В. А. Далингер
МАТЕМАТИКА:
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ
УРАВНЕНИЯ
И НЕРАВЕНСТВА
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СПО
2-е издание, исправленное и дополненное
Рекомендовано Учебно-методическим отделом
среднего профессионального образования в качестве
учебного пособия для студентов образовательных учреждений
среднего профессионального образования
Книга доступна в электронной библиотечной системе
biblio-online.ru
Москва-Юрайт-2019

УДК 51(075.32)
ББК 22.1я723
Д15
Автор:
Далингер Виктор Алексеевич — доктор педагогических наук, профессор,
заслуженный работник высшей школы Российской Федерации, академик РАЕ,
заведующий кафедрой математики и методики обучения математике
факультета математики, информатики, физики и технологии Омского государственного
педагогического университета.
Рецензенты:
Зубков А. Н. — профессор, доктор физико-математических наук, ведущий
научный сотрудник Института математики имени С. Л. Соболева Сибирского
отделения Российской академии наук;
Липатникова И. Г. — профессор, доктор педагогических наук, заведующая
кафедрой начального образования Свердловского областного педагогического
колледжа.
Далингер, В. А.
Д15 Математика: логарифмические уравнения и неравенства : учеб. пособие для
СПО / В. А. Далингер. — М.: Издательство Юрайт, 2019.— 2-е изд., испр. и доп. —
176 с. — (Серия : Профессиональное образование).
ISBN 978-5-534-05316-6
В учебном пособии рассмотрены основные типы логарифмических
уравнений, неравенств и их систем. Приведены теоретические положения, лежащие
в основе решения указанных типов уравнений, неравенств и их систем, и на
большом числе разнообразных примеров иллюстрируются методы их решения.
Соответствует актуальным требованиям Федерального государственного
образовательного стандарта среднего профессионального образования.
Для учащихся средних общеобразовательных школ, гимназий, лицеев,
средних специальных учебных заведений, абитуриентов, поступающих в
техникумы и вузы, учителей математики, студентов и преподавателей физико-
математических специальностей педагогических институтов и университетов.
Книга будет полезна всем, кто интересуется математикой.
УДК 51(075.32)
ББК22.1я723
y->J/^ Все права защищены. Никакая часть данной книги не может быть воспроизведена
I Ж^ в какой бы то ни было форме без письменного разрешения владельцев авторских прав.
Delphi Law Company Правовую поддержку издательства обеспечивает юридическая компания «Делъфи».
© Далингер В. Α., 2008
© Далингер В. Α., 2017, с изменениями
ISBN 978-5-534-05316-6 © ООО «Издательство Юрайт», 2019

Оглавление
Предисловие 5
Глава 1. Логарифмы и их свойства.
Логарифмическая функция. Преобразования
логарифмических выражений 6
1.1. Логарифмы и их свойства. Преобразования логарифмических
выражений 6
1.2. Логарифмическая функция и ее свойства 17
Задачи для самостоятельного решения 24
Глава 2. Логарифмические уравнения
и уравнения, содержащие неизвестное под знаком
логарифмической функции 28
2.1. Равносильные и неравносильные преобразования
логарифмических уравнений 28
2.2. Логарифмические уравнения 30
2.2.1. Решение логарифмических уравнений методом,
основанным на определении логарифма 31
2.2.2. Решение логарифмических уравнений вида
l°go/W = ^°Sas00 и уравнений, сводящихся к ним 33
2.2.3. Решение логарифмических уравнений вида
logo/Or) = \ogag(x) и уравнений, сводящихся к ним 34
2.2.4. Решение логарифмических уравнений вида
1ο8φ(χ)Λ*) = 1ο8φ(χ}£(*) и уравнений вида log/0c)(p(X) = loggW<p(x),
а также уравнений, сводящихся к ним 37
2.2.5. Решение логарифмических уравнений методом введения
новой неизвестной 41
2.3. Уравнения, содержащие неизвестное под знаком
логарифмической функции 42
Задачи для самостоятельного решения 77
Глава 3. Логарифмические неравенства
и неравенства, содержащие неизвестное под знаком
логарифмической функции 82
3.1. Основные утверждения, необходимые для решения различного
рода неравенств 82
3.2. Логарифмические неравенства 89
3.3. Неравенства, содержащие логарифмические выражения 99
Задачи для самостоятельного решения 123
3

Глава 4. Системы уравнений и неравенств, содержащих
неизвестное под знаком логарифмической функции 127
4.1. Общие сведения о системах уравнений 127
4.2. Системы уравнений, содержащих неизвестное под знаком
логарифмической функции 128
4.3. Системы неравенств, содержащих неизвестное под знаком
логарифмической функции 144
4.4. Смешанные системы логарифмических уравнений и неравенств 147
Задачи для самостоятельного решения 149
Глава 5. Типичные ошибки и недочеты, допускаемые
при решении логарифмических уравнений,
неравенств и их систем 153
Литература 173

Предисловие
Целью этого учебного пособия является оказание помощи учащимся
и абитуриентам в подготовке к выпускным и вступительным
экзаменам по математике, к ЕГЭ по математике.
Почти во всех высших и средних специальных учебных заведениях
на вступительных экзаменах предлагаются для решения
трансцендентные уравнения и неравенства — это те, в которых неизвестное входит
либо в показатель степени, либо под знак логарифма, либо под знак
тригонометрических функций. Этот же класс уравнений и неравенств
широко представлен и в билетах выпускных экзаменов за курс средней
общеобразовательной школы.
В данном учебном пособии подробно рассматриваются различные
методы решения логарифмических уравнений, неравенств и их систем;
приведен анализ типичных ошибок, которые допускаются учащимися
и абитуриентами при решении логарифмических уравнений и
неравенств.
Учебное пособие будет также полезно студентам и преподавателям
математических факультетов педагогических учебных заведений.
В результате изучения курса учащиеся должны освоить:
трудовые действия (владеть)
• приемы диагностики типичных ошибок, допускаемых учащимися
при решении логарифмических уравнений, неравенств и их систем;
• приемы решения поисково-исследовательских логарифмических
уравнений, неравенств и их систем;
необходимые умения (уметь)
• решать различного вида логарифмические уравнения и
неравенства;
• решать различного вида уравнения и неравенства, содержащие
неизвестное под знаком логарифмической функции;
• решать системы логарифмических уравнений и неравенств;
• решать системы уравнений и неравенств, содержащих
неизвестное под знаком логарифмической функции;
необходимые знания (знать)
• понятие логарифмической функции, ее график и свойства;
• понятие логарифмического уравнения и его виды;
• понятие логарифмического неравенства и его виды;
• равносильные и неравносильные преобразования
логарифмических уравнений и неравенств.
Автор искренне желает вам успеха!
5

Глава 1
ЛОГАРИФМЫ И ИХ СВОЙСТВА.
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ.
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ
ВЫРАЖЕНИЙ
1.1. Логарифмы и их свойства.
Преобразования логарифмических выражений
Определение 1.1. Логарифмом положительного числа Ъ по
основанию а (а > О, а Φ 1) называется показатель степени, в который нужно
возвести основание а, чтобы получить Ъ.
Десятичный логарифм — логарифм, основание которого равно 10.
Обозначение: log10x: = lgx.
Укажем свойства логарифмов.
1. logal = 0 для любого положительного и отличного от единицы
значения а.
2. logaa = 1, где а > О, а Φ 1.
3. а1о%аь =b — основное логарифмическое тождество.
4. loga(b · с) = loga|b| +loga|c|.
5. loga- = loga|b|-loga|c|.
с
6. \ogabP =ploga \b\. Если ρ нечетно, то формула принимает вид
logabP = =plogab.
1
7. logaPb = -logab.
Ρ
8. Iogab = logafcbfc(fc*0).
9. logafcb-=^logab.
10. loga b = —— формула перехода к новому основанию.
logca
Π· logabC = 1J1°g|a|C,M(ab>0).
l + log|a||b|
12. loga ρ ■ logb ρ + logb ρ ■ logc ρ + loga ρ ■ logc ρ = ^aPMbP\ogcP
l0gabcP
6

13. al°scb = biogca (α > 0, b > 0, с > 0, с * 1).
Замечание. Обращаем внимание читателя на тот факт, что
указанные формулы, как и другие, используются в двух видах: слева направо
и наоборот — справа налево.
Перейдем к решению задач.
ι
1.1. Вычислить 7loS5?.
Решение
Способ 1:
-J_ = _J_ = ^7l = log75; Τ*** = 5.
log5 7 1о&7 log77 Ъ7
log75
Способ 2:
log5 7 log5 7
loS55 = log75; 71ο8?5 = 5.
Ответ: 5.
1.2. Упростить выражение I6l0g4a+i°g2a -S10^0'2.
Решение
16log4a+log2a .5bg^2 = 16|lo*2«+I°g2a 561og02a = ffibg*a+log2a] _5_61og5д =
= 24'2log2 a. 5iog5 a-6 = 26iog2 a · a"6 = a6 · a~6 = a0 = 1.
Ответ: 1.
1.3. Упростить выражение —— — 2 ,- ^—.
log475-log2V3
Решение
Iog2l0 + log210 1og25-21og2 5 =
= log2l0-log25 + log2101og25-log25 =
= (log210 - log2 5) (log210+log2 5) + log2 5(log210 - log2 5) =
= lo§2—· dog210+log2 5) + log2 5 · log2 — =
= log210 + log25 + log25 = log210 + 21og25 = log2(2-5) + 21og25 = l + 31og25.
Окончательно имеем
log|10+log2101og25-21og|5_ l + 31og25 _ l + 31og25
log4 75-log2 л/3 log22 75-log2 7з 0,5log2 75-log2 7з
l + 31og25 _l + 31og25_l + 31og25_ 1 31og25_
log2^-log2V3 log2>/25 log25 log25 log25
= logs 2 + 3 = logs 250.
Ответ: log5250.
7

Vb.,__ ,_.,__ з
1.4. Вычислить значение выражения logab — + log г^ b + loga л/Ь, если
ι b 2
известно, что logb^ — = —.
(д. %j
Решение
Приведем все логарифмические выражения к одному и тому же
основанию, например к основанию α (заметим, что можно и к любому
другому основанию, например 2, 10 и т.д.):
Ιο ^
logab^ + log^b + loga^ = ^^+-^^=+loga^/b =
a va0 logaab loga Vab
= logaVb-logaa logab +lQga3fc =
logaa + logab llogaab
1 3
-logab-l 21 b х -logab-l a
= 2 + zl°Sap +-log b = -2 +-loe b·
l + logab l + logab 3 ga l + logab 3 ga '
1 -
W b= °Saa = lQg"b-lQg"a = ^gq^"1
^a loga Ьл/a loga b + loga Л logab + 0,5'
„ . b 2 logab-l 2
Так как по условию задачи log, /— = —, то —— = —, откуда нахо-
Wa a 5 logab + 0,5 5
дим значение выражения logab: 5logab - 5 = 21ogab + 2 · 0,5, 31ogab = 6,
logab = 2.
Окончательно получаем, что
log^+log^b+loga^ = ^+l2=|+|=|=2.
Ответ: 2.
1.5. Вычислить значение выражения log65(b - с) + log65(c2 + Ъ2 + 5),
если известно, что a - d = 13, ad = 5 и числа a, b, с, d, взятые в
указанном порядке, образуют геометрическую прогрессию.
Решение
1. Ввиду того что числа a, Ь, с, d образуют в указанном порядке
геометрическую прогрессию, на основании характеристического свойства
такой прогрессии можем записать следующие равенства: Ъ2 = ас, c2=bd,
ad = be.
2. Используя данные задачи и полученные в предыдущем пункте
соотношения, преобразуем логарифмическое выражение. Поскольку
ad = 5, то
log65(b - с) + log65(c2 + Ъ2 + 5) = log65(b - с) + log65(c2 + Ъ2 + ad).
8

Так как ad = be, то это выражение равно
log65(b - с) + log65(c2 + b2 + be) =
= log65[(b - с) (с2 + b2 + be)] = log65(b3 - с3).
3. Найдем значение выражения Ь3 - с3, используя условие задачи
и соотношения п. 1 решения: Ь3 - с3 = Ь2 · b - с3; так как Ь2 = ас, то это
выражение равно acb - с3 = c(ab - с2) = c(ab - bd) (так как с2 = bd).
Далее, с{аЪ - bd) =cb(a-d) = 13cb (поскольку α - d = 13); 13cb = 13ad =
= 13 ■ 5 = 65.
4. Окончательно получаем
log65(b - с) + log65(c2 + b2 + 5) = log65(b3 - c3) = log6565 = 1.
Ответ: 1.
1.6. Вычислить значение выражения
3log515log59-21og215-log29
Решение
31og5
log5 9-log515
15-log59-21og§15-
log59-log515
log§9_
3(log5 5 + log5 3) log5 9 - 2(log5 5+log5 3)2 - (2 log5 3)2
61og53(l
_61og53 + 61og|3-
= 2(log53-
log5|
, 9
l0g5i5"
+ log53)-2(l + log53)2-4logi3_
logsf
2-41og53-21ogi3-
log5|
l) = 2(log53-log55)
log5|
•41ogi3_21og53-2
log5|
21og5|
=—i=2'
logs-
Ответ: 2.
1.7. Вычислить значение выражения (2 - log345)(l - log545).
Решение
Преобразуем заданное выражение:
(2-log345)(l-log545) = [2-log3(9-5)][l-log5(9-5)] =
= [2-(log39-log35)][l-(log59 + log55)] =
= (2-2-log35)a-l-log59) =

1 1
= (- log3 5) · (- log5 9) = log3 5 · = log3 5
= log3 5·
log95
= 2^ = 2.
log32 5
Ilog35 ~1ο&5
Ответ: 2.
1.8. Вычислить 101og3(5 + 2V6) + log3(V2 + V3) + 211og3(V3-V2).
Решение
Используем равенство (л/2 + л/3)2=5 + 2л/6. Имеем:
10log3(5 + 2V6) + log3(V2 + V3) + 211og3(V3-V2) =
= 10log3(V3 + V2)2+log3(V2+V3) + 211og3(V3-V2) =
= 201og3(V3 + V2) + log(V2 + V3) + 211og3(V3-V2) =
= 211og3(V3 + V2) + 211og3(^
= 211og3(3-2) = 211og3l = 21-0 = 0.
Ответ: 0.
1.9. Вычислить 15logx(x - 1), если χ3 - 4χ2 + 3χ = 1.
Решение
Из равенства χ3 - 4χ2 + 3χ = 1 следует χ3 - 3χ2 + 3χ - 1 = χ2, откуда
2
(χ - Ι)3 = χ2. Имеем χ -1 = хз. Теперь
15ΐ(^χ(χ-1) = 151(^*3 =15 —= 10.
Ответ: 10.
1.10. Вычислить log3.
xy*
^-г- , считая, что это число определено
и α = logyx, b = log^x.
Решение
Прих = 1, т.е. α = b = 0, имеем log^Cys)2 = 3logy^(y^)2 = 61ogy^ yz = 6.
При χ ^ 1, т.е. α ^ 0, b Φ 0, имеем:
, О? 1о?
/ Л2
'У2)
χ3) _2(\ogxy + \ogxz-\ogxx3)
logx^
^ χ (logx * + log* у + logx z)
' 1 +^--зЛ
logyx logzx
j
24-3
\a b
\
1 1
1 + Ί + :
- 1 + - +
V
logyx log2x
a b
b+a-3ab
ab
ab + b + a
ab
, b + a-3ab
= 6 ; — приа^О.
a+b + ab
^ г г. л r b + a-3ab _ , _
Ответ: 6 при а = Ъ = 0; о при а ^ 0, Ь Φ 0.
а + Ь + ао
ю

1.11. Вычислить (0,0081)1о^027°'5^.
Решение
Преобразуем данное выражение:
3 4 ^
(0,0081)1о^о270,5.7о^=[(о^з)4]Чо,з)30'52 =о,3з1о^3°'52 = 0,31о^о,52 =025
Ответ: 0,25.
Заметим, то здесь мы использовали основное логарифмическое
тождество а1о^ь =ъ.
1.12. Вычислить log410 · lg0,5.
Решение
logcb#
Используем формулу перехода к новому основанию loga Ъ =
log410-lgOJ5 = ^^lgO,5 = Ti-lgl = -^lg2-i =
logi04 lg4 2 lg22
1 (-l)lg2 = -^ = -0,5.
logca'
21g2 2
Ответ: -0,5.
1.13. Выразить log35 через α и с, если известно, что log62 = a, log65 = с.
Решение
log 5 = bg65_log65_ log65 _ log65 _ с
log63 j 6 log66-log62 l-log62 1-a'
Ответ:
1-a
1.14. Выразить log§ 4 - log2 25 через α и b, если известно, что log32 = a
и log35 = b.
Решение
log3 5 _
log3 2
log§ 4-log2 25 = (21og3 2)2 - 21og2 5 = 4log§ 2-2-
л 2 0 b 4a3-2b
= 4α2-2·- = .
a a
4a3-2b
Ответ: .
a
1.15. Вычислить logx5 (x4 + x3 -l)18, если χ — положительный корень
уравнения χ11 + χ7 + χ3 = 1.
Решение
По условию задачи число 1 можно представить в виде выражения
х11 +х7 + х3. Выполняя эту замену, получим:
log^s (х4 + х3 -1)18 = log^s [х4 + х3 - (х11 + х7 + х3) ]18 =
= \ogx5(ix4-x7-x11)ls=\ogx5[x4a-x3-x7)f8.
11

Выполняя ту же самую подстановку, будем иметь:
\ogx5[x4a-x3-x7)]18 = log^tx^x11 + х7 + х3 -х3 -х7)]18 =
= log, (х4 · χ11)18 = logr5 х15'18 = ——log* x = 54.
χ χ 5
Ответ: 54.
1.16. Вычислить log^Cx4 - 8x + 2), если χ9 - 2x5 + 4x - 1 = 0.
Решение
Из равенства χ9 - 2х5 + 4х - 1 = 0 следует -х + 1 = х9 - 2х5, откуда
-8х + 2 = 2х9 - 4х5.
Имеем:
log* (х4 - 8х + 2) = log* (χ4 + 2х9 - 4х5) =
= log* [χ4 (1 + 2х5 - 4х) ] = 4 + log* (1 + 2х5 - 4х).
Снова используем заданное равенство х9 - 2х5 + 4х - 1 = 0. Теперь
log^x4 - 8х + 2) = 4 + log*(l + 2х5 - 4х) = 4 + log*x9 = 4 + 9 = 13.
Ответ: 13.
1.17. Найти logab, если известно, что log22 (ab2) = 4.
Решение
Первый способ. Из равенства log22 (ab2) = 4 следует, что либо log 2b(ab2) =
= 2, либо log 2 (аЪ2) = -2. Рассмотрим каждую из получившихся
возможностей отдельно.
1. log 2b(ab2) = 2. В этом случае получаем, что {а2Ъ)2 = ab2, т.е. а4Ъ2 =
= аЪ2, но поскольку b > 0 (у нас есть выражение logab), то а4 = а, откуда
следует, что либо a = 0, либо a = 1. Такие значения α нас не устраивают,
так как тогда выражение logab не определено.
2. log 2 (ab2) = -2. В этом случае получаем, что (а2ЪУ2 = аЪ2 и,
значит, а5Ъ4 = 1, т.е. a = £/—. Выполняя соответствующую подстановку,
V Ь4
находим:
loga Ь = log гу Ь = log 4 b = --logb b = -1,25.
5— h^ 4
Второй способ. Обозначим logab через х, тогда из равенства logab = χ
по определению логарифма следует, что ах = Ъ.
Выполняя подстановку в равенство log22 (ab2) = 4 и проводя
преобразования, получим:
log22aX Ыа*П = 4; log22+x (a■ a2-) = 4;
logV, a*»i = 4; i^loga aT = 4; f^±lf = 4.
'a*
2 + x "u J У2 + Х
12

2x +1 2x +1
Решая получившееся уравнение, находим = 2 или = -2.
2х +1 2+х 2+х
Если = 2, 2χ + 1 = 4 + 2х, 0-х = Зи, следовательно, в этом случае
2 + х
корней нет.
2г + 1
Если = -2, 2х + 1 = 4 - 2х, 4х = -5, χ = -1,25.
2 + х
В итоге получаем, что искомое значение logab равно -1,25.
Ответ: -1,25.
1.18. Считая, что logba = 3, найти значение выражения logf,- Ъ + log^ a.
Решение
Первый способ. Преобразуем заданное выражение:
log2- Ъ + log^ a = log2i Ъ + log λ α = (3loga b)2 + 3logb a =
a3 b3
Г ι f
= 9(logab)2+3logba = 9 + 3logba =
UogbaJ
+ 31ogba.
log^a
Поскольку по условию задачи logba = 3, значение выражения log^r b +
να
9
+log3^ α равно значению выражения — + 3-3, т.е. 10.
Второй способ. По определению логарифма из равенства logba = 3
следует, что Ъ3 = а. Выполняя соответствующую подстановку в заданное
выражение и проводя преобразования, получим:
log2- b + log^a = log^b + 3-3-logbb = l2 +9 = 10.
Ответ: 10.
1.19. Найти значение выражения [(9 —log§ 5)log135 3 + log3 5]-lllogn19.
Решение
Пусть log35 = α. Тогда
logi353 =
log3135 log3(5-27) 3 + log35 3 + a
Кроме того lllosii19 =19. Теперь исходное выражение примет вид
ί(9-α2)^^ + α|·19 = (3-α + α)·19 = 57.
I 3 + a J
Ответ: 57.
1.20. Чему равно значение выражения 7^log73 -3vlog§7 -2?
Решение
Первый способ. Покажем, что 7^log7 3 = 3 уlog3 7. Прологарифмиру
равенство по основанию 3: ^/log7 3 log3 7 = ^log§ 7.
ем это
13

Возведем обе части равенства в куб:
log731og|7 = log§7;
log73 1og37log27 = log27;
log73—^-log§7 = log§7;
log73
log2 7 = log2 7.
Раз выражения 7^log73 и 3vlog3? равны, то значение исходного
выражения равно 0 - 2 = -2.
Второй способ. Используя основное логарифмическое тождество,
исходное выражение запишем так:
3log3 7^1og7 3 _ 3^°g§ 7 _ 2 _ ^ψ°4 7Λ°Ζ7 3 _ з^1о8§ 7 - 2 =
Ответ: -2.
1.21. Какое из чисел больше: 2>^з ИЛИ 3>gs2?
Решение
Прологарифмируем оба выражения по основанию 3:
log3 2^ = Vbg^3 · log3 2 = ^Щ- = -1±=.
log23 VloS2 3
log3 3^2 = Tbg^. logs 3 = ~Л=.
л/1о§2 З
Получили равные выражения, а значит, исходные числа равны.
Ответ: числа равны.
ι— -1ойз 1+- +-1ояя 2
1.22. Что болыне:л/11 или 92 У 9) 2 ?
Решение
Преобразуем второе число:
ι —
^HH^J 9^]°839.9flog82=3lo< JL^.s^
v y 9 3
Поскольку vll < — (так как 11 < ), то второе число больше первого.
-1ояз 1+- +-logQ 2
Ответ: 92 I 9) 2
1.23. Без таблиц определить, что больше: log2080 или log80640.
Решение
Максимально упростим заданные логарифмы и приведем их к
одному основанию:
14

log2080 = l + 21og202 = l +
log80640 = l + 31og802 = l +
log220'
3
log280'
2 3
Остается сравнить числа и . Но log220 > 0; log280 > 0, а
log220 log280
21og280 = log26400 < 31og220 = log28000.
2 3
Поэтому — < —, т.е. log2080 < log80640.
log2 20 log2 80
Ответ: log80640.
1.24. He пользуясь таблицами, доказать, что log37 > log727.
Решение
3
Так как log7 27 = 31og7 3 = и log3 7 > 0, то достаточно доказать,
log3 7
что log§ 7 > 3, или log3 7 > 7з, или 7 > 3 А
Попробуем подобрать удобное приближение для иррационального
показателя степени. Именно, используя тот факт, что ν3<1,75 = —,
7_
сравним 7 и 34, т.е. 74 и З7. Из неравенства 74 = 2401 > З7 = 2187 следует
7_
7 > 34 > 3А а поэтому log37 > log727.
1.25. Без таблиц определить, что больше: log57 или log1317.
Решение
Приведение к одному основанию ничего хорошего, очевидно,
не дает. Однако этот пример решается проще двух предыдущих.
Заметим, что 1 < log57 < 2, 1 < log1317 < 2. Сравним тогда числа
7 17
log57-l = log5 7-log55 = log5-Hlog1317-l = log1317-log1313 = log13—.
7 7 17
Так KaKlog5 — > log13 — > log13 — (объясните, почему), то log57 > log1317.
Ответ: log57.
1.26. Доказать, не пользуясь таблицами, что log23 > log35.
Решение
Непосредственно применить метод, использованный в
предыдущих примерах, не удается (убедитесь в этом). Поэтому поступим так:
27 25 27 27 25
log23 = log827; log35 = log925, a — > —. Далее, log8 — > log9 — > log9 —,
о У о о У
или log8 27 -1 > log9 25-1, откуда log23 > log35.
( log100oa log10oobVlog-b(2a+3b)
1.27. Упростить выражение [b 1%а ·a l%b
Решение
Параметры должны удовлетворять условиям а > 0; а Ф 1; Ъ > 0; Ъ Φ 1
иаЬф! (объясните, почему).
15

Slogioopa 31ogiooob lga lgb
Имеем b l%a · α *sb = b1^ · α1^ = ab, поэтому N = (аЬ)1о^ь(2а+зь)
2а + ЗЬ.
Ответ: 2а + ЗЬ.
1.28. Упростить выражение
Ν =
log^b + 1
21ogab
-1
ι
^2 (
+
log^b + 1
21ogab
+ 1
V21oga2b.
Решение
Параметры должны удовлетворять условиям а>0; аФ1;Ъ>0;Ъ Φΐ
ι
(объясните, почему); кроме того, для существования log2b должно
быть loga b > 0. Поэтому окончательно имеем а > 1 и b > 1 или 0 < a < 1
и 0 < b < 1. Далее:
АГ =
ι ι
flo^b + l Л2 (\оя?пЪ + 1 Л2
1о&
21ogab
-1
+
J
21ogab
+ 1
J
V21ogab=|logab-l| + (logab + l) =
f21ogab,ecflH b>a>l или 0<b<a<l,
[2, еслиа>Ь>1 или0<а<Ь<1.
1.29. При каких значениях параметра а выражение
(l-\X\yog5a-\x\)-\a-l\
больше выражения ο,24~α2~1ο225(ΐ+*2-2|χ|) При всех допустимых
значениях х?
Решение
Первый способ. 1. Для сравнения двух степеней приведем их к
основанию 5. Так как 1 - |х| стоит под знаком логарифма, то |х| < 1. Значит,
log25(l+x2-2|jc|)=log25(l-|jc|)2 = log5(l-|jc|).
Отсюда o,24"a2-loS25(i+*2-2M) = 5iog5(H*l)+a2-4#
Преобразуем второе выражение:
(1 - \х\ )log5(l-kl)-|a-l| = (5log5a-kl))log5a-kl)-|a-l| = 5log5(l-kl)log5a-kl)-|a-l|e
2. Пусть t = log5(l - \х\). Эта функция четная, ее наибольшее
значение достигается при χ = 0 и равно нулю. При приближении \х\ к
единице эта переменная по свойствам логарифма с основанием 5
стремится к (-©о). По непрерывности получаем, что множество значений
функции t = log5(l - \х\) есть промежуток (-<*>; 0].
Относительно t получаем неравенство t(t- \ а - 11) > t + а2 - 4, t < 0,
или
t2-(|a-l| + l)t + 4-a2>0,t<0.
16

3. Абсцисса вершины этой параболы положительна, ветви
направлены вверх. Значит, это неравенство верно при всех положительных t
в том и только в том случае, когда свободный член 4 - а2 положителен.
Следовательно, а2 < 4, откуда -2 < а < 2.
Второй способ. Неравенство должно выполняться при всех
допустимых х. Легко заметить, что χ = 0 допустимо. При χ = 0 значение
первого выражения равно единице, а значение второго выражения равно
0,24-а2, поэтому должно выполняться 0,24-а2 <1. Отсюда находим
необходимое условие | α | < 2.
Докажем теперь, что при этих а и при всех допустимых χ первое
выражение больше второго.
Так как 0 < 1 - \х\ < 1, log5(l - |х|) <0, -\а- 1| <0, то первое
выражение больше или равно единице.
Так как 4 - а2 > 0, -log25(l + х2 - 2 |х|) > 0 и 0 < 0,2 < 1, то второе
выражение строго меньше единицы.
Отсюда следует, что при а, таких что \а\ < 2, и всех допустимых χ
выполняется неравенство (1-1 χ | )iog5a-M)-|a-i| > o,24-a2-loS25(i+*2-2|*|).
Ответ: (-2; 2).
3 + 2х2 5 + 4х2
1.30. При каких значениях а сумма loga — и loga — будет
1 + х2 1 + х2
больше единицы при всех х?
Решение
л 3 + 2х2 л 5 + 4х2 л (п 1 ^ - {л \ \
1 + х2 "u 1 + x
= loga
1 + х2
Обозначим = t; 0 < t < 1 при всех х. Так что нужно найти а, та-
1 + х2
кое что loga(2 + t)(4 + t) > 1 Vt ε (0; 1], т.е. loga(t2 + 6t + 8) > 1.
а) Если 0 < a < 1, то t2 + 6t + 8 < α, или t2 + 6t + (8 - a) < 0, должно
быть верно при t ε (0; 1]. у = t2 + 6t + (8 - a) — парабола с вершиной
—fi
в точке tn = — = -3.
0 2
TaK4T0t2 + 6t+ (8 - α) < 0 при всех t ε (0; 1],если12 + 1 ·6+(8-α)<0,
т.е. 15 - а < 0, но а е (0; 1], так что таких а нет.
б) Если а > 1, тогда t2 + 6t + 8 > α, Ι2 + 1 · 6 + (8 - α) > 0 при всех
t ε (0; 1]. Это верно, если О2 + 0 · 6 + (8 - а) > 0; 8 - а > 0, а < 8. Так что
1<α<8, α ε (1; 8].
Ответ: (1; 8].
1.2. Логарифмическая функция и ее свойства
Определение 1.2. Логарифмической функцией называется функция
вида у = logax, где а > 0, а Ф 1.
17

Укажем свойства логарифмической функции.
1. Областью определения логарифмической функции является
промежуток χ ε (0; +оо).
2. Множеством значений логарифмической функции является
промежуток у Ε (-οο; +оо).
3. При а > 1 логарифмическая функция возрастает.
4. При 0 < а < 1 логарифмическая функция убывает.
5. Если а > 1, то график логарифмической функции выпуклый, т.е.
имеет место неравенство —^—- < loga — -, где 0 < хг < х2.
6. Если 0 < а < 1, то график логарифмической функции вогнутый,
l0ga *1 + loga *2 . ι_ *1 + *2
т.е
>l0ga
-, где 0 < χλ < х2.
2 ~и 2
7. Характеристическое свойство. Значение логарифмической
функции от произведения двух положительных чисел равно сумме значений
функции от каждого из чисел: loga(x1x2) = log^i + log^·
8. Графики логарифмической функции представлены на рис. 1.1.
y = logb,a>l
y = \ogb,0<a<l
б
Рис hi
Перейдем к решению задач.
1.31. Найти наименьшее значение функции g(x) = logx (9-х2).
з
Решение
D(log! £) = (0;+«0, поэтому 9 - х2 > 0, откуда -3 < χ < 3. Функция
з
t = 9 - χ2 при -3 < χ < 0 возрастает, при 0 < χ < 3 убывает, в точке χ = 0
принимает наибольшее значение. Так как — < 1, то при -3 < χ < 0 функ-
ция у = logx t убывает, при 0 < χ < 3 функция у = logx t возрастает и при-
з ^ з
нимает наименьшее значение в точке χ = 0:
y(0) = logi(9-02) = logl9 = -2.
3 3
Ответ: -2.
18

1.32. Найти количество целых чисел, принадлежащих множеству
„ , г, . ^Ί sinx + cosx + 3v2
значении функции j\x) =16log λ т= .
16 ^2
Решение
Так как sinx + cosx = v2sin x + — L то множество значений этой
суммы есть отрезок [-v2; v2]. Значит, множество значений числителя
дроби — это отрезок [2v2; 4V2], а для всей дроби — это отрезок [2; 4].
Так как функция у - log г χ является монотонно убывающей и непре-
16
рывной, то множество значений данной функции — это отрезок
[161og! 4;161og1 2]. Вычислив значения логарифмов, получаем, что
16 16
множеством значений функции Дх) является отрезок [-8; -4]. Этому
отрезку принадлежит ровно пять целых чисел: -8; -7; -6; -5; -4.
Ответ: 5.
1.33. Найти сумму целых значений функции у = log2(128 - 124 х
χ 2-М).
Решение
Для χ > 0 (этого условия достаточно для рассмотрения) имеем
( Т24^\
у = log2Q28-124.2-*) = log2 128- ^ ]
2* )
Имеем у (0) = log2(128 - 124) = log24 = 2.
124
При χ —> +оо выражение 128 стремится к 128, a log2128 = 7.
2*
Тогда 2 < у < 7. Целыми значениями функции являются числа 2, 3, 4,
5, 6, а их сумма равна 20.
Ответ: 20.
( 7χ+4λ
1.34. Из области определения функции у - log7 \аа - а х+4 J взяли все
целые положительные числа и сложили их. Найти все положительные
значения а, при которых такая сумма больше 7, но меньше 11.
Решение
Найдем область определения функции, для чего потребуем
7х+4 7х+4
аа-а *+4 > 0, откуда аа>а *+4 .
Возможны два случая: 0<а<1иа>1.
а) Рассмотрим первый случай: 0 < а < 1.
7х+4
Из неравенства αα>α*+4 с учетом того, что 0 < α < 1, следует
7χ + 4 (7 — q)x + 4 — 4g 4g — 4
α< , откуда >0. Корень числителя хг = <0.
х+4 х+4 7-а
Корень знаменателя х2 = -4. Легко убедиться в том, что х2<хх.
Из рис. 1.2 ясно, что в область определения входят все натуральные
числа, поэтому их сумма больше 11.
19

-4
4α-4
7-а
Рис. 7.2
Это значит, что значения а, принадлежащие интервалу (0; 1),
не удовлетворяют требованию задачи.
7х + 4
7х+4
б) Пусть α > 1. Тогда из неравенства аа >а *+4 следует а>
(7-α)χ + 4-4α _
откуда < 0.
х + 4
Корень числителя χλ = . Корень знаменателя х2 = -4.
Определим, при каких α выполняется неравенство < -4:
х + 4 '
4α-4 + 28-4α _ 1
< 0, < 0,
7-а 7-а
откуда а>7.
В этом случае применяем метод интервалов для решения неравенства
(7-α)χ + 4-4α
х + 4
<0.
В область определения функции (рис. 1.3) попадут все натуральные
числа, сумма которых не является ограниченной.
Рис. 7.3
Следовательно, α > 7 не удовлетворяют требованию задачи.
4
Пусть α = 7. В этом случае неравенство принимает вид < 0. Его
решениями служат χ < -4.
Рассмотрим следующий случай: -4 <
4(а-1)
7-а
Вновь применим метод интервалов (рис. 1.4).
Рис. 1.4
х + 4
20

Таким образом, область определения функции — интервал
I ' 7-а )
Чтобы а удовлетворяло требованию задачи, должны выполняться
два условия:
1) интервал должен содержать натуральные числа, сумма которых
больше 7.
2) сумма натуральных чисел, входящих в область определения
функции, должна быть меньше 11.
Из этих условий следует, что интервал должен содержать числа 1, 2,
3, 4, но не содержать число 5. Следовательно, искомые а должны
удовлетворять неравенствам системы (напомним, что 1 < а < 7):
4<
5>
Решаем первое неравенство: 4<
4(а-1)
7-а '
4(а-1)
7-а
4(а-1)
7-а
, 28 - 4а < 4а - 4, 32 < 8а,
а>4.
Решаем второе неравенство: 5>— , 4а - 4 < 35 - 5а, 9а < 39а,
а<—.
3
7-а
Найдем пересечение полученных решений (рис. 1.5).
Рис. 1.5
Ответ: а<
(л 13^
4; —
3
1.35. Найти все значения а, при которых область определения
функции у = (ах+0'5+л/х-а3-х°'5+;с1о^а-а3'5)0'5 содержит ровно одно целое
число.
Решение
1. Преобразуем выражение, стоящее в основании степени с
показателем 0,5:
у - а*+0,5 + ^. а3 _ x0,5+xlogx а _ а3,5 _
= ах4а + 4х · а3 - 4х -ах -а?4а = (ах - аъ){4а - Vx).
21

В степень с показателем 0,5 можно возводить только
неотрицательные числа. Значит,
(a*-a3)(Va-Vx)>0<^>
2. Пусть а = 1. Тогда ах - а3 = 0, и поэтому все неотрицательные
числа будут решениями неравенства (ах - a3)(Ja - vx) > 0, т.е. неверно,
что область определения D(y) содержит ровно одно целое число.
3. Пусть 0 < а < 1. Так как показательная функция с основанием а
убывает, а степенная функция ζ = 4х возрастает, то или \ ' или
[х<а,
Гх>3,
Значит, D(y) = (0; a] u [3; +<*>). Поэтому 4, 5, 6 входят в D(y), т.е.
[х>а.
такие а не удовлетворяют условию.
4. Пусть а > 1. Так как показательная функция с основанием а воз-
г \х-3> \х-3>
растает и степенная функция z = ^Jx возрастает, то или < или <
[χ < α, [х > а.
Значит, D(y) есть отрезок, один из концов которого равен 3, а другой
равен а.
5. Если а > 4, то отрезок [3; а] содержит не менее двух целых чисел
(например, 3 и 4). Если а < 2, то отрезок [а; 3] также содержит не менее
двух целых чисел (например, 2 и 3). Значит, такие а не удовлетворяют
условию. Если же 2 < а < 4, то каждый из отрезков [а; 3] и [3; а]
содержит ровно одно целое число 3.
Ответ: (2; 4).
1.36. Найти все такие положительные значения параметра а, что
функция у = ах2 - \пх убывает на интервале (0; 5).
Решение
1
Найдем производную заданной функции: у' = 2ах—. Так как функ-
х
ция должна быть убывающей, то потребуем от производной, чтобы она
была отрицательна. Имеем 2ах — <0. Так как χ ε (0; 5), то 2ах2 < 1,
χ
а учитывая положительные значения параметра а (условие задачи),
9 1 11
имеемχζ < —, откуда —-^= <х<
2а V2a V2a
Согласно условию задачи достаточно рассмотреть промежуток
( 1 Ϊ
V2a
22

Возможны три случая:
а) -η= = 5, тогда мы получим, что интервал (0; 5) принадлежит про-
л/2а
( ι ^
межутку
1
0;
ν
л/2а
и нас такое значение параметра α удовлетворяет;
/
б) -η= > 5, тогда интервал (0; 5) содержится в промежутке
0;-
ν2α V v2a
и нас такие значение параметра удовлетворяют;
1 ( 1 λ
в) —ι^< 5, тогда промежуток 0; /— не содержит интервал (0; 5),
л/2а V ν 2α у
что противоречит условию задачи, а значит, нас такие значения
параметра не удовлетворяют.
η 111
Итак, имеем -η= > 5, откуда ν2α < —, 2а < —, а < —.
у]2а 5 25 50
Ответ: 0<а<—.
50
1.37. При каком значении а функция у = alnx + χ2 - χ имеет
экстремум в точке χ = 1?
Решение
Функция у = а\пх + х2 - χ определена и дифференцируема при всех
χ > 0. Необходимое условие экстремума дифференцируемой функции
в некоторой точке есть равенство нулю ее производной в этой точке.
Имеем у' = — + 2х2 -1 = 0. Прих= 1 находима + 2-1 = 0, откудаа = -1.
χ
Ответ: а = -1.
5х
1.38. Построить график функции у =Jlog2 sin2 —.
Решение
Проанализируем решение этой задачи. Найдем область определения
данной функции:
5х 5х
1) оценим значения sin2 —, будем иметь 0 < sin2 — < 1;
2) число 0 не входит в область определения функции, так как под
знаком логарифма должно быть число положительное;
3) числа, принадлежащие промежутку (0; 1), не входят в область
определения функции, так как при этих числах значения функции у = log^c
отрицательны, а логарифм стоит под знаком корня четной степени;
5х
4) в область определения функции входят числа, при которых sin2 —
5х π п 7 7 _ 5х π η 7 7 _
равен единице, т.е. числа — = — + 2πκ,kg Z, и = — + 2πκ,kg Z.
π 4кк Ί _ π 4пк Ί _ _
Итак, имеем х = — + ,kgZ, и х = — + ,kgZ. В этих точках
5 5 5 5
\ ~ 5^
значения фикции у =Jlog2 sin2 — равны нулю.
23

Таком образом, графиком заданной функции будет дискретное
множество точек на оси Ох (предлагаем читателю самостоятельно
построить график).
1.39. Доказать, что при любом натуральном η > 1 выполнено
\ogn(ri + l)>\ogn+1(ri + 2).
Решение
. п + 1 л 1 п + 2 л 1 _
Очевидно, что = 1 + — > = 1 + . Поэтому, используя свои-
п η п+1 п+1
ства логарифмической функции, имеем (при π > 1)
Ί п+1 Ί п+1 Ί π+2
log* > log„+1 > logn+1 ——.
π π п + 1
Преобразуя левую и правую части, сразу получаем, что
\ogn(n + l)>\ogn+1(n + 2).
Отсюда, например, следует, что
log23 > log34 > ... > logfc+1(fc + 2).
Задачи для самостоятельного решения
1.1. Определить, какие знаки имеют числа:
(I \ fio ^
a) loglf7l -(l-log73) I; б) log0j3l y(log25-l)
1.2. Расположить числа в порядке их возрастания:
a) log23; log60,3; log425; б) log32; log57; log037.
1.3. Расположить числа в порядке их убывания:
a) log030,7; log70,3; log050,3; б) log,, V2; log012; log045.
1.4. Упростить выражения:
a) Г1оц+1о^1 oge9.
^log75 log26J
6) Ц log23· (log3 2-1);
10i-ig2_25logV35
3
в) ^-fy + to^g+^-lc8,2-Qog29-4).
273 2log34+2loS8 0,5 4
1.5. Упростить выражения:
a) -(2al°S2b +3blog^);
24

lga
1+
6){1 + 2ЪЛ-а l0^a2J -31og32.1og43.1og54-log65.1og76.1og87;
3
в) 7loga b + logb a + 2 · logab a · log I b.
1.6. Вычислить значения выражений:
l)|log627-|log6125 + logl0,l;
б
2)log2(log^9log^2);
3) logVg7-log75-log7(2 + 16log4^);
4) log3 Vlog5 4 + log9 log64 5;
5) 21о£з5-51о8з2-
6)
fiYogj_8
_ 27
log2 5
7) 2loS5 2_5log25.
log3 37
8)
-log3 7;
log2137
9) 27log8l(:log236+log0>59)·
log1230
10)
logs 30
+ logi24;
11) -10logiooo64+io.i002lg9 lg3;
12) (2log215 + 3)logis 28 : log2128;
13) tog53.1ogil5-fl^^;
logs 5
14) 21og62 | 21og69 + 41og3616,
log46
logs 6
15)
flog5150 logs 30
log65 log305
( log36 log28
Л
log j_ 25;
16) ^161о8з4+36^26^
17) 2log3 5 · 53 lo83 0,5 . 4log9 25.
18) ^з57 + ^зб6125 + ^47-^^2 + 1;
f3log12225Yog3l2
^ 3logi25 J
1.7. Вычислить значения выражений:
, log4(V3->/5)2+log2(V3 + V5)
И ~^~ '
273 2log34+2log8°>5
б) log^(b\/a) + logba2 + loga jab; известно, что loga^ — = 2.
25

1.8. Вычислить log^ (χ5 + χ2 -1), если χ — положительный корень
уравнения х12 + χ7 + χ2 = 1.
1.9. Найти log^(Ь·ψα) +logba2 + logαvab, если известно, что
1.10. Выразить log524 через а и Ь, если известно, что log53 = a
и log52 = b.
1.11. Выразить log37 через α и Ь, если известно, что log127 = a
и log122 = b.
1.12. Найти loga(c2b), если известно, что log2b = logac2 и logaab =
logca
1.13. Вычислить:
а) (log7 2 + log2 7 + 2) (log7 2 - log14 2) · log2 7 - log7 2;
б) 74^210 + 12^25 + 5-^4^210 + 47^5^3.
(c2\
1.14. Найти logoh (cb), если log π — \ = 4.
1.15. Найти log^(b^) + logba2+loga Vab, если известно, что
1.16. Вычислить log632, если log122 = а.
1.17. Вычислить log30,18, если lg2 = a, lg3 = Ъ.
1.18. Вычислить log2524, если log615 = a, log1218 = Ъ.
1.19. Без помощи таблиц определить, что больше:
а) log23 и logi 5;
4
б) log45Hlogj—;
16 АЪ
в) log23 и log58?
1.20. Упростить числовое выражение
^log210-2Vlog25 +^/log280-4Viog^I.
1.21. При каких значениях параметра α выражение (1 - x2)iog4a-x2)-Va
больше выражения о^Б1-!^-10^1-*2 при всех допустимых значениях х?
1.22. При каких значениях параметра а выражение (i-2x)lo^d-2x)-2a
больше выражения o,53~^~log4(1+4X_2X+1) при всех допустимых
значениях х?
( 5χ+2λ
1.23. Из области определения функции у - log3 \аа -ах+2 J взяли все
целые числа и сложили их. Найти все положительные значения
параметра а, при которых такая сумма будет больше 9, но меньше 13.
1.24. Найти значения выражения log52a + log52,5, если log5a3 = 12.
26

1.25. Найти наибольшее значение х, при котором значение
выражения log2(x + I)2 + log2 \x + 11 равно 6.
1.26. Найти наименьшее значение х, при котором значение
выражения log0j5(l ~ *)4 + l°go,5 Iх ~ 11 равно числу (-10).
1.27. Доказать, что если a2 + b2 = 7ab, то lg = — (lga + lgb).
Указание, а2 + b2 + 2ab = 9ab.
1.28. Доказать, что если а и b катеты, ас — гипотенуза
прямоугольного треугольника, то logc+b a + logc_b a = 2 logc+b a ■ logc_b a.
Указание, с2 - Ъ2 = (с - Ъ){с + Ь) = а2; затем прологарифмировать
по основанию а.
1.29. Доказать, что если а,Ь, с — члены геометрической прогрессии
logaN-logbiV logaN
с положительными членами, то —— ——— = —^—.
logbN-logciV logcN
1.30. Доказать, что при любых положительных значениях а и N
1 1 1 1 -mi
имеет место равенство- + - + - + - = 101ogNa.
logaN loga2iV loga3iV loga4N
1.31. Доказать, что log, n an+1 = \ ogbfl.
Da l + nlogba

Глава 2
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
И УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ НЕИЗВЕСТНОЕ
ПОД ЗНАКОМ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
Определение 2.1. Логарифмическим уравнением называется
уравнение, в котором неизвестная находится только под знаком логарифма
или в основании логарифма (или и то и другое одновременно).
Уравнения log2(x2 + 1) + log2(x + 1) = 0, lgx + lg2(x + 1) = 4,
1°δχ2+2(* + 4) = 2, logx+54 = 1 являются логарифмическими.
Уравнения xlgx = 10, (χ + 5)^/log2(x + 5) + χ = 4, xloS2U+4) - 5
логарифмическими не являются. Их называют уравнениями, содержащими
неизвестное под знаком логарифмической функции.
2.1. Равносильные и неравносильные преобразования
логарифмических уравнений
При решении логарифмических уравнений, так же как и при
решении других типов уравнений, используются как равносильные, так
и неравносильные преобразования. Напомним, что к равносильным
преобразованиям относятся те, при выполнении которых множество
корней исходного уравнения не меняется. Неравносильными являются
те преобразования, при выполнении которых появляются посторонние
корни или происходит потеря корней. Приведем здесь основательную
фразу: «Не бойтесь приобрести посторонние корни, их всегда можно
отбросить путем проверки, бойтесь потерять корни, которые
восстановить уже нельзя».
Не вдаваясь в теорию вопроса, приведем краткие сведения о
равносильных и неравносильных преобразованиях.
К равносильным преобразованиям уравнений относятся следующие.
1. Уравнения Дх) = g(x) иДх) -g(x) = 0 равносильны.
2. Уравнения Дх) = g(x) и Дх) +А = g(x) + А равносильны для любого
числа А.
3. Уравнения Дх) = g(x) и Af(x) = Ag(x) равносильны для любого
числа Λ Φ 0.
4. Уравнения Дх) = g(x) и af№ = aisM равносильны для любого
фиксированного и не равного единице числа а.
28

5. Уравнение Дх) = g(x) равносильно уравнению Дх) = φ (χ),
если для любого фиксированного числа х0 справедливо равенство
φ(χ0) = g&o), т-е. функции φ(χ) и g(x) тождественно равны при всех
значениях аргумента χ из области определения уравнения.
6. Пусть η — натуральное число и на некотором множестве К
функции у =f{x) и у = g(x) неотрицательны. Тогда на этом множестве К
уравнения Дх) = g(x) и/п(х) = gn(x) равносильны.
7. Пусть фиксированное число а таково, что а>0иа^1, ина
некотором множестве К функции Дх) и g(x) положительны. Тогда на этом
множестве К уравнения Дх) = g(x) и log/Cx) = logag(x) равносильны.
В частности, если Ъ > О, то уравнения af№ = Ъ и Дх) = logab равносильны.
8. Пусть функция у = φ(χ) определена на множестве К и не
обращается в нуль ни в одной точке множества К. Тогда на этом множестве К
уравнения Дх) = g(x) иДх)(р(х) =g(x)(p(x) равносильны.
9. Равносильность логарифмического уравнения не нарушится,
если в нем выражение log^2*1, где η е Ν, χ Φ О, заменить выражением
2nloga|x|.
К неравносильным преобразованиям уравнений относятся
следующие.
1. Замена уравнения log/Cx) = logag(x) на уравнение Дх) = g(x)
может привести к появлению посторонних корней.
2. Посторонние корни могут появиться, если при решении уравнения
заменить функцию у = logjix) + logag(x) на функцию у = loga(f(x) · g(x)).
3. Посторонние корни могут появиться, если при решении уравне-
Дх)
ния заменить функцию у = \ogJ0c) - logag(x) на функцию у = loga .
4. Посторонние корни могут появиться, если при решении
уравнения заменить функцию у = 2nlogaf(x) на функцию у = loga(f(x))2?1, где
η — натуральное число.
5. Посторонние корни могут возникнуть, если при решении
уравнения заменить функцию у = loga(f(x) · g(x)) на функцию у = loga |Дх) | +
+ loga|g(x)|.
6. Посторонние корни могут появиться, если при решении уравнения
f(x)
заменить функцию у = loga ^—— на функцию у = loga | Дх) | - loga | g(x) |.
gW
7. Посторонние корни могут появиться, если при решении
уравнения заменить функцию у = aloSa/(*) на функцию у =Дх).
8. Потеря корней может произойти, если при решении уравнения
заменить функцию у = log/ 2п(х) на функцию у = 2nlogaf(x), где η —
натуральное число.
9. Потеря корней может произойти, если при решении уравнения
заменить функцию у = loga(f(x) · g(x)) на функцию у = log/Cx) + logag(x).
10. Потеря корней может произойти, если при решении уравнения
Дх)
заменить функцию у = loga на функцию у = log/Cx) + logag(x).
g00
29

II. Посторонние корни могут появиться, если при решении
уравнения заменить функцию у =f(x) на функцию у = α1ο&ι/(*).
Обращаем внимание читателей на тот факт, что посторонними
корнями могут оказаться и такие числа, которые принадлежат области
определения исходного уравнения, а поэтому нужна проверка путем
непосредственной подстановки найденных чисел в заданное
уравнение.
Укажем несколько общих соображений, которые могут помочь
при решении логарифмических уравнений.
I. При решении логарифмических уравнений в первую очередь надо
обратить внимание на основание логарифма. Если в уравнении
встречаются разные основания, то следует попытаться привести к одному
основанию.
П. Если в логарифмическом уравнении логарифмы приведены
к одному и тому же основанию, то надо пробовать выделить какое-то
выражение, входящее в уравнение, для того чтобы, обозначив это
выражение через другую переменную, можно было бы получить уравнение
относительно этой переменной, как правило, не содержащее
логарифмической функции.
III. Решение логарифмических уравнений сопровождается рядом
ограничений на входящую в них переменную и основание, а поэтому
обычно невозможно соблюсти равносильность при выполнении
преобразований. В результате различных преобразований возможно
расширение области определения исходного уравнения или снятие каких-то
ограничений, а это может привести к появлению посторонних корней.
Отсюда следует, что, получив в результате решения уравнения какой-то
набор чисел, среди которых находятся решения заданного уравнения,
надо выполнить проверку и выбрать те значения, которые являются
корнями данного уравнения. Если число не входит в область
определения исходного уравнения, то оно не является корнем этого уравнения.
Если же число принадлежит области определения заданного
уравнения, то это еще не означает, что оно является корнем этого уравнения,
нужно проверить это число непосредственной подстановкой в
исходное уравнение.
IV. Если исходное уравнение удалось представить в виде logJOc) =g(x),
то его корни можно искать из соотношения Дх) = ag№.
2.2. Логарифмические уравнения
Определение 2.2. Уравнение log^ = b, где а > О, α Φ 1, χ > О, Ъ е М,
называют простейшим логарифмическим уравнением.
Из свойств логарифмической функции следует, что при любом Ъ оно
имеет решение χ = аъ.
Логарифмическое уравнение logJOc) = b, где а > О, а Φ 1, f(x) > 0,
равносильно уравнению Дх) = аь.
30

Логарифмическое уравнение logf^a = b равносильно системе
а = (/(*))Ь,
а>0,
Дх)>0,
/С*)*1.
Логарифмическое уравнение logf(x)g(x) = φ (χ) равносильно системе
gU)>0,
Дх)>0,
/C*)*l.
При решении логарифмических уравнений наиболее
употребительны следующие методы:
1) решение уравнений, основанное на определении логарифма;
2) решение с помощью операции потенцирования;
3) применение основного логарифмического тождества;
4) использование операции логарифмирования;
5) введение нового неизвестного;
6) переход к логарифму по новому основанию.
При решении уравнений, в том числе и логарифмических, а также
уравнений, содержащих неизвестное под знаком логарифмической
функции, целесообразно использовать следующую теорему.
Теорема 2.1. Пусть задано уравнение f(g(x)) =f(h(x)) (1), где fit), g(x),
h(x) — некоторые функции. Если функция fit) монотонна, то уравнение
(1) на своей области определения равносильно уравнению g(x) = h(x).
2.2.1. Решение логарифмических уравнений методом,
основанным на определении логарифма
2.1. Решить уравнение logx log5 v5x = 0.
5
Решение
г- (Ιλ° г-
По определению логарифма имеем: log5 v5x = — , т.е. log5 v5x = 1,
откуда л/5х = 51. Следовательно, 5х = 25, χ = 5.
Проверка. При χ = 5 имеем
log! log5 V^5 = log! log5 5 = logi 1 = 0;
0 = 0 — верное числовое равенство. Следовательно, х = 5 — корень
исходного уравнения.
Ответ: 5.
31

2.2. Решить уравнение log2 1 + — = 3.
Решение
1 11
По определению логарифма имеем 1 + — = 23. Отсюда 1 + — = 8, — = 7,
χ хх
1
х-—.
7
Проверка убеждает нас в том, что число χ = — является корнем
исходного уравнения.
1
Ответ: —.
7
2.3. Решить уравнение log^.y 27 = 3.
Решение
Найдем область определения заданного уравнения:
ί*2-ι>ο,
|х2-1*1.
По определению логарифма имеем (х2 - I)3 = 27. Отсюда х2 -1 = у 27,
х2-1 = 3,х2 = 4,х1 = -2, х2 = 2.
Оба найденных значения удовлетворяют неравенствам системы (*).
Ответ: -2; 2.
2.4. Решить уравнение logx(x + 6) = 2.
Решение
Найдем область определения заданного уравнения, для чего решим
систему неравенств
х + 6>0,
х>0,
откуда χ е (0; 1) и (1; +°°).
По определению логарифма имеем х2 = χ + 6, откуда х2 - χ - 6 = 0,
Χ-ι — »Jj Хо ~ ^.
Число χ = 3 входит в область определения уравнения. Подстановка
его в исходное уравнение дает нам верное числовое равенство log39 = 2,
2 = 2. Следовательно, χ = 3 — корень заданного уравнения.
Число χ = -2 не входит в область определения исходного уравнения,
а значит, его корнем быть не может.
Ответ: 3.
2.5. Решить уравнение log3(3*- 8) = 2 -χ.
Решение
9
По определению логарифма имеем 3х- 8 = 32~х, т.е. 3х -8 = —. Вве-
3х
дем новую переменную t = 3х. Будем иметь t2 - 8t - 9 = 0, откуда tx = -1,
32

t2 = 9. Вернемся к прежней переменной х: имеем два уравнения 3х = -1,
3х = 9. Первое уравнение не имеет решений, ибо степень 3х не может
иметь отрицательных значений. Из второго уравнения имеем χ = 2.
Проверка: при χ = 2 имеем log3(9 - 8) = 2 - 2, log3l = 0; 0 = 0 —
верное равенство, а значит, χ = 2 — корень исходного уравнения.
Ответ: 2.
2.2.2. Решение логарифмических уравнений
вида log^Cx) = logag(x) и уравнений, сводящихся к ним
Решение логарифмических уравнений вида log^Cx) = logag(x)
основано на свойстве монотонности логарифмической функции. Для любой
монотонной функции φ(χ) из равенства (р(Ь) = φ (с) следует Ъ = с.
Указанное выше логарифмическое уравнение, в котором а > 0
и а Ф 0, равносильно системе
/(jc) = g(jc),
Дх)>0,
g(x)>0.
Перейдем к решению конкретных уравнений.
2.6. Решить уравнение log3(7 - 2х) = log3(x2 —Зле — 5).
Решение
Перейдем к уравнению 7 -2х = х2-Зх-5. Будем иметь х2 - χ - 12 = 0,
откуда х± = 4, х2 = -3.
Проверка: при χ = 4 имеем, что под знаком логарифма,
находящегося в левой части исходного уравнения, стоит отрицательное число,
так как 7 - 2 · 4 < 0. Это означает, что χ = 4 корнем заданного уравнения
не является.
При χ = -3 имеем log313 = log313 — верное числовое равенство.
Следовательно, χ = -3 — корень исходного уравнения.
Ответ: -3.
2.7. Решить уравнение lg8-lg(χ-5) = lg2-lgVx+7.
Решение
Область определения исходного уравнения задается системой нера-
Гх-5>0,
венств < откуда χ > 5.
[х + 7>0, У
Исходное уравнение можно представить в виде lg = lg-
х-5 Vx+7*
η 8 2
Прих> 5 данное уравнение равносильно уравнению = , , откуда
х-5 Vx+7
имеем 16(х + 7) = х2 - 10х + 25. Корнями этого квадратного уравнения
являются числа χ = -3 и χ = 29.
Число χ = -3 не входит в область определения заданного уравнения,
а значит, быть корнем этого уравнения не может.
Подставляя χ = 29, которое входит в область определения, в исходное
уравнение, имеем числовое равенство lg8 - lg24 = lg2 - lg6, откуда
33

ι ι
получаем верное равенство lg— = lg—. Следовательно, χ = 29 является
корнем заданного уравнения.
Ответ: 29.
2.8. Решить уравнение lg (98 - χ3) = 31g (2-х).
Решение
Исходное уравнение можно записать в таком виде: lg (98 -χ3) = lg (2 -χ)3.
Отсюда имеем 98 - χ3 = (2 - χ)3. После упрощения получаем квадратное
уравнение х2 - 2х - 15 = 0, решая которое, находим χ = -3, χ = 5.
Проверка показывает, что исходному уравнению удовлетворяет
только х = -3.
Ответ: -3.
х + 3 1
2.9. Решить уравнение l + log6 = — log6(x-l)2.
х + 7 2
Решение
Запишем заданное уравнение в таком виде:
log6 6 + log6 = log6 VU-D2,
х + 7
х+3 х+3
откуда log66 = log6 |*-1|. Имеем 6 = |х-1|. Решая это урав-
х+7 х+7
нение, получим χ = -11, χ = -1, χ = 5.
Проверка убеждает нас в том, что все эти числа являются корнями
исходного уравнения.
Ответ: -11; -1; 5.
2.10. Решить уравнение log6(x2 - 4) = log6(4x - 7).
Решение
В области определения заданного уравнения (которую мы здесь
не находим) это уравнение равносильно уравнению х2 - 4 = 4х - 7,
откуда х2 - 4х + 3 = 0. Имеем χ = 1, χ = 3.
Проверка показывает, что χ = 1 — посторонний корень. Число χ = 3
обращает исходное уравнение в верное равенство, а значит, является
его решением.
Ответ: 3.
2.11. Решить уравнение lg (χ + 4) + lg (2х + 3) = lg (1 - 2х).
Решение
Преобразуем исходное уравнение к виду lg [ (х+4) (2х+3) ] = lg (1 - 2х).
От этого уравнения перейдем к уравнению (х + 4) (2х + 3) = 1 - 2х. Решая
последнее уравнение, получим хг = -1, х2 = -5,5.
Проверка показывает, что лишь χ = -1 является корнем заданного
уравнения.
Ответ: -1.
2.2.3. Решение логарифмических уравнений
вида logo/Cx) = logag(x) и уравнений, сводящихся к ним
Для решения уравнений вида logJOc) = log^x) их сводят к
уравнениям, в которые входили бы логарифмы с одним и тем же основанием.
34

2.12. Решить уравнение log^ + log4(x + 2) = 2.
Решение
По свойству логарифмов имеем log2 х = log22 χ2 = log4 x2. Исходное
уравнение в таком случае примет вид log4x2 + log4(x + 2) = 2, откуда
log4[(x + 2) · χ2] = 2. По определению логарифма имеем х2(х + 2) = 16.
Отсюда получаем х3 + 2х2 - 16 = 0. Для решения последнего уравнения
разложим его левую часть на множители:
(х3- 2х2) + (4х2- 16) = х2(х- 2) + 4(х2- 4) = (х- 2)(х2 + 4х+ 8).
Уравнение примет вид (х - 2) (х2 + 4х + 8) = 0, откуда χ = 2
(квадратный трехчлен не имеет действительных корней, так как его
дискриминант меньше нуля).
Проверка показывает, что χ-2 является корнем заданного
уравнения.
Ответ: 2.
2.13. Решить уравнение log^ + log3x = 1.
Решение
Исходное уравнение по свойству логарифмов можно записать в виде
log2 χ + ——— = 1. Преобразуя это уравнение, запишем log2 jc- 1ч-
log23 ^ log23
= 1, откуда
ι q !og23 log23
log2x = 1Qg2^ , X = 21+1°S23 =2^2e =3l0S62.
l + log23
Проверка показывает, что найденное значение χ является корнем
исходного уравнения.
Ответ: 31о&2.
2.14. Решить уравнение log2(x2 -1) = logx(x-1).
2
Решение
Найдем область определения заданного уравнения, для чего решим
систему неравенств
Имеем х> 1.
Используя формулу перехода к логарифму по другому основанию,
получим
logl(x_1)=i2g^=bg^zl)=_log2(x_1).
2 log22
Тогда исходное уравнение примет вид log2(x2 - 1) = -log2(x - 1),
откуда имеем х2 -1 = . На области определения исходного уравне-
х-1
35

ния имеем χ3 - χ2 - χ + 1 = 1, откуда χ(χ2 - χ - 1) = 0. Решая последнее
1 + λ/5 1-V5 тя
уравнение, получим х± = 0, х2= , Хз = · Из наиденных трех
1 + V5
значении лишь χ = входит в область определения заданного урав-
нения.
Подстановка * = 1±£ в исходное уравнение убеждает нас в том, что
это число обращает его в верное числовое равенство.
η 1 + V5
Ответ: .
2
3
2.15. Решить уравнение-logx (x + 2)2-3 = log г (4-x)-log4(x + 6)3.
2 4 Щ
Решение
Перейдем в заданном уравнении к логарифмам по основанию —.
Преобразуем выражения, входящие в уравнение:
log ! (4-x) = log, χ .з(4-χ)3 = logj.(4-χ)3;
4
3/4
v^y
log4 (χ + б)3 = log4_! (χ + б)"3 = - log1 (χ + б)3.
4
Тогда исходное уравнение примет вид
-log1(x + 2)2-3 = log1(4-x)3+log1(x + 6)3.
4 4 4
Отсюда имеем
31og! |x + 2|-3 = 31og1(4-x) + 31og1(x + 6).
4 4 4
Это уравнение преобразуется в уравнение
log1|x + 2|-l = log1(4-x) + log1(x + 6)i
4 4 4
а затем в уравнение logx 4|x + 2| = log1[(4-x)(x + 6)].
4 4
Итак, имеем 4|х + 21 = (4 - х)(х + 6).
Решение последнего уравнения сводится к решению совокупности
двух систем уравнений:
[х + 2>0, Гх + 2<0,
|4(х + 2) = (4-х)(х + 6) И 1-(х + 2) = (4-х)(х + 6).
36

Первая система дает значение χ = 2, вторая — значение χ = 1 - л/33.
Проверка найденных значений показывает, что они обращают
исходное уравнение в верное равенство, а значит, являются его корнями.
Ответ: 2;1-V33.
2.16. Решить уравнение (1 + log53)log15x = log528 + log0j2(* - 3).
Решение
По свойствам логарифмов имеем log0j2(* - 3) = logx (χ - 3) = -log5(x -
5
loo- ν
- 3). По формуле перехода к новому основанию имеем log15 χ = ———.
log515
Тогда исходное уравнение можно записать в виде
(l + log53)-i°^ = log528-log5(x-3),
log515
откуда
a + log53)-^^- = log528-log5(x-3),
l + log53
или
log5 x + log5(*-3) = log5 28, log5[x(x-3)] = log5 28.
Потенцируя, имеем χ2 - Зх = 28, откуда χλ = -4, х2 = 7. Как показывает
проверка, χ = -4 — посторонний корень. Корнем является лишь число
х=7.
Ответ: 7.
2.2.4. Решение логарифмических уравнений вида
1ο8φ(*)/(*) = log9Wg(jc) и уравнений вида log/M<p(x) = loggM<p(x),
а также уравнений, сводящихся к ним
Для решения уравнения log^/Cx) = logp(jc)g(jc) решают уравнение
fix) =g(x) и затем отбирают те значения, которые удовлетворяют условию
"/(*)> О,
gU)>0,
φΟ)>0,
φ(χ)^1.
Для решения уравнения logyM(p(x) = loggM(p(x) надо решить совокуп-
"/(*) = g(x),
ность двух уравнении
а затем проверить, какие из наиден-
ных значений χ будут корнями исходного уравнения.
Перейдем к решению конкретных уравнений.
37

2.17. Решить уравнение logx+4(x2- 1) = logx+4(5 -x).
Решение
Область определения заданного уравнения задается системой
неравенств
х2-1>0,
5 - χ > О,
х + 4>0,
х + 4^1.
Найдем корни уравнения х2 - 1 = 5 - х. Имеем хг = 2,х2 = -3. Число
χ = -3 не входит в область определения заданного уравнения, а значит,
корнем этого уравнения не является. Проверка путем подстановки
числа χ = 2 в исходное уравнение показывает, что это число является
корнем.
Ответ: 2.
2.18. Решить уравнение 3 + 21ogx +13 = 21og3(x + 1).
Решение
Область определения заданного уравнения задается системой
неравенств
с*)
В исходном уравнении перейдем к логарифмам по основанию 3.
Имеем
3+- —— = 21og3(x + l).
log3(x + l)
Введем новую неизвестную: t = log3(x + 1). Тогда последнее уравне-
2
ние примет вид 3 + — = 2t, которое равносильно системе
[2t2-3t-2 = 0,
|t*0.
3±л/25 _ 1
Эта система дает нам два значения t1>2 = , т.е. ΐλ = 2,t2= —.
Из уравнения log3 (χ + 1) = 2 получаем χ = 8. Из уравнения log3 (χ +1) =
1 л/3-3
= — получаем χ = .
2 У 3
Оба числа удовлетворяют системе (*). Непосредственная
подстановка в исходное уравнение убеждает нас в том, что эти числа являются
его корнями.
Ответ: 8: .
3
38

2.19. Решить уравнение \ogx(2x + ϊ) = \ο§2χ3+χ2(4χ3 + 4х2 + χ).
Решение
Область определения исходного уравнения задается системой
неравенств
2х + 1>0,
4х3 + 4х2 + χ > О,
х>0,
ХФ1,
2х3 + х2 > О,
2х3 + х2ф1.
Перейдя в заданном уравнении к логарифмам, например, по
основанию 2, будем иметь
log2(2x + l) = log2(4x3 +4x2 + х) ,_
log2x log2(2x3 + x2)
Поскольку log2(4x3 + 4х2 + χ) = log^c + 21og2(2x + 1) и log2(2x3 + χ2) =
= 21og2X + log2(2x: + 1), то уравнение (*) можно записать в виде
log2 (2х +1) = log2 х + 2 log2 (2х +1)
log2 χ 2 log2 x + log2 (2x +1)'
Но так как на области определения log^ Φ О, то последнее уравнение
можно записать в таком виде:
1 | 21og2(2x + l)
log2(2x + l)_ log2x
log2x 2 | log2(2x + l) '
log2x
log2(2x + l)
Введя новую переменную t = —— , получим, что последнее
log2x
уравнение будет иметь вид t = , откуда tx = 1, t2 = -1.
log2(2x + l) - log2(2x + l) Ί _
Имеем два уравнения: —— = 1, —— = -1. Первое урав-
log2 χ log2 x
нение на области определения исходного уравнения не имеет
корней, а второе уравнение на области определения дает решение х = —.
Проверка, проведенная непосредственной подстановкой числа χ = —
1
в исходное уравнение, показывает, что χ = корень этого уравнения.
Ответ: —.
2
39

2.20. Решить уравнение logx χ2 -log8x χ3 = 0.
4
Решение
Областью определения заданного уравнения является решение
системы неравенств
fx>0,
\хф4,
I 1
\хф —.
[ 8
Перейдем в исходном уравнении к логарифмам по основанию х,
но прежде всего проверим, не является ли число χ = 1 решением
заданного уравнения. Проверка показывает, что χ = 1 обращает это
уравнение в верное равенство, действительно: logx l-log8l = 0, 0 = 0 — вер-
4
ное равенство. Значит, χ = 1 — корень заданного уравнения.
Требуя теперь, чтобы выполнялись условия
Гх>0,
Ьс*4,
1 (*)
\ХФ—,
8
^ log**2 log**3 2 3
будем иметь —— —— = 0, откуда = 0.
log,- loS*8x l-logx4 log, 8 + 1
Так как для рассматриваемых χ (условия заданы системой (*)) 1 -
- log,4 Φ 0 и 1 + log,8 Φ 0, то будем иметь 2(1 + log,8) - 3(1 - log,4) = 0,
или 121og,2 = 1, откуда χ = 212.
Проверка показывает, что число χ = 212 является решением
исходного уравнения.
Ответ: 1; 212.
2.21. Решить уравнение log^+^C*2 - 4) = log4jc2_6(*2 - 4).
Решение
Решим совокупность двух уравнений
Гх3+х = 4х2-6,
|_х2-4 = 1.
Первое уравнение совокупности решим, разложив его левую часть
на множители (заранее переносим всю правую часть с
противоположным знаком в левую часть уравнения):
х3-4х2 + х+6=х3+ 1 -5х2+5+х2 + х= (х+ 1)[х2-х+ 1 -5(х- 1) +х] =
= (х+1)(х2-5х+6) = (х+1)(х-2)(х-3).
40

Итак, корнями первого уравнения совокупности будут числа χ = -1,
χ = 2, χ = 3. Проверка показывает, что лишь χ = 3 удовлетворяет
исходному уравнению.
Решениями второго уравнения совокупности будут числа χ = -ν5,
χ = Vs. Из этих чисел исходному уравнению удовлетворяет лишь число
х = Vs.
Ответ: 3-.JE.
2.22. Решить уравнение 61og4xx: = Slog^.
Решение
Перейдем в исходном уравнении к логарифмам по основанию 2.
Будем иметь
б log2x =5 log2x
откуда получаем
log2 4x log2 2x'
log2x _ log2x
2 + log2x l + log2x
Положив t = log^, будем иметь уравнение = , из которого
получаем tx - О, t2 = 4. Итак, получим два простейших логарифмических
уравнения log^ = 0 и log^ = 4. Окончательно имеем χ - 1, χ = 16.
Проверка показывает, что оба полученных числа являются корнями
исходного уравнения.
Ответ: 1; 16.
2.2.5. Решение логарифмических уравнений
методом введения новой неизвестной
В предыдущих подпараграфах уже встречались логарифмические
уравнения, которые решались методом введения новой неизвестной. Здесь
мы лишь детализируем этот метод, рассмотрев несколько уравнений.
2.23. Решить уравнение lg2x - 3lgx = lgx2 - 4.
Решение
Так как область определения задается неравенством χ > О, то
lgx2 = 21gx. Уравнение примет вид lgx2 - 5lgx + 4 = 0.
Введя новую неизвестную t = lgx, будем иметь t2 - 5t + 4 = 0, откуда
fi - 1> f2 - 4. Имеем lgx = 1, т.е. χ = 10, или lgx = 4, т.е. χ = 10 000.
Проверка показывает, что оба числа удовлетворяют исходному
уравнению, а значит, являются его корнями.
Ответ: 10; 10 000.
7
2.24. Решить уравнение lg2 χ + lgx +1 = .
Решение
7
Заданное уравнение можно записать в виде lg2 x + lgx + 1 =
lgx-1
41

7
Введя новую неизвестную t = lgx, будем иметь t2 ч-1 ч-1 = .
Отсюда, требуя, чтобы выполнялось условие t - 1 Φ О, получаем (t - 1) х
х (t2 + t + 1) = 7, t3 = 8, t = 2. Из уравнения lgx = 2 находим χ = 100.
Проверка показывает, что число χ = 100 является корнем исходного
уравнения.
Ответ: 100.
2.25. Решить уравнение lg2x3 - lg (0,1х10) = 0.
Решение
Используя свойства логарифмов, исходное уравнение можно
записать в виде lg2x3- lgx10- lg0,l = 0, откуда 91g2x - 101g \x\ +1 = 0.
Учитывая, что область определения исходного уравнения задается
неравенством χ > 0, мы можем последнее уравнение записать в виде
9lg2x - lOlgx +1 = 0.
Введя переменную t = lgx, получим 9t2 - 10t +1 = 0, откуда tx = 1,
t2 =—. Из уравнения lgx = 1 находим χ = 10, а из второго уравнения
lgx = — находим χ = \/Ϊ0.
Оба найденных числа обращают исходное уравнение в верное
числовое равенство, а значит, являются его решениями.
Ответ: 10; 3/Ϊ0.
2.3. Уравнения, содержащие неизвестное
под знаком логарифмической функции
На вступительных экзаменах по математике предлагают такие
уравнения, которые одновременно содержат логарифмические,
показательные, тригонометрические и другого рода функции. Дать какую-либо
классификацию таких уравнений трудно, да и для нашей цели не нужно,
поэтому мы сразу перейдем к рассмотрению конкретных уравнений.
2.26. Решить уравнение log2(9 - 2*~4) = 7 - х.
Решение
По определению логарифма имеем 9 - 2Х~4 = 27~х, откуда, положив
t 27
t = 2*, получим 9 = —. Это уравнение равносильно квадратному
16 t
уравнению t2 - 24 · З2 · t + 211 = 0. Его корнями являются t1 = 24nt2 = 27.
Из уравнения 2х = 24 получаем χ = 4, а из уравнения 2* = 27 — χ = 7.
Проверка показывает, что оба числа χ = 4 и χ = 7 являются корнями
исходного уравнения.
Ответ: 4; 7.
2.27. Решить уравнение 41о^С1-^) = 2х(х +1) - 5.
Решение
Преобразуем левую часть уравнения:
4log2(l-x) = 221og2(l-x) = 2log2 0*)2 = (1 - χ)2.
42

Тогда исходное уравнение принимает вид (1 - х)2 = 2х(х + 1) + 5;
х2+4х- 6 = 0, откуда хг = -2-VlO, χ2=-2 + ^Ϊ0.
Число χ = λ/ΪΟ - 2 не является корнем исходного уравнения, ибо оно
не входит в область его определения. Действительно, 1-(ν10-2) =
= 3-VlO<0.
При χ = -2 - λ/ΪΟ обе части исходного уравнения равны значению
19 + 6λ/Ϊ0. Следовательно, χ = -2-VlO является корнем заданного
уравнения.
Ответ: -2-VlO.
2.28. Решить уравнение 521^- 4х1%5 = 5.
Решение
Используя основное логарифмическое тождество, преобразуем
выражение х1^5:
xlg5 = (10lgr)lg5 = (10lg5)lgr = Б1^.
Тогда исходное уравнение можно записать в таком виде: 521&*- 4 х
x5te*-5 = 0.
Введя обозначение t = Б1^, будем иметь квадратное уравнение
t2 - At - 5 = 0, откуда tx = -1, t2 = 5.
Итак, исходное уравнение равносильно совокупности двух
уравнений: 51& = -1 или 51& = 5.
Первое уравнение действительных корней не имеет, а второе имеет
корень χ = 10. Проверка показывает, что χ = 10 является корнем
заданного уравнения.
Ответ: 10.
2.29. Решить уравнение х1-1^ = 1.
Решение
Область определения исходного уравнения задается неравенством
χ > 0. В этой области выражения, содержащиеся в обеих частях
заданного уравнения, принимают только положительные значения, а тогда
логарифмы этих выражений существуют. Прологарифмировав
исходное уравнение по основанию 10, получим (1 - lgx)lgx = lgl, откуда
1 - lgx = 0 или lgx = 0. Итак, имеем χ = 10 или х=1. Проверка
показывает, что оба числа являются корнями заданного уравнения.
Ответ: 1; 10.
2.30. Решить уравнение log5(3 · 21+х- 2~х · Б2**1) =х + log513.
Решение
Потенцируя по основанию 5, будем иметь 3 · 21+* - 2~х · 52*+1 = 5*+loS513 9
откуда 6 · 2^- 13 · 2х · 5х- 5 · 5х = 0. Учитывая, что ни при каких
значениях χ 2^ Φ 0, разделим обе части последнего уравнения на 22х. Будем
иметь
«-(ΙΙ-ΚΙΓ-
43

Положив t =
(5
— , получим квадратное уравнение 5t2 + 13t -6 = 0,
2
откуда t1 = -3, t2=-.
Значение t = -3 следует отбросить, так как при любых значениях
χ выражение
2λχ (2λχ 2
положительно. Из уравнения |
= — имеем х = -1.
5
\5,
Проверка показывает, что число χ = -1 является корнем заданного
уравнения.
Ответ: -1.
2.31. Решить уравнение log5(3 - χ) = χ + 3.
Решение
Легко видеть, что число χ = -2 является корнем исходного уравнения.
Действительно, при χ = -2 имеем log55 = 1, 1 = 1 — верное равенство.
Функция у = log5(3 -x) на своей области определения убывает,
функция у = χ + 3 всюду возрастает. Графики убывающей и возрастающей
функций могут иметь лишь одну точку пересечения, абсцисса которой
уже найдена, это χ = -2. Разномонотонность функций говорит о том,
что у заданного уравнения других корней нет.
Ответ: -2.
1|
х + —
х\
Решение
Прежде всего заметим, что функции, стоящие в левой и правой
частях исходного уравнения, четные, тогда достаточно искать только
положительные корни (х = 0 корнем уравнения не является, в чем
можно убедиться непосредственной подстановкой). Известно, что
1
при х> 0 х + — >2. (Это легко доказать, используя теорему о среднем
χ
арифметическом и среднем геометрическом. Действительно для любых
1 1 / 1 1
положительных чисел χ и — имеем x + — >2Jx·—, откуда χ + — >2.)
χ χ V х х
2.32. Решить уравнение log2
= х2(3-2|х|).
По свойству возрастающей функции функция Дх) = log2
1
х + —
X

принимает значения, большие или равные единице, причем ее значение
равно единице только при х=1. Итак, для всех χ > Of (χ) > 1.
При χ > 0 функция, стоящая в правой части исходного
уравнения, имеет вид φ(χ) = Зх2 - 2х3. Найдем производную этой функции:
φ'(χ) = Зх2 - 2х3; φ(χ) = 0, 6х(1 - х) = 0. На промежутке χ > 0
функция имеет одну критическую точку х=1. При 0 < χ < 1 имеем (рЧ*) > 0,
а при χ > 1 имеем (рЧ*) < 0. Тогда χ = 1 — точка максимума. Итак, имеем,
что непрерывная функция φ(χ) = Зх2 - 2х3 на промежутке χ > 0 имеет
одну критическую точку, которая является точкой максимума, а
значит, ее наибольшее значение на этом промежутке совпадает с ее
максимальным значением, равным единице. Итак, для всех χ > 0 φ (χ) < 1.
44

На множестве χ > 0 обе функции Дх) и φ(χ) принимают одно и то
же значение лишь при χ = 1. Учитывая, что эти функции четные, мы
имеем еще одно значение χ = -1, при котором выполнено равенство
Я-1)=Ф(-1).
Ответ: -1; 1.
2.33. Решить уравнение sjx2 - 5х + 6 + log2 л/х2 - 6х +13 = 1.
Решение
Так как vx2-5x + 6 есть арифметический квадратный корень, то
по определению этого понятия следует, что sjx2 - 5х + 6 > 0. Для оценки
выражения log2 vx2 -6х + 13 преобразуем его:
log2 Vx2-6x + 13 = log2 V(*-3)2 + 4 > log2 л/4 = log2 2 = 1.
Так как первое слагаемое ограничено снизу нулем, а второе
слагаемое — единицей, то их сумма ограничена снизу единицей.
Тогда левая часть уравнения становится равной правой части
уравнения, т.е. единице, только тогда, когда первое слагаемое равно нулю,
а второе слагаемое — единице. Таким образом исходное уравнение
равносильно системе уравнений
|Vx2-5x + 6=0,
[log2Vx2-6x + 13=l.
fx = 2, x = 3,
Решая эту систему, получим <
I JL — О.
Общим корнем обоих уравнений системы будет χ = 3.
Ответ: 3.
2.34. Решить уравнение 1 + 21ogx+13 = log3(x + 1).
Решение
Введем новую неизвестную t = log3(x + 1). Тогда исходное уравнение
2
примет вид 1 + — = £, откуда £2 - £ - 2 = 0. Имеем £х = -1, £2 = 2. Тогда
получаем два логарифмических уравнения log3(x + 1) = -1, log3(x + 1) = 2.
2
Первое уравнение дает решение х = —, второе уравнение — χ = 8.
Проверка показывает, что оба числа являются корнями исходного
уравнения.
2
Ответ: —: 8.
3
2.35. Решить уравнение (х + l)igC*+u = Ю0(х + 1).
Решение
Область определения заданного уравнения есть промежуток χ > -1.
Проверим, не является ли число χ = 0, которое входит в область
определения исходного уравнения, корнем уравнения. Мы видим, что это
число обращает уравнение в неверное равенство 1 = 100, а значит, χ = 0
не является корнем уравнения.
45

Проверим, не является ли число χ = 1, которое также
принадлежит области определения заданного уравнения, корнем. Видим, что
при этом значении уравнение не обращается в верное числовое
равенство, а значит, χ = 1 корнем этого уравнение не является.
Для дальнейшего решения исходного уравнения
прологарифмируем его по основанию 10. Получим lg2(x + 1) = 2 + lg (x + 1). Положив
t = lg (x + 1), будем иметь t2 - t - 2 = 0, откуда tx = -1, t2 = 2.
Итак, имеем два логарифмических уравнения lg (χ +1) = -1 и lg (χ +1) =
9
= 2. Окончательно получаем хг = , х2 = 99.
Ответ: -0,9; 99.
2.36. Решить уравнение 2>S2*+x>g*2 =16#
Решение
Область определения исходного уравнения задается системой
log2x>0,
х>0,
ХФ1.
Прежде чем решать заданное уравнение, выведем важное равенство
Согласно доказанному равенству заданное уравнение можно
записать в виде
2VloS2* + 2>/1о*2* = 16,
откуда 2^/ί^ = 8, 2^/ί^ = 23, χ = 29 = 512.
Проверка показывает, что число χ = 512 является корнем исходного
уравнения.
Ответ: 512.
2.37. Решить уравнение logx χ + 31og2 x = 4.
Решение
Для решения этого уравнения перейдем к одному и тому же
основанию, заметив для этого, что logx x = -log2x. Получаем: -log2x +
2
+ 31og2 χ = 4, 21og2 χ = 4, log2 χ = 2, χ = 22, χ = 4.
Ответ: 4.
2.38. Решить уравнение log3 χ · log9 χ · log27 χ = 6log0>2 5.
Решение
Используя формулу logaP = — loga x, перейдем к логарифмам с одним
11 11
и тем же основанием: log3 χ ·—log3 χ ·—log3 χ = б-1, — log^ x = —, log^ χ = 1,
2 3 6 6
log3x = l, x = 3.
Ответ: 3.
46

2.39. Решить уравнение log§ χ + log3 χ = 6.
Решение
Пусть log3x = t, тогда исходное уравнение можно записать в виде
г г, -l±Vl + 24 -1±5
t2 + t = 6, откуда t2 + t - 6 = 0, tlf2 = = ^—, h = -3, t2 = 2.
Имеем: log3x = -3, χ = 3~3 = —; log3x = 2, χ = З2 = 9.
Ответ: 9.
2.40. Решить уравнение = = 1.
log3x + 5 l-log3x
Решение
1 2
Обозначив log3x через t, получим уравнение + = 1. Решая
его, получаем
l-t + 2t + 10 л t + 11 л лл о * г ι г г η
= 1,— = 1, t+11 =-t2-4t + 5, t2 + 5t + 6 = 0,
(t + 5)Q-t) -t2-4t + 5
откуда tx - -2, t2 = -3. Решая совокупность уравнений log3x = -2,
1 1
log3x = -3, получаем х = — или χ = —.
Ответ: —: —.
9 27
2.41. Решить уравнение log| χ + log^ x = 15.
Решение
Выражение log^ x преобразовывается в выражение 2\og^c:
log^ χ = log ι χ = log 2_ι χ = ^-log2 x = 21og2 x.
Получаем уравнение log| x + 21og2 лс —15 = 0.
Обозначив log^ буквой t, мы получаем квадратное уравнение t2 +
+ 5t + 6 = 0, решая которое, будем иметь: tx = 3, t2 = -5, откуда х = —,
х = 8.
1
Ответ: —; 8.
32
2.42. Решить уравнение log§ 2 х + l°g2 * = 2.
Решение
Проведем цепочку преобразований выражения log§ 5 *·
1°§0,5 * = 1θ§1 * = 1о§2"1 * = ^_1" 1θ^2 χ)2 = 1θ§2 *·
2
Обозначив log2x буквой t, получим квадратное уравнение t2 + t -
-6 = 0. Решив его, получим tx-\t2- -2, откуда хг = 2, х2 = —.
Ответ: 2: —.
4
47

Замечание. Очень часто при преобразовании выражения log^5*
учащиеся допускают ошибку, которая состоит в замене выражения
l°So,5x выражением (-log|x): последней операцией при
преобразовании указанного выражения является возведение в квадрат, а значит,
log%5x = \oglx.
3
2.43. Решить уравнение log3x — + log? x = l.
χ
Решение
На первый взгляд, в этом уравнении трудно увидеть замену пере-
3
менной, однако, применяя к выражению log3x — формулу перехода
χ
к новому основанию и переходя к основанию 3, получим
l0g3x = logs 3- log3 *
log33x log33 + log3x
Ί 3 l-log3x
и, значит, log3;c - = °ό .
χ 1 + log3 x
Таким образом заданное уравнение преобразуется к уравнению
l-log3x - ?
^— + log? x = l.
l + log3x 63
Произведя подстановку log3x = t, будем иметь
1-t 1-t 1-t ί 1 λ
■+ί2=ι,^=ι-ί2,^=α-οα+ο,α-ο -^-a+oUo,
1 + t 1 + t 1 + t
1 + t
откуда 1 - t = 0 или = 1 +t, т.е. t = 1 или (1 + t)2 = 1, t = 1, или t = 0,
или t = -2.
Окончательно имеем jcx = 3, x2 = 1, x3 = —.
1
Ответ: 3: 1: —.
9
2.44. Решить уравнение lg2 x-lgx = 3 + 21°S21s*.
Решение
Основываясь на основном логарифмическом тождестве, мы
получим уравнение вида lg2x - lgx = 3 + lgx.
Полученное уравнение может оказаться неравносильным исходному
уравнению. Действительно, для того чтобы было определено
выражение log2lgx, содержащееся в заданном уравнении, необходимо, чтобы
выполнялось неравенство lgx > 0. А уравнение lg2x - lgx = 3 + lgx
таких ограничений на lgx не требует. Поэтому, для того чтобы переход
от заданного уравнения к уравнению lg2x - lgx = 3 + lgx был
равносилен, необходимо потребовать, чтобы lgx был положительным.
48

Таким образом, уравнение \g2x-\gx = 3 + 2lo^lsx равносильно
системе
[lg2x-lgx = 3 + lgx,
llgx>0.
Решим смешанную систему:
[lg2x-21gx-3 = 0,
[lgx>0;
lgx = -l,
lgx = 3, lgx = 3,x=1000.
lgx>0;
Ответ: 1000.
2.45. Решить уравнение ^\og7 χ + 3 = log7 χ +1.
Решение
а) Полагая в данном уравнении logyX = t, получим уравнение
, ft + 3 = t2+2t + l, ft2+t-2 = 0,
Vt+3 = t+i;
t + l>0; U>-1; Ί
t=i,
t = -2,t=l,log7x=l,
t>-l;
откуда χ = 7.
Ответ: 7.
2.46. Решить уравнение л/1 + к^2(2х + 4) = log2(x + 2).
Решение
Имеем:
Vl + log2[2(x + 2)]=log2(x + 2),
^1 + log2 2 + log2 (x + 2) = log2 (x + 2),
V2 + log2(x + 2)=log2(x + 2).
Обозначив log2(x + 2) буквой t и подставив в последнее уравнение,
получим
y/2 + t=t,\
2 + t = t2,
2 + t>0,
t>0;
t2-t-2 = 0,
\t>0;
t = 2, t = 2,
t>0;
откуда log2(x + 2) = 2, χ + 2 = 4, χ = 2.
Ответ: 2.
2.47. Решить уравнение log^ + logx2 = 2,5.
Решение
Переходя к основанию 2, получим уравнение
log2x +
log2x 2
49

Введя подстановку \og-pc = t, получим
1 5 2t2-5t + 2 Л f2t2-5t + 2 = 0,
t+-=-, =о,<
t 2 It [t*0,
откуда tx = 2, t2 = -·
Тогда log2x = 2,x = 4,log2x = |,x = ^.
Ответ:
2.48. Доказать, что уравнение log2(x2+8) + log2(vx + 2) = 3 корней
не имеет.
Решение
Для любого значения переменной χ верно неравенство х2 + 8 > 8 и,
принимая во внимание, что функция/(t) = log2t возрастающая,
заключаем: log2(x2 + 8) > log28, т.е. log2(x2 + 8) > 3.
Рассуждая аналогично, получим, что при любых неотрицательных
значениях χ верно неравенство log2(Vx + 2) > 1.
Оказалось, что левая часть исходного уравнения не меньше 4.
Но по условию задачи правая часть уравнения равна 3. Значит, такое
равенство ни при каком допустимом значении χ невозможно и,
следовательно, данное уравнение корней не имеет.
2.49. Решить уравнение log2(4 - χ2) = χ4 + 2.
Решение
Для любого значения χ верно неравенство х4 + 2 > 2, т.е. правая часть
исходного уравнения принимает значения, не меньшие двух.
Для любого значения χ верно неравенство 4 - х2 < 4. Функция
fit) = log2t возрастающая, следовательно, для любого допустимого
значения χ верно неравенство log2(4 -х2) < log24, т.е. log2(4 -х2) < 2. Таким
образом, левая часть уравнения принимает значения, не большие двух.
Это значит, что равенство левой и правой частей уравнения
возможно тогда, когда они одновременно равны двум, т.е. исходное
уравнение равносильно системе уравнений
log2(4-x2) = 2,
χ4+2 = 2,
решая которую, находим χ = 0.
Ответ: 0.
2.50. Решить уравнение log5(x + 4) + log5(x + l) = l + - .
log25
Решение
Заданное уравнение можно преобразовать к следующему виду:
log5 (* + 4) + log5 (* +1) = 1 + logs 2,
logs (* + 4) + logs (* + !) = logs 5 + log5 2,
50

ilog5[(JC + 4)(jc + l)] = log510,
x + 4>0,
[x + l>0;
[x2+5x + 4 = 10, Jx2+5x-6 = 0,
[χ>-1; [χ>-1;
x = l,
x = -6,x = 1.
х>-1;
Ответ: 1.
Замечание. Если при решении логарифмического уравнения есть
возможность «уйти» от применения тождества частного и применить
тождество логарифма произведения, то лучше это сделать.
2.51. Решить уравнение log2(x - 3) = log39 - log^.
Решение
Данное уравнение можно решить следующим образом:
log2(JC-3) = 2-log23c,
log2(x - 3) = log24 - logax,
χ
jc-3 =—,
χ
<)χ-3>0,
ΧΦΟ,
χ>0;
|χ2-3χ-4 = 0,
Ιχ>3;
χ = -1,
χ = -4, χ = 4.
χ>3;
Предложим несколько измененное решение предложенного
уравнения.
log2(JC-3)+log23c = 2,
'log2x(jr-3) = 2,
х-3>0,
х>0;
log2(x2-3x) = log24,
х>3;
ι
<
Ι χ = -1,
\_χ = -4, χ = 4.
χ>3;
ίχ2-3χ-4 = 0,
[χ>3;
Ответ: 4.
51

21og2 log2 χ = 1 - logi log2 V2x,
2
2.52. Решить уравнение 21og2 log2 χ + log! log2 v2x = 1.
2
Решение
Преобразовав исходное уравнение, получим:
log2 log2, χ = log2 2 + log2 log2 λ/2χ ,
log2 χ > 0,
log2 2л/2х > О;
log2 log| χ = log2(21og2 V2x),
log2x>0;
log| χ = 2 log2 V2x, ί log| χ = 2 log2 2-Д + log2 x,
log2x>0; [log2x>0;
log|x = 3 + log2x, |log^x-log2x-3 = 0,
log2x>0; [log2x>0.
Введя обозначение log2X = t, получим систему
1 + 7Ϊ3
\t2-t-3 = 0,
[t>0;
t = -
t =
2,— i+Vi3
i_7i3 t=—-—,
t>0;
λ 1 + λ/Ϊ3 0^
откуда log2x = —-—, x = 2 2 .
1+ν/Ϊ3
Ответ: 2 2 .
2.53. Решить уравнение log2+^(x2 + χ +1) = log^_2(x + 2).
Решение
Обратим внимание на то, что основания логарифмов представляют
собой взаимно обратные величины, поскольку
(2 + л/5)(л/5-2) = (л/5)2-22=5-4 = 1.
Это означает, что, например, выражение V5-2 можно заменить
выражением —j=—. Тогда исходное уравнение примет следующий вид:
л/5 + 2*
1θδ2+Λ/5 U2 + * +1) = bg^_ (X + 2),
2+л/5
1θδ2+^(χ2+Χ + 1) = -1θδ2+^(Χ + 2)'
loS2+^(χ2 + х +1} = lo%2+S(х + 2)_1'
52

X +X+ ~x + 2' J(x + 2)(x2+x + l) = l,
x2+x + l>0, |x>-2;
x + 2>0;
[x3+x2+x + 2x2+2x + 2-l = 0, Jx3+3x2+3x + l = 0,
[x>-2; \x>-2;
f(x + l)3=0, fjc = -1,
x>-2;
x>-2;
jc = -1.
Ответ: -1.
2.54. Решить уравнение |log2(x- 2) | + | log^x:| = 3.
Решение
Конечно же, мы можем решить это уравнение, последовательно
раскрывая модули, учитывая условия на знак значений выражений
log2(x - 2) и log^. Однако мы несколько видоизменим решение и
поступим так: на числовой прямой, которая, кстати, будет интересовать нас
только на открытом луче (2; +<*>), отметим те значения переменной,
которые обращают в нуль выражения, стоящие под знаком модуля,
а затем раскроем модульные выражения. Такой подход существенно
упростит решение этой задачи.
1. Найдем, при каких значениях χ выражения log2(x - 2) и log2x
обращаются в нуль, решив соответствующие уравнения:
log2(x-2)=0,x-2 = l,x = 3;
\о§2Х = 0,х= 1.
Заметим, что при χ = 1 выражение log2(x - 2) не определено, а все
выражения с переменными, входящие в это уравнение, определены
при χ > 2.
2. Изобразим знаки на рис. 2.1.
3HaK(log2(x-2))
Знак (log2x)
+
+
Рис. 2.1
+
3. Если χ > 3, то данное уравнение преобразовывается в уравнение
log2(x - 2) + log^ = 3. Далее имеем
[log2(x2-2x) = 3, Гх2-2х-9 = 0,
\х>2\ \х>2;
χ = 4,
х = -2, х = 4.
[х>2;
Значение χ = 4 принадлежит рассматриваемому промежутку [3; +<*>).
53

4. Если 2 < χ < 3, то данное уравнение преобразовывается в
уравнение -log2(x - 2) + log2x: = 3. Далее имеем
log2* = 3 + log2(x - 2); log2* = log2(8x - 16);
16
fx = 8x-16,
x>0;
x = —, 16
7 x = —.
x>0;
Значение χ = — удовлетворяет требованию 2 < χ < 3.
В итоге получаем, что уравнение | log2(x - 2) | + | log^ | = 3 имеет два
л 16
корня: 4 и —.
Ответ: 4: —.
7
2.55. Решить уравнение log^+gCx2 + 4х + 4) + logx+2(2x2 + 7х + 6) = 4.
Решение
Заданное уравнение равносильно смешанной системе
[log2x+3 (х + 2)2 + logx+2 (2х + 3) (х + 2) = 4,
х2 + 4х + 4 > О,
2х2+7х + 6>0,
2х + 3>0,
|2х + 3*1,
х + 2>0,
х + 2*1.
Решим уравнение, содержащееся в системе, с учетом указанных
ограничений:
2 log2x+3 О + 2) + logx+2 (2х + 3) + logx+2 (χ + 2) = 4,
2 log2x+3 О + 2) + logx+2 (2x + 3) +1 = 4,
^——+logx+2 (2x + 3) = 3,
logx+2(2x + 3)
log2+2(2x + 3)-31ogx+2(2x + 3) + 2 = 0.
Введем обозначение logx+2(2x + 3) = t. Уравнение примет вид t2 - 3t +
+ 2 = 0, откуда tx = 1, t2 = 2.
Окончательно имеем
logx+2(2x + 3) = l, \
logx+2(2x + 3) = 2;
Делаем вывод о том, что уравнение корней не имеет.
Ответ: корней нет.
х + 2 = 2х + 3,
(х + 2)2=2х + 3, 1
х + 2>0, 1
х + 2*1;
Гх = -1,
|_х = -1,
х>-2,
ХФ-1.
54

2.56. Решить уравнение х^х +101s2* = 20.
Решение
Преобразуем уравнение к следующему виду:
xig* + (ioig*)ig* = 20, xlg* + xlg* = 20, 2x\gx = 20, xlg* = 10.
Прологарифмируем последнее уравнение по основанию 10:
lgxigx = lg ю, lgx · lgx = 1, lg2x = 1,
откуда
~\gx = l,
lgx = -l,
x>0;
χ = 10,
χ = 0,1.
Ответ: 0,1; 10.
2.57. Решить уравнение 27·χ2~1ο^χ =1.
Решение
Запишем исходное уравнение в виде х2-1о8з* =—. Прологарифми-
руем это уравнение по основанию 3. Будем иметь
log3x2-loS3*=log3^
откуда (2-log3x)log3x = -3. Введя подстановку log3x = t, будем иметь
t2-2t-3 = 0, откуда tx - 3, t2 = -1. Возвращаемся к переменной х, полу-
|~log3 χ = -1, 1
чим Окончательно имеем х = —,х = 27.
|_log3x = 3. 3
Ответ: —: 27.
3
2.58. Решить уравнение log2(x2 -7χ + 10) + \jx2 -7x + 6=2.
Решение
Обозначим х2 - 7х + 10 через t и построим в одной системе
координат Юу графики функций у = log2t и у = 2 - Vt - 4 (рис. 2.2).
y = i°U
Рис. 2.2
55

Дальнейшее решение задачи сводится к решению уравнения х2-7х +
+ 10 = 4. Решая его, получаем хг = 1,х2 = 6.
Ответ: 1; 6.
2.59. Решить уравнение 3log2(x + 2) + 2х - 3 = 0.
Решение
Представим уравнение в виде 31og2(x + 2) = 3 - 2х. Строим графики
функций у = 31og2(x + 2)иу = 3-2х (рис. 2.3).
у = 5log2(x + 2)
Рис. 2.3
Графики этих функций имеют одну общую точку, абсцисса которой
χ = 0. Проверка показывает, что это точное значение корня.
Ответ: 0.
2.60. Определить графически число действительных корней
уравнения lg \x\ =х2 - 5.
Решение
Строим в одной системе координат графики функций у = lg |x|
иу = х2 - 5 (рис. 2.4).
y = ig|*l
Рис. 2.4
56

Графики этих функций имеют четыре общие точки, поэтому данное
уравнение имеет четыре действительных корня.
Ответ: четыре корня.
2.61. Сколько корней имеет уравнение sin χ = lognx?
Решение
Рассмотрим графики функций у = sin χ и у = lognx (рис. 2.5).
y = logn*
Рис. 2.5
Функция у = sinx ограничена: | sinx | < 1. Функция у = lognx в точке
χ = 11 принимает значение, равное единице, а в силу того, что она
монотонно возрастающая, при χ > 11 lognx > 11. На рис. 2.5 мы видим,
что эти два графика имеют три точки пересечения, а предыдущие
рассуждения доказывают, что других точек пересечения графиков нет.
Итак, исходное уравнение имеет три корня.
Ответ: три корня.
2.62. Решить уравнение J33 +
8
log* 4
= 31og4(4^/x2).
Решение
1. Так как χ — основание логарифма, то χ > 0, χ Φ 1. При таких χ
определена и правая часть уравнения.
Преобразуем обе части исходного уравнения:
f 2\ f ~ \
8
logx4
= 8 log4 χ и 3 log4 (4л/χ2) = 3 log4
4хз
= 3
1 +—log4x =3 + 21og4x.
3 J
При χ > 0, χ Φ 1 получим уравнение, равносильное исходному:
^/33 + 81og4x = 21og4 x + 3.
2. Пусть t = log4x. Тогда имеем:
V33 + 8t=2t + 3,
8t + 33 = (2t + 3)2,
8t + 33 = 4t2+12t + 9,
4t2 + 4t-24 = 0,
t2+t-6 = 0,
^ = 2, ^ = -3.
57

3. При t = -3 правая часть уравнения УЗЗ + 8t = 2t + 3 отрицательна.
Число 2 проверим подстановкой: V33+16 = 4 + 3, 7 = 7.
4. Значит, log4 χ = 2, χ = 42, χ = 16.
Ответ: 16.
2.63. Решить уравнение log2 1 — =2—log^ (~1 ~ *)·
Решение \ 3J 2
Преобразовав заданное уравнение, будем иметь log2 1— =
4 χ 4
= log2 , откуда 1 — = . Окончательно имеем (х + 1)(х - 3) =
-1-х 3 -1-х
Xj = —3,
летворяет исходному уравнению.
Ответ: -3.
2.64. Решить уравнение, в ответе записать больший корень:
log216xlog x x = -21og! 4х3.
Решение
Область определения заданного уравнения задается неравенствами
хфу/2; х*1;х>0.
Преобразуем заданное уравнение и перейдем к основанию 2:
log2x
= 12, откуда
Число 5 — посторонний корень, ибо оно не удов-
(4 + log2x)
(4 + log2x)-
log2x-log2V2
log2x
= 21ogx4x3,
= 2(logxx3+logx4),
log2^"2
(4 + log2x)
21og2x
21og2x-l
= 2
3 +
log2x
Пусть log^ = t, тогда имеем (4 +1)
2t
(
2t + l
= 2
о 2^
3 + -
+ 2 = 0, t(t2 - 1) - 2(t2 - 1) = 0, (t2 - l)(t - 2) = 0.
Окончательно имеем
ti=-l,
t2=l, откуда
t3=2,
log2 χ = -1,
log2x = l,
log2 χ = 2,
, откуда t3-2t2-t +
1
x =—,
2
x = 2,
x = 4.
Больший корень уравнения равен 4.
Ответ: 4.
2.65. Решить уравнение lg(32^*+5-* - 4) = 1 -lg2.
Решение
Из заданного уравнения имеем \g(32y^^~x-4) = \g5, откуда
32л/^5-* _4 = 5; 32^+5-* = 9, З2^-* = З2, 2л/х + 5 - χ = 2, 2л/х + 5 = 2 + х,
4х + 20 = х2 + 4х + 4. Отсюда х2 = 16; хх = 4; х2 = -4.
58

Проверка показывает, что х2 = -4 не входит в область определения
1
уравнения, так как З2-4 - 4 = — 4<0. Корень χ = 4 удовлетворяет
заданному уравнению.
Ответ: 4.
2.66. Решить уравнение log0j2(5 - х) + log5(2 - \х - а |) = 0.
Решение
Использовав равенство log0j2(5 - х) = -log5(5 - χ), заданное
уравнение перепишем в виде log5(2 - \х - а |) = log5(5 - χ).
Это уравнение равносильно системе
f2-|x-a|>0,
J5-x>0,
[2— |jc —α| = 5 —jc.
Уравнение 2- |χ-α| =5-χ перепишем в виде
\х-а\ =х-3. (*)
Это последнее уравнение проще всего решить, используя
геометрические соображения. Построим графики функций у = \х- а\ иу = х-3
(рис. 2.6) Видим, что при χ < 3 графики не пересекаются и,
следовательно, уравнение не имеет решений.
Рис. 2.6
Если а = 3, то при χ > 3 графики функций совпадают и,
следовательно, все значения χ > 3 являются решениями уравнения (*).
При а > 3 графики пересекаются в одной точке, абсцисса которой
χ = . Таким образом, при а > 3 уравнение (*) имеет единственное
а + 3
решение χ = .
59

Исследуем теперь, при каких значениях а найденные решения урав-
Г2— | jc — α | > О,
нения (*) будут удовлетворять условиям <
[5-х>0.
\\х-а\<2,
Пусть а = 3, тогда χ > 3. Система примет вид < Ее решением
[5-х>0.
будет промежуток (1; 5). Учитывая, что χ > 3, заключаем, что при а = 3
исходному уравнению удовлетворяют все значения χ из промежутка [3; 5).
Рассмотрим случай, когда а > 3, х = . Система неравенств
примет вид
Ία + 3
-а
<2> м3-а|<4,
или
5-^>0, |а<7·
2
Решив эту систему, найдем а е (-1; 7). Но а > 3, поэтому приходим
к выводу, что при α ε (3; 7) исходное уравнение имеет единственное
а + 3
решение χ = .
Ответ: если а е (-<*>; 3), то решений нет; если а = 3, то χ е [3; 5);
если α ε (3; 7), то χ = ; если а е [7; +<*>), то решений нет.
7ΖΧ 7ΖΧ
2.67. Решить уравнение log2(3 + 2x-x2) = tg2 — + ctg2—.
Решение
Оценим множество значений каждого из выражений левой и правой
частей уравнения: 3 + 2х-х2 = 4-(1- х)2 < 4, тогда log2(3 + 2х - х2) < 2.
7ZX 7ZX
Так как tg2 — + ctg2 — > 2 (сумма двух положительных взаимообратных
чисел больше либо равна двум), то исходное уравнение равносильно
системе
flog2(3 + 2x-x2) = 2,
9 πχ 9 πχ _ (*)
tg2 — + ctg2 — = 2.
Решим первое уравнение системы:
log2(3 + 2x-x2) = 2,
[3 + 2х-х2=22,
[3 + 2х-х2>0,
х2-2х-1 = 0, х = 1.
Подставив это число во второе уравнение системы (*), мы
убеждаемся в том, что оно является решением и этого уравнения.
Ответ: 1.
60

2.68. Решить уравнение cos2[(χ + 2)cos2x:] - 1 = | log2(x2 + 5x + 7) |.
Решение
Известно, что 0 < cos2t < 1 при любом t, поэтому левая часть
неположительна. Правая часть уравнения при всех допустимых χ
неотрицательна. Решением уравнения могут быть те х, которые удовлетворяют
системе уравнений
[cos2 [ (х + 2) cos 2х\ -1 = О,
[log2(x2+5x + 7) = 0.
Второе уравнение имеет корни хг = -2, х2 = -3.
Проверка показывает, что из чисел -2 и -3 только χ = -2
удовлетворяет первому уравнению системы.
Ответ: -2.
2.69. Решить уравнение
4-lx-1Hog^(jc2-2jc + 3) + 2-;r2+2*log1(2|jc-l| + 2) = 0.
з
Решение
Перейдем в исходном уравнении к одному и тому же основанию
логарифмов:
2-4-lx-1Hog3(JC2-2jc + 3) = 2-;,c2+2*log3(2|jc-l| + 2).
Умножим обе части полученного уравнения на положительную
величину 4"I*-1I ·2_1 ·2*2~2*, получим равносильное ему уравнение
2*2-2*log3(JC2-2jc + 3) = 22l*-1l-1log3(2|jc-l| + 2). (*)
Введем вспомогательную функцию φ (у) = 2xlog3(y + 3), где у =
= 2 \х - 11 - 1. Тогда уравнение (*) можно записать в виде
φ(χ2-2χ) = φ(2|χ-1| -1). (**)
На множестве у е (-2; +°°) оба сомножителя 2У и log3(y + 3)
положительны и монотонно возрастают, поэтому и функция φ (у) на множестве
(-2; +оо) положительна и монотонно возрастает.
При любом χ числа (х2 - 2х) и (2 \х - 11 - 1) принадлежат множеству
(-2; +оо), что следует из очевидных неравенств
22-2х = (х-1)2-1>-1,
2|х-1|-1>-1.
Поэтому согласно известной теореме можно утверждать, что
уравнение (**), а следовательно, и исходное уравнение равносильны
следующему уравнению:
22-2х = 2|х-1| -1.
61

Решим это уравнение, раскрывая модуль на промежутках χ < 1
их> 1.
^ Iх:1' Iх:1' \х:<ι· ,=-ι.
|х2-2х = -2х + 2-1;[х2=1;|х = ±1;
^ Гх>1, Гх>1, Гх>1,
б) ' ' х=1,х=3.
х2-2х = 2х-2-1; х2-4х + 3 = 0; х = 1,х = 3;
Ответ: -1; 1; 3.
2.70. Решить уравнение 4log2
2 + -
6
2х-5
-8 = 3log2 2-
3 Ϊ
х-1
Решение
Преобразуем исходное уравнение к виду
,, 4х-4 0 01 2х-5
4log2- --8 = 31og2
2х-5
х-1
откуда имеем
4ilog24 + log2■£-!-)-8 = 31og2( х Ιλ
4log2
2x-5
x-1
2x-5
2x-5
= -31og2
x-1
2x-5'
71og2- - = 0,log2- - = 0,- - = 1,- - = 0,
2x-5
2x-5 2x-5
2x-5
χ = 4,
5 * = 4.
χφ —,
2
Проверка показывает, что х = 4 является корнем заданного
уравнения.
Ответ: 4.
2.71. Решить уравнение J105-- = 31og2(0,5x^x).
V loS*2
Решение
1. Так как χ — основание логарифма, то χ > 0, χ Φ 1. При таких
значениях χ определена и правая часть уравнения; равносильны
преобразования частей уравнения:
8
log* 2
= 81og2x
и31og2(0,5xfe> = 31og2[θ,5·χ3J = 3 log22"1 +-log2χ = 41og2x-3.
Получаем уравнение ^№5-&\ο%2χ = 41og2 x-3.
2. Пусть t = log^. Тогда
Vl05 - 8t = 4t - 3,105 - 8t = (4t - 3)2,105 - 8t = 16t2 - 24t + 9,
16t2 - 16t - 96 = 0, t2 -1 - 6 = 0, tx = 3, t2 = -2.
62

3. При t = -2 получаем V105 + 16 =-8-3, Vl21=-ll, что неверно.
При t = 3 получаем V105-24 =12-3, V81 = 9, что верно. Значит, log^ = 3,
х = 23 = 8, 8>0, 8*1.
Ответ: 8.
2.72. Решить уравнение х^2х3-^х-з = 1
χ
Решение
Областью определения уравнения является промежуток (0; +«>).
Прологарифмировав обе части уравнения, получим
(log2 х3 - log| χ - 3)log2 x = -log2 χ,
ИЛИ
31og| χ - log| χ - 31og2 χ + log2 χ = 0,
log| χ - 31og| χ + 21og2 χ = 0,
откуда log2 x(log| χ - 31og2 χ + 2) = 0, т.е. log^ = 0 или log| χ - 31og2 χ + 2 =
= 0. Тогда χ = 1, log2 χ = 1, log2 χ = 2; xx = 1, x2 = 2, x3 = 4.
После проверки получаем, что все корни удовлетворяют заданному
уравнению.
Ответ: 1; 2; 4.
2.73. Решить уравнение 3log3* +х1о&з* =162.
Решение
Перепишем уравнение в виде
plog3 х )log3 х + XloS3 x = 162,
xlog3X+xlog3x=l62,
откуда имеем х1о2з* -si. Логарифмируя обе части уравнения по
основанию 3, будем иметь log§ χ = 4, откуда находим log3x = -2 или log3x = 2,
_1
т.е. х^ — , х2 — у.
Ответ: —: 9.
9
2.74. Решить уравнение 111оет2 -х1оет4*+1 =1.
Решение
Прологарифмируем обе части заданного уравнения по основанию 7:
log72(l + log72) + (21og72 + log7x + 1) = 0,
или
logf x + (21og7 2 + l)log7 x + log7 2 + logf 2 = 0.
Решая последнее уравнение как квадратное относительно log7x,
1 1
находим log7x = -log72 - 1 или log7x = log72, откуда χλ = —, χ2 = —.
Ответ: —; —.
14 2
63

2.75. Решить уравнение ^logx(ax) ·loga χ = -ν2.
Решение
Допустимыми значениями неизвестного и параметра являются
значения, удовлетворяющие системе неравенств
fx>0,
\хф1,
а>0,
\аФ1,
[logx ах > О,
или χ > О, χ Φ 1, а > О, α Φ 1, причем если 0<х<1, то0<ах<1, а если
х> 1, то ах> 1.
Так как правая часть уравнения отрицательна, то решениями
уравнения могут быть только те значения χ и при тех значениях а, при
которых loga χ < О, т.е. если а > 1, то 0 < χ < 1, а если 0 < а < 1, то χ > 1.
Преобразуем заданное уравнение: /—— logaχ = -у/2.
V 1θ§α*
Так как уравнение может иметь решение только при log^ < 0, то
~лА°§а х + 1°§а х = -*Jz, или log2 χ + loga χ - 2 = О, откуда находим log^ =
= -2, log^ = 1; log^ = 1 > 0 уравнению не удовлетворяет.
Исследуем log^=-2; χ = —. Если 0 <х < 1, то 0 < ах < 1, или 0 < a · — < 1,
а2 а2
откуда а > 1. Если χ > 1, то ах > 1, или а— < 1, откуда 0 < а < 1.
а2
Ответ: χ = —, если 0 < а < 1, а > 1.
а2
4-х
2.76. Решить уравнение 1 + logx = (lglga - 2)logx 10.
Решение
Допустимые значения неизвестного и параметра найдем, решив
систему неравенств
Ч-х>0,
х>0,
ХФ\
[lga>0,
или 0<х<1, 1<х<4, а>1.
4-х 4х-х2 10lglga
Потенцируя, получим χ = 10lglga_2, или = , откуда,
*' У 100 100 100 У
используя основное логарифмическое тождество, получаем 4х - х2 -
- lga = 0, хг =2-^/4-lga, х2 =2 + ^4-lga.
Эти корни действительны, если 4-lga > 0, или а < 10 000. Учитывая,
что a > 1, имеем 1 < а < 10 000.
64

При α = 1000 χλ = 1 — недопустимое значение неизвестного, т.е.
при а = 1000 уравнение имеет один корень χ = 3.
Приа = 1000х1=х2 = 2.
Ответ: x = 2±^/4-lga, если 1 < а < 1000, 1000 < а < 10 000; χ = 3,
если а = 1000; χ = 2, если а = 10 000.
2.77. Решить уравнение
7loga tfax + log* 3/ax + Jloga fl— + log* ί- = a,
a v a
Решение
Допустимые значения x>0, x^l,a>0, a^l.
Преобразуя подкоренные выражения, получим
/-(1 + loga x) + -(1 + log* a) + J-Goga χ -1) + -dog* a -1) = a,
или
/logax + 2 + - + logax-2 + - = 2a,
logax V logax
|(logax + l)2 | (logax-l)2 =2^
logax \ logax
|logax + l| + |logax-l| = 2a7log^(logax>0).
2 JL
а) Если 0 < logax < 1, то 2 = 2a^/loga χ, или logax = —-, x = aa2. Это
a2
значение х удовлетворяет уравнению, если 0 < — < 1, т.е. при а > 1.
а2
б) Если log^ = 1, т.е. при χ = α, получаем 2 = 2a, или а = 1 —
недопустимое значение параметра. Следовательно, χ Φ α.
в) Если log^ > 1, то 21oga x = 2a^/loga x, или logax = a2, x = aa2. Это
значение х удовлетворяет уравнению, если loga a0-2 > 1, откуда следует
а2 > 1, или а > 1.
Ответ: если a > 1, то хх = aa~2, х2 = aa2; если 0 < а < 1, то уравнение
решений не имеет.
2.78. При каких значениях а уравнение log2(4* + α3) + χ = 0 имеет
два корня?
Решение
Данное уравнение равносильно уравнению 4х + а3 = 2~х. В левой
части уравнения стоит функция, возрастающая при всех
действительных χ (от значения параметра а возрастание не зависит), а функция,
расположенная в правой части уравнения, при всех χ убывает.
Уравнение не может иметь более одного корня.
Ответ: ни при каких.
65

2.79. Решить уравнение logsinx 2 · log^inx α -1 = 0.
Решение
Область определения уравнения задается промежутками
Х<
( π ^ (π λ
2πη; — + 2πη u —+2πη;π + 2πη L η g Ζ.
ν 2 J y2 J
При а<0, а = 1 уравнение решений не имеет.
При а > 0, а Φ 1 уравнение может иметь решения. Выполним
преобразования, воспользовавшись формулой loga Ъ =
о 0, с Φ 1, а Ф 1:
loga 2 1
logcb
logca
, где а> 0,b > 0,
л . л —ч l = 0,21og2sinjc = loga2,
logasinx logasin^x
log^ sin χ = 0,5-loga 2, loga sin χ = ±70,5-loga2,
sinx = a±V°'51°Sa2 - 2±V°'51°g2 a #
Для уравнения sinx = 2>/0'5'log2a получаем: при 0 < a < 1 log2a < 0,
и уравнение корней не имеет; при а > 1 2v°'51og2a >1, и уравнение
корней не имеет.
Решая уравнение sinx = 2"V°'51og2a, находим, что
χ = (-1)" arcsin(2-V°'51og2a) + πη, η е Ζ
и
ί π λ ίπ λ
xg 2кк;—+2кк и — + 2кк\к + 2пк Ike Z.
I 2 J U /
Ответ: при α < 0 уравнение корней не имеет; при α > 1
χ = (-1)*arcsin(2-V°'51og2α) + πη, η g Z и xg|27cfc;- + 27cfc lu - + 2π£;π +
V 2 у v2
+ 27CfclfcG Ζ.
2.80. Решить уравнение logcosxsinx + logsinjccosx = 2.
Решение
Область определения уравнения определяется системой
[cosx>0,cosx^l,
[sinx > 0, sinx Φΐ.
Используя формулу перехода к новому основанию логарифма, будем
иметь
log
COS*
sinx-h-
log,
COS X
sinx
■ = 2,
66

logLx sinx-21ogcosx sinx + 1 = 0,
(logcosxsinx " !)2 = 0, logcosxsimc = 1,
откуда simc = cosx, или tg χ = 1.
Учитывая, что cosx > 0 и sinx > 0, из последнего уравнения получаем
х =—+2пк, к ε Ζ.
4
Ответ: — + 2пк, к е Ζ.
4
2.81. Решить уравнение log^2 + 21oga(x + 2) = 1.
Решение
Требования, накладываемые на а: а > 0, а Ф 1. Область определения
уравнения: (-2; 0) и (0; +°°).
Исходное уравнение равносильно уравнению
21oga|x|+21oga(x + 2) = l,
loga|x|(x + 2) = 0,5,
|x|(x + 2) = Va.
Рассмотрим два случая.
а) -2 < χ < 0. Последнее уравнение примет вид -х(х + 2) = να, т.е.
х2 + 2х + у/а = 0. Отсюда хг =-1-^1-у/а, x2=-l + >Jl-у/а при 1 - να > 0,
т.е. при 0 < а < 1. Нетрудно заметить, что при этом оба полученных
корня удовлетворяют условию -2 < χ < 0.
б) χ > 0. Уравнение | χ | (х + 2) = Va принимает вид х(х + 2) = \[а, или
x2+2x-va=0. Отсюда, х3=-1-у]1 + у[а, x4=-l + \]l + y/a. Корень х3
не удовлетворяет условию χ > 0, а х4 > 0 при а > 0.
Ответ: при 0 < a < 1 уравнение имеет три корня: -l-yjl-y/a,
-1 + VI- Va, -l-y/l + yfa; при a > 1 - только один корень -l + y/1 + yfa.
2.82. При каких значениях параметра α уравнение 1 + ^/x + 21ga = \Jx-l
имеет решение?
Решение
Из уравнения ясно, что должно быть a > 0, χ > 21ga, x > 1.
Преобразуем заданное уравнение: ^/x + 21ga = Vx-l-l. Так как
в левой части последнего уравнения стоит арифметический
квадратный корень, а он неотрицателен, то и правая часть уравнения должна
быть неотрицательна, т.е. \Jx-l -1 > 0, откуда \Jx-l >1, х-1>1,х>2.
При этих условиях χ + 21ga = χ -1 -2\Jx-1+1, -lga = V*-l.
Поскольку χ > 2, то \Jx-l > 1, и уравнение, очевидно, имеет корень
1
при -lga > 1, т.е. a < —.
f δ 10
Ответ: 0<а<—.
10
67

Is x2 lsx^ b?x^
2.83. Решить уравнение ^—+^—+-^— + ... = 8.
lg2 χ lg3 χ lg4 χ
Решение
Решение возможно, если lgx > 1.
Имеем
2 Я 4
lgx lg2x lg3x
Разделим обе части последнего уравнения на lgx. Получаем
2 3 4 8
+^—+г^—+- = ^—· (**)
lg2x lg3x lg4x lgx
Вычтем из равенства (*) равенство (**). Будем иметь
2 111 _ 8
-+^^+^^+^-^ + ... = 8--
lgx lg2x lg3x lg4x '" lgx'
111 .10
или-——+-——+ —-—+... = 8-
lg2x lg3x lg4x lgx
В левой части последнего уравнения стоит сумма бесконечно убыва-
1
ющей геометрической прогрессии со знаменателем . Имеем
lgx
к2 χ 10
Vх =8__^_)(8igx_io)(lgx-l) = l,
ι L te*
lgx
о 3 о
или 81g2x - 181gx + 9 = 0, lgxx = — ,χλ = 102, хг = VlOOO; lgx2 = посто-
ронний корень, так как lgx < 1.
Ответ: VlOOO.
2.84. Решить уравнение log2(31 sinx| - | cosx|) + log21 cosx| = 0.
Решение
Имеем
[log2(31 sin jc I — |cosx |) · |cosx| = 0,
|cosx|>0;
[3|sinx|-|cosx|-|cosx|2 = 1,
|cosx|^0;
3|sinx|-|cosx|-|cosx|2 -|cosx|2 -|sinx|2 =0,
|cosx|^0;
|sinx|2 + 2|cosx|2 — 3 |sin jc| - |cosjc| = 0,
[cosx^O,
68

откуда получаем уравнение | tgx|2 - 31 tgx| +2 = 0. Решая его как
квадратное относительно |tgjc|, будем иметь
|tg*l = l,
|tg*l = 2;
π
х = ±— + nk,keZ,
4
χ = ±arctg2 + πη, neZ.
π
Omeem:±—+nk,keZ; ±arctg2 + nn,neZ.
2.85. Решить уравнение 91ogsin2x4cos2x + 81og2cosxsinx = 16.
Решение
Укажем область определения уравнения:
fsinx>0,
cosx>0,
1
cosx^ —,
sinx^—.
2
logSin2x 4cos2 χ = log2sin;c(2cosx)2 = 21ogsin2;c 2cosx =
2 2
2 log2cosx2cosx
log2cos;csin2x
2
log2cosx 2 sin χ cos χ log2cos;c 2cosx + log2cos;c sin χ l + log2cos;c sin χ
Введем обозначение t = log2cosxsinx, будем иметь
18 + ft 18+gt-16)q + t) 8f-8t + 2
1 + t
4t2-4t + l
1 + t
= 0,
1 + t
4t2-4t + l = 0,
h,2 =
1 + t
2 'откуда^ 2 =
ίΦ-Χ
Получаем log2coSx sin χ = -, откуда
sin χ = v2cosx, sin2x = 2cosx, 1 - cos2x - 2cosx = 0,
cos2x + 2cosx -1 = 0.
Пусть cosx = z, тогда имеем
2^o ι η -2±л/4~Т4 -2±2л/2 гг
ζ2 + 2ζ- 1 = 0, ζ1)2 = = = -1 + л/2.
Значение ζ = -1 не подходит, так как оно отрицательно, а
согласно области определения уравнения cosx > 0.
Приз = ,/2-1 имеем cos χ = ν2 -1, откуда χ = arccos (v2 -1) + 2πη, neZ.
Ответ: arccos(V2-1) + 2πη,neZ.
69

2.86. Решить уравнение к^+2к^2к^+з(11х2 + 46х + 48) = 0.
Решение
Заданное уравнение равносильно системе
\log2 logx+3 (1 Ι*2 + 46x + 48) = 1, иди ilogjc+3 (1 lx2 + 46x + 48) = 2,
χ + 2 > 0, χ + 2 Φ 1, |x > -2, χ Φ -1.
Последняя система равносильна системе
Γΐ1χ2+46χ + 48 = (χ + 3)2,
Ι χ > -2, χ Φ -1,
Ι χ > -3, χ Φ -2,
[llx2+46x + 48>0.
Решим уравнение системы:
1 lx2 + 4вх + 48 = χ2 + βχ + 9,
10x2 + 40x + 39 = 0,x12=-2±J—.
1,2 νιο
Значение χ = -2 - ^0Д корнем быть не может, так как не
удовлетворяет требованию χ > -2.
Корнем является χ = -2 + ^/ОД ·
Ответ: -2 +
л/0Д.
5х + 1
2.87. Решить уравнение log 2 + I°g5*+i
Щ х~2
х-2
х+1
х-2
2
Решение
Используя формулу перехода к новому основанию логарифма, получим
-log
2 6
5х + 1
х+1
х-2
х-2
+ log
5х+1
х-2
х + 1
х-2
Введем обозначение t = log5x+i
откуда
3 1_
2'
21og5x+i
х-2
х + 1'
х + 1
х-2
+ log
5х+1
х-2
Х + 1
х-2
3
2
х-2
х-2
13
Уравнение примет вид — + t = —,
4fi-6t + 2 = 0,2fi-3t+l = 0,t1>2 = 3±yl^=^;t1 = l,t2=^
Решая уравнения log5x+i
х-2
х + 1
х-2
= 1 и log5*+i
х-2
х + 1
х-2
= — и учитывая
область определения, мы окончательно получим χλ =—, х2 = 3.
Ответ: —; 3.
3
70

2.88. Решить уравнение |log53 · log3x4 - Slog^x:2! = 21ogx25.
Решение
ίχ>0,
Найдем область определения уравнения: <
Преобразуем левую часть заданного уравнения:
| log5 3 · log3 x4 - 5 logx x2 I =
41og3*_5J
log3 5
Тогда исходное уравнение преобразуется к виду
2
= 2-|21og5x-5|
|21og5x-5| = 21ogx5,|21og5x-5| =
log5 x
Обозначив log5x через t и подставляя в последнее уравнение, полу-
, 2
чаем \2t - 5 = —.
t
Теперь рассмотрим два случая.
1. t>-.Тогда2t-5 = -,или2t2-5t-2 = 0,т.е.и 2 = —=^-—.Условию
2 t 1>2 4
^5 ^ 5+74Ϊ _ 5+V41
t > — удовлетворяет только значение t = . Отсюда = log5 x,
5+λ/4Ϊ
т.е. χ = 5 4 .
5 2 1
2. t < -. Тогда 5- 2t = —, или 2t2 - 5t + 2 = 0, т.е. tx = —, t2 = 2. Отсюда
Χγ — V Ь, Х^ ~ ^Ь.
5+V41
Ответ: V5; 25; 5 4 .
2.89. Решить уравнение logx(3x-2)-2 = Jlog2(3x-2) + 4log;c
Зх-2
Решение
Заметим, что
log2(3x-2) + 4log;c *
Зх-2
= log2(3x-2)-4log;c(3x-2) + 4 =
= [log;c(3x-2)-2]2.
Тогда исходное уравнение равносильно уравнению
log;c(3x- 2) - 2 = |log;c(3x- 2) - 21.
Поскольку равенство а = \ а | равносильно неравенству а > О, то
последнее уравнение равносильно неравенству log;c(3x - 2) - 2 > О,
или log;c(3x - 2) > logxr2. Учитывая область определения уравнения
(х >—, χ Φ1), рассмотрим два случая.
71

a)
2
— <χ<1,
3
2
— <х<1,
3
x2-3x + 2>0;
2
— <х<1,
3 2
х>2, ««куда£<*<!·
Зх-2<х2;
Гх>1, ί χ >1,
б) ι „ ι ο Ί ' откуда 1<х<2
[Зх-2>х2; |х2-Зх + 2<0; |1<х<2,
(2
Ответ: х<
х<1,
х>1,
о;1 и(1;2].
ч3 J 2
2.90. Решить уравнение log2* — log2; x + log^ x = l, где х > 1.
χ
Решение
Область определения уравнения
х>0,
1
х^—.
2
Преобразуем исходное уравнение, перейдя к основанию х:
2
log*
log* 2x
log* 2-1
—· log2; χ + log^ χ = 1,
log§x + log^x = l.
log* 2 + 1
Введем подстановку у = log2X, тогда уравнение примет вид
у~1у2=1-у4,(у~1\у2=а-у)а+у)а+у2),
у + 1
у + 1
откуда имеем два случая.
а) у = 1, log^ = 1, χ = 2 — удовлетворяет области определения
уравнения.
б) ^ = (1 + у)(1 + у2),у4 + 2уЗ + 2у + 1 = 0,у4 + 1 + 2у(у2 + 1) = 0;
У + 1
так как у4 + 1 > 0 и у2 + 1 > 0, то чтобы сумма двух выражений (у4 + 1)
и 2у(у2 + 1) была бы равна нулю, необходимо потребовать у < 0, т.е.
log^ < 0, log^ < log2l, а значит, χ < 1.
Таким образом, в этом случае нет решений, удовлетворяющих
условию χ > 1.
Ответ: 2.
2.91. Решить уравнение ψοξχ ν2χ ·log4 x = -1.
Решение
Исходное уравнение равносильно системе
ilog4 χ < 0,
[logxV2x-log^x = l,
откуда
72

log4 x < О,
^log22x
\х<1,
х<1,
(
Число
log2x
-1 + л/зЗ
^ЪчА =1.|log2x + log2x-8 = 0; log2x =
2 ' '
-1±л/33
не удовлетворяет условию χ < 1.
1-ν/33
-1-л/ЗЗ
Имеем log2 х = , откуда окончательно получаем χ = 2 2 .
-i-Узз
Ответ: 2 2 .
2.92. Решить уравнение lg (χ - 10)lg (x + 10) = lg (χ2 - 100) - 1.
Решение
Укажем область определения уравнения:
х-10>0,
х + 10>0,
х2-100>0,
откуда χ > 10.
На своей области определения исходное уравнение равносильно
уравнению
lg(x- 10)lg(x+ 10) = lg(x- 10) +lg(x+ 10) - 1,
lg(x- 10)lg(x+ 10) -lg(x- 10) = lg(x+ 10) - 1,
lg(x- 10)(lg(*+ 10) - 1) =lg(x+ 10) - 1.
Jn = l, Jm = 0,
Заметим, что равенство тп = m верно при < <
I 771 Ε Μ J 1/1 Ε JR..
Последнее уравнение имеет именно такой вид (роль т играет
выражение lg (χ + 10) - 1, а роль η — выражение lg (χ - 10)).
Мы можем записать:
1) lg (χ + 10) - 1 = 0, lg (x + 10) = 1, χ + 10 = 10, χ = 0;
2) lg (χ - 10) = 1, χ - 10 = 10, χ = 20.
Значение χ = 0 корнем уравнения не является, так как не входит
в область определения уравнения.
Ответ: 20.
2.93. Решить уравнение log§ χ + log2 3 + 31og3 x + 31ogx 3 = 2.
Решение
Приведем все логарифмические выражения уравнения к
основанию 3:
log§ χ +
log§x
+ 3
log3 * +
Λ
log3 x,
= 2.
73

Произведем замену t = \og3x + - . Тогда имеем t2=log?x + 2 +
logs*
+
log§x
Прибавим к обеим частям преобразованного уравнения число 2.
Будем иметь
ι Γ ι λ
log§x + 2 + —-^ + 3 log3x + -
log§x ^ log3 χ J
= 4.
Используя подстановку, получим уравнение t2 + 3t - 4 = 0, корнями
которого будут t1 = lnt2 = -4.
Решаем два уравнения.
а) log3x + = 1. Обозначим log3x = t. Уравнение примет вид
log3x
1
t + - = l, t2-t+l = 0. Это квадратное уравнение действительных
корней не имеет, так как его дискриминант отрицателен.
б) log3x + - = -4. Обозначим log3x = t. Уравнение примет вид
log3x
t2 + 4t + 1 = 0, его корнями будут tx = -2-7з и t2 = -2 + V3.
Решаем уравнения log3 χ = -2 - V3 и log3 χ = -2 + V3.
Окончательно имеем хг = 3~2~^ и х2 = 3_2+^.
Ответ: 3~2~^; 3"2+^.
2.94. При каких значениях параметра а уравнение log3(9* + 9α3) = χ
имеет два различных положительных корня?
Решение
Исходное уравнение равносильно уравнению 9х - 3х + 9а3 = 0.
Полагая 3х = t, t > 0, получим t2 - t + 9а3 = 0. Это уравнение должно иметь
два корня tx и t2. Уравнение будет иметь два различных действительных
корня, если его дискриминант положительный: 1 - 36а3 > 0. Так как эти
корни должны быть оба положительны, а произведение корней по
теореме Виета равно свободному члену, то требуем, чтобы 9а3 > 0.
Итак, имеем систему
1-36а3>0, 1
откуда 0 < α <
9α3 > 0, ЦЗЬ
Ответ:
( _J_]
2.95. Найти все значения параметра Ъ, при каждом из которых
уравнение
logo % = х2 + (13b -12)2
имеет хотя бы одно решение. Найти эти решения.
74

Решение
Правая часть заданного уравнения неотрицательна, так как х2 > О,
(13Ь - 12)2 > 0. Причем х2 + (13Ь - 12)2 = 0 при J 12
I 13
Оценим левую часть уравнения. При всех значениях аргумента спра-
9
ведливо неравенство log9 < log91 = 0.
9 9
При этом logo = 0, лишь если = 1, откуда χ = 0.
10х2+9 10х2+9
12
Ответ: Ъ = —: χ = 0.
13
2.96. Найти все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение 61og4sinx + alog4sinx - a2 + 7а - 10 = 0 имеет хотя бы одно
решение.
Решение
Данное уравнение равносильно уравнению
(a + 6)log4sinx = a2-7a + 10.
Если а = -6, то уравнение принимает вид 0 = б2 - 7 · 6 + 10.
Полученное числовое равенство неверно, следовательно, при а = -6
решений нет.
Пусть а Ф -6. Перейдем к равносильному уравнению
α2-7α + 10
log4 sin χ = .
α + 6
Стоящий в левой части уравнения log4sinx принимает все значения
из множества ( -°°; 0] (это с учетом того, что функция log4t возрастает
и в данном случае 0 < sinx < 1).
Таким образом, данное уравнение имеет хотя бы одно решение тогда
a2-7a + 10^n (a-5)(a-2)^n _
и только тогда, когда < 0, откуда < 0. Решая это
α+6 α+6
неравенство методом интервалов, получаем α ε (-°°; -6) и [2; 5].
Ответ: (-<*>; -6) и [2; 5].
2.97. Найти все значения х, удовлетворяющие уравнению
l0S*+a2 +1 № + 2) = 21θ§7+2* (5 " V6-2JC)
при любом значении параметра а.
Решение
Так как заданное уравнение должно иметь решение при любом
значении параметра а, то оно должно иметь решение и при а = 1. Но при таком
значении α исходное уравнение принимает вид 2 log7+2x (5 - л/б - 2х) = 1,
откуда после преобразований приходим к уравнению 2х2 + χ - 3 = 0.
75

Решая это уравнение, получаем хг = —, х2 = 1.
3
Подставив в исходное уравнение значение х-—, будем иметь
( Ъ \ 13
l°g ι —α2 + 2 = 1; это соотношение дает равенство а2 — = —а2 + 2,
а2--^ 2 ) 2 2
-α2=-,α2 = 1,α = ±1.
2 2
Видим, что соотношение справедливо не для всех значений
параметра а, а только для а = ±1.
Если же в исходное уравнение подставить χ = 1, то в этом
случае получаем тождество. Действительно, loga2+2(a2+2) = 21og93,
loga2+2(a2+2) = log99, 1 = 1.
Ответ: 1.
2.98. Решить уравнение
9arcsin(2x+i) + l0g3[2arcsin(2x +1)]-3arccos(6*+3) + log! arccos(6x + 3) = 0.
3
Решение
Запишем исходное уравнение в виде
32arcsin(2x+i) + l0g3[2arcsin(2x + 1)] = 3arccos^+3) + log3arccos(6x+ 3).
Рассмотрим функцию ДО = 3t + log3t. Видим, что левая часть
последнего уравнения получается при t = 2arcsin(2x: + 1), а правая часть —
при t = arccos(6x + 3). Так как функция/(t) = 3t + log3t монотонна (она
возрастающая, как сумма двух возрастающих функций), то согласно
теореме 2.1 уравнение/(2arcsin(2x: + 1)) =/(arccos(6x + 3)) на своей области
определения равносильно уравнению 2arcsin(2x: + 1) = arccos(6x + 3),
а оно равносильно системе
[cos [arcsin(2x +1) ] = 6х + 3,
[0<2arcsin(2x + l)^ (поопределению arccosa);
-3±V9 + 8
|1-2у2=Зу,
[0<у<1, щеу = 2х + 1;
У = - 4
0<у<1.
-3-λ/Ϊ7 п . .,
Корень у = не удовлетворяет неравенству 0 < у < 1, а у =
λ/Ϊ7-3 _ _ _ λ/Ϊ7-3
= удовлетворяет. Окончательно имеем 2х + 1 = , χ =
= у/У7-7
8
у/У7-7
Ответ: .
8
76

2.99. Решить уравнение
21og^(l + Vx) + 3log^(l-x2) + lg(l + sin2x) = 0.
Решение
Область определения уравнения задается системой
\х>0,
«1 + л/х>0,
[l-x2>0,
откуда χ ε [0; 1).
Оценим каждое слагаемое левой части уравнения.
Таккак1 + л/х>1, To21og^(l + Vx)>0.
Таккак0<1-х2<1, To3log^(l-x2)>0.
Из того, что 1 + sin2x > 1, делаем вывод: lg (1 + sin2x) > 0.
Каждое слагаемое не меньше нуля, поэтому сумма будет равна
нулю только в том случае, если одновременно выполняются равенства
21og^r(l + Vx) = 0,31og^ (1 - χ2) = 0, lg (1 + sin2x) = 0. Это возможно лишь
при χ = 0.
Ответ: 0.
Задачи для самостоятельного решения
2.1. Пользуясь свойствами логарифмической функции, обосновать,
почему нижеследующие уравнения не имеют корней:
а) log7(7 + χ2) + log7(l + χ4) = 0,7;
6)log3(x2+9) + log3(V^ + 3) = 2;
в) logi(x2+l) + log^(Vx+l) = -;
5 5
г) lg(x-2)-lg(x + 7) = Vx.
2.2. Решить уравнения:
1) log>/5_1(jc2-3jc + l) = log>/5+1(jc-2);
2)log2- = 5-log2-;
X X
3) log§^-log3^ = l;
4) log4(4x-3)-logx2 = l;
5) log5(x + 5)2 + log5(x + 3) = 21og5(x2 - 6);
б) 2 + log3(x2-2x + l) = logv§(2x-4);
77

7) (χ - l)lgC^« + 100 = ЮОх;
8) x;5-iog3*=81;
m ^.log§x+log3χ _g.
10) log2(3x-l)='log2(x-5);
11) |log2(x + 2)| + |log2x|=2;
12) log2x_15 +
log2(2x-l) lg(4x2-4x + l)'
13) loggX · log7x = loggX + log7x - 1;
14) log2(x2 -6x + 13)Wx2 -6x + 5 = 3;
15) log2)5(4x + 13)-log^3 = l,5log2>5^4;
-.^i , ^ log2(2x + l)2 1
16) log8(x + 7) s^i- i- = - -.
9 log3 8
2.3. Решить уравнения:
I) log^ + loggx = 4;
2)log3x-21ogix = 9;
3
3) log^(x + 4) + log0)5(x + 4) = 3;
4)log16x-logo)25x = 2logo'53;
5) 21og5log3X + log0 2log3X = 1;
6)lg|x| -lg(-x) = l;
1 6
log2x + l log2x + 5
8) log^x + 21og4x-16 = 3loS3iog2^
9) log§5x-log4>/x=2;
10) logJ§x + log^x = logJtl;
II) log2(x + 2)-log2(8x + 16) = log2(4x + 8) + log^(x + 2);
12) Vlog264x = log2x;
13) yl2 + log3x-yJ\ogsx-3=l;
14) log7x + 4logx7 = 21og^5;
15) 41og9(x + l) + log^V2 = log28-21ogx+13;
16) 21og12
x + -
6 Ϊ
x-5
5
= log
( 3
12
x-2 x-3
+ 3;
17) logx5V5-- = log2V5;
18) VlogxV3~x"log3x = -l;
19) ^logx 5л/5 + log^ 5л/5 · log^ χ = -л/б;
20) logx2 1ogA2 = logA2;
16 64
78

21) 5log4
Г 9
x + 8
-χ
= 31ogz
4 9
ν
10
1 ϊ
У
22) 21og12 x +
6
x + 1 x + 9
3 2 ^
+ 16;
i = 31og12i -
x-5) \x-2 x-3
+ 3;
__. , 1 + sinx
23) logctgx- = 1;
1-cosx
24) logsinxtgx - 21ogt™sinx = 1;
25) log
( ι
sin χ
sinx—cosx =3:
2 J
26) ^cos6(x2 sinx) -1 = log§(9x2 + 3x +1);
27) ll-
tog«3
= 5log2
3-0,2
X
\0.2^\
28) /16-
29) loga
30) log2
log* 2
( 1
V
= 21og2
Ι\°'5λ
2- 4-х
logi
x-3 x-2
2 "i ι x-4
' + log3
logo,'
Г ι
-+-
1 Ϊ
x+1 x-3
+ log:
2x-4
2(x-l)
' 2x-3
+ logil = 0;
3
+ log0j52 = 0.
2.4. Решить логарифмические уравнения:
1) log2(3-x2)=log22x;
2) log4log3log2X = 0;
3) log2(x2 + 9) - log2(x + 3) = 21og2(x - 1);
4) 2 log2 ^—+log2 ?-— = 1;
x-1 x+1
5) lg2(x + 1) = lg(x + l)lg(x - 1) + 21g2(x - 1);
6) lg2x - 31gx = lg2x2 - 4;
7) i-2lg2x2_ = 1;
lgx-21g2x
8) lgx + 61gV2 + x = 21gVx2 + 2x + 4;
9) lg (lgx) + lg (lg*3 - 2) = 0;
10) 21og3(x - 2) + log3(x - 4)2 = 0;
11) log2log3(x2-16)-log1log1
x2-16
= 2;
12) log χ2 = 1ο§χ4;
x+—
8
( Ιλ
13) logx+1 x-- =log χ (x + 1);
14) logx(2x*-2-l) + 4 = 2x;
79

15) l°Sx2+6x+8\}og2x2+2x+3ix2 -2x)] = 0;
16) 4log^Vx + 21og4xx2=31og2xx3;
2
17) ^/log^5x+21og;c5 = 0.
2.5. Решить уравнения, содержащие логарифмические выражения:
а) χΐ+is* = 10х;
б) xiogx(x+3)2 =64;
В) Xl0g298=14-l082 7;
г) |χ-1|1β2*-18*2 = |χ-1|3.
2.6. Решить уравнения:
a) log4(l - 24х) · log!_3x2 = 1;
6 Ί , Г 3 1 ^
б) 21og12
х + -
х-5
= log
12
х-2 х-3
+ 3;
в) lgxy= 21g—+ lgx-lgy.
V у
2.7. Решить уравнение log3 49 vx + log3 л/7 = 3,5log3 7.
2.8. Решить уравнение cos2(xsinx) = l + log§ vx2 +x + l.
2.9. Найти произведение корней уравнения 52(1°si3*)2 -6-5(1°si3*)2 +
+ 5 = 0.
2.10. Решить уравнение (4х-х2 -3)log2(l + cos27Dc) = l.
jz _log3|x|+logM3
2л/2
2.11. Решить уравнение sin-
х2+6х + 13
2.12. Найти, при каких значениях параметра α уравнение logx(ax -
- 4) = 2 имеет ровно два различных корня.
2.13. Определить, при каких значениях α сумма квадратов корней
уравнения 21oga |х - 21 - logaX = 1 равна 28.
2.14. Найти сумму корней уравнения
[log3(8x + 31)-l] = 0.
2.15. Решить уравнение lg(x + 9) + 21g2(2x-l) + Vx-l =1.
Указание: использовать тот факт, что χ > 1.
2.16. Определить, чему равна сумма корней уравнения
л/16-х2 logx+1 (Зх - 2) = 0.
Указание: применить условие равенства нулю произведения двух
функций.
2.17. Определить, сколько корней имеет уравнение
( \
л/4-х2
2-log J sinx
12
= 0.
80

Указание: применить условие равенства нулю произведения двух
функций.
2.18. Решить уравнение
log8(x2 - Зх + 2) = log3(3x - χ2 + 9).
Указание: заменить уравнение системой уравнений.
2.19. Решить уравнение
(4cos2x + 4V3cosx + 7)(4log§tgy-log3(ctgy)4+9) = 32.
Указание: применить оценку левой и правой частей уравнения.

Глава 3
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
И НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ НЕИЗВЕСТНОЕ
ПОД ЗНАКОМ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
Определение 3.1. Логарифмическим неравенством называется
неравенство, в котором неизвестное находится только под знаком
логарифма или в основании логарифма (или и то и другое одновременно).
Неравенства log2(x - 4) > 4, logx+224 < 0, lg2x + lgx + 5 > О,
logx2+1(* + 4) > logx2+1 x являются логарифмическими.
Неравенства xlgx > 1, Vx +1 + log2(x +1) < 0, 2lo&x >4x + 3
логарифмическими не являются, мы их будем называть неравенствами,
содержащими неизвестное под знаком логарифмической функции.
3.1. Основные утверждения, необходимые для решения
различного рода неравенств
Приведем основные утверждения о равносильности неравенств.
Ρ (χ)
1. Неравенство — > 0 равносильно неравенству Pn(x)Qm(x) > 0.
Ρ (χ)
2. Неравенство — >0 равносильно системе неравенств
[P„(x)Qm(x)>0,
Ρ (χ)
3. Неравенство — < 0 равносильно неравенству Pn(x)Qm(x) < 0.
Ρ (χ)
4. Неравенство — <0 равносильно системе неравенств
QmW
[P„(x)Qm(x)<0,
[QmM^O.
Ρ 00
5. Неравенство — >0 равносильно совокупности двух систем
Qm 00
ГРи(дс)>0, (>„(*) <0,
неравенств < или <
[Qm(x)>0 [Qm(x)<0.
82

Ρ (χ)
6. Неравенство — < 0 равносильно совокупности двух систем
QmM
[Р„(х)>0, [Р„(х)<0,
неравенств < или <
[Qm(x)<0 [Qm(x)>0.
7. Неравенства Дх) > g(x) и/(χ) - g(x) > 0 равносильны.
8. Неравенства Дх) > g(x) и -Дх) < -g(x) равносильны.
9. Если а > О, то неравенства Дх) > g(x) и af00 < ag(x) равносильны.
10. Если а < 0, то неравенстваДх) > g(x) и аДх) < ag(x) равносильны.
11. Если для всех хе Μ φ(χ) = g(x), то на множестве Μ неравенства
/(*) > g(X) и Дх) > φ(χ) равносильны.
12. Если для всех χ е Μ φ(χ) > 0, то на множестве Μ неравенства
/(*) >g(X) иДх)ф(х) >g(x)(p(x) равносильны.
13. Если для всех χ е Μ φ(χ) < 0, то на множестве Μ неравенства
/(*) > g00 и φ(χ)/(χ) < φ00g00 равносильны.
14. Неравенство видаД |х|) < g(x) равносильно совокупности двух
Г χ < 0, Гх > 0,
систем неравенств < _ [ , х или i „
Р !/(-*) <g(*) \/(x)<g(x).
15. Неравенство вида |Дх) | < g(x) равносильно совокупности двух
JgU)>0, fgU)<0,
систем неравенств < , ч „ ч , ч или . ^
[-g(*)</(x)<g(x) [xe0
16. Неравенство вида |Дх) | > g(x) равносильно совокупности двух
[g(x)>0,
/Μ > g(X)> или < ' где Μ — область опре-
\хеМ,
№<-gM L
систем неравенств
деления исходного неравенства.
17. Неравенство вида |Д|х|)| < g(x) равносильно совокупности
Гх < 0, Гх > 0,
двух систем неравенств <. пг \. , ч или i, „ ',
' F ll/(-*)|<g(*) ll/(*)|<g(*).
18. Неравенство вида |Д|х|)| < g(x) равносильно неравенству
-g(*)</(M)<g(*).
19. Неравенство вида |Д|х|)| > g00 равносильно совокупности
{х < 0, Гл: > 0,
■ г г \, , ч ИЛИ<! „ ' , ч
|/(-*)|>g(*) ll/(Jc)|>g(jc).
20. Неравенство вида |Д|х|)| > g(x) равносильно совокупности
7(1 *!)>*(*),
/(|x|)<-g(x).
21. Неравенство вида |Дх) | > |g(x)| равносильно неравенству
(fix))2 > (g(*))2.
22. Если неравенство, обе части которого неотрицательны при всех
значениях неизвестного из области определения неравенства, возвести
в любую натуральную степень, то получим неравенство того же смысла,
равносильное данному, т.е. если дано неравенство/х(х) >f200, причем
83
двух неравенств

при всех χ из области определения неравенства/х(х) > 0 и/2(х) > 0, то
неравенство (f1(x))n> (f2(x))n равносильно данному.
23. Если для всех χ е Mf(x) > 0 и g(x) > О, то на множестве Μ
неравенства Дх) >g(x) и (f(x))2n> (g(x))2n, где π ε Ν, равносильны.
24. Если обе части неравенства возвести в нечетную
натуральную степень, то получим неравенство того же смысла,
равносильное данному, т.е. если дано неравенство/г(х) >f2(x), то неравенство
(f(x))2n+1 > (g(x))2n+1 равносильно данному.
25. Неравенство вида 2^/Дх) <2jsjg{x), π ε Ν, равносильно системе
Дх)>0,
/(x)<g(x).
26. Неравенство вида 2n+}jf(x) < 2n+^/g(x), π ε Ν, равносильно
неравенству Дх) < g (χ).
27. Неравенство вида 2^/Дх) < g(x), π ε Ν, равносильно системе
Дх)>0,
g(*)>0,
7(*)<№))2η·
28. Неравенство вида 2п+^/Дх) < g(x), π ε Ν, равносильно
неравенству Дх) < (g(x))2n+1.
29. Неравенство вида 2^/Дх) > g(x), π ε Ν, равносильно
совокупного) <0, fgU)>0,
сти двух систем неравенств < _ х . и ί
У 1/U)>g(x) l/(x)>(g(x))2".
30. Неравенство вида 2п+^/Дх) > g(x), π ε Ν, равносильно
неравенству Дх) > (g(x))2n+1.
31. Если α > 1, то неравенство of Μ > α#Μ равносильно неравенству
/(*) > g(*)> ^ неравенство af№ < а$№ — неравенствуДх) < g(x).
32. Если 0 < а < 1, то неравенство α/W > ag(x) равносильно
неравенству Дх) < g(x), а неравенство a/W < ag(x) — неравенству Дх) > g(x).
33. Если а > 1, то неравенство log/Cx) < logag(x) в области его
определения равносильно неравенству Дх) < g(x), а неравенство
l°gaAx) > 1°δα^(χ) Β области его определения равносильно системе
7(*)>0,
g(x)>0,
/(x)>g(x).
34. Если 0 < а < 1, то неравенство log/Cx) < logag(x) в области
его определения равносильно неравенству Дх) > g(x), а неравенство
logoff) > l°ga£(x) B области его определения равносильно системе
7(*)>0,
gU)>0,
/(x)<g(x).
35. Неравенство f(x)sM > /(х)фМ равносильно совокупности двух
систем /(х)>1' или|°</(х)<1'
g(x)>(p(x) 1g(x)<(p(x).
84

двух систем неравенств
двух систем неравенств
36. Неравенство f(x)sM <f(x)vOc) равносильно совокупности двух
систем ίfW > Х или {° < fW < Х
jgU) < φΟ) jgU) > <р(х) ·
37. Неравенство log9(x/(x) > log9(x)g(x) равносильно совокупности
f φ(χ) > 1, ίΟ < φ(χ) < 1,
/(χ) > g(x), или I fix) < g(x),
[g(*)>0 [/(*)>0.
38. Неравенство log9(x/(x) < log9(x)g(x) равносильно совокупности
ίφ(χ) > 1, ίθ < φ(χ) < 1,
/(χ) < g(x), или I fix) > g(x),
[/(*)> 0 [g(*)>0.
Мы уже отметили, что между методами решений логарифмических
уравнений и логарифмических неравенств есть существенные
отличия. Первое отличие заключается в том, что для решения неравенств
необходимо устанавливать характер монотонности соответствующей
логарифмической функции в зависимости от величины ее основания.
Второе отличие состоит в том, что решением неравенства, как правило,
является бесконечное множество чисел, и значит, о выполнении
проверки найденных решений не может быть и речи, поскольку, в отличие
от уравнений, это просто невозможно. Поэтому при решении
логарифмических неравенств особое значение приобретает умение проводить
равносильные преобразования неравенств.
Так, рассматривая на примерах решение неравенств вида
logoff) > l°gagOd, мы установили, что в случае, когда а > 1, оно равно-
[/(*)> g(x),
fix) > 0, или, что то же самое, системе
g(x)>0,
сильно системе неравенств
[/(*)> g(x),
lg(*)>0;
а в случае, когда 0 < а < 1, неравенство \o%J(x) > logag(x)
\fix)<gix),
равносильно системе неравенств <
Совершенно аналогично рассматривается вопрос и о решении
неравенств вида log/Oc) > logag(x), loga/(jc) < logag(x), loga/(jc) < logag(x),
для которых, разумеется, a > 0, α Φ 1.
Например, в случае, когда a > 1, неравенство log/Cx) > logag(x)
равносильно системе
\fix)>gix),
в которой первая строка следует из того,
\gix) > О,
что функция у - logat, связывающая обе части неравенства, является
возрастающей при выбранном значении а, вторая же строка системы
является требованием того, что оба логарифма log^Cx) и logag(x)
для найденных значений χ будут определены. Еще раз обратим
внимание на то, что при а > 1 неравенство \ogJ0c) > logag(x) равносильно
85

системе <
ff(x)>g(x),
fix) > О, которую можно упростить. Действительно, если
[g(x)>0,
gix) > О и fix) > gix), то fix) > О, и значит, требование fix) > О
является избыточным, ввиду того что оно следует автоматически из
неравенств fix) > gix) и gix) > 0; в случае же, когда 0 < а < 1, неравенство
rfix)<gix),
Jix)>0.
ifix)>gix),
Заметим, что система неравенств ^/(х)>0, не равносильна
log/Cx) > logag(x) равносильно системе
gix)>0
системе
\fix)>gix),
loga/(x)>logag(x)^>
fix)>0.
Наглядно все это можно записать так:
fix)>gix),
g(*)>0,
α>1,
fix)<gix),
Дх)>0,
0<α<1.
Вопрос о равносильности неравенств вида loga/(x) < logag(x),
log/Cx) < logag(x) мы оставим читателю в качестве полезного
упражнения.
Замечание. Уже не остается каких-либо сомнений в том, что
неравенства наиболее целесообразно решать методом равносильных
преобразований. Но ни в коем случае не следует заучивать наизусть, какой
тип неравенств какой системе равносилен. Нужно просто научиться
рассуждать. Пусть, для примера, мы решаем неравенство log/Cx) <
< logag(x) в случае, когда 0 < а < 1. Тогда из-за убывания при 0 < а < 1
функции у = logat записываем, что fix) > gix) (т.е. изменили знак),
но при этом величины fix) и gix) должны быть положительными,
значит, исходное неравенство сводится к системе неравенств
\fix)>gix),
Дх)>0,
[gix)>0.
Теперь анализируем полученную систему и выясняем, можно ли ее
упростить:
1) если fix) > gix) и fix) > 0, то о знаке значений выражения gix)
ничего не ясно (они могут быть как положительными, так и отрица-
86

тельными), следовательно, из первого и второго неравенств системы
третье не следует;
2) если Дх) > g(x) и g(x) > О, то величина Дх) гарантированно
положительна, и значит, из первого и третьего неравенств системы второе
следует. Таким образом, мы можем написать цепочку равносильных
переходов:
i/(*)>g(*), frr л г л
/00>g00,
loga/W<logag(jc)<=>^g(jc)>0, <Ы
LM n [g(*)>o.
При решении логарифмических неравенств удобно пользоваться
следующими правилами:
а) знак выражения log/Cr) совпадает со знаком произведения (а -1) χ
х (f(x) - 1) на области допустимых значений выражения log^Cr);
б) знак разности \ogJ(x) - logag(x) совпадает со знаком
произведения (а - l)(f(x) - g(x)) на области допустимых значений исходного
выражения;
в) знак выражения logg(x)f(x) совпадает со знаком произведения
(g(x) - l)(f(x) - 1) на области допустимых значений исходного
выражения;
г) знак разности \ogg^f(x) - loggK)(p(x) совпадает со знаком
произведения (g(x) - l)(f(x) - φΟΟ) на области допустимых значений исходного
выражения.
Укажем и другие замены выражений, которые приводят к
рационализации неравенств:
а) ах -Ъ на (а - 1)(х - logab);
б) logab - с на (а - l)(b - ас);
в) 2^-Ьна(а-Ь2*9.
Замечание. Здесь b > 0, а в случаях б) и в) b > 0. Как правило, a, b, с
являются функциями.
Каждая из указанных замен приводит обычно к изменению области
определения неравенства, причем, и это очень важно, область
определения нового неравенства шире, чем у исходного, так что потери
решений не происходит, а полученные в конце работы над неравенством
решения надо еще проверить на вхождение в область определения
исходного неравенства. Другими словами, решениями исходного
неравенства будут те из полученных решений, которые лежат в его области
определения, в таком случае мы будем говорить, что новое неравенство
равносильно исходному на его области определения. Следовательно,
надо начинать решение неравенства с нахождения его области
определения. Заметим также, когда a, b, с зависят от х, получаемое после
замены неравенство вовсе не обязательно будет рациональным.
Рассмотрим примеры, которые проиллюстрируют целесообразность
использования указанных выше замен выражений при решении
неравенств.
87

3.1. Решить неравенство
(2x2+i-32)(|3x + l|-4)(^x + l-l)logx+3(x2-6x + 6)<0.
Решение
Найдем область определения исходного неравенства:
Гх + 1>0,
х + 3>0,
[х2-6х + 6>0.
Получаем χ е [-1; 3- 7з) и (3 + л/3; + <*>).
Используя указанные выше замены, получаем
(х2+1-5)[(Зх+1)2-16][(х+1)-1] х
х [(х2 - вх + 6) - 1] [(* + 3) - 1] < 0.
Решение этого неравенства не представляет сложности,
предоставляем читателю возможность получить ответ (не забудьте учесть область
определения исходного неравенства).
3.2. Решить неравенство | χ \χ2-χ~2< Ι.
Решение
Областью определения исходного неравенства являются все
действительные числа, кроме нуля.
Перепишем неравенство в виде |х|*2~*~2 -1<0. Используя
указанные замены, получим
(|х| -1)(х2-х-2)<0,
(х2-1)(х2-х-2)<0,
(х+1)2(х-1)(х-2)<0,
откуда методом интервалов находим ответ χ е (1; 2).
Ответ: (1; 2).
Остановимся более подробное на двух очень интересных
логарифмических соотношениях, которые полезно использовать при решении
логарифмических неравенств:
1) неравенство logg(x)f(x) < 0 на области его определения
равносильно неравенству (Дх) - l)(g(x) - 1) < 0;
2) неравенство logg(x)f(x) > 0 на области его определения
равносильно неравенству (Дх) - l)(g(x) - 1) > 0.
Действительно, при g(x) > 1 имеем Дх) > 1 — утверждение верно;
при 0 < g(x) < 1 получаем Дх) < 1, и наше утверждение опять верно, так
как g(x) - 1 < 0 и Дх) - 1 < 0.
Применим последнее соотношение к решению неравенств.
88

3.3. Решить неравенство log3x(42x:2 - 13х + 1) > 0.
Решение
Итак, имеем (42х2 - 13х)(3х - 1) > 0, откуда с учетом области опре-
( \\ (I 13Л (1
деления исходного неравенства следует χ е
Ответ:
(ι 1ъЛ (ι
°;7
1 6 42 J 1з'
6'42
и
3
3.4. Решить неравенство log(2_X)(x + 2) · log(x+3)(3 -χ) < 0.
Решение
Применяя указанное выше утверждение, получаем
(х+1)(1-х)(2-х)(х + 2)<0. (*)
Область определения исходного неравенства задается системой
г* + 2>0,
|2-х>0,
3-х>0
х + 3>0,
хФ-2,
откуда χ е (-2; 1) и (1; 2).
Тогда, учитывая эту область определения и решив методом
интервалов неравенство (*), окончательно имеем χ ε (-2; -1] u (1; 2).
Ответ: (-2; -1] u (1; 2).
3.2. Логарифмические неравенства
При решении логарифмических неравенств используют методы
решения алгебраических неравенств, логарифмических уравнений,
а также свойства логарифмической функции.
Сделаем одно важное замечание. Если при решении
логарифмических уравнений можно было использовать преобразования,
приводящие к появлению посторонних корней (их всегда можно устранить
на заключительном этапе решения с помощью проверки), то при
решении неравенств рассчитывать на проверку нельзя, так как множество
решений неравенства, как правило, бесконечно. Вот почему решение
неравенств надо в большинстве случаев начинать с нахождения
области определения неравенства и затем тщательно следить за
равносильностью всех совершаемых преобразований.
Для более успешного решения логарифмических неравенств,
помимо тех общих соображений, которые мы привели в параграфе 2.1
(они обозначены номерами I—IV), мы приведем здесь еще несколько
общих рекомендаций.
89

V. При решении логарифмических неравенств надо пытаться
привести все встречающиеся в неравенстве логарифмы к одному основанию.
VI. Если все логарифмы в неравенстве имеют одно основание, надо
посмотреть, нельзя ли какое-то выражение в этом неравенстве взять
в качестве новой переменной.
Перейдем к решению конкретных логарифмические неравенств.
3.5. Решить неравенство log^ · log033 < log0j37.
Решение
Разделим обе части неравенства на число log0 33, учитывая, что оно
logo з 7
отрицательно. Получим log3x>- -—, откуда log3x > log37. Оконча-
logo,3 3
тельно имеем χ > 7.
Ответ: (7; +<*>).
3.6. Решить неравенство log^ · log5x < log25.
Решение
Представим неравенство в виде —^—. log5 χ > 1, откуда
log25
log5x · log5x > 1, log§ χ -1 > 0,
~x>5,
(log5x-l)aog5x+l)>0,
log5x>l,
iog5 χ ^ -i;
1
0<x<-.
5
(
0;
V
1]
sj
fir \
Ответ: 0; — u|_5; + ooj.
3.7. Решить неравенство log0j5(x - 1) > -2.
Решение
Из заданного неравенства получаем неравенство log0j5(* - 1) >
> -21og0j50,5, откуда имеем log0j5(* - 1) > log0j522. Решением этого
неравенства является система неравенств
х-1>0, Гх>1,
х-1<4; |х<5.
Ответ: (1; 5).
3.8. Решить неравенство log07(2x: - 3) > log0j7(6 - χ).
Решение
Чтобы решить заданное неравенство, заметим, что функция
у = logo 7f> связывающая выражения 2х - 3 и 6 - х, является
убывающей, так как ее основание меньше единицы. Это означает, что
большему значению функции будет соответствовать меньшее значение
аргумента, т.е. из неравенства log0j7(2x: - 3) > log07(6 - χ) следует
неравенство 2х - 3 < 6 - х. Учитывая область определения логарифмической
функции, имеем систему
90

2x-3<6-x,
2χ-3>0,
6 - χ > Ο,
откуда 1,5 <χ< 3.
Ответ: (1,5; 3).
3.9. Решить неравенство log7(x - 1) > log7(2x: - 5).
Решение
Функция у = log7t, связывающая выражения χ - 1 и 2х - 5, является
возрастающей, а значит, большему значению функции будет
соответствовать большее значение аргумента, т.е. из неравенства log7(x - 1) >
> log7(2x: - 5) следует неравенство х-1>2х-5.С учетом области
определения логарифмической функции исходное неравенство равносильно
системе
х-1>2х-5,
х-1>0,
2х-5>0,
откуда 2,5 < χ < 4.
Ответ: (2,5; 4).
3.10. Решить неравенство logx log2(x2 -3) > 0.
з
Решение
Представим заданное неравенство в виде logx log2(x2-3)>log11.
3 3
Так как основание — меньше 1, то последнее неравенство равносильно
системе
log2(x2-3)<l,
log2(x2-3)>0,
х2-3>0,
откуда имеем
log2(x2-3)<log22,
log2(x2-3)>0,
х2-3>0;
х2-3<2,
х2-3<2,
log2(x2 -3) > log21А х2 -3 > 1, Ux-2)(х + 2) > 0,
(х-л/5)(х + л/5)<0,
х2-3>0;
х2-3>0;
(х-л/з)(х + 7з)>0.
Решая каждое неравенство методом интервалов и находя
пересечение полученных промежутков, получим следующую совокупность чис-
2 < χ < л/5,
-л/5<х<-2.
Ответ: (-V5; -2)и(2; V5).
ловых промежутков:
91

3.11. Решить неравенство logn_3(x2 + χ + 31) < log^ClOx +11).
Решение
Ввиду того что 0 < π - 3 < 1, функция у = log7l_3t убывающая, и значит,
исходное неравенство равносильно системе неравенств
х2+х + 31>10х + 11,
х2+х + 31>0,
10х + 11>0,
которая в свою очередь равносильна системе
rx2+x + 31>10x + llJ^2-9x + 20>0j(x-4)(x-5)>0,
[10х + 11>0; ]х>-1,1; [х>-1,1.
совокупность промежутков
Решая первое неравенство системы методом интервалов, получаем
~х>5,
-1,1<х<4.
Ответ: (-1,1; 4] и [5; +°°).
3.12. Решить неравенство, в ответе записать количество целых
чисел, являющихся решениями этого неравенства и содержащихся
35-х2 1
в интервале (-10; 10): logx >—.
4 Х 2
Решение
Область определения неравенства определяется неравенством
35-х2 Л (x-V35)(x + V35) Л
> 0, < 0,
χ χ
х<-л/35,
0<x<V35.
С учетом области определения неравенства имеем
откуда
35-х2 ίΐλ 2 35-х2 _ 35-х2-2х
<
v^y
X
<2,
<0,
х2+2х-35^0 (х + 7)(х-5)^0
χ
Решая последнее неравенство методом интервалов, получаем
-7<х<0,
С учетом области определения исходного неравенства мы
5 < χ < +оо.
-7 < χ < - V35,
5<x<V35.
Количество целых чисел, являющихся решениями этого неравенства
и содержащихся в интервале (-10; 10) равно трем.
Ответ: 3.
можем записать
92

3.13. Решить неравенство
1ο&,_4(2χ - 9)log2x_^ < log^Cx - 3i8)logJC_383.
Решение
Представим все логарифмические выражения, входящие в
неравенство, в виде логарифмических выражений по основанию χ - 4. Будем
иметь:
log;c_4(2x - 9)Ί l0g*-471 ^ < log;c_4(x - 3,8): l°gx~4 3
log;c_4(2x-9) -"*-*- "" log;c_4(x-3,8)
Сократив, получим logx_^ < log^S.
Поскольку логарифмические выражения связаны знаком <, а π > 3,
то это возможно только в случае убывающей логарифмической
функции, следовательно, logx_^ < log^S равносильно тому, что 0 < χ - 4 < 1,
откуда 4 <х< 5.
Следует учесть область определения исходного неравенства, которая
задается системой
2х-9>0,
2х-9*1,
х-3,8>0,
х- 3,8*1,
Гх>4,5,
откуда получаем <
I JL "г Т",О·
Окончательно имеем
"4,5 < χ < 4,8,
4,8<х<5.
Ответ: (4,5; 4,8) и (4,8; 5).
3.14. Решить неравенство log| х+ | log2 χ + 2 \ < 4.
Решение
Пусть \og-pc = t, тогда исходное неравенство можно представить
в виде t2+ 11 + 21 < 4.
Решим получившееся неравенство:
t2-4 + \t + 2\ <0,
(t-2)(t + 2)+ |t + 2| <0.
Раскроем модуль.
ft + 2>0, ft + 2 > 0, Jt>-2,
{(t-2)(t + 2) + (t + 2)<0;{(t + 2)(t-2 + l)<0;{(t + 2)(t-l)<0.
Решив последнее неравенство системы методом интервалов,
получаем -2 < t < 1, откуда -2 < log^ < 1, и значит, — < χ < 2.
93

б)
t + 2<0,
\t < -2,
t < -2,
чаем
(t-2)(t + 2)-(t + 2)<0; [(t + 2)(t-2-l)<0; [(t + 2)(t-3)<0.
Решив последнее неравенство системы методом интервалов, полу-
ft < -2,
-2<t<3
Видим, что система не имеет решений.
Ответ:
;2
3.15. Решить неравенство log8(x2 - 4х + 3) < 1.
Решение
Запишем заданное неравенство в следующем виде: log8(x2 - 4х + 3) <
< log88.
ίχ2-4χ + 3>0,
Это неравенство равносильно системе < откуда
[х2-4х + 3<8,
[х2-4х + 3>0,
|х2-4х-5<0.
Решение этой системы будет представлено в следующем виде:
х<1,
х>3,
-1 < χ < 5,
откуда*е (-1; 1) и (3; 5).
Ответ: (-1; 1) и (3; 5).
(
3.16. Решить неравенство log0j6 log6
у X ~г Ц-
Решение
х2+х
<0.
Предоставим читателю возможность самостоятельно найти область
определения заданного неравенства, мы же только приведем здесь
результат: χ е (-4; -2) и (2; +°°).
Перейдем к решению исходного неравенства. Запишем его в виде
(
х2+х^
l0g4l0g6 х + 4
^log0;6l.
Учитывая, что основание логарифма (число 0,6) меньше единицы,
будем иметь log6
х2+х
х + 4
>1. Последнее неравенство запишем в виде
loge
х2+х
> log6 6, откуда
х2+х
>6. Решая последнее неравенство, на-
х + 4 х+4
ходим χ g (-4; -3) и (8; +«>).
Учитывая область определения исходного неравенства,
окончательно будем иметь χ е (-4; -3) и (8; +«>).
Ответ: (-4; -3) и (8; +°°).
94

3.17. Решить неравенство lg (χ - 1) + lg (x + 1) > 1.
Решение
Заданное неравенство равносильно системе неравенств
х-1>0,
х + 1>0,
х2-1>10,
откуда χе (VU; + oo).
Ответ: (vll; + °o).
3.18. Решить неравенство log2x_x2
3λ
χ—
2
>0.
Решение
Перейдем в заданном неравенстве к логарифмам по основанию 10.
Будем иметь
lg
х-
v
lg(2x-x2)
>0.
Полученное неравенство равносильно совокупности двух систем
неравенств
lgfx-|!>0,
V 2) или·!
lg(2x-x2)>0
lg
/
3λ
χ —
2
<0,
lg(2x-x2)<0.
Первая система решений не имеет (предоставляем читателю
возможность самостоятельно обнаружить этот факт), а вторая система
равносильна системе
0<х— <1,
2 или<!
0<2х-х2<1,
3 5
— <х<—,
2 2
0<х<2,
откуда χ g
Ответ:
и
(И
3.19. Решить неравенство logx_3(x2 - 4х + 3) < 0.
Решение
Так как основание логарифма содержит переменную х, то
рассмотрим два случая: х-3>1и0<х-3<1.
1. Рассмотрим случай χ - 3 > 1. Имеем
logx_3(x2 - 4х + 3) < log^l,
95

откуда
х-3>1,
χ2 - 4х + 3 > 0, или \
х2-4х + 3<1,
х>4,
3<x<2 + V2,
2-V2<x<l.
Эта система решений не имеет.
2. Рассмотрим случай 0 < χ - 3 < 1. Имеем
0<х-3<1,
х2-4х + 3>0,
х2-4х + 3>1,
откуда
3 < χ < 4,
x<2-V2,
x>2 + V2.
Окончательно получаем хе(2 + V2; 4).
Omeem:(2 + V2;4).
3.20. Решить неравенство logx2 (*2 - 4х + 3) > logx2 *2.
Решение
Исходное неравенство равносильно совокупности двух систем
неравенств:
х2 >1,
х2-4х + 3>х2, или
[0<х2<1,
0<х2-4х + 3<х2.
х2-4х + 3>0
Первая система равносильна совокупности двух систем неравенств:
\х>1, [х<-1,
или<
|-4х + 3>0 [-4х + 3>0,
из которых первая не имеет решений, а вторая система имеет решения
ХЕ (-оо; -1).
Вторая система совокупности равносильна совокупности систем
неравенств
0<х<1,
х2 - 4х + 3 > 0, или
-4х + 3<0
-1 < χ < 0,
х2-4х + 3>0,
-4х + 3<0.
Решения первой системы этой совокупности составляют промежу-
3
ток — < χ < 1, а вторая система не имеет решении.
96

Тогда решения исходного неравенства представляют собой объеди-
f 3 ^
нение двух промежутков (-©о; -1) и —; 1 .
Η )
(3 Л
Ответ: (-<*>;-1) и —;1 .
3.21. Решить неравенство log9 х2 + log§(-x) < 2.
Решение
Область определения этого неравенства задается промежутком
(—; 0).
Преобразуем исходное неравенство:
21og9|jr|+log§(-x)<2,
2~log3|x|+logi(-x)<2.
Учитывая, что χ < 0, раскроем модуль. Будем иметь
log3(-x) + log§(-x)<2.
Введя подстановку log3(-x) = t, будем иметь t2 + t - 2 < 0, откуда
-2 < t < 1. Переходя к переменной х, получим -2 < log3(-x) < 1, откуда
1
log3-<log3(-x)<log33.
1 1
Получим, с учетом того что 3>1:— < -х < 3, -3 < χ < —.
У У
Ответ:
9
3.22. Решить неравенство, в ответе записать наименьшее целое
решение:
lgOs/x + l + x)
lg^/x-40
Решение
Из исходного неравенства имеем
lg(Vx +1 + х) - 3 · -lg(x - 40)
^ >о,
|lg(x-40)
, νχ+1+χ
ig-
τ — 4Ω
откуда ——— > 0. Последнее неравенство равносильно совокуп-
lg(x-40)
ности
97

λ^ΤΪ + χ
6 x-40
lg(x-40)>0;
6 x-40
lg(x-40)<0;
Vx + l + 40>0,
[x > 41; Γχ > 41,
Vx + 1+4O<O,I_0'
40 < χ < 41;
x>41.
Наименьшее целое решение равно 42.
Ответ: 42.
3.23. Решить неравенство, в ответе записать количество целых
чисел, являющихся решениями этого неравенства и содержащихся
2х-6
в интервале (-10; 10): log7 >0.
Решение
Данное неравенство равносильно неравенству >1, откуда
2х-1
имеем
2х-6 , Л -5 1
1>0, >0, х<—.
2х-1 2х-1 2
Количество целых чисел, являющихся решениями этого неравенства
и содержащихся в интервале (-10; 10), равно 10.
Ответ: 10.
3.24. Найти все значения параметра а, при которых каждое
решение неравенства log! χ2 > log! (x+ 2) является решением неравенства
49х2 - 4а4 < 0.
Решение
Данное логарифмическое неравенство равносильно системе
х>-2,
х*0,
х2-х-2<0;
х>-2,
х*0,
-1 < χ < 2,
откуда -1 < χ < 0; 0 < χ ^ 2. Решением неравенства 49х2 - 4а4 < 0 явля-
Г 2а2 2а2"
ется отрезок ;
Для нахождения α составим систему неравенств
2а2
2а2
{ 7
<-1,
>2,
откуда
98

Л ^-> 1, α е (-<*>;-^7]u [л/7;+ °°).
2a >2, 7
7
Ответ: (-©о; - V7] u[V7; + °о).
3.25. Найти все значения параметра а, при которых неравенство
l+log2(2*2+2*+^log2(^ +a) имеет хотя бы одно решение.
Решение
7
Таккак2х2 + 2х + — > Оприхе R и αχ2 + α=α(χ2 +1) > 0 при a > 0, область
определения неравенства χ е R при a > 0. При этих условиях исходное
неравенство равносильно неравенству (4 - ά)χ2 + 4a + 7-a>0.
Если 4 - a > 0, то найдется хотя бы одно значение х, при котором
неравенство выполняется. Итак, а е (0; 4].
Если 4 - а < 0, то для существования хотя бы одного значения х,
при котором неравенство выполняется, необходимо, чтобы
дискриминант квадратного неравенства был неотрицательным: 4 - (4 - а) (7 -
- а) > 0, а2 - 11а + 24 < 0, откуда 3 < а < 8.
Окончательно получаем (0; 4] и [3; 8] = (0; 8].
Ответ: (0; 8].
3.26. Дано неравенство log3(x2 + 6х + 9) > 0. Из предложенных
вариантов ответов выбрать верный: 1) (0; +°°); 2) (-<*>; -4) и (-2; +<*>);
3) (-оо; -2) и (4; +оо); 4) (-4; -2).
Решение
Решать это неравенство можно путем сведения его к равносильной
системе
х2+6х + 9>0,
х2+6х + 9^1,
х2+6х + 9>1.
Но это займет много времени. Для экономии времени (это задание
взято из теста) можно поступить так: проверка показывает, что χ = 0
является решением, но нуль не входит во все ответы, кроме второго.
Ответ: правильным ответом является вариант 2.
33. Неравенства, содержащие
логарифмические выражения
Сразу приступим к решению задач.
3.27. Решить неравенство, в ответ записать наименьшее целое реше-
-*- 1
ние:21о&2* >—.
64
99

Решение
Область определения неравенства определяется системой нера-
Гх>0,
венств
\хф1.
Логарифмируя обе части исходного неравенства по основанию 2,
3 а
получим > -о, откуда имеем
log2x
3 + 61og2x
>0,
log2X +
>0.
log2 χ log2 x
Решением этого неравенства является совокупность неравенств
log2x>--,
log2x>0;
х<
V2
2 '
х>1.
С учетом области определения исходного неравенства получаем
л/2
совокупность неравенств
0<х<
2 ' Наименьшее целое решение
JL < χ < +оо.
равно 2.
Ответ: 2.
3.28. Решить неравенство, в ответе записать количество целых
чисел, являющихся решениями этого неравенства и содержащихся
х-1
в интервале (-10: 10): <1.
log3(9-3*)-3
Решение
Область определения неравенства определяется неравенством
9 - 3* > 0, 3* < 9, χ < 2.
Имеем
х-1 с1 x + 2-log3(9-3*bQ
log3(9-3*)-3 ' log3(9-3*)-3
[x + 2-log3(9-3*)>0,
[log3(9-3*)-3<0;
[x + 2-log3(9-3*)<0,
[log3(9-3*)-3>0;
[9-3*<9·3χ,
[9-3* < 27;
[9-3*>9·3χ,
[9-3* >27;
log3(9-3*)<x + 2,
log3(9-3*)<3;
log3(9-3*)>x + 2,
log3(9-3*)>3;
0,9 <3X,
3*>-18;
3*<0,9;
3*<-18,
100

откуда χ > log30,9. С учетом области определения неравенства получаем
log30,9 < χ < 2.
Количество целых чисел, являющихся решением этого неравенства
и содержащихся в интервале (-10; 10), равно двум.
Ответ: 2.
3.29. Решить неравенство xlog2
(
χ
+ 2
<101og!
- + 2
Решение
Преобразуем исходное неравенство к виду
xlog2(j+2J<-5log2(j+2J.
Рассмотрим последовательно три возможности для значений
выражения log2
- + 2
Л
Возможность 1: log2 — + 2 =0. В этом случае имеет место верное
\3 )
числовое неравенство 0 = 0 и, следовательно, все значения х, при кото-
[X ι Χ
— + 2=0, будут решениями исходного неравенства: — + 2 = 1,
3 ) 3
3
Л
Возможность 2: log2 —+ 2 <0. В этом случае, выполнив деление
\3 )
χ
\
+ 2
на выражение,
(χ \ ί
обеих частей неравенства xlog2 —+ 2 <-5log2
\3 ) х
принимающее только отрицательные значения, получим, что χ > -5.
(X \ X X
Решая неравенство log2 — + 2 <0, находим, что 0< — + 2<1, -2< — <
\3 J 3 3
<-1, -6 <х<-3.
Гх>-5,
Из системы < имеем -5 < χ < -3.
-6<χ<-3
(χ \
Возможность 3: log2 —+ 2 >0. Для таких значений переменной
\3 )
исходное неравенство преобразуется к неравенству χ < -5.
IX ι XX
—+ 2 >0, находим, что —+ 2>1, — >-1,
3 у 3 3
х>-3.
[х < -5,
Поскольку система < не имеет решений, в этом случае исход-
I J\, ^ О
ное неравенство решений не имеет.
Объединяя все полученные решения, получаем, что решениями
исходного неравенства будут все значения из отрезка [-5; -3].
Ответ: [-5; -3].
101

3.30. Решить неравенство log! (2х + 3) > 2х -1.
з
Решение
Введем подстановку 2х + 3 = t, тогда исходное неравенство
перепишется в виде log! t>t-4. Решим последнее неравенство графически.
з
С этой целью построим в одной системе координат графики функций
у = logi t и у = t - 4 (рис. 3.1).
з
Рис. 3.1
Графики функций пересеклись в точке М(3; -1). Для решения
неравенства нам необходимо указать такие значения t, при которых график
функции у = logx t расположен выше графика функции у = t - 4. Такое распо-
з
ложение графиков функций будет тогда, когда t принадлежит промежутку
(0; 3). Таким образом 0 < t < 3. Возвращаясь к переменной х, нам
необходимо решить двойное неравенство 0 < 2х + 3 < 3, что дает -1,5 < χ < 0.
Ответ: (-1,5; 0).
3.31. Решить неравенство xl0S2v* >2 4 ^ .
Решение
Найдем область определения исходного неравенства, она
представляет собой промежуток χ е (0; +«>).
На этом множестве функцииf(x) =хиg(x) = 2 положительны.
Логарифмируя исходное неравенство по основанию 2, получим
log2 yfx log2 χ < 2н—log| χ, откуда log| χ < 8, или -ν8 < log2 χ < v8.
Решениями последнего неравенства являются все χ из промежутка
Все эти χ входят в область определения заданного
неравенства и поэтому являются решениями исходного неравенства.
102

Ответ: (2~^; 2^).
3.32. Решить неравенство χ
3+log^ χ
2 >—.
8
Решение
Область определения исходного неравенства задается промежутком
1
χ > 0. Прологарифмируем неравенство, выбрав в качестве основания —.
Будем иметь
З+logi χ
logiU
!<iog
Is'
(
\
откуда 3 + logx χ \\og1 x^logj x + 3.
V 2 ) 2 2
Введем новую переменную t = logj χ. Последнее неравенство примет
2
вид (3 + t)t < t + 3; t2 + It - 3 < 0, откуда -3 < t < 1.
Перейдем к переменной х:
-3 < log ι χ < 1; -3 log ι - < log ι χ < log ι -,
2 2 2 2
откуда
л
2,
Ответ
>χ>-.
2
2
-log? x
-log5^
3.33. Решить неравенство 54" 5~ >5х^
Решение
Область определения заданного неравенства определяется
промежутком χ > 0. При этих значениях χ обе части исходного неравенства
положительны, и значит, мы можем его прологарифмировать.
Прологарифмировав по основанию 5, будем иметь
-log§x>l + -log§x,
откуда log§x>20, т.е. | log5 χ \ > 2л/5. Последнее неравенство
равносильно совокупности
log5x>2V5,
откуда
х>52^,
0<х<5"2А
log5x<-2V5,
Ответ: (0; 5-2^ ] и [52^; + <*>).
3.34. Решить неравенство 2^~^ -xlgx >0.
Решение
Найдем область определения неравенства, для чего решим систему
[1-х>0,
х>0.
юз

Имеем О <х< 1.
Оценим множество значений каждой из функций, 2^~^ и -xlgx,
на множестве 0 < χ < 1.
Для всех χ е (0; 1] 2^~^ > 0 и (-xlgx) > 0, а это значит, что для всех χ ε
ε (0; 1] 2^-xlgjoO.
Ответ: (0; 1].
3.35. Решить неравенство {Αχ-χ2 - 3)log2(cos27ix + 1) > 1.
Решение
Оценим множество значений каждого сомножителя, стоящего
в левой части неравенства:
4х-х2-3 = 1-х2 + 4х-4 = 1-(х-2)2<1;
log2(cos27ix + 1) > log2l = 0,
log2(cos27ix + 1) < log22 = 1.
Таким образом, имеем 0 < log2(cos27ix + 1) < 1.
Те значения х, при которых сомножитель 4х - х2 - 3 отрицателен,
не являются решениями исходного неравенства, так как левая часть
при таких значениях χ становится отрицательной как произведение
сомножителей разных знаков. Поэтому мы далее будем рассматривать только те
значения х, для которых сомножитель 4х - х2 - 3 неотрицателен. На
множестве таких значений χ вся левая часть исходного неравенства
ограничена сверху числом 1 и становится равной единице только в том случае,
когда оба ее сомножителя превращаются в единицу. Другими словами, это
означает, что исходное неравенство равносильно системе уравнений
|4х-х2-3 = 1,
[к^2(со827о: + 1) = 1.
Это уравнение легче всего решить следующим образом. Найдем
корни первого уравнения (оно решается проще, чем второе уравнение)
и подставим их во второе уравнение, и если они будут удовлетворять
ему, то они и будут решениями системы.
Первое уравнение системы имеет корень χ = 2. Подставим это
значение χ во второе уравнение системы: log2(cos27ix + 1) = log2(l + 1) =
= log22 = 1.
Таким образом, χ = 2 является решением системы уравнений, а
значит, и решением исходного неравенства.
Ответ: 2.
3.36. Решить неравенство log3(Vx+1) > logx+15.
Решение
Найдем область определения заданного неравенства:
гх>0,
Vx+1>0,
|х + 1>0,
|х + 1*1.
104

Решением этой системы будет промежуток χ > 0. Перепишем
заданное неравенство в таком виде:
log3(V^ + l)>- -?-—. (*)
log5 (x+ 1)
Для положительных значений χ согласно свойству
логарифмической функции с основанием больше единицы делаем вывод о том, что
log5(x+ 1) > 0.
Учитывая это, неравенство (*) можно записать в таком виде:
log3 (λ/jc+D- log5 (* + 1)>1. (**)
Мы замечаем, что на области определения исходного неравенства
оба сомножителя, log3(Vx+1) и log5(x +1), являются монотонно
возрастающими и положительными функциями отх. Тогда вся левая часть
последнего неравенства log3(vx +l)-log5(x + l) — монотонно
возрастающая функция на всей области определения исходного неравенства,
причем в точке χ = 4 она обращается в единицу (это можно проверить
непосредственной подстановкой).
Следовательно, в промежутке χ е (0; 4) неравенство (**) не имеет
решений, так как его левая часть становится меньше, чем единица.
В промежутке χ е [4; +<*>) все χ являются решениями неравенства (**),
так как правая часть этого неравенства становится не меньшей, чем
единица.
Ответ: [4; +°°).
3.37. Решить неравенство loga(7 -χ) > 21oga(x- 1).
Решение
Найдем область определения заданного неравенства, для чего
\7-х>0,
1
решим систему < получим 1 < χ < 7.
I JL -L ^ \J,
Рассмотрим два возможных случая: 0<а<1иа>1.
а) Пусть 0 < а < 1. На области определения исходное неравенство
можно записать в виде
loga(7-x)>loga(x-l)2. (*)
Функция у = logat при 0 < а < 1 убывает, а поэтому неравенство (*)
равносильно неравенству 7 - χ < (х- I)2.
Решим последнее неравенство с учетом области определения
исходного неравенства:
\1 < χ < 7, ίΐ < χ < 7,
\ 3<х<7.
[х2-х-6>0; [х<-2,х>3;
б) Пусть a > 1, тогда, с учетом того что функция у = logat при этих
значениях а возрастает, неравенство (*) на указанной области
определения равносильно системе
105

f 1 < χ < 7, il < χ < 7,
0 1 1<χ<3.
7-χ>(χ-1)2; -2<*<3;
Ответ: при О < α < 1 χ ε (3; 7); при α > 1 χ ε (1; 3).
2χ - χ2 - loga 2
2χ-χ2-3
3.38. При каких значениях параметра α неравенство — * >
> loga — выполняется при любых значениях χ ε R?
Решение
Исследовав квадратный трехчлен 2х - х2 - 3, мы увидим, что он
при всех значениях χ отрицателен. Тогда данное неравенство после
преобразований можно записать в виде
(1 + loga2)x2 - 2(1 + loga2)x + 4loga2 > 0.
Это неравенство выполняется для всех х, если 1 + loga2 > 0, а
дискриминант
D = 4(1 + loga2)2 - 161oga2(l + loga2) = 4(1 + loga2)(1 - 31oga2) < 0.
il + loga2>0,
Решив систему неравенств < л л получим, что
v [(l + loga2)(l-3loga2)<0,
loga2>—, откуда loga8 > 1. Значит, исходное неравенство выполняется
при всех значениях α ε (Ι; 8).
Ответ: (1; 8).
3.39. При каких значениях параметра а неравенство
(l + x2)loS2a+*2)+M > (0i25)2"2|a|+log^(1+x2)
выполняется при всех допустимых значениях х?
Решение
Отметим, что область определения неравенства есть промежуток χ ε
ε (-οο; +οο). Так как положительное основание при возведении в любую
степень дает положительную величину, то можно прологарифмировать
обе части неравенства по основанию 2 (равносильное
преобразование). Получаем
log2(l + x2) + |a|log2(l + x2)>-2(2-2|a| + log^(l + x2))^
^>log|(l + x2) + |a|log2(l + x2)>-4 + 4|a|-4log2(l + x2).
Обозначая log2(l + χ2) = t > 0, получаем квадратное неравенство
относительно t:
t2+(4+ |a|)t + 4(l+ |a|)>0. (*)
Так как при χ ε (-οο; +<χ>) t ε [0; +οο), то задача стала равносильна
следующей: при каких а неравенство t2+(4+ |a|)t + 4(l+ |a|)>0 выпол-
106

няется при всех t е [0; + °°)? Находим дискриминант: D = a2 + 24\a\ > 0.
Рассмотрим два случая:
l)D = 0^a = 0=> неравенство (*) примет вид t2 + At + 4 > 0 ^
^ (t + 2)2 > 0, что выполнено при всех t e [0; + °°) => a = 0 подходит;
2) D > 0 => нужны те а, при которых корни tb t2 квадратного
трехчлена оба отрицательны, т.е., используя теорему Виета, получаем
[trt2=4a-|a|)>0,
[t1+t2=-4-|a|<0
Ответ: (-1; 1).
3.40. Доказать, что для всех χ > 0 справедливо неравенство 1п(1 + х) >
2х
>
х + 2
Решение
2х
Рассмотрим функцию Дх) = 1п(1 + х) на промежутке [0; +8).
х + 2
Найдем производную этой функции:
/'(*) = -
X2
(х + 1)(х + 2)2
При любом значении χ > 0 справедливо неравенство/(х) > 0. Это
значит, что на промежутке (0; + ©о) функция Дх) возрастает. В то же время
замечаем, что функция Дх) на промежутке χ > 0 есть непрерывная
функция, как сумма непрерывных функций. А это значит, что она на левом
конце этого промежутка (при χ = 0) принимает наименьшее значение.
20
А так как ДО) = In(1 + 0) = 0, то для любого χ > 0 Дх) > 0, т.е.
2х 2х
1п(1 + х) > 0, откуда 1п(1 + х) > .
х+2 х+2
3.41. Решить неравенство | logx_3 4 - 21 + ^/l-lg2x +1 < cos2 (χ2 - 5х).
Решение
Левая часть — сумма трех неотрицательных слагаемых, одно из
которых равно единице, следовательно, левая часть не меньше единицы.
Правая же часть не превосходит единицы по свойству функции у = cos2t.
Левая часть неравенства не меньше правой, поэтому неравенство
может выполняться тогда и только тогда, когда выполняются
следующие условия:
iogx_34 = 2,
l-lg2x = 0,
cos2(x2-5x) = l.
Второе уравнение имеет единственное решение χ = 5. Подставляя это
значение χ в первое и третье уравнения, убеждаемся в том, что оно
является единственным решением системы, а значит, и заданного неравенства.
Ответ: 5.
107

3.42. Решить неравенство log3(3* -l)-\og1(3x+2 -9)>-3.
Решение
Преобразуем заданное неравенство:
log3(3^-l).log3(3^2_9)<3,
log3(3^-l).(2 + log3(3^-l))<3.
Введемобозначение у = log3(3*- 1). Будемиметьу(2 +у) <3,у2 + 2у-
- 3 < 0, откуда -3 <у < 1. Возвращаясь к исходной переменной, получим
28 28
-3 < log3(3* - 1) < 1, или — < 3х < 4, откуда log3 — < х < log3 4.
^28 ^
Ответ:
log3—; log3 4
3.43. Решить неравенство log2x.+4(^2 + 1) < 1.
Решение
Найдем область определения неравенства, решив для этого систему
х2+1>0,
2х + 4>0,
2х + 4*1.
Получаем χ > -2, хф-—.
Запишем исходное неравенство в виде
log2x+4^2 + !) ^ log2x+4(2x + 4).
Рассмотрим два случая.
[2х + 4>1,
откуда
Г2х + 4>1,
а) 2х + 4 > 1. Имеем систему < „
|х2+1<2х + 4,
3
х>—,
2
3
х>—,
2
х2-2х-3<0; (х-3)(х + 1)<0;
3
х>—,
2
-1<х<3.
Окончательно получаем решение системы -1 < χ < 3 (область
определения исходного неравенства при этом не нарушается),
б) 0 < 2х + 4 < 1. Имеем систему
[0<2х + 4<1,
[х2+1>2х + 4;
-2<х<—,
2
х2-2х-3>0;
-2<х<—,
2
х<-1,
х>3.
( Ъ\
Общим промежутком является интервал -2; —
108

Решением исходного неравенства является совокупность
"-1<х<3,
( ъЛ
Ответ: -2;— и[-1;3].
ν 2 J
-2<х<—.
2
3.44. Решить неравенство logx(x3 + 1) · logx+1x > 2.
Решение
Найдем область определения неравенства, для чего решим систему
неравенств
χ > О, χ Φ1,
х3+1>0,х3+1*1,
х + 1>0,х + 1*1,
откуда х> 0, χ Φ 1.
Преобразуя исходное уравнение, получим
logx(x + l)(x2-x + l)logx+1x-2>0,
[logx(x + l) + log;c(x2-x + l)]l 1ο*χΧ -2>0,
log* (x + 1)
1+logx(x2-x + l)_2>a logx(x2-x + l)_1>()?
log* (x + 1)
log* (x2 - χ +1) - log* (x +1)
log* (x + 1)
log* (x + 1)
>0,
log*
x2 - χ +1
x + 1
log* (x + 1)
>0.
Рассмотрим два случая.
, χ2-χ + 1 η \Λ χ2-x + 1 ,
l°gx —г- > 0, I log* —г- > logx 1,
x + 1 ■{ x + 1
log*(x + l)>0; [log*(x + l)>log*l.
Если χ > 1, то имеем
x2-x + l
x + 1
x + l>l;
>1,
Γχ2-χ + 1
x + 1
x>0;
-1>0,
x2-x + l-x-l
x + 1
>0,
x>0;
x2-2x
x + 1
x>0;
>0,
fx(x-2)
x + 1
x>0.
>0,
(*)
Решением первого неравенства (решаем его методом интервалов)
-1 < χ < О,
х>2.
является совокупность
109

Система (*) имеет решение χ > 2 — область определения исходного
неравенства не нарушается.
[х2-х + 1 ^
<1,
Если 0 < χ < 1, то имеем
х + 1
х + 1<1.
Второе неравенство имеет решение χ < 0, что невозможно; данная
система несовместна.
х2 — χ +1
logr < 0, ^
χ +1 Если χ > 1, то имеем, что система
[х2 -х + 1
х + 1
х + 1<1
<1,
logx(x + l)<0.
несовместна, так как получается χ < 0. Если 0 < χ < 1, то имеем
х2 -х + 1
>1,
х + 1 или i
0 < χ < 1,
-1 < χ < 0, эта система также несовместна.
х>2;
х + 1>1,
Ответ: (2; +°°).
3.45. Решить неравенство log|x+2|4 · log4(x2 + χ - 2) < 1
Решение
Перепишем заданное неравенство в виде
log4(x2+x-2)^1 Ί f0 nwi
log4|* + 2| ^;'°gk+2|(^ + x-2)<l.
Рассмотрим далее два случая.
Г, о, -■ П* + 2|>1,
|х + 2|>1,
а) \х2+х-2>0,
х2+х-2<|х + 2
х<-3,
х>1, 1<х<2
-2<х<2;
0<|х + 2|<1,
(х + 2)(х-1)>0,
х + 2>х2+х-2,
х + 2<-х2-х + 2;
|х + 2|>1,
(х + 2)(х-1)>0,
(х + 2)(х-1)<0,
х(х + 2)<0;
Γθ<|χ + 2|<1,
б) <| 0 '" ^,' jx + 2<x2+x-2,
[х + 2>-х2-х + 2;
Ответ: (-3; -2) и (1; 2].
3.46. Решить неравенство xloS2*-i >—.
Решение
Найдем область определения неравенства:
Преобразуем исходное неравенство:
0<|х + 2|<1,
(х + 2)(х-2)>0,-3<х<-2.
х(х + 2)>0;
х>0,
ХФ1.
x\og2x χ Xlog2^ χ 4xloS2*-X3
о >_ > о >0> ο >®>
χ2 4 χ2 4 4χ2
и так как 4х2 > 0, то 4χ1ο&2 * - χ3 > 0, 4χ1ο&2 * > χ3.
110

Прологарифмируем обе части последнего неравенства по
основанию 2:
log2(4xloS2*)>log2x3,
log2 4 + log2 xlog2 x - 31og2 χ > 0,
2 + log! x ~ 31og2 χ > 0.
Введем обозначение t = log^. Будем иметь t2 - 3t + 2 > 0, (t-1) x
x (t - 2) > 0,
t<l,
t>2,
или
log2x<l,
log2 χ > 2,
x<2,
x>4.
С учетом области определения исходного неравенства имеем систему
х>0,
ХФ1,
"х<2,
х>4,
откуда
0 < χ < 1,
1 < χ < 2,
х>4.
Ответ: (0; 1) и (1; 2) и (4; + °°).
3.47. Решить неравенство
- logx_! (χ2 - 8х +16) + log4_* (-х2 + 5х - 4) > 3.
Решение
Найдем область определения неравенства, решив для этого систему
[х2-8х + 16>0,
х-1>0.
|х-1*1,
-х2 + 5х - 4 > 0,
4-х>0,
4-х*1.
Находим χ б (1; 2) и (2; 3) и (3; 4).
Преобразуем исходное неравенство:
- logx_! (χ - 4)2 + log4_x [-(x -1) (χ - 4) ]> 3,
logx_i|x-4| + log4_x|x-l| + log4_x|x-4|>3.
Ill

Поскольку х-4<0, ах-1>0на области определения неравенства,
то неравенство равносильно следующему:
logx_i(4-x) + -
log*-i(4-x)
[log,_i(4-x)-l]2
>2,
!ogx_i(4-x)
'1<«χ-ι(4-χ)>0,
>gjc-i(4-*)*l,
>0,
[2 < χ < 3,
откуда
Ответ
3.48. Решить неравенство |lgx| < cos(x - 1) - 1.
Решение
Заданное неравенство равносильно совокупности
|lgx|<cos(x-l)-l,
|lgjc| = cos(jc-l)-l.
(*)
Рассмотрим функции Дх) = | lgx| и g(x) = cos(x - 1) - 1.
Множеством значений функции f(x) является промежуток [0; +«>).
Множеством значений фикции g(x) является промежуток (-2; 0].
Пересечением двух промежутков [0; +<*>) и (-2; 0] является
множество, состоящее из одного числа χ = 0.
Следовательно, неравенство совокупности (*) решений не имеет,
а уравнение этой совокупности равносильно системе
|lg*| = 0,
[cos(jc-1)-1 = 0.
Решим первое уравнение системы: единственным решением этого
уравнения является х=1.
Проверяем, является ли это значение решением второго уравнения
системы: cos(l - 1) - 1 = 0. Действительно, cos 0 = 1, т.е. χ = 1 —
единственное решение системы, а значит, и исходного неравенства.
Ответ: 1.
3.49. Решить неравенство log§ 5-3 >21 log0j5 х I·
Решение
Ввиду того что | α |2 = а2, можно ввести новую переменную t =
= | logo 5XU в результате чего получим неравенство t2 - 3 > 2t. Решая
его, найдем, что t < -1 или t > 3.
Неравенство | log0 5*| < -1 решений не имеет, ввиду того что модуль
числа всегда неотрицателен.
112

Неравенство |log0j5*| > 3 равносильно совокупности неравенств
logo,5*>3,
.log0,5*<-3,
откуда получаем
Ответ:
Г0;£)и(8; + оо).
0<х< —,
8
х>8.
3.50. Решить неравенство log3(4-sin3x)<cos
12х
Решение
Оценим снизу левую часть неравенства. Так как sin3x < 1, то
log3(4- sin3x) > 1.
Правую часть неравенства оценим сверху: cos <1.
\2х
Из неравенств log3(4 - sin3x) > 1, cos <1 следует, что исходное
·_/
неравенство может иметь место только в случае, когда одновременно
12х
выполняются условия log3(4 - sin3x) = 1 и cos = 1.
«_/
Таким образом, задача свелась к решению системы уравнений
[log3(4-sin3x) = l,
12х
cos-
■ = 1.
Общие корни уравнений системы можно найти, составив и решив
τι 2тгн. 57ifc
в целых числах уравнение — + = . Это уравнение запишем в виде
6 3 6
к - 1 = 4(п - к), откуда следует, что к - 1 должно быть кратно четырем,
т.е. к - 1 = 4т, где те Z.
ι Γ77 5π^ _ 5π Юпт
Итак, имеем к = 4т + 1, где meZ, откуда χ = —(4m +1) = — + ,
6
6
те Ζ.
- 5π Юпт
Ответ: — + , те Ζ.
6 3
3.51. Решить неравенство log|x|(v9-x2 -х-1)>1.
Решение
Заданное неравенство равносильно четырем системам:
1)
3)
-3<х<1, -1<х<0,
л/9-х2-х-1>0, 2) W9-x2-x-l>0,
v9-x2 — jc — 1 > —jc; [v9-x2 -x-l<-x;
0<x<l, fl<x<3,
л/9-х2-х-1>0, 4) W9-x2-x-l>0,
л/9-х2 — лс — 1 < лс; k/9-χ2 — jc — 1 > jc.
113

В первой системе второе неравенство является следствием третьего,
а поэтому система равносильна следующей:
[-3<х<1, |-3<х<1,
у19-х2>1;\х2<8;
Решим вторую систему:
хе[-2л/2;1).
-1 < χ < О,
-1 < χ < О,
л/9-х2 >х+Ш9-х2 >х + 1,
л/9-х2<1; U2^8.
Так как первое условие противоречит третьему, то система не имеет
смысла.
Решая третью систему, имеем
О < χ < 1,
V9-x2 >х + 1, \
л/9-х2 <2х + 1;
О < χ < 1,
х2+х-4<0,
5х2+4х-8>0.
Последний переход совершен в силу того, что правые части двух
последних неравенств на множестве χ е (0; 1) положительны.
Неравенство х2 + χ - 4 < 0 выполнено для всех χ е (0; 1); решением же
неравенства 5х2 + 4х - 8 > 0 будет множество
(
-2-2л/Й
и
-2 + 2л/и .Л
-—;1
Следовательно, решением третьей системы будет множество χ е
-2 + 2л/п ^
- ;1
Четвертая система не имеет решений в силу следующей цепочки
равносильных преобразований:
1 < χ < 3,
л/9-х2-х-1>0, j
V9 - χ2 - χ -1 > χ;
1 < χ < 3,
V 9 - χ2 - χ -1 > χ;
1 < χ < 3,
л/9-х2 >2χ + 1;
[1 < χ < 3,
[5χ2+4χ-8<0;
1 < χ < 3,
-2-27ΪΪ -2 + 2л/Й
<χ< .
приводящей к несовместной системе.
Объединяя полученные решения, получим ответ.
^-2 + 2л/Й ,Л
и| ;1
Ответ: [-2л/2;-1)
114

3.52. Указать все значения аргумента, при которых точки графика
10д2(23-4х)
у = —— лежат выше соответствующих точек графика функции
У =
Зх + 5
11
-5-Зх
Решение
Решим неравенство
log? (23-4*)^ 11 log2(23-4x)| 11 ^Q
Зх + 5
-5-Зх' Зх + 5
log?(23-4x) + ll
5 + Зх
Зх + 5
>0.
Числитель дроби — число явно положительное, значит, Зх + 5 > О,
т.е. χ >-1—. Учитывая область определения неравенства, получаем
х<5—,
4
хф —
х>-1:
л2 г3
-1— <х<5—.
3 4
Ответ:
(
Ъ\
-1-;5-
3 4
1 + lojz2 χ
3.53. Решить неравенство с параметром -—г-^—>1.
l + logax
Решение
1 + t2
системе
Введем обозначение log^ = t. Неравенство примет вид > 1. Так
как 1 + t2 > 0, то и 1 +1 > 0. Поэтому заданное неравенство равносильно
fl + t2>l + t, ft(t-l)>0, ft<0,t>l,
т.е. < или <
[1 +1 > 0, [t>-l, [t>-l.
Получили два промежутка решений: -1 < t < 0; t > 1.
Рассмотрим два случая.
а) Если а > 1, то log^ — функция возрастающая, и мы получим два
1
интервала решений -1 < log^ < 0; log^ > 1, откуда — < χ < 1, χ > a.
а
б) Если 0 < а < 1, то получаем два других интервала решений:
-1 < log^ < 0; log^ > 1 (учитывая, что при 0 < а < 1 log^ — функция
убывающая, меняем знаки неравенств) : 1 < χ < —, 0 < χ < а.
а
(1 λ f 1)
Ответ: при а > 1 χ е \—; 1 и (а; + °°); при 0<а<1хе(0;а)и 1; — .
115

3.54. При каких значениях параметра а неравенство
г.
l0g-2a-13
sinx-V3cosx-a-4
Л
>0
выполняется для любых значений х?
Решение
Сначала преобразуем выражение sinx-V3cosx методом введения
вспомогательного угла:
sinx-V3cosx = 2
Л
•д
λ
—sinx cosx
,2 2
J π . .π 1 ο · π
= 2 cos—sin χ-sin—cos χ =2sin χ —
I 6 β { 3,
Теперь решим неравенство
(
log_2a-13
2sin x-
π
-a-4
ν
которое равносильно совокупности
-2а-13
>0,
■>1,
( п\
2sin χ— -а-4>5;
. -2а-13 п
О < < 1,
0<2sin
(
χ— -а-4<5,
3
откуда имеем
а<-9,
. ( %\ 9+а
sin χ— > ;
I 3 2
-9<а<-
а + 4
<sin
13
2'
( π\ 9+α
χ —
ν
<
Так как синус изменяется от -1 до 1, то, чтобы неравенство
выполнялось для всех х, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись
неравенства
116

[a<-9,
9 + a
<-i;
««h-B
a + 4
2
9 + a
>1,
откуда имеем
a<-
ii;
Г f
aG
-9:-
V
<
I х-
a < -6,
[a>
-7;
13Ϊ r-
4
"2 J'
a<
ae
-ii;
(-7; 6,5)
Ответ: (-<*>; -11) u (-7; 6,5).
3.55. Найти все целые числа χ, удовлетворяющие неравенству
2|log2(21-5x)<32 + 2log3(8x_7)e
Решение
Найдем область определения неравенства:
21
[21-5х>0,'"
[8х-7>0;
х<
х>
8
Так как мы ищем целые значения х, то укажем все целые числа, при-
(7 2\>
надлежащие промежутку
18' 5
х=1;2; 3; 4.
Запишем исходное неравенство в виде 32 + 21о2з(8*-?) >(21-5х)2.
Подставляя последовательно указанные целые значения χ в последнее
неравенство, мы определяем, что ему удовлетворяют лишь χ = 3 и χ = 4.
Ответ: 3; 4.
3.56. Найти все целые решения неравенства χ - 1 < log6(x + 3).
Решение
Найдем область определения неравенства, для чего решим
неравенство х + 3>0:х>-3. Так как ищем целые решения неравенства, то на
бесконечном промежутке χ > -3 укажем целые значения х: -2, -1, 0,1, 2,....
Начнем последовательно проверять:
χ = -2 — решение, так как -3 < log6l;
χ = -1 — решение, так как -2 < log62;
117

χ = О — решение, так как -1 < 0 < log63;
χ = 1 — решение, так как О < log64.
Для остальных целых χ заданное неравенство не выполняется.
Докажем это методом математической индукции, т.е. докажем, что
неравенство η - 1 > log6(n + 3) для всех η > 2, η е Ν.
При η = 2 имеем 1 > log65 — верное неравенство.
Докажем, что для любого целого η = fc, где к > 2, если истинно
неравенство к - 1 > log6(fc + 3), то оно истинно и для п = к+ 1.
Имеем: (к + 1) - 1 > log6[(fc + 1) + 3], к > log6(fc + 4).
Прибавим к обеим частям неравенства к - 1 > log6(fc + 3) по единице,
получим к > log6(fc + 3) + 1.
Покажем, что log6(fc + 3) + 1 > log6(fc + 4):
log6(fc + 3) + 1 = log6(6fc + 18) > log6(fc + 4),
поскольку 6fc + 18 > к + 4, 5fc + 14 > 0, что верно для любого к > 2.
Ответ: -2; -1; 0; 1.
а с
3.57. Доказать, что для любых а > 0, Ъ > 0, с > 0, таких что — >—,
Ъ а
lga lgc
выполнено неравенство -Е— > -2—.
lgb lga
Решение
Для определенности будем считать, что с > Ъ. Так как а2 > Ъс, то
a>yjbc>b и a > b.
Если с < α, то неравенство очевидное. Поэтому доказательство будем
проводить для о а. Сначала перейдем в неравенстве к натуральным
, lga lna lgc lnc
логарифмам: -£— = , -Ξ— = , а потом выполним некоторые равно-
lgb lnb lga lna
сильные преобразования:
lna ^ lnc lna „ ^ lnc „ lna-lnb^ lnc-lna Si ^ S?
> <=>—-—1>- 1<=> — > <->_!_>. -*
lnb lna lnb lna lnb lna lnb lna
a dx c dx
где SX=J—, $2=l площади криволинейных трапеций В1ВАА1
b X a X
иАгАССг (рис. 3.2).
Для доказательства исходного неравенства достаточно доказать
справедливость неравенства —^- > —— (а > Ь, о а). Пусть d = л/Ъс. Тогда
lnb lna
площади S3 и S4 криволинейных трапеций B1BDD1 и D1DCC1 равны
(S3 = S4 = S), так как
S3=i^ = lnd-lnb = ln^ = ln^ =
= ln—= lnc-lnd= [— = S4.
d Jdx
118

bld2a3c4
Рис. 3.2
При этом очевидно, что 5Х > S > S2. Учитывая, что lnb < Ιηα, получаем
верное неравенство —^- > —^-, из которого следует исходное неравенство.
lnb Ιηα
3.58. Пусть a,b — различные положительные числа. Доказать, что
г-г а-Ъ а + Ъ
справедливы неравенства vab < < .
lna-lnb 2
Решение
π „ ι гх, г~г о.-Ъ а + Ъ
Пусть 0 < a < Ъ. Тогда неравенство vab < -—-—^—^ < о равносильно
неравенству
lna-lnb
2 1
(b - a) < lnb - Ιηα < (b - a)
а + Ъ
(*)
Рассмотрим трапецию A-^CDB^ где CD — отрезок касательной
к гиперболе в точке с абсциссой (рис. 3.3).
119

Так как площадь криволинейной трапеции А1АВВ1 равна In Ъ - In a =
dx
= j— = S, а площадь прямоугольной трапеции A1CDBli содержащейся
внутри криволинейной трапеции, равна S1=(b-a) и S-, > S, то
а + Ъ
левая часть неравенства (*) доказана.
Перейдем к доказательству правой части неравенства (*). Пусть
F — точка гиперболы с абсциссой «Jab, a S2 — площадь многоугольника
A1AFBB1, состоящего из двух прямоугольных трапеций A1AFF1 и ΡλΡΒΒλ.
Тогда
Л
s,=-
1 Ϊ
а Jab
(y[ab-a) + —
(b-Jab) =
Л
1 [(Jab + a)(Jab-a) & + Jab)(b-Jab)
2Vab
V
a
1 fab-a2 b2-ab^i b-a
+
J
2Jab
V
a
Так как Sx < S2, то и правая часть неравенства (*) доказана.
Ь — о, b b2 — о2
3.59. Доказать, что если 0 < a < b, то < In— < .
b a 2ab
Решение
Решать эту задачу будем с опорой на явный образ площади
криволинейной трапеции и площади прямоугольников. На рис. 3.4 изображена
ветвь гиперболы у = —.
χ
i
У
1
а
1
ъ
О
i
\|
В
il
м!
а!
a
К
^^\ С
D\
b
Χ
Рис. ЗА
120

In это площадь криволинейной трапеции ABKCD, ограниченной
а
линиями х = а,х = Ь,у = 0иу = —, при х > 0. Действительно имеем:
χ
Sabkcd=]— = lnjc£=lnb-lna = ln-
Ja χ α
Из рис. 3.4 мы видим, что площадь криволинейной трапеции ABKCD,
меньше площади трапеции ABCD и больше площади прямоугольника
AMCD (это познавательная функция наглядности): Sj^CD < Sabkcd ^ ^abcd'
( Ιλ ( Ιλ
Точка С имеет координаты \Ъ\— , а точка В — координаты \ а;— .
К Ъ) У а)
\ 1
1 Ъ — а + h b2 — а2
Тоща8шсо=ф-а)-- = ——,а8мсв=(Ъ-а)--\^-= .
Ъ Ъ 2 2аЪ
^ Ъ-а - Ъ Ъ2-а2
Окончательно имеем < In— < .
Ъ а 2аЪ
Здесь и ранее график играл роль визуального образа функции.
10
3.60. Доказать неравенство 4,5< Jlgxdx<9, не прибегая к непо-
1
средственному вычислению интеграла.
Решение
Без наглядных иллюстраций ученик 10—11 классов эту задачу
не решит. Все упрощается, если сделать чертеж (рис. 3.5) и
воспользоваться геометрическим смыслом интеграла:
ю 1
J lgxdx = SAmBC, SMBC = -■ 91 = 4,5 (кв. ед.), S^bc =9-1 = 9 (кв. ед.).
1 ^
i
У
1
О
к
D
А
1
1
т ^^^-~-~~'
В
1
С
0
Χ
Рис. 3.5
Наглядность позволяет утверждать, что SABC < SAmBC < SADBO откуда
10
имеем 4,5 < j lgxdx < 9.
ι
121

ο ^-, τ/· г 2 . 101ο
3.61. Какое из чисел больше, или In ?
Решение 201 10°
101 202 202 dx
Так как In = ln = 1п202-1п200 = Г — = S, где S — площадь
100 200
200
криволинейной трапеции (рис. 3.6), а = Sb где Sx — площадь пря-
моугольной трапеции, содержащейся в ней, то S1 < S и, следовательно,
. 101 2
In > .
100 201
Ответ: In
101
100'
п ^п π 1 , 52 1
3.62. Доказать неравенство — < In— < —.
V 52 51 51
Решение
Справедливость неравенства очевидна, если учесть, что — и пло-
52 dx
52
щади прямоугольников (рис. 3.7), a In— = 1η52-1η51 = 1ηχ| = j
51
51
X
площадь криволинейной трапеции.
Рис. 3.7
3.63. Найти все значения а, при каждом из которых оба числа
4sina - 3 и 8cos2a + 16sina + 1 являются решениями неравенства
(21х-2х2 + 65)Ух + 2
log3|x-9|-2
Решение
1. Числитель определен при χ > -2. Разложим его на множители:
(21х - 2х2 + 65)Vx + 2 = (2х + 5) (13 - x)V* + 2.
122

Знаменатель определен при χ Φ 9. Найдем его нули:
log3|x-9| = 2, |х-9| = 9,х-9=±9,х = 0илих=18.
п Λ „. (21x-2x2+65)Vx + 2
2. Функция Дх) = ■ ■ определена при χ > 2, χ Φ 0;
log3 I χ - 91 - 2
x φ 9; χ φ 18 и непрерывна. При этом/(19) < 0,/(17) > 0,/(12) < 0,/(1) < 0,
/(-1) > 0. Находим знаки функции (рис. 3.8).
+ - - + -
· о о · о >
-2 0 9 13 18 χ
Рис. 3.8
Значит, Дх) > 0, откуда χ е [-2; 0) и [13; 18).
х + 3
3. Пусть χ = 4sina - 3. Тогда sina = , 16sina = 4(х + 3),
4
8cos2a = 8(l-2sin2a) = 8-16-(* + 3) =-l-x2-6x,
16
8cos2a + 17sina + 1 = 1 -χ2- 6χ + 4(χ + 3) + 1 = χ2- 2χ + 12 = 13 - (χ+ Ι)2.
По условию и число х, и число 13 - (χ + I)2 являются решениями
исходного неравенства, т.е. принадлежат множеству [-2; 0) и [13; 18).
4. Так как -7 < 4sina - 3 < 1, то случай χ е [13; 18) невозможен. Точка
(-1; 13) — вершина параболы у = 13 - (х +1)2, ветви которой направлены
вниз. Если χ ε [-2; -1) и (-1; 0), то имеем 12 =у(-2) <у <у(-1) = 13, т.е.
у не принадлежит множеству [-2; 0) и [13; 18). Если χ = -1, то у = 13,
т.е. и число х, и число у являются решениями исходного неравенства.
5. Итак, число а удовлетворяет условию задачи, только если
х = 4sina - 3 = -1, sina = 0,5, α = (-1)η —+ πη, η ε Ζ.
6
Ответ: (-1)η —+ πη, η ε Ζ.
6
Задачи для самостоятельного решения
3.1. Решить неравенства:
1) log02(2x+5)<log50,04;
2) log2(x2 + Зх) < 2;
3) loglog32(4x-3)<0;
4) log^7din-0;
5) log2* + log4x + loggx + log16x < 5;
6) log2(2-x)-log2U-l)>log^3;
123

7) 2 + log3x < log3(x2 - 10);
8) log1(x2-2x-4)<3log1 (2-х);
3 27
9) 31og216(x2 - 2x - 6) > log6(6 - 3x);
x-2
10) log7—— <logi(5-x);
1 7
11) log0)3log2(2-x)>0;
12) log§5x-log0)5x-2<0;
13) log2*-|log2x|<2;
14)
2
1
■+■
log0,5x l + log2x
2
15) log2x + 3>
>i;
log2x + 2'
1
16) log2(x-5) + -log^(x-3)<3;
17) log^ Vx^l + log ι 3 < log ι (x + 4) + log9 4;
3 3
18) |log5x|<|log5x-2|;
19) log§(|x|-2)<l;
20) - + log9 χ - log3 5x > log^ (x + 3);
λ 3
21) 10№s24log2x<4;
22) log7 χ · log3 χ - log7 3 · log3 χ < 12 log7 3;
23) logx2+2(3x-12)>l
3.2. Решить неравенства:
J у? — 9x
I__ + log0,35>log0,37;
6).f?^ + log3ll>log23;
в)
r)
logs 2
l-log23|x<l-log23;
1
-log 5
x>0,5-lg5.
3.3. Решить неравенства:
а) к^!(х2-5х + 6)>0;
з
Зх-1
б) log! -<1;
з x + 1
в) ^-6*+3)<1;
lg(x-2)
г) logx+2(2x2+x)>2.

. \x2-4x\ + 3^n
x2 +1 x - 51
ж) ^1 + log2 x + V41og4 χ - 2 = 4;
3) l-Jl-8
( V
logjx
V 2 J
<31ogj.x:;
4
>g\5x-81+2
и) v 1 —<i;
log0j5*-l
к) log2(Vx2 - 4x + 3) > log!
Vx2-4x + Vx + l+l,
+ 1.
3.4. Найти все значения параметра α, при каждом из которых мно-
( х-1]Л
жество решений неравенства logx+2 log2 > 0 состоит из одного
I x-aj
числового промежутка.
3.5. Для каждого допустимого значения параметра а решить
неравенство logtga(3x + 13) > 21ogtga(x + 3).
πχ
ί
3.6. Решить неравенство (10х - χ2 - 24)log2 1 + sin2 — > 1.
ν 2 J
3.7. Найти все целые решения неравенства χ - 1 < log6(x + 3).
3.8. Найти все значения параметра а, при которых неравенство 1 +
+ log7(x2 + 1) > log7(ax2 + 4х + α) выполняется для всех значений х.
3.9. Найти, при каких значениях параметра α неравенство \οζα_λ{χ2 +
+ 4) > 2 справедливо при любых значениях х.
3.10. Найти, при каких значениях параметра а все решения
неравенства log^ (4 - χ) + log4 (4 - χ) < α будут положительными.
3.11. Для каждого допустимого значения параметра а решить
неравенство log^sina(2x + 9) > 21og^sina(2x - 3).
3.12. Доказать неравенства:
юо г 1 9
а) 99< j lgxdx<198; б) 0< jlogx xdx<-; в) 8< jlog3xdx<16.
ι Ι з 3 ι
3
3.13. Определить количество целых решений неравенства log /^ (х + 2) +
+ log!(jc + 2)<l.
2
3.14. Решить неравенство log1[log4(sinx + 2V2cosx)]>0. Указание:
з
обозначить sinx + 2л/2 cosx = t.
3.15. При каких значениях χ соответственные значения функций
Дх) = log3(10 - χ) и g(x) = log3(x + 4) будут отличаться не меньше, чем
на 2?
125

3.16. Найти все значения х, при которых большее из чисел 5х - 3
и 1 llog4 х3 - log! χ2 не меньше 2.
3.17. Решить неравенства:
а) 21og2X - 31ogx4 < 4;
б) 21ogx9-log3x>3;
в) logi4x + logx7<-2;
г) logx9-log23x<-2;
д) log2(x2 - 2х + 1) - 4х < 8 + 2(х + l)log05(l - χ);
е) log2(x2 - Зх) < 5 + log05(x + 4);
log2+2j5(l,5-x)^o
(х + 0,5)(х-1)
з) logj-xU + O^)^^
х(1 - χ)
Л1 7-0,5*-22*+* 1
H)lQg-2*+2 1-21-х ^
3.18. Найти все целые решения неравенства 2х + 1 < 21og2(x + 3).
Указание: после подстановки χ = -2; -1; 0; 1 неравенство
2п + 1 < 21og2(n + 3) доказать методом математической индукции.

Глава 4
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ,
СОДЕРЖАЩИХ НЕИЗВЕСТНОЕ
ПОД ЗНАКОМ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
4.1. Общие сведения о системах уравнений
Для решения систем уравнений, содержащих логарифмические
функции, используются методы решения алгебраических систем уравнений
и методы решения логарифмических уравнений, описанные выше.
Дадим определение.
[<Pi(x> У) = 1\(х, у),
Определение 4.1. Система уравнений < является
f/i(*>y) = i>i(*>y)>
следствием системы уравнений < г если каждое реше-
1/2(^У) = &(^У).
ние второй системы будет также решением первой системы.
Укажем те преобразования, которые приводят к следствиям системы
уравнений.
1. Возведение обеих частей одного из уравнений в четную степень.
2. Замена в уравнении системы разностиДх, у) -fix, у) нулем (т.е.
уничтожение подобных членов).
3. Освобождение от знаменателя в одном из уравнений системы.
4. Потенцирование хотя бы одного уравнения системы.
5. Применение некоторых формул, расширяющих множество пар
чисел (α, β), для каждой из которых имеет смысл либо ее левая, либо
правая часть.
6. Если не существует таких пар (х, у), при которых оба
выражения f2(x, у) и g2(x, у) одновременно обращаются в нуль, то система
7i(*.jr)=ftC*,y), Г/,Сх,у)=йСх,Л
fi(x,y) Zi(x,У) является следствием системы < , f
/20> У) = &>(>> У)·
/г(^У) &г(*>У)
Приведем примеры преобразований, приводящих к системе —
следствию. Например, к системам — следствиям приводят следующие замены:
а) л/7-л/?нал/77§:;
б)^наД
V2 U
127

,17 Μ
гУ — на ν ·
g >Ι\8\
Д) i24f)2n на/;
e) loga/+ logag на loga(f · g);
>K)21oga/Haloga/2;
з) al°saf на/.
Во всех приведенных выше примерах a > 0, a ^ 1, η е N,f = f(x, у),
g = g(x,y)·
Приведем основные правила преобразования систем, приводящих
к равносильным системам.
1. Если в системе заменить какое-либо уравнение равносильным
ему, а другие оставить без изменения, то новая система равносильна
данной.
2. Если в системе заменить одно из уравнений на сумму этого
уравнения с одним из уравнений системы, а все другие уравнения оставить
прежними, то получаем систему, равносильную исходной.
3. Если в одном из уравнений системы выразить одну из
переменных и полученное выражение подставить в другое уравнение системы,
то получим систему, равносильную исходной.
4.2. Системы уравнений, содержащих неизвестное
под знаком логарифмической функции
Приступим к решению задач.
4.1. Найти решение (х0,у0) системы, в ответе записать произведение
*о-Уо:
х2+х + у2+у = 4,
log!* — = logiJ—.
Решение
Запишем второе уравнение системы в виде
1 ι
log1x + - = log1y +—. (*)
2 Х 2 У
Заметим, что если χ <у, то logx χ > logx у, — > —; складывая почленно
2 2 Х У
последние два неравенства, получаем logx х + — > logx у + —, что проти-
2 Х 2 У
воречит равенству (*). Аналогичное противоречие получится и в
случае χ > у. Следовательно, χ = у. Теперь из первого уравнения системы
128

следует 2х2 + 2х = 4, откуда χ2 + χ - 2 = О, хг = 1, х2 = -2. Второй корень
χ = -2 не входит в область определения системы уравнений. Остается
одно решение χ = 1, у = 1. Их произведение равно 1.
Ответ: 1.
4.2. Найти решение (х0, у0) системы уравнений, записать сумму
*о+Уо:
[log7 χ - log7 4 + log7 у - log7 3 = 0,
[log2 (χ + у) = 5 - log2 (χ - у).
Решение
Преобразуем уравнения системы, используя свойства логарифмов:
\ху = 12,
log7f = 0,
|γ2_ν2_θ2·
log2[(x+y)(x-y)] = 5;Lx y JZ'
ху = 12,
ху = 12,
х2-у2_32.<|х y_8
*У
12'
[у χ 3
Пусть — = t. Второе уравнение последней системы примет вид
У
18 8 1
t — = -, откудаt2—t-l = 0, 3t2-8t-3 = 0, tx = 3, t2 =—. Таккакх>0
χ
и у > 0, то их отношение положительно, т.е. — = 3. Имеем
У
ху = 12,
χ = Зу, Гх = Зу, Гх = 6,
- = 3; [3y2=12;[y2=4;jy = 2,
S χ
откуда следует, что χ + у = 8.
Ответ: 8.
4.3. Решить систему уравнений
rlg(*2 + J2) = l + 21g2,
lg(x + y)-lg(x-y) = lg2.
Решение
Преобразуя исходную систему уравнений, получим
flg(x2+y2) = lgl0+lg4,
lg^ = lg2,
х-у
откуда имеем
flg(x2 + y2) = lg40, [x2+y2 = 40,
х + У
х-у
= 2;
х+у
х2+у2=4о, il0y2=40,
[х-У
-2 = 0; 3у-х = 0; х = 3у;
У = 2,
χ = 6;
У = -2,
х = -6.
129

Решение (-6; -2) не принадлежит области определения системы
уравнений.
Ответ: (6; 2).
4.4. Решить систему уравнений
log3xy = log3-,
У
ХЗу2+у4=2.
Решение
Потенцируя первое уравнение исходной системы, получим
Ху = — Iw2_
х3у2+у4=2;
ХЗу2+у4=2.
Последняя система уравнений равносильна совокупности двух
систем уравнений:
\х = 0, \у*=1,
0 п „ или^
[х3у2+у4=2 [х3у2+У4=2.
Решением первой системы являются пары (0;л/2) и (0;-v2).
Решением второй системы являются пары чисел (1;1)и(1;-1).
Проверка показывает, что исходной системе удовлетворяет лишь
пара (1; 1).
Ответ: (1; 1).
4.5. Решить систему уравнений
[lg2x-lg2y-lg2(xy) = 0,
[lg2(x-y) + lgx-lgy = 0.
Решение
Очевидно, что заданная система уравнений будет иметь решения
только при χ > О и у > 0. Тогда первое уравнение системы можно
записать в виде
(lgjc + lgy) (lgjc - lgy) - (lgjc + lgy)2 = 0,
откуда (lgjc + lgy)(lgjc - lgy - lgx - lgy) = 0, (lgjc + lgy)(-21gy) = 0, т.е.
lgjc + lgy = 0 или lgy = 0.
Из первого уравнения имеем ху = 1, а из второго получаем у = 1.
Подставляя у = — во второе уравнение исходной системы, получим
χ
ig2 χ— -ig2* = o>
130

откуда
( (
V
χ
lg χ— -lgx lg χ— +lgx
Ιλ
v
A
= 0.
J
\\
Итак, имеем совокупность двух уравнений lgx— -lgx = 0 или
( Ιλ
lg χ— +lgx = 0.
Ι χ)
Из первого уравнения получаем 1—;г = 1; это уравнение действи-
тельных корней не имеет.
Из второго уравнения находим х2 - 1 = 1, откуда χ = ν2 (по
понятным причинам мы отбросили значение χ
( г О
Таким образом, система имеет решение v2;-^= L
Подставляя у = 1 во второе уравнение, получаем lg2(x - 1) = 0, откуда
χ = 2. Итак, система имеет еще одно решение (2; 1).
( г О
Ответ: v2;—1= \; (2; 1).
I V2J
4.6. Решить систему уравнений
flog2 (у - х) = log8 (Зу - 5 jc) ,
Решение
Область определения заданной системы определяется условиями
у - χ > 0 и Зу - 5х > 0.
Переходя в первом уравнении исходной системы к основанию 2
и потенцируя, получим систему
\(у-х)3=3у-5х,
[х2+у2 = 5,
\у(у2 - Злу + Зх2 - 3) = х(х2 - 5),
[у = 5-х2.
Пусть у Φ 0, тогда первое уравнение последней системы можно
разделить на второе. Будем иметь
[Зх2-2лу + у2=5,
\х2+у2 =5.
Вычтя второе уравнение из первого и выразив у через х, будем иметь
х2 +1
у = . Подставляя у во второе уравнение системы, получим уравне-
х
ние 2л4 - Зх2 + 1 = 0.
откуда имеем
131

Решая последнее уравнение как биквадратное, найдем: хг = 1,х2 = 1,
1 1
X3"V2?X4" л/2'
3 3
Тогда, соответственно, получаем у х = 2, у2 = -2, у3 = -η=> У а - —/=·
Пусть теперь у = 0. Тогда х2 = 5, откуда х5 = V5, х6 = -v5.
Подставляя найденные пары чисел (1; 2), (1; -2),
' 1 3Ϊ
V
л/2' V2.
.л/2'Л/
, (v5; 0), (-V5; 0) в исходную систему уравнений,
окончательно находим решения: (1; 2),
/
Ответ: (1, 2);
3Ϊ
3J
V2'V2
,(-л/5;0).
;(-V5;0).
4.7. Решить систему уравнений
i(x-j)lgOc+1'5)=0,2,
[Wx-y^+3 = 0,l.
Решение
Прологарифмировав оба уравнения системы, получим
flg(x + l,5)lg(x-y) = lg2-l,
1 * lg(2x + 3) = -l.
[lg(x-y)
Введем обозначения lg (χ + 1,5) = и, lg (x-y) = ν, тогда
Ig(2x + 3) = lg[2(x+l,5)]=lg2 + lg(x+l,5) = lg2 + u.
Относительно и и ν система примет вид
ruv = lg2-l,
lg2 + u
■ = -1.
Из второго уравнения системы находим ν = -lg2 - и; подставив в
первое уравнение, получим и2 + lg2u + lg2 - 1 = 0. Корни этого уравнения
"i,2=-|lg2±^lg22-lg2 + l=-|lg2±|(2-lg2),
U!=-lg2 + l = lg5, u2=-l.
Тогда vx = -1, v2 = lg2 + 1 = lg5.
Решение заданной системы сводится к решению двух систем
[lg(x + l,5) = lg5,ilg(x + l,5) = -l,
llg(x-y) = -l H1lg(x-y) = lg5.
132

Решая их, находим
ijC!=3,5, fjc2=-l,4,
[yi = 3,4; [У2 = -б,4;
Проверкой устанавливаем, что найденные значения хиу есть
решения заданной системы.
Ответ: (3,5; 3,4); (-1,4; -6,4).
4.8. Решить систему уравнений
ху = а2,
lg2 χ + lg2 у = — lg2 a2.
Решение
Допустимые значения неизвестных и параметра: χ > О, у > О, а Ф 0.
Логарифмируя первое уравнение системы, получаем lgx + lgy = lga2.
Обозначим lgx = u, lgy = ν; тогда относительно и и ν система примет вид
u + v = lga2,
u2+v2 =— lg2a2.
2 δ
Из первого уравнения находим ν = lga2 - и; подставляя его во второе,
3
получим 2и2 -2lga2 ·и—lg2 a2 = 0, откуда следует:
"1,2 =
lga2±21ga2
3 1
"i = 21Sa2'"2=-21Sa2'
1 3
Vi=--lga2,v2=-lga2.
Следовательно, решение заданной системы сводится к решению
двух систем
lgx = -lga2,
lgy = "21Sa2
и^
lgx = --lga2,
3
lgy=21Sa2·
Решая их и проверяя полученные решения по условию заданной
системы, находим
*i=M3,
1 ·
\У1=Г~г
№\
1
х2 -', Г>
N
1 R
.У2=|а|3
Ответ: если a < 0, то решения системы — пары (-а3; -а-1); (-а-1; -а3).
Если а > 0, то решения системы — пары (а3; а-1); (а-1; а3).
133

4.9. Решить систему уравнений
\ху + х-2 = 0,
[x-log2(y + l) = 0.
Решение
Преобразуем заданную систему уравнений:
\ху = 2-х,
llog2(y + l) = x;
y = 2-i,
χ
У = 2*-1.
Строим графики фикций у = — 1 иу = 2* - 1 (рис. 4.1).
χ
Рис. 4.1
По рисунку находим χ ~ 1, у ~ 1. Проверка показывает, что значения
χ = 1, у = 1 являются точными решениями системы.
Ответ: (1; 1).
4.10. Пусть (а; Ь) — решение системы
\\ogyx = 2,
\х2+у2=272.
Найти
значение выражения а-Ъ.
Решение
Из первого уравнения системы по определению логарифма
получаем уравнение χ -у1, тогда второе уравнение системы принимает вид
у4 +у2 - 272 = 0. Решив это биквадратное уравнение и учитывая, что
х > 0> У > 0> У * 1> получаем одно решение системы — пару (16; 4),
следовательно, искомая разность а-Ъ равна 12.
Ответ: 12.
134

4.11. Решить систему уравнений
\ogxy + \ogyx = -,
ху = 27.
Решение
(х>0,х*1,
Область определения системы уравнений задает система <
[у>0,у*1.
Запишем исходную систему уравнений в виде
Ί 1 5
log* У 2
ху = 27.
Введем обозначение t = log^y.
Первое уравнение системы примет вид t + - = —, т.е. 2t2 - 5t + 2 = 0;
1
его корнями являются tx = 2 и t2 = —.
Рассмотрим два случая.
а) log^y = 2. Тогда у - х2 и второе уравнение системы примет вид
хх2 = 27,х = 3;у = 32 = 9.
б) logx у = —. Тогда у = у[х и второе уравнение системы примет вид
χ ■ Vx = 27, х2 = 27; χ = 27з = Цтр- = $¥ = 9; у = л/9 = 3.
Ответ: (3; 9); (9; 3).
4.12. Решить систему уравнений
[logyx-log2y2=l,
[log4x-log4j = l.
Решение
χ
Из второго уравнения системы следует, что log4 — = 1, откуда χ = Ay.
У
Заменив в первом уравнении системы χ на 4у, получим:
logy(4y)-log2K2=l,
logy4 + log^y - 21og2y = 1,
21og2y = 21ogy2,
log2y = logy2(y>0,y#i).
135

Перейдем к логарифмам с одним и тем же основанием 2:
log2J = ^ ,
log2J
log|y = l, log2y = ±l,
Ji=2, J2 = 2'
Из равенства χ = 4y, подставляя найденные значения у, найдем зна-
1
чения χ: χλ = 4 · 2 = 8; х2 = 4 · — = 2.
Подстановкой пар чисел (8; 2) и 2; — в исходн5^о систему уравне-
V 2У
ний убеждаемся в том, что они удовлетворяют системе.
Ответ: 2;- ; (8; 2).
4.13. Решить систему уравнений
|(х + 2у)^=25,
[21og5(x + 2y) + x-y = 4.
Решение
Положим и = χ -у, ν = log5(x + 2у).
Прологарифмировав первое уравнение по основанию 5, получим:
uv = 2,
2v + u = 4;
и = -, \и = 2,
ν
ν2-2ν + 1 = θΛν
Отсюда
\х-у = 2, (х = 3,
[х + 2у = 5;1у = 1.
Ответ: (3; 1).
4.14. Решить систему уравнений
[ 1 + log3 (χ + у) log2 3 = 2 log4 7 - log2 x,
log2 (xy +1) = 2 log4 у + log! (x - 2y )3.
Решение
Преобразуем первое уравнение системы:
l + log3(x + y)log23 = 21og47-log2x, log22 + log23loS3(*+y) =log2-,
χ
7 7
log2 2+log2 (χ + у) = log2 -, log2 2(x + у) = log2 -.
χ χ
136

Имеем систему
2(х + у) = -,
χ
х>0,
х + у>0.
Преобразуем второе уравнение системы:
log2 (ху +1) = 2 log4 у + log ι (χ - 2у)3,
8
log2 (ху +1) = log2 у - 3 · - log2 (χ - 2у),
log2(xy+l) = log2^—
x-2y
Имеем систему
У
ху+1 = - _ ,
х-2у
У>0,
х-2у>0,
ху + 1>0.
Объединяя обе полученные системы, запишем систему,
равносильную исходной:
2(
V\>
ху
У
У
X-
х + у
+1 =
>0,
>0,
-2у
) = -,
X
У
х-2у'
>0.
(*)
Выразив из первого уравнения у (у = х) и подставив полученное
2х
значение во второе уравнение, получим:
7
— х2+1 =
2
2х
-х
(
х-2
2х
-х
v 2
7-2х2
2х
2х2-14 + 4х2'
2х
7 2 , 7-2х2
— х2+1 = — .
2 6х2-14
137

9 1 -It
Введем обозначение t = χ2. Получим — t = , откуда имеем
Л
к,2 =
~tl(6t-14) = 7-2t,
27t-63-6t2+14t-7 + 2t = 0,
6t2-43t + 70 = 0,
43 + V1849-1680 43 + 13
12
ι й — Ь, to — .
12 * 2 2
Окончательно имеем х2 = 5, х = ±л/5: х2=—, x = ±J—. Значения
2 V2
χ = -v5 и χ = -J— не удовлетворяют требованиям системы (*).
Находим значения у: при χ = ν5 у = —ρ- - V5 = —;=- = j=
2V5 2V5 2л/5
не удовлетворяет требованиям системы (*); при χ =
< О, что
У =
15 ?-22_ /2
2·Ί ν2 4
Итак, получили, что решением является пара
'If
Ответ:
"5 /^
2'V5y
4.15. Решить систему уравнений
[logx25+2y = 2,
l-(logx0,2)3+y = l.
Решение
Учитывая, что logx25 = 21ogx5, a logx0,2 = logx- = logx5-1 = -logx5,
и обозначая t = logx5, преобразуем исходную систему к виду
[2t + 2y = 2, fy = l-t,
или^ „
[t3 + y = l, [t3+y = l.
Подставляя у = 1 - t во второе уравнение последней системы,
получим t3 - t = О, т.е. t(t - l)(t + 1) = 0. Отсюда имеем:
1) tx = 0, logx5 = 0, корней нет;
2) t2-l = 0, t2 = l,logx5 = l,x1=5,y1=l-t = 0;
138

3) t3 + 1 = 0, t3 = -1, logx5 = -1, x2 = -,y2 = 1 - t = 2.
Γι Ϊ
Таким образом, имеем решения системы (5; 0); —; 2
Ответ: (5;0); -;21
4.16. Найти решения системы уравнений
log3 (5у - χ - 2) - log9 (χ - у)2 = 1,
log2
1 4х
. У
-log9x2=l,
которые удовлетворяют неравенству χ -у < 0.
Решение
Пропотенцируем каждое из уравнений системы. Будем иметь
[5у-х-2 = 3|х-у|,
1у-2-4ху = Зу|х|.
(*)
Эта система является следствием исходной системы.
а) Пусть χ > 0, тогда | χ | = χ и с учетом условия χ < у из первого
уравнения последней системы получаем у = 1 - х.
Тогда второе уравнение этой системы преобразуется к виду 7у2 -
, 0 п З + л/23 3-V23
- оу - 2 = 0, откуда имеем уг = , у2 = и, соответственно,
_4-У23 _4 + л/23
Здесь для хх не выполняется условие χ > 0, а для пары (х2; у2)
не выполняется условие χ <у.
б) Пусть χ < 0, тогда из системы (*) с учетом условия χ <у получаем
у2 = 2, откуда имеем у3 = -V2, у4 = v2 и, соответственно, х3 = 1 + л/2,
х4=1-л/2.
Пара чисел (х3; у3) не удовлетворяет условию χ < 0, а пара (х4; у4)
удовлетворяет этому условию и исходной системе.
Ответ: (1-л/2;л/2).
4.17. Решить систему уравнений
flog5(5x-3y-l) = log2(5 + 4y-3x)-l
log5(2y-x + 3) log2(3x-y + l) '
2x2+y2-3xy-x-l = 0.
Решение
Разложим второе уравнение исходной системы на множители:
(2х-у+1)(х-у-1) = 0.
139

1. Еслиу = 2х + 1, то 5х - Зх - 1 = -х - 4, Зх -у + 1 = х.
Так как неравенства -х-4>0их>0 несовместны, то в этом случае
система не имеет решений (левая и правая части первого уравнения
системы не имеют общей части).
2. Еслиу = χ - 1, то первое уравнение системы примет вид
log5 2 +log5 (x + 1) log2(x + l)-l
откуда имеем
log5(x + l) log2(x + l) + l'
log52 + log521og2(x + 1) + 21og5(x + 1) = 0,
log52 + 3log5(x+l) = 0,
20c+1)3=1,
л 1 то1
x = -l + ^n=, y = x-l = -2+
( 1
-1;чтг-2
Ответ:
4.18. Решить систему уравнений
[log2Aylog4xy = 2,
[8х-у = 1.
Решение
Укажем область определения системы:
х>0,
4x^1,
У>0.
Преобразуем первое уравнение системы:
(log2 χ + log2 у) · log2 у = (log2 χ + log2 у) · log2 у =
log24x ' 2 + log2x
log^ + log^ · log^ - 4 - 21og2X = 0,
log^ у + log2 χ · log2 у - (4 + 21og2 x) = 0.
Решив это уравнение как квадратное относительно log2y и
разложив на множители выражение, стоящее в левой части этого уравнения,
получим систему
i(log2 У - 2) (log2 χ + log2 у + 2) = 0,
|8х = 1 + у,
140

которая равносильна системе
У = 4,
1
ху = —;
8х = 1 + у.
Если ху = —, то χ = ~ и оба значения не входят в область определе-
ния системы. Если же у = 4, то χ = —.
J 8
Ответ: —: 4 .
KB )
4.19. Решить систему уравнений
log2(x2y + 2Ay2)-log1
Λ
(2 1
—+ —
= 4,
logE
ху
6
= 0.
Решение
Область определения системы уравнений определяется
неравенством ху(х + 2у) > 0.
Первое уравнение системы можно записать в виде
log2 [ху(х + 2у) ] + log2 У = 4, log2 (х + 2у)2 = 4.
ху
На области определения исходная система уравнений равносильна
системе
[(х + 2у)2=16,
ху| = 6;
[х + 2у = 4,
[ху = 6;
гх + 2у = -4,
[ху = -6.
Исключая χ из первой системы указанной совокупности, получим
уравнение у2 - 1у + 3 = 0, не имеющей действительных корней, а
значит, эта система уравнений не имеет действительных решений.
Из второй системы совокупности получаем уравнение у2 + 2у - 3 = 0,
которое имеет корни ух = -3, у2 = 1; исходная система имеет два
решения: (2; -3) и (-6; 1).
Ответ: (2; -3); (-6; 1).
4.20. Решить систему уравнений
$8* -ЗЪу =0,
(Зх№3-(.5уУ«5=0.
141

Решение
Перепишем уравнения системы в виде
J5igx=3igy,
Прологарифмируем каждое уравнение системы по основанию 10.
Будем иметь
[Igxlg5 = lgylg3,
[(Igx + lg3)lg3 = (lgy + lg5)lg5.
Ig5
Из первого уравнения выразим lgy: lgy = lgx-E—. Подставим это
lg3
выражение в правую часть второго уравнения и после преобразований
получим
(Igx + lg3)lg3 = (lgx + lg3)lg25
lg3
( 1(т2сЛ
Отсюда (lg χ + lg 3) lg 3 -
ν
lg25
lg3
= 0.
lg25
Легко видеть, что множитель lg3—-— не равен нулю, а значит,
lg3
lgjc + lg3 = 0, откуда * = -. Для у имеем lgy = -lg3-^- = -lg5; y = -.
3 lg3 5
Единственное решение системы — пара —; — .
V3 5)
Ответ: —;— .
4.21. Решить систему уравнений
flogx+i4 + logy4 = 0,
^х2+у2-2х-22у + 122=2л/37-^х2+у2+2х + 2у + 2.
Решение
Выделим полные квадраты в выражениях под радикалами во втором
уравнении системы:
V(x-i)2+(y-ii)2+V^+1)2+Cy+1)2=2V37·
Выражение ^{х -1)2 + (у -11)2 можно рассматривать как расстояние
между точками М(х; у) и А(1; 11): у](х-1)2 + (у-11)2 = р(М; А).
Аналогично выражение у](х +1)2 + (у +1)2 можно рассматривать как
расстояние между точками М(х; у) hB(-1;-1):^/(x + 1)2+(j + 1)2 = р(М; В).
142

Расстояние между точками Л и В равно
p(A;B) = VCL + D2+(ll + l)2 =л/Й8=2л/37.
Согласно неравенству треугольника (длина любой стороны
треугольника меньше суммы длин двух других его сторон) мы должны были
бы записать
р(М;А) + р(М;В)>р(А;В).
Но мы имеем уравнение, поэтому надо записать второе уравнение
системы в виде р(М; А) + р(М; В) = ρ (А; В), а это значит, что точки А, В,
Μ лежат на одной прямой и точка Μ лежит между точками А и В.
Множеством решений последнего уравнения будут являться
координаты точек отрезка АВ на плоскости хОу. Чтобы задать отрезок
аналитически, найдем уравнение прямой, проходящей через точки
А и В. Будем искать это уравнение в виде у = кх + b (ясно, что эта прямая
не параллельна оси Оу). Поскольку точки А и В лежат на этой прямой,
то их координаты удовлетворяют уравнению прямой. Имеем систему
\11 = к + Ь, ГЬ = 5,
7 т откуда \ 7 Итак, уравнением прямой АВ будет у = 6х + 5.
[-1 = -к + Ь, [к = 6.
Отрезок АВ характеризуется дополнительным условием -1 < χ < 1.
Таким образом, второе уравнение исходной системы равносильно
[у = 6х + 5,
[-1<х<1.
Вся исходная система равносильна системе
у = 6х + 5
logx+i4 + logy4 = 0,
-1<х<1.
Подставим в логарифмическое уравнение вместо у ему равное
выражение 6х + 5. Будем иметь logx+14 + log6x+54 = 0, откуда
системе
- + -
■ = 0.
log4 (x +1) log4 (6x + 5)
Это уравнение равносильно системе
log4 (х +1) (6х + 5) = О,
log4 (χ +1) + log4 (6х + 5) = О,
log4(x + l)*0,
log4(6x + 5)*0;
х + 1>0,
х + 1^1,
6х + 5>0,
6х + 5^1;
6х2+11х + 5 = 1,
5
х>-
6'
ХФО,
хф —
4 1
откуда имеем хг= —,х2- —·
143

Значение х =— не удовлетворяет условию -1 < χ < 1; значение
( W
х- — этому условию удовлетворяет. При х- — у - 6
( ι Л
Ответ: —:2
( 1
"2+5 = 2·
4.3. Системы неравенств, содержащих неизвестное
под знаком логарифмической функции
Рассмотрим решение систем неравенств.
4.22. Решить систему неравенств
[lg(x-2) + lg(27-x)<2,
llg(x-l) + lg(x-2)<lg(x + 2).
Решение
Найдем область определения системы неравенств, для чего решим
систему
[х-2>0,
27-х>0,
х-1>0,
[х + 2>0,
откуда получим 2<х<27.
Преобразуем исходную систему неравенств:
lg(x-2)(27-x)<lgl00,
lg(x-l)(x-2)<lg(x + 2);
27х-54-х2 + 2х<100,
х2-х-2х + 2<х + 2;
Гх2-29х + 154>0, ί-οο<χ<+οο5 Γ_οο<χ<+οο)
Ι χ2 - 4х < 0;
[х(х-4)<0; |0<х<4,
откуда получаем 0 < χ < 4.
С учетом области определения системы неравенств решаем систему
[2<х<27,
откуда имеем 2 < χ < 4.
\J ^s JL ^v τ"^
Ответ: (2; 4).
4.23. Решить систему неравенств
flogs (x + 3) (χ + 5) + log0,2 (χ + 3) < 1,5 log^ 2,
jlog1(x + l)<log2(2-x).
144

Решение
Найдем область определения неравенства:
х + 3>0,
х + 5>0,
х + 1>0,
2-х>0;
х>-3,
х>-5,
х>-1,
х<2,
откуда получаем -1 < χ < 2.
Преобразуем исходную систему неравенств:
log5(x + 3)(x + 5)+^^<3 l0gs2
log;
1 2 log5>/5'
ί^^±«<log2C2-*);
log
log2-
log5(x + 3)(x + 5)-log5(x + 3)<31og52,
-log2(x + l)<log2(2-x);
(x + 3)(x + 5)
x + 3
log2(2-x)(x + l)>0;
<log523, |x + 5<8,
2x-x2+2-x>l;
x<3,
x--
1 + V5Y 1-V5
x--
<0.
Решив второе неравенство системы методом интервалов, получаем
[х<3,
1-л/5^ 1 + л/5
<х<
1-л/5^ ^
откуда имеем —:— < χ <
2
1 + л/5
2 2
Учитывая область определения неравенства, формируем систему
-1 < χ < 2,
1-75^ 1 + V5
<х< .
1-75^ ^
откуда имеем —:— < χ <
2
1 + V5
Ответ:
2 2
1-л/5 1 + V5
145

4.24. Решить систему неравенств
[log4(x2+y2)<2,5-log42,
|θ,52+^<4·0,5*2
Решение
Данная система неравенств определена при х2 + у2 Φ О, или χ Φ О,
у Φ О, т.е. во всех точках координатной плоскости, кроме ее начала.
Преобразуем систему к виду
х2 + у2 <
42,5
или
х2+у2 <16,
0,52+^<0,5*2-2; υ~χ2 4
(*)
Линии, заданные равенствами х2 + у2 = 16, у = х2 - 4, пересекаются
в точках (-V7; 3) и (у/7; 3). Построим окружность х2 +у2 = 16 и параболу
у = х2_4 (рис. 4.2).
χ2 +у2 = 16
Рас. 4.2
По рис. 4.2 находим, что решением первого неравенства системы (*)
будут все точки окружности х2 + у2 = 16 и все точки, лежащие внутри
круга, ограниченного этой окружностью, кроме центра круга.
Решениями второго неравенства системы (*) будут все точки
координатной плоскости, лежащие на параболе у = х2 - 4 и над ней.
Аналитическое решение системы можно записать так:
f-V7<x<V7,
x2-4<y<Vl6-x2,
х^0,у*0.
146

Ответ:
С-л/7<х<л/7,
*2-4<y<Vl6-x2,
χφΟ,γφΟ.
4.4. Смешанные системы
логарифмических уравнений и неравенств
Рассмотрим несколько задач, в которых встречаются как уравнения,
так и неравенства.
4.25. Решить систему
[log2(x-y) + log3y = 5,
Llog3(6j-J2)>2.
Решение
Решим неравенство системы. Преобразуем исходное неравенство:
log3(6y -у2) > log39, откуда 6у -у2 > 9, (у - З)2 < 0, у = 3.
Подставляя найденное значение у = 3 в уравнение системы,
получаем
[log2(x-3) + log33 = 5,ilog2(x-3) = 4,ix-3 = 16,ix = 19,
[У = 3; [у = 3; [у = 3; [у = 3.
Ответ: (19; 3).
4.26. Решить систему
flog3(V^:3 + 9)-log4(Vy2-l+l) = 2,
<
[log5 (л/9-х2 +1) + log2 (Vl-У2 + 2) < 1.
Решение
Мы видим, что переменная у должна удовлетворять одновременно
требованиям у2 -1>0и1-у2<0, откуда у = 1 или у = -1.
Гх-3>0,
Переменная χ должна удовлетворять системе < откуда χ = 3.
[9-х2 >0,
Следовательно, решениями системы могут быть только две пары
чисел: (3; -1); (3; 1).
Осталось только сделать проверку непосредственной подстановкой
этих пар чисел в уравнение и неравенство системы:
(3;1):
[log3(V3^3 + 9)-log4(Vl2::l+l) = 2i Г2-0 = 2, Г2 = 2,
log5(V9-32+l) + log2(Vl-l2+2)<l;i0 + 1^l· |1<1.
Полученные верные числовые соотношения доказывают, что пара
чисел (3; 1) является решением исходной системы.
147

(3;-l):
[log3(>/3Γ3 + 9)-log4(V(-l)2-1 +1) = 2, J2-0 = 2,J2 = 2,
llog5(V9-32+l) + log2(Vl-(-l)2+2)<l;lo+1^l· l1^1·
Делаем вывод, что и пара чисел (3; -1) является решением системы.
Ответ: (3; -1); (3; 1).
4.27. Решить систему
[x3 + lgx = y3+lgy,
[log2(x2-3y)<2.
Решение
Рассмотрим функцию fit) = t3 + lg t. Эта функция монотонна.
Действительно, для t > О (область определения логарифмической функции)
1
имеем /'(t) = 3t2 +—— > 0, откуда следует, что функция/(t) — возрас-
tlnt
тающая функция.
Левая часть уравнения системы получается из функции/(t) = t3 + lgt
при t = χ, а правая часть — при t = у.
Значит, Дх) =/(у) и в силу монотонности функции/получаем χ = у.
Имеем
х = У,
х>0,
log2(x2-3x)<2;
х = У,
х>0,
х2-3х<4,
х2 - Зх > 0;
х = У,
х>0,
х-4<0,
х-3>0;
х = У,
х>0,
3<х<4.
Получаем, что решением системы является бесконечные множество
пар (а; а), где 3 < а < 4.
Ответ: (а; а), где 3 < а < 4.
4.28. Решить систему
4\y\-\y-l\ + dy+3)2<8.
Решение
Оценим левую часть уравнения:
2l*2-2x-3|-log23 _ ± = —.2\χ-2χ~3\
2log23 3
Так как |х2 - 2х - 31 > 0, то 2ΐ*2-2*~3Ι >1, а значит, 2^2-2jc-3l-loS2 3 >1.
148

Следовательно, правая часть также ограничена снизу числом —, т.е.
3~у~4 >—, откуда следует, что у < -3.
о
В таком случае каждое из подмодульных выражений у и у - 1
неравенства системы являются отрицательными, что мы и используем
для раскрытия модулей: \у\ =-у; \у - 11 = 1 -у.
В таком случае неравенство системы примет вид -4у + у - 1 +
+ (у + 3)2<8.
Преобразовав последнее неравенство, будем иметь у2 + Зу < 0.
Решением этого неравенства будет промежуток [-3; 0].
Учитывая, что у < -3 и что у заключен в промежутке [-3; 0], мы
делаем вывод: у = -3.
Подставим найденное значение у = -3 в уравнение системы. Будем
иметь2ΐ*2_2χ_3Ι = 1, откудах2-2х-3 = 0;х = -1,χ = 3.
Ответ: (-1; -3); (3; -3).
Задачи для самостоятельного решения
4.1. Решить системы уравнений:
Jlogyx-21ogxy = l,
|х2+2у2=3;
flog4x + log4y = 3,
[2х + 5у = 52;
jlogx25 + 2j = 2,
l-(logx 0,2)3 +у = 1.
4)
5)
6)
7)
8)
|\/y-21gx = 3,
y-3lg(x2) = l;
log4(xy) + 3|^^ = 0,
log4 —= (log4x)log4y;
У
[log3 log2 x + logi logi у = 1,
3 2
xy2=l;
log2(10-230 = 4-y,
log2 *t У~ = 1о§2(* - D -log2(3-x);
3y-x
2χ^-χ-^=1,
log2 у = Vx;
149

9)
Ю)
11)
x-xy + y = l;
logxlog2logxy = 0,
ι logy 9 = 1;
lg(x + y)-(lgx + \gy) = \g-,
6
12)
[lgy + lg6-lg(y + 6) = lgx;
[(loga χ + loga у - 2) log18 a = 1,
[2x + y-20a = 0.
4.2. Решить систему уравнений
'xy + x
у-г
= х-3,
log4(x + 5) = 3-log2
4.3. Решить систему уравнений
'Зху + 2х
36х-х3-64
у-7
у-6
+ 4 = 3х,
4-у
4.4. Решить систему уравнений
Гху + 7х
Αχ- ν·3_81
bg3 * =4-21og9(2x-5).
y + 5
= x + 2,
ncl 25x-x3-81 . . fn л
0,5log3 — = 2-log9(2-x).
y + 3
4.5. Решить систему уравнений
f2xy-3x
y-3
= 2x + 3,
0,5log6 9X ** 36=l-log36(x-2).
5-y
4.6. Доказать, что система уравнений
[14х3 + 53х2 + 35х + 6 = 0,
I l0gl2+7x
( Ίλ 4
Зу + 17 + - -10 = y(7x-1) + J-+ 7x(3-7x) +24lgy
x) Vx
имеет единственное решение.
150

4.7. Доказать, что система уравнений
fl4x3 + 55х2 + 49х +12 = О,
logi3+7xi4y + 12 + |j-9 = j(14x + l) + J| + 7xa-7x) + 331nj
имеет единственное решение.
4.8. Найти все значения параметра а, при которых система уравнений
[|x| + log2(4y + a2) = 3,
[loga(x2+l) + y2=l
имеет единственное решение.
4.9. Найти, при каких значениях параметра α система уравнений
[log2(x + a) + 2|y| = 2,
lloga(y2+l)+|x| = 2
будет иметь единственное решение.
4.10. Решить системы неравенств:
|V(2x-l)(x + 3)>x + l,
& 1ΐοδ3χ-228>2;
[V(2x-3)(x + 2)>x,
log3x_i27<2.
б)
4.11. Решить смешанные системы:
Jlog3(x + y)-log2x = 2,
[log2(4x-x2)>2;
б)
в)
г)
Д)
[log2(Vx^2 + 4) + log5(Vy2-4 + l)>l,
[log2 (Vl6-4y2 + 6) - log3 (V2x-x2 + 9) = 1;
\yfx+lgx = Jy+\gy,
log2(y2+3x)<2;
r|x|+log5(2y + 9) = l,
>g3(y2 + 5)<2;
bgxy + logyx<2,
[log|x-3|(k + 2|-5) = l.
4.12. Определить, при каких значениях параметра α система
неравенств имеет единственное решение:
ί|χ-2α|<5,
jlog2(x + a)<2;
Jlog3(2x + a)>l,
|x2-3ax + 2a2<0;
151

в)
ilog3(a + x)<l,
a-x|<2.
4.13. Решить графически систему неравенств:
'logx_y(y + l)<2,
lg(x + y)-lg(x-y)<lg2;
flog9(x + ll)>log3U-l),
По?-*
а)
б)
0,3
4^-
■4χ
<
В)
[lg(x + у) - lg(x - у) < lg3,
log2|x|+log2y<0.
4.14. Найти все значения α, большие 12, при каждом из которых
( 1
для двух чисел с =
неравенств
lg—-1 +3 и d = loga10 + 8 выполняется система
a )
с-7>0,
d-7
с-7
>0.

Глава 5
ТИПИЧНЫЕ ОШИБКИ И НЕДОЧЕТЫ,
ДОПУСКАЕМЫЕ ПРИ РЕШЕНИИ
ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ,
НЕРАВЕНСТВ И ИХ СИСТЕМ
Ошибки, допускаемые учащимися и абитуриентами при решении
уравнений и неравенств, самые разнообразные: от неверного
оформления решения до ошибок логического характера. Об этих и других
ошибках пойдет речь в этой главе.
Автор убедительно просит читателя внимательно отнестись ко всем
примерам, приведенным в этой главе, ибо каждый из них раскрывает
ту или иную типичную ошибку.
1. Самая типичная ошибка состоит в том, что учащиеся и
абитуриенты при решении уравнений и неравенств без дополнительных
пояснений используют преобразования, нарушающие равносильность, что
приводит к потере корней и появлению посторонних коней.
Рассмотрим на конкретных примерах ошибки подобного рода,
но прежде обращаем внимание читателя на следующую мысль: не
бойтесь приобрести посторонние корни, их можно отбросить путем
проверки, бойтесь потерять корни.
5.1. Решить уравнение: log3(5 -χ) = 3 - log3(-l -χ).
Это уравнение учащиеся и абитуриенты очень часто решают
следующим образом:
log3(5 -χ) = 3 - log3(-l -x),
log3(5 -χ) + log3(-l -χ) = 3,
log3[(5-x)(-l-x)]=3,
(5-χ)(-1-χ) = 33,
χ2-4χ-32 = 0,
_4±Vl6 + 128_4±12
Xl'2~ 2 ~~2~1
Χγ — τ-J X2 ~~ θ·
153

Учащиеся часто, не проводя дополнительных рассуждений,
записывают оба числа в ответ. Но, как показывает проверка, число χ = 8
не является корнем исходного уравнения, так как при χ = 8 левая и
правая части уравнения теряют смысл. Проверка показывает, что только
число χ = -4 является корнем заданного уравнения.
5.2. Решить уравнение log5(x2 -4) - log5(x - 2) = 0.
Покажем ошибочное решение, которое предлагают учащиеся:
log5(x2-4)-log5(x-2) = 0,
ι χ2~4 η
x-2
x2-4 _ 0 x2-4_
x-2 ~ ' x-2 ~ '
^-i=o, χ2-4-χ+2=ο,
x-2 x-2
χ2-χ~2=ο.
x-2
ix2-x-2 = 0,
Последнее уравнение равносильно системе <
Решая уравнение χ2 -х-2 = 0, получим хг = -2, х2 = 1.
Эти два числа удовлетворяют условию χ - 2 Φ 0, а поэтому
абитуриенты, не проводя дополнительных исследований, записывают эти два
числа в ответ. Но это ошибочный ответ, и об этом свидетельствует тот
факт, что как при χ = -2, так и при χ = 1 левая часть исходного
уравнения не имеет смысла. Следовательно, правильный ответ будет таким:
уравнение не имеет корней.
5.3. Решить уравнение log4x2 = 3.
Зачастую это уравнение учащиеся решают так:
3
21og4x = 3,log4x = -,
х = 42, x = v43 =8.
Таким образом, получен ответ χ = 8. Но этот ответ ошибочен, ибо
при замене уравнения log4x2 = 3 уравнением 21og4x = 3 произошла
потеря корня χ = -8 (случилось это в связи с тем, что при переходе
от исходного уравнения к уравнению 21og4x = 3 произошло сужение
области определения уравнения).
Решать заданное уравнение следовало бы одним из следующих
способов:
а) log4x2 = 3, χ2 = 43, χ2 = 64, хг 2 = ±8;
3 з
б) log4x2 = 3,21og4|x| =3, log4|jc| = —, |зс| = 42, |х| =8,xlj2 = ±8.
154

5.4. Решить уравнение logx χ · logx (Зх - 2) = logx (Зх - 2).
3 3 3
При решении этого уравнения учащиеся необоснованно делят обе
части уравнения на выражение log1(3x-2), содержащее неизвестное,
з
что приводит к потере корня и приобретению постороннего корня.
Действительно, производя деление обеих частей уравнения на выра-
1
жение log! (Зх -2), мы получим logx χ = 1, откуда х = —. Конечно же, это
з з 3
решение ошибочно.
Подобные уравнения, содержащие в обеих частях общий
множитель, следует решать переносом всех членов в одну часть и
разложением полученного выражения на множители.
Предложенное уравнение следовало бы решать так:
log ι χ ■ log ι (Зх - 2) - log ι (Зх - 2) = О,
3 3 3
ί Л
logi(3x-2)
з
logix-l
з
= 0,
log1(3x-2) = 0Knnlog1 х-1 = 0,
Зх-2 =
(Ιλ°
v3y
χ = 1 или χ =
илих =
1
Проверка показывает, что значение χ = 1 является корнем исходного
уравнения, а число χ = — корнем не является, ибо при этом значении χ
левая и правая части исходного уравнения теряют смысл.
5.5. Решить уравнение log2x χ = logx x.
Область определения исходного уравнения задается системой
х>0,
2x^1,
Х л
— *1;
2
х>0,
1
хф—,
2
ХФ2.
Для решения заданного уравнения перейдем к логарифму по
основанию х, получим
log^x log^x
l0g*2* tofof
155

Мы видим, что левая и правая части этого последнего уравнения
при χ = 1 не определены, но это число является корнем исходного
уравнения (убедиться в этом можно путем непосредственной подстановки).
Таким образом, формальный переход к новому основанию привел
к потере корня. Чтобы избежать потери корня х=1, следует указать,
что новое основание должно быть положительным числом, отличным
от единицы, и рассмотреть отдельно случай х=1.
5.6. Решить систему уравнений
flg(*2+J2) = 2,
[log2x-4 = log23-log2y.
Решим эту систему следующим образом:
Х2+у2 =1()2^
log2 —= log2-
16 у
|х2+у2=100,
\ху = 48;
х2+у2=100,
jL-3_.
Ϊ6 "7;
[х2+у2-2ху = 100-248, |(х-у)2=4,
[ху = 48; \ху = 48.
Последняя система равносильна совокупности двух систем:
гх-у = 2, \х-у = -2,
или<
ху = 48; [ху = 48.
Решая первую систему, получим два решения (8; 6); (-6; -8); решая
вторую систему, получим (6; 8); (-8; -6).
Если мы все четыре пары чисел запишем в ответ, то мы допустим
ошибку.
Ошибки бы не было, если бы исходная система уравнений была
заменена такой равносильной ей системой:
х2+у2=100,
1б"у'
х>0,
У>0.
Решая, мы получили бы те же пары чисел (8; 6); (-6; -8); (6; 8);
Гх>0,
(-8; -6). Но условие < показывает, что пары (-6; -8); и (-8; -6)
[у>о
решениями системы не являются. В ответ должны быть записаны
только пары (6; 8); (8; 6).
2. Целая группа ошибок, вернее сказать недочетов, состоит в том,
что учащиеся не уделяют должного внимания нахождению области
определения уравнений, хотя именно она в ряде случаев есть ключ
к решению. Остановимся в связи с этим на следующем примере.
156

5.7. Решить уравнение log2(2 - χ) + 4х + vx2 - 2х = 1.
Найдем область определения этого уравнения, для чего решим
систему неравенств:
2-х>0,
х>0,
х2-2х>0;
х<2,
х>0,
х<0, х>2.
Отсюда имеем χ = 0. Проверим непосредственной подстановкой,
является ли число χ = 0 корнем исходного уравнения: log2 2 + vO + v0 = 1,
1 = 1. Получаем ответ: χ = 0.
Хотим обратить внимание читателя на одно очень важное
обстоятельство. Если бы решение системы
2-х>0,
х>0,
х2-2х>0,
мы записали в виде
х<2,
х>0,
х<0,
х>2,
то мы получили бы систему, не имеющую решений. Здесь важен тот
факт, что значения χ < 0, χ > 2 получены в объединении (совокупности),
а мы их записали в пересечении (системе). В математике есть
договоренность: объединение промежутков записывается либо в строчку,
либо с помощью знака «[«. В последнем случае мы должны были бы
систему записать в таком виде:
х<2,
х>0,
"х<0,
х>2.
3. Типичной ошибкой учащихся и абитуриентов является то, что
они не владеют на нужном уровне определениями понятий,
формулами, формулировками теорем, алгоритмами. Подтвердим сказанное
следующими примерами.
5.8. Решить уравнение xiogxu2+3) _ 4.
Учащиеся решают это уравнение, используя основное
логарифмическое тождество, согласно которому имеем х2 + 3 = 4, откуда χλ = -1,
х2= 1.
Эти два числа записываются в ответ, что приводит к ошибке.
157

Верное решение должно состоять в следующем. Используя
определение логарифма, мы сведем исходное уравнение к равносильной ему
системе
Гх2+3 = 4,
<х>0,
[хф1.
Полученные выше два значения χ = -1, χ = 1 корнями исходного
уравнения не являются, так как они не удовлетворяют условиям χ > О, χ Φ Ι.
5.9. Решить уравнение lgx + ^lg^O^l· =lg0,5.
Неверно используя тождество να2 = | α |, это уравнение учащиеся
обычно решают следующим образом:
Igx + lg0,4 = lg0,5,
Igjr = lg0,5-lg0,4,
ι ι 5 5
Верное же решение должно быть таким:
Igx + Vlg20,4 = lg0,5,
Igx + |lg0,4| = lg0,5.
Так как lg0,4 < 0, то имеем:
Igx-lg0,4 = lg0,5,
Igx = lg0,5 + lg0,4,
lgx = lg(0,5-0,4),
χ = 0,2.
χ + 3
5.10. Решить уравнение lg[x(x + 3)] + lg = 0.
χ
Приведем ошибочное решение этого уравнения:
lgx + lg (x + 3) + lg (x + 3) - lgx = 0,
21g(x + 3) = 0,
lg(x + 3) = 0,
x + 3 = 10°,
x + 3 = l,x = -2.
158

Поверка показывает, что χ = -2 не является корнем исходного
уравнения.
Напрашивается вывод, что заданное уравнение корней не имеет.
Однако это не так. Выполнив подстановку χ = -4 в заданное
уравнение, мы можем убедиться в том, что это корень.
Проанализируем, почему произошла потеря корня.
В исходном уравнении выражения χ и χ + 3 могут быть
одновременно оба отрицательными или оба положительными, но при
переходе к уравнению lgx + lg (x + 3) + lg (x + 3) - lgx = 0 эти же выражения
могут быть только положительными. Следовательно, произошло
сужение области определения, что и привело к потере корней.
Чтобы избежать потери корня, можно поступить следующим
образом: перейдем в исходном уравнении от логарифма суммы к логарифму
произведения. Возможно в этом случае появление посторонних корней,
но от них путем подстановки можно освободиться.
Можно поступить и следующим образом: преобразуем исходное
уравнение в уравнение вида
lg[x(x + 3)] = -lgX + 3
lg[jc(jc + 3)] = lg
χ
χ
χ(χ + 3) = -
χ + 3
χ(χ + 3)>0;
(χ + 3)2=1,
χ(χ + 3)>0;
χ = -4.
4. Многие ошибки, допускаемые при решении уравнений и
неравенств, являются следствием того, что учащиеся очень часто пытаются
решать задачи по шаблону, т.е. привычным путем. Покажем это на
примере.
5.11. Решить неравенство 2^10_x - О - 9)lg(x - 9) > 0.
Попытка решать это неравенство привычными
алгоритмическими способами не приведет к ответу. Решение здесь должно
состоять в оценке значений каждого слагаемого левой части неравенства
на области определения неравенства.
Найдем область определения неравенства:
9<х<10.
fl0-jc>0,
[х-9>0;
Для всех χ из промежутка (9; 10] выражение 2^10_х имеет
положительные значения (значения показательной функции всегда
положительны).
159

Для всех χ из промежутка (9; 10] выражение х-9 имеет
положительные значения, а выражение lg (χ - 9) имеет значения отрицательные
или нуль, тогда выражение -(х- 9)lg (χ - 9) положительно или равно
нулю.
Окончательно имеем χ е (9; 10]. Заметим, что при таких значениях
переменной каждое слагаемое, стоящее в левой части неравенства,
положительно (второе слагаемое может быть равно нулю), а значит, их
сумма всегда больше нуля. Следовательно, решением исходного
неравенства является промежуток (9; 10].
5. Одна из ошибок связана с графическим решением уравнений.
5.12. Решить уравнение -
= log j^ x.
16
Наш опыт показывает, что учащиеся, решая это уравнение
графически (заметим, что его другими элементарными способами решить
нельзя), получают лишь один корень (он является абсциссой точки,
( 1
лежащей на прямой у = х), ибо графики функций у = log г χ и у =
16
строятся так, как это показано на рис. 5.1.
16
Рис. 5.1
На самом деле исходное уравнение имеет три корня: один из них
является абсциссой точки, лежащей на биссектрисе первого
координатного угла у = х, другой корень χ = — и третий корень х = —. Убедиться
в справедливости сказанного можно непосредственной подстановкой
чисел — и — в заданное уравнение. В таком случае рисунок будет таким
(рис. 5.2).
Заметим, что уравнения вида log^^a^npn 0 <а<е~е (е~е ~ 0,06598 ~ —)
всегда имеют три действительных корня.
160

Рис. 5.2
Этот пример удачно иллюстрирует следующий вывод: графическое
решение уравнения Дх) = g(x) «безупречно», если обе функции разно-
монотонны (одна из них возрастает, а другая — убывает), и
недостаточно математически корректно в случае одномонотонных функций
(обе либо одновременно убывают, либо одновременно возрастают).
Действительно, в случае разномонотонности функций их графики
могут иметь только одну точку пересечения, и тем самым мы
обоснованно утверждаем, что уравнение имеет только один корень. В
случае одномонотонности функций дело обстоит совсем иначе: те точки
пересечения, которые дают графики одномонотонных функций и
которые видны в пределах чертежа, еще не гарантируют, что у заданного
уравнения нет других корней (а вдруг за пределами чертежа графики
этих одномонотонных функций, которые продолжают обе возрастать
или убывать, будут еще иметь точки пересечения?). Следовательно,
в случае одномонотонных функций нужно дополнительно доказывать,
что помимо тех корней, которые мы «считываем» с чертежа, у
заданного уравнения нет других корней (это можно, в частности, сделать
путем доказательства того факта, что одна из функций растет быстрее
другой).
Приведенные выше рассуждения позволяют сделать вывод о том, что
при графическом решении уравнений, у которых обе функции одномо-
нотонны, следует в ряде случаев использовать производную.
161

6. Ряд типичных ошибок связан с тем, что учащиеся и
абитуриенты не совсем корректно решают уравнения и неравенства на основе
функционального подхода. Покажем типичные ошибки такого рода.
5.13. Решить уравнение хх = х.
Функция, стоящая в левой части уравнения, —
показательно-степенная, и раз так, то на основание степени следует наложить такие
ограничения: χ > 0, χ Φ 1. Прологарифмируем обе части заданного уравнения:
xlgx = lgx,
xlgx - lgx = О,
lgjc-(jc-l)=0,
fx-l = 0,
lgx = 0 или {
6 [x>0.
Отсюда имеем х=1.
Логарифмирование не привело к сужению области определения
исходного уравнения. Но тем не менее мы потеряли один из корней
уравнения; непосредственным усмотрением мы находим, что χ = -1
также является корнем исходного уравнения.
5.14. Решить уравнение х^* =1.
Как и в предыдущем случае, мы имеем показательно-степенную
функцию, а значит, χ > 0, χ Φ Ι.
Для решения исходного уравнения прологарифмируем его обе части
по любому основанию, например по основанию 10:
Vxlnx = lgl,
Vxlgx = 0.
Учитывая, что произведение двух множителей равно нулю тогда,
когда хотя бы один из них равен нулю, а другой при этом имеет смысл,
мы имеем совокупность двух систем:
fV^ = 0, flg* = 0,
или<
х>0 |х>0.
Первая система не имеет решений; из второй системы мы получаем
х=1. Учитывая наложенные ранее ограничения, число χ = 1 не должно
являться корнем исходного уравнения, хотя непосредственной
подстановкой мы убеждаемся в том, что это не так.
5.15. Решить уравнение x1+1s*2 = χ.
Будем решать это уравнение, логарифмируя его обе части по
основанию 10, а значит, мы должны потребовать, чтобы эти части были бы
положительны, т.е. χ > 0. В результате логарифмирования получим
(1 + lgx2) -lgjc = lgjc,
(1 + 21gx) · lgx - lgx = 0,
162

lgx· (l + 21gx-l)=0,
21g2x = 0,lgx = 0,x=l.
Такое решение, основанное на функциональном подходе, привело
нас к ошибке. Действительно, подстановкой убеждаемся в том, что
помимо корня χ = 1 у исходного уравнения имеется еще один корень
х = -1 ((-l)i+ig(-D2 =-1, (-D^-l, -1 = -1).
7. Рассмотрим некоторые ошибки, связанные с понятием сложной
функции вида у = log/(x).
А. Ошибки, связанные с определением монотонности функции.
5.16. Определить вид монотонности функции у = log0 5(3 - 2х).
Наша практика показывает, что абсолютное большинство учащихся
определяют монотонность в данном случае лишь по основанию
логарифма, а так как 0 < 0,5 < 1, то отсюда следует ошибочный вывод —
функция у = log0j5(3 - 2х) убывает.
Нет! Эта функция возрастающая. Докажем это. Область определе-
3
ния этой функции χ < —. Возьмем из этой области определения функции
точки хг и х2, где хг < х2. Найдем значения функции в этих точках:
Уг = loSo,5(3 "2*ι) иу2 = log05(3 -2х2).
Составим разность у2 ~У\ и определим ее знак:
У2-Уг= logo,5(3 - 2х2) - log0)5(3 - 2хг) = log0)5
3-2х2
3-2*!
Так как хг < х2, то 2х2 > 2хь -2х2 < -2хъ 3 - 2х2 < 3 - 2хь откуда
3-2х2 л
< 1, а значит,
3-2*!
ι ^ ~~ £Xl г\
lQgo35Q 0 =У2~У1>0.
ό — ΔΧι
Так как из неравенства х± < х2 следует неравенство у± < у2, то тем
самым доказано возрастание заданной функции.
Указанной ошибкой пестрит большинство учебников, учебных
пособий по математике и других изданий, а поэтому мы приведем еще один
пример, на котором читатель имеет возможность глубже вникнуть
в суть рассматриваемого вопроса.
1-Зх
5.17. Можно ли функцию у = log01 назвать убывающей?
' 5-х
Областью определения этой функции является множество χ е -<*>; — и
( Ιλ
и (5; +оо). Возьмем, например, из промежутка -<χ>;— два значения хг
и хъ таких что хг < х2. Найдем знак разностиу2 -уг:
163

л 1-3*2 ι 1-3*!, (1-3χ2)(5-Χι)
У2 - У ι = log0,i - log0,i = log0,i * Q \ =
5-x2 5-χλ (5-x2)(l-3xi)
_i 5-x1-15x2+3x1x2 _i (5 + 3x1x2)-(x1+15x2)
3 5-15x1-x2-\-3x1x2 ' (5 + 3x1x2)-(15x1+x2)
Видим, что числитель дроби, стоящей под знаком логарифма,
меньше ее знаменателя (действительно, хг + 15х2 > х2 + 15хх, а эти два
числа отнимаются от одного и того же числа 5 + Зххх2), а значит, дробь
меньше единицы. Но тогда, учитывая основание логарифма 0 < 0,1 < 1,
имеем, что значение самого логарифма положительно.
Итак, у2~У\> 0· Имеем, что из неравенства χλ < х2 следует неравен-
1 - Зх f 1 ^
ство у-, < у2, а значит, функция у = log01 на промежутке -<*>; —
' 5-х ^ Ъ)
возрастает, хотя, глядя на внешний вид этой функции, хочется сказать,
что она убывающая, ибо основание логарифма меньше единицы.
Рассмотрим в общем виде, как ведет себя на монотонность функция
вида у = log/Cx), где fix) определена на области определения
логарифмической функции, пусть это будет множество М. Возможны
следующие случаи:
1. fix) на Μ убывающая, а основание логарифмической функции
а > 1. Так как fix) на Μ убывает, то для любых χλ и х2, где χλ < х2,
следует, что/Oq) <Дх2). Имеем у0q) = logaf(jc1),y(jc2) = log/(x2). Тогда
fix )
У(*2) - y(*i) = loga Я*2) - loga /(*ι) = loga ^—^-,
а это выражение отрицательно. Действительно, так как-—— < 1 и a > 1,
f (^ )
το loga -—— < 0. Итак, получили, что для любыхх±е Мих2е Миз нера-
венствах! <х2 следует неравенство ух >у2, а значит, функция у = log/Cx)
на множестве Μ убывающая.
2. fix) на Μ возрастает, а основание логарифмической функции
а > 1. Проведя аналогичные рассуждения, что и в предыдущем пункте,
получим, что функция у = log/Cx) на множестве Μ возрастает.
3. Дх) на Μ убывает, а основание логарифма удовлетворяет
неравенству 0 < а < 1. В данном случае функция у = log/Cx) на множестве Μ
будет возрастать.
4. Дх) на Μ возрастает, а основание логарифма удовлетворяет
неравенству 0 < а < 1. В этом случае функция у = log/Cx) на множестве Μ
будет убывающей.
Условно для функции вида у = log/Cx) можно записать:
• возрастающая (убывающая) = убывающая;
• возрастающая (возрастающая) = возрастающая;
• убывающая (убывающая) = возрастающая;
• убывающая (возрастающая) = убывающая;
164

Б. Учащиеся называют функцию у = log/Cx) логарифмической.
Напомним, что логарифмической называется функция вида у = log^,
где а > О, а Ф 1, у которой график имеет вид, изображенный на рис. 1.1.
Покажем, что функцию у = \o%J{x) при любом виде функции f(x) нельзя
назвать логарифмической. Для этого рассмотрим пример, связанный
с функцией у = log2(x2 + 4). Проведя исследования этой функции
средствами дифференциального исчисления и построив на основе этого
график заданной функции, будем иметь график, изображенный на рис. 5.3.
Л
y = log2U2 + 4)\
4
! 2 I
^2 0\ 2 Τ
Рис. 5.3
Конечно, сходства графика на рис. 5.3 с графиком на рис. 1.1 вообще
нет, тогда о какой логарифмической функции можно говорить.
В. Описанная в п. А ошибка влечет за собой математический казус.
Проиллюстрируем его на следующем примере.
5.18. Решить неравенство log0j5(4 -χ) < log0j5(4 - 2х).
Приведем рассуждения, которые проводят учащиеся, решавшие это
неравенство: «Область определения заданного неравенства есть
промежуток χ < 2. На множестве χ е (-<*>; 2) логарифмическая функция
с основанием, меньшим единицы (0 < 0,5 < 1), является убывающей...»
Но стоп! Вот тут-то и кроется тот казус, о котором мы говорили. Мы
спрашивали учащихся: «А о какой функции вы говорите?» В нашей
практике мы слышали сплошь лишь такие ответы: «Ну, конечно, о функции
логарифмической». На вопрос: «А о какой именно?», следовал ответ:
«Речь шла о функции log0 5(4 - х)». Но, как было показано в п. 7.1, эта
функция возрастающая. Доказав этот факт учащимся, мы затем
получали другой ответ: «Речь идет о функции log0 5(4 - 2х)». Но, как легко
показать, и эта функция является возрастающей.
Такой диалог вообще обескураживает учащихся. Они спрашивают
тогда: «Так все-таки о какой функции надо вести речь при решении
заданного неравенства?»
Ответ один: речь идет о функции log0 5t, которая является убывающей.
165

8. За что могут снизить баллы. Приведем задание из третьей части
ЕГЭ, которое оценивается баллами (максимальный балл — 4).
5.19. Решить уравнение log9(37 - 12x)log7_2x3 = 1.
Приведем решение, которое содержит ошибки, а значит, за него
не будет выставлен максимальный балл.
Сводим логарифмы к основанию 3. Уравнение примет вид
log3(37-12x)=1
21og3(7-2x)
Отсюда имеем
log3(37 - 12х) = 21og3(7 - 2х),
log3(37 - 12х) = log3(7 - 2х)2.
Потенцируя, получаем 37-12х = 49- 28х + 4х2, или х2 - 4х + 3 = О,
Хл — _L, Хо = О ·
Выполним проверку, чтобы выявить посторонние корни:
jc = l:log9(37-12-l)-log7.2.i3 = log925-log53 =
= log35-log53 = log35·- - = 1, 1 = 1,
logs 5
значит, χ = 1 — корень исходного уравнения.
χ = 3: log9(37 - 12 · 3) · log7_2.33 = log9l · log^ = 0 · log^ = О,
значит, х = 3 корнем исходного уравнения не является.
За такое решение проверяющая комиссия снимет один, а то и два
балла.
Поясним, почему это решение содержит ошибки. Суть ошибки в том,
что запись 0 · logx3 = 1 содержит две грубые ошибки. Первая ошибка:
запись logx3 вообще не имеет смысла. Вторая ошибка: неверно, что
произведение двух сомножителей, один из которых нуль, обязательно
будет нулем. Нуль будет в том и только в том случае, если один
множитель — нуль, а второй множитель имеет смысл. Здесь же как раз второй
множитель смысла не имеет.
Приведем безошибочное решение заданного уравнения.
Область определения уравнения находим из системы
Г37-12х>0,
17-2х>0,
[7-2хф1.
Теперь, упростив исходное уравнение, будем иметь
log3(37-12x) = log3(7-2x)2,
37-12х=(7-2х)2,
166

x2-4x + 3 = 0,
Замечаем, что χ = 3 не удовлетворяет области определения
уравнения, а х = 1 — удовлетворяет. Сделав проверку, делаем вывод о том, что
χ = 1 — корень уравнения.
9. Вернемся к уже прокомментированной выше ошибке, но при этом
приведем и новые рассуждения.
При решении логарифмических уравнений logJOc) = logag(x)
переходят к уравнению Дх) = g(x). Каждый корень первого уравнения является
корнем и второго уравнения. Обратное, вообще говоря, неверно,
поэтому, переходя от уравнения \ogJ0c) = logag(x) к уравнению Дх) = g(x),
необходимо в конце проверить корни последнего подстановкой в
исходное уравнение. Вместо проверки корней целесообразно заменять
уравнение logJOc) = logag(x) равносильной системой
[/(*) = g(x),
]/(*)> О,
[g(*)>0.
Если при решении логарифмического уравнения выражения
f(x)
\ogJ(x)g(x), loga , \oga(f(x))n, где п — четное число, преобразовыва-
g(x)
ются соответственно по формулам logJOc) + logag(x), logJOc) - logag(x),
nlogJOc), то, так как во многих случаях при этом сужается область
определения уравнения, возможна потеря некоторых его корней. Поэтому
указанные формулы целесообразно применять в следующем виде:
loga /C*)g(x) = l0ga I /(*) Ι + l0ga I g(*) I >
l0ga Щ = l0ga I /(*) I "loga I gW |,
gW
loga(/(jc))ri = nloga | fix) |, η — четное число.
Обратно, если при решении логарифмического уравнения
выражения log/Oc) + logag(x), \ogJ(x) - logag(x), nlog/(x), где п — четное
число, преобразовываются соответственно в выражения \ogj(x)g(x),
fix)
loga- , loga(f(x))?1, то область определения уравнения может рас-
шириться, в силу чего возможно приобретение посторонних корней.
Помня об этом, в подобных ситуациях необходимо следить за
равносильностью преобразований и, если область определения уравнения
расширяется, делать проверку получаемых корней.
Укажем на возможность такого преобразования уравнения, при
котором формулы логарифмирования не приводят ни к потере корней,
ни к приобретению посторонних корней. Оно заключается в пере-
167

ходе от уравнения вида loga(f(x) · g(x)) = h(x) к совокупности
уравнений
loga /(*) + loga g(jc) = ft(jc),
,loga(-/(Jc)) + loga(-g(jc)) = h(jc),
равносильной исходному уравнению.
Примером преобразования, которое может привести как к потере
корней, так и к приобретению посторонних корней, может служить
также переход к новому основанию логарифма, содержащему
переменную.
Если при решении уравнения применяется формула
\oSgM№=76Kx)J:::, о
logftOO Я*)
loghoo gU)'
то могут быть потеряны корни, при которых h(x) < 0 или h(x) = 1.
Отметим, что применение формулы (*) справа налево может
привести к расширению области определения уравнения. При этом
посторонними корнями могут оказаться те значения х, при которых основа-
[h(x)>0,
ние логарифмов h(x) не удовлетворяет условиям <
[Цх)ф1.
10. При решении логарифмических неравенств с помощью
подстановки мы всегда сначала решаем новое неравенство относительно
новой переменной и лишь в его решении делаем переход к старой
переменной.
Школьники очень часто ошибочно делают обратный переход
раньше, на стадии нахождения корней рациональной функции,
получившейся в левой части неравенства.
Этого делать не следует.
11. Учащиеся допускают ошибки при решении нестрогих
неравенств, в том числе и логарифмических.
Проиллюстрируем сказанное примерами.
5.20. Решить неравенство ь ь - -< 0.
lgjc + 1
Введя обозначение lgx = t, преобразуем заданное неравенство к виду
t(t-D2
t + 1
<0. (*)
Решим это неравенство методом интервалов (рис. 5.4).
Имеем t ε (-1; 0], откуда, переходя к переменной х, получим
-1 < lgx < 0. Окончательно имеем — < χ < 1.
6 10
Заметим, что ответ получен ошибочный. Дело в том, что при t = 1
неравенство (*) верно, а значит, при χ = 10 верно исходное
неравенство.
168

-1 0 It
Рис. 5.4
Типичная ошибка состоит в том, что учащиеся не записывают
в ответ изолированные точки. Верный ответ должен быть записан так:
(ι 1
хе\ —;11х= 10.
{10 J
Подобной ошибки можно избежать, если на рисунке отметить
точки, принадлежащие решению, и особо отметить точки, не входящие
в решение. Тогда вместо рис. 5.4 получим рис. 5.5.
Рис. 5.5
5.21. Решить неравенство (lgx-l)A/lg2x-31gx + 2 >0.
Приведем ошибочное решение.
Найдем область определения неравенства. Ею будет совокупность
х<0,
х>100.
Так как арифметический квадратный корень A/lg2x-31gx + 2
неотрицателен, то исходное неравенство будет верным, если lgx - 1 > 0,
откуда χ > 0. С учетом области определения неравенства имеем χ > 100.
Затем записывается ошибочный ответ: χ е [100; -и»).
Но заметим, что полученное решение — промежуток χ ε [10; +<*>) —
имеет с областью определения исходного неравенства (х е (-<*>; ю] и
и [100; +оо)) следующее пересечение: 10; [100; +°°).
Следовательно, решением заданного неравенства является: χ = 10,
χ > 100.
12. Приведем пример еще одной ошибки, связанной с решением
неравенств.
5.22. Решить неравенство ^/lg2 x-4lgx + 3>2-lgx.
Приведем ошибочное решение, которое очень часто предлагают
учащиеся.
Возведем обе части исходного неравенства в квадрат. Будем иметь
lg2x - 4lgx + 3 > 4 - 4lgx + lg2x,
откуда получаем неверное числовое неравенство 3 > 4, что позволяет
сделать вывод: заданное неравенство не имеет решений.
Однако полученный вывод неверен: например, при χ = 1000 имеем
Vlg21000-4lgl000 + 3>2-lgl000,V9-12 + 3>2-3, 0 >-1. Полученное
числовое неравенство верно, а значит, χ = 1000 является решением.
169

lgx<l,
_lgx>3,
x>0,
Γχ<10,
\_x > 1000,
x>0,
Значит, заданное неравенство имеет решение и, следовательно,
приведенное выше решение ошибочно.
Приведем правильное решение. Найдем область определения
исходного неравенства. Она задается системой
flg2x-4lgx + 3>0,
или<!
[х>0,
откуда χ е (0; 10] и [1000; +<*>).
Ясно, что на интервале (10; 1000) нет решений, ибо левая часть
заданного неравенства при любом χ из этого интервала не имеет
смысла.
Рассмотрим два случая.
а) 2 - lgx < 0, откуда χ > 100. С учетом области определения
исходного неравенства имеем промежуток χ ε [1000; +°°). Для всех χ из этого
промежутка левая часть исходного неравенства неотрицательна (как
значение арифметического квадратного корня), а правая —
отрицательна. Делаем вывод о том, что χ е [1000; +<*>) — решение заданного
неравенства.
б) 2 - lgx > 0, откуда χ < 100. С учетом области определения
исходного неравенства имеем промежуток χ е (0; 10]. Для всех χ из
промежутка (0; 10] имеют смысл обе части неравенства, и они имеют
неотрицательные значения, значит, обе части заданного неравенства мы
можем возвести в квадрат. Будем иметь
lg2x - 4lgx + 3 > 4 - 4lgx + lg2x,
откуда 3 > 4. Это неверное числовое неравенство позволяет сделать
вывод: значения χ из промежутка (0; 10] решениями исходного
неравенства не являются.
Ответ: [1000;+оо).
Замечание. Читатель должен был обратить внимание на то, что
допущенная ошибка связана не с логарифмами, а в основном с квадратным
корнем и с нестрогим неравенством вида а>Ъ.
13. Типичная ошибка при решении логарифмических уравнений,
неравенств и их систем состоит в том, что неверно преобразовываются
логарифмические выражения, входящие в них.
Приведем примеры.
5.23. Преобразовать выражение log2(4xlog2*).
Зачастую учащиеся поступают так:
log2 (4xl0S2 χ) = log2 χ · log2 4x = log2 x(log2 4 + log2 x) = 2 log2 χ + log| χ.
Это ошибочный ответ.
Выполнить же задание следовало бы так:
log2 (4xloS2 χ) = log2 4 + log2 xloS2 * = 2 + log2 χ · log2 χ = 2 + log| x.
170

5.24. Преобразовать выражение logv2(x-l).
1
Используя формулу log„fc b = — loga b, учащиеся записывают
к
log о U -1) = - log* U -1).
х 2
Заметим, что так можно было бы поступить в том случае, когда
основание логарифма не содержало бы переменной. В данном случае,
учитывая, что у степени, служащей основанием логарифма, показатель
четный, следует преобразование выполнить в следующем виде:
logx2(x-l) = -logw(jc-l).
14. Часто допускаются ошибки при решении систем уравнений,
в том числе и систем логарифмических уравнений, методом деления
одного уравнения системы на другое.
Приведем пример такой ошибки.
5.25. Решить систему
[(х-1)1пу = (2-х)1пх,
[In у = 1пх.
Решаем указанным методом. Разделив первое уравнение системы
на второе, будем иметь
х-1 = 2-х,
<
1пу = 1пх;
( η
3
з
х =—,
2
2 <
у = х;
3
У=2-
Но легко видеть, что и пара (1; 1), которая удовлетворяет области
Гх>0,
определения системы уравнений < также является решением
системы. Действительно, подставляя х=1иу=1в исходную систему,
f(l-l)lnl = (2-l)lnl, Γθ = 0,
имеем <, , откуда <
[lnl = lnl, y [0 = 0.
Поясним, почему произошла потеря решения системы.
Если задана система двух уравнений с двумя неизвестными
7i(*;y)=/2(*;y)>
Igi(x;y) = g2(*;y)>
из которой мы получаем
iAU;y) = /2(^;y)
giU;y) g2U;y)'
171

то вторая система уравнений будет следствием первой системы
уравнений (значит, содержит все решения первой системы) в том и только
в том случае, когда нет ни одной пары (х; у), при которой бы функции
g\(x\ У) и g2&'> У) одновременно обращались бы в нуль.
Как мы видим, такая пара (1; 1) в данном случае нашлась, потому-то
и произошла потеря решения.

Литература
1. Аверьянов, Д. И. Задачи письменного экзамена по математике
за курс средней школы: условия и решения / Д. И. Аверьянов, Л. И. Зва-
вич, В. К. Смирнова. — Вып. 1. — М. : Школа-Пресс, 1993.
2. Аверьянов, Д. И. Задачи письменного экзамена по математике
за курс средней школы: условия и решения / Д. И. Аверьянов, Л. И. Зва-
вич. — Вып. 2. — М. : Школа-Пресс, 1993.
3. Александров, Б. И. Пособие по математике для поступающих
в вузы / Б. И. Александров [и др.]. — М. : Изд-во МГУ, 1972.
4. Алексеев, В. М. Элементарная математика. Решение задач : учеб.
пособие / В. М. Алексеев. — 2-е изд., перераб. и доп. — Киев : Вища
школа, 1989.
5. Башмаков, М. И. Уравнения и неравенства / М. И. Башмаков. —
М. : Наука, 1976.
6. Белоненко, Т. В. Сборник конкурсных задач по математике /
Т. В. Белоненко [и др.]. — СПб. : СпецЛит, 1997.
7. Болтянский, В. Г. Лекции и задачи по элементарной математике /
В. Г. Болтянский, Ю. В. Сидоров, М. И. Шабунин. — М. : Наука, 1974.
8. Бородуля, И. Т. Тригонометрические уравнения и неравенства :
книга для учителя / И. Т. Бородуля. — М. : Просвещение, 1989.
9. Вавилов, В. В. Задачи по математике. Алгебра / В. В. Вавилов
[и др.]. — М. : Наука, 1987.
10. Вавилов, В. В. Задачи по математике. Уравнения и неравенства :
справ, пособие / В. В. Вавилов [и др.]. — М. : Наука, 1988.
11. Васильев, В. А. Методическое пособие по математике для
поступающих в вузы / В. А. Васильев, Т. Д. Кудрина, Р. Н. Молодожникова. —
М. : Изд-во МАИ, 1992.
12. Васильев, Н. Б. Задачи всесоюзных математических олимпиад /
Н. Б. Васильев, А. А. Егоров. — М. : Наука, 1988.
13. Васин, А. П. Решение показательных и логарифмических
уравнений и неравенств (методы решения конкурсных задач) / А. П. Васин,
А. К. Лебедев. — М. : Изд-во Центра заочного обучения «Пифагор»,
1994.
14. Виленкин, Н. Я. Элементарная математика / Н. Я. Виленкин
[и др.]. — М. : Просвещение, 1970.
15. Галицкий, М. Л. Сборник задач по алгебре для 8—9 классов :
учеб. пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением
курса математики / М. Л. Галицкий, А. М. Гольдман, Л. И. Звавич. —
М. : Просвещение, 1992.
173

16. Гальперин, Г А. Московские математические олимпиады /
Г. А. Гальперин, А. К. Толпыго. — М. : Просвещение, 1986.
17. Гелъфанд, И. М. Функции и графики / И. М. Гельфанд, Е. Г.
Глаголева, Э. Э. Шноль. — М. : Наука, 1968.
18. Говоров, В. М. Сборник конкурсных задач по математике /
В. М. Говоров [и др.]. — М. : Наука, 1986.
19. Громов, А. И. Методы решения задач по элементарной
математике и началам анализа / А. И. Громов, В. М. Савчин. — М. : Изд-во
Российского университета дружбы народов, 2001.
20. Гущо, Л. В. Единый государственный экзамен. Математика :
учеб. пособие / Л. В. Гущо, М. С. Ильина. — М. : Московский Лицей,
2007.
21. Далингер, В. А. Типичные ошибки по математике на
вступительных экзаменах и как их не допускать / В. А. Далингер. — Омск : Изд-во
Омского ИУУ, 1991.
22. Далингер, В. А. Все для обеспечения успеха на выпускных и
вступительных экзаменах по математике. Вып. 4. Нестандартные
уравнения, неравенства и методы их решения : учеб. пособие / В. А.
Далингер. — Омск : Изд-во ОмГПУ, 1995.
23. Далингер, В. А. Все для обеспечения успеха на выпускных и
вступительных экзаменах по математике. Вып. 5. Показательные,
логарифмические уравнения, неравенства и их системы : учеб. пособие /
В. А. Далингер. — Омск : Изд-во ОмГПУ, 1996.
24. Далингер, В. А. Пособие для сдачи экзамена по математике:
Анализ ошибок абитуриентов по математике и пути их предупреждения /
В. А. Далингер, А. Н. Зубков. — Омск : Изд-во ОмГПУ, 1991.
25. Денищева, Л. О. Единый государственный экзамен 2002:
Контрольные измерительные материалы: Математика / Л. О. Денищева
[и др.]. — М. : Просвещение, 2002.
26. Денищева, Л. О. Единый государственный экзамен.
Математика. / Л. О. Денищева [и др.]. — М. : Просвещение, 2003.
27. Денищева, Л. О. Учебно-тренировочные материалы для
подготовки к Единому государственному экзамену. Математика / Л. О.
Денищева [и др.]. — М. : Интеллект-Центр, 2002.
28. Дорофеев, Г. В. Пособие по математике для поступающих
в вузы / Г. В. Дорофеев, М. К. Потапов, Н. X. Розов. — М. : Наука, 1972.
29. Ермаков, С. М. Варианты письменных работ по математике
(с решениями и ответами) / С. М. Ермаков, В. С. Сабанеев. — Л. :
Изд-во Ленинградского университета, 1974.
30. Зайцев, В. В. Элементарная математика: Повторительный курс /
В. В. Зайцев, В. В. Рыжков , М. И. Сканави. — М. : Наука, 1974.
31. Зайцев, В. В. Элементарная математика: Теория и практика
решения задач (в помощь поступающим в вузы). Тригонометрические
функции / В. В. Зайцев, В. В. Рыжков, М. И. Сканави. — М. : Изд-во
Международного научного центра ученых МГУ, 1992.
174

32. Зайцев, М. В. Математика. Образцы заданий письменных
вступительных экзаменов / М. В. Зайцев, Т. А. Лавриненко. — М. : Изд-во
Московского государственного ун-та коммерции, 2000.
33. Зорин, В. В. Пособие по математике для поступающих в вузы /
В. В. Зорин. — М. : Высшая школа, 1974.
34. Ивлиева, Е. Г. Как готовиться к экзамену по математике /
Е. Г. Ивлиева. — М. : Школа-Пресс, 1993.
35. Плюшкин, В. А. Методы решения конкурсных задач по
математике, основанных на характерных свойствах функций / В. А. Илюш-
кин. — М. : Изд-во Центра заочного обучения «Пифагор», 1994.
36. Колесникова, С. И. Математика. Интенсивный курс подготовки
к Единому государственному экзамену / С. И. Колесникова. — М. :
Айрис-пресс, 2006.
37. Кутасов, А. Д. Показательные и логарифмические уравнения,
неравенства, системы : учеб.-метод, пособие № 7 / А. Д. Кутасов. —
Изд-во Российского открытого университета, 1992.
38. Мельников, И. И. Как решать задачи по математике на
вступительных экзаменах / И. И. Мельников, И. Н. Сергеев. — М. : Изд-во
МГУ, 1990.
39. Мерзляк, А. Г. Алгебраический тренажер : пособие для
школьников и абитуриентов / А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якур. —
Киев : А.С.К., 1997.
40. Нестеренко, Ю. В. Задачи вступительных экзаменов по
математике / Ю. В. Нестеренко, С. Н. Олехник, М. К. Потапов. — М. : Наука,
1980.
Новые издания по дисциплине «Математика»
и смежным дисциплинам
41. Баврин, И. И. Математика : учебник и практикум для СПО /
И. И. Баврин. — 2-е изд., перераб. и доп. — М. : Издательство Юрайт,
2017.
42. Баврин, И. И. Математика для технических колледжей и
техникумов : учебник и практикум для СПО / И. И. Баврин. — 2-е изд., испр.
и доп. — М. : Издательство Юрайт, 2017.
43. Богомолов, Н. В. Математика : учебник для СПО / Н. В.
Богомолов, П. И. Самойленко. — 5-е изд., перераб. и доп. — М. : Издательство
Юрайт, 2017.
44. Богомолов, К В. Математика. Задачи с решениями. В 2 ч. : учеб.
пособие для СПО / Н. В. Богомолов. — 2-е изд., испр. и доп. — М. :
Издательство Юрайт, 2016.
45. Богомолов, Н. В. Практические занятия по математике. В 2 ч. :
учеб. пособие для СПО / Н. В. Богомолов. — 11-е изд., перераб. и доп. —
М. : Издательство Юрайт, 2017.
46. Гисин, В. Б. Математика. Практикум : учеб. пособие для СПО /
В. Б. Гисин, Н. Ш. Кремер. — М. : Издательство Юрайт, 2017.
175

47. Глотова, М. Ю. Математическая обработка информации :
учебник и практикум для СПО / М. Ю. Глотова, Е. А. Самохвалова. — М. :
Издательство Юрайт, 2016.
48. Далингер, В. А. Информатика и математика. Решение уравнений
и оптимизация в Mathcad и Maple : учебник и практикум для СПО /
В. А. Далингер, С. Д. Симонженков. — 2-е изд., испр. и доп. — М.:
Издательство Юрайт, 2016.
49. Далингер, В. А. Математика: задачи с модулем : учеб. пособие
для СПО / В. А. Далингер. — 2-е изд., испр. и доп. — М. : Издательство
Юрайт, 2017.
50. Далингер, В. А. Математика: задачи с параметрами. В 2 ч.: учеб.
пособие для СПО / В. А. Далингер. — 2-е изд., испр. и доп. — М. :
Издательство Юрайт, 2017.
51. Далингер, В. А. Математика: обратные тригонометрические
функции. Решение задач : учеб. пособие для СПО / В. А. Далингер. —
2-е изд., испр. и доп. — М. : Издательство Юрайт, 2017.
52. Дорофеева, А. В. Математика : учебник для СПО / А. В.
Дорофеева. — 3-е изд., перераб. и доп. — М. : Издательство Юрайт, 2017.
53. Дорофеева, А. В. Математика для гуманитарных
специальностей. Сборник задач : учеб.-практ. пособие для СПО / А. В.
Дорофеева. — 2-е изд. — М. : Издательство Юрайт, 2016.
54. Кремер, Н. Ш. Математика для колледжей : учеб. пособие
для СПО / Н. Ш. Кремер, О. Г. Константинова, Μ. Η. Фридман ; под ред.
Н. Ш. Кремера. — 10-е изд., перераб. и доп. — М.: Издательство Юрайт,
2017.
55. Кучер, Т. П. Математика. Тесты : учеб. пособие для СПО /
Т. П. Кучер. — 2-е изд., испр. и доп. — М. : Издательство Юрайт, 2016.
56. Математика : учебник для СПО / О. В. Татарников [и др.] ; под
общ. ред. О. В. Татарникова. — М. : Издательство Юрайт, 2016.
57. Математика. Практикум : учеб. пособие для СПО / О. В.
Татарников [и др.] ; под общ. ред. О. В. Татарникова. — М. : Издательство
Юрайт, 2016.
58. Павлюченко, Ю. В. Математика : учебник и практикум для СПО /
Ю. В. Павлюченко, Н. Ш. Хассан ; под общ. ред. Ю. В. Павлюченко. —
4-е изд., перераб. и доп. — М. : Издательство Юрайт, 2017.
59. Седых, И. Ю. Математика : учебник и практикум для СПО /
И. Ю. Седых, Ю. Б. Гребенщиков, А. Ю. Шевелев. — М. : Издательство
Юрайт, 2016.
60. Шипачев, В. С. Математика : учебник и практикум для СПО /
В. С. Шипачев ; под ред. А. Н. Тихонова. — 8-е изд., перераб. и доп. —
М. : Издательство Юрайт, 2017.

Наши книги можно приобрести:
Учебным заведениям и библиотекам:
в отделе по работе с вузами
тел.: (495) 744-00-12, e-mail: vuz@urait.ru
Частным лицам:
список магазинов смотрите на сайте urait.ru
в разделе «Частным лицам»
Магазинам и корпоративным клиентам:
в отделе продаж
тел.: (495) 744-00-12, e-mail: sales@urait.ru
Отзывы об издании присылайте в редакцию
e-mail: red@urait.ru
Новые издания и дополнительные материалы доступны
в электронной библиотечной системе «Юрайт»
biblio-online.ru
Учебное издание
Далингер Виктор Алексеевич
МАТЕМАТИКА:
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
И НЕРАВЕНСТВА
Учебное пособие для СПО
Формат 70x100 Vi6.
Гарнитура «Charter». Печать цифровая.
Усл. печ. л. 13,66.
ООО «Издательство Юрайт»
111123, г. Москва, ул. Плеханова, д. 4а.
Тел.: (495) 744-00-12. E-mail: izdat@urait.ru, www.urait.ru