-
аль ли.р

CnJ 1ъ
НАЧАЛЬНЫЙ OCHQBAHIfl
ЧИСТОЙ МАОЕМАТИКИ
'’сочиненныя л
НИК О Л а4 ЙЪ ФУ с с о м ъ.
Ч И
ЧАСТ Ь Ш.
«К $
Г	содержащая;
с 1 '
I)	При.южсше Алгебры къ Геомешрш,
2)	Плоскую Тригонометр1ю,
3)	Коническая С-Ьчен1я,-и
4)	Основания Дифферснц1альнаго и интегральна го изчислешя.
/
ПЗДАННЫЯ ОТЪ ГЛАВНАГО ПРАВЛЕШЯ учидпщь.
С АНКТПЕ ТЕРБуРГЪ,
ВЪ ТИПОГРАфЩ ДЕПАРТАМЕНТА НАРОДНАГО
ПРОСЕТЧЦЕШЯ.
1да5.
U3ETFCAV.-.
НАЧАЛЬНЫЙ ОСЧОВлШЯ
ЧИСТОЙ МА0ЕМАТИКИ.
f	* .
ЧАСТЬ III.
ОТД'ЬЛЕНГЕ I.
» Приложение Алгебры къ ГсоТиешрш.
0ГЛАВЛЕН1Е.
ОТДЪЛЕШЕ ПЕРВОЕ.
Приложение Алгебры кЪ Геометрт. г
Сптр.
Дл. I. О разрЪигснш геокептрическихъ вопросовъ, ведущихъ къ урав-нешямъ первой степени. .	. у
—	II. О разрЪшен1и геометприческихъ вопросовъ, ведущихъ къ урав-цешнмъ второй степени. .	. зу
«г- III. О разрЪтеши геометрическнхъ вопросовъ , ведущихъ къ уравне-Н1ямъ третьей степени. .	. 5о
—	IV. О разрешен)и геомстрическихъво-просовъ, ведущихъ къ уравцен:-ямъ четвертой степени t i бД
II	О Г Л Л В Л Е II I Е.	'
С inp.
ОТДЕЛЕНIE ВТОРОЕ
Плоская Тригонометрия.
л. I. ОпредЪлсш'я и предварительным ИЗЪЯсНСШЯ........................85
-- II. О ПрОИЗКОЖДСШИ и свойсшвахъ шри-
Юномстрическихълюйй ... 88 — III. О употреблении шригоночетричес-кихъ лшпй при шреугольникахъ д8 —- IV. О разрЪшещи шреугольмпковъ. . ил| —• V. О употреблении изложенныхъ выше правилъ , при разрЪшен.и в1>-которы.ь вопросовъ до практи- ’’ ческой Геомешри! относящихся и5 — VI. Дальнейшее изслФдоваше шриго-нометприческихъ формулъ .	. i3i
—	VII. Приложение предъидущихъ фор-мулъкъ plimeHiJo геомешрическихь вопросовъ. . . .	, 144
—	VIII. О риштой чравнешй третьей степени посредсшвомъ Тригоно-j’.empi'i........................iGa
ОТДЕЛЕ II IE Г Р Е Т I Е.
Т.оинческ'т г'Ьчен'.я.
Гл. I. О разчичпыхъ образаль разеЪкашь к о н v с ъ 'нас скос ini ю.....’77
О Г Л А В Л Е II I Е.	Ill
Сшр.
Гл. II. О кривыхълишяхъ вообще . . 179
— III. О кругЪ .	..............i8j
•— IV. О еллппспсЪ. . . . . . . 187
— V. О парабол!*....................2Г>
— VI. О гипербол!)* ...... 2?8 /
ОТДЪЛЕПГЕ ЧЕТВЕРТОЕ-
*
Осиоваи1л дифференциального и Hiirric гр а Ли?
наго изчкслелля.
У
Гл. I. ОпредЪлен1я и ппедварийтельныя изъяснешя............................249
— II. О сысканш дифференцшаловъ ал-гебраических1!!) ф^нкцшй. .	.	. аэб
— III. О- сыскивавши дифференцшаловъ шравсцсндентныхъфункфй .	. 264
— IV. Приложекше сихъ на-чалъ къ кри-ВЫМЪ ЛШПЯМЪ .........................278
— V. С дпфферепцшалахь высшихъ степеней .............................  280
-—VI. О точкахъ перегиба и возврата . 28З
-—VII. О величина! 1. иаибрльшихъ и пай-мсныпихъ.............................287
»
IV	О ГЛ А В Л E H I Е.
Сшр,
Гл. VIII. Объ ннптегралахъ вообще. . ; Зо8 — IX. О сыскиванхи иншеграловъ слож-ныи дифференщальныхъ форму лъ ..........................312
— X. О сыскиванш иншеграловъ слож-ныхъ дифференщальныхъ функций посредствомъ преобразования 3x8
— XI. Приложение интегральнаго изчи-сленхя къ сыскивашю длины крн-выхъ лин1й..........................ЗаС
— XII. Приложение интегральнаго взчи-слеш’я къ сыскиванхю квадратуры кривыхъ линхй.......................33g
-—XIII. Приложеше интегральнаго начисления къ сыскивахпю поверхностей и площинъ т'Влъ вращешя 345 XIV. Приложение- интегральнаго изчи-слен!я къ вопросамъ гпакъ называемого обратиаго способа тан-генсовъ	35а
ПРПЛ0ЖЕН1Е АЛГЕБРЫ къ ГЕОМЕТРШ.
I Ъ первой части сихъ Оснований чистой Математики мы видели, что когда при разрешен»! какого нибудь алгеб-раическаго вопроса достигнемъ къ приведении онаго въ уравнеше, тогда главная трудность уже преодолена бываешь, потому что рЪшенхе алгебраическаго уравнения после сего не можешь более останавливать пгБхъ, которые хорошо уразумели правила изложенный въ первой части сего курса. Точно тоже должно быть и въ вопросахъ геометриче-скихъ; коль скоро достигнемъ къ приведение ихъ въ уравнеше, то прочее не сосшавляетъ уже никакой трудности для тЬхъ, которое умЪюшъ разрешать алгебрапческ1я уравнения:
Правило, по которому поступать должно, чтобы достигнуть къ уравнение, есть тоже самое, которое и показано было въ §§ 276 — 282 Алгебры, но чтобы быть въ состоянии приводишь
( б )
вЪ уравнения геомептрпческгя вопросы, in о не довольно имЬть въ свЪжей памяти всБ геометрическая свойства, могупря руководствовать къ составлению рав-ненш, но должно еще умЪшь сдЪлать вы-боръ въ количесшвахъ равномЬрно могу-щихъ заменять мЬсто данныхъ и неиз-вЬсшныхъ; ибо единственно ошъ сего болЬе или менЬе благоуспЪшнаго выбора Завпситъ простота, а иногда даже и успЪхи въ разрЬшеши.
ЗдЪсь не возможно предложить об-щихъ правилъ для сего выбора; вмЪсшо ихъ должно имЪшь особенную предусмотрительность, которая снискивается только великимъ навыкомъ въразрЬше-1пи геометрическихъ вопросовъ. СлЪду-юире примеры могупп» мало по малу способствовать къ пртобрЪтешю сей предусмотрительности. Мы начнемъ съ вопросовъ в едущихъкъуравнешямъ первой степени, ошъ кошорыхъ перейдемъ къ вопросамъ второй степени; a cin облегчать разрЬшеше вопросъ третьей п наконецъ четвертой степени
ГЛАВА I. _
О разрешении геометригескмяЪ вопро-сосЪ, всдуцлухЬ кЪ уравнешпмЪ первой степени.
ВОПРОС! I.
£. I-
На дгаметрЪ АВ даннаг о полукруга по- Черт. ставить перпендикулярную лингю DE такЪ, чтобы DE была кЪ AD вЪ данномЪ отношены n: I.
Р Ъ Ш Е Н Г Е.
Пусть АВ=:л и ADrr.r; будешь BD “ а—х и DE’ ~ х (а— х) (Геом. § ig4)* Но DE~k. AD, по положена, слЪдовательно DE1 — ппхх. И такъ ппхх ~ х { а —х)} откуда получится AD ~х~
ВОПРОС! 2.
S. 2.
На д 'шметр'Ь АВ данного полукруга АСВ Черт. поставить перпендикулярную лтйю НЕ, - 1’ которая пересекла бы данную хорду АС eb точкЪ F такЪ, чтобы была часть оной AF кЪ АС вЪ данномЪ отношен'ш 1 :а.
( 8 )
Р Ь 14 Е Н Т Е.
Пусть АВ~<7, АС~6 и Af)“x; проведя хорду ВС, будешь А АСВс\э AADF, откуда произойдешь АВ : АС — AF : AD (Гео i. £ 186). И гпакъ будешь AF — aI — а\ Но AF = *, по положению , слЪдовашельно ~ * и
вопросъ 3.
S- 3.
Нерш, ЕЬ данномЪ полукруг^ АСВ составить х> тпреугольнпкЬ, коего сторона АС была бы кЪ сторон!) ВС в'Ъ данномЪ отношены i : п.
Р Ъ Ш Е Н I Е.
Пусть С вершина иекомаго треугольника. Изъ сей точки опусгпимъ на Д1аметръ пор-педпикулярную лин!ю CG, и положишь АВ~а и AG ~х\ поелику
АС = AG . АВ ~ ах и	}	» х
BG • — BG . АВ = а {а— х) > ( Геом- S г92 ) и прлшомь ВС’“«и АС’ по положенно, то будешь а(а—х) ппах, откуда получишь
I
( 9 )
Вопросе 4
§• 4-
2?7> данномЪ полукру'Ъ ADB описать 'fePm-другой AFE, касоюшШся кЪ первому вЪ точкЪ А и пепесИкаюр. йся сЪ радгусомЪ CD вЪ точкЪ F такЪ, что бы часть онаго DF была кЪ CD вЪ данномЪ отношен'м i : п.
Р Ъ Ш Е Н I Е.
Пусть ЛВ ~ а и АЕ ~ л-; будешь АС ~ CD ~ а и СЕ ~ х — ~ а, и посему Ст — СА . CErz^rt (х—^а) (Геом. $ -92)- Но CF = CD — DF — \а ( I—г’) следовательно CF3 — • <?а i—7 Н- 77 3* и П0 cPaBHeHiH двухъ величинънайденныхъдляСГ, получится cie уравнеше:
(•*’ ~ =«) = \аа ( 1 “ V + ^77’ изъ коего ииФемь х “ 'а С э — <4-— •
х	п » till J
Вопросе 5.
§• 5.
ВЪ данномЪ полукруг'Ъ ADB описать Черт. другой АЕС, касаюиййся кЪ первому вЪ точк1} А такЪ, что когда постановимЪ перпендикулярную CD и тротянемЪ хорду AD, то часть оной DE была бы кЪ GD вЪ дачномЪ отношен'т i : п.
( ’О )
Р Ъ Ш Е Н I Е.
Пусть АВ — а и АС ~ х; будешь ВС — а — х и следовательно CD3 ~ АС . ВС ~ х (а — а?). Но поелику СЕ # BD и AD : DE = АВ : ВС (Геом. $ 183), то будешь DE = -^£RDE—л-^; и AD’~ АВ . АС = ах ( Геом. g 192), то сделается Т)Е° — —	Цо поелику CD’rznnDE’.
(по положенно), то вопросъ приводится въ cie уравнеше:
х ( а — х ) _-------
__________________ ( ВИ — I ) которое даешь х — -——	.
Вопросъ 6.
Черт. ВЪ данномЪ полукруг! ADB описать Другой АЕС , которой касался бы кЪ первому еЪ точк!) А. и кЪ данной онаго хор-д! BD.
Р е Ш Е Н I Е.
Пусть АВ ~ af BD “би радгусъ искомаго полукруга АО “я?. Поелику ZADB прямой (Геом. g i56), равно какъ и ZOEB (Геом. § 147), то будешь ABAD со Д ВСЕ, и посему AD : ОЕ~АВ : ОВ, следовательно будешь ОЕ. АВ ~ AD . ОВ. Ио AD zzz аа — bb (Геом*
( В * * 11 )
S 342 и ОТ» — a — x, чего ради ax — {a— a?) ]/ aa — bb , ОШКуда ПОЛуЧИМЪ X ~ аУ~аа—ЪЬ
Л -f- ) aa—bb
Вопросъ 7.
S- 7-
ИзЪ вершины пряма?о угла С треуголъ-Че?™-пика АВС опнсанЪ кругЪ, коего радгусЪ есть большой катетЪ СВ; найти продолжена: AD гипотенузы ВА.
Р Ъ Ш Е П I Е.
Протяни кашепгь ЕС до окружности Е и проведи хорду DE ; поелику А ВАС CV> A BED и ВС t BA ~ BD : BE, то бу'детъ BD — вс. bl и положишь СВ ~ а, ВА ~Ь и AD ~ ху получишь BD — Ъ -}- х ~ и следовательно аал — ЪЪ
В о п р’о с ъ 8.
§• 8.
ВЪ четыреуголънккЪ ABCD, вЬ кругЪ еписанномЪ, даны противолежащая стороны АВ и CD сЪ продолжешемЪ двухЪ прочихЪ сторонЬ до точки взаимного ихЪ
пресЪчешя О; найти стороны AD и ВС.
( 13 )
Р Ъ Ш E H I Е.
Пусть АВ ~ а, CD — by DO —f, СО rz д', AD ~ х и ВС = у; поелику
АВ i CDzrAO . СО (Геом. § 186), и АО : ВО ~ СО : DO ( Геом. § 1у6),шо будешь
г ). а^~Ь (/+ х)
— д' (д'Ч-/)
Изъ перваго jpaBneuia получимъ
./ 4“ х ~	и слЪдовашельно будешь
ае г ______ ев
В о п Р о с ъ д.
S- 9-
Черт На катет?) АВ данного прямоугольного 7* треугольника АВС описать полукругЪ VEF такЬ , что ежели пзЪ точки Е, гд'1> оный гипотенузу АС пересЪкаетЪ до вершины прямого угла В проведется лнн1я ЕВ, то оная касаласл бы кЪ полукругу в'Ь.точк'Ь Е.
Р В Ш Е и I Е.
Положить АВ — а, ВС = Ь и AF ~ х". будешь ( Геом. § 197 )
BEJ — BF . ВА = а ( а — х ). Но ZBEC = А 900 —Z.BEF; дВСЕг=до° — В АЕ и ZBAE-Z.BFF (Геом.	т53 , 169), слФдовагпельно
ZBEC —ZBCE и BE~BCzr6. И шакъ мы
( *3 )
будемъ им^шь tie уравнеше: Л6~а(а— х), _	__ аа —ЪЪ
изъ коего выйдешь х ~----
а	i
Бопросъ ю §• хо. •
ОппсаиЪ полукругЪ EDB, который кд-Черш. т	8,
сается ко гипотенуз» прлмоугольнаго треугольника АВС вЪ точке D и кЪ катету онаго ВС бЪ точке В; по данныыЬ 0D н ВС найти АЕ.
Р Ф Ш Е Н I Е.
Пусть 0D ~ a, CD — 1> и АЕ ~ х будешь такъже СВ — Ь (Геом. § *58); но поечпку ADl — АЕ . АВ (Геом. § 197 ) и пригтомъ AD : DO =АВ : ВС или AD =	шо
вс »  произойдешь
AD* — х ( л + 2а ) ~	+	.
'	*	'	Ь» ’
и следовательно х ~т——
ЬЪ —аа
В о просъ ;i.
S- XI.
> даннымЪ сторонамЪ четпыреуголъ-Черт, иико 'BCD, вЪ кругЪ вписаннаго, найти Ь' т<т>.у и. в7, которой протпвол'ежаиря ст гочы AD и ВС, будучи продолжены, ззпнмно пресекаются.
Чергп.
8.
G )'
Р В Щ Е Н I Е, , —
Пусть АВ “ а, ВС ~ b, CD ^.с, РА — DO — х и СО — у ; поелику
АВ : CD — АО : СО (Геом. § 186) и АО : ВО ~ СО : DO ( Геом. § iy6) шо мы получимь cin два уравиеюч
1) ау ~ с (d 4- х)
2) х (с? 4-а?) 4- у (Ь 4- у}.
Нзъ перваго имФемь d-\- х — "-, т»	аУ (а.У — °Ь )	/ » .
Изъ втораго--—------ ~ у (Ь 4- г) полу-
е ( Ъо -t- ad}	с { а) 4- •/ .
чимъ г =: ---- п паконецъ х ~ —-———).
аа — сс	аа — С£
Вопросъ 12.
S 12‘
1ЛзЬ данной точки А, на продолжении д1аметра> BE данного полукруга взя'пой , проведена касательная лпн1я ADC, и вЪ кон fit) д/аметра В поставлена перпендикулярная ВС, касательную пересЬкающая вЪ точкЪ С ; определить ВС или DC.
Р Ь Ш Е Н I Е.
Пусть АЕ — а} DO — Ъ и ВС — х-, поелику ADJ ~ АЕ . АВ л (л4~ 26) (Геом. § J97) и пришомь AD : DO - АВ : ВС (Геом. § 186), то есть 1/af «4"2^):	« 4"	; х, шо будешь
»=да5-‘и—
< »5 )
Вопросъ i3.
§• «3.
По даннымЪ радгусамЪ и положенью Нерш. двухЪ круговЪ найти точку А, бЪ кшо-рой касательная кЪ обоим!) кругамЪ и. прямая чрезЪ центры оныхЪ проходящая, взаимно пересекаются.
Р t Ш Е Н I Е.
Изъ пточекъ прикосновешя С и Е къ цен-тпрамъ В и F проведи радиусы CD и EF, и пусть CD ~а и EF = Ь, а разстояше цен-тровъ DF ~ с и ADxzx; поелику AADCtV) Z\AEF (Геом. £ 15^), и следовательно AD: DC XI AF : FE, то есть х : а = х с : b, то будетъ Ьх = ах -J- ис и х ZZ - *2
Вопросъ j4-§ »4-
На катете АВ данного прямоугольного Черт, треугольника АВС описать пол^кругЪ) чрез'Ь вершину угла А проходящей, тпакЪ, что ежели нчЪ угла С проведется касательная лишя CD, то оная была бы данной величины.
Р В Ш Е Н I Е.
Пусть АВ — л, ВС = b, CD ~ с и AF—х; будетъ CD’ = сс = СА . СЕ (Геом. § 197. н
( *6 )
AC = V aa-^-bb (1еом. § 242). Ho AF : AE== AC : AB, fr©OM. § 196 , mo естьАЕ~-5-'-^-» _ и CE = AC — AZ — V~aa 4- bb — "V aa -f- 66 ar
F7",'+7^' по^емУ CD" — cc = aa -\-bb — ax, 4,	aa 4- hb — cc
изъ чего произойдешь ос —-------*.
Вопросъ i5
S i5.
4(pm. Иа  ад1усЬ CA даннаги круга составить прямоугольный треугольникЬ ВС, такЪ чтобы проведенная чрезЪ точку Г, вЪ которой гипотенуза кругЪ пересбкоетЪ, касательная лишя DE была данной величины.
Р Ф Ш Е н т Е.
Пусть АС ~ cz, DE — b и BE — х ; будешь АВ Ь + х и BD — }/хх — bb (Т еом: § М2)* Но BD : DE =. Вд : АС, илг DE - В-£
’	в\ *
то есть Ь—-^-—и —bb ~ х -4г b . Iх х — Ь, слФдственно Ъ —
~ Изъ сего уравцешя пол^ чится х — v i +
Ъ ( an + "by __
аа — bb *
В о п р
О С Ъ 16.
с
16
Пл дачному прямоугольному 'треуголъ-Чурт. нмку АВС опречТинть нентрЪ круга О, касаю1члгося кЪ катету АВ м пресЪкаюшаго щпотеиузу АС вЪ точкЪ В , такЪ что елп чрезЪ D проведется касательная , к чрезЪ Е « нснтрЪ прямая L0, та
£ы часть оной ЕР Ьъ'ла данной величины-
Р Ъ m Е Н I
Пусть О искомой петппъ, и положимъ, что АВ — а, ВС — b, EF ~ с и АО zz .т; поелику ААЕОооЛВСА, иго будешь АЕ:АО zz ВС: АВ, то есть АЕ — —~ Н% поелику AAFEcvAABC, и А.Е : EF ~ АС;ВС, 2-	Г’ТЧ - ВС АЕ	__ ЛЛж
будешь Ы1 — —

пто есть	т^гг,
“	аУ ( аа + Ы) ,
ас V г. « -J- /’А
Х~-------;7---•	*
CD X
о л туда получится
4-
В о п
Р О С Ъ IJ.
S ’7-
ИзЪ вершины С треугольника АВС, коего черт. стороны даны, опушена га АВ перпендп- 13, кулярная	CD, найти А1).
।	'ввуйм**• виллп.
М
р ф Ш Е Н 1 Е.
Пусть АВ = а, ВС — Л, АС — с и AD ~ а?; будешь BD — а— х. По послпку CD’~ АС — AD2 —ВС3 —BD’ (Геом. § М2), шо ПР°_ изойдетъ cie уравнение : сс — хх — bb
Со -J- sc —ЪЪ {а — а?)2, которое даешь х~ ——-•
Вопроса» 18.
S- i8.
Черт	АапкоЛ1^> основании АВ составить
12. треугольнпкЪ АСВ данной высоты , такЪ чтобы разность квадратовЪ двухЪ про-чнхЪ стороиЪ была данной величины.
Р Ъ Ш Е Н I Е.
Пусть АВ ~ a, CD ~ b, AD ~ х и ВС’ — АС’ ~ сс ; будешь BD ~ а — х, ВС’ ~ BD* + CD3 =: (а — х)Л -4- bb и АС’=А1)г 4-CD’ ~хх-\-ЬЬ (Геом. § з4г)» слФдовэшельно ВС’ — АС3 ~ сс — аа — "лах, откуда прои-аа — сг зоидепгъ х ~	.
Вопроса» 19.
S- 19-
Черт. По даниымЪ периметру и площади 12- прямоугольного треугольника найти гипотенузу.
( «9 )
Р Ь ш Е Н I Е.
Иумпь АВС прямо) голыши шреугольнйкъ, коею перммешръ АВ 4- АС -|~ ВС ~ а, площадь |АВ . CD ~ bb, гипотенуза АВ~х, и катетъ АС~у; будешь ВС ~ \/ [хх—jy) (Геом. § при шомъ
1) х у -1- У хх—уу — а
2) V' хх—JY — bb.
Изъ 2го уравнения нроизходишь хх—)У — •л',Ь
— , елЪдоватслыю ю сделается х~1~у-^-
— а, шо есть
Z уу — ау— ху— abb.
По первое даешь шакъ же
V хх —у у — а — х —у, чего ради взлвъ квадраты, получимъ уу — ах 4~ aj — ху — \аа :
и сравнивая двЪ величины найденный, для JXi будемь им’Ьшь
,	7.'5
X— -а------. ,
J	а
' В О П Р О С Ь 20.
$.	20.
По данпымЪ вЪ пулмоуголъномЪ уголънпк1> АСВ перпендикулярной лишн, 12* нзЪ вершины прямаго угла С на гнпоте-^‘У^У АВ опущенной, it сулгм£ сторон'Ь, найлпи гипотенузу
( 20 )
Р Ф Ш E H I Е.
Пусть AB-f-AC-J-BC~& и CD—Zz, при шомъ положимъ, чшо АВ—х и ВС—АС—/; будешь BG-рЛС—гг—х, ВС—— и АС = —, 4
слФдоватпсльно
ВС’ -J- АС’ — хх —	\
шо есть уу ~ хх~ зах— аа. Ио ДАВСсо ACBD и АВ . АС — ВС : CD, или CD . АВ — АС . ВС, то есть
Ьх ~ (; почему произойдешь уу~ аа — зах — ^Ьх 4“ хх, и сравнивая двФ величины пайдениыя для уу , получится аа пг - . ---
2 (а -г- г)
ДРУГОЕ Р Ф Ш Е Н I Е.
ЗдФсь не безнолезпо будешь показать, какимъ образомъ иногда рФшетя сократишь можно. Поелику ВС 4“ АС — а — хч то, но взяпйи квадратовъ, будешь ВС’Ц-зВС.АС -[-АС1 ~аа — зах-^-Ях, и по ошняппи ошъ сего уравнения
ВС’ 4“ АС’ ~ АВ* — хх, останется
зВС . АС — аа—зах.
Ио зВС.АС — aAB.CD — зЬх Геом. (§ з-5), следовательно будетъ зЬх ~ аа — зах и ла ~	2	"t" b)9
( 31	)
Вопросъ зт.
21.
Найти рентрЪ круга, который бы ка-Чврт. солея кЪ данной лкпт АВ вЪ точнЁ С, и проходнлЪ чрезЪ данную точку D.
Р Ъ Ш Е Н I Е.
Пзъ тпочки С поставь на АВ перпендикулярную линпо СО и чрезъ точку D проведи до АВ, параллельную той перпендикулярной, ЛИП1Ю DE. ITyeqib О искомый центръ, СЕ ~ «, ED“Z> и OC~OD~j?; будетъ DF — — х и OD’“OF-f-DE* ( Геом. § з4'), то есть хх ~ а а -|- (&— л*)’, откуда получится „__сс -Ь ъъ
xzn -—.
Вопросъ 22.
S' 32.
На кончу А дтаме пра данного полукруга Мерт. поставлена перпендикулярная лишя дан- Ц« ной величины AD, и чрез!* I) проведена касательная DE изЪ пентра же С проведены CD и СЕ и .т-о/?даАЕ; найти площадь треугольника АСЕ.
Р £ III Е Н I Е.
Пусть АВ~2л, AD~/> и АЕ~2.г; будетъ АС~л, AF — х. Но ДАСГсоЛВС! и AC':AF ~DC: DA, то есть
( 22 )
4 v - - D-A	nA
11 --DC- -
и сверхъ того CF : AG — AC : CD (Геом. S *93), ino есть CF —	“ - —=,
сл’Ьдовапгельно площадь nipej ильника АСЕ будешь — AF . CF —	.
no -f- bb
В о п p о с ъ зЗ.
§. зЗ.
1ерт. На перпеидикулярномЪ кЬ диаметру АВ l$’ радусЪ CD даннаго полукруга ADB опнсанЪ кругЪ; сыскать рад'.усЪ круга, который каса тел бы кЪ обонмЪ кругамЪ п кЪ д1а~ метру АВ большого полукруга.
Г Ь-Ш Е II I Е.
Пусть О петпрь искомаю круга. Изъ онаго проведи къ центрамъ дапныхъ круговъ С и Е прямы» ОС и ОЕ, и па д!аметры АВ и CD онусптп перпендикулярный OF и 01. Проведи СО до прикосновения Н. Положи СЕ~ а, и 01 ~ ОН —гг; будешь EF — а—-х и ЕО~а-]-х, с.тЬдовашельпо F0’ — ЕО’— EF1 — 4 '7Х> п посему СО — |/ OF2 -|~ CF’ — I/ 4ах -J- хх. Ио СО гз СН — ОН — за — х > елЪд о в а ш ел ьн о
4 /л,4~алг — 2Л — •г,
или взявъ квадраты съ об'Ьихъ сторонъ, f\'ix-\~xx ~ \аа — 1\<лх 4“ хх, откуда имБемъ х ~ \а.
В О П Р О С Ъ. з4-
м-
На дгаметрЪ DC данного полукругаВС>С Черт. *	•>	16»
описаны два полукруга касаюппеся во точкЪ F; сыскать рад1усЪ круга, который бы касался кЪ трсмЪ даннымЪ кругамЪ.
Р Ъ ш Е н I Е.
П^сть О цепшръ искомаго круга. Соедини ciio точку съ центрами данныхъ круговъ литами ОА, ОВ, ОЕ, и последнюю протяни доС. Положи рад;усы AD~a, ВС~6, ED~« 4~ Ь — с и ОС — х; будетъ АО ~ а х, BO — fr-f-x, ЕО~с— x — a-j-i — х. Пзъ О опусти на DG перпедник^лярную 01, и положи AI ~ у; будетъ BI zz. АВ — AI ~ а -J-6—у и Е1~ЛЕ—AI— Ь—у, следовательно
I. 01~А0’ — А1’“(а-|-х)®—уу
П. О1=В0* —ВГ = (6-Ь□;)* — («-р—j)’ III. ОГ—ЕО® — ЕР = ( cl + b — х' — ( b — у)3
Изъ I и III имЪемъ у ~ S-g-+?)3:~а6.
Пзъ II и Ш имЪемъ
Сравнивая е!и двЪ величины наидеиныя для^ ИОЛуЧИМЬ о7 (л 4-1;	____ abe
• -JP —>-------------___ ----— в
аа т- at -f- bb an + ba
В о if p о с ъ *г5.
§~ 2.5.
•ffpm. По даннымЪ тремЪ сторонамЪ треуголь-,2' ника сыскать площадь его.
Р Ъ Ш Е Н I Е.
Пусть стороны АВ~а, BC~Z>, АС~с и искомая площадь ~S. II ежели изъ вершины угла С на АВ оп\стимъ перпендикулярную СЗ, то изъ § 1*] мы знаемЪ, что AD ~ аа 4- со — bb	_	__ г
---~, и пришомъ извьсшпо, что = | АВ . CD (Геоч. £ ?'>5). Но CDzrAC’— AD’ ~(AC‘-j-AD) (AG —AD);
Д Г I _____(" 4-c)* 77._ (Л +	{, +<-/-)
la	Sa
f'' - ’<’ — <•>’_ (7>4л— (I c + < j
*ла	aa	?
елТ>дивагп(‘Льно будешь
qcj   (л4-Ь + с)(в + 6 — с) (<?•+ с —	—a)
^аа
--- I y-f frr) (о -к Л — г) (Д + с
и S~|V (rz-|"^4"c)	—c)(rt-f*c—^)(^4"c—я)
или, полагая для краткости a-f-A-j- с~ будешь Szi_f/A (£— с) (А — Ь) (А—а}.
(. )
ВоПРОСЪзб.
§.	20.
ПоданньшЬ тремЪ сторонамЪ и площади Черт. треугольника сыскать радусЪ круга, вЪ оной'Ъ вписанного.
Р Ъ Ш Е Н Г Е.
Пусть стороны треугольника АВ ~ а, ВС ~ Ъ, СА ~ с, площадь ЛАВС ~ S и искомой ради с.ъ 0D ~ ОЕ — OF = х, будешь
Площад. АЛОВ ' ах 1
-----ЛЕСС —(Геом. § эз5)
-----ЛССА=с|сл
следовательно S —	(а-|-£>-|-с) х, и такъ
2J МЫ ПОЛГЧИМЪ X— ---т~.
-	С 4- 4-с
В О П Р О С Ъ 27.
£• 27-
По даннымЪ mpetib сторонамЪ тре- чР( П1. угольника и площади его опр едБлито i3-радусЪ круга, около сего треугольника онисаинаго.
Р Ъ Ш Е Н I £.
Hj ^тъ стороны треугольника АВ -a,BCzzi, СЛ— с, ради съ кр^га около его оппсаннаго ОВ=ОСх=л?, и данная площадь =r S. Изъ С опусти на АВ, и изд> центра О на ВС перпендикулярный лтпи CD и ОЕ, и будешь CD —
( 36 )
Ио /ВАС = ZBOE и AACDСЕДОВЕ, следовательно АС:CD = ОВ;BE, откуда получится /ЛТ)	af>c
ОБ=~сБ-, шо есть х = -&-
Вопросъ 28.
с. 28.
Черт. jjo данным?, гипотенуз^ и сумме сто-ронЪ прямоугольного треугольника определить перпендикулярную линйо изЪ вершины прямого угла опушенную.
Р е Ш Е И I Е.
Пусть АВ АС 4~ ВС = а, АВ =6, и CD = ас; будетъ ВС 4- АС = а — Ь, следовательно ( ВС АС )’ — [а — by, то есть
ВС’ 4- 2ВС . АС 4- АС’ == аа — заЬ 4> ЪЪ Но ВС’ 4- АС’ = АВ3 = ЬЪ, следовательно, вычтя последнее уравнете жзъ иерваго, получится зВС . АС = аа — ъаЪ.
Но 2ВС . АС Г--2ЛВ . CD, следовательно
аба? = аа — 2аЬ , вткуда найдется
— 2<зЛ
эА *
Я =.
( 27 )
Г ЛАВА II,
О разрЪшеюи гсометригескпхЬ вопросов!) ведуи^нхЪ кЪ уравнешлмЬ второй степени.
Вопрос ъ i.
§• -9-
ВЪ данном!) полукругЪ АСВ составить Черт. треугольник!) у вЪ котором!), по продол- 9 jkchui стороны АС и перпендикулярной BD до точки взаимного ихЪ прес'Ъчешл, треугольник!) CBD былЪ бы кЪ треуго гънпку » АВС вЪ данном!) отношенья i:n.
1» Ь Ш Е Н I Е.
Поелику треугольники АВС и DBC им1>— тотъ равную высоту ВС , то будетъ ACBD : ЛАВС = т: п ~ CD : АС (Геом. § 217), сл'Ьдовательио AG“n. CD. Пусть АВ ~ а и ВС~.т, будетъ АС ~ {/ аа—хх. Но АС : ВС ~ ВС : CD ( Геом. § 192 ), то есть CD — — хх— , следовательно АС —
АС Vaa-xx ’
л---------	пхх
уаа — жх ~ п CD = у откуда произойдешь уравнеп1е
аа — хх ~ пхх ,' которое даешь л —-—.
V п + 1
( )
1> О И Р О С Ъ 2.
§• Зо.
Hep™, Два полукруга ADB и AEG взаимно касаются вЪ общемЪ концЪ 1 ихЪ дгамет-ровЪ, а изЪ другаго концу В дшметра АВ проведена хорда BD касающаяся до малого полукруга вЪ точкЬ Е, по симЪ услов1ямЪ н по даннымЪ BE и DE найти диаметры АВ н АС.
Р Ъ Ш Е Н I JE.
Пусть BEzz:<7, DE~6, АВ~2гг п АСшзу; поелику BE : DE ~ ВО : АО , то есть а : Ь ~2х—у у, то будешь у — -^. Но BE ~ ВС . ВА (Геом. § 197)5 шо есть аа~2х (ах — гу), слЪдовашельно
a.; tr+b	__ аЪ
откуда мы получнмъ х— у	и у—
в О п Р и с ъ 3.
S- 3i.
’Тгрш. Дея. данные полукруга 1DB и AEG каса-20‘ ютсл el) общемЪ копцЪ А нхЪ д'юпетровЪ, провести хорду AD такЪ, чтобы был a DE кЪ ВС вЪ данномЪ onuioineimt 1 : п.
р Ъ Ш Е Н ] Е.
Пусть АВ ~ а, АС~5 и хорда CD~-r» будешь ВС ~ а b > и по положению
( 29 )
DE = — — —. Но поелику AB: ВС ~ AD: DE,
wo есть a: a — b ~j/aa— xx : DE,
,	__(a— A) Vc.a — xx_a —b
то будешь DE —------— -----— ——
откуда имЪелгь x ~ " |Z nn — I.
Вопросъ 4.
£. З2.
ВЪ треугольник^ ABC даны основанья, черт. высота и сумма двухЪ пронпхЪ стороиЪ, 12-определить разность сихЪ сторонЬ-
Р t Ш Е И I Е.
Пусть АВ — за, CD ~ Ъ , BC-J-AC—2с и ВС — АС ~ зх; будетъ ВС ~ с х и ВС — с—-х, сл^довате дыю
AD — (с — х )’ — bb,
BD — ]/ ( с х у — ЬЬ.
Но какъ AD — АВ — BD, то будешь
\/ ( с—х)я—• ЬЬ~з.а — \/ {с-^-х}2—bb.
Взявъ же квадраты, произойдешь
сс — 2сх~1~хх—bb~4aa—‘4а><
JZ	—bb-fr- cc-j- 2сх-[-хх— bb
то есть
сх-{~аа ~а[/ (c-J-x)z — bb.
Взлвъ вторично квадраты , мы получимъ ссхх-]- заасх-^- а1* ~ аасс -f- 'лаасх-\-аахх — aabb;
( Зо )
Мерят.
31.
Черт.
23.
откуда ичгЬсз1ъ
_____ аа {jaJ^bb— gc^ ССХ   ---------—'
аа — сс	*
i/aa+-bb — г,с
И X — V---------
аа — св
Вопросъ 5.
§. 33.
.Лилля AD раздИлепа на три данныл части, найти вн'Ь оной такую точку О, чтобы, по проведение лпнйе ОА, ОВ, и. ОС, 0D, углы АОВ, ВОС, COD равны были между собою.
Р 1» 1И Е Н I Е.
Пгетпь АВ~а, ВС — Ъ, СО —с иАО~х; поелику ZAOB — Z.BOC, по положенно, то будешь i) АО : СО — АВ : ВС
и 2) ВО’ — АО . СО — В V . ВС.
Для доказательства сего продолжи СО и ОВ и проведи АЕ#ОВ и AF иодъ угломъ В kF — СОЕ, до пресЬчешя опыхъ съ пхъ продол-же ними въ Е и F; будетъ ЕО:СО— АВ :ВС. Но 4.AEC = ZEOC = ZAOB и ZEAO = ZAOB (Геом. § ю8 и 109), следовательно L.ЛЕС — ZEAO и ЕО — АО. Н гпакъ будемъ имЪть (i«) АО : СО = АВ : ВС. Еошомъ, поелику AABFooAOBC и ДО iFcvAOBC, то будетъ
АВ :В1Г = ОВ : ВС и
O k; OF = ОБ : ОС.
( 3i )
елЪдовагпельно
ВО : BF = АВ . ВС и
ВО : OF = АО . СО.
И такъ получимъ
(2е) ВО (OF—BF)=BO -АО, СО—ВА.ВС.
Пзъ перваго свойства ( i ) находимъ
sysy_АО , ВС_Ья
-- АВ ----Т 9
а изъ втораго (2)
ВО = |/(ЛО .СО—ВА.ВС) — Подобнымъ образомъ, по причинЪ что ZBOC —ZDOC, имЪемъ
ВО : DO — СВ : CD и
СО1 = ВО . DO — СВ . CD, и потому будетъ
jjq_ВО . CD_с Ьхх— aab
СВ ь* а 9 bfx — cab	r  bbxx
----------be —--•
hCO’ = j.	____ .
b a	aa
Изъ ссго уравненхя, или изъ
асасх —• cv'. с — aabc — ЬЬхж
получится
» r\ _ ___ 1 у &> +be
АО ~ л ~ а --------—
' до — bb
и СО — *£=£f/f£±±. «	QC-ЬЬ
В О П Р О С 1> 6.
§. 34.
БЪ равиосторонномЪ тпреуголъннкЪ АВС черт. даны линги CD и СЕ, разд'Вляюцр.я сто- ai«
( За )
pony АВ на три раъныя части, сыскать стороны треугольника.
Р Т> Ш Е Н I Е.
-. Нзъ С на АВ опусти перпендикулярную ли<лю CF, и будетъ
СА — CF -J-AF' J
СЕ =CF’4-EF’ 4 (Геом. § 243)j следовательно
СА’ + СЕ — 2CF’4- AF’ + EF’.
По AF =(AD4-DF)’ = AD’4-aAD . DF4.DF1 n EF’ = (AD —bF)’ = AD’—aAD .DF-t-DF*, чего ради
СА 4- ГЕ’ — ?.CF* 4- aAD’ 4- aDF’, ы какъ зСГ 4-3DF’ = 2CD-, то
C\ 4- СЕ' — aAD’ 4- aCD’.
Пусть AB “ AC ~ BC ~xu CD ~ CE ~ a; будетъ AD и sc 4~, aa — Ja.'1 4* 2aa > или ,дх~аа и x~y~.
Вопросъ 7.
§. 35.
^Черт. ИзЪ вершины угла С данного треуголънп-• 2^' ка АВС опущена на АВ перпендикуляр на л лншл CD; найти на ней точку О таковую, что если изЪ оной па АС и ВС опустишь перпендикулярный ОЕ и OF, то площадь четыреуголышка СЕ OF кЪ площади треугольника АВС была бы во данномЬ от-иошен'ш I :»•
( 35 ) Р Ф Ш E H I Е.
Поелику ACDAooACEO и ACDBc\5ACFO^ Тп° будешь
СА : AD ~ СО : ЕО, СА : CD = СО : СЕ, СВ: BD —CO-.FO, СВ : CD — СО ; CF.
Пусть АВ —д, ВС~Ь и СА~ с; поелику въ треугольник^, въ кошоромъ даны стороны, такъ же извЪстны CD, AD и l>D 17 и з5 ), шо положили» AD —J BDzzg', CD — h и СО —а?, будетъ
ео_а£со_А СА с *
СО _Лх
СА с
ргч _ ВО СО _gx
w — cis — л *
Но площадь CEOF — ^СЕ . ЕО-|- ’CF . FO
—1^1 !«” и плОщадЬ ДАСВ—ZAB.CD а СС • а oD ч	г	*
~\ah\ чего ради, поелику CEOF :ACBzz 1 : п , будетъ
изъ чего пил^чимъ
__	^-Ъ СС	1 Л f а
хх-п~^^1Ь^	n-CtJ^.
3
( 34 ) вопросъ 8.
§• 36.
Черш. Сыскать сторону квадрата, сЪ кото-2о" ромЪ, если изЪ вершины угла D, рад1усомЪ
DA., опишется четверть круга АЕС, то часть BE д1агональнои лиши DB была бы данной величины.
Р Ф Ш Е Н I Е.
Положимъ искомую сторону квадрата DA. — X, и данную часть д!агонали ВЕг=а; будетъ BD ~ a х. Но BD’ ~ AD2 -}- АВ’ — ixx (Геом. § М1)» почему ахх~(ах)\ тпо есть	,
xx—iax -jf-rt/i, уравнение, которое, рЪшено будучи по правилу въ § 356 Алгебры изъясненному, даетъ искомую
.	х~ a ~Yl/2aa~а ( г-+|/а).
ВОПРОСЪ 9.
§• 37.
Черт. По данпымЪ гипотенузЪ и суммЬ кате-12* товЪ прямоугольного треугольника, сыскать оные катеты порознь.
Р Ь ш к н I Е.
Пусть АВ~а, ВС-}- АС~6 и АС~я?; будешь BG~Ь—х, следовательно, по причине что
( 35 )
АГ? — AC1 4“ ВС’ ( Геом. § а42 ) > произойдешь cie полное второй степени Уравнение :
аа ~bb —- ibx aavr, которое, решенное, по § 356 Алгебры, даешь
Ъ + V-iau — ЪЪ X ~	.
2
В о П Р О С Ъ 10.
§. 38.
По даннымЪ периметру и площади прямоугольного параллелограмма определить стороны онаго.
Р Ъ Ш Е Н I Е.
Пусть периметръ~2« и площадь”bb, и пусть одна сторона~х другая”^; будетъ
i) 2х-}-2у~за; з) xy~bb.
Паъ i) получимъ у ~ а—х, а изъ 2)j'~^> следователь но будетъ а—х~~, то есть ах—хх — bb, откуда найдется
х~ ° -Г	«д — ьь.
В О П Р О С Ъ II.
§• з9.
На продолжении диаметра BE данного Черт. полукруга EDB найти точку А такосую, чтобы проведеннал чрезЪ иную касательная АО была данной величины.
( 36 )
Р Ф Ш E H I £.
Пусть ЕВ~а, AD = 6 и ЕА~л?; будешь AE:AD~AD:AB (Геом. § 197), ,по есшЬ х: b~ b : a-j-x, или х ( a -f- х )~ bb, откуда имЪемъ хх~— ax-\-bb и
В о и р о с ъ 1з.
§. 4о.
Сыскапгъ стороны прямоугольного параллелограмма, вЪ котором'Ь даны разность сторонЪ и д'шгоналъ.
Р Ф Ш Е Н I Е.
Означивъ буквами а? и у стороны параллелограмма, разность оныхъ буквою а,' и д!агональ буквою Ь, будемъ имЪть
х—у —а или у—х — а и xx-\-yy—bb} то есть уравнеше
2хх — iaxаа~ЪЪ, изъ коего получимъ
а + V-2/i — аа
X— 1
В О П Р О С Ъ l3.
S- 41-
Черт. По данному прямому углу MAN и по а5' данной внЯ онаго точкЬ О, провести чрезЪ О лнн1ю ОВ такЪ, чтобы треугольннкЪ АВС имЯлЪ данную площадь.
Р Ь Ш Е Н I Е.
Изъ О опусти на продолженную МА пер-Пендик'ля}>1пю 0D. Пусть AD~«, D0~5 и АВ~х, и площадь ДАВС ~ сс; будешь Но 0D ; DB ~ СА: АВ, то есть °” ав /г .	.
ЬА ~ —j-g— —	f следовательно сс _ |
АС. АВ=~^Т)< или
Ьхх — 2ССХ 4” 2ДСС или же _____ 2ССХ •	2/1ГС
XX —	4-	,
о 1 b ’ откуда получимъ
х — — 1 1/	। аоев
ь п:v сЬ -г ь
ИЛИ X
b *
Вопросъ j4*
$• 42.
По данному полукругу ADB сыскапгъ Черт. центрЪ О другого АЕС, касающагося до 4-первого вЪ точкЬ А та кЪ, что если проведешь вЪ аервомЪ хорду BD касающуюся до второго вЪ точкЪ Е, то была бы £)Е кЪ А.О вЪ данномЪ отношеши i : п.
Р Ъ Ш Е И I Е.
Пусть АВ~<7 и АО~гс; будешь ВО~я—х* Но ВО:ЕО~AB:AD, или ду^ ______АВ . ЕО _ ат
*	“ во - — 7^?
( 38 )
почему
BD - /лВ-А1Г-V ааа^-аа~^ ;
(в—х)1	а — .х.	*
и какъ BD : ED гг АВ : АО , то произойдешь z АО  х  ОА . BD   xVaa— ках
п	п ' АВ	а — х
И такимъ образомъ получимъ уравнение а—х~п\/аа— zax,
которое,’ по взяпни кчадраптовъ съ обЪихъ сторонъ, сделается
хх — — з (ига — i ) ах ( пп — I ) аа , откуда найдется
х ~ — {пп— I ) а + па пп— I.
Вопросъ i5.
Черт
26.
43-
ВЪ квадратЬ ABCD проведена прямая линде EF, которая дана, равно какЪ части ЛЕ и CF протпболежагннхЪ стороиЪ; найти сторону квадрата.
Г Ь ш Е н I Е.
Положивъ EF—<7. АЕ — Ъ, CF~c и АВ~лу по причин!» что EFj zr EG’-A-FQ* и FG ~ а? — ( b + с), имЪемъ аа zz. хх (л—(^4-с))’, то есть
аа ~2хх—• 2 (« + <) х+(» + с)’,
хх = (6+с)а: + ¥-<-Ц^ я
_Л 4-с i "V^aa— (Ъ + с)1
( 39 )
Вопросъ it>.
S 44-
По даннымЪ основанью и высот!) составить треугольник!)i вЪ которомb сумма квадратовЪ ДвухЬ прочпхЪ сторокЪ была бы данной величины-
Р 'В Ш £ Н I £.
Пусть АВ~а, CD~ 6, ВС’-|-АС’“СС и AD — а?; будетъ BDz= а—ос и слТздовательно
ВС’ — bb (а—х)а или АС’~ 63ха-
II таьъ получимъ cie уравнете:
zbb -J- а а — iax ?-Хх — сс, то есть
и х ~ —=------—.
2
Вопросъ 17.
§. 45.
ИЬ полукруг'Ь ADFB даны двЪ nepneit-Апкулярныя лиши CD и EF, на д1аметрЪ 27. АВ поставленныя, и взаимное разстояше оныхЪ; найти дгаметрЪ АВ.
Р Ъ Ш Е Н I Е.
Пусть CD = a, EF~ b, СЕ=:с, AC— х и ВЕ = .у; мы будемъ им^ть
i) аа~ х (c-pj),
• ( 4° )
а) ЪЪ ~ у ( с -J- х ).
Изъ вптпраго уравнемя найдется и первое приметь сей в дъ;
аа — х £ с + J или
откуда получимъ
__ (а.--
XJp ~ ----
И X —
аа—, bb — сс
•2с
В о п р о с ъ 18.
S- 46-
Деты площадь и псрнметрЪ прямоугольного треугольника, найти стороны онаго.
Р Ъ Ш Е Н I Е.
4<рш. ГЦ'сть площадь
4J-периметръ, или
АВ . АС_аа
треугольника —— — — сумма сторопъ, AB-J- AC
ВС — с, АВ —х и АС —у\ будетъ ВС ~
I/ хх-[- уу, слТиовательно зху~аа и х-\-у 4-Ъ хх 4- ГУ— с, или с—X—у~\/ хх-\-у, Взявъ квадраты получимъ
СС--2С ( 0'4-7') 4“ 2Л1/— о.
J — 2' следовательно будетъ
сс —ас ^4- 2) 4~ аа~ о.
( 4т )
Изъ сего уравненia произойдет*
И так* будешь
• т-х	аа Ч- сс 4" a A Grace Ч- • А
АВ—х —---------—, сверхъ moiQ
АС —у “	и ВС ~ \/ хх Ч" у)'.
В о п р о с ъ 19.
*	S- 47-
По данным!) сумм!) катетов!) и перпендикулярной линт, изЪ вершины прямого угла на гипотенузу опущенной, определить стороны прямоугольного треугольника.
Р Ъ Ш Е Н I Е.
Положим* АСЧ*ВС = а, CD^ri, АВ ~ х, Черт. АС — а-^- и ВС —	; будетъ квадрат* 12*
гичотенузы АВ, то есть ____________«в + .КУ XX__________ _____ ,
и площадь треугольника
\ |АС . ВС ~ * АВ X CD, то есть
Ьх — в-^-^.,
Из* сих* выражений получим*
уг — ^хх—аа и aa^^bxt
( 42 )
следовательно будешь zxx— аа ~ аа —• ^Ьх, хх ~— ъЪх 4“
и х~ — Ъ +	66 4" ля.
В О П Р О С Ъ 20.
§• 48.
Черт. HTj данномЪ полукругЪ проведены хорды AD и BE данной величины.? опредЪлфПЬ продолженья оиъгхЪ до взаимного прес'Б-ченлл вЪ точн'Ъ С.
Р Ъ Ш Е Н I Е.
Положили» AD — a, BE ~b, АВ = с, CD~.r и СЕ ~у; будешь АС ~а-[-х, ВС ~ Ь 4*у, АЕ2 ~ сс— bb и BD’ ~ сс— аа, потомъ
CD2 ~ хх ~ ( 6 4- у у — сс 4" аа,
СЕ’ ~уу~ ( а 4- х У— сс 4“ 66.
Изъ перваго уравнены получимъ
у — — 6 Ц- }/хх 4- сс — аа, и взявъ квадраты, будемъ им'Ьпгь • _________________________
УУ~ bb у- 2b]/хх-\-сс —aa-j-xx-f-cc—аа, что сравнено будучи съ величиною прежде для уу найденною, даегаъ
(я 4- х) ’— cb 4- 66 “66 - р 2б1/гга?4” сс—atl 4-хх4“ сс — аа,
то есть
4г !>]/хх 4- сс—аа — mr 4~ «а — сс;
(J3 ) откуда, взявъ квадраты, находимъ
1а (со - аа) . Lb (сс — аа) — (сс — аа > -- аа— bb Х ‘	аа — ЬЬ
в (сс— аа)+LV (е~ — аа) (cc—bi) и	---------^аа-ьь--------------
В О П Р О С Ъ 21.
§• 49*
ИлЪ двухЪ данныхЪ точекЪ А и В про- Черт. вести кЪ точкЪ С данной, лиши MN прямыя 2^' лян/и АС и ВС, копхЪ бы разность была равна данной, линт,
Р Ъ Ш Е И I Е.
Изъ А и В на линию MN опустимъ перпендикулярный лин1и AD и BE. Положимъ AD —я, ВЕ = />, 1)Е = с, ВС — KC—dn
СЕ~г—с, &С~\/аа-\-хх, BC~J/(x—c)’-f-66; и посему должно быть
[/ ( х — су 4- bb ~ d -f-аа хх.
Взявъ квадраты, имЪемъ
хх— тех -f- сс -J" 6b ~ dd-\-sd[/аа-\-хх 4~ аа 4~ хх,
и означивъ, ради краткости, сс-\-ЪЬ — аа
-\-dd чрезъ 2j^, находимъ
( 44 )
Взявъ вторично квадраты, получимъ
„„ — 'г /Лт f -----co-dd Т cc-dd ♦
и х---ffc±dVу аа (.сс— dd)
cc-dd.
В о п Р О С Ъ 22.
S- 5о.
Черт. ВЪ прямоугольномЪ треугольник!) даны 12' гипотенуза и сумма обопхЪ катепювЪ, сЪ перпендикулярною лишею изЪ вершины прямого угла на гипотенузу опущенной; сыскать с1ю последнюю.
Р Ъ Ш Е Н I Е.
Ноложимъ АВ~я, СА 4- CD 4- СВ ~ Ъ и CD — Д', будешь СА 4~ СВ z± Ъ—х. Пусть С А — СВ — у, такъ что С А	-—~+~~
и СВ = --~;~У. Поелику СА’4-СВ’— АВ5, то мы имЪемъ ЬЬ — ibx 4- хх 4- JT = 2ЯЯ ? и какъ пригпомъ площадь треугольника ~ СА . СВ~’АВ . CD, то будетъ такъ же С А . СВ ~АВ . CD, то ерть ~ 'z ~ ах. Изъ перваго уравнен!» произходиптъ
уу — iaa 4~ ъЬл — ЪЬ — хх, р. изъ втораго
уу ~ bb —лЬх 4- хх—
( 45 )
И такъ мы имЪемъ
хх ~ 2 ( а Ц- Ь ) х 4- аа — bb, следовательно искомая CD будетъ
х~ а Ъ -Е [/ 2.аа -J- 2аЬ.
Вопросъ эЗ.
§• 5i.
ИзЪ данной, точки С, на fiiavempli дан- Черт. 3i. наго полукруга, поставлена перпсндику— лярнал лингл CD; найти вЪ полукруг^ такую точку F, чрезЪ которую если проведется касательная FD до взаимного перес'Ьчешя сЪ CD, и FE Д CD, то была бы FD ~ FE.
V 13 Ш Е Н I Е.
Положимъ АВ — за, АС~Ъ иАЕ~,г; поелику EC~FG~6 — х и Е0~« — х и, EF~ J/'EA . ЕВ zz J/ зал — хх, шо для подобия треугольниковъ FEO и FGD будетъ FE:FO~ FG : FD, то есть
JZ 2ах—хх : а ~ (Z>—х} : FD, и посему рп ________	—
у	•
2 АХ — XX
Мо по услов1ю вопроса должно быть FD ~
FE, шо есть
( 46 )
л (J —х)	__________
= хх или
а ( b—х) ~ зах—хх, следовательно будешь хх~Ъах— аЪ , и ___________ Зд + Vпаа—4"*
В О П Р О С Ъ з4«
§. 52.
Нерш. ИзЪ вершины угла С прлмоугольнаго З2’ параллелограмма AJ5CD, рад1усомЬ СВ, описана четверть круга BE, и дана лншя DE и площадь ABED; сыскать стороны параллелограмма.
Р -Ь Ш Е Н I Е.
Пусть АВ = гг, ВС~у, площадь ABED—ЬЬ и DE~a; будешь х~ а -}-у, площадь параллелограмма ABCD ~ ху (Геом. § 221) и площадь ВСЕ= (Геом. § 2З1 ), сл'Ьдо-вашельно площадь
ABED = W = (a + J)?—ИГ, шо есть
откуда получится
__ —i V4- 4 (4 — IT ) bb
x.	4—n
( 47 )
В о и р о с ъ 25.
53.
ИзЪ вершины прямого угла треугольника Черт. ЛСВ опущена на гиплотенузу перпенди- ^3. кулярная CD, и изЪ вершннЪ угловЪ А и В, рад'усами AD и BD, описаны Дуги DE и I' D; начти стороны треугольника по даннымЪ СЕ и CF.
Р Ъ Ш Е Н I Е.
Пусть СЕ — a, GF~b, AD~x и BD~j; поелику AC’ — AD . АВ и ВС’ ~ BD . ВА. (Геом. § 192), то будешь
’ — 
I. ( а х )’ — х (x-j-y), II. ( b+y У —у (x-t-y).
Изъ перваго уравнения получимъ у~ — +-а-* } ь_
а изъ вшораго у~-^— 7 сльдовашельно будешь
аа + пах _ bb
X	X — 9.6 >
откуда произойдешь
хх —-----Ъ----- л + аЪ, и
ос i —аа । у/4^ “ t 4°	- iGaa	।
Нашедши х ? получится у, и потомъ стороны треугольника, гпакъ же будутъ известны.
( 48 )
В о -п р о с ъ 26.
S 54-
Нерп», По данной диагональной лнн1и пра-внлънаго пятиугольника наипгн сторону о^аго.
Р Ъ Ш Е Н I Е.
Пусть ABCDE правильный пягпиуГольникъ Ttoero диагонали DA и DB пересЬкаютъ LG въ точкахъ F и G, а д»агонали АС и BE взаимно пересекаются въ точк"Ь О Положимъ BE —д и АВ—х; поелику Z.EAO — ' ОЕОС и 4.Е0А— - V^AE -|- ' kjBC, то будешь z-EAO — _EOA и EO = EA —jc. Но ДЕчВсоДАОВ, слЪдовательно ЕВ . Ea. — AB : Л0f шо есть EA . AB zz ЕВ . АО, или
хх — а ( а—-л?), И '
a (V5— I) X “--------.
а
В О П Р о с ъ 27.
S* 55.
Найти сторону тогоже правильного пятиугольника по данной FG zz а.
Р Ъ ш Е н I Е.
Поелику FG д АВ, шо явно, что ADFGOC ДЬЛВ, сл’Ьдовашельно будешь
DE : FG zz DA ; АВ ,
( 49 )
шо есть
DF: « —DF4-AF .AB;
и поелику AF~AB~a:, то произойдешь DF: а ~ DF 4- х : х, то есть DF ~ -° - -.
Л — с
Но СЕ — й-|-2хЕГгй+2 DFa-f~~~;»
и AD — AF4-DF— а? 4- — =	. чего
ради, поелику AD — СЕ, будемъ имЪшь
хх — Зах— аа, и
х — | а 4; V\аа — аа, ___o(3+V5)__ с о х~ =—2, 618 . а.
Знакъ — здЪсь Mtcmo инФть не можешь, по" тому что должно быть	то есть
ab>fg.
В о п р о с ъ 28.
§ 56.
ИзЪ вершины угла С равностороннаго ^ерпь ^/’«‘Ггольнпка АВС на сторону АВ опущена Зэ. перпендикулярная лин1я CD, и нзЪ данной тонки оной Е кЪ вершинамЪ угловЪ А н В проведены лиши ЕА и ЕВ; по даннымЪ снмЪ литямЪ найти стороны треугольника»
4
' ( 5о )
Р 'Ь Ш Е II I Е.
Положи мъ стороны треугольника АС—ВС — АЛ~х, ЕА~ЕВ~л и CEr=Z>: будетъ
CD —х i/У, DE — xl/l — Ь слЪдова т ель н о
AD — \х — ]/ АЕ' — DE’, шо есть
-‘л~ ]/(аа —	— £)*)•
Откуда, взявъ квадраты, получимъ;
J хх — аа — 3 хх %Ьх]/1— ЬЬ,
хх — Ьх]У3 аа — bb, и AV3 ----------------
х— ~Т~ ^/[/аа — '-bb*
ГЛАВА .III.
О раярЪшеиъи. геометр!нескихЪ вопро-совЪ ведрщихЪ кЬ уривнешямЪ третьей степени.
Вопросъ i.' » »
$• 57.
/^апы разность катетовЪ прямо}~голь-иаго треугольника и произведете менъшаго пзЪ ни.хЪ на квалраяЛ гипотенузы; требуется найти стороны сего треугольника-
( )
Р Ф Ш Е Н I Е.
Пусть будетъ АС — АВ ~ 14 фут и Чггп. АВ . ВС ”6760 куб. фут. полагая Ad~.i, ,j* мы имЪемъ AC лф-14 и ^ЛВфАо’ ~ ixx ф- абхф-196, следователь ио
АВ . ВСа — зх’ 4- 28х‘ 4- 196г — 6760.
II такъ подлежишь рЪшить <ie уравнение третьей стс лепи :
х ф- i4-x> 4~	— 3^8о~о ,
которое, разсмотпрЪнное по ппавиламъ въ З87, 388 и 38g Алгебры изъясиеннымь, дае.нь корни
i)	ж r± iOy
2)	л ~ — 12 4“ (/ —191;
3)	л~ — 12 —	— । дф
По первому изъ сих!» трехъ корней будешь АВ~ю, АС~а4 и ВС ~ 27.
Вопроси 2.
S- 58.
Даны рпяностъ сторонЪ прямоугольника и произведете площади на перимео^ b о наго j требуется найти ^тороны, сего примну голышка.
Р Ъ Ш Е И I Ё.
Пуеть одна сторона ~jc, и друган аг4-12, будетъ меримешръ — фе 4_ 24, площадь
( 52 ')
(л?4~12) и произведете оныхъ (42?-}"34) (x.z-f- 12jc) ~ 29120,. ш. е. (я’-{-6) тз.г) ~ ^280. И шакъ надлежитъ рЪшишь cie ypaenenie третьей степени :
х' 4- 182?” -,-722? — 7280 ~ о.	1
Для удобн'Ьйшаго р'Ьшешя онаго положимъ 2? ~ 2/, и будетъ
8ys J- 72г’ -Ь ’44?'— 7280—О, или, разд^ливь на 8, будетъ
у 4- 92?’ 4“	— 9 Ю — О.
Корни сего уравнения суть:
?=7; ? = -84-|/-66; y=-8-J/-66. Изъ перзаго получимъ х~ 1^, такъ что стороны прямоугольника сушь 14 и зб.
В о п р о с ъ 3.
S- 59.
/Ханы разность стороиЪ п сумма люл-щпнЪ двухЪ кубовЪ ; найти, ^сторону каждаго порознь.
Р Ъ Ш £ HIE.
Пусть разность сторонь— 12 дюйм, и сумма толщинъ~8512 куб. дюйм. Положимъ сторону одного куба~ х, будешь сторона другаго — х—12, и сумма толщинъ:
2х —36д;’4“	— 1728“ 85i2.
И такъ требуется р'Ёшишь cie полное уравненге третьей степени:
( 53 )
а?— j8jc’4~ 3i6x—5120 —о.
Для сокращешя рЪшешя онаго положимъ х ~ 27, будешь
У — 97’ + 54г— с4о — О, коего корни сушь:
Изключая мнимые корни, мы имЪемъ х~2о и х—12 — 8, тпакъ чшо искомыя стороны СДШЬ 20 и 8.
В о тт р о с ъ 4-
S- 6о.
Даны толщина прямоугольного парал-лепипсда и квадратЪ дгагонали одной грани; требуется найти высоту онаго к сторону квадратного основан'сл.
I
Р Ъ Ш Е Н I Е.
/
Пусть сторона основания ~ х, высота — 7, квадратъ диагонали хх-^-уу — 1872 и толщина &ху~	будетъ хх~3^~ и
~ ГУУ— *“72, и слФдовагпельно получится уравнение третьей степени:
7s —18727-}- 207З6— о.
Положимъ, ради краткости, 7—123; пр разд'Ьлеши на 1728 будешь
-5— »3з -}- 12 — о,
( 54 )
коего уравнетя кптни супть z~r, z~3. z“—4* Исключая же отрицательный, Судетъ: i)
12 и аг~24УЗ; 2)j- = 36 и л — а4«
Вопросъ5.
S- 6г.
Дта тояцтча призмы, киек основаше есть пряноуго 4ьйык трсГ'гольннкЪ к вы-сота равна меньшему катету основан'я, к д'1 на еще разность катетовЪ онаго; требуется найти оба катета.
Р 'Ь Ш Е И I Е.
Пусть разность катетовъ “ у ф., толщина призмы~ i?.68 ф. куб., и высота приз-w и, иль мсньпвй катет основанм, гХх; будешь больнпи катешъ r*f“7 и толщина приз tjbi ~\х" (х 4- 7) — 1З68, in. е. x'-J-ya? — зу36~о. уравнение, коему, изключая мн иые, удовлетворяешь корень х~ 12, слЪдова-шсльно искомые катеты суть 1*2 и ig.
ВоП1ОСЪ В.
£. 62.
^аны толгципа прямого  конуса it разность высоты и диаметра основан'т; требуется найти дсаметрЪ н высоту.
( 55 )
, Р 4 Ш E H I Е.
11 ешь толщина Конуса= i3/fy5 куб. дюйм. черт. ОЕ—АВ~7 дюйм, и АВ —гг, будешь ОЕ = л4-7 и толщина конуса "2хх “13^75 (Геол. § 4*9)» следовательно будешь
I «я? 4- "ур*? — 42 • *3475, или по разд1зле1ии на ч,.
х -}- 7-х’ — 5145о — о.
Положпмъ х ~ 7 г, будешь
ЗДЗу’ — бгДэо — о, и по сокращении
у" + у’ — 15о = О.
Изъ сего уравнения получится у = 5, слЪ-довательно АВ —35 и ОЕ = Да.
*	Вопрос ъ 7.
S- 63.
Даны дгаметрЪ ocuooauifi и толщина Черт. усИченнаго конуса, коего высота вдвое больше налагцдиаметра; требуется найпгн высоту EF.
Р Ъ Ш Е И I Е.
Пусть Д1амегпрь основашя АВ~6о верш, и толщина — 17З448 кубич. верш., будешь толщина уебченпаго конуса
/.EF (АВ’4-АВ . CD+CD’) = 173448, (Геом. § 4Э4 )• Но полагая
л — V» CD = х и EF = 2.1',
( 56 )
имЪемъ
\\х (6о’4" боа? 4- хх) ~ 17344®1
чего ради, приведши члены сего урйвнешя въ порядокъ, произойдешь следующее:
х’ 4- бох 4- Збоох — 33 г г 28 ~ о.
Для сокращеНя онаго положимъ х — 6у} и будешь
21бу3 4~ 2i6oy’ 4- э тбооу — 331128 — о или j*3 4~ 1 °?"4" 1 °Ч7—i533 zto.
Сему уравнен1ю удовлетворяешь корень слЪдовашельно будешь CD ~ 42 и
EF = 84.
Вопросъ 8.
G4-
ВЪ пятиугольной правильной пнрамидЪ даны разность между апооемою н стороною основания, и произведете поверхности, пирамиды умноженной на сторону основания ; требуется найти с1ю сторону н аповему.
'Р I Ш Е И I Е.
Черт. Пусть ОР — АВ — 18, 30Р . АВ — 10800, ^7- АВ~а? и ОР ~ х 4- 18, будетъ
-гхх (a?4-i8) ~ 10800, то есть
х 4- i8x’ — 4З20 ~ о.
Для сокращения сего уравнения положимъ х — бу, и будешь
( 57 )
Г' + 3/’ — 20 — О.
Сему уравнен1ю удовлетворяешь величина у~2, и потому л?~12, то есть
АВ = 12 и ОР = Зо.
Вопросъ 9.
65.
Даны д1аметпрЪ и вЪсЪ шара, пмИющаго снутри концентрическую сферическую пустоту, и вылмтаго изЪ металла, которого кубичный дюймЪ сЪситЪ и фунтовЪ; требуется найти толстоту металла.
Р Т> Ш Е Н I Е.
Пусть д^аметръ шара АВ = 6, вЪсъ онаго — N, искомая толстота АС~^г, будетъ толщина шЪла
? (ABS —CD3) —5, (Геом. $ 4э5), то есть,
Н b —z/ц- 3//х—З^г’4- X3) — или а?’ — 3£х’ -4- ^Ь7х —6— ~ о.
*	7ТП
уравнете Зей степени, коего корни, по извЪсшнымъ правиламъ, сыскать можно.
П р и м' Ъ Р ъ.
S- 66.
Пусть AB~fcrr7o дюйм.; Nrz3p347 фун., п — 1» я—У, ( Геом. § з45)> уравнете будешь
( 58. )
х*— 2io’ 4~ ifcjoox— 22535л ~о.
Для сокращения положимъ x — 'jy, получится 343/’— 10290/ Юздоо/---------22535l —О,
и у5 — Зоу’ -}- Зооу — 657 о.
Сему уравпеню удовлетворяешь число у--3,
•а следовательно будешь х ~ 21 и искомая гполскг'гпа металла ~ i’o^ дюймовъ.
В о п р о с ъ ю.
$. 67.
Черт. На рад1у<Я> данного круга АС составить 10‘ трямоугольный треугольник!) АВС, вЪ котором!) бы, по проведешн пзЪ точки D, гдЪ г чп о, пену за кругЬ пересекает!), касательно DE, отсЪкЬ ЕВ брглЪ данной величины.
Р Ф Ш Е Н I Е.
Пусть АС~л, ВЕ~6 и АВ~.г, будетъ DE — АЕ ~х — Ъ и ВС ~ |/ аа -f • хх. И° ~ ДВВЕсоДВАС и BE : DE ~ ВС : АС, шо есшь Ъ •. х — Ь~^/ аа-\- хх ; а , чего ради
(ге — б) J/ аа 4~ хх ~ ab, или (ге—6)’ (аа -j-xx) ~ aabb,
и искомая величину х получится изъ сего уравнеьпя третьей степени :
—%Ъх?	(аа- 4~ 6Ь) х—naab — O-
( 59 )
примерь
S- 68.
Пусть AC ~a~i и BE = 6 ~3, уравнёше сделается
a? — 6jc' -f- i or — 6 — о, которое, по правилу изложенному въ Алгебр!» € 4°4» полагая л'— у -J-2> превращается въ следующее:
у' — а у — а — о;
и посредством* правила Кардапова (Алгеб.
§ 4оЗ) изъ сегс уравнения получится
. ‘ Л » + tfPI? t ’ 3 -
J —У —;-------ГУ-"'"----•»
у — \/ 1,83887+^/0,16113,
у — i,225i	о,5442 — Ь/бдЗ-
И такъ будетъ АВ~а?=3, 7693.
В о п р о с ъ II.
S- 6g.
даннымЪ тпремЪ эсордамЪ AD, DG и Чергг.. СВ найти, дсаметрЪ АВ полукруга ADCB. ^Э’
Р Ъ Ш £ н I Е.
Проверки Д1агонали сдЪлай уголъ ADF~ CDB; для иод 161я шреугольниновъ BCD и AFD, равно какъ BAD и CFD, будешь
( бо )
ВС : BD — AF : AD,
BA : BD — CF : CD , или ВС . AD ~ BD . AF и
AB . CD ~ BD . CF.
СлФдовашельно будешь
ВС . AD + AB. CD~BD,AC.
Пусть AD~a, DC.r:6, CB~ с и ABzza?, получится AC — [/xx—сс и BD=[/xx—aa, следовательно
ас bx ~ (xx— aa) (xx— cc). Уравнеше cie, приведенное въ порядокъ, •приметь сей видь:
х'— (aa-\-bb сс) х—zabc — o, коего корень, по Карданову правилу, по-сшавивъ /и^ вместо аа ЪЬ сс и zabc, будешь (Алгеб. § 4°3)-
.г — J	_1_ w
п р и м h г ъ.
S- 7°-
. Пусть a — i, б-i и с~ I, будешь у —3, g— 2, и уравнеше сдЪгаешся хъ—За?—2~о, которому удовлетворяешь тГисло х—i, что также выходашъ изъ Кардановой формулы; ибо
( 6, )
В О ПР О СЪ 12.
S 71-
Составить тпреугольникЪ АВС, вЪ кото- ^е^п* ромЪ бы, по опушунси изЪ вершины С на основаше АВ перпендикулярной. CD, разность между АС и CD; ме^сду ВС и АС, к между АВ « ВС, была одинакая и данной величины.
Р 4 Ш К Н I Е.
Пусть AC — CD = ВС — АС ~ АВ— ВС = а и CD ~ х; будешь
AC“a-|-a?, Kzzsfi-J’Z и АВ~ЗдЦ-л', следовательно
AD — |/ АС’ — CD2 — (/ аа -j~ zax, и
BD = |/ВС> — CD2 ~ J/4«a4- ^ах.
По AD4-BD = AB = 3«-f-x, чего ради
[/ аа-\-2ах-\-]/ 4аа~\~4ах — ^а~\~х’ Взявъ квадраты еъ обЪихъ сторонъ , получимъ ;
21/(аа-]-2ах) (4««-|"4яа’) —
Взявъ вторично квадраты, будешь илгБшь 4(аа-^-2ах) (4fifi-|-4ox)~i6rt4-|-8«aa’x-|-x';
приведши же cie уравнеше въ порядркъ, и сокративъ, найдемъ
л3 — з4а’х—48а*=2 о,
( 6® )
коего одииъ кореиь. по Кардапову правилу, • будешь
. З48я3—1«аЗ Х-У~—+у-—*—
s з или x — ia (1/4+1/3). И гпакъ будешь CD ~ 5, 6946 . a f АС — 6, 6946 . а, ВС — у, 6946 . « и АВ ~ 8, 6946 • а‘
Вопросъ i3.
S* 72,
%рш. 'J57, данном!) полукруг! ADB проведена ^°" данной величины лорда AD, и дуга ей принадлежащая разделена на три ров пыл части вЪ ОючкаэсЪ Е и F; требуется нампщ. равныл лорды АЕ-, ЕЕ и FD.
Р Т> Ш Е Н 1 Е.
Пусть AC ~ | АВ ~ a, AD~6 и АЕ~дг; проведи рад1усы СЕ, CF и EG ft СЕ, будешь А ЕА11 оо А ЕСА, следовательно
АЕ : ЕН ~ СЕ : ЕА, откуда пблучишея
ЕН
Ci* а
Нодобнымъ образомъ
A EHG оо А ШС оо A FEC,
L fa )
вл’Ьдоватсльно будетъ
GH: EH =EF : CF, откуда произойдешь „Т7_________eh . EF_r3
GH —	£p- — -a.
Ho AD — AH 4- GI + ID — GH,
то есть
AD— AE4-EF4-AH — GH, или Z> = 3x —
чего ради получится уравненте a-s — Ъаах -}- aab ~ о,
коего одинъ корень, по Карданову правилу будешь
5 —- лоЪ J. еж У bb— Ьаа .	3 —tcab—aavbb— Ааа
*-V---------.----— + у-------u---— •
Но поелику не можешь быть ^»^>2й, гпо явно, что Кардансво правило зд!>сь упогпре-» бить не можно, но должно прибЪгщть къ тригонометрическому способу изъясненному во второмъ оп?дЬлен!и § 88.
п Р и М Ъ Р ъ.
S- 73.
Пусть a — 4о и 6 — 55, уравнение сделается
— 48оох -}~ 88ооо — о, для сокращения кнего положимъ а; —зоу, и ироизойдсмп»
( 66 )
хх — у -4 |/л4 । ааЬЪ и
। 1^/ ЪЪ *4~ ЪVх ЬЪ + аа —	з
Вопросъ 5.
S ?б.	,
ВЪ данномЪ полукруг!, на дьаметр! онаго, составить треугольник! ABG такЪ, чтобы радсусЪ былЪ средняя пропоргро-нальная между обоими катетами треугольника.
Р Ф Ш £ Н I Е.
Пусть АВ ~ 2а it BG — х, будетъ AG — I/ — а'л-. поелику вопросъ требуетъ, чтобы было BG : ВО ~ ВО :AG, то есть х: а~а : V^aa— хх, шо будетъ
х !\аа — хх~ аа, х1' ~ ^аахх — а!*, хх ~ заа -f- ViaK, и
Х—±а}/л±\/^.
ВОПРОСЪ 4*
$• 77-
Черт, .р.
Дана хорда АВ данного круга, найти равный стороны АС и ВС равнобедренного треугольника АСВ на хордЪ АВ вЬ круг! вписапнаго.
( «7 )
Р Ъ Ш Е Н I Е.
Пусть дхамешръ круга CDzr«, х,орда АВ — b и сторона АС ~ ВС ~ х, будетъ
CE = Krx—'М. Но АС’ = СЕ . CD, то есть
»я?1Х* -,. хх_ 1
чего ради
х' ~ аахх— 'ааЪЪ,
4
хх — »	-.а'' — '.aabb и
4	4	’
вопгосъ 5.
•	$• 78-
Составить треуголъннкЪ АВС , коего ’•ерш» бы данная сторона СВ была средняя пропорциональна между перпендикулярною CD и стороною АС, какЪ и сторона СА средняя пропорциональная между ВА И вс.
Р Ф Ш Е II 1 Е.
Пусть СВ — а и СА ~х , поелику вопрось требуешь, чшо бы было
ВА : СА~ CzV : СВ и
СА : СВ — СВ : CD, '
( G8 )
тпо будешь
ВА~-- и CD = а	л 7
и следовательно
DA ~ ^хх—	и В В —I/ аа —
х	XX
Но DA~ BA — BD, чего ради
Взявъ квадраты, уравнеше cie приметь слЪдую1ц1и видъ :
х' — аахх	а’* — йаах Vхх — аа , f
и взявъ вторично квадраты, произойдешь х* — 2аах6 — а'‘Х' 4~ 2а('хх-f“ — 0«
Но cie уравнеше 8й степени представить можно 1пакъ:
(£' — аахх — а'1)' — О, чего ради, извлекая корень, будешь:
а?' — аахх — а'1 — О,
Вопгосъ 6.
S* 79-
Черт. ^аНы оснопан’е и высота треуголм ника, и произведен1с двухъ прочпхЬ сто-ронЪ, требуется найти оиыя стороны-
( ) Р Ь Ш Е II I £.
Пусть ocHOBanie АВ ~ а, высота CD ~ Л, произведете АС . ВС=6с и AD ~ х, будешь BD~rz—х,АС~1/ bb-j-xxnTiC~^bb-j-(a—х)’.
II такъ, поелику АС’. ВС’ ~ bbcc , будешь
(bb -J-xx) (bb Ц- (а — х)’) tz. bbccу то есть
х' — 2пх5 4- (эЪЪ Ц- я«)хх—•zabbx aabb -\-bl-~ ЬЬсс.
Cie уравнеше можно представить такъ;
(х’ — ах -}- hby — bb (сс— аа} , следовательно будешь »
хх — ах -[ ЬЬ ~ -Ц- b V сс — аа и
х — у ~4~	— bb -В Ь сс — аа.
Вопросе 7.
$• во.
ИнЪ вершины угла А данного ква- ’1ерш-Драта провести лпнио АЕ , _ пересекаю- ^2" Шую продолженную сторону ВС квадрата вЬ точкЬ Е такЪ , чтобы часть FE была Данной величины.
Р Ъ Ш Е Н I Е.
Пусть АВ — ВС — а > FE b и BE ~ х, будешь.
( 7° )
Чч-pt i-2.
СЕ ~ x—a, CF ~ bb—(x—ay.
•По. A ABE co AFCE и BA : BE = CF : CE , mo есть
a : x ~ V bb — (x — a)4 : (x — a),
^ero ради	i
ax — aa — x l^bb — (x — aj’.
Взявъ квадраты , произойдешь cie ypaeiicnie четвертой степени:
х1,—злг' + (алл—bb}xr—2a\r-{-al~0 f которое изобразишь можно та» иль об--•разомъ :
[хх—nx-}-aay~xx[aa-{-bb')~ ссхх, полагая, для с>кращен1я, аа bb ~ сс. И такъ, по изс^.ечегйи корней, будетъ хх — ах -f- аа ~ сх , и
г — _±г -4-
•г — --	—4— — аа.
Вопросъ 8.
8г.
ь Дапы. сумма катетовЪ прлмоуголь^ наго г. реугольннка, и перпендику iяр-ню. нчЪ вершины прямаго уг in на гипотенузу опущенная ,• нал.пн стороны треугольника.
Г Ъ ш К н I Е.
Пусть АС-{ВС ~ л, CD zz: Л и AC_zr, будетъ
( 71 >
ВС — а—х и АВ	Vаа—2ax-j-2xx.
Но АВ . CD п АС . ЬС , шо есть
(Уаа — 2ах -f- ихх ~ х (а—-o') j	f
чего ради взявъ квадраты, произойдешь cie уравнее*е-
эс'—2ах*-]-(аа—2bb}x',-\-2abbx—aabb—O, которое изобразить можно такъ :
(хх — ах — ъьу — bb (аа 4" bb}-Почему, по извлечении корней, будетъ
хх—ах—bb ~ ^yb\/аа -[ bb л и
х — - 4"	ЬЪ Ч- Ъ аа 4~ bb.
Вопросъ д.
£• 8а.
ИзЪ точки пресЪчешя О д1агоналеи ',ГР^П-даннаго параллелограмма ABCD описать кругЪ гпакЪ, что ежели стороны ВА и ВС проведутся до окружности вЪ Е и F, то бь/ хорда EF проходила чрсзЪ вершину угла D.
Р Ф Ш Е Н I Е.
Пусть AD~«, АВ~Ь, АЕ=л? и CF~j^, будетъ
BE~Z»4~7', BF~a4~J" и ®Н“х.
По ЕА ; AD — DC : CF , слЪдовашельно CF — v AD - ос   аЬ П кдг —у —	Цритомъ
( 72 )
BE . ВН = BF . PG , (Геом. § i95) mo есть x {Ь 4-л?) — г (л-J-") — ^«4~ х прочему получимъ cie уравнение:
х' 4“ Ьх' — ааЪх — ааЪЪ — О , которое есть тоже что и
(х 4- 6) (.г" —• ааБ) ~ О;
откуда’ сл'Ьдуетъ , что х~ — ааЬ ~ О , то есть х" ~ ааЬ, и следовательно 3
X — ааЬ.
В О П Р О С ъ ю.
S. 83.
ВЪ прямоугольном!) трсуголъипк*1 АВС проведена BE tt АВ , такЪ что (D~ABj требуется по даннымЪ АВ it BE дпре-^Ьлнть СЕ.
Р Ъ Ш Е Н I Е.	>’
Пусть CD ~ АВ ~ а, BE ~ Ъ , СЕ ~ х. 1D —у у будешь CD : AD = СЕ : BE, то есть а : у ~х : Ъ t
И У Но ВС3 = АС3 4- АВ’, чего ради
4»х)з = С4 +О’+°«»
откуда получится cie уравнеше 4ой степени :
( 73 )
«г!4-2&г5 4" — aaajx’—iaabx-—aabb — O, которое ежели представимъ шакимъ об-разочъ:
(хх Ьх — аа)* ~ аа (аа 4- ЪЬ} , иго по извлечении корней произойдешь
хх 4" Ъх — ас ~ 4~ а аа -\-bb, а изъ сего, подучится
х — —я ~\"У 4“ аа ~Ь аа “t~
В О П Р О С Ъ II,
§. 84.
На радусЪ СВ данного круга состпа- ^ер^‘ вптъ прямоугольный треуголънпкЪ ВС А. такЪ, чтобы часть АЕ гипотенузы. АВ была данной величины.
Р Ь Ш Е Н I Е.
Пусть АЕ =: за, ВС zz Ъ , AF zz х и ВЕ=у; поелику AF : АЕ =: АВ: AD будетъ х ; за ZZ йа 4“Z* х , изъ чего получится _______+ 2а > попгомъ, поелику
АВ— АС’ 4- ВС’, будетъ
(за 4“ ?)’ = (6 4- *)’ + ЬЬ’
Но за 4-
слЪдовашельно
( 74 )
= {b +• а?)’ 4- bb , я уравнеше, въ порядокъ приведенное «СдФласШся
х ]- 4 Аж’ 4" 4(bb—аа)х' —• 8 ааЪх—$>aabl)~h въ кошоромъ содержится крадратъ величины хх -f- abx — ааа, такъ что
{хх -f- sbx — ’.я»)’’ — 4оа {аа 4" 3^) откуда, по извлечен!» ксрией, будейъ имЪть
хх-\-зЬх—-2аа~4 за/^аа-}- abb) ~ 4~2QC , полагая Р^ aa-f- abb ~ с ; следовательно х — — b А^]/ЬЬ 4- ааа 4• 2ас.
Вопросе 1з.
S- 85.
ВЪ прлм)<уголъномЪ треугольник^ даны сумма катетовЪ и сумма гипотенузы и перпендикулярной, изЪ вершины прямого угла на гипотенузу опущенной; тпебуется определить стороны треу-« голышка.
р В ш е н I Е.
Пусть АВ CD ~ а . ВС AG — b, 12. АС — х и АВ — у , оудетъ
ВС —Ь — хи CD гз а —у.
Но АВ . CD = АС . ВС,
( ;5 )
Х(« —7) ~ х — •*),и АВ2 = АС’ 4- ВС’,
тпо есть	,
уу — зхх — abx bb или у — I/zxxzbxbb , елЪдовашельно-
а[/2хх—zbx-\-bb—zxx-\-zbx—bb~ Ъх—хх, или лхх — zbx 4~ bb ~ хх — Ъх 4“ ЪЬ. Взявъ квадраты и приведши всЪ члены въ надлежащ!» иорядокъ, произойдешь следующее уравнеше;
х' — zbx1 4~ ЗЬЬхх — zbx 4“ b'1	|
— заахх 4~ 2ааЬх — aabb
придавъ же съ обЪихъ сторонъ а'' — aabb , получится	'
х'—zbx'-\-3bbxx—zb'x-^-b1'	I
—zaaxx-\-zaabx—2aabb}~a a(aa—bb),
и по извлечеши корней :
xx—bx-\-bb—aa~-Val/ —bb^ откуда найдется t
aa — bb.
( 7б ) Вопросъ' 13.
S- 86.
Дгны гипотенуза прлмоугольнаго треугольника и сумма катетовЬ сЪ нерп Анкулярною нзЪ вершины прямаго угла на гипотенузу опущенною; требуется сыскать есЬ стороны.
р Ъ Ш Е Н I Е.
Черт. Пусть АВ — СА 4- CD 4- св = 6, и 12‘ АС ~х, будетъ
ВС = ааг—~хх. Но
АС . ВС = АВ . GD , то есть	'
гп __АС . ГС - хуаа хг
_ АВ ——  - ,
слТ-дпватпельпо ------------------------------ xVaa — xx
СВ 4- CD = Ъ —X — *7 аа—хх 4- - а----- »
то есть
Ь — х — а	аа—хх ,
откуда, взявъ квадраты и приведши въ порядовъ, получится
У 4“ аа:с5 4“ аахх — »« » +	__
— иа^Ьх—-л4	J
Но c.ie уравиви!е представишь можно слЪ-дуюхцимъ образом*:	।
( 77 )
(rr-f- «х-f- aa + аЪу — {a 4- л?)'(2й^"Ь 2ЯЯ\ ятакъ что по извлечет и корней будетъ
ах-}-аа -|- ab ~ (а 4~х) V"' ааа 4“ zab ,
Вопросъ i4*
S- 87-
Hennj
ИзЪ точки Е, ви25 данного круга, про-ведены кЪ понцамЪ драметра А и В нря-шыя линзы ЕА и ЕВ, пресЬкающдя окружность вЪ точкахЪ С и D, даны АВ, BD и СЕ, найти, стороны АЕ н BE треуголъ* ника лЕВ.
Р Ъ Ш Е Н I Е.
Пусть АВ — а, СЕ — Ъ, BD = ct АС—х и DErzzy, будетъ ЕС . EA~ED . ЕВ , то есть Ь(Ь 4“ .г) — у {с у)’ кяк> АЕ’ — DE’ 4- AD* и AD’ = АВ2 — BD* = аа — сс — dd., то будетъ
(А + х)2 — уу + dd =
следовательно рЪшить должно следующее уравнение четвертой степени :
у^ 4" зсу5 4“ (сс — ЬЬ) уу — bbdd~O. На сей конецъ, по приведу изъяснеи*
ному въ Алгебр!» § 429> положимъ, что (/Г + с7 + Р) — \.ЧГ + г)' = °,
м разлагал cie уравнение, будемъ имЪть
У' 4~ 2tLT’ +	4" %сру -f" РР
4" ССЗУ — 29Г/У “* гг
= 0,
— W и потому мы получимъ
I.	2р 4“ сс —• qq~cc — bb ,
II. 2ср — 2qr~of и III. рр — rr~ — bbdd.
Первое изъ сихъ уравиеиш даетъ qq ~ 2р 4“ ЬЬ , третье .	.	.	rr zr рр 4* bbdd,
коихъ произведете
qqcr ~ ар’ 4“ bbpp 4“ tbbddp 4“ b*dd. Изъ втораго же имЪемъ qqrr ~ ссрр , следовательно будетъ
лр 4- (66 — сс)рр 4“ ^bbddp 4~ b'dd izr О. Определив!, р изъ сего уравчешя третьей степени , найдутся q и г, потомъ у и xf и наконецъ стороны АЕ и BE
ПримЪръ. въ числахъ.
§. 88.
Пусть а — 5, 6	4 п с — 4, будетъ
d — 3 и уравнетс: у' 4“	— >44 — °*
Для сокрвгцетя онаго вместо у ьнани-
( 79 )
шемь 22, и будешь г1 4“ 4®5 — 9 — 0. Но преврашивъ cie ypaBiienie въ сей видъ (zz 4" 22 4* /4 — (• 4" л) — найдется
J) 2/J 4- 4 — qq — О ,
а) 4р — zqr ~ о,
3) рр _ гг — — 9, почему получится
ЯЯ — 2Р + 4 > гг — рр 4- 9; qr = 2р, попгомъ
qqrr ~	4- 4/jp 4* 18Р 4~ 36 4~ — ^РР'
II такъ мы ымБемъ зр5 4“ *8р 4* 36 ~о, или р' ~ — рр — i8, и по Карданову правилу будешь
Р — у—•94~Г/ 108 — у 9 +И108,
то есть р — — 1,5у€)1 г , слФдовашелляо Я — °>92724 и г — — 3,38663. Наконец!» будешь
2 = i	4“ г — Р — 1,2006^
(взяьъ знакъ 4“)« И гпакъ jr — 2,4012, и & — — o,i574-
В о п р о с ъ 15.
£• 89.
Х^яны площадь треугольника^ коего emos роны сеетасляютЪ ариометичеекую про»
( So ) гресс'юданнойразностичленовЪ; требуется определить стороны треугольника.
Р Ъ Ш Е II I Е.
Пусть площадь треугольника ~ сс , к стороны xt х 4" й, х -|- за $ будешь по положенно (см. § 25) :
16с4 — (Зх4~3«)(х — а\х + (1){х + Зя), то есть
x'l-|-4<ia?'4-2a1a?’—^аъх—3«4—с' ~СР
Для рЪшешя сего уравиетя 4ой степени иоложимъ что
(х’ Ц- пах 4~ рУ — (ях + ГУ — °’ и разлагая будемъ имЪть
х' 4~ 4'7-х’3 + -'.рх’ 4аРх + PPI
4~ 4«’жа — nqrx— rv\ — О.
— <f х*	1
Сравнивая cie уравнение съ найденнымъ, мы получимъ
1.	2р 4rt’ —	— 2а* >
II.	4<ф — ^Яг — — 4^5 >
III.	р’ — г’ — — За4 — ^с4 ~ — d'.
Первое изъ сихъ уравненш даешь (j = пр 4~ па, третье даепп»
/’ — р’ -t- d 7
( Si ) коихъ произведете будешь qqrr ~ ip -J- эа'р* 4~ 2<&р -}- 2aW4. Изъ вшораго же имФемь qqrr ~ 4a'P*	Sa1/? 4rt<i;
слЪдовашельно будешь
// — ti'p'’ 4~ (d— 4a')p + a’d’ —zaG ~0. ОпредТливъ p изъ сего уравнппя , найдутся q и г, пошомь и х.
П Р И М Ь Р Ъ БЪ Ч II С Л А X ъ.
§• 9°'
Пусть сс ~ 6 и а ~ 1, будешь наше уравнеше, 4ой степени :
а?' 4~ 4х 4~ ^х' —« 4 х — ig5 — о, и уравнение Зе“ степени :
Р* — Р’ + 19'Р 4“ х93 = О, которому удовлетворяешь корень Р — — I, слЪдовашелыю будешь q — о и г — i4- На конецъ изъ уравнешя
(а?’ 4- IX — i)’ ~ (i4)’ — о мы получимъ
— — зх 4" I 4~ i4»
откуда, взявъ гнакъ 4~ j произойдешь х — 3, и гпакъ искомыя стороны треугольника будутъ 3, 4, 5.
НАЧАЛЬНЫЙ ОСНОВАНЫ
ЧИСТОЙ МА0ЕМАТИКИ.
ЧАСТЬ III , г -
О Т Д Ъ Я Е И I Е. И.,
Плоская Тригонометрия,
* л
I
ГЛАВА I.
Оппед'Бл'тнгл и кре^ёарител ьныя изЬ-лснешя.
S I.
Плоская Тригонометрия есхпь паука имеющая предмешомъ, пзъ трехъ дан-вчхъ и числами изображенных?» частей прямолинейного треугольника окреЛ’Блять тори чрочй его части.
S*
Изъ сего опред’Ьлешя видно, что вей плоская Тригонометрия состоите токмо въ разрешен? и трехъ ел'Бдуюгцихъ допросовъ?
Т) Даннымъ треть стпорочгамъ хпре* угольника опредЬлишг углы онаго.
( 86 )
а) По данным» двум» сторонам» треугольника и углу между ними содержащемуся, определишь трению сторону и два проч1е угла.
3) По данным» двум» углам» и одиой изъ сторон» треугольника , определишь пгршшй угол» и дъЬ нрочгя стороны.
Что же принадлежишь до прочих» случаев» ; то надлежит» за манить, что по данным» трем» угламъ треугольника сторон» его определить ие можно, потому что возможно составить безчисленное множество треугольников», коих» три угла были бы равны углам» даннаго треугольника. Естьли же даны будут» один» изъ углов» и двЪ стороны треугольника , изъ коих» одна противулежитъ данному углу, въ таком» случгГЬ , как» гро известно из» Геометрхи, pTnneuie быть может» двоякое (Геом. $. Юз).
§• 3.
упомянутые три вопроса разрешены уже были въ Геометр!и чрез» строеш'е, то есть , помощио циркуля и линейки (Геом.
8$, 87 ,88). Но зд?сь предполагается, что данные углы изображены градусами , минутами и секундами и требуется чтобы искомые углы изображены были тЬми же
( s7 )
частями окружности круга; а потому въ семь случа'Ь необходимо нужно, чтобы въ изчисленее вмЪсто угловъ введены были н’Ё-которыя липа Тригонометрическими называемый. упопхреблеше сихъ линш во всей Геометрии весьма полезно, поелику помопрю оныгь не токмо разрешить можно упомянутые вопросы , но еще и мнопе другёе къ TeoMenipiH принадлежащее, и кои безъ помощи угловъ или тригономешрнческихъ линей, разрешить весьма трудно или  совсЪмъ не возможно.
$• 4-
Важная польза отъ упошреблетя пгриго-яометрическихъ линей произходящая подала поводъ къ разпространенгю сей науки, которую справедливее определить можно, способомъ разрешать геометрическёе вопросы, посредствомъ угловъ и линей изм’Ь-ряющихъ оные, и о кошорыхъ мы въ олЪ-дующей главЪ подадимъ поняппе.
глава п.
О произхожденш и свойствахЪ три-гонометрнгескихЪ линш.
S- 5.
Черт. Ежели изъ центра С четверти круга *• Av<B , которого рад!усъ CAzrCB~r , въ какую нибудь точку D окружности проведется прямая лишя CD , то перпендикулярная DE, опущенная изъ точки D на рад^усъ АС, называется СпнусомЪ угла ACD или дуги AD; часть СЕ рад!уса АС, содержащаяся между центроыъ С и точкою Е, именуется КосннусомЪ того же угла АСЕ, и часть АЕ того же рад!уса, называется СпнусомЪ версусомЪ. Есгпьли на концахъ А и В радъ совъ СА и СВ поставлены будутъ перпендикулярный лиши AF и BG, пресЪкающ!я продолженный рад!усъ CD въ точкахъ F и G, то первая AF называется ТапгенсомЪ угла ACD, а другая BG КотангенсомЪ его именуется. Наконецъ лшця CF называется СекансомЪ, а лишя CG КосекаисомЪ того же самаго угла.
S- 6.
Есшьли дуга AD, или уголъ ACD , назовется буквою af то упомянутый тригоно-
( 8Э )
метричесюя линхи изображаются сокраще“ но слЪдующимъ образомь:
DE ~ sin. а,
СЕ — cos. а.,
CF — sec. a,
CG cosec. a у
AF — tang, a,
BG = cot. a. s
S- 7-
Естьли мы примемъ въ разеужденхе уголь BCD который къ углу ACD есть дополнете до прямаго угла АСВ, и сей посл'Ьдхпй назовемъ буквою d; то, относительно перваго угла BCD^tZ—а, мы будемъ имЪть слЪдующхя выраженья :
DH “ sin. (d —а) ,
CH — cos. (d—а) ,
BG = tang, (d—я),
AF — cot. (d—a),
CG = sec. (d—a), CF zz: cosec. (d—a) ,
S- 8.
Изъ всЬхъ сихъ выраженш явствуепгъ, что Ме®ДУ тригонометрическими линхями, при-
( 9» ) надлежащими углу ACD и его дополнешю BCD, находится следующее достойное прилтЬчанля соотношеше:
sin. а	—	cos.	(d—a) ,
cos. а	——	sin.	
tang, а	—	cot.	(d—a),
cot. а	—	tang.	(d—a\,
sec. а	—	coses	(d—<z) ,
cosec. а		sec.	(d—a),
Изъ сего не трудно усмотреть причину, для чего въ пфигонометрическихътаблицахъ cie лиши дал'Ье’Д!'- градусовъпе простираются. Ибо удобно видЪть, что напримЪръ :
1
sin. 4д° ~ cos. 4l°r
cos. 53° 2= sin. 3j°,
tang. 6i° =z cot. 29°, cot. 75° _ tang. i5°, я такъ дал£е.
S 9-
Въ разсужденш синусовъ надлежитъ заметить , что оные уменьшаются по м®р® уменынетя угла ; и когда уголъ изчезнешъ, то и синусъ его такъ же въ нуль обратится, то есть sin 0° ~О. Напрошивъ итого, ч®мъ больше, будетъ уголъ, пг£мъ и синусъ его
( 91 )
бгдетъ больше ; и когда уголъ сей сделается въ 90°, то синусъ равенъ будешь едиьиц’Ь-Ибо sin. АСВ — СВ “ I (5 5). Сей синусъ называвшей СинусойЪ цЪлымЬ потому что о ый равенъ целому ря'дхусу, или есть изъ всЪхъ синусовъ пяибольптш.
§• Ю.
Когда уголъ сделается больше до", то Черт, есть перейдешь во вторую четверть круга BCD, то сичусы будешь убывать до самой точки D, гдЪ уголъ ACD сделается — i8on=: 2.d, а синусъ нзчезнетъ, такъ же какъ и въ гпочк’В А, то есть sin. zd^lsin. Cf~Q.
S- II.
ПослЪ i8o°, то есть въ третьей четверти кргга , синусы будутъ увеличиваться, и при точкЪ Е синусъ опять будетъ равенъ радиусу СЕ,такъ что sin. 3d~sin. d~i. Но, поелику литя СЕ падаешь по другую сто-РОНУ диаметра AD, то она будешь отрицательная, то есть sin. 3d~—sin. d~—i. • о ae самое надлежитъ разуметь и о всЪхъ синусахъ въ третьей и последней четверти Kpjia содержащихся, кои, по той же ири-чинЪ, всЪ сопровождены быть должны знакомь , до самой точки А, въ которой синусъ Дуги ABI А—36о° опять изчезнешъ ,такъ что sin. 4dzzo.
( &з ) $. «а.
Естьлк параллельно дгаметру ЕЕ проведутся даЪ равныа хорды FG и HI , и погаомъ кротякузнси диаметры GH и FI , то г полагая уюлъ ACF ~ а, будет!» дуга AF~«> дуга АВН ~ 2d — а, дуга ABi ~ 2d 4* а и дуга ABDG~4«f—а у и поелику KF~LI1hlLI ~ E.G, то sin. сс ~ sin. {2d—й)~—sin. (a/Z-J-47)— -—sin. (4^—а)
$- iX
Еъ разсужденгн кэеинусовъ явно, что когда зиочка F уиадетъ на А , то уголь ACF будешь~О , а косинусъ его СА~ г, такъ чгао cos. С° ~ 1 j и еешьли уголь увеличиваясь дойдешь до до , то косицу сь его обратятся въ ауль, шо есть сох. d~ съ
£ 14-
Ео второй четверти круга BCD косинусы возрасшазотъ до точки D и сушь отрвца— гаельиьге , потому что иадаютъ въ ирошив-вгрв прежней сторону цгвшра С ^въ самой же зшэчкЪ D косинусъ равснъ радГусу CD, шо есть cos. 2d~— 1.
15.
Въ третьем четверти круга ВСЕ ошри-дательиые косинусы приближаются къ нулю н достигнушъ сего предала въ гвочкЭ Е;и6о
( 93 ) косинусъ дуги ABDE рсвенъ нулю, то есть cos. 3d — о.
S- lf>
Въ последней четверти круга АСЕ косинусы опять „ядаюгпъ въ прошпвлуто прежней сторону центра С , и слЪдозаггельпо сушь опять положительные: и нерешедъ чрезь пуль при гпочк’Ь Е , они возрастать будупп» до точки Л, въ которой cos. ^d—i.
S- 17*
Поелиьу СК есть косрнусъ ьакъ угль а, гпгкъ и —а, a CL косинусъ какъ ула 2d—а, такъ и ас/Ц-я, (§. 12) и сверьхъ того СК — CL, то явно , что cos. а " — cos, (2d—а) — — cos. (2d 4" а) — 4- cos. (4d- —ay
Для большей ясности , мы представать вм’Бспгб нс!» иайденныя свойства синуеовъ и Босияусовъ различныхъ дугъ
sin.	o° ~ 0	COS. G° — t
sin.	(d — fi) = oos. a	cos. (d — a} — sin. a
sin.	d — i	bos. d ~ 0
sin.	(zd—a) — sin. a	cos. (2d—a)——cos. a
sin.	2d~O	cos. 2d—	 I
sin.	(2d-\-f>')~—cos. a	cos. (2d-\~ i)——cos. a
sin.	3d~ — I	sos. 3d— О
sin.	(4d——tin. a	cos. (4d — a)— bos. a
sin.	Ad~o.	cos. 4d — i«
( 94 )
S- x9-
Въ слЬдующихь вопросахъ мы покажем!» взаимное соотношение тригономе1при.ческихъ лиши; гпо есть , покэжемъ какимъ образомъ и?ъ даннаго синуса какого нпбч дь угла определить можно косинусъ, тангенсъ, ко тан-ген съ, секансъ и косекансъ онаго.
ВОПРОСЪ I.
S- 20.
По данному синусу какого ннбудъ угла определить коспнусЪ онаго.
Р 4 Ш Е Н I I.
Пуст* будешь изв^стень синусъ угла ACD — а ; поелику DE ~ sin. а , СЕ — son. a. CD=i ($5),и DE"4-СЕ'= CD (Геои. g зДх) nio будешь (sin. «)’-(- cos. a) ~i , откуда найдется cos. а~}/ х — sm. (Г.
Вопросе а.
21.
По данному с ину су какого ннбудъ угла найти тангенсЪ и секамсЪ его.
Р Ъ ш Е н I Е.
Для подоОхя треугольниковъ CED и CAF мы имЪемъ слЪдуюиря двЪ пропорции :
С 95 )
СЕ : ED — СА : AF СЕ : CD = СА : CF,
к
изъ коихъ найдется . „	ED . СА___sin.
Аг — targ. а ~
z'tj __	__ CD - СА
СГ — sec. а~ — г—— —
СЕ	cos а
cos,
Vi-
При чемъ надлехитъ замЪшишь , что cos. a — I — sin а1 (3 зо).
Вопросъ 3.
$•	*2.
По данному синусу какого ннбудъ угла? найти котангенсЪ и косекансЪ онаго.
Р Ъ Ш £ н 1  Подобные треугольники даютъ CH : ED = СВ : CH : CD = СВ : докуда найдется BG ~ cot. а ~
Е.
CHD и
BG и CG;
СВ __ cos. а
СИ — Я
rn t	CD • СВ   I
v(j ~ cosec.a— —	— — -.—*
CU.	siit- a*
ЧерШк
CEG
СЛФДСТВ1Е. i. $. яЗ.
Поелику,для найденчыхъ теперь формулу
МЫ имЪемъ :
//777 о* /7 Sin- * Л	со г. а
ianb. а ——— cot. a zz------
fcU'5* e	sm. *
coseca.	—L seQ, a — »
( 96 )
то соединивъ оиыя съ найденными въ § 18 мы получимъ еще сл^дугопря:
cot. О° — оо
cot. (d —• d) — tang, a
cot. d ~ О
cot. (2d—a) ~ — cot. a
cot. 2d~ — 03
tang. (Г ~ о
tang, (d—a'j'ZZcot. a tang, d ~
tang. (2d—^a)~—tg.a tang. zd~o
tang. (zd-[-a)~tang.a tang. — 00
tang. (4d—a)~~-tg.a tang. 4 d~ о
cot. (2d й) — cot. a cot. 3d ~ — о
\cot. (4^— «) ——cot. a cot. 4d—os.
Подобнымъ образомъ найдется
sec. O’ ~ i
sec. (d —a)~cosec. a sec. d — ao sec. (2d—d}~—sec. sec. zd~— 1 
а\
'—sec.
sec. 3d~ oo
sec. ($d—a) ~ sec. sec- ^d ez i
cosec. о° ~ I
cosec. (d — а) — sec a cosec. d ~ i
cosec. (2d-—a)~cosec.a cosec. zd~
cosc. (2rZ-f-a)~—cosc.a cosec. 3d~— I
cosc. (rfd—a)~—cosc.a cosec. ^d~co
а
а
( 97 )
СлФДСТВ1Е 2.
$•
йзъ иайденныхъ въ начал® предъидуП;а<'О § формул?» произходятъ еш,е слЪдуюхфя:
tang. а . cot. и ~ г.
gos. а . sec. а ~ i« sin. а . cosec. а ~ I.
Откуда следуешь, что радхусъ СЕ~СВ , ~ J есть средняя пропорциональная : хе) между тангенсомъ и котангенсомъ; зе) между косипусомъ и секансомъ ; и Зе) между сину» сомъ и косекансоыъ одного и шогохе углд*
ГЛАВА III.
О приложение тригонометрических!) лиши кЪ треугольникам!).
1	0 Е О Р Е М А I.
$•
Ч^пт. всякомЪ прямоуголъномЪ треуголъ-ник1> катеты суть
ВС ~ АС . sin. А.
АВ ~ АС . cos. А.
Доказательство.
Изъ угла А, какъ центра, рэд1усомъ АВ — I, опиши дугу DF. Изъ D опусти на АВ перпендикулярную DE, будедгъ DE~st/i. А и АЕ — cos. А ($ 5). Но поелику треуголь-икъ ADE подобенъ -треугольнику ЛСВ, то
AD : DE — АС : СВ и
AD : АЕ = АС : АВ;
откуда найдется
ВС=ЛС^Г-=АС sin. А ж
а и - АС • АЕ _ . л	*
АВ — —гк— — AC cos. А.
( ' 99 ) С Л Ъ Д С Т В I Е I. €. 26.
Подобным!» образомъ доказать можно въ разсужденш угла С , что катеты ВС — АС . cos. С и АВ ~ AG . sin. С.
Въ прочемъ cie слЪдуетъ еще и изъ § 18 , ибо
sin. А ~ sin. (d — С) ~ cos- С и cos. А ~ cos. (d— С) ~ sin. С.
СлЪДСТВХЕ 2.
§• -37»
Изъ тойже самом ©соремы слЪдуетъ еще, что
А __ВС	. __дВ
sin. А ~ . „-2 cos. А ~ АС ’	АС
Изъ сихъ и найдениыхъ во 2 и 3 вопросахъ выр«жен1м ироизходчтъ слЬдуюппя :
,	. ВС
tanS. А ~
sec. А ~ дС; cosec. А ~
© Е О Р Е М А 2.
§- э8.
Ло всякой треугольники АВС сто-Черт. роны относятся между собою какЪ снну-
—лдую щ!я;
cot. А — А®.
— вс»
АС вс»
( 100 )
сы противолежащнхЪ угловЪ ; то есть-. АС : ВС ~ sin. В : sin- А, ВС : АВ ~ sin. А : sin. С, АС : АВ ~ sin. В : sin. С.
Доказательство.
Изъ вершины треугольника на основате АВ, продолженное, буде нужно, опусти перпендикулярную CD; изъ прямоугольныхъ треугольниковъ ACD и BCD произходитъ :
CD “ АС . sin. А)
CD = ВС . sin. В< з5> ’ следовательно
АС . sin. А — ВС . sin. В, пго есть <
АС : ВС ~ sin. В : sin. А;
и точно такимъ же образомъ докажупгсядвЪ проч1я пропоргри.
©КОРЕЮ 3.
S- 29-
Черт. ро всяпомЪ треугольник!) АВС , сумма двухЪ сторонЬ относится кЪ разности ихЪ, какЪ тангенсЪ полусуммы протнво-лежаирихЪ угловЪ кЪ тангенсу полураз-ностн ихЪ; то есть:
ВС 4- АС : ВС — АС = t8. a-i-; fS- “-Г'
( IOI )
Доказательство.
1Тзъ вершины третьяго угла С, какъ Центра, большею стороною СВ , опиши кругъ BDFE, и продолжи сторону АС, пока она встретится съ окру ж посплю сего круга въ D и Е: проведи лиши BAF, FD, FC и FE; явно, что
ZBCE — а + b , ZDCF — а — b;
ZBFE —	ZDEF —
*А ’	2
Пзъ точки А опусти на FE перпендикулярную AG ; поелику
tang. AFG ~ tang. ~
tang. AEG — tang.°—b. — AG(	1
° a ~ EGj то будешь
AG FG ”
AG _ a 4- Ъ	B_j
eg — tang.— : tang.— 9
то есть
EG : TG ~ tang. ; tang.
Но какъ EG : FG - AE : AD, и при тоаь АЕ ~ СЕ -{- АС ~ ВС -J- АС, a AD — CD — АС — ВС — АС ;
то произойдем
вс -J- ДС : ВС - дс =lg.iit : lg.
. (	102	)
Другое доказательство.
Черт. Продолжи ВС до D, сдЪлай CD~C\ и протяни АВ; пошомъ изъ С oiijciuh на AD перпендикулярную CF, и сдЪчавъ BL ~ АС, изъ точекъ Е и С протяни пря*ыя ЕН и • G параллслъвыя АВ; наконецъ протяни СН ; явно , что BD ~ ВС -АС и СЕ = ВС — АС. поелику же BE ~ CD , то АН ~ DG и FH ~ FG; свеьръ того Z.ACD ~ a -J- б и Z.DCF ~ о+А — почему
2 GCF — L DCF — Z DGG —— Ъ — а
о — Ъ
—~ • но поелику
DB : СЕ AD : GH zr. *AD : 'GH, или BD : СЕ = DF : GF —	: g ?
иго будетъ
BD : CE zz tang. DCF : tang. GCF.
Наконецъ, поставляя вместо BD и СЕ ихъ величины , получимъ
ВС + АС : ВС — АС — tg. а-±^: tg. —b. I	о 2	• О 2 •
0 Е О Р £ М А 4-
$. Зо.
*1е] п. всякомЪ треугольник^ АВС квадратЬ 4* кот р >й нпбудь стороны равенЪ суммя кеадратовЪ двуэсЪ прочпхЪ сторанЬ, безЪ
( io3 )
двойного произведения снэсЪ старонЬ,умноженного на коспнусЪ угла между ими со-держащегося : то есть :
ВС’ = АС’ + АВ’ — зАС . АВ. cos. Л.
Доказательство.
Изъ вершины угла С опусши на сторону АВ перпендикулярную CD; будетъ ($ з5)
CD ~ АС . sin. А,	1
AD — АС . cos. A , а
BD — АВ — AD = АВ — AC. cos. А.
По ВС' ~ CD’ -J- BD’ (Геом. зДг), сл’Ь-довашел ыю
ВС’ = AC’ sin. А’ 4- АВ’ — зАС . АВ. cos. А + АС’ . cos. A’ j
и какъ sin. А’ + cos. А* ~ г (5 20), то ВС’ = АС’ + АВ’ — 2ДС . АВ. cos. А ; и тоже самое доказать можно въ разсуждев1ц прочихъ сторонъ.
СлФдствге
S- 31.
Отсюда слФдуетъ , что cos. А ~ АС’+АВ*-ВО
зАС .АВ • ** такъ, чтобы найти косинусъ котораго i ибудь Изъ угловъ треугольника, йадлежнтъ взять разность между суммою
( I04 ) лгвадрашовъ сшоропъ заключающихъ оный уголь и квадратомь третьей стороны , и разделить ciic разность на удвоенное про-изведете двухъ первыхъ сшоронъ,
4	•	,,
Г Л А В А IV.
О разрешении треугольник овЬ.
ВоПРОСЪ I.
$• За.-
ВЪ прлмоуголыюмЪ треуго гъпнк'В данЪ одннЪ нхЪ катетовЪ и однпЪ нзЪ острыхЪ угловЬ\ определить прошл части окаго.
Р Ъ Ш Е Н J Е.
Положимъ , что данный кашешъ есть АВ и данный уголь А ; будешь уголь С = до° — А; стороны лее АС и ВС найдутся изъ уравнешй (§ э5): АВ = AC ccs. А и ВС sz AC sin. А ; и • именно будешь
АС ~ —- ВС = AC. sin. А. cos. А ”
П р и м Ъ р ъ.
Положгмъ, что ZArzSy*, 27'икагпеигъ; АВ ~ 179 фушамъ ; будешь Z. С~ Зз*, 33':
( io5 )
стороны же АС и ВС найдутся следующим ь
образомъ :
log. АВ — э.252853о7о§-. АС “2.5220421 Leos. А ~ 9.7З081091, sin. А ~ 9.9267873
log. АС ~ 2.6220421 log. ВС “ 2. 4478296
АС ~ 332,7	| ВС ~ а 8 о,4-
В О п Р о с ъ 2.
£. 33.	' •
ЛЪ прямоугольном!) тпреуго яъникЪ jiana IcJ™' гипотенуза и один!) нзЪ катетов!); найти проч1я части онаго.
Р Ъ Ш £ Н I Е.
Во первыхъ уголъ А найдется изъ формулы АВ ._	.	-
cos. Л~ ajt 27); потомъ будешь уголъ
С — 90°— А, и сторона ВС ~ AC sin.
(S ^).
П р и м Ь р ъ.
Положимъ, что АС —З27, и АВ ~ 28З саженямъ ; уголъ С и сторона ВС найдрдся слЪдующимъ образомъ:
L АВ —2.45^864 I. АС —2. 5 145478
АС ~ а. 5 145478/. sin А~ 9. G99844 1
L cos. А — 9. 9З72З86 I. ВС “ 2. 2 г 4 3 9 1 9
ZA —Зо", 4';	BC=i63,8,
ZC ~ 69°, 56'.
( то6 )
В О П Р о с ъ.
S- 34.
^₽ш’ ВЪ прпмоуголъномЪ треугольник^ из-бЪстны катеты; определить прочая его части.
P Ъ Ш E H I E.
Уголь А найдемся изъ формула tang. А — Yb (§ 27) > потомЪ изъ выражешя ВС ~ АС . sin. А (§ а5) найдется гипотенуза АС __ ВС w/.A*
П р и м 1 Р ъ.
что АВ ~ и43 и ВС “ 17З9
„ Положимъ, фушамъ ; будешь
log. ВС ~3. 2402996 log. АВ ~ 3.о58о46з
log. ВС =3. 2402996 l.sin. 4 “С).92 а 02За log. AC- zr3. 3 182764 AC “2081 футу.
I. tg. A = o. i8aa534 ZA=56”,4 1' ZC=330,19'
Вопросъ 4-S- 35.
Чер-r. ВЪ косоугольном!) треугольннкЪ дапа сторона п два угла; определить прочая части онаго.
( IO7 )
P Б Ш E H I I<
Положимъ, что данные углы сушь А и В, я данная сторона АВ : найдешея изъ поелику же sin. С :
; трепли уголъ С выражения С — id—(A-f-B);
sin. В — AB J AC
(S =8)
sin. A — AB: BC
sin. С :
то искомыя стороны буд}ШЪ1 АГ	В —	*
АС — —- р и sin. sin. L.
П р и м Ъ р ъ.
Положим! , что Z.A — 6i° , ?о', ZBT~ 53», 7', и сторона АВ — ид саж ; будешь Z.C := 65° , 33', и пошомъ
log. АВ = 2.О75 5 4 70 log. АВ ~ 2.07 55 4 7 о
I. sin. В — д.9о i о । 36 Z. sin. А — д. д4 3 2,i о 2 I I. 978 5 боб
is 0187672 l.sin. С — д. g 5g I 9 5 4 I. sin. С — g. 9 5 9 г 9 5 4 /og-.АС — 2. о г 9 3 6 5~2 log. ВС — 2. о5 9 5 6 f 8 ВС—I I 4,7.
АС — I о 6 Вопросъ 5. • S- 36.
ВЪ косоугольном!) треугольник']}, по Чепш. даннымЪ сторонамЪ к, углу не между ни- я* ми содержашемусл , найти пр&ч'т части.
( *oS )
P Ь Ш E H I L
(S 28),
Положимъ, что данныя стороны сушь АВ и AG и данный уголъ В; поелику
АС : АВ ~ л'лгЛЗ : sin. С
AG : BG ~ sin. В : sin. Al пю будешь
.	/-> __ АВ sin. В
sin,, G “	“
АС И
___ AC sin, А sin. В •
При чемъ надлежитъ заметить,- что поелику найденный синусъ соответствуешь двумъ-углами а и zd—а (§ 18), то произойдешь два треугольника , изъ кошорыхъ въ одними будешь дС“«и ВС ~
J	Sin. В f
,	.	т\гу -_AC sin.(в— Б)
а ®ь друтомъ: 4G ~з.а — а а ВС  —ъ7"в—•
П Р И N 'В Р Ъ.
Положимъ , что АВ “ 1З79 футами, ACzz 966 фугааыъ и уголъ В ~ 87°, 56'; будетъ
Zog". АВ ~ 3.13<)5643
Lsin. В ~ 9.7886944
12.90.82587
log. АС = 2.9849771
I. sin. С ~ 9.9432816, следовательно
( юр )
rZ C “Ci*,	21’
Z A ~ 80 ,	43
Z C = 1 i8n,З9'
Z A — 23,25
log. AC “ 2. 9849771 log. AC— 2,9849771 I. sin. A — 9. 994274З I- sin. A —9,599244»
12. 9792514 L sin. В — 9. 7886944 log. EC ~ 3.1905570 BC — i55o,8
12,5842212 I. sin. В — 9,7886944 log. BC ~ 2,795^268 BC — 624,5
Присовокуплена i.
Чтобы яснЪе показать причину сегодво-якаго рЪшетя , то проведи чрезъ конецъ В
данной стороны АВ прямую линт BE пре—
Черт.
7-
сЪкающую ее подъ угломъ АВЕ ~ З70 , 56'; потомъ изъ точки А, рад{усомъ АС — АВ— 962 фута мъ, опиши дугу, пересекающую литю ВЕвъ точкахъ Си П,и проведи лиши АС иАВ. Такимъ образомъ получимъ два треугольника АВС и ABD , въ которыхъ стороны (АВ — а
—AD) , какь и уголъ В, сушь данное величины ; но въ одномъ изъ нихъ уголъ при вершинЪ D есть острый — 6i°, 2iz и сторона BD — i55o,8 фугпамъ; а въ другомъ уголъ при вершин-В С тупой ~	, З9' и
•сторона ВС - 624,5 футамъ.
( 110 )
Ирисовокуплеше 2.
§• 38.
П такъ предложенный вопросъ ямТ>ть б дешъ два р’Ьшен1я , « ептьлч данный уголъ В есть ост] ый и противолежат,ел оному сторона меньше другой данном стороны. Напротивъ того, когда данный уюлъ ппиой пли прямой или в тогда, когдаугглъ острый, о upon лволежащля ему спюпона АС больше другой данной стороны, то вонросъ ммЪшь будешь шокмо одно ptnneaie.
Вопросъ 6.
S- 39-
Hflpin. ВЪ косоуголъиомЪ треугольник^ , по даннъ:мЪ двумЪ сторонамЪ и углу между ними содержащемуся, найти прочтя части.
Р Ъ Ш Е Н 1 Е. \
• I
Положимъ, что данный стороны суть АВ и АС и данный »уголъ А, зная сеи уголъ 4, найти можно полусумму дв}хъ прочихъ угловъ
, Поелику ж?
АВ АС : АВ — АС ~ t3.	: tS.
(5 »9) - шо будешь
( 111 )
С—В АВ—АС	С + В.
— = ab+ас tan& rg-,
Откуда найдется самая полуразность угловъ £_— Л • зная же полу сумму и полуразность t 3	Л -
двухъ угловъ 9 удобно на» пт и можно каждый изъ нихъ порознь. Наконецъ изъ пропорцш sin. В: sin. А = АС : ВС : (§ 28) найдётся Dz, __________ AC. fin. Д
сторона х>С — —«-,“в “•
П р и м ® р ъ.
Положимъ, что АВ ~ ioi , АС ~ 84 саж. и уголъ А — 6д°, >3' , 4°"; будетпъ АВ —АС — 17, АВ -J- AC — i85, и С-д - — 55°, i8z ю'';
следовательно:
log. (АВ — AC) ~ I,зЗ04489 log. tang.^^ — о, iSpGGyS
1,390 I 1 6а
логариезгъ числителя ~~ 1/З901 162 log. (АВ	АС) — ^20^ 1717
log. tang. —з! — 9,12 29445
и полуразность — 7°. ЗЗ'.З 7";
но нолусу мма—- В- — 55, 18, Ю
следовательно [ — б2» 5' ’ 4 7
{в- 47, 44,33
(	112	)
leg. AC = 1,9242793 log. sin. A — 9,9712876 ------------------—		5
11,8955669
log. sin. В ~ 9,8698080
log. BG — 2,0262889 BC rz iob,23«
ПримЪчаше.
S- 40.
Естпьли данный стороны изображены бу-длтъ цЪлыми числами, то третья сторона весьма удобно определена быть можешь посредствомъ формулы доказанной въ § З9:
ВС’ — АС’ 4- АВ’ — 2АС . АВ. cos. А,
а именно гпакиыъ образомъ;
fyg* 3 = оЗотлЗоо log, АС — I 934279З log. АВ “ 3 00.^21.
log, cos. А — q
J og. зАС. ABooj. А —• 3,7760900
АВ2 —10201
АСа — 7обб
Л С я 4- А В 2 —г 17^7 дАС.АВсолА—- 5q72
ВС а -—11^85
следовательно ВС — JZ , , 2 35 — ГО6;Х.
Вопросе 7.
к
4г.
Черт.	косоуголъномЪ гпреуголъннкЪ по дам-
пы мЪ тремЪ сторонамЪ, определить у г^лл.
( ”3 ) P i Ш E H I Е.
Изъ угла С прошиволежащаго большей СпюронЪ аВ, радпсомъ равнымъ меньшей сшоронЪ АС, опиши кругъ и продолжи ВС до окружн >с1пи его ; будешь BA : BF~BG : BE (Геом. §. 19В) ; откуда произходитмъВЕ ~ BF . CG —в—; но
BG = ВС 4- CG — ВС 4- АС и ' BF - ВС — CF = ВС — АС, слЪдовашельно
TJP _(ВС-ЛС/ВС+ЛС
— АВ	•
Пошомъ АЕ — АВ — BE, AD —- АВ~БК> ’	а
. _AD .
и cos. А —2j) • и наконецъ, зная уголь А . найдется уголь В; ибо ВС : AC ". sin. A: sin. В; откуда sin. В " л
II Р И М I» Р ъ.
Положимъ, что АВ ~ 270, АС ~ 12г и ВС zz:2io саженямъ ; будешь
ВС ~ 210	Zo# (LC-J-AC) — 2.5198280
AC ~ laI	Zog (ВС — АС)~ 1.9493900
ВС + АС =33/	loS BF. BG—4.4692180
ВС — АС - 89	^£AB.z"	2.43 i 3638
	log BE. —	2.037854a
В
( “4 )
II шакь ЕЕ ~ 109,11
AB ~ 270
og. AD ~ 1,9054721 og. AG — 2,0827834
Л cos. A. ~ 9,8226В
L A =* 48-,20'.
АЕ = i6(,8j AD — 80,44 log. AG ~ 2,0827854 I. sin.f A ~ 9,8733352 71,9061206 log. BC — 2,3.^2193
I. sin. В — 9/З5901З Следовательно Z В ~ ZA ~ 48° , 20' и 4.C —
ZC — 106°
25°, 3o'. 11 тиакъ i8o°—A — В, 1110
w'.
При
№ $ Ч А Н I Е I*
стороны изображены вь въ ft редъ идущем ъ
Когда данныя цЪлылъ чг.слахъ, кань примЪрЪ, то кисигмсь угла А весьма удобно оьредЪленъ быть можешь песредсгпвомъ формулы сол А=	(§ 31). Пбо
язъ опой произхохитъ :
__1й» +5?оа—21оа	___ rr
__ -— —-------— 2 J,_ “ 0.^617 a.4ai.a7o — С5эАо
( J15 )
и Z А ~ 48°, зо' , шо же чгпо и прежде (§ 41).
Примечайте з.
S-	43. .
Дабы показать вообще тожество обоихъ рЕшеюм , я прммЕчаю что поелику ВЕ~ -С- 2вАС*" (S 41), то будешь АЕ ~АВ— BE=z ЛО + АВ2— ВО	АТЧ ДЕ=АСа + ЛВ3 — ВО
•---АВ-----’ и AD=—--------Sab---- ,
л	. _ AD ДО+АВ3 —ВС
слЕдовашельно cos. А~-~г~--,
ГЛАВА V.
О употреблены .изложенныхЪ выше правцлЪ при разрешены нЪкоторыхЬ вопросовЪ практической Геометры относящихся.
В о п р о с Ъ I. §• 44-
Опрел^.тнть, посредствотЪ астролябш, Черт. высоту АВ какого ннбудь строения.	9-
* *
м НН
НИ
Е? ч w я м
«а
Рч
а й О СО •я S— чо
о
fl
3
с ч
X
fl и S
ГС
3 я
fl
с
•:
а
м

3
fl Он
я
"4
>5
X И 3
» <
с v X
м
Е
У э
fl : О
Е
О
я X ф
с fl
X
fl д
4'
fl
fl
о
с
С'
с U я
с
д
Е
J
X о
СО га
Ь« чч
д
<0 Е
о Со
fl
А
о
'S
И А
•ч X
си о
о
Е
я
V
Ге
3
Е.
со
ГС
fl
ж
£
«•
х И в я
Я
с
40
с
V
:
д
ГС а
Е
1Л
Г'
£>"0 □
X с
S
р
s
с
я
-о
Е
Я
S
я я
fl
V
Й
fl OS
с
м
«
я
д
S

ьо к
>я
Й
о а с X
fl
о
д Е А я я СО
•А
/1
А я
<0
сч
сч
Ч*
54 СЧ
ж s * г  “ *“ с X
S
е « ? Е
$р «
о X д
с я
-
|р
э
д я
а
№ о < о с
«3
S
к
о
я '3
У
fl м
X
2
с
о
и
» *• et с.
II
С?
<!
О
№ X □
Е 4’ М Я £н
X О U о * и S
fl и
X
Е
fl к
X
со
и о Си Ц о го
Ё г
Г* *и
X я X с
is
а
О 2 X V »? и в
3
к
а о
д
3 S
с с
с
Е
40
ж
Е с
Л я
4J
4)
3“
£ со 4J
«
a
’Я я
I » <4 еп а *• S<
« .
о
о м L-5
О й
Оо
о
О
я
CN
еП
-о
5Л
6®

to S>
к
3
X
а
ж
о
д
X я я о в
it
J
< у
J
У
А и
SO.
S

е 'а с
О
А о о 0< я о
W

О
S с
S
«о м Й Д, я S
<S
«ч о
л
а
о
□
4J
-
к
Е
*
( ч8 )	_
ложимъ , ’’пто ВС — 29 саж. ; поелику ВС—АВ cos- в (§ 2 5) , пт о будетъ АВ —-II такъ
J	cos. n
надлежитъ учинить следующее изчислеше :
log. ВС ~ 1,46240
log. cos. В ~ 9.93-82
log. АВ — 1,52458;
посему разстояте АВ ~ 33,46 сажеиямъ.
В о п р о с ъ 4.
$• 47-	’
На гор'Ъ пато^птся башня; найти. высоту сей. горы* не сходя сЪ опои.
Р "6 Ш Е Н I Е.
Vpprn. I збери какой вибудь предметпъ D на 12‘ ДолинЪ, и поставляя астролабпо сперва при подошв’Ь башни А, а потомъ на вершин!} ея С, смЪряй углы DAB и DCB; посемь ^счЬряй отв’Бсомъ высоту башни АС. Изъ треугольника ADC мы наыдемъ sin. ADC: sin. ACD — AC : AD, откуда получится AD _ AC. siv. ACD
— " fix. wt: ’ ° Потомъ изъ прямоугольнаго: треугольника AGD найдется АВ — AD cos. DAB.
Пусть высота башни ACzzz^.o фугт^ОСВ— 43°, 4°7 >и ^DzlG — 5an f а5', будешь Z.ADCZ3
( ”9 )
8’,	, и для сыскагпя АВ учинить должна
сл15ду ющее изчислеше:
log. АС = I, 8 7 5 о 6| log. AD = а,53 200 l.sin. ACD — о, 8 3 9 i 4 4co^DAB = 9,78527
11,71420 log. AB = 2,31727
I. sin. ADC ~ 9, i 8 2 2 а сл'Вдовагпельно бу-log. AD ~ 2, 5 3 2 00 дегпъАО = 2О7,б2 ф*
В о п о с ъ 5.
$• 48.
//«7, данного мЪстна D с.ыЪрятп* мсошу *" ога’
12, гоем VB, предполагая - что омгогна .С находящейся на оной башни известна.
Р 'В Ш Е Н I Е.
/
ВымТ-пчй ac’Tt’io’uiffiew углы СЕВ гл ADP; бхгемъ йлг?>п1ь изъ тпреуг'йльника ADC, AD
ЛС. sin. ACD	4 тлг- * то
- гт.. а изъ тпеггольпика ADB- АВ .
sin. CUA *	1	7
А ГЛ А тлт> ____ AC. t/V. ACD, str*. ADD
— AD sin. ADB ~----------7—77КГ-—.
sin. (.DA
Пусть L ADB = 4?", 28', ZCDB — 53° , 56> n AC rr 9З , 5 фуги.; будетъ Z.CDA=6°, 28', ABAD —4,"/ 3,/ и kACD = 36’, 4'. И такъ надлежитъ учинить следующее начисление :
( 120 )
r	log. AC *,970 8 x 16
log. sin.. A CD = 9,7699 i 34 log. sin. ADB ~ 9,867 З992
1,608 1 a42
log. sin. CDA — д,o5 г 63 54
log. AB z=2,5564888 слЪдов аш ельno	AB~36o, x 5.
Б о п p о с ъ. 6.
,§• 49-
Найти высоту башни, кЪ подошвБ которой приступить не можно.
Р Ф Ш Е Н I Е.
Черт.	.
lit ±5зявъ известное разегпояше СП за осно-Baiiie, продолжи оное мысленно до высоты АВ. Поставь астролябию сперва въ С, а потомъ въ D , и замЪть углы ЛсА и bdA', чрезъ что уголь сАа? будешь изв^стень. II такъ изъ треугольника cAd получишь:
cd : Ad ~ sin. с Ad: sin. Acd, и
__ cd shr. Acd _ CD#*". ’cA «w. cAd_________sin. L Ad
и изъ прямоугольнаго треугольника Abd найдется Ab ~ Ad. sin. Adb. Пусть основание CD — 1З0 фушамь , LbcA “ 60, 55', ^-Adb
. ( 121 )
— 49°, 5o', бгдепгъ уголъ cA/Z -= r r°, 5'; дабы ивйши Ab надлежать учинишь слЬдуннцее
мзчислеше :
log. CD = з; I I 3 9 4
L sin. ЬсА — 9,9 4 1 4 7
1э,о554 •
I. sin. c\d ~ g, 28883 log. Ad — 2, 7 7 i 5 8
log. Ad ~ 7 7 i 58
I sin. Adb ~ 9,8 8 3 19
log. Ab ~ 2,6 5 4 7 7
A6z^4^ '>6a
II гппкъ высота Ab~4i>t, фут. дюй. Пусть высота астролябии Се ~ 4 фут. будешь высота башни АВ~455 фуш. 7^ д.
Вопросъ 7.
S- 5о.
ОпредТкчнть высоту башни АВ по-Черт’ строенной на гор'Ъ ВС.	*4»
Р Ъ III Е Н I Е;
Возми за ocnoBanie известную лии1ю DE; поставь аегпроляб!» сперва въ D , а потомъ вЫ;, и смеряй углы ALD,ADC и EDC. Изъ треугольника DAC получится AD ~ а изъ треугольника ADB найдется АВ — AU sm. ADE
si». abd~ ' Alycnib осыоваше DE ~ з85,5 фу-
шамъ
(	122	)
£. AED =38э, 27'7
L ADC “ 44, 5i и
/ BDC _zz 40, g;
будешь Z DAE = ADC — AED — 6», 2.4', Z ABD ~ 1800 — Z DBG — 90" Z BDC ж ZADB ~ ADC — BDC — 4", И птакъ
log- DE—a./JSSRoGi log- .rm. AED —
а-а^оа-ЯЯ
log. sin. DAE— q,, 4715’8 los- AD — 7 am • ->5o
посему AB ~
log. AD — J.aoanSo log. sin. ADB — 8,q,3
a 115K137
log. sin. ABD — 9-ЯВ' 4oy4
log. AB —a.a3a3i5y
170,73 футзмъ.
В о п р о с ъ 3.
$. 5 г.
9ерш. ОпредЪ тть рачстокше двухЪ пред-1Э* метовЪ А л В, мечсдг копун нахоаптся какое ннесть nperuimcmsle} какЪ иа. прн-мЪрЪ прудЪ.
Р 1 Щ Е Н I Е.	\
Избери точку С , отъ кпгпорой можно 6т было см'Ьпить лшпи АС и ВС ; поставь астролябию въ сей точкЬ С и направь неподвижные, диоптры въ А, а подвижные въ В- заметь число градусовъ и минуть угла АСВ, чрсзь что будешь илгЬть.
АВ ~ V АС’ 4- ВС* — зАС . ВС. cos. С.
( 1зЗ )
Пусть АС = то;, ВС = 211 сажейямъ 7 и Z С~ 113°, аб'; будешь
АС2 — nZJo
ВС2 = 44 521
АС2+ВС =г-5-9-о
— а4С. ВС. со’. С — 4- i;.o57
АВ 2 — 73,927
?о<;. з — o.SotoSoo log. VC---2.О2гЗ^?3
log. ВС — 2^'2^ |8аЭ log. С =9,5995557
log. зАС. ВС. СО’. С --4’25.,232О
посему АВ ~ J/ 73927 — 271’9‘ Здесь заме-эттлпть должно, что членъ-—iAC. ВС cos. С получаешь знакъ-|-по тому, что Z.C тупой и следовательно cos. С отркцателднъ.
Вопросе 9.
 S- 52.
О/дгеЛ^литт, ралстояше двуэсЪ пред- черт. ыстозЪ А п В , которые отделены одинЪ оьгЪ другого р’Ъкою.
Р Ъ Ш Е Н I Е
Избравъ известное основанie ВС , мепяй астролябию углы СВА и ГСА: бхдстъ АВ: sin. С — ВС : sin. А: откуда найдется ABlt TtC- fin. С
Положить, что ВС ~ i6Q3 футамъ, Л.Ъ~ Вэ°. 20. и ZC.—З9, 4р; будетъ ZA = 77". Вотъ <лзчислсн1е.
Ion. ВС ~ З.2260841
. log. sin. С ~ g,S©5o383
37c3i 1226
< I24 )
log. sin. A ~ 9,988723g
log. AB ~ 3,0420987 ; елТдожашельно разсшоявйе AB ~ поз фу. П1М&.	i
В о п ₽ о с ъ jo.
S- 53.
Черт. Определить разстояи1е двухЬ пред-*’ метовЪ А л В, язЬ которыэсЪ ин кЪ одному подойти не нож по.
Р ГЬ Ш Е Н I Е.
Избери тпакое освоваше CD, которое бы было по глазом'Ьру сколько возможно параллельное къ АВ. Поставь асшролябтю въ С, и неподвижный д^оптръ паведи на точку D, а подвижный на А и на В. Переставь пошомъ астролябию въ точку D, и поступи такиаъ же образомъ, какъ л прежде; чрезъ что углы ACD , BCD и CDB, CDA будупгь известны. И такъ. два треугольника CBD и CAD даютъ.
CD. sin. (.DB stn- CBD ~ ?
£ Y __ CD. sin. CDa
sin. CAD ~~ ’
и тттпеуголъникъ ACB даепгь
A-k = CA* -J- CB* aC4 . CB . cos. ALB. П)Сть основаaie CD — 5oo саженямъ, ZACD
( T2J )
— it7°, >5'; ZCDB —94% з5', ZBCD 3$’,
□o; _СВА=аЗ; 5o; будет*
ZACB = 77°, 55', ZCAD = 38, 55, ZCBDzz^G, i5,
II такъ leg. СП—16.^9700 log. sin. CDB —	°^4 = 2.6976784 log. sin. CBD ~ g»8. 87661	log. СГ>=^9Я970в log. sin. CPA —9^4 i7 3.З054З47 log. sin. CAP —9-798u9°6 log. СА — 3.507З-М1 Ing. CA1-=5.01^'83
lun. С С = 3,8189^3	
log. С В 2—6.87784	
СВ-1 — 1 бзбо	I, g. a — o 3oio3oo
СА»—io’‘4 о	log.	з.5в'344х
	I <g. СВ — з,838цзз3
	
СА - + СВ 2—379700	log. can ACB “ 9Л2П 4°o
a JCA. СВ cos.С — 95 .2’	’4.9681364
АВ» —48G7-4	
log. АВ’—’•,68-83-4	
leg. АВ = 3.843(1637	
Посему искомое разегпояте АВ — ^97)^.9	
саженец.	
В о п p о с ъ и.
$. 54.
ОредЪлить разетоише двутЪ пепрп- Че-ил. ступныхЪ предметов!) А и В, когда м'Бсто- *&• положение не дозволптЪвзятътакую лп-п'ио, которая вы не весьма много отдалялась onib параллельной оному разсто-ЛН1Ю АВ.
( ) ' Р Ф Ш Е Н I Е.
Возни за основание лишю CD, которая бы была почти перпендикулярна къ АВ. Поставь асшролиб1ю въ точкЪ D и смеряй углы CDA и CDB. Пошомъ изъ точки С слГЬряй углы DCA и DCB : Ьудетъ
CD sin» CDA sin. CAD 9 pp __ CD sin. cDB
C	CBD >
и лзъ треугольника ACB произойдешь ABa — СА 4- СВ — зСА . СВ cos. ДСВ. Пусть ocHOBaiiie CD — 700 футамъ,
Z. DCA — i2i°‘, Зо'; Z CDA ~ 17°, 5о'  Z DCB ~ 12З , 15; Z. CDB =20, 5, будешь
ZACB “ п5°, 15',
, ZCad — 40 , 4°, ZCBD — Зо , 40.
II шакъ надлежать учинишь следующее начисление ;
( «7
leg. CD —2,8430980 log. sin. CDA — 9,4860749
9.3311739
log. sin. CAD —g.Sijoioi
log. C A — з,51715-> 7
log. сАя —• 5.<>343o-4
С.Л — »ь8ззо
CBl — 1"зоз5
САг + СВ» — 37’-.Ц5 зсА. сВ со-'. С — + 112970
АВа — 3^3-215
)
log. CD — 2,8450980
log. sin. CDB — у ЗЗЗуЙЗз
2,3808812
log. sin. СВР —9.7760897
log- cB — 2 604 iS
log. CB2 — ,2095830
log. л — o,3o<o3oa
log. CA-=	2,5171537
log. cB—	26.4-9 *5
log. cos. ACB —(—) 0,6299890
tug. CA. CB cos. C — 5.o5'2g(i4a зСА. cB cos. C —	112970
слФдовятельно разешояые AB ~ Jz 3^3ai5^z 619 фушамъ.
Вопрос!» 12.
S- 55.
II ч\ д вухЪ тпочекЪ D и E, определить черт. взаимный разстоягйя между тремя не- ‘У’ приступами к, предметами А, В и С. - *•
Р Ъ Ш £ Н I Е.
СмЪряй основание DE ; поставь астролябии въ D, и неподвижные дпшшры наведи на точку а подвижные постепенно на А, В, С и аам'Ьть у лы ADE, BDE и CDE. IToBiovb поставь астрольб1ю въ Е, паведи неподвижные диоптры па точку 1), а подвижные на точки А^ В и С, и аам'Ьшь углы
AED, BED я CED : разтояшяг AB, AC, AD, AE, BG, BD, BE, CD и СЕ определятся следующим* образом*:
Изъ треугольника DAE, въ котором* угол* DAE — i8o° — ADE — AED, прииз-
ходишь	др- __ DE. sin. ADE sin, DAE 1 JUJ	DE»	AED sin. D A.E •
— i8o° — i	някъ DBE, у котораго уголъ DBE - BDE — BED , даешь j>T\ - , DE' jizr, BED — sin. DBE~ •> T>"p*	- DE sin. BDE sin. DBE *
Трсугольникъ DCE, въ котором* уголъ DCE ~ 18о° — CDE — CED , даешь
	Q j} 	DE tin. CED * sin. DCE > Q£j	DE sin. CDE sin. DCE •	*
Наконец* треугольники AEB, ADC и BDC даютъ :
АВ = АЕ’ BE’ — аАЕ . BE. cos. AEB, AC’ — AD’ + CD’ — 2AD . Cp. cos. ADC , BG’ — BD1 4- CD’ — 2BD . CD. cos. BDC, Положим* , что основание DE — 5y4 Ф)1ТГ'
	( *2£	)	
ZADE —	i 5 i°, 4 9'	ZAED —	г 7°, 4 4-'
ZBDE-~	i о 5 , i .8	ZBED =	63,34
ZCDE—	52,27	Z.CED —	109,56;
m о будут*	у>лы		
Z.DAE z=	I oJ, 27'	ZAEB —	4 5е, 5 a*
Z.DBE =	11,	8	ZADC =	99л 2 2
ZDCE —	i 7 > 3 7	Z.BDC =	5 2, 5 i.
II так* надлежит*		учинишь следующее	
изчислеше :
cj co i . ci in - - ! ci ОЭ о с* н щ д • s t-is % v: 4 l' ч H* n. ", C cr.| cs O-. x -.11	II	II	II	И ш	Ы	[д	ы	Я Q Q	< < .	<	Q - -S л ,1 So	* •	no S	-S	log. DE — 2,7'89119 log. sin. AED —9.48З7117 2,24*26256 log, si n. DAE zzz 9 ч^58583а log. AD— a.9840404 AD —964.
log. DE— 2.7589119* og.l sin. BED —: 9,943.0428 ,	3.7109547 log. sin. DBE — д,й85ч^ • i log. BD — З.^аэ ibbG ED ^^2662.	log. DB—2-7589119 log- sin, BDEzzz.9 98^281 2,743240° log. sin. DEE — 9,oS57C6* log. BE — 34^4730 BE — 2867
log. DE — 3,7569119 log. sm. CED — 9.97З1694 □•7^ao8i3 log. sin. D£E — 9 4809^6 log. CD — 3,3 ,1144? CD —1787.	log. DE — 2.7'89119 log. sin. CDE — 98991766 2>658o875 fog. sin. DcE — 9 48 9'^6 tog. cE — % 1771509 GE i5o4*
9
( 130 J
log. АЕ 2 =6,349o83<>
log. BE» =6,9149478
AE — 2284000
Bl д — 82214’8
АЕ» + ГЕ»= 104554^8
— 5972018
AB 2— 44834^0 АВд = 2117.
Al) — 6,q63o8«8
log. С.П a —• I'i,5o22884
AB 2= 929140
•B2= 317F997
ad» + cD2= 4!°8,’a
+ 5 94 4
Acasx 4667 556
AC —?2i6o
los* -----° З010З00
log. Al = i74"4»5 log. в г —	^74739
Zog. cos. AEB — 9гЧ’*о7э7 6.7761211
2AE. BE. со/. AEB — '«972018
/.4.	— 0.Л010З09
fog. AD ~ 2- 9s4°4°4 log. cD = ip5n447 log. cos. ABc— (—) 9,2115э63 (—Jj,"4774*4 2AD.cD.cflj.ADc— aJy424
log. BD2=6 85o3772
lug. cD. ——. 6..'»• 2891
ED 2— 7085610
CD-z — 3178992
В Da + cDi— 1 02 •4002 _ 5-З2З2Ч
ECs= 45^2274 Eg — 213g.
log. 2 — о.ЗрюЗоО log. BD —3,42.51886
log. cD = 3.a5n447 log. cos. BDc — 9.7809677
,75833io
aBD. cD.<o. EDc— .702328
ГЛАВА \ Г.
Дальнейшее изслйдоваше тригонометрически лЪ формулЪ.
0EOPEMAI.
§• 56.
Ежели буквы а п Ь пзобр'ажаютЬ как1е Нерот. ни бу ’ь два угла; то будегпЪ г
sin. (а -) b) ~ sin. a cos. b. 4" cos. a sin. Ъ.
cos. (а 4- Ь) — cos. a cos. b. — cin. a sin. b.
X	
/Доказательство.
Изъ точки С , какъ центра , рад|’усомъ СА ~ I , опиши дугу кру г a ABD ~ а b f и отдели отъ оной дугу АВ “ а ; будешь уюлъ АСВ “ а , д. BCD ~ b , и слЪдовательно
VCD ~ ггПроведи лиши BE и ,DG перпендикулярно къ АС , линпо DF перпен-дч .\лярпо къ ВС, линно 1*Н перпендикулярно къ АС и литю 1 К перпендикулярно къ DG, мы 6 демъ ииЪтЬ :
— sin.	а,	СЕ ~	cos	а.
--	,	CF —	cos.	b-
DG — Sin,	(a	.	CG _	cos	(„4.74.
Поелику A CBE co	A	CFfI и	ADFK 00 A
CRE, MtciHo имЪшь будушъ слФд^юпця про-порцн»:
( 132 )
'	CB : ГЕ = CF : FH ;
СВ : СЕ ~ CF : CH ; CB : BE = DF : FK CB : CE — DF : DK;
ызъ кошорыхъ произходишъ
FJ1 ~f g-- — sin. a cos. b\ r-r _ cE-. CF	.
CH zz ~в— — c >s a cos. b\ “	CD
T7TX _BE . DF	. g
г К ~—jTg- — sin. a sin. v\ t\tz  CE • DF__
UK — —— — cos, a Sin, a.
Опткяди , поелику DG zz FH -p DK и CG zz CH— FK, мы получимъ
DGzz ,</<?. (/? + *) zz sin a cos. b -f- cos. a sin. 6;
CG zz cos. {a -J* 6) ~ cos. a cos. b — sin. a sin. c. 0 £ О P E M A 2.
S- 57.
Ретин буквы а и Ь цао(’))ажаюгпЬ какю избудь два угла j шо будеп.Ъ
sin. [а — Ь) zz sin. a cos. b — cos. a sin b\ cos. {a — b) ~ cos. a cos. b a sin-
Доказательство.
Черт. Бь кругЪ , ко< го рядхугъ СА ~ I , вЬзми 21' уголъ АСВ zz a u j юлъ BCD zr b , дабы им1ииь1 уголъ ACD ~ а— b ; пошомъ проведи линги:
( 133 )
BE ~ sin.	a ,	CE “	cos.	a,
DG ~ sin.	b,	CG ~	cos.	Ъ
DF = sin.	( ' — i), CF =	cos.	{a	— b)- .
Някопецъ , продолживъ	прямую	DF, проведи
GL параллельно AG, и GK перпендикулярно къ AC. Поелику ACBL C\5 ADGL , я Д CBE CV CGf , шо будешь
CE : BE = CG : GK,
CB : CE — CG : CK,
CB : BE ~ DG : GL,
CB : CE — DG : DL, откуда найдется
BE. cG _ •	j
GK — —Tn— ~sin. a cos. b. G15	*
Z1 tz cE. cG __ »
CK ~	— — cos. a cos. by
BE. DG .	«w
cc —	— — sin. a sin. b. ,
LD	T
ТЛТ -- DG _____ .	,
— ~cB^ — €as* sin* b*
И такъ, по причииЪ что
DF — FL — DL — GK — DL , и
CF — CK + KF — CK 4- GL, мы будямъ жм-Ьшь:
yZH" а — sin. a cos. b — cos. a sin. L г 1 I — > os. (а-^Ь) ~ cos. a cos. b sin. a sin. b.
'lepm.
2<.
Другое доказательство предьм-дущихъ ОЬоремъ.
С. 58.
V*
Сипусъ и косинусъ CJ М Ы И рЗ?ПОСТ71И дн , КЪ Д ГЪ П^ЙПШ МОЖНО вдр\ [Ъ , с.сРдуюшг1 мъ об-рдзомъ : /
Еозми дугу АЕ — а и ЕВ ED — Ь , и проведи лиши } какъ изъ чертежа явствуешь; будешь
EG —	sin.	а ,	CG	—	cos.	а ;
ВЛ —	sin.	b,	CN	—	cos	b‘
BH —	sili.	(a 4-	5),	CH	—	cos.	(«4“^);
BF ~	sin.	(a —	b],	OF	—	cos.	{a —	b.
Явно , что
sin. (a 4- b) ~ IXK 4 BL,
cos. (a 4; b) ~ CK 4~ ЛЬ.
Но прямоугольные треугольники СлК и BNL • даютъ въ слЪдешвте § з5 :
ЛК	— CN sri. а ~	Sin.	a	cos.	b
EK	~ CN cos. а —	cos.	a	cos.	bf
IXL	— ВЛ sin. а ~	sin.	a	sin.	Ь ,
BL	~ BN coy. a zz	cos.	a	sin.	b,
г тТ>д о в a m ел ь н о fiy д e 11 j ъ
Sl,l‘ (.a WF—- s^r1, a cos~ b 4; cos. a sin. b. cos. (a 4~ b) ~ cos. a cos. b 4“ sire- a sin. b.
( i35 )
При с ов о купле н ie i.
5Э.
Черпь
Bcl> fin формулы доказать можно еще, .4 разсматривая простым шреугольникъ кое:о три у«ла А , В , С nyi шь означатся буквами р, q, г. Поелику синусы сихъ угловъ относятся между собою, какъ противоле-жапця стороны (§ то положивъ АС zz п sin. q, ft'jfifivn» oliiuh LC zz n sin. p и AB — n sin. г-, по поелику r ~ 180° — (p + q) mo будешь jin r zz sin. (p q) и AB ~ n sin. (p-J~7). Lraib'H мы опусшимъ на сснован1е AB п< риендикулярную CD, in о получимъ (§ ээ):
AD zz AC cos. p ~	n cos. p	sin.	q ,
BD zz BC cos. q zz	n sin. p	cos	q.
И такъ, поелику AB~AD-f-BD, будешь AB — n sin. (p -f- q) zz	n sin. p	cos.	q -f-	n
cos. p sin. q , или sin.	\j) q) ~ sin. p	COS*
q -f- cos. p sin. q.
Положи мъ	zz —J‘\ будешь
sin. q zz — sin. f, COS. q ~ -f- cos.f'^ и слЪдпвашельно •
sin. (p> —— S;1U p COS'J — Cos. p sin.'f.
Пусть q — go0 — g ; поелику cos. q — sin. gf	1
sin. q ZZ cos. g,	( (§ 8^
sm. (p -J- 7) zz coy (g — p) ,1
( ’36 ) mo найденное для sin. (р q] выражете переменяется въ следующее :
cos. (g — р} ~ sin. р sin. g 4“ cos. р cos. g.
Лолсжимъ g ~ — h; по причине что sin. g — — sin. h и cos. g — 4" cos‘ г мы. получимъ
cos. (p  |- Л) “ — sin. p sin. h 4“ cos. p cos. h. . II такъ мы удостоверяемся , что вообще, когда а и & изобряжаютъ кате бы то ни было два угла, то будупгъ иметь место четыре слТ-дуюпря выражения :
I. sin. (а b) ~ sin. а II. sin (а — 6) — sin. а III cos. (а 4* Ъ) — cos. а IV. cos. (а —	= cos. а
cos. b -р- cos. a sin. b. cos. b — cos. a sin. Ь. cos. Ъ •— sin. a s*n. b. cos. b 4- sin. a sin. i>.
ПрНСОБОКУПЛЕHIE
2. ‘
S- 6о.
Когда изъ сихъ выражений мы раздЪлимъ I. на III. а II. на. IV; то, по причине чгпо
= tan& (,a + b) (S мы получимъ:
. f , x sin. « cos. •'Л-cos, a sin. Ъ tang. (a 4- 6) — ----------------------:--------• a
c \	' cos. « co . —a i b 9
	/	7 \ , siu- ci . b^cos. a sin. i
lang, a — b) ~---------------------- - — - •
42 v	' cos. a cos. a sin. b J
& естлм числители и знаменатели сихъ дробпылъ выражем1Й раздЪлимъ на cos. а >4. cos. Ь} то оныя примутъ хлВдт ющш щщъ:
( ^7 )
.. _ tang, e^-tnng. >
tang, [a-\-b) — t _ ,an. fl7„g. b >
.	_____ ta-g.a - Ъ
tang, (a ~ bj j ^.tcjg aiang.b*
Впрочемъ ссшьли кому cm аналитически доказательства покажутся недовольно строгими, тошь можешь совершенно удостовериться въ истинЪ упомянушыхъ двухъ выражена чрезъ посредство двухъ слЪдующихъ веоремъ.
0EQPEMA 3.
S- 6l-
Естълп буква а и Ъ нзображаютЬ как1е нкбудъ два угла; то будетЪ'.
.	t 	7 \ _ tang, а 4- la g. Ъ
tans. (а -4- Ь), ~ —£---£
О v ।	/ *	1 — iarig. a luiis» Ь
Доказательство. ' -* •
Возми въ кругЬ, коего pajiycb'АС ~ г, уголъ ACD “ а я уголъ BCD~ 6; сверхъ того проведи касательную FDG, и къ АС перпеи-Дикулярную лин!ю FE, которая пересЪкаегпъ рад!усъ CD въ точкЪ _£1. Явно, что DG ~ fg. а и DF ~ ta. Ь\ но подобные треугольники GCD и HFD даготъ CD : DG — FD : DII; слЪдовательно DII ~	~ t°nS’ а t^ng-
b, и CH ~ CD — DH — I —. tang, a tang. b. Подобные же треугольники СНЕ и FGE даюшъ
( 138 )
CH : CE ~ FG : FE; откуда произходитъ ef___ fg „
CE — ей- Ho Поелику
FE	_
— tang. ECF — tang, (a -|* 0, и
FG ___ DG- 4- DF __ tang» a 4- fang, b
G*H	CH	I— tang,a tang» b 5
то будешь:
,	/	1	7\ _ fang, a J- tang, Ъ
tang; (a 4- b) zz £—-—
'	'	I — tang, a tang, b9
6 E О P E M A 4-
$. 62.
Черт. Ежелп а и Ь представляютпЬ как1с пи-будь два угла ; то будетЬ :
tang, la —b}~
Доказательство.
Пусть уголъ АСЕ ~ а уголъ ACF = Ь и рад1усъ СА ~ I; явно, что АЕ — tang, а и AF ~ tang. h\ и потому EF ~tang. а—tang. Ъ. Чрезъ точку F проведи лин1ю GH пер-гтндпкулярпокъСЕ; поелику A CEAccFGA, а Л FHE op ACHG, то будешь :
АС : ЛЕ = AF : AG, и
EF : CG = FH : ЕН.
Первая проиоридя даетъ
. Р,	АЕ . АЕ  
AG _ —дс— — tang, a tang. Ь;
» и потому
•( )
CG — AC + AG = i + tanS‘ a tanS- b-Изъ второй же прдпорщи произходишъ Ь' _ ш . fh _ tapg, FCE= tang. (a—b), CG — CH ’ H CH	°
„ EF _ AE- AF — '£• ° ~'P- Ъ	с УЬдОваШСЛЪНО
“ CG— CG — i-h-ij.qrg.A ’
__ lane- я — tavg. Ъ
tang- [a U) t i lang. a tang. 'I *
Какъ узъ сихъ, такъ и изъ оредъидущихъ ееоречъ вывести можно слТ>дую!ц1а сл’Ьд-ciiiuia.
С л Ъ д ст в i Ё I.
§. 63.
Иоложимъ в формулахъ I и III (§ 5g) 4<Ч±/г, 6 дегнъ
sin. за — zsin. a cos. а, и
cos. за ~ cos. а' — sin. а*. г
СлЪдствхе з.
§• 64-
Когда въ семъ пос.гВднемъ выражппи поставу •къ I — cos а' на мФсто sin а* (ибо изъ g 2О зпаейъ, что sin. o’ -|- cos. а' — lj } то пил\чимъ
cos. за — 3cos. а9 — i ;
а естьли , въ тогъже выражен1и поставить I sm. сС ца мЪспю cos. а7 (§ зо), шо произойдешь
( *4° )
i —
cos.
2П
2sin. d
Изъ
сихъ
двухъ
уравненш найдется
COS.
I + еог. аа
sin.
т — cos. 2а
и
изъ коихъ получится
tang.
________ JiW, ЛС — и'П',
coj. 1а
___........______
1 +с-О5. ia 9
_	ГОГ. л
cot. а ~ ------------
sin. а
! 4- rn.C. 2Л
I — cos. ал 9
откуда сл'Ьдуешъ еще, что
( I —cos. (i — CCS. ia) ____ I—COS. la
la
(i + cos. la) < I — cos. 2^)
cod a~
sin, 2a
I—cos. 2a
СлЪДСТВГЕ 3.
S- 65.
Въ первой формул!» I 5g) положили» b ~ 2a ; будешь
sin. 3a ~ sin. a cos. 2a -J- cos. a sin. 2a. Но поелику cos. 2a — I — 2 sin. a (< 6j) и sin. 2a — 2sin. a cos. a 63), то будешь sin.- за — sin. a — 2sin a 2sin a cos. a*, п поставишь i — sin^ a-> на м-Ьсто cos. ar} произойдешь
sin. 3a — 3stn. a — fain, а5, и
sin. a? — I sin. a isin, за.
( 14* )
с Л Ь Д с Т В I Е 4-
S- 66.
Въ третьей форчулЪ III (S 5g) положить шакъже Ъ за\ будешь
cos. За — cos. a jcos. за — sin. a sin. за. Но cos. за “ 3cos. а2 — i (}' 64) и sin. за ~ asin. a cos. а (§ 63), сл'Вдоващельно
cos За 2cos. а5 — cos. а — 3sin. а’ cos- а\ и rcinwui на м'Бсшо sin. а* мы поставить I — cos. а', ши будешь
cos. За ~ 4 cos. а' — 3 cos. а и
cos. а~ " ’ cos. а + ’ cos. За.
СлЪД€ТВ1Е 5.
§. 67.
Есгпьли мы сложимъ вмЪспгБ I и И, а плшомъ III и IV* выраж<*н!я € 5g , и паслЪ того вычтемъ II изъ I, и III изъ IV, то получилъ слЪдуюпйя:
sin. (а	_|_ sin. (а	— b)	~	з sin. a	cos.	b,
sin. (а	6)	— sin, (а	— I,}	—	2 cos. a	sin.	b,
cos. (а	b)	-{- cos. (a	— b)	~	з cos. a	cos.	bf
cos. (a — b)	— cos. (а	ф b)	—	з sin. a	sin.	b,
Откуда пмЪемъ :
sin. a	cos.	b ~ ’ sin.	(a	Z)	-f- ’
cos. a	sin.	и ~ ~ sin.	(a	 f-	Z)	— ‘
cos. a	cos.	b " a cos.	Cfi	4-	b)	4" ‘
sin. a	sin.	b ~ 2 cos.	(a	—	b)	— -2
sin. (a — b^t sin. (a — Z), cos. {a — u)f cos. {n -f- b-
С Л 1 Д c X В I E 6.
§. 68.
Положимъ a b ~ p и a — b ~ q. 6y-дргоъ a — -z (p 4- 7), Ъ — \ ip — 7) и первый чеТпыре выражения переменятся на слЪдуиищя :
sin. р 4" sin. q ~~ 2sin. \(р 4“ 7)  cos'' (Р — У)? sin р — sin. q — 2COS. 2 (р 4~ 7) sin. 3 (р — q) , cos. р 4“ cos. q ~ 2cos. ~ (р 4~ 7) cos.1 (р — q), cos. q — cos.p ~ 2sin. -z Ip 4" 7)- sin. '-(p — q).
С л Ъ д с T В I E 7.
6q,
si U с.ихъ четырехъвыраж?н:й произходятъ ел1>дуюш!н;
I. ‘"’-M,— tang. ip 4- q\ cot. \ ip — q) stn. p — stn. q	Q i i i /	л	J у
sin. p 4- *irv n _ . .	4
2.	tans;. - {p 4- <7),
cos. l> + cos. q	О^Ч I//7
3sin. p 4- sin. q ____ .	x
— cot. - (p — q).
cos. q — cos. p	л v	Ils
f sm.p — sin. <; 	, .
4.	- - — = tans. (P —	«
 cost p 4- cos- q	о \J jfi
M sin.Q — sin- * _____ . t ,	 ч
5.	— cot. 3 (p 4- »),
co w q — cqs* p	1	’	* f
&	-c°‘- j +?>
( >43 )
С л Ч д С т в I Е 8.
£• 7°-
Поелику cot. \ 'р + 7) —	 (/>+ ) (S 24)-
гпо пятпая изъ последиихъ формулъ сд1з-лается tang, -Jj) ф- д) —	~ч’ 11 Ч1"1'15
сравнивая tiro формулу со второю, получимъ;
Сл’Ьдстбте д.
S- 71-
Естьли въ последних?» $вухъ формулахъ (§ 68) на мЪсшо р ф- д и р — д напишется 2 (а ф и 2 (а — 6), то будетъ р — за. и д~зЬ, и произойдешь
cos. (а ф- Z ) cos {ft — b} ~ ’ cos. за ф- \ cos. зЬ. | [ cos. за ~ cos. а‘‘‘ —
Но
• £ 64),
Jjcoy. зЬ ~ \-sin. />’, СлТ>д бвп т ель п о
со.?.	cos^ fa —	— cos. cP.— sin. b'.
.Подобц],!^^ образомъ будетъ
l" \a-\-b}sin.{a — b)—'-cos.3b — \ cos. за.
HojcoA26 = >__^ и
^cos. 3ц ~ л — Sin a> следовательно
sin. {a Z>) sin. (a •— b) — sin. a'—sin. b'.
( i44 > Присовокуплена.
S- 72-
ВсЪ cin и еще друпя формулы, который изъ предъидущихъ легко выведены Оышь могуи!Ъ, весьма часто въ Аналитик!) и въ Геом*ешр1и употребляются, поелику оный часто слчжатъ къ приведенйо въ простой видъ весьма сложеннычъ выражений, какъ изъ слФд^ощихь главъ усмотришь можно.
ГЛАВА VII.
Приляжете предЪидущизсЪ формулЪ кЪ рЪшсмю геометригескизсЪ вопросов!).
* В О ПР О СЪ I. -$• ?3-
/Ханы одинЪ изЪ острыэсЪ угловЬ и площадь прямоугольного треугольника f сыскать ссЪ стороны она о.
Р Ъ Ш Е Н I Е.
Пусть уголъ ВАС ~ а, площадь треугольника ЛВС — сс , АВ — ас и ВС rs у, будешь лу zz. 2сс и у ~ tang, а (§ 27). Изъ перваго
уравнения полу чимь у— ~ , а изъ виюрыо у — x.tang. а, следовательно будешь x.tang.
a~ZC, или хл=2~-а. И Л1дкъ 6}детъ
ЛВ ~ х ~ cv—-----,
lang, а >
ВС —у — eVa tang, а, и
_	2cV sin. ал +с0^ ft3
ЛС ~'^хх-\-уу- у-а--—7^=- = ^.;
(§5 20 И 63).
' Вопросъ а.
$• 74-
Даны вЪ равнобедрсииимЪ треугольник!) */ерпг. АСВ стороны равные АС к ВС, «углы. ACD 2t*' и BCD, между оными сторонами и лишен) CD содержащееся; сыскать лннею CD.
1/'Ё Ш Е Н I Е.
Пусть АС — ВС = а, ZACD — а , Z BCD — /? u CD — х, будешь
AD = и BD — (С 28).
Но АВ — AD 4- ВО, шо есть АВ =	t.^^)-
1	1	sin. А >
следственно х ~ —АВ s,n'h. _	Посликужв
sin. ct + sifl' (3	**
ЛВ : sin. С ~ ВС : sin. А., пго будешь АВ х sin. A n ВС sin. С ~ а sin. (а -|- /3) f и потому
„___ “ (а + в}
2С .
»П. а + III:, ff •
ю
( ^6 )
По язь § 63 явствуешь что
sin. lu 4~ ft) — 2.SIH. 1 (« 4~ /•?) cos. 1 (а	0) i
и изъ § 6 6 , чшо
sm. а sin. ft ~ zsin. ~ (а -f“ Р) cos- — ft) слЪдовашельцо будешь
a cos.к +/3)
CD — X — -----77--
COS. —
Вопрос ъ. 3. ,.
S- ;5.
Даны вЪ равнобедреииомЪ треугольник!} АСБ лпшя CD нуглы между оною п сторонами равными содержащееся. ; сыскать всЪ стороны.
Р ft III Е п I г.
Пусть CD — a, L ACD — a, L BCD и АС — ВС ~ х} поелику
ZA = ZB —о» —	,
с/	*
то будешь
ZADC — В -f- 'ft — 9о”
Но sin. А : sin. ADC ~а : х (§ а8) , следовательно
АВ : sin. (а -|~	— х : sin. А , ♦
то будешь
AJJ   ДГ д'»-(« + /?)   СЬИ- (о +/3)со<. J (а—/?) — соь1(а+Д)
( »4? ) '
По sin. (« -4- ,5) = 2SilU i (« -h 0) COS. 0+ ft
(§. 63), почему
эл лл. 4 (« + '?)cos- 5	-	.
AC=—-^7»-------------------------’
И какъ ИЗЪ 5 22.
coj. j (a + 6)	, .	, a\
—4~------ = cot. (a + /3),
i (“ + p)
aa cos. i (« — /?)
mo будешь AB —-------~--------------•
c-~s. ~(a + p)
ВОПРОСЪ 4-
S- 7C-
/Jtmu стороны n углы косого парал-'^р™. лелограмма; сыскать углы содержащееся между дгагоналлми при точк'Ь пресЬнепсч. О.
Р Ъ ш Е Н I Е.
Пусть АВ ~ af AD ~ Ъ f ZB ID — у и
z.nr.	’ _АО +D0i-M,
ZAOD ~ (р , будешь cos. (f> — —SCb . DO—
($ 3i). Ho AO’ -|“ DO* ~ \aa \bb. 
(ОтдЪл. I. § 34) , слФдовашельно aa — bb CO5‘ 9’ = 4ето--
Поелику же
АО : AB — sin, ABD : sin. у и BD : AD — sin.	: sin. ABD
ruo получимъ
($• 28),
* *
( )
AO ~ Л'4”-АВР и BD _ sD0 __ ATLj/n. у sin, ABD >
sin. следовательно
ДАО . DO — .a.°* .±:2 sin. ф Э
и Потому будетъ
___ _ (аа — гЪЛ sir. и>	еп — Г1 cos. д> — -— —   или cot. а. ———
'	aab sin. у »	7 au£ sin. t
Вопросе 5.
S- 77-
Даны двЪ стороны треугольника, и литл уЬлятая уголЬ , между ими солер-жамрйся, по поламЪ; найти сей уголЪ.
Р Ф Ш Е И I Е.
Ч'Р®- Изъ вершины искомаго угла С , рад|усомъ СА, опиши кругъ, и проведи ВС до мресЪ-чешя окружности въ F ; соедини точки А и F прямою AF и опусти пзъ С иа AF перпендикулярную CG.
Пусть АС — «,ВС — CD — сиХЛСВ = gj, будешь
Z.ACF r= i8o° — у , ZACG = до’ — | у, « AG = АС. sin. ACG (J a5j> то есть
AG — a cos. и AF — за cos. | у. Но ВС ; CD = BF ; £F,
Докуда получимъ
( J4f) )
AF — -D	— 2a cos. ’ tp г
влФдовашсльно
_______c( n + f>) cos. 2 у —
Вопросъ 6.
S- ?s-
И»Ъ вершины большого остраго угла G прямоугольного треугольника ACF } pa-д1усимЪ равныиЪ меньшему катету CF, списапЪ кругЪ перес’Ькаюцрй гипотенузу АС твЪ точк’Ь Е: даны АЕ u AFj найти уголЬ САГ.
Р U Ш Е Н I Е.
Пусть АЕ — а » AF ~ b и ZGAF — у. Продолжи АС до пресЪчешя окружности въ D, и поелику АЕ : AF ~ AF : AD, будешь д тх AF* _ ЪЬ
AD — АЕ = Т ’ ПОче«У
DE=—— и CF = ±=^a. Но а	2Л
*s- 9> — (S 27), слТдовательно tg.cp — k^‘--
Вопросъ?.	/
.$• 79-
ИзЪ вершины О тупаго угла треуголь-Черт. ника АОЕ, меньшею стороною О А. описанЪ ^°. кругЪ пересТжаюирн проч1л стороны бЪ точкатЪ С к D; ДОн^ СЕ, DE и АЕ;ндй-пт уголЪ АЕО«
( i5° )
Г Ъ Ш Е Н 1 Е.
Продолжи сторону ЕО до пресЪчешя окружности мъ В; пусть
ЕС ~a, ED — Ъ, ЕА ~ с, и ZAEO — у, и поелику	,
ED : ЕС — ЕА : ЕВ, будешь
ЕВ _ -Td— — —; почему
BD — ЕВ — DE — ~~~ Ь У
АО —	-BD — —-ЛА.
2	1 л >
ЕО = ЕВ — АО — -±^ а А »
и 1 О — АО’ — ас.
Но ео,. v -	($ 31),
слЪдовательно
cos. <р — л^_+£),
В о п р о с ъ 8.
§. 8о.
По даннымЪ углам!) и периметру треугольника, сыскать стороны онаго.
Р 5 Ш Е Н I Е.
АС
ЧеРпт. Пусть периметръ = а и АВ будешь " И ВС (S
( 131	)
По АВ Ц- АС ф- ВС ~ о, шо есть
следовательно будешь
_	<2 sir. С
' sin. А 4* '‘in. В ф-
Пр и с о в о к у иле н I £•
$• 8i.
Какъ счя формула къ логариемичс скому изЧисленпо не очень удобна , шо заметишь надлежать что sin- С — sin. (А —|— 1>) , и слЪдовательно
a six. (А ф- В)
sin, А + sin. В 4- sin. (А 4- В) •
По sin. (Аф-В) — 2sin. (Аф-В)сол-. ' (Лф-В)(§ 63) и sin.\-\-sin.V>~аяпф(Аф-В).0<мг.£(А—В) (§68), следователь ио
a ens. *- (Л -J. В) со-*- i (А — В ) + cos. (А + В ) ’
или, поелцку •
cos. ’(А—В) ф-cos. |(Лф-В) = 2cos. \A.cos.~ В, (S ^7) еще удобнее будешь
х-—	°сг”‘ з(л + в) "
a cos, 1 А . cos. в*
( 152 )
Вопросъ 9.
8з.
spnr. Даны основанье, высота и уголЪ при вершин'^ треугольника ЛВС ; найти сто-
роны АС н ВС.
Р Ф III Е II I Е.
Пусть AB=«,CD=6,ZАСВ=у и AD—/г, будешь BD=a—х, потомъ Zang-. ACD— у H/g.BCD =
Но
tsr- ACV)+tg. BCD . Г .
*s- >'= Асв.^.БСв (S С1Ь следовательно
tn. v —---------
О ' ЬЬ— ах 4- хх f
хро есть
хх — ах — ЪЬ ab cot. у, и
х — ~ i “г — bb-\-ab cot. /.
В о П Р О СЪ ю.
§ 83.
Чгрш» Даны углы при вершииЪ н части основанья содержаться между сторонами АС и ВС треугольника АВС н прямою CD чрезЪ вершину С проведенною ; найти уголЪ ADG м стороны АС и ВС.
( ,53 )
Р Е Ш Е И I Е.
Пусть уголъ ACD = BCD — Д, AD — a,BD = 6 и ZADC = <jP, будешь ZABC = ф— fl, пошомъ
АС = 1±^ и sin. а
АС =	(§ а8) ,
«л. (а + р) сл &до в а гпель и о
a sin. гр (а + Л) sin. (гр — fl) sin. a	sin. ( +
и
ИЛИ
sin. (<р—fl) _ a sin- (в +/5)
sin. гр	(fl + ^) s"'* ®*
Ho ' "’sin	~ cos’fi-—cot.(psin fl
11П^п^'а~ = COS-fl~["COt‘a Slf^fl
чего ради имЪемъ
n • r> .	a eOS- fl 4- «cot. a sin. S
COS. fl-sin. fl COt. ф ~-------—-----------—
'	a + b
изъ чего произойдешь
,	6 cot. В — a cot. «
cot. <p —------
Опред’Ьливъ уголъ AG —-А;л.У a
<p, получиыъ
и вс -
Sin. p
Вопрос ъ. и»
S- 84.
и.го1иадь треугольника АВС , лн1йл Черт. D, му глы ACD ti BCD содержащгеся. между i2'
оною и сторонами СА и с£ $ найти стороны треугольника.
Р 4 Ш Е И I Ь
Изъ D на АС и ВС, и изъ А на ВС опиши перпендикулярный ляшя DE, FF и AG. ID ешь ZACD ~ a, /.BCD zz /?, CD = а и площадь треугольника = сс, будешь
1 ВС . AG = сс. ”
Но поелику
AG — AC sin. (a -J- /?)	^5),
по произойдешь
| ВС . АС . sin. (а fl} — сс'
И какъ перпендикулярный лиши DE и DF суть
DE “ a sin. а  DF = a sin. /?, . площадь треугольника
AGD ~ ^AG . DE — ^АС . a sin. и, и площадь треугольника
BCD = iBC . DF = 'ВС . asin.fi, шо будешь
£AG . a sin. а -|- 'ВС . a sin. fi — сс.
Но ВС =	---зг
AG .ст. (« + /SJ » ел'Вдовашельно
’ АС . a sin. а -I-— '11Г!' V_'
1 AC sin- (a + jS) » откуда имФемь
АС" =———. дС___________r-ce-s;"- Р
» sin, л	чг». ft j/M.	Т
( «55 ) уравнение степени, коего корни сушь _________ сс | |/ г*_____________есс sin. (? a sin. а ------------------------ аа sin. a sin.sin.afa +
Вопросе 12.
$• 85.
ВЪ треугольник^ АСВ проведена лин1я Черт, CD , делящая его на двЪ части ACD к BCD; даны углы п.рп вершинЬ С , сторона ВС и площадь треугольника ACD ; каипт АС и CD.
' Р Ъ Ш К Н I Е.
Пусть ZACD ~ a, ZBCD — (3, площадь треугольника ACD — сс, ЬС = а, АС = л } и CD = у, будешь площадь
ABCD — I ay sin. S
и площадь
ЛаСВ = ' ах sin. (а -}-/?) ?
почему мы будемъ нм’Бп.ь
~ах sin. (а -|- /?) — ^ау sin. (3 — ос.
Но сс = ^ху sin. а, следовательно j = —.
Ноставивъ ciio величину вмЪсшоу, будешь
ах sin. (а-}-/?)—ycr sy- Р —. сс.
Приведя cie ураьнен1е въ порядокъ, получимъ х	чес sin.
a sin. (а 4- Д) ' i sin. a sin. (а + ^) * откуда найдется
JC= ~. еС ± с|/^ се	,
a sin. (а+/3)	аа sin, (а + {?)* " tt sin, (а 4- р)
( ^6 )
В о п P О с Ъ l3rf
с. 86.
V
г/ерш. Площадь, периметрЬ и одннЬ уголЪ треугольника даны ; сыскать всЪ стороны онаго.
Р Ъ Ш Е Н I Е.
Пусть пери.мептръ = а, площадь = сс, ZACB = и, АС = х, и BG ~ у, будешь
АВ=Я—Х~у и COS.« = a-A-G-.-~BC" ' (S 31), mo есть
ос (г + г1 — 3 ту _ са COS. а =3»-' - ------.
• з<г
Но поелику ху sin. и сс, то будешь
4 'сс
2*r = -уу~, и посему
2а (г 4- у) sin. а — аа sin. а — Аса
cos. а = —1— ---------------------Д__
% со	>
откуда произойдешь
I _____ 4СС f х -Ь сох, а} 4- aas’n. к
1 J	аа sin. а	•
Но у — ТУУЛ 5 слфдоваптелыю
д»г | а сс ___4СО( 1 + сол* «О + aasin.u
 х sin. а	а« sin. а	•
Положимъ для краткости
Лее (i сол а) 4- аа sin. а = ЪЬг и будешь . аоо	ЪЬ
ур* »J—.   - —Т 	—
х sin., а 2а sin, а 9
( 137 )
лочему имФе-мъ cic ypaeneuic 2<и* степени :
1Ь т	яео
ZjCJC — _т—— ——* •—:-•
iu sii>. a	sin, а У
изъ котораго получится
ЪЪ ± V й- — За аа IC sin. в а 3,!‘- ° *
и поелику
*J. Q	8-JCC
У х sin. а ЪЪ + V — isaacc sin. а) 1
то найдутся АС и ВС, и на конецъ АВ = а — х — /•
ВОПРОС! 1ф
$. 87.
‘Дана площадь треугольника, сумма Черт. ксадратосЪ двухЪ спюронЪ п уголЪ между имп содержащееп ; сыскать вс'Ь стороны онаго.
Р Ъ Ш Е П I Е.
Пусть площадь ДАСВ = сс f ZACB = a f AC’ -J~ BC’ ~ bb, A.G — xf ВС —y} и AB = г, будетъ
лх+УУ — bb; j a?r sin. a x= сс; у —	r-— :
*	К sill- 9 >
слФдоват ель no
^o4 ж ж sin-
bb
шо есть
( i53 )
я?'1 = ЪЬхх------—
sin. ai 1
и cie уранисте 4ой степени, решенное по правилу показанному въ АлгЬбрЪ § 41О> даешъ
л = +У'-Ь -р 1/ъу 4-4 , — де а	ч sin. а
Потомъ, поелику у —	__хх> будешь
у — _д_	= вс.
--	2 "г*	4 а.л. 1йх
Наконецъ, поелику
ZZ — XX {- уу ---- 2О.у COS. и (§ Зо),
произойдешь
зз = Lb — 4ес c<jt-
и следовательно
АВ = z = bb — 4сс cot. а.
Во л росъ i5.
g. 88.
Черт. \Даны площадь треугольника, сумлШ fley^b сторонЪ и уголЪ между ними со-держащЫся; сыснатъ в с® трп стороны онаго.
( i59 )
Г Ъ Ш Е II 1 Е.
ГН ешь площадь ДАВС — сс, ZACJJ = д, и AC -f- ВС = «, будешь
л АС . ВС sin. и — сс, следовательно 4Ас.Вс —	.
Но АС’ + ?АС . ВС 4- ВС’ = аа, и по $св отнят!» 4^С • I	««• « ,
останется
АС’ — аАС . BG -J- ВС* = аа-----}
следственно будешь 1/	8сс
АС — ВС= v аа—~^ » и какъ АС ВС = а, шо, взявъ суйму и разность, будешь дг, I | ,1/	Ьсс
АС = ~а	аа------.-,
*	1	»	sin. а 7
Накопецъ , поелику
АВ = АС’ + ВС — а АС . ВС cos. а, будешь
АВ = У (аа--Y~~--4СС со^ а)’
Вопросе i6.
S- 89.
ИзЪ вершины ' острого улл^ A njm- Мерш, аоугольнаго треугольника А ВС проведены
( >Со )
лннгп AD и АЕ , дЪллцрд уголЪ А на три раеныл части; даны гипотенуза АС и часть CD катета ЕС; найти уголЪ ВАС.
р Ъ ш Е н I £.
Пусть АС =. a, CD = Ъ п ZBAC = Зу>, будешь
АВ == a cos. Зу, ВС ~ a sin. З9? (§ а5), и
BD == АВ tang. 2<р (§ 27),
шо есть
JJJTj _ a coy. Зу sin. Ъф
С >S. 2 ф	?
слЪдовательпо
b = ВС — BD = a sin. 3<р — -
J	COS. 2(j) г
ИЛИ
__с [sin. 3(р cos. ?(р — cos. 3tf sin. cq ) у cos. *2ф	•
sin. 3<jp cos. 2<p — cos. 3cp sin. 2<p = sin. <f (£ 67), слЪдовашельиО
__ a sic. ф
" COS. 9
и поелику cos. “ 1 — 2 sin (p1 (64) , то будешь
, _ a sin. 9
1 — 2 fin. gp a 9
то есть
•„ t	—a sin, © 4- I,
sin. a}' ~ ------X-t, ,
откуда получимъ
sin. qi	,
( «-61 ) Вопрос® 17.
I
& 9°*
ВЪ томЪ же прямоуголъномЪ треуголъ-Че?™‘ ннкЪ АВС, вЪ китиромЪ лиши AD и АЕ, нзЪ вершины угла А пробеденныя, дЪлятЪ уголЪ сей на три рабные угла, даны части CD и JBE катета ВС ; найти угилЪ А-ь
Р £ Ш Е II I Е.
CD = b, ZBAC — 3<р; и
Пусть BE ~ а поелику въ треугольник® ACD имЪемъ
sin. CAD : CD — sin. ACD : AD (§ 28) , то будешь
д-jq _ CD • jiw. ACD _ Л sin. (go° — 3 tp) _ Ъ cos. 3 (p
sin. CAD	sin. q}	sin. qj *
Изъ треугольника ABD находимъ такъ жг
“ =	« =5),
сеть
AD — -—— eos. пр*
<S ’•?)>
есть
то
Но
ПК)
АВ—
'g- 9> »
слЪдовател но
AD— ------
'6‘ COS. 2у*
II
И шакъ
Ь cos. Ч ф __ t __ л cos. q, sin. ф ” tg. q. oos. ‘S ip ~~ sin. gieos. ip J
ИЛИ
b cos. 3<p cos. 2(p — a cos. <p.
Положимъ cos. tp ~ у, будешь
sin. (f	I   COS. (p	\/1—yy (§ 50^5
COS. :><p~ Q.COS. (fl*   I — 2yy —- I (§ 64);
cos. i<jp rr 4 cos. (p3 — 3 cos. 9? ~4/3-—3y(S66).
Иосшявивъ cin величины вместо cos. 3<p и cos. 2<p, мы будемъ иагЬпть cie уравнение:
^tomopoe даешь
____	__ . ,/5»" 1 'V//' + 8ci y=cus. P=-±V--------------
x ГЛАВА VIII.
О рЪшеши уравнены третьей степени посредствомЪ Тригннолетрш.
S- 9>-
Мы видели (см. Алгебр. (§ 407), чтло рТч>••Hie кубичныхь уравнешй , яоередсгпвомъ Кардаиова правила, не только имеешь шошв
( <65 )
педостатокъ, чпю въ случаЪ, когда всЪ корни сушь действительные, оные по сему рЪшешю представляются въ видЪ мнимыхъ количествъ; но сверхъ того еще имЪетъ то неудобство, *ы1о ведстъ къ изчпслен'тмь длиннымъ и трудяымъ, коль скоро коеф— /фигренты членовъ уравнетя будухпъ или нарочито больппя или дробныя числа. Па противъ того помопдю тригономстричес-кихъ формулъ , въ бой Главе разсмотр1>н-пыхъ, изчислен!е cie агожио Сделать весьма •удобнымъ, и опоедЪяигпь всё три действительные корня уравнения, когда оно ихъ ичЪетъ, и сл’Вдовательно получишь к рни ci« въ надлежащемъ вид®, когда по правилу Карданову оные удовлетворительнымъ обра-зомъ не определяются. Почему при семь и слЪдуютъ правила разрЪшешя и доказательства оныхъ.
Первое правило.
S- 92-
По приведен^, уравиент въ видъ а?*	-4~
7 х' 4~ g, г.ь сл-чаЪ знака +, и, должно искать уголъ Зу, чтобы былъ
cos. о а> — - с ..	-
я всЪ три корня уравиеш'я будутъ ДЬи-сшвишельные , а именно :
( ’64 }
i)- aJZ y. cos. tp\
2). xz=2j/y. cos. (i2O°4-y);
3). x — a|/ y. cos. (i2On — y),
Доказательство.	ш
$. 93.
Въ уравненш a5 ~ fx -f- g положимъ x — a. cos. (p, будешь
as cos. tp' — af cos. gc g‘
Но поелику
cos. gf ~ I cos. rp 4“ 1 cos. 3 <p (§ 66), mo уравнение рдВлаешся
; <ts cos. 3rp 4 cos. <p ~ af cos. go -f“ g" Пусть f~ I аг , будешь
и угравнен1е примешь сей видь;
I a1 cos. 3tp — g j слЪдовагпсльно будешь
ОпредЁливь уголь Здо шакимъ образомъ, найдется уголъ до, и потомъ х, Но здёсь заметишь надлежить, что величина-а-у
( i65 )
будешь не токмо косинусъ угла Здо, по пхакъ же косинусъ угловъ
36оп 4“ ^(Р и 36oQ — 3gc>;
сл’Ьдоьа.'пелыю произойдушъ шои величины, для х, а именно: i) х — a cos. <р\ а)х~а cos. (Г2О°4~?’); и 3) х — а cos. (120° — у), ню есть три корня уравнешя будупть:
х ~ ajz -<. cos. <р ;
х ~ л]/	(i2O° -J-
X — 2|/	(l20n — 9>).
Второе правил о.
$• 94-
Положимъ, чгао вгпорый членъ урсвпеюя имЪешъ знакъ-]-, но что
Р г7/5 < gg
Въ шакомъ случай искать должно уголъ ip, чтобы былъ ______________
и потомъ уголъ а, чтобы былъ I
tg ^—\7tg.\(pb
и будешь одинъ действительный корень уравнешя
з а? =----—
Sill. 2"»
2 ( l6t5 )
Доказательство.
$• 95-
Поелику Зд'ВсЬ 77/S <C#b> 1110 явно > ЧП1О предъ идущее правило у потреблено быть не можетъ, потому что cos. 3<р быль бы больше единицы. Въ семь случаЪ уравнение имЪшь 6\дешъ одпнъ только действительный корень, который по Кардакову правилу такъ изображается :
X — l/s + v^ -L э	а
Но поелику изчисленхе по сей формул^ нс удобно, шо положинъ — sin. go; бугдетъ
И SS —	— S' cos. (р ,
и сл’Ьдовашельно
а: — I ✓ £(1 cot-<р) । «Т,*?(i —cos.
г	' f 3	’Т’ К 2 ~~ ♦
Но какъ
1 + COS. ср  	! _ се г< _	_	ч.
------------— cos. -р2 И ——Stn.\ go’, ( § 64 )• то 6j детъ
X ~ J/ g COS. i tp' g sin. - tp\
Пусть pz tg.^fp — tg. ы будетъ
sin- a — v \-+ 7^ и cos.	,
Или , посшаривъ
(. 167 )
fyJ'n- а У вмЬсШО tg. 63 ZZ JZ ts. ’ «, cos I (J)	oar
будешь 3	.	,
JZ sin. - <p
sin. a ZZ1/ -3----------— —3	.	;	=
y \/ cos. l- (p 4- jz sin. * <p
з	i
JZ cos. - (p________________
cos. a — i/~—’	,	, । .4	• . *
v\/ cos. i 9> + Jz sin.-tp отвода получимъ
•	2 \7 \ sin. cp
sin. 2 63 ~ 2 sin. 63 cos. a = ~з	j .г 3 "Z“ 7
|Z COS. -2 (p -b|Z Stn a $P » следовательно будешь
.3	, . . 3 . . , afZ s sin. (p
I/ cos. - (p 4- LX sin. .ср*= -	,
*	y	Sin. 2 40
и искомый корень
x =	» g sin^p^
sin., 2 сз
Но какъ
□ /Z/  .
37V з - «"• 9*»
Hi о будешь
U sin. ср —	и
sin. у = эр ZZ. 3И4» следовательно
. tin. 2»
1
( ’68 )
Третье правило.
§• 96-
Когда знакъ— место имеетъ и прйгпьмъ /’ <££•, то для решения уравнен!» гг! ~ — fx g должно сыскать уголъ др, чтобы былъ , * _ а/гГ/
V — 3gvi > и потомъ уголъ а>} чтобы былъ
<° = у fg‘ i У!
и одинъ действительный корень уравнетя будетъ
tg. ata
Доказательство.
$• 97-
"Поелику здесь f есть отрицательная величина, то корень уравнены по Кардановой формуле будетъ
х =	+ ^/g-vgg + -yP.
3	з
г Для облегчеюя изчислешя пусть будетъ
дабы иметь
( 16g )
„	з е fi — «оз. tpf
3 g(t ц-cos- »> _______ 1/—------------ ~ ~
/	— ллС. ftl "	'
;----V 2 COS. (p
Но изъ § 64 явно, что > 4 frt- ? ~ COS. *ф* я
□ 003.
сл’йд ова ni ель но
х — г соз. $ Теперь положимъ по прежнему
1 —BOS‘ f- — sin. I Ф } a
искомый корень
3 £L*2i-
будешь
и будетъ:
? tg. a
lg. 2.(0— ----------—
1 — tg' »
3

или же
з L/sin. \'ф cos. }ф а V sin' V_~
tg.ia— ----- - -= д---------;----г-:
l/cos.'xp -/siп.л<р‘ ycos-^ф -Sfsin^i откуда имЪемъ
.Л г .	• t
ycos.^ ^1/ип.-ф --.-за—1 и корень нашего уравнены б^дётъ
з в	, з . , л ^\gtg-^
x~VJs.^cos ^ - V&in'^f )= — 2 ' * Но 1 g tg. д> ~ следовательно
( ‘7° ) $• 9»-
' Чтобы пояснить примером* хотя одинъ изъ сихъ способов!), и именно первый , ико важнЪиигй, мы приложимъ его къ следующему вопросу , который не токмо можешь пока-зашь преимущество сего способа, но служить еще любопытпымъ примЪромъ, какъ преодолевать затруднения, катя сеи вопросъ представляешь.
Вопросъ.
S- 99-
Даны пермметрЪ треугольника, радусЪ описанного около онаго круга и ра/йусЪ вписанчаго вЪ немЪ круга сыскать стороны треугольника-
Р Ъ Ш Е Н I Е.
I
Пусть перимепгръ ~ с,рад1усъописаннаго около треугольника круга = R, рад>усъ въ треугольник^ вписаннаго круга = 7‘, площадь треугольника ~ S , и стороны онаго х, ул
z; поелику г ~ (ОшдЪл. I. $ 26) , R =
(ОшдФл. I. S 2;), и S = |/±(i-x)
Q —	— ’) ОшдФл. I. § з5), то будешь
I) x 4-7 + Z — Cf
2) xyz — 41' 5;
Изъ сихъ трехъ уравненш остается определить неизвестный стороны треугольника, а?, 7- и z, что обыкновенными способами учинить едва возможно.
Дабы набежать гпрудныхъ выкладокъ, коп встретиться могутъг въ семь изчислети, я замечаю, что величина х, у и z относятся одинакимъ образомъ къ даннымъ величинамъ с , R и а потому и можно полагать ихъ тремя корнями некоторого к^бичнаго урав-нетя:
Vs — Kv'	— С ~ О.
Но полагая, что корни сего уравнетя суть х, у и z , имЬемъ
А — л -фу -|-z ~с, I
В ~ ху -f- xz j z ,	> (Алгеб. £386).
С — xyz — 4BS — 2С-Г R, I
4емъ коеффиц1енты А и С уже определены; следуешь только сыскать В. На сей конецъ обратимся къ лреднаписанному третьему ypaBHeniio
( )
Кт -*Хг)С —z) =|ссгг’ ] которое представлено быть можетъ такимъ Ьбразомъ ;
т["8'4с (^+/+z)+lc('rZ+-rs+7z)~-r7z] =1сс7т, шо есть
у — \ с’ 4~ ~ сВ — а с/'Il zz | err, изъ чего и получится
В ~ 4- 4 г В + г г.
ОпредФливь всБ коффитенты, наше кубнч* ное уравнение будешь :
?•' — си' -ф ( - 4~ Ф’В“Г	— 2С7'В. — О.
жотораго корни будушъ искомым стороны треугольника.
Сему кубичному ураьненпо, полагая v =
c-j-u, придадимъ слЪдующш видь: и' —Ju 4- g, и будешь
f ~ ее—4Rr—rrиg— JruRr—rr— cej И такъ, еешьли по нашему первому правилу сыщется уголъ чтобы былз cos. 3gt? = I777, то будешь /
эс ~ i с 4- af/ у. cos. ср;
у =Л i С 4- 21/ f. COS. (120° 4- Р) ,
Z — ’ С 4" у . COS. (1 20°  др.
и
( )
Пример» ’•
$. wo.
Пусть с = 48, r = 4 и R = Ю, будешь f __ jg , g — о, следовательно cos. Зу—о, и посему
Зу — 90° и кр — Зо°.
II такъ
х —	i6	4- 4	—	2О>
у	16	—• 4	—	12?
z =	i6	4~ о	—	i6,
с	—	4^*
Примерь.
S- 1О1-
Пусть с zz 336, г = За и R^z65, будешь /—64 , g ~ о, следовательно cos. Ъгр — о, п посему Зу = до" и у — Зо. М такъ мы будемъ иметь:
х ~ 112 4" 8 = 130,
у — ил —8 = ю4,
ь =. 11 а 4~ о — 11 а,
<?
 336.
( "74 )
П р и м Ф р ъ 3.
§•	102.
Ну ешь с = л5, г ~ ю и R ~ гЗ, будегпъ 82, о833 и g “ — 282, 1760. Изъ сихъ величин* получится
cos 3g? ~ — о, 98,(80 ; З97 zz: 170°; 20' и ср =з 56 , 46', 4о", и корни б}дутъ
Х — 3 С 4“ COS. 5.)° , 46', 4°V = 44? о6э20, J — зс + а1/ {cos. 46', 4°" = 27,88880, г = I ®	~ cos- 63°, 2З', 20’ = 45»о466о-,
С— -	-	-	115,00000.
Присосок у плени.
§. юЗ.
Когда с, г и R даны будутъ такъ, что J сделается либо отрицательным!? , либо бу-• дешъ ^/s < gg, то cie значить, что кубичное уравнеше им'Ветъ только одлнъ дЬиствишельный корень, и что въ таком* случай вопросъ нашъ невозможен*.
НАЧАЛЬНЫЙ 0СН0ВАН1Я
ЧИСТОЙ МАОЕМАТИКИ
ЧАСТЬ III.
ОТДЪЛЕНТЕ Ш.
1 •
КОИИЧЕСК1Я с 1> Ч Е н I Я.
ГЛАВА I.
О разлигпъ'эсЪ образаэсЪ разсЪкатъ конусЪ плоскостью.
$• 1-
Ежели конусъ пресечется плоскосппю , проходящею чрезъ д1амешръ основашя и вер-niiiBV его ; то сЪчете 6\детъ П1реуголы»икъ, коего основагпе есть оный д!аметръ, а вершина шаже самая , «то и г.ершина конуса.
S-
Естьлп конусъ пресечется плоскоспню перпендик' яярною къ плоскости оомянутаго треугольника; то кривая лшпя , которая есть взаимное •прес'Ьчшпе позеохносши конуса и разсБкающей его плоскости , вообще । называется КоническнмЬ СЬченЛемЪ.
S- з.
Вообразимъ се уЬ7 что какой ниесгпь конусъ Черт» MON uepectieab пдоскоспшо EFbH перпен- *' дикулярнью къ плоскости треугольника MNO и положимъ, что линт АВ есть взаимное поес-Ьчеше сихь двухъ ПЛОСКпсП1еЙ EFGH it MON: смотря по положению плоскости
ха
( )
KFGH, или по различной величия!) угла CSB, произойти могуптъ четыре случаи и столько же разнородныхъ кривыхъ линш.
S 4-
Ч^рпг. Есшьли плоскость EFGH параллельна оеноватю конуса, то есть, когда X.CSB = ZNCS'; то оное с'Ьчеше будешь круп» (см. Геом; $ Зби).
S- 5.
)срш. Е' шьлиже плоскость EFGH имеешь такое положеше, что L GSB меньше NCS, а больше CON; то cbuenie будешь кривая лишя, ЕллппснсомЪ именуемая.
§• 6.	1
Мери. Ежели Z СОВ == Z CON, то есть когда линт АВ параллельна сторонЪ ON коя,са; то гЬчеше будешь кривая лишя, которая Параболою называется.
S- 7	I
Черт. Ежели Z CSB ^ZCON; то сЬчен!е будешь 5.	.
криваялингя, Гиперболою называемая. Явно, что въ семь случа’Ь точка S падать можешь •a »tfb конуса на продолженной оси СО, « даже оная удалена быть .можсгпъ на безко-нечное разстояте, въ каковомъ случаф лишя АВ сдВдаешся параллельною оси конуса.
( 49 )
S- 3.
Представимъ себ'В, что всЬ наклонные стороны конуса MON продолжены дал!>е вер ь. тины О, шакъ что составится Другой конусъ-тОп, противоположенный первому: когда оный пресБчень будешь тою же самою плоскости, то произойдешь друган кривая лин!я eaf, противолежащая первой, и которая, въ разсужденш ее, противоположенною ипер-болою именуется.
$• 9-
Во всЬхъ сихъ криныхъ лин1яхъ, коническими сученьями называемыхъ , прямая лишя АВ ($ 3) именуется Осью, а точка А Вершиною-
ГЛАВА II.
О криеыхЪ лшичясЪ вообще.
S- ю.
Пусть будешь SGVMF какая нпбудь кривая лита. На том плоскости , гдЪ она находится, ? проведи По произволетю прямую лргпгоАВ, И ЧрСЗЪ ТПпчкгтг	г.□-ц	•	w
I	по произволении на оной
линш взятую, протяни пеппеядикуляриую линпо CD; явно, что ееппьли изъ какой ми-будь точки кривой линш, какъ на примЪръ
( ltio )
М, опустится на 4В перпендикулярная МР, то оная точка М определена будешь посредство мъ двухъ данныхь линш ЕР и РМ. Тоже о всякой другой точкЪ кривой лмн1и сказать можно.
$. и*
Лишя АВ называется Осью ЛбсциссЪ, а лин1я CD Осью Ор_динатЬ, шо«ка Е есть Начало ЛЬсниссЪ, ЕР самая Абсцисса, и лии1Я РМ Ордината кривой лии1н ; обЪ вм’ЬстЬ Координатами называются.
$• 12-
Въ прочемъ не непременно нужно, чтобы линя CD была перпендикулярна къАВ;она напротивътого къ ней можешь быть наклонна подъ какимъ нибудь угломъ. По и въ такомъ случаЪ ординаты должны быть параллельны линт CD. Однякожъ обыкновенно ординаты проводятся перпендикулярно къ абсциссамъ, и тогда оя!» называются прямоугольными.
S- 13.
Поелику каждая точка М кривой лиши определяется абсциссою ЕР и ординатою РМ ; то между сими двумя литями ЕР и РМ должно быть некоторое сопряжен!е, которое Обыкновенно изображается ураваен1емъ между сими двумя перемЪнкыми количествами, съ
( )
другими постоянными количествами. Cie 5 равнение заключаешь вь себ"Б существенное свойство и всЬ друг!я качества кривой липи, къ которой оно принадлежишь.
S- '4-
Переменных Количества суть тЪ, ко-торыхъ величине переменяется по какому имеешь непрерывному закону, возрастая или убывая, подобно какъ зд'Ьсь абсциссы и ординаты расшутъ или убываютъ ; Постоянных же Количества суть тЪ, коихъ величина, при какомъ бы то ни было воз-расшан1и или убываы1и сопряжемныхъ съ ними перемЬнныхъ количесшвъ, всегда глаже пребываешь.
S- 15.
Постоянным количества означаются первыми буквами a, b, с, и пр. Латинскаго алфавита, перем'бняыя же последними х, у, ас, v, и пр.
S- 16.
Поелику абсциссы1 ЕР зд'Ьсь взяты ошъ точки Е къ правой сшоренЪ, и уменшаюшея, когда точка Р приближается къ точкЪ Е, то явно, что, ежели абсцисса въ пуль обратится, точка Р упадаешь въ Е, и ордината будешь ЕТ.
( 182 )
S- «7-
Каждая абсписса , по левую сторону непременно точки Е взятая , какъ напримЪпъ EV, есть отрицательная въ разсуждети положительной ЕР.	<-
18.
Ежели ордината въ нуль обратится, то она означаешь, что въ ономъ месте кривая лин1я ось АВ пересЪкаетъ, какъ напримЪръ здесь въ точкЪ V*. А ежели ордината будешь отрицательная, то она означаешь , что чисть кривой лин1и находится подъ осью АР, какъ здесь часть VGS, имеющая отрица-тельныя ординаты, какъ PG и RS.
$• ’9-
Когда ордината бываешь мнимая или не-
возможная величина, то она означаешь, что
кривая лин1я не достигаешь до сего места. Такъ напримеръ, въ нашей фигуре ордината QM, абсциссе EQ принадлежащая, изъ уравнения получить должна будешь величину
мнимую.
§. 20.
Ежели уравнеше между абсциссою и ординатою иметь будетъ два или больше
корней; то и ордината иметь будетъ две
или больше
величине,
то
есть
въ
шакомь
( *83 )
случай каждой абсцисс* принадлежать будут* двЪ или больше ординат*. Зд^сь иаприм’Ьръ абсцисс* ЕР принадлежать три ординаты Р.М, PF, PG, изъ кожхъ дв* суть положи-тельпыя, а третья отрицательная.
31.
\
Все , что зДЬсь сказано было о. положительных*, отрицательных*, изчезакпцихъ и мнимых* абсциссах* и ординатах*, изъяснено будешь примерами въ следующей глав*.
Г Л А В А III.
О кругЪ.
Вопрос* i.
§.	22.
кругЪ абсциссы взяты на дгаметрЪ ^<рт АВ onib центра G; найти уравненье между Ь. координатами.
Р Ъ Ш Е Н I Е.
Пусть рад!усъ круга С£г=СВ = а, абсцисса
и ордината XY — у ; поелику въ прямоугольном* треугольник* CXY кашегпъ
( *84 )
KY = CY’ — CX’ (Геом: J 343)> пю будешь
у = -Г JZ аа — хл, чшо есть искомое уравнеше.
4 СлЪДСТВ1Е I.
ч $. зЗ.
Изъ сего явствуегпъ, что каждой абсциссЬ сх — л дринадлежитъ двоякая ордината: положительная XY — +И аа—лл; и отрицательная XZ — — аа — хл (см: § зо).
СЛЪДСТВ1В 2.
S- 24-
I
Пусть х~о, будешь у — -4- а, гпо есть въ самомъ начал!? аб<'циссъ, или въ центр!? С, ординаты будутпъ: положительная CD = а, и отрицательная СЕ ~ — а.
СлЬдСТГ, IE 3.
S- 25.
Пусть х — а, будешь у” О, то есть въ точкахъ В и А кругь ось абсциссъ перс-сЬкаетъ (см: § it?;.
( >85 )
С л Ъ д с т в i к 4. £• зб
Ежели х^>а, напримЪръх” ’ а,пто будешь
—® аа. С1я мнимая величина означаешь, что кругъ не достигаешь до сего мФсша (см: § гр'. Ибо, взявь СТ~^а» ординаты въ точкЪ Т, какъ на примЕръ 1Р
~ 4"	| аа и TQ ~	— * аа, с^ть обЪ
мнигаыя или невозможный величины-
Вопросъ а.
§. 27-
ВЪ кгуг'Ъ абсциссы взяты на дгамлтоЪ Черт. АВ отЪ конца его А, найти ypaeatiilc между координатами..
Р Ъ Щ Е Н I £.
Пусть рад1усъ CV = СВ ~ а, абсцисса АХ	и ордината XY zr у; поелику
АХ : XY = XY : ВХ (Геом* § 102), то будешь XY’ АХ . ВХ , то есть гу ~ к (аа — х), следовательно
у— +	_>о г — ЗС.Т.
G Л Ф Д С Т В I Е.
^8.
Зпакь означаешь, что каждой абсциссЪ =: х соошвынствуюшъ двЪ ординаты
( х8б )
равныл XY ~ V %аа — хх, и XY = — |/ зах — хх. Поелику у ~ о, когда х ~ о и х ~ 2а ; mo Kpjrb ось абсциссъ пересЪ-каепгь въ точкахъ А и В. Ежели х~ я; то будетъ у = а, шо есть въ центрЪ С обЪ ординаты будутъ CD ~ а и СЕ zz. — а. Напосл'Ьдокъ, ежели л>2а, то ординаты будутъ невозможныя-
Вопрос! 3.
S- 39-
Черт. ВЬ кругЪ абсциссы взяты на продолжв-1О* ши д1аметра АВ отЪ какой, нибгдъ точки
D ; найти уравнение между координатами.
Р Ъ Ш Е Н I Е.
ITjcmb рад|усъ круга СА = СВ~а, раз-стояние точки D отъ центра DC ~ 6, абсцисса DX = х и ордината XY =у, бддутъ
СХ = b — х и CY — а;
и поелику
XY = l^CY7—СХ*
(см: Геом: § эД2)» то произойдешь
у -+ J/ аа — (Л —д?)а.
В о л р о с ъ 4-
S Зо-
ВЬ кругЪ абсциссы взяты отЪ точки и. по пропзволенно взятой А, накакойнибудъ
( 187 )
прямой лhhui АВ находящейся’^ найти урав-ныае между координатами.
Р Ф Ш Е Н I Е.
Чрезъ ценптръ круга О проведи лин!ю MN 1$ АВ. Изъ центра О и изъ какой нибудь точки круга A опусти къ АВ перпендикулярный лин^и ОС и АХ. Положимъ
OY = «, АС=Л,СО = с,АХ. = х, и XY=7, будетъ
. OZ ~ х — Ъ и ZY — у —- с. Но
OY — OZ 4-ZY’p то есть
аа ~{л — Ь}' -f- (у — с)’, чего ради
{у — с)' = аа~^- Ь)', откуда получимъ	•
у ~ с +	— (х — by.
Г Л А В А IV.
О ЕллипсисЪ.
0 Е О РЕ М А I.
S- 31.
Ежели конусЪ ROS пересИченЪ будетЪ4^™’ Двумя плоскостями параллельными ос~ новансю, такЪ чтобы РМ и QN были по-
( >88 ) лус1>чен1л оных'Ь плоскостей сЪ плоскостью эллипсиса; то будетЪ
РМ* : QN* = РА . РВ : QA . QB.
Доказательство.
Поелику исЪ сЬчетя перпендикулярны къ плоскости треугольника liOS 3), то и полд с!>чен1я РМ и QN Перпендикулярны будутъ къ плоскости BOS (Геом: § З46) ; следовательно лшпя РМ перпендикулярна къ EF и QN къ GH. Но
ЕР : РМ — РМ : PF ] } (Геоад: $ 192),
GQ : QN — QN : QH J
чего ради
РМ’ — ЕР . PF и QN’ = GQ . QII, и слЪдователыю
РМ* •_ QN’ — ЕР . PF : GQ . QH.
По поелику
А АРЕ Л AQG,
A BPF СО A BQH , то будешь
РЕ : QG = РА : QA.
* PF : QH — ГВ ; QB.
Почему
РЕ . PF : QG . QH — РА . ГВ : QA . QB, и следовательно
РМ» : QN* — РА . РВ : QA . QB.
( )
Сл1)ДСТВ1Е.
S- За.
Ежрли изъ двухЪ сЬчещй, основашю конуса черт, параллельныхъ, одно пройдешь чрезъ средину 13-G-оси АВ; то будешь
РМ’ : CD1 = РА : РВ : АС2.
Лгпп’я АС называется большою полуосью
CD меньшою полуосью, а точка С цси-тромЬ эллипсиса.
Во пр осъ г.
$• 33.
Абсциссы взяты на большой осн ел-Черт, лнпсиса отЬ центра G; найти, уровне :йе 1 ’ между координатами.
Р В Ш Е Н I Е.
Пусть СА ~ ВС = a, CD zz Ъ, СР ~ ж и РМ—у; поелику
РА ~ а — х и РВ ~ а + х;
пго будешь
У* : Ь1 zz (а — .г) (а -J- д?) : а3 (§ Зэ); «лЪд(»ва1пелыю
, ь*
7 —“1 \аа —хх}, или ____. ____, а и аа —. хх.
( r9° )
СлЪДСТВГЕ I.
S, 34.
Мерги. Изъ сего уравнешя видно, что каждой абсцисс!», СР “ х, принадлежать дв!> ординаты равныя между собою, одна положительная
РМ ~ Ц- а J/ аа — ХХ}
а другая отрицательная
аа — хх;
слЪдовашельно большая ось раздЪляетъ ел-Липсись на двЪ равныя части.
Сл!ДСТВ1Е 2.
$. 35.
Взявь по одну сторону центра С абсциссу СР я, а по другую сторону СХ  х, въ шочкахъ Р и X ординаты будушъ
РМ ~ — I/аа — хх, я
XY ~ ~ |/7ш ~ хх, «
то есть въ точкахъ, равные отъ центра С разстояте имЬюгцихъ, ординаты будешь равныя. СлЪдовательно шакъ же меньшая ось DE разделяешь еллипсисъ на двЪ равны» части.
( *9» )
СлЪДСТВТЕ 3.
5- 36.
I
Ежели x — О ; mo будешь у =. •+ b , то есть въ самомъ ценгпр'Ь С ординаты будутъ СВ — Ъ и СЕ = — Ь. А ежели л — -+ а ; пю будешь у ~ о, то есть въ шочкахъ А и и В, гдЪ СА = — а и СВ = 4- й, еллипсисъ чрезъ большую ось проходишь. На конеиъ, ежели возмется х 4- а , то есть х^>СВ или СА, шо ординаты сделаются мнимы.г.
0 £ О Р Е М А 2.
$• 37.
Ежели па большой осн АВ елипснса АРВчерт опишется полукругЪ АЕВ; то, продолжмвЪ ординату XY до окружности, онаго Z, будетЬ
XI XZ = CD : СЕ.
# Доказательство.
Пусть СА = СЕ = а , CD = Ъ и СХ — х , ' поелику
XZ ~ }/ аа — тех (§ 22), и
Т Уаа —• хх (§ 33) , то будешь
XY . XYxr |/ ад — хж; аа — Д.Д.,
то есть
( )
XY : XL — 6 : г = Ъ : а, или а	1
XZ : XY = СВ : СЕ.
С Л Ъ Д С 'I В I Е.
$• ЗЛ
Поелику во всякой пючкФ X ордината еллипсиса относится къ ордипапгВ круга какъ b къ а, шо нетрудно уразумЪ пь, что площадь еллипсиса будетъ къ площади круга въ М1очъ же ошношеши. Но площадь круга — лА^ — пап (Геом: § 2З ।)/следовательно площадь еллипсиса будешь
~ пab — пСА. . CD.
Определен!! т.
'$• з9.
По даннымъ полуосямъ а и b еллипсиса можно будешь найши шикую литю р, чтобы было а . b — Ь : р. Сдя лин1я называется Полупарам етромЪ еллипсиса.
ОПРЕД'ЬЛЕНИ 2.
§. 4о.
По правую и по лТ-вую сторону центра С еллипсиса , на большой оси его, находятся двЪ точки F и G, въ которыхъ ординаты IH и GK суть равны иолупарамешру Р»
( J93 )
Оныя точки называются фокусами или Зажигательными Точками еллипсиса.
0 £ О Р Е 31 А. 3 §• 41-
КвадратЬ изЪразстояшл фокусовЪ отЬ ЧеР™‘ центра раееиЪ разности квадратобЪ изЪ полуосей, то есть.
CF = CG’ = СА’ — CD’.
Доказательство.
Поелику въ самомъ фокус® ордината должна быть равна нол^ параметру р (§ 2}о) , шо положи
Р -- у аа — хх.
Но Р —	39) >
следовательно будетъ
ЪЬ Ъ —-------—------
•— Т J z аа — л:х , или
откуда получимъ
XX — аа — bb ,
то есть
CF’ — CG’ — СА* CD’.
В
( >94 ) 0 Е О P E M A 4*
§. 42.
Ежелп изЪ какой нибудъ точки Y (ллм пенса кЪ фокусамЪ F н. G проведены будутЪ промыл лнн1н \ F и YG ; то пхЪ сумма будетЬ равна большой осн АВ.
Доказательство.
Поелику FX = СХ GF ~ х + У аа — 65»
XY = у ~ аа — хх и
FY’ — FX’ + XY’ ;
шо будешь
FY ~аа-^-2х^ аа — bb -J- ~ (аа — 65), и по извлечении корня квадрашнаю
FY = а - \/ аа — bb.
Подобнымъ образомъ, поелику
GX — CG — СХ ~ аа — bb — xf ~ [z' аа хзс и
GY’ = GXa + XY1, шо будешь
GY'—aa—2х\/аа — bb -f“ Zi (аа —
слЪдовашелыго
( *95 )
GY = а — £ -V аа — bb.
И шакъ
FY 4- GY = sa — АС.
В О П Р О С Ъ 3.
S- 43.
П > ^aHHbivlf осямЪ АВ “ 2а и DE = зйУеР^**. описать еллппснсЪ.
Р 15 Ш Е Н I Е.
Огпъ средины С данной большой оси Ал> ошсЪки
CF — CG — V аа — bb?
Вэтми нить, коей длина ~ АР и концы ея поико’Впи, одинъ въ гпочкЪ I а другой въ пточкЪ G. По натянутой сей пиши обведи капаидашемъ: оныи оаишинъ желаемый ел-* ли н с и съ.
в Доказательство.
Поелчку длина ниши — АВ , то явно, что во всякой шочкЪ кривой лиши, потянутыми обрэзомъ описанной, будешь
FY Ч- GY АВ.
II поелику
CF = CG ~ а.а —	,
то оная лишя 6\де|>1ъ еллипсисъ , icro фокусы вь точкахь F и G. и оси 1В — за и 1)Е — зЬ.
* к
Другое доказательство.
Изъ какой нибудь точки Y кривой лини:, изъяспеннымъ o6f азомъ описанной, опус-в т на АВ перпендикулярную линпо YX; по П|ичинТ-, что
XY’ = FY* — FX’ = GY’ — GX’,
!ны будемъ ич4шь
FY’ — GY’ = FX’ — GX’, гпо есть
(1 Y GY) (FY — GY = (FX -f- GX) FX — GX). - Но FY 4- GY — га (§ 42) ,
FX-f- GX ^Уаа — bb (S 4<Ь
и положивъ
СХ = х и XY = у, имЬемъ
FX—аа — &Z>4-.r, и GX~|/ аа — bb—х, следовательно
FX — GX — 2х, и потому
FY — G Y ~	X/'^bb.
Поелику же FY -f~ GY ~ 2а, то будепИ FY = а + |
II какъ
XY’ = FY“ — FX*, то произойдешь
( *97 )
— аа—xx-\-bb—2x1/ аа—bb
иго есгпь
уу ~bb —	, и j- — -4- — V аа — хх t
JJ	аа “	—— а
что есть уравнеше между координатами еллипсиса' ( §33). t
Вопросъ 3.
§• 44-
ЧрезЪ данную точку Y еллнпсиса про-Черт, вести кЪ нему касательную линно IK. Ij’
Р Ь Ш Е и I Е.
Пзъ фокуса F проведи линпо FY и продолжи оную до Н, такъ Minofiiji 6wiaYH~YG. Чрезъ точку II и чрезъ другой фокусъ G проведи линпо GI1 , и чрезъ средину оной К и данну ю точку Y проведи линии KI: оная будешь требуемая касательная лиши. '
Доказательство.
Ежели лич1я IK, чрезъ точку Y еллипсиса проведенная, не касательная ; то она пере-сЬчстъ еллипсисъ въ какой нибудь точк'В Z. Но GK — НК и GY ~ HY слТ>1.»ва‘псльно AGYK AI1YK и £GKY — ^HKY ; посему GZ Ш HZ. И ежели точка Z находится въ
еллипсисЬ то должно быть FZ GZ, FY
GY — HI, пю есть FZ ilZ ~ FH, что невозможно ; следовательно точка Z не находится еь ФтлипснсЪ. Гоже можно доказать о всБхъ доугихъ точкахъ лин!и 1к , кромБ одяой точки Y; стЬдовашельно лин1н1Кесшь к"‘'ашельыая , и Y точка прикосновении
С Л Ф Д С Т В I Е.
$. 45.
Поелику ZCYX = ZHYK, и ZHYK —ZFYI, то будешь ^GYK — FY и LY наклонены равными
ж-FYI; шо есть лин1и къ касательной подъ
*/epm.
20.
углами, В о П Р
о с ъ 4' 46.
ЧрезЪ точку II лкнцо III.
данную проведи
$•
вн.Ь еллипсиса взятую касательную гсЪ иелгу
P Ь
Ш Е Н I Е.
Изъ цегтпра Н, рад|усомъ HG, опиши дугу KL. Изъ цтира F, рад1усомъ АВ, опиши дугу WV. Изъ точки Е , гдЪ опЪ взаимно г>ергсТ»каюп1СЯ , проведи лин!ю EF. Чрезъ точку Н и точку Y, гдЪ EF еллинсисъ пе ресЬкаетъ, проведи лпнйо Ill; оная будеяи искомая касательная.
( igo )
Доказательство.
Проведи лиши НЕ, HG и YG; поелику НЕ = HG, YF 4- YE = АВ, и
YF 4- Y G = АВ, шо будетъ YE — YG. II такъ AEYH = AGYH, слФдовашельно
ZHYE = ZHYG, то есть
ZFYI~ZGYH, и сл’Вдовашельно литя IH еегпь касательная (S 45).
ОПРЕДЕЛЕН! Я.
S- 47-
Часть касательной, содержащаяся междуЧерт, точкою прикоснор.етя Y и точкою Т, гдЪ аг' она ось абсцассъ пересажаешь, называется ТангепсомЪ, лишя же ТХ СубтангенсомЪ. AniiiH*YN , въ точкЪ Y перпендикулярно на ТангенсЪ поставленная, называется Норма» ломЪ, а лиши XN СубнормаломЪ. Напо-слЪдокъ лип1я АТ именуется Отсеченною.
Вопросъ 5.
$• 48.
Найти норыалЪ п субнормалЪ еллнп-снса.
( 200 )
Р Ъ ’II E H I F.
Пусть будешь Y какая нибудь точка ел-Липсиса , абсцисса СХ 7= г, и ординала XY — у. Проведи чрезъ Y касательную лннйо КТ, по § 44; будешь AFYtf ОО AF11G, следственно
ГИ : FG FY : FY.
11 шакъ будешь
IV — ---- FH *
Но FG=2f/«а — bb (§ 4 г), FH = 2« ($ 44),
и FY = а — у \/ аа — bb (§ 42) > слФдовашельно
• У ~ --7~Г	• ^,Х
FN = V аа — bb — х .
Поелику же
V аа — bb — х — CF — СХ — FX, то будешь
FY = FX 4- —, 1 aa J и СубнормалЬ
XN = FY — FX — — aa *
И поелику
АЛ =	4- X№, и
YX — Ta [aa~ xx) (S 33); то будешь НормалЪ
aa
( *01 )
•	Вопросъ 6.
S- 49-
Найти тангенсЪ, субтангенсЪ и отсеченную еЛлппс пса.
Р Ъ Ш Е Н I Е.
Поелику ATYKcxoAYNX, шо будешь ТХ : YX = YX : NX, и изъ того следуешь, что
'1X = YX’ — лл » следовательно будешь СубтангенсЪ - са — хх х	4
А поелику
ТХ = V ТХ’ 4- XY1, то будешь ТангенсЪ
TY=
^Отсеченная
, АТ ~ ТХ — АХ = 3£_~а°. X
Следе T-BIE I.
с. 5о.
Иже ли изъ фокуса F еллипсиса приглянется ордината FH, и чре.ъ Н проведется шан-генсъ DH, шо, поелику
(	202	)
CF — V аа —~bb~, будешь абсцисса
л ~ аа — bb , и слЪдовашельно будешь ошсЪченная
Д JJ   а (л — у <7tz — ЬЪ
Vo а — ЬЪ
СЛ’бДСТВГЕ 2.
§• 5ъ
Поелику а — СА и V аа-—ЬЬ — CF, то будешь
а — V аа — bb ~ СА — CF — AF, слЪдовагпельпо
. п С А.. AF
AJJ — CF » nio есть
AD AF = СА : CF.
О П Р Е Д ® Л Е Н I Е.
§. 52.
Лишя MN, чрезъ точку D перпендикулярна къ DB проведенная, называется Направле-1йемЪ еллипсиса.
0 Е о Р Е м л 5.
$. 53.
Vepm. Ежели иЛ какой ннбудь точки Y еллипсиса до фокуса F проведется прямая
( 203 ) лнн'т YF, и на накравлете MN опустится перпендикулярная YP; то будетЪ YP : YF = СА : CF.
Доказательство.
Поелику YP = XD = Х\ + AD, и при-птомъ ХА — СА — СХ — а — х, и ио $ 5о
AD _=>°	~ Ь1‘\ f mo посшапивъ вм-Ьсшо
~^аа — ЪЬ
XX и AD cia величины, найдется аа—х^аа — bb а{а— аа — bb) YP= ---------- -----—
V а-а — bb	}/ аа — ЬЪ
llo а—ха aa — bb —XV и Vaa — bbrzCV, .	с	vn   С4. . YF
следователь ио будешь 1Р “ —? то есть YP : YF = СА : CF.
СЛ'ЁДСТВ1Е.
.	S- 54.
Подобными образомъ, ежели изъ другой какой нибудъ точки V еллипенса проведется до фокхса лин1я VF, и VQ перпендикулярн* къ HN; пю по тойже причин!) будетъ
VQ : VF = СА : CF, следовательно
Y P : VQ = YF : VF.
( 20J )
Еопросъ 7.
S- 55.
Около даппаго фокуса F описать сл-лппспсЪ, которой бы проходилЪ чрезЪ данпыя три точки V, Y п Z.
Р Ъ III Е Н I Е.
Соедини точки V, Y и Z лишямм YVnZY, и продолжи ихъ до II и К такъ, чтобы были
VII—n VK — yF TZ Я —FY-FV И — FZ-FY*
Чрезъ точки Н и К, гпакимъ обрадомъ определенный, проведи прямую лишю MY, которая будешь направление, и чрезъ F лишю BD перпендикулярную къ МЛ. На лпнш B.D сделай
Га _ FD . FV гр _ ТО . FV IQ + VF И — VQ-VF*
Возми BG=AF, будешь G другой фоку съ. Около фокусовъ F и G опиши, по § 43, елляпсисъ: онъ пройдешь чрезъ данный точки V, Y п Z.
Доказательство.
Поелику VH = и VY = YH — VII, шо будешь
VII : YII — VII — VF : YF — VF,

( 205 )
,¥H : VH =*F : VF.
Ho A VHP OO A VHQ, и потому
УН : VII zr YP : VQ , слФдовашельпо
YP ; VQ = YF : VF.
Изъ сего явствуешь, что точки Y и V находятся въ еллиисисЪ 5;|). Подобнымъ образомъ изъ
УК —
заключишь можно, что
YP : ZB ~ IF : ZF.
И шакъ точка Z такъ же находится въ еллипсис'Ь. Теперь поелику
FA = и FD = FA + AD , то будешь
FA:FA + AD ~ Г V: FV -F VQ , или
• FA : AD — FV: VQ.
Ho VF: VQ = CF : C A (§ 53) ; следовательно
AF : AD — CF : CA.
Изъ сего слЪдуешъ, что А есть вершина еллипсиса 5гр Подобнымъ образомь изъ
_ Г® • FV
— VQ—fv Докажется, что В есть другая вершина еллипсиса. Следовательно еллипсисъ.
( 206 ) выпгеизълснеппымъ образомъ описанный, есть хпошъ самый, въ копюромъ наход/инсл данный точки Л , ¥ и Z.
О п Р JE д Б Л Е н I Е.
S- 5 k
Черт. ВсЪ лин1и въ еллипсиСЬ, чрезъ ценшръ С проведенный, какъ L)E, FS, называются /4сам е трамп.
С Л 4 д С 1 В I Е.
S- 5?
Пзъ сего слТдуетъ , что въ едлипсиСЬ провести можно безковечпое множество д!аметровъ.
О Я Р Е Д Ъ Л Е Я I Е.
$. 58.
Гжели д!эметръВЕ параллеленъ касательной FT, изъ koi «да F Д»аметра GF проведенной; то оный называется СопрялсеннымЪ етромЪ. Обратно GF есть д1амешрь сопряженный д!аметру DE.
0 Е О Р Е М А 6.
§• 5g.
Llimnijib С еллипсиса разд'Ьлле! :Ъ jnempb па да5 распыл части..
I ,X>7 )
Доказательство.
Изъ конца G диаметра GF опусти на АВ перпендикулярную GI, сдЬлай СК — С1, и въ точки К на АВ поставь перпендикулярную KF до сямаго Д1аметра : поелику СК — CI, и ZFCK — X.GCI, то 6удетъГК = Ы; но въ точкахъ, равное отъ центра разстояте имТиощчхъ , ординиты сушь равны Зэ) ; следовательно точка F находится въ ел-липсисЪ, и потому она есть другой конеггъ Д1амен1ра GF; а мы уже видЪлм , «то СК— Cl, zFCK — ^GCI и FK = GI; следовательно CG = CF.
О Е О Р Е М А 7.
S- Со.
Ежели и. (Ь концовЪ Е н F двухЪ сопря— Vepnr. женныхЪ д'юметровЪ JDE и FG нс ось АВ 2^' проведены будутЪ перпеиднкулярныя ли-fiiii ЕН и FK ; то будетЪ
СН’ — КА . КВ, СК" — НА . ПВ.
Доказательство.
Поелику КА. КВ :Н4 . НВ = KF’. НЕ’ (С ЗП и ДГТКсчэдесн то 6^дегаъ
KF ; НЕ = КТ : СН, сл-Ьдовашельно
-
аль.uiP

CnJ 1ъ
( 208 )
КА . КВ : НА . НВ = КТ’ : СН’, Пусть СА = СВ ~ а, СК ~ х и СН = й, будешь
КА = а	х, КВ = а — х,
ПА —‘а и, НВ — а — и\
и субтангенсь КТ = —(§ 4э)- такъ наша пропорщя сделается:
(аа— х(г, . аа — хх : аа — ии —----— . ии.
ах
откуда получить ии ~ аа — хх, или ии ~ (а + *) (а — х), то есть
СН’ = КА . КВ.
Но изь уравнения ии ~ аа — хх слЪдуеигь, что хх~аа — ии= (а-^-и) (а—и) чего ради
СК’ zz НА1 . НВ.
0ЕОРЕМА 8.
S- 61. •
Сумма квадраптвЪ двухЪ сопрлженныхЬ иолуд1аметуовЬ равна суммЪ квадратов^ полуосей, то есть
СЕ’ + CF = СА’ 4- CF,
/Доказательство.
Поелику СН = ии — аа — хх и НЕ сн .RF .	.
—(§ to), нришомь
( 209 )
KF = * V аа -хх ($ 33) ,
CH ~ V aa — xx ($ 6i>) и
KT = ^ (s 49), ino будетъ
HE= J,
+ ЪЪхл
~aZ ,
/ire
CF’ =. CK* + KF’ = bb + xx----
II такъ
CE’ -J” CF' = aa -f- bb zz СА’ CI*.
0EOPEMA 9.
S- 62.
Ежели изЪ каком ннбудъ почки X дга* мчпра FG проведена будетЬ лтйл XY, параллельная сопряженному ддаметру DE, и лпн1я ХЦ параллельная осн АВ, то бу-детЪ QJX. : XF . XG = СН’ : CF2;
Доказателъ* тво.
Изъ точки Y опусти на АВ перпендикулярную лин1ю YK , такъ же изъ X на АВ перпендикулярную XQ , и на АВ перпендикулярную ХР. Пусть
QX = г, СР ~ Sf CF - v, СК = х, EF = у,
( 2,0 )
6.удеИ1Ъ CR — г — s ,
КА ~ a л у В А — л — (/' s) » КВ — а — х, RB — а 4- (г — 4 По ДСКГ оо ДСРХ, следовательно
CF ; СК — СХ : СР ,
« потому СХ —	, то еСП1ь СХ — ~ >
откуда найдется
ХЕ = CF — СХ = ~~ , X “
XG = CF + СХ =LvL+J следственно будешь
XF XG______Vl> ^гх ~~5j)
Но поелику по § 3i
YR’ : FK’ = BA . RB : KA . KB , то будетъ
VR — rKz • Г|А ' RB_хг(ад Р —J)-' .
" KA . KB	aa — xx ,
сверхъ того YR = YQ -f- FX. Ho KT : KF — QX : QY, КС : KF = PC : PX, следовател ьно
__ I F - QX  rj-zr
— ~KT — aa-xx 1
, pv __KF . PC _jr s .
— Kc — — , откуда произойдешь.
ЛЯ
ал) t
i 21 I )
и сл'Ъдовагпелыю будешь
Изъ сего уравнения получится
— И _-------,
и потому будетъ
QX’ :XF . XG = аа — хх : vv z= CH2 : OF’.
С Л Ъ Д С Т В I Е I.
§. 63.
Поелику AQXY с\з ЛИСЕ, то будете QX : YX = СИ : СЕ, или
QX : УХ’ = СН= : СЕ’,
Но QXa : XF . XG = CIF : CF1 ($ 6з), следовательно
XY’: XF . XG = CE’ : CF’.
СЛЪДСТ1!1Е 2.
* S- 
Ежели абсциссы взяты будупгь на какомъ нибудь дламепгрЪ FG'onrt центра С , и ординаты XY сопряженному диаметру НЕ параллельны , пю , положивъ CF ~ CG = A, CD1 = СЕ — В, СХ ~ X, XY = Y, мы будемъ имЬтпь
XF = А — X, и XG — А 4- X , следовательно
Y’ : А’ — X’ — В’: А’ ($ 63) :
* »
( 213 ) откуда произойдешь
Y zr Ч-4 A XX?
Сл1>ДСТВ1Е 3.
$. 65.
’^ри’. ]дзъ сего явствуешь, что каждой абсциссе соотвешствуютъ две равный ординаты. Следственно каждый д!аметръ DE разделишь все хорды FG , HI, KL и пр., касательной DY параллельный,' на две равный части. Обратно каждая лшпя DE, которая разделишь по поламъ лшчи CF, Ш, LK и пр., параллельный касательной DV, чрезъ конецъ D сей лиши DE проведенной, необходимо будешь д.аметръ.
Вопросе 8.
’	S- 66.
Найти. ^ентрЪ данного .еллипсиса.
Р е ш ж н I Е.
’/ерт. Проведя, по произволение, две хорды IK и LM , параллельный между собою ; соедини ихъ средины R и S. Подобнымъ образом* проведи произвольно две хорды параллельный EF и GH ; соедини ихъ средины Р и (^лия^ею PQ. Точка С, гуБ лмн1и PQ и RS взаимно пересекаются, будешь искомой центр*-
!
•	( 213 )
Доказательство.
Поелику лиши PQ h.RS раздЪллютпъ, первгл EF и GH, а другая 1К и LM на деС равный части; то оныя ляти PQ и RS, будучи протянуты, будутъ Д1аметры еллипсиса
65). Но два диаметра взаимно пересекаются въ цепшрЪ еллипсиса (§ 56), слЪдо-пательно точка С будетъ оный центръ.
В о п f о с ъ 9.
S 67-
ВЪ данномЪ еллппснсЯ провести осп.
Р ® Ш Е н f Е.
Сыщи центръ С по $ 66, изъ онаго опиши дугу круга, которая бы пересЪкла данной $ еллипсисъ въ точкахъ F и G, пошомъ проведи FCJ, и чрезъ средину Н оной и чрезъ центръ С протяни лин1ю АВ, и напослЪдокъ чрезъ центръ С проведи лишю НЕ перпендикулярно къ АВ: прямыя АВ и НЕ будутъ искомыя оси.
Доказательство.
Поелику CF 3= ,CG, HF = HG и НС общая , шо будетъ 4 CHF = 4 CHG , следственно лин1я АВ перпендикулярна къ FG; но поелику она чрезъ центръ С проходить и линцоЕО на двЪ равныя частя разделяешь , шо необ-
( 2I4 )
ходило она будетпъ ось дапнаго еллипспга (§ 34), и именно большая; прямая же ЕЕ будешь меньшая, потому что CY <2 С А СВ.
i Вопросъ ю
£. 68.
77о данной большой осн н по данному центру еллппсмса найти фокусы онаго.
Р ъ ш Е и I Е.
Veprrr.
Зо. Пусть будетъ С цептръ и АВ большая ось. Чрезъ какую нибудь точку О дапнаго сллипсиса проведи касательную къ нему лтпю •RS и изъ центра С радйсомъ = j АВ, опиши дуги круга, пересЬкакшпя касательную, RS чъ шочкахъ D п Е, потомъ проведя лиши CD и СЕ , И изъ точки О къ онымъ параллельный OG, и OF, и напослЪдокъ въ шочкахъ D и Е на RS возставь перпендикулярныя Aunin DF и EG: явно что точки F и G, въ коихъ онЪ Линги OF и OG пересЬкаюш^, будут* искрмые фокусы даннаго еллипсиса.
Г ЛАВА V.
О Л а р а 6 о л Ъ.
0 Е О Р Е М А Г.
§• 69.
ЕЁелк конусЪ ROS перес'ЬчеиЪ будетЬ Черт. двумя плоскостями параллельными оснований , такЬ чтобы РМ и QN были поЛу-с1гчсн1я онызсЪ плоскостей сЪ плоскостью параболу производящею; то будетЪ
РМ2 : Q№ = АР : AQ.
Показатель ство.
Поелику всЪ сЬчещя суть перпендикулярны къ плоскости треугольника RCS 3) ; то и голусЪчея!я РМ и QN перпендикулярны будушъ къ плоскости ROS (Геом. $ ЗДВ)» сл'Ьдовательно лин!яГ1\1 перпендикулярна кг EF и QN къ GH.
Изъ сего ^сл1>дуешъ , что
РМа = ГЕ . PF , QN’ = QG . QII. И такъ будетъ
РМ’ : Q№ РЕ . FF : QG . QH.
Но QG = РЕ, слФдорашельпо 6}детъ
PAI’ : Q№ = PF : QH.
( 316 )
А поелику A APF СО Л AQII, PF  Qll = АР : AQ;
слЁдовашелыю
РМ : QN’ — АР : AQ,
шо
будешь
П Р И М Т Ч А Н I Е.
S- 7°-
Взявъ лшню АВ зя ось абсциссЪ, АР и AQ будупгь абсциссы , РМ и QN ординаты пара
болы. И шакъ
во
всякой
парабол^
кваАоа>ны
ординатъ
относятся
между
собою такъ
какъ coonnriJiuciiiByioiqia имъ абсциссы ($ бу).
Вопросъ I.
S- 7%
Черт. ВЪ парабсл’Ь абсциссы взяты на осн ^3* АВ отЪ вершины А, пойти уравненье между координатами.
Р К Щ Е К I Е.
Пусть йбсцисса АХ ~ х и ордината
— у ; какъ квадраты ординатъ суть къ < оот-вЪтствующимъ абециссамъ въ постоянномь отношении (g 70); то пусть будешь cie отношение = лр : i, шакъ чтобы было у* : х ~лр: I, откуда получимъ у — ЛРХ
*
( ^7 } ОПРЕДЕЛЕН!! т. $• 72-
Постоянная величина зр , здВсь введенная, называется ПауаметромЪ Параболы.
С Л Ф Д С Т В I Е.
$ 73'
Изъ vpaBHeniff, въ § 71 найденнаго , явствуешь, что ордината есть средняя про-порщопальная между абсциссою и парамепг-ромъ.
П Р И М Т> Ч А Н I Я.
1°) Взявъх ~ о, ийкемъ y-rz О, и потому парабола ось АЗ нерес’Ькаешъ въ верши Ъ Аз) Взявъ для х отрицательную величину, получится для у мнимая величина; и ъ чего слфцетъ, что вся коивая лин1я находится на одной сторон'Ь точки А. 3) Сверьхътиго уравнение у ~	£/ эрх иоказыва) тъ , что
каждой абсцисс!} АХ ~ х Принадлежать дв'Ь ординаты равным между собою XY = + J/ 2рдг и XZ ~	зрх и потому паэабола
состоишь изъ двухъ в’Ьшвей подобныхъ ATKI и AN , изъ коихъ одна находится чгадъ осью, а Другая подъ осью. Сверхъ того 4' видно, что ординаты шТ>мъ больше 6ыватотъ,ч15мъ.
больше абсциссы взяты будутъ; и ежели я? = <х, иго будешь Чг со : и такъ в’Бтви AM и AN безпресшапно болЪе и бол'Ье отъ оси АВ отдаляются.
ОПРЕДЕЛЕН IE 2.
S- 75.
Точка F, гд'Ь ордината FIJ равна будетъ полупараметру, называется фокусомЪ na-J раболы.
С Л 5 Д С Т В I Е.
S- 76-
Поелику на оси параболы одйа только точка быть можешь, въ коей бы ордината равна была полупарамешру § 74. прим'Ьч. 4); то въ парабол!} одинь только фокусъ находится.
0ЕОРЕМА 2.
S- 77-	|
Разстоянге фокуса отЪ вершины параболы 'равно четверти параметра.
Доказательство.
Поелику XY* : FH’ — АХ:AF ($ 69), то будетъ AF =	= Но Z/ = 2РХ
(S 71); слЪдосательно
AF —’т 2fX	> Г
( 2I9 )
0 E О P E M A 3.
S- 78.
Ежели нзЪ какой ннбудъ точки Y параболы проведется до фокуса F прямая Annin YF, н кЪ осн АВ перпендикулярная лишл YX ; то будетЪ сумма лнн1й FY и FX равна абсцнсс'Ь дважды взятой, а. разность оныхЪ равна будетЬ полу параметру.
,	Доказательство.
Поелику AF — -р (§ 77), то будешь FX = АХ — AF — х — ’-р, слЪдовательно FY—
HXY’ + FX’ = И уу 4- (х - \р }Г, или, поставивъ зрх вместо уу (§ 7s) > произойдешь
FY ~ V' хх рх 4~ -рр ~ х + '?Р 5 ио FX ~ х — {р, слЪдсшвенно г
FY 4- FX ~ 2х и FY — FX = р ;
Определен те 3.
S-. 79-
Ежели чрезъ точку D продолженной осп Черт. АВ , въ разогнавши AD = AF отъ вершины Jj’ А , проведется литя МГ\ перпендикулярная къ DB ; шо оная лишя MN называется На-правлетемЪ параболы.
(	220 )
0 Е О P E M A 4-
S- So.
^epnr. Лита YP, из’Ь какой нибудъ точки Y параболы перпендикул ярио кЪ направлен'пА MN проведенная , равна линт YF.
Доказательство.
Поелику YF “ х + 'р 78) ~ АХ АН ню для AF — Al.) 7g), будешь YF ~ AX-J-AD, то есть YF ~ DX ~ YP.
Вопросъ □.
S- аг.
По данному фокусу и параметру описать параболу.	»
Р Ъ III Е II I Е.
Чеппг.
зч.
Чрезъ данной фокусъ F проведи прямую лин1ю и ня опой положи оптъ F до А и отъ
А до В четверть данного параметра PQjna направление, чрезъ D проведенное (§ 79)1 наложи линейку GH , и на ось АВ сторону KL наугольника 1K.L; возми нить, и прикрепи конецъ оной въ точкЪ F; натяни нить до А, и отъ А до конца L наугольника на оси DB лежащего , и прикрЪпи другой конец!» виши къ сему конпу L; въ сгибъ ниши А поставь карандашъ, и двигай сторону
( аз I )
наугольника IKL по линейкЪ GH : карандаш* оиипЛ-т* желаемую параболу AM. Оборотив* намольпикъ на другую сторону, подобным* образом* опишется другая вЬшвь параболы АЛ1.
Показатель ство.
Явно, что во всякойi шочк’Ь Y кривой лиши, помянутым* образом* описанной , будет* YF=. YK,что есть свойство параболы (§ 8о), коей фокусъ находится въ шочкЪ F, и коей параметр* ~ aFD ~ PQ.
’ НрУгое доказательство.
Пусцгь PQ =2р, АХ~ ,г и XY“/, будетъ AD ~ 4F — 1 р, FX ~ АХ — AF ~ х — ip, я по опиеашю FY ~ KY ~ DX = х -ф ~р, следственно XY’ = FY2 — J'X ~ (х [р) ' — (лг— р) — 5р.г, или уу = зрх, что есть уравнеше параболы (§ 71).
♦ Вопросъ*).
82.
Поны фокусЪ F и -параметрЪ PQ, опн- Черт. сать параболу по приближению,	35‘
Р Ф Ш Е Н I К.
На лиши DВ, чрезъ данной фокусъ F* проведенной ,* сдфлай FA == AD = { PQ ; на Щойжелиши B03MI1 точки G, II, I, К и проч.
Мерт.
36.
въ малом* разстояши одна ошъ другой; bi оныкъ точках*, равно какъ въ шочкахъ F j D , поставь перпендикулярный лиши; из1 центра F, рад|усами DG, DF, ВН, DI и проч: опиши дуги, который бы пересЪклй перпендикулярный лиши въ точках* О, S, Т U , V и проч : я чрезъ точки А, О, S,T,U,A и проч : опиши непрерывную кривую линпо оная будетъ искомой параболы верхняяв'Ьтвь Нижняя же подобным* образомъ опишется.
Справедливость сего описания явспгвуепп изъ рав-нства разстояши каждой шочкь кривой лиши отъ фокуса F и отъ ваправ летя MN (£ 8о). Описание же тЬмъ точнЪ< будетъ, ч'Вмъ ближе точки A, G, F, Н, I i проч; между собою взяты будутъ. ,
Вопрос* 4*
S- 83.
ЧрезЪ данную тонну Y параболы провести. кЪ ней касательную линйо KZ.
Г Ъ Ш Е II I Е.
Пзъ данной точки Yonycnm на иаправлеше МЛ перпендикулярную линпо YP, и изъ фо куса F проведи линйо FP ; чрезъ средину ® оной лиши и чрезъ точку Y проведи лнн1К KZ: оная будешь требуемая касательная ЛИМ1Я.
( хгЗ )
Доказательство.
Поелику YP - YF (§ 8о) , КР “ KF (Йо положенно) и KY общая ; шо треугольники PKY и FKY будутъ равны, следовательно Z PKY ~ 4 FKY. Теперь ежели лшпя KY , чрезъ точку Y параболы проведенная, не касательная , то она лересЬчстъ параболу въкакой нибудь шочк!> Z. Пусть нересЪкаетъ; точка Z въ парабол'Ь находится , и будетъ опущенная изъ Z ha иаправлеше MN перпендикулярная ZK ~ ZF (§ 8о). По ZP ~ Z1* (по причин!» что КР = KF, Z.PKZ ^3. ZUkZ , и KZ общая) ; следовательно должно быть ZR — ZP, что не возможно, и потому точка Z не находится въ парабол’Ь. Тоже можно доказать о вс'Ьхъ другихъ точкахъ лиши KZ, кромТ» одной точки Y; сл’Ьдовательно лшня KZ есть касательная, и Y точка прикос.човешя.
СЛ’ЬДСТВХЕ.
S- 84.
Ежели протянется лин1я PY параллельная оси АВ ; то будетъ Z ZYS " Z PYK~ Z FYK, то есть лиши FY и SY наклонены'къ касательной AZ иодъ равными углами.
Вопросъ 6. £• 85.
1ре.зЪ дачную вп'Ь параболы взятую Черт. точку Н провести касательную ьЪ лей лцгаю №
( )
Р 1> Ш Е Н I I.
Изъ данной точки Н, какъ центра, рад{-усомъ HF, опиши дугу круга, которая бы иересИкла паправлеше MN. Въ точкЪ Р; чоезъ Р проведи лин1К> PS параллельную оси АВ, и Чрезъ точку Y, гдТ> лин1я PS параболу^пе— ресЪкаешъ, какъ и чрезъ данную точку II, проведи ли1йю ПУК: оная будетъ искомая касательная.
Доказательство.
Поелику ЦР ~ НЕ (по строение) , YP —YF (по £ 8о) и YH общая, то будетъ AIIYP — AHYF, слЪдовашельно Z. РУН — 4. F1H и z. РУК = 4. FYK ; изъ чего сл дуешь, что АКУР ~ AKYF. Теперь, какъ въ прежнемъ доказательств!», доказать можно, что сЪ точки лиши КН, крон!» У, внЪ параболы, слЬдивашельпо и проч.
Бопросъ 6.
И.'
$. 86.
Чсрпг. Около данного фокуса F описать параболу, чрезЪ двЪ даниыл точки У zt Z проходящую.
Р Ф Ш Е И I Е.
Изъ точекъ У п Z, какъ цептровъ, радиусами YF и ZF опиши д)ги GH и*1К; къ онымъ д^ самъ приведя касательную лишю
f 22J )
MN, Ц» Которую чрезъ F проведи псрпен--•’fKj лярну hi DB. ПмЪя таквгь образомъ ось , направлен!?. MN, фокусъ F и вершину Л (кошбрая есть средина лиши DF), можно описать параболу по $ 8i.
В О П Р О С Ъ 7.
$• 87.
Найти субьормалЪ, иормалЪ, суб-тангенсЬ, тангенсЪ и отс'Ьчеиную параболы.
Р *6 Ш Е Н I Е.
Поелику L FKY = L PKY (§ 83), иго буд пл t- KY прямой , следственно PF Д YN э К !=PY~zt-|-3p (§ 80), откуда произойдешь
XN = FN—FX~(x4~ Р) — —’p)(S 78). II такъ субнормаль будетъ XN — р , и нормалЪ
YN “ XY' Х№ — У/ а рх рр.
По то.мъ поелику
ATXYCOAYXN, и следовательно
ТХ : XY = XY : XN, получится субтангенсЪ
П -у __ XY4 if,x
хл — лгг — т~ = зх;
тпангенсЪ
i5
( ^6 )
TY \/ TX “ X N ’ ~ У 4 xx арх; и отсеченная АГ ~ ТХ — АХ — х.
О п Р Е д В Л Е н I Е 4-
S- 88. '	I
^рП1' Лии1я YS , чрезъ какую ня будь лючку 1 параболы . параллельно оси АВ приведенная, называемся Д1атлпромЬ.
ОПРЁДЪЛЕНТЕ 5.
S- з9.
11родолженн YP д1алп"шра¥5 до на правлсшя MN , четырежды взятое, называется Пара-иЬтромЪ въ разсужден!и сего Диаметра.
0 Е О Р Е М А 5.
S- 9°-
Ежели, абсциссы возмутся отЪ какой Нинуль точки Y параболы на д'ипнетр'Ь YS. и ординаты проведутся параллельно касательной YT; то будутЪ квадраты ординатЪ относиться такЪ какЪ ихЬ абсциссы, то есть
UV : QRJ =1 UY : QY.
Показатель ство.
Алъ гпочекъ U и V на ось АВ опусти пе{пенднкуляриыя лиши Utl и VK, и положи
( 2^7 )
АН = 7, ПК = г, и парамрптръ д^мептра
Y'3 = Р; поелику ATYX С\? ALIVE, то будешь TX : XY = UE : LV,
откуда получимъ
у _ XY.UE
Но XY == г, UE — г, ТХ = 2х (S 87), слЪдован1ельно
EV — и KV = XY 4- EV —
зт	1	ах
И какъ XY’ : KV’ — АХ : АК ’(S 69) mo
есть
Э г(г + 2лг)г  	I
ТУ' — 4—= *:? + r’ то
откуда произойдешь
zr — 4х (7 — х) — 4х- YU.
Накош-цъ
UV1 “UE’ 4- EV’ = гг 4. LUI — rr.f5 1	, I XX	. X
Но X 4- \р =z YP - 4Р (S 89) и
гг =. х, YUy слКцовательно
UV’ — Р . YU.
Подобнычъ образом’ъ докажется, чпто квач— рашъ друюй какой нибддь ординаты QH* ” Р . YQ, следовательно будетъ
UV* ; QR! YU ; YQ.
* it
Чертя.
41.
* i
X
( 228 )
С Л Ъ Д С Т li I Е.
S- 9Ь
Поелику UV’ — Р . YU, ню будешь UV — -J-17 Р . \U.
1Лзъ сего сл'Вхуетъ, чюл каждой абсциссЪ "S U принадлежать дпб равный ординаты, одна положительная падь д1амешромъ, а др11ан отрицательная подъ Д1аметромъ. СлЪдоватен>но каждом дияешръ \S разделяешь всЪ хорды пиралл»льныя касательной па дне равный части. Обратно каждая лииТ-я YS, которая раздЪлитъ по поламъ хорды параллельный касательной YT, есть д1амешръ параболы.
»	~	‘ I
ГЛАВА V.
О ГиперболЪ
в	’Ж
X
0 I О Р Е М Л. 1
§• 92-
Ежели конусЪ PiOS пересЪченЪ (>удетЪ длуия плоскпстямп параллельными осно-eanbo, пгакЪ чтобы РМ и QN были полу-с'ЬчеН!.л опылЬ плоскостей. сЪ плоскости^
( 22f) )
гиперболу' производящею’, то прояолжнвЪ ось ВЛ гиперболы п сторону SO конуса . до а, гд'Ь оныя лпп1н взаимно пересекутся,
будетЪ	г '
PM2 ; QX* — РА . Ра : QA . Q«.
Дока з а к ел ь с т в о.
уже выше 3i , 69) доказано, что PM : Q№ = РЕ . PF: QG . QII.
( Л APE СО A AQG )
По <	},
I A aPF со А )
слЪ до в a m ел ы« о
С РЕ : QG ~ РА : QA 1
( PF : QH = Рд : Qa } изъ чего явствуешь, что
РЕ . PF : QG . GH.= РА . Ра : QA . Qq, следователь»о Ь^детъ
PM* : Q.Y — РА . Ра : QA . Qa/
# С Л 'Ь Д С Г В I Е.
S- 93.
Пусть точка С средина лин!я Ад, 6„»Д . 1Ъ
РА — СР _ СА.
Ра ~ СР 4- Сд ~ СР 4- СА, QAzzCQ-CA,
Q« 2= CQ -у Сд = CQ 4- СА, ‘ слЪдовашельно
( 230 )
РА,РЛ —'СР —С<) <СР + СЛ) = СР’ —СА’, QA Qa —(CQ —СА) (СО СА) — СО’ — СА’. II шакъ будешь
РМ* : QA* = (СР’ — СА’) : (CQ’ — СА ).
ОПР1Д«Л1НП.
S- 94-
Точки А и а называются Црртннайп об'Ь^'хъ взаимно проп»ив<>леж щихъ гиперболъ; Annin же *а есть О< ь проходящая., а точка С ПентрЪ гиперболы.
В о п р о с ъ I.
S- 95.
'Лбеииссы 'ячяты на осн АВ отнЪ центра С; найти ypaeneuie между координатами гиперболы.
Р Ъ Ш Е Н I Е.
ГЬс.гпь СА ~ а, СР — .г. РМ ~ у, CQ == О, и QN = с , будетъ изъ § рЗ
уу : сс — vjc — аа . — аа.
Въ сей nponopnin первой и nipemiu члены сушь положительные, а ч< твертой отри-цательный; с.’',Ьдовательпо и второй непременно долженъ быть отрицательный; чего ради поставимъ — ЪЪ вместо сс f и произойдешь
уу : ЬЬ ~ хх ч— aq, ; аау
( З3» )
«откуда получимъ искомо^ уравнеше _ । 4 I/-----------------
? — ZL т XX — аа.
СЛ15ДСТВ1Е I.
$• 9^
Пусть х = О, будетъ у “ + Ъ \/ — i, то Черт, есть дрдипата въ самомъ центрС есть 1 мнимая; cie означаешь, что гипербола не достигаешь yjo сего мЪсгпа ($ iq). Впрочемъ видно, что ординаты дотолЪ будутъ мни-мыя или невозможный, пока не будешь
-|- а. А ежели х ~ + а,.то будетъ у~ О. то есть, когда на оси />В, по правую и по л1»вую сторону центра С, возмутся лигой СА ~Са ~ а, то гиперболы въ точкахъ А и а пересЪкутъ ось ЛВ, а между оными точками всЪ ординаты будутъ невозможный-
Ол$ДСТВ1Е 2.
• S- 97-
Ежели по правую и по лЪкуго сторону Черт центра С взяты будутъ равный абсциссы СХ — х, C.r, ==—х, (полагая х^>я); то въ шочкахъ X и х ординаты будутъ:
XY ~	— _1_I/
' j---г у хх — аа , и
XX zzz xz — —_ 1/ ’
----------с г хх — аа.
( 23а )
Изъ сего явствуешь, что ординаты тЪмъ больше бываютъ, ч'Ьмь больше взяты будушъ абсциссы ; а еж ли л = Hz 00 > то будешь у ~ + со .	*
С Л ® Д С Т В I Е 3.
$• 98-	I
Черт. Случаи, нами зд'Всь разсмошр'Ьнные , по--казывЯюпгъ, что гипербола наша состоишь изъ двухъ вЪтвей ДМ и ат, по правую и по лЪвую сторону центра, и что подъ о<ыо 1>В находятся двТ» же вЪшви АЛ и ан, помяну тымь подобный.
Определен те 2.
’ S- 99-
Поелику ордината у въ цеитр'Ь — -J-Ь1/ — i (С еуб^ , то ежели чрезъ цепшръ С проведется перпендикулярная лптя DE, такъ чтобы было CD~CE = i, оная DE называется Сопряженною Осью гиперболы.
О П Р Е Д -В Л Е н I Е ‘3.
§• ТОО.
По данными полуосями а и Ь гиперболы можно будетъ найти . ую лигпюр. чтобы было л: b ~ b ; р. (лп литя называется По.гр парам стр омЪ гиперболы.
( 233 )
©ПРЕДАЛ ЕНГЕ 4’
С. юг. *7
По правую и но л’Ьвую сторону центра Черт.
1	_	w 4^*
гиперболы на проходящей о и ея на\>дятся
деФ точки F и G, въ кошорыхъ ординаты
cjnib равны полу пара метру р. ©ныя точки называются фокусами гиперболы.
0 Е О Р Е М А 2-
S- 102.
КвадратЪ пзЪ разстопнгя фокусовЪ отЪ центра paei uh сумм'Ь квадратов!) нзЪ двухЬ полуосей, то есть
CF’ — CG’ — СА’ — CD’.
Доказательство.
Поелику въ самомъ фокусЬ 'ордината дол» жня быть равна пол\ параметру р ioi), то положи
Р — а хх — аа (§ д5).
Но Р ~ Т (S 1ОО); . следовательно будетъ ъЪ   Ъ I/--------------—-—
а ' а хх	а а
или
хх — аа
( =34 )
откуда произойдешь
хх — аа 4- bb, то есть
CF1 = CG” — СА’ 4- CD\
С л i д с г в 1 е.
S- юЗ.
Соедини концы осей лин!ею AD, и будетъ АВ’ — СА 4“ CD ; следовательно CF = CG
6 Е О Р Е М А 3.
, ' S- ю4,
Ежели изЪ какой н'лбудъ точки Y гиперболы кЪ фокуоамЬ F u G приведены бу iynib прячыя .линче YF, YG; то нхЬ разность равна будетЬ проходящей оси Ад.
Доказате. г ь с те о.
Пвелику FX ~ СХ—CF, то есть FX ~
х—аа — bb (С Ю2), - у ~ дг-д. — аа (g <р) и
FY’ = FX’ 4- XY’, то будетъ
FY’= (аа-^ЪЪ}—аа — ЪЬ 4” i следовательно
FY — ]/аа — bb — а.
( ^5 )
Подобными образомъ. поелику	«
GX = СХ 4- CG — х + I/аа + bb,t
XY — Ь 1/хх — аа я а
GY1 —GX24-XY3,
mo буд-дпъ	•
GY = х~ {aa-\-bb} ^хУ ааbbаа, следовательно
G\ — х- аа -J- bb 4“ а и
GY —FY = 2сс = Ал.
Вопросе з.
S- ю5.
По даниымЪ осямЪ Ха — DE = zb Черт. описать гиперболу.	'1”’
Р Ъ Ш Е. HI Е.
Отъ средины С данной проходящей оси Ха отсеки CF ~ CG Уаа — bb § юз), и въ точкЪ G прикрепи конецъ линеики GQ, а въ точке F прикрепи конецъ нити: натяни нить отъ F до А и отъ А до конца Q линейки, на оси GB лежащей, и прикрепи другой конецъ пиши къ конц^ Q линейки; въ изгибъ нити А поставь карандаши; ежели линейка около конца G будешь обращаться, то карандаши оидшстъ ветвь гиперболы AM.
( 236 ).
Прикр'Виивъ коиецъ ликЪйки въ шочкЪ F, и нитьгыжпкВ G, подобнымъ образомъ опи-| шется еЪгпвь гипербо\ы противолежащей ат. иборогпивъ же линТмку на другую сто-’ рону, опишутся нижшя вЪтви АЛ и ап.
касательство.
Изъ описашя видно , чшо лиши GY и Ь YI раг.помЪрно возрастаешь, или что ихъ разность одинакая во вслко*лъ положеншлипВики. I Но въ самомъ началЪ она есть
GA — AF — Аа,, следовательно вездЪ будешь GY — FY — Аа, что есть свойство гиперболы (§ го4).Тоже' доказать можно пгЬмъ же образомъ, какъ выше въ § 43 Для еллипсиса сдЪлано.
В о п р о с ъ 3.
§• /об.
ЧрезЪ данную.точку Y гиперболы rtpo-eeCrnjt кЪ ней касательную линии TV.
Р Ъ Ш Е н I Е.
1Тз» данной точки Y проведи Къ фокгсамч F u G лин1и \F и YG; сдЪлаи YU — YF, в чпезъ средину К липги FH и чрезъ Y проведи лин1ю TV оная 6}дешъ искомая касашельнаг»
. ( -37 )
Доказательство.
Надлежит* доказать, что г.еТ> точки лиши TV, кромЪ Y, виФ гиперболы. На сей конецъ положим*, что е:цс другая какая нибудь точка Z сей лиши	вь типербол'Б; будетъ
GZ - FZ = Аа ’(§ Ю4)- Но GY — FY = Ад, следователь ио
GZ — 1Z GV — FY,
или
GZ — FZ — GY — HY = GH,
то ест*
GZ ~ FZ -Ь GH = HZ 4- GH , что невозможно. Изъ сего слФ^уетъ, что точка Z внЬ гиперболы. Тоже доказать можно о всЪхъ точках* лйши TV, кроме Y; слЪдо-вашельпо TV есть касательная м Y точка прикосновения.
СлЪДСТВ1Е.
•	$• IO7-
Поелику HY = FY; НК — FK^T KY общая. 1по будетъ
Л HYK = A FYK и
£ HYK — £ FYK, следовательно Лиши GY и FY къ касательной TY подъ равными углами наклонены (см. SS 45, 84).
( 238 ) Вопросъ 4-
С. ю8.
^ь.т’ ЧреаЪ яакчую вн% гиперболы точку II пробестк касательную кЬ ней лшию III.
Г Ъ ш Е н т Е.
1тзъ точки П, какъ центра, рад?усомъ I1G опиши дугу KL, и изъ центра F, рад1усомъ Ал, опиши дугу MN; чрезъ jikhikv Е, >д6 дуги взаимно перес'Ькагошся, и чрезъ F проведи ливпо ELY, гиперболу пересекающую въ точкЪ Y, и чрезъ Н и Y проведи лингю Ш : оная будетъ искомая касательная.
Доказателъсте о.
Проведи лиши НЕ, HG, YG и НЕ; поелику по строение НЕ — HG и YE— YF = А.а , и притомъ
YG — YF — Ад .(S 1О4) ?
то будетъ
YE — YG;
сл'Ьдовашельно
£ GYH = Z EYH.
И такъ
Л YGI = Л YF I и
£ GYI — L ЕЛ f,
то есть лишя YI касательная (§ 107)-
1	( 23g )
Вопросъ 5. §• iog.
Uaitimi субнормалЬ инориилЪ шпорболы.
Р Ф II Е Н I Е.
Пзъ рЪшен1я вог.рссаЗ (S юб) известно, ЧеР™* что \Н= YF и 11К = FK, слФд-п-венно L. HKY == Z FKY = 90’ и FH # INY. И
такъ, поелику
A GilF ОО A G’Ytf., будетъ
GH : GF = GY : GN4, ' GF . GY или GN = —Gipr.
Но GF~aPz аа bb (§ юа),
GY = — Гаа — bb а, (§ ю4) и
GH — GY — FY = 2а (§ ю4); слФдовательно бсдетъ
GM — ” ( аа -J- ab) -J- 2 а аа 4- ЬЬ
•	2 а
или GN = х 4-	-J- |/
И какъ К X “ GN — t X и
GX — х 4“ аа 4~ ЬЬ (S ю4), то будешь СубаарыалЪ NX = и оттуда
получится Н.>рмалЪ
• ЬТ¥ = -
хх — аа.
( Mo ) <
В О П Р о с ъ 6.
Ito.
НаИтч субшапгеисЪ, тапгенсЪ и опгс'Ь-чешую гппербош.
Р Т> Ш Е Н 1 Е.
Треугольники TYX u MX суть подобные, * слЪдс1П8еьно
ТХ ; XY = XY : NX, откуда найдется СубшаигенсЪ
И ПоеЛИКу
TY = 1/ТХ Ц-XY , тпо блдетъ ТапгенсЪ
;1Y - ; |/(а'-(2г7о4-ЛЛ).г’+°вв^ *’)• Наконецъ будетъ отсеченная
ТА — ТХ — АХ =
СлЪДСТВ1Е 1.
ч>ряг. Гжели изъ фокуса F протянется ордината FH, И чрезъ Н проведется шангенсъ 1Ш,то, noe.vwKv абсцисса есть	4
будешь отсеченная
AD = "Yyr-
V аа 44
Сл 1>Д С Т В I Е 2.
S- ”2-
Поелику a tx СА и V aa — bb — a CF — СЛ --- AF, mo будешь
mo есть
AD : AF = CA ! CF.
Определен!! 5.
§. u3.
Лиша MN, чрезъ точку D перпендикулярно къ СВ проведенная, называется Направив* шетЬ гиперболы.
0 Е О Р Е М А 4-
§. т 4-
Е ж ели мзЪ какой иибудь точки Y гиперболы до фокуса F проведется прямая лкшп YF, 1ьна направлеи1е'Ъ\У опустится перпендикулярная YP; то бу де mb
YP : YF — СА : CF.
Доказательство.
Поелику YP — XD — АХ 4“	® ‘фИ"*
Пюмь
АХ ~ СХ — СА ~ х — а, то будетъ
16
( ф )
а(^ a a-}~bb— «) а(-^аа^ЬЬ-а)
YP=x— а4-—-=—= —°,--------------— •
V aa-\-bb	V aa-\-bb
Но ~\/-^-+bb - а = YF ($ ю4\, И
\/ аа -J- bb = CF (g 102) , следовательно
YP — СА -л 1	— ср f
ч то есть
YP : YF — СА : CF.
Вопросе 7.
$• «»5.
Найти разстоянге точки Т, гд'Ь тан-^Э-"1 генсЪ ось a^cUuccb перес’ЬкаетЪ, отЪ центра С, и перпендикулярную AU, изЪ вершины А на оси поставленную•
Р е III Е Н I Е.
Треутольникъ TAU подобенъ треугольнику TXY , следственно
ТА : AU = ТХ : XY.
И такъ
AU = Т2_Н.
НоАТ = в-^ « но),
XY — — I/ хх — аа (§ д5) и
ТХ	(S i>o);
( if ) слФдовашельпо произойдешь
Искомое же разстояше будешь СГ = СА-АТ=:вЛ
С л t> Д с Т В I Е. с. иб-А-
Пусть х ~ со, будетъ AU ~ h и С Г — о, то есть касательная, ииЬющая прикосновение къ гипербол® въ июнь® безконечно удачеьной отъ вершины А, проходишь чрезъ Иеншрь Сг и перпендикулярная AU въ такомъ схуча® будешь AV~6, шо ccnib равна сопряженной полуоси. И такъ ежели изъ вершины А «аниой гиперболы поставлена будешь перпендикулярная лишя AV — А, и чрезъ С и V проведется прямая линия. СР, шо продолженная гипербола безпресшанно б'СхЪе и бохЪе къ оной лин1и приближаться будешь, новь безкпнеЧнОфВе (ИКо.нъ токмо разсшояыи опгь Центра съ нею соитием можешь.
ОПРЕД®ЛЕН1Е 6.
S- 1 >7*
•Аитя СР, помянхгнымъ образомъ проведанная , называется А с им пню тою гиперболы AYM.
А А
( ^'4 )
G Л “Вдет В IE I.
g. 118.
Jerm. Угла, между осью СВ и асимпшоптпю СР 5°-	"	VA ъ „
содержащагося, тангенсъ есть — — но ежели лингя CQ такъ проведется, что будетъ Z BCQ = L ВСР; то CQ будетъ асимптота другой вЪтви гиперболы AN. А ежели лиши <-Р и СО протянуты будутъ за центръ С; ню CR и CS будутъ асимптоты гиперболы противолежащей. *
ОПРЕДЕЛЕН IE ?.
$• « ig-
Ежели уголъ PCQ, между асимптотами СР и CQ содержащийся, есть прямой , то гипербола называется прямоугольною.
С Л Ъ Д С Т В I Е.
g. 120.
ТУоелику въ прямоугольной гипербол’Ь уголъ ВСР — 45°, то будетъ AV = АС , то есть b ~ а, слфдовашельпо уравиеше между координатами будетъ у ~ Ч- \/хх — аа.
И Р И М Т> Ч А Н I Е.
g. 121.
Cie весьма простое уравпеше еще короче будетъ , ежели абсциссы возмутся отъ цен-
jnpa на асимптотпВ какъ то видно изъ сл*В-дующаго вопроса.
Вопросъ 8.
122. f
ВЪ прямоугольной гмттерболЪ абсциссы'**?™-взяты отЪ центра С на аспмппютЁ CQ; найти уравнение между координатами.
Pt ШЕ hie.'
Пусть СХ ~ X и XY “ Y; поелику , CAzzzcz,Сх=х и х\~у—I/хх—аа (§ 120), пю будетъ I	- 
/х~ zV “ к хх — аа и
CZ — С .г — 7х ~ х — У'хх — аа, СЛ’Ьдственцр
_ 0Z   J— V-тх ~ аа а Ya	у Г~ *
\ Потомъ	•
~ хХ . I/ 2 ~ У' хх — аа . JZ 2, слЪдовашелыю
XY—Y=lz-|-ZYz=CX-J-ZY—
( )
Откуда им’Ьемъ произведете
СХ XY_____ ('
‘	~~'	а	9
то есть
XXY=.^, или Y = ^, что есть искомое j равнение между коорди нашими X и ¥.
НАЧАЛЬНЫЙ ОСНОВАНЫ
к
ЧЦСТОЙ МА0ЕМАТИКИ
ЧАСТЬ IT.
• *
О Т Д Ъ Л Е II I Е IV.
Основантя диф ф ер енцгальнаго и инше^гральнаго изчислешя
ГЛАВА I.
Определен! я и предварительный usb~ яснешл.
Определена 1.
i.
Всякая величина, содержащаяся въ предала хъ , называемся Величиною конечною', наироптп '.ь же шоп» называются Величинами безконечно велики ин и бесконечно ма, шин всЬ шЪ, кои предполагаются чвеличивато-щимися или уменьшающимися далТ>е всякаю пред'Ьл а.
Присовокуплена i.
S- [
Въ 'Адгебр’Ь ($ 5а) показано, чшо знакъ безконечной величины есть со , и что дробь *
—. въ которой а есть величина конечная, означаешь величину изчезающую или безко-Вечно малую.
Л Р и С V В О К у и Л Е Н I Е 2.
S з.
Дабы подашь яснейшее о семь поняппе, разсмошркмь величины тригочоме.нрнчес-
( л5о )
кихЪ люнп прямаго угла. Тангенсъи Секансъ она:о, продолженные далЪе всякаго предала, сушь величины безчонечныя ; ибо можно положить , что они пересЬкутся въ безко-нечномъ разспгоянш, то есть никогда; коси] нуеъ же сего угла есть о или безконсчао малый. Ибо cos- 90 = ус:^о<, = — s принимай «за рад^ съ. Сл'бдовательно _1и есть величина изчИЬатащая или безконечно малая.
Присовокуплена 3.
Хотя и сказано, что ! °, или!,?-.
со ’ со ’	со ’ л со I
суть величины безконечно малым, или иЗче-заюпря, однакожъ онЪ могутъ имЪть между собою отношение конечное. Такъ наврим."»ръ
СлВдовательно между величинами безконеч-но малыми , или изчезающими есть конечное ошношеше, и изыскиваюе онаго составляешь прсдметъ того изчислешя, коего начала предложены въ следующей главЪ.
( )
ПРИСОВОКУ ПЛЕН1Е 4-
$. 5.
Хотя безЕонечпая величина н? можетъ быть увеличена чрезъ прибавЛете къ ней конечной величины, потому что оная, дабы ей ед'б-лагпь**я бесконечною, полгчм -а всТ; возможный конечный приращ<‘,,1М > и следовательно со -|-I — со , со -Ц- а — со и со -}- а ~ со ; но, будучи соединена съ бесконечною же величиною, увеличится ; ибо со -f- х ~ 2 со , 2 х х — 3 х , и вообще а разъ ст. = а х , и даже оо , со “®Л
О’ПРЕДЪЛЕШЕ 2.
$. 6.
Но какъ со * е'чпь безконечно бол’Ье нежели х , и безконечно женЪе нежели L; пп> и со назырается со ’ бесконечностью •?& степе ни, и L бесконечною малостсю ай степени. Изъ СС
сего уже легко понять можно , что разуметь Должно подъ именемъ безконечности и буз-Конечной малости 3й} 4й и проч, степеней.
Присовокуплена.
S- 7-
Изъ того, что сказано было въ § 5, слФ-Д>2шъ, что
( а5а ) »
а со b ~ а <х> . или а оо — а со — Ь\ потомъ, раздйлиьъ tie на со , со’, «э далЪе , будешь ъ	ъ  
, а + — — я или а —----------а,
1 п	00
и такъ далЬе.
Изъ чего видно, ыго естьли безконечив малая величина соединена знаками или —I съ какою нибудь величиною конечною, то можно отбросить конечную. Отбросипъ такъ же можно и безконечно малую какой
пибудь вишней степени, когда она соединен! знаками или — с’1» безконечно малою ниж-
ней степени.
ОПРЕДФЛЕНТЕ 3.
8.
Естьли алгебраическими дфЙств1емъ доведена будетъ величина до тою, что выразите^ многими другими, сопряженными какими бь1 то ни было образомъ величинами; то с1С выражение называется Алгебраическим!) еЫ' раженъсмЪ или Алгебраическою формулоюj напротивъ тою ссшьли оная имФшь будив
( 253 )
перемЪнныхъ показателей, логариемы или 5уГИ ь уга, тогда называется Трансцендентною формулою.
ПРИСОВОКУПЛЕНИЕ.
S- 9-
Сгазано было (Отд'Ел. III. § Т4)> ЧП1Й между величинами, составляющими формулу, нЗзкоторыя остаются непременными, сколь бы ни переменяемы были друпя, и чшота-ковыя называются Величинами постоянными или непременными', прочая же, кои переменяются, называются Величинами пе-ремЪннымп. Такъ въ уравнения
У — а V ац — хх, найдеиномъ для еллипсиса, полуоси а и Ъ остаются непременным-!, хотя и переменяемы будупъ величины х и у въ шомъ же еллипсисЪ.
О П ?*Е Д Ъ Л Е Н I Е 4-
§ Ю.
Функц1ею переменной величины называется выражен!е, состоящее изъ сей переменной, соединенной съ постоянными величинами « и 9), и оное называется Алгебраичес-^ЮНЛ1Л Трансцендентною функшею, когда Ги1ражен1е есть то или другое 8).
(	2^	)
ПРИСОВОКЛ П Л E H I E.
§• lb
(az^ f- "z I
II такъ az", az'n -J- Z>z”, -
(C5 ' + !z ) и проч, сути алгебраическая функ» 1и пере мЪнной величины г; между т!>»/ь какъ ajj Zz, Arc. sin. z, Arc- cos. z Arc tang z, то есть формулы, содержания трансцендентный пе-ли"ины, cjnib, тран< цендептныя фунтов той же величины z, кои вообще означающе такъ : F : z.
О л р е д L л Е н I Е 5.
§.	12.
функция двухЪ илимногпхЪ пррем’ЬнныхЪ есть выражение, въ которое входягаъ двЪ или мнипя переменных величины. И такъ
l7' аху ф- by и п г
а£— 1х
сушь функции двухъ
(а + Ьх) (с + dy\ (е +
суть фуньщи трехъ перемйнныхъ вели-чинъ.
Присовокуплен IE г.
S- i3-
Всякая'перемет на я величина возрастяюшая или у бывающая можешъ быть разематрив'аем!
достигающею до того чрезъ бсзпрерывное приращены на бесконечно малую величину, и С1и то безконечно малый приращен!» или уменьшения называются началами илидиффе-ргнщалзми переменной величины ? для ознз-чеши когпорыхъ употребляется буква dt поставляя ее передь переменною величиною. И такъ, яазвавъ какой нибудь кривой лиши абсциссу буквою х, ординату буквою у н дугу бхквою х, мы будемъ иыЪть чрезъ dx, dr и ds дифференц!алы сихъ перемЪнныхъ величинъ. П впредь нздлежитъ остерегаться уп нппеблягпь d за величину алгебраическую и dx за произведете двухъ величинъ d м х.
При’совокуплеше 2.
S- 4-
Ес,ггь\и въ какой нибудь функгци'Е: (х,у, z и проч.) многихъ пергмЪнныхъ вмЪсто jc, у, s и проч, пвгпивмпгя
X -+- dx, J -	dy, S -ф- dzy
и проч, и означится пооизгпедтее отъ сего , Ши есть F -j- r/F, чрезъ F; (х, у, z и проч.); пт взявъ разность F — F получится диффе-ренщалъ dF предложенной фучкд!и F. Отъ Сег,> действен, брать разности , произошло Название дифференпуальнагю изчлслси!я а
( 256 ) брать или употреблять ди фференщялы зна, чишъ искать или j потреблять разности.
ГЛАВА II.
О сыски ваши дифферешраловЪ алге-1 браигескил'Ъ функцш.
Во пр о съ I.
§• i5.	I
Сыскать днффереицгалЪ алгебраической функции F ~ ах + бу.
Р Ъ Ш Е Н I Е.
Поставив* х -J- dx вмЪсто х, и у d) вмЪсто у (§ i4) , поуучишся
F' — F -|- <7F ~ ах etdx + br -4- bdr, с.тЬдовашельно искомый дифференциал* детъ	•
dF ~ F'’ — F ~ adx -ф bdy.
ПРИСОВОКУПЛЕН1Е.
§. 16.
Подг бнымъ образом* сыскиваются сл'1^ 4j юиря диффереищалы :
( аэ7 )
d {ах i by i cz)= а^х ~t bdy cc‘z d. (a -*- Л.г I- cy ) — 4; bdx + cdy, d. [ad-\-ab —cy}~— cdyt
и проч.	,
В о n p о с Ъ 2.
S- !7-
Сыскгутъ диффереицалЪ функцш F — ху
Р Ъ UI Е П I Е.
Поставыг.ъ х 4~ dx вместо х, и у -{- dj вм’Ьсшо v (S г j), получится
F' = F -f- rtF — (л? 4- dx) (y + dp) J ил и
F' — F -J- </F = xy 4- xdy -\-ydx 4- dxdr, слВдовашельио искомый дифферешралъ будешь
</F ~ F — F xdy 4- ydx 4~ dxdr. Ho xdy и ydx смнь безконечно малый величины первой степени, a dxdy есть безко-нечио малая величина вгнорай степени (§ i3), и потому она исчезнешь въ разсуждети xdy 4~ ydx , следовательно
dV — xdy 4- ydx.
Вопрос* 3.
§. i8.	'
Сыска,тъ дкфференциыЪ фуикиун F —
х7
( 258 )
Р Ъ Ш Е Н I Е.
Положимъ ху — р, остается теперь найти дг.фференщалъ F — pz, который и есть
dF = pdz-\-zdp (§ 17).
По какъ
Р — лу, a dp — xdy -\-j dx ($ 17); ню поставпвъ вместо р и dp имъ равныя, получится искомый дифферешцалъ
c/F — xydz ф- xzdy ф- yzdx-
С Л li Д С Т В 1 Е.
i *9- '	I
Пусть z ~ а (величин!} постоянной), которая не подлежишь ни ^величивангю ни уменьшение, а потому и не будешь им!»шь дифференщала, такъ что dz = da — о. Полагая въ фу и к и, in § 18 z — а и dz ~ о, будешь d. аху ~ axdy ф- aydx.
JJ о и р о съ 4- I
Съ1скатъ дпфференм^алЪ фупптрп Г VXJZ-
Р 'Ь Ш Е Н I Е.
Положимъ a^yz- ~ р, остается найгп0 дифференц1алъ F —vpf который и есть
dF = itdp ф- pdv (§ 17).
( з59 )
Но р — xyz • слЪдователыю будетъ
dp ~ xydz -J- xzdy yzdx (§ 18). Поставивъ p и dp въ dF ~ vdp pdv, искомый дифференц!алъ будетъ
dF ~ vxydz -f- vxzdy -J- vyzdxxj zdv.
С Л 1> Д С D F I E.
§•	2 1.
Естьли въ трехъ послТднпхъ вопросахъ йоложитея v = z =r~Xj то будетъ
d. х1 — xdx 4~ xdx = 2xdx (g i?),
d. jd=x',dx-\-x'dx-\-x'dx—3x'’dx (g 18), x’'—х'dx-^x*rZr-f-.x'5dx-{-x*dx^z\xidx t
(S 30).
В о n p о с ъ- 5.
S- 22. '
Сыскать ^ифференцса^гЬ сруики in F—
Р В Ш Е н I Е.
Поставивъ х dx вместо х (g i4)} будешь
F' — F 4" dF — (х -|- dx}”.
По (а?4~ dx}” ~ х” 4~ 7-г 1 <Zr4“ г • ^—x'^^dx^
+ г  ^4^ • ^Т2 xn—‘idx^ и проч.
* *
( 200 )
(см. Началыь основания Алгебры § з58), и потому
cZF — F'— F “	“ ’ <7.г" ~ ’ л?-'-’
1 I. 2.
X dx' + ~ хп ~ 3 dx и проч. Ио tZr’, dx слпть безконечно малыя величины высшичъ степеней, кои уничтожаются иредъ dx , следователь по будетъ
cZF ~ d . х п ~ пх" ~ 1 dx.
Сл ® Д С ТВ 1 Е.
$. 23. .
Полагая по порядку п = 2, и далЪе, иолу ч и мъ :
d. х‘ — 2xdx, d . х' “За? dx, d. х ~!\х dx,
п — 3 , ii ~ 4
кои совертенпо сходствуюшъ съ найденными
предъ симъ (J аг).
В О.ПРО СЪ 6.
S. 24.
Сыскать ^«ффепенцгалЪ непзв^екомой
(рунк^Ы F ~ у/ х’\
'Р 1> ш Е Н I Е.
Известно, что у/Хп	(Нач. О^11-
Алгебры § I4?)* Остается взять диффереи-
( )
ц«алъ, какъ показано въ §22, въ кошороиъ вм есило п надлежать поставить а понюху будешь и	п — т
dF = d. х -т = т х т d-x.
СлФдСТВТЕ I. _	1
S- а5-
Пусть п~ I, такъ чтобы было
или
“	П7 ТП — I
пгх т\/х
Полагая по порядку
т — 2, т — 3, т=2 4
и далЪе, получится :
( 262 ‘ ) d. 1/ x —	,
. n _______ tfjc
a . tyx ~ - -—
С Л« Д С Г В I £ □.
S- aG-
Дабы сыскать дифференц-алъ фупкцш F =	sax — хх,
надлежитъ только положить и потому будетъ
F= у,/ z и (IV ~
, Но Поелику dz ~ iadx — sxdx j то произойдешь о п Г. — t Г.

a V -
( 263 ) СлЪ Д с ТВ I E 3. £ 27-
Еже\и въ § 24 положимъ и отрпцатель-;1ымъ — — п ч то будетъ
(Пая. Осн. Алгебр. § 1З7) или г
F—(Пая. Осп. Алгебр. § г ft) ,
чего дифференщалъ
С Л Ъ ,1 С Т В I Е 4.
€. 28.
Ежели въ предъид; щемъ слФдсшвш поло-
жится т ~ I, такъ что 6\ ^етъ F — -- * то •	-	хп ’
будетъ JF —	. Поставляя вместо п по
J п Г 1
порядку числа i, 2, 3, 4 и дал'Ьс , получимъ
и проч.
( ^4 )
В О П Р О С Ъ ”.
л
§• 29-
Сыскать дпфферепи1алЪ функтйч F — *.
Р Ф ш е п ! е>
Положимъ ~ — р, будешь F — рас п
</F == fl • DX — pdx 4- xdp (§ i 7).' По dp ~d.'y = —— (§ aSj , следовательно
(^p _ -r xrtS- __ .velx— tUv
•>' ЭХ j-J ’
Г Л ABA ПГ.
О сыскaniu ффгренц;алос'Ь трансцен, дентныл'Ь фуцк1рй.
Вопросъ i.
S- Зо.
Сыскать дпфференц 'юлЪ ф>унк)ри. F~ 1х.
Р Ъ ш ж н I £.
Пусть будетъ а7 ~ с; поелику мызнаеиъ,. что основания логарпемовъ а показатель b есть логариёмъ количества с, (Начальный Ocuouania Алх^бры § i5a>; то изъ шог->
( 2.G5 )
слТ|ДЯРгпъ, что показатели всякой геометрической прогрести, которые само — ляютъ арифметическую прогрессию, синь логапиемы соотиФтствующихь имъ ч..еновъ геометрической nporpecvin. 1 i ешь геометрическая црогпее'’*"
- - - - F, F', Л, Л', к'', к"', - - - - X,
коей показатели ft f', Ц' и проч, сосшяв-ляютъ nporpeccijo арифметическую, явно, что F = /г ; но по свойству геомешрическилъ прогрести будешь
ЗС! х Л 1
следователь но и
или такъ же
а-1 — г   Л' —л х ----- ~ *
Пусть h' *— h =. п — S') , и какъ по свойству ариемегпическихъ nporpecciii — J — Ь' — F, то будетъ
Х __• n (F/ - F)
X	Л '•
II такъ чтобы сыскать дифференщалъ предложенной функц1и F~Zr, надлежать поставишь х -ф dx вместо х', а Г ф- пТ вмЪс по
( a6G )
F' (§ 4), откуда, по причипЪ что — x~ dx и Fz — F._ rZF, получится
V = r ‘
И такъ искомый диффереппдк..—
<№~
СлФДСТВ1Е I.
$ 31.
вдЪсв величина дроби у зависишь отъ выбора логариемическаго основатя а (§ Зо), которое берется по произволение , и поло-л _________
живъ что - ~ I , получимъ
dF=d.lic—~.
Л X
СлФДСТВ1Е 2.
S- Зз. .
II шакь чтобы им1згаь дифферешиалъ логариема переменной величины , надлежит* только раздЬлипгь дифференидалъ оной величины на ту же самую величину. Наблюдая cie удобное правило , найдутся безъ труда слФдующ!е , часто употребляемые , дифф?" реипдалы ;
( )
d.l{aa+xx)=^,
7 7 b ____ xJx
1 ‘ Vaa — xx — ca — xx » , j « + x   •zadx U • I--- ----•
a — x	aa — xx
С Л« Д C T В 11 3.
§. 33.
потребуется сыскать дифферен-
функщи F — {1х}п} то иадлежитъ и будешь F — z”f
Ежели гралъ только положить 1х — слФдовагЦельно dF ~ nzn ~Idz (
Но z — lx и dz ~	(§ 3i) ,
-слФдовательно
dF=zd. (bc)” = -d- (Лг
ВОПРОСЪ 2.
S- 34-
Сыскать дифферещу.алЪ функт th F = а*.
Р Ъ ш Е н I Е.
Взявъ логариемы , получимъ IF — xla ^Начальный Оеновашя Алгебры § i55) , и взявъ оныхъ дифференц:алы, буд-змъ им'Ьть
. dx la
слЪдовашельно
dF — Fdxla = aTdxla.
( -268 )
С Л Ъ Д С Т В I E.
$. 35.'
Положимъ, что е есть число, коею на-1 плюральный лоюриомъ есть i . и « = е; будешь la ~ le “ I , и следовательно c/F — d, е' =z е dr.
Вопросе 3.
$. 36.
, Сыскать диффергииуалЪ функпйн 1'~уТ. Р е ш е н i в.
Взявъ логариемы , получимъ IV ~ х!у , и взявъ дифференщалы , будемъ иметь
? — d . xly = х+ dxly (§ 17), следовательно
dV —	ф- F dxly — ху x—1 dy -ф y' dxly.
Вопросе 4-
§• 37. •	J
Сыскать днффгренц1аЯЬ функцш Fzz sin. x.
P Ъ Ш E н T E.
Поставивъ x dr вместо x , получим11 F' ~ F ф- dV ~ sin. (x ф- dx} =. sin. x cos. dx 4* c°s- x sul‘ dx. (Отдел. II.. § 56j. H°
въ кругЪ, коего радй'съ ~ i , по причин!» чшо Ajra dx бесконечно мяла, будешь
cos- dx — i и sin. dx = dx ,
слЬдовашельио
Р = F -|- dP — sin. x -J* dx. cos. x.
И такъ искомый дифференгралъ будетъ . dF = F' — F ~ dx cos. x. ।
С Д Ь Д с T 1! I E.
§.' 38.
Положимъ у — A/’c. sin. x , такъ чшфбы былъ
sin. у — x и d . sin. у ~ dx, бу де шъ
dy cos. y — dx (§ 3;), или
dyzz
dx сок.у •
IIo cos. у — I — sin. ya
= \/ i —- xx,
следовательно
d . Kac . sin. x ~ dy — ^x—
Вопросъ 5.
$. 39.
Сыскать дпфферещпалЪ фунюпп F = сол x.
( 27® )
Р ® Ш Е Н I Е.
Поставивъ х + dx вмЪспго х , получим» F' — F dF — cos. fx + dx) = cos. x. cos. dx — sin. x. sin. dv, (Отд®л. II. § 56) , или по причин® что
cos. dx = х и sin. dx — dx (§ 3?)
F1 ~ F -f-	— cos- x — dx sin. x.
Il такъ искомый дифференщалъ будетъ dF ~Fr — F = — dx sin. x.
С Л Ъ Д C T В I E.
40.
Пусть у — Arc. cos. x, такъ чтобы оылъ
*	II
cos. у ~ c vi d . cos. у =. dx будетъ
—• dy . sin»y — dx ($ 3p) , или
7   — dx
Л1плу
По sin. у = (/ I —,cos. y1 = ]/ 1 — xiT, слЪдовашельио
d. Arc . cos. x == dy = dx Д ^1 — XX
Вопрос® 6.
s.	4x.	. a
Сыскать дпфференцгалЬ функции F tang. x.
( ) Р Ь Ш Е П I Е.
Sin. .Т	rtr,	7	Ъ
Пусть tang. а- =	, то db = d.
П, ешь
sin. ас = р, cos. х — q, буде шь
Л? z=,/. л.=*=£? ($ ЗЯ),
По dp = dx cos. х (§ З7) и
Jq ~ — dx sin. x (§ 3g), елЪдэва} дельно
__ dx(sin. XZ-^CCS- X3) .	t CCS. 3CZ	COS. Xя
С Л Ф Д С T E I E I> £• 42. Пусть у zz Arc. tang, x, такъ что бы былъ f
tang, у zz x и d . tang, у ~ di: t будетъ
-^ — dx (5 41), или dy zz dx cos. у'. Ho KuKb cos. y\ = ----------------- —-------.
J 1 + t»n. jr* i 4- xx ’
Ио будетъ
d. Arc. tang. x~ dyzzT
( )
С ЛЪ Д С Т В I Е 2.
S-	43.	]
Поелику cot. х ZZ—-—	sec. х ~ —г—
*	teng. х 9	сол. X !
cosec. х zz — и d . ’'- = — —	28' , гпо
Л1П.Х	Z	ZZ V*	7
посредством!» трехъ посл1>днихъ вопросовъ удобно най.ни можно слЪд.) кшре диффереи-уралы:
d. cot. х ~ d . —-— ~ --------4^— ($ Zi).
lang, х	sm.x* '* ’ if
d .sec. x ~d.—— zz 4-
COS. X	 COS. X*	J f
f	7 I _____ X CO *• X g r. »
a. cosec. x—d.------- ~-------r---- (ч З7).
sm.x	sin. VlJ 11
A nncnij'iiHBb такъ, какъ въ 38,
4o и 42, сыщутся и ci и:
d . Arc- cot. x = ~-‘-x 
i 4* Л
d. Arc., sec. x zz —, xV ix— i ’
d. Arc. cosec. x =---------dx—
( ^3 )
ГЛАВА. IV.
Приложение сихЪ нагалЪ кЪ криеымЪ лшаямЪ.
И ЗЪЯСНЕШЕ г. $• 44-
Пусть будешь AYY'Y"Y"Z кривая лин1я,черпт. опредЪленеая уравнепьемъ между абсциссою ** АХ/,Г и ординатою, ей соответствующею, Х7/ Y/z/. Абсцисса АХ7", будучи величина переменная , можешь быть разсмашриваема какъ бы достигшею до настоящаго своего протпяжешя чрезъ равный и безпрерывныя прибавленья XX, Х'Х1', ХХ"Х"' (§ ьЗ),ко-шорымъ соошвеьыствуютъ неравный прира-ujenia ординашъ, ш. е. zt'Y', u"Yn, u^'W и дугь YY7 Y'Y'', YnY"', определен пыль урав-неньемъ, содержат,имъ свойство оной кривом лин!и.
ИЗЪЯСНЕНЕЕ 2.
S- 45.
Пусть будешь абсцисса АХ х, ордината Черт, дуга AY ~ s, принявъ Хх за без- з. конечно малое прирахцеше абсциссы, и
• 18
постявивь въ X и л? перпендикулярный XY и л у , пр'»в»демъ А и tt АХ ; ясно , чшп ди }>фе. рснщалъ абсциссы Xr~d, дифферепцт'лъ ординаты иу — dr к диф ференпдалъ д т« Y) ~ ds Но какъ точки Y и у сппь безко-печпо близки одна къ др\г й , то и тре^толъ-пикъ У иг можешь быть ра?емашриваемъ} Б 1КЬ ПрЯМОЛИН'ЬиПОЙ И IipjlMOjrOAbllOH ,* въ кошоромъ
Yy = Tid 4- иу1 *
то есть
ds — }/dx' -J- dy2.
О ПРЕД® ЛЕНГЕ.
46.	I
Ежели чрезъ точку Y дуги АЛ проведется касательная У Г, которая iiepecliueirib ось абсциссъ въ Т, и постпавится на ссй ка<а-тельной YT въ точкТ» Y перпендикулярная YN, которая. перес'Ьчешътакъже ось аОсциссъ въ IS ; bio линти AN, XN, YT, X£ ымЪидпъ слЪдрипря назватя:
YN НиртлалЪ,
XN СубнирмалЪ,
YT ТапгенсЪ, XT СубтангенсЪ.
Потомъ ежели проведется чрезъ точку/ касательная у : и ьормалъ j-zt, и продолжал*я
( =75 )
оба нормалы YN и уп до того, чтпо они соединятся въ пючкЪ R; шо лиши YK=jR называется РадгусомЬ кривизны. Cia линш сд ужать къ основательчояу опредЪлсчпю свойсшвъ кривыхъ лиши , а болЪе последняя, показывающая кривизну для каждой точки кривой лин1и , и для сего надлежитъ сыскать свойственный сммъ лиш'ляъ ббиця выражеихк, чрезъ х, S и ихъ диффереиьралы.
ВОПРОС!) х.
•$• 47-
Определить нормалЬ п субнормалЬ.
Г Ъ Ш Е II I Е.
Поелику AYy« ОО AYNX,mo будетъ
YM: \у — YX : YN, и
Уи-.Ги — YX.-1XX,
®ткУДЯ слЪд^етъ, что
viv__
YN--^7- = -J7, й
ЬХ 2-
= "fa*
С ЛЪ Д С Т В I Е.
§7 48. #
П есть у — \/ apeCf уравнеше определяющее Параболу ; будешь
* *
( 276 )
=	(S=5),
слЪдовагпельно
ds —	-|- dy' — dxVи
ax
YN=J/2px.	— V->рл -f- pp~y
lx
xn = ^;^ = i/ pp = p. I выражения сходсшвугоиря съ найденными выше (ОшдЬл. III. § 87).
Вопросъ 2.
S- 49-	1
ОнредРлм'пъ тапгепсЪ и субтапгеисЫ
Р Ф Ш Е Н I Е.
Поелику A TXY с\э AYzzy, шо будешь уи : Ху == XY : TY ,
у и : Yzz — XY : TX, а посгму
Т'У '	 "V у _ ,У^
J'a	4)'
тх___XY Yrt —
j “	4у *
СлЪДСТВ1Е.
S- 5о.
Пусть y — [/2pxf будешъ dy=J-^pi и <fc±= ^XyYx+P	следовательно »ъ
параболе
( 277 )
TY ~ V!\хх 4- 2рх, и
ТХ — ъх
свойства найденный прежде (Отд'Ьл. III. S 87).
Пр и с эв оку пае н 1 е.
$• 5<.
Положи уголъ XFY ~ <р и его гпангенсъ tang. <р — р. Но какъ и ZuYj- —у, и его тангенсъ
tahg. tp — р ~ 'V — й л г „у—>
то получится
dy~pdx и ds~l^ dx' -{- dy' “ d
Поставивь ciu величины въ найдснныхъ вы-раженхяхъ 4? и 49? будешь
1/орл:а.гЪ Л1\ ~ j РР >
СубнормаЛЬ NX ~ ур , 
ТангечсЪ TY ~~^-V1 " рр. р ’
СубтангенЪ ТХ ~
Е о п р о с ъ 7.
$• 5г.
Ояре^дйлить радЦусЬ кривизны YR П.Черлг.
( w )
Р Б Ш Е Н I Е.
• Опугптивъ изъ R на осп и на продолженную ординату перпендик^лярныяКС) и RP,увидимь, ЧИЮ
PQ - PY — XY = R cos. PYR — ? ,
AQ = PR -f~ АХ = R sin PYR Ц- г, и поелику Z, PYR ~ Z, XVY — ф, то будешь
RQ = R cos. ф,— у, AQ ~ R sin. ф sc.
Цо какъИ не переменяешь своего положения ДЛЯ ПЮЧеКЪ Y И у Кривой ЛИ1ИИ , шо лиши RQ и AQ будушъ постоянными относительно ьъ еимъ двумъ точками , следовательно мхъ дифференциалы' будушъ = о, то есть
(I. RQ “ — Гю’<р sin. ф — dy = о, d. AQ ~ -ф- Rdtp cos. <p 4“ c^~ — °> а изъ сего слЪду ешъ , что
R ~	- - и Кг: -------.
aq)>sin,.(p	atp.cos.ip
По какъ
dy ~ pdr .= de tang у., шо ши два выражена не разнсгпвуюшь между собою.
С Л Б Д С Т В I Е I.
$. 53.'
Поелику tang. ф~рг шо будешь
и взявъ дифференциалы , имъемъ
j	__ • dp
d<p cos. д> —------,
3 > ( 1 + w) а
• сдфдбвашеллно
В. — ' & (1 + °р) i ?
гд"6 знакъ — показываешь , что кривая лин!я есть вйгн-ута со стороны оси, а рад|,съ кривизны есть продолжена Нормала за ось. Но есшьли кривая лиши будешь выпукла со стор’НЫ оси, то p<uij съ кривизны будешь продрлжеше Нормаль въ прошивную оном сторону, и тогда знакъ—. переч'Ьняется въ -J-.
С Л t. Д С Т В 1 Е 2.
Пусть будешь j- = I/2а v — т^с, уравнен!® для круга (0шдЪ1. Ш. § 27) . мы будемъ имТ)П1ь
НОШОМ11
и наконецъ
Посгпавивъ с!и величины, найдется радцусъ Ь‘р-13113иЫ
( 28о )
R	- -J- я ,
ла) ~ aadг чему и быть должно.
1 ’ 1 ГЛАВА V.
О дифференцгалажЪ высшижЪ степеней.
§• 55.
Черт. Положить ХХ'ггХХ'^г/г, и проведши чрезъ Y касательную TY, которая бы пересЪкла продолженную ординату X//Y// въ точк® Z, усматриваешь , что приращены и'У и и"Х" ордипатъ не равны, и что разность Y'-'Z есть безконечно мала пред?» и'Х’ или MrZ, кои сами безконечно малы, почему и будетъ она безконечпая малость второй степени (*)•
(*) Чтобы cie доказать , проведемъ (Черт. 4) *°РДУ и опустим?. изъ Yz/ на Y'z перпендикулярную Y"r; очевидно, что уголъ Y"Y'r безконечно малъ, и что
Y"r
сл-Ьдогательно его шангенсъ — такъ же безконечно
малъ, Ио какъ Y'r есть безкопечная малость первой
степени, сл1здовательнок> Y"r , или же Y"Z, долж°а
быть безконечною малостью второй степени.
( )
И какъ u'F' есть дифференщалъ величины XY гпакъ и Y/Zs есть дифференщалъ величины и второй дифференциал!» величины XY ; слЪдовательпо , полагая XY~j-, будетъ и\'~ dr, и Y/ZZ ~ d [fly}, что и принято означать чрезъ d'y или ddy.
56.
Такимъ же образомъ, ежели изъ точки ~Y" НеРгп" кривой ли1пи проведется касательная Y Q. которая соединится съ следующего ординатою XZ'Y//Z, продолженную до г, разность межму лингями Yr,'Z и X"'t будетъ диффе-ренщалъ лин;’и Y/Zz, или третш дифферен-хралъ величины Y, то есть
Y"Z — Yz/Zz — d (ddy) ~ (Ру.
S 57.
II такъ гсометрическтП) рачсматрива-темъ достигли мы до диффе'ретцаловъ выс-шихъ степеней. II cie показываешь, что ежели мй! нашли дифференщ’алъ dF какой нибудь функц1иГ, то, чтобы найти второй дифферснцгалъ ddF , надлежитъ по т1>>:ъ же правилам!» сыскать дифференпдалъ пср-ваго дифференпдала nfF, и такъ дал’Ье. Cia Д^йсптя весьма легки ; ибо зная , иаприм^ръ, ДиффереищаЛъ функпди F=a”’, который есть dF ~ пхп~1 djc,
( 282 )
вторым дифферент’алъ бхдсгпъ
ddV ~пх"~- ddx-\-n(n—i' тп -2 dx (§ i-} Подобным*. образомъ найдутся :
dd.lX = xd,lx-a*- ,
dd. ах ~ a ddх la -ф- e^dr'la', dd. ху ~ xddy -f- 'dxdy у ddx, j j x	yiddx— xyddy—^ydxdjr-J-2.rt?r3
da •	~ ---------- - —-------— _
У	./3	’
dd. sin. x = ddx cos. x — dx' sin. x.
dd. Art. tgx =.	‘ ~*T-dx-
°	(i + xx)3	’
и проч.
58.
Остается сдЪлагпъ одно замТ>чаш’е, то есть ежели случится искать диф<Ъер« шцалъ какой аиесшь ф}нк1ци Г дв>хъ или и 6ол1>с пере-мЪнныхъ, то можемъ мы pancWanipHBamfc одинъ изъ первыхъ дифференпдаловъ въ <7F Какъ им'Вюицй постоянною величину, что весьма corp щаешъ аыражеи1е ddV ; потому что вс'Ь члены, кои заключаютъ вторый диффереисиалъ псреяЪнной величины , которой первый дифференгцалъ полагается ненрехгбн.чымъ, уничтожаются. Такъ ежели возмутся npnpanjenia абсциссы кривой линн* равными, то de будетъ постоянная величин;1, и следовательно ddx ~ о.
( з83 )
I
ГЛАВА VL
О тогкаэсЬ перегиба и возврата.
$• 5g.
Показано выше 53), что кривая линёк вогнута со стороны оси , когда радЬсъ кривизны отрицателен!», и выпукла, когда ради съ кривизны ноложителенъ. А изъ того, что было сказано въ § 55, заключишь должно, что вогнутость или выпуклость зависишь такъ же отъ того, что	'Z (черт.
5) и X' Yr^>X"Z (черт. 6). Ьъ нервомъ слу чаЪ кривая ЛИ1ЙЯ вогнута , а во второ мъ выпукла со стороны оси.
§• Go. -
По есть кривыя линЁи , коихъ одна чисть вогнут?; , а дру?ая выпукла со стороны оси. ПаприлгВръ въ черт. 7 и 8 кривыя лиши ARS имЪюшъ часть AR вогнутую, а часть BS •выпуклую со стороны оси АВ. Тр. буется найти точку Рцгд’Ь вогнутость оканчивается и начинается выпуклость. Gin точка R въ черт.?, въкоторомъ^риваялинЁя продолжается въ одну сторону, называется точкою перегиба-., а въ черт. 8, въ которомъ кривая
( 284 )
лишя возвращается късторопТ свасго начала, точка R называется точкою возврата.
5- Сн.
Очевидно , что ежели кривая лин1я мм'Ьетъ точку перегиба или возврата, то оная точка находится всегда тамъ , тд"Ь Y,rs “ ddy (§ 55) изъ отрицательной величины станов, шея положительном (§ 5g). Но отъ огарицатель-наго къ положительному есть два пути, то есть чрезъ о и чрезъ со , что ясно видно изъ сихъ двухъ рядовъ чиселъ:
И такъ точка перегиба или возврата кривой лиши будетъ тамъ, гд"Ь ddy ~ о или гд'Ь ddy ~ гу_.
S- 62.
Ежели дана кривая лич!я чрезъ уравнение меуду координатами х и у ; то надлежишъ найти у, взять его вторый дифференпдалъ, полагая dx за постоянную величину въ пер-вомъ дифферента.» (§ 5S), и положишь или <?/г ,д	ddy _
— _ Оу или ~~х- 1о или другое поло-жеше определишь величину л? j которая, поставлена будучи въ уравншпи найденномъ для у, покажешь точку перегиба или точку
(	^3	)
возвратна. Но ежели тпо и другое положеше приведешь къ мнимой величин^ для х или у или и къ другой какой несообоазности ; пю cie будешь значить , чшо предложенная 'кривая лишя не имеешь ни точки перегиба, ни точки возврата. Ежели напротивъ того предложенная кривая линтя имЪетъ ту или другую точку ; то весьма удобно оную сыскать симъ способомъ можно, а раземашри-ваше уравнентя покажешь, перегиб.»» ли иг и возврапгь въ чей имеешь мТзспто.
1	S’ 63.
Cie изъяснится епге 6otFc , когда раземо-нфимь уравнен’те.
-дЪ
£ — 3<ж~д)а и —- ~
dx	да	dx*	да *
Положивъ cie ~ о, накодимъ х ~ а. Поставить стю величину въ предложенномъ уравне-вш, получимъ у = а. Но чтобы узнать, найденная нами точка есть ли точка перегиба или точка возврата, раземо’тримъ, чему ордината у равняться будешь, когда возмемъ ее нисколько по ciio и нисколько по >пу сторону точки, гдЪ х “ а. Для сего р эложымъ
( 2ЙП )
х~ а и x = ? a ; будетъ
изъ сего усматриваешь, что найденная точка есть точ1 а пер» гиба. Но'какъ
J - р = tang. <р ($ 5!) , уничтожается, гдЪ х~а\ то явствуешь, что карательная, проведенная чрезъ найденную точку , параллельна оси.
$•' 64.
Пусть будетъ дано уравнение у — а—й а (л? — а)1, въ которомъ
nddy	_
оложивъ^ ~ о, получится несообразное
решете х ~ -л и у ~ оо . Но псложивъ
1	dx3
— со , найдется, а ~ с к у ~ а. П «ложивъ х~ будетъ у = о. бо.а, и положивъ X ~^а, будетъ такъ же у = о, Go.a. Прйтомъ Вл пгочк’Ь гдЪ х =. а, ордината у = «будет!» въ тоже самое время и шангенсомь оной кривой ланей, потому что
dr _____
dx — Р = tans- V — ос:
откуда явствуешь , что сся найденная нами точка есть точка возврата.
( ^7 ) §. 65.
Подобнымъ образомъ найдется точка пе-
ре1иба пли точка возврата во всЬхъ крш ыхъ лин11.хъ, кои ее имПюпц. По мы^видимъвь
_ Т	•	• (tdv
следующей глав?}, что сю положете— =о *
или — со , кромЪ точки перегиба или
возврата ; можешь такъ же определить и» Л1У точку кривой дивы, въ которой таигенсъ
• угла у будешь наиболышй или паи нёньпйй.
ГЛАВА VII..
О величии ахЪ наиболыиихЪ и наи-, м’ньшихЪ. '
•	§. 66.
Ежели ф'. нкгря у мсремФ'ннай величины зс возрастаешь до величины х' — <г, а иошыгъ начнешь уменьшаться ; то величина у будешь намб >лъшая юань, ЬдЪ ос ~ а , называется ея наизальшею величиичн>. Под бнымъ иб-раземъ, ежели функщяу переменной величины гг j меныпается до зс ~ а потэмъ начнешь J величиваться ; то величина у, гдЪ jc — a f 6 деть наименьшая, и называется ея нан-меньшею еелнчнтно.
( з8Ь  )
$• «7-
функц|'я у увеличивается до гп'Ьхъ поръ, покуда ея iipnpaiqcuie, пли дифферент»,галъ dy, есть положительный; а когда ея умень-inenie или дифференцталъ сделается отри-пашельнымъ, тогда начнешь уменьшаться. Следовательно функция у будешь иметь наибольшую или наименьшую величину тамъ, гдЪ ея дифференпдалъ dy начнешь перемЪпять знакъ, то есть тамъ, где Jy~o, или такъ же тамъ, где dy ~со (§61).
§. 68.
Всякое уравнение, выражающее у чрезъ Переменную величину аг, можешь быть раз-<*машриваемо, какъ бы принадлсжащимъ къ какой либо кривой лин!и, которую начертить можно посредсшвомъ сего уравнения. И такъ вопросъ о наибольшей и наименьшей велп-«уии^функщиу огпъдс естьвойросъ о наибольшей и наименьшей ординате, вопросъ, который будетъ решенъ, положивъ dy ~ О, или въ случае, когда изъ сего положения ничего удовлетворительнаго не получится, положивъ dy ~ со . Въ обеихъ положешяхъ наибольшая или наименьшая величина найдется: наибольшая, когда кривая лингя вогнута со стороны оси и ddy есть ошрпЦа”
( ^9 )
тельный, а нанменыинп, когда кривая лин1я выпукла со стороны оси и ddy положительный $9)‘
£• 6j.
Должно казаться страннымъ, полагать безконечно милую величину dy ~ ta , и ожидать  справедливого pTiueiiia отъ поло— aenie столь нрошивнаго. Но разегждая, что dr всегда будетъ функщею отъ л умноженною на dx, раздЪли ее па dx-. тогда получишь — =
функгци отъ х. И такъ что ~ F : л по-.лагав гпъ ~ со , то cie положение пи мало ле противно, но совершенно со бразно съ вопросомъ. ПустьRDS кривая лиши , имЪю->1еР,к« щая наименьшую свою ординату CD въ С ;
явно , что -уг — у" ~-тгг. Но въ точкЪ С ордината XY есть CD = а, еубшангенсъ ТХ~о, и потому
rfr   XY _ а  dx ТХ о °5 ’
§. 70.
И такъ, дабы сыскать наибо тычу-о или Наименьшую величину перемЬняаю количества у, котооое есть функцш О1пь.т,«ад-Лежишъ найти ея диф Ьерен ралъг/у, и ноло-&11П»ь	— о , или — со : тогда получится
х9
( 290 )	_ I
урзвпеше , определяющее величину для &} которую посшавипъ въ выражении для у-получишь величину у, и будешь оная или наибольшая или наименьшая. Но дабы узнать, которая именно изъ сихъ двухъ будешь* сыщи—’- и положи въ ономъ выпажети найденную величину для .г. Тогда, естьли будешь отрицательное , найденная величина для у будешь наибольшая ; но будешь нац-dd г меньшая когда - выдстъ положитель-ах*
пое (§ 6S).
S* v
Теперь понята удобно, что было сказано въ копц’В прсдЬидущей главы (§ G5). Естьли у означаешь уголь , который касательная д’Власшь съ осью, и р его Таигенсъ; шо гей Таигепсъ будеш ь папбол ьшш или наименьшей 1гамъ, гдЪ dp ~ о или ~ ао . Ио р ~	(§ 5 >)•
СлЪдовашслыю dp — (полагая dx величи-ною постоянною). Положивъ — ~ О или jj; ~ оо , найдется точка, въ которой lang-У есть напболыиЩ или наименьшей (§ ба •
Дабы болЪе изъяснишь правила здЕсь прИ" веденный, мы прцлагаемън1>когаорые вонрО’'1’1» ошносгщ1еси къ способу находить величииь1 паиоольшт и наименьшая.
( 29l )
В О П P О С Ъ I, с. 72*
ИзЪ вс'ЯхЪ параллелограмыовЪ равном плошали найти тотЪ, коего нерпметрЪ есть нанмёиъиий.
Р Ф Ш Е Н I Е.
Пусть будешь площадь гх bb, одна сторона zz х, другая Оудетъ — • слФдовашелъно сумма Сгаоронъ — зх , которую положить ~*j-, шакъ чтобы было
. аИ dy ___ г’>Ь .	.
J- = 2.r+ ~ «^ = 2 — —	(§70),
откуда получить х — b и другую сторону х b. II шакъ изъ всФхъ параллелограмовщ одинакую площадь имЪющихъ , квадрашъ , тлже- площадь иыФюпрй, будешь пчЪть иа-именьппй периметръ.
С Л ® Д С Т В I Е.
S- 73-
Но какъ положеnie ~ О можешь спредФ-'пгпь наибольшую илп наименьшую (§ 70);
что бы _у'вЪришься, что мм нашли 11а-Чменъш1й перймешръ, сыщемъ^^=^? п ,гоетав“мъ вагВсшо х найденную его если-
* *
( 2f)2 ) '
чину x ~ b , что даешь = -}-	: положи,
Пемтып . пак!. in-ba;.J.i"a< чнь, чшо мы нашли наименьшую величину ~о).
П Р И С О F О К у П Л Е Н I Е.
S- 74’
Дабы доказать, что периметре квадпапи есть менВе периметра параллелограмма, О1инак\к> съ ruble площадь имЪющаго, пусть стороны «то р и q , а b сторона квадрата; б^депп» pq — ЬЬ. Положимъ, что р — mb и 1	
f] —	•> М* пг х> 1 1 периметр! параллелей
грамма будешь =------—--- и квадрата —Д/о
Но т I , следовательно будешь
т— I 'у>^тт — 2т-\- i о;тт Д- »'^>2in\
•—— 2, и и а конецъ — \>4°> посему перимешръ квадрата мен'Ве перимеша параллелограмма.
Вопросе а.
S- 75.	1
If.th вс'ЪхЪ параллелограммов!^ одчн°к1^ пермметрЪ пмЪю/рчхЪ, стекать 1 коего плоюадъ наибольшая-
Р % HI Е Н Г Е.
Пусть перинешръ = с} одна сторона = х, другая будешь ” £—х, слЬдовашельио площадь, которую мы означимъ чрезъ убудешь у — г сЗс— хх. Оте года получится — с — IV — 6, что «аетъ х~.\с п другую столону “ —-с —jc Посему изъ вейуь па-ряллелограммовъ . одграгий перичёптъ пмУяо-щичъ, кььдратъ им'Ьетъ площадь наибольшую.
Присовокуплен! е.
§• 76.
Вторым диффере.ипдалъ будетъ — 2: здЪсь отрицательный знакъ. покачываетъ, что им'бетъ «Ucmo наибольшая вс потна (£ 70). Въ прочемъ истина , къ которой привело насъ рВшенн: , доказываете?! еще слЪду ющимъ опразомъ. Пу ешь р н /у стороны параллелограмма ; и какъ р -|- <у ~ * с, то ПОЛОЖИМ!» р — ‘ с -j- d т/ ~ \с — </,.площадь его будетъ рд ~~.ee — dd\ 110 площадь квадрата, коего иер.лмешръ —„ с, есть ~ ес Г6сс — dil>pq.	•
ВопросъЗ.
§• 77-
Определить наибольшую ординату вЪ рллцПсн с di.
( ^4 ) Р п Щ Е II I Е.
Изъ ypar*neniji сллппписа у = ~а ал—•гг {ОтдЪл. III. § 33) получится
слЪдовательно х~ о и у~Ъ. IJ такъ наибольшая ордината еллипсиса есть пга, которая изъ центра проведеяа, и она равна поло-вивЪ меньшей оси.	J
Вопросъ 4-
$ 78-	, I
гДаны двЪ точки А к В; сыскать, на раиной лшйя MN такую точку X, чтобы сумма линш АХ и ВХ была наименьшая^
Р ® Ш Е Н I Г.
п* Опустппъ пзъ точекъ А и В на MN пер-* пендикулярныя АС и BD, й положивъ АС~^/, BD = 6, CD = с, СХ	и AX-j-BX~j-, по-
лучи мъ
АХ — аа 4- хх и ВХ =	bb-\-{c—.%’)’»
слфдовательно будетъ
у ~ I/ аа х.х 4- УьЪ-у (с -- .г)’,
н потому, взябъ дпффереичдалъ, будело» ЕМ'ВШЬ
( 2<р )
<7r _  »	с-г
У аа-i-хх	V bb -,х(с — л j*
шо есть -Т	С — X
V аа 4- хх V И +•’ (с — а) >*
Взявъ квадраты, произойдешь уравнение *
.Т.Т __	(С — X )з
аа + хх bb + (с — х)а »
которое приведется въ cie :
ЬЬхх ~ аа (с — а?)', и будетъ
Ьх — а (с — аг) ,
откуда получится х ~ *	ш •'	а Ь •
Вопросъ 5.
S- 79-
ИЪ данном!) полукруг!) ЛСВ вписать Черт. ШреугольппкЪ AYB , коего площадъ была 1 ' бы. наибольшая.	' ' -
Р Ь ш г. н I Е.
Пусть АВ — а и AY = а ; будетъ BY ~ »'Zua — хх, и слФдовагисльпо площадь, ко-•тюрую мы озиачимъ чрезъ у, бу^ещъу — х аа — хх, чего дифференц^алъ
.ТХ
dx — k аа — хх —  ----------— — о,
У ал — хх
( 29g )
откуда получится л — ~ , птскъ что
AY=^ и EY = *
СлТ>довател> но равнобедренный птреугольникъ АСВ имЪешъ наибольшую площадь.
В о п р о с ъ б.
8о.
По даннымЪ четыремЪ сторонамЪ составить четыреуголъникЪ, коего площадь была бы наибольшая.
Р Ф Щ Е Н I Е.
х?."1' Пусть стороны АВ =. а, ВС ~ CD —с, ПА г~ /, углы АВС — р, ADC ~ q и площадь — JT, бУД‘'“‘ъ
у ~\ab sin. р 4- ' of sin. у, елфдовашельно
а cos. Р + з <7 cos. у = о.
Но
ДС’ =	—зап cos.p~cc-\- ff—zefcos q-
почему, взлвъ дифференщалы, будемъ илтычь abdp sin. р ~ cfdq sin. q,
И следовательно
cf . <7^ ad ^irt. f> dp
sin. <f
( э!)7 )
•	<7r
По постановлена сего въ произоихетъ
j..	» »	• I erf fin. р cor, q „
?r ~'ab COS. p 4- j-----~------ ZZ o,
dp -- 2	I I » s,n. q	'
откуда полечится
sin. p   s!''- 7 ---- — «— —- .
cos. p	cos~ q *
то есть
tang. " — tang. q,
и потому
— p, или p-f-^TZiSo0,
что есть свойство чешыреугольника впи-Слачаго въ k/j ГВ.	j
Б о п р о с ъ 7.
§. 8’ь
ЦяЪ всГ>.хЪ прямоуголъныкЪ т]7ег2олъ~ нпковЪ , туже площадь им'ЪнчцчхЪ, найти то nib, коего перпметрЪ'н.анменыи»н.
Р -Ь Ш Е Н I Е.
Пусть катеты а? и у, будешь гипотенуза = V лхуу и иернмешръ
LZ X + у + V XX 4- уу,
коего диффереищаль долженъ быть равенъ нулю , то есть
jrfj + rrfr
( )
Но поелику площадь должна быть постоянная , положимъ ху~ аа, и будешь х dy 4-ydx~O, или dy—.——	. Поставляя cira
величину вмЬсгпо dy ьъ диффертпральномь уравненхи, и разделяя на dx, произойдешь
ЛТ х — — > > х I —	~ °’
х И хх +уу
Cie ypaBiiriiie представить можно такъ : (л- — у) [кхх \уу 4- х 4-у | = о, и явно, что оному удовлетворить величина у — х. Сл'Бдовательно изъ всЬхъ прямоуголь-пыхъ гсреуголььикоЕЪ, туже площадь имЪю-щихъ, шошъ имЪепга naaveiibiniu перимехпръ, коею катеты равны между собою.
В о п р о с ъ 8.
S- 8.4.
Черт. ИзЪ всЪхЪ тпреуголънакооЬ, пчЪющнхЪ осмоjanie и пернАыпрЪ одинак1л, найти топгЪ, коего плои/адъ наибольшая, t
Р Ф Ш Е Н I Е.
Пусть оспогате ЛВ — а, пепиметоь АВ 4™ ВС 4* АС = Ъ. Пзъ вершины С опусти на осьоваше АВ перпендикулярную СП, и положи AD — х и Gp~j'x ад бу день им^шь
( 209 )
АС = И ** -Ь J'J и EC —]/(a—x)2 4-J7-
II поелику
BG ф- AC zzz b — a, jno еснгь величина постоянная, шо дифферен-ijiaAb будешь равенъ нулю, почему
Г
а-Лг 4- J'.fy । ydy — (я — -т) dx
Vxx +jy V (а — х)3 + у_у	’
хЛг 4- vdY (а — x)dr — v 7у ИЛИ	— Л—— -------- .
V -г + ХУ V(a —	+ ХУ
Но площадь треугольника должна быть наибольшая , слЪдоватедьно дифференпдалъ оиоА равенъ нулю , то есть
d. ay = ady ~о,
или dy ~ О. Изъ сего сл’Бдуетъ, что
ndx _	(а—х)Лс
:__ —~ ~	____зг
V хл + уу	У(а —г) 2 + УУ
ИЛИ
хх (( а —г ) ’ ф- уу ) — ( а—х ) ’ ( хх ф-уу ),
ИДТИ xxjy — {а~хУ)у, шо сеть
хх ~*аа •— sax ф хх,
слЪдовашельно х _ ' И такъ изъ всЪхъ nipejraabunKOBb, имЪющихъ оснокаше и пе-рпметръ одинаков, шреугольиикъ равпебед-рспный пм’Ьть будетъ площадь наибольшую.
( Зоо )
Вопросъ 9.
S- 83.
Нертп. __ _
i3. И.чЪ вст>хЪ треугольникпъЪ , илгЛ'О7//кхЪ о^пна^Ш перпметрЪ, найти тотЪ, которого площадь наибольшая.
Р 'Ь Ш Е И I Е.
Пгсгпь перимепфъ ~ с, основан1е VR =• х, . выгоч-а’ CI) = у, и поелику изъ рЪщешя п; ед гиду ni.au» вопроса \же известно. что площадь треугольника будешь наибольшая тогда , когда
AD 3= BD = | АВ = * х, то будетъ
АВ = ВС =	1 хх 4~ JJ
и периметръ
= х + 2 я +ГУ — с > откуда инЪемь
У —	| сс — | сх
и площадь
1	i СС — сх,
которая должна бы’ть наибол>щая, сл'Ьдова-телыю ея дифферешралъ равенъ нулю , шо есть:	•	•	,
( Зог )
ИЛИ | сс — сх) = сх; чего ради
ЛС = ВС=Ь
II такъ изъ всЪхъ mpfryiольниковъ , иъе,о-щ.)\ъ одинакГи неричешръ , равносшороцный будешь имЪшь площадь наибол тую. "
ВОПРОС! ю.
S- 84.
1ТзЪ вс"ЬхЪ прпмоугол^ныхЪ паралле-лепниедовЬ , имТзюншхЪ высоту и поверяс-несть одниакёя, найти тотЪ, коего толщина наибольшая.
р i ш Е н I £,
П’ спть высота ~ а , поверхность ~bb} стороны основания х и у, будетъ
2 -X- -J- 2аУ 4“ 2ЛГ}* ~ ЪЬ, и толщина ~ аху, которая должна быть наибольшая, следовательно
d. eixv^— cixdv’ 4- aydx — о.
Но и дифференщалъ постоянной величины bb = О , след вагпе.т но
a dr 4- adv 4- vdy 4~ ydx == О , или, по причине что
xdy 4" '	— О и
( ЗО2 )
будешь
» ej Jx. _
adx---1— ~ о,
X .	7
то есть
ах •— ау ~ о и у ~ х. .	*
II такъ изъ всЪхъ прямоугольныхъ параллелей ииедовъ, пм'Ьющихъ высоту и поверхность одинаков, П1ошъ будетъ илГВнгь наибольшую толщину, коего основание есть квадраты Вопрос^» ц.
§. 85.
ИзЪ вс'ЬхЪ прямоуголъныхЬ параллеле-пнпедовЪ, пмЪюиугхЪ одннакую поверхность, найти тощЪ, котораго толщина наибольшая.
Р Ъ Ш Е Н I £.
Пусть х и у стороны осповашя , поверхность =: аа и высота = z, будешь толщина ~ xyz. Но H3bpl>BTeuia предъпдущаго вопроса явсшвуетъ, что изъ всЪхъ Прямоугольныхъ параллелепниедовь пють имЪешъ наибольшую толщину, коего основаше есть квад-ратъ, следовательно будешь у ~ х,а толщина ~xxz, коей дифференгЦалъ
2.xzdx xxdz- = о, откуда получпмъ
( ЗоЗ )
А какъ поверхность
аа ~ \xz -J- зта? >
шб будешь
d  аа --= \xdz -f- 4z^r + l\xdx г= о, и поставляя вмЪсто dz найденную величину
-----, .получится
zdx 4“ xdjC — 2.zdzc =z О,
шо есть
xdx — zdx ~ о я г ~ .г.
И такъ нзъ всТ>хъ прямоугольных^» парал-лепг псдонь, имТиоП’ихъ одинавую поверхность , кубь будетъ мм'Бшь толщину наибольшую.
В О ПР ОСЪ 12.
S- 66.
Ildb Gctixb цнликдровЪ, пм'ЬкнциэсЪ одн-иакую поверхность , найти тотЪ , коего толщина есть иапболътая.
Р 4 Ш Е Н I К.
Пусть поверхность = аа, д1амеп.ръ оспо -вашя _ д?, высота ~у, будешь
. ЧПХТ Ш1 — пху -j---— ,
слТдо в ат ел ьн о
( Зо4 )
По какъ толщина быть наибольшая ,
. которая
то будешь
должна
d.^~ 4
О,
то есть
.ггdy -f- zxydx — О или dy — — —4 Поставляя оно величину влГЬсшо dy получится
d. аа — nydx 4~ nxdx — xrtydx — о чего ради у ~ а. 11 такъ игъ веЪхъ цилии-дровъ, имЪющихъ од и накую поверхность, будешь имЬц ь наибольшую толщину тотъ, коего высота равна д{а метру основания.
В о п'Р О С ъ 13.
$• 87.
МзЪ ertxb прямых!) конусовЪ, вЪ данном!) inapt вписанных!), найти ntutnb, коего толщчна наибольшая.
Р $ Ш F. н I Е.
Черт.
27-
Пусть д^аметръ шара CD ~ л , ось прямого конуса въ шарф вписаннаго СЕ ~ х, будешь СЕ : ЕВ = ЕВ : ЕВ, или
ЕВ2 ~ СЕ . ED ~ х (а — л )
слфдовагаельно толщина конуса = у х* («—л),
( Зо5 )
коей диффсрснщалъ должен* б/дшь равенъ нули),н>9 еС1ПЬ
2.г (а — х) — хх — о;
изъ чего получится х~~а. СлФдогаптелино изъ всЪхъ прямыхъ копусовъ, въ данном* шар!» вписанных*, пготъ будетъ им'Ьть наибольшую толщину, коего ось равна двум* третям* диаметра тара.
В о гг р о с ъ ' г ф €. 88.	\
* i
11;<Ь вс'1'Xl) прлмыхЪ ктгусовЪ. вЪ данном b uiapTi впнсапныхЪ, сыскать numb, коего поверхность наибольшая.
Р Ъ Ш. Е II I £.
Пусть Д1'амешръ даипаго тара CD == а, ось Черт, или высота прямаго конуса СЕ ~ х, и будетъ кривая поверхность ггЕВ . АС. По
СЕ : АС — АС : CD , СЕ: ЕВ — EB:ED, Следовательно
АС — P^CD . СЕ — I/ах, и
ЕВ =' \/ СЕ . ED ~ l7'х^а—х);
^сго ради будетъ кривая цоверхноешь
XVаа — ах,
яО
( Зоб )
и цЪлая поверхность конуса
пх\/аа—ах Ц- я {ах — хх), коей ди<Ьференц<алъ долженъ быть равенъ нулю , почему
.	.	,	| зг (ЗОЯ — Ъаг) dx
я (а— 2Х) dx 4- —---------- — о,
4	3 Гае — ох
Злх — Ъаа или а--ЗЗС —-------- ,
2 У аа — ах
слЪдоваш ельно
хх — * ’ ах — \ аа. I о	3	Z
2^в ± aV 1*7 х = —За—
Во пр о съ i5.
S- &9-
Около данного прямоугольного параллелограмма FGHI описать еллипсисЬ, коего площадь была, бы наименьшая. , I
Р Т> Ш Е Н I Е.
Пусть СК ~ CL — a, KF ~ KI — б , искомым полуоси СА ±z х, CD ~у, будетъ урав' нен1е для еллипсиса
bb — 7d- (a-л- — ad)
(ОхпдЪл. III. § 33) f или
( Зо7 )
Я пллщадь rr тгтг (ОщдЪл. III. $ ЗЯ) , коси ди ф'ре ц,а 'ь Д°1Ж нъ быть ~ О, то есть x(lj _j_jYZr~o, откуда получимъ
4г = -^~-
Но дифферешиалъ уравнения (А) есть
bb v оле/к
----Г	я ~ °> гз-------з	'
почему, поставивъ, на мЪсто dy} величину
— —* будемъ ин hi и ь
L4 _ ° ° — о (В). уу JTX	' '
I
Бзявъ же сумму и разность уравнений А и Б, найдемъ
А В 32	— I :
КУ	7
4	I) Ъ<*а  
А — ,5 — 77	1 и
откуда получимъ полуоси ис'комаго еллипсиса
CA = x = «V^2 и СГ) ~ у “ 4 V 2, ЙРИСОБОКУПЛЕШЕ.
S- 90.
Изъ сего слЪдуетъ еще другое свойство Достойное примЪчанзя. Поелику площадь Чайденнаго зд'Ьсь еллипсиса ~ пау — •лпаЬ, а Пл°Щадь вписаннаго въ па раллелозраммЪ *Ллипсиса ~nab (ОшдЬл. III. $ □_>), то
I
наименьшая площадь описаннаго около дан наго параллелограмма еллипсиса вдвое больше площади еллипсиса въ ономъ виисаннаго.
ГЛАВА VIII.
О6Ъ КнтегралахЬ вообще.
‘	QI-
Мы вид'Ьли , что всякая функщЛ перем1н пой величины F можешь быть разсматрз Наема достигшею настоящей величины своей чрезъ безпрерыяныя приращешя rfF, кои и называются дифференщалами оной (§ гЗ)
вид'Ьли шакъ же въ главахъ II и III. гего ошд'Ьленгя , какимъ образомъ данной функции F находится

1


дифференщалъ с№.
§• 92-
сумма вс’Ьхъ приращений фт® есть сумма приращены

Явно , что кпд и F, пго которая означается чрезъ JcIF, должна 6ыя1Ь равна сей фхнкцги F, или JdV ~ F. И ка1'1’ cie значить изъ всЬхъ приращены л’Р соС
гпавляшь или находить сумму; шо и говори®1, ca,4moy<7F = F есть сумма всЬхъ пр«’ра щены JF, или ПнтегралЪ дифферент

( 309 )
Л’. И отъ сего то изчислеше, которое учишь находить F, когда дано dP, называется интсграЛъиымЪ', а упошреблеше опаго есть сгпособъ сыскивать интегралы, знакъ же f при семь употребляемый, есть знакЬ интеграла.
Изъ того , что сказано , следуешь, что интегралъ dP есть fdP = F ; потому что дифференпдалъ F ~ tZF. Но надлежать заметить, что дифференцгалъ С F , когда С есть величина непременная , есть такъ же dP. Изъ сего явствуешь, Ч1Ш»JdP есшькакъ С 4" F, шакъ и F. Отсюда заключить должно, что когда нашли мы интегралъ F диффе-ренщальной формулы dP, шо надлежать къ оному прибавлять величину постоянную С, дабы сделать интегралъ полнымъ. Сгя постоянная величина, хотя остается неоар^д'В-ленною вь вопросахъ простой иншегращи , ио будешь всегда определена -свойсшвомъ вопроса, приведшая) къ дифференгцальной формул'Ь, которой интегралъ ищецгся.
S- 93.
Довольно въ семь случаи сд'Влать одно ЗамЪчаше и оное имЗяпь общимъ правиломъ: прибавлять постоянную величину, когда Требуется ицтегралЪ. По хотя вообще въ
( Зю )
простых* вопросах* о сьгкаши интсгпалпщ, CIH постоянная величина, онуедЪлеше кото» рой не дГ-лаешт никакою зашрч двеш’я, 6\дсгпъ выпускаема , однако всегда д лигно ее предпо» ля ать , дабы въ вопросах*, в* коих* необходимо тжно прибавление и опредТлен1е постоянной величины , можно было употребить оную.
. $• 94-	I
Теперь пройдем* всГ» вытепясанные вопросы о сыскан1И ди<Ьферепгпаловъ , начиная с* fro (С i5) . в* котором* функц!» F~ ах
!>у иУЬетъ чвффер н-iian* dV == •< dxЬ dv\ явно, что, поелику JdV ~ F /<? <уг), будешь обратно у [ady -ф bdy} ~ а.х -ф by.
§• 95.	I
Разсмотр'ввъ cie начало, без* труда понять можно онредЪлете следующих* интегралов*:
*) J{xdy 4- ydx} — ху (§ 17).
3) J\xjdz-\-xzdy-\-vzdx)—xyz	18)»
3) dx ~	($ 22) ,
4)/^f^ = rx(S25)’
5)/^ = ±(Ss9),. fl
6)/J =4f. (3i),
L
( 3” ) 7)/i(Zr)'-=2^(S 33), 8) fa* < Ida ~ ar ($ 34) , 9) fe*dx — e* ($ 35), 10) /dx cos. x = sin. x (S З7) , siu. x ~ — cos. x (S 39), ,2)/^rb — tan& x (S 4*), l3) /7^. — — cot- x (43), =	(§43),
15)f:!~^ = -cosec' x <S 43),
' I(v*fe=A-	x (S38),
’7) /'vTZS =i A • cos’ x (S 4o), l8) /rib = A  tc!ns- x (S 42), A-cot- x ($ 43),
3O) /= A ’ ^c- x (S 43), —K. cosec. x (S 43).
S- 96.
Сихъ формулъ довольно, дабы находить интегралы всЪхъ диффер нц!альныхъ формул*, кои намъ нужны будушъ, чтобы достигнуть той цЪли, для которой изданы С1и начальный основатя высшихъ изчислетй.
( 312 )
Г Л АВА IX.
О сыски eaiiiu, интеграловЪ сложны.г'Ь дрфферешралъныхЪ фор,М)'лЬ.
£ 97-
Когда дифференциальны,! фупкш'и , коихъ интегралы ищутся, будутъ сложный; шо можно находишь ихъ интегралы, приводя ихъ въ функций простым, или преобразуя ихъ, чрезъ н'Бкоторыя уравнивания иовымъ коли-чествамъ, въ простым функции иагЬюпря извЪстпые интегралы. Первое изъ сихь будешь предмсшомъ сей главы; правила же для вшораго показаны будутъ въ следующей.
Вопросъ I.
S-	98.
Сыскать икгг.сгралЪ днффсрсицгалънон сложной функции, какова есть следующая:
<{F " х' dx bxn ф- с,г7", cbfi” ф-и проч.
Р 4 Ш Е n I Г.
Прогзвецпи оточенное умзоженгс. получится :
( 313 )
ax' dx -}* bxm +* dx 4~	+a" dx -f’
и проч. 1
сдфдовал’елкио
p — afx dx 4- bfx'n + "dx	cfxm + *"dx 4 
и проч, или
F = - -	-I--------Ц- ---------- 4-
nt + 1	* т + 2л 4- f I m f 2л + 1	1
и проч. (§ g5. №. 2).
G Л Ъ Д С Т В I Е I,
§• 99-
По какъ показатели т и п и множители а, Ь, с, d и проч, могуггъ получить всП возможный величины, и быть числами положительными, отрицательными, целыми или ломаными ; то явствуешь, что cia интеграция содержишь безконечное множество другилъ. Пусть , напримЪрц ,
n? = i,/2~i,r?=o>erzo,^ = o, и проч.; будешь ’
J'xdx (it 4“ bx 4“	4“	4“
С Л Ъ Д С Т В I Е 2.
£. юо.
Пусть будетъ т ~ — i , п ~ i, d ~ е ~ f "ZZ и проч : ~ О, получится изъ формулы
( 3.4 )
F £ g8 сей интегралъ:
g[а 4- Ъх 4- ox2) dx	пх° । Ъх ох*
J х	~	1 Т" 2
ЗдЪсь Первой членъ заключаешь ьедвпость, производящую опгь дифферен.рала	коего
истинный интегралъ есть alx (£ да Л°. 6.). 11 шакъ истинный интегралъ , который мы и.цемъ, есть
= аи 4- Ах +
X	1	1	2
/
Подобное примТ)Чашь падлежишъ всякой разъ, когда частное иекаше интеграла dx приводишь къ члену —. «
С Л 1) Д С Т В I 8. 3-
S- 1О1-
Пусть будешь т~— a, n~-\-/2,e—J — g — и проч. — о, мы получимъ сей ин-гаегралъ:
/(а + bxz 4. сх* 4 Ь.г6) dx _ а । »	। сзс\ |
— 7‘^ТуТ 5*
Вопросъ 2.
S- 102.
Сыскать пнтегралЪ сложней функгрн ~хт {а 4р Ьхг}п dx-
( 3«5 ) Р Ъ Ш £ Н I Е.
Разложивъ eno пень (a -J- Ьх)” по правилу Зм. Начальный основангя Алгебры § 258),
(д 4" Ьх')п — ап + -у ап — lbxF
. п(п — i)	, _
4- t—-а -' ап-^Ь л г *•
+ "("—’)(» —а) ,	<
,——— 3~ а"~Цхг и проч.
Cie , будучи умножено на хт dx, даегпъ г
Ian хт dx
4" - л" 1 bxm + r de
I П (п 1}
4“	й"“2^ xM + ,r dx
I п (п - 1](п —2)	~	_
4“ ,	ап Ь xm + 'r dx
* •	*• Э-
и проч. Взявъ ишнегралъ каждаго члена Порознь , ЬуДгЫЪ ИМ'ЁШЬ	।
1а" !хт dx
4~ " ап — 1 bjxm + r dx
4~ 4*-^— чп ~ 3 ь ’ Jxm + 2Г dx
4~	з~а"~3 byJxm +3r dx
п проч, mo есть
I апхт 1 । пап — 1 ъхт +r + I
I т + I ”1 I. ('» + '•+ •
F —.	| п — -ъЪъ +2'4-1
|	1. 3. {т 4- аг + 1)
| in (я — t)(n — 2)а” — 3 3j-w + Зг 4-1
I 4“ —-------------------5---i---Г И проч-
I * I- а. з.	(т + Зг 4-1) 4 г
( 3.6 )
СлЪ д C T В I E. I.
хоз.
Пусть будетъ г ~ х, изъ общаго интеграла § хоз найденнаго, мы получимъ сей особенной иитегралъ:
fx' (а 4" bx)n dx = — -
• па11 1 Ъхгп 4- 2
* т f 2
•	 и(п—1)ап —Зйа-гст +3
1.	2.	(х/1 + 3J
* - <
С Л ®. Д С Т В I Е 2.
S ю4.
Пусть будетъ m'Ozo, обххрй ивхиегралъ (£ 1O2) даетъ :
_Л«4-&г')й dx~a^
I rt(n- I (и-2}«” —З/3 Т3»‘+ 1
-----Ч -S-----t. -___И проч
1 *•	»	3	(3/- + I)	г
С л -ь Д С Т В I Е 3. §• ю5.
Положимъ п~ будетъ — — J,  I,”3 ——| и проч, и мы получимъ ИЗЪ Q хоф
( 3‘7 )
Jdx j/ e _j_	— Ty/a
I J	+ 1	_ I. I ?-я9.г + 1
(r + i) У a	-Z~ 4 * (77 + i)aVa
I »- • 3	&3*'r+I i. i. 3. 5	64 r^+,
"i □, 4. 6 • (ji + >)«г у a □. 4. g. 8 ; (4 + .^3v2 "i
и проч*
СлЪдствп 4.
ioG.
Пусть будетъ въ томъ же интеграл!! (§ 104) « ~гг.акъ что
LT2	= ___ »	»—а —______5 з_______ г
1	4 ’	з —	е >	“4- —	«
и проч, получимъ:
_______________ * I ЛаТЧ-!	г. з
V а ч Ьх' У а □ (; + )(, V, Т 2. 4*
Ъъ лзг + 1	1. 3- 5	6 3д-згН‘ 1	_
(□г + 1) 02 У « 5Г4Г6 ’ (3Г + ’ju3 И^ПРОЧ‘
( 318 )
Г Л А В A X.
О сыски eaiiiu интегра Ш'Ъ сложныхЪ рен1ра.и>ныхЪ функции, иисред-ствомЪ преобразован* я.
• §• 107.
I
Сей способъ сыскать интегралы есть н;>и11р'>с[11раянЪи11ИЙ и наиу!1О111реби1пелы1Ъи-пли,-потому что онъ простирается почти на всЛ» дифференц1альныя формулы, и. что все иску сп.во сыскивать интегралы сое по-итъ, такъ сказать, въ томъ, чтобы преобразовать данную дифференциальную фор-м'лу въдпугую, коей интсгралъ извЪстечъ и содержите я между формулами £ е>5. И такъ предметь сейтуавы есть весьма обтиренъ. Но какъ Н'«мЪрен1е наше сос «• >И14Ъ не въ томъ , чтобы* издать полную систему ин-тегральнаго изчислен1я , а въ томъ, чтобы только показать способъ сыскивать интегралы формулъ , чаще встречают-хся ; п‘О по сей причин’ЬслЪдующихъ вопросовъЬудеш'ь довольно.
( 3i9 )
Вопросъ i.
108.
Сыскать ннтегралЪ дифференциальной формулы :
dF ~ xr~'dx (а ф- 6хг)п.
Р t Ш Е Н I Е.
Положивъ abxr ~ z и взявъ дифферента лъ , будемъ имЪшь brxr~'dx — dz и (а ф- Ьхг) " ~ Z'; слЪдовашелыю
Ьг 9
и потому
* = ;rr^Z}
или
F =77^4^ <5 Э’Л 3)-Поставивъ а ф- Ълг вмЪсто z, получимъ 'dx (а ф- bxrY — <-? +±± + !
fcr (и + I)
» СЛ’Ь Д С Т В I Е I.
S- ю9.
Поставимъ — виФспто п : и какъ гп	*
dF ~ xr~l dxj^ {а ф- bxr)nt
,по будетъ
( Зао )
и потому
С л Ъ д с т в I Е 2.
$• но.
Иосшавимъ — " вместо
1	W
п, будртъ
и интегралъ
F_ +М’,-И
Ьг \т — п) * и потому
X -* d-С	™ ; I £ Дш_„
у _________т\/ V
) '	br {in, — п)
Вопросъ
in.
Сыска’пъ интсгралЬ дпфференцюльпой фупкшк :
(<г«х’ -\-Ь@хЗ -’4-су.г	4- и пр.) de
ds— --------------
(ала 4“ сх* 4“ и пр')""‘
( 321 )
Р Т> JLJ1 Е Н I Е.
Положив*» ахи ф- ЬхЗ 4~ сх/ и проч. = z и взявъ дифференциалы обЬихъ величинъ, 6у-дсмъ им'Ьшь:'
(£7«х«—1 ф- btSx^~1 ф- сухг—' ф- и np.)<7xrZfZz,
* следовательно
dz = „ „ _; и 1/Z
Y-n^z (§ 95, N-. 4) И такъ, иосшавивь вмЪсшо z ему равную величину , получимъ искомый инше^алъ
F — п	(аха ф- Ьх!3ф- схг ф- dx8ф- и проч).
Вопросе 3.
§• иг. 
<
Сыскать интеграл!) дифференциальной функцш:
п(аах<*—‘ф-Д^х.^-'ф-с/дг/—1 и проч.) dx dF ~	-------—S.
аха ф- Ах^ф- сх^ф- и проч.
Р Ъ Ш Е II I Е.
Пусть аха ф- Ьх3 ф- сх/ ф- и проч. — z, и взявъ дифферцнцЛалы, будемъ им'Йшь
а«х«—1 4- Ьвх?—1 +c7XJ'~1 ф- и п]юч.=<7г.
( 322 )
и потому
dF = ^- и F = nlz (S 95, №. 6) или F = lz следовательно
F ~ nl (ахи + Ьх@ сх> 4“ и проч.).
Вопросе 4-
§. иЗ.
Сыскатпъ мнтегралЪ дифференц1аЛьнон логарифмической функции
dF — (Zr"')".
Р Ф 4И Й HI Е.
Лусть xm ~ z. Взявъ сего логариемы, пола чимъ Zr-> ~ mix ~ lz, а взявъ диффе-ренщалы , будешь иметь
тг’^.г	dz	dr	d s
— — — И - —	- ,
x	z	я	тл »
почему
rnz »
следовательно
F = '!^2(S95, N-. 7), то есть
т(п +• l)
4
( 323 ) [Вопросъ 5. §• n5.
Сыскать пнтегралЪ дифференгрцльной фупкит dF — ег -~х.
Р Ъ Ш Е И Г Е.
Пусть a 6.Г" =-z, 6\д«*1пъ дифферен-ц1илъ nbx - dx — dz\ сл'Вдовашельно rfF “ ~z и интегралъ
F = ,V? = .7. & (< Ф N’ 6) .или шо есгпь
- Ц) (а + Ьх”)°.
J а + 6хп Iх |	'
В О П(Р о с ъ 6.
t $. П5.
Сыскать интегралЪ дифференциальной функщн
dF аа ~ЪЪхгп t
Р 4 Ш Е Н I fi.
Поелику аа—bbx™ ~ (а Ьх”) (а—Ах”) t Jno разложишь dF на дв!> дроби j цолагаа ,-р ______А^1’ 1 х I Вхч 'rJx
a -t- bxh	а — Ьхп ’
( з^4 )
тпакъ, чтобы > но приведении ихъ къ оному знаменателю , былъ
,р _ ох”-1 dx (А 4- ) - Z,x” — Т dx (А - В) .
оа—Ь1>х^п
Сравнивъ cie выражегйе съ предложеннымъ, увидимъ , что знаменатели у нихъ одиИаюе, а чтобы сделать и числителей равными , надлежитъ только положить А В = ib и А — В ~ о, откуда получится А — b И В = Ь, посему будетъ
Но интегралы
сихъ частей суть :
п-----I j
'f)X ах
dx
(S ”4),
Ьочему искомый ипшсгралъ есть jp _______ /'3n6.rw 1Лг »^,х \
аа — ЬЬх3-?*
Вопрос* •).
иб.
Сыскать ичтегралЪ днфферен^'юлыюй функции
( 325 ) P t lH E H I £.
Пусть хп ~ z, будешь x'l~~x dx = — и
(»
а’ +	= «•( +	=«•(. +
слФдоейшсльцо
dF = ----7“^ —------
««’ ( 1 +
положить ~' z = и, будешь dz ~ du и формула наша обратится въ
dF~ ~ _*L_ , сто 1 -J- tut, *
слФдователлпо будешь
F- d-
accb J 1 4- au .
По J т~ — Arc- tanS-11 (S95- N° l8), почему будемъ имЪть
F =—Arc. Iff. u~ d-jXrc. te. -* z, или посшавивъ на м'Ьсшо z его величину ха * получимъ искомой иншегралъ,
f xa~~'dx i . Ъха
j  ----------— —. Arc. ts.	•
+ / J Ъ-а цаи	° a
box
( Заб )
ГЛАВА. XI.
При ^orrrepie инте^ра гънаго изгислерлн nb сыскашю длины ърасьысг) лиши.
Опр е д ® л е и i е.
$• к?-
Сыскать длину кривой лин1н значишь определишь длину прямой лиши равной дугЪ ея , содержимом между дв^мя данными точками.
И 3 Ъ Я С Н Е Н I Е.
i«S.
Черт. Показано было выше " 4^) , что, положивъ 2" въ какой hi>6 дь конвои лиши а6« ци<-су
АХ “а" и_ ординапв XY — у и дугу AY — S, имЪемъ дифференцьадъ сей последней
Y Г = ds = V dx -ф dy .
Но когда у опредЪ \енъ чоезъл*, или X чрезъ у , или х и у третьего какою иибудь переменною величиною , то определится и ds функцию, содержащего одинъ х или у или другую переменную величину. Взявъ -оной функции интегралъ, получится ду<а AY ~s, и вопросъ о сыскивати длины кривой лин!И будешь рЪшенъ.
( Зз7 )
Вопросъ г.
S- ”9-
длину конической, или Апол-душевой параболы, определенной уравие-Hiexb УГ — м*-
Р Ъ DI Е Н I Е.
Поелику уу ~ zax , шо* взявъ дифферен-ц1алъ, будемъ имЪть ydy ~ adx, ила dx ~ 3— слФдовагпельно а ’
ds = — У аа -j-уу, a s~f I/аа ф- уу.
Положимъ _________________
Vаа ф- уу — z ф- у, будетъ аа—zz	.	___ aa-b*~z ,   — dzfaa 4- az")
у ~, z + у —------------и ау —--------	- •
J а* ’	 z az J	чгг-
Поставивъ ci« величины вмЪсто равныхъ имъ, получияп*
„ — dz{aa + zz) 3	*
s —J	Г7з »
—
что можешь быть разложено д7) въ следуют:я части :
“3 / Яг	a f de	i
S —	A	z	ha f Z°Z'
Ho / % = dz = ^2= =A (J 95.	3.);
= h (S 95. N\ 6);
^fzdz=2^ (S95, N\3)5
( Зэ8 ) следовательно
Здесь С означаешь постоянную, по елце неопределенную величину, которую всегда прибавлять должно, сыскивая интегралъ (§ 92)* Приведя 1м и Зй члены къ одному
'	О4—34
знаменателю, получимъ „	, и будешь
s — С 4-	_ Л h.
•	8asz	2
По — = г (= 4- z) = г У аа +ж
и 2 — I/ «а уу— у, , следовательно
f “ С + аа У	11	аа-^уу—)}'
Сл$ ДСТВ1Е I.
£.	120.
Черт. Теперь ежели пожелаемъ измерить длину *$• ДУГИ Л£ параболы, шо надлежитъ начать съ точки А, гдЪ у ~ О. Неопределенная постоянная С должна быть определенатакъ, что бы было ~ о , когда у ~ о, что даешъ следующее уразпеше : О zz С — ~ 1а , откуда явствуешь , что С ~ — 1а , и потому длина дуги
AY—5= у ]/аа уу	I -—- —- ;
“	• •	4 у ао 4~ JJ —д
।	( 329 )
чпто шакъ же представишь можно шакъ; • V™ + ЛГ + 7 КЛрр*.
С ЛЪ Д СТВIЕ 2.
S 121.
Еже-'и , проведя парамешръ СП “ 2й чрез^ фокус» F, пожелаемъ найти Дугу АП; шо надобно положишь у ~FH = а, тогда длина сей дуги будешь
-'ii==:jl/2 + И< + И=)1-
Изъ сего сл'бдуешъ, что цЪлая дута, определенная парзмешромъ GH, какъ хордою, будетъ-
( Сан = а []/ а Ц1 4*J/э) ]•
П Г И м -В ч А Н I Е.
£.	122.
Какъ коническая или Аполлон!ева парабола определяется уравпшйемъ уу — tax, такъ и уравне1пемъ у-3 =. Захх опред'Ьляешся некоторая кривая лиш'я, названная параболою кубическою или Нейлп, въ память изобрЪ-тателя оной Вильгельма Нейля. Требуется сыскать длину дуги оной.
ВОПРОСЪ 2.
§. 123.
Сыскать длину дуги параболы Нейля ОпРе^ллю1н>ейсл уравнешемЪ у' — Захх»
( ЗЗо )
Р Ф Ш Е Н I Е.
Поелику'зд^сь jc = \/^ , иго будетъ d.x^
Ыу Vу	.-Т-
—р 3— , слфдовательно
ds~l^ dx dy* JZ z{a -|~ Зу F и самая Д}га
* ~ dr ^4« + Зу.	I
Положимъ
-|- Зу = z, или + Зу — zz; взявъ дифференциалы, будемъ имЪть 3dy~ 2zdz, откуда получимъ
dy ~ *zdz и s — ~ у ~ ,	
то есть	"
5zzC4-_±. — C-к (jfl + fr)», 9'^	~ ,|VO
Пжели здФсь постоянною величину С опре-дЪлимъ, такъ чтобы было j = о, когда у —о, то найдемъ С ~—лча f и посему
* = :«[( <□:-*]• ]
П Р И С О В О К У ПЛ Е HI Е I.
S- 12ф
1ерш. Ежели круть движется , обращаясь по пря-l5' мой линю АВ; тогда постоянно взятая точка его окружности опишетъ кривую линн°> которая называется Циклоидою. Пу^111®
I
( 33i )
-jyc-ь сего круга = а и V точка окружности онаго , когиорая при началЪ обращена была
въ А и пошомь достигая до настоящего своего положещя, гпо есть пришла въ точку -у опасавь уголь PCY — до, такъ что д_уга ру — дРсделалась ~ аф. Означимъдля точки
Циклоиды Y абсциссу АХ = .х, ординату XY ~у- Поелику Z.QCY = y;—90",
CQ = a sin. fp и YQ = — a cos. ф
то будешь
1) x ~ ЛР —• CQ — a (go — sin. tp), *	2) у ~ CP -|~ YQ = a (1 — cos. go).
UPHCO воку ПЛЁН1Е 2.
S- 125.
Естьли мы желаешь имТ>пть уравненге между координатами х и у, то замТнпимъ, чпю изъ зго уравиенш предъидущаго § получит ся
I — cos. ф — 2 sin. ^gp’ = ?д и
cos. q> ~ 1 — — '	а 7
сл^доцашельяо
sin. go =	— cos. g>' ~ 1/ яг
a aa и потому joe даешъ
л = аф — a sin, go ~аф — Vsay—уу.
( 33* )
Ho sin. i gp ~ f/ ~ ,
Ч посему (p ~ Arc. sin. \/ илы
ф = 2 Arc. sin. \/ fa r слЪдовашельно будешь
л —sa Arc. sin. JZ —V saj —. jy или перемТгяя .коопдияапты , и полагая мешръ круга производящего циклоиду =Ь, произойдешь ypaBHenie;'
у — — Р^Ьх — хх	Ь Arc. sin. JZ j,
Вопросъ 3.
, g. 12C.
Сыскать длину Циклоиды.
Р Ъ Ш Е н I Е.
Поелику х ~ а (ф — sin. ф) и у ~ а (i — cos. ф) ($ !24), nio будешь
dx ~ adxp — айф cos. ф> dy = adg) s >i. <pi к ds = e£c’ dy* =. яаЛф 1 —cos.
слЪдоваш^льно
ds = 2ad(f ц'п. i ф.
Взявъ1 ишпегралъ, получится дкгц
s ZZ С — 4я Cos. i ф.
( 333 )
Зд’Бсь постоянная величина С определена такъ, чпючы было чпю даетъ С = 4«> и
Циклоиды будетъ
должна быть s ~ о, когда потому Д}Та
AY = $ = 4Л (* — c('s- ;5?)«
СлЪдствге.
S- 127.
Ежечи пожелаешь знать длину цЪлой дуги AYB; то надлежит ьположить уголь ср~36о°, и тогда будетъ сол '-ср =— i, а ц'Влая длина циклоиды AYB = 8а, то есть равна диметру круга производителя, четыре раза взятому.
Присовокуплена.
S- п8.
Ежели проведутся ординаты XZ полукруга '1с^п’ AZB дал’Ве Д1аметра АВ, и изъ конца онаго А возставятся перпендиххуляры AY на корду AZ до соединешя ихъ съ ординатами въ Y, то таковым точки Y означать кривую лищю, которая называется Ниссой гчучо, и которую изобрФлъ Д1оклесъ. Пусть б.дстъ В1> оной
ВА = а, АУ — х, «ы им^емь
( 334 )
и поелику
XZ : ХА = ХА : XY, шо
следовательно
У =	~=-
¥ а — х
В о п Р о С ъ 4-
§• 09.
Сыскать длину дуги Циссоиды.
Р е ш Е Н I Е.
х-
Поелику у с=	_ гао будешь
I' а — х ’
, _ ЛУж(Зй—зд$
V —	,~з И
□( а—х)3
ds — -^-х |/4а~3\
2<о—.т) • а — st
Пусть будешь
Я случится
следовательно —	— adz —
( 335 )
и искомая дуга
r 3adz
S — az J з—
Сей последнзй интегралъ сыскивается какъ иншегралъ въ ii5; полагая dz __ A 'z । Bdz
3 —zz “ УЗ + 8 "Т“ УЗ _я , откуда получится
— ГУз и ~ зТз »
такъ что
- 3«rfz __ «УЗ Л; «У _ dz
"Т" —	' з J 1'3+ г “Г я Г»
и потому искомая дуга Циссоиды
«Уз v -Лг
s = az--------7 _ + г
-	3 ZI3 Т и
Присовокуплена.
i3o.
Есгпьли потребно определить длину ду!и Циссоиды отъ точки А. гдЪ а? — О, a z~ 2; nin надл’ЖЧ1|1ъ определить постоянную величину С такъ, чтобы было у—о, когда 2 — 2, и cie даетъ
«Уз Уз + а — 2' ^УЗ —з	2Я»
и потому дуга
УЗ .(а+УЗ)^ —УЗ) з 4 (2 —У3)>+У3)
( 336 ) Вопросе 5.
§• i3x.
Сыскать длину дуги круга.
Р Ъ ш е н 1 Е.
"ЧерпГ. »7-
Пусть будешь АС ~ ВС — а, АХ YX ~ у, AY — s, мы получимъ
, _ (а - Х) dx У	V 1рах—гх)
adx
ds — ]/'----
2 азе — 3. x
2
и потому
Но мы знасмъ, что
аа
Ь а. 4. 6 G) +	(£)4 И
(Алгебр. § 27З) f следовательно
dx
з
J, I. 3 X^dx а. 4' (2«)3
». 3. 5
а. 4. 5
5
д3</г -4- проч.
(2UJ3
а взявъ интегралы, имЬемъ
за
I. 3 T< <V I »• 3. 5 frM ,	-
+ Г“4 .iUJ +зйГб-К™> 4" и пр.],
и влЪдоьашельно будешь
t.3.5 ~ГхУ^	I	*' 3- *• 7	,< т~~у	.
2« 4- 6 • 7\j±aJ	•	"2. 4' 6- 8	* Xb'iaJ	•"	И ^Р'.
ЗдЯсь н^тъ нужды прибавлять постоянную величину , потому цпю s ~ о, когда х ~ О.
СлЪдствхе.
§. 132.
Пусть будетъ уголъ ACYz^6o°, такъ Что АХ — х — i а и VJAY “ 5 = ™ , мы Получимъ	ж
mi__„г . । 1	1 /п । 1 • 5 I z.xj । I. 3. 5
з — °Г 1 4" » • 3 (?) 4* 774 *	4“-Г4Гб»
’ (0s 4-	• Ki)4 4- и проч ].
Но какъ члены сего ряда, коихъ законъ Очевиденъ, чувствительно уменьшаются, и
23
( 338 )
кои продолжать весьма удобно ; то мы воз-мемъ сумму десяти первыхъ, кои сушь :
	.	. — I ,00900000
I I 1 э • з • 4 •	 н-лт; • • • • 1. 3. 5 1 (1 я. 4- 6 • 7 UJ • • • • 1. 3. 5. 7 if а. 4- G. 8 • । <4J °	•	* 3- з. 7. 9 2-PV а. 4- 6. 8. ю * ч <47 * * i—• i	«5 » Г • •. I		 ‘7 • Г  ,9	. . — 0,04166667 , . . — 0,00468760 . = 0,00069 764 . . — o/ooi 1868 ,	.	. — 0,00002185 . = 0,00000424 . . = 0,000 юо85 . . . “ 0,00000018 .	.	.	0,00000004 ь»4719755-
Изъ сего слЪдуетъ, которая десятичная	что л — 3,14'5р2бэ, дроб^ сходствуешь,
даже до по’л'йдняго знака, сь иви'Ьсшною дольфоадъ фонъ Кейленомъ для п найденною величиною.
( зз9 )
ГЛАВА XII.
При^07Кеп‘е питегра чънлго пяти слет я кЪ сменившим квадратуры кривым!) линш.
‘	ОПРЕДЕЛЕН! Е.
$. 133.
Сыскивать квадратуру кривой линш значить определять площадь пространства, ссдержимаго между абсциссою, ординатою и дугою оной.
ИЗЪЯСНЕНТЕ.
$. 1З4.
Какъ Х.г и Ху суть пррращен1я или диф- 'Г‘‘РПТ' ференщалы абсциссы и -дуги . шо и пространство, содержащееся .между двумя ординатами XY и .ту, будешь прпращеше или дифференидалъ пространства ЛХУ ; площадь же шрапецш XYra есть \ 4(Х\ -|-х>)Хх = j	d.x~ydx-\-\dxdy ,
где '2dx dr, какъ безконечно малая величина второй степени, уничтожается предъ ydjc^ почему, положивъ площадь IXYzrS , будешь d$ — ydx , и S “/rd.r. Когда же у определена чрезъ х, или х чрезъ у} или же х п у
( 34о )
ь>(ш
третью переметною величиною; ш о dS будешь всегда дифференщалъ съ одною переменною , дотораго взявъ инигегралъ, вопросъ о сыскан!и квадратуры решится.
Вопросъ i.
С. i35.
*
Сыскать площадь конической параболы.
Г И ш Е Н I Е.
Поелику у =.	, то будетъ
dx |/ зах и
J'ydx 2afdx\,/ %	\afх~dx ~2а. у.
.	а
И такъ площадь Лаг ~ | х \/ 2ах.
Сл® Д С I В I S. /
§. i36,
Черт. Положимъ х — AF = \а, получимъ площадь AFlIzzz-jac. И такъ целая площадь, содержащаяся между дугою GA1I и параметроМЪ GU, есшь -лаа пли | О GHIK.
Вопросъ а.
§• i37.	Я
Сыскать ялстадъ кубической парабо-yihi Нейла.
Р 1) Ш E H I Е.	<-
I
Поелику у = у/ лахх 122), тпо получимъ ydx ZZ \/ Зл < х dx и Jy dx — ]/3a. * х з , ;гли [ydx ~ ~ х Захх.
Вопросъ 3. t 1З8.
Сыскать площадь елюпспса.
Р Ь ш Е Н Г Е.
Пуспть полуоси АС " a. CD — b, и коор-Че^ дииаты АХ ~ х , X Y “ у , будешь
у — - Iх 2« Г-XX,
злЪд о в а тел ь и о
ydx — f У и ча
fydx ~ bV d. fd^х^t У t
Но изъ § 267 Алгебры следуешь, что
сл’Ьдователыю буде пъ
fydx—b\/ -ojx\dx{1—НСЭ’—
1.1.3/д\5	1 . I . Ч . S Лх'Ч*	ч
ГГГ6 U) ^«rrTT^U) и «Р°Ч’
( 342 )
Взявъ интегралы каждаго
члена будешь
(ydx “ Ь[/ х» —
\ • 9-Я	I. I . 3	2 Г2
(i-j1	' 3. 4 - 6	(ла)3
>	3	1. I з
3 * 5 1а 2. 4 • J
— и проч.] ,
или шакъ же и целая неопределенная пло-ицадь, абсциссе ж соответствующая, будешь
I. I. 3 1 f х я 1. I. 1. 5  С X ^4	7
з. 4-6 * g V2" > 2’ 4- 6. 8 11 vacy И 'IP'J
Вопросе 4-
$•/
Сыскать площадь гиперболы , абсциссы на оси отЪ вершины иной.
взявЪ
Р 4 Ш I Н I Е.
Взявъ абсциссы отъ центра, мы знаемъ что	I
У — Т — аа, (Отдел. III. £ д5) и что вместо х будешь зг-^-а, когда воз-мушся абсциссы отъ вершины, следовательно будешь
( зр )
По V 1 + 2J — 1 + a G*0	4 Са)
।	’ у — ’ V 'Ц С - V 4~ и проч.
2. b ум) а. 4- и- 8 \0-aJ	1 Г
отсюда явствуешь, что пространство ЧвР™* гиперболическое AXY будешь
„ ,   ilrV lx pl ( I i	I. I \f (
fy dx —'	-a 'Г ; • J (^aJ	• 7 ^2«) "T
тттгб-9иа; —и nP°4-J-
В о п p о с ъ 3.
$. i4o.
Сыскать площадь прямоугольной гч-j пербилы, взявЪ абсциссы oinb дан.чий точки на асимптотЪ.	*
Р Ъ ш е н I Е.
Пусть будешь С пептрь, Авертина, СА^еРт = а , D начало абсциссь ,
CD = 6,DX = a>,XY — 7 ;
поелику известно, что СХ . XY =
(ОтдЪл . II. § 122), то будешь
fydx =	= С + \аа 1{Ь 4- х).
Но к< гда мы хогаимь определишь площадь гиперболы I'EYX, постоянная С должна быть опредЪлена такъ, чтобы было Jydis = О,
( з.[4 )
когда х~О; cie показываешь, что Ссгг_.
~aa/[f и потому искомая площадь есть
DEYX=y><Zr-i/?i*,
Вопросъ 6.
§• >4’-
Сыскать плдщадъ. циклоиды
Р Ь Ш Е Н I Е. i
- Мы уже вид’Ьли, что
х = а {ср — sin ср} )
> (S «М)-
у — a (i — cos у) \ 1
>
Взявъ дифференидалъ эр, получимъ dx ~ adcp (i — cos.
чтпо будучи умножено па у, дастъ для квад* рагпуры
Jydx~ аа, [dtp (i —2 cot. ср ф- cos. у’). Взявъ интегралы по чаептямъ получимъ fjdx — aa {ср—2 sin. cp-\-Jdcp cos. ср'}» Пусть Р ~ cos. ср, dQ = dtp cos. ср, такъ что с№ “ — drp sin. у, Q ~ sin. <p, и поелику yPiZQ = PQ —J'QdP (§ 17), будешь J dtp cos. cp"1 = sin. epeos ср ф-fdcp sin cp"1
•1 sin. 3 rp -{- cp — J dtp cos. ф1'
( 345 )
Изъ сего елЪдуегоъ
zfdcp cos. <f>* ~ tp Ц- | sin. 2<p ;
и наконецъ искомая площадь
jydx = аа — 2 sin. <р { silt. 2gp)-.
СлФДСТМЕ.
§. Цъ
Ежели потребуется определить площадь целой Циклоиды отЪ А до В, то есть ош-пвда, гдЪ ц> — О, до той точив , гдЪ (р — 36О°~27Г, ШО получимъ
fydx — Зла а.
И такъ поверхность цЪлой Циклоиды равна площади круга производителя три раза взятой.
ГЛАВА- XIII.
Триложеше ычте ралънаго и^гислетя, кЪ сыскивашю поверхностей и тол-лцйнЪ тЪлЬ вращен1я.
£. 14З. * Ежели криволинейная площадь АВС совер- Черт, Лгитъ обра1цете около лиши АВ , какъ около 2^" оси; то пространство } отъ сего обращешя
( 34б ) произшедтпее , называется т'ЬлокЪ вращетл I » или КиномдэмЬ- ।
И 3 Ъ Я С Н Е II I Е.
S-	*44-	< Я
Поелику пграпещя XY/x есть елементъ I пространства ЛВС (§ 1З4) , ню усеченный I конусъ, произведенный обращешемъ сей трапещи около оси Хх, будетъ елементомъ И коноида CAD. Поверхность сего елемента будетъ
V (4Г "Г -dy} — 2nJds >
»	Wnrrf
и толщина
' [Г +7 (у 4 - dy ) 4- (у 4- dy} * ]—Tryydx.
Сумма еСЬхъ сихъ поверхностей vnyds будетъ поверхность коноида, которую мы назовемъ буквою S; а сумма всЬхъ сихъ усЬченнылъ конусовъ nyydx будешь толщина коооида, которую мы означимъ буквою такъ чню 5 — 2 nJ yds и 2J ~ nfyydx.
Вопросъ i.
§. 14J.
Сыскать поверхность и толщину шара-
( 347 ) р ф Ш Е и I Е.
Шаръ.какъ произходяпрй опгь обращетя полога около своею поперечника, даешъ J L d
намъ	_____
у — V Ш.Х -- XX И ds —
J	V лах — хх ’
слЪдовательно будетъ
8 —'xrjadx ~ 2тшл?, и
— njdx (лах — хх) — тс ( ахх — у ? то есть поверхность и толщина сегмента шара , кото раю стрЪла ~ х. Положивъ же х — чо, получимъ вь цЪломъ шарф.
8 = 4'rrt‘z и j 7Г^3-
Вопросъ а.
i46.
Сыскать поверхность 41 толщину еЛ-ли пт и ч е скаго С феро и да.
Р Ъ Ш Е Н I Е.
Въ семъ случай имЪемъ мы у ~ — X 1/ч<тдп—хх, и потому толщина сферой-дальнаго сегмента, кошораго стрБла~х, будетъ
njyydx — -о (ахх — Т).
( 348 )
и толщина цЪлаго сфероида S — ± паЫ Для поверхности же S удобнЪе будешь взять абсциссы отъ центра шакъ, чтобы былъ
У — ~ V аа —• хх и
dx \/ а' _ (аа—iЪ}Хх	adxX/i— п. ff
*___________ аа
а V аа —-	Vа а — хх
9
аа—'ab Т<
гдъ и ———. Изъ чего мы получимъ аа	j
S ~ хяЬ fdx j _/
п . — , аа
и чрезъ бесконечный рядъ будешь
S ~ 2тгЪх [ г — {
Черт.
24.
3 • 4	5
~Н^б • уй)” - и пр°<Ь
для поверхности пояса сфероида' DEZY Продолживъ точку X до В, шо есть поло-живъ х~а, мы получимъ поверхность полу - еллипсоида DBE, которая будешь
я	I . ж иа	I.I.3
3	и.4* 5	а.4-6*7
я*	ж . i . 3.5 .	7	л®	я
4.6 • 8 • g	3 . -Д . (i . 8 -	1<>	* I I HP
2паЬ [
з
2 . *4 . в . 8 1<»
.Взявъ же cie вдвое, получимъ поверхносгл11 цЪлаго ечлипеоидл.
( 349 )
С л Ь д с т В 11.
S’ «47-
Персм’Ьнивъ л въ Ъ и b въ л, ролучиш» ся поверхность пояса сжашаго сфероида, s =	. - i .-KD'1 -н • * ®4 -
"3 Л-Л6 _ ! • 1 ..3— . "YXY _ и пр 1, 1-4-,6’7v/	* ’ * б’а 9\л>
гдЪ п ~	и толщина сжашаго сфс-
ьь ~	v
роида —	1 пааЬ.
В О П Р О С Ъ 3.
£• 148.
Сыскать поверхность н толщину гги перболическаго коноида , пропвведеннаго движен1емЪ гиперболы около проходящей оси.
Г i ш е н I ь.
fe. Для сь!скан1я толщины возмемъ абсциссы отъ вершины , и какъ
Z — а У 2ох -ф зсх, (§ i3g)
Ио получимъ
nfjydx=^ (ахх-^ = Г. аа \	*	3/
( 35о )
IJe. Для удобности же вычисления mJ верхности мы возмемъ абсциссы отъ ц|ениЛа такъ, чтобы былъ у |/гх — аа, t	bxdx
dT =	- и
—el
dS _ ^У(дд +	- >4 или
<*Var.i- — а а
) xdr V I — п. ds ~  хх , |/ п • l-zхх — аа
гдЪ п — ——-с.	•
ал + bb
И такъ поверхность будетъ wijyds — '^-'/xdx I j __ „ XT.
но к1-п.“:=1_лп(2),-^п-(л)<^ 1.1.3	/ П \<5	л
Г."4— п (; ) — и проч.] ;
s=c+-r^ в - ^(:)’	- ;’(i)‘+
1.1.3 иЗ ( с \6и .
i.4-6 • Т Vr7 + и проч-]-
Но взяръ абсциссы отъ центра, постоянная С должна быть опредЪлена такъ, что поверхность S — О, когда а?~д, и посему будетъ
I . 1 . 3 5	«4
i?4. б .'8 • 6 + и проч.].
( 35r )
С л Ъ д с т в i к.
§• i49-
Но швкъ какъ п<1 и ~ < i, шо изъ
сего и видно, что члены строки для S найденной , а особливо первые, уменьшаются весьма скоро, и что, во многихъ случаяхъ, довольно первыхъ трехъ или четырехъ изъ оныхъ, чтобы определишь съ довольною пючноспню поверхность S гиперболическаго коноида.
Вопросъ 4*	•
S- i5o.
Сыскать поверхность и толщину параболического коноида, произведенного обращен1емЬ параболы около оси.
—	Л
Р £ Ш Е Н I Е.
Поелику у = зах ; шо будетъ dy — ^p~  ds — dx	, откуда удобно получится
27 ~ TtJ~2axdx ~ пахх,
Sri	a	»irfac.r +
= xnldx г 2ох 4- аа ———о——
( Зэ2 )
С Л Ид С ТВ I Е.
§. i5i.	I
Продолживъ точку X до фокуса , шо с<шь Положивъ л?" - и, будетъ
= — и S ~ J яаа' /2.
ГЛАВА XIV.
Приложение интегралъиаго из£ислен1л кЪ вопросам’Ь такЪ называемого об-ратнаго способа таигенсовЪ.
ИЗЪЯСНЕН! 2.
$. 152.
Обратным!? способомЪ таигенсоаЪ называется способъ определять уравнения кривых* лин1й по даннымъ свойсшвамъ ихъ тангенсов* или прочихъ л шли отънихъ произходящих*, кг.къ то субтангенсовъ, нормаловъ, субнор-' маловъ, рад!усовъ кривизны и пр. ; а изъ сего и видно, что оный способъ противополагается способу" прямому, научающему находить тангенсы , субшангенеы и пр. по дан* иымъ уравнетямь кривыхъ лшнй.
( 353 )
Примечайте.
i53-
Мы вид’Ьли въ главЪ IV, что вопроса прямого способа птангенсовъ решаются посредством дпфферентральнаго ивчислйщд. Изъ сего видно, чпто вопросы обрат наго способа тапгенсовъ требуюшъ инптетраль» наго начисления , которое само есть обрат*1 ное дифференщальнаго начисления. Следующее вопросы покажушъ упошреблеше и пользу сеГо способа.
Вопросъ г
К- «54.
Сыскать кривую линпо, которой бы субнормаль бы-гЬ постоянная величина
Р Я ш 1III ж.
Поелику субнормаль XN~-^r (£ 4/), должно быть ~ а, г/1 а ест. величина постоянная; изъ сею слЪдуетъ, что уау — tidx. Взявъ интеграл.*7!, будетъ fyd'' =.Jcxlx, то ecmb-Jj s= ax -f- G или yy = 2ax -f гС? ГДЬ С означаешь постоянную величину,, ’ходящую при ваяппи интегралоьъ (g g2). Но еешьли С1ю величину С такъ определите, аз
( 354 )
что бы было у ~ О, когда х ~ О, то, считая абсциссы оепъ вершины, будешь С ~ О и у.— I I/ з.ах, уравнеше параболы, которой полу-параметръ zz а (Ошд'Вл. III. (§ 71).
В о п р о с ъ а.
.. §. i55.
Сыскать кривую лктю, которой бы субтангенсЪ везд'Ь былЪ равенЪ у двоенной
• абсцисс В.
Р ’Б Ш Е Н 1 £.
Поелику субтангенсъ ТХ =	(£ 4р) , т0
надобно положишь —у = эх, изъ чего произойдешь—. Взявъ интегралы, будешь 2/у ~У^, шо есть з1у Zz la. lx. ЗдЪсь la означаешь постоянную величину, входя-дцу ю при бзяппи интеграловь (§ С)э). Оное логариечическое уравнение мбжепгъ- быть приведено въ cie : у zz ах, и питому у ZZ ах, которое есть уравнение параболы, коей парамешръ есть а. (ОтдЪл. III. § 71)'
Вопросъ 3.
§• i56.
^20Jrn* Около данной точки  G, взятой за на" чало абсцнссЪ, описать -такую крав)'10
( 355 )
ЛПШЮ) что, ежели чрезЪ какую ннбудь точку' Y оной проведется лпнгя YG и касательная YT, то уголЬ CYT былЪ бы вездЪ прямой.
Р Ъ Ш Е II I Е.
Пусть абсцисса GX ~ х, ордината XYr = у, ZCYX = ср и XYT ~ ^/,такъ чтобы было д? + Vх — 9°° и tang гр ~ tang, (go’—go) ~ cot. ср. Но какъ cot. ср ~ ~ и tang, гр ~ tang. Yyv ~-— ф, (со знакомь — по тому что ординаты уменьшаются и дифференщалъ ихъ отрицательный) , шо должно быть~ слЪдовагпельно будешь уdy ~— xdx. Взявъ сего^равнешя интегралъ, и придавъ къ оному постоянную величину (§ да) , получимъ уу ~ аа — хх , и у аа — хх, уравнение жруга, коего абсциссы взяты отъ центра. (Ошд-Ьд. Ш. § за).
Вопро.съ ф
С. i57. V * у •
Сыскать кривуюлпит , коей бы радгуёЪ кривизны былЪ вездЪ равенЬ нормалу.
( 356 )
ъ
Р ® IL Е Н I Е.
п	•	—dx(i-]-pp)l
Поелику ражусь кривизны =----------— 2.
dp
и нормаль ^ (§ 47) , то должно
(S 53) бить
_ — dx (i + pp)-t dx
dP
я какъ
будешь
*р
Но	.
р ’
dy
— (> + рр)	dx
dp И Т ~
слЪдо вашелъно
лл
— pdo
» + ЛЛ*
Взявъ иптеградк и придавъ постояииул, получится
Взявъ будетъ
и-г77?и>-~	* ,г~'
квадраты и уничтоживъ
Дроби,
aadx* —yydj3 -[-jydx' получится
<& =
Нвтегралъ сего уравиен!я есть
откуда
( 357 )
слЪдовашельно -	_________
jv ~ аа хх и j — ]/ аа — хх , уравнение круга.
„ Присовокуплена.
S- 1-*8-
Въ семь вопросЪ нолозеяо, чшо рад1уеъ кривизны есть продолжение пормала за ось абсцисеъ: но когда онъ берется въ противоположную сторону, шо есть, со знакомь
, шо вчЪсто круга выдетъ другая кривая лин1я, не алгебраическая, но трансцендентная. Пусть
rds __ । di Q t ря)1 г
dx  dp
in о ешпь
откуда получимъ dx ~ "dr— « Положимъ
будешь
dx
и * = la — lz ZZ l°-“	с
wo есть.
« = а
J Jfj' — aa
4
( 358 )
или , поелику
л	* Ст *t~ уу—да)
у— k уу—ад	(л—Хл>'—аа) (л + Kv — оJ »
будешь
«	— 1У + ГГ—аа
X — a L------"----,
Вопросъ 5.
i59.
Найти кривую лнпио BN, которая бы пересекала, иодЬ прямыми углами, вс'Ё параболы, им'Ьюнря какЪ ось АВ, такЪ и вершину А общую.
Р % Ш Е Н I Е.


Пусшь АХ ~ х, XY ~ у, и AXTY СО AwYy, будешь
XT : XY = «Y : «у, mo есть
поелику
и
что —ydy ~ axdx, или опре-
2.г : у ~ — dy : dx, (зд^съ берется dy со знакомь —- , чгно въ искомой кривой лшни BN, при II] и;ен1и абсциссъ , ординаты уменьшаются) откуда слЪдуещъ взявъ интегралы , уу = С хх дЪливъ постоянную величину С такъ, чтобы былъ уу ~ abb, когда ж~О, будемъ им^ть уу — abb 2Х.Г ,
потому рира-
( 359 ) лравненке еллипсиса , имТ'ЮЩаго 'центръ въ точк'ё А, и коего полуоси суть Ъ и bf/2.
Вопросъ 6.
S- 16о-- . < Найти кривую лилаю, коей бы площадь Черт. AXYравна была половин!» площади треу~ голъиика TXY, между субтангенсомЪ, тан-генсомЬ и ординатою 'содержащагося.
Р Ъ Ш £ Н 1 Е.
Поелику площадь AXY — fydx (§ 1З4) Ж
пло1 $адь
ATXY — i XY . ТХ = iy , то будемъ ихгЬшъ cie уравненке:
i .	— zjydx или = \fydx.
По ~р , елФдовашельно будешь ’^ = &Jydxy и взяеъ диф’ференщалы произойдешь
zpydy — yydp = fyydy,
Jy _ dp
откуда получимъ ~ ~	,
гралы , ly ~ a — iVp ~ Л
и взявъ iiHmt-i , такъ чию
p ~	— у t слТдовательно 6j детъ
adx —yydy,
я по взятки интегралоьъ : ax —; у . ЗдТс* постоянной величины -ирнбавляшь ненужно,
( 36о )
Потому что cie уже сделано при предъидущей мнтегращи. Уравнете cie показываешь, что искомая кривая лишя есть шрешъяго Порядка, изъ числа тпЪхъ кубическихъпара. бслъ, коихъ абсциссы сушь въ отношен»! кубовъ соошь'Ьшствующихъ орд ив а тъ.
Вопросъ 7.
161.
Найти кривую лшйю AY, таковую, что ежелн проведется изЪ какой нибудь точки оной Y, чрезЪ начало абсциссЪ, прямая YA х касательная YT, то бы уголЪ AYI былЪ ~ /ir> градусам!).
Р Ъ Ш Е Н I Е.
Пусть АХ zz х, XY — г, будешь. Ya ZZ dx и uy — dy , слФдовашсльпо
tang. XAY = и
tang. XTY zz tang. uYy zz Но поелику XA\T zz Z.XjkY —- Z.XTY. To мы будеыъ ii.Mtnib
1
tang. AYT zz tang. (XAY — XTY). Ио
( 361 )
5 бэ) и tg. AYT = tg. 45° = 1 no ne'oxenijo. следователь но будешь

откуда произойдешь cie уравпеше . xdx 4- ydy — ydx — xdy.
Пусть у ~ их, будешь dy ~ udx 4" Я* dy ~ rdy~x^ то есть dy~ • Пошомь, J	x +J* ’	v u “И1
-
поелику xdu — dy — udx9 будешь
xdu ~
(i + uu)dx
и посему
dx
(l 4- i/) Ju
Бзивъ иншегррлы, произойдешь d dx_______ у du	udit
. X ' J 1 + an d 1 + uu*
Ho Jd-x-lx ($ ф. N« 6,'
—Arc' *S' u (S 95- № ,8 )»
(§ 95. № 6.),
следовательно	.	,
lx = la, — ArC‘ tg- и — /L-Zi 4* иц i я поставивъ А на мЪспю и;
1л ~ la — Arc. tg. ~	,
( 362 )
или же
IV хх-^-уу zz 1а — Arc. tg. ‘х.
Пусть
AY zz]/ хх 4“ уу — z, будетъ
ZXAY zz Iя, Я 7
язъ чего сл’Ьдуетъ, что искомая кривая * лий1я будешь спираль логаривчнческая (Logaritlimica sp’ialis).
Вопросъ 8.
?6а.
Черт.
2 j. Найтн кривую лишю таковую, что ежели изо какой нибудь точки Y оной проведется кЪ данной на' осн абсциссЬ точк'Ь F прятал. YF и касательная YT, то бы было YF — FT.
Р 1) 1(1 Е и j Е.
Пусть 'X — .т, XY±ty, будетъ FT” yJx—jriiy	-- ----------
dr и л —к хх -f- уу, елФдовашельно по положению
ydx — xdy ~ dy \/ sex j- jy.
Положимъ , что х _ uyf будетъ dx ” udy •у у du , и поставивъ cin величины въ найден-номъ уравнент , оно приметь сей простой видъ :
iy _4/ ____
J'	*
Пусть Vuu ~|- i = з — «, будетъ uu 4- i = zz — izM + uu, или и — — , ’«о дифференгралъ
и поелику
V UU 4~ I — 5 — “ “	’
то будетъ ~ ~ у , чего интегралъ
ly — 1а tz ~ 1а 4” (м тг ии Ч” 1) > i елЪдовательио
или уу = ал -{-al/хх 4~УХ , то есть
уу — ах ~ al/хх 4“уу-
Взлвъ квадраты, будемъ им’Вть
у* — захуу ф- аахх — аахх 4- аауу, и по секращсл1л
' УУ — аах — а i
и наконецъ
УУ =	(> + у) ,
\paunei.ie параболы, езлвъ начало аосцнсеъ ръ фокус®.
( 364 ) •
• Вопросъ 9.
S-	юз.
Найти кривую лннм , коей бы квадратЪ дуги равенЪ былЪ прямоугольнику изЪ абсциссы, умноженной на постоянную лин-.э 4а>
Р * Ш Е П I Е.
аТ” Пуешь АХ = XY ~у, дуга AY = х» dy = pdxy будетъ по положению
S* — 4ЛТ или 5— э /ах, следовательно
ds ~	— dx Vs + рр~ (§ 5i) ,
откуда получимъ
^7 = / I 4~/V и х ±:
Поиножимъ cie уравнен!е на dp, будетъ xdp—. udp
, чего ингпегралъ
рх — у~а Arc. tg. р.
и потому мм получимъ
У — ~~~ — « Arc. tg. р 4- С. 1 + рр	oil
I
Но х —	, следовательно р zzrJZ j
чего ради, ежели мы ciro величину поста-вимъ на мЪсто р въ ирежнемъ уравненш, то оно приметь слЪдующш видъ: *
( 365 )
У = /ах — хх — a Arc. tg. / 4" С, или, по причин* что tg. /	= eos. I/7,
будетъ____________
у —/ах — хх — a Arc. cos./~ + С. ОпредЪлимъ С такъ, чтобы было у — О, когда хО, будешь
.С — a Arc. cos. О° — *, слФдовашелгно
у гг /ах — хх -J- «	— Arc. cos. / у V
то есть
у = /ах — хх	a Are. sin. / ~
уравнение Циклоиды (§ ю5).
Вопросъ ю.
S- 164.
Найти кривую люаю , коей бы радгусЪ кривизны былЪ постоянной величины,
Р * Ш Е Н I Е.
По ycAoiiio вопроса будемъ им*шь
R = — Т--— = a (S 5з) , aq) toJ> ср	' v /7
откуда получимъ dx = —ady cos. у, чего икшегралъ ж — в — a sin. у , или с — ж —
( 366 )
a sin» tp. Положим*» с — л — v, и поелику
У и  dy	х
ЛИ. z=T	(§	7,),
J 1 dx* +
будет» v ~	. Взявъ квадраты имЪ-
aedv*
смъ
w ~ --------— изъ чего., но причин^
dx ——do, произойдешь vdv
рХ ~	—г ,
V аа — ve
что
и по Ьзяппи ингпеграловъ у ~ Ъ	аа—vv,
то есть
 7 = 4-Ипа — (с — л)’, уравнение круга (Отд’Бл. III. <$. Зо).
В О ПР О СЪ II.
i65.
*
ЛзявЪ на осн абсциссЪ точку О вЬ данном!} omb начала абсциссЬ разстоятк АО — а, найти кривую лигою AY таковую, что, провеял нзЪ какой ни есть точки ея Y прямую YO, плошрдъ AOY, содержащаяся между дугою AY и прямыми 40 и ХО, была бы. равна площади треугольника, коего основан1е равно дугЪ AY и высота
постоянная ~ Ь.
Р Ъ in Е п I Е.
Пусть АХ “ х , XY ~ у, dy ~ pdx, и какъ площадь AOY составляется «з1*
( 367 )
треугольника XOY —
~XY . XX = -Ir(e —х)

Н п'ъ площади AXY, содержащейся между дугою AY и координатами АХ и XY, которая равна fydx (S i$3), то будешь площадь
AOY — fydx + ‘у (а — х)>
и поелику Духа
ay = jdxV I 4- рр (S 51)> то мы должны разрешишь cie уравнение: fydx + 1 у (а — х) — \ljdx I + рр. И шакъ взявъ дифференщалы, произойдешь ydx-\-\ady—\xdjr—\ydx-\bdx\/1	рр,
или по сокращен in будешь
ydx ady — xdy ~ bdx i 4“ pp-Ha мФсто dy поставим! pdx, и раздФдивъ чрезъ dx, получимъ:
у 4- ар — рх “ b [/1 4“ РР' Теперь взявъ вторично диффереящалы, по причин'Ь что dy = pdX , будешь
adp — xdp = —
V • +гл< ’
откуда получится	>
у 1 + рр
Ежели здЬсь опять возмушся дифференциалы, поставляя на мФсто dx , то произойдешь
dy — —
Ърдр
з*
(’ + рр}*
( 3G8 )
Теперь чтобы сыскать интегралъ, пусть I рр ~4i или 1 4" РР -^ЧЧ) будвпц,
dy — — ъ _
Г*= ч -
ъъ
Mq
н
ъ
1 + рр bt> r-r	~	-
или уу — ~ +-. ГГзъ сего уравпеыя получимъ
гг — уу
ir ?Р~~У.
откуда произойдешь
djp **"	 .
чего интегралъ
я ~ а — Уbb — jry
или у = УЬЬ — (а — х)’
уразпете круга (От^Ъл. III. § эд).
К О И t Р ъ.