/
Автор: Перминов В.Я. Беляев Е.А.
Теги: математика монография естественные науки философия науки философия математики
Год: 1981
Текст
Е.А. Беляев, В.Я. Перминов
ФИЛОСОФСКИЕ
И МЕТОДО-
ЛОГИЧЕСКИЕ
ПРОБЛЕМЫ
МАТЕМАТИКИ
11 *>j;i । с. 1 ьс । во
М осковсксн о \ н и верен i с i л
ДИАЛЕКТИЧЕСКИЙ
МАТЕРИАЛИЗМ
Е.А. Беляев, В. Я Перминов
ФИЛОСОФСКИЕ
И МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ
ПРОБЛЕМЫ
МАТЕМАТИКИ
Издательство
Московского университета
1981
Печатается по постановлению
Редакционно-издательского совета
Московского университета
Рецензенты:
доктор философских наук,
профессор П. Е. Сивоконь,
кандидат философских наук
А. С. Надточаев,
кандидат физико-математических наук,
доцент А. С. Кузине в
Беляев Е. Л., Перминов В. Я.
Философские и методологичес-
кие проблемы математики. — М.:
Изд-во Моск, ун-та, 1981. — 217 с.
Монография посвящена философским и ме-
тодологическим проблемам математики. Кратко
прослеживается эволюция воззрений на матема-
тику с античности до настоящего времени и
рассматриваются наиболее важные проблемы
современного ее 1понимания: отношение мате-
матических понятий к логике, к эмпирическому
знанию и к категориальным представлениям о
мире. Выясняется связь методологических идей
в математике с философскими воззрениями на
сущность ее предмета и метода.
Для специалистов по методолЬгическим про-
блемам математики и логики, преподавателей,
аспирантов и студентов, занимающихся, фило-
софскими проблемами математики и ее исто-
рией.
10502-098
В ------------10—81 0302020100
077(02)—81
© Издательство Московского университета, 1981 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта небольшая книга представляет собой об-
работку лекций, прочитанных авторами на меха-
нико-математическом факультете МГУ и предназ-
начена прежде всего для студентов физико-мате-
матических специальностей, проявляющих интерес
к философским проблемам своей науки.
Мы не стремились здесь к тематической полно-
те и даже к исчерпывающему рассмотрению за-
тронутых вопросов. Книга написана как первона-
чальное введение в философию математики, и
основная задача, которую мы ставили, состояла
в том, чтобы дать общее представление о характе-
ре проблем, изучаемых под рубрикой «философ-
ские вопросы математики», разъяснить основные
понятия, в которых ставятся и обсуждаются эти
проблемы в настоящее время и, наконец, помочь
читателю сориентироваться в более специальней
литературе.
Опыт преподавания показывает, что адекватное
понимание философских проблем современной ма-
тематики затруднено для студента прежде всего
недостаточным знакомством с историей философии,
а также с историей математики. Поэтому в книге
сделан упор на историческом рассмотрении всех
проблем. Первые четыре главы представляют по
существу историческое введение к рассмотрению
собственно современных вопросов философии ма-
тематики.
Значительная часть существующей литературы
по философским вопросам математики страдает
одной из двух крайностей: либо это работы слиш-
ком философического характера, очень косвенно
связанные с методологическими проблемами мате-
матики, либо же это рассуждения о формальных
системах, перегруженные символами и специаль-
ной терминологией, относящиеся скорее к основа-
ниям математики, чем к ее философии. В чисто
научном плане оба эти подхода имеют смысл, но
5
они заведомо непригодны для первоначального
ознакомления с предметом. В предлагаемой рабо-
те мы старались избежать указанных крайностей,
сделав акцент на философских проблемах такого
рода, которые проистекают из практики матема-
тического мышления и решение которых, в свою
очередь, имеет достаточно очевидное влияние на
методологические установки ученых.
В конце 1978 г., когда первый вариант рукопи-
си был закончен, скоропостижно скончался Евге-
ний Александрович Беляев, доцент кафедры фило-
софии естественных факультетов МГУ, один
из авторов этой книги. Короткая биография
Е. А. Беляева целикОхМ связана с Московским
университетом. В 1963 г. он закончил механико-
математический факультет, в 1967 г.‘ защитил дис-
сертацию по философским проблемам математики
и до конца дней был преподавателем кафедры фи-
лософии естественных факультетов. Как препода-
ватель Е. А. Беляев проявил себя в высшей степе-
ни плодотворно. Глубокое знание предмета, широ-
кая эрудиция и нс только в философских пробле-
мах, доброжелательность, знание студенческой
аудитории, постоянное стремление улучшить пре-
подавание философии на факультете, где он пос-
ледние годы руководил преподавательской секци-
ей, — все это создавало ему высокий авторитет и
уважение среди его учеников и товарищей.
Научные интересы Е. А. Беляева были сосре-
доточены в сфере философских проблем матема-
тики. Он исследовал вопросы, связанные с об-
щей методологией математики, а также философ-
ские вопросы обоснования математики и матема-
тизации знания. Смерть помешала ему завершить
работу, посвященную этим вопросам. Е. А. Беляев
затратил также много сил при написании данной
книги. Им написаны главы 1, 4, 8 и § 1 седьмой
главы. В процессе рсдподготовки в эти разделы
были внесены лишь те изменения, которые дикто-
вались согласованностью отдельных глав и общим
замыслом работы.
В. Я Перминов
ВВЕДЕНИЕ
Философия в сфере математики способствует
выработке адекватного понимания математическо-
го знания, решению естественно возникающих
вопросов о предмете и методах математики, спе-
цифике ее понятий, а если несколько упростить
дело, то можно сказать, что ее задача состоит
в том, чтобы ответить на вопрос: «Что такое мате-
матика?» Известные математики Р. Курант и
Г. Роббинс написали книгу под таким заглавием,
где на ряде примеров проиллюстрировали пробле-
мы и методы различных областей математики.
Бытует мнение, что таков единственно правильный
способ ответа на поставленный вопрос, Это мне-
ние, однако, неверно. Рассмотрение содержания
науки может и должно в конечном итоге привести
к уяснению некоторых специфических черт ее как
таковой, к формулировке общих принципов, кото-
рые отличают ее от других видов знания, т. е.
к философскому, а точнее, к гносеологическому ее
определению.
Философское определение математики (как
впрочем и любой другой науки) не нужно пони-
мать упрощенно, как некоторое утверждение, схва-
тывающее суть математики в виде короткого
афоризма. Такие определения даются, но, хотя
они и не бессмысленны, сами по себе они не име-
ют большого методологического значения. Попять
математику — это понять ее отличие от опытных
наук, с одной стороны, и от логики — с другой,
понять специфику ее методов и особенности функ-
ционирования. Действительное философское пони-
мание математики таким образом может пред-
стать только как сумма выводов, сумма определе-
ний, полученных на основе анализа различных
ее сторон. Этот анализ должен быть способен
строго выразить, обосновать и даже поправить те
интуитивные представления о математике, которые
имеет специалист, работающий в этой области,
7
Правильное понимание математики не может
быть получено умозрительно или путем простого
сравнения случаев, которые подходят под извест-
ное интуитивное представление, и подыскания за-
тем некоторых объединяющих их признаков. Та-
кой метод необходим для предварительного пони-
мания любого предмета, и мы неизбежно начина-
ем с этого приема, к какому бы предмету мы
ни обращались в целях исследования. Но сам
по себе он недостаточен.
Математики много раз меняли представление
о своей науке и делали это каждый раз под дав-
лением определенных фактов, которые заставляли
их отказаться -от устоявшихся привычных воззре-
ний. У нас нет основания думать, что эта эволюция
ведет к некоторой наибольшей очевидности. На-
против, имеются все основания предполагать, и
за это говорит опыт всех наук, что мы постепенно
теряем непосредственное согласие наших научных
выводов с видением мира, которое называется
здравым смыслом. Другими словами, современное
понимание математики не может быть сформули-
ровано как простое собрание имеющихся интуи-
тивных представлений об этой науке, не может
быть взято непосредственно из знакомства с теми
или другими математическими теориями, т. с.
только на основе здравого смысла математика-
практика. Оно требует исследования истории раз-
личных концепций математики, анализа соответ-
ствующих контрпримеров, и только таким образом
мы имеем шансы приблизиться к пониманию ма-
тематики, которое может оказаться интуитивно
ясным далеко не во всех моментах. Так, например,
студент-математик, как правило, убежден, что все,
что доказано, доказано строго и окончательно.
В этом выражается интуитивное представление
о математике как о строгой дедуктивной науке,
разделяемое всеми математиками и нематемати-
ками вплоть до XX в. В настоящее время, однако,
есть серьезные доводы за то, что это убеждение
неверно. Можно привести и другие примеры, под-
тверждающие ненадежность интуитивных выводов
в истолковании природы математического знания.
Таким образом, если мы хотим дать адекват-
ное представление о математике, необходимо при-
бегнуть к исследованиям, прежде всего в истори-
ческим плане различных ее сторон, в том числе
се структуры, функции, отношения к другим нау-
кам, показывая каждый раз, каким образом и
в силу каких факторов устаревшие воззрения за-
менялись новыми, более соответствующими дейст-
вительному содержанию этой науки, хотя и менее
очевидными для здравого смысла.
В данной работе поставлена задача коротко
проследить изменение воззрений на математику,
начиная с ее возникновения как теоретической
(дедуктивной) науки и кончая рассмотрением наи-
более важных проблем современного ее понима-
ния.
При столь широком охвате вопросов нельзя
избежать определенного схематизма. Историк
науки легко найдет факты, которые будут расхо-
диться с выдвигаемой здесь общей характеристи-
кой философских воззрений на математику в то
или иное время. Все дело, конечно, в значимости
игнорируемых фактов, но в принципе против схе-
матизации бороться нельзя. Сама история науки
имеет смысл постольку, поскольку позволяет вы-
явить логику ее развития, ее историческую схему,
которая как таковая уже заведомо не согласуется
со всеми деталями ее как конкретного историчес-
кого процесса.
Глава 1
ГРЕЧЕСКАЯ МАТЕМАТИКА
И ЕЕ ФИЛОСОФИЯ
Первой философской теорией математики
был пифагореизм, который рассматривал матема-
тическое знание как необходимую основу всякого
другого знания и как наиболее истинную его
часть. Как философское течение пифагореизм вы-
ходит за рамки собственно философии матема-
тики, но в его центре тем не менее лежит опреде-
леннее истолкование сути математического знания.
Возникновение и сущность пифагореизма
Истоки математики уходят в глубокую древ-
ность. Основные документы, по которым мы судим
о состоянии древнеегипетской математики — па-
пирус Ринда и Московский папирус — датируются
по времени их написания XX—XVIII вв. до н. э.
В этих папирусах уже содержатся арифметические
задачи, которые сводятся по современным поня-
тиям к решению уравнений первой степени с од-
ним неизвестным и довольно обширные сведения
из геометрии: египтяне имели достаточно точное
правило для вычисления площади круга и точную
формулу для нахождения объема усеченной пира-
миды. Но развитие математического знания в те
времена было очень медленным. Математика су-
ществовала исключительно в виде рецептов для
решения определенных задач, которые без всяких
изменений передавались из столетия в столетие.
Прогрессивные изменения все-таки постепенно
накапливались. Если египетская математика пред-
ставляет собой исключительно систему правил,
подчиненных практическим целям, скомбиниро-
ванных по назначению (сбор налогов, хранение
10
зерна, измерение земли и т. д.), то вавилонская
математика, развившаяся несколькими столетиями
позднее, имеет существенно другой вид. Задачи
усложняются в своей математической основе.
Вавилоняне широко используют теорему Пифаго-
ра и свойства пропорций, они решают задачи, сво-
дящиеся к квадратным и кубическим уравнениям.
Оки уже комбинируют задачи по их математичес-
кому типу и выдвигают задачи, не связанные не-
посредственно с практикой, которые представляют,
так сказать, уже целенаправленное испытание
возможностей математического метода самого
по себе Мы ясно видим из этого сравнения, как
математика, возникшая в качестве простого набора
практически полезных правил, постепенно превра-
щается в науку, в систему внутренне связанных
идей и методов.
Большинство историков науки относят, однако,
появление математики как теоретической дисцип-
лины к более позднему времени, а именно к гре-
ческому периоду ее развития в VII—VI вв. до н. э.
Дело в том, что ни в египетской, ни в вавилонской
математике, несмотря на наличие там довольно
сложных и точных результатов, не найдено какого-
либо следа собственно математического, дедуктив-
ного рассуждения, т. е. вывода одних формул и
правил на основе других или иначе — математи-
ческого доказательства в обычном смысле слова.
Путь, по которому древние египтяне пришли
к формуле для вычисления объема усеченной пи-
рамиды, несомненно, предполагает рассуждение,
мысленное разложение этой пирамиды на части
и т. п. Но тем не менее есть основание предпола-
гать, что ни египтянам, ни вавилонянам не была
известна сама идея дискурсивного доказательства,
обеспечивающая необходимость и истинность ре-
зультата в силу правил логики. Простые правила
выводились из опыта, более сложные сводились
к простым посредством той пли иной мысленной
операции, но это сведение никогда не оформлялось
в качестве строгой логической процедуры. Вслед-
1 Примеры такого рода задач см. [82, с. 104—107].
11
ствие этого точные результаты в догреческои ма-
тематике часто соседствуют с приближенными без
какого-либо различения; в основу расчетов кла-
дутся ложные посылки, которые, несомненно,
были бы отброшены при наличии строгой логи-
ческой теории.
Громадный сдвиг, осуществленный в греческой
математике, заключается в идее доказательства
или дедуктивного вывода. Доказательство первых
геометрических теорем приписывается выдающе-
муся греческому философу Фалесу из Милета,
который жил между 625—547 гг. до н. э. Согласно
Проклу, Фалес впервые доказал, что вертикаль-
ные углы равны, что углы при основании равно-
бедренного треугольника равны и что диаметр
делит круг пополам. Если верно, что дедуктивный
метод в математику был внесен Фалесом, то надо
констатировать, что математика в Греции, начиная
с этого момента, развивалась чрезвычайно быст-
рыми темпами, и прежде всего в плане логичес-
кой систематизации. Исследования Гиппократа
Хиосского, связанные с задачей о квадратуре кру-
га, выполненные на рубеже V и IV вв. до н. э.,
т. е. примерно за 100 лет до Езклида, находятся
уже на таком уровне строгости, что, как замечает
Д. Стройк, они вполне могли бы быть отнесены и
к послеевклидовской математической традиции.
На фоне многих веков медленного эмпирического
развития зачатков математического знания в Егип-
те, Вавилоне, Китае и Индии развитие математики
в Греции было поистине революционным. В ре-
зультате математика оформилась как особая нау-
ка, она нашла свой специфический метод — метод
дедуктивного доказательства, который определяет
ее развитие до настоящего времени.
Эта революция была обусловлена многими
факторами. Вавилонская математика уже отчасти
подготовила базу для нее. Главная причина, одна-
ко, состояла в общественном устройстве греческих
городов, в высокой динамике общественной жизни,
сложившейся в силу целого ряда обстоятельств,
в частности, в высокой культуре гражданского за-
конодательства. Зачатки математики, выработан-
12
ные. на Востоке, упали в Греции на благодатную
почву относительно более высокой светской обра-
зованности и логической культуры, уже натрени-
рованной в сфере юриспруденции и философии2.
Появление математики как систематической
науки оказало в свою очередь громадное влияние
на философское мышление, которое оказалось
в определенном смысле подчиненным математике.
Это и естественно. Познание того времени было
чрезвычайно ограниченным. Даже наиболее рацио-
нальные из мыслителей не выходили еще за рамки
антропоморфного и мифологического объяснения
природы. Еще у Платона миф постоянно подме-
няет теоретическое рассуждение, и это происходит
просто потому, что на том уровне абстракций
не могло быть и речи о сколько-нибудь серьезной
естественнонаучной теории. На фоне такого рода
неустойчивых представлений, которые так же
трудно доказать, как и опровергнуть, где реальнее
сплошь и рядом смешано с фантастическим, мате-
матика появилась как знание совершенно особой
природы, достоверность которого не вызывает ни-
какого сомнения, исходные посылки которого ясны,
а выводы совершенно непреложны.
Неудивительно, что в математике греки увиде-
ли не просто практически полезное средство, но,
прежде всего, выражение глубинной сущности ми-
ра, нечто связанное с истинной и неизменной при-
родой вещей. Они космологизировали и мистифи-
цировали математику, сделав ее исходным пунктом
во всех подходах к описанию действительности.
Эта мистификация математики нашла свое выра-
жение в философском учении Пифагора и его по-
следователей. Основной тезис пифагореизма сос-
тоит в том, что «все есть число». Смысл этого ут-
верждения не сводится к тому естественному
истолкованию, под которым подписался бы и
современный ученый, что всюду могут быть обна-
ружены количественные связи и что всякая зако-
номерность может быть выражена посредством
2 О роли философии в дедуктивной перестройке мате-
матики см. статью А. Сабо [85].
13
неких математических соотношений. Греческая
философия того времени ориентировалась на отыс-
кание первоосновы мира, начала, из которого мож-
но было бы объяснить все происходящее. Если
Фалес таким началом считал воду, Гераклит —
огонь, Анаксимандр — невидимые частицы —
апейроны, то для пифагорейцев именно числа иг-
рали роль такого начала, роль исходных сущнос-
тей, определяющих некоторым образом видимые
явления и процессы. Чувственно воспринимаемые
вещи стали истолковываться в своей структуре
лишь как «подражание» числам, свойства их
стали рассматриваться в соответствии со свойст-
вами того или иного числа или числового соотно-
шения, как проявление числовой гармонии.
Согласно Аристотелю, Пифагор пришел к по-
ниманию числа как универсальной основы всех
вещей через изучение музыки. Наряду с матема-
тикой пифагорейцы поклонялись также и музыке,
которую они считали лучшим средством для воз-
вышения и укрощения страстей. Предание гласит,
что однажды, проходя мимо кузницы, Пифагор
заметил, что молотки кузнецов отбивают квинту.
Взвесив их, он нашел, что их веса в точности от-
носятся как 2 к 3, что натолкнуло его на мысль,
что любое различие в звучании определяется чис-
ловым соотношением, что действительно было под-
тверждено в опытах с натянутой струной.
Нетрудно представить, какое впечатление про-
извело это открытие на мыслителей того времени.
Вот как описывает это исследователь античной
философии Теодор Гомперц: «Расстояния звуков
(кварта, квинта, октава и т. д.), с точностью раз-
личаемые до сих пор лишь тонким и развитым
ухом музыканта, который, однако, не мог передать
знания их другим людям или свести их к ясным,
доступным разуму причинам, были приурочены
теперь к точным и четким числовым отношениям.
Велико было восхищение, вызванное этим чудес-
ным открытием; несомненно, оно немало способст-
вовало тому, что пифагорейская метафизика пе-
реступила все грани благоразумия. От этой самой
светлой точки пифагорейского учения всего лишь
14
один шаг до самой темной, до мистики чисел,
на первый взгляд кажущейся столь нелепой и
безумной. Самое неуловимое явление — звук —
как бы оказалось чем-то пространственно измери-
мым. Пространство же измеряется числом. Как
легко было принять это число — воплощение вне-
запно угаданной, всю природу объемлющей зако-
номерности — за самую сущность, за сердцевину
мира! Припомним тщетные, противоречащие одна
другой, попытки ионийских физиологов найти пер-
востихию, единое неизменное начало, лежащее
в основе всего изменяющегося. Гипотезы Фалеса и
Анаксимандра не могли надолго успокоить мысль;
но лежащее в основе их общее им стремление
найти неподвижный полюс среди потока явлений
могло и должно было пережить все неудачные
попытки разрешения этой задачи. И вот изумлен-
ному взору Пифагора и его учеников открылись
многообещающие дали всеобщей закономерности
природы, связанной с числовыми отношениями.
Неудивительно, что этот формальный первоприн-
цип на время оттеснил материальный и, вместе
с тем, встал на его место в качестве некоторого
квазиматериального начала» [29, с. 91].
Греки заметили также, что арифметические
действия обладают особой очевидностью, безуслов-
ной необходимостью, принудительностью для ра-
зума, которой не обладают никакие утверждения
о реальных событиях и фактах. Это обстоятельст-
во было истолковано как проявление особого от-
ношения чисел к истине. «Ложь же никоим обра-
зом ке входит в число, — учил пифагореец Фило-
лай, — ибо ложь враждебна и противна природе
его, истина же родственна числу и неразрывно
связана с ним с самого начала» [59, с. 36].
Философия превратилась у пифагорейцев в мис-
тику чисел и геометрических фигур, убеждение
в истинности того или иного утверждения о мире
достигалось сведением его к числовой гармонии.
Учение о четырех стихиях, составляющих природу,
заимствованное греками из индийской философии,
было тотчас же объединено с геометрическим
фактом существования пяти правильных много-
15
гранников. Как это мы можем прочитать в «Ти-
мее» Платона, Земля ставилась в соответствие
кубу, огонь — пирамиде (тетраэдру), вода — ок-
таэдру, воздух — икосаэдру, додекаэдр же отно-
сился ко всему творению в целом. Космос как сис-
тему небесных тел пифагорейцы отождествили
с числом десять как с самым совершенным числом.
Ясно, что в таком случае космос должен был
содержать десять и только десять составных эле-
ментов. Эти элементы следующие: пять видимых
планет, Солнце, Луна, Земля, небо и Противо-
земля. Противоземля — некий центральный огонь,
вокруг которого вращается Земля и все другие
планеты, который придуман был, согласно Арис-
тотелю, исключительно для полного соответствия
космоса с десяткой. Пифагорейская теория четы-
рех стихий и теория космоса содержала также
изощренное учение о пропорциях, устанавливаю-
щее разнообразные арифметические и геометри-
ческие отношения между отдельными стихиями и
отдельными элементами космоса3. Пифагорейцы
заметили далее, что две точки образуют прямую,
две прямые — плоскость, две плоскости — прост-
ранство, а в мире звуков — удвоение длины стру-
ны приводит к понижению звука на октаву. На
основе этих наблюдений удвоение было превраще-
но в принцип становления вообще, в принцип объ-
яснения всякого усложнения. То, что для совре-
менного ученого выглядело бы простой случай-
ностью, пифагорейцам представлялось наполнен-
ным глубоким смыслом, выражением «божествен-
ного ритма и гармонии».
Итак, математические формы (числа и фигу-
ры), будучи истолкованы в качестве глубинной ос-
новы вещей, превратилась и в универсальное
орудие их понимания. Механизм объяснения
за пределами математики состоял у пифагорейцев
не в логическом доказательстве одних положений
из других, не в выводе следствий и сравнении их
с опытом и даже не в сведении к непосредственной
3 Подробный анализ пифагорейского учения о пропор-
циях имеется в книге Л. Ф. Лосева [56, с. 273—313]
16
очевидности, но в установлении некоторого изо-
морфизма, структурной тождественности тех или
других представлений определенным математичес-
ким отношениям. Подразумевалось как нечто само
собой разумеющееся, что учение о космосе истин-
но, так как в нем утверждается наличие именно
десяти элементов (частей). Учение о четырех сти-
хиях верно, так как оно находится в прямом со-
ответствии с учением о правильных геометрических
телах и т. д. Критерием истинности выступает
здесь внутренняя гармония, санкционируемая гар-
монией математической. Пифагорейцы искали раз-
личные аналоги, числовые и геометрические соот-
ветствия в окружающем мира, надеясь найти
в них разгадку самой природы вещей. Мысли
о случайности таких совпадений еще не возникало.
Космос пифагорейцев был единым, закончен-
ным, чуждым случайности, подчиненным гармонии
во всех своих частях.
Что касается природы самой математической
закономерности, истоков се безусловной истиннос-
ти, то ранние пифагорейцы скорее всего не заду-
мывались над этим вопросом. У Платона, однако,
мы находим уже некоторую теорию на этот счет.
Математические истины для Платона врождены,
они представляют собой впечатления об истине
самой по себе, которые душа получила, пребы-
вая в более совершенном мире, в мире идей. Ма-
тематическое познание есть поэтому просто воспо-
минание, оно требует не опыта, не наблюдения
природы, а лишь видения разумом.
Математик, согласно Платону, изучает особые
идеальные сущности, в отличие от сущностей, дан-
ных в опыте, эмпирических. «Когда геометры, —
говорит Платон, — пользуются чертежами и дела
ют отсюда выводы, их мысль обращена не на чер-
теж, а на те фигуры, подобием которых он служит.
Выводы свои они (геометры. — Авт.) делают для
четырехугольника самого по себе и его диагонали,
а не для той диагонали, которую они начертили»
[77, с. 318—319]. Геометрические фигуры сами
по себе (в отличие от чертежей) можно видеть
только «мысленным взором».
17
В этих рассуждениях Платоном впервые был
поставлен вопрос о специфике объектов, изучае-
мых математикой, который является одним из ос-
новных и в современной философии математики.
Математический атомизм
Наряду с пифагорейской философией, провоз-
глашающей математические объекты последними
сущностями мироздания, существовала, хотя и
в недостаточно выраженной форме, другая, более
реалистическая (с современной точки зрения) фи-
лософия математики, идущая ст атомизма Левкип-
па и Демокрита. Известно, что Демокрит отрицал
возможность геометрических построений в пустоте:
геометрические фигуры были для него не умозри-
тельными сущностями, а прежде всего материаль-
ными телами, состоящими из атомов. Атомы Де-
мокрита являются неделимыми также и примени-
тельно к геометрическим объектам. Демокрит
не допускал бесконечной делимости отрезка:
по его мнению, отрезок состоит из большого числа
далее неделимых частей. Эта противоречащая
обычной геометрической интуиции позиция отчас-
ти диктовалась общей установкой атомизма, сог-
ласно которой атомы являются неделимыми сущ-
ностями. Главная причина, однако, была внутри-
математической. Дело в том, что допущение бес-
конечной делимости отрезка приводило к парадок-
сам, что было хорошо известно Демокриту. Дейст-
вительно, если допустить, что отрезок разделен
до бесконечности, то последние элементы деления
равны нулю (не имеют никакой длины), ибо если
они не равны пулю, то деление нельзя считать за-
конченным. Но если все элементы деления равны
нулю, то и весь отрезок равен нулю, так как любое
количество нулей не может дать конечной вели-
чины 4.
4 Противоречие получается здесь, очевидно, из-за слова
«разделен», т. е. из-за допущения актуальной бесконечности,
законченного бесконечного процесса. Оно исчезает, если мы
ограничимся допущением потенциальной бесконечности, т. е.
18
Допущение атомистов, что отрезки состоят
из неделимых, также приводило к противоречиям.
Отсюда, в частности, неизбежно следует, что все
концентрические окружности состоят из одного
числа частиц, диагональ квадрата состоит из то-
го же числа «атомов», что и его сторона, и, таким
образом, несоизмеримых величин не существует.
Идея атомистов, однако, содержала в себе ценный
эвристический принцип. Известно, что исходя
из нее греческий математик V в. до н. э. Аптифонт
разработал метод вычисления площадей криволи-
нейных фигур, первый прообраз исчисления беско-
нечно малых. Этот метод состоял в следующем.
3 криволинейную фигуру вписывалась прямоли-
нейная фигура, по отношению к которой было дос-
таточно очевидно, что при последовательном удво-
ении числа ее сторон площадь ее приближается
к площади криволинейной фигуры. Если площадь
прямолинейной фигуры мы умеем вычислять
на каждом этапе удвоения, то предполагалось,
что площадь искомой фигуры равна площади пря-
молинейной при ее последнем делении, т. е. тогда,
когда ее стороны будут столь малыми, что совпа-
дут с частицами, составляющими контур криволи-
нейной фигуры 5. Для оправдания такого приема
было существенно важным допущение, что коли-
чество необходимых шагов приближения конечно.
Это позволяло избегать парадоксов, связанных
с допущением бесконечной делимости отрезка.
Метод Лнтифопта был впоследствии усовер-
шенствован в логическом отношении Евдоксом и
Архимедом и вошел в историю математики под
именем метода исчерпывания. В методе исчерпы-
вания важной частью рассуждения является стро-
гое доказательство того, что площадь (объем)
вписанной фигуры при удвоении сторон (граней)
отличается от площади (объема) описанной фигу-
ры на сколь угодно малую величину, т. е. доказа-
если будем говорить, что отрезок может быть разделен на
какое угодно большое, но конечное число частей. Подроб-
ный анализ парадоксов, связанных с идеей бесконечного де-
ления в античной математике см. [58, гл. 1—2].
& О методе Антифонта подробнее см. [58, с. 140—157].
19
тельство того, что в рассуждении Антифонта при-
нималось за очевидное.
Большинство математиков — современников
Демокрита и Платона — отвергли атомистическое
истолкование геометрии как не соответствующее
духу математики, как смешивающее математику
с физикой. Атомистические идеи возродились снова
лишь в XVII в. з работах Кеплера, Кавальер и и
Виета.
Математический атомизм появился скорее как
частная эвристическая идея в геометрии, чем как
особый взгляд на природу математики в целом.
Однако он неявно содержал в себе определенную
антитезу пифагореизму. Если для пифагорейцев
математические объекты (числа) составляли осно-
ву мира в онтологическом смысле и основу его
понимания, то в атомистической эвристике мате-
матические закономерности выступают уже как
вторичные по отношению к атомам как первосущ-
ностям. Физическое здесь логически предшествует
математическому и определяет свойства математи-
ческих объектов. Пифагорейцы были правы, воз-
ражая против превращения математики в физику,
настаивая на чистоте математического метода, а
также и на идеализации бесконечной делимости
геометрических величин. Система евклидовской
математики не могла быть построена без такой
идеализации. Но математический атомизм тем
не менее содержал в зародыше будущую, более
эмпиристскую философию математики, которая
неизбежно должна была выйти на сцену в связи
с ростом влияния естественных наук.
Эволюция пифагореизма
Первый и, по-видимому, наиболее сильный удар
по философии пифагореизма был нанесен разви-
тием самой математики, а именно открытием несо-
измеримости отрезков. История математики
не располагает точными сведениями о том, когда
и кем была доказана теорема о несоизмеримости
диагонали квадрата с его стороной, но достаточно
определенно можно сказать, что это случилось
20
в последние два десятилетия V в. до н. э. Сочине-
ния Платона показывают, что этот факт находил-
ся в ценре внимания математиков первой полови-
ны IV в. до н. э., по крайней мере математиков,
примыкавших к платоновской академии. Теэтет,
один из выдающихся математиков своего времени,
идеи которого Платон излагает в диалоге «Те-
этет», занимался этим вопросом уже в более ши-
роком плане, разрабатывая по существу учение
об иррациональных числах вообще.
Факт существования несоизмеримых величин
подрывал гармонию между геометрией и арифме-
тикой, которая была для пифагорейцев сама собой
разумеющейся, и пифагорейскую идеологию в це-
лом. Необходимо было признать в силу самой
строгой логики, что при любой интерпретации еди-
ницы как исходного числа, при любом выборе
единицы измерения, найдутся величины неизмери-
мые, непредставимые натуральным числом, кото-
рые, таким образом, уже не есть определенное
число. Но если число ограничено уже для выраже-
ния геометрических сущностей, то его универсаль-
ность для выражения других, более сложных
вещей становится в высшей степени сомнительной.
Если в свое время открытие числовой гармонии
в строении музыкальной шкалы способствовало
возвеличению понятия числа и математических
представлений вообще как некоторого средоточия
истины и способа постижения фундаментальной
сущности вещей, то открытие несоизмеримых вели-
чин впервые обнаружило ограниченность этих
представлений. Пифагорейская идеология уже
не могла существовать без изменений. Хотя в сво-
их космологических построениях Платон все еще
находился под полным влиянием пифагореизма,
числа уже не рассматриваются им как окончатель-
ная сущность вещей: они для него скорее один из
способов понимания идеальной структуры мира,
чем непосредственное ее выражение.
В связи с кризисом пифагорейской философии
математики необходимо также упомянуть об апо-
риях Зенона. Философ Зенон, живший в V в.
до н. э., выдвинул несколько рассуждений, кото-
21
рые, будучи (по крайней мере, пс видимости)
строгими, вместе с тем ставят под сомнение неко-
торые очевидные факты. Наиболее известны
из них так называемые парадоксы движения:
«Дихотомия», «Стрела», «Ахиллес» и «Стадий»,
где Зенон опровергает обычные представления
о перемещении тел в пространстве и времени.
В апории «Дихотомия» отрицается сам факт дви-
жения на том основании, что перемещающееся
тело должно дойти до половины пути, прежде чем
оно дойдет до конца. Движение вообще не может
закончиться, так как, прежде чем дойти до конца,
оно должно будет пройти половину остатка и т. д.
до бесконечности. В апории «Стрела» Зенон до-
казывает то же самое посредством рассуждения
о времени. Промежуток времени слагается из не-
делимых моментов, и тело либо покоится, либо
движется в течение данного промежутка. А так
как в течение неделимого «теперь» тело не может
двигаться (иначе «теперь» подразделилось бы
на части, соответствующие различным положениям
тела), то в каждом «теперь» оно должно покоить-
ся. Поскольку же ничего, кроме «теперь» во всем
промежутке времени нет, то тело вообще не может
двигаться.
Главная ошибка в этих рассуждениях, как это
уже было понято Аристотелем, состоит в непра-
вильном использовании понятий. В применении
к моменту времени, согласно Аристотелю, нельзя
говорить пи о движении, ни о покое. Эти понятия
имеют смысл лишь в применении к промежутку
времени, в течение которого тело может менять
или не менять свое место [6, с. 119]. Источник
таких парадоксов Зенона, как «Стрела» и «Стадий»,
вполне раскрывается этим замечанием Аристо-
теля. Апории «Дихотомия», а также «Ахиллес
и черепаха» основаны, кроме того, на некоррект-
ном обращении с идеей сходящегося ряда. Если
в «Дихотомии» части от последовательного деле-
ния пути представляют собой по условию задачи
сходящийся ряд, то мы ке имеем права допускать,
как это делает Зенон, что ряд, составленный из со-
ответствующих промежутков времени, будет рас-
22
ходящимся. На этой же непоследовательности рас-
суждения основана апория «Ахиллес и черепаха».
Апории возникли главным образом вследствие
того, что, столкнувшись с понятием бесконечного
в своих философских и математических рассуж-
дениях, греки не смогли выработать сколько-ни-
будь адекватных правил обращения с ним.
Здесь важно отметить, что апории Зенона объ-
ективно содержали в себе антипифагорейскую на-
правленность. В них была впервые проиллюстри-
рована ненадежность и ограниченность исходных
представлений пифагореизма, в частности пред-
ставления о том, что прямая состоит из множества
безразмерных точек, что бесконечнее мысленное
(математическое) деление отрезка тождественно
отражает некоторую его физическую сущность
и т. д. Апории нарушали безмятежную гармонию
между миром логическим (арифметическим) и
миром физическим, которая являлась основой
пифагорейскою понимания действительности.
Широкая и в определенном смысле исчерпыва-
ющая критика пифагореизма была дана Аристоте-
лем в «Метафизике». Хотя Аристотель — непо-
средственный ученик Платона, его мировосприятие
отличается от платоновского радикальным обра-
зом. Аристотель скорее исследователь природы,
чем умозрительный философ. Он ценит факты и
логику больше, чем любые умозрительные пред-
ставления. Мифы, в которых мыслит Платон, его
совершенно не устраивают, он считает их сказками
для детей. Наука для Аристотеля — не конструи-
рование гармоний, но отыскание причин явлений.
Из философии Аристотель удаляет всякую примесь
поэзии; его стиль лаконичен, сух и подчинен толь-
ко мысли.
Отношение Аристотеля к пифагорейцам отри-
цательное и даже пренебрежительное. Пифагорей-
ская философия ложна прежде всего потому, что
она не раскрывает причин вещей. «На каком ос-
новании, — спрашивает Аристотель, — числа суть
причины? Есть семь гласных, гармонию дают семь
струн, семи лет животные меняют зубы (по край-
ней мере, некоторые), было семь вождей против
23
Фив. Так разве потому, что число таково по при-
роде, вождей оказалось семь или Плеяды состоят
из семи звезд? А может быть вождей было семь
потому, что было семь ворот...» [5, с. 365]. Сопос-
тавления такого рода для Аристотеля — простая
игра с числами, основанная на случайных совпа-
дениях и потому не имеющая значения для истин-
ной философии.
Основной грех пифагорейцев состоит, по Арис-
тотелю, в том, что они мыслят о природе, не счи-
таясь с фактами, и искусственно приводят факты
в соответствие с числами, придумывая для этого
фиктивные сущности. «Так как десятка, как им
представлялось, есть нечто совершенное и охваты-
вает всю природу чисел, то и движущихся небес-
ных тел, по их утверждению, десять, а так как
видно только девять, то десятым они объявляют
«противоземлю» [5, с. 76].
Математика, по Аристотелю, — это не знание
об идеальных сущностях, существующих незави-
симо от вещей, но знание, отвлеченное от вещей.
«Геометр и исследователь чисел» мыслят, «пола-
гая отдельно то, что отдельно не существует», но
потому, что они полагают (оставляют в абстрак-
ции) нечто, все-таки принадлежащее вещам (на-
пример, объем — человеку), то «именно поэтому
геометры говорят и правильно рассуждают о том,
что на деле существует» [5, с. 326]. Математичес-
кие сущности получены через отвлечение. Они
«первее по определению, но не по сущности» [5,
с. 324].
Упадок пифагореизма в греческой философии
и появление в системе Аристотеля более правиль-
ного представления о задачах науки вообще и
о месте математики, в частности, не привело, од-
нако, к полному исчезновению пифагорейских
тенденций. Несмотря на свою внешнюю наивность,
пифагореизм представляет собой довольно слож-
ное, многокомпонентное воззрение, открывающее
простор для различных вариаций. Не признавая
пифагореизма как учения о математических нача-
лах мира, можно признавать его как определенный
метод аргументации, как способ обоснования ис-
24
тины через обращение к ее внутренней закончен-
ности, гармонии, симметрии. В этом качественном
плане пифагореизм оказал громадное влияние на
последующее развитие философской и научной мыс-
ли вплоть до XIX в. «Критика чистого разума»
Канта, например, несет на себе явные следы та-
кого рода ассоциативной манеры мышления. Оп-
ределенной и для Канта совершенно законченной
классификации суждений соответствует столь же
законченная классификация категорий, которой
в свою очередь соответствует классификация ос-
новоположений рассудка, и т. д. Сама гармонич-
ность, симметричность, внутренняя законченность
системы должна здесь, прежде всего, свидетель-
ствовать об ее истинности, разумеется, окончатель-
ной.
Создатели современного математического и
экспериментального естествознания — Галилей,
Декарт, Кеплер, открывая принципиально новый
путь в исследовании природы, также находились
под влиянием пифагореизма. Галилей не признал
истинности законов Кеплера, будучи твердо убеж-
денным, что небесные тела могут двигаться только
по совершенным кривым, т. е. по кругам. Сам
Кеплер в начале своей творческой жизни потра-
тил много усилий, чтобы понять устройство сол-
нечной системы, отправляясь от тех же правиль-
ных геометрических тел, от которых исходили и
первые пифагорейцы. Он также верил, что этот
ряд фигур отражает некоторую глубинную суть
вещей и, в частности, содержит в себе тайну
устройства солнечной системы6. В дальнейшем,
6 Для объяснения закона относительной удаленности пла-
нет от Солнца Кеплер строил некоторую конструкцию из
многогранников и описывающих их сфер: около исходной
сферы описывался многогранник, который описывался сфе-
рой, около которой описывался другой правильный много-
гранник и т. д. Радиусы сфер, по мысли Кеплера, должны
были соответствовать расстояниям планет от Солнца. Путем
особого расположения многогранников Кеплеру действитель-
но удалось получить значения, достаточно близкие к наблю-
даемым. Конечно, с точки зрения современной науки, такого
рода геометрическая магия не может быть принята. Она
основывалась, прежде всего, на особом психологическом вос-
приятии мира. Кеплер, очевидно, рассматривал солнечную
25
однако, Кеплер отверг этот путь и занялся непо-
средственным чтением «книги Природы», что и
принесло ему славу открывателя законов планет-
ных движений. Пифагорейскую аргументацию мы
видим также в физике Декарта. Тело без действия
сил движется прямолинейно потому, что «прямоли-
нейное движение самое простое из всех мыслимых
движений» [35, с. 203]. Пифагореизм в физике
XVII в. и отчасти XVIII в. присутствует как пред-
ставление об особом совершенстве, об онтологи-
ческой предпочтительности определенных геомет-
рических линий и фигур.
Наука XIX и XX вв. окончательно освободилась
от указанных форм пифагореизма. Утверждая ис-
тинность теории, современный ученый апеллирует
исключительно к опыту, к логическим следствиям
теории и не стремится более к идеальной внутрен-
ней законченности. Пифагорейская идея внутрен-
ней гармонии из критерия истинности преврати-
лась просто в один из эвристических принципов.
Современный ученый также не надеется втиснуть
природу в те или иные избранные «совершенные»
математические формы. Однако тем не менее пи-
фагореизм стал снова возрождаться в XX в., те-
перь уже как определенная гносеологическая кон-
цепция математического знания. Дело в том, что
в науке XX в. математика обнаружила некоторые
принципиально новые функции. А именно она все
более стала выступать как эвристическое средство,
как система представлений, которая может идти
впереди содержательного знания и в известной
мере формировать его структуру. Отсюда появи-
лась идея Э. Гуссерля, что изучение возможных
(логически допустимых) миров должно предшест-
вовать изучению данного, реального мира. Исходя
из тех же фактов, А. Эйнштейн выдвинул особую
концепцию формирования физической теории,
в которой решающее значение отдавалось матема-
тике. Если для Ньютона и ученых после него
систему как нечто абсолютно законченное и совершенное.
Седьмая планета для него была невозможна в принципе.
Космос не содержал случайностей', он не мог отклоняться
от геометрической гармоник.
26
вплоть до XX в. математика мыслилась как иду-
щая за физикой, как только пассивное ее орудие,
то теперь математика снова стала выдвигаться
на первый план в качестве исходного пункта пост-
роения теоретической картины мира. Утверждение
активности математического знание, конечно, не
есть возвращение к пифагореизму в его перво-
начальном значении. Но мы вправе говорить
о восстановлении определенного аспекта пифаго-
рейского понимания математики, так как именно
пифагорейцы впервые истолковали математику
в качестве основы для образования всякого истин-
ного знания о природе.
Пифагореизм в современной науке сохраняется
и в некотором более натуральном виде, а именно
как онтологизация различного рода числовых сов-
падений. Известно, к примеру, что в современной
физике особое место занимает безразмерное число
137, получаемое 'через перемножение констант с
и h и делением результата па в2, где с — скорость
света, h — постоянная Планка, деленная на 2л,
е — заряд электрона. При этом обнаруживается,
что это число находится в тесной связи с пифаго-
рейским «золотым сечением» и рядом Фибоначчи,
имеющим важные приложения в биологии, технике
и архитектуре. Наконец, оказалось, что число 137
играет существенную роль в теории музыки [см. 63;
34]. Что это, случайное совпадение или проявление
«божественной гармонии мира», как сказал бы
Платон? Подавляющее большинство ученых скеп-
тически относятся к такого рода числовым сопос-
тавлениям. Мы можем вспомнить, однако, что чис-
ловое совпадение, а именно совпадение постоянной
в уравнении вектора электрической напряженное
ти со скоростью света привело Максвелла к отк-
рытию того замечательного факта, что свет есть
просто особый случай электромагнитных волн. Как
мы можем отделить здесь зерна от плевел, плодо-
творную числовую эвристику от мистики чисел, и
возможно ли это сделать вообще? Древнее фило-
софское учение оказывается, таким образом,
тесно связанным с тонкими проблемами методо-
логии современной науки.
27
Глава 2
ФИЛОСОФСКИЕ ПРЕДПОСЫЛКИ
ОБОСНОВАНИЯ ИСЧИСЛЕНИЯ
БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ
За тысячу лет, которую мы называем эпохой
Средневековья, в математике не произошло суще-
ственных переворотов, хотя математические и ло-
гические истины были постоянным объектом раз-
личных схоластических спекуляций. Философия
математики также стояла ла мертвой точке: она
не вышла за рамки пифагореизма в его платони-
стской и неоплатонистской интерпретации. Только
в XIV—XV вв. в Европе началось возрождение
творческого математического мышления в арифме-
тике, алгебре и геометрии. Следующие два столе-
тия ознаменовались появлением и развитием со-
вершенно новых математических идей, которые мы
относим сегодня к дифференциальному и инте-
гральному исчислению. Новые идеи возникли
в связи с потребностями науки, в особенности ме-
ханики, и это обстоятельство предопределило по-
явление принципиально новой философии мате-
матики. Математика стала рассматриваться не как
врожденное и абсолютное знание, а скорее как
знание вторичное, опытное, зависящее в своей
структуре от некоторых внешних реальностей. Эта
философская установка предопределила в свою
очередь конкретное методологическое мышление,
ярко проявившееся в сфере обоснования диффе-
ренциального и интегрального исчислений.
Проблема обоснования
дифференциального исчисления
В дискуссиях о природе бесконечно малых ве-
личин, которые велись математиками в XVIJI в.,
фигурировал идеал математики под наименова-
28
нием греческой строгости. «Строгости древних»
требовали от математики Лейбниц, Эйлер, Ньютон,
Лагранж и другие ученые XVIII в. Под этим на-
именованием имелся в виду прежде всего метод,
примененный Евклидом в «Началах», т. е. метод
выведения одних положений из других, без ис-
пользования каких-либо предпосылок, помимо
зафиксированных в аксиомах и определениях.
С современной точки зрения ясно, что ни Евклид,
пи кто-либо другой из античных математиков
не осуществил указанного идеала, хотя бы потому,
что они не сформулировали всех аксиом, необхо-
димых для строгого развития геометрии. Однако,
несомненно, что у Евклида, Платона и Аристотеля
была правильная идея математического доказа-
тельства, строгого отделения математически дока-
занного от очевидного, а также точного от прибли-
женного. Такой идеал математики был принят и
математиками XVIII в. Однако практически, сами
это осознавая, они должны были отступать от не-
го. Прежде всего это относится к создателям диф-
ференциального исчисления Ньютону и Лейбницу.
В работах математиков XVII в. (Кеплер, Ка-
вальери, Ферма, Барроу и другие) различными
частными методами были решены многочисленные
задачи, которые сегодня мы относим к дифферен-
циальному и интегральному исчислению — нахож-
дению площадей криволинейных фигур, проведе-
ние касательной к произвольной кривой, нахож-
дение максимумов и минимумов элементарных
функций и т. д. Г. В. Лейбниц и И. Ньютон завер-
шили работу созданием алгоритма, позволяющего
единообразным приемом решать все эти, па пер-
вый взгляд, различные задачи. Этот алгоритм, бу-
дучи принят, подвергся, однако, сразу же критике
за неясность в основных понятиях.
Основным понятием теории Лейбница было по-
нятие дифференциала, или бесконечно малого при-
ращения функции. Пусть мы имеем функцию у—
=f(x). Если мы увеличим ее аргумент (х) на не-
которую величину Л, то получим приращение
функции dy~f(x + h)— f(х). Для Лейбница dy^O,
но вместе с тем эта величина столь мала, что, ум-
29
пожив ее на любое конечное число, мы не получим
конечной величины. В основном своем определении
таким образом Лейбниц проводил чуждую эле-
ментарной математике и вообще здравому смыслу
идею неархимедовой величины I Эта идея, однако,
была необходима Лейбницу для оправдания пред-
лагаемого им способа вычисления дифференциала.
Пусть, к примеру, дана функция у—х1 2. Придавая
переменной х приращение dx, получаем y+dy=
= (x + dx)‘2=x2 + 2x'dx+dx2, откуда dy=2x-dx +
+ dx2. Величину dx2 Лейбниц предлагает отбрасы-
вать как несравненно малую по отношению к ве-
личине 2x-dx. В результате dy=2x-dx — правиль-
ный результат! Эта процедура является, очевидно,
противоречивой. Если допустить, что dx=0, то
очевидно, что и dy будет равно нулю (из исход-
ного равенства). Но если dx^=Q, то, не нарушая
строгости, мы не имеем права отбрасывать dx2.
Рассуждение Лейбница о несравненно малых вели-
чинах были попыткой как-то оправдать такой
способ действия.
Практика, однако, показывала (что и было, ко-
нечно, основным аргументом за принятие алгорит-
ма в целом), что если мы условимся отбрасывать
в разложении y+dy все члены, содержащие dx
в степени выше первой, то с помощью таким об-
разом определенного понятия (дифференциала)
мы можем получать точные ответы в широком
классе задач. Поскольку интегрирование опреде-
ляется как операция, обратная дифференцирова-
нию, то, к примеру, площадь любой фигуры, огра-
ничивающая линия которой задана в виде той
или иной функции, найдется теперь как некоторое
значение первообразной функции от этой данной.
Мы получаем таким образом универсальный метод
вычисления площадей и объемов самых различ-
ных фигур, метод, совершенно несводимый к мето-
дам традиционной геометрии.
Алгоритм Ньютона базировался на понятии
флюксии (производной — в современной термино-
1 Согласно аксиоме Архимеда, для любых двух величин
а и b найдется такое целое N, что a-N>b.
30
логии) и страдал тем же самым противоречием.
При отыскании флюксии Ньютон также отбрасы-
вал члены, заведомо не равные нулю (хотя вообще
считал, что в математике нельзя пренебрегать
никакими количествами, хотя бы и самыми малы-
ми). К. Маркс писал по поводу исчисления флюк-
сии у Ньютона: «... Если в y=iiz+zu + iiz [слагае-
мое] uz отбрасывается ввиду его бесконечной ма-
лости по сравнению с йг или zu, то математическим
оправданием этому может служить лишь ссылка
на то, что tiz+zu имеет в наших глазах прибли-
женное значение, мыслимое сколь угодно близким
к точному. Подобного рода маневр встречается и
в обыкновенной алгебре. Но тогда мы оказываемся
перед лицом еще большего чуда: благодаря этому
методу мы получаем для производной функции
[в] х отнюдь не приближенные, а совершенно точ-
ные значения...» (1, с. 153].
Противоречивость алгоритмов дифференциаль-
ного исчисления, несогласие их с представлениями
о математической строгости, было очевидным для
большинства математиков XVIII в. Между тем
само это исчисление находило все новые приложе-
ния в механике и астрономии, превращаясь в цент-
ральную и наиболее продуктивную часть матема-
тического здания. Проблема обоснования диффе-
ренциального исчисления становилась все более
актуальной, перерастая в некоторую проблему
века, вызывавшую, по словам Маркса, отклик
даже в мире неспециалистов.
Математические трудности
Ясно, что понятийная система может быть ло-
гически обоснована не раньше чем она достигнет
определенной степени зрелости, богатства содер-
жания и однозначности в фундаментальных опре-
делениях. Теория, которая еще находится на ста-
дии отыскания основных закономерностей и опре-
деления фундаментальных понятий, не может быть
логически обоснована. Логическое обоснование
дифференциального исчисления было объективно
31
невозможно на базе тех понятий, в которых оно
первоначально появилось, и в этом смысле попыт-
ки Ньютона и Лейбница найти такое обоснова-
ние, как мы теперь понимаем, были заведомо об-
речены на неудачу. Вплоть до начала XIX в. в са-
мом содержании анализа, в его понятийной систе-
ме имели место изъяны, фактически исключавшие
возможность его обоснования, по крайней мере
в том виде, в котором это было сделано в начале
XIX в. Основные из них следующие:
1. Отсутствие правильного понимания диффе-
ренциала. У Лейбница, Лопиталя, Эйлера и других
математиков первой половины XVIII в. дифферен-
циал отождествлялся с приращением функции, что
непосредственно приводило к описанной выше
парадоксальности исчисления. Четкое разделение
приращения функции и ее дифференциала было
проведено только Лагранжем (1765).
2. Отсутствие достаточно общего понимания
функции. Фактически вплоть до конца XIX в. ма-
тематики, исходя из интуиции механических и гео-
метрических образов, понимали под функцией соб-
ственно только аналитическую функцию, которая
отвечает некоторой механической или геометри-
ческой зависимости и выражается определенной
алгебраической формулой 2.
На первый взгляд узость понятия не мешает
его строгому оформлению. В действительности же
эти вещи тесно связаны. Узкое, привязанное к наг-
лядности понимание функции было одной из при-
чин того, что математики, стремясь к строгости,
вместе с тем не придавали должного значения
формальным определениям основных понятий, ле-
жащих в основе исчисления. По этой же причине
они долгое время надеялись определить эти поня-
тия в рамках элементарной математики, на основе
2 Речь идет здесь о фактическом, рабочем понимании
функции, но не об определениях. У Эйлера и других мате-
матиков XVIII в. можно найти вполне современные опреде-
ления функции. Однако эти определения давались а некото-
ром смысле случайно, без осознания их ценности именно как
общих, и они не оказывали влияния на практическую мето-
дологию.
32
обычных алгебраических операций, без использо-
вания понятий бесконечно малого. Только введе-
ние разрывных функций, выход за пределы тради-
ционных объектов, заставил математиков обратить
внимание на логическое оформление понятий, осо-
знать специфику понятий анализа и отбросить
альтернативу его элементарного обоснования3.
3. Отсутствие строгого определения предела.
Последователи Ньютона: Маклорен, Тейлор, Вал-
лис и другие вели длительный спор о том, дости-
гает ли переменная своего предела. Вопрос было
решить не просто, так как предел не определялся
строго, но скорее описывался содержательно
на основе механических и геометрических приме-
ров, часто с привлечением понятий, которые, как
мы сейчас понимаем, не относятся к делу (поня-
тия времени, например). Неясность в понимании
предела осталась вплоть до Коши. Кроме того,
предел определялся узко вследствие узкого пони-
мания функции.
4. Одно из центральных, понятий в современных
основаниях анализа — понятие непрерывности
функции — долгое время присутствовало в мате-
матике лишь интуитивно. Это объясняется тем,
что математики XVIII в. все функции мыслили
как непрерывные и потому не возникало проблемы
выделения, ради чего обычно уточняются понятия.
Только в начале XIX в. с введением в математику
разрывных функций непрерывность была опреде-
лена в современном смысле, на базе понятия пре-
дела.
5. До конца XVIII в. оставалось недостаточно
строгим понятие определенного интеграла. Эта
пестрогость была связана прежде всего с отсут-
3 Еще Карно в своей работе «Размышление о метафизике
исчисления бесконечно малых», вышедшей в 1797 г., считает
эквивалентными целый ряд подходов к обоснованию анализа
(метод исчезающих приращений, алгебраический метод Лаг-
ранжа, метод компенсации ошибок и т. д.). Такая равно-
ценность, однако, возможна только в узкой сфере аналити-
ческих функций, и она сразу же исчезает с выходом за пре-
делы этой области. Расширение понятия функции имело тот
смысл, что оно сразу же отсеяло иллюзорные альтернативы
и выделило метод пределов как единственно возможный.
2 Зак. 59
33
ствием теорем существования. По аналогии с эле-
ментарной алгеброй считалось, что формула Нью-
тона—Лейбница имеет универсальное значение,
т. е. справедлива для всех функций и при всех ус-
ловиях. В соответствии с этой формулой опреде-
ленный интеграл вычисляется как разность значе-
ний первообразной функции при граничных значе-
ниях переменной. Позже, однако, обнаружилось,
что это определение является неприемлемым для
функций, имеющих разрывы, а также то, что
в ряде случаев оно не дает однозначного резуль-
тата 4. Усилия по уточнению понятия определен-
ного интеграла, предпринятые Лакруа, Пуассоном
и Коши, имели прежде всего то значение, что они
показали важность теорем существования, выдви-
нули на первый план понятие предела и непрерыв-
ности и, можно сказать, непосредственно подтолк-
нули к правильному построению логических основ
дифференциального и интегрального исчислений.
Но проблема определенного интеграла привлекла
внимание математиков только в начале XIX в.
Таким образом, анализ не мог быть обоснован
в XVIII в. в первую очередь из-за неразвитости
собственной понятийной системы. Неоднозначность
понимания, неточность, узость, наконец, непра-
вильность или отсутствие необходимых определе-
ний исключали такую возможность.
К концу XVIII в. анализ вырос в понятийном
отношении, что произошло прежде всего в резуль-
тате расширения его приложений. Приложение
дифференциального и интегрального исчисления
к геометрии, к механике, к астрономии, а затем
к теории теплоты привело к расширению самого
понятия функции. Особенно большую роль в идей-
ном вызревании анализа сыграла задача о форме
колеблющейся струны, в решении которой приня-
ли участие почти все известные математики вто-
рой половины XVIII в. (И. Бернулли, Ж. Д’Алам-
бер, Л. Эйлер, П. Лагранж и др.). Хотя оконча-
тельное понимание заключенных здесь математи-
4 Подробный анализ затруднений, связанных с понятием
интеграла в конце XVIII—начале XIX в., содержится в-ра-
боте А. П. Юшкевича [101].
34
ческих трудностей пришло лишь после работ
Фурье по анализу тригонометрических рядов
(1817), было достаточно скоро установлено, что
обшее решение этой задачи и даже корректная ее
постановка, учитывающая основные физические
характеристики процесса, требует использования
неправильных или смешанных (разрывных, в тер-
минологии Эйлера) функций, т. е. функций, сос-
тавленных из отдельных, независимых друг от
друга кусков. Исследование таких функций приве-
ло к новой, более общей трактовке самого понятия
функции. Стало ясно, в частности, что понятие
функции не тождественно с аналитическим выра-
жением, связывающим переменные, так как одной
функции может соответствовать несколько анали-
тических выражений. Эти исследования стимули-
ровали также более строгий анализ разрывности
функций в современном определении этого поня-
тия [см. 57, с. 319—341; 102]. Изучение разрывных
функций необходимо привело к современному пони-
манию функции, предела, определенного интегра-
ла. Общее понятие предела, данное Коши, позво-
лило естественным образом подойти к определе-
нию всех основных понятий математического ана-
лиза и в конечном итоге к его обоснованию.
Итак, движение математического анализа
в XVIII в. к обоснованию, кажется, можно пол-
ностью описать в системе «теория — приложение»,
т. е. как диалектическое взаимодействие двух
этих моментов. Необходимость вычисления площа-
дей, ограниченных произвольными кривыми; и т. д.
привело к открытию алгоритмов дифференциаль-
ного исчисления. Приложение этих алгоритмов
к новым задачам необходимо заставило обобщить
и уточнить исходные понятия и сделать более
строгими сами алгоритмы. Б конечном итоге ана-
лиз сформировался как логически непротиворечи-
вая, относительно замкнутая и полная понятийная
система.
Такая картина, будучи в принципе верной, яв-
ляется, однако, неполной. При внимательном рас-
смотрении оказывается, что сами математические
затруднения и заблуждения поддерживались и зак-
2*
35
цеплялись определенной методологией, которая
в свою очередь была обусловлена определенной
философией математики. Математики должны бы-
ли отказаться от ряда философских и методологи-
ческих предрассудков, прежде чем могла быть пра-
вильно сформулирована сама задача обоснования
дифференциального исчисления.
Метафизическое обоснование
бесконечно малых
Метафизическое или натурфилософское обосно-
вание в науке состоит в стремлении вывести те
или иные ее конкретные закономерности из неко-
торых фундаментальных свойств природы. При-
мером метафизической аргументации в физике
может служить принятое до опытов Торичелли
объяснение действия гидравлического насоса
из принципа «природа не любит пустоты» или
объяснение факта падения тяжелых предметов
на землю допущением некоторого единого центра
Вселенной, к которому стремятся все тела. Вооб-
ще такая аргументация от природы, от материи,
от единых мировых сил, непрерывности вещей и
процессов соответствовала духу XVII столетия,
когда еще крепко было убеждение в том, что вер-
ховной наукой является философия и что все
частные законы должны быть получены или по
крайней мере в конечном итоге выведены из общих
представлений о материи, пространстве и т. д.
Такая тенденция проявилась и в обосновании ана-
лиза на первой стадии его развития, в частности
в позиции Г. Лейбница.
Для оправдания идеи бесконечно малой, но
не равной нулю величины Лейбниц использовал
первоначально физические аналогии. «Нет необхо-
димости, — писал он, — понимать здесь бесконеч-
ное в строгом смысле слова, но лишь в том смыс-
ле, в каком в оптике говорят, что солнечные лучи
исходят из бесконечно удаленной точки и потому
считаются параллельными. И когда имеются раз-
личные порядки бесконечного или бесконечно ма-
35
лых, то понимаются они в том же смысле, б каком
земной шар считается точкой по сравнению с рас-
стоянием до неподвижных звезд, а шарик в наших
руках — точкой по сравнению с полудиаметром
земного шара, так что расстояние от неподвижных
звезд является бесконечно бесконечным или бес-
кол ечносгью бесконечности по отношению к диа-
метру шарика» [38, с. 154]. В другом месте Лейб-
ниц прибегает к сравнению горы с песчинкой.
Такого рода разъяснения не были, однако, при-
няты единодушно. Если дифференциалы имеют хотя
и малую, но конечную величину, тогда результаты
дифференциального исчисления не могут призна-
ваться точными. Это затруднение понимал и сам
Лейбниц. В последующих работах он помещает
более тонкое обоснование бесконечно малых, ос-
нованное на противопоставлении «реальных» и
«идеальных» величин, а также на законе непре-
рывности. В письме к Вариньону он объясняет
суть этого подхода: «... Если кто-нибудь не допус-
кает бесконечных и бесконечно малых линий
в строго метафизическом смысле и в качестве дей-
ствительных вещей, тот может надежно пользо-
ваться ими как идеальными понятиями, сокраща-
ющими рассуждения и сходными с так называе-
мыми в обыкновенном анализе мнимыми числами
(вроде —2), которые несмотря на то, что их
называют мнимыми, не перестают от этого быть
полезными и даже необходимыми для аналитичес-
кого выражения действительных чисел» [38, с. 192].
Лейбниц предвосхищает здесь одну из самых вли-
ятельных идей последующей философии математи-
ки — идею фиктивных или идеальных элементов
в структуре математического знания. Утверждая
необходимость идеальных, но полезных понятий
в математике, Лейбниц вплотную подходит к сов-
ременному пониманию математического понятия
как элемента оперативной системы, но его обосно-
вание идет не в логическом, а в натурфилософском
плане. Идеальные элементы для него не логические
конструкции, но скорее платоновские идеи, сущ-
ности, «имеющие основание в вещах», связанные
с реальными сущностями посредством закона не-
37
прерывности, так что свойства реального необхо-
димо переходят в свойства идеального, и наоборот.
Идеальные элементы, не будучи даны в опыте,
выражают некоторую глубинную основу вешей, и
введение их необходимо для существования самой
науки.
Принцип непрерывности используется Лейбни-
цем и в качестве непосредственного онтологичес-
кого основания операции предельного перехода.
Общефилософский принцип непрерывности —
«природа не делает скачков» — в сфере матема-
тики и физики Лейбниц преобразовывает в неко-
торое правило, родственное современному принци-
пу соответствия. Законы движения согласно этому
правилу должны непрерывно переходить в законы
покоя, равенства должны рассматриваться как
частные случаи неравенств, свойства многоуголь-
ников должны без скачков переходить в свойства
кривых. «Строго говоря, — пишет Лейбниц, —
неверно, что покой есть род движения или что ра-
венство есть род неравенства, равно как неверно
и то, что круг есть род правильного многоуголь-
ника, но тем не менее можно сказать, что покой,
равенство и круг заканчивают движение, неравен-
ство и правильные многоугольники, которые пере-
ходят в них, исчезая в непрерывном движении...»
[38, с. 196].
Приведенные рассуждения интересны во многих
отношениях. В законе непрерывности мы легко
узнаем идею предельного перехода и общее пред-
ставление о непрерывности функции. Строгие оп-
ределения, однако, отсутствуют, и вместо обосно-
вания предела как математического понятия Лейб-
ниц разъясняет соответствующее содержательное
представление, опираясь на принцип натурфило-
софского порядка. Логическая связь столь разно-
родных идей была для Лейбница вполне естест-
венной, как и для многих его современников.
Натурфилософские идеи мы видим также в ра-
ботах Эйлера, хотя и з существенно иной роли.
Эйлер с самого начала отвергает лейбницевское
понятие несравненной величины. Принятие беско-
нечно малой и не равной нулю величины приве-
38
ло бы неизбежно, по его мнению, к нестрогости
анализа. По той же причине он отвергает и все
объяснительные физические аналогии, которые
приводились Лейбницем, Лопиталем, Вольфом и
другими математиками лейбницевской школы для
оправдания алгоритма исчисления бесконечно ма-
лых (песчинка по сравнению с горой и пр.). Бес-
конечно малая для Эйлера не что иное, как абсо-
лютный нуль. Ошибка критиков этой позиции
(бесконечно малая равна нулю) состоит, по Эйле-
ру, в том, что они не различают арифметического
и геометрического отношения нулей. Разность двух
нулей равна нулю, но отношение двух нулей может
быть равно любому числу, и оно зависит от каче-
ства тех функций, которые находятся в отношении
и приближаются к нулю в своей численной вели-
чине. Дифференциальное исчисление Эйлер опре-
деляет как «метод определения отношения исче-
зающих приращений, полученных какими-либо
функциями, когда переменному количеству, функ-
циями которого они являются, дается исчезающее
приращение» [100, с. 39].
Эйлер, несомненно, более близок к канонам
современной математической строгости, чем Нью-
тон и Лейбниц. Его идеалом является чисто ана-
литическое доказательство, не опирающееся ни
на механические, ни на геометрические аналогии.
По существу он не связывает себя и с натурфило-
софией. «Если даже отрицать, — пишет он, — что
во вселенной действительно существует бесконеч-
ное число, то все же в математических исследова-
ниях часто встречаются вопросы, на которые нель-
зя ответить, если не допустить бесконечного числа»
[100, с. 90]. Но отказ от натурфилософии у Эйлера
неполный. Он критикует отнюдь не натурфилософ-
ское обоснование вообще, но только натурфилосо-
фию Лейбница и Вольфа, стремясь фактически
улучшить ее, примирить со своим пониманием ос-
новных понятий анализа. Уже само наличие прост-
ранных рассуждений о делимости материи и о бес-
конечности мира в специальных математических
работах Эйлера говорит о том, что он также далек
от понимания математического объекта как логи-
39
ческой конструкции. Различие математического и
физического существования не было понято им
в достаточной мере, как и большинством матема-
тиков XVIII в.
Среди философов, которые могут быть упомя-
нуты в связи с рассматриваемым подходом к обос-
нованию математики, можно назвать Канта и Ге-
геля. В своей работе «Опыт введения в философию
отрицательных величин» Кант стремится понять
некоторую реальную сущность отрицания и, исхо-
дя из этого, обосновать действия с отрицательны-
ми числами, т. е. осуществляет чисто метафизи-
ческий подход к обоснованию математических опе-
раций. Гегель в «Науке логики» привязывает бес-
конечно малые в математике к своим категориям
бытия и ничто, считая, что адекватное понимание
этих категорий решает и проблему бесконечно ма-
лых. Суть этого решения состоит в том, что беско-
нечно малые одновременно существуют и не су-
ществуют. «Математика, — писал он, — обязана
своими самыми блестящими успехами принятию ею
того определения, которого не допускает рассу-
док» [23, с. 96]. Таким образом Гегель полагал,
что противоречие, от которого не могут избавиться
математики, есть нечто нормальное, неискорени-
мое, неустранимое с точки зрения формальной ло-
гики, вытекающее из диалектической сути вещей.
Конечно, такой подход не является правильным.
Надо заметить к тому же, что в то время, когда
Гегель писал «Науку логики», основное противо-
речие в алгоритме дифференцирования, состоящее
в том, что dx приходилось считать то неравным,
то равным нулю, уже было устранено работами
Эйлера, Д’Аламбера и Лагранжа, которые цели-
ком, конечно, оставались на позициях формальной
логики.
Физическая и геометрическая
аргументация
Если в кругу философов натурфилософский
подход к обоснованию науки держался вплоть до
середины XIX в., то ученые оставили его много
40
раньше. Эйлер был последним крупным математи-
ком, который придавал какое-то значение метафи-
зическим доводам. Ньютон, как известно, с самого
начала решительно отверг претензии метафизики
на разработку конкретных научных проблем. Ма-
тематики второй половины XVIII в. — Д’Аламбер,
Лагранж, Карно и другие — стояли на антимета-
физической позиции, избегая каких-либо обраще-
ний к общим представлениям о бытии при реше-
нии внутренних проблем науки. Одной из причин
этого было развитие самой математики. Д’Аламбер
и Лагранж вскрыли природу дифференциала, по-
казали его естественное происхождение из обыч’-
ных преобразований алгебры, в результате чего
математика, по крайней мерс в принципе, возвра-
тила утраченную строгость и не нуждалась столь
остро, как раньше, во внешнем оправдании исход-
ных правил. Отказ от метафизики не привел, од-
нако, к немедленному сдвигу в обосновании ана-
лиза как из-за неразработанности его важнейших
понятий, так и из-за того, что оставались еще дру-
гие заблуждения методологического порядка, ко-
торые необходимо было осознать.
Наиболее значительное заблуждение состояло
в том, что математика в своем обосновании тесно
связывалась с механикой. Ньютон, а также его
последователи Маклорен и Тейлор рассматривают
дифференциальное исчисление не как учение
о функциях, которое, в частности, может быть при-
ложено к механике, но как часть учения о движе-
нии, как теоретическую кинематику. Все задачи
своего исчисления флюксий Ньютон сводит к двум
основным:
1. Длина проходимого пути постоянно (т. е.
в каждый момент времени) дана; требуется найти
скорость движения в предложенное время.
2. Скорость движения постоянно дана; требу-
ется найти длину пройденного в предложенное
время пути [73, с. 45].
Конечно, Ньютон отличает физическую задачу
от ее математического оформления. Он разъясня-
ет, в частности, что понятия времени и скорости
могут применяться только условно при рассмотре-
41
нии математической функции. Тем не менее мате-
матический аппарат остается у него четко ориен-
тированным на одну эмпирическую интерпретацию
со всеми вытекающими отсюда ограничениями.
Так, для Ньютона было естественно думать, что
каждая непрерывная функция имеет производную,
так как всякое движение, поскольку оно происхо-
дит, имеет скорость, и что всякое приближение
к пределу монотонно, так как движущееся тело
может приближаться к некоторой точке только
с одной стороны.
Таким образом, хотя математики отказались
от поиска метафизических корреляторов для своих
понятий и от метафизической аргументации в про-
цессе доказательства, это еще не означало, что
они отвергли всякое обоснование математики
извне и приняли современную идею логической
автономности математики. Лишь постепенно стала
пробивать себе дорогу мысль о том, что диффе-
ренциальное исчисление не должно всецело ориен-
тироваться на механику и что математика не мо-
жет быть обоснована через механические понятия,
а скорее наоборот — механические понятия могут
быть строго определены только на базе дифферен-
циального исчисления. Эта новая позиция была
ясно высказана Лагранжем. «Вводить в исчисле-
ние, предметом которого являются лишь алгебраи-
ческие величины, движение, — писал Лагранж, —
значит вводить идею ему чуждую и принуждаю-
щую рассматривать эти величины как линии, про-
бегаемые движущимся телом. С другой стороны,
следует признать, что мы отнюдь не обладаем
четким понятием о том, что есть скорость точки
в любое мгновение, в случае, когда скорость пере-
менная» (цит. по: [101, с. 387]). Дифференциаль-
ное исчисление, согласно Лагранжу, должно рас-
сматриваться как логически более фундаменталь-
ная теория по сравнению с механикой и, следова-
тельно, должно излагаться и обосновываться неза-
висимо от механики и от каких-либо эмпирических
предпосылок вообще.
Конечно, не следует представлять, что такой
взгляд на статус математической теории привился
42
легко. Если, начиная с Д’Аламбера и Лагранжа,
математики стали отделять анализ от механики,
•то на геометрию еще долгое время продолжали
смотреть как на эмпирическую науку, призванную
описывать «реальное» пространство. Это обстоя-
тельство явилось впоследствии главной причиной
длительного непризнания неевклидовых геометрий.
Признание автономии понятий анализа от пред-
ставлений механики было выдающимся методоло-
гическим достижением в математике XVIII в. Хотя
эта автономия и рассматривалась ограниченно,
так как она не относилась к геометрии, тем не ме-
нее в этих воззрениях уже были заложены основы
современного представления о математике со стро-
гим разграничением математического и физичес-
кого существования.
На коней, была и еще одна трудность методоло-
гического порядка. Дело в том, что для большин-
ства математиков XVIII в. и даже для тех, кто ре-
шительно отказывался от механических аналогий
в процессе математических рассуждений (исклю-
чить здесь можно, и то не без оговорок, только
Эйлера и Лагранжа), была чем-то само собой ра-
зумеющимся и законным в процессе математичес-
кого доказательства ссылка на геометрические
представления. Это отчасти объяснилось высоким
авторитетом «Начал» Евклида. Именно геомет-
рия, а не арифметика мыслилась наиболее автори-
тетной и строгой частью математики, ее фундамен-
том и, следовательно, естественной предпосылкой
алгебры и анализа. Этим объясняются, в частнос-
ти, настойчивые попытки многих математиков
XVIII в. интерпретировать на образах геометрии
отрицательные, иррациональные и комплексные
числа. С современной точки зрения это была на-
прасная работа в науке, проистекающая из плохой
философии, не имеющая никакой ценности для
обоснования указанных алгебраических объектов.
Поскольку существование производной и интеграла
для большинства математиков XVIII в. следовало
с очевидностью из рассмотрения кривой, ее каса-
тельной и соответствующей криволинейной трапе-
ции, то проблема существования этих ебт^ектов
43
не ставилась в аналитическом смысле, и путь
к строгому логическому обоснованию дифферен-
циального исчисления был закрыт.
По мере развития анализа, особенно с введе-
нием в рассмотрение разрывных функций, стано-
вилась все более ясной недостаточность геометрии
как базы для его обоснования. Развернутая кри-
тика как физических, так и геометрических анало-
гий в математике была дана в начале XIX в. чеш-
ским философом и математиком Б. Больцано.
Обосновывая необходимость аналитического дока-
зательства положения, что между положительным
и отрицательным значениями непрерывной функции
имеется по крайней мере одно ее значение, равное
нулю, он писал: «Против верности, а также про-
тив очевидности этой геометрической теоремы
возражать нечего. Но очевидно также, что нетер-
пимым нарушением хорошего метода является,
когда истины чистой (или общей) математики
(т. е. арифметики, алгебры или анализа) желают
вывести из положений, которые принадлежат толь-
ко прикладной (или частной) ее части... Подлинно
научным дсказательствОхМ или объективным осно-
ванием истины, которая верна для всех величин,
безразлично находятся они в пространстве или
нет, никак не может быть истина, которая верна
только для величин, находящихся в пространстве»
[14, с. 171 — 172].
В результате критики геометрии как базы ана-
лиза задача обоснования дифференциального ис-
числения практически стала однозначно опреде-
ленной; стало ясно, что анализ должен быть обос-
нован только на базе арифметики или из общего
учения о величинах. Существование для опреде-
ленной функции производной, дифференциала и
интеграла не может быть постулировано исходя
из каких-либо внешних соображений (механичес-
ких, геометрических), но должно быть доказано
чисто аналитически только из свойств этой функ-
ции и из свойств числовых множеств, которые
она связывает. В математике в начале XIX в., та-
ким образом, появилось новое умонастроение, но-
вое отношение к объектам дифференциального ис-
44
числения и к строгости математического доказа-
тельства вообще. О. Коши, работая в русле новых
представлений о строгости, успешно разрешил
собственно математические трудности и дал в сво-
ей работе «Алгебраический анализ» (1821) строго
логическое развитие идей дифференциального
исчисления, опираясь на понятие предела и опера-
ции над действительными числами.
Обоснование математического анализа на ос-
нове понятия предела вывело математическое
мышление в целом на новый уровень строгости.
В начале XVIII в. перед лицом неясности алгорит-
мов дифференциального исчисления математики
единодушно стремились к восстановлению строгос-
ти древних. В действительности, однако, ситуация
требовала не восстановления евклидовой строгости
или, точнее, не только ее восстановления, но прин-
ципиально нового ее уровня. Греческая строгость,
представленная «Началами» Евклида, была вполне
совместима с представлениехМ о том, что матема-
тика изучает некоторые реальности, находящиеся
вне ее, она не запрещала ссылок на интуитивную
ясность в вопросах существования математических
объектов. Математики XVIII в., пытаясь обосно-
вать бесконечно малые ссылкой на бесконечную
делимость материи, действовали поэтому вполне
в духе греческой строгости. Аналитические дока-
зательства существования, введенные Коши, пред-
ставляют не восстановление греческой строгости,
но установление нового-, более высокого ее стан-
дарта.
Н. Н. Лузин в известной статье о Ньютоне ут-
верждал, что Ньютон имел теорию пределов ни-
чуть не менее строгую, чем Коши [57, с. 375].
С этим, однако, трудно согласиться. Верно, что
Ньютон имел полное представление о пределе и
правильно действовал в его рамках. Коши, одна-
ко, нс просто уточнил содержательное понимание
предела, он определил его формально, .ввел его
как оперативное понятие, позволяющее доказывать
существование предела в случаях, не связанных с
наглядностью. Для Ньютона же проблема сущест-
вования в аналитическом плане вообще не стояла.
45
Ньютсн и Коши не могут сравниваться в отноше-
нии строгости. Они представляют различные эпохи
в методологии математики.
Главными философскими линиями в математи-
ке XVIII в. были натурфилософия и эмпиризм.
Натурфилософски мыслящие математики стреми-
лись связать основные понятия элементарной и
высшей математики с некоторыми реальными сущ-
ностями, с общими характеристиками бытия (опе-
рацию отрицания с онтологическим отрицанием,
бесконечное с реальней бесконечностью и т. д.).
Эта линия мышления непосредственно связана
с пифагорейской традицией, хотя здесь имеется
и существенная разница: если пифагореизм обос-
новал представления о бытии ссылкой на матема-
тику, то математическая натурфилософия XVII—
XVIII вв. в соответствии с духом времени идет на-
оборот — от реальности к математике. В этом
смысле она ближе к математическому атомизму.
Тенденция к натурфилософскому истолкованию
математических образов проявляется эпизодически
вплоть до настоящего времени. Известно, что из
математического понятия многомерных прост-
ранств некоторые ученые XIX в. выводили наличие
особых мистических возможностей, связанных
с четвертым измерением. Натурфилософское ис-
толкование неевклидовых геометрий, мнимых и
трансфинитных чисел мы видим в работах Клиф-
форда и Флоренского. Популярные изложения тео-
рии относительности и квантовой механики также
часто впадают в математическую натурфилософию,
превращая, к примеру, математическое понятие
искривленного пространства в нечто феноменоло-
гически реальное, опровергающее обычные интуи-
тивные представления о пространстве и времени.
Однако в настоящее время натурфилософское ис-
толкование математических понятий следует счи-
тать пройденным этапом, оно проявляется, так ска-
зать, на периферии математического мышления и
для серьезной философии математики представ-
ляет лишь исторический интерес.
Эмпиризм обосновывает математические поня-
тия не из умозрительных представлений о природе
46
и материи, а из представлении конкретных наук,
из характеристик, описывающих механическое дви-
жение, и т. д. Эмпирическая установка свободна
от всякого мистицизма и, безусловно, более соот-
ветствует духу опытного естествознания. По этой
причине и в силу многих других обстоятельств
эмпиризм является одним из самых влиятельных
направлений методологического мышления и в сов-
ременной математике.
Что касается вопросов обоснования математи-
ки, то эмпиризм здесь не менее несостоятелен, чем
натурфилософия. В обоих случаях делается по-
пытка обосновать математику, внутреннюю логику
ее понятий, прямой ссылкой на нечто внешнее,
на тот или иной тип представлений о реальности.
Эмпиризм, как и натурфилософия, игнорирует ло-
гическую сущность математических понятий, спе-
цифику математического существования.
Глава 3
НЕЕВКЛИДОВЫ ГЕОМЕТРИИ
И РАЗВИТИЕ ФИЛОСОФИИ
МАТЕМАТИКИ В XIX в.
Философские дискуссии в математике XIX в.
были связаны в основном с развитием геометрии,
а именно с истолкованием неевклидовых геометрий.
В области математического анализа также возник-
ли принципиальные трудности, но до конца XIX в.
они казались легко устранимыми и некоторые
из них, действительно, были устранены. Неевкли-
довы геометрии были фактом совсем друго-
го рода. Вопрос о природе математического знания
возник в связи о ними снова и не менее остро, чем
в предыдущем столетии, в связи с обоснованием
исчисления бесконечно малых.
11 февраля 1826 г. профессор Казанского уни-
верситета Н. И. Лобачевский представил ученому
совету физико-математического факультета доклад
с изложением основ новой геометрии. Главная
идея его состояла в том, что аксиома Евклида
о параллельных независима от других аксиом евк-
лидовой геометрии (невыводима из них) и, следо-
вательно, возможно построить другую геометрию,
столь же непротиворечивую, как и евклидова, если
в евклидовой геометрии заменить аксиому о па-
раллельных на противоположное утверждение.
В последующие годы Лобачевский всесторонне
разработал теорию новой геометрии и указал ряд
ее приложений в области математического анали-
за. Одновременно с Лобачевским те же идеи были
развиты молодым венгерским математиком Яно-
шем Больяи.
Значение неевклидовых геометрий состоит преж-
де всего в том, что их построение и доказательст-
во непротиворечивости представляет собой окон-
чательное решение проблемы о параллельных, за-
48
нимавшей математиков в течение двух тысячеле-
тий. В дальнейшем эти геометрии нашли самые
разнообразные применения в задачах самой мате-
матики и в теоретической физике. Но не этому
собственно математическому значению неевклидо-
вы геометрии обязаны своей известностью. Они
явились не только крупным событием в развитии
математики XIX в., но вместе с тем фактом, про-
тиворечащим всем сложившимся к тому времени
представлениям о природе математического зна-
ния. Подобно тому как открытие несоизмеримых
величин поставило под удар пифагорейскую кар-
тину мира, основанную на понятии целого числа
и целочисленного отношения, открытие Лобачев-
ского и Больяи привело математиков к коренному
пересмотру представлений о собственной науке,
о ее функции в системе знания, о методах постро-
ения и обоснования математических теорий. Мож-
но сказать без преувеличения, что современное
понимание математики выросло из попыток ос-
мыслить факт неевклидовых геометрий.
Философия математики
е начале XIX в.
В начале XIX в. в истолковании математики
имели влияние два направления: эмпиризм и ап-
риоризм.
Платон в свое время различал арифметику и
геометрию в соответствии с природой их понятий.
Числа для Платона относятся к миру идей, в то
время как геометрические объекты являются иде-
альными только наполовину, так как они связаны
с чувственными образами и поэтому занимают
промежуточное положение между миром идей и
реальным миром. Аналогичное различение ариф-
метики и геометрии проводится и математиками
XIX в. Если объекты арифметики (особенно это
касается иррациональных и мнимых чисел) рас-
сматриваются как мысленные образования, как
сфера, где мы можем опираться исключительно
на логику, то геометрические понятия неразрывно
49
связываются с опытными представлениями. Боль-
шинством математиков первой половины XIX в.
геометрия понимается чисто эмпирически как нау-
ка о реальном пространстве.
Противоположное, рационалистическое воззре-
ние на геометрию и математику в целом, которому
суждено было сыграть исключительно большую
роль в дискуссиях о природе неевклидовых геомет-
рий, было развито в конце XVIII в. выдающимся
немецким философом И. Кантом. Согласно Канту,
понятия геометрии и арифметики не являются
отражением структуры космоса, как думали пифа-
горейцы, и не извлечены посредством абстракций
из опыта, но представляют собой отражение чис-
того или априорного созерцания, присущего чело-
веку наряду с созерцанием эмпирическим. Сущест-
вуют две формы чистого созерцания ।— простран-
ство и время. Пространство и время — необходи-
мые внутренние представления, которые даны че-
ловеку даже при абстрагировании от всего эмпи-
рического. Геометрия, по Канту, есть не что иное,
как выраженная в понятиях чистая интуиция
пространства, арифметика находится в таком же
отношении к чистому представлению времени. Гео-
метрические и арифметические суждения не эмпи-
рические, поскольку они отражают априорное со-
зерцание, но вместе с тем они и не аналитические
суждения, не тавтологии, каковыми являются пра-
вила логики, поскольку они отражают содержание
чувственности, хотя и не эмпирической. Матема-
тика таким образом может быть определена как
система синтетических суждений, выражающая
структуру априорных форм чувственности L Как
система выводов и доказательств математика
должна быть полностью интуитивно ясной: по Кан-
ту, все математические доказательства «постоянно
1 Понятие априорного Кант определяет только отрица-
тельно. Понятие (соответственно, суждение) является ап-
риорным, если оно не является ни эмпирическим, ни врож-
денным [41, т. 3, с. 215]. Кантовская позиция отличается от
позиции Декарта или Лейбница, которые склонны были счи-
тать математические понятия врожденными.
50
следуют за чистым созерцанием на основании
всегда очевидного синтеза» [41, ст. 3, с. 402].
В теоретическом плане априоризм представляет
резкую оппозицию эмпиризму. Однако значение
этого расхождения не следует преувеличивать.
В методологических требованиях к математике ра-
ционалисты практически сходились с эмпиристами,
так как они также требовали от математических
аксиом очевидности, наглядности, интуитивной яс-
ности, хотя теперь уже от имени априорной чув-
ственности. Синтез геометрических аксиом посред-
ством чистой интуиции пространства трудно отли-
чить в практической плоскости от требования вы-
ведения этих аксиом из наблюдения твердых тел
или механических движений в пространстве 2.
Таким образом, в начале XIX в. мы видим на-
личие двух диаметрально противоположных воз-
зрений на сущность математики и вместе с тем оп-
ределенное единство в методологических требова-
ниях: от математических истин требовали не толь-
ко их строгой доказуемости, но еще и обяза-
тельной наглядности, непосредственной данности
сознанию, интуитивной ясности того или иного
рода.
Однако, внутренние потребности математики,
необходимость решения конкретных задач заста-
вили математиков ввести в обиход такие образы,
как иррациональные и комплексные числа, кото-
рые уже не были интуитивно ясными во всех
свойствах и не допускали наглядной эмпирической
интерпретации, адекватной этим свойствам.
В XVII—XVIII вв. прилагалось много усилий для
того, чтобы сделать эти образы обычными, найти
для них некоторое непосредственное оправдание
в опыте или геометрических представлениях. Нью-
2 В. Узвелл в «Философии индуктивных наук» (1840)
выразил эту общую методологическую позицию словами
«Аксиомы нс признаются — они должны быть видимы». По-
нятие видимости допускает различную интерпретацию, и вслед-
ствие этого Дж Ст. Милль считает Уэвелла сторонником
эмпиризма, в то время как Ф. А. Ланге относит его к кан-
тианцам. (См. обсуждение этою вопроса у Ф. А. Ланге [53,
с. 345—348]).
51
тон, Лейбниц, Эйлер и другие математики стреми-
лись обосновать анализ прежде всего также в этом
направлении. Несмотря на неудачу такого рода
попыток, несмотря на то, что многие математики
практически отошли от этого воззрения, требова-
ние интуитивной ясности математических образов
в том или другом понимании интуиции продолжа-
ло быть определяющим в философских воззрениях
на математику в начале XIX в. Лобачевский на-
звал свою геометрию воображаемой по той же при-
чине, по какой комплексные числа, несмотря на их
широкое использование, назывались мнимыми:
не было наличной физической реальности, которой
можно было бы оправдать введение таких образов
и к описанию которой можно было бы их непо-
средственно приложить. В конце XVIII в. под вли-
янием трудностей обоснования анализа стали про-
бивать себе дорогу некоторые новые, более адек-
ватные представления о математике. Здесь прежде
всего нужно указать на идеи французского мате-
матика Л. Карно, который ставил под сомнение
необходимость в эмпирическом обосновании каж-
дого математического понятия.
Точка зрения, развитая Карно, получила
позднее название фикционализма, так как он счи-
тал внутренние образы математики фиктивными
сущностями, созданными для облегчения операций
с реальными, более близкими к опыту математи-
ческими понятиями. Такими фиктивными сущнос-
тями Карно считал отрицательные, комплексные
числа, а также бесконечно малые и бесконечно
большие величины.
Небольшое развитие этих взглядов, вообще го-
воря, открывает дорогу принятию всех абстракт-
ных образов математики, в том числе и неевкли-
довых геометрий. Здесь остается один шаг до по-
нимания того, что математическое существование
вообще имеет другой смысл, чем физическое, и
первое не должно непосредственно связываться
со вторым. Но этот шаг не был сделан по крайней
мере по отношению к геометрии. Геометрия из-за
своей тесной связи с механикой неизменно рас-
сматривалась как наука о мире, как часть механи-
52
ки и в то время, когда в других областях матема-
тики начался отход от прямолинейно эмпиричес-
кого понимания математических объектов. На про-
тяжении всего XIX в. в философии математики
проводилось резкое различие между арифметикой
и геометрией по их отношению к опыту: если
за образами арифметики признавалась определен-
ная независимость от опыта (обычно в форме под-
черкивания искусственной, мысленной природы
этих образов), то образы геометрии истолковыва-
лись как факты действительности или гипотезы
о мире. К. Ф. Гаусс писал в начале XIX в.: «Наше
знание истин геометрии совершенно лишено того
полного убеждения в их необходимости, которое
принадлежит к учению о величинах; мы должны
скромно сознаться, что если число есть продукт
нашего духа, то пространство помимо нашего духа
имеет реальность, которой мы не можем a priori
предписывать законы» (цит. по [19, с. 12]). Эту
идею о разном статусе математических дисциплин
по отношению к опыту, о большей эмпиричности
геометрии по сравнению с арифметикой мы уже
видели в приведенном выше рассуждении Больца-
но. Она принимается как нечто само собой разу-
меющееся также Дедекиндом, Фреге, Кронекером,
Пашем и даже Пуанкаре [см. 81, с. 398].
В духе своего времени Лобачевский также рас-
сматривал геометрию прежде всего как опытную
науку, как дисциплину, обоснование которой долж-
но быть найдено в опыте, а именно в правильнос-
ти наших измерений. В соответствии с этим воз-
зрением он пытался доказать справедливость своей
новой геометрии посредством измерений, а именно
через подсчет углов астрономических треугольни-
ков. С той же целью Гаусс занимался точным из-
мерением больших треугольников в процессе ра-
боты по обмеру земель ганноверского королевства.
Эти измерения, как известно, не подтвердили ги-
потезы с нееьклидовости реального пространства:
отклонение суммы углов треугольников от 180°
всегда оказывалось в пределах допустимых оши-
бок измерений. Как сейчас установлено, если наше
пространство и является неевклидовым в смысле
53
общей теории относительности, то современные
средства измерений недостаточны для того, чтобы
зафиксировать этот факт в каких-либо непосредст-
венных измерениях. Таким образом, отрицатель-
ный результат опытов Лобачевского и Гаусса был
предрешен. Но суть дела не в этом. Суть в том,
что сама идея оправдания математического объ-
екта через опыт была ошибочной. Попытки Гаус-
са и Лобачевского показывают, что первооткрыва-
тели новой сферы математики и, в определенном
смысле, нового стиля математического мышления
сами еще всецело находились под влиянием тра-
диционного эмпирического воззрения на математи-
ку и были далеки от понимания действительного
значения своих новых идей. Философская позиция,
идущая от Бэкона и Ньютона, которой придержи-
вались Лобачевский, Больяи и Гаусс, была для
начала XIX в., несомненно, более адекватной ес-
тествознанию, чем априоризм Канта. Но в своем
непосредственном виде, как простое утверждение
об опытной природе всякого знания, эта позиция
была явно недостаточной для обоснования не толь-
ко неевклидовой геометрии, но и обычных мате-
матических теорий. Эмпиризм XIX в. так же, как
и эмпиризм XVII в., не был в состоянии объяснить
специфику математики.
Лобачевский, как можно заключить из некото-
рых его высказываний, испытывал некоторые ко-
лебания в вопросе о путях оправдания новой гео-
метрии. Так, он пишет в статье «О началах геомет-
рии»: <\Очень вероятно, что эвклидовы положения
одни только истинные, хотя и останутся навсегда
недоказанными. Как бы то ни было, новая геомет-
рия, основание которой здесь уже положено, если
и не существует в природе, тем не менее может
существовать в нашем воображении и, оставаясь
без употребления для измерений в самом деле,
открывает новое обширное поле для взаимного
применения Геометрии и Аналитики» [55, с. 209].
Здесь Лобачевский, как мы видим, делает основ-
ной акцент на внутриматематической ценности
своей геометрии и в вопросе ее оправдания зани-
мает позицию, близкую к взглядам Лейбница и
54
Карно3. Однако в начале XIX в., как мы сейчас
понимаем, не существовало объективных предпо-
сылок для того, чтобы перейти от этих правильных
догадок к принципиально новому взгляду на сущ-
ность математических объектов и способов их оп-
равдания.
Основные направления философского
обоснования неевклидовых геометрий в XIX в.
В 1854 г. Б. Риман выдвинул концепцию п-мер-
ных геометрических многообразий — чрезвычайно
общее понимание пространства, в котором геомет-
рия Лобачевского — Больяи заняла определенное
место как трехмерная геометрия с отрицательной
кривизной. Тем самым эта геометрия становится
узаконенной, необходимой частью математики при
ее систематическом развитии. В 1868 г. Е. Бельт-
рами, занимаясь геометрией кривых поверхностей,
нашел поверхность с отрицательной кривизной
(псевдосферу), внутренняя геометрия которой ока-
залась совпадающей с планиметрией Лобачевско-
го. Основной вопрос относительно геометрии Ло-
бачевского — Больяи — вопрос о ее внутренней
непротиворечивости — был в значительной мере
разрешен. Несколько позднее А. Пуанкаре, С. Ли,
3 При характеристике воззрений Лобачевского часто де-
лается упор на его высказываниях о происхождении матема-
тических понятий из опыта, и дело представляется таким
образом, что эти его воззрения были в некотором смысле
предпосылкой открытия новой геометрии. На самом деле
строгий эмпиризм, т. е. убеждение в том, что исходные гео-
метрические положения должны быть абстрагированы из опы-
та, несовместим с признанием неевклидовых геометрий. У Ло-
бачевского были реальные гносеологические доводы за пра-
вомерность новой геометрии — кроме уже цитированного
места мы могли бы указать на его критику методологии
Лагранжа, где он защищает воображаемые объекты в ма-
тематике вообще, если они «служат новым средством к об-
легчению в ней вычислений, расширяет ее пределы...» [55,
т. 4, с. 370]. Нс эти соображения, имеющие действительную
ценность для оправдания неевклидовых геометрий, не имеют
ничего общего с эмпиризмом.
55
Л. Кронекер начали использовать неевклидовы
геометрии как эффективный аппарат для решения
различных задач в теории функции и других об-
ластях математики. Сам принцип построения но-
вой математической теории через изъятие и замену
аксиом, примененный при создании неевклидовых
геометрий, был положен в основу исследований
по основаниям математики, которые к концу XIX в.
стали превращаться в особую, все более важную
область математических исследований. Можно
сказать, что к 80-м гг. XIX в. собственно матема-
тическое значение неевклидовых геометрий было
вполне осознано.
Философское понимание новой геометрии
не сделало, однако, к этому времени сколько-ни-
будь существенного шага вперед. История призна-
ния неевклидовых геометрий в XIX в. является
одним из наиболее ярких примеров отставания фи-
лософской концепции науки от роста ее содержа-
ния. Признание этих геометрий, совершившееся
под давлением внутренних потребностей матема-
тики, поставило перед философией математики
вопросы, на которые долгое время не удавалось
найти сколько-нибудь удовлетворительного ответа.
Основные из них следующие:
1. Каков эмпирический статус неевклидовых
геометрий? Является ли реальное пространство
евклидовым?
2. Какова природа математических аксиом?
Существование неевклидовых геометрий, очевидно,
противоречит убеждению эмпиризма об опытном
происхождении геометрических аксиом. С другой
стороны, оно противоречит и утверждению об ап-
риорном характере аксиом, так как если аксиому
Евклида о параллельных считать взятой из чисто-
го созерцания, то противоположную аксиому уже,
очевидно, нельзя считать таковой.
3. В чем природа математической достовернос-
ти? Кант по-своему отвечал на этот вопрос, исходя
из априорных представлений о математике. Если
же мы ставим под сомнение точку зрения Канта
вообще, то вопрос о достоверности (аподиктичнос-
ти) математики, поставленный еще в древности,
56
очевидно, требует решения на некоторой другой
основе.
Эти вопросы встали во всей остроте в 70-х гг.
XIX в., когда неевклидовы геометрии уже были
признаны в математике, когда они стали фактом,
требующим какого-то оправдания с точки зрения
общего понимания этой науки.
Признание неевклидовых геометрий привело
прежде всего к ряду попыток чисто метафизичес-
кого ее истолкования. Известные последователи
Канта Ф. Ланге и О. Либман выдвинули точку
зрения, согласно которой неевклидовы геометрии
представляют собой не что иное как возможные
геометрии мира «самого по себе», в то время как
евклидова геометрия представляет собой геомет-
рию чувственного восприятия, геометрию «мира
для нас». Другого рода натурфилософию связывал
с неевклидовыми геометриями английский мате-
матик У. Клиффорд. Реальная геометрия мира,
по Клиффорду, неевклидова, и все, что происходит
в мире, может быть понято как определенное из-
менение кривизны пространства в той или другой
его части. Неевклидова геометрия приобретает
у Клиффорда значение фундаментальней динами-
ческой основы мира.
Большинство математиков XIX в. в попытках
обоснования неевклидовых геометрий исходили
из представления об опытной природе геометри-
ческих понятий. Все три создателя неевклидовой
геометрии — Гаусс, Лобачевский и Больяи — выс-
тупали против априористской гносеологии и нас-
таивали на опытном происхождении геометричес-
ких понятий. С этих же позиций позднее стреми-
лись подойти к обоснованию неевклидовых гео-
метрий Б. Риман, Г. Гельмгольц, Л. Больцман,
Ф. Клейн и другие ученые.
Гельмгольц при обосновании геометрии исходит
из того, что все наши геометрические представле-
ния так пли иначе опираются на измерение. Но
сама возможность измерения предполагает воз-
можность перемещения тел в пространстве без из-
менения их формы. Однако это допущение,
по Гельмгольцу, не может быть дано a priori; оно,
57
несомненно, фиксирует наш опыт, а именно опыт
обращения с твердыми телами. В мире, где не бы-
ло бы твердых тел, не было бы и евклидовой гео-
метрии. Евклидово, а также сферическое и псев-
досферическое пространства допускают перемеще-
ние фигур внутри себя без изменения формы и
вследствие этого являются оправданными с точки
зрения опыта. Вслед за Риманом Гельмгольц
склонен рассматривать неевклидовы пространства
как некоторого рода гипотезы о возможных фи-
зических мирах. В своей работе «О происхождении
и значении аксиом геометрии» он пытается с по-
мощью оптических аналогий сделать более осяза-
емым мир, в котором могла бы понадобиться гео-
метрия Лобачевского [25, с. 41—50].
Л. Больцман и Ф. Клейн подходили к оправда-
нию неевклидовых геометрий также из соображе-
ний опыта, но скорее из анализа его субъектив-
ной, психологической стороны. По мнению Клейна,
интуиция, которой Кант оправдывал существова-
ние и единственность евклидовой геометрии, пред-
ставляет собой на самом деле чрезвычайно несо-
вершенный инструмент в этом отношении. Интуи-
ция подсказывает нам, к примеру, что биссектрисы
внутренних углов треугольника пересекутся друг
с другом внутри треугольника, но она нам не го-
ворит, что все они пересекутся в одной точке; это
может быть обосновано только логикой. Так как
действительная кривизна реального пространства
мало ощутима практически, то наша интуиция ни-
чуть не в меньшей мерс оправдывает неевклидову
геометрию, чем евклидову [72, с. 120].
Ценный момент воззрений Гельмгольца и дру-
гих математиков эмпирического направления сос-
тоит в том, что они, исходя из конкретного содер-
жания геометрии, привели сильные доводы про-
тив априоризма. В целом, однако, эта позиция
является довольно слабой, поскольку она является
попыткой объяснить математическое знание,
не выявляя его специфики, т. е. по существу на
базе отождествления его с теоретической физикой.
С позиции Гельмгольца нельзя ответить на вопрос,
является ли геометрия точной или она только при-
58
ближенная наука, как физика, но это вопрос пер-
вой важности для понимания природы математики.
Гельмгольц оправдывает, далее, существование
сферического и псевдосферического пространств
тем, что все они соответствуют опыту по крайней
мере в том, что допускают движение без измене-
ния формы. Но тем самым геометрия ограничива-
ется тремя указанными видами пространств, так
так известно, что никакие другие варианты рима-
новых многообразий не удовлетворяют этому тре-
бованию. Наконец, взгляд на аксиомы неевклидо-
вой геометрии как на гипотезы о возможном мире
нс выдерживает критики с течки зрения логики
развития науки. Если геометрия Евклида есть
учение о реальном пространстве, то новая гипо-
теза об этом пространстве представлялась бы оп-
равданной, если бы геометрия Евклида оказалась
в каком-то пункте неудовлетворительной, расходя-
щейся с показаниями опыта. Но поскольку этого
никогда не наблюдалось, то неевклидовы геомет-
рии могут быть оценены только как некоторые
чисто произвольные, ничем не обусловленные пред-
положения о мире. Если же вообще допускать
такие свободные гипотезы, то неясно, почему мы
в физике не строим, к примеру, нефарадеевскую
или немаксвелловскую теорию электричества в ка-
честве возможной для некоторого другого мира.
Очевидно, что дело здесь в некоторой специфике
математики, в различном статусе математических
и физических теорий по отношению к опыту, но
ни Гельмгольц, ни никто другой из ученых эмпири-
ческого направления не поставил вопроса в этой
плоскости. Они прилагали все усилия к тому, что-
бы найти каналы, по которым новые математи-
ческие структуры могли бы быть связаны с опы-
том, поскольку не видели другого способа оправ-
дать их существование как только через наличие
такого рода непосредственных связей. Фактичес-
ки же при таком подходе природа и значение не-
евклидовых геометрий оставались совершенно не-
выясненными.
Очевидная неспособность эмпиризма объяснить
понятие абстрактных структур в математике обус-
59
ловила значительное влияние в этой области кан-
товской философии вплоть до конца XIX в. Согла-
совать факт неевклидовых геометрий с филосо-
фией математики Канта пытались Г. Коген,
А. Краузе, Б. Рассел, Л. Нельсон, В. Майнеке,
П. Наторп, Е. Кассирер и другие философы конца
XIX — начала XX в. Аргументы кантианцез в це-
лом могут быть сведены к следующей системе ут-
верждений.
1. Противопоставление неевклидовых геомет-
рий кантовскому учению о пространстве основано
на недоразумении, на искажении сути кантовской
философии математики. Кант не ограничивал воз-
можные геометрии, доступные человеку, только
одной евклидовой геометрией. В своих первых ра-
ботах он доказывал, что свойство трехмерности
пространства непосредственно связано с действием
тел друг на друга обратно пропорционально квад-
рату разделяющих их расстояний и что вполне
возможны другие миры с другим законом сил и,
как следствие, с другой размерностью пространст-
ва, т. е. с принципиально другой геометрией. «На-
ука обо всех этих возможных видах пространст-
ва, — писал Кант, — несомненно, представляла
бы высшую геометрию, какую способен построить
конечный ум» [41, т. 1, с. 71]. В «Критике чистого
разума» Кант говорит о возможности других форм
чувственного восприятия для других живых су-
ществ. «Нет необходимости, — пишет он, — огра-
ничивать способ созерцания в пространстве и вре-
мени чувственностью человека» [41, т. 3, с. 152].
Но это есть не что иное, как предположение су-
ществования некоторых других законов простран-
ства, чем те, которые выражены в теоремах евкли-
довой геометрии. Таким образом, Канта следует
рассматривать не в антагонизме с неевклидовыми
геометриями, но, напротив, скорее как одного из их
теоретических предшественников, который впервые
сформулировал саму идею высшей геометрии,
не совпадающей с геометрией евклидовской (Баух
{7, с. 21—22]).
2. Утверждения Канта о возможности других
пространств и других форм чувственного созсрца-
60
ния не случайны, но вытекают необходимо
из принципиальных установок его философии. Ма-
тематические утверждения для Канта не аналити-
ческие, а синтетические, а это значит, что постро-
ение других геометрий вполне согласуется с основ-
ным моментом кантовского учения о математике,
так как синтетические утверждения допускают
в качестве осмысленных и противоположные себе
утверждения. Построение неевклидовых геомет-
рий — не опровержение, но блестящее подтверж-
дение взглядов Канта на логический статус ма-
тематических истин (Нельсон [72, с. 14, 17—18]).
3. Попытка Гельмгольца во всех отношениях
отождествить неевклидовы геометрии с евклидо-
вой неправомерна, так как она смешивает матема-
тический, физический и психологический (созерца-
тельный) аспекты в понимании пространства. Не-
евклидовы геометрии равноправны с евклидовыми
в математическом смысле, как математические
структуры, они равноправны и в физическом смыс-
ле — они могут применяться на одинаковых пра-
вах при описании различных отношений действи-
тельности, но они никоим образом не могут быть
отождествлены психологически, в плане восприя-
тия мира. По это основной пункт в кантовском ис-
толковании геометрии. Кант был бы опровергнут,
если бы было доказано, что, пользуясь новыми
геометриями, мы способны выработать для себя
новую интуицию пространства. Но в действитель-
ности это невозможно. Во всяком случае, Гельм-
гольц ошибается, когда он от возможности новых
логических конструкций заключает к возможности
новых форм интуитивного видения мирз. Факты
не подтверждают этого (Майнеке [115, с. 221 —
232]).
4. Эмпирическая трактовка математики не от-
личает объектов математики от объектов эмпири-
ческих наук, идеальные сущности от объектов,
данных в опыте. Эмпирическая арифметика — это
арифметика «камешков и пряников», эмпирическая
геометрия — это геометрия чертежей и картонных
фигур. Эмпирическая математика игнорирует раз-
деление, которое «совершенно ясно было проведе-
G1
но уже Филолаем и Платоном» [7, с. 25]. Эмпи-
ризм ставит математику рядом с физикой и «раз-
бивается о факт аподиктичности математических
истин». Он просто игнорирует тот факт, что мате-
матические теории нс доказываются и не опровер-
гаются опытом [См. 72, с. 52].
5. Эмпирическая позиция противоречива логи-
чески. Утверждение Гельмгольца о том, что наши
представления об измерении покоятся на допуще-
нии неизменности формы тел и масштабов, содер-
жит в себе логический круг, ибо само понятие
«твердого тела» или «тела, не изменяющего фор-
му», предполагает уже процедуру измерения (Рас-
сел [120, § 70]).
В этих аргументах сторонников кантианской
философии необходимо различать несколько тен-
денций: во-первых, здесь налицо критика эмпириз-
ма, которую нужно признать верной; во-вторых,
попытка более ясного воссоздания сущности кан-
товской философии математики. Это также впол-
не естественно: любое большое открытие в науке
необходимо отзывается пересмотром и уточнением
существующих гносеологических теорий. Наконец,
обсуждение неевклидовой геометрии стимулирова-
лось у ряда авторов (О. Либман, Г. Коген,
Л. Нельсон, В. Майнеке и др.) стремлением защи-
тить гносеологию Канта как единственно истин-
ную. В настоящее время ясно, что эти усилия
не могли быть полностью успешными. В конце
XIX в., однако, позиция кантовской философии
в математике выглядела почти безупречно. Аргу-
менты эмпириков обеспечивали скорее популярное
опровержение априоризма, и, хотя они имели вли-
яние в среде ученых, они никоим образом не были
достаточными для борьбы с ним в теоретической
сфере.
Становление современной концепции
математики
Большой вклад в правильное понимание неев-
клидовых геометрий внес выдающийся француз-
ский математик А. Пуанкаре. Пуанкаре был одним
62
из первых математиков, увидевших несостоятель-
ность чисто эмпирического понимания геометрии.
Математическое вообще и геометрическое, в част-
ности, утверждение — это точное утверждение,
которое не опровергается и не дополняется истори-
чески таким образом, как положения физики, хи-
мии или другой опытной науки. Если бы Гаусс
или Лобачевский нашли, что сумма углов у неко-
торых реальных треугольников меньше 180°, то
это, по мнению Пуанкаре, не свидетельствовало
бы о ложности евклидовой геометрии, но говорило
бы лишь о том, что световые лучи не подчиняются
ее аксиомам. Тезис о необходимости (неопровержи-
мости через опыт) геометрических истин, с точки
зрения Пуанкаре, безусловно верен.
Вместе с тем Пуанкаре не принимал учение
Канта об априорности геометрических аксиом.
«Можно спросить, — писал он, — что представля-
ют собой эти гипотезы (аксиомы геометрии. —
авт.)? Факты ли это, полученные из опыта, или
суждения аналитические или синтетические a pri-
ori? Мы должны ответить отрицательно на эти
три вопроса. Если бы эти гипотезы были фактами
опыта и наблюдения, то геометрия подлежала бы
постоянному пересмотру и не была бы наукой
точною; если бы это были синтетические a priori
суждения, а тем более аналитические, то невоз-
можно было бы отрешиться от них, и на их от-
рицании ничего нельзя было бы построить» [81,
397]. Пуанкаре развивает взгляд на аксиомы, по-
лучивший в дальнейшем наименование конвенцио-
нализма, как на утверждения, в становлении ко-
торых известную роль играет опыт, но которые
формируются по соображениям простоты и удоб-
ства. Пуанкаре признает основной тезис эмпириз-
ма, а именно — если бы не было твердых тел
в природе, то геометрия не существовала бы.
Вместе с тем, по его мнению, геометрия все-таки
не наука о твердых телах: она изучает не твердые
тела, а идеальные представления о них, и эти
идеальные представления уже не подвергаются
контролю опыта, независимы от него в своей
структуре,
63
Позиция Пуанкаре также не может быть при-
нята как вполне объясняющая суть дела, ведь
можно спросить, почему проверяются на опыте и
исправляются им физические представления, хотя
они также только идеализации? В чем специфика
математических моделей? Но тем не менее именно
благодаря идеям Пуанкаре обсуждению проблемы
неевклидовых геометрий впервые было придано
верное направление. В отличие ст Гельмгольца,
Ф. Клейна и других ученых, у Пуанкаре на первом
месте стоит специфика математики как науки, ее
отличие от физики. Пуанкаре в принципе наметил
выход из основного затруднения в философии ма-
тематики XIX в.: он пытался обосновать, что необ-
ходимость математических истин не нуждается
в посылках априоризма, но вполне примирима
с опытным их происхождением.
Основная идея, необходимая для современного
понимания математики, возникла, однако, не в фи-
лософии Пуанкаре, а в контексте работ Дедекин-
да, Кантора и Гильберта, которые стремились
па логической основе уточнить исходные понятия
геометрии и других математических наук. Надо
сказать, что эти работы также в значительной
мере были обусловлены появлением неевклидовых
геометрий и других абстрактных образов, опери-
рование которыми предъявило повышенные требо-
вания к логике обоснования математических ут-
верждений. Высоко оценивая работы Гильберта,
Пуанкаре скептически относился к «формалистам»,
стремившимся, по его мнению, изъять из матема-
тики интуицию и превратить ее в механическое
оперирование символами. Неприязнь к претензиям
«формалистов» была, по-видимому, главной при-
чиной, по которой Пуанкаре пе понял важности
для философии математики представления с мате-
матической теории как о формальной системе и
не принял той простой идеи, что, с какими бы ин-
туитивными образами она ни была связана гене-
тически, она функционирует по отношению к опыт-
ному знанию исключительно как формальная си-
стема, как определенная знаковая модель, для
эффективности которой существенна лишь ее
64
внутренняя непротиворечивость. Такой взгляд на
функцию и структуру математической теории дает
возможность дополнить критику Пуанкаре более
удовлетворительной позитивной концепцией,
в рамках которой находит полное оправдание и
факт неевклидовых геометрий.
С понятием формальной системы или формаль-
ной структуры иногда связывают представление
только об особом внутреннем устройстве матема-
тической теории. Фактически, однако, это понятие
представляет собой центральный момент современ-
ного понимания математики вообще, понимания ее
происхождения, функции и т. д. Мы сформулируем
в рамках этой общей концепции некоторые утвер-
ждения о математике с тем, чтобы отметить прог-
ресс философии математики, который наметился
к началу нашего века.
1. Математика не есть опытная наука, изучаю-
щая определенные свойства действительности, на-
ряду с механикой, физикой, химией и т. д. Мате-
матика находится не рядом с опытными науками,
как считал Аристотель и многие после него, а над
опытными науками, представляя собой определен-
ную надстройку над ними. Математика в общем
является набором формальных (знаковых) моде-
лей для теоретического знания и таким образом
связана с опытом не непосредственно, а через дру-
гие науки.
2. Математика выступает по отношению к эм-
пирическому знанию как особого рода язык, способ
трансформации эмпирических высказываний, ус-
тановления связи между ними. Для этой цели ма-
тематическая теория должна быть непротиворе-
чивой, но не обязательно интуитивно ясной или
имеющей опытное происхождение. В математике
в принципе допустимы любые непротиворечивые
структуры, которые эффективны в прикладном от-
ношении или важны для внутреннего обоснования
математической науки. Неевклидова геометрия
не менее законна, чем евклидова или какие-либо
другие мыслимые математические структуры. Ма-
тематика, в отличие от других наук, имеет право
на создание чистых форм, т. е. образов, не имею-
3 Зак. 59
65
щих какой-либо эмпирической интерпретации, но
лишь в интенции на некоторую внутреннюю зада-
чу. (Лобачевский, как мы уже говорили, допускал
такое чисто функциональное оправдание своей
геометрии, но оно не казалось ему достаточным
из-за его в целом эмпирического взгляда на при-
роду геометрических истин).
3. Математические утверждения необходимы
(неопровержимы на опыте) вследствие внутренней
логической определенности понятий. Эмпирический
закон, к примеру, закон, утверждающий, что все
газы расширяются при нагревании по закону
Vo(1+а/), где Vo — исходный объем, t — темпе-
ратура, а — коэффициент расширения, может
быть опровергнут только потому, что мы имеем
внешнее, эмпирическое определение газа, незави-
симое от самого закона. Если же газом назвать
всякое вещество, которое расширяется в соответ-
ствии с данным законом, то закон, очевидно, будет
неопровержим, ибо все, что ему не соответствует,
не будет газом по определению. Утверждение
24-2=4, как и любое другое математическое ут-
верждение, неопровержимо просто потому, что
символы, его составляющие, не имеют внешних
определений, независимых от самого утверждения.
Математические понятия, даже если они генети-
чески связаны с опытом, представляют собой
не просто абстракции и даже не просто идеализа-
ции, но конструкции, т. е. понятия, свойства кото-
рых полностью определены включающей их систе-
мой формальных связей.
4. Математическая теория сама по себе не ис-
тинна, не ложна, она приобретает это свойство
только после интерпретации в определенной сфере
опытных представлений. Убеждение пифагорейцев
и некоторых более поздних философов-рациона-
листов (Декарт, Лейбниц, Фреге) в особой досто-
верности математического знания является не бо-
лее чем мистификацией логической структуры ма-
тематических теорий, необходимости их внутренних
связей.
5. Единство математики обеспечивается исклю-
чительно методом, но не предметом исследования..
66
Сфера возможного приложения математики в
принципе бесконечна: математик может говорить
обо всем, что поддается формулировке на точном
оперативном языке, что может быть изучено в сво-
ей логической форме в отвлечении от конкретного
содержания. Это значит, в частности, что различие
между геометрией и арифметикой по их "близости
к опыту, которому традиционно придавалось столь
много внимания, в действительности является несу-
щественным, по крайней мере в плане обоснова-
ния. Обоснование любой математической теории
есть доказательство ее непротиворечивости, и оно
может опираться только на ее формальную струк-
туру, а не на ассоциации, которые мы привыкли
связывать с ее понятиями.
Эти положения фиксируют основные моменты
так называемого формалистского или структурали-
стского понимания математики4, которое оформи-
лось к концу XIX в. и которое делает акцент на
логических особенностях и особых функциях мате-
матического знания. Этими положениями в значи-
тельной мере определяется современное, так ска-
зать, «рабочее» понимание математики, которое
мы можем встретить в методологических работах
самих математиков и физиков, в предисловиях
к учебникам и т. д. Математика определяется и
как наука о необходимых заключениях (Б. Пирс
[51, с. 183]), и как иерархия формальных структур
(Н. Бурбаки [18, с. 255]), и как строгий язык, соз-
данный для перехода от одних опытных суждений
к другим (Н. Бор [15, с. 96]), и как особого рода
идеальная техника науки, относительно которой
можно говорить об эффективности, но нельзя го-
ворить об истинности и ложности (А. Д. Александ-
ров [4]), и как наука о знаковых моделях (Л. Или-
ев [39]). Высказывается также взгляд на матема-
тику как на символический миф, который, как и
обычный миф, будучи вымыслом, помогает тем
не менее человеку разобраться в ситуациях реаль-
4 Формалистскую философию математики следует отли-
чать от формализма как программы обоснования математи-
ки, хотя формализм существенно опирается на понимание
математики как логической структуры,
3*
67
ного мира (С. Бохнер [106, с. 14—20]). Несмотря
на некоторые ньюансы, все эти определения выра-
жают одно и то же, а именно взгляд на математику
как на логически организованную систему понятий,
для существования которой важна лишь ее дедук-
тивная, трансформирующая функция.
Возникновение такого взгляда на математику
было прежде всего расширением предмета матема-
тики, признанием de jure математических образов,
не связанных с опытом и интуицией. С этой точки
зрения, и эмпиризм, и кантовская философия ма-
тематики оказываются несостоятельными, произ-
вольно сужающими область приемлемых матема-
тических объектов. Очевидно, что отбрасывается
также и всякая натурфилософия: математик
не должен ломать голову над тем, что стоит,
к примеру, за бесконечно малой в реальности, ибо
дело не в созерцании и не в содержательном опи-
сании бесконечности, но лишь в формальных опре-
делениях, в оперативной силе понятия.
Развитие новых представлений о природе мате-
матики завершилось в первых двух десятилетиях
нашего века. Уже в самом начале XX в. центр
тяжести в философии математики смещается
к проблемам логического обоснования. И это обус-
ловлено не только интересом к новым проблемам,
но и тем обстоятельством, что вопрос о природе
неевклидовых геометрий постепенно перестает
быть загадкой. Несмотря на различия в понима-
нии своей науки, проявившиеся в отношении пу-
тей поиска ее логических оснований, математики
начала нашего века не оспаривают того, что логи-
ческая непротиворечивость есть необходимое и
достаточное условие существования математичес-
кой теории как таковой 5. Неевклидовы геометрии,
а также и другие «монстры» математического
мира, открытые позднее, превращаются с этой
точки зрения в обычные рядовые объекты матема-
тики, ничуть не более странные, чем дробные или
5 Вскоре, однако, наступила реакция. Пуанкаре, а затем
Борель, Лебег, Лузин и в особенности Брауэр стали возра-
жать против столь широкого понимания математического
существования (см. следующую главу).
68
отрицательные числа. Тем самым завершается
один из самых глубоких переворотов в философии
математики, в представлениях о природе матема-
тического знания. Философское значение неевкли-
довых геометрий состоит в том, что их открытие
явилось исходным пунктом и основным стимулом
этого переворота.
Открытие в науке, как бы оно ни было велико,
само по себе не является вкладом в философию.
Однако существуют открытия, которые влекут
за собой изменения в философии науки, в понима-
нии ее предмета, методов, связи с другими наука-
ми. Неевклидовы геометрии — пример одного
из таких открытий, чрезвычайно редких в истории
науки. До построения неевклидовых геометрий
к таким сдвигам в математике, имевшим фило-
софское значение, можно отнести только три со-
бытия, а именно появление самой идеи математики
как дедуктивной науки, открытие несоизмеримых
величин и открытие дифференциального исчисле-
ния в XVII в. В наше время таким событием
явился отказ от основных программ обоснования
математики (прежде всего под влиянием логичес-
ких исследований К. Геделя), последствия кото-
рого для философии математики пока еще окон-
чательно не осмыслены.
Глава 4
ПРОБЛЕМА ОБОСНОВАНИЯ
МАТЕМАТИКИ В НАЧАЛЕ XX в.
Факты, требующие перестройки представлений
о сущности математики как науки, по своему ха-
рактеру могут быть самыми разными. Такими фак-
тами могут быть отдельные теоремы (теорема
о несоизмеримости диагонали квадрата с его сто-
роной), отдельные образы (мнимые числа и беско-
нечности), новые математические теории как не-
евклидовы геометрии, новые явления в прикладной
математике и т. д. История показывает, что
на каждом конкретном этапе философия матема-
тики вращается вокруг какого-то определенного
круга событий в математике, в какой-то мере,
может быть, даже абсолютизируя его и преувели-
чивая его значимость. Для философии математики
XX в. таким математическим базисом являются
основания математики, попытки математиков уст-
ранить противоречия из теории множеств, а в об-
щем плане — найти средства, гарантирующие на-
дежность математических рассуждений. Для того
чтобы понять суть современных философских дис-
куссий, касающихся математики, необходимо
прежде всего уяснить ситуацию в основаниях ма-
тематики в начале XX в.
Парадоксы теории множеств
О. Копт, как представлялось многим матема-
тикам в первой половине XIX в., на базе понятия
предела достиг полного обоснования анализа и тем
самым разрешил кризис в основаниях математи-
ки, продолжавшийся более ста лет. Однако скоро
обнаружилось, что это обоснование недостаточно
70
и даже в некотором смысле противоречиво. При
изложении теории пределов как базы математи-
ческого анализа Коши опирался на понятие дей-
ствительного числа. Вместе с тем он трактовал ир-
рациональное число как предел последователь-
ности рациональных чисел. Для выхода из этого
логического круга необходимо было обосновать
свойства действительных чисел как-то иначе, без
ссылки на понятие предела.
Далее было обнаружено, что для строгого до-
казательства ряда теорем внутри анализа требу-
ется понятие множества со всеми его элементами,
т. е. понятие актуальной бесконечности. Этот факт
был замечен Б. Больцано при анализе им доказа-
тельства теоремы о существовании верхней грани
ограниченного множества. Больцано показал так-
же, что оперирование с бесконечными множества-
ми требует принципиально других правил и зако-
нов, чем те, к которым мы привыкли в арифмети-
ке. Еще с большей очевидностью необходимость
введения в математику бесконечных множеств
была подтверждена исследованиями Дирихле и
Римана по теории тригонометрических рядов.
Новые факты математики, таким образом, по-
родили потребность в новых, более широких осно-
ваниях математического анализа и математики
в целом. Задача состояла в том, чтобы: а) дать
обоснование действительных чисел, независимое
от понятия предела; б) строго обосновать те раз-
делы анализа, где практически использовалось
понятие актуальной бесконечности. Первую задачу
в начале 70-х гг. разрешил Дедекинд своей тео-
рией сечений. В это же время Кантор выдвинул
теорию трансфинитных чисел, которая не только
устанавливала законы оперирования с бесконечны-
ми множествами, но и давала полную теорию дей-
ствительных чисел: нужно сказать, что до настоя-
щего времени теория множеств является наиболее
глубокой основой для понимания соподчинения
и связи различных числовых множеств.
Восприятие теории множеств современниками
было затруднено по той же причине, что и воспри-
ятие неевклидовых геометрий: бесконечности выс-
71
ших порядков были слишком оторваны от дейст-
вительности и казались поэтому искусственными и
бесполезными . построениями. Идея Кантора, что
математика свободна в конструировании своих объ-
ектов в рамках логической непротиворечивости,
которую он выражал тезисом «сущность матема-
тики в ее свободе», была еще чуждой подавляю-
щему большинству математиков \
Л. Кронекер резко критиковал канторовское
учение о трансфинитном с точки зрения логики;
по его мнению, обычная логика неприменима
к бесконечным множествам и может породить
только противоречия. В дальнейшем эта критика
была продолжена и развита Брауером в его кон-
цепции интуиционистского обоснования матема-
тики.
В конце XIX в., однако, появилось большое
число работ, использующих теорию множеств. Пу-
анкаре, Гильберт, Фреге и многие другие матема-
тики оценили фундаментальность и глубину новой
теории. Математика стала быстро приобретать тео-
ретико-множественный облик, а обоснование мате-
матики стало ориентироваться на понятия теории
множеств как наиболее фундаментальные.
Г. Фреге, хотя и в косвенной форме, впервые
поставил вопрос об обосновании самой теории
множеств. Наряду с Булем и Шредером он много
способствовал развитию математической логики
в XIX в. Логика математического мышления была
выделена из математики и предстала в такой
стройной и законченной форме, что так же, как
в свое время силлогистика Аристотеля, не остав-
1 Показательна осторожная реакция Р. Дедекинда на
первые работы Кантора. Хотя Дедекинд был склонен пони-
мать математический объект как логическую конструкцию,
он зсе-таки накладывал на это конструирование некоторые
внелогические ограничения. В предисловии к своей статье
«Непрерывность и иррациональные числа» он писал: «Какую
же пользу представит выделение, хотя бы только в понятии,
вещественных чисел еще более высокого порядка, я, согласно
с моим пониманием системы вещественных чисел, как совер-
шенной в самой себе, еще признать не в состоянии» [33,
с. 11].
72
ляла сомнений в своей завершенности. Фреге пред-
принял попытку уточнения исходных понятий ма-
тематического мышления, таких, как множество
(класс), число, функция, на основе понятий логи-
ки. Он не сомневался в том, что логика представ-
ляет достаточную базу для выяснения истинного
смысла всех математических понятий. Его основ-
ная математическая задача состояла в том, чтобы
свести арифметику к логике, подобно тому как ев-
клидова геометрия может быть сведена к алгебре
и арифметике посредством арифметической интер-
претации ее аксиом. Эта программа, которая позд-
нее получила название логицизма, для самого
Фреге закончилась неудачно. Выполнив огромную
работу, он должен был признать наличие противо-
речий в своей системе и отказаться от дальнейших
исследований в этом направлении.
Начавшийся было триумф теории множеств
был прерван в начале XX в. открытием целого
ряда противоречий (парадоксов) в ее основе.
К настоящему времени математиками изобретено
большое число (по крайней мере не меньше два-
дцати) различных парадоксов, связанных с поня-
тием множества. Мы приведем здесь лишь некото-
рые из них для уяснения принципиальной стороны
дела.
/. Парадокс Кантора (был обнаружен самим
Кантором в 1895 г.) Пусть М — множество всех
множеств, a UM — множество всех подмножеств
этого множества. Согласно одной из исходных тео-
рем теории множеств, мощность множества всегда
меньше, чем мощность множества всех его подмно-
жеств, что может быть записано неравенством:
UM>M. Но, поскольку М содержит все множест-
ва, то вследствие чего, согласно другой
теореме теории множеств, что противоре-
чит предыдущему неравенству.
2. Парадокс Рассела—Цермело, Обозначим че-
рез М — множество всех нормальных множеств,
т. е. множеств, не включающих себя в качестве
элемента. Допустим, что М — само нормальное
множество, тогда оно будет включаться само
73
в себя, т. е. будет ненормальным множеством.
Если же мы предположим обратное, а именно, что
Л1 — ненормальное множество, то тогда то же рас-
суждение приводит нас к выводу, что оно нор-
мальное. Мы, таким образом, не можем предполо-
жить без противоречия ни нормальности, ни ненор-
мальности множества всех нормальных множеств.
3. Парадокс Ришара. Пусть все определения
арифметики расположены в ряд по длине. К при-
меру, по числу букв, содержащихся в них. Если
определения, содержащие одно и то же число букв,
расположить в обычном алфавитном порядке, то
тогда каждому определению может быть постав-
лено в соответствие некоторое натуральное число
п — его порядковый номер. Назовем число риша-
ровым, если оно не обладает свойством, которое
зафиксировано в соответствующем определении.
Нс определение ришарова числа также есть опре-
деление арифметики, и оно также имеет некоторое
число в качестве своего номера. Пусть это число
т. Является ли число т ришаровым? Здесь налицо
противоречие, ибо т — ришарово тогда и только
тогда, когда оно не обладает свойством, требуе-
мым в определении, т. е. тогда, когда оно не ри-
щарово.
Обнаружение парадоксов, связанных с поняти-
ем множества, превратило задачу обоснования
теории множеств из теоретически значимой, какой
сна была бы у Фреге, в методологически неотлож-
ную. В узком смысле она состояла в том, чтобы
найти способ избавиться от известных парадоксов.
В более широком — необходимо было ответить
на вопрос: в какой мере является законным
стремление полностью избавиться ст противоречий
в математике, может ли математика получить ког-
да-либо окончательное обоснование? В начале
XX в. еще была сильна вера в возможность абсо-
лютно надежного обоснования математики. Самые
выдающиеся математики разделяли эту веру и
предлагаемые им программы устранения парадок-
сов они рассматривали одновременно и как прог-
раммы решения проблемы обоснования вообще.
Рассмотрим основные из этих программ.
74
Логицизм
Логицизм в XX в, связан в основном с именем
Рассела. Подвергнув критике построения Фреге,
Рассел, однако, не отверг его программу в целом.
Он полагал, что эта программа, при некоторой ре-
форме логики, может быть осуществлена и тем са-
мым желаемая строгость математики будет дос-
тигнута.
Рассел исходит из того, что все логические па-
радоксы сводятся к антиномии лжеца и общий ис-
точник их состоит в том, что в суждении высказы-
вается мысль не только о некоторых внешних по
отношению к нему предметах, но одновременно и
о самом суждении, или, иначе, суждение оборачи-
вается само на себя. Рассел исключает такого рода
суждения из математического языка посредством
своей теории типов или теории логических ступе-
ней. Суть этой теории состоит в том, что матема-
тические высказывания делятся на классы в соот-
ветствии с областью определения. Пусть имеется
некоторая область объектов: а, Ь, с, и т. д. К пер-
вому типу относятся высказывания о свойствах
этих объектов: /(a), g(b) и т. д. К типу второму
относятся высказывания о свойствах этих свойств,
которые могут быть выражены логическими функ-
циями F(f), F(g), и т. д. К третьему типу относят-
ся высказывания о свойствах свойств и т. д. Ос-
новное правило теории типов состоит в том, что
каждый предикат относится только к определен-
ному типу и может быть осмысленно применен
только к объектам нижележащего типа; он не мо-
жет быть применен к предикатам более высокого
уровня или к самому себе как к объекту. Выра-
жения f(a) и F(g) либо ложны, либо истинны, но
выражения f(F), f(g)> f(f) — не истинны и
не ложны, но бессмысленны. Ошибка Фреге, по
мнению Рассела, состоит в том, что он допускал
универсальную область определения для любой
логической переменной.
Идея ступенчатой логики позволяет исключить
все известные парадоксы теории множеств. Пара-
докс Кантора исключается потому, что само поня-
75
тие множества всех множеств (безотносительно
к ступени) является теперь незаконным. Является
также незаконным и понятие множества всех нор-
мальных множеств. Мы можем говорить о нор-
мальных множествах только определенной степе-
ни. Но множество, образованное из всех нормаль-
ных множеств п-'л ступени, будет уже объектом
п+ 1-й ступени, и высказывания о его включении
или невключении в исходных ряд множеств сог-
ласно теории типов будут бессмысленными, осно-
ванными на смещении различных уровней логичес-
кого рассуждения (областей определения логичес-
ких функций). То же самое относится и к пара-
доксу Ришара. Определение ришарова числа
нс является уже собственно арифметическим, но
является определением метаязыковым, определе-
нием 2-й ступени, и мы не имеем права ставить
его в один ряд с собственно арифметическими
определениями, из множества которых мы перво-
начально исходили.
Усовершенствованная таким образом логисти-
ческая программа встретилась, однако, с рядом
технических трудностей. Для их понимания необ-
ходимо рассмотреть принцип построения логисти-
ческой арифметики.
Конкретное число в логицистской трактовке от-
носится к классу эквивалентных классов рассмат-
риваемых предметов. Например, число «2» обозна-
чает класс всех пар, число «5» — класс всех клас-
сов, в которых содержится по пять предметов, и
т. д. На этой основе каждому натуральному числу
может быть поставлена в соответствие логическая
формула, характеризующая соответствующий
класс эквивалентных классов. Числу «О» мы ста-
вим в соответствие формулу ^xF(x), которая яв-
ляется логической характеристикой пустого клас-
са (или множества пустых классов вообще). Чис-
лу «1» будет соответствовать выражение:
Я x[F(x)&yF (у)^~== (х, //)J, что означает, что су-
ществует х, для которого выполняется свойство
F, но любое у, для которого это свойство также
выполняется, тождественно х. или, иначе говоря,
предикат F образует класс из одного предмета.
76
Числу «2» будет соответствовать более длинная
формула, а именно:
3*3 у{=(х^ y}&F(x)&F(y)&zF(z) [F(z)^=
= (*, z)V=(i/, г)]}
(существуют два различных х и у, для которых вы-
полняется F и каждое z, которое удовлетворяет
/’’(z), тождественно с х или у). Ясно, что таким об-
разом мы можем как угодно большому числу по-
ставить в соответствие его логический эквивалент.
Если теперь арифметической операции сложения
мы поставим в соответствие логический знак дизъ-
юнкции— «V», з знаку равенства — знак логиче-
ского тождества «=^=», тс оказывается, что любому
истинному арифметическому утверждению, выража-
ющему сложение чисел, будет соответствовать ло-
гическая тавтология, т. е. формула, выводимая
только из аксиом логики. Если, к примеру, числу
«5» соответствует формула Ф5, числу «7» — Ф7,
числу «12» — Ф12, то логическая формула Фз\/
УФ7=Ф12 будет тавтологией в функциональном
исчислении первого порядка.
Рассматривая теперь уровень конкретных ариф-
метических объектов и высказываний в качестве
данного, мы можем ввести понятие натурального
числа вообще, отношение равенства и т. д., т. е. по-
строить уровень высказываний об этих высказыва-
ниях, который в своем логическом выражении бу-
дет сводиться к тавтологиям второй ступени в тео-
рии типов. Рациональное число задается как от-
ношение двух натуральных чисел, удовлетворяю-
щее некоторым свойствам. Произвольное действи-
тельное число может быть определено как нижний
класс в соответствующем сечении _множества ра-
циональных чисел. К примеру, 2 определяется
как класс всех дробей, квадрат которых меньше,
чем два. На основе этих определений могут быть
обоснованы все операции в области действитель-
ных чисел. Наконец, общие законы теории мно-
жеств естественно включаются в логику вследст-
вие возможности истолкования логического поня-
тия «класс» как определенного множества 2.
2 Введение основных понятий логицистской математики
имеется в работах [27; 121; 51].
77
Программа логицизма состояла в том, чтобы
поставить в соответствие каждому истинному ма-
тематическому утверждению тавтологию логики,
представив тем самым математику как единую
«грандиозную тавтологию Л=Л» (выражение Пу-
анкаре), как простое продолжение логики. Обос-
нование математики сводится в этом случае
к обоснованию логических исчислений. Что .каса-
ется обоснования самой логики, то ни Фреге, ни
Рассел не высказали здесь ничего определенного.
По мнению Рассела, существует предел строгого
мышления, дальше которого логическое обоснова-
ние уже не имеет смысла. Логика в системе логи-
цизма и должна бы стать этой окончательной ин-
станцией надежности.
Реализация этой программы, предпринятая
Расселом и Уайтхедом, столкнулась с рядом зат-
руднений. Оказалось, прежде всего, что мы не мо-
жем ввести общее понятие натурального числа
как предиката от предиката, не предположив бес-
конечной области объектов, на которой выполняет-
ся предикат — аргумент. Но тезис: «Область пред-
метов, определяющих числовые функции, беско-
нечна» — не может быть истолкован как закон
логики, как тождественно истинное высказывание
в рамках логистической системы. Оказалось так-
же, что операции над произвольными числами
нс могут быть корректно заданы с логицистской
точки зрения без использования аксиомы выбора,
которая утверждает, что если даны множества
Ль. Ап, то также существует множество В, которое
содержит один и только один элемент от каждого
из этих множеств. Эта аксиома неприемлема для
логицизма по той же причине, что и аксиома бес-
конечности: обе они носят экзистенциальный ха-
рактер — они не утверждают отношения между
заданными предварительного объектами, но сами
задают объект с необходимыми свойствами и
потому они заведомо не могут быть представлены
в качестве логических тавтологий. Наконец, для
доказательства ряда теорем анализа потребовался
еще один тезис ad hoc — так называемая аксиома
сводимости, утверждающая, что для всякого пре-
78
диката n-й ступени существует предикат 1-й ступе-
ни, выполнимый по отношению к одному и то-
му же предмету (символически: (x)[Pn(^)->Pi(x)],
где Рп — предикат n-го уровня, a Pi — предикат
1-го уровня).
Аксиома сводимости оказывается, в частности,
необходимой для доказательства важной теоремы
анализа о существовании верхней грани ограни-
ченного множества. Действительно, доказывая эту
теорему, мы должны говорить о классе чисел в це-
лом как о заданной совокупности, определяющей
свою грань. Предикаты, обозначающие отдельных
индивидов совокупности, могут относиться к раз-
ным типам (это очевидно, если мы имеем дело
с множеством действительных чисел, включающих
в себя как целые, так и рациональные и иррацио-
нальные числа), но в рассуждениях необходимо
предположить некоторый высший тип, к которому
могут относиться предикаты, так как допущение
произвольного уровня противоречит ограничению
на область определения логических функций, нак-
ладываемых теорией типов. Пусть этот высший
предикат относится к п-му уровню. Но в таком
случае предикат, обозначающий верхнюю грань
этого множества, т. е. как предикат от всех инди-
видуальных предикатов, должен быть уже отнесен
к л-|-1-му уровню и, следовательно, не может быть
числом данного множества вообще. Аксиома сво-
димости снимает затруднение тем, что она ставит
предикату n+1-й ступени предикат более низкой
ступени, удовлетворяющий формальным требова-
ниям к верхней грани. Попытки обосновать эту ак-
сиому в качестве логического закона или обойтись
без нее оказались безрезультатными.
Таким образом, логицизм как программа пол-
ного сведения математики к логике в какой-то
мере сам поставил себя под сомнение в результате
своего развития. Даже если принять, что ступен-
чатое исчисление предикатов само по себе непро-
тиворечиво, то вместе с аксиомой бесконечности,
аксиомой выбора и аксиомой сводимости оно ста-
новится уже проблематичным в этом отношении.
Против логицизма с самого начала были выд-
79
винуты также возражения общего методологичес-
кого порядка. Д. Гильберт видел в логическом
обосновании математики порочный круг, ибо, «вни-
мательно присматриваясь, мы замечает, что при
обычном изложении законов логики применяются
уже некоторые основные понятия арифметики»
[26, с. 325]. Пуанкаре охарактеризовал логицизм
как безнадежную попытку свести бесконечное
к конечному [80, с. 5].
Сама мысль свести математику к логике воз-
никла у Фреге прежде всего под влиянием учения
Лейбница о «всеобщей характеристике» и тради-
ционного разделения истин на истины опыта и ис-
тины разума. Как и Лейбниц, Фреге был убежден,
что истины логики и метафизики (философии)
не являются эмпирическими и что арифметика род-
ственна с логикой, но не с физикой и поэтому
должна найти свое окончательное обоснование на
базе логики. Некоторую роль в идейном обоснова-
нии логицизма сыграла философия математичес-
кого реализма, о которой мы будем говорить
особо.
Интуиционизм
Интуиционизм — направление в обосновании
математики, созданное голландским математиком
Брауэром и его последователями — Рейтингом и
Вейлем (хотя элементы интуиционистской позиции
имелись уже у Кронекера и Пуанкаре). Исходным
пунктом интуицйонизма является вера в то, что
некоторые объекты математики, а также некото-
рые операции, связанные с ними, безусловно ясны
во всех своих свойствах и оперирование с ними
никогда не сможет привести к противоречивым за-
ключениям. Такая позиция прямо связана с фило-
софией Канта, с истолкованием числа и фигуры
в качестве продуктов непосредственного знания
(чистого созерцания), универсального и непогре-
шимого.
Брауэр считал, что, хотя неевклидовы геомет-
рии нанесли удар по кантовской интуиции прост-
ранства, позиция Канта в истолковании времени
80
должна быть сохранена. Время — фундаменталь-
ный феномен человеческого интеллекта и самая
глубокая основа наших математических представ-
лений. Па интуиции времени покоится понятие на-
турального числа, а также наше представление
о линейном континууме [см. 107, сс. 01, 127—129].
В качестве безусловного данного интуиционис-
ты рассматривают представление об единице, об
операции сложения единиц, о натуральном ряде
как о бесконечно продолжающемся процессе и,
наконец, представление о произвольной (становя-
щейся) последовательности чисел (конструктивных
объектов), которая может быть по желанию огра-
ничена каким-либо законом. В отличие от логици-
стоз, интуиционисты не разлагают натуральное
число на логические компоненты, они берут его
как нечто целостное, не нуждающееся в анализе
и строгом определении.
Центральная идея интуиционизма заключается
в специфическом понимании математического су-
ществования. Математический объект существует,
если он дан интуитивно, или может быть сконст-
руирован, построен мысленно посредством интуи-
тивно ясных операций под интуитивно ясными эле-
ментами. В первоначальной (брауэровской) версии
интуиционизма понятие конструирования не разъ-
ясняется, оно также относится к числу интуитивно
ясных. Объекты, не удовлетворяющие требованию
конструктивности, например бесконечные множест-
ва, взятые в качестве законченных, объявляются
незаконными, несуществующими. Интуиционизм,
таким образом, противостоит, прежде всего, фор-
малистской философии математики, допускающей
все объекты, заданные непротиворечивыми требо-
ваниями. Любой объект в интуиционистской сис-
теме математики должен быть введен «снизу»,
построен на основе более элементарных объектов,
но не задан «сверху» в рамках системы аксиом,
связывающих абстрактные сущности. Логицист-
ская и формалистская математика для Брауэра
абсурдны, поскольку они бесконечное кладут в ос-
нову объяснения конечного [107, с. 121].
По мнению Брауэра, математика должна быть
81
содержательной наукой, она должна иметь дело
с некоторыми конкретными объектами (хотя бы
только и представимыми в уме), но которые име-
ют ценность независимо от выражения их свойств
в языке. Реальное математическое мышление
(мысленное конструирование) протекает независи-
мо от языка; математические утверждения (фор-
мулы, уравнения и прочее) представляют собой
только отражение процесса математического мыш-
ления и как таковые не могут приобретать в ма-
тематике самодовлеющего значения. Брауэр не со-
гласен поэтому с логицистами и формалистами,
у которых, по его мнению, «лингвистическая струк-
тура, не имеющая ничего общего с математикой,
пригодная только как несовершенное средство
передачи математической мысли, выдается за суть
математики» [107, с. 79]. Логицисты и формалисты,
по мнению Брауэра, заменили истинную математи-
ку как интуитивно ясную мысленную деятельность
с конкретными объектами анализом математичес-
кого языка, механической стенографией и лингвис-
тическими ухищрениями. Вследствие этого мате-
матика оказалась заполненной словесными опре-
делениями, которым ничего не соответствует и ко-
торые способны только порождать противоречия.
Только идея конструирования, согласно Брауэру,
может избавить математику от парадоксов [107,
с. 107].
Отрицая неконструктивные объекты и опреде-
ления, интуиционизм естественно не признает так-
же и так называемых чистых доказательств суще-
ствования, т. е. доказательств существования объ-
ектов, без гарантии построения соответствующего
примера. Различие между конструктивными и чис-
тыми доказательствами существования было изве-
стно давно, но ему не придавалось особого мето-
дологического значения. Различие этих двух видов
доказательства может быть проиллюстрировано
на простых примерах. Пусть требуется доказать
существование числа взаимно-простого с некото-
рым множеством чисел Pi... рп- Доказательство
здесь может быть осуществлено тем, что мы стро-
им искомое число. Число рь р2... Рп + 1 будет удов-
82
летворять требованию. По если требуется дока-
зать, что для каждого простого числа р существу-
ет большее простое число, то мы уже не можем
провести доказательство построением (такого по-
строения пока не существует). Мы можем лишь
доказать абсурдность допущения о его несущество-
вании и из этого заключить, что искомое простое
число существует. С интуиционистской точки зре-
ния, доказательства ничего не доказывают. Чистое
доказательство существования, по мнению Г. Вей-
ля, стоит столько же, сколько лист бумаги, на ко-
тором дано описание содержимого клада, но
не указано, где он находится.
Изъятие чистых доказательств существования
приводит к радикальной реформе логики. Посколь-
ку такие доказательства опираются на правило
снятия двойного отрицания, то это правило изы-
мается из числа допустимых. Из подобных же со-
ображений отбрасывается закон исключенного
третьего и зависимые от него правила пропозици-
онального исчисления. Основные формы исчисле-
ния предикатов подвергаются существенной пере-
интерпретации. Форма Jx F (х) истолковывается,
как уже отмечалось, только в смысле конструктив-
ности (указан способ построения объекта х, обла-
дающего свойством F), форма tfxF(x) означает
соответственно только то, что для каждого объек-
та из области {х} можно указать способ убедиться,
что он обладает свойством F. Понятию отрицания
в интуиционистской математике придается смысл
совершенно отличный от того, в каком оно исполь-
зуется в обычном языке и в классической матема-
тике. Отрицание существования А (утверждение
А) означает здесь не просто отсутствие, или даже
каким-то косвенным образом доказанную принци-
пиальную невозможность построения А, но наличие
построения, которым доказывается невозможность
построения А, или иначе, наличие интуиционист-
ски корректного рассуждения, которое сводит
к противоречию допущения о возможности постро-
ения А. Пусть А означает, что у 2 — рациональное
число. Допустим, что это высказывание истинно и
что мы можем указать два натуральные числа а
83
и bt такие, что /2 =—,
ь
причем а и b взаимнопрос-
ты. Возводя в квадрат обе части, получаем 2Ь'-~
= а2, откуда следует, что и а и b четные числа, что
противоречит условию их взаимной простоты. Это
значит, что 2 не является рациональным числом,
и тем самым утверждение А доказано. Здесь мы
проводим доказательство методом от противного
как и в чистых доказательствах существования,
но такие доказательства допустимы с интуициони-
стской точки зрения, т. к. в них не используется
ни закон исключенного третьего, ни правило сня-
тия двойного отрицания 3.
В интуиционистской математике, таким обра-
зом, как утверждение, так и отрицание имеют по-
зитивный смысл, связаны с требованием построе-
ния. При таком понимании отрицания закон иск-
люченного третьего не может быть принят как
универсальный, так как из невозможности пост-
роения А не вытекает его наличие для А, и на-
оборот. Впслне допустима ситуация, когда как А,
так и А не имеют конструктивного смысла, хотя,
конечно, недопустима конструктивная истинность
А и Л одновременно. Формальная система логики,
учитывающая указанные изменения в истолкова-
нии логических констант и кваторов, была постро-
ена Рейтингом в 1930 г. и носит название интуи-
ционистской логики, или логики интуиционистского
доказательства.
Для оправдания изменений в логике Брауэр
приводил философские аргументы, развивая своего
рода историческое воззрение на логику. Он утверж-
дал, что обычная классическая логика была соз-
дана обыденным мышлением и математикой, ко-
торая не выходила еще за пределы конечных мно-
жеств. Современная же математика, оперирующая
бесконечными множествами, не может принять
3 Отличие проведенного доказательства от чистого дока-
зательства существования состоит в том, что мы рассуждаем
здесь по схеме (p—Ag & g})^p, в то время как чистые до-
казательства существования происходят по схеме
84
некоторых положений традиционной логики, в ча-
стности, закона исключенного третьего [107,
с. 109—ПО]. Логика, таким образом, меняется по
Брауэру в связи с изменением предмета рассужде-
ния.
Следует отметить, что логика не занимает
в системе интуиционизма того решающего места,
которое она занимала в системе логицизма. Мате-
матика здесь обладает самостоятельным, внелоги-
ческим содержанием и, хотя она не абстрагируется
из опыта, тем не менее не берется и из логики.
Логика не основа, а лишь некоторое следствие
математики, абстрактное выражение фактических
форм ее мышления. Точно так же, как из единич-
ных констатаций вида 1+2==24-1; 5+2=24-5
и т. д., мы делаем общий вывод, что a + b — b + a,
общие логические нормы, по мнению интуиционис-
тов, должны быть извлечены из математики на ос-
нове рассмотрения конкретных конструктивных до-
казательств [см. 24, с. 15].
Отбрасывая чистые доказательства существова-
ния и соответственно ограничивая логику рассуж-
дения, интуиционизм отказывается от значительной
части результатов классической математики.
В особенности это относится к анализу и теории
множеств. Достаточно сказать, что оказывается
в принципе недоказуемой теорема Больцано-Вейер-
штрасса о существовании предельной точки у каж-
дого бесконечного ограниченного точечного мно-
жества, которая является центральной при систе-
матическом обосновании классического анализа.
Неэффективным является канторовское доказа-
тельство существования трансцендентных чисел и
все другие доказательства теории множеств, ис-
пользующие канторовский диагональный метод.
Интуиционистская реформа меньше затрагивает
арифметику и алгебру, но и здесь появляются не-
восполнимые пробелы. Очевидная ограниченность
интуиционистской математики по отношению
к классической явилась главной причиной отказа
математиков искать в интуиционизме разрешения
проблем обоснования математики в целом.
Основные философские посылки интуициониз-
85
ма, а именно: (1) точное математическое мышле-
ние происходит вне языка; (2) математика должна
быть сведена к небольшому количеству интуитив-
но ясных понятий; (3) математика должна быть
содержательной, т. е. иметь дело только с опреде-
лениями, которым поставлен в соответствие конст-
руктивный объект; (4) конечное должно быть на-
ложено в обоснование бесконечного, нс не наобо-
рот; (5) логика — часть математики; (6) логика
зависит от объектов рассуждения; (7) логика не
может быть адекватно представлена в формальной
системе; — в настоящее время необходимо при-
знать полностью ошибочными. Брауэровское тре-
бование содержательности математики является
не более чем определенной модификацией тради-
ционного эмпиризма и натурфилософии, попыткой
непосредственно привязать математические поня-
тия к чему-то существующему независимо от них,
хотя бы это существование и имело только мыс-
ленный статус. Это относится впрочем и к кантов-
ской концепции математики, из которой Брауэр
исходил. Главная мировоззренческая ошибка ин-
туиционизма состоит, однако, в его априсристском
подходе к нормам математического мышления.
Гильберт, как известно, возражал против изъятия
закона исключенного третьего и чистых утвержде-
ний о существовании: анализируя практику мате-
матики, он доказывал, ито такого рода утвержде-
ния могут служить важным эвристическим средст-
вом, промежуточным этапом для получения ре-
зультатов, важным с точки зрения приложений.
Критические замечания Гильберта весьма сущест-
венны в философском плане. Интуиционизм с са-
мого начала игнорировал взгляд на математику
как на общественно полезную деятельность. Обос-
нование математики у Брауэра и его последовате-
лей превратилось в деспотизм строгости, совершен-
но не обращающий внимания на ценность отсека-
емых им результатов и не задумывающийся над
смыслом обоснования вообще с точки зрения
функции математики. Введение Коши теорем су-
ществования в начале XIX в. было повышением
уровня строгости в математике и несомненным
86
прогрессом й развитии математического знания.
«Ужесточение» строгости в интуиционистских кри-
териях существования, если оно навязывается всей
математике, столь же несомненно является регрес-
сивным шагом, переходом тенденции к строгости,
за сферу разумного, саморазрушением математики
ради стремления к априорному идеалу.
Формализм
На основе критического пересмотра существую-
щих программ обоснования математики Гильберт
предложил свой путь обоснования, который стал
известен под наименованием формализма.
Основная философская предпосылка Гильбер-
та заключалась в том, что обоснование математи-
ческой теории является исключительно обоснова-
нием ее непротиворечивости, Это важно подчерк-
нуть, ибо интуиционисты хотели видеть математи-
ку еще и интуитивно ясной, а логицисты — пред-
ставленной в виде логических тавтологий. Оче-
видная с современной точки зрения мысль, что
математическая теория функционирует только за
счет своей непротиворечивости, что ее ценность
основана исключительно на этом качестве, в на-
чале XX в. не была общепризнанной.
Гильберт писал по этому поводу: «Недавно, на-
пример, было высказано следующее: если даже
введение какого либо понятия может быть про-
изведено без опасений, т. е. без получения проти-
воречий, и это может быть доказано, то все же
понятие не является в достаточной мере оправ-
данным. Не является ли это в точности тем воз-
ражением, которое в свое время выдвигали против
комплексных чисел, говоря: правда, из-за них не
получается никаких противоречий, но их введе-
ние все же незаконно, так как мнимые величины
все-таки не существуют» [27, с. 340].
Гильберт был глубоко убежден в том, что ма-
тематика должна быть обоснована в целом, во
всех своих практически ценных результатах, без
какого-либо ограничения ее понятий и методов.
87
Понятие актуальной бесконечности важно для
обоснования числовых множеств, и поэтому его
нельзя изъять из математики. То же относится и
к логике. «Никто, говори он хоть ангельским го-
лосом, не заставит людей отказаться от использо-
вания закона исключенного третьего» [35, с. 355],
и поэтому он должен быть признан. «Если помимо
доказательства непротиворечивости может иметь
смысл еще вопрос о законности некоторого меро-
приятия, то таким вопросом может быть только
вопрос о том, сопровождается ли это мероприятие
соответствующим успехом или нет. Действитель-
но, успех здесь необходим; он является высшей
инстанцией, перед которой преклоняется каждый»
[27, с. 340].
Гильберт считал совершенно напрасными опа-
сения относительно актуальной бесконечности: он
указывал на то, что подобные идеальные понятия
всегда играли существенную роль в математике
наряду с реальными, чувственно осязаемыми по-
нятиями. Бесконечно малые, иррациональные и
мнимые числа, несобственные элементы геометрии,
идеальные числа в теории чисел, воображаемые
геометрии — все это примеры идеальных понятий,
введение которых позволяет решать задачи, быв-
шие до того неприступными. Изъятие этих поня-
тий из математики нанесло бы ей непоправимый
ущерб. Введение идеальных элементов, по мнению
Гильберта, есть основной творческий принцип ма-
тематики для преодоления возникающих трудно-
стей. В этом плане может быть понята и необхо-
димость актуальной бесконечности з математике
как особого идеального образа.
Гильберт считал, что понятие бесконечности
не представляет каких-то особых специфических
трудностей для обоснования. Бесконечность в ма-
тематике, из каких бы содержательных представ-
лений не была она введена, функционирует толь-
ко как символ согласно определенным правилам.
Б этом смысле опа есть такой же элемент теории,
как, к примеру, понятие натурального числа.
Обоснование актуальной бесконечности в матема-
тике — не более чем обоснование непротиворечи-
88
вости правил оперирования с определенного рода
символом. «Роль, которая остается бесконечному,
это только роль идеи, — если, согласно Канту, под
идеей подразумевать понятие, образованное разу-
мом, которое выходит за пределы всякого опыта
и посредством которого конкретное дополняется в
смысле цельности...» [27, с. 364]. Логика, по мне-
нию Гильберта, не может предпосылаться матема-
тике в смысле обоснования, поскольку они уже
содержат в себе некоторые арифметические идеи.
Логика и математика должны быть обоснованы
вместе.
Процедура обоснования математической тео-
рии, предложенная Гильбертом, включала в себя
два этапа. Теория должна быть, во-первых, форма-
лизована, представлена как совокупность формул,
строчек символов, соединенных логическими кон-
стантами. Для этого необходимо записать в логи-
ческих символах ее аксиомы и явно сформулиро-
вать (в виде формул) допустимые правила логики.
Формализация, по Гильберту, не требует сведения
математики к логике, превращения теорем в тав-
тологии, как это требовалось программой логи-
цизма, но просто состоит в использовании логиче-
ских символов для записи математических утверж-
дений. Такой перевод содержательной аксиомати-
ки на логический язык в большинстве случаев не
вызывает каких-либо затруднений, Все дело со-
стоит здесь в наличии самой адекватной аксио-
матики. Во-вторых, требуется доказать непроти-
воречивость этой системы аксиом вместе с ее
логическими правилами исходя только из ее фор-
мальной структуры, т. е. на чисто синтаксическом
уровне. Этот последний этап является более слож-
ным.
Непротиворечивость математической теории
можно доказать так называемым методом моде-
лей, которым пользовался еще Бельтрами для до-
казательства непротиворечивости геометрии Лоба-
чевского. Найдя интерпретацию неевклидовой
геометрии на образах евклидовой, мы можем ут-
верждать, что первая по крайней мере так же не-
противоречива, как и вторая. Непротиворечивость
89
обычной геометрии таким же образом может быть
сведена к непротиворечивости арифметики. К обос-
нованию же арифметики уже неприменим метод
моделей. Идея Гильберта состояла в том, чтобы
доказать непротиворечивость арифметики без ссыл-
ки на какую-то другую теорию, но исходя исклю-
чительно из ее знаковой структуры, определенных
ее синтаксических характеристик.
В ряде случаев такой подход приводит к успе-
ху. Возьмем исчисление высказываний в сле-
дующих аксиомах:
1. (pVp)^p.
2. p^(pVq).
3. (pVq)^(qVp).
4. (p-*q) ^((zVp)^(zVq)).
Доказывая теоремы, будем пользоваться дву-
мя правилами вывода: 1. Вместо любой буквы
(пропозиональной переменной) можно поставить
любую другую букву или формулу на всем местах
вхождения (правило подстановки).
2. Если доказано А-* В и А, то будем считать
доказанным В, где А и В — формулы нашего ис-
числения (правило отделения).
Исходя только из структуры формул и харак-
теристик правил вывода, можно заключить, что в
данном исчислении невыводима формула, состоя-
щая только из одной буквы. Кроме того, можно
вывести теорему: p-*(~p-+q), которая означает,
что из двух противоположных формул (из проти-
воречия) в данном исчислении по его правилам
вывода может быть получена любая формула. Но
так как формула, состоящая из одной буквы в
данном исчислении заведомо не может быть по-
лучена, то это значит, что в нем не могут быть вы-
ведены одновременно какая-то формула и ее от-
рицание. А это значит, что рассматриваемое исчис-
ление непротиворечиво.
Доказательство непротиворечивости, схему ко-
торого мы привели, является абсолютным, так как
оно не опирается на какую-то интерпретацию дан-
ного исчисления, но исходит исключительно из его
структуры, из внешнего строения формул,
90
Однако, рассуждая о структуре формул (на
уровне метаязыка), мы также могли использовать
сомнительные аргументы. Отсюда проистекает
идея гильбертовского финитизма. Метаязыковые
рассуждения по Гильберту должны иметь дело
только с конечными последовательностями знаков
(формул), о существовании какого либо объекта
(формулы) мы должны заключать только из фак-
та его построения, утверждать принадлежность не-
которого свойства всем объектам можно только в
конструктивном смысле и т. д. Короче говоря, на
уровне метаязыка Гильберт принимает интуицио-
нистские стандарты рассуждения. Он в общем со-
глашается с той идеей Брауэра, что бесконечное
должно быть обосновано через конечное, но не на-
оборот. Поскольку Гильберт отказывается от ис-
пользования интуиционистского понятия свободно
становящейся последовательности, то его подход
к метаязыку может быть точнее охарактеризован
в современных понятиях как конструктивистский.
Гильберт верил, что эта программа может быть
осуществлена по отношению к арифметике и та-
ким образом сделает надежными основы матема-
тики, превратив ее в «трибунал высшей инстан-
ции» для всех вопросов, которые попадают в об-
ласть математического размышления. В абсолю-
тизации математической строгости заключалась
философская ошибка Гильберта, но в целом фор-
мализм как программа обоснования математики
был основан на несравненно более надежной фи-
лософской базе, чем логицизм и интуиционизм.
Фреге и Рассел не анализировали достаточно глу-
боко гносеологических оснований сведения мате-
матики к логике, программа Брауэра опиралась
на кантовский априоризм и довольно поверхност-
ные представления о природе логики, Гильберт же
в своей программе принял то, что диктовала прак-
тика математического мышления XIX в. — взгляд
на математику как на систему формальных струк-
тур, которые выполняют определенную функцию
по отношению к эмпирическому знанию. Теория
идеальных элементов Гильберта включила в себя
наиболее ценную идею философии математики
91
XJX в., выдвинутую еще Лейбницем и развитую
Карно, Коши, Лобачевским, Больцано, Контором,
для борьбы против узкоэмпнрического истолкова-
ния математических понятий.
Однако, несмотря на это обстоятельство, вы-
годно отличающее формализм от других программ
обоснования математики, он также оказался несо-
стоятельным, — по чисто математическим сообра-
жениям.
Теоремы Геделя и их истолкование
Все три программы, выдвинутые в первое деся-
тилетие XX в., достигли известных успехов, однако
все они в дальнейшем столкнулись с большими за-
труднениями. Природа этих затруднений стала яс-
ной с появлением в 1931 г. статьи австрийского
математика К. Геделя «О формально неразреши-
мых утверждениях Principia mathematica и род-
ственных систем», где он доказал широкоизвест-
ные в настоящее время метатесремы. Первая тео-
рема Геделя (о неполноте) утверждала, что если
формальная система, содержащая арифметику, не-
противоречива, то она неполна, т. е. что она содер-
жит истинные утверждения, формулируемые в ее
исходных понятиях, которые недоказуемы и не-
опровержимы в этой системе. Вторая теорема (о
непротиворечивости) утверждает, что если ариф-
метика или система, включающая ее, непротиво-
речива, то доказательство этой непротиворечивости
не может быть достигнуто в метаязыке, допускаю-
щем представление в арифметическом формализ-
ме.
Непосредственным следствием из этих теорем
является то, что формализм и логицизм как про-
граммы обоснования математики не могут быть
реализованы. Замысел Гильберта, как мы видели,
как раз состоял в том, чтобы вопрос о непротиво-
речивости решить в сфере метаязыка, обладающе-
го более ограниченной логикой, чем та, которая
содержится в самом языке. Согласно второй тео-
реме Геделя, это з принципе неосуществимо. Фре-
92
ге и Рассел ставили задачей свести всю математи-
ку к логике. Согласно первой теореме Геделя,
логическое исчисление (расширенное исчисление
предикатов), даже дополненное аксиомами беско-
нечности и сводимости, недостаточно для того, что-
бы доказать (включить в себя) все истинные ариф-
метические теоремы.
Из теорем Геделя иногда извлекаются выводы,
которые в действительности из них не следуют.
Часто утверждается, к примеру, что теоремы Ге-
деля ограничивают возможности формализации и
аксиоматического метода в целом. Такие утверж-
дения ни на чем не основаны. Многие математики
в XIX в. думали, что единая математическая тео-
рия должна быть представлена и единой системой
аксиом. Теоремы Геделя заставляют отказаться от
такой абсолютизации конечной системы аксиом по
отношению к интуитивно выделяемой сфере мате-
матических истин. Но вместе с тем надо подчерк-
нуть, что практическое использование аксиомати-
ческого метода с самого его появления никогда и
не опиралось по существу на предпосылку универ-
сальности аксиоматики. Отказ от такого рода ме-
тафизических верований, будучи важен в философ-
ском смысле, никак не сужает обычную сферу
использования аксиоматического метода, не от-
брасывает и не ограничивает ни одной из его ре-
альных функций и не обесценивает попыток фор-
мального представления математических теорий
для самых различных целей.
Неверно также, что теоремы Геделя утвержда-
ют или отражают диалектику в математике. Тео-
ремы Геделя, как впрочем и все метаматематиче-
ские теоремы, говорят о некотором соотношении в
структуре математической теории, но они не гово-
рят и ничего не могут говорить о развитии и о
тенденциях развития математики, где только соб-
ственно и может идти речь о диалектике.
Наконец, из теорем Геделя не следует, что ма-
тематическая теория, поскольку ее полное внут-
реннее обоснование недостижимо, должна вообще
отказаться от этого идеала и от попыток обосно-
вать собственную непротиворечивость логическими
93
средствами, что она в целях своего обоснования
должна обращаться теперь исключительно к прак-
тике п т. п. Этот вопрос, однако, более глубокий и
требует особого рассмотрения.
Несостоятельность программ обоснования ма-
тематики, выявившаяся в результате исследований
Геделя и в силу ряда других соображений, о ко-
торых мы будем еще говорить, не означает, что
эти программы следует теперь рассматривать как
нечто бесполезное, как чисто негативное явление
в истерии науки. Развитие этих программ факти-
чески сформировало основания математики как
особую математическую науку, вооруженную тон-
кими методами анализа математических теорий.
Сами теоремы Геделя могли появиться только на
том высоком уровне логической культуры, которая
была создана в процессе их осуществления. Прит-
ча об алхимиках, которые, не открыв философ-
ского камня, создали науку химию, полезна так-
же и для понимания истории математики.
Глава 5
О ПРИРОДЕ логики
Дискуссии о парадоксах теории множеств вы-
двинули на первый план вопрос о природе логи-
ки. Дана ли логика до математики как некоторая
априорная структура, в которую вписывается ма-
тематика, или она создается в процессе матема-
тической практики, будучи извлекаема затем из
математики в абстрактной форме? Прав здесь Рас-
сел или Брауэр? Изменяется ли логика, а если из-
меняется, то под воздействием каких факторов?
Не преувеличиваем ли мы значение логики, пы-
таясь обосновать логически то, что совершенно яс-
но интуитивно и постоянно проверяется на прак-
тике, ведь логика тоже опирается на какие-то
допущения, которые могут быть ошибочными? На
чем основана наша безусловная вера в правиль-
ность логических норм?
Надо сказать, что вопросы, касающиеся стату-
са логики, ставились и обсуждались постоянно с
самого ее возникновения как особой науки. Но в
XX в. они приобрели непосредственное методоло-
гическое значение. Определенный взгляд на логи-
ку предрешает направление исследования в осно-
ваниях математики, соподчинение исходного мате-
риала по рангу его надежности. Дальнейшее со-
вершенствование философской концепции матема-
тики ставится теперь в прямую зависимость от
прогресса в понимании логики и ее места в струк-
туре математического знания.
Здесь мы наметим некоторое общее понимание
логических норм, основанное на понятии деятель-
ности, которое позволит нам, в частности, дать бо-
лее определенную характеристику логицизма и
брауэровской концепции логики,
95
Исторические замечания к проблеме
(Кант, Милль, Гуссерль)
Основные законы современной формальной ло-
гики: фигуры силлогистики, основные положения
модальной логики и некоторые общие правила
(закон исключенного третьего, закон тождества и
закон непротиворечия) были сформулированы Ари-
стотелем в IV в. до н. э. Эти законы трактовались
Аристотелем как нечто присущее самому разуму,
как безусловные нормы мышления, отражающие
его природу. Вплоть до начала XIX в. аристотелев-
ское учение о логике почти не изменилось пи по
объему, ни по глубине, что дало повод Канту счи-
тать эту дисциплину завершенной и не способной
к развитию по самому своему существу [40, с. 12—
13].
Сам Кант, считая логику наиболее совершен-
ной и законченной частью человеческого знания,
фактически положил ее в основание своей фило-
софской системы. Традиционная классификация
суждений служит у Канта средством классифика-
ции категорий, а именно категории рассматривают-
ся в качестве функций познания, обеспечивающих
подведение эмпирической ситуации под тот или
другой вид суждения. В силу этого количество ос-
новных философских категорий и их взаимна#
связь целиком определяются у него исходной
структурой логического знания.
Несмотря на некоторую искусственность и не-
достаточность такого обоснования категорий в си-
стеме Канта, в целом оно представляет собой важ-
ное достижение философского мышления, не по-
терявшее значения вплоть до настоящего времени.
Что же касается природы самой логики, то Кант
ограничивается рядом положений, которые не
представляют сколько-нибудь законченного обосно-
вания этой пауки и статуса ее законов. Основные
его установки сводятся к следующим положениям:
1. Логика — наука о необходимых законах рас-
судка и разума, о форме мышления безотноситель-
но к его содержанию.
2. Логические правила — основа всех наук,
96
поэтому логика не может быть обоснована по-
средством какой-то частной науки. Эти правила
даны априори.
3. Логика устанавливает формальные или нега-
тивные критерии истинности. То, что не отвечает
логике, не может быть истинным.
4. Как негативный критерий истинности логи-
ка представляет собой необходимый канон по-
строения знания, но она, поскольку ее правила от-
влечены от содержания, не может служить в ка-
честве органона, в качестве средства получения
нового знания.
Эти положения не представляют собой доста-
точно ясной теории логики даже с позиций са-
мой гносеологии Канта. Прежде всего, Кант не
обосновал аналитической природы логики, т. е. не
указал причин, по которым логические принципы,
в отличие от основоположений рассудка таких, как
«все явления имеют причину», должны быть ана-
литическими. Понятие истинности для Канта уже
содержит в себе отказ от противоречия. Таким
образом, логика предопределяется как единствен-
ная, заданная общим представлением об истине.
Что касается рассудочных основоположений типа
«все явления имеют причину», «материя не уничто-
жается», то Кант строит систему их обоснования
как единственно возможных, опираясь на пред-
ставление об общей функции разума — сводить
к единству данное в восприятиях. Эти принципы
не просто постулируются Кантом в качестве безус-
ловно данных для сознания, но рационально обос-
новываются в его системе как единственно воз-
можные на основе общих требований к мышлению.
Отсутствие аналогичного обоснования для законов
логики является очевидным недостатком кантов-
ской системы с точки зрения ее внутренней после-
довательности и законченности.
XIX в., характеризующийся бурным развитием
естествознания, инстинктивно отвернулся от апри-
оризма Канта. Хотя кантовская трактовка логики
поддерживалась рядом известных философов, сре-
ди которых необходимо назвать Ф. А. Ланге и
И. Ф. Гербарта, большинство мыслителей пошли
4 Зак. 59
97
здесь принципиально в другом направлении. Логи-
ка стала истолковываться как набор схем пра-
вильного мышления, которые должны пслучить
свое обоснование в рамках исследования мышления
как реального процесса и, прежде всего, в рамках
психологии мышления. Выдающимся представите-
лем психологического направления в обосновании
логики был Дж. Ст. Милль. «Поскольку логика
вообще наука, — писал Милль, — она есть часть
или ветвь психологии, отличаясь от нее, как часть
от целого, и, с другой стороны, как искусство от
науки. Своим теоретическим основанием она це-
ликом обязана психологии и включает в себя
столько из этой науки, сколько необходимо для
обоснования правил логического искусства» [65,
с. 363 j. Логические нормы, по Миллю, есть тех-
нические правила мышления, правила, определяю-
щие искусство мыслить, в отличие от общих за-
конов психологии, которые лежат в их основе. За-
кон непротиворечия, к примеру, обосновывается
Миллем из того обыденного факта, что «уверен-
ность» и «отрицание» — два различных духовных
состояния, исключающих друг друга [66, с. 250].
Аналогичные взгляды развивались Г. Спенсером,
Т. Липссм, X. Зигвартом и другими философами
XIX в. Психологизм оставался господствующим
направлением в истолковании логики вплоть до
начала XX в., а именно до появления «Логиче-
ских исследований» Э. Гуссерля.
Основное направление рассуждений Гуссерля —
критика психологического обоснования логики.
Прежде всего он настаивает на том, что психоло-
гия как эмпирическая наука, как наука, имеющая
в своей основе приближенные законы, в принци-
пе не может быть основанием для вывода таких
строгих законов, как законы логики. Законы логи-
ки, по Гуссерлю, отражают отнюдь не природу
мышления в его эмпирической данности, но вы-
ражают лишь общие нормы соподчинения сужде-
ний в соответствии с требованием истинности их
содержания. Закон исключения противоречий го-
ворит не о том, что субъект в силу каких-то психо-
логических законов не может мыслить А и не-А рд-
повременно (люди практически вполне могут это
делать), но лишь то, что два таких суждения не
могут одновременно обеспечить своей истинности.
Законы логики выражают не психологию мышле-
ния, но лишь общие требования к истинности,
возможности теоретического знания вообще.
Законы логики совершенно нс зависят от мате-
риала суждения, они совершенно универсальны,
ибо продиктованы не содержанием мышления, но
общей целью знания, которая остается одинако-
вой во всех случаях. Кант, с точки зрения Гуссер-
ля, правильно подчеркнув априорный и независи-
мый характер логики, не избежал также опреде-
ленного психологизма в ее истолковании, посколь-
ку он связал ее с природой человеческого мышле-
ния, допуская в принципе, что другие существа с
другой структурой сознания могут иметь другие
формы априорного видения мира, а следователь-
но и другую логику. Для Гуссерля это исключено,
ибо форма логики у него проистекает просто из
факта понятийного познания, из стремления и к
теоретическому единству знания и совершенно не
зависит от характера эмпирического или априор-
ного видения объекта. В отличие от Канта, Гус-
серль толкует логику более расширительно, вклю-
чая в нее и значительную часть математического
знания. Логика для Гуссерля — это скорее «Ма-
thesis universalis» Лейбница, которая содержит в
себе законы «аргументации по форме» в целом и
представляет собой в принципе неограниченное
множество правил и формальных систем.
Критика Гуссерлем психологического обосно-
вания логики является безусловно оправданной, и
она выглядит исчерпывающей и с современной точ-
ки зрения. Гуссерль, однако, не дал убедительной
позитивной концепции логики. Основной вопрос —
почему человеческое стремление к истине реали-
зуется именно в данной логике, в данной структу-
ре законов, — остается фактически без ответа.
Общая и безусловно правильная установка Гус-
серля состоит в том, что конкретные нормы логи-
ки должны быть получены (выведены как необхо-
димые) из некоторой общей нормы, которая вы-
4*
99
ражает цель логики или идеальную цель позна-
ния. В этом плане он идет дальше Канта, для ко-
торого эти нормы даны сами по себе в понятии
истины и не нуждаются в рациональном обосно-
вании. Задача Гуссерля, таким образом, очевид-
но, состоит в том, чтобы выразить достаточно аде-
кватно эту общую цель знания так, чтобы она
могла стать базой для оправдания конкретных
логических норм, или, говоря языком Канта, для
их трансцендентальной дедукции. Эта общая цель
усматривается Гуссерлем в тенденции знания к
установлению связей между вещами, к объясне-
нию одних явлений посредством других [31,
с. 207—208]. Но как из стремления к объяснению,
к уразумению глубоких связей вещей, к единству
знания или к истине, в конечном итоге оправдать
определенную логику? На этот вопрос Гуссерль
не отвечает. Фактически он, как и Кант, должен
постулировать закон непротиворечия как отвечаю-
щий самому понятию истины, как связанный с осо-
бого рода интеллектуальной очевидностью в непо-
средственном переживании истины. На место пси-
хологического и эмпирического ставится интуитив-
ное обоснование логики, обоснование через обра-
щение к непосредственному восприятию «идеаль-
ного содержания» истинных суждений и правил
их соподчинения. Неясное оказалось сведенным к
еще более неясному, к способности человека ин-
туитивно постигать идеальные связи, соответству-
ющие идеальным условиям познания.
Лсгика и практика
Узел затруднений, связанный с пониманием
логики, может быть распутан лишь посредством
анализа практической функции знания. Может по-
казаться, что, переходя к анализу понятия прак-
тики, мы уходим из сферы чисто гносеологических
понятий и удаляемся от цели, от задачи обоснова-
ния логических норм. Однако это не так. Именно
рассмотрение механизма практического использо-
вания знания позволяет достаточно адекватно
сформулировать наиболее общие требования к не-
100
му в плане формальных требований к понятиям п
тем самым вскрыть природу основных логических
норм.
Человек не просто стремится к истине как к
некоторому абстрактному видению сущности ве-
щей, он стремится к истине как к средству для
действия. Суждение или система суждений могут
быть средством для действия только при достаточ-
ной определенности понятий. Утверждение логиче-
ски неопределенное не истинно или истинно не
вполне, но если мы предполагаем истинность суж-
дения, то явно или неявно мы предполагаем его
полную определенность, строгое ограничение зна-
чения входящих в него понятий. Основные законы
логики не врожденны, они не являются некоторой
исходной сущностью разума, не допускающей обо-
снования, каковы они у Канта, они также не
продукты мистического проникновения человече-
ского сознания в «идеальное царство истины», как
это представлено у Гуссерля. Эти законы гораздо
прозаичнее по своим истокам: они навязываются
нам необходимостью действовать, они выражают
общие требования к качеству понятий и суждений
с точки зрения их приемлемости для действия.
Пусть суждение строго однозначно определе-
но. Это значит, что объем каждого понятия име-
ет строгие границы и некоторая вещь в таком
случае либо принадлежит данному понятию, либо
не принадлежит ему — третьего не дано. Закон
исключенного третьего таким образом выражает
не что иное, как простое требование определенно-
сти суждения, строгую дихотомию логического
пространства. Закон непротиворечия представляет
собой частный случай утверждения этой дихото-
мии, а именно невозможность третьего в виде А
и не-4 одновременно. Невозможность этого слу-
чая с очевидностью диктуется практикой: утверж-
дение А и не-Д одновременно бесполезно с точки
зрения практики, ибо утверждение противоречия
есть случай максимальной неопределенности суж-
дения, которая абсолютно неприемлема для зна-
чимого, практически ориентированного мышления.
Попытки Гегеля опровергнуть этот закон, конечно,
101
исходили из непонимания его статуса и статуса
формального мышления вообще. Более современ-
ные реформаторы логики обычно ограничиваются
отказом от закона тождества (Бергсон) или зако-
на исключенного третьего (Брауэр).
Общие требования к суждениям с точки зре-
ния истинности (практической значимости) не сво-
дятся только к требованию их строгости. Закон
тождества: Д==Д может быть выполнен в принци-
пе и при допущении расплывчатости понятий.
Этот логический закон проистекает из другого
требования, а именно из требования постоянства
предмета рассуждения, которое, очевидно, имеет
также практическую основу. Самое строгое и не-
противоречивое мышление при подмене объекта
рассуждения, очевидно, будет бесполезным в пла-
не его практического использования. Более широ-
кий анализ логических законов заставил бы нас
сформулировать и другие по своей природе прак-
сеологические требования, которые лежат в основе
реально используемых логических законов. Нам
здесь важно, однако, подчеркнуть принципиальную
сторону дела, а именно то, что законы логики пред-
ставляют собой не что иное, как общие требова-
ния к понятиям и суждениям, продиктованные в
конечном итоге практической нацеленностью зна-
ния. Это означает, что система реальной логики1
может быть обоснована только праксеологически,
на основе представлений о функции знания, но не
интуитивно и не эмпирически.
Реальные суждения, конечно, не являются стро-
го определенными. Реальные понятия всегда рас-
плывчаты и содержат, как правило, спорную об-
ласть в определении своего объема. Более того,
эта область постоянно колеблется в зависимости
от контекста, в котором понятие используется. И
тем не менее именно предпосылка полной опреде-
1 Под реальной логикой мы понимаем здесь законы ло-
гики, практически используемые всеми людьми, в том числе
и математиками, т. е. систему очевидных правил умозаклю-
чения, в отличие от различных искусственных построений,
которые также называются логиками (многозначные логики,
например).
102
ленности понятий лежит в основе всякого логи-
ческого рассуждения. Этот момент может быть по-
яснен простым примером. В геометрических зада-
чах на построение мы начинаем обычно с того,
что предполагаем построение осуществленным. Это
предположение позволяет нам выяснить, что соб-
ственно требуется для построения, какие необхо-
димые условия должны быть выполнены. Идеаль-
ное предположение, предположение осуществлен-
ной цели, позволяет нам, таким образом, наметить
реальный путь ее достижения. Каждое логическое
умозаключение аналогично опирается на гипоте-
зу истинности исходных суждений. Именно это
идеальное предположение позволяет нам предъ-
явить определенные требования к реальным суж-
дениям и в определенном отношении приблизиться
к истине. Если суждение истинно, то его понятия
строго определены, следовательно, относительно
каждого из них справедливо А\/Л, если оно истин-
но, то оно не допускает противоречия и т. д. Ап-
риорная гипотеза истинности определенного клас-
са суждений позволяет предъявить к ним опреде-
ленные требования, которые позволяют, с одной
стороны, отсеять суждения, заведомо не являю-
щиеся истинными, а с другой стороны, вывести
суждения, истинность которых нс очевидна. Про-
верка выводов с опытом позволяет исправить ис-
ходные суждения и на новой основе повторить про-
цесс логического анализа. Логические законы, та-
ким образом, не что иное, как нормы, проистекаю-
щие из понятия истинности, или, в более широком
плане, из требования практической значимости
суждений. Логический анализ — это анализ с точ-
ки зрения такого рода целевых требований. От-
сюда ясно, что логика представляет собой нега-
тивный критерий истинности, ибо все, не удовлет-
воряющее ей, заведомо не истинно по самой сути
логических норм2.
2 И Кант, и Гуссерль правы, указывая на органическую
связь логических норм с понятием истины Эта идея, однако,
остается без обоснования до тех пор, пока само понятие
истины не раскрывается через понятие деятельности, практи-
ческой пригодности суждений.
103
Эти общие соображения далеко не исчерпыва-
ют проблему обоснования логики. Однако они
представляют уже достаточную основу для некото-
рых заключений о сущности логики и практики
использования ее в науках.
Прежде всего ясно, что логика не является эм-
пирической наукой в обычном смысле слова. Ее
законы отражают не содержание мышления., нс
скорее его цель, и поэтому они не могут быть обо-
снованы из материала какой-то конкретной нау-
ки или даже из материала комплекса специальных
наук в целом. В этом смысле борьба Канта и Гус-
серля против психологического и вообще эмпи-
рического обоснования логики является несомнен-
но оправданной. Попытки эмпирического обосно-
вания логики встречаются еще и в наше время.
Так, Е. К. Войшвилло пишет относительно одного
из законов исчисления высказываний: «При нали-
чии в действительности ситуаций Л и В имеет' ме-
сто ситуация А. Это закон самой действительно-
сти» 193, с. 104]. Верно, конечно, что все высказы-
вания о действительности подчиняются этому за-
кону, и все-таки он не закон о действительности в
том же смысле, в каком таковыми являются, к
примеру, физические законы, возникшие з резуль-
тате обобщения определенного эмпирического ма-
териала и приближенные по своему существу. Об-
суждаемый Войшвилло закон логики есть точный
закон, норма, проистекающая из самой цели зна-
ния, т. е. утверждение, имеющее принципиально
другую природу.
Законы логики могут быть представлены так-
же как тавтологии, разъясняющие смысл основ-
ных логических связок. Закон А&А есть в этом
плане не что иное, как разъяснение смысла связ-
ки «и». Такое истолкование законов логики не
ошибочно, оно вполне согласуется с пониманием
их как норм, продиктованных общей задачей зна-
ния, но само по себе не является достаточным.
При истолковании логики как системы аналитиче-
ских суждений, как определенного рода соглаше-
ний относительно смысла исходных логических
констант теряется из виду то существенное обсто-
104
ятельство, что эти соглашения в совокупности не
произвольны, но соответствуют определенной об
щей норме, объективным требованиям к познанию
в целом. Хотя все логические законы в отдельно-
сти могут быть истолкованы как аналитические
суждения, как простое выражение смысла исход-
ных связок, система их в целом отнюдь не согла-
шение. Она выражает единый принцип практиче-
ской направленности мышления и в известном
смысле однозначно навязывается структуре мыш-
ления. Идея свободного конструирования, имею-
щая смысл по отношению к математике, неприме-
нима к логике, если мы имеем в виду логику ре-
ального рассуждения.
Из сказанного ясно также, что законы логики
универсальны. Не может быть такого положения,
чтобы в одной науке была справедлива одна ло-
гика, в другой — другая. Попытки ввести множе-
ственность логик основаны на непонимании дей-
ствительного статуса этой науки, истоков логиче-
ских норм, на некритическом подчинении их
конкретному содержанию мышления. Универсаль-
ность логических норм является совершенно оче-
видной с точки зрения праксеологического истол-
кования этой науки.
К выводу о единственности и универсальности
реальной логики мы приходим и при истолковании
логических норм как аналитических суждений,
фиксирующих систему исходных соглашений о ло-
гических связках. Если некоторая совокупность
эмпирического материала зафиксирована в суж-
дениях с использованием связок «и», «или» и т. д.
в определенном их смысле, то этим однозначно
предопределена и система логических норм, допу-
стимая в этой сфере. Сторонник множественности
логик неявно допускает, что в зависимости от ма-
териала суждений человек может менять смысл
логических констант в самом акте суждения. Это
допущение ничем не оправдано. Анализ механиз-
ма образования суждений вполне определенно от-
вергает это допущение. Образование суждений,
как выяснил уже Кант, подчинено категориальным
представлениям, и человек, вдруг начинающий
105
мыслить (фиксировать содержание опыта в суж-
дениях) в другой логике, должен радикально сме-
нить и систему категориального видения вещей, к
примеру, он должен как-то иначе рассматривать
соотношение части и целого, что является совер-
шенно неприемлемым. Категориальные представ-
ления отнюдь не конвенциональны3.
Покушение на существующую логику предпри-
нималось уже неоднократно и под различными
предлогами. Гегель полагал, как известно, что за-
коны диалектики опровергают или по крайней
мере ограничивают действие законов формальной
логики. Бергсон, исходя из исторического взгля-
да на развитие познания, считал, что формальная
логика адекватна только в рассуждениях о твер-
дых телах и механических движениях и заведомо
неприменима в исследовании явлений жизни. По-
явление феномена неопределенности в квантовой
механике побудило Биркгоффа, Неймана и Рей-
хенбаха сконструировать особую трехзначную ло-
гику — логику квантовой механики, где наряду со
значением истинности и ложности вводится также
значение неопределенности. Теперь можно уже
определенно сказать, что ни одна из этих реформ
не имела успеха. В настоящее время вряд ли кто
считает, что формальная логика находится в та-
кой антитезе к диалектике, как это думал Гегель.
Надежды Бергсона также не оправдались. В XX в.
теоретическая биология шагнула далеко вперед,
но это не привело ни к кризису логики, ни к кри-
зису рационального познания вообще. «Логика
квантовой механики» не оказала никакого воздей-
ствия на разнитие этого раздела физики даже в
качестве простого формального аппарата, тем бо-
лее она не изменила внутреннюю структуру обос-
нования в этой науке. Последний случай, впрочем,
заслуживает более подробного рассмотрения.
«Логика квантовой механики» обязана своим
появлением одному, в настоящее время общеиз-
вестному факту. Если мы скажем, что электрон з
данное время имеет точную координату х и в то
3 О статусе категориальных представлений см, [175, гл. V
и IX].
106
же время точное значение импульса р, то в соот-
ветствии с принципом неопределенности Гейзен-
берга мы высказываем не истинное, не ложное,
но бессмысленное утверждение, поскольку обе ве-
личины не могут быть определены одновременно
в своем точном значении. Биркгофф и Нейман в
30-х гг. поставили задачу сформулировать общие
критерии осмысленности сложных высказываний
в квантовой механике и задачу установления пра-
вил, которые бы позволяли от осмысленных вы-
сказываний переходить только к осмысленным,
или, в более узком плане, от истинных только к
истинным. Рейхенбах позднее показал, что трех-
значное. исчисление высказываний с особыми пра-
вилами вывода может быть использовано в каче-
стве таких правил перехода. Нельзя подвергать
сомнению ни принцип неопределенности, из кото-
рого исходят ученые, ни осмысленность их задачи,
ни даже то, что, по-видимому, эта задача ими удов-
летворительно решена. Два обстоятельства, на
наш взгляд, привели к тому, что этот в общем ря-
довой результат превратился у некоторых филосо-
фов и логиков в «особую логику квантовой
механики», в опровержение универсальности клас-
сической логики.
1. Отсутствие различения между языком и ме-
таязыком квантовой механики. Квантовомеханиче-
ское описание имеет смысл только по отношению
к какой-то определенной экспериментальной си-
туации. Но задание такой ситуации и представля-
ет собой одновременно отделение осмысленных
высказываний от бессмысленных. Вследствие это-
го решение, конкретных задач в квантовой меха-
нике никогда не сталкивается с неосмысленными
конъюнкциями типа вышеприведенной и не нужда-
ется ни в каких правилах по их изъятию. Поэтому
исчисление Рейхенбаха, как и любое другое по-
добное исчисление, никогда не применялось для
решения собственных проблем квантовой механи-
ки. Только в метаязыке, в плане чисто внешнего
сопоставления высказываний квантовой механики
друг с другОхМ эти исчисления приобретают неко-
торый смысл.
107
2. Смешение различных способов применения
логических исчислений. Применение трехзначного
исчисления высказываний в теории релейно-кон-
тактных схем не есть введение особой логики в
эту теорию, ибо это исчисление применяется здесь
не как логика, не в качестве структуры, опреде-
ляющей смысл основных элементов языка, но про-
сто как модель, как особая математическая тео-
рия, описывающая соотношения данной области.
Использование трехзначного исчисления в мета-
языке квантовой механики не представляет собой
ничего другого. Это исчисление устанавливает
определенные связи между объектами метаязы-
ка — высказываниями о конкретных ситуациях,
но оно вводится и обсуждается необходимо в со-
держательном языке, в рамках общепринятой ло-
гики. Утверждение об особой логике квантовой
механики, таким образом, не более как некоторая
спекуляция на слове «логика», результат подме-
ны его смысла.
Критика интуиционистского истолкования
логики
Сказанное позволяет прежде всего попять
принципиальную неадекватность программы логи-
цизма. Математика создается для эмпирического
знания, и она в конечном итоге отражает его
структуру, структуру реальных отношений, откры-
ваемых опытными науками. Конечно не каждая
математическая теория сопоставляется с какой-то
физической структурой. Математика в целом от-
ражает эмпирический мир лишь в том смысле, что
в соответствии со своим назначением она разви-
вается в интенции на наиболее адекватное отраже-
ние опытных структур. Математическая теория
также не проверяется на опыте в обычном смыс-
ле. Она, однако, отражает мир опыта, так как ис-
следуемые его связи прямо или косвенно модели-
руют связи, открываемые опытными науками. Пу-
анкаре прав, говоря, что если бы мы перенеслись
в другой мир, то нам пришлось бы создать и но-
108
вую математику. Математика, таким образом, эм-
пирически содержательна, она характеризует кон-
кретный окружающий мир, несмотря на то что к
математической теории как таковой неприменимы
понятия эмпирической проверки и истины.
Логические же нормы, как уже сказано, от-
ражают не эмпирические, но деятельностные ас-
пекты человеческого опыта. Логика связана с осо-
бым видением реальности, которое дано нам в ка-
тегориях, она содержательна не эмпирически, а
категориально. Математика и логика, таким обра-
зом, относятся по своему содержанию к принци-
пиально различным уровням реальности. Попытка
логицистов свести отношения математики к отно-
шениям логики является поэтому необоснованной
с самого начала. Хотя Рассел постоянно критико-
вал натурфилософию Гегеля, его намерение выве-
сти все принципы математики из принципов логи-
ки нс более обосновано, чем намерение Гегеля
вывести законы физики и химии из законов диа-
лектики. В обоих случаях мы имеем дело с одной
и той же ошибкой — со смешением эмпирических
и категориальных представлений о реальности.
С точки зрения деятельностной концепции ло-
гики совершенно очевидно, что человеческое мыш-
ление подчинено единой и универсальной логике
как в обыденных рассуждениях, так и в науке.
Но может быть в математике, в сфере чисто
формальных преобразований, можно отказаться
от той единой логики, которая довлеет над содер-
жательным мышлением? Ведь математические по-
строения не следуют за обыденной очевидностью, и
у нас, как кажется, нет оснований априори
класть в основу математики тс же элементар-
ные нормы, которые необходимо присутствуют в
обыденном и вообще содержательном рассужде-
нии.
Однако такое предположение также неверно.
Д^атематика, несмотря на значительную удален-
ность ее внутренних конструкций от обыденных
представлений в целом, необходимо подчиняется
той же логике обыденного языка, так сказать, не-
обходимо вписывается в ее структуру, принимает
ее нормы.
109
Представим себе на момент, что некоторый за-
кон обычной логики L полностью изъят из мате-
матики. Пусть теперь при анализе некоторого
физического процесса допустимая математика поз-
воляет предсказать событие Л. Не исключено те-
перь, что физик, используя закон L, продолжит
рассуждение и предскажет событие В, которое
также будет подтверждено экспериментом. Нет
никакого сомнения в том, что для единообразия
своего метода он откажется от ограничений «стро-
гого» математика и введет в свой логический ап-
парат также и закон L, почему-либо отвергнутый
математиком. Математик в свою очередь, не смо-
жет не восстановить в правах отброшенный за-
кон, если он желает проанализировать реальную
структуру рассуждений, которая привела физика
к успеху. Это значит, что математика не может
быть более бедной в своих логических средствах,
чем физика и содержательное мышление вообще,
ибо математическая конструкция не самоцель, но
в конечном итоге именно анализ такого рода ус-
пешных структур, приложимых к другим наукам.
Математика представляет собой концептуаль-
ное построение над содержательным знанием,
функционально подчиненное ему, а именно: она
призвана давать строгие модели для логических
выводов внутри содержательного знания. Но от-
сюда следует, что математика в принципе не мо-
жет опираться на более бедную логику, чем логи-
ка содержательного мышления. По крайней мере
это относится к практически функционирующей
математике.
Но может быть выяснение основ математиче-
ского знания оправдывает ограничения допусти-
мой логики, устранение, так сказать, в чем-то со-
мнительных принципов? На этот вопрос мы долж-
ны также дать отрицательный ответ. Не сущест-
вует способа доказать, что тот или иной принцип
реальной логики является более сомнительным,
чем другие. В частности, является совершенно не-
обоснованным отношение интуиционистов к зако-
ну исключенного третьего как к закону в некото-
ром смысле неполноценному. Существует несколь-
ПО
ко различных аргументов, направленных на дис-
кредитацию этого закона. Основные из них сле-
дующие:
1. Математика содержательна, она не может
принять чистых доказательств существования и по-
этому должна отказаться от закона исключенного
третьего. Или: математика содержательна, она
должна определить отрицательные высказывания
позитивно и поэтому должна отвергнуть закон ис-
ключенного третьего.
2. Закон исключенного третьего должен быть
отвергнут, так как он не может быть проверен в
своей истинности в случае бесконечных множеств.
3. Неуниверсальность закона исключенного
третьего проистекает из рассмотрения конкретных
проблемных ситуаций в математике. Это легко по-
казать на примере любой нерешенной проблемы.
«Для примера рассмотрим два предложения:
(а) Всякое четное число большее, чем 2, мо-
жет быть представлено суммой двух простых чи-
сел.
(б) Существует число, которое больше двух,
но не может быть представлено суммой двух про-
стых.
Мы можем спросить, является ли одно из этих
двух положений правильным. Учтем при этом, что
правильность математического утверждения мо-
жет быть определена только доказательством.
Нет смысла в принятии математической истины,
которая не может быть доказана. Значит, мы
спрашиваем, доказуемо ли одно из двух предложе-
ний в принципе. Если кто-то отвечает на этот во-
прос утвердительно, тогда он должен быть уве-
рен, что одна из проблем либо (а), либо (б) раз-
решима. Но такая уверенность необоснованна (is
not attainable). Действительно, из того, что пробле-
ма (а) неразрешима, не следует, что может быть
указано число g0, удовлетворяющее положению
(б). Невозможно также из допущения неразреши-
мости второй проблемы заключить, что существует
общая процедура для решения первой проблемы...
Поэтому нет разумного смысла говорить, что прин-
цип «tertium non datur», который утверждает, что
111
либо тезис, либо его логическое отрицание пра-
вильно, должен быть принят для математических
высказываний** [122, с. 3].
Первый довод несостоятелен в силу несостоя-
тельности самой концепции существования в ин-
туиционистской математике. Истина состоит в
том, что математика, с точки зрения своего функ-
ционирования, не нуждается в столь жестком кри-
терии существования, и, следовательно, он должен
быть отвергнут з математике по крайней мере как
универсальный.
Второй довод, на котором особенно настаивал
Г. Вейль, является несостоятельным с чисто фило-
софской точки зрения. Ни Вейль, и никто из ин-
туиционистов не проанализировал самого смысла,
заключающегося в требовании опытной проверки
логического закона. По отношению к бесконечно-
му множеству предметов точно также непроверяем
закон непротиворечия и все другие законы логики.
Кроме того, если мы будем настаивать на эмпири-
ческом оправдании логических норм, то неизбеж-
но возникает вопрос, поставленный еще Кантом:
если логические законы опытные, то на каком ос-
новании они могут рассматриваться в качестве
обязательной нормы для других опытных сужде-
ний?
Наиболее популярными являются опровержения
третьего рода, т. е. опровержения через пример.
В своих аргументах против закона исключен-
ного третьего Брауэр исходил именно из такого
рода смысловых примеров. Эта аргументация ос-
нована, однако, на искажении сущности логики,
на неявной подмене реальной логики метатеоре-
тической системой высказываний о разрешимо-
сти — неразрешимости проблем. Верно, что опре-
деленная теория в целом может сказаться недо-
статочной для доказательства как А, так и не-Л,
т. е. возможен случай, когда разрешимость А и
неразрешимость не-Л вполне сосуществуют. Но
из этого тем не менее вовсе не следует, что Л и
не-Л совместимы или что возможно нечто третье,
не попадающее под эти утверждения. Интуицио-
ннсты неявно вводят в понимание математической
112
истины средства ее достижения и тем самым под-
меняют логику отношений между утверждениями
и отрицаниями тезисов в теории логикой возмож-
ных отношений их разрешимости и неразрешимо
сти. Здесь, таким образом, смешиваются принци-
пиально различные вещи: высказывания об истин-
ности — ложности тезисов в теории с высказыва-
ниями об истинности — ложности некоторых
тезисов в метатеории, таких, как «А разрешимо»
и т. д. При правильном понимании логических
норм мы вообще не должны соподчинять их со
средствами и возможностями обоснования того
или другого тезиса. При логическом сопоставлении
утверждений предполагается, что истинность того
и другого некоторым образом установлена. В ча-
стности, закон исключенного третьего по отноше-
нию к рассматриваемому примеру (гипотеза Голь-
баха) означает только то, что если эта задача ка-
кими-то средствами разрешена, то либо верен
первый тезис, либо второй (четных чисел, не пред-
ставимых суммой двух простых, не существует
или такие четные числа существуют). Хотя в кон-
кретных математических теориях определенная
задача не всегда разрешима, гипотеза разрешимо-
сти является абсолютной предпосылкой логическо-
го рассуждения, но не тезисом, который должен
обсуждаться для выявления истинной логики.
В 1932 г. Н. А. Колмогоров интерпретировал
интуиционистскую логику как логику решения за-
дач. Согласно этой интерпретации высказывание
А&В означает, что задача А и задача /3 разреше-
ны, А\/В — разрешена задача А или задача В,
не-А — предположение о разрешимости А приво-
дит к противоречию. В таком случае AVA означа-
ет, что либо разрешена задача А, либо предполо-
жение о ее разрешении приводит к противоречию.
Ясно, что эти два случая не исчерпывают всех
мыслимых возможностей, ибо может оказаться,
что задача является неразрешимой и вместе с тем
предположение о ее разрешимости само по себе
не ведет к какому-либо противоречию. Это стано-
вится особо ясным в свете положений Геделя о
существовании аксиоматически неразрешимых за-
113
дач в достаточно богатых формальных исчисле-
ниях.
Эта интерпретация интуиционистской логики
не просто одна из возможных ее содержательных
интерпретаций. Она представляется в некотором
роде естественной обнаруживающей основной
смысл интуиционистской логики, ее связь с выска-
зываниями о разрешимости. Интуиционистская
логика — это не логика истинности — ложности
математических утверждений, но теория высказы-
ваний о разрешимости, выраженная посредством
языка обычной логики. Такая метаматематиче-
ская «логика» не совпадает и не должна совпа-
дать с логикой собственно математического рас-
суждения. Поскольку в ней зафиксированы суще-
ственно внелогические предположения, связанные
с фактической возможностью разрешения, она ни-
как не может претендовать на статус универсаль-
ной логики, как и на статус единственно возмож-
ной логики математического рассуждения. В част-
ности, дискредитация закона исключенного треть-
его как менее надежного является совершенно не-
обоснованной, проистекающей из неадекватного
понимания сущности логических норм вообще. Ин-
туиционизм в действительности опровергает не
универсальность закона исключенного третьего, а
только универсальность метатеоретической форму-
лы А\/А при определенном истолковании отрица-
ния. Закон исключенного третьего как логический
закон является столь же универсальным и надеж-
ным требованием, как закон непротиворечия и
другие законы классической логики. В своей сущ-
ности он просто отражает дихотомию логическо-
го пространства на объекты, которые подходят под
понятие, и на объекты, которые не удовлетворяют
этому условию. Эта дихотомия — не опытный
факт, который должен проверяться в каждом от-
дельном случае и изменяться в зависимости от
материала мышления, а нормативное требование,
проистекающее из природы понятийного мышле-
ния, из его практической направленности.
Необоснованным является также выдвинутый
Брауэром и ныне распространенный взгляд на ло-
114
гику как на кодификацию средств рассуждения,
«спонтанно» используемых математиками [87,
с. 128]. Для того чтобы извлекать логические
нормы из математических рассуждений, надо уметь
отделять правильные рассуждения от неправиль-
ных, что невозможно без предварительного пред-
ставления о нормах правильного рассуждения.
Глава 6
ЭМПИРИЗМ В СОВРЕМЕННОЙ
ФИЛОСОФИИ МАТЕМАТИКИ
Крушение основных программ обоснования ма-
тематики привело также к попыткам переосмыс-
лить заново отношение математики к эмпириче-
ским наукам. В этом плане ведущее место в на-
стоящее время занимает позиция, для которой
лучше всего подойдет название «неоэмпиризм»,
ибо ее основная направленность состоит в отож-
дествлении математического и естественнонаучно-
го знания, точнее, в поисках единой основы для
этих сфер науки. Речь идет в некотором смысле с
возвращении назад — к воззрениям на математи-
ку, которые были отвергнуты с принятием неев-
клидовых геометрий и теории множеств Кантора.
В настоящее время, конечно, было бы наивным
требовать, чтобы каждое математическое понятие
было соотнесено с опытом, как этого требовал эм-
пиризм в XVIII и еще в XIX в. Современные эм-
пиристы, однако, полагают, что математика долж-
на приблизиться к опытным наукам по характеру
своего метода и обоснования.
Аргументы неоэмпиризма
В 1954 г. известный математик Д. Псйа опуб-
ликовал работу о методах математики, основная
мысль которой состояла в том, что математик не
может гарантировать окончательной истинности
своих утверждений и что методы, посредством ко-
торых он идет к ним, есть не что иное, как те же
методы опытных (индуктивных) наук. Математи-
ка, по его мнению, — индуктивная наука и может
быть адекватно понята только как одна из наук,
116
изучающих природу. Аналогичные идеи были вы-
сказаны А. Мостовским. Математика, согласно Мо-
стовскому, в конечном итоге — естественная нау-
ка, понятия которой взяты из опыта, и она не мо-
жет быть обоснована без учета этого обстоятель-
ства [69, с. 36]. В 60-х гг. И. Лакатос предпринял
попытку обосновать эти идеи на основе критики
математической строгости.
Лакатос исходит из истории развития пред-
ставлений о математике и показывает, что матема-
тическое утверждение, считавшееся обоснованным
в одно время, не считалось таковым в другое. Он
пишет: «Пифагорейцы считали, что строгие дока-
зательства могут быть только арифметическими.
Однако они открыли строгое доказательство, что
}'2 был «иррациональным». Когда этот скандал
вышел наружу, то критерий был изменен, арифме-
тическая интуиция была дискредитирована и ее
место заняла геометрическая интуиция. Это озна-
чало большую и сложную реорганизацию матема-
тического знания (была введена теория пропор-
ций). В восемнадцатом столетии «вводящие в за-
блуждение» чертежи испортили репутацию геомет-
рических доказательств, и 19-й зек увидел снова
арифметическую интуицию, воцарившуюся при по-
мощи сложной теории действительных чисел. Се-
годня основные споры идут о том, что является или
не является строгим в теоретико-множественных
и математических доказательствах, как это видно
из хорошо известной дискуссии о допустимости
мысленных экспериментов Цермело и Гентцена»
[52, с. 74]. История математики убедительно по-
казывает, по мнению Лакатоса, что сам критерий
обоснованности имеет исторический характер и
вследствие этого мы не имеем права рассчитывать
на то, что какая-то конкретная математическая
программа может окончательно разрешить эту
проблему.
Лакатос обосновывает этот тезис также рас-
смотрением самого механизма доказательства.
Всякое доказательство предполагает, во первых,
некоторое неявное знание (например, знание ариф-
метики при изложении геометрии, знание логики
117
при изложении арифметики и т. д.) и, во-вторых,
содержательный язык (метаязык), в котором об-
суждается доказательство. Даже при полной ре-
гламентации вывода, какая предполагается фор-
мализацией, доказательство не избавляется от со-
держательного метаязыка и, как следствие, от
источника нестрогости и противоречий. Историче-
ски математические работы становятся все более
строгими, что выражается прежде всего в том, что
положения, используемые неявно предыдущими
поколениями математиков, формулируются явно
более современными математиками. Но это совер-
шенствование не может быть закончено. «Коши,
например, — пишет Лакатос, — даже не заметил,
что его прославленное сочинение (1821) предпо-
лагало «знакомство» с теорией действительных
чисел. Не так поступили Вейерштрасс и его шко-
ла: учебники по неформальной математике теперь
содержат новую главу ко теории действительных
чисел, в которой собраны все эти леммы. Но в их
«введениях» обычно предполагается знакомство с
теорией рациональных чисел. Более строгие учеб-
ники еще более уменьшают предполагаемое зна-
ние: Ландау во введении к своей знаменитой кни-
ге (1930) предполагает знакомство только с ло-
гическим рассуждением и немецким языком. Иро-
нией судьбы А. Тарский в это же самое f. время
показал, что опускаемые таким образом абсолют-
но тривиальные леммы могут быть не только не-
верными, но и несовместимыми, поскольку немец-
кий язык не является семантически замкнутым
языком» [52, с. 65]. Лакатос заключает отсюда,
что понятие абсолютно строгого доказательства
незаконно, ибо оно предполагает «регресс в бес-
конечность». «Достоверность никогда не может
быть достигнута, «основания» никогда не могут
быть обоснованы, но «хитрость разума» превра-
щает всякое увеличение строгости в увеличение
содержания, в цель математики» [52, с. 80].
С этой точки зрения, всякое внутреннее обос-
нование математики не абсолютно, ибо оно по
определению представляет собой некоторое дока-
зательство. Математика, таким образом, всегда
118
является необоснованной на некотором уровне.
Однако различные программы обоснования не яв-
ляются бессмысленными, так как они, связывая
одни структуры с другими, увеличивают строгость
и надежность математики в целом.
Такая позиция представляет собой существен-
ный поворот в понимании математики. Несмотря
на изменение взглядов на природу математическо-
го знания и на критерии его обоснования, матема-
тики вплоть до XX в. безусловно верили в то, что
математика имеет дело со строгими доказательст-
вами, в отличие от доказательств, используемых в
физике и других опытных науках. «Доказательст-
во, не являющееся строгим, есть ничто», — писал
Пуанкаре в 1908 г. | 80, с. 22] *. Б. Рассел пример-
но в то же время заявлял, что «здание математи-
ческой истины стоит непоколебимо и неустраши-
мо перед всяким оружием сомневающегося скеп-
тицизма». Гильберт, выдвигая свою программу
обоснования математики, обещал навсегда изба-
вить математику от противоречий. Уверенность в
математике как в цитадели истинности и строго-
сти, т. е. взгляд на математику, идущий от Плато-
на, Декарта и Канта, оставался вплоть до послед-
него времени незатронутым философской крити-
кой, одним из краеугольных камней математиче-
ского мировоззрения. Парадоксы теории множеств
не привели к изменению этого взгляда. Все про-
граммы обоснования, выдвинутые в начале XX в.,
ставили задачу восстановления полной строгости
математического доказательства. Однако неудача
этих программ привела к тому, что такие матема-
тики, как Г. Вейль, А. Берыайс, К. Гедель и дру-
гие, стали высказывать сомнения в принципиаль-
ной достижимости поставленных целей. Все эти
математики так или иначе стали проводить ана-
логию между математическим и эмпирическим зна-
нием: математика, по их мнению, в такой же ме-
1 Пуанкаре, правда, оговаривается, что действительные
доказательства математиков нестроги, но он убежден, что
эти доказательства, если они правильны, всегда могут быть
восполнены.
119
ре не может быть окончательно обоснована, как
и любое знание.
Крайне эмпирический взгляд на математику
был изложен Л. Кальмаром на симпозиуме по
философии науки, который проходил в Лондоне
в июле 1965 г. Математика, согласно Кальмару,
эмпирична по своему происхождению и использо-
вала сначала дедукцию, так же как и другие на-
уки, — для обнаружения рациональной связи фак-
тов. «Изобретение дедукции, абстрагирования и
аксиоматического метода, — пишет он, — было
чрезвычайно плодотворным для развития матема-
тики, но это побуждало рассматривать ее как
«чистую дедуктивную науку» и забыть, что ее ак-
сиомы были первоначально извлечены из опыта и
были проверены в повседневной практике челове-
ческого мышления» [117, с. 187]. Это заблужде-
ние, по мнению Кальмара, обусловливает во мно-
гом и сегодняшние трудности выхода из тупика, в
котором оказалась математика после негативных
математических результатов Сколема, Геделя и
Коэна.
Позитивная программа Кальмара состоит в
том, чтобы возвратиться к воззрению на матема-
тику как на эмпирическую науку не только в ге-
нетическом плане, но также в плане метода и обо-
снования. «Чтобы найти новое направление ис-
следования, мы должны стать лицом к фактам.
Во-первых, исследования в основаниях математи-
ки, которые до настоящего времени были пред-
приняты, исходили из предположения, что матема-
тика есть чистая дедуктивная наука, они основы-
вались на надежде, что мы можем показать это
также посредством твердо обоснованной дедуктив-
ной науки. Во-вторых, эта надежда никогда не бы-
ла реализована. И, как я говорил, аксиомы каж-
дой интересной части математики абстрагирова-
ны более или менее прямо от эмпирических фак-
тов, и правила вывода, используемые в них, пер-
воначально продемонстрировали свою универсаль-
ную ценность в нашем актуальном практическом
мышлении. В-третьих, непротиворечивость наших
формальных систем есть эмпирический факт: даже
120
там, где она может быть доказана, приемлемость
используемых при доказательстве методов имеет
опять же лишь эмпиоическое обоснование» [117,
с. 191].
И далее: «Почему мы не можем признать, что
математика, подобно другим наукам, окончатель-
но базируется на практике и проверяется ею?
Многие почтенные науки имеют хорошую репута-
цию, не выдвигая требования, что они «чисто де-
дуктивные науки». Объявить математику основы-
вающейся па эмпирических фактах — не значит
отрицать пользу дедуктивного метода, ибо многие
эмпирические науки успешно используют его.
Правда, мы должны тогда включить в математи-
ку индуктивные методы — но почему мы должны
исключать их?» [117, с. 193].
Математика, согласно Кальмару, может вклю-
чать и уже включает в себе эффективно работаю-
щие индуктивные утверждения (тезис Чёрча, на-
пример), которые могут быть в дальнейшем по-
правлены посредством контрпримеров, как это
принято в любой опытной теории.
Позиция Кальмара была подвергнута критике
Бар-Хиллелом, который защищал традиционный
взгляд на обоснование математики. Точка зрения
Кальмара, по его мнению, не нова и давно опро-
вергнута. Доказательство через индукцию в ма-
тематике не имеет смысла, если это не доказа-
тельство через полную или траисфинитную индук-
цию, не существует математических утверждений,
которые могут быть проверены на практике, поня-
тие «степень подтверждаемости» неприменимо к
математике [117, с. 198J. И. Лакатос, однако, не
согласен с Бар-Хиллелом. Он считает, что возрож-
дение эмпиризма в философии математики вполне
законно, что оно было подготовлено еще з 20—
30-х гг. идеями Рассела, Карнапа и Тарского.
Свой взгляд на статус современной математики
Лакатос определяет следующей историко-методо-
логической схемой. Идеалом знания на заре его
развития была евклидова геометрическая система
с несомненной истиной на вершине в виде систе-
мы аксиом, на основе которых доказываются тео-
121
ремы — основные, базовые положения теории.
Значимая (истинно-ценностная) информация вво-
дится здесь в теорию через аксиомы и «течет» к
основным положениям. Это евклидовый или квази-
евклидовый (в случае, когда аксиомы не обяза-
тельно связываются с понятием истины) идеал тео-
рии. Научное знание, однако, стало развиваться по
другой, а именно эмпирической или квазиэмпири-
ческой схеме. Согласно этой схеме теория начи-
нается не с аксиом, а именно с базовых положе-
ний. Именно через них истинно-ценностная инфор-
мация входит в теорию. Аксиомы теперь не рас-
сматриваются как истинные и не доказываются,
но конструируются для объяснения базовых ут-
верждений и оправдываются как таковые только
своими дедуктивными возможностями. Их ценность
относительна.
Ошибка многих философов и математиков за-
ключается, по Лакатосу, в том, что они традици-
онно связывают математическую теорию с евкли-
довым или квазиевклидозым идеалом научного
знания, в то время как она представляет собой
одну из форм квазиэмпирической теории. Собст-
венно эмпирические теории — это теории, потен-
циальные фальсификаторы которых представляют
собой утверждения о конкретных событиях в про-
странстве и времени. Математика не является соб-
ственно эмпирическим знанием в этом смысле, она
имеет базовые утверждения другой природы, но
тем не менее общая схема ее развития и обосно-
вания совпадает с общей схемой развития и обос-
нования эмпирических наук: выдвижение возмож-
но большего числа смелых гипотез и их последую-
щая критика. Тем самым не только снимается во-
прос об окончательном обосновании математиче-
ского знания, но он снимается вообще как вопрос
специфический по отношению к математике. Центр
тяжести переносится на исследование теории ро-
ста знания вообще в его квазиэмпирической моде-
ли. Такая позиция, по мнению Лакатоса, позво-
ляет по-новому взглянуть на старые проблемы
философии математики [117, с. 202].
И это действительно так, если изложенные со-
122
обряжения признать верными. Традиционное деле-
ние наук на формальные и содержательные (опыт-
ные) теряет здесь смысл по крайней мере как
«верховное деление наук» (Грассман), и мы долж-
ны будем пересмотреть современную концепцию
математики в целом, поскольку она существенно
основывается на таком противопоставлении мате-
матического и эмпирического знания. Однако, на
наш взгляд, действительные факты не побуждают
необходимо к такой радикальной смене взглядов
на сущность математики и характер ее обоснова-
ния.
Критика эмпирической концепции
обоснования математики
Позиция Лакатоса покоится на двух положе-
ниях, которые, по-видимому, должны быть приня-
ты. Во-первых, он утверждает, что окончательная
определенность в математике недостижима, что
окончательного обоснования найдено быть не мо-
жет. Это мнение стимулировано в основном мате-
матическими результатами Геделя и заключается
по существу в отказе от глобальных программ
обоснования математики. Во-вторых, Лакатос
убежден (здесь он опирается на исследования по
семантике Карнапа и Тарского), что всякое мате-
матическое доказательство является нестрогим и
математика даже в достигнутых результатах не
представляет собой непогрешимой науки. Прини-
мая эту точку зрения, мы идем еще дальше геде-
левской критики и отказываемся от возможности
окончательного обоснования даже отдельной мате-
матической теории. Речь идет об отказе от дости-
жения окончательной математической строгости
вообще. Даже те теории, непротиворечивость ко-
торых доказана с точки зрения программы Гиль-
берта или с точки зрения интуиционизма, по
Лакатосу, не гарантированы от противоречий.
Отправляясь от этих по своей природе логиче-
ских соображений Лакатос приходит собственно к
эмпиризму, т. е. к отождествлению математиче-
123
скоро и эмпирического знания и к определенным
выводам о характере обоснования современной
математики. Настаивая на нестрогости математи-
ки, он находит возможным сблизить ее с эмпири-
ческим знанием не только по происхождению и
методу, но также и по обоснованию, и в этом ви-
дит по существу решение проблемы. Для эмпири-
ческой науки рост знания есть также и его обос-
нование, приближение к истине. Ассимилируя
контрпримеры и выявляя сферу действия своих
принципов, эмпирическая теория тем самым и
обосновывает себя как истинная теория. Аналогич-
но этому Лакатос склонен рассматривать и про-
цесс обоснования математического знания. Мате-
матика, по его мнению, должна рассматриваться
также как совершенствующаяся согласно схеме на-
учно-исследовательских программ и, следователь-
но, как достигающая обоснования своих принци-
пов подобно эмпирическому знанию через ассими-
ляцию некоторого рода контрпримеров2.
Аналогия между математикой и содержатель-
ным знанием ценна во многих отношениях. Нельзя
категорически возражать и против того, чтобы
рассматривать математику как обычную теорию
в методологии научно-исследовательских про-
грамм. Известно, что в терминах любой математи-
ческой теории могут быть сформулированы зада-
чи, которые не решаются в этой теории. Так, в
геометрии Евклида появился вопрос о площадях
и объемах, ограниченных произвольными кривыми,
который потребовал создания дифференциального
и интегрального исчисления, анализ разрывных
функций привел к строгой теории пределов и т. д.
Мы можем поэтому в определенных границах рас-
сматривать становление математической теории
как ассимиляцию определенного рода «фактов»
по схеме, близкой к той, которая описывает ста-
новление эмпирического знания.
Однако мы быстро наталкиваемся на ограни-
ченность такой аналогии. В математической тео-
2 О сути лакатосовской концепции научно-исследователь-
ских программ см. его статью в [90].
124
рии, в противоположность теорий эмпирической,
нельзя изменить каких-либо частных утверждений,
не отменяя вместе с тем и исходных принципов.
Т. е. математические теории являются «жесткими»,
или, говоря языком концепции научно-исследова-
тельских программ, не имеют защитного пояса. Да-
лее. С появлением новой, более совершенной тео-
рии исходная математическая теория не отбрасы-
вается как ложная, как это может случиться в
опытной науке (птоломеева система в астрономии,
например), а она всегда существует рядом, выпол-
няя свои задачи. Ее сфера при этом не ограничи-
вается новой теорией по отношению к какой-то
области объектов, ибо математические теории не
ориентированы вообще на эмпирически определен-
ную область объектов. И это не второстепенные
моменты, но моменты, проистекающие из самого
существа математики, из ее специфики, сущест-
венной, в частности, с точки зрения ее обосно-
вания.
Лакатос не ставит и не решает вопроса о спе-
цифических задачах обоснования математики. Он
говорит, что в математике, как и в любой другой
науке, окончательная достоверность недостижима.
Однако здесь речь идет в действительности о раз-
личных вещах. В математике не достигается окон-
чательная строгость, в то время как в опытной
науке не достигается окончательная истинность.
Это различие чрезвычайно существенно: математи-
ка и физика стремятся к различным идеалам как
формальное и как содержательное знание, и про-
граммы их обоснования имеют смысл только в
плане соответствующих идеалов.
То, что обоснование математики может быть
только обоснованием непротиворечивости отдель-
ных математических теорий, следует из простых
соображений о функции математики в системе по-
знания. Примерное рассуждение, подводящее в
общих чертах к пониманию специфики математи-
ки, может быть следующим. Всякая система со-
держательных утверждений, появившаяся на базе
опыта, в неявном виде содержит определенное ко-
личество информации, которая может быть выяв-
125
лена без дальнейшего эмпирического исследова-
ния, но лишь за счет логического сравнения язы-
ковых форм, приведенных предварительно к неко-
торому унифицированному виду, к унифицирован-
ной системе символов с заданными правилами
преобразования внутри нее. Причем ясно, что раз-
личные области содержательных утверждений
требуют различных формальных систем для свое-
го отображения и выведения следствий. Матема-
тику можно представить в целом как деятельность
по конструированию такого рода символических
систем, пригодных для выявления скрытой инфор-
мации, для трансформации суждений в различ-
ных областях содержательного знания. Математи-
ка таким образом — метод перехода от истинных
суждений к истинным, и логическая непротиворе-
чивость — первое необходимое условие ее эффек-
тивности. С другой стороны, это и достаточное ус-
ловие, так как любая непротиворечивая система
обладает способностью сохранять истинность в
процессе внутренних преобразований. Но это зна-
чит, что обоснование отдельной математической
теории и математики в целом не может быть ничем
другим как обоснованием ее непротиворечивости.
Это требование вытекает из функции математики,
и оно не может быть изменено вследствие каких-
то результатов в самой математике (типа теорем
Геделя) или вследствие раскрытия неизбежных
несовершенств любого математического доказа-
тельства.
Но если мы устанавливаем ясное различие
между направлениями обоснования математики и
содержательного знания, то отсюда немедленно
проистекают и решающие различия в самой его
структуре. Дело в том, что развитие содержатель-
ной теории через ассимиляцию контрпримеров и
есть ее обоснование, а именно обоснование ее ис-
тинности. В физике не существует и не может су-
ществовать особого теоретического раздела, зани-
мающегося установлением истинности физических
теорий: установление истинности, ее обоснование
здесь практическая задача — каждая теория уста-
навливает свою истинность в актах приложения и
126
в конкуренции с другими теориями. Совсем другое
положение в математике, где целью обоснования
является непротиворечивость. Математические тео-
рии также могут конкурировать друг с другом при
решении какой-то задачи или в качестве средства
точной формулировки теории, но выигрыш в борь-
бе еще ничего не говорит о качестве теории в
плане непротиворечивости. Широкое применение
математической теории доказывает только ее
структурную адекватность некоторым сферам дей-
ствительности, наличие в ней непротиворечивых
фрагментов и лишь ставит серьезно проблему ее
обоснования, которая является не проблемой
практики, а сугубо теоретической, метаматемати-
ческой проблемой. Поэтому аналогия математики
с опытным знанием, которую проводит Лакатос,
ничего не дает для понимания действительных
средств и структуры обоснования математики. Она
делает упор на приложениях, на конкуренции те-
орий, отражая стиль обоснования в опытной нау-
ке и игнорируя специфически теоретический харак-
тер обоснования в математике.
Здесь, конечно, возникает вопрос: как мы мо-
жем представить себе процесс внутреннего обос-
нования математики, если известно, что оконча-
тельное доказательство непротиворечивости недо-
стижимо ни для одной теории, что не существует
никаких охватывающих программ обоснования и
что, наконец, ни одна достаточно богатая теория
не может быть обоснована логически без исполь-
зования всех своих внутренних ресурсов, т. е. не
прибегая к порочному кругу? Подобные сообра-
жения являются основным аргументом эмпириз-
ма, который склонен вообще отказаться от идеи
внутреннего логического обоснования, и перенести
весь вопрос совсем в другую сферу — в сферу
опыта, тех или иных форм эмпирической провер-
ки. Такой ход мысли основан, однако, на заблуж-
дении.
Убеждение в непротиворечивости математиче-
ской теории на практике происходит прежде всего
из простого се развертывания, т. е. через получе-
ние большого числа следствий из принятых посы-
127
лок. Хотя, конечно любое количество следствий не
гарантирует полной непротиворечивости теории, с
точки зрения убежденности исследователя, сто
теорем в этом отношении значат больше, чем де-
сять.
Важную роль играет в этом отношении прило-
жение одной математической теории к другой или,
в идеальном случае, полная интерпретация од-
ной теории в терминах другой. Лобачевский был
убежден в непротиворечивости своей планиметрии,
ибо ее формулы посредством простого преобразо-
вания переходили в формулы сферической триго-
нометрии . Фактически здесь был неявно исполь-
зован принцип интерпретации, который был позд-
нее сформулирован в общей форме.
Непротиворечивость ряда теорий может быть
доказана посредством их синтаксического анали-
за, посредством, к примеру, метода Гильберта или
аналогичных программ, которым мы, однако, те-
перь не придаем универсального значения. Но
важно заметить, что мы и не отбрасываем их как
бесполезные.
Возможны, очевидно, многие другие приемы,
повышающие уверенность в непротиворечивости
той или иной математической теории. Хотя теоре-
ма Геделя запрещает полное доказательство не-
противоречивости арифметики на основе финитных
соображений, можно доказать непротиворечивость
арифметики без аксиомы индукции и в ряде дру-
гих частных вариантов, что повышает безусловно
нашу уверенность в надежности арифметики в це-
лом.
Могут быть, наконец, выработаны приемы до-
казательства того, что та или иная конкретная
теория свободна от данного типа противоречий.
Так, теория, не использующая в своих посылках
понятие актуальной бесконечности, конечно сво-
бодна от парадоксов, которые с этим понятием
связаны.
Идея регресса в бесконечность и порочного
круга в логическом обосновании математики, из
которых исходят современные эмпиристы, являют-
ся несостоятельными. В этих внешне правильных
128
рассуждениях допускаются по крайней мере две
ошибки. Во первых, неявно предполагается, что
формальное обоснование приемлемо только в том
случае, если оно полное и окончательное, т. е. ис-
ключается возможность постепенного логического
совершенствования математических теорий посред-
ством частных средств. Во-вторых, здесь произво-
дится смешение языковых и метаязыковых средств.
Гуссерль прав в том, что из специальной науки
нельзя вывести законов логики, поскольку эти на-
уки уже предполагают логику. Здесь был бы по-
рочный круг. Но логика может быть обоснована
как таковая из общей идеи теоретического знания.
Хотя рассуждения в этом последнем случае также
предполагают логику, здесь нет круга, поскольку
эти рассуждения являются по отношению к логи-
ке метаязыковыми. Практика показывает, что мы
можем с пользой для дела обсуждать грамматику
языка, пользуясь той же грамматикой в полном
объеме. Доказательства непротиворечивости ариф-
метики, использующие средства, выходящие за
пределы арифметики (аксиому трансфинитной
функции, например), не могут быть поэтому сбро-
шены со счета, они не содержат, — по крайней
мере, заведомо, — логического круга или регрес-
са в бесконечность. Гильбертовские ограничения
на средства метаязыка вряд ли являются необхо-
димыми для достижения разумной уверенности в
непротиворечивости арифметики, особенно после
того как мы поняли, что абсолютная уверенность
здесь недостижима и интуиционистские ограниче-
ния логики не являются законными.
Таким образом, отказ от универсальных про-
грамм обоснования математики, которые способны
были бы обеспечить абсолютную гарантию от про-
тиворечий и для всех теорий, не запрещает и не
прекращает внутреннего процесса самообосновз-
ния математики. Более того, это единственный путь
движения математики к обоснованности своих те-
орий. Все мыслимые методы обоснования матема-
тики, т. е. методы, посредством которых мы повы-
шаем свою уверенность в непротиворечивости той
или другой математической теории, не являются
5 Зак. 59
129
эмпирическими. Самый «эмпирический» прием, к
которому может прибегнуть математик для про-
верки непротиворечивости своей теории, — это
простой вывод из ее исходных утверждений воз-
можно большего числа следствий. Этот момент,
строго говоря, только и фиксируется программой
Лакатоса и другими эмпирическими программами
обоснования, ибо применение теории на практике
и для ассимиляции кснтрфактов в чисто математи-
ческом плайе является простым просмотром ее в
смысле более или менее удаленных следствии. При
некотором условном понимании эмпирического мы
можем назвать такой прием проверки непротиво-
речивости, связанный с применением математиче-
ских теорий, эмпирическим и согласиться с тем,
что в математике существуют эмпирические мето-
ды обоснования непротиворечивости, но мы долж-
ны будем в этом случае признать, что такого рода
эмпирические методы пи в какой мере не являлись
главными ни до, ни после теорем Геделя. Когда
физик для каких-то целей строит математическую
структуру, то он приобретает веру в ее непротиво-
речивость первоначально из употребления и более
широкое употребление повышает эту веру. Но про-
блема непротиворечивости этим пе решается, она
по существу только ставится. Математик неизбеж-
но постарается включить эту структуру в общую
систему математического знания, интерпретировать
се в терминах разработанных теорий, просмотреть
ее посылки в логическом плане и т. д., иначе гово-
ря, проведет теоретическую работу, которая соб-
ственно только и может называться обоснованием
математической теории и результаты которой мало
зависят от того, насколько успешно применение
данной теории, имеет ли она вообще какое-либо
приложение и насколько, наконец, она может вы-
держать сравнение с другими теориями в решении
определенных проблем.
Современный математик вовсе пе откладывает
свои логические инструменты в сторону и не по-
лагается на практику, па естественное соревнова-
ние математических концепций и т. д., которое
отберет хорошее от плохого и продвинет матема-
130
тику в целом на новый уровень надежности. Он
должен ставить (и постоянно ставит фактически!)
проблему обоснования, как она стояла и в клас-
сических программах обоснования, т. е. прежде
всего на уровне метатеории, как внутриматемати-
ческую, логическую проблему. Это естественный
и решающий для математики фактор продвижения
к своему обоснованию.
Основная установка Лакатоса на отождествле-
ние математического и содержательного знания
не подчеркивает внутреннего теоретического ха-
рактера обоснования математики и, следователь-
но, не может дать правильного представления о
действительных его средствах3.
Останется ли математика стригой?
Существенным, однако, является вопрос о ме-
тоде, поставленный Кальмаром. Действительно, ес-
ли абсолютная строгость недостижима и дедукция
в какой-то мере всегда ненадежна, то почему в ма-
тематике неприемлема индукция как метод дока-
зательства?
Мы подходим здесь, по-видимому, к основной
трудности в современном понимании математики,
которая касается сущности и эволюции ее внутрен-
него метода. С некоторой априорной, чисто эсте-
тической точки зрения математик предпочел бы
видеть свою науку идеально строгой, покоящейся
на «железной» логике. Но позволит ли практика
остаться математике в таком качестве?
5 Внутреннее обоснование не исключается, конечно, пол-
ностью и в эмпирической науке. Выбирая одну из гипотез,
равноценных по отношению к опытным данным, исследова-
тель может воспользоваться каким-либо логическим призна-
ком ее перспективности и тем самым осуществить акт тео-
ретического, априорного обоснования истинности. Однако
в эмпирической науке такие средства обоснования всегда
были и будут вторичными, в то время как в математике по
отношению к непротиворечивости теоретические соображения
являются во всех отношениях решающими. Именно это важ-
ное различие затушевывается при подходе Лакатоса.
5*
131
Самый беглый взгляд на эволюцию содержа-
ния математики не оставляет сомнений в том, что
практика может радикально видоизменить мате-
матический метод. Для греческих математиков
строгость выводов и точность результата выража-
ли самую суть математики. Для истинного пифаго-
рейца идея приближенного вычисления как систе-
матического приема была бы оскорбительной. Он
смотрел на математик)' не как на орудие деятель-
ности, но как на средство постижения гармонии
мира. Математика была для него скорее чистым
искусством, и в этом своем статусе она могла
оставаться как угодно строгой и гармоничной.
Но в XVII в. в математику вошли логарифмы,
сориентированные на приближенные вычисления,
а несколько позднее, в рамках анализа — алгорит-
мы приближенных вычислений корней, сумм рядов
и. значений отдельных функций. Приближенные
методы анализа затем перешли в теорию чисел,
которая начала постепенно превращаться з теорию
оценок и асимптотических закономерностей, так
что точные теоретико-числовые закономерности,
которые и были только совместимы с психологией
древнего математика, отступили на задний план,
стали элементарной частью этой науки. Матема-
тика внесла в свое содержание приближенность
как нечто вполне законное и даже более важное.
Она отступила от внутреннего изящества ради
эффективности.
Под влиянием практики математика в некото-
рой степени отступила также и от внутреннего де-
терминизма, от однозначной определенности объ-
ектов как величин. В математику вошло исчисле-
ние вероятностей. Современную науку нельзя пред-
ставить себе без математической теории вероят-
ностей. Однако это также наука не в греческом
духе, ибо мыслители того времени да и многих
веков позднее хотели познать природу только в
точных и однозначных закономерностях.
До настоящего времени в одном пункте мате-
матика зсе же сохраняла традиционный (грече-
ский) идеал: она оставалась . наукой, основанной
на строгом выводе, на дедукции. Допуская приб-
132
лиженные расчеты, математики не смешивали их
с точными. Допуская вероятности и вероятностные
представления о процессах, они пе нарушали стро-
гости вывода: утверждения об одних вероятностях
должны были следовать из других в соответствии
со всеми правилами математического рассужде-
ния. Строгая дедукция до настоящего времени яв-
ляется символом математики, ее основным опре-
деляющим признаком.
Многие факты, однако, заставляют думать, что,
продолжая свое сближение с практикой, матема-
тика может отказаться и от идеала строгости, по
крайней мере в некоторых своих разделах. Анализ
механизма строгого вывода, как мы видели, за-
ставляет признать, что абсолютная строгость недо-
стижима, что всякий вывод из некоторой системы
аксиом может быть поставлен под сомнение. Но
здесь речь идет не о принципиальной нестрогости
доказательства, а о том, что математики в буду-
щем вполне возможно будут сознательно допус-
кать структуры с индуктивными и вообще нестро-
гими выводами. Можно представить себе несколь-
ко путей такого отступления от строгости.
В уже упоминавшемся нами докладе Кальмар
указывает на тезис Черча как на утверждение,
которое играет важную роль в математике, ко по-
коится только на индукции. Тезис Черча, утверж-
дающий, что всякая вычислимая функция являет-
ся рекурсивной, есть по существу только индук-
тивное предположение и в общей форме его труд-
но доказать, так как не существует общего опре-
деления вычислимой функции, независимого от
понятия рекурсивнссти. Этот тезис может быть ис-
пользован для доказательства других положений,
которые, не будучи строго доказанными (так как
они опираются на тезис Черча), могут оказаться
эвристически ценными. Хотя здесь много спорного,
можно допустить вместе с Кальмаром, что такого
рода нестрогие (индуктивные) утверждения будут
играть важную роль в будущей математике.
Главное отступление от строгости в математи-
ке может произойти, однако, в плане пересмотра
самой идеи доказательства, которая определяет
133
характер современной чистой математики. То, что
прикладная математика не строга, что она не мо-
жет и не должна быть строгой, довольно ясно.
Сами математики в последние годы хорошо иссле-
довали этот вопрос [см. 13; 71].
Принято считать, что нестрогость — только
особенность прикладной математики, что чистая
математика всегда останется полностью доказа-
тельной. Вопрос здесь не простой, но некоторые
соображения заставляют думать, что это мнение
не совсем верно. Нестрогость прикладной матема-
тики неизбежно отражается на методах непосред-
ственно обслуживающей ее чистой (предприклад-
ной) математики. В сфере математической физи-
ки математик уже занимается чистой математи-
кой в том смысле, что он занят не решением кон-
кретных физических проблем, а анализом соответ-
ствующих уравнений с математической точки зре-
ния. Но и здесь он, как правило, ограничивается
приближенными и нестрогими решениями по той
причине, что точных решений пока не существует
или потому, что они столь сложны, что практиче-
ски бесполезны. Уравнениям и исходным условиям
в таких задачах мы ставим в соответствие форму-
лу, которую называем решением, но это соответ-
ствие нс может быть оправдано с точки зрения
привычных канонов математической строгости.
Эти соответствия принимаются постольку, по-
скольку оправдывают себя практически.
И. Й. Блехмап, А. Д. Мышкис и Я. Г. Пановко
отмечают тог факт, что математики-прикладники
выработали различные удобные приемы обраще-
ния с бесконечно малыми, напоминающие приемы
отбрасывания дифференциалов высших порядков,
использованные Лейбницем [13, с. 36]. Чистый
математик, как кажется, может поступить здесь
только двояко: сн может игнорировать такие под-
ходы как не относящиеся к математике или может
попытаться подвести под эти приемы строгую ос-
нову, показывающую границы их приложимости.
Но существует, по-видимому, и третий путь. Чи-
стый математик может создать формальную струк-
туру, просто отражающую эти нестрогие перехо-
134
ды, если они заведомо не являются противоречи-
выми и если допускаемые огрубления поддаются
ясному формальному выражению. Короче говоря,
вполне допустимо, что прикладная математика вы-
зовет существование теорий чистой математики,
сориентированных на другое понимание формаль-
ного следования, несовместимого с обычной логи-
ческой и арифметической правильностью.
Для того чтобы уяснить смысл и определенную
основу этих рассуждений, поставим вопрос вооб-
ще: в чем смысл и ценность математического до-
казательства? Доказательство в математике мо-
жет быть понято как унифицированный прием, по-
средством которого мы некоторым формулам
4i ... Ап ставим в соответствие формулу Дп+ь Цен-
ность таких соответствий или систем таких соот-
ветствий в том, что они могут моделировать неко-
торые системы связей в природе. Но из этой функ-
ции математического доказательства не вытекает,
что оно в обязательном порядке должно представ-
лять строгую дедукцию. Здесь важна только уни-
фицированность правил, с помощью которых уста-
навливается соответствие и отсутствие противоре-
чащих выводов для одной и той же системы посы-
лок. Но в таком случае вполне возможно, что
современная математика в своем требовании стро-
гости закрепляет лишь частный случай математи-
ческого доказательства с точки зрения будущей
математики. Эффективность математики, как мы
ее сейчас понимаем, требует, чтобы знаковой фор-
ме, которая соответствует началу некоторого ре-
ального процесса, достаточно однозначно ставилась
в соответствие знаковая форма, которая соответ-
ствует его концу. Нельзя обосновать, что идеаль-
ные соответствия такого рода могут быть установ-
лены только посредством строгой дедукции. Вполне
возможно, что для некоторых задач заведомо при-
ближенные рассуждения, компенсирующие, ска-
жем, приближенность в описании начальных ус-
ловий, будет лучше удовлетворять этим требова-
ниям, и математическая теория, узаконивающая
заведомо нестрогие переходы, будет лучше соот-
ветствовать реальному процессу.
135
Является поэтому вполне вероятным, что чи-
стая математика в будущем будет содержать не-
сколько уровней строгости от логически рафини-
рованной до предприкладнсй, осознанно отступаю-
щей в своих внутренних преобразованиях от неко-
торых традиционных требований строгости. Не ис-
ключено, что современная математика стоит на
пороге нового расширения области допустимых
объектов, но теперь уже не за счет абстрактных
логических форм, как это было в XIX в., а за счет
структур с ослабленной строгостью, которые при
традиционном понимании математического метода
не могли принадлежать к чистой математике.
В этих условиях защита строгости математики во
что бы то ни стало на всех уровнях является сле-
пой данью традиции, защитой идеала, сформиро-
вавшегося совсем в другую эпоху. Мы должны, по-
видимому, признать, что прикладная математика
определяет не только объем приемлемой чистой
математики, на чем настаивал Гильберт, но и в
какой-то мере саму ее внутреннюю логику. Тра-
диционное формалистское понимание математики
связано с идеалом абсолютной строгости или по
крайней мере с убеждением в том, что строгость
математики постоянно возрастает, завоевывая но-
вый уровень в каждую новую эпоху. Современный
эмпиризм, по-видимему, прав, отвергая оба эти ве-
рования.
Но эмпиризм ни в коем случае не может быть
принят в качестве альтернативы отвергнутым про-
граммам обоснования математики. Любое расши-
рение объектов математики, в частности, любое
ослабление ее внутренней логики, не устраняет то-
го факта, что математические теории создавались
и будут создаваться не как эмпирические теории,
а как структуры, направленные на трансформа-
цию эмпирических суждений. Это значит, что за-
дачей обоснования математических теорий в соот-
ветствии с их функцией должно быть обоснование
их непротиворечивости, которое может быть толь-
ко внутренним делом математики, но не каких-ли-
бо внешних эмпирических доводов.
Глава 7
НОМИНАЛИЗМ И РЕАЛИЗМ
В СОВРЕМЕННОЙ ФИЛОСОФИИ
МАТЕМАТИКИ
В философских дискуссиях относительно обос-
нования математики выявились два диаметрально
противоположных взгляда на сущность матема-
тических понятий — номинализм и реализм, ко-
торые, как это явствует из названия, имеют неко-
торую связь с номинализмом и реализмом как
течениями средневековой философии.
Позиция средневековых реалистов (происхож-
дение которой обычно относят к Платону) состоя-
ла в том, что только универсалии (общие идеи)
обладают существованием, только им присуща ис-
тинная реальность: вещи окружающего мира, вос-
принимаемые эмпирически, являются лишь несо-
вершенным отражением универсалий или идей,
существующих в некотором идеальном, внечувст-
венном мире. Номиналисты занимали другую
крайнюю позицию, они полагали, что истинным
существованием обладают только индивидуальные
объекты. Общие понятия — не более чем фикции,
которые создаются для их упорядочения. Эта по-
зиция достаточно ясно была выражена Аристоте-
лем. Наконец, некоторые философы (Абеляр,
Аверроэс, и др.) искали истину между этими край-
ними точками зрения. Борьба между номинализ-
мом и реализмом возродилась в современной фи-
лософии математики в связи с вопросом о стату-
се математического объекта.
Номинализм
Номинализм в современной философии матема-
тики не решает проблем онтологического сущест-
вования, т. е. вопроса о том, какому типу пред-
6 Зак. 59
137
ставлений принадлежит большая реальность. Во-
прос ставится в чисто логической плоскости. Со-
временный номинализм выражается, прежде всего,
в так называемой ономатоидной теории определе-
ний, согласно которой истинными (приемлемыми
в качестве исходных) понятиями являются только
конкретные понятия, относящиеся к индивидуаль-
ным предметам, абстрактные же определения иг-
рают чисто вспомогательную роль, и в правильном
научном языке они должны вводиться по опреде-
ленным правилам на основе конкретных понятий
так, чтобы их можно было исключить из языка, не
изменив содержания теории. Атака номиналистов
направлена, прежде всего, против понятия
«класс», используемого в традиционной теории
множеств. По их мнению, в известной мере оправ-
данному, парадоксы теории множеств появляются
именно вследствие бесконтрольного использова-
ния этого понятия. Ограничения на использование
понятия «класс», предлагаемые теорией типов, с
точки зрения номиналистов, являются искусствен-
ными и недостаточными. Их собственная идея со-
стоит в том, чтобы считать математические выска-
зывания о множествах истинными в том и только
в том случае, если понятие множества может быть
из них исключено, т. е. если высказыванию о мно-
жествах может быть поставлено в соответствие
эквивалентное высказывание, относящееся только
к индивидам, к элементам множеств, которые са-
ми не являются множествами.
Предыстория математического номинализма
восходит к идеям польского логика Лесневского,
который для устранения парадоксов теории мно-
жеств предлагал изменить само понятие множе-
ства, сделав его более эмпирически ясным, близ-
ким к опыту. В традиционном понимании множе-
ства элемент множества не совпадает с его ча-
стью. Земля, к примеру, есть элемент множества
планет солнечной системы, но часть Земли, яв-
ляясь частью этого множества, вместе с тем не
является его элементом. Так называемое мерео-
лсгическое понимание множества, предложенное
Лесневским, стирает различие между элементом
138
и частью: любая часть множества считается его
элементом, и само множество считается элементом
класса множеств, состоящим из одного элемента,
т. е. из самого этого множества. При таком пони-
мании множества становится невозможным суще-
ствование пустого множества, которое играет важ-
ную роль в обычной теории множеств, множество,
состоящее из одного элемента, не различается от
самого этого элемента и т. д. А1ереологическое по-
нимание множества лежит з основе современных
попыток номиналистического анализа математиче-
ского языка.
После Лесневского математический номинализм
развивался в Польше Котарбинским, Хвистеком и
Тарским. В конце 40 — начале 50-х гг. он был
выдвинут в качестве особого направления в обос-
новании математики американскими логиками
Куайном и Гудменом.
Основная задача номинализма, как ока форму-
лируется в программной статье Куайна и Гудме-
на, состоит в редукции утверждений традиционной
математики, связанных с понятием множества или
класса, к утверждениям об индивидах, об элемен-
тах этих классов. В ряде случаев такая редукция
легко осуществима. Если мы, например, имеем вы-
сказывание «множество А включено во множест-
во В», то ясно, что мы можем заменить его впол-
не эквивалентным высказыванием «каждый инди-
вид, обладающий свойством А, обладает и свойст-
вом В», которое уже не содержит понятия о
классах как совокупностях элементов. На первый
взгляд такое преобразование должно осуществ-
ляться всюду, ибо высказывание о классах есть в
то же время, хотя и в неявной форме, высказыва-
ние об элементах этих классов. В действительно-
сти задача становится трудной и почти неразре-
шимой уже в простейших случаях. Возьмем ут-
верждение «множество А больше множества Й».
Так как А и В в данном случае не являются обя-
зательно включенными одно в другое, то мы не
можем здесь воспользоваться сопоставлением
свойств индивидов, как в предыдущем случае. Ре-
дукция оказывается здесь возможной только в рам-
6*
139
ках той или инои эмпирической интерпретации
этого высказывания, а именно, мы можем придать
номиналистическое истолкование высказываниям
«кошек больше, чем собак», «мексиканцев больше,
чем канадцев», и т. д.
Вот рассуждение Куайна и Гудмена, относя-
щееся к номиналистической редукции утвержде-
ния «кошек больше, чем собак»: «Лучший метод
перевода обеспечивается использованием преди-
ката «часть» и другого вспомогательного предика-
та «больше чем». Предикат «элемент» тогда опре-
деляется так, что он приложим к каждому объек-
ту, который равен самому малому животному сре-
ди кошек и собак. Другими словами, «х есть эле-
мент», значит по определению, что для каждого у,
если у кошка или собака и если она не больше
никакой другой кошки или собаки, неверно, что
х больше у или у больше х. Для краткости мы бу-
дем называть х элементом z, когда х есть элемент
и х есть часть z. Теперь, если и только если имеет-
ся больше кошек, чем собак, то это будет случай,
когда каждый индивид, который содержит по
крайней мере один элемент от каждой кошки, бу-
дет больше, чем некоторый индивид, который со-
держит один элемент от каждой собаки. (Такие
индивиды, разумеется, будут разорванными в про-
странстве — времени.) Соответственно мы можем
перевести утверждение «Имеется больше кошек,
чем собак» на номиналистический язык следующим
образом: «Каждый индивид, который содержит
элемент каждой кошки, больше, чем некоторый
индивид, который содержит элемент каждой со-
баки» [109, р. 110].
Итак, мы видим, что утверждение «Кошек боль-
ше, чем собак» превращается в утверждение о не-
которых индивидах в смысле мереологической
концепции множества, и задача в данном кон-
кретном случае представляется решенной. Но сам
метод редукции показывает, насколько ограниче-
ны ее возможности в смысле ассимиляции резуль-
татов классической математики. Если мы должны
в процессе редукции опираться на такие понятия,
как часть, по отношению к отдельному элементу,
140
тс элементы, во-первых, не должны перекрывать
друг друга, а во-вторых, они обязательно должны
мыслиться как физически протяженные. Но в та-
ком контексте совершенно безнадежным было бы
пытаться переводить на номиналистический язык
такое утверждение, как «мощность действительных
чисел больше, чем мощность рациональных», и
т д.
Другая идея, с которой связан номинализм в
современной философии математики, — это так
называемая теория инскрипций или теория номи-
налистического синтаксиса. При ограниченных
возможностях непосредственной номиналистической
редукции естественно возникла идея рассматри-
вать сами знаки классической математики в каче-
стве индивидуальных физических предметов. Каж-
дая формула в таком случае превращается просто
в строчку знаков, соединенных определенным об-
разом, каждое математическое доказательство —
в последовательность таких строк, переход между
которыми совершается по определенным правилам.
Идея рассмотрения математики как простой
системы знаков была выдвинута и использована
Гильбертом. Номинализм, заимствуя такое истол-
кование математического языка, накладывает оп-
ределенные ограничения на его синтаксис, кото-
рые сводятся в основном к исключению понятия
«класс» из таких понятий, как «формула», «под-
становка», «теорема», «все» и т. д. Так, в класси-
ческой математике мы могли определить формулу
как определенное множество символов, связанных
в определенном порядке допустимыми правилами
операций. Номиналистическое определение форму-
лы должно быть очевидно дано без использования
понятия «множество». Сведение в данном случае
легко осуществляется посредством обычного ин-
дуктивного задания понятия «формула». Понятие
«все» предписывается относить только к конечно-
му множеству предметов.
Куайн и Гудмен следующим образом описыва-
ют задачи номиналистического синтаксиса: «Этот
синтаксис позволяет иметь дело со многими фор-
мулами объектного языка, для которых мы не име-
141
ем прямой номиналистической интерпретации. К
примеру, формула (л) (п+п=2п), которая имеет
полное значение в обычном объектном языке, со-
держит переменные, предполагающие в качестве
своих значений абстрактные сущности (т. е. чис-
ла — авт.). И если, она не будет переведена в но-
миналистический язык, то она будет для нас бес-
смысленной. Но рассматривая эту формул)' как
последовательность знаков, мы может определить,
является ли опа собственно формулой нашего
объектного языка и какие связи она имеет с дру-
гими формулами. Мы можем таким образом опе-
рировать со значительной частью классической ма-
тематики и логики, без всякого ее чувственного
осмысления или приписывания истины формулам,
с которыми мы имеем дело» [109, р. 118].
Необходимо отметить, что в синтаксической ча-
сти своей программы номинализм имеет не-
сравненно более широкие возможности, чем в пла-
не прямой редукции утверждений классической
математики в номиналистический язык. Это объ-
ясняется, в частности, тем, что мереологическое
понимание множества, мало применимое к собст-
венно математическим идеализированным объек-
там, находит благоприятную почву в сфере мета-
математики. Действительно, о знаках, формулах и
сочетаниях формул мы должны говорить преиму-
щественно в категориях части и целого, т. е. ис-
пользуя не математическое, но, скорее, мереологи-
ческое понятие множества.
Хотя номинализм иногда рассматривается в ка-
честве особого подхода к обоснованию математи-
ки, его значение в этом отношении невелико. Де-
ло не только в том, что уже элементарные поло-
жения классической математики оказываются не-
доказуемыми (неинтерпретируемыми) при таком
подходе. Номиналистическая математика даже в
тех границах, в которых опа может быть развита,
неспособна представить никаких особых гарантий
своей надежности по сравнению, например, с обыч-
ной евклидовой геометрией.
Нельзя, конечно, исключить возможности по-
строения некоторой более эмпирически осязаемой
142
теории множеств типа мереологии Лесневского.
Но это опять-таки понятийная система с пробле-
мой обоснования. Наивно думать, что некоторая
теория множеств более логически надежна просто
вследствие своей более очевидной связи с опытом.
Радикальное изменение понятия множества в луч-
шем случае ведет к созданию другой теории мно-
жеств, но никак не способствует решению пробле-
мы обоснования существующей математики.
Если даже рассмотреть номинализм в более
слабой форме, без эмпирической подоплеки, про-
сто как требование возможности исключения по-
нятия класса в контексте рассуждения о конкрет-
ных математических объектах (числах, функциях
и т. д.), к чему склоняется Катарбинский, то он
все-таки не может быть принят. В теории множеств
понятие «множество» вводится неявно как основ-
ное. Мы не имеем формального определения мно-
жества через другие понятия этой теории, на осно-
ве которого оно могло бы быть выведено. В ариф-
метике и других более конкретных дисциплинах
это понятие используется либо в определениях
теории множеств, либо в качестве общей содержа-
тельной идеи, относительно которой не имеет смыс-
ла сам вопрос об ее адекватной элиминации. Та-
ким образом, сама по себе разумная идея выведе-
ния абстракций в аксиоматическом языке непри-
ложима к понятию класса в силу его особого ста-
туса в структуре современных математических
понятий.
Сказанное не исключает, что номиналистиче-
ская математика как род математики с ограни-
ченными логическими средствами и специфическим
пониманием множества может оказаться полезной
для исследования некоторых проблем обоснова-
ния, в частности для анализа финитных метаязы-
ковых структур.
Реализм (платонизм)
Понятие «реализм» в современной философии
математики имеет несколько значений. Оно ис-
пользуется часто в методологическом смысле для
143
обозначения всей математики, которая оперирует
абстракциями (абстрактными сущностями), не
считаясь с предписаниями номинализма. Так,
Френкель и Бар-Хиллел относят к реалистам всех
математиков, которые верят в неограниченную
применимость аксиомы свертывания в теории мно-
жеств или считают, что здесь можно обойтись
лишь ограничениями, которые накладываются тео-
рией типов [95, с. 141]. Иногда под реализмом по-
нимается положение о том, что теория множеств
является единственным и наиболее глубоким фун-
даментом математики [116, с. 415]. Здесь мы, од-
нако, будем рассматривать реализм как опреде-
ленную манеру истолкования математических по-
нятий, созвучную традиционному философскому
реализму.
Реализм в математике как некоторое умонаст-
роение существовал всегда: он представляет собой
тенденцию рассматривать математические объек-
ты: числа, фигуры, множества как существующие
в особом мире, данные до их собственно матема-
тического анализа. Характер этой установки мож-
но понять из следующих высказываний больших
математиков.
Лейбниц: «Вечные истины значимы совершен-
но независимо от какого-бы то ни
было фактического состояния дейст-
вительности, какова бы она ни бы-
ла. ...Истины чистого учения о чис-
лах остались бы тем, что есть, даже
в том случае, если бы не было ниче-
го, что можно считать, и никого,
умеющего считать» (Цит. по j44,
с. 404]).
Фреге: «Математик тоже не может создавать
все, что ему вздумается, он также
мало имеет на это право, как и гео-
граф; он тоже может лишь откры-
вать нечто и давать открытию назва-
ние». «Для содержательной арифме-
тики такие фигуры (фигуры чисел.—
Дет.) являются только знаками,
144
обозначающими настоящие предметы
арифметики» (Цит. по [12, с. 143—
145]).
Гедель: «Признание существования таких
предметов, как множества, оправда-
но в той же мере, что и признание
существования физических тел, и
имеется столь же оснований для ве-
ры в их существование. Для пра-
вильной теории математики допуще-
ние таких предметов столь же необ-
ходимо как допущение физических
тел для теории физического знания
[108, с. 137].
Бурбаки: «Как бы ни отличались по своим от-
тенкам различные философские кон-
цепции математических объектов у
различных математиков и философов,
в одном пункте по крайней мере они
сходятся, а именно, что эти объекты
нам даны и что не в нашей власти
придать им произвольные свойства,
как не властен физик изменить ка-
кой-нибудь закон природы» [18,
с. 28].
Суть этих высказываний сводится в основном
к двум моментам. Во-первых, математики склон-
ны верить в существование наряду с эмпириче-
ским универсумом однозначно заданного универ-
сума логического, который они могут только ис-
следовать, но не изменять.
Во-вторых, некоторые математики (Фреге, Рас-
сел, Гедель, Крайзел) прибавляют к идее жестко-
го универсума требование содержательности мате-
матического знания: математическая теория не
должна быть просто системой знаков, соподчинен-
ных правилами преобразований, она должна от-
ражать нечто существующее вне ее, данное нам в
интеллектуальном видении математического уни-
версума. В этом непосредственном гносеологиче-
ском смысле реализм противостоит формализму,
для которого математический объект задан толь-
145
ко самой математической теорией, ее требования-
ми, и не имеет смысла безотносительно к этим тре-
бованиям.
Идея внешних математических сущностей у
разных математиков появилась на основе различ-
ных соображений. Лейбниц в этом вопросе идет
целиком за Платоном: математические утвержде-
ния необходимы (неизменны), они не. могут отно-
ситься к чувственному миру, и, следовательно, они
отражают мир вечных и идеальных сущностей.
Фреге, как показывает анализ [см. 104, гл. 8, 10;
111], пришел к реализму скорее из логических со-
ображений: он не мог истолковать понятие клас-
са в эмпирическом духе как агрегат вещей, ибо
ему нужно было оправдать существование пустого
класса, но ок также не мог допустить, что это по-
нятие является чисто мысленной, субъективней
конструкцией, ибо он был убежден, что математи-
ка является наукой о реальности. Рассел в своей
теории универсалий исходит из анализа языка
[83, гл. 9, 10]. Несмотря на эти различия, все реа-
листы едины в одном: математические объекты да-
ны объективно, существуют вне нас, до построе-
ния соответствующей математической теории, хо-
тя это существование и не является непосредствен-
но эмпирически данным.
Математический реализм не есть продолжение
натурфилософского мышления в математике, ибо
он не связывает себя с какими-либо имеющимися
представлениями о природе, но лишь онтологизи-
рует некоторые математические понятия. Методо-
логический смысл реализма лучше всего проявил-
ся в манере мышления логицистоз, прежде всего
Фреге и Рассела.
Собственно математическая задача логицизма,
как уже говорилось, состояла в том, чтобы выра-
зить основные понятия арифметики на языке ло-
гики и тем самым превратить арифметику в про-
стое продолжение логических истин (тавтологий).
Эта задача возникла не сама по себе и не только
из прогресса математической логики, она имела
и определенную философскую базу. К концу XIX в.
были созданы различные аксиоматики арифметики
146
натуральных чисел, в частности известная аксио-
матика Пеано. При анализе этих аксиоматик об-
наружился интересный факт: все они отражали
не ряд натуральных чисел, как мы его представ-
ляем, но арифметическую прогрессию вообще.
Возникла естественная мысль, что аксиоматика
арифметики в данном виде не отражает сущности
натурального числа как такового и она должна
быть усовершенствована таким образом, чтобы
определять единственный и вполне конкретный
объект, а именно натуральнее число само по се-
бе, в его свойствах. Логицизм, таким образом,
ставил не просто задачу обоснования математики,
систематического построения ее на возможно бо-
лее узкой и непротиворечивой основе, но вместе с
тем и задачу адекватного выражения сущности
натурального числа как некоторого данного объ-
екта, стоящего вне математических формул. Ариф-
метика представляется в этом случае содержатель-
ной наукой. Она не просто строит непротиворечи-
вую систему операций, но стремится к точному
описанию сущности, данной до этой системы.
По этой линии проходит основной водораздел
между формализмом и реализмом. Для формали-
ста объект математики находится внутри матема-
тики, он задан аксиомами, и нет необходимости
говорить о сущности натурального числа вне си-
стем, з которых оно заключено как элемент. Фор-
малистское представление об объекте математи-
ки ясно выражено Гудстейном посредством анало-
гии между математикой и шахматной игрой. «То,
что делает фигуру королем, — пишет Гудстейн, —
это ходы, которые она совершает. Так что можно
сказать, что шахматный король — это одна из ро-
лей, которые фигура играет в шахматной партии,
роль фигуры, а не сама фигура. Точно также раз-
личные роли, которые цифры играют в языке, —
это и есть число. Арифметические правила анало-
гично шахматным правилам формулируются в тер-
минах дозволенных преобразований числовых зна-
ков» [30, с. 22]. Реалист не согласен с этой точ-
кой зрения. Числа для него — это объекты, име-
ющие значение сами по себе, безотносительно к
147
их выражению в знаках (цифрах), и именно они
определяют структуру арифметики как теории, сам
характер ее внутренних преобразований 1.
Если принять эту позицию, то, как справедли-
во замечают Френкель и Бар-Хиллел, мы должны
верить в Настоящую арифметику, в Настоящую
теорию множеств и т. д., иначе говоря, в суще-
ствование структур, адекватно отражающих неко-
торое фундаментальное содержание. Факты разви-
тия математики, как кажется, прямо противоречат
такому допущению. Со времени признания неев-
клидовых геометрий никто не сомневается в том,
что каждая аксиоматика дает возможность по-
строения нескольких, равноправных структур, что,
казалось бы, исключает какую-то бы ни было аб-
солютизацию одной из них.
Однако дело здесь не так просто. Многообра-
зие математических структур определенного рода
(геометрий, например), не исключает особого ста-
туса одной из них, на чем справедливо настаива-
ли последователи Канта еще в прошлом веке.
Проблема интеллектуальной интуиции
в математике
Итак, мы видим, что реализм ориентируется на
понятия, отчетливо данные в сознании, истолковы-
вая их как отражение некоторых неэмпирических
сущностей. Нс что значит быть отчетливо данным
в сознании? Если простые законы логики, прави-
ла арифметики и простые геометрические построе-
ния интуитивно ясны обычному человеческому
сознанию, то где источники этой ясности, в каком
отношении находятся они к О1(ыту? Не есть ли эта
ясность лишь проявление того же опыта, но в бо-
1 За содержательность математики, как мы видели, вы-
ступают и интуиционисты. Однако здесь существует принци-
пиальное различие. Содержательность математики, в пони-
мании Брауэра, сводится по существу к первичности мыслен-
ных представлений перед языком, т. е. она всецело субъек-
тивна, в то время как реализм подчеркивает объективность
математических сущностей, независимость их от конкретного
мышления.
148
лее скрытой форме? По отношению к правилам
логики мы видели, что это не так. Интуитивная
очевидность логических норм имеет праксеологи-
ческую, но не эмпирическую основу. Вопрос за-
ключается, следовательно, в том, может ли этот
вид очевидности быть присущ также и математи-
ческим утверждениям, по крайней мере некото-
рым.
В целом мы должны ответить на него утвер-
дительно. Когда мы говорим об интуитивной яс-
ности понятия или об интуиции как способе пости-
жения некоторой истины, то мы можем иметь в
виду интуицию трех видов.
Прежде всего, это эмпирическая интуиция, по-
являющаяся на основе длительного общения с оп-
ределенного рода объектами. Пусть мы оценива-
ем эти объекты по некоторым признакам А, В, С,...,
которые выявляются не непосредственно, но на
основе некоторого анализа. Хорошо знакомый эф-
фект длительного опыта состоит в том, что мы на-
чинаем судить об этих искомых признаках в кон-
кретных случаях задолго до детального анализа,
так сказать, с первого взгляда, на основе некото-
рых, как правило, четко не сформулированных
признаков. Механизм такого интуитивного пред-
восхищения достаточно прост: с признаками А, В,
С мы постепенно, в значительной степени подсоз-
нательно, связываем некоторые другие признаки
а, Ь, с..., которые фиксируются непосредственно и
служат с той или другой степенью вероятности ос-
новой для предварительного заключения о нали-
чии искомых признаков А, В, С. Так, мы можем
с какой-то степенью вероятности судить о харак-
тере человека по его внешнему виду и т. д. Инту-
иция такого рода играет важную роль и в мате-
матике. Профессиональный математик чувствует
задачу в плане возможностей ее решения, наибо-
лее вероятных методов и т. д. И дело здесь преж-
де всего в опыте. В основе такого рода предчув-
ствий наряду с ясными критериями лежит вся си-
стема представлений, сложившаяся в процессе ре-
шения аналогичных задач.
В математике и физике интуиция выступает
149
часто и в другой форме, а именно, как акт кон-
струирования объекта в свете некоторых к нему
требований. Мы совершаем здесь действие обрат-
ное дедукции. Простейший случай — это угадыва-
ние закона для данного ряда чисел или какой-то
другой последовательности математических объек-
тов. Здесь также очевидную роль играет опыт,
различного рода аналогии, но с логической точки
зрения это принципиально иной случай. Интуиция
обеспечивает не предвосхищение признаков нового
объекта в ряду аналогичных, но конструирование
объекта принципиально другой природы. Конст-
руирующая интуиция играет важную роль при
введении идеальных понятий в математике, в по-
строении аксиоматик и т. д.
Третья форма интуиции, которую можно на-
звать интеллектуальной или категориальной, ра-
дикально отличается от указанных двух форм.
Эмпирическая и конструирующая интуиция имеют
динамический характер в том смысле, что они
обеспечивают появление ясного видения на месте
первоначально смутных представлений. Интуиция
здесь появляется на основе некоторого труда, опы-
та и т. д., она отнюдь не обеспечена сама по себе
с самого начала. Интуиция в указанных двух фор-
мах также очевидно необщезначима: интуитивно
ясное для одного отнюдь не обязательно являет-
ся таковым для другого. Интеллектуальная интуи-
ция, в отличие от указанных форм, есть нечто ста-
тичное, достаточно общезначимое, заданное с са-
мого начала как постоянный факт сознания, как
некоторая предпосылка всякой другой формы оче-
видности.
Такая форма очевидности или интуитивной яс-
ности, как мы уже говорили, может быть отнесе-
на к логике. Она также лежит в основе общих ка-
тегориальных представлений о мире, выражая фак-
тически самый существенный их момент. Незави-
симо от сферы практической деятельности, воспи-
тания и т. д., люди имеют ясные и общезначимые
представления о причине, пространстве, времени,
необходимости, случайности и т. д., вследствие че-
го собственно и становится возможной языковая
150
коммуникация, однозначное истолкование конкрет-
ных высказываний и сама совместная деятель-
ность. Очевидность, безусловная данность для со-
знания основных законов логики и общих катего-
риальных представлений имеет не эмпирическое и
не психологическое, но праксеологическое основа-
ние.
Многие математики и философы прошлого ве-
рили в то, что очевидность математических истин
проистекает также из интеллектуальной интуиции,
из некоторого безусловного видения мира, связан-
ного с природой познания. Лейбницу вся матема-
тика представлялась сферой интеллектуальной
очевидности: любая математическая теорема в та-
кой мере заложена в душе человека, что она мо-
жет быть проявлена непосредственно и усмотрена
б своей истинности. Здесь можно также назвать
Декарта, Спинозу, Паскаля, Канта. В XX в. уче-
ние о непосредственной данности представлений
математики и логики было возрождено Гуссерлем,
а также рядом более непосредственных преемни-
ков Канта.
С признанием неевклидовых геометрий и с об-
щим усложнением и логизацией математики это
воззрение в целом было отвергнуто. Вместе с тем
вопрос о том, не является ли какая-то часть ма-
тематических представлений интеллектуально ин-
туитивной, т. е. интуитивной в той же мере, что и
сами законы логики, остается открытым. Идея об
особой интуитивной данности евклидовой геомет-
рии совсем недавно защищалась английским фило-
софом Д. Лукасом. Согласно Лукасу, евклидовая
структура реальной геометрии отнюдь не случай-
на, она продиктована также не особой психической
организацией людей, которая может измениться,
но самой общей структурой познавательного и дея-
тельностного отношения человека к миру. Так, от-
ходя от дома, человек видит его в уменьшенном
размере, но тем не менее считает этот дом тем же
самым. Практическая деятельность по Лукасу не-
избежно связана с принятием идеи подобия, а так-
же с отождествлением движущихся и вращающих-
ся предметов, а это однозначно определяет евкли-
151
дову структуру нашего восприятия мира Г114, с. 4—
10].
Но это значит, что хотя евклидова и неевкли-
дова геометрии равноправны как математические
структуры, они не равноправны в отношении к на-
глядности. Обычная геометрия в исходных поня-
тиях интуитивно ясна, причем эта интуиция отра-
жает не какую-либо эмпирическую ситуацию, но
прежде всего саму структуру деятельности и, следо-
вательно, является общезначимой, так как закреп-
ляется каждым актом деятельности. Другими сло-
вами, ее ясность праксеологического характера,
она отражает в своих исходных отношениях об-
щую структуру деятельности и имеет, таким обра-
зом, тот же или почти тот же источник интуитив-
ной ясности, что и система законов логики. То же
самое, очевидно, можно допустить и для исходных
представлений арифметики.
Если принять такой ход мысли, то это суще-
ственно изменит наш подход к обоснованию гео-
метрии и арифметики. В частности, мы должны
будем признать рациональный момент интуицио-
нистской программы обоснования математики
именно в идее праинтуиции, в отказе от логиче-
ского обоснования исходных арифметических пред-
ставлений. Если допустить, что эти представления
имеют тот же источник и ту же достоверность, что
и законы логики, тогда логическое обоснование их
представляет собой круг, по крайней мере оно не
может радикально повысить нашу уверенность
в надежности арифметики.
Логика имеет свои пределы. Нельзя логически
обосновать, что сегодня на улице дождь. Это факт,
данный в ощущениях, и этот факт просто есть. Он
общезначим, ибо никто не откажется его признать.
Такого рода внелогическая общезначимость явля-
ется необходимым условием всякого познания и
всякой согласованной деятельности. Если исход-
ные представления арифметики и геометрии имеют
праксеологический статус, то они также попадают
в сферу внелогической общезначимости, хотя и
другого рода, и вопрос об обосновании этих эле-
ментарных разделов математики получает совер-
152
шеняо особый смысл. Конечно, заведомо неверно
утверждать, как это делает Кант, что вся ариф-
метика или вся геометрия интуитивны. Речь идет
здесь з лучшем случае о выявлении в этих нау-
ках некоторого компонента, сравнимого по своему
статусу со статусом логики.
Признание особого рода интуитивно ясных эле:
ментов в структуре знания, закрепленных в чело-
веческом сознании самой структурой деятельности,
позволяет, на наш взгляд, удовлетворительно ин-
терпретировать и объяснить истоки реалистиче-
ского мышления в математике. Первый смысл те-
зиса о существовании абстрактных сущностей, та-
ких, как число, класс и др., независимо от симво-
лов, которыми мы их обозначаем, негативный. Для
Больцано, Фреге и Рассела это было отрицанием
психологизма и эмпиризма в истолковании мате-
матических понятий, ставивших математические
понятия на один уровень с эмпирическими, и отри-
цанием конвенционализма, в соответствии с кото-
рым все фундаментальные математические пред-
ставления в принципе могут быть заменены дру-
гими. Идея жесткого логического универсума в не-
сколько мистифицированной форме выражает ту
мысль, что законы логики и математики не зави-
сят от индивидуальной психологии, но представ-
ляют собой вполне объективный феномен.
Позитивная основа математического реализма,
которая не была в достаточной мере выявлена
самими реалистами, состоит в том, что фундамен-
тальные математические понятия занимают осо-
бое место в человеческих представлениях. Они
органически связаны с категориальными представ-
лениями о мире и в этом смысле являются поня-
тиями, данными до всяких математических струк-
тур в качестве определенного рода устойчивых ин-
туиций. Представления о множестве, числе и ве-
личине входят в сознание человека вместе с усвое-
нием категориального мышления и логики. Пла-
тон в определенной степени прав, утверждая, что
все люди носят в себе математические истины.
Наконец, реализм можно оправдать и в непо-
средственно онтологическом плане, в том допуще-
7 Зак. 59
153
нии, что фундаментальные математические поня-
тия отражают определенные реальности, хотя эти
реальности и не обнаруживают себя в непосредст-
венном чувственном восприятии. Мы убеждены,
к примеру, что мир бесконечен в пространстве, что
каждое явление имеет причину и что время необ-
ратимо. Ни одно из этих положений не доказуемо
и не опровержимо эмпирически, но тем не менее
мы не сомневаемся в том, что они характеризуют
некоторые реальные отношения действительного
мира. Математические понятия, в той мере, в ко-
торой они связаны с логикой и категориями, обла-
дают тем же объективным статусом, что и сами
категории. Множество, число, величина — реаль-
ности в том же смысле, в каком таковыми явля-
ются причинность, время и т. д.
Мы можем также сказать, что математический
объект существует независимо от нас, если он при-
частен к интеллектуальной интуиции. Такое, на
первый взгляд, чисто гносеологическое истолкова-
ние математического реализма будет адекватным,
если мы уясним природу интеллектуальной интуи-
ции, ее связь с категориальными представлениями
о мире. Данное в интеллектуальной интуиции ин-
терсубъективно, оно принадлежит в принципе всем
субъектам, а это значит, что оно уже не имеет кор-
ней в субъективном, а отражает некоторую
необходимую сторону реальности. Отсюда по-
нятно, в частности, что атрибут реального
существования может быть приписан только
немногим фундаментальным понятиям мате-
матики: сама эта идея появилась истори-
чески как один из вариантов объяснения осо-
бой данности (аподиктичности), интеллектуальной
ясности исходных понятий арифметики и геомет-
рии. Чисто логические конструкции, как мнимые и
иррациональные числа и понятия, ясность которых
обусловлена исключительно их связью с опытом,
не могли способствовать возникновению этой идеи.
Традиционная и современная критика матема-
тического реализма неадекватны, поскольку они
рассматривают его вне его истоков и, как правило,
на основе узкого эмпиризма и операционализма.
154
Обычное опровержение сводится к тему, что, по-
скольку наличие сущностей, которые причинно не
действуют на человека, не может быть обоснова-
но, гипотеза о таких сущностях является бессмыс-
ленной или бесполезной [116, с. 118]. Предпола-
гается само собой разумеющимся, что методологи-
чески значимые представления выражаются только
в тезисах, поддающихся эмпирической проверке.
Такая установка является однако неверной. До-
статочно сказать, что она совершенно игнорирует
познавательную значимость категориальных пред-
ставлений.
Представления о необходимости, безусловной
данности для сознания, которые мы связываем с
математическими положениями, имеют двоякое
основание. С одной стороны это является отраже-
нием жесткой логической организации математи-
ческой теории, необходимости логического следо-
вания, а с другой — отражением того факта,, что
математические утверждения, по крайней мере —
некоторые, генетически связаны с особыми пред-
ставлениями о реальности и они беэуслрвны для
нашего сознания в том же смысле, в каком тако-
выми являются категориальные принципы: «каж-
дое явление имеет причину», «время необратимо»
и т. д. Но это значит, что гносеологический статус
этих положений не может быть понят без ссылки
к некоторым внешним по отношению к математи-
ке представлениям.
Принимая в указанном смысле тезис матема-
тического реализма, нельзя говорить, как это скло-
нен делать Гедель и другие реалисты, что матема-
тика имеет свой предмет исследования в виде аб-
страктных сущностей, точно так же, как физика
имеет такой предмет в виде физических тел и про-
цессов. Отношение математики к категориальным
представлениям не аналогично отношению физики
к физическим процессам. Это отношение модифи-
цировано самим характером математики как на-
уки. Математик, исследуя функцию, описывающую
движение, не исследует движение. Предмет его ис-
следования не физическое движение, а сама функ-
ция. Точно так же, исследуя фундаментальные по-
7*
155
нятия, причастные к категориальному видению
мира, математик не входит в область онтологии.
Как сфера физических, так и сфера онтологиче-
ских представлений для математика выступают
лишь в качестве интуитивной основы, нс не в ка-
честве предмета исследования в обычном пони-
мании этого слова.
Рациональный смысл реализма з философии
математики состоит в констатации того факта, что
фундаментальные структуры математики имеют
непосредственное отношение к категориальным
представлениям о реальности, они как бы смыка-
ются с онтологией, вбирают в себя некоторые ас-
пекты категориальных представлений, обеспечивая
соответствующим понятиям статус универсально-
сти, интуитивной ясности и определенной неза-
висимости от формального языка математики. От-
сюда в конечном итоге происходят идеи о реаль-
ной геометрии, о единственной истинной арифме-
тике [69, с. 13], о настоящей теории множеств и
т. д. Речь идет о математических теориях, наибо-
лее адекватно отражающих некоторые фундамен-
тальные представления. Нельзя согласиться с Кан-
TOxM или Брауэром, что убедительность исходных
принципов арифметики всецело покоится на интуи-
ции времени, но несомненно однако, что арифме-
тические представления органически связаны с
некоторым комплексом категориальных представ-
лений и, такИхМ образом, имеют статус, отличный
от статуса эмпирических представлений, помимо
их особой логической организации.
Отсюда следует также, что различные матема-
тические теории имеют разный онтологический
статус, они содержательны по-разному, в своей ин-
туитивной основе относятся к различным уровням
представлений о реальности, и понятия о числе и
множестве не родственны в этом отношении поня-
тиям о векторе и потенциале.
Сказанное позволяет бросить некоторый допол-
нительный свет на программу логицизма. Как уже
говорилось, логика и математика в целом отра-
жают принципиально различные уровни представ-
лений о реальности и уже в силу этого не могут
156
быть сведены друг к другу. Это, однако, не исклю-
чает того положения, что отдельные математиче-
ские понятия сориентированы с самого начала не
на эмпирические, а на категориальные представ-
ления и в этом смысле являются родственными
логическим понятиям. Это относится, очевидно,
прежде всего к исходным понятиям арифметики и
теории множеств, что и обусловило относительную
успешность редукции этих дисциплин к логическим
отношениям. Реализм, таким образом, представ-
ляет некоторое оправдание попыткам логицистов.
Английский логик М. Мосс полагает, что разум-
ная интерпретация реализма в математике сводит-
ся к различию между математическими теориями,
родственными логике, положения которых истин-
ны во всех мирах, и теориями, которые родственны
физике и которые истинны только в нашем мире,
хотя они и неопровержимы в опыте, как и всякие
математические теории. Тезис реализма с этой точ-
ки зрения сводится к утверждению, что существует
часть математики, имеющая особое отношение к
логике и, следовательно, несколько иной онтоло-
гический статус [116, с. 4191. Эта идея, содержит
часть истины, но она плохо согласуется с истори-
ческим становлением реализма в математике.
Реалистические идеи в математике появились за-
долго до того, как возникла мысль о сведении ма-
тематики к логике и в первоначальной форме вы-
ражали объективность, интерсубъективный харак-
тер и особую данность для сознания математиче-
ских объектов и отношений. При чисто логической
трактовке реализма мы должны были бы также
приписать онтологическое значение многим част-
ным определениям, с которыми такое значение ис-
торически никогда не связывалось. Это означает,
что адекватное истолкование математического реа-
лизма может быть достигнуто только через анализ
понятия интеллектуальной интуиции и через выяс-
нение ее связи с категориальными представления-
ми о реальности.
Каждый подход к логическому обоснованию
математики по необходимости предполагает неч-
то внелогическое (логически необоснованное), хо-
157
тя бы саму логику. Основное различие между но-
минализмом и реализмом состоит в ориентации на
различные уровни исходных представлений, на
различные сферы внелогического. Если номина-
лизм ориентируется на эмпирическую сферу, на
сферу фактов, конкретного опыта, на очевидность
эмпирических суждений об индивидуальном, то
реализм сориентирован на другую внелогическую
сферу, на данные интеллектуальной интуиции, на
понятия, ясность которых гарантирована их пря-
мой связью с логикой и категориями.
Реализм в философии математики тесно связан
с традиционным априоризмом. Оба эти направле-
ния мышления исходят из факта особой интуитив-
ной ясности математических образов, с той одна-
ко разницей, что реализм стремится объяснить
этот факт не из свойств разума, но из отношения
этих образов к некоторым объективным сущно-
стям. Рациональный момент обоих этих воззрений
состоит в конечном итоге в том, что они фиксиру-
ют связь фундаментальных математических поня-
тий с категориальными представлениями о мире,
которая полностью игнорируется как змпирист-
ской, так и формалистской философией математи-
ки.
Заключительные замечания
к проблеме обоснования математики
Общей концепции, которая позволила бы от-
ветить на все философские вопросы, возникшие в
связи с проблемой обоснования математики в
XX в., пока не существует. Но можно сформули-
ровать некоторые положения, которые представ-
ляются в настоящее время бесспорными и кото-
рые по крайней мере достаточно ясно разделяют
настоящее от прошлого.
(1) Ценность математических теорий состоит в
их способности выполнять трансформирующую
функцию по отношению к содержательному зна-
нию, функцию вывода. Вследствие этого основное,
субстанциональное требование к математике и
158
цель ее обоснования есть ее непротиворечивость.
Обоснование математики как особая деятельность
состоит в устранении существующих противоречий
и в выработке средств анализа математических
теорий, предупреждающих по возможности появ-
ление таких противоречий в будущем. Негативные
результаты в математической логике типа теорем
Геделя ограничивают достижение целей, выдви-
нутых в классических программах обоснования,
но никаким образом не подрывают самой идеи
обоснования как обоснования непротиворечивости
и его внутреннего логического характера.
(2) Единая программа обоснования математи-
ки типа гильбертовской или расселовской в на-
стоящее время уже невозможна. Все эти програм-
мы, как мы теперь понимаем, фиксировали в себе
некоторый частный момент в структуре математи-
ческого знания. Они заведомо не универсальны и
применимы лишь к части теорий при наличии осо-
бых условий. В обосновании математики, как и
при решении любой задачи, мы должны сейчас
признать наличие многих возможных путей, каж-
дый из которых имеет относительную ценность.
(3) Невозможна единая теоретическая база
обоснования математики, т. е. невозможно обосно-
вать математику редукцией всех ее положений к
какому-то одному ее разделу. Ни логика, ни ариф-
метика, ни эмпирически означенные положения
математики не могут выступать з качестве такой
последней основы. В фактическом становлении ма-
тематики всё обосновывает всё. Ошибка классиче-
ских программ обоснования математики состояла
в том, что они стремились опереться на какую-то
систему абсолютно достоверных положений, абсо-
лютизировали одну базу обоснования. Сегодня
мы должны признать допустимость различных баз,
а одновременно и частичную, относительную цен-
ность каждой из них.
(4) Обоснование математики не временный и
не эпизодический, но постоянный процесс, необхо-
димая сторона развития математического знания
в целом. Математика столь же далека от своей
окончательной обоснованности, как и всякое дру-
159
гое знание. В настоящее время, в особенности пос-
ле выявления того факта, что ни одно математи-
ческое доказательство не гарантировано от упу-
щений, становится ясным, что даже там, где мы
имеем абсолютные доказательства непротиворечи-
вости (по Гильберту, например), эта абсолютность
должна пониматься в весьма относительном смыс-
ле. Мы может говорить лишь о наличии постоян-
ного прогресса в обоснованности математического
знания по аналогии с процессом приближения к
абсолютной истине в содержательных науках.
Наиболее важным итогом обсуждения пробле-
мы обоснования математики в последние десяти-
летия является ясное осознание того, что тс или
иные критерии обоснованности, выдвигаемые в
различных программах, должны не просто посту-
лироваться, не просто быть привлекательными, но
они должны быть согласованы с природой матема-
тики, выведены в конечном итоге из ее назначе-
ния. Это значит, прежде всего, что обоснование
математики должно базироваться на уважении к
работающей математике, исходить из требований,
обеспечивающих ее эффективность. Понимание
этого обстоятельства закрывает целую эпоху ис-
следований по основаниям математики, когда ма-
тематики исходили из жестких априорных пред-
писаний к структуре математической теории и ча-
сто осуждали целые разделы математики, не за-
даваясь вопросом об их реальных функциях.
Глава 8
ИДЕАЛЬНЫЙ ОБЪЕКТ
В СТРУКТУРЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ТЕОРИИ
Математическая теория как формальная систе-
ма может получить интерпретацию на объектах
другой математической теории, т. е. исходным по-
нятиям и отношениям могут быть поставлены в
соответствие понятия и отношения другой фор-
мальной системы. В этом случае мы имеем дело
с формальной, или внутренней интерпретацией
математической теории. Прилагая математическую
теорию для описания какого-либо явления или
процесса, мы придаем ее определениям (по край-
ней мере, части их) эмпирический смысл, т. е. да-
ем ее истолкование в рамках обычного языка или
в терминах содержательной науки.
Содержательная интерпретация также не един-
ственная, как и формальная. Одна и та же мате-
матическая теория может быть использована для
решения задач самой разнообразной природы. Не-
которые математические объекты непосредственно
связываются нами с определенными содержатель-
ными представлениями вследствие того, что они
исторически возникли на их основе. Так, мы гово-
рим, что геометрия есть наука о пространствен-
ных формах, теория вероятностей — наука о мас-
совых явлениях и т. д. В этих случаях можно го-
ворить о естественной или генетической содержа-
тельной интерпретации математической теории.
Мы имеем здесь дело с некоторой преимуществен-
ной интерпретацией, но эта преимущсственность
имеет смысл исключительно в генетическом плане.
В логическом же плане все интерпретации равно-
значны, они хороши или плохи лишь в той мере,
в какой отражают основные отношения интерпре-
тируемой теории.
161
Математическая теория, если она по своему
происхождению достаточно близка к опыту, т. е.
она имеет естественную эмпирическую интерпре-
тацию, как правило, связана с некоторыми идеа-
лизациями, с представлениями об объектах, кото-
рые, будучи идеальными, вместе с тем тесно свя-
заны с эмпирическим основанием теории. Прямая
линия в рамках евклидовой геометрии — это не
луч света, не натянутая нить и т. п., т. е. не эле-
мент эмпирической интерпретации, но некоторый
идеальный объект, существующий в сознании как
общая схема всех эмпирических прямых, наделен-
ная рядом дополнительных свойств (как непрерыв-
ность, бесконечность, отсутствие ширины), не фик-
сируемых непосредственно в опыте. С другой сто-
роны, такого рода идеализации не являются фор-
мальными объектами — они, очевидно, соприка-
саются с определенной эмпирической областью, а
именно со сферой естественной эмпирической ин-
терпретации. Благодаря этой связи они обладают
особой наглядностью, эмпирической осязаемостью,
вследствие чего часто истолковываются как непо-
средственное описание опыта
Описание такого рода идеализаций представ-
ляет собой не что иное, как описание допущений,
при которых данная теория прилагается к опре-
деленной эмпирической сфере. В силу этого иде-
альная модель выполняет роль связующего звена
между формальной структурой и ее естественной
эмпирической интерпретацией. К примеру, исполь-
зование геометрии в реальных измерениях осно-
вано на гипотезе, что свойства эмпирической пря-
мой, точки и т. д. в достаточной мере соответст-
вуют свойствам ее идеальной модели.
Идеальная модель не определяет ни самого
существования математической теории, ни сферы
1 Определения в «Началах» Евклида, как «линия — это
длина без ширины», «точка — тело, не имеющее размеров»,
и т. д., являются не чем иным, как описанием идеальных
объектов, но не описанием свойств реального пространства,
как это иногда утверждается В современных строгих аксио-
матиках такие описания просто остаются в стороне, как
нечто излишнее. Было бы ошибочным, однако, игнорировать
их вообще при рассмотрении структуры математики.
162
ее приложений. Будучи органически связанной с
естественной интерпретацией, она имеет место
лишь в генетически фундаментальных теориях: в
геометрии, арифметике, теории вероятностей, в ма-
тематическом анализе и некоторых других. Тем не
менее понимание ее сути и статуса чрезвычайно
важно. Дискуссия о предмете теории вероятно-
стей, имевшая место в 20-х гг., была фактически
дискуссией о взаимосвязи идеальных и эмпириче-
ских моментов в этой теории. Понятие идеальной
модели вышло на первый план также в связи с
вопросом о месте геометрии в современной физике.
Некоторые замечания
к частотной интерпретации теории
вероятностей
Традиционная теория вероятностей, основные
определения которой впервые достаточно четко
были сформулированы П. С. Лапласом, вводит
понятие вероятности как отношения числа благо-
приятных случаев к числу равновозможных в не-
котором процессе. Так, если игральная кость пред-
ставляет собой правильный кубик с шестью граня-
ми, каждая из которых занумерована, то вероят-
ность выпадания определенного номера при бро-
сании кости, очевидно, равна—. В данном случае
мы вычисляем так называемую априорную вероят-
ность, т. е. устанавливаем некоторую гипотезу об
опытной вероятности, основываясь на идее физи-
ческой равновозможности каждого из случаев: ни
одна грань кости не имеет каких-либо преиму-
ществ перед другими, и нет причин ожидать, что
в достаточно длинном ряду испытаний она будет
выпадать чаще, чем другие. Очевидно, что в тако-
го рода априорных предположениях мы можем
сшибаться. С точки зрения здравого смысла, рож-
дение мальчика и девочки разновозможны, и
априорную вероятность мы должны были бы при-
нять равной—. Практика, однако, показывает,
163
что это не так, что вероятность рождения мальчи-
ка несколько больше вероятности рождения де-
вочки.
В 20-х гг. нашего века немецкий математик и
физик Р. Мизес подверг критике лапласовское по-
нимание вероятности как неудовлетворительное,
прежде всего, с точки зрения его практического
использования. Он указал на тот факт, что в боль-
шинстве практически важных случаев, с которыми
имеет дело теория вероятностей, равновозмсжно-
сти вообще не существует. Так, если игральная
кость сделана неправильно (с неравномерным рас-
пределением массы, например), то отдельные слу-
чаи выпадания вовсе не будут равновозможными.
В применении теории вероятностей к вопросам
страхования, демографии и к физике мы имеем
дело чаще всего именно с такого рода случаями.
«Статистика показывает нам, — пишет Мизес, —
что из 1000 мужчин 40-летнего возраста 11 не до-
живут до 41 года. Мы говорим в этом случае, что
вероятность смерти 40-летнего мужчины в течение
года равна 0,011. Но где здесь равповозмэжные
случаи?» [67, с. 16].
Действительно, признак «умереть в течение го-
да», по которому ведется статистика, не равновоз-
можен ни с признаком «выжить», ни с каким-либо
другим признаком. Ситуация здесь совершенно по-
добна случаю с неправильной игральной костью.
Традиционное определение вероятности, по мнению
Мизеса, имеет смысл лишь в самых простых слу-
чаях, например, применительно к предсказаниям
в азартных играх, где равновозможность имеет
место и она некоторым образом непосредственно
физически определима. Кроме того, традиционное
определение вероятности, согласно лМизесу, со-
держит логический круг, ибо мы определяем рав-
новероятность через равновозможность, но саму
равновозможность мы вынуждены в конечном ито-
ге определять через равновероятность.
Реальный смысл, по Мизесу, имеет только апо-
стериорная вероятность, определяемая как относи-
тельная частота события в некоторой серии на-
блюдений или экспериментов. Теория вероятностей
164
есть теория массовых явлений, опирающаяся на
опыт, и она не есть собственно математическая
теория, но представляет собой скорее часть есте-
ствознания, использующую математические
методы для обработки своих наблюде-
ний. Как всякая естественнонаучная дисциплина,
она исследует свой предмет не целиком, не во всех
связях, но лишь в рамках определенных абстрак-
ций и идеализаций. Механика, изучающая движе-
ние реальных материальных тел, в теории имеет
дело с материальными точками, с абсолютно твер-
дыми телами и т. д., иначе говоря, с идеализиро-
ванными сущностями, к которым непосредственно
относятся законы механики. В качестве такой
идеализированной, «рациональной» модели для
теории вероятностей Мизес вводит понятие коллек-
тива как бесконечной серии наблюдений, где появ-
ляются некоторые события с наличием или отсут-
ствием определенного, признака. Эта последова-
тельность событий (коллектив) удовлетворяет двум
требованиям. Во-первых, отношение числа собы-
тий, обладающих данным признаком, к числу всех
событий является устойчивым и имеет предел в
том смысле, что оно отличается от некоторого чис-
п
ла — на как угодно малую величину с увеличе-
т
нием серии наблюдений (признак наличия преде-
ла частоты). Во-вторых, эта последовательность
такова, что всякая ее произвольно выбранная под-
последовательность будет сохранять то же самое
устойчивое отношение по данному признаку (прин-
цип иррегулярности). Ясно, что здесь речь идет не
об описании реального эмпирического объекта, к
которому приложима теория вероятностей (реаль-
ные серии испытаний всегда конечны), а об описа-
нии идеализированной эмпирической модели, иде-
ального объекта, к которому приложимы законы
теории вероятностей.
Вопрос о том, насколько идеальный объект тео-
рии соответствует ее внутреннему содержанию, в
данном случае — известным законам теории ве-
роятностей — должен быть решен, очевидно, по-
средством анализа этих законов, выяснения основ-
165
ных предпосылок, которые лежат в основе их обо-
снования. Мизес провел тщательную работу в этом
отношении. Он показал, что формулировка основ-
ных операций с вероятностями уже необходимо
предполагает указанные идеальные допущения о
сериях наблюдений. С этой, собственно, теорети-
ческой точки зрения частотная интерпретация те-
ории вероятностей не вызывает каких-либо возра-
жений у математиков, и мы должны по всей види-
мости считать, что Мизес имеет ту же заслугу пе-
ред теорией вороятнсстей, что и М. Борн перед
квантовой механикой, впервые указавший адек-
ватную интерпретацию ее основных уравнений.
Мизес впервые в явной форме выразил основные
идеализирующие предпосылки теории вероятно-
стей, которые в неявной форме предполагались и
раньше ее формальным аппаратом и использова-
лись при решении практических задач. Такого ро-
да выявление фундаментальных идеализаций важ-
но в нескольких отношениях: оно позволяет с
единой точки зрения подойти к построению самого
формального аппарата и, что даже более важно,
предотвратить неправильное истолкование основ-
ных принципов теории и выявить случаи ее не-
правильного использования. Мизес показал, что
все так называемые парадоксы теории вероятно-
стей проистекают из ее использования за предела-
ми допущений, на основании которых сформули-
рованы ее законы [67, гл. III]. Общая сфера ис-
пользования законов теории вероятностей, по Ми-
зесу, — это сфера массовых явлений, которые под-
чиняются основным требованиям коллектива.
А. Я. Хинчин писал по этому поводу: «Как бы мы
не относились к частотной теории и ее будущим
возмсжностям, мы должны признать, что именно
в ее основных тезисах нашел себе отражение
взгляд, играющий основоположную роль в совре-
менных воззрениях: взгляд на теорию вероятно-
стей как на учение о массовых явлениях» [96, № 1,
с. 85].
В философском плане, однако, концепция Ми-
зеса содержит в себе ряд заведомо ошибочных по-
ложений. Подчеркивая прикладную роль теории
166
вероятностей и некоторым образом более точно
определяя область ее приложения, Мизес отверг
ее математический статус вообще. Теория вероят-
ностей для него — раздел естествознания, исполь-
зующий математические методы. Такой вывод яв-
ляется, конечно, совершенно необоснованным. Он
никак не вытекает из той в целом позитивной ре-
формы теории вероятностей, которую Мизес осу-
ществил, и обусловлен, прежде всего, не очень яс-
ным пониманием статуса математики вообще, от-
ношения ее к опыту, в частности отношения мате-
матической структуры как таковой к ее идеальной
интерпретации.
С современной точки зрения совершенно ясно,
что теория вероятностей должна быть признана
математической дисциплиной просто потому, что
она в существенной своей части может быть из-
ложена формально в соответствии со всеми кано-
нами математического мышления. «Математика,—
как указывал Хинчин, — определяется не предме-
том, но методом» [96, № 1, с. 90]. Мизес не отвер-
гает формального аппарата теории вероятностей.
Утверждая, что эта теория является частью есте-
ствознания, он, скорее всего, хотел этим сказать,
что в отношении между формализмом теории и
сферой его использования эта последняя (т. е. эм-
пирические процедуры подсчета вероятностей)
должна быть поставлена на первый план, а сам
формализм должен рассматриваться как аппарат,
подчиненный конкретным задачам. Такое понима-
ние связи между математикой и опытом законно
в некотором отношении, при рассмотрении, ска-
жем, возникновения той или иной фундаменталь-
ной математической теории, но оно неприменимо к
случаю, когда математическая теория уже имеет
твердые формальные основы. В этом последнем
случае опыт уже не может деформировать, видоиз-
менить математическую теорию в ее фундаменталь-
ных требованиях, но, напротив, сам он берется
лишь в том аспекте, в котором удовлетворяет при-
нятым формальным преобразованиям.
Обычная евклидова геометрия может рассмат-
риваться и как чисто математическая структура,
167
безотносительно к какой-либо эмпирической ин-
терпретации и как учение о пространстве. В по-
следнем случае мы связываем формальный аппарат
с определенной эмпирической интерпретацией и
делаем геометрию теорией некоторых физических
отношений. Но мы все-таки не делаем тем самым
геометрию физической теорией, по крайней мере
до тех пор, пока подбираем ее эмпирическую ин-
терпретацию в соответствии с ее формальной
структурой. Мы можем отказаться от контроля
формальной структуры и начать исследовать фи-
зическое пространство как таковое, используя евк-
лидову геометрию там, где она подходит. Здесь
мы переходим, конечно, в область физики, но та-
кой подход также пе отвергает существования гео-
метрии как математической теории, поскольку в
качестве формальной системы геометрия остается
и существует независимо от наших эмпирических
поисков, ст того, в частности, к каким результатам
они могут привести.
Подобно физической геометрии, можно мыслить
себе и содержательную теорию вероятностей как
науку, исследующую вероятностные отношения в
опыте, опираясь на некоторые интуитивные или
эмпирические их признаки. Но, во-первых, это не
отвергает существования теории вероятностей как
математической дисциплины, применимой для опи-
сания по крайней мере части такого рода физиче-
ского опыта, а во-вторых (в чем Мизес, по-види-
мому, не отдает себе ясного отчета), вставая на
такой эмпирический путь, мы уже не можем ог-
раничиться идеальной моделью вероятностного
процесса, который подчинен определенному фор-
мализму, но должны будем дать эмпирические оп-
ределения вероятности, независимые от него, и
при необходимости ввести новый формализм, от-
личный от существующего. Конкретная методоло-
гия Мизеса с очевидностью противоречит его об-
шей эмпирической установке. Разрабатывая свою
интерпретацию, он постоянно настаивал на том,
что она должна сохранить существующий аппарат
теории вероятностей. А это значит, что деклари-
руя физический статус теории вероятностей, он
168
разрабатывал ее исключительно как математик,
лишь выясняя общие предпосылки использования
определенной математической структуры. Уточне-
ние идеальной модели, чем фактически занимал-
ся Мизес, есть исключительное дело математика,
ибо такая модель, хотя она и имеет эмпирические
ассоциации, строится не на основе опыта, а все-
цело в соответствии с требованиями существующе-
го математичекого аппарата.
Недостаточно ясное понимание статуса идеаль-
ной модели ведет Мизеса и к другим ошибочным
положениям. Так, он считает, что закон больших
чисел, доказанный без ссылки на определение кол-
лектива, ничего не говорит о действительности,
представляя собой не более чем некоторое утверж-
дение об арифметических последовательностях. По
мнению Мизеса, существует единственно законная
логика построения теории вероятностей, а именно
от принципов коллектива как опытных фактов к
доказательству всех других ее положений. Прин-
ципы коллектива, которые Мизес вводит в нача-
ле в качестве определенных идеализаций, при об-
суждении закона больших чисел начинают высту-
пать как опытные факты, независимые от теории
и однозначно предопределяющие логику ее пост-
роения. Мизес совершенно упускает из виду, что
эти принципы сформулированы как идеальные тре-
бования применительно к данной теории, что они
говорят об опыте ничуть не больше, чем все дру-
гие ее утверждения, и что совершенно безразлич-
но, выведем ли мы положения теории из этих прин-
ципов или эти принципы — из известных раньше
утверждений теории.. Не осознавая адекватно ста-
туса идеальной модели, Мизес ошибочно считает,
что его концепция вероятности покоится на опыте,
в то время как классическая теория вероятностей
ограничена анализом идеальных схем, ничего не
говорящих о действительности. А. Я. Хинчин со-
вершенно справедливо указывает, что в отношении
к опыту обе эти концепции совершенно одинаковы:
обе они ничего не говорят о действительности без
дополнительных эмпирических допущений. Иде-
альная модель сама по себе не определяет сферу
169
приложения, хотя и указывает на некоторые ее
общие признаки.
В некотором смысле мизесовская концепция
даже более удалена от опыта в смысле непосред-
ственного указания сферы своего приложения. Со-
гласно Мизесу, теория вероятностей применима
там и только там, где существует коллектив, удов-
летворяющий принципу существования предела
частоты и принципу иррегулярности. Пусть в не-
котором эксперименте мы наблюдаем устойчивую
частоту определенного признака. Как мы можем
сказать, что эта серия испытаний удовлетворяет
понятию коллектива? Мы просто допускаем, что
это так, и удовлетворительные результаты пред-
сказания показывают нам, что мы не ошиблись.
Итак, серия является коллективом, если она под-
чиняется законам теории вероятностей. Однако су-
ществуют и некоторые непосредственные эмпири-
ческие критерии коллектива. «Равновозможность»,
которая фигурирует в лапласовском определении
вероятности в своем буквальном толковании, есть
именно такого рода эмпирический признак. Мы
видим, что некоторое событие не имеет причин
для преимущества перед другим в своем появле-
нии. Этим высказыванием мы фиксируем физиче-
ский признак, который позволяет нам приписывать
событиям одинаковую вероятность уже как мате-
матическую характеристику. Поэтому Мизес не-
прав, утверждая, что классическая теория веро-
ятностей оторвана от опыта. Эта теория связыва-
ла себя с опытом посредством представлений о
равновозможности и о независимости в простом
эмпирическом истолковании этих понятий. Напро-
тив. обобщая понятие вероятности, отрывая его от
представления о равновозможности, Мизес распро-
страняет его приложение на такие сферы, где
формулировка аналогичных простых эмпирических
критериев приложимости, по-видимому, уже невоз-
можна2. Таким образом, субъективно намереваясь
2 Теория вероятностей применима к тем эмпирическим
коллективам, которые достаточно хорошо удовлетворяют
170
связать теорию вероятностей с опытом более ор-
ганично в смысле истолкования основных поня-
тий, в действительности Мизес шел совершенно в
другом направлении, к более абстрактному, теоре-
тическому истолкованию этого понятия с более
обосредованным отношением его к опыту.
Это в общем вполне обычно. Ничто в науке не
рождается иначе, как вместе с массой ошибок и
субъективных оценок. Здесь нам важно лишь от-
ветить тот факт, что основные недоразумения в
концепции Мизеса проистекали из неясных пред-
ставлений о структуре математической теории, об
отношении идеализированной модели к формаль-
ному аппарату, с одной стороны, и к опыту —
с другой.
О геометрии реального пространства
Аналогичные проблемы, т. е. проблемы, связан-
ные с интерпретацией, существуют в настоящее
время и в другой сфере математики, а именно в
геометрии. Построение неевклидовых геометрий
естественно привело к идее, что возможно суще-
ствование физических пространств другой приро-
ды, которые отвечают новым геометриям так же,
как наше реальное пространство отвечает трех-
мерной евклидовой геометрии. Но общая идея та-
кого рода немедленно ставит вопрос, каким об-
разом мы вообще можем определить характер фи-
зического пространства самого по себе и отнести
его к определенной геометрической структуре? Что
означает само понятие «реальное пространство»?
Почему мы, в частности, убеждены, что окружаю-
щее нас пространство, пространство, в котором мы
живем, имеем евклидову структуру?
идеальному коллективу. Но можно ли заранее на основании
каких-то признаков установить эту особенность эмпиричес-
кого коллектива? Здесь мы имеем методологическую пробле-
му, которая, очевидно, относится не только к применению
теории вероятностей. Некоторые идеи на этот счет обсуж-
даются в работе [91].
171
Эти вопросы возникли уже перед Лобачевским.
Лобачевский полагал, что выбор одной геометрии
как реальной из многих возможных решается ис-
ключительно в опыте, а именно в практике изме-
рений. Эту же мысль защищал позднее Риман в
известной лекции об основаниях геометрии. Эту
мысль, как мы видели, систематически проводил
Гельмгольц в борьбе против априоризма. Гельм-
гольц считал, что обычная евклидова геометрия
появилась на основе измерения тел посредством
жестких масштабов и, поскольку такие тела и
такие масштабы реально существуют, наше обыч-
ное пространство является евклидовым. В других
мирах, где это условие будет нарушено, мы, есте-
ственно, должны будем принять как адекватную
другую геометрическую структуру. Особая дан-
ность (наглядность) евклидовой геометрии объяс-
няется исключительно историческим привыканием
человека к определенной среде обитания.
Новый взгляд на этот вопрос был высказан
А. Пуанкаре, который подчеркнул, во-первых, тот
факт, что геометрия сама по себе как математиче-
ская структура не имеет физического значения и
не может подлежать какой-либо проверке. Мы
проверяем з действительности только адекватность
системы «геометрия плюс физика» (Г+Ф), т. е.
адекватность опыту определенным образом интер-
претированной геометрии. Во-вторых, Пуанкаре
указал на то обстоятельство, что данная система
физических представлений не требует жестко ка-
кой-то единственной геометрии. Мы можем заме-
нить Г на Г1 и Ф на Ф] таким образом, что но-
вая система утверждений (Л4-Ф1) будет столь
же адекватно описывать данную систему физиче-
ских связей. С одними и теми же физическими
представлениями в принципе совместимы различ-
ные геометрии. Мы прибегаем к той или другой
геометрии в нашем описании мира, согласно Пуан-
каре, отнюдь не из-за каких-то особенностей фи-
зического материала, но исключительно из-за ее
удобства как средства предсказаний и расчетов.
Концепция Пуанкаре, получившая позднее наи-
менование конвенционализма, содержит следую-
172
щие два вывода. Первый состоит в том, что в прин-
ципе любую геометрию можно «спасти» посредст-
вом той или другой переформулировки физичес-
ких законов. Сам Пуанкаре, в частности, был
убежден, что физики никогда не откажутся от
евклидовой геометрии как от математической ос-
новы описания реальных закономерностей. Евкли-
дова геометрия наиболее проста, и ее сохранение
будет целесообразным всегда, даже ценой суще-
ственного усложнения физических принципов. Это
методологическое предсказание Пуанкаре, однако,
оказалось неверным. Эйнштейн, создав общую тео-
рию относительности, органически связанную с
римановой геометрией, явно продемонстрировал
обратное.
Второй вывод из концепции Пуанкаре носит бо-
лее общий философский характер. Если данная
система физических фактов совместима как с
аппаратом описания с различными геометриями,
тогда вопрос об истинной геометрии для той или
другой сферы опыта теряет с-мысл, как и вопрос
об истинной геометрии пространства в целом. На-
ше убеждение, что геометрия реального простран-
ства является евклидовой, с этой точки зрения, не
более чем привычка выражения, фиксирующая то
обстоятельство, что евклидова геометрия служит
удобным средством описания и предсказания в
обычном опыте.
Тезис Пуанкаре о том, что любую геометрию
можно спасти, безусловно верен. Но это теорети-
ческий, идеализированный тезис, а отнюдь не прин-
цип практического действия. Вообще любое поло-
жение в структуре науки можно спасти, соответст-
вующим образом усложняя структуру теории. Од-
нако одно дело идеальная, теоретическая возмож-
ность, а другое — практика науки. Ученый в дей-
ствительности никогда не занимается бесконечным
конструированием только ради спасения опреде-
ленного тезиса или теории. Практически любой те-
зис ставится под сомнение и отвергается, как
только его зашита в достаточной мере усложня-
ется, начинает требовать искусственных гипотез,
не расширяющих возможности теории в целом. Аб-
173
солютизация евклидовой геометрии как аппарата
описания, исходя из чисто теоретической возмож-
ности ее сохранения, является, конечно, неверной.
Простота евклидовой геометрии имеет относитель-
ный смысл. В ряде случаев именно отказ от про-
стой геометрии позволяет дать наиболее адекват-
ное и простое описание реальности.
Нс является верным также и второй вывод из
концепции Пуанкаре, утверждающий неосмыслен-
ность, некорректность идеи истинного пространст-
ва для данной области фактов. В основе его,
как нетрудно видеть, также лежит смещение иде-
ального и фактического, идеальной свободы и фак-
тической определенности в познавательной ситуа-
ции. Энштейн, выдвигая в свое время идею сво-
бодного конструирования принципов теоретической
физики, вместе с тем отмечал: «При такой неоп-
ределенности методики (методики отыскания прин-
ципов — авт.) можно думать, что существует про-
извольное число равноценных систем теоретиче-
ской физики. Это мнение в принципе определенно
верно. Но история показала, что из всех мысли-
мых построений в данный момент только одно
оказывается преобладающим. Никто из тех, кто
действительно углублялся в предмет, не станет
отрицать, что теоретическая система практически
однозначно определяется миром наблюдений, хотя
никакой логический путь не ведет от наблюдений
к основным принципам теории» [99, с. 10]. Анало-
гично этому, принципиальная множественность
геометрий, допустимых для описания данной сфе-
ры физической реальности, не исключает того, что
каждая такая сфера практически однозначно оп-
ределяет свою геометрию. Это значит, что, подчер-
кивая свободу в выборе геометрии, мы вправе
тем не менее говорить о существовании различных
физических пространств, т. е. различных сфер опы-
та, описание которых органически связано с опре-
деленной системой геометрических преобразова-
ний.
Но если это верно, то это значит, что сущест-
вуют объективные характеристики в сфере опыта,
диктующие приложимость определенных прост-
174
ранственных представлений и практически исклю-
чающие все другие представления такого рода.
Задача, очевидно, состоит в том, чтобы выявить
эти характеристики и достаточно ясно их опреде-
лить. К этому сводится так называемая проблема
физического пространства. В 20-х гг. немецкий
философ Г. Рейхенбах пытался разрешить ее на
основе некоторой модернизации эмпирических воз-
зрений Гельмгольца. Основные его идеи состояли
в следующем3.
1. Геометрия определяется заданием метрики, а
именно соглашением о том, как изменяется длина
эталона с перемещением его в пространстве и
времени. В евклидовой геометрии мы имеем про-
стейший случай, а именно допускаем, что эталон
остается постоянным в своей длине.
2. Выбор единицы длины и установление пра-
вила изменения длины при перемещении (правила
конгруэнтности) не диктуется опытом. Это согла-
шения. Однако эти соглашения имеют тесную связь
с эмпирической ситуацией, они подсказываются ей.
Допущение неизменности эталона при перемеще-
нии в евклидовой геометрии безусловно оправда-
но реальным поведением твердых тел, и именно в
силу этого евклидова геометрия со столь большой
точностью удовлетворяет практике расчетов, свя-
занных с измерениями в обыденной жизни и в
технике.
3. Ни формальная простота, ни большая нагляд-
ность отношений евклидовой геометрии не дают
повода для ее абсолютизации. Каждая новая сфе-
ра опыта в принципе связана с новой геометрией.
Вопрос о том, какая геометрия должна -быть при-
нята как основная, целиком определяется харак-
тером физических законов. Введение новой геомет-
рии схематически может быть представлено сле-
дующим образом. Пусть Го — евклидова геомет-
рия, а Фо — сфера физических теорий, где она
используется. Переходя в некоторую новую сферу
физических представлений Фь но используя евк-
3 Изложение позиции Рейхепбаха ведется по его книге
-«Философия пространства и времени» [119].
175
лидову геометрию, мы приходим к теории
Пусть Ф[ такова, что может быть представлена в
виде двух частей Ф/ и Фг, где Ф2 содержит допу-
щения о новых физических силах. Эти силы могут
быть самыми разнообразными, но может оказать-
ся, что они являются в некотором смысле правиль-
ными или универсальными, а именно такими, что«
от них можно отказаться через введение новой ге-
ометрии, т. е. описание ГоН-Фг'+Фг может быть
заменено эквивалентным описанием без Фг, не-
которой теорией Г14-Ф1'. Так, описывая ход свето-
вых лучей вблизи больших масс, мы можем вос-
пользоваться евклидовой геометрией, объяснив
отклонение лучей от евклидовых прямых силами
тяготения. Но так как силы тяготения изгибают
все траектории единообразно, по одному закону,то
мы можем описать их столь же адекватно, сразу
введя геометрию с определенной кривизной, соот-
ветствующей кривизне траекторий, сделав таким
образом излишним использование сил тяготения.
Новая геометрия необходимо вводится всюду, где
ее введение элиминирует некоторую систему уни-
версальных сил.
4. Евклидова геометрия не имеет никаких пре-
имуществ перед другими возможными геометрия-
ми ни в формальном, ни в содержательном плане.
Ее наглядность, легкость восприятия объясняется
исключительно близостью к обыденному опыту.
Не существует никакого чистого восприятия про-
странства в кантовском смысле, соответствующего
структуре евклидовой геометрии. В принципе любая
формальная структура, поскольку она может по-
лучить эмпирическую интерпретацию, может быть
сделана столь же наглядной, как и евклидова гео-
метрия в ее исходных положениях.
Общая позиция Рейхенбаха в истолковании
геометрии, как мы видим, существенно отличается
от установки Пуанкаре. Если Пуанкаре полагал,
что при выборе геометрии решающим фактором
является простота самой геометрии, то Рейхенбах
все сводит, напротив, к упрощению системы фи-
зических сил, делая этот выбор целиком подчи-
ненным простоте физической теории в целом. Эта
176
установка более адекватна, она объясняет фак-
тически наблюдаемую релятивность геометрии, хо-
тя, как мы сейчас понимаем, она также недоста-
точна в определенных и существенных отноше-
ниях4. Ценным моментом в концепции Рейхенба-
ха является также его попытка уяснить место кон-
венций в системе геометрического знания, связать
конвенциональное с эмпирическим, устранить из
представления о конвенции идею произвольности.
Однако зта позиция в целом все-таки неудовлетво-
рительна. Хотя, в отличие от Гельмгольца, Рей-
хенбах ясно отличает проблемы физической гео-
метрии от проблем геометрии как математической
структуры, т. е. вопросы приложения от вопросов
обоснования, в целом его общее направление мыш-
ления в философии математики является сугубо
эмпирическим и в силу этого ограниченным. Это
особенно я'сно проявляется в его попытке обосно-
вать особую наглядность (визуальность) евклидо-
вой геометрии.
Наглядность, по Рейхенбаху, проявляет себя,
прежде всего, в своей нормативной функции, в
том, что она практически однозначно диктует нам
тот или другой логический вывод. Так, на основе
наглядности мы убеждены, что если прямая пере-
секает крут в одной точке, то она пересекает его и
в другой и не допускаем никакой другой логической
возможности. Точно так же мы убеждены, что пря-
мая есть кратчайшее расстояние между двумя
точками. Основная идея Рейхеибаха состоит здесь
в том, что нормативная сила представлений проис-
текает не из опыта, не из непосредственных эмпи-
рических ассоциаций, но имеет в значительной ме-
ре логическое происхождение. «Прямая — крат-
чайшее расстояние между двумя точками в нашем
4 В настоящее время ясно, что выбор геометрии в опре-
деленной физической ситуации есть частный случай проблемы
выбора теории вообще и что сам пс себе он гораздо слож-
нее, чем это представлялось Рейхенбаху и другим философам.
30—50-х гг., исследовавшим науку исключительно в контексте
ее обоснования. Это не исключает, впрочем, что критерии
выбора, предлагаемые Рейхенбахом (принцип элиминации
универсальных сил и Принцип причинности) могут быть оп-
равданы и при новом, более широком подходе.
177
представлении только потому, что сами эти пред-
ставления выработаны так, чтобы соответствовать
всей структуре выводов евклидовой геометрии»
[119, 38]. Поэтому одно дело — непосредственные
восприятия, структура перцептивного пространства,
и другое дело — структура представлений, свя-
занных с геометрией как с определенной системой
логических выводов. Перцептивное пространство
может и не содержать параллельных прямых, точ-
ных кругов и т. д., но это не исключает наличия
в нашем сознании некоторой правильной, очищен-
ной системы представлений, которая, с одной сто-
роны, связана генетически с перцептивным про-
странством, а с другой, — является «очищенной»,
подогнанной под логику евклидовой геометрии.
Именно такого рода логическая визуальность бы-
ла, по мнению Рейхепбаха, абслютизирована Кан-
том в его идее чистого созерцания пространства.
Рейхенбах указывает здесь на различие между
эмпирической интерпретацией евклидовой геомет-
рии и ее идеальной моделью. В отличие от Ми-
зеса, он не отождествляет идеальные представле-
ния с опытными данными, а рассматривает их как
некоторый вторичный внутритеоретичсский про-
дукт. Он совершенно прав в том, что непонимание
этого момента определило основную слабость и
эмпирической философии геометрии. Пытаясь на-
глядность геометрии вывести из опыта, из непос-
редственных представлений, как это делал Гельм-
гольц, мы не можем объяснить нормативной силы
этой наглядности, ее однозначности в отличие от
многозначности и неопределенности непосредствен-
ного эмпирического восприятия. По Рейхенбаху,
геометрия, возникнув на основе опыта и оформив-
шись как логическая структура, сама порождает
теперь ’систему наглядных представлений, не име-
ющих прямого соответствия с опытом, со струк-
турой перцептивного пространства. Рейхенбах де-
лает отсюда вывод, что всякая геометрия может
быть соединена -с такого рода вторичной логиче-
ской наглядностью и евклидова геометрия пред-
ставляет здесь особый случай, не более чехМ в
плане исторической очередности.
178
В этом пункте Рейхенбах допускает, однако,
принципиальную ошибку. Верно, что старое раз-
личие, идущее от Платона, между чертежом тре-
угольника и мысленным треугольником находит
здесь достаточно удовлетворительное разрешение.
Тем не менее особый характер наглядности евк-
лидовой геометрии не может быть понят ни с на-
ивно эмпирической, ни с предлагаемой Рейхенба-
хом логической точек зрения. Арифметика и гео-
метрия Евклида не просто две первые исторически
математические структуры, а структуры, связанные
с категориальным видением мира, и они будут
занимать всегда совершенно особое место в че-
ловеческом восприятии мира, несмотря на широ-
кое использование других геометрических и ариф-
метических систем. Какие бы пространства мы не
использовали в физике, мы всегда представляем
физические объекты в обычном трехмерном про-
странстве. Этот факт истолковывается часто чисто
психологически («человек еще не привык к дру-
гим пространствам»), или антропоморфно («так
устроены визуальные способности человека»), или,
наконец, логически («однозначность представле-
ний, связываемых с евклидовой геометрией, по-
рождена ее логической организацией, жестким ло-
гическим соподчинением понятий»). Дело, однако,
здесь не в психологии и не в логике. Евклидовый
характер представлений об объектах диктуется
тем, что эти представления внедрены в само пред-
ставление об объектах, образуют общую логику
восприятия мира, продиктованную в конечном ито-
ге необходимой структурой деятельности или
структурой субъективно-объективного отношения.
Но это значит, что особая данность евклидовых
представлений для сознания отнюдь не только
следствие их широкой употребимости и логической
организации, но прежде всего следствие самого ха-
рактера отношений, которые ои фиксируют, т. е.
сна имеет онтологическую природу. В этом смысле
другие геометрии не могут быть поставлены рядом
с евклидовой вне зависимости от их важности для
науки и степени использования.
Когда в настоящее время задается вопрос об
179
истиянои геометрии реального пространства, то
мы получаем обычно два ответа. Первый состоит в
том, что геометрия реального пространства явля-
ется евклидовой, ибо мы всё представляем неиз-
бежно в евклидовом трехмерном пространстве. Ос-
тальные же геометрии (пространства) — не более
чем средство описания и не имеют реального ста-
туса. Другой ответ состоит в том, что реальное
пространство риманово, поскольку наиболее об-
щая физическая картина мира, выраженная в об-
щей теории относительности, связана с группой
римановых геометрий. Из сказанного выше ясно,
что каждый ответ з некотором смысле верен. Но
если первый ответ под геометрией реального про-
странства имеет в виду необходимую геометрию
восприятия, и он может быть обоснован только в
рамках философии, через анализ связи понятий
геометрии с категориальным видением мира, то
второй ответ имеет в виду геометрию физического
описания, и он может быть оправдан в рамках фи-
зики и методологии, диктующей неизбежность в
данной сфере опыта использовать то или другое
пространство как средство описания в той форме,
как это делал, к примеру, Рейхенбах. Недостаток
позитивистской методологии в исследовании про-
блемы пространства состоит в том, что она, иссле-
дуя реальное пространство, ограничивается только
физическим аспектом, оставляя в стороне глубо-
кие вопросы отношения математических структур
к действительности, которые были уже ясно по-
ставлены такими философами, как Лейбниц и
Кант.
Современная формалистская философия мате-
матики склонна прежде всего подчеркивать оди-
наковость всех возможных геометрических ’систем.
Это является продолжением традиции, идущей от
Гельмгольца и направленной на оправдание неев-
клидовых геометрий. Несмотря на определенную ее
разумность, она ограниченна. Здесь не учитыва-
ется то, на чем в несколько мистифицированной
форме настаивает математический реализм, —
привилегированность отдельных математических
представлений, имеющая онтологическое основа-
180
ние. Мы вправе говорить о реальном пространстве,
о реальной логике, о настоящей арифметике как
об особых интуитивно ясных системах отношений,
и эта интуитивная ясность, особая данность для
сознания, может быть объяснена в данном случае
только связью этих объектов с деятельностным,
категориальным видением мира, нс не эмпириче-
ски и не логически. Широкое использование в на-
уке многомерных геометрий не может поставить
их онтологически рядом с евклидовой геометрией,
поднять их наглядность до уровня наглядности
евклидовой геометрии, изменить того факта, что
мы представляем все вещи и процессы природы
только в трехмерном евклидовом пространстве.
Вопрос о реальном пространстве, очевидно,
связан с общей проблемой реальности математи-
ческих объектов. Позитивный смысл математиче-
ского реализма состоит в том факте, что централь-
ные понятия математики, такие как множество,
число, величина, функция, континуизм, евклидово
пространство, имеют прямое отношение к общему
категориальному видению мира, отражая, таким
образом, особый уровень представлений о реаль-
ности. Этим обстоятельством прежде всего объяс-
няется особая интуитивная ясность этих понятий,
которая как исходный фак! лежала в основе всех
рационалистических концепций математики. Ло-
гически продуцированное воображение Рейхенба-
ха — ни в какой мере не объясняет этого фено-
мена, хотя компонент наглядности, связанный с ло-
гикой, безусловно, 'существует. Для уяснения ста-
туса математических понятий недостаточно тради-
ционного различения между формальным и со-
держательным, здесь должно быть учтено также
различие между эмпирическим и категориальным.
Сказанное означает, что формалистская фило-
софия математики не является удовлетворитель-
ной и в понимании математического объекта. Она
должна быть дополнена концепцией, раскрываю-
щей непосредственную связь математического
мышления с онтологией, с категориальными пред-
ставлениями о мире. Конечно, для решения кон-
кретных математических задач и даже для резли-
181
зации конкретных шагов в обосновании математи-
ки нет необходимости выяснять истоки тех или
иных математических представлений, и в этом пла-
не можно понять призыв Рейтинга очистить ма-
тематику от метафизики и идею Бар-Хиллела по-
строить теорию математического мышления без
онтологии [24, с. 11; 117, сс. 44, 136]. По здесь
упускается из виду, что для оправдания общей
стратегии б основаниях математики выяснение свя-
зи математических понятий 'г логикой и категори-
альными представлениями может оказаться ни-
чуть не менее важным, чем выяснение их связи с
опытом.
Глава 9
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
ПРЕДВОСХИЩЕНИЕ
Современная концепция математики, основан-
ная на разграничении математического и физиче-
ского ’существования, нуждается в объяснении не-
которых моментов эффективности математики. До
тех пор, пока математическое знание истолковы-
валось чисто эмпирически, как прямая абстракция
от реальных отношений, приложимость ее к этим
реальным отношениям представлялась само собой
разумеющимся актом. Но когда было понято, что
значительная часть математики возникает и суще-
ствует чисто логически, что внутри математики, в
значительной мере независимо от приложений, воз-
никают все новые и новые абстрактные структуры,
непосредственная эмпирическая эффективность
этой чисто логической части стала проблемой. Ос-
новной вопрос состоит здесь в следующем: почему
абстрактные структуры, созданные по чисто логи-
ческим соображениям, т. е. вообще без какого-ли-
бо эмпирического материала, находят затем, как
правило, эмпирическую интерпретацию и непосред-
ственное использование в качестве аппарата на-
уки?
Этот вопрос отличается от всех тех, которые мы
рассматривали выше, тем, что ответ на него тре-
бует выхода за пределы рассуждений исключи-
тельно о математике и ее структуре.
Тенденция к универсальности в математике
Прежде чем ответить на поставленный вопрос,
мы постараемся ответить на аналогичный вопрос,
но касающийся более обыденного явления: Поче-
183
му математические теории, созданные на базе од-
ного эмпирического материала, находят впослед-
ствии приложение за пределами своей первона-
чальной области, применительно к другому мате-
риалу?
Е. Вигнер в статье «Непостижимая эффектив-
ность математики в естественных науках» приво-
дит разговор двух приятелей: один из них — ста-
тистик использует число л в расчетах роста на-
родонаселения, другой задаст ему «наивный» во-
прос: «Какое отношение имеет численность наро-
донаселения к длине окружности?» Действительно,
это совершенно различные области, и Евклид, ко-
нечно, не мог подозревать такого широкого при-
менения константы л, которое имеет место в 'сов-
ременной науке. Количество таких вопросов мож-
но увеличить. Почему алгебра Буля, созданная
для систематизации форм логического мышления,
нашла приложение в электротехнике при расчете
’сложных цепей, почему афинная геометрия может
быть итерпретирована как пространство цветов и
стать математической основой цветоведения, по-
чему одни и те же дифференциальные уравнения
могут быть использованы как для исследования
колебаний струны, так и для описания сосущест-
вования видов в популяциях?
Известное уравнение экспоненциальной зависи-
мости имеет столь широкую сферу приложений,
что Берталанфи рассматривает его в качестве од-
ной из основных общесистемных закономерностей.
Вытекание воды из сосуда, распад радия, размно-
жение бактерий, рост объема науки и многие дру-
гие процессы подчиняются этому закону. Способ-
ность математического образа предстать в самых
различных реальных обличиях Пуанкаре считал
одной из 'самых существенных для математики и
был склонен по этой причине вообще определить
математику как «способность называть разные ве-
щи одним и тем же именем». Какие гносеологиче-
ские аргументы мы можем привести за закон-
ность и необходимость такого рода многокачест-
венной интерпретации одного и того же математи-
ческого образа?
184
Прежде всего надо уяснить, что каждый науч-
ный закон применяется в бесконечном числе кон
кретных случаев и проявляет способность к экст-
раполяции на качественно новые сферы. Можно
спросить, почему законы механики Ньютона, вы-
работанные для описания наблюдаемых тел, на-
шли приложение в теории газов или теории тепло-
ты, т. е. в сферах опыта, которые никак не участ-
вовали в их выработке. Можно спросить также,
почему наш обычный язык оказывается примени-
мым для описания доселе ненаблюдаемых явлений
или почему техническую деталь, созданную для
какого-либо одного типа механизмов, оказывается
возможным использовать при конструировании
другого типа механизмов, в другой сфере техники.
Говоря об универсальности математических об-
разов, о приложимости их к различным наукам,
мы затрагиваем, таким образом, некоторую общую
системную закономерность: во всех этих случаях
элемент системы, созданный исходя из некоторых
ограниченных (локальных) требований к ней, ока-
зывается затем в некотором Смысле более универ-
сальным. предвосхищающим другие требования.
Причина $того чрезвычайно общего явления
лежит в приспособительном характере человечес-
кой деятельности вообще. Будем называть естест-
венными самоорганизующимися системами все
живые системы, в том числе человека и человече-
ское общество. В противоположность такого рода
системам, системы материальные, соответствующие
той или иной сфере деятельности естественной сис-
темы, представляющие собой материальное вопло-
щение (продукт) этой деятельности, будем назы-
вать искусственными системами. Для общества это
такие системы, как язык, наука, экономика, тех-
ника, искусство, системы управления и т. д. При
историческом подходе искусственные системы мо-
гут рассматриваться также как самоорганизующие-
ся1. Каждая из таких систем порождена и стиму-
1 Конечно, техника, например, развивается не сама, а ее
развивает человек. Но при обсуждении ряда проблем разви-
тия техники полезно рассматривать ее безотносительно к че-
ловеку как особый объективный процесс.
8 Зак. 59
185
лируется в своем развитии некоторыми потребно-
стями естественной системы. Однако актуальные
потребности никогда не определяют развитие та-
ких ’систем в целом. Так, развитие техники не оп-
ределяется во всем объеме только актуальными
запросами производства, но имеет компонент, ко-
торый оказывается целесообразным лишь с точки
зрения некоторой будущей практики. То же самое,
очевидно, можно сказать и относительно развития
каждой из искусственных систем. Таким образом,
мы можем констатировать общую закономерность
в развитии искусственных систем, а именно их
способность к опережающему развитию, к предвос-
хищению будущих запросов к системе.
Чтобы понять механизмы этого явления, не-
обходимо отступить еще дальше от математики, в
область общебиологических представлений, т. е.
уяснить характер развития самих естественных
систем. Если мы будем рассматривать общество
как организованное целое, то увидим определен-
ную структуру его активности. Общество прежде
всего тратит свою энергию на удовлетворение ак-
туальных, сегодняшних потребностей, на добыва-
ние пищи, одежды и т. д., иначе говоря, на все то,
от чего оно не может отказаться на длительное
время без ущерба для своего непосредственного
выживания. С другой стороны, общество затрачи-
вает одновременно часть своих ресурсов на преду-
преждение потребностей будущего. Это прежде
всего различного рода материальные запасы, а
также затраты на образование, науку, перспектив-
ное строительство и т. д. Можно сказать, что об-
щество в каждый данный момент распределяет
свою наличную энергию в широком диапазоне пер-
спективности, от действий, необходимых для под-
держания непосредственного существования, до
действий, имеющих целью предварить потребности
далекого будущего.
Всякая активность для будущего, естественно,
основана па определенной информации о будущем.
В этом плане человек радикально отличается от
животного. Перспективная активность, понимае-
мая вообще как предварение будущего действиями
186
в настоящем, имеет значение для всего живого: в
более или менее развитых формах она проявляет-
ся пов'сюду в животном и растительном мире. Жи-
вотные также приспосабливаются к будущему: про-
изводят запасы пищи, обучают потомство и т. д.,
т. е, их активность не есть простое реагирование
на воздействия'среды, но имеет обязательный пред-
варяющий компонент. Фундаментальной особенно-
стью человека как естественной системы являет-
ся то, что перспективная активность имеет здесь
двухплоскостную структуру; она осуществляется
на сознательном и подсознательном уровне одно-
временно. Механизмы накопления, хранения и ис-
пользования информации, присущие низшим жи-
вым существам, сохраняются у человека, опреде-
ляя плоскость подсознательного поведения и ори-
ентации. Как это показано психологическими ис-
следованиями, подсознательная мотивация имеет
в любом акте человеческой деятельности, в значи-
тельной мере определяя его конечный результат.
До настоящего времени гносеология недоста-
точно учитывает этот иррациональный момент в
поведении человека, в частности в работе учено-
го, в выборе направления исследования, его
средств и т. д. Во многих случаях ученый не мо-
жет оправдать свой выбор иначе, как сославшись
в конечном итоге на то, что это ему нравится боль-
ше, чем все остальное. Но эти смутные симпатии
в социальном плане определяют научные течения
и играют немалую роль в предвосхищении буду-
щих запросов к науке. Иначе говоря, общество
предваряет будущее и как собственно общество,
т. е. из рационального познания будущего, и как
биологический вид посредством определенного ро-
да социального инстинкта. Развитие науки по
отношению к будущей практике не может быть
понятно без учета этого момента.
Подсознательная перспективная активность че-
ловека, 'согласно Н. А. Бернштейну, регулируется
и организуется закодированной в мозгу моделью
«потребного будущего», которая представляет со-
бой вероятностную экстраполяцию на будущее
опыта данного индивида и рода. Важными непо-
8*
187
средственными механизмами, регулирующими под-
сознательное поведение у человека и высших жи-
вотных, выступают эмоции. В настоящее время ус-
тановлено, что именно эмоциональное пережива-
ние и связанные с ним моральные и эстетические
критерии позволяют осуществить перспективно це-
лесообразный выбор в условиях его рациональной
неопределенности. С этой точки зрения интуиция,
эмоция, эстетические критерии и т. д. должны рас-
сматриваться как приспособительные механизмы,
подчиненные в своем историческом развитии за-
даче обеспечения перспективной целесообразности
поведения и отдельного индивида и общества в
целом. В каждой конкретной ситуации, преследуя
конкретные цели, мы выбираем те средства и ме-
тоды, которые учитывают также и будущее, мы
ориентированы на будущее, причем не только соз-
нательно из его рационального понимания, но и
из неосознанной модели этого будущего.
Подсознательная перспективная активность на
уровне индивидуумов проявляется на уровне об-
щества в целом как стихийная перспективная ак-
тивность. Исторический материализм исходит из
того, что различие индивидуальных желаний, воль
и действий сглаживается в общем процессе разви-
тия общества и оказывается подчиненным объек-
тивной закономерности, не зависимой от какого-
либо отдельного индивида. Сумма подсознатель-
ной активности отдельных индивидуумов в какой-
либо сфере деятельности необходимо проявляется
как неосознанная целесообразная реакция кол-
лектива в целом на существующие или ожидаемые
требования общества к этой сфере деятельности.
Во всем, что делается в данной области науки,
техники и т. д., имеется компонент, нацеленный на
будущее, объективно необходимый для будущего,
но тем не менее не планируемый сознательно из
рациональной модели этого будущего.
Совпадение результатов нашей деятельности в
настоящем с запросами будущего не представляет
ничего удивительного, если мы планировали эту
деятельность, исходя из надежной информации об
этом будущем. Нас поражают только факты не-
188
преднамеренного предвосхищения, целесообраз-
ность стихийного, рационально нерегламентирован-
ного компонента нашей деятельности, тог факт,
например, что сфера знания, развивавшаяся, как
казалось, из чистого любопытства, вдруг оказы-
вается совершенно необходимой и как бы приго-
товленной для новых потребностей. Все дело, од-
нако, в том, что чистое любопытство отнюдь не
является свободным, оно формируется в контексте
приспособительной деятельности как орудие за-
хвата вероятно полезной информации, как один
из тонких механизмов перспективного информаци-
онного отбора. Чем меньше те или другие изме-
нения в искусственной системе подчинены актуаль-
ным запросам и осознанным целям ее развития,
т. е. чем больше эти изменения относятся к сво-
бодному развитию системы, тем большую роль в
их становлении играют любопытство, чистый ин-
терес, подсознательные критерии отбора. Именно
з силу действия механизмов подсознательного от-
бора относительно независимое от каких-либо ак-
туальных потребностей и кажущееся беспорядоч-
ным развитие искусственной системы в некоторой
ее части обнаруживает в перспективе неожидан-
ное единство и целесообразность. Подчиняясь под-
сознательным регулятивам отбора, мы стихийно
создаем целое в каждой области деятельности,
будучи одновременно лишены полнастью осознать
его заранее. Наша информация о будущем не
исчерпывается рациональной информацией, и на-
ша деятельность для будущего не исчерпывается
рационально мотивированной деятельностью. В по-
нимании этого обстоятельства заключается общее
объяснение всех фактов непредусмотренного пред-
варения будущего в развитии искусственных сис-
тем.
Конечно, нельзя каждый факт совпадения
прошлой деятельности с запросами настоящего ис-
толковывать как проявление «мудрости чувств»,
дальновидности интуиции и т. д. В таких совпаде-
ниях также много и случайного. Важно, однако,
уяснить, что они не полностью случайны, что су-
ществуют мощные факторы, закрепляемые эволю-
цией, действующие в направлении таких 'совпа-
дений, помимо рационального знания о будущем.
Искусственная система развивается под давле-
нием определенных актуальных запросов, однако
они полностью не детерминируют процесс ее ста-
новления. Всегда остается определенная свобода
выбора (между формулами, описывающими одну
и ту же опытную зависимость, между решениями
одной и той же задачи в технике и т. д.), кото-
раз через механизм подсознательных критериев
разрешается в направлении наибольшей универ-
сальности и перспективности выбираемых форм.
В основе тенденции к универсальности лежит, как
легко понять, тенденция к экономичности всей 'сис-
темы в целом. Каждое понятие в науке таким об-
разом — более или менее перспективно. Процесс
его образования опосредован прошлым опытом и
направлении будущего; оно приобретает свою фор-
му не только в зависимости от актуальной потреб-
ности, но и ориентировано на максимальную при-
ложимость к другим случаям как деталь всего зна-
ния, обеспечивающая наибольшую экономичность
и устойчивость знания в целом.
В этом плане мы можем сказать, что геометрия
Евклида, сформировавшаяся на основе операций
об измерении земли, интуитивно создавалась как
более универсальная понятийная форма. Точно так
же мы можем сказать, что в алгебре Буля в
процессе самого ее создания заложена возмож-
ность более широкого приложения. Создание диф-
ференциальных уравнений явилось одним из наи-
более ярких выражений этой тенденции к созда-
нию в математике универсальных форм. Удивлять-
ся по поводу того, почему дифференциальные урав-
нения, созданные первоначально для нужд меха-
ники, нашли приложение в радиотехнике и даже в
исследовании равновесия популяций в биоценозе,
можно не больше чем тому, почему стандартная
деталь оказывается применимой при конструиро-
вании принципиально нового механизма, или тому,
почему наш обычный язык оказывается достаточ-
ным для описания предметов, о существовании ко-
торых нам ранее не было известно. Искусственная
190
система в процессе своего совершенствования,
стремясь к экономичности и устойчивости, осуще-
ствляет ’сознательный и подсознательный отбор
наиболее перспективных и потому наиболее уни-
версальных форм, и имеющая место свобода выбо-
ра в таких системах разрешается именно в этом
направлении.
Отсюда ясно, что не только математика, но и
в'ся теоретическая наука эффективна, в значитель-
ной мере за счет обозначения различных вещей
одним и тем же именем, за счет универсальности
вырабатываемых форм, способности их к экспан-
сии. В математике это явление лишь более ярко
выражено вследствие разнокачественное™ сферы
ее приложения и большей свободы внутреннего
конструирования.
Если же мы поставим вопрос об истоках уни-
версальности понятий вообще, о причинах, дела-
ющей ее возможной, то мы должны будем обра-
титься к представлению о единстве мира, о еди-
нообразии причинно-следственных связей, которое
является условием не только нашего познания, но
и самого существования.
Проблема «офизичения» абстрактных
образов
Эти же соображения позволяют подойти по
крайней мере в общем плане и к ответу на глав-
ный вопрос, а именно на вопрос, почему теории и
вообще образы, созданные в математике из чисто
внутренних логических соображений и, на первый
взгляд, не имеющие отношения к каким-либо ре-
альным структурам, в действительности, как пра-
вило, находят эмпирическую интерпретацию и ис-
пользуются затем как средство теоретического опи-
сания.
Такого рода предвосхищение построениями аб-
страктной математики будущих потребностей в
математическом аппарате со стороны физики и
других наук, которое мы будем называть в даль-
нейшем математическим предвосхищением, при-
191
влекло к себе внимание ученых в начале XX в, в
связи с применением евклидовых геометрий в
теории относительности. На эту особенность взаи-
модействия математики и физики указывал в
1910 г. Клейн в работе, посвященной применению
проективных метрик в теории относительности
[48]. Эйнштейн в статье о Кеплере высказывал
восхищение загадочной гармонией природы и мы-
сли, благодаря которой геометрические фигуры,
придуманные древними, а именно эллипс и гипер-
бола, нашли в новое время реализацию в орби-
тах небесных тел [99, с. 109]. Н. Бурбаки также
усматривает проблему в том, что некоторые аспек-
ты экспериментальной действительности «как буд-
то в результате предопределения» укладываются в
некоторые из существующих математических форм
[18, с. 258].
Но есть ли здесь действительная проблема? Не
мистифицируем ли мы ряд случайных совпадений
математических и физических структур, вполне
объяснимых некоторыми привходящими об-
стоятельствами? Так, первобытный человек на-
ходил в камнях определенной формы полезные для
себя орудия, но это, очевидно, нельзя истолковать
тем, что природа приготовила их для человека.
Первобытный человек, одухотворяя природу, скло-
нен был именно так объяснять подобные случаи,
но на более зрелой 'стадии мышления люди уже не
затрудняют себя объяснением подобного рода сов-
падений, квалифицируя их случайностью, реализа-
цией абстрактной возможности и т. д. Не следуем
ли мы логике первобытного мышления, пытаясь
во что бы то ни 'стало объяснить, почему неевкли-
довы геометрии или определенные алгебраические
формы, созданные математиками XIX в., нашли ес-
тественную реализацию и применение в современ-
ной физике? Рассуждая так, мы, очевидно, снима-
ем проблему. Однако большинство ученых 'склон-
но думать, что за этими фактами скрывается не-
что большее, чем случайное совпадение. Они пред-
полагают в самом развитии математики, в самом
творчестве математика определенную направлен-
ность, пусть даже скрытую от него самого, кото-
192
рая делает такого рода совпадения необходимой
закономерностью. Из сказанного выше ясно, что
это убеждение обоснованно. Мы можем утверж-
дать, что скрытая направленность в конструирова-
нии абстрактных образов (как впрочем и всех об-
разов) в математике действительно существует;
она обеспечивается «моделью потребного будуще-
го», которая, не будучи выражена рационально,
тем не менее существенно, посредством ряда кри-
териев определяет процесс развития математики.
Для более детального понимания механизма этой
скрытой детерминации обратимся еще раз к об-
щим закономерностям эволюции искусственных
систем.
Каждое новое состояние эволюционирующей
системы не детерминировано однозначно, но пред-
ставляет собой результат выбора из многих быв-
ших в возможности 'состояний. На уровне элемен-
тов этот выбор есть не что иное, как предпочтение
одних элементов другим с точки зрения некоторых
общих требований к системе. Каковы же эти
требования?
К выбираемому элементу системы предъявля-
ется прежде всего требование актуальной эффек-
тивности. Оно состоит в том, что данный элемент
должен удовлетворять той непосредственной по-
требности системы, ради которой и производится
сам выбор. Если, например, речь идет о выборе
одной из нескольких математических формул для
описания некоторой содержательной зависимости,
то требование актуальной эффективности означа-
ет, что выбираемая формула должна оказаться
достаточно точной для воспроизведения этой за-
висимости в границах, проверенных опытом.
Кроме того, выбираемый элемент должен удов-
летворять требованию экономичности с точки зре-
ния всей системы в целом. Живые системы, стре-
мясь к максимуму негэнтропийности, имеют тен-
денцию удовлетворять свои запросы с минималь-
ными затратами энергии. Поэтому всякая деятель-
ность живой системы и, следовательно, построение
каждой из искусственных систем подчинены тре-
бованию экономичности. Это требование выступает
193
в практике экономических расчетов как целевая
установка достичь данного эффекта с минималь-
ными затратами ресурсов. В построении понятий-
ных систем мы также стремимся к наиболее про-
стой и удобной системе понятий, и отбор новых по-
нятий опосредован так или иначе стремлением к
усовершенствованию всей понятийной системы в
данном отношении.
Третьим требованием, определяющим процесс
выбора элемента в системе, выступает требование
максимальной устойчивости системы в целом. Про-
цесс развития икусственной системы происходит и
постоянно побуждается тем, что естественная сис-
тема по мере своего развития каждый раз предъ-
являет новые требования к данной искусственной
системе, вследствие чего последняя вынуждена пе-
рестраиваться. Перспективный отбор в искусствен-
ной системе состоит в том, чтобы предупредить
эти требования естественной системы и путем за-
благовременной перестройки избавить себя от
резкой перестройки под давлением актуальной не-
обходимости в будущем. Идеальная устойчивость
по отношению к естественной системе является не-
достижимой, тем не менее стремление к такому
идеалу присутствует в каждом изменении искус-
ственной системы и должно рассматриваться в
качестве одной из основных характеристик, опре-
деляющих становление этих систем.
Система производит выбор лишь из тех эле-
ментов, которые актуально эффективны. Поэтому
в основе перспективного отбора лежат два осталь-
ных из перечисленных выше требований отбора, а
именно актуальная экономичность и устойчивость
(долговечность). Мы будем говорить о максималь-
ной динамической экономичности системы как о
величине производной от этих двух величин и оп-
ределяющей наилучший выбор между ними с
точки зрения системы в целом.
Критерий максимальной динамической эконо-
мичности ограничивает всякую деятельность с
двух сторон. В соответствии с этим критерием
действия, направленные только на настоящее, ко
не учитывающие потребностей будущего, являют-
194
ся нецелесообразными. С другой стороны, неце-
лесообрзными могут оказаться и затраты для
слишком далекого будущего, о потребностях и
возможностях которого система не бладаст до-
статочной информацией. Динамическая экономич-
ность выражает таким образом принцип объектив-
ной направленности в развитии систем. Независи-
мо от того, насколько мы обозреваем развитие
системы в целом, независимо от наших индивиду-
альных склонностей и задач, развитие искусствен-
ной 'системы в целом стремится к максимуму ди-
намической экономичности. Наши индивидуальные
симпатии, эстетический вкус и т. д. не более чем
орудие в реализации этой направленности. Мате-
матическое предвосхищение оправдывается как
тенденция, если оно соответствует этому объек-
тивному направлению развития системы матема-
тических понятий.
Некоторый шаг в обосновании математическо-
го предвосхищения можно сделать, используя так
называемый принцип параллелизма между формой
и содержанием. Принцип параллелизма между
формой и содержанием может быть сформулиро-
ван следующим образом: при приложении матема-
тической теории к описанию некоторых содержа-
тельных закономерностей объектам содержательно-
го рассуждения должны быть поставлены в соот-
ветствие символы математической теории, причем
таким образом, чтобы результат взаимодействия
объектов, описываемых содержательно, соответст-
вовал результату определенной математической
операции. Этот принцип есть не что иное, как пра-
вило интерпретации одной математической теории
на объектах другой, которое широко использова-
лось уже математиками XIX в., обобщенное лишь
на тот случай, когда математическая теория ин-
терпретируется на объектах содержательной.
Принцип параллелизма сам по себе дает неко-
торую основу для подхода к объяснению явления
математического предвосхищения. Пусть мы име-
ем физическую теорию Ф1 (имеется в виду совокуп-
ность физических представлений) и ее математи-
ческий аппарат Л^. Неинтерпрстированная матема-
195
тика представляет 'собой в своей преимуществен-
ной части обобщения и абстракции от интерпре-
тированных математических теорий. В силу этого
мы можем мыслить в составе неинтерпретирован-
нсй математики наличие совокупности теорий М2,
представляющих обобщения и абстракции от Мр
Проводя анализ развития физических представле-
ний, мы также приходим к выводу, что двумя ос-
новными путями развития некоторой имеющейся
системы физических представлений является обоб-
щение их и образование некоторых более абстракт-
ных представлений, т. е. в своем историческом раз-
витии под давлением опыта система представлений
Ф[ может породить систему производных теорий
Ф2, которые по своей логической структуре мо-
гут быть охарактеризованы как обобщения от 0t
и абстракции от Но так как в силу принципа
параллелизма более общие и более абстрактные
физические представления требуют соответственно
более общих и более абстрактных математических
форм и так как формы М2, производные от 2ИЬ
появляются ио внутренним мотивам развития ма-
тематики раньше, чем созревает необходимость
обобщения соответствующих физических представ-
лений, то этим уже создается вероятность предвос-
хищения формами М2 будущих физических пред-
ставлений Ф2. Например, применение неевклидо-
вых геометрий в теории относительности можно
объяснить в этом плане тем, что, имея потреб-
ность при создании повой механики обобщить ма-
тематический аппарат ньютоновой механики —
геометрию Евклида, трудно было избежать одного
из существовавших уже многочисленных обобще-
ний этой геометрии в формальной плоскости.
Однако при таком чисто структурном подходе
математическое предвосхищение выглядит всего
лишь случайностью, принципиальной возможно-
стью, но нс обосновывается в качестве необходи-
мой исторической тенденции. Неясно прежде всего,
почему абстрактные математические формы (М2)
должны обязательно опережать появление соот-
ветствующих абстрактных объектов з физике:
принципиальная возможность еще ничего не до-
196
называет. Неясно далее, почему эти абстрактные
формы должны пересекаться с множеством буду-
щих физических моделей, ибо в принципе возмож-
но допустить и отсутствие такого пересечения.
На эти вопросы можно ответить только в сис-
темном контексте, с точки зрения основной тенден-
ции математики как системы. Наибольшую пер-
спективную устойчивость математике обеспечива-
ет такая ее структура, которая оказывается способ-
ной ответить на все внешние требования к мате-
матике на некотором интервале времени с мини-
мальной перестройкой себя. Прикладные матема-
тические теории и системы представлений со-
держательных математизированных теорий (Ф1)
находятся на каждом этапе в соответствии, опре-
деляемом принципом параллелизма 'содержания и
формы. Множеству образов неинтерпретированной
математики Л12 на данном этапе не соответствуют
образы какой-либо системы физических представ-
лений. Ясно, что степень перспективной устойчи-
вости математики в целом находится в прямой за-
висимости от того, в какой мере существующий
параллелизм между Mi и обладает потенциаль-
ной возможностью быть продолжением на область
нсинтерпретирсванных образов математики, т. е.
от того, в какой мере структурой образов М2 пре-
дусматривается структура Ф2. Если ни один из
образов М2 не соответствует ни одному из образов
Ф2, тогда для каждой новой 'содержательной схе-
мы придется придумывать новую математику. Это,
очевидно, случай максимальной неустойчивости
математического знания по отношению к содержа
тельному. И напротив, современная математика
являлась бы максимально устойчивой, если бы
существующими образами М2 оказались предус-
мотренными все образы Ф2, могущие появиться на
некотором интервале времени. В фактическом раз-
витии математики осуществляется лишь тенден-
ция устойчивости, а это означает, что из всего
множества образов, удовлетворяющих некоторым
внутренним потребностям математики, в процессе
перспективного, во многом неосознанного, отбора
получают преимущество те, которые в наибольшей
197
степени способны обеспечить изоморфизм между
М<2 и Фг, т. е. образы, наиболее вероятные для
содержательной интерпретации в будущем.
Приведенное ра’ссуждение, даже если оно само
ио себе и правильно, может показаться неполным,
так как оно не объясняет, почему, например, теория
групп как первоначально внутриматематичсская
теория нашла приложение именно в физике эле-
ментарных частиц или почему логические исчисле-
ния применяются в технике. На наш взгляд, на
такого рода конкретные вопросы не может быть
вообще дано удовлетворительного ответа, ибо
каждая такая связь сама по себе случайна. Здесь
допустимо только системное объяснение, т. е.
обоснование определенной тенденции всей системы
абстрактных образов математики, исходящее из
взгляда на математику как на систему, имеющую
определенные задачи по отношению к белее широ-
кой системе.
Математика как подсистема науки
Не все возможные абстракции математики ока-
зываются предвосхищающими, не всё, что случает-
ся в физике, математика предвосхищает. Здесь
реализуется лишь вероятностная стратегия. Но
важно понять, что существуют мощные механизмы,
закрепленные эволюцией прежде всего в наших
эстетических критериях (красота, изящество, сим-
метрия), которые действуют в направлении увели-
чения эффективности этой стратегии. Математиче-
ское предвосхищение не случайность, а проявление
весьма общей системной закономерности в опре-
деленном спецефическом контексте.
Математика исторически подчинена эмпириче-
скому знанию, она вторична по отношению к нему,
она возникла как орудие для расширения содер-
жательного знания и не имеет никаких других
функций. Однако это не значит, что математика
в исследовании своих форм тащится за потребно-
стью содержательной науки. Такая стратегия иск-
лючена, ибо она совершенно неэкономична. Мы
198
ускоряем исследование реального мира посредст-
вом формального забегания вперед, посредством
набрасывания чистых сеток, исследования возмож-
ных миров, возможных концептуальных связей.
Математика поэтому не только средство описания
и предсказания, она должна быть понята также
как деятельность по конструированию чистых
форм, подготавливающая возможность исследова-
ния форм реального мира, стимулирующая само
формирование содержательных представлений.
Вера в особую предваряющую и эвристическую
силу математических форм составляет суть совре-
менных пифагореистских настроений в философии
математики. Может быть наиболее ярко они про-
являлись во взглядах Эйнштейна. «Опыт, — пи-
сал Эйнштейн, — остается, естественно, единствен-
ным критерием пригодности некоторого математи-
ческого построения для физики. Но ссбственно
творческое начало относится к математике. Та-
ким образом я в известном смысле считаю оправ-
данной мечту древних об овладении истиной путем
чисто логического мышления» [99, с. 64]. И в дру-
гом месте: «Еще в древности люди придумали кри-
вые, которые ’соответствуют простейшим законам.
Наряду с прямой и окружностью среди них были
эллипс и гипербола. Последние мы видим реализо-
ванными в орбитах небесных тел, вс всяком случае
с хорошим приближением. Представляется, что
человеческий разум должен свободно строить фор-
мы, прежде чем подтвердилось бы их действитель-
ное существование» [99, с. 109]. Несмотря па не-
которую дозу мистики, которая присутствует в
такого рода заявлениях, они отражают реальное
положение дела, реальную функцию математики,
которая ярко обнаружила себя в науке XX в. За-
дача философии состоит в ее адекватном обосно-
вании.
Понимание истоков математического предвосхи-
щения важно чисто практически для правильного
отношения к абстрактной математике. В послед-
ние десятилетия в связи с ростом абстрактных об-
ластей математики у некоторых математиков по-
явилось беспокойство: «А не может ли математи-
199
ка оторваться от практики вообще и превратиться
в некоторую хитрую игру, понятную только самим
математикам?» Некоторые же математики утверж-
дают, что такой отрыв уже произошел, и счита-
ют необходимым лишь объяснить его причины [32;
47].
Однако идеи такого рода основаны исключи-
тельно на непонимании элементарных механизмов
социальной детерминации науки, действительных
стимулов так называемого свободного творчества
в науке. Все аргументы здесь сводятся обычна к
отдельным фактам. Г. Штейнгауз обеспокоен фак-
том появления совершенно искусственных геомет-
рий, в которых нет «ни прямых, ни точек». Дайсон
говорит о фактах, когда чистые математики, ув-
леченные своими проблемами, не замечают важ-
ных идей в физике. А. Китайгородский утвержда-
ет, что появление ЭВМ, которые могут вычислять
всевозможные интегралы, делает чистую математи-
ку ненужной для практики. Такая аргументация
несостоятельна прежде всего потому, что этим фак-
там легко могут быть противопоставлены факты с
противоположными свойствами: Наряду с «упу-
щенными возможностями», о которых говорит
Дайсон, можно указать на факты неожиданных
полезных приобретений, можно указать на новые
запросы к чистой математике, которые были выз-
ваны именно появлением ЭВМ, и т. д. Все дело в
том, что в таких вопросах факты недопустимы как
метод рассуждения. Для того, чтобы понять, ка-
кие же факты выражают ведущую тенденцию, на-
до взглянуть на математику вообще, на мотивы ее
возникновения и стимулы развития, надо понять
ее как систему, выполняющую определенные функ-
ции по отношению к другой, более фундаменталь-
ной системе.
Чистый интерес в математике, как и в любой
науке, отнюдь не свободен, но всего лишь способ
предварения будущего, главный механизм такого
предварения, и он в той мере развит и закрепля-
ется эволюционно, в какой он выполняет свою, в
конечном итоге, практическую функцию. Это зна-
чит, что чистой математики в каждое данное вре-
200
мя существует примерно столько, сколько это не-
обходимо для оптимального ответа на совокупность
актуальных и будущих запросов и что искусствен-
ная ориентация на приложения из-за боязни отор-
ваться от практики нанесла бы вред прежде всего
самим приложениям. Здесь уместно напомнить
слова Ф. Клейна: «Профан заранее мало склонен
приписывать какую-либо ценность занятию проб-
лемами, которые возникают прежде всего из субъ-
ективного, так сказать, эстетического стремления
к познанию математики. Но история науки пока-
зывает, что дело обстоит совершенно иначе. Это
большая тайна, которую трудно выразить словами.
Я скажу лишь, что все то, что здорово в матема-
тическом отношении, рано или поздно приобрета-
ет значение, далеко выходящее за пределы его
первоначальной области» [48, 'с. 157]. Сегодня эту
тайну в общем можно объяснить. По крайней ме-
ре ясно, что она имеет основания в самом харак-
тере человеческой приспособительной деятельности,
в механизмах, детерминирующих эту деятельность
'с учетом ее перспектив.
В заключение отмстим, что понимание матема-
тики как совокупности логически возможных форм,
предвосхищающих реальные формы, имеет неко-
торую связь с традиционным эмпиризмом.
Математики XVII—XVIII вв. предпринимали
усилия по «офизичиванию» всех математических
понятий, по выведению математических утвержде-
ний из «экспериментальных истин». Они стреми-
лись отобразить всю математику на существующие
содержательные представления. С современной
точки зрения, такая попытка обречена на неуда-
чу. Более того, мы понимаем, что усилия в этом
направлении не вызываются какими-либо сущест-
венными потребностями математики. Последующая
философия математики, в основе которой лежат
представления об иерархии понятий от конкретных
до самых абстрактных, склонна была истолковы-
вать фундаментальные математические понятия
как фикции, существующие лишь как аппарат для
внутренних преобразований, но для которых не
имеет смысла отыскивать какое-либо внешнее оп-
201
равданне. Обоснование тенденции к «офизичива-
нию» абстрактных форм вносит некоторые изме-
нения в это воззрение, ибо мы получаем теперь
возможность говорить не только о наличии необ-
ходимого параллелизма между современной физи-
кой и используемой в ней математикой, но и о
наличии вероятностного параллелизма между со-
временной абстрактной (неинтериретированной)
математикой и будущей физикой. С этой точки
зрения, современная абстрактная математика —
не набор фикций, имеющих лишь оперативное зна-
чение, но вероятная структура будущей физики,
набор схем описания для будущей науки, а значит
имеет вполне определенное эмпирическое значение.
Здесь мы наблюдаем как бы некоторое возвра-
щение к традиционному эмпиризму, пытавшемуся
установить однозначное соответствие между фор-
мами математики и физическим миром. Принятие
такого рода вероятностного эмпиризма, однако, не
может быть использовано как аргумент в пользу
какой-либо программы эмпирического обоснования
математики.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Итак, мы видим, что вместе с развитием мате-
матики постоянно происходит и развитие воззрений
на математику, претерпевая время от времени ра-
дикальные изменения. Пифагорейская абсолютиза-
ция и космизация законов элементарной математи-
ки сменилась в XVII—XVIII вв. почти противопо-
ложной, но не менее влиятельной концепцией, со-
гласно которой математические понятия отража-
ют опыт или абстрактные представления об опы-
те, зафиксированные в науках о природе. Гло-
бальному эмпиризму был противопоставлен затем
взгляд на математику как на идеальную форму
субъективного восприятия мира. Понятия матема-
тики были объявлены теперь отражением особого
внеэмпирического созерцания субъекта, но не
законов космоса самих по себе или законов кон-
кретных сфер действительности. Обе эти доктри-
ны были отброшены или по крайней мере поколеб-
лены фактом неевклидовых геометрий. К началу
XX в. было выработано представление о математи-
ке, радикально отличающее от всех предшествую-
щих, в основу которого было положено понятие
непротиворечивой системы высказываний, основан-
ной на неявных определениях. Это последнее воз-
зрение в настоящее время подвергается критике с
позиций эмпиризма за абсолютизацию математи-
ческой строгости, а также с позиций реализма за
отрыв математики от ее онтологических основа-
ний. Эта критика в обоих случаях имеет смысл, и
есть основания думать, что именно в настоящее
время мы находимся на стадии вызревания новых
представлений о математике, более точно отража-
ющих ее реальный статус и функции.
Из сказанного ясно, что философские воззре-
ния на математику не могут быть сформулирова-
ны как нечто окончательное, они также не дости-
гают завершенности, как и сама математика. Лю-
бая концепция математики, какой бы убедитель-
ной она не представлялась, рано или поздно обна-
203
ружит свою ограниченность перед лицом фактов
живой математики. Отсюда, в частности, ясно, что
те или иные определения математики, которые
иногда кладутся как нечто абсолютное в основу
ее обсуждения, являются ограниченными, отража-
ющими исторический этап ее понимания и, как
правило, лишь какую-то одну сторону этого огра-
ниченного понимания.
Хотя абсолютно адекватное понимание матема-
тики недостижимо, всякий прогресс в этом отно-
шении чрезвычайно важен для прогресса самой
математики. Рассмотренные выше факты уже в
достаточной мере иллюстрируют это положение.
Общие программы обоснования математики строи-
лись и будут строиться впредь на основе гипотез
философского порядка, на основе представлений с
природе математической теории, ее объектов, о
природе логики, иначе говоря — в свете конкрет-
ного понимания обоснования, которое задается не-
посредственно пониманием природы математики.
Это особенно актуально для нашего времени. Яв-
ляется общепризнанным, что проблема обоснования
математики все еще находится в некотором тупике
после открытий Геделя. И дело здесь не в недо-
статке математической техники, а прежде всего в
отсутствии однозначного понимания самого поня-
тия «обоснование», в разногласиях о допустимой
логике и т. д. Необходимо глубже понять природу
математического мышления и разумные требова-
ния к нему, чем это было сделано до сих пор.
Ясное представление о природе математики не-
обходимо также и для своевременной ассимиля-
ции нового. Длительное неприятие неевклидовых
геометрий, как мы видели, было обусловлено от-
нюдь не наличием математических ошибок в ра-
ботах Больяи и Лобачевского. Это было неприятие
’самого направления исследования, которое проис-
текало из определенной философии математики. По-
зиция, занятая многими крупными математиками
по отношению к геометрии Лобачевского и Больяи,
сегодня кажется нам близорукой и чуть ли пе об-
скурантистской. Однако для правильной сценки
такого рода явлений мы не должны забывать об
204
исторической относительности всякого момента
времени. Многое из того, чем будут заниматься
математики XXI в., будет не просто сложнее и
абстрактнее, но и, несомненно, будет в чем-то вы-
ходить за пределы наших сегодняшних представ-
лений о предмете и методе математики. А это зна-
чит, что мы также ко многому слепы и также
склонны отрицать или проходить мимо вещей, ко-
торым принадлежит будущее. Математик, защи
щающий сегодня классическую строгость своей
науки, найдет много союзников. Но прав ли он в
исторической перспективе? На этот вопрос непро-
сто ответить. Единственный способ усилить чув-
ство будущего — смотреть в прошлое. Практика
показывает, что человек, знающий историю науки,
борьбу методологий и философских мировоззре-
ний, легче способен отбросить привычные ограни-
чения, быстрее оценить новое и обосновать его
необходимость. По крайней мере он обладает зна-
чительно большей возможностью точно сформули-
ровать свои методологические принципы. Мировоз-
зренческие предрассудки тем сильнее держат пас
в плену, чем хуже они выражены в понятиях.
Для правильного понимания роли философско-
го и методологического компонента в развитии па-
уки мы должны подойти к ней исторически.
Чем дальше развивается наука, тем в боль-
шей степени она сознательно опирается на методо-
логические принципы вообще и, в частности, на
принципы, которые не являются очевидными для
здравого 'смысла. Тем самым методология науки
все больше превращается в особую сферу знания,
требующую специального изучения и обоснования.
С большей уверенностью мы можем сегодня ска-
зать, что ученый будущего — это человек, подго-
товленный не только к решению определенных
конкретных задач, но и обладающий широкой ме-
тодологической эрудицией, т. е. обладающий не
только знаниями о предмете, который он изучает,
как это было и в значительной мере остается д
сейчас, но и знаниями о теории, способах ее по-
строения и развития и т. д. Причем чем дальше,
тем больше именно этот второй блок эрудиции бу-
205
дет определять успех в решении конкретных за-
дач. Такова общая закономерность развития зна-
ния, которая относится также и к математике.
Практика преподавания специальных дисциплин
пока не учитывает в достаточной мере эту неиз-
бежно возрастающую роль методологического зна-
ния.
Надо отметить, что философия и общая ме-
тодология математики находятся в прямой зави-
симости от господствующих философских систем.
Эмпиризм в математике соответствовал расцвету
эмпиризма в теории познания вообще. Все недо-
статки формалистского понимания математики
проистекают в конечном итоге из позитивистской
теории познания; которая отрицает особый статус
категориальных представлений, смешивает фило-
софские и естественнонаучные представления о ми-
ре. Это различение однако совершенно необходи-
мо для правильного понимания природы логики и
для решения многих других проблем современной
философии математики. Незаметное смещение об-
щих философских понятий иногда ведет к осязае-
мым сшибкам в философии математики. Так, ча-
сто из того факта, что математика применяется на
практике, делается вывод, что математическая
теория в своей истинности проверяется или обос-
новывается практикой. Такой вывод может полу-
читься только при смешении таких понятий, как
опыт и практика, истинность и содержательность.
Мы можем утверждать, что математическая тео-
рия стимулируется практикой в своем развитии,
что она отражает реальность, содержательна (в
смысле возможного соответствия некоторой сис-
теме реальных связей), но отсюда не следует, что
она проверяется на опыте, подобно эмпирическим
теориям, что ей присуща истинность или что она
обосновывается посредством использования. Такие
смешения ведут к искажению сути математическо-
го знания со всеми проистекающими отсюда мето-
дологическими заблуждениями.
Философия математики требует также и неко-
торой эрудиции, выходящей за рамки философии
как теории познания. В опасениях математиков
206
за то, что математика может Оторваться от прак-
тики вследствие теоретической увлеченности до-
статочного количества ученых, звучит старое н
давно опровергнутое механистическое понимание
общественной жизни, абсолютизация свободы от-
дельного индивида.
Практически работающий математик, даже
склонный к анализу методов, вряд ли будет при-
лагать много усилий для разрешения столь абст-
рактных проблем, которые требуют другой про-
фессиональной подготовки. Здесь реализуется целе-
сообразное разделение труда. Но понимание взаи-
мосвязи различных уровней знания важно для спе-
циалиста. В случае необходимости он должен
уметь проанализировать наиболее глубокие исто-
ки своих методологических идей. На практике это
случается далеко не всегда. Например, номинали-
сты исходя из некоторых общих представлений о
связи математических абстракций с опытом ни-
когда не подвергали их как таковые достаточно яс-
ному философскому анализу. Реалисты не углуб-
ляются в понятия математического существования
так же, как интуиционисты никогда серьезно не
обсуждали вопрос об интуиции или о природе ло-
гических норм. Радикальные методологические ус-
тановки оказываются построенными на песке.
Если взглянуть в общем на современные дис-
куссии в философии математики, то можно ука-
зать ряд проблем, которые являются основными.
Первой и наиболее актуальной философской
проблемой в современной математике является во-
прос о природе логики. Достаточно сказать, что
сам смысл требования «обосновать математику»
не может быть уяснен без уточнения гносеологи-
ческого статуса логики. Господствующие в настоя-
щее время интуиционистские и эмпирические трак-
товки логики, которые ’сводят ее к простой коди-
фикации средств математического рассуждения, яв-
ляются совершенно неудовлетворительными.
Второй не менее важный вопрос связан 'с по-
нятием метода. Останется ли математика в рам-
ках строгой дедукции, либо ей предстоит отказ от
строгости в интересах практики?
207
Третья группа вопросов касается понятия ма-
тематического объекта. Основной вопрос состоит
здесь в том, следует ли математические понятия
считать просто оперативными символами, значение
которых исчерпывается системой применимых к
ним операций, или они непосредственно относятся
к некоторым реальностям. В более общем плане
проблема состоит в анализе содержательности ма-
тематики, в выяснении смысла этого понятия.
Четвертая проблема касается механизмов, де-
терминирующих развитие математического зна-
ния. Вопрос о природе «предустановленной гармо-
нии» между миром математических построений и
физическим миром, о природе эвристической функ-
ции математики в целом связан с выяснением со-
циальных и психологических механизмов, опреде-
ляющих развитие математического знания, скры-
тых механизмов целесообразности в образовании
абстрактных математических понятий.
Важным и спорным является вопрос о логиче-
ском статусе математических положений. Лейбниц
считал математику системой аналитических ут-
верждений (тавтологий). Кант настаивал на ее
синтетичности. Рассел, Кутюра, Витгенштейн и
многие другие в XX в. возвратились к взглядам
Лейбница. Представляется, что обе эти крайние
точки зрения являются ошибочными. Решение это-
го вопроса, однако предполагает исследование
трудных проблем логической семантики [см. 88].
Большой круг вопросов связан с процессом
математизации знания. Выяснение предпосылок
математизации посредством анализа уже матема-
тизировавшейся части знания было бы, конечно,
важным методологическим ориентиром для тех
его областей, где математизация еще предстоит.
Мы остановились здесь на обсуждении только
первых четырех вопросов, которые представляют-
ся нам наиболее важными для понимания 'совре-
менных дискуссий о природе математики.
ЛИТЕРАТУРА
1. Маркс К. Математические рукописи. М., 1968
2. Энгельс Ф. Анти-Дюринг.—М а р к с К. и Энгельс Ф.
Соч., т. 20.
3. Ленин В. И. Материализм и эмпириокритицизм. Полн.
собр. соч., т. 18.
4. Александров А. Д. Диалектика и математика. — Си-
бирский математический журнал, 1970, № 2.
5. Аристотель. Сочинения в четырех томах, т. 1. М., 1976.
6. Аристотель. Физика. М.—Л., 1936.
7. Б а у х Б. Кант и его отношение к естествознанию. М.,
1912.
8. Беляев Е. А Проблема взаимоотношения сходства и
тождества (в математике).— Вести. Моск, ун-та. Сер.
философия, 1967, № 3.
9. Беляев Е. А. Роль аналогии в системе математических
знаний,— Философские науки, 1971, № 5.
10. Беляев Е. А., Киселева Н. А., Перминов В. Я.
Некоторые особенности развития математики. М., 1975.
11. Бернштейн Н. А. Очерки по физиологии движения и
физиологии активности. М., 1966
12. Б и р ю к о в Б. В. О работе Фреге по философским воп-
росам математики.— В кн.: Философские вопросы естест-
вознания, вып. 2. М., 1959.
13. Блехман И И., Мышкис А. Д., Пановко Я. Г.
Прикладная математика: предмет, логика, особенности
подходое Киев, 1976.
14. Больцано Б. Чисто аналитическое доказательство тео-
ремы, что между любыми двумя значениями, дающими
результаты противоположного знака, лежит по меньшей
мере один действительный корень уравнения.— В кн.:
Э. К о л ь м а н. Бернард Больцано. М., 1975.
15. Б о р Н. Атомная физика и человеческое познание. М.,
1961.
16. Бродский И. Н. Логическое противоречие и научное
знание.— Философские пауки, 1970, № 3.
17. Бунге М. Интуиция и наука. М., 1967.
18. Бур б аки Н. Очерки по истории математики. М., 1963.
19. Васильев А. В." И. И. Лобачевский. Казань, 1894.
20. Вейль Г. О философии математики.— М.—Л., 1934.
21. Вигнер Е. Непостижимая эффективность математики
в естественных пауках.— В кн.: Этюды о симметрии. М„
1971.
22. Визгни В. II. Проблемы взаимосвязи математики и фи-
зики.— Историко-математические исследования. Вып. XX.
М., 1975.
23. Гегель Г. В. Ф. Сочинения, т. 5. М., 1937.
24. Рейтинг А. Интуиционизм. М., 1965.
209
25. Гельмгольц Г. О происхождении и значении геомет-
рических аксиом. Спб., 1895.
26. Г и л ь б е р т Д., Аккерман Г. Основы теоретической
логики. М., 1947.
27. Гильберт Д. Основания геометрии. М., 1948.
28. Гнеденко Б. В. Теория вероятностей и познание реаль-
ного мира.— УМН, 1950, т. 5, вып. 1(35).
29. Гомперц Т. Греческие мыслители. Спб., 1911.
30. Гудстейн Р. Л. Математическая логика. М., 1961.
31. Гуссерль Э. Логические исследования, т. 1. Спб., 1909.
32. Дайсон Ф. Дж. Упущенные возможности.— УМН, 1980,
т. 35, вып. 1(211).
33. Дедекинд Р. Непрерывность и иррациональные числа.
Одесса, 1923.
34. Дельсо н В. Ю. Закономерность универсальной гармо-
нии.— Советская музыка, 1969, № 12.
35. Декарт. Избранные философские сочинения. М., 1950.
36. Дирак П. Эволюция взглядов физиков на картину при-
роды. — Вопросы философии, 1963, № 12.
37. Жуков Н. И. Философские проблемы математики. Минск,
1977.
38. Избранные отрывки из математических сочинений
Г. В. Лейбница.— УМН, 1948, т. 3, вып. 1(83).
39. И л и е в Л. Математика как наука о моделях.— УМН,
1971, т. 27, вып. 2.
40. Кант И. Логика. Пг., 1915.
41. Кант И. Сочинения в 6-ти томах. М., 1962—1965.
42. К а н т о р Г. Основы общего учения о многообразиях.—
Новые идеи в математике. Сб. 6. Спб., 1914.
43. Карно Л. Размышления о метафизике исчисления бес-
конечно малых. М.—Л., 1933.
44. Кассирер Э. Познание и действительность. М., 1912.
45. К а ц и в е л и Г. Математика и действительность. — Исто-
рико-математические исследования, вып. XX. М., 1975.
46. К е д р о в с к и й О. И. Методологические проблемы раз-
вития математического познания. Киев, 1977.
47. К и т а й г о р о д с к и й А. Дело о разводе.— Литератур-
ная газета, 1979, № 43.
48. Клейн Ф. О геометрических основаниях лорентцовой
группы.— В сб.: Новые идеи в математике. Сб. V. Спб.,
1914.
49. Котарбинский Т. Избр. произведения. М., 1963.
50. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? М.,
1967.
51. Кутюра Л. Философские принципы математики. Спб.,
1913.
52. Лакатос И. Доказательства и опровержения. М., 1967.
53. Ланге Ф. А. История материализма и критика его зна-
чения в настоящем, т. 2. Киев — Харьков, 1900.
54. Ледников Е. Е. Критический анализ номиналистических
и платонистических тенденций в современной логике.
Киев, 1973.
55. Лобачевский Н. И. Поли. собр. соч., т. 1—5. М.—Л.,
1946—1951.
210
56. Лосев А. Ф. История античной эстетики (ранняя клас-
сика). М., 1963.
57. Лузин Н. Н. Собр. соч., т. 3. М., 1959.
58. Лурье С. Я. Теория бесконечно малых у древких ато-
мистов. М.—Л., 1935.
59. М а к о в е л ьс к и й Л. О. Досократики. Ч. III. Казань,
1919.
60. Математика в современном мире. М., 1967.
61. Марков А. А. О логике конструктивной математики.
М., 1972.
62. Мар куш ев ич А. И. Основные понятия математическо-
го анализа и теории функций в трудах Эйлера.— В кн.:
Леонард Эйлер. К 250-летию со дня рождения. М.,
1958.
63. М а р у т а е в М. А. О гармонии как закономерности. М.,
1972.
64. Медведев Ф. А. Развитие теории множеств в XIX в.
М., 1965.
65. Милль Дж. Обзор философии сэр В. Гамильтона. Спб.,
1869.
66. Милль Дж. Система логики силлогистической и индук-
тивной. М., 1914.
67. Мизес Р. Вероятность и статистика. М.—Л., 1930.
68. Молодший В. Н. Основы учения о числе в XVIII —
начале XIX в. М., 1959.
69. М о с т о в с к и й А. Современное состояние исследований
по основаниям математики.—УМН, 1954, т. 9, вып. 3(61).
70. Нагель Э., Ньюмен Д. Теорема Геделя. М., 1970.
71. Налимов В. В. Логические основания прикладной ма-
тематики. М., 1971.
72. Новые идеи в математике. Сб. 8. Спб., 1914.
73. Ньютон И. Математические работы. М., 1937.
74. Нысанбаев А. Н., Ш л я х и н Г. Г. Развитие познания
и математика. Алма-Ата, 1971.
75. П е р м и н о в В. Я- Проблема причинности в философии
и естествознании. М., 1979.
76. Петров Ю. А. Философские проблемы математики. М,
1974.
77. Платон. Сочинения в 3-х томах, т. 3. М., 1971.
78. П о й а Дж. Математика и правдоподобные рассуждения.
М, 1957.
79. Пуанкаре А. Наука и гипотеза. М., 1904.
80. Пуанкаре А. Наука и метод. Спб., 1910.
81. Пуанкаре А. Об основных гипотезах геометрии.— В сб.:
Об основаниях геометрии. М., 1956.
82. Раик А. Е. Очерки по истории математики в древности.
М., 1967.
83. Рассел Б. Проблемы философии. Спб., 1914.
84. Руза в ин Г. Й. О природе математического знания. М.,
1968.
85. Рыбников К. А. Введение в методологию математики.
М., 1979.
86. С а б о А. О превращении математики в дедуктивную
211
науку и начале ее обоснования.— В кн.: Историко-мате-
матические исследования, вып. XII. М., 1959
87. С е р р ю с Ш. Опыт исследования значения логики. М.,
1948.
88. С м и р н о в а Е. Д. К проблеме аналитического и синте-
тического.— В сб.: Философские проблемы современной
формальной логики. М., 1962.
89. Стройк Д. Я- Краткий очерк истории математики. М.,
1964.
90. Структура и развитие науки. М., 1978
91. Ту ту б а л и н В. Н. Статистическая обработка рядов на-
блюдений. М., 1973.
92. Уемов А. И. Онтологические предпосылки логики. —
Вопросы философии, 1969, № 1.
93. Философские науки, 1975, № 1.
94. Флоренский П. А. Мнимости в геометрии. М„ 1922.
95. Ф р е н к е л ь А., Ба р-Х и л л е л И. Основания теории
множеств. М., 1966.
96. X и н ч и н А. Я. Частотная теория вероятностей Р. Ми-
зеса и современные идеи теории вероятностей.— Вопро-
сы философии, 1961, № 1, 2.
97. Ш л я х и н Г. Г. Математика и объективная реальность.
Рсстоз, 1977.
98. III т е й н г а у з Г. О математической строгости.— В кн.:
Задачи и размышления. М., 1974.
99. Эйнштейн А. Физика и реальность. М., 1965.
100. Эйлер Л. Дифференциальное исчисление. М.—Л., 1949.
101. Юшкевич А. П. О возникновении понятия, об опре-
деленном интеграле Коши.— Труды Института истории
естествознания и техники, вып. 1. М., 1947.
102. Юшкевич А. П. К истории спора о колеблющейся
струне (Деламбер о применении разрывных функций).—
В кн.: Историко-математические исследования, вып. XX.
М., 1975.
103. Яновская С. А. Методологические проблемы науки.
М„ 1972.
104. An gel el И Ign. Studies on Gottlob Frege and traditio-
nal philosophy. Dordrecht-Holland, 1967.
105. Barker S. F. Realism as a philosophy of mathematics.
In: Foundations of mathematics. Simposium papers com-
memorating the sixtieth birthday of Kurt Godel. Ed. by
Jack Bulloff, Berlin, Heidelberg, New York, 1969.
106. Bochner S. The role of mathematics in the rise of
science. Princeton, 1966.
107. Brouwer L. E. J. Colected work’s. Vol. 1. Philosophy
and foundation of mathematics. Ed. by A. Heiting. Amster-
dam-Oxford, 1976.
108. God el K. Rusel’s mathematical logic. In: The Philosophy
of Bertrand Russel. The library of living philosophers.
Ed. by P. Schillp. Evanston—Chicago, 1944.
109. Goodman N., Quine W. V. Steps toward a construc-
tive nominalism. Journal of Simbohc Logic, 1947, vol. 12,
N 4.
212
НО. К as si г er Е. Kant und die moderne Mathematik, Kant-
Studien, Bd XII. Berlin, 1907.
111. Kleinke E. D. Frege’s ontology: realism. In: Essays
on Frege. Ed. by E. D. Klemke. Urbana, Chicago, and
London, 1968.
112. Kreis el G. Informal rigour and completesness proofs.
In: [117].
113, Lakatos I. Infinite regress and the foundation of
mathematics.— Aristotelian Society. Supplementary volu-
me 36, 1962.
114. Lucas J. R. Euclides ab omni naevo vindicatus.—
The British journal for the philosophy of science, 1969,
N 3.
115. Mei песке W. Die Bedeutung der nichteuclidische Geo-
metric in irem Verhaltnis zu Kautz Theoiie. Kant-Studien,
Bd XI. Berlin, 1906.
116. Moss J. M. B. Kreisel’s work on the philosophy of
mathematics.— I. Realism.—In: Proceedings of the sum-
mer school and colloquium in mathematical logic, Man-
chester, 1966. Amsterdam, London, 1971.
117. Problems in the philosophy of mathematics. Ed. by I. La-
katos, Amsterdam, 1967.
118. Reichenbach H. The philosophical signification of
the theory of relativity.— In: Albert Einstein; philosop
her—scientist. Evanston—Illinois, 1949.
119 Reichenbach H. Philosophv of space and time. New
York, 1957.
120. Russel B. An essay on the foundation of geometry.
Cambridge, 1897.
121. Russel B. Die Emfiirung in die mathematische Philo-
sophy. Miinchen, 1923.
122. Schutte Kurt. Proof theory. Berlin, New York, 1977.
123. Torretti R. Philosophy of geometry from Riem an to
Poincare. Dordrecht, Boston, London, 1978.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ........ 5
Введение....................................7
Глава 1
ГРЕЧЕСКАЯ МАТЕМАТИКА И ЕЕ ФИЛОСО-
ФИЯ
Возникновение и сущность пифаго-
реизма ...... Ю
1Математический атомизм . . 18
Эволюция пифагореизма ... 20
Глава 2
ФИЛОСОФСКИЕ ПРЕДПОСЫЛКИ ОБОСНО-
ВАНИЯ ИСЧИСЛЕНИЯ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ
Проблема обоснования дифференци-
ального исчисления .... 28
Математические трудности . . 31
Метафизическое обоснование беско-
нечно малых 36
Физическая и геометрическая аргу-
ментация .........................40
Глава 3
НЕЕВКЛИДОВЫ ГЕОМЕТРИИ И РАЗВИТИЕ
ФИЛОСОФИИ МАТЕМАТИКИ В XIX В.
Философия математики в начале
XIX в.............................49
Основные направления философского
обоснования неевклидовых геометрий
в XIX в...........................55
Становление современной концепции
математики ..... 62
Глава 4
ПРОБЛЕМА ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
В НАЧАЛЕ XX В.
Парадоксы теории множеств . . 70
Логицизм..........................75
Интуиционизм......................80
Формализм . . . . 87
Теоремы Геделя и их истолкование 92
214
Глава 5
О ПРИРОДЕ ЛОГИКИ
Исторические замечания к проблеме
(Кант, Милль, Гуссерль) . 96
Логика и практика . . . .100
Критика интуиционистского истолко-
вания логики.......................108
Глава 6
ЭМПИРИЗМ В СОВРЕМЕННОЙ ФИЛОСОФИИ
МАТЕМАТИКИ
Аргументы неоэмпиризма . . .116
Критика эмпирической концепции
обоснования математики . . .123
Останется ли математика строгой? 131
Глава 7
НОМИНАЛИЗМ И РЕАЛИЗМ В СОВРЕМЕН-
НОЙ ФИЛОСОФИИ МАТЕхМАТИКИ
Номинализм.........................137
Реализм (платонизм) ... . 143
Проблема интеллектуальной интуиции
в математике.......................148
Заключительные замечания к пробле-
ме обоснования математики . . 158
Глава 8
ИДЕАЛЬНЫЙ ОБЪЕКТ В СТРУКТУРЕ МАТЕ-
МАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
Некоторые замечания к частотной ин-
терпретации теории вероятностей . 163
О геометрии реального пространства 171
Глава 9
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРЕДВОСХИЩЕНИЕ
Тенденция к универсальности в ма-
тематике .....................183
Проблема «офизичения» абстрактных
образов...........................191
Математика как подсистема науки 198
Заключение............................203
Литература . , ...... 209
Евгений Александрович Беляев,
Василий Яковлевич Перминов
ФИЛОСОФСКИЕ И МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ
ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИКИ
Заведующая редакцией
Г. С. ЛИВАНОВА
Научный редактор
А. Г. БАРАБАШЕВ
Редактор
В. П. ПАЗИЛОВА
Художник
Е. А. МИХЕЛЬСОН
Художественный редактор
Н. Ю. КАЛМЫКОВА
Технический редактор
К. С. ЧИСТЯКОВА
Корректор
М. И. ЭЛЬМУС
Тематический плат 1981 г. № !0
ИБ № .11144
Сдано в наЗор 12.03.81.
Подписано к печати 12.05.81
Л-97039 Формат 84Х1007з2
Бумага тип. № 1
Гарнитура литературная.
Высокая печать
Уел. печ. л. 10,53 Уч.-изд. л. 10,33
Зак. 59 Тираж 5640 экз.
Цена 60 коп. Изд. № 391
Издательство
Московского университета.
103009, Москва, ул. Герцена, 5/7.
Типография Изд-ва МГУ.
Москва, Ленинские горы
Советские кжи w медники
sovietime.ru
СКАЧАТЬ