. георему 1 в п. 6.1),
существуют такие точки осе[я, /?J и Ре[а, Z?J, что /(ос) = /э/,
/’(р) = 7И. Поэтому, в силу теоремы о промежуточных значениях
непрерывной функции (см. теорему 2 и следствие 2 из нее в
п. 6.2), на интервале с концами ос и Р найдется такая точка
606
что /(^) = ц. Очевидно, ^е(а, Ь) (рис. 128). В этом случае формула
(28.38) доказана.
Если ц=Л/ (случай р, = т рассматривается аналогично), то ра-
b ь
венство (28.38) принимает вид j Дх) g (х) dx = М J g(x)dx, откуда
а а
f [М-Дх)] g (х) dx = 0. (28.45)
а
Покажем, что существует такая
точка £,б(я, Ь\ что = Предвари-
тельно заметим, что
b Ь~е
J g (х) dx = lim J g (x) dx. (28.46)
a e-> + 0 a + e
В самом деле, функция g(x) интег-
рируема на отрезке [я, Z?], а поэтому и
хе[а, £] выполняется
ограничена на нем, т. е. существует
такая постоянная с>0, что для всех точек
неравенство |g(x)|^c. Отсюда имеем
b Ь — е
J g (х) dx — J g (х) dx
а а + е
а + г Ъ
f g(x)dx+ f g(x)dx
a b — z
b
J dx = 2сг, 0<s<b — a.
b — £
Из этого неравенства сразу следует равенство (28.46).
В силу неравенства (28.441 и соотношения (28.45), существует
ь £о
такое £0, 0<ео</> — а, что j g(x)dx>0.
a + eQ
Если бы не существовало точки Z>), в которой =
то непрерывная функция М—/(х) была бы положительной на
интервале (а, Z>), а следовательно, и на отрезке [я + е0, Ь — е0]. В
частности, она была бы положительной в той точке х0, в
которой она принимает свое наименьшее значение:
min [М-/(х)]=Л/-/(хо)>0.
[а + Е0,6-£0]
Поэтому
b Ь-е0
f [М -/(х)] g (х) dx f [М -/(%)] g (х) dx
а а + г0
ео
> -/(*о)] J S (х) dx > 0.
« + ео
А это противоречит равенству (28.45). Таким образом, в
607
рассматриваемом случае на интервале (а, Ь) существует такая
точка что /(^) = М=ц. □
Следствие теоремы 1 обычно называется интегральной
теоремой о среднем. Это название объясняется тем, что в нем
утверждается существование некоторой точки на отрезке —
«средней точки», обладающей определенным свойством, связан-
ным с интегралом от функции.
Формулы (28.37) и (28.38) остаются верными и при а^Ь.
28.3*. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ГЁЛЬДЕРА
И МИНКОВСКОГО
П усть функции f и g определены и интегрируемы на отрезке
[я, &], 1</?<+оо, а число q определяется равенством
р я
(см. (20.49), (20.51) и (20.52)). Тогда имеем
ь р ~iir ь “11
f\f(x)\pdx р f|g(x)|«</x “
a L а _1 I— л _
(28.48)
(неравенство Гёльдера*’),
_ a _JLa _JL_« _
(неравенство Минковского**’) Докажем эти неравенства. Вве-
дем для краткости обозначения
11Л₽ = \f(x)\”dx р
llgllQ= \g(x)\qdx 9
(28.50)
а а
В неравенстве (20.50)
ab^ —+—, я^0, р^0,
Р я
положим а=Ж хе[а, Ь]. 11/11, 1Ш1, J
Тогда для любого хе [а, Ь]
ИЛр’ииГ^Р 11/11? я \\я№ ’
О. Л. Гсльдср (1859 1937) немецкий математик
Г Минковский (1864—1906) математик, родился в России, работал в
Швейцарии и Германии.
608
Проинтегрировав это неравенство по отрезку [а, 6] и исполь-
зовав (28.50) и (28.47), найдем
ь
и ... ’и |. fl/(*)g(*)l^
ll/llp II q II, J
а
b b
a a
Поэтому
b
'\f(x)g(x)\dx^ ||/||p ||g||e,
a
т. e. неравенство (28.48) доказано.
Докажем неравенство (28.49). Легко убедиться в справедли-
вости неравенства
ь ь
jl/(x)+g(x)|₽dx= l/(*)+gWI l/(x)+g(x)|,’“1i/xs$
а а
b b
< l/U)l l/W+g(x)|p_1t/x+ |g(x)| |/(x)+g(x)|₽-1</x.
а а
Применив к каждому из полученных интегралов неравенство
Гёльдера и заметив, что q(p — (см. (28.47)), получим:
l/'(x)+g(x)|p^x^
ъ
|./(х) \pdx
ь
|/Xx)+g(x)i9O’-1)<7x
|g(x)|₽Jx
|/(x)+g(x)|</(p 1}dx
b
p(x)|^x
a
a
b
“111 Г
+ \g(x)\p dx ||/(x)+g(x)|₽<Zx
~1 1
. (28.51)
a
1
P
b
a
a
Если левая часть этого неравенства равна нулю, го неравенство
(28.49), очевидно, справедливо, если же она не равна нулю, то,
20 -1807
609
сократив обе части
Jl/(*)+#(*)№
л 1
неравенства (28.51) на множитель
в силу соотношения (28.47), получим
а
неравенство Минковского. □
Отметим важный частный случай неравенства Гёльдера. При
р = q = 2 имеем
ь
» Гь гь
|/(х) g (х) \dx/ J |/(х) I2 dx /J |g (х) I2 dx
ya ya
(28.52)
(неравенство Коши — Буняковского ).
§ 29. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ С ПЕРЕМЕННЫМ
ВЕРХНИМ ПРЕДЕЛОМ
29.1. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ИНТЕГРАЛА ПО ВЕРХНЕМУ ПРЕДЕЛУ
Пусть функция /(х) интегрируема на отрезке [a, Z?]. Тогда
она интегрируема и на любом отрезке [а, х], где а^х^Ь, т. е.
для любого хе [а, Ь], имеет
Рис. 129
смысл интеграл /(/) dt. Рас-
а
смотрим функцию
Дх)= |/(0 dt. (29.1)
а
Эта функция F определена на
отрезке [а, Ь} и называется
интегралом с переменным
верхним пределом. Установим
ее основные свойства.
Теорема 1. Если функция
f интегрируема на отрезке
[a, Z?], то функция (29.1) непре-
рывна на этом отрезке.
Доказательство. Пусть хе [а, Ь], х + Дхе [а, Ь]. Тогда
из формулы (29.1) следует, что
В. Я. Буняковский (1804—1899) -русский математик.
610
х + Ax
x +Ax
F(x + Ax) =
f(t)dt = \f(t)dt +
x +Ax
f(t)dt=F(x) + f f(t)dt,
поэтому (рис. 129)
x +Ax
AF=F(x + Ax)-F(x) = f f\t)dt. (29.2)
Поскольку функция f интегрируема на отрезке [а, b], она
ограничена на этом отрезке, т. е. существует такая постоянная
7И>0, что |/(х)|^Л/ для всех х<^[а, Ь]. Применяя это
неравенство для оценки выражения |AF|, получим (см. п. 28.1):
х +Ах
х +Ах
х +Ах
|AF| =
\M\dt
М dt ^M|Ax|.
j(t)dt
Отсюда следует, что lim AF=0 для любого хе [а, Ь], а это
Ах—>0
означает непрерывность функции F в каждой точке х^[а, Ь\. □
29.2. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ИНТЕГРАЛА ПО ВЕРХНЕМУ ПРЕДЕЛУ.
СУЩЕСТВОВАНИЕ ПЕРВООБРАЗНОЙ У НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ
Теорема 2. Если функция f интегрируема на отрезке [а, b]
и непрерывна в точке х0<=[я, Ь], то функция
F(x)=^f(t}dt
а
дифференцируема в точке х0 и
^'XoWXo)-
Доказательство. Покажем, что
lim ^ =/(%<>)>
Ах—>0 Дх
(29.3)
(29.4)
где AF=F(x0 + Ах) — F(x0), x0 + Axge [а,д].
ГТ /7 \
Для этого оценим модуль разности — —у(х0).
611
xQ + Ax
1 f
Заметив, что — dt = \ и, следовательно, /(x0) =
будем иметь
AF ч
77-Л*о)
[/(0~Ж>) ]dt
J l/(O-/(^o)l^
(29.5)
Пусть задано 8>0. В силу непрерывности функции /в точке
х0, существует такое 8>0, что если |х —х0|<8 и хе [а, Ь]. то
|/(х)-/(х0)|<Е.
(29.6)
Выберем Ах так, что |Ах| <8. Тогда для значений t на отрезке,
по которому ведется интегрирование, будем иметь |z— х0|^
|Ах| < 8 и, следовательно, из неравенств (29.5) и (29.6) получим
а это означает, что lim —=/(х0).
Ах—*о A.Y
В том случае, когда точка х0 совпадает с одним из концов
отрезка [а, Ь]. под F' (х0) следует подразумевать соответствую-
щую одностороннюю производную функции F(x). □
Теперь можно решить вопрос о существовании первообраз-
ной для произвольной непрерывной функции.
Теорема 3. Если функция непрерывна на отрезке, то на
этом отрезке у нее существует первообразная.
Доказательство. Если функция / непрерывна на отрезке
[а, Ь], то, по теореме 4 п. 27.6, она и интегрируема на нем.
Поэтому, согласно формуле (29.4), функция F(x) = $f(t)dt яв-
а
ляется первообразной для функции /. □
612
Таким образом, операция интегрирования с переменным
верхним пределом, примененная к непрерывной функции,
приводит к первообразной функции, т. е. является операцией,
обратной дифференцированию:
f(t) dt =f(х), а < х < Ь.
(29.7)
Это утверждение (называемое формулой дифференцирова-
ния определенного интеграла по верхнему пределу) являет-
ся основополагающим для дифференциального и интегрально-
го исчисления. Из него следует, в частности, что любая
первообразная функции /(х), непрерывной на отрезке [а, £>],
имеет вид
f(t)dt+C, a^x^b.
Действительно, согласно доказанному, функция F(x) = f(t)dt
является первообразной для функции /(х), а всякая другая ее
первообразная может отличаться от F(x) лишь на постоянную
(см. п. 22.1). Таким образом, установлена связь между
неопределенным и определенным интегралами, которая имеет
вид
j/(x)<Zx= f(f)dt+C.
Доказанные теоремы показывают, что операция интегриро-
вания с переменным верхним пределом приводит к «улучше-
нию» или «сглаживанию» свойств функции: интегрируемая
функция переходит в непрерывную, а непрерывная — в диф-
ференцируемую .
Заметим, что операция дифференцирования в определенном
смысле «ухудшает» свойства функции; например, производная
непрерывной функции, если она существует, может быть уже
разрывной функцией.
Из формулы дифференцирования по верхнему пределу
интегрирования, т. е. из формулы (29.7), можно легко получить
и формулу дифференцирования по нижнему пределу интегриро-
вания.
613
Пусть функция / интегрируема на отрезке [а, 6]. Тогда на
этом отрезке определена и функция
ь
G(x) = \f(t)dt, a^x^b,
причем из тождества
ъ
f(t)dt^\f(t)dtF\f(t)dt
имеем
G(x) = f(t)dt-F(x).
(29.8)
Если функция / непрерывна в точке хе [а, Л], то, как
доказано выше, функция F дифференцируема в этой точке. Из
формулы (29.8) следует, что в этом случае функция G(x) в точке
х также дифференцируема и
dG{x)_ dF(x)
dx dx
Таким образом,
ъ
\f\t)dt = -Дх).
(29.7)
Замечание. Из формул дифференцирования интеграла от
непрерывной функции по верхнему (нижнему) пределу интегри-
рования следует также, что всякая функция, непрерывная на
некотором промежутке (конечном или бесконечном), имеет на
нем первообразную. Действительно, пусть, например, функция f
непрерывна на интервале (а, Ь). Выберем произвольную точку
х0Да, Ь) и положим
^x)=J/(/)Jz.
хо
Тогда для всех хДа, Ь) справедливо равенство F' (х)=Дх),
т. е. Г(х) является первообразной функции Дх) на интер-
вале (а, Ь).
614
Упражнение 1. Пусть функция f(x) непрерывна, а ср(х) и ф(х) дифферен-
цируемы всюду в R. Доказать следующие обобщения формулы (29.7):
ф(х-) ф(х)
/(0Л=/(<р(хД<р'(х); Д/)Л=Дф(х))<р'(х)-/№(х))ф'(х).
а ф(-х)
29.3. ФОРМУЛА НЬЮТОНА —ЛЕЙБНИЦА
Теорема 4 (основная теорема интегрального исчисления).
Пусть функция f непрерывна на отрезке [а, />]. Если функция Ф
является произвольной ее первообразной на этом отрезке, то
ь
|/(х)<7л' = Ф(£)-Ф(4 (29.9)
а
Эта формула называется формулой Ньютона — Лейбница.
Доказательство. Положим F(x) = dt. Согласно тео-
реме 3 п. 29.2, функция F является первообразной для функции f
на отрезке \а, Ь]. Таким образом, F и Ф — две первообразные
одной и той же функции f на отрезке [а, Ъ\, поэтому
F(x) = Ф (х) + С, а < х < /?,
где С — некоторая определенная постоянная, т. е.
j/(z) dt = Ф (х) + С, а х < Ь.
а
При х — а отсюда следует, что С=—Ф(я), следовательно,
}/(г)л=ф(х)-ф(4
а
Полагая здесь х = Ь, получим формулу (29.9). □
Для краткости записи часто употребляют обозначение
def
Ф(х)1* = Ф(/?)-Ф(4
ИЛИ
def
[ф« = ф(*)-ф(«).
615
Заметим, что формула Ньютона — Лейбница (29.9) справед-
лива и для а>Ь. Действительно, если в ней поменять местами а
и Ь, то ее левая и правая части изменят знак.
Примеры. 1. Найдем $x2dx. Известно, что
о
§ х2 dx
х~- + С, поэтому J х2 dx = —
О 3 О
1
3*
л
2. Найдем J sin х dx. Имеем
о
J — cosx| 2= —COS7l4-COS0 = 2.
о
29.4*. СУЩЕСТВОВАНИЕ ОБОБЩЕННОЙ ПЕРВООБРАЗНОЙ.
ФОРМУЛА НЬЮТОНА —ЛЕЙБНИЦА
ДЛЯ ОБОБЩЕННОЙ ПЕРВООБРАЗНОЙ
Теорема 3 п. 29.2 и теорема 4 п. 29.3 обобщаются на случай,
когда под первообразной понимается обобщенная первооб-
разная (см. п. 22.6*).
Теор ем а 3*. Если функция ограничена на отрезке и имеет
конечное множество точек разрыва, то она имеет на этом
отрезке обобщенную первообразную.
Доказательство. Если функция f ограничена на отрезке
[я, 6] и имеет конечное множество точек разрыва, то она,
согласно критерию интегрируемости Лебега (см. п. 27.10*),
интегрируема на этом отрезке, а следовательно, имеет смысл
функция
Г(х) = |/(х)Л,
а
задаваемая этой формулой для всех хе[а, Z?]. В силу теоремы 1
п. 29.!, функция F непрерывна на отрезке \_а, by а в силу
теоремы 2 п. 29 2, для всех точек хе[а, Z?], в которых функция
j непрерывна (т. е. во всех точках отрезка [a, Z?], кроме
конечного ях множества), выполняется условие
F'(x)=/W-
Таким образом, функция F является обобщенной перво-
образной для функции □
Теорема 4*. Пусть функция f ограничена на отрезке и
множество точек ее разрыва конечное. Если функция Ф
является какой-либо обобщенной первообразной функции f на
этом отрезке, то справедлива формула Ньютона — Лейбница
616
b
J/(x) dx=Ф (Ь) — Ф (a),
a
Доказательство этой теоремы проводится аналогично дока-
зательству теоремы 4, если только под первообразными
понимать обобщенные первообразные.
Покажем теперь, что формула Ньютона — Лейбница имеет
место и лишь при предположении существования обобщенной
первообразной у интегрируемой функции /’ т. е. при условии
существования обобщенной первообразной для справедливости
формулы Ньютона — Лейбница, не нужно требовать конечности
множества точек разрыва функции / (напомним, однако, что
конечность множества точек разрыва использовалась при
доказательстве существования обобщенной первообразной,
иначе говоря, конечность множества точек разрыва ограничен-
ной функции является достаточным условием существования у
нее обобщенной первообразной).
Теорема 5. Пусть функция f интегрируема на отрезке
Гя, Ь] и F — ее обобщенная первообразная на этом отрезке.
Тогда справедлива формула Ньютона — Лейбница
ь
f/(x) dx = F(A) - F(a\ (29.10)
Доказательство. Согласно определению обобщенной
первообразной, функция F непрерывна на отрезке [я, 6] и
существует такое конечное множество £уо:[я, 6J, что для всех
точек хе[я. /?]\Ef выполняется равенство F' (х)=/(х). Обозначим
через 6zt, я2, ..., ат точки конечного множества Ef:
Ef = {a^ а2, .... ат}
и рассмотрим какое-либо разбиение t = {xJ‘2o отрезка [я, 6],
содержащее все точки я1? ..., ап1. Тогда на каждом отрезке [xf_p
xj функция F непрерывна, а внутри него она имеет произ-
водную F'(x)=/(x). Поэтому к функции F на указанном отрезке
можно применить формулу конечных приращений (теорему
Лагранжа о среднем значении):
= (29.11)
где С-е(х;....х;), z=l, .... к.
Суммируя получившиеся равенства от 1 до к и замечая, что
Z Ц*,) - J = F(xt) - F(x0) = F(b) - F(a),
i = 1
получим
(29.12)
617
В правой части этого равенства стоит интегральная сумма
Римана функции f.
Пусть т = ти, п=1, 2, — последовательность разбиений,
содержащих точки а19 ат, для которой |т„|—>0 при п->оо.
Переходя к пределу при п-+со в (29.12) и замечая, что левая
часть этого равенства постоянна и равна F(b)~ F(a), а правая, в
силу интегрируемости функции /, стремится к интегралу
ь
\f(x)dx, получим формулу (29.10). □
а
Из формулы (29.10) следует, что если две интегрируемые
функции f и имеют на отрезке [a, 6] одну и ту же
обобщенную первообразную F, то интегралы от них по этому
отрезку равны, так как они равны числу F(b} — F(ciy Это
нетрудно доказать и непосредственно, так как в этом случае
интегрируемые функции f и могут отличаться друг от друга
только значениями в конечном числе точек (см. п. 22.6*).
Замечание. Формула Ньютона — Лейбница иногда запи-
сывается в виде
ъ
f F' (х) dx = F(b) - F(a\ (29.13)
а
Здесь предполагается, что функция F непрерывна на отрезке
[a, Z)] и во всех его точках, кроме некоторого конечного
множества, имеет производную F'. Тем самым подынтеграль-
ная функция в формуле (29.13) может оказаться определенной
не во всех точках отрезка [a, /?], и поэтому следует пояснить,
ь
что же понимается в этом случае под интегралом §F'{x)dx. В
формуле (29.13) дополнительно предполагается, что существует
такая интегрируемая на отрезке [a, 6] (и тем самым определен-
ная уже в каждой его точке) функция /’ для которой F
является ее обобщенной первообразной, и, следовательно,
существует такое конечное множество Ef. что для всех точек
хе[а, bj\Ef имеет место равенство F'(x)=/(x). Интеграл же
jF(x)dx, по определению, принимается равным интегралу
а
ъ
$f(x)dx, т. е.
а
л Ь
j F' (x) dx = f/(x) dx. (29.14)
a a
Определение корректно, так как не зависит от выбора
указанной функции /: в любом случае она имеет обобщенную
618
первообразную F и, следовательно, в силу теоремы 5, будет
ъ
получаться одно и то же значение интеграла равное
F(b)-F(a).
Все сказанное делает естественным следующее определение.
Определение 1. Функция F, определенная на отрезке [a, Z?],
называется функцией с интегрируемой на этом отрезке произ-
водной, если существуют конечное множество и
интегрируемая на [а, Ь\ функция /такие, что для любой точки
хе[а, Z?j\jE7 функция F имеет производную и F'(x)=/(x).
Иначе говоря, функция F называется функцией с интегрируе-
мой производной на некотором отрезке, если на этом отрезке F
является обобщенной первообразной интегрируемой функции.
Теперь теорему 5 можно перефразировать следующим
образом.
Теорема 5*. Если функция F непрерывна на отрезке \а, Ь] и
имеет на нем интегрируемую производную, то
ь
J F' (х) dx = F(b) — F(a).
а
Упражнение 2. Доказать, что если интегрируемые на отрезке [я, /?]
функции F} и F2 имеют интегрируемые на этом отрезке производные, то и их
произведение F1F2 также имеет интегрируемую на [д, 6] производную.
§ 30. ФОРМУЛЫ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ В ИНТЕГРАЛЕ
И ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ЧАСТЯМ
ЗОЛ. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ
Теорема 1. Пусты.
1) функция f(x\ непрерывна на интервале (a. й);
2) функция со(/) определена и непрерывна вместе со своей
производной (р'(/) на интервале (ос, Р), причем для всех /е(ос, Р)
выполняется неравенство a<<p(t)<b.
Тогда если ocog(oc, Р), рое (ос, Р), я0 = ф(я0), £>0 = <р (£0), то
&0 ₽0
f f(x) dx= f У[ф (/)] <p' (z) dx.
ao “o
(30.1)
Эта формула называется формулой замены переменной в
определенном интеграле или формулой интегрирования под-
становкой.
Доказательство. Прежде всего заметим^, что, по усло-
вию, функция f заведомо определена на множестве значений
функции ср (рис. 130), поэтому имеет смысл сложная функция
/[ср(О]- В силу сделанных предположений, подынтегральные
619
функции в обеих частях формулы (30.1) непрерывны, поэтому
оба интеграла в этой формуле существуют.
Пусть Ф(х)— какая-либо первообразная функция Дх) на
интервале (a, by Тогда для точек t интервала (ос, р) имеет смысл
сложная функция Ф[(рй], которая является первообразной для
функции /|(р(01фД)- По формуле Ньютона -Лейбница (см. п.
29.3),
ьо
|Дх)йГх=Ф(/>0)-Ф(а0),
“о
₽0
f /[<Р (?)] Ф' (0 dt = Ф [ф (Ро)] - Ф [ф (%)] = Ф (М - Ф («о)-
“о
Из этих равенств и следует формула (30.1). □
Как видно из доказательства, формула (30.1) справедлива
как при а0^Р0, так и при осо>ро.
Интересно отметить, что некоторые значения функции ср/)
могут и не принадлежать отрезку [я0, Z>0], по которому
происходит интегрирование (рис. 130) в левой части равенства
(30.1).
Если воспользоваться формулой для односторонних произ-
водных сложной функции (см. замечание 2 в п. 9.7), то формулу
(30.1) можно доказать для случая, когда функция /задана на
отрезке [а, Ь], функция ср(/)— на отрезке [ос, В] и множество
значений функции ср содержится в отрезке a, Z>], причем
я = ср (ос), £> = <р(р) (рис. 131). В этом случае формула замены
переменной может быть применена ко всему отрезку [а, />]:
ь р
f Дх) dx = J/( ср (/)] ср' /) dt. (30.2)
a a
620
Употребляя символ определенного интеграла, мы всегда
писали под знаком интеграла выражение f(x)dx, где х — незави-
симая переменная. При этом, когда давалось определение
определенного интеграла, не предполагалось, что f(x)dx озна-
чает дифференциалы какой-либо функции. Затем (см. п. 29.2)
было показано, что по крайней мере для непрерывной функции
выражение f(x)dx всегда является дифференциалом некоторой
функции F(x): dF(x) =f(x} dx. Поэтому естественно считать, что
ь ь
в этом случае записи j<7F(x) и J/(x)tZx равнозначны, т. е.
а а
b b
J dF(x) = J/(х) dx.
а а
Будем вообще допускать под знаком определенного интег-
рала любую запись дифференциала, т. е. положим, по опреде-
лению, для дифференцируемой функции g(x)
ъ ь
f/(x) dg (х)=J/(x) g' (х) dx
а а
(если, конечно, интеграл в правой части равенства существет).
Например, с помощью этого обозначения формула (30.2)
принимает вид
ь Р
J/(x) dx = f/[<p (z)] (/ср (z).
а а
Таким образом, при замене переменного x = cp(z) в опреде-
ь
ленном интеграле |/(х)с/х следует всюду формально заменить х
а
на <р(/) и соответственно изменить пределы интегрирования.
Обратим внимание на то, что при применении формулы
(30.1) (формулы (30.2)) ее, подобно случаю неопределенного
интеграла, можно использовать как слева направо, так и справа
налево. Однако в отличие от неопределенного интеграла, где в
конце вычисления следует возвращаться к первоначальной
переменной интегрирования, здесь этого делать не нужно, так
как наша цель найти число, которое, в силу доказанных
формул, равно значению каждого из рассматриваемых ин-
тегралов.
Примеры. 1. Вычислим интеграл \ех xdx Применив фор-
о
мулу (30.1) справа налево (здесь роль переменной t играет х),
621
получим
2 2 1 2 2 1 4
J ех2 xdx = -^ ех2 dx2=-\ey dy = -ey
о 2o 2o 2
e4—1
2
In 2
2. Пусть требуется вычислить интеграл J ^/e*— 1 dx. Попы-
o
таемся упростить подынтегральное выражение, положив
у/ех—\ = t. Иначе говоря, сделаем замену переменного
х = In(1 +12); тогда dx=^^ и так как при имеем
0^х^1п2, то, применив формулу (30.1) слева направо, получим
=2[r-arctgf]‘=/^.
Упражнение 1. Доказать, что если функция f непрерывна на отрезке
[а, Л] и для всех ге[О, Ь — а] имеет место равенство f(a +1) =f(b — г), то
ь ь
Заметим, что в случае непрерывных функций формулы
(28.31) для четных функций и (28.32) для периодических функций
(см. примеры в п. 28.1) сразу следуют из теоремы 1 о замене
переменного в интеграле.
В самом деле, если функция /непрерывна на отрезке [а. Ь].
Q<a<b, а /*(х)=/( —х), — Ь^х^ —а, то равенство
— а Ъ
J /*(x)dx=^f(x)dx
— Ъ а
— а
сразу получится, если в интеграле J f*(x)dx сделать замену
—ъ
переменного х = t — а — Ь.
Если же функция / непрерывна при х^а и имеет период
Т>0, то для доказательства формулы
а+Т Ь+Т
J f \x)dx= J f(x)dx,
а Ъ
имеющей место при любом Ь^а, выберем такое неотрицатель-
ное целое п (см. пример 2 в п. 28.1), что
622
a + nt^b<a + (n + 1) Г,
а+Т
и представим интеграл J f(x) dx в виде суммы двух интегралов
а
следующим образом:
а + Т Ь — пТ а + Т
j f(x)dx — j J\x)dx+ j f[x)dx.
a a b~nT
Сделав в первом интеграле правой части равенства замену
переменного x = t — (л+1)Т’, а во втором — x = t — nl\ получим
а+Т Ъ+Т а+(й+1)Т Ь+Т
f f(x)dx= f f(t)dt+ f f(t}dt= f
а a + (и + 1) T b b
Формула замены переменных в определенном интеграле с
помощью формулы Ньютона — Лейбница может быть обоб-
щена и на случай, когда функция /, оставаясь интегрируемой,
имеет конечное число точек разрыва.
30.2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ
Теорема 2.
дифференцируемы
Если функции и (х)
на отрезке \_а, Z?], то
ь
J и dv = uv
а
b b
— Jr du.
а а
и v (х) непрерывно
(30.3)
Эта формула называется формулой интегрирования по
частям для определенного интеграла.
Доказательство. Имеем
b b b ь
J (uv}' dx = § (uv' -У и'v) dx = § и dv-У § v du. (30.4)
a a a a
Все написанные интегралы существуют, ибо подынтегральные
функции непрерывны. Согласно формуле Ньютона — Лейбница
(29.11), имеем
ь
J (uv\ dx = [wr] ba. (30.5)
a
Сравнив формулы (30.4) и (30.5), получим равенство
ь ъ
§udu + $vdu = [at?] а, (30.6)
а а
откуда и следует формула (30.3). □
Теорема 2 легко обобщается на случай кусочно-непрерывно
дифференцируемых функций. Определим эти функции.
623
Пусть функция Дх) определена на отрезке [a, Z>], существует
такое разбиение т = {х;}'Д отрезка [а, Ь], что Дх) непрерывна на
каждом интервале (х,-!, х;), и существуют конечные пределы
Д^-1+о), Дxt — 0), i=l, 2, zT. (Следовательно, функция f
кусочно-непрерывна на отрезке [a, />], см. определение 5 в п.
27.10*.) Введем функции
г Л4
ч Ж-1+о),
I Дх,—0),
если
если
если
xi_.1<x<xi,
Х = Xi-1,
х = х£.
Определение 1. Если каждая функция ф\(х), i=l, \ ..., к,
непрерывно дифференцируема на отрезке [X-i, xj, то функция
f(x) называется кусочно (непрерывно) (дифференцируемой на
отрезке [а, Ь].
Теорема 2*. Пусть функция и(х) и функция г(х) ку-
сочно-непрерывно дифференцируемы на отрезке [a, #]; тогда
для них справедлива формула (30.3) интегрирования по час-
тям.
Доказательство теоремы 2 остается в силе и в этом случае.
Действительно, произведение функций и, v и его производная
(uv)' = uv' + и v кусочно-непрерывны. Поэтому, согласно теореме
4* п. 29.4*, к интегралу в левой части равенства (30.5) можно
также применить формулу Ньютона — Лейбница. □
Примеры. 1. Найдем значение интеграла J In xdx. Применим
г
формулу интегрирования по частям:
2 2 2
j In х dx = х In — J dx = 2 In 2 — 1.
1 i i
2. Покажем, что для любого п=\, 2, ...
4 л 2 = j sin п х dx п 2 = J cos" х dx = < (и — 1)!! л л!! 2 (л-1)!! при п четном *}, (30.7)
0 0 «!! при п нечетном.
Равенство интегралов, входящих в (30.7), легко установить с
К л/2 л
помощью замены переменного x = -—t. Положим Io= J dx = ~.
2 о 2
Интегрируя по частям, имеем
*) Под и!!, п<=7V, я>1, подразумевается произведение всех натуральных
чисел, не превосходящих п и обладающих той же четностью, что и число п, и по
определению 0!! = 1.
624
л л
2 2
/„ = f sin"x<ix=Jsin"-1
о о
л
2
j sin " “ 2 х cos2 х dx=
о
xd( — cosx) =
= — sin п 1 х cos х
Л
2
= (и— l)f sin "~2
о
n-2
отсюда
Г =п__
" п 1п~2'
Заметим, что
Л
2
= Jsinxdx = 1. Поэтому при п = 2к+\,
о
т. е. нечетном, будем
т 2k г
иметь
2к(2к-2) ... 2
=________________ (2fc)!!
-2R+1 2k + l'ZK~1 " (2к+1)(2к-1) ... 1 21 (2Л+1)!!’
а при n = 2k, т. е. четном,—
_2к-] z _ _(2к-\)(2к-3) ... 1 (2Л-1)!!л
2к 2/Г12к~2^ " ~2к(2к-2) ... 2 (2А:)!! 2’
к=\, 2, ... . □
Из формулы (30.7) легко получается формула
лиса*1, которая понадобится в дальнейшем:
Л 1
-= lim-----
2 „_00 2m+1L(2«-1)H_
Докажем ее. Интегрируя неравенство
sin2n+1 x^sin2nx^sin2"-1 х,
2k
Вал-
по отрезку
(2л)!! ~|2
(30.8)
будем иметь
П
2’
2k- 1 “
м-
л
2
j sin2n + 1
о
л
2
0
2 2
J sin2"xdx^ Jsin2"-1 xdx
о о
Дж. Валлис (1616—1703) — английский математик
625
(нетрудно показать, что в действительности, в силу свойства 9°
определенных интегралов (см. п. 28.1), здесь имеют место
строгие неравенства). В силу (30.7),
(2л)!! (2л-1)!!л (2л-2)!!
(2n+ 1)!! (2 л)’! 2 (2л— 1)!!’
откуда
1 Г (2л)!! 1
*"-2n+l (2л— 1)!! ^2^2Й
В силу этого неравенства,
(2 л)!!
(2л— 1)!!
2def
(30.9)
Уп~х„
1 1
2п 2п +1
(2л)!! Т< 1 я
(2л—1)!! J ^2и2
при п-*оо, поэтому lim (у„ — х„) = 0, т. е. длины отрезков [х„, у„],
л—*00
содержащих |,
стремятся к нулю и, следовательно,
lim х =-, limy =-.
И q ~ Z Л q
Л—*00 z л—*00 Z
Первое из этих равенств, в силу определения хп (см. (30.9)), и
означает справедливость формулы Валлиса.
30.3*. ВТОРАЯ ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ
ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Лемма 1. Пусть f—непрерывная, a g — возрастающая
неотрицательная непрерывно дифференцируемая на отрезке [а.
£>] функция. Тогда существует такая точка ^б[я, Ь], что
ь ь
f g (x\f(x) dx=g (Z>) j/(x) dx. (30.10)
a t
Доказательство. Рассмотрим функцию
def h
F(x) = £/(z)tZz, a^x^b. (30.11)
Функция F, являясь интегралом с переменным нижним преде-
лом от интегрируемой (даже непрерывной) функции ф непре-
рывна на отрезке [а, £>] и поэтому достигает на нем своего
наибольшего и наименьшего значения. Если
m = minF(x), A/ = maxF(x), (30.12)
[«, b] [a, b]
то, очевидно,
626
xe[a, £]. (30.13)
Заметив, что dF(x) = — f(x)dx, и проинтегрировав по частям
интеграл в левой части равенства (30.10), получим
ь ь
f g (х)/'(х) dx = - f g (x)dF(x) = - g (x) F(x)
a a
b b
+J F(x)g' (x)dx =
a a
b
=g («) +f F(x) g' (x) dx,
a
(30.14)
так как, в силу (30.11), F(/?) = 0.
Функция g возрастающая, поэтому имеем g'(x)^0 для всех
хе[а, й]. Применив это неравенство, неравенства (30.13) и
заметив, что из неотрицательности g на [a, следует, в
частности, что g(a)^0, получим оценки
b ь
g (a) F(a)+J F(x) g'(x) dx ^Mg(a} + M\ g'(x) dx=
a a
= Mg(a) + M[g(b)-g (a)] = Mg (Z>),
b
g (a) F(a) + f F(x) g' (x) dx mg (a) + m [g (ft)-g (a)] = mg (b).
Таким образом (см. (30.14)), имеем
mg (b)^\g (x)/(x) dx < Mg (Z>).
a
Если g(b) = Q, то из неотрицательности и возрастания
функции g следует, что g(x) = 0 на [а, £]. В этом случае формула
(30.10) справедлива при любом выборе Ь\.
Если же g(6)>0, то
1
m^^g(x)f(x)dx^M.
Непрерывная на отрезке \а. 6] функция F принимает на этом
отрезке любое значение, лежащее между ее минимальным
значением т и максимальным М (см. (30.12)), поэтому
существует такая точка 6], что
1
В силу условия (30.11), это и есть формула (30.10). □
627 .
Теорема 3 (теорема Бонне*}). Пусть f— непрерывная, а
g— монотонная непрерывно дифференцируемая на отрезке \а9 Л]
функция. Тогда существует такая точка by что
ъ $ ъ
f ё (*)/(*)dx=ё («) f/U) dx+g (b) f/(x) dx. (30.15)
a a £
Доказательство. Допустим сначала, что функция g
def
возрастает на отрезке [а, £>]; тогда функция h(x)=g(x)—g(a),
a^x^b, будет неотрицательной возрастающей непрерывно
дифференцируемой на отрезке [а, функцией. Поэтому,
согласно лемме, существует такое Е,е[а, Ь], что
ь ь
J h (x)f(x) dx=h (b) f./(x) dx.
a 4
Подставив сюда выражение для h(x), имеем
ь ь
f [#(x)-£(«)№)dx =[g(6)-g(a)]]f(x)dx,
a £
откуда
b b b
J ё dx=g (a) j7(x) dx - g (a) J/(x) dx+
a a
b E, b
+ё (6) f f(x) dx=g(a) ff(x) dx+g (b) ff(x) dx,
4 « 4
т. e. получилась формула (30.15).
Если функция g убывает на отрезке [a, Z?], то для
доказательства теоремы достаточно применить формулу (30.15)
к функции —g, которая, очевидно, возрастающая. □
Отметим, что теорема 2 справедлива и при более слабых
ограничениях: от функции f достаточно потребовать лишь ее
интегрируемости, а от g — ее монотонности.
30.4. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ВЕКТОРНЫХ ФУНКЦИЙ
Аналогично тому, как были определены интегралы от
числовых функций, можно определить и интегралы от вектор-
ных функций, значения которых принадлежат «-мерному век-
торному пространству Rn (см. п. 18.4).
Пусть a^t^b,— векторная функция, т = —
разбиение отрезка zj, /iti = ti — ti_l, z=l, 2, ..., zT,
О. Бонне (1819—1892) — французский математик.
628
| т |—мелкость разбиения т. Если при любом указанном выборе
точек ^существует предел lim У r(^)Ari? не зависящий от выбора
последовательности разбиений, то он называется интегралом
от функции r(t) по отрезку [я, Л] и обозначается \r(t]dx. При
а
фиксированных а и b он представляет собой фиксированный
вектор в Rn.
Пусть r(z) = (x1(z), xn(z)). При сложении векторов склады-
ваются их координаты, при умножении векторов на число их
координаты умножаются на то же число, а предел векторной
функции равен вектору, координаты которого являются преде-
лами ее соответствующих координат, поэтому
ь /ь ь \
J r (/)dz = lj xr(t)dt. ..., \xn(t)dt\.
а \а а /
В силу этого равенства, многие свойства интегралов от
числовых функций переносятся на интегралы от векторных
функций. В частности, векторная функция F(z), определенная на
некотором конечном или бесконечном промежутке А числовой
прямой, называется первообразной для данной функции r(t)eRn,
определенной на том же промежутке А, если во всех его точках
t имеет место равенство F'(z) = r(z).
Для векторных функций справедливо предложение, анало-
гичное основной теореме интегрального исчисления (см. тео-
рему 4 п. 29.3):
если векторная функция r(t)eRn непрерывна на отрезке [а, 6],
то у нее существует на этом отрезке первообразная и для
любой первообразной F{t) функции r(z) справедлива формула r(t)
ъ
]r(t)dt=F(b)-F(a),
а
называемая, как и в случае скалярных функций, формулой
Ньютона — Лейбница.
Справедливость этого утверждения следует из справедли-
вости формулы Ньютона -Лейбница для всех координат
функции г(/).
Замечание. В п. 15.2 была доказана следующая теорема:
если векторная функция r(z) непрерывна на отрезке [a, Z>] и
*} Понятие предела в этом случае определяется либо с помощью предела
векторной последовательности, либо на (е — 5)-языке аналогично случаю
скалярных функций, рассмотренному в п. 27.1.
629
дифференцируема внутри него, то существует такая точка
6), что
| г(г>)—г(<я) |< | J-'(^) | (Z»—«).
Приведенное в п. 15.2 доказательство этого утверждения имело
искусственный характер — надо было догадаться воспользо-
ваться некоторой вспомогательной функцией. С помощью
понятия интеграла (предполагая непрерывность производной
рассматриваемой векторной функции) доказательство можно
провести более естественно.
Пусть векторная функция имеет непрерывную на
отрезке [a, Z?] производную. Тогда, применяя формулу Ньюто-
на — Лейбница, имеем
|г(6)-г(а)| =
ъ
j г' (?) dt
а
а
В правой части получился интеграл от непрерывной скаляр-
ной функции. Согласно интегральной теореме о среднем (см.
следствие из теоремы 1 в п. 28.2), существует такая точка
ь
£>е(а, Ь), что j | г' (?) | dt = | г' (£,) | (Z? — а); следовательно,
а
| г(Ь) - г (а) | | г' (£) | (b - а), ^е(о, h). □
§ 31. МЕРА ПЛОСКИХ ОТКРЫТЫХ МНОЖЕСТВ
31.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МЕРЫ (ПЛОЩАДИ)
ОТКРЫТОГО МНОЖЕСТВА
Рассмотрим плоскость, на которой зафиксирована некоторая
прямоугольная система координат. Обозначим через То разбие-
ние этой плоскости на замкнутые квадраты, получающиеся при
проведении всевозможных прямых х=р, y = q, р = 0, + 1, + 2, ...,
<7 = 0, + 1. +2, .... Такое разбиение назовем квадрильяжем
плоскости ранга 0, а указанные квадраты — квадратами нуле-
вого ранга. Разобьем каждый из квадратов нулевого ранга на
100 равных квадратов прямыми, параллельными осям коорди-
нат (любые две соседние параллельные прямые отстоят друг от
друга на расстояние —). Совокупность получившихся квадратов
обозначим 7\. Продолжая этот процесс дальше, получаем
квадрильяжи Тш, т=\, 2, ..., плоскости, состоящие из замкну-
тых квадратов, образовавшихся в результате проведения все-
возможных прямых вида
X = _L, у=—, о = 0, +1, +2, ..., о = 0, +1, +2, ...,
630
и, следовательно, со сторонами
длины 10 ~т. Квадраты, принадле-
жащие квадрильяжу Тт, будем на-
зывать квадратами ранга т, т =
1, 2, ... .
Пусть G — плоское открытое
множество. Обозначим через s-0 = 50(б)
совокупность точек всех квадратов
нулевого ранга, лежащих вместе со
своей границей во множестве G, а
через 51 = (G) — совокупность то-
чек всех квадратов первого ранга,
лежащих в G вместе с границей.
Вообще через sm = sm(G) обозначим
совокупность всех квадратов ранга
т, лежащих вместе со своей грани-
цей во множестве G. т = 0, 1, ... .
Очевидно (рис. 132), что
f0C5lC...C5„C...cG. (31.1)
Множества 50, sp ..., sm. ... представляют собой «многоуголь-
ники», составленные из конечного или бесконечного числа
квадратов соответствующего ранга. В случае, если sm состоит из
конечного числа квадратов, обозначим площадь многоуголь-
ника sm через пл. sm, если же sm состоит из бесконечного числа
квадратов, положим пл. sw=+oo. Если какое-то sm состоит из
бесконечного числа квадратов, то и все следующие sm. т^т0,
также состоят из бесконечного числа квадратов.
Из включений (31.1), в силу соглашения об использовании
символа -Ь оо (см. п. 3.1), следует, что всегда
ПЛ. 5о^пл. S'! ^...^ПЛ. 5т^... . (31.2)
Возможны два случая.
1 Все пл. sm конечны; тогда (31.2) является монотонно
возрастающей последовательностью, и поэтому она имеет
либо конечный предел, либо стремится к +оо. Этот предел в
этом случае и называется площадью, или мерой, открытого
множества G и обозначается mes G
2 . Если же существует такой номер ш0, что пл.5Жо= +оо, то
пл.5ж= Ч-оо и для всех номеров m^mQ. В этом случае положим
mes G— + эо.
Согласно определению предела последовательности элемен-
тов расширенной числовой прямой/? (см. п. 4.2), последователь-
ность элементов ап, и=1, 2, ..., принадлежащих расширенному
*) От франц, mesure мера, размер.
631
множеству действительных чисел /?, таких, что начиная с
некоторого номера они все равны +оо, имеет своим пределом
4-оо: lim ап= 4- оо. Используя это понятие, оба рассмотренных
выше случая можно объединить. Сформулируем окончательное
определение.
Определение 1. Предел Jim пл. sm(G) (конечный или бесконеч-
ный) называется площадью, или мерой, открытого множества.
G и обозначается mesG:
mesG = lim rni.vJG).
m—> oo m \ /
(31.3)
Такое определение меры открытого множества естественно,
так как последовательность множеств sm9 т = 0. 1, ..., исчерпы-
вает открытое множество, т. е.
пг-0
иначе говоря, для любой точки PeG существует такой много-
угольник smQ, что
Pesm .
т0
Действительно, какова бы ни была точка PeG. в силу
открытости множества G, существует сферическая окрестность
t/(P; c)c=G, 8>0. Заметив теперь, что диаметр квадрата ранга т
равен 10~т^/2 выберем т0 так, чтобы
1 8
V z
(31.4)
____Для всякой точки плоскости су-
/___ществует по крайней мере один
/ JT1Q \ квадрат каждого ранга, содержа-
т° I щий эту точку. Пусть Qmo— квад-
\ / рат ранга т0, содержащий точку Р.
В силу неравенства (31.4)
с=(7(Р; е), значит. Qm^G и, следо-
___________________вательно. Qm czsm . но PeQm , по-
и__________________этому Pesm() (рис. 133). □
Рис> 1зз Если открытое множество G
ограничено, то всегда mesG<
<Ч-оо. В самом деле, если G ограничено, то существует
замкнутый квадрат Q, содержащий множество G(Gcz{2) и
являющийся объединением квадратов нулевого ранга; тогда
^(G)cg при любом /77 = 0, 1, ..., и значит, пл. 5w(G)^nn. Q.
632
Таким образом, последовательность (31.2) ограничена сверху
и, значит, предел (31.3) конечен.
Задача 22. Доказать, что мера плоского открытого множества не зависит от
выбора прямоугольной системы координат на плоскости, на которой оно
расположено.
Из курса элементарной математики известно, что в том
случае, когда открытое множество S — многоугольник, его
площадь, являющаяся^ по определению, и площадью замкну-
того многоугольника 5, совпадает с определенной нами мерой:
пл. S=пл. 5'=mesS*).
31.2. СВОЙСТВА МЕРЫ ОТКРЫТЫХ МНОЖЕСТВ
Теорема 1 (монотонность меры). Если G и Г — плоские
открытые множества и
G^V, (31.5)
то
mes G^ mes Г. (31.6)
Доказательство. Обозначим, как и выше, через sm(G) и
зт (Г) совокупности квадратов ранга т, лежащих вместе со
своей границей соответственно в множествах G и Г, т= 1, 2, ... .
Тогда из условия (31.5) следует, что
откуда
ПЛ.5т(С)<ПЛ.5т(Г).. (31.7)
В том случае, когда оба множества sm(G) и sw(T) состоят из
конечного числа квадратов, это следует из того, что площадь
объемлющего многоугольника не меньше площади объемлемо-
го, а в том случае, когда хоть одно из множеств sm(G) и sm(T)
содержит бесконечно много квадратов,— из соглашения об
употреблении символа +оо.
Переходя к пределу в неравенстве (31.7) при т->со, в силу
(31.3), получим неравенство (31.6). □
Теорема 2. Пусть G и Gk, к=\, 2, ...,— плоские открытые
00
множества, Gj c=G2cz...G:Gkci... и G= (J Gk; тогда
к=1
lim mes Gk = mes G. (31.8)
fc->oo
Заметим, что если при некотором к0 имеет место Gk= + оо,
то, согласно теореме 1, и для всех к^к^ также mesG^+oo; в
этом случае равенство (31.8) означает, что mesG= + oo.
См. также п. 44.2 (квадрируемые множества).
633
Докажем предварительно лемму.
Лемма 1. Пусть Gk, к=Л, 2, — открытые плоские
множества
G^G2^...^Gk^Gk + 1<=... (31.9)
и
G= U Gk. (31.10)
k= 1
Тогда если X—компакт и
XczG. (31.11)
то существует номер к0 такой, что
X^Gko. (31.12)
Доказательство леммы. Из (31.10) и (31.11) следует,
что система {GK}, к=1, 2, ..., образует открытое покрытие
множества X. Поэтому, согласно теореме об открытых покры-
тиях компакта (см. теорему 4 в п. 18.3), существует конечное
покрытие [Gk, ..., Gk } множества X:
т
U Gki.
i= 1
Обозначим через к0 наибольший из номеров .... кт. В силу
условия (31.9), имеем равенство
т
Следовательно, XczGk(). □
Доказательство теоремы 2. Предварительно заметим,
что из условия G}(^G2cz...Gk(^... следует (см. теорему 1), что
mesG1^mesG2^...^mesGk, ..., (31.13)
поэтому последовательность Gk> к = 1, 2, ..., всегда имеет предел,
конечный или равный +оо.
Рассмотрим два случая.
1. Пусть все множества sm(G), т = 0, L состоят из
конечного числа квадратов. В этом случае каждое из множеств
sm(G) является ограниченным замкнутым множеством и, следо-
вательно, компактом. Поэтому, по лемме 1, для всякого номера
т существует такой номер кт, что
sm(G)c:Gkn. т=\, 2, ... . (31.14)
При этом выберем кт так, что кт.>кт при т'>т. Это всегда
можно сделать, например, следующим образом. Если выбраны
номера кг <к2 < ... <кт_ i и для множества ^„(G), согласно
лемме 1, найдено множество Gn такое, что
634
sm(G)c:G„, (31.15)
то обозначим через кт какое-либо натуральное число такое, что
и тогда Gn<^Gkm и, значит, sm(G)czGkm. Таким
образом, построенная последовательность кт, т = 2, ...,
является подпоследовательностью последовательности нату-
ральных чисел.
Обозначим теперь через sm(G) совокупность всех внутренних
точек множества sm(G). Очевидно, Sm(G) — открытое множество
и sm{G)cisrn(G)ciGkm, поэтому, в силу теоремы 1,
mes s т [G) mes Gkm. (31.16)
Поскольку Gk<^G, Л=1, 2, ..., в силу той же теоремы 1,
mes Gkn mes G. (31.17)
Объединяя неравенства (31.16) и (31.17), получим
mes sm (G) = mes s m (G) < mes Gkm mes G.
Переходя в этом неравенстве к пределу при т->оо, будем иметь
lim mes G, = mes G,
Km
m->cc
ибо, согласно (31.3), lim mes sm (G) = mes G.
m-^co
Последовательность {mes Gk}, как отмечалось выше, имеет
конечный или бесконечный предел, поэтому он совпадает с
пределом любой ее подпоследовательности, следовательно,
lim mes Gk = mes G,
/с->со
т. e. выполняется равенство (31.8)
2. Пусть существует множество sm(G), содержащее бесконеч-
но много квадратов; тогда пл. sm(G)= + оо, поэтому и
mesG=-hoc. Покажем, что в этом случае и
lim mesGk= + оо. (31.18)
к >оо
Пусть задано 8>0 и пусть sw(G) состоит из бесконечного
множества квадратов. Площадь каждого квадрата ранга т
равна Зафиксируем натуральное число п так, чтобы
-^>е, (31.19)
и выберем из sm(G) п каких-либо квадратов. Обозначим
множество их точек через D. Множество D является многоу-
гольником (оно является объединением конечного числа квад-
ратов) и, следовательно, ограниченным замкнутым множест-
вом, т. е. компактом, причем
635
и
пл.П = ^. (31.20)
В силу леммы, существует такой номер к, что
Dc=Gk. (31.21)
Обозначим через D множество внутренних точек многоуголь-
ника D. Согласно теореме 1 и формулам (31.19), (31.20),
получим
mes пл. 25 = пл. Z)>8.
В силу же (31.13), и для всех к’^к
mes Gk > 8.
Это и означает выполнение условия (31.18). □
Примером неограниченной плоской области, имеющей бес-
конечную меру, является полоса
G = {(x, у): 0<у<1}.
Она содержит в себе бесконечное множество, например,
квадратов первого ранга и поэтому
mesG = -Foo.
В качестве примера неограниченной области с конечной
площадью рассмотрим фигуру, построенную Н. ОресмомЧ
Пусть Q — единичный квадрат:
2 = {(х, у): 0^х<1, I}.
Положим
4 0<АГ<1, 0<y-4j,
с2=^и{4 У)- ^*<2, 0<y<|J,
вообще,
G>+i = G>U{(x’ у)' k^x<k+l, 0<у<4ф к=\, 2, ... .
Каждое множество Gk открыто (почему?).
Наглядно образование множеств Gk можно представить
следующим образом: —половина квадрата Q; для получения
G2 берется половина оставшейся половины квадрата Q и
прикладывается соответствующим образом к Gk, получается G2;
далее, половина оставшейся части квадрата Q прикладывается
уже к Q3 (рис. 134) и т. д.
** Н. Оресм (ок. 1323—1382) — французский математик.
636
Очевидно, имеем цепочку включений
GicG2c...cGtc...
И
1 1
00
Положим G= (J Gk.
k= 1
Множество G открыто и не ограничено. Найдем, применив
теорему 2, ее площадь:
mes G = lim mes Gk = lim ( 1 —4 | = 1.
Л-.оо Л->оо V 24
Мера mes (объем) открытых множеств в трехмерном и
вообще «-мерном пространстве («=1, 2, 3, 4, ...) определяется с
помощью аналогичной конструкции, следует только исходить
не из разбиений плоскости на квадраты (квадриальяжей), а из
разбиений пространства на соответствующие «-мерные кубы
(кубильяжи). На «-мерный случай переносятся и теоремы,
доказанные в этом параграфе. Мы вернемся еще к изучению
меры множеств в дальнейших главах (см. п. 44.1). В этом
пункте будут изложены более полно свойства меры (например,
ее поведение при объединении множеств — аддитивность меры);
его можно читать непосредственно вслед за настоящим парагра-
фом.
Упражнения. 1. Доказать, что площадь прямоугольника равна произве-
дению его сторон.
2. Пусть G — прямой круговой цилиндр, основанием которого является
круг X, а высота имеет длину h. Доказать, что mes G = h mes К, где mes (7 есть
мера G в пространстве, a mes/С—мера К на плоскости.
637
§ 32. НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ
ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
32.1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ
В этом пункте будут выведены формулы для вычисления
площадей некоторых плоских областей. При этом воспользу-
емся известными из элементарной математики свойствами
площади простейших плоских фигур (многоугольников, секто-
ров), например тем, что при объединении таких фигур, не
имеющих общих внутренних точек, их площади складываются.
Это утверждение будет строго доказано в п. 44.1.
Теорема 1. Пусть функция / определена, неотрицательна и
непрерывна на отрезке [а, />]. Тогда площадь S множества
G = {(x, у): а<х<Ь. 0<у</(х)}
выражается формулой
ь
S=$f(x)dx. (32.1)
а
Множество G является открытым ограниченным множеством.
Действительно, его ограниченность следует из того, что функция/
будучи непрерывной на отрезке [а. Z>], ограничена на нем.
Покажем, что множество G открыто. Пусть (х0, у0)е(7; тогда
а<х$<Ь и 0<уо</(хо). Возьмем какое-либо число г)>0 такое,
что 0<уо — т| <уо<Уо + 'П </(х0). В силу непрерывности функции
/ в точке х0 существует такое 8>0, что для всех хе(х0 —8, х0 + 8)
выполняется неравенство /(x)>j0 + r|. Прямоугольная окрест-
ность Р((х0, У о), 8, л) точки (х0, у0) принадлежит множеству G,
т. е. (х0, у0) — его внутренняя точка.
Граница множества G состоит из объединения графика
функции / отрезка [a, Z?] оси Ох и отрезков [0, /(я)] и [0, /(&)]
соответственно прямых х = а и х = Ь. Множество G обычно
называется криволинейной трапецией (см. рис. 119), порожденной
графиком функции /.
Доказательство. Пусть t = — некоторое разбие-
ние отрезка [а. &]. Обозначим через Gx и gx замкнутые
многоугольники, составленные из всех прямоугольников вида
Gxi={(x, j) :
gr,i = {(X’ x^^x^Xi,
где mt = inf f(x), ML = sup f(x), z=l, 2, ix.
Таким образом (рис. 135),
<Л = 0 GXti, g = 0 gT,f. (32.2)
i = 1 i = 1
638
Если обозначить через G, и gT множество внутренних точек
многоугольников Gx и gx, то
g^G^Gx. (32.3)
Если 5Т и — соответственно верхняя и нижняя суммы Дарбу
функции f на отрезке [я, Л], соответствующие его разбиению т,
то очевидно, что пл. gx = sx, пл. GX = SX. Поэтому из (32.3), в силу
монотонности меры, следует, что
sT^mesG^5T. (32.4)
Так как
ь
lim sx = lim \ = f/(х) dx, (32.5)
|тН0 |т|—О а
ТО
ъ
mes G = \f{x)dx. □
а
Как известно (см. п. 27.5),
ь
lim а=Пт £=lim = f f(x\dx,
|T|-0 |t|->0 |t|->0 a
поэтому, в силу формулы (32.1),
lim cjt = lim sx = lim = mes G.
|tH0 |tH0 |tH0
Таким образом, геометрически интегральные суммы Римана и
суммы Дарбу равны приближенному значению площади рас-
сматриваемой криволинейной трапеции, причем любая точность
достигается выбором достаточной мелкости разбиения т, а
предел интегральных сумм равен истинному значению указан-
ной площади.
Пусть теперь функция / непрерывна и неположительна на
отрезке [а, /)]. Положим в этом случае
G = {(x, у) : a<x<b, f(x)<y<Q}.
639
Пусть G —множество, симметричное множеству G относитель-
но оси Ох*} (рис. 136); тогда
mes G = mes G. (32.6)
В рассматриваемом случае функция —f неотрицательна на
отрезке [а, /?], поэтому
ъ ь
mesG= J[—/(х)] = — \f(x)dx. (32.7)
а а
Сравнив (32.6) и (32.7), получим
ь
mes G = — J/(х) dx,
а
b
т. е. здесь интеграл J/(x)Jx равен, с точностью до знака,
а
значению площади криволинейной трапеции.
Если же функция / меняет знак на отрезке \а, 6] в конечном
ь
числе точек, то интеграл \f(x)dx равен алгебраической сумме
площадей соответствующих криволинейных трапеций, ограни-
ченных частями графика функции /, отрезками оси Ох и, быть
может, отрезками, параллельными оси Оу (рис. 137).
Как видно, одной из задач, естественным образом, приводя-
щих к понятию определенного интеграла, является задача
вычисления площадей. Развитый аппарат интегрального исчис-
ления дает общий и единый метод вычисления площадей
разнообразных плоских фигур.
Примеры. 1. Найдем площадь S, ограниченную осью Ох и
одной аркой синусоиды (рис. 138):
Это означает, что G = {(х, у): (х, —у)е G}.
640
S=J sinxrfx= — cos x |q = 2.
0
Здесь, как и всегда в дальнейшем, говоря об области,
ограниченной некоторой кривой, являющейся простым замкну-
тым контуром (см. п. 16.1), всегда будем иметь в виду
ограниченную область, граница которого — данный контур.
Всякую неограниченную область, границей которой служит
подобный контур, будем называть внешней (для данного
контура). В рассматриваемом случае внешней областью являет-
ся «внешность» области, заштрихованной на рис. 138. Внешняя
область всегда имеет бесконечную площадь. Действительно,
всякая кривая ограничена (см. п. 16.3), поэтому во внешней
области любого простого контура содержится, например,
квадрат со сколь угодно большой стороной. Отсюда сразу и
следует бесконечность площади внешней области.
2. Найдем площадь S, ограниченную гиперболой у=-9 осью
Ох, отрезком прямой х=1 и отрезком прямой, проходящей
через точку оси Ох с абсциссой, равной х и параллельной оси
ординат (рис. 139):
X
S=j*Y=ln|i =1п х.
1
3. Рассмотрим на правой ветви гиперболы х2— у2=1
(рис. 140) точки Л/=(х, j’) и М' = [х, — у) (х>0) и выясним, как
зависит площадь s сектора ОММ' этой гиперболы от абсциссы
х точек М и М'. Прежде всего заметим, что функция 5=5(х),
принимая значения, равные площадям некоторых фигур, неот-
рицательна: 5(х)^0 при х>0.
Пусть ВМ=у. Имеем (рис. 140)
$=$(х) = пл. ОММ' = 2пл. ОМА=2(ш1.ЛОМВ—пл.АМВ) —
21-1807
641
X
( 1- О В -MB - j 7^-! dt)=х ^/x2-l - 2 j У/2-1 dt.
о о
Для вычисления получившегося интеграла сделаем замену
переменного t=ch и:
х _______ Areachx Areachx
2 J ^Z2 —1 dt=2 f sh2wt/w = j (ch2w— \)du=
о oo
=- sh2 Areach x—Areach x=sh Areach xch Areach x—
2
—Areach x=x ^/x2 — 1 — Areach x.
Поэтому
5=s (x)=Areach x,
откуда x=ch.s. Таким образом, площадь
сектора гиперболы равна функции, об-
ратной гиперболическому косинусу ch s
при s>0.
В силу этого, при параметрическом
представлении x=chs, y = sh.y гиперболы
х—у2=1 параметр s—Areach х=
= Areashy совпадает со значением площа-
ди соответствующего сектора гипербо-
лы, взятой с надлежащим знаком (пло-
щадям секторов левой ветви гиперболы
х2—у2=1 приписывается знак минус).
4. Вычислим площадь, ограниченную
у
эллипсом -у+-7=1. Так как лежащий
а1 Ьл
выше оси абсцисс полуэллипс описывается уравнением
у=-х/а2—х2, то для четверти искомой площади S имеем (см.
пример 5 в п. 22.4 или пример 1 в п. 22.5)
а
1 с Ь г~2 2 л Ь / а2 . х , х а аЪп
-5 = - Ja — x dx=- — arcsin—\--Ja — х =—
4 a J v а\2 a 2V J 0 4
О
откуда S=nab.
5. Доказанное в п. 20.8 неравенство (20.50) имеет простой
геометрический смысл. Рассмотрим кривую у = хр~1 или,что то
же, x==yq~1, где р>1, -+-=1 (см. (20.55) и (20.56)). Выберем
р q
642
Рис. 142
произвольно а>0 и /?>0 и подсчитаем площади и S2 (рис.
141):
а b
St = , S2 =Jy9-1 dy=—.
0 0
Геометрически ясно, что площадь прямоугольника со сторо-
нами а и b не превышает суммы Sr + S2, т. е. ab^Sr+S2 или,
подробнее,
а это и есть неравенство (20.50). При этом очевидно, что ab=
= SY + S2 в том и только том случае, когда Ь = ар~1.
Найдем теперь формулу для площади сектора кривой,
заданной уравнением, связывающим ее полярные координаты:
р = р(ф), где р=р(ф)— неотрицательная, непрерывная на отрез-
ке [а, р] функция, 0<а<р^2л. Пусть G— открытое множест-
во, граница которого состоит из кривой АВ, описываемой в
полярных координатах уравнением р = р(ф) и, быть может, из
отрезков О А и О В лучей ф = а и ф = р (рис. 142), <7 = {(р, ф):
а<ф<Р, 0<р<р(ф)}.
Пусть т = {ф(};=о — некоторое разбиение отрезка [a, PJ.
Положим
Дфг = ф; — фг-1, ть= inf р(ф), Mt= sup р(ф),
ф, _ ! <ф ф, ф1-_1^ф^ф|-
&,т = {(р> ф) Ф;-1^Ф^Фй
<^={(р> ф) • Фг-1<Ф<Фь 0<р<М,.}.
Впишем во множество G и опишем вокруг него ступенчатые
фигуры и <?т, составленные из круговых секторов g,, и G, т,
Z—1, 2, ..., к:
к к
&= и U G^.
1=1 i=l
643
Обозначим через g, и G, совокупности всех внутренних точек
множеств gT и GT. Очевидно, gT и Gx— открытые множества и
gtcGcGt; поэтому, согласно свойству монотонности площади,
пл. gT<mesG^roi. GT.
Но пл. gT = roi. gt, пл. 6т = пл. G\, следовательно,
пл. gT<mes пл. GT. (32.8)
Площади круговых секторов g{ т и G; t равны соответственно
и (рис. 143). Из элементарной математики
известно, что при объединении плоских фигур их площади
складываются (см. об этом также в п. 44.1), поэтому
к 1 4
ПЛ.£Т = - X mi А(Рр ПЛ‘ Gz = y X М‘ A(Pi-
2i=l i=l
Из этих равенств видно, что пл. gx и пл. Gx являются соответ-
ственно нижней и верхней суммами Дарбу для функции р2 (ср)
на отрезке [а, (3] : 5т = пл. gx, Sx = nji.Gx, следовательно,
Р
\«4[р2(<рМ<Р^-St-
Вычитая это неравенство из неравенства (32.8), переписан-
ного в виде Sarnes G^sx, получим
₽
sx — Sarnes G—^Jp2 (фМф^5т—
a
644
Отсюда, перейдя к пределу при |т|-»0, имеем
₽
mesG=^Jp2(<p)J<p. □
(32.9)
6. Найдем площадь S фигуры, ограниченной кардиоидой
р = я(1+coscp) (см. п. 17.5), которая изображена на рис. 144. По
формуле (32.9) получим
2п 2п
5=у J(1 +cos<p)2<7<р=у Jdq>+
о о
2п 2п
+а2 J cos<ptZ(p+ у J 1+t^s2<p </<р=|лй2.
о о
32.2. ОБЪЕМ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ
В конце п. 31.2 отмечалось, что понятие объема в про-
странстве вводится аналогично понятию площади на плоскости.
Выведем формулу для вычисления объемов тел вращения.
Теорема 2. Пусть функция /(х)>0 непрерывна на отрезке'
[a, Z>], a Q — тело, полученное вращением криволинейной
трапеции G, порожденной графиком функции f. Тогда для его
объема mes б справедлива формула
ь
mes(2 = rc |/2(х)г/.х. (32.10)
а
Доказательство. Обозначим через qx и Qx тела, образо-
ванные вращением вокруг оси Ох ступенчатых фигур
gx и Gx (см. доказательство
теоремы 1). Из включения
(32.3) следует, что qx с Q с Qx,
поэтому и
mes^T<mes2^mesgt. (32.11)
Объемы vx и Ух множеств qx
и Qx равны суммам объе-
мов цилиндров, образован-
ных вращением прямоуголь-
ников gx i и Gxi (рис. 145):
vx = mes qx = £ п т2 Ах,-,
«=1 Рис. 145
645
KT=mesQT= £ %M2 Axf.
i= 1
Из этих равенств видно, что v и являются нижними и верхними
суммами Дарбу функции л f2 (х), а так как функция f2 непрерывна
и, следовательно, интегрируема, то
ь
i?T^nf/2(x)Jx^ Vx (32.12)
а
И
lim [Гт- <1 = 0. (32.13)
М-0
Из неравенств (32.11) и (32.12) следует, что
ь
vx-Vx^n$f2(x)dx-mesQ^Vx-vx,
откуда, в силу (32.13), и вытекает формула (32.10). □
Примеры. 1. Найдем объем V шара радиуса г. Рассматривая
этот шар как тело, образованное вращением полуокружности у =
= у/г2—х\ —г^х^г вокруг оси Ох, по формуле (32.10) получим
= 2тЕГ3 — - ТЕГ3 = - ТЕГ3.
3 , з -
V=ti (г2—x2)dx = nr2 х
2. Найдем объем V прямого кругового конуса с высотой,
равной Л, и радиусом основания г. Рассматривая указанный конус
как тело, полученное вращением треугольника с вершинами в
точках (0, 0), (Л, 0) и (Л, г) вокруг оси Ох (рис. 146), т. е.
вращением «криволинейной трапеции», порожденной графиком
функции j = О^х^/z, получим, согласно формуле (32.10),
h
V=™2 fx2 six=кг2х3 h =w2h
h2] Зй2 0 3 ‘
О
3. Найдем объем V тела, полученного вращением вокруг оси
Ох криволинейной трапеции, образованной графиком функции
j = ch-, — b^x^b, называемым цепной линией (рис. 147). По
формуле (32.10) имеем
646
Из рассмотренных в этом параграфе примеров уже отчетли-
во видны сила и общность методов интегрального исчисления:
единым методом быстро и просто получаются формулы для
площадей и объемов, как известные ранее из курса элементар-
ной математики, гак и совершенно новые. В ближайших
пунктах мы рассмотрим еще ряд задач, также легко решаемых
методами интегрального исчисления.
32.3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИНЫ КРИВОЙ
Мы рассмотрели ряд задач, приводящих к понятию опреде-
ленного интеграла. Все они имеют то общее, что в них
нахождение значения какой-то величины приводилось к опреде-
лению предела некоторой интегральной суммы при стремлении
мелкости разбиения к нулю, т. е. к определенному интегралу.
Существует, однако, и другой круг задач, приводящих к
понятию определенного интеграла. В них известна скорость
изменения одной величины относительно другой и требуется
найти первую величину или, говоря точнее, дана производная
функции, а требуется найти саму функцию, т. е. по заданной
функции найти одну из ее первообразных. Эта задача также
решается с помощью определенного интеграла, так как такой
первообразной является, например, определенный интеграл с
переменным верхним пределом. В качестве примера подобной
задачи рассмотрим вычисление длины дуги кривой.
Пусть кривая Г задана параметрическим векторным пред-
ставлением
г=г(/), t^b,
где функция г(/) непрерывно дифференцируема на отрезке
\а, b J. Тогда, как мы знаем, кривая Г спрямляема и переменная
длина дуги s(t), отсчитываемая от начальной точки (ее радиу-
сом-вектором служит г (а)) кривой Г, является также непрерыв-
но дифференцируемой функцией параметра t на отрезке \а9 Ь],
647
причем (см. п. 16.5)
ds _ dr
dt dt
Поэтому, в силу формулы Ньютона — Лейбница, замечая, что
s(a) = 0 для длины S=s(b) кривой Г, получим
ь
S=s(b)-s(a)=№dt,
откуда
ь
С— f dr
J dt
а
Если г(/) = (х(/), y(z), z(/)), то
dt.
b / 2 2 2
S=Jvx' (/)+у' (?)+z' {t}dt. (32.14)
а
В том случае, когда кривая Г является графиком непрерывно
дифференцируемой функции у=/(х), а^х^Ь, формула (32.14)
принимает вид _______
5=Jx/1+/'2(x)Jx. (32.15)
а
Примеры. 1. Найдем длину S дуги параболы у = ах2
Замечая, что у' = 2ах, согласно формуле (32.15), имеем
ь
S=J ^/1 +4п2х2 dx.
а
(32.16)
Неопределенный интеграл /=J^/l+4a2x2 dx вычислим сле-
дующим образом: проинтегрируем его сначала по частям; затем
к числителю дроби, получившейся под знаком интеграла,
прибавим и вычтем единицу, произведем деление и проинтегри-
руем (с помощью подстановки у = 2ах) получившуюся дробь:
= х у/1 +4а2х2 — f ,71 +4«2х2 + [——=
v J V J V1 +4</V
=х^/1 +4a2x2—/4-7In 12ax+x/l +4a2x2 |.
648
Это равенство, рассматриваемое как уравнение относительно
интеграла /, дает возможность найти его значение:
1=\х^/1 + 4я2х2+-^-1п | 2б/х+х/1 Ч-4«2х2 | + С.
2 4а v
Теперь легко найти величину интеграла (32.16):
S=|bу/\ +4a2Z>2 + 2-In \2ab+^/1 +4a2Z?2 |.
2. Найдем длину астроиды x = acos3/, y = asin3/ (см. рис. 87).
Астроида симметрична относительно координатных осей. Ее
части, лежащей в первой четверти, соответствует изменение
параметра t от 0 до Вычислим длину S этой части (равной,
очевидно, */д длины всей астроиды). Заметив, что
х'— — Зя cos2/sin/, y' = 3<jsin2 /cos t,
по формуле (32.14) (в которой следует положить z' = 0) получим
i ’ 5
S=J %/9а2 cos4 / sin2 /+9а2 sin4 / cos2 / J/=у Jsin 2/ J/=у.
О о
Таким образом, длина всей астроиды равна 6а.
3. Рассмотрим задачу о нахождении длины S дуги эллипса
x = 6zsirU, y = Z>cosZ, 0^Z^2tc, 0<b^a, от верхнего конца малой
полуоси до его точки, соответствующей значению параметра
Д2—£2
Ге[О, 2л]. Положим 8=—------- (е — эксцентриситет эллипса);
тогда
/2 2 ---------------- .-------------
х! +yr =x/tz2cos2?+/72sin2Z = 6r .yi —82sin2r,
поэтому
t
S=a\ y/\ —82 sin2 /Л, 0^8<l. (32.17)
0
Получился эллиптический интеграл второго рода, который,
как известно (см. п. 26.6), не выражается через элементарные
функции, т. е. формула (32.17) в данном случае является
окончательным ответом. Приближенные значения длин дуг
эллипса можно получить либо непосредственно, вычислив
приближенно интеграл (32.17), либо воспользовавшись имею-
щимися таблицами значений эллиптических интегралов.
Упражнения 1. Доказать, что если плоская кривая задана в полярных
координатах непрерывно дифференцируемым представлением г = г((р), а^(р<Р,
то для ее длины £ справедлива формула
22-1807
649
Р / 2
S = $vr2 + r' dq>. (32.18)
a
2. Найти длину дуги логарифмической спирали г = аеЬч> от точки (ср0, г0) до
точки (ср, г).
Интегральная формула для длины кривой позволяет выра-
зить ее длину не только как верхнюю грань длин всевозможных
вписанных в нее ломаных, но и как их предел при условии, что
мелкости соответствующих разбиений стремятся к нулю. Чтобы
это доказать, потребуется следующая лемма.
Лемма. Пусть Г = {г=г(5), — непрерывно диффе-
ренцируемая кривая в R\ s — ее переменная длина дуги и Аг=
= r(sd-As} — r(s). Тогда отношение стремится к единице при
' / \ / |Ад|
А5->0 равномерно на отрезке [0, 5]. Это означает, что для
любого 8>0 существует такое 8>0, что для любой точки
sg[0, 5] и для любого приращения А5(5+А5б[0, 5]), удовлетво-
ряющего условию | Аа | < 5, выполняется неравенство
-1
8.
Доказательство. Допустим противное, т. е. что сущест-
вует такое 8о>0, что для любого 8>0 найдется такая точка
л^еГО, 5] и такое приращение Asg, |А55|<8, что для Аг§ =
= r(s5 + Ass) — ) выполняется неравенство
Будем брать последовательно 8 = -, n=i, 2, ..., причем
п
соответствующие точки и приращения A.v6 будем обозначать
через sn и Asn. Тогда для всех натуральных п выполняются
неравенства
Я,
Е0> 1Д^П1<-
п
где Дг„ = г(5„ + А5п)-г(5„).
Выделим из последовательности {5„} сходящуюся подпосле-
Г -J def г
довательность тогда у0 = lim snkG[0, SJ. В силу непрерыв-
>СО
ности производной г' (5) в точке s0 существует такое 8о>0, что
при | s — 50 I < 80 справедливо неравенство
|r'(s)-r'(s0)l<y
650
или, что то же самое,
г'(5) = г'(х0) + а(х), |оф)|<у при |5-5О|<8, ле[0, 5].
Выберем теперь натуральное /с0 так, чтобы имели место
неравенства
1\ 2-<у:
к0 лко 2
тогда, замечая, что согласно выбору приращений Asn, выполня-
ется неравенство |Али |< —, имеем |Ааи |<—. Следовательно,
к0 nkQ kQ 2
для всех 5, лежащих на отрезке с концами в точках sn и
ко
sn +A.s„ , будем иметь
ко к0
1° ^0 1*^1° I 1 I
ко ко
Поэтому, заметив, что | г' (а0 )| = 1 и что
s
Ar„ =r(s„ + As„ ) — r(s„ ) =
s + As
nfco
|+5о
’*о 2
+ As
'о Пко
П],
Ко
s + As
Пко Пко
S
пк
получим 0
дч
дч
:0
-1
s
n^o
s + As
J ""o "“o
ГДи
Ko
с0
4-As
nk
Ro
s
ПК
k0
2<£°*
Это противоречит сделанному предположению. □
Теорема 3. Пусть Г = {r=r(s), Q^s^S} — непрерывно
дифференцируемая кривая в R\ s — ее переменная длина дуги,
т = —разбиение отрезка [0, 5], J I—/'(^•-1)1;
i=l
тогда
S
S'= lim Xt.
M-o
Здесь \ является, очевидно, длиной
ломаной с вершинами в точках г(х;),
вписанной в кривую Г
i=0, 1, 2, zT.
651
Доказательство. Положим Asi=si—si_l, Дг; = г(5;)—
— /=1, 2, ix. Заметив, что s = £ и \ =
= 2^ | Arf |, получим
i=i
|5-М =
t Asf- £ |Аг;1
i=l i=l
У 1 - p As,.
ASi 1
i=l
Согласно лемме, для любого 8 > 0 существует такое 8 > 0, что
как только | Лл\ | < 8, то имеет место неравенство
Дг£
-1
е
S'
Поэтому для всякого разбиения т мелкости |т|<8 выполняется
неравенство
Л*.=е-
Это и означает, что lim = S. □
М-0
32.4. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
Понятие поверхности и ее площади будет специально
изучаться в § 50. Здесь же мы ограничимся специальным слу-
чаем поверхностей, образованных вращением кривых вокруг
некоторых осей. Как всегда, будем предполагать, что в про-
странстве R3 фиксирована прямоугольная декартова система
координат.
Пусть Г = {г=г(/), —
кривая, лежащая в полуплоскости
у > 0 плоскости переменных х, у,
т = {ti) \=1$ — разбиение отрезка
[а, Ь]. Впишем в кривую Г лома-
ную с вершинами в точках r(rf) = (xf,
^•), z = 0, 1, 2, ..., zT (рис. 148). При
вращении звена Ari = r(ti) — r(ti_1)
этой ломаной вокруг оси Ох полу-
чится поверхность усеченного ко-
нуса (в частности, быть может,
цилиндра) с площадью
A^Cyi-i+Ji)! ArJ,
а при вращении всей ломаной —
поверхность с площадью
652
lx= t ii=n i (л-i+л) । Af. i-
i = 1 i = 1
Определение 1. Если существует предел lim £т, то он
М-о
называется площадью L поверхности, образованной вращением
кривой Г вокруг оси Ох.
Таким образом,
def
L = limL . (32.19)
М-0 T
Теорема 4. Пусть T = {r=r(z), — непрерывно диф-
ференцируемая кривая без особых точек, лежащая в полуплос-
кости у>0 плоскости переменных х. у. Тогда для площади L
поверхности, полученной вращением кривой Г вокруг оси Ох
справедлива формула
/ 2 2 $
L^'l'K^yy/xt +y't dt = 2n§y(s)ds,
a 0
(32.20)
где s — переменная длина дуги кривой Г, S.
Доказательство. Как известно, при сделанных в теореме
предположениях (см. п. 16.5) функция s = s(t), a^t^b, является
допустимым преобразованием параметра, и, следовательно,
длина дуги s может быть принята за параметр:
Г = {г=г(5) = (х(4 ^(5)), 0 5}.
Пусть T = {5t}-=Jj — разбиение отрезка [0, 5],
Ari = r(si)—r(si_i), &si = si—si_1, z=l, 2, ..., zT.
Сравним сумму
Ч def
Д = Л £ U-i+jJlMb У, = уУ), г = о, 1, 4,(32.21)
1 = 1
с интегральной суммой (функции 2ny(s))
ат = 2л £ у^. (32.22)
Для этого заметим, что функция ^(5), будучи непрерывной на
отрезке [0, 5], ограничена на нем, т. е. существует такая посто-
янная М>0, что для всех 5е[0, 5] выполняется неравенство
Обозначая через со (5; у) модуль непрерывности
функции ^(s), а через — длину ломаной с вершинами в точках
r(si) и заметив, что |Аг£|<2Ц, z=l, 2, ..., zT, получим
\<5X-LX\ =
л X 2^-А5;-л £ [2у,+(Л-1-л)]1М1
f=l i=l
653
<2л £ |у;|(А5;-|Агг|)+л £ |^-^;-11|АГ(|^
i=l i=l
^2пМ[ X As- £ |Аг;|) + лсо(|т|; у) J |Аг;| =
\ i=l i=l J i=l
= 2nM(S— \) + лсо(|т|; y)\.
Здесь lim(S’—\) = 0 (см. теорему 3), Нтсо(|т|, y) = 0 (см. теоре-
14-0 |т|->0
му 5 в п. 19.7) и 0^X,T^S. Поэтому lim (сут —Д) = 0, а так как
|т|->0
5 5
Нтст = 2л ( у(л) б/л, то и lim £т = 2л f jG) ds. Сделав в последнем
о М-о о
интеграле замену переменного 5 = и вспоминая, что
/2 2
ds = \ х' Л-у' dt. получим:
и / 2 2
L = 2njyx/x +j' dt. □
а
Если кривая Г задана явным уравнением y=f(x^ a^x^b, то
формула для площади поверхности, образованной вращением
графика функции f вокруг оси Ох. имеет вид
/ 2
L=2nfyVl+y' dx. (32.23)
Вспоминая, что (см. п. 16.5) V 1 + у' dx = ds, формулу (32.23)
можно переписать в виде
s
L = 2л J у ds.
о
Предложенный вывод формулы (32.20) имеет тот недоста-
ток, что в нем уже использовалось понятие площади поверхнос-
ти и ее аддитивность, правда, лишь в простейшем случае — для
поверхностей усеченного конуса и их объединений. Можно
ввести общее понятие площади поверхности, не используя
понятие площади поверхности для каких-либо элементарных
поверхностей, и получить ее необходимые свойства. Эти
вопросы рассмотрены в п. 50.9.
Примеры. 1. Найдем площадь S сферы радиуса г. Указанная
сфера может быть получена вращением полуокружности
j^ = ^/r2 —х2, вокруг оси Ох. Однако это явное пред-
ставление полуокружности не является непрерывно дифференци-
654
руемым: производная j/=—* обращается в бесконечность
^/г2 —х2
при х — + г. Гораздо удобнее взять параметрическое представле-
ние полуокружности
x = rcosZ, ^ = rsinz,
Тогда х'= — г sin Г, j/= г cos/; поэтому площадь S поверхности
сферы радиуса г легко вычисляется по формуле (32.20):
п / 2 2 71
S=$yy/x' +У dt = 2nr2 J sin tdt = 4nr2.
о о
2. Найдем площадь S' поверхности, образованной вращением
вокруг оси Ох дуги цепной линии (см. рис. 147) y = ach~,
а
— Ь^х^Ь (эта поверхность называется катеноидом). По фор-
муле (32.23) имеем:
S=2na f ch- /1 + sh2 — =
-ъ aN a
= 2na f ch2^Jx = 7m f f 1 +ch— = 2Z? + tzsh— Y
J. a Л a \ a J
~b —ь \ / \ /
32.5. РАБОТА СИЛЫ
Пусть материальная точка М движется по непрерывно диф-
ференцируемой кривой Г = {г = г(л)}, где s — переменная длина
дуги, 0 S’. Пусть на рас-
сматриваемую материальную
точку, находящуюся в положе-
нии r(s), действует сила F(s\
направленная по касательной
к траектории в направлении
движения.
Возьмем какое-либо разби-
ение t = отрезка [0, S].
Ему соответствует разбиение
траектории Г на части
Г = {Г(4
Z=l, L.
/r(sL-i) j
/r(s<}
r&)f
*r(0)
Рис. 149
Выберем произвольно по точке (рис. 149).
Величина F(^)A^f, \si = si — si_1, z=l, 2, ..., zT, называется
элементарной работой силы F на участке Г, и принимается за
приближенное значение работы, которую производит сила F,
воздействующая на материальную точку, когда последняя
655
проходит кривую Tf. Сумма всех элементарных работ
£ F(^>i)^sl является интегральной суммой Римана функ-
/=1
ции F(s).
Определение 2. Предел, к которому стремится сумма
всех элементарных работ, когда мелкость | т |
i=l
разбиения т стремится к нулю, называется работой силы F
вдоль кривой Г.
Таким образом, если обозначить эту работу буквой W, то, в
силу данного определения,
PE^lim
М-о
следовательно,
о
(32.24)
Если положение точки на траектории ее движения описыва-
ется с помощью какого-либо другого параметра t (например,
времени) и если величина пройденного пути s = s(t\ a^t^b
является непрерывно дифференцируемой функцией, то из фор-
мулы (32.24) получим
ь
W=jF[s(t)]s'(t)dt.
32.6. ВЫЧИСЛЕНИЕ СТАТИЧЕСКИХ МОМЕНТОВ
И КООРДИНАТ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ КРИВОЙ
Пусть М—материальная точка массы т с координатами х и
у. Произведения ту и тх называются ее статическими
моментами соответственно относительно осей Ох и Оу.
Пусть T = {r(s), — спрямляемая кривая, лежащая в
полуплоскости j>0, s— переменная длина дуги и кривая Г
имеет массу и масса ее дуги прямо пропорциональна длине
дуги; если \т — масса дуги длиной As, то Am = pAs, где р — не-
которая постоянная, называемая линейной плотностью кривой Г.
Такие кривые в механике называются однородными. Поскольку
Д/77
р = —, плотность равна массе длины дуги кризои, приходящей-
ся на единицу длины дуги. Будем считать для простоты, что
р = 1, т.е. что масса части кривой длины As также равна As, в
частности что масса всей кривой численно равна 5.
656
Пусть теперь T = {si}-=I(j— какое-либо разбиение отрезка
[О, 5], As = sf —sf_1? z=l, 2, zT. Разбиению т соответствует
разбиение кривой Г на части Tf = {r(s), Выберем по
какой-либо точке ^e[5f_15 sj и положим xi = x(t)i),
z=l, 2, ..., zT.
Величины yt ASi при любом выборе указанных точек
называются элементарными статическими моментами части Ft
кривой Г относительно оси Ох. Очевидно, элементарный
статический момент Tf численно равен статическому моменту
материальной точки массы Аз1 с ординатой yf, т. е. мы как бы
заменили данную непрерывную кривую Г к материальными
точками.
Определение 3. Предел, к которому стремится сумма
(32.25)
1=1
всех элементарных статических моментов, когда мелкость
разбиения т стремится к нулю, называется статическим
моментом Мх кривой Г относительно оси Ох.
Этот предел всегда существует, так как, по определению
кривой, функция r = r(s), а значит, и координатные функции
x = x(s), непрерывны на отрезке [0, 5]; сумма же (32.25)
является интегральной суммой Римана функции y(s) и поэтому
при |т|—>0 стремится к интегралу jy(s)6fc. Таким образом,
о
S
Mx = \yds. (32.26)
о
Аналогично определяется и вычисляется статический момент Му
кривой Г относительно оси Ох\
S
My = $xds. (32.27)
о
Определение 4. Точка плоскости Р = (х0, у0), обладающая тем
свойством, что если в нее поместить материальную точку
массы, равной массе кривой (в рассматриваемом случае мас-
сы S), то эта точка относительно любой координатной оси
имеет статический момент, численно равный статическому
моменту кривой относительно той же оси, называется центром
тяжести данной кривой.
Таким образом,
SxQ = My, Sy0 = Mx,
откуда, в силу формул (32.26) и (32.27), для координат центра
тяжести получаем формулы
657
s s
x0 = - xds, y0=- yds. (32.28)
O I О J
о 0
Сравнивая формулы для ординаты центра тяжести кривой
y$S=\yds и для площади L поверхности, полученной от
о
s
вращения этой кривой вокруг оси Ox: L = 2n$yds, получим
о
интересное соотношение L = 2ny0S (здесь под кривой пони-
мается непрерывно дифференцируемая кривая без особых точек,
лежащая в полуплоскости у > 0), которое составляет содержание
так называемой первой теоремы Гульдина*\
Теорема 5 (первая теорема Гуль дина). Площадь поверхнос-
ти, полученной от вращения кривой около некоторой не
пересекающей ее оси, равна длине этой кривой, умноженной на
длину окружности, описанной центром тяжести этой кривой.
В том случае, когда известно положение центра тяжести
кривой, теорема Гуль дина позволяет просто находить площадь
соответствующей поверхности вращения. Например, площадь
поверхности, полученной от вращения окружности (х—я)2 +
+;,2 = г2, 0<г<я, вокруг оси Оу (такая поверхность называется
тором}, легко вычисляется указанным способом: L = 2na'2nr =
= 4п2аг, так как центр тяжести окружности совпадает с ее
центром.
В качестве примера вычисления центра тяжести кривой по
формуле (32.28) найдем центр тяжести цепной линии y = 6zch-,
а
— Ь^х^Ь. В силу симметрии цепной линии относительно оси
Оу, имеем Му = 0. Действительно, выбирая за начало отсчета
дуг точку цепной линии, лежащую на оси Оу, и обозначив
длину всей цепной линии через 2S, получим
Му = J х(а)Л = 0,
-S
так как x(s} — нечетная функция. Из равенства Му = 0, в силу
формулы (32.28), следует, что хо = 0.
В силу теоремы Гуль дина, £х = 2лу0-25, где 2S — длина
кривой, в данном случае рассматриваемой цепной линии, а
Lx — площадь поверхности вращения, образованной вращением
этой линии вокруг оси Ох. Площадь Lx была вычислена
в п. 32.4:
П. Гульдин (1577—1643) — швейцарский математик.
658
Lx = па I 2b + ash —
a )
а длина 2S цепной линии легко вычисляется по формуле (32.15):
2S= \/1 у-yf dx =
2-dx =
ch - dx = a sh - = 2a sh -;
в силу формулы (32.28), получим
Упражнение 3. Доказать единственность центра тяжести непрерыв-
но дифференцируемой кривой, иначе говоря, что точка плоскости, определя-
емая формулами (32.28), не зависит от выбора декартовых координат на
плоскости.
§ 33. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
33.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Функция, не ограниченная на отрезке, не интегрируема на
нем по Риману (теорема 1 п. 27.3). Если функция определена на
бесконечном промежутке, то нельзя говорить об ее интегрируе-
мости по Риману просто потому, что определение интеграла
относится только к функциям, заданным на отрезке. В
настоящем параграфе понятие интеграла обобщается как на
случай функций, определенных на неограниченных промежутках,
так и на случай функций, определенных на ограниченных
промежутках, но не ограниченных на них. Это делается с
помощью предельного перехода, дополнительного к пределу, с
помощью которого вводится интеграл Римана.
Определение 1. Пусть функция f определена на конечном или
бесконечном полуинтервале \_а, Ь\ — со <а<Ь^ У- со и интегри-
руема по Риману на любом отрезке \а. г|], я^т|<6. Если
п
существует lim f/(x) dx. то функция f называется интегрируе-
шь а
мой в несобственном смысле на промежутке [а, Ь), а указанный
659
предел называется ее несобственным интегралом и обозначается
через $f(x)dx.
а
Таким образом (рис. 150),
b def И
J/(x)dx = lim §f(x)dx.
а т|—а
(33.1)
предел (33.1) су-
(и, следовательно,
то говорят также,
Если
ществует
конечен),
что несобственный интеграл
$f(x)dx сходится, в про-
а
тивном случае — что он
расходится. В отличие от несобственного интеграла обычный
интеграл Римана называют иногда собственным интег-
ралом. ь
Существование несобственного интеграла $f(x)dx эквива-
а ь
лентно существованию несобственного интеграла $f(x)dx при
п с
любом се(а, Ь). В самом деле, интеграл \f(x)dx отличается от
п а
интеграла \f(x)dx (при с<т|</?) на конечную, не зависящую от
т] величину $f(x)dx:
а
П с п
J/(x) dx = \f(x) dx+ j/(x) dx.
a a c
r| n
Поэтому при г| ->b оба интеграла J и J одновременно имеют или
а с
не имеют предел, причем в случае его существования
Ь с Ь
f/(x) dx = f/(x) tZx+f/(x) dx.
a a c
Из определения (33.1) несобственного интеграла и из (33.2)
ь
следует, что если интеграл §f(x)dx сходится, то
а
b
lim J/(x) dx = Q.
(33.2)
(33.3)
660
Отметим, что выполнение этого
условия нельзя принять в качестве
определения сходящегося интеграла
ь ь
\f(x)dx, так как интеграл \f\x)dx
а с
также является несобственным и го-
ворить о его стремлении к нулю при
с->Ь можно лишь уже зная определе-
ние сходящегося несобственного ин-
теграла.
Если функция f неотрицательна и
непрерывна на промежутке [я, />), то
несобственный интеграл
$f(x)dx равен площади неограниченного открытого множества
G = {(x, у) : a<x<b; 0<y</(x)},
т. е.
b
J/(x)Jx = mesG.
a
(33.4)
Действительно (на рис. 151 изображен случай конечного Ь),
выберем какую-либо последовательность T|te[a, b), к=\, 2, ...,
так, чтобы lim r\k = b, и положим
А-»оо
Gk = {(x, у) : а<х<т]к, 0<у</(л)}.
Тогда, согласно теореме 1 из п. 32.1,
’ik
mes Gk = f /(x) dx. (33.5)
a
Поскольку Gk — открытые множества, /с=1, 2, ..., и
G^G2^...^Gk ... и (j Gk = G,
к= 1
в силу теоремы 2 п. 31.2,
lim mes Gk = mes G.
k->cc
Согласно же определению несобственного интеграла,
nk ь
lim J /(x) dx = f/(x) dx.
k-^<x> a a
Поэтому, перейдя к пределу в равенстве (33.5) при &-»оо,
получим (33.4).
661
Отметим, что определение (33.1) несобственного интеграла
ь
\f(x)dx в случае конечного промежутка [а. Ь) содержательно
а
лишь в случае, когда функция / не ограничена в любой
окрестности точки х = Ь, т. е. на любом интервале (6 — 8, Ь]
(0<8<£ — а). Это связано с тем, что (см. замечание 2 в п. 27.7*)
всякая функция, интегрируемая по Риману на любом отрезке
[я, г|], я^г)</)<+оо, и ограниченная на полуинтервале [а, Ь),
является интегрируемой по Риману и на отрезке \а. при
любом ее доопределении в точке х = Ь. При этом интеграл
Римана от таким образом доопределенной функции равен
пределу (33.1) и тем самым не зависит от выбора дополнитель-
ного значения функции при х = Ь. В этом смысле интеграл
Римана является частным случаем несобственного интеграла и
можно говорить об интеграле Римана по конечному полуинтер-
валу [а, Ь) от функции, заданной на этом промежутке (а в
дальнейшем и об интеграле Римана по конечному интервалу).
У В силу сказанного,
теория несобственных
интегралов содержа-
тельна, т. е. приводит к
принципиально новым
S результатам лишь когда
Г функция определена на
Fi--------------7 О'—а--------П бесконечном промежут-
Рис |52 ке или конечном, при-
чем в последнем случае
не ограничена (рис. 152). Содержательность здесь понимается в
том смысле, что для ограниченных подынтегральных функций,
определенных на ограниченных промежутках, доказываемые
ниже теоремы либо тривиальны, либо доказаны раньше.
Упражнение 1. Привести пример неотрицательной при и неогра-
ниченной в любой окрестности бесконечно удаленной точки + оо функции /, для
+ оо
которой сходится несобственный интеграл J f(x)dx.
1
Если функция / определена на полуинтервале вида (а, 6],
— со^я<£< + оо, и интегрируема по Риману на всех отрезках
ь
[^, £>], то несобственный интеграл $f(x)dx определяет-
ся по формуле
b def Ъ
f/(x) dx = lim {/(jc) dx. (33.6)
а
Если же функция f определена на интервале (а, Ь),
— оо^ж/^ + оо, и при некотором выборе точки се(а. Ь)
662
существуют несобственные интегралы §f(x)dx (в смысле (33.6) и
а
b
\f(x)dx (в смысле (33.1)), то, по определению, полагается
ь defс h
$ f(x)dx — $f(x)dx+\f(x)dx. (33.7)
а а с
b
При этом существование и значение интеграла $f(x)dx не
а
зависит от выбора точки се(а. Ь). В самом деле, в рассматри-
ваемом случае функция /, очевидно, интегрируема по Риману на
любом отрезке [Е,, т|], ж£,<г|<6, и определение (33.7), в силу
определений (Зэ.1) и (33.6), равносильно следующему:
x)dx = lim J/(x)dx. а<^<т\<Ь.
H-b
Здесь правая часть является пределом функции двух переменных
£ и г|. Образно говоря, переменные и т| стремятся
соответственно к а и b независимо друг от друга.
с b
Если хотя бы один из интегралов или §f(x)dx
а с
Ь
расходится, то говорят, что и интеграл jf(x)dx также рас-
а
ХОДИТСЯ.
Определим теперь общее понятие несобственного интеграла
от функции f по промежутку с концами аиЬ, —
Всякое множество точек Х={х0. х19 ..., хк} такое, что:
1) a^zx0<x1< ...<хк^Ь;
2) если а=—со. то х0= — оо, а если Ь—+со. то хк=+оо;
3) функция f интегрируема по Риману на любом отрезке,
лежащем в рассматриваемом промежутке и не содержащем
точек множества X.
называется правильным разбиением этого промежутка отно-
сительно функции f.
На каждом из промежутков [я, х0], [х^^ xj, [xk, £] имеет
смысл рассматривать несобственный интеграл.
ХО xt b
Если все интегралы J/(x)Jx, J f(x)dx. \f(x)dx. i=l. 2, ...
a x/-i
* 1 k b
.... к. сходятся, то можно найти интеграл \f(x]dx. Он
определяется равенством
663
b def X° k X* b
$f(x)dx = J/(x)dx + £ J f(x)dx+ \f(x]dx (33.8)
a a f=lxi-i xk
и называется сходящимся интегралом.
Очевидно, что определенный таким образом интеграл по
отрезку может оказаться интегралом Римана в том и только
том случае, когда у этого отрезка имеется пустое правильное
разбиение относительно интегрируемой функции.
Если хотя бы один из интегралов J f(x]dx расходится, то
xi-l
Ь
говорят, что «интеграл §f(x)dx расходится»,
а
Из определений (33.7) и (33.8) следует, что несобственный
интеграл в общем случае сводится к интегралам вида (33.1) и
(33.6). Поэтому в дальнейшем ограничимся лишь изучением
несобственных интегралов двух указанных видов.
Упражнения. 2. Доказать, что существование и значение несобственного
ь
интеграла $f(x)dx в определении (33.8) не зависит от выбора точек xh z = О, 1, 2,
а
..., к, удовлетворяющих сформулированным выше условиям.
+ 00
3. Доказать, что если интеграл f fix) dx сходится и существует lim f(x\
а А'-> + с0
то этот предел равен нулю:
Примеры. 1. Покажем, что несобственный интеграл от
функции /(х) = - по полуинтервалу (0, 1] расходится. Действи-
тельно,
1 1
1
= — lim In £, = 4-оо.
о
Обычно проведенные вычисления записываются короче:
1
о
2. Выясним, при каких а 1 сходится, а при каких — расхо-
дится интеграл от функции по промежутку (О, 1].
Имеем
664
1
dx_x1~a 1
xa 1 — a 0
о
1 .
--- при oc< 1,
1—a
+ oo при a>l.
Отметим, что при a<0 рассматриваемый интеграл является
собственным. Объединив результаты, полученные в примерах 1
и 2, получим
1
'dx Г сходится при а<1,
J ха [расходится при a^l.
о
dx ,
— = 1пх
3. Рассмотрим теперь функцию = на бесконечном
промежутке [1, +оо). Если ос=1, то
= + 00.
1
Если же a 1, то
С dx х1-»+“ J—при а>1,
J / 1—a j j +оо при а<1.
1
Таким образом,
+ оо
dx
ха
1
ь
4. Если интеграл \f(x)dx сходится, 0^а<6«$ + со, и
а
def
/*(%) = /’(—%), —b^x^—a,
сходится при а>1,
расходится при a^l.
(33.10)
то интеграл
— а
J /*(x)dx также сходится и
—ь
— а b
J /* (х) dx — j/(x) dx.
-b a
Действительно, пусть, например, функция / интегрируема по
Риману на любом отрезке \а, ПJ, и, следовательно,
ь п
J/(x) dx = lim j J (x) dx
a a
665
(общий случай несобственного интеграла, в силу определения
(33.8), сводится к подобным интегралам, точнее к интегралам
вида (33.1) и (33.6)). В силу формулы (28.31) (см. п. 28.1), имеет
место равенство
\f(x)dx= f f*(x)dx.
а -г|
Поэтому
у -а Т] Ъ
f f*(x)dx=limjf(x)dx=]f(x) dx,
-T| а а
но предел левой части равенства и является несобственным
— а
интегралом J /*(х)б7х; таким образом,
—ь
-а b
f f*(x)dx=jf(x)dx.
— Ъ а
В частности, если функция / четная на отрезке [ — а, я] и
а О
интеграл \f(x)dx сходится, то сходится и интеграл J f(x)dx,
О —а
причем
J f(x)dx=]f(x)dx
— а О
и, следовательно,
J Дх) Jx=2
-а О
5. Пусть функция / определенная при периодична с
а+ Т
периодом Т>0 и интеграл j f(x)dx сходится; тогда для
а
Ь + Т
любого Ь^а интеграл J f[x}dx также сходится и
ъ
b + Т а + Т
J f(x)dx = f f(x)dx.
b a
Справедливо и обратное в некотором смысле утверждение:
если при некотором Ь^а сходится интеграл J f(x)dx, то
ь
а + Т
сходится и интеграл J f(x)dx и, следовательно, справедлива
а
написанная выше формула.
666
Для доказательства достаточно заметить, что формулы
(28.34) (см. п. 28.1) справедливы и в том случае, когда входящие
в них интегралы несобственные. Это доказывается предельным
переходом из равенства соответствующих собственных интегра-
лов (их равенство следует из формулы (28.33)), пределом
которых являются рассматриваемые несобственные интегралы.
Мы ввели новое понятие — понятие несобственного интегра-
ла. Прежде всего естественно выяснить, какими свойствами
обладает этот интеграл. Сохраняются ли для него свойства
обычного интеграла? Возникают ли для несобственного интег-
рала (а если да, то какие) новые задачи и вопросы, специфичес-
кие именно для него? Ответы на эти вопросы будут даны в
дальнейших пунктах этого параграфа.
33.2. ФОРМУЛЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
ДЛЯ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
В силу свойств предела и определения несобственного
интеграла как предела обычного интеграла Римана, на несобст-
венные интегралы переносятся многие свойства определенного
интеграла. Рассмотрим некоторые из них.
В этом и в дальнейших пунктах при рассмотрении свойств
несобственных интегралов будем останавливаться более под-
робно лишь на интегралах от функций, определенных на
конечных или бесконечных промежутках вида [а, Ь) и интегри-
руемых по Риману на всех отрезках [сц т|], я^т|</)^ + оо.
Любые другие предположения будут специально оговариваться.
1° (формула Ньютона — Лейбница). Если F какая-либо
первообразная функции f на полуинтервале \а, Ь), то
ъ, ч , ч z х f F(b — 0) — F(a\ если b конечно,
№}dx — F(b}—F(а) = < J , (33.11)
У' 7 v 7 1 7 (F( + oo)-F(a), если b= + cc. v 7
Здесь F(b — 0) = lim F(x) в случае, когда b конечно, и F(+oo) =
= lim F(x), а под первообразной F функции f на промежутке
\а, Ь\ понимается, вообще говоря, обобщенная первообразная
(см. п. 22.6*).
Равенство (33.11) понимается в том смысле, что либо обе его
части одновременно имеют смысл, и тогда они равны, либо они
одновременно не имеют смысла, т. е. стоящие в них пределы не
существуют.
Согласно формуле Ньютона — Лейбница для функций, ин-
тегрируемых по Риману (см. теорему 5 п. 29.4*), для любого
r|e[/z, Ь) имеем
\f(x)dx = F(y\)-F(a\
667
Перейдя в этом равенстве к пределу при г)->£, а^т(<Ь,
получим формулу (33.11).
Подчеркнем, что эта формула доказана в предположении,
что функция f интегрируема в обычном смысле на каждом
отрезке вида [а, т|), а^т[<Ь. Для интегралов вида (33.8) в том
случае, когда в правой части равенства более чем одно
слагаемое, аналогичная формула верна не всегда. Образно
говоря, если в некоторой внутренней точке данного промежутка
функция обращается в бесконечность, то на всем этом
промежутке нельзя, вообще говоря, применять формулу Ньюто-
I dx
на — Лейбница. Например, если к интегралу — формаль-
-1
но применить формулу Ньютона — Лейбница, то он будет
равен числу — - =— 2. Однако, как мы уже знаем, рас-
* -1
сматриваемый интеграл не существует. Таким образом, в
этом примере применение формулы Ньютона — Лейбница
сразу на всем промежутке интегрирования невозможно по
существу.
Формула, аналогичная (33.11), справедлива, конечно, для
несобственных интегралов вида (33.6). Если же несобственный
интеграл определяется равенством (33.8), то формулу Ньюто-
на— Лейбница следует применять (если это возможно) отдель-
но к каждому слагаемому правой части.
2° (линейность несобственного интеграла). Если несобственные
ь ь
интегралы \f(x]dx, \g(x}dx сходятся, то для любых чисел X, ц
а а
b
сходится и несобственный интеграл J [k/(x) + pg(x)] dx, причем
а
b b b
f [X/\х) + |ig (х)] dx = X Jf(x) +ц f g(x)dx.
a a a
В самом деле,
ь и
f [V(-x) + Mg(*)] dx =lim f [V(*) + Mg(*)] dx =
a x\-^b a
П П "I П
= lim Xf/(x)Jx + p^g(x}dx = klimf/(x)dx+
_ a a _ rj—>/? a
Л b b
+ p lim J g (x) dx = к J/(x) dx + p J g (x) dx, a^v\<b.
a a a
668
Аналогично доказываются и следующие ниже свойства не-
собственных интегралов, аналогичные соответствующим свойст-
вам интеграла Римана.
Доказательства их предоставляются читателю.
ь
3° (интегрирование неравенств). Если интегралы \f(x)dx,
а
Ъ
\g(x}dx сходятся и для всех хе[а, Ь) выполняется неравенство
а
/(x)<g(x), то
b ь
J/(x) dx^ Jg(x) dx.
a a
4° (правило интегрирования по частям). Если функции и = и(х)
uv = v(xj кусочно-непрерывно дифференцируемы на каждом отрезке
\_а, T|J, а<Т[<Ьь то
b h ъ
\udv = uv —\vdU'
а а а
b ъ
причем если любые два из выражений J udv, uv
а а
(33.12)
ъ
и J vdu имеют
а
смысл (т. е. соответствующие пределы конечны), то имеет
смысл и третье.
5° (замена переменного в несобственном интеграле). Пусть
функция ,/(х) непрерывна на [я, Ь), функция ср (?) непрерывно
дифференцируема на полуинтервале [ос, р), — оо<ос<Р^ + оо,
причем а = срср(t)<b = lim <р(/) при а^/<Р; тогда
ъ р
f/(x)t?x=f/[<p(z)] <р'(/)<7х. (33.13)
а а
При этом интегралы в обеих частях этой формулы одновре-
менно сходятся или нет.
Может случиться, что с помощью замены переменного
несобственный интеграл превратится в обычный. Например,
выполняя в несобственном интеграле --------- замену перемен-
J yi-%2
о
ной x^sinr,
2’
получаем собственный интеграл
669
b
Отметим, что всякий несобственный интеграл \f(x)dx по
а
конечному промежутку [а, Ь) может быть заменой переменной
сведен к несобственному интегралу по неограниченному про-
межутку. Действительно, сделав, например, замену переменной
dx,
получим
bt + a 7 Ь — а
Х =--------> UX = --------
Г+1 (г+1)2
По аналогии с интегралом Римана для сходящегося несобст-
венного интеграла j/(x)dx, a<b, по определению полагается
а
а b
$f(x)dx =
b а
Следует обратить внимание на то, что не все свойства
определенного интеграла Римана переносятся на несобственные
интегралы. Так, например, произведение двух функций, интегри-
руемых по Риману на некотором отрезке, является функцией,
также интегрируемой по Риману на нем. Аналог этого
утверждения для несобственных интегралов несправедлив. Су-
ществуют функции f и g, интегралы от которых на некотором
промежутке сходятся, а интеграл от их произведения на том же
промежутке расходится. В самом деле, пусть, например,
/(x)=g(x) = —Как известно (см. п. 33.1), интеграл
-\/х
о
сходится, а интеграл
1 1
г» Л
/(х) g(x)dx = — расходится.
о о
Сделанное замечание еще раз напоминает о том, что,
используя при обращении с несобственным интегралом анало-
гии свойств интеграла Римана, следует всегда не забывать о
необходимости проверки справедливости для несобственного
интеграла всякого утверждения, аналогичного соответствую-
щему утверждению для собственного интеграла.
670
Примеры. Вычислим следующие несобственные интегралы,
используя сформулированные выше свойства:
—; С помощью замены переменной х=- получим
Ху]х2 — 1 t
1
2. In = J (In х)п dx. п = 0,
о
п>0\ имеем
1, 2, .... Интегрируя по частям (при
Z„=x(lnx)n
dx=
о
так как lim х(1пх)" = 0. Это равенство легко получить, если
х —> 4-со
применить п раз правило Лопиталя:
Г /1 \и г (In*)" г (1пх)" 1
hmx 1пх г = пш-—и linn—'—= ... =
х->о V 7 х-0 J_ х->0 £
X х
= (— 1)и+1л! limx = 0.
х->0
1
Заметив, что /0 = f dx = 1, получим 1п = (— 1)" п!
л °
2
3. J=\ In sin xdx (интеграл Эйлера),
о
Сделав замену переменного x = 2t. имеем
я я
4 4
J=2 Jlnsin2/(//=2 J In (2sin/cos t}dt =
О я ® n
4 4
=-ln2 + 2 J In sinzJz+2 J Ineos tdt.
2 о о
Напомним, что, по определению, 0! = 1.
671
Произведя в последнем интеграле замену переменного
я
t = -—y, получим
п я л
4 2 2
J=|ln2 + 2 J In sin/A + 2 j In sin у dy = -ln2 + 2 J In sin/Л,
2 о л 2 о
4
t. e. J=^ln2 + J, откуда
J=—-ln2.
2
+ 00
4. Jn= J xne~xdx. n = 1, 2, ... . Снова проинтегрировав по
о
частям заданный интеграл при п>0, получим
и так как
то Jn = n\
5. Остаются справедливыми для несобственных интегралов
неравенства Минковского и Гёльдера (см. п. 28.3*):
ь
f l/'(x)+g(x)|p<5k
а
b \~ (Ъ X1
Г + 1 f |g(x)|prfx Г,
а / \ а /
Для доказательства достаточно написать соответствующие
неравенства для интегралов на отрезке \а, г| ] и перейти к
пределу при г| -> b.
В следующем пункте будет рассмотрена специфическая
задача теории несобственных интегралов, а именно: приведен
ряд условий, при выполнении которых несобственные интегра-
лы заведомо сходятся (расходятся).
672
33.3. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ОТ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
Изучение признаков сходимости несобственных интегралов
начнем со случая, когда подынтегральная функция неотрица-
тельна. При этом будем придерживаться соглашения, сформу-
лированного в начале предыдущего пункта.
Лемма 1. Если функция f неотрицательна на полуинтервале
ь
[а, Ь\ то для сходимости несобственного интеграла \f{x)dx
необходимо и достаточно, чтобы все интегралы
п
|/(х)б?х, a^v\<b.
а
были ограниченными в совокупности, т. е. чтобы существовала
такая постоянная М>0, что для всех т|б[я, Z?) выполняется
неравенство
]f(x)dx^M. (33.14)
а
При выполнении этого условия
Ь п
f/(x)dx = sup J/(x)Jx. (33.15)
а а^<Ь а
Доказательство. Рассмотрим функцию
ф(г|) = j/(x)dx, a^v\<b. (33.16)
В силу того что />0, функция (р возрастает: действительно, если
<rj'<Z?, то (см. свойство 8° интеграла в п. 28.1)
п'
f f(x)dx^Q,
п
поэтому
n' n n п
ф К) = f Лх)dx = f/(x) dx+ f f(x) dxf/(x) dx = <p (r|).
a a r] a
b
Теперь заметим, что несобственный интеграл J/(x) dx сходится
а
тогда и только тогда, когда существует конечный предел
п
lim J/(х) dx = lim ф (т|), а последний существует в том и только том
п-6 д 1}-*Ь
случае (см. теорему 5 в п. 5.14), когда функция ф ограничена сверху,
т. е. когда выполняется условие (33.14). При этом
673
Ь Г)
J/(x)fZx=lim<р(т])= sup <p(r|)= sup J/(x)Jx. □
a T)->Z> a^r]<b a
Из доказанной леммы следует, что, для того чтобы
несобственный интеграл \f(x)dx от неотрицательной функции
а
расходился, необходимо и достаточно, чтобы функция ср(г|) (см.
(33.16)) была неограниченной сверху; но тогда, в силу ее
возрастания,
п
lim J/(x) <7x = lim ф (г|) = + оо.
b
Поэтому если несобственный интеграл от неотрица-
а
b
тельной функции расходится, то пишут J/(x) dx = + оо. При
а
таком соглашении остается справедливым равенство (33.15).
Теорема 1 (признак сравнения). Пусть функции fug
неотрицательны на полуинтервале \а. Ь) и
f(x} = O(g(x)) при х-^>Ь*} (33.17)
Тогда:
ь
1) если интеграл Jg(x)dx сходится, то сходится и интеграл
ъ а
а
b
2) если интеграл \f(x}dx расходится, то расходится и
а
b
интеграл J g (х) dx.
а
Следствие. Пусть функции f g неотрицательны на
полуинтервале [a, b), g(x)^0, хб[я, Z?) и существует
lim^y4 = /c, а^х<Ь. (33.18)
x-^bg(x)
Тогда:
ь
1) если интеграл \g(x}dx сходится и 0^£<+оо, то
а
b
интеграл §f(x)dx также сходится;
а
В частности, /(x)^g(x), хе[а, Ь).
674
b
2) если интеграл ^g(x]dx расходится и 0<£^+оо, то
а
b
интеграл §f(x)dx также расходится,
а
В частности, если f и g — эквивалентные при х-^Ь функции:
ь ь
j~g, x-+b (см. п. 8.2), то интегралы §f(x)dx и §g(x)dx
а а
сходятся или расходятся одновременно,
ь
Доказательство теоремы. Пусть интеграл Jg(x)dx
а
сходится. Из условия (33.17) следует существование такого г|0,
я^г|0</), и такого о О, что для всех хе[ц0, Ь) выполняется
неравенство
f(x)^cg(x) (33.19)
ь
(см. п. 8.2). Из сходимости интеграла Jg(x)dx следует и
ь а
сходимость интеграла J g(x)dx. В силу же необходимости
условий леммы для сходимости интеграла, существует такое
число М>0, что для любого т|е[т|о> справедливо неравенство
п
j g(x)dx^M.
*10
Отсюда и из неравенства (33.19) имеем
Г) П
j f(x)dx^c j g(x}dx^cM.
Чо Чо
Из этого неравенства, в силу достаточности условий леммы для
сходимости интеграла от неотрицательной функции, получаем,
b ь
что интеграл J/(x)<ix, а, следовательно, и интеграл §f(x)dx
По а
сходятся.
Первое утверждение теоремы доказано. Второе — логически
ь
равносильно первому. В частности, если интеграл J/(x)dx
а
b
расходится, то \g[x)dx не может сходиться, так как
если бы он был сходящимся, то в силу уже доказанного
первого утверждения теоремы, сходился бы и интеграл
675
b b
\f(x)dx. Таким образом, интеграл Jg(x)<7x расходится. □
a a
Доказательство следствия. Из выполнения условия
(33.18) для к. удовлетворяющего условию 0^<+оо, следует,
что существует такое г|б[й, Z>), что если р<х<Ь, то
^<к+1, т.е. /(х)<(А:+l)g(x),
а это означает, что
/(x) = O(g(x)), x-+b.
Поэтому утверждение 1) следствия непосредственно вытекает из
утверждения 1) теоремы 1.
Пусть теперь условие (33.18) выполнено при некотором к,
удовлетворяющем условию 0</:^+оо. Тогда для любого к'е
6 (О, А?) существует такое т|б[«, Z>), что если г|<х<6, то
"л"
Это и означает, что g(x)==O x-+b. Поэтому утверждение
2) следствия непосредственно вытекает из утверждения 2)
теоремы 1. □
Функция g(x) в утверждении 1) теоремы 1 и в ее следствии,
с помощью которой устанавливается сходимость интеграла
ь
jf(x)dx, называется функцией сравнения. Если, в частности,
а
f(x)^g(x) для всех хе[а, Ь), то говорят также, что f(x) мажори-
руется функцией g(x) или что g(x) служит мажорантой для
Лх\
Эффективность использования критерия сравнения для реше-
ния вопроса о сходимости интеграла зависит, конечно, от
запаса функций сравнения, о которых известно, сходится или
расходится несобственный интеграл от них, взятый по рассмат-
риваемому промежутку, и которые, тем самым, можно пытать-
ся использовать для исследования сходимости данного интегра-
ла. Заметим, что утверждение, аналогичное теореме 1, справед-
ливо, конечно, и для несобственных интегралов типа (33.6).
В качестве функций сравнения g(x) часто достаточно брать
степенные функции. Именно, в случае конечных промежутков
ь
dx
[я, Ь) и (a, Z?] берутся, соответственно, функции g(x) =-——и
(Ь—ху
ь
dx
----- СХОДЯТСЯ
интегралы от которых
а
676
гралам
при ос<1 и расходятся при ос^1 (в этом легко убедиться, сведя
указанные интегралы линейной заменой переменной к инте-
I dx 1
—, рассмотренным в п. 33.1). В случае же бесконечных
о
промежутков \а, 4-оо) и (—со, 6] за функции сравнения берутся,
соответственно, g(x)=^H g(x) = p^, интегралы от которых
dx
И
dx
—- сходятся при ос> 1 и расходятся при ос^1 (см.
только тогда, когда сходится интеграл
примеры в п. 33.1).
Отметим еще, что все сформулированные признаки сходи-
мости и расходимости интегралов остаются в силе (с очевид-
ными изменениями), если в них условие неотрицательности
функции / заменить условием ее неположительности (это
ъ
следует из того, что интеграл J( —f(x)]dx сходится тогда и
ь
]f(x)dx).
а
а
Примеры. 1. Интеграл
.2
----dx
_v-2
(33.20)
О
сходится. В самом деле, обозначая
х2
функцию f(x)=—-------- и используя
через f подынтегральную
функцию сравнения
1
ОС = -,
3’
имеем
#(л)=77=
поэтому, согласно следствию из теоремы 1, интеграл (33.20)
сходится.
2. Интеграл
1
! 1 2 расходится. Чтобы убедиться в этом,
о
677
Рис. 153
3. Интеграл
достаточно взять в качестве
функции сравнения g(.Y) = y-1--,
= 1.
В рассмотренных примерах
показатель ос у функции срав-
нения можно было выбрать
сразу, исходя из конкретного
вида заданной подынтеграль--
ной функции. Иногда, когда
такой выбор сразу же не ясен,
приходится предварительно
проделывать некоторые до-
полнительные исследования,
например попытаться выде-
лить ее главную часть, прибег-
нув к формуле Тейлора. Рас-
смотрим подобные примеры.
1
J In .у dx
о
(33.21)
сходится. Действительно, по правилу Лопиталя при любом
ос > 0, в частности при 0 < ос < 1, имеем
1
lim — = ]im —1_т= _ 1 lim ха = 0,
л-^+о J_ V-+0 ах а av_++o
xa
поэтому, согласно следствию из теоремы 1 (точнее, его аналогу
для неположительных функций), интеграл (33.21) сходится.
Это было установлено и ранее непосредственным вычисле-
нием данного интеграла (см. пример 2 в п. 33.2).
Г еометрически сходимость и расходимость интегралов
(33.9), (33.10) и (33.21) означает конечность или бесконечность
площадей соответствующих «бесконечных криволинейных тра-
пеций», сравнительное расположение которых изображено на
рис. 153.
4. Для выяснения вопроса о сходимости интеграла
1
— (33.22)
In.v
о
заметим, что 1пх = 1п[1+(А'-1)] — х — 1 при х—>1, и возьмем за
678
функцию сравнения g(x) =—т.е. выберем а=1. Тогда
1 —X
lim-—= —1 и, следовательно, интеграл (33.22) расходится.
1 In X
5. Интеграл
+ 00
j (33.23)
сходится. Действительно, возьмем <*=-—£, в>0. Тогда, приме-
нив снова правило Лопиталя, получим
3 2
.. Л2-Е1ПХ .. Х2 1ПХ .. 1 „
lim —------= lim lim —- = lim — = 0.
x—>4-oo y/x3* + 1 x—>-Too yjx3 + 1 x—*-Tco x—*-Too ел;Е
3
Выберем 8>0 так, чтобы ——8>1; в этом случае интеграл
+ 00
dx !
3/i- сходится, а поэтому, в силу следствия из теоремы 1,
1
сходится и интеграл (33.23).
6. Исследуем сходимость интеграла
+ 00 1
г Ineos-
—-^dx. (33.24)
1
Здесь подынтегральная функция всюду отрицательна. Очевидно,
интеграл (33.24) сходится или расходится одновременно с
интегралом
(33.25)
у которого подынтегральная функция
Разложив функцию Ineos- по формуле
всюду положительна.
Тейлора, получим
— In cos —=
х
In
хр
679
интеграл (33.24) сходится при 2+/?>1, т. е. при р> — 1, и
расходится при р < — 1.
В примерах 2 и 3 сходимость рассмотренных там интегралов
можно было бы установить, вычислив их по формуле Ньюто-
на— Лейбница. Однако выяснение сходимости интегралов с
помощью признака сравнения обычно требует меньше вычис-
лений, чем при их предварительном нахождении по формуле
Ньютона — Лейбница. Важно отметить, что, используя признак
сравнения, можно выяснить сходимость интегралов, конечно, и
в случае, когда первообразная подынтегральной функции не
является элементарной, и, следовательно, обычным приемом (с
помощью формулы Ньютона — Лейбница) интеграл заведомо
не вычисляется, как это и было в примерах 4 и 5.
Подчеркнем еще раз, что признак сравнения для выяснения
вопроса о сходимости несобственного интеграла можно приме-
нять только для функций, не меняющих знака. Возникает
вопрос: как выяснить, сходится или расходится несобственный
интеграл в случае, когда подынтегральная функция меняет знак?
В следующих пунктах этот вопрос и будет изучен.
33.4. КРИТЕРИЙ КОШИ СХОДИМОСТИ НЕСОБСТВЕННЫХ
ИНТЕГРАЛОВ
В этом пункте мы уже не будем предполагать, что значения
рассматриваемых функций сохраняют один и тот же знак на
полуинтервале [а, Ь),—они могут принимать значения любого
знака, но по-прежнему будем предполагать, что все рассматри-
ваемые функции при любом выборе числа т|е[я, Ь) интегрируе-
мы по Риману на отрезке [а, ц]. ъ
Теорема 2. Для сходимости интеграла §f(x)dx необходимо
и достаточно, чтобы для любого 8>0 существовало такое число
Т|, а^ух\<Ь. что если г|<г|'</), Г|<т|"</), то
j J\x}dx <8.
(33.26)
Доказательство. Положим
<р(ц) = f/(х)dx. a^V[<b^+co.
680
b
Тогда сходимость интеграла J/(x)Ac, т. е. существование
конечного предела (33.1), означает существование конечного
предела lim ср(т|). В силу же критерия Коши для наличия конечного
предела функции ср(т|) при т|—необходимо и достаточно, чтобы
для любого 8>0 существовала такая
левосторонняя проколотая ок-
рестность U (Ь) = {х : Т[<х<Ь}
точки Ь, т. е. существовало такое
числоо т|, 6z^T|<Z>, что для всех
T['gU (Ь) и t\"gU (Л) (что рав-
носильно условию Т| < Г| ' < Z?,
т| <т|" <Ь) выполнялось бы нера-
венство
Рис 154
1ф(п")-<Р(п')1<е- (33.27)
Так как
ч" ч" ч"
(р(т)")-ф(п')= f f(x)dx- J f(x)dx= f f(x)dx,
a a T]
то неравенство (33.27) равносильно условию (33.26) (рис.
154). □
Теорема 2 называется критерием Коши сходимости интег-
рала.
33.5. АБСОЛЮТНО СХОДЯЩИЕСЯ ИНТЕГРАЛЫ
Важным понятием для несобственных интегралов от функ-
ций, меняющих знак, является понятие абсолютно сходящегося
интеграла.
Определение 2. Несобственный интеграл \f(x]dx называется
а
Ъ
абсолютно сходящимся, если сходится интеграл J |/(х) | dx.
а
b
Функции, для которых интеграл $f(x)dx абсолютно сходит-
ся, называются абсолютно интегрируемыми (в несобственном
смысле) на промежутке с концами а и Ь. В случае, когда а и Ъ
конечны, говорят также, что функция / абсолютно интегрируема
на отрезке \а. Z?].
Из теоремы 2 непосредственно следует критерий абсолютной
сходимости интеграла.
23-1807
681
ь
Теор ем а 3. Для того чтобы интеграл §f(x)dx абсолютно
а
сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого 8>0
существовало такое т| = т|(г), что если г|<т|'<Ь и х\<г\” <Ь, то
п"
п'
8.
Эта теорема называется критерием Коши абсолютной схо-
димости интеграла.
Напомним, что, как всегда, здесь предполагается, что
функция f интегрируема по Риману на любом отрезке [а, ц],
где а^ух\<Ь, — оо<а<Ь^ + оо.
Признак сходимости интегралов от неотрицательных функ-
ций, очевидно, применим также и для выяснения абсолютной
сходимости интегралов. Пусть, например, требуется выяснить:
сходится абсолютно или нет интеграл
Из неравенства
COS X
сходимости интеграла
(33.28)
COSX
^2
согласно признаку сравнения, следует и сходимость интеграла
dx. Это означает, что интеграл (33.28) абсолютно
1
сходится.
Важную связь между сходимостью и абсолютной сходи-
мостью интегралов устанавливает следующая теорема.
Теорема 4. Если интеграл абсолютно сходится, то он и
просто сходится.
Доказательство. Пусть задано 8>0. Если интеграл
ь
^f(x)dx абсолютно сходится, то, в силу критерия Коши
а
абсолютной сходимости интеграла (см. теорему 3), для любого
8>0 существует такое г|, a<v\<h, что если т]<г|,<Л, г|<г|"<Ь,
то
8.
(33.29)
682
Так как
f f(x)dx <
n"
f l/(*)l dx
n'
, то, в силу неравенства (33.29),
для любых указанных г)' и т|" имеем
л"
[ЛХУХ
£,
поэтому, в силу критерия Коши сходимости интегралов (см.
теорему 2), интеграл $f(x)dx сходится. □
Упражнение 4. Если несобственный интеграл от функции, определенной
на отрезке, абсолютно сходится, то он и просто сходится. Интеграл Римана
является частным случаем несобственного интеграла. Следовательно, если
существует интеграл Римана от абсолютной величины функции, то существует и
интеграл Римана от самой функции. Это неверно (привести соответствующий
пример!). Где ошибка в проведенном рассуждении?
Существенно отметить, что интеграл может сходиться, но не
сходиться абсолютно (в этом случае его иногда называют
условно сходящимся интегралом}.
В качестве примера рассмотрим интеграл
+ 00
— dx. (33.30)
X
о
v sinx .
Прежде всего заметим, что lim----=1, поэтому подынтеграль-
но х
ная функция, доопределенная единицей при х = 0, непрерывна на
полупрямой х^О и, значит, интегрируема по Риману на любом
отрезке [0, г|], в частности на отрезке [0, 1]. Поэтому вопрос о
сходимости (абсолютной сходимости) интеграла (33.30) эквива-
лентен вопросу о сходимости (абсолютной сходимости) инте-
грала
(33.31)
Для исследования его сходимости выполним интегрирование
по частям:
sinx ,
----ах =
1
683
В правой части равенства получен интеграл (33.28), который,
как известно, абсолютно, а значит, и просто сходится.
Таким образом, оба выражения в правой части равенства
имеют смысл и, следовательно, конечны. Поэтому, во-первых,
проделанное интегрирование по частям законно, а во-вторых,
левая часть равенства также конечна, т. е. интеграл (33.31)
сходится.
Заметим, что в результате интегрирования по частям мы
заменили интеграл (33.31) суммой некоторого конечного выра-
жения и другого несобственного интеграла, у которого в
знаменателе подынтегрального выражения стоит более высокая
степень переменной интегрирования, чем в (33.31), а в числи-
теле— ограниченная, как и в (33.31), функция. В получившемся
интеграле подынтегральная функция быстрее стремится к нулю,
чем в исходном, в том смысле, что
при х->оо.
Поэтому его сходимость оказалось легче непосредственно
исследовать, чем сходимость исходного интеграла: он оказался
даже не просто сходящимся, а абсолютно сходящимся.
Метод, позволяющий свести исследование сходимости дан-
ного интеграла к исследованию сходимости другого интеграла,
который в каком-то смысле «лучше сходится», чем данный,
называется методом улучшения сходимости.
Покажем теперь, что интеграл (33.31) не сходится абсолют-
но, т. е. что интеграл
+ 00
1^1 (33.32)
1
расходится. Действительно, из неравенства
| sin х |
• 9
sinx =
1 — cos 2х
2~
при любом г| > 1 имеем
п
| sin х |
х
1
(33.33)
684
+ 00
Интеграл — расходится и равен +оо. Интеграл же
1
+ 00
c-os- * dx сходится. Чтобы в этом убедиться, проинтегрируем
X
1
его по частям
+ 00
В силу этой формулы, сходимость интеграла J cos 2* dx
1
непосредственно следует из абсолютной сходимости интеграла
sin 2х 7
----dx, которая, в свою очередь, вытекает из очевидного
х
1
неравенства
sin 2х
Перейдя теперь к пределу при г|-> + оо в неравенстве (33.33),
получаем, что правая, а следовательно, и левая части этого
неравенства стремятся к +оо и поэтому интеграл (33.32)
расходится.
Таким образом, интеграл (33.31), значит, и интеграл (33.30)
не сходятся абсолютно.
Докажем еще одно полезное для дальнейшего вспомогатель-
ное утверждение.
Лемма 2. Если функция f абсолютно интегрируема, а
функция g интегрируема по Риману на отрезке \а, Z?J, то их
произведение gf также абсолютно интегрируемо на [а, 6].
Доказательство. Как было оговорено выше, рассматри-
ваются только такие функции /, которые при любом г]е[я, й)
интегрируемы по Риману на отрезке [а, т)]. По условию,
функция g интегрируема по Риману на отрезке [а, 6],
следовательно, она интегрируема по Риману и на всяком
685
отрезке [а, г| ], т]б[а, Ь) (см. свойство 2° в п. 28.1). Поэтому
произведение gf также интегрируемо по Риману на любом
указанном отрезке [а, т|] (см. свойство 6° в п. 28.1). Это
означает, что имеет смысл рассмотрение несобственного интег-
рала j g(x)f(x)dx.
В силу интегрируемости по Риману функции g на отрезке [я.
/>], она ограничена на нем, т. е. существует такая постоянная
М>0, что для всех хе[а, выполняется неравенство
|g(x)| Следовательно, для всех хе[а, Ь) справедливо и
неравенство | g(x)/(x)|<Af |/(х)|. Заметив, что, в силу абсо-
лютной интегрируемости функции /на отрезке [a, Z?], интеграл
b ь
$ M\f(x)\dx== М $\f(x)\dx сходится, получим, согласно призна-
а а
b
ку сравнения, что сходится и интеграл f |g(x)/(x)| dx, т. е. что
а
произведение gf абсолютно интегрируемо на отрезке \а, Z?]. □
Все сказанное в этом пункте естественным образом перено-
сится и на несобственные интегралы других видов, рассмотрен-
ных в п. 33.1, т. е. на интегралы вида (33.6), а также на
интегралы общего типа (33.8).
33.6. ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ ИНТЕГРАЛОВ
Докажем один достаточный признак сходимости интегралов,
называемый обычно признаком Дирихле.
Теорема 5 (признак Дирихле). Пусть:
1) функция / непрерывна и имеет ограниченную первообразную
F при х^а\
2) функция g непрерывно дифференцируема и убывает при
х^а;
3) lim g(x) = 0.
.v-* + oc
Тогда сходится интеграл
f f(x)g(x}dx. (33.34)
а
Доказательство. Прежде всего заметим, что, в силу
сделанных предположений, функция fg непрерывна, а значит, и
интегрируема по Риману на любом отрезке \а, Z>], я</>< + оо, и
поэтому имеет смысл говорить о несобственном интегра-
ле (33.34).
686
Проинтегрировав по частям произведение /(x)g(x) на
отрезке [а, Ь], получим
ь ь
b
f(x)g(x)dx= g(x)JF(x)=g(x) F(x)
a
a
а
b
(33.35)
а
Исследуем поведение обоих слагаемых
Ь-^ + оо. В силу ограниченности функции
теоремы),
правой
F (см.
части при
условие 1
M = sup|F(x)|< + оо.
Из условий 2 и 3 теоремы следует, что функция g не
отрицательна
Кроме того,
Далее, из
х^а. поэтому
ъ
для всех х^а, в частности g(Z?)^O; поэтому
|g(Z>) F(b)\^Mg(b).
в силу условия 3,
lim g(b)F(b)=0.
b—► + оо
убывания функции g следует, что g'(x)^0 при
ь
b
|F(x) g' (x)| dx^M
dx — —M g' (x) dx =
a
= М [g (a)-g (Z?) ] < Mg (я),
так как g(Z?)^O.
b
Таким образом, интегралы
| F(x) g' (x) | dx ограничены в
совокупности при всех Ь>а, поэтому интеграл
F(x) g' (х) dx
а
абсолютно, а значит и
конечный предел
просто сходится, т. е. существует
ь
lim
F(x) g' (•*) dx.
687
Мы доказали, что в правой части равенства (33.35) оба
слагаемых при b-^ + со имеют конечный предел, следовательно,
предел левой части при /?->оо также конечен. Это и означает
сходимость интеграла (33.34). □
Замечание 1. Получение нужных оценок в приведенном
доказательстве напоминает рассуждения при доказательстве
второй интегральной теоремы о среднем (см. п. 30.3*). Это не
случайно: если воспользоваться указанной теоремой для оценки
и
/»
интеграла f(x)g (х) dx, то признак Дирихле можно доказать
ь
короче. Мы не стали этого делать, чтобы еще раз показать, как
с помощью интегрирования по частям можно улучшить
сходимость интеграла.
Теорема 6 (признак Абеля*}). Если на полуоси х^а:
1) функция f непрерывна и сходится интеграл
+ оо
f(x) dx; (33.36)
а
2) функция g непрерывно дифференцируема, ограничена и
монотонна,
4-оо
то интеграл f(x)g{x) dx сходится,
а
Доказательство. Покажем, что эта теорема вытекает из
предыдущей. Прежде всего отметим, что интегралы
4-оо 4-оо
J /(x)g(x) dx и У(л-) [-g(x) ] dx
а а
сходятся или расходятся одновременно и что, в силу монотон-
ности функции g, одна из функций g или — g убывает.
Пусть, для определенности, убывает функция g. В силу ее
ограниченности и монотонности, существует конечный предел
lim g (х) = с,
х—♦ + оо
а так как функция g убывает, то при х-> + оо, убывая, стремится
к нулю и разность g(x) — c.
Н. Абель (1802—1829) — норвежский математик.
688
Представим произведение f(x)g(x) в виде
Л*) g (х) =/(х) [g (х) - с ] + cf (х). (33.37)
+ 00
В силу сходимости интеграла (33.36), интеграл cf(x) dx
а
также сходится. Из этого же условия следует, что интегралы
х
F(x)= f(t) dt, х^а,
а
ограничены. В самом деле, из существования конечного предела
+ ОО
lim F(x)= /(х) dx
х—-4 оо J
а
следует ограниченность функции F в некоторой окрестности
U( + оо) = {х.'х>/>}бесконечно удаленной точки +оо (см. свой-
ство 1° в и. 5.10). На отрезке же [а, Ь] функция F ограничена,
ибо она непрерывна. В результате функция F ограничена на
всей полупрямой х^а. Функция F является первообразной
функции /; тем самым функция f имеет ограниченную перво-
образную при х^а.
Таким образом, для интеграла
+ оо
J /(*) [g(*)-d dx
а
выполнены все условия признака Дирихле, поэтому этот
интеграл сходится. В силу доказанного, из равенства (33.37)
следует сходимость интеграла
+ 00
j /(*)g(<)dx.
а
Замечание 2. Усовершенствовав доказательства теорем 5
и 6, можно показать, что признаки Дирихле и Абеля
сходимости интегралов остаются справедливыми, если у функ-
ции f условие ее непрерывности заменить условием ее интегри-
руемости на любом конечном отрезке [а, Ь], а у функции g
отбросить требование ее непрерывной дифференцируемости,
оставив все остальные.
689
Примеры. 1. Применим признак Дирихле к исследованию
сходимости интеграла
+ оо
~dx, а>0. (33.38)
1
Функция f (х) = sin х имеет ограниченную первообразную
F(x}= — cosx, а непрерывно дифференцируемая функция
g(x)=\ при ос>О монотонно убывает и стремится к нулю при
х-^ + оо. Все условия теоремы 5 выполнены, поэтому интеграл
(33.38) сходится.
2. Следует, однако, иметь в виду, что признак Дирихле дает
только достаточные, а не необходимые условия сходимости
интеграла, поэтому не всегда с его помощью можно решить
вопрос о сходимости интеграла. Например, исследуем сходи-
мость интеграла
+ оо
sin х dx
ха—sinx’
1
а>0.
(33.39)
Попытаемся применить признак Дирихле, положив /(x) = sinx и
g(x) ——-—. Очевидно, что g(x)-»O при х->оо. Найдем
х“ — sin X
производную:
g'(x) =
— ах“ 1 + cos х
(х“ —sinx)2
Отсюда видно, что при ос < 1 эта производная при х-* + ос
бесконечно много раз меняет знак и, следовательно, сама
функция g(x) не является монотонно убывающей.
Таким образом, при а<1 признак Дирихле неприменим
указанным способом к выяснению вопроса о сходимости
интеграла (33.39). В этом случае естественно попробовать
прибегнуть снова к методу выделения главной части.
Применяя разложение функции (1 — О1, — 1 < / < 1, по
формуле Тейлора (см. п. 13.3), при х-> + оо получим
sinx _sinx 1 _sinx
ха — sin х ха sin х х“
sin2x , / 1 \
sinx
х“
sin х 1 cos 2x
~^ + 2х^ 2x2°
(33.40)
690
Интегралы
00
+ 00
г г
sin X . COS lx J /о о л 1 \
——dx и —^~dx (33.41)
X X
1 1
сходятся по признаку Дирихле при всех а>0. Интеграл же
+ 00
(33-42)
1
сходится при 2ос>1, т. е. при а>-, и расходится при
Действительно, из формулы (33.40) вытекает, что функция
ов указанной формуле непрерывна по х при х^1, а>0, и,
следовательно, имеет смысл говорить об интеграле (33.42).
Функции и неотрицательны в некоторой окрест-
ности + оо и эквивалентны при х-> + оо, поэтому интеграл
(33.42) сходится и расходится при тех же значениях параметра
+ 00
I dx
ос, что и интеграл (см. следствие из теоремы 1 в п. 33.3).
1
Таким образом, при ос>- все интегралы (33.41) и (33.42)
сходятся, значит, в силу (33.40), сходится и интеграл (33.39).
При О<ос^| интегралы (33.41) сходятся, а интеграл (33.42)
расходится, следовательно, расходится и интеграл (33.39).
Заметим, что при ос^О интеграл (33.39) расходится. Действи-
тельно, в этом случае знаменатель подынтегральной функции
обращается в нуль бесконечно много раз; причем если
Xq — sinxo = 0, то функция х“ —sinx в окрестности точки х0,
согласно формуле Тейлора, имеет (почему?) вид ха — sinx =
= (х — х0)\р(х), где к — некоторое натуральное число, а ф(хо)^0.
По условию, sinxo = Xo/0, поэтому в каждой такой точке х0
функция —sin v - имеет неинтегрируемую особенность.
ха — sin*
Следует обратить внимание на то, что для каждого
фиксированного ос>О функции asin~*— и эквивалентны при
х sm х х
х-» + оо, т. е.
691
sm x z x sin x
= 8(X) ,
xa-----------xa—sinx
, x i sin x 1 ~ 1
где 8(x)=l———>1 при x->4-oo, однако если 0<a^-, то
интеграл (33.39) от первой из них расходится, а интеграл (33.38)
от второй сходится.
Таким образом, замена подынтегральной функции на экви-
валентную может изменить сходимость интеграла (если, ко-
нечно, интеграл не сходится абсолютно).
3. Исследуем на сходимость и абсолютную сходимость
интеграл
(33.43)
+ 00
|sinx| , | Isinxl j
---- при + оо и интеграл -------------------- ах
х J х
1
расходится (см. (33.32)), то расходится и интеграл
т. е. интеграл (33.43) не
Легко проверить, что
сходится абсолютно,
при j>-»0
tgy=y + O(y3), (33.44)
причем в качестве окрестности в определении символа О (см.
определение 1 в п. 8.2), здесь можно взять интервал (—1, 1):
существует такая постоянная о О, что
К»(уШФ|3> И<1-
Далее, в силу формулы (33.44), при интеграл (33.43)
можно представить в виде
(33.45)
692
+ 00
Интеграл
dx сходится (например, по признаку Ди-
рихле), а интеграл
dx абсолютно сходится, поэтому
интеграл (33.43) — сходящийся.
4. Интеграл
о
sinx arctg* 7 л А
-----—— dx, а > 0, в силу признака Абеля,
сходится.
В самом деле, как мы уже знаем (см. пример 1), интеграл
+ 00
J сходится, а функция g (х) = arctg х ограничена и
о
монотонна.
33.7. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ
С ПЕРЕМЕННЫМИ ПРЕДЕЛАМИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
Часто при решении задач оказывается необходимым не
только установить сходимость или расходимость рассматрива-
емого интеграла, но и уметь оценить в определенном смысле
порядок «скорости» его сходимости или характер расходимости.
Мы не будем здесь доказывать общих теорем, относящихся к
этому вопросу (о некоторых общих методах изучения асимпто-
тического поведения функций см. в п. 37.10*), а лишь
проиллюстрируем его на отдельных примерах отыскания
порядка интегралов с переменным верхним пределом, когда они
либо стремятся к нулю, либо к бесконечности. Именно, если,
+ 00
например, интеграл f(t) dt сходится, то будет исследоваться
а
порядок стремления к нулю при х-> + оо интеграла
f(t) dt.
Этот порядок и называется
несобственного интеграла
X
скоростью сходимости сходящегося
+ оо
/»
/(/) dt. Если же интеграл
693
f(t) dt расходится и равен +оо или — оо, то будет изучаться
а
порядок стремления к бесконечности при х-> + оо интеграла
f(t) dt. Этот порядок называется порядком расходимости
а
расходящегося несобственного интеграла.
Примеры. 1. Исследуем
dt
ta+ i lnp/
2
при различных действительных значениях параметров ос и р.
Рассмотрим сначала случай ос>О и любого Р е R. При таких
значениях параметров интеграл (33.46) сходится, что легко
устанавливается по признаку сравнения, если
(33.46)
в качестве
’I'1
функции сравнения взять, например, функцию g(t) = t , ин-
dt
—— СХОДИТСЯ.
2 + 1
1 t
теграл от которой
В силу сходимости
значениях параметров ос
интеграла (33.46), при указанных
и Р второе слагаемое правой части
равенства
dt
dt
Га+] lnp t
2
х—>оо. Изучим
справедливость
dt
стремится
r+1 ln₽ t
2
порядок его убывания, а именно
асимптотического равенства
к 0 при
покажем
dt ~ 1
ra+1 lnpr a№ lnp.v'
(33.47)
Для доказательства положим
def
dt
fa+1 ln₽z’
ф(л-)
def j
ax“ lnpx’
В силу сходимости интеграла (33.46), при ос>0, ре/? имеем
lim F(x)=0. Очевидно, и lim Ф(х) = 0. Так как
694
Ф y'+Hni’x ax“+1 ln|l+1 v’
то применив правило Лопиталя, получим
г Ф(х) г ф/(х) г А | Р \ 1
lim ——= lim -~-= lim 14-—— =1,
х—►+oqF(x) х—>+cqF (%) x—►+oo\ 0C 111 Ay
т. e. соотношение (33.47) доказано.
В случае ос = 0, Р > 1 непосредственным интегрированием
получим даже явное выражение интересующего нас интеграла
dt
t lnp t
d In t
h47~(1 -p) ln₽“1
=-------(33.48)
(P-l)ln₽-1A- V 7
Покажем теперь, что для ос<О и любого Р<=1? интеграл
(34.1) расходится и, более того, имеет место асимптотическое
равенство
Положив в
dt
J Г 1п₽Л
2
этом случае
1
ocx“lnp x
(33.49)
def
---Z-, Ф (х) = ---—
f lnp t (1 — а)х
2
правило Лопиталя, получим
lim lim = lim fl 4
—*+ooF(%) X—>+oc^ (x) X—>+oo\
т. e. равенство (33.49) доказано.
Для оставшихся значений параметров ос и р интеграл
и применив
def
F(x) =
dt
1
1п₽ х
ос 1пх
dt
J ta 1пр х
2
вычисляется в элементарных функциях. Если ос = 0 и
(33.50)
dt
t ln₽r
2
d In t _
J 1пр/ _(1-р)1пр^Ч
2
а если oc = O, P= 1, to
ln1-pjc —In1 -p2
1-P
2
695
dt
Г In Г
2
\d In t , ,
------= In In t
J lnZ
2
. Inx
= ln-----.
2 to 2
Итак, интеграл (33.46) сходится при ос>О и любом ре/?, а
также при ос = 0 и Р > 1; при этом установлены асимптотическое,
а соответственно точное равенства (33.47) и (33.48) для
| dt гт
интеграла ^а+1 р При остальных значениях параметров ос и
Р интеграл (33.46) расходится и получена асимптотическая или
точная характеристика интеграла (33.50).
2. Рассмотрим интеграл
+ 00
j -фл, (33.51)
т
где при функция f непрерывна, неотрицательна
ЛО>о, (33.52)
имеет период Т
и интеграл от нее по пе] 2 (г+Т)=/(О риоду положителен т (33.53)
7 f(t) dt>0. (33.54)
Покажем, что интеграл (33.51) расходится и что
А>< In х, х->4-со, (33.55)
т
т. е. что функция в левой части этой формулы при х->4-оо
имеет порядок 1пх (см. п. 8.2).
Функция f непрерывна, поэтому она ограничена на отрезке
[Г, 2Т] и, следовательно, в силу периодичности, ограничена и
для всех t^T, т. е. существует число М>0 такое, что для всех
t^T выполняется неравенство
В
силу этого, имеем
(33.56)
f^-dt М
t (33.56)
~ = lnx —In Т=О(1пл),
х^Т, (33.57)
696
Обозначим теперь через J интеграл от функции f по периоду,
т. е.
2Т
f (33.58)
т
Произведя в записанных ниже интегралах замену перемен-
ного 1 = и + (к— 1)Г на отрезках [кТ, (к+1) Т], к = 2, 3,
получим
пТ п-1 (к+1) Т п-1 2Т
[mdt=y f ^=yp±±^rfM =
J t Li J 1 ZjJ u + (k-l)T (33.53)
T k=l kT k=l T
n-1 2T п-1 2T n-1
1V f _/(«) 1V I f Дм)du > ^У ’ (33.59)
TZjJ“ + J V ' (33.58)Г / Д+l V ’
k=l T k=l T k=l
Заметим, что для чисел х, лежащих на отрезке [/с+1, к+2],
выполняется
неравенство
р интегрированием которого
получается неравенство
к + 2
f dt< 1
J t k+ 1 ’
k+ 1
(33.60)
Поэтому
У > У f [ ^=1п(н+1)-1п2^1п(и+1).
/ 71 (33.60) / j J х J Х
к=1 к=1 к+1 2
Подставив эту оценку в неравенство (33.59), получим
пТ
фл^+п(и+1). (33.61)
Заметим, что
lim
п—*00
1п(я+1) г 1
hm-------------
1п(л+1)7’ ^От1| 1пГ
111 (п +1)
поэтому существует такое натуральное и0, что при п>п0
выполняется неравенство
1п(и+ 1) 1
1п(и+1)7^2*
(33.62)
Далее, для каждого числа х существует такое целое п. что
пТ^х<(п+\)Т. (33.63)
Теперь для любого х, для которого в неравенстве (33.63)
имеет место получаем
X пТ
— dt — dt -1п(«+1) — 1п(и+1)Т
J t (33.63) J t (33.61) т (зз.62)2Т (33.63)
о о
— 1пх.
27
(33.64)
Неравенства (33.57) и (33.64) и доказывают справедливость
формулы (33.55).
В формуле (33.55) в качестве функции / можно взять любую
конкретную функцию, удовлетворяющую перечисленным выше
условиям, при этом, в силу доказанного, соответствующие
интегралы всегда будут иметь порядок 1пх. Например,
In (cos г+2)
t
sin2 г
J г
о
Однако иногда удается получить более точную оценку. Так,
для второго интеграла имеем
1 cos 2/
(33.65)
sin t ~ . sin г
Так как lim-----= 0, то функция -----, доопределенная нулем
г—0 t t
при / = 08 будет непрерывна и, следовательно, интегрируема на
cos 2г ,
----dt
l-dt конечен. Интеграл
отрезке [0, 1 ], т. е.
о
сходится (это, например, сразу следует из признака
см. п. 33.6). Из сказанного вытекает, что функция
Дирихле,
698
1
F(x)=f ^31 dt, (33.66)
J «.
0 1
будучи непрерывной для всех х^О и имея конечный предел
1 + оо
lim F(x) = -dt —1 f ^^dt,
x-^+oo V 'J t 2 J t
0 1
ограничена на неотрицательной полуоси. Поэтому из равенства
о
sin2 t , 1
-----dt = -
I (33.65)2
(33.66)
явствует, что
—- dt ~ - In х, х-> + ооцш
t 2 - . ’
о
т. е. в этом случае удается определить не только порядок
интеграла с переменным пределом интегрирования х, но и его
асимптотическое поведение при х-> + оо: он эквивалентен |1пх.
В рассмотренных примерах асимптотическое поведение
интегралов было установлено с помощью более или менее
специальных методов, оказавшихся удобными в рассмотренных
конкретных случаях. Более общим методом, часто дающим
возможность находить асимптотическое поведение интегралов,
является обычное интегрирование по частям.
3. Рассмотрим в качестве примера интегралы Фре-
не ля
f cos 62 <70, J sin О2 <70,
о о
скорость сходимости которых определяется порядком убывания
интегралов
J cos 02 <70, J sin2 <70, х>0. (33.67)
Изучение асимптотического поведения интегралов (33.67) при
х-> + оо проводится одинаковым методом. Поэтому рассмот-
рим только один из них, например первый. Сделав в нем замену
А. Френель (1788—1827) — французский физик.
699
переменной 02 = г, сразу убеждаемся по признаку Дирихле, что
он сходится. Затем, дважды проинтегрировав по частям полу-
чившийся интеграл, будем иметь
+ 00
cos 02 J0=-
2
sinx2
2х
2
COSX
4х3
(33.68)
(согласно прежней терминологии (см. п. 33.5), мы с помощью
интегрирования по частям улучшили сходимость интеграла),
cos х2
Поскольку 3
будем иметь
Следовательно,
Таким образом, нам удалось с точностью до х-> + оо,
+ 00
найти простое выражение для интеграла J cos 02 dQ, дающее, в
частности, представление о характере его убывания при
х->4-со. Если произвести дальнейшее интегрирование по частям
интеграла в правой части формулы (33.68), то можно получить
+ 00
асимптотические формулы для интеграла J cos02d0 с точ-
ностью до + при любом натуральном п.
+ 00
Аналогично рассматривается случай интеграла J sin 02 dft.
700
ПРЕДМЕТНО-ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абель Н. 689
Абсолютная величина 49, 50
— погрешность 228
Абсолютно интегрируемая функция
681
— сходящийся несобственный интег-
рал 681
Аксиома индукции 28
Аксиомы действительных чисел
37—40
— Пеано 28
Алгебраическая форма комплексного
числа 509
Алгебраическое число 135
Алгоритм 196
— Евклида 526, 527
Аналитический способ задания функ-
ции 141, 142
Аргумент 22, 429
— комплексного числа 509
Арифметическая разность числовых
множеств 71
— сумма числовых множеств 71
Арифметическое значение корня 56
Архимед
Архимедово поле 79
Асимптота 324, 325
Асимптотически равные последова-
тельности 227, 517
---функции 222
Астроида 382
Базисные векторы 425
Безу Э. 520
Бесконечная производная 235, 245, 246
Бесконечно большая последователь-
ность 89
— — функция 17 5
— малая последовательность 109, 516
-------по сравнению с другой после-
довательностью 227, 517
---функция 174
------по сравнению с другой функ-
цией 225, 341, 455
— удаленная точка 61, 63, 404
-------прикосновения 147, 148, 430
Бесконечное множество 30
— «число» 61
Бесконечность 61, 63
Бесконечный предел 88, 89, 147, 404
— промежуток 62
Биективное отображение 23
Биекция 23
Билинейная форма 486, 487
Бинормаль 386
Больцано Б. 105
Бонне О. 628
Боре ль Э. 422
Буняковский В. Я. 610
Валлис <625
Вейерштрасс К. 102
Вектор главной нормали 374
Векторная функция 336, 337
Векторное представление кривой 351
----пути 348
Вертикальная асимптота 327
— касательная 240
Верхнее десятичное приближение 123
Верхний интеграл Дарбу 572
— класс сечения 51
— предел интегрирования 563
----последовательности 137
Верхняя грань множества 67
----последовательности 101
----функции 140
— сумма Дарбу 570
Вещественная переменная 139
Взаимно обратные отображения 26
— однозначное отображение 23
соответствие 23
Винтовая линия 366
Внутренность множества 404
— отрезка 62
Внутренняя точка кривой 353
----множества 404
----промежутка 62
----пути 348
Возрастающая последовательность
101, 102
— функция 182
Вторая производная 265
Второй дифференциал 271, 489
Выпуклая вверх функция 318
— вниз функция 318
— область 416
701
Вычитание множеств 20
— чисел 29, 30, 40, 41, 510
Гамильтон У. 478
Гейне Г. 149
Гёлъдер О. Л. 608
Гиперболические подстановки 549, 560
Гиперболический косинус 263
— котангенс 264
— синус 263
— тангенс 264
Гиперповерхность уровня 430
Главная нормаль 374, 376
— часть функции 232
Гладкая кривая 359
Градиент функции 475, 476, 478
Граница множества 413
Граничная точка множества 413
График функции 22
--многих переменных 429
Графический способ задания функции
142, 143
Гу льдин П. 658
Дарбу Г. 283
Двойная последовательность 436, 437
Двусторонний предел 167
Дедекинд Р. 53
Действительная ось 40, 509
— переменная 139
- часть комплексного числа 508
Действительные числа 37, 40
Декарт Р. 336
Декартов лист 336
Деление многочленов 520
— чисел 41, 42, 45, 512
Делимое 520
Делитель 520, 523
Десятичная запись числа 125
Диаметр множества 451
Дирихле Л. 142
Дифференциал 238, 456, 463
- векторной функции 342
высшего порядка 271, 272
—, геометрический смысл 245
— независимой переменной 239, 454,
463
—, физический смысл 248—250
Дифференциальный бином 549
Диооеренцирование 236
Дифференцируемость векторной функ-
ции 342
функции 238, 243
— многих переменных 456
Длина вектора 425
кривой 361, 363, 366, 367, 648
— промежутка 62
Дополнение множества 20, 411
Допустимая десятичная дробь 124, 125
Допустимое преобразование парамет-
ра 350, 354
Дуга кривой 356
Дюбуа-Реймон П. 586
Евклид 526
Евклидово пространство 425
Единица 38
Единичный вектор 427
8-окрестность бесконечно удаленной
точки 62, 63, 430
—- множества 412
— точки 62, 63, 396
Жордан К. 417
Зависимая переменная 22
Замечательные пределы 215, 216, 218
Замкнутая область 417
Замкнутое множество 408
Замкнутый контур 348, 353
— путь 348
Замыкание множества 408
Значение функции 22, 141, 142
Изолированная точка множества 157,
407
Изоморфизм 80
Изоморфные поля 80
— упорядоченные поля 80
Инвариантность формы дифференциа-
ла 257, 344, 469
Интеграл от векторной функции 628,
629
— с переменным верхним пределом
610
Эйлера 671, 672
Интегральная сумма Римана 562
Интегралы Френеля 699
Интегрирование 495
- некоторых иррациональностей
543—553
---трансцендентных функций 553 —
561
— по частям 501—503
— подстановкой 498—501
- рациональных дробей 534- 542
Интегрируемая в несобственном смыс-
ле функция 659
- по Риману функция 562, 563
Интервал 62
— выпуклости вверх 318
---вниз 318
строгой выпуклости вверх 318
— вниз 318
Инъекция 23
Иррациональная функция 146
Иррациональные числа 37, 43
Кантор Г. 76
Кардиоида 383, 644, 645
Касательная 244, 357
702
— плоскость 474
Катеноид 655
Квадратичная форма 487
Квадрат нулевого ранга 630
— ранга т 631
Квадрильяж 630
Колебание функции в точке 582
---на множестве 451
Компакт 417
Комплексная плоскость 509
Комплекснозначная функция 518
Комплексные числа 37, 508
Композиция функций 25, 144, 440
Конец кривой 353
— промежутка 62
— пути 348
Конечная производная 236
— точка 61, 430
Конечное множество 30
— покрытие 419
— число 61
Конечный предел 88, 147
— промежуток 62
Константа 25
Координатная ось 395
— плоскость 143
Координатное представление кривой
351
---пути 348
Координатные векторы 425
— функции отображения 346
Координаты вектора 424
— точки 392, 395
Корень из числа 56, 202, 512, 513
— многочлена 520
Коши О. 107
Кратная точка 347, 353
Кратность корня 520
Кратный корень 520
Кривая 351
— в пространстве Rn 414
Кривизна 373, 374, 380
Критерий Дарбу 579, 580
— Дюбуа-Реймона 587—590
— Коши абсолютной сходимости не-
собственного интеграла 682
— —существования предела интег-
ральных сумм 566—568
----------функции 187, 188
— сходимости несобственного ин-
теграла 680, 681
- последовательности 107, 108
— Лебега 591
— Римана 580
Криволинейная трапеция 564, 638
Критическая точка 316
Кручение 387, 391
Кубическая окрестность 398
Кусочно-гладкая кривая 359
Кусочно-линейная функция 451
Кусочно-непрерывная функция 592
Кусочно-непрерывно дифференцируе-
мая кривая 356
----функция 624
Лагранж Ж-Л. 277
Лебег А. 590
Левая производная 236
Левосторонняя окрестность 236
Лежандр А. М. 283
Лейбниц Г. 267
Лемма Гейне — Бореля 419—422
— Коши — Шварца 393, 394
-- о сохранении знака 170
Линейная плотность 249, 250, 656
— функция 146, 341, 462
Линейно связное множество 416
Линейность интеграла 495, 668
— скалярного произведения 426, 427
Линия уровня 430
Логарифм 211
Логарифмическая производная 261
— спираль 650
— функция 145, 211
Логические символы 34, 36
Локальное свойство функции в точке
149, 433
Ломаная, вписанная в кривую 360
Лопиталъ Г. 284
Луч 415
Мажоранта 676
Маклорен К. 298
Максимальное значение функции 141
— число множества 65
Мгновенная скорость 247, 248
Мгновенный ток 249
Мелкость разбиения 561
Мера открытого множества 631, 632
Метод выделения главной части 232—
235, 305—307
— математической индукции 28, 29
— неопределенных коэффициентов
532—534
— Остроградского 538—542
— улучшения сходимости 684
Минимальное значение функции 141
— число множества 66
Минковский Г. 608
Мнимая единица 508
— ось 509
— часть комплексного числа 508
Многозначная функция 25
Многочлен 145
— Лежандра 283
—- Тейлора 297
- Чебышева — Эрмита 283
703
Множество действительных чисел 37,
40, 51
— задания функции 22
— значений функции 22
— иррациональных чисел 43
— комплексных чисел 508, 515
— лебеговой меры нуль 590
— натуральных чисел 27, 28
— определения функции 22
— рациональных чисел 43
— уровня 430
— целых чисел 43
Модуль 49, 50
— комплексного числа 508
— непрерывности 447, 448
Монотонная последовательность 102
— функция 183
Морду хай-Болотовский Д. Д. 551
Муавр А. 512
Набла 473
Надграфик 143
Наибольшее значение фунюции 141,
273
— число множества 65, 67
Наибольший общий делитель много-
членов 524
Наименьшее значение функции 141,
273
— число множества 65, 67
Наклонная асимптота ЗТ1
— касательная 244
Направляющие косинусы вектора 428
Натуральные числа 27, 37, 43
Натуральный логарифм 211
Начало координат 395
— кривой 353
— пути 348
Невозрастающая последовательность
112
— функция 182
Независимая переменная 22
Неограниченная последовательность
101, 404
- сверху последовательность 101
— снизу последовательность 101
Неограниченное множество 66
— сверху множество 65
- снизу множество 65
Неопределенности 283
Неопределенный интеграл 493, 505
—. свойства 494, 495, 505— 507
Неособая точка 359
Непересекающиеся множества 19
Неправильная рациональная дробь
527
Непрерывно дифференцируемая кри-
вая 354
---функция 266, 460, 486
— дифференцируемо эквивалентные
пути 354
— дифференцируемый путь 349
Непрерывное упорядоченное поле 50
Непрерывность векторной функции
338
— действительных чисел 39
---------по Дедекинду 53, 79
------- - - Кантору 76, 79
— отображения 347, 414
— функции в точке 156, 177- -179,
437, 438, 518, 519
----------по множеству 158, 159,
438
----------------слева 169
----------------справа 169
-----------отдельной переменной
439
---на множестве 192, 442, 519
Неравенство 47
— Бернулли 118
— Гёльдера 608, 672
— Коши — Буняковского 610
— Минковского 608, 672
— треугольника 393, 395, 426
Несобственное подмножество 19
Несобственный интеграл 659, 660,
662—664
Несчетное множество 131
Неубывающая последовательность
112
— функция 182
Неявная функция 144
Неявное представление кривой 356
Нижнее десятичное приближение 123
Нижний интеграл Дарбу 572
— класс сечения 51
— предел интегрирования 563
---последовательности 137
Нижняя грань множества 67, 68
---последовательности 101 4
--- функции 140
— сумма Дарбу 570
«-мерная сфера 410
«-мерное действительное векторное
пространство 424
— евклидово пространство 393, 425
«-мерный действительный вектор 424
— единичный шар 411
- замкнутый шар 410
— куб 397
- открытый шар 410
— параллелепипед 397
- шар 396
Нормаль 376
Нормальная плоскость 388
Носитель кривой 352
704
— пути 347
— точки кривой 353
Нулевой вектор 38, 424
Нуль 38, 424
Ньютон И. 58, 551
Область 416
- определения функции 22
Обобщенная первообразная 503
Образ подмножества 24
— элемента 22
Обратная функция 25
Обратное число 38
Обратные гиперболические функции
264, 265
- тригонометрические функции 145
Общий делитель многочленов 524
Объединение множеств 19, 20
Объем тела вращения 645
Ограниченная последовательность
100, 402
---по сравнению с другой 227, 517
- сверху последовательность 100
—функция 140
-- снизу последовательность 100
— функция 140
- функция 140, 518
---по сравнению с другой 220
Ограниченное множество 66, 402
— сверху множество 65
— снизу множество 65
Однозначная функция 25
Однолистное отображение 23
Односторонний предел 167
Односторонняя непрерывность 168,
169
- производная 236
Окрестность множества 412
— точки 63, 406, 430
Определенный интеграл 563—565
—, геометрические приложения
638- -655
—, свойства 593—601
—, физические приложения
655—659
О реем Н. 636
Ориентированная кривая 355
Ориентировано эквивалентные пути
355
Ортогональные векторы 427
Основное свойство дроби 42
Основной репер 387
Основные элементарные функции 145
Особая точка 359
Остаток 520
Остаточный член формулы Тейлора
297
— форме Коши 299
------Лагранжа 299
----------------Пеано 297
------Шлёмильха— Роша
299
Остроградский М. В. 539
Открытая кривая 356
Открытое множество 404
— покрытие 419
Относительная погрешность 228, 229
Отношение порядка 48
Отображение 22, 23
— «в» 23
— «на» 23
Отрезок 5, 61, 62, 415
— разбиения 561
Отрицательные числа 37
Паскаль Б. 34
Параметр 347
Параметрическое задание функции
269, 270
Пеано Д. 28
Первообразная 492, 629
Переменная интегрирования 563
Пересечение множеств 19, 20
Перестановки 32
Период 602
Периодическая функция 35, 602
Плоский путь 348
Площадь криволинейной трапеции 638
— открытого множества 631, 632
— поверхности вращения 653, 654
- сектора кривой, заданной поляр-
ными координатами 644
Поверхность уровня 430
Повторный предел 434, 435
Подграфик 143
Подмножество 19
Подполе 85
Подпоследовательность 99, 400
Подпространство 425
Подстановки Эйлера 564—548
Подынтегральная функция 493, 563
Показательная функция 145, 207
Покрытие множества 419
Поле 47
- комплексных чисел 515
Полином 145
Полное приращение 456
Полный дифференциал 456, 463
—, геометрический смысл 475
Полнота действительных чисел 51
Положительное направление касатель-
ной 358
Полуинтервал 62
Полукубическая парабола 322
Полярные координаты 382, 383
Порядок бесконечно малой по отно-
705
шению к другой 226
— расходимости несобственного ин-
теграла 694
Последовательности одного порядка
227, 517
Последовательность вложенных кубов
419
— комплексных чисел 516
- - точек пространства Rn 400
— элементов множества 30
Постоянная 25, 145
Построение графиков 327—336
Правая производная 236
Правило замены переменной 191
— Лопиталя 284—288
Правильная рациональная дробь 527
Правильное разбиение 663
Правосторонняя окрестность 236
Предел векторной функции 337
- отображения 346, 347
— последовательности комплексных
чисел 516
-точек пространства Rn 400
------пути 348
— расширенной числовой пря-
мой 92
— функции в точке 147, 432
----------по Гейне 147
----------Коши 161, 162
--------кривой 433
— множеству 151, 431
- разбиений отрезка
564, 565
------------слева 166, 167
-------- — - справа 166. 167
— числовой последовательности
87- 89
Предельная точка множества 157, 407
Предельное положение секущей 244
Представление кривой 351, 354
Признак Абеля 688, 689
Дирихле 686—688
- сравнения для несобственных ин-
тегралов 674 —676
Принцип Архимеда 74
- вложенных отрезков 76, 77
Приращение аргумента 179
- функции 179, 438
Произведение вектора на число 424
— множеств 22
последовательностей 109
последовательности на число 109
- чисел 38, 511
числа на числовое множество 71
числовых множеств 71
Производная 235
векторной функции 340, 341, 368,
369
— высшего порядка 265, 266
—, геометрический смысл 245
—, дифференцирование основных эле-
ментарных функций 236—238, 252,
253, 255, 256, 262
— обратной функции 253
—, основные правила вычисления 250
— по направлению 477, 478, 480
- сложной функции 256, 258
—, физический смысл 247 - 250
—, функции, заданной параметрически
270
Проколотая 8-окрестность 152
— окрестность 153, 407
Промежуток 62
— интегрирования 563
Прообраз множества 24
— элемента 23
Простая дуга 348
Простой замкнутый контур 348, 353
— корень 520
Противоположно ориентированная
кривая 355
Противоположное число 38
Противоположный вектор 424
— путь 355
Прямая в пространстве Rn 415, 428
Прямоугольная окрестность 398
Пустое множество 18, 19
Путь 347, 414
Работа силы 656
Равномерно непрерывная функция 444,
445
— стремящаяся к нулю функция 461
Равномощные множества 129
Равные комплексные числа 509
- множества 18
Радиальная составляющая 372
Радиус-вектор 337
Радиус кривизны 373
Разбиение отрезка 360, 561
Разложение на множители многочлена
с действительными коэффициентами
522
комплексными коэффи-
циентами 521
— элементарные дроби правильной
рациональной дроби 530, 531
по формуле Тейлора основных эле-
ментарных функций 302—304
Разность множеств 20
последовательностей 109
чисел 29, 40, 510
Размерность вектора 424
Размещения 31
Раскрытие неопределенностей 154,
284—295
706
Расстояние между двумя множествами
412
— точками в пространстве /?"
392
— от точки до множества 412
Расходящаяся последовательность 88
Расходящийся несобственный интег-
рал 660, 663, 664
Расширенное множество действитель-
ных чисел 61
Рациональная дробь 146
— функция 46, 146, 543
Рациональные числа 37, 43
Риман Б. 180
Ролль М. 275
Рош Э. 299
Секущая 357
Сечение множества действительных
чисел 51
Символ всеобщности 34
— существования 34
Символический вектор Гамильтона
478
Симметричная форма 487
Система вложенных отрезков 75, 76
Скалярное произведение 425
Скачок 181
Скорость изменения переменной 247,
341
- сходимости несобственного интег-
рала 693
Сложение чисел 29, 37, 38, 41, 43, 44,
510
Сложная функция 25, 144
Смешанная частная производная 484
Собственное подмножество 19
— подполе 85
Собственный интеграл 660
Соприкасающаяся окружность 383
— плоскость 377, 378
Сопряженные комплексные числа 514
Сопряженный многочлен 521
Сочетания 32
Спрямляемая кривая 361
Спрямляющая плоскость 388
Сравнение функций 219 -222,
225—227
— чисел 39, 47 -49
Средняя линейная плотность 249
— сила тока 249
— скорость 247, 248
Стандартный базис 425
Статический момент 656, 657
Стационарная последовательность 30,
93
Степенная функция 145, 212
Степень многочлена 146, 519
— с действительным показателем
205—207
— натуральным показателем 45
-----рациональным показателем 57,
204
Строго возрастающая функция 197
- выпуклая вверх функция 318
----- вниз функция 318
— наибольшее значение 273
— наименьшее значение 273
— монотонная функция 197
— убывающая функция 197
Сужение функции 24
Сумма бесконечного числа слагаемых
590
— векторов 424
— кривых 356
— множеств 19
— последовательностей 109
— чисел 29, 37, 510
Суперпозиция функций 25, 144
Существенно комплексное число 508
Сферическая окрестность 396
Сходящаяся последовательность 88,
400, 516
Сходящийся несобственный интеграл
660, 664
Счетное множество 129
Сюръективное отображение 23
Сюръекция 23
Таблица поведения функции 329
Табличные интегралы 496, 497
Табличный способ задания функции
143, 144
Тейлор Б. 297
Теорема Безу 520
— Больцано — Вейерштрасса 105, 106,
403
— Больцано- Коши 194, 195
— Бонне 628
— Вейерштрасса о достижимости
верхней и нижней граней функции
193, 194
-----о существовании предела моно-
тонной последовательности 102, 103
— Дарбу о промежуточном значении
производной 283
-----об интегрируемости функции
579, 580
— Дюбуа-Реймона 587—590
— Гульдина первая 658
— Жордана 417
— Кантора о несчетности множества
действительных чисел 131
--------равномерной непрерывности
446, 447
--------счетности множества алгеб-
707
раических чисел 135
— Коши 282
— Лагранжа 277, 278
— Лебега 591
— о возрастании и убывании функции
на интервале 307, 308
-----единственности многочлена Тей-
лора 299, 300
------предела числовой последова-
тельности 94
-----кривизне кривой 374, 375
-----площади криволинейной трапе-
ции 638, 639
-------поверхности вращения 653,
654
-----повторном пределе 435, 436
-----пределе сложной функции 189,
190, 440, 441
— —производной длины дуги кривой
363, 364
---обратной функции 253, 254
-------сложной функции 256, 257,
464, 465
-----производных суммы',1 произведе-
ния и частного 250-п252 ;
-----равенстве смешанных производ-
ных 484, 485
— —разложении правильной рацио-
нальной дроби на элементарные
дроби 530, 531
-----спрямляемости кривой 362, 363
—среднем значении для определен-
ного интеграла вторая 626—628
-------------------первая 604- -607
— существовании верхнего и ниж-
него пределов последовательности
137
-------верхней и нижней граней
множества 69, 70
— односторонних пределов мо-
нотонной функции 183, 184
-----счетности множества рациональ-
ных чисел 130, 131
— об инвариантности формы диффе-
ренциала 467—469
— —интегрировании по частям 501,
502, 623, 624
подстановкой 498, 619, 620
-------рациональной дроби 536
-----объеме тела вращения 645, 646
-----ограниченности интегрируемой
функции 568, 569
- - сходящейся последователь-
ности 101
-----эквивалентности определений
предела функции по Коши и по
Гейне 163, 164
— основная интегрального исчисле-
ния 615
— Римана об интегрируемости функ-
ции 580
— Ролля 275
— Ферма 274
Теоремы о выпуклости вверх, вниз и
точках перегиба 318—320, 322—324
----дифференцируемых функциях
240, 241, 457—462
----компактах 417—422
----мере открытых множеств
633—636
----непрерывности элементарных
функций 203, 207—212, 214
----несобственных интегралах
674—676, 680—683, 686—689
----пределах последовательностей
94, 101 — 103, 105—108, 137—139,
401—403
-------функций 163, 164, 168^ 175,
183, 184, 189, 190, 435, 436, 440, 441
----раскрытии неопределенностей
284—288, 293—295-
----функциях многих переменных,
непрерывных на множествах 442,
443, 446, 447
— об интегрируемых функциях 566—
569, 573—576, 578—580, 587-591
----обратной функции 198—200
----определенном интеграле с пере-
менным верхним пределом 610—
613
----эквивалентных функциях 230,
231
----экстремумах 310, 311, 313—315
Тор 658
Точечное пространство 424
Точка возврата 322
— возрастания функции 312
— кривой 352, 353
— максимума 309, 316
— минимума 309, 316
— «-мерного пространства 392
— перегиба графика функции 321
----функции 321
— прикосновения множества 147, 406,
407
— пути 347
— разрыва 181
----второго рода 182
----первого рода 181
— самопересечения 347. 353
— строгого максимума 309
----минимума 309
----экстремума 309
— убывания функции 312
— устранимого разрыва 181
— числовой прямой 40
708
— экстремума 309
Точная верхняя грань множества 67
— нижняя грань множества 67
Трансверсальная составляющая 372
Трансцендентная функция 146
Треугольник Паскаля 34
Тригонометрическая форма комплекс-
ного числа 509
Тригонометрические подстановки 549,
553, 554
— функции 145
Убывающая последовательность 101,
102
— функция 182
Угловая скорость вращения векторной
функции 370
Угол между векторами 427
Умножение чисел 38, 42—45, 511
У порядоченная пара 21
У порядоченное подполе 85
— поле 49
Упорядоченность множества действи-
тельных чисел 38, 39, 48
Условие Коши 107, 188. 189
Условно сходящийся несобственный
интеграл 683
Ферма П. 274
Формула бесконечно малых прираще-
ний 279
— бинома Ньютона 58
— Валлиса 625
— дифференцирования определенного
интеграла по верхнему пределу 613
— интегрирования заменой перемен-
ной 500, 619, 669
---по частям 501, 623, 669
---подстановкой 498, 619, 669
— конечных приращений Коши 282
Лагранжа Т19
— Лейбница 267
— Маклорена 298
— Муавра 502
— Ньютона—Лейбница 615—618,
629, 667
— Остроградского 539
— Тейлора 297
Формулы Френе 384, 388
Френе Ж. Ф. 384
Френель А. 699
Фундаментальная последовательность
107
Функции одного порядка 220, 221
Функция 22
— Дирихле 143, 152, 159, 437, 569
— многих переменных 429
— Римана 180, 576, 577
— с интегрируемой производной 619
---производной в широком смысле
273
— сравнения 676
- sign* 142, 153, 167
— [х] 169
См. также соотв. названия
Характеристическая функция множе-
ства 136
Целые числа 43
Центр кривизны 378, 380, 381
— тяжести кривой 657, 658
Цепная линия 646
Циклоида 270
Частичный предел последовательнос-
ти 106
Частная производная 452, 453
---высшего порядка 483
— —, геометрический смысл 473
Частное многрчленов 520
— последовательностей 109
— чисел 42, 512
Частный^ j jдифференциал 453
Часть кривой {356
Чебышев П. Л. 283, 551
Четная функция 35
Число е 103—105, 120—122, 237
— i 508, 513, 515
Числовая ось 40
— прямая 40
— функция 140
Чистая частная производная 484
Член последовательности 30
Шаровая окрестность 396
Шварц Г. 393
Шлёмильх О. 299
Эвольвента 384
Эволюта 379
Эйлер Л. 546, 551
Эквивалентные последовательности
517
— пути 350, 414
— точки путей 352
— функции 221, 222
Экстремальное значение функции 141
Элементарная работа силы 655
— функция 145
---п переменных 442
Элементарные рациональные дроби
532
Элементарный статический момент
657
Эллиптические интегралы 561
Эрмит Ш. 283
709
УКАЗАТЕЛЬ ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
Эх — существует такое х
Vx— для любого х
А^>В—из высказывания А следует высказывание В
АоВ высказывание А равносильно высказыванию В
def - утверждение справедливо по определению
п
У ак — сумма п слагаемых а{, ап
к= 1
□ —знак окончания доказательства
а^А, А=>а — элемент а принадлежит множеству А
афА, Афа элемент а не принадлежит множеству А
А = {а, Ь, с,...}—множество А состоит из элементов а. Ь, с,...
А = {а:...} - множество А состоит из элементов, обладающих определенными
свойствами (указанными после двоеточия)
0 — пустое множество
AczB, В^)А - множество А содержится в множестве В
A[jB -объединение множеств А и В
пересечение множеств А и В
А В разность множеств А и В
N- множество натуральных чисел
Z множество целых чисел
Q множество рациональных чисел
I множество иррациональных чисел
R множество действительных чисел, числовая прямая
R расширенное множество действительных чисел, расширенная числовая
прямая
С— множество комплексных чисел
i мнимая единица
Rez--действительная часть комплексного числа z
Im z мнимая часть комплексного числа z
\z\ модуль комплексного числа z
Argz аргумент комплексного числа z
argz - значение аргумента ср комплексного числа z, удовлетворяющее нера-
венству — Л<ф^Л
z- число, сопряженное комплексному числу z
[а, b] отрезок
(а, Ь) интервал
[a, b), (a, Z>]—полуинтервалы
А„ -- размещения из п элементов по к элементов
Рп- перестановки из п элементов
С„ -сочетания из п элементов по к элементов
А\В сечение множества действительных или рациональных чисел, образован-
ное множествами А и В
supX syp{x}— верхняя грань множества X
710
inf У, {x}—нижняя грань множества X
X—замыкание множества X
дХ- граница множества X
diam(Jf)— диаметр множества X
{х„}; хп, п=\. 2, ...— последовательность элементов хп
lim хп = а — число а есть предел последовательности {хп}
п —>-00
lim хп — верхний предел последовательности {хп}
п —►ос
lim хп — нижний предел последовательности (хп}
и —*00
f:X-*Y—отображение множества X в множество Y
y—f(x)— переменная у является функцией переменной х
Дх0), Дх)|х=Хо — значение функции Дх) в точке х0
f\A,fA— сужение функции f на множество А
gof—композиция (суперпозиция) функций fug
—обратная функция для функции f
е- основание натуральных логарифмов
1пх—натуральный логарифм числа х
sh х—гиперболический синус
ch х—гиперболический косинус
thx- гиперболический тангенс
cth х—гиперболический котангенс
Arsh х — ареасинус
Arch х—ареакосинус
signx—функция «знак х»
[х]— функция «целая часть числа х»
sup sup/, sup Дх) — верхняя грань функции f на множестве X
X х^Х
inf/ inf/, inf Дх) — нижняя грань функции f на множестве X
X х^Х
max f, max /— наибольшее значение функции f на множестве X
X '
min/, min/—наименьшее значение функции / на множестве X
X
lim f(x} = a, при х->х0 — число а есть предел функции Дх) в точке х0
X—х0
lim Дх) = я— число а есть предел функции Дх) по множеству Е в точке х0
lim/(x0 —0), lim f(x) — предел слева функции Дх) в точке х0, х^х0
х^х0-°-
lim/(xo+0), Пт^Дх)— предел справа функции Дх) в точке х0, х=4х0
U(х0, с) — 8-окрестность точки х0
U (х0, б) — проколотая 8-окрестность точки х0
ХД-¥о) — пересечение множества X с лучом х^х0
А/(х0)— пересечение множества X с лучом х>х0
711
/(x) = O(g(x)) при х—>х0— функция f ограничена по сравнению с функцией g при
/(x)xg(x) при х->х0— функция f имеет тот же порядок, что и функция g, при
Х~+Х$
/(x)~g(x) при х-*х0— функции f и g эквивалентны (асимптотически равны) при
а (х) = о Дх)) при х->х0 — функция а есть бесконечно малая по сравнению с
функцией f при х-»х0
Дх — приращение аргумента
Ду- приращение функции
- dy
f(x\ у', у'х, ——производная функции у=Дх)
dx
f'+ (х) — правая производная функции Дх) в точке х
- левая производная функции Дх) в точке х
dy, df(x)—дифференциал функции у=Дх)
/Дх), /2(х), у" — вторая производная функции у=Дх)
/(и)(х), у(п) — производная «-го порядка функции у=Дх)
dny—дифференциал w-го порядка функции y=f(x)
r(t) — векторная функция
ab, (а, Ь)—скалярное произведение векторов а и b
axb, [а, Ь]— векторное произведение векторов а и b
Л
ab—угол между векторами а и b
Rn, R*—«-мерное евклидово пространство
(хр х„)—точка «-мерного пространства, «-мерный вектор
р(х, у) — расстояние между точками х = (хр ..., хп) и у = (ур ..., у„)
| х | — длина вектора
Дх, у) —функция двух переменных
Дхр х„); Дх), х = (хр ..., х„) — функция « переменных
lim limДх, у), lim limДх, у) — повторные пределы
А. ( \
----частная производная функции и[х, у) по переменной х
дх
ди л \
—> их> fx—частная производная функции u=f(x1, ..., хп) по переменной xf
dXi 1 1
дки
—т-----г-, к, +... + кп = к - частная производная /с-го порядка
5xii...x„«
du — полный дифференциал функции u—f(xlt ..., х„)
dnu—дифференциал «-го порядка функции u=f(x1, ...,
gradw, V« — градиент функции м=Дхр...,х„)
^f(x)dx— неопределенный интеграл от функции Дх)
$f(x)dx—определенный интеграл от функции Дх)
ь
несобственный интеграл по промежутку с концами a
ь
Ф(х) , [Ф(х)]д — разность Ф(/>) — Ф(«)
на отрезке [я, /?];
и Ь, — ос<я<Л< + со
mes (7 — мера (площадь, объем) открытого множества
712