/
Автор: Осиповскій Т.Ф.
Теги: математика математический анализ функциональный анализ естественные науки
Год: 1823
Текст
Ун 51(02)0742
Осиповский Т. Курс
Математики. Т.Ш.
Спб., 1823
Инв.№ 225362
к у
ъ
МАТЕМАТИКИ
ЗАСЛУЖЕННА ГС ПРОФЕССОРА, СТАТСКАГО СОВЪТНИК 1
С —
ТИМОѲЕЯ ОСИПОВСКАГО.
вЪ кс ей разсматриваются
ПРЕОБРАЗОВАНІЕ ФУНКЦІЙ ;• ИЗМѢНЕНІЕ ФУНКЦІЙ ЕООВІЦЕ ПО
РАЗНОСТЯМЪ И ВАРІАЦІЯМЪ , И СУММОВАНІЕ РАЗНОСТНЫХЪ
ФУНКЦІЙ; ДИФФЕРЕНЦИРОВАНІЕ ФУНКЦІЙ И ИНТЕГРОЕ." НІЕ
ДИФФЕРЕНЦІАЛЬНЫХЪ ФУНКЦІЙ; ИНТЕГРОВАНІЕ УРАВНЕНІЙ
КАКЪ ВЪ ЦѢЛЫХЪ, ТАКЪ И ЧАСТНЫХЪ ДИФФЕРЕНЦІАЛАХЪ,
И ВАРІАЦІОННОЕ ИЗЧИСЛЕНІЕ.
ВЪ С. ПЕТЕРБУРГѢ,
при Императорской Академіи Наукіэ, ібЭЗ года.
ч?
- •• х»і
НЕОПРЕДѢЛЕННАЯ АНАЛИТИКА
•*
или
ѲЕОРІЯ фуНКЦІЙ.
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Содержащая общія изслѣдованія фуикц і й
ОТДѢЛЕНІЕ ПЕРВОЕ
О существѣ функцій и различныхъ
ихЪ преобразованіяхъ.
I. Предварительныя понятія о существѣ функцій.
§. і.
При изслѣдованіи опредѣленныхъ величинъ разсматриваются
онѣ такЪ какЪ пзвістныл или такЪ какЪ нензвістныл вели-
чины; тѣ означаются первыми буквами алфавита, а сіи по-
слѣдними. При изслѣдованіи же неопредѣленныхъ величинъ
разсматриваются онѣ шакЪ какЪ постоянныя или такЪ какЪ
лереліінныя величины ; здѣсь постоянныя величины означа-
ются первыми, а перемѣнныя послѣдними , буквами алфавита.
Постоянныя величины, какЪ и самое ихЪ названіе пока-
зываетъ , сгрпі ті , кои лрн мзліінсн и дрцгихЗ остаіОтся сЗ
одномЗ и томЗ же состояніи. ; лсрсмінныя же величины суть
ті, кои ЛіогцтЗ переходами грезЗ различныя состоянія. ТакЪ
на пр. вЪ извѣстномЬ кругѣ неопредѣленной отрѣзокЪ діаме-
тра и соотвѣтствующая ему прямоугольная ордината будутЪ
Часть ІИ. і
2
величины измѣняемыя, діаметрѣ же булетѣ величина по-
стоянная; ибо он >й отрѣзокѣ поелику неопредѣленной, мо-
жетѣ пышь взятЪ болѣе и мен*. е, а вмѣстѣ сЬ нимЬ и орди-
на а ему соотвѣтствующая измѣняться будетЪ; н<> діаметрѣ
Между шѣмЬ всегда оставаться будешь одмнѣ и тотѣ же.
ВЪ прочемЪ, постоянность или перемѣнность величинѣ-
зависитЬ ошѣ намѣренія, еѣ^кошорымЪ выкладка производит-
ся : піа величина , которая ьѣ одномЪ намѣреніи рлз> маиіри-
валась посінояннйн, можешѣ быть при другомѣ намѣреніи раз-
сматриваема величиною измѣняемою; и напротивъ , такая ве-
личина , которая вЪ одномЬ намѣреніи разсматривалась измѣ-
няемою, можегнѣ прд другомЪ намѣреніи рачемаліриваема быть
величиною постоянною. ТакЪ вЪ прелѣидущемѣ примѣрѣ діа-
метрѣ былЪ для насЪ величина постоянная , отрѣзокѣ же
его и соотвѣтствующая ему оріинаіна величины измѣняемыя;
но когда вообразимЪ вЪ разныхѣ кругахѣ ординату о гной
и той же величины, то сія ордината будешь нюіда для
на' Ъ величина постоянная, діаметрѣ же и отрѣз.жѣ его
коему оная ор іината соотвѣтствуетъ , бу душѣ тогда для
насѣ величины измѣняемыя; ибо вѣ семѣ разумѣ о діаметрѣ, и
обЬ отрѣзкѣ его оной ординатѣ соошвѣтдпвугощемЬ , разсуж*
дается какѣ о принадлежащихъ кѣ неопредѣленному круіу,
или какѣ обѣ относящихся кѣ цѣлому роду круювЬ.
2.
Если какая нибѵдь перемѣнная величина на по: у выра-
жается чрезѣ какую ниоудь друіую перемѣнную величину на
пр. х, и чрезѣ постоянныя величины , пю сіе ея выраженіе
кончается функціею величины х. Такѣ если будеаіЬ у СИ
ах —хх или у — і/(аа — ®х> и *и у ~ ах , то изображенія
ах — хх или V (аа — хх) или ах , называются функціями
величины X- и говорич) я чіпо Вгличина у есііь такая то
функція величины х. ЧрезЪ какія состоянія сѣ измѣненіемъ
X переходишь бугепіЬ фѵнкція величину у изображающая,
шакія состоянія величина у принимать будешЬ.
3
Иногда перемѣнная величина выражается чрезЪ двѣ илц
болѣе другія перемѣнныя ьеличины , и тогда говорится чіпо
оная величина есть функція сз-Ъ послѣднихъ величинъ ТакЪ
на пр. если будешЪ г ~ ах 4- Ъу 4- сху , пю говорится, что
ветчина г есть функція величинъ х и у вида ах 4~ Ъу
4- сху.
§ 3-
Всѣ функціи, кои вообразить можно, раздѣляются на -дня
главныхЪ рода: на алгебраическія и трансцендентныя. Алге-
браическою функціею называется та, вь коей одна перемѣнная
величина черезЪ другую перемѣнную посредствомъ алгебраичес-
кихъ дѣйствій, то есть чрезЪ сложеніе, вычитаніе, умноженіе,
дѣленіе, возвышеніе вЪ опредѣленныя степени и извлеченіе кор-
ней опре’ѣленныхЪ степеней, выражается: таковы суть
функціи аах 4- Ъхх , хх 4- х У (аа — хх). Трансцендентною
же функціею называется та, вЪ которой одна перемѣнная ве-
личина чрезЪ другую посредствомъ Алгебраическихъ дѣйствій
опредѣленнымъ числомъ членовЪ гыражена бы.пь не можетЪ.
'Гаковы сушь функціи ексооненціальныя на пр. у~ах; лога-
риѳмическій, на пр. у ~ Іор. (а 4- х) ; тригонометрическія, на
пр. у ~ зіп. х, и другія еимЬ подэоныя, доставляемыя инте-
гральнымъ вычисленіемъ.
Алгебраическія функціи раздѣляются вопервыхЪ на раціо-
налъныл и ирраціональныя. Раціональныя функціи сушь іпѣ,
вЪ коихЪ перемѣнная вели .ина во всѣхЪ ч іенахЪ находится вЪ
раці ічальномЬ видѣ, каковы сѵть функціи а 4- Ъх, а3 4~ х3 или
ах2 6x3 .
/-І-5Х >
Иррацгональныя же функціи сушь тѣ, вЪ коихЪ пе-
ремьнная величина, или какія нибудь ея алгебраическія выра-
женія , находятся вЪ ирраціональномъ видъ, каковы сушь
3
Функціи у — У х или у — ах 4- У (Ъ3 4- схх). КакЪ тѣ,
і •
4
такЪ и другія функціи быв'іюп*Ъ или цілкія или дробныя*. на
пр. фічкц-и аа Н- хх или а — У (аа— хх) сушь цѣлыя , но
а?4-хЗ а 4- У(г-і-х) -
---- или ------~----2 сушь др< оныя.
аа-г-хх а— Ѵ(с-Нх) г
353 разсужденіи ирраціональныхЗ функціи, то зсмніпіптъ
должно, гто лоеликц кая дои радикалЗ, какЪ изЪ свой, шва
уравненій извѣстно , иміепЗ столько разнъіхЗ зналіенованій,
сколько единицЗ содіржитіЛ вЗ его екслоненті, ло селіу каж-
дая ирраціональная фукЦція илііетЪ столько разныхЗ значе-
ніи, сколько Івлрякеъіи всіхЬ разлитнъіхЗ радпкаловЗ вЗ л й
содержащихся еи доставляетЗ, то есть ско.аЬ велико бываетЗ
число равняющееся лроизведенію в< іхЗ екслонентовЗ корней
различныхъ радикалоьЗ вЗ ней содержащихся. На пр. если
вЬ какой нибудь функціи будетЬ находишься ра'дикалй второй
степени и друіой третьей степени, какЪ вЪ функціи у~
з
Ух 4- У^ах4-хх), піо сія функція имѣть можепіЪ шесть раз-
ныхъ значеній. По числу сихЪ различныхъ значеній назы-
ваются функціи двуобразныя, трехЗобразныя и проч. Тѣ же
самыя наименованія принадлежатъ , и кЪ такимЪ функціямъ,
вЪ коихЪ радикально хЬ величинъ не находится, но вЪ коихЪ
величина у, разсчатрик а.емая какЬ функція другой величины
X, возвышена бываетЪ во вторую, или третью, или иную>
какую вышшую степень; ибо свойства уравненій показывактпЬ,
что тогда величина у, при одной и той же величинѣ х, бу-
детъ имѣть столько разныхЬ значеній, какЪ великѣ ек< по-
иеншЪ ея самой вышшей степей вЪ уравненіи находящейся.
И каждую ирраціональную функцію вЪ сей видЪ привесть
з
можно. ТакЪ на пр. изЪ оной функціи у — Ух + ѵ(ахх 4- х3)>
назначивъ для краткости ахх 4- х3 буквою и, полу-симЬ
(у — Ух)3 — и или у3 4~ Зухх — ГЗуу 4- х) Ух ~ и или
(Зуу-+ х)Ух~у34~3ухх — и; а изЪ сего найіеіпся (Зуу4 х/
х (у3 4~ Зхуу — и)2, уравненіе раціональное, но поелику
вЪ немЬ сакГая вышшая степень количества у буіепЪ шестой
степени , посему у будеыЬ шестиобразная функція количе-
ства х.
§• 5-
Если кякая нибу.іл Алгебраическая функція бу чеіпЪ функ-
ція двѵхЬ или болѣе измѣняемыхъ величинЬ, то вЪ семЪ слу-
чай Аналитики обращаютъ еще в'ниианіе на то, однородная
ли он і или разнородная. О ічородчою функціею называется та,
когда лірліінныя в<ляіины вб каждомЗ глгні соітавглюгиЪ
одинакое кисло изміречій, каковы суть ціункцін ахх + - ??ху
4- су у или у* Зххі/(аху +-Ьхх) или у —----------------3
изЪ кошорыхЪ вЪ первой измѣняемыя величины во всЬхЪ чле-
нахъ сос чавлчютЪ по два измѣренія , во второй по три измѣ-
ренія , а вЪ третьей какЪ вЬ числителѣ , такЪ и вЪ знамена-
течѣ по два измЬренгя , дѣлая функцію нуля измѣрен.й.
знородноіо же функціею называется та, когда иере йінныя
в лшны вЪ разныхЗ клеіахЗ состае гяютЪ разное іиі.іо изліі-
реніи, , качова функція а 4- Сх 4~ уу <Ьс2 4- ?ху 4- ^уу или
ах 4- у У(ах 4- хх).
§_Л
дИы буделіЗ влре.дъ для о значенія функціи вообще уло-
тргбіяіп- буквы Е, Г, ф , <р н друггя снліб лодобныя, ставя
ихЗ лере іЗ тою и лвредЗ тіліл буквами, , коими сзнахены:
изміняемыя великаны сост еляющія функцію. Если на пр.
величина у будетЬ какая нибудь функція измѣняемой величи-
ны х, то мы будемЪ изображать ее чрезЪ у ~/х; если же
какая нибудь величина на пр. г будетЪ фу <кція двухЪ измѣ-
няемыхъ величинъ на пр. х и у, то мы будемЪ изображать ее
чрезЪ г х у), и такЪ далЧе.
ВЬ случаѣ томЪ, когда какая нибудь величина будетЪ
Алгебраическая цѣл<я и раціональна.; функція одйой и хи нѣ-
скохькихЪ измѣняемыхъ величинъ, будемЪ мы также при зна-
кѣ изображающемъ сію функцію оз .ачаіпь и степень функціи;
Шо есть самую вышшую степень измѣчя мой величины вво-
дящей вЪ составленіе функціи, ког іа функція о'ной только
и (Мѣняемой величины или самое большее число измѣреніи вЪ
6
членахЪ сосша-ляющихЪ функцію, когда сія функція есть
функція нѣсколькихЪ измѣняемыхъ велнчинЪ. ТакЪ если б; -
дет'Ь какая нибудь величина у алгебраическая цѣлая и раціо-
нальная функція величины х, коея вышшая степень вЬ сей
функціи заключающаяся есть пп, то мы будемЪ изображать
сію функцію чрезЪ у-ф^а, если же будетЪ какая ни’удь
величина х. алгебраическая цѣлая и раціональная функція
двухЪ измѣняемыхъ величинъ хну, и члены наибольшаго
числа измѣреній будутЪ имѣть п измѣреній , то мы будемЪ
такую функцію изображать чрезЪ х —/п (х, у).
Однородныя функціи двухЪ или гѣсколькихЬ измѣняемыхъ
величинъ, содержащія во всѣхЪ членахЪ одинакое число т
измѣреній, будемЪ изображать мы показывая число измѣреній
на^Ь самими измѣняемыми величинами; такЪ однородную функ>
цію величинъ х, у, х, содержащую вЪ каждомЪ членѣ по т
измѣреній, будемъ изображать чрезЪ /(х, у, х)п.
Принявъ послѣднее значеніе и оніобравЪ члены какой ни-
будь функціи /п (х, у, х) одинакое число измѣреній содер-
жащіе вЪ особливые ряды получимЪ /п Сх, у, х) ^./(х у х)п~г-
^(х, у, /(х, у, 2)п—3Н- .. • , у,х)о> вЪ которой по-
слѣдней членЪ /(х,у,х)а означать будеінЬ функцію пуля
измѣреній или постоянную величину.
II. О нѣкоторыхъ преобразованіяхъ финкцЖе
§ 7-
Сачпо слуылепіся, гто данная функція илііетѣ видѣ для
выкладоіф неспособной-, тогда стараются дат?, ен друой видѣ,
которой бы бы.іѣ проще или для выкла іокѣ слособніе.
Если предложенная функція одной измѣняемой величины
будетЪ дробная , на пр. у — а + 5хТ+^. вЪ КОПІ(’РОЙ
какЪ числитель тэкЪ и знаменатель сосш ятЪ изЪ опредѣ-
леннаго числа членовЪ, то, предполагая что вЪ числѣ самая
вышшая степень количества х , менѣе нежели самая вышшая
степень сего количества вЪ знаменателѣ, можно ее всегда раз-
1
дожить ня частныя проби, имѣющія знаменателей вихау-І-^-х
иля вида / }~§Х, ІіХХ И о оной знаменатель можетъ все-
гда разбиться на ни «жителей вида / 4 &~х. или вида/4 %х
-4- ]іхх или того и друіаго, и гпоіда оная дробь разложится
на ъа&пчыя яробл . имѣющія знаменателями своими каж лая
одного ко іораго нибуіь изЪ сихЪ множителей; такимЪ «.-бра-
2омЪ смѣсію он ій предложенной дроои получится сумма про-
стѣйшихъ дробей.
Еж*ли вЪ числителѣ самая вышняя степень количества
х будешЪ болѣе нежели самая вышняя его степень вЪ знаме-
нателѣ, на пр. если вЪ знаменателѣ бу іетЪ она х а вЪ чи-
слителѣ хп, глѣ п~т 4-А , пю чрез'Ь дѣленіе числителя на
знаменателя получится вп частномЪ числѣ X 4~ і членовЬ
цѣлыхЪ; и сверхЪ нихЪ дробь имѣющая самую вырішую сте-
пень х менѣе нежели вЪ знаменателѣ , то есть тогда пред-
ложенная дробь превратится вЪ
Аг\д2ВгХЧ 1 , V ! Ах™-*4-Вх™-*4-....4-1?
А.Г -4“ -ОХ Ч-. . . . -4- г -4- гятп_|_вят— І_| _|_ех_|_а*
тогда сію послѣднюю дробь, принадлежащую ко онымЬ цѣ-
лымЪ членачЪ, можно будетЬ разложить на частныя дроби.
Пусть на пр. буіе.пЪ ——• По раздѣленіи чи-
слителя на знаменателя п >лучи<пся
у — Г______ Г_______І*—? _
•У хЗ 4~ XX X 2
3 іаменашель х3 -4~ хх — х 4-2 разбивается на два множите*
ля х 4~ 2 и хх — х 4- а по сему назначить --------------
хЗ-^-хх — «4-а
•г А Вх -*-С -і
чрезЬ — - и--------------получимЪ
* X 4- 2 XX -------X + с
/ Ахх — Ах 4- А
Зх--- 5^3^. < 4-Влх -+- Сх Н- аС.
< 4- а х
И такЪ будетъ А -р- В ~ о С-НеВ — А — А-і-'-С, ~ 5;
«никуда найдется А_г— — В~— С — — и
7 3 . * 1
у — х— і 4-
II___ ____ 11Х - 12
7(х4-і) 7(хх—*х4-і)"
8
5 8.
Если у дробной функціи одной измѣняемой величины
ач-ЬхЧ- сх’ +ЭхЗ-|-...
- —\—Г7----------------- знаменателя на множителей раз-
аЧ-<’х-4-'ѴххЧ- йхЗ-4-. X
бить не можемЪ, какЪ то вЪ наибольшей части тѣхЪ случаеЛ
бываетЪ, когда состоитъ онЪ изЪ безконечнаго числа членовЪ,
то всегда можно ее обратитъ вЗ безконечную сторонку о чемЪ
также чЪ Алгебрѣ говорено было.
Сели функція заключаетъ еЗ себі радикал<>ныя изміня-
еліыя величины, то вЗ нікопіорІіхЗ случаяхЗ радикальность
вЗ нихЗ истребитъ можно.
і. Если ирраціональная функція будетЪ вида У (а 4-
-4-ухх), то мы вЪ Алгебрѣ видѣли, какимЪ вбразомЪ, введши
вмѣсто х новую перемѣнную величину , сію ирраціональность
истребить можно. И какЪ здѣсь постоянныя величины вЪ
раціональномъ видѣ не чтребуются , то сіе уничтоженіе ирра-
ціональности здѣсь во всякомЪ случаѣ учинить можно, а имян-
но: или назначивъ У (а 4- Сх 4- ухх) чрезЪ У«+рх, когда ко-
личество сс не отрицательное; или назначивъ его чрезЪ хУу+р,
когда количество у не отрицательное; или, когда и а и у,
отрицательные. разбивЪ на два множителя, кои будутЪ вида
/х —% и 1і—кх, и положивъ оной корень равг імЪ р(/х—
или р (к — кх).
2. Если функція одной измѣняемой величины будетЪ ви-
771
да у ~ (а -4- Ьх)п> гао положивЬ а -4- Ък ~ гп, получимЪ
х — и у—г™,'такЪ что какЪ х такЪ и у будутЪ
раціональныя функціи величины г. ТакимЪ же образомЪ если
т
бы была у~ (а-- )п то положивъ — ~ гп получили
бы х^:вг—- и у —2т, то есть какЪ х іпакЪ и у раціо-
е—ьъп '
ъально вЪ г изображенныя. Если бы величина у чрезЪ х опре-
9
дѣлилась уравненіемъ • то бы положрвЪ,
,а-1_е'ѵч,^ іа. -+- Ьх\'п1' _ тп И"Ь€‘У т
что ( ?) — ( ) ~2 получили мы. - У — 2 и
\'У-+-5,>/ 'с + дх' 'У-Ч-оу
л-г-Ьх п с ух,™—а съ11-—а
“Т-— откуда нашли бы у — ' и х ~ ?- .
с + ду 6 — &г7П Ъ — дяп *
пю есть раціональныя функціи количества 2 какЪ х такЪ и
у изображающія.
СюдажЪ принадлежатъ функціи содержащія радикалы раз-
ныхъ степеней изЪ того же перемѣннаго количества или той
хе функціи; тогда стоиіп'Ь только назначишь величину ради-
кальными знаками стоящую чрезЪ другую измѣняемую вели-
чину возвышенную вЪ такую степень , коего експоненшЪ дѣ-
лится на всѣ експоненты радикальныхъ знаковЪ порознь. На
п т
аѴх-і-ЪѴ _
пр. Если будетЪ у ~----------------, то положивъ х ~ г7ГПР пс-
с-ь-ЭѴх
п
в%тР 4- ЪъпР і -+ / С1 4-
лучимъ у ~ -с+-дгтй-; или если у —---------т-------, то поло-
і — V (і 4“ х)
живЪ і + і~2т, а слѣдовательно х — &пп—і получпмЪ
I +хт
У
§ ІО.
Если бугетЪ и однородная функція п измѣреній двухЪ
измѣняемыхъ величи «Ь, шо есть, по ііриняш му нами значенію,
будешь г —/ х, у)п. шо положивъ у — их во всѢхЪ членахЪ
ея войдешЬ хп, а но сему буден-Ъ г хп/й ; и если наиболь-
шая степень величины у вЪ оной фучкці г была тп, гаи бу-
детъ /и ~/ти а по сему буіе аЪ г~хпути. ИзЬ сего най-
дется х — и х — уутц) & пошомЪ получился у
п г
их ~ и
Если г будетЪ величина постоянная, то обѣ величины какЪ х
такЪ і* у. изобразятся ч езі олчѵ и туже измѣняемую величину
и. ііа нр. когда будешЪ «х3 + Ъхя у^гСху' + Эу3 — е, шо до-
расть НЕ 2
ІО
ложивЪ у ~ их получимЪ ах3 4- Ъих3 4~ сгшх* 4- 'ЭиРх'3 — е»
или (а Н- Ъц. 4- сии 4-Эи}) х3 — е; откуда найдется ,т. —•
у______е_______ __ у________«_
» а 4- Ъи -+- си2 + йи'З * и У и у 0 и-Ьмсии + ЭиЗ *
Если побожится г —о, тогда изЪ уравненія 7, — хп^тиг
получится/ти = о , котораго уравненія когда опредѣлятся
всѣ корнр, то каждой доставитъ особливое выраженіе величи-
ны у черезЪ х, ылкЪ если одинЪ изЬ корней уравненія —~л
будетЪ и~А, то сей корень доставитъ между х и у от-
ношеніе у~лх, и тогда функція /(х, у)п будешЪ имѣть
множителя у—Хх.
§ іи
КакимЪ образовЪ вЪ предЪидущемЬ параграфѣ обѣ вели-
чины хну однородной функціи/(х у/1 ~ я изобразили мы
чрезЪ г и постороннюю измѣняемою величину и, означающую
знаменателя содержанія между х и у; такимЪ же образомЬ
величины х, у и каж гой неоднородной но раціональной функ-
ціи /п(х, у) ~ г, чрезЪ г и оную величину и изобразить мо-
жно; но для сего требуется спогобЪ разрѣшенія уравненій выш-
нихЪ степеней вообще. И дѣйствительно уравненіе/71 (х, у; — г,
есть тоже что и уравненіе
/(х, УГ-Ь/(Х, у/-а +/(Х, у7-г -ь... + /(X. у)’ — г.
Положимъ теперь у~их, то уравненіе обратится вЪ
хп Р и + х11-1/^1 и+ Xй-1 /п~2и+ ...-4-/° « = 2.
ТакимЪ обрааомЪ если разрѣшится сіе уравненіе, и опредѣлит-
ся х черезЪ 2, и и, которыхЪ опредѣленій будетЪ п, то по-
лучится для у п разныхъ выраженій их^
Когда г ~ о и /х, у)° ~ о, а нрйтомЪ функція /п(х, у)
годэржишЪ такіе только члены / чх. у)п, коихЪ ексноненшы
измѣреній 77і уменьшаются по прогрессіи ариѳметической, тог-
да уравненіе между х и и чрезЪ дѣленіе на общаго дѣлите-
ля выходишЪ проще. И дѣйствительно, положимъ что вЪ
X I
семЪ случаѣ самой меньшей експоненіпЪ измѣреній “/и, и воз-
растая количествомъ Л, увеличивается до к/\, то уравне-
ніе между X и и бу ѵетЪ тогда
Ін+ауи + »Хи + ^ + (»-.^^+(І.-.)Хи + _ _ . + ^.(хи _ о.
разгѣлиКЬ теперь все уравненіе на Хц чслучимЪ
ТАр+а и + уѵН-С*—«>х___________и = о,
ВЪ кошороиЪ если назначптся х“ и функціи количества
и изобразятся чрезЪ Р, К и проч. то сіе уравненіе обра-
тится вЪ
Рік О^-1 + р?-“ +.....................4-Ѵ=о;
ИзЪ Котора: о найдется к величинъ Діѵя і, кои пусть вообще
х "
назначены будутЪ чоезЪ фи, тогда будепіЪ Xх — фи, х ~Уфи
X
и у ~ и Ѵфи.
Пусть на пр. будетЪ ах4Ъу^— сху — о, то положивЪ
у ~ ах нолучимЪ (а + Ъц? х^ — сих2 — о или (а 4- ои4) хх
си __ // си у
— си—о, откуда найдется хх — ё43и4 и х—V
а по сему будетЪ у ~ иу( 4), такЪ что обѣ величины
х и у чрезЪ и довольно просто изобразятся.
Елли уравненіе зависимость двухЪ измѣняемыхъ величинъ
опредѣляющее будешЪ состоять изЪ піре\Ъ членовЪ вида ахх ф*
ЪуР- + су"' х? ~ о , то для нахож генія третьей величины и,
чрізЪ которую бы обѣ величины хну выражались, назначить
у~хпиті и подставимЪ вЪ ономЪ уравненіи; тогда оно об-
ратится вЪ
X 7 ит ьп ѵтп уп__ л
» ах 4- Ьи х 4- си х О-
Теперь, поелику т и п зависятъ ошЪ нашего произволенія,
можно назначить или Д— рп, или Л“ т-рр или рп
гп 4-
а *
12
П^сть будетЪ или П22Г--, пго раздѣливъ урав-
неніе на хх получимЪ а •}-Ъи“™ 4- си™ с?4'^ѵ—Мп — 0: отку-
да наймется
?+(ѵ—р.)п а + ЬиЦ”* __________ / 0_|_Ьицт
Х -- сиѵ™- иХ----------- \ )
а пошомЪ найдется у~ипхп.
—р.)в’
гг X —Р
Пусть Х~>п~ с, или п“ —-—, то по раздѣленіи ура-
вненія на хх получимЪ а 4- сит Ьиит хм'п~Х — о , откуда
найдется
х___ _ а4-сиѵ’л т „______ х а-ЬсіЛ”^ х
Х --------- Ъиц™ » -- I іицт ) ^п_х,
а потомЪ найдется у ~ ит хп.
сть |іп~»п4-^, или п~, то по раздѣленіи
онаго уравненія на х* полу«имЪ ах^~^п 4- Ъи*1™сит^2 о;
откуда найдется
X — ип /ЪиУ-п— сіЛ / ЬиМ-от-+-сиѴЯІ\ 1
х — — (-----------------) и х — (------------а----
а потомЪ найдется у ~ ип хп .
Ві всѣхЪ сихЪ трехЪ рѣшеніяхъ експонентЪ т оставать-
ся будетЪ вЪ нашемЪ произволенія, и можно назначить тп=іэ
ИЛИ 771 — П.
ТакимЪ образомЪ вЬ семЪ, и двухЪ прелЪидущихЪ пара-
графахъ, если давать будемЪ, количеству и разныя величины,
гпо чрезЪ сіе будутЪ опредѣляться соотвѣтствующія ему ве-
личины х и у, а по сему с предѣлягаься будетЪ и соотвѣт-
ствіе величинъ х и у. Но при семЪ не рѣдко встрѣчается,
что вЪ случаѣ выраженія величинъ х и у чрезЪ и дробнаго,
при какомЪ нибудь назначеніи количества и выходятЪ вЪ дро-
бяхъ изображающихъ х и у какЪ числитель такЪ и знамена-
тель оба вдругЪ равны нулю, то есть величина х и у выхо-
дитЪ которое изображеніе никакого опредѣленія не дѣла-
етЪ. Для разрѣшенія сей трудности назначаемъ слѣдующую
статью.
13
III. Способѣ опредѣлятъ лелніннц дробей, когда она
еыходнтЪ — о»
§ іЗ.
Пусть будетЪ величина у дробная функція измѣняемой
величины х, вЪ которой положивъ х~а какЪ М шакЪ и Ы
обращаются в'Ь нуль, и положимъ что требуется знать вели-
чину у ~~~~ на сей самой случай х — а.
Дабы удовлетворить сему требованію, подставимЪ вмѣ-
сто х во всѣхЪ членахЪ х ~Н а, и положимъ что чрезЪ сіе
№ обратится вЪ “Н“Н«• • и М вЪ
М 4-М'и + МV + М;V .................. тогда дробь обра-
тится вЪ
К 4- И'со 4- И'Ъ® 4- К"'ыЗ 4-.
М-і-ЛГг М "ы2 н- М "'ыЗ 4-..7~ *
Положимъ х — а, то оудетЬ К~о и М~о, а по сему по
сокращеніи ні а> о«ая дро'іь обратится вЪ
М' 4- 4- К'"ы2 4 К""ыЗ
И- 4- М"со4- М"'ы2 4-.М""ыЗ 4-.... *
Ежели положимЬ теперь а> — о , то получится у~ —. .И
ІтагЪ если при х~а ОулутЪ ЬР и М' обѣ величины опредѣ-
ленныя, то и величина у будетЪ опредѣленная; если №~о,
но М'а — о , то будешЪ у ~ о ; если • М' — о; но ~ о ,
то у ос.
Но если величины Т4' и М/ обѣ вмѣстѣ выйдутЪ равны
нулю, тогда оная дробь по сокращеніи еще на« обратится вЪ
Я” _рк'/'ы 4- иѵіш2 .
М" 4- М"'ы 4- М ѵ ‘ы24- - • • • *
Положивъ теперь а>~о получимЪ у~^э кЪ которой тоже
сужденіе приложить можно, какЪ и кЪ оной
Если при х~ а будутЪ и Мх/ и №' обѣ вдругЪ~о,
то оная дробь по сокращеніи на а превратится вЪ
»да-+-Ніѵш4-.... , /
М"'4-М1ѵиЧ-.. • •»
>4
Тогда положиьЪ и7=о получится у 222 и птакЪ далѣе.
ВЪ ра сужденіи сего способа то только замѣтить дол-
жно, что чрезЪ подсшановленіе х ~ а, вмѣсто х, и поиіомЪ на-
значеніе х — а , величины М и М не всегда обращаются вЪ
вышепоказанной видЪ, но содержатъ иногда степени количест-
ва а имѣющія дробныхЪ експонентовЪ, какЪ мы ниже ѵви лимЪ;
вЪ гаакомЪ случаѣ надлежитъ вдругЪ подставитъ вмѣ-
сто х, и послѣ ьсѣхЪ сокращеній положить и~о.
Примѣры.
і) Пусть должно будетЪ опредѣлить величину у 222
~ 1 па случай х~ і, то будетЪ К/~ихп~І — 2тхт'г
Х& — зхѵ + р
•и М'—/<схм‘~'1— Зѵхѵ—І, а по сему при х~і будетЪ у 222
1—7^ Ежели п~2т и /х~зѵ, то на сей случай №'222
хв~2 —— і) хт“в и М" ~^х|і“=-
хѵ~~в, и при х—і, ^-7122 — т'т— і)~тпт
~'пп, и М" 222 — зѵѵ ~; а по сему
топа будешЪ у — А —
Зѵѵ 4Н* * |хц
г) Пусть еще дано будетЪ опредѣлишь величину
V — на слѵчай Х1223, вЪ которомЪ слу-
• х4 — зх 4.x2 1.4Х — 6
чаѣ гДя дробь ~ §. Здѣсь будетЪ № ~ 4Х3 — 18хх " ох — 6
и М'~ 4Х3 — ухх — 8х 4- 14» и при х ~ з , К — о ,
М — 17, пі сему у.~^~о, то есть что величинѣ х~з
соошвѣшсіпвѵешЪ у 221 о.
р) Пусть ете наюбио будетЪ найти величину У —
у»_-^_х)+С05^_С,+нпх) иа слѵчай х —90°—.1^; въ ко-
V (ДН-5ІП.Х) —-/(2 — СО!- X) " ха
-поромЬ. каь Ь числііінель, такЪ и знаменатель обращаются вЪ
нуль. Положивъ Х221і7тн=й>, понимая, для скорѣйшаго совер-
пі ія выклі ки, дугу л- чр°звычайно малую, будеігЪ кіп. х—.
СО8. 00 227 I — [аоо, СО5. X 227 &ІП. 00 22:4^0), И ПОлуЧИШСЯ
дроби у ~ )——4, л
ыѴ%тыУ(2 — 5ыа1 р2)_ “Н + 1 '—
У — у(Т^ыы)-?с>:±ы) ѵи-іыг)-Ѵ(і±» -$ы[± і+іи]”
___шакЪ что положивъ ю“о 6уд₽тЪ
шо есть или у—— & или у_____6. ИзЪ сихЪ величинъ вторая
есть конечная вЪ ряду величинъ у начинающихся сЪ у ~ оо
при х ~~ п; первая же величина есть начальная величина вто-
раго ряда величинъ у начинающагося сЪ у — 2 при
и оканчивающагося величиною у о при X 2222 77.
§ 14*
Случаи, вЗ которомЗ какЗ енслптелъ И такЗ и знаме-
натель М дроби — выходлтЗ каждой ~ о, бывіи тЗ тогда,
когда какЗ гислитель такЗ и знаменатель имАготЗ одного
или ніско икихЗ равныхЗ Множителей , кои вЗ семЗ слгриі
обращаются вЗ нуль. При Алгебраическихъ рапіональныхЪ
функціяхъ бываешЪ сіе тогда когда №~(х — а)п.Р и М —
(х — а™ (^. и ищется величина дроби на случай х
шо есть когда требуется величина
случай х ~ а.
Всего бы кажется лучше было вЪ семЪ случаѣ какЪ чи-
слителя такЪ и знаменателя раздѣлить на сего ихЪ общаго
дѣлителя , которой вЪ изслѣдыв«емомЪ случаѣ обоихЪ ихЪ вЪ
нуль обращается ; такЪ вЪ ономЪ внюромЪ примѣрѣ раздѣ-
ливъ числителя и знаменателя на х — 3 получимЪ у .222
~~^з^4x^2"" > положивъ теперь х~з получимЪ у“ — 22о,
какЪ и по оному способу. Но большею частію, или почти
и всегда, частныя числа отЪ дѣленія на сего ихЪ общаго дѣ-
лителя происходящія разЬискивать бываешЪ труднѣе, нежели
по оному способу нахо іить величину дроби, а иногда, а осо-
бливо при функціяхъ трасцендентныхЪ, сіе и совсемЪ бываешЪ
не возможно. Даже при сьхЪ трансцендентныхъ функціяхъ
и настоящей дѣлитель большею частію бываегпЬ не извѣстенЪ,
такЪ вЪ ономЪ трешьемЪ примѣрѣ, вЪ которомЪ числитель и
знаменатель обращаются вЪ нуль при ав.~|27, общей ихі
іб —
дѣлитель х— І'тг, смотря на фун*ц*ю выражающую величину
у совсѣм не годится; но как> вЬ тоже самое время $іп.х ~ і
СОЗ. X — О СОІ.Х“о. созес X ~ I , и Пр.-ч. По гему вб 0-
же ві>е«я брд_ушд общіе дѣлители і — зіп. X , СОЗ.Х^ СОІ. х,
созес. х — і , и проч.. равно и каждыя ихо степени цд.ла о
или дробнаго ескпоненша имЬкщ.я; и которой игЪ ндхЬ на
сей рлзЪ вз*тЪ быть долженЬ, пю узнать трудно.
Дѣло оной методы состоитъ вЪ нюмЪ, чтобЪ изгнать
КакЪ изЪ числите \я такЪ и изЪ знаменателя сего общаго мно-
жителя; что она дѣйствительно и дѣлаетЪ открывая его
вЪ одночленномъ видѣ а> г ли • Дабы показанъ сіе на Ал-
гебраическихъ функціяхъ, возьмемЪ изображеніе
ГД* Р и <2 суть функціи количества х не иіи+юрітя множи-
ли ля х — а. Здѣсь будетЪ ^~(х— а)п Р и М ~ (х —
а)171 Когда по іставимі х-рщ в*псто х. .во И превратится вЪ
((х - о)" + П (х - а)” - ‘ а>+"("^ (х - «)”" ’ 4-...+и”)
(Рн-Рш-ьР ш2-+-...) и будешЪ
= (х — а)п Р7 ч- п (х — а)п ~1 Р
И" = (х - а)" Р7' + п (х - о)—1 Р' н- ^7^ (х - о)’-’ Р.
и проч.
наюнецЬ
р(п) _^п^_ ау-< рС»-<) + Р
кси пре х~а всѣ уничтожатся до самаго Ы(п) , которой
будешЪ ~ Р.
ВЬ тоже врем.г М обратится вЪ
((х — а) -А- т 'х — а) ш -і—- - - (х — а) иш 4“
. . . Н- ш7") (О.Ч- 05») -4- . ~4~ • • • ) и будетЪ
М7 — (х — «Г + т (х — а}т~' О,
М77 = (х — а)т 0/7 Ч- т (х — п)’п"’ (Г
о,
0 Проч.
НаконецЪ
Мм=(X - аУ 0м+т (х - а)п ~' О.1" - -----4-й
Кои при х— а также ясѣ уничтожатся до самаго 1УКтЗ, ко-
торой будетЪ “ (^.
И
ѵ м-
м ’ м' ’
булешЬ
такЪ ежели п ~ т, то при х ~ а будутЪ дроби
^-э и проч. каждая равна Л до самой которая
, и доставитъ истинную величину у, туже са-
цуто, которая изооражгется чрезЪ > ' 1,0 И1ОАЬКО чпи>
сокращенную чрезЪ дѣленіе КакЪ числителя такЪ И знчменл-
ыеля на общаго ихЪ множителя (х — а^п .
Ежели
п<^т, то для величины у получится
и бытъ должно, ибо тогда
__ (л-х)пР (х-л)«—тР О _
— — о. — — а — р
п т, то для величины у получитсяг:—_©е,
дакЪ и быть должно ; ибо тогда
ѵ — —______I
ігакЪ какЪ
Ежели
Р _
-- (а-х^О, [х-а')1* — "О/ о °°
И вЪ обѣихЬ послѣднихЬ случаяхъ послѣдуетъ только
что возможное сокращеніе дроби на общаго дѣлителя числи-
теля и знаменателя» *
Ежели бы мы положили вЪ изображеніи величины у вдругЪ
х~ а-[- и или х—а~л>, то бы получили вмѣсто — вели-
Лр _і_ р'Сі} I Р''со2 -4- . . .
чипу -А-----------? которая по сокращеніи и на-
значеній «—о, доставила бы также истинную величину у,
туже самую, какую мы и го ояой методѣ получили.
ИаЪ" предЪидущаго изслѣдыванія явствуетЪ , птіо если в9
дроби — гпслптслъ и знамбнателъ плііюіпб кощаго ліио^п-
К- к"
теля уа — х)л , то лрп х^.а во есіхб изображенілхЗ
ж л/тог. 6уд'?/>л5 как5 тслитедк такЪ и знаменатель уаены
Частъ III. 3
18
нулю до самаго гді гді какЗ гнслитпелъ так.3 и зна. гіенсе-
те'ль будутЗ олреділеннъіе.
При томЪ сіе лрпчадлежмтЗ не только кЗ тому слагаю,
когда множитель спслителя и знаменателя дроби, обращаю-
щій вЗ изсдідываемпмб слцтаі обопхЗ пхЗ вЗ нуль , будетЗ
вида (х ап ), но и ко всімЗ тімЗ слуъаямЗ, когда онЗ бу-
д. тЗ вида квадратнаго (хх— ах-\~Ь)п или какого другаго
вообще хп , даже и трансцендентнаго»
Н___РХП
Ибо положимъ,
что будетЪ вообще у —
то
м рх71 ’
когда положится какЪ вЪ числителѣ такЪ и знаменателѣ
хЧ~® вмѣсто х тогда величины Р, и X обратятся вЪ видЪ
РЧ Ра + <2®, Хч-Х'й), шо есть будушЪ состоять изЪ
ча шей Р X, вЪ кои должны оныя величины Р -1-Г ®,
9+2'со X -у- X № обратиться при положеніи а — о , и изЪ
частей Рѵ, Х'&>, кои должны при предположеніи ш ~ о
обратишься вЪ нуль, а слѣдовательно имѣющихъ множителемЪ
своимЪ количество л, и сверьхЪ онаго еще какихЪ либо мно-
жителей составляющихъ функціи величинъ х и а. ТакимЪ
образомъ '‘ж^ли величины (Р Ч-Р'<») (X Ч~ X'®)71 и ((^Ч 2+)
(X Ч- X'®)71 изобразят ’я чрезЪ М +- К'а> Ч- ІМ . . .4" Г*'И7+®Н 4“
и м _|_М^^мѵ+..+М(п)/+М('1І+%л+,ч-..
то положивъ что при х~а обращается велпчин. X вЪнучь, вЪ
котопомЪ случаѣ величины (Р Р'®) X Ч~ X'®)71 и ((^ Ч~ ")(Х 4~
X'® п обращаются вЪ (Р Ч- Р®) X71®71 и ((^ Ч~ 9® Х*1®’1, при
шойже величинѣ х~а всѣ величины •№,14 и проч. до
равно и всЬ величины М М' М , и проч. до М^п\ обратятся каж-
дая Ъ иѵль поелику вЬ семЪ случаѣ функціи НЧ-РГа>Ч-№/<»’Ч~» •
4-МѴ Ч- ы4’1) й>п-ь’ Ч-.. .. И М 4-М'®М'Ѵ 4-....
.. . -4- М ,п) а>п Ч- МС1 Т) ®п-ь 1 Ч~ • • •> равняясь функціямъ (Р -|-
Р'®) Х<п®п и ((^ Ч- 2>й9 ^'П й)П » Д°лЖНЫ содержать только
члены имѣющіе самую низшую количества а степень и.
§ 15-
Основываясь на предЪидущемЪ параграфѣ можно облегчить
слособЗ разло женія на частные дроби такихЗ дробей
р
«й-
гіхд зналннатілъ иміетб ліножнтелл (х — а)171, то есть,
у которыхЪ знаменатель (^~(х— а^К, что будетЪ слу-
жить дополненіемъ кЪ предложенному о семЪ случаѣ вЪ
Алгебрѣ.
Пусть будетЪ — — —--= -1— 7-------—- -I-------—------и
7 О — (х-а)т “ (_х—а)т~ 1 “ (х — а)т~я ~
__________Ц -1- — то будетЪ
(х-ауп— 3 ~ * * • * ~ К '
о Р-(А+В(х-а) + С(х—а)2 + П(х-а)34-....)к
й ~ (х-а)™ ~ "•
Поелику величина Р должна быть функція цѣлая, то
числитель долженъ дѣлиться на цѣло на (х— а)т, а слѣдо-
вательно вЪ числѣ своихЪ множителей необходимо имѣть дол-
женъ множителя (х—а)п.
И такЪ если мы назначимъ сего числителя чрезЪ К, и
подставимЪ вЪ немЪ х Ч-®, вмѣсто х, чрезЪ что онЪ обра-
тится вЪ И -4-..., а потомЪ положимъ х — а,
то будетЪ И — о, № — о, №' — о и проч, до самаго
которое будетЪ число опредѣленное.
Но по подстановленіи вЪ числителѣ а-{-а вмѣсто х онЪ
обратится вЪ Р Р'&> Ч- Р"а>в Ч- Р"®3 .....— (А Ч- В«
-{— С® Ч- П®3 Ч~ • • • • 3 (В Ч— Вх® ч~ К ш2 -{— К. а2 Ч— • • • • ) по
сему будетЪ
К =Г — АК
К/ = Г' — АК' ВК
К' =: Р" — АК" ВК' СК
И" = р"_ АК'"ВК" СК' ПК
И Проч.
и уравненія К — о, Ы'~ о, М" ~ і и проч. досшавитЪ:
Р" - АК,/-ВК'
и проч.
3*
ао
Пусть ня пр.. предложено будетЪ разложишь на- ч-ястныяі
дроби дробь ]/——"-5—~которой будетЪ Р — і 4- х4
К — і 4- хх, а вЪ изображеньяхЪ. для А, В, С, количество.
Ж — 2..
Здѣсь бу гегаЪ Р “ і 4-х4' —- Т7 ’ —4 я?? —32; Р" 4^
6х“ — 24; К. і 4-- хх — 5; К' — іх ~ 4; В/ ~ г. По сему
А — 22 В — — С —• —-1 а. слѣдовательно частныя доо,-
* —- 8 ’ 25 І-5-
би раздающіяся изЪ оной отЪ множителя (х — 2)3 ея знаме-
нателя будутЪ — 41-----------г--4------т~—5-
5(х-2)3 1 25(х-5)2 ’ 125 (л-а)
IV. Изслідочаш^ кюдрагпныхЪ жіолщгпелей цклыхб «-
ращокальныхЪ функцій одной излііняелой величины..
$ іб
Статья- сія служить будетЪ дополненгеглЪ кЪ тому,
что о квадратныхЪ множителяхъ раціональныхъ функцій.
ОТ4~ Ьх 4- схх 4~ <?х3 4-- • • • сказано нами вЪ Алгебрѣ. Там-Т
ві-дЬли мы , что каждая функція, неимѣющая веществен-
ныхъ множителей вида а. 4- &зс но имѣющая мнимыхЪ множи-
телей вида х — а 4- 6 V — 1 или 7 4" (&с — е) V — і , вЪ ко-
торой видЪ всякаго мнимаго множа неля первой степени при-
весть можно, разлагается на квадратныхъ множителей вида
X — «У 4-К илы хх — Ваі-|-®» 4-^ или вообще вида-
а,&с.4~ ухх, гдѣ ни « ни 6 ни у не содержатъ мнигаыхЪ
величинъ.. КакЪ сій квадратные множители имѣюшЪ своихЪ мно-
жителей первой степени ииимыхЪ, по сему вЪ нихЪ ^‘с^^сеу.
мли -4— <4 1.
и.у'ау
Поелику же минусы и< косинусы косыхЪ угловЪ кЪ радіу-
су единицѣ принадлежащіе , всегда менѣе единицы, посему вЪ:
иаслѣдываеиомЪ случаѣ —всегда
аУо(У
можедіЪ быть изображено.
21
«ярезЪ смнусЪ или косинусЪ какэго нибудь косаго утла.. ІГ
такЪ положимъ,. что ч~ соз. ф или 2 СО5. ф У ау,.
пю оные множителѣ могутЪ быть всегда изображены чрезЪ.
и -н 2Х СЭ8. ф У ау 4- ухх. А дабы сіе изображеніе множи-
телей не имѣло вида ирраціональности,, положимъ л“рр и
у~дц, тогда будетЪ Уау~рц. Слѣдовательно каждая
функція а 4- Ъх 4- ехх 4- Эх3 4- - • • • имѣющая множителей
первой степени мнимыхЪ, всегда можетЪ разбиться на ква-
дратнымъ множителей вида рр — гр^х со<$. -р 4~ <ЭДХХ..
Пусть для какой нибудь функціи а 4- ёх 4- ухх 4- §хт'
4~ вх4 4-• • - ♦ не имѣющей вещесіш енныхЪ множителей первой
степени назначался квадратные ея множители чрезЪ рр —
2рдх саз. ф 4- (]С]ХХ. Ежели положится копюрой нибудь изЪ-
ея множите іей рр—2рдх соз. Фцдхх равнымЪ нулю , то-
тогда и самая функція а 4- Сх4~ ухх 4- <Ьс3 4- • • обратит-
ся вЪ нуль. Но изЪ уравненія рр—2рдх соз.Ф-ь- дцхх~о най-
дутся двѣ величины для х, одна х ~ 1 соз. ф4- зіп. ф. У—і),
-і другая х~2-(соз.ф — зіп. ф. У—і)’, посему при положеніи
вЪ оной функц’и а-гьх4- ухх 4-<Ьа5 4-* • ---какЪ той, такЪ
и другой изЪ сихЪ велячиоЪ х-будетЪ она равна нулю. При
СемЪ подспіановленіи замѣтишь должно* что будеюЪ вЪ пер-
вомъ случаѣ
X*— (СОЗ. ф 4- ЗІП. ф ]/ —- 1 (СОЯ. ЗІП. к ф )/ — і
а во второмЪ случаѣ
Ут^со^.ф -л/г.ф)/— і)п —^(соя.пф—пф/ —
иіакЪ какЪ вЪ тригонометріи, доказано.
А
И такЪ назначивъ для краткости ~ буквою и под-
ставивЪ вЪ оной функціи вмѣсто каждаго хп сперрх
гл (со5. пф - пф У — г);
л аопкмиЪ
22
ГП (СОЗ. Пф — ЗІП. Пф У — і)
ПолучимЪ слѣдующія два уравненія:
$ «4- &соз ф- \-угг соз. 7 ф4-ог?со$ Зф-і-*г4 соз^ф-]-.. )_______
< +(ётп.(р4-угг зіп.2ф-}-^г3зіп.Зф-}-(Г4 зіп. 4?+- .)Ѵ—1> *
и
<«+СгСО5- ф+уГГСОЗ. 2ф4~^Г3СОЗ.Зф-{-еГ4СО3.4ф-^- .. >_______
I —(%Г ЗІП. ф-\-уТТЗІП. 2ф4~$Г38ІП. зф-4-еГ^ЗІП. 4ф~І~ •. )У—1 $ °*
СложивЬ сіи уравненія и раздѣливЪ на 2, а пошомЪ вычешши
одно изЪ другаго и раздѣливЪ на 2]/ — і получимЪ слѣдую-
щія два уравненія:
сс-Ь ^гсо5.<рЧ-уггсо5. йф-і-^г3соз. ЗфЧ-ет4соз. 4ф 4-... ~ о
* ' &• зіп. ф-\-угг зіп. 2ф-\-$г3 зіп. зф4-ег4зіп. 4<р 4- • • • — о»
Если положимъ первое изЪ сихЪ двухЪ уравненій (А.) на зіп. тф
а второе на соз.тф, и сперва нхЪ сложимъ, а почюмЪ выч-
піемЪ второе изЪ перваго, то получимЪ два другія уравненія:
азіп.тф+^гзіп. т+і)ф4^ггзіп.(т4-2)ф+8г3зіп.(т4-з)ф4 ..—о
' ' азіп.тф+§гзіп.(т~і)ф-і-уггзіп.{т^2)ф+^г3зіа.,т—з)ф4-..=о
Если же первое изЪ уравненій (А) помножимЪ на соз т$ , а
второе на зіп. тх } и сперва вычтемЪ второе изЪ перваго, а
погпомЪ сложимъ второе сЪ первымъ, гао получимЪ еще два
уравненія
р.асозтф+ёгсоз.^т-і-і^ф+уггсоз.^т-}- 2)ф4-$г3соЗ.(пг+з)ф-і-. =о,
'^асоз.тф+бтсоз.(т~\)ф+уггсоз.(т+^ф^'Г3соз. гп—3}ф+- —о,
Каждые два изЪ сихЪ шести уравненій могутЪ служить кЪ
разЪискан ю количества г и угла ф для множителей рр—2рдх
соз.ф-Л-цдхх предложенной функціи а-Ь-ѣх -4-ухх-]-с)х
и уравненія сіи изЪ предложенной функціи тошЪ часЪ полу-
чатся положивъ вЪ ней х71 _ гп спз. пф или хп ~ гп зіп. п$
или хп ~ гп соз. (т 4- п) ф , или хп ~ гп соз. <тп — п) ф или
хп ~ гп зіп. (т -4- гі) ф или хп — гп зіп (т — п) ф , понимая
чпю а, знічитЪ «х° .
При семЪ замѣтить надобно, что если для котораго ни-
будь изЪ множителей выйдепіЪ соз. ф ~ і , а слѣдовательно
ф — о, пю тогда не самой множитель рр — ардх-\- цдхх бу-
23
депіЪ множитель предложенной функціи, но его корень квад-
ратной р — дх: ибо какЪ мы ошЪ методы нашей требовали,
чтобЪ она показала множителей функціи вЪ квадратныхЪ
ф< рмулахЪ, то онЪ и множителя первой степени показываетъ
вЪ квадратномъ его состояніи. ТакичЪ же образомЪ, когда
выйдетЪ соз ф ——і, а слѣдовательно ф — і^о° — к, то-
гда не самой множитель рр ф- 2рдх -н ддхх будетЪ множи-
тель предложенной функціи , но его квадратной корень
р -А-дх.
§ і8.
*
Дабы приложить сей способѣ кЪ какимЪ нибудь частнымЪ
случаямъ, положимъ чтя развлекать должно квадратныхб ліно-
жнтг.існ функцій ап-ф- х\ у потребивъ уравненія (А) получимЪ
для нахожденія г и ф слѣдующія два уравненія : ап ф- гп соз.
пф ~ о и гп зіп. пф ~ о. ИзЪ втораго уравненія слѣдуенГЬ,
что долженъ быть зі>і.пф~о: но синусЪ тогда только бы-
ваетъ нуль, когда, по назначеніи полукружія чрезЪ тг, уголЪ,
коему онЪ соотвѣтствуетъ ~ : кп, или — (ок ф- і) тг, при к
числѣ пѣломЪ или нулѣ; по сему долженЪ быть уголЪ пф или
— ікп, или " (2& + і)тл Но первое уравненіе показываетъ,
что ежели возьмется пф^і'.ктг, при чемЪ будетЪ соз.пф^іі,
то для опредѣленія г получится уравненіе лп + гп~о, ко-
торое вЪ случаѣ п числа четнаго доставитъ для г величи-
ну мнимую, чего бы мы имѣть не хотѣли. Для сего возмемЪ
пф — ( &ф-і)тг, тогда будетЪ соз. пф ~— і, и уравненіе
для опредѣлені4 г получится аѵ — гп ~о, откуда найдется
Г —а. И такЪ для множителей рр — ярдх соз. ф ф- ддхх
функціи ап ф- хп будетЪ г ~ ~ — а, а по сему р — а. д — і ;
потомЪ пір ~ (з/і ф'і) з- а по сему ф ~ тг , а слѣдо-
вательно сіи множители всѣ будутЪ содержаться вЪ общемЪ
изображеніи аа— яахсоз. —-—тгф-хх, гдѣ к можно брать
начиная еЪ нуля потуда, покуда 2Йф-і<^ или — п, ибо
далѣе сего предѣла опять шѣже множители повторяшьсл
будушЪ.
2*
Если число п четное, то послѣднее г наибольшее число
к будетЪ то, когда сЛ-ф і ~п — і, а по сему к — ~
Іп — і ; слѣдовательно число квадратныхЪ множителей вЪ
семЪ случаѣ будетЪ |л, прибавивъ шо есть кЪ числу ихЪ^п—і
того множителя , котораго доставитъ Л~ о- Если же чи-
сло и будетЪ нечетное, тогда наибольшее к будетЪ при
. । і 0—1
2К-Г і ~п, а слѣдовательно при л~ , и казалось бы,
что число множителей квадрантныхъ будетЪ а —*4“1
слѣдовательно простыхъ п4~ і; но вЪ семЪ случаѣ послѣдней
множитель при 2&4~ і — л будетЪ аа 4~ гах + хх., коего дол-
жно взять только квадрантный корень, по сему число мно-
жителей простыхъ будетЪ только п, или —— квадратныхъ
и одинЪ простой.
Примѣры
Множители функціи а44“Х4
будуптЪ
аа — іах соз. і % 4“ хх
аа — %ах соз. * т* 4~
или
аа — ах V 2 4- хх
аа ах У 2 + хх
§
Множители функціи аѵ 4~ х5
будутЪ
аа — 2ах соз. | -д- 4* хх
аа — 2ах соз. | -яг 4~ хх
и
а 4* х
і9
Если бы надлежало найти, квадратныхЪ множителей,
(функціи ап — , то бы изЪ уравненій (А) получилось а?—
гп соз. пф и гп зіп. пф ~ о. И здѣсь былЪ бы зіп. пф ~ о , а
по сему пф или ~ йЛтг или — (с/і + і)тт; но первое уравне-
ніе показываетъ, что должно взяпіь пф^^якп; тогда полу-
чится аи — гп ~ о и г ~ ~ а, а по сему ф “ — тг, р ~а,
д = і. ТакимЪ образомъ общее изображеніе множителей функ-
ціи ап — х будетЪ аа — сахсоз. ^"тг4-хх, гдѣ к измѣнять
«5
«ожио начиная Л нуля до 2І? ~ и или — п — г. То есть
здѣсь при л чешномЪ будетЪ первое к—о, и послѣднее 7і~|тг;
но какЪ первой и послѣдней множители будутЪ здѣсь са —
аах—Ьхх и аа 4- ?ах 4~ хх > то должно взять только корня
ихі а — X и а 4 х; при п на нечетномЪ будешЪ первой мно-
житель аа — зах ~і~хх, а по сему должно взять только его
корень « — х.
Примѣры
Множители функціи а6 — х?
судупіЪ
а — х
аа — ?ах соз. | тг 4~ хх
ла — аах соз. § я- і- хх
а -г х
Множители функціи а1 — х’
будутЪ
а — х
аа — ~ах соз. •* и 4- хх
аа — яах соз. * я- + хх
аа — 2ах соз. | тг + хх
5 2°-
Если предложенная функція будетЪ вида «4-фс* 4-73^%
тло вЪ случаѣ Съ’ 4»У можетЪ она разбиться на двухЪ ве-
іі_егтвенныхЬ множителей вида $-+-еХп , кои по показаннымъ
вЪ »8 и >9 пгіечтмЪ разобьются на квадратныхъ множителей
вида рр — грдх соз. ф 4- цдхх. Если же оная формула ве-
іп -сшвенныхЬ множителей не имѣешЪ, шэ есть будетЪ вида
Л>п +- йапхп-соз. а х2П, то взявши вторь я уравненія изЪ (А)
и 'В)> и по и >живЪ в.> семЪ послѣднемъ т ~ %п получимЪ
йапгп зіп. пф соз. а 4- г271 зіп. опф ~ о»
аап яіп. с пф 2апгп зіп. пф соз. а 322 оі
ИзЪ снесенія коихЪ явствуетЪ, что г~л~а2П, а по сему Г22М®.
ЛодставивЪ же «Ъ которомЪ нибудь изЪ сихЪ уравненій а вмѣ-
сто ѵ получимЪ зіп. ~п ф 4- 2зіп. пф . соз. а ~ е, но зіп.
ап ф ~ 2 зіп. пф . соз пЪ, по сему по раздѣленіи на
2ЙП. пф получимЪ соз пф 4- соз. Л ~ о, или СОЗ. Пф^2
— С05 «• Но — Соз. се 221 Соз [( к 4- і) ЯГ ау], НС
, , , ч /2^-4-1)7ГЧ“а
сему пф ~ (2К + і] тг -ь« , и ф ~ -— - —
Ѵ«сшь ш. ф
Слѣ ювашельно обтее изображенье квадратныхЪ множите-
лей функціи аап-і-:апхп соз.*-}-&іп, есть аа — яах сол
'п П ХХ' Бравши вмѣсто к, начиная сЪ нуля, но
ппряд^у всѣ цѣлыя'числа, покуда 2Й.-г і<^п, и прикладывая кЪ
и уголЪ м то положительной, шо отрицательной полу-
чимЪ п квадратныхЪ множителей.
Если бы изслѣдываемая функція была аьп—2апхп со^
а 4- х2”, тэ бы, поступая показаннымъ образомъ, для опре-
дѣленія ф поручили соз пф~С05.ссу а по сему было
бы пф ~ г^ктг -+- ос и ф ~ . Слѣдовательно общее изо-
— п
брэженіе множителей сея функціи было бы аа—2ах соі*
(йктг -+- а\
Примѣры
Множители функціи
-Н 2 а' х- соз. се -ь хб будутЪ
аа — гах соз. -+- хх
3
аа — 2.ах,со8. -ь хх
з
аа + ?ах соз. — 4- хх
_ з.
ибо СО5. ~ — СО5. ? <*
3 з
Множители функціи
а& — ъа^х* соз. а-+-х$ бѵдуікЪ
аа. — гах соз. - а 4- хх
4
аа — 2чх 4- хх
*
2*7Г4 <Х
аа — аах соз.--------ь- хх
4
аа 4~ 2ах со8. | л 4- хх
§ 21-
Если бы преллсженная функція была «4- &юп4- ух2* 4-&С3*
то бы она или разложилась натри вещсс нвенныхЪ множителя
9 4- ^хп или на одного и другаго ^-|-$хп4- іхІД, коихЪ даль-
нѣйшее разложеніе принадлежало бы кЪ ире кЪидущимЪ '’ира ра-
ф^мЪ. Если бы предложенная функція была а -|- -4 7Х2П4“
іхзп4-*Ж4П, то бы она и .и разложилась на чешыр< хЬ множите-
лей •’и а Н ^хп, или на двухЪ сего вида и одного вида
44г ^хп 4~ іх2П, или на двухЪ сеіо послѣдняго вида і коихЪ
і
27
дальнѣйшее разложеніе принадлежать будетЪ кЪ предЪиду-
щимі параграфамъ. И вообще если бы предложенная функ-
ція была вида <х 4- 1оХП4- ух2П 4- • • • • 4~ то бы разложи-
лась она сперьва на множителей вида »?4-0хп или і) 4- Ѳхп
4- іхгп > коихЪ дальнѣйшее разложеніе принадлежало бы кЪ
пред'ЬидущимЪ параграфамъ.
§ 22.
Разложеніе фцн-кі^іи Рп ч- хп на множителей. рр — с^?х
СОД-^4 XX кроліі гастнаго цлотреблечія вЪ интегральномъ
изгиелгніи, слг/жатё основаніемъ дрцгихЪ выкладокЪ лривоія-
іцихЪ нЪ довольно важныліЪ слідствглмЪ, кои я здѣсь пока-
зать намѣ^енЪ. ПрипомнимЪ только, ч-по кЪ знаку 4~ при-
надлежитъ 0 ~ 71» а КЪ знаку — ф ~ ту ; при томЪ
что функція рп х№ при п нечетномЬ свер^хЬ квадратныхЪ
множителей имѣешь еще множителя рч-х функція же рп—х*
при п четномъ имѣетЪ множителя рр хх раждающагося отЪ
соединенія множителей р — х и р -р- х соотвѣтствующихъ
назначеніямъ к~о и к — П.
Послѣ сихЪ припоминаній возмемЪ функцію------
или функцію ([4-®)пчн(і — |-;П которая кромѣ множите-
ля 2, имѣепіЪ тѣхЪ же самыхЪ множителей, какЪ и оная.
Сравненіе сея функціи сЪ оною р ч- хп доставляетъ
р~і4-|-, X — і •— |3 и множитель рр — -рх сов. ф 4- хх
оной функціи превращается здѣсь вЪ .
(1+^).+(1_і)2_2(1_эсоі.ф,
то есть вЪ 2(14-—^)—2 (і — соз. ф или еще вЪ 2(1 —
СО8. ф) — а[і+со5^)лх^ Дабы сего множителя привесть вЪ видЪ
соотвѣтствующій функціи произхо? ищей и&Ъ--------•
4 *
28
я \п\
.))п0-
2
которая при знакѣ 4- начинается сЪ единицы, лі при знакѣ
— имѣетЪ одного мжож теля г. а другаго начинающагося сЪ еди-
ницы,, раздѣлимъ онаго множителя 211—соз.фі — аС.^см‘
на 2(1 —сол 0), и получимЪ для квадратныхъ множителей
оной функціи общее изображеніе
1. 4. “ (1±=5) = 1 + ** СОІ. • I ф.
1 пп VI —соз. ф/ 1 пп 2 »
ТакимЪ образомЪ для ф) нкціи | (( 1 —|- 1 -1 ('
лучатся множители содержащіеся вЬ общемЬ изображенія
—Ь-1 7Л кЪ которымЬ, вЪ случаѣ п нечетнаго,
2П '
принадлежащей множитель- первой степени будешЪ
* 4- ! _ *) — і
п ’ П/ 9
я гдѣ Л можно.брать отЪ нуля до к +- і —П— і при п чегл*
номЪ, или до ікі — п — 2 при п нечсліномЪ; но чему
здѣсь, наибольшге іф будегпЬ 4‘. тг, и никогда соіч’ф» не обра-
тится ни вЪ нуль, ни вЪ отрицательной. Для функціи же
|:[(1 —(і! — г)'] получатся квадратные множители
содержащіеся вЪ общемЪ изображеніи 1—1— — соі. 2(к тг) ‘ кЪ
копюрымЬ при п. нечетномЪ принадлежать будетЪ мнокитель
р— х~ — , или просто з, и при п. четномЪмножитель рр—
XX или также просто г, какЪ и быпгъ дожно» и гдѣ к
можно брапи отЪ нуля , до 2&г~п-— і или “п —2 смогапя
по тому, не четное ли число будетЪ и, или четное по чему
и здѣсь никогда со^дф., не обратите и ни вЪ куль, ни кЪ от-
рицательной,, ибо будешЪ всегда 5Ф,'ъі'И'»
Но ежели; дѣйствительно развернемЪ функцію ^'/1 —}--)>
Г X *> V П
— п/ ]» 1710 получится функція»
* п(п—і) іу . п(п —іДп--з)Сп- 3)^4 . 6АУ
' « .а пл ’ і . а.. з . 4^ п4 । ‘ '*
по чему сія- функція, какЪ бы велико число п, ни было, раэ*
2Я
латается всегда на множителей 1 . д_ соі. 2 тг) . гдѣ
вмѣсто — м- жн подставить всякую произвольную величія у п,-
пп *
функція же | [(1 “Ь- д )П — (1 — „ )П] Доставляетъ
функцію
I (Ь4-і)(п — а)«® і (я— 1)(П — а)(п —з)(п— 4І »♦_, ч/г?.
Ч1-4—гга".т~^4г—7ттт-3т7~Г.-----------*пь+- -Лв)
которая по сему , сверьхЬ млолителя а имѣетЪ множителей
Вида 1 -I- — соі. 2 (— 7г) ; а слѣдовательно послѣдніе множи-
1 пп 'в
шели принадлежитъ кЪ функціи
. I»—') (п— Угг і (п~~ *ХК — аХя — з)— 4) я4 |
1 2 3 . ПИ 1.2. 3.4. ~ 5 п4 • • • »
гдѣ вмѣсто можно подставишь всякую произвольную ве~-
личину и..
$ =3-
Ежели вЪ функціяхъ предЪилущяго параграфа положи йі-
СЯ' число п безконечное, то фѵнкція (А обратится аЬ
но вЪ тоже- время соі. или іап&. тг при всѣхЪ
2П 2П 1
числахЪ к опредѣленной'величины обра.пиіпся вЪ —зп —. цСо
(2Й|-і)'7Г
тогда шангенсЪ неизмѣримо малой’ дуги я- обратится^
зЪ самую сію дугу.. По сему функція (А') имѣсгпЪ' множи-
телей содержащихся вЪ общеыЪ изебо^женіи 14-4%?—
(«&+ і)а7Гіг -1
то есть
ж к . х4 <&б ___ 4"^ /. .4 гі8\ /. і 4г!в \
Ч .^"НТз^-ЬТГГб-*-------------С1 І~^)(14'07Г7г)(1'+‘
При шомЪ же безконечномъ числѣ п функція (В^і обрашищ-
сл вЪ
30
но вЪ тоже время СОІ. * тг и іагцг. * 7Г при каждомЪ к измѣ-
римой! обратится вЪ по сему формула (В7) сверхЪ мно-
жителя 2 имѣетЪ множителей квадратныхъ содержащихся
вЪ общемЪ изображеніи і э то есть
«аа.*- >
5 24*
Ежели мы вЪ функціяхъ (А') и (В') предЪидущаго пара-
графа ПОЛОЖИМЪ 22 ~ — хх или 2— х V —
XX
__х4 хб
1. 2. 3 4 1.2. . б
__ «5 х7
X--------I----------------Ь..=
1.23 I • 2 . - 5 1.2.. 7
а изЪ сего заключаемъ, что
хЗ
4хх-
X X
7Г 7Г '
то получимЪ
4 XXV /_____4**\
97Г7Г^ \ 257Г7Г/ * **
XX
XX
со^х= ^)(і—
X ТГТГ' X 9ТГ7Г-' х 25ТГТГ' ’
• ___ / ХЛ\ / _ ХХ\ , „ XX X
ІШ. X — X (1---------) (1-------—) (1-------- ) . . . .
X 7Г7Г/ X лТГТТ/ X О7Г7Г /
Сіи послѣднія два выраженія можно вывесть и изЪ дру-
гихЪ основаній.
гг хх . х4 хб ,
Понеже со<У. X ~ 1 —--------------------— — -4- . . ., по
1.2 * 1.2.3.4 1.2. 6 1 '
сему положиьЪ сиз. х~о уравненіе
• х2 । х4 х5
О — 1 — --------к---------------! — . . . ,
і.2 1 1.2.3. 4 і .а.. о
имѣть будетЪ корнями своими всѣ тѣ х, к имЪ соотвѣт-
ствуешь соз. Х—о. Но сіе бываетъ при каждомЪ х~ч-^2^~3) тг,
Слѣдовательно множители оной функціи изображающей соі х бу -
дутЪ х -4- тг > или давЪ имЪ видЪ сообразной функціи,
то есть раздѣливъ на -4- 'я> будутЪ они 7Уті>
а по сему
Зх
ИЛИ
«».Х=(1_Э(1_^(1_^(1_^)...
ТакимЪ же образомЪ, понеже зіп. х равняется функціи
г_____ж? -»—-----------—------по сему положивъ «Гп.
і.а.з і.а..$ і.2.. і л *
Х~ о уравненіе
О —х---------?- !— ----------"—Г............
І.а-3 1 - 2•.5 12.-7
будетЪ имѣть корнями своими всѣ піѣ х> коимЪ соотвѣт-
ствуетъ зіп. х~о. Но сіе бываетъ при каждомЪ х ~ -4- тгк;
слѣ ю₽. тельно множители функціи і з*-6ражакціей зіп. х сушь
х-н&я-> изЪ коихЪ первой при к~о, будетЪ х; давЪ же
врочимЪ множителямъ приличнои видЬ, ніо есть раздѣливЪ
на ктг получимЪ общее изображеніе прочихЪ множителей
і -4— ? • а по сему будешЪ
--* Я 7Г *
Ііп. х=х(і + і) (і-?) (I+□ (і-^) (і 4- [1-^)-..
или
ЗІП. Г “ X (1 — -*) (1 — — ) (1---------(і--------,
V чттг/ \ дтгтг/ \ зтгтг/ ѵ іоитг/
V. Раздробленіе на ѵастныл дробч такмхЪ дробей, коихЪ
знаменапіелп содержати квадратныхъ множителей..
§ 25>
Пусть предложена будетЪ дробь — у которой знамена-
м
віель М содержитъ множителя рр — рцх СОЗ. (р ццхх9
шакЪ чпю М (рр — 2рдх соз. ф -р- ццххУ
Положимъ что отЪ множителя рр—'рцхсоуі'7'4- ддхх
А I
пренвойдеш* частная ді об» - -- —-------. такЪ ча.» будешЪ
V —2р<2л С05. ф + 24хл-
3*
И _ АЧ-Вх . Р
— —: .. — .. _ ц— •
•М рр — ірцх соз. ф -+- ддхх О >
Р — К-(А->-Ь-)Й
рр — ар^х соі. ф 4- ддхх ‘
шо йзЪ сего уравненія найдется
Поелику Р должна быть функція цѣлся, по сену числѣ
шель Ьі—(А4-Вх)(^, долженъ имѣть однимЪ изЪ свсихЪ
-множителей рр— ѵрдх соз. ф 4 ддхх, а слѣдовательно поло-
жи ьЪ рр — з.рдх соз. ф 4- ддхх ~о, должно быть и Т4—
(А 4- Вх) ~ о.
Но рр — ьрдх соз. ф -+- ддхх вЪ дв.ухЪ случаяхъ можете
быть нуль, во ве^выхЪ Кѵ г х' — — (соз. ф-{-зіп. фУ—і). я
во вторыхЪ когда х"~2-(соз.ф— зіп. фѴ— .1). ПодставивЪ
•вЪ ономЪ уравненіи К — (А -} Б'х) ф — о сперва т} , а по-
іШомЪ другую величину х, шо есть ноістявивЪ сиерьва хп ~
іГп соз. пф 4- зіп. пфУ — >), а потомЪ х11 2= гп (соз. пф -+ зіп.
іф У — і). разумѣя г~-? положимъ что при нодстановле-
ніи первой величины х фѵнкція К братится Н І4,4 ЬС, У— I
в .фунгція ф вЪ (ф 4- (ф,У — і , понимая ч- е ч К, и (ф чайі
сти зависящія огоь косьну.озЪ и чрезі 14,, и (ф, чйсти ^.ви-
сящія отЪ синусовЪ угла пф. то есн-ь по -им<.я чрезЪ І\І- ь О,
величины происходящія из) 14 и (^) чргзЪ оолст.ѵновленіе вЪ
еихЪ послѣднихъ вмѣсто д=п коліче чів< гп соз. пф, и чрезЪ
величины происіохящія изЪ 74 о чрезЪ подспіа-
новленія ьЪ чихЪ вмѣсто хп количества гп зіп. пф. При под-
становленіи второй величины х количества № и обратят-
ся вЪ 14, — № /—і и <2,—’Р«У — Ь' кои н’ѣмЬ только раз-
ниться будутЪ опіЪ предочд} щихЪ, что величины Р4 и ,
ОпіЪ того что вмѣсто 4 гп зіп. іф войдетЪ вездѣ вЪ нихЪ
•«—гг зіп. пф, обратятся вѣ отрицательныя.
ТакимЪ обравомЪ получатся два уравненія:
1 -(А ч Бгсау. фч-Вгзіп. ф/-1 )(О./ч- -1)
№,—14^ (А. н-Вгсоз, ф—Вг зіп. ф/—Оф/—1} —о
33
или
ІЯ— АО-Вг'О соя.ф-МГ,— А^,—Рг О соз.ф+С^зіп ф' V—1=°
ЬХ А(2 Вт\9 соз ф—зіп.ф)— ІЯ, — А<Х;-Вг(0„со$ ф-+-О зіп.ф) (V— і=®
Ош* ѵ ,а ч| <аЬ сложеніе и іычиніая.е и лучится
И — А О, — Вг (О, СОѴ. ф ---- 0 г ЗІП. ф}т^ о
ТЯ„ — А(^„ — Вг СОЗ. ф 4“ 0„ З.п. ф)~0
Я и.чѴ сего н. йдепкя
--- (2, Й,,+ О-', &/, ) »™- Ф
в — ___
“' ^&& + &,,!Ы«пФ
а слѣдовательно частная дробь ----------- -------будетЪ
рр -Ярцх С05. Ф4-ЭДХХ
__ (Х<Х+Х. 5Іп- Ф +1 к/ X О./ХР со^-Ф-<?э=)
Ірр-^ХСОІ.ф + дЧХХ^^^-^^О^р ІП.ф
И такЪ сгпоитЪ только вЪ фѵнкціяхЪ ІЯ и О подставить
хп ~ 2? соз. пф, то получатся ТЯу и а потомЪ подставить
хп — зіп. пф) то получатся К и 0^, не позабывая , что
если вЬ функціи находится постоянной членЪ к, то онЪ зна-
читъ «х°. По разысканіи же величинъ К,, ТЯ,, ф,, О,,. най-__
де шея и оная искомая частная дробь.
Пусть на пр. предложено будетЪ разложить .на частныя
дроби слѣдующую дробь-------ьх»)* т° назначив^ ча’
стную дробь отЪ множителя і -+~ х 4- произойти дол-
женствующую чрезЪ —Л+А*х _ будемЪ имѣть К~і-ьх3,
(2 =2 і 4- X4 , р— і, 9 — Ѵч, соз. ф — IV3, а слѣдовательно
і по сему зіп- ф> — I. СОЗ. 2ф 2=4-| 8ІП 2ф ~ зѴз» СО5.
30 — о, зіп. Зф ~ і , соз. — і. зіп. 4ф ~іѴЗі М, — г»
ІЯ — О—і——„22—, О,,2^^, и искомая частная дробь
1 з/з’ Х/ 18 18* х ІЬ* г
будешЪ г
_____66 + 24х
(1-3x4- Зхх) ~ 73(1 — Зхч- Зхх)
Частъ III. 5
34-
По какЪ другой множитель зпяменатіелг г 4~ х4 разби-
вается на іва кв) ір ипиычЪ мн'жителя і 4- х'/ г 4- х2 и і —х
V2 -+- х2 , то отЬ сичЬ двухЬ множителей іір яізэц іушЪ Сще
двѣ члсш <ыя дроби. Даіы сыскать частную цю ’ь отЪ пер-
ваго изЪ сихЪ мніжи ііехей нротой пи м >гу.и,у о будемЪ имѣть
для нея ІЧГі 4- ~ (і — ?х 1- хх (4 — х '/ ’ -+- хх)
— г. — 4- V 2) х Г ( і. і- 3 1/ 2) X2 — О 4- 5 Vх 2 ) С? +- X4;
р ~ і, д і, соз $ — — | |/а сл к іовліпельяо $ ~ 3 д зіп. —
5 у/ , СОЗ. -'ф зіп ~ — I , СОЗ. 3<Р ~ I і/ 2, ЗІП. “і У 2.
соз. ф — — і, зіп. ф — <•; — і 4-і /а. і/з, (^ — 4,
<2 ~ — Ч — о , и искомая частная дробь будешЬ
___ 14 — у/і 4~(?7Ѵ<з—ібіх
; 7' +’=/’-•+ хх * *
іл инЬ ж» бразомЪ найдется третья дробь
. 144-у/а—(37/ +і6)х
4.7 ,(і — х/а+хх
Слѣдовательно _______!_*-______— 66 ±2^
/'-3х і-іхх^і+х-і) ТэѴ-зх-Н**) 1 4-ТЗС1 -Ь-хѴх 4- хх)
і;-+-уУ2 —(37Ѵ2-+--6)х «
4 73(‘— х^2-і-хх)
ч. 5 "3".
’ к
ВЪ предЪидущечЪ пріемѣ раздробленія дробей ня
пастныя дроби, когда М ймСетЪ множителей вида рр — ''рдоа
СОЗ.ф 4* одхх , пие пн, хаглл і мы, что сверхЪ извѣстнаго м ю-
;жиіі:е я рр—^цхсоз. рддхх извѣс ино также и произзеде ііе
ПрочихЪ мцожи''е\еи (^. .гр вда что по извѣстному множи-
те ю рр— рдх соз.р г ддхх произведеніе прочихЪ множите-
лей чрезъ д ле.ііе М на онаго множителя всеіда найти
ложно; но сіе во многихЬ случаяхъ бываешЬ весьма продол-
жительно. ѵ
СверхЪ сего вЪ показаиномЬ пріемѣ не было нуж іы до
общаго изображенія сею произведенія р но только нужна бы-
ла «'личина его на случай рр — срдх соз. <р4 ддхх о то
ны п^кажемЪ путь нах'Д’піь сію величину ею.
^Понеже =3 4Г-д— , то вЪ требуемомЪ слу-
длѣ будешЪ (^ —т^і и шакЬ подсшаяавЪ го § 13 какЪ вЪ чи-
35
елитедѣ такЪ'И вЪ знаменателѣ хф® вмѣсто х;. раздѣлимъ
ііоіп'М1, КікЪ числителя, такЪ и знаменателя на ихп общаго
дѣлителя а. и послѣ положимъ Пусть при постано-
вленіи Зс-Нш вмѣсто х, числитель'М обратится вЪ МіМи
4- М"а>2 4-........ то величина оной дроби обратится вЪ
-4~ М'ы Ч— Мг/со . со ~Н 7 шЗ*-4— .... _ ЛѴсо НН -і- > . .
фр-~?рЦХСОІ ф'+фІХХ'— 2(^^-рС05.ф^х)іО-1-^СО .СОСО З# (/7Х — р €ОГ~ ф) СО “Н 1*Лд
= Положивъ теперь «—о найдемЪ
а и'
—^(дх-рсоаф)' гдЪ должно вмѣсто х подставить
р '
~ [соз. ф~+~зіп. ф.Ѵ — г). ИзобразивІ) зЪ <2 и М' части отЪ
ко инусовЬ зані ящія чрезЪ и М', и части оіпЬ сцнусовЪ
зависящія чрезЪ ф" и М'^ получимЪ гва уравненія :
2-рд ап. ф у'- і 5
х-. । < \ / ___ Млу — М ,, т/ — і
1 1 51П. фѴ — 1 9
Мх ч м*
откуда найдется 9. —и
г _ у
ПотсшавивЬ тепР(ь сіи величины вЪ частной дроби
(ЧЙ/ -*- 4/34 Р Ф +•' (40," - 4,04 (Р со?- Ф - <?»)
(РР - 1МХС05. Ф -+- <НХХ) (0, 2' 4- О^Я/Л Р~іп7ф
, п 'Лучимо
а(КМя-— Ч/Мл)^1? ф — 2(Н,М'/ Ч- 4ДГ,,) (рц со-- ф — ,
(рр - грях сои. ф -+- эдхх) (М/М/ ч- Кі',/1'^ Л
Пусть предложено будешь разложить на частные
х’71
дроби функцію ВЪ которой т < п. Здѣсь будетЪ
4Т хт , М“#‘ “Н хп , посему М' п: пхп 1; приоіпомЪ,
клке изЬ § извѣстно, рр — зрдх со$.ф г ддхХ — аа— ах
гк Ч- 1 ___ гк Ч- 1
СОл. -—я 4-хх, гдѣ ф — —^~7Г> Р —а, д~і. Положивши
же аа — яахсо$.ф-4-хх~о полуіимЪ х ~а{со8.ф-^8Іп.ф^ — і);
по сему Ы, ~ ат соз тф , К, ~ ат зіп. тф , М'г ~ пап ~ 1
соз.(п—і)ф~—пап 1 соз.ф, ибо к 4-і)тг- М'//“пап ~ 1
зіп. п— і) ф ~ пап ~ 1 зіп. ф. Слѣ довательно частныя дроби
послѣ всѣхЬ сокращеній, содержаться будутЪ вЪ общемЪ изо-
браженіи
5*
. тг . > т “г 1 , < , ,
а(аС05-(2й-ь ІІ7Г — ХС05. - (2й4-1)-7Г,
я(а соі. тф — х 005.(771 -+- іѵф) _ п______________п.___________
пап—т~,(аа — захсо .ф -і-хх) или ік і
ѵ ѵ і пап~т—г(аа — аахсо5.— —іг -|- хх
п
и получатся полагая вмѣсто к, начиная сЪ нуля, всѣ цѣлыя
числа но порядку. подука к д- і п»
ІакЪ естьли дана будетЬ для разложенія на частныя
дроби функція » вЪ которой то есть т—п — 8, а—і,
іпо сія функція вЬ «астныхЪ дробяхЪ изображенная будешо:
Г— СО?. ?7Г -4- X СО?. ^7Г
4(1----2Х СО?.і 7Г -4- хх)
X5
4( I --2ХС0.У. ’ТГ-ф-ХХ)
--- СОУ. | 7Г - X СО.?, і 7Г
8-------------4
4(1 ----2 X СО?. | 7Г -|- хх)
Н- СОУ. I 7Г -4-~ X СО?. I 7Г
У 4
4(і — 1ХС0У. ^тг-й-хх) '
гдѣ. вмѣсто со?. 1 тт и со?. ? тг. можно нодишвигпь —со?. З# и
О О й
--СО?. | 7Г.
§ = 7-
" Вели бЪ дроби — знаменатель М заключать будетЪ
м
вторую и "и высшую степень трехчленнаго множителя
РР — рдх со? (й•-+- ддхх, тс естк если будетъ рр орцх
со&.р дд хх п(^, и хи назначивъ для краткости рр — срдх
го?.ф-^-ддхх іук«ою х буеіпЪ М~хп(^, іпо чар..ныя дро-
би кіііі) множителей X и произойти могущія надлежитъ
казнами аь сл^дующимЬ образомЪ:
К __І_С±Пх± | Н4-ІХ ! У
ѵ, — х» ~і хи—1 * • • • Н х г" &
откуд а полу ч и гп с я
К - ' А ^Вг(С+Ох)Х'-н(Е4-Гх)ХХЧ-...’<2
Но какЪ Р должна быть функція цѣлая, по сему функція-
14—А 4~Вх 4-(С 4-Ох)Х + (Е 4-Рх)ХХ-Ь.........должна
дѣлиться на ціло ні Хп , чіо есть о >а должна во ч.'Слѣ сво-
ихЬ множителей имѣть Хп. 'Іо гему ееіпьли положится Х~о, то
должна и функція !Х — А-і~Вх г (С гОх;Хі(Е ,Гх XX-г
обратиться ьЪ нуль-
Но при Х=о остается только вЪ сей послѣдней функціи
часть К - (А р- Вх , слѣдовательно во первыхЪ должна
быть К —(А і-Вх)(2 — О, По причинѣ же той, что X мо-
жешЪ быть во двухи случаяхЬ нуль, во первыхъ когда
, р
х — —(соз. 4- зіп ф у — г),, а во вторыхЪ когда1
р
х" ~ (соз.ф— зтп. ф У — і) г то подсшавивЪ вЪ уравненіи
№ — / А -р-Вх о , сперва ту, а' потомЪ другую величину
х получимъ дол разныхЪ уравненія , точно тѣ же вообще взя-
тыя, какія получены вЬ § 25; и изЬ нихЪ опредѣлятся обѣ
величины А и Ь , для коихЪ изображенія получатся точно
тѣ же, какія найдены вЬ § 25..
Н-іШ’дш« А и Е вычтемЬ изЪ К величину помножен-
ную ни А І-Вх и раздѣлимо 14 (А -|-Вх)(2 на X, то есть-
на рр — грдх. со$. ф -і- дд хх, которое Дѣленіе- неоохо :имо со-
з ршичіся н. ііьдо ибо тл вышесказаннаго явствуетЪ , что
2М — (А 4- Вх}(^ необходимо вЬ числѣ своихЪ множителей
имѣеш. X куешь частное >исло будешЪ К, то есть пу^піь
будепН Г4 — (А 4-Вх^Р — В.Х, то по сокращеніи дроби вели-
чину Р изображающей на X получится
Хп~'
которое изображеніе для Р во всемЪ гходственно сЪ предЪиіу-
щимЪ, только что мѣсто функціи 14 заступила функція К,
и мѣсто количествѣ А и В заступили количества С и Е);;
и гпакЪ повторивЬ выкладку совершенно подобную прьдЪиду-
щей опредѣлимъ величины С и О.
ПотомЪ вычтемЪ изЪ К і| ѵ ^кцію помноженную на
Сч-Сх, и оспіашокЪ раздѣлимъ на X, Положимъ что частное
зь
число будетЬ 8, то есть положимъ что В—(С4-Пх'Р-Гг8х,
то по сокращеніи предЪидущаго изображенія величины Р на X
получимЪ
П __ 5 - (Е + Ех +...
*--- ----------2. 9
которое изображеніе опять будетЪ совершенно сходственно
сЪ первыкЬ ; шакимЪ образомъ повторивъ опять выкгадку со-
вершенно похожую на первую получимЪ количества Е и Р; и
такЪ далѣе. >а/э.
Пусть напр. предложено будетЪ раздробишь на частныя
дроби слѣдующую дробь : ^7— у і'+^чу ней будетЪ
Ы “ х$, 9~ 1+х4. Сравнивши же і + хх «Ъ рр — зрдх
соз. <р -р счухх получимЪ р ~ і, д ~ і. со$. ф ~ о; а с^ѣдс ва-
ПиЛЬНО (р 5 7Г. По сему Гудешь ЗІП. <р 1, СОЗ. 2ф —-
51П.'ф — 0, СОЗ.”ф~ С, ЗІП"]ф~— 1. СОЗ. 4<р~1, 4Р"О,
соз.рф ~ о, зіп. г-ф — і; и для нахожденія количествѣ А и В
будеші М ~ о, № —і, (^у~2, 0ІПЪ чего получится
А^1о,В_^.'. ПошомЪ будеші №—В^х —X*—?.Х*—'Я~'х?—’х,
которая величина будучи раздѣлена на і хх д ещая ппЪ
К~*^х3 —ьХ; и будетЪ Г\_^о, Н/у= —і, а по сему С ~о
и В~ — РазіѣлимЬ потомЪ или }х‘ -|-Ч ху на
і хх- и получится 8 дХ3; по чеву 8у ~ , 8 \ ~ а
слѣдовательно Е^хо, Р^і—|. Раздѣли-Ъ 8 — Р(^х шо есть
|х-Ъ-2х3 + \х* на 4- хх, и получимі- Т~^х р|х*; откуда
найдется Т __~ о. Т ~ о, и С ~ о, Н ~ о.
/ //
Слѣдовательно частныя дроби, кои произойдутъ отЪ
множителя зн менашеля (>4-хх;43 будутЪ
4Х XXX
(і + и)4 (і-,. эсх)3 (і-ь«х)2 ИЛИ 2(|_|_хіс)4 2(і+хх)3 ^і-Нкх)2’
Какимі: же образівтиЪ разі искать частныя дроби отЪ множите-
ля і-|-х4, проиН’йпги могущія, о піомЪ уже выше говорено бы-
ло: ибо і-^х4 разлагается на двухЪ множителей і-Ъхт/2-|-хх
и і — хѴ 2 4- хх.
По сей метолѣ для похожденія фѵнрП’й В. 8 Т и пооч.
надобно величины №—(А+Вх^, К — (С-1- Ох)(^ 8— Е Рх)(^
и проч. дѣйствительно дѣлить на х что сонряж- но быва* шЪ
большею частію сЪ затрудненіемъ, по крайнѣй мьрѣ сЪ пека-
3-9
лою птрапгою времени. Для облегченія сей выкладки во’меічЪ
вЪ основаніе доказанное нами вЬ § 14 свойство функцій; то
есть, что ноехику функція Г4 — V ф Вх) ф(С Ь Сг)гф
(Е |- Рх хх 4- . . • имѣешЪ вЬ числѣ своихЪ множителей
хп, ню если мы гк-л жимЪ вЬ оной фѵикпііо х ф а> вмѣсто
х, чрезЪ что она оііратчіп я ві 14 ф ГФ® ГФ'Ф Ф . . . . .
— {(А 4- Рх 4- Ра) 4- 4- Г)х ф Во) х ф хФ ф х'Ф2) ф-
(Е і Рх фІФ) (х і хм І-х'Ф2)2 ф . ... ((^ +-<2^ф(2 '<»“ ф . . .
и послЬ інзн< л.мь х — О чрезЪ чіг пн і обратится вЪ
Ы < ІЯФфГФФ2 ф....— [(А р Ех ЬВо) ф(С рВх + В«) х'фх'Ф)
а і (Е Ь ГхфР» X* | -х і>)2ша> г- . . . } (О ѵ I- (^’ ®3 ф- . .. .)
— V Ф I й) ф Г Ф5 Т“ V й)3 . • ' Ф і (Ф г«.п , у(п + 3 й)П 4-1 ф . . . . ;
шо будешь вЬ ней к — о, у" ~ о , и ніакЪ далѣе до
Самаго і(п+0^о; гдѣ будешЪ
ѵ — № - (А Рх (Э ~ о,
/ ~ ( А Ф Вх)(^' +-, (С Вх)х' ч- В}(2 — о,
Г^АфВх/З' . [(С ПхХ-і-В <2 Д(Е Рххяг(СфПх)х"
фВх^“о,
и такЪ далѣе.
изЪ коихЪ уравненій , по подспіановлеіпи вЬ нихЪ каж ;аго изЪ
двухЪ корчгй х іосіпавляемыхЬ уравнечтемЬ х ~о, подучится
изЬ каждаго но два уравненія ; иіакимЬ о «рлзомЬ первое изЪ
оныхЪ уравненій досшавиінЪ ооѣ величины А и В, а по нахо-
жденіи ихЪ, второ* уравненіе доппавишЪ обѣ величины С и І>;
послѣ третье досшав* тЪ Е и Р, и такЪ далѣе.
КакЪ и ветчина (^, а по сему и производныя ея вели-
чины (^" и проч. не всег іа прямо даны бываюшЪ , ню на і~
лежишь о іую разЪискивапіь чрез дѣленіе, сопряженное ин >гіа
сЪ трудностію,- при пюмЪ для <>иыхЬ уравненій »~о, ѵ'~о,
ѵ" — о и проч гунна величина не вообще взятая, но ііри-
На ѵлежащая кЪ назначенію х — 1 > то мы покажешЪ, какЪ Сію
величину посредствомъ зп .менашеля М и множителя его
Хп, на сей случай удобно опредѣлить м >жно, пікеже 0г—^>
шо по подсшановленіи ®ф» вмѣсто де долучишсі1
40
МчЛГшч-М//ш2-ь..ч--М(п^%Л1Сп4-1'шп+і+;;
(х-і-х/оо-Ьх//оо2)п
Естьли положимъ теперь х — о. то по _(Ѵ 14 бѵдетЪ М — о,
М' —о, М"~о и такЪ далѣе, до самаго МСдЧ-»-)—-01 и ура-
вненіе сіе опратмт< я вЪ
М(п^пч-МСп+’^п+Іч-...гМ(п)+М[п+,^н-МСп"2^2+..
(х/4-Г,ш)ПШП (х/-ьх//ш)'і
или
^ + Л)-“ = {--------------1--------2--,
откуда найдется
мм
1Ис”+',х/ — пМс”'»7
и такЪ далѣе.
Кои величины вмѣсто <? <2 <2" и проч. вЬ оныхЪ уравне-
ніяхъ г — о, ѵ о, — о и иолставить должно. Что при-
надлежитъ до величинъ х, х", то поелику х ~ рр—2рдх
соз. С + дд хх будетЪ х' — ?д(дх — р соз. «рь х — дд ; и
длч одного изЬ корней х уравненіе X —о будешЪ хг— 2рд
зіп.фу—і, для другагоже на х'^г; — ардз.п^У—і.
VI. Сравненье лоіариъліп'сескмхЪ « скслонсни’алінъіхЪ ве-
лнъинЪ сё дцшлім крціа и тпрнгоно иетрисескиліи линія-
ми имё соитбітстчврѵщиліп.
§ 28.
ВЪ
ческихЪ
. 24
Алгебрѣ видѣли мы, что означивЪ основаніе иперболи-
Т „ 22 1
логариѳмовъ числомъ С, всегда е%—т-|-я ~Ь~ 4~
' і-8-З- 4
видѣли, что
• ___ хЗ
ЗШ. X X-----------
а.З
1.2-3
СЬ другой стороны вЪ тригонометріи
х5
1.2.3
__ _ XX .
сш. х ~ і — 4
___х7__
1.2.3.4.5 * • 0....7
х4 х°
7б і~
і -а-3-4
I . 2
Если вЪ ономЪ експоненціальномЪ уравненіи положится сперва
7~4-х|/ — г, а пошомЪ г — — хУ — і, то вЬ первомЬ
случаѣ получится
хѴ—і _ ._/ „ хх
е _ 14-г/— 1——
Ро второмЪ же случаѣ
_—х"^—1 * * * * . / . хх
С “14-1У — 1------------
хЗУ— і х4 , х? У — і
1.2-3 * і 2.3.4 1 і 2 5
хЗУ—г [ х4 . х-? V — і
1.2.3 ' і .2.3.4 ’ 1 5
Если сіи два уравненія сперза сложатся и сЪ обѣихЪ сто-
ронъ раздѣлятся на 2 , а поіпомЪ одно изЪ другаго вычтут-
ся, и остатки сЪ обѣихЪ сторояЬ раздѣлятся на %У—і, то
вЪ первомЪ случаѣ получится
хУ— і — хѴ— г .
» е ___ хх х4
------------1---------+--------
2 1.2 < I . 2.3,4
во второмЪ же случаѣ
хУ— г — хУ—і , с
е е __ хЗ _ хі
^У^І —
XX
____хб _
1.2....6
1
1.2.3 1.2.3-4.5 1.2... .. 7 ' •• * ’
хѴ-1 . -хУ-і_ ехѴ~1^е~ хУ “1
ИзЪ сего слѣдуетЪ, что ----------- со8.х и-----------
~ зіп. х, а и=Ъ сего далѣе ех^—1 4- —1 “ 2 соз. х и
ех^—1—е——1 ~ гзіп. хУ—і. Сложивъ сіи два послѣд-
нія уравненія и раздѣливъ на 2 получимЪ ех1/— 1 — со*', х
Частъ III. 5
4-2
4-вій. х."]/—т; (*) вычетши же одно изЪ другаго и раздѣливъ
на 2 получимЪ с-Х)/~ 1 —Соі, х—ЗІп.х.Ѵ—1.
§ 29-
Положивъ что е ~а%, и взьвЪ сЪ обѣихЪ сторонЪ ипер-
болическіе логариѳмы получчмЪ х~2>1а. Подсігаи.вЪ вЪ ирсдЪ-
мдущихЪ уравненіяхъ вмѣсто х ию величину получимЪ
а'г~~1 ~ соз. (ъіа) 4- зіп, (тЛа)У — 1, и
і .
§ 3°«
Основываясь на сечЪ можно експоненніалытыя величины
превратишь вЪ тригонометрическія, и ыриіономешрическія вЪ
ексноненшальныя. Пусть на пр. при опредѣленіи какой ни-
будь величины г выкладка дсведетЪ до изображенія
2 — (а 4- <?Ѵ— і) еху—1 4- (а — — ])е~х1/— 1 или
г — а(ехѴ~1 4- е~хѴ~») 4 1 — е— — 1)Ѵ — « ; 1110
понежее3^—14 е~ * х^~ ’~2сох.х « елѴ'~1—е~х^~^~^зіп.хі/—і,
будетЪ г ~ваСОЗ.Х—2% зіп. х. Если назначимъ сс — уСО8^
и 6 — 7501.^ шакЬ чтобы было ай4-Й— уу т чда будетЪ
г — 27(005. х.соз $ — зіп. х.зт. у соз.(х 4- С) » РСЛИ же
назначите.» сс—узігі.С, —усоз.С, то будешь 2—2 узіп.і~^).
§ Зі.
Не рѣдко преобразованіе тригонометрическихъ функцій
вЪ експоненціальныя служитЪ кЪ удобнѣйшему обращенію
(*) ИзЪ уравненія ех^ — 1 ~ соі.х 4- яи-хѴ — і получится
х-)/—і ’— !о^. (іЛі. х 4- •п». ху/ — і). Положимъ х ~ ± і)тг,
разумѣя чрезЪ ті полукружіе , то будетЪ соі. х — — і > и
ііп. х ~ о, по сему будетЪ (2Й ± і)тг У — і “ Іо^. (— і).
Сіе служитЪ новымЪ доказательствомъ, что логариѳмы
опі ицчтельныхЪ чиселЪ суть мнимые; ибо всякое отрицай
тельное число — а — а — I а слѣдовательно его лога-
риѳмѣ — І.а ( — і).
4&
оныхЪ во безконечныя строки. Пусть для примѣра взята бу-
і ех^ ~ 1 }- е— х^ —'1
дешЪ функція , . дсо. Понеже соз. X"-----------7----,
или изобразивъ езстЛ“І чрезЪ г, соз х ~ г2 (г~ —~э
, і _______ гг аг
“’У «Улетъ — „-^-4.^4.; = ---------——---- >
а(гг+- + і)
_ - і —/( і — аа) _
которая формула, положивъ Л22Г----, изобразится
чрезЪ —- —- и вЪ часшныхЪ дробяхЪ чрезЪ
- . 1__< 1__________1 __ I_____ К____у___________
У(і — аа) ч-Хз? у Ѵ(>— аа) 1 + Хх і -р Хг ~ 1
_____і_______— хѴ — і-----)
Х1'~ I -------------------- С *
— Хе — хѴ — іі
. і -)-Хе )
Если сіе изображеніе превратится вЪ безконечную строку ,
У(і —аа)
шэ получится
1 Г, । — хѴ'-гіЭ . ..с ахѴ— і -ахѴ— і?
ѵХГ-^-Л1 — -+"е 3-гАЛе +е і
-Лсез/зхУ~,н-е~-і*/“І]+.-^^^{і-оЛсо^.х-ьгХ^о^.сх-гЛ’со^.Зх-ь..}
§ 32-
Если величина елг*'“ 1 соз. х 4- зіп. х V — і раздѣлится
на величину е~х ~ V — і соз.х — зіп.х^ — і, то получится
2ХУ — 1__СО?. Х+ 5ІП-хѴ-1
С —— -или, раздѣливЪ числителя и знаме-
нателя дроби на СОЗ. х9 в ИзЪ сего
уравненія найдется
2Г/ — 1 2= /0б. ,
' с і —іап^.хѵ—і’
илц. і
г — —— /06
вУ — і Ь’ ! — іап^. хѴ— і*
Но = 2 Ь 4- |23 -4- 4- | г7 +..........} ПО
сему х ~ х —| Ьап^. х3 т | Іап&. х5 — каи§. х14-.............
6 *
44
формула извѣстная изЪ другихЪ основаній. ИзЪ уравненій
+ ехѴ-т - е~ хѴ~1
--------------~С08.Х И -------------------— 5Ш. X . У — I
зіп хѴ— і хѴ — і _ хѴ — і
получится также или Іап§.хѴ~і — /——‘"хѴ-1
е -+ е
ах V — і х
, , __ е — г
или іапд.х.у— і ~-----------------, откуда найдется
, о і
ахѴ — I
5 33-
Ежели изЪ логариѳма 2о#.(і-|и), которое ~п—Й?4-|н3
— 4 и4 4-.. вычтемЪ логариѳмЪ /(< 4- или 7(і+и—І),
которой ~и"~’ — і и~'2 41 и~~3 — I и~4 4- то подучит-
ся Іи~и—и~1—і(и2 —и~а )4-|(и3 и~ 3)— !(и4 — и4) ь...
ПоагжимЪ что и — е®' - * , то будетЬ пп - и-'п ~ е пя;'1/ —1
е— пв-/ — і — 2$іп. п% 1/ — і, и оное уравненіе по причинѣ
Іи~ гУ—і, обратится вЪ
2/ 1 ~2)/ 1 ($Ш.2—IІІП. 22 -Н15Ш. Зй — * «П.фЕ-І--);
откуда излучится
|2 — б'Ш. 2---| ЯП. 22 + | ^іп- 32 -----| ІІП ф2 +.........
VII. Вычисленіе нікотѵрыхЪ рядовЪ чпсело,
§ 34-
ВЪ § 22 вывели МЫ, что
1 ) п(п — 1>) Ъ3 I п(п—і)(д — МТ-~ ?) 814 I <п —О--- п—;) г6 |
1 і .2 ‘п3 । і . 2 . 3 • 4 *п4 ’ 1.2.3 4 • 5 6*а6 I ”*
=2 (1+ соі. )) (1+ ~ соі. 2(-П (1-+- соі.2(^))... л
' 1 ПП \2П// V пп \2ПУ/ \ * ПП Кіи.'/
_ гг___
или, положивъ — — и 9
2 и*+Уиз_і_.,
і.2 1 1.2.3 4 і . а . з . 4 . 5 . 6 '
=(і-|-исокг(^)) (і+исос.»(_в>) (ін-исоі.2©) .....
*=-—= 45
Если мы сихЪ послѣднихъ множителей дѣйствительно пере-
множимъ, и назначимъ произведеніе ихЪ чрезЪ
1 4- Ан 4- Ви2 4- Си3 4- Ба4 4-...
то, по доказанному вЪ Алгебрѣ будетЪ А сумма всѣхЪ ква-
дратовъ кошангенсовЬ С0І.2(^), СОІ.2^), СОІ.3^) и проч. до
С0І.2^~п- 711, или С0І.2(^—^- тс) , смотря по тому, четное ли
число п будетЪ или нечетное ; В будетЪ сумйа двойныхъ
произведеній сихЪ квадрагаовЪ котангенсовъ; С сумма трой-
ныхъ ихЬ произведеній; и такЪ далѣе.
п и - п А <п—і) тэ <п — іХп-4а)(п— з)
При гаомЪ будетЪ А — п — — ', а ; 3~ ----э
__в(в —х) (в —е) (п—?) (в —4) (п—_
— —----—----------—. —-----, и такЪ далѣе.
х. а. з-4?. 6 *
Но также вЪ Алгебрѣ доказано, что если назначится
сумма какихЪ нибудь количествъ чрезЪ А, сумма ихЪ двойаыхЪ
произведеній чрезЪ В, сумма тройныхъ произведеній чрезЪ С,
и такЪ далѣе; пошочЪ назначится сумма первыхЪ степеней
оныхЪ количествъ чрезЪ $ , сумма ихЪ квадратовЪ чрезЪ $а,
сумма ихЪ губвЪ чрезЬ &, и такЪ далѣе:
то будешь $ — А,
8а ~ Ая — аВ
83 ~ Аз2 — Рз' 4- С
— Аз* — 4- с$' — 4О
35~ Лі4 — В$3 4- с&2— І)8 4- 5Е
и проч.;
по чему если мы здѣсь означимЪ сумму квадратовЪ оныхЪ
котангенсовъ чрезЪ $' , сумму ихЪ бы квадратовЪ чрезЪ $2,
сумму ихЪ шесшыхЪ степеней чрезЪ ₽,• и такЪ далѣе, то
получимЪ
еоі чэ ^й-г®+^-2С’)+--=”477->
сое.«(і^+соі.«0+сог/е)+......
и шакЬ далѣе.
+*
ВЪ птлмЪ же $ 22 выведено нами, чтп
1 I (п— і) (и —а) ®з (П- 11 (п —а) ( п —_з) (п —4', «* I X
' 1 1 і.а.з 'пп * і.а. 3.4.3 'п + ~......../
=*• і(і-)--СОМ-)) (1 + ^соі.‘Р-)) (1-1-- соі.Ч^).....
X * пп \п'' X । пп X лУ/ X ‘ пп X п/
। гг_________________________
или положивъ ——и
пп
. , ("—ОС"—2)„ , (и—О(П—а) Гп—3) (п-4),,2 , (п-і')(п-''-')....(п-6\ і3 ,
X' / Іл *г І-ѵ і 1.4/ "«• • • •
і;2-з 1.2.3.4.5’ і . 2 . з . 4.5.6.7
— (і н - и7 соі.20) (14- и соі*(^ (і + и .....
Если мы и здѣсь дѣйствительно перемножимъ, сихЪ по-
слѣднихъ множителей, то и здѣсь такимЪ же образоьЪ, какЪ
и выше получимЪ
соі. соі/(™)ч-соі/('’л)+.
со^+сог/^еоі^-)-,-.
соі.‘Са)^соі.‘(-:)+сО1.‘^)+.
___(п—і) (п—а)
12-3
___(пп—і)(пп—4) (п—і)(п—і)
і 5-6 1.2.3
___(пп—т)(пп—->Хпп—16) (п—і)(п—а)
' ’ -7-9 і-а-3
И ПрОЧ.
Ежели соединимъ сіи суммы сЪ оными предЪидущими,
то получатся суммы степеней кспіангснсовЪ всѣхЪ дугЪ иду-
щихъ по прогрессіи Ариѳметической , коея первой членЪ я
разность членовЪ ~ ^тг, послѣдней же членЪ ~~ тт» И шакЪ
..................
' и проч.
Замѣтишь должно, что вЪ семЪ послѣднемъ случаѣ сумма ка-
ждой степени котангенсовъ , равняется суммѣ сея же степени
тангенсовЪ; ибо есхи ряды сіи будемЪ разсматривать начи-
ная сЪ послѣднихъ членовЪ назадЪ , то котаніенсы дугЪ
п— і п — я п— _ Т і Т а
--7Г, ----7Г, — 7Г И ПрОЧ. ИЛИ Дуі’Т -7Г-----"’Т, ^7Г-----7ГЛ
ЯП * іп У 2П ь 2 2П 7 2 О.П л
3 ___ с п п 1 _ 2 _ 3
^7Г~ - л7Г и проч. обратятся вЬ тангенсы дугЪ -л7Га —??, —^ТГ
и проч. По сему вЪ сихЪ послѣднихъ рядахЪ вмѣсто котан-
генсовъ пѳдставишь можно тангенсы.
47
§ 35-
ВЪ § же 23 мЪ выведено нами, что
...(і+~)
Положимъ что 4гг— ятгх, а слъдогательно гг — ѵптт)“х, и
тдсшгвим'Ь вЪ ономЪ уравненіи сію величину вмѣсто гг, то
оно обратится вЪ
...=(1^) ....................
ИзЪ сего послѣдняго уравненія, поступая шакимЪ же обра-
зомъ, какЪ и вЪ пр дЪ ид^щемЪ параграфѣ, получимъ
I I I 1 I 1 1 Т/Т
_^Р'+'}“'^7=4'^Ч~Г?5 4"......2(2^)
1 +?4Н-^-Ь^-Ь9* 14Ч-774 +.....
14-36-»-5^-ьІ-^9б-ЬІ7Б 4"....—-^-.(Ітг)6
14-72+5^8^^ 4"...............—4^-^(і7г)8
1 и ІТ“~Ь5І ,Ч~? " ! 9Г7"Ь 17»® 4~ • • • • — і.3'.5Ч-9^3
4 Зі2-+-рт-Нр*+^-+-712 4- • • • •—7Т77“9гг;-^й77),
1-1—2 -І-—ч- 1-Ч-- I -4 • —_______—_____^4-
П?4 г»^-Г9»4- іЛГ^------------1.3.5. 7-9 11.13-3.3-5^
и проч.
ВЪ томЪ же
%ъ »4
§ 23 мЪ доказали мы, что
Ч-...—
12-3 1.2.3.4.5 • \ 7Т7Г/ К ' X 57Г7Г' \
По сему когда положится гг~тгяхх. то получится
1
7Г®
1 .2 3
чт4
.6
і .2.3.4
..........Iх3
г) (» + к
слѣдовательно
। і » і . I
Л 4-Г4Н’зі444~Н^4~..— ~а7ГТ?І
,,і.і і і __ і г4
М у+т^г+у-г-........=—-5Х1
48
( X I I Г 1 1 ‘+~28“т~33 1 '48‘ । 58 1 • • • * I 2ю 1 діо ^’41° 1 51° 1 1 1 212 1 3І2 1 ^12 1 у12 1 1 ! 214 1 3І4 I 4і4 > $14 1 I I I 1 1 І-Нлб ^-^7б_Ь4іб’+-5і6“Г' , і , і » і Ѣ I 2і8 1 Зі8 1 4і8'1 $18 1' 1 а2О I 32О 1 42е * у 20 Г 1 1.2.3.4.5.6.7.89 5 ....^ 1 і . □ . 3 4 11 з * б9І.2Іе 2 ~"1 .2.3 >3* ІО? I .^--ТГИ 1.2.3 1 ! 71-16 ».2.3 >5 , • 43867.28 1.2.3 ..... . .іу 2Т 1 ... 13ааг-?Ъ818 ^20 і . а . з .... аі* 55
и проч.
§ 36.
Доказавъ отношеніе, какое имѣюіпЪ изслѣдованныя вЬ
преді идущемЪ параграфѣ безконечныя строки кЪ >л, шо есть
кг- юдерган.ю радіуса вЪ полукружіи, разсмотримъ взаимное
ихЪ между собою отношеніе; и пусть будетЪ
то вычепіши № изЪ М получимЪ
помноживши же на г271 получимЪ
Слѣдовательно 227гМ—22П.ІМ ~ М; откуда найдется
М — или КТ: М = 2™ — І : 22п.
Если М раздѣлится на 22и, шо произойдешь
Взявши сію величину два раза вычтемЪ изЪ М, шо получимЪ
*^=2 ЭД —р_____і 2_______2 і 2 _1_\
«2П. I х 2гп I ^2П ^яп. у2П .....
+9
ТІзЪ сего явствуепП^ что безконечныя строки
Им^юглЪ кЪ л”1 раціональное отношеніе. Но какЪ нѣкоторые
брали на себя труіЪ вычислять степени количества тг до
нъскѳлькихЬ десяпіковЪ знакоьЬ десятеричныхъ дробей, по се-
ну по извѣстнымъ степенямъ количества ц и величину оныхЪ
безконечныхъ строкЪ до нѣсколькихЪ десяіпковЪ знаковЪ десд-
«іериЧныхЪ дробей легко вычислишь можно.
ѴІП. О нікотпоіѵыхЪ выраженіяхъ дугЪ круга, тригоно*
ліетриіескихЪ линій ижЪ соопівітсіпвуюіцнхЪ , и нахо*
жденін ихЪ логарп&лі^вЪ.
5 37>
ВозмемЪ вЪ разсмотрѣніе выведенныя вЪ § 24 изображенія
для синуіовЪ и косинус>вЪ
^1.2=2 2(1—(1——) (1—^) (1— .....'
СО!. 2 = (I — <“) (1—^) (1— і™) (1— *-“).
К ТТТГ ' \ ртг-тг/ \ ЗЗ-ТГ-ТГ/ X 497Г7Г/
и полокимЪ вЪ нихЪ 2 — или 7Г, то онѣ превра-
тятся _вЪ
тт
ІІП
4ПП
пт ’
64 пп-
тп т
49 пп
клл изобр зивЪ во шножителяхЪ первой степени
Часть 111. 7
§ з8.
ИзЪ послѣдняго изображенія синуса угла —7Г , получится
Ж _____ • т ( \ ( ап ) (_А /• 4а \ / 6п \ ( &п__ А
еи 1 2п^ \ап-—тп) \2п-+-тп.' '4и.—тп' мп-4-та/ 'би.—та/ 'бп+та'
ИзЪ коею чрезЪ измѣненіе чиселЪ п и тп , получится Оезш-
сленное различіе изображеній для величины 7/.
Положимъ тп~і, тмг;і, то поелику зіп. будешЪ
д- ____ 2.2.4 4 і 6 . 6 . 8 • 8 • ю . іо .12.12..
* ЯО- 5 • 7 • 7 • 9 9 11 • *3.......
И ІИ
9Г — Д х 8 х ?4 х 48 х Во х 120 . . . ; ?
п Чг 9 2$ 49 8і І2і
которое во первыхъ выведено было АнглиискиіьЪ М ітемаіжя-
КомЪ ВаллисомЪ или ВаллизіемЪ.
Положивъ тп~і, п~ 3, по причинѣ $іп.1ѵ~1і будешЪ
т 6.6. іа . іа . 18 • 18 -24 24 • 3° 3°.
Д 7Г - ----------------------------------------ИЛИ
3 5.7.11.13 17 19.23.25.29.31..............
іт=Зх~-х-‘-^-х- ! Ѵ1-Д;У1 ’ У1-А)....-
§2—1 І22—I І82—I 242—1 Д'1 6*/\ 122/'- 8*/\ 24*/
ТІоложивЬ т~і, п~2 . по причинѣ зіп.^тг угі получимЪ
5^ ___Ѵ2.4.4.8 - 8 • ’2 • 12 . 16.16 ....
" 3-Г 7 -9 • и- *3- • '7.’
Положивъ 2. П~3, по Причинѣ аУЗ» получимЪ
І7Г — і^З-З-З-б 6-9.9.12 . ід - . . .
3 2.4.5. 7 |. ю.11.13....
и проч.
ИзЪ снесенія оныхЪ изображеній для ^тг получится изображе-
ніе для Уа, изЪ снесенія же изображеній для получится
изображеніе для УЗ и будетЪ
/ __ 2 . Я . 6 . 6 . ІО ІО . 14 . І4..
« - 3 • Г • 7 • 9 . »і . >3 • 15..
д /л __ 3 . 4 . 8 . ІО. >4 . 16 . 20 22..
2 У з . з . 9 . 9 . 15 . 15 . 21 . 21 .
Но всѣ сіи изооражіъія болѣе любопытны нежели нглезны ;
однакожЪ Еаллизіево изображеніе и слѣдующее за нимЪ вто-
рое, могутЬ быть сЪ п ользою у по і реблсны , при нахожденіи
логариѳма количества 77; и дѣйствительно Валлрзіево изобра-
женіе доставляетъ
»=4(1—а и—і) (і—і) (і—«у
Ъ1
Но по счойсгпву логариѳчовЪ ицерболическихЪ
Ці — х) — — (х 4-1 х2 -ь | х3 4- | х* 4- ..... .)
По селу
и проч.
Естьли мы с*и строки разсматривать будемЪ сЬ верьху
вЪ низЪ, и назначимъ
и проч.
о величинѣ коихЪ сіпрокЪ вЪ § 35 говорено было , то полу-
чи чЪ
/о§.тг^7о§.4-[А—і44(В— і)4-|(С— і)4-г(П— і) +-•••]•
По § же 35 наймется
А — *,2337005501361698273543*
В — і, 0146780V^0419205454625
С п: I, со 447076640942і2190647
П ~ і, 00015517902529611930298
Е _ і, 060017041.3630448255 8іб
Г— і,ооооо1^858485831>95759°
С 2г: іл000000209240519211500ко
Н — і,00000002323715737915670
I ~ і, 00000000258143755665977
К — і, 000000000286807697^5558'
Ь — 1,00000000003186677514044
т, 0000000000035407229 439а
Г4 — ц 00000000000039341246691
О —- і,00000000000004371244859
Г — 1,00000000000000485693682
“ I, 000000000000000539‘5957
В. — 1,0000000000000000,5996217
8 “ і, ооооооооооооооооо666:^4б
Т — 1,60000000000000000074027
ТІ і, ооооооои лх000000008225
V ~ і,0000000000000000000913
X ~ 1,ООООООООООООООООЛООI О 1
V — і,оооооаооооооооооооооіг.
ПосредсгавомЬ чего безЪ труди й выкладки найдется иперболи-
ческой логариѳмѣ количества тг~і,14472988584940017414342,
которой есгпьли помножится на модуль табличныхъ лога-
риѳмовъ 0,434244481903 5182'65'129, то получится лога-
риѳмѣ табличной чи«ла 7і'"<.-,497 1493726^413385435125.
Изображены 75 — 3:(1 — (1 — (і — _±)...........
доставитъ
і.^=і.з-1.(1- л) -1.(1-_г9--Г) _...:.
или
/о^.тг =. о&З 4- 62 + + ^бб -Г Ч~ ттіъ -Ь • • . -
’ 2.124 3.12® ' 4.128 * • • • »
' ’’ '8? 2.'84 ' з-'8® ' 4 18^ 5.1810 । ’ • • • •
котораго изображенія если строки разсматриваемы будутЪ-
сЪ верьху вѣ низѣ, гго получится
и проч.
53
ТакЪ что если возьмутся величины сихЬ строкЪ изЪ
35, то получится
Ь^тг^О^.З-Н--1
2____________________1 ЧС~
2... 8*9'^ ' 1.2....ір'3\3 /
+
і . 2....6“4>з
і
1.2. 3-...ІЗ
691 /7Г'|І2 I
І&О Т~ ' ‘ ‘ *
§ м»
Показанныя изображенія синуса и косинуса могутЪ так- х° служить кЪ обличенію нахожденія логараѳяовЪ ихЪ ; и дѣйствительно изЪ изображенія то фі / тт\ /. тт \ . _ тт \ / . тт \ ПИ. -7Г~ - 7Г ( 1 ) (1 —) (1 -) 1 6— ап оп. х 4ПП' \ ібна/ \ збап/ \ °4П.п/ получится ІО^.ПІІ и К ІО^ЛП-^-І.'К 1.211 тт 11 ! т । і । » г
ЦП \22 7714 / I , 42 1 62 1 82 1 */ . 1 -4- ± 4 -4- А
ап.4 \а4 771® / Т [ 271° 26 Г 771й < 1 . + „ 'Ю м I сю 1 сю 1 ’ 4" 4 | х© 1 ІС „ ф " 1 *
4п8 \а8 I __ т1°( 1 _1_ ч *- - П СО н сю - “ сю - о - и 00 - ,
5аю\2іэ 1 ИЛИ Дтг^/о^т-^.тс— 1.2ѣ 77*771 Л а2 п2 К1 7714 / л~я ( 1 " г . * I" * 1 Ь ’ 'гі । * ® к • н Г » °2| і в| и. і- : . • * ч
' 22 1 3" < 1 ’ / ц_2_і ± । \
2 24714 \ 1 ть . ’ ^2бк6 I1 ‘ —>88(1 - 4.2й 71“ х _ а4 34 44 * * / 4- * -4- * -4- ' -4-. )
26 । дб Г I / ‘ 4-4 + 4 + )
і л8 ’ 8 1 • / 4“ зюй- Н- )
И такЪ при вычисленіи логариѳма синуса положивъ
краткости
и проч,
будетЪ
а ~ о, 4112335і671205660911810
С ~ о, 067646209106946 8696975
7 ~ 0,01589638534350701780804
~ о, 0009221771726/;822007570
Е — О, 00097753376477325384898
~ о 0002442007047249 87227-4
і} ~ о, оооо6іоЗВ8д4бЗд493329і5
О — о, 00001525902225127269977
і ~ о, оооооЗб1471182744З18008
И ~ О, 00000095367522617534053
0,00000023841803595 5д’^4
/і ~ о,ооооооо59бо4б483283>555
9 ~ 0.00000001490116і4і5898іЗ
«и 55
о, ооооооооЗ'»25э9г>ЗійЗЗс;86
о — о, оооооооо дЗіЗ^йбубДба0/}-
•п ~ о, 000000000239.83064370807
— о, 000000000С5820766091685
а — о, 0000000000145519,522858
т — 0,00000010000363797880710
ѵ ~ о, 0000000000009094.947°г77
ф— 0,0000000000002278736/544
%__ о, ооооооооооооо563434‘- 86
ф~ 0,00000000000001421086471
а> ~ о, ооооооооо Ю000З55271З67
Прочія за сими слѣ іу копія суммы найдутся чрезЪ безпре-
станное дѣленіе на 4, то есть на г2 , потому что
+........Содержатся кЪ -Ь......
при гп числѣ великомЪ, безЪ чувствительной ошибки, какЬ
кЪ или какЬ з2 кЪ і.
Суммы же строкЪ входящихъ вЪ опредѣленіе логариѳма ко-
синуса вычислены выше при нахожденіи логариѳма коли-
чества 71.
Еешьли такимЪ образомЪ найденные иперболическіе лога-
риѳмы синусоьЪ и косинусор’Ь помножатся на модуль таблич-
ныхъ лоіариѳмовЪ 043429..... и потомЪ придается кЪ ка-
ждому числу іо, для приведенія ихЪ кЪ радіусу табличному,
шо получатся логариѳмы синусовЪ и косинусовЪ табличныхъ,
Что касается до ло.ар’іѳмовЪ шангенсэвЪ, котангенсовъ,
секансовъ, косекансовъ, синусовЪ версусоиЪ, косичусовЪ версу-
совЪ, то они получатся изЪ опредѣленій сихЪ количествъ
чрезЪ синусы и косинусы: ибо ІСІіІ^.ф — «оТф* ^еС’^'~воГф’
со^.ф— солгс.ф—^іп.ѵе^.ф=і—со^.ф-2со^Я>фг:,
СО8.ѴС8. ф — 1 ф ~ 1 — СОС. Ф)~ 2ЯП’ЛІ(±ТГ ф)
т 2 соѴЦтг 4~ ф).
5б ===
IX. О нахожденія общихъ таеноеЪ безконечныхъ строкѣ.
§ 4о.
Ежели кякяя побудь дробная функція
а + Ъх Ч- схх -+- <1x3 -+- гх+ Ч-...
а +- ёх + 7хх Ч~ 8x3 Ч ёх+ +-.
•превратится вп безконечную строку А 4- Вх 4- Сх2 4“ .. .. .
Гхп4~ (^хп 1 4- . . . • • то общее ичображсніе Рх11 ж ан> ея
члена называется общилѣгленслЗ (іегтіпиз СепегаІіЗ) тро-
ки се я.
Знаніе опредѣлять сей общій членЪ безконечныхъ строкЪ
есть не малой важности ; ибо когда общее изображеніе чле-
иовЬ составляющихъ какую нибудь строку извѣстно : то а
каждой членЪ сея строки по произволенію опредѣлить м жно,
а слѣдовательно тогда можно считать всю строку извѣстною.
$ 4»«
ЪІы будемЪ трактовать дробь раждаютую безконечную
а Ч- Ъх + схх Ч- 1x3 Ч-............. _
Строку вЪ видѣ 4ГКХ-+ €хх + Т~г+~ ;; ибо каждая дробь
вЪ сей вилЪ приведена быть мѵже.нЬ.
Поелику каждая функція і 4- ах 4~ йсх 4-С'Я^Ч-.......,
состоящая изЪ опредѣленнаго числа членовг, разхожишься мо-
жетЪ на множителей первой степени вида і — дх или (і — дх п,
Либо на множителей квадраиіныхЪ виіа і—2 дх СО5. ф 4- ддхх
или ( і — 2дх со5. ф 4 ддхх)п , либо на тѣхЪ и друіихЪ; по
сему каждая дробь, ммінщая знаменателемъ свсимЪ і 4 «X
4- &кх 4- ух3 4-. . . .можешЪ разложиться на частныя дроби,
имѣющія знаменателями своими оныхЪ множителей знамена-
теля предложенной дроби, и сумма сихЪ дробей будетЪ равна
предложенной дроби.
Если мы сіи частныя дро^и , составляющія предложен-
ную дробь , превратимъ каждую вЪ безконечную строку, и
соединимъ всѣ сіи строки; то сумма сихЪ строкѣ необходимо
должна быть одинакова со строкою раждающеюся отЪ предло-
женной дроби.
«= 57
По сему, если мы назначимъ безконечныя строки раждаю-
іпТяся ошЪ частныхЪ дробей чрезЪ
д> ^х 4-С/хх -и.... + Р?х 4- ОГ хп+іч-..Л
А" 4-Влх +С"хх 4-П//3 4-.... 4- Р"хп 4- О_//хп+,4-..Г.
Л///н-В///х-ьС///хх+П///34-.... 4- Р^х^О.^4-1^....
и проч.
и безконечную строку, раждающуюся отЪ предложенной дроби
чрезЬ •
Л Вх 4- Схх 4- Вх3 4-............4- Рх1 4- Ох 114~ •. • •
то необходимо будетЪ
А — А7 4-А/х 4-А//х + . : . : :
В — В'4- В^4~Вѵ/4-.................
и вообще
Р — рх 4-Р^ 4-Р7//4- .... 7
Откуда явствуетЪ, что для полученія коэффиціента Р, опре-
дѣляющаго общій членЪ предложенной дроби, сгаоигаЪ только
разЪискать коэффеціенты Г, Р", Р''' и проч. общихЪ членовЪ
частныхЪ дробей, и соединить вЪ одну сумму.
И такЪ изслѣдованіе общчхЪ членовЪ беаконечиыхЪ строкЪ,
раждающихся оіп'6 каждой дроби, имѣющей знаменателя со-
стоящаго изЪ опредѣленнаго числа членоіЪ, сводится на из-
Слѣдованіе общихЪ члеиовЪ безконечныхъ строкЪ, раждающихся
отЪ дробей вида —А— Аи -------------А + -------
I 4- ЦХ 3 (і - 1 -------- 2^ХС05. ф 4- ццхх '•
А 4 - Вх_
(і — со:, ф 4- 55 хх}п'
§ 4=-
ВозмемЪ сперьва вЪ разсмотрѣніе дробь - |то поелику
— х 4- 4- ддхх 4- д3х3 4-....... будетъ
~~ — А 4- Адх 4- Аддхх 4-.........4- А.дпхп 4-...
Часть III. 8
58
слѣ юзательно, общій членЪ строки, раздающейся изЪ дроби
л я
-—— есть Адпхп.
Поелику ^37^5 —</г) і+іфх ч- ~^ддхх-4-...'
(Ы-а)....(к +-П — т) „п п '
• • • • н----Г. й . і П--------<7*4-..........> то об-
А
іпі’й членЪ строки , раздающейся изЪ дроби будетЪ
Й(^-+-іХЙЧ-2).(кі-п— 1} л 11 6(Л-<-1ХЙ+-2) . ..(* + п—И
----ч-—----------- ЛЦ X . По величина------- --------:
1.23.......п 1 І.2-3-...П
(п-Ь ІІ(п+і1(>І + з).0“+^- і)
равняется величинѣ ----~----------------------* ио° если
сіи двѣ дроби приведутся кЪ одному знаменателю чрезЪ по-
множеніе числ >пГе'ля одной на знаменателя другой дроби : то
числители обѣихЬ будутЪ одинаковы, а именно 1.2.3.......
(п-^-к— і). По сему оный общій членЬ иначе изобразится
чрезЪ
(п + і|(я + е) (п + з)- • . -к . (пЧ-------т)
і-. а . з..........к — і
Адпхг.
ТакЪ общіе члены строкЪ раждающихся изЪ дробей »
(Т^й. будутъ («+1)Ад"Л <Д±^>'а9"х",
(п+ 1) (п+з) (п + з) Ддпхп
1.2.3 у *
Егтьли на пр. должно будетЪ найти общій членЪ строки
і Н~Зх~Н4Х2 4- ііх3 + іох4 4-2ох' 4- і^х 4-...ра-
к і - "4м — ех- 4- зхЗ
ж дающейся изЪ дроби - _• уз?"45^3 —~ах4‘ то разложимЪ ее
на частныя дроби, кои будушЬ
4 ____________1___Л__________’ _ .
3(1-х)3 9(1 —х)2 * 27(і - X) І^Сі 4- ях) у
ибо знаменатель ея — (і—хДі + гас) , и тогда получимЪ
для общаго члена сея строки
|. Сііііул’ х» _ У + !>’ + йх” _ і (_ X)” х"
ИЛИ
і8пп 4- 4- 34 Ч- 1 • п
х з
гдѣ знакЪ 4- принадлежишь кЬ нечетному
экспоненту п.
а — кЪ четному
59
Изложивъ, на примѣръ п~6, получимЪ
і -зб-4- '5.6-4-34 — 7-дб уб— 12Хб
>7
§ 43-
Дабы вывесть правило для нахожденія общихЪ членоаЪ
ЛРобей + и 6^х^.-ф-Гадхх) К опредѣлимъ
во* первыхЪ общій членѣ слѣдующей суммы івухЪ дробей
1(а — еѵ — і', . д(а -і~ ё~/ — »)
(і 5Х(С0і. ф-ЬІІВ. «у/ — і))Х ' -дх(С05. р — зіп. фі'—))>’
Поелику С&8. Ф —Н ЗІП, ф.у- 1 )п ~ СОЗ. п ф -НЗІП. п фУ — т ,
Х(Х -+- іі (X 4“ 2) .... (X 4- м — г)
по сему если назначиіпся -----------—-—---------------,
(п+ ')(п+4........(п + х - і) , хт т
или---------—— ----------------- оуквою М, то прелЬиду-
щему параграфу общій членЪ безконечной строки отЪ суммы
сихЪ двѵхЪ дробей раждающейся будешЪ
ІСа—6Ѵ—і) (соу. пф-\- зіп.пФѴ— і) ,, „ п_- । . . „ -
34 , у ' Кдпхп~ЪИасо$. пф4-€5іп.пфюпх’1*
—|~|(а4_ёѴ—(соі. п ф — зіп п фѵ—і) л
Но сумма оныхЪ двухЬ дробей , по приведеніи . пхЪ кЪ одному
знаменателю, будешЪ имѣть числителемъ своимЪ
|(а—61/—1) 1—кдх(сол.ф — 8іп,ф]/— і)4-~^\2х2(со.?.2ф
—1) — д3г3 (соз. Зф — Лй.Зф/—1) )]
-Ц(я4-6]/-1) ,' 1—>^х(с03 ф +Ы/1. ф/—1)4-^—<72Х2(сО6.2ф
ч- «у/ч.сф/—1)— дях3-(соз.Зф -ь зіп.3ф}/—і).....
при томЪ
і)(со р.ф—51’п.р.фѴ— ,у^а4-е/— і)!соі р.ф {-чп.р. фѵ—асог.цф-епп.^ф;
По сему оная сумма дробей будешЪ имѣть" числишелемЪ
своимЪ
(а). а-Х(аспз.ф — &пг_.ф)дхчФ^^І\асо$.2ф—6-?ш.2ф)д2х2
--- ~Х ~Г.1а Г - (а С0$ Зф - -УІН- Зф) г/3х3
и знаменателемъ
(і — сдх соз. 0 4- хх)х.
8 *
о о
Слѣдовательно безконечная строка, раздающаяся ошЪ сей по-
слѣдней дроби, будетЪ имѣть общимЪ членомъ скои'иЪ
^\с<соз.пф-\^і’чі..пф')д'-хп, гдѣ вЪ случаѣ будетЪ Кдді.
\
§ 44-
1. Есшьли вЪ предЪидущемЪ параграфъ положгтся Л~г,
_ „ а—(аео ф—6 іп.фдх
ио безконечной строки, раздающейся изЬ дроби ;~2дх^г;ф~р“~,
выйдетЪ общій членЪ (а соя. пф 4-8 зіп. пф^дпхп. Есшьли сли-
А Ч- В<7»
чимЪ сЪ сею дробью дробь Г^^^Гф.^^7 : получимЪ
А~«, В “— (сссоз.ф—^зіи.ф), а слѣдовательно ее дд А,
к ВЧ-АсОі. ф ' -г <• А -I- Цдх
—тоГф—; пэ сеиУ об^ІЙ членЪ лр"би “-^оГфч^Гх
а х /Д^пси/ѣі В«'п.пф4-Анп.пфс<».фч п п_Анп.(п4-»)ф+ВПп.пф п п
будетЪ (АШУ.пфч------------^-ф--------)д X __----------------.</ X .
2. Есшьли положимъ л~2, шо для безконечной строки,
а — 2(асо; ф—бяп фХх4-(псох.2ф—в'іп.афітахх
раждающеися изЪ дроби ------------П-^соГф^ххУ------------
получится общій членЪ (п-Н) (а соз. пф 4- Ѣзіп. п;) дпхп.
Посредствомъ сего общаго члена можно найти общій членЪ
А Ч- Вдх
для дроби (,-_адхсоУ.ф_н ЗД^Х)2* естьли замѣтимъ, что сего рода
дробь можешЪ произойти ошЪ соединенія оной дроби сЪ дробью
' ЧДѣГ * коея общій членЪ (по Ко і) есть
I-—2ЦХС0!. ф -+- ддхк » V /
и іп. (п 4- і )ф п в тт ,. _ _
-----------д X . И дѣйствительно сумма сея дроби еЬ оною
будетЪ
а Ч- (X—а(асо'.ф — Сг/п.ф Ч- |хсо'.ф ,х_4- (асоі хф — €зіп. аф Ч- р-^хх
(і — адх соі. ф 4- 9
которая, дабы сходствовала сЪ предложенною, піребуешо
только, чтоб'Ь было
х а -|- р. “ А
— 2а соз. ф -4- 28 зіп. ф-----2[Х СОЗ. ф — В •
а СОЗ. 2ф — с -УІН. 2ф -+- Р- — о.
ИзЪ котэрыхЪ уравненій всѣ три ве личины и, 8 и р, опре-1
дѣлятся; и дѣйствительно найдутся *
йі
«•
. (а со;. аф 4- В со;. ф)
- ' 2іІП. ф2
„ ____ В !ІП. ф -+- А 5ІП. 1ф
® ---- 2 1П. ф*
___ А + В цоі ф
Н “ 1 !ЗП. ф2
ТакямЪ образомЪ общій членЪ предложенной дроби будетЪ
(» + 1) (« соз1. V ф -г $ зіп. п Ф) дп хп -|- дг х*
Лііч. фЗ
ИЛИ
(пЧ-іХАсоз (п4-2)ф-|-'’со,'.(п+4)ф)(_іп^п ( Алія (п+і')ф4-В;іп.(п4-і)фсо; ф^п^’г
' Я 4 2ПЧ~'ф< Г/ Х'
ИЛИ
(п+з)п’п (л-. 1 )ф: (п+1 )5/п.(п-Рз_)ф д п п (і.-г-г) й іф—ппп.(п4 ’)Фр чп
•г5 фЗ /Ы/ X 4“ 4ял. фЗ ПСІ Х
3. Ежели іюложингся Л~3, то общій членѣ безконечной
строки , раждающейся изЪ дроби
а—3(асо;.ф-—Сі'іл. ф) 4-з(а< 05 зф—6 гп-гф^хх — (а со'. зф — Вгіи.чф^ЗхЯ
(1 - 2ЛХ со;. ф 4- ^^xx^3 •*
будетЪ
2
Дабы посредствомъ сего опредѣлишь общій членЪ безконечной
А 4— Едх
строки, раждающейся огаЪ дроби ^'~чхсо ^фй^^І* замѣтимъ,
что сія послѣдняя дробь можешЬ произойти отъ присоедини
. - ^4- Ѵ^х
иія кЪ оной дроби другой дроби (і с- ф-’ коея
общгй членЪ уже намЪ извѣстенъ. И дѣйствительно, есгпьли сія
дробь приведется кЪ одному знаменателю сЪ оною, и числи-
тель отЪ суммы сихЪ дробей сравнится сЪ числителеяЪ
предложенной дроби: то получатся четыре уравненія, изЬ ко-
шорыхЪ а- іо, р и > опредѣлятся.
Уравненія сіи будетЪ
а 4- р. ~ А
ѵ — 2[д соз. ф — За соз. ф -р- 3? зіп. ф “ В
|Д— 2и СОЗ. ф 4- За СОЗ. 2ф — ЗС зіп. сф О
у — а со". Зф -р- & зіп. Зф — О ,
ИзЪ коихЪ найдется
62
(А нп. зф -+- В$іп. пф) ,
а — ^ТСфз '
„ ___ (В СО!. зф -4- А СО!, зф)
- 4 іи Ф<
__ В іга- гф -4~ зА;іч. ф аВ со'. ф зА В
Р" ' 4!іп. фЗ 45!іі. ф2 ’ 4>гп.фа*
II когда сіи величины подставлены будутъ , шо общій членЪ
строки, раздающейся изЪ предложенно*’! дроби, изобразится
ЧрезЬ
(Л±!^(асоі ПФ-+&ІІІ
। ОЧ- а) 5Іп пф — п !іи (п + =)Ф ПП
4 зіп. фз Ѵ 1 Л
ИЛИ
.(„+і)ф_м=±й"«). М^ММ.Й±ЙЬЙ>, іп с„+51ф?^_
РАН
{ГСп—Н4)( ~Нз) * 2лГп-}~4) , г п(п-]— і) ..*) Вдпхп
+• і.- - ,, -4, "п -4У "<п+^і^т„: ф5-
Дабы получить общій ч'ѵенЪ безконечной строки, проис-
ходящей отЪ дроби надлежитъ вЪ дроби
(а) положить х — р , и придать кЪ ней еще дроби
р. -+- * - е ч с ..
г--- л ,--------и т-----------ткі---Дая «оихо общіе
(і — гдх соу.ф-|-эдхх^ (і —!^x со!.<ф-]г ^^^xx)2 ' * л=
члены уже выше найдены. Приведши сіи дроби кЪ одному зна-
менателю, копюрый будетЪ (і — 2дх СО5. ф -+- ^дхх)4, и сра-
внивъ числителя отЪ суммы дробей сихЬ сЪ числителемЪ
А-|-Вдх предложенной дроби, получимЪ пять уравненій, изЪ
коихЪ величины а, ѵ и опредѣлятся , кои Когда под-
ставятся вЪ общемЪ членѣ , принадлежащемъ суммъ оныхЪ
гпрехЪ дробей, то получится общій членЪ принадлежащей
дроби _ І(1Х-О^ ф-^ аджх^4«
С’вершивЪ показанную выкладку, получимЪ для общаго
члена строки, раждающейся изЪ сей дроби, изображеніе
іп ,(п 4. і )ф_^,^^+Ё2,ѵш(н+3)ф
= «3
пф _ ііп ц_ 2}ф
ч- ^.(«-н(Ф Хцн+б^ѵ^.
О куда явспівуёшЪ , какое изображеніе будутЪ имѣть оощге
члены безконечныхъ строкЪ, раждающихся изЪ дробеі
(Т^хсІ'^іЗЙ Л коихЪ А =г5, 6, 7 и шакЪ далѣе.
ПРИМѢРЪ
Пусть предложено будетЪ опредѣлишь общій члечЪ б і-
коАечной строки, раждаіощейся ошЪ дроби -------------»'>
зіѣсь будетЪ д~Ѵз, соз.уД—|Ѵг, по сему <^~ітг, А“2,
В —ІЗ-Кі» слѣдовлшельно искомый общій членЪ бу.іешЪ
[(3 -Ь 3) І'ІП.( Л— )тг (п -Ь 1) -)7Г 2ьИ + ’ХП
4- [п + 2 $ІП. ---------п «».( -^-)7г]3.2ІП“ ’х” 3
или х
{(?п 4- 14) — (3« — 4) со^.п~}2І/П~ Іхп.
ТакимЪ обраюмЬ членЬ , имѣющія экс ншеніпа п“іо,
ПО причинѣ ~~ — ЗІП. * 7Г ~ 1 , и СОЗ. “ СОЗ. + 7Г — О ,
** 4 *- 4 *“ »
будетЪ ~ 8 {-44-х’° — 1344т10 ; членЪ Ж“, имѣющій экспо-
нента п — I 2 , ПО причинѣ 8ІП. — 7Г ~ $і/1. Зтг ~~ о, И
і 4
соз. Зтг—— х, будетЪ 32.25.х12 — 1023.x'11.
§ 4.5«
ВЪ предЪ«иущихЪ параграфахъ предполагали мы, что
дробь, раждающая безконечную строку, извѣсти . Но есшьли
будешь преіполоксна безконечная строка, раж хающіяся ошЪ
ьеизвѣ тной дроби, и на ілежишЪ сЪискашь ея общаго члена:
то вЬ шлковомЬ случаѣ на ілежишЪ прежде раз'гискашь сімую
дробь, сію строку раждающѵю. Е'чпьли знамендшель дроби,
раждающей сію строку, есть раціональная функція той измѣ-
няемой величины, но порядку степеней коея простираются
г
члены строки, и состоитъ изЪ опредѣленнаго числа члепоіЪ:
то дробь, раждгющую сію строку, всегда разЪискапп можно,
хотя шрудЪ сего разЪисканія со степенью составляющей зна-
яенателя сильно увеличивается.
Легко видно, что разЪисканіе дробей, раждающихЪ безко-
нечную строку, основываться должно на законѣ сатаю проис-
хожденія строкѣ сихЪ изЪ каждой дроби, то есть, на законѣ
зависимости постоянныхъ коэффиціентовъ строки отЪ по-
стоянныхъ коэффиціентовъ дроби, ее ражданицей.
ЗаконЪ сего происхожденія, какЪ мы выше видѣли, вы-
весть можно чрезЪ разложеніе знаменателя- дроби на. его мно-
исшпелей*. Видѣли также вЪ Алгебрѣ законѣ сего происхожде-
нія и безЪ разложенія знаменателя на его множителей.
ТамЪ замѣтили мы, что естьли какая нибудь дробь
а -+- Ъх -{- схх <1x3 . I.. /хт
— Г~ах~- ех2 - ЬсЗ~^7хп — превратится вЪ безконечную
строку, которая пусть будетЪ
А-г-Вх-^...РхТп+п_3ч-ахл-|-7І~І4-Кхл* :
то всегда бываетЪ
Я ~ «К -і- Ш 4~ уР 4- * • • •
-4- СН. -{- уО_-{—........9
и проч.
такЪ что каждой послѣдующій коэффиц енп* Тч такой стро-
ги зависимъ бываетЪ отЪ п предЪидущихЪ еЯ коэффиціен-
товъ 8, К, (Э, и проч. по закону назначаемому коэффиціен-
та чи сс, & у и проч. знаменателя; т. е. если п~ і, то
8~<хВ., Т ~ и проч. Естьли п ~ 2, то 8 — аК 4~ ё(^.,
Т ~ а8 4- бВ. и проч. Естьли п ~ 3, то 8 ~ «В. 4- 4-уР>
Т 222 «8 4- ьВ. у(^> ТІ ~ г € 4“ &8 4“уК и проч. и проч.
ТакимЪ образомЬ, естьли подумаемЬ, что какая нибудь
строка раждаешся отЪ знаменателя, і—«х то вЬ семЪ слу-
______________________8 _ Т
чаѣ должно быть л-----—-----~ н проч.; а по сему должны
быть знаменатели содержанія меж іу каждымЪ послѣдующимъ
и предЪидущимЪ коэффиціентомъ постоянны.
Естьли подумаенЪ, что строка раждаетпся отЪ дроби
Имѣющей знаменателя і — ах — %хх , іпо должно взять два
уравненія «В. Ч- 5, «8 ~ ”В ~ Т , и найти изЪ нихЪ
величины а и Іо, кои когда удовлетворять будутЪ слѣдую-,
щгіиЪ подобнымЬ уравненіямъ между коеффиціеніпаьи строки,
то строка сія дѣйствительно происходитъ отЪ дроби имѣю»
щей знаменателя і — ах —бх9.
Естьли подумаемЪ-, что строка. происходитъ отЪ дробя
имѣющей знаменателя і —ах — —ух3 , то'должно взять
три уравненія «В. Ч~ Ч- уР — 8, «8 Ч- 6В. Ч- 7^ — Т,
«еТЧ~іо$ 4-уВ.~ (], и опредѣлишь изЪ пихЪ величины «, & у,
кои когда удовлетворять будутЪ слѣдующими подобнымъ
уравненіямъ между коеффиціенгаами строки, то строка сія
дѣйствительно происходитъ ошЪ дроби «имѣющей знаменате-
ля і — ах — &х2— ух3; и такЪ далѣе.
Когда же знаменатель дроби раждающей строку БудетЪ
йзвѣсіпенЪ, то и числитель ея тотчасЪ найдется; ибо А~а,
В-^гяАЧ-^ С— «ВЧ-^АЧ-с, ІЭ^п_аСч~оВ—у&Ч* и проч»,
откуда величины а, Ъ, с, сі, и проч. шошчасЪ опредѣлятся.
Пусть на пр» предложена будетЪ безконечная строка
і+ЗхЧ-4*2 Ч-ГХ^Ч-і іх4Ч-і6х5Ч-29а?б“Ь47;3с7Ч-7^6Ч-....;
то пробуя , не будетЪ ли знаменатель дроби ее раждающей
і — аХ-Ьёхх, получимЪ 11, іі«Ч-7І»—18» откуда
найдется « ~ і, і, и сіи величины удовлетворяютъ Слѣ-
ду ющиіЪ членаиЬ строки, ибо 29ПС18Ч-11» 47 —29 Ч-18
я. проч.; слѣловашельно знаменатель дроби раждающей сію
строку і—х — хх. Назначивъ же его числителя чрезЪ
лЧ-Ьх, получимЪ а~ і, Ъ~Е — «А“з — < “2. Слѣдо-
_ і Ч-«х ,
вательно .дробь раждающая сію строку есть -
КакЪ сія дробь разлагается на двѣ частныя дроби
+ по СРНУ обЩ’и ЧЛ€нЪ сгаР°ки
ж дающейся изЪ оной дроби будетЪ
(і -+-/5)"+1 -I- (1 - /5)"* =
{(1 4- У5)“+14- (1 - /5)’+}
Часть III. "
66
§ 4б.
Когда равЪисканЪ или данЪ знаменатель і—ах——ух5...
дроби раж ѵ.юшей безконечную строку А 4- Вх 4- Сх2 .......
+- Рхп4- (^х" + Кхп-*-3 4- 8хге + * 1 +.и найдено изо-
браженіе оощаю члена сея строки , тогда можно раз] искать
и общее изображеніе суммы такаго числа пергыхЬ члендвЪ
безконечной строки, какое угодно.
Положимъ , что найти должно общее изображеніе суммы
А4-Рх-4-Сх24-.....4-Рхп. Изобразимъ числителя гроба
раждающей сію безконечную строку чрезЪ ад Ьх Ъ сх2 4- йх3 4'«**/
то по предЬидущему параграфу будетЪ
а~А, —«А сг^С—«В—ёА,г?~Р—«С — СВ—уА и проч.
Ио сему дробь, раж іающая оную безконечную строку, и ра-
вняющаяся суммѣ в*ея безконечной строки, будетЪ
А + (В — аА)х + (С — аВ — €А)Х2 + (Р - аС — СВ' — 7Л)хЗ +.
і — ах — ёх2 — ухЗ —............... *
Назовемъ сумму слѣдующихъ за Рхп членовъ (2хп-і-І4- В.х” + *
•4-8хп-Н4~.....нли х”-^1 '(24-В.х4-8х24- -• • • •) буквою 8’,
іпо понеже послѣдующіе коэффиціенты строки (^4 В.Х4 8х24-««.
іиакРнЪ же образомъ опредѣляются изЪ прелЪилущихЪ коеффи-
иіенчіовЪ, какЪ и всей строки А4~Вх4“Сх2 -*-Сх34-...;
по сечѵ, назначивъ числителя дроби раждающей сію строку
ф 4- В.х 4- 8х? 4- .... - чрезЪ я 4- гх 4- «х2 4- іх3 4-.
при піомЪ же знаменателѣ I - ах — ёх2 — ух3 — . . . . .
поручимъ Ц—0. Г~Н—а<2 Я~_8—аВ. и проч. Слѣдова-
тпельна дробь раздающая строку (4 |- В.х4 8хх4~Тх34-..
6уггтЪ
Ц,+ (К. — а<&) X -4- (8 — аК —ео^хх 4 (Т — а5— ГК — 7&)хЗ +.
і — ах — бхх-УхЗ — ....
Оіпкѵш слѣдуешЪ, что оная сумма А4 Вхф Схх^Сх44~....
4^ Рхп бѵ іетЪ
* 14-(В ч’ аА)х 4- (С — аВ-еА)хх 4- (П — аС — — УА)хЗ 4- , . .. .х
{ —хп-+-1СЙ4-(В-—а2_)х-)-Г5—чК -ёй>х-|-(Т—а —6К—. ..(.
< < — ах — бхх 4- ухі —.............. /
ОТДѢЛЕНІЕ ВТОРОЕ.
О послѣдовательномъ измѣненіи функцій.
$ 47-
Измѣненіе вЪ величинѣ И, составляющей функцію какой
либо о гной величины л , или вѣсколькихЪ х у и проч. Мо-
жеіпЪ произойти отЪ двухЪ причинъ : во ікрьыхЪ, коіда при
неизмѣняемомъ законѣ зависимости оной величины ѵ отЪ той
или тѣхЪ величинъ, коихЪ она функція , самыя сіи величины
X и проч. измѣнятся; во вторыхъ, когда при тѣхЪ же или
измѣненныхъ величинахъ х и проч. измѣнится зак>нЬ зазиси-
мо ти оной величины 17 отЪ сихЪ величинъ х и проч, ВЪ пер-
вомъ слѵчаѣ приращеніе или уменьшеніе пр -находящее вЪ ве-
личинѣ 17 называется ея разностію; во второмЪ же ея варіа-
ціею. Мы будемЪ во первыхЪ говорить о разностяхЪ функ-
цій, а пошомЪ о ихЪ варіаціяхъ вообще. Наконецъ изЪ сихЪ
общихЪ выраженій разностей или варіацій выве кемЪ предѣлы
содержанія разностей или варіацій функціи V кЪ ігѣмЪ измѣ-
неніямъ, которыя нами даваемы будутЪ величинамъ произво-
дя щимь сію функцію.
СТАТЬЯ ПЕРВАЯ.
О разностяхЪ функцій одной измѣняемой велм'смиъі.
I. Общіе законы зашсиммти между функціею и ея ра-
зностями.
§ 43.
Положимъ, что ве ичина у есть какая нибудь функція
фХ величинъ) х и что сія вел» чина х, начиная отЪ какого
миЬудь сноеіо состоянія, котооое мы озьачимЪ чрезЪ х(с),
единообразно увеличивалась, принимая При переходѣ изЪ ка-
» *
68
ждаго предЬидущаго состоянія вЪ послѣдующее постоянное
приращеніе дх, и перешла уже чрезЪ п состояній составляю-
щихъ рядЪ
х* к 4- Дх, х 4~ 3^х» * + ЗДх, .... х + иДх
или
х'°\ х(О, *(»), х(3), я(4), .... х(м).
Пусть вЪ тоже время функція ея у принимала по порядку
соотвѣтственныя онымЪ состояніямъ величины х состоянія
у(°) у(г), у(2), у(3).....уС11') (а»
такЪ, что у(°) — <рхС°), уѵі — фхС4 , у4) — фхі-'і и прот.
или у(°)~<рх, уС1) — 4- Дху у(») ~ <р(х 4- гдх) и проч.
Если мы изЪ каждаго послѣдующаго состоянія величины
у вычтемЪ предЪидущее , и для изображенія разностей сихЪ
употребимъ также букву Д такимЪ образомЪ, что разность
между у(* + 1) и у(*0 изобразимъ чрезЪ дуіь)} то получимЪ
рядЪ разностей
Ду(°), дуС1), АуС2), Дун)......ДуО1 —О,
кои называютъ разностями лервыліи пли лярвой стелени, к
коихЪ число буд'іпЬ одною меньше противЪ числа членовЪ
вЪ ряду величинѣ у.
Если вЪ семЪ ряду разностей изЪ каждаго послѣдующаго
члена вычтемЪ предЪидущій, то получимЪ рядЪ втсрыхЗ
или второй стелени рази стей, которой будетЪ
Д2у(°) Д2у(0, А2уС'4, Д2уСз} .... Д2у(п_’2),
вЪ которомъ ряду будетЪ число членочЪ опять однимЪ менѣе
противЪ предЪи «ущаго ряда.
Если вЪ семЪ ряду изЪ каж іаго послѣдующаго члена вы-
чтемЪ предЪидущій членЪ ? то получимЪ рядЪ третъих5 пл^
третьей стелени разностей, которой будетЪ
Д3уІ°), Д3у(*Х Д3у(2? Д3у(з) .... Л5уСп”*)»
и іи а кЪ далѣе.
ВЪ разсужденіи всъхЪ сихЪ рядовЪ вообще замѣтишь
должно то, что если вЗ квторолѣ нибулі глені лодставптсЛ
вл.ігто х велит-пна х+-Дг, то. лолцък,' сл лослільющій г:лен&
зпогояЗ рлда\ а леселіи е5 каждомЗ ряду всі его г лены сцтк
единакія функціи» только сто величина, входящая в? лронзве-
дете ахЗ лрн лереході пзЗ клена в5 глснЗ единообразно изліі-
няется. Слѣдовательно если пре’длож/нЪ будетЪ рядЪ вели-
чинъ составляющихъ одинакія функціи величина! единообра-
зно измѣняющейся . шо такой рядЪ величинъ можетЪ быть
разсматриваемъ какЪ рядЪ разностей другихЪ одинакихЪ фуик.*
цій величины, при переходѣ изЬ одного члена вЪ другой «іди-
иооьразно измѣняющейся*
§ 49»
Поелику ЛуМ ~ у(0 — у(э) , &у'У) ~ у И — уО',
Ау(2)~у0)—у(2) , и в-обще Ду(Ъ) ~ у(к 4- О — у(Ю , то
будетЪ дуі1) —дуМ и\и ЛЛу!°)~угд)—гуСО-НуС0) ДуС2)—ДуС1)
или ДДу(')“у^з) — 2у(2)-р- уО) и ноо >ще ду(А4-0 —Ду(Ю
или ДДу(,г) — у(.Ы~') — еуС^-Ь і) 4- у(Ю. Изо і.его найдется
далѣе ДДуС1)—ДДу(°) или Д3уС°)~у(з)— іуС2) ~|-зу(г)—у(°),
ДДу(2) — ДДуС1) у\4) — зуСз) 4- зуС2) — уС1) и воопще
ддуС^+О—ДдѵСЮ или д3уС^)~уС^+з> - у(Ы-2)-с-^уСЛ-Н)—уС^С.
ИзЬ сего получится да.ѣе д3у(-) д3у(°.) или Л4у(°)г^у(4)—
ду( 04-6у(2)—4у(1 )'4-у(о), Д3у(2) — Д3уСО или Д4у(0 —у $) —
ду(4)4-'>у(з) — ч.уС2)4-уСІ) и вообщ А3уС*г4-’) д3у(Ю ила
д4у^) — у<*4-4) — 4у(^4-з) 4-5у(Ь~{-2) —4у(к4-«3 _|_у(Ь;.
Сіе показываетъ іе, что разность какой янбо стелен’і кото-
раго нио^^ь тлена изЪ ряла (а} велитпн^ у олреділяется
ерезЗ сей самой тленЗ и столько лослідцющнхЗ тленовЗ сего
ряса, какой стелена оная разность; 2е, тто косффчціентъъ
ехсдяіціе вЗ олреділеніе. сея разности грсзЗ оные глены ряда
одинаковы сЗ коеффищснтами бннолііи возвышенной вЗ ти же
стелень, какой стпеленп оная разность; шакЪ что будетЪ
вообще
гдѣ знакЪ 4- послѣдняго члена принадлежатъ кЪ т четному»
в — кЪ т нечетному»
$ 50.
И напротивъ поелику у(Н-О—уіЛ)4-ЛуМ, уСЯ^Іг^у^-»-1!
^ •Ду^Ь-Ь1), и такЪ далѣе; шакожЬ Ду(М-і) — Ду(*7 4-ДдуС*)»
Ду^-*-®) ~ дуС&4-0 4- л \у(Н-Г) и такЪ далѣе; Д4у(Н-0
* Л2у^Ч-Л3У^Л Д4/^)— л= 7^)4-Л3и такЪ
д -іе, и воопще Л^уС^+О ~ Д’Ауі&) 4- ДМ-4- 'уіЛ). то будеіпЪ
- Л4- ) ~ у(Ю-у 2Лу<&)-р-дду(Л). уіН-з)^.у(Ь)у-зДу(Ъ)_|_здду(Л
_|_дЗу(Ь) , и ВПО^ІІі?
§ 5і.
Поелику, какимЪ образомъ изЪ ряда величинъ у прозхо-
дяпіЪ ряды разностей первой, второй, третьей степени и нр.,
шакимЪ же обрачомЪ изЪ котораго нибудь ряда разностей,
на пр. степени к. произходяпіЪ ряды разностей слѣдующихъ
степеней к-}-і, к-\- 2 к 4- 3> и ПГ* » п0 сему зависимость и
изображеніе каждаго еле на вЗ ряді; разностей стелени к
ірезЗ начальной ъленЗ ряда спхЗ разностей и его разности,
равно какЗ и изображеніе разности вышшей стелени нежели
к трезЗ глены ряда разностей стелена к , таки иЗ же оГрс-
золіЗ олреділяться будетЪ , какЗ какой ллб» гленЗ вЗ ряду
велисинЗ у олреділяется іргзЗ натальной сего ряда тленЗ и
его постеленныя разно тп , или Какая нибщъ отдаленная его
разность срезЗ него и слідгрощіе тлечы ряді ТакЬ на пр.
ГХ+т)_дуХ)4 /йЛ^+. (X).
и
4ДХ+т)ЬДдЬ (Х-Рта-0 Чт-’)дМХ-Мя-а)
§ 52.
ВообравимЪ, что вЪ ряду величинъ уѴ4, уС'), у(®Х...у(")
между кажіыми івумя смежными членами у(Л) и уОН-*) по-
мѣщено еще по т—і членовЬ , кои означиѵб чрез! V, т<«кЪ
чшо произошелъ новой рядЪ велйчинЪ Т(°), У', У"'.....У(7,ІП),
между коимЪ и оиыіиР рядомЪ будетЪ такое соо чаѣшствіе,
Чіпо у(^т)— уС4. ОзначимЬ дкфференцш сего послѣдняго ря-
да чрезЪ шо оудешЪ
И Проч.
Поелику же ЛуСЧ — у—у(°), ЛДу(°)~у"—су' уСэ\ Л3у(°) —
у"—ЗУ '^ЗУ' у^ > а іяік’Ь далѣе, при шомЬ у(°)~у(°).
по семѵ будешь
ДуСо) — т$/°- + -н т[т ~І} > - —ЗУо)
| ”4™ — і) (т—я) (иі — □) ।
ДДу(о}-гит 1 (т-і)53Уэ) -Ь 5 ^у(о)-ь...........]
дуМ=ІязруМ 4- 5у(о)+..„.]
дуи_-14^•) _|_ _. _.]
и такЪ далѣе.
ИзЪ сего найдется на оборотъ
(4 АлМ (да—О ддХ°) .
т і.г тпг
(т -— ») (з>я — і) (Зт— і)
ИІ і — ---- -
(да— і) (ада
.2.3
т3
і. 2. з 4
гум=^2-(т-і)'
тт 4 '
3(да —і)
1.2
да*
Дл^(°)
т*
т3
7) Л*/’)
3.4~
т*
т
т*
и проч.
В ятмеяЪ теперь вЪ разсмотрѣн/е во вшорпмЪ ряду к?коЙ
либо и/Ь членовЪ УСЧ злклкчан щихся мел іу Ѵ(Л”Ѵ и УС*'-*>т.
которой ісіпЪ иервомЬ ряду заключаться ш> лду членами
уСЧ ы у(&Ъ-*), шо будешЪ
7»
Еешьли вЪ семЪ изобоаженіи подстгвимЪ оныя выраженія ве-
личинъ Ау(°), А<Уу(о), А3у(о), $4у(.°) и проч. и назначимъ для
краткости дробь ~ чрезЪ /д, то найдется
А)
ТМ==>
ИзЪ сею слѣдуепЪ, что выраженіе каждаго тлена вЗ ряду,
трезЗ лервои тленЗ и разности, лринад-
п кЗ каждой величмні заклюіающеіісд
двумя смежными пленами ряда.
выведенное вб § 50,
дсжитЗ ра&номірно
между какими лпЬо
§ 53*
Мы предполагали, что величинѣ х, коея у есть функція,
при переходѣ изЪ одного состоянія вЪ другое, единообразно
измѣняется , такЪ что есчідли ерзчдчимЪ рядЬ величинъ х
чрезЪ х4, х', х, х х71, то будетЪ х(п) ~ х Ч- пдх, и
вЪ ряду величина у, соотвѣтствующемъ сему ряду величинъ
х, каждая величина у(п) есть функціи ф(х + пдт) величины
х. Но леіко видно, что естьли бы вЪ ономЪ ряду величинъ х
сія величина при переходѣ изЪ одного состоянія вЪ другое и
ие одинаково измѣнялась: то и тогда бы вЪ закопѣ произхо-
жденія разностей величины у, а слѣдовательно и вЪ выраже-
ніи разности каждой степени сея величины чрезЪ послѣдую-
щіе члены ряда , разно какЪ и вЪ выраженіи каждаго членя
сего ряда чрезЪ начальный членЪ и постепен.іыя разности ,
не произошло никакого измѣненія. ИзЪ сего слѣдуетЪ, что
всѣ предЪидущія выраженія относительно величины у оста-
нутся безЪ всякаго измѣненія, какимЪ бы образомЪ величина х
при переходахъ изЪ одного состоянія вЪ другое ни измѣнялась.
О дна только вЪ послѣднемъ случаѣ отмѣна будетЪ, состоящая
вЪ томЪ , что каждая величина уСп), будучи всегда функція
величины л(в), не будетЪ здѣсь функція величины хН- пДх,
_ , п(п-г) «Гп—і)Гп— _
ко функція величины «‘Ч-пГ.х-Н;—7^Х+Т7*~.' '
== 73
ибо и -величина зс будетЪ имѣть здѣсь "разности разныхЪ
степеней.
§ 54.
Та функція, огпЪ коей произошла какая либо разность,
называется вЪ разсужденіи сея разности пнтсгрллолО ея. Ко-
гда какой либо величины, разсматриваемой какЬ разность,
иад\ежитЪ разіискагль интегралЪ; тогда для означенія сего
дѣйствія употребляется наиболѣе знакЪ Е, которой ставится
предЬ тою величиною, коея интегралѣ найти должно. И ніакЪ
по сему назначенію будетЪ 1 лѴ—V;Г.д2V—д V, V—Л“Ѵ;
и вообще Ѵ“Д"~ *Ѵ По сему будепіЪ также Ѵ~ ХдѴ
~Х2.ДДѴ~Х3.Д3 V, и вообще ~ХП.ДПѴ.
§ 55-
Если вЪ уравненіяхъ дуС°)~ -у()—уС°), ЛуГі)—у(~~)—уСО,
ДуООггуСз)—у(2), и такЪ далѣе, наконецъ ЛуСп)~у(яЧ'1)—у(п
сложимЪ всѣ первыя и всѣ вторыя части между собою : то
получимЪ ДуС3) 4- ДуО) ф- ДуС'Оч-..Ду(") -— у(п+і) — уС°);
іп. е. сумма всіх'Ъ разностей тленовЪ ряда (.а) ве литинЪ у ,
на?иная отЪ нагалг.наго г лена у(°) до какого нибудк неолрсДІ-
лсннаго тлена уС1-1-1), равняется разности между смлЪ н<—
олреділеннылю тленолЪ онаго ряда и наталънъіліЪ е.го тленолЪ.
Но поелику Х.Ду(/г)“у(,г), по сему будетЪ Ду(°)-4;ДуС,)4-Діу(а
4- ДуСз) 4-...4- ду(") — Т д'у(пЧ'1) — І.ДуСо), и ѵ.ду^-ьо—
ѵ ду(°) 4- Д/0) 4- ъуѴ) 4-.4- Ду^}+ і.Ду(°).
Первое изЪ сихЪ двухЪ послѣднихъ уравненій показываетъ,
что если данЪ БудетЪ рядЪ вслитинЪ, составляющихъ одина-
кія функціи какой либо велмтины, изліняіощенся соотвіт-
ственно толу, вЪ составленіе какого ло порядку тлена она
входггтЪ: то дабы найти сумму иісколскгіхЪ тленовЪ вЪ селіЪ
ряду , надлежитъ взяті интегралЪ тлена слідуюіцаго за ло-
сліднііліЪ изЪ тіхЪ, коихЪ суліліа ищется, и лотоліЪ еытсстт
пзЪ него интегралЪ перваго ?Ъ тіхЪ тленовЪ , коихЪ судила
ищется. ВЪ прочемЪ ыѣтЪ нужды здѣсь вЪ двухЪ иншегро-
Частъ ЦІ. ' іо
74
ваніяхЪ; ибо послѣдній вычитаемый ипгітсгрллЪ тотч ісЪ полу-
чится изЪ перва.о чрезЪ подставлс <іе вЬ немЬ измѣняемой ве-
личинь , соотвѣтствующей началу того ряда, коего сумма чле-
новъ ищется. ЯвствуеіпЪ также, что сіи же самые инте-
гралы получатся, если вЪ интегралѣ общаго члена ряда вмѣ-
сто измѣняемой величины подставятся соотвѣтственныя ко-
личества , т. е. для полученія перваго интеграла величина,
соотвѣтствующая слѣдующему за послѣднимъ, а для по\уче-
нія втораго интеграла величина, соотвѣтствующая началу
того ряда члсносЪ, коихЪ сумма ищется. В иорое ж? уравне*
иіе открываетъ причину, почему , и вЪ какі мЪ разумѣ инте-
трованіе функцій называется также и суммоканіемЪ, равно
какЪ и интегралЪ суммою.
5
Поелику изЪ каждаго ряда разностей степени к слѣдую-
щій рядЪ разностей степени й-}-і тачимЬ же оірлзімЬ гропз-
ходитЪ , какЪ изЪ ряда величинъ у ря і разностей первой
степени Лу; то легко .видн^, что все то, что вЪ иредЬидутемЬ
параграфѣ сказано о зависимости между сучи но разностей
первой степени ду и членами ряда величинъ у , можно ска-
зать и о зависимости между суммою, разностей степени к -+-1
и членами ряда разностей степени к.
II. Разности первой степени ЛлісбраіпхскихЪ веміъино.
Пусть взята будетЪ вЪ разсмотрѣніе функція у~ахп-\-Ъ\
яю при измѣненіи х вЪ х-4-Дх функція у измѣнится вЪ у хна
(х—ь дх)п-4- Ь. По сему будетЪ первая разность Ду~ у' —
: п(п—і) , „ , , Я(П— 1)(я—і)
у~аГ(х-і-Лх) — х 2=а пх —-х Дх - -у——;—--
х>п 3дх3-ь......Сіе показываетъ, что разность отЗ ло-
столннаго ілена Ъ функціи незавпсилі(і, такЪ какЪ бы его вЪ
оной функціи ах1 -г- Ъ не было, и была бы разсматриваема
только функція ах'1.
75
Если бы величина у состояла изЪ нѣсколькихЪ членовЪ
вида ах^: то бы каждой членЪ ея доспіавилЬ особую разность
такого же ви іа какую ,ѵ '.піавила оная величина ах”.
ИзЪ оиаю выраженія разности, доставляемой функціею
у ~ ах” 4- Ъ получимЪ содержаніе разностей
А7 — илт®-’ Г 1 і п~ 1 дх і С" — О С" — Дх2 . 7.
дх — г.1"!- х . й • х г" , . * . 3 ' х2 <..........3>
когда же функція у соспюитЬ изЪ нѣсколькияЪ члечовЪ вида
ах”, тогда содержаніе разностей Дх кЪ Ду состоять будетЪ
изЬ нѣско'льки-ѵЪ подобныхъ оному членовЪ.
НапрчмЬрЪ, естьли буійетЪ у~ахх 4- Ьх-4 с, то будетЪ
у—а (х-Ь-дх 2—хх7-і-&^х-ЬЛх —х}~ а ^хдх+дх2 хх
— (аах{ Ъ ДХ4 а!\х2“Дх^' ах-}-Ь і аЛх^ Если у—а 'хх-а-Ъ;
~ ' 2.
то будетЪ Ду ~ а^(х4 Дх)3— х ?— ах’ । Дх^’__________7 —
’ ( 2" АХ ._ 2 1 а 3-4 Л^З___г I • 4 • 7 Ла С 7
3 ‘ х з . 6 х2 ”* 3.6.9’ хЗ з. 6.9 . ів ‘ х4 ' * *
- ^ах~ ’ ДхГ і — I - — —- — Ч- 1
— Зил ілхі і ф- х -Г <.9’Я2 6.9.1а ’ хі .....>’
§ 58.
ПоложгвЪ , что X есть какая нибудь раціональная алге-
браическая функція величины х, пусть будетЪ у~Х (разу-
мѣя чрезЪ п какое нибудь число цѣлое или дробное, положи-
тельное или отрицательное), Положимъ, что при измѣненіи
х вЪ х {-Дх величина X измѣнится в1> X }-ЛХ, то получится
Д)-(Х+ЛХ)"-Х"±НХ"-' дХ-^-Ѵ^аХч-^ "“4г
Х”-^ДХ’+....эіХ’—АХ{I
вЪ копюромЪ изображеніи, когда вмѣсто X подставится самая
функція величины х, которая чрезЪ X изображается, и вмѣ-
сто дХ функція величинъ х и Дх, составляющая сію функ-
цію ДХ, копюрая по предЪидущему, будетЪ вида Дх(р4-дДхф-
глх2-{-...), то получится для Ду изображеніе вида
Ду ~ РДт -4- О.Дх2 -і- КАх’ Н- 8Дх4 -}-..
*
ю
откуда наігісшся'содержаній
— Р -г- ОДх 4~ КДг2 4- ЯДх’ 4" • • • • •
§ 59-
Если функція у будетЪ произведеніе двухЪ какихЪ ли
бо алгебраическихъ функцій величины х, на пр. у—Р2 : то
положивъ, что при измѣненіи т вЪ хф-Лх величины Р и 2
обратятся вЪ Р4-ДР и Оф-дф, разность Ду будетЪ “(Рф-дР)
(2 ф- д2) - Р2 = ОдР ф- рдф 4- дрд2-
Если -будетЪ у_і:Р2К то бу іетЪ Ду._“(Р'4-дР) (2+-л2>
(в.ф-лВ) — Р2" ~ 2’<дР ф- радо, -г р^дкф^В-дрдОф
2дРдВ Ф- РдОд&Ф-. др \р_\в..
, и такЪ далѣе.
Особенное замѣчаніе заслуживаетъ разность функціи
у=іх,х ф-Дх) (х ф- 2Дх) ...... (х ф- пДх), которая при измѣ-
неніи х вЪ хф-Дх обращается вЬ у-уДу—(хф-Дх) (х4~2Дх)
(х ф-ЗЛХ) ..... (х-Р(п ф-і)Дх,<; и доставляетъ разность
Дф — (н -р і)Дт(х 4- Дх) (х 4- 2 Дх).........(х 4- иДх);
~ хі. , АУ__________(п+фдх ___ хду
такЪ что вЪ семЪ случ'аѣ ——----х > и У •— (п4Ч)дх’ или
х : у ^(п ф- 1) Дх : Ду.
§ 6о*
Если величина у будетЪ дробная алгебраическая функція
________________________р „
величины х, на пр. у:— у, шо разность ея ду будетЪ
_р Ч- дР Р_____й,др — Рд'
——{Г—р коиі0Рая иначе можетъ изобразить-
ся вЬ безконечной строкѣ чрезЪ '
7
40?____ДО?
го.
О
Если бы числитель Р былЬ величина постоянная А , шо
бы было дР — ь, и Ду_ На ПР- еслИ будетЪ
У~ Ь гао будетЪ ДУ—если
Ду — _________
(а Ч- Ьк} Са -Ь Ъ (к -4- дхГ’
пю
== 77
III. Разности мспоиенціалъныхЪ велиыінЪ, логарие.моьЪ и
тригонолігтртсскихЪ лмухіи
§ 53-
Еели будетЪ у — ачх, шэ при иззіЬиёиі'и х вЪ х 4~ Лх
получится уУЛу~ат(х +-дх), и найдется Ау ~ ат(.х -+- А*) —
С' тдх 7 с- -отдх э
ашх — атх1а —13 у—іа —15.
тЗдхЗІдЗ
1.2-3
пю
Ду
изЬ
2 . 3
УЛ-^ЛХ27/і^
Поелику атДх — і Ч- т\х1.а -+•---—
1.2
Ду иначе изобразится вЪ безконечной ст'рокѣ чрезЪ
,, тх а 7 С. тАхІа . т*дх21а2 , о
— та Дхіа 11 -у- -—— 1 ' 4 •
которой найдется содержаніе
тх7 С , . тдхіа . яі2дх21в2 . тпЗдгЗМЗ )
— та Іа ? і 4— -------------------------------н.......с.
1 1.2 1 7.2.3 ' 1 . й . 3.4 1 <
Если бы вЪ функціи у ~ апх величина а была рснованіе
ипеоболическихЪ логариѳчовЪ, то бы былЪ Іа~ і, и
Ау ______}Н(™Х I т2_іх3 і тЗдхЗ
Ах ' с ‘ і . а ~ * 1.2-3 1 .2.3.4 ~Т *5
Еслибы функція у была схсатххп, то бы получилось
тх п ( тдх/
— а х >а (і -
/ПДХ ( п(п — 1) дх
\ X * 1 3 ' X2
) тх п с тАх , тлх.
іС~а х ^а — і-і-а ^
вЪ которомЪ изображеніи
естьли подставится вмѣсто атДх безконечная строка ея вы-
_ л 7 і т2Ах"Іа2 .
ражающая 1 у ТШАЭСіа —|— ---—}-........ то получится
Ду~а х ^(ш7а+ж)Дх4-(, ')Дх2+....г
а изЪ сего
§ 6й.
Естьли у—аТор'К, разумѣя чрезЪ X какую нибудь алге-
браическую функцію количества х, и .при шомЪ понимая ло -
ЧА =г=
гариѳжы иперболическіе, іпо при измѣненіи количества х вЪ
х + Л-~ величины у и X обратятся вЪ у 4~ Ау и Х-р-дХ,
и будетЪ у у- ду ~ а Іо§. ЛХ + ДХ>; п'> сему
Ду — с^/о§ (X 4- дХ) — Іо&Х^ ~ а — а Іо°.
С . ___ г ДХ 1 ДХ2 , Т ДХЗ р _ «ДХ
21 X “ " а • х2 “г~ з- хз ‘.........................— У
$ 1 __ і ~х | і ___ і _1_ ? .
2 2 * X ' 3 ‘ X2 4 • ХЗ “..............>
л изЪ сего получится содержаніе
Д? __ < ___ дх дх2 ___ дхз у
Д X Х / Тх "І-' ^Х2 4x3 *+•••••» ^ •
Естьли уп/о^.аХ; гпо поелику Іо§.аКх^: Іо^.сі -4- Іо§УІ,
будет'Ь \у~1о§. Х-4-дХ)— Іо§.Х , то есть, разность лога-
риѳма количества а\ одинакова сб разностію количества X.
§ 63.
і. Естьли у~$т.х то у4-'ду— зіігХх + Дх) ~зіп.х. '
СОЗ. ДХ + СОЗ. X зіп. ДХ , И Ду или &ЗІП. X =2" соз. х.зіп. Дх —
( — соз. сх')зіп.х ~ соз х ЗІП.&Х — зіп х зіп.ѵегз.Лх. Естьли же
у”сол‘.х, ші у4 ду _ со5-(зз-|-Дх л соз.х.соз.&х зіпх.зіп.^х
и Ду =; — ^іп. х.л'іп. + соз. х(і — соз. Д.ѵ)^ —
— 5зіп. Х.ЗІп. Ах 4- соз. хгзіп.ісг. Д.Г?.
ПодсшавимЪ изображеніе величинъ зіп. &х и соз ДХ чрезЪ
дуги ихЪ. пю получится
Азіп.Х-Ахсоз х—Ах2зіл.х—— Да ’сол.х-ь- — Ах4зін.х-+-...
1.2 І.а.з ’-:-34
Дсол.х=— $ Ахзіп.х-г-— Ах-соз.х——Ах3зіп.х--------— Дх4со<$,.х-+-...
1-» і-з 3 '.2.3.4 .
и
~~—соз.х^ 1— Ахіап&.х-----------—Ах2-і—- АхНап^.х-і-..Л
Ах . і.2 55 і.а.з і’-3-4 °
—зіч.х\іч-- Ахсоі.х---------Ах2——- Дх-соі.хч—. ?•
Ах 2 »-а 1-а 3 1.1 3 4 $
*79
При чемЪ-замѣтить должно, что изображеніе разности
косинуса получится шошчасЪ изЪ изображенія разности си-
нуса, положивъ х ~ ’ тг — г; при котороѵЬ предположенія бу-
детЪ соз х ~ зіп х и Асоз.х ~ азіп. х, пі и томЪ Дг~—Дх
и соз. х — зіп х.
2. Естьли у — іаг>&. х, то у -Ь &у — Йпі§.(х4-Дх)
Піп^.х -+• іап& Ах д _______ Гг-пд х -+• Мпг дх____+апп Х
і —Іап%..х іап^. Дх ' И і — іап^. х . (ап$. &х 1
(і -і - х2) 1ап[г. ьх _ $ес х2 . Дх
* — Мп&. х . Іап%. Дх і — іап(г. х іапц;. Лх
зес.х^іап^ Лх-уіап^. хЛап^.Ах2 и- іан§.хЧап^.Дх3н--...\
ИзЪ извѣстнаго же огпн< тенія Дх—І’СК^.ДХ —|/т//’Д.Дх34”
| іап& Дх5 — | іаіщ.Лх7 4-............... май іется
1сіп&. Дх ~ Дх 4- I Дх3 -н /Т Дх’ 4- -^7 Дх7 4 -.............
по сему будешЪ
Ду _ зес. Дх2 Дх 4- х2 х + (| + іап& х2) Дх*
4- х3 4 • | іап&. х) дх* 4-................
и содержаніе
— зес. х2 4- Дх Іап^. х 4- (} 4- іап^. х2) Дхв
4- (іал§. х3 4~ | іап&. х) Дх’ 4-............? •
Естли у—соз. х, то будетЪ у_ кал§. (’тг — х\ По
сему, подставввЪ вЬ пре іЪидущеиЪ уравненіи 'тг — х вмѣсто
х, а слѣдовательно —Дх вмѣсто 4"^х, и соз. х и соіес. х
вмЬсто- іап&. х и зес. х, получимЪ
~ — созес. ха $ 1 — Дх соз. х -4- /і соз. х2) Дх2
дх э * \з * '
— Дх’ (соя. х3 4-1 чоі. х) 4~..............? •
80
3- Естьли у ~ зес. х, то у~улу~ зес. (х -р Ах) и
Ду х~8ес. (х -г- Дх) — 8ес. х — ——-г----------------------— —
\ і у соі. (х 4- дх) со:, х
со:, х—со$(х + дх) __ 1ІПІ^Х.:ІП (х-І-^дх)
со>. х . сох.(х дх) со: х.со:. (хн- Дх) *
ВЪ изображеніи АГ—с07.>ж +дх) — ^4 первый членЪ
і __ і __ :ес. х
со: (х 4- Дх) С05.Х.С05-ДХ — :іп.х.:іп.дх ' со: дх — ппДх.Іап^х 5
которая величина, по подстановленіи вЪ ней вмѣсто соз. х и
5ІП.ЛХ изображеній ихЪ чрезЪ Дх, и превращеніи вЪ безконечную
строку, будетЪ ~лес.х^ 1 + Дхіші§ х 4~ (^4- ^«п§.х2)Дхг
Н-(^аи§.х-ьійп§.х5)Дх3+(^н-^ал§.х24-^ап^.х*) ДхЧ-.......,
и когда изЪ сеи величины вычшеотся —— или зес. х. то по-
СОд. X 9
лучится
Ду—Дгдес.х Дхч- ^іап^.хч-іап^ -я3)
Дт24-(± -у. ? іап&.х2 4-^пи§.х4)Дх3 +.........?
и содержаніе
^—^ес.х^ап^.х-^-^ Уіап^.х^^х^О^ап^.хч-іап^.х^ЛХ2
^~(.І~^Ііап&х2 іап^> .х4)Дх3-)- .. . .
Естли у~созес.х, то будетЪ у~ 5€С.(І тг — х); по сему
подставивЪ вЪ предЪидущемЪ уравненіи ^тг- х вмѣсто х, слѣ-
довательно — Дх вмѣсто Дх. также соз. х и созес.х вмѣсто
Іап§.х и зес. х, получимЪ
'— СО^ес.Х!) €08.X-(I ^С08.Х2)Ах^(ІС08.Х~^С08.ХГ)ДХ2
.— (_5_ 7 С08. X2 + СО^.Х4) Дх34-....
4. Понеже зіп. ѵегз. х — і—соз. х, и соз ѵегз.х~ізіп.х,
то будетЪ Д5іп. ѵегз. х — — Д.созх, и & соз. ѵегз. х~
— Д зіп. х.
81
IV. Разности второй и высшихъ степеней функцій одноя
мзлііняе. мой ведиснн ы.
§ 64.
ИзЪ § 48 лвствуешЪ, что какмлЪ образъ.мЪ изЪ функціи у
лол чается ея разность первой степени, такимЗ ж.с образояіЪ
изЪ ея разности первой степени лроизходитЪ разность вто-
рой степени, и.зЪ разности второй степени разность третьей
степени и такЪ даліе. СтоитЪ только вЪ изображеніи ду,
составляющемъ функцію количествѣ X и &х подставишь
вмѣсто х количество х-ь-Лх; опіЪ чего получится слѣдующій
членЪ вЪ ря \у разностей первой степени, и потомЪ вычесть
оной Пь-едЪидущій членЪ ряда , чрезЪ что и получится раз-
ность второй степени. ТакинЬ же точно образомЬ найдется
разность третьей степени, и такѣ далѣе.
~ о.
&у—$іп.(х-х-Дх)~- зіп.х— &іп ДХСОЗ.Х —
со5.х(і—^Дхісш§.х-4-.... \ _
, Пусть напр. предложена будетЪ функція у=аххф-Ьх }-с,
то ея разность первой степени бу іешЪ а хф-Дх)2ф- /лхф-дх)
-4-е - (ахх 4- Ъх-+ с) ~ 2ахДх--і-аДх ф-Ьлх, разность же вто-
рой степени 2Д (х ф- Дх) Дх ф- аДХа ф- ЪЛх — (яах Дх -+-
ддх* ф-Ьдх) —г гадх3 ; а разность третьей степени будетЪ
Если у — ЗІп.х, то разность первой степени будетЪ
- (і — соз.дх)зіп.х ~ дх
------------— Дхіст§. Х-ф-........V, разность второй степени
- 5ш. Дх \соз.(х Дх) —со^.х^ — (1—со$. Дх)
3 • 4 ’Г 3 4 • 5 • 6
3'
л'п. Дх сѳ-у. х) — — ^(Дх“ —
{(уіп.х-+Дхсо5.х-^2Ах^іп.х-Т^Дх3со^.х-+-7-
г-Дх^іп.х^ Іф-Дхсйе.х- ^Дхг-|Дх?соі.хч-з-^^Дх*-ь.
ж «іакЪ далѣе. ч
Ѵасть НЕ 1 в
82
§ 6$.
Можно также для кахождеіпя разностей высшихЪ степе-
ней уплнребл іііь и общія изображенія ихЪ чрезЪ члены ряда
величинъ у, т. е. для нахожденія разности пй степени
употребишь выведен» ую вЪ § 49 формулу
п(п — і) -о)
.(*)
или
положивъ, что у“ <рх ,
Л* <рХ=^(хЧ-ИЛх)- -Пір(х-ь(к— 1 >Лх)-і~р~ф(х+(п~'>.)&х'-..±фХ,
Таг.имЪ образомъ оная разность второй степени функціи
у ~ ахх -|- Ьх -|- с будетЪ =га(х4-2Лх)я +^СХ 4-е —
2 [а х-+-ЛхУ4- Ь(х4-Дх) 4С^ 4* ахх-і- Ъх-\-с~ :смг,
какЪ и выше найдено.
§ 66.
Уіри лредлоложг. , , каково ли ло сіе время ділали,
что величина х, входящая вЗ произведеніе функціи у ~ фх,
при каяідомЗ лерсході изЗ одного состоянія «5 другое,
лриналіаетЗ всегда одинакія 'лрпращенія или уменьшенія
АХ, разность степени к цілой и раціональной алгебраической
функціи п й стелени количества х , то есть , Д* фп (х) ,
быеаетЗ всегда функція стелени п - к количества х и лосто-
янныхЗ велнгинЗ, вЗ числі коихЗ находиться будспіЗ и Дх.
И дѣйствительно, если будетЪ у — ахч4- Ьхп~~1 4- схп ~~ *
Ахп~3 4-...... то будетЪ
Ду — а^(х + Ая)’’ — 4- Ь^(х -Ь Дх)л * — х*~1
-|-с)(х-4-Дх) —х $-4-а)(х-|-^х) —л
или
Г пахп“'ІДх-4-^=^ах’І~аДх±4- іх^’Дх’ч-.;..
Д — ) -4-('і—і)Ьа ’вДх-+ ^‘^х^ДгЧ....
/ 4- (н — 2) СХ*~’ДХ4-....'
4
83
до есть, бу летѣ ду вида Ахп~~ * 4- Вхп -® 4~ Схв~3 4- .... .
ТакимЪ же обрлзомЪ докажется, что будепіЬ Дл у вида А'»’-»
-|~ В'хп-э 4- С хп“4 4-......; Д3у вида А"хп~з 4- В"»4—4 4-
С"х’1~* 4-......, и такЪ далѣе.
ИзЪ сего слѣдуетЪ далѣе, что Дв<рв(х) будетЪ величина
постоянная, и Дп-*-,фС*)(х) будетЪ ~ о.
§ й7.
57;Ѵ» онвмй же лредлояожечіа о.інхакоъсти иімічех'ій
веяпгмны X лрп леуекодѣ и.зЗ одного состоянія вЗ друзсе,
функція у ~ фх лри измѣненіи х в8 х 4- Ах, обратившись
вЗ #(х 4-Ах) состоятъ будетЪ пзЪ таітп фх и другой, имѣю-
щей множителя Дх. Ибо, если вЬ функціи ф(х 4~ Дх) под-
ставится дх — о , шо она обратится вЪ <рх, а но сему сія
функція <рх будетЪ составлять часть оной функціи іР'х-ЬАх);
октальная же часть ея, какЪ обращающаяся при Дх ~ о вЪ
и ль, 'будетЪ имѣть множителя лх, а посем г будетЪ вида
Рдх. Слѣдовательно ф(х 4-Дх)— ^х или Ау буістЪ вила
Рдх, то есть Ду будешЪ дѣлишься на дх на цьло, произво-
дя вЬ частномЬ числѣ велич іну Р, неим 1 куцую вЪ знаменате-
лѣ количества Дх, особенно взятаго. Если ори вшоричночЬ
измѣненіи величины х вЪ х |-Дх величина Р обратится вЪ Р\
то разность между Р' и Р будетЪ опять дѣлиться на цѣло
на ДХ ; ибо если положится дх^.о, то какЪ Р такЪ и Р
обратятся вЪ одну и туже величину у-н< содержащую вели-
чины Дх; слЬдовашельно разность мхЪ . какЪ обр , іющаяся
при Дх ~ о вЪ нуль, будешЪ имѣть дѣлителя дх Ио чему
сія разность Р' — Р будетЪ вида (^дх , и ДДу ~ । Р' — Р)дх
будешЪ “(^Ахэ; т. е. ДДу будешЪ дѣлиться нацѣло надх1.
ТакимЪ же ооразомЪ докажется, что д3у будетЪ дѣлиться
на цѣло на Дх*; н вообще будетЪ Д*у дѣлишься на цѣло
на Дхк.
ИзЪ сего слѣдуешЪ далѣе, что можно изобразишь Ду
чрезЪ , ДДу^* чрезЪ (^7)ДГ‘І, и вообще Дпу
чрезЪ (^~)ДхП; гдѣ лоеффициишы (^), (^) и вообще
13 *
8+ ==
хотя бы были и функціи дроб іыя, не 6у ѵушЪ имѣть
вЬ іи< АЙ множите хей з ілменлтеля -количества Дх , а потому
при Ах о и величинѣ х нсспредЬленной не обращагонііясх
вЬ безконечныя.
$ 68.
ВЪ предЪидущихЪ параграфахъ сея статьи предполагала
мы, что вЪ функпы у —фх величина х, переходя по порядку
изЪ одного сосшояніч ьЬ іоугое, принимала измѣненія посто-
янныя. Но еспіли бы величина х , при переходѣ изЪ одного
состоянія, вЪ другое принимала разныя измѣненія; то €Ъ и она
имЬла разности всѣхЪ степеней- и каждой [п ф- і)й членЪ вЪ
ряду сихЪ величинъ х зависимъ былЪ отЪ перваго хСФ и раз-
ностей его шакимЪ же образомЪ, какЪ выше вЪ $ со выведено
(П) (О) (О)
бы.ло для функціи у, т. е. былЪбы X —X /іЛх
.............................................Н-дѴЧ
1 I . 2 ‘ 1.2.3 1 1
По сему тогда бы для полученія вЪ ряду йеЛичичіЪ у члена
у(п), соотвѣтственнаго оной величинѣ х(п) надлежало, какЪ
вЪ § 53 изЪяснено/ подставить вЬ функціи ф(х) вмѣсто х
оное изображеніе величины хСп) чрезЬ х<°) и ея разности.
Откуда явствуетЪ, какимЪ образомЪ на улежало бы вЪ сечЪ
случаѣ опредѣлять и разности каждой степени величины у ;
т. е. дабы изЪ данной разности какой нибудь степени вы-
весть слѣдующій членЪ вЪ ряду сихЪ разностей, надлежитъ
х обратишь гЪ хф-Дх, Дх вЪ Ах рДЛх, ДДх вЪ ДАх рЛ х и
такЪ далѣе, и потому изЬ сего члена вычесть оной предЬи-
дущій членЪ; или иначе сказать, надлежитъ всѣ величины
X, Ду, ДДХ, Д3х и проч. трактовать измѣняемыми.
< На сей случай не безполезно будетЪ сдѣлать нѣкото-
рыя замѣчанія вЪ разсужденіи того, какЪ входяшЪ дифферен-
цги разныхЪ степеней величины х вЪ опредѣленіе дифферен-
та каждой высшей степени величины у.
Выше доказано, что естли у ~ <рх, то всегда Ду выра-
жается вЪ видѣ РДх, гдѣ Р есть функція величины х и Лж
И
необращающаясл при Дх ~ о в'Ь безконечную величину. При
разЬисканіи разнесшей высшихЪ степеней веѵичнны у, но § 59,
получимЪ ДЛу~ д ’Дх4-РДАх4-дРд'х, но какЪ Р есіль функ-
ція величинъ х и Дх, шо будетЪ ДР ви іа Р"дх-}- I "ДДХ, но
сему будешь д уу~ Р'дх®4- (Р4 (Р* 4- Р')дх 4- Р"ддх ДДх. шо
есть, будетЪ ви іа (^Ах2 4~ В.ДДХ, гдѣ (Э БудетЪ функція ве-
личинъ х и Дх и А функція величинѣ х, Дх и ДДх; и изЪ
коихЬ ни одна при предположеніи дх ~о и ДДх ~о не обра-
щается в'Ь безконечную. Далѣе г,о-учится А3 у = д(^)Дх“ 4~
(гдх ддх дах2) -+-| д(^ 'аДх ДДх 4- д х2) 4- дК Ах 4-
Кд3х р-дВ.Д3х. Но какЬ , «•*» предыдущему сужденію,
будешЬ вида (^'дх 4-А Ах , дш} ференція же величины К,
какЪ дифферента функціи гпре^Ъ измѣняемыхъ величинъ х,
Дх и ДДх, будетЪ вида К'.Лх -•*- В. 'ДДх 4- К"'Д3 х; по сему д3у
будеінЪ виАа 8ах3 4- ТДх ДДх 4- ЦдДх2 4- Ѵд3х. И такЪ
далѣе. Сіе показываетъ , что в& функціи выражающей раз-
ность какой либо лервой стеленй величины у каждый гленЪ
нміе.тЗ множите леліЗ сеоимЗтакоелроизведеніе стелснейразно-
стей Д8х7”' велнпны х, вЗ кѵтороліб сумма есіхЪ лронзведе-
ній кт ло крайней мірі равняется стелени п разности С? у*
СТАТЬЯ ВТОРАЯ
О разностяхЗ функціи д іухЗ нли боліе измѣннелшхЪ
велпъіінЗ.
в
§ 69.
Вообразимъ какую либо функцію V нѣскольгихЪ измѣняе-
мыхъ величинъ х, у и а и проч. Есшли мы, изи'шивЬ х вЪ
X 4- Дх, у вЬ у 4-Ду, 2 вЪ гфД2 И проч. подставимъ вЪ оной
функціи V; то чрезЪ сіе получится слѣдующій членЪ V'
вЪ ряду функціи V; изЪ коего когда вычтепгся оный предЪ-
мдущій членЪ V, то получится первая разность дѴ оной
функціи V, которая будетЪ функція, какЬ оныхЪ величинѣ
х, у, 2 и проч. такЪ и ихЪ первыхъ разностей Дх, Ду.
Дг и проч.
16 =====
Если мы вЪ сей первой разносити ДѴ изчѣндмЪ какЪ ве-
личины х. у, х и проч. , птчкЪ и рашэспіи ихЪ дх, ду, дг
проч., первыя вЪ х 4-Дх, у 4- ду, г4-Дх и проч., а вторыя
вЪ Дх4-ЛДх, Лу4-ДЛу> ЛХ-|-дѵг и проч., то получимЪ слѣ-
дующій членѣ дѴ' вЪ ряду разностей дѴ'; мзЪ коего когда
вычтется оный предЪидущій членѣ дѴ, то получится раз-
ность второй степени ддѴ. функціи V.
ТакимЬ же образомЬ чрезѣ измѣненіе вЪ равности ддѴ
величинѣ х, у, х и проч. вЪ хн-дх, у-+-ду, х4-дг и проч.
величинѣ дх, ду, дх и проч. вѣ дх ^-ДЛх, ду Ѣ-оДу, Дг-ьддг
и проч. величинѣ ДДХ, ДДу, ДДг И проч. вѣ ДЛХ -*-л3х,
АЛу4~ Л3у. ДДг-ЬД3х и проч. И ЧрезЪ вычитаніе опой разно-
сти ддѴ получится разность третьей степени Д3Ѵ оной
функціи V, и шакЪ далѣе.
§ го.
Разсуждая о той величинѣ V'. которую принимаетъ функ-
ція V, когда вѣ ней вмѣсто измѣняемыхъ величинѣ х, у, X
и проч. подставятся величины х-ьДх, у|-ду, X |-дг и проч.,
увидичЬ
іе. Что функція V', СверьхЪ членовЪ содержащихъ »Ъ
еебѣ множителями разности дх, Ду, Дг и проч. будешЪ со-
держать вѣ себѣ оную функцію V; ибо, положивѣ вѣ функціи
V' разности Дх ду, ДХ и проч., каждую равною нулю, дол-
жно получишь самую оную функцію V , гз ’ которой сія V'
произходитѣ. ИзЪ сего слѣдует'Ъ, чіпо разность &Ѵ~Ѵ—V
будетЪ содержать вЪ себѣ только такіе члены , кои ияѣютЬ
своими множителями оныя разности дх ду, дг и проч.
зе. Что все равно, вдругЪ ли ны вЪ функціи V подста-
вимЪ х4 дх уч-ду, х4-дх и проч. вмѣсто х, у, г и проч.,
ли сдѣлаемЪ сіи подсшановленія одно послѣ другаго; ибо для
полученія полнаго измѣненія величины V то только тре-
буется, чтобЪ всѣ измѣняемыя величинъ^ вЪ ней изыѣичлисі ,
•шЪ времени же сіе измѣненіе ни мало не зависитъ.
Зе. Что вЪ семЪ послѣднемъ .случаѣ все равно будетЪ,
ізкимѣ бы мы порядкомъ измѣняемыя величины измѣнившимися
87
ми разсгяіпривали , ш. е. сперва лп величину х. потомЪ у,
потомЪ х и проч., или сперва на пр. х. а потомЪ х, потомЪ
у, и шаі.Ъ далѣе, только бы всѣ сім величины одна посл^ѣ
другой измѣнилась.
де. Что если вообразимъ величину V измѣняющеюся
не вдгу«Ъ, но чрезЪ подстановленіе вмѣсто х, у, х и проч.
величинъ х+Дх, у-|-ду, г^-Дг и проч. одной послѣ другой;
то при подставленіи каждой изЪ сихЪ измѣненныхъ вели іинЪѵ
ма пр. х4-Дг вмѣсто х, всѣ прочія величины оставаться бу-
ду тЪ не измѣненными} а потому трактованы будутЪ не-
измѣняемыми.
Разсмотримъ величину V измѣняющеюся сперва по по-
рядку измѣненія величинъ х, у, г и проч., т.-е. трактуя,
что сперва измѣнилась величина х вЪ х-Ь ДХ» потомЪ у вЪ
у4-Ду, потомЪ х вЪ х~Ндг и проч. Есшли по § 67 назна-
чимъ измѣненіе вЪ функціи V, произшедшее оиіЪ измѣненія
одной величины х чрезЪ (^)ДТ} то при измѣненіи х іЬ
х|дх оная функція V обратится вЪ V -ф- (—) Дх (в)*
ПотомЪ при измѣненіи у вЪ у-|-ду с’і* величина (а) измѣ-
нится вЪ каждомЪ ея членѣ, и первой членЪ V обратится Л
Ѵі /АѴх л
• Ѵлу) второй же (изобразивъ содержаніе разіг~сшм зе-
✓ДѴ\ /ДДѴ х\
личины (—) кЪ ду чрезЪ обратится 'вЪ
>ДѴ\ Д | /ДДѴ\ Д А
(д*/ ПХ а ио сеыУ ПРИ измѣненіи у Л
у-}-Ду оная функція (а) измѣнится вЪ V —р (—) Дх -ф-
+ (ЪАд>) ДхДУ (Ь)- Потомъ при измѣненіи вели-
чины х вЪ хН -дх измѣнится каждый членЪ сея функціи (Ь) ,
овая функція обратится вЪ Ѵ4-(^)Дх +(-^) + (~) Д*
^)ДхДг-ь(^)АхД^(^)ДГА^(^Ь)^АГДь
Подобнымъ образомЪ получатся слѣдующія состоянія веЛичж-
ы V мри измѣненіи прочихЬ измѣняемыхъ величинѣ.
88
Естли бы вЪ функціи V измѣнилась сперва величина г
вЪ г] Лг, осипомЪ у вЪ у-\~і^у, потомЪ х вЪ х-Рдх, прочія же
величины измѣнялись бы шлкимі же порядкомЪ, какѣ и прежде;*
то бы нашлось для V' выраженіе
V = V 4- О Дг + (Й Ду + Й Д 4 .. .
4- + ^>Д* 4- О ДГ Дх 4-.........
-+- Дг Дг Дх 4-......
§ 7Т-
Перемѣняя показаннымъ образомЪ норядокЪ измѣненУя ве-
личинъ х, у,-г и проч. получать будемЪ соотвѣтственныя
каждому порядку особыя выраженія величины V'. А какЪ по
предЪидущему параграфу величина V1 должна быть одна и
піаже, какЪ бы порядокЪ измѣненія величинъ х, у, 3 и проч.
ни измѣнялся; то во всѣхЪ выраженіяхъ величины V' коеффи-
ціенты одинаки'Ъ произведеній разностей должны быть не-
обходимо одинаковы. Посему какого бы числа измѣняемыхъ
величинъ х. у 2 и проч, функція V ни была, вереса
___ /ДД'Ч __ /ДД А /ДдѴѵ ______ /ддѵ«
ДхД>' 'Д>Дх/ ’ 'Ахай' ~~ ’ \дудч/ Ѵдхду/ и ^Р0**’
/ дЗѴ \ , ДІѴ ч ___ у ДЗѴ \
' АхД>Дх' \дхдгд>' ‘ 'ДуДхЛз/ и ПР04,
• • ” » *
. «и
Слѣдовательно вообще, если какой нибудь велигжиы, составляю-
щей функцію .иноеи'сЗ кзлсіняелыхд велигинЗ, коихЗ гисло
лцсть будетЬ п, возліешсл разноошб ілерва ло нзлііняциоспік
одной мзЗ сих8 велигинй , лотомЪ разность сел разности ло
кзжінясности другой величины , лотомЪ разность сея разно-
сти ло мзЛііняелсостн третьей величины , и такЗ даліе, на
лр. до тй изміняеліѵй аелнтпны разумія т -^п, и на-
конецЗ сія тя разность разді іит я на лроизведеніе зсіхб
тп разностей тіхб изміняелеыхЗ велнъинЗ, кои вЗ оной функціи
пз.мінены были; то какЗ бы лорядокЗ оныхб т ьелигпнЗ,
трактованныхЗ нзлііняеліъі.ни для лолугенія \,нон тйразности
»= 89
йг.7 іГылЗ нзлііияеліѣ, всегда .полученная чрезЪ сге т-ія раз-
роетъ раздѣлена (Гудцси на произведеніе всіхЪ тп разноегпен
оѵъгсЪ величинъ, кои трактованы с/ьіли измѣнившимися, до-
ставитъ одно н тоже количество. л
§ 72-
ИзЪ снесенія двухЪ предЪидущихЪ параграфовъ, кромѣ
птого что первой изЪ нихЪ открываешь, изЪ чего сэстоитЪ
разность такой величины V , которая составляетъ функціи
мноіихЪ измѣняемыхъ величинъ X, у, г и проч., отгрызается
также , что если разность сея величины изображена будетЪ
чрезЪ
ЬѴ — РДх 4- ОДу 4- КДг 4- 8Ди 4-' . •. •
-)-Р/ДхДу4-О./ДхДк4-К/Д> Дх-|-8/Д:гДи4- .... Г
4- Рх/Да? ДуДх 4- СГДх ДуД и 4- К7/Дх Дг Ди 4~..
4- Р^ДхДуДх-Ди 4-.......
'• ......................................
то всеіді
ф=(Ь. 0=0. 0=0. 0=0 н пРо,.
0) = (0 = (іі) я ч»’-
/Л^ѵ _ /Д!’1 _ /Дк"\
и?) — (дх9 — И ПР°Ч-
§ 73-
ГазЪиіцемЪ теперь , изЪ чего сосгпоитЪ каждой членЪ вЪ
ряду ѴС°), ѴО), Ѵ(о), Ѵ(з}... Ѵ(п) произхсдящемЪ ЪтЪ
перехожденія той же функціи V многихЪ измѣняемыхъ вели-
чинъ х, у, ? и проЧ. изЪ одного состоянія вЪ другое по При-
чинѣ измѣненій проиаходящихЪ вЪ оныхЪ величинахъ х. у, г
и проч.предполагая, что при каждомЪ переходѣ функціи V
изЪ какого либо предЪидущаго состоянія вЪ послѣдующее ка-
ждая изЪ оныхЪ величинъ х, у, 2 и проч. принимаетъ по-
*7всть III. 12
9о =====
ч
стоянное измѣненіе, пт. е. при каждомЪ переходѣ изЪ одного
состоянія вЪ другое принимаешь величина х одно и тоже
измѣненіе &х , равно какЪ и прочія величины уги проч.
принимаюню одни и тѣ же измѣненія Ду, Дг и проч.
А дабы сіе удобнѣе сдѣлать , -будемЪ разсматривать из-
мѣненіе вЬ сей функціи V шакимЪ образомЪ, какі бы сперва
измѣнялась только величина х, потомЪ величина у, потсмЪ
величина г, и такЪ далѣе. Ибо легко видно, что если функ-
ція V приметЪ всѣ измѣненія зависимыя отЪ одной величи-
ны х; потомЪ сія уже измѣненная функція приметъ всѣ из--
мѣненія зависимыя оаіЪ о‘.ной только величины у; потому
что уже двукратно проходившая чрезЪ всѣ измѣненія причи*
ияемыя вЪ ней отЪ величинъ х и у, функція пройдетЪ чрезЪ
два измѣненія производимыя во ней измѣненіями величины г;
и такЪ далѣе, до послѣдней измѣняемой величины; пю послѣд-
нее состояніе функціи V будетЪ такова же , кикЪ бы нчя
величины х, у. г и проч. измѣнялись всѣ вдругЪ при каж-
домЪ переходѣ функціи V изЬ одною состоянія вЪ друюе.
Поелику же по $ 50
ѴС")-Ѵ« + »дѵ'">+ >ДДѴ'°’+.............Д"ѵ«;
что хотя тамЪ разсматривалась величина у какЪ фунгцдя
оной, только измѣняемой величины , но изоораженіе каждаго
рода вЪ ряду величинѣ у выведено при предположеніи толь-
ко вЪ гаомЪ, чіпо величина у . переходя изЪ одного состоянія
вЪ другое, принимала какія измѣненія ; а слѣдовательно оныя
воображенія членовЪ вЪ ряду величинъ у могугЪ быть при-
ложены кЪ функціи каждаго числа измѣняемыхъ величинѣ);
то, положивъ что вЪ величинѣ V измѣнялась сперва только
величина х. по измѣняеыі сгаи сей одной величины, послѣ п
измѣненій, величина V по § 67 обратится вЪ
Ѵ-+-«©Дг+ ">--”(©)Дх“ + ,(Ч^Ѵ^(©)Д^+-....................
Потому по измѣняемости величины у , послѣ п ея измѣненій,
каждой изЪ оныхЪ членовЪ доставити подобной сему рядЪ, и
величина V обратится вЪ
9*
ѵ+п(®'дг+^“І)д^+^^(^’+ •: • (с)
Ч-«((‘>/+п(“^ДуДН4М^)д/Дг*+ •'•••)
4-«(©Дг • • •)
+ Ж О *г + «(^Ь) дгд*+••••)
+ п«((^)ДтДг-І-п(^7^)ДжДуДг4- )
+2=^ «1$ 4- О +••••) •
+^-4^ V Д/’ ^- • • • •)
+7^((^)Д^Дг*4........)
+^('Х)Д^+----)
Хп-Ип-з) /,ДЗѴч Дхз »
' і а . 3 ѵУЛх5 ! 1 '
И Пр іЧ. <
И такЪ далѣе до самсй послѣдуй измѣняемой величины;
чрезЪ что и получится величина Ѵ(п) вЪ ряду величинъ V,
коего первый членѣ есть V.
КзкЪ піаже самая величина Ѵ(п) получится, по какому бы
порядку измѣняемыхъ величинѣ х, у, 2 и проч. мы величину
V чрезЬ всѣ ихЬ измѣненія чи переводили то необх >димо во
всѣхЬ разныхЪ ея изображені’чхѣ, кои ошЪ измѣненія порядка
измѣняемыхъ величинѣ получаемы будутЪ, всѣ тѣ члены, кои
имѣютЪ множителемъ одинакія произведенія разностей ДХ,
Ду, дг и проч. должны быть по величинѣ своей равны между
собою. По сему если возмемЪ вѣ разсмотрѣніе чапр. члены со-
держащіе множителя Дхі-1 ду*, то по равенству ихЪ кэеффи-
ціеншовЪ зависимыхъ ошЬ /х и у, кои будутЪ
—а) .... (п— п(п—іХп—а) .... (п—(ѵ—і))
І .2.3*. ..V 9
/д'А + ѵѴ\ /ди"НѵѴ\
остальные коеффиціенты ! — “ ~ / (------) л°л”
\Дх Дуѵ / чДуѵДхи/
жмы быть равны между собою. ТакииЪже образомъ ошкроеш-
12 •
^2
I
Еслибы величины х у, г и проч. при переходахъ „ели-
чины V изЪ одного состоянія вЪ другое принимали не по-
стоянныя измѣненія . то .хотя сное общее изображеніе
Ѵ(п* — V Со)Н-ИДV (с)+”2^ ДДVдзуС
I I Пѵ(°) Д' 3
• • • V было бы и вЪ семЬ случаѣ справедливо, нофор-
гѵла (с), выведенная изЪ него при предположеніи разностей
&х, Ду, Дг и проч. постоянныхъ, ие выражала бы тогда ве-
личины Ѵ(п), г. надлежало бы ее выводить иъЪ онаго общаго
изображенія, разсматривая разности Дх Ду, Дг и проч. при
« каждомЪ переходъ V изЪ состоянія іЪ состояніе измѣнявшимися.
Я ТГ
СТАТЬЯ ТРЕТІЯ.
в Нѣкоторыя употребленія разностей.
§ 75-
Основываясь на томЪ свойствѣ разностей, что если кж-
кая либо величина V будетЪ цѣлая и раціональная функція
величины х степени т—і, то, вЪ случаѣ постояннаго измѣне-
нія величины х при переходѣ изЪ однсго состоянія вЪ другое
разность тй степени сея величины V обращается вЪ нуль су-
дятЪ оЬЪ общьхЪ членахъ рядовЪ чиселЪ, могуіпЪли они изо-
бражены быть какою либо цѣлою и раціональною функціею
измѣняемой величины служащей показателемъ члена, а посему
увеличивающейся при переходѣ изЪ каждаго предЪидущаго чле-
на зи послѣдующій единицею. Для сего изслѣдысаюшся посше-
д
/ = 93
пенныя разности членовЪ сего ряда; и если откроется, что
сіи разности какой либо т й степени всѣ обращаются вЪ нуль,
іко сіе значить будетЪ, что общій членЪ таковаго ряда выра-
жается чрезЪ цѣлую и раціональную функцію (тп — і)й сше-
пени онаго показателя членовЪ. ТакимЪ образсмЪ выражаюггЪ
его чрезЪ таковую функцію онаго показателя членовЪ сЪ не-
опредѣленными коеффиціентами, ксихЪ будетЪ однимЪ болѣе
противЪ степени функціи, и чрезЪ подстановленіе вЪ ней,
вмѣсто измѣняемой величины, показателей каждаго члена по-
рознь, и сравненіе сЪ каждымЪ членомЪ ряда порознь произво-
дятъ столько уравненій , сколько находится оныхЪ неопредѣ-
ленныхъ коеффчціеышовЪ, чрезЪ чао они и опредѣлятся , а
изЪ сего получается самая функція выражающая оный общій
членЪ ряда.
Пусть напр. будетЪ рядЪ чиссло
о, і, 4, ю, 20, 35, 50, 8|, 120, ....
іпо его постепенныя разности будутЪ
Ій степ. і, 3. 6, іо, 15, 21, 2 8, 36.
ІІЙ сшей, а, з. 4, 5, 6, 7, 8 • •
Шй степ. г і, і, і, і, і, 1. . . .
ІѴй степ.- о, о, * о, о, . о,........
Посему общій членЪ сего ряда изобразится чрезЪ функ-
цію третьей степени, которая пусть будепіЪ а!34-ІоХ2-р-ух
.Подставляя теперь х~о, х~і, х~2? х~з, пРлучимЬ»
уравненія ^~о, а-}-І? -}-у~ і, 8сеЧ-4^“І-а7~4 27л4~9^4_37'——
ю, изЪ коихЪ найдется у~|; а посему каждый
членЪ снято ряда выражаться будетЪ чрезЪ ’х3-Ъз хх-|-|х —
х(х<. >)(Х-і-з)
I. 2. 3.
Подобнымъ образомЪ поступали мы вЪ тригонометріи при
©предЕленій коеффиціентовЪ ьЪ выраженіяхъ синусовЪ и коси-
иусовЪ многократныхъ угловЪ вообще изЪ коеффиціентогЪ ша-
ковыхЪже линѣй принадлежащихъ двоекратному, троекратно-
му, чешверокрагпному и ш. д. углу.
§
ЗаконЪ разностей употребляется также при Зіюмедлолл-
ц.лхЪ, шо есть при вставливаніяхъ членовЪ вЪ рядихЪ чиселЪ
94
-между даниыни другими его членами, когда законЪ перехожде-
нія изЪ члена вЪ членЪ неизвѣстенъ. Для сего употребляется
вЪ основаніе то, что если величина у есть функція величи-
ны х, то вЪ ряду у(0). уС1), у( ) у(3). ... у(л), соотвѣтству-
ющей Ь величинамъ х(°) х(') х(2>, х(Д... х(п), каждой членЪ
уС&Х при величинѣ к пѣл й или дробной, выражается ч. езЪ
г'о) 4- к Д уСо) 4- ДД/о) 4- * 0 ~ а) А- Хо)
I —I) — а') (к— з) д4Д<>)
і . 2 . з . 4 / • • • • • •
Для сего стоитЪ только опредѣлить величину к, соот-
вѣтственно к »торой величина у ищется. Если величина х
возрастаемъ при переходѣ изЪ одного состоянія вЪ другое
оді накнмЪ количествомъ дх, и ищется тог’Я величина у со-
отвѣтствующая величинѣ х~х(°)-|-і, шо будетЪ і~ к&х, а
к——. Если же величина х п лучала неравныя приращенія,
то чо данной величинѣ хС-4-|—і должно опредѣлять величину
к изЪ уравненія
хмН-і=х<°’+АДх'°Ц^’ддх^4-^ЬД»г?’діх<“>н-. ..
ИЛИ
і = кЛх':} + ДДхи 4....
вЪ которомЪ выраженіи величина і и в(ѣ диффереыціи Дх,
ДЛХ, Д:х и проч. будутЪ данные; и когда сія величина к бу-
детЪ найдена, тогда о.тавашься будетЪ только подставить
ее вЪ выраженіи у — у (о) + *ду (о) + 'дДуС°Ц,
____
Пусть напр. по данныя?* ИперболическимЪ логариѳмамъ
ччселЪ 314., 3’5, Зіб, 317, з^8 ....надобно будетЪ найти
Иперболической логариѳмъ числа 314, 159265; то поелику
оныя числа возрастаютъ единицею, будешЪ к—о, 159265. ВЪ
і таблицахъ же найдется
числя і логариѳмы разность I. рази. П. разв. III. 'рази. IV.
/ —]— о——1 Л—
З14 315 3-6 Зі 7 ЗіЬ 5,7493929^5908 5,75^572638825 5.75574221 э586 5,758901773877 ,5,762051882780 3179652917 3ібу57ц7б। 3і5у56о29і 3 * 4960З90З 10078156 1004470 9951З88 63686 г13о&2 бо4
то есть будетЪ лу(°)~з 1796529 47 ддух°)~ —100781 56,/! ~4-6з6я6, Д4у(°)_^:—6о4,разумЬя пьжечисла, вЪ какехЪ ИЗоб-
ряжены оные ломриѳмы. Та» имЪ образомЪ, коіда побожится
у(°^ равчымЪ логариѳму ни ла 3’4» и подснавяпн я оныя р.з-
но іпи вЪ ияобра кеніи уОО іпо получится уОО. 1о§. 114,159265
—5’7'99ОО‘7 *8ч7’ Е\ли изЪ сею логар. ѳѵа в чтется л га-
рйѳш числа ю> , которой вЪщ, блицахЪ пай іешся 4,605170 і 85998»
пі ) получится I 3,14159265 ~ 1,44729485849-
Пусть еще даны 6 > ду тЪ величинамъ х_ір, 14, 19, 25,
32 соотвѣтствующія величины у~3о, 35. 38, 3'*’ З2 и на-
добн > бу итЪ опредѣлишь величину у соотвѣтствующую ве-
личинѣ х~<7 Поелику здѣсь Дх -4- ддх~і, д3х~о. по
Ь 7 И*~ О
сему для опредѣленія к получится уравненіе 7~дк 4- -——
,, , __ ѵ 7 —7—І-гЛо^
или /1Л.4-7К—і4“о; откуда найдется л—-----------— 1,6234.
ПритыиЪбудетЪздѣсьду^5,лду ~—2,Д'у~ — >3,Д4у“. г 6;посе-
п ____________________________ ,7 -гк(Л-і) зк(к—
му искомая величина у оудешЪ ~30-}~5К - ——-------- -
, бк(к—і)(к—г){к з) . 7 і. ь \ і)<Ь-д) ,
• 4- г "з~— ил₽ У—3° 4-5* — кКк-!)-і---------------—'+
* (*—1)(&—2)(*—з)
— ----------, которая величина когда дѣйствительно вычи-
слится, то найдется у—37, 427. Но какЪ здѣ ь разности
величины у не уменьшаются, а увеличиваются, и потому вы-
ходитЪ строка слабо сходящаяся, то вычисленную симЪ обра-
зовъ ве ичину за точную Считать не можно. И вообще способа
разностей тамЬ сЪ выгодою при интерполяшяхЪ употреблять
ме можно , гдѣ разности вмісшѣ сЪ возвышеніемъ ихЪ степе-
ней не уменьшаются.
На сей конецЪ Г нЪ ЛагракжЪ предложилъ другой способѣ
интерполированія, состоящій вЪ слѣдующемъ. НсложимЪ, что
96
величинамъ Х—л, Л’_ & Х~у, Х~.$, Х—е и проч. ссствѣш-
сшвуютЪ величины у~а, у—Ъ, у~с, у~д., у~е, и проч.;
то’ ежели изобразимъ величину у соотвѣтствующую какой
_ _ м . М'7 . М" . М'" і
либо неопредѣленной величинѣ X чрезЪ
। М‘ѵ і _
ѵС-}-. . . , тогда при Х~сс должна сія величина обра-
тишься вЪ а, а посему вЪ единицу и всѣ прочіе коеффи-
м' м" М"'
піеіігаы ^,77 и проч. вЪ нуль; слѣдовательно каждая
изЪ прочихЪ величинѣ Мл', М/#/ и проч. кромѣ М должна
имѣть множителя х—«. При Х—& должнл оное выраженіе ве-
_ . м'
личины у обратиться вЪ о; посему вЪ единицу, прочіе же
М-' М" М'" 1
коеффиціенты ^777, ^777 и проч. вЪ нуль, слѣдовательно
каждой изЪ числителей сихЪ коеффиціентовЪ М, М", Мн/ и
'проч., кромѣ М7, долженЪимѣть множителемъ х—& При ххх.у
должно оное выраженіе величины у обратишься вЪ с, а посему
М" „ И М' М'"
вЪ единицу, и 1<, ^7, ^77 и про^. вЪ нуль; слѣдовательно
всѣ числители М, ДѴ, МХ// и проч. кромѣ М", должны имѣть
множителемъ величину х—у; и такЪ далѣе. ИзЪ сего слѣду-
етъ, что должно быть
М =(х—К) (т—ѵХ1-®)(х—Е). • • •
М' ~(т-а)(х—ѵ)(х—3)(х— :)• • • •
Мх/ ^(г-а)(х-е)(х-г)(Х-е). . . .
М'" — (х-а) (х-«) (х-ѵ) (х-е). ...
и такЪ далѣе.
„ м__ .
При томЪ, поелику при Х—о, должно быть кпри
М.^
Х~ Іэ должно быть и такЪ далѣе; сдѣдовашельно при
Х~ес должно быть М=г^Т, при х~% должно быть
и шакЪ далѣе. По сему
— (а—(а~Ѵ)(а—5)(а—е). . . .
ЬТ/ — (&-а) @ - у) (6-5) (&- е). . . .
97
Я — (У — «) (У — Ѳ (У ~ 5) (У — 0 • • •
^/г/" (5 —а) (5—6) (5— У) (5—е) . . .
и проч. .
Если сей способъ интерполяцій приложимъ кЪ предЪиАу-
тцему примѣру, то для каж юй неопредѣленной величины х
найдется
___ (х — ч~) 0* — »9) (” — (* — 3=0 о-
У 4- 5>. іу. 12 . '
___, ю; (х — .9) (х —,гу) (х — за) 25
4- 5- 11. 18
і С* — 10) О —14) (*-- ДУ) (*—Зг) до
•" 9. у. 6. 13.
___ '°НХ~ Н) & — Гй) (- — За) д ;
іу. іі. 6. 4.
I (*— >>) (X—14> (х — 19) (х —ау) „о
02. ів- 13. 7. ‘
Гдѣ если положится х—17, то найдется у~Зуі.збЯЗ; а е7ю
величину считать должно вѣрнѣе вычисленной по оному сио-
собу разностей.
СТАТЬЯ ЧЕТВЕРТАЯ
065 Игітегрпбаши фцнкіігй и сцлілюбаніп рлдово.
I, ОбЪ интегрованіи функцій одной измѣняемой величины.
§ 77- *
Найти интеграла фунг-'ііги хт, т. е. найти функцію, кося
разнесть естѣ хп.
Поелику по § 6і д(хт'+"І-|-^)*—(И®-Ь‘) -ь
х—'Агг+("Т',),"1”^’Д~,'АХ;+-.. то напротивъ х"+*
+Ь=(>м-і)АгХх”-Ьс^±^*Дхг2х”-
_-4 т— 2 .
. откуда получится
Хх”=^~Й~І»-.АхХ^-х’Ѣх”^ •..;
Частъ III. 13
кошорее изображенье интеграла Ехт доказываетъ что инше-
гр^ваніе фуі ;ьіи Xя* зависитъ ошЪ интеірованія функцій
Х”1"-1. хт~я и шакі далѣе; такЪ что если иншеіралы функ-
ціи іею вида низшихЪ степеней будутЪ извѣстны, то най-
дутся и инігегра \ы функцій высшихъ степеней. ТакиівЪ обра-
зецъ янтеіралы степеней хт по порядку мсііонеышовЪ будушЪ
Хх® или 1 зз: -4- СопзГ.»
АХ
Ех =— 1 х 4-Сопя.,
Іха — ё 2 хх ~н хДх 4- Сопя., (
Хх3 — -Ц,----5 X3 4~ і і?хДх 4- СоП8Ім
4*^Л 2'4 • *
и вообще
і т-р і )дл 2 а. а . з а. а. 3. з- 4 у
разу? ѣл какЪ ьЪ сеиЪ изображеніи шакЪ и вЪ предЪидущихЪ
чрезЪ Соп8І. произвольную П'Стояниѵю величину, которую
мы вь шомЪ оощемЪ изображеніи интеграла изобразили чрезЪ
І^рТіАх’ ^І) постоянная величина, вЪ интегралѣ взятомЪ
воосир, есть величина произвольная; вЪ каждомЪ же часгпиомЪ
.случаѣ она опредѣляется извѣстностію интеграла при какой
ниъудь извѣстной величинѣ х. ТакЪ напр. если ьЪ оныхЪ
случаяхъ искомой интегралЪ при х ~ о долженъ сыть рлвенЪ
жулю, іпо получится Сопзі. или — О.
ТакимЪ же образомЪ найдется интегралЪ каждой функціи
состоящей изЪ нѣсколькихЪ членовЪ вида ахті и для сего над-
лежитъ разЪискать интегралЪ каждой изЪ оныхЪ частей и
соединить ихЪ. ТакЪ если будетЪ &у.^ах 4- Ьхп~~1 Ч- схп—*
•4- 4Іхп~з -р-... , то буіетЪ у а х + Ъ1хп~14- с
4-<1 _хп—з 4~ . . . Ц-Ссп81.
Но вЪ семЪ послѣднемъ случаѣ лучші употреблять для
нахожденія и» теграла не прямой путь; а именно: зная, чппі
а.ііпегралЪ сной функціи ахп 4- Ьхп~’ ч- схп~^ 4- 4- ...
будетЪ функція степени п4~'» назначимъ сей интегралЬ функ-
ціею паковой степени сЬ неопредѣленными коэффиціентами,
®= 9$
которая пусть будетЪ еехп+1-' Гхп4'7®п'“,4-^х’‘~*4-*іСп~34-«-;
потому взявши дифференцію ея , сравнимъ коеффиціеніповЪ ея
со сходственными коеффиціентани оной функціи, отЪ чего
коеффиціеншы а С, у и проч. онаго интеграла и опредѣлятся.
На прим. если лу^х’— ах* 4~9Ж—5; то по назначеніи
интеграла у чрезЪ «х*4-бх* 4- V®* 4~ 4~ Сопві. получится
Ау — а(4х’Лг 4- бххДх’ 4- фхДх’ + Дх4)
4г ^(ЗххДх -4- ЗхДх’ 4- Дх5)
4- у(2хДх 4- Дх’)
4- 8Дх)
и п® сравненіи коеффиціентовЪ сходственныхъ степеней ве-
личины х вЪ обоихЪ и .раженіяхЪ дифференцти ау получичі
«=дг» ѵ=іДг+і+4і- 8=-(|дм+$;
посему буд₽тЪ
$ 78-
Найти интегралЪ функціи
А(х4-а) (х4-2а) (х 4-За) . . . . (х4-па).
В* § 59 виіѣли мы, чш) если у~х(х4-^х) (х4-2Дх^...
(х + пЛх), ШО ду— (п Н;Дх X 1-ДХ) кХ |-2ДХ/..;Х ПДХ^,
У— (71+*)Аз?* п,‘ СемУ положивъ Дх~л, будешЪ интегралЪ
оной цредло «.еннпй функціи
Ах(х + а~ ;г 4- д)...(х + па) ,
іп~-+- ‘Та • ''*
§ 79-
ВЪ $ 50 гилѣли мы. что если у~ р<2 то ДутгфѴН*
РЛ(^4“ДРдСі; посему напротивъ у=4\(^ді? | і Д ( Соп$*.
13 *
100
р
поелику функціи У —
посему напротивъ
величина Р постоянная ,
1 лР_
о есть
разное ш ь
Рло )__ Р
ЯІЙ.-4-А&) -
V Рл2_
то 1 2-&-Н до )
пН~СоП8к
Р-4-ДР Р
оТ^о ~ г’
— р др
т. е.
откуда слѣдуетЪ также, что І.фдР — РС^— Т.Рд<2—Т ДРіф
-]- СопзЬ. ТакожЪ
Ду —
Н- Сопбі.; и когда
или доу—Сопзі. или X,
Поелику разность функціи У — ;
пп сему будетЪ также-п’ ш. с. - д0
Ѵр —1 х Ѵ1’+йР Р р Л
— а изЪ сего получится далѣе — ,у.
$ $>0.
Найти интеграла дробной функціи
. <тжг; Е 1 4-сх’п ~ 5 4- сІхт — 3 -|— , . .
’ х(х -р- аи>) (х 4- Сш (х 4- Уы) . . .
предполагая^ ъпю з.гісі> а ознаіаегпб разностъ ^х, и кисло
т ліеніе іисла мнохителім л. ^іі степени вЪ зчаліена-
телі.
функція сія разложится на частныя дроби — —}- х~^~ай~
*4---С——у —г*— -р- . • ч и будетЪ У—А^- -’ —
Т х -•- бы * * •+- 7 х * х 4- аи
-+- ~Н -4- .... -ф. Сопзс. Но поелику
” і=Нн— >’ по ссму’ взявп,и сЪ обѣи*ъ
сшоронЪ интегралы, получимЪ
или X—ГЗ І)м 4- Подобнымъ обра-
зомъ найдется Т х^~ 1)ы '— »
и такЪ далѣе. Слѣдовательно будеп-Ъ — ;ѵД_
хож
Назначивъ тпакичЪ образомЪ ~ 4р?зЪ Х4-
^2: X 4~ ^'7? и шакЪ далѣе полу чимЪ •>
у—ВХ-ьСХ+ПХУ4-...+(А4-В4 С+04-.
Если вЪ которомЪ случаѣ будетЪ А + ЕтС+П }-.. . —о,
шо вЪ семЪ случаѣ будетЪ у~ВХ . СХ/+ЮХ//4-. . . Сопзк.
Приведеніе же дробей - 4- 4 • 4~ • • • • КЪ одно-
му знаменателю , и сравненіе числителя дроби отЪ сего про-
изшедшей сЪ числителемъ предложенной дробной функціи, от-
крываетъ , что сей случай будетЪ вообще, когда степень чи-
слителя предложенной дробной функціи меньше числа множи-
телей знаменателя ея уменьшеннаго единицею.
Пусть на пр. 6уд<піЪ Лу ~ + а *-х4і: - , по будетЪ
а,-__ з *• । 38 —т у1 V ’ г з«
У іох 6(х4-а) * *5(Х-Ь5р 1 сенУ У ю х 6» ' ‘15
Дс-У-5 і5\х-|-4 • х-Ьз* х-}-9 х-)-і " * ' х/ 6 х-р-» ’ X'
. (?! _ $ . + іі СопзС. = ' ? (і- + Ч- )
• \іу 0 1 ю/ х 1 ' * 15 >х-+ і 1 х-Из х—|-а/
і 2. (_1___। _ 4 > ! уЛ. і . С, кв± — 38ѵзхх ч - зсх ч- 36)
' 18 \Х ь 1 ‘ X/ х “ 15(Х -ь а) (х + зИх + 4?
4- 4- X-1- 4- Сопзг.
' іѵх (х Ч- і) 1 х 1
Если бы числитель предложенной дроби былЪ функція
высшей степени величины х , нежели Каковую доставляетъ
произведеніе знаменателей, цю бы по раздѣленіи на произведе-
ніе гначен.пн-леіі получилась сперва функція вида «хл }-Схх~*
•уХА—а 4~ • и сверьхЪ того дробная функція того ида, ко-
торой былб выше разсматриваемъ, которая если вообще изо-
бразится чрезі Ъ, то интегралЪ таковой функціи будетЪ
4- • 9 4- ... 4- 12 , и найдешіея ошчасшиі
по $ 77, а отчасти по сему параграфу
Что принадлежитъ до интеграла 2—’, то, когда оной
ищется отЪ какого нибудь числа х~а до х~Ь, можно его
всегда сЪискіѵпь во тчч г >сти посредствомъ суммован'я; но ко-
гда оной инше.ралЪ ищется отЪ х~а до х весьма большаго.
109
шс его не лбзл иначе найти, какЪ посредствомъ приближенія,
изобразивъ выражающую его сумму вЪ десятеричной дрочи;
когда жЪ интегралѣ ищется оіпЪ х'^.й до » , то сумма
его выражающая бываетЪ, какЪ мы ниже увидимЬ, всегда бея*
конечно іелика.
...4 в
і 1
§ 8ь
Во | біридѣлч мы, чтоесли у^ггах, то су——і),
ИзЪ сево уравяенія найдется напротивъ С — —; посему
а — і
„ V1 *_____ У ________ «*
гудетъ •— ---» или прибавивъ произвола-
мую постоянную величину, !—СоП'іГ, ~ л —• і * ‘а — і* ВЪ шомЬ же § 6і вы гдено, чти когда у ~ , то ду мли даххп ^аххп(а^х — і) -р-а1 алх(пх*—гД.в 4- ^~Хя~*Да? 4” І# а 3 X Дх5 —|- . . .). ИзЪ сего уравненія най- дешся напротивъ .0*3 1——~— Чс,хХЛ~ Ах Ч~ ~ ” ,ЛХ— , ддх_іч *• «• аххп~8А ’ -4- х хл — - — >Л*
х 7 адх-і а**—і (пДхга’х’-' 2?=^ Ч- —=4^ ~ Ьх' ХаѴ-’ +.. . .)4-Соп5>:.. ил1і ХаѴ=:<х- — «А»-і . (пЛх^аѴ— +ч1=4дг»3:аѴ _1 Ч--с- ~ .
Ха*ХП 1 +....) Ч- СопаГ. Откуда явствуетЪ, что на-
хожденіе интеграла функціи пххп сводится на нахожденіе
ингпегріловЪ подобныхъ ей > фун цій , но имѣющихъ свгрьхЪ
ах множителемъ величину х возвышенную вЪ низшую сшепін^,
нежели какова вЪ предложенной функціи,
Г $ §2.
ВЪ § 63 видѣли мы, что Лліп х—созхзіпЛх — (і—епх Ах)
И &С03. X — — (зіп. X зіп. 6Х -Ь (і — соз. Л®, СОЗ. х), или
1ЙГ*: ' ь
іо?5
и'»чнлчяя?> для краткости постоянныя величины »іп. лх и
і- соз^Ух буквами и и между коими будешЪ ошнои.еіне іпа-
яово, что «ч — &
Дзіп. X т а СОЗ. X — 5 зіп. X
— Дсоз. X ~ « ЗІП. X + & СОЗ. X
•ккуда найдется
~ — ® А !*п- » — € Д С05. х
СОЗ. X = -------*--------
зіп. х = — •
а изЪ сего далѣе _
X СО1.Х - Ѵ“:Д,- • + Соп5Г.
X ЗІП.Х = Сопя. —
или і ’ Т
X соз.х — “>4^ + Сопя.
а( і — со$. Дзс) 1
X зіп. х = Сопя. — (’"-“Т-^’)
или еще
X соз.х = ^^4 —+ Сопя.
2 МП. ДХ '
X зіп X = Сопя. —
апп. { Дх
Основываясь на семЪ лег ;о можно будетЪ опредѣлить и инте*
тралы функцій составляющихъ какія либо степени синусовЪ
и косинусовъ дугЪ. И дѣйствительна поелику при числѣ _п
четномЬ *
зіп.хп~Л^‘-г(соз.х—псоз.(п—2)х~і~1^~ісоз.(п—
• при п же нечешномЪ
ЗІП. (зіп. ПХ— ПЗІП. (п—2 )х-^-~^ЗгП. (п —4дх~. •• •)
ІО 4 ..Я=ЕД
поеейу вЪ перво* случай будетЪ
X т’т.хп=. -±^ ^^{ЕЪотлх — п2.сот. (п — е)х 2- у — -] X сот.
(п —4> —. ,^.) + С
во второмЪ же случаѣ
ТІП ЕХ— п5.Тт.(п — 2)х4 ~П- 5ХіІ».
(п — 4)х — -...) + С.
Поелику же
сф.х'~^^сот.пх+псот.(п—~--сот.(п—4)х-+-....)
шо будетЪ
X СОТ. ХЯГЗ (X сот. пх -Р пХ СОТ. (п 2)х -4- ^Х СОТ.
(іг — 4) X н-....) 4- с.
$ 83-
ВЪ § 59 видѣли мы, что дРр/Гз РлС^) -+• ОбР^-дРаС^; по
сему будетЪ также ДРН ~РдК-НВ^Р і дРлК. 11 оложимЪ
что означаетъ зіп. х, В означаетъ соз. х, и Р какую ни-
будь алгебраическую функцію количества х; то , удержазЪ
и и б для означенія величинѣ &.1.Л1ИІ—соі.Дх, получимЬ, какЪ
вЪ предЪидущемЪ параграфѣ, «Н — дК~—(^В.-{-«(/),
кои величины когда подставятся вЪ оныхЪ изображеніяхъ раз-
ностей дР(2 и ДрВ, то получится
ДРО.— аРО.— &РО.+ ДР(аВ +(і 4- е)й)
:4РК — — еРВ — аРО,- }-. ДР((д — фк — а(1)
по причинѣ той, что <х«4- іС»
ИзЪ сего найдется далѣе
БДРЦ-Н аДРВ = — 2БРО.Ч- ДР(аВ —
аДРО,— ёДРК = 2^РК -+- др (₽К 4- «(1),
а изЪ сего
ХРй= С — + ,-.ХДР(аК — ю.)
ХР-Ч _ С + Згі=®) — ДР(ВВ ч- «О).
X У ^п. х — С —
Х.Х со$. х С 4-
— > ю5
Назначивъ функцію Р буквою X, и полетпавивЪ вмѣсто
ф В., а и С величины ими означаемыя 3 нол_> чимЬ по сокра-
щу НІИ
Хсо$. (х — Вдх) ) І дХ(« соз. х •— € зіп х")
2І1П ^ДХ ’ 45ІП ІДХа *
X зіп (х — } Ах’) Т«дХ(«сяи х С со: х
ЗИП. ^ДХ 4 5ІП. I ДХа
Откуда двствуешЪ, что если величина X есть цѣлая в
раціональная функція количества х. то, поелику ДХ будетЪ
функція сего количества одною степенью низш я , нежели
функція X, иніпегр >ваніе оныхЪ ведичинЪ Хлід х и ,|1СО$.а»
или фпх.зіп х и фгх.С05. х сведется на интеірованіе функцій
фп—х.ьіп. х и фл —’х соі. х ІакимЪже образомЪ «нше.рова-
ніе сі-хЬ послѣднихъ функцій сведется на иншегрованіе функ-
цій фп~2х.зіп. х а фп~2х СО5 х и такЪ далѣе; а н-конецЪ
на ингпегрованіе величинъ зіп х и соз. х, которое совершится
іи» предЪидущему параграфу.
ВЪ § 55 видѣли мы, какое находится ошнснгеніе между
иитегрованіемЪ какой либо функціи фх и суммованіемЪ ряда
чиселі имѣющихъ оную функцію фх общимЪ св«>ммЪ членомЪ
Ш. е. выражающинЪ каждой членЪ ряда чрезЪ шо число х, ко*
шорой онЪ членЪ, начиная сЬ перваго вЪ семЪ рядѵ. Сіе ишнэ»
віеніе, какЪ вЪ онояЪ параграфѣ доказано, состоитъ вЪ том'Ь»
чіпо если мы возмемЬ фѵнкц>ю выражающую слѣдующій членЪ,
т. е. подсшавимЪ вЪ функціи, вь^мжающсй общій членЪ, вмѣ-
сто X юличесп во х і, и потому и йдемЪ сего выраженія
иьшегралЪ; н?коне^Ь под тавивЪ вЪ сейЪ общемЬ интегралѣ
X -2^ о найдемЪ иншегралЬ соошвѣтствуп<щ>й началу членовЪ,
ш. е. числу ч енов Х~о, и сей послѣдній вніпеіралЪ вычшемЪ
изЪ общаго , т > лолучишся сумма всѣхЪ X членовЪ вЪ ононЬ
ряду. Сіе дѣйствіе , какЪ вЪ томЪ же параграфѣ изЬяснено ,
мозчно -шааожл произвесть, взя^-Ъ интегралЪ самаю общаго
члена, и и .тому увеличивъ вЪ немЪ число х единицею , йако-
всцЬ полсш вмвЬ вЬ семь цоѵлѣднемЬ интегралѣ дг^хо, и ьы-
Частъ 111, х іі
чегпши изЪ предЪидущаго.' ТакимЪ образомЪ, зная, какЪ какой
функціи найти иншегралЪ, можемЪ разЪискать и с} мму ряда,
имѣющаго ту функцію общимЪ членомЪ.
Модно также по сему разЪискать и сумму членовъ ряда,
начиная не сЪ перваго, но сЪ какого пибудь (&+ і)го до какого
нибѵд> тго чле.іа ; для чею стоияіЪ только сЪискать сумму
первыхЪ к членовЪ, а потомЪ вгѣхЪ т членовЪ, и накоиецЬ
изЪ сей послѣдней суммы вычесть первую.
і
ПРИМѢРЫ. I
і.) Найти гумму ряда треугольныхъ чиселЪ, коихЪ об-
щ й членЪ ш. е. обще-! выраженіе каждаго Xго члена есть
+ О п , ? , г , .. 0Н-1)
~----НодставивЪ хф-і вмѣсто л возиемо функціи—•— • -—
по § 78 интегралЪ, положивъ здѣсь Дл:~і; которой интегралѣ
с , ,, , х ,
оуделіЪ -------й----• ііели вЪ немо положится Х—о, то оно
1. 2. з-
обратится вЬ нуль, а по сему для полученія оной суммы изЪ
сего интеграла вычишіть нечего, и онЪ будешЪ выражать
самую искомую сумму.
ТакимЪ же образомЪ найдется сумма сихЪ треугольныхъ
х(х+і) (х+і) (х + з),
пирамидальныхъ чиселЪ-----------— 4----3 и такЪ далѣе.
2 .) Найти сумму ряда ~ -Ь • • • ~Г х-(х'ІТу
ИнтегралЪ сего общаго члена, по § 8о, положивъ
будетЪ — —. Подстав-імЪ вЪ немЪ X ф- і вмѣсто X, и
изЪ количества —хфф , логпорое чрезЪ сіе получится, вычтемЪ
число — і , вЪ которое оная величина — х । ~г обратится
чрезЪ подешановленіе X— о. ТакимЪ образомЪ искомая сумма
членовЪ будешЪ =.1— = ж*47- Сія величина при X
безконечномъ обратится вЪ ----- или |Ь единицу; і_бо —есть
.і ©7
дробь безконечно малая; слѣдовательно сумма оной безконечной
строки 777 + ГГ7 + ТТ4’ ГЗ ‘ ~ **
3 ) Найти сумму ряда 77777+ ^~+7777} + • • • •
млѣющаго общимъ членочЪ 777777—77). членѣ ра-
зобьется на частныя дроби ~—77^7)+777777 и по § 8° ин-
тегралЪ его будетЪ + 7)— 7 ——2Х(Х бЪ ко-
торой величинѣ когда подставится х4-і вмѣсто X, то полу-~
чншея —и при х~о о6[ашчтся вЪ —слѣг
1
довательно искомая сумма ряда будетЪ —* — а^жЧ17^ііё+а)
х(х -4- зУ ___ __________ (1 । х) _I
- ^ч-;у(і+Л)’ и п₽и х=” 6^«°ъ
4 .) Найти сумму ряда ~ + у- + ..коего об-
х •
іпі'й членЪ (ах-ьОСяхгЬзУ П°Дставим^ семЪ общемЪ членѣ
л+і вмѣсто х; то онЪ обратится вЪ , 7^7 +у КакЪ
здѣсь Л.Г “ і , то сія функція будетъ собственно
X -+- ДХ
(2X + здх/(2X +~5д^І’ Положимъ, что 2.ѴЧ-2Д.Ѵ— «, то взявЪ
разности получимЪ 2ДЛГ ~ Лг ; чрезЪ что оная функція обра-
тится вЪ ^(аі-_р д^» или ?тея иншеіралЪ, по § 8о,
будетЪ Слѣдовательно сей интегралЪ изображен-
ной вЪ велпшнахЪ х будетЪ —г— -.—г-4--1^—\ ш. е бѵ-
^ггаЪ 4^*~+з) Из-^ 5 “М + • • —н ИзЪ Коего
надлежитъ вычесть величину сію соотвѣтствующую х —;о,
которая есть | + | "“"/г» слѣдовательно сумма оной стро-
ки будетЪ 4- |(| + I 4- і 4- ..., -г.~1- шак5
»4 *
10?
иіакЪ Чіпо гѵчмплчніе снэ& строки завислшЪ ©шЪ суимованіл
ешроки -±_-.
Послѣдняго рода строки пои числѣ члеиовТ х безконечномъ
іссгіа бываюіп'і п- величинѣ своей безконечны. А іабы вЬ сечЬ
увѣришься , в >змечЬ вЪ разсмотрѣніе изобоажеь'я и.іперб личе-
СКихЬ логариѳи-вЪ /(14-^)—^—11? — |г*-}-|Д,е —...
Я 1( 1 — х) — — (х I X2 -}- I Iя -Ь | X* I X5 . . .)
или —- Я ~Ь 4-|Х3 -р 4~ • • •> и положимъ
вЪ нихЪ х~і; то бу іешЪ 14’^4“! "4" { 4_|~Ь" • •
л 1 — * ~Н | 4’ I — • • • = 2- Слѣдовательно ве-
личина перв й изЬ сихЬ строкЪ будетЪ безконечна, а второй
измѣрима. Но сему если сі і строки сложимЪ и возьмсмЬ пол»
сумчы ихЪ, ню выдешЬ также величина безконечная; слѣдова-
ш-яльио будетЬ также безконечна и величина 1 4"^4~| 4-^
4- 4- • - • СЪ сею послѣднею строкою соединишь можно
иіакже содс жаніе ра .Гуса вЪ дугЬ круга 45* , кошорое есть
1 — і 4" I — X 4- о — - • . ига гда чрезЪ сложеніе ихЪ а
дѣленіе на два іюлучигнся 1 4- | 4“ 9 4~ ~ 4- ... также ве-
лнч на безконечная ; чрезЬ вычд оаніе же и дѣленіе на два по-
лучнш я врл'-” <нл з 4- — 4“ ~ 4~ • • • также безконеч-
на* и шалЬ далѣе. *
Поели’-у при всѢхЪ случаяхъ суммпваиѴя рядовЪ мзЪ икпіе-
вріла ф\к щи изображающей (х + і)“ членЪ ряда вычитать
должна мнінсг,’а\Ъ получаемой чрезЪ подеічанѵвѵеніе «’/ н‘-мЪ
Числа х сиошвьш твл ющ го началу того ря <а , ко°го іуммж
мгцепкя, ш» сіе удобнѣе дѣлается чре Ъ прибавленіе кЪ ониму
•бщ- му интегралу постоянной неопредѣленн<>Й величины, и
ргиначеніе ея «ииі-лаЬ сообразно услоыю © началѣ рлда, коеіа
адляд. іо}
сумма трнѵ.шгя- ТакЪ вЪ оиэмБ птреільечЪ примѣрѣ нашедши,
ЧДГО іштегралЬ функціи (- (*-н) есшь
клначлмЪ сумму ряда чрезЪ Сопбі —др,~ п и к<»кЬ
искомая сумма при X —О должка бычг, ~ о г то для оврг хѣ-
то для опредѣленія оной посиіожня й величины получится:
' 1П5І. —— XX: О или СоПЗІ. _ *; такимЪ обімвомЪ для-
еной суммы ряда получится ; Ѵ-.Т«+;:)> каг^ н прежде.
И. 005 интегрованіи- функціи деухЪ нли Содіе издік-
н^едшхб іедигинй-
$ 85.
РБ § т® видѣли мы, что если какая нибѵдь величина
есть функція многихЪ измѣняемыхъ величинъ X. у, 2 и проч.г
то разность сея функціи всегда бываетЪ
ДѴ = (Э Дг + (*'у) Лу 4- © Дг 4- •...
+ (X)Ахду + СГа)ДгДг 4- ДуДг 4- ...
। / дЗѴ х А . . .
Ч- ( А А~ ) Ах Д г Дг 4-. ►.
1 Ѵдх ду дг/ *
ИзЪ сего слѣдуетъ, что когда по длиной рячностги функ«
Піи многихЪ измѣняемыхъ вехич^нЪ х у, 2&. и проч, должн®
будетЪ разЪискать самую сію функцію, ню если возяемЪ ш1
члены сея разности искомой функціи, кои содержатъ
>Ъ себѣ мік.жителемЪ одну только разность ьх бегЪ прочихЪ
рази стей Ду, Дх и проч., тогда сіи члены содержать чЪ себѣ*
Б\д,ніЬ п ,01310 разнесть искомой функціи зависимую оч.Ъ
в. міняеяогт и величины х, полученную такЪ, какЪ бы П[оі»
величины у, х и проч. были посшияниы. По сему на ооорошЬ>
I Ю
есаи возчется сихЪ член' вЪ ( иншггралЪ, трактуя ве-
личины у, г и проч. постоянными , шо получится вѵя та
чаешь 1} искомой функціи V, вЪ каждой членЪ коея входитЪ
величина х Для полученія теперь прочихЪ частей функціи
V, вЪ кои х не входитЪ, возмем?' разность найденной чкспыіі
по измѣняемости всѣхЪ величинъ х, у, г и проч. и вычінемЪ
изЪ предложенной разности дѴ, то всЬ тѣ члены, ю - вЪ раз-
ности дѴ зависимы отЪ измѣненія величины х, то есть всѣ
піѣ члены вЪ разности дѴ, кои имѣюінЪ множителемъ Дх,
уничтожатся , и останутся только члены содержащіе множи-
телями Ду, дс и проч. и составляющіе часть разности дѴ
произходящую отЪ прочихЪ измѣняемыя Ь величинъ у, гипроч.
функціи V, кромѣ х. Ибо остатокъ дѴ—ДІІ или Д(Ѵ—V) ,
будетЪ полна0 разность функціи V—Ц не содержащей вЪ се-
бѣ бозѣе величины х. Дабы получить интегралЪ сего остат-
ка, будемЪ опять поступать вЪ разсужденіи у , какЬ прежде
прощупали вЪ разсужденіи х ; го. е. огадѣлияЬ тѣ члены сею
остатка, кои содержатъ вЪ себЬ одну разность ду, и возмемЪ
интегралЪ, трактуя г и проч. постоянными величинами.
ЧрезЬ піо получится еще часть II' искомой функціи V , со-
держащая такіе члены, изЪ коихЪ вЪ каждой входитЪ величи-
н і у. ВозмемЪ потомЪ разность сея величины II' по измѣ-
няемости всѣхЪ величинъ у, г и проч. , гли вЪ нее входяшЪ,
и вычіпемЪ ее изЪ онаго перваго остатка, шо получится вто-
рой остаіпокЪ не содержащій вЪ себѣ ни Дх ни Ду. Дабы по-
лучить теперь интегралЪ сего вторгго остатка отдѣлимъ
вЪ цемЪ члены содержащіе вЪ себѣ только Дг, и поступимъ
также , какЪ выше поступали вЪ разсужденіи х и у ; ч чрезЬ
то получится еще часть II" оной функціи V, коея вЪ ка-
ждой членЪ входитЪ величина 2; и піакЪ далѣе. ИаконецЪ
соединимъ всѣ сіи части II , II', II" и проч. и будепф
V — II II' 4- V" 4- ... 4- Соп8І.
Пусть иапр. предложено будетЪ найти интегралЪ разности
(?аху4-Ьуу ЪауДх 4 су + гІ)Лх4 Гахх-Ъ^бху | ЬхДу | сх-} е)ду
4- (гах 4- і.Ъу 4- с)->хду + аДх’Ду 4• Ьду’ДХ. Отдѣливъ часть
111
сел разности (гаху ~і~Ъуу 4-луЛх -4- су 4- с!)Лх , вЪ коей на-
ходятся разности одной только-величины х, и взявЪ се» части
интегралЪ, получимЪ Іау(2ХЛх+Дх’)—аухх и х(Ьуу-ьсу+сІ)
дх —(Ъуу+су і (1)х, вообще* е ахху ]-(Ъуу ф су -+- сІ)х ~ V).
ВозмемЬ сего интеграла разность по измѣняемости обѣи\Ъ вели-
чинъ х и у, и получимЪ. (гахуЬаудх Ъуу ч-су у ^)лх і-(ахх
-НЬху+ЬхЛу г сх)ду4-(2ах4--Ьу і с;ЛхДу 1-аДх’ду У Ьлхду’.
Которая разность, когда вычшешся изЪ предложенной, то оста-
нется только еДу. ВзявЪ интегралЪ сего остатка Ѵ'~еу и
присовокупивЬ его кЪ оному [У и сверьхЪ того присоединивъ
произвольную постоянную величину, получимЪ полной интегралЪ
предложенной функціи Ѵ~ахху Ъ(Ьуу4-су еу-ь/.
ТакимЪ образомЪ, когда предложенная разностная функція
будешЪ полная разность какой либо функціи , всегда инше-
гралЪ ея по предЪидущеяу пріему разЪисканЪ быть можешЪ.
Если же предложенная разностная функція будетЪ не полная
разность, тогда самое дѣйствіе иншсгрованія сіе откроетъ,
и вЪ семЪ случаѣ интеграла ея получишь будетЪ не можно;
выключая только нѣкоторые случаи изЪ шѣхЪ , когда сія раз-
ностная функція будетЪ равна нулю, о кошорыхЪ яЪ слѣдую-
щемъ параграфѣ говорено будетЪ.
§ 86.
Что принадлежитъ до разностныхъ функцій уравненныхъ
нулю, или разносяіныхЪ" уравненій, то вЪ случаѣ іпомЪ , когда
таковая функція не будетЪ сама по себѣ полная разность,
можно иногда чрезЪ помноженіе на приличнаго множителя,
составляющаго функцію тѣхЪ же измѣняемыхъ величинъ, при-
весть ее вЪ полную разность, которая тогда и интегроваиа
быть можетЪ, и которія доставитъ чрезЪ сіе такую функцію
равняющуюся йЪсіпоянной величинѣ, коея разность, равная
нулю, будучи раздѣлена на помянутаго множителя , произво-
дитъ самую предложенную функцію или предложенное ура-
вненіе.
* Примѣромъ сему пусть будешЪ уравненіе Ду-|-Ру4-(^—о ,
вЪ коемЪ Р и <2 суть функціи величины х и постоянныхъ
«еличииЪ, ѴЬ числѣ кояхЪ заключается й ра*йг>спп Лх. ^)унк-
жія Лу + Ру 4" ? не есть сана по себѣ полная разность; но
воложимЬ, что она чрезЪ поми женіе нд множителя , гдѣ е
есть основаніе ииерполичгскихЪ логариѳмовъ, и и какзя ни-
ву дь функція количества х, можетъ обрашоться нЪ полною
разность; ш. е. положимъ . что е“ду-<-еьРу-+-е"(2 буіеінЪ
полная разность. ПоложивЪ сіе, иншегра «Ь -ея, по иредЬздѵ-
щсму параграфу, состоять будегдЪ изЪ еѵу и нзЪ части, Т
не содержащей величины у, ш. е. сей ищпегралЪ будетЪ вида
4«у + Т, разумѣя подЪ Т функцію одной пплькс величины х
и постоянныхъ. Если сія функція е^уЧ-Т будетЪ дѣйстви-
тельной интегралЬ ©паю сравненія, то разность его, которая
вудещЪ е“-+-Ди(у4-Ду)4-дТ- е“у, или (еДк—і)е“у4 еи+дауу
4~ДТ, по приведеніи ее чрезЪ дѣленіе нае’І+4“ вЪ о. ина й
«идЬ сЪ г/г дложенною разностною функціею ду 4- Ру4-<2~о,
должна быть.сЪ сею послѣднею одинакова; а но сему д лги»
быть АУ+'-^У -Ь —"д = Ду + Ру 4- О, Сра-
_ еДи—і -а дт
н®ніе еіе доставляетъ —--— — и ИзЪ
перваго уравненія получится СЛ ______р, и Дит?——Р)^
а по сему и~-—(і—Р) , и у потребивъ гмѣспю инте-
ірованія , по §55» сучмованіе и 3^ 4“ (ІО& (1 ) 4“
ьй.( .-₽'') + іо6.(і-р 4+.. - +/<>,?.(« - р"~ ’)),
разумѣя чрезЪ х показателя члена вЪ ряду величинѣ Р- »:ли
количество же и 4" будетЪ 1 ^)(1—
(і — рС*))... (1 — р(х))). Изъ сего поучится далѣе
—(1 — р(0)) (1 — РО)) (I — р'11)... (1 — Рк’-”).
, е-<"-+-д“)— (Х_Р;,’)(1— Рс”) .. . (—Р'4 "
Назовемъ для краткости еи чпезЪ V , и чрез II, тв
будетЪ ДТ~Ѵ(^) и Т = ш; кммЪ образомЪ идшсгра.ѵЬ
----- иЗ
®наго уравненія Ду Ъ Ру4 ф —° найдется Ѵу 4~ 1. С7<2 22 С,
Ѵ-І 2-ВД--
Вышеупомянутый способъ обращенія разностнаго уравне-
нія Ду рРу4-(^ — о. чрезЪ помноженіе на множителя вида еа,
Ъ п>ліую разность постоянной функціи можешЪ быть при-
ложенъ и кЪ уравненію ьида д"у 4- Адг ~~ 1у -д- ЬДп' 2у 4- ...
Ку 4- X ~ ® (а), гді, величины А, В,_С... К суть постоян-
ныя величины, могущія содержать вЪ себѣ и постоянную дкф-
ференпію Дх величины х; величиизжеХ есть цѣлая и раціональ-
ная функція величины х. Для сего довольно взять за мно-
жителя функцію еХх, разумѣя подЪ А величину постоянную.
Положимъ, что оная функція, будучи помножена на еХх , бу-
детЪ полная разность функція еХх(А;Дп—’у 4-Ь'дп—=у 4-.. .
4-Кху + Л7) 4- Сопбі. ~ о (&), кошору ы изобразимъ для крат-
кости чрезЪ еХхѴ 4- Сопбі.122о, то дифферента сея функціи
которая оудешЪ еХдх.еХх дѴ 4-(еХдх—і )еХхѴ , или еще (по
назначеніи еХдх чрезЪ а и еХдх—і, чрезЪ «еХхдѴ4-^еХхѴ222
еХх(яДѴ і Сѵ ), должна быть равна онсй предложенной функціи
помноженной на еХх, а по сему функція «дѴ 4" СѴ должна
быть равна предложенной функціи; откуда, чрезЪ сравненіе
коеффиціентовЪ дифференцій величины у сходственныхъ
степеней получатся уравненія аА ~13 «В7 —&А7 — А 3
«С -4- ёВ7 212 В, аТУ -4- &С7 22, С и такЪ далѣе; наконецъ
«К7-4~ё’ — I, и при шомЪ будетЪ аДХ74-ЁХ'-Х,
ИзЪ уравненій же оныхЪ получится А 221 - ‘ , В7 222 я
С — “В—-Г А4-Ц, и такЪ далѣе; наконецъ К/=’ I— € Нч-...
±а7Г--іА-4--^-3 и К—--І-ф.-Н —-----------|-^г-=тА±аП—о,
или, положивъ ^~ри, рп—А./лп 1 4- Вр.*-я— .. . -+- І^-+- К~оі
Послѣднее же уравненіе доставитъ п разныхЪ величинъ для ц,
изЪ которыхЪ когда каждая подставится вЪ уравненіи
ию получится столько же разныхЪ уравненій — €“=2 0, и-и
реХдх—(еХдх—1)222 ѳ, или (і—р)ехА*— 12220, а изЪ сихЪ
Ѵнсіпъ III,
и4 =====
„ ХДх т _
столько же получится величинъ е г:- р—кои доставятъ
столько же разныхъ величинѣ X з± — вЬ піоже вре-
мя уравненіе адХ*Ч-^Х*~Х. или &Х'^ілХ.'~—Х доставитъ
такое же число сихЪ различныхъ уравненій, или ДХХ —р-[лХ^
— ~Л — О, кои если сравнены будутЪ сЪ предЪидущимЪ
уравненіемъ Ду4~Ру + Р~о, то положивъ Х~у, найдется
Рг^дл О.——и ртГр—по ССМУ будетЪ еАа~е^д*,
и и ~лх; сьерьхЪтого будешЪ ДТ~—--^Хеи + Лит— СХл'Х'л
и Т~ —ХеХхХ, которой интегралЪ найдется по- § §і, и бу-
детЪ е^Х'—ЕеХхХ — о , откуда найдется Xх ~ е—^х^.еХхХ.
ТакимЪ образомЪ получится п разныхЪ уравнен,й еХхѴ-+-Соп8І.гіо.
гдѣ вмѣсто постоянной величины Сопв^. столько же разныхЪ
произвольныхъ величинъ подставишь будетЪ можно. ЧрезЪ
внесеніе же сихЪ п уравненій можно будетЪ выключить всѣ
величины Дп“ у. Дп—2у, Зу и такЪ далѣе ; и получится
уравненіе между х и у служащее интегр»ломЪ предложеннаго
уравненія,. вЬ которой войдеігЪ п произвольныхъ посіпоянныхі
іеличинЪ.
СТАТЬЯ ПЯТАЯ.
О варіаціяхъ функцій вообще..
§ 87-
Варіацгею функціи одной или. нѣсколькихЪ измѣняемыхъ
величинѣ , какѣ мы вѣ § 47 сказали , называется приращеніе
или уменьшенье ея, пр' изх >дящее отѣ измѣненія закона ея за-
висимости отЪ измѣняемыхъ величинъ в' произведеніе ея вхо-
дящихъ, или отЪ измѣненія закона взаимной зависимости са-
мыхЬ оныхЪ измѣняемыхъ велгчині вЪ произведеніе функціи
ьход іщикѣ»
115
Мы будеиЪ для изображенія варіацій величинъ вообще упо-
треблять Греческую букву С, ставя ее предЬ село величиною,
подобно тому, какЪ для изображенія разностей величинѣ) упо-
требляли букву А,
8 «8-
Если какая либо величина у будетЪ функція одной изви-
няемой .величины г, шо измѣненіе функціи у при той же 'ве-
личинѣ х можетЪ произойти или ошЪ измѣненія постоянныхъ
велцчинЬ входящихъ вЪ функцію, или оіпЬ .присоединеніе кЪ
функціи новыхъ членовЪ, коихЪ прежде вЪ ней не было, или
оігЪ того и другаго війѣгтѣ. ВЪ прочемЪ вЪ полной варіац,^
величины у разсматривается и саиая величина х измѣненною,
предполагая сіе измѣненіе разнящимся отЪ разности Дх.
Пусть на пр. взята будетЪ функція у ~ а + Ъх + Схх.
Если измѣнятся вЪ ней только постоянныя величины а, Ьис
шо она обратите» тогда вЪу4-Су^іа-|-Са4-(6 + €>&)х-|-(с-і-йс)хх
и будетЬ §’у~йі4“-ХъЬ і ххСс. Коли же .вмѣстѣ сЪ постоян-
ными величинами и величина .х измѣняется., то будетЪ
у4-еу^а4-^-Ь(Ь+БЬ)(х-|-ех)+(с-}-ёс)(хх4-2хег-1~2г2)5
и Ъу—:§«+хёЬ-гхх§с-т-(Ь-|-2сх)§х-4- (ёЬ4-2х^с;&Х4.{?с&г;
кЪ которой варіаціи могушЪ также принадлежать еще члены ,
не произходящіе ошЪ оныхЪ данныхЪ, но по обстоятельствамъ
варіаціи воше;цре. ВЬ прочемЪ членами вошедшими, не зави-
сиио отЪ бывшихъ членовЪ вЪ функціи у, считать должно тѣ
только , кои изображаются чрезі? такія функціи или степени
величины х, какихЬ вЬ функціи у не было; иначе измѣненіе
функціи у, кромѣ измѣненія ея причиняемаго измѣненіемъ ве-
личины х, принадлежать будетЬ измѣненію однкхЪ только
коеффпціентовЬ.
Если по произшествіи сей вЪ величинѣ у варіаціи вели-
чина х будетЪ пошомЪ принимать н; выя измѣненія, то при
переходѣ величины у, показаннымЬ образомЪ очіЪ варіаціи из-
мѣнившейся , чрезЬ разныя состоянія оіпЪ измѣненія величины
х зависящія, іи. е. при переходѣ величины у, опредѣляемой
Ііб
онымЪ новымЪ закономъ зависимости отЪ величины х, чрезЪ
новыя состоянія , будетЪ она измѣняться только по измѣняе-
мости величины х и ея варіаціи, величины же а Ъ, С равно
какЪ и ихЪ варіаціи Са, ёЬ, ёс оставаться будупіЬ для всѣхЪ
величинъ х тѣ же; а по сему чрезЪ сіи новыя измѣненія вели-
чины х получаться будутЪ разности оной варіаціи величины
у, но не варіаціи варіацій ея.
Если бы вЪ оной величинѣ у измѣнилась только величина
X, но постоянныя величины остались тѣ же, и никакихЪ по-
стороннихъ членовЪ вЪ опредѣленіе ея не вошло, то, какЪ бы
оное измѣненіе величинъ! х ни названо было, всегда бы вЪ семЪ
случаѣ получилась только разность величины у, но не ва-
ріація ея.
§ 89.
Если величина V будетЪ функція двухЪ или яиогихЪ
измѣняемыхъ величинъ х, у, 2 и проч. т. е. Ѵ~0(х. у 2...,),
іпо при предположеніи величинЬ х, у, 2 и проч. между собою
независимыми, варіація вЪ величинѣ V послѣдовать можепіЪ и
безЪ измѣненія постоянныхъ величинъ, и бе-зЪ прибавленія
вновь членовЪ , коихЪ преж іе не было , но чрезЪ о іно только
произвольное измѣненіе оныхЪ независимыхъ величинъ х, у, 2
и проч, которое однакожЪ разниться будетЪ отЪ ди Ьференціи
величины V. Дабы сіе понять, надлежитъ вообразить изЪ
всѣхЪ возможныхъ зависимостей между величинами х, у, 2 и
проч. какую либо одну, т. е, вообразить для величинѣ у, 2
и проч. какія либо функціи величины х , и пспюмЪ предста-
вить сію зависимость какимЪ либо образомЪ измѣнившеюся ,
т е. представить оныя функціи х, выражающія величины у,
г и проч., измѣнившимися; тогда той же величинѣ х соотвѣт-
ствовать будутЪ друіі’е величины у, 2 и проч. нежели по за-
кону оной первой зависимости, а по сему онѣ примутЪ нѣко-
торыя варіаціи, производящія варіаціи и вЪ величинѣ V. Для
полученія полной вЪ семЪ случаѣ варіаціи величины V дается
и величинѣ х какая либо варіація, разнящаяся или нѣпіЪ отЪ
Дх, вЪ ксторомЪ случаѣ , хотя бы варіація величины х не
1X7
разнилась опіЪ ея дифференцій Лх , но -варіаціи величинъ у, Ъ
и проч. будутЪ уже разнишься отЪ дифференцій ихЪ. 11
легло видно, что в'Ь семЪ случаѣ по измѣненіи величинъ х у,
г и проч. вЪ х І-Гх, у-]-Су. г-д-іог и проч. функція V обра-
тится вЪ V СѴ '^.ф'х і- Сх у -}- Су, г -Ьёг...) а посему
будетЪ СѴ~ф(х-\-Сх. у~ѵСу, г-^-ёг и проч.)-@(х, у, г...};
то есть вЪ семр случаѣ изображеніе варіаціи величины V бу-
дстЪ точно такова же, какЬ и изображеніе разности ея, толь-
ко что мѣсто знаковЪ разности засиіупяшЪ знаки варіац/и и
понятіе измѣнится. И такЪ вЪ семЬ случаѣ существенная
разность варіацій отЪ дифференцій сосгаоиіпЬ вЪ темѣ , что
когда для у, г и проч. вюбразилЪ какія либо, ьЪ прочемЪ не-
опредѣленныя, функціи величины х ; то при происхожденіи
дифференцій сЪ измѣненіемъ величины х оныя функціи не
измѣняются, а измѣняется только вЪ нихЪ величина х ихЪ
производящая, пі. е. если на пр. будеиіЪ у^.фх, то во время,
прой іхож ;енія разности при перемѣнѣ х вЬ л/ буцеінЪ у/^.фх,~,
но при произхожденіи варіацій сперва самыя функцій величины
х, изображающія величины у, 2 и проч. измѣняются . іп. е.
на пр. величину у не выражаешЬ уже болѣе функція фх ~ но
другая функція ф'х, и когда х измѣнится вЪ х7, тогда у' не
будетЪ болѣе ~ $х, н> равняться будетЪ ф'х, сея величины
X , а слѣдовательно вар>ація Су^-ф'х, —фх не будеиіЪ одина-
кова сЪ дифференціего Ду“$х/—фх,, холія бы величины X/ и
Xх были одинаковы.
ВЪ прочемЪ могутЪ вЪ функціи V и постоянныя величи-
ны трактованы быть измѣнившимися, равно какЬ и прибавив-
шимися кЬ ней какія либо члены, коихЪ вЪ ней прежде не
было. ТакичЪ образомЪ, если назначашся измѣняемыя величи-
ны вЪ функціи V для большей удобности буквами х , Xх, хх/
и проч., постоянныя же величины бѵкьамч а, а7. а" и проч. и
употребится знакЪ У для означенія суммы подобныхъ членовЪ»
іго полная варіація величины V будетЪ
6Ѵ = З.М&с 4- Х.М^а
+ І.ХбХьх7 4-
Іі8 е==в
4.Х 0§х&^/'&с'" -Н ....
4-2-К;
разумѣя чрезЪ 1 К лумму членовЪ вошедіпихЪ вновь вЪ функцію У.
И здѣсь равномѣрно при дальнѣйшихъ измѣненіяхъ вели*
чинЪ х, у, з и проч., предполаіая, чпю оной новой законѣ за-
висимости величины, V опіЪ сихЪ измѣняемыхъ величинѣ и но*
выхЪ постоянныхъ величинѣ осйіавілпься будеігЪ піотЪ же,
трактованы быть должны измѣняемыми только величины х у,
г и проч. и ихЪ -варіаціи, величины же л, У, а' и проч. равно
какЪ и ихЪ варіаціи |°а, йг7. ^а"' и проч. постоянными; чрезЪ
что Лѵлучашьсд будутЪ разности варіаціи 6Ѵ-
$ ;о.
ВЪ проче«Ъ если разсматриваемо будетЪ, -что вЪ функціи
V первоначально предп ложенная , ві прочемЪ неопредѣленная ,
зависимость между величинами х , х7, х' и проч. равно какЪ
и постоянныя величины іі, а! а!' и проч. прниявЪ оное первое
измѣненіе, продолжакшЪ принимать измѣненія далѣе , іпо ошЪ
сего получаться будутЪ влріаціи величинѣ х Xх хѵ и проч.
равно какЪ каіЪ и величинъ .а, а', а1 и проч. разной степени,
а п -ему и величина У принимать будетЪ варіаціи разной
степени. ЧшожЪ принадлежитъ до способа нзх жденія сихЪ
варіацій то онѣ, какЪ легко видно, долженЪ быть совершенно
одинаковъ со способомъ нахожденія разностей разной степени
величины V, только что имѣть должно во вниманіи, какія
величины вѣ функціи V предполагаются при семѣ измѣняющи-
мися.. ВЪ прочемЬ сіи варіаціи величины V будутЪ совершенно
различны оПіЬ размоете»-; коси рое различіе дабы сдѣлать чув-
співшпел'н е, с^образимЪ, что при п едположеніи какой нибудь
вЪ нрочечЪ неопредѣленной зависимости между величинами х,
у г и пр ч сіи величины х, у X и проч. не нарушая пред-
положенной ихѣ зависимости, будутЪ измѣняться вЪ х|Дх,
119
у+Лу, лЦ-Дг и проч. потомъ вЪ х4-2Ля Ч-ДЛх, у+--Лу~ ьллу,
г}- Да4-ДДг и пруч., и такЪ далѣе, и величина V «риннмаіць
будешь ч^езЬ іпо состоянія V, V', \ ", У'" и проч. то раз-
ности сихЪ состояній доставятъ измѣненія величины V соб-
ственно рази ісіпями называемыя. ПоложимЪ напротивъ, что
оная начально предположенная, вЪ прочемЪ неопредѣленная,
зависимость величинѣ х у, 2. и проч. равно какЪ и постоян-
ныя величины а. а'а' и прі ч. будупіЬ измѣняться, такЪ
что по порядку еихЪ зависни сшей будутЪ оныя величины
обращаться вЪ х + &х, у 4- Су г4-& «і проч. а . Ѣа а 4&а',,
д//4-?а//й проч- потомъ х 4- 2 Сх 4- і?ох, у -Н сБ’у -ь ё?у ,
2 Р2Йг-}-^2 и проч. а-4- 2 Са 4- 66а , а' 4- ѵ&а -}- ,
а/х4“ -Са" ~}т и проч». и такЪ далѣе, отЪ чего величина У
принимать будетЪ состояніе V, V. ІУ, и проч. то разно-
сти сихЪ состояній доставятъ измѣненія величины V, кои
будутЪ собственно ея варіаціи, кои существенно ра чество-
вать бу іушЪ огпЪ оныхЪ разностей; ибо хотя бьг йы положи-
ли, что будетЪ С.Г”Лх, г?&с~ДЛХ' и такЪ далѣе; но по
причинѣ измѣнившихся функцій величины х выражающихЪ
величины у 5 и проч. не будешЪ болѣе ^у±ЕЛу, &?у~ЛДу
к проч. ~АЛУ и проч- и такЪ далѣе.. КакимЬже
образомЪ разности разныхЬ степеней величины V изЪ оныхЪ
ея состояній V, Vх, Ѵ/л, Ѵ/Х/ и про г. равно и варіаціи разныхЪ
сг- опеней сея величины V изЪ оныхЪ ся состояній V, 17, у
ІУ' и проч. раждаться будутЪ, то явствуешь изЪ § 49..
9д..
Когда величина V есть функція многихЪ измѣняемыхъ вс~
АИчинЬ х. у. 2 и проч. ш. е. V — ф(х у\ 2...), то м жепіЪ
ві величинѣ У послѣдовать варіація, когда между величинами
х, у. 2. и проч и н ікакоіо не послѣдуетъ измѣненія вЪ зако-
нѣ зависимости,, при гпомЪ и самзя величина ихЬ останется
олна и та же; и сіе произойти можетЪ вЪ томЪ случаѣ, когда
функція сихЪ величинъ, выражающая величину V, измѣнится,,
ш. е. Кохда не бу детЬ болѣе Ѵ~^(.ѵ, у, г...) но Vх— (X, у,
120
«... ); ибо тп^тда между V7 и V будетЪ какое нибудь разли-
чіе, коШ 'рое и будетЪ величины V віріація.
$ 92.
ВообразимЪ теперь: і-е, что величина V» при какой ни-
будь, вЪ прпчемЪ нео ір'едѣленн-й зависимости между ве тчи-
нами х, у. 2 и проч. сЪ возрастаніемъ сихЪ величинъ ііринич
мала состоянія V, V', Ѵ//, Ѵ/// и проч; 2 е что оная величи-
на V отЪ измѣнившейся зависни <сіпи между* величинами х, у,
X и пр іч. обратилась во 17, и потому удерживая сію новую
зависимость между величинами х. у, 2 и пр ч. сЪ возрастані-
емъ ихЪ переходила «резЪ с.осіпояніі II, V,, и проч. пю
бѵдетЬ V7—V " Д V , Ѵ/хи ир< ч.; нанр пликЪ
Ег-ѵ=геѵ, и,—ѵ'-да р^-Ѵ'—да и прсч.; но и
—ДІІ, Цу— ІУ-ДЦ, и проч.
ИзЪ сего слѣдуешЪ. что будетЪ СлѴ — V) ~ 6Ѵ'
—€Ѵ (ІЛ-Ѵ') — (V—V) = (Ц—Ѵ) = дѴ лѴ
— Д^Ѵ —V) ~ Л?Ѵ. Гакимзже образомЪ Гдѵг/~С(^//— Vх)
= ^"~еѴ' = V -Ѵ")-[Ѵ ѵх) (Ѵ"-\У)
~ ДЦ, — М ' — Л и,— V') ~ деѵх ; потомъ ёлV" — &Ѵ",
и такЪ далѣе.
Уравненіе ^_,Ѵ'~дёѴ7/ іоставч гетЪ С ЛѴ4 ДѴѴ)~ДІ?(Ѵ 4ДѴ)
— А СѴ -+- БлѴ) , или С \Ѵ 4- \Ѵ — Д&Ѵ "4“ ЛёдѴ ; а какЬ
ёдѴ~д?Л по сему САДУ — А§\Ѵ ; при ш >г-Ъ , поелику
С’дѴг~АёУ. будетЪ также ІоД^V—ДЛІэѴ- Слѣдованіекьно всегда
С\Д V — лЬдѴ — ДДСѴ-
ТакимЬ же образомЪ иЛ> снесенія уравненій І?ДѴ/х — ДьѴ^
найдется &Д3 V ~ Д5ЛДѴ — ААоДѴ _А3!эѴ. И шакЪ далѣе;
и вообще
сдгѵ- дедп -’Ѵ — Д2едв~ гѵ.... = диеѵ.
§ 93.
Положивъ, что дѴ~8, разумѣя чрезЪ 8 разностную
функцію величинѣ х, у, 2 и проч. получимЪ сЪ одной сторо-
І2Х
ны Ѵ^Т.5 и сЪ другой стороны ёДѵ “?8, или,
поелику по предЪидущему параграфу СДѴ Д^Ѵ, Д?Ѵ г± б°8 ;
взявши же сЪ сбѣи*Ъ сторс нЪ интегралы, СЛгЕСЗ. ИзЪ сне-
сенія же сихЪ ддухь изображеній 'варіаціи &Ѵ ПолучимЪ ь 2 8
=:2.С8.
Сіи суть главныя, и наиболѣе употребительныя, свойства
варіацій вообще разсматриваемыхъ,
СТАТЬЯ ШЕСТАЯ
О лреділахЪ разностныхъ содержаніи^ и лр&ізходялнхЪ
отЪ того дифференціалахъ функціи.
I. Общія лонятія о дифференціалахъ.
§ 9+
ВЪ параграфѣ бу видѣли мы , что если величина у есть
функція какой лчбо измѣняем й величины к, тіо разность ея
ду имѣегпЪ всегда однимЪ изЪ своихЪ множителей величину дх,
такЪ чдіо при положеніи Дх — о и при величинѣ х неопредѣ-
ленной, вся «функція Ду обращается вЪ нуль ; слѣдовательно
величина Ду, изображенная чрезЪ РДх , бываетъ всегда такого
свойства, что при Д.Г~ о, и при величинѣ х неопредѣленной
о ’
величина Р не обращается вЪ а по сему ие имѣегіЪ ни
зЪ одномЪ изЪ свэихЪ членовЪ знаменателя имѣющаго множи-
телемъ дх ИзЪ сего слѣдутЪ, что если вЪ разностномъ со-
держаніи ~ Р, педставиыЪ Дх — о (вЪ которомЪ случаѣ
и Ду, какъ выше упомянуто, обратится вЪ нуль , и если при
семь величина Р обратится вЪ X, то вЪ семЪ содержаніи
— X величина X будетЪ опредѣленная функція зеличинь
х и постоянныхъ, не содержащая ьЪ себб Дх. Сія величина
X, вЪ кснпорѵго величина Р, изображающая разностное содер-
Частъ III. зб
122
ду . -
кані'е г обращается при дхгг'1, называется лрсділодіб сего
содержанія \ поелику велич .на Р сЪ уменьшеніемъ Дх ошЪ
ча..у кЪ сей величинѣ X приближается , и не прежде вЪ оную
обращается, какЪ когда Дх совсемЪ изчезнетЪ,
Ду __ -ѴГ
Если изЪ сего предѣла содержанія — л произведимЬ
уравненіе Ду~ХДХ, шо вЪ ономЪ величина Дх называется
днфферен^іллолі^ величины х, и величина ду или Хдх Дг. ф
. , &У , г
ференцгл юліо величины у; содера.ачіе же — или X называется
тогда дкфференидадіНѣіліЪ ^одержанісліб величинѣ х и у.
Но для различія сихЪ дпфференц аловЬ опГЬ разностей уно-
иіребляе пся уже вмѣсто Греческой буквы Д Латинская Э, и
пишется —— X или ХЭЛ
$ 9с*
Таково вЪ точнѣйшемъ разумѣ дифференціальное содержа-
віе или X; но какЪ при семЪ дифференціалы Эу и Эх ка
ждой |ивенЪ нулю, что впр чемЪ ни мало не мѣшаетЪ (какЪ
вы вЪ 5 >3МЪ ° свойствѣ функцій кйдѣЛВ’) содержанію ихЪ
быть измѣримому; то для большей удобности понятія о
сечЬ содержаніи, а по тому и обЪ оныхЪ дифференціалахъ
, Эх и Эу , воображаютЬ сіи величины вмѣсто истинныкЬ ну-
лей только неизмѣримо малыми; вводящіе же при семЪ вЪ пр. -
изведеніи содержанія Р члены,* имѣющіе своимЪ множителемъ
Эх или какую либо его степень, какЪ неизмѣримо предЪ прэ-
Чими малые, вЪ обпіемЪ счетѣ за ничто вмѣняются, и берут-
ся во вниманіе только гпѣ члены, кои производятъ лсличи у X,
Составляющуюся чзЪ х и постоянныхъ величинъ. ТакимЪ
образомЪ пишушЪ Эу — (^) ?Т , гдѣ подЪ содержаніемъ ( ,)
разумѣется оное содержаніе X, чрезЪ разЪисканіе предѣла со-
держанія вЪ смыслѣ предЪидущаго параграфа получаемое ; ве-
личина же Эх, помножаемая на сіе содержаніе, вообр^жаегасл
«еизкѣрчро малою.
іао
$ 96.
Если величина V буде.пЪ функція многихЪ измѣняемыхъ
и между сабою независимыхъ величинъ х> у, г и проч., шо
при семЪ случай можно величины у, г и проч. трактовать
какЪ неопредѣленныя функціи величины х; ибо если леопредѣ*
ляешся, какая именно функція величины X каждая изЬ оныхЬ
величинъ у, г и проч., шо сіе выйдешЪ на по же, какЬ бы сіи
величины у, г и проч. были отЪ х и между собою независи-
мы. Тогда если вЪ изображеніи разности Д V, доставляемомъ
§ ^5, подстявимЪ по $ 6 7 вмѣсто ду, Дг и проч. величины
и иР<^‘ » шо - изображеніе разности дѴ обра-
ти іи ся вЪ
ДѴ=(‘рДг+($ ®Аг+(^) ОДГЧ- ...
+С-ІЖ'А йг 4- і) (^А?+(^)О («) ДіЧ-—
+ СЬ) © + • • •
I
и содержаніе д- будетЪ
ПоложичЪ теперьДх~о, шо во іхЪ по параграфу 67- привели*
. г - /дѴ\
чинѣ х неопредѣленной, величины (ДхЛ \д ,» Ідг' • • • »
(дх)> (дх) • » . • не обратятся вЪ безконечныя; слѣдова-
/ДАѴ\ /йдѴі /ДДѴ\
тельно по шои> параграфу и величины (ДхдрД^Хі)Ад^-’
ла потомЪ и Сді^д^) - и проч. ни одна не обратится вЪ без-
конечную. Во 2хЪ величины Ду. дг и проч. изображаемыя чоезЪ
и проч. каждая обратится вЪ нуль. И шакЪ
»6 «
124 —— — = =
оредѣлЪ содержанія будетЪ —
и чрезЪ помноженіе на Эх но кучишѵя дифференціалъ
ЭѴ =. (^)Зх 4- (") Ъу + + ...; Гбо
(дх) ~ * и ПР04’
И Дифференціалы первой степени алгебраисескихЬ
функцій одной нзліѣняеліой великаны
. і К. .Л , ~ >
г § 97-
ЬЬ § 57, выѣдено, что положивъ у^а.Ѵп4-&, содержаніе
__ ліі-гП~ Ѵг 1 (п~12 ** I О-0(д —АХ= і
. — Сл/ІчЛ I II “I а Ч а л I а • • « I «
Ах \ 1 і . « X 1 1.2.3 X? ' *
по сеиу положивъ, для разЪисканія предѣла содержанія, Дх_го,
получиліЪ пп апх11 *, и дупппах' Эх\
По сему если уппах3-уЪ, то ?у — даххРх-; если
, • » ,х , - — ' ч„______дхт'а __ п т
у~Ѵах~а?х\ то ау~^г2 х "о.г—-;1Л> если уппіа-уХ
т т—п
-^-Ъппах -}-6л то Эу — п дх, шакЪ что когда іп~п~]-к
Эу —,сдхух\ когда же ППНт-^к; Эу пп ТакимЪ же
‘ ^п/х
обпазомЬ найдутся дчфференпгаль’ и сложныхъ величинъ;
на пр. если у~аХ2-^су/Х-|-- 4-^.-+-^ или у ппахг -4- Ъх3
4-сх— Ч- » т° ду — 2 ахдх -ф- Здх — сх~^дх
-іГх-^г,
5 9&«
;л
ВЪ § 58 выведено, что положивъ уг^Х’*, разумѣя чрезЪ
X какую либо функцію величины X, — пХ”—
2) ДХ- V ___
3” » »~-І ’ хл“» ' ’ * ѵ> по С€ВУ положивъ &хппог вЪ ко-
1Д5
гпоромЪ случаи, по $ 67, будетЪ и ДХзго; получимЪ
Й — „х“-, „ Эу — ПХ"-'ЙХ.
Если на пр. у^:(йХ4 Ъ)п, гдѣ Х~ах4~Ь, пто поелику
ЭХ~пЭх, будетЪ ду~па(ах-}- Ь п—’?ѵ; если у~т/к2ах —хх)
~ (яах— гт , то Эу_ * (оах — хх)э д(яах — хх)
= > Рсли > — ;----------г- а (г 4- хх; . то
У(і -4- хх]
Эу =г. — \ а 1 у 4- хх)~ ’ Э( і 4- хх) _ гдхЭхд.
зС' 4-я’)3
§ 97-
ВЪ § 5?, видѣли мы, что если шо Ду — О^Р
-І-РД9 }--А1 ІГоложиеЪ теперь, что Риф суть фѵш піи
- ДУ п аР » гу Д9 . ДР Д° л
величины х, получьмЪ —— 4~ * ~і-------. — 4Д.1 ,
гдѣ, при дх~э и при величинѣ х неопредѣленной , содержанія-
Д₽ д<2_ с , с „
- и дх не обращаются ьЪ безконечныя. Положимъ дѣйства
іпглыіо Лл'_1_о, и получится или Эу-ОЭГ+РЭО.
Если на пр. у~ (ах Ъ 5)т(/х і &то будетЪ ду-
пі ( {х 4 " (ах + Ъ)т~ 1 д(ах -+- Ь 4 п(ах4-#)т (/х 4-^)п ~ 1
Э(/х ^§)—ат(^х-У-§)к(ах^-ЪЛ" *дх-Ѵ^п(ах-г Ь/Ѵ/х-І-#/1-’Эд-
—(ах -+- ~*0х г §п~У (ат 'х -Ь 4- )п( ах-+-Ъу)дх. Если
— х ("а + ~ ’» 11,0 ду -=х (аа 4- хл?)“ 3 Э х
— х.тдг (аа 4- гл] ’ (па -}- хг — хх) Эх («а 4- х\г)“ 3
_ ааох
3*
(а« Ч- хх)5
§ 100.
, х __Р А. с>аГ—рд<2
вЪ (\ о о видѣли мы, чаю если у—то Хл/ПГ——-
(і — ^4 4“ 4~ ' • • •)- Положивъ теперь, что
Р и суть функціи величины X получимЪ
Дх
АХ
• ')> гдѣ пра Дл.~,о, и при величинѣ
I 26
Д₽ ДО
х неопредѣленной, содержанія -- и дж не обратятся вЪ без-
конечныя. ПоложимЪ дѣйствительно Дх~о, шс цолучишсл
О3?___________рэ&
*> '^ох -дг -ч ___________О.ЭР — РЙ5І
Эх --- » и / — о о
II, пр. если П.Г Ъу
-- ідх—/( <х-уЬ,дх _ РЧ/х-4 — /ах-і-іУ)дх __ (а% — /Ь)дх
(/* г Я)2
ххдх
V' < а
Ѵ(«а хх)
—какЬ
$ Г^а~
то Э/ —
и вЪ пре дЪиду гаемЪ параграфѣ най іенс.
У -— У (а—х)ч—У(пч.г)
, то ду=Л‘-^- ——’
’ * а — х
адх
е(і—х)У(аа— хх) Да— х) У(аа— хх,
вЬ предЪчдуціііхЬ дв\хо параграфахъ величины
Р и іі’ракіпованы были какЪ функціи одні й іп<-ль‘О величи
ны х; но оныя изображенія дифференціаловъ величпаЪ Г<2 и
р
п равномѣрно приііа глежапіЪ и кЪ йюму случаю, когда сіи
величины Р и '2 б "углЪ функціи многихЬ независимыхъ измѣ-
няемыхъ велнчинЪ х у 2> и проч.; ибо тогда можно величи-
ны у г и проч. разсматрявапіь какЪ неопредѣленныя функціи
величины х, чре-Ъ что и «елг.чины Р и обратятся вЪ не-
елредѣленныя функціи величины X, кЪ ковмЪ сказанное вЬ
ЛрсдЪидущикЪ двухЪ параграфахъ приложишь будетЪ можно.
III. Ди^.ференіііа^ы екслонениі^-^-'нъіх?;, логариѳліпіе-
скихЪ н трніоноліепірлп’СК^іхЪ фірнкиііі одноіі излііілвуиэіе
белхгяны.
ВЬ § «г ги цѣли мы, «то если у ~ ах , то — СІ 1.0.
^х? а . д \
"і~~7 • па сему положивъ Дх “ о , по-
127
лучйчЪ хз. а*/.а, и Эу — аЧ.адх. Если количество а
есть основаніе иперболическихЪ логариемовЪ, шо 2а~і , и
&у — ахЭх.
Если угза*.ѵп, то по § 99, СудепіЪ Э/~ а*Э(х”)-^-
х"Э(ах) ” паххп~'дх Ч- хпахдх1.а — аххп~'-';і 4- х!.а)дт.
ИрИ семЬ замѣтить должно, что вЪ бныхЪ функг- яЬ
величина X можетЪ сама разсматриваема быть какЪ фуикціж
другой какой либо измѣняемой величины.
§ 102
ВЪ § 62 видѣли мы, что если у~1о§. X, разумѣя подТг
X какую нибудѴ функцію величины г, и логариѳмы нисрСоли-
_______________ ’і. АХ . ах* \ п т.
ческ«е, то дХ —- 1-----;х -ф- зХ? — .. Положимъ те-
перь, что ЛХ'“о, вЪ котором’Ь случаѣ будетЪ и дХ“>, то
и 'лучимЪ и ")у _ Если будетЪ у — ІО^. Ь\
І0&. Ь -ф- /ой- X, то будетЪ также и
какЪ 6) дню бы множитель & былЪ равенЪ единицѣ.
Если па пр. у-ІО^.Х,, то если }~1^ (Дф-Ьх),
е«* У—х),
ШО если у- /о^.(х^У(хг—аа)),
Зх- г -7 ————
_ * 1 (хх —аа) _ (х-4-ѵ'іхх—аа))дх __ дх
•У яН -Ѵ(хх—аіяЗ (х-і-^хх—иа}^/(х*—аа) /(хх —-а а)*
§ »03-
ВЪ 5 63 №о г видѣли мы, что ежели у — іІП. X 3 то
— СОІ. г(і — ^хіап^.х — -2 - Дхг -}- ...), по сему
, . ________ : , _ Зу
положивъ Дх___о, при х неопредѣленномъ, получимЪ илш
д.сіп X _ -ч .
- — — €0і. Ху л изъ сего оу и \и отсс^ х
ИзЪ уравненія же ду^гЭ.ѵсоях получится д&—Б '
ду ‘
яо сему дифференціальная функція у~выражаетЪ диф
фсренціалЪ дуги, коея синусЪ есть у.
Если же У — СО 8. X , то — — 8ІП. X (і Ц- — Дх
41* ѵ 1.2
СОІ.Х—7~Г~ —*' •)* по С€МУ положивъ Дх~ о получимЪ
или -8ІП.Х, и Эу или Э.С08.Х ” — дгЛ’П.Х.
Послѣднее уравненіе доставляетъ Эх—— —г — ^,
Эу
слѣдовательно диф.ференц'іалыгая функція —Зт) ’ БЫРа-
жаегііЪ дифференціалъ дуги, коея косииусЪ у.
Если у— а йп. х2, то ду — 2«дхг:/ххсо^.х=:рдХдГП.2х,
а >. ___ —«д.уіп-х —адхсоу.х
е’ли у——, то у __ ; если
___ а 5.а. х ___ д(й-ссо5.х(і—соі х)—дхуіп х2) д(і—зег.х)Эх
У 1 -----ХЭ5.»' ІП0 (і -- С0$. Х)‘ (і -- Свѵ. X)*
--- <’с)х I ' ’Ч ____дх СШ. X -і ,
—і—еоТ^» еслн у—ІО§.М«.Т, то оу ———Эхсо^х;
-ели у — /о§. х)“ к)€-(і — м* х),
л дх соз. х . дх соз. х ____ дх соз. х( і -г- «п.х-4- і — $іц х)
ШО (у1** - -—- ; — - ~~ •=
7 і-Ь-яп.х ’ і------ЯП. X I---- ЯП. X2
з$х соз. х ___ адх
---------------------1 если
С9І.Х2 СОЗ. X’
—-|о^.(14-соб',х), то ду
у — Іо%:~— ІОё.(1 — СО^.х)
дх пп х , дх ;іп- х_____адхи'п.х____гдх
і—С05.Я • і-Ь₽05.» »к- х2 ип.х*
§ Ю-Р
ВЪ гаомЪ же § 6 ч. Ко з, видѣли мы, что если у~іап§ х,
ню —^сс.х2(1 -У Дхіан^. х -Н (| Ч- ^ал&хг)Дх24- . .
ііа сему пеложив^ Лх — о при х неопредѣленномъ исЛучимЪ
~ — 8СС. X2 и ду — дх 88С. X2. ИзЪ ерго послѣдняго ура-
л ____________________ ду ____ ду
Енеиія каидеіпся ОХ — - , — т-^,з слѣдовательно диффе-
АгС X 1'1 У У * *
ду р:
ренціальная функція ТЧ-у? выражаегпЪ Ді’фференціалЪ дуги,
коря тангенсЬ у.
129
Ег \и у — соі х, шо ' “ —г созес. х2( і — Д г соі. х
Ч- -ф СОІ. г2)Дх2 — • • •) 5 по сему положивъ Дх'~о Полу-
нинѣ — — созгс. хі, и ?/ “ — дх созес. х\
ИзЪ ееГожс. послѣдняю уравненія найдется дх~с0!е^л—~7^'»
, I г 'Ъ' т
слѣдовательно дифференціальная функція —- выражаете
дифференціалъ дуіи, коея коіи-ангепси у.
„ -1 -+- ІЛИ^. X
Если на пр. У-—[а,^
__, Зх сес. х2_ ~дх
~"(і—ЙПІ& X}2 1--«НІ. ах* если
7 (і—іа ,л)2
у=1с&іап& 1$, то
О X __ ох ___ ох ___ 1
~ --.—е,------,~а — — —,-------Г- — -.----; если у — Іэе.соі. Іг
АХС05.-Х2, ЛЗІП. 1 X СОІ. Кх ИП- X * -
~~ — 1°& 'г> ШО ду ~— ^~г Когда X ~ Іу — 2
)г.
и у~-іД гао ОѴ—^$г; а когда 4-2
* .. “ Эг ЛО
И у ~ І0& іап^ + ЫО ду~ со/~.
.§ 105.
г
ЬЪ шоѵЪ же 63 параграфѣ Гчо 3 видѣли мы, что если
у — зес. х , п?о ~ зес. х -4- (з ~Ь х2) Дх
*4 (| ІОИ^ X Іаіцг. Х3)Дг2 +“ • • посему при положеніи
Эл?
\х~о и при зс неопредѣленномъ, будетЪ — 5СС.Х Хл
и ду “ Эх зес. X іст^. X. ИзЪ сего же послѣдняго ураснс-
нія іииденіся^ е)х — -ісс х{хпу^ — слѣдователь™
диф(рерснціал4,ная фу ні.лія у Ѵ1~уу ~ 7)'’ озпачаешЪ дифферен-
ціалъ дл ги, коея секансЪ у. « і
Если У“ СО КС. X, то — СОЗЬС.Х(СОІ X—(І-+С0І.Х2)
ДгЧ- (^СОІ.х -усоі.Ц ’^Ду’-ф-. • •)> пе сему пол живЪ Ад-^го
Частъ III. іу
іЗо
получимЪ — — СО^С. X СОІ X, И Э}' — — с)г со$ес XСОІ.X.
ИзЪ сего уравненія получится напротивъ ЭХг
Эу ___
созес. лсзі- х
ду _ _
X-— ; 7277), слѣдовательно дифференціальная -фун.ціЯ
~~ ѵ'Су^ і) *СП1Ь ДИ(І ФереиціалЪ дугиі коея косскансЬ у.
Здѣсь надлежитъ сдѣлать’" замѣчаніе на всѣ три прНЪи-
дущіе параграфы, что если вЪ уравненіяхъ Эг гх —*
(| 103), 104), 105),
положится хфл вмѣсто х, то сіи уравненія не і змѣняшо».
По се-іу оныя выраженія іифференціала Эх йудуыЪ равно ~й
выраженія дифференціала 9(х-|-я), ш. е. дифференціала дуги
X увеличенной произвольною величиною.
т1 _ • — X Л>
III,. О дифференціалахъ второй и въісшпх'б степеней
одной измѣняемой велисиньи-
§ > юб.
Зная теперь, какЪ каждой алгебраической Функціи и упо--
птребишельнѣйшихЪ трансцендентныхъ функцій у оміѵйизмѣ-
няеиі й величины х найти дифференціалъ, первой степени,,
легко можемЪ разЬигкапіь и ея дифференуіа чЪ" второй степени;
ибо сей послѣдній дифференц’алЪ есть дифференціалъ первой
степени онаго дифференц-ала. Но для сего вЪ кажд мЪ слу-
чаѣ надлежитъ прежде взять во вниманіе, какЪ дифференціалъ
Ух величины х разсматривать должно, постояннымъ или измѣ-
няемымъ.
Дифференціалъ Эх. можепіЪ- быть разсматриваемъ посто-
яннымъ во всѣхі тѣхЪ случаяхъ, когда величина х, будучи
непрерывная, каковы здѣсь вообще . разсматриваются , не есть-
сама функція какой либо измѣняемой величины; ибо тогда
* отЪ нашего произволенія зависѣть будетЪ, какой дашь об[азЪ
измѣненія величинѣ х. при переходѣ цвЪ одног состоянія вЪ
другое, ш. с. предположишь ли ее принимающею одинакія кзмѣ~-
1 01
Кенія или разныя; а слѣдовательно вЬ нашей волѣ будетЪ по-
ложишь измѣненія всегда равными.
Если же величина ~х будемЪ сама функція другой измѣ-
ИЛем .й величины С, и ііредп сложены будутЪ нзіуѣнеіия сея по-
слѣдней величины постоянны ии , іио соотвѣтственныя измѣ-
иіыя еЪ велкчн.чѣ х постоянными вообще разсматриваемы
быть не могуінЪ, ибо онѣ зависимы не только отЪ измѣненія
величины і, ни и і іпЪ самой сея величины, которая будучи
измѣняема причинять будетЪ и вЪ измѣненіяхъ величины х
разность; выключая шопо случай , когда величина X будешЬ
алгебраическая пѣлся и раціональная функція первой степени
величины к. СовсемЪ другое дѣло, если измѣненія величинъ к
не предположены будушЬ иост >янными ; тогда величинѣ х
можно дать измѣненія постоянныя, и уже опій сея величины
и ея измѣненій зависимы <6удуійЪ измѣненія величннЪ ка.Ъ к
такЪ и / । ,
ВЪ ппочемЪ во многихЪ случаяхЪ, хотя и можно тракто-
вать какую либо величину принимающею постоянныя нзмі не-
нія. полезнѣе. одпакожЬ бываешЪ шракиіовліпь ес приним ныцею
измѣненія разныя, дабы послѣ дать постоянность измѣн н<й
жюй величинѣ чрезЪ пос поянносгпь измѣненій коея выклад-
ка облегчиться, или сведена быть можешЪ на извѣстныя
правила.
Когда дифференціалъ второй степени какой либо функціи
у измѣняемой величины х найдемЬ , то дифференціалѣ его ,
трактуя вЪ немЪ измѣняемыми игѣ величины, кои таковыми
шр.нт вать слѣду сто, досніавіцпЬ <я дифференціалъ третьей
степени. И шдкЪ далѣе.
$ 107.
ПоложимЪ ілепгрь, что функція у~Х доставило диффе-
ренціалъ первой ст пени Эу ~ Х/дх, г ѵі по 94 будетЪ Хл
функція одной только величины х безЪ Ух. Трактуя вЪ семЪ
дифференціалѣ какЬ х такЪ и Эх величинами измѣняемыми
получимЪ по § 99, ЭЭ^Ѵ'™ ) Эхг- Х/ЭЭх } и если вели-
ЭХ' А -к »
чину ^3.3 г опирая будешЪ функція одной величины х, наьна-
і7 *
іЪ’-а
чимЪ чрезЪ Х?/ шо получимЪ ЭЭ у ~ X" ^хаХ'39х Траіѵ-
п.уя теперь величины х, Эк и Э?х измѣняемыми , по омочу
хе § 99, получимЪ Э3у — (Э^-) Эх3-|- 2Х' ЭхЭЭг-р'^г)
ЭхЭЭг + Х?Э3Х, или, назвавЪ буквою ХХ//, Э3у ХИ.. X /
Эх4 —|— 3 Хх/Эх ЭЭ X —|— XхЭ3Х. Трактуя теперь величины х.
Эх? ЭЭас и измѣняемыми, получимЪ Э'^'" — )Эс4ч-ЗХх,,<
Эх2ЭЭх+-.3(^х)Эх2ЭЭх -+- ЗХх/ЭЭх2 -4- ЗХх/ЭхЭ3х ч- (2)да3х.
Н-ХхЭ*х.і:Х1ѵЭх*-|-бХХххЭх®ЭЭх -Ь ЗХ/хЭЭх3 -Ь4Хх/ЭхЭ3х
*|-ХхЭ*Х. И такЪ далѣе. .
Если на пр. у~хп, то будетЪ Х'~тсп~~1, Х"~н^Л-—Сх*-е,
Х// ~ п(п — і) (п — 2) хЛ—3 и проч. по сему бѵдеіпЪ
Ъу — пх Эх , ЭЭу “ п (п — і) х Эх2 -ь пх 1 ЭЭх ,
Ъ3ухп(П- і) (п — 2)х'1“’Эх34-Зн(н — і)х'1~'2ЭхЭЭхЧ-ихп~,Э3хі(
Э1у—п(п—і)(п—2)(п—3) х* 4Эх44-б/фг—і)(п—2)х" 3
Эт2ЭЭх+Зп(/7
1) х" )хЭ3хч--пха ’Э*Х,
и такЪ далѣе. Если V—)/(2С1Х-—хх}, то Хх~іт^~~^ ,
у// _ 1 __ (а —ж)= (зах — хх) — (а — х7=
Ѵ(2СХ--XX) Д 3
(г^х -- хх}‘ [ІСХ -- ХХ;5 -
— са ___ Зоя 'п — х)
———- А ----------------------- и такЬ далѣе; но сему
(« — х) йЭх
(сах •— ха)?
•У Ѵ^ЗЯХ-------XX) }
_______ 3«а (а — х)дхЗ
д /- 4 -------------
(айх - хх}*
слиЕ ’ то
и такЪ далѣе ; по сему Эу “ П^Эх /. а , ЭЭу ЗС П^Эх2 I. О?
гэу = -= ^'~ -|
(а а х — хх '1
3<.аЭхЭЭх д (« — х)дЗх
,ах __ хх}і У(2их—хх)
и такЪ далѣе, -
?
-^ахЪЪх І.а, Ъ3у — ахдх31.а3-\~ За ЭхЭЭх I.а2~4~ ахЪ-х І.а .
зе піакЪ далѣе. Если
I
. х, то /
135
^=^3» И такъ далѣе; по сему( ду—₽э ^у-2-і- — }
аЭх? яЭхЗЭх . Э’л , А
Ууг^- -------х’- ’—х5’ и шакЪ даѵЬе* Если у~ып.х
то Xх—€0$.Х3 Х/л/—такЪ далѣе;
по сему Эу Эг СО5. Г, ЭЭ/ ~ — дх'іоІП. X 4* ЭЭхСОо. X,
Эх3со.р,х—ЗЭх ЭЭх^лі.Х 4- ^ХСОЗ.Х, И такЪ далѣе.
-ѵ» «*’ • ле *' '.*•' -'I "’ <’ **/*•♦-- ?и*
IV. Обш'е еирляіеніе функціи одной излііняелі^іі
ѵіінѣі\ когда сіл лос.ііднля лолціитЬ кзлгкрк^ое изліі-
нгніе
г, лэ
§ і&8.
> ° Ж 4
ВЪ § 50 видѣли мы, что если величина у*, слстггвляігщяв
функцію величины х, при послѣдовательномъ перехожденій ве-
Лэ) І А (о) « А
личины х чрезЪ состояніе X' ,л X' 4~ , X 4" 2/лХ ,
Х(о) ч- ЗДх и проч. принимать будетЪ состоянія \
ГА (3) *
У » У и проч. то вообще
и у(*9 во бще Ч| ез'Ь х и у, то будетЪ х(*'Ъ’’0_х(°)
де ~: х 4- т&х. Назначимъ потомЪ количество т&х чрезЪ і,
иго будетЪ /И и подставимЪ вЪ онрмЪ изображеніи вмѣ-
сто т. сію величину то величина уС-'-+-м), которую мы
изобразимъ чрезЪ У; будетЪ
Г1---)
,у Ду. V 1 ‘ ^.ау
т(т~— і) (и —
і . 2.3
Назначимъ величины х или х(.°)Ук&х
. К
ДХ
______г „__________________________*Дів-4-
* / дх*' і.а'дх3*' 1 і . с . з ах? * • ‘ ’
ПоложимЬ теперь Дх — о , оставляя какэю либо величиною
измѣримою, чрезЪ что количество п или — обратится *.Ь беж-
154
конечное, то, по § ^7. при семЪ и д₽лйчииы ду, дду, д3 -и
проч. кажіая обратится вЪ нуль, 'к чрезЪ то со іержаніх
Ау ДДѴ Аіу ' .
д-, дх^»- дха и ПР04- доставить предѣлы сі хЪ одержаній,
изображаемыя только чрезЪ функціи величины беЛ *\х , и
получится
ѵ . ду’ • . і ЭЭу •- . х йЗѵ .» ,
г — у Ч~ а і -4- -— . д-; :3 Ч---------. ч-' і3 Ч- . . . .
•> ' дх 1 і а дх- 1 1.3.3 дхі 1
і •
гдѣ величигч і оставаться будетЪ неопредѣленною. Сіе вы-
раженіе величины V или функціи ф(х4-,) чрезЪ у иля функ-
цію фх", приращеніе і величины х. и дифференціальныя содер-
жу дду ѵ . ~
нія и проч. называется 1 аилоровою или Іеилсровою
теоремою, поелику сіе выраженіе вывелЪ прежде -сѣхЪ Чііглиі?-
скій математикъ 2лйлорЪ или ТейлерЪ. Понятіе обЪ он мЪ
выраженіи выйдетъ нѣсколько проще, ежели величина лх вмѣ-
сто равной нулю, вообразится только нсиам6римо Л> разсу-
жденіи і малою, <вЪ которомЪ случаѣ ,яКакЪ вЪ косффиціент *хЪ
„ дх /, ДД ( аДхч Дх -дх
1 —- -р Ц Чу Д1----і ) м проч. дроби * . — И пр<>4.
пр?дЪ единицею, такЪ и члены содержаніе множителями свои-
хд-у А Ау дЗу
ми Дх вЪ функціяхъ Дх, Дд_2, Дхз и проч. предъ прочими
членами пр< пебрежены г>ышь могуші.
і • "•
Пусть на пр. будетЪ у~ хп и Т~/х4-і п, то будетЪ
2=«г-‘; і.)т’~2, §="('•-і)(п-2)г?”’ „ „р.ч.
По сему V или 1 Ч~ і) — X —р ИХ I -4~ —---------------
--»т)(п--т) п---3 ,
—г*— —X I которое изобр-жепіе сіпе-
пеней х -} і')п намЪ изЪ другихЪ осчованій извѣстно. Пусть
У — /о§. X и V — Іо^. (х’-Ь.і); то будетЪ ~х , ; х ——Д,
п ѵ» -- 1
__2 оИ> ________ _ 2 • 3 ХГ 1 ( I
-4 и ПР°4-» но ссм> ѵ или /ой- Iх <
— 1 -г- г — “ ТГ4 < • • ’ гошорое изобра-
*» . ' г — ' г . аэ п р п
жсяіс4'логарьема .количества х-| также изЪ друіихВ основаніи
155
*»звѣстио. Пу ешь у — О
или о.
Му
0^4
3 соЬ х . сохс. х2
л
X Л7 _____ *-»-• М * 1
и і ~ а то _< — а I. а,
,И О ..•!< > I «ж
й4у __ хі а и
— й /.а’, и проч., по сему к
ахІ’1.а® ахіЗІ. яЗ йжі’4?.л4 |
і . а ’ 1.2.3 *” і • а • 3 • 4 ' ’’
_ _ і • . і® іа®
или по раздѣленіи сѣ. обѣихъ сторонѣ на ах , й _1-ѢІ.ІЙ-4-,— ’
іЗІаі . і'41о4 ।
,~з-т- 1 „ 3"4 “+“.« которое изображеніе также изѣ другихЬ
гснлваяій нзчЬпіию. Ііусіпь еще"будеіпЪ у ~ 1о&. ііп. х , и
У ~ іор $т/х-+ іу, то булетѣ ч*—с°:~лсоі X, ~ СОі'СС.Х2',
< 4 ’ ос пп.х ’ Эха ’
‘ — 2Си$СС X2 СОІ.Х
ЛН
ѵ дхі) —
-Г . . г •
лѣе; по сему будепіЪ ІО{*.йп.(х + І)~ІО^іп.Х-і-іСоІ.Х—^Х1-
і і ' а Л < 6л
соісс х7н------есо8ес.х2со1:.х-----------іѴ 1-ъ Зсог.*х2)соуес.хг
-у -- - г- - { і5 соі. х.со/ес. х2(2 -у ЗсіЛ. (хс) — ..... , 7
и шагЪ да-
§
Хотя постепенное приближеніе разносшныхЪ содержін'і’й
длу Лі-у 5 .. х
дж* дх ’ дхГ и ПР04,. с® безпрестаннымо уменьшеніемъ сихЬ
і і г х - т. п
разностей кі> лвфЗ>еРеяИгальимы‘’ содержаніямъ &хі И
проч., покуда они не достигли са'маго предѣла содержаній,
соіірогожДаСіііСЯ. весьма яснымЪ понятіемъ; но самой предѣлЪ
ВЛ| л гЪ ра.ьдаеп 'Ь не^іноешь , причиняемую сравненіемъ двухЪ
всличивЪ, изЪ кѵііхЪ кажіая равна пулк. ТакймЪ же образомЪ
л вЪ нредЪи.Ѵ) щеми ( параіррфѣ при вывожденіи изображенія
іт । 1 дду •« , і Му-і.
в‘ЛИ-ІИНЫ У чревъ / 4- дхі -4 “ . I ~Ь 7^’ • дхз1 “Г- •
< ЯП » і " дх.
._< . ДТ. - ) д5у.а С1 “ѵХі
взЪ изображенія У+ЛА1І'1І/, -дх » Н----------------І~ГТ~.
д?у .«
^,3 I ~г~ • • » посредствомъ положенія Лхііо » встрѣтили МП
ЗАХ
т 56
неясность раздающуюся отЪ итого, что .полсжсвЪ с^пераа
пДдо~і, ра^уѵі я і величиною измѣримою, а осдпбмЪ уменьшая
безпрестанно лх,.. и увеличивая соразмѣрно тому число т,,
оставляли всегда туже величину для і, а нак иецЪ ц поло-
живъ Ддо~о оставили туже г ели чину количеству і; ибо хо-
тя до слмаго приближенія кЪ предѣлу р вещественность
е.наго выраженія т^х~і гес:,і?а ясна, но при самомЪ предѣлѣ
зіе по видимому показывало бы, что о взятый безконечное
число разЪ вожстЪ произвесть нЬчто измѣримое, что неясно.
Для. избѣжанія сихЪ неясностей Г-иЪ ЛагранжЪ вЪ сочи-
неніи своемЪ (ТЪёогіе сіэб Гог.сііспе апаіііідпее) предложилъ
^способъ употреблять вмѣсто дифференціальныхъ содержаній
прои-тводных функціи, коихЪ нахожденіе ошЪ раз-Ьискаіпя пре-
дѣла разцостныхЪ содержаній освобождено. Способъ «го со-
Ѵ’піоишЪ ьЪ слѣдующемъ. Доказавъ, что если величина у. со-
ставляющая какую либо функцію величины до, при измѣ
неніи х хЪ х ф- і измѣнится вЪ :гдо<р(л*4- і), то при до не-
опредѣленномъ изображеніе сея "функціи бываешь все-
гда ви<4 ф.Гф-Рі Ъ Оі2 4- Ві3 4-3/ ’ідѣ ве іичины
’Р, В. и проч. суть функціи одной только величины У
безЪ і (что дабы яснѣе видѣть упошребнлЬ онЪ вЪ просемЬ
шотЪ же меіподЪ предѣловъ) , называетъ онЪ величину Р нер-
^ою производною функціею величины у «чи ф.ѵ, коніорую изо-
бражаешь чрезЪ Р~л'х оставляя для означенія функцій про-
изводной изЬ сея функціи ф^х изображеніе ф/'х . для функціи
нройзводй и изЪ функціи ф^х изображеніе фл х, и іпякЬ далѣе.
ПотомЪ разсуждаетъ, что если вЪ сей ф} нкциі ф(х{-і)^фх
4-Рі і (Ъ/+Ві34-8/4-... посльлуетЪ вновь измьис«ііе, такЪ
что х 4- 2 обратится вЪ X і 4~ » то легко видно, чпю сіе
измѣненіе равномѣрно раьсматривапіь можно или какЪ произ-
ведшимъ отЪ измѣненія до вЬ <» при і оставшемся пю.ѵ.і же,
или отЪ измѣненія і вЪ‘і4-а при' я; бі жавшемся шомЪ же, и
вЪ обоихЬ случаяхъ величина фСх ф- і ф-«>) должна быть одна
и та же. Ко при первомъ образѣ разсматриванія , подоживЪ ,
что Р обпаш пігя вЪ Р-,-11'® } Р^ф-..., 2 г.Ь О , (УФ ,
В.— вЪ К і IV',? 1ѴФ2 ф-.. , , при ЧемЪ фХ обрашишея вЪ
і Ъ фх ф- Р® ф- 2^,-Ь Ва>Т ф- . *, будещЪ
>37
Гфх 4- Рш 4- Ош2 -4-'Кй)’ 4- 8ш* -4- . . •
4-’Рі 4- Р/іш4~Р 7^2 4- Р ѵ/іш54- . . .
ф(т+і-+со)~^ 4- О_й 4- О_'ііш 4-0"И'^2 4- • • •
> 4~ КР 4- К73ы 4- • •
| 4- 8І* 4- • • •
[ и проч.
яри второмЪ жл образѣ разсматриванія бѵдетЪ
Сфх 4- РІ 4- О? 4- РР 4“ 8? 4- • • -
« 4- Рйл-2О.ісы-ЗРі2ш+48Ра)-*- . . .
ф(хч-і+ш)^ 4-Ошг4-ЗЕіш2-+-68і2й)г-ь . . ..
| 4“ Рщ5 ч~ 4^а)5 -+-*••
| 4- 8ш4 н- . . .
(, и проч.
т.ои оба выраженія должны' быть одинаковы; по сему по при-
чинѣ независимости между собою количествъ і и а . должно
быть е(^~ Рх, . дК ~ 48 “И/ и проч. или О.”^Р/»
И — *0. з 8 — в проч. ш. е. что величина должна
равняться половинѣ величины производной изЪ Р или ф7 X ,
іп. е. 0_ ~ф/?Х^ величина К должна равняться третьей
долѣ величины производной изЪ (^, или К—^ф?//Х^ 8 дол-
жна равняться ч твертой долЬ величины производной изЬ К,
или 8~—- ф X, и такЪ далѣе;,такЪ что
IV
ф(х -Н і) = фх + і + і’ + •
Если мы сравнимъ сіе изображеніе функціи 4- і) или
величины У сЪ вывеіеннымЪ нами вЪ предЪид' по мь іпраір>фѣ,
іпо \ видимъ, что производныя функціи ф'х, ф/7/х, фІѴХ,
Частъ III. 18
<58
и проч. по порядку означаютъ то же , что дифференціальныя
Эу ЭЭу діу ЭЪ1
содержанія го порядку Зх, Эхі> и проч. ІакимЪ обра-
зомъ онЪ и вводитЪ оныя гроизводнья функціи вмѣсто сихо
дифференціальныхъ содержаній, называя ихЪ пррвою , вшорі ю ,
третьей производною функціею, и такЪ далѣе.
На сей методЪ сказать можно, что хотя онЪ по видимо-
му освобождаетъ понятіе отЪ вышеупомянутыхъ неясностей
при предѣлахъ, и чрезЪ то имѣешЪ видЬ превосходства предЪ
дифференціальнымъ изчисленіеѵЪ; но напрошивЬ сего приложе-
ніе его вЪ разныхЪ часшяхЪ чистой и прикладной Математики
сопровождается большею трудностію и нея< н Ятію, нежели
метода дифференціальнаго изчисленія , коего ясность и удоб-
ность вЪ прил >женіи почерпается изо самаго образа приближе-
нія разностныхъ содержаній кЪ дифференціальнымъ содержа-
ніямъ, за коимЬ разсудокъ по самой предѣлЪ ѵлѣдуешЪ не встрѣ-
чая ни малѣйшей темноты длл понятія. Го сему я, не смо-
тря на то, что вЪ разныхЪ мѣсшахЪ начала уже вводишь вмѣ-
сто м₽тода дифференціальныхъ содержаній методЪ производ-
ныхъ функцій, сочелЪ за лучшее остаться при перв^мЬ.
ВЬ прочемЪ оная Теорема Тейлероаа можешЪ быть выведе-
на и слѣдующимъ образомЪ. Положимъ, что у~фх и У~ф!х+і).
Предположивъ, что будетЪ У—фі х Т і)_фх р/+р//і'+Р///і3Т-*-
+" р/п-^О и трактуя вЪ величинъ V одну
величину і измѣняемою, получимЪ — п(п—1) (>1—2)...
2ЛР(П)-Г (” Н- — 1) . . З.,2р(п+і}і 4- . - ПО сему
если ноложимЪ в’Ь ссмЪ выраженіи і о, то найдется
Г,,,) — Г.~а~. з А (&-.) Но свойство функціи ф.х-Ьі) ош-
_ ‘ __ ,ЭпѴч
крываетЪ, что будетЬ >— Ѵ3хг-'’ ибо оная функція чрезо
измѣненіе величинъ х и і одной вЪ другѵю не измѣняется.
По сему-будетЪ также р п^— т "а ,'3* ". . п (<,хп) ’ если шолькэ
. /Э"у\ . ' "
>Ь функціи (ах"/ положится і ~о. Но когда дифференциро-
ваніе функціи фСх-І-і) будетЪ производимо по измѣняемости
едиой вели шны хл то прежде ли дифференцированія или по-
іЗд
сЛЬ его, положится г~о, всегда получится одна и та же ге-
личина; по сему вЪ случаѣ сеиЬ будешЪ (дх11) — (6лГІ) — дх11 ,
ибо тогда величина V будечіЪ у. По сему
у^Ф((г+і)=у+^^^+^О’+
г
і.н.З
V. О дифференціалахъ функцій дыркЪ ѵ.ли боліе нзяіі~
няеЛіыхЪ ве-лиіино.
§ і ю.
_ВЬ § 96 видѣли мы , что если величина V есть функція
иіііоіііхЪ измѣняемыхъ величинъ X, у, г и проч.," іг“
+ (ду^У + + • • •; (|*) есть диф-
ференціалъ величины V взятой по измѣняемости одной вели-
чины х и раздѣленной на оХ^ (^ ) есть дифференціалъ оной
величины V, взятой по измѣняемости одной величины у и
раздѣленной на Эу; и такЪ далѣе. При гпомЪ вЬ § 94, дока-
- - /ЭѴч /дХ\ с
зали вообще, что сіи величины Ѵ§х/» ( э Ь \уя) и проч. бу-
дутЪ функціи только величинъ х у, г и проч. безЪ ихЪ диф-
ференціаловъ.
ю- -г -т г^ѵ\ /Эѵ\
ВЪ разсужденіи оныхЪ величинъ (э^/ и проч. упо-
мянуть нужно, что каждая изЪ нихЬ называется ъастнъілб
днфіфэеренцісілъныліЪ содержаніемъ или дифференціальнымъ
каеффнціеііп’омЪ, дифференціалы же (^.)Эх , ^)ду и проч.
ими доставляемыя называются костными днфференціа еаліи ,
іп. е. дифференціалами, изЪ коихЪ каждой составляетъ часть
только полнаго дифференціала величины V, п лучаемую отЪ
измѣненія одной только которой либо ея Измѣняемой величи-
ны. И въіи/е ^редстае іеннпе выраженіе лолчаго дяф>ф&рёіі-
ціага величины V локазываетб, г то свіі дифференціалѣ рав-
нлетсл сцліліі всіхб таетпнъіхб дифферънціа іѵвб,
18 *
Пусть на пр. будетЪ V ~ ахх •+- Ьху 4- су у 4- е.ѵг 4 /уъ
4- ^гг 4- Ах+ ку 4- іг Ч-1 то будетЪ (”х)~ 2ЛХ4- Ьуч-
(я) = * -н Ъх + (|5 = 4- ех ч-/у 4- Ч
По сему будетЪ ЭѴ_(2аг-!-ЬуЧ-е2-і-А^Х4-(ссуч-ЬХ-+/2-|-А)
Эу 4- (2§г 4- ех 4- [у +- ірг.
§ т.
ИзЪ предьплутпаго явствуетЪ, что разЪискан’іе дифферен-
ціала функціи многихЪ измѣняемыхъ величинъ х, у. г и проч.
сб ідипіся на разЪисканіе каждаго частнаго диффереьц ала по-
рознь, произходяіцаго ошЪ каждой измѣняемой величины, раз-
сматриваемой шакЬ, какЬ бы она охпа только и была гЪ оной,
функціи величина измѣняемая. А какЪ о разЪисканіи диффе-
ренціаловъ функцій одной измѣняемой Величины ВЪ предЪиду-
іцпхЪ главахъ довольна подробно говори но было, шо здѣсь, ка-
сательно разЪисканія дифференціаловъ функцій многихЪ измѣ-
няемыхъ величинѣ, не остается ничего болѣе прибавишь. Ну-
жно только напомячугаь о взаимномъ отношеніи, которое имѣ-
ютъ между собою, вЪ таковомЪ дифференціалѣ ЭѴ — ,
“Ь -4~ 4- . • - коеффиціеншы (~), 0, (^)
и проч дифференціаловъ Эх, Эу, Эз и проч. измѣняемъ хЪ ве-
личинъ оной функціи V, и которое вЪ § "2 выведено вообще
относительно кЪ частнымЪ разностнымъ содержаніямъ ;* т, е.
что всегда бываешЪ (а, ~(дгду)
и проч.; изЪ котораго отношенія слѣду етЪ. чіпо е ли диффе-
ренціалъ функціи V изобразится чрезЪ Юх4-+-КЭгф-.. о>
.ЭР\______________. /ЭК\ /3{ф______/дѣ.х
то всегда бывдетЪ (д^—[дх^ {дъ)~(фу) и ПР™-
г.кЪ вЪ примѣрѣ, представленномъ вЪ предЪидущемЬ парагре-
фь, гдѣ Р — 2лх4-Ьу4-О.~2су4-ЬхЧ-/і4-Л,
Не только что вЪ каж ломЪ дифференціалѣ Какой либо
функціи многихЪ измѣняемыхъ велики»Ь х, у, г и проч. изо-
бр же иночЪ чрезЪ Е?х 4~ <^о'у + Кс>д ф- • • • всегда бываешЪ
(а>) — (<Ъ> (дг) — (дх)’ \дЭ — (дУ и "Р04-’ но и напротивъ
если вЗ Какой лаУо ддфіфіеренціа іьцоп функціи рЭх-ь-цФуф гдг Н«
ЗчденгЗ находиться оное отношеніе, то есть, если с/ІудетЗ
(ф) ~ (Іх)’ 0 “ (дЭ’ & = (дР № то ^огда оная
ФУНКЦІИ рдхд- (фду г гді 4-.,. (фудстЗ ніосГходклю лолный
дифферента іЗ какой лп(Фэ функціи, пзліічяе мыхб велигннЗ
х у. 2 и лроп. Ибо положимъ, что р—(йх)» шо будешЪ
(д7 — (дхд7)’ (дхдЛ по § 7»' - <30’ слѣдователи»
когда ф — ф , то будешЪ и (^) = (^) » а по сему
ИР“ гпонЪ булетЪ ф — фъ)> но (дхХ) — (дгі)*
по сему когда —(Зх7, то будешЪ (Эх)— (3^), а слѣдо*
____________ /дѵ\ і гѵ
вательно Г — \зг/і 11 такЪ далѣе. Сіе Показываетъ, что ПрЯ
оныхЪ условіяхъ ф—ф, ф — ф), ф —Ф и проч.
функціи рЭх 4- дду ф- гЭг ~Н . .если величина р назначипіея
чрезЪ (^, то будетЪ оная 1 дифференціальная функція
рЭх + <йг + гЭг + • •. = фЭх + фЭу + ©Эі +
то есть полный дифференціалъ функціи ѵ. Но каждая вели-
чина р ъсегля. можеиіЪ быть изображена чрезЪ ф)9 т. е. все-
гда можетЪ быть разсматриваема какЪ содержаніе дифферен-,
ціала какой либ ’ функцій многихЪ измѣняемыхъ величинъ,
жзяшаго по измѣняемости одной изЪ ея ьеличшіЪ # кЪ диффе-
ренціалу сея самой величины; слѣдовательно при оныхЪ усло-
віяхъ и каждая функція рдх + -|~ гдх . всегда
можетЬ быть изображена чрезЪ
ш. е. она всегда будетЪ полный дифференціалъ.
$ ”3-
Что принадлежитъ до нахожденія дифференціаловъ вто-
рой, третьей и іпак'Ь далѣе, степеней функцій двухЪ или б>-
лѣе измѣняемыхъ величинъ, то сіе дѣйствіе само по себѣ оче-
вчдн •; ибо дифференціалъ второй степени есть дифференціалъ
дифференціала первой степени • дифференціалъ третьей сте-
пени есть дифференціалъ дифференціила второй степени, и
гзакЬ далѣе; слѣдовательно для нахожденія ихЪ повторять
должно гпоже самое дѣйствіе, чрезЪ которое найденЪ диффе-
ренціалъ первой степени, взявЪ только во вниманіе , какія ве-
личины трактованы быть должны измѣняемыми.
§ 114.
Положимъ , что какая пибу *ь величина V есть функція
миогихЪ измѣняемыхъ величинъ х, у г и нр<»ч. и что сіи ве-
личины обратились вЪ хѣр у+д г+г и,г1роч., и чрезЪ то
. величина V обратилась вЬ ЛѴ, толеіко видно, что произойдетъ
©дна и та же величина, подсгаавичЪли мы для нахожденія ве-
личины ЛѴ вдругъ вЪ ОНОЙ функціи V вмѣ'-.шо х, у, г и проч.
величины ихЪ х+р. х-]-ф г+г и проч., или сперва вмѣсти х
подставимЪ х + р, потому вЪ полученной чрезЪ сіе функціи
Ѵ? вмѣсто у подставимъ у + д, потому вЪ получаемой чрезЪ
сіе функціи \ // вмѣсто г подставимЪ г+г. и тг.кЪ далѣ, до
послѣдней измѣняемой величины; ибо разность сихЪ двухЪ дѣй-
ствій сосшоишЪ только во времени, опіЪ ко^то измѣненія вЪ ве-
личинѣ V независимы. Поступая послѣднимъ п рядкомЪ по-
лучимЪ по § ю8
Г=V 4- (’> + (©рр++©р’
При подешаковленіи теперь вЪ сей функціи Vх количества
у4 д чмѣстп у, каждой'членЪ ея изобрзженіл достаЕИЕіЪ до
добиое и” бра. ніе, и оуд<тЪ
V" =-. Ѵ+(^)9 ч- .4 фчч + , 0ч’ 4- • • •
4- Ор + 0)Р7 Ч- 4 &РЧЧ -+-•••
+4 (&+с>рч +•••)
+ .тЬ (&’+•••)
и проч.
пли
ѵъѵ-ь©Р + а>
, + 4(0РР + О 4- &)чч)
+4,((^)Р’+3(/Д)рр74-З(4;)рдо4-(І7)Ч’)
-^0)/^40>7+6(^рт+4С’^+04,>
При подставленіи теперь вЪ сей величинѣ Ѵ/л количества
% Т- ѵ вмѣсто г каждой членЪ его изображенія доставитъ изо-
брЗжеиіЛ подобное перв >му полученному изЪ V чрезЪ подста-
вле< іе і + р вмѣ ню х, и шакЪ далѣе , и наконецъ получится
Самая величина XV.
§ іі5.
На сію главу полезно зам-Ішить вообще, что поелику здѣсь
разсматриваются измѣненія функціи V многихЪ измѣняемыхъ
величинъ х у, 2 и проч. между собою і.'гависимь х7>, то при-
мѣнивъ понятіе о причинѣ измѣненій оной функціи , гп. ^е. во-
образивЪ , что измѣненія вЪ ней произхсдятЬ не отЪ того ,
что при нѣкоторой неизмѣняемой зависимости величинѣ х, у,
2 и проч. самыя сіи величины безпрестанно измѣняются , но
отЪ того, 'нпо законЪ зависимости между оными измѣняемыми
величинами безпрестанно перемѣняется, можно все сказани- е о
дифференціалахъ оной функціи приложить кЪ ея варіаціямЬ;
кои вЪ прочемЪ будушЬ варіаціи не вЪ самоыЪ обширномъ ра-
і44 «==
зумѣ взятыя, ибо постоянныя величины функціи предполага-
ются остающимися неизмѣняемыми.
СТАТЬЯ СЕДЬМАЯ.
Р разлигноліЪ употребленіи дифференціаловъ функція.
I. О нахожденіи наибольшихъ и нйиліекъшихЪ состояніи
функціи,
$ 116.
Зіапбо ігіппаиЪ состояніемъ какой либо функціи одной
«ли многихЪ измѣняемыхъ величинъ называется иіа .оё ся с<-
стояніе, которое болѣе, всѣхЪ смежныхъ ея состояній соот-
вѣтствующихъ нѣсколько измѣненнымъ онымЪ измѣняемымъ
величинамъ какЪ чрезЪ приращеніе піа Ъ и чрезЪ уменьшеніе.
Противное сему соспл яніе функціи, т. е. хоіпорое бываетЪ
менѣе всѣхЪ смежныхъ ея состояній соотвѣшствѵющихЪ нѣ-
сколько измѣненнымъ онымЪ измѣняемымъ величинамъ какЪ
чрезЪ приращеніе ихЪ такЪ и чрезЪ уменьшеніе , называется
паиліенъшпліЪ ся соітоян'ілліЪ.
Пусть сперва взята будетЪ вЪ разсмотрѣніе функція у
одной измѣняемой величины х. Дабы разЪискашь наибольшія
и наименьшія ел со< тоянія разЪищемЪ сперва дли какою ни-
будь неопредѣленна!« ея состоянія два смежныхъ состоянія
у' и у, соотвѣтствующія двумЪ смежнымъ величинамъ
х-+р и х — р, разумѣя чрезЪ р величину чрезвычайно малую;
и по получится
У=У + (|2р + У рр ч - гЬ С)Р5 + • • <
г, = у- Ор + У &р - Уг3 Ор5 + • -
Теперь дабы величина у была боліе обѣихЪ смежныхъ вели-
чинъ у1 и у, пц ебуеіпся, чтобЪ 6ыл>' вдругъ
145
У > г + &)р + ~ &>р + © (>’ + • • •
У > У - фр+(>р - © + • • •
а дабы величина у была менѣе обѣихЪ оныхЪ смежныхъ вели-
чинъ у7 и у, требуется, чтобЪ было вдругЪ
У < у + (|> + Д ©рр - гй & + • • •
У < У - ®Р + &РР - ~ ©Р’ + • • •
Но поелику приращеніе или уменьшеніе причиняемое вЪ вели-
чинѣ у чрезЪ прибавленіе кЪ ней вновь оныхЪ членовЪ
і /дду\
-—2КЭх=//г 11 пРпч-> по причинѣ чрезвычайной малости вели-
чины р, зависитъ преимущественно ошЪ члена который
содержитъ вЪ себѣ первую степень сея величины , ибо прочіе
члены , содержащія вЬ себѣ высшія ея степени, оредЪ сим'Ь
Эу
чрезвычайно малы; сей же членЪ ^р вЪ величинахъ у7 ігу
находится сЪ нротивнымЪ знакомъ , то величины у7 и у, ни
обѣ вдругЪ меньше , ни обѣ вдррЪ больше величины у быть
Эу
не могутЪ, если вЪ нихЪ сей членЪ -рхР не уничтожится. По
сеуу ткЪ ДЛЯ напдолниаго, такЪ и лля наиліенъшаго состоя-
нія величины у трес/уется, гыоеГЪ дифференціальный коеффц-
ѵдентЪ сГылЪ равенЪ ніргііо. ПпліживЪ теперь, что
Ъу__ дх _
— О, а слѣдовательно и р—О7 приращеніи или уменьше-
ніе величины у Зависѣть будетЪ преимущественно оіпЪ члена
который какЪ в’Ь у7 такЪ и в} у/ сЪ одинакимЪ зна-
комъ. И легіЛ, видно, что когда длфференц'іа иный коеффіу-
- дду г
ціентЪ сі/дето величина отрицательная, тогда како у? тако
У, сііДЦтЪ о&"і меньше велигпны у; когдажЪ с^[ДетЪ вели*
-ина яоложателіная, тогда осГі величины у' и у і/у ЩтЪ
(Голвіие величины у. ИзЪ сего слѣдуетЪ, что для нахожденія
Частъ 111, 19
146 Е=
какЪ напГолішихЪ гаакЪ инаьмеиыпихЪ состояній величины у иад-
, '' Эу д-)у. _
лежишЪ разйискашь содержанія и поточЬ положить
функцію величины X, выражающую содержаніе равною ну-
лю, чрезЪ что получится столько разныхЪ величинѣ какой
Эу
степени будешЪ функція выражающая кочмЪ соотвѣтство-
вать должны наибольшія и наименьшія состоянія, величины у;
ПотомЪ сіи. величины х подставишь вЪ функціи выражающей
й?У. „ ..
содержаніе и тогда при которой величинѣ х сія функція
ПрчметЪ отрицательное сосшо1 ніге , той величинѣ х будетЪ
Соотвѣтствовать величина у наибольшая, при которой же ве-
- - ~
дичинѣ х оная функція выражающая примешь состояніе
п ложишелыі.іе, іп й величинѣ х будешЬ соошвѣшсывовашь ве-
личина у наименьшая».
ду
Но если при которой нибудь величинѣ х вмѣстѣ еЪ
дду _
ооратичіся и эхз вг нуль; то тогда измѣненіе Л величинѣ у
при переходѣ ея кЪ у' и у, преимущественно зависѣть будешЬ
» і ,дЗу. з
ото члена ^7-; Р 3 котоРыи« по причи .ѣ противности
его знаковъ вЬ ух и уу, долженЪ какЪ для наибольшаго такЪ
и для наименьшаго состоянія величины у необходимо уничто-
житься, и вЪ тоже врзмя коеффиціентЪ (^4) слѣдующаго
члена для наибольшаго состоянія величины у долженЪ быть
отрицательной, а для наименьшаго п > южителын. й.
дЗу__ діу__
Если же при — 9 будешЪ и ^х4—О, шо такимЪ же
образомЪ должно взять, во внимінг івл слѣдующіе члены
Г-ТГГТТ} и С1$)Рб> и п-кЪ далѣе».
§ ^7-
Пусть величина V, коея наибольшія и наименыігя состоя*
йія изслѣдываюиь я будетЪ функція двухЪ измѣняемыхъ вели-
чинъ х и у: шо сЪ измѣненіемъ сихЪ величинъ вЪ х ф р и
аг—? і47
у±&], Г-йзуяЬя величины р и д чрезмѣрно малыя, спа, 20^114,
измѣнится вЪ
и проч.;
При измѣнены же оиъгхЪ геличинЪ вЪ х—р и уѵ+-д она измѣ-
нится иЬ
и прэч-
и изЪ подобнаго сужденія,, -какое выше представлено для функ-
ціи одной измѣняемой величины, слѣдовать будетЪ, что какІ
для нааво ліянаго такё а дія папліе-нъіиаго состоянія велл-
гины V треоцепжя, гто(Г5 (Пяло вдругё р (^) д ~ О »
'?• е. (Гх)р Ч- (ау)<1 — о п ,(а- р — ( ) д _ О, а сл^дв-
дввателсно —О « при то®іЪ величина
/ЭЭѴ\ 2 | А 1
\^)Р ± -'дхду'РУ « ^ізу3)^ лля наибольшаго состоянія
величины V должна быть отрицательная, для наименьшаго же
положительная. КакЪ величины р и д сушъ величины произ-
вольныя , 'то с/е простирать я должно на всякое между пни
отношеніе. Изобразимъ д чрезЪ рр, пю должна бышь величина
РРО ± 2Р-('Х) Ч-ТЧСГ)), независимо ошЪ <и, для ма-
19 *
іД8 =?=
«большаго состоянія V отрицательная, а для наименьшей
п* ложтпельная. Величина (г—р$)® или гг—2рГ8 4- рр«8 не-
зависимо отЪ р всегда положительна; или нуль, Когда г~р$
тѣмЬ боліе выйдешЪ величина положительная, когда мы
ьЪ изображеніи гг — вм Ьспіо гг 4- подеша-
вимЪ величину положительную болѣе ея; слѣдоваіп дьно ве-
личина А'гг—2/хГЗ 4- , или другая, вЪ коей подставлено
вмѣсто гг -р- ілр.$3 колчч ніво положительное большее нежели
тг 4- /лрзз, будетЪ, независимо ошЬ р», при А положительномъ
Положительная и при А отрицательномъ отрицательная. По-
ложимъ теперь, что (|уз) г* имѣя вЪ про-
чемЪ одинакіе знаки, и (то будетЪ величина
± независимо отЪ и при А поло-
жительномъ положительная , и при А отрмці тельномЪ отри-
цательная. Но когда (^5 ) Х/Т и ( , гио
,ддѴ\ ,ддѴ\ . . / ЭЭУ ,2
4 (Зг3) ЛЛП» а по сему > слѣдовательно
какЪ для наибольшаго макЗ и для наименьшаго со, піоянія
еелиг'лнъі V требуется, етоб'5 было лроизведен'іе (д^і)
г л \2.
лолож.иѵпел?>ное, н лрп гголіо не ліеніе не же т ) а если
сіе будетЪ, то когда равно какЪ п ) бі/Д'рпЪ о6%
вдругЪ велпенны о»рццателі.ныя , по да состояніе велатичы
V б^іДетЪ наибольшее; когдажЗ біл веліііннч б'ісд’рпЗ о, і
едрцгЪ лоложительныя, тогда состояніе болпіпны V будетЪ
наименьшее.
Дла сокращенія выкладокЪ сюда принадлежащихъ на слѵ»
чай тотЪ , когда при изслі ’ъівлемой фуніціи у одной изѵі-
няемий велпчишд выходишЪ или при функціи двухЪ слзмѣ-
няемыхъ величинъ выходит'Ь (^) или велич. на дробная
положимъ, что какая либо в, личина и, полагаемая равною ну-
»4э
р
О» то, дабы она была равна
Но поелику
0^ * то вЪ семЪ случаѣ, т. е. при Р~о,
—
няемыхЪ величинъ (|^) —
ли, будетЪ дробная, ій. е. И —
нулю, требоваться будетЪ, чшо5Ъ было Р — о-
вообще - -
будетЪ Эи —
такЪ
(й)
а,’
что при функціи двухЪ измѣ-
ЭР}
/діі\ _ 'ду'
\ду) —
и
П Р и м
Р ы,
і. Найти, изЪ какой точки діаметра круга возставлен-
ная кЪ нему иернен іикулдрпо до окружности аппликата есть
наибольшая. НазвавЬ радіусѣ 'буквою а . отрѣзки діаметра
опіЪ копца его буквою х, и перпендикулярныя кЪ нему анихи-
каіпы буквою у. изЬ уравненія для кр^Та уу~2ах—XX и )-
дду і (а—х) дѵ
И , -----------ІЗХ
дхл у у дх
I* п ду __
Н^ложивЬ получимЪ а—X —о
ддѵ _
діаметра круга возставлеи-
и
лучймЪ уЗу-:(а— х)Эг, 1Ухг
і______(а—х);
У УУ
Х—а, которой величинѣ сопшвЬтсіпвуетЪ у— а и — у
Слѣдовательно отрѣзку а соотвѣтствуетъ наибольшая аппли-
ката, соотвѣшвшвующая также а, что и безЪ пюго извѣстно..
2, ВЪ Механикѣ доказывается, что если брусЪ имѣть оудешЪ
вЪ прорѣзѣ измѣренія а п Ъ, и длину с, и если на іплкой брусЪ обо-
ими конціМи утвержденной, будешь дѣйствовать по срединѣ сила
до на іравленію измѣренія Ь , шо крѣпость таковаго бруса кЪ
сопротивленію оной силѣ ОываешЪ всегда пропорціональна, ко-
аЪЪ „ „
личеству —Іеперь спрашивается, какЬ должно обтесать
бревно, длины к и радіуса в'Ь отрубѣ г, чпюбЪ брусЪ вышелЪ
наибольшей крѣпостиг НазовемЬ неопредъленно-й ошрѣзокЪ
діаметра отруба, считая ошЪ центра, буквою х, и аппликату
ему соотвѣтствующую буквою у, и по оному отрѣзку, взя~
точу отЪ центра вЬ обѣ стороны, обшешемЪ брусЪ, сЬ іпѣмѣ,.
^тобЪ дать на него дѣйствовать силѣ по направленію у.
15.0
ПрорѣзЪ сего бруса имѣть будетЪ одно измѣреніе 2х, а Дру-
гое гу, и крѣпость его 'будешЪ пропорціональна количеству
Вуух $х(гг -—хх') с І
. которое для наибольшей крѣпости
________________________________________________ 6х (тт — хх",
должно быть наибольшее. ИзЪ уравненія же V —----------к----
дѵ _ йТгг—зхх) ддѵ_______ 48 X дѵ_
получится к-----9 и —--------ПолсживЪ ^-О.
получимЪ ГГ— ЗХХ — О„ и которая величина под-
_ _ ЭЭѵ _
ставлена будучи вЪ доставитъ для нея количество отри-
16гѴз ___ т
цательное —~ к а слѣдовательно оному отрѣзку X—
будетЪ саотвѣтсшвовать наибольшая крѣпость бруса. Для
сего отрѣзка будешЪ у —Ѵ^ГГ —
тельно измѣренія 2Х и гу прорѣза таковаго бруса будутЪ
содержаться между собою какЪ кЪ 2Г]^ или какЪ і кЪ у'з.
слѣдова-
Поелику же |/2 ~ ‘і + I ,
з шо довольствуясь
24- . . .
.двумя первыми членами непрерывной дроби получимЪ близко
кЪ истинѣ '|^2 — по сему ьаилучшее содержаніе измѣ-
реній бруса близко подходитЪ кь содержанію г г.Ъ / или
5 кЪ ч , какЪ вЪ сочиненічхЪ обЪ Дрхителтурѣ и предписы-
вается. Поелику же /3 ~ 2 •— I_______І
*' —.... шо упашре-
бивЪ только первый членЪ непрерывкой дроби получимЪ Слиз-
ію кЪ исшиннѣ ^/З ~ слѣдовательно ширина бруса по
управленіи х должка быть почти ® радіуса или | діаметра
брезна; по которому размѣру ихЪ удобно обтесывать можно.
3. <ВЪ.М»ханикѣ доказывается также, чню ежели вЪ вѣ-
треной мѣльницѣ крылья стволами своими утверждены бу-
15*
дупіЬ вЪ поставленной по направленію вѣтра валЪ перпенди-
кулярно, плоскости же ихЪ сЪ направленіемъ вѣтра или вала
составлять будетЪ уголЪ Ф-, то сила вѣтра побуждающая
крылья кЪ обращенію около вала быгаетЬ пропорніональнд
функціи зіпф~ соз.ф спр. при к»комЪ углѣ- ф оное дѣйствіе
вѣтра-бу де піЪ наоб >льшел? НазпвемЪ дѣйствіе вѣтра буквою
Р, то получимЪ Р — а З'іі. ф2СОЗ. ф ~ Сі(і. — СОЯ. ф2)со<У. ф
-а(сох.ф -ССЛ' ф3);. по сему будетъ |^га(3лп фсо^.ф2-лнф).
—азіп.ф(3соз.ф2—1) — п5Ь'ѣф(2.-Злйі фг)-а(25Ід.ф— З^пгф3),
я “ п(2со<г ф — дзі/і.ф2 со5.ф) — а соз.ф(2. — 9 Уп.ф2)-
ПоложивЪ теперь — Э получимЪ ЛЛ.ф[2— ЗзІП ф /—
олѣдов-ательно или 5ІП.ф~О, или Л/1. фг.гіЬ~ и ЗІП.ф~]/^..
.. ~ 1 ^ЭР ЭйЯ 4 л
Первая величина ф доставляетъ ^фз—2 а,, а вторая -^2_ —у-,
по сему первая принадлежитъ кЪ наименьшему дѣйствію, какЬ
и ОсзЪ того извѣстно, а вторая кЪ наибольшему; уголЪ же сей,,
коего синусЪ — или шангенсЪ — '/2, составляетъ около
64 градусовъ.
4. Не рѣдко для- повѣрки часовЪ лспгронліяы' дѣлаютЪ
наблр іенія надЪ соотвѣтственными высотами той же звѣзды,
т. е. опредѣливъ время, вЪ1 когворое она была1 на извѣстной
высотѣ до прохожденія чрезЪ меридіанЪ, наблюдаюпіЬ по т.мЪ,
вЪ какое время она бываетЪ на пийже высотѣ по прохожденіи
чрезЪ меридіанЪ. ТѣмЬ точнѣе можно опредѣлить время, вЪ
которое звѣзда бываешь на извѣстной высотѣ, чѢмЪ скорѣе
высота ея измѣняется. Н ізначимЪ высоту звѣзды чрезЪ г, и
часовпй уголЪ , измѣряющій время ея обращенія чрезЪ ф, шо
скорость измѣненія высоты, опредѣляемая вообще чрезЪ содео-
ланіе переходимаго пространства ко времени ,• будетЬ чф 3
г 1 -
а но сему когда величина бываетЪ наибольшая, тогда упо-
мянутое наблюденіе надЬ звѣздою можно сдѣлать точнѣе
151
всѣхЪ ПрочихЪ времеаЪ. Но если назначиптся широта мѣста
буквою и и склоненіе звѣзды буквою Сі то (на основаніи сфе-
рич. тригон.) будетЪ СО<5.й2^іСО^.фсо5. ЛСОЗ.К ЗіП.аЗІП.^.
Назначимъ для краткости СО5. а СОЗ § чрезЪ а и ЗІП.а. ЗІП.%
чрезЪ Ь, то будешЪ СО5.% — ПСОі.ф—|—Ь, и |
которая величина должна быть наибольшая. ИзЪ уравненія
ди_______________________асоз.ф азіп.ф соу. ф дх ,соз.ф азіп.ф2соз.х\
сето получится ----ТГп дф—^згп.я--------------зТп.хГ)
__а(зіп .іг2соу.ф—-а п'и.ф2соу.х) Лз — аа — ЪЪ)соз. ф — аЪ' і -4- соі.ф2) \ Р
зіп.хі ' \ зіп. гЗ /' О,’
которая величина должна быть положена равна нулю; потомЪ
Эди дР /иаЪзгп фсоз.ф—(і—аа— ЬЬУзіп ф\ а зіп. Ф/„ > /К
5-2 и хи ------— — —Лсаособ'. ф
дф2 У ' 5Ш.Я.І / згп. гЗ \ •
—(1—СШ—ЬЬ)). ПоложивЪ О, получимЪ (і— СІСІ— ЬЪ)с03.ф
—аЬ(/_4~со.кфг)~о, или соу.ф2—^^^со^.фч-і — о,
при чемЪ будетъ 1—аа—ЪЬ~ 1 — СОЛ.а2СОХ.І§2—5ІН.агЛІЛ.€2
— ЗІН.а’СОЗ.? + <УШ.&СОЗ.а>, и 2=25^ —
’ ’ аЬ гапг. а Гап§. ъ
__„ /Ѣ----га2-4-/йп^. €г±(Гои^. а2 —Гпті^.ё2')
а по сему СОЗ. ф —--------------~ап- а , слѣдо-
___ іап&.а Тапз;. 6
~~КпеГ$ ИЛИ С01У- Ф ------- 'іап^з ** ДЛЯ
_ _ _ __ зіп. а зіп. С
перваго будешЪ СОЗ. Ъ — & а для втораг® СОЗ.
17 1 С ЭЭи 1
Ежели вЬ изображеніи подставимЬ первыя величины для
со$. 0 и для соз. 2, то получится — —'ЗІП. &2 СОЗ. & ;
ежели же подставятся вторыя ихЪ величины, то получится
~ — ЗІП. а СОЗ. о., обѣ величины при склоненіи звѣзды
положительному, отрицательныя, а по сему обѣ принадлежатъ
кЪ наибольшей величинѣ м, слѣдовательно какЪ первой часо-
вой уголЪ ф, такЪ и вшерой кЪ наблюденію с.оі твѣтствую-
щихЪ высошЪ звѣзды способны ; но вЪ псрвомЪ случаѣ тре-
буется, ч:побЪ былЪ іап^ Іал^.сс, т. е. чшобЪ склоненіе
153
звѣзды было болѣе широты мѣста , ибо иначе ф и г будутЪ
невозможны ; сторой же случай можепіЬ быть приложенъ кѳ
всѣмЪ тѣкЪ звѣздаяЪ , коихЪ склоненіе менѣе широты мѣста.
Если бы кто на пр здѣсь вЪ Харьковѣ, коего широта а~5о“,
захотѣлЪ для онаго наблюденія употребить звѣзду, коея скло-
неніе сѣверное 6 ”30°, то бы для сею, ИзЪ уравненія
С05. & — ~э получилось ф 1^61°,2^ ш. е. удобнѣйшее
для наблюденія соотвѣтственныхъ высогпЪ сея звѣзды время
было бы за 4- ‘іас. и 4 мин» до прохожденія и по прошествіи
ея чрезЪ меридіанЪ, разумѣя время звѣздной. - гі
5. Данную линію а оаздѣливЪ натри части сосшашпь
изЪ нихЪ бока треугольника , чшобЪ площадь его была наи-
большая. Назовемъ одну часть линѣи а буквою х, другою
буквою у, шо будешЪ третія а—х—у;' тогда назначивъ пло-
щадь треугольника буквою V, получимЪ Ѵ^: —Зі)
(1 а—у) (*+/—'! «)) ~ | г) (а—Йг) (2X4-»Г—«И»
И будетъ ф = |/а(а — су) X в
О = 2Х) >• кои обѣ величину
порознь, вЪ искомомъ случаѣ должны быть равны нулю; иошомЪ
найдется ГЭЭѴ^- ~ Уа(я ~~ • Т-дѴ }- ~~ ЗУV;____
н де ся \^ха } у(а—2х)(вх-+-ду—а)> \схду/ і.Ѵ{а-іхХа-еу'^ик+2у—л^
/»ЭѴ\ —Ѵа(а—дх) ..
— ѴІа—ѵс) (ах-нз-Г^у Положивъ , для нахожденія наи-
большихъ и наименьшихъ величинъ V, какЬ (^—) — О, такЪ *
(|?) — О , получимъ ’
(аа — 4Х — Я7)7(д — ау)_____
•"’Ч1 Ѵ(а — *х) (2Х ау ‘— а)
(да — 4У — вх)7(а — зх) ____
У(а — ву) (дх 4- ау — а)
м
изЪ коихЪ первое доставляетъ или 2а— дх—9_у-*о, или Л—гуте;
второе же или аа — ду—2Х — о или а — ігх~о. Сн₽семЪ
уравненіе 2а *— дх — ау ~ о сЪ уравненіемъ ао—4у-—«ж^э>
Тестя Ш, . ч <•
т54
пп получ’иіпся X ~ - а, 'у — *а , а по сему и третій бокЪ
, 4 Л і *ь *
~ ^СІ. СнесемЪ уравненіе а—2у~о сЪ уравненіемъ 2а—_|1
2Х_о, то поручится X —О, у — а посему и тре-
тій б&кЪ СнесемЪ уравненіе аа—ух—^у—? сЪ'ура-
бокЪ
о
вненіемЪ -а—2Х^~о, й получится X — —О з и третій
- *П.в СнёсемЪ наконецъ уравненіе а—2Ѵ—о сЪ а - ох
' “ ’ ѵп к >. і ИМ 4 н . •
и получимЪ X — ~ая у,:^2*(ь н третій бокЪ ~о. Слѣдо-
вательно для наибольшей .или наименьшей іілшцади д лжпо
Ж. • ’ , ’ пЬ 7 ♦ * - ' V ‘1 < '
езяшь или всѣ три бола равные, каддый — чли два бока
равные, каждый --{я, а третій { ^венЪ нулю. 5Ъ первомЪ
случаѣ будутЪ (ау»7 Г'ал>Лял — УЗ •> и произве-
/ <? Э V \ з » ’
деще ихЪ кв^дращЪ же1 вейиндны.-^^;^— ^дѣдова-
шёльно сей~случай принадлежитъ кЪ Нлио>льшей площади. Во
второмЪже случай,-- поелику* .імъстѣ сЪ а —2ЛГ“ о быть
должно о-—: 2у о , или вмѣстѣ сЪ а —'X—о величина
у ~ о, или вмъ тѣ сЪ а о.у — о величина х^о, то чрезЪ
с>е величины (а--) и г) обращаются или о’эѣ вЪ неопредѣ-
ленныя — § или о хна вЪ нуль, а другая вЪ безконечную,
величины же
конечную; слѣдовательно схй. случай собственно не принадле-
житъ ни кЪ наибольшей ни кЪ наименьшей величинѣ плсщали
треугольника, и легко видно, что онЪ принадлежитъ не
кЪ шреугольки-у
другую,
’- о
/ддѴ \ , ЗдѴ \ /ддѴ\ „
- же Ч^ЛМахсц) -в \ду ) обращаются каждая вЪ без-
и легко видно ,
г но кЪ прямой линЬЬ положенной одна на
или кЪ треугольнику неимѣющему никакой площади.
Ѵ’ Я І 1 ’ 1?
й .V 2^-~ Й ЧГ О~ — .с г
‘X’.4^ Г ѵ 2Х V.—
9<
II. О сближеніи еелитны разныхЪ функцій одной
измѣняемой беліпнны*
§ іі8. ”
ВозмемЪ двѣ функціи фх и Сх величины х, изЪ коихЪ
первая сЪ опредѣленными коеффиціеншами, вторая же с’Ь не-
опредѣленными. ,
Дабы сіи функціи, при какой либо величинѣ х^ик, были
равны между собою, стоитЪ только положивъ вЪ нихЬ X — к
уравнять ихЪ между собою; и тогда одинЬ изЪ коеффиціен-
нювЪ функціи ЁХ опредѣлится чрезЪ к, такожЪ чрезЪ коеффи-
ціеніпы функціи фх и остальные коеффиціеншы функціи Ёх,
которое выраженіе онаго коеффиціенша , когда подставится
вмѣсто него вЪ оной функціи 0х, тогда при х~к будутЪ
величины оныхЪ функцій фх и Ёх равны между собою.
Пусть величина х вЬ оныхЪ функціяхъ измѣнится вЪ
хфі, чрезЪ что оныя функціи обратятся вЪ и
0(хЧ~і); то по § юз будетЪ
ф(х + і) = фх + Й* + Л ? + —и • + • • •
Т \ ’ / ' . гіХ 1 1.2 дх2 1 1.2.3 ЭхЗ 1
л/ . -\ ___ л „ і - Э ₽ х , г2 ЭЭ Ѳх . тЗ ЭЗ 9х .
Ё(г. Ч- і) — ѵх Ч~ і-ч---1--. -к-т- Ч------— • Ч- •
\ ' 1 дх 1 1.2 ОХг 1 1.2-3 охЗ 1
Дабы величины сихЪ новыхЪ функцій были равны меяіду со-
бою независимо отЪ величины і а слѣдовашелвно при каждомЪ
произвольномъ измѣненіи величины х , для сего требуется
с , , ж,,_д„ Э.Ѳх______________д-Эх йЭліх_Эд.бх й3.9х__Э3.9х
чтобъ было (а) Фх_^л — ,
и шакЬ далѣе. Положивъ теперь, что начальное состояніе
величины X, опіЪ коего оное измѣненіе і разсматривается, бы-
ло, какЪ и прежде, подё'тавимЪ сію величину к хЪ оныхЪ
уравненіяхъ (а) вмѣспт х, то получится столько уравненій,
скольк'о находится членовЪ вЪ оныхЪ выраженіяхъ ірункціи
0(х + і) и Ё(х 4- і) , или вЪ пюмЪ изЪ нихЪ, которое имѣешЪ
большее число членовЪ. Уравненія же сіи будутЪ содержать
вЪ себѣ столько неопредѣленныхъ величинъ, сколько находиш-
156
ся неопредѣленныхъ коеффиціентовЪ вЪ функціи $х; слѣдова-
тельно если оныхЪ уравненій будешЪ болѣе, нежели сихЪ не-
опредѣленныхъ коеффиціентовЪ, шо всѣмЪ имЬ удовлетворить
будешЪ не можно, и тогда функція 0'#4-*) не можешЪ быть,
независимо отЪі, равно функціи <р(х4-і)- ИзЪ сего разсужденія
«ЛѣдуейЪ, что когда функція 0х будешЬ имѣть гполвкс тп неопре-
дѣленныхъ коефсЬиціеншовЪ. между тѣмЪ, какЪ членовЪ вЪ выра-
женіяхъ оныхЪ функцій болЬе нежели тп, то гда удовлетчоришь
можно только числу тп первыхъ уравненій изЪ оныхЪ уравненій
(а), и, по удовлетвореніи имЪ, разность иед.іу функціями
ф(х4-і) и будетЪ содержать самую низшую степень
величины і уже тУ1®, ш. е. сія разность будетЪ вида
Г(А + Вг + С? Ч--..), которая , вЪ случаѣ величины
чоезмѣрно малой , будешЪ чрезвычайно мала. И шакЪ, при
предположеніи величины і чрезмѣрно малой , хотя мы не все-
гда можемЪ какую либо функцію 0х назначить такЪ, чшобЪ
функція 0(х 4" і) независимо оіьЪ і была совершенно равна
функціи ф(х+і); но можемЪ ее назначишь такЪ, что разность
сихЪ функцій будешЪ чрезвычайно мала, и степень сея мало-
сти зависима будешЪ отЪ степени тп величины і составляю-
щей множителя сся разности, гіЪ коей величина тп равняется
числу неопредѣленныхъ коеффиціенгповЪ во взятой для сего
функціи 0х. Кчда такимЪ образомЪ коэффиціенты функціи
6х опредѣлены будутЪ, что разность функцій ф(х4-»)
и будетЪ вида Г(А-ьВі-|-С?-Ь...), тогда мы
функціи фх и 0х будемЪ называть функціями, лрнслпіксх’у
мымп (т — і)го лорядка. .
§
ВозмемЪ функцію фх сЬ опредѣленными- коеффиціентыяи
и еще двѣ функціи 6х и /х ГЪ неопредѣ.-энными коеффиціеи-
иіами, и положимъ что мы вЪ функціи 0х опредѣлили т
коэффиціентовъ такЪ, что ф X 4~ г) — О (х -1- г) — І
{А -4- ВІ Сі2которую разность назовемъ буквою д.
Нолож.имЪ иошсмЪ, что вЪ функціи /х опредѣлили к коеффи-
цІеншовЪ такЪ, что Ф(зМ~і)—-/(х-і-і)—І (А І-В^+С^І2-!-...),
которую разнесть назовемъ буквою Д . Если положьмЪ , что
к <; т , и сравнимъ разность Д сЪ разност/ю Д' , то будетЪ
содержаніе Д кЪ Д равно содержанію величины I
*(А4-Бі-ь
Сі2 + . • •) кЪ А? 4~ 4- С7!2 4~ • • -я изЪ коихЪ первая
при величинѣ і чрезмѣрно малой , будетЪ несравненно менѣе
второй , ибо сЪ приближеніемъ величины і кЪ нулю первая
приближается кЪ ничтожности, а вторая кЪ состоянію опре-
дѣленному А'. По сему вЪ случаѣ величины і чрезмѣрно ма-
лой оная функція будетЪ несравненно ближе подходишь
жЪ функціи фХ, нежели кЪ функціи /х.
ИзЪ всего вышесказаннаго слѣдуешЪ, что степень возмо-
жности приближенія какой либо функціи $х кЪ функціи фз»
зависишЪ отЪ числа неопредѣленныхъ коеффиціеншовЪ нахо-
дящихся вЪ функціи 0л’, и равняется сему числу безЪ едини-
цы. Если же не всѣ неопредѣленные коеффиціенты опредѣле-
ны будугпЬ, ш. е. если уравненій (с;), по ихЪ порядку, взяпго
бу іетЪ менѣе , нежели сколько неопредѣленныхъ коеффиціен-
ніовЪ, то степень приближенности функціи кЪ фх будетЪ
еще менѣе, нежели каково число членовЪ неопредѣленныхъ
кпеффиціентовЪ бывшихъ вЪ оной функціи уменьшенное
единицею.
III. О нахожденіи равныхъ множителей вЪ функи лх&,
или раеныхЪ корней вЪ уравненіяхъ.
ВозмемЪ вЪ разсмотрѣніе функцію у — Р”.О_”.ВЛ ..X,
разумѣя подЪ Р, К...Х функціи первой или второй сте-
пени величины X, на кои каждая алгебраическая цѣлая и ра-
ціональная функція разложишься можетЪ, и понимая т^п,
«>р и такЪ далѣе. БзявЪ дифференціалъ сея функціи, аг
15Я
назначивъ ЭР чрезЪ Эф чрезЪ (^/Эх ишакЪ далѣе, полу-
чимЬ
^ = іиРт-,Р/. О*, к*. ..X
ох
-н иРтоп~і о/, вл.. х
-н рР^оч^-’іѵ.. .х
। • «4 •
которая функція сЪ предЪидущею имѣть будетЪ общаго дѣ-
лителя Р™ 'О? 'Кр ~ у'. ВзявЪ дифференціалъ сея
функціи у', получимЪ
=: (т — і) .
х (н _!) р^-’о^-’ак”"1...
(р ~ ,1) р^-’О^-’К^-2^. ..
которая функція сЪ предЪидугиею у' будетЪ имѣть общаго
дѣлителя Рт ‘-С \ . . у/ . ТакимЪ образомЪ по
совершеніи п дифференцированій и разЪисканіи общихЪ дѣли-
телей, положивъ что т~п^-К, получимЪ уСп)~Р\ Если вели-
чинаР будетЪ-двучленная вида ссх У-С, или «хх ВС. то по извѣ-
стности составленія степеней бпномійее тошчасЪ у смотрѣть
будетЪ можно, при чемЪ откроется и число л, изЪ коего по
извѣстности числа п изЪ числа дифференцированій получится
и а по сему и множитель Р”1. КакЪ же предЪи іу-
іцая величина уСп~+ 1 , то по раздѣленіи ея на РМ-<
получичіся (^. а по сему ^п . По раздѣленіи теперь величи-
ны у на Р^О' получимЪ вЪ частномъ числѣ К? ....X,
сЪ которою для разЪисканія ея множителей, бу де надобно
будетЪ, поступать можні какЪ сЪ начальною у. Бу де же ве-
личина Р будетЪ вида ахх-ьСх-ру, вЪ которомЪ случаѣ,
по полученіи функціи , не такЪ легко усмотрѣть можно
что она есть полна# Ля степень величины ахх-гБл'4-у> то
лрс юлжая дифференцированія и разЪи^кпиячі'я общгхЪ дѣли- ’
іюлей, послѣ ш—і сихь дѣйствій . получи иЬ общаго дѣлителя
ахх {-оХ-І-'У, а по сему п откроется, что пре іложеніия
функція у будетЪ имѣть своимЪ множителемъ («хх4~?Л' і у)т.
По раздѣленіи теперь величины у на сего множителя полу-
чимЪ подобную ей функцію, но степенью низшую, сЪ ко-
торой поступать должно, для нахожденія ея множителей-,
такимЪ же образомЪ , какЪ посшупаемо было сЪ самою функ-
ціею у.
Пусть на пр. пре сложено будетЪ разЪискать, не имѣетЪ ли
функція х*—фа*5-]- Зх5—Зх*4-3бх’—8іхг-ъ 68х— 20
равныхЪ множителей. Дифференціалъ ея будучи раздѣленъ
на $х доставитъ функцію- 7-У5—ЗфХ'-Ьібх4—і2,Ѵ34-1О§Х
•г-71б2Х*4-68, ‘ которая имѣете сЪ оною общаго дѣлителя
х3 -»-.лУх 4-здг-»>-2. Дифференціалъ сея будучи раздѣленъ
на Эх доставитъ функцію Зх* — 8х 4- 3 , которая имѣетЪ
сЬ шіредЬидуіцею общаю дѣлителя х — і. И іпакЪ предло-
женная функція имѣетЪ во первыхъ своимЪ множителемЪ
(х — і)3 , и когда предЪидущая функція х3 — -‘хх 4-3® — 2
раздѣлится на (х — г)2 пли хх--2Х-{- то получится
вЪ частя імЪ числѣ х — 2 ; по сему предложенная функція
іімІ-етЪ еще св чіѵЪ множителемЪ*(х— ?)2. Естьли теперь
раз іІо.имЪ предложенную функцію на (х — і)3 (х—а)2, то по-
лучипі' Я еЪ частноиЪ числѣ хх4~?Х— 5* Слѣдовательно'
предложенная функція ~ (х — /)3 (х— (хх 4~ ЗХ— 5).
$ І2’’
ІІреіЪидущіЙ параграфъ показываешь, что если какая ни*
будь функція имѣетЪ множителя Гт', шо дифференціалъ ея
первой степени имѣетЪ множителя рт— г дифференціалъ
втор >й степени имѣеіпЪ множителя Г771—2, и такЪ далѣе;
ИіЪ сего слѣдуетЪ, что если какая либо функція имѣеіпЪ
множителя Гт, то при І’~о не только она сам і, но и всѣ
ея дифференціалы, до самаго дифференціала //Iй сшёнени
обращаются вЪ нуль.
гбо
ГУ\ Обращеніе нѣкоторыхъ алгебраическихъ к трансцен-
дентныхъ функцій во безконечныя строки.
§ 122,
Пусть предложено будетЬ функцію (&4~Ьх -р- Сх8 4" (ІХ*
-|-СХ*4“- . .) изобразить по порядку возвышающихся сте-
пеней количества х. Назначимъ сіе изображеніе чрезЪ
А ф- Вх 4~ Сх2 4~ Юх3 -}- Ех4 -4- • • •> и взявши сЪ обѣихЪ
сторонѣ логариѳмы возмемЪ потомЪ дифференціалы, а наконецъ
раздѣлимЪ обѣ части уравненія на &Х, шо получимЪ
я[с -р- 2сх —р- зЭх2 -р- -р-. • .) , Й —р- 2 Сх -р- зВх2 -р~ 4Кл 3 .
а-|-Ьх-р-сх2Ч-ЭхЗ-|-ех4-р-. . . ' Л + Вх -р- Сх2 -р- 5x3 -т~ Ех4 —р-.. .
У ничтоживЪ потомЪ знаменателей чрезЪ поиноженіе обѣихЪ
частей уравненія и произведеніе ихЪ, и сравнивъ сходсшвенг
яыхЪ коеффиціеншовЪ, получимЪ
«В ~ лЬА
гаС —н ЬВ = п(ЬВ -и 2сА)
ЗаП -4- 2ЬС Н- сВ = п(ЬС ф- 2сВ + ЗсІА)
4<*Е 4- ЗЫ)-Ь2сС4-с?В ч(Ы) 4- 2сС 4- 3.3В 4-4СА)
и проч.
или
яВ ~ пЬА
2аС — (п — і)ЬВ 4- 2псА
ЗсЪ — (п — с)ЬС 4- 4- ЗисІА
(іі— 3)ЪТ> 4- (2п — 2)сС 4- (Зп—і)аВ 4- флеА
и проч.
откуда величины В, С, В-, Е и проч. всѣ по порядку из ’боа-
зяшся чрезЪ А и данныя величины, и оставаться будетЪ
только опредѣлишь величину А. Но какЪ изображеніе
А 4- Вх 4- Сх8 4~ Бх^ 4- • • • должно б^’шг справедливо
ІС I
для каждой величины х. слѣдовательно и для х~о; почету
полеживЬ ка-гЪ вЪ семЪ ..зображеніи, ніакЪ и вЪ 'а \-Ъх + сх2
X —о получимЪ А~ап; и іяакимЬ ібразомЬ онр дМимЬ всіхЬ
коеффиціеннп вЪ, А. В, С и проч. чрезЪ експоаенш^ п и Косф-
фиціеншевЪ а, Ь, с и проч.
§ 123-
Гу'ггь еще предложено будетЪ изобразить вЪ безконечной
,а 4- Ъх Ч-схаЧ^- ЭхЗ Ч . . ,,п
строкѣ величину дроби (а~4Г6х-рух и2 а*з ч-.’ по І1ОРЯД*У
возьышаіпщихся степеней коли е-шва х НазначиѵЪ сію стро-
ку чрезЪ Л 4- Рх4- ( х1 4-Вх3 +. попи-м», какЪнпрежіе,
возыиемЪ сЪ обѣихъ сі"оронЪ логариѳмы и ихбдифф реиціалы,
то по раздѣленіи ба Эх получимЪ
«(?>-*-ѵсх -ѵ- зЭх2-4- 4схЗ-4-*. . .} п(6 + "'У* -+- 46x3 Ч— • • .
л4-6х-4-схх-ндх<-Ь- ех4 ч- . . . а Ч~ Сх 4~ Ухх ~і~ бхі 4~ ех4 4- . ,
___ В Ч- ;Сх Ч— зТ)х3 -4- 4ЕХЗ Ч- ....
А Ч~ Вх ч~ *~хх ч- ЬхЗ ч- Ех4 Ч- ... 9
откуда, шакимЪ же образомЬ какЪ и прежде, коэффиціенты
В, С, О, Е и проч. опредѣлятся чрезЪ количество А, кошо-
рое будетЪ (а)П*
§ Х24^
По данному отношенію г~х4-2^ гдѣ г е^ть фѵнкцтя
велкчичь- 2, изобразишь величину г чре Ъ х и у по поря ЧУ
возвышающихся спипен'й величины у. ВзявЬ онаго уравненія
сЪ обЬг хЪ сиюронЪ дій’ ференпіалы пюлучиМІ Эй-Эгч-ХЭуч-у Э/^.
Назначимъ чрезЪ и получимЪ Эх^Эхч-ХЭуч-у/^с^*
или (1 —у27) Эх г_ Эх 4~ По какъ величина г есть-
функція величинъ х •• у. то п § 96 будетЪ Эхг(^х)Эхч-(^)Эу,
по сему будетЪ (1 — У^} 4"' +"
Предпол іжи*Ъ щеперь величины хьу незіайысимыми,’пелу чимЬ
Частъ III. 81
162
О ~У^Хдх)-1» и (откуда получится
(д>)-°»илѵ‘ (%“Х)О~У©-0, Теперь, поелику при у~ о, г~х,
на значимЬ 2 ~Г /эу + і]уу -ф- Ру3 -ф- <?у* ф-.. . , разумѣя
подЪ р, і]гГ и проч. функ'ціи одной величины х; то получится
/Э;.\ уд, +з>Эд-4-з>ЗЭг+^4Э$Ч-... ,д^\ „ „ ,
— к --------------• (й)гР+29Г+3<ГГ+4<Х’н---»
кои величины когда подставятся вЪ предіид^щемЪ уравненіи
часшныдЪ дифференціальныхъ содержаній, то получится
(ру+^ГН^ЛКуЧ- •••) (1.4-3^^ + ^+^ + -)
— (РУ -Н 4- Згу3 -ф- 4<уу* 4- ....) — о, или
(р-Нгг+гГ-иу>+...)_ (д+8^+
З-Ѵу2 —ф- • • •) — &у откуда чрезЪ сравненіе коеффишеншовЪ
одинакихЪ степеней величины у произойдутъ слѣдующія
уравненія
г,_ Р^Р--эр2
Ч - 8х -гЭх
ог __ РЭі 4- ддр_ дра
-- дх -------- дх
О ___ рдг -+- дЭд Ч- гдр _ дрг+^дд2 _ д(рг-+ тгдд)
Л<У - дх --------- дх ------- дх ~
__ рдз-і-ддг-р- гдд-і-^др д(рі-І-дг')
4Г — аз 4^'
и проч.
или Я--7^дІ
__д-ррдр___ Эд.рЗ
і.і. дх2 " і.і. 2-дх2
__ д(рЗддр-+-уррдР2') __ ддірЗдр') _ Э7 рл
1.2 у . дхЗ і . 2 . з . дхЗ ' і . з. з. 4 <хг
__ д(р$ д?р -4- ізрЗ дрддр -4- і2р2ЭрЗ) 84. р*
і . а . з . 4 . дх4 і.2.3.4 5.8x4
и такЪ далі е.
Остается только теперь опредѣлишь величину р. По
іоелнку ^~х-}-2,у, илих назначить X чрезЪ /з. 2 —х-фу/і.
ібЗ
вЪ гоптромЪ изображенія если еЪ функція /г потстакичтся &>/-
иое изображеніе величины г. П)о полу чпиіся гі-х ру'х-д-у/г);
по сену коеффпці'чиі.Ъ у шрьвой степени, независимый ошЪ у,
СуденіЪ /г, ню есть шгкат ;кс функція величины х, какая
ч^ункнія Ъ величины г. ПлзовемЪ сію функцію буквою X,
то будетЪ р —_ X ; а по сему
і Ѵ„ і 3 х2 „.2 : 33X3 л-? і ЭЗ.Х4 я,л !
ъг— х -} іХу "+• І-2> 3.3х2} ^~і.2.з.4.эхзУ + •••
Если наир. будетЪ г~\-а зіп. г, или г—х— а зіп. г,
и потребно будеіпЬ опредѣлить величину г но порядку воз-
вышающихся степеней величины а, то будетЪ
дд ііп. хЗ «4 Э3.'іп.к4 ,
дх 1.2.3* с)ха
• ' а2 Э. зіп. х2 аЗ
Ъ — Х—а яіи. х н- —.
" І о
3 4* дхЗ
§ 125-
Положиво опять г“х4-уХ еслибы надобно было изо-
бразишь вЪ безконечной строкѣ , Простирающейся по возвы-
шающимся степенямъ величины у какую нибудь функцію <02
елнчины 2, то бы получили ег~(0іх + у2' Пусть ф2~и,
то будетЪ ЭіХ—Э.ф^ — ф й.Э’Х2 или (^х)Эх (|^)Эу — ф/2
((12 @ » откуда получится (|^) — ф?2 (^) и
• " /3“)
/Э«\ /К/,/3г;\. т ''дх' 'Эх7 ‘
Сд? —- Ф слѣдовательно Но какЪ здѣсь
\ду) \эу
величина г глаже функція величинъ х и у, что и вЪ предЪи-
дущемЪ параграфѣ, шо подстакивЪ оттуда вмѣсто содержанія
(Зг)
^7дк содержаніе получимЪ (г—-х)(^) = (~).
Поелику при у~б, или н—фх, шо назначимъ
и гг;фх Н- Ру Оуу-|- Ву3 -р- 8у* + • • -
или
и ~ X7 -ь Ру -у Оуу 4- Еу3 4- Ву‘ 4 -. ;
Ібд.
разумѣя падЪ Р, К, 8 и проч. фѵнаіи одной величины х,
пі > будеілЪ
______ ЭХ'Ч-5<ЗЭіІ-4-4- • . «
'й :_дх
&) - р + *Г-Ѵ’ + ЗКу/ + 48/3+ •
По хгшавпмЪ сіи величины в'Ь уравн ніи - X) ~ у (|?) ,
взявЪ величину г — х изЪ предіидчщаю параграфа, то полу-
чи мЪ
(Хг + гу + ^т. >’ + •• •)
= ₽Г + ейзу 4-ЗВ/’ 4- 48/< -+-...;
а изЪ сего
р —
дх
с0 ___ дХЭРЭх -4- Э’-'ЭХ»
“ ’ 1 . 2 . Эх2
2Р>___бХ^ОЭх2 -+- зЭ ’УЯЭ^Эх -4- ЭХ' ээхз
1.2 3 . дхЗ
. о __ аГ’.ЭаЭхЗ -4- і;ЭХ ЗО^Эх2 -4- 4дЭ Х'З^Р дх -4-ЭХ\ ЭЗ^*
— “ і . а . з . 4 . йх+
И ІіроЧ.
ИЛИ
р — хэг
-- дх
~___2ЖХ^Ѵ-+- ЭѴдХа-і- ;Х2ЗдХ' __ дЭХ'ЗХ2 -4- гХ-ЭЗХ
' і.а- дх2 ' і . а . Эх2
_ э<х'дх')
Ѵ -- 1.2. дх2
о-п зхаэ(хаэхэ-4-гУахухэх-")ч- эзгээхз
і . а . 3 . дх-і
п аэ(хздх')
1Ѵ - 1 . 2 . 3 . ЭхЗ’
с< ЭЗ(Х4Э П
1.2.3 4 <3x4
И Проч.
По сему будетЪ
Фг = X7 4- г 4- Л 4. у» _і_ . •
Ібі
Ня пр. если какЪ и прежде будетЪ г—Х—а&іг г, и тре-
боваться б, дешЪ опредѣлишь піаніснсЪ ^гла г* іо порядку
во->вышноіцихся сщрі'енся количества д, т > будетЪ X -Іал^.Х9
X ~ Л/7. Т, д\' — Э.С ’гУес. X2, а по сему
. , а зіп х .
іан&ъ~іал<& х- С8І.ѴН
у . эс^аг5- *а1
. а * Эх
1 Э^ІИ^ X3 зіп. X2)
і . ! . з . 4 а • ѲхГ
I дЗ ЭЭ'ІСП^ Х55’ИхА
1.2. і
Р- Выт-исленіе нѣкоторыхъ рядовЪ шселЪ.
§ 126.-
Приложеніе дифференціальнаго изчисленія кЪ изображе-
ніямъ синуса и косинуса во мяОжиіпеляхЬ , представленнымъ
вЬ § 38. пк е. кЪ изображеніямъ
• т _____ тп
ІІН. 7Г ~ -
2П аП
ТП іп
СОІ'. 7Г 223 (-
доставляетъ способъ вычислять величину весыиа ыниГихЪ без-
конечныхъ строкЪ.
ВозмемЪ вЬ изображеніи синуса сЪ < бѣихЪ спгоронЪ лога-
риѳмы, и потомЪ, трактуя величину т измѣняемою, сЪ обѣ-
ихъ сторонЪ дифференціалы, шо по раздѣленіи на "дт, полу-
чится
ЧТ , тп, ___ I т . ' » 1.1
- СОІ.- 7Г Г22------7~----Ъ- — --------------г- — . . .
лп іп т 2П^—т 1 2П—рт 4П—т 1 4П-Нт
ІІазвавЪ величину — СОГ.-^ТГ оукв> ю М, и бравши дифферен-
ціалы сЪ обѣилЪ счіоронЪ , трйктѵя величину тп измѣняемою,
наконецъ дѣлизЪ по порядку на Ът, Здт и проч. по-
чймЪ
Э7Д ___ і । і, і । 1 । т,і
Эт
_____________________Н_____________________I________
1.2.йеп2 ТП.І (2П—тп-)3 (2И-1 т} і ()Н—яі)3 1 (4П-Ьт}3
8.Ч5Т _ і । ’ , і ! і
і.і-3 дтЗ т+ * (2п~т)4 ’ (гп-І-т^' 1 (4п—яі)4 ’ (^п-і-тр
тп”2 1 (гп— т)2
2П '
?П--ТП
ЗП -
4П—Ш'
4П '
Зп
$П----171
5П -
5ПЧ-7П.Ѵ
5п /
' (4*ь-т)® (іп-^т)2
кбб ==я
и і ообіпе \
Л-г,. ' '
д __- 1 ’—~ т _ I 1 * *— 1 1 ’*’
--- Гі. V " А ‘ , -& ' , . -Л ’ *’*
1,1.3. .[к—і)8«* Яі («и—”1] (ап-4- тп) (4п—та)
гдѣ верхній. знакЪ принадлежитъ кі к нечетному, а нижній
кЪ /і четному.
Подобнымъ образомЪ изЪ изображенія косинуса , трактуя
величину т измѣняемою, и взявЪ сперва сЪ обѣгхЪ сшорочЪ
логариѳмы, а потомЪ дифференціалы , и раздѣливЪ на —Эт
ПолучимЪ
ТГ , И I I . I I . I I.
- іапе. г—— --------------------------1—Ь-------------і—
ап п п —та. пН“Пі 37і—тп зпЧ-т 1 571—тп 5пЧ-тп 1
тт т л. ФИ _
Н\звавЪ теперь величину — СЯН^. —7Г буквою л% и брав-
ши дифференціалы по измѣняемости величины т, а потомЪ
дѣливЬ иэ порядку на Эга, еЭт, Зат и такЪ далѣе, полу-
чи мЪ
эм'_______ і______।____’____.______*__।_____»____.
от' (п—т)" ' (п-)-и)2 *~Сзп—’ (зпН~’»)2
ЭЭѵ:' - '____г_________І_1____ _____I_ |
і.2,Эр.“ " “ (п—т)3 (зп—тп)3 (зп-Ьт)? • * * *
И вообще
Тм' ________ і , і » »
_____________________Т~~ ‘ Ь— ь Г
• . 8.3 . - • — і)дт_(ѣ—тп) (ті +-т) (^п — т)' (зп +-т)
гдѣ знакЪ + принадлежитъ кЪ к четному, а — кЪ к нечет-
ному. * '"ІГ. о
ИзЪ коихЪ изображеній чрезЪ п~лш, и подсшановленіе
вЪ ьихЪхвмѣсто всѣхЪ пѣлыхЪ чиселЪ по порядку, начиная
еЪ 2 , получимЪ изображенія множества разпыхЪ суммѣ имѣю-
щихъ во числителѣ единицу, а ьЪ знаменателѣ одинакія сте-
пени чиселЪ идущчхЪ вЪ извѣстномъ порядкѣ.
Подобнымъ показанному образомЪ можно трактовать ве-
личину п измѣняющеюся, при т постоянномъ , и тогда полу-
чатся изображенія другихЪ рядоьЬ чиселЪ; можно такожЪ
трактовать измѣняющимися іпо и другое изЪ чиселЪ т и п
одно послѣ другаго и получатсд изображенія н-'еыхЪ ряд-овЪ
чиселЪ, і
=яйл . * 16 7
§ 127.
, га . • г4'
Равномѣрно и изображеніе строкЪ 1 -р- — ~т* •;—-—-—•
-4- ------------ и 2 1Ч---------------------------1---------Н ...),
• і . л . . . . 6 1 ' ' 1 1.2.3 1 ,-3-3-4-5 * 1,2.7 1 1
х, —ъ -х —•х.
- _ е -Н е е —- е
кои по § 22 и 28 означаютъ тоже, что -----------------» -----,---
представленное во множителяхЪ, то есть
чрезѣ іюдсшановленіе изЪ нихЪ вЪ первой 2_____уп7Т, а во віяо-
рои X—’ 3 я обращеніе чрезЪ шо в»
2іг
•пп 4-тт\ .9 пп-4- тт-. ,і$пп +- тпг
> пп і \ 9пп ‘ \ гупп ‘
- п гр. /пп-+-’И’П\ /4пп-}-?пт\ /9«п-р-тт'
п \ пп / \ 4ПП / \ дпп.
трактуемы будучи вышепоказаннымъ образомЪ дссшавяшЪ
способъ кЪ нахожденію сумлЪ в.но\ихЪ различныхъ сшрскЪ,
И дѣйствительно если возмутся сперва-сихЪ изображеній
логариѳмы, а іюіпомЪ дифференціалы , то по раздѣленіи сЪ
обѣихЪ сторонЪ на получится изЪ перваго
/
т^і
ліпп тт
168
изЪ втораго же
7Г Т , I
х —— ------[----------
ітп, м * пл-^-ттп
упв-і-тт
Есп назначимъ величину первой изЪ сихЪ двггхЪ послѣд-
нихъ строкѣ буквою М, а величину второй буквою Мх, що
и ‘лучимЪ
ЭМ ~ ц- і . г > і
* атдт (ппА-тт)2 ’ (дпп-Ь-тт)4 *"* " (гупп + тт)'2 * * *
т л/ЭМ \ • _____________і___ і_____________।_______і_______।
і,тдп хтдт' ' (пп+тт)? 1 (дгні-,-тм;3 • \^5ппч-ѣіЛ)3
и шаі Ъ далѣе. <=. . . *
Эм' ____ » . > • т , । .
| д — - — | >. ——-I - “ - — “ ‘
2Т?іот ' атп.4 1 (пп-р-татп)2 ‘ (4пп-+-7П7?і)2 1 (7 п п-(- т.т')2 г *
___] 'л/^мЛ_____ 1__[_________’___ [ __1 । »_______і
8тдпі ' \2гпдт‘ ат6 ' (пп-ртит)З (4пп-|-іп7п)3 I (цпп-і- пт]3~*
и такЪ далѣе.
Іл
ОТДѢЛЕНІЕ ТРЕТІЕ
Интегральное нзепсленіе.
КНИГА ПЕРВАЯ
ОбЪ интегралахъ разныхъ дг фферениіаліныхЪ фцнкъди.,
§ 12 8.
ВЪ § 5ф ♦'казано нами, чгпо интеграломЪ каждой разно-
стной функціи вообще называется та самая функція , коея
разность соітавляеші оную разностную функцію. ТакимЪ же
образомЪ и интегралоліЪ таксой дифф ерінцгаліноіі функціи
на^ываіпня та іа.мая функція , ъоея дифЛсрснціалЪ есть
оная Днффе? енціа иная функція. Пусть д» фференціалЪ ка-
кой либо функціи V, есть Vх, то фун ція V вЪ разсужденіи
ді фіферсі ціальі ой фуньпи Vх есть ея интегралЪ. Для изо-
браженія интегр іловЬ ра>иостиыхЪ функцій употребляли мы
Греческую букву 1; для изображенія же интеграловъ дифферен-
ціальныхъ функцій употребляй ь будемЪ Латинскую букву /,
ставя ее предЪ тою дифференціальною функціею . г>6Ъ иитс-
іраѣ коея говорится; такЪ на пр. изображеніе ф\ / означать
фудеші, что здѣсь югорится о той функціи, коея ді ффе-
ренц'алЪ есть функція Vх, то еспь естьли Vх есть диффе-
ренуі/лЪ функціи V , то будешЪ х означать самую вели-
чину V.
§ *29« '
Что грмнадлежип’Ъ до разЪисканія иишегралсвЪ гредла-
гаемь’хЪ ди<|ференціальньіхЪ функцій, іьо сыио по себѣ лв»
7всть Иѣ за
ешруеіпЪ, что основаніемъ сего служить доажн"1 познаніе обра-
за ироизх ж іенія дифференціал'ові функцій изЪ сихЪ самыхЬ
функцій ; такЪ ч.чіо зная, какая функція какой п(1 мі-
водитЪ дифференціалъ, естьли В'шрРшимЪ еЪ ’іислѣ предаа-
га мьхЪ дифференціальныхъ функцій шакую, о коей извЬсніно»
чні > она есть дифференц'алЪ какой либо функціи, то сі і по-
слЬдняя функція и будетЪ ънтегра^Ъ оной дифференціільн А
функціи. ГакЪ на пр зная, что Эхсоз. х, есть дифферен**
цылЪ сипу а дуги х, справедливо заключивъ и на борошЬ,
чті) ин.негралЬ дифферента ьной функціи Э.с соз, X есть
зіп х. шо есть х ~ іііі х; или , зная ч-ш> дифферен-
і .льная функція дЭр рдд есть дифф> ренціалЪ величины
рц имЪемЬ право заключить наобі.ропіЪ,-чіп » н‘чп-гра «Т диф-
ференціальной функціи ддр । рЭц есть рд, ш. е /\,д$р рдд)—рд,
§ іЗ0»-
Но при семЪ же не должно позабывать того, «то .естьли
вЪ составленіе какой либо функціи V входишЪ особеннымъ
ѵленомЪ какая либо постоянная величина , или трактуемая
постоянною, то сей членЪ не участвуетъ вЪ произведеніи
дифференціала \7 оной функціи V, и дифференціалъ вЬіхо-
дишЪ таковЪ, какЪ бы сЬ оной функціи V ш..го постояниаю,
или постояннымъ разсматриваемаго, члена со в ѢмЪ не было»
Олѣдов’.шельно е ніьли мы кЪ интегралу как< й лино диффе-
ренціальной функціи содержащему одни т лько изуьняе-
иые члены , придадимъ какую либ ) і о пр-'изв олетЮ постоян-
ную величину, или функцію іп'й вел чины, которая разсма-
триваема была вЪ ііроі вхожденіи дифференціала постоянною ,
то дифференціалъ <ей функціи увіличеин: й послѣ Произволь-
нымъ постояннымъ членомЬ , - или произвольною функціею- ве-
личины разсмчпіриваем >й н< сті-янною, будетЪ таковЪ же, какЪ
к. оной фу нкціи содержащей одни только измѣняемые члены.
Но сему дабы получишь такой иншегралЪ іифференціаль»- й
функціи Vх, который бы выражалЪ функцію ее про /з во г я тую
зе всѣхЪ случаяхъ вообще, вЪ какихЪ она іпотЬ же дифферен-
ціалъ V' произнеси ь м <же.п'Ь ; надлежитъ всегда кЪ измѣняе-
нышЪ члсиадД) полученнымЬ изЪ оной дифференціальной функ-
і7і
міи Ѵ>, присоединишь членЪ произвольной составляющій по-
стоянную величину, или функцію той или тѣхЪ величинъ ,
кои при произхожденіи дифференціала трактованы были по-
стоянными; и симЪ образомЪ выраженный интегралЪ диффе-
ренціальной функціи V называется вЪ разсужденіи сел функ-
ціи Vх ея .чолныліЗ пнте.гра іоліЗ. ТакимЪ -бразомЪ есшьли
интегралЪ какой либо дифференціальной функціи Vх, Содер-
жащій одни измѣняемыя члены, бу іешЪ V, то пишется
У V -ф- Сопзі., изображая чрезЪ Сопзі. произвольную по-
стоянною величину, или произвольную функцію тѣхЪ вели-
чинъ , кои при происхожденіи дифференціала Vх разсматри-
ваемы были какЪ постоянныя. Есшьли для величины Сопдс.
назначена будеиіЪ какая либо опредѣленная величина или
опредѣленная функція тѣхЪ величинъ, кои при происхожде-
ніи дифференціала V разсматриваемы были какЪ постоян-
ныя, или нуль, то тогда интегралЪ опаго дифференціала V'
называется его гл тнылЪ гінтеграюаіЗ. ВЪ частныхЪ же
Сг.учзяхЪ оная во еще назначаемая величина чрезЬ СоплС.
опредѣляется по извѣстному состоянію интеграла при извѣ-
сти мЬ отн >шен;и между измѣняемыми величинами функціи V
на какой либо частной случай.
I
СТАТЬЯ ПЕРВАЯ
О67> интегралахъ алгебрашескихЪ и трансценденпіНЪіхЪ
дифференціальныхъ функцій одной излііняелюп величины.
I. ОбЪ иппіеграл«хЬ дифференціальныхъ функцій У*дх,
чЪ коихЪ Р есть раціональная функція количества X.
§ І3>.
ВЪ § д7 выведено нами, что есшьли у ~ ах -|-Ъ3
шо Э/ — стх Эх. ИзЪ сего слѣдуетЪ на оборотЪ, что
дабы п ѵню'мѵ -дифференціалу вида апхп~ 1 Ъх найти измѣ-
няемую Члсіць ах11 иііпіегр ла его, надлежитъ, ошн.івЪ Эх ,
• лСііоненша .»— і количества X увеличишь единицею, шли, чшо
*
172
іый^етЪ на то же, вмѣсто множителя Эх ввести множителя
X, и на полученное чрезЪ шо число множителей п раздѣлишь
жоеффиціента па предложеннаго дифференціала, чрезЪ чп»<» и
получится ах*. ГакичЪ образомЪ естьли бѵдешЬ Э/—аХтЭх'у
ах771 "*“1 а.
шо будешЪ У— т_р^-Ч-СОПдТ. Дабы опредѣлишь произволъ'
вую посщоян ую величину такЪ, чгп >6Ъ она кЪ каждому ча-
стному случаю приложена быть могла, поло-жвмЪ. что инше>
гра Ъ начинается при х~Ь, т. е. что при х~1 веѵчпна.
у~о, то на сей частной случай получится О—— л-С00Ді.,
„X «’>’П-Г*Г
а по сему С0Н6Т.—------—
Ь — о,
шо Сопяѣ — о
. Естьли
то есть естьли- интегралЪ начинается ьмѣстѣ сЪ хг
Оное изображеніе, интеграла -----------—----------для дифферен-
771-ч «
ріала ах оХ простйрае’ійся на всѣ ек.споненпіы т выключая
ѴП——1. Естьли на пр. Эу*—Х2дХ‘ѵ то У—
ди ду^^-(ідх> или
-» адх
®Г = А - "г
з—, есшь-
Ъу—ах°дх, то у-— а(х — Ь);
— X -+ і -—
— X л а!х — Ъ
• дг Г, ПІС /
естьли
Но естьли оу— — —ДХ ?Х, то1 оное общее изо-
- ____<Х°—6°) ___ а(і — і) _ о
Пряженіе иншеграга доставить- / — "Т^— — —і—і——6 *
кот рое изображеніе никакаго- опредѣленія величинѣ у не дѣ-
лаешЪ- Ьіа сей случай § іосій показываетъ, что искомый
интегралЪ бу ешЪ у~есІ х У СоляСц. или, положивъ, что ин-
тегралѣ начинается отЪ X — Ъ. и опредѣливъ чре Ъ шо
Сопз^ — — а/. Ь, получимЪ у — а (/'. х— I. Ь\ — аі. ВЪ
аГ*™-!-1-- рт-ЬП
ироиемо, и оное общее изоерэж! ніе ---т [ ;---интеграла
ляффере нцівльной функціи ахтаах, кЪ сему же самому закліо-
ненію насЪ привесть можетЪ, естьли дадимЪ ему такой вилЬ,
жЪ кошорокЪ оно ошЪ множителя, обращающаго вЪ ономЪ слу-
чаѣ числителя и знаменателя вЪ нуль, чрезЪ лѣ еніе ихЪ на
него, очищено б}детЪ. На сей коьецЪ положимъ вЪ семЪ
сс(х^ —
общемЪ изображеніи тф-і—Л, шо будешЪ У——-------------
извѣстно изЪ Алгебры, что
Н»
хз
Ьх= 1+ )1.1 -фх(/. 6/ 4- 4-3- (4.5/ 4-...
По сему оное общее изображеніе, по раздѣленіи, числителя й
знаменателя на Л, обратится вЪ
Положимъ теперь л~оя,
получится у ~«(2х— І.Ъ) или у — а.1.3
т. е. т4-і~о, или т.“—і,
у. Или иначе, по*-
е(хт+г— ртН-1}
----_ т—----вмѣсто
шо
ложимЪ Ъ ономЪ общемЪ изображеніи
х и 6 количества і-Ьг и і + с шо по раздѣленіи: на- числи-
Шелл и
знаменателя пгрі нсл> швея
2з
/ 1 1.2 1 1 . . 2
т(т—г) (т—а)
__ 2-3-4
~ (с-і~ — С2 -і-т{т~'>с* Ч- ТП(7П'~ 0 ~~
1.2 ”1 I . 2-3 1 - 2- . 3. ф
положимъ теперь т~—і, тс б}детЪ
— ?2а -ф- | X* — ? X* -4- і х5" — 52е /
?—(с—?с2-к4с’ — іс4 Ч- ?су — |сбЧ- .. .))
ѵ 2 4. 5 о 1 /у
что, по- юказанноиу Ъ Алгебрѣ, значитЪ тоже, что в
у — а(І. (1 Н- »}' — /. (г -у с)) — а, (I. х — I. Ь) =^аІ. ~ ,
жако и прежде.
Зная теперь,. какЪ разЪискатъ интегрялЪ каждой с почлен-
ной дифференціальной фуь цшвила- обхтдх, моячмЪ разЪискаті»
мншсіралЪ и каждой многочленной дифференціальной функціи се^
>74
стоящей изЪ членовЪ онаго вила. Для сего наллежитЪ только
разЪискашь интегралЪ каждаго члена порознь; и тогда цнше-
гралЪ предложенной функціи будетЪ сумма игіиіеграловЪ ссѣхЪ
оныхЪ членовЪ; ибо дифференціалъ многочленной функціи , по
§ 5? равняется суммѣ дифференціаловъ всѣхЪ ея членовЪ.
На пр. есшьли будетЪ —(хх 4- -^-4“ж3) Эх, то у~|х5
4- а/.х — ~ - 4~ Сопл.
§ іЗа.
Пусть будетЪ Эу ~ адх(]~ 4~ ё**} • Назначимъ, /4-^'Х
буквою г, шо будетЪ §Эх~Эг, и Эх_
Эй л П и
е; по сему с»/--7, с)г;
и на основаніи предЪи.іущаго параграфа получится .у ——
I р ____ «(/-*-ех')4 -Ь1 Р ТТ с •/ - 1
4~ — —г—г~<—" ~і~ Изображеніе сіе также какЪ и
представленное вЪ предЪидутемЪ параграфѣ, приложить можно
ко всѣмЪ случаямъ , вЪ КоихЪ п означаешь цѣлыя числа какЬ
положительные , пмкЪ и отрицательные, выключая п~
- -\ ________________________________адх,___« дъ
и для сего послѣдняго будеиіЪ оу~— -я—- слѣдовательно
і;
У ~ ~ ІО& к 4- СопЛ. = ~ Іо^. 4- &х) 4- СопЛ.’, для
опредѣленія же вЪ семЪ случаѣ посгпоянн й величины Сопзі:.
положимъ, что величинѣ Х—к гоотвѣіпспівусшЬ у~і, ш » по-
лучится І ~ ('/ 4- 4- Соп^І.; слѣ іовательно
Соп8і. і | /«е- (/ -+- и у~- 1 •+ ’-ь йг)
— Іо^. {{ 4- — І 4- “ 1^- СІР-
Есшьли ду — адт(/4~ дх? то вЪ семЪ случаѣ,
При п положительномъ , не остается другаго средства разЬи-
скаіпь интегралЪ, какЪ возвмсигпь /4 в^‘ Vю степень, и но-
множивЪ всѣ члены на ах™ с>Х ра-’Ьиі кать , но предЬиду щему
параграфу, интегралЪ каждаго члена порознь; коихЬ сумма
>75
*
увеличрнйая пос поянчымЪ чаеиочЪ и будлніЪ искомый ингпе-
гра \Ъ. ЧпюжЪ прина-гл< жи і.Ъ до гпЬхЬ слѵчаев'Ь вЬ кчиЛ с
величсна отрицаніе\ьна>, то обЪ нихЪ говорено будешЪ- ниже.
5 ’ЗЗ-
Естьли Э/пХХ^Х, разумѣя га»Ъ X іг.акЪ иХ какіе
лі’б цѣлыя и рацгональ-.ые функціи величины х , іп« , когда
/ ЛЯ-Г^аЭХ, по § 98 получится у ~ ",~7-7" ~Ь Соп&. ,
ъЪ случаѣ же чм?ла Н —— 1, гп. е. когда Эу— по §102 по-
лучится у —а'О^ X 4~ Сс/П.ф. 11а пр. когда Эи—(и—Х.дХ
, *
[2ОХ — XX) , 'по назначивъ 2аХ — XX буквою X получимЪ
ЗХ —2^й — ХуЭг, а по сему Э/— -X ЭХ, такимЪ обра-
зомъ
Когда
_______________ Хп + » . ___ (аах—хх)п “Ь1 . ,
найдется У — + С — - -к СопзЬ
-х __ (я — х)Эх -ѵ __Э’і
оу — ах—хх * ,п” будетъ оу —2Х * а пс сему
У — *Іо&Х —|- СсшЬ, ~ Іо& ]/Х + С'ОНііі. • Но к<гда'-
Х7<)х не ~ асгХ , піогда при п положителып мЬ не остает-
ся другаго средства разЪискашь интегралЪ, ка,Л> возвысовЪ
функцію X вЪ пю степень помножить всѣ ч ены на Х'Эх,-
и разЪисі аніь инпісіралЬ кажгаго члена порчзнь. ЧтожЪ при-
надлежишь до числа п отрицательнаго, шо о с«.мЪ юворено'
будешЬ ниже.
§ >34-
-п - - ГРх)Эх „ _
Пусть будетъ у—а с~~, то вЪ случаѣ томЪ , *
кбгда (Ан-Вх)Эх±аЭіа-е6х-ьС^х), шо гсть Ач-Вгга(Ь-ъ2Ст)э
піогда назначивъ СІ-і-Ьх-і-СХХ 6}квою X получимЪ Э/——*
а по сему у — аІо§. X ~г С —. а Іп^ (а 4- Ьх -Ь схх) ~Ь С. •
Естьли (А-р- В.г)3г: не аЭ(« -ф-Ьт-4- СХХ) , и при
ШомЪ ЬЬ>4асі яшда а -У-Ьх -У СХХ разобьется н? двухЪ
176
иножишелеЙ (/+(ПЧ-ЛГ) , функція сь^кГ
раалсжится на честные дроби уц_~^4 ь~_ ошЬ чего по-
л,_____________ аЭх । еЭх . _
лучится ду—и по § 1З2 наймется
У — у /о5- (/н- &) Ч~ *- /о§. (А-Ь^г) Н- Соыі.
’ = Іо& ((/4- §х)? (Л + Ах) 1) 4- С.
Е' Ш’ли ЪЪ < 4ас. и слѣдовательно а 4 Ъх ч- схх ви ха
аа. 4- 2а&х СШ. /4- ^ХХ или аайп. 4- (асо<У. 4" Ег)е,
пі тда положивъ , что а СО<У. % $ Г ~ а% ЗІП. % получимЪ
(э"Х — ади • НИ, и Эх -—: — Эх . «У//2 } э по сему
^у. (€А—оВсог^-ЬаВгап {)дг В2Э2. (6 X — аВсот
•У а€§ііп ?(і Ч-2й) 6€(і И- 22) ”• аее«п -}-аг) ИЛИ
-л.. _ В 2Э2 ( С\ — аВсоідг
°У — ев’і-нвг “г Но П0 § 133 интегралъ
величины есть | ІО^. (1 Ч~ 22); По $же 104 ингпегралЪ
Эя
величины тці— есть дуіа тангенса г, которую изобраяимЪ
ЧрезЪ Агс. Іап^. 2. По сему будеті у — ІО^. (I 4 2х)
+ '-4ет-? Агс. іапё. С-Л^т’) + СопЛ. Естьлк
интегралЬ у начинаться долженЪ ямЪстЁ сЪ х, шо есть, чт»
при х^Го, долженЪ быть и интегралЪ у~>, то для опредѣ-
ленія постоя іной величлны Сопзі. иохѵчіітся уравненіе
солл. = 4 Ю& 5Іп. Аге. іап^. (“^),
. 6ул°гаЪ 7=-;/06 Аге.
г _ ____ (А-*-Вх)Эх _____
Когда оу — (иа+а€х СО'{4-её*х/» или Назначивъ для
краткости аа-{-2 а!§ХС()6\ <^4^хХ буквою X, когда будетЪ
*77
ч (А—і-Вх)Эх
Оу—------------> тогда нахожденіе интеграла у сводятъ на
, (К-Ьах)л
нахожденіе интеграла функціи —х~ ілГ, сводя по порядку
нахожденіе его на нахожденіе интсгоаловЪ функцій имѣюідихЪ
подобнаго числителя , но коихЪ знаменатели суть отчасу
низшія степени величины ж И ді» твіппельн •, П'>>ічимЪ
_________С4-Гх __ОХЭх—(п—і)(С-4-БхйХ
что у—хп і—то будетъ су—--------------------------------+оХ,
л _ («— |) (СЧ-Юх)ЭХ—(ВХ—Вх —АП*
откуда найдется оъ:—-------------------—--------------------, или
ч (а(п—і)аССсо?^—а<і:О-ЬА-^-(г(п—і)6йС4-а(п—г)сг6ІЪ’б$.^ 4-В'х-+-(ги— з)68Вхх)Эх
X" 7
' _ Е* дх Е(ст'і4-;а6хс'к <?-і-бе-х)дх.
которую величину назначимъ чрезЪ ~^п~ ’ли ------------------------,
шог іа сравненіе схо ,ствеиныхЪ коеффишеншовЪ доставить
ур івпенія
2(п — 1 )а§С СО5. % — ааП -4- А — сшЕ
2(н--- I )ёёС Ч-‘2(л — 2'МГ) СО-У. $ -Ь в ~ 2а^Е СОЗ. %
(2П — 3) П ~ Е.
Откуда всѣ т, и величины С, В и Е опредѣлятся, и най-
дется
х-ч___— аВ -4- ЦЛ соч. %
2( п ।— і )а66Ъп.
у-) __ 6 V — аВ соч
" г(н—і')аа$чіп.$2
___ (ап — ) 64 — аВ со!.
а(п---і]«а6 «п.
<г т. - . __ ЕХЭх __ ЕЭх
іакимг оо'яз.іиЬ получится оХ— хп —хп_п. Положимъ
Т„ р +Сх । ,, о т. НЭХ
потомъ А— Хп-Та~ т- и, и назначимъ аи чрезЪ хп=^ , то
Р> Е чл Е
--- -}---Г-Т-—2 , ѵг ----------г——. ; , и
---•> а(п — .у/6 ЯП. ’ а(п — а)ааяп. л
___ (°п — і)Е . .. ____СЧ-Гх
— ф!'~ Оаа чіп.д2 ’ И ШакЪ ^ЛѢе> И °УЛега1 У ----------Х1*-’»
Е Ч-Ох . . г Лдх I
“Ьх» —~Ь • • • "+/ х~‘
Есшьли на пг. Эу~^--^_^^, гдѣ А~1, В”О,
А — 1 , б — 1 , СО<У. ~ О , а сльдовашельно 1,
Частъ III,
аЗ
ІЯО будешЪ С---О,- О--Е------\ 1---О, 0---|, Н---
и получится у = ~^.хху +
Н* 5(7^) ‘ Ь I Аі'с- іап& х + СопМ.
' § 135-'
Пусть будетЪ' теперь гдѣ М и К суть ра->
Зональные функціи количества х. Естьли М есть функція
высшей степени нежели К, то чрезЪ обыкн* зепное дѣленіе
получится нѣсколько членовЪ содержащихъ вЪ себѣ положи-
тельныя степени величины х, до х° ; кЪ к имЪ принадлежать
будетЪ дробь, имѣющая знаменателемъ Гч , и чиелишелемЪ
функцію низшей степени, нежели каковЪ знаменатель, пі. е. -
величина оу изобразится чрезЪ ТЭхЭ.Ѵ, гдѣ будешЪ V
ѵ
функція низшей степени, нежели Дробь разложится
А а а ч- Вх
на частные дроои вида или ~-или .
или -РаЛиекаЛ теперь интегралы какЪ
части 1 оХ , такЪ и частныхЪ всѣхЪ дробей, на кои разло-
жится часть ^Эг, получимЪ искомый идшегра-лЪ у; кЪ коему
какЪ извѣстно, надлежитъ еще для полности интеграла,
прибавишь произвольную постоянную величину
Пусть на пр. предложено будетЪ найти интегралЪ диф-
ференціальнои функціи ')у — СМ-х)(і Ч-эЛЛгЪ-Ж? т0 Е0 пе^
выхЪ чрезЪ дѣленіе получится часть дифференціала —(х-—і}Эх;
„ _ (ахх Ч- х8)дх
и сверьхЪ сего останется дробь рр ~ хж уц х > которая
г- С1—*>)дх —х)Эх
разложится на частныя дроои — ^Н-хху “ 8(Г4 хх)
I И-ьѴг-ь (/а--<)х)Эх , , (з —Уа-(ѴЧ Д- і)х)Эх _
*” 8(-Ч-=ч/2-+хх) 8(і—х/ач-хх) * Бравши те-
перь. интегралЪ каждой части онаго дифференціала получимЪ
Г 79
?‘Г(х — 1) дх — іхх--X
+*)
. - 5 іапе х — 1’М1 -+-**)
которые когда всѣ соединятся, то получится
у=х- ^хх-в’г(і -ух)——~^~—.Агс.гап^.х-і-^Іо^.(і-і-хх)
- й !о§. 4( > +/‘)++^гс. Гап&.(^
ч- Аге. іап&. (^) -р Сопбі.
И. Оо% іентыра іахЪ дифференціальныхъ функціи АугУ^йх^
е5 коыхі величина Р содержитъ цѣлыя и раціональныя
экспоненціальныя или логариели'лескія функціи, соеди-
ненныя или нітЪ сЪ рацюналѣнылш ф^нкц'іяліи алге-
браиіеемсими.
§ 136-
'ВЪ § і-о і видѣли мы, что естьли у~~гл.х, то Эу~аѵ^хіар
и естьли чз означаетъ основаніе логариѳмовъ иперболичгскихЪ,
которое назовемъ буквою..е, то ?у хз е Э.Ѵ- ИзЪ се о слѣ-
ду-тЪ напротивъ, что есгпьли Ъу—Ф^Ъх, шоу—°-а~у-СоП51.,
и естъли ду —- С дх, то у ~ О •4' Сопбі.
Естьли будетЪ ду а дх , то назовекЪ пх ^буквою и,
я будетЪ п, ду ЛД —а .ди слѣдовательно будетЪ
оЗ*
і8о =====
•
—к-СопзС.; когда лг духх епхдх , тогда
у ххх ^епх СопзС. Есшьли ду хх хх а ” Эх , то
У = — °піГ 4- СопзГ. хх — 4~ С. Есшьли же Э/=
ло у——-'ІХ4 СопзЕ.
§ >37'
Пусть будетЪ духХепхдх} гдѣ X есть цѣлая и раціональ-
ная функція количества х. Для нахожденія интеграла у возмемЪ
Но вниманіе, что поелику дрдХхддр-Ь-рд([, шо рдх^ддр-^~/рддх
& по сему /ддрхрд- или иначе сказать /ддрхс^р-/рдд.
ПрилсжизЪ сіе замѣчали- кЪ предложенной дифференціальной
функціи и трактуя епхЭх каН "др величину же X какЪ ц,
получимЪ уххХ.-^е —Эх_ Пусть бу-дешЪ ЗХ_Х^Г,
С дх или 'А е дх будетЪ равенЪ X .—€ —— -[в дХ .
Назначая такимЪ о5ра?омЪ далѣе ЭХЛ чрезЪ У/'Эх, ЭХ/? чрезЪ
Х/Х/Эх и проч. получимЪ
ухх-Х.е —-Х'х -г-ЛХ'е — -Х';/е -4-...-+-Соп5і;
п пп ’ 713. 1 1
или
у ххх епх(Х — Xх н- л Хх/ — Хл/ +...) + Сопзс,
на пр. е< піьли ду ххх е (ЧСІХ —хх)дх, то будетЪ
у хх е (2пх — хх — 2(а — х) — 2) 4~ Сопзі;.
$ >38.
-V _рпхдх
Еспіьли оу_—то по предЪидущему пріему, трактуя
-гп. какъ дѵ и епх какЪ д, получимЪ ух:-(~д х^~і
IВI
репХдх —»пх і • ге*хдх
/хт і—"г й-“2Ух«-=’ и ЯРЛЧ- слѣдовательно
будешЪ
пх/______«______, , п__________,___________71Я ___V
У~ ,я» -і)*17*—1 (т—і)(т—з)хт 2 (т—і )(т—а {т—з)хт~ 3 ’“•••/
_________т^~ Д гепхдх
• (т—і)4т—а)... з-г. и х ' *
,пх3х
Что принадлежите до ингпегровантя функціи —то онаго
на извѣстныхъ по сіе время основаніяхъ вЪ точности совер-
шить не можно, а производится оное чрезЪ приближеніе по-
сре ісшвомЪ превращенія вЪ безконечную строку , о чеыЪ ниже
говорено будегчЪ»
и»
Естьли Э/ — , гдѣ К и 8 сушь алгебраическія
цѣлыя и раціональныя функціи количества х, то рзЪ пыко-
выхЪ дифференціальныхъ функцій нѣкоторыя только допу-
скаютъ инше-грованіе сЪ ш ,чн >стію. Дабы увидѣть ьЪ како-
выхЪ при семЪ случаяхъ точный ингаеіралЪ бываеіпЪ возмо-
М пх
же'нЪ,. вообразимЪ, что онѣ оудепіЪ , то взявЪ опять его
„ л ___________________________ епх(пММЭх -4- КЭМ — М8М)
дифференціалъ получимЪ оу —- -----------йыі----------» или
еях(пМЫ + — М ’Ыдх
Эу —----------------—*—— ---------; откуда явсшвуетЪ,. что
Гч Рч 1
дабы ин пегрялЪ предложенной функціи былЪ вЪ точности
к
возможенъ , потребно , чтобъ функція $ имѣла видЪ
пМК ф-
---------—----------или вЪ сей видЪ приведена быть могла;.
и кчда дифференціальная фѵнкція будетЪ имѣть видЪ
к
оХ,- и допускаетъ точный. интегралЪ,. то онЪ будешЪ
м я»
необходимо вида е , для коего величина М, чрезЪ назначе-
ніе ея приличною функціею сЪ неопредѣленными к еффиціен-
шами, и сравненіи дифференціала назначенной такимЪ обра-
18а
зомЪ функціи '* сЪ предложенною дифференціальною-’фуик^
ціею ЭХ, удобно опредѣлится.
Пусть на пр. предложена будетЪ дифференціальная функ-
ція Эу^ —Назначимъ интегралЪ ея чрезЪ
—"Сопзі., то диффереиціалЪ ₽ёго послѣдняго инте-
грала будеиіЪ ------(7ч-аф»---5 лъшорои чрезЬ «равноие
ёЪ предложеннымъ доставишь «“і, &~о, а по сеяу будетЪ
искомой интегралЪ разелЪ "Ь Соп$Х.
$ 139-
-і. ВЪ 5 і.зі видѣли мы, что естьли Э}' „— пю
»у — Іой. X У- СоПЗІД или —7о§. у’ параграфѣ же 138 от-
крываетТ, что естьли и вообще Э/——, разумѣя подЪ х ка-
кую либо функцію величины х, то у~/о^,.Хч^СоП8'С. ~
2. Естьли у~^М§х1.зс; то, назвавЪ интегра хЪ функціи
Х/о'х буквою X, на основаніи томЪ, что /і]Эр—д/др—
получьмЪ у ^.У І.Х— / к сей послѣ іній интегралЪ по
§ 133 легко разЪисканЪ быть молепГЬ. На пр. естьли Х/~хп.
или Эу—х"3г1.х, ЛІО будеігЪ у=“
__ + СОПЯ. =
(п.—|— 1)
ТГ -у. -Йф Т 7 с
3. г сгаьли ду — —, то назовемъ 4.x буквою .и.;
тогда получится ^~Эи, и ду^-Н слѣдовательно бу-
•, ,ешЪ у=п-_^ -г Сопак + Сова!;
іЗ?'
4.. Естьли оу — &дх(1.'х) у разумѣй подЪ X цѣлую и
раціональную функцію величины х, или и дробную вида -п 9
шо назначивъ интегралЪ функціи Хдх буквою Р получимЪ
1 -—п/— ОХ(іО^.х') . П-ншімЪ назвавЪ интегралЪ
функціи буквою получимЪ ]—оХ\1.'Ху 2^-О\І.Х]
—— (п — 1)/^ дх\1. х) у к такЪ далѣе.
ТакимЪ образомЪ найдется наконецъу-^(1-Х)П—Г.0_(ь.х')П 1
4 1)К (Й х) — . . . Н“ №/ѴЭх I. Ху и послѣдній
интегралЪ по предыдущему легко опредѣлёнъ быть можетЪ.
Естьли на пр. ду X3 дх (I. х)4, то будетЪ у Х4(/. Х)4
— I X4 (I. х)3 + & (I. хУ —X4 I X + 3~^- X4 + С —
ІХ4 ((/. х)4— (I. х)3 4-ЦІ. х)2 — 3-~1. X + 3-^~) 4- С. Симъ
образомЪ можно пнкожЪ получишь точный интегралЪ ,кромѣ того
случая, когда ф}нкшя X будетЪ дробная вида и вЪ нѣ-
которыхъ другихЪ случаяхъ, вЪ коихЪ интегралы- Р, , Р.
и проч. не будугпЪ вЪ себѣ содержать трансцендентныхъ
фун ц ій ; чЪ проіпивномЪ же случаѣ лучше всего оный интс»
іралЪ раз'Ьискивать чрезЪ приближеніе посредствомъ превраще-
нія его еЪ безконечную\сшроку>
-Ч __ ЛОХ
5. Естьли оу _пго сія функція можешь изо-
оразиться чрезЪ ду ~ изЪ которой во первыхЪ
получится у — (п— + і ~ / (ѵ^га- Изобразивъ
потомЪ Э Хх) чрезЪ Х^х получимЪ —
4“ а) /' и иакЪ далѣе, ТакимЪ образомЪ будетЪ
і8Д ' =====
__ — Хя Х'х і *7 ,Ѵ?х.
У л-/~« (в—іХп—»Х?-*>п~а • • • ’П~ } 1.x»
ж ХЭх
то есть интегроганге той функціи ,г х-п сседется на инш<-
ж ѴЭх
грованге функціи Но интеграла сея послѣдней функціи,
на извѣстиьхЪ п> сіе время основаніяхъ, вЪ точности полу-
чить не можно, и довольствуются < тыкновенно приближен-
иымЬ иниіеграломЪ изображаемымъ вЪ безконечной строкѣ; о
чемЪ ниже говорено будешЪ.
III. СбЪ интегралахъ дифференціальныхъ функціи РЭх,
ед коихЪ Р суть раціональныя функціи дуг& х, и три-
гоноліетрііъескмхб линіи ей соогнеітствуюіцнхЪ.
§ і4°-
і. ИзЪ § 103 слѣдуетЪ, что естьли Эу — )х СО.У. X ,
или то гЪ семЪ случаѣ у ССС. ЗІП X-{-С, или
X — Агс. ЗІП. у -|- С ; етьлиже ду ——дх ЗІП. X , или
ЪХССС.--то у~СОЗ.Х-\-С, или х~ Агс соз.х-уС,
разумѣя чрезЪ изображеніе Агс. ЗІП. у или А^С. СОЗ. у, дуіи
круга, коихЪ синусЪ или косннусЬ есть у. ВЪ причемЬ инте-
гралы уравненій дх — и Эх ~ —ѴГ-уур ѵ Г-У,І1Ъ
быть изображены иначе, а именно первой чрезЪ У— ЗІП. (ХН- л)
и второй чрезЪ у ~ СОЗ. (х —к а)^ обо иЛ перваго равно-
мѣрно получиш я ду — дх СОЗ. (х -4- <х) и Эх — ?[;_И3^
втораго же д/г=—' дхзіп.(г-^а.) и Эх.— —
і85
2. ИзЪ § 104 слѣдуеиіЪ, что естьли ЭухгЭхб’сс. X2, то
у ~ ІСіп^. X С 'г естьли же Эухх— Эх СОЗСС. х2 , шэ
у’ ~ СОІ. хН- такожЪ естьли Эухх—^, то
Х^Агс іап^.Х или Х—Ісіп^/у-^-а)', естьли же Эух:—г-~,-
то у Ч- С хх Аге. соі. х, или х хх соі. (у 4- а).
3. ИзЪ $ іс5 слѣдуетЪ, что естьли д}охдхзес. ХІСПІ^. X,
иго у~зес. X + Сопзі.я естьли же ду~ — Эх СОЗСС. X соі. %3
во у^Х-ООЗСС. X ~і~СопзІ.‘, такожЪ естьли Эу XX у~ ТХ7)’
то у С хх Аге. ЛСС. X или ХХ2.' ЗСС.(у -}- а)", естьли же
дух—ут~^—;ѵ, то уЧ-СхАгС С05СС.Х или X—СОЗСС. (у-+а).
4» Е'тьли ЭухЭх СОЗ. х ЗІП.Х , то поЛѵику Эх СОЗ. X
—дзіп.Х» ЬуАегрЪ ухх-*’^-------|- С; естьли же Э|— дх ЗІп.х
п _ со;, х4-*-1
$03. X , шс поелику дХЗІК.Х~2—д.СОІ.Х, будедіЪух-
Естьли п——1, И Эухпп - , ноу^о§.-^г/о5. п а;
естьли же Эу~ шо у ——7о§. соз. хн- С - Іо^
ч
5. Естьли Э/ XX дх ЗІП. Лх, то назначивъ Лх буквою 2,
получимЪ ХЭх XX Э‘2» и ду XX у ді ЗІН. а по сему будетЪ
уххС — у соз. ® хх С — - у Естьли Эу XX дх СОЗ. \хл
то положивъ ?х=г п лучимЪ Эуху д^СОЗ.^ и у-' ^Ч-Сх-'^-ьС
б* Есть'и ду~дхзІііАх ЗІн.р.Х3 то и,одоживЪ X [X
6уд₽тЪ ЗІііАхзІпуХ—^ С03.(У~ {х)х—Д€ОА'.^Х-Ь[л)х, а по сему
будетЪух — ---Естьли ЭухдХС0^ЛхС05.[ХГ,
ІПОіірч л>м 6у,,епіЪ Со<У.ЛхСО,У.р.ХХ’СО<У.(Х-|х)х4уСОУ^Лч-р.)Д/#
Уасть 111а а4
і86
И у~- 5-^ 4 " д^.?-У С. Естьли Эу=дХ5І72 АгСОЗ.рХ,
шо при л>^ будетЪ зіиЛхсоз [хх~1зіп (Х-к|л)х-+У,<УПі.(Х—рі)х,
а при р.^>Л, будетЬ 5ІП.Хх.С05ухгі5Іп.(Хч-}х')х~і5ні.(у-Х)х;
посему вЪ первомъ случаѣ будетЪ у_Ѵ—^574.—у- а(Х-м) а
_ _ г* । еоі/іл—Х)г соі. (и.Н~ Х)х
а во вшорокЪ у — С «У -а(р _х>----------ТоГУхГ’
§ »4л-
Пусть буіетЪ Эу Эх <УІИ. X . ЬЪ семЪ случаѣ иите-
грзлЪ у или /Эх ЗІП. X можно изобразить или по порядку
умені шлющихся степеней синуса дуги х, или чрезЪ первыя
степени синусовЪ или косинусовЪ нѣсколько кратно взятаго
угла х Для полученія интеграла вЪ первомЪ видѣ изобра и иЪ
0Х ЗІП. X вЪ двухЪ множителяхЪ Эх ЗІП. X и ЗІП. X >
гяо иа основаніи /с]др~ц/др~} ]рдс] получимЪ У—“ЛН X СОЗ.Х
У (И — 1) / дх ЗІП. X СОЗ. X* подставивъ же 1 — ЗІП. X1
вмѣсто СОЗ. X® получимЪ У—-—ЗІП.Х С65.Х~У(н— 1)
(‘дхЗІП.х’ °—(П-—І^/'дХЗШ. х", или иу——ЗІП.Х 'соз. X
-у (и — і)/Эх ЗІП. X * , ибо -/Эх ЗІП. X — у; а изЪ сего
найдется далѣе У—----------ЗІП.Х СО-У.Х—]-----— ^ХЗІП.Х ,
потомЪ получится дх ЗШ. X — — ЗІП. X СОЗ. X
“У дх ЗІП. X 4и такѣ далѣе. ТакимЪ обр’зомЪ най-
депн я
у-- зіп.х :оз.х—г—;зіп.х соз.х-г---У ~ ,зіп.х созх
/ п п(п—ѵ) п(п-2Хп—4)
(п— '-(г ,),..(п- (А-1)) г -ч п —А
....... Я(»—э) . . . (П — 2))/ 0Х 51П' Х
V
187
И шакЪ есшьли число п чешное, и слѣдовательно послѣд-
ній цѣлый експонентЪ П— 2Л_ О, шо послѣдній членЪ инте-
грала будетЪ —1~ 4 а С. Есшьли же чи-
сло п нечетное, и послѣдній цѣлый експоьеатЪ п — 2Х“і,
то послѣдній членЪ интеграла будетЪ ——д”п2д” 3^*”4‘*СО$.а>4-Сй
Для полученія интеграла во гшоромЪ видѣ извѣстно, что
при п четномЬ
ЛН. Х‘Г— (сОД. ПХ — ПСОХ/п-%)х^~^СО$.(п—4)Х~~• • •
. । і <я - і) (п-2) . . і'п+а\ ,
при пже нечетномЬ
ял. х"=,п Д (ііп. пх—п зіп. (п—я)х+^"^яп.(п—4)х— ?..
-+- у+ з) ; ч
--------------------- і . а. . 3 • • • /Я
посему при п четнонЪ будешЪ
Г
зіп. пх п'п.(п—а)х । п(п — і)
п ' п—2 1 і - а
) ! П(п-і) (п-а)
------------------ 2'1' . а . з
пже нечетйомЪ
я'и. (п--4)х
п -4
••V11) + Сопіі.;
при
_ со».(п-е)х .
п—2 * і.а
со.і.(п —4)*
п — 4
ч- СОс?> х\+Соп^
гдѣ вЪ первомЪ изображеніи при п~^/і, во вшоромЪ же при
п~4Й-+-з первой членЪ имѣетЪ знакѣ при пже Ь?
-’Ь первомЪ изображеніи и при п'^.^к Ьі во второмЪ первой
членЪ имѣетЪ знакЪ —, и потомЪ знаки членовЪ при перехо-
дѣ изЪ члена вЪ членЪ измѣняются.
§ 142-
Естьли Эу — Эх СО^. Хп, шо для нахожденія интегра-
ла у расположеннаго по порядку уменьшающихся степеней ко-
24*
«88
синус. д7ги х, иаебразивЪ дхсо$ х1’ іо множителяхъ Эхсоз.х
и соз хп 1 получимЪ
у— соз.хп *зіп.х-±(п—і)[дхсоз.хп 9з:плг-созхп 'зіп х
-4- (и—і)/Эг спз. хп~ * — (н— 1) /дх СОЗ. Хп , огп.у-
да найдется у — ~С03. X ЗІП. X———^*ЭхСОЗ. Хп 9 по-
ІпомЪ найдется ]дх СОЗ. Х*'”’ “ СОЗ. Х* 3 ЗІП. X
4~ “уУ"Эх СОЗ- & и накЪ далѣе. Та..цмЪ образомЪ по-
лучимся
/=^соі.х’-^и.х+^)соі.х^и.х^&=^4Ѵо.%х"_’
зіп. х 4- . . . . Сопзі.
ідЬ послѣдній измѣняемой членЬ при п четномЪ будетЪ
"Р" »« — »"*
А для изображ₽нія интеграла у чрезЪ синусы нѣсколько
Кратно взятаго угла х употребимЪ изображеніе С03.Х ~-^~т
(соз пх-^-псоз. (и — 2)х 4-^—^- соз. (п — 4)х 4-............)*
Т получимЪ при п четномЪ -
___ 1 .5ІП.ПХ ь ---й)Х I и(п-—1} І’ПДП---4)х |
У —“а71—*х п п — а ' і . а * п—4 ' * * • ’ 4
+ + Сочзі.
ри п же нечешчомЬ
___ і /ііп.пх [ я'п-(ч—а)х । п(п—і} зіп. (п — 4> ,
У ““ я1*—1 \ г ' •» 2 і . а " п—4 • • • • »
-4-; “"г -тт " ~ '^$75 іііі. х) + Сопа.
? <43-
> ____ 9ж
Естьлж оу —зііп. х* то помножиА числителя и зна-
. .. і , _дхзіп х _ дхгіп.х
лнашелж «а 9іп X жолучииЪ ду — — ч_г~а; дробь же
V
ГГ-'аь.х» или Разложвтся И» лвѣ частныя
дриби ^-СО7Т?+*<>— см.х » по се“У бУЛ'*Л
4т377~5г7н и У=—1^-(і4-со^г)Ч- і/о&(і—тг.х)
=ІО&ІХІП&ІХ, И ПО приложе-
ніи произвольной постоянной величины у—ІО^ іап^х-і-С.
дх
Е’иіьли Э^Ѵ* —со5“, іпо положивъ Х2^І7Г— 2, получимЪ
Эу±г -- ЭЧ и у - — /ойУ-“ с~ - — ?<* і/Ѵ±^? —
— /о§ ІПН^. 1* -4-- С. — Іо& СоІ. -+ Сопуі. то есть
Г——МИ -Іо^У’-^^-Іо^.Со^- Іх)4-С
= /о§. іап& (і 7Г -р- іх) Ч- с. '
§ *4$г
Пусть ВѵлетЪ Э’л — •—ВЪ параграфѣ 14 г впчедено ,
Что /дхзін.х =—ЗІН.х” ЖСО^.Х-]-— ~[3г’ап.хп *•
г-у. . П— а , П- ’«
»о сему бу де.пЪ напротивъ ' дХ $1М. X — ~
СО<?. X —|— /дх ЧП. X . Назначимъ п — 2 чрезЬ —Л , то
6ѵ іе иЪ п ~ —(л -— 2), и голучимЪ / -У — •—< ’—. — !5’х—
ѵ л 1 • •'«п.«х *—> «п.хх—1
,4. Х ~2 [ дх .
*+- ---- I —-ВЬ прочемЪ сіе вь раженіе м жно вывесть
/Эх гЭхНІП.Х2 +-СО!.ХЯ)
у—Г У-
уга. У--------------5іп
— Г дх /-дхсв^.х2 ідхсоі.х2 гЭх соч х соі. х
-} у~-у-^/---?» н” / — # С.’іу. сг —---Г----
ЯП. ХЛ 2 '' пп. ХК ЯП. Х^ ііп Х^ (^4- )яи- Xх—в
і Г дх г дх , со?, х
— >—/-------->----у у по сему ЬулеиіЪ / ѵ—- -------е—_
х -ЯП-Xх 2 л У5гк лх (X—і)ял хА^’
ідо - -
%
ТакчмЪ же образомЪ найдется /*-------д~—~—.——^-* —
ііп. X 3 ЯП. хк
і —•+ С д* . ч . тт ~
-г гм/------Х“-+> и ШікЪ далѣе. Продолжая симЪ образомЪ
3 Я». X
далѣе найдется
і и? * X — в соі. х (X’— а) (X — 4) соі. х
ѵ- х-7‘~ ~гх— і }(х -зУ~~ ~х-з “(х-іхх-}хх^5г7 х^у~“
ян. х г ѵ яп.х к ” 3' яп.х
, (X—<)(Х—4).........(X—ат) г Эх
. * * ’ ' >—ОСХ—з) • - • (Х-(2т-і))/ііп жХ^йл*
И такЪ естьли л число четное , шо послѣдній цѣлый експо-
н?нтЪ вЪ знаменателѣ X—ап будетЪ ~а, интегралЪ же
У. Эх . С05.Х
СОСвС. X* ~ — СОІ. X — '— ПО сему шо-
лІП. X* ЗІП.Х-'
гда послѣдній измѣняемой » членЪ интеграла у будетЪ
(X—2} (X—4)........4.9 СОІ. х
(X—і) (X—з; . . с . . 3 . і • Яп.х*
то послѣдній цѣлый експо-
интегралЪ же
- — /о§. Іап^. ^13 по сему тогда послѣдній измѣняемой
Есшьлаже X число нечетное,
нентЪ вЪ знаменателѣ Л— іт СудепіЪ
/Эх
ЯП. X
членЪ интеграла у будетЪ
—1_ _ 1_("—?_ 1_~. ’.*.—3,_* 1 І0л і-пцл і т
<Х — 1) (X — з)...4.9 ШЬ' ШПЬ- о х-
Можно шакожЪ мншегрованіе какЪ оной предложенной
функціи ----піакЪ и всѣхЪ тригонометрическихъ функцій
яп.хл
сне.’ть иа мншегрі _аяіе алгебраическихъ функцій. Для сего
стоитЪ только назначить ЗІП. X — —гі.;, \ тогда будетЪ
а •“!— ии ** •
г — ьи __ аЭи
ГОУ. X — И Тч^Ти’ кои и30'3Ражеій’я оставаться
только будетЪ подставить вЪ предложенной тригонометриче-
ской дифференціальной функціи , чрезЪ чшо она и обратится
дх
вЪ алгебраическую. СимЪ образомЪ вЪ нашеыо случаѣ --------
(іЧ-э« ..
обратится вЪ — 1Т"х" ‘ ’ и интсгрованіе сея функціи у до-
98 І9,і »
бно произвесть можно по § іЗЗ, возвыснрЪ дѣйствительно
і +,ии вЪ (Л — і)ю степень, поціомЪ раздѣливъ кажд >й членЪ
ня аХ—‘иХ, и бравЪ интегралЪ каждаго члена. И дѣмсшвишень-
но будепіЪ
Э/= х',Г(их-’ч-и-хн-(л-і)(и-4н-и-!к’--5)ч-(-і^^’(их ‘
н-и-(х-4’) +.................)
г.о сему будетЪ
1 -(Х—> I? ~ 3 — .Г >Х -ЗІ
г— -Ѵ37)-----Г--------+ (л - 0-------Г ---------
й(Л --------- 1 А - 3
(X -1) (X—с) ч ъ и~(Х~& )
4-- ---------.----------> -4- ... 4~ Сопзі.
1.2 X — 5 )
Для коего изображенія будетЪ величина ,
и -1*-
§ 45.
Пусть будетЪ Э/—ВЪ § і42 вывели мы, что
/Эг соз. соз1. х‘ ~ 'зіп. х 4- /дх соз. х я; откуда
Гл п—й , п— 1 .
получится на оборотъ ]дХ€ОЗ.Х — — -—ХОЗ. X ЗІП.Х
п г и
4- - ]дХ СОЗ. X . Назначимъ п—2 чрезЪ — А, шо получится
/дх і ііп-. х , X — я г дх .
ѵ-------------кбйіорое изо-
сог.*х Х—1 со;. хх — 1 Х—1 1 соі. — 9 г
браженіе можно также вывесть показаннымъ вЪ пг с'дЪидущемЪ
параграфѣ <гі|>азочЪ , помноживЪ сперьа предложунпую диффе-
ренцілльную функцію на ЗІП. Х^ 4~ СОЗ. а . ТакимЪ же обра-
г дх і і.п. х , X—-4 р Эх
зомЪ долучится I------<—т • ч—; / ' > .
1 С05. —* Х 3 СОІ, Xх—3 А—Д*' СОІ. Xх—*
192
__ « Я*. Ж 1-----9
я тпахЪ далѣе. По сему найдется У— ^•~<х^Г,"(Х^хх-1Г
я‘а: к <Х— г) (X — 4)___________ ып' х ,
«X з “> (X — і) (X — 3) (X — 5) * со5. ЛХ — 5 "Г" • • •
( —а) (X—4). : (>-- »”> Г д*
(Х-О(Х-3)---(Х-(2т-і)р соі ^Х— ат'
И такЪ есшьли д число четное, то послѣдній цѣлый
експонеигаЬ вЪ знаменателѣ Л—2т будетЪ ~ 2, и интегралЪ
~ ]дх 6»С. Xе , удетЪ =3 ІСІП& X ; по сему
тогда послѣдній измѣняемый членЪ инпіеірала у б^депіЬ
(Х-а) (X-4) • • 4-2 «"•* т?
. ~ 7’соПг Естьли же X число нечетное, шо по-
слѣдній цѣлый експонентЪ вЪ знаменателѣ X—:т будетЪ
интегралЪ же /й71 4~ 1^) » по сему
тогда послѣдній измѣняемый членЬ интеграла у будетЪ
. (|7Г -г Iх)' Можно вЪ прочемЪ
и здѣсь употребить мсгаодЪ назначенія СОЛ'.Х” — —; тогда
найдется Эг —• ?ѵ)Эи, при івомЪ ЗІП X ~
' * і -4- ии*
ѵ { п "Ч-ѵ.——м с Т_ (14-ми)71-*Эв
йэ сему будетЪ <ЛГ_- щц, и „оратишся вЪ-------------
коед функціи ингаегралЬ оудепіЬ тошЪ же, каконЪ найденЪ вЪ
предЪидущемЪ пара<рафЬ, только что сЪ прошивнымЬ зні-
к«іиЪ; при чемЪ будетЪ и ~ Іап§. Цтг -}- |х).
§ *4б.
Естьлич ду—дх^т.Х со^.х . гг« какЬ ^т.Х такЪ и
ТП
СО8.Х мсгушЪ быть изображены вЪ сичусахЪ и косинусахЪ
нѣсколько кратно взятой дуги х; и произведена ихЪ , коего
всѣ члены будутЪ вида аіііі. лХ ІІП.'ЛХ или а$ІП .Хх СОЯ |ДХ,
или а.СО$. Хх СОЗ. рх, по § 140 6, изобразится чрезЪ си-
нусы мли косинусы многократно взятаго угла х; и тогда
ідЗ
взявЪ интегралЪ встхэ членовЪ по $ 140 получимЪ интегралЪ.
~ і т
предложенной функціи оХ «ЯП. X СО5. X на пр. «стьКи
Эу'-дхЗІН Х4СО^.Х3, шобуіетЪ 6‘ПІ.Х4^(3~4СО<У.2Х-І-СО^.4Х),
И СОЗ. X3 — I (Зсог. X + СОЗ. Зх) , ПО сему зіп. х4 соз. х3
= ^-(Зсо<у х — Зсоз. Зх — ссз. 5х -4- соз. *]х) , и
у— ^-(Ззіп.х— зіп. Зх—±зіп. 5х ф-ріп. 7л) + С
§ 24?-
„ -ч __ Эх >іп. лл __ -ч , -
Есліьли ду — дхіап^. X , і то положивъ
„ „ -ч За л гпдг -ч п~7 я~6
-ТсЫ§.Х=2, получимЪи Эуз:;—=Э«(Х -2 4-х
- кп аяЧ
—..........^2 7+а»' ’ пссл,МнечЪ членѣ будетЪ или
П — 2/77, “ О , или И — 2™1 1 по сему будешЪ
,гп—1 а”—3 зп 5 ч
У — .,п ~к — Т-і ?Г—7 — • • -л послѣдній членЪ бу-
детъ или КгС. ІСІП& 2, пъ е. Хі или ^,ІО^.^1 —(- 22) ш. е.
1То§.^с.х2 пли /о§. зес. х.
_ -ч, _дХС05.ХП „ __Т
Естьли ду—. (іп хП-, то положимъ X—.^7Г — 2/'тогда
будетъ Эх зх — Эх, зіа. х — соз. 2 и соз. хзаін.2, слі-
-ч _______________ — дг 5.".. ги
довательно ду — —-—, которая фѵ нкція , выключая
_ Эх ііп.'іе^
знакъ, одинакова сЪ предЪидущзю. На пр. Есшьли о/— с0! уу
ЗІ Эх ІПП^. X*, то назначивъ ІСІП^. X буквою г получимЪ
— 1 + ГчР^) ’ и У— (>г’~7 М
4- Сопзі. — ^іап^.х3— іап^. х4- х 4" Сопзі.
? І48’
Естьли у ~п—, то изобразивъ сію функцію ьэ
„ дх соз. х т ~- -і соз х^1—1
множителяхъ и СОЗ.Х , ПолучимЪу--(—
Часпіъ III. а5
т—і гдх гв5.хп,’а
п—і } зіп. 2 л
___ —соз х7"— 3
~~~' (п Хп 3
ТакимЪ же образсмЪ найдете4 3-*^*““
т—3 / Эх соі хп—4
п-Ѵ > И ШакЪ ^алѢе-
По сему будетЪ • л
__ — сзт. хт 1 | яі— г саг.х™ ^ ('т—і) (т—з) соі.хт~5
(п—і)яп.х^ 1 (п—і)(п—з)* яи.іД 3 (и— і)(п—здп—$)' яп. хп "5
। (яі—і^ти.—з) . . . ,т—(4-і)) гдх соз. х”1
’ • ‘ (п—і)(п—3)- • .(«“С**—і))/ ііп хп~2* ’
И такЪ естьли п^>т, по послѣдній експонентЪ косинуса
жЪ числителѣ т—'2Й оуДепіЪ или ^гб. или-~і; и тогда по-
слѣдній членЪ интеграла у будетЪ или /——у» разх мѣя
зіп. X
П — 2к — X, которой найдешея по § 144; или снЪ будетЪ
ХТ Г^х гох х _ — и ,, •
----у —-------------хЗ“* Естьли гхе то послѣди й
яп. х (X — Ояг х
цѣлой експонентЪ синуса вЪ знаменателѣ п — ?к будетЪ или
~о, или ~і; и тогда послѣдній членЪ интеграла у будішЪ
Ніи ^Эгсо<У. X , которой найдеш я по § 146, или онЪ бу-
* * йхсо? хх
дешЪ ~ К/ Х ‘°~' *—» для полученія коего помножимЪ вЬ функ-
= х
ох еоз. х
Ціи - х— числителя и знаменателя на ЗІП. X > и тогда
\ иі х
_ _ дхігп.х.соз х
опа обратится во д ~ соь , и приметъ ѵи ’Ъ
,___ х X— »
31<ШІ.Т(-СО5.Х ‘-+СОЗ.Х 4 — Гдѣ будетЪ
дхсоз ХК
X— 2Л. пли _О, ИЛИ _ 1 я а по сему будетЪ
__ ссз.: 1 соз х ' , ! рЭх зіп х- соз х^
“ Х--~ Г-7----г- • • • , -е05:х*-» гдѣ по-
слѣдній интегралЪ будетЪ или ~ ІО& Іап& -X,
/'Эх'оз. х . ,
зі-. х — ъі: *°о-
195
«ч __Эх ЗІП. ХП т т
Естьли оу—~ СОІ^п~> то положивъ X — — х получимЪ
Эх_ — Э«, И ЗІП. X СОЗ. % СОЗ. X — ЗІП. X, а по сему
______ Э* с к. %т
о)’ —— которая функція, кромѣ знака, одинакова
сЪ прежде изслѣдованною.
$
Естьли Эу ГЗ" „Эу —Іта взявЪ изЪ предЪидѵпуаго
гдх соз. хп еоз хп—1 п—і гдхсоз. х1* *
параграфа уравненіе “ (п_. 1}7іГхп=і~ -^п^
/дх СОЗ. Хт ~2 I СОІ. Х™—1 п—1 гдхсоз. хт
зіп. хп ’3 т — і ’ зіп. хп—1 т — і •> зіп.-хп
ТоложимЪ теперь, что П—2~р\, и Щ—2——X, то най-
ТакимЪже образомЪ получится
Э»__________ і__________і__________. ц-!-з г______дх_______
ідН-^ X— з X—<* 'х~|-3 X—з ' X—з-> - іх-Ч-а X—<.*
ЯП X СОЗ.Х * Зіп.х \оз.х * ЗІП.Х * 1 Ч'ОХ.Х
и такЪ далѣе, Но селу. будетЪ
1 ________I_________. м-'_________1___________(?-*-) (и-І-з)
X— Г . дх —і X г (X—і)(Х—з)" . іх-Кз X—з' (X— і)(Х- Л(Х— $)"
ЯП X СО?. X ѵ 5ІП.Х С05.Х V
1_________। । ('*•-+- Х"^ -з)--.(!х-|-Г к—і)) г_дх_______
ііп.з^соз.х*- СХ—!КХ^у...(Х—(=к-7)р Нп_яМ--*сог
гдѣ наконецЬ X — 2Л буде оЪ и \и —О, или В1 пер-
дх
вомЪ случаѣ послѣдній интггрллЪ будеиіЪ Г-----------г, и ндй
}- г л зіп х і
депіся по § 144; в0 второмЪ же случзѣ послѣдній интегралЪ
/Эх
—у которая функція, чре?Ъ помножеьіе чи-
зіп. X' СОЗ X
• _ „ г дхсоз X
слишеля и знаменателя на соа.х обратится вЬ ]-----------
ЯП X1 О— Зіп.х2')
іэ •
ідб
- . *х>
По------г “1 + Л.1. х’ 4- ЛН. X* -+- . . . 4- -* - * > Р**
1—ііп х ' ' г ’ г 1 . , Х2
зумѣя 2Х.~^.4-2Л, или СГРЛ4-2А-Ы. И сія величина , по
дх СО!. X
помноженіи на . „ь> и иншегргваніе каждаго члена по
зіп х_ ~
послѣдній же
Іо§. іон^.^я
”°Р’Л?У’лослаишь
/Эх
------
соз. х.
1 гЭх ЗІП. X _ 7
4^9» или / СО1 х- = — ІО& СОЗ. X.
$ 15о.
Естьли су .— X Эх ЗІП. X , то получимЪ во первыхЪ
У=-ГтСО5.ХН-М7х’ 'Эгсо^.х; поівімЪ найдется /Г^'ЙХСО.У.Х
=хт—'«пл—(т—і)/і ~"дхуш.х; потомъ /х^’Эх.чп.х-
— хт-2 соз. X -4- (іи — 2 )/х’п~3 дх СОЗ. х ; и такЪ далѣе..
ТакимЪ образомЪ будетЪ
у — х”! соз. х -ь тхп~ З'п. х 4~ т(т — і)хт~асоз. х
— т(т — і) (т — 2)х’Л—3^п. х — ?п(т — і) (т — 2)
(т — 3)х ~4соз. х 4* ... 4- Сопзі.
Есліьли дуззз X- Эх СОЗ. X, то такимЪ же образомЪ най-
дется
у~х 'зіп.хч-іпхт~Ісоз.Х'~т(т-1 )х ^гзіп.х-т(т-і )(т-о)хт~3
соз. х 4- ш(т- г) (т-2) (т-З)х ~4зіп. х 4-... 4- Сопзі.
Е шьли д} ==1 Xя с)х ЗІП. X , или ду ~ х’дх СОЗ. ХП,
. п,
іас поелику ЗШ,. X изобргзигіея чрезЪ. нѣсколько членовЪ
197
ммда аЗІП.Кс пли вида ЛС05.ХХ, а СОЗ. у. изобразится чрезЪ
насколько членовЪ вида аСОЗ. Хх, то при Сег.гЪ достанется
иншеіровашь члены вида ах оХ &ІП. Хх или «X Эх СО<У. Хх,
или по назначеніи Хх буквою 2 достанется гншегровать чле-
нъ! вила А2ЛЭз.Ш1.2 либо . чіпо по предЪидущему
совершается.
2 151;.
— л,,___дхігп. х „ _ гп. х * г
Естьли <?/_— хП--9 то будетЪ у— — (-^грй=т ~+-~
/дх СО' X — ГІХСО!.Х --- СО!. X Т /Эх ЯП X
хт*_г- НОііюмЬ получится
/дх сгп х _ 5.4. х т гдх со!. х.
а — — (іп-зУ^з п^з-/ и шакЬ. далѣе. По сему
будетЪ
, , _ !ІП. X 1 СО! X г I ЯП. X
* (т—>)хт~1 (т-^і) (яі—а) ’ х1?1 2 (т—.) (т—я) (т— з)'а;’’* Я-
і соі. х _
(•т- і) (т-^а') {т—3)(>п—4) ’ х™' ! ' *'
, 1 с- КЛ/3х'‘°г’ л ждрЭхп’п. X-
гдѣ послѣдней членѣ будетЪ ™7^х.— или ~х—Е0
/дх СО!. X гдх !ІП. X
~х~^ НИ /-х~- »Ь точности изобразишь не можно,
а довольстчовлться - должно превращеніемъ его вЪ безконечную
строку.
$ *52
Пусть будетЪ д}' — -а ^сду ** Назначимъ СЪЗ. X
*Р«Ъ 7^-ии> гаОГАа 5УДСтЪ 3х=ІЧ-и0-И
когда П>ь, или — а4-ь_(ь=^уш* •когда Ь>а. Пусть
Ъ перзомЪ слу’іаѣ будешЪ (си-Ь)иис(а-р-Ь)х2 или и~7лі/“+,
ід8
то будетЪ — и а по сему
^С+>>02 6ЪуАгсіап^-С+У6 ~й)- Агс ^«ё-Сс?-ГьР
--?^7—ььу АГС’ Іап& (/ёа+ЬХі+соіг] — “+". Ѵ^аГъъу А ГС'
- ььУ~^‘ ПоложиьЪ для втораго случая (Ь — а)іШ
“(Ь-Ъ-)тж, или и=гПК гда будетъ
—(1 Ч 2)-/ ( I -X))
= С + о — С -4-
_ Г* , *__ 1(}„ (ѴуЪ-уаУуГап^ *хѴ(6-а'К
"“~‘ ' ’ Ѵ(Ы>— аа~) . &’ 'У(ЬЧ- в> — іап$ (Ъ—ау*
§ 153-
„ - ?ѵ.._(а Ч-6 сог. х)Эх -
Пусть будетЬ с}.—~\а^-Ъск. іф' Лсгко «идно, что та-
ковая функція произойти можешЪ отЪ дифференцированія
функціи состоящей изЪ дробныхЪ членовЪ , имѣющихъ знаме-
нателями своими разныя степени функціи а-у-Ъсоз.Х, вЪ чи-
слѣ коихЪ самая высшая степень н^ превышаетъ (п—ір°;
_____________________________ А-4-Вп’п. к х. /•( С -4- О сей. х) дх
по сему положимъ, что у — оп“» ’
и взявЪ опять дифференціалъ сея назначенной величины у
сравнимъ сЪ онымЪ предложеннымъ, то нолучі мЪ уравненіе
(а-^-Ь соі. т)В соз1, х + (п— і) (Ач-В ііп. х)Ъ ііп. х-і-(ач-Ь соі. х}
,С Ч- О соз*. х) — а -4- Есо.? х; или
аС -ь (п-1) ЬВ — ач- («В ч- пВн-ЬС-е)со^. хч- (п-1 )ЬА ііп. х
•+- Ь(В — (п — 2)5^) соі. х‘ =х: о.
КакЪ «Ъ семЪ уравненіи находится четыре неопредѣленныхъ
159
леличиііы А, К С и В, то для опредѣленія ичЬ нохчо со-
сшвишь четыре уравненія
сС + (п — 1)ЬВ — а о
«В 4- «Г) 4~ ЬС — & о
А =: о
В — (п — з)В =. о.
Откуда найдется, кромѣ А —о,
р ____________ ба — аЪ
' (п — і) («л — ЪЪ)
_аа — €Ь
аа — ЪЬ
Г) —г п — *Са ~ аЬ}
----(« —і) (ся — ъьу
Слѣдовательно
/(»+ 8 си. *)Эх (€а — аЪ} 5Іп. х 1
(а-і-Ьс 5. к)п ' (п—і) (аа—ЪЪ)(а -+-Ь со!. х)п—* 1 ~ (п—і) (лв — ЬЪ)
/((п. — і) (ач (п — а) (ба — ао)со$. .~)Эх
(а Ъ со»-.*)71—1 *
Подобнымъ о'радомЬ послѣдній интегралЪ изобразится чрезъ
І іп.х , Г(Е -г- Гсог а.)Эх. _ л _
(а -ь ь со» *уі — а *+ • а -+- ь со?. х}п~~2 > и так^ далѣе. ТакимЪ
_ , _ /-(аЧ-есві. *)Эх
образомъ интегралЪ / (л-р-ЬсоГх'7^ изобразится чрезЪ
-«• Т »Д. х [ 5 ОЧ X ( Е .ЯП.Х ( к I ХЭх
(аЧ-Ьсог х)п * * ( і-Ь-Ьсох.х)п—2 " * (а-} Ьсоіл)71—3 *“ • • • < / (а”-+- 6 соі. х) >
и іюс/. ; іГій интегралъ найдется по ьредЪидущему параграфу.
IV. Обё ннтегра^ахЪ дифферен#алѣныхЪ ф. 'нКіігп РЭг,
л5 коихЪ Р есть алгебраическая ирраціональная функція
колиіест&а х.
§ і5ф
3 {Ѣсб нужно напере/Ь замѣтить вообще что интегралы
т^хЪ только ирраціональныхъ аліебраическихЬ дифферен-
цг льныхЬ функціи одной измѣняемой величины сЪ точи >с(шк»
ра ысканы г>ы пь могутЪ, кои можно обратишь, чрезЪ введеніе
-Другой измѣняемой величины, вЪ раціональный видЪ.
200
А ^7 Ж
Что принадлежитъ до иигпегрсвааія функцій ОХуХ ,,
у ол /Л , ~ кои иначе изображены быть моіу.пЪ
та т т
чрезЪ Хп дхл X яЭх, Х”дХ, X ПЭХ, разумѣя п-ОдЪ х ка-
кую либо алгебраическую функцію величины л, то интегра-
лы ихЪ легко найдены быть могуяіЪ по § 13* и 133, и полу-
Эх __
п7
У*
П-'Ш
--Х п -
п~т
п, т п к
,-т.
” Ч-Сои#.;
—X 71
п—7П
ВЪ раціональный же видЪ сіи ирраціональныя функціи обратятся
посредствомъ нлзнач.еяія количествъ х и X чрезЪ На пр
~ Эг г 2х 2 4~ С гз 2 /х 4- С..,
— Гх ^дх~3х ч-Сопзі. — 3 ь/х + Сои5Ъ.
-г/хх
У*(а — х)^Х.з/(2ПХ — Х.х), чрегЪ назначеніе (2ЛХ XX)
буквою X, обратится вЪ ьу*ЭХ}/Х, и будетЪ
з з
~.|Х2 С^(зах—хх)2 4-Сонйі:.
$ -155-
т
I. Естьли Эу Эх (л 4“ Ьхр, подгазначсніи а4- Ьх
7П
буквою ? получимЪ Эх ~ -у,, и будетЪ ду — а дх , а по
т -+- п »п4 п
«"У ) ~+С-^„г/п+М ' 4-СолЛ.
А
201
т «
Есшъл» Эг, пто по назначеніи вели-
«-+-Ьх _ _аг’’ — а >___л(аЬ-ед'»п— Эя
ЧИНЬ а-ь€х ЧРезЪ 2 П0ЛУЧІП1™ Х-Г—"&»> ® ^Т-~С6—’
-ч __п(аЬ — €с)2п"1'7*~ 1 д%
чо сея} будешЪ оу —------^ь~ “е’гй^1-'? и нахожденіе^ его
интеграла принадлежать будешЪ кЪ $ 135. На прим, естьли,
<Эу — Эх1/^ —*• то по назначеніи велиіины ; -ѵ~ чрезЪ гх
п ______ -422®2 __ 4дъ 4Э«
получимъ ду — (Т+2г/ — 74-^ ’ и будетъ
у— —ъАгс.Іап&.Ъ-у Сопи.^—/(1—хх)— 2АГС.
іа,і2, /* ~СІ 4 Сопаі.
-ѵ __ дх
Естьли <7? — -------гг —--------э то назначивъ
Ѵ(а+^)4-^(а-Ь?х)
і л т ТО Л - 1 Т71Н — I -ч
л Н~ ьХ чрезЪ X получимЪ дХ ~ —ѴПП7, ду, по чему
-ч тпгпп ~ ’Эг
будетЪ ѵУ — ё(й”1'+~ёп) у и ІІОЛОЖИВЪ что Пр- ІИ 3 или
т(т+К!іпт^-'1т-г Эг
п — т-\~к, будетЪ ду —-----------------г-------, коеж
• €.і -4— а )
функціи интегралЪ найдется также »ю 135. На пр. естьли
_____ Эх б
СУ — —--------------------~э то назначивъ 1 X чрезЪ X
получимЪ ду — М— 6Эг(22 — 2, -4~ 1 — ; ПО сему
будешЬ у — 2І3 — Зхк -4- бх — Іо^ (( Ц. г)б+ Соплі,
-2]/{ 1 +х)-31^( 1 н-х)ч-6, ?(14-Х)-6Ь§.( 1 н-у (і-+ х)н-Соп^г.
$
Пусть будетЪ функція а+^Хч-уХХ,
, ~ ___ г —и „ 4а?У—-е^Ч-а»
положивъ X — ~\у~~ а ооратится вЪ -------------• Естьли
будетЪ у величина цплэдительная, то, смотря по тому, бу
Частъ III. аб
/01
I
дсіпЪ ли или 1аѴ» сія функція будетЪ имѣть
ВИдЪ ЕлИ ІІСІЪЪ ч-ьь, или СіСіЪЪ —- 6Ь. Естьли у величина
' с „ —4<су- СЙч-гг_4«у+ес—
отрицательная , то тогда она будете —~ у— ~41 ,— ?
то есть будетЪ вида аа — Ынъ. Есшьли а будетЪ «сличи»
.. і т —і-іат—ееч-яй
на отрицательная, то оная функція будетЪ — — , --------->
то есть оьа будетЪ вида СІСІЪЪ — ЬЬ. Но естьли и а и у
будутЪ величины отрицательныя , то оная функція будетЪ
4«і " ее -4- еь—4*7—
---2 -----------— ---------4у ? по сему она, смотря по тому
будетЪ ли------------или ё?уС4аУ» будетЪ вида аа—ЬбзГЦ
вліи -—аа—ЬЬ22У* вЪ послѣдней, ^ке случаѣ
,иди — (аа -ф- Ы)‘ЪЪ) будетЪ величина мнимая , которой
случай , какЬ доставляющій величину у мнимую , мы изклю-
чаемЪ; впрочемъ тогда трактовать можно уравненіе вЪ видѣ
-у А-дхУ — і г
У(ад Д- ЬЪ аа)’ 1
* - х
ь По сему функція Л Чг бХ Ч“ ТХ1С можетЪ 'имѣть три
разныхъ ида или аа-у-ЬЬм э или аа—ЬЬъъ или сісѵа—ЬЪ',
при томЪ дх будетЪ ~ слѣдовательно предложенная
~ Эх
функція а/"—-/(а+с-. ьтххк в0 вс’ЬхЪ возможныхъ случаяхъ
не кожетЪ имѣть другаго вйді , кромѣ трехЪ слѣдующихъ
АЭг ЛЭч АЭ»
У (аяг% -у И)’ У(о4»а — ЬЪ)' V (па — Иха)"
Дабы сіи функціи превратить вЪ раціональныя алгебраи-
ческія, надлежитъ, вЪ случаѣ знаменателя ЬЬ)
положить аа?.% І~ЬЬ~(а^Ч~Ьи)г, вЪ случаѣ же знаменателя
У(аа—Ынъ) доложить (аа—ЬЬ'іх)~(а—Ъиъ)2. ЕстьляжЪ
2С »
хотпимЪ сіи функціи прггратишь гѢ раціональныя тпріпороме-
птрическія, пю вЪ случаѣ днамгпашели /(аПХХ —|—60 .надле-
житъ положить аХ~бі:аа^.ф, тогда будетЪ )/(ааХХ-4-66)
бОП^'Ф2) ° $ес‘ Фэ ®Ь случаѣ же знаменателя
/ аатя — 66) надлежитъ положишь ах ~ Ъ зсс. ф , тогда
будетъ Ѵ(аа гъ — 66) 6 । '(зес. ф* — і) — Ь Ьап& ф ;
ніяонепЪ вЪ ^лучаѣ знаменателя У^аа— 66хх) надлежитъ
положишь 6х аЗШ.ф, или 1>2 — аС03.ф, тогда будетЪ
/(аа — 66 хх) — Ь ]/ (і — зіп. ф2) — Ъ ссз. ф , или
Ь/( і — соз. ф1; = Ъ зіп. ф.
Естьли Ъу гг: у,Т777і'н~ то, полож'^Ъ ааХХ-р-66
= (0М-1>и)', п..луч„„ъ.г-^4^>, За - .
я 02 ~4” Ьи — по сену будетЪ Эу* _ — ~ ~
И V— - ІОѴ--+-С—-І02 __-____~А ІО? ->- Ь6) -V- ахѵ
И У--а --а Ш^Ѵ^аа^+ЪЪ)-аг,—а к ЬС---- --)'
Но положивъ ах С^. Ъ ІСПЩ. ф получимЪ аЭх ?ЗЯ > п
/(аа 22 -Ь. Ъ Ц Ъ іес. ф ; . п0 сечу с/ =; *. и
будетъ у = Ю6 /1^ + С =2 ? ^'-^1 + С
=?й>§. (дос.ф + іалё.ф^С^ІоУ-<а^У>±^+С
__ А 1^п Ѵ(а<%%-і-ЪЪ)-і-а%
— а і0,ъ’ ---ьс----, какъ и по оному способу.
_ 2» ' Ас>я ' _ і у
Ежели оу —У(аяхл__ъі) д 11)0 положивъ а а XX -^-1)0
=(<а-ьиу „олучИ.„ъ г = 32 =2
я 02 Ьи = ; по сену будетъ Эу 2^ — . —
м Ѵ"-ІОЕ С-А І02- (___ -_____Л——/О^
•Г а о'и а 4=1 \дг—/(авгз—ЪЪ)' а *'°о" \ Со /*
Но положивЬ^ах Д2. Ъ Зеб. ф получимЪ аЭх ~ , и
. > аб *
/(аагх—ЬЬ) — Ъ Ът& ф — „ „мѵ 3/ — * .-^
ж у — — /о^.(”с,ф~^|адг Ф) —' - І?0^.(П!а~4~Т ' аяг~ьь^
V'*2 “ . с .. сь
Ежели _^-ъъ—у то положичЪ аа-ЪЬ^-(а-Ъиі)\
получимъ 2—ЗягД^-^Зи, и а-Ьиг=.а^~^9
по сему будешЪ 3/=^.—^, и у — - Агс. Іащ.ин-С
-* Агс-ііп-ѵ^г^-:^С=і Аге-«‘*Цу+ С=* Лгс.яи.^+С.
Но положивъ Ьъ “ а ЯП. ф ПолучимЪ Зх — Зф СОЯ. ф, и
]/(ааИ» — ЬЬ) — а СО5. ф^ слѣдовательно будешЪ Зу ~Э фж
к у ~ у Ф 4- С Агс. ші.'~ д_ СонЛ-
5
' Естьли будешЪ 3/ — 7хх~у гао ПРК «одстано-
вленіи X — т-у- функціи /(а + &С 4' ухх) обратится вѣ
(«+ Ъх)дх ВЪ по сену
будешЪ шоідл или ЧГ=?(ДТ—ЬЬ^у ВЬ ПСР~
вомЪ случаѣ будетЪ У — А <^~^Ъ) + В./'/(^гГ|’^Ь) ’
а ъо второмъ у Пчвьія
части сихЪ иншегра л вЪ трактованы были вЪ прсдЪидуці мЪ
ларэграфі ; чш жЪ прпнад7<с кипіЪ д> вторь хЪ частей', то онѣ
трактованы были ві § 133. ибо п ’ложи^Ь вЬ первомЪ сл) ч *ѣ
аа^±ЬЬ^ получимЪ 2аахЗг~32, и
/гЭЗ __________ т /гг 1'(о« гг ЬЬ) __
ѵ^-^—ъъ} — ау ь —---------м----ІІС"
сэ '
2с5
ложивЪ же во второмЪ случаѣ СІСІ — ЪЪ Ѵ2> — 2 получимЪ
Э2 , и а посему
~ ьь^ = - ~/(аа - ЬЬъі).
§ 158.
Пусть предложено будетЪ. найти интегралы функцій
х7ТІЭ:х хтЭх хтдх
•*\а«хх -I- ЬЪ') ИЛИ Ѵ(«ахх- ЬЪ~) ИЛИ У(аа - і.ЪххУ
Положимъ для пергой О.Х Ь ІСШ&. ф 9 шо будетЪ
= И ^(с‘ахх +'ЬЬ) — Ь^ес.ф^-—', по сему
хтдх _____________ Ъп дф гІп. фт
6>ДепіЪ ѵѴ«ххч- ъъу — ^н^-СОІ.фт-+-і» коея функціи инше-
грованіе раз». навариваемо было вЬ $ 14З.
Положимъ для второй ПХ_Ьзес.ф^ то будетЪ ЭХ—^‘^соГф^
и ]/(«аХХ — ЬЬ) ~ о іап^, ф , ПО сему будетъ ъі
Ът Эф
—. ^т^ьТ^фт-ьі’ каковую фунз цію разсматривали вы вЪ § 115.
Положимъ для третьей Ьх СІ 5ІП. ф 9 то б' детЪ
<Эг~*?фсО.у.ф, и ]/(па—бЬхх^асоз'.ф^ по сему будетЪ
Эфяш.ф , каковую функцію разсматривали мы іЪ §. 141,
Подобнымъ образэ иЪ можно разЪискать интегралы и функ-
<іх іх йх
Ціи жту([иХХ +-ЪЬ)* хтѴ^чвхх — ЪЬу хтѴ[аа—ЪЬххУ
Эх
ПолиживЪ для первой (IX—ЬіСІП^.ф, получимЪ х-т^~аахх^ЬЪ)
__а-т~‘ дфсЭ5 ф”1—1
— ’^а • ніі’фт > каковая функція разсматривай» была
вЪ / 14 3.
2о6
Положивъ ДЛЯ ЕГПврЪЙ СІХхЬ.ГСС.ф, получимЪ "~'А
— уу^-.Эф С05. фт \ каковая функція разсмагаривана была
вЪ § 142.
Положивъ для третьей Ъххахіп ф, получимЪ
огп—і Ьф Т ,- 4 г '
— ~аггГ~'^і~^-п> каковая функція разсмагпривана была вЪ § 144
• ТакимЪ же образомЪ разЪищугася и интегралы функцій
и р.
х^Эх (дпхх ЪЪу , йУдпс^ай — ЪЪхх)'1 , разумѣй пэдЬ
-у ЧИСЛО ± —-) или “Ь [)•
>
§ 159-
Пусть будетъ Э,Ѵ” х"дх(х±У(хх— аа))'. Назна-
чимъ хЧ і/(хх— аа)хх%, то будетъ і2}/(хх—аа)=г—х,
/ _ __ 22 -4- а а
и XX—ла XX ч2 — Ху, откуда найдется X — •———
і-і
и Эх —(—— )Эх; по чему будетЪ ду—-------------------------
коея функціи интегралЪ тстчасЪ налдепіся. Естьли будетЪ
ду хх хпдх(У(хх -4- аа) ~+~ х)\ то надлежитъ положит-
}/(хх аа) -^у хххг, откуда получится X — ~4~
и Эх ~ Ч- (—) Эк, чрезЪ что дифференціалъ ’Эу обра-
Р-
. (ав — зк)™ (аа -4- 22)2 ѵ Эг " '
іппгася вЪ -+-----^4-1^+---------9 и ингаегРалЪ €1° іноптасЪ
разЪищешся.
2 ОУ
§ ібо.
_Ц
Пусть будетЪ — Хтдх (а -ф Ъхп) ѵ. Для сего поло-
м
жиііЪ (і + Ьх' т %' , тогда будетЪ (а -ф 61") ’ — Iя, при
ѵі* * т-|-і
х2 —_т^'1____/2 —и\ - щ-у. ѵ ѵ—і
июмЪ будетЪ X —(—^—) » х —(~ь~) > х ^х—~пЪ%
1 * ™+і<__і * ; і
^С~г)і“У 3/=^’-^-?-) • .
Откуда явсшвуетЪ, что оная дифференціальная функція во
всѣхЪ тѣхЪ случаяхъ можеіпЪ .принять раціо іальный видЬ > вЪ
кпенЪ есть число цѣлое. Или положимъ П4-61,П—Х2.,
я ~
шо.дя будетъ Х=(-'— Эх=-’/-ЭІ(Ѵ)'1’%
г — Ь
ц яц. ѵ
/ . і » и ѵ ____ и /2 — Ъ\ ѵ _
(й-ф-ох) X гг: 2 ~, по сеѵу будетЪ
слѣдовательно
оная дифференціальная фун ція можетЪ также принять ра-
.. п „ Іт-4-і .
цюнальныи видь в> всЬха шѣхЬ случляхЬ, вЬ коихЬ —~—Ь~
есть число цЬли.
Пусть на пр. предложена будетЪ функція ду~Х*дХу (1-ЬХ’)’,
вЪ коей Ш — 5, п 3, рг ~ С, у ~ 5, 5~1^
то но оному иераоиу способу сія функція обратится вЪ
і-б -V /«г? Н _____ 5»,,Эя 52бЭя . х
з* о* І -6 — 1) — —----------3—, а по сему будетЪ
У' іб2’12—’о^7—|~С, гдѣ й у (1-ф-Хэ). Пусть будетЪ
еще цоодолкені функція ф-Х6), гдѣ
*о8
И—6, р.— 1, У—3, Й—Я, Ь—то по второму способу
сія функція превратите ч вЪ Эу——-1)
жЗЭя
— «(а-^-'о^-йё+О2* я нахожденіе ея ні.шеграла принадле-
жать будешЪ кЪ § 135. г I
§ ібі. |
, ТТ с~ т_ , ля,_*ж («-4-€хл) Э*
/ Пусть предложена будешЪ еще функція су_-----------і—,
Й+Ц’).
ВЪ семЪ случаѣ БываепгЪ иногда, чшо предложенная диффе-
ренціальная функція произошла изЪ полнаго дифференціала
чрезЪ раздѣленіе чиедишеля и знаменателя на какую либо
степень величины х. Дабы увидѣть, вЪ какомЪ случаѣ оіе
бываешЪ, помножии’Ь числителя и знаменателя функцій на х?/х,
х™ + ^(а 4- &хХ)с/Х
тогда будетЪ Эу ~ ------------------—- ; и есшьли сія
(пх’’ + Ьс'!+")Ѵ
функція еоть полный дифференціалѣ , шо числитель
Хт 4- &ХХ)Эх долженЪ быть равснЪ дифференціалу
функціи ЙХ^ —Ьх ? помноженному на какую либо по-
стоянную величину у, т. е. долженЪ быть ух%
(у? + п)Ьх )дх , ‘а по сему X—»7, у(у%~-}-п)Ъ~.Е 9 уѵ^а—іа.,
я у%— 1~т—откуда найдется кромѣ Х~П, условіе
ц , ”"г' тН-і ,е« , х _ т + і+п (яі-4- <)^я . ~
— Г= 1--------(~г — 1) —------- — -----г^— •> и какЪ
ѵ п \а.Ъ ' и паЬ '
скоро сіе условіе мѣсто имѣть будетЪ, такЪ сі оро гная
функція чрезЪ помноженіе чпелиігеля и знаменателя на х*4?*
________т-4-і і' (т 4- О - ,
при Й ~------, т. е. на а-- • — , обратится вЬ п'.лнь и
п ѵ? і
дифференціалъ и какЪ при семЪ, по назначеньи ОХ —ѴХ
_ -ѵ __ уЭх
буквою X, будетЪ оу — —
то будетЪ мнпЛгралЪ сея
V--/і
. Уѵ ѵ *
функціи —— Л
V-
т-о есть
Ѵ-Ц
ѵ У
ѵ -ц
(ахѴІ
Ьх’! + ”
V —-
* ~ѵх’
Ьх”)* -ЬС.
Л „ (^а-4-і6х4)хЭх -
Пусть на пр. будете --—•-----------, пю здѣсь будетЬ
^(а-+-Ьх«)*
X—г.—ф; пря томЪ тп—1, ц.—2, и~3, а~3в, §~5Ь
и і___—і) — і — і 2—1 ___________________г — а
» -- 3’ п Х/ -- 1 2 3 -- 1 3 --- 3*
По сему оная функція чрезЪ помноженіе числителя и знаме-
ну* +:)
нателя на множителя X — X* обратится вЪ полный
дифференціалъ, коего интегралЪ будетЪ ^Х2(й-ф Ьх*і‘ С
— ах’ѵХа + ^х<) "Ь &
V. О нахожденіи иптегралоей дифференціальныхъ
фцпкц и РЭ^ ірезЪ лриближеніе^
' $ 1.6-2.
Естьли какая либо алгебраическая ирраціональная диффе-
ренціальная функція Р?х, чрезЪ введеніе другой измѣняемой
величины, вЪ раціональной, алгебраической или по крайней
иі>рѣ трансцендентной видЪ приведена быть не можетЪ, то
на извѣстныхъ по сіе время -основаніяхъ точнаго интеграла
ея опредѣлишь не можно. ВЬ такомЪ случаѣ довольствуются
мнтеграломЪ приближеннымъ, изображаемымъ вЪ безконечной
сіп ‘ОкЬ. Не рѣдко одмкЪ и шоп/Ъ же интегралЪ мсженіЪ быть
изображенъ в э разныхЪ безконечныхъ строкахъ; и тогда пред-
почитается ню изображеніе, яЪ коемЪ члены строки сильнѣе
Частъ ІН. яу
210
сходятся, то есть вЪ коемЪ каждый псглѢдуют'Й членЪ предЪ
предЪидущияЪ сильнѣе уменьшается. ТакимЬ же образомЪ до-
вольствуются безконечными строка»'», когда надобно бываешЪ
получишь «Ъ алгебраическомъ видѣ интегралЪ дифференціальной
трансцендентной функціи, хотя бы онЪ во трансцендентномъ
жидѣ н вЪ точности изображенЬ быть м< гЪ.
Что принадлежитъ до ал’ебраическихЪ функцій ГЭх,
коихЪ приближенный интегралЪ рдзЪискаиіь должно, шо вЪ слу-
чаѣ ш імЪ, когда величина Р есть функція дробная раціональ-
ная, превращается она вЪ безконечную строку, по правиламъ
показаннымъ ьЪ .алгебрѣ и вЪ § 15, 55 и слѣдующихъ о фу нк-
ціяхЪ. Когда же функція Р есть функція ирраціональная, шо
сна обращается вЬ безконечную строку на основаніи закона
Н< вга томской Бипоміи или по Щ 122 и 123 дифференціальнаго
изчзслгніч. Если Р есть функція експоненц.альнля , или ло-
гариѳмическая, то обращеніе ея вЪ 6езк< нечную строку
заимствуется ошЪ алгебр,ическихЪ выраженіи екепонен-
ціальныхЬ и логариѳмическихъ величинъ, кои показаны вЪ Ал-
георѣ , вЪ статьѣ о логари,ѳмахЪ. Но когда функція Р мпь
функція трі гонометриче* кая, тогда при обращеніи ея вЪ без-
конечную строку или оставляются вЪ ней самыя тригономе-
трическія величины, ка/Ь бы онѣ были алгебраическія, только
что по правиламъ алгебраическихъ функц’й дается имЪ ра-
ціональность; иіи на основаніяхъ показано ых^Ъ вЪ тригономе-
тріи изображаются онѣ алгебраически чрезЪ дугу х. КакЪ же
ск.'ро сіе обращеніе величины Р вЪ без> онечную строку сдѣ-
лано, шо интегралЪ функціи і ®х получается чрезЪ иншегро-
ваніе , по порядку, каждаго члена безконечной строки выра
жающей оную величину ГЭ.Ѵ , которое совершается по прави-
ламъ иншегроваиія раціональныхъ функцій^
§ 163.
г. Пусть предложено будепіЪ найти алгебраическое вы~
-х ____________________________________________ Эх
раженіе интеграла у, коего Аифференъ,іало есть оу —ут^-хх’
ж коего трансцендентное выраженіе есть у^Агс.іан^.Х-і-СопзІ.
XIX
функція доставитъ безконечную строку 1 —— X® + X*
— Хб-р- X8— Х‘°4- • • по сему будетЪ /—Г— |Х?Ч- |Х5
— |Х7-|~ |Х9— • • • *4- Естьли пьложимЪ , чшс
дуга у начинается вмѣстѣ сЪ тангенсонЪ ея х, то есть
есшьли положимъ, что при х_-> и у ~о, шо получится
С ~ о, и ГуденіЪ у П7Х — | Х3-{- | которое
Вь ражеі.іе дуги чрезЪ ея таніенсЪ намЪ и'лЪ другихЪ основаній
игвѣсшн». *
2. Пусть еще предложено будетЪ изобразишь алгебраи-
ческій интегралЪ дифференціала ф — кп"г пфансцея-
деніпное , выраженіе есть у — А.ГС. $ІП. X С. функція
или (1 ~' Я-Е) доставитъ безконечную строку
I - 1 I Т2 —I— X* ~4— —- 3 ‘ ' Т® I ’ ' 3 _7 Ѵ& I - пп р»і>Ѵ
1 2х Г~*.4Х ’ л.- 4 о ’ 2.46.8х г“ • • • > по семУ
будешь г^х.+ Гу + ^Л’+^-ЧД-ч-... +С.;
* ** м 23 1 2.4 5 1 2.4.6 7 ' 7
и естьли п локичЪ что при х~а и у~о, шо будешЪ С—о,
и получится извѣстное также намЪ изображеніе дуги чрезЪ
ея снну<.Ь.
3. Пусть еще дано будешЪ Э/— д ^з)« Дабы полу-
чить строку .сходящуюся, НгдлежишЬ разсмотрѣть прежде Р
каі ова вЬ изслѣ іыва< момЪ случаѣ величина х. Естьли х і,
шо надобно расп-дожить сшро'у по порядку возрастнощичЪ
пол ди ельныкЬ експ< неншово количества х; коідажЪ х<- і,
то на \оооо сшр' ку расположить по порядку низоадающихЪ
степеней комічесіпва х. п. е. по порядку возрастающихъ
отрицательныхъ степеней еіс. Для перваго случая будешЪ
__і
ду — дг^і-^-х5) 2~Эх(і—-Іх’-ф- — х6——3 4х94- • • -)і
\ 1 У \ 2 ’і-4 2.46*’ /*
*7 *
аі?
і . з хі і .
а . 4‘ 7 а .
по сему У ——1.^4
3 • 5 *’*
---7.~Г
4 . о ю
.. . 4- СопЛ.;
_Л
для втораго же случая получимЪ ?у ~ Эх(х5 1)
-? — I
х 2Эх(і4І) -х 2Эх(і-|± + ^^-
~ - 2 т 2 I • 3 Я
2.4*13x6 Ух
«-3-5 г
по сему будепіЪ У-С—(уу—2
Г_________1/,___ I, 1 I 121________________
Ух х , 2*7x3 ' а . 4*13x6 3.4.6’19x9
г- 3- У і \
а .4.6"х9 " * ' * * *А
— ' -4- У
2.4.6" 19x9 Ух'”/
4. Пу'чпь будетЪ ду “ Х^Эх ііі 4~ Ьх , вЪ которой
и 4~ 1 тп -Н і . ц
функціи ни .—> ни —-------г* V не есть число цѣлое , то
м
(п 4~ Ьх ) * обратиться можегаЪ вЪ ѵ зконечпую
чрезЪ интегрованіе каждаго члена получится
интегралЪ величины у. Но при семЪ также должно взять
во вниманіе, болѣе ли величина Ьх 1, или менѣе, нежели а, и
вЪ первомъ случаѣ лучше расположить строку по порядку
ниспадающихъ, а во второмЪ по порядку возвышающихся сте-
пеней количества х. Для. большей же удобности лучше на-
н
— а
значить зЪ первосіЪ случаѣ Ъѵ одною уквою а, иу буквою
т
ах
у
в —— п\ ѵ» ' ѵ •
ЕХ у , а во видоромЪ случаѣ назчаіивЪ П .буквою
я
ехп)\ Назн-г-
строку, м
приближенный
Но при семЪ также должна
Г, чрезЪ что вЪ первомъ случаѣ будетЪ Эу 5а
а, в ~ буквою € будетЪ Эу_аХЛЭх(1
ЦП.
т. с
чимЪ для. краткости еще — буквою (>, .и для перваго случая
ЦП\ Т п _ _
УП 4—у буквою Л, іео віі первомо случаѣ будетЪ
?у 4 ахХЭх( 14- сХ~”)?= а;? Зх (I-} ^1“"+ ~**
4? -и« — а» । »- - “
4~ ~~ Е>в.~у ~~|" \м-п/і '4~ • • •) ~?~ -'•з во ^тсромЪже слу-
чаѣ будетЪ ЭХ~ЛХ'' дх(14-^ГП)?і_аГГ Эх(14-^п-ь^а'^х"*
X
тті-} п-|-«
4.142’.^’^’."-+
771-}- 714-X
. X X
ц_, ?!?-!) ее. - —т—
1 1 . а 771 -Ч- 271 -+- I
Первое изЪ сихЪ изобріженій
случаѣ, когда Л Н- і ” кп ,
Х-І-і т-+-1 । м
і.і-З тп-Ьзп-р-і 1 • / 1
не будетЪ способно вЪ тоыЪ
, разумѣя} к, число цѣлое
число цѣлое, вторееже
жп. ' - п
т—)-і__і
—— — Л, то есть когда
і і < с ;
которые оба случая
относятся кЪ § ібо, и вЪ когпорыхЪ интегралЪ иожешЪ быть
изображенъ вЪ точности.
Можно гакожЪ и.чтегралЪ функціи X с>Х (а
2й
Ьхп)*
ш. е когда —— или
п
”.1 .12
Л или
иогда, когда —— —
(т-+-1 ч — "
-—) число цѣлое положительное ,
жзобпазипіь вЪ видѣ (л
V, разумѣя подЬ V функ-
м
V
цію величины х вида АХ -)- іП -ф- Ѵ>Х . .
при чемЬ величину д можно-назначишь какЪ положительную
піакЪ и отрицательную.
И дѣйствительно естьли дифференціалъ назначеннаго
интеграла сравнится сЪ предложеннымъ , то по раздѣленіи
я ’’
сЪ обѣихЪ сшсронЪ на Й-гЪх") &Хх получится X ’ V
«4
. / * і м ЭѴ _ п(,и -4-») т
4* (О 4 от ) ух , или назначивъ---------------— О буквою у,
« и~1хт . ( । і «\ЭѴ
X '—ут V ~т~ (в “г-О'®> по подсшаноялеіпи же вмѣ-
сто V и ѵ~ велйчинЪ ихЪ в^ятыхЪ изЪ онаг« назначенія , и
по раздѣленіи сЪ обѣиу.Ъ сторонЪ на х?~* получится
уравненіе
- с'
4 -Ъ(р А ч- (р-+ і?)В г4"1"' 4- (р -ь-2 а)Сх1 *-н..)
н с{(рч-д)Вх -+(^+2</)Сжч-^-гьЗд)Рх^4-..);
д\я удовлетворенія коему можно назначить ТП 4 1 — р— О,
и (ірЛ. ~ 1 ". .слѣдовательн > р ~ ТП -4- 1, и А — -г—.—- ;
• х 114'*
послѣ чего осшавіться будетЪ назначишь д ~п. (>шЪ что для
опредѣленія величинъ В, С, Р и проч. получашед у[>лвиенія
(у Н- Ьр)А -Ц а(р 4- (/)В — о,
(у -Ь Ь(р 4- д))В 4- а(р -ь 2д)С — о,
(у 4 Ъ(р 4- 2$)С 4- а(р 4 Зд/Г> — о,
и шакЪ далѣе.
Можно такожЪ для удовлетворенія оному уравненію положишь
ІИ '4 1 Р » и (у 4~ Ь/э)л 1 , а потомЪ д — П ,
отЪ чего получится р — ТП 4 1 — П, А~„ —, - 4
7 1 У-ѣ- (т -4- —п)Ь’
а потомЪ для опредѣленія велизинЬ В, С, Р и и ич. ура-
вненія
л
аі5
арА. 4- (у 4 Ь(р + д))В = о,
<р -н ц)С 4* (Т 4- Ь(Р 4- ед)) С — о,
а(р 4- 2</)С 4- (у 4- Ь(р 4- Зд))Б — о,
и проч.;
шЪ коихЪ первое назн?ч“ніе выгоднѣе на случай Ъх*-<Л. а
второе на случай Ьх >• а. Строка полученная отЬ перваго
взЪ сихЪ назначеній прервется, когда У 4“ ХР 4* ^д) ~ ° »
вли 4 4 14- кті)Ъхх. О, то есть когда
равно числу цѣлому отрицательному; строка же полученная
во второму назначенію гі томЪ же случаѣ, шо есть когда,
у4-Ь(р4Ад) — о, то есть когда ~4-~будешЪ число
цѣлое положительное, не будетЪ гомпеься, поелику члены ея
идконецЪ обращаться будутЪ іЪ величины безконечныя.
$ >6+
і. Изобразить іЪ безконечной строкѣ интегралЪ диффе-
ренціала на иншегрованіе коего сводится нахожденіе
функціи —хт . На основаніи алгебры получимЪ С ~Ц-Пі4
77~3 4- 4- 77 — 4- • . •; ПО сену будешЪ /— =/х-+пг
4- 7*4 -47 -ЬтНЙ4-... 4- С. Подобнымъ обра-
зомъ изобразится вЪ безконечной строкѣ интегралЪ и каждой
К пх -ч , .. __
дифференціальной, функціи оХ3 тді и Іл сушь ра-
ціональныя или ирраціональный функціи количества х, когда
и
к обратится вЪ безконечную строку, пошомЪ помножится
на строку выражающую епх^х. Можно шакѵжЪ нмшегралі
2 іб
функцій оХ изобразить чрезг е V 3
ціалЪ в-лмчичы - V, который будетЪ
тогда
е^ЭѴ
дифферси-
4- иѴ Эх)
по сравненіи сЪ
. ѵ___м
а* > “ ѵ — к
предЪи іущею функціею досріавишЪ уравненіе
или + пѴ) = и, и оставаться бу-
детЪ назначить для V такую безконечную строку , которая
бы удовлетворила сегу послѣднему ураиленію, что всеіда
сдѣліть можно. На пр. естьли М ~ Xе и Мгг:і-|--х, то
назначивъ V — ах* -1- &С4 сТг6-}- • и получится
м_ I Р___ (п-Ьз) ____(>Н-3)0іЧ-4) п Ѵ_ (»Ч-зХ«+4Х« Н> *
Л.^, б——Т?4, / — 3.4.5 • 3.5’ з-4-У-6~
। <•— ѵ) ’
+ гттч’и "роъ
2. Изобразить Л безконечной строкѣ интегралЪ /р-.
Назначимъ х чрезЪ е%, тогда будетЪ Эх^е Эх, и —-
—У??/ ! +а+ 4-+
д 1 I 1.2 ’ 1.2.3 ‘ 1-2-3 4 1 7 ' Т 1.2 й •
- . 4-С=1.1.x+1.x-+ -и
х . я. з з 1 1 1 1 і. а я • і. а. з • 3 Г
1 •« 3-4 4
- ___ ХіПдх
ІСстьли будетЪ ду— то по казназеніи величсны
X чрезЪ ег получимЪ оу —----------3 каковую функцію млг
разсісггариі ли вЪ семЬ караграфБ вЪ примѣрѣ імЪ. Естьли
будетЪ ду—У.хуП ’ то чРеі° «значеніе х“€’ получимЪ
__/тЧ~і):і1Ѳх г .
Х?у —---------а коея интегрованіе опять сведется, по § 138,
гСт-Н)«йз
яа иниегролачге функціи ------—~
2 17
3. Изобразить вЪ безконечной строкѣ интегралЪ
-----—-----По назначеніи х чрезЪ ея получгімЪ
(I ± (*• х)пХ
Г------
У(і + (/х)>
/ С~аѵ ) -+- • • •)> и тогда оставаться будетЪ
% Х-\
разіискивашь интегралы функцій вида ^2 что совершит-
ся по 13-. Е'шьли должно будетЪ найти интегралЪ функ-
дх I х)”*
ціи --------- , шо, положивъ х~ег, обраідияЪ оную функ.-
(і4-хп)7
е’Лі тп пх -
#ію вЪ -------—- ~ ех2пдъ(і -4- е”ж) и когда величн-
* _ц
на (1 С ) превратится вЪ безконечную строку, шв
©стлаться будешь находить интегралы членовЪ вида
?ѵэх, что также совершится по § 137-
$ дб5-
Найти приближенный интегралЪ дифференціальной функ-
дх пп. х .
^іл вида — —, кЬ нахожденію интеграла коея мы приведены
хі х?
были вЪ 6 іЗг. П е'ику X—X--------Н- „ „ —
У 1 3 >. а -3.4. 5
, /дх пп х_____
шо будетЪ у — — X —
і і. { 4. 5.6.7
хГ
і. 2- У Зі 1 . 2 . 3.4 5* 5
Е:іпьли бы надлежало пай ..и иншеіралЪ фуп цы
х4
дх со: х
то бы, по прич!,нФ той, ч «о СО5.Т—1---ь ,
* І.С 1.2.3-4 । . 2. . . 6
/Ьх соъ х , іх* ч х4 іх®.
_——і.Х------. --і-----.-------
4 1. а а 1 1.3-3 4 4 і.а.. 6 о •
Частъ ПІГ з8
і.а.З 4 4
2і8
2. Изобразить вЪ безконечной строкѣ интегралЪ функціи
я- н
4“ А і'Іп. Хп) * , функція (1 -р А Ли. X )ѵ , изобразит-
ся сперва вЪ видѣ 1-|-А5НІ.X -{-Вл/КХ 4 С&ІП X3
а п->гпомЬ чрезЪ введеніе, вмЬсто степеней синѵсѳвЪ , изобра-
женій ихЪ чрезЪ синусы и косинусы нѣ<колько кратно взята-
го угла х приметЪ оная, при п числѣ чешномЬ видЪ
« -4 ^СО.5. 2ХУСЭ8. 4Х-4- 6х-Ь з . . , при п же
иечетномЪ видЪ Л-|^&ПИ.Х-}-'уС'0$.!2Х-і-і $ІП Зхч-ССО.У.фХЧ-...^
л тогда оставаться будетЪ интегрс.ать функціи вида оХСО^.Хх,
или сХ$Іп. Хх, что совершится по § 140, Ыо 5. Естьли бы
м
предложенная функція была ви іа Эх (1 4“ А СОЗ. X)ѵ то бы
и >казаннымЪ образомЪ обратилась она при п чеіпнсмЪ вЪ видЪ
&г(а 4- ₽ С(ХУ- 2Х -+- Т СО5. фх 4- 5со?, бх-4”- • при п же
нечетномЪ вЪ видЪ Эх^и-ЬССО5.Х )—*у СО5.2Х—}—5сО,У.Зх4'« •
м интегралЪ каждаго члена получился бы по оному же $ 140 ;
5.
5 166
Сіи суть обыкновенные способы нахожденія интеграловъ
приближенныхъ; н> для сего употребляется та ожЪ и форму»
ла Гейлорова, выведенная нами вЪ дифференціальномъ изчи-
сленіи вЪ § ю$; которая показываетъ, что есшьли какая ни-
будь величина у есть функц.я другой величины зв, и есшьли
пошомЪ величина х. принимая неизмѣримо малыя, но всеіи
равныя измі ненія, обратится наконецъ вЪ х~}~і, м чрезЪ ш<?
ф_ нкція у обратится вЬ У, шо всегда
Ав3
Э’'
дхі
, 219
Пусть теперь дана будетЪ дифференціальная функція
с . ду__уг ЭЗу__ЭЭХ
ду — МХ, то будетъ — А, дха—дх, — и такЪ
далѣе. Положимъ потомЪ, что начальная величина х ~ л.,
в соотвѣтствующая ей величина у”Ь; притомЪ по подста-
новленіи оной начальной величины X — а, вЪ дифференціалъ*
„ „ дх ЙЭХ
ньхЪ содержаніяхъ X, дх» дя7 и проч. онѣ обратились по по-
рядку вЪ А, В, С и проч. шо искомая наша величина V, ко-
торую изобравимЪ вообще чрезЬ у, будетЪ
і । д • । В •« С •* । о ।
у — Ь + Аі Н------і2 -4-----і3 Н--------ь4 ,
* 1 1 і. а 1 і. а. з * г. а. з . 4 1 9
или, под'іиілвивЪ вмѣсто і величину его х - а,
/=6-нА(г-а)4- ~і(х-«)а+ (X— а)3ч
гдѣ постоянной произвольной величины прибавлять не должно,
ибо она опредѣлена уже , и введена назначеніемъ тѣяЪ, что
количеству х~а, соотвѣтствуетъ у~Ь гп. е. здѣсь мѣсто
пх оизвольной постоянной величины заступила величина Ъ.
ВЪ разсужденіи употребленія сея формулы для нахожде-
нія приближенныхъ интеграловъ вообще замѣтить должно, что
она не ліожетЪ (Гыті цпотредлеца во всіхЗ тіхЗ слугалхбі
когда фцн'.ціл х ві гиелі евонхЗ гленовЗ имІотЪ оСояливыліЗ
йлепо.иё, или какиліЪли(/о ос?рагол<7> входящею гаспъю, ирра-
ціональную велигинц, которая лри оной нагалънои велпгині
Х—а сокращаемъ .г вб нуль-, ибо при нахожденіи постепенныхъ
дисрф-ренпіаловЬ каждой ирраціональной функціи вееіда < на
переходить наконецЬ вЪ знаменаніе-.я ежели прежде не была
вЪ ономЪ; а по сему вЪ нашемЪ случаѣ причинншЪ < на во ко-
шоромЪ либо изЪ дифференціальныхъ содержаній —а потомЪ
Эх
в при всѣхЪ таковыхЪ содержаніяхъ высшихЪ степеней , при
ОномЬ Х—Я члгны безконечные. ТакЪ естьли на пр. вЪ функ*
п
Ціи X буіегпЪ входить величина \ п обращался при ономЪ на-
з8 *
»2О
_ Ь ,-
чальномЪ количествѣ ж ~ а , вЪ нуль, гпо вЪ о К будешЪ
ходить множитель V кошорый вЪ томЪ случгѣ, когда
А будешЪ — —’—~9 и при Х~а, будешЪ ~ ©о. *
ИзключнвЪ же сіи случаи она во всѣхЪ прочихЪ сЪ пользою
употреблена быть можешЪ.
Пу^ть на пр. предложена будетЪ дифференціальная функ-
_______дхзіп.х -
Пія оу— х—з кошор: ю мы разсматривали вЪ прелЬиху-
---------------------------------- яп. ж ЭХ ---х сег. х — ііп. х
-----------------------------------------------_ х~ з йх _---,
йЭХ (2 — хх);іп. х----------------------------------------х со; х ЭддХ. х(6 — хх со;. х - 3С2 — хх)\т. х
ЙХ2 Х< * гіхЗ X* 9
Й*Х___ ( )- 12ХХ-Нх4) ііп. X- 4Х(6-Хх'іСОІ.Х
^74 —------------------7У— ------------- 9 И такъ далѣе. Како-
во бы теперь ни п иоженз была начальная величина х~а, кромѣ
а~ , коеффиціеншы К, В С, О и проч. найіушся РезЪ вся-
Каю затрудненія, и получится приближенная величина у.
Ні которое затрудненіе встрѣчается то-ько при
. ѵ ѵ ЗХ ді)Х
ибо піогга изображенія содержаніи Л, &х, и проч. дзета*
влзіопіЪ для А, В, С , Г) и проч. величины выражтощіяся
чрезЪ — , но и сіи заті удпенія по § 13 о функпічхЪ, очівра-
ін<чіы быть могу шЪ , полагая сперва вЪ оныхЪ изображеніяхъ
X ~ а> , и по сокращеніи дробей на наибольшаго о >щаіо дѣли-
яіелй аУ назначая а> = о. СимЬ образомЪ получится вЪ семЬ
случаѣ Ахі, В_^О, О~О, Е“| и такЪ далѣе.
____ і . • і із . т і!
а найдется V — О-|-1.----------. — Ч-----------. — — . . .
1.2.33 » • 2 • 3 •4 5 5
или положивъ X — І ~ а ~ О„ зі. е. І = X.
221
ЖЯкЬ и вЪ ономЪ $ 165 найдено.
Примѣръ же невозможности употребленія формулы Тейле-
]*
р^иой можетіЪ дпспт-в"гпь приложеніе ея кЪфункціи Эу~Эхбі/І.Х ,
гдѣ вели инь А, В С В и проч должны быть опредѣлены
ири предположеніи X ~ о; вЬ коіпоромЪ случаѣ всѣ онѣ, при
величинѣ —, с отрицательной, начиная сЪ А; при величинѣ
О но <^І, начиная сЪ В при величинѣ но 2Л
начиная сЪ С, и шакЪ далѣе, обратятся вЪ безконечныя.
БываетЪ иногда, что и ьЪ тѣхЪ случаяхъ, вЪ коихЪ ве-
личины А, В, С. Ь и проч. по Тейлерову правилу не выхо-
дяіпЬ безк >не шыя , оное для нахожденія приближеннаго инте-
грала бываешЪ не удобно, по причинѣ б -льшаго числа і или
х -а, обращающаго оную строку вЪ расхі іящѵюся', или хотя
и схоіящ.ю я, но весьма слабо. ВЬ такономЬ случаѣ ложно
лглпганц і раздѣлить на нѣсколько равныхЗ пастей, на лр.
на п и «оосГ/.лзшпь, гто натальная величина х~а. лриниціа-
ла ло лоуадкц лрпращенія ю , 2ю, За> л лроп. -разутія
0)^3 *. Назовемъ теперь нічальную величину у буквою у<0,
и назначимъ слѣдующія величины у, соотвътсшвенчыя онымЪ
(о) I
состояніямъ X -+- ш. X —г-20), и проч. величины х, по по-
рядку чрезЪ у^у' , у^4 и проч. до самой искомой
величинъ’ уСп) соошвѣшспіьу ющей величинѣ х_пхС0 і па>~х(о) г і,
то будешЬ
о
922
гпакимЪ образомЪ чрезЪ сложеніе всѣхЪ сихЪ рядовъ, и уни-
чтоженіе сЪ обѣихЪ стіоронЪ равныхЪ меличинЪ у(9, у(2), у(з>,
уМ и проч. получимЪ
™ <•> у> а/” •
у у ч\гхмН'эх',,+эх(”'+' ’ ’ ‘ + эх(—)Л
и проч.
Назначимъ первыя дифференціальныя содержанія чрезі? АС®),
А(’), АС2) ... АСП~«) вторыя чрезЪ В<°> ВС’) БС2). . . ВС'1-1),
третьи чрезЪ С<°>, С(’), СО) . . . ССП~') , кои получатся
чрезЪ подешановленіе вмѣсто X в • оныхЪ содержаніяхъ по по-
рядку количествъ а, а - а, а {~2.а>, а-|-3а>, и такЪ далѣе; вс ли-
чину же уС°) соотвѣтствующую величинѣ х~а чрезЬ Ь; то
по назначеніи величины ѵ(л) вообще чрезЪ у Оудешо
у — Ь Ч- (А'о)-4- А(І)4- А(?) -н АСз)+ - • • +
и проч.
92?
формула сія довольно способна для выкладокЪ; но есшъли
раз-мошришся (брашный переходъ отЪ величины уКп). до у(°У,
и чрезЪ іпо опредѣленная величина уСъ) соединится е:Ъ он ю,
іпо получится формула еще способнѣйшая для выкладокЪ.
И дѣйствіе ідельво, поелику величина зеО при переходѣ чрезЪ
сосив янія х(п~*Х Х,п~'О - • . зс(°) принимала противныя преж-
нимъ нзм н'нія, л, е. — и, то будешЪ
И”-’—— АС")и> + г4в('Ѵ—...
У”-’>—у—”_А("-'><.|+ -В(П-,Ѵ------ С'"— ’и>н--
г(п-з)-_ А<п-=^ . в ----------• <5"~2 V -4-...
* г 1.2 1.2. 3 •
и шакЪ дглѣе наконецъ
у* гг — В%)*----— С / ~Ь . ..
** ' 1 1.2 1-2-3
іго но сложеніи в ѣхЪ сихѣ рядовЪ , и перенесеніи всѣхЪ чле-
новЪ содержащихъ аі кЪ уС°), ногпомЪ по назначеніи, какЪ и
ирежде, величины чрезЬ Ъ, и у(п) вообще чрезЪ у полу-
7 = 54-(А'И4- А'2)+А0)+А1'4) Ч-.
— Л (в’°+ в(2)4- вСз>Ч~ ИГ4)4- - -. .. 4- В<П)>г
4- _л_(С;,>-4-ССа)+ С(і)н- С(4)Ч- + СГ)>?
—о(!,+о°Чв(4)+.... ч- П(Ѵ
И проч.
соединимъ сіе выраженіе величины уСп>, или вообще у, сТ
ИредіидущимЪ выраженіемъ шой же величины , и раьдьлилЪ
«Ъ обѣихЬ сіпоронЪ на- 2. то пелучимЪ
у=Ь+(А',)+ Ам-+- А'Ѵ.. ,+А’’->Ч-!(АМ-+-А(’,))>
+ Ніэ(с',’н-сМ+с<’!+” +С("-,)н-і(См-»-Ст)Х
-^*®(О<"’+ОН)Х
И проч*
а?4
ВоімемЪ для примѣра Эу—, гдѣ у означаетъ дугу
тангенса х. Здѣсь будетЪ л. _ , Эх, — —
Й?У __ о(з^х —о Э4у _____ Э4Х( --хх) д$у _____ 24^1 — юх3 -4- 5x4)
йхЗ (і -н хх)3 ’ дх4 (і-|-хх)4 » дхі (• 4-хх)5 ’
и <пдкЪ далѣе. РазгищечЪ дугу у отЪ х ~ о дс х~і; и для
сего назначимъ приращен.е а величины х отЪ о до і каждое
то будетЪ
іѴ — 5/ і _і_ х . ь Д-4~ з ) • _г_____________у/ ’? _і_ 2»__ *'
Д К"6 ' 29 34 ' 41 1 ІОСИ ' 200 3'263 ' гуЗ 34І
, 22 I___3 Ч __ г / 76 __ 59___=44 , 1 3 I 7 X і
41З 8 . 54. \а65 29$ 34$ 415 • ' =Л<5Ѵ * ‘
по которому изображенію естьли вычислимъ \тг до 6 знаговЪ
десятиричныхъ дробей, джо получимЪ ^7Г “ 0,785395 ,
откуда найдется УТ 3,14 158, величина разнящаяся ошЪ
истинной вЬ одномЪ только послѣднемъ знакѣ.
ВозмемЪ для другаго примѣра функцію Э/ — »
сЪ пгІ.мЪ , чт^бЪ разЬискап.'ь приложенный интегралЪ у, іі| и
предположеніи, что при х_о величина у_^.Ъ и что величина
у ищется ма случай
ду __________ і
чится Эх — :
X — ^7Г. ИзЪ онаго уравненія
д^у _____ я’п. х
-Эс2 - '
Э4> ___ 5 ЯП х(з—СО! X2)
Эх4
8СО5. X1
полу-
ЭЗу ___ 3 — 5 соі. хх
дх~3 --
. авО5. X” 4 СО! х'
и такЪ далѣе, положивъ теперь
и П ^-2 5, по сему Ш — 35 7Г, получичЪ
225
+
і.а-3- 4
, I . _ —— --- --«
Усоі.оы V СОІ. ЗЫ ' УСО5.4Ы
ѴсО5.5Ш‘
'3 — усоі а>2’
см.уы’
з—5СО5.
соі.и? сомі?
5Іп. рл>(з — со:. уы*)
і . а . з . 4 .іб
со:. 5ш’
гдѣ будетЪ « — 0,1Оф11^)15
VI. О нахожденіи ѵ.нтегралоеЪ дифференціальныхъ
функціи РЭ^П.
§ 168.
—, 5*у »
Естьли по данному отнолгенпо —- г, или по данно-
му дифференціалу Э у РЭг , разумѣя величину &с по?
спрягшую, должно будетЪ найти самую величину у, то на-
Эп ‘у др _ р
зиагим5 сперва буквою р; тогда будетъ — г , ч/
Эр - РЭх, откуда найдется р —У*РЭх-+- а, гдѣ иншегрова-
ніе функціи РЭх соверш гася по предЪидущимЪ правиламъ.
ПолежимЪ, что будетЪ /*РЭх_‘\ тст будетЪ —
X ~На- Назначимъ потомЪ буквою р', то будетЪ
— Хк -р а, или Эр^Х^71 откуда найдете*
Р—/Х^ дх-НХТЧ-тдѣ опять интегралЪ функціи X "
разЪищется по предЬидущи.мЪ пра-ичамЪ, который пусть бу-
детЪ Х(п~"1 1 >гда назначивъ буквою р получимЪ
Эр//=Х(п~*}Эх4-ахЭхЧР1?Эх, и р//-у’ХСп’“^Эт-Ь-і«гх4-6х
Н-у- Х(п-3Ц-|ахх-}-&с-|-у. П о< тупая такимЪ обра-
зомъ далѣе найдется наконецъ у —Х-|~Ах ’-р- Вх"
Тестя Ш. зд
2 2 6 —
п— * -С >>
-}- Сх *-4- . . . 4“ А, гдѣ ведйчйны «. & у и проч., я по
еему и А, В, С, Ц а проч. сушь совершсня-- произ.в >дные. Иаеаа-
чимЪ для краткости функціи' Ах -4-Вх н-Сг 3н-..-+Л,
составляющую совершенно произвольную, но цѣлую ; лп,іонэ чь-
нѵю и при шочЪ полную функцію степени п — і величины х.
чрезЪ Ф Х^ шо будетЪ У— Xфп X. Поелику ура-
вненіе д'у — РЭх* доставляетъ изоОражепіе у" —/ рэЛ
при шомЪ интегралЪ / РЭх , разсматриваемой коомѣ произ*
вольныхъ постоянныхъ величинъ вводимъ хЪ послѣ іѵюіпияіі
одно за другимЬ ичтеірованіями , есть тоже, что и X, шо
отношейіе — 1 у доставляетъ всегда У--/ "РЭх’ч-ф ‘ X.
Оші уда явст.вѵетЪ, чпю сколько разЪ повторено быменіЬ
мніьегрованіе, столы о разЪ вЪ интегралЪ входптЪ по произ-
вольчой по< т’янной величиіі!совсѣмЪ независимой <нпЬ по-
стоянныхъ величинъ бывшихЬ иЪ предложенной дифференці-
альной ф, нціи;, иб ф ЖсодержитЪ вЪ себѣ п прой вольны Ь
постоянныхъ величинѣ А В, С и проч; и полный интегралъ
у дифференціала 2 у необходимо п шакихЬ ііроизволыіь хЪ
величинъ содержать долженЪ. Пусгпь на пр. будетЪ ^4— ф
то будетЪ г: Г I + х, ||* — х I. X -ф- (а — 1 )х 5
— хі. х 4- сіх -ф- ... ~ хх Г.х — хх +1 а,'ххГ-у - н у
^ІХХІ.Х 4- л^ХХ 4- ех -Ф- у , и наконецъ ѴХ= — хЧ X
— —~х3 4- уX3 4- ,;§ЛХ4 уХ4-? или У—~ -х3;.х4-АХ3
4~ Вха 4* “4“ » гдѣ величины А, В, С Ь по причинѣ
прой із ільности величинъ а, % ? будѵшЬ шакожЪ совер-
щенно произвольныя. Пусть еще будетЪ 3 ’ХХ. ѴОЗ. X , то
будетЪ ” Яіі X -н а,
У--ЯП.Х Н-ІЛХХ + бх -+- у,
§
Л27
— — со$. X -+- ах -}- 6 , И
или У-— ЛЖ.ХН-аГХ + Ьх-'-С,
•б&.
Слѣдуя за ніѣмЪ, какЪ отЪ содержанія д/п — Р перехо-
дится кЪ интегралу у, безЪ вниманія кЪ входящимъ при ка-
ждомЪ инпіегрованіи произвольнымъ постояннымъ величинамъ,
уьидимЪ, что будетЪ ,^хіг—— 'Эх, |рі—а —/дх/* бкг »
|рг— з — /дх/)х/Рдх и шакЪ далѣе. Но на основаніи томЪ ,
что полѵчится /’РЭх=Рх-/хЭР^ ЭхуРЭх
г/Рхдх — /Эх/хЭР =: ДРхх — ххЭР — х/хЭР -4- /ххдР
_і(Рхг—2х/хЭР-г-/ххс)Р); /дх/дх/дх/Рдх~- (Рх4—4х5
/хЭР-+-6хг/ Гх4Р~4х/х3()Р-|-/х4ЭР), и шакЪ далѣе. По се-
му будетЪ вообще
ѵ - (р*п -«АЗР + У у- ДхЭР
. _ . ч-;гпэр) +
Есшьли на пр. |х^ — /. X , гдѣ Р — I. X , то будетЪ
ДдР ~ /дх - X, /ххдР ~ ,1ХХ, /ѵ3ЭР = |Х3, и проч. По се-
му бѵ' іешЬ
-іу і(" (»-) ^)-..)хЯ
у — 1 ~ е 3 1 ’ з_—___!—___? ' 4. .
7 і . а . 3 . . п
4-фП~1Х.
29
423
СТАТЬЯ ВТОРАЯ
Сеойстеа разысканіе интеграловъ дифференціальныхъ
функцій двухЪ или боліе измѣняемыхъ велнышЪ,.
I. Нахожденіе интеграловъ дмфференіо альныхЪ функцій
тіспвом стелени. двухЪ или боліе измѣняемыхъ велгкинЪ»
§ і?о.
Пусть будетЪ предложено найти интегралЪ дифферен-
ціальной функцій РЭх С Ъу Ч- і'Эѣ Ч- . - . .'измѣняе-
мыхъ величикЪ X, у, 2 и пооч_; то о первыхЪ разсмотрѣть
надобно полный ли она дифференціалъ?’ Для сего по § >12
/Эр\__________________________/до_\ __?эк\
требуется, чтобЪ было —(йх;, (^) — «проч.
, ) — 'у и проч. Естьли сіе будетЪ, то по тому же па-
раграфу, назначивъ интегралЪ оной функціи буквою V, будетЪ
Р-'(!”)> О.= (|-^)> = (ІЗ проч- то есть члены РЭх*
О/Зу, В,Эг. и проч. п >рознь, будутЪ полные дифференціалы
всей функціи V, взятые по измѣняемости той измѣняемой
величины , коея дифференц' вЪ которомЪ членѣ находится
множишелемЪ. ИзЪ сего слѣдовать будетЪ напротивъ, что
дабы получи.пь всѣ члены функціи V, вЪ кои входитЪ вели-
чина х, надлежитъ только взять интегралЪ функціи РЭх:
по измѣняемости величины х , который пусть. будетЪ Е?.
Естьли теперь возьмется опять дифференціалъ сея функціи
Е/, по изнЬняемосгии ісѣхЪ измѣняемыхъ іеличинЪ л", у, х
и прфк то онЪ содержать будетЪ вЪ себѣ всѣ шѣ члены диф-
фере ціала ЭѴ; вЪ кои входитЪ величина х, или ея диффе-
ренціалъ ; л до «му когда’ сей. дифференціалъ вычшешея изЪ
2.29
предложенной функціи, то зЪ остаткѣ ЭѴ--ЭѴ или Э(Ѵ—V)
будетЪ дифференціальная функція О_Эу —ь- Г 4“ . . . . %
вЪ коей ни одного члена содержащаго вЪ себѣ величины х не
будетЪ, и которая будетЪ полный дифференціалъ тѣхЪ чле-
новъ V —V функціи V , кои величины X не содержатъ.
Поелику же дифференціалъ величины V , взятой по измѣняе-
мости величины х, будетЪ Р2х, то для полученія «статка
С'Эу 4- 4- . • , не содержащаіо вЪ себѣ болѣе величи-
ны X, довольно- взять дифференціалъ величины V по измѣ-
няемости только величинъ у, г и проч. , и вычесть изЪ чле-
новъ ОЭу 4~ I 4- • • - Послѣ сего. ингаегрілЪ члена О.Эу
онаго остатка, взятый по измѣняемости величины у, соста-
витъ часть Ѵ/ функціи V, содержащую вЪ себѣ остальные
члены функціи V, вЪ кои входишЪ величина у.
Дифференціалъ сея функціи IIх взятый по измѣняемость
величинъ г и проч., кромѣ у, и вычтенной. изЪ членовЪ
Ч- . . - доставитъ члены IV 314“ • • • несодержащі'е
вЪ себѣ болѣе величины у, и составляющіе полный дифферен-
ціалъ тѣхЪ членовЪ величины V, кои не содержатъ вЪ себѣ
величинъ ж и у; и чрезЪ интегралЪ члена В/'Эз, по измѣ-
няемости одной величины к, разыщутся остальные члены Ѵ//,
содержащіе величину г. Поступая іг.акимЪ образомЪ далѣе
разыщемЪ всѣ измѣняемыя части интеграла одну послѣ дру-
вей, и будетЪ полный интегралЪ ЪІЗ/Н-И//4".. • -і-СоіііІ:.
Пусть на пр. предложена будетЪ дифференціальная
функція (2ХЧ- кое я инте-
гралЪ разЪигкать должно, изо іразивЪ ее вЪ видѣ Р^х-фС^Зу
<?Г\ ___________ уЗ /б 2\__________ Э&
получимъ ( —---------г и ( )—----------по сему оная
{уу-хх)?
дифференціальная функція еецп полный дифференціалъ^
43с ет-
ВэзмсмЪ иіЛіегралЪ члена (/(по измѣ-
няемости величины у и получится X}/( у у — XI?) — у у.
ВычтемЪ дифференціалъ сего интеграла , взятый по измѣнче-
впсти величины х. изЪ другаго члена предложенной диффе-
ренціальной функціи; и почудится вЪ остаткѣ .-+- хдх.,
жоего интегралЪ бу іе-.пЪ-у-хх. По сему полный интегралЪ пред-
ложенной дифференціальной фу чкп/и будечпі хУ'^уу— Хх'
—, уу -4— XX 4- • • • СОП$І
§ І7І«
• V
ТаковЪ общій пріемЪ нахожденія интеграловЪ дифферен-
ціальныхъ функцій многихЪ «измѣняемыхъ величинъ, когда сіи
функціи составляютъ полный диф фереіьцГа лѣ. Но когда
вЪ дифференціальной фун, ціи с>Ѵ~РЭх-ыО^ун-КЭх-+-... имѣю
щей Ѵэ7)-(ол;, \ді)Ад~х) к и₽оя-> (даМэУ и проч., И слѣдова.
шельнд составляющей 1 полный дифференціалъ ЭѴ какой либо
функціи V, величины Р, 0 , В и .проч. сушь функціи одно-
родныя, гп. е. содержащія во всѣхЪ чвслахЪ одинакое число
нзмѣрен'й; гпогд: разЪисканіе интеграла V оной функціи мо-
жно произвесть гораздо легче; а именно вЪ семЪ случаѣ, поло-
жить число ізяѣренгй вЪ Р. ф К и проч. ~7і, бываепіЪ все-
гда (п 4- і)Ѵ - Рх ф Оу 4- Вх 4- .... .4- Соп<?(.
>
И дѣй шаиіпельно естьм» назначимъ У — ПХ, 2 ~ ГХ п проч.
и подставивъ сіи величины вмѣсто у, г и проч. вЪ величи-
нахъ Р, О В и проч., шо онѣ обратятся вЪ Р^х”, С Ъ'п,
КѴ и проч., .дѣ Р7, ОХ, В и проч» бу гутЪ только функ-
ціи величинъ и, .ѵ и проч. безЪ х, и будетЪ ЭѴ~Х (РОхн-ОЭ/
4- іѴЭх 4 . . . • при тлмЪ будешЪ Эу ~ мЭх 4" хди 9
Эх — ѵЭх 4~ и проч.; кои выраженія дгфференціаловЬ Эу,
13.
и прйч; ког. іа подставлены булупП, вЪ бпомЪ изображеніи?
дифферейЦіалг ЭѴ, то получится о>Ѵ^(Р/=г ^й-йК/р-Ь...)х’1Эі
~Н X \2.*уіА -Ъ X Гі оѴ -{— . . ^ копій) як функція БудетЪ
опять полный дчффереіініалЪ измѣняемыхъ'’велнчи«Ъ х, и »
иърі.ч. ВозмемЪ' теперь иніпегрялЪ члена (Р/'-+(1ич-К/2^...),ХЯЭх
до измѣияея-сто одной величины х, пго прлу-гиідся чаешь II
днішгралл Г содержащая вЪ себѣ всѣ шѣ члены . /Ь к'и вко-
, Г • '' » ' _ 5г (Р'З-р'р-* К'ѵ-Ь Л?1-+-*
дгяпЪ-величина х (о.ио|дячасінь ибудетЪ V_ —----------------------*•
В«><меѵ,Тг*(гііеп'рь дифференту алЪ с&я части по изиі няемости
прочихЪ влльчинЪ’ и, ѵ и проч., и вычтемЪ изЬ остальной
часіпѵ X +-\СУ'Эи + К'Эр -Н ...) дифф?ренщ'алыгой функціи
Зѵг, іьо по нредЬидущему параграфу сей осгпаіп ікЪ і.е дол-
женъ соиржаіпь вЪ себѣ величины х\ но сей іх латокЪ вы-
ключая когда п+-і”о, будетЪ необходимо содержать вЪ се<-
бѣ множителя х ’+’1 , составляющаго какую либо степень ве-
личины х, естьли не будетЪ другой его множитель, сссіпа-
вляюпцй функцію величинъ и, ѵ и прсч. , расенЪ нулю. По
сему гЪ кажѵомЪ случаѣ, выключая когда п-+- “о, сей второй'
ыіодиіиель- необхо чімо равенЪ нулю; а слѣдовательно для на-
хожденія тогда полнаго интеграла V , оставаться только
бѵДсіпЪ 1 рибавиіпь кЪ оной выше найденной его части II іфо-
ПБвользѵЮ постоянную велѵчипу. которую изобразимъ чрезЪ
с. ’ _ ѵ--^4" Кѵ • • •)*пЧ‘’ -Ь С
, —слѣд. бѵдеіііЪ V—.-------------——----„"ПГ,----------------> и-»и
(и + 1) V — (Р7 н- СіГіі ч- к V -Н • • с сг. Рх- ч-
Оу -р !‘й -р • • • -ф- ЧшожЪ прингдлежпп.ъ до слу-
чая то поелику онЪ изЪ общаго правила здѣсь
представляемаго изключаешея, разЪискаійе интеграла при СемЪ
случаѣ необходимо производкль должно на основаніи предЪмл
дуща.о параграфа. —
зЗа
предложена будетЪ дифференціальная
вЪ которой
и (дх>
Пусть на пр.
_ (хх +-ах» (ЛУ-Ь :хУі^У
функція ОѴ_ ----------(7+ ----------
„ <л_уу-+-‘ху лЭРх __ —іху
* «—шо «У-И"* У — л
р__хх-+-г*.У
1 ^(х-О)2
------:ху
—(х -Н>)3 ’
слѣдовательно оная функція есідь дифференціалъ полный,
ъ V, , с Ъ \тАхх-+-гхУ>)х-^і~УУ-^-^хуУу
при томЬ п-]~1— 1, по сему будетЪ V—---------------_р уу-----------
Но естьли будетЪ на при». ЭѴ —
гдѣ Г~ -*-
хх-+-,ХХ
.гл— У . /ЗІЧ — =х'ѵ /ЭО'і —*- ?ху
и ^Тхх^і тс х:;;пя здѣс[ и
слѣдовательно (|^) — (&) ’ но какЪ здѣсь П -г 1 — О »
то по сену пріему интегралЪ величины V найти не можно.
По предЪидущежу параграфу взявЪ интегралЪ члена у у
до измѣняемости одной величины х получимЪ часть иншеіра-
ла V ~ |ІО& (хх -ф- У'/') , коея дифференціалъ взятый по
измѣняемости величины у, ш. е. когаа вычтегпсж изЪ
л хх--уу *
потальной части оной дифференціально# функціи
пю во остаткѣ ничего не останется, по сему останется
только прибавить кЪ оной части II произвольную постоянную
іеличину, ксыорую изобразимъ чрезЪ —V- С2 , и будетЬ
Ѵ= ”^-2, пли ѵ=2 1оё.^^. ВЪ прочемъ
естьлд вдругЪ назначимъ ~Х -\~УУ
•фезЪ х , то будетЪ
хЪх Н- уЪу — 12% и ЭѴ — ;
слѣдовательно будетЪ
V — По^.т, 4- СопзЬ. —1/0^.-*^?“-’ —
хі.кЪ и прежде.
235
II. РазЪисканіе интеграловъ такнхЪ дифференціаль-
ныхъ функцій двухЪ или ьолѣе изжінліліы\Ъ велнсинЪ^
кои лоАураюпеся грезЪ послѣдовательное дифференіуі-
рован’.с по измѣняемости той или др /го.ч велиіпны.
§ >7^-
ТІлложивЪ, что V есть функція величинЪ х
рѣдко случается надобность находить величину V
ыу отношенію
зт -+- пѵ
- Эхтсуп /
Р 9 коего
знаменованіе
и у > не
по данно-
есиів то ,
что сперза взять былЪ 'п разЪ сЪ ряду дифференціалъ вели-:
чины V по измѣняемости одной величины х, ч каждый разЪ
5ылЪ дѣлеиЪ на ?х ; потомЪ взягпЪ былЪ дифференціалъ ве-
личины ошЪ того произведшей п разЪ сЬ ряду но измѣняемо-
сти одной величины у, и каждый разЪ былЪ дѣаенЪ на ду ,
пр^Шолагая какЪ вЪ нервомЪ случай дх, такЪ и во второ-мб ду?
постоянными ; и дана сроизшедізая ошЬ сего наконецъ функ-
ція Р.
Дабы получить вЪ семЪ случаѣ величину У , положимъ ‘
сперва, что — 17 , то будетЪ (|^) ” Р, и рѣшеніе
сего послѣдняго уравненія принадлежать бѵденіЪ кЪ парагра-
фамъ ібЗ и ібд, сЪ тІ>мЪ только зал Ьчані» ігЬ , чіио поелику
здѣсь при диф(ррренц‘ірованги величины II величінг х разсма-
Ріриваемл была носніояянею, то вмѣсиго нройзвольпыхЪ по-
стоянныхъ всмічинЬ , которыя тамЪ инщегровак е доставило ,
ВіЙдутЬ зіѣ'ь произвольныя функціи величины х, которая
іір.і дифференцированіи разсматрива* мя была кякЬ постоянная.
Т кимЪ г браз ’мЪ назначигЪ ичпігіралы брэшые но измѣняемо-
сти одной величины у б.квок» 8, и произвольныя функціи
величины х чрезЪ (рх $/х, и проч, по § 1/9 получимЪ-
ЗраР+..<+;8.ГПЭР)4-/’ Ф.Г4-/ Эф/^±ГП'?Ф//^+-Н-ф('1','Ч
ра-іуміія дѵффереиппло взятый по измѣняемости одной
Чаетъ ІІТ.. Зо
254
величины у. Послѣ сего назначивъ интегралы брашые по
измѣняемости одной величины х буквою у, и произвольныя
функціи величины у чрезЪ фу, Уу, У'у и проч., изЪ уравненія
(|тД) = V, шакймЪ же образомЪ какЪ и прежде получимЪ
ѵ-^-(их”-тг^/хЭи+-‘^х^УхаЭѴ^"^^==’х”-’
/с’ЭП-+-...±т*“Э0)4-х”_’^4-х ~"6'у-і-хп~,6"у+
разумѣя дифференціалъ Э17 взятый по измѣняемости одной
величины х.
. , эт-к-пу. ____ ,йтЧ-пѴѵ '
Поелику по § 73 \дхтду‘'— 1110 естьлп бьг мы
.'ав, /^тѵ'} г»
назначивъ сперва буквою IIх изЪ отношенія (дх.п ) — Р
опредѣлили сначала величину Ѵ', а потомЪ изЪ отношенія уже
» ">У
(^уі) О нашли V, то бы аеличкна полученная для V
симЪ послѣднимъ порядкомъ была одинакова сЪ оною величи-
ной V полученною первымЪ норядкокЪ.
Пусть на пр. будетЪ —I XX у , • то йазпачивЪ
(|^) чрезТ V получимЪ (^у) — ХХу, и будетЪ О ~ — XX
(уЭ — 2/8, уду Ч- 8.уу ду) ч- уфх 4- фх ; ЙЛИ
15 | XXу3 У фя* Н- фХX з потомЪ изЪ отношенія
— V получимЪ V — -5 х3у3 4~ уф/7х 4- Ф ' X -к Фу,
разумѣя ф/ХХ =. /дх фх, И ф^Х — /дхф'х. Или казна-
; ) чрезЪ Ѵ7, и будетЪ (|*р — ХХу 3 откуда
найдется Ѵ?—|Х3у4“Фуі патоиЬ изЪ от.і тенія (^У) — іУ
найдется ^)~ | Х3уу ^-Уу-Уфх , разумѣя Фу—/ф’Фу;
ваконецЪ получится V Х3^ 4“ ^У Ч“/Ф'Г 4- Ф X ,
ко.тіѳрое «з брлжгіГі"* величины V, но причинѣ произвольности
функцій фх, фхХ должно быіпь считаемо одинако
сЬ онымЪ цервымЬ.
П ’глику при нахожденіи величины V ’ изЪ отношенія
/Эта+'ПѴ\
\дхт дхп' по первому поряжу величина II можетЪ изобразиться
чрезЪ 8 РЭу
при нахожденіи же величины V по второчу
Vх м іжетЪ изобразиться чрезЪ /”ПРЭх’П, і
V — 8п І/Эу" Г- 8я Э/ [т Р Эхта,
/ ^Х 8 РЭу — 8 ЭуПу'”1 РЭх”1. Не рѣдко величина V,
/ Р изображается чрезЪ
а потомЪ будетЪ Ѵ_ У^ІЗЭх™—утЭх 8РЭу"^
порядку,величина
потомЪ будетЪ
по сему будетЪ
до-
сіпазляемая чрезЪ отношеніе
V—р-ьпрэх’пэ/
но вЪ семЪ случаѣ собственно разумѣть
чі
ДОЧЖНО V -----/ Эх™ 8" РдуП ИЛИ
кои изображенія, какЪ мы видѣли, означаютъ одно и тоже.
ИзЪ вышесказаннаго явствуетЪ, какимЪ образомЪ посту-
пать дол-но при опредѣленіи величины V изЪ отношенія
— Р, когда величина V есть функція измѣ-
няемыхъ величинъ х ,
Эхт дуп Э2Р Эи7
У и з;
когда V есть
или изЪ отношенія
функція измѣняемыхъ
величинъ х, у, г и а; и гаакЪ далѣе.
Зо *
яЗб
Ш. Изслѣдованіе условіи > лри контр ыхЪ дифферен-
ціальная функція высшей- степени , двухЪ пли боліе
зелнъинЪ излііняе ъш\Ъ, вещественная и вЬ слусаі в ще-
ственностііу когда
составляетъ полный дифференціалъ.
і •• • ••? м • г». и<_.
г § І?3-
>
ВозмемЬ т°лерь вЪ разсмотрѣніе функціи измѣняемыхъ
величинѣ X, у, 2 и проч. и ихЪ дифференціаловъ пер.-ой ,
второй и третьей степени, и такЪ да,Л>е; при нр дполеженіи,.
что величины х у, 2 и проч. , равно какб и цхЪ измѣ існія {
меж іу'собою независимы; со піѣмЪ намѣреніемъ, дабы изслѣ-
довать, каждая ли толковая функція венда бываетЪ іи-ще*-
ственна ; и бу де вещесп венна , шо когда бываетЪ полный
дифференціалъ..
Для уд бі, Ьйшаго опредѣленія условій принадлежащихъ
кЬ вещссптенчоти ша.ювыіЪ. ф’н ціб, а т шомЬ- и кЪ полно-
сти дифференціала ихЪ, зімѣ имЪ, что хотя оныя величины
X. у, 2 и проч. предполагаются взаимно независимыми, но
не нарушія сея независимости- можно разсматривать ве»
личины у, 2 и проч. і-ккЪ неопредѣленныя-, или взя-
тыя вообще , функціи величины х; ибо таковыя функ-
ціи, по неопредѣленности своейникакою собственно закона
зависимости отЪ величины х постановлять не будутЪ , а по
сему и величины уу 2 и проч. ими выражаемыя не будутЪ
связаны между собою никакою оіг елѣленною, зависимостію.
ЛІеж іу шѣмЪ свойство дифференціаловъ тресіовятв о'цдеп.Ъ ,
глго когда лля въіраяге.нія ьелтпнЪ у, ъ и ва’іГ/. жіны
Л/дутЪ разЪ какія лиДо функціи ве.чинны х, г/;к. п лри,
есД-хЪ лер ходахЪ вглигинЪ х у^ 2 и. лрое. изЪ юіпіоян.л
вЪ состояніе каждая новая велліина у, н чі 2 и лрог.. дол-
жна вЫі ажатіея трсзЪ соотвіонтвенніію еіі ве нъпъі/ х піоіо
Же фіііпкі(іеіо, какою сЪ нага.іа пзѵіГража іась; то е шь к гда
величина х т сл ь п измѣненій обрати гея вЪ д/ — X ~н /1ЭХ
. п(п-- і) -х-х . п(п — 1) (п 2) л.,
77— ОРГ -4---*ТТТ7з — Э3Хто, бу де началъ-
2.57
мзобра-
и проч.}
варіапі»
тогда срошкЬпі-
г' и прЪч.
&' _2 №
и
'Л
воображенныя;
у* г и проч.
вмѣсто коихЪ
но содержанія
но назначены были у ~ <?х 2—2$х и проч,
ственчыя омой величинѣ х' величины у7.
. ,. । с •'
жаться будутЪ также «резЪ у ф" ,
иначе вмѣстѣ' 'сЪ дифференціалами получатся
еныхЪ величинъ,
ѵ .> ’ ••. ' ’ "1 % ль
ИзЪ сего охмѵбтЪ, что зсотя' начально
функціи величины X для выраженія ве; очинЪ
буду га’1 совершенно неопредѣленныя, и такія,
всякую* произвольную функцію взять можно;
зъ ’ ’' _ > -•
& и проч.. не- оуді'гпо ртже бслѣе совершенно неопредѣлеи-
щ. я, вмѣсто коихЪ бы всякую по произволенію фіункцію взять
бы..о М'іжчо , но оиѣ зависимы Ѵ.у дутЪ. іниЪ оныхЪ началь-
ныхъ мази>ненія функцій ямичины ~ для ѵ г и проч. Ьа-
зпвемЪ функціи величичы X, выражающія сіи содержанія, бук-
ВЛійча р^.р' йпроч. то-ію той же самой чіри іинѣ и. сбдержд-
.. Эр ЗУ .
нія -и проч.-, кои назначимъ бу.кканііг д>, ф и Проч—,
не будутЪ-болѣе совершенно неопредѣленны, но будутЪ за-
зис1 іпь опіЪ оныхЪ же начальныхъ назначеній, функцій величи-
ны х для у 2 и проч. Ті же самое-принадлежать будешЪ'
и гЪ функціямъ " 4^'4 ; и прочіи
т«кЪ далѣе.. Одна только величина о*х при всѣхЪ сихЪ
функціяхъ, бСріикЪчвься будешЪ, совершенно неопредѣленною и
произвольною, (де п казываепіЪ, что при предположеніи оныхЪ
назначеній* величинъ у, г и ирпч. функціями величины х, ко-
діорое для досіндвілснія супіеспівенна>о ‘различія между диф*
ференціалами и варіаціями необходимо нужно , дифференциро-
ваніе никяі ихЪ дру-гі-хЪ* 6. вершей И о неопредѣленныхъ велнчинЪ
недоііііаяляепГЬ ,рочѣ і?а-Цы#Ъ онь.хЪ начальныхъ функцій’, и-
вѵкичичы Эх остающейся проиеАольноіб.
•I*. • ’Н- •• 1 - „
Но само по себѣ яксінвуеіпЪ, что та ГнО.і КЪ ді’фферен-
^іітдѣиая фу кцря ііЩ‘,сте1анна>жгі оусастач.ігітѣ
бг.А^пЪ охрх$. ведигину' х, у,і г // /іуоіц м ті-хЬ
238 =
дифференціальныхъ фудіціи, кои огнЪ ихЪ дифференциро-
ванія произойти ліогун.Ъ. Ло сему па то ню диффе-
ренціальная функція мзлніняеліыхЪ велпсі п\ х, у гилрся.
будетЗ вещест> енч і, кото} а? кррлрѣ велмл,н6 х у, г и д/ пг.
и дифференціала Эх остающагося произ ольчыліЪу содер-
жать будетЪ вЪ себі одни дифференцал ыя функція
р, д, г и лросі р' д\ г' а лроз и і^ірос. оп.6 дифференци-
рованія происходящія. га с-ч< «л
. • ш х а , .н >к • > • >ч
тт __л ______ * 0%___ е
Нізначеніеже а — р, 0- — </, —Г и проч. р,
др'_ / Э-/_, / ' ’ 3 <Л ) ' 1п -ч*2» Л > ЛЛ
^х—9 9 и проч. и проч, доставляетъ ооу—ороКЧ~ рооХ
€ 1 । I ! ‘ I
дЭх2 4- рЭЭх, д3у — ЭфЭх2 4- здЭгЭЭх 4-ЭрЭЭх + рЭ’х
— гдх3 4- ЗдЭхЭЭх 4- р33х , д*у — ЗгЭх3 4- ЗгЭх'ЭЭг
Здд Эх дЭх 4- ЗдЭЭх* Ч- Зц Эх Э?х 4- Эр Э’х 4- р
~ лЭх* 4- 6г Эх1 ЭЭх -Ь Зд ЭЭх2 4- 4 д Эх Э3 ѵ -+- р Э4х;
и шакЪ ділѣе- ТікичЪж^ образомЪ ЭЭх ~ д1 оХ* 4“ Р’'ЭЭх ,
^ъ—г'дх3 4- 3 д7охЗЪх 4- р'д3х, Э4^=/Эх4 4- 6г ’Э х’ЭЭ г 4
З/ЭЭх2 + 4/ЭхЭ3Х 4- Р'Э4Х; и ыагЪ далѣе.
* іч . аліяі •& । < «>
И подобныя симЪ выраженія тлучапіся для дифферен-
ціаловъ прочихЪ измѣняемымъ в-личинЪ. И такЪ естьли
вЬ какой л .бо дифференпіальн>лй функціи, содержащей вЪ себѣ
диффсре» ціалы ьп рой и высшихъ степеней оныхЬ измѣ іяе-
мыхЪ величинъ х у г и проч , вмѣсто дифференціаловъ
первой и всѣхЪ вькыихЪ степеней величинъ у 2 н пр >ч- вве-
дутся опыя ихЪ выраженія чрезЪ р, дъ г и проч , рх, д' Г''І
м проч. и проч. и дифференціалы, величлны х. піо '^уд- сія
дифференціальная функція вещественна, должна она обра-
титься только вЪ функцію величинъ X, у, 2» . . ., р> дуГ . .
р'. Ч', е . .., р", Ч". г" ... , проч. помноженную
=====
на какую либо степень дифференціала дх < станица ося пре вз
вольнымъ, члены же содержащіе дифференціалы высшей сте-
пени величины х , должны сами по себѣ уничтожиться ; вЪ
проіпивномЪ же случаѣ сія Функція не будетЪ вещественна.
ТакЪ функція ді'ЭЭ/* — ЭуЭЭх, обращающаяся чрезЪ оное
подешановленіе вЪ ддх3, будетЪ вещественна, но функція
ЭсЭЭу 4“ ЭуЭЭх, обѣщающаяся чрезЪ оное по іешановленіе вЪ
С/Эх-’ + 2рЭхЭЭх, когда дифференціалъ ЭЭх не “О, и не
можепіЪ изображенъ быть чрезЪ 1 о’х" , разумѣя подЪ Р какую
либо функцію велнчннЬ х у, и ихЪ производныхъ р, д и проч.
не будетЪ вещественна.
ТакимЪ образомЪ для всі>_сч:твениостіі фу кцігі тре-
буется , ътпобб пли ло сс. с/ лу-л?і б^.шіпока.іацнія^Ъ лод-
оі а с лети коеф фі.'Ціенты всіу'6 диффреиц а.ю&7> второй
п высшихъ стеленей еелнеп & дх саіу/ ло себѣ іу іятия гі-
лась, или, буде сего не бу е ѵ< , скобб сіп сЛдіые д> ффе-
ренціа.іы обра пились вб >-у и , сто будетЪ, когда сио/ано
колотитъ дифференціалѣ дх постоячнъіліі; или нако/ец7)
ттчбЪ каждый пз7> о/іых> ді.фференціалово Э^х л;ог'5 быть
язоб/. аж.ыі'6 функціею РЭх^, лодЪ Р гасро м>б.з
фу:кл,ю велиъччЪ х.у,г и л^ос. л ихб л- о.сЗіодныхб фу;іК'
И п р, д, г и лрот,. р7, д', т7 и лрос. и л^> ос.
Послѣдній случай будетЪ, когда вмѣсто того, чпт<'6Ъ
вредиолагашь величину дх по.тоянною, предположена будетЪ
посиюяініыо какая либо функція, рдх, разумѣя подЬ р функ-
цію величичЪ х у. 2 н пр' ч. и из.Ь производныхъ функцій
р, р' и пр'Ч. И дѣйствительно пусть будетЪ функція
рдх ~ ди постоянна, то будетЪ рдд С- -Ь дрдх — О, а но
сеи-у ддх — —- » и какЪ -р будете вида р'дх, то будетЪ
ЭЭГ ~ - //с}.Г3. П о то мЪ бу де н-Ъ Э3Х ~ - Эр^Х2 - 2 р "Эх<)Эх
~ — Э/Х дX/ -)- Х-, и какЪ др будешЬ нд -
р'гк, шо будетЪ 2 х вида р дх3; а шдкЬ далѣе.
а4о
в.
и
Т -А Т г/
дх ЧРСзЪ П- а ; ЧРеЛ Р
.. эч
потомъ
Опредѣливъ теперь условія, кои необходимы, дабы функ-
ція величинъ х у, 2 и проч. и ихЪ ді ффгремціа \овЪ была
вещественна, ш. е. доказавъ что, дабы ог.а- оыла ве-еествечна,
V ’ . и з
для сего требуется, чтобы, назначивъ
др - Р' /
и проч.; потомЪ чрезг чрезЪ и проч. ;
чрезЪ Г, чрезі и проч.; чрезЪ 8, чуезі &' и проч ;
:и такЪ далѣе, она, чрезЪ подсшановлені вчѢ-’гао Эу, и
проч. величинъ рдх, р7^^ и проч. вмѣсто ЭЭ/, ЭЭй и проч.
величинъ С/Эх'2 4— рЭ?Г, </7Эх2 -ф- //Эд-Е и пртч. вмѣсто Э3у,
Э3« и проч. величинъ гдх3 ЗдЭгЭЭх рд3х , /Эх3 ~Н
3</ЭхЭЭ-І ф' р Э3Х и проч., обраіпидаіь в'Ь функцію только
величичЪ X, у, 2 . . . /Э, р 3 р . , . Ц, Ц , Ц . . . и проч.
помноженную на какую либо степень дифференціала Эх;
возгаемЪ теперь вЪ разсмотрѣніе шакочу-ю функцію Ѵ^х” ,
двукЬ только измѣняемыхъ величинъ х и у, разумѣя пЪдІ V
функцію велцчинЬ х у, р, (р г, 5 и проч.
когда она бываетЪ номіый дьфф>рінціалЬ і
пи. Для сего язслЬіусмЪ сперва, когда
ва'шЪ полный дифференціалъ первой степени;
ЭХіѴйг бываетЪ пол'ный дифференціалъ
потомЪ когда дх/дх]'Ѵд'С бываетЪ полный
'Первой степени; и иіакЬ далѣе-
и изслѣіуемЪ ,
какой либо ніепе-
функція Л Эх бы-
нопіотЪ когда
первой степени;
ди фферснціалЪ
Дабы разЪискагаь, когда функція Д’Эх
дифференп'алЬ пери й степени , назначимъ \ дх Ч(>езІ ЭѴ',
іи положимъ что V есть функція величинъ х, у, р <}, и;
бываетЪ полный
241
по величина V' должна быть функція только величинъ х у,
р, а, . , . I, но величины и содержать не должна, ибо
1 дѵ' <
иначе вЪ которая величина должна быть тоже, чшоиѴ,
содержалась бы и величина коея вЪ V не находится. ВзявЪ
теперь дифференціалѣ величины V7 по измѣняемости веѣхѣ
величинѣ х, /, р, 9, и раздѣливЪ его на Эл; получимЪ
Зѵ' /Эѵ\ . 7эѵ\ _ . ,дѵ\ ~ . ,дѵ\ , , ,дѴ\
Іх (дх) Т Р “Ь (др) Ч "Ь (д$)Г
которая величина будетЪ одинакова сѣ величиною V. Воз-
ыемѣ теперь дифференціалѣ величины V, и положимъ, что
онѣ будешЪ
ЭѴ — МЭх 4-Шу 4-РЭр 4-ОЭд 4- . .4-Ши,
то сей дифференціалѣ долженЪ быть одинаковъ сѣ дифферен-
эѵл
ціаломѣ оной величины по сему величины М, Ы, Р р,
и проч. должны быть равны дифференціаламъ оной величины
дѵ'
взятымЪ по измѣняемости тѣхЪ измѣняемыхъ величинѣ,
коимЪ оныя величины М, К, Р, и проч. служ-'шЪ коеффи-
ціеншами, раздѣленнымъ на дифференціалы сихЪ самыхѣ и вмѣ-
няемыхъ величинѣ. Слѣдовательно по совершеніи сихЪ дѣй-
ствій, и помноженіи сѣ обѣихѣ сторонѣ на дх получится
м эг = (^) Эг + ду + (§1) Эр +... + ® ЭІ.
ЬТ^= Сй) Эх + Ф <У+@ Эр +... + © эе.
РЭх=(^>+^)Эх+@Эг+(^)Эр+..
ОЭх=(аэ>-К^>+(^')Эг+(^Эр+ ...
и такѣ далѣе.
Наконепѣ ІІЭх — (-.У) Эх
МЭх = <) .... «ди М = яС)
Частпі 111 - 31
РЭх = фЭх + Э&) . . ид. Р = д(%}
оэх=^)эг+э(^ : . «га=ф+^
и ріакЪ далѣе.
НаконепЪ V (^Х)
•шкуда получится
Я—?- + г ЭЙ2-) — і Э( і ЭЙ”)) + . . . — О
дх 1 дх КЭх ' дх <дх <дх// 1
/
и при Эх постоянномъ будетЪ
^ — Эр.+_^_ --------------------о
Эх Эх3 ЭхЗ “1“ ‘ *----М
гдѣ Нт=ф, Р = (р, й=(^) и такъ далѣе.
-X.
Для продолженія же дальнѣйшихъ изслѣдованій, положивъ,
что будешЪ /ѴЭх гг: Vх, разЪищемЪ когда функція Ѵх₽х бу-
детъ полный дифференціалЪ; пошомЪ пэложйвЪ уѴ7Эх — Ѵ//,
разЬищемЪ когда функція Ѵ/?Эх будешЪ полный дифференціалЪ;
л шакЪ далѣе. Оставивъ, какЪ и прежде, ѴЭх ^2 ЭѴ' , по-
ложимъ , что будетЪ Ѵ7Эх згг ЭѴ/Х, потомЪ ѴХ/Эх’ ” ЭѴх//э
ж шакЪ далѣе. ВЪ шо же время осніавивЪ назначенія
МЭх {- Юу+РЭ/э Ч- ОЭд -4- КЭг-}- • • •» назначимъ
гѵ7=г кгах-ь К ч- СЭд 4-- КхЭг + • • •
=3™ і45
эѵ/-'=м//э®+к//э/+Р//Эрн-а7эд+К''0г-ь;.:
ЭѴда=М///Эх+Н///Э/+Р'//Эр4-05Э7+К'7',ЭгЧ-..«
и шакЪ далѣе.
/эѵ^\ /эѵ^Ч
вЪ коихЪ будетЬ МСк) = —у , ,
/ЭѴИЧ /ЭѴ<к)Ч
= (----), О_^~[----\ и иакЪ далѣе; шо кж-
\ Эр / \ Эд /
кимЪ образомЪ по предЪидущему сужденію для положенія
ѴЭх = ЭѴг нашли ыьі
М = кЭ(^)=|;
- р=^)-ЬйС)=^+я;
О-=(?)+ІЭ^Р7н-^;
к = (^') + э(э5'") = а ч-эк';
'дц' 1 дх \дг/ I дх
и проч. и наконецъ V Г2: Гх ’9
)
шакимЪ же образомЪ длг положенія Ѵ(^Эг = ЭѴ^+ най-
дется вообще
Зі «
«44
1-
яаконсцЪ Ѵ^ = Т(й4-’>
а изЪ сего слѣдовать будетЪ, что для интегральносши функ-
ціи -пребовашься будетЪ чшобЪ было
ІЛІ а- іі<кт)+ • • • = о
при дх постоянномъ.
Оныя жЪ предъидущія отношенія (а) показываютъ, что бу-
детъ вообще
р(Ь)
245
к проч.
шо есть будешЪ
ы'=р - д эа+Д э(Д эа) э(Д аз» +..-;
р'=о-Д ак + д а <д эз) - д Э(д ЭТ))+...
о.' = к - д а з + д а (Д а т> - д а (Д а (Д а од +...
н проч.
Н"=а-ДЖ4-ДЭ(Дд8) - Д-Э(ДЭ(ДЭТ))4-..,
р" = к - Д Э8 4- і Э (Д а Т) - Д д & Э (Д №)) -4-...
о/=з - д ат+д а (д ЭѴ) - д э(Д ао)) +...
и проч.
=К - д Э8 + Д Э(Д ЭТ) - ДЭ(Д э(Д а ц)) +...
р^=8-дат+Дд(дао)-...............
И ПрОЧг и проч.
По сему
і. Дабы функція ѴЭх была полный дифференціалЪ,
требуется условіе
К-&ЭР4-ДЭ(Даа)-ДЭ(Дд(ДЭ8)) + . .. =о.
2. Дабы функція Эх/ѴЭх была полный диф реренціалЪ,
для сего, ОперъхЪ предЬидущаго условія, требуется еще
условіе
9 Д6 «ШВв
И'-я ЭР"4- й »(я ЭОЭ - Э& ЖЛ) +: • —о
•' или
р-і«+і^эк)-^<э(;э8«+ .:. ко
чрезЪ которое условіе можно и оное первое привесть вЪ про-
стѣйшій видЪ.
3, Дабы функція ЭгуЭх/ѴЭх была полный дифферен-
ціалъ, для сего, сверьхЬ дв^хЪ предЪидущихЪ условій, требо-
ваться будетЪ еще } словіе
или
й-1ЭК + А Э& ЭЕ) - $ Э(> Э& Э8)} +. . . = о
чрезЪ которое и’оба Фные предЪидущія условія могуіиЪ быть
риведены вЪ простѣйшій видЪ.
д. Дабы функція Эх/дх[Ѵдх была полный дифЛе-
ренціалЪ, для сего, сверьхЪ трехЪ предЪидущихЪ условій, тре-
боваться будетЪ еще условіе
или
к'-ДЭ8 -Ьй^эт)-’:а(іэ(іэѵ))+'. • - = о.
чрезЪ которое могутЪ и ныя три предЪидущія условія при-
ведены Лышь вЪ простѣйшій видЪ
и шакЪ далѣе.
===== М7
Естьли бы величина V была функція яногихЪ измѣняе-
мыхъ величинѣ X, у> 2, Іі .. . р, р', р^ . . . д, д\ д" . . .
г, Г , . . разумѣя р — ^л, р — Эх, р — Зх * " ’
_др У---др' //---др" -------дд /____дд //_
• дх9 • дх9 ' дх * ’ ‘9 дх9 дх9 ’ дх •••
и проч., шо бы дифференціалѣ ЭѴ, кромѣ члена ГЛЭх завися»
щаго отЪ х, содержалъ соотвѣтственные величинамъ у, г, и
проч. члены 4- Р Ър -4* О.Э<? 4~ К Эг 4*..........,
К’г3г + РДр'ч-0,3/+ КЛ'-»-• • •. + Рг/Э/'-ь
0^4-к „Ъг" . . и проч., и для того, чтобъ функція
ѴЭх или дх/Ѵдх, или дх/дг/Ѵдх и проч. была полный
дифференціалъ, требовались бы между величинами Ы, Р, (^,
В и проч. соотвѣтствующими каждой изЪ оныхЪ измѣняемыхъ
величинѣ х. у, х и проч. таковыя же отношенія каковы выве*
дены между величинами И, Р, К и проч. соотвѣтствую-
щими величинѣ у; и доказательство сего д»\я каждой изЪ
измѣняемыхъ величинѣ у, г. и и проч., совершенно одинаково
сЪ срѢМЪ, какое мы представили для одной величины у.
Естьли на пр. взята будетЪ вЪ разсмотрѣніе функція
АЭ.Г •+ ВЭу или (А +- Вр)Эх, гдѣ величины А и В суть
функціи величинѣ х и у, шо, поелику вЪ ней будетЪ
К ~ (|^) -+- и Г ~ В, условіе пнтегральности ея
будетЪ (^) + р (|В) ((Ц) Эх Ч- Эу) =: О , і ли
__ _ е
\0 )— \д~) — О что намЪ изЪ $ и# извѣстно.
я48
Есшьли взяша будешЪ вЪ разсмотрѣніе функція АЭх* 4-
ВЭхЭѵ 4- С ду2 4- ІЭдду, разумѣя величину Эх постоянною^
или (А 4- В/2 4- С рр + П</) Эх* , шо, поелику Л ней
к»(|->р©±рр©+9(^. Р=В+2С9, 0 = 0,
- КТ ЭР ЭЭО _
условіе ГЧ — 4- а — О иншегральносши ея будетЪ
Ф + Р (“) + РР Ф + </ ф - О - Р Ф - ер ©
- аррф-2Сд + С) + 2р(^і и- ррф)+ д© = о
»" ф-О+®+=рО-©)-ьрр(фп)
+ 29©-С)=о.
Когда жЪ хѳтимЪ узнать, не будетЪ ли окая фун» ція пол-
ный дифференціалЪ второй степени, шо надлежитъ разсмо-
_ -г - і м ЭР , ЭЭ2______
горѣть, удовлетворяетъ ли она двумЪусловіямъ дх4~оЛі—О
я Р----изЪ которыхЪ первое, посредствомъ втора-
ЭР
то приведется вЪ видЪ 2^ — ~ по сему разсмотрѣть
должно, у/овлешворяетЪли она условіямъ 2Х — О ,
« Р - О, коп бу;утъ Еф - © - р(© + 2©)
Н-29(©-С)=О, и В-2©-+2р((С-©^0.
§
Пусть будетЪ теперь предложена функція ѴЭхп, вЪ ко-
торой величина V есть функція величинъ х, у, р> 9 г и
проч, Положимъ потомЪ; что изслѣдованіе ея учиненное
кз - 249
а
по предЪидущему параграфу оказало , чшо ѴЭх есть полный
дифференціалъ. Назначивъ ѴЭх* чрезЪ ЭѴ7Эх’’~1 получимЪ
ЭѴ7 — ѴЭу. Для большой же удобности назначимъ р чрезЪ
р7, д чрезЪ р77, г чрезЪ р7//, и ігакЪ далѣе, то величи а V бу-
дете функція величинѣ р("), рС*~*), р(*~2), . . . р(’>, у X,
гдѣ величина р(п) будешп только первой степени? іѵогда по-
множится V на Эх, шо функція \ или ЭѴ7 будетЪ вида
АЭ//* )-+-ВЭх, которая должна быть разсматриваема, ка Ъ
дифференціалъ первой степени величинъ р > р » . •
р, у, х, и разысканіе интеграла ея принадлежать 6.ѵден,Ъ
кЪ $ 170. А имянно, надлежитъ ссерьа взять инше^алЪ
члена АЭр0*" по измѣняемости величины *\ и диф-
ференціалъ сего интеграла, взятый по измѣняемссти прочихЪ
величинъ р'п р^п 3> ... у, X, вычее-пь изЪ ВЭх,
ошЪ чего получится осшипокЪ вида А о) * ' 2 4- В Эх.
ПотомЪ опять взять интегралЪ члена А/др^* по измѣ-
няемости величины р(п~•’} , и дифференціалъ сего интеграла,
взятый по измѣняемости прочихЪ величинъ р<п~з> ... у х,
вычесть изЪ В7Эх, отЪ чею получится остатокъ вида
А. др^п ^-і-іУдх. ПотомЪ взять интегралЪ члена А//др^Д 3>э
го измѣняемости величины рСп— з); и такЪ далѣе; а наконецъ
кЪ суммѣ всѣхЪ очыхЪ интеграловъ придать произвольную
постоянную величину, чрезЪ чшо и получится величина V'.
Естьли бы вышеупомянутое изслѣдованіе открыло, что и
Ѵ'< х есть полный дифференціалъ, тобы, по помноженьи
на Эх оной найденной функціи V получили функцію вида
аЭр сЬ кошорсю, для полученія величины Ѵ/г или
/Ѵ'Эх, надлежало бы поступать точно такимЪ же образомЪ
какЪ и сЪ предЪидущею функціею АЭ//* ’ -}-ВЭх ». и
такЪ далѣе.
Частъ III.
За
з5о —-—
Пусть на пр. предложена бу іетЪ функція (Зуу 2/Х
4- хх)ЭЭу-+- 2(3(у4- х)Э/“ + 4(х-|-у)Эхду ~Ь 2(Зх-уу)Эх2,
тЪ которой полаіаешся Ух постояннымъ. Ч-езЪ по ісшанс зле*»
иіе вЪ ней* Эу — рЭх , ЭЭу~ (^Эх2 опа обратится вЪ
"Vдх2 — ((3/у -4- 2ху -Н хх) д + 2(3/ Ч-х)р2 ч-ф(х~Н/)р
4-' 2(3х ч-у))Эх2.
Егпь-и здЬсь дифференціалъ УѴ изобразится чрезЪ
МЭх -+• Юу Н- РЭр -+ О.Эд, то будетъ Ы — 2(3у-ь х)д
н-б/гЧ-фр-н- 2, Р=4(3уч-х)р+-4(х+у), О^Зуу-ьгхун-хх,
* Іі"4(3/^х)д-ы2рр4-8рч-4, ^=2(3/^х)р-ь2(хн-у);
2(3/ -+~ х)</ Н- 6ра -+- фР +' 2 і по сему не только бу-
детЪ Ь» а»4-5*2 — но и эм — Р а*—
слѣдовательно предложенная функція будетЪ не только пол-
ный дифференціалъ первой степени , но и полный дифферен-
ціалъ второй степени. Дабы теперь найти первый ея инше-
гралЪ, по-множимЪ везичину V на Эх етЪ чего получится
(З/у-4-2 ХУ4-ХХ)Эр-Ь2 (Зу-ЬХ)/эЭун-4(Х-Ь/)Эу-Ь2 (3;^-х)Эх.
ЕозмемЪ интегралЪ перваго члена по измѣняемости величины р,
м получимЪ (3_УУ -+- 2Х/-+- Хх)р, коего ді.фференц’іалЪ, ввя-
иый по измѣняемости двухЪ прочихЪ величинъ у и хр будетЬ
2(ЗГ-Ьх)рЭ/-Ь 2(/-ЬХ)йуэ и будучи вычтенЪ изЪ
остальныхЪ членовЪ доставитъ остатокъ 2 (х Н-/' Э/
Н-2(Зх4->у)2г. ИнтегралЪ члена его 2(яч-у)с/,
взятый "по измѣяяев сти величины у, будыпЪ 2^/4-/у,
* ; 1 251
кѳего дифференціалЪ , взятый го измѣняемости величины т ,
который будетЪ суЭх, будучи вычтено изЪ остальнаго члени
2(3х -+- /) Эх, доставитъ остатокЪ Схдх , коего интегралЪ
ЗХХ. По сему будетЪ /ѴЭх ~ ѴХ XX (Зуу 4- 2гу 4- хх)р
1
4~ 2ху 4- уу -ь Зхх -+- аа. Помноживъ теперь Vх наЭдц по-
лучимЪ дифференціальную функцію (3 уу 4- 2Ху 4- Хх) Эу
и- (%УУ 4- 2Ху 4- ЗХХ 4- аа) Эх. ЗозмемЪ интегралЪ перваго
ея члена по измѣняеѵ ’сжи величины у, и получимЪ
у3 4- Хуг 4- Хгу‘9 кіею дифференціалЪ взятый по измѣняемо-
сти величины х, и вычтенный изЪ остальнаго члена функціи,
доставитъ осіпатокі і'ЗхХ 4- Яф Эх/ коего интегралъ будетЪ
хЧ-аах-'-Ъ3. Но сему будетъ //'ѴЭхеху’Ѵ/дхху’-4-ху/4-хху
4-Х3ч-асіХ4- Ь3. ідѣ величины а и Ь будутЪ двѣ произвольныя
постоя'піыя величины , вошедшія ошЪ двукратнаго иншсгрова-
иія, нужныя для полности интеграла.
1
$ чь
Мы показали выше, какимЪ обравомЪ предварительно разЪ-
игкать, допускаетЪли какая функція Ѵ?х, гдѣ V есть функ-
ція величинъ х, у, р, у, г и проч., интегрованіе. По есшѣли
бы сего предварительно не было разЪискано , піобЪ вЪ случаѣ
томЪ, когда функція интеграла не допускаете , сам- е инте-
грованіе ея сіе бы открыла. ТакЪ на пр. естьли оы функція
\ох, инкіегрованная вЪ § 175 вообще, при слѣдующихъ одро
за другимЪ иншегрованіяхЪ функціи Адр 1 —ВЭх ,
-ф- ВХЭх и проч., давало наконецъ до ингпегрова-
нія функуч А(Х Х^4-В^Х которая рЪ коеффиціеи-
Зв *
252
шѣ заключала бы величину р ” *\ «оеЙ вЪ ней,
вЪ случаѣ интегральносши предложенной фулкц.н, но §
быть не должно, т >6Ъ сіе показывало, что предложенная
фуч.- ція не есть интегральная. Дабы сіе показать на про-
еь'Ьйічемо примѣрѣ, будемЪ рагЪискивашь интегралЪ фуньціи
тхудду -+- (хх -+- /у) Эу2 -+- 2хуЭхЭу -ь ЗххЭх2, при Эд;
постоянномъ. С»я функція чрезЪ подстановленге Эу~рЭх}
*
ЭЭ/ — др Эх , обратится вЪ (ХХу др Ч- (XX 4- у у) рЭу
*+- 2/ЭХуЭх -+- ЗХХ ?х)Эх, кѳгііорую изобразивъ чрезЪ ЭѴЭх
*
возмемЪ вЪ функціи выражающей ЭѴ инт?гралЪ члена ххуЭр,
по измѣняемости величины р, который будетЪ ххур а <ю-
томЪ дифференціалъ сего интеграла, взятый по изиъняемосгаи
п’ОчихЪ величин у и X, вычтемЪ изЪ оспіальны ;Ъ чюноЛ
оной функціи ЭѴ, то получится вЪ остаткѣ уурЭуУзтхЭд.
КакЪ вЬ семЬ остаткѣ заключается величина р, к іАврая по
$ 170 вЪ немЪ не м слабы остаться, когда бп оная функція
изображенная чрезЪ ЭѴ, была полный дифференціалъ величинъ
р х и у, піо сіе и показываетъ, чшо предложенная функція
не есть полный дифференціалЪ; о чемЪ разсмотрѣніе условія
КдР । ЭЭО _____ _ _ _
— ~і — О , напередъ бы пргдЪувѣдомило , ибо оная
функція есть (ххуд+ + УУ)рР "Ь 2Хур + Зхх)Эхг;
вЪ коей М~ХГд-4-2у/7р-Ь2Хр, Р~ 2(ХХ-|-уу)р2Ху,
О_~ХХу, и функція М-—~4- вмѣсто того, чтобЪ
быть ей равной нулю, — 2у уд рр).
а55
IV. О тол‘Ъ, какб дифференціалъныя функціи высшихъ
степеней^ относящіяся кЪ лосг.іо янноспін дифференціа-
ла первой степени какой либо изЪ ея излі'княеліыхЪ
величинъ, обращать еЪ другія относящіяся кЪ постоян-
ности какой либо другой дифференціальной функція
первой степени.
§ *77-
Естьли вЪ предложенной дпффоренціалтой функціи из-
мѣняемыхъ величинъ х у. г и проч. дифференціалъ одной ко-
іпоі ой нибудь изЪ сихЬ измѣняемыхъ величинъ, на пр. Эх ,
положенъ былЪ постояннымъ, и требовалась бы сія функція
вЪ твѵЬ визѣ , коіда на одинЪ изЪ аервыхЪ дифферен а гадовЪ
оиыхі величинЪ не предполагается постояннымъ, вЪ намѣреніи
тпомЪ, дабы вмѣсто онаго дифференціала Эх трактовать по-
стоянною какую либо дифференціальную функцію 2<?х, гді 2
____________________________________________________ду
есть функція величинъ х, у, ъ и проч. и содержаній р —
р ХЛ и проч.; тобЪ употребивЪ для означенія дифферен-
ціаловъ величинъ х, у, г при постоянномъ дифференціалѣ
первой степени величины х, букву <?, для означенія же диф-
ференціаловъ сихЬ величинъ при измѣняемомъ дифференціалѣ
первой степени величины х букву по § 173 получили бы
мы Эу ~ рдх, дду ==. цдхл, Э3у зз гах’, &у лл <уЭх4 ,
и такЪ далѣе; напротивъ 5у — р5х, с„у 33 ^5х2 —Н р55х ,
53у зз п5х3 -}- 3</5х35х - ф- р53х, зз д^х4 -ф- 6г 5х- &)х
•Ц- 3</33х2 —ь- фс/Зх&Х р^4Х, и такЪ далѣе. Подобныя
' симЪ выраженія пол} чили бы для дифференціаловъ прочихЪ
измѣняемыхъ величинъ чрезЪ величины рг, ’р • . ., р"» >
г'' ... и проч. и дифференціалы величины х По сему при
предположеніи ^х—'дх, чшо сосшоищЪ ІЬ нашей волѣ, было бы
854 ' =
Зу = Эу. ЭЭ/= 35/— ЗЗх, Э’у - «у - 55/ +
(©•* - З/, эу=зу - Т ЗУ + (-®1 - С') «г
/і$45хЗ ю5&с5хЗ . 54х\т-
— \~$р -,; .2 Н ^ХРУ 9 * шагл далѣе. Каковыми по-
добныя выраженія получались бы для дифференціаловъ про-
чихЪ измѣняемыхъ величинъ относящихся ьЪ постоянности
дифференціала Эх, чрезЪ дифференціалы ихЪ относящіяся
кЪ измѣняемости сеі а дифференціала. ТакимЪ образомЪ когда
мы вЪ предложенной функціи вмѣсто Эу, дЭу , а3 у, у
и проч. Эз, ЭЭг, д3 г, Э4г и проч. и проч., подставинЪ сіи
послѣднія ихЪ выраженія, то получимЪ ту же самую функцію
изображенную при предположеніи дифференціала первой сте-
пени величины х измѣняемымъ. Оставаться теперь только
будетЪ вмѣсто сх , с№с, о3х, <54х и проч. подставишь вели-
чины ихЪ относящіяся кЪ предположенію постоянности функ-
ціи 2ігіх: и есшьли при семЪ предположеніи будетЪ на пр.
5дх ~ 27<5х2, 53Х 213 2- Лх:, <34Х ~ 2777^Х4, и гіідкЪ далѣе,
шо введеніе сихЪ выраженій вмѣсто <ЭДх, <Рх, ^х и проч.
вгпнесетЪ изображеніе функцію кЪ предположенію постоян-
ности оной функціи 2^х. Можно впрочемъ и прежде по д-
спынйвленія оныхЪ изображеній величинъ Эу, ЭЭу, Э3у,
Э4у - . •, Эх , ЭОХ , Э3Х , Э4й ...» и проч. вЪ предло*
женной функціи ввести вЪ нихЪ изображеніе <Ух, 33х ,
^х и проч. относящіяся кЪ постоянности функціи 2Ух,
чрезЪ что получится Эу ~ Іу , ЭЭу — 27 оХ 5у ,
эз>~ау-зг'Зх^уч-(з2/2-^/7^х2^у, эу-^у-бг^хй^
ч- (15 7/Ѵ- 42/7) 5х* - (15 2/3 — і ой7 277 -4- 2/^ 5х35у,
и такЪ далѣе; коимЪ подобныя выраженія получатся и для
дифференціаловъ прочихЪ измѣняемыхъ величинъ, и потомЪ
уже подставить ихЪ вЪ предложенной функціи, 4резЪ что она
шакожЪ отнесена будетЪ кЪ постоянности функціи 2Лх.
Есшьли захотимЪ теперь , приведенную такимЪ образомЪ
функцію кЪ постоянности функціи 2§х, привести вЪ видЪ
255
Ѵ7хп, нЪ копторомЪ мы сіи функціи рачсмашэивали вЪ $ 174,
пь> дл? сего надлежитъ только вЪ ней подставить вмѣсто
Му, $3у, Му..., Мх, Мг. Мх. . . и проч., выраженія
и<Ь чрезЬ р дг з . . . > р'. д' г' з/ . . . и проч., и $х,
относящіяся кЬ постоянной функціи 2>х кои по $174 будутЪ-
у—р^г, -урХ^х2, — (г-^Зр^'-і-р^'^х3,
$У — 4- бг 2г +’ 3<?2/2 4- ЦдЯ" 4- р^'") Хх*, и такъ
далѣе; коимЪ подобныя выраженія получатся и для прочихЪ
измѣняемыхъ величинѣ. При томЪ легко видно , что тоже
самое изображеніе /іоКучпшЪ предложенная функція , когда мы
еще прежде подспіаііовленія Ъ ней оныхЪ изображеній Эу, Эо /,
<Ру, Э+у . . . Эх, ЭЭх Э*х. Э}х . - . и проч. чрезЪ величины
У, Му, Му, Му ... сГхл Мх, Мх,, Мх . , • и проч. введемЪ
зЪ изображеніе оныхЪ величинѣ Эу, ЭЭ/, Эу, Эу . . .
?2, ЭЭх, Э?2, Э42 ... и проч. послѣднія полученныя вы-
раженія величинъ У, ЗУ, ЗУ, 5*у ... < X, 5^2, 532, 3^2 . . .
и проч. чрезЪ р д г. 3, ... р' д г з' ... и проч. 2/, 2",
2"' ... и &ю, и потомЬ уже вЪ предложенной функціи под-
сшавимЪ полученныя чрезЪ то выраженія оныхЪ величинъ
Эу, ЭЭу, Э3у, Эу . . . • Эх, ЭЭх, Э3х, Э4х . . и проч.
‘введеніе же < ныхЬ выраженій величинъ У» У» Э*у ...
?2, <5^Х, ?32, <&Ь . . . и проч относящих я ли кЪ пссшоян-
мосши как й либо функціи 2кк, Іи во бще кЪ &к измѣняемому
©шкроешЪ, что будетЪ Эу —р5х, ЭЭ/— сДг2, Э3у_Г(ІХ3,
Эх_ р75х, ЭЭх —с/^х2, Э’г —/У3,
Э4х ~ /5х* . . . и проч. кои для изображенія, при сдѣлай»
момЪ нами предположеніи равенства дифференціаловъ Эх и <5х»
будутЪ одинаковы сЪ тѣми, какія имѣла она при Эх постоян-
номъ слѣдовательно оная величип; V выражается чрезЪ
в56
х, у. г . . . р, д, г, 5 . . . рх, д'. г, . .и проч. одинако-
во, постояненъ ли дифференціалѣ первой степени величины х,
или измѣняешь.
§ 1?8-
ИзЪ сего явствуетЪ превосходство изображенія каждой
функціи вЪ видѣ Ѵ<5хп предЪ всѣми прочими ея выраженіями;
поелику прочія изображенія ея вмѣстѣ сЪ измѣненіемъ функ-
ціи 2ох, разсматриваемой постоянною , измѣняются , выраже-
ніе же ея вЪ видѣ Ѵ<5хп онЪ сея функціи ни мало не зави-
ситъ. По сему вЪ случаѣ томЪ, когда по данному изображе-
нію дифференціальной функціи , относящемуся кЪ дифферен-
ціалу дх постоянному , хопіимЬ узнать изображеніе ея отно-
сящееся кЪ дифференціалу дх измѣняемому, можно спера
опредѣлить величины ду, ЭЭу, д3у, д*у . . . Эй, ддѣ,
<№ . . . и проч. чрезЪ р, д, г, 5. .. р', д', г'. / . . . и проч.
и дх, при дх постоянномъ, и по приведеніи ея чрезЪ то вЪ
ви,-Ъ ѴЭхя, разсматривать потомЪ вЪ семЪ изображеніи вели-
чину дх измѣняемою , то есть разсматривать вЪ семЪ изобра-
женіи величины р, д. г, з ... р' д' г1', & .* . . и ігроч.,
_____________________________________ду ______ дду _____ дЗу
не выражающимися уже болѣе чрезЬ р— » 7 — ах2’ г — дхі*
_ «И? ___Э» /____ддх /____э <2 /__Э+у
-5—дха. • • •* р --Эх2, 1 .— дх3, &--... И проч.»
- „___ду л ЭЭу Эу ээ* д’іу ъ(дду дѵ ддх\ддх Эѵ д?Х
но чрезЪ р-Эх, 7=Ѳл2-э?Эх2, г=дГз-3^к:, -^.дх,)дГ2~.ік.д^
ли
Э'Ь'_зЭЭх дду /зЭЭх2 Э*х\Эу -_Э+> бддх дЗу /і$ЭЭх2 ^ЭЗхчЭЭу
~~ЭхЗ дх2 'Эл2~ѵ Эх4 дхЗ'дх9 ~Эх4 дха дхЗ~дхг ЭхЗ Зх2
уі^ЭЭхЗ тоЭЭхЭЗх Э4Х'Э-у _
— ------дхі--и так7) Лалѣе; или При Лдх по-
_ _ __ду ~ ____ дду гу/ду
стоянномЬ выражающимися чрезЪ р — д — ^х,_ — дх 2
г О у/ЭЭу , /п у//\ду ------ эіу у/діу (
г —й.»~ а.і + і3'6 — А )аі’ і — +
й5у
далѣе; коимЪ подобныя выряженія получатся и для івеличинЪ
р7 д' г7, $' . •• . рѵ ^/7; г" з7 . . , и проч. И напротивъ
есшьли іц е іложенна? фѵніц'я относилась кЪ какой либо по-
стоянной фѵн и’т і ТЗдх, . то по по становленьи вЪ ней вели-
чинъ Эу ЭЭу, Э‘у Э1у . , . Э/ ЭЭг, Э^г Э4г ... и проч.
ошносяіцчхся кЬ сей же п >отоянн «й функціи 2?Эх, и приведе-
ніи чрезЪ т- «Ъ видЪ Л Эхл, можно буіетЪ вЪ семЬ послЬднеиЪ
изображеніи разсматривать вели.ч'йну Эсс постоянною.
• *
Для объясненія сегодлегкиічЪ примѣромъ возяечЪ какую
либо функцію АЭк -ф-ІВЭх гАр -р- В Эх ~ ѴЭх . гдѣ
А и В суть функціи -?личинЪ х и у, которую при постоян-
ной величинѣ Эх разсматривать будемЪ в’Ь ономЪ видѣ, при
измѣняемой же вс личинѣ Эх разсматривать будемЪ вЪ зидѣ
А^у ф- Вс)У Ѵ<5х. Назначимъ (^) или ($у) чрезЪ А7,
(ду' ич" (ау) чРезЪ В’ (дх) или («х7 чрезЪ А77, и (э-)
5*В —
или чрезЪ В77, при чемЪ, пс § уа будетЪ А7/_В7 то
п-олучииі> Э‘ /Эх) ±2. АЭЭу Ц- А7Эу2 —|— 2А/7ЭуЭх -ф- В/7Эх2
и '5(Ѵ<5х) гз А )3у -4- А'Зу2 + 2 /Ѵ'^уЗх -ф- 2В7/5х2 -Ь ВЗ^х.
НодставимЪ вЪ гифф оенціалѣ Э(ѴЭх), ду^рдх, ЭЭф ~^ЭХ2?
то по лу чимЬ — А<7 •~{~.А/рр ф-2 Ах/р-ф-В/. ГІоло-жимЪ
ч і х .п___Ъ5у ’вгёл 5у
•теперь зЬ семЪ послБінемЬ уравненіи р—у — йх2 —
ч _____ л ЪЪу . к/Ъуй 5^ р// 5бх
то полу чимЪ дх — А ухі,+ А ^4- 2 А э~ 'ф- В — А
л.Ъу______________Х7 р дѴ _______ Д 55у д/ д // Й},
или пожже А5х V — г5, Эж _ А5х2 -Ь А -т- 2А
-ф-В7 -ф- В^х2 — V, при предположеніи же Зх ~ Эх.,
вЪ копюромЬ случаѣ будетЪ и ^у~Эу, равно КакЪ и ^Ѵ’~ЭѴ.»
получится А 3 5/ -ф- А7 <^у2 -Ф-- 2 А/х Эу Зх -ф- В'ЛЭх’ -ф-
‘Хастъ III. .33
аЗЗ = •
* ВЗЗ* — §Ѵ Зх -4- уЗЗі — ЗкѴЗх); каково изображеніе диф-
<
- ференийла З(ѴЗх) при измѣняемомъ дифференціалѣ Зх вы-
ведено и прямо изЬ опой •функціи А?у-+-ЕсХ. И на < боротЪ,
есшьли ьЪ изображеніи З(Ѵох) 22; А^33у4~ А73у2 4" 2 А/ ЗхЗу
4- В С • 2 -|- ЕЗЗх, выведенномъ прямо изЪ оной функціи
А3? 4- ВЗг, при предположеніи <5х измѣняемымъ, подста-
вили выраженія 4у ~ рЗх, ЗЗу ~ ^'х2ь-Ь рй х , кЪ сему іи ед-
положенію относящіяся, то получимЪ З(ѴЗх) 223. (Аб) -4- А рр
4- 2 Вх/)3х2 + (Арч- В)33х, или поелику Ар-ьВ —V,
ЗА Зх)— ѴЗЗх, или ЗѴЗх4-ѴЗЗх — ѴЗЗх или
ЗѴЗх _ (Адч-А'/УЧ-г А^рч-В' )3х2 га. е. ЗѴЪ(Лпч- А7рр
4- 2 АХ/р 4- В 7)3х' или — А д + к'рр 4- 2 А/7р 4 В",
такЪ чпіо величина ^’Ѵ при измѣняемой величинѣ Зх шо <нс
ггакимЪ ж? образ мЪ выражается чрезЪ р, д и д'х > какЬ и оная
*Ѵ при оух посіпояіін мЪ , и разнятся только тѣмЪ, чшо
вЪ сей величины р и ф ошн> сятся кЪ Эх постоянному, а
»Ъ оной кЬ. Эх или Зх измѣняемому.
259
КНИГА ВТОРАЯ.
О дифферекціальныхо уравненіяхъ.
§ '79-
Дифференц'іа ыное уравненіе есть не что иное, какЪ
дифференціальная функція уравненная нулю.
Сіе опредѣленіе показываетъ, что главныя свойства диф-
ференціальныхъ *. равненій * \ шь одни «ковы со свсііствимл диф-
ференціальныхъ функм й. В параграфѣ же і73 показали мы,
какое условіе шр< буечіся , да 'ы ' диффер^ппіалгная фунг-ЦІЖ
иѣсквлькихЪ и;мі.н ем хЪ величииЪ х , у X и поч. была
вещественна’; а і'мчни» , чіЪо е шь'\и положится Эу ~ рЭ.Ѵ ,
'іг)~ддх Эц ~_г<)х . . . " р'Эх Эр'^сфдх, дср^т'Эх...
и по ч., ню она должна н ѵхоД м« изобразишься вЪ видѣ
ѴЭхп; но, сему и каждое дифференціальное уравненіе нѣскаль-
кихЪ измѣняемыхъ величинѣ х. у, г . ., дабы было веще-
ственно, необходимо при ономЪ же назначеніи должно изобра-
зишься вЪ видѣ ѴЭхя.Т:0, или V ~ О, разумѣя подЪ V
ірункпію величинѣ х у 2 ... р р' . . . д, д7 • • • г, г’. . .
и проч. И іпалЪ мы вЬ тѣхЪ урлвн-ніяхЪ, о коихЪ юв рить.
бу і мЬ, всегда сіе первое, требующееся для вещественности
мхі>, условіе предполагать будемЪ.
§ 180.
Главное намѣреніе, сТ коимЪ свойства дифференціальныхъ
уравненій раз млшриваюіпся, есть то чшобЪ но данному та-
ковому уравненію разЪискашь его интегралЪ , то есть шу
функцію, ошЪ дифференцированія коея оно происходитъ.
В образимЪ как’ ю либо функцію ф ~ о нѣскол^кихЪ измѣ-
няемыхъ величннЪ х. у, х ... , и іюшомЪ возм.смЪ ся диф-
ференціалъ, который будетЪ Э^~о, м аог шавииіЬ уравненіе
33 *
аба?
" О. Сіи два уравненія ф—о и «р'ггго будутЪ’1
су Щ'сшвовашь вЪ рдпо и Ш"же время, и вмѣситъ сЪ ними каіі-
дое стриженіе фун .Цій <р и ф' буіетЪ также равно н лю..
Главное слѣдствіе сихЪ сопряженій еіть то,. чшо Ч| езЬ сне-
сеніе < ныхЪ уравненій ф ~ » и ф7 ~ о всегда можно выклю-
чать которую нибудь изЬ ноин^янчыхЬ величинъ бЬ'втохЬ
в>Ъ у( авіігміп ф—о , чрезЪ чшо получится ді>фф< реиціл м-ное
уравненіе сѵ щесшв.ѵющее вмѣстѣ сЬ онымЬ уравненіемъ ф~о,.
и ошЪ нею прои< ходящее, вЪ коіпоромЪ пояпшянныхі вел ч-оЪ
бу ѵешЬ одною’менѣе, не»яги сколько было ві уравненіи ф~о,.
Еспіьли бы функція ф—г> имѣла постоянную величину» осоОли-
ВѣіыЬ ч іен< мЬ , то 6) он выключалась при самомЪ"'дпфферен--
ц-рованіи, и уравненіе ф' ~о имѣло бы само- по себѣ-одн-ю»
П< сиіояннок) величиною м нѣ» , нежели- сколько ихЪ было»
вЪ уравненіи ф — о ; но чрезЪ' с« единеніе • уравненія ф'_ о»
сЪ сравненіемъ ф ~ о можн- выключать вмѣст. о* й нос>н<>*4—
ной велич-іны , составлявшей вЪ уравненіи. особлі выйі
членѣ, д,»ѵгую какую либо по произв .ен ю , бывшую коефіри-
ціеиіч >мЬ изміняемаг' члена ; вЪ прочемЪ» чр*зЪ соедчнгніе
эныхЪ уравненій <р;~ о и ф‘ =1 о’ болѣе одной постоянной ве-
личины выключи ь н< ложно. ,ИаЪ сего сд-ІдуешЪ на ооороіпЪ,,
что лолнъііі' интегралѣ какого лпсГо дифференціальнаго
в’нгніл лерьой.' етелени долж.енд неос'ходилю со деря, ап і вЗ>
сеФі і е(ріхд (Гывшихі дпфферіп,і.іалі.нолі5- у/ а неніи ло*
сѵпоянныхЪ; велиѵинёеіце однір лроинольніію ло\іпояннцю>
бслисинір.
Есшьли по > взятіи-перваго дифференціала функціи
возм-еыся. второй ея дифференпіалЪ, т<» сх’щесгпвовять бу-
- .. ж-__Г. дф___ „ ЭЭф’___
дутЬ вг> одно время три уравненія Ц. —О; &х-—О, ^х2 — (-6 .
ели ф^О, ф ~ О, ф^іХіО,, коихЪ и каждое' сопряженіе
Ф~п вЬ пюже время существовать бѵдеіпЪ.. Но Чі-езЬ со--
Пр женіе сихЪ шр^хЪ уравне ій можно выключить двѣ. ііоспіо-і
.яннь-я величины, бывшія вЪ у равненіе «Д,'™ о ; • по сему диффе*
{ужчальное уравненіе Ф~о вшор» й < те-іепи .м ж--;шЪ со’гр-*
4<ла- ві_ себѣ досДіоянныхЪ.» величинѣ двумл- менѣе ,, нежели
г—'Я абі
сгрплдко т’х7> нзурдилвсь вЪ интегралѣ его, то естьві* фѵнк-
ціл ф~ о его произвеішей ошку іа сл і> і ѵе ч/Ъ на ОорошЪ что
ли.іныіі интегро іѣ дифферскціал ц.аго уравненія второй те-
леки Д іж&н со іержатъ вѣ се^і, се рьхѣ Лівш мхѣ лоіпочч~
ныхѣ ве гитинѣ вѣ А іфнферен иальн и фц-мц к, гще двѣ лраиз-
ео іьчня лостоянньія величины. При семЬ нужно еще <?дѣ-
л>шь важное замѣчаніе, чиі еспьли мы чрезЪ снесеніе функ-
цг <рх“ о сЪ функцію ф —о выключимъ сп^рза первую изЪ
оныхЪ івѵхЬ посіпоян',ыхЬ величинЬ. а иопонЪ вторую и по*
лучимЪ чрезЪ шо уравненіе Ф'-Г^о и Фл~о, послѣ сею чрезЪ
снесеніе функціи —О’сЪ функціею ф' ~ о ьиклю'чимЪ
вторую изЪюныхЬ пост >яі.ныхЪ величинѣ, и получимЪ у1 ал
ё Ь
вмечіс Ф^зіо;* чрезЪ снесеніе же функціи ^—'~О сЪ функ-
ціею Ф? ~ о выключимъ первую изЪ оныхЬ постоянныхъ ве-
лі.чйні и получ*і«Ь уравненіе Ф/Х~ о, то. поелику сіи іиф»
ф>рента-'ьнмя втор йстеиени уравненія и Ф^г^ГО’
существуютъ вЪ' одно время1 сЪ онымЪ дифференціальнымъ же
второй* степени; и’нс содержащимъ шѣхЪ же и >стоянныхЪ веі
личипЬ, уравнені"мЬ • Ф^2о,, т< есгог какЪ Ф/А,. такЪ- и
Ф-/, обращзеііі я «Ъ нуль вЬ одно время сЪ Ф _ О1, бу іе-нЪ
фѵ и Ція Ф/у—^Ф и функція Ф^І^^,Ф* іпакЬ что уравненіе
ф//^о, Ф/?^_ о. ЧрезЪ дѣленіе на оныхЪ множителей, доста-
вятъ оіно и тоже дифференціальное второй степени ура-
вненье Ф~о. коего оба оныя уравненія Ф'гг^о и Ф. _^о
будутЪ иншеіралы. По сему вмѣстѣ сЪ дифференціальнымъ
уч авненіемп второй степени существу юніЪ всегда два разныхъ
дщрференціалыіыкЪ уравненія первой степени Фх~о и Ф,“о,
отЬ' коихЪ оное Ф о происходитъ. Слѣдовательно дп^фзе'
ѵ нтильное уралненіе второй, стел'-нп , ежели. ' долірк-іетѣ-.
ѵ.нт гробнніе кміетЪ всегда лервм.пЪ иитегралоліь свои віб
діа разчѣгло дифферінціа= ьныхЗ уравненія лервоЯ ст лечи ,
м-нО кѵк- Л каждое, грезѣ да іі.ніишее интсгрованге, лриьодитЪ'
кё одному и тояіу же г/равн нііо.-
11 добное совершенно сужденіе откроетЪ: і+е*, что дифу
ференц-альное уравненіе третьейі степени , пооизшедшге иаЪ*і
202
уравненія о , можетЪ имѣтгг постоянныхъ величинъ дпрімя
иснЬе, нежели сколько ихЪ было вЪ главномъ уравненіи <р~о;
по сему на оборотѣ, лолнъій интегролЪ днфф ренціа инзго
уравн н я третий стл'ни, долженѣ сод ржать е,6 сиГі ло-
стоянныхЗ велигЯнё трелія с/идіе, нежели сколько ихЪ нахо-
дится вЗ саліол;3 дифференціально і<6 уравненіи. г-е^то
дифференціальное г^равнцніе. третьей стелены ,• /ллп дплу-
скаетЗ и ,п- грованіг, имі тЗ л рвымб сюнл9 ичтеерадоліЗ
три разныхЪ дифференцьальныхЗ уравненія второй стліни;
и к.акЬ кажие изЪ сихЪ иміешЪ первымЪ своимЪ иніпеіралочЬ
по два разнь’хЪ уравненія первой степени, по сему оное диф-
ференціальное уравненіе третьей степени имѢетЪ вгпорымЪ
своимЪ интеграломъ шесть диф ререпціальпыхЪ уравненій пер-
вой степени сводящихся впрочемЪ на три, иб > по парно бу-
дутъ одинаковы, сіи же три уравненія чрезЪ дальнѣйшее инше-
гроваиіе приведутъ каждое ш рознь чкЪ одному и Шол.у же ура-
вненію. И такЪ далѣе.
$ і8і.
Что касается до самаго иншегрованія дифференціальнаго
уравненія Ѵ~о вЪ коемЪ V есть функція вслнчинЪ х у 2 .
р. р/ . . . д д/ ... г. г' ... и гроч разумѣя р — ,
г/ —а—э? у—. г —Эі7 г —
р —дх, • - • ч—дх, ч—• • • г — дх> г —дх> • • •
и проч., то, естьли она будучи изслѣдована по § >12 иди
174 окажется допускающею интегрованіе , надлежитъ помно-
жить V на Эх, и разЪискивашь интегралЪ по § і-уо или
вЪ случаѣ одноро ісшва член вЪ , по § 171. Н > когда вь ура-
вненіи о функція \ дх не будетЪ сама по сеф'ѣ пелцый-
дифференціалЪ, то о спосоЬахЪ нахожденія ннтеграловЪ гаако-
выхЪ уравненій говорено будетЪ ниже при изслѣдованіи ееі.о
для уравненій каждой степени особенно. _
§ 182.
Не рѣдко для опредѣленія какой либо функція V измѣ-
няемыхъ величинъ х, у, 2... дано бываешь отношеніе Между
2 55
« т т » (дѴ\
дифференпплъными коеффипіешпами (- х) , (а .
/ЭЭѴ, /ЭЭѴч ,ЭоѴ, /ЭЭѴх ,3)Ѵ, ,^Ѵх
Эх2/* \дхд>' * (э^2/* ѴЭхЭг/ ’ * ' *дх-'/* ^Эх^/ * ’ ' И пРГіЧ-
и сею величиною V, равно какЪ и между величинами х, у х
и гроч. Таковыя уравненія. по причинѣ іш>й, чіпсвЪ оныя, кр ,-
мѣ величинъ х, у, х . . и V, входяшЪ содержанія днффереи-
піаловЪ величины V взяіпыхЪчасіпно, ш. е. неизмѣняемости о і-
ной кг-кьй либо изЬ измѣняемыхЬ величинѣ кЪ дифферента зу
сея измѣняемой ‘величины, называется уравненіями частныхЪ
днфф°реінпаловЪ , и составляютъ е > бую статью уравненій
требующихЪ кЪ разрѣшенію п\Ь особливыхЪ нрием эй?.
• 4
§ і83- ѵ
ВюбразимЪ, чшо вЬ уравненіе С —° измѣняемыхъ вели-
чинъ х, у 2 , . . входяшЪ, и какЬ коеф<Ънпіеіпны, и ка? Ь
особливые члены, постоянныя величины а. Ь си проч. , воз-
вышенный вЪ разный степени, ВзявЬ дифференпіа Ъ
ссп> уравненія по измѣняемо .ши всѣхЪ измѣняемыхъ величинѣ
X у, 2 и проч. возмемЪ еще днф реренціалЪ его измѣпизЬ и
кодіорую нибудь изЪ оныхЪ постоянныхъ величкнЪ, на пр. а,
кош рый будетЪ оф 4- (& ) Эп О. Сей послѣднУй ди<Іпрс-
ренпіалЪ можеп>Ъ обратишься іЬ оный прежній ’2^>—о вЪ двухЪ
случаяхп, во перзыхЪ ког'.а бѵдетЪ с/д“о, и принадлежать
бѵдегоЪ кЪ величинѣ а ~ Сспзк., какова она была прежде раз-
сматриваня; во впгорыхЪ когда будетЪ —О , и принад-
лежать будетЪ кЪ величинѣ а разсматриваемой какЪ фунчгіы
изч^іьемыхЬ величинъ х у 2 . . . и прочихЪ п счюяни :\Ъ
ыличипЪ Ъ, с и проч. Ксіиьли теперь чрезЪ сйссеніе урльне-
иі . к.кЪ ткмЬ, такЪ и другинЪ образомЪ полученнаго,
сЪ уравненіемъ ф“о выключимъ величину а, то получится
опять и вЪ п.омЪ и другомЪ случаѣ одно и тоже дифферен-
ціальное урац^енЛ', коіпорое пѵгпіь будетЪ “ о; слѣіова-
мсльно сему уравненію удовледсворять будешЪ оное уравне-
'264
ніе 0~о какЪ при а ~ СопЫ. , шакЪ и при а равняющемся
той • ! учікціи.измѣняемыхЬ величинъ х у, г ... и іішіпоян-
ныхі Ъ с и проч.., которую для выраженія его доставлять
будетЪ оное уравненіе (|^) — О ‘} т. е. интеграломъ уравне-
нія 0/~о, кромѣ онаго уравненія 0~з при а~ Соп$і. бу-
дешь также и уравненіе полученное чре<Ъ выключеніе изЪ
сего уравненія ф~о величины а поср<;д швоыЬ уравненія
/Эф\
шакЪ, что есшьли^ по выключеніи изЪ онаго ура-
___________ Т__________________4Ф\ ______________
внешя ф ~ о величины а посредствомъ уравненія ®
произойдетъ уравненіе ф"~о, то уравненіе ф1 ~ о , кр мѣ
уравненія ф “ о БудешЬ также удовлетворять и сіе уравне-
ніе ф//—''. Поелику же сіе уравненіе ф^ — о , не содержащее
вЪ себѣ болѣе величины а, не произходитЪ изЪ онаго уравне-
нія 0 — о, составляющаго полный интегралЪ уравненія ,ф‘— о,
ни чрвзЪ обращеніе постоянной величины а вЪ'нуль или без-
конечность, ни чрезЪ назначеніе сея величины іа какою либо
функціею прочихЪ постоянныхъ величинъ, чрезЪ чш бы толь-
ко получился частный инШ'ТралЪ уравненія 0х—о то сіеуравне'
*ніе 0'/—о называется осо&нныліЗ ннгпеграломЗ уравненія 0'~о.
ВозмемЪ для примѣрауравненіе хх—ах-Ѵуу—аа — ЬЬ —о.
ДифференціалЪ его взятой по измѣняемости величппЬ х , у
БудетЪ (2Х— а) Эх-Ч- Зуду —СЦ равно и ДифференціалЪ
его взятый по измѣняемости величинъ х , у и а, который
'будешЬ (2Х—а)Эг-4-2ХЭу —(2аЧ-х)Эп = 0., по назначе-
ніи 2Л-+-ХПО, или а~~\х, будетъ (2Х-а)дх~Ь 2/Э}’~ О;
и когда изЪ сего дифференціала, по снесеніи сЪ ілавнымЬ
уравненіемъ Выключится величина а, ш и >лучиінся какЪ
вЪ томЪ гпакЪ и вЪ друг мЪ случаѣ дифференціальное уравненіе
Н“ У^У 4- (5х ± /(5хх -У-4УУ — 4ЬЬУ)дх = о, которо-
му будешЪ удовлетворять, кремѣ онаго полнаго его интеграла
•XX—ах4"УУ— йа—'ЬЬ —О, при !СотІ^ И уравненіе
сіе при О — — |Х, шо есть уравненіе |ХХ-4-.^ :—ЬЬ~О
или 5ХХ 4- 4УУ — 4^Ь — О. И дѣйствительно уравненіе
5хх4~4УУ—4^5-—О обращаетъ оное дифференціальной
уравненіе вЪ 4У^У "Ь 5х?Х =3 О , которому сіе уравненіе
5хг-|-4КК — 4^ = 0 удовлетворяетъ, поелику оное есть
сего диф рерснціалЪ раздѣленный на два. Поелику же сіе ура-
вненіе 5ХХ-Р4УК — 4?>Ь — О не происходитъ изЪ онаго
полнаго интеграла XX—аХ~4~УУ—— 5Ь_О ни чрезЪ
назначеніе а—о, вЪ кошоромЪ б\: случаѣ оно обратилось
вЪ XX ~4~УУ — ЬЬ — О, ни чрезЪ назначеніе а — 00 , ьЪ конто-
ромЪ случаѣ оно обратилось бы только вЪ ах —|- аа XX О
или Х-ф-Д—ни чрезЪ назначеніе для а какой либо функ-
ціи другой постоянной величины Ъ, то оное уравненіе
5ХХ4-4УУ——О будетЪ особенный интегралЪ онаго
дифференц1дльнлго уравненія. Нахожденіе шаковыхЬ интегра-
ловъ по данному дифференціальному уравненію составитъ
особливую статью.
Тесть ///.
ц
®5б =™
СТАТЬЯ ПЕРВАЯ
О лифференціа. иныхЪ уравненіяхъ лррвоіі степени* двухй
нзліінлемыхЬ вемнипѣ.
ь
г
§ >84-
ѵ .•__г 3 —
Когда вЪ уравненіи РЭх-4-(^Эу — о двухЪ измѣняемыхъ
величинъ хну функція Р2^хЧ--0®У составляетъ полный
дифф“ренцгалѣ, ягоца ичіпегоа о> сета уравненія получити'**
по § 170 или іут; некогда вЪ семЪ уравненіи функція Рс)х+(^Эу,
не есть поіный дифференціалъ, тогда польз} лсь тѣмЪ, что
функція Рс^хЧ-фЭу равна нулю, а слѣдовательно можно, не
нарушая уравненія, оную функцію на произвольную величину
помножишь и раздѣлить , стараются посредствомъ сего при-
весть уравненіе вЪ такой видЪ, вЪ кошоромЪбы оно ‘имтегро-
жаніе допускало. Главнѣйшіе употребля ыые кЪ селу способы
суть: і-е отдѣленіе измѣняемыхъ величинѣ» уравненія, ш. е,
приведеніе его вЪ такой видЪ ѴЭи — О гдѣ V есть
функція одной величины и, и Т функція одной величины 4,
л'Ь которомЪ случаѣ интегралЪ иредлея, «чшаго уравненія бу-
детЪ /ѴЭі/ *+“ 1 ді лл. СоПЗІ. у 2-е пріисканіе для функціи
РЭх 4- Оду такого множителя V, есставляюнхаго функцію
величина х и у, Или одной которой изЪ нихЪ, чтобѣ была
Функція ѴРЭх. —Н ѴСіЭу полный дифференціалѣ и тогда
интегралЪ ея разЪискивасшся, по § і/о или 171.
I. 065 ннгпегуованіи дифференціалыыхЪ уравненіи лервоіі
стеленн .посредствомъ отндѣленія измінле.ныхЪ ее.тгинЪ.
§ 185.
Простѣйшій случай, вЪ ^ошоромЪ отдѣленіе измѣняемыхъ
величинѣ произвесть можно , бываетЪ тотЪ, когда дифферен-
іе
і 1 вб7
цѣльное уравненіе имѣегпЪ видЪ ХІГЭх Н-X Эу^З'Ъ, гдѣ
X и Xх суть функціи одной величины х, а У и Vх функціи
одной величины у. Ву семЪ случаЬ сшоищЪ псолько раздѣ-
лить .оба члена ураьяеч-гя на X і , и получится уравненіе
Эхч-^ Э/зО, коего интегралЪ будетЪ Гх,Эх-+-/у —Сэпі .
П Р И М Ѣ Р ы
Ш.ЧЯО1 л‘
*• Ч.Ь
і. "Есшоли бы было уравненіе пу^-^х 4- тх^Эу ~ о»
_ _ п Эх , тЭ“____ * 4
то бы изЪ него получилось —- -» — О, и -------------— -ф-
_ X у С*-ф
----п—^-Сопіі. или (А-1)гуХ“Ін-(/д-і)іях’і~’—ах4 уХ-1.
(X— 1)/' (Г о Я
> Ыі
2. Есшьл бы было уравненіе (1-4"ХГ)^Х— • 1-+-ХХуЭу_О.,
то бы изЪ него получилось = О , и иншс*
градЪ его былЪ бы Агс. Іап§. х — Агс. іаа§. у ~ СопН. , или
А/С. Іап^. ( тхЪ Но когда дуга кіуга постоянна,
то и гаангснсЪ ея постояненъ, по сечу * » или
« —/ = 41 4- х/), или у = 4- * і»
I * ’ I
з- Естьли бы было уравненіе а а хЭх У(аа Ч-//) +
у Эу} (ЬЬ—хх)=о, шобы получилось
Положивъ ЪЪ -хх~и аа-]-ууг:ии получиѵЪ аа^і—(ии—аа/^и:го9
и ааі—Іи3-}-ааи=Сопхі:., ш. е. ас(/(6о—хх)-+-}/(ас-г-уу))
2*-э(°аЧ-= С. ;
3| *
лб?
г *
4^ Пусть еще предложено будетЪуравненіе у^'Эг/(і—уу)
4- хду-/(і 4~ хх) =. О, то и Ъ него получится
хѴО-ЬІх) + ~ °‘ Идзна™«Ъ х — іап& Ф ’ и
у хх ЗІП. $ ", то получится уравненіе Ц- — О ,
коего интегралЪ, по $ 143, будетЪ Іо§.(созес. ф—со1.ф)~соІ$=:С\
млн — ОпЛ.
§ 186.
Ьо вшооыхЪ отдѣленіе измѣняемыхъ величинъ вЪ уравне-
ніи РЭх Ч- (^у 33 о легко учинить можно, когда вели шііы
Р и <2 суть, однородныя функціи величинѣ X и у на пр. п
измѣреній. ВЪ семЪ случаѣ положивъ уххих прекратимъ вели-
чины Р и (^, вЪ Р~Ѵхп и (^гзЦхп , гдѣ величины V и V бу хуіиЪ
функціи одной величины и, и уравненіе обратится вЪ
дх 4* ' зз С і при шомЪ будетЪ ду зз идх 4~ хди,
по сему будетЪ (Ѵг-|-Ѵи)Эх4'Ь^Эиззо, или О,
гдѣ величины X и и отдѣлены , и интегралЪ сего уравненія
будетЪ І.Х 4- = С ; оставаться только будешЪ под-
у
ставить вмѣсто и величину —.
П Р И М Ѣ Р Ь1.
і. Пусть предложено будетЪ уравненіе (х5— 2хау-+^’)Эх
4~(х5 — ХХу',ду~О} то по назначеніи у~иХ получится
Ѵя тт _ Пди _ О— -ѵ)ди
З1-2и-ыі% Ьзі-и, по сему будетъ І^з
— ‘_2!С* — і /_2и____ь \ и - іМ/г
--і—«и -----.2 4-4-н і —«/* И /ѵ-рѴи ~' 2ШЬ- 4 — й/
«бд
— У°§>- (х^р — » слѣдовательно интегралЪ
предложеннаго уравненія будетЪ ІХ-^-ІО^. )/(——) — СоПЗІ.}
или — Соп$1., или» поелику при постоянномъ
логариѳмѣ какой либо величины и самая величина постоянна ,
ах(х 7) - „ __аах—хЗ (аа—хх)х
—у -у —аа, откуда найдется У —-—-—~ ----,——.
х—У 7 7 аа-Ьхх аа-і-хх *
I
2. Пусть еще предложено будетЪ уравненіе: уду 4- хЭх
— удх — хду, или (у — х)дх — (у + х) ду — о. ПоложивЬ
Ъ немЪ у гііі получимЪ Ѵ~и—1, ТТ ——
и бѵлетЪ - -3’- — — дч I иЭ“і с- х
и іудеи в — <н_ьи —посему будетЪ
І.л —1&& (« -і_ ь'цУ-4- Агс. гап^-п —сн..
і Іо& (хх 4- У У) “К Агс. іап& ~ гг Сопзі., или еще
&>§. (хх 4- уу) 4- Агс. Іап& ~ С.
3. Пусть еще предложено будетЪ уравненіе ууЪх
(уу — хх)Ъу-~ °,
І)±-(ии- і)г і—
то положивъ у~их получимЪ V—ии,
дх (,—ии)ди_дх (т.—ии')1^_
ии, а — Ч~ й+«и-чЗ х "+" м(і-4-и—ии) ~~ *
Есшьли назначимъ для краткости |(/5-+-1)-Л, и |(у5—1)—5,
по будетЪ
<! — мд) 8и
й(7-|-и—ии) *
і 66 Эи_
' вН~р’і—би
і и — ии — (1 4~ аи) (1 — &*)> И дробь
Эи ( і — а» Эи
разложится на частныя дроби — 4 «4-в^*>-ьай
Эм «Эи € Эи .
или - — «4-е*7— е«» посему
булетЪ I чх -г- ^4 І0& + С = ° > илв
8.Г 4 4 Ьй.
гое(уѴ(^^))=сОТ!і. иля
4- С ггг О , или
-Л5//2Х +у—У*^\ — Г*
сие /
§ >8?.
Иногда предложенному уравненію вида /Эу -4- (ахѴ
4- Ьх1 **) Эх =2 о не имѣющему самому по себѣ одн -родности,
Мч)жно доставить однородство, давши одной которой либо
изЬ измѣняемыхъ величинъ х и у нѣсколько измѣреній. По-
ложимъ что величинѣ у дадимЪ для сего Л измѣреній, то для
однороденъ требоваться будемЪ, чпюбЪ было ЛХ
4 1 — р 4 изЪ коихЪ уравненій когда выключить ?>,
ѵо получится условное между , тп, п и р отношеніе
/Д_|_ 1—)<Ур~ 'Л4 1)^*4-И **отвро.е условіе когда суще-
4 ___ -> -т— г т -4-1
________г-, шѵ чрезЬ назначеніе у ~~~ “ й-ч-і—
—»ѵг ураВпс‘-ІС «орлиишся вЪЪднородное. На пр. еешьли пред-
лсженб будетЪ уравненіе у9 Ъу -у- (ах3уг 4 Ьх*) Эг —- о
вЪ которомЪ оное условіе мѣсто имѣешЪ, то чрезЪ назначеніе
у сіе уравненіе обратится вЪ -*Х*Эй'У-(а&3Х у Ьх4 *)дх~О
которое будетЪ однородное.
§ 188.
ВЪ третьихъ отдѣленіе измѣняемыхъ величинъ легко
яроизвесть можно, когда уравненіе бываетЪ вида тудх-і-тіу
' у )' ' с.4- — О. Для сего раздѣлимъ его сперва
На ху, и получится
1 ах^ѵЧ— -и _______Л
X * у ~ X X "" Ѵ
Ооелику и
*н х______ . Хи
щѳ положи®!» чшо X У ~ Г м X у пегда уравненіе
л?і
обрТІИІПСЯ вЪ у + СІХ^у1 . у О. ПоложикЪ потомЪ
X / —ІГи3 шо, понеже Ь XX X™у1 и и _ Х^у^, будетЪ
X у хх х У , по сему Р~)гг+Х^ и дг ЛГЧ-|Л$,
ѵ_____________________ РР — >4 _ __ — пР -г, -
©шкуда найдется Г _ 5 __ При шомЪ оное
, Г 5 р 1}
уравненіе по подспіановленш г и вмѣсто X у и раздѣленіи
на іг обратится вЬ у-ц_—- -4- аи ди — О , изЪ кое»
аи 1 г
го получится ------------у — Соп$і. или Сіи І — — ~ Сі\,
5 Г/-
,Цр — X?
' ,ХР I т/1— пР Г''' Рт — *>п
то есть в X у —Н <-------- ~ Сс или ещл
Х<7 — р,р ~
чі(р/> — X/) п(рр — Хд)
„У?,Л I т(1—пР ._____Г'у. Рт— .. Рт — Хп »
) “Н У или наконец.
ХГтю—пр) р.(т<] — ир) т(Хд — рр) п(Хд — рр)
ДГ |Л'Л — у ~Р І-'-т—Хп ртп-Хп ____________ 0
’ Хд — р.р
Сіе изображеніе интеграла показываетъ, что предложен-
наго рѣшенія кЪ случаямъ —,гР» ^7 —Р-/Э, Хп — рМІ
приложить не можно; но при первомЪ случаѣ оное диффереи-
37 . 5 — і „
и іалыюе уравненіе ууу Н~ СІІ, си XX. О обращается вЪ
ЭГ ади _____ ’ эг
~у7 “Т~ и" —• О а при второмъ вЪ —|- Сіи
і ।
Й'Эи-^о
к-іихЪ получится аіи — _С и Іі-}--^и хС’, вЪ третьемъ
же случаѣ оное главное уравненіе обращается вЪ
(1-4- \сіхру7) (пуді -+-тхду) хх о,
Хд.г*у
и раздѣляется на два уравненія 1 Ч---------О , и
ШуЪх -4- пхду — О, изЪ коихЪ послѣдняго интегра \Ъ есть
= С.
§ 189.
•ч.
Сіи суть главные случаи, ьЪ коихЪ отдѣленіе нзнѣияе-
мыхЪ величинѣ вЪ уравненіяхъ легко учинить можно. ВЪ про-
чихЪ случаяхъ стараются назначить измѣняемыя величины
уравненія чрезЪ іпак.я функціи двухЪ другихЪ измѣняемыхъ
величинъ, чшобЪ привесть уравненіе »Ъ который нибудь изЪ
трехЪ предЪидущихЪ видовЪ , для коихЪ способы отдѣленія
измѣняемыхъ величинъ извѣстны. Общаго же правила на сіе
нѣтЪ , и способнѣйшее назначеніе функцій для измѣняемыхъ
величинъ уравненія изЪискиваешся изЪ разсматриванія каждаго
предложеннаго уравненія особенно. МожешЪ быть, что е іпь
такія уравненія , вЪ коихЪ измѣняемыя величины всѣмЪ
отдѣлены быть не могутЪ. ВЬ слѣдующихъ параграфахъ мы
предложимъ нѣкоторыя уравненія для отдѣленія вЪ ннхЪ
измѣняемыхъ величинѣ, и совершенія илтегрованія.
§ 190.
Пусть будетЪ предложено уравненіе (л-Ь^Х -ф-уу)Эх-?“
(5 —«X —' іду — О. Сіе уоавненіе можетЪ быть приве-
дено вЪ однородное, или і-е назиачивЪ ХГПа-ьи и /“6+2,
и положивъ потомЪ а. 4~ -ф- у о ~ О, 5 -} - «і — О}
_ „___75 — а? і __«е — €8 г
откуда получимЪ О — —4, о—и уравненіе обра-
тится вЪ -}- ух)Эи -4- (еи 4- ЗДЭх ~ О, или 2 е назна-
чивъ « -}- Ех + уу чрезЪ з и 3 ~{~ ех 4- %у чрезЪ I, отку-
да получимЪ бЭх -}- уду ~ д$ , «Эх -4- %ду — ді, при
, _ _ „ ^(5—а)—Ѵ(Г—-8) €(Г — 8)— «($—а)
шомЪ будетъ X = -- уі-----------* у ~ —г-------9
I
2?3
и уравненіе обратится вЪ (СІ — у^ді — О. -
Сіи оба способа, какЪ легко видно, вЪ гпомЬ случаи не го-
дятся, когда іэі, — 'уе’) но вЪ семЪ случаѣ оное главное ура-
вненіе обратится вЪ сіЭх—]— 4“ (—— С,
%
вЪ коемЪ есліі назначивъ 4“ уу — то оно прѵм^шЪ
видЪ (а4~6г)Эх (• > 4~ ех) ду — О или 4“ — °і
но изЪ уравненія §Г4-.УУ — {,& получится —— 1)»
во сему оное уравненіе будетЪ 4~ -у — 1 — О •
йг е(5+сг)-7(“+€г) €(& -+- е%)Эа
ЛМІ йх-_Т(Т+«у— откуда найдется
гдѣ величины х и г отдѣлены , _и интегралЪ получится но
извѣстнымъ уже правиламъ.
Первый изЪ оныхЪ двухЪ пріемовъ равномѣрно употре-
бить можно и вЬ тохйЪ случаѣ, когда предлоя;ено будетЪ
уравненіе (<Х Ц- 4“ уу -|-6хх Чг г Ху -}- % у у) дх 4»
(с/ 4- -Г У7/ -4 З'хг 4- е'ху 4- %'уу) ду— О. Дабы его
поевратить вЪ однородное надлежитъ назначить Т~сн-Ьи-4-СЖ,
У — -у- Ъ'іі 4~ и по приведеніи его чрезЪ то вЪ видЪ
X
МЭи 4“ гДѣ МиИ будутЪ функціи второй
степени величинъ и и г. назначить какЪ вЪ М шакЪ и К по-
стоянные члены и к< еффиціенч ы пергыхЪ степеней величинЪ *
ді и г равными нулю, чрезЪ что получатся шесть уравненій,
посредствомъ коихЪ всѣ шесть величинѣ а. Ъ с л' Ъ'\ с?
опредѣлятся. М. жно также вЪ яѣкошорыхЬ случаяхъ назна-
чить вЪ М коеффиціентогЪ членовЪ содержащихъ величину г,
а ДЬ № ксеффиці-ніііовЪ членовЪ содержащихъ величину и,
равными нулю, ил.і на об. ртпЪ , и чрезЪ іпо полу’-ишья ура-
вненіе само по себѣ отдѣленное.'
Частъ III. 35
274
§ 191.
ВозмемЪ вЪ разсмотрѣніе уравненіе Эуч-РуЭх-і- ОЭх_~ О,
ІЬ когаоромЪ величины Р и р суть функціи величины х. На-
значимъ у чрезЪ пг, пю уравненіе обратится вЪ ИЭх Н- Ъ-ди -Ь
* РигЭх-Ь ОЭх “ О. КакЪ сіе уравненіе содержитъ вЪ себѣ
теперь три измѣняемыхъ величины г, и и х, то его можно
раздѣлить на два уравненія по произволенію. Составимъ
два уравненія идъ —|- ОЭх гг. О и г(Эи -}- РиЭх) гг. О , то
послѣднее доставитъ — “4~ РЭх гг: О , ибо г гг о положитъ
не можно , и изЪ него получится /и + — О » и
ІІ ~ С . ИзЪ перваго же получится Эй -|- и Эх гг: О и
2 ~Эх ~ О , или 2 -4- ]с РЗх О Э X " О по сему
иъ + и/е^Рдх О_Эх гг О или у -р- е~^Рдх/е ₽Эх ОЭх гг о.
При чемЪ произвольную постоянную величину довольно ввесть
/РЭх м
только при интегроваиіи величины е \2оХ. Показанный
здѣсь способъ отдѣленія измѣняемыхъ величинъ вЪ уравненіи
Эу -р РуЭх -4* О-Эх гг О принадлежитъ Якову БерПЦЛЛ’і.
ПРИ М Ѣ р Ы.
1. Пусть предложено будетЪ уравненіе Эу-4-^—х”ЭхгО.
Здѣсь будетЪ РЭхгг^—по сему по § 156 /РЭх=/о§ (х-4-
р/( 1 -Ь Хх)), и 6^ — X—~р~ XX). По іпомЪ будетЪ
О_Эх ГГ2 — Ух Эх (х -ф- у ( I хх)). Для удобнѣйша-
го произведенія сего интегреванія назначимъ X «4- ]/(I Хі)
275
чрезЪ і , ріо будетЪ X — ХПЭ.Х — 3п^,^4~/~ *
/г’Эт(х 4-/(1 + Хх)) . Раз'искаіЪ по
таѣсп ы.мЪ правиламъ сей. интегралЪ, и назвавЪ его буквою г
П'»лу Ч! рЬ У’ у(х — С) — О , или Іу — X -р С ~ О.
Естьли на пр. п~— і, то будетЪ Т /п~Гі з н0
1 + = по сему. т=І-ІО^.(^)
~ X Н- /(хх 1) — ІО& ( 'л'г и поелику
/ — /(гх + 1) — X, будетЪ У = 1 — (/(XX -4- 1) — х)
(^——') ~ С(/(хх -Н і) — х).
2. Пусть еще будетЪ Эу 4~ СІ 32' у Эх— Ьх* Эх О.
Назначивъ для кріткости ПХ^Эх чрезЪ сеЭх, что доста-
ц -}- і (Р-~Н । )аг _ ( х
виші. X — —, или, положивъ (/л-Ь 1 уь— а, ш. е.
«—х” + 'х^2-, по сему. Х^’—и х\)х—’дЪ
НізнлчичЪ дл і краткости ~~і . чрезЪ ё и чрезЪ Л шо
получимЪ уравненье Эу—ауЭх — бй Э? “О. Здѣсь будетЪ
іРЭті — а^, и е“Р^^еах, п<?томЪ /Ос^Р^ Эх~—ё/
по сему будетЪ у — а /с 2 Э?-, гдѣ интегроваиіе вели-
аг ѵ — и.
чины С 2 02, вЪ случаѣ числа Л или —цѣлаго положи-
тельнаго, совершится по § 137 вЬ точности; вЪ прошивномЪ
же случаѣ оный интегралЪ не иначе можетЪ изобразиться,
какЪ вЪ бсзконечнсй строкѣ.
§ «92.
Послѣ уравненій вида Эу-}- Ру Эх-|- О.Эх_ О простѣй-
шіе сушь вида ЭуРууЭхЧ- ^Эх —О. Естьли назначимъ
35 *
27 б е==9
Р Эх чрезЪ Э5&, и чрезЪ интсгроваиіе опредѣлимъ х
чрезЪ 2, и «оігюмЪ подсгпавимЪ вмѣсто величины (^Эх величи-
ну ея выражаемую чрезЪ а , то оное уравненіе обратится
*Ъ Эу -}-уудт, -|~ О, гдѣ % будетЪ функція величи-
нъ? г Случай вЪ кошоромЪ % вЪ семЪ уравненіи бываешЪ
вида гц> при я числѣ цѣломЬ или дробномЪ; изслѣд-ванЪ былЬ
ГрафомЪ Рнккаши, коего изслѣдованія послѣдствія мы здѣсь
’вЪ крагнцѣ представимъ.
И такЪ разсмотримъ уравненіе вида Э)Н Сіуудхч-Ьх ^дХ—9.
ВЪ семЪ уравненіи во первыхЪ могутЪ быть отдѣлены измѣ-
няемыя'величины когда іп~о, ибо тоги оно обратится в'Ь
~Н — О- ПотомЪ положиьЪ , что величинѣ у, для
Приведенія онаго уравненія вЪ однородство , дать должно л*
измѣреній, требоваться будеиіЪ, чтобЪ было Л±?2Х-+
я по сему Х~— 1, и —2. И дѣйствительно есшьли
вЪ семЬ случаѣ назначится у^.’^, то уравненіе обратится
вЪ —Оі или хх^и— (ахх-уЬииудх^о,
вЪ кошоромЪ всѣ члены одинакаго числа измѣреній.
ь Естьли же бы хотѣли мы дать однородство только чле-
намъ Эу—рпууЭг, не смотря на членЪ 1)Хтдх, то бЪ назна-
чивъ для сего величинѣ у, А измѣреній получили Х~2Х-}~Ъ>
или Л~—і; а по сему дабы члены ЭуЧ-ПууЭх могли быть
приведены вЪ однородные, надлежитъ величину у назначить
чрезЪ функцію — і измѣреній. Слѣдовательно величина у
жожегпЪ быть назначена для сего или чрезЪ или • чрезЪ
« । €» , « , €» , 7г» „
'Ѵ-ГТГ> или чрезЪ — ‘і 22 Н~ > и шакЪ дал??е. Есшьлл
277
назначимъ у—тло уравненіе приведено будетЪ гЪ видЪ
<^4-'?^-|-Ьхтдх=0, или аасЭхн-ЬхххтЭх-аЭ2.=0.
7Ц і _____ тп а ___ I -\
Назначимъ X —и, ошЪ чего получится X оХ—
і — т
ири томЪ будегаЪ X — и1 и Ъх — и ди \ то
» , тп
еиое уравненіе обратится вЪ «^2—ТО^" ди~О^
или, подрживЪ а~г, вЪ уравненіе Эй— 22 Эи •—-
?п
и Эи —О. Положивъ для уравненія ду —р пууЭх-}-»
Ьх дх—О, у—шо оно оорашится вЪ —м--------------------------
авгЭг . ,яаа . эавѣъ а&яъ . Т т\'«________ _
-л1--Н (— -Н -рр- -Н + Ъх )дх — О, которому дабы
дать видЪ проще положимъ что аа—1^0, или а:—7г
тогда оно обратится вЪ — "Т“ ("7.Т- ~Н )^Х — О, или,
казначивЪ С~ і иумножчвЪ иахх, вЪ д2Ч~-^дх-і-Ьхт4 Эх~О,
которое при тп—2 будетЪ однородно,- и сверьхЪ того
вЪ семЪ уравненіи измѣняемыя величины отдѣлятся, когда
будетЪ Ш-р-2 — — 2 или Шгх: — ибо тогда уравненіе
еіе будетЪ Эі + (гах-]-5;^ — О , или д-^—О’,
назнччивЪ же вЪ уравненіи Эг Н~ ЬхТ О вели-
чину х чрезЪ получимЪ уравненіе Эй — —
Про
чія подотаковленія вмѣсто величины у
функціи —і измѣреній приведутъ кЪ сложнѣйшимъ уравненіямъ,
кои мало могутЪ принесть пользы. Для того остановившись на
оныхЪ двухЬ подсіпановленіяхЪ сличимЪ выведенныя чрезЪ
нихЪ уравненія сЪ предложеннымъ уравненіемъ. И во жіервыхЪ
278
окажется, что ежели при какомЪ либо числѣ т мо'учіЪ бьлль
отдѣлены измѣняемыя величины вЪ уравненіи Э>‘ 4- Л) уЭ1" -}-
Ьх дх — О, то ври шомЪ же числѣ Л2 м гуи»Ъ быть отдѣ-
лены измѣняемыя величины и вЪ уравненіяхъ <72— АіѣЭи—
п •
Ви Эи — о (п), (разумѣя А “ —~ и\ В ~ —~—)»
и Эх — ЛХХ-Эи — Ьи ~^4^Э/І ~ О (6)" изъ которыхЪ пер-
вое обратится вЪ уравненье Эу -}- а у у Э X I) X Эх — О
_ ГГ _ ’ т + I
чрезЪ подсшаповленіе X— и и — X , второе же чрезЪ
X I
Лодсшяновленіс —ХХу— и ц— —. II такЪ зная изЪ
предЪидущзго, что иЪ уравненіи ду -р «КѵЭх Ьх Эг Г72 О
при ТИ^-1О, и при Л — —2 измѣняемыя величины отдѣле-
ны быть могутЪ, можемЪ посредствомъ оныхЪ дсухЪ уравне-
ній (а) и (Ь), допу.-ікающижЪ отдѣленіе вЪ тоже время, полу-
чить множество другихЪ уравненій подобнаго видч, кои отдѣ-
леніе измѣняемыхъ вели іинЪ раіномѣрко допускать будутЪ.
БірочемЪ случай Шзі— 2 подсиіавлені бѵдучи вЪ опыхЪ
уравненіяхъ (а) и (Ь) ни чего човаю не о'іікрываешЪ , и по-
тому начнемЪ сЪ іп~о. ПодставивЪ тп~о вЪ уравненіи (Ь)
увидимЪ что уравненіе вида ду ~|- А уу дх ВхЛЭX ~ О (с)
допускаетЪ отдѣленіе измѣняемыхъ величинъ і»ри Х~ — 4.
ПодставивЪ іп——4 уравненіи (а) увидимЬ, что оное ура-
вненіе (с) допусКлсшЪ отдѣленіе измѣняемыхъ величинъ и
при X — —ПодставиьЬ — | вЪ уравненіи (Ь) уьи~
димЪ , что уравненіе (с) допускаетЪ отдѣленіе измѣняемыхъ
величинъ и при X ПодставивЪ Ш — — | вЪ ура-
вненіи (а) увидимЪ , чпю оно допускаетЪ оп дѣленіе измѣняй-
278
мыхЪ велччинЪ и при X — —| и шакЪ далѣе. ТакимЪ
образомЪ находя величину Л посредствомъ одного изЪ оныхЪ
уравненій (а) и (Ъ") , и подсіпав іяя ее вмѣсто т вЪ другомЬ
получать будемЪ, одну послѣ другой, новыя величины X, при
кокхЬ отдѣленіе измѣняемыхъ величинъ вЪ уравненіи послѣ-
довать можетЪ. Сіи величины Л кромѣ цѣлыкЪ чиселЬ
А — О> А — —2, АУ7— 4, будутЪ го порядку
_4 _в __5 __12 __18 __1(' __7
3’ 3’ 5* 5’ 7’ 7* 9» ’ * •>
и естьли сіи числа раздѣлятся на два ряда
4 __§
за • і’ 7’ ' 9Я ’ • •
Я 12 16 20
ѵ р Vя 7’ • • -
шо числа перваго ряда будхіпЪ всѣ содержаться вЪ видѣ
— (77177)3 4 втораго вЪ видѣ •— (—* --—-) и заключаться
между Л 2И О и Л _ — 4. Слѣдовательно всѣ уравненія
— 4*
вида Эу -4- пууЭх 4- Вх2* — 1 Эх — о суть такого свой-
ства, что вЬ нихЬ измѣняемыя волочены отдѣлены быть мо-
іупіЬ, и іелнку всѣ «,нѣ могушЪ, послѣ нѣскольсихЪ подстяно-
вленій, приведены быть вЪ видЪ Эу —ауу'Эг ЬЭх О
а имянно уравненіе вида Эу 4- АууЭх 4~ Вх2Й + ' Эх—о
послѣ подстановленій, уравненіе же вида Эу пууЭх -4—
Вх* Эх — О послѣ —і подстановленій. ПорядокЪ
сихЪ подсніаногленій есть слѣдующій : когда вЪ уравненіи
Эу -4-Ауу Эх 4" Вх2 Эх~О, назвавЪ буквою Л,
і&о
жодсшавимЪ — .т> и < — X , то оно обратится
вЪ другое подобно? ему ду/ А -{- В х Эх “ о ,
гдѣ будетЪ Xх — — УУг Естьви потомЪ под-
, - - . 3 _ . х"
сшавимЪ вЪ сгмЪ послѣднемъ уравненіи у •— X х у Ч-
и X 7^. то ^получится уравненіе вида дуУ/-+ А' у^у^Эг^
Ч-В X' ЭхЛ —О, вЪ которомЪ будетЪ Х//_—(Х/Ч~4)=~^~—’>>
гдѣ естьли назовемъ к —і буквою к', іго будетЪ Х7/~—
и слѣдовательно число /У тѣмЪ только будетЪ разниться
отЪ Л, что гЪ немЪ к' единицею менѣе будешЪ, нежели к вЪ
«иомЪ л. іііЪ сего слѣдуетъ, что послѣ еп показанныхъ
_4&_
иодсшановленій уравненіе <) V Ч- АууЭхч- Вх ** ’ Э.Г О
•братишея вЪ подобное ему Эу + сеууЭ?С Ч- ©Х* Эх .^35 О
гдѣ будетЪ Х^23 ,> и когда и~ к, то будешЪ \з?о,
то есть оное уравненіе послѣ рк подспійн- вленій обратится
вЪ уравненье Эу Ч- Л}'}'().Х Ч- ьЭіО. Сіе же показываетъ,
что уравненіе Эу Ч- ЛууЭх -}- Вх'* ’ Эх О обратится
вЪ уравненіе Эу Ч- аууЭх Ч- ?Эх ” О ц*илѣ г.к—і пѵдстпа-
довленій.
$ «93-
Иногда, вЪ случаѣ ирраціональностей второй степени, кЪ от-
дѣленію измѣняемыхъ величинъ во уравненіи способствовать
можетЪ введеніе величинЪ ігономѵшрическикЪ. Для пока-
занія вЪ семЪ опыта вогмемЪ уравненіе нЭх (I Ч-уу)’-н
/К — ’3?)Эу)/(1 хх) 9, и положимъ вЪ немЪ
28:
у~іап&. 0, шо получимЪ дХ -—Эф.5СС. ф , Ъу — с$.ЯЕС. @29
отЪ чего уравненіе обратится вЪ Н<'фоСС.фг$еС.03Ч-Э0\Іик§.0
-ІШ12 ф)$ес.0Чгс.ф~о, нлч л?ф-ьЭ^т.Осо<9.ф-^п.фсо5.0)-о
и \и еще иЭф-4-Э$.$',11.(0—ф)—О. Пол жимЬ 04-ф—ф, то буде.ш’Ь
Э0 —сЭфф Фл и оное уравненіе обратится вЪ лЭфч-Эф.ЛІ/г.ф*
4-дф..Ш1.Эф' — С или Эф ф —:О> или еще Эфч-Эф'
-----Э0-------------------------о. Нашсдши ше-
П-І-ЯП. {/ * * ѵѵші» а-р-яп-ф
псрь по § 152 интегралЪ «оложивЪ ф —
который пусть будешЪ Ф, иол^ѵ імЬ иишегрзлЪ предложеннаго
уравненія & — РФ ~ Соп&-.
* * * -Э
§ ’94«
ПредюжкмЪ для упражненія еще уравненіе
((1 ~У) (1+:с~) ѵ~ (1 ~*У) уухх) Эг -+ (і -куу) (1—хг)уЭг=с.
ИзЪ разсмотрѣнія сего уравненія откроется , чшо естьли мы
его чіа (>—у) хх раздѣлимъ, то еЪ ясрзомЪ членѣ его измѣ-
няемыя величины отдѣлены бу іутЪ, и получится уравненіе
' (1 ~^хх <' ^->)»\ । 2(' -+- •») 1Т _ Эу о
XX I —у ) У ' 1 у • XX
гч I *-XX -X
Разсматривая далѣе увидичЪ, что------ОХ есть отрицатель-
ный дифференціалъ функціи —5 а по сему чазыачимЬ
і Ч- хх
‘—х— буквою 2 то оное уравненіе обратится вЪ
_ І‘.±У» 3^,-0
і— у
ИЛИ
э% — эг -ь эу—о,
>(' 4-^7) 1 ‘-Ч-77 ' *
когпопое сходсш уешЪ сЪ уравненіемъ Бернулли, разсмагори-
ванпымЪ вЬ § 191 , для коего снособЬ отдѣленія измѣняемымъ
Частію Ш. 36
а8с
величинъ вообще извѣстенъ. Трактуя сіе уравненіе по онс-
/*Г і "" •
І~^) ’ ил и и н гпс г ралЪ
/у-/Ч^з-~’ксга°Рый бУ^егаЪ
или /оё. у — Аге. Іап& у, который естьли изобра-
. ге~‘ (і + у)уЭу
зимЪ чрезЪ и, то будешЬ 4- е /-----------------— О.
1 Ч-уу
„ , „ еѴ(і+КГ)
Назовемъ Агс.кап&.у буквою ф, шо будетЪ С _---------,
У
/е~ “ (14-у)у Эу /• <5Ф( 1 4- у) Эу
—— ------ ---гг /-------------, или, по подстано-
і ч-уу у /(1 ч-уу)
геФ(і 4-у)Эу
іленіи величины кап%. ф вмѣсто у , будетЪ / —-------
7 /(іч-УУ)
Ф
= /ефЭф(с^фЧ-^'^2) = ~ф — С; слѣдовательно инте-
е“фу л
гралЪ уравненія, но причинѣ шои что 6— —---—6 «УШ ф
/(14-уу)
ГѴ~Ф-ѵ
Ф • т—Ѵ-зсзс
вудетЪ 2-+-Мй^.ф-Се ІШ.фГС, или,-^—Ьу------7------=О
у(14-уу)
(1 -і-ху-^-хх) Ус» 4->7) Г’х.— Ф .
или еще ---------у-------— ѵе , откуда получится
І0ё. ((і+^+^йі+29) 4- АгО. іапё. у = СопЛ.
Показанный пріемЪ употребили мы обративъ вниманіе
ва одну только величину х; но естьли бы мы замѣтивъ
что вЪ оное уравненіе входвтЪ со стороны величины зс толь-
Т і 4-хл „
ко функція —- — и ея дифференціалъ} взяли вэ вниманіе
285
еще п то, что величина у вЬ прочихЪ членахЪ находится
I —XX
вЪ немЪ какЪ множитель, шобЪ назначивъ —- — чрезЪ иу мо-
• гли скорѣе достиінушь кЪ отдѣленію измѣняемыхъ величинъ. *
II дѣйствительно оное уравненіе чрезЪ подешановленіе
«Ч-хх___.... _ ,
•—-— — иу обратится вЪ
^±уу! _ иу) ^у^УУ^±г^^и = Ое
1 У 1 У 1 У
или
(О -\~у]уу Ч- иуу ( г Ч- у^ 1 уу(і Ч- уу) __ о .
уу -
и, по раздѣленіи на зо
(1 +/4-и(і+/))Э/-Ь(і + уу)Эи = о,
или
(і Н-и) (і 4-/Ж +
(і -+-уу)Эи —о;
откуда по раздѣленіи на (1 -Ь К/) (1 + и) получится
- ~Н 7ТЙ = °' и найдется /о&.(і4-и)ч-/°§У(1ч-уу)
АгсЛап&.у~Соп$1. или ^/І^^у=^х)ч-/о^./(і-ьуу)-ь
кгс.Ып^.у-С., или еще
какЪ и прежде.
П. ОбЗ мнтегровачш дмфферен^іалѣныхЗ уравненія
уіер^оп стелени лосредстволіЗ множителей обращающнУ^
ихЗ лолные дифференціалы.
§ 195.
Способъ употребляемый для интегрованія уравненій по-
средствомъ приведенія. ихЪ, чрезЪ помноженіе на причиннаго
множителя, вЪ полный дифференціалЪ извлеченъ неносред-
36 *
±8'4 а=±
сн'веннс» изЪ суж генія о происхожденіи дифференцбал’ныхп
уравненій изЪ уравненій между измѣняемыми величинами,
ВообразимЪ как >е нибудь уравненіе фзхх. о между измѣняемыми
величинами х, у, г . , . р р' .. .Ц, д/ ... г, г7 ... и проч.г
. ,, _ дѵ „/ ___ дъ __ Эр / ____ Э/
разумѣя р — Д , / — . . д — ах, (р — .
іГ~|х, , 5 . . , и. проч, Естьли вЪ семЪ уравненіи
ни одна изЪ постоянныхъ величинъ не составляетъ особли-
ваго члена, шо можно которую нибудь изЪ и*іхЪ опредѣлишь,
чрезЪ оныя измѣняемыя величины и прочія постоянныя такЪ-
чшо она будетЬ равна функціи Ф оныхЪ измѣняемыхъ вели-
чинъ и прочихЪ постоянныхъ* Дифференціалъ сея функціи
ЭФ~о, содержащій вЪ себѣ одною постоянною величиною
менѣе, нежели сколько ихЪ было вЪ ономЪ уравненіи 0 2Ѣ2 ог
будетЪ диффёренціалі ш е уравненіе, коего оное уравненіе ф~о,
будетЪ инічеіралЪ, Но вЪ числѣ сихЪ уравненій о,,
встрѣчать ь будутЪ. и весьма часто-,. такія, кои, по приве-
деніи ли всѣхЪ ч <ен< вЪ кЪ одному знаменателю и уничтоженіи
его чрезЪ помноженіе на него обѣихЪ частей уравненія , или
мо раздѣченіи на какую либо функцію оныхЪ же величинъ,
на которую функція ЭФ ~ о дѣлиться будетЪ на Цѣло, мо»
гуіьЪ быть приведены вЪ такой видЪ Ф’ ~ о . вЪ которомЪ
функція Ф7 не будетЪ бодѣе полный дифференціалъ одна-
к.ожЪ сія функція, чрезЪ возвращеніе вЪ нее онаго множителя
или дѣлителя, вЪ полный дифференціалъ приведена быть мо-
жетЪ- Для объясненія сего примѣромъ возмемЪ уравненіе
XX —уу — ПХр , шэ изЪ него получатся Ь Хѣ — г
„ ___ 1**7— уХ)дх-г- (уух—хз^оу_
И оф —------------—--------—— О, гдѣ функція нахо-
дящаяся вЪ первой ЧйСши уравненія будетЪ полный диффе-
ренціалъ; но сіе жЪ уравненіе по уничтоженіи знаменателя,,
обратимся вЪ Ф7 ( ХХу -ф- у3) дх + X - - X3) ду —О,
гдѣ» Ф' не 'будетЪ болѣе полный дифференціалъ; при томЬ
ьдѣі ь буіепіЪ Ф'~ хх — уу) (у2х — хЭу)~о, и п- раздѣ-
лечіи т хх — уу получится'еще уравненіе у?х — хду—о „
2 85\
которое такожь не будетЪ полный інфферрнціалЪ, но первое
изЪ сихЪ двѵ хЪ послѣднихъ уравненій чрезЪ дѣленіе на хззуу,
- „хх —уу г „ „
второе же чрезЬ помноженіе на ——— ооратяш^я во полный
дифференціалъ, коего интегралЪ будетЪ —* — :г_С
при шомЪ второе можешЪ обратишься вЪ полн-й дифферен-
уох— к?у_______________________________________________ л
ціалЪ и чрезЪ дѣленіе на уу, ибо будетЪ--------------—С
полный дифференціалъ, коего интегралЪ будетЪ ~ — Сс/гб'Л
ВЪ прочемЪ сіи два интеграла, —СопЗІ:. и ~ —
означаютъ одно и тоже, ибо по изображеніи перваго вЪ видѣ
хх Ч- уу ~ ѵаху получимЪ X' — ау ^5 уУ(аа, — 1), или
~ — а 4: /(аа- — х) — Соші.,
$ ^9&-
Бообіде, когда только возможна такая фткзіія измѣ-
няемыхъ велиъмиЪ х н у, которая бы служила ичтегѵа-
лоліЪ какого лпбб предложеннаго днфференціая*нагО ура-
вненія РЭх -4- ЦЭу — О, т. е. когда только возможна-
іпа':ач фу кція ф(х, у) ~ Сэпді:.,. отЬ которой грезЪ
днфференцнрованіе -> н разныя лотсліЪ везлюжныя сокра-
щенія, очое' уравненіе Рйх-\-ОФулронз- й'піі ліопиъіЪ,
то возлі"пен5 и множитель, на котораго она я функція
РЭг 4-ОЭу будусн поліножена обралпптся вб полный
Дифференціалъ, ко>‘го интегралЪ будетЪ пли та самая
фц кцгя ф(хл- у) ~Соп$і., отЪ коея оное уравненіе
Рс)х -н ОЗу— О происходитъ^ пли функція1 сея функція?
пз7) коря о про функцію Ф(х3у) —С вывесть можно.
И дѣйствительно , ноложимЬ х - чшо вмѣспіѣ- сЪ урдваемхемЬ
86
РЭх-{-О.Эу —О существуетъ уравненіе ф(х, у)
в пусть дифференціалЪ функціи Ф(х, у) — Соп$І. будешЪ
МЭх -ф то будутЪ вЪ одно время существовала два
уравненія МЭх -ф- МЭу ~ О и РЭх -ф- ОЭу ^2 О , или
5г + к ~ ° и ^4~2 — °> а по сенУ будешЪ к —
и М = тогда оный полный дифференціалЪ МЭх-4-КЭу
будешЪ ^(РЭх 4- О_Э у) , а слѣдовательно функція
РЭх + О.Эу необходимо допускать будетЪ шакого мно...и-
и
теля на коего она помножена будучи обратится вЪ пол-
ный дифференціалЪ коего интегралЪ изображенный выше чрезЪ
ф(х, у)“ Со»аІ., будешЪ интегралЪ и онаго уравненія
РЭх-ьО_Эу~О, ибо дифференціалЪ сея функціи фкХ,у)_ СоПЗІ,
будетЪ МЭх -+- №Эу — ^(РЭх 4- О_Эф) — О, а по сему будетЪ
И РЭх 4- О.Э/' = О.
Нѣкоторые и?Ь нерзосяіашейныхЪ математиковъ, каковы
ЭйлерЪ и ЛагранжЪ, а за ними, и другіе, о сихЪ множишеляхЪ
выражаются шакЪ: Для каждаго дифференціальнаго уравненія
ЗУ
РЭх4-С2.Эу~О (или назначивъ чрезЪ у/, по Лагранжеву
выраженію для каждаго производнаго уравненія Р-Ѣ-О^^—о),
которое само по себѣ не допускаетЪ интегрованія. находится
такая функція, на которую оно помножено будучи допу-
скаетъ иншеірованіе; но доказательство , которое даюіпЪ они
сему предложенію , одинаково сЪ онымЪ нами здѣсь предста-
вленнымъ. КакЪ вЪ семЪ доказательствѣ предполагается воз-
можность интеграла предложеннаго уравненія РЭх4-Ц)Эу~о,
шо, хотя ѳное ихЪ предложеніе выражается вообще относи-
287
ілельно кЪ каждому уравненію ГдхЦі)у ~ о, но чрезЪ оное
доказательство не можно считать его вообще доказаннымъ;
ибо иначе надлежало бы наперед'Ь доказать , что каждое ура-
вненіе РЭх =. О, по произволенію написанное, имѣеі. Ъ
такую функцію ф(х, У) ~ Соп$1., отЪ дифференцированія
коей оно происходитъ; что имя прсдварі тельно ни гдѣ не
доказано. Одно только то можетЪ слѵжигаь догадкою возмо-
жности оной функціи ф(х, у) — СопЯІ:. для каждаго ура-
вненія РЭх + 0<Эу О, или что ежели изЪ
сего уравненія, положивъ Эх ностпяннымЬ выведутся диффе-
. дду Э3> Э+у
ренцгальныя содержанія и проч., и предположивъ,
что величинѣ х~а сосннвѣшсшву еіп7 у~Ъ, найдутся вы-
раженія оныхЪ содержаній соотвѣтственныя сияЪ колнче-
Ч ~ _ Эу __ д ЭЭу___ТЭ і№у___г 1
ствамь х и у, кои пусть будутЪ —А, —-О, дх3 — Ь,
и проч. то по Теоремѣ Тейлеровой будетЪ
У — Сои,#. 4- Ах 4- Вх2 ч- Сх3 4- ІЭд4^ . .
а слѣдовательно для каждаго уравненія РЭх 4- Оду — О,
по оной Теоремѣ величина у выражаться будетЪ из-вѣстною
функціею величины х; но при семЪ оставаться можетЪ опять
неизвѣстность, можно ли каждую таковую функцію считать
за функцію произшедпіую изЪ какой либо Алгебраической или
трансцендентной функціи ^Ѵдх, выражаемой опредѣленнымъ
Эу р
числ^мЪ членовЪ, поелику должно быть — гдѣ Р и
суть функціи состоящія изЪ опредѣленнаго чисуа членовЪ
между шѣмЪ какЪ оное выраженіе величины у доставляетъ
для выраженія содержанія безконечную строку — А4-2ВХ
4- ЗСх2 4- фЭх3 4- . . при томЪ оное выраженіе величины у,
какЪ мы выше видѣли, мѣста имѣть не можетЪ, когда фупк-^
288
р
й'ія &
піорая
содержитъ вЪ себѣ такую радикальную величину, ко-
при оныхЪ величинахъ у~Ь обращается
вЪ нуль. И такЪ оставивъ предложеніе о мніжитоляхЪ
вЪ пюиЪ видѣ», вЪ какомЪ мы его предсшави.іи
к4> способу нахожденія ихЪ
приступимъ
§ »9Г
Когда вЪ предложенномъ уравненіи Р?Х-4—О_Эу— О,
функція РЭх —}—О У однородна, іпо положивъ, чшѳ множи-
тесь могущій обратить оную функцію I Эх-^- Ооу вЪ пол-
ный дифференціалЪ, есть такожь функція однородная К, И
что РВЭх -р ОВЭу есть полный дифференціалЪ, получимЪ
по § 171, Р К х + О.Ку ~ Сопхі. а по сему будетЪ
К — гдѣ вмѣсто произвольной величины СопМ. мо-
жно взять единицу. Слѣдовательно каждое однородно#
уравненіе, і )х + О.Эу _ О обращается вЗ полный диф-
феречіі'.алб ѣрез'6 дѣленіе его на Рх4-фу. Сіе показываетъ
что однородныя } равненія сколько способны кЪ отдѣленію
измѣняемыхъ ве личинЬ , столько же способны и кЪ обращенію
рЪ полные дифференціалы посредствомъ множителя.
ВозмемЪ для примѣра уравненіе (у-+-х)Эу— (у—ХіЭх_О,
то оно будучи раздѣлено на у(у х) — X у — х) или
уу-+-хх обратится вЪ полный дифференціалЪ, который 6у-
(у -ь X ду — {у— х)дх (у -н
дегаЪ -----^ф-фхх~ ~ ’ ВогнечЪ интегралЪ члена кх-
до измѣняемости величины у. Для сего положимъ у~ хц.,
[у-1-х')ду___(,-+и)ди,
И ХХ 4"7 —и иншегралЪ сея функціи будетЪ
]/(1 + ии) 4- Агс. еаи&и =
==
Іо& 1 + ии) 4- Агс. іап&и ~ 1(Щ у (^~ -) -4 Агс.іап&.
~ ІО& ]/(х X 4- у г) — ІО^. X -Ь Агс. Іап^. ВозмемЪ
дифференціалъ сея функціи ро измѣняемости величины X,
который будетЪ “у— — (
ной части онаго уравненія, шо получится вЪ остинкѣ —|- *-э
коего интегралЪ будвтЪ Іо§. х. Придадимъ сей интегралЪ
кЪ оному то получимЪ дая интеграла предложеннаго уравне-
нія уравненіе ІО& /(XX 4- у у) ф- Агс. СопбІ,
какЪ и вЪ § і8б найдено было посредствомъ отдѣленія измѣ-
няемыхъ величинѣ.
“ ••*?;•)> »и іыотемЪ изЪ осталь-
хх —у у '
. дх
§ >98.
НА. .3
Естьли для какого нибудь уравненія РЭх О_ду — О
изъѣсгаенЬ способъ отдѣленія измѣняемыхъ величинъ, т. е.
естьли извѣстно, что чреіЪ подсгаан.эвленіе вмѣсто х и у
ьакихЪ либо функцій двухЪ другихЪ изиѣняемыхЪ величинъ
і и и , п потомЪ по раздѣленіи обѣихЪ частей уравненія на
какую ’іибо функцію Т тѣхЪ же измѣняемыхъ величинъ, гЪ
ономЪ урав іеніи измѣняемыя величины і и и опредѣлятся,
и потому получится полный дифференціалъ , то извѣстенъ
будегпЬ такожь и множитель обращающій оное уравненіе
РЭХ 4~ ОДу — О вЪ полный дифференціалъ , а имянно сей
’-'ИЗй. .
множитель будетЪ сЪ шѣмЪ только , чшо здѣсь вЪ функ-
ціи Т вмѣсто і и и по установлены быть должны тѣ функціи
величинъ х -и у, чрезЪ кои сныд. величины I и и выражаются.
ТакЪ на пр. зная, что вЪ уравненіи ((і-*-у)УУХХ—(1 •—у)
(і -р- хх)х) ду — (і 4~ уу) (1 «— хх) Эх — О
изслѣдован«
ломЪ нами вЪ § 194, по раздѣленіи на (і—у)хх, потомЪ по
Частъ III. Зу
адо ==?
А і—}-хх уу(і -4-ууУі '-5—г:'
подслаловленіи —--_иу, и по раздѣленіи на ——
измѣняемыя величины, учи отдѣлятся, получимЪ для она-
го уравненія ьнэжишгля » 1110 -есть
_______ху____________ — 1
амЭ>у(і -і-уу) (і -р-эсуЧ- хх)’ ИЛИ ху (і-4-Х31-) хх) (*-(-"О') ’ КОШорь1 1
обрашишЪ его ,?Ь полный дифференціалъ. Ст.
ь П г
5
Пусть теперь взято бу іешЪ вЪ разсмотрѣніе уравненіе
РЭг -р- ОЭу — О фе с днороднсе и та<ое, для коего способъ
отдѣлешя измѣняемыхъ величинъ не извѣсіпенЪ. Положивъ,
что множитгль могущій привесть функцію Рдх -{- О.Эу*
.“Ъ полный дифференціалъ есть Н, т. е. чш КРдх 4'В(_іду’
есть полный д-фференцгалЪ, по § 112 требоваться буд«тЬ,
чтсбЪ было (Э*Р) = , ш. е. К ((^) — (|‘ )) (Р(^)
— Назначимъ разность (|^) — )» которая бы
КЪ случаѣ функціи с Эх -}— Оду* полнаго дифференціала ,
была равна нулю, чрезЪ Т, то тля опредѣленія множителя К
получится уравненіе ВТ —{Р(?К) — 0/^*)) — °* • • • (А)»
ПодставимЪ вмѣсто О или Р величину его выведенную изЪ
уравненія Рд^ 4- Оду ~ О, шо сіе уравненіе (А) обра-
- Т Т? ПГ і РдК. _ р'Т' О.ЭК _________ л и-
тишея гЪ * -у- _ О или К 1 — .— О, т. е. вЪ
ан , т >________ эк. т >. л
н. Н“ р или к
Ежели нагчачммЪ множителя для оной’ функціи чрезЪ ,
/э. рл /э. ~д
жіо требоваться будешЪ, чтсбЪ било ( — ---)> или
\Э// Чдх/
зді
і а*) - - і(р© - о.^)) = о
КТ — (Р(ф—— О • • . (В), г-оторсе уравненіе
отЪ онаго (А) разнится гпѣѵЪ только , что вЪ оиомЪ (А)
второй член’Ь положительной, а вЪ семЪ (В, онЪ отрицатель-
ной. Сіе уравненіе (В), также какЪ и ѳное (А), иначе изо-
бразишься можетЪ чрезЪ — рЭу~О или ^+^3X22:0.
і л *
Есшьли бы величина й имѣла видЪ Г § } шо бы сныл
уравненія для множителя обратились (А) вЪ (А") . . . \
+ ₽(•>? Ф 4- ’»’ ф) - О.(*1 &) + »’< (Ь = ° -
(В) л (В)...ггт-Р(п?ф+>ш(^;+а(не©+>Пг(І-))=ч
или
(,Ѵ)... р?т-і-п?(Рф-а©)+тг(рф-аф)=о
(В)... Гіт- лг(Рф-аф)-«>г(рф-оф!)=о.
Когда бы най хенЪ былЪ способъ разрѣшить которое ни-
будь изЪ уравненій оныхЪ (А) или (В) шо бы вопросЪ о мно-
жцшеляхЬ превращающихъ дифференціальныя функціи вЪ пол-
ные дифференціалы былЪ совершен іе разрѢше-нЪ; но по сіе
время не только, что не дано на оныя уравненія (А) и (В)
общаго рѣшенія, но даже, какЪ іы выше видѣли, сЪ мащема-
шиче< кою строгостью не доказано, что всѣ дифференціальныя
функціи такою множителя допускаютЪ.
§ 200.
ш л
Уравненіе в*" І; > ЗУ — О показываетъ, что дабы й’йб?
житель К или могЪ быть функція одной только величи-
Т
ны у, для сего требуется, чгаобЬ величина р была функція
37 -
зда ==== =
одной ніолгжо величины у, а по сему должно быть Т ~ ѴУ
и Р~ѴУ', разумѣя У и функціи одной величи-
<ЭГ. - - т л _л
ны у; уравненіе же М- ^-о.Г — О, показываетъ, что дгбы
множитель Ъ. или могъ быть функція одной величина х,
Т
для сего требуется чтооЪ величина была функція одной
величины х, а по сему Т"ѴХ и О.ггѴХ'^ разумѣя X и X'
функціи одной величины х.
Т
Когда р есть функція одной величины у, которая
пусть будеиіЪ V, то для множителя В или получится
уравненіе кЭу~О а по сему будетЪ І.К ч^/ѴЭу—Соп^І.,
п+ЛОу_________г* ю ___Н-ТАд1 ѵ т
или ііС — ѵ>., га. е. — ЬС . Когда же есть
функція одной величины х, которая пусть будетЪ X, то
для множителя В или получится уравненіе ^ч-ХЭх“О,
а по сему будетЪ I К -+- ^Хдх — С., или Ке-н^ХЗх — С.,
гп. е. К _ Се~^ д , гдѣ верхній знакЪ принадлежитъ кЪ
множителю В, нижній же кЪ множителю ; при чемЪ для
большей простоты можно положишь С — і.
Но положивъ р— V» получимЪ Тпі пу) — —РѴ
елѣдсвашельно РУ, и О=8.(^)дх—8.РѴ Эхн-фу;
положивъ же X получимЪ (г )— (^)^пО.Х, слѣдо-
эякжльно <, и Г "/^)'ду^~/.ОХдуч- Рх,
гдѣ 8 сзиачаепіЪ внпіегрованіе по измѣняемости величины х,
и У интегроганіе во измѣняемости величины у. ЧрезЪ сіе
опредѣляются уравненія , для коихЪ множитель приводя шій
-Ь---- 29З
ихЪ вЪ полный дифференціалЪ, есть функція одной величины
X или у. Пусть на пр. будетЪ О.— (ах Ч~ $у)г и Х~Т,
шо будетъ Р — /2 а (ах ч- §у\Ъу Ч- /х (ах Ч- Еу)2 Эу
Ч~ &Х — -- («X -у &у)г -}-• (ах %У)3Х Ч" для большей
л У ч
же простоты назначимъ ѵх на пр. г и такимЪ обра-
зомЪ получится уравненіе
(За(ах -н 5у)’+(ах — Еу)3хн- Зух3)Э>-4- Зб(ах -ь&у)2Эу=о;
которое когда изображено будетЪ чрезЪ РЭх Ч~ О&У — О ,
то будетЪ Т — (^) — — ЗЕ(ахЧ~6у)2Х, и ~“Хі:Х,
л т? _ Гхдх _ А XX
а п<7 сему — е — о НомноживЪ теперь оное ура»
і XX
висіпе на сего множителя о , и взявЪ интегралЪ члена
Зёе’х'\аХ Ч~ ^У)2Эу по измѣняемости величины у получимЪ
ехх(аХЧ" ?у)3- В 'ЗмемЪ дифференціалЪ сея величины по
измѣняемости величины х, который будешЪ Зае’ (аХЧ-6у)2Эх
Ч~ е’ (ах-ф-^у)3хЪх9 и вычтемЪ изЪ остальнаго члена она-
го уравненія помноженнаго на } то получимЪ вЪ остаткѣ
О 2 ХХ 3 Л Т
^ур х оХ 'у для сЪчсканія интеграла коего назначимъ
ІХХ Ру КВ '10 г, и будетЪ Х3ЪХ—22~Ъ23 а по сему
^уе*ѵхх3Ъх ~ буе^г-Эх, коего интегралЪ, по § 137, будетЪ
— 1) — ЗуезХХ(XX — 2)', такимЪ образомЪ инте-
гралъ предложеннаго уравненія будетЪ в* ((й^ “Г" ^У)3
Зу(гг-2)) — С, или (ахЧ-Еу)34~37ѵга-2)~Се~а**
=
♦
Естьли 9 —!•> то будетЪ Р—/ХЭуЦ"^~Ху + Х?,
такимЪ образомЪ открывается , что уравненіе Б рнулли
Эу -у- (Ху -}~ X ^Эх " О, которое мы разсматривали вЪ
§ 191 со стороны отдѣленія измѣняемыхъ величинъ, можетЪ
быть обращено вЪ полный дифференціалъ посредствомъ мно-
ГХдх Т1 -г т
жителя € . ЕзявЬ инщегралЬ члена е оу по измѣняе-
, „р/хэх
мости величины у получимЪ ус а коего дифференціалъ
С^^ХуЭх, взятый по измѣняемости величины х, вычшенЪ
будучи изЪ остальной части онаго уравненія помноженнаго
1. Т. о №дх ~СГ/ -ч
ка его множителя, доставитъ осніатокЬ е Л. оХ ,
коего интегралЪ будетЪ /е^ д Xх Эх , по сему инте-
_ _ /Хдх . /•
г^алЪ онаго уравненія будетЪ }'в Н- /С Л пХ — С.,
—/ХЭх —/ХЭх г /Хдх хл/л „
или у — Се — е уе X оХ, какъ и вЪ ономЪ
§ 19І найдено посредствомъ отдѣленія измѣняемыхъ величинъ
§ 201.
КакЪ оныя уравненія ~Р — О и ч- ^Эх О,
і Р дК- г— 0^ ЭК. .
или с’УіЬу^; — ° и оХ-ьТ.-^, —О, ври существова-
ніи уравненія РЭх-|-ОЭу —О, существуютъ вЪ одно и тоже
время, и при т'омЪ заключаютъ вЪ себѣ и самое уравненіе
'Эх —р Осу О, поелику оно изЪ нихЪ , чрезЪ выключ-еніе
ЭК. _
величины происходить , то оныя два уравненія считать
можно заключающими вЪ себѣ и саысе уравненіе РЭх-ч-ОЭуго,
и отношеніе множителя В кЪ функціи РЭх-рОЭу сего ура-
вненія. По сему естьли бы мы составивъ, чрезЪ произволь-
ное сопряженіе еихЪ двухЪ уравненій, два другія уравненія,
' — 295
могли разЪискпть ихЪ интегралы, , то бы чрезЪ выключеніе
іш> ннхЬ величины В получили самый интегралЪ уравненія
іѴІГ -|- О,Эу =3 О, а при шомЪ имѣли бы и множителя при-
водящею сіе уравненіе вЪ полный дифференціалЪ; или естьли
бы чрезЪ іірои.вольн е сопр>жеше оныхЪ двухЪ уравненій по-
лучить могли іпа< се уравненіе, котораго бы интегралЪ удобно
разЪискашь было можно , то бы получили множителя В при-
водящаго оную функцію РЭх О.Эу вЪ полный дифферен-
ціалъ.
ВЪ семЪ намѣреніи, пэмножимЪ уравненіе Эу ± — О
__о
на д, уравненіе же на р, и сложимЪ; то по-
лучимЪ уравненіе рдх -|— і/Эу -+- к — О . . . (С).
Есшьли бы мы могли для р и д назначить піакія функціи ве-
личинъ х, у и К, разсматриваемыхъ какЪ не зависимыя, чтобЪ
сіе уравненіе было полный дифференціалъ, шобЪ иніг.егрованіе
его открыло выраженіе величины В чрезЪ хну, служащей
искомымъ множишелемЪ предложенному уравненію. ВпрочемЬ
величины р и д моіутЪ быть назначены таковы, что бу іеліЬ
рдХ -|- дду полный дифференціалъ ЭѴ какой либо функціи
V из ьняемыхЬ величинъ х и у и у равненіе (С) обратится
вЪ ЭѴ -+- 1 ) — О . . . (О)а которое дабы суще-
ствовать могло , требуется чтобЪ величина -* была
функція или одной которой либо изЪ оныхЪ веымчинЪ V и В,
или обѣих'Ь вмѣстѣ.
‘ „ § 202. -
іі 9
«
КзкЪ общаго рѣшенія ни на одно изЪ оныхЪ уравненій
(А), (Ву (С), (С;, но сіе время не дано, а по сему и не
извѣстно всобще, какЪ по данному уравненію РЭх-4-О_Эу—п
опредѣлишь приличнаго для него множителя В или шо до-
29 б г-аэ
волъствуются по сіе время обратны аЪ способомъ, а имянно для.
лачнаго уравненія, или собственно для данной дифференціальной
функціи, назначаютъ множителя В извѣстною функціею одной
изЪ измѣняемыхъ величинъ на пр. у, сЪ неопредъленными коеф-
фиціеитами , составляющими функціи другой величины х. и
посредствомъ котораго либо изЪ оныхЪ уравненій (А) или (В)
стараются опредѣлить сіи неопредѣленные коеффиціеншы
или функціи величины X. Естьли вЪ функціи РЭх О.Э}',
для которой множитель ищется, величины Р и содержать
будутЪ вЪ себѣ ягаксжЪ неопредѣленныя функціи величины х,
то по назначеніи показаннымъ образомЪ множителя можно бы-
ваетЪ опредѣлить отношеніе между оными неопредѣленными
функціями уравненія, дабы назначенный множитель сего рода
уравненію могЪ приличествовать.
§ 203.
Еще вЪ разсужденіи множителей оныхЪ вообще замѣтить
должно, что еотъли функція РЭх-}-О.Эу лосредстполі?) ка-
кого либо множителя К обратится еб полный дифферек-
ріалЪ ЭѴ, и разЪиіце.тся интег/. алЪ ея V , то для оной
функціи РЭх + О.Эу найдено бытѣ ліожетЪ лтожесто
другихЪ множителей, кои ее равномѣрно обратятъ в5
полный дифференціалъа имянно каждая функція й<рѴ,
разумѣя подЪ рѴ какую либо функцію величины V, способна
€}гдетЪ кЪ тому, чшооЪ чрезЪ помноженіе на нее оная функція
РЭх 4“ О.Эу обратилась вЪ полный дифферепціалЪ; ибо чрезЪ
сіе помноженіе оная функція обратится вЪ в*ѴрѴ.
Пользуясь симЪ замѣчаніемъ нерѣдко можно бываетЪ разЪ-
искать множителя для предложеннаго уравненія РЭхч-ОЭу—О
разложивЪ функцію РЭх -р- О_Эу на двѣ части рдх -|- дЭ/
и р'Эх +/Э/, разумѣя Р4-/ = Р и д4-—О.,
= 97
и ра°Ъи/'каліь всѣхЪ множителей мо*у щихЪ обратить пгрс.чнь
КакЬ (|;_ункиію рЭх -+- дЭу такЪ и функція р'Эх -4- д'Эу
вЪ полный дифференціала, а по ш<?мЪ разсмойір-Ь«Ь , не сод р-
жит’яли вЪ числѣ ммежишедей принадлежащихъ і.Ъ первой
части который нибудь изЪ множителей принадлежащихъ ко
второй части; и есшьли таковой случай откроется, то сей
множитель, обращая обѣ части функціи порознь в'Ь полный
дифференціалЪ, обратитъ и всю функцію РЭх + 0.Эу
вЪ полный дифференціалЪ.
тдх п ду
Приложивъ сіе замѣчаніе на пр. кЪ уравненію —Ь
р а /Хдх । рду\ , , _ ,,
ПХ у (——|——) 72: О, изслѣ «о ванному нами вЬ § і$8, Но*
тдх . пду 7 т п ...
елику часть -------1—— есть о X у , по сему сія
часть можетЪ быть обращена вЪ полный дифференціалЪ чрезЪ
помноженіе і:а каждую функцію ф(х у ). С лтомЪ н елику
. йя . ду -ч і Хм, * ц.Хдх р,Эу\
еейіі Э ІО&.Х У , по сему часть «X у (— -4- — )
можетЬ быть обращена гЪ полный дифференціалЪ чрезЪ по-
множеніе на каж іую функцію X У ^Ѳ.Х у*. Дабы для обѣ-
ихъ частей вышелЬ одинЪ и га шЪ же множитель, шр бэвагнь-
ся буд іпЪ чтобЪ было ф.ХПуП ~ X $ у ук, д ля удо-
Фт п от оп п X и аХ си,
.X у _ХГ у и ѵ.Х у —X у ,
рт рч гг\- р ай,—«у «
то должно быть X у —X у , а посему '.СГЛ. — р
Х>7—іл.р тц— пр
и ^1 —<7^ —9, откуда найдеішя и сг__^т- х-
и множитель К обращающій оі е \р.чл'еніе вЬ полный лиф-
та (Х.7 -Рр ) 7; (X// — рр)
--------------------------ч ---Ч„ • Есшьли ВО Е0МН.7-
фсренціалЪ будешЬ X V™ *п у ^'п Кп
жеши онаго уравненія на сего множителя К візмется ингпе-
гралЪ Чігпіи уравненія К ( -ф- ХпХ‘ уі) Эх но измінземо-
Чаг.ѵъ III. 38
98
сти величины х, то получится
ып— Хп Х(тд— пр) —пр)
тд—пР СІХ Р-т— Хп у р.т—Хп
р.т—Хп
Хд-р,р
т(Хд—р.р) л(Хд-ѵ.р)
X р,м —Хп у ^тп—Хп
ДифференціалЪ еея величины взятый по измѣняемости
величины у будешЪ равняться остальной части онаго уравне-
нія; а по сему интегралЪ онаго уравненья, по назначеніи произ-
вольной постоянной величины чрезЪ (р-РІ — , будетЪ
тп(Хд—ілр) п(Хд-р.р) Д Х(тд—пр) —пр)
-----X цт-кп у |хт — Хп -Л-тц-пр X Ц’л — Хп у ілтп—Хп -4- О—О
лд- |Ар * 1 О
ИЛИ
т (цр — X д) п (,хр — Хд)
ах у’-рСх —Хп у’”рп—Хп ~ о
какЪ и вЪ ономЪ параграфѣ найдено.
Послѣ сего общаго сужденія о множителяхъ БудемЪ на-
значать видЬ множителей , и подставляя вЪ уравненіяхъ (А)
и (В) или (А') и (В/) для нихЪ вЪ § >99 выведенныхъ, опре-
дѣлять дифференціальныя уравненія, кЪ коимЪ сіи множители
принадлежатъ.
$ 204.
Положивъ В — Ьуу -)- Му* -4- X, разумѣя Е, М и X
функціи величины х , опредѣлишь вЪ уравненіи уЭу* -4- (Ху*
Xх) Эх — Ѳ , зависимость функцій X и Xх оіпЪ оныхЪ
Е М, М чіаьЪ какЪ и сихЪ послѣднихъ между собою , дабы
множитель моіЪ обратить функцію 5'Эу* Н— (Ху* Х^Эх
онаго уравненія вЪ полный дифференціалЪ. Сличеніе сея
функціи сЪ РЭХ ф- О.Эу* доставляетъ Р — Ху* ~4~ X и
О=Г; по «ну Т=ф-@=Х, (^)=^-г^УД
) — 2Ъу -И М; кои величины когда подставлены бу-
«99
дугпЪ вЪ уравненіи (В) онаго § 199, то получится уравненіе
Х^/у-ь М/+Ы) - (Хун-Х')(2 Іу+М)
ИЛИ
- ЬХ)г/+(^ - 2ЬХ> + КХ -МХ' = о.
И какЪ сіе уравненіе дохжно существовать не зависимо ошЪ
отношенія у кЪ х, ибо множитель разЪискивается собственно
для функціи уду -1- ( у -р Xх) Эх вЪ коей величина у раз-
сматривается какЪ не зависящая отЪ величины х , то полу-
чатся четыре слѣдующія уравненія :
о, ?м—ЬХ —о, 2ЬХХ—о, XX — МХХ~ о.
дх дх * дх ’
Первое и<Ъ сихЪ четырехъ уравненій показываетъ, что дол-
жно быть Ь~СоиЙ , и для большей простоты пол іжимЪ
Ь~і. ИзЪ втораго и третьяго получимЪ Удх — ЭМ, и
ХХЭх \ и изЪ сихЪ же х, — , а изЪ четвертаго
X М йЭМ . ГѴІ гд ч эй
X7 — рр , по сему -^р — рр , и дд. — іі ’ а ИЗЪ сего
І,О§. Х~Ьо§аМг и слѣдовательно ХЭг.т^ЭМ
и ХХЭ.Г ^23 аМЭМ. И такЪ для уравненія взятаго нами вида,
множитель предположеннаго вида хйу ч- М долженЪ
быть » и УРавненТе кЪ которому онЪ принад-
лежитъ, должно быть уЭу-|- уоМ + аМЭМ — но какЪ
сіе уравненіе вышло однородное, то оный для него множитель
УУ 4- м7~4Г~<дйм и безЪ сея выклаДки изЪ $ »97 нанЪ извѣ-
стенъ былЪ.
Поелику назначеніе величины Н чрезЪ Ьуу —|— Му -р- Ы
не привело насЪ ни к'Ь чему новому, то назначимъ Н чрезЪ
38 *
5ос
(Г // 4- Му 4- ЬГТ, и тогіа уравненіе (Р/) , чрезЪ по,ста-
новленіе вЪ немЪ Р —1, — Ер*р*4 Му* +-‘4 а слѣ ювзгпель-
"" ©=>, Ф=°. © = +
обра і.и ііся вЬ
Х(Еууч-М/-н-^-т(Ху+Х0(2Ьун-М)ч-7и/(^±“х?*,,Гэ-^с
или
+С7 -(2,«-1 )ЬХ)/у+("^- 2пЛ.Х'-(т-і )ВД0у
ч-ЫХ -тМХ7^ о,
откуда Л '\уча!.іся, какЪ и прежде, четыре уравненія
дь
Эх = ®
С _(2т- і)ЕХ = о
_ стЬХ-' — (т — і) МХ = о
XX — тМХ7 - о.
Первое до тавляеіпЬ Ь~Соп$і. — Естьли взявЪ изЪ че-
V-' —ьх ' і
твертаго уравненія величину Л — —, подспіавимь вЪ
ч п тпд№ X / \ д-х/
иірепіъемЪ уравненіи, то получимЪ -Бі ——ІдѵІЛ^С^.
»іЭК -4-0 — іЧМ2'ѵ _
или -----------эд------)Л- — и, которое когда снесется
со вторымЪ уравненіемъ, гио по ві-'клк, чсніи величины X полу-
чится уравненіе ЭХ — —2_ г X --- МЭМ ^2 О, ко-
торое по помноженіи М2т—1 бѵдетЪ потный дифферен-
--Л і^п-1)
ціалЪ, и чрезЪ интегрованіе досшавиті ХѴГ™
2
ИЛИ Х-аМ"1-1 4- імж ІЪ лѣ сего, найдется
тг^айі , 5оі
3-?7П
й гмэ%.
-ЛСЛЛ'- іт —1 ’ ШЙ '2771 - 1 4 (ч?П- )
-ч . глѵЭМ . I
ТакимЪ образомъ получіпі.ся уразнсте У»У4-.т_- -Ь -т=_--
з —2ТТѴ
(| М Ч- лМ т ) ЭИ ~ С, которое обратится вЪ полный
длфференпігйлЪ чрезЪ (говноженіе на кт при К_2зуу -}- Г у
2
-4-іММ-каМ 4 Пусть будепіЪ — X, то бу-
I Л яг 2НІ 1 я/
деп.Ъ -+-')> « ™~ = Н^-гЗ);
по срму ДЛЯ уравненія уду 4~ |(Х“Н 3)уЭМ 4- |(Х 4~ 1)
(|М 4“ аѴГ )ЭМ О, будетЪ множитель •—разумѣя
к’х +“1
к __уу + _|_ | м М 4- аМхч“(у 4-1М/ 4- аМХч“ *.
§ 20э-
ВозмемЪ уравненіе вида ду 4~ (^УУ 4“ Эт ” О ,
и положивъ для него множителя н, назначим'І В
разумѣя X и Хл, равно какЪ и Е, М и К функціи величины
х Для «го уравненія 6у»етЪ Т =2 (^) — (^) ~ 2\у ,
ф-2^ + и. „ ура,ягя,е ^В)
§499 обратится вЪ
®ХуіЬ/к-і-Як+К) - (Х//+ X') (2 + М)Ѵ^2—-= 0
откуда получатся- уравненія
^4-МХ = о,7
502
О
+ 2ХХ — 2І.Х' =
дх '
— МХ?=о :
дХ *
иіЬ коихЪ когда выключатся величины X и X* то получится
уравненіе 2 —]— І-Э№) — МЭМ ЛЗ О, которое доставитъ
фХЬ — ММ —С; при шомЪ будетЪ Х~ —и Х/“-^,
ѵ Сч-КМ . _ ѵ_ ЭЕ ѵ/ ’ЕМЭМ-(С+ЫМ')ЭЕ
или. поелику М~—, будетЪ А--—, и X _ —_,
„ р ___ 4ЕЕ»-Г-4ЫѴгЗ'-+-М2Ч-С__ ОЕ>Ч-М)2-+-С т
И И _---------------------------__ -—----- . іікг.мЬ Обра-
ти----------------------------------------ТУЗЬ I зЬМЭМ — (С-4-М1УПЭЕ
вомЬ получится уравненіе ——м —----- ьм--------:
—С
4^-4___
хоіпорое будучи помножено на иножителя
обратится вЪ похный дифференціалъ. Пол.ноживЪ дѣйяпви-
піехьно на сего множителя возмемЪ интегралЪ
Для еего различишь должно два случая :
С ~ аа
’ваго случая 2Еу*
4ъду
члена
во первыхЪ когда
II ложивЪ для пер-
2 ЕЭу — ада , и
интегралЪ будетЪ
вд вторыхЪ когда С — -— <іа.
М аи 9 получимЪ
_ гди
онми членЪ обратится вЪ р-^-» коего
—Аге Іач^.Ы^-^ Агс.1а>1^ (—ВозмемЪ дпфіреренціалЪ
сегѳ интеграла по измѣняемости величины х. который будетЬ
<2>ЭЬ ч- ЭМ) _
_р —, и вычшемЬ его изЪ остальнаго члена онаго
уравненія помнмженнаго на онаго множите г я\ то получится
т. —(4Ы77Ч-4ЕМ7Ч-ММЧ-аа)ЭЬ ЭЬ
Л »™»ткѣ----------ьи((.-Ѵ4-му+7.— —
интегралЪ когда приданЪ будетЬ кЪ он>му,
предложеннаго уравненія будетЪ —АГС.ЪПП§.(
или Аге. імп& ~
ьм ’ коего
то инчіегралЪ
Во второмЪ
ЗоЗ
случаѣ при пюмі же предположеніи йЬу-+-Мгг(Ш оный членЪ
4І-ду _ аЭи _______ і / ди Эи \
(зіу-і-му2 — ла обратится вЪ ^ии— ~ І , ,
коего интегралЪ будетЪ - /0&
коего дифференціалЪ взятый по измѣняемости величины х,
ѵ аСзудѣ -4- Э’М) Т
который будетЪ "яа”л когда вычтется изЪ
остальной части онаго уравненія помноженнаго на своего мно-
жителя, шо получится вЬ остаткѣ
*— (41X59' -4- 4ЪМу -|- ММ - аа)ЭХ __ ЭЬ
ЬМ((2І9' -4- М)2 — аа) ' ЬМ *
а по сему во второмъ случаѣ интегралЪ уравненія будетЪ
(^_-Э_/--=С0ИХ ИЛИ
— а[Ц — Сопзі.
•> ьм
Естьли Х“і, то будетЪ ——1, и М — —
ЛДД- ѵ< ЭЬ’-’-СЭх2- аЬЭЭЪ
по сему положивъ Эх постояннымъ, О1Л_—и д _ ------- Еэх2”
такимЪ образомЪ получится множество уравненій Эу 4~ уу^х
ч-ХЭх — о, или -ЬууЭз? ч----------------Еы7- ,
которыя посредствомъ множителя ------------могутЪ пре-
(2Г^“Эх)2н“^
врагцены быть вЪ полный дифференціалЪ. Пусть на пр. будетЪ
Ь ~ *ьат-|-то будеиіЪ Х^^іС^ах-Ьб) —р>(Х—2)аа
(а.Х + а, изЪ коихЪ функцій замѣчательнѣйшая выхо-
дишЪ при Л~2, ибо тогда Х? обращается ьЪ |С(ах-4-|?) 4.
Есиіьли назначится «— 1, О» то будетЪ X ~^Сх 4Э
и уравненіе Э/ -4- уу ЭX -ф- ХхЭх — О обратится вЪ
Г'У Ч- Уудх | Сх 4Эх~О , о кошоромЪ говорено было
5 О 4 =====5
вЪ § 192 со стороны отдѣленія измѣняемыхъ в^личинЪ; и
для коего множитель, обращающій его вЪ полный дифф рен-
ціалЪ, будетЪ 4ах>>^т^Гс — и интегралЪ
его вЪ случаѣ | С — аа будешЪ Агс.ІШЦг.(^~)— г: СоіКІ.
вЪ случаѣ же |С~ — аа будешЪ ІО& (2Ху ~х ~€ оні1:-
5 іоб.
ВознемЬ еще уравненіе Э/ + (Хуу Ч-Х'уЧ-Х^Эх^О,
и попробуечЪ для него множителя д, назначитъ Кг:уп(Ьу-І-1 )”*
ПодсіпавивЬ для сего вЪ уравненіи (В7) вмѣсто т и % величи-
ны у и Ьу ч-і получиѵЪ
у(Ьуч-1) (2Ху+Х>"’^-(Х)Т+Х'уч-Х'/) ((т+п)1.уч п)
откуда пройзой упіЪ уравненія
Ш П — 2 “ О,
(п_2)Х-(и+т -^ЕХ'зіо,
(п — і )Х' 4- (рі 4- л) ЬХХ/ — о
пХ/х = о.
Послѣднее уравненіе показываетъ, что когда Х/Х не — о,
должно быть взято п~ , а по сему т~2. Послѣ чего по-
лѵчатся два уравненія
ч- 2Х — ІА/ — о
оЬУ77 — Xх = о
Первое уравненіе, по приведеніи его вЪ видѣ Э1 —?Д-Х Эѣ
-4-ХЭх~О5 ііо § 20 о доставитъ І-С а' " а^* X Э-Г^С,
Зоо
илп Ь—Се —-е уе лоХ, а потомъ найдется
Х^”-^ такимЪ образомЪ по дсннымЪ величинамъ X и X
опредѣлядіея, величина Xх7 для уравненія, и В“личина Ь для
соотвѣтственнаго ему множителя. Когдаже Хл/"о, тогда
для уАовлегаввренія уравненію (я—і)Х'“о надлежитъ поло-
жишь п “ і , по чему будетЪ и т ~ і , и тогда уравненіе
"І-г-Х — ГХ'=о доставишь Іе"7?'*’гг/К7*'* ХЭх,
вли I. = ХЭг
ПопробуеиЪдлятогожЪуравненія Эу-і-(Хуу4-Х/у4-Х/'^(ЭХ—О
множителя , положивъ В — (Гу 1)п ГМу -4" 1
ПодставивЪ вЬ уравненіи (Вх) вмѣсто г и величины *у4~в
м Му 4~і получимЪ
(Шуу н- (Ь + М) у -ь 1) (зХу + X') + п (Му + і) й
-у т(Ьу-е-1 )|”—(Хуун-Х'у н-Х") ((пн- т) ЕМу-ь нЬч-шМ)—о
откуда произойдутъ слѣдующія четыре уравненія:
п + т — 2 о ,
.мэин-^ам _ _ 2 )Ь+. („, _2 )Н) X - (п >п -1 )ГМХ?=с.
+2х—((>і -1 )Ь+(т- 1)М) Х/-(п+т)ЕМХ//=о,
Х? — (аіГ + тМ) X" = о;
кои посредство; іЪ перваго сократятся вЪ
2+ /т — 2)М)X — ЕМХ?5= о,
п.аЪ+нійм + (Га —М)Х' — 2ЕМХ/Х^О, ‘
X' — (пЬ-НпМ)Х'/;=о.
Частъ III. ' 5^
Зоб
ИзключимЪ изЪ сихЪ величину Xх, шо получатся урав.че-
_ 2) ь+2)И) X - (пЬ •+ тМ)ІМХ"=оэ
•ДіІ^+йХ-(л(п-і)Ы-2п(пв)ЬМ+(л-і)(п-в)М1'і)Х'/=о.
ИзключимЪ теперь величину X шо получимЪ
__п) (ЬдЬ — мэь — г.ам Ч- мак. ]
п (п — і) (н — 2) (I?— зьш-ь ЗЫѴ1М — №)Х" = о .
(М — Ь) Э(М — Е) — (п — I) (М — Е)3Х/хЭх—о.
По сему Хл/Эх — — ь), шакЪ что есшьли на*
значатся " Ц > то будетЪ X Эх =— ЭІІ. Послѣ
сего найдется Х^Эх — (нЕ-{- И1М) Х7/Эх —(йЬ Х^дх
— (сЕ + ™)дІЕ Наконецъ
-у» , -чі (»ЬЫШ — :(п — 5)ІДІ-4-п(п—а)) ЭИ
Когда 2/ —о, тогда должно положить пЬ -|- йвМ “ о, а
по сему М хх —Послѣ сего найдется Хх/ ” и
у_ ДМЭі.(п—і)ЬйМ -- жЭЬ _ (п — ->)д1у
—=)ь,—пМ) )х’ Ш- е- л~“!(п-1)3х и л -~2(П-і)ших-
Есшьли при семЪ будешЪ и шо будетЪ дЕ~ — -П~ Эх
«: Е п: х
=Е’х: а по сему Х' Эх —
* 1 Э(п— і) (нх — 2<Ц— 1)х)2
Часто д«же яіакія дифференціальныя уравненія в}? коихЪ
измѣняемыя величины отдѣлены и коихЪ интегралЪ обыкно-
веннымъ образомЪ разі исканный изображался бы ЧрезЪ трансцен-
дентное отношеніе измѣняемыхъ ьеличинЪл посредствомъ мно-
жяіа'еля могушЪ обращены быть вЪ полный дифференціалЪ,
== 5о>
I
коего интегралЪ изобразится чрезЪ функцію алгебраическую,
между тѣмЪ какЪ иногда никакихЪ слѣдовЬ не видно, КакимЪ
бы образомЪ трансцендентную функцію , которая бы 5езЪ сего
чрезЪ иншегрованіе получилась, вЪ алгебраическую обратишь
было можно. Для объясненія сего разбергмЪ насколько часга-
мыхЪ случаевъ.
§ 208.
Положивъ что X означаетъ цѣлую и раціональную функ-
цію величины х, и У такую же функцію величины у, разЪи-
щемЪ, какія изЪ уравненій 4“ / ~ О , посредствомъ мно-
XV
жителя -<ауууі могутЪ быть обращены вЪ полный диф-
ференціалЪ алгебраической функціи.
„ .. х . УЛс Ч- ХЭу
По силѣ сего предложенія функція Сх должна
быть полный дифференціалЪ. ИнтегралЪ члена ёдГч^уэУ*
взятый по измѣняемости величины х, будетЪ ^в_, (аф.ез:а
интегралЪ же члена уу п> взятый по измѣняемости
величины у, будетЪ — I)(а2р'е~х+у‘ ПеРвыи раз Дться
будетЪ о.пЪ интеграла оной функцій одн"Ю функціею величи-
ны у, а второй функціею величины х, вой есшьли изобразимъ
чрезЪ фу и Сх, шо должно быть +Ф У
— і-4-Ь, или ех — уУ — (п— г)&у
(Сх — ф у) (и -4- < х у у)"'— КакЪ вторая часть должна
быть одинакова сЪ первою, по сему оная не должна содержать
вЪ себѣ ни одного члена, вЬ коемЬ бы величины х и у были
между собою перемножены.
Екели положимъ п~2, тогда функціи 0х и фу должны
быть первой степени, вида Ѳ х — <5*—4—и х, ф> у -Н $ р, и
по положеніи у г ~ & я вторая часть уравненія обратится вЪ
Су(а(<1—і)\х— ^П^У^-^у-+-^іХХ ~угуу)
39 *
Зо8
или иазвавЪ а—буквою Л вЪ
Еу аХ +• (аг~Р&Х)х—(а^ — уХ)у-р- ЕеХХ— У У У У ,
или вЪ а&уЛ4-$Г{сі8 + БХ)ух 4- Ѣугхх') - у((а.у—
ух)бу4-ууеуу);
•пікуда, положивъ /л— ѵ — і, получиагЪ
X — }і.ау'К‘У-у(а.Е-]-%'к)х 4~ у^ехх,
V—ѵа^Х + ѵ(аЕ— ?Х)у 4’ УУеУУ-
Естьли сіи послѣднія функціи изобразимъ чрезЪ
X — А 4~ В X' 4~ С X X
т = А' 4- В'у 4- С'уу,
то вЪ нихЪ коеффиціенты будутЪ имѣть такое оіпдоіпенл^
что будетЪ ВВ — 4АС —В/В/—4 А С7; и какЪ скоро' оныя
функціи Хи V сіе условіе имѣть будутЪ,, такЪ скоро инте-
гралЪ уравненія будетЪ он-4»—С
или %-УѵУ — е(а+-ех+ГУ)7~О * иЛ ^“’фьіхЪ каждой обра-
щается вЪ (5 — рА)ау у-у ё^х4-у уЗу-у уугху — О.
или (Т — р.Х) а.~У%%Х4~ *у 4“ У Е Ху О з для которьго
, , АС — А'С' „ в —В' С'(В—В')
‘ будетЪ ау ———9 ₽ у = — х-> у у и
С/ _ А С __ А^С'
, притомъ р— ѵ —аТ-а^с^ коь
величины естьли будутЪ подставлены вЪ ономЪ интегралѣ, тс
интегралЪ уравненія дЗру® усхЪ'+ л'+^’+с^0 будетЪ
л (“ег 7—А+ (1 —»)(-.-->+х( -Чс )/+С х/=а
|(АС-А’С0-АС+(’— і)с'вУж+‘—УУ+СС'ху^
^(В-В')+СхХ(УУУ) +-су)-й(вУ)Цв/в-'-Вк А>
Зод
гдѣ 7 будетЪ заступать мѣсто произвольной і эстолнной вели-
чины.
ИзЪ сего рѣшетя выключается шогдЪ случай когда В—В7,
при кошоромЬ и л ~ е. Дабы вывесші рѣшеніе на сей случай
возмемЪ снова уравненіе
€Х-уѴ=₽у(а(5-^4-(ги+е(^)х-(агі-у(^))/+еехх-учГУХ
и назначивъ
'^К~у(а54-(аг + &(^““ $))% 4“ |3 ₽ X х)
У — 6 (а 4" (а V — Т(5 — %))у 4- У "И У у)
Положимъ Л^іо, отЪ чего полуиится 3к по пре*
чинѣ той. что & у — у і, будешЪ
X — ау<? 4“«Ѵ^Х--|-|?уехх,
Т ~а^З^ауеу-^-у у еуу,.
кои естьли изобразится чрезЪ
X " А -ф- В г 4 С г х
У = А'+ву + СУу,
то будетЪ В~ В7 притомъ ёА^гуА7 уС~оС'; а по’ се-
му А; А7~С7:.С или АС~А7С7- ВЪ секЪ случаѣ мнте-
х іх . ау _____________
гралЪ уравненія д+Ь+>х “+* а>^в> + с^^ “ °* га* е
'у($4~'сх)(а 4-4-уу) — X —О будешЪ €оХ4-у^У"
~+~уехутг:О, или * ( С 4~ }’) 4~ X у — О, то есть
7 (д X 4- у) 4- ху = о или ‘ (А'х 4-А/)4-Ах/=гс
гдѣ 7 будетЪ заступать мѣсто произвольной постоянной:
величины,
• X Т
ЧтожЪ принадлежитъ до множителя |44р обра-
Ах і а> —
здаюіцаго оное уравненіе А-~я--д—4- к - — С
ьЪ крлнѣій дифференціалЪ л шо. для пілучсщз его сшсишЪ
Зіо =~-
шолько подставить вЪ ономЪ ею изображеніи вмѣсто функціи
а Ч-&Х4- у у выраженіе ея взятое изЪ уравненія
(й + ^х + 7у) — X —о, гп. е. «4- бх + уу =: 777^5—-х,
. УУ(8 + ех)гТ ( +-ех)=У
и .будетЪ сеи множитель--------х—‘— или просто х ,
разумѣя подЪ X и V оныя ихЪ выраженія.
Естьли положимъ п “ 3 , тс должно будетЪ назначить
функціи 0х и <ру функціями второй степени, 0х=(р4-гх+хх
в (р у ~ у -4- г у -+- $ у у, и потомЪ опредѣлить величины а,
Е, у. (У, г и проч. гпакЪ чтобЪ вЪ произведеніи (0 х — р у)
(« 4-Сх 4-у у)’коеффиціенты членовЪ ху, хху, х3у, хуу,
хху у, ху* уничтожались; но выкладка откроетъ, что для
сего требоваться будетЪ, чтобЪ было о и 0~о; а по
сему положеніе п~з мѣсто имѣть не можетЪ; шѣмЪ менѣе
мѣсто имѣетЪ п > 3.
§ 209.
_ _ _ „ А х Ау___
.ВозмемЪ вЪ разсмотрѣніе еще уравненіе вида -^4-^--_О
вЪ которомЪ X есть цѣлая и раціональная функція величины
х, и V таковая же функція величины у; и положимъ, чшо
сіе уравненіе мэжетЪ приведено быть ьЬ полный дифферен-
ціалЪ посредствомъ множителя РУХч-С^УУ, разумѣя Р и
раціональныя функціи величинъ х и у. Ііо помноженіи на
сего множителя оиэе уравненіе обратится вЪ Рсіх 4-(^сіу 4*
X -ф- Р Л у У ~ — О . . . (Е). Простѣйшій случай
сего уравненія (Е) будетЪ , когда величины Р и 2 будутЪ
взяты таковы, чтобЪ обѣ части Р(ІХ-І-ОсІу и О.СІХу
Р (I у У были порознь полные дифференціалы. ВЪ семЪ
случаѣ д ѵя первой чісти требоваться будетЪ чтобЪ было
— (ах)* Разсмотрѣнія же второй части откроется,
что интегралЪ ея. не можетЪ имѣть другаго вида кромѣ
а НУ ХУ; коего дифференціалЪ сраненЪ будучи сЪ оною
Зп
второю частію доставитъ Р —Е^ + 2Ѵ(^), О_ГЗ.К^*ч-
йХ^. Поеликуже сіи величины Р и (Э должны быть таковы,
<& Р\_/аох 0\ ^аРх
чшобЪ было или (йя> — (4-)°.- ІП0 отЪ сего
получчіпеч уравненіе
вф-^3(Й©-^^+!і(Х(^)-Т(^)=0.„1Ю(
которое показываетъ зависимость между функціями X и V и
функціею К, дабы по назначеніи интеграла ( (Р (і х -+- (Э сі у)
буквою V, оное уравненіе могло имѣть интегралЪ вида
Ѵ-ьгКуХѴ.
И го первыхЪ уравненіе (Г) показываетъ что при функ-
ціяхъ X и V цѣлыхЪ напр. пй степени величина В. не ножетЪ
быть функція величинъ х и у цѣлая напр. тй степени, ибо
- /Л Ва Пх .. . х “ /гі Й Кх
были бы (д-) и функціи (ьг—г)и степени, и
функціи (т— 2)й степени, а посему вЪ уравненіи (Г)
произведенія наибольшаго числа измѣреній изЪ X и у бѣгли бы
вЪ первомЬ членѣ утхп~~а и хтуп—*, во вшпромЪ хк—1 ут~*
л х171^1 у,1—вЪ третьемъ же хп уп-я и хт-2 уп , кои по при-
чинѣ ихб разнообразія, выключая когда т~п, взаимно,уни-
чтожиться не могутЪ а по тому и сное уравненіе (Р) со-
стояться не можешЪ. * Ио случай т — и мѣста имѣть не
ноженіЪ; что шошчасЪ усмотрѣть можно обративъ вниманіе
_ уА Кд уА К.\
на то, что вЪ величинахъ -*) и число разныхЪ члеьевЪ
будетЪ количествомъ тп -+- і менѣе, нежели в‘Ь К, и вЪ вели--
уА с2Кх <І А В.\ і
чину и \а>а/ число разиыхЪ членовЪ будгшЪ количе-
ствомъ т менѣе, нежели вЪ Ѵ( и (д / но ітапрошииЪ вЪ
ат
и будетЪ однимЪ только членомЪ менѣе нежели ьЪ X и
VI Т аах аЙУ
х, и вЪ величинахъ ^--2- и однимЪ членомЪ менѣе нежели
ах ау.
во величинахъ Лх и Луі посему нѣкоторыя изЪ величинѣ
перваго члена онаго уравненія (I не будутЪ схо с пьоватЬ
сЪ величинами доставляемыми втсрымЪ и трешьнмЬ членами*
Зіі
онаго уравненія; отЪ чего оное уравненіе, по причинѣ невоз-
можности взаимнаго уничтоженія членовЪ его, состояться не
можетЪ. Д^ сею положимъ К — то будетЪ = ^й-г"
,Д?ѵ , т _____т(т4-і) ?\2_ т /л<і^
Сіх'? Кну- §т+1\Лу/!, \<ІХЛ'- тч-2 \&х) ?т-гі \л
по подсігановленш коихо
величинъ вЪ уравненіи (?), и по помноженіи обѣихЬ частей
на (т а, оно обратится вЪ
? е С-& - ‘А) -3 ”• ? (й (2) - (й) (»;))
ч- 2 »((»•+.і)(Х$)• - У -X 4- V ф)=о,
которое уравие-иіе при функціи хи у первой степени, когда
X и V функціи четвертой степени, состояться можетЪ. Для
того положимъ " — а ё X у у , X А —Д В X
6 С х24- Д В х3-ф- Е х% V — А?+ 4 В У + б Су у+
4 О'# + Е<Г, ш» «удетЪ (2) = В , ($ = Т ,
равно какЪ и (др) кахдое — О., д - — 4 ( в “Ь 3 С X +
ЗЬхх-т-Ех’), = 12 (С’ +2 Ві +
= 4 (БЧ- з С'у +~ЗГ>'уу + ЕУ), = 12 (ГУ4-
2 Е У-Н^ууЗ отЪ чего оное уравненіе (?) обратится вЪ
«(^-^)-3»ч(4і-Тд>2'’і(м*1)(^Х-'УѴѴ)=о.
Уравненіе нулю коеффиціентовЪ степеней х4 равно какЪ
и'у* досшаеляешЪ т1—5 т -н 6 " о , а посему или т~3
или т^.і2. Уравненіе нулю коеффиціентовЪ степеней хг рав-
но какЪ и у1 доставляетъ т ~ 2; а по сему для удовлетво-
ренія какЪ тѣмЪ такЪ и другимЪ степенямъ надлежитъ наз-
начить т ~ 2. Гіослѣ сего коеффиціенты произведеній х3у
и х у1 сама по себѣ уничтожатся.
ПотомЪ уравненіе нулю коеффиціентовЪ лоличествЪ хху г\
хх, у/, ху, х, у и постояннаго члена достаю
вмшЬ слѣдующія уравненія :
ЗіЭ
I. у у Е — ЕЕ Ех х: О, V. ууС7— 2ауО7-ЕааЕ?тс,
П. ЕСуО+еР')—ауЕ—о,
III. у^ГІ+уО)-аЕЕ/-р,
IV. ЕйС—2аЕВЧ-ллЕ= о,
VI. Еу(С-С0-<уВ-€[Г)=о,
VII. Е&В — 2аЕС — ааВ—О,
ѴШ. ууВ7—2ауС/^-аа1)'~0>
IX. ЕЕА—2 аЕВч-ааС—(уу А7— 2 ау В/-ьааС'}-^о;
вЪ коихЪ (кромѣ величины «, к<пюрая по свойству сихЪ урав-
неній остается произвольною, ибо по назначеніи Е— ксеі
у~ппа, сія величина ее выходитЪ вонЪ) заключаться бу-
дешЪ двенадцать величинъ. Назначимъ для перваго уравненія
ууЕ^ЕЕЬІ — потомЪ изЪ втораго и третьяго ура-
вненій, кои при существованіи уравненія перваго составляютъ
одно и тоже уравненіе, составимъ для единообразія два урав-
ненія; Р ~ р Е , Е ~)Е7 для чего требоваться будетЪ,
чтобЪ было С/лЧ— у ѵ ~ се. 'Для шестаго уравненія положимъ
•у (СС — а О) ^ЁДуІ/—й .П') = Еу^, наконецъ для девятаго
б Е А. — 2 се о В Ч-се'ее С ~ у у — 2 се у В7 Ч- к а С7 ~ се се
тогда по назначеніи Е — ка. уТППсе, для опредѣленія коеф-
фииіентовЪ А, В, С, С, Е дЪ функціяхъ X и У получатся
уравненія. Для функціи X для функціи У
и Е ~ К 5 ! -г ЪЕ7—пЗ
В = Е и О7^.рЕ
кС~Т) — к^ п С — В"— п (
ккС — ъкЪ-і с II и Т П П С/ 2 И П7-|- -Е^ о
ккВ — 2ЛС4-Е)з.-о п п В7— 2 п С/ч- ВЛг? о
1 к А — 2 к 3 Ч -Сдат, П п А.7 2 и В - С'-.- V
ИзЪ сихЪ шесш і уравненій для каждой изЪ функцій X и
У первыя три и послідне”, по причинѣ произвольности вели-
чинъ А ц, и или <1, ѵ, и осшавляюіпб содержащихся вЬ
нихЪ коеффиціентовЪ оныхЪ функцій неопредѣленными, но
Частъ 1П. 4°
ЗіД =
четверное и пятс ? доставляютъ, длй х, громѣ опредѣленія
А~~ І^сс—» отношеніе между коеффиціеншами (СО—ВЕ)2
=4(СС — ВО) (БО —СЕ), и для у кромѣ опредѣленія
— 'в'р')* 0ІПН0ШСІІІе между коеффиціеншами (С/О/—В Е7)2
~ 4(0X7 — 1Г1У) (ОХУ —' С^Е7).
И тако , какЪ скоро оное отношеніе между коеффпціен-
тами каждой функціи X и у порознь, и содержащееся вЪ
нредЪидѵщихЪ девяти уравненіяхъ отношеніе коеффиціенпіовЪ
функціи х кЪ косффиціенша аЪ функціи у, существовать бу-
„ дх ду ___ л
дегсЪ, такъ скоро оное уравненіе ух ”1“ ук — при функ-
ціяхъ х и у четвертей степени , имѣть будетЪ интегралЪ
Алгебраической. Для опредѣленія же его' получимЪ К — ~
— ^+ёГГі55»> — /< ’ п° гаовЪ '•‘""тм
+ , аЭ7=(К^ +
вХ(®))Э7=(/^-^)Э7 , „ иятегралЪ V =/(РЭх4- О?/)
будетЪ / РЭх—[- — 5.Ооу -{ фх, гдѣ / означаетъ инше-
троваиіе по измѣняемости величины х и 5 по измѣняемости
величины у. ТаЛімЪ образомЪ получится Ѵ“ ~
V — 7^ — ^дх 9 откуда найдется
бѴе*(фх - еу) = - Е(№Х - ѴѴТ).
Но вторая часть сего уравненія , по силѣ уравненія (I ) ,
, Т /ЭЭХ дЭТч . л
і равняется величинъ ъ&Удх* —Эу/* По семУ — ѵ —•
і ,ддХ дсХ\ ____ддХ л,„_______ ддт
«гѴэ^'—а слѣдозашельно фх —6е>^ и 0у__—у
но сему будетЪ V гз (^5—
=.-= Зі5
+ 12Й^ ); и ингисгр-ілЪ <-О,
или V —I— —— О , или 1 ^а-4-2 У'ХѴ — О , уразненіе
(Е) СудеічЪ
I/- 6< Ч- 12№Х + * 2?Ѵ/ХѴ ±3 О ,
ИЛИ
€^’~б^эу+ ісуѵѴЧ- іэеу/ХѴ — о,
гдѣ величина « остается привольною постоянною вели-
чиною,
Мнсжптельже Р|/Х-|- (^ѴУ, приводящій оную функцію
Эх_І_Э>- - X. т. г ъ
у т~ уу во полный дифференціалѣ, будетЬ
? (*- + ? (ѵѴх + гх/У)
или
р - 4г)7 /X + (& - 4§Х) А).
Естьли вЪ оныхЪ функціяхъ X и У будутЪ Б~В\
С ~ С/, Г? ~ I) , Е~ЕХ, шо для удовлетворенія сему усло-
вію требоваться бу іешЪ, чггобЪ было а по с$#у у,
по гпомЪ р, — ѵ, л по сему изо уравненія уи — ОС ио-
_________________ ' *_ а ____ і С
лучится 2о/А — ос или — -е — Но какЪ »
__ со — ВЕ
и 2Л сс » изо ошЬ сего получится отношеніе
В(С'П — ВЕ) — Е(СС — ВБ) или ПБ — ЕС, которое
условіе ког іа снесется сЪ онымЪ отношеніемъ (СБ — ВЕ)*
4(СС — ВБ) (ББ — СЕ), шо окажется , чшс должно
быть СБ — ВЕ — б), а по сему СБ — ВЕ; а при суще-
ствованіи ББ ~ ЕС и СБ — ВЕ будешЪ и СС БВ.
1’ре ісиіаВлгн.іое ^на- и рѣшеніе какЪ еЪ онс«Ъ общемЪ
шакЪ и вЪ семо часшнОмЬ, слѵчаяхЪ мѣста имѣть не можешЬ,
4о *
--—-
когда вЪ функціяхъ X и V велич іны В- и С равны нулю, ибо
оное общее условіе (СО—-ВЕ^2_^4(СС— ВО/ (00 —СЕ)
показываетъ, что дабы сіе рѣшеніе при В~о и Вігго могло
имѣть мѣсто, для сего требуется, чтобЪ было 4 — О з
а по сему или С~о или Е~о но когда С~о и С/“о,
нюгда к и п“оо> а когда Е~о, тогда к и п~о.
<_ .2
§ 2)0.
*
Разсмотримъ еще, каковы должны быть функціи X и У,
с .. дх . ду __
дабы оное уравненіе ух г-уу—О, по помноженіи на множи-
теля вида Р-4-ОУХѴ, т. е уравненіе ^+|'р + 0.3і'/
-г- ОДуУ — О, было полный дифференціалЪ алгебраической
функціи. И здѣсь не трактуя сего уравненія вообще, раз-
смотримъ только тотЪ случай, коіда будутЪ части
-4- О.Эу)/Х и —Одх]/Ѵ , порознь полные диффе-
ренціалы. Для сего, основываясь на вид’1 сихЪ частей, назна-
чимъ интегралѣ гіе,«в >й части чрезЪ 2В.|/Х, и віп рой чрезЪ
з8УѴ, то срагнивЪ дифференціалы сихп интеіраловЪ сЪ оны-
ми частями дифференціальнаго уравненія получимЪ изЬ пер-
ваго Р — 2 X (|^) 4- К , О. — 2 (|^) ; изЪ второго же
р = 2Тф + 8^ а^2(й).
И во первыхЪ сравненіе изображеній величины (Э, откры-
ваетъ, что для возможности, нашего предположенія должно
быть (|~) — (1$)» а по сему, по § 112, функція Юх +- 8Эу
должна быть полный дифференціалЪ какой либо функціи Т
измѣняемыхъ величинъ х и у такЪ, что К ~ (^) , 8 — (|^).
ЕэтовЪ сравненіе изображеній величина Р показываетъ, чіпо
5 17
лолхяо ^\'С)-т(^)+Х-^...(б);
которому уравненію иначе уд влешворнпіь не можно , какЪ
назначивъ для Т какую либо функцію ф ху произведенія ве-
личинъ х и у; и тогда, положивъ ху~г, оудсшЪ ЭТххдг^г,
. 00 «му © = © ф'х -уф\ ф)~ ф $'2 = X ф%
такимЪ же образомЪ получится 2,
чрезЪ что оное уравненіе (С) обратится ьЪ 2 ^уірС—ХхѴ)ф//2
*4~ (У Іх — Э?)'Ф й — О, при чемЪ будетЪ К 2^ уф^ и
8 XX хф'Ж, такЪ что Вх XX 8у.
Назначимъ ІИ0 бУлетЪ Ф"2-^
и он'е уравненіе (С) обратится вЪ
2(ууХн-ххУ)(^-|-2уху)—(у|^—х^)(а+&ху-4-ух2у2) = О,
для удовлетворенія коему требуются ф^ нкціи Хи V четвер-
той степени; по сему положимъ Х~Ах4Ч-Вх?Н- Сх2-+-І)Гч-Е
и У = АУ-ЬВ7»+С У2 + Оу -}-Е/, то чрезЪ уравне-
ніе нулю косфф піеншовЪ рдинакихЪ проведеній величинЪ
X и у получимЪ В~о, В ~о, о~о, С —с7, П~о, I)7 — о,
Е —— —А/\ или, назначивъ — буквою /*,
Е XXX р.А'', Ех — |лА. 'ТакимЪ образомЪ получится Х — Ах*'
Ч-Схх^рА7, V-А'у’-ЬСуу+р.А, К — у(ях^_
__ х дх , ду __ _
— и интегралЪ уравненія ух 4“ уі — °* нл“
Эх д]у _ у'Ѵ'Х.- .
Ѵ(АІ*+Сх^ТмАЭ4Ѵ(а54 + С^2 -у /лА)—бУДег"Ь — -ЪОП&С.,
или у/Х -Ь х/У ^2 5(ххуу — |д). Естьли С — С/ =: О*
Зі8 в==
А —А' и р.±1, то будешЪ уравненіе
интегралЪ
у/(і 4- х4) 4- т/(і 4-у4) — й(і 4- ягуу) — о.
Для опредѣленія же множителя Р-4-(^/ХУ приводящаго оное
уравненіе ^х4"р^= О вЪ полный дифференціалЪ, получимЪ
р ___ 4хуЗХ >ЭХ 0 ____ __ г(ххуу Ч~ Ц) .
У (хх» — ц)2 ' у(хх» — йэ5х * Т(ххуу — р)2 *
по сену оный множитель будешЬ
4ху3Хч-у(ххгу — р) - з(хтуу -г- }л)]/ХѴ
” (.ХХ» ------------------ •.«*/- ’
Естьли назначится ф X 7ГГ р п;0 для ѴЛ°"
влети ренія уравненію (С) надлежитъ взять функцію X и V
шестой степени; но совершеніе выкладки ошкроешЪ, что
сіе назначеніе мѣста имѣть не можетЪ.
Щ. СбЗ интегроеаніи дифференціальныхъ уравненій >
вб коихё дифференціалы излііняе лыхЪ велишнЪ возвы~
шены еб стелени или лереліножены 'между собою
§ гп-
ВообразимЪ дифференціальное уравненіе двухЪ измѣняе-
мыхъ величинъ х и у, вЪ кошорсмЪ вЪ каждомЪ членѣ дгф-
ферепц.алы Эх и Эу составляютъ П измѣреній. На-іно*‘ичЪ
для сего уравненія или Эу чрезЪ рЭ.ѵ , или Эх чре Ъ рЭу шо
сіе уравненіе приметЪ - видЪ I “ О, или РЭу” — О , и
по раздѣленіи вЪ первомЪ случаѣ на Эхп, а во вт іромЪ на
Эуп обратится вЪ уравненіе Р~о, гдѣ Р составляешь функ-
цію величинъ р, х и у. вЪ коемЪ высшая степень величины у
будешЪ пр. При семѣ могушЪ встрѣтишься три случая- или
уравненіе не будешЪ содержать вЬ себѣ величинъ х й у;
или содержать будетЪ одну только которую нибудь ичЪ
нихЪ; или содержать будетЪ обѣ сіи величины; изЪ коихЪ
каждый случай разсмотримъ порознь.
$ 2 12.
Естьли вЪ уравненіи Рт:о величины х и у не входятЪ,
то по уничтоженіи ирраціональностей, естьли какія будутЪ,
ь по разіисканіи корней р сего уравненія получится столько
уравненій ОХЛ, рх%, рху и проч. какой степени вЪ разсужденіи
р будешЬ оное уравненіе Р—о,сіикорнируравненіяР— одосггавятЪ
столько же дифференціальныхъ уравненій Эу~аЭх, Эу~б X,
Эу — уЭх, и прс|ч.; ксихЪ интегралы будутЪ у_ ЛХ ~г П»
у XX %Х Ь, у ~ ух -}- С, изЪ коихЪ каждый будетЪ инте-
гралЪ предложеннаго уравненія.
Естьли вЪ числѣ корней уравненія Р~о будутЪ нѣко-
торые мнимые, то какЪ извѣстно, когда одинЪ корень будетЪ
вида рхр.-+-Ѵ\/—1 тогда другой будетЪ вида Р—р.—
кои доставятъ интегралы у — (р. Ѵ"У — 1) X § и
у — (р. — ѵѴ 1)х -Ь Ь, или (у — у.х)—ѴХ]/ 1— §
и (у — р.х) — 1 ~ Л, кои когда перемніжатся ме-
жду собою, шо получится уравненіе /у—рХ^гѴѴХХ XX
или уу — 2Ц.ху -р (|Х|Л рѵ)хх _ которое будетЪ
такежь интегралЪ предложеннаго уравненія; и таковаго жЪ ви-
да интегралЪ получится изЪ каждой пары мнимихЪ корней
уравненія Р —о.
Пусть на пр. будетЪ Эу2 XX Эх |/(Эх2 -}- Эу2) , то по-
ложивъ д} ~рдх, и раздѣлиьЪ на Эх2 получимЪ ррх^^і-Ѵ-рр'),
или р* — рѵ Н~ 1 * откуда найдется р р ГГ м
р ГГ ~~Р ~2~)' Н зовемЪ )/( ~Т~Ѵ) буквою сс, и V(———)
назначимъ чрезЪ &}/ — 1 , шо будетЪ Эу ГГ ~4~ аЭх , и
угч^ах + у; гпакожЪ Эугнн^Эх/—I и у14- 5,
то есть уггах-)-у, угг— ах + у7, у-|~$х/—1 — 5,
-у— ёг)/— 1 ~ я а по сему изЪ послѣднихъ двухЪ
уу + ®»хх *е'
§ 2’3.
Естьли уравненіе Р —о будетЪ содержать >Ъ себѣ ко-
торую нибудь изЪ измѣняемыхъ величинъ, на пр. х, то изЪ
сего уравненія можетЪ опредѣлиться или р чрезЪ х . или х
чрезЪ р, что будетЪ сдѣлать легче. Естьли величина р
опредѣлится чрезЪ х, и будетЪ р—X; то, когда положено
Эу гг рЭх , будешЪ Эу ГГ ХЭх , и угз^ХЭх' когда же
положено Эх ГГ рду , будешЪ Эу ГГ гг , и у ГГ [Ц.
Есшьли величина х опредѣлится чрезЪ р, и будешЪ Х—Ѵ'',
то будетЪ Эх гг ЭРг , и такЪ естьли положено Эу ГГ рЭх ,
то будешЬ Эу — рЭР7, и у гг [рЪРг естьли же положено
ЭхггрЭу, шо будешЪ Э)^гг р — у, и угг^у. ТакимЪ
образомЪ, когда величина р изЬ снесенія уравненій х— и
____ гЭР'
У — ] у выключена быть можетЪ, шо получится прямое
отношеній меж’у величинами х и у. Есшьли же ни р чрезЪ х
ии х чрезЪ р, уд-.бно опредѣлишься не могушЪ, то разсмо-
трѣть должно, не мігуіпЪли обѣ сіи величины удобно опре-
дѣлишься чрезЪ одну какѵю либо величину д. ІІусть на пр.
іудегоЬ опредѣлено Р —0* и х=і(^, шо вЪ случаѣ назначенія
- За і
Ъу~р"дХ9 будешЪ Э/—ОЭО. и у — /"0.3 (V, вЪ случаѣ Хе
назначенія Эх — рЭу будешЪ Эу — и у—/0^,
и такимЪ образомЪ обѣ величины X и у опредѣлятся чрезЪ
О которая величина когда изЪ сихЪ двухЪ уравненій изклю-
чена быть можетЪ, тогда получится непосредственное отно-
шеніе между величинами х и у.
Пусть предложено будешЪ уравненіе Эх* + хЭх2Эу — Эу*
/(Эх {- Эу2) 332 О , шо полпживЬ Эу рдх получимЪ
1 Ч~ рх — рр / (1 —рр) 332 О , откуда найдется
X = р/(1 + рр) 3! = + |г ; „о «ну
будешЪ Эг=(-^$ + |, иу = го§.р+/^ауЛ
Назначимъ для полученія интеграла величину і—г-рр чрезг гс,
шо будетЪ рЭр — ъЪ'7,, и 1 %рр ~ 222 — 1, По сему
будетЪ / — ((22-2 — 1) Эй 232 | 2* — 2 ~Ь С ,
но сему у 232 І0§. р + |(1 + рр)* — (1 + рр)' + С.
Пусть еще предложено будешЬ уравненіе Х5Эх’ -{“ Сіоі
— ЬхЭх2Эу 321 О, ЫазначивЪ ду—рЭх нолу«ипЪ уравненіе
X* + ар3 — Ърх 232 О. Положимф р зз: (]х шс будешЪ
х + ад’х — Ьд=зо, и х=а п0 сему р — 7^?-
ПотомЪ найдется и Э/—.
назначимъ і -Ь-ац3 буклею і, шо получимЪ ф/Эі/зз: , и
1 — 2пд’ Г2: 3 — 2І ; по сему будетъ .Эу 223 (-—/—)»
Г=^7-^+С=5 Г4Я+С=(~^^р)+с
Часть 111. 41
322
§ 2'4-
Ечпьли уравненіе Р~о содержать будеп/Ь еЪ себѣ , кро
мѣ р и обѣ величины х л у, іпо оѵ« изЪ >никЪ оігре дѣлити
ЧрезЬ двѣ другія. ііололгмо, что ѵіоЪіЬе будетЬ ои^е|ѣ-
линь р грезѣ х и у и будетЪ р “ V , іпо когда нангачем
Э/ — рЭг, по »учлпіся уравненіе Э/ — ѴЭх — О , а к іда
назначено Э.С 2^ рЭу, получится уравненіе ёІГ — Ѵ$у ~ О,
коего рѣшеніе принадлежать будетЪ іЪ предЪиду щимЪ главамі.
Естьли жЪ удобно опре іѣллгпься будетЪ Которая нибугь
изЪ измѣняемыхъ величинъ х и у чрезЪ другую и р, на пр.
у чрезЬ X и р, такЪ что у~Ѵ, то будетЬ Эу'—\ Эх-т г/ др'}
и такЪ, когда назначено ду ". рдх, то получится уравненіе
Ѵ'?др -|~ (V' — р^дх^і О, когда же назначено д%~рдуг шо
лп/учится уравненіе Ѵ^рЭр -Ь (Ѵ'р —і)Эх — о; коихЬ
рѣшеніе принадлежать будетЪ опять г.Ъ предЪидущимЪ гла-І
вамЪ.
/ . 1
і. Пусть предложено будетЪ уравненіе удХ — хду ГІ
+ Ф‘2)’ то полежиьЪ ду—рдх получимЪ уравненіе!
у--рх чАр)’< откуда опредѣливъ величину /
чрезЪ х и р, га. е^ гьЛедши у — рг —}- р?( I -р РР)* и в’яві
диірферениіалЪ ея, получимЪ ду '—2 рдх Х.др -р- л,;|
а ПО сему будетЪ рдх ~ р Э.^С -ф- хдр -4- ила
др(х -|- 4 ~ О. Слѣдовательно или Рр — о , или!
X О. Уравненіе Эр~ о доставмяетЪ р~л,
а по сему ду:хіадх а у~ах—^~^, гдѣ будетЪ &_|/( 1-ьая),
ибо естьли во уравненіи у—4~ Рр) положится
р~х, то иолучишся У —ГХ— ]/(1 н-аЛ/, ЕсшьлижЪ чрезЪ ;
снесеніе уравненія X -] р— — — О , сЪ уравненіемъ
У —рх~ ,/(1'4" рр) выключимъ величину р, пго получимЪ
уравненіе у — — Ф&). Уравненіе у ”(ХХ -|~ «а),
какЬ заключающее вЪ себі» произвольную постоянную величи-
ну а, коей вЪ дифференціальномъ уравненіи не было, будетЪ
полный интегралЪ уравненіяі уравненіе же у — /(I ---хх),
не заключающее вЪ себѣ никакой произвольной постоянной ве-
личины, и не содержащееся вЪ ономЪ полномЪ дифференціалѣ,
будетЪ особенный интегралЪ уравненія. И дѣйствительно,'
естьли по § і83» возьмсмЪ дифференціалЪ уравненія
у — ах — ~~і~ аа) —— О по измѣняемости величины а ,
который будетЪ —(х-Ь-и положимъ Х+^^-О,
то по выключеніи изЪ сего уравненія и онаго у—ах—}/(1-+-аа)~О
величины а получимЪ оное самое уравненіе у — ]/(і—Н хх),
которое, какЪ изЪ онаго же 183 параграфа явсіпвуепаЬ, будетЪ
особенный интегралЪ уравненія.
а. Пусть будешЪ еще предложено уравненіе уоТ
хУ?Эх2-4-Эу2). ПолэживЪ Эу~рЭх, пслусимЪ у—Х|//.1-4-р/э)“О,
_________ . Ѵ( уу — хх) •
и Р —• Гщ і— > по сгнУ получится уравненіе
ХЭу ~4~ Эг)/(уу* — хх) О, которое, какЪ однородное, при-
надлежать будеиіЪ кЪ § 186.
3. Пусть будешЪ еще пре„ложзно уравненіе хЭу3Н-уЭх3
— уЭх2/(Эха 4- Эу2) ~ О. Положивъ Эу --гг рЭх пол.лчимЪ
р3хЧ-Ѵ—у/Гі-Ч-/?/?).—О, откуда найдется у
4-Х *
5x4
Пусть будетъ 1 + /(1 4~ рр) — рі,
то будетЪ р~ /гіг;» и У рр —.у Назовемъ для крат-
кости ^-Ч'» буквою и, то будешЪ ѵ~ их, и Эу*~. иЭх-І-
______-ѵ Эх _ Эи _ 2?Э/’ И— з)
ХОІІ — рдх , по сему — — р Ту НоложииЪ
Л4 , ____ _ л п Эх — Эг(г — 4) __ -Эв дг
» - 1 - то будешЪ - — «--, и
ІО& х ~ Іо& 4- Сопзі. > или /о& - -=: Сопхі.,
аг» 4а(2 *+•1Я
или еще Я_~^—при гаомЪ будетЪ У — &ХГ=------------
2 4~ 2
, _ , (в«+х±/(хх+8ах))І
• какъ 2- - - —, шо будешЪ - ------- -
4«4-т -г;/ <хх4- 8ах)
то есть уту — « Ч- 2Х Чк /Г XX 4- 8ах).
IV. ОбЪ особенныхъ интегралахъ дифференціальныхъ
уравненій первой степени,
§ 2 15-
Сущность особенныхъ ипшеграловЪ дифференціальныхъ
уравненій изЪяснена нами вЪ § 183. ' мЪ доказано, что
есшьли какого либо уравненія Ѵ~о, ідѣ V есть функція ве-
личинъ х и у содержащая вЪ числѣ постоянныхъ своихЪ ве-
личинѣ какую либо величину а , возмешея дифференціалЪ , и
чрезЪ соединеніе его сЪ онымЪ уравненіемъ Ѵ^.о выключится
оная постоянная величина а, и чоезЪ шо получится диффе-
ренціальное уравненіе Ы~о ; пошомЪ возмешея дифференціалЪ
онаго уравненія V = о, разсматривая одну величину измѣняе-
мою, который будешЪ (дх) Эх хх. О и положивъ (^) “ О ,
чрезЪ снесеніе сего уравненія сЪ онывЪ Ѵ~о выклю-
325
чится величина а, то произшедшее изЪ сего уравненіе — о
не содержащее величины а, и не содержащееся вЪ оночЪ пол-
номъ интегралѣ V — о, 6ѵ іетЪ также удовлетворять диффе-
ренціальному уравненію и будеідЬ его особенный инте-
гралъ.
Вмѣсто того, чтобЪ оное уравненіе Ѵгго разсматри-
вать вЪ семЬ его видѣ. приведемъ его вЪ простѣйшій видѣ
у —/(х, а), разумѣя чрезЪ а ту изЪ постоянныхъ вели-
чинъ уравненія V = о , которую .при произведеніи изЪ
сего дифференціальнаго уравненія выключить намѣренъ'.
Когда вЪ уравненіи у — /*(х, а) разсматриваема будетЪ ве-
личина а постоянною, шо получится Эу—Э./(х, й^—Ъх^Х, а),
и а), разумѣя подЪ /'(х, а) дифференціальное
содержаніе которое пусть будетЪ II; и тогда бу-
детЪ — 17 или Эу—ЫЭх. Положимъ, чіпо вЪ семЪ ура-
у_/(х, й) вмѣстѣ сЪ х и величина а иомѣнилась, то будетЪ
(^Эо=(^>+ (^-Ьда=Ѵдх+Ѵ'да.
такЪ, что будетЪ вдісь О — и 0х— ф) —
которая функція пусть будетЪ <*)• Естьли теперь
положится (^) или //7(х, я) — О, и разЪищутся корни
д сего уравненія, кои опредѣлятся чрезЪ х и прочія посто-
янныя величины; шо положивъ , что вЪ числѣ сихЪ корней
будетЪ с ~Х, когда подставится сія величина вЪ уравненіи
Г=/(х, а), тогда уравненіе у— /(^9 X) будетЪ особен-
ный интегралЪ онаго уравненія Эу — 17Эх, разумѣя, что и
іЪ II подсы илена будегьЪ вмѣсто а оная величина X, »лн
32б
выключена посредствомъ уравненія у"]~(х, г', которое
»Ь сеглЪ случаѣ будешЪ тоже, что и у —~ X).
Но положивъ, чшо вЪ числѣ корней онаго уравненія
у)~О, будетЪ одинЪ взЪ корней агзХ, и
что такозыхЪ корней X в'Ь семЪ уравненіи будетЪ д, разу-
мѣя подЪ А число цѣлое равное единицѣ или нѣСколькимЪ еди-
ницамъ , будетЪ й) ~ (а— Х)^И, понимая подЪ
ѵ произведеніе множителей оной функціи /*'(х, а) доставляе-
мыхъ прочими корнями а уравненія § /(х, а)’-згео.
Естьли бы вмѣсто того, чтобЪ изЪ уравненія V—о
опредѣлять величину у чрезЪ х и а, опредѣлили х чрезЪ у
май нашли X ~ Ф(У» и)» тобы то, что сказано было эб'Ь
впличинѣ у, принадлежало тогда кЪ величинѣ Л".
’ § 216,
Пусть теперь предложено будешЪ дифференціальное ура-
вненіе М?Х -ф- КЭу О, или — 15котораго
полный интегралЪ назначимъ чрезЪ /(х. а'~у. Естьли
оное дифференціальное уравненіе пмѣстЪ особенный интегралЪ,
то относительно кЪ сему интегралу, по предЪидт, щему пара-
графу будетЪ 15 ^бгд.а величина у разсма-
триваема будетЪ не такЪ какЪ функція одной измѣняемой
величины х, но такЪ к?кЪ функція двухЪ измѣняемыхъ вели-
чинъ х и а , пцложиьЪ и здѣсь, какЪ вЪ ПредЪидущемЪ пара-
графѣ, что уравненіе (|&) (х, ™ О вЪ числѣ корней
«го а будетЪ имѣть одинЪ или нѣсколько корней а~Х, 6у-
ДеС-Ъ ( г а) “ — Х)\. ВозмемЪ уравненія
( — У, относящагося кЪ особенному интегралу, дифферея-
~\^У\ __« /<?Ц\ /5У \ а
ЦйзЪ, ш • 'уіг'ііЪ — (ал№ Н~ КэутУ* ПРИ п,им’Ь будечіЪ
^)5»сечУЭ*)=(Эг<) О*^а)-,
И есіпьѵи рЬ іеч’і дифф ренЦіалЬ разсмашрлва ьс<н бѵ іе.пЪ
и?чЬнЯ(.мою одна только величина а и слѣдовательно Зх~б;
ІИ) п мучится (э^а-г) ~ (^) (а — Х)\. ВозмемЪ
теперь дифференціалъ уравненія (“) ('Л— Х<)Ху по измѣняе-
/ Зйу л_ Л / V
мости всѵпяйы х, то получится \,дад~)— ~ ‘\СІ—Л) ѵ а~
-ь(а-Х)Ѵ, разумѣя / = (*). Но по / 7з (ЭхТ.) == СХ) ’
пп сему будетЪ (а I (а—Х)\_—Х(а-Х)Х ?д~-+" (а—Х)Х/, и
(ур—— а~2,;^ • дх“+~7з или, назвавЪ вЪ уравненіи МЭх-ХЭ/~О
соіерліанге Эс-.О--^-, буквою р, получится +•
Во при особенныхъ иншегралакЪ величина а — X рг.вна нулю,
<ЭХ
величина Же не равна нулю; по сему вщЛииіт^^ьнЪіН
ЛрнзііанЪ уравненіи МЭ ѵ -ф- №Эу — о ѵлц МХр ~ о,
плЧюцічХб особенный интеърал'бі есть тот7), сто вб нгіхЪ
(д>) всегда оіраілаетсл вб вс^іітнчіі безк.онет.нч:о, такЪ чшв
особеннымъ иншеграломЪ уравненія М —Xр О тзожетЪ
служить только такая функція -величинъ х и у , при кото-
рой ( ,) обращается вЪ величину безконечную. Слѣдозатель-
но дабы разЪі.скать, не имѣегпЪ ли дифференціальное уравненіе
М-І-і-'Р “О особеннаго интеграла, надлежитъ взять вели-
м _
чины р, шо есть-величины —• дифференціалъ по измѣ-
няемости величины у и раздѣлить его на оу; до шомЪ до
238
сокращеніи числителя и знаменателя на наибольшаго общаго
дѣлителя , какого имѣть будетЪ , полагать оставшихся мно-
жителей вЪ знаменателѣ каждаго равнымЪ н' лю ; и который
изЪ чихЪ будетЪ удовлетворять предложенному уравненію
КІЭх ~4~ КЭу С, піоігЪ и будетЪ служить особеннымъ егв
интеграломъ.
ИзЪ предЪидущаго же параграфа явствуетЪ , что сказан-
ное здѣсь относительно величины у равномѣрно принадле-
житъ и кЪ величинѣ х, такЪ что естьли вЪ ономЪ уравненіи
ЛІЭг + 3^ О положится /А и по разЪисканіи
дифференціальнаго содержанія (||-) изслѣдуются функціи, кои
положены будучи равными нулю обращаютъ сіе содержаніе
вЪ величину безконечную, то и онѣ могутЪ доставишь осо-
бенный интегралЪ предложеннаго уравненія*
Пусть па пр. предложено будетЪ уравненіе уЪу -р-
Эі(/(ЬЬ+гх-хг)-х)=о. Здѣсь будешь .
(Эр\ іЪ-і-хх—хУ(ЬЫ-хх—уу)
ду/— уУУ(ы + хх~—уу) и такъ для полу-
ченія особеннаго интеірала сего уравненія назначить должно
или у — О или ЪЪ -'г- XX —уу “ О. Первое назначеніе не
удовлетворяетъ предложенному дифференціальному уравненію,
ибо для сегд требовалось бы, чтобЪ было (ЬЬ -4- хх) — X—С,
или Ъ О, второе же ЬЬ-4-ХХ—уу—О или уу~ЬЬ-ЪХХ
оному уравненію у ювлегаворяешЪ , поелику при ономЪ члены
уЭу—хЭх и Эх/(ЬЬ+ХХ—уу) каждый порознь уничтожается,
а по сему уравненіе уу — ЬЪ -р- XX будете особенный инте-
гралЪ • онаго дифференціальнаго уравненія. А дабы болѣе
увѣриться, что сіе уравненіе не есть частный интегралЪ она-
го дифференціальнаго уравненія, шо разЪищемЪ его обыкиовен-
«== ' З29
иый интегралъ. Длг с?го рзздѣлкмЪ онпе на “^(ЬЬ-І-ХХ—//),
шо произшедшее отЪ сего уравненіе
_____У^У______і_. (।_______х_____> ?г — О
У( ? 4- хх — УУ) ‘ \ Ѵ(ЪЬ 4- хх —ууУи ѵ ’
6 іешЪ полный дифференціалЪ, коего интегралЪ будетЪ
X — Ѵ'ірЬ XX —уу) СоПІІ.) или по назначеніи Сопзі,
чрезЪ а и уничтоженіи ирраціональности ) у П 2(1Х-уЪЪ—СІСІ.
КакЪ вЪ семЪ уравненіи оное уу — ЬЬ + XX не содержится,
то оно не есідь частный интегралЪ онаго уравненія.
СТАТЬЯ ВТОРАЯ
О разрѣшеніи дііффсррнцгалѣныхЪ уравненій первой сте-
лени, содержащихъ вЪ себѣ три^ или боліе, излііняеліыя
величины.
I
I. О разрѣшеніи дифференціальныхъ уравненій первой
стелени трехЪ пли болѣе изміняеліыхЪ велисинЪ> ксііхЪ
отношеніе изображено вЪ одноліЪ уравненіи.
$ 2*Г
Ие говоря о разрѣшеніи уравненій Ѵ“о многихЪ измѣняемыхъ
величинъ, вЬ коихЪ фунуіія V есть полный дифференціалЪ, о
чеѵЪ горорено бс’ло вЬ § 170, разсмотримъ такія уравненія
^ЭТ4-О_Эу4-КЭ2...—Ол вЬ КоихЪ функція РЭХ4~ОЭ}л4~Кд24-...
не сосшавляеші полнаго дифференціала, т. е. вЪ коихЪ величины Р,
9.К и проч. не имѣютъ отношенія (|,)=(ал.), ('.Ь)=Ф
и проч. требуемаго для полнаго дифференціала.
Таковое уравненіе ГЭх 4“ О.<^К “Н КЭй —р- .... О ,
во гіхмЪ юр'аз чаешь не есть полный дифференціалЪ> мо-
Часть Щ. 42
35о
жетЬ произойти изЪ полнаго дифференціала какого лиоо ура-
вненія измѣняемыхъ величинъ у, г и проч. чрезЪ дѣленіе
всѣхЪ членовЪ на какую либо функцію оныхЪ же измѣняемыхъ
величинъ, или чрезЪ приведеніе всѣхЪ членовЪ кЪ одному зна-
менателю, когда оный дифференціалЪ былЪ дробный; и вЪ семЪ
с/учаѣ чрезЪ возвращеніе ьЪ он е дифференціальное уравненіе
того множителя или дѣлителя опять обратится оно вЪ пол-
ный дифференціалЪ. ПоложимЬ что множитель обращающій
функцію РЭх + ОЭу -ф- КЭх -ф 8Эй -4- . . . вЪ полный диф-
ференціалъ, естьли возможенъ, буіегаЪ М, шакЪ что будете
ЫРдх -ф— . ІОЭу ф МКЭх ф- ^18Эі4 *ф~ • • • будетъ полный
дифференціалЪ , то по 5 112 сей множитель। долженЪ быть
>, _ /ЭМРч _____/ЭМ(А /ЭМРх_____,амкч
такого свойства, чгт»0Ъ было — (-Ъ ), п
^ЭМО\ __ /ЭМКа /ЭМРч д__ /ЭМ5\ _ •*
к^ГѴ - - к ѴэГ/ — к’ЭхВ и гиа<Ь далѣе. Разсмотримъ
напередЪ свойство сегэ множителя относительно кЪ трсмЪ
которымЪ либо членамЪ уравненія Рох —}- О. у -ф- ІкЭх. Сіе
свойство опредѣляться будетъ уравненіями к / —ѴЭх /»
,эмр, /Эмка /Эм&\_______ /Эміц
— Ѵэх7> ( Эл у ? илй уравненіями
м(© - <В)+рф - «С) = °«
М© - ©) 4-<-) - -о>
' ’ (*» 4- й© - В(^) = о; .
хои такое имѣютЪ свойство, чшэ когда первое помножится
на В, второе на (^, а третіе на Р, и изЪ суммы перваго и
/ЭМ\ /ЭМ\ /ЭМ\
третьяго вычтется второе, то кэх’’ Кэа/ них®
уничіпі жатея, и по раздѣленіи на М получится уравненіе
ЧФ - & - О© - +Р(О -ф) =0.... (а).
ЗЗд
Подобное сему отношеніе получится пежду коеффиціезидми
Р, К, 8; О.^ В, 8 и проч. шо есть
0-0)-В@-®)+Р(@-© = о . .. (а'),
и такЪ далѣе;
г. о и отношенія сугпв необходимыя условія для возможности
обратить оную функцію Рдх •ф- Оду -ф- Кд2 -ф- 8ди —|— . . •
вЪ полный дифференціалъ; и естьли вЪ предложенномъ ура-
вненіи величины Р, Я 5 и проч. оныхЪ отноженій имѣть
не буду шЬ, то его сЪ полный дифференціалъ обратишь не
можно будетЪ, к оно должно быгнь считаемо ка еЪ не веще-
ственное. Е;тьлижЪ величины Р, Н, 8 и пр- ч. оное от-
ношеніе имѣть будутЪ, шо тогда оныі- множитель М буіетЪ
„ г - /1 •І-/ЭѴІ0.Ч /ЭЧРѵ.ЭѴІК,
Еоам-женр; при томЪ изЪ уравненіи ( )_( Эх ), (&),
гЭМОд ___ #ЭМП\ „
\~дя ) — Ѵф / и пР°ч« оказывается , что сей множитель №
обратитъ каждыя два члена Рдх -ф- Оду , Рдх -ф Вдк ,
Оду -ф- Вдй и проч. вЪ полные дифференціалы естьли гЪ
немЪ и вЪ оныхЪ членахЪ разсматриваемы будутЪ измѣняемы-
ми только тѣ величины, коихЪ вЪ каждую изЪ снхЪ пару чле-
новъ входятЪ дифференціалы. ТакимЪ < бразомЪ опредѣливъ
сперва множителя М для части Р/!1>ф- Оду, какЪ функцію
величинъ х и у, надлежитъ разсматривая вЪ г.емЪ постоян-
ныя величины какЪ функціи одной' изЪ прочихЪ измѣняемыхъ
величинъ % и другихЪ постоянныхъ величинъ,' принаровишь
его кЬ части РдіС -ф- и „опредѣливъ чрезЪ сіе функціи
величины х, входящіе вЪ онаго множителя, надлежитъ, раз-
сматривая вЪ немЪ остающіяся постоянныя величины какЪ
функціи величины и и другихЪ „постоянныхъ величинъ , при-
гаровить его кЪ части Рдх-ф-8д^5 и такЪ далѣе.
. 42 *
- 332
Пусть на пр. предложено будетЪ уравненіе (у-Ь2х) (уч-хрх
Ч-х(х —х)()у Ч- (22уч-22Х — Ту)Эх — О. ВЬ немЪ будетЪ
Р — (/-+- 2Х) (у 4~ х), 0 = х(х — х), К “ 2Ху -Н 222 — Ху,
по сему (|^) — (|^) — 2(/ 4“ х), (|;) — (|х) -- 4(Г "У х),
(^) — (|^) 2 С— 2®)> кои величлнь; подставлены будучи
вЪ условномъ уравненіи (а) ему удовлетворяючіЪ, по сему оное
уравненіе воинственно. В змемо теперь -два первые члена
(у 4- 2х) (у 4- х)Эх 4- х(х — г)Эг, и трактуя вЪ нихЪ
только зс н у іаміняемыми у-идьмЪ , что множитель приво-
дящій сію чаешь вЪ П ’лный д фференціалЪ , _отдѣляя измѣ-
няемыя величины, будетЪ разумѣя подЪ
А произвольную постоянную величину. По помноженіи на
Адх . Аъду
сего множителя оная часть обратится вЬ —*4- (уу
— А\х коея инпіегРалЪ будетъ
А ІО&. ( — —Поелику же по § 203 множителемъ
оной части уравненія равномѣрно служишь можегпЪ оный пер-
вый множитель помноженный на каждую функцію сего инте-
грала, а по сему на пр. и на
В<х— «) (>-+-я:) _
------—г?—-------з чрезЪ что оный
ч/ -4— а»--------'
„ АВ
вЪ ттгтттѵг» или назвавъ для
с
первый множитель обратится
краткости Произвольную величину АВ буквою С, вЪ
приноровимъ теперь сего множителя кЪ части (у+2х) (у+х^Эх
4- 22у 4~ XX — ху;Эх. Сіе требовать будешЪ, чтобЪ раз-
сматриваемая по сіе время величина С постоянною, была та-
кая функція 7,
*У Ч- гг — ху)дъ
величины г, чтобЪ функція
2 (> Ч- г) дх
у -|- ай
была полный дифференціалЪ. Есшьли сія
333
функція изобразится чрезЪ Р Эх 4~ 1Ѵс)Х5 то нужно Гу детЬ,
чшобЪ было (^) — по сему нужно, чтобЪ было
(Ж*) (2+ (у 4-2)**) — 22(у4- г)_ —
(у 4- 2Х)2 (у + 2 7.)2
ві е. ^г“О, а по сему 2 22: Сопзі. гдѣ вмѣсто Сопхі.
для больше! простоты м^жно взять единицу. Таки-дЬ обра-
зомЬ найдется , что множитель обращайщій оное уравненіе
вЪ полный дифференціалЪ будетЪ і!8^. По помноженіи
т !
онаго уравненія на Сего множителя и разЬисканіи интеграла
г (>-4- «)хЧ-я;г—. \
его по § г 70 найдется —----------— Ь, или XX 4~ Я(/Ч-й)
4- п(у 4- 2х) — о.
Пуспіь бѵдеігЪ предложено еще уравненіе
Зхх(уу +- хх,'дх - (2 х3у—у) XX — х4)Эу -Ь 2Х(/3 — Х3)с?Х—О,
которое условному уравненію (а) удовлетворяетъ. КакЪ вЪ
первомъ членѣ со стороны величины X находится только
дифференціалЪ зххЭх , коего интегралЪ х3 заключается вЪ
двухЪ прочихЪ членахй безЪ всякихЪ дру>ихЪ степеней вели-
чины х, то попробуемъ для двѵхЬ первыхЪ членовЪ
Зхх(уу 4-хх)Эх— (2х3у4-;ухх—х4)Эу иѵи РЭх-уЦЭу
множителя ----—г • разумѣя ПодЪ V функцію величинъ у
(хЗ-|-ѵД,
и г, изЪ коихЪ послѣдняя трактуется постоянною, и подЪ А
произвольную постоянную величину. Назначивъ х3 -4- V
буквою?, отЪ чего найдется (*^) —ЗХХ5 (^) — (?>|) ,
/>)22б.ХХу, и (^) ~ — 6хху9 подставимЪ сіи величи-
ны вЪ уравненіи (Вх) параграфа ідд, для коего будетЪ
Т — = 12ХХ/ , Г 2= А, П =2 — 1, т =^ Л , н
3554 =
Й) = °> Ф — О , то получимЪ, по раздѣленіи на зАхх ,
уравненіе, 4(Х3-гѴ)у-Л(уу4-22)^)-Л(2Х3у-Ь//22-24)=О,
которое показываетъ, что должно быть Х~2 , ибо должно
быть фХ у— 2Лх3у^2:С, и тогда сіе уравненіе обратится
ВЪ 2Ѵ/—ХГ(©4-2») —22(( *) —г2) = О, которое
удовлетворится положивъ | или Ѵ~7&у. По осму
множитель, обращающій первые два члена вЬ полный диффе-
ренціалъ, будетЪ Послѣ сего оставаться будетЪ
взявЪ два члена Зхх(уу 4- 22)Эл? 4- 2й(у3 ’— Х3)Эх опредѣ-
лить для А такую функцію 7 величины г, чтобы множитель
г
і ~ - ~ обращалъ и сіи два члена вЪ полный дифферен-
ціалЪ; для чего требоваться будетЪ, чтобЪ было (х3-Н22у)
(ууЧ-2-2-) \— 22г(2у3-і-уХ2---Х3)=—2х2(2у:-[-72у —X3),
или (Т? -+- ігу) (уу + и) | р О , а по сему Ц — О и
X п: Со»і5І. — 1. Слѣдовательно множитель обращающій вге
оное уравненіе вЪ полный дифференціалъ будетЪ ^зТ^Г^у*
_ „ ™ Зхх(2г-Ь'Ѵ'Ѵ)Эх
ВзявЪ интегралЪ члена —' по изм,Ьняености вели-
чины х получимЪ —( ** ’ коего дифференціалъ, взя-
тый но измѣняемости величинѣ у и г. то есть
— (іхЗу-^ яку у— 2Д')Э>Ч- 2я(уЗ— хЗ)Эг
— (хЗ 4- яку)2 3
когда кычтетсл изЪ остальныхъ членовЪ уравненія, то вЪ
остаткѣ ничею не останется; а по сему интегралЪ онаго
< уравненія будетЪ
Соп^.— — О, или х3ч-!52у=:д!(х2-ьуу).
335
$ 218.
Когда предложенное уравненіе Т 3x4-03/-4-КдХ-1- *. .
по изслѣдованіи удовлетворяетъ ли оно условнымъ уравне-
ніямъ (а), (а'), (ау/) и прсч. окажется удовлетворяющимъ
оиы/Ь , а слЬдовашелько будетЪ уравненіе вещественное, то-
гда можно разЪискагаь интегралЪ его и не находя показан-
нымъ образомЪ множителя обращающаго всю функцію
РЭх -ь О. Зу 4- НЭх 4- . . . вЪ полный дифференціалЪ; и сіе '
производится слѣдующимъ образомЪ. Сперва разсматриваютъ
величины г, и и проч. какЪ постоянныя , и чрезЪ то полу-
чается уравненіе двухЪ тоаькс измѣняемыхъ величинъ X и у,
то есть Г'Эх -+- О ''У — О. Уравненіе сіе трактуется по
правиламъ предписаннымъ еЪ предЪидущей статьѣ для двухЪ
измѣняемыхъ величинЪ; и когда найдется по онымЪ нняіе-
гралЪ его> который пусть изобразится чрезЪ 17 “ СипзІ;. ,
тогда сія величина Сопзс. разсматривается какЪ функція нро-
чихЪ измѣняемыхъ величинЪ 2, и и проч. кои трактованы
были постоянными , т. е. инпигралЪ изображается чрезЪ
ІІ~ф(х, и, . . .). Естьли величина 17 будетЪ трансцен-
дентная на пр. вида Агс. Іап^. Т, или Іо§. Т , пли да вмѣсто
таковой трансцендентной функціи величины Т можно взять
самую величину Т, из<бразивЪ уравненіе чрезЪ Тпфу, П...)^
ибо когда 17 есть функція оныхЪ величинЪ, то и Т оудепіЪ
функція сихЪ же величинЪ. Можно также кЪ Т прибавишь
произвольную функцію оныхЪ величинЪ а, и и проч. или изЪ
нея вычесть, или на произвольную функцію оныхЪ же вели-
чинъ г, и и проч. помножить, или раздѣлить, дабы дать
уравненію Т~ Ф(«, и . . .) простѣйшій видЪ; и урав іеніе все-
гда оставаться ^кдёіпЪ справедливы ѵЪ, поелику во «торой
его части всегда будешЪ оставаться функція величинъ 2, И
и проч. Но приведеніи такимЪ образомЪ интеграла Т—2 и..)
ьЪ простѣйшій видЪ который изобразимъ чрезЪ Т—ѵ', берется
дифференціалЪ его по измѣняемости всѣхЪ величинъ, ксшѳрый
356
будешЪ
: = ЭѴ.
Сіе уравненіе, при трактованіи величинъ г, и и пр >ч. посто-
янными, будешЪ (|^)ЭхЧ- (д) Эу — О, и существовать бу-
детЪ вмѣстѣ сЪ онымЪ уравненіемъ РЭхч-ОЭул^О, а по се-
му, по $ 196, будешЪ
ОЭх + фЭу^МСРЙг + йЭу);
чрезЪ чшо оное уравненіе обратится вЪ
М(РЭх + аЭу) + (|>+(^)Эи-р. . . . = ЭѴ;
изЪ коего вычитается оное предложенное уравненіе помножен-
ное на М, и получается уравненіе
(© - МВ)Эг -Г- (ф - М8)Эи +....= ЭѴ;
вЪ коемЪ первая часть будетЪ полный дифференціалЪ ; чрезЪ
что получается величина V какЪ функція величинѣ 2, и и проч.
і. ВозмемЪ для примѣра уравненіе
(уу Н-у 2 -4- и)Эх Ч- (XX + Х2 Ч- 2Ж)Э/ Ч- (XX Ч- X/ ч-уу)Э2=О,
которое условному уравненію (а) уд^влешворяетп. Трактуя
величину 2 постоянною получимЪ
(уу ч- ух ч- гг)Эх ч- (хх ч- хг ч- гж)Эу о
или
дх . ду
- --- ----- Ч— ---------— о
хх Ч- хгЧ-гг 1 уу-4- у% -4- гг
положимъ и у —и—шо получится ура-
вненіе
--Э'----1- —ЭЛ__ —О.
ІІ Ч~ 1 гг ии Ч~ а гг
Назначимъ то получимЪ
-дг-----1_э-—О
1 Ч- ГГ 1 1 Ч~ «
55/
к >его интегралЪ будеоЪ -Аге. Іап^. Г -р Аге. <У —. фйл
или Агс. іап$г. (р"*) а по сему ;~г;_ 3^ ф.й, или
(3ІІ^)22>/3-Ф-2;* слѣдовательно иакожЪ —ф.х,
х-И+г _/Кѵ „ х-і-у-і-% и
или а по семУ и «=
»г—— («-+->>___ И>~ _ _ _г
и —х~н ’ и по прибавленіи вЪ обѣ части
2К2—эху_>к х*—ху __
п- г будетъ или —а'—когпорый
видЪ есть самый простѣйшій, вЪ какой уравненіе сіе привесть
можно. Положивъ такимЪ образомЪ и~~ Т получимЪ
/ЭГх^ і __І22Г ’: +-гя)Э» | (хх -ь хх -4-
(эх ,Х * — (х+у-4-2)2 Н- 4-г)8 » а по Се-
му будетЪ М ~ Послѣ сего получится
и эѵ=((^)_мк)гв
(хх -4- гх7 -4-уу -4- ’я(х -4->) -4г- ___
-- «2 1_ д%,
слѣдовательно V ~ — г-ьС; такимЪ образомЪ интегралЪ
предложеннаго уравненія будетЪ — 2 -}~ С или
2±^^=С, или ху+х^+^=,С(х+-Г + г).
2. Положимъ еще , что должно разЪискашь интегралЪ
уравненія
г(хх—у у+г-г)^х—г’Эу — (хх+ху 4- (х—у)дъ гг ол
коіпорсе условному уравненію (а) удовлетВѵряешЪ , трактуя
величину г постоянною получимЪ уравненіе
(хх — уу + 2-я)Эх — ггЭу =: о.
Разсматривая сіе уравненіе увидисЪ, что оно можетЪ
изо бразишься чрезЪ (XX—у у) Эх + 2-й (Э X —
Частъ ПІ. 43
538
а по сету выйдетЪ проще, когда х — у назначится одною
буквою. По тому положимъ х— у~і. или у~х— і, то
оно обратится вЪ (2Х— і)іЭх -рЖіЭі — О. Теперь откры-
вается, что оно будетЪ еще проще, когда назначится
и дѣйствительно обратится вЪ (2ИХ— К2-)Эх — 2йЭм — О,
или Эи — + Эх — О , которое есть уравненіе Еер-
нулліево; и, употребивЪ для означенія интегрованія по измѣ-
няемости одной величины х букву 5, интегралЪ его будешЪ
згх хх
ие~~ ** + 8.е~ ™дх — фХ>
или
ха хх
+ 8,е“" - Э* = фа.
х • у
X
Назначимъ для большей еще простоты — буквою то для
онаго интегрованія по измѣняемости одной величины х бу-
дешЪ ^Х—гЭз, и оной интегралЪ обратится вЪ
е— 55 _}_ 2^- — фх ,
а по раздѣленіи сЪ обѣихЬ сторонЪ на а вЪ
— е~ ” -Ь $.еП55 35 = ф.і — Г.
X —у 1
/_ — м\
____________________________ ге А । —я
Сіе уравненіе доставитъ ЭСг^Э.І-------1 "Т" е Э5, по«
\х—у/
/?Г\___ « (хх-3!у+йаУ /ЭТ\____________ %е м ,3'1 к_________
сему х(х—у)3 ’ —Ѵ)л \д»' л—У-
л —я —к
, —« — _ /оік е / . ахх\
(е’-2ие (&))+е (з;)=—(»+-)
—55 — 55, . .
е х___е (хх4-х>-|-гв'
гх (х —у) ах ‘
ПошомЪ получится ©Эх+(^Э;с:-^;к^((хх-уѵ-4-27,)Эх-223})
по сему будетЪ
Я = . , п ЭѴ=(@-МК>=:о,
5Ж(Х —уу
л по сему V — Сопзк. ТакимЪ образомЪ интегралЪ предло-
женнаго уравненія будешЪ
хх хх хх хх
я гг . «ч гг дх _ яг „ гг с?. г^л-
—— - С — ос? — __ С. ИЛИ С -4-об оХ.
X — у 1 Я 3 “'и х_у
XX XX
или еще 226 Я% --}- (х — у) 5.6 2 Эх^ С(х—у)2.
§ 2І9-
Поелику инпіегрсваиге уравненій РЭх-+-0Эун-КЭ2+...— О
по сему послѣднему способу начинается интегроваиіемЪ ура-
вненій двухЪ только язмѣняемыхЪ величинѣ , на пр. уравненія
’Эх Н- ОДи гз: о, гдѣ Р и , сверхъ х и у содержатъ
другія измѣняемыя величины г, и и проч. трактуемыя при
семЪ началѣ интегрованія постоянными, тэ вЪ случаѣ томѣ,
когда сіе начальное интегрованіе вЪ точности совершено
быть не можетЪ, вЪ начальной интегралЪ входить могупіЪ
такія выраженія, гдѣ означено только, что совершишь дслжио
интегрованіе по измѣняемости о гной которой нибудь изЪ
оныхЪ величинъ х и у; на пр. положивъ, что знакѣ 5 озна-
чаетъ интегрованіе по измѣняемости ода й величины х . вхо-
дишь могупіЪ вЪ оной начальной интегралЪ выраженія З.Г Эх
гдѣ сверхъ величины х можетЪ содержать другія измѣ-
няемыя величины г и и проч. Продолженіе же выкладки не-
обходимо требовать будетЪ, чтобЪ онаго начальнаго интегра-
ла взятЪ былЪ дифференціалЪ по измѣняемости всѣхЪ вели-
чинъ х, у. г, и проч.; вЪ каково.мЪ случаѣ встрѣтится затру-
дненіе , какимЪ образомЪ получить дифференціалЪ таковой
величины 5.Р Эх на пр. вЪ разсужденіе величинъ г и н проч.
ТаковЪ былЪ случай и вЬ предЪидущемЪ примѣрѣ ; но мы отЪ
него избавились выгоднымъ подсшановленіемЪ, которое не все-
' 43*
ЗДо
гда сдѣлать можно. По сему дабы отнять сіе затрудненіе
вообще замѣшимЪ слѣдующее. Само по себѣ видно чшо диф-
ференціалЪ такого числа 5 Г Эх взятый но измѣняемости ве-
личины х будетЪ РЭх, и по измѣняемости величины у бу-
детъ равенЪ нулю. Но дабы усмотрѣть, какЪ найти тако-
ваго члена 5.Р Эх дифференціалЪ по измѣняемости величины
г или и и проч., всобразимЪ, что какая либо величина 15 есть
функція величинъ ас, у. г, и и проч., и что
+• гЭй -+- <уЭіі4- • . тогда разсматривая величины у. г. и и
проч. постоянными получимЪ ЭЦ“рЭх, и 1} ~ 5 рЭх. При
томЪ будетЪ (|^) = (^) , а по сему (|{)Эх — (*()Эх„ и
Г~Б(|Р)Эх. Слѣдовательно будетЪ (|^) — , ибо
Г=©. По сей причинѣ также, естьли назначимъ 5 Р^х
буквою V, будетЪ 8.(^)Эх, и (?*) Эй == ЭйЯ (|5 Эх.
ТакЪ вЪ предЪидущемЪ иринѣрѣ не дѣлая подстановленія
XX XX
вЪ уравненіи -—— е Ъ Н~ Яе дх~фй, вмѣсто — ,
и назвавЪ функцію фг буквою Т, получимЪ
хх
(ЭТч ,_ /XX --- УУ -4- 22ч 22.
Іх ) —- ~~ оГ— у)а '
-- ІХхдх .
~гЗ у
XX XX
/»Тч ___ э(х«Ч-22) е ж ______ <3 е яг
\дг/ 2(х—у)
и кгкЪ
XX XX *Х XX
е~^‘.-^-=-5.х.е~іі=-е -8.е “
• а2 я я я
хк
хк
Л
Эх;
по сему будешЪ
XX XX
(Л- <« +с ~ і 8 е ^дх.
дя/ 2(л у) X. '
и какЪ
?41
XX
22
Йа + (?№=Ц^-ух+^-^у)
по сену
—XX
-—— хх хх
М=ЧІ * (©-МР‘)М^/ “Эх)эг=>=эѵ,
и какЪ Т~ V, то будетЪ ѵ ~ по сену /о^. Ѵ~/оД Сй
и V — Сг. ТакииЪ образомЪ для интеграла онаго уравненія
найдется
XX __XX
Д ~^ + 8. = с2,
*** ✓
или
XX • хх
%%е 8 4- (х —у} 8.е ях дх = Съ(х — у),
какЪ и прежде пользуясь онымЪ пэдстановлеяіемЪ.
II, Разрѣшеніе дифференціальныхъ уравненій, ногца
ліногія излікняеліыя величины. заключаются еЪ нісколѣ-
кнхЪ данныхъ уравненіяхЪ.
§ Г2О.
Пусть будутъ предложены два уравненія
г 4- Юу Ч- (Рх + Оу —о
М 'дх - р №'Эу 4- (Рхг 4- О> 4- К )Эг ~ о
иірехЪ измѣняемыхъ велнччнЪ X, у, ъ . . . вЪ коихЪ величи-
ны М, К, Р, К какЪ вЪ первомЪ такЪ и во вдіоромЬ, сушь
функціи величины г.
ПомножимЪ второе уравненіе на неопредѣленную функціи
И величины г, и сложввЪ его сЪ первымі составивъ одно
уравненіе
542
(М ч-м'г>ч- (и ч-№)Эу ч- ((Р 4- Р'7) X Ч- (ГУ+. оу.)у К + К'2) йг =-о ,
которое, по причинѣ неопредѣленности функціи 2 можно раз-
дѣлить на два другія уравненія по произволенію, чрезЪ что
вЪ тоже время опредѣлится и функція 2 потребная для воз-
можности сего составленія двухЪ уравненій.
Для раздѣленія сего уравненія на два удобнѣйшія изобра-
зимъ его сперва вЪ видѣ
и положимъ потомЪ что
ЯН-О?
Эх Ч- ^--2
° м+м'г
которое и будетЪ первое уравненіе. Послѣ сего назначивъ
буквою и, получимЬ другое ур; і-
неніе
(М4-М/2)Эи-4-(Р-ЬР'2;иЭ2 + (К4-К/2)д2=хо . .: (Ь).
Дабы удовлетворишь уравненію (а) вообще , требоваться бу-
х -г п г ЯН-о'г_________к+и'г
детЬ во первыхЬ, чтобЬ было р— р.2 — м~[ > во вторыхъ
/О—1~\ ~
чтобЪ было о.(р-у р,2)—О, то есть требоваться будетЪ,
„ „ Я-і-Я2 -г ич-кг _
чтобЪ какЪ величина р__р'/’ так^ и величина и^,2,пылии
. лт й.~ЬЯ2-К+Г,'г
рагны между собою, и постоянны, уравненіе же -рГ^р_р'г~м+м'г
составляющее первое условіе, доставляя кзадратное для 2
уравненіе , а имянно
(МЧУ-К/Рфіг+(МОч-ИГО.- ^7-К7Р)2>МО_- КР = о,
доставитъ для него два рдзныхЪ изображенія, опредѣляе-
мыя чрезЪ»величины М, К, Р, О., м7, ы7, р7,
кои назначимъ чрезЪ 2/ и 27/, тогда изЪ втораго условія
2. Ч- Ор _ н + м'г' _ 2_ ч- о'г"
получится два уравненія р — мч-’м'2' —а> и и ч-"?Г
г,і изЪ коихЪ когда выключайся величины 2х и
2 , то получится между величинами 1 , Р, О., М7, ^і7» Р7, (1
= гдз-
два отношенія, а имянно •
аР — &___ «Р' — 2.' €Р — О,________ €Р' —
см — и — аи' — г>' и ем — и — ем' — к' >
кои показывать будутЪ , какую онѣ должны имѣть взаимную
_ .. • и -+- К'2
зависимость, дабы помянутое назначеніе сх -р- м лЦг
Э(х —Н могло имѣть мѣсто. Естьли оныя величи-
ны сію зависимость имѣть будутЪ , то тогда уравненіе (я)
удовлетворено будетЪ , и уравненіе (6) , по подстановленщ
іЪ немЪ оныхЪ двухЪ величинъ X, доставитъ два уравненія
-X Р -+- Р'2' - , К. -+- К'2' -х „
ди 4“ МЧ_М'2' М4-М'2' И
-х , Р + Р’2" _ К-4-В.'2" •> л
Эи —р- М4_М/г« идъ -р- м м,2„ Эх — о ,
имѣющія видЪ уравненія Бернулліева, кои когда для большей
простоты изобразятся чрезЪ
Эи ииЭх + шЭх — о, И
Эи -4-п'иЭх-4-м/дъ — о,
тогда получатся два интегральныхъ уравненія
ие’’* Эг — С
иел^_|_ут--е«» а, — с<,
и ио яодстяновленіи вЪ нихЪ вмѣсто и вЪ первомЪ функціи
। 0.-+- 2.'2' і । 2.4- 2.'2"
Н~ Р^Р'г'У > а во второмЪ функціи X полу-
чатся два уравненія между величинами х, у и г, посред-
ствомъ коихЬ какЪ х такЪ и у опредѣлятся чрезЪ 2.
Г § 221.
Пусть предложены будутЪ три уравненія
КЭх -4- Ъд) -г МЭх + (Мг Н- Ру + Ох + К)Эи,= а
ІѴЭх 4- І/Эу 4- М7Эх 4- (Мух 4- Р'у 4- О'г 4- В/)Эи=о
К/'Эх-Ь Ѵ'ду 4- 2ИѵЭх + (ІГх+Р7/у4- О.х/х + К^Эи=о
344
ГТГ_ 8
между четырьмя величинами х, у, г и и , вЪ коихЪ величины
К, Г>, М, К, Р, <2, П вЪ каждомЪ, сушь функціи одной ве-
личины и, п требуется опредѣлить величины х. у, г чрезЪ и.
ПомножпвЪ первое уравненіе на функцію V, второе па
функцію ЕХ величины и соединимъ сіи три уравненія вЬ одно
(КѴ 4- К'іх + К")дх Н- (Ы7 4~ І?П 4- ІУ) Эу
4-(МѴ-Ь ІѵГ^ + М^Эх -4- ((ГШ -ь
4-(РБ 4- Р'ЕХ 4- Р'Лу 4- (О.Ѵ 4- 0ТГ 4-
4-(КѴ Ч~ В/ІЭ' 4“ В ’ Э(1 О , которое по причинѣ
неопредѣленности функцій 17 и 17 можно разложить по
произволенію опять на три другія уравненія. Сіе можно учи-
нить различнымъ образомЪ; но мы упопребимЪ способъ взятой
нами вЪ предЪидущемЪ параграфѣ ; гп. е. сдѣлавЪ обіпимЪ множи-
телемъ членовЪ перваго отдѣленія величину КІ7-+-ІС. СХч-КХ
втораго же отдѣленія величину ЫІ74“^'/^/“4“^/ положимъ
МП 4- М'П' 4- -Ч
КТ1 К’ІІ' — ѵ>'
мч 4- КБ' 4- V"
и тогда назначивъ
X
РР -4- РХ Ч- РГ
МБ 4- М'ІГ 4- Н"
буквою к иолучимЪ уравненіе
или
І«7 4-К'Ѵ'<І-Ы"
ди — о .
Дабы уравненіе (с) сущеслізо"твіь могло,
т 4- рчг ч- р" ьи -+- ѵи' + ь" / \
было ( 4 Ь7'-'-КИ 4—К'*’ +- К." V '
требуется, чшсбЪ
РЦ4-Р7?4-РЛ „
‘ліш - И К Ѵ4-^'ѵ —
псшомЪ
оу 4 ?П'4-ЙІ,_.МЙ-І-^,±Л1"/Г^ _ гу
кй4-м и/4-к"~кп4-и7Ьч-к."..од-і-м'ѵ'-і-іі'ѵ
54-
Уравненья (е) и (/), по уничтоженіи знаменателей будутЪ
имѣть вчдЬ
а 00 -ь (60' + у} У + 50'0' + Л У + < — о
И
гоо + у) и _|_ 5ѵду+/и + у — о.
ПомножибЪ первое на а,', а второе на « и вычетши одно изЪ
другаго получимЪ
((а/е-а?0Ѵ/н-а/Т-«70Ѵ-+ЧЛ''5-“г'')и'С'-*-(а/Е-й<>и/ч-а/^_й^=О’
откуда найдется
ТТ (а6ѵ — а.' 6)0' ГУ Ч- (аі' — а'е)Ѵ'-і-аі' — а'<? .
' (й'б — «С') У'-е сі"і‘ — 0.7' 3
которая величина когда подставится на пр. вЪ первомЪ изЪ
оныхЪ двухЪ уравненій между V и іЕ» то получится урав-
неніе четвертой степени вида
АІУ* + ВСИ + СЦ/2 -Ь- ПІУ + Е — о,
гдѣ будешЪ
А = а((аУ — (<& — а^) (бУ — И))-
Поелику хе неопредѣленныхъ величинъ х, у, г и только че-
тыре, и требуется опредѣлить ихЪ взаимное отношеніе
одной кЪ другой, іно для сего нужно , чтобЪ уравненіе для
опредѣленія величины Vх, равно какЪ и для СГ, было не выше
какЪ третьей степени. По сей причинѣ положимъ
(аУ — с^)* = (а& — Л) — ^3) ,
дэбы было А — о; и тогда оное уравненіе обратится вЪ
ВЕ/’+СЕ/2-+-ПО 4-Е —о > которое доставитъ три раз-
личныхъ зеличины СЛ, кои подставлены будучи вЪ изображе-
ніи 1} доставятъ шакожЪ«іври разныхЪ соотвѣтственныхъ
величины і , Пот мЪ уравненія
рп -р р<ц< 4- р- _ > /ОУ 4- о;ц- ч- О'\ _
*М> -Ь ЫГ' 4- ‘Ьі /-- > И -Ь 4- М"/ — ®
доставятъ, кдждое по гари услов-дылЪ уравненія для отно-
шеній между величинами К, Ь Ми проч. содержанія каждое
по ог-сблив'-й произвольной величинъ; и егпіьли между ими
Частъ III. 44.
546 =
сіи условныя отношенія, равно какЪ и оное предЪидущее по-
требное для обращенія А вЪ нулі Л существовать будутЪ,
то уравненіе (с) состояться можетЪ, и тогда уравненіе (д),
по подспіановленіи вмѣсто II и IIх соотвѣтственныхъ имЪ
трехЪ разныхЪ величинъ, доставитъ три уравненія вида
ді 4- тіди 4- пди — о
Эі 4~ и/іЭи -р- п/ди — о
ді 4- т"іди 4- пл ди — о
кои, когда раздѣлены будутЪ, и вмѣсто I подставится функ-
ція выражік щая сію величину чрезЪ х, у и г, то изЪ снесе-
нія сихЪ у| авненій всѣ три челичины х, у и ъ опредѣлятся
ЧрезЪ и.
СТАТЬЯ ТРЕТІЯ
О разрііиеніи дифференціальныхъ уравненій второй
сп. слени.
I. О разрѣшеніи тапихЪ дифференціальныхб уравненій
второй степени двухЪ измѣняемыхъ величинѣ , в'б кои
«ходятЪ одни дифференціалы сихЪ велисин61 или сверхъ
того которая либо одна изЪ сихЪ саліыхЪ велиыінЪ.
§ 222.
Естьли вЪ дифференціальное уравненіе второй степени
двухЪ измѣняемыхъ вСличинЪ X п у входятЪ одни только
дифференціалы ду, дх, и дду, ддх сихЪ измѣняемыхъ вели-
чинѣ, шо чрезЪ назначеніе ду—рдх, др ~ цдх, таковое урав-
неніе , По раздѣленіи на общаго дѣлителя всѣхЪ членовЪ
дх обратится вЪ уразненіе между величинами только д и р,
изЪ котораго найдется д“Р, разумѣя чрезЪ Р какую либо
функцію величины р; потомЪ но иодсшдновлен,и вмѣсто д
34-7
величины * найдется Эх,— -Д Эу — рЭх— откуда
получится Х=/^4-А и у^/^г-Н~В. ТакимЪ образомЪ
обѣ величины х и у опредѣлятся'чрезЪ р; и есшьли вЪ ко-
торомЪ случаѣ изЪ сихЪ двухЪ уравненій величина р выклю-
чена быть можетЪ, то получится и прямое отношеніе между
"'личинами х и у.
Пусть на пр. будетЪ ЭЭу ~ Эх ]/(Эха -Л— Эуг) при Эх
постоянномъ, по по подстановленіи вмѣсто Эу величины
рдх и і яѣсто ЭЭу еличины ЭрЭх или д?х2, получится
д = и Э^ = Эх/(і-ъ- рр); по сему будетЪ
___аР „ Ть, —... РдР .
— У(і+М) и */—•/(« 4-
7 /Ѣ Ч- ѵ(г 4- ?р)\
Первое доставитъ X —. Іо^. (-д--у , а второе
Г = /(і -+-рр) + В- по сему будетЪ
Аех—р + /(і-Н/9/э)—у—В4-/((у—В)а—і),
или
§ 223*
Естьли вЪ разсматриваемомъ дифференціальномъ уравне-
ніи кромѣ дифференціаловъ будетЪ находишься и которая
либо изЪ дівѵхЪ его измѣняемыхъ величинѣ X и у, шо по под-
становленіи Эу — рдх3 Э/9 7^2 ддх оное уравненіе обратят-
ся Ъ уравненіе между д и р и тою измѣняемою величиною,
которая находится вЪ разсматриваемомъ уравненіи. Пусть
сія величина будешЪ х, то по подстановленіи вмѣсто д ве-
личины получится дифференціальное уравненіе первой
степени между величинами р и х, откуда по интегрованіе
И *
543 =э
его опредѣлится «ли р чрезЪ х или х чрезЪ р. Е-тьли най-
дется р~Х, тсгда будетЪ о}' —Хск и у~^Кдх-[-С‘,
естьли найдется х~Р, то будетЪ дх — ЭР и Эу т рЭР-
а по сему у XX/Р&Р —|— Соп^І^ Пусть вЪ разсматриваемомъ
уравненіи находиться будетЪ величина у, то, поелику 9=йх
-> __ ду - ___ рдр
и оХ— слѣдовательно </ — -=&9 по возстановленіи вмѣ-
сто д сея величины вЪ ономЪ уравненіи получится диффе-
ренціальное уравненіе первой степени между р и у, изЪ ко-
тораго или р опредѣлится чрезЪ у, и будетЪ р~У^, или у
опредѣлится чрезЪ я, и будетЪ у Р; и вЪ первомъ случаѣ
будешЪ X 7Г2 -ф- А. во ішоромЪ же будешЪ 3'~У'^-рВ.
Естьли вЪ дифференціальномъ уравненіи между р и которою
либо изЪ измѣняемыхъ величинЪ х, или у ни величина р
чрезЪ сію величину х или у, ни сія величина чрезЪ р удобно
опредѣлиться не можетЪ; шо надлежитъ разсмотрѣть, не
могугаЪ ли обѣ удобно опредѣлиться чрезЪ постороннюю вели-
чину для чего разсмстр! шь должно , не сдѣлается ли урав-
неніе ироще, когда вмѣсто которой либо изЪ сихЪ двухЬ
величинЪ введется функція другей величины и сей посторон-
ней величины і. Пусть на пр. уравненіе будетЪ проще, ко-
гда назначится х~ф(р, і); то по опредѣленіи чрезЪ ингпе-
гоованіе величины р чрезЪ І, шакЪ что будешЪ на пр. ^?~Т,
найдется х ~ <?(Т, і); по томЪ будетЪ Эу XX рдх — ТЭТХ,
и у И^У'ТЭТ7, разумѣя Т? ~ ф(Т, і).
Пусть па пр. предложено будетЪ уравненіе
фх ду2 - Ь Эх2) ЭЭу -ф- Эх2 Эу2 — о ,
ври Эх постоянномъ. Положивъ вЪ немЪ Эу^рЭх и ЭЭ/—ЭрЭх
юлучимЪ
(і -г- ррхх)Эр Н- ррдх XX О
54?
или
дх + хх др 4- эр — о.
1 рр
Назначимъ х чрезЪ шо будетЪ Эх ~ я уравненіе
обратится вЪ
’ (ии рр) др — ррди— о.
- Для однородности сего уравненія положимъ и~рк, шо оно
обратится вЬ
(1 — І 4- Іі)др — рді ~~ О,
или
др Эг
р 1 — Г 4- ГГ - °
откуда найдется
1-Р~ уг3 Аге. іап& ~ С,
или
1 Іх -Гі &гс- іап& = Соп&.
ПотомЪ будетЪ
ду~рдх~— — э и — Эг—____________эл — 0 4- /2)5/1
\ Р"~ *2 І(,-Г+П)— —
__ (д* _І д1 [ (' — Ѵдп .
Ч» ~ г । п/ » а изЬ сего найдется
Іо&.1 Аге. іапё.^ -+- Іо& /!С^±±!О+с/ „лк
У = Т + Іо&- Аге. іап&.^ + С'
= г + 'о«.('~;Л-й Агс- іте- + разумѣя
С" - С'+ Іо&. !.
2. Пусть еще предложено будетЪ уравненіе
дду 4- адхду 4- Ъудхг — о.
Положивъ вЬ семЪ уравненіи ду — рдх и дду~ддхг полу-
д -Ь ар 4- Ъу ~ о „.
35о
ПодспіавивЪ теперь вмѣсто д
рдр
величину получимЪ
/Э Э р + (а /9 -4- Ьу) Э ѵ — О.
Для однородности сего уравненія назначимъ р~иу, то оное,
уравненіе обратится вЪ
уиди 4- (ии 4~ аи 4- Ь)Эу — о,
или
ду і иди _________ „
— Ч -г—ті = о
у ' и". —|-аи-4-о
откуда величина у опредѣлится чрезЪ и. ПошомЪ будешЪ
—- 4 ______________?ц
р иу ии +- аи Ь
или
>. і ди
‘ ии 4- аи 4- І ------------------- ° »
откуда также величина х опредѣлится чрезЪ и. Естьли по-
томъ величина и выключится, то получится уравненіе между
величинами хну.
При совершеніи же выкладки надобно будете различать
два случая; во ПервыхЪ когда функція ин-|-аи4-Ь разби-
вается на двулЪ вещественныхъ множителей; во вшорыхЪ
когда она равбивается на двухъ множителей мнимыхЬ. Пусть
будетЪ вообще ии -+- аи -+- Ь ~ (и -4- а'і (и , то оныя
ду I иЭи _____ -ѵ , ди __ ~
уравненія _у 4- ™ °
х ади бЭи \ ______
' и -4 и -Рё'-----°
Эи \
ди
обратятся іЪ
су
7'
Эт , _____ ______
а — в '•и -}- а и Н- <?/
ИзЪ сихЪ двухЪ уравненій получатся два другія
— о
4- $
= о,
Эу
У
чрезЪ интегрованіе которыхЪ найдется
35 і
І.у -4- ах Ч- І.(и 4- в) — С, и 2,у-|-Вх + 2.(и+л) =; С'
(и + С)уе“*=С^ ы (и ^а)Уеи.-=С''
откуда когда выключится величина и, то найдется
(Уе'"®*—- Се~м
или
у = Ае~ -ь Ве~ "
ИзЪ сего рѣшенія случай а ~ В изкліечаешся ; но тогда оныь
главныя уравненія будутЪ
ду . иди. ____________ -ѵ , ?и
У "Т- (и “Ь -------°
ИЛИ
ду . ди ади ____ -ч . ди___________
’у -+-а ’(ц-+- а)2 И ЬТ(и4-а',» °»
откуда получится
| 4-«Эх+^=о, » аг+р*^8—.О,
слѣдовательно будетЪ
у(іі + ^СГСІ И —— Х-ЬС";
по сету будешЪ
у — Се~ах (х^-Су
Естьли вЪ семЪ изображеніи назнячимЪ, для большаго удоб-
ства, величину СС чрезЪ В, то будетЪ
у = (Сх + Р)е“аж.
Естьли множители иЧ-« и ілч- К будуипЪ мнимые, такЪ-
что будешЪ [лЧ"'*')/—1» & — Н- — —1» то оное
С^-^—Се— ах
изображеніе —--------—77- —---- обрашигпсд вЪ-
55а
ухѴ—1 л ѵжУ —
А V V - 1
Не і -со^.ѵхч-^іп.у'хі/— 1 и е~ ху г~сол’.ѵх-4-лл.иг]/—1;
тіо сему назначивъ С' чрезЪ А-нВУ—і, и С чрезЪ А-ВУ—і
получимЪ
_____/В СО! ЧХ 4- А ЯП. ЧХ\ - рл
У — к ; )е ’
или изобразивъ А чрезЪ Р ЗІП. % и Ь чрезЪ Р €0У. ,
будетЪ
У =. *е~ ^сох: (ух — — Се~ІІХсоз. (ух — %).
И. Разрѣшеніе однородныхъ уравненіи второй степени.
$ 22<.
ТІодЪ именемЪ однородныхъ дифференціальныхъ второй
степени уравненій двухЪ измѣняемыхъ величинъ х и у разу-
мѣются здѣсь такія уравненія, коихЪ каждый членЪ есть
произведеніе одинакаго числа измѣреній измѣняемымъ величинъ
X, у, Эх ду, дду, ддх. ТакЪ уравненіе
ххуУду — 2уудхду 4- (ах -ф- Ьу)2 Эх2 — о
будетЪ однородное, поелику каждый членЪ есть произведеніе
четырехъ измѣреній.
Естьли вЪ таковыя уравненія вмѣсто дифференціаловъ
введутся величины р и д, назначивъ т. е. Эф"—рдх и Эргх/Эг,
шо явствуетЪ, что когда будутЪ разсматриваться величины
X и у, а по сему и ихЪ дифференціалы дх и ду, равно какЪ
и ддх, д^у , какЪ величины одного измѣренія , тогда будегиЪ
Эу ___ др , _.ѵ
величина р нуля измѣреніи, и Ц .— — 1 измѣреніи.
ИзЪ сего слѣдуетЪ, что естьли однородное уравненіе приве-
дено будетЪ вЪ уравненіе между х, у, р и с], шо по пазна-
чсніи величины у чрезЪ их, и величины чрегЪ понмпая
353
|и 1) количества пуля измѣреній , й по падспіаноьленіи вЪ
уравненіи, должно произойди такое уравненіе , вЪ коеиЪ вели
чина X будетЪ іо всѣхЪ членахЪ имѣть одинакое число измѣ-
реній на пр. Лл , ибо прочіе множители каждаго члена будутЪ
нуля измѣреній; слѣдовательно естьли іи веіо множителя
всѣ члены у[ авненія раздѣлятся, йіо велнчпиа х из'Ь уРавне»
нія со всѣмЪ выйдетЪ вонЪ, и остану .но я вЪ немЬ только ве-
личины р, и и ѵ, которое уравненіе пусть будешЪ (и). Не
назначеніе у ~ иХ доставляетъ Эу 55 ид” хЭи " рдх ,
3 *__ Эз . „___ ѵ
откуда получится — •— назначеніе же •/ — — доста-
_ Эр____ * Эх __др „ _ _
сляетЪ л- — ~ или , и чрезЪ сравненіе сихЪ вели-
чинъ -- получится уравненіе или (р^Іі)др—ѵди~О
которое пусть будешЪ (Ь). ТакимЪ образомЪ получатся два
уравненія '(а) и <Ь), содержащія піѣ же измѣняемыя величины
|э, и и г); и когда изЪ перваго опредѣлится которая либо изЪ
сихЬ величинЪ чрезЪ двѣ другія, и подставится во второмъ, то
получится дифференціальное уравненіе первой степени двухЪ
только измѣняемыхЬ величинЪ, коего разрѣшеніе принадле-
жать будетЪ кЪ правиламъ уже выше показанный!. Есшьли
изЪ оныхЪ уравненій (а) и (Ъ) выключится величина ѵ, кото-
рый есягь обыкновеннѣйшій случай, и по интегрованіи уравне-
нія ои’Ъ сего произшедшаго найдется отношеніе между р и «,
тогда или удобнѣе опредѣлится р чрезЪ и, и будешЪ р~Ц,
или и чрезЪ р и будешЪ и Р вЪ первомъ случаѣ будешЪ
Эх___ ди
— — и опредѣлится х чрезЪ и, или и чрезЪ х, послѣ
чего изЪ-уравненія у :~их опредѣлится и у чрезЪ иже, или
прямо чрезЪ X. вшоромЪ случаѣ будетЪ ~ ^р, ош-
куАа опредѣлится х чрезЪ Р, и потомЪ будешЪ у^Рх слѣ-
довательно опредѣлится также чрезЪ р.
Приличной множитель (й » §хх)р-^ху или {х-і&ХХ/Эу-&ГуЭѴл
НО помноженіи ня коего найдется интегралЪ уравненія
Члена III. 45
>54
Ырр + Кру + ^уу-С,. м
ИЛИ
|(«: + ^х)рр----ехур — +16ГГ = I С,-
или еще
(*+ $хх)Эу4- 2і?худхду -С)Эх2 = о.
Лля. полученія втораго1 интеграла назначимъ §хх
чрезЪ 722., то получимЪ
2жЭу“ — — ~уу — С)?Х2 — С
Пусть будетЪ у~мг, то уравненіе обратится вЪ
Эу*- 2и$йЛ - ™ - С) *: = о
ИЛИ
%аЭи* — і.и д& — ч—уши — С)'-7^—-—> гг С
х'Ѵу -Н ии) у / С (у«.Х--а)
или еще
?7Ъи2___С _____________________С*. _ — 0
22г7“ г. +_ пи^ у3 уу%я — а-х----у
С
откуда., подсшавивЪ вмѣсто С' получимЪ
Эиѵ’(і -|-ии) __ Эг
У(7й— (С -•- аё«и) (і ии)) гУетСУкг—а) 3
чрезЪ. что и- опредѣлится чрезЪ г.., а пйтэмЪ изъ наз”ачен'ія
/а -|- Сх х
и у опредѣлится чрезЪ г же, а <а .Ъ 7^3 У-у—я шо
у,- опредѣлится чрезЪ гс.
Подобномъ сему обрг юмЪ можно брать другія дифферен-
ціальны;* уравненія ви іа ч
» Рдр -{-- ОЭх ~ С
и- назначая для них-Ь множителей функціи, величины р сЪ
неопредѣленными функпіями измѣняемыхъ величинЬ х и у
опредѣлять, сіи функціи; или посредствомъ інхЪ опредѣлять
неопредѣленныя, функціи сихЪ же величинъ вЪ ура неніи пред-
ложеннаго вида
.555
§ 236.
'Оставляя трактовать дифференціальныя уравненія чтг-
♦рой степени за нужное с₽ишаемЬ здЬсь замѣтишь» что кромѣ
выше представленныхъ способовъ употребляемыхъ для разрѣ-
шенія сихЪ уравненій есть еще способѣ .принадлежащій ура-
вненіямъ всѣхЪ степеней взобще. Способъ сей основывается
на шомЪ, что каждое уравненіе п-й степени, по $ і#о, имѣешЪ
первымЪ иншеграломЪ своияЪ п уравненія степени -п — і изЪ
коихЪ вЪ хаждомЪ находится по особливой произвольной по-
стоянной величинѣ. Но сему основанію, естьли изЪ предло-
женнаго дифференціальнаго уравненія степени и , коего инте-
гралЪ сЪисхасіь трудно, чрезЪ дальнѣйшее дифференцированіе,
и соединеніе, естьли нужно, сЪ предложеннымъ уравненіемъ,
’Произведешся дифференціальное уравненіе степени ге-Ь- і, со-
держащее ьЪ себѣ ідною постоянною величиною менѣе, нежели
предложенное уравненіе; и естьли сіе вновь произведенное ура-
вненіе будетЪ способно кЪ т<іму, чтобЪ удобно можно было
ра-Ѣискашь кромѣ пре глаженнаго уравненія, всѣ прочіе п пер-
чыхЪ его интеграловъ, кои будутЪ дифференціальныя уравне-
нія п-й степени, изѣ коихЪ кажд іе содержать будетЪ по
особливсй постоянн й величинѣ.; тогда чрезЪ сне'гніе сихЪ
уравненій и предположеннаго выключатся всѣ дифференціаль-
ныя содержанія бывшія сихЪ уравненіяхъ, и получится
отношеніе между саѵыми измѣняемыми величинами, которое
л будетЬ интеіралЪ предложеннаго уравненія; и поелику бу-
детъ вЪ немЬ п прсьзволькыхЪ постоянныхъ величинъ, то
оно будетЪ полный и нпегралЬ предложеннаго уравненія. Но
о семо способѣ говорено будетЪ :іиже.
СТАТЬЯ ЧЕТВЕРТАЯ
*
О разрѣшеніе лннѣііныхб уравненій $сіх5 степеней.
§ ЗЗ?-
Линѣйными уравненіями, какЪ выше -видѣли , называются
шак.я уравненія , вЪ коихЪ ;вЬ каждомЪ членѣ одна изЪ измЬ-
45 *
35 О аекаь.
акевыхЬ и-мѣегнЪ одно только измѣреніе, считая за извгѣреніе
первуго степень какЪ ея шакЪ и каждаго ея дифференціала.
Полное сего рода уравненіе п й степени между измѣняемыли
величинами х и у есть ;
3 у-ьМахдп~Т/ч-х\Эіс2ап~У+ ... 4'Тдх’->чЛТ/ЭхЪ>
гдѣ величины* М, М . . . . Т, 17, супь функціи одной вели
чины х, кося дифференціалЪ ах предполагается постояннымъ
дли величины постоянныя.
Уравненія сіи, какЪ мы также видѣли, имѢстйЪ шо свой
сшво, что есшьли которому изЪ нихЪ часшнымЬ образомЪ
удовлетворяютъ величины у~з, у~'г/, у~^ к проч-
разумѣя пвдѣ’г, г^. и проч. функціи величины х, іпо ему
удов^еетворяетЪ также и функція .у^Ай-ьВ2/-ьСг//н-Г&
состоящая изЪ такого числа членовЪ, какой степени уравненіе,
и потому содержащая вЪ себѣ піаков число произвольныхъ
постоянныхъ величинЪ , какой оно степени; слѣдовательно-
составляющая полный интегралЪ уравненія. И дѣйствитель-
но пс подстановленіи вмѣсто величины у сего ея выраженія
вЪ оной дифференціальной фу нкціи Э*у —I— М'ЭхЭ Ч 4"
КЭх2б • • • ~і" ТЭхП "оу —Н СуЭ-Х™ получимЪ
А(Э’г 4'МЭхд-п"7<2 +О:^п_’й 4--..+ІШ)
+ В@Ѵ 4- МЭхЭ'"Ѵ +Шх8дп“V 4-,.. -ЬѴ2/Эхл)
4- С(Уг//+ маха’- Vх +Юх“Э”-’// +. .. Н-Ѵг^г’)
юея функціи \члеиы помноженные на А. В, С и гроч. , по-
рознь взяшЬіе, по причинѣ удовлетворенія *>чому уравненія,
обращаются каждый особенно вЪ нуль, а по сему и вся функ-
ція изЪ нихЪ состоящая обращается вЪ нуль, и слѣдовашель-
ма оная функція А% 4- Ві/ - 4- С?/х 4“ • ' • > изображенія-
=== 357
величины у взятая, предложенному уравненью удовлетво-
ряетъ.
і 235'
Хотя представленное вЪ предЪидущемЪ параграфѣ свой-
ство облегчаетЪ разрѣшеніе таковыхЪ уравненій вообще; но
наибольшею пользу првносишЪ оно вЪ разрѣшеніи шаких'Ь
уравненій сего рода, вЪ коихЪ коеффиціеиты М, 14, Р . . . II
сушь величины постоянныя. Пусть будетЪ таковое ура-
вненіе
Назначимъ для удовлетворенія сену уравненію у "резЪ в-*'*,
разумѣя подЪ е основаніе иперболическихЪ логариѳмовъ, и
подЪ л число постоянное; шо сіе уравненіе, по раздѣленіи
на е*-х, обратится вЪ
ЛП+АЛЙ_тН-Вхп~я+ .... 4-МХ4-Ы—О . .. (а),
которое имѣть будетЪ и корней X. Пусть всѣ сіи корни бу-
дутъ разные, и назначимъ ихЪ чрезЪ а, V то полу-
чится п разныхЪ выраженій еХх величины у, кои будутЪ
е€ж, е^ж и проч., и полный интегралЪ онаго дифферен-
ціальнаго уравненія будетЪ
Естьли вЪ числѣ сихЪ корней «, С, у и проч. будутЪ
аходиться корни мнимые, то сіи к' рни попаоно будутЪ та-
ковы, чшо есшьли одинЪ изЪ нихЬ будетЪ вида іЛ Ч-И}/—
то другой будетЪ вида р. — ѵ]/—и чаешь интеграла ошЪ
сихЪ корней зависящая будешЪ
^4-, ѵу_])х
Ч-вТ’”'-'),
которая велдчана по § 30, примешь видЪ
538 •=
Ке^хііп. (ух 4- 4") л ’ I
и таковаго вида части интеграла доставитъ каждая пари
чнимыхЪ корней ура: ненія.
"Затрудненіе встрѣчается вЪ разсужденіи равныхъ кор-
ней л онаго уравненія ; ибо тогда казалось бы, что в-ѣ сіи
корни досиіавятЪ вЪ составленіе полнаго ич-неграла о іинЬ
только членЪ. Для разрѣшенія сего затрудненія замѣішгмЬ.,
что естьли оная
функція Х*4"АХ
ммѣетЪ вЪ числѣ своихЪ множителей функцію
л‘-І-А'х''~' + вѴ_а+
шо поелику изЪ назначенія у ~ е^х получится вообще
УУ „ е~^дУ
---— Л е , я по сему А —---------» по сему вмѣстѣ
Ъх^ сю
сТ> онымЪ предложенными дифференціальнымъ уравненіемъ су-
щесшвуешЪ и дифференціальное уравненіе
э‘/ :#~'у ,^~у
"4-Г-А'-5-4 4-в'-5—-ь • . • = Ѳ,
Й 1 Й - I "Ч Й- 2 ’
дх дх дх
ибо дабы при ономЪ предположеніи у,^еКх сіе уравненіе дѣй-
ствительнп имііло мѣсто, требуется только чтобЪ было
X*1 —Л^Х* —{- Л 2 4“ • • . . • — О 9 при су-
ществованіи коего уравненія оная функція
л л" 4- АХ4"1 4- Влп“24-................... ]
дѣйствительно обратится вЪ нѵль, -гто единственно для удо-
влетворенія предложенному дифференціальному уравненію тре-
буется. Положимъ теперь , что оное уравненіе (а) имѣег”!
вЪ числѣ своихЪ -множителей
/х~-^) — х’ — лх ' "’^ 4- ^^2хІ!'’ Р1 —....* ІЪ
369
гао вмѣсс/Ь сЪ еимЪ множителемъ существовать будетЪ диф-
ференціальное уравненіе
й*~у л(і—і) э*“у
гг—ч- —--
дх дх 1 . 2. Эх.
• 3 - гЬч*'-— О,
„ __ ТГ У)» »
для удовлетворенія коему ежели назначимъ у — V6“ то-
поелику будетЪ Вообще
№4 ѵу/Э^Ѵ । Э”' ’Ѵ . тбт^і) Эт~аѴ
дх^~е (дх™ Н" і ~7
• - Ч »”Ѵ),.
оное дифференціальное уравненіе , по подегоановленіи вЪ немЪ,
Т дтѵ
_чѣстс’ каждаго дифференціальнаго содержанія , соотвит-
тг
отпоеннаго ему выраженія чрезЪ е. и V 9 по раздѣленіи ыал
э*ѵ_
* и сокращеніи обратится в’Ь — О. котораго уравке-
дх
нія по § 168, полный иніжегэалЪ есть V—4х Х3 разумѣя
подЪ симЪ изображеніемъ полную раціональную и цѣлую функ-
цію степени к — і величины х Слѣдовательно когда оное
уравненіе (а) имѣетЪ вЪ числѣ множителей своихЬ множителя
(X — 'и)Ь, тогда часть интеграла предложеннаго уравненія
ѵіхдѵЬ — >
отЪ сего множителя- зависящая будешь 6 ф Хі.
§ 259.
НазвавЪ для краткости дифференціальное содержаніе-
—ір буквою р(*); изобразимъ дифференціальноеу^ чвневіе поедЪи—
л- - л
дущаго параграфа чрезЪ
р<«’4. Арі" —> + Вр<-- =’ ч-......Ч-Мр'ч- - о,.
какЪ здѣсь каждые два. члена относятся кЪ случаю Берну/-
Збо
ліева уравненія, а ври шомЪ вЪ немЪ хоеффиціеніпы поСшояи»
ные, то для кажДыхЪ двухЪ членовЪ приличный множитель,
превращающій ихЪ вЪ полный дифференціалЪ будешЪ вида
пс сему взявЪ сего множителя для всей первой части
уравненія, и по умноженіи на него назначивъ интегралЪ ея
чрезЪ
' ‘Дп—з)
’р Ч-КУу) = Соп5С.,
возмемЪ обратно дифференціалЪ сего интеграла , который
ЗудешЬ
=:О
Р +вр
^р^+ХА'р^
и по раздѣленіи на едх сравнимъ сЪ онынЪ предложеннымъ
уравненіемъ, шо получится уравненіе
в7 4- ЛА' — В,
С'Ч-лВ^С
и шакЪ далѣе; наконецъ
КѴ4- хі/—М
ХМ':=КГ;
изЪ коихЪ по порядку получать будемЪ
А' = А — X
В' В — ХА + лл
(У — С — ХВ н- ХХА — X3
и проч. наконецъ
—М — ХЬН--. . . . • 4=ХП“>В^Х*“ ’А ±хк“‘
и , поелику лМх = К,
для опредѣленія величины X будемЪ имѣть уравненіе
Ал — АГ“‘-4- ВХп“а —..........+МХХ Ьі=:о.
&
361
Сіе уравненіе досшавишЪ п. разныхЪ величинъ X, чрезЪ что по-
лучится п разныхЪ множителей е**, и п разныхЪ иншеграловЪ
е1-'(р("'>+А/рс“““,-і-ВУ"_’)ч-... .4-ЬУч-МУ)=СопЛ.,
каковое число ихЪ уравненіе к й степени по § і8о и имѣть
должно; изЪ ксихЪ каждый будетЪ имѣть особливую произ-
вольную постоянную величину Сопзі. ИзЪ снесенія скхЪ п
иншеграловЪ можемЪ выключить всѣ величины р(п—'), М
и ироч., и получится отношеніе величинъ х и у содержащее
вЪ С“бѣ п произвольныхъ постоянныхъ величинъ, которое
шакожЪ предложенному дифференціальному уравненію удовле-
творять будетЪ, и будетЪ только интегралЪ его.
Легко видѣть можно, что естьли бы вторая часть онаго
предложенная дифференціальнаго уравненія, вмѣсто то] о, чшобЪ
быть ей равною нулю, было какая либо функція X величины
х, то и тогда бы сей же самый множитель ех*Эх ему прили-
чествовалъ ; только что тогда вЪ интегралѣ вторая чаешь
уравненія была бы /е ХЭх —}— Соп$І.я и по различію величи-
ны Л вЪ каждомЪ изЪ п иншеграловЪ была бы разная.
Уравненіе выведенное для опредѣленія величины X пока-
зываетъ, что вЪ предложенномъ дифференціальномъ уравненіи
А есть сумма всѣхЪ корней А, В сумма всѣхЪ двойныхъ ихЪ
произведеній, С сумма всѣхЪ тройныхъ произведеній, и нако-
нецъ № произведеніе всѣхЪ ихЪ ; уравненія же
А А' Ч~ X. В? —}- • Х'А/, С О —р X и проч.,
Показываютъ, что вЪ каждомЪ изЪ п иншеграловЪ онаго диф-
ференціальнаго уравненія коеффиціенты А7, В7, С7 и проч.
по порядку суть также сумма ѵсѣхЪ корней Л, сумма двой-
ныхъ ихЪ произведеній, сумма тройныхъ произведеній и такЪ
далѣе, выключая тошЪ корень А, который производитъ взя-
таго, для полученія интеграла, множителя е'хЭх.
ПолучивЪ изЪ дифференціальнаго уравненія
д^Ч-Ар^-’^Вр^-^Ч- . . . ч-Мр'-ЬХу = Х3
Частъ III,
302 ==
п ингпеграловЪ вида .
г»(Р<-о+Ау-:. ь... 4.і. р+хту) -/ь^хэг+с.
или лучше
р<"-\-А р^’н-В р<""3’н-..+ЬУ+М/^-’7Хех,Эх+Се
помножимі» второй изЪ нихЪ на д третій на д , четвертой
на д/7/ и такЪ далѣе, и послѣдній п й на д(а~ О, и сложивЪ
назначимъ коеффиціеншовЪ каждаго дифференціальнаго содер-
жанія рС*) р..внымЪ нулю, то отЪ сего' получится п — і урав-
н< ній , изЪ кэихЪ всѣ величины д опредѣлятся; послѣ чего,
мо назначеніи вшорыхЬ частей оньіхЪ интегральныхъ уравне-
ній п» порядку буквами V', Vх' ... Ѵ0:> получится уравненіе
(М7 Ч- / Ш 4- д" М'7/ -Н.......
— Vх + д'Ѵ" + д7/Ѵ/7/ 4- < • • 4-(/’-’МЧ
которое и БудетЪ полный иыпегралЪ предложеннаго у равненія;
вЬ коемЪ, вЪ случаѣ шоыЪ, ксгда Х“о, будетЪ каждая вели-
чина V вида Се и слѣдовательно симЪ образомЪ полу-
чится такой же интегралЪ, какой найденЪ и по способу пред-
ложенному вЪ предЪидущемЪ параграфѣ.
ИзЪ предЪидущаго явствуегаЪ, чшо интегралЪ мредложен*
наго дифференціальнаго уравненія будешЪ вида
2» = ѵ' + /ѵ"-ь <і"Чт /—’ѵн,
но дабы лучше усмотрѣть , изЪ чего состоять будешЪ вели-
чина равно какЪ и величина д', д д/х/ и проч. выключимъ
еяер»а изЪ оных п интеграловъ велячнну р(.п—для полу-
ченія (п і) уравненій, вЪ коихЪ самое высшее дифференціаль-
ное содержаніе будешЪ рС*—»); по шоыЪ чыклісчичЪ взЪ сихЪ
п—і уравненій величину для полученія н — а уравне-
ній вЪ коихЪ самое высшее дифференціальное содержаніе ьу-
дегоЪ и такЪ далѣе. Для сего назначимъ корни Л не
Чорядку Л//, . лС"), и взявЪ изЪ оныхЪ п инліе-
365
тральныхъ уравненій на пр. Ле и (/іі|-Е)е, производимыя кор-
і *4~ О
нями Л ил 9 пт. е. уравненія
. +Е«//+М<‘У=ѴС‘»
вычтемЪ» -.торое изЪ перваго. А чтобЪ удобнѣе усмотрѣть,
какая БудетЪ разность сихЪ уравненій, разсмотримъ разность
,лгновЪ О1* /--”’ » .1 коахЪ С® и
суті.’произведеніЯ по тп—і горней, изЪ к.ихЪ вЪ первыя вхо*
х НО — і
диіяЬ Л , а во вторыя Л . Естьли назначимъ сумму
произведеній корней Л по ш— і , исключая гаѣ , вЪ кои вхо-
X ' О 1Г . ѵ -
дятл Л и л , чрезЪ К , и сумму произведеніи корней
X по т—я., выключая шѣ зЪ кои входяіпЪ Х^ и X, ‘ чрезЪ
К , то будетЪ
Ѳа) = К-+Х(І+,)К' И О^'^КН-А^КЛ
по сему будепаЪ і
Ѳ(*Г— Сг^4-0 — + Х^К'.
ѵ ' ______________________ ' ” 1
ИзЪ сего слѣдуетЪ, что естьли мы опыя уравненія вычтемЪ
одно изЪ другаю, и по щрчЪ раздѣливЪ на Л —А л
изобразимъ чрезЪ
у(й)_уСй-А-і)
р -і-ар^ -Ь.....Ч-Х/э.4-/лу^
л • — л
<
то будетЪ ес сумма всѣхЪ корк и, кромѣ Х^ и > ‘ 3
умма дв> йчыхЪ произведен.'й, у сумма ніройныхЪ произведеній,
И юакЪ далѣе, сихЪ же корней.
ѵ— 46 *
збд
Бынншая іиакіімЬ образомЪ изЪ перваго интегральнаго
уравненія
р<"-'КА<'’р’"~аІн-Вс'У"-з)-І- • • • +Ѵ’Уч-М(,У=Ѵ<'
всѣ прочія п—і уравненія по порядку получимЪ П—і уравие-*
ній вида
у/___
Р<"-’Ч ... +ЛР<;. рГ = да *
Лч — А
гдѣ *с будешЪ сумма всѣхЪ корней Л, кромѣ лх итого д(Ф >
кошірый принадлежишь кЪ вычш нному’ уравненію, & сумма
двойныхъ прсиз іеденій, у сумма тройнымъ произведеній, шѣхЪ
же корней; и такЪ далѣе.
ТакимЪ же образомЪ изЪ сихЪ и—і уравненій вида
уО^уС*) у(’) у(*)
р'"-4 +ар(-!>н-^<”-'н...+Хв
V V"
вычитая изЪ перваго іп. е. веѣ пР0Ч*е п0 порядку
у/
ж‘ е‘ — Xх
у^«)
-----— получквЪ в—2 уравненій вида
X —X1
р<—з>+в'р<’-«)+еу"-Л+.................+ХУ-+-/У-Ѵ,
гдѣ коеффиціенты а, С, у и проч. будутЪ опять сумма кор-
ней Л, сумма двойныхЪ вхЪ произведеній и проч. кромѣ кор-
ней лх, А/х, ?Л*)Л отЪ коихЪ произошли игВ уравненія л чрезЛ
'несеніе коіпорыхЪ получилось сіе уравненье
р(”-з>+ ау“—>>_(_.............
*
величина же И будешЪ
уд -у^ Ѵ(Ь'
(.х'-'-лО " (Х'-Х^) (Лт-х^ 4 (л/-х1‘>ХѴ'- '"Ь
365
и шакЪ далѣе. Наконецъ найдется
V' . V"
У — у. -X') СХ ’ -Х’)~(Х^)—>') ^-ХЭСХ^-Х') .... да-’хт')
,_________________________________
р/ -ХС"))(Х’-ХС*))...• С>-(п-д)—Х(П)У
При нахожденіи сея величины, на случай піотЪ, когда число
п велико, нужно показать способъ легчайшаго нахожденія ве-
личины знаменателей каждаго ея члена. Для сего налначичЪ
оную функцію
Л" — АА*1-1 Ч- ВХ””-Й — ... Ч- МЛ К,
которая вЪ нашемЪ случаѣ равна нулю, буквою V» то тели-
ку оная функція
= (А г- А') (А — А") (А — А/х/) . . . . (Л — Xе*0);
будетЪ
(к/ _ х) (х/? — А)(А/// — А) ... . (А(п) — А) =2 Ч^ V ,
гдѣ верхній знакЪ принадлежать будешЪ кЪ п четному , и
нижній кЪ п нечетному.
ПотомЪ получится
. (Х' ‘-•>_Х)р1<н-‘)_х). (х«_х)=^ У_
- лч — X
коего уравненія первая чаешь, при предположеніи л“л(*) обра-
тится вЪ знаменателя величины ЦК*); по сему и вторая
часть будешЪ выражать величину сего знаменателя , когда
вЪ немЪ положится но вЪ семЪ случаѣ она соратит
® - * (/. .
ся вЪ —для того положимъ Л— Л Ч~м» и пусть при
семЪ V обратится вЪ "Ѵ'СО -}- V' /ссгЧ— • • * • шо тоіда вторая
часть будедіЪ
Збб е=
и по положеніи ® =2 о будешЪ ~ чн \ которую величпяу ,
какЪ прина лежащую кЪ корью Л(*0, изобразимъ чрезЪ
ТакимЪ образомЪ интегралЪ онаго уравненія изобразится чрезЪ
_ / іу ьѵ/ п//х п^х
\Ѵ' Vх V7 •+••••+ — 1
4 (>) Ѵ (0 (з) ѵ (п/
гдѣ верхній знакЪ принадлежитъ кЪ п четному, нижній же
кЪ п нечетному. Ери семЪ замѣтить должно, что величина
V7 тоже значитЪ , что и и Ѵх^п^ означаетъ ту величи-
ну, вЪ которую обращается оное дифференціальное содержаніе
ЗѴ - > — ха>
’ эх* ПОЛОЖИ*» л---л •
Естьли функція V имѣетЪ вЪ числѣ свеихЪ множителей
Множителя XX — 2аХ СО<Г. ф 4* аа, піакЪ, что множители
первой степени отЪ сею раздающіеся будутЪ
X — а(сол ф--|-ля. ф/—1) и X — а(со^.ф—ля.ф/—1),
илй корни уравненія Ѵ~о бу дуіьЪ
X т а(со$. ф-у $іп. ф/—1) и Х=га(ссл-ф—яя.ф/—1),
кои пусть будутЪ два первые корня а' и лУ; то естьли
назовемъ проиѣведеніе ПрочихЪ множителей фуикціч V буквой
ѴѴ, такЪ что бу.деіпЪ
Ѵ_(лХ-2аХсо<у.ф-і-аа)ѴѴ и V — (ХХ-2алсоі.ф+аа)ѴѴх+2(Х—аСіЛ.ф^Ѵ,
то будетЪ
Vх , = 2(Л'*— а со<У. и Ѵ^2)~ 2 (Х//—асо$. ф)\Ѵ ;
т. е.
ѴЛ ЛІИ. ф/—1 и Vх. — гаУѴ ЛІИ. Фу—I;
(9 () <2) (У)
Лри томЪ когда \Ѵ(>) изобразится чрезЪ Ь-у-ЬѴ — і, шо
будемъ
р.г, ь — ьѴ— і.
I
36т
ЧлезЪ сіе первые два члена интеграла обратятся чЪ
П'Ѵ' 4-0'ѵ;.,
и знаменатель
Ѵ (-)Ѵ\о будетЪ
т 4 а а ѴѴ^.ѴѴ зіп. ф2 ” 4а (I? Е'2) зіп. фу
вЬ числчтел-Б же будетЪ
иЪ/^Хе^Эх+ее-^О^-^Хе^гх+С^''”,
изЪ коихЪ первая величина, но назначенію величинъ а зіп. <р
чрезЪ р и сссоз.ф чрезЪ ѵ обратится вЪ
-.;|‘ (/хо(ѵ“ЬцУ-^хэх +• со
или вЪ
е~' (соз.[і.х-зіп.р.тУ-і')(/Хе "іхсоз хохзіп.ѵхУ-і+С7)
®шора> же во
г 'х(соз[хх+з іп.[ххУ-1)(/Х& дхсоз.<хх-/Хе:г^хзіп.[ххУ-1+С//)
и когда первая помножится на
= — 2вф.(1/ + Ь У і) ,
вторая же на
ѵ/0)= — 2 «|л (і/ — іу—і);
и соединятся вЪ одну сумму , то получится для числителя
4а|ле“ ((1сс<?. р.х — и'зіп. [хх)/Хе сЪхзіп. [хх—(Ь кз. [хх
н-Е зіп. [хх)[Хе'гдх соз. і іх) — 4ау€~’х(Р(Е/со<у. іхх-}~ѣзіп.[хх)
ч-Е (Ь соз. р-Х — к7зіп. р.х),
разумѣя
. О = С/4-С'''и Е = (С/—і;
л. е. понимая начальныя постоянныя величины мнимыя,
368
знаменатель же сего числителя, какЪ выше найдено, буде.тпЪ
4 а а |А ;л (Ь2 4- І/а) ,
и сократится сЪ числителемъ на ТакимЪ образомЪ изЪ
оныхЪ двухЪ членовЪ интеграла получится
е~ѵх((1 соз. |іх — I/ зіп. рх) (/ХеѵхЭх зіп. р.® — Е)
(V соз. /дх 4- Ь зіп. рх) (/Хе дх соз. у.х 4- В))
\ * ^7(1ь 4- і/і/) '
Когда. будетЪ нѣсколько корней А разныхЪ между собога,
то интегралЬ требовать будетЪ особливаго разЪисканія. По-
ложимъ спер а, что будетЪ два только корня равныхъ А' и А77;
то первые два члена интеграла обратятся оба «Ъ безконечные;
прочемЪ они будутЪ такогы , что безконечность будетЪ зЪ
обоиКЪ единакая, но сЪ противными знаками, и потому она
вЪ суммѣ ихЪ уничтожится, оставивъ вЪ остаткѣ величину
измѣримую; прочіе же чяены чр^зЪ сіе не измѣнятся. Дабк
сіе усмотрѣть положить сперва, чтіо А Ѵ-Ьаз, ісэ первый
членЪ интеграла будетЪ
»--х’(/х?'гх + о)
Агш
разумѣя жодЪ А/ произведеніе (X' — У/) (уР —X7) • • « «
вторый же членЪ интеграла будетЪ
е-(Х' + ^х(уХе(Х' + ы>Эх
— ю ш “Н -*•••)
разумѣя подЪ Ах—В/ш 4~ С/ ыи — . . . произведеніе
(ХІѴ-(ХЧ-^В .
шо есть
У? (У' г”" X7* -- й1} (У\У •— •*— &) * . . 4
56$
при шомЪ дробь
і ___•____ *
Л,-В,»4-С,,.» — .... А (і_Ьо_(_^&г_.,.
превратится вЪ безконечную строку
- • • - •);
такичЪ образомЪ числитель втораго ѵлена, при знаменателѣ
Ауш, будетЪ
—е-<х'+“’’(/Хе(х-НчіЭг+С,-)(И-В//Ш 4-С„™н- • )і
и кагЪ * ’
-і~Ь)Х _ . Кіі -»
“1-4-ШХН------:ХХ4~ .
-- ’ I . 2 - '
то сей числитель, по назначеніи С/7 чрезЪ
С'+С'^ + ^С'^ + ~,С'г/^+ ....-,
' — Хх _ _
кромѣ іин жителя —ѵ 9 будешЪ
/Хех'хЭх4-С7
4- ^((В^ — х)/Хех'*Эх 4-/‘Ххех'хЭх4-С(В//— х) 4- С7,)
* ии((Сх/—зВ^х-Ьхх)/Хех,жЭх4-^(В/~х)/Хх?^х
4- /*ХххеХхдх 4- Сх/С7 — зВ^С^х 4- С^хх) 4-......
который членЪ когда сложится сЪ онымЪ первымЪ , и сумма
раздѣлится на а», шо изЪ сихЪ двухЪ членовЪ, по назначеніи
о* _ о , получится
— Х'х
— Г(В/-і)/Хеѵ'Эх-1-;Хеѵ-хЭг+С-' (В,,-х) +С$)
ИЛИ
— Х'х
—— Хех’Эх —/йх/Хеѵ’ Эх+С'+С"х).
Естьли будутЪ три корня / , равные , шо на-
значивъ А/7~Х > /7~Л 4- со7, поаучимЪ для перваго
члена иипгегоала
Частъ Л1. 47
+ С'е~ х*
разумѣя подЪ Ау, у произведеніе множителей
Х^-У,
Второй члеиЪ интеграла будетЪ имѣть числа. шелемЪ
е-(ѵ+»^сХе-(* ‘
знаменателемъ же
числитель шретьяіо члена будетЪ
е~(Х'+и>/есх'+ы')хХдх -н С///е~(Х'4‘ ,
знаменатель же его- будетЪ
— — “0. (А/// — В//У + е//Хш/ — -ь • • •)
такимЪ образямЪ сумма всѣхЪ гпрехЪ первыхЪ членовЪ будетЪ
— Х'ж
в
((“-“) (/Хе^+СО -
+ С") (і+В, ѵм-СІѵИ-+. -.)+ ^-"'“(/Х^'+^дх-і-С”)
(і-і-в1„ш/ч-с1Х!+..........)
вЪ кошоромЪ изображеніи естьли под шавимЪ
। ь)2 шЗ □ ,
і-Ѵоох-4- —хх-н--------х3 4- . . . . .
--- * 1.2 -- 1.2.3
вмѣсто в~их и С7С'4* 7~ -Р • • • вмѣсто &,
С/4-С//0) Ч-—4- . . . вмѣсто С7//, то по под-
становленіи» вЪ остаткѣ, знаменателя А^ООй)7^ —«}л в п»
= 371
сокращенія дроби на ыс/(с/— «), а но шояЪ но назначеніи
Ы“О, й/^Э, получится
(СІѴ—ВІѵх-ь^)/Хех'*Эх + (В.„ — х)/Хех'х<Эх
+^/Хех''гхЭг+(СІѴ-ВІѵх+Э^-(ВІу-х)С$+±С^
I хх/Хех *Эх—сх/ Хе* *хЭх+/Хех ,ххЭх)=/дх/Эх/Хех1'Эх,
х/ХеХл$х уХ-ек*хЭх “ ГЭх/Хе* Эх,
будетЪ
е—к'«
у =------(СІѴ/Хех’'Эх — ВІѴ/Эх/ХеХхЭх +
А,ѵ
/Эх/Эх/Хех'*Эх+С' 4- С"х -г С^хх).
КакЪ при двухЪ равныхЪ г.орняхЪ X часть интеграла С -4-‘С//®
можетЪ разсматриваема быть заключающеюся вЪ интегралѣ
/Эх / Хех'*Эх или /2ХеХхЭх*; при шр®хЪ же равнылЪ кор-
няхъ Л часть интеграла С/*+- С"х С^Х2 можетЪ раз-
сматриваема быть заключающеюся ьЬ интегралѣ
рх/Эх/Х?,лЭх —/3ХсѴхЭх3;
то при оныхЪ двухЪ равныхЪ корняхЪ полный иі шегралТ»
отЬ нихЪ загисящгй будетЪ
—г— (Вл/Х^'*іх — /’Х?'*Эк’),
прі оныхЪ же трехЪ равныхЪ корняхЪ Л полный интегралЪ
отЪ нихЪ зависящій будешЪ
ѣ—Х>*
(С1У7 Хе^дх —ЬІѴУ5Хех'хЭх= +/’Хех'Эхг).
47 *
5у2 ==»
ИзЪ сего открывается вообще, что. естьли будетЪ т
корней равныхЪ л> т. е. Xх, Х/7> х//г _ . .
шо когда про-
изведеніе множителей
изобразится чрезЪ
А. В.т,а+С ,а*— П.и’Ч- -...±К, а.
и потомЪ дробь —* превратится вЪ безконечную строку видя
-----С, . ...К,- . г>ц ~Ь • • •)>
А(?Ю
тогда часть интеграла засясящах отЪ т оныхЪ равныхъ мно-
жителей будетЪ
<“Х'Х
-----(кгм-.-..РСеХ’хЭг—1,„, ./-Х^’Эх2 4- ..... ,
.---\ (яі--і)-/ ѵп-нр ’
± Хех’дх’п— ^/’Х^Эх”)»
гдѣ верхній знаг.Ъ принадлежитъ кЪ т. четному,, в нижній
кЪ т нечетному.
§ 24 о*-
Пусть еще будетЪ вЪ разсмошрЬн'іе взято уравненіе
+ ... М$Ч-Мх=Х;
йлп 1 Эхп 1 1 о*71 —3 г рх 1 ’
_ , . .. Эу дЗу дЬ
или, назначивъ дифференціальныя содержанія ^я3 и
вроч. чрезЪ рС р/г, р' 7 и проч. уравненіе
р;’Ѵ-ьАр<'‘—’х,”- ‘+Вр<п-^х',“Ч ...4-К/=Х
Естьли ьоьнемЪ во вниманіе какія либо, два смежные члены
4- Ох*-’
. =9 3|3
шс по. назначеніи величины рО’ О буквою и получимЪ
<*) __ ди
Р ---- дх. *
и оные іпа члена будутЪ .
Е х Эи Ч- Охк ~~ гдх
Эх _ 5
кошорые по помноженіи на хѴ-Эх, разумѣй
__ С I
Н- = Т ~~
оорапЕПіся вЪ полный дифференціалъ, чоего инш₽гралЪ будетЬ
Л + (л
Но сему каждые два смежные члены онаго- уравненія помпой
жены будучи на соотвѣтственную имЬ ст пень, количества я.
помноженную на дх обратятся вЪ полный дифференціалъ.
Слѣдовательно и всего предложеннаго уравненія множитель,
обращіющ'й ею вЪ полный дифференціалъ будетЪ нѣкоторая
степень величины х помноженная на Эх. Нг значимЪ сію. сте-
пень чрезЪ зА, и положимъ, что по помноженіи на нее инше-
гралЪ предложеннаго уравненія будетЬ
і* (х" -ь А'хп- $—'> ч- в/ -ь . -
Г.'х!р.+М» =/ХххЭх
то по- сравненіи дифференціала сего уравненія сЪ- предложен-
нымъ ураьненіемЪ получимЪ уравненія
А/-Ь И Ч- Х — А
8 Ч- Ч~ ~ч
е?ч-(пч-ь— 2,в —с
и проч. наконецъ
Ы «==>
М'4-(* + 2)І/ = М
(Л + 1)М' = И
•ткуда получать будемЪ по порядку
А' _ А — (и 4- X)
=В—(н 4- X — і) А 4- (о 4~л) (п 4- X—і)
С/=С-(п-+-Х-2)В4-(п-нХ-і )(г+Х- 2) А -(п-^Х)(^4-Х—1 )(пч-Х- 2)
наконепо
М/=М-(Хч-2)Ьч-(Хч-2)(Х+3)і—..(Х+Л2)(Хч-3).. .(Хч-и)
«
М~^ХЧ-1 )М-4~^Х-+ 1)(Хч-2)Ь—...4~(Х-Ь7 )(Х-Р2) .,^Хч-И^7^О
Послѣднее же будучи, вЪ отношеніи кЪ Л. п й степени, опре-
дѣлитъ п разныхЪ величинѣ А , а по сему и п разныхЪ мно-
жителей о? , посредствомъ коихЪ предложенное уравненіе
ыожегпЪ обращено быть вЪ полный дифференціалЪ. ГгчимЪ
образомЪ получится п разныхЪ ннтеграловЪ
і. \хпр(п~,>4-А/хп~2//"—* 4 -і-1/ххр 4- &7ху)-/ХххЭх
заключающихъ вЪ иншегралахЪ 1 Хх\)х столько же произволь-
ныхъ постоянныхъ величинъ. ИзЪ сихЪ л уравненій, служа-
щихъ ‘интегралами предложенному уравненію, чрезЪ снесеніе
г п — і)
ихЪ, выключатся сѣ дифференціальныя содержанія р <
—а) С —, •
Р , р и ироч. и получится ошн шеніе между -х
и у, содержащее п произвольныхъ постоянныхъ величинъ, и
-составляющее полный интегралЪ предложеннаго уравненія.
Оныя уравненія, по раздѣл нги к»жда о на соошвѣшсшзек-
жую ему величгку , будутЪ имѣть видЪ
я.,у3('‘^>Ц_ д<хп-уп- а>4.,, .>4-Ь/хгр4-М/г>с:х~х/,Хх' Эх;
375
и есиівлв пэмножввЪ ыпорое на дх, третье на четвертое
на и яроч. и по соединеніи чрезЬ сложеніе вЪ одно ура-
вненіе положимъ всѣхЪ коеффиціентовЪкромѣ
ЬЖ'-ЬдГМ’7 . -Ьд^^мЧ
равными пулю , чрезЪ что опредѣли шея псѣ величины (^, д/<4»
и проч., то- получимЪ для интеграла, предложеннаго диф-
ференціальнаго уравненія изображеніе
___і - /Ц"Ч-ГЦ,"-4- • • • -Н(п~ )Ѵ(Я>
** * — |А-
разумѣя подЬ I/, Ѵ/х, Г . . . ѵЛп) интегралы X Х.Х Эт
по порядку, соѳшвѣпгст./юзііе разнымъ корнямЪ А, и
И:=М/-ьд-М//+д'/М//'-Ь . . .. -Ф-^Я-,)МЧ
гдѣ каждое ѣ' ' —
А —I
іпакЪг. что естьли каждые.
№
(*)
- изобразится ьля краткости а , то будетЪ
1
____/ > і » л//л/л' I
. ,. л | д й । су л ) -*
Но и здѣсь, какЪ и вЪ предЬпдущемЪ паоаграфѣ лучше
Члены 17/, Ц// и проч. изобразить сЪ ихЪ собственными зна-
менателями, нежели сЪ общимЪ всѣхЪ ьнаыенаЦіСлемЪ. Для
сего взключймЬ изЪ оныхЪ п уравненій
а /э(п-,^4 А?хя“,р^_а)-ьВ/х’‘_3р(п_^-і-..,-+-М/ху^х"_>/ХххЭ^
соопівѣшствующихЪ корнямЪ Л/х, А//У . . . величины
(« — 1} (п —2у
₽ , р и проч. по обыкновенному способу изключе-
нія. ВЪ семЪ намѣреніи во первыхъ вЪ уравненіи (и). положрчЪ»
А’ -ф- П ^21 Иі, то оно обратится вЪ
т(т—\ 2) (т—3)... (т— х+і) —
... . ^(т—п-Ь 1} М.^р г.
37§
Тогда для интегральнаго уравненія вообще будешЪ
V ~ А — тп
В' = В — (т — і,)А'
С = С — (т — 2)в/
й' -п — (ш —3)0 "
и проч.
и X У*Хх^Эх обратится вЬ X '^Хт *дх.
Чк
ВычпгсмЪ теперь изЪ перваго интегральнаго упявненія _сѣ
преніе; й дабы увидѣть какой каждое досшакигпЪ осташокЪ,
вычгпемЪ изЪ него к.-е уравненіе, -шс поелику 5у\егаЬ
А А. Ас*>- т^—тпВ' - В(х° ~ «і(Л)А(Ъ-т'А' -(А — А^)
(т<ѵ>— и/) (А— т^—зп'ч-1), С/— С:Ч— ѵ *№к)—и/Вх
ч-г^В'-Е^)—^- т') 'В-(т^ч-т'-З) Ач-т(Ѵ}
—3(л« и ІІР°Ч- 1,0 *^иу каж-
дый сспапкгоЬ вЪ первой -части уравненія будетЪ дѣлиться
на И — іі/, и по раздѣленіи на сего дѣлителя будетЪ
имѣть -видЪ
г , . О
і (п-а; . Д (п -3) | _________-_________.______
Х Р Р I • • * (&) / ПА /* / (к^
' тп> ~т тп- -т
гдѣ будешЬ
А/~ А 4- і — (т{к' -Ь /и7),
В -В-(т ^-р-иГ-г) Ач-и/Чп ^+т^к\іг/'-т-т/тг—3(т(
и піахЪ далѣе; и симЪ сбразомЪ получится п — і дифферен-
ціальныхъ уравненій онаго вида. Есшьли теперь -изЪ перваго
сихЪ п—і уравненій вычшутся всѣ прочіе по порядку, ио
такимЪ же образоиЬ получится п- 2 уравненій; вЪ коихЪ «•
37,7
мое -высшее дифференціальное содержаніе будетЪ ?р(п—з).;
шакЪ что при вычиртанги изЪ уравненія содержащаго ,во вшо-
п'—V"
рои части ~,г^^ уравненія содержащаго ,во «второй части не-
;ІГ — у<2
личину —--г-------- будетЪ нЪ первой аасши коеффиціенпіп
т 7 — т
перваго члена
(т
сему всѣ члены вЪ Первой части уравненія раздѣлятся
;- ТМѴ‘) _____
коеффиЦіеншЬ :вптопаго «члени
*ИЛ и проч., а .по
на
— и п© раздѣленіи обѣихЬ частей .на сего дѣлииедг
будетЪ
п
X
(*)
Л —
— а (п-з)
Р
V'
V"
(т'—т") (іп^—т")
зЪ коемЪ будетЪ
/ю-,,?у
,и такЪ далѣе
/" -I-
ГдкЪ.'Ипо изобразивъ
(т/? — >п'') [ы т') — .т') — а „
— тх/) (іп^ — ... . . (т(п)—т//)г=. ъ9
(п/—т^) (шг—т7//) .
я проч.
для интеграла -предложеннаго уравненія ^получимЪ выраженіе
изЪ коего совершенно подобнымъ образомЪ, какЬ я зЪ предЪи-
дущемЪ параграфѣ., выведемъ .изображенія интеграла и для
Уастъ III. |8
576
ннимяхЪ, равно какЪ и для равныхЪ ксрней т иль Л; сЪ шою
толіко отмѣною, что іпамЪ было
1-4-шх 4—— смшххЧ- ——ьЛг5 -4-.............
а здѣсь будетЪ
х±ш = 1 ± ш/.х -р ^-2 ш (Ах)2 4з ш’ (Лх)» 4-.:. . г
а по сему вЪ инішгралахЪ V , У /, V//, ЦІѴ и проч. при
равнылЪ корняхЬ т или л вмѣсто х всйдешЪ 1.x.
СТАТЬЯ ПЯТАЯ
О слособі мнтеірованія уравненій лосредстволіб лре*
вращенія йх5 вЬ уравненія высшихъ стелв-ней*
5 24'-
Случается иногда, чпго дифференціальнаго уравненія к?>,«
кой либо степени двухЪ измѣняемыхъ величинъ х и у ин.не-
тралЪ разЪискать быьаетЬ трудно; но чрезЪ дальнѣйшее диф-
ференцированіе , со введеніемъ иногда новой дифференціальной
функціи йдх для трактованія постоянною вмѣсто тзй> ко-
торая прежде таковою трактовалась, сводится < но вЪ урав-
неніе высшей степени, коего полный интегралЪ получить мо-
жно; особливо когда то уравненіе, на которое оведемЪ , при-
надлежать будетЪ кЪ роду .пѣхЪ уравненій, кои трактованы
вЪ нреДТидущвй статьѣ. Положимъ, что начальное уравненіе
было степени Л-й , и послѣ т дифференцированій обратилось
оно.вЪ уравненіе степени п й, разумѣя пзі.Лн-т, и сего По-
слѣдняго уравненія полный иьтегралЪ разЪисканЪ будетЪ.
Сеіі интегралЪ будетЪ содержать вЬ себѣ п произвольныхъ1
постоянныхъ величинЪг, коихЪ вЪ послѣднемъ дифференціаль-
номъ уравненіи не было; интегралЪ же предложеннаго диффе-
ренціальнаго уравненія долженъ содержать вЪ себѣ только Й
произвольныхъ постоянныхъ величинъ; а и>. ееійу вЪ найден-
номъ интегралѣ , дабы енЪ приличествовалъ предложенному
уравненію > надлежитъ количеству т мзЪ оныхЪ п поешояц’
579
пыхЪ величинЪ имѣть опредѣленное значеніе. Дабы сіи т
произвольныхъ постоянныхъ величинЪ опредѣлишь, надлежитъ
найденный интегралЪ к разЪ сЪ ряду дифференцировать, и,
чрезЪ снесеніе самаго полученнаго интеграла и его к производ-
ныхъ уравненій , изЪ числа входящихъ вЪ него п произволь-
ныхъ постоянныхъ величинЪ выключать по к величинЪ, поку-
да получимЪ такое дифференціальное уравненіе , ьЪ коемЪ по
назначеніи істальныхЪ т произвольныхъ постоянныхъ вели-
чинъ извѣстными числами, или по обращеніи ихЪ вЪ иульл
получится предложенное дифференціальное уравненіе. ВЪ семЪ
случаѣ давЪ вЪ вайденномЪ интегралѣ онымЪ т постояннымъ
величинамъ тоже самое значеніе получимЪ отношеніе между
X и у сЪ к произвольными постоянными величинами, копюрое
будетЪ полный интегралЪ предложеннаго уравненія.
Примѣромъ сему пусть будетЪ уравненіе
у(у ЭЭ/ -р- Эу2) 4- пхЭх2 ~ о,
При "Эх постоянномъ. ОяінесемЪ спервг. сіе уравненіе кЪ диф-
ференціалу &х измѣняемому, подставивЪ по § 177 дду—д-^Х
вмѣсто ЭУу; и получится уравненіе
у(уЭЭу — 4~ 4- «яЭх2 — О,
ПотомЪ положимъ, что будетЪ посщрянна величина пЭхг^Эѣ,
шо найдется ЭЭх “— - * которая величина когда под-
ставится вЪ ономЪ уравненіи, то получится
У (у ЭЭу -ф- ~~ 4- Эу2) -У а хдхгу = о,
ди ду
уравненіе сіе показываетъ, что естьли положится -^-2— — у,
или и ~ — 9 то оно обратится вЪ у у ЭЭу -4- ПхЭх2 “ О ,
или ууЭЭу 4- ахуу Эй2 = о , или ЭЭу 4- сіх Э к2 — о.
которое чрезЪ дифференцированіе доставитъ Э <Ч-аЭхЭх2 — О,
48 ‘
4.00
•ли Э3у -р аЭхЭх3— О. Сіе уравненье, пб'§ 2З9, посред-’
АХ
епвомЪ множителя в э- и производящаго для опредѣленья л
уравненія X3-—достявлякщагэ три корнЛ Х/э.Х//,< X ,
доставитъ интегралЪ’
Се-Х'г С'е—^ С'е-^
Назначимъ а' чрезЪ а3 , то будетЪ
С ““
ТакимЪ образомЪ первая часшѵ- интеграла- будетЪ---------
За&
вторыя же двѣ части, по назначеніи С^— СХ— е, С//-+іС/~('і/~ 15»
и І^З^у доставятъ"
й'2аг /(2у5+Е)+со5.а'/2-(2уг-5)лн.аух I ?ах’
— --------------------------'-Ае“ со^.(ау^+^
ра.’учЬя
• ауГЧ^у .— - /’ . У\и д‘ — +яЛ
аѵ\85-ЬЕЕ)—’СО-У. ь»' 2/(55 4- {Е?-Л --------- ^аі
такЪ чшо пзслѣдняп) уравненія полный и;іпіггралЪ будетЪ
у ~ Ае~ а :я соо- (лу^'-р “г~ В<:' аЯІ»'
ПотомЪ найдется
• / х — /уЭг —-А/е~ ’а*дя еол (а^/2 -р -р В/ёйЛЭі.
ТГо
Уё~’агЭ2С05. (ау 2 ~р ~ е ’аі (ауг -р
Н*г7’е~5й^'л- (аУ% Н- 0 — 4‘/У. р ~‘а (^У ъ Ч~ <)-
ііо сему
/е~" ’ "Э2СО^.(ау2+4’)-~7е~ааг(Ісол(аУ2-+^~'?,'5‘І'/ккаѴ5’+С
— — '- е~ сот. (аух 4- 4 + I71) ,
разумѣя подЪ » дугу во ібо®; слѣдователь']о будетЪ
ах — — ,Ас ~’агсо<у. (лу? 4- <» + |?г) —• Ь вг«
Найді іныи ьазіи счмЪ образочЪ интегралЪ будетЪ вмѣстѣ
и интегралЪ предложеннаго уравнені; ; но вЪ немЪ находится
гари произвольныхъ постоянныхъ аеличинрі А, Е и коихЪ
вЪ Интегралѣ предложеннаго уравненія должно быть только!'
даѣ. Для опредѣленія одной изЪ нихЪ подсшааимЪ най^ен^
ныя выраженіе величины у и х вЪ предложенномъ уравненіи"'
отнесенномъ кЪ Эз постоянному, ш, е.- вЪ уравненіи
?Эу 4- ахЭя? — э, или 4- «х гг о,' или 4- а3х ~ о >
Назначивъ же ге-угч-^ буквою получимЪ
1 г(0у хіп. ф 4~ со$: ф) — лВе “*
~2 ~ |ааАс ф — со^. ф) ааВс. " “а ;
а3х — — ыа/Аг ~а йсо8. (ф -р* ^7 ааВе~ ая) •
по сему для удоглетвсренія ура. неніи 4- ах “ О я> шре-
Зуешся; чтобЪ было'
у ^іп. ф — |соі. ф— соѵ< (ф”4-14) о ;•
но сіе уравненіе существуетъ независимо отЪ величинъ і
слѣдовательно ее не опредѣляетъ. Сіё показываетъ, что хо-
тя по три произвольныхъ величинъ входищЪ чЪ опредѣленіе
каждой изЪ величинъ аз* и у ; н > когда выключаться 6/дегвЪ
дзЪ нихЪ величина г для опредѣленія гр'маго отношенія ые-
жііу величинами ь; и /, тогда вмѣстѣ сЪ г выключите.?
фига изЪ сихЪ постоянныхъ величинъ.
|02
$ 242.
ВЪ предЪидущемЪ параграфѣ употоебляли мы дифферен-
цированіе для приведенія предложеннаго уравненія гЪ уравне-
ніе высшей степени способное кЪ разрѣшенію; но иногда сіе
производится впэдя вЪ оное предложенное уравненіе вмѣсто
одной измѣняемой іоличины дифференціальную функцію вто-
рой изЪ цихЬ и какой либо посторонней измѣняемой величины.
Гаг.Ъ естьли предложенное дифференціальное уравненіе бу-
детЪ функція измѣняемыхъ величинЪ х и у, то когда мѣсто
величины у введемЪ функцію величинЪ X и и, и дифферен-
, - -ѵ ЭЭН
ціальныхЪ ихЪ содержаніи &х, и проч., піогда оное уравне-
ніе обратится вЪ другое высшей степени между величинами
и и х , и можетЪ быть оная функція вводимая вмѣсто у
шакЪ назначена, что сіе уравненіе высшей степени сведется
на такой видЪ, который разсматривавъ нами вЪ предЪигущей
статьѣ. Пусть на пр, предложено будешЪ уравненіе 1 Эрч ОЭх,
и назначимъ у чрезЪ дх—|- 'V, разумѣй подЪ и У функ-
ціи величину X в и, то будешЪ
Эу __ ѴЭЭи ди //ЭѴ\ , /ЭѴ\ Эи< . /ЭѴ\ , Эи.
дх дх2 ' Эх \лдх' I 'ди) дх) • 'Эх' ' • 'Эи Эха
Эу
шакимЪ образомЪ подставивЪ вЪ ономЪ уравненіи вмѣсто
сію величину, и вЪ величинахъ Р и вмѣсто у величину
4“ V, можемЪ вЪ нѣкотсрыхЪ случаяхъ назначить ѴяѴ
такЪ. что уравненіе приметЪ видЪ
Эди , ди . , -ѵ ,,
-4- а5- + X “О,
Эх- • Эх 1 \ ’
котораго рѣшеніе вообще извѣстно; изЪ котораго когда и опре-
дѣлится чрезЪ х, шо опредѣлится поіп„а’Ь и величина у по-
___________________________ ѴЭи . чгт
средствомъ назначенія у — ах" ’
4оЗ
Лубшь на Пр. предложено БудетЪ уравненіе
Эу -4- (ауу 4' Ру -ь О.)Эх хг о,
разумѣя подЪ Р и функціи одной величины х. Назначай!
у чрезЪ 4“ V поЛучимЪ
оу __ЪЗЭгі . Эі'Эѵ' , /ЭѴ • > >ЭѴ Эй
Эх Эх2 • Эха ' 'Эя ' 'Эй' * Эх *
И оное уравненіе обратится вЪ
331 .1 дѴ^и .1 аСЭі-7 , I //дѴ' , иѴХТ I А V I Ті»
Эхя “г" Шс2 ‘ Эх* "Т* іД\Эх/ "У" • М.Ѵ ~г 7
4- (тО + а+2аѴ)^ = о;
КОгаорсе дабы сходствовало сЪ уравненіемъ
ЭЭи . Эй А , ѵ__________________________
дх* ~Ь * эх Ч- &' -Г Х--° >
'і г? I Т Т -е-
надлежитъ во первыхЪ, чтобЪ было -|-аСоІГ—О, или
дѴ . -ѵ _____ л
-Г~ Ооіі —~. О$ откуда получится
V — аи 4“ Т» или
ПотомЪ должно быть
(«в + Т) «^) + «ѵѵ + ОѴ + Р) = № + X,
(«» + Т) (’;) + 0.4*-сДТі: а.
Второе изЪ сихЪ уравненій, при разсматриваніи одной величн-<
ны й измѣняемой, досіпавиіпЪ
(аи 4- у)® ЭV 2аѴ(аи ч- у)Эи 4- (аи -+- у) (О.— а) Эи о>
коего интегралЪ будетЪ
(аи -у у)2Ѵ 4- (* аии 4- "уи 4- В..
разумѣя йодЪ В функцію одной величины х; а изЪ сего , па
.. », _ 77 л’ , й —а .
назначеніи Э чрезЪ ~ получится V -]-------- - -
НЬ какова бы величина К езяіея ни была, кромѣ нуля, величи-
4<ч
на V цервсму изЪ оныхЪ уравненіи удовлеілрорипгь не мокетЬ
Для сего положимъ К ."гг о , т* будешЪ
V — Аі "2^ и .
” і а "* '•Лх* ~ дх аадх
и оное первое уоавненіе обратится вЪ
<«« + V) (Р +С=^Ь^=^-Д) = & + <„
для удовлетвор. нія коему на ілежиг’Ъ положишь
др д. а ±<Аі~2^_ $ и Х = ѵ₽.
Слѣдовательно будешЬ
4е-аа-ь0.0.’-2^
Р =г.
4<і . » ”
при шомЪ для большей простоты рожяо положишь о, и
будешЪ
аи 9 2» 5
’акииЪ образомЪ уравненіе
4*
эЭО
и X ~С
Эх ~ О
4а
обраігилси чЪ уравненіе
и “ о.
а Т I
во назначеніи у чрезЪ , г у-
' ' * йЭа , Эи
Эх1 Н~ а^і ~
уравненіе .сіе по § 223, при предположеніи, згио -функпіі
(^2 — лЛ —}— 4? ѵмѣешЪ множителей Ч~ и будетЪ
будетЪ имѣть иншегралоыЪ
Се-(’ - С>-'*
и —-------------- ----,
8---- 3
.оторый, во случаѣ мнимости діныхЪ корней разумѣя
~ ’— 1 и « — 1
обращается вЪ
и “ А е~' гх со8. (^х + $);
4©5
вЪ случаѣ же равенства корней 3 и е обращается -Ъ
и = е“*х(Аг -ь В).
И такЪ интегралЪ предложеннаго уравненія будетЪ вЪ пер-
вомъ случаѣ
_2С/е-“—5Се~'х а_й_ А«(’~!” — 8 ,_г
У—а(С<Г&—С'еГ') + Г ~а(1-Ае(’~і'?)+ ’ “ ’
разумѣя с’ — во второмЪ сл}гчаѣ
—< ’ИМг.т (уу т-0)_« .
У__________________________________* ’ • аа >
вЪ третьемъ случаѣ
_____ А — о’В — 5Ах . « — _____і — ?(х Ч- С) । а— й
У а(Ах — В) • аа ’ в(х Н- С) за
§ 24З.
ВЪ предЪидущихЪ параграфахъ мы отЪ уравненія низшей
степени, котораго интегрованіе не удобно, переходили кЪ урав-
ненію высшей степени, котораго интегрованіе удобно совер-
шается. И напротивъ отЪ каждаго уравненія высшей сте-
пени , вида
Эпу д Эп гу > т> дп гУ і
дхп ЛЭхп —1 С-9хп—1 ~Т”
. . Му = о
можно произвесть уравненіе одною степенью, или двумя, или
тремя, и такЪ далѣе, степенями ниже, котораго прямое инте-
грованіе трудно, но посредствомъ интегрованія онаго уравне-
нія удобно совершается. И во первыхъ естьли назначимъ
чрезЪ иу, то будеіпЪ
дх2— Удх^идх—У\дх\ии)і дхз—У'-дх2' эх ~^~и/г
Э4у гдЗи . 4идди . °ди.2 . бииди ,
Эх4 — у (аіз< дх2~ "і д»' и ) и ПР°Ч-
И когда сіи выраженія дифференціальныхъ содержаній
кодставимЪ вЪ предЪидущемЪ уравненіи, и потомЪ раздѣлимъ
Частъ 111.
фоб
на у, шо получимЪ дифференціальное уравненіе между величи-
нами и и х» одною степенью низшее предЪидущаго.
Естьли бы изЪ оныхЪ уравненій удобнѣе могла выклю-
читься величина и, то бы по интегрованіи уравненія отЪ то-
го пр изшеішаго или величина р опредѣлилась чрезЪ ѵ и было
Р = ѵ, или бы величина ѵ опредѣлилась чрезЪ р, и была
ѵ___г ВЪ первомъ случаѣ было бы а величина X
Я у
опредѣлилась бы чрезТ ѵ. а пнпояЪ нашлось бы уѴдх.
' дх д р
Во второмЪ случаѣ было бы - —-у , и опредѣлилась внличи-
на х чрезЪ рр а потомЪ была бы величина у—/рдх, я опредѣ-
лилась тиьже чрезЪ р.
Естьли же изЪ оныхЪ уравненій у іобнѣе можетЪ выклю-
читься величина р, шо по инпіегрованіи уравненія ошЪ того
произшедшаго , и опредѣленіи чрезЪ то отношенія между и
и ѵ, потомЪ по снесеніи сего отношенія сЪ уравненіемъ (а) ,
величина р опредѣлится или чрезЪ и или чрезЪ ѵ; и для по-
лученія величинъ х и у, вЪ первомЪ случаѣ будемЪ имѣть
Эл Эи __ _
уравненія и у ~ их 9 во вшоромЪ случаѣ
и г—
к
Пусть на пр. предложено будетЪ уравненіе
ххЪду — ахЪхЪу -ф- 6уЭх2 — о,
при Эх постоянномъ, уравненіе будетЪ
хху— о, иди ѵ— ар -ЬЬи=о_,
пс сему
ѵ ~ ар — Ъи,
которая величина подставлена будучи вЪ ураьненіи (Ь) до-
сшавдшЪ уравненіе
До?
(р —- и)Эр — (ар — Ъи)ди — о.
%
Для одциродспіза сего уравненія положимъ и — рг, то будетЪ'
Эи рдъ 4~ гЭр ,
и оно обратится вЪ
др _____________ ___ (а — Ля) Эа _ _ *
Р і — (і л)а -Ь Вхх
Пусть будетЪ
і — (і4-а)х4-Ьяй—(і—ах) (і — Ся),
шо будешЪ
др і /а (а — і) Эя __ б(е — цЭа\
р І,_г а — С « і — аи ’ і — С я '
' И
Эх _ др , др_____ др _______ Эх _ т / аЭг € Эгі \
л ~ ѵ Лр — Ъи (а — 6х) р ' і— ( а)х +~ Ъхх а—С кі—ах і— °,х' *
изЪ коихЪ получатся два другихЪ уравненія
др _( -- ')Эх___€Эи м др (ё --- і)Эх__ а.Э»
Р X I—ея* р ~~х ~— I —~ал‘
Первое изЪ нихЪ доставитъ или рх—^у~Сх\
X
р(і — ах)_гл/ __
вторцс же---—=3:,С или рх — ау“С х , і изЪ
аг
сихЪ найдется
Сх“— Схх€
У =-------*----— Ахх— Вхг.
а— ?
Есшьли & ~ ,
др (аа — і
Эх
ѵх
то будетЪ
аах) дх___ др
гТ^о^у —О, или —
и
_ дг _ _ Э^> (а — і)Эх
(і — «г)2 ИЛИ *“ х “*
«Эя (а ------- і) дя
і — аа (і ------'
«Эа __ дх дг
----—О и — — ———7.;
і —• «а х (і — ах\й>
49 *
Д-О& е=
изЪ коихЪ первое доставитъ — С, второе *е
---СУх”; изЪ снесенія коихЪ найдется
рх — СхлІ.С х ~ Ах“1. х.
, г „__ ВІ.х — і.
при томЪ будетъ %> — ~а^Гх~ » а п0 сему
у ~рхъ — Сха(В/.х—і), или у —хя(А7. х ф-В).
Е.тьли 2» то будетЪ и вида р.-]-уѴ—.1
и 10 вида тогда положивъ что х~ег полу-
ЧимЬ
Аак т> €»
е — Ве ,
и поступивъ такимЪ же образомЪ, какЪ поступлено вЪ § 223
вЪ подобномъ сему случаѣ, найдемЪ
у ~ Се"2 соз1.(у2 4-в^)-“Схм'со<у. (уі.х-^- %),
§ 244.
Случается иногда, что дифференціальное уравненіе между
Хну, не будучи предложено однороднымъ , вЪ однородное
приведено быть можетЪ , когда дано будетЬ которой либо
изЪ измѣняемыхъ величинЪ нѣсколько измѣреній. Для сего
сшоитЬ только вообразить, что на нр. величина у и каждый
ея дифференціалъ суть количества п измѣреній, и разсмо-
трѣть, каково должно быть число п, дабы вышло число измѣ-
реній во всѣхЪ членахЪ равное ; такимЪ образомЪ и откроется
возможность или невозможность обращенія предложеннаго ура-
вненія вЪ однородное, и вЪ случаѣ возможности опредѣлится
самое число измѣреній п, какое величинѣ у дашь должно.
Пусть на пр. предложено будетЪ уравненіе
ахгЭ Ъу -Ь Ьх* у* Эх Эу -ф- сх’ у* Зх2 ~ о.
4о»
ОсшавивЪ величинѣ я одно измѣреніе, назначивъ величинѣ у и
ея дифференціаламъ по п измѣреній , ню для однородсіпва
уравненія гпребоватьея будетЪ, чтобЪ было «4-7—зп-4-3=2П4*5«
Сравненіе П-+-7 — п -+- 3 досшавкшЪ п~г; которое число
обращая п-4-7 и Зп-р з вЪ в> личины равныя, обращаетъ и
величинъ : П-+-5 вЬ равную также имЪ, изЪ коихЪ каждая бу-
дешь — 9; и сіе показываетъ, что горда величинѣ у дастся
два измѣренія , ш. е. когда она назначится вЪ однородную со-
держащую во всѣхЪ членахЪ по 9 измѣреній.
Положимъ, что какое либо дифференціальное уравненіе
второй степени между измѣняемыми величинами х и у пре-
вратится вЬ однородное, когда величинѣ у дано будешЪ п из-
мѣреній. Назначимъ Эу— рдх, ?р— то будетЪ
др
р— дх содержать п—і измѣреній, и </ — ал содержать п — 1
измѣреній. Слѣдовательно есшьли вЪ ономЪ уравненіи,
по изображеніи < го чрезЪ X, у, р, д, подставится
у~І:Х , р~их , (]~ѵхп 2, шо всѣ члены будутЪ
имѣть множителемЪ одинакую степень величины х. а посему
по раздѣленіи ею на сего множителя . получится ура неніе
только между величинами і, и и ѵ изЪ коего ѵ опредѣлится
чрезЪ і и н.
п — I
р~их
получимЪ
дх
X
а посему
Но взявши дифференціалы уравненій у— ІХ а
и
подсшавивЪ рдх вмѣсто ду и
ддх вмѣсто Эр,
ді и дх ________________ _________дя_________
а —і пі * я ѵ — (п — і) и *
(и — пі)ди — (ѵ—(и—
ПодсшавивЪ вЬ семЪ уравненіи вмѣсто ѵ изображеніе его чрезЪ
И и 4 П'-лучимЪ дифференціальное уравненіе первой степени
ме«лу двумя только величинами и и С, изЪ коего «предѣлит-
ся а чрезЪ I, и будешЪ и~Т; тогда изЪ уравненія — —Т~
4Іо ' ~
опредѣлится х чрезЪ Т, а мопюнЪ *а основаніи иаяначечія
, п
у — СХ , и величина у опредѣлится чрезЪ С.
Пусть будетЪ предложено уравненіе
Х*дду — (х* -|- 2Яу) дх ду-]-4ууЭх2 “о,
при Эх постоянномъ. Положивъ, что для приведенія сего
уравненія вЪ однородное надлежитъ дать величинѣ у "исло
измѣреніи и требоваться будетЪ, чтобЪ было П-ь4—2Н-+-2,
я по сему п ~ 2. И такЪ на «лежитЪ на начипіь у~іхх»
р~иж и д ~ѵ или у~іхх, ду~ихЭх, Эду — удх2, и
такимЪ образомЬ по раздѣленіи на х4 ?х2 получится
ѵ — (і -}-2^)иЧ-4ітг=о.
ЛотомЪ, по причинѣ п ~ 2, получатся уравненія
(и — 2г)Эи —(у— и)дЬ и |
По подстановленіи вЪ первомЪ изЪ сихЪ величины ѵ взятой
изЪ предЪидущаго уравненія получится
(и — 2ідди~2і (и — 2г)Эі, или (и — 2I) (ди — 2ідЬ) — о;
слѣдовательно будетЪ или и — ” о, а по сему
и ” 2і‘і или ди —— 2ІдІ о,
п Т. ОХ_0І
а по сему и_ііч-л» Первая величина и доставить — — —,
а по сему Эі“о; слѣдовательно і~сс, и у~ссхх. Вшо-
» дх ____________________________ ді
рая величина и доставляетъ — — п гЛ । гдѣ различить
должно три случая: или «—і, или а—і— кк, или а~і-Ь-кк.
Естьли <*~і, то ~"Г)» и откуда
найдется
—, и у^ххх---------Есшьли «—1 —
і 1 х
е
= 4п
3* ___ЭУ __ дг______, і / Эу Эу »
X (У—і)2-кк <У-(і+*)) (У-(і—*)) 2к ку_ (!+*) Г-(1—*)/’
и
/*Ѵ* ___ г — (г — >)
-- У-(« + *)У
откуда найдется
Г=1Н-А-Ь—--------- И у^і^к)хх+~^—:
—1 (е) -'1
Естьли «— 1 кк, шо — — _____ір-і-ік* и по назначеніи
І — 1 — к <9 будетЪ
Эх__ Эг кдх_ Эг
*---Н*+«)’ или V----і -г'уг*
л по сему
з=іап&кІ.у, и і — і-рЛісіп^.кк -* ;
слѣдовательно
у—хх к хх іап&. к I. ~Ч
КакЪ полный интегралЪ дифференціальнаго уравненія вто-
рой степени долженъ содержать двѣ произвольныхъ постоян-
ныхъ величины не бывшихъ вЪ дифференціальномъ уравненіи;
то интегралЪ онаго предложеннаго уравненія, доставляемой
второю величиною Н-Ь-м количества и, какЪ содержащій двѣ
произвольныя величины к и 6, или и и будешЪ интегралЪ
н>лный,- интегралЪ же у“ххх, доставляемый величи-
ною количества и, какЪ содержащій о гну только произ-
вольную величину а, и при томЪ содержащійся вЪ ономЪ пол-
номъ интегралѣ, ибо изЪ него при положеніи происхо-
дишь, будетЬ частный интегралЪ сего уравненія.
412 =====
III. Разрѣшеніе мтійныхЪ уравненій второй стелени,
§ 245-
Линѣйными дифференціальными уравненіями вообще на-
зываются такія уравненія , вЪ коихЪ одна изЪ измѣняемыхъ
величинъ сама или вЪ дифференціальномъ ея видѣ, входитЪ
Ь каждый членЪ множителемъ первой степени, Таково есть
уравненіе
Э"у 4- МЭЛ ~ 'удх -н Юп 9 удх' -Ь ОЭП 3уЭх3 4-.......
4- В Эу Эх* 14- 8 у Эх?_ о,
вЪ коемЪ величина у, или какой либо дифференціалЪ ея , на-
ходится вЪ каждомЪ членѣ, и при томЪ составляетъ множи-
теля только первой степени.
ВозмемЪ тепер вЪ разсмотрѣніе линѣйно'е дифферен-
ціальное уравненіе второй степени
ЭЭу4~МЭхЭу4- КуЭх2 — о,
вЪ кошоромЪ М и Н суть функціи величины х Поелику
дифференціалы всѣхЪ степеней величины е? имѣютЪ однимЪ
изЪ множителей своихЪ сію самую величину ея, другимЪ же
величины происходящія отЪ дифференцированія екснонента г,
то когда назначимъ у чрезЪ е^х, тогда очое уравненіе, по
раздѣленіи на Эхе^^х обратится вЪ уравненіе первой степени
между и и х. И дѣйствительно назначивъ ушшв^* ио-
лучимЪ
ду — е?иЪх идх, дду ~ е^идх Эи дх 4- е /иЭхии Эха;
которыя величины когда подставятся вЪ ономЪ уравненіи, то
по раздѣленіи на в ах получится уравненіе
Эи 4-(ии 4-Ми 4-№) йс гг о.
I
$15
И шакЪ вЬ к-сшоротиЪ случаѣ сіе послѣднее уравненіе разрѣ-
шено быть можетЪ, зЪ гоомь.же случаѣ и самое оное диффе-
ренціальное второй степени уравненіе принимаетъ разрѣшеніе;
ибо когда изЪ оп го уравненія опредѣлится и черезЪ х , то-
гда найдется и величина [йзх, а. потому и величина у опре-
дѣлится чрезЪ х.
Уравненію
ди 4- (ии 4~ Ми 4“ К) Эх — о
зіожно дашь видЪ нѣсколько и проще, положивъ
и -р |М —
ибо тогда, по назначеніи дифференціала ЭМ чрезЪ М'о'Х оное
-обратится вЪ
Эя 4- (аж 4- И — |Мг — |МИ)Эх — о,
5іли , назначиві № — |М— ММ буквою Р, вЪ
Эя 4- (яя 4- Р)Эх = о.
Можно сЪ тѣмЪ же нам-’» сніемЪ назначишь и чрезЪ сг; шогді
уравненіе отЪ сею пелучі нное
ідъ 4- я -4- МіЭх) 4- (Й2*д 4- И) Эх п ѳ
можно будешЪ раздѣлишь на два, положивъ
ді 4- МОх ~ о и іЭг 4- 4- Эх = о ;
изЪ коихЪ первое доставитъ 1^.6 которая величина
когда назначится д\я краткости чрезЪ X, и подставинг я в©
віи- ромЪ ур авненіи, шо для опредѣленія величины г получится
уравненіе
Э-2 4- Хгг Эх н- -$• Эх — о.
Л.
'Сги уравненія первой степени, на кои сводится разрѣшеніе
онаго лин+йнаго уравненія второй степени, трактованы быть
иогугаЪ по правиламъ выше предложеннымъ, особливо же по-
средствомъ множителей.
Чиспгъ 111. 50
4>4
§ 2+6.
• /
Линѣйныя уравненія имѣютЪ еще то важное свойства ,
служащее кЪ облегченію ихЪ разрѣшенія , что ес.пьли для ка-
кого либо уравненія будетЪ нѣсколько частныхъ выраженій
величины входящей линѣйнымЬ об] ізомЪ вЬ оное уравненіе
чрезЪ другую измѣняемою величину, удовлетворяющихъ оному
уравненію, и потомЪ сіи частныя выраженія, но умноженіи на
произвольныхъ постоянныхъ множителей, соединятся вЬ одно,
шо и сіе послѣднее выраженіе оной величины будетЪ также
удовлетворять уравненію. Ибо положимъ , что функцію
эѴ-4-МЭп“УЭх+ Ю^уЭх2-}-. • ч- Ю/Э?"’4-8/3/,
обращаютъ вЪ нуль величины /—ГІ, у.“II7» ) — и проч.,
шо естьли назначимъ
у = аѴ4-ви74-уѴ7,-+- ......
тогда оная функція обратится вЪ
</17 ч-мэп"1иа~-+-юп”2идхя+. ^кэѵэхп~Іч-зидх’)
н- -еМЭп"іО/Эг+М^72Ѵ/ЭхЧ= ... ч-ВЭО'дх")
нмэп'ѵ73х+юп-’и77эх+.. .+вэи/'дхп"_ь$сл/эхг)
и поелику каждая ея часть особенно обращается чЪ нуль , то
и вся сна обратится также вЬ нуль ; а слъдоваіпельно когда
оныя выраженія у^іП, у ^21II7, у~17/7 и проч. предло-
женному уравненію удовлетворяютъ, то удовлетворитъ и вы-
раженіе
у — аі) Ч-СІГ-Ь уіГ7 4- .....
Поелику есттли для линѣйнаго уравненія второй степени
ЭЭу Ч- МЭхЭу —р- МуЭх2 —- о,
=э 415
сЪищугася двѣ частныхЪ величины У —II и у^Ѵ' удовле-
творяющихъ ему , шо выраженіе
у = аіі Ч-
будетЪ полный интегралЪ онаго уравненія; ибо удовлетворяя
ему будетЪ содержать двѣ произвольныхъ постоянныхъ вели
чины л и ё, коихЪ вЪ уравненіи ие было.
Когда же для линѣйнаго уравненія
ЭЭу н- МЭуЭх №ѵЭх2 — О
посредствомъ двухЪ частныхЪ иніпеграловЪ у “V и у~~гіУ
сыщется полный интегралЪ у — а.'^ то вЪ тоже вре-
мя сЬищется и полный интегралЪ уравненія
Эи (ни -4- Ми І\^Эг — о,
5Ь которое оное уразченіе, чрееЪ подсшановленіе у — С 9
Эу^=уидх, обращается; и дѣйствительно поелику и^.~.
с , ___ адЬ’-І-еЭѴ' 2 х
будете тогда и — <«ц~-У д>и«4& 5 ИлИ П',Л<1ЖИВЬ
1 — Ѵ «О -У*/_
а --- • > -- <17 -4- 7 ГУ) 8х ’
т,;ѣ у будетЪ произвольная постоянная величина, дѣлающая
интеіралЬ полнымЬ.
И ѵапротквЪ, когда бы мы могли найти два разныхЪ
частныхЪ интеграла и~ ѵ и и~ѵ для уравненія _
Эи -Ь (ии 4- Ми К) Эх — о ,
то бы могли получить и полный интегралЪ уравненія
ЭЭу 4- МЭгЭг ~Ь Ю і?2 ~ О.
И слѣдовательно тогда бы частно удовлетворяли семѵ послѣд-
_____________________________________________ /ѵЭх /ѵдх
нему уравненію др^ величавы у, а именно у ~в , у~е ,
а по сему былЪ бы полный интегралЪ сего сравненія
5о *
4»б =—в.
у = аеЫх + Кел,ги
Сей же полный иныегрзлЬ доставитъ в полный ьнпгеградЪ
онаго уравненія
Ъи (ии 4- Ми 4- Ы)Эх о- >
коиіорын будетЪ
+6рел’л и —г
в -г‘',л ~' ер^т5ж ЛИ Т , «„/(.<— ѵ}?хг
а. & —і—н^с
а
гдѣ будегаѣ произвольная постоянная величина.
Случиться можетЪ, что частный интегралЪ уравненія
Эи 4- (ни 4- Ми 4~ — о
будете вида Н^у4-]/уу разумѣя ѵ и ѵ функціи велшины
X, тогда будетЪ
у—аеЛЭа^4- іе/ѵдх ~ ^хУѵ — е^х (ае/ЭгЛ-Ь $ е~/дхѴу
Естьли бы ьЪ с?мЪ послѣднемъ а учаѣ величина ")/» была мни-
мая “хУ—і , то бы по назначеніи величины /гЭдс чрезЪ с,
величина ае 4‘Ь® обратилась вЪ ссе ~т 9
которая, по § 30, изобразится ~вЪ видѣ
у ео.у. (г, 4- — у ёол (/жЭх 4- г
я тогда бы величина у былд
— (/жЭх 4- ~ уе' ’ "лссу. (/Эіг/ѵ 4- 4)'і
а- изЪ сего нанілось бы для- полнаго интеграла уравненія
Эи 4- (ик 4- Ми 4- ЭД Эх о т
изображеніе-
===== 4*7
уе 'дя (ѵ соз. (у’Эх -/ѵ 4”) — /г яп. (/Эх /ѵ Ч ^))
11^2----------------7-х----------------------------~
уе/ѵ3' соз. ([дХ]/ѵ +
=± »» — У>.ІСЯ§.(/Эх/г + %).
ВозмеиЪ для примѣра уравненіе
ЭЭу“ЬаЭхЭу -4- Ъудх*- =: о . . (а),.
шо по назначеніи величины у чрезЪ е^и^х оно обратится вЪ
Эй Ч- (и», Ч-* аи Ч- Ь)Эх гх о . . . (6).
€е«у урагненію удовлетворитъ каждая такая постоянная ве-
личина в, которая ыножигпеля ии Ч~ ои Ч- Ь обращаетъ вЪ
нуль; ибо тогда чле:іы <4 и (ии Ч' &М Ч- Ь) Эх каждый:
порознь обратятся ьЪ нуль^
Положивъ- что ии 4“ йіі Ч~ Ь — (и — тп, (іс— л), пю
уравненчэ (&) удввлетвооитЪ и~т и и— п, а по сену пред-
ложенному уравненію (а) удовлетворятъ величины и
у^:е1іх, и полный интегралЪ сего уравненія (а) будетЪ
у ~ ае^Ч"§уравненія же (Ъ) полный интегралЪ будетЪ
Есиіьхи —1 и П~р.——I, то будетЪ
у — уе^соз. (рх Ч- <4 и и — иіап^ (ух Ч- <^)-
1'ІазпачимЪ тп.~ гаX , то будетЪ
Положимъ потойЪ* что а-ь(» —7съЛх шо будетЪ
4і» в=
У - ВХе"*(Л + х; .);
предположивъ гюіпомЪ , чтэ ёЛ —слѣдовательно Л ~,
положимЪ Л—о, вЪ которое время будетЪ б — °°? и полу-
чится
у = '*(& 4- х) ~ еп*(А 4^ Вх).
Впрочемъ интегралЪ сей получится иначе слѣдующимъ обра-
зомЪ когда
ии -г- аи -Ь 6 ~ (и — п)2,
тогда оное уравненіе
дду + аЭхЭу 4~ ЪуЭх2 ~ э
иыѣеілЪ видЪ
дду — япдхду -р ппуЭг2 ~ О.
Назначимъ интегралЪ его чрезЪ уггепхѴ, то будетЪ
а
Эу=:епх(ЭѴ+пѴЭг), ЭЭу= епх(ЭЭѴ+ 2пЭѴЭх4- шіѴЭх2),
которыя вёчичины когда подставятся вЪ оночЪ уравненіи, то
найдется ЭЭѴ — о, а по сему Ѵ*"Ач-Йх ,• и интегралЪ
уравненія
у — еІХ (А -}- Вх).
Сіе жЪ изображеніе интеграла получится начавЪ нахожденіе
ею отЪ уравненія (Ъ), которое дозтавитЪ
ИЛИ
и — п^. —7— и и — п-----------4— і
х Н- а х +- а ’
Слѣдовательно
(идх чх + I. (х 4- а) + ;
I
е=в । 419
л по сему будетЪ
у е1* (6х 4- аб) — елх(Л4~ Вх).
ВозьмемЪ еще уравненіе
/ хЭЭ> — ЭуЭх 4- аххЭхЭу 4- Ьх*уЭх — о,
то положивъ у — е или Эу — иудх, сіе уравненіе обра-
тится вЪ
хди. 4- (иих 4- (ахх — і)ц 4- Ьх?) дх = о..
ІТошомЪ замѣтивъ , что сіе уравненіе содержитъ члены
хди — идх не однородные сЪ прочими положимъ ~ % 9
или и^хх^} тогда, будетЪ хди—идх~ххд%, и по раздѣ-
леніи всѣхЪ членовЪ онаго уравненія на хх получится
дъ 4- (22 4- 02 4- Ь) хдх — о ;
г
которому уравненію удовлетворяетъ каждая изЬ двухЪ по-
стоянныхъ величинЪ за г взятая , которая обращаетъ
%%+аъ+Ъ вЪ нуль; такЪ что положивъ 22ч-С52"+-Ь“(2—іи) (2—и)
будутЪ частные интегралы сего уравненія % — ІИ, 7>'^.П‘3,
по сему будетЪ
и гз тх и и пх 3
а изЪ сего найдется далѣе
Ітхх іпхх
у — е3 и у — еа ;
и: полный интеіралЪ предложеннаго уравненія будешЪ
___________________ Лтхх ,
у ~ аеа 4- 6еэ
Д.2О
5 247-
Разрѣшенія уравненія
ЭЭу Ч- МЭуЭг №уЭх® — о
руководствуетъ и кЪ разрѣшенію уравненія
ЭЭу Ч- РЭуЭх -4- ОуЭх1 -+- ЯЭхя = о,
жЪ копиромъ Р, 2 и К сушь также функціи одной величи-
ны х. Дабы сіе показать, назначимъ у~Дз, тогда разсма-
триваемое уравненіе обратится вЪ
\ 1(ЗЭх 4- РЭхЭх 4-, ОхЭх1)
2~-Ь хЭЭі + сЭіЭх -ф- РаЭіЭх -4- КЭх® — о,
которое, по причинѣ введенія двухЪ и мѣняемыхъ величинъ
і и г вмѣсто одной у, можно раздѣлить на джа урав* енк а»
произволенію. Для сего положимъ
I. ЭЭ% 4- РЭхЭх + Ог-Эх® — о.
II. хЭЭЪ + 2ІЙЭх 4- РхЭ^Эх 4- ВЭх2 = О ;
изЪ хсихЪ первое есть точно шо линѣйное уравненіе , кото-
рое выше изслѣдываемо было; и когіа оно разрѣшено, и вели-
чина г опредѣли\ась чрезЪ х, тогда положивъ во второмЪ
уравненіи І —1*Эх получимЪ
ди, 4- и(~ -4 РЭх) Эя? “ о ,
которое есть уравненіе Бернулліево , и разрішено будучи по
§191 доставитъ
4- /Ви-ГРЭ“ Эх = С .
или
и =2 ; (Се-,РвІ— е-^/Кге^дх).
Послѣ сего найдется величина І—_/иЭхэ а потомЪ у —іг.
Одно только здѣсь замѣтить должно, что поелику здѣсь
Доі
іхакЪ величина С, шакЪ и величина а, каждая особенно, полу-
чаться будетЪ чрезЪ двукратное интегрованіе, и чрезЪ шо
вЪ опредѣленіе каждой войти можетЪ по двѣ произвольныхъ
постоянныхъ величины; для полнаго же интеграла предложен-
наго уравненія требуется іге болѣе двухЪ произвольныхъ п< -
спюянныхЪ величинЪ; по сему для опредѣленія полнаго инте-
грала онаго уравненія можно взять или для С, или для 2 ве-
личину частную т. е. безЪ нроизвольныхЪ постоянныхъ ве-
личинѣ. Есшьли возмется частная величина для С, шо по-
лучится
у - —
Можно также назначить ду чрезЬ (гу4~і)Эх; и тогда
уравненіе
ЭЭу 4- РЭуЭх -} Оудх* 4- КЭх2 — о
обратится вЪ
у(Эх4-(22ч-Р2ч-0.)Эх))_____
4-Э^4-і(х 4- Р)Эх 4- КЭх^
’которое, по причинѣ двухЪ произвольныхъ величинЪ и 4
і. мѣсто одной у вошедшихЪ, можно опять раздѣлишь на два
уравненія положивъ
I. Эх4- (Х24-Р2 4- 0.)Эхто
II. ді 4- і(% 4- Р)Эх 4 КЭх — о
изЪ коихЪ первое произходитЪ изЪ уравненія
ЭЭу 4~ РЭуЭх 4- О.удхг—О •
положивъ ду — гудх, а по сему разрѣшеніе его и зависитъ
отЪ разрѣшенія сего уравненія. КогдажЪ величина а изЪ пер-
ваго уравненія найдется какЪ функція величины X, которая
пусть будетЪ X, шо по назначеніи гЧ~Р буквою $ получимЪ
изЪ втораго уравненія
4- /еЛЭіКЭх = С ,
Часть Ш,
5і
4о2
и ьеличина С опредѣлится также чрезЪ х; а наконецъ мзЪ
уравненія
Эу =2 (ку 4- і) Эх
найдется
уе-^^/с-^^ЭхЧ-С Ели д=/’*'(/е-Аа'ігх+(А.
ВЪ разсужденіи же произвольныхъ постоянныхъ величинЪ и
здѣсь то же принадлежитъ замѣчаніе,.какое сдѣлано на предЪи-
дущсе рѣпг.ніе. Естьли предоставьмЪ величинѣ г ввести
еЪ собою одну произвольную постоянную, величину, пю 6у-
ЛешЪ
і = — е-?31 ВЭг,
" и
у -- е]я3х (Сг — е“'/(І'ч'а’5Э7е/(І>^к)5хЕахХ
§ 248.
На уравненія
ЭЭу РЭхЭу 4- Оу Эх2 4- КЭх2 — о
мадле^игпЪ сдѣлать еще замѣчаніе , что естьли бы усмотрѣна
была какая либо величина «у~ & ему удовлетворяющая, то
нахожденіе полнаго его интеірала тотчасЪ могло бы быть све-
дено на разрѣшеніе уравненія вида
ЭЭх 4- РЭхЭх 4- 0%-Эх2 ~ о;
ибо положивъ что полный интегралЪ будетЪ у — я -р- /: по-
лучится уравненіе
ЭЭз14 ' ЭзЭ.і’4' ОуЭх2 4~ КЭх’^
4- ЭЭі 4г- РЭіЭ г 4г- ОЭ^Эх2- , °9
зо какЪ
ЭЭл14- РЭз' Эх 4- 0.5 Эх2 4- ИЭх2 о
I
Доэ
жбо у~$ оному уравненію удовлетворяетъ, шо будетЪ
ЭЭі 4- РЭСЭзс 4-- ОсЭх3—о,
отЪ раздѣленія коего уравненія и будетЪ зависѣть нахожде-
ніе полнаго ичтегралі онаго уравненія.
На пр. уравненіе
ЭЭу — зхЭхЭу 4- х2уЭт2 — (2—4х:с я4)Эх2 о,
удовлетворяетъ у~гг, Для шого положивъ у ~хх и
получится
ЭЭі — 2 х ЭіЭх 4- ххі Эх2 о,
квторое уравненіе пв подстановленіи Эц—іидх обратится вЪ
ди-^(ии~- 2их-±- хх)дгс~ о, или Эи 4-(и— х)2Эх = О-.
Назначимъ и—х буквою 2 то сіе уравненіе примете видЪ
Э<-.-4-Эх( 14-**7 — О или ЭХН-Г^^—0»
откуда наймется
2 = соі. (х 4- а) ,
а по сему
и ~ х 4“ соі. (х 4- «) 9
потомЪ
уидх~хдх^дх.соЬ.(х+ а) и І.іхх+1о&. ^іп.(х+ а) +С
или
і — -^е^хх &т. (х Ь <*) і
«лѣдовашельно ЪудетЪ
у = хх 4- ёе'зХХ я». (X 4- л).
5і *
4<Ц =
IV. (/б*> и ітегровачін уравненій второй сЪктіени:
посредствомъ .пноямтелей.
§ 2-і%
Выше видѣли мы, чшо способъ кЪ разрѣшеніи дифферен-
ціальныхъ уравненій первой степени , заимствуемый отЪ мно-
жителей, хотя есть самый естественнѣйшій, не доведенъ еще
до шого, чтсбЪ для каждаго уравненія можно было удобно
сЪиікать приличнаго множителя; но иногда нѣсколько видовЪ
множителей прежде неудачно перепробуемъпокуда наконецъ
попадемЪ на такого- который уравненію приличенЪ будетЪ.
Тоже самсе, и еще сЪ большею причиною, принадлежитъ кЪ
способу сему и вЪ отношеніи кЪ дифференціальнымъ уравне-
ніямъ второй степени. Вообразимъ таковое уравненіе двухЪ
измѣняемыхъ величинЪ х и у, при Эх постоянномъ , и поло-
жимъ по шомЪ Эу ~рЭх> шо будешЪ ЭЭупс.ЭрЭх, и уравне-
ніе прцмешЪ видЪ
РЭу 4- О.Эх =
вЪ коемЪ величины ₽ и будутЪ функціи величинЪ х; у и рі.
ІГолсжимЪ теперь, что хотимЪ узнать, не обратится лн
функція г РЭр Ч- фЭх чрезЪ помноженіе на величину М, соста-
вляющую извѣстную функцію^ величинЪ р, у и х, вЪ полный'
дифференціалЪ,. Трактуя МРЭр -4- МОЭл: какЪ полный диф-
ференціалЪ будешЪ вЪ членѣ МРЭр имѣетЪ часть его завися-
щую отЪ измѣняемости только величины р; такимЪ образомЪ
возмемЪ ея интегралЪ не измѣняемости только сей величины-,
по шомЪ взявши дифференціалЪ сего- интеграла но измѣняемо-
сти величинъ х и у, и п^дставивЪ вмѣсто Эу назначеніе рЭх,
вычгаемЪ изЪ МОЭх; то пс § 170 вЪ остаткѣ долженъ быть
полный дифференціалЪ первой степени- величинЪ х и у. На-
зчач.имЪ’-егс чрезЪ 2Ѵ, то будетЪ ЭѴ “КЭх гдѣ К будетЪ
функція величинЪ х, у. и р. Но дабы величина КЭх была
полный дифференціалЪ, по § 176 требуется, чтобЪ вЪ функ-
ціи К величина р выше пергой степени не находилась; ибо
«ваче вЪ функціи сей находились бы вышшій степени диффе-
----До 5
ренціала Эу, кои вЪ дифференціалѣ первой степени вЬ разсу-
жденіи величины у быть не могутЪ.
**
И такЪ коеффиціёнты всѣхЪ степеней, кромѣ первой, ве-
личины р вЪ функціи Н должны уничтожиться-; ошЪ чего
получатся- столько условій для ошнопенія между уравненіемъ
РЭу 4- О.Эх = о,
и- множителемъ М. сколь велика будетЪ самая высшая степень
величины р , безЪ единицы вЪ функціи И. Послѣ сего под- •
ставивЪ вЪ уравненіи ЭѴ вмѣсто остающейся первой
.. Эу гг
степени величины р' содержаніе получимЪ уравненіе вида
ЭЯ — КЭх 4- ЬЭ/,.
которое дабы имѣло мѣсто, требочаться будетЪ, чтобЪ было*
ТакимЪ образомЪ ежели взятый множитель бу--
детЪ удовлетворять кчкЪ сему такЪ и онымЪ условіямъ; то
онЪ будешЪ предложенному уравненію приличествовать, и ин-
тегралЪ его будетЪ состоять изЪ онаго интеграла величины
МРЭр и изЪ величины V сЪ присоединеніемъ произвольной»
постоянной величины.
ИокажеаЪ сіе на нѣсколькихЪ примѣрахъ..
& 25^
Для предложеннаго' уравненія’
ЭЭу -ф- О ду дх 4“ И/ дх1- = О
вЪ коевЪ О и Р суть функціи величины л, еЪискать мис*-
ккителя.,. составляющаго функцію шакже-оді. эй величины X,.
который бы обратилъ оное уравненіе вЪ полный диф ферен—
ціалЪ.. Подстаиовленіе ЭуггрЭл обратитъ сіе уравненіе. >Ъ
Эр 4- (6р 4- Ну) дх О..
4о б
НазначизЪ искомаго множителя чрезЪ V, и по.чноживЪ на негс
функцію др 4- (Ср 4“ Н/) Эх , возмемЪ интегралЪ члена
ѴЭп по измѣняемости одной величйны р, который будетЪ
Ѵр; и потомЪ дифференціалъ сея величины Ѵр, взятый но
измѣняемости прочихЪ величинъ кромѣ р, Ккіпорый будетЪ
вычтемЪ иіЪ остальнаго члена Ѵ(Ср 4- Нуѵ Эзс ;
то вЪ остаткѣ будетЪ
(ОѴ— ^рйг+НѴуЭх илп (<ЗѴ — |Х)Э/4-НѴуЭг,
которая величина должна быть полный дифференціалъ, для
чего требуется чтобЪ было
ИѴ=^Э(6Ѵ-|Э> или ЭЗѴ—ОйхЭѴ+(Н-|°)ѴЭх’=о.
Хотя сіе уравненіе подобно самому предложенному, но вЪ нѣ-
которыхъ случаяхъ самое полн< е рѣшеніе его можетЪ быть
проще , нежели предложеннаго уравненія; при томЪ здѣсь не .
требуется полный его интегралЪ, но довольно будетЪ разЪи-
скать его частный интегралЪ; который и доставитъ величи- ’
ну V равно удовлетворяющую требованію. Естьли величина,
' -г /«Эх
ѵ назначится чрезЪ е , то сіе уравненіе обратится вЪ
ди 4- (ии — Си 4- Ч — дх о в
которое можетЪ быть трактовано по правиламъ выше пред-
ставленнымъ.
Естьли н -—то уравненіе д/я V будетЪ
ЭЭѴ — .ОЭѴЭх = о,
или назначивъ дѴ чрезЪ ѵдх, будетЪ Эѵ -4- Оѵдх; откуда
найдется
« = е/0", и V =/е/ОЭхЭг.
Но вЪ сенЪ случаѣ главное уравненіе будетЪ «•
ЭЭ/4-(6Эу 4~^Э6)Эх—о или ^4-Э.Су—-с
4® 7
©откуда' и не забпщясь о множителѣ получится интегралЪ
I + оу 4- с о.
Когда бы напротивъ дапЬ былЪ множитель V, и тр; 5о-
лаЛссь уравненіе -
ЭЭу + С Эх Эу + Ну Эх2 — о
для коего сей множитель способенЪ; то бы изЪ отношенія
НѴ = ЛЭ(ОѴ -|5 II - ^Э(6Ѵ 4- ’5,
а по сему, па данному множителю V, уравненіе оі?аю вчд’ ,,
обращаемое им-Ъ ьЪ полный дифференціалЪ, было бы
ЭЗ/ -I- ОЭхЭу + уЭхЭ(О V — = о.
При ссяЪ замѣтишь должно . чшо шотЪ же самой множи-
тель, кош?рый обращаетъ функцію ЭЭу-]-6 ЭхЭу-|-Т-уЭх2,,
вЪ полный ДифференціалЪ обратити во полный дифференціалЪ
в функцію
ЭЭу (л ЭхЭу НуЭх2 ч- 1 Эх2
разумѣя подЪ 1 функцію одной также величины Л\
КакЪ же с„оро м.ч гкителв V иайденЪ будешЪ, шо уравненія
ѴЭ/э Н- (6/? -Ь- н; ѴЭ? =: с
/ * •
интегралЪ будетЪ
Ѵр+(С,Ѵ_Ил» ѵэ/+(оѵ-|5гаг --С&,
иди еще
Эу 4- (Сі — = ѵ >
откуда чрезЪ дальнѣйшее гншегразаніе получится
До8 '
2 е'а” = С/^ е/а}х дх + С’,
ИЛИ
у = СѴе_/оэ’/^/оэ*Эх + С'Ѵе/0‘”.
Пусть на пр. предложено будетЪ уравненіе
ЭЭу Ч- ххЭхЭу 4- (хх + зх — і)уЭх2 = ХЭх2.
Для нахожденія множителя V обращающаго первую часть
уравненія вЪ полный дифференціалЪ получимЪ уравненіе
ЭЭѴ —ххЭхЭѴ 4- (хх — і)ѴЭх2 — о.
Сему уравненію удовлетворяетъ V — ёж; по сему оное урав-
неніе , или
Эр + рхх Эх + (хх Ч- 2Х — і)уЭх =: ХЭх
по помноженіи на ех обратится вЪ полный дифференціалЪ.,
коего первый интегралЪ будешЪ
рех ех(хх — 1)у /ежХЭх Ч~ С,
4- ех(хх — і)уЭх =: Эх/ежХЭх 4- СЭх,
или еще
Эу + (хх — і)уЭх — е~ хдх/ехХдх -Ь Се~х Эх,
в сего интегралЪ будешЪ
=/е''3-”5х/е*ХЭг 4- С/е!*3-“гх 4- С/.
§ ад?-
Положивъ Эу~рЭх, при Эх постоянномъ, я назначивъ
.для уравненія
др 4- (Рр 4- Оу)Эх = О
4«&
множителя 2?Лр-+ К’у, разумѣя М, К> Р, О функціи одной
величины х, разг-искашь (ЛПношеЙіе между сими величинами М.
К Р и (^. функція предложеннаго уравненія, будучи помно-
жена на назначеннаго множителя, будешЬ
(оМр 4- Ку)? р 4- (еМРрр 4- (еМО.4- РК)ру 4~ КОу2)Эг;
коея интегралЪ перваго члена по измѣняемости величины р
6^ дегіЬ
М р р 4- Ы р у.
величины взятой по измѣняемости х и у,
остальнаго члена он~й дифференціальной
ДифференціалЪ Сей
и вычтенной изЪ і
функціи дпсіііівиігіЪ
(- МР - И - -ф МО.Ч- РК - ™)урдх 4- КОууЭх;
кошорый осшашокЪ долженЬ быть дифференціалЪ полный , а
по сему
I. оМГ — К — ІС = °
О X
II.
Э х
Есть іи бы мы захотѣди опредѣлять величины М иЫ
чрезі Р и .С6, и для того взчвЪ величину К изЪ первлго ура-
вненія подо навили во второмЬ, то бы получилось дифферен-
ціальное уравненіе вЪ разсужденіи М, третьей степени, которое
рѣшишь было бы труднѣе еще, нежелиусамое предложенное
уравненіе. Для того опредѣлимъ величины Р и 2 посредст-
вомъ М и К, и будешЪ — Г—
р КЭхЧ-ЭМ . ” ’ 1
--- ~~аіѵГ5X г
потомЪ второе уравненіе доспг витЪ
д ----м ) 4-Ш Э(---------мах-------) = °
коего ииш іралЬ буд< :ііЪ
Часть 111, 5а
ДЗо
- 4Эг — зМЭМ/
МОе ' ч-і/е й >’ - - 5=Ц
4' . I МЭх $ 4
изЬ коего найдется
/-Эх
_ с /^дх е^Ѵі >. -/^Эг <І^Эхн-ЮМ-2МЭУ
&--4М - е м^?с '
/к ы а х ч- ы а м — 2 м а к
а ---------------------
М Э х
оахчлам-амам
е
МЭх
к?і + кам - а маю ₽
мм
—/?Эх/№Эх -ьіѵэм—2мам\ —/^эх^^
Ч м”ах
2МЭІЯ —ыэм С /|Эх,
сему будепіЪ О — —---------1--е или
7 4ММах 4М
С /ЙЭх -
О,—---е ------------.
4М 4М2Эх
И когда между величинами М, И, Р, и сіе отношеніе
существовать будетЪ, тогда функція (2 М 0.+ Р
Ч- О/Э X будетЪ дифференціалъ полный ВзявЪ
Д5 і
интегралЪ члена (2 М0.4~ Р № — &У по -измѣняемости
величины у получцмЪ |(2 М О + Р К |“х/ У У у коего
интеграла дифференціалЪ , взятый по измѣняемости величины
х, будучи вычтенЪ изЪ члена №<2уу^:х;, по причинѣ
той, чшо Э 2 М О.4~ Р М — ^.) — 2 № 0.Э X , не даст'Ь
никакого остатка. По сему интегралЪ мзслѣдываемаго уравненія
Э р 4" (Р р 4~ О_у)Эх “ О при выше означенныхъ изобра-
женіяхъ велгічинЪ Р и (Э будетЪ
мрр+мру-ькзма+рм —
или
Мрр + Кру + І^Н-іСе-'55 )уу=іС'.
или еще
» " 1 /кі Э а <*
~ (2 М р 4-ІѴ)! + С/ м ѵу =. С'9
то есть
ГкЭх
(2 М р + К у)2 4- с М е7 м уу — СХМ.
ап. .
/й^х ю м
Назначимъ е буквою ЗЬ, и буквою К , то бу-
детЪ
_ 9 Ъ уп Ь 9 х -г л ь ь 9 х3
М -*— хЭх’ — КЭР '— "К9ІТ
потомЪ найдется
р ________?кк. 3 9Ь 9 К 99ЬЛ
а М о М Эх 2 1. Эх аК9 х дЪдх *
0 ___ СК2ЭЬ3 — 9Ь9К
--- ^КЬЭІ3 ’
При сихЪ величинахъ Г и уравненію Э/9Н- (РуО *4-С1у)Эх“О
будешЪ соотвѣтствовать множитель
52 *
432
%
Вмг + Ыг = й;(^+Г);
интегралѣ же уравненія будетЪ
'' №+^=* <с‘ тгс к '№
л Второе интегрованіе, пк. е. интегрованіе сего пснлѣдняго
уравненія , не легко бы произвесть было можно ; но поелику,
по § 227 предложенное уравненіе таг.ого свойства, что когда
ему удовлетворяютъ / зѣ величины у^. V и у*—V7, шо его
Ч II , - * — К -
полный интегралЪ будетЪ / — аѴ Ц- §Ѵ д-\я того поло-
жимъ с7 — о , ( и получимЪ М; у? у =4 ~4~ К у ]/ — С.
Пусть будетЪ назначено V — С “ к, то будетЪ
Л=!і(±«к-і);
шо еет * і _і_ 4 ‘ к
ду — (а К — 1) и -у — — 9ѵ (аК + 1).
У йѣ \ Г У 2 ь X '
/* Э Х-«
По сему, естли на значится /Зі 1 К--р 1) чрезЪ о к
/ (а & -Н 1) чрезЪ ѵ, то будетЪ у —еѵ и у—е—а слѣ-
довательно полный интегралЪ будетЪ
“ ‘ С -г -
шо есть
э о
или
е К Э’Ь /*К Э I,
, . а I —, - —СХ. --Г-
у I ь гг А е _ 2 ь 4- 5 е у ,
которая величины. вЬ случаѣ мнимости Количества , при-
иешЪ видЪ тригонометрическій.
§ -3^‘
Раяг,ісоп,рчмЪ ля уравненія тогоже вида сір-і~(Гр +(^)у')іх~-ог
множителя 3 Ь р р 4- 2 А’ р у -|~ К у у. Дв помноженіи
435
функціи с? р 4“ (РрЧ-О.у)сІХ на сего множителя, • возыемЪ
интегралЪ члена (3 Ь р р 4- 2 М р у 4~ ^у у) Эр по измѣ-
няемости одной величины р, который будешЪ
Гр3-|-Мрру-НМ р у у
Дифф ’ренці'алЪ его, взяіъый по измѣняемости величинЪ х и у,
я вычтенный изЪ остальныхъ членовЪ онаіо уравненія помно-
женнаго на его множителя доставитъ остатокъ
((ЗЕР_М-’^)р’-+-(2МР4-ЗГа-2Н-|^)рр/+
(Ы Р + 2 М О,— |?) р ггН-К о./) Л
для коего во п'ервыхЪ по § 13& надлежитъ положишь
ЗЕР —М—^ = 0,
Э х
2 М Р 4- 3 Ь О.— □ Ы — 2= о;
послѣ чего требоваться будетЬ, чтобЪ было
Э (Ы Р 4“ 2 м О —15 22= 3 Ы 0:3 X.
ИзЪ перьыхЪ двухЪ уравненій найдется
т)_. МЭх 4- Э =
3 Ь д х
__3 Ъ Э М г М э ь 4~ 2 Щ-У — М МіоХ
ііЬЬЭх *
кои величины когда подставятся вЪ третьемъ уравненіи, то
получится отношеніе, какое имѣть должны между собою вели-
чины Ь, М и К, дабы взятый видЪ множителя приличество-
валъ оному уравненію. Наша пімЪ М М — р Е Г4 чрезЪ К К
(31.* )- Му)2 -4— КЕ. у у
тогда оный множитель будешЪ имѣть видЪ ----—
”ри іномЪ будетЪ *
уу М Э х—|— д Ь х-х __ ЗѣЭМ вМ д'Ь — аК КЗ х
ЗѣЭх 9 И 1 $ЬЬЗх “
Есшьли сіи величины, подставятся вЪ третьемъ ураане-
віи, шо получится
А34'
Е Э(б Г.ЭК — 5 МКЭх—4 ЮЕ)К — с К (6 Е д К — 5 МКЗг
— дЕЭЕ) ЭЕ = (2&Ж + 2КВЭ.г - 3 ЕЭМ - еММдх) ВВЭх;
чему вообще удовлетворимъ положивъ В ~ о. Слѣ^овашельчо
будетЪ
ММгЗІХ
%
по сему
р __ МЭх -4-ЭЬ Г) __ ЗІ-дМ— змаь
—• 3ЪЪх~* ------ дЬЬдх ’
и множитель уравненія (-, интегралЪ же
Ер3 + Мрру н- Круу 4- I (Ыр 4- 2 М О. — |?)у3 ГГ. С
будетЪ
Зь ЪрЗ -I- 3 1 Мр ру~+- м Ь1руу , МЗ 3_
3 _ ' "1~ 4 ь= У — С ’
или
2 *?Е3р3 4- 2 7 ЕЕМ рру 4- .рЕММру/ н- М3/3 гг 2
или еще
(ЗЕр 4- Му)3 =: 2 7 СЕ2;
я лзЪ сего получится
ЗЕр + Му — ЗІ/СЕ2,
или
$ 234*
Для уравненія
ѴУдр 4- (уррЧ- «ХХ)<Н ~О
435
назначивъ множителя
3 Ьрр 2 Мр -Н № ,
разумѣя Ь, М и И функціи величинЪ х и у, разЪискать сіи
функціи , равно* какЪ и ексооненша Л. Положивъ оную- функ-
цію на сего множителя возмемЪ интегралЪ члена
(ЗЬрр 4- 2Мр 4- №)ууЪр
по измѣняемости величины р, который будетЪ
(Ьр? + Мрр4-Хр)уу;
потомЪ дифференціалЪ его, взятый по измѣняемости величинЪ
хну, вычтемЪ изЪ остальной части оной функціи помно-
женной на ея множителя, то ^станется вЪ- остаткѣ
((Еу — хгф)р* — (© + ©)) гур3 -+- (ЗаЬхх— Ыг —
(О + ©)ЛГ)ЯР + (2а Их>' “ ©у)’Р +
для коего, по § і зо, положить должно во первыхъ
I- Ь-гФ = °.
п. ©+(!”)=о.
III. 3«Егх _ ЫГ(©> + = о.
Первое доставитъ, трактуя величину х постоянною г
—у, а по сену будетЪ І.Ъ — І.у ^Х , и Ь, ~ Ху,
Второе — —Г© и М = Xх — ІУУ'^і)- Трешіе
ЗаххХг— X/ —КЙ)Г — ©ХГ= О,
ИЛИ
3«ххХ - К ~ - @Г + 1@Х’ = о;
которому уравненію удовлетворимъ ѣо первыхЪ положивЪ»
Х^з", 1, Xх— Б, І^~30Х , такимЪ образомЪ будешЪ
Ь —М —Ьу М — Зсх'-
456 агата
\ -
Послѣ сего должна быть функція
(2йМхх — ©ХУРГ 4-
или
(2«Ьхх — ЗХпхх уу)Эу 4- Заах’хЭх,
полный дифференціалЪ, и для сего требуется, чтобЪ было
2ХаЬхх1— ЗХ(Х— і)агХ —о ,
чег:у иначе удовлетворить че можно, какЪ положивЪ Ь СЗ о
и Л~ і. Слѣдовательно будетЪ
Е~ у, М = о, —Зат;
и тогда взявЪ интегралЪ величины
— Заууду -4- Забх2Эх,
который будешЪ
— ау3 4- аах3 4* С,
и грилавЪ кЪ оному интегралу
(Ър3 М р р 4- №р) у у или (ур3 4- 3 а х р)уу
получимЪ полный интегралЪ
(ур3 4- Захр)уу — а у3 4- а а х3 гс С
уравненія
уудр 4- (УРР •+ ах)Эх ~ о,
для коего множитель превращающій его вЪ полный дифферен-
ціалъ, будешЪ Зрру 4- {ах. Во гш рыхЪ оному уравненію
удовлетворимъ, положивъ
Х — х9 Х‘—Ь и М=ЗахХ4’,;
вЪ к-ошоромЪ случаѣ будегяЪ ’
Е гг ху, и М “ Ь — ?уу
4*7
и требоваться будетЪ, чтобъ функція
(<2а(Ъ — |уу)^Х— (3X4- 3)аххуу)Эу4- Заах’х4"ТЭх
или
(2аЬ — (ЗХ 4- 4)а/У)х"’У "+* Заах“х'' Эх
была полный дифференціалъ; чему иначе удовлетворить не
можно, какЪ положивъ Ъ^о н ЗХ—(—ф~О, а по сему Х^ — *
• __і
вЪ кошоромЪ случаѣ величины ЗааХаХ-г * Эх или ЗсШ 3Эх
О
будетЪ интегралЪ —|аах 4~ С. ТакимЪ образомЪ для
уравненія
— і
(уудр -\~урр + ах 3Эх — о
I
будетЪ приличный множитель зррху— руу Ч~ зах^, и инте-
гралъ его ,
__I. 2
(хур3 — | РРУУ 4- Зах $р)уу — |аах 3 — С
Дья разЪигканія интеграла уравненія
(ур3 4- Захр)уу — ау3 4- аах3 ~ С
т. е. втораго интеграла онаго перваго уривненія, назначимъ
ру~г, шо оно обратится вЪ
г’ 4- Захуу- — ау3 4- аах3 ^2 С.
Первая часть сего уравненія разлагается на три множителя;
изЪ коихЪ первый естьли назчачипіся чрезЪ г — г—9, и слѣ-
довательно ноложивЪ г — Г — 5 то, а по сему и
%3--- 3 ГІ2 — Г3---& ^=1 О ,
будетЪ и
к3 4* Затуг— ау3 4- аах3 — о ,
Частъ Ш, 53
433 я=-=:-
шо найдется
прочіе же два кножипі еля будутЪ
--<?)/—3, и 24-5(гЧ-^——5’)/—3;
такЪ чшо оное уравненіе будетЪ
(і+ах-ф-а'у) (з ч~ &г 4-& у) (2 4~ух+7У)г=С.
<
Естьли положимъ С~о, шо получится три частныхЪ
уравненія
г+ахН-с/у — ж-Н&г+Еу— с, я^-ух-НуУ-О,
или
уЭу-кй^Эхч-ахЭхго, уЭу-+ Е'/Эх-г &хЭх=о, уду^УуЭх-ьухдхго,
коихЪ интегралы удобно получать можно, и изЪ коихЪ ка-
ждый будетЪ частный интегралЪ предположеннаго уравненія ;
полный же интегралЪ его изЪ онаго полнаго его дифферен-
ціальнаго первой степени уравненія разЪискать трудно. ЧтожЪ
принадлежитъ до интегрованія онаго дифференціальнаго первой
степени уравненія , полученнаго чрезЪ интегрованіе втораго
уравненія, то не только полный^ интегралЪ его, но и частные
разЪискать трудно^
§ 235'
« ЕозьмемЪ еще уравненіе
ЭЭу ________________— о
, “ѵ • (л -р- Схх -4- 7> у)’1 ’
ИЛИ
г • (а -+- Схх -+- 7>У)П *
ѵ д?я него множителя 2 М р-+- Ну. ИнтегралЪ члена
(гМр -к-Ку)9р по измѣняемости р будетЪ
1 Мрр Ч-
ДЗд
и двфферентГіалЪ его по измѣняемости зеллчинЪ і иу будешЪ
+ <2>) Ч- рпфр^ + ®Н*+ к',рЭс;
который, і.ог іа вычі.іегвся изп осма іьнаго члена онаго уравне-
нія помноженнаго на множителя, шо получится вЪ остаткѣ
-Ор’.-С) + Г® + *)РР +
для котораго слѣдуетЪ положишь сперва
I.
п.
©+/© + ^ = о-
Пгрзое гзЪ сихЪ уравненій показываетъ, чит величина М
должна быть функйія одн* й величины X. Трактуя теперь
во второмЬ уравненіи измѣняемою одну величину у получимЪ
КЭлЧ-уЭЫ + ^Эг = о;
а по сему будетЪ
КГ-^у = Х,
разумѣя подЪ X функцію одной величины х, и будешЪ
м = - —
у О-С
Теперь дабы остальные члены онаю остатка составили диф-
ференціалЪ полный, требуется, чшсбЪ было
/ °п —- \
( ________~ Эх __. 4 и а Г М х ( ЭЭК \ \
’ а I Е-ѴТ I *“ чТѵу
— °оХу + “^0____________________».?«> ______
(а + Егх + уууУ' +
или годставивЪ вмѣсто ІЧ выше найденное его изображеніе ц
сокрашиьЪ,
53
44°
МІ ЭЭХ X) 2пяГтХг-Т*л‘-ееМх)
-----------Ь --- ' -Ч - ---— о
дх3 удх2 (а.-і-^хх-ѵ-'ууу)-(а^&зус+ууу')п~*~1
или
Э’&[ ЭЭХ аХ(ач-&хх)-+ 5(^-4-4&«хх^4-4п^5Тх)у
дх3 удх2 у{а.~У ёхх-уууу)п^ 1
(•2П- і)ауХуу-У (2п-4)ау^у3
4--------------------------------- о.
у(а4-?хх4-Т/Г>ѵ
КакЪ величина М должна быть функція одной величины х ,
то члены вЪ семЪ уравненіи , содержащіе величину у длжны
сайи по себѣ уничтожиться; но сему должно быть Х~о, и
2п — 4~о, слѣдовательно п~2; П-. шомЪ
(а-ЬЕХх) — 2?Мх~О,
и наконецъ — О. Но предыдущее уравненіе для М
ЭМ абхЭх тг тг ѵ г «
доставляетъ —«ГйРвхх* слѣД°вагпельно — о(лч- БХХ),
ЭЗМ__
которое выраженіе оному уравненію ^3—° удовлетворяетъ.
По опредѣленіи такимЪ образомЪ величинъ п. Гѵ и X найдет-
ся М~—• е&іх , и множитель уравненія будетЪ
2Мр 4- Ыу гг: 2^(а 4- ехх)р — 2^’ху,
или, положивъ
25 — 1 з оный множитель будетЪ (а &Хх)/9 — &ъу*-
Тогда
/_____ааМ ЭГЛ д ,_______
\(а €хх + Ѵ.У.уУ1 дх )' • (а -Ь» бхх -р- Уууу1
©брашиіпся вЪ
/ __<« .±_ехх)__, ^Ѵ7)г __ аехуудх _____
*(а -р- ёлХ -р- \уу)л ~ । (а -р- -р- 9
= 441
коея величины интгггралЪ перваго члена взятый по измѣняемо-
сти величины у будешЪ
___ _______а + е'х.я__4-іКгг-
з<у " (а -4- Сх х -+- У у у) * цЧ/У >
и сея величины дифференціалѣ взятый по измѣняемости х,
и вычтенной изЪ осшальнаю члена, ничего вЪ остаткѣ не
осыавипіЪ. И шакЪ для уравненія
у ’ (а Схх -+- У у у}2 ч
бухепіЬ приличный множитель (а -ф- &Х2)р — ху, или
(а 4- Бх2)Эу — бхуЭх, по помноженіи на коего найдется
инпіегралЪ уравненія
1(а -ь §х2)р2 — &сур — -вѵ-.—сех^2_ _р — СопЦ,
или
(а + ех=)Э>- - 2 2ху Эу Эх - (і.
Для полученія втораго интеграла назначимъ иЧ-Сх'? чрезЪ
«уг2, шо получимЪ
х2Эу2 — 22 Эху Эу — (у. -2уа-г- — |. у2 — С) Эх2 — о.
Пусть будетЪ у~иг. шо сіе уравненіе обрашіпп'я вЪ
ЭГ - сиЭйу - ‘ иЪ - С)е,;^ =а
или еще нЪ
У2Л,,2 __ /__« ___ _______ р\ ѵ2д*2 4 _____
2 Ѵу\і-Ьи2) • ёСУ^':Г^ -- °
_ с
откуда подсшавивЪ вмѣсто С получится
диѴ і -4- ѵ 2 ___ с*я
—(і 4-и2} (С-4-а6и2) 8У6(Тг2—а)’
такимЪ образомЪ и опредѣлится чрезЪ г, а потомЪ изЪ назна-
ченія у~иг и у опредѣлится чрезЪ гже, и какЪ X —
шо у опредѣлится чрезЬ х.
442 «==
Подобнымъ образпмЪ можно брать другія дифференціаль-
ныя уравненія вида РЭр —}- ОЭ.Г — О, и назначая для нихЪ
множителей функціи величины р сЪ неопредѣленными функ-
ціями нзмѣня мь:хЪ величинъ х и у, опредѣлять сіи функціи;
или посредствомъ сихЪ опредѣлять неопредѣленныя функціи
вЪ предложенномъ уравненіи.
§ 23б-
Оставляя трактовать дифференціальныя уравненія вто-
рой степени за нужное считаевЪ здѣсь замѣтить, что кромѣ
вышспредставлеііныхіі способовъ употребляемыхъ для разрѣ-
шенія сихЪ уравненій, есть еще способъ принадлежащій ура-
вненіямъ всѣхЬ степеней вообще. Способъ сей основывается
на іпомЪ, что каждое уравненіе п ой степени по § 182 имѣетЪ
первымъ иншегралгмЪ саоіімЬ п уравненій степени п — і, пзЪ
коихЪ вЪ каждомЪ находится но особливой произвольной по-
стоянной величинѣ. По сему основанію есйьлп изЪ предло-
женнаго дифференціальнаго уравненія степени к коего инте-
гралЪ сыскать трудно, чр^зЪ дальнѣйшее дифференцированіе
и соединеніе, еешьди нужно, сЪ предложеннымъ уравненіемъ
произведетеч дифферЬнціальйое уравненіе степени А+і, со*
держащее вЪ себѣ одною постоянною величиною менѣе нежели
предложенное уравненіе; и есшьли сіе вновь произведенное ура-
вненіе будетЪ способно кЪ тему , чтобы удобно можно было
разЪцскзіпь кромѣ предложеннаго уравненія всѣ грочіе к пер-
выхъ его ипгпегралозЪ, кои будутЪ дифференціальныя уравне-
нія 7:-ой степени , изЪ'коихЪ. каждое содержать будетЪ по
особливой произвольной постоянной величинѣ; тогда чрезо
снесеніе сихЪ уравненій и предложеннаго выключатся всѣ диф-
ференціальныя содержанія бывшія вЪ сихЪ уравненіяхъ, и по-
лучится отношеніе меж іу самыми измѣняемыми величинами,
кот рое будетЪ интегралЪ предложеннаго уравненія; и поелику
6} деиіЪ вЪ немЪ к произвольныхъ постоянныхъ величинъ, то
он) будетЪ полный интегралЪ предложеннаго уравненія. На
о семЪ способѣ говорено будетЪ ниже.
445
СТАТЬЯ ЧЕТВЕРТАЯ
О лішіііныко щг синеній всіхі стелсти-
§ 2З7.
Линѣйныки уравненіями, какЪ выше видѣли, называются
піакія уравненія, вЪ коихЪ ьЬ каждомЬ членѣ одна изЪ измѣ-
няемыхъ величинъ пмѣетЪ одно только измѣреніе, щпшая за измѣ-
реніе первую степень какЪ ея такЪ и ея дифференціала. Пер-
вое сего рода уравненій п й степени между измѣняемыми ве-
личинами х и у есть
Эу+МЭгЭп~ уч-Кдт2Эп“У*- • • • •+Т о
гдѣ величины М, № . . . Т С суть функціи одной величи-
ны х, коея дифферента \Ъ &х предполагается постояннымъ;
гіли гдѣ М, И . . . Т, V суть величины постоянныя.
Уравненія сіи, какЪ мы также видѣли, имЪюшЪ то свой-
ство, естьли которому изЪ нихЪ частнымЪ образомЪ удовле-
творяютъ величины у~г, у~г. у~г/7> и проч. разумѣя
подЪ г, г7, г77 и проч, функціи величины х , шо ему удовле-
творяетъ также и функція
у — Ах Вх7 4- Сх77 4- Эх77' 4-.......
состоящая изЪ такого числа членовЪ,. какой степени уравненіе,
и потому содержащая вЪ себѣ такое число произвольныхъ по-
стоянныхъ величинъ, какой оно степени, слѣдовательно ео-
сшавляющая полный интегралЪ уравненія.
И дѣйствительно по подстанпвленіи вмѣсто величины у
сего ея выраженія вЪ оной д» ффереіщіальной функціи?
Эу4-МЭхдп~у4-^Эх2Эп~2/+..............+ѴуЭхп
получимЪ
444
Арп2.4-МЭгЭп-т2,4-МЭг»Эп“’2^ . . . 4-Ѵх'агп)
4 В(ЭѴ-ЬМЭхЭп~і2/Ч-^Эг2Эп~Ѵ-Ь . . . 4-ІШг")
+ С(Эи2//^х^1ЭгЭп~,г//Ч-^Эх?Эп'~Ѵ/4. . . . +0^”)
коея функціи члены помноженные на А, В, С и пр ч., порознь
взятые для удовлетворенія оному уравненію, обращаются ка-
ж іый особенно вЪ нуль, а по сему и вся функція изЪ никЪ
состоящая обращается вЪ нуль, и слѣдовательно оная функ-
ція Ах 4- Вх —Ь- Сх 4~ • • • • для изображенія величины у
взятая предложенному уравненію удовлетворяетъ.
§ 238-
Хотя представленное вЪ предЪидущемЪ параграфѣ свой-
ство облегчаешЪ разрѣшен.з гпаковыхЪ уравненій вообще , но
оно наибольшую пользу приноситъ вЪ разрѣшеніи шаковыкЪ
уравненій сего рода , вЪ коихЪ коефицгеншы М И Р . . . V
суть величины постоянныя. Пусть будепіЬ такое уравненіе
<?У I д э’ I Р I ! ТѴІ I Кі п
дхп “Г А дхП_I Н- С дкП _а -Н . . . . -р Мдх- 4- ЬІ/ _о.
Назначимъ для удовлетворенія сему уравненію у чрезЪ в я
разумѣя подЪ е основаніе иперболич скихЪ логариѳмозЪ, и
подЪ д число постоянное, то сіе уравненіе обратится вЪ
Xя АЛП—"’-ЬБЛ71"-а-{-
МЛ 4- К — о . . . (а)
которое будешЪ имѣть п корней л. Пусть всѣ сіи корни бу-
дутЪ разные и назначимъ ихЪ чрезЪ се, С. у, • • • шо полу-
Хх
чится п разныхЪ выраженій е величины у, кои будутЪ
еаж, е€х, и про^. и полный интегралъ онаго дифферен-
ціальнаго уравненія будетЪ
445
»Ъ кое.А выраженіи величины а, Ъ, с и проч. суть п произ-
в ільныхЪ величинЪ дѣланяыхЪ интегралЪ иолныѵЪ.
Естьли вЪ числѣ оныхЪ корней а, 6*, у и проч. будутЪ
находишься мнимые корни, то ’Сги к>>рни пі § 172 Алипры
попарно будутЪ таковы, что есяіьли одннЪ изЪ нихЪ будипЬ
вида [Л-т-у^—1, то другой будетЪ вида рл — уѴ— і ,
и часть интеграла опіЪ сихЪ двухЪ корней зависящая бу де пЬ
рихЧ-ѵл-у—ёер.х-ѵхУ=7__.
поторая величина примешЪ видЪ 4е ЗІП. (уХ ~Н и тако-
ваго вида части интеграла достазигпЪ каждая пара мнимыхЪ
корней уравненія.
Затрудненіе встрѣчается вЪ разГужденіи равныхЪ корп*Й
д онаго уравненія; ибо тогда кэзалося бы чніо всѣ сіи корни
доставятъ гЪ составленіе полнаго интеграла о ѵчпЪ только
членК Для разрѣшенія сего затрудненія замЬтимЪ, что
естьли оная фуЛ^ія А —АЛ + ВЛ —}- ....
имѣетЪ вЪ числѣ сзоихЪ множителей функцію А* + А7А* ~ 1
и_В'л*-=_р . . .
то вмѣстѣ сЪ гнымЪ предложеннымъ
дифференціальнымъ уравненіемъ существуетъ и диффереи-
ЗЦіальнсе у равненіе
Иб Д 'бы при ономЪ предположеніи .у ’ сге уравненіе дѣй-
ствительно имѣло мѣсто требуется только, чтобЪ было
Л*-Н ВѴ Г"2+............—о;
пру существованіи коего у равненія самая функція
хп-і- АГ-' -ь Влп“а-Г СХП~34-...............
Часть Ш. 5|
446
к
&
дѣйствительно обратится вЪ нуль, что единственно для удо-
влетворенія предложенному дифференціальному уравненію и
требуется.
Положимъ теперь что оное уравненіе (а) инѣетЪ вЪ числѣ
своихЪ множителей
(X — 7])* — Xй -— 7іХй ’>]
то вмѣстѣ .Ь симЪ множителемъ существовать будетЪ диф-
ференціальное уразненіе
Э‘у ... . Ъ*~'у
- . _ Ь_______± _І И* — 9 _______
для удовлетворенія коему ежели назначимъ у* “ Ѵе^, шо ,
л- елику будетЪ вообще
ЭтаѴ . Э,г‘
-------------------}- —
-ч т 1 т •— і • а 1 *ч ’
Эх дх дх
Яі ѴТ
-ч т
дх
сіе уравненіе до раздѣленіи на еМх и сокращеніи обратится вЪ
—— °
дхк
котораго уравненія интегралЪ есть V — ф* *Л , разумѣя
ПодЪ сиіьЪ изображеніемъ полную раціональную и цѣлую функ-
цію степени к — х величины X. Слѣдовательно когда оное
уравненіе (а) имьешЪ вЪ числѣ множителей своихЪ множителя
(X — 7]) , тогда часть интеграла предложеннаго уравненія
€удетЪ с ф х.
$ 239-
НазвавЪ для краткости дифференціальное содержаніе
д / >
----буквою р(л), изобразимъ дифференціальное уравненіе
44'/
дредЪидущяго пяра”рафа чрезЪ
р(п)-+-Л//п— 1 ' 4-С//П + . .'4Л]/у Ку~о.
КакЪ зіѣсь каждые два члена относятся кЪ случаю Бернул-
лісва уравненія , и при томЪ коеффчціеншы пост »янны , то
для каждыхЬ двухЪ членовЪ приличный множитель обращающій
ихЪ вЪ полный дифференціалЪ будешЪ вида Эх} по сему
взявЪ сего множителя для первой части уравненія, и помно-
живши на него назначимъ интегралЪ ея чрезЪ
еХх(р(п ~ ’^-+-А'7//’1 ^ч-В7//’ 3^+ .. . 4І/рч-М/у)=Соп^г.
ВозмемЪ обратно дифференціалЪ сего интеграла, который по
раздѣленіи на Эх будетЪ
е^/р” + АУ”—’ + ву— ”4-... + М'р
4- Х(р(“ - 'У А У-4- 1/р+му у °’
X. х
и по раздѣленіи его потомЪ на е сравнимъ сЪ онымЪ предло-
женнымъ уравненіемъ, шо получатся слѣдующія уравненія ;
А7 4- Л — А,
В7 -у ХА7 = В,
С74-ХВ7-С,
и такЪ далѣе, и наконецъ
М,4-ХІ/=М
ХМ7 = К;
изЪ коихЪ по поря гку получать будемЪ
А7 — Л — X
В7 — В — АХ 4- X2
С7 - С — ВХ + АХ2 — X’
и проч. и наконецъ
М7=22М — IX 4- .... 4:Вх’1“34: Ахп~лЧ:хв-’;
54 *
443 • =
и поелику дМ/ ~ Ы, то для опредѣленія величины Л будемЪ
имѣть уравненіе
V — АХ'-’Н- ВХП~*— Сли""3-|- - • • • ±ГЛХ=р^г=о.
С.е уравненіе доставитъ п разиыхЪ величинЪ Л, чрезЪ что
X х
получится п разиыхЪ множителей С ц п разиыхЪ инте-
граловъ
е'х(р'п 1 А'//'1" 2'+ Ь — 3^+-...н-І/р-+-Гѵі'у)—С'снзТ-
Каковое число ихЪ уравненіе п й степени по § 182 имѣть
должно, изЪ коихЪ каждый буденЛ имѣть особую произволь-
ную постоянную величину. ИзЪ снесенія сихЪ п иншеграловЪ
<П - 1} (п.- 2)
можемЪ выключить всѣ величины р , р • • * Р
и получится отношеніе величинЪ х и у и» держящге вЪ себѣ
ѵ. произвольныхъ постоянныхъ величинъ, которое такожЪ»
предложенному дифференціальному уравненію удовлетворять
будетЪ, и будетЪ полный интегралЪ его.
Дико видѣть можно, что если бы вторая часть онаго
предложеннаго дифференціальна!» уравненія , вмѣсто того
чтобЪ быть ей равною нулю, была какая либо функція X ве-
Хх
личины X, то и тогда бы сей же самой множитель в ^Х
ему приличествовалъ; только что тогда вЪ интегралѣ вторая
часть уравненія была бы /с У Эх -ф С, и по различію вг*
лпчинЪ Л вЪ каждомЪ изЪ п иншеграловЪ была бы равная.
Уравненіе выведенное для опредѣленія величины Л пока-
зываетъ, чгпо вЪ предложенномъ диффері нціальномі уравненіи
А есть сумма всѣхЪ корней Л, В сумма в<ѣхЪ ихЪ двойныхъ
произведеній, С сумма всѣхЪ іпройвыхЪ произведеній , и нако-
нецъ К произведеніе в^ѣхЪ ихЪ; уравненія же А~А +Л,
ВггВ'-Ф-лѴ, С~€' + ЛГ/ и проч. показываютъ, что
гЪ каждомЪ из‘*> п иншеграловЪ онаго дифференціальнаго ура-
вненія, коэффиціенты А7, Вх, С и проч. по порядку сушь
44$
также сумма всѣхЪ корней Л, сумма двойрыхЪ ихЪ произведе-
ній, сумма тройныхЪ и гаакЬ далѣе, выключая піошЬ корень Л,
который произьодишЪ взятаго для полученія иншеірала мно-
жителя с хЭх.
ПолучивЪ изЪ дифференціальнаго уравненія
р(п) + Ар{п~ ,]4- В/п~4-..............4- Мр 4- Ку = X
п интегрловЪ вида
гі(/“->+А/р"'-’’-і-ЕУ”-5,4-.. .н-Гр+МѴ^’ХЭх+С
или лучше
р<"-'>+.ДУ'-2’-(-ВѴ"-,:'+..ч-Ь/р^-М//=е-х='(/г“ХЭх+С)
помножимЪ второй изЪ пихЪ на дх, піреннй на дх/, четвертый
на с и такЪ далѣе, и послѣдній п й на д(.п~»), и сложиеѣ
назначимъ коеффиціентовЪ каждаго дифференціальнаго содер-
жанія р(й) равнымъ нулю, то отЪ сего получится п — і ура-
вненій , изЪ коихЪ всѣ величины д. опредѣлятся; послъ чего
по назначеніи віпорыхЪ частей оныхЬ интеграловъ по порядку
буквами 17х, Ѵ/х, Ц/// . . . ІЛ"), получится уравненіе
которое и будетЪ полный интегралЪ предложеннаго диффе-
ренціальнаго уравненія; вЪ коемЬ , вЬ случаѣ томЪ когда бу-
детЪ Х~о, будетЪ каж іая величина ГТ вида Се , и слѣ-
довательно симЪ образомЪ получится такой же интеіралЪ .
какой нлйденЪ и по способу предложенному вЪ предЪидущемЬ
параграфѣ.
ИзЪ предЪидугцаго явспівуеігЪ, что интегралЪ предлсжецг
наго дифференціальнаго уравненія будетЪ вида
ау " Vх -у д'ІЗ" 4- д"Ѵ'7/ 4- . ’. - 4" ?<П " * ѴЧ
Д5о 1 -гг
Но дабы лучше увидѣть, изЪ чего будетЪ состоять величи-
на а,, выключимъ сперва изЪ оныхЪ п иніпегреловЪ величину
(п —
р для полученія п—і уравненій, вЪ коихЪ самое высшее
дифференціальное содержаніе есть а\ потомЪ изЪ сихЪ
ѵ г, С'1 —2)
и — і уравненіи выключимъ р для полученія п — 2 ура-
вненій, вЪ коихЪ самое высшее содержаніе есть 3^, и
такЪ далѣе. Для сего ка начимЪ корни л по порядку чрезЪ
Xх Л//х,. . . л(п) и взявЪ изЪ оныхЪ п интегральныхъ ура-
вненій на приѵ. А* и (7і -ф- 1)* производимыя корнями
л и л , то есть уравненія
р<--)+а(Ѵ"-2)+в(Ѵ-з)+- ..^^тр^ту=ѵт,
р(»-о+д(ь+ор<«-=)+В(б+ор(»-3)+__+ь<4+ор+м(и.)г=и(*+.)(
вычгпемЪ второе изЪ перваго. А чтобЪ удобнѣе разсмотрѣть
какая будетЪ разность сихЪ уравненій разсмотримъ разность
членовЪ С' и П' >У>р(П вЪ коихЪ Сг^ и
ѵз суть произведенія по т — і корей, изЪ коихЪ во пер-
_ -,(й) _ (й 1)
выя не входитЪ А , а во вторыя А . Естьли назна-
чимъ сумму произведеній корней д по т — і исключая шѣ
вЪ кои входятЪ и Л чрезЪ К и сумму произведе-
. г Й)
Ніи корней д по т—2 выключая тѣ вЪ кои входятЪ А
чре.ЪК' шо будетъ О(Ч = К + Л'” + ’’ IV и
С^'^К^К/, „„ Чему будешЪ О'Л-О(6+,)=К/(Х<6+')-Х(‘’)
ИзЪ сего слѣдуетЪ что естьли ны оныя уравненія вычтемЪ
одно изЪ другаго , а потомЪ раздѣлимъ на
изобразимъ чрезЪ
Д51
{}(*)_{}<*•+• ’)
(п-гЧ , (й—з) _і_ р п(«-4) _д , ; ѵ —____________
р 4“ ар -уър -г • • • т- РУ —х(ьн-і)_ ,(*)’
„ іОО %(Ь+о
шо будетЪ а сумма всѣхЪ корней кромѣ Л и л 9
сумма двойныхъ произведеній, у сумма шройныхЪ произведе-
ній, и такЪ далѣе, сихЪ же корней.
Вычетши такимЪ образомЬ изЪ перваго ишегральнаго ура-
Р<п—-Ц_ А(,)р(п“2')Ч- в>г"~з)+......+ Е
всѣ прочія п—і уравненій по порядку, получимЪ п— і ура-
вненій вида
...+№=да—
л — л
гдѣ а будетЪ сумма корней л кромѣ перваго л и того
который принадлежитъ кЬ вычтенному уравненію; 6“ сумма
двойныхъ произведеній тѣхЬже корней, у сумма тройныхъ
произведеній и такЪ далѣе.
ТакимЪ же образомЪ изЪ сихЪ п — г уравненій вида
. _. . , , , ІУ-іУ*’ ІУ Vм
вычитая по порядку всѣ прочія получимЪ п — 2 уравненій
р^п~4- а'$п 4- %'р^ 4- ... 4- р/у— АѴ
гдѣ коеффмціенты о/. и прѳч. будутЪ опять сумма кор-
ней л, сумма дв ійныхЬ ихЪ произведеній и проч. кромѣ корней
Л , Л , Л опіЪ коихЪ произошли тѣ уравненія чрезЪ сне-
сеніе кошарыхЪ получилось сіе уравненіе
р ~3^ 4- с/рР1 4) 4- ... 4- р!у — \Ѵ
453
величина же ѴѴ будешЪ равняться
ІУ—15^ ІУ _ с'
(л^-Х^) (Х^-Х^*}- х('°)~(Х(/°- У) к }— л )
(У—^) (ХС'°— (У— Х(к'>)(^>— Х(И)
и такЪ далѣе. Наконецъ найдется
и7 іг
ІУ"
'(Л"—Х/У/) рУ—х7/>) . ., +
Ѵ<п)
+ . х("У
При нахожденіи сея величины на случай тотЪ , когда
число п велико, нужно показать способъ легчайшаго нахожде-
нія величины знаменателей каждаго ся члена, Для сего на-
значимъ он_) ю функцію
Хп — ДХП~’Н-ВХП~2— , . . ±МХ^1Ѵ,
которая вЪ нашемЪ случаѣ равна нулю, буквою V; шо, поели-
ку оная функція равна произведенію
(X — ху X — Х77) (X — х’7... (X — Xе”').
будетЪ
(Xх — X) (Хг/ -- X) (х/г/ — X) . . . (ХСп)— X) — V
гдѣ верхній знакъ принадлежать будетЪ кЪ и чешномѵ, а ни-
жній кЪ п нечетному. ПотомЪ пслучнігся
455
коего уравненія первая часть при предположеніи Л132 Х^
обратится вЪ знаменателя величины ІД&), по сему и вторая
часть будетЪ выражать величину сего знаменателя, когда
- __ . (Ь).
вЪ немЪ положится Л — Л ‘9 но вЪ семЪ случаѣ она обра-
. о , _ ч__* (к) .
тишея вЪ —> для сего положимъ Л — Л —ы* и пусть при
семЪ V обратится вЪ V—І-Ѵ^-р Ѵ//Сй2-|~.... то тогда
вторая часть будетЪ (V7—Ѵ/Л0)8 -ф-.............),
И по назначеніи а —о будетЪ ^-{-Ѵ7, которую величину
какЪ принадлежащую кЪ корню Х^' изобразимъ чрезЪ
ТакимЪ “бразомЪ интегралЪ онаго уравненія изобразится
гдѣ верхній знакЪ принадлежитъ кЬ п четному, а нижній
кЪ п нечетному.
-Есшьли функція V имѣетЪ вЪ числѣ своихЪ множителей
множителя
Л2 — 2 аХ С08. ф + а2,
такЪ что множители первой степени ошЪ сего раждающ'іеся
будутЪ
X—а(со5.ф4-]/—іліп.ф), и Л—а(соі,ф—}/—І.яіп.ф),
или корни уравненія V ~ о будутЪ
Х — а.(со$. ф -[-]/—Ф) и X — а(со$.ф—}/—і.яи.ф)
кои пусть будутЪ два первые корня л7 и Л//, то естьли на-
зовемъ произведенія прочихЪ множителей функціи V буквою
ЛѴ такЪ что будетЪ
V — (X2 — 2 аХ со<5. ф -ф» а2) ѴѴ
Уссть ПІ. Г)5
454
и
V' — (X2 — 2аX соз. Ф -р- аг)\Ѵ/ -}~ 2(Х — а соз. фДѴ,
слѣдовательно
~ 2(Х7 а соз. ф)ѴѴ^ ~ сѴѴ^.а зіп. ф./ — і,
и
— 2(хх/— а соз. ф)Ѵ\7(і)--2\\; 2). а зіп. фУ — і,
при томЪ когда ѴѴ^ изобразится чрезЪ Ь *4~ 1- ]/ — 1 ,
то будетЪ ѴѴ ~ Г. — I. ]/— 1. ЧрезЪ сіе первые два
члена интеграла
О)
обратится вЬ
со
Ееличины СУ и ІУ7, по назначеніи для краткости а ЗІП. ф
ч езЪ и а. СОЗ. ф чрезЪ , бу іугпЪ
ІУге ^(со.у./лг-/- ізіп.[хх)(С\/ехХс)г(со'3.}хх^'/-1 "іп
V)ѵ-е“ѵх(со5 [хх ; У-ізіп.[хх)(С"-?/еѵ}Хдх(соз [хт-У- ізіп.рх)).
Когда сіи выраженія будутЪ подставлены вЬ оной части ин-
теграла, то по ьаз іаченіи С'н-С' (С7— С") —1“2К.
и послѣ зсѣхЪ Сократ,< ній доставить слѣ іующее выраженіе;
е ѴГ(Е зіп. [хх -р- к^соз. рх) (В + /е'Хдх.соз. [хх)
Г2)
455
е ѴХ(Ь соз. — І/лл. |лт) (Е — /ехХдх.зіп. ;лт)
/л(Ь2 Н- I/2)
Когда будетЪ нѣсколько корней л равчыхЪ между собою ,
гзо интегралЪ требовать будетЬ особаго разЪисканія. Поло-
жимъ сперва, что будетЪ два только корня равныхЪ л7 и л//\
то первые два члена интеграла обратятся вЪ безконечные;
но они будутЪ таковы, что безконечность вЪ обоихЪ бѵдетЪ
'динакова, но сЪ противными знаками, и по тому она вЬ сум-
мѣ ихЪ уничтожится , сспіавивЪ гЪ остаткѣ величину измѣ-
римую: прочіе же члены не измѣнятся. Дабы сіе усмотрѣть
положимъ что Л/7 ~ л Ч- а, то первый членЪ интеграла
будетЪ
е~х,І(/?<ХЭх -+• С')
Аы
разумѣя подЪ А/ произведеніе (X —X7)......(Х^— Х7)^
второй же членЪ интеграла будетЪ
с„(Х'4-Ш)х ^(Х' + И)х ХЭх
— — В/с Н- Сю2 —.......)
разумѣя подЪ А, — В/Ш -{- СХ ............произведеніе
(X777 — X7 — ы) (X' Т — X7 — ш)......— X7 — ю) ;
при томЪ величина Ах—В^-рС/а2—...“А^І —
примешЪ видЪ
А, г
і -I- Ву>ш -+-_____________4-......X
такимЪ образомЪ числитель втораго члена, при знаменателѣ
А/Ю будетЪ
55 •_
456
и какЪ
ШХ ,1 , Ы2Х® , 0)3x3 ,
е~ п 1 + ы г 4- ---Н-----г • • • •
-- 1 1 . а 1.2.3
то сей числитель будетЪ
' /ХеХхЭг 4- С"
+ ш(В//-х)/Хех'дх-і /Ххе' 'Эх-і-С^-х)) '
Лсф-в^+^хг’эх+св^-хух^эх
"“Ч +1/Хх»?’Эх+С--\С//-В//х+^) $
ч-...................................
который членЪ когда сложится сЪ онымЪ первым'Ь, и потомЪ
по назначеніи С/Х — С' —|-р.0) сумма раздѣлится на о,, шо
изЪ сихЪ двухЪ членовЪ, лс назначеніи л>~ >, получится
е~Ух { ,, -х, /
----ЪЪ"— х) /Хеу Х3х 4-/Ххех хЭх 4- С'ВѴ Н- р. —С- хУ
А? С )
или
А
'в///ХеХа’Эх — /дх/Хех'’Эх + С'х + Сл]
Есшьли будутЪ три корня Xх, X , Х/// равные, то на-
значивъ Х/Х— Х? Х//7 и— X —|— ь/9 получимЪ для перваго
члена интеграла
е~л'х (/'?'х ХЭх 4- С?)
А/г/^'
разумѣя подЪ А ? произведеніе (X •— Х?).............. — Х7)"
второй же членЪ интеграла б» дечіЪ имѣть числишелемЪ
— (Х'Ч- ХЭх
знамечателемЪ же •— т(а/— т) (А^, —. . )
457
1 "+• ВІѴШ + <>2 + • • • ^
числитель третьяго члена будетЪ
(/е(х'+“'>х ХЭх + С'")
— (Х'Н-со')»
С/
знаменатель же его будетЪ
такимЪ образомЪ сумма веѣхЪ трехЪ первыхЪ членовЪ будетЪ
е-х-« [" (</—<о)(/Хех'’Эх+С') 1
х5^)]-“/е’™^е,х'+“)^+с'0(1+в1ѵ^сІх+-ь
|ч-“е'“х(/Хе(х+“’)хЭх+С''/'')(і+В1[Ѵ(»/+СІѵш/2+.)^
вЪ которой когда подставятся вмѣсто е~ых, С шх изобра-
женія ихЪ вЪ безконечной строкѣ, и учинено будетЪ надле-
жащее сокращеніе, то по раздѣленіи остатка на ол/(с/— со)
и назначеніи потомЪ б) 2^ О, и!7 О, получится
(СІѴ~Б;Ѵх + Й/Хех/хЭх+ (ВІѴ- х)/ХхеХхЭт(
А//? (-ь ~ /Хх2ех 4- ах2 -Ь Ч~ V
разумѣя С7—2й, (У^С7-+-&)> С777— С'-і- Си);
или
СІѵ/Хех'’Эх-ВІѴ/Эх/Хех''Эх+/Эх/Эх/?хХЭх(
А/г/ (+ а^2 4~ + у *
458
КакЪ при двухЪ равныхЪ корняхЪ Л часть интеграла
С7а?-+-С/7 яожешЪ разсматриваема быть заключающеюся вЪ
интегралѣ
УЭх^ХеХхЭх или /2Хех“ Эх2,
при шрехЪ же равныхЪ корняхЪ л часть иптегра а ах2-Ь-Сх ЪУ
можетЪ разсматриваема быть заключающеюся вЪ интегралѣ
/Эх/Зх/Хех'хЭ.г или /3Хех'хЭх3;
ліо при оныхЪ двухЪ равныхЪ корняхЪ л полный интегралЪ
отЪ нихЪ зависящій будешЪ
-----5 В 4еХх ХЭх —/2ХеХхЭх
А, ( і
при сныхЪ же трехЪ равныхЪ корняхЪ А полный интегралЪ
ЬпіЪ нихЪ зависящій будешЬ
е~Х х \ )
----}СІѴ/Хех'х В1ѵ/2Хех'х Эх 4-/3ХеХхЭх3?.
АЛ7 < 5
ИзЪ сего открывается вообще , что естьли будетЪ т
•корней равныхЪ д, то есть X7 ~ ~ Л77/ ~ .... ~Х^ ,
то когда произведеніе множите іей
л7—ы) (х^^—л7 — т) . . . (х(п)— У— ы)
изобразится чрезЪ
А — В — О ш3 4- . . . -4- К тп т_ а,
я по томЪ обратится вЪ безкот чнуго строку вида
== — 459
тогда ча'тпь интеграла зависящія отЪ т оныхЪ равныхЬ
корней будеиіЪ
е”Ѵх ( В /Хех;‘Эх — 8 /2ХеХхЭх2 + ....?
2 тлН-і » • тЧ-і-і г • • • /
А~/Ч-В Г-'Хе^Эх”1-’ Х/иХехѴ V
гдГ> верхніе знаки принадлежать кЪ т четному, а ні жніе кі т
не чеши ж].
§ 240.
Пусть еще взято будешЬ вЪ разсмотрѣніе уравненіе
т , т- .. .. Эу Ь2у д?у
или, назначивъ дифференпгалыіыя содержанія Эх, ^х?2, и
проч. чрезЪ р/, р‘, р и проч , уравненіе
х’ р °ч- Ах ’ 'р(п ^-ьВх" 7 ’ 27ч-... -ч-Мх//ч-Ху=Х.
Есшьли возмемЪ во- вниманіе какіе либо дьа смежные члена
Т.' <Ь) (^) । —|)
г X р —Ъ* ѵі X р , то по назначеніи величины
Ік — і) (к) __ Эк
р буквою и получимЪ р —• и оные два член»
будутЪ
Гх* Эи ч- О х' 1 иЭх
-л"
Ц . ^5 *
кот.ірые по помноженіи на X 3 разумѣя р. — — — л5 обратят-
ся вЪ полный дифференціалЪ, коего интегралЪ будеічЪ
К.хЛ4-м.и,
по се-иѵ каждые дпа смежные члена помножены будѵчи йа
сеошвѣшсшвемиую кмЪ степень количества х обратятся вЪ
46 о * ""-'-д
полный дифференціалЪ. Слѣдовательно и всего предложенна-
го уравненія множитель обращающій его вЪ полный диффе-
ренціалЪ будетЪ нѣкоторая степень величины х. Назначивъ
сію степень чрезЪ л положимъ что , по помноженіи на X*,
интегралЪ предложеннаго уравненія будетЪ
х\хп р(п~'у~і-А хп~,р<п_г)4-В/хп_2р<п_^4- Я-Г
= /Ххх дх -р- СопЛ. ;
то по сравненіи дифференціала сего уравненія сЪ предложен-
нымъ получимЪ уравненія
А/ + П 4- Л — А
Вл-ь(и4-х— і) А' — В
С/4-(и4- X —2)В/—С
и проч. наконецъ
М/ + (Х4-2)Ь/=2М
(Х-ь і)Мх—X
откуда получаться будутЪ по порядку
А7 ~ А — п — X
В/—В — (и-|-Х—і)А-Ч- (иЧ-Х) (п 4- А'—і)
С/=С-(п+Х-2)В+(л+А-.і)(72+Х-2)А-(п+Х)(п-і-Х-і)(п-Х-2)
наконецъ
М^М- (X +2)Ъ4-(Л-і-2) (Хч-З)К-.. ±(А-Ь2) (Хя-3) .. (Хч-п)
Я=(Х-ы)М-(Хя- 1)(Л+2)Ь-..г±(Х-ѵі)(Х-4-2).. (Хя-п) (Ь)
послѣднее же будучи вЪ отношеніи кЪ д п й степени доста-
витъ п разиыхЪ зеличинЪ л, а по сему и п разныхЪ множи-
телей уА, посредствомъ коихЪ предложенное уравненіе мо-
жешЪ обращено быть вЪ полный дифференціалЪ. акимЪ
образомЪ получится п разныхъ иншеграловЪ
= 4бі
хх(хг'р ' 4- АѴ1- І//п — 4- .... 4- ЬѴр' 4- М ?аУ/
= /XV дх 4- СопМ.
заключающихъ столько дсе произвольныхъ постоянныхъ вели-
чинъ. ИзЪ сихЪ п уравненій служащихъ интегралами предло-
женному уравненію, чрезЪ снесеніе ихЪ , выключатся всѣ диф
(п—Гп—г) Гп— з")
ференціальныя содержанія р , р л р и проч.
и получится отношеніе между х и у содержащее и произ-
вольныхъ постоянныхъ величинъ и составляющее полный
интегралЪ предложеинаі о ураьненія.
Оныя уравненія по раздѣленіи каждаго на соотвѣтствен-
ную ему величину х^ , будупіЪ имѣть ви іЪ
хпр^п~1Ц-А/хп~гр('п~~а -> 4- М4у—х~' (/Хг Эх4-С)
и естьли помножимЪ ьгппрэе на д/, третье на д/У, четвертое
на п 7 и проч. и по соединеніи чрезЪ сложеніе вЬ одно ура-
вненіе положчмЪ всѣхЪ коеффиціентовЪ кремѣ
+ - • • • .4-9(п“иМСті)
равными нулю, чрезЪ что опредѣлятся всѣ величины д', д ,
и проч., то получимЪ для интервала предложеннаго диффе-
ренціальнаго уравненія изображеніе
13' + д'Ѵ" } . ... 4- Я(п~'’Ѵп)
разумѣя подЬ V7, V", V' интегралы ЗС ‘ Хх Эх-Ь-С)
по порядку соотвѣтствующіе разнымъ корнямЪ л, и
|л. = М' 4- д'М" 4- 4 • • • + д(п“,)М(п)
гдѣ каждое ХГ' ~ ----3 такЪ что естьли каждое
_ Л } 4-1
Частъ III,
56
462
(к)
-щ----- изобразится для краткости чрезЪ а , то ЬудегьЪ
,л = (а7 4- аѴ 4- а."^" 4~ - • . Ч- а(пѴп“°)М.
Но и здѣсь, какЪ и вЪ предЪидущем'Ь параграфѣ, лучше члены
ІУ, С у, V г/ и проч. изобразить сЪ вхЪ собственными зна-
менателями , нежели сЪ сбщимЪ всѣхЪ знаменателемъ. Для
сего исключимъ изЪ оныхЪ п уравненій
хуП-’Ц АѴ“р(п_2)4-•••+-М ху — х~4-С)
соотвѣтствующихъ корнямЪ X7, X } \/// . . . . Х^ величины
Си — і)' _(п-а)
р , р и проч. по обыкновенному способу исклю-
ченія. Р.Ъ семЪ намѣреніи, во первыхЪ вЪ уравненіи (Ъ) поло-
жимъ X 4" Я — шо оно обратится вЪ
тп.(т—і ')(іУі — 2')...(}п—п+-і)—А(т — і')(т—2у.. (т—п •+- ѣ)
4- В(н; — 2)... (т — п -+-1) —.... чг (іи — п + 1) М М — о
тогда для онаго интегральнаго уравненія вообще будешЪ
А7 А — т
в7 —В— (т— і)А7
С7=С —(т —2)В7
ІУ —П — (т — 3}іУ
и проч.
» х_Х(Дх‘Эх+С) обратится ,Ъ х’^СріХ^’Эх + С).
ВычтемЪ теперь изЪ перваго интегральнаго уравненія всѣ
нрочія ;• и дабы увидѣть какой каждое доставитъ осташокЪ
яычтемЪ изЪ него ке уравненіе, шо поелику будешЪ
465
А7— А
В7- В^—(т^ — і)А^—(п/—1) т/)(А—ж7— ж^-ы)
С'-С^-т^В '^-и/В'ч-с^-В^)
—(т^—т^В— (т'-^т^— 3) Ач-т^н-ж7»/- '’-ѣи/2
— 3(т7-і-і ^)4~2)
и проч.
а по сему каждый остатокъ вЪ первой части уравненія бу-
_ (к) /
детЪ дѣлишься на т — ІП , и по раздѣленіи на сего дѣли-
пі?ля будетЪ имѣть видЪ
I т/__ Т ]<к)
п—. /п— а) . д п — 2 (п—з) . __
X р Н-- Ахх р +............................. —------
Ж 1 ---- ш7
гдѣ будетЪ
А/= А -|-1—ю/—
В ,=В+2— (ж7н- ж(^—3) А-+ т(к^-+иі/т^ч- т/2—3
и такЪ далѣе,
и симЪ образомЪ получится п — і дифференціальныхъ уравне-
ній онаю вида. Есшьли теперь изЪ перваго изЪ сихЪ п — і
уравт ній . вычтутся всѣ прочія по порядку, шо такимЪ же
образомЪ получится п — 2 уравненій, вЪ коихЪ самое высшее
дифференціальное содержаніе будетЪ р ., такЪ что при
вычитаніи изЪ уравненія содержащаго во второй части
V7 — Цр)
—тгг------- уравненія содержащаго ко второй -части величину
и? — т
іу _ і}(6/>
—-уг-----> будешЪ коеффиціентЪ перваго члена ~Т1ѵ -т
т — т
56 *
464
5* )-т^;)(Ач-3-/п/-т‘^)-т(‘л'})
коеффиціеншЪ втораго члена
и проч. , а по сему всѣ члены вЪ неркой части уравненія
(V) (&)
раздѣлятся на Ш — т , и будетЪ
п--2 (п----
X ]Т
Л--3 „(п —4)
Р
Ѵ(М
ІУ
—т )
У} — т^) (т'
— (ш'
(т — т^) (т
вЪ коемЪ будетЪ
А, — А + 3 — п/ — — іп'к'
и такЪ. далѣе, гпакЪ что изобразивъ
(т -— т/ ) (пі
(т' — шх/ ) (т/
— іп ) . . . (и/п — т ) ~
— т") . , . — т/х ) — §
" _ . (т("> _ т^) — -у
~ а
и проч.
для интеграла предложеннаго уравненія получимЪ выраженіе
ѵ' , ѵ" . V'"
— а У Г У Т.................
ИзЪ коею совершенно подобнымъ образомЪ, какЪ и вЪ
предЪи іушемЪ параграфѣ, выведемъ изображенія интеграла и
д\я мнимыкЪ, равно какЪ и для равныхЪ корней т или Л;
сЪ тою только отмѣною что тамЪ было
-Ьсох . I со2х2 . ыЗхЗ і
е— ~ 1 “4~ иіХ —------г- - — —р-..........
---- 1 1.2 *-- **2-3
а здѣсь будетЪ
-+~ш __ .17^1 ы2(1 х)2 . 0)3(1. хіз
х-" — іьыі.г4-----------------1---------ь- . . -
' і . а — 1.2.3
л по сему вЪ ихЪ интсгралахЪ II , II'Ѵ/// и проч. при рав-
ныхъ корняхЪ т или Л вмѣсто х войдешЪ 1.x.
465
СТАТЬЯ ПЯТАЯ
О способѣ пнтегрованія у^цвненій посредствомъ пре-
вращенія ихЪ вЪ уравненія высшихъ степеней.
$ Ді.
Случается иногда что дифференціальнаго уравненія какой
либо степени двухЪ измѣняемыхъ величинЪ х и у интегралЪ
разЪискапіь бываетЪ трудно ; но чрезЪ дальнѣйшее дифферен-
цированіе и введеніе иногда новой дифференціальной функціи
мЭх трактуемой постоянною, сводится оно на уравненіе высшей
степени, коего полный интегралЪ получить можно, особливо ко-
гда то уравненіе, на которое сведено будетЪ, принадлежать 6^-
детЪ кЪ роду тѣхЪ уравненій, кои трактованы вЪ предЪиду-
щей статьѣ. Положимъ что начальное уравненіе было сте-
пени Ъ й и послѣ т дифференцированій обратилось оно вЪ
уравненіе степени п-й, разумѣя + и сего послѣдняго
уравненія полный интегралЪ разЪискапЪ оудешЪ. Сей инше-
гралЪ будешЪ содержать вЪ себѣ п произвольныхъ постоян-
ныхъ величинЪ, коихЪ вЪ послѣднемъ дифференціальномъ ура-
вненіи не бы .о; интегралЪ же предложен аго дифференціаль-
наго уравненія долженЪ содержать вЪ с ебѣ только к. произ-
вольныхъ постоянныхъ величинЪ ; и по сему вЪ найдениомЪ
интегралѣ , дабы онЪ приличествовалъ предложенному уравне-
нім, надлежитъ т изЪ оныхЪ п посш, ячныхЪ величинѣ имѣть
опредѣленное значеніе. Ддбы сіи т произвольныхъ постоян-
ныхъ величинЪ опредѣлить, надлежитъ найденный интегралЪ
к разЪ сЪ ряду дифференцировать, исключая каждой разЪ по
одной постоянной величинѣ, покуда приведены будемЪ кЪ ура-
вненію вида п добнаіо предложенному уравненію, чрезЪ снесе-
ніе сЪ к п'мЪ оныя т постоянныхъ гехичинЪ опредѣлятся.
Е шьли послѣ к д!і({гф р*енциріЛлній и исключеній извѣстныхъ
к носіпоячньпЪ величинЪ приведены будемЪ кЪ } равненію не
одною ви^а сб предложеннымъ, то надлежитъ выключишь
466
другія к постоянныхъ селичинЪ, и сіе потуда повторять, по-
куда приведены будемЪ кЪ уравненію подобному предложен-
ному. Но лучше всего помноживЪ всѣ к 4 1 уравненій крі мѣ
одного , разумѣя вЪ шомЪ числѣ найденный интеграѴЬ и к
уравненій полученныхъ чрезЪ дифференцированіе, на неопре-
дѣленныхъ множите гей, и соединивъ чрезЪ сложеніе вЪ одно
уравненіе, сравнить коеффиціеншовЪ дифференціальныхъ его
содержаній сЪ подобными коэффиціентами предложеннаго ура-
вненія ; чрезЪ что какЪ оныхЪ неопредѣленныхъ множителей
такЪ и т произвольныхъ постоянныхъ ;величино опредѣлишь
можно будеіцб-
ДримѣропЪ сему пусть -будетЪ уравненіе
у (у ЭЭу 4- Эу2) 4- ахЭх? о
при дх постоянномъ. ОтнесемЪ сперва сіе уравненіе кЪ диф-
ференціалу дх измѣняемому подсшавивЪ »ЭЭу —- ^ЭЭх вмѣ-
сто дду, отЪ чего пол-. чится уравненіе
У(уЭ2у — - „ + ду2) -+- ахдх2 = >о,
и потомЪ .положимъ, чшо будешЪ постоянная величина
идх— ошо ,на.йдеіцся оох—.— • а-—— - и которая
величина когда подставится вЪ ономЪ уравненіи, то получится
у(уЭ2у 4- —У^~ г Эу2) 4- пгЭх2 — о.
Уравненіе сіе показываетъ, чшо есшьли положится
или и — то оно обратится вЪ ,д2у 4“ шсдя2 — кото-
рое чрезЪ дифференцированіе доставитъ
Э3у 4- «ЭхЭх2 — о или Э3у 4- ЦуЭ^.3 — о.
Сіе уравненіе, по § 239» посредствомъ множителя и про-
исходящаго для Л уравненія X3— X" — О доставляющаго
для л три корня Л.7, доставитъ и.ігаегралЪ
467
Се“ х ~ Се“" х''* Сле~х"'2
+ +(Хх-Х/Л) (Х^Х''7)’
Назначимъ а чрезЪ а3, то будетЪ
X' — а, У." = — X777 = — і+’Н’.я.
& 2
Се”аа
ТакимЪ образомЪ первая часть интеграла будешЪ ----- >•
За2
вторыя же двѣ части, по назначеніи
С7+С77— (С' — С")Ѵ^З=~ в.Аеш.<
(с7+ с") /з~ + (с7—с") /-37= 2.а соі. а;
аъ
Аеа — -
доставятъ-----йа2/3 шакЪ что послѣдняго1
За2
уравненія полный интегралЪ будетЪ
За2у = Ае ах /з + $ Н- Ве“ “
ПошомЪ найдется
Се"» С7еК‘^)аг с77/'^-^
X — Гудъ—--------Ь--------------Ь------’
За3 За3 За3
но какЪ
Сх ч- С77 = А (з/3.соз. — Ізіп. %) =. Азіп. (|тг —
(С?- С77)/—1 =А(Зсо,у.^ч-і/з зіп.ф — Асоз. (1^—^
разумѣя подЪ тг содержаніе полуокружности круга иЪрадіусу;;
по1 сему будешв
468
—
За3л? ш — Вс 172 4- Ае~ зіп. (| а.ъ ]/3 4-4 — |тг).
Найденный нами сиыЪ образомЪ интегралЪ будетЪ вмѣ-
стѣ и интегралЪ предложеннаго уравненія ; но кЪ немЪ нахо-
дится три произвольньіхЬ постоянныхъ величины А, В и
к іичЬ вЪ интегралѣ пре/ ложеннаго уравненія должно быть
только двѣ. Для опредѣленія одной изо нихЪ под^тавимЪ
найденныя выраженія величинъ у и х вЪ предложенномъ ура-
вненіи, отнесенномъ кі ог постоянному, то есть вЪ уравне-
ніи ЭЭу 4-ахЭ‘2;2—о или |^4~<зг~о, или
Назначивъ же ’а?-)/3 ~г~ буквою ф получимЪ
За сг: — Ве~ а“ 4- Ас*1'" зіп. (ф 4- -я)
3 Ц = Ве- “ ч- Ае-™ гЫ. (ф + 4)
по сему для удовлетворенія уравненію ^5 ОХ — О тре-
буется чтобѣ было
ЗІП. (ф 4- |?г) 4~ (Ф ----- |7г) — о
но сіе уравненіе существуетъ независимо отЪ величины и
слѣдовательно ее не опредѣляешь. Сіе показываетъ что хо-
тя пэ три произвольныхъ величины входятЪ вЬ изображеніе
обѣихЪ величин'Ь у и х, но сіи изображенія таковы, что при
выключеніи изЪ нихЪ величины г Для нахожденія отношенія
величинъ х и у, в >йдетЪ только содержаніе величинъ А и В,
и останется кЬ ономЪ отношеніи только двѣ произвольныхъ
постоянныхъ величины, то есть сіе содержаніе и величина
чгаожЪ принадлежитъ до самаго выключенія величины г, піо
оное не легко произвести ножис.
§ 249,
ВЪ предЪидущемЪ параграфѣ употребляли мы дифферен-
цированіе для приведенія пред ложеннаі ) уравненія вЪ уравненіе
высшей степени способное кЪ разрѣшенію; но иногда сіе произ-
4И
водится вводя вЪ оное предложенное уравненіе вмѣсто одной
измѣняемой величины дифферінппльн}ю функцію второй изЪ
кіхЪ и кАкой либо иостор иней измѣняемой величины. ТакЪ
есшьли предложенное дифференціальное уравненіе будешЪ
функція измѣняемыхъ величинЪ хну, то когда вмѣсто ве-
личины у введемъ функцію величинЪ Л* и и и дифференцілль-
і _ . ди Э2ч.
иыхо ихЬ содержаніи ^хй „ прок. тогда оное уравненіе
обратится вЪ Другое высшей степени между величинами инг,
и иож< тЪ бвііпь оная функція вводимая вмѣсто у іпакЪ назна-
чена , что сіе уравненіе высшей степени стелется на такой
ъпдЬ^ которой । лзсматриванЪ нами «Ь предЪидущей статьѣ.
Пусть наприм*рЪ предложено будешЪ уравненіе
РЭу -4- О.Эг —*о ,
и нязнічимЪ у чрезЪ Н“ ’У разумѣя лодЪ [I и V -функ-
ціи величинѣ х и и то бѵдсшЪ
ду __ І’д'и < ди . /ёДЛ і /Э'Т^ / /ЭѴ. ди .
Эх ~ дх2 * дх \\дх' ' дх/ 'дл' ' Мц/ дх *
ду
іцакимЪ образомЪ подсшавивЪ вЪ ономЪ уравненіи вмѣсто ч-
сію вяличину.» и вЪ величинахъ Р и вмѣсто у величину
~дх 1 + V, можечЪ вЪ иѣкоЕіорыхЬ случаяхъ назначишь 17 и V
цмг.о , чшо уравненіе причетЪ видЪ
ддл . 511 । о > Л’ ____ „
ь а 'Г' а ~Н Н~ — о
дха ‘ Эх ‘ 1
котораго рѣшеніе в обще извѣстно ; изЪ котораго когда
опредѣлится Ч| езЬ х, то опреі’лптся полюмЪ и величина
_ 'НЭП . -.-г
по рсдсгпвомЪ назначенія у — —г V.
Пусть на примѣръ преілоледо бу.детЪ уравненіе
Эу -4- (ау3 -ф- Ру О.)Эх ~ О
разумѣя подЪ Р и функціи одной величины х. Назначивъ
у чре-Ъ ~^х -у V иолучимд
Частъ III. 5у
Эу _ ттЭа« । (*№ \ I /7 । /ЭѴ\
Эх '~~~ Эх2 Г” \ди' дх2 ' ѵВх' \ди') дх ’ '<?х^9
и оное уравненіе обратится вЪ
Й + № + і (Г.)> К+₽++і С)+©1 л
+ -і(О+аѴ»-|-© + РѴ) = о
которое дабы сходствовало сЪ уравненіемъ
дди ди . л , । ѵ- л
Ѵ з —і— О. 4“ Іо II “4“ 2\. —, О
Эх2 * дх 1 1
надлежитъ чтобЪ былс
О + аО* = О,
V (О -+- О + = « V 4- Р = «,
й ((") +<’Ѵ‘4-рѴ+0.;=:8и4-Х.
Первое изЪ сихЪ уравненій доставишь
и =
гдѣ р функція одной величины х. Второе же при разсматри-
ваніи вЪ немЪ одной величины и измъняемѵЮ доставитъ
и / 4- о
V =______Эх 7
/ли і и'і2
глѣ д есть также функція одной
2а
величины х Сіи выраженія
ѴиѴ бу луч । подставлены вЪ шре пьемЪ уравненіи доставятъ
С и??’ _|_ д<1 лѴ
(0ц + ₽)>^_^
2^ (“Г-*- Ч)
----------—Н а‘ ~ -
а2
а(и^4 л) Р2 —
ЭР । ' дх 1
дх (аи, 4- рУ 4а
Но сему уравненію не можно иначе удовлетворить какЪ поло-
живъ 3 —п и р— постоянной величинѣ, которую ежелі
назн. чнмЬ также равною нулю, шо будешЪ
471
Ѵ = —р“", аОI — І(І« — а2)— —
Дц’ 20 ’4Ѵ / 2<УХ
ИЛИ
й-*+^=^+ 4, „ х = с.
а ' 4а 1 ао дх
ТакимЪ образомЪ уравненіе
Эу + («у2 + Ру + :) -ох = о,
. - ди Р — к
по назначеніи у чрезЪ ^дх * обратится вЪ
Уравненіе сіе при предположенія что уравненіе А2—аХ-і-&—О
ммѣетЪ корни Л ~ ~ е,' будсіпЪ имѣть интеграломъ
Се“5х — Сле~іх
который вЪ случаѣ мнимости оныхЪ корней разумѣя
+ Ъ Е — <—
обратится вЪ
Ае зіп. (15г 4- 0) ;
зЪ случаѣ же равенства корней и ₽ обращается вЪ
И іпакЪ интегралЪ предложеннаю уравненія вЪ первсмЪ
случаѣ будетЪ
_ЕС/е-“ —5Се-’* „_АЕе(“'-е>—' 5 р_я
У—о(Се-& —г°“~а(і-Ае’5"-*) ’
С' _ А
разумѣя -р- — А, во второмЪ же случаѣ
у = — 4 і •со^- + 0 ;
47а *=*
а ьЬ третьемъ случаѣ
__ А — 5В — 5ах Р — а. I — 5(х -4- е) Р — «
У о(Ах-»-Б) аа а^х-і-е^ іа 3
Р — і
понимая ь — А-
х § 2-43.
ВЪ предЪидущихЪ параграфахъ мы отЪ уравн-енія низшей
степени, кошораю интегрованіе не уд< бчо, переходили кЪ ура-
вненію высіп й степени, котораго интегрованіе удобнѣе совер-
шается.. И напротивъ ошЪ каждаго уравненія высшей' степе-
ни, вида
, д Э71-^ . и.дП~ІУ ! I Оу СУ
Лдхп-1 -Г СЭх»-= "Г - ’ - “Г --------- О
можно произвесть уравненіе одною степенью или двумя или
тремя > и такЪ далѣе, степенями ниже , котораго прямое пк-
щегрованіе трудно , но посредствомъ иніпегрованія- онаго ура-
вненія удобно производится- И во первыхъ есшьли назначимъ
чр"з7> иу. то булепіЬ
д у — ѵэ“ ! иду — ѵ(ди -4- и2}
Эх2 У дх I дх. У'дх '
діу ,д2и . г^,ди .
ЭхЗ—Зіідх + ?1)
Й4> — и /д'и I ДПЭ‘- -Ъ- °/“г X би2^' -4-
Йх4 1 ЭхЗ • дх2 ' дх2 1 дх- /
И проч..
И когда= сіи» выраженія дифференціальныхъ содержаній ппд-
сшавимЪ вЬ предЪидущемЪ уравненіи,, и- потомЪ раздѣлимъ
на у , то получится ди рфіереііпіальное уравненіе меж ве-
личинами и и X одіі 'Ю степенно ниже предЪидущ.іг.э, коею
рѣшеніе ОезЬ „ мощи онаго начальнаго уравченія было бы за-
труднительно. ТлкЬ естьли вЪ уравненіи -+- Д +- Вуго,.
вмѣсто и подсшавимЪ оныя ихЪ выраженія, шо полу-
чимЪ уравненіе
№
4- («ю -Ь Ли -Ь В) ~ о,
котораго разрѣшеніе еояерчічшся посредствомъ разрѣшенія она-
іо у разненія второй ілсиеніі,
Естьлч вЪ уравненіи
под •паЕяшгя оныя выраженія, гао получится уравненіе
4- (Зи + А)Э!і 4 * и3 4-- Айи, 4- Вк 4- С* — о
кеею разрѣшеніе зависитъ опіЬ разрѣшенія онаго уравненіе
Е'шьли вЪ сем’Ь ураы .Ніи назначимъ чрезЪ і, шо п 'слн.у
О <- Т __ ІЭГ
ох величина постоянная,, будешь и оясе ура-
вненіе обратится вЪ
4- (Зи 4 ' АХ + "Г- Аіш +- Ви С — о-
коего разр! іиеніс будешЪ іпакке зависимо птЪ разрѣшенія она-
го уравненія трени" і сіггііені'. КакЪ уравненія сего, поло-
живъ что уравненіе Х34і- АХ-2 4- ВХ-г-С — О имѣешЪ корни
X—а, Л 1-1. о, А — '’/, бу іеиіі» но.нъй ичі!іе:| алЬ
, х , < Г'/// ,’>х\
у __ С е 4Т~ с -+- с ь
по с^ѵу онаго і р чтенія между и. и х инпЛ”рзлЪ бу іепіЪ
Эѵ аС'е”’-:.?СѴ+гС/'^= «^’ч- еПг%
и1 ~ ’ — —----------— — —---------------—
уд» ЧХ ГЛ// ех (Ч/// Ух- ЧХ , га 5-1 . т? ух’
Се -рі е С а с -рВе 4- Ее
гдѣ величины О и Е буду шЪ двѣ промзволіич» і^гщ янныя
величины.. Далѣе ііудешЪ ~ - иіі
№ •==
ээ, „
по сему 1-^-пи, лті+ии^—^—^—-^-,
^ачая же величина
_(а-?)аОе'’+8>+(а-ѵѴЕе(“+^х-? (Ц-у)*^'4''1’
І— (5“ +- ’
Но сія велЕчина і опредѣлилась чрезЪ х, для уравненія же
~ + (Зи + А) I 4- и3 + Аии 4- Ви 4- С = о
должна величина і опредѣляться чрезЪ и. Для сего снесши
выраженіе величины и чрезЪ х сЪ выраженіемъ величины і | ии
чрезЪ х, выклк“имЬ величину X. И во первыхъ будешЪ
* 4~ ии~ (а. —1~ 4' —
(у — “) (т — к)Ег’
І4ик — (л 4-у)^ + аУ=
(2 —а) ($ — т)Пс€г
*4- ии— (е+ у)и т ёу =
(а— е) (« — т)еая
7ах+ Е? х
откуда найдется
Г -?- ин -4- (а -4- е)и -+- ^6 _
Т -р- ии —— (а -}- 7)и -р- а.у
(у«)ЕЛ-е)'
(а — К)Ш)
Т -+- ии — (а -4- е)и -4- аб
» -4- ии — (в 4- 7> Н-€У
_ ѵ) Ее'1' - •>*
а —ь”
4?5
а изЪ сихЪ кайдыпся
ь&)ич-л§Ѵ ь (^~'у)(і^ии—(^-^'уУ)и+^у)] е
\ К / ((Ѵ)(^+ии-(а+ѵ)и+а7))7”в
или
. х ха_Р (?4-у)ы+Су)7~е
(С4-ии+/а-Ь^і/-Ка^ е—ЕѴ------------ —---------—,
(і -+ ии — (а-Н у)и-р ау)
гдЪ будешЪ одна только произвольная постоянная величина Р,
(В —
разумѣя подЬ Г величину ----:—-------73”ё» которая
(V- о) (« — е)
есть величина произвольная. Положивъ же, Р ЁйС о , или
Р — получимЪ частные интегралы онаго уравненія
і-ріш — (а+е)и-га5-О, Г 4-іш —(&-Ьу)и-+-
І4~ии—(ач- у)и4-ау —о, или і-+-(и — а) (и — %) — о,
$ + (и — е) (и — у)^о, *Н-(и — а) (и—=
476
СТАТЬЯ ШЕСТАЯ
Оразрѣшеніи дпффере^иіа.і’,нніх?> ірюав&ені'х состамякп&кхЪ
Ууістемц силідіеъ,ргіѵеслпхб уравненій.
§ 2 44-
Пусшь бѵдсгпЪ предложено и дифференціальныхъ, степени
к й, урлвнр тй между .п измѣняемыхъ величинѣ яс(' а/2), _х(Д
ХІ4) . . . хС”), и какою либо величиною і, коея п рвыи диф
ференціалЪ трактуется постояннымъ
Есшьли сіи уравненія будушЪ вида
-чк — I -чЬ 2
Э X д X д X
— 4-М--------+.........................
Э? Э/:1 Э?“2
Н- Кг — -о ,
и коеффппіенты М, К . . . К будутЪ таі.ого свойства, что
они не измѣнятся, которая бы изЪ .оныхЪ величинъ Х^'\ I
Л и проч, еЪ семЪ уравненіи вмѣсто величины х подста-
влена ни была, шо таковыя уравненія называются СН.нме-
тригескидіи.
КакЪ каждое изЪ сихЪ уравненій есть степени к й, шо
полнымЪ каждаго инпіеграломЪ будыпЪ такая функція для
величины х вЬ немЪ содержащейся назначенная, коіш рая‘удо-
влетворяя сему уравненію содержитъ вЬсебѣ к произвольныхъ
постоянныхъ величинЪ. По сему каждую иэЬ оныхЪ величи-
ну х, начиная сЪ (к-+-\р можн > назначишь, чреаЪ сумму
перкыкЪ к величинѣ х помноженныхъ на произвольныхъ по-
спічянныхЬ коеффг.цп ншовЪ; т. е. можно назначишь каждой
хМ чрезЬ
хм = а<х’х('’+ іМсс>+ смх(‘’+...................А(х)х«
И дѣйствительно , когда подставлено будетЪ сіе выраженіе
величины х<\> вЬ ономЪ уравненіи вмѣсто х, шо получится
’Э® #-'хы
---г——ь- х Л —,——н № —г— н-
к &*-1 э?-2
э‘-Ѵ2) э^2)
------нМ--ь---4-М— ь----
Э? Э?-1 Э?-2
“э?-
М _—ч-К—.__
-+-•«.....................................• 3
гдѣ вТ первой части уравненія каждая дифференціальная
функція порознь, помноженная на своего постояннаго коеффи-
ціента, по силѣ данныхЬ уравненій, обращается вЪ нуль, а и®
сему оное назначеніе величины х(х) уравненію для нея удовле-
творяешь; и гаЪ содержатъ к произволььь'хЬ постоянныхъ
.величинѣ а^-) Ъ(^ сМ и проч. то оно будетЬ полный ин-
тегралѣ дифференціальнаго уравненія вЪ ХѵхХ
ТакимЪ образомЪ получится п — к интеграловъ для всѣхЪ
величинъ х начиная ошЪ Л-+-1 до п й , вЪ коихЪ будетЪ вЬ
кажді-мЪ по к произвольный постоянныхъ величинъ, а слѣдо^
«ашельно во всѣхі к(п~ к) произвольныхъ величинъ. Оста-
ваться булоійЪ только рѣшить первые к уравненій для х на-
чиная оч Ъ хі") до х(к\ вЪ коихЪ но подсиілновленіи вЪ вели-
чинахъ М № . . . К вмѣсто величинъ Х^ + \ Х^ '***^ . . Х^
пай іеннь хЬ для нихЪ выраженій чрезЪ первые к величинъ X
(«олучаіп я уравненія содержащія <аи только первые к вели-
чинѣ х и величину і, кои трактовать должно по ііредЬиду-
іщимЪ правиламъ.
Пусть на по. предложены будутЪ три уравненія
5? + К^ + К/Х-О
^•+к^+ку = о
Частъ 11к 58
478 =
разумѣя подЪ Н и какія либо функціи величины
Г~/(х2+у2+а2), шо будешЪ
X зз: ах -}- Ъу.
Оставаться только будешЬ рѣшишь два первые уравненія,
или два уравненія составляющія какія либо сопряженія оныхЪ
тпрехЪ уравненій. Для сего помн< жимЪ первое уравненіе на у,
а второе на х, и вычтемЪ одно изЪ дрѵаго, то получимЪ
т уддѵ — хдду | П удх — *ду ._
. -----ь —эг — О >
такЪ чшо естьли назначимъ удх — хЭу чрезЪ идк, шо будетЪ
I. + На = о.
ді 1
Естьли же первое изЪ оныхЪ тре\Ъ уравненій помножимЪ
на Эх, второе на Эу, третіе на Эг, и сложимЬ, то получимЪ
ч:у ч-э^а.^ща*-ч-ч Ѵк^хЭхч-уЭуч-^^о,
Назнач: мЪ Эх2 4" Э/2 4~ Эх2 чрезЪ Эб2, то будетЪ
ЭхЭЭх 4- ЭуЭЭу + Эг ЭЭх зз Эу ЭЭб ;
ври тонЪ поелику Г2 33 XX 4~ уу XX , будетЪ
хЭх 4- уЪу -4- хЭх зз гЭг,
во сему оное уравненіе обратится вЪ
ЭзЭЭі т> Э$2 і т>/
-гр + к и У К гЭг — о,
или
П, +
ді* г Эі 1 ді
Естьли Н~о, то будешЪ |у— О , и І/зза, а по сему
уд.Х—хду~аді'3 вЪ тоже время будетЪ КхгЭг ~ О,
» по сему-Ір-Сй-Д^Эбт. е. 2С+2/К7Эг.
479
ТакимЪ образомЪ по подсшаиовленіи вмѣсто величины г онаго
ея выраженія чрезЪ х и у н< л; чшвся для х и у два диффе-
ренці хьныхЪ уравненія первой степени.
СТАТЬЯ СЕДЬМАЯ.
О нахожденіи интеграловъ дифференціальныхъ уравненій
грезЪ приближеніе.
§ 245
Для нахожденія приближенныхъ интеіралові» уравненій
двухЪ измѣняемыхъ величинъ употребляются два способа ;
во нервыхЪ назначеніе одной изЪ измѣняемыхъ величинъ при-
личною безконечною строкою, другой измѣняемой величины;
во вторыхЪ извѣстная формула Тейлерова. Но часто прежде
нежели кЪ самому дѣйствію приступлено будетЪ , уравненіе
приводится вЪ способнѣйшій видЪ чрезЪ введеніе, вмѣсто одной
измѣняемой величины, функціи другой измѣняемой бывшей
вЪ уравненіи и посторонней также измѣняемой величины, или
другимЪ образомЪ, какЪ выгоднѣе будешЪ.
Пусть на пр. предложено будетЪ уравненіе Рикатіево
.Э/ 4- ууЪх'— аххЭх ж о.
Назначимъ у чрезЪ
Ах*4-Вх/’+'24-С^+2'24-Пх/’+за4~ . . .
то будетЪ
* = р Дх*- + (Р -о д) Вх*+’- + (р + 2 д) Сх*4-”-
4-(р+Зд)Пх1>ч’33“І-ь . .
и оное уравненіе обратится вЪ
/ рАх**' + (р + <?) Вхм + (р + ед) Сх^-
_) Н-(р + Зд)Сх'”|-и-,+..............
0-1—пхх+ААх°*4-2АВх’і>+5+2АСх’*+,'Ч- . . .
Ч -}-ВВх’*+ч4- . , .
и проч.
58 *
Д8о
По сему надлгжитЪ назіич кпь
р— і — X, и р -+ тд — і ~ 2р~]~ (т — і)<7 у
слѣдователи но
р — Хф-1, д —р4~1 —Л~Н2.
Послѣ чего найдется
А ___ а ___ г -р ________ АД ______ ва
Л Т Х47"’ ‘ (Х-Ь •])=(<-4-з) 9
__ «'3 -р» (юХ4- 17 )а4
Ѵ (ХН-^СіХЧ-зХз^В) * и (Х-Н>6х+з)2 ІзХЧ-5)(4Х-НЛ
и проч.
и
ТакимЪ образомЪ при оныхЪ величинахъ А, В, С, П
проч. будетЪ
Но сіе выраженіе не годится, когда Н?Х-(~2Ш—1 — О, или
X =2— (~т—)’ гаог^а всѣ коеффиціеншы , начиная
сЪ т-т члена, обращаются вЪ безконечные; а по сему сей слу-
чай шребуешЪ особливаго рѣшенія, при томЬ и вЪ піѣхЪ слу-
чаяхъ вЬ коихЪ X не ~ — (—--—), полученный симЪ обра-
зсмЪ интегралЪ есть только интегралЪ частный; ибо не заклю-
чаетъ произвольной постоянной величины, но есшьли назовемъ
оную строку, выражающую величину у, и удовлетворяющую
предложенному уравненію, буквою V, и положимъ потомЪ,
чгт полный интегралЪ есть у“Ѵ + м. то но подсшановле^
ніи вЪ предложенномъ уравненіи получимЪ
ЭѴ + ди 4- (ѴѴ -}- 2Ѵи -ф- ии — ахх)Эх=: о,,
при шомЪ
ЭѴ-4-(ѴѴ— ахх)Эг =2 0,
по сему будетЪ
ди -ф- (2Ѵи + ии) Эх о ,
481
и положивъ И — \ і<“тЪ
ді — 2 VI Эх Эх — О ,
®-#п куда найдется
{е-'/ѵ»'+Д-‘-ГѴЭіЭх=С, » і=Се ^-е^^/е-^аѵ,
по нахожденіи сего интеграла будетЪ X ~~ Н—7 полный
йншегралЪ предложеннаго уравненія.
Назначимъ вЪ уравненіи
Эу 4- уу Эх — аз Эх —2 о,
I
Желичину у чрезЪ —, шо оное уравненіе обратится вЪ
Эх “ Эх — ахх хх Эх.
ПоложимЪ для него
% — X +- Ахг 4- Ьх
то бу іепіЬ
и уравненге обратится вЪ
рАх 4-(р4-д)Зх*+9“ІЧ-(
-+-(р-н39)Охі’ + з9-1
* +* “ Ч (р+27) Сх? “ Ч...у
,р -Ьгд—і
_о
ах
4-ААхй ’ч-2АВхг? мн-.
которое дабы состояться могло, наілежитЪ положить
Р — 1 — А —7 2, или р — Л "У 3, С} — Л 4- 2 'у
послѣ чего получится
д. — в — а -р ___ ява
Л ? Хч45 ---------------- (Ь-і-з) (А-1-51 ’
/'•' _______(6X4—17 »3 у-. (аоХ 4— 45)а+
(Х4-з)2(А4-5) (3X4-7)» “ (X 4- зУ(аХ 4-5)(зХ4- 7)(У 9)
И Проч. У
482
которыя изображенія коеффиціентовЪ поі.азывзютЪ. что оная
строка для выраженія величины г не будетЪ юд’чі ься, когда
Л ~ ^Ри ,ІІ0Н^ и се^ интегралЪ не будетЪ пол-
ный; и вЪ дополненіе кЪ части — входящей вЪ составленіе
величины у до полнаго интеграла надлежитъ прибавишь
одну же найденную вЪ предЪидущемЪ рѣшеніи величину -у- ,
такЪ что будетЪ
__ і , і к -р- г і гі~
У—«“Ну —-аГ’ или 7 — І-+-Т
СверьхЪ сего замѣтишь д>лжно, что оныя два рѣшенія вмѣстѣ
взятыя составляетъ іюл ое рѣш'ніе уравненья Ѵикатіева;
ибо вЪ когаоромЬ случаѣ пе вое рѣшеніе не годится; г>Ъ томЬ
случаѣ второе употреблено быть можетЪ. ВЪ прочемЪ вЪ
уравненіи
дъ + ахх хх дх — дх — О
X -ч ,-х X —Н і X —}— і
можно назначить СІХ оХ чрезЪ (Ш, или X —---------и 9 и
і і
Х~(Х~— )л-+ И г 7 тогда сіе урадненіе обратится рЪ
— X
дх -Ь тя ди — А и х + Іди — О,
или
дх -4- хх ди — Аі/'ди — о ,
и его пгактовать можно будетЪ по первому рѣшенію.
Естьли вЪ оіічмЪ уравненіи
ду -ууудх— «а дх О
Т .. __ Эи _ _
подставить у —то оно обратится вЪ
5Эи X ___________________________ л
— «х и =2. о ;
дх3 '
для котораго, естьли назначимъ
и — ЛхЧ-Вх"-+' + Сх-’1 + ”Ч- Ож’‘+5’-Ь................
тло
6’' деіпЪ
I? = 1Л(|Л- і)Ахв-’+ (р.-н)(ц + ,~ і)вг+’~г
-На + 2») (р. + 2к — 1)Сх'1+і,-а 4- . .
и уравненіе обратится вЪ
|1(|Л — 1) А/- * + (р. + х) (|Л + и — 1) Вх1* ‘
для удовлетворенія коему можно назначать ;
|л(р.— і) — О, и у.~упѵ—2 — р.-Н(н— 1)ѵ-|-Л,
іп. е. У — X-1- 2. Поелику уравненіе р/р.—1)“О доста-
вляетъ или /X— О, или
получатся два выраженія '
или ІА А —Вх —}— С
или и~ А/х-}-Е„'1 34-С
При чемЪ будетЪ
(Н 4- ѵ) (у. -Ь ѵ— 1)
(^4- 2и) (р.4-2и— 1)
(у. 4-Зѵ) (р. -у-Зѵ — і)
и шакЪ далѣе.
По сему будетЪ
для первой строки,
- 1> по сему для величины и
для второй строки
г>/___ ______
(л -Н 2.) (X —|— 3)
гч/ ___ _____________
------- Е(Х + 2)(2Х-+-5)
ь/— -_________аС_ _
2ІХ
и шакЪ далѣе.
и шакЬ далЬе.
484
И какЪ вЪ § 237 доказано, чшо уравненія с'и такогз
свойства , что есшьли имЪ удовлетворяютъ величины и X
и Ѵ~Х/, то удо-летв | итЪ также и величина ц~іХ-| X;
по сему йншегралЪ уравненія Эди — СПС идх2 — О будетЪ
__ < А 4-Вхх+’Ч-Схх^4-Вх’х+ѴЕх4Х+8ч----------------
11 ~~ /+ А /х4-В,хх+3-ьС/хаХ+5Ч-Б хзХ+7+Елх .
который, по причинѣ величинЪ А и А остЭгощихЪ ’я неоп.е-
дълениыми , а слѣдовательно произв< льными , будетЪ инше-
іралЪ полный.
ІізЬ сего же интеграла найдется полный интегралЪ и
уравненія
Эу + '•уЭх — аххЭх — о ,
_______ Эи.
который будетЪ у — иэх’ и вЪ котѳоомЪ произвольною ве-
личиною останется тол .ко содержаніе величинЪ А и А .
К вЪ разсужденіи сихЪ строкЪ замЬтить должно, что
онѣ обѣ не годятся при Х~— 2, и сверьхЪ сего первая
при Хг^-— -)» а вторая при Х~— (—Когдажь
__ ІЛ
Л — — 2, тогда положивъ И — X получимЪ
ЭЭи — [л/р. — і) Xм" Эха,
<
« уравненіе обратится вЪ [/.'[/.— іу— П~ОЛ откуда когда
найдется [Л — Сі. и и будетЪ
и — А х -н В хе.
Когда жь которая нибудь изѢ оныхЪ сгпрскЪ выражающихъ ве-
личину и не годится, тоназовемЬ сп собную изЪ нихЪ буквою
V, и положимъ и — ѵ тоі іа получит я уравненіе
гЭЭѴ -г]- 2дѴдѵ + ѴЭЭг^ — аххѴ иди2 = о,
или
#(ЭЭѴ — ахх Уди2) -}- 2дѴдѵ + Уддѵ — О,
485
гдѣ первый членЪ, по причинѣ піой что ЭЭѴ—&Х Ѵди3~О,
будетЪ равенЪ нулю, и получится уравненіе
еЭѴЭг 4- V» — о, и„ -и — о,
или еще по назначеніи Эу чрезЪ зЭх, ~ — О, откуда
найдется 7.ѴѴ—.С и 23=2^., а по сему будетЪ
V = С/% + С', И и = СѴ/^ -+ С ' Ѵ.
ідѣ величина СѴзамѣнять будетЪ вторую строку. Или,
поелику обращеніе коеффиціентовЪ вЪ безконечные есть при-
знакъ, что вЪ ишпеіралЪ входитЪ логариѳыЪ измѣняемой ве-
личины х назначимъ и чрезЪ Vто будетЪ
<ЭЭѴ . ЭЭѵ. х . гді; ѵ Х/Г7-- . Х\ _ _
-а 7.—к а-------ах (Ѵ-4-ѵІ.—) гг о;
дха 1 а 1 хдх хх \ 1 а/ >
для котораго уравненія положимъ
ддѵ X
5^ —ох ѵ— о,
я оставимъ для ѵ ту строку игЪ дву^хЪ оныхЪ строкЪ вы-
ражающихъ и, коея коеффиціенты не обращаются вЪ безко*
нечные; послѣ чего по'у’іипіся уравненіе
оххѴ = О.
д х2 1 хдх хх
Положимъ потомЪ, что
V -Л/ + ВУ'гГ1С.г + :ЧВ/+зЧ . . . -
тогда вЪ случаѣ годности первой строки получится уравненіе
г(?-1)А/-Ч-(?-нг)(г + о— +
_І +&+2(Г)&+!;а-_1)сх+--ач- . . .
5 +«хі(Л/х'+В/Е'+с+С/гс'+і'н-О/+'>'-ь • • •)
^+Ах"1+(2Л-(-3)Вхх+(4Л-(-7)Схл+*-ь(бЛ+1 і)Ох1Х+4
Часть III. 5д
486
для удовлетворенія коему, замѣтивъ, что X"— »
или X -г- 2 — — ~ з ПОЛОЖИМЪ
1 тп
еН-ИО- — 2 — 1)о-|-Хг^(п — Л) (Х4-2) —2,
откуда, найдется С —Х-}-2.— ——• назначивъ же для удо-
влетворенія величинѣ — 1)А/Г=О, ^гггі, найдется
Я,
1 — Л^Х —}— 2) _ —, а по сему пі. е. чдго п-й
членЪ первой строки схс сшвэвашь будетЪ сЪ (п - т)мЬ чде-
номЪ третьей строки т. е. (т і)й членЪ первой строки
будетЪ сходствовать сЪ первымЪ членомЪ третьей строки;
слѣдовательно перзые пг членовЪ двухЪ первыхЬ строкЪ д 'л-
жны взаимно уничтожишься независимо <тЪ третьей строки.
ТакимЪ образомЪ положивъ ? —1, (Г22І полѵчпмЪ
* 3 771
ТП- Г ТП - 2 ТП $
А/х + В/г^’~-ЬС/х^1—4-П/ .
и будешЪ
(т — і)В/ — — ттА/, 2(ш — 2)С/ — — жтіВ,,
и такЪ далѣе; иаконецЬ положивъ , что начиная сЪ (т— і)го
члена строки V будутЪ коэффиціенты членовЪ I/, К, 1^,,
М , К/, и проч. получимъ
(и- ^т^о, «К^Ахо, С^')\1,-ак~Г±3)В-о,
= " ша»Ь далте.
•ТакимЪ образомъ величина К, опредѣлится чрезЪ А, и будетЪ
К—~ А Ж -Г _ {ТП і)К,
, — — У ПО гаоиь найдется 1 —— ——э и такЪ
/ И / Ліг'ІІ'ІЛ
далѣ*-; такЪ, что всѣ коэффиціенты членовЪ оной строки V,
до т-ТО члена опредѣлятся чрезЪ А; коеффиціеншЪ же Ь чле-
на 'іл —н і)го останется неопредѣленнымъ, который вой ютЪ
и во всѣ прочіе коеффиціеніпы за нимЬ слѣдующіе М/, ? ,
и проч. ВЬ случаѣ же годности второй строки получится
уравненіе
487
’ 1)В/+М
-+-(?-+- '2О-) (% -+- 2сг — 1) С/хС:^2!7~2 ч- ... .
О -ах\АХ^ВХ+^С/х?^2<Г^ВХ^-к • . ••)
| — ^-Ь- (2 (X 4- 2) -4- і)В г -4 (4(Х-|- 2) -4- і)
[ _}_(*ха^4,(6(Лч-2)4-і)О^а+і-Н . . . .
Для удовлетворенія коему, замѣтивъ что Х^і—С”™-')
или Х4~2~—, положимъ какЪ и прежде
4- пс — 2 — § 4- (п — і)<г-ЬХ=:(п—к)Ск 4-2) —1;
«
отку іа найдется <Г ~Х *4~ и положивЪ ~ О, будетЪ
Л(Х 4- 2) ~ I, ш. е. к — т. ТакимЪ образомЪ будетЪ
і а 3 ♦
ѴЛ I Т> 771 і 771 I ТА _ 771 і Т7 « 771
— А/ч-В/х + СЕх -4-В/с 4-Е/Х 4-.................
Для которой строки получится
(гп — 1) Вг — — тт к7а , 2 (т — 2) С, ~ — ттаВ ,
3(іИ — 3)0^ ~ — ШШСіС/у и такъ далѣе;
наконецъ поіожиьЪ, что коеффі.цтенты (т—і)го. тТО,
(т-4-’^го членовЪ и такЪ далье по порядку будутЪ 1^, К/г
Іу М ,, К ,, и пр >ч. «случится
(ш-і^'-ттаК^ аІ^-А, ^М^аЕ^^В —о,
^кт М — аМ ——- В С22 О , и іпакЬ далѣе;
тт / / ' т
посредепік'ічЬ коіпорыхЪ уравненій коеффиціенгпы Ау. В7, и
проч. л» Ку опреіѣлятся чрезЪ А; коеффиціен і?Ъ же о;та-
нешся н₽.> іре иленнымЪ , и войдсін1 вЪ слѣдующіе ко ффи-
ці'чшы М/5 М , и проч. лакѣ произвольная постоянная ве-
личина.
59 *
488
Ург.вненте — ОХ и — О можно, прежде назначенія *
для и строки , которая бы ему удовлетворяла, привесть
вь другой ви..Ъ , для котораго бы назначеніе строки было
удобнѣе. Для сего положить можно- IX —2 С , разумѣя
по ѴЬ г и і функціи одн й величины х; тогда получится
ди___ /Гдх г,л Эйч дди. _____ /Гдх/ддх . .Гдх-г-хдГ .
а« —е (к-е-Эх),ида = е (да-*-------------гх—
ошЬ чего оное у; а ученіе обратится вЪ
Э<Эа . аГдх хдГ , „ ✓.» „ Хд ___ _
Ч----— Ч- (гг — сіх ) — о
Эха ' дх. 1 \ '
,, X_______ _
для коего можно назначить СГ — «X —О т откуда найдется
і — -4- х5Х/аг а по сему будетЪ
• X "Н 2
— * /я-
Тогда для остальнаго уравненія
ддх . г/ЭхЧ-хЭі _______________ _
эх= Ч--а* — — ° >'
можно будетЪ назначить
ъ — Ах?+Вхрч’7-4-Схм^г'?Ч-Пх?+з'?4-..............,
откуда положивъ — т , и |/а — С, а по сему
і^схп и ~ — ТПСГ' \
. дх
получумЪ уравненіе
р (р — і) Ах*7 “ г + (р(р ч- 7 -1) В г*4 ' 3
Ч~(рЧ-27)(рЧ-27 — і)Сх?+ + . .. |
Ч-2СХ (р Ахр~'1 Ч- (р Ч- 7) Вх? — 1 — о;
Ч- (Р 4- 2 7) 1 Ч-.........) |
4- іИсхт(А^-ІЧ-Бх*,+5~,4-Сх?-ьа'І-,-і-...) 3
489.
/ля удовтешвор^нтя коему можно положишь во первыхЪ иля
р~о, ила р_ і, потомЪ
р ч- р.д — 2 = р -р т ч- (н- —• 1) я — 1,
а по сему д—тп-А- і. ТакимЪ образомЪ для р~о получится
р ____ __ ГА р ______ __ ( <771 + /еВ Д-) _ ____ _ (утп 4- 4І сС
7П.+ 1* 2(тп. Ьі)('і77і-+-.)’г з(»М-і.ХЗ'Л-Ьг)’
тт ___ (утп-ЬОсП
— ^Т+^Гс7п'-РГ)у к иакЪ лалѣе;
для р же' “і получится
р' ___ __ 'А _ р/ ______ (зтпЧ-Ч^В'
771 -4- I * 2(777 Н- і) (2771 3) 5
ру___ Г ГП -і-б.'] гС _ р/ _____ ____ (7771-4- 5) Р
З(т+Ъ ѵ>т + 4? 4(т -4- і) (^771 -4- 5) *
и шакЪ далѣе;
и будешЪ
интегралЪ
уравненія
оДіІ 2771
-Х2 — ссх
А+ Вхт+ГЧ- Ст=т+’+ +3
т — — (
замѣтить
(сА + і)
2т ~ —
изЪ коихЪ строкЪ первая не годится при Ат к —}- 1 _О ,
или ІИ —- (——)у а вторая при кіи —к 1 — О, илд
Л —
—Л обѣже негодятся при т“—і. При шоиЪ
должно, что первая строка прервется при
Ш + 2Й. — О, то есть при Ш = — или
_ /__1й \ . *
вторая же строка прервется при
(2А-1)т+2А=О, то есть при Ш~- или 2т=-(^).
4эо
Во вторыхЪ для удовлетворенія оному уравненію можно
‘ ~ то-
Пол'жить 2/94-471—0, или /Э———> поіп«>яЪ Р— 2 р~і~т-+-(]— 1,
слѣдовательно С] ~— (т 4- I ). О нЪ чего поручится
ТЪ__ Г.і'п4;)д р_(т4--) (7П-Ц)р ГЛ , (?>п н- 4) ути 4~ О р
8(т4-і)с ’ ' 2.ьС7Л-»~1}с ’ з8(т-{-і)с *
и шакЪ далѣе;
и во 6щ° каждый ш сѵѣдуюшій ксеффиптеятЪ № изЪ нредЪи-
дущаю М опредѣлиться будетЪ чреці опніошеіче
__((*&- г -+- &) (?Ь4--)т 4- (і+ і)) у
Л -- 8(Й4~ >) (т 4-і)с ' Ѵ *
ТакимЪ образомЪ интегралЪ пі едложен иго уравненія будетЪ
и = етЧАх!"н-Вх-и"+,)4-С^(‘-"+,’+ . . ..
пли
х“*\слдх (А нн Вх“ <т + и4- Сх~(7П 2)4- Пх“(т4-'з) 4- . . . )
еЛЭх/л Е С , О
Ш’ С‘ т 1 А т 4- і “Н т 2 -,,і 4- 3 • • • • )
\ X X X ' /
Но сей интегралЪ, какЪ содержащій одну только произволь-
ную величину, будетЪ частный.
Выраженія коеффиціентовЪ для сей строки показываютЪ:
і-е что сія строка при т~— г или при от ~—2 не го-
дится; но на сей случай интегралЪ уке выше пай іенЪ ; й е,
_____________________________ / ак \ ' /4&\
чтс сія строка какЪ при Ш_ — т. е при 2іИ~—
_ ____ 4— 17л . / лк \
такЪи при т—. — (2Ь_р7;» или ТП — — или при
___ / 4к \
ѵШ _ — —-д; прервется.
Поелику какЪ по первому рѣшенію, такЪ и по второму,
вЪ случаѣ 2И1Г31— ( к 4ь~Г^ быходитЪ одна изЪ строкЪ пре-
рывающеюся , шо назначимъ на случаѣ 2/И “ — (^-^77)
491
прерывающуюся сшпоку, и составляющую частный интегралЪ
предложеннаго уравненія, буквою V, и п.ѵ’жлмі» что полный
х с с х ЭЭи_ѵЭЭѴ 4-чЭѵЭѴ-ѵ- Ѵйсѵ
интегралЪ будете М-ѵі/, то бу де іЬ дхі—--------------------->
а но сему предложенное уравненіе обратится вЪ
ѵ й — ссх’”Ѵ) + У**’ У;1*= о,
\дх* / 1 Эх2 у
которое, по причинѣ той что — ССХ2™ будетЪ
V идѵ 4- 2ЭѴ дѵ ~ О.
Сіе уравненіе по назначеніи дѵ чрезЪ ѴЭх примепЪ видЪ
-+•-^-^2 0, и доставитъ 15ѴѴ—СХ, а изЪ сего потомЪ
____________ гС'Эх
найдется V—] уѵ , и будетЪ полный интегралЪ предложен-
наго уравненія и_ Ѵг> “ С/ѴУ'^. Случай оныхЪ преры-
вающихся строкЪ заслуживаетъ особливое вниманіе, по тому
чшо онЪ содержать ьЪ себѣ удобнѣйшее рѣшеніе всѣхЪ шѣхЪ-
случаегЪ изслѣдованнаго РнкашіемЬ уравненія
Эу 4- — ал ѵЭх =: о
вЪ коихЪ измѣняемыя величины от дѣлены быть могутЪ , и
кои всѣ содержатся вЪ случаяхъ X — (2у4_1г~;)і ибо по из-
вѣстной величинѣ и, для онаго Рикатіека уравненія найдется
а. + “)
У идх тл I3* 9
гдѣ по раздѣленіи числителя и знаменателя на произвольнаго
постояннаго коефриціенша С/ получимЪ
__ Эѵ ।
у +ѵ'4^'
вЪ котор мЪ изображеніи останется одна только произвольная
величина у которую досіяавифЬ интегрованіе величины 9
поелику величина А, будучи общимЬ множителемъ всѣхЪ чле-
новъ величины V, также сама собою выйдешЬ вонЪ.
ВЪ прочемЪ, поелику величина е можетЪ быть взята и
сЪ 4- и сЪ — , довольно вообще найти одну только способ-
ную строку для и; ибо сія строка во первомЪ рѣшеніи бу-
детЪ вида Р сО., а во второмЪ вида Р ~4~ ‘ по сему
вЪ первомЪ случаѣ можетЪ быть взята для и какЪ величина
Рч-с(2 такЪ й величина Р— с(^, и слѣдовательно можетЪ
быть шак'же взята для и и величина
а (Р + сО.) ч- С(Р—гО.) - (а+(а. — §) сО. — ЗРч- есО_;
подобнымъ образомЪ и во второмЪ случаѣ за и можетЪ быть
взята строка 5Р-|--^О. или 5Р-}-<^Оз тогда вЪ величинѣ
у останется только содержаніе величины и е или .о и
§
Способнѣйшія кЪ изображенію иншеграловЪ -вЪ безконечной
строкѣ уравненія второй степени суть вида
хх(а н- Ьх1)^Н- х(с -г ех")-4- (/4-— о.
Назначимъ для сего уравненія величину у чрезЪ
Ах? -4- 4- Сх^39 -Н . . . .,
то получится уравненіе
( (а±Ъхп) (р(р-і) Ах*ч- (р-+ </) (р+д—і) Вхр+^-/-...)
0= <ч- (сн- ехп) (рАхр~і- (р — д) Вх?+7ч- . .. )
(-+- (/ч- ^хп) (Ах* н- Вх* * 7 4-.. .)
Для коего можно назначить во первыхЪ 1)й 4-/ЭС4-/—О,
откуда, выключая случай а~о, получатся двѣ величины
для р; и потомЪ назначишь д П. Во вторыхЪ можно
положить Р^р '—+ и д — —п.
4э5
Назначимъ величину р'р—1) а 4- рс буквою Р,
величину же р(р—; I; 6 -\-ре —буквою Г, изЪ коихЪ
вЪ первокЪ случаѣ Р. а в> вшоромЪ Р' обращаются вЪ нуль,
то вЪ перпсмЬ случаѣ меж дУ коеффчпіентомЪ М и послѣ-
дующемъ К будетЪ оггн тенге
ь.)ѵ)К=о
во вшоромЪ же случаѣ
разумѣя подЪ 51 коэффиціента члена содержащаго
Сіи отношенія показываютъ • і-е чшо хотя бы вЪ первомЪ
случаѣ уравненіе Р~о, а во вшоромЪ уравненіе Р7— о до-
ставили корни р мнимые, но коэффиціенты оныхЪ строкЪ
будутЪ всѣ вещественные,
2-е что вЪ перзомЪ случаѣ строка прервется, когда
бу хешЪ
гл/ ЭРЛ . і гіЭР7
эр т Я + —г • ттЯЯ ~ о ,
то есть
Ь тт пп 4- (%Ър 4 с — Ь) п? п 4-р (р — і)Ь-|_ре4-& — о,
Которое будучи соединено сЪ уравненіемъ
Р(Р — і)« 4- ср 4- [ ~ о ,
доставитъ
2(іБтп — Ъс — асЧ^ а]/((е — Ь)2~ 4= Ь]/((с— а)г~ ^а/),
или назначивъ
(г—Ь)2 — 4Ь§ ЧрезЪ А/і, И (с — а)2 — ^а/ чрезЪ ІІ,
2аЬтп ~Ьс — ае 4- аіі 4= Ы — Ъ(о і) — а(е^- Іі),
а по сему
__ Ъ(с і) — а(е Ь)
іаЬт
Часть III.
6о
49 4
Во вшоромЪ случаѣ строка преовешся, когда будепіЪ
г» , Э? , ЭЭР Л
р + теі4 . & тикп " ° ;
которое уравненіе соединено будучи сЬ Р “ о доставитъ
2аЬтп~Ъс—ае+с,]/((е— о)2—фЬ^) ^рЬ]/((с—а)2—
а по сему прервется при той же величинѣ п, при которой
прерывается строка вЪ первомЪ случаѣ ; при прочихЪ же ве-
личинахъ п обѣ строки будутЪ простираться вЪ безконеч-
ность.
3-е что первая строка не будетЪ годиться, ког іа
ойй> ЭР _ __ ае — Ъс -4- еЬ
—2 ИШ-р-О, Ш. е. когда П ----------------иі) —, а вторая
5ЭР' ЭР' ____ае—Ъг±Ъг ’
когда Т7а.д^тп---др — °г га- е- Когда 11-~~~ аЬ
§ 2-І7-
Что принадлежитъ до употребленія формулы Тейлеро-
вой при нахожденіи приближенныхъ иншеіраловЪ дифферен-
ціальныхъ уравненій, какой бы онѣ степени ни были, то она
употребляется здѣсь точно также, ка*Ъ и ьЪ } г 66 пока-
зано при нахожденіи приближеннаго интеграла дифферен-
ціальной функціи Эу_ РЭг при Р функціи одной величины х.
Пусть на пр. предложено будетЪ дифференціальное ура-
вненіе второй степени “Ь О ~ ГД"Ь Р и (,)
суть функціи величинЪ х и у. ИзЬ сего уравненія найдется
Р —-О., и потомЪ чрезЪ дальнѣйшее дифферен-
та*
цированіе опредѣлятся дифференціальныя содержанія *
Э4Ѵ ’і дУ П X ‘I
Йх4’ Эл5 и проч. чрезЪ X, у и Положимъ потомъ, что
ири X — а, величина у~^Ъ> тогда всѣ оныя дифференціалу-
4р5
иыя содержанія опредѣлятся чрезЪ а и Ъ и величину
которая ни чеѵЪ опредѣляться не будетЬ. и остазашься 6у-
дешЪ нроиз-о хьно-ю в> Л'-Чі.ною , которую изобразимъ чрезЪ с.
ПоложимЪ пошнпЪ, что величина х вриня \а сосіпояні' а I и',
и сему состоя пю соошзѣ ист ѵющл» величина есть у, шоіда
по теоремѣ Тей •»>ров'’й -ул тЪ
. . ли2 . ВкЗ Сь+ ।
V — I) -+ си -Ь - Ч- — -+- —-----------Н . . .
•Г 1 і . 2 1 I 3 • . . 2. з 4
гдѣ величины А. В Си Проч. II I порядку бу ,ушЬ диффе-
ренціальныя с<> і рва гя
дЭу
дх2 ’
дчУ Э+'У
дхЗ ’ ах4’ дх5 4 "ГОЧ-
опредѣляемыя ка^.Ь выш с азачо чрсзЬ в°хичины а. Ъ и С.
Сі< выраженіе кеиііинь у чрезЪ и и хи величины у чрезЪ
х а, будетЪ похчый иншегра'Т пр ісок-нчаго уравненія,
поелику ьЬ немѣ будешЬ зак хючать. я произвольная величинас,
изображающая величину при начальникъ величинахъ
X — а •, и у ~ Ь, но неонре іѣляегую чр«зЪ сіи величины;
Другую же пр из ольную по шоянную величину замѣнять
будетЪ величина а; поелику величину Ь разсматривать мо-
жно какЪ он(> Дьлйнную функцію величины а.
Когда бы и здѣсь с.нро а выражающая величину у вышла
ле такЪ си ьно схо іящ ю-’Я , чшобЪ по ней величину у удо-
бно вычислять было можно, то бы и вЪ тмЬ случаѣ посту-
пать надлежало точно также , какЪ показано вЪ § 167.
СТАТЬЯ
ОСЬМАЯ
065 интеіробаніи цраепснііі іапнныхЪ дмфференіііалобЪ.
248
Возм₽мЪ вЪ разсмотрѣніе уравненіе Ѵ-+- фіі ~ о, вЪ кп-
*ЯО> величины V И V Сушь опредѣленныя фу.и-Піи ВЕЛИЧИНЪ
Ьо *
4эб =®
X, у и г, ичЪ коихЪ г разсматривается какЪ функція вели-
чинѣ X и у, величина же фС еешь неопредѣленная фупг.цтд
величины V- Есгаьхи она-о уравнена возмепіея д. фф: реи-
піялЪ , шо получится
=Ф'(А( О);
и какЪ Эх — (^) Эх -ф- (^) Эу , ню будешЪ
(© + © (ІЭ) + С) + О ©)
КакЪ величины у и х предполагаются не зависимыми г шо
сіе уравненіе существовать можетЪ Особо но1 измѣняемости
величины х и особо по измѣняемости величины у; а по сему
вмѣстѣ сЪ онымЪ начальнымъ уравненіемъ существовать бу-
душЪ два уравненія
(я)+й) (Й)=Ф/ѵЙх>н-© О)
и
Ф + О О = ф/ц©+(*) ©)•
ИзЪ снесенія сихЪ двухЪ уравненій величина С'Ѵ выключит-
ся, и получится уравненіе между дифференціальными годер-
дх), \ду)> и опредѣленными функціями величинЪ X,
у и 2. ИзЪ сего слѣдуетЪ на оборотъ, что каждаго диффе-
ренціальнаго уравненія между диф'.ференціальнымй содержа-
ніями (зх/, (^) и величинами х, у и 2 полный интегралЪ
содержать вЪ себѣ долженЪ произвольную функцію- какой ли-
бо опредѣленной функціи величинЪ х, у и г.
Пусть уравненіе V “о содержитъ вЪ себѣг кромѣ вели-
чинъ х, у и г изЪ коихЪ 2 разсматривается ка/Ь функція
величинЪ х и у, двѣ неопредѣленныя функціи фѵ и бс двухЪ
опредѣленныхъ функцій ѵ и о оныхЪ измѣняемыхъ величинъ
497
х, у іт 2. Оное 'уравненіе Ѵ~ о доставитъ два уравненія
.8Ѵ-__ /йѴд______ _
— О П V содеРжаШ.ІЯ Дифференціальныя содержа-
нія "’І 0 (")» вЪ КОИХЪ чр'-МІІ ОНЬ.хЪ функцій фѴ и бѵ бу-
ду п.Ъ за- іочаипся еще их7э производныя функція и бо,
разумѣя Э.фу Эіф/к и Э бо — Эьб и. ИЛ оныхЪ двухЪ
,ЭѴх_____________ /Эѵ>______
уравненій — О и ^,7— О получится піри уравненія
вЪ часінныхЪ ,ѵ фференпіалахЪ второй степени (3^.2) • О ,
(^7 — 0, (|у2)”О, вЪ коихЪ, кромѣ оныхЪ функцій фѵ *
бѵ, ф'ѵ, би, будутЪ заключаться еще функціи ф''' V и б 7Ѵ ,
разумѣя Э-ф'х—и Э.б ѵ ~дѵѲ7/ѵ. ТакимЪ образомЪ
получится тесть уравненій , содержащихъ вЪ себѣ кромѣ
/Эх\ /^г\ /йЭгч / Эйг \ /ЭЭх,
У, (ах)’ (ду)> (а^А \і,хду)> шесть функцій
фу, йѵ, ф'ѵ, бЪ, фх/у, кои, изЬ снесенія сихЪ шести
уравненій, вообще выключены быть не могушЪ. Но ежели
уравненіе будешЪ вида V + фуО* тогда, поелику
вЪ двухЪ пеовой степени уравненіяхъ изЪ него происходя-
щихъ заключаться будешЪ только ф7Ѵ и ( у, и вЪ шрехЪ
слѣдующихъ второй степени уравненіяхъ будутЪ заклю-
чаться, кромѣ оныхЪ функцій ф и и б и еще только функ-
ціи ф7/И и тогда изЪ снесенія послѣднихъ пяти
уравненій всѣ четыре функціи Ф'ѵ, Ф'V, б и, б' у выключе-
ны быть могушЪ Подобнымъ образомЪ есшьли будетЪ ура-
вненіе вида Ѵ-+-ф{І7-{-ѵи):—Ол разумѣя подЪ V, Ѵ и е
опредѣленныя функціи величинЪ х, у и г; шо изЪ двухЪ
ПроизходящихЪ изЪ тго первой степени уравненій выклю-
чится функція Ф\Ѵ--Ь$у)у и получится одно уравненіе
4э« =>
Содержащее одну только произвольную функцію 6'ѵ ; кпто-
рпе достав,ипіЪ еще два уравненія второй сіпеп и , >'одержа-
кіія каждое кромѣ функція б ѵ еще функцію 67/ѵ ; піакЬ что
изЪ снесенія онаго уравненія первой степени сЪ явуия
второй степени выключатся обѣ функціи ёѵ п По сей
послѣдній случай, шо есть когда уравненіе вида Ѵзф^О-мФ),
сводится на оной V —фуф-б/?; ибо изЪ онаго получит-
ся фУ^ЗЗ.ІІф— Оѵ, или I)ф-фVф~ @Ѵ 33О. Слѣдовательно
полный интегралѣ уравненія вЪ часшныхЬ диффі рннпга ,ахЪ
вчіор* й степени содержать долженЪ вЪ себѣ днѣ произ.оль-
нь хЪ функціи; но видЪ сего интеірала не мо^ешЪ 6ь шь дру-
гой, какЪ V ф- фи ф- 0Ѣ 33 О. П одобнымЪ образомЪ докажет-
ся, что полный интегралЪ уравненія сего ро іа третьей сте-
пени н< можетЪ имѣть другаго вида, какЪ Ѵ-і-фѴ-ьбу -Р7ПЛЗСЦ
и такЪ далѣе.
1. 065 интегрованім уравненіи ъастных5 дифф< ренціа-
лоа5 лервлі стелена»
§ 249-
Предположивъ, что г есть функція величинъ х и у по
данному уравненію — Р, гдѣ величина Р есть функція
величинъ х и у , интегра ,Ъ сего уравненія найдется, взявЪ
м>-шегра Ъ ур-в іенія Эй ~ РЭх, трактуя одну величину х
измѣня.мою, и прибавивъ кЪ нему какую либо произвольную
функцію кручины у;" то есть пнннгралЪ сего уравненія ьу-
дешЪ 2 23.у*РЭі?-}-у'. ТакимЪ же об1 азомЪ во данному ура-
вненію (|®) 33 О., при ф функціи величинъ х и у будетЪ
интегралЪ но 2—/ОЗу ф- X, разумѣя подЪ X функціи»
499
одной величины х Ио есшьли вЪ уравненіи Р вели-
чина Р будешЪ функція величинЪ х, у и г, шо соспіавивЪ
уравненіе Эх — РЭх —О, и трактуя однѣ только величины
2 и х измѣняемыми надлежитъ пріискать множителя соста-
вляющаго функцію тѣхЪ же величинЪ х, у и г, который бы
функцію Эж— РЭх обрашилЪ вЪ полный дифференціалЪ, и
поіпомЪ взявЪ интегралЪ его по измѣняемости величинЪ
2 и х, придашь кЪ нему произвольную функцію величины у.
Пусть на пр. предложено будетЪ уравненіе (дх) — ЖХ-г-уу,
шо подичится уравненіе
Эх — жхЭх — ууЭх — О ,
— ахх г- т ѵ ,
которое по помноженіи на е обратится вЬ полный диф-
ф. ренціалЪ , и будешЪ интегралЪ его
м'4**—уу/Г*ххЭх=Ѵ или ж-ууеЬх7е-’ххЭхЧ е*ххѴ.
§ 2бо.
В^зьмемЪ теперь ьЪ разсмотрѣніе такія уравненія первой
степени между измѣняемыми величинами х, у и 2, вЪ кои
/Эг.
входятЪ оба дифференціальныя содержанія и Ѵэу» и ко-
ихЪ полное изображеніе есть
М© + хф + Р = О,
разумѣя подЪ М, М и Р извѣстныя функціи величины
х , у и 2.
*
Ие приступая кЪ полному рѣшенію сего уравненія, ко-
торое трактовано будучи прямымЪ пушемЪ приводитъ кЪ не-
преоборимымъ почти затрудненіямъ , разберемЪ сперва нѣко-
торые частные его случаи, а имянно когда М и И суть
функціи величинЪ х и у, величина же Р или равна нуды,
или составляетъ функцію также общихЪ величинъ х и у,
5оо
или содержитъ и величину г но только первую ея степень;
КоихЪ рѣшеніе вообще извѣстно.
I. Положимъ сперва, что Р ~ о, то по снесеніи ура-
вненія М (^) 4- X (~ ) — О сЪ уравненіемъ
*
получимЪ уравненіе
Эй- $і№г — МЭ/1
' м ( )
Пусть множитель обратитъ функцію №Эх — ГІЭу вЪ
полный дифференціалЪ, который изобразимъ чрезЪ <9* , шо
будешЪ
= С) К ЭѴ;
которое уравненіе дабы состоя пься могло, требоваться бу-
к.
дешЪ, чтобЪ было (^х) — ф^Ч и тогда 6} \ешЪ ишпе-
гралЪ предложеннаго уравненія г — фѴ. Что принадлежитъ
до назначенія (^х) ь ~ ф7^, шо оно, по причинѣ неопредѣ-
ленности функціи {^х)з всегда возможно.
2. Когда Р составляетъ функцію величинЪ X и у, шо-
' гда по снесеніи уравненія
М (?) -ь К (?) - Р
'Эх/ 1
сЪ уравненіемъ
Э7- = фЭг + (^)Эу
Полу НИ'.ся Ъ
Эг. = © + Э/.
Пусть и здѣсь множитель обратитъ функцію МЭх—МЭу
вЪ полный дифф ргнпіалЪ ЭѴ, такЪ что будешЪ
/ = V,
е=* 501
щ,а будетЪ
Эг — (’5) Д ЭѴ 4- ' Эу.
\0Х/ Ь 1 ѵ
Между шѣмЪ чзЬ онаго уравненія
ѢтЭх— ІМЭу) -ут
величина, X опредѣлится чрезЪ у и 'V; и когда сіе ея опре-
дѣленіе подставится вЪ уравненіи
г* = ®)-»эу + >Эг,
то вторая частъ его обратится вЪ функцію величинЪ у и V.
При пюмЪ для вещественности сего уравненія требоваться
будепіЪ, чгаобЪ сія вторая часть была дифференціалъ полный.
Для сего назначимъ (|“) чрезЪ фХѴ -)- 8, давЪ величи-
нѣ 8 такое значеніе, чгаобЪ было 8ЭѴ -ф- ду дифферен-
ціалъ полный Э17; тогда будетЪ
дъ ЭП -4- ЭѴф'Ѵ,
и интегралЪ онаго уравненія г —17-+’ фѴ, гдѣ функція ф\г
будетЪ произвольная функція величины V. Что принадле-
житъ до назначенія овой функціи 8 , то, естьли назовемъ
Р . /Э5\ _ /Э{А
буквою должно быть 1, по сему
трактуя при интегроваиіи одну величину у измѣняемаго.
3. Когда Г~ря. разумѣя подЪ р функцію только ве-
личинъ 1 и у, и>мда назначимъ г чрезЪ еи; отЪ чего онсе
уравненіе
М(Й) + к(Й)=Рг
обратится вЪ
М(Й + Хф = р,
коего интегралЪ по предЪидѵщсму рѣшенію , по назначеніи
Частъ III. бі
02 — —
ЛЮх—МЭуч _ -г т СЛХ7 I* л
— —) чрезЬ V, и интеграла изЪ ооѴ ч- х оу
чрезЪ 17, будешЪ и ~ 13 -1— фѴ, и доставитъ 2 — ,
фѵ
гдѣ функція е будетЪ произвольная функція, которую
можно изобразишь чрезЪ &Ѵ. По сему интегралЪ предложен-
наго уравненія будетЪ
к —еи0Ѵ.
4- Когда Р— /52Н~7» разумѣя подЪ р и д функціи
величинЪ х и у, тогда назначимъ іи, и будетЪ
©=*&)+<),
отЬ чего уравненіе
мО + мф = рг + ч
обратится вЪ
((М©ч- - ри) + Ми О + Ни ф _ <7 = О ,
и раздѣлится на два уравненія
М©4-Лф-Ри = о, п Мф + Лф_| = 0,
изЪ коихЪ первое рѣшится по № 3 сего параграфа; и когда
симЪ образомЪ опредѣлится и чрезЪ х и у, тогда второе рѣ-
шится по № 2 се”о параграфа.
§ 25 г-
ГГриложимЪ теперь кЪ уравненію
мф+мф + Р=-о-
обратной путь; тс есть предположивъ по $ 248 интегралЪ
его вида СГН-ф.Ѵ—о, которой можетЪ быть впрочемъ
выраженЪ и чрезЪ Е(II, V) — разумѣя величины 17 и V.,
кагЪ функціи величинЪ х, у и ? , разберемЪ, какія при рав-
, 5оЗ
иыхЪ -предположеніяхъ для величинЪ 15 и V имѣть должны
отношенія косффиціенты М, М и Р онаго уравненія.
И такЪ, назначивъ интегралЪ онаго уравненія вообще
ЧрезЪ Ѵ-Ц-ф.ѴгзіО, воямемЪ дифферента \Ъ его сперва но
измѣняемости величины х, а по томЪ по измѣняемости вели-
чины у, разумѣя что величина г трактоваться при семЪ
будешЪ какЪ функція величинЪ х и у, какова она и вЪ пред-
ложенномъ' уравненіи разсматривается. ТакимЪ образомЪ по-
лучатся дьа уравненія :
© + © Ф'ѵ =0 • ©+© Ф'ѵ=°
(понимая, что Э.фѴ — ЭѴ.ф'Ѵ); изъ снесенія коихЪ выклю-
чится функція ^Ѵ, и получится уравненіе
/ИЛ ЭѴ\ __ /ЭПч і°Ѵ\ /гЛ
{дх) (ду) — ^ду)^дх) * ’ * - ’ (Я)’
КакЪ величины 15 и V предполагаются содержащими,
сверьхЪ х и у, и величину г , шо разсматривая вЪ нихЪ сіи
величины сперва ка:.Ъ независимыя, и нредназначиві? для изо-
браженія вЪ семЪ случаѣ дифференціаловъ бук-у Л получимЪ
Разсматривая теперь величину г какЪ функцію величинЪ
X и у, и положивъ, что дифференціалы йу, равны
дгфф ренціаламЪ Э.Х, Эу, Эі> относящимся кЪ зависимости
величины 2 отЪ х и у получимЪ
— (й^х + д^У '>
по сему будетЪ
= ((’“) + © ©) Эх + (©) +- © ф)Эг,
вЪ которомЪ случаѣ и Д7 обратится вЪ <Ю. По сему Су-
детъ
6і *
© = © + © © " © =© + © &
Подобнымъ образомЪ получится
По подстановленіи сихЪ выраженій вЪ ономЪ уравненіи
(а) получимЪ уравненіе
И таково есть общзе уравненіе вЪ частныхЪ дифферен-
ціалахъ, которое получится изЪ начальнаго уравненія
Ѵ + фѴ —о.
Пусть сіс уравненіе (Ъ) одинаково сЪ уравненіемъ
'м@+^Ф + Р = о
помноженнымъ на какую либо функцію ф оныхЪ измѣняемыхъ
величинЪ х, V и г; то поелику при сравненіи сихЪ уравненій
войдетЪ три неопредѣленныхъ величины V, V и ф; по сему
можно положить
Есшьли первое изЪ сихЪ шрехЪ уравненій понножимЪ на (^)>
второе ыа и третіе на и изЪ суммы двухЪ пер-
выхъ вычшсмЪ третіе, то вЪ первой части уравненія всѣ
члены взаимно уничтожатся и получится
5о5
ф(М®+К©-Р(«)) = о,
ИЛИ
мй+к$-р©=» • •
ТакимЪ же образомЪ естьли первое изЪ оныхЪ уравненій
Л
помножится на второе на (е ), третіе на в
изЬ суммы двухЪ перьыхЪ вычшеіися третіе , то получится
равномѣрно
’м©+»©-₽© = » • •
Сія одинаковость уравненій для ІІ и V есть необходимое
слѣдствіе назначенія интеграла чрезЪ И-}-ф О', ибо по-
елику — ф.Ѵ, то будетЪ
0=-©^,
® = - (?)Ф'Ѵ, и © = - © ф'Ѵ,
кои величины когда подставятся вЪ уравненіи (с), то по
раздѣленіи всѣхЪ членовЪ на —(р V получится уравненіе (<1)
для V. Сіе слѣдуешЪ также и изЪ того, что интегралЪ
ІІ-|-ф.Ѵ~о можетЪ изобразиться также чрезЪ Ѵ-]-01І —о,,
гдѣ величины II и V заступили одна мѣсто другой; равно
какЪ и изЪ того, что оный интегралЪ можетЪ изобразиться
также чрезЪ Р(ІІ, V)—о, гдѣ величины II и V для функціи
Г(СГ, V) одинаковы
ИзслѣдуемЪ теперь нѣкоторыя предположенія для вели-
динЪ II и V.
I. Пусть уравненію
Мф+Лф + Р-о
соотвѣтствуетъ величина V, функція только величинЪ Хиу
иіо уравненіе (сі) обратится вЪ
5сг5
«гж . 'КТ \ /$Ѵ\ I /^\ — -Л
^($«)"' (55)—°яли (эх> м и?)—
Кошорое дабы могло состояться, требуется, чтобЪ величина
Зъіла функція только велачимЪ х и у; и вЪ •семЪ случаѣ
будетЪ
5Ѵ = ©Зх + ©?/ = © ЙГ - Зх),
шакЪ что есшьли для функціи разЪищется мно-
житель составляющій функцію также величинЪ х и у,
который оную функцію обратитъ вЪ полный дифф°ренціалЪ(
и будешЪ
еЙг — м-5г) — ^и>
то .будетЪ, по 250, V “й.и.
Пусть вЪ семЪ же случаѣ величина V будепіЪ функція
только в( хичинЪ х и х, шо уравненіе (с) будетЪ
м© — р(ІІ) — ° или (?) — м©=о;
которое дабы могло состояться, требуется, чтобЪ величина
р
м- была функція только величинъ эс и х ; и вЪ семЪ случаѣ
будетЪ
го = ©Зх+©3Я = © (Зг+ДЗх),
такЪ что есшьли множитель ₽ , составляющій также функ-
цію величинЪ х и х, ѳбратмшЪ функцію Зі -4- вЪ пол-
ный дифференціалЪ, и будетЪ
е'Йі + рх)^,
/ шо будетЪ II—ф.о; и полный иншеграхЪ уравненія будешЪ
ф ѵ —}- и, о или у К.п или и —1~ Р и 2^ о.
Поелику самое обширное вЪ семЪ случаѣ выраженіе вели-
X Р
чинъ м* и будешЪ
507
И ф;х, >) ІР в(х, г)
М “хѵ-9 М" “хх“ 3
а по селу
ѵг ______________ Мф(х у) р ___ г)
разумѣя подЪ X, V и 2 функціи только величинЪ х. у и г
порознь , по сему веѣ уравненія относящіяся кЪ сему случаю
суть вида
хѵгф + г.ф(г, у). (*) + Ѵй(х, г) =о.
П. Пусть при ономЪ же предположеніи для V будетЪ
17 функція величинЪ только у и г, то уравненіе (с) будетЪ
»т ,611ч т-> ,51Т\ _ ,5іГ\ Р /5іК ____ '
И (55) “ Р(«х) — °» ИЛИ («>) “ -и (ві) — °>
р
которое дабы состояться могло, требуется, чтобЪ была
функція величинЪ только у и г. КакЪ вЪ семЪ случаѣ
то, бу де при какомЪ либо множителѣ соотвѣтствую-
щемъ функціи тѣхЪ же величинъ у и г, будешЪ
тогда будешЪ 17 “ф.ѵ, и интегралЪ уравненія будесіТ
ф.ѵ-|— 0.и — о» или V—;Р.и, или ѵ-|-О.
КакЪ вЪ семЪ случаѣ самое полное выраженіе величины
И* будешЪ
Л___«)
« --- Т2 9
. М ф(х, У)
шо давши величинѣ выраженіе —— получимЪ полное
для уравненія
, М^)+Кф+Р = а,
5о8
относящагося кЪ сему случаю выраженіе
г.ф(х, у>(Й2 + хтгф Ч- х«о-. *) = о-
Ш. Естьли будетЪ V функція велі -Ъ х и 2, вЪ ко-
ѵ
торомЪ случай должна быть величина м’ функція величинЪ
х я г ; и естьли при семЪ случаѣ буіешЪ V функція вели-
чинъ только у и г; шо положивъ что будетЪ
* 4- -? 5х) ~ &л, и ~ Зу)— ,
получимЪ для интеграла уравненія выраженіе
КакЪ вЪ семЪ случаѣ
ДИ__ф (х, к) К _ і(у, г)
-р — х/-* "р* — “У2~ *
а по сему
м = К = -й-’,
шо полное относящагося кЪ сему случаю уравненія
М©+,^)+Р = о
выраженіе будетЪ
Ѵ.ф(х, 4Й) + Х.ф(г, г).$ + хѵх = о.
Что принадлежитъ до тѣхЪ случаевъ , когда которая
либо изЪ величинЪ V и V, или обѣ ; должны быть функціи
всѣхЪ шрехЪ измѣняемыхъ величинъ, то поелику уравненіе
М@+Х^)-Ю=о> «ли М®+С)-РфЭ=о,
равно какЪ и произходящія изЪ нихЪ уравненія, кои полу-
чатся, когда чрезЪ снесеніе выраженій
зо=®гх+@гу+(Й)з«.
или
гѵ = Й)Зх-і-(^5/+©зг
6Ъ ончми двумя уравненіями выключится которое либо изЪ
• === 5од
дифференціальныхъ содержаній величина 17 или V, сушь функ-
ціи іПрехЪ измѣняемыхъ величинЪ, кои по § йі^ не всегда
вегаес.нвенны , и вещественность послѣдуй чЪ зависитъ отЪ
вещественности двухЪ первыхЪ , по сему общего рѣшенія на
сіи случаи дать не можно. Одно только шо за-мѣшить дол-
жно, что есшьли таковому уравненію
М® + К@ + РО = о
удовлетворяютъ частнымЪ образомЪ функціи 15—V*
15У, и проч. шо е-му удовлетворяетъ и каждое произволь-
ное сопряженіе оныхЪ функцій и, ѵ, у и проч. щ. е. ему
удовлетворяешь и каждая функція
15 “ ф (и, ѵ, ѵ . . .).
И дѣйствительно, положивъ что сіе выраженіе величины 15
доставитъ
515 ~ М'Зи К'Лѣ’ 4- Р''5к
будешЪ
кои величины когда подставлены будутЪ вЪ функціи
шо сна обратится вЪ
Частъ НЕ 5й
бхо
вЪ коей каждый изЪ членовЪ помноженныхъ особенно на Мх,
Рг и проч. оОратаются, по предположенію, вЪ нуль, а
по сему и вся сія функція обращается вЪ нуль. Слѣдствен-
но вЪ сеиЪ случаѣ назначеніе ф(и, V, V • • .) оному
уравненію удовлетворяетъ.
II. 066 интегпобаніч уравненій ѵастныхЪ дифференціа-
довЪ втор >й степени.
§ 252.
ВозмемЪ теперь вЪ разсмотрѣніе уравненія частныхЪ
дифференціаловъ второй степени; и какЪ общее рѣшеніе и
уравненій первой степени оказалось затруднительнымъ, то
начнеыЪ сЪ легчайшихъ случаевъ.
і. Что принадлежитъ до уравненій вида
©=₽. (В)=р’
гдѣ Р есть функція величинЪ х и у , шо на сіи случаи
представлено пол'ное рѣшеніе вЪ § 163 и 17а , гдѣ дано рѣ-
шеніе вообще на уравненія
— р/ лт-4-п.. —
Ѵдхп/ — Кдат ду1/ —
2. Есшьли будетЪ уравненіе
при Р и функціяхъ величинЪ х и у , шо по назначеніи
величины буквою и обратится оно вЪ
© + Ри+С> = о,
изЪ коего при трактованіи одной величины х измѣняемою,
произойдетъ уравненіе
бхі
ди Ридх + О_Эх — О
вида наслѣдованнаго вЪ § 191, коего интегралЪ, по оному
параграфу., будетЪ
ие/га*+/ае/м’Эх=/у
ИЛИ
и=—е~ лэ7йе/га*Эх + е ~,Пх (у ;
_ __ /Эхч
и какЪ и—шо найдется
г = [у./'-^дх —/е-/РЭхЭх/О₽/РЭіЭх 4-?/-
Подобнымъ образомЪ разрѣшится и уравненіе
Ф+РЙ) + О = °-
3. Естьли будетЪ уравненіе
®+₽©+а=о-
шо, положивъ (Йх)_и, получимЪ уравненіе
ф+рв+а=о,
изЪ коего произойдетъ
ди 4- РнЭу + ЦЭу — о
и найдется
иегг^+[е^&у=/х,
и = — е-^/Ое^Зу
а изЪ сего далѣе
а =/е-дэ?Эх./х — [е-^Зх/е^ОЗу + Гу.
Подобнымъ образомЪ разрѣшится и уравненіе
62 ♦
5ія
для коега надлежитъ назначить буквою и, чрезЪ чшл
©но обратится ІЪ уравненіе
ф + Ри4-а=о :
4. Естьли будетЪ уравненіе
• (§)4-ь’(э€)-рО + а=о,
при Г4, Р, <2 функціяхъ величинЪ х и у, то, положивъ
получимЪ уравненіе
О + + .. ..
которое рѣшится по Ко 4 параграфа 25°-го. По нахожде-
ніи же величины и найдется Ѣ — рідх -у- г у.
Сіи суть случаи , коихЪ прямое рѣшеніе вообще извѣ-
стно, Многіе гаак ке уравненія , на основаніи предЪидущаго
параграфа, рѣшены быть мо-гушЪ и вида
ѵдх2/ 1 'дхду' 1 "
зЪ коихЪ величины М, ДО и Р сушь функціи велигинЪ х, у
и дифференціальнаго содержанія (|*)г ибо По назначеніи ве-
личины (^х) чрезЪ и сіи уравненія обратятся вЪ
МО + Кф + Р^о,
I
гдѣ М К и Г суть функціи величинЪ х, у и и. ТакимЪ ж*
образомЪ рѣшены быть могушЬ мноігя уравненія вида
зЪ коихЪ величины М, ДО и ? сушь функціи величинЪ х, у
и дифференціальнаго содержанія у ибопо назначеньи
—оныя уравненія обратятся- вЪ видЪ
5іЗ
КГф4>0 + Р = о, ,
гдѣ М, II и Р сушь функціи челичинЪ х, у и в*
§ 253-
Есшьли предложенное диффгренціальное уравненіе вто-
рой степени содержать будетЪ другія сопряженія дифферен-
ціальнымъ содержаній, кромѣ разсмашриванныхЪ вЪ предЪмду-
щемЪ параграфѣ, то для разрѣшенія таковыхЪ уравненій пря-
мымъ пушемЪ, вмѣсто измѣняемыхъ ьеличинЪ х и у, каковы
вЪ предЪидущемЪ параграфѣ разсмашриваны были, вводяшЪ
другія измѣняемыя величины, на пр. і и и, предполагая, что
оныя сушь функціи сихЪ послѣднихъ, и слѣдовательно и сіи
<руНКЦ!И оныхЪ.
Трактуя величину г какЬ функцію величинЪ і и и по-
лу ч и пЪ
Эг = О X + ® Зи = рЪі + <?Эи
и какЪ ѣ и и суть функцТи величинъ х и у; пго будешЪ1
Эс — (^) ах + ф Эу — тдх -Н пду
- (Йдх Ф + иду
Яо сему будеті*
Эх (іпр + м) -р (пр -Ь ѵф Эу,»
и
(эх)— ч — пр ѵг1:і.
то есть'
© = (Й) (Й) + Ф © > (й) = &) (а ’,) + (<>) ЙѴ-
ИзЬ сего найдется далѣе
514
© =Ф +1- (%) + (> + Ф ч
0 = «Ф + ѵф4-(>)р+фд
но взЪ предЪидушаго явствуетЪ, что булетЪ
(>) = © Ф +' & (&) = » О 4- .-С)
(>) = © (%) + (&) Й) = *© + н©
Ф=ф Ф+ (>) Ф=«Ф+ѵ ©
(» = ф й) + (>) &)=” © + ” ©
гдѣ Ф) — (4?) > п° семУ булешЪ
Ф) = ’«»>Ф +: з”ѵФ + + (’> + (ІЭч
(Э=т«С‘;)++ѵ) Ф'+ рФ+ф)/>+Ф?
=,тФ + Еп>'Ф+"О+(> + фч
м* ф) = ф = (э?і)> при шо«Ь
Р=Ф)> ч=Ф> Ф = ©- ©=Ф = ©. 0 = 0-
ТакимЪ образомЪ ѵсшьли вЪ предложенномъ уравненіи
часпшыхЪ дифференціаловъ второй степени вмѣсто диффе-
ренціальныхЪ содержаній г), ^у), ѴэугЪ (эхЛ Ѵэ> /
подставятся сіи ихЪ выраженія, то оно обратится вЪ дру-
гое, вЪ когаоромЪ величина л разяатоиваема будетЪ какЪ
функція величинЪ Ъ и и, изЪ доидЪ каждая есть функція
величинЪ X и у.
$ 254.
Пусть предложено будетЪ лиьѣйное вЪ разсужденіи диф-
ференціальныхЪ содержаній величины 2 уравненіе
5і5
м а*)++рф+й(::>+кф+8=о,
Ъ коемЪ величины М, К, Р, и К суть функція величинЪ
х и у, величина же 8, кромѣ х и у, можешЬ вЪ себѣ содер-
жать и 2 первой степени.
По подстаИовлепіи вЪ немЪ , вмѣсто дифференціальныхъ
его содержаній, выраженій ихЪ выведенныхъ вЪ предЪидущемЪ
параграфѣ, оно обратится вЪ
(Мтт 4- Ыт/і -4- Рпп) (^2г)
-4- (сМш^Ч-Г^тиЧ-и^)-!- 2Рпи) (^*)
4- (М|л|л 4- Км> + Г >ѵ) (^) _ о .
4- (М&) 4- Ы О + Р$) + О.» + М О
4- (Я © 4- К © 4- ₽ Ф + ОВ + М ©
+ 8
которое изобразимъ для краткости чрезЪ
+ е©+т(Й) + «(Й) + + з = о; (с)
и предметъ нашЪ вЪ шомЪ состоять бу де пЪ, чтобЪ для
х и у назначить такія функціи величинЪ і и и, дабы сіе
уравненіе могло быть приведено вЪ который нибудь изЪ ви-
довъ разсмашриванныхЪ вЪ § 252. Слѣдовательно когда ве-
личина 8 не содержитъ вЪ себѣ величины 2, тогда должно
свесть его по крайней мѣрѣ вЪ видЪ
“Ш) +-С)'+^-) + 8 = О,
по сему должно оныя назначенія для х и у сдѣлать такЪ ,
чтобЪ было у~о, е—о; когдажЪ величина 8 заключаетъ
вЪ себѣ и 2 первой степени, то надлежитъ оныя назначенія
сдѣлать піакЪ, чтобЪ было Г — о, у~о и ?~О.
Дабы было у~о, требуется разрѣшишь уравненіе
Мрш. -г Мѵ/л •-}- Рѵи ^2 0,
__ /ди \ , ди.\
«ли, положивъ и.— ТѴ} ш. е. )—'Уэу)> уравненіе
КЪ?' -4- Кг + Р — О,
которое в'Ь случаѣ гюмЪ, когда не ~ 4МР , доставитъ
двѣ разныхЪ величины г, кои пусть будущЪ <г и </; а когда
ІМіЧ~цМ’Л тогда доставитъ одну только для г величину.
ВЪ первомЪ случаѣ оставивъ одну величину г~о для озна-
ченія содержанія --у, положимъ что другая величина Т~а
означаетъ содержаніе —, такЪ, что т~</п или
тогда вмѣстѣ сЪ М/л/л -4— Рии уничтожится и
ЪЪит + Ьі»Ш РйП, а по сему вмѣстѣ сЪ у уничто-
жится и и. Для опредѣленія для і ии функцій г иу
кЪ сему пошребныхЪ надлежитъ рѣшить оныя уравненія
С’)=^Ф -
Поелику же
3“-О)Э/ + фЭ/ »
д.о будетЪ
ди.= ф (Эу + <гЭг), и ді = (%) (ду + о- Эг>,
дю сему естьли положимъ, что будетЪ
С(Эу -ф- <гд$) дИ’4 и ^(ду + </ Эх) — Эр ,
по будешЪ
и і —
ЕсгпьлибЪ ничего болѣе не требовалось, кромѣ изключенія
величинЪ и и у, пю бы сіи функціи /чѵ и БЪ могли быть
произвольныя > и можно бы было для нихЪ взять самыя про-
стѣйшія изЪ функцій ; но какЪ надобно еще , чтобЪ было и
#~о, шо должно оныя функціи назначить шакЪ, чшобЪ было
М(^)+и (>) + Рф) + + к"
517
или
/ЭЭіі\____/Эс*п\ . /Эсч /Эич у ЭЭи х /ЭЭих . /Эс\ /ди\
'дх' ~ \дхду' * \дх' 'ду'9 И 'дхду) 'ду2' \ду' 'Э>' *
ПО Сему
такимЪ образомЪ должна функція
(М<Г<7 + К^ І>) ф + - ф)+іф+Ог+В),
обратиться вЪ нуль. Но МсПГ-|- Хсг -у- Р~ О» по сему дол-
жна обратиться вЪ нуль функція
(Мо- + ».’) ф + М &) + йо- + В
или функція
Мо-ф-Рф+Огг + Во-,
которая когда , при полученной нами величинѣ о-, вЪ нуль
обращается., тогда по опредѣленіи изЪ уравненій и ~ ,
і ~ Ег. величинЪ х и у чрезЪ і и и взявЪ самыя простѣй-
шія функціи для і. и и, и по подсшановленіи вЪ уравненіи
(С) получимЪ уравненіе
пежду величинами х. і и и, коего разрѣшенія извѣстно.
Когда уравненіе Мгг -|- Ыг 4- Р ~ о имѣетЪ оба корня
равные г_^о-, тогда все предЪилущее будетЪ оставаться,
выключая только , что вмѣстѣ сЪ у величину « уничто-
жишь будетЪ не можно; ибо для сего тррбо«а хось бы, чгаобЪ
было о- —о , и тогда было бы и—/11’ і — Гш, а по сему
и~ (рі,, и у~б.х з чему по свойсш->у оныхЬ уравненій быть
не можно.
Частъ III. 63
Я8
Когда вмѣстѣ сЪ величиной- у должно выключишь и ве-
личину С, тогда должно рѣшить два уравненія
М р. |л + К ;х / 4~ Р у ѵ — О ,
и
2Мт|х 4- Ы(т у 4- п 4- 2р п ѵ ~ о.
ПомножимЪ первое на зт, а второе на р., и послѣднее вы-
чтемЪ изЪ перваго, шо получится уравненіе
(ту — П[л) (\’Л 4- 2₽и) =. О ,
которому у ювлетворишь можно или положивъ ту — ѵл~ о,
или положчвЪ №^4-2Рѵ~о. Уравненіе ту — п^~о досша-
р, _ 771 .
вляетЪ —— —, а по сему а—а , чему, какЪ выше видѣли,
статься не можно; по сему надлежитъ быть -4-гіу ~ о.
По когда — о, тогда ~4МР; а во сі му тогда
уравненіе Мгг-ч-ТЧг |-Р~о имѣешЪ оба корня г равные. Слѣ-
довательно какЪ скоро сіе уравненіе имѣетЪ оба корпя раз-
ные, такЪ скороѵ обѣ величины С и у вдруіЪ униішожить
можно. Чтожь принадлежитъ до Уничтоженія в'Ь тоже вре-
мя величины ₽, шо остается оное выше представленное для
сего условіе.
Есшьли для уничтоженія у или для выключенія (^и.)
ножно^будетЪ для и назначить функцію цѣлую и раціональ-
ную величинЪ х и у, на пр. к-й степени, то будутЪ содер-
жанія \^) и (эу7 т. е. /л и у функціи (к — і)и степени ,
/ЭЭнч ,дди \ ,ддѵ\ /Эи. /Эи-. ,Э*\
Содержанія же , (. э>) и ш. е. <дх) 3 (ду) и (- )
функціи (к — 2)и степени. ТакимЪ же образомЪ есіпьли для
уничтоженія а можно будешЪ назначишь для і. функцію
А-й степени, то будутЪ тогда содержанія (^) и ш. е.
- /> •• / дЭА х
т ип функціи (к — і)и степени, и содержанія , \дхду) 9
5 і &
/ЭЭА\ ,дт\ /Эпч
(^2)> ш. е. “ 'ду' ФУНІ*ІИ (&—2)и степени.
Сге открываетъ, какое вЪ сеиЪ случаѣ функціи и К
имѣть должны отношеніе кЪ функціямъ М, ’Ы, Р и меж \у
собою, дабы вмѣстѣ сЪ « могла выключишься и величина гі' и
вмѣстѣ сЪ у величина е, ш. е. что функціи М, И и Р д >л-
жны быть одною степенью выше , нежели функціи и К.
Есшьли и и і назначены будутЪ чрезЪ функціи первой сте-
пени величинЪ х и у, шо т и п, равно какЪ и /л а ѵ будутЪ
функціи нуля степени , или числа постоянныя, величины же
(1Э’ Ф’ О’ О и О будутЪ каждая равна
нулю.
П Р И М Ѣ Р ЬІ.
і. Пусть будетЪ предложено уравненіе
/ ЭЭа і , ЭЭг \
(э-2) = ^(э>3),
при величинѣ У) постоянной вЪ которомЪ 1\І 1=2 1 , №^2 О ,
Р — — 'И'И > О. — О , В. “ О , 8 — О , шо уравненіе
' М г г -4- № г -ф- Р — о
обратится іЪ
ГГ — — о,
и можно будешЪ положишь сг.~>], <г ~ — У). Тогда функціи
Эу-ф-о-Эг, и Эу4-о-гЭх, С іушЪ Эу + ^Э.г, и Эу —
кои будущЬ сами по с«бѣ интегральны, и иншеіралы ихЪ
будутЪ у ф- >1^, и а по сему для уничтоженія
л и у можно будетЪ вазначи пь и ~УчѴ-ф->]г),
ігре/1 я'уіцееже замѣчаніе показываетъ, что естьли сі»> функціи
назначены бу іушЪ первой степени, шо уничтожатся вмѣстѣ
63 *
52о
сЪ а и у и величины и е. И такЪ назначимъ И—уч-^Х,
і=у—то будетъ [Л — V], і, т~— у\, П—1>
по сему Іэ — —4>Р1 и уравненіе обратится вЪ
—•4^(1^) = О, или (^) —О,
изЪ коею найдется
= И г-/с + Еи.
Слѣдовательно интегралЪ предложеннаго уравненія будетЪ
2 — /(/ — Е(у + 7}Х).
2. Пусть еще предложено будепгЪ уравненіе
гг® — ХІ® + ж© —/ф + хг = °>
гдѣ М—уу, Ы“О, Р=-—хх, О==х, К ——у, 8—ху.
Для сего уравненія будетЪ
Мгг Н- + Р ~ уугг — хх ~ о ;
по сену
______I X ___ X / ___ х
Г — -Ь —. сг~ —, сг ~--------_
-- у г у »
функціи Эу-НгЭх и су—{-сФЭх будутЪ
ио сему
И'' гг уу + XX И V ~ уу---XX ,
и — /(уу + хх) и і гг: — ях).
КакЪ предЪидущія замѣчанія показываютъ, что естьли для г
назначите я функція второй степени, то можно надѣяться ,
что уничтоженіе величины послѣдовать можетЪ ; по сему
ПОЛОЖИМЪ для пробы
521
. и =уу хх9 и і —уу — хх,
иіо будетЪ
т =—2Т, п — 2у 9 у.— 2Х, у—2у,
©=~В' Ф=^ Ф=°' Ф==.
И такЪ будетЪ
е “ 2 Г у — 2ХХ 4- 2ХХ — 2уу = о ;
с) —— 2уу — 2ХХ — 2ХХ 2уу ~ — 4(ХХ +.7К)і
5 ~ — Ъххуу — 8ххуу ~ — і бххуу,
по сему оное уравненіе обратится вЪ
і6хх//(|;I') -Ь 4(хх +ух) (й) ~х/ = о,
ИЛИ
4(““ - іі) ф + 4и (*) -| Ѵ(ии - И) = о,
ИЛИ еще
/ЭЭа^ і /Эхч і______________ ___
Ѵдіди' । ии.—іі \ді' %Ѵ(ии — іі~)
Положивъ (|р — О, получимЪ, при трактованіи измѣняемой
-ч . ѵи ди ди ____
одной величины и, ~г—81/(ци О, откуда
найдется
і)/(ии — и)— — и ѵ = 8Аи"_„) + ;
а потомЪ
® = /гЭс + г« = + /у 4'- - + Ри
=ІиАгс.ііп.^+[^^’^Ри=і(ххч-гу)Акм^=^
^Кѵ^Тг) + р (XX + хх)і
гдѣ полсживЪ , что
Агс.йп. (уѵ-^-х) = ф,
'3|> Н~ * »' ~ д
/
522
получимЪ
— — лл. ф, и — — /('ЕЕ-^Мі) -— іаіЩ- (Г~ — 1 Ф);
УУ Н- XX т' 3 у Г \1-|-ЯП. ф? О <4 г / 5
по сему
|тг — ?ф — Агс. іап&. и ф — |тг — 2Агс. іап^. ~-я
слѣдовательно будетЪ
« = 1(УУ + га) О - 2 -ЬсЛап&у) -4- Ѵ) Ч-Е(хг-+уу).
3. Пусть еще предложено будешЪ уравненіе
хх+уУ/дДгч гддгх Ъуу /Эйч фсх-4-337) Э&ч
'ЭхѴ ху '•дхду' ' ' х(хх-—уу)\дх' у(хх—уу) 'ду'~*~ “'"У
Для сего уравненія будешЪ
ГГ _ Ь«-И»г . і — 0
ху 1 *
а по сему
__ XX -V- у у Чк (хх — у у)
2*У
И шакЪ назначимъ
XX н- уу -*- (хх — __ х / _ XX-4 уу—(хх уу) у
’ --— « О — ..^ ------
2ХУ у 9 2ху х
шо будетЪ
Эу + сЭх = (2/Эу 4- 2хдх) ,
и
Эу -Ь </Эт — — д. (хЭу _|_ у-э х),
по сему
, ?р — уу + хх, ѵ — ху;
слѣдовательно
и—}(уу^хх}, І — Ѵ.ху.
ПотомЪ для разЪисканія, можно ли вмѣстѣ сЪ « и у уни-
чтожить е, и г.якія для сего потребны будушЪ ограниченія
вЪ назначеніи оныхЪ функцій для и и і. получимЪ
Мо- 4- К = - І, а = м © + ОрЧ- В=- 2.,
523
в для опредѣленія величины л получится уравненіе
У_ №\ (дУ\ Л, — о
х ІЭх' {ду/ ' у — ’
при чемЪ бѵдешЪ
РЭх — М'йу — дх + ^Э;-=:5^±^=^(2хЭх4- 2уЭу),
по ссиу V — XX -{"У/ У и функція Р.ЭІЗ — Эу обра-
іпится вЪ Е.ЭѴ + у, для которой иожно назначишь
Г — о; по чему будетЪ
ѴѴ — І.у и е'ѵ~у.
КакЪ вЪ семЪ случаѣ
[е™ ду 015 _ [уду 0 (хх 4- уу) — 0?(хх 4- У/) >
по сему условное уравненіе будетЪ
0х(гх 4- уу) -4- X —/(хх + уу)
слѣдовательно сшоитЪ только положить X _ о , и назна-
„ чишь
0х(хх Ч-уу) =/(хх Ч-уу).
Поелику же вЪ семЪ случаѣ ' функція / {ХХ уу) не опре-
дѣляется, и можетЪ быть взята произвольная, то какова бы
ни взята боіла для и функція величины ххн-уу, и какова
бы ни взята 6 іла для С функція величины ху всегда вели-
чина е вмѣстѣ сЪ « и у выключена быть можетЪ. По сему
назначимъ
и~ хх 4- уу и I — 2ху,
то будетЪ
(' )- —сх, ф=:р—2у, (^') = т = 2у, (^') = п=2г;
(Й?=2-
и дѣйствительно будетЪ
е — о । 2 । 16-У> _ 4(хх ч- зуу_о
" XX — уу XX —уу *
5й4 ==
< іб?3_______4*Г*х-+-’.'И’) __ (хх -4- 35^)
ху х[хх — уу) У(хх у у) ху
---- _ /іи — іѴ(ии — П)\ ,
____ I 7 ~) 1
величина же С будетЪ
= 8ху - + 8х/ = -
сіакимЪ образомЪ получится уравняти*
8(пи — П) ,дд%\ I ,\и— аѴ(ии— Пк ,Эг\ . ____ _
і \діди' ~~ < Г ~/ \дІ' 1-----------
ИЛИ
/ЭЭк\ | аи 1—Ѵ(ии— іЕ) /Э^\ 77 __
'дгди' ' 4(ии—Н) '37/ 8 «и Н)
Ьазначимі ( к) буквою ѵ, то при трактованіи одной вели-
чины и измѣняемою получится уравненіе
дѵ ѵди — — = о.
* 4(ии — 77) 8(и и — 7 7)
Пусть будетЪ и~1з, то будетЪ Эи~ Эі$, и уравненіе
обратится вЪ
- , . г іді д* \ 7д? __ _
-Ь гС(Гі — Г) 4Ѵ(^ — 1У — і) ------------° і
ио 4
Ай,’^Т)=Н («-О. /^->=1^+^-г».
ііо сему
гі і
/( 7 іЭЧ---77-Э—ч) = I-( =!•(««" 1)'(«-/(«-!))';
-* ^22(55— і) 41г(55 - 1)' ЧЧ-Ѵ^$5— іу х / \ г \ П
По сему интегралЪ онаго уравненія будешЪ
г,(м _ ; ))4 — р/(‘=1''' —У Л = Гі.
который изобразимъ чр«зЪ 8і-’ — 9 и будетЪ
^8' /'і
V ~ і.~—|- • а потомЪ найдется
=== 5а5
послѣ чего оставаться только будетЪ подставить вмѣсто 8
и
величину -у, а вмѣсто и и і величины хх -) уу и лху.
4. Пусіпь будетЪ еще предложено уравненіе
то для сего уравненія будетЪ
ггуу — 2гХУ т хх = о, или (гу — х)2 = О ,
X
по сему оба корня г будутЪ равные г=у- Слѣдовательно
вЪ семЪ случаѣ при назначеніи сг — у уничтожатся обѣ
вдруіЪ величины 5 и у, и будетЪ функція
Ъу 4- гіх — Ъу уЭх ~(?уду -ь 2хЭх),
слѣдовательно
= уу 4- хх и и — ?(уу 4- хх).
ПотомЪ наЁдется
М'=М<Г4-И=-ХГ, О./=М(^)+О.<7+К=у-^-у=-5',
и
ег __
' -р — — >
по сему будетЪ
РЭх — МхЭу — ххЭх 4- хуЪу = |х(гхЭх 4~ 2/Эу),
слѣдовательно Ѵ~хх~і-уу; послѣ сего будетЬ
ТЭО — = ТЭІІ +
а по сему можно положить Т ~ о и будетЪ
= \ѵ — І.у И еѵ=.у,
и какЪ здѣсь опять
/еѵдуёѴ! ~ у'уду 0 (хх + уу) 0?(хх 4- уу) + Х>
Часть III. 64
526 =
то положивъ Х~о, назначимъ
& (хх-ЬУУ) — УУ)>
а по сему условіе сіе назначенія функціи /(хх-ф-уу) Для
и ничѣмЪ не ограничиваетъ. И такЪ назначимъ
. и — хх 4- уу у
и какЪ назначеніе функціи . для і остается произвольнымъ
то положймЪ І —XX—уу. Тогда будетЪ
|Д—2Х, 2у, 7Я=:2Х, И — — 2у,
Ф = 2. Ф = °> Ф=2- = 2’/ Ф =•• °> Ф =-=.
и получится
а 16 ххуу — 4(ии — й), о — 4(хх—уу} ~
а по сему уравненіе обратится вЪ
4(«« - а) ф) - 4-8 = о.
которое по § 252 рѣшено быть можетЪ и вЪ томЪ случаѣ,
когда $ ~ рг-т- ц. разумѣя р и д функціи величинъ х и у
а слѣдовательно величинЪ і и и.
§ 255-
Разсмотримъ теперь интегралЪ уравненій вида
М Ф) + л (эХ) + р ф) + С ё) Ч К Ф 4- 8 = О;
обратнымъ пуш^мЪ, положивъ, что илЪ интегралЪ есть вида
Ю + мф'+и + Ф-ѵ = о,
разумѣя подЪ У произвольную функцію функціи V, вели-
чины же д, р, 17, V функціи величинЪ х,.у и г или нѣко-
торыхъ изЪ нихЪ.
ДифференціалЪ онаго предположеннаго интеграла, взя-
тый по измѣняемости величины х, будешЪ
е=а , 527
& +0 ©+©+©^ѵ=о.
Д іфферснпіалЪ же онаго уравненія взятый по измѣняемости
вел-гчнны у, буд**шЪ
ЧХ)+н©)+© ©ч-© © 4-©+©Ф'.ѵ=о.
Естьли выключимъ изЪ нихЪ произвольную функцію ф'Ѵ,
то получится уравненіе
чгУ) о
+о о -
+ Ф ©-©) (»)=?<>.
ИЭѴ \ і / ?ѵ \\ /
Эу) ^(эх))-(эхЭу
© О О
КакЪ сіе уравненіе должно быть одинаково сЪ онымЪ
предложеннымъ уравненіемъ помноженнымъ на какую либо
функц ю величинЪ х, у и г, то величины V, Л и ц, должны
быть только функціи величинЬ х и у ; ибэ иначе диффе-
ренціальныя содержанія сихЪ величинѣ , входчіція вЪ сіе ура-
вненіе , бу іутЪ содержать вЪ себѣ и дифф ренпіільныя со-
/д\ \ 6Ѵ
держанія величины г; на пр. бу хетЬ тогда )н-(д©^ху,
а по сему вЪ семЪ уравненіи д фф^ренціальныя содержанія
вш рой степени величины г имѣли 6Ъ вЪ числѣ во хЬ ко ф-
финіеншо/Ь д*’фф ре.іціаль.іыя его содержанія первой сшеігни,
а при томЬ в'Ь уравненіе сіе вхоіилибы и к»а ѵрлчіы диффе=
ренціальныхЪ содержаній п-рвой степени величины г.* Слѣ-
довательно одна величина V можетЪ содержать величины, г;
и будеч’Ъ
<э => — (ду) — + (г ) С/з
разумѣя что при дифференцированіи, гдѣ предЪ дифферен-
ціалами поставлена буква <5*, трактуется величина 2 неза-
висимою отЪ величинЪ х и у. ТакимЪ образомЪ оное уравне-
ніе обратится вЪ
64.*
528
которое дабы было одінаково сЪ предложеннымъ помножен-
іи мЪ на какую либо функцію ф, ніребусшся чшооЪ было
Первыя изЪ сихЪ гпр'хЪ уравненій, по изключеніи изЪ
нихЪ величины ф и дифф -ренціальныхЪ содержаній вели чи-
ны V, доешавжі'Ъ уравненіе
1±[л.М — КХр. РХХ г: О,
вЪ коіноромЪ есшьли назначится /л — о-Л, іно получится ура-
вненіе.
Мо-с — ТМо- -ф- Р — О ,
и доставитъ для а или двѣ величины разныя, или двѣ рав-
ныя. Тѣ же три уравненія доставятъ дифференціальное для
V уравненіе, которое будетЪ
л /УѴЛ I * ЛѴ\ __ л
сМ (х ) —Р (х ) — О или (« ) Ч— «л । г ) — О.
'Ох/ 1 Чх' <гМ 'Оу/
Поелику а-, то есть -у-, и V суть функціи величинЪ толь-
ко а? и шо оныя уравненія для а я V шребуюшЪ, чідобЪ
529
величины М, и Р были также функціи только величинЪ
X и у. Во семЪ случаѣ будетЪ
ЗѴ = ф)5г 4- §5/ = ($ (5г - ,>);
по сему резЪискавЪ фуні цію величинъ х и у, чтобЪ было
г) “ За , получимЪ V — Ѳ.и.
Послѣ сего четвертое и пятое уравненія по подстано-
_ X Лу\ ,
вленіи вЪ нихЪ величины м вмѣсто ф, и по раздѣленіи
на обратятся вЬ
/5Х\ । Р . бХ\ X 'X I
\$х' аVI ІИ ' Ѵ5я' 9
/5ч. о- 1 /бцх ц, г. . /$Ц\ __ „
4- р- (5і) — К 4- ( д = о ;
„ /51К
изЪ коихЪ когда ьнк'ючи'іся величина » то по введе~
Ніи віиѣ то /л величины <гк поручится уравненіе для Л
«МО4- Р0 + М-^) (с-И^) + Рф)
(РО.-<гМК) = о.
Пусть будетЪ Л —: е^, то сіе уравненіе, по назначеніи
величины ^~р(о-С) + Р^)) + (РО.- о-МК).
для краткости буквою обратится вЪ
<гМ©4-Рф4-0Г = о,.
ИЛИ
ЛЛ 4- _р М , оі — о •
\5х/ ’ сгМ '5^ ~' <гМ 3
которое дабы сосчіоя іось , требуется , чтобЪ величина (^7,
а слѣдо ?атеіьно и величина К бьі'а функція величинѣ толь,
ко х и у. ВЬ семЪ случаѣ будешЪ
55о
V = О 5г + = ф (5у - .>) -
КакѢ выше назначено
— Лі ^) = »
іпо положимъ, чшо будешЪ ’ V
- = і) и — 8',
\0>' у
тогда будешЪ
5^ — Зи. и — (8' Зи 4- 5 г) ?
гдѣ вЪ величинѣ подсшавимЪ вмѣсто у величину ея
. опредѣляемую чрезЪ и и х посредствомъ ургвнен'ія
А(°Г — ^^х) = и,
ДА
ѵ опредѣлимъ 8 діакЪ чтобЪ было (йх) — \~аіТ/‘ ТакимЪ обра-
зомъ будешЪ
* =
трактуя вЪ функціи величину и какЪ постоянную.
Назначимъ функцію Ѳи чрезЪ І.фи , и Эх показан-
нымъ образомЪ взятый чрезЪ оу , то будетЪ
= І.фи — и X — е~ гі>фи.
Постѣ гею будешЪ
[л — сге .ф .и ,
гдѣ впрочемъ вмѣсто неопредѣленной функціи фи можно
подставить постоянную величину , и для большей просто-
ты единицу; чрезЪ чшо величины Л и /л обратятся ьЪ
По опредѣленіи такимЪ образомЪ величинЪ А и найдется
«зЪ кошораго нибудь изЪ оныхЪ двухЪ для нихЪ уравненій»
і>5х
, „ .. /?п\
содержащихъ вЪ себѣ и величину (5. ), сія величина ко-
торая будешЪ функція только величинЪ х и у, и которую
есшьли назначимъ чрезЪ АѴ, піо будешь
Послѣ сею уравненіе
(&) - (й) (™) = Ф8
обратится вЪ
/ ?\ । Р / 6X7 \ х о
( 5х / • <гМ \ Іу / М °
и какЪ уравненіе (—- ѴѴ показываетъ, что будетЪ
II ди ѴѴгЧ-Т, разумѣя подъ Т функцію только величинЪ х
и у, шо будешЪ
/бІК -6ЛѴ, . Л5Т. ,51Л лхѵч , ,бт\
(эх> ( ) 2 "Ь (б х) И (бу) (~$у ) г (бу) і
такимЪ образомЪ оное уравненіе обратится вЪ
которое дабы могло состояться , требуется чтобЪ функція
( (бх ) “I- оѣі ( б> )) 2 м §
была функція величинЪ только х и у, и по сему величина
8 не должна содержать вЪ себѣ величины г выше первой сте-
пени, и при іпомЬ шакЪ, что есшьли назначится 8ддСг-II,
то должно быть I
О_МЛ\Ѵ Р ,б\Ѵѵ Р ,б\Ѵч КЛ лѵ, блѵ. Р
=х(ѵ-'1'7б^=‘! ім;ь)+.,ч,)=Ме Ы+ліМ;
такЪ чшо оная функція
обратится вЪ
532
которая пусть для краткости изобразится чрезЪ 8/. Та-
камЬ образомЪ уравненіе для Т будетЪ
©н-й@ + 8/' = °.
иѴЬ коего по предЪидущ» му приему, ПодставивЪ вЪ величинѣ
8 ' вячісшо у функцію х и и доставляемую уравненіемъ
получимЪ
Т - Ф'и —/З'-'Зх,
разумѣя, пто интегрованіе совершено будетЪ по измѣняемо-
сти величины х; а но сему бѵдешЪ
О = ѴѴх — /8/уег + ф/и ;
самый же интегралЪ уравненія будешЪ
(Ф + <)) + + Г“ =
Подобный интегралЪ доставигпЪ другей корень <г. Слѣдова-
тельно каждое дифференціальное уравненіе вЪ частчыхЪ диф-
ф ренпіалахЪ второй степени, предложеннаго вида, имѣетЬ
интеграломЪ своимЪ два разныхЪ дифференціальныхъ уравне-
нія вЪ часшных'Ь дифференціалахъ первой степени.
На сіе рѣшеніе должно сдѣлать замѣчаніе, что оно
вЪ случаѣ томЪ, когда уравненіе
Мег" — Ыа* -ф- Р О
им’ОетЪ оба корни о- равные (вЪ которомЬ-случаѣ Ма-а-—Р—о),
мѣста имѣть не можетЪ; ибо тогда величина (^ , входящая
вЪ опредѣленіе величинЪ Л и /л, выходишЪ безконечна.
П Р И М Ѣ Р ы.
і. Пусть предложено бу хешЪ уравненіе
(хх +уу) @ - 2у; -(^) - (хх -уу) 0+ф
+ (’-і^®) ф _ 2 ^г+4(х-П =.о.
535
Уравненіе для величинЪ а будетЪ
(хх Ч-уу)<го- -р 2уу<г — (хх — у у) = о;
слѣдовательно
______________________________________________— уу ± хх
Ф —— — - — — «
хх -Н у у *
_________________________ XX — уу
а по сему али <г—— і, или <г — хх~+уу
ВозмемЪ О' — » то будешЪ
5у — 5х “ 5х 4- 5у,
а посему IX —X—ру и Г.М — Е (х-4-у). Послѣ сего най-
дется
0/ __ — а(х-І-у) —?)3 и О,' ____ _ а(X -у} .
хх -4- уу ’ <гМ хх -*-уу *
вЪ кошоромЪ выраженіи когда подсшавимЪ и—х вмѣсто у$
то оно обратится вЪ
----------------------- 2 (ЭХ - И)
яхх — аих -Ь- ии *
и будетЪ
5х——Іо& (зхх — !2их-+- ии)==—I. (хх+уу);
слѣдовательно будешЪ
е— (хх 4- уу) — X и р. — сгХ — хх — уу.
КакЪ (&-) — 2Х и (у^) — 2у, то будешЪ
(5ъ) ИЛИ ѵѵ ,
по сему будешЪ
/6^Ѵ\ .— (»+>) (х — зу) - (х-і-у)(^х—у) е
\6х/ (х->)2 \ііу/ - (Ж_^)2 9
слѣдовательно будешЪ
- -- 2(у^)а2-4(^-у)=-4(^-у)=-4(^-и);
И наконецъ
/ 8"Эх =2 — (2 х — и)2 гг: — (х — у)2.
Частъ III. С5
554
ТакимЪ образомЪ иншегралЪ предложеннаго уравненія будетЪ
(хх-+-/у)(^)-ь(хх-хг)(^)+^ -= -%+(х-у)г-ь[’(х+у)-о.
Подобными образомЪ найдется иншегралЪ произходящій и изЪ
другаго корня а —— I.
2. Пусть будетЪ предложено еще уравненіе
— (3/у+ху) ф + (х—у}г —2(хх—у/)=о.
Уравненіе для о- будешЪ
х’сгсг 4- ху (х-у)(Г — ~ О ,
по сему
__ У (х —У) ± ху (х Ч->) ,
" -- 2хЗ |І
______________________ у __уу
слъдовашельно или <г— — — , или сг~—
Естьли возмемЪ <г’- , то будешЪ
4- т5х ~ т (х5/ н- /ЭД;
по сему и=ху. Послѣ О.' ——-УУ > и —
слѣдовательно будетЪ
—/^х=:—І.ХХ, и XX — У; /и. ~ сгЛ — уу.
КакЪ (^) = 2Х, и (^) = О,. ню будешЪ (^) или "ѴѴЪх ьу;,
иошочЪ найдется
-- а(хх—уу) ьич
----------------- х — хЗ ’
слѣдовательно будешЪ
/ЬхЭх гх хх = хх +уу.
аммЪ образомЪ иншегралЪ предложеннаго уравненія найдется:
ХГ'Н- (х 4- /)2— 4-уу) 4- К(ау) = о„
555
§
ВозмемЪ теперь вЬ разсмотрѣніе уравненіе
М @)+К Ф + р О + а -- о;
вЪ кѳемЪ величины М, К, Р и сушь функціи величинЪ эс,
„ /дк\
у, 2 и дифференціальныхъ содержаній {&.) 9 \ду)* гои иао~
бразимЪ чрезЪ г и 2//.
Положимъ, что интегралЪ сего уоавненія будетЪ
іЛ-/-.Ѵ = о,
разумѣя подЪ V функцію оныхЪ величинЪ X, у, г. гл, 3х ,
и подЪ V функцію величинЪ только х и у. Естьли выклю-
чимъ изЪ онаго уравненія Ѵ~о произвольную функцію,
то получимЪ
/ЭП\ ,-ЭѴх _ ,ді\ /<ЭѴх _
(ду) (йя) —' Сх) Су) — °*
Поелику будетЪ
/ЭПч ____ /ЛК , ЛіК । / Шч
\д«/ — Кдх/ \5я/ Хдх/ “г" Ча'/ Хдх/ иъ") ’ дх/
и
/ЭП\ ____ дЪ) (^У 1 /ді\ । '
Ѵху/ ~~~ \ду/ • Хда/ Хду/ * \дг'/ Хду/ ѵдл"/ Хду //
при гаомЪ будетЪ
(?) = © •
« *»
ыіо оное уравненіе обратится вЪ
\$у/ х$а'' \дх2' । ХХЗ'у/ Ѵ5г"/ Хд’х' ѵ^г'// д^-ду^ '5х/ х&г;"' хду^г
1 /^\ __ ог;' )_ 'Ѵ\ /5Ѵч /вЬч __
* * \5_у/ ХЛг/ 'дх/ \$х' \5в>/ 'д>/ 'ду/ 'дх/ Хдх/ '57,
Сіе уразненіе должно быть одинаково сЪ предложеннымъ
помноженнымъ на какую либо функцію ф еныхЪ же измѣ-
няемыхъ величинъ х, у, г, г^, г . По сему должно быть
65*
«36
©© = фМ
© (!>' - © +© ® - © ф = фи
Есшьли первое изо- -сихЪ уравненій помножится на (*Ѵ)2>
второе на фф фф, и третіе на фф , и сложится , то по-
лучится уравненіе
м©» + к© © + Р©’ = о.
и ли
Л -ь Л Л 4_ і — о.
ѵбх' • М \6х/ \бу/ । М
КакЪ вЪ семЪ уравненіи (( » равно какЪ и ($^)» сут&
функціи величинЪ х только и у, то поелику будетЪ
/5Ѵх Лу\ ——4МР^
( аМ / *
— К ± 'фьМ — 4МР)
по сему и величина -——— должна быть функ-
ція только величинъ х и у, которая'пусть будешЪ с, и,
коея хотя одно изЪ оныхЪ двухЪ ея значеній сіе свойство
имѣть должно. ВЪ семЪ случаѣ, положивъ что величины Н
и В/ означаютъ функціи величинЪ только х и у и X функ-
цію величинЪ х, у, г , г/, г7''', всѣхЪ или нѣкоторыхЪ изЪ
нихЪ должны быть К ~І~ •—фМРу вида 2В2 и М
вида Н. 2^ отЪ чего получится
=р _ 4К^Р) = скг — кг’
а го сему
КК7_^КК —КР,
557
или положивъ что В/~Вл, должно быть
В7 -Ы — ЛР, или Ы=ХРч-К2=гкРч-^М=ХР4-ѵМ.
“ л *
вЪ кошороыЪ случаѣ будешЪ одинЪ изЪ корней
к і
к' — V
такимЪ образомЪ отношенія между вели-
нужнаго дл я того, дабы величина V бы-
величинЪ х и у; вЪ случаѣ томЪ, когда
По опредѣленіи
чинами М, М и Р,
лач функція только
оныя величины сіе отношеніе имѣть будутЪ, изЪ уравненія
гѵ = (’>)5х 4- = (") (5г+
разЪискавЬ для 5у —|— (Г множителя обращающаго сікг
функцію вЪ полный дифференціалЪ ди. получимЪ и
ПотомЪ, естьли первое изЪ оныхЪ же четырехъ уравне-
ній помножится на Р , а третіе на М , и по сложеніи под-
,дѴх ЛѴѵ
ставится вмѣсто величина ш0 получится
Р/5Г\ । ж ч / । сІѴІ 517 х
(«а') “Ь" --- ° или Сг') Р ($ г") ---------- °*
ГаздѣлимЪ величину 17 на двѣ части 17/+ Цх/, такЪ чтобЪ
первая часть С содержала вЪ себѣ тѣ члены , вЪ кои вхо-
дяшЪ величины 2х и 2//, вторая же Ь ' состояла бы изЪ про-
чихЪ членовЪ вЪ кои величины гх и 2Х/ не входяшЪ , шо бу-
дешЪ
____________________ ,«і\ .
по сему предЪидущее уравненіе будешЪ
(ГМ л
\і»-) + -р 4г ) =
Но трактуя вЪсей части 17х измѣняй мьліи величинами толь-
ко гх и 2г/, коеффипіеніювЬ же ихЪ составляющихъ функціи
величинъ х, у и г какЪ постоянными, полу чимЪ
538
X' ~ (^) + © Ы' = ® (№"- Т
Пусть множитель составляющій функцію величинЪ гЛ а'7»
х, у, г, изЪ коихЪ три послѣднія трактуются какЪ посшо-
у // аМ ѵ /
янныя, обратитъ функцію 02 —• р ой вЪ полный диффе-
ренціалѣ , и будетЪ '
то положивъ, что (Цт;) — получимЪ ІУ—ѵ, вЪ которомЪ
_ /5ПЛ\ _ р'л’М
случаѣ будетЪ =------------р-.
ПодставимЪ теперь вЪ четвертомъ уравненіи вмѣсто ф
і Лѵч ГЙЬ\ ЛѴ\
величину м , и раздѣлимъ всѣ члены на {^), шо
получимЪ уравненіе
(л) О — « ) + (а) — <Ч*) — ®(г-,) = о
или
© (*' - о
и какЪ Ѵ=Ѵ/--НІД//, то будетЪ
/ЛК___, ЛѴ'\ ,5<Л ЛіІ'ч , ?5Ѵ'\ Ли,________,$ѵ\ , .5П\
К5й) — («г ) “г- Л ) — (^г2 + (V' ’ + ( &?) »
по сему уравненіе сіе обратится вЪ
)(-й)^(-&)-<-5 >-»-(г -га ) (50+(&)-°-у + г-=°-
КакЪ величина Ѵх/величинѣ гг и г° вЪ себѣ не содержитъ,
то сіе уравненіе должно состояться не зависимо отЪ сихЪ
величинЪ ; слѣдовательно во пераыхЪ ша часть сего уравне-
нія , кодіорая величинЪ сихЪ вп себѣ не содержитъ, должна
уничтожишься особливо. По сену положивъ что 8/-}-8//э
разумѣя подЪ 8 чаешь не содержащую вЪ себѣ величинѣ г'
и должно быть
5Эр
лп\ ,5ѵ"\ о/_________ л
№) - +у) + 8 =°
И
® + © + У- -7^ (© - <й> + 8'0 = о.
гдѣ й гелитавѣ + 8'0 «ельж-
ны ъ и гх/ должны также взаимно уничтожиться, такЪ
чтобЪ было (^~) — 5 О при $•х/ функціи только вели-
чинъ х, у и г.
Есшьли сіе будетЪ, то будетЪ
и',=/8'л'Э2.-ьт,
разумѣя интегрованіе совершеннымъ по измѣняемости г , и Т
функцію величинЪ только х и у. Назначимъ интегралЪ
чрезЪ \Ѵ, шо будетЪ
/5ѵ'\__,вч\ . ,ат< ,$ѵ'\ ____ ,т
К &е -- \&К/ И \5у ) - ( б>/ ~Ь у
Кои величины когда подставятся вЪ уравненіи
,&у\ ,&ѵ\ . с/ л
(.&) —с ^ + 8 =°»
шо получимЪ уравненіе-
ЛТѵ ,5Тч . лУ\ѵч +лѵх ______________
С») • +• (&с9 — <г(^) + ъ — 0 »
ксшорое дабы состоялось, требуется чтобЪ величина
® “»•(?) + 8/
была функція ве7.ичинЪ только х и у, которая пусть бу-
детъ 8 . Тогда поелику
5Т = (2)5х+ 05г- (") & 4- а&>_ СІѴ5х,
1 дь СІѴ
сіешьлк вЪ. величинѣ н
вмѣсто у подставится функція в<-
54д
личинЪ х и и взятая изЪ уравненія /%$У 4* о*5х) — и, и
возмешея иншегралЪ /2 ^Х, по измѣняемости величины х,
БудешЬ
Т = ф'іс — /8,ѵ5х,
и полный интргра ѵЬ уравненія буд'чгЪ
ѵ \Ѵ — /8,ѵЭх -н ф и 4- Ки =: о
или
ѵ 4- ѴѴ —/8ІѴЭх + Ки =± о.
Подобный сему иншегралЪ доставишь и другой корень о- ура-
вненія Мсгсг ►-}- №сг 4 Р~ О, 5уде онЪ вышеозначенныя
условія имѣть оудедіЪ.
Пусть будешЪ предложено уравненіе
У (2/Г й) + хх 4-уу) ©)
4- [у(2ххф 4- хх — уу)
— * (сууф 4- хх - уу)] (™д)
— Х[2ХХ(|)ч- ХХ-уу] ф)Ч-2Ху(ф2-фг)
+ 22/(эх) + 2х(2Г-2) Ф - 2ХУ — О,
которое уравненіе условію М — 4~у^ ПРИ
удовлетворяетъ, и будетЪ одинЪ изЪ корней —— •
ТакимЪ образомЪ будетЪ
5у+0-5х имі ^у 4 " = “(2уЭу 4-2хЭх);
слѣдовательно будешЪ
и — хх 4- УУ « Р.(хх 4- уу).
При томЪ функція 5'2//— -М&г/ будгшЪ
’ I іууя' хх У уу^
"’т"' лххъ" 4- хх — уу 9
541
00 сему посредствомъ множителя
/ — гххг'7 4- хх — УУ 9
обратится вЪ полный дифференціалъ, коего интегралЪ бѵдетЬ
ууъ'л 4- (хх 4- уу)ъ' 4- ххг//2 4- (хх —уу)ъ" =. ІУ.
_ ₽' і ѵ?’ . г _
КакЪ -р- — — — и — — — у , по сену будетЪ
8^2Х, и
ПотомЪ, поелику
©=О=«*(»'+®''2+«’) >
будетЪ
© “ <4? + 5" = ? - у*),
И
=- (~^'),
при тонЪ \5%) - О, по сену будетЬ
87// — 22 и ѴѴ — 22;
слѣдовательно
8ТѴ — 8' =: 2х и /8ІѴЭх = хх,
ТакимЪ образомЪ интегралЪ предложеннаго уравненія будетЪ
УУ О’ + ХХФ2 + + У у) © -+-(** -уу) (5)
4-22 — XX 4- К (хх -ф- уу) = о.
Частъ III-
66
542 =
ОТДѢЛЕНІЕ ТРЕТІЕ.
Варіаціонное изъисленіе.
I. Нахожденіе варіацій предложенныхъ функцій.
§ 257-
ВЪ сшашьѣ о ааріапіяхЪ вообще видѣли мы , чшо есшьли
какая либо величина V будешЪ функція измѣняемыхъ вели-
чинъ х, у, 2 и проч. и постоянныхъ величинЪ а, Ъ и проч.,
то вЪ случаѣ шомЪ, когда не предполагается, чшобЪ вЪ оную*
функцію вошли какіе либо измѣняемые члены другаго рода,
нежели каковы вЪ ней были, а предполагается только, что
функціи величины х, выражающія величины у, г и проч.,
равно какЪ и самая величина х, и постоянныя величины а,
Ъ и проч. измѣнились , то изображеніе варіаціи оной величи-
ны V не разнится опьЬ изображенія ея дифференцій по измѣ-
няемости всѣхЪ оныхЪ величинЪ х, у, г. .. .а, Ь...,
и различается отЪ дифференцій только понятіемъ ея произ-
хожденія, равно какЪ и іпѣмЪ, чшо хотя бы варіація величи-
ны х положена была равна дифференцій ея, но варіаціи вели-
чинъ у, г и проч. не будутЪ равны дифіЬеренпіямЪ ихЪ , по
причинѣ той, что разность на пр. между новою величиною*
у и прежнею зависитъ не только ошЪ шого,. чшо новая вели-
чина у есть функція новой величины х, но и отЪ шого,
что сія функція не есть функція прежняя, но со всѣмЪ Дру-
гая; такЪ что при дифферентахъ, когда уггіфх, шо новая
величина у/~(^х/, и Ду~<?/— при варіаціяхъ же
У ~ ф^' и ~ ф'з/ — фх.
Видѣли также вообще , что дифференція варіаціи какай
лай© функціи рагняешся варіаціи длфференши сея функціи»
=» 545
и чпо интегралЪ варіаціи какой либо функціи равняется
варіаціи «я интеграла-
ИзЪ сего слѣдуетЪ напротивъ, что естьли и для варіа-
цій употребииЪ спссобЪ предѣлг вЪ, какЪ употребили для
дифференцій , то и выраженіе варіаціи величины V чрезЪ ва-
ріаціи величинЪ х, у, г и проч. а, Ъ и проч. при исчезающихъ
варіаціяхъ сихЪ величинѣ, вЪ которомЪ случаѣ и новыя функ-
ціи выражающія сіи величины обращаются вЪ прежнія, будетЪ
таковоже, какЪ и выраженіе дифференціала величины V чрезЪ
исчезающія диффор> нціи или дифференціалы оныхЪ величинЪ
х, у г и проч., а, Ъ, и проч. ш. е. естьли употребииЪ для
изображенія исчезающихъ варіацій букву. <?, то будетЪ
гѵ=('Г> + фЗу+ .Н-С&+05Ы-...
ТаксжЪ будетЪ
Э5Ѵ=5.дѴ, Эп5Ѵ=Эп“Ѵѵ=5ЭпѴ,и /.5(Ѵ.Эх)=р(ѴЭх).
§ 258.
Положимъ, что какая либо величина у есть неопредѣ-
ленная функція величины г, и что назначено
Эѵ др да
дХ—Р> дх — дх—Г и ПР04-
или
Эу ~ рдхч др =х дЭх, дд = гдх и проч.,
Шо будетЪ
Ъ.ду хх д.Зу — р^.дх 4~ З.рдх хх рд.Зх + др.дх ,
д.др " д 5р — дд. дх 4- дх ~ цд.&Х 4- 5с/.Эх ,
5.Эд = Э5д — гд. Эх 4- 5г дх =2 гд$х 4~ и проч.
Напротивъ будетЪ
ду. д5х оіу—рдіх ___д.$’р—<]д$х Э5а—гЭ5х _ . ,
д^-~ - дх~ > » ЬХХ~дх — И такъ далѣе.'
66 .
544
ИзЪ сего найдется
V ___ д8у- рд8х- др$х д.Ь-д(рйх) д($у—рЯх)
°Р Чох ------- ~ "дх ------- дх ---------- дх *
5д — г5х - „ „„.г далѣе.
Поелику же положивъ, что начально была величина
у—<рх, и при варіаціи измѣнилась функція фх величины х,
изображающая величину у, вЪ другую функцію бх, будетЪ
Эу Эхф'х ,
шо такимЪ же образомЪ будетЪ
5у =. ЗхѲ/Х.
По сему естьли положимъ, что ф'х — р, то Ух не будетЪ— р
но будетЪ равна какой либо другой функціи р'Т которая
пусть будешЪ р-Нтг; то есть когда будешЪ
Эу =. рдх,
тогда будешЪ
5у ~ (р-{-7гДг, И Эу---рдх — О , но 5у----р^.Г ~ 7г5х,
которая пусть для краткости изобразится чрезЪ 8у С ѣ-
довашельно здѣсь ни ^у — рАх, ни 8р д$х, ни у—п5х и проч.
не обратятся вЪ нѵль, то есть здѣсь не будешЬ ни <5у—р<Ух,
ни 4р ~ д$х> ни м]~г$х и проч. ИзЪ выраженій же онь кЬ
слѣдуешЬ, что когда 5/ — рЗхгУу, тогда ^р — ,
Зд — гдх — ух Э(УУ) и проч.
Пусть взята будетЪ функція ѴЭх, гдѣ V есть функція
величинЪ х. у, р, д. г и проч. и требуется найти ея варіа-
цію. Сія варіація будетЪ
— ЗѴЭх + ѴЭЛх — ЗѴЭх Н- Ѵ5.Эх.
Положимъ, чпю будетЪ
ЭѴ — МЭх + Юу ч- РЭр 4- О-Эд ч- КЭг Н- ..
шо будетЪ
ІѴ-М^х-ьЫ^у+РЗр + + „
= 5Д5
когда величина V содержитъ вЪ себѣ и постоянныя величи-
ны а. Ъ и проч. разсматриваемыя измѣнившимися. При шомЪ
поелику Э(Ѵ5х) — ѴЭЗхЧ-ЭѴЗх, будешЪ
ѴЭЗх = Э.ѴЗх — Э. ѴЭх;
по сему варіація
5ѴЭх — ЭѴ.ЗхЧ-ЗѴЭх - ЭѴ5х—ЭѴЗх Ч- К(ЗуЭх-ЭуЗх)
Ч- І\суЭх — ЭрЗх) ч- С1(ЗдЭх—ЭдЗх)-+- В(ЗгЭх—ЭгЗх)Ч- • • •
-у Эх(М/5а 4- -ь ...) = ЭѴ 5х Ч- «Эх(3у — рЭх)
Ч~ РЭх(Зр— дЗх) Ч- О.Эх^д — гЗх)Ч-КЭх(Зг— лЗх)Ч- • ..
Ч-Эх(М'За Ч- КХЗЬ Ч-...........)
=йѵзх-.эх(№у+р.г4^а.^э(^+к^эйэ(э^))+..
+ МЪ + М,ЗЬ-ь.............)
Естьзибы величина V была функція трехЪ измѣняе-
мыхъ величинЪ х, у и г и ихЪ производимыхъ величинЪ
ду_________ „ др__ дд —
дх~Р> дх — Ч* ді — Г и ПР°Ч*
дя _ др, -- дѵ,----
дх—Р^ дх дх — Г И ПР°'Г-
шо бы по назначеніи Зу— рЗх чрезЪ (Уу и Зі»—Р/<№
чг-езЪ «У'г подобными образомЪ получилось
5.ѴЭх := Э.ѴЭх + Эх(МЗ.> 4- ₽У? + О^Э(^>)+ • •.
-4-М'Эа -н№5Ы- ....).
§ 259-
Пусть будетЪ предложена функція /ѴЭх , гЬ коей V
есть функція величинЪ х, у и ихЪ производныхЪ функцій
ду ---------- др ------ дѵ______
Гх — Р> дх — Ч>ЪІ — Г и ПР°Ч-
и требуется разЪмскашь сея функціи варіацію.
546
Поелику 5/ѴЭх — уЗ.Эх , по сему будетЪ
З./ѴЭт = Соплѣ. 4- ѴЗх 4- /(УдхЗ'у 4- РЭ.З'у
4-€>Э.(ЧГ) + КЗ.^Й(г^)) +..........)
4-5а/М Зх + ррТЭх-і-.....
По
/Р.ЭУу = Р.Х'г —рР 8>
ЛО =
/» «Ж»=К - Э(^) -/2 <О=і
-ГёЭС^й ВЭ(^)-й- аё+ЗУ а^Эф-РУЭ^))
и такЪ далѣе.
11о сему будетЪ
3.уѴЭх~ Соплѣ. -}- Ѵ&г
+Рх(М - ~ІЭ^Э,-»)) + .. .)8у
+ 5>(Р ~ ій(ІЭО) +....)
+ ^(а-й+іэ©----------)
+ эР(^) <К-У+........)
+ І^Э(3^)) (8-.......)
4- За/ІѴГ дх 4- ЗЬ/ М'Эх 4-.
ВЪ разсужденіи ссго изображенія варіаціи замѣтишь должно,
что членЪ ея
/ЭП2Ѵ_^+±Э(«.) +.......)Уу
547
принадлежитъ кЪ интегралу /ѴЭх ото начальной величины
іс, при коей т. е. начинается сей интегралЪ , до той вели-
чины х, пру которой ссй иншегралЪ оканчивается получая пол-
ную свою величину, коя разсматривается; прочіежЪ члены при-
надлежатъ кЪ начальному и конечному состоянію величины
х или онаго интеграла. Не худо также взять на замѣчанье
изЪ § 174 и шо, что функція
дх 1 дх \ дх/ дх 'Эх '•дх// 1
есть ша самая, при коей обращающейся вЪ нуль функція ѴЭ^
бываешЪ полный дифференціалЪ г и что естьли иншегралЪ ея
/ѴЭх назначимъ буквою Vх, то
р - % + і <>(*) ~ і й(^ а©) +......................= О»
а- ©+* О-• • = (> *-!-: + ••• =©').
и шакЪ далѣе.
Естьли дифференціалЪ дх предположенъ будетЪ посто-
яннымъ, шо будетЪ
№ = соп1і. +>(§ - + + • • • .)*>
. V Зх + 3?(Р - % +15 - .)
। д.&у ЭВ. ЭЭ5 \
Эх I42-—‘Э^с <~Э^ - * •)
1 ах* \ Эх 1 /
_ I ЭЗ.б у /о »
"Г' ЭхЗ V5 • • •/
4- ^а/М/д.г Ч- 4- ... 7
жли, назначивъ + . . . . чрезЪ И, ,
Р __ дО. | ддК т. Г) дВ. і ЭЭ5
~ ЭГ +- • чрезъ Рх, О.— а-х 4- — — . . , .
чьрезЪ Оу» К —— .........чрезЪ В.у и проч-
548
З./ѴЭх СопЛ. -4- /^ЭхЗу ч- Ѵ5х 4- Р/у 4- О.,э-^
+кА? + ?Ат + • • • + «»/М'Эх+5Ь/ЫЭх +...
§ ібо.
Положимъ опять, что должно разЪискашь варіацію функ-
ціи /ѴЭх, вЪ коей величина V есть функція величинъ X,
у р. д. г , . . и величины 14 — /ѵдх , гдѣ ѵ есть опять
функція величинъ х, у, р, д, г . • разумѣя р— д_
и проч. при дх постоянномъ.
По силѣ сего предположенія будетЬ
ЭѴ ~ Ъди 4- МЭх 4- Юу 4- РЭр Ч- О.Эд 4- ВЭг 4- . • <
= Эх(Ьі> 4- М 4- №рЧ~ Рі Ч- Ог -у В$ 4- . . . . .),
5Ѵг Ь5ич-М5х-і-К 5уч-Р5рч- Оод-ьВ 5гч-... ч-иі5ач-я 5Ьч-...
Назначимъ для краткости
ІѴІЭх 4* №Эу Ч- Ѵдр 4- О.Эд Ч- ВЭг Ч~......
чрезЪ ЭѴ, то будетЪ
Ю — МЗхК^у 4-Ч-О5д Ч~ ВЗг Ч- « • •»
ЭѴ —ЬгЭх 4- ЭѴ, Ш = Ыи -у Ш4- т^а Ч- 4- • • •
ПоложимЪ потомЪ, чгпо
Ъѵ гг М'дх 4- Я'Ьу ч- Р'Эр ч- ОЭд Ч- В'Эг 4-........
— М 5г -+- №5уч- Р^/зч- О^д --ч іиАс/ч- ...,
то по н. значеніи К7
Эй & ____ Э< К'
Эх "' дхл ЭхЗ
54»
чрезЪ Р“^+ Эх2---у чрезЪ Р/у, О.--
чрезЪ “О.^, В —а 1 ' чрезЪ К/7 и проч., при по-
стоянномъ, по предЪидущему параграфу будетЪ
= ,»х+/к>Ѵуч-р^уч-а,Л''г+К//«>н_.. «
4- да'Гт'Эх 4- ЪЬ'/п'дх ...,
гдѣ постоянная произвольная величина можетЪ быть разсма-
триваема содержащеюся вЬ интегралѣ /Н&дХе/у. По сему
будетЪ
гѵ=Е^+ья/эхУу+8Р/Л'Уч-ш/-й?+ьк//^’ + • •
и- Ь(5а бп'дх 4- $1//іі'дх-+-...) + <П5-ь тЗа + пЗЬ -+-...
ТакимЪ образомЪ получится
5. ѴЭх = Э. Ѵ5х -г- ЪѴёх — ЭѴ&с = ЭѴЗх 4- ЬЭх/^Эх5у
+ 1ЭхР//5Ѵ + ЕЭхС>/^4-ЬахЕ//^+ . . .
ч-\Эх(5а//иі/Эх+5ЬУп/Эх-^..)ч-Эх(>*г5си-л5Ь+..)-і-5иЭх-ЭШх;
5/ѴЭх — Ѵ&с 4-/‘Ь5х/К//Эх5/у 4- /Ь'дхѴ^у
+ /^х.а/^Ч-/ЕЭх.К/^4- . . .
4~[Сдх(^а//т/дх-[-5Ь/[п/дх-{~...')-{-/дх (іп^а+п^Ь-^,..)
4- /(сЮЭх — ЭШх) 4- Соллі.
Пусть будетЪ /ЕЭх К, шо будетЪ
уідх/^дх^у КГ^Эх^У —уК^ЭхУу
Дэх.Р^у - КР^у ^/КСЭР/Хг 4-
/ЬЭх ох/ V? = к<Ѵ^ - ЛФО.,.^+ %
=квЛ>-/К(жЛ?+VI?)
и такЪ далѣе.
Частъ III.
67
55о
При томЪ по предЪилущему параграфу
/хшх- го^)=/м/эх$У+р/г+ + к,Х’+ -
IIь сему замЬпивЪ, чиіо
ЭР//-ь.Ѵ//Эг=М/Эг, 30^,4 Р^Эх^Эх, ?К//-|-О//Эх=О./Эхі
м ша Ъ іа кѣе получимЪ.
г./ѵ йх - СопЛ.+Ѵ5х+(Р/+КР//)5>+ (О.+КО,,) ’Лг
+ (В/ + КВ//)“^+. . . .
ч- /КГДг + К/^/хЗУ — КЫ-'ЭхУу
—/ккгзу—/кв^й— . . . ,
4-К(5а//т/Эх 4-^Ь^Эх Ч- - •
-(Ѵ/Кю/Зх 4-&//Кн'дх4- • • •)
4- За.[тдх 4- ЪЬ/пдх 4- . . * • » »
При пчоіиі будетЪ
/кр? гу — кр з-у—/зуэ кр/ ,
/ко.??,р: = ког.^г — ^Э.К<1/+/Гх®.КО.-'.
•’кв^^^кв^ _ ^акдѴч- ^дд.кк'-^у.кіі',
и шакЪ далѣе.
По сему
$/ѴЭх =1 Сопзі. -4- ѴЭг 4- К^ах^у
+/Эх5У(И/-ККЧ’^-^«:+^- • • )
-₽ Зу(Р/ + КР//-КР'+э^ -Ж “ • • •)
+ ^(^+^,-ко-'-і-а-і-+ • • •>
+ + ВДУ - К-К7 + 4- • . .)
55і
4- К(5а//ш/Эх 4- ЗІ/рі'дх 4- . .' .)
— (Ѵ/Ки/Эх + З^/Ю/Эх + ...)
4- $а/тдх 4- ЗЬ/пдх 4~ .....
ВЪ кошоромЪ изображеніи величина К~/ЬЭх должна
быть взята шакЪ, чшобЪ изображала интегралЪ /ЕЭх огцЪ
начальной величины х до конечной; шакЪ что трактуя спер-
ва величину X неопредѣленною, и положивъ, что при началь-
ной величинѣ х сей интегралЪ /ЬЭх—А, и при какой либо
неопредѣленной величинѣ х сей интегралЪ 221ѴѴ^ надлежитъ
вмѣсто К вЪ ономЪ изображеніи повсюду, гдѣ должно совер-
шиться интегрованіе надЪ членомЪ содержащимъ сію величи-
ну, ПОДСШ! ишь ѴѴ—А.
$ 2бі.
Положивъ чшо опять должно разЪискашь варіацію функ-
ціи /ѴЭх, гдѣ V есть функція величинЪ х, у и г и ихЪ
производныхъ величинЪ
<Эу __ _ др _______ „ Э<? __ „
дх --- Р» дх ------ Я» дх -- Г И ПР°4'
дъ ___ др' ________ / д^ _____
дх — Р > дх — Я > д х — ? к гРоч->
Шакожь постоянныхъ величинъ а, Ъ и проч.
Пусть будетЪ дифференціалЪ
ЭѴ 222 МЭх 4- Юу РЭр 4- О.Эд 4- КЭг 4- . • •
4- н- Р'Э// н-О.'Эд'ч- ІѴ'Э/ ч- . . . ,
которой для краткости изобразимъ чрезЪ
МЭх 4- ЭЦ 4- ЭХѴ,
то будетіЪ варіація
5Ѵ 22: М&а Шу; 4- Р^р 4- 0.^9 4~ 4" » • • • • •
67 *
•4* 1 Зр/ 4*ік. л/ч~... -4- іп^а-|~гі&Ъ•+•
= МЗх Ч-5П 4-Ж 4-тда 4-и?Ь 4- .
По сему будетЪ
й./ѴЭх=ѴЭх -н/(Жт—= Ѵ&с н-/(ШЭг 4- ЭШх)
-'г /(ЗѴѴдж — дѴшх) -±-(Мі/тдх пдх 4~ • •
И. такЪ Назначивъ
X ЭР ЭЭЙ эзк м Р Э2 .Э’К
151 дх 4- Эх“ д^з п- ” • ‘ чРезЬ г<, Р— Сх 4 дх> - - • •
ЭЛ । ддч л
/» ѵі — 4"$(2 *“ -• • чрезЪ Цу > и такЪ далѣе р
потомЪ
ЭІУ . ЭЗК № ю/ э& эаг эѵ ,
^-9x4^ -дх3чрезъ Г^, —+ .._.
т: Г> О/ і л -
чрезЪ гх/, —а^4-ах2 — ••« ЧрезЪ и такЪ далѣе»,
по § 259 получимЪ
З./Ѵдх Сопхі.
Ѵ&с 4- /К'дхХ'у 4“М Эх5у2.
+ Р/Уу+й^ + К^
п । р ' ,• । х-х д.8'% । -р дд.&х
№ дх ' // дха
4- 5а/мдх -4- оЬ/пдх 4- . .
§ 262.
Предложимъ себѣ теперь разЪискашь варіацію величины
/ЗѴЭхЭу, которая получится чрезЪ двукратное иншегрова-
ніе величины ѴЭхЭ^ сперва ло измѣняемости одной изЪ из-
мѣняемыхъ величинЪ у, а потомЪ по измѣняемости другой,
величины зч. Мы будемЪ относишь знакЪ 8 кЪ интегрованію
по измѣняемости величины у, и знакЪ [, кЬ интегрованію по
измѣняемости величины зз; впрочемъ оная величина, какЪ
і і«Ъ. 6 17,2. извѣстно , ыожешЪ равномѣрно изобразишься какЪ
03^
чрезЪ /8-ѴЭхЭу , какЪ мм ее выше изобразили; шакЪ и чрезЪ’
8^.Ѵ&сЭу'. При шоиЪ мы предполагать будемЪ, чшо вели-
чина V есшь опредѣленная функція величинъ X, у и г и-
дифференціальныхЪ содержаній
% і ®/» ® ® /» ® » ® /’ -ь /» ^47 И ПР°Ч- *
(разумѣя ^(Й). г/=ф, *"=©, <=(Д^ Х^),
а///-(дхз)’' ^/-(ах2^’ г///~ (дуз) и шакЪ далѣе)
величина же г. есшь функція , но н^опредѣленная, величинЪ ЯГ
и у никакой зависимости между собою не измѣняющихъ.
Мы б/демЪ трактовать варіацію- оной величины /8' ЭтЭу
произшедшею ошЪ того только, чшо выраженіе величины г-
чрезЪ а? и у измѣнилось , Самыя же величины а? и у , ра жо
какЪ и ихЪ дифференціалы, остались постоянными. При семЪ
предположеніи будетЪ ,
5./8ѴдхЭу = $ 6 (Ѵ&гдр) — г
Я какЪ при семЪ предположеніи варіація величины V зави-
сѣть будешЪ отЪ измѣненія только величины г. и оныхЪ ея
дифцюревціальнь’хЪ содержаній, то будешЪ
іу=м&+ КЗѴч- Р^2//+
•+ тг,+ ОГУг^н- . , .
-ь. р’Чх+ • • -
+о.^+...
и проч.
578.ѴЭхЭу =/$.ШЯхоу .
8/ Р'ЗУЭ/Эт- н..
•+ /Б Р^-^Э ь Эа> ъ.. >
13- П{ПН..
3^4
Но есшьли какай либо величина м будешЪ функція величинЪ
х и у, шо будешЪ
а, = (>* + №>г>
а по сену, положивъ величины х и у равно какЪ и ихЪ Диф-
ференціалы не принимающими никакихЪ варіацій, будешЬ
ЗЛ = ЭЫ(^)-+-ЭГ.3($; но эл» = ^эх + фэ7;
При шоиЪ 5.Эу зз:Э.5/’, по сему будешЪ
=(а5’). ” »(!')= (V-)-
'Эл/ V дх / 'ду' ' ду '
ИзЪ сего слѣдуешЪ, чшо будешЪ
= (•?). ч = ф. = ("-) = &)>
Ч=Сг) = №) = Сё) Ч=(^) - (%?)
и шакЪ далѣе;
а по сему напротивъ
/Эг/Эхзз;5г, /Эз/'Эх —/Э2л/Эг—Йй" и шакЪ далѣе;
8.огуЭу =з 5г, 8.5г/хЭу — 5г/Э 8.5г/уЭу = 5г?/ и т. д.
У'5г//Эхзз5г/, З.^г^Эу—5гх, /^г^х^^г^, /Зг^Эх—52^;
БЛг'^у^з^г^, з.^г^дузз 5г/, и шакЪ далѣе.
На семЪ основаніи получится ’
ЗГ-К^г/ЭхЭу зх. 8(М5гЭу—/(|^)5гЭхЭу)
/8. 8(э“')5аЭгЭу) *
8].Р^"дхіу— 8(Р5г<Зу—/ ^)5/ЭхЭу) ’ I
=8(Р52.--Эг-(|!)5гаг+/?1^йхі^ . -і
8/Р/5к'/хЭ/ — 8(Р^^у
= Р^-8(^Э/-А’І;')Ыѵ+/8(^)3^
555
ДР^ЭтЭу = ДР'^х — + 8^'>ЭхЭг) і
Е/йгг'^Эу=8(О5г''/?Хг(й ;^>'-Ч”. Ь^Эѵ-Л '"’)^Эа:Эу)
уу&ъ"^хду=8(0№^у-/ ^)^у)
=С&/_8(«)57%-(^+8(^Мг
+Л^ № )Ыхду
!8.<Х'Ы,,ЪуЪх —ЦО" 5»->—ф М х+8(**Г) 3/ЭгЭу)
+ - /8(’^)5гдтЭу
'8.0."'^хду =^О."^дх - (%") && -+- @-)&Эг
— 8(^Г (ЗгЭуЭх)
и такЪ далѣе.
ТакимЪ образомЪ окажется , что варіація предложенной
функціи состоять будетЪ изЪ трехЪ разныхЪ частей:
I ИзЪ части стоящей подЪ двумя интегральными зна-
ками , т. е. требующей двукратнаго интегрованія , и даль-
нѣйшаго интегр-.ванія не допускающей; которая по сему при-
надлежитъ ко всему претяженію по обовмЪ измѣреніямъ Хи*
©шЬ начала до конпа ихЪ. Сія часть есшь
и-О+®-(Э+-л
\ __ Л_и/Э^ _. /
Го} \ду' 1 \дхду' \дх-ду' -ч -ч / \
-Н) ,ддР _ МяЭхЭу... (а).
* - СЛ
Л. ИаЪ части то^бующей однократнаго интегроватгігя у
и состоящей изЪ двухЪ отдѣленій; изЪ коихЪ іприое стоя
ВодЪ одяимЪ заакомЪ ипшегрованія относящимся кЪ изпѣнле-
бйб ’іі-л
моспти опей величины х, принадлежитъ кЪ протяженію п®
одному измѣренію х начиная отЪ начальнаго состоянія сея
величины до конечнаго , относительно к.Ъ предѣламъ вели-
чинъ у, и будешЪ
второе же, стоя подЪ знакомЪ интегроваьія относящимся кЪ
измѣняемости одной величины у, принадлежитъ кЪ протяже-
нію по одному измѣренію у> начиная отЪ начальнаго состоя-
нія сея величины до конечнаго , относительно кЪ предѣламъ
("величины х, м будешЪ
и проч.
III. ИзЪ части не стоящей ни подЪ какимЪ интеграль-
нымъ знакомЪ, относящейся кЪ шочкамЪ принадлежащимъ на-
чальнымъ или конечнымъ величинамъ х и у, которая будешЪ
и проч.
кЪ коимЪ пзррмЪ часшямЪ, для полности интеграла принадле-
жать будутЪ по § 1/2 двѣ_ произвольныя функціи Хи V
величинЪ х и у.
§ 2*3-
ВЪ пре іЪи іущихЪ параграфахъ разсматривали мы ту
функцію С • коея варіація рлзЪи- киваешея , вЪ видѣ
или <р~/"\ѴЭх, или ф —/8 ѴѴ ЭхЭу, гдѣ ЛѴ есть функція
величинЪ измѣняемыхъ и ихЪ дифференціальныхъ содержаній.
Но случается иногда , что варіацію какой либо функціи ф
опредѣлишь должно по данному только дифференціальному
уравненію между ею и измѣняемыми величинами х, у и ихЪ
всѣхЪ шрехЪ дифференціальными содержаніями, или, чню вый-
дсгпЪ на тоже, по данному только уравненію между ф, х, у
и ихЪ дифференціалами, изЪ коихЪ ми здѣ^ь ни одного не бу-
дсмЪ разсматривать постояннымъ.
Возм'мЪ варіацію сего уравненія, и положимъ что она
будетЪ
Шф 4- Ю оф -ь Рэг Зф 4 ОЭ’Лф 4- ...)
4- + 5г 4- Рхээ.5г 4- О4?.5х ч- . .. ? = о
п- м У5у 4- 5у 4- 5у 4- (Гд5Лу4- • • •'
ПомножимЪ сіе ѵрачнеміе на н опредѣленную функцію V
оныхЪ же ве чичинЪ ф , х , у и ихЪ дьфференцга .овЬ , и воа-
Частъ III. 68
558
іиемЪ ипгпегралЪ его посредствомъ индіегроваытя по часшянЪ,
ню по назначеніи
МѴ — Э.1ЯѴ-+-ЭЭ.РѴ— Э3;С>Ѵ-+- . . . — іт
К V — Э РѴ + ЭлОѴ- — э? ВѴ + ... . — п7
РѴ — д.ОУ + Эд ву — ..................— и"
и проч.
МХѴ — Э.Ь/Ѵ + ЭЭ.Р'Ѵ — ЭЗ.О.'Ѵ -і- . Р“
К'Ѵ — Э Р'Ѵ-+- д&О.'Ѵ — Э?.ВѴ 4- . *— Р
р'ѵ _ а.0.Ѵ4-дг.в 'ѵ — . ... . . . — р"
МЛ'Ѵ — Э.Ы//Ѵ4-ЭЭ.Р'/Ѵ--д3.О:^4- •• •
кгѵ _ а рл/ѵ -г-ээ.сгѵ—. эз.в - ѵ + . . . =
Рх/Ѵ — -Ь ЭЭ.ІС'Ѵ = Г/у
и проч
голѵчимЪ
/Пгіф-ьП Зфч-іГЭ Зф-4-ІГлЭЭ.5ф-ь ...)
-Н/Р &г -ь Р44 Р"Э Зх -і- Р^ЭЭ.сТг +-... Сопзі.... (а)
4-+ .. .)•
Поелику величина V есть фун»ція неопредѣленная, то
ц )жно ее назначите такЪ. чіпоб'Ь было П ~ о, для> чего тре-
буется, чтобЪ было “
МѴ — Э.к V + ЭЭ.РѴ — • Э3.оѵ 4- -. . ...... — О.
Сіе уравненіе будетЪ дифференціальное вЪ разсужденіи V
піакой степени, какой степени находится самый высшій д"ф-.
ференціал’Ь величины вЪ начальномъ ура'неніи, или какой
степени находится вЪ уравненіи (а) самый в-ыспіій диффе-
ренціалъ варіаціи величины (р, или сколько находится вели-
чинъ П, I 11г, П/^ и проч. безЪ одной ; по сему- ѵри ин-
Жіегрованш сего уравненія, для опредѣленія зеличаны "V, іоі-
559
депіЪ и столько же произвольнымъ постоянныхъ величинЪ С»
С7, Су, С/7/ и проч. При сей величинѣ V уничтожится ве-
личина И вѣ каждомЪ неопредѣленномъ состояніи величины
іи. е. вЪ каждомЪ состояніи, кагиыЪ величинамъ х и у она
ни соотвѣтствуетъ; слѣдовательно какЪ при начальномъ»
такЪ и при конечномъ состояніи величины ф , между каки ни
бы предѣлами варіація ея ни искалась. Естьли сію величину
V вЪ неопредѣленномЬ ёя состояніи .іодсіъавимЬ вЪ выраже-
ніяхъ величинЪ П, 11'7, П777 и проч., кромѣ IIх, и потомЪ,
введши вЪ нихЪ для х, у, ф величины ихЪ концу соотвѣт-
ствующія, положимъ И—о, П7/~о, П777~©<, П1ѵ“о и проч.
то получится столько опредѣленныхъ уравненій , сколько
оныхЪ произвольныхъ постоянныхъ величинЪ С, С , (З77, С//Х
и проч. кои и опредѣлятся , и при коихЪ оныя величины П,
П77, И у, ПІѴ-и проч. концу ф ссои іѣшствующія уничто-
жатся.
Теперь для опредѣленія оной постоянной величины Сопяі.
уравненія (а) означимЪ величины соотвѣтствующія нача
постановленіемъ ихЪ между двумя круглыми скобками ( ) ,
то получимЪ
Соіиі. = (ДРбг + ХЪ/ ) Н- (П'Зф + Р'5г-|- 2'5/)
ч-(пххэ.лф+р//э.5г-1-2:г'э.ѵ)+(п///мгф-»-р''-'эа.5г
ч-ХУЭЭ.З/) + ...............
которая величина, когда подставится вЪ уравненіи (а), И
величины соотвѣтствующія кончу ф отличатся постановлё-
иі-мЪихЪ между чешвероуго*ь іыми скобками [ ], то по уни-
чтоженіи величинъ [П], [Гі77], [II777] и ..роч. , соотвѣт-
ствующихъ концу функціи ф, получимЪ уравненіе
[/4- [Пх3ф> Р75г + 4- Р7/д.&с
+ х7/э.^-4Р777аи.^4-х77/эа.5у+..........]
68*
5бо
= (/^5х 4- 25}р 4-(Й'5ф Ц- Р'5х 4- 2%
4-іГ0Лф 4- РУо 5 г 4 5/'д.5у 4- П'^дЭЛф
4- РХ//ЭЭ 5х 4- 2Х//Эд.5/ 4- ••...);
откуда найдется
[П’5ф; — (/ ^Р5х + І5гр — [/ ^х 4- 25; ]
4- (іУоф -4 Р^х 4- 2'5у) - [Р75х 4- ]
4- (п"Э.5ф + Р4Э.5х н- 2"д.5у) — [Рх/Э ^хч-І^ЭЛу]
^(П'?/ЭЭ5ф+.Р//Шх+І///Эоту)-[Р///ЭЭ5х+Х///ЭЭ5у]
я такимЪ образомЪ, по раздѣленіи второй части сего уравне-
нія на величину И соотвѣтствующую концу функціи ф,
получимЪ варіап ю 4^ изображающую варіацію всея величи-
ны оыЪ начала до конпа ея.
«,( )
II. О улотребленіи варіацій функцій,
* У 1 * у — - ' , Л . •
§ 264.
V потребленіе варіацій функцій по сге время ограничи-
вается шо ько двумя иХЪ Приложеніями. а имянно приложе-
ніемъ кЪ изслѣдованію иніпеіральности функцій , и приложе-
ніемъ кЪ нахожденію наибольшихъ и наименьшихъ состояній
функцій , когда законѣ зависимости измѣняемыхъ велЕЧинЪ
гходящихЪ вЪ составленіе сихЪ функцій измЬняешся.
КЪ нахожденію наибо іьшихЪ и наименьшихъ состояній
функцій вЪ семЪ послѣднемъ случаѣ, тѣхЪ основаній, кои по-
казаны вЪ дифферента>ьнонЪ изчисленіи также д-ія нахожде-
нія наиболынихЬ и наим- ньціахЪ состояній функцій , прило-
жишь не можно; поелику шамЪ функція, коей наибольшее или
5Ы
наименьшее состояніе ищется , предполагается опредѣленною
функціею измѣняемыхъ величинЪ, и питому шамЪ опредьлишь
м..ж «о только величину измѣняемыхъ количествъ вЪ соста-
вленіе ея ех •дящихЬ , при кошорыхЪ состояніе оной функціи
будетЪ наибольшее м»и наименьшее. Здѣсь же напротивъ то-
го, предположивъ какую либо неопредѣленную функ^ю измѣ-
няемыхъ величинЪ, и пер‘во\я ее но всѣмЪ возмож іымЪ зако-
намъ зависимости , какую онымЪ измЁняемымЪ величинамъ
дашь мо*но, должно бываетЪ опредѣлишь ту изЪ зависимо-
стей . коей соотвѣшсшвуеніЪ наибольшее или наименьшее со-
стояніе оной фуиіціи, т. е. опредѣлишь самую оную неопре-
дѣленную функцію, коей наибольшее или наименьшее состоя-
ніе соотвѣтствуешь.
$ 2 6$.
Приложеніе изслѣдованія варіацій функцій кЪ изслѣдова-
нію иншегральиости функцій основывается на слѣдующемъ
разсужденіи. Пусть какая либо функція [Ѵдх сама по себѣ
иншеіральна ; то, естьли разЪипцмЪ ея интегралЪ, которой
изобразится вЪ извьстномЬ числѣ членовЪ не содержащихъ
вЪ себѣ ни одного члена вида [\ дх не допускающаго инше-
грованія , тогда варіація сего интеграла не будетЪ также со-
д-ржать вЪ с^бѣ ни одного члена вида [ѵдх , не допускающа-
го инпіегрова ігя. ИзЪ сего слѣдуеніЪ наіірошивЪ , что дабы
функція [ дх была сама по себѣ интегральна, для сею тре-
буется, чшобЬ и варіація ея не содержала вЪ себѣ ни одною
члена не допускающаго интегроьанія. Но предположивъ, что
вЪ функціи [Ѵдх величина V есть функція величинЪ х и у
и ихЬ произвидныхЪ функцій
Эу др _ „
Эх — Р> Ьх — Ч * ПР°Ч-
и что
ЭѴ — МЭг н- Мду Ч- Рдр -4- Одд -4- ВЭг 4-...............
в-іріація величины [Ѵдх вЪ числѣ прочихЪ членовЪ по § 2^9
содер. ишЪ вЪ себѣ членѣ
56« е=
^(к-©ч-іэ.^га-^э.^эв4:.::; .)?у
требующій, но не допускающій, интегрованія. По сему сей
ЧленЪ вЪ случаѣ иншегральносши функціи долженЪ самЪ по
-себѣ уничтожиться; слѣдовательно функція А дх будетЪ
допускать иншегро’’-аніе, коіда будешЪ
к —Г тЭ^э4--т- . . .... = о,
дх 1 дх дх дх дх дх • ’
кс.торое условіе вЪ § 174 выведено и изЪ другихЪ основаній.
Есшьли вЪ функціи /Ѵдх величина V будешЪ функція измѣ
.няемыхЪ величинЪ _х, у, г и ихЪ производныхъ
__п Эъ п да
Эх — Р> дх — Ч> Эх — 1 и проч.
Эг—др' / да' /
.дх — Р » д^ — Я > .дх—^ А ^ОЧ-
тпакЪ что будешЬ
ЭѴ — МЭх 4- 'Му Ч- ТЭр Ч- ХІЭг/ Ч- ^Эг Ч- • *
Ч-К'дг ч-Р'дрЧ-а'Эг/Ч-’ІѴ'^Ч-
іпо выше означенное сужденіе приложенное кЪ § °Лі ош-
^ооешЪ, что для иншегральносши оной функціи Ѵ-Эх тре-
буется, чтобЪ было
и
... =о.
§ 266.
Изслѣхозаніе варіацій функцій црилагает я кЪ інахожде-
вію наибольшихъ и наименьшихъ состояній функцій на слѣ-
дующемъ основаніи. Пусть бу іешЬ взята вЪ разсмотрѣніе
какая либо функція ^7 измѣняемыхъ .величинЪ х, у, -г и проч.
Л ихЬ производныхъ
565
ду__„ др __ - дт____
• дх — Р> ах*-1’ и ПР04'
Эа _ / др' _ / дд' _ ,
дх~~Р> дХ—Я» дх~^ И ПР°Ч*
ГДѢ величины у, г и проч. разсматриваются’ кагЪ неопредѣ-
ленныя функціи величины х; то поелику варіація сея функ-
ціи 15 гпакимЪ же точно образомЪ произходишЪ изЪ V, какЪ и
ея дифференціалЪ, и разнится опф сего послѣдняго только
вЪ образѣ понятія ; по сему вЪ случаѣ наибольшаго или наи-
меньшаго состоянія функціи V при предположеніи, чшо ва-
ріаціи всѣхЪ величинЪ у, г и проч. уничтожаются вмѣстѣ
сЪ-варіаціею'величины х, будетЪ по-§ цб |^—С, или ЗѴ—СЕ
§ ^7-
Приложимъ теперь с'іё сужденіе кЪ функціи ГѴЭх, при
ду
V функціи величинЪ х а у и ихЪ производныхъ — рг
др
— *7 и проч., гдѣ величина у есть неопредѣленная функ-
ція величины х; какова фуні ція разсматриваема1 была вЪ 259.
ВЪ ономЪ параграфѣ найдено, чшо будетЪ
з./ѴЭх=/Эх|ч-^+ѵэй>-^^э©)4-...г^
+ Сопгі. + Ѵ& I Р-> + ^эф-..
і Э-5'у дГ. і Д-35\ ?
~дХ~ — дх Ч~ дх д<дх) — * ’ 3.
I -ч/д-3 'Ѵ\ (п ^8 )
+ )Ч—іг-+•• I
—Н •• . • .
-ф- .,,
вЪ которомЪ выраженіи чл;нЪ стоящій- подЪ интегральнымъ
знакомъ означэешп варіацію’ интеграла ^ТѴЭх отЪ начальной
величины х до конечной,, зависящую ошЪ измѣненія закон'
564
заеиспчоспти веіичннЪ х и у и измѣненія величины х осо-
бенно; члены 5а/’М'Эг4-^рГдг й проч. оз іачаюшЪ варіа-
цію онаго интеграла /Ѵдх • ошЪ начала также до конца его,
произшедшую отЪ измѣненія постоянныхъ величинЪ а, Ъ и
проч. бывшихЪ вЪ функціи V; прочіе же члены принадлежатъ
кЪ началу только или концу онаго интеграла /ѴЭх, но не
ко всеигу ему отЪ начальной величины х до конечной. По се-
му для обращенія вЪ куль варіаціи интеграла /Ѵдх. во пер-
выхъ должна часть ея, состоящая подЪ интегральнымъ зна-
комъ уничтожишься пои каждой неопредѣленной величинѣ х ,
т е. по всему протяженію интеграла /! дх. Во вшсрыхЪ
уничтожиться должны члены прѳизходящіе отЪ измѣненія
постоянныхъ величинЪ а Ъ и проч. особенно , наконецъ уни-
чтожиться должны особенно всѣ прочіе члены, не состоящіе
подЪ интегральнымъ знакомЪ, какЪ при начальной такЪ и при
конечной величинѣ х, слѣдовательно во первыхЪ надлежитъ
чтобЪ было
К —’ Э(эдг) —. • = о; ... (а)
дх ' дх \дх' дх'дхУдх'' 7 \ /
послѣ чего, по назначеніи для краткости величинЪ
р-&+^)-..
р Э8 .
И. — . с н-..... и Проч.
по порядку буквами П, П/, П/? и проч. останется
5./ѴЭх ГГ СоП5І. -I- Ѵ&Г-+.пУ/4-П'^ч- П^Э (-^) 4-.. .
4-5а/Мгдж + -ь...............
разумѣя
5-у = 5у — р&с ,
гдѣ постоянную величину СоіШ должно опредѣлить такЪ,
чшобЪ при начальной величинѣ х варіація б/ \ дх уничтожи-
лась ; по сему означивЪ между круглыми скобками величины
относящіяся кЪ начальной величинѣ X получимЪ
565
Соп$1.~ — Е(Ѵ5хч-Шуч-П/9^н--...ч-?а/’М/Эг4'5Ь/*
которую величину и подсшакимЪ вмѣсто величины Соп$и. во
ономЪ уравненіи. ПотомЪ поелику равномѣрно и при конечной
величинѣ X должна варіація а/V Эх уничтожишься, оно ежпли
величины относящіяся кЪ сей конечной величинѣ заключимъ
между угловатыми скобками, тогда оставаться будетЪ удо-
влетворить уравненію
[Ѵ^х-ьШ'уч-іГ^ +...4- ^/мОх+^/іѴЭхч-...]_ .
-(Ѵ5х+п57+П/Э^н-...ч-^/М/Эгн-56)^т'Эх4 ‘}
Естьли вЪ семЪ уравненіи не должны будутЪ варіаціи
имѣть какой либо зависимости , то по причинѣ произвольно-
сти ихЪ, коеффиціеніпы всѣхЪ особенныхъ варіацій должны
уничтожиться особо; есшьли же какими либо усзовіями опре-
дѣляться будетЪ зависимость нѣкоторыхЪ варіацій ; то по
введеніи сей зависимости , коеффиціеншы іпѣхЪ варіацій , кои
останутся не зависимыми, должны уничтожишься порознь.
По сему вЪ томЪ случаѣ, когда варіаціи не имѣюшЪ н.какой
данной или требуемой зависимости, можно оную назначишь
по произволенію; и когда послѣ сего какія либо варіаціи оста-
нутся вЪ нат» мЪ произволеніи , тогда можно ихЪ положить
каждую особенно равною нулю.
Подобное совершенно сужденіе употреблять должно при
нахожденіи наибольшаго или наименьшаго состоянія функцій,
коихЪ варіаціи изслѣдованы были вЪ параграфахъ або, 2бі и
262 ; гп. е. что варіація каждой изЪ сихЪ функцій должна
уничтожиться, а для сего должны уничтожиться вЪ варіаціи
изслѣдывдемой функціи особенно всѣ члены относящіеся какЪ
ко всему протяженію сея функціи такЪ и кЪ началу и концу
ёя. ТакимЬ образомЪ уравненіе нулю частч сея варіаціи от-
носящейся ко всему протяженію функціи доставитъ отно-
шеніе измѣняемыхъ величинЪ потребное для наибольшаго или
наименьшаго состоянія функціи; прочіе же члены, уравненные
нулю, доставятъ состояніе сего отношенія между измѣняе-
мыми величинами при предѣлахъ ея. ' ,
Частъ III. 6д
566
П Р И Е Ѣ Р Ы.
т. Положимъ на пр. ито должно найти отношеніе ие~-
жду величинами х и у, дабы величина интеграла
//(Эх2 -Ь- Эу2) — /ЭГ/(1 -+- рр)
взятаго меж іу извѣстными предѣ хамс Х—р > х~§, была посто-
янной величины, а при шомЪ ьеличині иншеірала /у&х взятаго
также ошЪ х^/ до была наибольшая. Есшьли воз-
мемЪ варг ши оныхЪ интеграловъ дХ]/( 1 -4- рр), и 5УуЭх’,
то поелику обЬ сіи варіаціи уничтожаются вЪ одно время ,
т е. какЪ при х~/. ша;;Ъ и при х_§ по с^му обѣ сіи ва-
ріаціи должны со держать вЪ себѣ одинакихЪ множителей обра-
щающихъ ихЪ при оныхЪ величинахъ х — / и х~ § вЪ нуль;
слѣ юваіпельно есшьли найдется содержа іё между сими ва-
ріаціями чрезЪ раздѣленіе на он хЪ ихЬ общихЪ множителей,
и сіе (одержаніе назначится ч4 езЬ тп, шо П| и каждой неопре-
дѣленной величинѣ х 6» л тЪ
З./уЭх — то./Эт/(і Ч- рр),
гдѣ величина т мож< шЪ быть разсматриваема и постоянною
и измѣняемою Ію произволенію, ибо «Ъ обоихЪ С'учаяхЪ оное
оіпнош-ніе между функціями суще шв >р.ашь будетЪ. Сша-
немЪ для большей про ш >шы величину т разсматривать по-
стоянною, то позучимЪ уравненіе
5. уЭх — т/дх]/(і -р рр)} — о,
или
5/ у Эг — тЭх (і-Ь рр'^ — &/дх(у — ю*/(іЧ-рр))
здѣі ь бу ѵегпЪ
Ѵг:у-т/(і4-рр), №=1, 0-=°> и проч.
По сему для опредѣленія отношенія между х и у уравненіе
(а) будешЪ № — — О или ? Р — Эх —О , ш. е.
(у 4“ дх ~ О , изЪ коего найдется
567
У (і і>р) и Р /(тт-(х— а)3) дх 9
потомЪ
аг = 7,5:с’=^ и у—В = + Ѵ'(т’ —(! — «)•)
Ѵ{тпт— (х — а)3) / —- г 4 \ • /
ИЛИ
(у — ^2 (х — а)2 — тт.
Для удовлетворенія же уравненію (Ъ) , по причинѣ той что
варіапіи Ьс и ду, сооптѣівсніву ющ'я началу и концу онаго
интеграла , ниілкимч условіями, коимЪ удовлетворишь дол-
жны, не ограничиваются, можно поло кишь что сіи варіаціи
каждая равча нулю, при шомЪ будетЪ здЬсь и <5а~о, ^Ь~о
и проч. когда величина т предполагается не измѣняемою.
Можно положить также, что »однѣ конечныя варіапіи
равныя нулю; и тогда для удовлетворенія уравненію (Ь) по-
лучимЪ уравненія (V, ~о (П) “ о ; по сг му положивъ что
при началѣ интеграла у ~к, изЪ уравненія (П)^о, т. е.
изЪ уравненія Р — • • • • —- О при ® == / и У —
получимЪ (рі — О, т. е. /*—а —О, и а.~/’г изЪ урав-
ненія же (V) — о, т. е, изЪ ур< зненія (у — тѴ(і-і-рр)) ~ о
при оныхЪ величинахъ х и у найдется К — т~О9 а посему
к^ПТ, но ка .Ъ вЪ семЪ же случаѣ уравненіе
(у — ё)2 4- (х — а)2 = т т
обратится вЪ
(к — ё)2 — т т ,
или к — Е, то будетЪ & — АЧ-7И, ні. е. или ё’-О,
или ё—2/И, такЪ что вЪ семЪ случаѣ будетЪ уравненіе или
е
568
у у (г — а)2 — т т ~кк,
или
(у — 2 А)2 4- (х — а)2 ~ к к.
М іжно также положишь, чшо начальныя и конечныя варіяціи
величинѣ х и у равны меіКду собою, но варіаціи величины у
прошгву положенныя, ш. е. (у)~— [<5у_|; тогда получится
} равненіе*
[ѴЗх] — (Ѵ5х) -Ь [ПУу] — (пУу) = о ,
то есть
рП] — (V — рП рх4- ^[П]4-(П)ру = о,
слѣдователь іо
[П]Ч-(П) = О и [Ѵ]_(Ѵ) = о;
по сому положивъ, чшо при началъ величина угз_г, и при
концѣ ~ к, при ч мЪ будетЪ
Ли) — ! Гп! — . .
м/ у\т2—(/—о.у) ’ ‘і у[т.1— (§—’
далѣе
’ ?(. -+- (рН) — /“ а» и — § — а-
по сему уравненіе (П)-р[П] —О іосшавитЪ /-+-§ — 2й“О,
и +* уравненіе же [V] — (^2 — 0 доставитъ
, • тт тт ___
1 ^~*-У'(т2—(5 —а)2) •/(и.2—(/—а)2) ®
и какЪ ' — а), а по сему (§ — —а)2
будешЪ к—Іг^О, и к ~ І.
2. Пусть еще предложено будетЪ найти уоавненіе ме-
МЭл2_|-Эу2._г>. /і->-рр
— х I
была наименьшая. Здѣсь будешЪ
5бэ
— о Р—- —Ь •
Ѵ -- * X л 1 --- у*Гі +. >
по сему /ля удовлетворенія уравненію- (а) должно быть
ху^Ігр^)) = ° и /(7+ р^~х ~~ Ѵа ’
откуда найдется
= “ ’Г = Эх/-^
Пусть будетЪ X — а ЗІП. ф2, шо будетЪ
дх =. 2адф зіп. ф.соз. Ф, Ѵ-^~х — ф ,
по сему
ду йпЭф.уш. ф2,
и «
у~а(ф—зіп ф созф)ч--Ь~а > Агс. <ш? -^(ах—х.т^
-]-Ь — а Агс. зіпУ^— — осх) Ч-Ь. ,
Есшьли положимъ чшо при х~о у~<> то будетЪ Ь~о, и
у — а. Агс. зіп. — у'(ах — хх).
ПоложимЪ а~2&і то будетЪ
у~а.2 Агс зіп.у/^а~У(2ѵг-хх)-а.Агс.зіпХ^^^-}/(2ах-хх)
— а. Агс.зіп. ѵег ~ — V(2а.г — хх).
Пусть Ьулхп'Ъ х~ га — і. то ^уд шЪ
у — 2а?г — а.Агс зіп. ѵег. -У(2аі — Н).
ПоложимЪ потомЪ, что у~ 2атг — ц} (І 0 будетЪ
и " а Агс. зіп. тсг. -г ) (2аі — іі),
которое уравненіе еса'іь еамое простѣйшее. Чшо принадле-
житъ до удовлетворенія уравн-тн (Ъ , то для сего можно
положишь варіапіи ве^ичич! х и у . какі началу шакЪ и
концу интеграла соошвѣшсшв^ющія, равными нулю.
570 сягвя
3. Положивъ что величина г есть неопредѣленная функ-
(Эх» / /^г\
ЭХ/ — г и 'Эу' — г7» пусть
требуется опредѣлить оную функцію 2, дабы величина
/8.дхЭу]/( 1 4- х^ -н х/) ,
'х.
взятая меж іу извѣстными предѣлами, была постоянная, ве-
личина же /З.гЭхЭу взятая между гаѣмиже предѣлами была
наименьшая.
Поелику варіаціи обѣихЪ сихЪ величинЪ при предѣлахъ
должны обратиться вЪ нуль, іѣо при неопредѣленныхъ вели-
чинахъ х и у быть должно
5/8.2 ЭхЭу — т/8.ЭхЭу/(і 4- х/2 4- х/) , ~
Слѣдовательно
/8.Эх Эу.о (х — Жі/( 1 + X* 4~ 2?)) ~ О.
Естьли сличцмЪ сію функцію сЪ трактованною вЪфгбя,
то будетЪ ’ _
V ~ X — іи/(1 + х'2 4- X ") ,
по сему
1Ѵ1 1 ’ — -/(і і- а'а -у- г,а)-л У(і 9
Р —О, Рх~ О, Р —О, и такЪ далѣе.
Слѣдовательно во первыхЪ уравненіе (а) т. е.
ѵг „ ... —52'гХ/-
«ли і+п5 .
О
доставитъ опредѣленіе величины г чрезЪ х и у , потребное
Д-»я удовлетвори нія су*цгіосиіи вопроса. ПотомЪ уравненіе
(Ь) или Кх~о, ш. е. уравненіе г/—О покажешЪ отношеніе
Жьжду сими величинами х, у и я соотвѣтственно предѣламъ
571
вел.ччимЪ у разсчатрига мыхЪ по длинѣ величигы х; послѣ
чего уравненіе (с) или Ысіго, іпо есть уравненіе г — о, пря-
на іле-мшь будешь кЪ предѣламъ велдчинЪ х пс длинѣ вели-
чины у.
Уравненіе (а) собственно здѣсь будетЪ
коего полный интегралЪ разЪискать трудно; но частнымЬ
образомъ ему удовлетворяетъ уравненіе
хх + хх 4- уу — ^тт, или х — V4т2 — х2 — у2.
Чіпожь принадлежитъ до предѣловъ, шо уравненіе г^ —о
(дг\__ _ ,
д;— О доставитъ х — фх; уравненіе же г ~о или
(ал) —О доставляетъ х~б.у; кои величины х впрочемъ ни-
чего вЪ разсужденіи сихЪ предѣловъ не опредѣляютъ, и ня
оной частный случай будетЪ
ф.Х — /(/1/1---.хх) и б.у = /(АЛ — уу).
КОНЕЦЪ