/
Похожие
Текст
СБОРНИК
ЗАДАЧ
ПО МАТЕМАТИКЕ
для ВТУЗОВ
ЛИНЕЙНАЯ
АЛГЕБРА
И ОСНОВЫ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
СБОРНИК
ЗАДАЧ
ПО МАТЕМАТИКЕ
ДЛЯ ВТУЗОВ
ЛИНЕЙНАЯ
АЛГЕБРА
И ОСНОВЫ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
Под редакцией
А. В. ЕФИМОВА, Б. П. ДЕМИДОВИЧА
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия для студентов
инженерно-технических специальностей вузов
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
19 8 1
22.1
С 28
УДК 51
Коллектив авторов:
В. А. БОЛГОВ, Б. П. ДЕМИДОВИЧ, В. А. ЕФИМЕНКО,
А. В. ЕФИМОВ, А. Ф. КАРАКУЛИН, С. М. КОГАН,
Г. Л. ЛУНЦ, Е. Ф. ПОРШНЕВА, А. С. ПОСПЕЛОВ,
С, А, ФРОЛОВ, Р, Я. ШОСТАК, А, Р, ЯНПОЛЬСКИЙ
ДВОРНИК ЗАДАЧ
ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ВТУЗОВ
Линейная алгебра
Si основы математического анализа
Под редакцией А. В. ЕФИМОВА, Б. П. ДЕМИДОВИЧА
Редактор Ф. И. Кизнер
Технический редактор В. И. Кондакова
Корректоры О. А. Сигал, О. М. Кривенко
ИБ № 2330
Сдано в набор 09.02.81. Подписано к печати 15.07.81. Формат
84x1081/s2- Бумага тип. № 3. Литературная гарнитура. Высокая пе-
чать. Условн. печ. л. 24,36. Уч.-изд. л. 29,98. Тираж 200 090 экз.
Заказ № 2564 Пена 1 р. 10 к.
Издательство «Наука>
Главная редакция физико-математической литературы
1 17071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена' Октябрьской -Революции и ордена Трудового Красного Знамени
Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова Союзполиграфпрома
при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии
й книжной торговли. Москва, М-54, Валовая, 2 8
20203—090
С -бБЗТ02)-81 18'81- 1702050000
© Издательство «Наука».
Главная редакция
физико-математической
литературы, 1981
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие........................................... . , 7
Глава 1. Введение в анализ.............................. 9
§ 1. Действительные числа. Множества. Логическая символика
'1. Понятие действительного числа (9). 2. Множества и
операции над ними (11). 3. Верхние и нижние грани (15).
4. Логическая символика (17).
§ 2. Функции дейсгвительной переменной .................. 19
1. Понятие функции (19). 2. Элементарные функции и иХ
графики (24).
§ 3. Предел последовательности действительных чисел .. • » t 27
1. Понятие последовательности (27). 2. Предел послёМ-
вательности (28),
§ 4. Предел функции. Непрерывность . . . ................. 30
1. Предел функции (30). 2. Бесконечно маЛые и бёсйонечнО
большие (35). 3. Непрерывность функции в точке. Клас-
сификация точек разрыва (37). 4. Непрерывность на мно-
жестве. Равномерная непрерывность (39).
§ 5. Комплексные числа.................................... 40
1. Алгебраические операции над комплексными числами
(40). 2. Многочлены и алгебраические уравнения (48).
3. Предел последовательности комплексных чисел (50).
ответы................................................ • » 52
Глава 2. Векторная алгебра и аналитическая геометрия 63
§ 1, Векторная алгебра................................... 63
1. Линейные операции над векторами (63). 2. Базис и
координаты вектора (65). 3. Декартовы прямоугольные
координаты точки. Простейшие задачи аналитической гео-
метрии (68). 4. Скалярное произведение векторов (71).
5. Векторное произведение векторов (75). 6. Смешанное v
произведение векторов (77).
§ 2. Линейные геометрические объекты .................., 79
1. Прямая на плоскости (79). 2. Плоскость и прямая
в пространстве (83).
§ 3. Кривые на плоскости.................................. 90
1. Уравнение кривой в декартовой прямоугольной системе
координат (90), 2. Алгебраические кривые второго порядка
(92). 3. Уравнение кривой в полярной системе коорди-
нат (101). 4. Параметрические уравнения кривой (105),
5. Некоторые кривые, встречающиеся в математике и ее
приложениях (107).
1*' - 3
§ 4. Поверхности и кривые в пространстве............. 111
1. Уравнения поверхности и кривой в декартовой прямо-
угольной системе координат (111)-. 2. Алгебраические по-
верхности второго порядка (114). 3. Классификация поверх-
ностей по типу преобразований симметрии (119).
ОТВЕТЫ .г,.,..,'.»'.,,»,,',.,,..' 123
Глава 3. Определители и матрицы. Системы линейных урав-
нений ............................................... 132
§ 1. Определители.................................... 132
1. Определители 2-го и 3-го порядка (132). 2. Определители
п-го порядка (135). 3. Основные методы-вычисления опре-
делителей п-го порядка (137).
§ 2. Матрицы......................................... 141
1. Операции над матрицами (141). 2. Обратная матрица (143).
§ 3. Пространство арифметических векторов. Ранг матрицы 146
1. Арифметические векторы (146). 2. Ранг матрицы (148).
§ 4. Системы линейных, уравнений..................... 152
1. Правило Крамера (152). 2. Решение произвольных си-
стем (154). 3. Однородные системы (158). 4. Метод после-
довательных исключений Жордана — Гаусса (161).
§5. Некоторые вычислительные задачи линейной алгебры ... 163
1. Операции над матрицами (163). 2. Вычисление опреде-
лителей (165). 3. Системы линейных уравнений (167).
ОТВЕТЫ ................................. 170
Глава 4. Элементы линейной алгебры................ . 180
§ 1, Линейные векторные пространства и пространства со ска-
лярным произведением.............................. 180
1. Линейное ректорное пространство (180). 2. Подпростран-
ства и линейные многообразия (187). 3. Пространства со
скалярным произведением (189).
§ 2. Линейные операторы . . ...........Г............. 193
1. Алгебра линейных операторов (193). 2. Собственные
числа и собственные векторы линейного оператора (198).
3. Линейные операторы в пространствах со скалярным
произведением (201). 4. Приведение матрицы линейного
оператора к диагональному виду (205).
§ 3. Билинейные и квадратичные формы................. 206
1. Линейные формы (206). 2. Билинейные формы (207).
3. Квадратичные формы (208). 4.- Кривые и поверхности
второго порядка (211).
ОТВЕТЫ , , *.......... • а ♦ * ♦ » , ♦ » > . . . > . * * 215
Глава 5. Дифференциальное исчисление функций одной
переменной........................................... 225
§ 1, Производная..................................... 225
1. Определение производной. Дифференцирование явно
заданных функций (225). 2. Дифференцирование функций,
заданных неявно или параметрически (232). 3. Производ-
ные- высших порядков (236). 4. Геометрические и механи-
ческие приложения производной (240).
<
I
4
§ 2. Дифференциал..................................... 244
1. Дифференциал 1-го порядка (244). 2. Дифференциалы
высших порядков (246).
§ 3. Теоремы о дифференцируемых функциях. Формула Тейлора 247
1. Теоремы о среднем (247). 2/Правило Лопйталя—Бер-
® нулли (248). 3. Формула Тейлора (253).
§ 4. Исследование функций и построение графиков...... 256
1. Возрастание и убывание функции. Экстремум (256).
2. Направление выпуклости. Точки перегиба (260).
3. Асимптоты (262). 4. Построение графиков функций (263).
§ 5. Векторные и комплексные функции действительной пере-
менной .................................................. 267
1. Определение вектор-функции действительной перемен-
ной (267). 2. Дифференцирование вектор-функции (269).
3. Касательная к пространственной кривой и нормальная
плоскость (270). 4. Вторая производная вектор-функ-
ции (271). 5. Дифференциальные характеристики простран-
ственных кривых (274). 6. Комплексные функции действи-
тельной переменной (279).
§ 6. Численные методы функции одной переменной........... 280
1. Численное решение уравнений (280). 2. Интерполирова-
ние функций (286). 3. Численное дифференцирование (294).
ответы................................................... 297
i '
Глава 6. Интегральное исчисление функций одной перемен-
ив^ ной........................................... 321
§ 1. Основные, методы вычисления неопределенного интеграла 321
1; Первообразная и неопределенный интеграл (321). 2. Ме-
тод замены переменной (323). 3. Метод интегрирования по
частям (328).
§ 2. Интегрирование основных классов элементарных функций 330
1. Простейшие интегралы, содержащие квадратный трех-
член (330). 2. Интегрирование рациональных дробей (332).
3. Интегрирование тригонометрических и гиперболических
функций (336). 4. Интегрирование некоторых иррациональ-
ных функций (341).
§ 3- Смешанные задачи на интегрирование................♦ 343
§ 4. Определенный интеграл и методы его вычисления .... 344
1 . Определенный интеграл как предел интегральной сум-
мы (344). 2. Вычисление простейших интегралов с помо-
щью формулы Ньютона — Лейбница (347). 3. Свойства
определенного интеграла (349). 4. Замена переменной в опре-
деленном, интеграле (352). 5. Интегрирование по ча-
стям (354).
§ 5. Несобственные интегралы................................. 355
1. Интегралы с бесконечными пределами (355). 2. Интег-
ралы от неограниченных функций (357).
§ 6. Геометрические приложения определенного интеграла . . . 359
1. Площадь плоской фигуры (359). 2. Длина дуги кри-
вой (365). 3. Площадь поверхности вращения (368). 4. Объем
тела (371).
§ 7. Приложения определенного интеграла к решению некото-
рых задач механики и физики........................ • • « • 374
5
1. Моменты и центры масс плоских кривых (374). 2. Фи-
зические задачи (377).
§ 8. Численное интегрирование функций одной переменной 381
ответы . ............................................ 388
Глава 7. Дифференциальное исчисление функций несколь-
ких переменных...................................... . 404
§ 1. Основные понятия................................... 404
1. Понятие функции нескольких переменных (404). 2. Пре-
дел и непрерывность функции (406).. 3. Частные произ-
водные (409). 4. Дифференциал функции и его примене-
ние (412).
§ 2. Дифференцирование' сложных и неявных функций ... 416
1. Сложные функции одной и нескольких независимых
переменных (416). 2. Неявные функции одной и несколь-
кихг независимых переменных (419). 3. Системы неявных
и параметрически заданных функций (422). 4. Замена пере-
менных в дифференциальных выражениях (425).
§ 3. Приложения частных производных . . v................ 429
1. Формула Тейлора (429). 2. Экстремум функции (431).
3. Условный экстремум (434). 4. Наибольшее и наимень-
шее значения функции (436). 5. Геометрические приложе-
ния частных производных (439).
§ 4. Приближенные числа и действия над ними.............. 444
1. Абсолютная и относительная погрешности (444). 2. Дей-
ствия над приближенными числами (447)г.
ответы ....................................... ♦ g . . 449
Приложение. Краткое списание языка фортран-IV , , » , . 458
ПРЕДИСЛОВИЕ
Идея создания «Сборника задач по математике для
втузов», содержащего задачи по всем разделам курса ма-
тематики инженерно-технических специальностей вузов,
принадлежит Б. П. Демидовичу. Однако преждевременная
смерть профессора Б. ГБ Демидовича помешала ему осуще-
ствить эту работу. Настоящий «Сборник задач», подготов-
ленный авторским коллективом, имеющим большой педаго-
гический опыт работы во втузах,— воплощение в жизнь
идеи Б. П. Демидовича.
Общая структура «Сборника задач» предложена редак-
тором А. В. Ефимовым и отражает содержание программы
по математике для инженерно-технических специальностей
вузов, рассчитанной на 510 часов и утвержденной Учебно-
методическим управлением по высшему образованию Мин-
вуза СССР 14 мая 1979 г. При составлении «Сборника
задач»* нашел отражение и опыт преподавания курса мате-
матики в Московском институте электронной техники,
рассчитанного на 600—700 часов.
В сборник включены задачи и примеры по всем раз-
делам втузовского курса математики, за исключением тео-
рии вероятностей и некоторых специальных курсов. С це-
лью закрепления материала школьной программы в нем,
кроме того, приведен ряд задач, позволяющих более углуб-
ленно повторить основные разделы анализа и векторной
алгебры, изучаемые в школе.
Одной из основных особенностей настоящего сборника
является включение в большинство глав цикла расчетных
задач; решение которых требует использования ЭВМ.
Предлагаемая первая часть сборника «Линейная ал-
гебра и основы математического анализа» включает те
разделы математики, которые, как правило, изучаются на
первом курсе. Сюда относятся векторная алгебра с эле-
ментами аналитической геометрии, линейная алгебра, а
также дифференциальное исчисление функций одной и.
7
нескольких переменных и интегральное исчисление функ-
ций одной переменной.
Указанный материал расположен в главах, разбитых
на параграфы и пункты. Нумерация задач дана самостоя-
тельно в каждой главе по параграфам. В конце каждой
главы приводятся ответы на все вычислительные задачи,
при этом к задачам, отмеченным звездочкой, в ответах
даны указания, а к задачам с двумя звездочками — ре-
шения.
Каждый раздел сборника задач снабжен кратким вве-
дением, содержащим как необходимые теоретические све-
дения (определения, формулы, теоремы), так и большое
число подробно разобранных примеров. Начало решения
примеров, а также задач с двумя звездочками в ответах
отмечено знаком а конец — знаком ►. Указания к ре-
шениям выделяются знаком е.
Приложение «Краткое описание языка фортран-IV»
написано по просьбе редактора»сборника доцентом Тере-
щенко А. М.
Рукопись сборника задач обсуждалась на кафедрах
математики МИФИ, МИСИС и МЭИ. В результате был
высказан ряд ценных замечаний и советов, которые по-
могли нам при окончательной доработке рукописи. Кол-
лектив авторов сборника задач благодарит заведующих ка-
федрами высшей математики профессоров Прилепко А. И.,
Треногина В. А. и Похожаева С. И., а также сотрудников
их кафедр, принявших участие в обсуждении.
Пользуемся случаем выразить также сердечную благо-
дарность сотрудникам кафедры высшей математики МИЭТ
Лапенко Л. В. и Фоминой С.А. за помощь при подготовке
сборника к печати.
Глава 1
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
§ 1. Действительные числа. Множества,
Логическая символика
1. Понятие действительного числа. Из курса средней школы
известно, что всякое неотрицательное действительное число х пред-
ставляется бесконечной десятичной дробью
[xJ^Xg..^ (1)
где [х]— наибольшее целое число, не превосходящее х и называемое
целой частью числа х, xn£{0, 1, 2, 9} для любого
При этом дроби, у которых хп = 9 для всех п^/г0 (^о—некого*
рое натуральное число), обычно исключаются из рассмотрения в силу
следующих равенств:
[х],999...=[х] + 1,
(х],х1х2. ..х„0«1999...=[х1,х1х2...(х„0_1+1) (л0 > 1, x„0_i 9).
Действительное число х рационально, т. е. представимо в виде
т
отношения — , т, 2, в том и только в том случае, когда дробь (1)
периодическая. В противном случае число х иррационально.
Абсолютной величиной или модулем действительного числа х на-
зывается неотрицательное число
. . f х, если х^О,
1 1 | — х, если х < 0.
Предполагается, что правила сравнения действительных чисел, а
также арифметические операции над ними известны из курса средней
школы.
1.1. Доказать, что число
0,1010010001...10...01...
п 4
иррационально. Выписать по три первых члена из после-
довательностей конечных десятичных дробей, приближаю-
щих это число с недостатком и с избытком.
1.2. Следующие числа представить в виде правильных
рациональных дробей:
а)1,(2); 'б) 3,00(3); в) 0,110(25).
9
1.3. Доказать, что число 1g 5 иррационально.
Предположим, что 1g 5—рациональное число, т. е.
Jg6=-^-; т,
Тогда: ,
т
10л =5,
Ю'Л== 5П,
2/Л*5"г=5п.
• Но последнее равенство невозможно: число 2 входит в разложение
। левой части на простые множители, но не входит в аналогичное раз-
ложение для правой части, что противоречит*единственности разложе-
ния целых чисел на простые множители. Поэтому исходное предполо-
1 жение неверно, и, следовательно, число 1g5 иррационально. ►
Доказать, что следующие числа иррациональны:
1.4. ]/3. 1.5. р, р — простое число, n> 1.
1.6. 2 +/3; 1.7./2 +/3.
1.8. log3 р, р — простое число.
1.9. n£Z, если известно, что л иррационально.
В задачах 1.10—1.13 сравнить указанные числа.
1.10. J/2 —У5 и ]/3 — 2.
Предположим, что верно неравенство
/2—/б< /З—2. ' (2)
Тогда:
/2+2 < /5+ /^
6+4 /2 < 8+2 /Тб,
2 /2 < 1+ /Тб,
8 < 16 + 2 /Тб.
Так как последнее неравенство верно, то в силу эквивалентности
выполненных преобразований верно и исходное неравенство (2).
1.11. logi/2-g- И log1/8y.
1.12. (1) ’ и 1.13. loglog32T и 1.
Не пользуясь таблицами, доказать следующие число-
вые неравенства:
10
I
1.14. logg 10-4-4 1g 3 > 4. 1.15. -г-!-U—L_>2.
ss s log2 JT ~ 10g6JT
1.16. Iog4 26 > loge 17.
1.17. Доказать, что модуль действительного числа обла-
гает следующими свойствами:
а) |х | = шах{х, —х};
б) |x-i/| = |x|-|«/| и |у
В) |л: + г/К|х| + |г/| и х— у|>11х| — |«/||
(неравенства треугольника')',
г) К*2 == Ml-
Решить уравнения:
1.18. |3х—4|=-Ь. 1.19. gx4-xs = 0.
1.20. I — х24-2х — 31= 1. 1.21. =
11 Iх-f-lI
1.22. /(х —2)2= — х + 2.
Решить неравенства:
1.23. |х —2|>1. 1.24. | х2 —7x4-121 > х2 —7х 4-12.
1.25. х24-2/(х4-3)2—10<0. 1.26. <4—х.
1.27. V(x4- 1)2< — х— 1.
2. Множества и операции над ними. Под множеством понимается
любая совокупность объектов, называемых элементами множества.
Запись а£А означает, что объект* а есть элемент множества А
(принадлежит множеству Л); в противном случае пишут а(^А, Мно-
жество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и
обозначается символом 0. Запись A CZ В (А содержится в В) означает,
что каждый элемент множества А является элементом множества В\
в этом случае множество А называется подмножеством множества В.
Множества А и В называют равными (А = В)\ если Л с В и В а А.
Существуют два основных способа задания (описания) множеств.
а) Множество Л определяется непосредственным перечислением
всех своих элементов а±, а2, ап, т. е. записывается в виде
Л = {аь а2, ..., ап}.
б) Множество Л определяется как совокупность тех и только тех
элементов из некоторого основного множества Т, которые обладают
общим свойством а. В зтом случае используется обозначение
Л = {х6Т|а(х)},
где запись а (х) означает, что элемент х обладает свойством а.
Пример 1. Описать перечислением элементов множество
Л=.{хС2 |(х—3)(х?—1) = 0 и х^О}.
11
◄ А есть множество всех целых неотрицательных корней уравнения
(х—3)(х2—1) = 0. Следовательно, Д = {1, 3}. ►
Объединением множеств А и В называется множество
А{]В — {х\х£А или х£В}.
Пересечением множеств А и В называется множество
А[}В — {х\х£А и х£В}.
Разностью множеств А и В называется множество
Л\В = |х[х^Д и х(£В}.
Если, в частности, А — подмножество некоторого универсального мно-
жества Т, то разность Т\Л обозначается символом А и называется
дополнением множества А (до множества Т).
1.28. Установить, какая из двух записей верна:
а) {1, 2} € {1, 2, {1, 2, 3}} или {1, 2}а{1, 2, {1, 2, 3}};
б) {1, 2} € {1, 2, {1, 2}} или {1, 2}с{1, 2, {1, 2}}.
В задачах 1.29—1.34 заданные множества описать пере-
числением всех своих элементов.
1.29. Л = {х€К|х3 — Зх2 + 2х= 0}.
1.30. Л = ^хСК|х + у^2 и х >о|.
1.31. X = {xeN|x2 — Зх — 4<0}.
1.32. А = {х£ Z||<2* < 5}.
1.33. Л = £ N | log1/2 у <2^-.
1.34. А — {хg R|cos22х = 1 и 0<х^2л}.
Изобразить на координатной плоскости слёдующие мно-
жества:
1.35. {(х, «/)€R2|x + y —2 = 0}.
1.36. j(x, #)CR2|x2 —У2> °}-
1.37. {(х, г/) £ R2| (х2—1) (f/ + 2) = 0}.
1.38. {(х, z/)€R2|t/>K2x+l и 2х+1>0}.
1.39. {(х, t/)GR2|y2> 2х+1}.
1.40. {(х, у) е R212*+1 = у2 + 4 и 2*-1 <//}.
1.41. {(х, у) g R2 |cos2x = cos2i/}.
1.42. /(х, у) е R214 > V > х^0’
V I х У J
12
1.43. Описать перечислением всех элементов множества
A\jB, Л Г) В, Л\В и В\Л, если
Л = {х С К | а;2 + л: —20 = 0}, В = {х£ R|x2 — х + 12 = 0}.
Запись m|n, где m, n£Z, означает, что число т есть
делитель числа п. Описать следующие множества:
f 1.44. | х|8 и хф 1}. 1.45. {x^Z | 8|х}.
1.46. {хе N | %|12]n{xeN | х|8}.
1.47. {xgN | 12|х} п {%€N | 8|х}.
1.48. Доказать, что:
а) равенство Л П В = В верно в том и только в том
случае, когда ВсЛ;
б) равенство Л и В = В верно в том и только в том
случае, когда Л с В.
1.49. Пусть Л = (—1, 2] и В~ [1, 4). Найти множества
Л U В, Л Г) В, Л\В, В\Л и изобразить их на числовой
оси.
Приняв отрезок Т = [0, 1] за универсальное множество,
найти и изобразить на числовой оси дополнения следую-
щих множеств:
1.50. {0, 1}. 1.51. (% 72). 1.52. (0, х/2].
1.53. f/J U [%, 1).
1.54. Доказать, что операция взятия дополнения обла-
дает свойством рефлексивности'.
а также связана с отношением включения cz и операциями
U и П следующими законами двойственности:
если ЛсВ, то Л zd В;
Л UB = Л ПВ и Л ПВ = Л UВ.
1.55. Доказать, что операции U и П связаны зако-
нами дистрибутивности:
(Л U В) П С МЛ П С) U (В П С),
(Л П В) и (Л и С) П (В U С).
Используя результаты задач 1.54 и 1.55, доказать
следующие равенства:
1.56. Л\ВП(ЛиВ) = Л.
13
4 Так как 4(JS = TfjB, то левая часть доказываемого равенства
принимает вид
(Л\В)Л(ЯТГВ) = (Л\В)иИПВ) = А. >
1.57. Л\В = ЛПВ. 1.58. Л\В = АиВ.
1.59. ЛЛ(Л\В)==ХЛВ.
Операции U и ГГ естественным образом обобщаются на случай
произвольного (конечного или бесконечного) семейства множеств.
Пусть, например, задано семейство ^множеств Ап, Объединение
множеств этого семейства обозначается символом U Ап и опреде-
/zgN
ляется как множество-всех тех элементов, каждый из которых при-
надлежит по меньшей мере одному из множеств Ап. Пересечение П Ап
П € N
определяется как множество всех элементов, принадлежащих каждому
из множеств Ап.
Для заданных семейств множеств Ап, п £ N, найти
и Ап и Л Ап:
л е N п е ГМ
1.60. Ап = {x^Z\—n^x^n}.
1.61. Л„-{Зп —2, Зп— 1}.
1.62. Цц. 4-...............4}.
1.63. Пусть А—множество всех точек плоскости, обра-
зующих стороны некоторого треугольника, вписанного
в заданную окружность. Описать объединение и пересече-
ние всех таких множеств, если:
а) треугольники произвольные;
б) треугольники правильные;
в) треугольники прямоугольные.
Множество X называется счетным, если может быть установлено
взаимно однозначное соответствие между элементами этого множества
и элементами множества N всех натуральных чисел/
Пример 2. Показать, что множество g всех целых чисел
счетно.
Установим взаимно однозначное соответствие между элементами
этого множества и натуральными числами, например, упорядочив мно-
жество Z следующим образом:
0, 1, — 1, 2, —2, 3, — 3,
а затем всякому целому числу поставив в соответствие его порядковый
номер в этой последовательности
Доказать, что следующие множества счетны:
1.64. {/г е N | /г = 2^,
14
1.65. {ng|4|n = /s\
1.66. {n£N|n=2*,
1.67. Доказать, что если множество X счетно и AczX—
его бесконечное подмножество, то множество А также
счетно.
•Используя этот результат, доказать, что множество
{п С Z | п - k+ 1,
счетно.
1.68. Пусть Xi, X2i ..., Хп — счетные множества. До-
казать, что их объединение U Хп — счетное множество.
п € N
• Пусть Хп — {хп, 1, хп, 2, ..., хПг I, ...}. Тогда элементы множества
U Хп можно записать’в виде следующей таблицы;
neN
xi, i> х1, 2, • • • > xi, ь • • • *
*2, 1> Х2, 2> • • • > х2, 1г . • •,
ХП,2> •••> ХП,1> •••
Для того чтобы доказать счетность множества U Хп, достаточно
п е N
теперь занумеровать каким-либо образом все элементы этой таблицы.
Используя результат задачи 1.68, доказать, что сле-
дующие множества счетны:
1.69. IR|% = ~- для некоторых т, ny=0 hsZ|—
множество всех рациональных чисел.
1.70. Множество всех точек плоскости с рациональ-
ными координатами.
1.71. Множество всех многочленов с рациональными
коэффициентами.
3. Верхние и нижние грани. Пусть Х-r произвольное непустое
множество действительных чисел. Число Л4=тахХ называется наи-
большим (максимальным) элементом множества X, если- М£Х и для
всякого х £ X выполняется неравенство х «С М. Аналогично определяется
понятие наименьшего (минимального) элемента /n = minX множе-
ства X.
ЛАножество X называется ограниченным сверху, если существует
действительное число а такое, что х^а для всех х^Х. Всякое число,
обладающее этим свойством,, называется верхней гранью множества X.
Для заданного ограниченного сверху множества X множество всех его
верхних граней имеет наименьший элемент, который называется точ-
ной верхней гранью множества X и обозначается символом supX.
15
Аналогично определяются понятия ограниченного снизу множества,
нижней грани и точной нижней грани множества X; последняя обо-
значается символом inf X.
Множество X, ограниченное сверху и снизу, называется ограни-
ченным.
Пример 3. Найти точные верхнюю и нижнюю грани множества
[О, 1).
Это множество не имеет наибольшего элемента, так как для вся-
кого х £ [0, 1) найдется у£ [0, 1) такое, что у > х. Множество верхних
граней для полуинтервала [0, 1) — это множество [1, оо) с наименьшим
элементом, равным 1. Поэтому
sup [0, 1) = 1,
причем 1 [0, 1).
С другой стороны, наименьший элемент для рассматриваемого
множества [0, 1) существует и равен 0. Множество нижних граней —
это множество (— оо, 0] с наибольшим элементом, равным нулю, ко-
торый и является точной нижней гранью полуинтервала [0, 1). Таким
образом,
min [0, l) = inf [0, 1) = 0,
причем 0£[0,. 1). ►
1.72. Доказать, что приведенное выше определение
точной верхней грани эквивалентно следующему:
Число М есть точная верхняя грань множества X
в том и только в том случае, если:
1) х^.М для всехх^Х;
2) для всякого е > 0 найдется элемент х£Х такой,
что х > М — 8.
1.73. Пусть Х = |1ДД, 1, .. Д.
а) Указать наименьший и наибольший элементы этого
множества, если они существуют.
б) Каковы множества верхних и нижних граней для
множества X? Найти sup X и inf X.
Для следующих множеств найти maxX, minX, supX
и infX, если они существуют:
1.74. X = 1-75. Х = [— 1, I].
1.76. X={x£Z|-5<x<0}. 1.77. X = {x€R|x<0}.
1.78. Х== ^х С R | х = ~ ; /п, ngN и
1.79. Пусть X — множество всех рациональных чисел,
удовлетворяющих условию г2 < 2. Показать, что множе-
ство X не имеет наибольшего элемента. Найти sup X.
16
1.80. Пусть X cz R — произвольное ограниченное мно-
жество. Доказать, что множество —X = {х |—х£Х} также
ограничено и справедливы равенства
х sup(—Х) =— infX, inf (—Х)~— supX.
1.81. Пусть X, Yd R — произвольные ограниченные
сверху множества. Доказать, что множество
х + y-^eRk-x+f/, уеУ}
ограничено сверху и
sup (X + Y) = sup X + sup Y.
1.82. Пусть X d R — ограниченное сверху и VcR —
ограниченное снизу множества. Доказать, что множество
X — Y={z£R\z = x—y, х^Х, y£Y}
ограничено сверху и
sup (X — У) = sup X — inf Y.
4. Логическая символика. При записи математических рассуж-
дений целесообразно применять экономную символику, используемую
в логике. Мы укажем здесь лишь несколько наиболее простых и
- употребительных символов.
Пусть а, р, ... —некоторые высказывания или утверждения, т. е.
-повествовательные предложения, относительно каждого из которых
можно сказать истинно оно или ложно.
Запись а означает «не а», т. е. отрицание утверждения а.
Запись а —> р означает: «из утверждения а следует утвержде-
ние р» (—>— символ импликации).
Запись а ФФ р означает: «утверждение а эквивалентно утверж-
дению р», т. е. из а следует р и из р следует р (ФФ— символ экви-
валентности).
Запись а д..р означает «а и Р» (л—символ дизъюнкции).
Запись a v Р означает «а или р» (V—символ конъюнкции).
Запись
Vx £ X а (х) i
означает: «для всякого элемента xgX истинно утверждение а(х)»
(V—квантор всеобщности).
Запись
Эх С X а (х)
означает: «существует элемент х£Х такой, что для него истинно
утверждение а(х)» (3—квантор существования).
Если элемент xgX, для которого истинно утверждение а(х),
не только существует, но и единствен, то пишут:
3! х£Х а (х).
Пример 4. Используя логическую символику, записать утверж-
дение: «число М есть точная верхняя грань множества X».
17
«4 Утверждение M = supx означает, что выполнены условия:
a) Vx£X (к М) (т. е. М—верхняя грань множества X);
б) у A (Vx£X (х«С А) =Ф А М) (т. е. М—наименьшая из
верхних граней множества X).
Условие б) может быть записано также в следующей эквивалент-
ной форме (см. задачу 1.72):
Уе > 0 Зх£Х (х > М — е).
Пример 5. Используя логическую символику, сформулировать
принцип математической индукции. ь .
4(1 Пусть а—некоторое утверждение, имеющее смысл для всех n£N.
Введем множество
A={n£N|a(n)},
т. е. множество всех тех натуральных чисел, для. которых утверж-
дение а истинно. Тогда принцип математической индукции можно
сформулировать следующим образом:
((1£А) л (п^А => (и+ 1)6Д) => A (3)
Так как запись а(п) означает, что утверждение а истинно для числа
то утверждение (3) можно записать и иначе:
(ос (1) Л а (п) —> а (п+ 1)) => VngN а(п). ►
Пример 6. Записать отрицания высказываний: ух^Ха(х) и
ЗхбХа(х).
Отрицание высказывания Vx£X а(х) имеет вид Зх^Ха(х) (суще-
ствует элемент х£Х такой, для которого утверждение а(х) ложно).
Иначе говоря, для любого утверждения а истинно следующее выска-
зывание:
Ух£Х а(х) <=> Зх£Х а(х).
Аналогично
Зх£Х а (х) Ух£Х а (х).
Пример 7. Используя логические символы, записать утверж-
дение: «функция f: X —> R, XczR, непрерывна в точке а£Х», а так-
же его отрицание.
Исходное утверждение:
уе > 0 Эб tfx£X (| х—а| < 6 =^> | f ] < е).
Отрицание этого утверждения:
Зе > ОубЗх£Х(|х—а\ < 6 А | f |в)
(существует в > 0 такое, что для любого 6 найдется число х£Х,
удовлетворяющее условиям | х—а | < 6 и | f (х)—f (а) | в).
Прочитать приведенные ниже высказывания, выяснить
их смысл и установить, истинны они или ложны (симво-
лами х, y.z. a, b, с всюду, где это специально не огова-
ривается, обозначены действительные числа).
18
1.83. a) УхЭу(х-|-у~3); б) 3y Vx(x+y = 3);
в) Эх, y(x+ya3); r) Vx, у (x+y = 3).
1.84. Эх, у (x > у > О Л х + у = 0).
1.85. Ух, у (х < у) Эг (х < z < у).
1.86. Ух, у (ха 2у2).
1.87. Ух (х2 > х <=> х> I V х<0).
1.88. Vx (х > 2 Д х > 3 2 < х < 3). ~
1.89. Эх (j/x2 <х).
1.90. а) У а, Ъ, с (Эх (ах2 + &х + с = 0) Ь2 — Аас"^ 0);
б) У а, Ь, с (Ух (ах2+Ьх + с > 0) «ф Ь2 — 4ас < О Д
Л а >10).
1.91. а) УЬ2аУх(х2 + ах + Ь>0);
б) ЗЬ УаЭх(х24-ах + & = 0);
в) ЗаУЬЗх(х2 + ах + Ь = 0).
Установить точный смысл приведенных ниже выска-
зываний и записать их с использованием логической сим-
волики. Сформулировать и записать отрицания этих вы-
сказываний.
1.92. а) Число х0 есть решение уравнения /(х)=и0.
б) Число х0 есть единственное решение уравнения
f(x)==O.
в) Уравнение /(х) = 0 имеет единственное действитель-
ное решение.
1.93. а) Множество ХсК ограничено сверху.
б) Число т есть наименьший элемент множества X.
в) Множество X имеет наименьший элемент.
1.94. а) Число mgZ является делителем числа ngZ,
или в краткой записи: т\п.
‘б) Если число n£Z делится на 2 и на 3, то оно
делится на 6.
в) Число р С N простое.
§ 2. Функции действительной переменной
1. Понятие функции. Пусть D — произвольное множество дейст-
вительных чисел. Если каждому числу x£D поставлено в соответ-
ствие некоторое вполне определенное действительное число f (xk то
говорят, что на множестве D определена числовая функция f. Мно-
жество D называется областью определения, а множество
E = {y£R\y=f(x), x£D}
19
— множеством значений числовой функции f. Символически функция
записывается в виде /: D—или y — f(x).
Наиболее распространенным является аналитический способ зада-
ния функции. Он состоит в том, что с помощью формулы конкретно
устанавливается алгоритм вычисления значений функции y — f(x) для
каждого из значений аргумента х. В этом случае область определе-
ния функции обычно не указывают, понимая под нею то множество
Значений аргумента х, для которого данная формула* имеет смысл
(естественная область определения функции).
Пр и мер 1. Найти область определения и множество значений
функции /(х)=—L==.
У 1 — х2
Естественной областью определения этой функции является мно-
жество D — {х 11 х | < 1} = (—1, I). а множеством значений — множе-
ство Е = {у\у^\} = [\, оо). >
Пусть функция f: D—>Е такова, что для любых xlt x2£D из
условия хг ?= х2 следует f (х±) f(x2). В этом случае всякому числу
у£Е может быть поставлено в соответствие некоторое вполне опре-
деленное число x£D такое, что f(x) — y; тем самым определена новая
функция f-1: Е—называемая обратной к заданной функции f.
Пусть заданы функции /: X—и g: ¥ —>Z. Их композицией
(или сложной функцией, полученной композицией функций f и g)
называется функция h=gof: X—>Z, определяемая равенством
h (х) — g (f (х)), х£Х.
2.1. Найти функциональную зависимость радиуса R
цилиндра от его высоты Н при данном объеме V= 1.
2.2. Написать выражение для объема V конуса как
функции его боковой поверхности S при данной обра-
зующей I — 2.
2.3. Написать выражение для площади S равнобочной
трапеции с основаниями а=2 и b= 1 как функции угла а
при основании а.
2.4. С момента покоя тело движется с постоянным
ускорением а. Найти зависимости скорости и пройденного
пути от времени движения. Как связаны между собой
пройденный путь и скорость в момент времени Z?
2.5. В равнобедренной тра-
Рис. 1.
пеции ABCD (рис. 1) с осно-
ваниями а и b и высотой h
проведена прямая MN, пер-
пендикулярная основаниям
и отстоящая от вершины А
на расстоянии | AM | = х.
Выразить площадь S фигу-
ры ABNM как функцию
переменной х.
20
2.6. В шар радиуса /? вписан цилиндр. Написать
функциональную зависимость объема V цилиндра от его
высоты II, Найти область определения этой функции.
2.7. В шар радиуса R вписан прямой круговой конус.
Написать функциональную зависимость площади боковой
поверхности S конуса:
а) от его образующей /;
б) от угла а при вершине конуса в его осевом сечении;
в) от угла р при основании конуса.
Найти области определения каждой из полученных
функций.
2*8. Найти/(—1),/(—0,001),/(100), если f (х) = lg х2.
2.9. Найти./(—2), f (—1), /(О), /(1), /(2), если
I 1+%, —oe<x<Z0,
= | 2х> 0<х<4-оо.
2.10. Найта f (1), f (a), f (а+1), f(a- 1), 2/(2a), если
f (x) — xa — 1.
2.11. Найти /(0), f(-x), /(x+1), /(x) + l, f (y),
T7-T, если f(x) = |^.
v 7 14-x
Найти естественную область определения D и мно-
жество значений Е каждой из следующих функций:
2.1* 2. t/=ln(%4-3). 2.13. y = Vb — 2x.
2.14. z/=Ksin|/^_ 2.15. j/ = arcc6s ~2x.
2.16. #=ln(l—2cosx). 2.17. z/— 1 — |x|.
2.18. z/=lg(5x— x2—6). 2.19. у = arcsin АггЛ .
2.20. j/=2arccos<1-x\ 2.21. y = e*2~2.
Найти множество G, на которое данная функция отоб-
ражает множество F\
2.22. = х2, F —[—1, 2].
2.23. r/=|x|, F== {х | 1 | х | 2}.
2.24. F=(0, 1).
2.25. y^Vx^x2, F=(0, 1).
2.26. t/ = log3x, F = (3, 27).
2.27. t/=’sin™, F = [0, 1/2).
21
Найти множество нулей DQ = {х | f (х) = 0}, область
положительности D+ = {х | f (х) > 0} и область отрица-
тельности D_ = {х |/ (х}< 0} для каждой из заданных
функций:
2.28. f(x)=l+x. 2.29. /(х) = 2 + х — х2.
2,30. f(x) = siny. 2.31. /(х)=1 — е~~\
Показать, что функция y — f(x) удовлетворяет соот-
ветствующему функциональному уравнению:
2.32. f(x + 2)-2f(x+l) + f(x) = 0, f(x) — kx + b.
2.33. f(x)+f(x+l) = f(x(x+l)), /(x) = logax.
2.34. /(xi)/(x2) = /:(-*:i + x2), f(x) = ax.
2.35. f(x1)+f(x2) = f(^tg_), f(x) = lg{±£.
В задачах 2.36—2.39 определить функцию y — f(x),
удовлетворяющую заданному условию.
2.36. / (х + 1) = х2 —Зх + 2.
Пусть x-f-l=/; т. е. x = t— I. Тогда х2—Зх-|-2= £?—5i-(-6,
поэтому
/(/)=/(х+1)=х?—Зх^2 = <2—5/4-6. ►
2.37. /(x4-y)=^2 + ^2.
2.38. / (^^хЧ-ТТ+х2, х > 0.
2.39. f (хх + х2) == sin Xi cos х2 + cos xr sin x2.
Функция f (x) называется четной (нечетной), если ее область
определения симметрична относительно точки х = 0 и /(—х) = [(х)
= -f W).
Какие из указанных в задачах 2.40—2.45 функций
четные, какие нечетные, а какие не являются ни чет-
ными, ни нечетными?
2.40. /(х) = х4 + 5х2. 2.41. f(x) = x2 + x.
2-42. f(x) = g^. 2.43. =
2.44. f(x) = sinx —cosx. 2.45. /(x) = lg|i^.
2.46. Доказать, что произведение двух четных или
двух нечетных функций есть функция четная, а произ-
ведение четной и нечетной—нечетная функция.
Функция f (х) называется периодической, если суще-
ствует положительное число Т (период функции) такое, что
VxeD(f(x+n=fW)-
Выяснить, какие из заданных функций являются перио-
дическими и определить их наименьший период Т:
2.47. f (x) = 5cos7x. 2.48. /(х) —cos22x.
2.49. f(x) = xsinx. 2.50. f (x) = cos x + sin (]/3x).
2.51. f(x) = sinx2. 2.52. f (x)—tg~—2 tg
Установить, какие из указанных ниже функций имеют
обратные, найти соответствующие обратные функции и их
области определения:
2,53. у = ах + Ь. 2.54. у = (х~ I)8. * 2.55. r/ = cos2x.
2.56. у=1п2х. 2.57. // = 2^. 2.58. У = |^.
2.59. у = х2 + 1.
Для функции z/ = x24-l естественная область определения есть вся
числовая прямая D = (—оо, -J-00), а множество значений—луч
Е = [1, 4-оо). Так как для любого а£Е уравнение x2-f- 1 = а имеет
два различных решения х1(а) = У а—1 и х2(а)=— У а— 1, то дан-
ная функция не имеет обратной.
Однако каждая из функций
У1=х^+\, D1==[0, +оо),
и
У2=Х,2-\-\, D2 = (—ОО, 0],
имеет обратную, равную соответственно
Xi (//)== V"y—^
и
(«/)=— У//— 1. ►
Найти обратную функцию и область ее определения,
если исходная функция задана на указанном промежутке:
2.60. у^х2 — 1: а) х£(—оо, —1/2]; б) х € [1/2, +оо).
2.61. z/ = sinx: a) xg[—л/2, л/2]; б) х£[л/2, Зл/2].
( X, x(z (—ОО, 01,
2.62. = | 2%> +оо)
2.63. r/ = cos2x: а) х^[0, л/2]; б) х С [л/2, л];
в) х£[л, Зл/2].
Найти композиции fog и gof следующих функций:
23
2.64. f(x) = x8, g(x) = ]^x.
Имеем:
f°g(x)=f few) =f(lrx)=( Ух)2 = х
И
g°f W=g(f W)=g(*2) = Kx? = |x|. >
2.65. f(x)=l — x, g(x) = x2.
2.66. f(x) = ex, g(x)=ln x.
2.67. /(x) = sinx, xC[—я, л], g‘(x) = arcsinx.
I 0, xg(—oo,0], f0, x£(—oo,01,
2-68-M«. *6(о.+.»;.•
2.69. Найти fofof, если:
a)
2. Элементарные функции и их графики. Следующие функции
называются основными элементарными.
1. Степенная функция: у~ха, а £ IR.
2. Показательная функция: у — ах, а> Q, а # 1.
3. Логарифмическая функция: £/ = logax, а > 0, а^ 1.
4. Тригонометрические функции: £/ = sinx, £/ = cosx, t/ = tgx,
0=ctgx.
5. Обратные тригонометрические . функции: r/==arcsinx,
у — arccosx, z/ = arctg х, у — arcctg х.
Элементарной называется всякая функция, которая может быть
получена из конечного числа основных элементарных функций с по-
мощью арифметических операций и операции композиции.
Графиком функции г/ = /(х) называется множество
г={(х, £/ = /(*)},
где IR2—множество точек плоскости.
На плоскости с фиксированной декартовой прямоугольной систе-
мой координат Оху график функции представляется множеством то-
чек М (х, у), координаты которых удовлетворяют соотношению
y — f(x) (графическое изображение функции).
При построении графиков часто используются следующие простые
геометрические рассуждения. Если Г — график функции y = f (х), то:
1) график функции г/1 — —f (х) есть зеркальное отображение Г
относительно оси Ох;
2) график функции У2 — /(—х)— зеркальное отображение Г отно-
сительно оси Оу;
3) график функции y3—f(x—а) — смещение х Г вдоль оси Ох на
величину а;
4) график функции #4 = Ь + /(х)—смещение Г вдоль оси Оу на
величину Ь;
5) график функции y5 — f (ах), а > 0, а#1,— сжатие в а раз
(при а > 1) или растяжение в [/а раз (при а < 1) Г вдоль оси Ох;
24
6) график функции у6 — Ь[ (х), b > 0, b 1,— растяжение в b раз
(при b > 1) или сжатие в 1/Ь раз (при b < 1) Г вдоль оси Оу.
В некоторых случаях при построении графика функции целесо-
образно разбить ее область определения на несколько непересекаю-
щихся промежутков и последовательно строить график на каждом
из них.
Пример 2. Построить график функции у — ]-И + 1х-—Ц*
Раскрывая модули, можем записать:
< X2— X—1, xg (-00,-1],
— х2—х+1 х g (—1,0],
i/=l -х2+х+1, X g (0, 1](
Х?4-Х—1, х£ (1,4-00).
Гр’афик заданной функции есть • объединение графиков (парабол),
представляющих эту функцию на каждом из четырех промежутков
(рис, 2). >>
Следующие элементарные функции
композиции основных элемен-
тарных функций:
2.70. f(x) = |x|.
2.71. f (х) = sin (cos ]/ х).
2.72. f(x) = 2sln*2.
2.73. f (x)=arcsin .
2.74. f (x) = sin (2*2).
2.75. f(x)= vr2=.
V tg? logs X
записать в в’иде
Для каждой из следующих функций найти ее график:
2.76. y = VIn sin х.
Естественная область определения заданной функции есть мно-
жество.
D == {х | sin х = 1} == -]-2л& \ k £ Z |.
Поэтому
Г=^у4-2лй, о)р£ ►
2.77. t/ = x4-Kl —|cosecx|. 2.78. у — ]^—|ха— 1|4-2.
2.79. z/ = l/<cosx— 1 4-у •
2.80. у= 1 4-l^sinx4-K — sinx.
25
Построить трафики следующих элементарных функций:
2.8Е y — kx + b, если:
а) 6=2, &=0; б) 6 = 0, 2;
в) 6 = —1, ь=—4-
2.82. у = уп-\-а(х—х0)2,. если:
а) а = 1, хо = О, z/0 = —1;
б) а=2, х0 = 1, уо = О;
. 1 о 3
в) а = — у, х0 = —2, z/0 = y.
2.83. у = Уо + —^—, если:
Л--------------Лд
а) 6=1, х0= 1, г/0 = —1;
б) 6 = —2, х0 = —1, у0 = — у.
2.84. £/= tz sin^x + сс), если:
а) а—1, k = 2, а = л/3;
б) а=? —2, k ~ 1 /2, а = —л/3.
2.85. у = а tg (А%+а), если:
а) « = 3, Л=1/3, а = л/4;
б) «=—4/2, & = 2, а = Зл/2.
2.86. у = parcsin (% + (/), если:
а) р = 4, </='—1; б) р =—2/3, q=\/2.
2.87. у = р arctg (х + <?)> если:
а) р =—3, <7 = 5/2; б) р. = 2/5, q =—6.
2.88. y = akx+b, если:
а) а~2, k = —1; &=1;
б) а = 1/2, Л = 2, Ь = ~2.
2.89. y^1oga(kx + b)9 если:
а) а= 10, А= 10, b = — 1;
б) «=1/10, А= 1/2, fe = 2.
2.90. [2 — х | + | 24-х]. 2.91. у = х2 + х — \х |.
2.92. у = х2 —6|х| + 9. 2.93. у-16х2 + %|— 1.
2.94. г/ = (х2 + 2х) 1 • 2-95- У = х— 1 -У(х— 1)\
2.96. 9 = |^|. 2.97. у
|х+2| *
2.98. y = sgnx =
1, х > 0,
0, х = О,
ч —1, х < 0.
2.99. у = [х], где [х] — целая часть х.
26
2.100.
2.101.
2.103.
2.105.
2.106.
2.107.
2.109.
2.111.
у — {х},' где {х} = х — [х]—дробная часть х.
t/ = 2l*l —1. 2.102. (/=(уУ*+1| + 2.
!/ = logi/a|x — 3|. 2.104. у = |log2(х+ 1)|.
z/ = arcsin (sin (х + 4))’
у — arccos (cos Зх).
t/ = cosx + |sinx|. 2.108. z/ = |arctg(x—1)|.
у == x sgn (cos x). 2.110. z/ = |ctg |.
y = sin2y. 2.112. t/ = sin (arcsin^i^V
На плоскости Oxy изобразить множества точек, коор-
динаты которых удовлетворяют заданным условиям:
2.113. xz/ = O. 2.114. |£/1 = |х2 — 21х| —3 |.
2.115. |х! + М=1. 2.116. |x + t/| + |x-у\ = к
2.117 / ||х|-|z/||= 1.
2.118 . |2//^l| + |2t/+l| + -^=-|x| = 4.
§ 3. Предел последовательности действительных чисел
1. Понятие последовательности. Последовательностью дейст-
вительных чисел называется функция /: N —* К, определенная на
множестве всех натуральных чисел. Число f (п) называется n-м чле-
ном последовательности и обозначается символом хп, а формула
хп = [(п) называется формулой общего члена последовательности
6 N.
Написать первые пять членов последовательности:
3.1. х„=1+(-1)"у. 3.2. хп = и (1 — (—-1)").
3.3. я„ = |—I • 3.4. х„ = (—1)" arcsin-Xj—- +лп.
Написать формулу общего члена последовательности:
3.5. -1,1, -1,1... 3.6. 0, 2, 0, 2,...
3.7. 2, •••
3.8. 1, 0, —3, 0, 5, 0, —7, 0, ...
27
ЗЛО. О, 1, JJ-, о, —-I, —^,0...
В задачах 3.11—З.Г7 требуется найти наибольший
(наименьший) член ограниченной сверху (снизу) последо-
вательности (х„)л€|^.
3.11. х„ = 6и—п2 —5. 3.12. x„ = e10n~nS-24.
3.13. = 3.14. x„ = 3n2— 10n — 14.
3.15. xn = 2n + ^. 3.16. x„ = —£.
2. Предел последовательности. Число а называется пределом
последовательности (хп) т. е. lim хп = а, если для любого 8 > 0
п € Л -> оо
существует номер N (в) такой, что при n> N (е) выполняется нера-
венство | хп— а | < е. При этом сама последовательность называется
сходящейся.
Критерий Коши. Для того чтобы последовательность
(хп)лер^ имела предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого
8 > 0 существовал номер N (е) такой, что при п > N (8) выполняется
неравенство \хп_±р—хп\ < 8 для любого р £ N.
Последовательность называется бесконечно малой, если
lim х„ = 0.
П -> оо
Последовательность (хл)п6^ называется бесконечно большой (схо-
дящейся к бесконечности), что формально записывается в виде
lim х„ = оо, если для любого числа Е > 0 существует номер N (Е)
п -> ОО
такой, что при п > N (Е) выполняется неравенство ]х„| > Е. Если
при этом, начиная с некоторого номера, все члены последователь-
ности положительны (отрицательны), то используется запись
lim хп = Ц- оо / lim хп — — оо \.
п —> ОО I П —> ОО )
Число а
(x„)n6N> если
называется предельной точкой последовательности
для любого 8 > 0 найдется бесконечное число членов
этой последовательности, удовлетворяющих условию | хп—а \ < г.
Принцип Больцано—В е й е р ш т р а с с а. Всякая ограни-
ченная последовательность имеет хотя бы одну предельную точку.
Наибольшая (наименьшая) из предельных точек последователь-
ности (хп) называется верхним (нижним) пределом этой последо-
вательности и обозначается символом lim хп
п -> оо
lim хп
Л —> оо
3.17. Используя логическую символику, записать сле-
дующие высказывания,' а также их отрицания:
а) последовательность ограничена;
б) последовательность монотонно возрастает;
28
в) число а есть предел последовательности;
г) последовательность бесконечно большая;
д) число а есть предельная точка последовательности.
3.18. Найти а = lim хп и определить номер N (&) та-
кой, что |х„ — а \ < е а) хп — 0,33.. .3, при всех п е = 0,001; > N (е), если:
б) хп-- п. /гаа+1 п е = 0,005;
в) хп-- 1 . пп = —Sin-K-, п 2 9 8 = 0,001;
Г) хп-- 5п2-Н 7п2 — 3 ’ 6 = 0,005.
Вычислить пределы:
3.19. . lim ЩД. 3.20. lim +•
О г /2л—1 1+2«3\
3’21’ 2+5л8/’
3.22. lim (уп + 2-Уп). 3.23. lim
tl -> оо П -> ОО
3.24. +
я \« « J
3.25. lim l- + g+--- + < 3.2,.
П->оо Л3 /I —> оо «“I
3'27' J™. (г2 + М + ' ' ' + »(«+>) ) '
3-28- „'™
3.29. Доказать, что если последовательность
бесконечно малая и V/ifN (хп=^=0), то последовательность
( —) бесконечно большая.
Установить, какие из заданных последовательностей
являются бесконечно большими:
3.30. хл = 2г\ 3.31. хп^п^^п.
3.32. хп = nsin-^-. 3.33. xn = lg(lgn), п ^2.
29
Найти все предельные точки последовательности:
3.34. хп = gtfcy- • 3.35. х„ = cos
(___________________Пл
3.36. хп == arcsin 2 .
3.37. Доказать:
a) lim хп+ Нт уп
п —* ОС п —> оо
б) lim хп+ lim z/„
П~оо П -> ос
< Нт (%„ + z/n)< Нт хп + Нт уп\
П —V оа п —*- оо °°
< lim (хп lim хп+ Нт уп.
Я —>• оо И —> о® И, оо
Для каждой из следующих последовательностей
(*Л)„€|М найти inf М’ sup {Хп}, lim хп и Нт хп:
, П->со
3.38. хп=1+-1. 3?39. х =^со^_
п 1 п п п 4
3.40. %„ = (—1)”(2п+1).
3.41. x„==-^sin™, и >2.
3 42 х -2+<-1)” 1
Хп 2 п .
3.43. Доказать, что равенство lim хп^ lim хп яв-
П~<*> П-+ОР
ляется необходимым и достаточным условием существова*
ния предела последовательности (х„)л€^.
§ 4. Предел функции. Непрерывность
1. Предел функции. Пусть функция y^f(x) определена на мно-
жестве D. Число а называют пределом функции y^f(x) в точке Xq
и пишут lim /(х) = я, если для любого 8>0 существует число
л -> х0
6 (е) > 0 такое, что для любого х £ D из условия 0 < | х—х01 < 6 (в)
следует неравенство | f (х) — а | < в.
Критерий Коши. Для того чтобы функция y^f(x) имела
предел в точке, х0, необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0
существовало б (е) >0 такое, что | f (%') — f (х") [ < е, как только
Iх>—| < б (е) и | х"—xG | < 6 (8).
Говорят, что число а есть предел функции x = f(x) при х, стре-
мящемся к бесконечности, и пишут lim /(%)== а, если для любого
X сю
е > 0 существует число А (е) > 0 такое, что [ / (%) — а | < 8, как только
| X | > Л (е).
30
В дальнейшем используются следующие замечательные
пределы:
v Sinx 1
lim = 1, (1)
x^Q х
lim (1-|—!-V= lim (l+x)t/x=-e, (2)
x->oo \ x / x->0
где e = 2,71828...—основание натуральных логарифмов.
Наряду с введенным выше понятием предела функции исполь-
зуют также следующее понятие одностороннего предела. Число а
называют пределом функции y — f(x) в точке х0 справа (слева) и пишут
lim f(x) = a / lim f(x) = a\, если для любого е>0 сущёст-
х~>хо + 0 ух-> хо — 0 J
вует число 6 (е) >0 такое, что из условия 0 < х—х0 < 6 (в)
(— б (е) < х—х0 < 0) следует ] f (х)— а | < е. Аналогично вводится
понятие одностороннего предела на бесконечности / lim f (х) и
ух _> +оо
lim
X -+ — оо у
В задачах 4.1 —4.3, пользуясь только определением
предела функции, доказать, что lim/(x) = a и заполнить
х->х0
следующую таблицу:
е 0,1 0,01 0,001
6(e)
4.1. f(x) = x2, х0 = 2, а — 4.
4.2. f(x)=l/x, х0=1, а=1.
4.3. f(x) — \gx, х0 = 1, а=0.
Используя логическую символику, записать
щие утверждения:
4.4. lim f (х) = оо. 4.5. lim f(x) = —оо.
х->0 х->1-0
4.6. lim f(x) = O. 4.7. lim f(x) = H-oo.
4.8. lim /(x) = 0. 4.9. lim/(x) = 2.
X->0 + 0 X->oo '
4.10. lim/ (x) =—oo. 4.11. lim f(x) = oo.
X-+ — оо X-> — OO
следую-
Вычислить пределы следующих рациональных выра-
жений:
4.12. limq ? 4ЛЗ-
х->0 — 5х+1 Л-->3 X2 — 3
31
4.14. lira
x->2
4.16. lim
(_!_
\2—x
xm — 1
xn— 1
3
8— x3 )'
; m, n£ N.
4.15. lim^2~2x+~1.
x->l *3 — x
4.17. lim .
л io г Sx3—1
4.18. lim —k~"i i •
! 6x2— 5x+l
4.19. iim^-(g+l)£+«
x->a
x8 — a3
X3 x2___
2x2 — 1 2x + 1
<. x4 — 5x
lim -o—5——.
K-o»*2 — 3* + l
4.22. lim .(x+D5 + (x+2p+ ... + (x + ^ N>
X—>oo X5+n6 ’
4.23. Доказать, что если Pn (%) = aoxn +•..+«„,
Qm (*) = b^m + • • • + bm, TO
lim
Pn (*)
Qm W
fo
oo
при
при
при
n < m,
n = m,
n > m.
При вычислении пределов, содержащих иррациональные выра-
жения, часто используются следующие приемы: а) введение новой
переменной для получения рационального выражения; б) перевод
иррациональности из знаменателя в числитель или наоборот,
Пример 1. Вычислить lim
х~>81
3—
9— ]/'х ’
Пусть t— х. Тогда
3—4/х, 3—/ 1 1
bin -----г ]im — — Вт fc>
х->81 9— ]Лх /->3 9~ t2 /->33+/ 6
Пример 2. Вычислить lim (]/~х2-|-7—]Лх2—7).
Х-*оо
lira ( /х2 — 7) =
Х-*оо
= lim ( К^+7- V^r7)__
х->оо |/х2+7+.Кх2— 7
х->оо /^2Zp7_i_ Х2^7
0. >
Вычислить пределы:
л пл г Зх+1 л .. У'х—1—3
4.24. lim ---4.25. lim --------------.
х—>оо 5х+|/ X х->10 х~10
4.26. lim т<х+
x^i /х2— 1
32
4.27. lim ...-.......
у 3д.+]/3д._|_
4.28. lim ^х+1—L.
л->0- x
4.30. lim-gg-2.
x-*o v x2 + 9—3 '
4.32. lim Q/x— a —j/x).
x-+a
”/~x— 1
4.29. lim -£7=-----; m, n g N.
-»i 'y x—1
4.31.
4.33. lim Уx+j/'x+Vx —Vx^.
4.34. lim (]/4x2 — 7x + 4 — 2x).
X-+oo
4.35. lim x^Vx^+Z—Vx^2).
X-*oo
Используя замечательный предел (1), вычислить:
4.36. lim-SiH^
X
4.38. limxclgjix.
x->0
. .Л V 1—cos 2х
4.40. lim--2—
х-*0 х'
4-42-(=-
4.37. lim 4^.
х-™ ^3*
4.39. Пт^НД
х^О 4х
л л< V cosax—cos Вх , п
4.41. 11т-------2---— , сс#=р.
х->0 х
ctgx). 4.43. lim tg-^-sin-^k
/ x->a z
^0 \sinx
л лл .. У 2 —2 cos x л лс .. (я
4.44. lim------------. 4.45. lim v
л я-4х я к 2
x~* T T
Доказать следующие соотношения:
—х j tg x.
4.46* *. lim loga(1+x) = logae.
x->0 x
4.47* . lim^=^ = lna. 4.48*. lim^x)a~1 = a.
л->0 x x->0 X
При вычислении пределов* вида lim«(x)0(x), где lim и (х)
х->х0 х->х0
lim и(х) —оо, используется замечательный предел (2).
х-*хй
Пример 3. Вычислить lim
Х-> ОО
2 Под ред. А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича
1,
33
£ Имеем
то
(здесь использована непрерывность композиции непрерывных функ-
ций).
Используя замечательный предел (2), а также резуль-
таты задач 4.45 — 4.47, вычислить пределы:
4.49. lim (4-50. Ita (Ж
Х->оо J Х->оо \*л
1 _ 3
4.51. lim (cos х)х‘. 4.52. lim (1 -j- tg?j/x)x.
x->0 x->0
4.53. lim x (In (2 + x) — In x). 4.54. lim — In .
x->op x->0 x F 1 X
4.55. limx(flx — 1). 4.56. lim °y~g.
*->i x~ 1
4.57. lim10^*""1. 4.58. lim .
x->a x a л->0 x
4.59. Доказать, что lim f (x) = а в том и только в том
случае, когда для любой последовательности аргументов
(х«)„бМ> сходящейся к х0, соответствующая последова-
тельность (f(xn))ne^ значений функции сходится к а.
Используя результат задачи 4.59, доказать, что для
следующих функций не существует Пш/(х):
4.60. f(x) = cosx, х0 = оо. 4.61. f(x) = sin-£-, хо = О.
4.62. /(х) = х—[х], х0=оо.
34
Найти односторонние пределы:
4.63. lim х->3±0 *~L. 4.64. r 2-j~x lim -—-у. х->2±0 х
| х—-3 1
4.65. lim 1 1 (2+ х)х, 4.66; lim 7а~*. *
х->0±( ) х->2±0
4.67. lim aretgx. 4.68. lim Г-1.
4.69. X—> ±00 lim |tg (4х —л)| X—>±оо L Х J у2 4.70. lim ——г
Я о Я to 2х—g- х->2л±0СОБХ 1
4.71. Доказать, что предел функции y = f (х) в точке х0
существует тогда и только тогда, когда в этой, точке
существуют левый и правый пределы и они совпадают.
2. Бесконечно малые и бесконечно большие. Функция а (х) на-
зывается бесконечно малой при х—*х0, если lima(x) —0.
X-*XQ
Бесконечно малые а (х) и р (х) называются сравнимыми, если
. V Р (*) 1- а (*)
существует хотя бы один из пределов lim или lim д-т-4»
х->х0 а (Л) х->х0 Р W
Пусть а (х) и р (х)—сравнимые бесконечно малые при х—>х0,
.. а(х) ~ „
и пусть, для определенности, существует lim С, Тогда:
х->х0 Р W
а) Если С ф 0, то а (х) и Р (х) называют бесконечно малыми
одного порядка. В частности, при С = 1 бесконечно малые а (х) и
р.(х) называют эквивалентными и пишут а— р.
б) Если С == 0, то а (х) называют бесконечно малой более высо-
кого порядка, чем Р(х), и'пишут а —о(р). Если при этом существует
действительное число г > 0 такое, что lim 0, то а (х) на-
х-+х0 (Р
зывают бесконечно малой порядка г относительно р (х).
Функция а (х) называется бесконечно большой при х —> х0, если
lim а (х) = оо. Подобно тому как это сделано выше для бесконечно
X—*-Xq
малых, вводится понятие сравнимых бесконечно больших и их клас-
сификация.
4.72. Доказать, что если lim =С 0, то найдется
Х->Х0 Р Vе)
такое число 6 > 0 и константы и С2, что
| х — х01 < 6=>Схр (х)<а(х)<С2Р(х).
4.73. Доказать, что в том и только в том слу-
чае, когда а — р = о(ос) или а —р=о(р.).
Определить порядок малости а (х) относительно Р(х)=^х,
при х —> 0:
2* 35
4.74. a(x) = lKj. 4.75. a(x) = f/x2 — /х8.
4.76. a (x) =4.77. a (x) = tg x — sin x.
4.78. a(x) = sin(/x + 2-/2).
4.79. a(x) = 3sin8x— x4.
4.80. a(x) = 1 +|/x — 1.
4.81. а(х) = КГТ2х-1-/х.
4.82. a,(x) = 3Vx— 1. 4.83. a(x) = 2*—cosx.
4.84. Доказать, что a(x)—£(x) имеет 2-й порядок
малости относительно х при х —> 0, если:
а) а(х)=Трр Р(х)=1—х;
б) а (х) = Уа2 + х, р(х)=а + ^х (а^О);
в) а(х) = (1 + х)", р(х)=1 + пх (п£М).
Приближенно вычислить следующие выражения:
4.85. 1/1,03. 4.867 У25,3.
4.87. (1,03)-. 4.88. (0,97)4.
4.89. Доказать, что если
a(x)^ax(%) и ₽(%)~₽1(х) при %
то
•^0»
lim ESW=lim
*^0₽xW
Используя результат задачи 4.89, вычислить пределы:
X
аresin
4.90. lim-—р~*8 .
х_»о 1п 0 — х)
X X
Так как arcsin - , —
Ki —X2 /l-^X2
х—>0, то
и In (1—х) ^(—х) при
11m
х->0
X
arcsin —===т-
V1 -X2
----;—гг-----7----= lim
In (1 —X) х_.о
Xl=iL=_i. ►
—X
4.91. liml=i. 4.92. lirncoy-cos
- . Igx Л_>0 1—cosx
36
л no r 4x2—1
4.93. hm ------r-rz—tv-г.
j arosin (1 — 2x)
4.94. lim arct8--_-.
x->o arcsin Зх-sin-g-
4.95. lim
x->0
1 — cos 4x
2 sin2 x-j-x tg 7x
4.96. lim
2У 2—(cosx+sinx)3
1 —sin 2x
Определить порядок роста бесконечно большой А(х)
относительно В(х) = х при х—> оо:
4.97. Л (х) = х8+150х+10.
4.98. A (x) = /x2-F-3x + 54-|x|.
4.99. А(х)~уГх+1^х. 4.100. А(х) = {/х2—х+]/х.
4.101. 4.102. =
3. Непрерывность функции в точке. Классификация точек раз*
рыва. Функция y — f(x) с областью определения D называется не-
прерывной в точке х0, если выполнены следующие три условия:
а) функция y — f(x) определена в точке х0, т, е. x0^jD;
б) существует lim / (х);
в) lira /(х)==/(х0).
х-+х0
Если условие а) выполнено, то условия б) и в) эквивалентны
следующему:
lim Д/(х0, Дх)=0,
Дх—>0
где
Д/ (х0» Д*) = / (*о Дх) — f (х0)
— приращение функции у — f (х) в точке х0, соответствующее прира-
щению аргумента Дх = х—х0.
Если в точке х0 нарушено хотя бы одно из условий а)—в), то
х0 называется точкой разрыва функции y — f(x). При этом разли-
чают следующие случаи:
a) lim f (х) существует, но функция не определена в точке х0
х->х0
или нарушено условие lim /(х) = /(х0). В этом случае х0 называется
х-+х0
точкой устранимого разрыва функции.
б) lim f (х) не существует. Если при этом существуют оба одно-
х-*х0
сторонних предела hm f (х) и lim /(х) (очевидно, не равные
х->х0 + 0 х->х0 - 0
друг другу), то х0 называется точкой разрыва 1-го рода.
в) В остальных случаях х0 называется точкой разрыва 2-го рода.
-
4.103. Используя логическую символику, записать на
языке «8-6» следующие утверждения:
а) функция у = f (х) с областью определения D непре-
рывна в точке х0 С
б) функция y = f(x) не* является непрерывной в точке
х0 € D.
Доказать, что следующие функции непрерывны в каж-
дой точке их естественной области определения:
4.104. f(x) = xn, n£N.
Используя формулу бинома Ньютона, получаем
Д/ (х0, Дх) = (х0+Дх)«—xS= С?г4_1Дх+С^хГ2 (Дх)?+ • • • +(Д*)".
Отсюда lim А/(х0, Ах) = 0.
Дх~>0
4.105. f(x) = a, а>0.
4.106. f (х) — loga х; а>0, а^=\.
4.107. f(x) = sinx. 4.108. f (x) = arcsinx.
Задана функция f(x). При каком выборе параметров,
входящих в ее определение, f (х) будет непрерывной?
/ х24-х—2 , .
4.109. f (х) = 1 х-1 ’ ’
' ~ А, х= 1.
X— I, х< 1,
ах2 — 2, х > 1.
ах + I, х л/2,
sinx + b, х>л/2.
Найти точки разрыва функции, исследовать их харак-
тер, в случае устранимого разрыва доопределить функцию
«по непрерывности»:
4.112. 4.H3. fW = lg=|L.
4.114. f(x)= 4.115. /(х)=узшх.
4.116. /(x)^l-xsiny. 4.117. f(x) = 3^.
4.118. /(x) = (x+l)arctg|. 4.119. №)дД+^2).
1
4.120. 4.121. f(x) = lln^.
Зх~2+ 1
4.110г/(x) =
4.111. f(x) =
38
4.122. f(x)
4.124. f(x) =
J 1
4.123. =
X — 1 X
' 2х,
: < X— 1,
I 1,
1
—l<x< 1,' '
1 <x<4,
x = 1.
4.125. f(x) =
21-x+l
' 2 /x,
4.126. f(x) = <4 — 2x
0<x^l,
1 <x<2,5,
COS X, л —~2 <
4.127. Цх) = - 1, л х = т>
9 3x2 16 ’ л т * Сх л.
4.128. Доказать, что все точки разрыва ограниченной
монотонной функции являются точками разрыва 1-го рода.
4. Непрерывность на множестве. Равномерная непрерывность.
^Функция y — f(x) называется непрерывной на множестве D, если она
непрерывна в каждой точке x£D. Она называется равномерно непре-
рывной на множестве D, еслц для любого е >0 существует число
6 (е) > О такое, что для любых х', х" из неравенства | х'— х" | < б (в)
следует | / (х') — / (*") | < е.
Теорема Кантора. Если функция y — f(x) непрерывна на
отрезке [a, Z?], то она равномерно непрерывна на этом отрезке.
4.129. Доказать, что если у = f (%) — непрерывная на
[a, fe] функция, то она:
а) ограничена на [а, .6];
б) достигает на [а, Ь] своих верхней и нижней граней
(теорема Вейерштрасса);
в) принимает на любом интервале (a', Ь') с: [я, 6] все
промежуточные значения между f(a') и /(&') (теорема
Коши).
4.130. Доказать, что если функция y = f (%) непрерывна
на [а, оо) и существует конечный lim /(х), то эта функ-
оо
ция ограничена на [я, оо).
39
4Л31. Показать, что функция
zw„(sinT.
[ О, х = 0
принимает на любом отрезке [0, а] все промежуточные
значения между f (0) и /(а), однако не является непре-
рывной на [0, а].
4.132. Доказать, что всякий многочлен нечетной сте-
пени имеет по меньшей мере один действительный корень.
4.133. На языке «е-6» сформулировать утверждение:
функция y = непрерывна на множестве D, но не
является равномерно непрерывной на этом, множестве.
В качестве примера рассмотреть следующие функции:
а)/(х) = |, £> = (0, 1];
б) f(x) = lgx, £>=^(0, 10];
в) f (х) = sin £, £> = (0, 1]. .
4.134. Доказать, что если функция y = f (х) непрерывна
на [а, -h оо) и существует конечный lim /(х), то эта
— X -> + °О
функция равномерно непрерывна на [а, + оо).
4.135. Показать, что неограниченная функция f(x) =
«==x + sinx равномерно непрерывна на всей оси —оо <
< х< + °°-
Следующие функции исследовать на равномерную не-
прерывность на заданных множествах:
4.136. f(x) = ^, £> = [—1, 1].
4.137. f(x) = lnx, £> = (0, 1].
4.138. f(x)=~, £> = (0, л].
4.139. f (х) = ех cos у , £> = (0, 1].
4.140. f (х) = arctg х, D = R.
4.141. f(x) = V"x, D = [l, +oo).
4.142. f(x) = xsinx, £> = [0, +<x>).
§ 5. Комплексные числа
1. Алгебраические операции над комплексными числами. Комп-
лексными числами называются всевозможные упорядоченные пары
z = (x, у) действительных чисел, для которых следующим образом опре-
40
делены операции сложения и умножения:
(Xi, у\)+(х2, y2)=(xt+x2, У1-\-у2), (1)
(Х1, У1)(Х2Г 1/2) = (Х1Х2 — У1У2, **+**)• . (2)
Множество всех комплексных1 чисел обозначается символом С.
Действительные числа х и у называются действительной и мни-
мой частями комплексного числа z = (x, у) и обозначаются символами
Re г и Im г соответственно.
Два' комплексных числа Zj = (xf, yj и г2 —(х2, Уъ) называются
равными в том и только в том случае, когда xf==x2 и yi~y2.
Из определений (1) и (2) следует, что всякое комплексное число
(х, у) может быть записано следующим образом:
(х, г/) = (х, 0) + (0, 1Ш 0). (3)
Если теперь комплексные числа вида (х, 0) отождествить х) с действи- ,
тельными числами х, а число (0, 1) обозначить символом i, то равен-
ство (3) принимает вид
z=x+^
и называется алгебраической формой комплексного числа z = (x, у)*
5.1. Доказать, что операции сложения и умножения
комплексных чисел обладают следующими свойствами:
a) Zf + z2 —z2 + zi (коммутативность сложения)',
б) (^ + г2) + гз 2i + (г2 + <з) (ассоциативность сложе*
ния);
в) г1г2^г2^ (коммутативность умножения)',
г) (гтг2) г3 Zi (z2z3) (ассоциативность умножения)',
Д) (^2 + гз)==г1г2 + г1гз (закон дистрибутивности)«
5.2. Доказать, что:
а) Угх, г2 += 0 Зг (z2z =* г*)
число г называется частным от деления 2t на г2 и обо*
Zi \
значается символом — ;
*2 /
' б) если zf = Xi + ii/i и z2==x2 + /</2, то
Z1 XlX^-j-yiy^ | . УхХ2—Х1У2
2 I 2 • 2 12 *
?2 *2 + У 2 + У 2
В задачах 5.3—5.12 выполнить указанные операции,
представив результат в алгебраической форме.
5.3. (l-2f)(2 +О2+ 5/:
х) То есть установить взаимно однозначное соответствие (х, 0)<->х
между множествами {(х, 0) |x£R} и R. Из (1) и (2) следует, что это
соответствие «сохраняет операции»:
(х1( 0) + (х2> 0) = (Х1+х2, 0)<-<Х1+х2>
(ХЪ О)-(Х2, 0)=(Х!Х2, 0)<->х1х2,
41
◄ Задача состоит в том, чтобы заданное комплексное число предста-
вить в форме
(1 — 21) (2+ i)?+ 5i=%+ iy.
Для этого можно воспользоваться непосредственно формулами (1) и
(2), однако этот же результат можно получить проще следующим
образом. Как показывают свойства операций, перечисленные в за-
даче 5.1, при сложении и умножении комплексных чисел, представ-
ленных в алгебраической форме, с ними можно обращаться, как с би-
номами вида учитывая дополнительно, что i? = (0, 1) (0, 1) =
= (— 1, 0) = — 1. Поэтому
(2.+ i)2 =44- 414- Z2 = 34-41,
(1 — 21) (2 + i)2 = (1 — 2i) (3+4i) = 3—2i — 8i2 = 11 — 21,
откуда' окончательно получаем
(1 — 21) (2 +1)2+5i = 11 — 2i + 51= 11 + 3i. >
5.4. (2 + 3i)(3-0. 5.5* (1+21)2.
5.6. (1 — О3—(1+03- 5-7, (2i —t2)2 + (l—3i’)3.
5.8.
1-H
Результат 'может быть получен непосредственно по формуле из
задачи 5.2. Заметим, однако, что (1 + 0(1— i)=2 есть действительное
число. Поэтому, умножая числитель и знаменатель заданной дроби
на 1 — 1, находим:
2— i_(2—i)(l — i)__ 1— 3t _ 1 3 .
l + «_(1 + 0(1 — 0“ 2 ~2- 2l-
5-9-5J0- (4+)’-
5 n 4 (1 + O(3+1)- (1—0(3—/) r2 /1^+2у
3—1 3+1 • ’ * v19+l/ •
Найти действительные решения следующих уравнений: 4
5.13. (1 + 0% + (—2 + 51’)# = — 4+17i.
5.14. 12((2х + 0(1+-0 + (% + #)(3-20)=17 + 61. •
Решить следующие системы линейных уравнений:
5.15. (3 —0^1 +(4 + 20г2-l + 3i,
(4 + 21) — (2 + 31) z2 = 7.
5.16. (2 + 0г1 + (2-0г2-6,
(3 + 20 ^ + (3 — 21’) z2 = 8.
Если на плоскости введена декартова прямоугольная система
координат Оху, то всякому комплексному числу z = x-\~iy может быть,
поставлена в соответствие некоторая точка М (х, у) с абсциссой х и
ординатой у.
42
При этом говорят, что точка М (х, у) изображает комплексное
число z — x-}-iy. Плоскость, на которой изображаются комплексные
числа, называется комплексной плоскостью, ось Ох—действительной
осью, а ось Оу—мнимой осью.
Число г=У х2 + г/2 называется модулем комплексного числа z =
==х+ф и обозначается символом | z |. Модуль числа z равен расстоя-
нию точки М, изображающей это число, от начала координат»
Всякое решение <р системы уравнений
х . у
COS ф = — , S1D ф = —£=- (4)
называется аргументом комплексного числа z = x-}-iy / 0. Все аргу-
менты числа z различаются на целые кратные 2л и обозначаются еди-
ным символом Arg z. Каждое значение аргумента совпадает с величи-
ной ф некоторого угла, на который следует повернуть ось Ох до сов-
падения с радиус-вектором ОМ точки М (при этомф > 0, если .поворот
совершается против часовой стрелки, и ф < 0 в противном случае).
Значение Arg z, удовлетворяющее условию O^Argz < 2л, называется
главным значением аргумента и обозначается символом arg z.
В, некоторых случаях главным значением аргумента называется
значение Argz, удовлетворяющее условию —л < Argz^^.
Из соотношений (4) следует, что для всякого комплексного числа
й справедливо равенство
z = | z | (cos ф + * sin ф),
называемое тригонометрической формой числа z.
Пример 1. Представить в тригонометрической форме комплекс-
ное число z ==—2+2г ]Аз”
◄ Имеем
г = I z I = /(-2)? + (2 VW= 4,
* со'5ф = —1/2, 8Шф=]/'3/2,
поэтому главное значение аргумента равно а^г = 2л/3 и, следова-
л ( 2я । • • 2я А
тельдо, z = 4 [ cos ——р sin— .
\ О О /
Следующие комплексные числа представить в тригоно-
метрической форме и изобразить точками на комплексной
плоскости:
Б.17. — I. 5.18. 5.19. — +
5.20. 5.21*. — cos4,+isin-2-.
5.22. sin-£+tcos4. 5.23. 1 + cos4 + i sin %.,
Комплексное число х—iy называется сопряженным комплексному
числу z = x-\-iy и обозначается символом z,
43
Доказать следующие равенства:
5.24. z4~z = 2Rez и z—z = 2ilmz.
5.25. (z) = z. 5.26. |z| = |z|. 5.27. zt4-z2 = zt4-za.
5.26. z^—zpza и (—= 5.29. zz = |z|2.
\ za / z2
5.30. Вычислить:
a) zxza и (~\2, если Zj=l— i1^3, ze = ]/3 + i,
\ Z2 /
6) zxz2 и ——, если zi = 3 4- 2i, z2 = 2 4- 2i.
z2
- 5.31. Пусть p(z)— произвольный многочлен с действи-
тельными коэффициентами. Доказать, что для любого С
верно равенство p(z) = p (z).
Решить следующие уравнения:
5.32. | г| —и= 1 5.33. |z| + z = 2 + f.
5.34. Доказать равенства и выяснить их геометриче-
ский смысл:
а) |1 = ||-|гаJ и |-g-1=-j-g-L;
б) Arg Zf 4-Arg z2 = Arg (z^) и
Arg zt — Arg z2 = Arg )
^равенства б) понимаются в том смысле, что числа, стоя-
щие в левых частях, совпадают с некоторыми значениями
аргументов zxz2 и —) .
Z2 /
Выяснить геометрический смысл следующих преобра-
зований комплексной'плоскости:
5.35. z—>z —2. 5.36. z-*z + (3 — /). 5.37. z-+iz.
5.38. — i)z. 5.39. z—— г. 5.40. г->2z.
5.41. z —>т. 5.42. г —г.
1 — I
5.43. Доказать, что:
а) величина | zf — z21 равна расстоянию на комплексной
плоскости между точками и Л42, изображающими
комплексные числа z± и г2; *
б) l^4-za|^|z1|4-|za| и |zx — z2|>||z1| — |z2||
44
(неравенства треугольни к а). Каков геометри-
ческий смысл этих неравенств?
5.44. Доказать тождества:
a)|zi + z8|2 + |2i-z2p = 2(|zfp + |z2p)
(каков его геометрический смысл?);
б)* |г1| + |г2| = |£ф+/^| + |£ф2_^|.
В задачах 5.45—5.55 дать геометрическое описание
множеств всех точек комплексной плоскости, удовлетво-
ряющих следующим условиям:
5.45. Rez>0. 5.46. 0<Imz < 1. 5.47. |Imz|<2.
5.48. |z|<l. 5.49. |z-M| = 2.
' .5.50. l<|z + 2|<2. 5.51. |z| > 1 —Rez.
5.52. |z —i|==|z + 2|. 5.53. 0< argz^Cn/4.
5.54. |л—argz|<ar/4. 5.55. z = z.
z ~ 1
5.56. Пусть z-=f*—1. Доказать, что Re~z-T = 0^|z|== I.
Z -j- 1
' Пусть <p—произвольное действительное число. Символом обо-
значается комплексное число cos (p-f-Z sinip. С помощью этого обозна-
чения всякое комплексное число z = | z | (cos (p+isincp) может быть
записано в показательной форме
z = | z['et<p.
Представить в показательной форме следующие комп-
лексные числа:
5.57. 2+Д. 5.58.-5—12i. 5.59. —3-4i.
5.60. —2-|-f. 5.61. sin a—icosa.
5.62. sina + * (1—cosa).
5.63. Доказать, что символ е£ф обладает следующими
свойствами:
a) Vn6Z (е£2яп=1); б)
В) (Ф1 + Фа) и —— = Q ((Ф1 Ф«),
5.64. Данные числа zf и z2 представить в показатель-
ной форме и выполнить указанные действия над ними:
a) z1z2, —, если г1 = 2]/3 —2/, га = 3—Зр^ЗГ,
45
6) Zi£2, если Zi~ — V2 + i j/*2, г2 = У8 —г]/8 . j
5.65. Доказать формулы Эйлера
pi<P_L.p~i4> /<Р__р“ЙР
cos ср = Sincp=e 2.е —.
5.66. Доказать формулу Муавра\ если г = ге\ то
~>п —” гп(ЛпФ
или, в тригонометрической форме,
zn = rn (cos пер + i sin пер).
Используя формулу Муавра, вычислить следующие
выражения1:
5.67. (l+i)10. 5.68. 5.69. (IHlLVIY0.
5.70. (l + i)s(l-iV3)~e.
5.71. Доказать равенства:
a) (1+ г)п = 2л/2 ^cos-^ + isin-^-^ ;
6) (/3-~f)n=2"(cos^ — fsin-^).
5.72. Используя формулы Эйлера, выразить через ко-
синусы и синусы кратных дуг функции:
a) cos3 <р; б) sin3 ф.
Используя формулу Муавра, выразить через созф и
sin ф следующие функции:
5.73, созЗф. 5.74. sin Зф.
, 5.75. соз4ф. 5.76. зш4ф.
Пусть а — ге^— фиксированное комплексное число. Тогда урав-
нение zn = a, n£N,’ имеет в точности п различных решений z0, z1}.,.
г„_1, причем эти решения даются формулой
/ ф 2л . \
п/ i \ п + п J п / / ф “Ь 2sik I . . ср + 2jik \
< / = /r^cos-^-------—U
6=0, 1, ..., n—1
(здесь г—действительное положительное число). Числа г^-,6 = 0,
1, ...» п — 1, называются корнями п-й степени из комплексного чи-
' п/~
ела а и обозначаются символом у а.
Пример 2. Найти все корни 3-й степени из числа а — — 2 +
+ 21 / 3.
46
. 2л
<4 Так как а = 4е
2л , . . 2л \
cos ——|-1 sin — , то
О О J
. / 2 л 2л/г\
Ц—+-Q-J 3/-7/ /2л . 2л
> У й -./Я СПЯ / .-I
4-Z sin
, где k — Q, 1, 2,
гт , А Р/~Л 3/7/ 2л . 2л\
При & = 0: \у а)0 — у 4lcos-g—Н sin-g-) ♦
гт к 1 Р/“Л 3/tY 8д|. • 8лЛ
При k — 1: \у a)i = y 4lcos-g—Hsin-g-).
v-r /3/“\ 3Z~ / 14л , 14л \
При & = 2: \у а)2=у 4(COS~9—Н*sin —g—j . ►
5.77. Найти и изобразить на комплексной плоскости
все корни 2-й, 3-й и 4-й степени из единицы.
Найти все значения корней:
5.78. VI. 5.79. 5.80. ?/=9.
5.81. V— 1 4- i /3. 5.82. V2^3 + 2/.
5.83. 1 —i.
5.84. V 14-г j/~3. 5.85. V(2 —2г)\
5.86. Доказать, что квадратные корни из комплексного
числа могут быть найдены по формуле
У~г - У~у- ± ( /ЩЕ + I sgn» /ЕЕ) ,
Использование показательной формы комплексных чисел во мно-
гих случаях* значительно упрощает вычисления.
Пример 3. Вычислить сумму t
£(ф)==5Шф+«1п2ф+...+51ппф, ф 2лт,
Так как 81пф = 1т , то, используя формулу суммы геометри-
ческой прогрессии, получаем:
S (ф) = 1ш 4- Im е1’2(₽4- ...4- Im ein^ —
= Im (ei(9 el’2(P 4- ,..
. n
rcp+Z— ф 1
е1ф(1_ешф) e
= Im ;_е.ф =Im
2 —е
7 Ti.
2-- 2
. п
.‘г41
. Пф
sinT
ф
sinf
—e
. пф . n+1
i ф sin sin —— ф
Ime 2 -----------
• Ф
smf
47
Вычислить суммы:
5.87. cos ф + cos 2ф + cos 3<р + ... + cos шр.
5.88. cos ср + cos 3<p 4~ cos 5<p + ... 4~cos(2n— 1)ф.
5.89. зп1ф4-51пЗф + зт5ф+ • •. +sin'(2n— 1)ф.
2. Многочлены и алгебраические уравнения. Многочленом (поли-
номом или целой рациональной функцией) п-й степени называется
функция вида
• Рп (z) = anzn А- ап _ JZ” -14-... 4- aiZ+а0, (б)
где z£C, а0, а^ ..., ап—коэффициенты (вообще говоря, комплексные),
причем ап 0, Уравнение
+ ...+^iz+a0=§, (6)
называется алгебраическим уравнением п-и степени. Число z0, для
которого рп (z0) = 0, называется корнем многочлена (5) или уравнения (6).
Теорема Гаусса (основная теорема алгебры). Всякий много-
член ненулевой степени имеет по крайней мере одик корень (вообще
говоря, комплексный).
Число ?0 является корнем многочлена рп (z) в том и только в том
случае, когда рп (z) делится без остатка на бином z—z0, т. е.
Рп (z) = (z— zQ)qn^(z),
где qn-i(z)—многочлен \п — 1)-й степени. Если pn(z) делится без
остатка на (z—z0)A, k^i, но не делится на (z—г0)Л+1, то z0 назы-
вается корнем кратности k многочлена p„(z); при этом
p„(z) = (z— z^)kqn_k(z),
ГДе Qn — k (Zq) 9е 0.
Теорема Гаусса может быть уточнена следующим образом: много-
член п-й степени имеет ровно п корней, если каждый корень считать
столько- раз, какова его кратность.
Если коэффициенты многочлена (5)—действительные числа и z0 ==
«= —его комплексный корень, то сопряженное число Zo = xo—-
— 4/0—также корень этого многочлена, причем корни z0 и z0- имеют
одинаковую кратность (см. задачу 5.31).
Пусть многочлен рп (г) имеет корни zlt z2, ..., zm (т<п) крат-
ностей, соответственно &3, km (&i + &2 + . *. = п). Тогда
его можно разложить на линейные множители, т. е. справедливо тож-
дество
Рп (г) = а„ (г—Z1)A< (z—z2)k.(z—zm)km.
Если при этом коэффициенты многочлена—действительные числа
то, объединяя скобки, соответствующие комплексно сопряженным
корням, можно разложить этот многочлен в произведение линейных
и квадратичных множителей с действительными коэффициентами.
Пример 4. Найти корни многочлена z6 + 2z34~l и разло-
жить его на множители.
48
4 Так как z6H-2z3 +1 = (z3+J)2, то корнями этого многочлена яв-
ляются корни 3-й степени из —1:
zi=— 1;
л ... л 1 . . /з.
Z2=cos-J-Hsiny=—-}-»-Е__ j )
л . . л 1 . У' 3
Za=cos--lsln-s=--t-r.
При этом-каждый корень имеет кратность k — 2. Разложение этого
многочлена на линейные множители имеет вид
^+2z3+l=(z + D2(z-(4 + ‘'-!?))2(2~(l'_/1?)y-
Объединяя последние две скобки в один сомножитель, получим раз-
ложение на множители с действительными коэффициентами
Z«42z341=(z41)2(z2 — z+1)?. ►
Решить квадратные уравнения:
6.90. г2 4-2? 4-5 = 0. 5.91. 4z2 — 2z4-1=0.
5.92. z24-(5 —2t)z 4-5(1 —i) = 0:.
5.93. z24-(2t —3)z4-5 —i = 0.
Решить двучленные уравнения:
5.94. z3—1=0. 5.95. z34-l = 0.
5.96. (z4-I)4—16 = 0. 5.97. (z4-1)44-16 = 0.
Решить биквадратные уравнения:
5.98. z44-18z24-81 = 0. 5.99. z44-4z24-3 = 0.
5.100 . z4 4-9z2 4-20 = 0.
5.101 . z4 — (l+t)z24-2(14-i) = 0.
Решить трехчленные уравнения:
5.102 . ze4-4z34-3 = 0. 5.103. z84-15z4—16 =0.
5.104 *. Показать, что все корни уравнения
zmxv (1±/а) (a€R)
\ 1 - / Y 1 Л -\ 'ч. /
действительны и различны.
Следующие многочлены разложить на линейные и
квадратичные множители с действительными, коэффициен-
тами:
5.105. z4—l. 5.106. z4+l. 5.107. z4 + z2+l.
5.108. z4 + 4z3+ 11z?+ 14z + 10; известен один корень
Zf = — 1 4 i-
49
5.109. гв 4-24+г3—z2— z—1; известен двукратный ко-
1 . П
рень Zi = z2-= — y + t J2~.
5.110. z4 + 6z3 + 9z2 + 100; известен корень — I + 2i.
3. Предел последовательности комплексных чисел. Число а на-
зывают пределом последовательности комплексных чисел и
пишут lim гп — а, если для любого е > 0 существует номер N (в) та-
П -> со
кой, что при п > /V (е) выполняется неравенство | гп—а| < 8.
Последовательность (г„)л € ру называют сходящейся к бесконечности
и пишут lim zn = оо, если для любого Е > 0 существует номер Л/ (Е)
П-> 00
такой, что при n > W (Е) выполняется неравенство ] zn | > Е.
5.111. Пусть xn=Rezn и = Доказать, что
lim zn = а Ф оо тогда и только тогда, когда lim хп = Re а
п -> оо . п СО
и lim уп — Im а.
П-> ОО
5.112. Пусть limz„ = a^=oo и lim wn =^b^= оо. Дока-
П -> 00 п -> ОО
зать, что:
a) lim (z„ + w^ — a+b', б) lim znwn = ab.
П-> OO п -
5.113. Пусть lim z„ = a=^=oo
П -> OO
i • zn a *
зать, что lim
b
Вычислить
и lim —6=^=0. Дока-
п -> со
пределы:
n -> <
5‘116‘ „’Too ^+2 ' n?+n~4i '
5п
in2
5.118. lim 1 +
П 00 V
/
5.120. lim (2i)“.
П 00
5.!22.Jnn (-gr—2§+
n
5.123. lim У Й- 5.124. lim
rt->CO^ = Q П -> OO
I. 5.115. lim
5 117 lim (3-\-7 in)
5’1I7n™oo (2-0^+l ’
1 • 1 in T"
lim — e 4 ,
—> oo «
п
п sin —+ f
п ‘
П
5.125. lim У,
«-><» Л=о
1
(2— 3i)k ’
5.126. lim (1+^'Г.
n -> oo \ n J
50
Доказать, что следующие последовательности ограни-
чены, но расходятся:
5.127. = 5.128. гп = (- 1)» + i|^
f \\ i— 1
5.129. 2„= (l+-ije 2. 5.130. zn = ^(i« + (—i)").
Показать, что следующие последовательности неогра-
ничены, но не сходятся к бесконечности:
5.131. zn = n(,l + in). 5.132. — Inn.
5.133. Пусть = и <рЛ = arg zn.~ Доказать, что
lim zn = a (0 < |а| < оо) тогда и только тогда, когда
л —> со
lim гп = | а | и lim <р„ = arg <р (при надлежащем выборе
области главных значений аргументов).
Результат задачи 5.133 часто используется при вычислении пре-
делов комплексных последовательностей.
Пример 5. Пусть ф—действительное число (ф О).- Доказать,
что
lim и ) == cos ф+г sin ф = е*Р,
п —> оо \ /2 J
-4 Рассмотрим две действительные последовательности;
Вычислим их пределы:
/ Цга 21
I f га2 \ \ 2 fi поо 2м
lim rn= lim I (i_|-5L) ) = е • =1,
П—> СО п -> оо \ \ TI-J /
ф п
lim q>„= lim narctg —= ф lim -------—— =ф,
fl ОО П. -> GO п -> СО
п
Отсюда получаем
lim ( 1=1 *(cos ф+f sinф) = е1‘Ф. >
/г -> оо \ HJ
5.134. Пусть z—x+iy. Доказать (см. пример 5), что
lim ( 1 + — ) = (cos у + i sin у) = = ег.
П оо \ п /
51
Доказать сходимость следующих последовательностей
и найти их пределы:
5.135. z„ = z", |z| < 1. 5.136. z„ = nz", |z| < 1.
5.137. zn=14-z+...+zn, |z|< 1.
5.138. z„ = T-^, |z|>l.
6.139. Вычислить
lim ».+ zi+--- + ^
n оо 1 Ч- Zg ~f~ • • • “b Za
если | ti [ < 1 и | z21 < 1. •
5.140. Пусть lim z„==a=/=oo. Доказать, что
n —> оо
Hm Z1+Z2+--'.+z”^o.
ОТВЕТЫ
1.1. Приближение с недостатком 0,1; 0,10; 0.101 Приближение
с избытком: 0,2; 0,11; 0,102. 1.2. а) Н; б) ; в)
... 1 1 ! 1 НО f1 ! 1
1.11. log1/8y> log1/8"2 • k12- (gj '~\7J
1.18. loglogs2l>l. 1.18. H, |I. 1.19. {-1,0}. 1.20.0.
1.21. {0, 2). 1.22. (-oo, 2]. 1.23. (—00, 1]U[3.J»)- 1-24. (3, 4).
1.25. [1 - /17, -1 + /"б]. 1.26. (- co,- U ,
6+2^) ’ L27' °0’ ~*T E28- a)0> 2}C={1, 2, {1, 2, 3}}; б) обе
записи верны. 1.29. Л = {0,1,2}. 1.30. Л = {1}. 1.31. Л = {1, 2,3,4}.
1.32. Л = {—2, —1, 0, 1, 2}. 1.33. Л = {1, 2, 3}. 1.34. Л = {л/2, л,
Зл/2, 2л}. 1.35. См. рис. 3.. 1.36. См. рис. 4 (граница заштрихован-"
ной области не принадлежит- множеству). 1.37. См. рис. б.
1.38. См. рис. 6 (штриховая линия не принадлежит множеству).
1.39. См. рис. 7 (граница ‘заштрихованной области не принадлежит
множеству). 1.40. Точка (2, 2). 1.41. См. рис. 8. 1.42. См. рис. 9
(граница заштрихованной области не принадлежит множеству).
1.43. A U В = {-5, 3, 4}; А ПВ = {4}; Л\В = {-5}; В\Л = {3}.
1.44. {2, 4, 8}. 1.45. {Zk\k£%}. 1.46. {1, 2, 4}. 1.47. {24/г | ££N}.
1.49. ЛиВ==(-1, 4); ЛПВ-[1, 2]; Л\В = (—1, 1); В\Л = (1, 4).
1.50. (0, 1). 1.51. [0, VdlO, 1]. 1.52. {OjUe/a, 1). 1.53. [0, V4)U
U(x/4, 8/4)U{l}. 1.60. Z;{-1, 0, 1}. 1.61. {ngN|n0 3^, 0.
1.62. {x£ R | x == 1 /n, n£N}» {!}• 1.63. а) Все точки данного круга; 0;
б) все точки кольца между данной окружностью и концентрической
окружностью вдвое меньшего радиуса; 0; в) все точки круга; центр
круга; 1.73. a) min X не существует; max X == 1; б) [1, + оо); (—оо,0];
52
supX = l; infX=O. 1.74. J/2; не существует; */2; 0. 1.75. 1; —I;
1; —1. 1.76. He существует; —5; 0; —5. 1.77. He существует; не
существует; 0; не существует. 1.78. Не существует; не существует;
1; 0. 1.79. supX = 2. 1.83. а) Истинно; б) ложно; в) истинно;
г) ложно. 1.84. Ложно. 1.85. Истинно. 1.86. Ложно. 1.87. Истинно.
1.88. Истинно. 1.89. Ложно. 1.90. а) Истинно; б) истинно.
1.91. а) Истинно; б) истинно; в) ложно. 1.92. а) /(хо) = О; /(xoJy^O.
б) f (х0) = 0 Л Vx(x^ х0 => f (х0) ф 0); __ / (х0) ф 0 V (/ (х0) =
= 0 Л Эх (х х0 Л f (х) = 0)). в) Зх0 (/ (х0) = 0) Л (Vx (х х0 =ф>
=>7(х) ф 0)); Vx(/(x) 5^0) V (Эхх, х2(х1^х2 л f (xt) = f (х2) =0)).
Рис. Та
1.93. а) ЗМ ух£Х (х«С М); УМ Зх£Х (х > Л4). б) (т£Х) Л
A (VxgX (т^х)); (т^ X) V (Зх£Х (х < т)). в) (3m £ X) Л
Л (VxgX (m<x)); Vx'£Х Эх£Х (х < х'). 1.94. a) 3k^l(n = km)'t
Vk£%(n:£ km). б) (2 | и Л 3 | Л) => 6 | n; (2 | n Л 3 | n) A 6 n.
(Замечание. Так'как исходное высказывание истинно, то его
отрицание ложно), в) Уп£ М (п | р (п— 1 V п — р)); 3«€N (n IР Л
А (и 1 А п р)).
1
• i-‘- г 24л2
.2.4. v = a(t —10); s—-^(i — tQ)2; s = -^-, п
x2h
a—b ’
(fl— b)h
4— •
fl+Ь (fl—x)2h
a—b
2.1. /? =
2.5. SABNM =
„„ „ 52К16л2—S? e 3,
2.2. Г=-- . 2.3. S=—tga.
a—b
~~2~~
fl+ b
а—b
2
fl-}- b
—2~
2.6. V=-Ln/i (4/??—Л2), Г> = [0, 2/?]. 2.7. a) S = ^- У 4/?2—/?,
. £> = [0, 2/?]; б) 5 = 4л/?? sin ~ cos? у, D=[0, л]; в) S =
= 4л/?? cos р sin? р, £> = [0, л/2]. 2.8. 0, —6, 4. 2.9. —1, 0, 1, 2, 4.
63
Рис. 9.
1 n f" X
. 2.10. 0, a3 — 1, a34-3a?+3a, & — 3a2 + 3a—2, 16a3—2. 2.11. 1,
x 2 x—1 1-f-x
2-|-x x-|~l 1—x
2.13. D = (—oo, 6/2), £ = [0,
л2 (2&-j-1)2], E = [0, ф].
2.16. D — U f
M \ rf \ 2 1
2.17. D=[—1, 1], £ = [0, 1].
2.12. D = (—3, co), £ = (—со, + со).
+ co), 2.14. Z)= U [4л2Л2,
ftg-Nu {0)
2.15. D = 1 , A])£ = [o, nJ.
^L^+|)), £ = [-«o, ШЗ].
2.18. £ = (2, 3), £ = (—oo, lg-|-l .
2.19. £> = [—1, 1], £ = [0, Л/4]. 2.20. £> = [0, 2], E = [ 1, 2n],
2.21. £) = (—co, H-co), £ = [l/e2, + <»). 2.22. G = [0, 4].
2.23. G = [l, 2]. 2.24. G = (—co, 0)11(1. + co). 2.25. G = (0, Ч2].
2.26. G = (l, 3]. 2.27. G = [0, /’2/2). 2.28. Do = {— 1}, D+ =
= (— 1, H-co), £)_ = (—co, —1). 2.29. £>0 = {— 1, 2}, D+=(— 1, 2),
£>_ = (— co, —i) u (2, +00). 2.30.Po=-^€R|*=-^> «€z;\{O}j-,
+ »eZ^\{0)(2n’ 2«+l) ’ n6Z\{0) (2/1+I ’ 2(n+l))
2.31. DO = {1}> D+=(- co, O)U(1, +oo), £)_ = (0, 1). 2.37. f (x) =
1 _L 1/" |_L v2
— x2—2. 2.38. f(x)~ —, 2.39. f(x) = sinx. 2.40. Четная.
2.41. Ни четная, ни нечетная. 2.42. Ни четная, ни нечетная.
2.43. Нечетная. 2.44. Ни- четная, ни нечетная. 2.45. Нечетная,
2.47. 7=2л/7. 2.48. Т = л/2.' 2.49. Непериодическая. 2.50. Неперио-
дическая. 2.51. Непериодическая. 2.52. Т = 6л. 2.53. Если а = 0,
х____________________________________________________________у
то обратная функция не существует; если а ф 0, то г/ = —---------
обратная функция и D — (—оо, +оо). 2.54. Обратная
У =
если х^О,
если х > 0.
D — (— оо, 4~ со).
2.55. Обратная не существует. 2.56. Обратная У = ~^ еХ^ & =
= (~оо, +оо). 2.57. Обратная f/ = 2 1og2x, D=(0, + оо).
2.58. Обратная г/=—хф — 1. 2.60. а) у = — ]/^+Ч =
-----’ +°°У’ б) У — К*+ 1* D— + 00^.2.61. a) # = arcsinx,
( х, х^О,
£) = [—1, 1]; б) у — л+arcsinх, D = [—1, 1]. 2.62. i/=<
х/2, х > и.
2.63. а) arccos (2х—1), JD === [0, 1]; б) г/ = л —
— -^-arccos(2x—1), Z) = [0, 1]; в) ^/== л+-~-arccos (2х—1), D ==
55
«[О, 1]. 2.65. fog=l — X2,
g°f = x. 2.67. fag=x,
gof — (l—x)2. 2.66. fog=x, x > 0;
g°f =
%+Л,
X,
X— Л,
x£[—— зт/2),
xg[—зт/2, л/2],
х£(л/2, л].
2.68. fog = 0, g°f = g. 2.69. а) х; б) x/j£14~3x2. 2.70. /(&)=/'и,
и=х2. 2.71. f (u)^sin и, u==cosv, v= У~х. 2.72. f (ц) =2К, w = sinц,
n==x2. 2.73. f (и) = arcsin и, u = ev, v = x. 2.74.” f (a) =sin ut
u — 2v, v = x2. 2.75. f (и) — u~ 1/s, w = t»2, y = tg/, / == logs x*
2.77. y+toJpGzJ. 2.78. {(-1, 2), (1, 2)}.
2.79. {(2&Л, &n)|££z}. 2.80. {(&n, 1)|&CZ}- 2.81. а) Прямая, про-
ходящая через начало координат и через точку (1, 2); б), прямая,
параллельная оси Ох, проходящая через точку (0, —2); в) прямая,
проходящая через точку ^0,--параллельная биссектрисе 2-го и
4-го координатных углов. 2.82. а) Парабола у = х2, смещенная вдоль
оси Оу вниз на 1; б) парабола £/ = х2, растянутая в 2 раза вдоль
оси Оу, смененная вдоль оси Ох вправо’ на 1; в) парабола у~х2,
отраженная относительно оси Ох, сжатая вдоль оси Оу в 2 раза;
смещенная вдоль оси Ох влево на 2 и вдоль ос’и Оу вверх на 3/2.
2.83. а) Гипербола у=~ , смещенная вдоль оси Оу вниз на 1 и вдоль
х ।
оси Ох вправо на 1; б) гипербола^/ = — , отраженная относительно оси
Ох, растянутая вдоль оси Оу в 2 раза, смещенная вдоль оси Оу вниз
на г/2 и вдоль оси Ох влево на 1.2.84. а) Синусоида 4/ = sinx, сжатая
в 2 раза вдоль оси Ох и смещенная вдоль оси Ох влево на л/6; б) сину-
соида у — sin х, отраженная относительно оси Ох, растянутая вдоль оси
Оу в 2 раза, растянутая вдоль оси Ох в 2 раза-и смещенная вдоль оси
Ох вправо на 2л/3. 2.85. а) Тангенсоида y — tgx, растянутая вдоль
оси Оу в 3 раза, растянутая вдоль оси Ох в 3 раза и смещенная вдоль
оси Ох влево на Зл/4; б) тангенсоида y — igx, отраженная относи-
тельно оси Ох, сжатая вдоль оси Оу в 2 раза, сжатая вдоль оси Ох
в 2 раза и смещенная вдоль оси Ох влево на Зл/4. 2.86. а) График
обратной тригонометрической функции ^ = arcsinx, растянутый вдоль
оси Оу в 4 раза и смещенный вдоль оси Ох вправо на 1; б) график
функции # = arcsinx, отраженный .относительно оси Ох, сжатый вдоль
оси Оу в 3/2 раза и смещенный вдоль - оси Ох влево на - 1/2.
2.87. а) График обратной тригонометрической функции # = arc.tgx,
отраженный относительно оси Ох, растянутый вдоль оси Оу в 3 раза
и смещенный вдоль оси Ох влево на $/2; б) график функций у = arctg х,
сжатый вдоль оси Оу в ,б/2 раза и смещенный вдоль оси Ох вправо
на 6. 2.88. а) График показательной функции у —2х, отраженный
относительно оси Оу и смещенный вдоль оси Ох вправо на 1; б) гра-
фик функции у = 2х, отраженный относительно оси Оу, сжатый вдоль
оси Ох в 2 раза и смещенный вдоль оси Ох вправо на 1. 2.89. а) Гра-
фик логарифмической функции у = 1g х, смещенный вдоль оси Оу
вверх на 1 и вдоль оси Ох вправо на 1/10; б) график функции
y==lgx, отраженный относительно оси Ох, смещенный вдоль оси Оу
вверх на 1g 2 и вдоль оси Ох влево на 4,
56
2.90 х).
2.92.
2.91.
—2х, xg(—оо,—2],
4, xg(-2, 2],
2х, xg(2, 4-оо).
Г (*+3)2, xg(-co, 0],
I (х—З)2, xg(O, + оо).
6(«+ii>
( (х+1)2— 1, xg(—оо, 0},
S= I х2, х£(0, + оо).
2.93. у =
-6
\2__25
/ 24 ’
2 23
24’
2.94.
( 1
\ °°’ 6
о).
\ 6 / /
2.95.
— (х4-1)24-1,
(х+1)2-1,
2.96. у=-
2--+
X "т" Z
~2+^2<
Л —р 4
хе(-«=. и.
х£(1, 4-~).
( 2 (х— 1),
Но,
*€(— °°- П
i€(i. 4-0°).
хе(-оо, —2)U[s/a> 4-оо),
х€(-2, 3/2).
к
х б
2.97. у =
1 х4-2’
~1+х+2 ’
xg(— оо, —2),
xg(—2, 0],
хС(О, 4-«).
2.98. При xg(—оо, 0) — прямая у — — \, при xg(O, + оо) — прямая
у=1, при х = 0 —прямая f/ = 0. 2.99. При xg[n, п+1), ngz,—
прямая у~п. 2.100. При xg[n, n+1), ng 2,— прямая у = х—п.
2.101. 2.102.
и I 2х—1, х£(0, 4-о°)- | +) ~^2' х€(— Ь 4-1»)-
f log1/2(3—х), х^(—00, 3),
2.103. = iog1/2 (х-3), х€(3, 4-«).
= f —log2(x4-l), х£(-1, 0],
V I 10g2(x4-l), *€(0;4-со).
х4—у—2 kn, х^Ггйл—, 2Лл4--^-1 >
2.105. у — - , о х
х+-~- (2^+ 1) л, xg (2k +1) л, (2^+1) л+^ j ,
1) Здесь и далее ко всем аналогичным задачам этого параграфа
в ответе фактически приводится тот вид исходной функции, из кото-
рого уже легко получить ее график,
2.106.
У =
'3x — 2kTtt xg[2/?4> (2^+1)-тЪ
L О 3 J
Зх-(2Й+1)Я, S^+l)^
j/~2cos^x—, x£[2kn, (2k + 1)л],
/"2 cos x£((2/?-f-l) л, 2(fe+l)n),
2.107.
2.108. у=< [— arctg (%— 1), [arctg (х— 1), x£(— 00, 1], x£(l, +«>).
2.109. У = < [ х, х£ ^2kn — у, 2kn+~~^ , 1 0, x=-j—]-Ы, k£z.
2.110. У = • 1 £ 1 X + * 1 I /T\ T 4» z—x *1» 13 - 1 Ь1)Я—J, (2Й+1) л+у) , 5., , . k£z.
1 x 2
2-П1. z/=v(l — cosx). 2.112. Отрезок прямой У=~г+v > 3].
Л 0 0
2.113. Оси координат. 2.114. Кривая, симметричная относительно
обеих осей координат; в первой четверти — часть параболы у =
= — (х-*1)2 + 4 при х£[0, 3] и часть параболы у = (х—I)2—4 при
я£(0, + 00)- 2.115. Квадрат с вершинами (1, 0), (0, 1), (—1, 0),
(О, —1). 2.116. Квадрат со сторонами х=± — , z/ = ±4e 2.117.
Кривая, симметричная относительно' обеих осей координат и биссек-
трисы первого и третьего квадрантов; в области G={(x, у) | х2^0,
f/^О, х^у} — луч у = х—1. 2.118. Кривая, симметричная относи-
тельно обеих осей координат; в первом квадранте при У^~^—отре-
зок
Л
прямой х=- ---
при у> -j-—отрезок прямой у — \
X
Гз‘
Q 9 К 4
8.1.0, 4, 4, 4, ... 3.2. 2, 0, 6, 0, 10, ... 3.3. —8,
" х о 4 О
n, -L4, 17 5 ’ 20 7 5 •” 2л 7л 8л • “Г’ "з"’ Т’ 13л 3 ’ 14л
8.5. xn= n+ 1 , 3.6. *п=1 + (~1)п- 8.7. х„= 2п 2п— 1 ’ 3.8. хп
—" п+1 ’ —‘ —П 2П-Г
л(д—1) _л , 1ч„2л + 1 . (п— 1) л
»ЯСО8->- 2 3.9. хп = (—1)»^п 2-1 » ЗЛ0- xn = sini-J2—.
8.11. Наибольший член х3 = 4, 8.12. Наибольший член хъ — е,
В8
3.13. Наибольший член х9 = 1/6. 3.14. Наименьший член х2- — 22.
3.15. Наименьший член х8=24. 3.16. Наименьший член х3 = —9/8.
3.17. а) gA>0yn^N (|х„|<А); уА > 0 gn£N (| хп | > А).
б) v«(EN(xn < *п+1); нп€М(хп^х„+1). в) ys>0aW£Nv»€
£ М(и > W—> | хп—а \ < е); де > 0 y!V£N gn£N (п>7Ул| хп— a|Sse).
г) уЕ > OglV£N (n > N =$> |x„ | > £); g£ > 0 y/VgN gn£N
(n > Na |xn|<£). Д) ye > Ogn£N (| xn— a| < e); ge>OyngN
(|x„—alS&e). 3.18. a) a=l/3, W=3; 6) a=l, W = 10; в) a=0,
TV = 999; г) a=5/7, W=3. 3.19. —5/9. 3.20. —1/2. 3.21. 0. 3.22 . 0.
3.23. —1. 3.24. 1/2. 3.25. 1/3. 3.26. 0. 3.27. 1. 3.28. 1/6. 3.30. Яв-
ляется. 3.31. He является. 3.32. He является. 3.33. Является.
3.34. 1/3, 3. 3.35. 0, V~~2/2, I, —V~2/2, —1. 3.36. л/6, — л/6.
3.38. inf {x„} = lim xn = lim x„ = l, sup{xn}=2. 3.39. lim xn =
n-+ <*> n-> П -> oo
= inf{x„}=0, Hm xn=l, sup{xn} = 5/4. 3.40. Последовательность
n -> 00
неограничен сверху и снизу; lim хп=4~оо, lim хп =— оо.
П —> оо п —> оо
_ _ l/~3 __
3.41. inf {х„} = — V 3, sup{x„} — 2 К 3, lim х„=—г—lim х„ =
= . 3.42. inf {х„} = —, sup {х„}=-|- , lim х„=2-, lim х„=-|- .
2 2 2 п 2 п-> к 2
4.4. уЕ> OgS > 0(0 < I х| < 6=»|f(x)| > Е). 4.5. уЕ > О
дб > 0 (— 6 < х— 1 < 0 => f (х) < — Е). 4.6. уе > 0 дА > 0 (х > А =$>
=> | / (х) | < е). 4.7. уЕ > 0 дА > 0 (х > А => f (х) >. Е). 4.8. уе > О
дб > 0(0 < х < б=> |/(х)| < е).4.9. уе>0 ЗА>0 (| х| > А=ф|/(х) —
—2|<е). 4.10. уЕ > ОдА > 0 (х <—А=>/(х) <—£'). 4.11.
уЕ > 0 дА > 0 (х<—А=>|/(х)| > £). 4.12. —2. 4.13. 2. 4.14. оо.
4.15.0. 4.16. т/п. 4.17. Зх2. 4.18.6. 4.19. (а— 1)/За2. 4.20. 1/4. 4.21. оо.
4.22. «4-1. 4.24, 3/5. 4.25. 1/6. 4^26. К 2/2. 4.27. К2/3. 4.28. 1/п.
4.29. т/п. 4.30. 3/2. 4.31. 3^/2/2. 4.32. 0. 4.33. 1/2. 4.34. —7/4.
’ 4.35. 2. 4.36. 3.4.37. 7/3. 4.38. 1/л. 4.39. 3/4. 4.40.2. 4.41. (а2—₽2)/2.
4.42. 0. 4.43^—а/л. 4.44. —]/"2/4. 4.45. 1. 4.46. Замечая, что
^х~l°ga (1+х)1Л< ’ и воспользовавшись непрерывностью
функции /(x)=logax (см. задачу 4.105), можем записать:
lim loga(*+g) = lim loga(i + xji/x = loga( lim + =
*"*0 x x-^0 x->0
= loga e. > 4.47. ® Сделать замену ax—4.48. • Сделать
замену (1 + x)a— 1 == у. Тогда a In (1 +%) — In (1 + у). Следовательно,
— ±. — . a. !Н1!+Д . 4.49. e1». 4.50. e10.
X X ln(l + £/) x
4.51. e~1/2. 4.52. e3. 4.53. 2. 4.54. 1.4.55. ina. 4.56. alna.
4.57. J-logae. 4.58. a— b. 4.63. +1, —1. 4.64. —oo, +oo.
4.65. + oo, 0. 4.66. 0, +oo. 4.67. n/2, — n/2. 4.68. 0, —1.
4.69. 2, —2, 4.70. — oo, — oo. 4.74. 3/2. 4.75. 2/3, 4.76. 1. 4.77. 3.
59
4.78.1.4.79.3.4.80.1/3.4.81. 1/2. 4.82.1/2.4.83.1/2.4.85.0,97.4.86.5,03.
4.87. 1,15. 4.88. 0,88^ 4.91. — In 10. 4.92. 3. 4.93. —2. 4.94. 2/3.
4.95. 8/9. 4.96. 3 / 2/2. 4.97. 3; 4.98. 1. 4.99. 1/2. 4.100. 2/3.
4.101. 2. 4.102. 1/6. 4.109. /1=3. 4.110. a = 2. 4Л11. Ь = ла/2.
4.112. xt — 0, x2 —1—точки разрыва второго рода. 4.113. х —5/3—
точка разрыва первого рода. 4.114. х = 0—точка устранимого раз-
рыва; /(0)=и. 4.115. х = 0—точка устранимого разрыва; / (0) = 1.
4.116. х = 0—точка устранимого разрыва; /(0) = 1. 4.117. Xj=2,
х2 = —2—точки разрыва второго рода. 4.118. х=0—точка разрыва
первого рода. 4.119. х=—2—точка разрыва первого рода. 4.120. х=2—
точка разрыва первого рода. 4.121. х = 0—точка устранимого раз-
рыва, /(0)=2; х=± 1—точки разрыва второго рода. 4.122.Xi — 0—
точка устранимого разрыва, /(0) =—1; х2 = 1—точка устранимого
разрыва, f (1) = 0; xs =—1 —точка разрыва второго рода. 4.123. х = 0 —
точка устранимого разрыва; /(0) = 1/2. 4.124. х = 1—точка разрыва
первого рода. 4.125. х— 1—точка разрыва первого рода. 4.126. х=2,5—
точка разрыва первого рода. 4.127. х = л/4—точка разрыва первого
рода. 4.133. (уе>Оу^о€£) 3^ > 0 (| х—х01 < 6 => | f (х)—f (х0) |<8»Л
Л(ае > 0 уб > 0 %х', х"(\ х'—х” | < 6 л | f (х')—f (х") | > е)).
4.136. Равномерно непрерывна. 4.137. Не является равномерно не-
прерывной. 4.138. Равномерно непрерывна. 4.139. Не является рав-
номерно непрерывной. 4.140. Равномерно непрерывна. 4.141. Не яв-
ляется равномерно непрерывной. 4.142. Не является равномерно
непрерывной.
к о
5.4. 9+7г. 5.5. —3 + 4/. 5.6. —4/. 5.7. —29+22/. 5.9. ~1.
5.10. I. 5.11. ^-i. 5.12. 4-++. 5.13. х = 2, у = 3. 5.14. х==+
О Л Л м
5.15. Zi==i, 22==f. 5.16. 2f==2 + /, 22 = 2— i, 5.17.cos^ +
. . . Зл _ п ( 5л . . . 5л V _ 2л , . . 2л
+ isin—. 5.18. 2 I cos ——И sin— . 5.19. cos-——|-1 sin -•
Л \ о О J О О
e l • 3л ₽ 6л . . , 6 л _
5.20. cos —p1 sin-j-. 5.21. cos-?—f-г sinОпределить угол ф,
л
удовлетворяющий условиям: ф£[0, 2л), со8ф = —cos — , sin ф =
• г* л . . л _ р. л / Л , , . л \
=siny. 5.22. cos -g-+* sin у . 5.23. 2 cos ( сод — -\-i sin — j 9
1 7 • 17 Q
5.30. a) —41, 6) 10-2/, ji. 5.32. ±-2i.
3
5.33. —+/. 5.35. Сдвиг на вектор a (—2, 0). 5.36. Сдвиг на вектор
а (3, —1). 5.37. Поворот на угол л/2 против часовой стрелки.
5.38. Поворот на угол л/4 по часовой стрелке. 5.39. Симметрия от-
носительно начала координат. 5.40. Гомотетия с центром в начале
координат и коэффициентом k — 2. 5.41. Поворот на угол л/4 против
часовой стрелки с последующей гомотетией с центром в начале коор-
динат и коэффициентом 1/^* 2. 5.42. Отражение относительно дейст-
вительной оси. 5.44. а) Сумма квадратов диагоналей параллелограмма
равна сумме квадратов его сторон, б) • Воспользоваться тождеством
60
a). 5.45. Полуплоскость x^O. 5.46. Полоса' О «С у 1-5.47. Полоса
\у\<2. 5.48. Внутренность круга радиуса 1 с центром в начале
координат. 5.49. Окружность х2+(#+1)2 = 4. 5.50. Кольцо между
окружностями ух: (х+2)2+#2 = 1 и у2: (х+-2)2 + г/2 = 4 (yt не при-
надлежит кольцу). 5.51. £> = {(х, у) | у2 > 1—2х}. 5.52. Прямая
3
2x+#+-g-=s0. 5.53. Сектор, ограниченный лучами/х = {(х, у)(у = О,
х^О} и 12 = {(х,- у) ] у = х, х^О} (луч /х не принадлежит сектору).
5.54., Сектор, ограниченный лучами /5 = {(х, yjly — x, х <,0} и
i arctg ~
12 = {(х, у)1у = —х, х<:0}. 5.55. Ось Ох. 5.57. 5е 1 .
i arc tg ( - i f arctg А + лА
5.58. 13г \ 6 Л 5.59. 5г V 3 Л
5.60. /5е i(n-arctg±). 5.61. В.62. 28^-2./"^
при sin А > 0, — 2 sin А е \ + 2/ при sin А < 0. 5.64. а) 24г 2 ,
. 7л _ z Л 1
4 ;б) 16е ‘ 4 ,2е 2 . 5.67.324.5.68.2.5.69.512(1—4 Уз). 5.70. —-j-.
3 4
5.72. а) (3cos ф+cos 3<р); б) ~ (3 sin ф—51’пЗф). 5.73. 4соэ3ф—
— 3 cos ф. 5.74. Зв1пф—4з1п3ф. 5.75. сов4ф—6 cos2 фвш2 ф+б1П4ф.
5.76. 4 sin ф cos3 ф—4 cos ф sin3 ф. 5.77. Корни 2-й степени из еди-
ницы: Zi=l, z2 =—1, корни 3-й степени из единицы: гг==1,
1 , Уз 1 Уз
z2 = — ——i , z3 =-------х—j корни 4-й степени из единицы:
£ Л £ £
1, z2 = 0 z3 = —1, z4 = -0 5.78. ±-^(1++5.79. ±Л_(1+0,
У 2 { я , 2л , \ , . .. ( л , 2л , \ , _ . _
± 2—(1—г). 5.80. cos I -~-+-q- k ) sin ( -£-+~q- k ,6=0,
5.81. ±-^(1 + (’Уз). 5.82. У 2(cos(^4-4^ + fein(^4-4*))>
k—0,1,2,3. 5.83» jZ 2^c°s^4’_I_^’ ^ = 0’
1,2,3,4.5.84. |/F('cosf4+4 . * = 0,1,
2, 3,4, 5. 5.85. г^/г^соз ((2^1)n4-f-sin^-^-)., fe=0, 1,2,3,4.
. Пф n+ 1
s.nTcoS-I-jp 589 sin^.5 90 _ .
Ф 2sinq) 5Шф
Slnf
1 т/'T
5.91. 5.92. —2 + O —3+0 5.93. 1+0 2—30 5.94. 1,
61
1 1/ 3 I 1/ 3
- j ± i- 5.95. -1, -L±i2L±. 5.96. 1, -3, —l±2i.
5.97. (-1 + /2) ± i V 2, (-1 — /2) ± i /2? 5.98. zf> 2-z3, «= ±3i’
5.99. +V~3i. 5.100. ±21; +V~5i. 5.101. +(l + i),
- з z—
+ yZT ('cos-^-isin-^ . 5.102. l(l+//3), -1,^(1 ±»'/з),
— f/ 3. 5.103. ±1, +£, + У~2 (1 + 0. 5.104. x = tg“~bn^, k = 0,
—1, где a = arctg a. • Положить a = tga, x~tg# и вос-
пользоваться тригонометрической формой комплексного числа-
5.105. (г—1)(г+1)(г2+1). 5.106. (z2—z/24-l)(z2H-z/2+l)-
5.107. (г2—z + 1) (z2H-z+l). 5.108. (z2+2z^-2) (z2+2z-|-6)-
5.109. (z—I) (z?4-z+l)2. 5.110. (z2—2zH-5) (z2 + 8z+20). 5.114.2—i.
5.115. —1. 5.116. 5.117. 5.118. 1. 5.119. o’
0 0 0
5.120. oo. 5.121. oo. 5.122. 5.123. ^(3 + 0. 5.124. 1 + fe,
5.125. - 5.126. e3 (cos 2+1 sin 2). 5.135. 0. 5.136. 0.
5.137. . 5.138. 0. 5.139. -J—
1 — Z 1 — Zi
Глава 2
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ
ГЕОМЕТРИЯ
§ 1. Векторная алгебра
1. Линейные операции над векторами. Вектором (геометричес-
ким вектором) а называется множество всех направленных отрезков,
имеющих одинаковую длину и направление. О всяком отрезке АВ из
©того множества говорят, что он представляет вектор а (получен
приложением вектора а к точке А). Длина отрезка АВ называется
длиной (модулем) вектора а и обозначается символом |а | = | АВ |.
Вектор нулевой длины называется нулевым вектором и обозначается
символом 0. »
Векторы а и Ъ называются равными (а — Ъ), если множества
представляющих их направленных отрезков совпадают.
В ряде задач часто бывает удобно не различать вектор и какой-
либо представляющий его направленный отрезок. Именно в этом
смысле, например, следует понимать вы-
ражение «построить вектор». __________ g
Пусть направленный отрезок АВ
представляет вектор а. Приложив к точ- #7 Z3*****^
ке В заданный вектор Ъ, получим неко- г
торый направленный отрезок ВС. Вектора
представляемый направленным отрезком рис
АС, называется суммой векторов а и b
и обозначается а-{-Ь (рис. 10).
Произведением вектора а на действительное число X называется
вектор, обозначаемый Ха, такой, что:
1) | Ла | = | Л |.| а |;
2) векторы а и на сонаправлены при X > 0 и противоположно
направлены при X < 0,
1.1. Доказать, что операция сложения векторов об-
ладает следующими свойствами:
а) я + 0 = а;
б) af + = а2 + (коммутативность)}
в) а1 + (а2 + «3) = (^ + а2) + аз (ассоциативность)}
г) Va3!6(a + & = 0)
(вектор b называется вектором, противоположным век-
тору а и обозначается символом —а);
63
д) Vai,a25!a3(a1 + a3 = a2)
(вектор а3 называется разностью векторов а2 и и
обозначается символом a2 — ai).
1.2. Доказать равенства:
а) —а = (—1)а; б) а2 — ai = a2 + (— af);
в) а = |а|а0, где а0 — орт вектора а, т. е. вектор
единичной длины, 'сонаправленный с вектором а (а 0).
1.3. В параллелепипеде ABCDA'B'C’D' векторы т,
п, р представлены ребрами АВ, AD, АА7 соответственно.
Построить векторы:
a) th + «+/>; б) 112т + г12п — р; в) ~т~п + 1/2р.
1.4. Даны векторы и а2. Построить векторы За^,
l“2zx2, ^/2Oj iZ2.
1.5. Доказать, что:
а) операция умножения вектора на число обладает
следующими свойствами:
0а = Х0 = 0, (Д12)а = ММ);
б) операции сложения векторов и умножения их на
числа связаны следующими двумя свойствами дистрибу-
тивности:
X(a]:4-a2) = X.fl!i4-Xa2 и + —М+М-
« _
1.6. Доказать равенства:
a) а+х/2 (.&-«) = */2 («+*); б)«-*/2 («+*)=Va(a—Ь).
Каков их геометрический смысл?
1.7. AD,BE и СТ7-—медианы треугольника АВС: До-
казать равенство AD BE + CF = 0.
1.8. В параллелограмме ABCD обозначены: АВ —а,
AD — b. Выразить через а и b векторы МА, МВ, МС
и MD, где М — Точка пересечения диагоналей паралле-
лограмма.
1.9. ABCDEF — правильный шестиугольник, причём
АВ—р, ~BC = q. Выразить через р и q векторы CD, ~DE,
EF, FA, AC, AD и АЁ.
1.10. M—точка пересечения деедиан треугольника
АВС, О —произвольная точка пространства. Доказать
равенство ОМ=1/3 (О А + О В ОС).
1.11. В пространстве заданы треугольники АВС и
А'В'С'-, М п М'— точки пересечения их медиан. Выра-
.зить вектор ММ' через векторы АА', ВВ' и СС.
64
1.12. Точки Е и F—-середины сторон [Л£>] и [ВС] че-
тырехугольника ABCD. Доказать, что EF^1^ (АВ 4- DC).
Вывести отсюда теорему о средней линии трапеции.
1.13. В трапеции ABCD отношение длины основания
[ЛР] к длине основания [ВС] равно X. Полагая АС^= а и
= выразить через а и b векторы АВ, ВС, CD и DA.
Система векторов а{, ...,ап называется линейно зависимой, если
существуют числа ...,Х„ такие, что хотя бы одно из них отлично
от нуля и + ...4-Л„аЛ2 = 0. В противном случае система называ-
ется линейно независимой.
1.14. Доказать ’следующие геометрические критерии
линейной зависимости:
а) система а2} линейно зависима в том и только
в том случае, когда векторы и а2 коллинеарны, т. е.
их направления совпадают или противоположны;
б) система а2, а3} линейно зависима в том и только
в том случае, когда векторы аг, а2 и а3 компланарны,
т. е. параллельны некоторой плоскости;
в) всякая система из'п^4 векторов линейно зависима.
1.15. На стороне [ЛР] параллелограмма ABCD отло-
жен вектор Л/С длины | Л^|^ г/ъ | ЛР |, а на диагонали
[ЛС] — вектор AL длины | AL | = х/61 АС |. Доказать, что
векторы KL и LB коллинеарны и найти % такое, что
KL==l-LB.
1.16. Доказать, что для любых заданных векторов а,
b и с векторы аА-Ь, ЬА~с и с~а компланарны.
1.17. Даны три некомпланарных вектора а, b и с.
Доказать, что векторы «4-26—с, За-ЬА-с, —аА~ЗЬ—Зс
компланарны.
1.18. Даны три некомпланарных вектора а, Ь и с.
Вычислить значения X, при которых векторы Ка А~Ь 4~£,
аА-М>А- с, аА-ЬА-^с компланарны.
1.19. Даны три некомпланарных вектора а, b и с.
Вычислить значения К ир, при которых векторы Ха4-Н^+Г
и а4~^6 + р£ коллинеарны.
2. Базис и координаты вектора. Упорядоченная тройка некомпла-
нарных векторов eti е2, е3называется базисом'в множестве всех геометри-
ческих векторов. Всякий геометрический вектор а может быть един-
ственным образом представлен в виде
а=4~-^й^2 4- (О
3 Под ред. А. В. Ефимова, Б. П, Демидовича 66
числа Xf, Х2, Х§ называются координатами вектора а в базисе
23 = (^f, ^2, ^з)* Запись (1) называют также разложением вектора а
по базису 23.
Аналогично упорядоченная пара е2 неколлинеарных векторов
называется базисом 23 = £2) в множестве геометрических векто-
ров, компланарных некоторой плоскости.
Наконец, всякий ненулевой вектор е образует базис 23 — (d) в
множестве всех геометрических векторов,' коллинеарных' некоторому
направлению.
Если вектор «.есть линейная комбинация векторов ап с
коэффициентами by, тв е,
а= 2^’
£=1
то каждая координата Х[(а) вектора а равна сумме произведений
коэффициентов Xf5 8.,ДЛ на одноименные координаты векторов
«1,
п
f=1,2,3.
/г=1
Базис 23 = (di, d2, #з) называется прямоугольным,- если векторы
eii е2 и попарно перпендикулярны и имеют единичную длину.
В этом случае приняты обозначения
^i = /, d2~J, e^ = k. (2)
Проекцией вектора а на вектор е называется число пр^ а = |a|cos ф,-
где ф = (а?е)—угол между векторами а и е (0=Сф«^л).
Координаты X, У, Z вектора а в прямоугольном базисе совпа-
дают с проекциями вектора а на-базисные орты Z, J, k соответствен-
но, а длина вектора а равна
1 а [ = + (3)
Числа
cos а= cos (a, i) —- -...... ,
J<X2+y2 + Z2J
-Z\ у
cos 6 — cos (a, f) — t. —.>,
/x3+^+z3’
cos 7 = cos (a, k) = — ===
/Х2+У3+22
называются направляющими косинусами вектора а,
1.20. Задан тетраэдр О АВС. В базисе из ребер О А,
О В и ОС найти координаты:
а) вектора DE, где D и Е — середины ребер О А и ВС;
б) вектора OF, где Г —точка пересечения медиан ос-
нования АВС.
66
1.21. В тетраэдре О АВС медиана [ЛЛ] грани АВС
делится точкой М в отношении | ЛМ|:| МА|-=3:7, Найти
координаты вектора ОМ в базисе из ребер ОЛ, ОВ, ОС,
1.22. Вне плоскости параллелограмма ABCD взята
точка О. В базисе из векторов ОЛ, ОВ и ОС найти ко-
ординаты:
а) вектора ОМ, где М — точка пересечения диагона-
лей параллелограмма;
б) вектора ОК, где К —середина стороны [ЛО].
1.23. В трапеции ABCD известно отношение длин ос-
нований: | АВ |/| CD | = X. Найти координаты вектора СВ
в базисе из векторов АВ и AD,
В дальнейшем, если не оговаривается противное, векторы пред-
ставлены своими координатами в некотором прямоугольном ба висе.
Запись а(Х, Y,Z) означает, что координаты вектора а равны X, Y
и Z, т. е. a = Xi+YJ+Zk.
1.24. Заданы векторы а,(—1,2,0), а2 (3, 1,1), а3.(2, 0, 1)
и a — ai — 2a2 + 1/3as. Вычислить:
а) | «11 и координаты орта ait 0 вектора
б) cos (а,,/);
в) координату X вектора а;
г) пр/а.
1.25. Заданы векторы е(—1, 1, х/2) и а(2,—2,—1).
Убедиться, что они коллинеарны и найти разложение
вектора а ио базису 93==(е).
1.26. На плоскости заданы векторы е,(—1,2), е2(2, 1)
и а(0,—2). Убедиться, что S3 = (е^, е2) —базис в мно-
жестве всех векторов на плоскости. Построить заданные
векторы и найти разложение вектора а по базису S3.
1.27. Задана тройка некомпланарных векторов ег( 1,0,0),
е2(1, 1,0) и е3.(1, 1,1). Вычислить координаты вектора
а = —21— k в базисе 93 = (е,, е2, е3) и написать соответ-
ствующее разложение по базису.
1.28. Заданы векторы а = 2/-|-3/, Ь = —3/—2k,
c — i+J—k. Найти:
а) координаты орта а0;
б) координаты вектора а—1/2b + c,
в) разложение вектора a + — 2с по базису 93=(Z,/, й);
г) пр/ (а—Ь).
1.29. Найти вектор х, коллинеарный вектору a=i—2J—
— 2k, образующий с ортом j острый угол и имеющий
длину | х |= 15,
3* 67
1.30. Найти вектор х, образующий со всеми тремя
базисными ортами равные острые углы, если | X | = 2/3.
1.31. Найти йектор х, образующий с ортом j угол 60°,
с ортом k—угол 120°, если |х| = 5/2.
1.32. При каких значениях аир векторы а — —21+3/4-
4- ak и & = 0Z—6J4-2A коллинеарны?
1.33* . Найти вектор х, направленный по биссектрисе
угла между векторами а —11 — 4/— 4 А и b = —21 —j+2k,
если |х | = 5/б.
1.34. Заданы векторы: а (1,5,3), Ь(6,— 4,— 2),
£(0,—5,7) и d(—20,27,—35). Требуется подобрать чис-
ла а, (J и у так, чтобы векторы аа, р&, ус и d образо-
вывали замкнутую ломаную линию, если «начало» каж-
дого последующего вектора совместить с «концом» пре-
дыдущего.
3. Декартовы прямоугольные координаты точки. Простейшие
задачи аналитической геометрии. Говорят, что. в трехмерном про-
странстве введена декартова прямоугольная система координатному,
если заданы:
1) некоторая точка О, называемая началом координат',
2) некоторый прямоугольный базис ® — (i,J, k) в множестве всех
геометрических векторов.
Оси Ох, Оу и Oz, проведенные через точку О в направлении
базисных Ъртов i, J и k, называются координатными осями системы
координат <0, ®> = Охуг.
Если Л4—произвольная точка пространства, то направленный
отрезок ОМ называется радиус-вектором точки М. Координатами
точки М в системе <0,23 > называются координаты ее радиус-век-
тора ОМ как геометрического вектора в базисе т. е.
х(М) = Х (ОМ), y(M) — Y(0M), z(M) — Z(0M),
Если Mi (xlt у{, Zi) и М2 (х2> #2, г2)-—две произвольные точки в
пространстве, то координаты вектора М±М2 равны
X=x2—Xi, Y^=y2—y1, Z = z2—Zi, (4)
Отсюда на основании (3) расстояние между точками выражается
формулой
р (Mf, М2) = | 44^2 I = К(х2—+ </1)2+(г2—г,)*.
При решении задач аналитической геометрии целесообразно мак-
симально использовать методы векторной алгебры.
Пример 1. Заданы вершины Л (1,0, — 1), В (2, 2,1) и точка
Е (—1,2, 1) пересечения медиан треугольника АВС, Найти коорди-
наты вершины С.
Так как координаты вершины А заданы, то для вычисления ко-
ординат вершины С достаточно найти координаты вектора ДС, Пусть
68
BF—медиана, проведенная из вершины В. Тогда
AC=2~AF = 2 (ВЛ + ВР) = 2 ^ЛВ+-|в£^ * (б)
(здесь использован тот факт, что точка Е делит медиану BF в отно-
шении 2:1). Далее, из условий задачи с помощью формулы (4) вы-
числяем координаты векторов АВ (1,2, 2) и BE (—3, 0, 0), откуда
на основании (5) получаем АС (—7,4,4) и, наконец, вновь используя
формулу (4), находим координаты точки С:
х (С) = X (А)4- X (АС) = —6;
г/(С) = г/(Д)+У(ЛС) = 4;
г(С) = г(Л)+2(ЛС) = 3. >-
Пусть на прямой I заданы точки Mlf М2 и Л4, причем М^М2,
Рассмотрим векторы М±М и 7ИЛ42. Так как они коллинеарны, та
найдется такое действительное число X, что М±М = Х-ММ2. Число X
.называется отношением, в котором точка М делит направленный
отрезок МХМ2, причем оно положительно, если точка М находится
внутри отрезка М}М2, отрицательно (и Х^—1), если М находится
вне Л41М2, и равно 0, если M~Mi.
Пример 2. Зная координаты точек и М2 (х2, у2, z2)
и отношение X, в котором точка М делит направленный отрезок
найти координаты точки М.
Пусть — О начало координат. Обозначим: — 0М^ = г2,
0М~г. Так как
МгМ = г-^г1, Л4М2 = г2—г,
то
г—Г1 = Х(г2—г),
откуда (так как Х^ —1)
Полученная формула и дает решение задачи' в векторной форме.
Переходя в этой формуле к координатам, получим
__%1 + Хх2 #1 + ^2 Z1-J-XZI2
х— j_|_% ’ у 14-х ’ 1+Х ’ 1 1
1.35. Точка М(1,—5,5) задана своими координатами
в декартовой прямоугольной системе координат <0,23=
~(l, f, k)>. Найти координаты этой точки в системе
<О', 23' = (/',/, k')>, если?
а) ОО' = - 2i+J—k и i' i, j" =j, k’ k',
6) O' = 0 и i' = —j, j' = k, k' = i,
B) 'oor=j и i'=-y=- a+j), f=a—j), k’^k
(предварительноубедиться, что S' — прямоугольный базис).
69
1.36. Даны три вершины Л(3,—4,7), В(—5, 3, — 2)
и С (1,2,—3) параллелограмма ABCD. Найти его четвер-
тую вершину £), противоположную В.
1.37. Даны две смежные вершины параллелограмма
Л(—2,6), В (2,8) и точка пересечения его диагоналей
Л4 (2,2). Найти две другие вершины.
1.38. На оси абсцисс найти точку М, расстояние ко-
торой от точки А (3, —3) равно 5.
1.39. На оси ординат найти точку М, равноудален-
ную от точек Л(1,—4^7) и В (5, 6,—5).
1.40. Даны вершины треугольника Л(3, —1,5),
В (4, 2, — 5) и С(—4,0,3). Найти длину медианы, прове-
денной из вершины А.
1.41. Отрезок с концами в точках Л(3,—2) и В (6, 4)
разделен на три равные части. Найти координаты точек
деления.
1.42. Определить координаты концов отрезка, который
- точками С(2, 0, 2) и В (5,—2,0) разделен на три равные
части.
1.43* . Заданы точки Л (1,2, 3), В (2,—2,1), С (3,0,3)
и D(16, 10, 18). В—точка пересечения плоскости ОАВ
(О —начало координат) с прямой, проведенной через точ-
ку D параллельно прямой (ОС). Найти координаты
точки В.
1.44* . Заданы точки Л (2, 5,2) и В (14,5,4); С—точка
пересечения координатной плоскости Оху с прямой, про-
веденной через точку В параллельно прямой (ОЛ). Найти
координаты точки С.
1.45. Даны вершины треугольника Л(1,—1,—3),
В (2, 1, —2) и С (—5, 2, —6). Вычислить длину биссектрисы
его внутреннего угла при вершине Л.
Найдем разложение вектора АЕ по базису из векторов АВ и АС.
Пусть ej~AB/\ АВ | и е2 = АС/I ЛС|—орты векторов АВ и АС.
Тогда вектор АЕ сонаправлен с вектором e~ei~j-e2 (ср. с зада-
чей 1.33), та э, существует число X > 0 такое,- что
С другой стороны,-
Л£ = ЛС+ СЕ = 4С+ рСВ = АС+ р (ЛВ—АС) =
, =рЛВ-4~(1— р) АС, р>0. (8)
70
Формулы (7) и (8) представляют собой два разложения вектора АЕ
по базису из векторов АВ и АС. В силу единственности разложения
вектора по базису имеем
Решая систему (9), находим
_ 1 _______ _ |лв|»|7с|
1/|ЛС|+1/|ЛВ| I АВ 1+1 ЛС| ’
так что формула (7) принимает вид
= „1лск Л+ лс.
ЛВ|+|ЛС| |ЛВ|+|ЛС|
(10)
Из условий задачи находим:
ЛВ(1, 2, 1) и |ЛВ |=Кб, ЛС(—6, 3, —3) и |ЛС| = 3/б,
и на основании (10) получаем
Л£=4-ЛВ+4-ЛС,
4 1 4
откуда
__ о ____
и |ЛЕ|=т/10. >
1.46. Треугольник задан координатами своих вершин
Л(3, —2, 1), В(3, 1, 5), С(4, 0,3). Вычислить расстоя-
ние' от начала координат до точки пересечения медиан
этого треугольника.
1.47. Даны вершины- треугольника Л (1, 0, 2), В(1,
2, 2) и С (5, 4, 6). Точка L делит отрезок АС в отноше-
нии 'к = 1/3, [67?]-—медиана, проведенная из вершины С.
Найти координаты точки М пересечения прямых (BL)
и (С£).
4. Скалярное произведение векторов. Скалярным произведением
ненулевых векторов и а2 называется число
(«1, а2) = | Oi 11 а21 cos (аь а2).
Для скалярного произведения наряду с обозначением (а1} а2) исполь-
зуется также обозначение а^а2.
Геометрические свойства скалярного произведения:
1) ai I а2 cl±cl2 = 0 (условие перпендикулярности векторов)}
2) если <р = («1, а2), то 0«с ф < л/2 aifl2 > 0 и л/2 < ф эт
< 0,
71
Алгебраические свойства скалярного произведения:
1) aia2 = «2«i;
2) (Хв!) а2=а^(а1а2);
3) a(&i+b2) =3==a^i+«&2-
Если векторы а± (Хх, Yi, Zv) и а2 (Х2, К2,.Z2) представлены сво-
ими координатами в прямоугольном базисе, то скалярное произведе-
ние равно
#1#2 == AjX2 + К1К2 4“ ZjZ2.
Из этой формулы, в частности, следует формула для определения
косинуса угла между векторами
cos (/Ог) = —,
IЛ111 Ла I Yxl+Yl+zl Vxt+Yl+^
1.48. Доказать алгебраические свойства скалярного
произведения.
1.49. | а± | = 3, |а2| — 4, а2) = 2л/3. Вычислить:
a) at = б) (3ai —2a2) (ai + 2a2);
в) (aj + a2)2.
1.50. |ai| = 3, | а21 = 5. Определить, при каком зна-
чении а векторы at+aa2 и а*—сш2 будут перпендику-
лярны.
1.51. Найти угол, образованный единичными векто-
рами е± и е2, если известно, что векторы а = е^+2еа
и Ь^3е1 — 4е2 перпендикулярны.
1.52. Найти угол а при вершине равнобедренного тре-
угольника, зная, что медианы, проведенные из концов
основания этого треугольника, взаимно перпендикулярны.
1.53. К вершине куба приложены три силы, равные
по величине 1, 2, 3 и направленные по диагоналям гра-
ней куба, проходящим через эту вершину. Найти вели-
чину равнодействующей этих трех сил.
1.54. Задан прямоугольник ABCD и вне его произ-
вольная точка М, Доказать равенство МА<МС = MB-MD.
Вывести отсюда, что | МА |2 + | МС |^ = | MB |2 +1 A4D|2*
1.55j _j4BCDравнобочная трапеция, АВ = а — осно-
вание, AD — b — боковая сторона, угол между АВ и AD
равен эт/З. Выразить через а и b векторы DC, СВ, ~АС
и DB.
1.56. Зная, что |а| = 3, |6|==1,|^[ = 4иа + 6 + г = 0,
вычислить ab + bc +
72
1.57. Даны векторы #1(4, —2, —4) и а2(6, —3, 2).
Вычислить:
а) ага2\ б) (2at — За2)(ах + 2а2); в) (а^а^\
г) |2«г —«2|; д) npaia2; е) пра,ах;
ж) направляющие косинусы вектора ах;
з) прах+ЛДах —2а2);и)соз(ах, а2).
1.58. Даны точки А (2, 2) и В (5, —2). На оси абсцисс
найти такую точку Л4, чтобы АМВ = я/2.
1.59. Найти"* длины сторон и величины углов треуголь-
ника с вершинами Д(—1, —2, 4), В(—4, —2, 0) и С(3,
-2, 1).
1.60. Доказать, что четырехугольник с вершинами
Д(—3, 5, 6), В (1,-5, 7), С (8, —3, —1) и 0(4, 7,-2) —
квадрат.
1.61. Найти косинус угла <р между диагоналями (АС)
и (BD) параллелограмма, если заданы три его вершины
А (2, 1, 3), В (5, 2, —1) и С(~3, 3, —3).
1.62. Вычислить работу силы F = i + 2J+k при пере-
мещении материальной точки из положения Д(—1, 2,0)
в положение В (2, 1, 3).
1.63. Даны векторы а(1, 1) и 6(1, —1). Найти коси-
нус угла между векторами х и у, удовлетворяющими
системе уравнений 2х A-у = х + 2у = 6.
1.64. Векторы а, Ь и с имеют равные длины и обра-
зуют попарно равные углы. Найти координаты вектора cf
если a = iA~j> b=jA~k.
Если c — XiA-YjA-Zk> то из условия задачи следует, что вектор с
удовлетворяет системе уравнений
са =Л+У = а& = 1;
eb = YA-Z = ab^l;
|с[2 = Х2 + У2 + г? = |а|2 = |Ь|2 = 2,
Решая эту систему, находим Хх = —Vs» = Zf = —х/з или
X2==l, У2 = 0, Z2 = l. >
1.65. Лучи [ОЛ), [ОВ) и [ОС) образуют попарно равные
углы величины л/3. Найти угол между биссектрисами
углов / АОВ и / ВОС.
1.66. Найти координаты ‘ вектора х, коллинеарного
вектору а (2, 1, —1) и удовлетворяющего условию ах = 3.
1.67. Вектор х перпендикулярен векторам а1(2, 3, —1)
и а2 (1—2,3) и удовлетворяет условию х (2i—J+k) =; —6.
Найти координаты х.
73
Если задан некоторый вектор е, то ортогональной составляющей
произвольного вектора а вдоль вектора е называется такой вектор ае,
который коллинеарен е, причем разность а—ае перпендикулярна
вектору е.
Аналогично ортогональной составляющей вектора а в плоскости Р
называется вектор ар, компланарный плоскости Р, причем разность
а — ар перпендикулярна этой плоскости.
1.68. Для вектора а(—1, 2, 1) найти ортогональную
составляющую вдоль базисного орта j и ортогональную
составляющую в плоскости векторов i и k.
1.69. Заданы векторы е(1, 1, 1) и а(—1, 2, 1). Найти:
а) ортогональную составляющую вектора а вдоль век-
тора е;
б) ортогональную составляющую вектора а в плоско-
сти Р, перпендикулярной вектору е. •
1.70. Заданы вершины треугольника Д(—1, —2, 4),
В(—4, —1, 2) и С(—5, 6, —4); [BD] —его высота, про-
веденная через вершину В. Найти координаты точки D.
1.71* . Заданы векторы ^(1, —2, 0), е2(1, 1, 1)
и а(—2., 0, 1). Найти ортогональную составляющую аеи е2
вектора а в плоскости векторов ег и е2.
Если базис 55 = (ely е2, е3) — прямоугольный, то координаты
произвольного вектора а = Хгег Ч~Х2^2 + Xse3 в этом базисе могут
быть вычислены по формуле
Xi^aep i = 1, 2, 3. (11)
В частности, формула (11) позволя-
ет легко найти связь между координата-
ми одного и того же вектора в различ-
ных прямоугольных базисах.
Пример 3. Пусть базис 53' = (Г >J')
получен из базиса 53 = поворотом
последнего вокруг точки О на угол ф
(ф > О', если поворот произведен против
в противном случае) (рис. 11). Установить
связь между координатами вектора а в базисах 53 и 53'4
Пусть a = Xi-]-YJ. Тогда
Y'=aj'--=Xij' + Yjj\
(12)
С другой стороны, имеем;
ii' — cos ф, Ji' — cos ( —^-+ Ф 1 = — sin ф,
ij' == cos ( y+ Ф j — sin Ф> JJ' ™cos Ф*
74
Поэтому формулы преобразования координат (12) принимают вид
X' = Х cos ф—Y sin ф,
Y' sin ф + F cos ф.
1.72. Вывести фор мулы преобразования координат точек
плоскости при переходе от системы координат <0, Э3=(/,У)>
к системе <0', S3' = (i',/)>, если 00' =*xQi+y0J, а базис 2У
получен из 'базиса S3 поворотом на угол ср вокруг точки О.
1.73. Написать формулы преобразования координат
векторов при переходе от базиса §3 = (Z, k) к базису
ЭЗ' = (Z', /, ft'), если
V = cos ср • I + sin ср j, j' = — sin ср • i + cos ср •/, k' =* — ft.
1.74. В прямоугольном базисе 83 = (/, J, k) вектор а
имеет разложение — 2i+J — k. Убедиться, что тройка
векторов
s, . 1 , 1 - 1 , , 1
“*/~2 У"2 ’ ]/~2 У'~2 &
также образует прямоугольный базис Э3' = (£', у', #'),
и найти в этом базисе координаты вектора а.
1.75. Задана некомпланарная тройка векторов ^(1,
—2, 0), #2.(0, 1, 1) и е3(1, 2, 2), образующая косоуголь-
ный базис (проверить!). Векторы и а2 имеют в этом
базисе разложения а^Х^е^Х^е^Х^е^ и«2==Х12)е1+
+ Х^^ + Х^вз. Выразить скалярное произведение ага2
через координаты векторов в заданном базисе.
5. Векторное произведение векторов. Упорядоченная тройка
некомпланарных векторов е1У е2, е3 называется правой, если наблю-
дателю, находящемуся внутри телесного угла, образованного этими
векторами, кратчайшие повороты от к е2 и от е2 к^'3 кажутся
происходящими против часовой стрелки. В противном случае тройка
(в1, е2, е3) называется левой.
Векторным произведением вектора на вектор а2 называется
вектор, обозначаемый символом [«х, а2] (или aiXa2), определяемый
следующими тремя условиями:
1) длина вектора [ах> а2] равна площади параллелограмма, по-
строенного на векторах а± й а2, т. е. | [ах, а2\ ] ==] а± ]-| а21 sin (а±, а2)\
2) вектор [«1, а2] перпендикулярен плоскости векторов и а2;
3) упорядоченная тройка а2, [ai, а2] правая.
Из определения векторного произведения следует, что
«1II Яг ФФ [«!> ®а] — 0.
• • *
75
i j k
Xi Yt Zt .
X2 Ys Z2
(13)
и (ах, а2) — 2л/3. Вычислить:
Алгебраические свойства векторного произведения:
1) [«!> а2]=—[а2, ai];
2) [Ха1} a2]=k[ai, а2];
3) [Л1+«2, Ь] = [О1, b] + [d2, Ь].
Если at Zi) и а$ (Х2, Y2t Z2)—векторы, заданные своими
координатами в правом прямоугольном базисе, то разложение вектор-
ного произведения [at, a2] в том же базисе имеет вид
[«i, а2} ^(Y^-Z^) Z+ (^X^X^j-Y (Х^-У^Х*) k,
или, в символической записи (с использованием понятия определителя
3-го порядка; см. § 1 гл. 3)
[ai, а2] =
1.76. 1^1=1, |а2| = 2
a) |[»i, «2]|; б) \[2ai + a2, at+2a2]|;
в) | [ai + 3a2> Заг —a2]|.
1.77. Какому условий) должны удовлетворять векторы а<
и а2, чтобы векторы Of-4-я2 и а*а2 были коллинеарны?
1.78. Упростить выражения:
а) + — [У> / + /?] +[Л, /+/+Л],
б) [a + b + с, с] + [я + &4-г, &] + [&-— г, а],
в) [2а + Ь, с~#] + [& + £, #+^],
г) 2/[J, Й] + ЗД/, k] + 4k[i, у].
1.79. Доказать, что [а —&, а + Ь'\ = 2[а, &] и выяснить
геометрический смысл этого тождества.
1.80. |а| = |&| = 5, (а, Ь) — я/4. Вычислить площадь
треугольника, построенного на векторах a — 2&иЗа + 2&.
1.81. Векторы а, b и с связаны условием а + +
Доказать, что [а, &] = [&, = а]. Каков геометриче-
ский смысл этого результата?
1.82. с Доказать, что при любых векторах a, р, q и г
векторы [а, р], [a, q} и [а, г] компланарны.
1.83. | а | = 2, |&| = 5, (а, &) = л/6. Выразить через
векторы а и b единичный вектор f0, перпендикулярный
- векторам а и & и такой, что:
а) тройка (а, Ь, с0) правая;
б) тройка (й, г0, а) левая.
1.84. Заданы векторы аДЗ, —1, 2) и а2(1, 2, —1).
Найти координаты векторов:
а) [«1, a2j; б) [2а± + а2, а2]; в) [2at — а2, 2а1 + а2].
.76
1.83. Вычислить площадь треугольника е вершинами
А (1, 1, 1), В (2, 3, 4) и С (4, 3, 2).
1.86. В треугольнике с вершинами 4(1, —1, 2), В (б,
—6, 2) и С(1, 3, —1) найти высоту Zi = |BD|.
1.87. Три ненулевых вектора а, b и с связаны соот-
ношениями а = [6, г], 6==[с, а], с = [а, ft]. Найти длины
этих векторов и углы между ними.
1.88. Сила F = 2i — 4/4-5Л приложена к точке Л (4,
—2, 3). Определить момент этой силы относительно точки
0(3, 2, —1).
1.89. Даны три силы: Ft(2, —1, —3), F2(3, 2, —1)
и F3(—4, 1, 3), приложенные к точке А (—1, 4, 2). Опре-
делить величину и направляющие косинусы момента равно-
действующей этих сил относительно точки 0(2, 3, —1).
1.90. Вычислить площадь параллелограмма, диагона-
лями которого служат векторы 2в1 —и 4е1—-5е2, где
и е2—-единичные векторы и (ei9 е2) = л/4.
1.91. Найти координаты вектора .г, если известно, что
он перпендикулярен векторам а^(4, —2, —3) и а2(0, 1, 3),
образует с ортом / тупой угол и | х | =* 26.
1.92. Найти координаты вектора х, если он перпен-
дикулярен векторам ах(2, —3, 1) и а2(1, —2, 3), а также
удовлетворяет условию х(/ + 2/—7ft)= 10.
1.93. При каких условиях уравнение а2 = [ап х] имеет
решение относительно х? Сколько существует- решений?
1.94. Найти составляющую вектора а(—1, 2, 0), пер-
пендикулярную плоскости векторов ех(1, 0, 1) и е2(1,
1, 1).
1.95. Как изменится выражение (13), если координаты
векторов задать в левом прямоугольном базисе? Будет ли
верна эта формула в случае косоугольного базиса?
1.96* . Вектор [л, [ft, г]] называется двойным вектор-
ным произведением заданных векторов. Доказать, что
справедливо равенство
[a, [ft, r]] = ft(a, г) —г (а, 6).
6. Смешанное произведение векторов. Смешанным произведением
упорядоченной тройки векторов а±, а2, а3 называется число [ах, а2] а3.
Геометрические свойства смешанного произведения:
1) если V—объем параллелепипеда, построенного на векторах ai,
а2 и а3, то
_[ V, если тР°йка (Of, «а, а3) правая,
[Л1, «21^8 — ^ —V, если тройка (а$, аа, а3) левая;
77
У
2) для того чтобы три вектора. а2, были компланарны,-
необходимо и достаточно выполнения условия [aj, а2]а3 = 0.
Основное алгебраическое свойство смешанного произведения со-
стоит в том, что циклическая перестановка векторов не меняет его
величины, т. е.
[»1, а2] «3=[а2, а3]а1 = [аз, «1]
Это свойство позволяет ввести обозначение [ai, а2\ а3 = а1а2а3 (ре-
зультат не зависит от того, как расставить квадратные скобки в пра-
вой части). Смешанное произведение через координаты векторов в пра-
вом прямоугольном базисе записывается в виде
<21^2^3 —
*1 Z1
^2 ^2 Z2.
х3 Ys Z3
1.97. Векторы alf а3 образуют правую тройку,
взаимно перпендикулярны и |а1| = 4, |а2| = 2', |а3| = 3.
Вычислить ага2а3.
1.98. Заданы векторы’^(1, —1, 3), а2(—2, 2, 1)
и а3(3, —2, 5). Вычислить aya2as. Какова ориентация
троек:
a) (ах, а2, а3)\ б) (а2, а1У а3)\- в) (ах, а3, а2)?
1.99. Установить, образуют ли векторы ах, а2 и а3
базис в множестве всех векторов, если:
а) ах(2, 3, г-1), а2(1, —1, 3), а3 (1, 9, —11);
б) ах(3, —2, 1), л2(2, 1, 2), а3(3, —Г, —2).
1.100. Доказать, что | а±а2а31< | аг 11 а211 а3|; в каком
случае имеет место знак равенства?
1.10Г. Доказать, что при любых а, b и с векторы
а — Ь, Ъ — с и с —а компланарны. Каков геометрический
смысл этого факта?
1.102. Доказать тождество
(а + с) (а —2& + 2г) (4а + Ь + 5г) = 0.
1.103. Доказать, что если а [а, &].+ ₽ [й, г] + у [г, а] = 0,
причем хотя бы одно из чисел а, (3 и у отлично от нуля,
то векторы а, b и с компланарны.
1.104. Вычислить объем тетраэдра О АВС, если О А =
= 3Z + 4/; ОВ^~ Зу + й, OC=2J+5fe.
1.105. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках
А (2, —3, 5), 5(0, 2, 1), С (—2, —2, 3) и 5(3, 2, 4).
1.106. В тетраэдре с вершинами в точках А(.1, 1,; 1),
5 (2, 0, 2), С (2, 2, 2) и 5(3, 4, —3) вычислить высоту
й = |5£|..
78
1.107. Доказать, что четыре точки Л (1, 2, —1), В(0,
1, 5), С {—1,-2, 1) и Z)(2, 1, 3) лежат в одной плоскости.
1.108, Показать, что объем параллелепипеда, постро-
енного на диагоналях граней данного параллелепипеда,
равен удвоенному объему данного параллелепипеда.
1.109. Доказать тождества:
а) (а + г) &(« + &) = — abc\
б) (a — b)(a — b~c)(a + 2b-~c)==3abcft
в) (a + b)(b + c)(c + a) = 2abci
г) Va, fi(ab(c + aa+fib)==abc).
§ 2. Линейные геометрические объекты
1. Прямая на плоскости. Прямая на плоскости в декартовой
прямоугольной системе координат Оху может быть задана уравнением
одного из следующих видов:
1) Лх+Вг/+С==О—общее уравнение прямой;
2) А (х—х^-\-В (у—£/0) = 0—уравнение прямой, проходящей через
точку Мо (х0, у0) перпендикулярно нормальному вектору л (Л, В);
х—х0 у—у0
3) ——m —уравнение прямой, проходящей через точку
Мо (х0, у о) параллельно направляющему вектору q£l, т) (каноническое
уравнение прямой);
f % - УС __ I
4) < “* °; * / £• (— оо, оо),—параметрические уравнения
( У — Уй~1~т1,
прямой, которые в векторной форме имеют вид
r=rl)+qti
где г0(х0, у о)—радиус-вектор точки Мо (х0, у0), q(l, т) — наира-
вляющий вектор прямой;
5) “4""у==^—уравнение прямой в отрезках, где а и b—вели-
чины направленных отрезков, отсекаемых прямой на координатных
осях Ох и Оу соответственно;
6) х cos а + у cos р — р = 0—нормальное уравнение прямой, где
cos а и cos Р—направляющие косинусы нормального вектора л, направ-
ленного из начала координат в сторону прямой, а р > 0 — расстояние
от начала координат до прямой.
Общее уравнение 1) приводится к нормальному виду 6) путем
умножения на нормирующий множитель
_ _ sgn С
уД2+В2 •
Если прямая L задана уравнением вида 6), а М (х, у) —-некоторая
точка плоскости то выражение
б (Л1, L)—x cos <х-\-у cos р—р
называется отклонением точки М от прямой L. Знак L) ука-
зывает на взаимное расположение точки М, прямой L и начала коор-
динат, а именно: если точка М и начало координат лежат по разные
стороны от прямой L, то 6(Л4, L) > 0, а если М и начало координат
находятся по одну сторону от прямой L, то 6 (/И, L) < 0. Расстояние
р(М, L) от точки М до прямой L определяется равенством р (М, L)~
= |6(7Vf, L)\.
Пример 1. Написать уравнение прямой 1', параллельной двум
заданным прямым Lf. х-[~2у—1—0, Л2: x-j-2t/4-2 = 0 и проходящей
посередине между ними.
1-й метод. Так как вектор л(1, 2), нормальный к заданным пря-
мым и L2, является в то же время нормальным и к прямой L',
То достаточно найти какую-нибудь точку /И', лежащую посередине
между Li и L2. Из уравнений для L± и Л2 находим любые две точки
С bf и /И2 £ L2, например такие: Mj (1, 0) и М2 (—2, 0). Тогда
точка М' (— 1/2, 0), делящая отрезок МгМ2 пополам, лежит посере-
дине между Li и Т2. Поэтому уравнение прямой L' имеет вид
L". x+2j/+y = 0,
2-й метод. Произвольная точка М принадлежит L' в том и только
в том случае, когда р(М, L±) — p(M, L2), т. е.
]6(M, jLx) | = ] 6 (Л4, L2)|.
(1)
Для того чтобы снять модули в этом соотношении, установим поло-
жение начала координат относительно заданных прямых Lj и L2.
Нормальные уравнения этих прямых таковы:
Так как нормали % и п2 из точки О в сторону L± и L2 противопо-
ложно направлены, то точка О находится в полосе между Li и L2.
Поэтому соотношение (1) принимает вид 6 (/И, Л1) = 6'(Л4, Л2), или
1.2 1 1 2 2
Кб Кб К 5 Кб Кб Кб
т, е, х+2//+у<=0. >
В задачах 2.1—2.3 требуется:
1) написать уравнение прямой, привести его к общему
виду и построить прямую;
2) привести общее уравнение к нормальному виду
и указать расстояние от начала координат до прямой.
2.1. Прямая L задана точкой Л40(х0, г/0)£Л и нормаль-
ным вектором п(А, В):
я) Мс(—1, 2), я (2, 2); б) Л4О(2, 1), я (2, 0);
в) M0(I, I), я (2, -1).
80
2.2. Прямая L задана точкой Мо (х09 у^) % L и направ-
ляющим вектором q'(l9 т):
а) 7И0 (—1, 2), </(3, -1); б) Мо (1, 1), tf(0, -1);
в) <(—1, 1), q(29 0).
2.3. Прямая L задана двумя своими точками М± (х1э yt)
и М2(х29 у2):
a) All(1, 2), М2 (-1, 0); б) ^(1, 1), М2(1, -2);
в) Adj (2, 2), ТИ2(0, 2).
2.4. Заданы прямая L и точка М, Требуется:
1) вычислить расстояние p(M,L) от точки М до пря-
мой L;
2) написать уравнение прямой L', проходящей через
точку М перпендикулярно заданной прямой L;
3) написать уравнение прямой L”, проходящей через
точку М параллельно заданной прямой L.
Исходные данные:
a) L: — 2x4-1/— 1 =0, М(— 1, 2);
б) L: 2у+ 1 - 0, М (1, 0);
в) L: х + у+1^09 Л4(0, 1).
Пусть заданы две прямые L[ и L2. Возможны два случая их вза-
имного расположения:
1) Lf и L2 — параллельные прямые, в частности они совпадают;
2) и L2 пересекаются.
В задачах 2.5—2.9 исследовать взаимное расположение
заданных прямых и L2. При этом в случае 1) найти
расстояние р (Lp £2) между прямыми, а в случае 2) —ко-
синус угла (Li, L2) и точку Л40 пересечения прямых.
2.5. Lp — 2х + у — 1 = 0, L2: 2r/+ 1 = 0,
9ft Т • х 1_ V I ’ % У
Гр _2 - 1 , г2. —-*0“ ,
2.7. Ц: х + у — 1=0, I2: 2х — 2г/-}- 1 = 0,
2.8. Lr. х + у-1=0, L#:2. = ^L,
2.9. Li. х + 2у+1 = 0, L2: 2х — 4у — 2 = 0.
2.10. Треугольник АВС задан координатами своих вер-
шин. Требуется:
1) написать уравнение стороны (ЛВ);
2) написать уравнение высоты (CD) и вычислить ее
длину h = | CD |;
3) найти угол ф между высотой (CD) и мед ианой (ВМ)1
$1
4) написать уравнения биссектрис и L2 внутреннего
и внешнего углов при вершине А.
Исходные данные:
а) А(1, 2), В (2, —2), С(6, 1);
б) А (2, —2), В (6, 1), С (—2, 0).
2.11» Показать, что точка М (—1, 2) принадлежит
прямой L: х = 2/, у =—1—6/. Найти соответствующее
этой точке значение параметра /.
2.12» Вычислить расстояние от точки М (1, 1) до пря-
мой L: х =—1+2/, # = 2 + /.
Если прямая задана общим уравнением Лх+ Ву-}-С — 0 и при
этом В 0 (т, е. прямая не параллельна оси О#), то эта прямая может
быть описана уравнением с угловым коэффициентом видя y — kx-^-b.
Пример 2. Написать уравнение прямой Z/, проходящей через
точку М(2, 1) под углом л/4 к прямой L: 2х-)-Зу-}-4 = 0,
4$ Углом между прямыми L и L' называется наименьший из двух
смежных углов, образованных этими прямыми. Поэтому (см. задачу 2.13)
tg (Рь"Ьг) =
где k—угловой коэффициент прямой L'. Из этого уравнения находим
^==1/5, &2 =—5. Следовательно, задача имеет два решения. Исполь-
зуя координаты точки М, мы можем записать для каждого случая
уравнение с угловым коэффициентом:
1 3
t/ = —5х+11,-
или в общем виде
х—5#+3 —0, Зх-\-у—11=0.
2.13. Доказать, что если прямые и Ь2 заданы урав-
нениями с угловым коэффициентом, то
^2)= J 1 + /U21 ’
2.14» Из точки М (5, 4) выходит луч света под углом
ф = arctg 2 к оси Ох и отражается от нее. Написать урав-
нения падающего и отраженного лучей.
2.15. Составить уравнение прямой, которая проходит
через точку 7W (8, 6) и отсекает от координатного угла
треугольник с площадью, равной 12.
2.16. Написать уравнение прямой, параллельной двум
заданным прямым и и проходящей посередине между
82 '
ними, если:
a) Lx: 3x-2z/-l=0, =
Z о
, 1 ' , 1
^+-9- #+-9-
б) Lp. Зх —15у—1=0, L2:
О 1
2.17. Написать уравнение прямой, проходящей через
точку М (2, 1) под углом л/4 к прямой L: х=1 + /, у =*
= -2-2/3Л
2.18. Написать уравнения сторон треугольника АВС,
если задана его вершина 4(1, 3) и уравнения двух ме-
диан х— 2у+1—0 и у—1=0.
2.19* » Доказать, что прямая 2% + # + 3 = 0 пересекает
отрезок [Л^Ау, где Л1х (—5, 1) и М2(3, 7).
. 2.20. Написать уравнение прямой, проходящей через
точку Д40 (—2, 3) на одинаковых расстояниях от точек
М^Ь, —1) и /И2(3, 7).
2.21. Установить, лежат ли точка Л40(1,—2) й начало
координат в одном угле, в смежных или в вертикальных
углах, образованных пересекающимися прямыми и Л2,
если:
a) Lf. 2х — у —-5 = 0, L2: Зх + #+Ю = 0;
б) х — 2у — 1=0, L2: Зх —у —2 = 0.
2.22. Установить, какой из углов —острый или ту пой,—
образованных прямыми Зх— 5у— 4 = 0 и х + 2у-|-3 = 0,
содержит точку М (2, —5).
2.237 Написать уравнения сторон треугольника, зная
одну его вершину В (2, 6), а также уравнения высоты
х — 7z/ + 15 = 0 й биссектрисы 7х + у + 5 = 0, проведенных
из одной вершины.
2.24. Написать уравнения сторон треугольника, зная
одну его вершину В (2, —7), а также уравнения высоты
Зх + у + 11 = 0 и медианы x + 2z/ + 7 = 0, проведенных из
различных вершин.
2.25. Написать уравнения сторон треугольника, зная
одну его вершину 4(3, —1), а также уравнения биссек-
трисы х —4z/ + 10=0 и медианы 6х+10z/ —59 = 0, прове-
денных из различных вершин.
2. Плоскость и прямая в пространстве. Плоскость Р в декарто-
вой прямоугольной системе координат Oxyz может быть задана урав-
нением одного из следующих видов:
1) + By-^-Cz-j-D — Q — общее уравнение плоскости;
83
2) A (x — x0) + В (у—уо)+C (z — Zq)—Q—уравнение плоскости,
проходящей через точку /Й0(х0, Уо, zQ) перпендикулярно нормальному
вектору п(А, В, С);
х . у , г . ,
3) у4*3““1“"7== 1—уравнение плоскости в отрезках, где а, Ъ, с—
величины направленных отрезков, отсекаемых плоскостью на коор-
динатных осях Ох, Оу, Ог соответственно;
4) х cos a + ^cosf + z cos у—р = 0—нормальное уравнение пло-
скости, где cos a, cos р, cosy—направляющие косинусы нормального •
вектора п, направленного из начала координат в сторону плоскости,
а р > 0—расстояние от начала координат до плоскости.
Общее уравнение 1) приводится к нормальному виду 4) путем
умножения на нормирующий множитель
............
у Л2+ В2_|_С2
Если плоскость Р задана нормальным уравнением вида 4), а М (х,
у, г)—некоторая точка пространства, то выражение
6(Л1, P) = xcos a+r/cos p4-zcos у—р
называется отклонением точки М от плоскости Р, Знак 6(7И, Р) ука-
зывает на взаимное расположение точки М, плоскости Р и начала
координат, а именно: если точка М и начало координат лежат по
разные стороны от плоскости Р, то 6 (М, Р) > 0, а если М и начало
координат находятся по одну сторону от плоскости, Р, то б (М, Р) < 0.
Расстояние р (М, Р) от точки М до плоскости Р определяется
равенством р(Л4, Р) = | 6 (М, Р)|.
Прямая L в пространстве может быть задана:
1) общими уравнениями
( Дхх4~ — 0,
( A2x-j- В2у-\~ C2z-\-D2 — 0,
где коэффициенты Af, В^, не пропорциональны коэффициентам
А9, В2, С2, что равносильно ее заданию как линии пересечения пло-
скостей.
2) параметрическими уравнениями
( X :== Xq-j-It,
1 l/ = yo + mtf
V z = z0~{-nt,
или в векторной форме
= +
где Го(хо, Уо, ?о)— радиус-вектор некоторой точки, принадлежащей
прямой, a q(l, т, п) — направляющий вектор прямой;
3) каноническими уравнениями
x—XQ^y~yQ_z-—z()
I т п ’
что равносильно описанию прямой как линии пересечения трех пло-
скостей, проектирующих эту прямую на координатные плоскости*
Пример 3. Написать уравнение плоскости Р, проходящей через
точки Afj. (1, 1, 1) и ТИ2 (О, 2, 1) параллельно вектору- а (2, О, 1).
Задача- имеет единственное решение, так как векторы М±М2(—Ъ
1, 0) и а (2, 0, 1) неколлинеарны. В качестве нормального вектора
к плоскости может быть взят вектор
_____ i Jk
а] = — 1 10 = 2kt
2 0 1
Уравнение плоскости имеет вид (х——1)—2(z—1) = 0, или
х-{-у—2z = 0. Так как в последнем уравнении отсутствует свободный
член, то плоскость проходит через начало, координат.
Другой способ. Точка М (х, у, z) принадлежит искомой плоско-
сти Р в том и только в том случае, когда векторы М^М, М±М2 и а
компланарны. Следовательно,
М1М*М1М2^а~ — 1
2
х—1 у—1 г— 1
= 0,
1 0
0 1
т. е. х-^у—2z = 0. ►
Пример 4. Прямая L задана общими уравнениями
х + у—г = 0,
2х—//4-2 = 0.
Написать канонические уравнения этой прямой, а также уравнение
ее проекции на координатную плоскость Oxz.
Точка М (0, 2, 2) удовлетворяет общим уравнениям прямой (про-
верьте!) и, следовательно, лежит на этой прямой. В качестве направ-
ляющего вектора прямой может быть взят вектор д— [Л/, л2], где пг (1,
1, —1)и п2 (2, —1, 0)—-нормальные векторы плоскостей, линией пере-
сечения которых является заданная прямая. Таким образом,
i j k
q~ \ 1—1 x—2/—ЗА?,
2—1 0
и канонические уравнения прямой таковы:
х у—2 z—2
Полученная пропорция эквивалентна системе трех уравнений
( —2х+у—2 = 0,
J — Зх—j—z—2 = 0,
\ — 3//4- 2z~\~ 2=0,
описывающих три плоскости, проектирующие прямую на координатные
плоскости Оху, Oxz и Оуг соответственно (уравнения прямой в про*
екциях). В частности, уравнение — Зх-^z—2 = 0 есть уравнение про-
екции заданной прямой на плоскость Oxz.
85
Пример 5. Заданы скрещивающиеся прямые
; х 9-1 г+2 . х+1 Н-1 г-2
=2—0---------Г И U Т"=—в— •
Найти расстояние р (£j-, Л2) между прямыми и написать уравнение
общего перпендикуляра L к этим прямым.
◄ Найдем уравнение плоскости Р, проходящей через прямую Lf па-
раллельно прямой L2 (рис. 12). Точка Л+(0, 1, —2) лежит на пря-
мой и, следовательно, принад-
лежит искомой плоскости Р. В ка-
честве нормального вектора к этой
плоскости возьмем вектор
/ J
==—2 0
1 2
Уравнение плоскости Р:
Рис. 12. — 2х—{у— 1)—4(z+2)=0,
k
1 =—2Z—/—4Л?.
— 1
или, в общем виде, 2*+# +4?+7 = 0.
Расстояние p(Lj, L2) равно расстоянию любой точки прямой L2,
например точки М2 (—1, —1, 2), до плоскости Р, Нормальное урав-
нение плоскости Р имеет вид
2 1 4 7 -
----= X------------ у -z=z Z-z= = 0,
/21--------------------------/21 /21
откуда
/Г Г Ч .Я/Л4 DM 2.1 8 7 12
p(Lf, Р2)= 6(М2, Р) == ~7==Н 7=---7=------7= »
/21 /21 /21 /2Т /21
Для того чтобы составить уравнение общего перпендикуляра
найдем уравнение плоскостей Р* и Р2, проходящих через заданные
прямые Li и Lg соответственно и перпендикулярных плоскости Ра
Имеем: Mt (0, 1, —2) g Pf и nj = [<?£, п] — i— 10/+2& | Pf, откуда Pf.
х—10#+2?+14 = 0. Аналогично М2 (—1, —1, 2) £ Р2и/г2 = [<72, п] =
= — 9Z+6/+3# JL Р2, откуда Р2: Зх—2#—z+3 = 0,
Так как L — Pi П Pg, то
х— 10# + 2z+ 11 =0,
Зх—2#—? + 3 = 0
*—общие уравнения прямой L, ►
2.26. Заданы плоскость Р и точка М. Написать урав-
нение плоскости Р', проходящей через точку М парал-
лельно плоскости Р, и вычислить расстояние р(Р,Р'),
если:
а) Р: — 2% + r/-z+l=0, М(1, 1, 1);
86
б) Р: х— у— 1=0, М (1, 1,2).
2.27. Написать уравнение плоскости Pf, проходящей
через заданные точки и М2 перпендикулярно задан-
ной плоскости Р, если:
а) Р: — х + у-1=0, 7ИД1, 2, 0), Л4а(2, 1, 1);
б) Р: 2x-z/ + ? + l = 0, Л+(0, 1, 1), М2(2, 0, 1).
2.28. Написать ч уравнение плоскости, проходящей
через точку М параллельно векторам и а2, если:
а) 714(1, 1, 1), ^(0,1,2), а2(—1,0, 1);
б) М (0,1,2), ^(2,0,1), а2(1, 1,0).
2.29. Написать уравнение плоскости, проходящей че-
рез точки TWj и М2-параллельно вектору а, если:
а) 7И± (1, 2, 0), Л42(2, 1, 1), а(3, 0, 1);
б) (1, 1, 1), Л42(2, 3, —1), а(0, —1, 2).
2.30. Написать уравнение плоскости, проходящей че-
рез три заданные точки Mlt М2 и Л43, если:
a) MJl, 2, 0), М2(2, 1, 1), Л43(3, 0, I);
б) (1, 1, 1), . М2(0, —1, 2), 7И3(2, 3, —1).
Пусть заданы две плоскости Pf и Р2- Возможны два случая их
взаимного расположения:
1) Рг || Р2, в частности плоскости совпадают;
2) Рг и Р2 пересекаются по некоторой прямой.
В задачах 2.31—2.34 исследовать взаимное расположе-
ние заданных плоскостей. При этом в случае 1) найти рас-
стояние p(Pi, Р2) между плоскостями, а в случае 2) —ко-
синус угла между ними.’
2.31. — % + 2i/ — 2+1 = 0, Р2: # + 32—1 = 0.
2.32. Рг: 2х — y+z — 1=0, Р2: —4%+2# —2г—1=0.
2.33. х — у+1 = 0, Р»: у — г+1 = 0.
2.34. Рр. 2х—у— г+1=0', /%: —4х+2#+2.г—2=0.
2.35. Вычислить объем пирамиды, ограниченной пло-
скостью Р: 2х—3y + 6z — 1^ = 0 и координатными пло-
скостями.,
2.36. Написать уравнения плоскостей, делящих попо-
лам двугранные углы, образованные плоскостями Рг и Р2,
если:
а) р. 3^4-22—5 = 0, Р2- Зх—2у—2+3 = 0;
б) Рр 2х—// + 5г —3 = 0, Р2: 2х— 10$ + 4г — 2 = 0.
х 87
Р2. 4х—у — 2г— 5 = 0;
Р2: 10х—6«/ + 2г + 7 = 0.
2.37. Написать уравнение плоскости, равноудаленной
от двух заданных плоскостей Р± и Р2, если:
a) Pi. 4x—y — 2z — 3 = 0,
б) Р^ 5х —3i/ + z + 3 = 0,
2.38. Установить, лежат ли точки Л41(2, —1, 1) и
М2(1, 2, —3) в одном угле, в смежных или в вертикаль-
ных углах, образованных плоскостями Р± и Р2, если;
а) Р±: Зх — у + 2г — 3 = 0, Р2: х — 2у— z + 4 = 0;
б) Pt: 2х—y + 5z— 1=0, Р2: Зх—2у + 6г—1 = 0.
2.39. Прямая L задана общими уравнениями. Напи-
сать для' этой прямой канонические уравнения и урав-
нения в проекциях (см. пример 4), если:
а) б)
( 2х —// + 2г —3=--0, ( л? + 2// —3z —5 = 0;
( х+2z/ —г—-1 = 0; ( 2л;—// + г + 2 = 0.
2.40. Написать канонические уравнения прямой, про-
ходящей через точку Мо (2, 0, —3) параллельно:
а) вектору #(2, —3, 5);
° х—1 у+2 2-4-1
б) прямой —g— = ;
в) оси Ох; г) оси Ог;
( Зх—у + 2г — 7 = 0,
д) прямой [х + 3у_3г_3_0,
е) прямой х =—2 + /, y = 2t, z=l—1/2/.
2.41. Написать уравнения прямой, проходящей через
две заданные точки Л1£ и Л42, если:
a) MJ1, —2, 1), М2(3, 1, —I);
б) MJ3, —1, 0), М2(1, 0, —3).
2.42. Заданы прямая L: ~и точка
М (0, 1,2)(£Л (проверить!). Требуется:
а) написать уравнение плоскости, проходящей через
прямую L и точку /И;
б) написать уравнение плоскости, проходящей через
точку М перпендикулярно прямой L;
в) написать уравнение перпендикуляра, опущенного
из точки М на прямую Ц
г) вычислить расстояние р(Л1,Л);
д) найти проекцию точки М на прямой L.
2.43. Заданы плоскость Р: x + y — z+ 1 =®0 и прямая Lt
== i , причем L^P (проверить!). Требуется:
а) вычислить sin.(P, L) и координаты точки пересе-
чения прямой и плоскости;
б) написать уравнение плоскости, проходящей через
прямую L перпендикулярно к плоскости Р\
в) написать уравнения проекции прямой L на пло-
скость Р.
2.44. Пусть заданы две прямые:
х—ч _ y—yt ^Z — ^1
li mL
Lp
rr т . X ^2 2? — ^2
И L2. --------:----==-------=----------.
Доказать, что прямые Lt и L2 лежат в одной плоскости
в том и только в том случае, если выполнено условие
ха—У2—У1 Ч
/ц /72 2 П 2
-О
2.45. Используя результат задачи 2.44, убедиться,
что прямые Lj и L2 принадлежат одной плоскости, и
написать уравнение этой плоскости. Исходные данные:
. г . х—1_у + 2_г—5 j . х—7 у,—2 z—1
а) Li- "~2“““=3“ ~4~ ’ ’
т . х — 2 __г—3 j , х—1 у—2 z-{-3
О) Lt. —у, l2: 3 — -g- — —
2.46. Доказать, что прямые
J 2х + 2у — г— 10 = 0, х+7_у—5 г—9
Р I х-«/-г-22 = 0 И 2’ 3 ~ -1 “ 4
параллельны и найти расстояние p(Li, L2).
2.47. Доказать, что расстояние между скрещиваю-
щимися прямыми Li', г (t) = ri + qYt и Л2: r(t) = r2 + q2t
может быть вычислено по формуле
p(Li,L2)- (hhi4/d| •
2.48. Заданы прямые == == и
L2: ±^- = Ezr = £Er- Требуется:
а) доказать, что прямые не лежат в одной плоскости,
т. е. являются скрещивающимися;
89
б) написать уравнение плоскости, проходящей через
прямую L2 параллельно Ц;
в) вычислить расстояние между прямыми.
г) написать уравнение общего перпендикуляра к пря-
мым Lf и
2.49. Написать канонические уравнения прямой, ко-
торая проходит через точку Л10(3, —2, —4) параллельно
плоскости Зх —2# —3z —7= О и пересекает прямую
х—2 у+4 2— 1
§ 3. Кривые на Плоскости
1. Уравнение кривой в декартовой прямоугольной системе
координат. Говорят, что кривая Г в системе координат Оху имеет
уравнение
F(x, у)—О, (1)
если выполнено следующее условие: точка М (х, у) принадлежит кри-
вой Г в том и только в том случае, когда ее координаты х и у
удовлетворяют соотношению (1). Если, в частности, F (х, г/)=/(х)—у,
то уравнение (1) может быть записано в виде
*/ = /«> (2)
и в этом случае кривая Г совпадает с графиком функции f(x).
В настоящем параграфе изучается связь между геометрическими
свойствами кривой и ее уравнением в некоторых наиболее простых
случаях.
Пример 1. Написать уравнение кривой, сумма квадратов
расстояний от каждой точки которой до точек Л(—а, 0), В (0, а)
и С (а, 0) равна За2.
Пусть Г—кривая, удовлетворяющая условиям задачи; М (х, у) £ Г
в том и только в том случае, когда
р2(7И, Л) + р2(7И, £) + р2(7И, С) —За2,
или
(х+а)2 4- г/2+х2+(у—а)2 + (х—с)2+у2 = За?.
После простых преобразований получаем
9
х2+//2—
о
или, выделяя полный квадрат,
Это и есть искомое уравнение кривой, являющейся окружностью
радиуса а/3 с центром в точке Мо (0, а/3).
90
В задачах 3.1—3.14 требуется установить, какие кри-
вые определяются заданными уравнениями, и построить
эти кривые.
3.1. х + |г/| = О. 3.2. ]х| + у — х-0. 3.3. х2—ху-О.
3.4. xi/+y2 = 0. 3.5. х2 — у2 = 0. 3.6. ху = Оя
3.7. у2 — 9-0. 3.8. х2 — х — 6-0.
3.9. х2у — 7х#+10^ = 0. 3.10. х2 + г/2 = 4.
3.11. х2 + (у + 3)2=1. 3.12. x2 + 2z/2-0.
3.13. 2х2 + у2 + 2 = 0. 3.14. х24-1г/2— 11 — 0.
3.15. Написать уравнение кривой, каждая точка ко-
торой находите я на одинаковом расстоянии от точек
Mi(3, 2) и Л42(2, 3).
3.16. Написать уравнение кривой, разность квадра-
тов расстояний от каждой точки которой до точек
Mi(—а, 0) и М2(я, 0) равна с.
3.17. Написать уравнение кривой, расстояние от каж-
дой точки которой до оси Ох вдвое больше расстояния
до оси Оу,
3.18. Написать уравнение кривой, сумма квадратов
расстоянии от каждой точки которой до точек 7И1(—3, 0)
и /И2 (3, 0) равна 50.
3.19. Написать уравнение кривой, расстояние от
каждой точки которой до точки Л41(—1, 1) вдвое меньше
расстояния до точки М2(—4, 4).
3.20. Написать уравнение кривой, сумма расстояний
от каждой точки которой до точек Ft(—2,0) и F2(2, 0)
равна 2J/IT.
3.21. Написать уравнение кривой, модуль разности
расстояний от каждой точки которой до точек F± (—2, —2)
и F2 (2, 2) равен 4.
3.22. Написать уравнение кривой, каждая точка ко-
торой находится на одинаковом расстоянии от точки
F (2, 2) и от оси Ох.
3.23. Установить, что каждое из следующих урав-
нений определяет окружность, найти ее центр С и ра-
диус R:
а) х2 + у2 —4х + 6у —3-0;
б) х2 + у2 — 8х —0; в) х2 + у2 + 4у=^0<
3.24. Написать уравнение окружности в каждом из
следующих случаев (обозначено: С —центр окружности,
R — радиус, М, Mit M2t М3 —точки на окружности):
91
а) С (2, —3), Я = 7; б) M (2, 6), С(—1, 2);
в) /141(3,2), Мг(—1, 6) —концы диаметра окружности;
г) С(1,—1), прямая 5х—12г/-|-9 = 0— касательная
к окружности;
д) Л4(1, 2), окружность касается координатных осей;
е) Mt(3, 1), М2(—1,3), C$L: Зх-у-2 = 0; -
ж)* /ИИ—1,3), М2(0, 2), М8(1, —1).
3.25. Написать уравнение диаметра окружности
х2 + у2 + 4х—бу— 17 = 0, перпендикулярного прямой
5х + 2у—13 = 0.
3.26. Вычислить кратчайшее расстояние от точки Мо
до'окружности Г, если:
а) М„(6, —8), Г: х2+^2 = 9;
б) Мо(—7, 2), Г: х2 + у2—10х— 14г/— 151 = 0.
3.27. Определить, как расположена прямая относи-
тельно окружности — пересекает, касается или проходит
вне ее, если прямая й окружность заданы уравнениями:
а) 2х — у — 3 = 0, .х24-г/2 —Зх + 2г/ —3 = 0;
б) х—2у—1 = 0, х24-г/2 — 8х + 2у+12 = 0;
в) х—1/+10 = 0, х24-г/2—1 = 0.
2. Алгебраические кривые второго порядка. Алгебраической кри-
вой второго порядка называется кривая Г,, уравнение которой в де-
картовой системе координат имеет вид
Ах^-уЪВху+СуЪ-^-ОхА- Ег/4-77 = 0, (3)
где не все коэффициенты А, В и С равны одновременно нулю (в про-
тивном случае Г — прямая, т, е. алгебраическая кривая первого по-
рядка).
В общем случае может оказаться, что уравнение (3) определяет
так называемую вырожденную кривую (пустое множество, точку,
прямую, пару прямых).
Если же кривая Г невырожденная, то для нее найдется такая
декартова прямоугольная система координат, в которой уравнение
этой кривой имеет один из следующих трех видов (каноническое
уравнение)'.
1 1 02 Т J8 ’а^Ь : > о, (4)
X2 у2 _ а2 Ь2 ’ а, b > > о, (5)
у2=2рх, Р > 0. (6)
При этом кривая Г называется соответственно эллипсом, гиперболой
или параболой, а сама система координат, в которой ее уравнение
92
имеет вид (4), (5) или (6), называется канонической системой коор-
динат для заданной кривой.
Приведение общего уравнения кривой второго порядка к кано-
ническому виду подробно рассматривается в п. 4 § 3 гл. 4. Целью
настоящего пункта является изучение основных геометрических
свойств невырожденных кривых второго порядка на основе их кано-
нических уравнений.
Эллипс с каноническим уравнением1,
имеет форму, изображенную на рис. 13.
Параметры а и b называются полуосями эллипса (большой и малой
соответственно), точки А1(—а, 0), А2 (а, 0), В1(0,— Ь) и В2(0, Ь) —
его вершинами, оси симметрии Ох и Оу—главными осями, а центр
симметрии О—центром эллипса.
Точки Ft (— с, 0) и Г2 (с, 0), где у а2—Ь2 0, называются
фокусами эллипса, векторы F-lM и F2M—фокальными радиус-векто-
рами, а числа ri — | F^M | и r2 — \F2M\—фокальными радиусами
точки М, принадлежащей эллипсу. В частном случае а = Ь фокусы
Fi и F2 совпадают с центром, а каноническое уравнение имеет вид
х2 у2
^-=sl, или *2 + #2 = &2, т. е. описывает окружность радиуса а
с центром в начале координат.
с Г Ь2
Число е=~= у 1 —(0*С^< 1) называется эксцентриси-
тетом эллипса и является мерой его «сплюснутости» (при е = 0
эллипс является окружностью).
Прямые х — —а/е и D2: х^а[е, перпендикулярные главной
оси и проходящие на расстоянии а[е от центра, называются директ-
рисами эллипса.
3.28. Построить эллипс 9х2 4-25р2== 225. Найти:
а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет;
г) уравнения директрис.
93
3.29. Написать каноническое уравнение эллипса, если:
а) а = 3, 6 = 2; б)а=5, с = 4; в)с = 3, е = 3/5; г) 6=5,
е= 12/13; д) с = 2 и расстояние между директрисами
равно 5; е) е—1/2 и расстояние между директрисами
равно 32.
3.30. Написать уравнение эллипса с полуосями а и b
и центром в точке С(х0,у0), если известно, что его глав-
ные оси параллельны координатным осям.
3.31. Установить, что каждое из следующих уравне-
ний определяет эллипс, найти его центр С, полуоси,
эксцентриситет и уравнения директрис:
a) 5х2 + 9//2 — ЗОх + 18i/4-9 = 0;
б) 16х2 + 25//2 + 32х—100z/ — 284 = 0;
в) 4х2 + 3у2 — 8х + 12г/ — 32 — 0.
3.32. Доказать следующие утверждения:
а) Если М (х, у)—произвольная точка эллипса
== 1, а 6, то фокальные радиусы этой точки равны
rt (Л4) = а + ех, г2(М) = а — ех
(см. рис. 13). Отсюда, в частности, следует, что для вся-
кой точки М эллипса выполняется равенство
(М) + г2 (Л4) = const — 2а,
б) Пусть заданы точки Fx(—с, 0) и F2(c, 0), ci>0.
Тогда множество точек Л4, удовлетворяющих условию
| FrM | +1 F2M I = const = 2a, есть эллипс “г + fr 1, где
b*=a2—c2.
3.33. Доказать следующие утверждения:
а) Если M (х, у) — произвольная точка эллипса
+ a~>b, rt(M) и r2 (М) — фокальные радиусы
этой точки, a и р(Л4, £)2) —ее расстояния до
директрис, то выполняется равенство
г, (М) r2 (М) ,
p(M,Dr) p(M,D2) COriSl
б) Пусть заданы точка F (с, 0) и прямая О: х —d=Q,
d>c>0. Тогда множество точек М, удовлетворяющих
1 Тм I , . х2 , у2 1
условию 4-дL-Г = const = € < 1, есть эллипс —о+т9-=1>
J р (Л4, D) ’ а2 * Ь2 ’
где a = de и Ь2 = а2 — Л
94
3.34. Эллипс, главные оси которого совпадают с коор-
динатными осями, проходит через точки М± (2, ]/3) и
М2(0, 2). Написать его уравнение, найти фокальные ра-
диусы точки и расстояния этой точки до директрис.
3.35. На эллипсе 9х2 + 25у2 = 225 найти точку, рас-
стояние от которой до фокуса в четыре раза больше
расстояния до фокуса Fit
' 3.36. Написать уравнение кривой, по которой дви-
жется точка Л1, если сумма расстояний от нее до точек
(—1» —1) и F2 (1, 1) остается постоянной и равной 2 У 3 .
3.37. Написать уравнение кривой, по которой дви-
жется точка М, если расстояние от нее до точки F(3, 0)
остается в два раза меньше расстояния до прямой
х + у-~ 1=0.
3.38. Определить, как расположена прямая относи-
тельно эллипса: пересекает, касается или проходит вне
его, если прямая и эллипс заданы уравнениями:
а) 2х-4/-3 = 0, -^ + 4= 1.
у2 *>2
б) 2х + у-10 = 0, ^-+^==1,
в) Зх + 2у-20 = 0,- ^-+-^=1.
3.39. Написать уравнение касательной к эллипсу
+ в его точке <(^о,Уо).
Пусть сначала '^0 Ф 0, тв е. точка 2И0 не совпадает ни с одной
из вершин (— а, 0) и (а, 0). В этом случае уравнение
х2 f/2
неявно опрёделяет функцию # = */(х), — а<х<а,-
график которой проходит через точку Мо (х0, у0) и совпадает с соот-
ветствующей (верхней при yQ > 0 или нижней при yQ < 0) половиной
х2 у2 (х)
эллипсав Дифференцируя по х тождество -^•+^г2==;Ь найдем, что
производная у1 (х0) равна
1 / \ 62х0
У (х0)---,
а Уь *
Отсюда уравнение касательной к эллипсу в точке Л40(хо> £о) имеет
вид
£2хо z к
у-у*=- HVo(x-Xo)’
95
*0 , Уо ,
или, с учетом равенства — — ~
Xpx ! УоУ <
а2 ‘ Ь2 ’
(7)
Если же уо = О (и, следовательно, xQ — ± а), то уравнения каса-
тельных к эллипсу имеют вид х=± а, т. е, и в этом случае фор-
мула (7) остается верной,. ►
3.40. Составить уравнения касательных к эллипсу
+ параллельных прямой Зх + 2г/ + 7=0.
3.41. Составить уравнения, касательных к эллипсу
x2 + 4z/2 = 20,-перпендикулярных прямой 2х — 2у— 13 = 0.
х2 у2
3.42. Доказать, что касательные к эллипсу -^2+^== 1,
проведенные через концы одного и того же диаметра,
параллельны.
3.43. Написать уравнения касательных, проведенных
л /10 5 X х2 , у2 .
ИЗ ТОЧКИ А -Х-, -о- К ЭЛЛИПСУ + 1-
\ о о J ZU О
X2 У2
3.44. На эллипсе тг + -%-=1 найти точку Мо, бли-
1о О
жайшую к прямой 2х — 3^ + 25 = 0, и вычислить расстоя-
ние от точки 7И0 до этой прямой.
3.45. Доказать, что касательная к эллипсу в его
произвольной точке М составляет равные углы с фокаль-
ными радиус-векторами F±M и F2M этой точки.
3.46* . Из левого фокуса эллипса + под ту-
Ли
пым углом а к оси Ох направлен луч света, причем
tga — —2. Написать уравнение прямой, на которой ле-
жит луч, отраженный от эллипса.
х2 у2
Гипербола с каноническим уравнением —-^-==1, а, Ь>0,
имеет форму, изображенную на рис. 14.
Параметры а и b называются полуосями гиперболы, точки
Л1 (—а, 0) и А2 (и, 0)—ее вершинами, оси симметрии Ох и Оу —
действительной и мнимой осями, а центр симметрии О—центром
гиперболы.
Прямые у = ± ~х являются асимптотами гиперболы.
Точки Ft (—с, 0) и F2 (с, 0) где с = Уа$А-№ > 0, называются
фокусами гиперболы, векторы F±M и F2M — фокальными радиус-век-
торами, а числа г± = | | и r2~| F2M | — фокальными радиусами
точки принадлежащей гиперболе,
96
С / b*
Число е = —= у 1-|—(1 < е < 00) называется эксцентриси-
тетом гиперболы и является мерой ее «сплюснутости». В частном слу-
чае а = Ь гипербола называется равносторонней’, ее эксцентриситет
равен е— j/" 2, а угол между асимптотами равен л/2.
Прямые Dp. х~—а/е и П2* х = а/е, перпендикулярные действи-
тельной оси и проходящие на расстоянии а/е от центра, называются
директрисами гиперболы.
3.47. Построить гиперболу 16х2 — 9z/2= 144. Найти:
а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет;
г) уравнения асимптот; д) уравнения директрис.
3.48. Построить гиперболу 16х2 — 9z/2 =—144, назы-
ваемую сопряженной к гиперболе задачи 3.47. Какова
каноническая система координат для этой гиперболы?
Найти:
а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет;
г) уравнения асимптот; д) уравнения директрис.
3.49. Написать каноническое уравнение гиперболы,
если:
а) а = 2, Ь = 3\ б) Ь = 4, с = 5; в) с=3, е = 3/2; г) ц=8,
е = 5/4; д) с = 10 и уравнения асимптот у = ±4/3%;
е) е = 3/2 и расстояние между директрисами равно 8/3.
3.50. Написать уравнение гиперболы с полуосями а
и b и центром в точке С (х0, у0), если известно, что ее
действительная и мнимая оси параллельны осям Ох и Оу
соответственно.
3.51. Установить, что каждое из следующих уравне-
ний определяет гиперболу, найти ее центр, полуоси,
эксцентриситет, уравнения асимптот и директрис:
4 Под ред. А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича
97
a) 16x2— 9//2 —64x —54//— 161 — 0;
6) 9x2-16//2 +90*4-32// —367-0;
в) 16x2 — 9//2 — 64x — 18//+ 199 = 0.
3.52. Доказать следующие утверждения:
а) Если M (%, //) —произвольная точка гиперболы
X2 г/2
-^2—то фокальные радиусы этой точки равны
(М) = а + ех. г2(Л4) = ~—& +
если точка М лежит на правой ветви гиперболы, и
гг(Л4) = — а — ех, Гь(М) = а—ех,
если эта точка лежит на ее левой ветви. Отсюда, в част-
ности, следует, что для всякой точки М гиперболы вы-
полняется равенство
| гг (/И) —г2 (7И)| — const — 2а.
б) Пусть заданы точки Ft(—с, 0) и Р2{с. 0), с>0.
Тогда множество точек Л4, удовлетворяющих условию
] | FtM. | — | F2M. 11 — const — 2a, a > 0, есть гипербола
~—T2 = L где &2 —c2 —a2.
a2 b- * *
3.53. Доказать следующие утверждения:
а) Если М (х, //) —произвольная точка гиперболы
1, гД/И) и г§ (Л4) —фокальные радиусы этой
точки, а р(Л4, Dt) и р (Л4, Dg) —расстояния от нее до
директрис, то выполняется равенство
= const _ е
pkM.Dj const _е.
б) Пусть заданы точка F(o, 0) и прямая D: х —-d—0,
c>d>0. Тогда множество точек М, удовлетворяющих
I I 4-^1 Л X2 у2- .
условию — const—е> 1, есть гипербола
где a —de и Ь2 = с2 — а2.
3.54. Убедившись, что точка М (—5, 9/4) лежит на
гиперболе —^-== 1, найти фокальные радиусы этой точки
и ее расстояния до директрис.
3.55. Найти точки гиперболы^-—jg=; 1, находящиеся
на расстоянии 7 от фокуса Ft.
,98
3.56. Написать уравнение гиперболы, если известно,
что ее фокусами являются точки /4 (—3, —4) и F2(3, 4),
а расстояние между директрисами равно 3,6.
3.57. Написать уравнение гиперболы, если известны
ее эксцентриситет е = ]/ 5, фокус F (2, —3) и уравнение
соответствующей директрисы Зх — у+ 3 = 0.
3.58. Показать, что кривая, заданная уравнением
ху — 1 или у=1/х, есть равносторонняя гипербола.
Написать ее каноническое уравнение, найти эксцентри-
ситет, фокусы и уравнения директрис.
3.59* . Написать уравнение касательной к гиперболе
В ее точке М0(х0, z/0).
3.60. Составить уравнения касательных к гиперболе
% 2 £,2
16—параллельных прямой 10х — 3# + 9 = 0.
3.61. Составить уравнения касательных к гиперболе
X2 l/3
—4=1, перпендикулярных прямой 4% + Зу —7 = 0.
ZU о
X2 Z/2
3.62. Доказать, что касательные к гиперболе
проведенные через концы одного и того же диаметра,
параллельны.
3.63. Написать уравнения касательных, проведенных
из точки Д(—1, —7) к гиперболе х2 — 16.
X2 i/2
3.64. На гиперболе 2^—найти точку 7И0, бли-
жайшую к прямой Зх-|-2у 4-1 =0, и вычислить расстоя-
ние от точки Л40 до этой прямой.
3.65. Доказать, что касательная к гиперболе в ее про-
извольной точке М составляет равные углы с фокальными
радиус-векторами FXM и F2M этой точки.
3.66* . Из правого фокуса гиперболы^-—^-=1 под
углом а (л <а < 3/2л) к оси Ох направлен луч света,
причем tgcc=2. Написать уравнение прямой, на которой
лежит луч, отраженный от гиперболы.
Парабола с каноническим уравнением у2 = 2рх, р > 0, имеет
форму, изображенную на рис. 15.
Число р называется параметром параболы, точка О—ее верши-
ной, а ось Ох — осью параболы.
Точка F (р/2, 0) называется фокусом параболы, вектор FM—
фокальным радиус-вектором, а число г = | jFAI |— фокальным радиусом
точки М параболы.
4*
99
Прямая D: х=- — р/2, перпендику-
лярная оси и проходящая на расстоя-
нии р/2 от вершины параболы, называ-
ется ее директрисой.
3.67. Построить следующие
параболы и найти их параметры:
a) б) х2 = 5у\
в) У2==—4х; г) х2 =—у.
3.68. Написать уравнение па-
раболы с вершиной в начале ко-
ординат, если известно, что:
а) парабола расположена в ле-
вой полуплоскости симметрично
относительно оси Ох и р = 11^
б) парабола расположена симметрично относительно
оси Оу и проходит через точку М (4, —8);
в) фокус параболы находится в точке F(0, —3);
3.69. Написать уравнение параболы, если известно,
что вершина ее находится в точке Л(х0, у0), параметр
равен р, ось параллельна оси Ох и парабола расположена
относительно прямой х = х0:
а) в правой полуплоскости;
б) в левой полуплоскости.
3.70. Установить, что каждое из следующих уравнений
определяет параболу, найти координаты ее вершины А и
величину параметра р:
а) у2 = 4х — 8; б) %2 = 2 — у\
в) z/ = 4x2 —8x4-7; г) у =— -|-х24-2х — 7;
Д) х= — Ly* + y-' е) х = 2у2—12у+14.
3.71. Доказать следующие утверждения:
а) Если М (%, у) — произвольная точка параболы
у2 = 2рх, г(М) — ее фокальный радиус, а р(Л4, D) — рас-
стояние от точки М до директрисы (см. рис. 15), то вы-
полняется равенство
7W70)=const=l-
б) Пусть заданы точка F{p/2, 0) и прямая D: х — —р/2.
Тогда множество точек 7И, удовлетворяющих условию
£>) cons^ = * * есть паРабола у2 = 2рх.
1С0
3.72. Вычислить фокальный радиус точки М параболы
г/2 =12%, если z/(A4) = 6.
3.73. Написать уравнение параболы, если известны:
а) фокус F(4, 3) и директриса D: у +1 =0;
б) фокус F(2, —1) и директриса D: х — у— 1=0.
3.74. Написать уравнение касательной к параболе
у2 = 2рх в ее точке Л40(х0, у0).
3.75. Написать уравнение касательной к параболе
у2 = 8х, параллельной прямой 2х-\-2у — 3 = 0.
3.76. Написать уравнение касательной к параболе
х2= 16t/, перпендикулярной прямой 2% + 4z/ + 7 = 0.
3.77. Написать уравнения касательных к параболе
у2 = 36%, проведенных из точки А (2, 9).
3.78. На параболе у2 = 64% найти точку 7И0, ближай-
шую к прямой 4х-Н 3^/— 14 = 0, и вычислить расстояние
от точки Л40 до этой прямой.
3.79. Доказать, что касательная к параболе в ее про-
извольной точке М составляет равные углы с фокальным
радиус-вектором точки М и с лучом, исходящим из точки М
и сонаправленным с осью параболы.
3.80. Из фокуса параболы у2= 12х под острым углом а
з
к оси Ох направлен луч света, причем tga = -p Написать
уравнение прямой, на которой лежит луч, отраженный
от параболы.
3. Уравнение кривой в полярной системе координат. Говорят,
что на плоскости введена полярная система координат <(9, &>, если
заданы:
1) некоторая точка О, называемая полюсом;
2) некоторый луч и, исходящий из точки О и называемый по-
лярном осью.
Полярными координатами точки М О называются два числа:
полярный радиус г (М) — | ОМ | > 0 и полярный угол ф (М)— угол,
на который следует повернуть ось и для того, чтобы ее направление
совпало с направлением вектора ОМ (при этом, как обычно, ф(7И) >0,
если поворот осуществляется против часовой стрелки, и ф (7И) < 0
в противном случае). Запись М (г, ф) означает, что точка М имеет
полярные координаты г и ф.
Полярный угол ф (7И) имеет бесконечно много возможных значе-
ний (отличающихся друг от друга на величину вида 2лп, ngZ).
Значение полярного угла, удовлетворяющее условию 0*Сф < 2л,
называется главным. В некоторых случаях главным значением поляр-
ного угла называют значения ф, удовлетворяющее условию
— Л < ф^Л.
Пусть на плоскости введены правая декартова прямоугольная
система координат Оху (т. 'е. такая, что кратчайший поворот от оси
Ох к оси Оу происходит против часовой стрелки) и полярная система
101
<0, ц>, причем полярная ось совпадает с положительной полуосью
абсцисс. Тогда связь между декартовыми и полярными координатами
произвольной точки Л4 ф О дается формулами
x = rcosq), r/~rsin<p;
(7)
r= tg<p = ^-.
Уравнение кривой в полярных координатах имеет вид F(r, ср) — О
или г = /(ф). Оно может быть получено либо непосредственно, исходя
из геометрических свойств кривой, либо переходом к полярным коор-
динатам в уравнении этой кривой, заданном в декартовых прямо-
угольных координатах.
Пример 2. Построить кривую, заданную уравнением r = 6 cos ф.
Прежде всего заметим следующее: если точка М (г, ф) принадле-
жит заданной кривой, то для этой точки cos ф=—0, и, следо-
л; л
вателы-ю, вся кривая расположена в секторе —’
Для того чтобы построить кривую, перейдем в ее уравнении
к декартовым координатам. Умножив обе части уравнения г — 6 cos ср
на г, получаем г2 = 6r cos <р, откуда на основании формул перехода
(7) х2 + ^2 = 6х, или (х—3)2 + г/2 —9. Таким образом, заданная кри-
вая— окружность радиуса 3 с центром в точке 7И0 с координатами
х0 = 3, Уь — 6 или г0 = 3, фо = О.
Пример 3. Вывести уравнение прямой в полярной системе
координат.
Если прямая L проходит через полюс и ее угловой коэффициент
по отношению к полярной оси равен k, то уравнение этой прямой
имеет вид tg ф = /г.
Пусть теперь прямая L не проходит через полюс. Напишем нор-
мальное уравнение этой прямой в декартовой прямоугольной системе
координат
х cos а + у cos Р — р — О
и перейдем в этом уравнении к полярным координатам. Получаем
(учитывая, что cos р = sin а):
г cos ф cos а+ г sin ф sin а—р — О,
г cos (ф—а) —р,
г =----7^----Г* (8)
cos (ф — а) v '
Уравнение (8) и есть искомое уравнение прямой в полярной си-
стеме координат. Оно может быть получено и непосредственно из
следующего очевидного факта: M£L npnr = rcos (ф—a)=const=p
(рис. 16).
Пример 4. Пусть Г — эллипс, ветвь гиперболы или парабола,
F— фокус этой кривой, D — соответствующая директриса. Вывести
уравнение кривой Г в полярной системе координат, полюс которой
совпадает с фокусом, а полярная ось сонаправлена с осью кривой
(рис. 17).
102
Общее свойство эллипса, гиперболы и параболы состоит в следую-
щем (см. задачи 3.33, 3.53 и 3.71):
•«гв7®=--' и
где е—эксцентриситет кривой (е < 1 для эллипса, е > 1 для гипер-
болы и для параболы),
Обозначим расстояние от фокуса до директрисы через р/е (р-ъа-
раметр кривой, называемый полуфокальным диаметром). Тогда из
рис. 17 следует, что р (214, F) — r и р(М, D) = ~-[-r cos ф. Подстав-
ляя эти выражения в (9), получаем
г
---------=е,
Р ।
---------f-Г COS ф
откуда
Р
1 — е cos ф’
(Ю)
Уравнение (10) и есть искомое уравнение в полярной системе
координат, общее для эллипса, гиперболы и параболы.
Записать уравнения заданных кривых в полярных
координатах:
3.81. у — х. 3.82. у =1. 3.83. % + £/—1 = 0.
3.84. х2у2 — а2. 3.85. х2~у2 = а2.
3.86. х2 + у2=ах
Записать уравнения заданных кривых в декартовых
прямоугольных координатах и построить эти кривые:
3.87. г = 5. 3.88. tgq> = —1. 3.89. rcos<p = 2.
3.90. г sin ф) — 1. 3.91. г =--—
cos (<₽ + т)
юз
3.92.
3.93. г = 2а cos ф.
3.94. r = 2tzsinq). 3.95. sin = 1/j/"5.
3.96. sinr=l/2. 3.97. r2sin2cp-2a2.
3.98. r2 = a2cos2cp.
3.99. Написать в полярных координатах уравнения:
а) прямой, перпендикулярной полярной оси и отсекаю-
щей на ней отрезок, равный 3;
б) луча, исходящего из полюса под углом л/3 к по-
лярной оси;
в) прямой, проходящей через полюс под углом л/4
к полярной оси;
3.100. Написать в полярных координатах уравнение
окружности, если:
а) радиус = 5, окружность проходит через полюс,
а ее центр лежит на полярной оси;
б) радиус R — 3 и окружность касается в полюсе по-
лярной оси.
3.101. Определить полярные координаты центра и радиус
каждой из следующих окружностей:
a) r = 4cosqr, б) r = 3sin<p; в) г =—5sinф;
г) г =6 cos ( — <р ) ; д) г = 8 sin ( ф— ;
У <5 j у о у
е) r = 8sin ( —<р ).
\ О J
3.102. В полярной системе координат вывести уравне-
ние окружности радиуса R с центром в точке С(г0, ф0).
£/2
3.103. Для эллипса + 1 написать полярное урав-
нение, считая, что полярная ось сонаправлена с Ъсью
абсцисс, а полюс находится:
а) в левом фокусе; б) в правом фокусе.
3.104. Для правой ветви гиперболы ~= 1 написать
полярное уравнение, считая, что полярная ось сонаправ-
лена с осью абсцисс, а полюс находится:
а) в левом фокусе; б) в правом фокусе.
3.105. Для параболы у2 = 6х написать полярное урав-
нение, считая, что полярная ось сонаправлена с осью
абсцисс, а полюс находится в фокусе параболы.
104
3.106. Написать канонические уравнения следующих
кривых 2-го порядка:
\ „ 9 ^х 9 х 3
а) г = -—-------; б) г = -z—=--------; в) г — п.
5 — 4 cos ф 7 4 — 5 cos ф 7 1 — cos ф
д-2 о2
3.107. Вывести полярное уравнение эллипса + 1
при условии, что полярная ось сонаправлена с осью Ох,
а полюс находится в центре эллипса.
и2
3.108. Вывести полярное уравнение гиперболы ~ = 1
при условии, что полярная ось сонаправлена с осью Ох,
а полюс находится в центре гиперболы.
3.109. Вывести полярное уравнение параболы у2=2рх
при условии, что полярная ось сонаправлена с осью Ох,
а полюс находится в вершине параболы.
4. Параметрические уравнения кривой. Пусть заданы функции
ф(/) и ф(/), непрерывные на некотором промежутке I числовой оси
(промежуток I может быть интервалом (а, Ь), отрезком [с, Z?], а также
одним из полуинтервалов (а, или [а, Ь), причем не исключаются
случаи, когда а = —оо и (или) Ь — 4~оо). Уравнения
х=Ф(0> у=’1’(0, (10)
называются параметрическими уравнениями кривой Г в декартовой
прямоугольной системе координат, если выполнено следующее усло-
вие: для всякого значения параметра i£I точка 44 (ф (t), ф(/)) при-
надлежит кривой Г и, наоборот, для всякой точки М (х, у) кривой Г
существует такое значение параметра что х = ф(/) и
Исключением параметра t из (10) уравнение кривой может быть пред-
ставлено в виде F (х, у) — 0.
Аналогично определяются параметрические уравнения кривой
в полярных координатах.
Пример 5. Показать, что параметрические уравнения
x = #cos/, # = asin/, Z£[0, 2л),
определяют окружность х2-{-у2 = а2.
Если точка М (х, у) такова, что x = acos/ и f/=asin/ для
некоторого значения /£[0, 2л), то
х2-\-у2~а2 cos2 t-\-a2 sin2 t = a2,
т. e. точка 714 (x, у) принадлежит окружности x2-\~y2 = a2.
Верно и обратное: если точка М (х, у) принадлежит окружности
х2-\-у2 = а2, то, полагая t = (OM, i), /£[0, 2л), получим x = acosZ
и у== a sin t.
Пример 6. Кривая Г задана полярным уравнением г = 27?81пф.
Составить параметрические уравнения этой кривой в полярных и
декартовых прямоугольных координатах, выбирая в качестве пара-
метра полярный угол ф.
105'
Нетрудно убедиться, что заданная кривая—окружность радиуса R
с центром в точке С (0, /?). Параметрические уравнения этой кривой
в полярных координатах:
r — 2/?sin/, /£[0, л).
Параметрические уравнения в декартовых прямоугольных координа-
тах получаются, если в формулы перехода х —г cos ср, y — rsmcp
вместо г и ф подставить их выражения в виде функций параметра t.
В итоге получим
х = г (/) cos ф (/) == R sin 2/,
У~г (/) sin ф (/) =••/? (1—cos 2/), /£[0, л). ►
3.110. Луч Г = {(%, z/)| х —у+1 = 0, исходит
из точки 7И0(—1, 0) (проверить!). Составить параметри-
ческие уравнения этого луча, принимая в качестве пара-
метра:
а) абсциссу %; б) ординату у\
в) расстояние р (/И, 7И0) от точки М £ Г до вершины Д/10
луча;
г) полярный угол, если полюс совпадает с началом
координат, а полярная ось сонаправлена с осью Ох.
3.11. Составить параметрические уравнения отрезка
с концами в точках 7И1(1, 1) и М2(2, 3), принимая в
качестве параметра:
а) расстояние р(Л4, 7WJ; б) расстояние р(7И, Л42).
3.112. Составить параметрические уравнения окруж-
ности радиуса R с центром в точке 7И0(х0, t/0), принимая
в качестве параметра t угол между осью Ох и вектором
7И0/И, отсчитываемый против часовой стрелки.
3.113. Составить параметрические уравнения окруж-
ности х2 + //‘2 = 2/?х, принимая в качестве параметра поляр-
ный угол, если полярная ось сонаправлена с осью Ох,
а полюс находится:
а) в начале координат; б) в центре окружности.
В задачах 3.114 — 3.122 требуется исключением пара-
метра t найти уравнения заданных кривых в виде F(x, у)=0
и построить эти кривые.
3.114. х = —1+2/, у = 2 — 1, /£(—оо, +оо).
3.115. x = t2 — 2/ + 1, y = t— 1, Z6(—оо, —j—оо).
3.116. х =—l+2cos/, r/ = 3 + 2sin/, /€[0, 2л).
3.117. x = acosZ, z/ = bsinZ, t £ [0, 2л).
3.118. х = 1 + 2 sec t, У — — 1 + tg t, t £ (—л/2, л/2).
3.119. = ^(0,+oo).
106
3.120. x = 2 7?cos2/, z/ = /?sin2/,
3.121. %=7?sin2/, z/ = 2/?sin2/,
3.122. x=2pctg2/, 2pctg/,
t € [—jt/2, л/2).
t g [0, л).
ZC(0, л/2].
3.123. Составить параметрические уравнения эллипса
принимая в качестве параметра г угол между
осью Ох и радиус-вектором ОМ, отсчитываемый против
часовой стрелки.
3.124. Составить параметрические уравнения гипер-
X2 г/2
болы = принимая в качестве параметра t угол
между осью Ох и радиус-вектором ОМ, отсчитываемый
против часовой стрелки.
3.125. Составить параметрические уравнения параболы
у2~2рх, принимая в качестве параметра:
а) ординату у;
б) угол между осью Ох и вектором ОМ, отсчитывае-
мый против часовой стрелки;
в) угол между осью Ох и фокальным радиус-векто-
ром FM, отсчитываемый против часовой стрелки.
61
5. Некоторые кривые, встречающиеся в математике и ее при-
ложениях. В настоящем пункте, имеющем справочный характер,
приведены уравнения и указаны основные геометрические свойства
ряда специальных кривых (алгебраических и трансцендентных),
встречающихся в практике инженерных расчетов. Вывод уравнений
этих кривых может быть предложен в качестве задач повышенной
трудности при изучении курса аналитической геометрии. Достаточно
детальное изучение формы кривых может быть выполнено с привле-
чением методов дифференциального исчисления.
I. Спирали', спираль Архимеда г = aq (рис. 18), гиперболическая
107
стрелкой указано направление обхода кривой, соответствующее
возрастанию <р.
2. Лемниската Бернулли (х2 + #2)2 = 2а2 (%2—у2) (рис. 21), или
r2 = 2a2 cos 2<р (полюс помещен в точку О). Характеристическое свой-
ство: | FTM |-| F2M | — const — а2, где /\ (—а, 0), F2 (а, 0).
Z7>/
Рис. 20.
3. Циссоида у2 (2R— х) — х3 (рис. 22), или г = 2R tgq?sin<р (по-
люс помещен в точку О). Характеристическое свойство: для всякого
луча, исходящего из точки О, | ОЛ4 | = |ВС|.
4. Конхоида х2у2-\-(х-}-а)2 (х2— 62) = 0 (рис. 23), или ± b
(полюс помещен в точку А). Характеристическое свойство: для вся-
кого луча, исходящего из точки А (—а,0), ] ВМ | = | BN | — const = Z>.
5. Строфоида х2 ((хА-а)2-\-у2)~а2у2 (рис. 24), или г=—±
± cigtp (полюс помещен в точку А). Характеристическое свойство:
для всякого луча, исходящего из точки А (—а, 0), | В/И | = | BN | =
— | О В. |.
6. Улитка Паскаля (х2+#2—2ах)2 = Ь2 (х2 + у2) (рис. 25), или
г — 2я cos ф ± & (полюс помещен в точку О). Характеристическое
свойство: для всякого луча, исходящего из точки О, | ВМ | = | BN |=
= const = b.
7. Четырех лепестковая роза (х2 +
+#2)3 = 4а2х2у2 (рис. 26), или
т = а | sin 2<р | (полюс помещен в точку
О). Характеристическое свойство: вся-
кая точка 7И этой кривой есть осно-
вание перпендикуляра, опущенного
из начала координат на отрезок [АВ]
постоянной длины 2а, движущийся
так, что концы его все время нахо-
дятся на координатных осях.
108
Рис. 27,
Рис. 28.
8. Астроида x—acos3/, y~a sin3/, t £ [0, 2л), или х2/3+*/2/3=я2/3
(рис. 27). Характеристическое свойство: всякая точка М этой кривой
есть основание перпендикуляра [Р7И] к отрезку [ЛВ] постоянной
длины а, движущемуся так, что концы его все время находятся на
координатных осях.
9. Эвольвента (развертка) окружности х — a (cos / +1 sin /),
у — fl(sin/— /cos/), /£ [0, go) (рис. 28). Характеристическое свой-
ство: каждая точка М этой
кривой есть конец нити, кото-
рая, оставаясь натянутой, раз-
матывается с окружности х2 +
4-£/2 = «2 начальный момент
конец нити находится в точке
A (а, 0)).
10. Циклоида x = a(t—sin /),
у — а (1 — cos /), / £ (— со, оо)
(рис. 29). Характеристическое
свойство: кривая совпадает с
траекторией точки М окружно-
сти радиуса а, которая катится
без скольжения по оси Ох (в начальный момент точка М находится
в начале координат).
11. Эпициклоида х = (aA~b) cos / — a cos ~~~ Л У~ (a-\-b) sin/ —
— flsin^-i-^/, / g [0, • оо) (рис. 30). Характеристическое свойство:
кривая совпадает с траекторией точки М окружности радиуса а,
которая катится без скольжения по окружности х2 + ^/2 — 62, оставаясь
вне ее (в начальный момент точка 7И находится в положении А (Ь, 0)).
В частном случае а~Ь соответствующая кривая называется кар-
дной до й.
12. Г ипоциклоида х — (b — a) cos t^a cos /, g~(b—a) sin/—
— a sin - 62 /, / g [0, оо) (рис, 31). Характеристическое свойство:
ПО
кривая совпадает с траекторией точки М окружности радиуса а9
которая катится без скольжения по окружности х2 + #2 = 62, оста-
ваясь внутри ее (в начальный момент точка М находится в положе-
нии А(Ь, 0)), В частном случае а~ Z?/4 эта кривая совпадает
с астроидой.
13. Полукубическая парабола у2~ах3 (рис. 32).
14. Петлевая парабола ау2~х (х—а)2 (рис, 33),
8а2
15. Локон Аньези у~— § (рис, 34).
х& -j- ча
16. Декартов лист —8аху = Ъ (рис. 35),
§ 4. Поверхности и кривые в пространстве
1. Уравнения поверхности и кривой в декартовой прямоуголь-
ной системе координат. Говорят, что поверхность <$ в системе коор-
динат Охуг имеет уравнение
F(x, у, z)=0, (1)
если выполнено следующее условие: точка М (х, у, г) принадлежит
поверхности S в том и только в том случае, когда ее координаты
111
х, у и г удовлетворяют соотношению (1). Если, в частности,
Е(х, у, z) = f(x, у) — z, то уравнение (1) может быть записано в виде
z=f(x, </). (2)
и в этом случае поверхность S совпадает с графиком функции двух
переменных f (х, у).
Кривая Г в пространстве в общем случае определяется как линия
пересечения некоторых поверхностей S1 и S2 (определяемых неодно-
значно), т. е. заданием системы двух уравнений
Fi (х, У, z) = 0, F2(x, у, z)=0. (3)
Пример 1. Вывести уравнение поверхности, каждая точка
которой расположена вдвое ближе к точке А (2, 0, 0), чем к точке
В (—4, 0, 0).
Если S — поверхность, заданная условиями задачи, то 7И (х, у, z)£S
в том и только в том случае, когда р(Л4, В) = 2р(М, Л), или
У(х+4)2+г/2+г2 = 2 У(х —2)2+z/2+z2.
Отсюда получаем
(x+4)2 + ^2+z2-4((x-2)2 + y2 + z2),
Зх2 — 24x + 3r/2 + 3z2 = 0
или, выделяя полный квадрат в слагаемых, содержащих х,
(%__4)2 + ь/2_|_22==16> (4)
Уравнение (4) и есть искомое уравнение поверхности. Из него
видно, что заданная поверхность S есть сфера радиуса 4 с центром
в точке 7И0(4, 0, 0).
Пример 2. Исследовать форму кривой Г, заданной урав-
нениями
J (x-l)2+r/2+z2 = 36,
И+z-o. ()
Определить вид ее проекции на плоскость Оху.
Кривая Г задана как линия пересечения сферы (х—l)2+#2+z2=36
с плоскостью y-l~z = 0 и, следовательно, есть окружность. Так как
центр сферы С(1, 0, 0) лежит в плоскости сечения y-j-z — O, то центр
окружности совпадает с точкой С, а ее радиус равен радиусу сферы,
т. е. R = 4.
Установим форму проекции окружности Г на плоскость Оху,
Исключая z из системы (5), получаем (х—I)2 + 2у2 — 36, или
(х—I)2 , у2 ~
-—I. Отсюда заключаем, что искомая проекция—эллипс,
оо 1о
главные оси которого сонаправлены с осями Ох и Оу, центр нахо-
дится в точке С' (1, 0), а полуоси равны а — 6, &=з ►
Установить, какие геометрические образы определя-
ются заданными уравнениями:
4.1. г + 5-0. 4.2. х — 2y + z — 1-0.
4.3. ха + #2 + г2-4. 4.4. (х —2)2 + //2 + (г+I)2-16.
112
4.5. 2x2 + y2 + 3z2 = 0. 4.6. х2 + 4г2 = 0.
4.7. x2 + 2y2 + 2z2 + 7 = 0. 4.8. x2 — 4г2 = 0<
4.9. хг = 0. 4.10. xyz = Q.
4.11. x2 —4x = 0. 4.12. xy — y2 = 0.
4.13. Вывести уравнение поверхности, разность квад-
ратов расстояний от каждой точки которой до точек
Fj(2, 3, —+) и F2(2, —7, —5) равна 13.
4.14. Вывести уравнение поверхности, сумма квадра-
тов расстояний от каждой точки которой до точек
^i(—ау 0» 0) и F2(a, 0, 0) равна постоянному числу 4а2.
4.15. Вывести уравнение поверхности, сумма расстоя-
ний от каждой точки которой до точек Fx (0, 0, —4)
и F2(0, 0, 4) равна 10.
4.16. Вывести уравнение поверхности, модуль разности
расстояний от каждой точки которой до точек Fx(0, —5, 0)
и F2 (0, 5, 0) равен 6.
4.17. Установить, что каждое из следующих уравне-
ний определяет сферу, найти ее центр С и радиус F:
a) х2 + z/2 + г2 — 6г = 0;
б) х2 + у2 + г2 — 4х — 2y-\-2z — 19 = 0.
4.18. Составить- уравнение сферы в каждом из сле-
дующих случаев (обозначено: С —центр сферы, R — ра-
диус, 714, Мг, 714 2, 7143 —точки на сфере):
а) С(—1, 2, 0), /? = 2; б) 714(2, —1, —3), С(3, —2, 1);
в) Л41(2, —3, 5) и 7И2(4, 1, —3) —концы диаметра
сферы;
г) С(3, —5, —2), плоскость 2х — у — 2z + 11 = 0 ка-
сается сферы;
д) 7I4J3, 1, —3), 7142(—2, 4, 1), 7И3(—5, 0, 0), C£F:
2х + у-— г+ 3 = 0.
4.19. Составить уравнение сферы, центр которой лежит
на прямой
f 2х + 4г/—-г—- 7 = 0,
\ 4х+ 5г/ + г—14 = 0
и которая касается плоскостей х + 2у — 2г —-2 = 0 и
х + 2у — 2г+ 4 = 0.
4.20. Составить уравнение сферы, вписанной в тет-
раэдр, образованный плоскостями
Зх — 2г/+ 6г — 8 = 0, х = 0, z/ = 0, г = 0.
ИЗ
4.21. Составить параметрические уравнения диаметра
сферы х2 + у2 + г2 — 2х — бу + z — 11 = 0, перпендикуляр-
ного к плоскости 5х —г/ + 2г—17 = 0.
4.22. На сфере (х — 1)2 + (у + 2)2 + (г — 3)2 = 25 найти
точку Мо, ближайшую к плоскости Зх — 4?+19=0,
и вычислить расстояние от этой точки до плоскости.
4.23. Определить, как расположена плоскость отно-
сительно сферы (пересекает, касается или проходит вне ее),
если плоскость и сфера заданы уравнениями:
а) г = 3, х2 + у2 + г2 — 6х + 2у—Юг+ 22 = 0;
б) z/=l, x2 + y2 + z2 + 4x — 2у — 6г + 14 = 0;
в) х = 5, х2 + #2 + г2—- 2х + 4//— 2г — 4 = 0.
4.24. Установить, какие кривые определяются сле-
дующими уравнениями:
f х — 5 = 0, f х2 + «/24-г2 = 49,
а) 1 г + 2 = 0; Цу = 0;
J х2 4-у2 4-г2 =20, ( x2 + y2 + z2 = 49,
В' | г — 2 = 0; ГЦ x24-t/24-z2 — 4z — 25 = 0.
4.25. Найти центр и радиус окружности:
I х2 + //24-г2= Юу,
а) \ х + 2у + 2г- 19 = 0;
I (х-3)2 + (У4-2)2 + (2-1)2=100,
’ \ 2х-2у—г + 9 = 0.
• Центр окружности есть проекция центра сферы на плоскость.
4.26. Найти проекцию на плоскость г = 0 сечения
сферы х2 + г/2 + г2 = 4 (х — 2у~ 2г) плоскостью, проходя-
щей через центр сферы и перпендикулярной к прямой
х = 0, # + г = 0.
4.27. Точки А (3, —2, 5) и В(—1, 6, —3) являются
концами диаметра окружности, проходящей через точку
С(1, —4, 1). Составить уравнения этой окружности.
4.28. Составить уравнения окружности, проходящей
через три точки /ИДЗ, —1,—2), Л42(1, 1, —2) и
Л43 (—1, 3, 0).
2. Алгебраические поверхности второго порядка. Алгебраической
поверхностью второго порядка называется поверхность S, уравнение
которой в декартовой прямоугольной системе координат имеет вид
Лх2 + + Сг? + +2£xz+2/ч/?+Ox+?fy+/?+/(== 0, (6)
114
где не все коэффициенты при членах второго порядка одновременно
равны нулю (в противном случае S — алгебраическая поверхность
первого порядка, т. е. плоскость).
Может оказаться, что уравнение (6) определяет так называемую
вырожденную поверхность (пустое множество, точку, плоскость, пару
плоскостей, прямую). Если же поверхность невырожденная, то преоб-
разованием декартовой прямоугольной системы координат ее урав-
нение (6) может быть приведено к одному из указанных ниже видов,
называемых каноническими и определяющих тип поверхности.
Рис. 36.
Рис. 37.
1. Эллипсоид’. 2. Гиперболоид у2 <<2 ?2 5 l£-4.2_==i а2 "Г fe2 "Г С2 (рис. 36).
а) однополостный*. а2 ' Ь2 с2 (рис. 37, а)\
б) двуполостный: а2 ’ Ь2 с2 (рис. 37,6).
3. Конус второго порядка-. X2 U2 22 *— i_~o а2 Ь2 с2 (рис. 38).
4. Параболоид а) эллиптический*. — 4-^—2 й2“Г Ь2~г (рис. 39, а);
б) гиперболический*. х2 У2 (рис. 39, б).
5. Цилиндр второго порядка а) эллиптический*. ^-+^1 а2 ' Ь2 (рис. 40, а);
115
б) гиперболический:
в) параболический:
а* Ь*
yi=2px, р>0
(рис. 40, б);
(рис. 40, в).
Общие методы приведения уравнения (6) к каноническому виду
опираются на теорию квадратичных форм и рассматриваются в п. 4
Рис. 38.
Рис. 39.
Рис. 40.
§ 3 гл. 4. Цель настоящего пункта состоит в изучении основных
геометрических свойств невырожденных поверхностей второго порядка
на основе их канонических уравнений.
Основным методом исследования формы поверхности по ее урав-
нению является метод сечений.
Пример 3. Методом сечений исследовать форму и построить
поверхность, заданную уравнением
z =
I — У—
16 25
(7)
116
В сечении поверхности горизонтальной плоскостью z — h имеем
кривую Г/г, проекция которой на плоскость Оху определяется урав-
нением
Л = 2 1
х2 у2 \
Гб"- 25
или
£ . У2 =
16 "T" 25
2—ft.
(8)
Уравнение (8) при h > 2 не имеет решений относительно (х, у). Это
означает, что соответствующее сечение пусто, т. е. рассматриваемая
поверхность целиком расположена ниже плоскости г = 2. При 2
уравнение (8) определяет эллипс с полуосями а = 4 У 2—h
и Ь = 5 У'2 — 1г, вырождающийся в точку х = у—0 при h = 2. Заметим,
что все эллипсы, получающиеся в сечениях поверхности плоскостями
/ d 4 \
x — h^2, подобны между собой -——const—— , причем с умень-
\ о о J
шением h их полуоси неограниченно и монотонно возрастают.
Полученной информации достаточно, чтобы построить эскиз по-
верхности. Дальнейшее уточнение ее формы можно получить, если
рассмотреть сечения координатными плоскостями Oxz и Oyz. Сечение
плоскостью Охг\ у —0 дает кривую х2 = 16(2—z), т. е. параболу
с параметром р — 8, вершиной в точке х = 0, г = 2 и ветвями, на-
правленными в сторону убывания значений г. Наконец, сечение
плоскостью Oyz\ х = 0 дает параболу у2 = 25 (2—г) с параметром
25
р = вершиной в точке у —О, z — 2 и аналогично направленными
ветвями.
Выполненное исследование позволяет теперь достаточно детально
изобразить заданную поверхность (рис.
Заданная поверхность есть эл-
липтический параболоид. Преобразо-
вание координат
х'—х, у' — у, z' = 2—z
(которое сводится к сдвигу начала в
точку (0, 0, 2) — вершину параболоида
и обращению направления оси Oz)
приводит его исходное уравнение (7)
к каноническому виду
М2 ,(У)2_ , ,9)
Пб"+“25—2 • (9)
41).
Рис. 41.
4.29.
Установить тип заданных поверхностей и построить их:
у2 fj2 «2 у2 *.2 у2
т+т+1=г ' i.
4.31. х2 + г/2 — г2 = — 1. 4.32. %2—р'2 = г2.
4.33. х2 + #2=2ог, а =7^0. 4.34. х2—y2 — <2az, #у=0.
117
4.35. 2z = x2 + -y-. 4.36. x2 = 2az, a =0=0.
4.37. z = 2 + x2 + r/2. 4.38. —^- = 3z.
5 4
4.39. x2 + //2 —г2 = 4. 4.40. x2—y2-\-z2 + 4^Q.
4.41* * Доказать, что уравнение z2 = xy определяет
конус с вершиной в начале координат.
4.42* . Доказать, что уравнение z = xy определяет
гиперболический параболоид.
4.43. Назвать и построить поверхности:
a) x2 = 2yz\ б) z — a = xy.
4.44. Составить уравнения проекций на координатные
плоскости сечения эллиптического параболоида y2 + z2=^x
плоскостью х + 2у— z = 0.
4.45. Установить, какие кривые определяются сле-
дующими уравнениями:
( ** , У2 О ( У2 Г>
\ -о- + -т- = 2г, _ I —А----~- = 2z,
а) < з 6 б) < 4 з
I Зх — у + 6г— 14 = 0; { х — 2у + 2 = 0.
4.46. Найти точки пересечения поверхности и прямой:
у2 //2 -2 _д_Х_ I _ ~ 1 х—3 тл — _У—4_ z+2 ,
81 * 36 ‘ 9 3 —6 4 ’
у2 f,2 y2i X и - У z-l-2 .
°' 16 9 4 “ 1 и 4 ' —3 4 ’
СП к> СО %+ 1 И 2 _ У—2 z-p 3 — 1 —2 *
® Перейти к параметрическим уравнениям прямой.
4.47. Доказать, что в каждом из указанных ниже
случаев заданные поверхность и плоскость имеют одну
общую точку, найти ее координаты:
у-2 л, 2
а) + = 2х-2у-г-10 = 0-,
У 2 .«2 j>2
б) 4- + Л— 4-==~1’ бх + 2г + 5 = 0;
9 2 2
в) Тг + 4-4" = l’ 4х —3z/+12z —54 = 0.
О JI Ov *_/
4.48. Доказать, что плоскость 2х—12у — г+16 = 0
пересекает гиперболический параболоид х2 — 4y2 = 2z по
прямолинейным образующим (т. е. прямым, целиком ле-
жащим на этой поверхности). Составить уравнения этих
образующих.
118
4.49. Доказать, что плоскость 4-х —5z/ — 102 — 20 = 0
lF Z&
пересекает однополостный гиперболоид + —-£ = 1 по
прямолинейным образующим. Составить уравнения этих
образующих.
3. Классификация поверхностей по типу преобразований сим-
метрии. В зависимости от типа симметрии выделяют три класса по-
верхностей: цилиндрические, конические и поверхности вращения.
Цилиндрической поверхностью (цилиндром) называется поверх-
ность, инвариантная относительно преобразований параллельного
переноса Т (tq), определяемых любым вектором, коллинеарным неко-
торому вектору q (I, т, п). Из этого определения следует, что если
точка Л40(х0, г/0, z0) принадлежит цилиндру 5, то и вся прямая
х—х0 у—Уо Z— Zq
—_— также принадлежит этому цилиндру.
Принята следующая терминология: всякая прямая, коллинеар-
ная вектору q(l, tn, п), называется осью цилиндра S; прямые
X— Хп U — Уn Z— Zn \ о
—-—-=.<, /И0(х0, r/0, z0) С с>, целиком принадлежа-
щие цилиндру, называются его образующими', всякая кривая Г,
лежащая на цилиндре и пересекающая все его образующие, назы-
вается направляющей этого цилиндра.
Пусть q(l, т, п) — любой вектор, коллинеарный оси цилиндра S,
а направляющая Г задана уравнениями
FA(x, у, z) = 0, F2(x, у, z) = 0.
Точка М (х, у, z) принадлежит цилиндру S в том и только в том
случае, когда существует число t такое, что точка с координатами
х-j-//, z-\-tn лежит на образующей Г, т. е.
i Ft (x-\-tl, y-\-tm, z-\-tn)=Q,
| Г2 (х+^. y-\-tm, z~Ftn)=Q. ' '
Исключая параметр t из системы (10), получим соотношение вида
F (х, у, z) = 0, которое и является уравнением заданного цилиндра.
Пример 4. Написать уравнение цилиндра, ось которого сов-
падает с координатной осью Oz, а направляющая задана уравнениями
F (х, у) — 0, z—h~0.
Полагая q = fe(0, 0, I), получим систему (10) в виде F(x, у) = 0,
z-}-t—/z=0. Этот результат означает, что точка М (x,y,z) принадлежит
цилиндру в гом и только в том случае, когда ее координаты х и у
удовлетворяют уравнению F (х, у) = 0 при произвольном значении
координаты z. Следовательно, уравнение F (х, t/) = 0, описывающее
проекцию направляющей на плоскость Оху, и есть уравнение задан-
ного цилиндра.
Построить заданные цилиндрические поверхности:
4.50. z/2 + z8 = 4. 4.51. 1.
4.52. х* + у* = ах. 4.53. х2=6г. 4.54. г = 4 — х2.
119
4.55. х2 — xy = Q. 4.56. х2 — г2-0.
4.57. #2 + 2г2 = 0. 4.58. xz = 4. 4.59. y2 + z2=^ — z.
4.60. Составить уравнения трех цилиндрических по-
верхностей, описанных около сферы х2 + у2 + ?2 — 2ах = 0
с осями, параллельными соответственно: а) оси Ох;
б) оси Оу; в) оси Oz.
4.61. Найти уравнение цилиндра, проектирующего
окружность
J х2 + (// + 2)2 + (г —1)2 = 25,
| x2 + y2 + z2 = 16
на плоскости: а) Оху; б) Oxz; в) Oyz.
4.62. Найти уравнение проекции окружности
( (%+1)2 + (^ + 2)2 + (г-2)2-36,
\ x* + (y + 2)2 + (z-l)2 = 25
на плоскости: а) Оху; б) Oxz; в) Oyz.
4.63. Составить уравнение поверхности, каждая точка
которой одинаково удалена от прямой х = а> у = 0 и пло-
скости Oyz. Построить поверхность.
4.64. Составить уравнение цилиндра, если:
а) ось коллинеарна вектору #(1, 2, 3), а направляю-
щая задана уравнениями #2 = 4х, z = 0;
б) ось коллинеарна вектору #(1, 1, 1), а направляю-
щая задана уравнениями х2 + у2== 4х, z = 0.
4.65. Сфера x2 + y2 + z2 = 4z освещена лучами, парал-
лельными прямой х=0, y = z. Найти форму тени сферы
на плоскости Оху.
4.66. Построить тело, ограниченное поверхностями
у2 = х, z = 0, z = 4, х/=4, и написать уравнение диагона-
лей грани, лежащей в плоскости х = 4.
Конической поверхностью (конусом) называется поверхность,
инвариантная относительно преобразований гомотетии Н (k, Л1о) с про-
извольным коэффициентом k и центром в некоторой точке Мо (х0,
yQ, Zq), называемой вершиной конуса. Из этого определения следует,
что если точка Мг{хк, ylt ?i) принадлежит конусу, то вся прямая
X— Х1 У — У1 Z— ZT
----- — -——=------- , проходящая через эту точку и вершину 7И0
Х1— х0 У1---------Уо — ?0
и называемая образующей конуса, целиком лежит на конусе. Всякая
кривая Г, лежащая на конусе и пересекающая все его образующие,
называется направляющей этого конуса.
Пусть задан конус 3 с вершиной Л40(х0, yQ, z0) и направляющей
Р1 (х> У у z) =0, F2 (х> У> z) =0*
120
Точка М (х, у, г) принадлежит конусу 5 в том и только в том слу-
чае, когда существует число t такое, что точка с координатами
x-\-t (х—х0), y+t (у — уо), z-\~t (z—z0) лежит на образующей Г, т. е.
( Fi(x+t (х—х0), у+Цу—у0), z+t (z—zo))=O,
\ F2(x^-t(x—x<s), y+t(y—y9), z-H (z—-zo)) = O. 1 '
Исключая параметр t из системы (И), получим уравнение конуса
в виде F (х, у, z) = 0.
Пример 5. Написать уравнение конуса, вершина которого
находится в точке Мо (х0, у0, zQ), а направляющая задана уравне-
ниями F (х, f/)=0, г—/г = 0.
Система (11) при этих условиях принимает вид
( F (x-\-t (х—х0), y~\~t (у—уо)) = О,
I z+Z (z—z0)—h = Q.
T, . h — z (/i —z0) —(z —z0) h~~ Zq .
Из второго уравнения t =----=---------------—------- — 1, что
r z — z0 z—z0 Z—-Zq
после подстановки в первое уравнение дает
F (xo+(h-zo)^, yo+(h-z0)^-°}=0. (12)
\ Z— Zq z—Zo J
Уравнение (12) и есть уравнение заданного конуса. В частном
случае хо = уо=го = О (вершина конуса находится в начале коорди-
нат) уравнение конуса принимает вид
p(h —, Н-^-А=О. (13)
\ Z z J
Заметим, что уравнение (13) однородно относительно х, у и z
(т. е. не меняется при замене х, у и z на /х, ty и tz при произволь-
ном t 0), а уравнение (12) однородно относительно х—х0, у~ у о и
z—z0. >
4.67. Пусть функция трех переменных F(x, у, г) одно-
родна относительно х, у и г, т. е.
Y^0 2s С R(F(/x, ty, tz) = lsF(x, у, г)).
Показать, что уравнение F (х, у, z) — 0 определяет конус
с вершиной в начале координат, причем для любого h
кривая
Т-. 0 = 0, г-/1 = 0
\ h 9 h ’ J
есть его направляющая.
4.68. Составить уравнение конуса, вершина которого
находится в начале координат, а направляющая задана
уравнениями:
( х2 + //2 = а2, ( х2 + (у — 6)а + га = 25,
а) z = h\ б) | = 3;
121
/ //2 7
,)(& + ?-’• г)р’-2г+1=0,
’U = o; ’Ь-г+1-0.
Построить соответствующие конусы.
4.69. Составить уравнение конуса, если заданы коор-
динаты вершины 7И0 и уравнения направляющей:
а) 7Ио(О, —а, 0), х2=2ру, z = fr,
б) Мо(О, О, с), -+g=l, г = 0;
в) Л4о(О, —а, 0), x2 + y2 + z2 = a2, y + z = a;
г) Л4О(3, —1, —2), x2 + y2 — z2=li x—y + z = 0.
Построить соответствующие конусы.
4.70. Построить конус, определить его вершину и
направляющую в плоскости z = ht если конус задан урав-
нением:
а) *2 + (^/ — Л)2 — z2 — 0; б) х2=2//г.
4.71. Составить уравнение кругового конуса, для ко-
торого оси координат являются его образующими.
4.72. Составить уравнения проекций линии пересече-
ния сферы х2 + у2 + z2 = а2 с конусом х2 + у2 —- -г2 = 0 на
координатные плоскости:
а) Оху\ б) Oxz\ в) Oyz.
4.73. Источник света, находящийся в точке Л40(5, 0, 0),
освещает сферу х2 + //2 + г2 = 9. Найти форму тени на
плоскости Oyz.
Поверхностью вращения называется поверхность, инвариантная
относительно поворотов R (ф, и) на любой угол ф вокруг некоторой
фиксированной оси и. Эта поверхность может быть получена враще-
нием вокруг оси и кривой, получающейся в сечении поверхности
любой плоскостью, проходящей через ось симметрии.
Пример 6. Вывести уравнение по-
верхности, образованной вращением кривой
F (х, z)=0, у = 0 вокруг оси Oz (рис. 42).
Сечение поверхности произвольной плос-
костью z = z0 есть окружность с центром в
точке С (0, 0, z0) радиуса х0, причем
F (*о> =0. Поэтому для произвольной точ-
ки М (х, у, z) этой окружности имеем: z = z0
и р(Л4, Oz) — У x2-j- у2 — х0. Подставляя эти
равенства в соотношение F (х0, z0) = 0, полу-
чаем
f (|/х2 + (/2; г) = 0. (14)
Уравнение (14) и есть искомое уравнение заданной поверхности
вращения.
122
4.74. Составить уравнение поверхности, образованной
вращением кривой г = х2, // = 0:
а) вокруг оси Ог; б) вокруг оси Ох.
Построить обе поверхности.
4.75. Составить уравнение поверхности, образованной
вращением прямой z — y, х = 0:
а) вокруг оси Оу\ б) вокруг оси Oz.
Построить обе поверхности.
4.76. Составить уравнение поверхности, образованной
вращением вокруг оси Oz\
а) кривой г = £~*2, г/= 0;
4
б) Кривой Z =^2*1 Г/ = 0.
Построить обе поверхности в левой системе координат.
4.77. Показать, что поверхность — + 1 есть
поверхность вращения с осью Ох. Написать уравнение
кривой в плоскости г = 0, вращением которой получена
эта поверхность.
х2 - I Z/2 z2
4.78. Показать, что поверхность —---------ТГ” I есть
поверхность вращения. Найти ее ось симметрии и урав-
нения какой-нибудь кривой, вращением которой образована
эта поверхность.
ОТВЕТЫ
1.8. Л£4=—у(а+&), = &), = —ЛМ,
7Й5 = — ~МВ. 1.9. ~CD = q—р, DE = —p, EF = —q, EA=p~q,
AC=p+q, AD=2q, ~AE^2q—p, 1.11. MM' (ЛД' + ВВ' +
+ CC'). 1.13. AB=^^, ~BC=?FF-, VA =
= —y^y(a+6). 1.15. K=5. 1.18.0, 1, 2. 1.19. X = |x = l.
1.20. a) (— 1/2, 1/2, 1/2); 6) (1/3, 1/3, 1/3). 1.21. (7/10, 3/20, 3/20).
1.22. a) (1/2,0, 1/2); б) (1,—1/2, 1/2). 1.23. (1 —T , — 1). 1.24. a) | |=
Л
= Кб, ai 0(— 1/Кб, 2/К5, 0); 6) cos(aFf) = 2/Кб; в) X(a)=
4
= —19/3; г) пр/а = /(а)=0. 1.25. а^~2е. 1.26. о =—— et —
— -|<?2. 1.27. a=—2ei + e2—es. 1.28. а) а0(2/К13, 3/^13, 0);
О
б) a-|»+c = d(3, 11/2,0); в) а+Ь—2с = — 2J; г) пру(а—Ь)=6.
123
1.29. x = — 5Z-f-10/4-10/fe. 1.30. х = 2/+2У+2й. 1.31. х=±51 +
+ 1.32. а = -1, р=4. 1.33. х=|(1+7/+2&).
• х = Х(я0+&0), где ао и &о—орты заданных векторов а и Э.
1.34<_сс = 2, р = 3, 7 = 5. 1.35. а) (3, —6, 6); б) (5, 5, 1); в) (—б//^»
7/К 2, 5). 1.36. D (9, —5, 6)в 1.37. С (6,-2), D (2, —4). 1.38. Мг (7, 0)
и Л42(—1, 0). 1.39. М(0, 1, 0). 1.40. 7. 1.41. (4, 0) и (5, 2).
1.42. (—1, 2, 4) и (8, —4, —2). 1.43. (—19, 10, —17). ® Разложить
вектор OD по базису из векторов О А, ОВ и ОС. 1.44. (10, —5, 0).
• Разложить вектор ОВ по базису из векторов Z, /, О А.
1.46. /182/3. 1.47. (11/7, 10/7, 18/7). 1.49. а) 9; б) —61; в) 13.
1.50. а= ± 3/5. 1.51. (elt е2) = я/3. 1.52. a = arccos-g-. 1.53. 5.
1.55. DC=J.a| —а, 66=1*1 а_ъ, ЛС==1°|~,1*1 a4-fr,
DB — a — b. @ Сначала найти вектор Л/<, где 1\—такая точка осно-
вания,_что | М] = | ~АВ\. 1.56. —13. 1.57. а) 22; б) —200; в) 41;
г) /*105; д) 11/3; е) 22/7; ж) cos а = 2/3, cos |3 = — 1/3, cos у = —2/3;
з) -84//729; и) 11/21. 1.58. (1, 0) и М2 (6, 0). 1.59. | Л£|=5,
I ВС| = 5 У~2, |ЛС|=5; Л=л/2, В = С=л/4. 1.61. + . 1.62. 4.
7J/85
1.63.—4/5. 1.65. л/6.1.66. (1, 1/2, —1/2). 1.67. (—3,3, 3).1.68. a.j=2j,
at'k = —i-Yk. 1.69. а) (2/3, 2/3, 2/3); б) (—5/3, 4/3, 1/3). 1.70. (—2,
0, 2). 1.71. — ~k. © Вектор а е имеет вид ае е =
2 2 е1’ е2 ^1’ <2
= 211^1 + ^2^2» ГДО коэффициенты + и Х2 могут быть найдены из
условия перпендикулярности вектора а — <^е плоскости векторов
и е2. 1.72. х'=(х— хс) cos ф—(// — r/0)sin<p, у'=(х—x0)sin<p +
+ (*/—Ро) cos Ф- 1«73. X’ — X cos ф + У sin ф, Y' =— X sin ф-ф-У cos ф,
__ з
Z'=-Z. 1.74. (—2, У 2, 0). 1.75. а1Яг = У X^X^e2ek =
Л * = 1
= 5Х11’ ХУ + 2А11’ Х'г2’ + 9ХУ Х-У — 2 (xj1’ ХУ + ХУ Xj2)) —
- 3(хУхУ + ХУхУ)+4(хУхУ+хУХУ). 1.76. а) /35
б) 3 У 3; в) 10 У 3. 1.77.- [аъ а2]=0, т. е. а, || а2. 1.78. а) 2 (fe— i);
б) 2{а, с]; в) [а, с]; г) 3. 1.80. 50 У~2. 1.83. а) ф [а, &];
б) --§[«> И 1-84. а) (-3, 5, 7); б) (—6, 10, 14); в) (—12, 20, 28).
1.85. 2 У"б. 1.86. 5. 1.87. | а ] = | b | = | с | = 1; векторы попарно пер-
пендикулярны. 1.88. — 4/+3/+4&. 1.89. ‘/бб; cosa=l//'66,
cos₽ = ~4//66, cosy = -7//66. 1.90. —/”2. < 91. (—6,—24, 8).
1.92. (7, 5, 1). 1.93. a2JLai> бесконечное множество решений.
1.94. (—1/2, 0, 1/2). 1.95. Появится знак минус перед определителем;
в случае косоугольного базиса формула неверна. 1.96. • Вычислить
координаты обеих частей и убедиться, что они равны. Вычисление
координат удобно производить в следующем специальном базисе:
124
орт i сонаправлен с вектором Ь, орт j лежит в плоскости векторов
Ъ и с. 1.97. 24. 1.98. —7. а) Левая; б) правая; в) правая. 1.99. а) Нет;
б) да. 1.104. 17/2. 1.105. 6. 1.106. 3 К"2.
2.1. а) 2(х4*1) + 2(#—2) = 0. Общее уравнение: х-\-у—1=0.
тл 1 , 1 1 п 1
Нормальное уравнение: x-j--^~- у----^==0; /?=: — .
б) 2 (х—2) = 0. Общее уравнение: х—2 = 0, прямая параллельна оси
Оу. Нормальное уравнение: х — 2 = 0; р = 2. в) 2 (%—1) — (у—1)=0.
2
Общее уравнение: 2х—у—1=0. Нормальное уравнение: ——-х —-
К 5
----у=- у--Н= 0; р= . 2.2. а) ^^-=— . Общее урав-
Кб Кб Кб '3-1
1 3
нение: х-\-Зу—5 = 0. Нормальное уравнение: —- - х-т=-у —
Кю Кю
5 5 х— 1 у— 1 _ .
— —— — 0; р = —-т=-. б) —т—— —. Общее уравнение:—х4~
Кю Кю 0 —* 1
4-1—0, прямая параллельна оси Оу. Нормальное уравнение: х— 1 =0;
р = 1. в) —(Г-’ Оощее уравнение: у—1=0, прямая парал-
х____________________________________________________I
лельна оси Ох. Нормальное уравнение: у—1 =0; р = 1. 2.3. а) —-£-=
= -—— . Общее уравнение: х—£/4-1=0, Нормальное уравнение:
1,1 1л 1 х~1 ^—1
-----^=-х-\-—у р = -—. 6)——=^-^-. Общее
к 2 К 2 К^. К 2 0 ~3 4
уравнение: х—1=0, прямая параллельна оси Оу. Нормальное урав-
х_______________________2 у___2
нение: х—1=0; р = 1. в) у“- Общее уравнение: г/—2 = 0,
прямая параллельна оси Ох. Нормальное уравнение: у—2 = 0, р = 2.
2.4. a) p(M,L) = y=-, L':^=^=2, О': - 2 (%+1) +
+ (г/-2)=0; б) р(Л1, 1/2, L'-. , L"-. 2у = 0-,
в) р(/И, L)=0, L': L": х4-^4“ 1=0. 2.5. Пересекаются в
точке /Ио (—3/4, —1/2); cos (Llt L2) = 1/ К 5. 2.6. Пересекаются в точке
Л40 (1, 0); cos (L±, L2) =2/ К 5. 2.7. Параллельны; р (Lj, L2) = К~2/4.
2.8. Параллельны; p(Lf, L2) — К~2* 2.9. Совпадают. 2.10. а) (АВ):
х—1 у—2 ,г х —6 у—\ ,19 19 ,
г, (CD): —, ft==_—, cosqp=—= , Lt:
i -4 —4 -1 т К17-58
/_X~'-7=z =---ДГ2 — , L2: ( К26+5 К17) (х- 1) +
К26+5К17 -4К26—К17
+ (_4K26-Ki7)(</-2) = 0; б) (АВ)-. (СО): =
4 О <5
—4
У—2
125
х — 2
У , . 1 . х—2 г/-|-2 .
= -Z7> Л = 4, cos<p=-—Lt:----------—=?. Л_. £2;
—4 _ __/10 4 — 2/5 3-3-/б
(4-2/б)(х—2) +(3+ V 5)(у + 2) = 0. 2.11. / = -1/2.2.12. 4//5.
2.14. у^2х—6, у = — 2х+6. 2.15. Зх—2у— 12 = 0, Зх—8//+24 = 0.
2.16. а) Зх—2у—7 = 0; б) х—5у—7/6 = 0. 2.17. х—5//+3 = 0 или
5% + #—11=0. 2.18. х— 2у — 7 = 0, х— 4 у— 1=0, х—#+2 = 0.
2.19. © Отклонения 6(Л4г, L) и 6(Л42, L) имеют разные знаки.
2.20. 4% + #+5 = 0 или у—3 = 0. 2.21. а) В одном углу; б) в верти-
кальных углах. 2.22. Тупой. 2.2?. 4%—3#+10=0, 7х-\-у—20 = 0,
3%+4# —5=0. 2.24. х — Зу — 23=0, 7%-4-9#+19=0, 4% + 3#+13=0.
2.25. 2% + 9#~ 65 = 0 ----- -- -- -
6х —7#—25 = 0, 18%+13# —41=0.
2.26. а) 2%— #+?—2 = 0; 1/1^6; б) х—у = 0, плоскость параллельна
оси Oz и проходит через начало координат; 1/]/' 2. 2.27. а) % + #—
— 3 = 0; б) %+2# — 2 = 0. 2.28. а) х—2у—г = 0; б) —% + y~\~2z —
— 5=0. 2.29. а) — х-\-2у—Зг— 3 = 0; б) 2х—2у — ?+1=0.
2.30. а) % + #—3=0; б) 2х—у—1=0.
cos (Pi, Р2) =--. 2.32. Параллельны,
2 у 15
2.33. Пересекаются, cos (Pi, P2) = l/2. 2.34.
2.36. а) 4х—Бу-j-z — 2 = 0 и 2% + #—Зг + 8 = 0; б) Зх—6#+7г—4 = 0
и % + 4# + 3z + 4 = 0. 2.37. а) 4%—#—2г —4 = 0; б) 20х —12#+4г +
+ 13=0. 2.38. а) В смежных углах; б) в одном углу. 2.39. a) q =
( 4%-|-3# — 5 = 0,
= [Я}, п2]— — 3Z+4/+5&, уравнения в проекциях: 5% + Зг—7 = 0,
V 5#— 4?+1=0;
(7х-у+1=0,
б) q = [//j, п2\ =—i—7/—5&, уравнения в проекциях: j 5%—z—1 =0,
(5#—7г—12=0.
2__ У _
1 о
х~2__ У __
1 2
#+i_ z
—2 1 —3 ‘
. х — 2# + z = 0,
в) < о . ' • или
( 2% + #— 1 =0,
------г) 18//30; д) М' (3/5,-1/5, -1). 2.43. a) I//15,
z.----О
-6, -4), «) 31-!, + 2г_1=о; .) { /7+г+Д-0_()
а) 2х—16//—13z + 31 =0; б) 6х—20у—1 Iz+ 1 =0. 2.46. 25.
б) 4х+3//+12г—93 = 0; в) 13; r) / Дт ’
7 1 7 7 )—45%—-/6#+ 34?+ 497 = 0.
х — 3_у+2__г + 4
“5~— — 6 9 ’
2.31. Пересекаются,
Q
Р*>=ГЙГ
Совпадают. 2.35. 8.
2.40. a) i—2
# г + 3 х—2 #
X — 2 у 2
5 2
. х—2 у
0 ~ 0 ~ 1 ’ Д) — 4 ~
2.41. a)
-1/2 ’
2.42. а) х — 2# + г = 0; б) 2х-'гу~-1=0;
х у—1 z—2
3
- = ^±3-е)
8 10 ’ 7
; х-3
—1~
Л4 (1,
2.45.
2.48.
2.49.
3.1. См. рис. 43. 3.2. См. рис. 44. 3.3. Прямые х = 0 и х— у — 0.
3.4. Прямые #=0 и х-}-у — О. 3.5. Прямые х—у =0 и х~\-у=0).
126
3.6. Прямые х = Ои z/ = 0. 3.7. Прямые у=±3, 3.8. Прямые х~—2
и х = 3. 3.9. Прямые у = 0, х = 2 и х = 5. ЗЛО. Окружность радиуса
R—2 с центром в начале координат. ЗЛЕ Окружность радиуса
/? = 1 с центром в точке С (0, —3). 3.12. Начало координат. 3.13. Пу-
стое множество. 3.14. Точки (0, il). 3.15. х—у~0). 3.16. 4ах±с=Ь.
3.17. у = ±'2х. 3.18. ха4-//а = 16. 3.19. x2 + j/? = 8. 3.20. ^--J-z/^l.
3.21. х{/ = 2. 3.22. у = х4*2. 3.23. а) С(2, —3), /? = 4;
б) С (4, 0), /?=4; в) С(0, —2), Я =2. 3.24. а) (х-2)24-
+({/4-3)? = 49; б) (х-j-1)2-Ь(^—2)? = 25; в) (х—1)?4-({/-4)а =
= 8; г) (х— 1)а+(1/+1)2 = 4; д) (х—1)24-({/—1)2 = 1 или
(х—5)?+(l/-5)a=25; е) (x-2)2+(j/~4)a=10; ж) (х-|-4)?4-(//4-1)?=25.
• Написать уравнение искомой окружности в виде х24-у2+7)х4-
4-£,{/4*77=0, подставить в него координаты каждой точки и затем
найти D, Е и F. 3.25. 2х—5//4-19=0. 3.26. а) 7; б) 2. 3.27. а) Пе-
ресекает; б) касается; в) проходит вне окружности. 3.28. а) а = 5,
6=3; 6)f'l(—4,0), Г2(4,0); в)е = -|-; г) Df. х = — -г Df. х=^.
у2 f,2 у2
3.28. »)
у2 fj2 у2 «.2
5+Т = ’: е> 64+41Н-
з.зо. =
а? 1 Ы
3.31. a) С(3, —1), а=3, Ь=У5, е = 2/3, Dt: 2х4-3=0, Ds:
2х—15=0; б) С(—1,2), а=5, 6=4, в=3/5, Df. 3x4-28=0,
О,: Зх—22 = 0; в) С(1, —2), а=4, 6=2/3, е=1/2, Df. {/4-10=0,
Df. у—6=0, 3.34.^4-^-=1, гм=4± УЗ, рМ=у=(4± КЗ).
3.35. ( — j, ± 3-зе- 2x5—2х{/4-2{/2—3 = 0. 3.37. 7х2—2х{/+
+7//?—46x+2f/+71 =0. 3.38. а) Прямая пересекает эллипс; б) про-
ходит вне эллипса; в) касается эллипса. 3.40. Зх-|-2//—10 = 0 и
3%+2г/+10 = 0. 3.41. *+//—5 = 0 и *+#+5 = 0. 3.43. х-}-у—5 = 0
и х+4у—10 = 0. 3.44. Л40(—3, 2), КТЗ. 3.46. 2x4-1!{/ —10 = 0,
® Воспользоваться результатом задачи 3.45. 3.47. а) « = 3, 6 = 4;
б) F1{~~5, 0), F2(5; 0); в) е = -^-; г) {/ = ±-Е; Д)*=±-Т’
О о о
127
5 4
3.48. а) a = 4, 6 = 3; б) 7^(0, -5), F2 (0, 5); в)е = -Н-; г) ^=±±Х;
1 6 X2 и2 X2 112 Y2 и2
д) у=±™. 3.49. а)--^- = 1; 6) ^=1; в) Х—^=1;
Г) ii-El-i- „) е) i!_^-i 3 50 (x~xo)2
П 64 36-1’ Д) 36 64 *’ ’ 4 5 -1‘ 3’50‘ о2
— (У Уо) _;, 3,51. а) С (2, —3), а — 3, Ь = 4, е = 5/3, уравнения
асимптот: 4х— Зу—17 = 0 и 4x-j- Зу-|-1 = 0, уравнения директрис:
5х—1=0 и Зх—19 = 0; б) С(—5, 1), а —8, Ь — 6, 6 = 5/4, уравне-
ния асимптот: Зх+4#+Н—0 и Зх—4#+19 = 0, уравнения директ-
рис: х — —11,4 и х = 1,4; в) С (2, —1), а=4, 6 = 3, е = 5/4, уравнения
асимптот: 4x-f-3r/—5 = 0 и 4х—Зу—11=0, увавнения директрис:
^-4,2 и г/ = 2,2. 3.54. >4 = 9/4, г2 = 41/4, р(/И, £)1)=9/5,
р(Л4, D2)=41/5. 3.55. (—6, ±4/3). 3.56. 7j/2-f-24xi/—144 = 0,"
3.57. 7х2 — вху—//?4-26х— 18у—17 = 0. 3.58. у-^ = 1, е = }<2,
-К2), Г2(^2, /¥). Diti: x~j-у ± ^2 =0.
3.59. ^—^1 = 1. ® См. задачу 3.39. 3.60. 10х—Зу—32 = 0,
10х—3//4-32=0. 3.61. Зх—4у—10 = 0, Зх—4//4- 10 = 0. 3.63. 5х —
— Зу—16=0, 13x4-5у 4-48=О’. 3.64. Мо(—6, 3), р=11/|<13.
3.66. 2x4-111/4-6=0. * Воспользоваться результатом задачи 3.65.
3.67. а) р = 3; б) р = 5/2; в) р = 2; г) р = 1/2. 3.68. a) у2 = — х;
б) х2 = — 2у, в) х2 = —12//. 3.69. а) (у—у0)2 =2р (х—х0); б) (//—//0)2=
=—2р(х—х0). 3.70. а) А (2, 0), р = 2; б) А (0, 2), р= 1/2; в) А (1,3),
р=1/8; г) Л (6, —1), р = 3; д) Л(1, 2), р = 2; е) А (—4, 3), р = 1/4.
3.72. 6. 3.73. а) у = ~х2~~х^З; б) х2 +2ху +у2 — 6х+2у+9 = 0.
3.74. УоУ = р(х-}-хо). 3.75. х+у+2=0. 3.76. 2х—у—16 = 0.
3.77. Зх — г/ + 3 = 0 и Зх — 2^4~ 12=0. 3.78. М0 (9, —24), р (/И0,Г)=10.
3.80. у—18 = 0. 3.81. tgcp = 1. 3.82. rsincp = l. 3.83. rcos ^ср-^ =
— —7г=7. 3.84. г —а. 3.85. г2 ———. 3.86. r = acoscp.
2 cos
3.87. Окружность х2-{-у2 — 23. 3.88. Прямая у — — х. 3.89. Прямая
х=2. 3.90. Прямая у—\. 3.91. Прямая х—у—1=0. 3.92. Прямая
х-\-у—2=0. 3.93. Окружность (х—а)2 + у2 = а2. 3.94. Окружность
х2-г(у—а)2 —а2. 3.95. Пара лучей х—±2у, у^0. 3.96. Семейство
концентрических окружностей радиусов гп — (—1)п —+ ли, п = 0, 1,
2, ... 3.97. Гипербола ху = а2. 3.98. Лемниската Бернулли
(х2-\-у2)2— а2 {х2—у2). 3.99. а) г cos ср = 3; б) ср = зт/3; в) tg ср = 1.
3.100. а) г = 10 cos ср; б) т— ± 6 sin ср. 3.101. а) С (2, 0), R— 2;
б) С (3/2, л/2), R =3/2; в) С (5/2, —л/2), R =5/2; г) С (3, л/3),
7^ = 3; д) С (4, 5л/6), R =4; е) С (4, —л/6), /? = 4. 3.102. г2 — 2г0гХ
Xcos (ср — сро) — R2—го- 3.103. а) г — ?—---’> б) г — -- --.
и 7 5 —3coscp 7 5 + 3 cos ср
9 9 3
3.104. а) г = ; б) г = -—+----. 3.105. г = --------------.
4—5 cos ср 4 — 5costp 1—cos ср
128
3.106. a) C + f = l; 6) fg-^=l; B) i/2 = 6x. 3.107. r2=
-- --f g-. 3.108. r? = -5 b4-----p 3.109. r = 3.110.
1—e2cos2(p e2 cos2 <p—1 Siircp
a) x = tt у = t -f-1, /^[—1, -ф-оо); 6) x — t — I, y~t, t [0, —j-co);
. . . f2 . /2 , ..... , . . /2 cos i
в) x = —l+ЛрЛ y= — t, /£[о,+<»); r)x = ~^-----------/—
cos I t-— I
\ 4 J
a) x = l + -A-Z, p =
И О
/2 sinf 4)- 8nl-
V~ 2 Л Зл\ L 4>
cos —T j
= l+v=/, <€[0, ^6)X=2--^=t,y=3
У 5 V 5
9 _
/€[о, Гб].
V 5
3.112. x = x0+ R cos /, У — У0+ R sin/, /00, 2л).
= R (1 + cos 2/), # = /?sin2/, /0—л/2, л/2); 6) x~ R (1 -ф-cos /),
y = R sin/, /00, 2л). 3.114. Прямая x-f-2# " "
y2 = x. 3.116. Окружность (х-ф-l)2 + (i/— 3)2 = 4
x2 t/2
___1_2_ = 1. 3.118. Правая ветвь гиперболы
a2 1 b2
x2 у2
3.119. Правая ветвь гиперболы 3.120. Окружность
(х—R)2у2 — R23.121. Окружность х24~(#—R)2 — R2. 3.122. Верх-
. 2о ото abcost
няя ветвь параболы у2 = 2рх. 3.123. х = —7=============z =
У a2 sin2 t-\-b2 cos2 /
ab sin / ,-гл n < cos /
£/=.. ---- --------— , /GfO, 2л). 3.124. x =
~Уa2 sin2 / + b2 cos2 /
ab sin /
y== ---- , где
У b2 cos2 / —a2sin2 /
3.113. а) х =
3.115. Парабола
3.17. Эллипс
(Х-1)2
3=0.
4
У'b2 cos21 — a2 sin21 ’
VZ-f 4 b . b\
t £ arctg ~ , arctg — ) для пра-
вой ветви и /£^л—arctg ~ ,
/2
3.125. а) +с°)’ 6)* = 2pctg2/, # = 2pctg/,
где I £ (0, л/2) для верхней ветви и t £ (Зл/2, 2л) для нижней
в) х= -j-ctg2-^- , 4/ = pctgy , t£(0, 2л).
л
для левой ветви.
ветви;
4.1. Плоскость z — —5, параллельная плоскости Oxy. 4.2. Плос-
кость с нормальным вектором п(1, —2, 1). 4.3. Сфера радиуса R = 2
с центром в начале координат. 4.4. Сфера радиуса 7? = 4 с центром
в точке С (2, 0, —1). 4.5. Начало координат. 4.6. Ось Оу. 4.7. Пустое
множество. 4.8. Пара пересекающихся плоскостей х—2z = 0 и
x + 2z = 0, параллельных оси Оу. 4.9. Пара координатных плоскостей
Oyz и Оху. 4.10. Тройка координатных плоскостей. 4.11. Пара пло-
скостей х = 0 и х = 4. 4.12. Пара плоскостей # = 0 и у = х.
X2 И2 Z2
4.13. 20{/4-53 = 0. 4.14. x2 + z/2+z2 = a2. 4.15. ~о+4~+-^-=1.
У У 2-0
у2 <>2 л>2
4.16. 4.17. а) С (0, 0, 3), /?=3; б) С (2, b-1),
Я = 5. 4.18. a) (x+1)2 + (^-2)2 + z2 = 4; б) (x-3)2 + (i/ + 2)2+
5 Под. ред. А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича 129
+ (z—1)2 = 18; в) (x-3)2+(f/+ l)2 + (z-1)2 = 21; r) (x-3)2 +
+ (*/+5)2 + (* + 2)2 = 56, д) (х-1)2 + (1/+2)22+ (z-3)2 = 49,
4.19. (x+l)2 + (#—3)2+(z —3)2 = 1. 4.20. (x-A ) +G+4Y +
+ . 4.21. x =—1 + 5/, y=3-t, г = -±+2/.
4.22. Mo(—2, —2, 7), p = 3. 4.23. а) Пересекает; б) касается; в) про-
ходит вне сферы. 4.24. а) Прямая, проходящая через точку (5, 0, —2)
параллельно оси Оу, б) окружность в плоскости Oxz, имеющая центр
в начале координат и радиус R—7; в) окружность, лежащая в пло-
скости z = 2c центром в точке С (0, 0, 2) и радиусом R — 4; г) окруж-
ность в плоскости z=6 с центром в точке С (0, 0, 6) и радиусом R— 13.
4.25. а) С (1, 7,2), R = 4;6)C(—1,2,3), R = 8. 4.26. Эллипс {*~2)'+
1. 4.27.
, C(/ + 4)2 4 9_ J (x-l)2+0/-2)2+(z-l)2 = 36,
+ “~I8“~L 4*27- 1 2x—z—1=0.
4.28. 3) 27, 4.29. Эллипсоид. 4.30. Однопо-
лостный гиперболоид. 4.31. Двуполостный гиперболоид вращения.
4.32. Конус. 4.33. Параболоид вращения. 4.34. Гиперболический па-
раболоид. 4.35. Эллиптический параболоид. 4.36. Параболический ци-
линдр. 4.37. Параболоид вращения с вершиной (0, 0, 2). 4.38. Гипер-
болический параболоид.4.39. Однополостный гиперболоид вращения.
4.40. Двуполостный гиперболоид вращения. 4.41. • Воспользоваться
однородностью уравнения. 4.42. • Перейти к новой системе координат
поворотом осей Ох и Оу вокруг оси Oz на угол л/4. 4.43. а) Конус второго
порядка с вершиной в начале координат (см. задачу 4.41); б) гипербо-
лический параболоид (см. задачу 4.42). 4.44. На плоскость Оху\ х2+4хг/+
+ 5i/2— х = 0; на плоскость Oxz: х2— 2xz + 5z2— 4х = 0; на плоскость
Oyz: z/2+?2 + 2//—z = 0. 4.45. а) Эллипс; б) парабола. 4.46. а) Л+(3,
4, —2) и М2 (6, —2, 2); б) 7И (4, —3, 2) —прямая касается поверх-
ности; в) прямая и поверхность не имеют общих точек. 4.47. а) М (9,
5, -2); б) М (3, 0. -10); в) М (0, -2, 2). 4.4S. /
РГ,'29?^16"0' 9+?-„0>Г'ргТ0’ «Л»- »)»-+
| х+2г/—8 = 0. ( х—5 = 0, I ^ + 4 = 0. 7 у
+ z2 = a2; б) x2+z^ = 2ax; в) х2-\-у2 — 2ах. 4.61. а) х2+5г/2— 8z/—
— 12 = 0; б) 4x2 + 5z2 + 4z—60 = 0; в) 2у—z —2 = 0. 4.62. а) 8х2 +
б) 2х—2г—7 = 0, #=0;
х = 0. 4.63. у2 — 2ах—х2.
б) (*—z)2+(y—г)2 = 4 (х—г).
+ 4у2—36x4-161/—3 = 0, z = 0;
в) 4//?4-8z24- 16f/4-36z—31 =0,
4.64. а) (Зу—2z)2 = 12(3x—г); ............_ ,
4.65. Уравнение проектирующего цилиндра: 2х2 + (^—-z-f-2)2 = 8;
х2 (у I 2}2
контур тени—эллипс —+ —=1. 4.66. х = 4, г±у — 2.
4 о
у2 I «.2 сг2 у-2 *«2 лг2
4.68. а) б) 9(х24-га) = 1бА/2; в) --+|?-+_=0;
г) х2 + #2—z2 = 0. 4.69* а). /i2x2 = 2pz (h (</ + «) — az)', б) ~2_+~^2 ~~
— .{2-у^==0; в) x2 + z2-t=z(r/+a); г) Зх2—5r/2 + 7z2—6x#+10xz —
— 2yz—4x+4t/ —4z + 4 =0. 4.70. а) вершина (0, h, 0), направляю-
0/4-2)2_,
’ 4 ' 8~-1-
-----М ; б) 9 (^ + г2) = 16г/2; в)
130 /'
щая—окружность х2+(г/—h)2 = /i2, z — h\ б) вершина (0, 0, 0), на-
правляющая— парабола x2 = 2hy, z = h. 4.71. ху-y-xz-^yz — 0, ось
конуса проходит в l-м и 7-м октантах; xy-[~xz—уг = О, ось конуса
проходит во 2-м и 8-м октантах; ху—xz—yz — O, ось конуса прохо-
дит в 3-м и 5-м октантах; ху—xz-]-yz~0, ось конуса проходит
в 4-м и 6-м октантах. 4.72. а) Окружность х2+ у2 — {а/ У 2)2;
б) отрезки z — ± а! У 2, — а/ У 2 х а! У 2; в) отрезки z =
— ± а/ У2, —а! У2^у^а/ У2. 4.73. Уравнение проектирующего
конуса: 9х2—\§у2—16г2 — SOx + 225 — 0, контур тени — окружность
^+Z2 = (15/4)2e 4.74. а) z = x2 + {/2; б) у Z/2+z2=x2. 4.75.
a) x2+z2 — у2\ б) г2 — х2-\-у2. 4.76. а) z=e“(*2+^2); б) г— а- .
х ~г У
X2 и2
4.77. —+-£2=1. 4.78. Поверхность образована вращением
X2 Z2
гиперболы —— — — 1, ^/ = 0 вокруг оси Oz.
Глава 3
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И МАТРИЦЫ.
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Определители
1. Определители 2-го и 3-го порядка. Квадратная таблица
А =
011 «12
021 022
составленная из четырех действительных (или комплексных) чисел,
называется квадратной матрицей 2-го порядка. Определителем 2-го
порядка, соответствующим матрице А (или просто—определителем
матрицы А), называется число
det А = Р11 “12| = аца'22 — а1га21.
I 021 022 I
Аналогично, если
/0ц 012 013’
Д = ( «21 «22 023
\031 032 033
— квадратная матрица 3-го порядка, то соответствующим ей опреде-
лителем 3-го порядка называется число
det А =
0Ц 012
«21 022
081 032
013
023
033
— 0Ц022033 + 0210320134" 012023031 —013022031 —
012021033 — 011023032- (О
Определители 3-го порядка обычно вычисляются с использованием
следующего правила Саррюса: одно из трех слагаемых, входя-
щих в правую часть (1) со знаком плюс, есть произведение элементов
главной диагонали матрицы А, каждое из двух других — произведе-
ние элементов, лежащих на параллели к этой диагонали, и элемента
из противоположного угла матрицы (рис. 45, «), а слагаемые, входя-
щие в (1) со знаком минус, строятся таким же образом, но относи-
тельно второй (побочной) диагонали (рис. 45, б).
Вычислить определители 2-го порядка:
1.1,
1.4,
— 1 41
—5 2|
«+ Ы
2а
1.2.
b I
a— bi | ‘
«+& а—Ь\ 1.3, I cos a — sinal
а — b «-}-Z?|* |sina cos а | ‘
1.5. Icosa+tsina 1
| 1 cos а—isina
132
Решить уравнения:
1.6. I х *+1 I__л 1.7. 1 cos 8х—sin 5х I_
I—4 х+1 I ’ [sin8х cos5x|
1.8* . Доказать, что при действительных at b, с, d корни
\а—х c-\-di\ п
уравнения == 0 действительны.
1.9. Доказать, что для равенства нулю определителя
2-го порядка необходимо и достаточно, чтобы его строки
были пропорциональны (т. е. чтобы элементы одной строки
Рис. 45.
получались из соответствующих элементов другой строки
умножением на одно и то же число). То же верно и для
столбцов.
Вычислить определители 3-го порядка:
1.10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1.11. 3 8 2 — 4 7 1 Ш CM 00 1 1 1.12. 6z + . X X X b X X X X c+x
1.13. а2+1 ар ау 1. 14. sin а cos а 1
«Р р2+1 sin p cos p 1
ау Py y2+ i sin у cos у 1
1.15. 1 1 ; 8 1 .16. 1 1 1
lie2. 1 8 82
82 8 1 1 82 8
4л , . . 4л
где 8 = cos-Н sm
о о
2л , . . 2л
где 8 = cos -5- + t sm .
О О
Решить уравнения:
1.17. 3 x — x 1.18. x x-f-1 x + 2
2—13 = 0. x —j— 3 x -p 4 x-J-5 = 0.
x + 10 1 1 x + 6 x+7 x-j-8
133
Решить неравенства:
1.19.
3 —2 1
1 х —2
-1 2 -1
0.
1.20.
2 х+2 —1
1 1 —2
5 —3 х
1.21. Доказать следующие свойства определителя
3-го порядка, используя его определение:
а) если строки матрицы определителя сделать столб-
цами с теми же номерами (т. е. транспонировать матрицу),
то определитель не изменится;
б) если все элементы строки (столбца) умножить на
одно и то же число, то определитель умножится на это
число;
в) если переставить две строки (столбца) определителя,
то он изменит знак; в частности, если две строки (столбца)
определителя равны, то он равен нулю;
г) если каждый элемент некоторой строки (столбца)
определителя представлен в виде суммы двух слагаемых,
то определитель равен сумме двух определителей, у кото-
рых все строки (столбцы), кроме данной, прежние, а в дан-
ной строке (столбце) в первом определителе стоят первые,
а во втором — вторые слагаемые;
д) если одна строка (столбец) является линейной ком-
бинацией остальных строк (столбцов), то определитель
равен нулю.
Используя свойства определителя 3-го порядка, пере-
численные в задаче 1.21, доказать следующие тождества
(определители не развертывать):
1.22.
1.23.
а±—Ь±х с±
а2-\-Ь2х а2 — Ь2х с2
аз~]~Ьзх аз— &зх сз
a-r + ^x aiX-j-bi Ci
а2-\-b2x a2x-{-b2 с2
аз~{~ b9x азХ-\-Ь9 с9
at bt сг
d2 b2 с2
аз Ьз с9
bi Ci
d2 b9 c2 «
&з сз
1.24*.
1 a a3
1 b b*
1 c c3
= (a-\-b + c)
1 a a2
1 b b2
1 c c2
1.25. Проверить, что определитель
1 1 1
x у z
X? у2 z2
делится на х—у> y — z и z — x.
134 z
1.26. Проверить, что определитель
х у х+у
У х+у X
х + У х у
делится на х + у и на х2 — ху-±-у2.
1.27. Построить график функции
1
У = т--
v Ь—а
X X2 1
а а2 1
b Ь2 1
(а ^Ь).
2. Определители п-го порядка. Всякое взаимнооднозначное ото-
бражение л множества {1, 2, .п} первых п натуральных чисел на
себя называется подстановкой п-го порядка.
Всякая подстановка может быть записана в виде
Ч
%
/2
«/2
л =
(2)
где а^ = л(г\)— образ элемента 2, ..., п} при отображении лв
Для фиксированной подстановки л существует много различных спо-
собов записи вида (2), отличающихся нумерацией элементов верхней
строки. В частности, запись вида
а2 ...
называется канонической.
Говорят, что пара элементов (г, /) образует инверсию в подста-
новке л, если i < /, но а; > а/. Число $(л) всех инверсных пар
определяет четность подстановки: подстановка называется четной,
если «(л) — четное число, и нечетной, если s (л) — число нечетное.
Пример 1. Определить четность подстановки
/1 3 5 2 4\
\2 3 5 4 1J ’
< Перейдем к канонической записи (3)
/1 2 3 4 5\
\2 4 3 1 5/
и подсчитаем число инверсий. Так как инверсии образуют пары (1,4),
(2, 3), (2, 4), (3, 4), то $(л) = 4 и л—четная подстановка.
Определителем п-го порядка, соответствующим квадратной матрице
аи
U2i
А =
а12 "• • а1П
#22 • • • а2п
ап2 • » • ®ПП.
135
(или определителем матрицы Л), называется число
tZif tzfa •.. а±п
det А = a2i а22 * • ’ а2п
ап1 ап2 • • • апп
— 2 (— 1 )S <Я> Я1, л (1) • • • ап, Л (ft) i
Л
где сумма берется по всем подстановкам л n-го порядка.
Для определителя n-го порядка выполняются основные свойства,
аналогичные свойствам а)—д) из задачи 1.21.
1.28. На множестве {1, ...,6} найти подстановку л,
если л (k) является остатком от деления числа 3k на 7.
Определить ее четность.
1.29. На множестве {1, ...,8} найти подстановку л,
если л (&) является остатком от деления числа 5k на 9.
Определить ее четность.
Определить четность подстановок:
1.30. /5 2 4 3 1\ 1.31. /3 4 6 5 3 1\
\3 1 2 5 4/ V 4 3 2 5 6/'
1.32. /2н 2п—1 ... 4 3 2 1\
\2/i — 1 2п ... 3 4 1 2/
1.33.
/п п — 1 ... п — & + 1 п — k п — k— 1 ... 2 1 \
\ /г /г — 1... 1 п п — 1 ... & + 2 & + 1 / •
Выяснить, какие из приведенных ниже произведений
входят в определители соответствующих порядков и с ка-
кими знаками:
1.34. ^43^21^3 5^12^54’ 1*35. ^61^23^45^36^12^54*
1.36. ^27^36^51^74^25^43^62* 1*37. ^33^16^7 2^27^55^61^44*
1.38. Выбрать значения ink так, чтобы произведение
^62^/5^33^4^46^21 входило в некоторый определитель со
знаком минус.
1.39. Выбрать значения i ийтак, чтобы произведение
^47^63^1/^55^7^24^31 входило в некоторый определитель со
знаком плюс.
1.40. Найти члены определителя
5х 1 2 3
х х 1 2
12x3
х 1 2 2х
содержащие х4 и х3
136
Пользуясь только определением, вычислить следующие
определители:
1.41. 0 ... 0 0 <Ч,п
0 ... 0 а2, п-1 #2, п
0 ••• а3, п-2 аз, n-i #з, п
ап, I ••• ап,п-2 ап,п-1 апгп
1.42. а11 #12 #13 а15
#21 #22 #23 #24 #25
#31 #32 000 «
#41 #42 0 0 0
#51 #52 000
1.43. Как изменится определитель, если
а) к каждой строке, кроме последней, прибавить по-
следнюю строку;
б) из каждой строки, кроме последней, вычесть все
последующие строки;
в) из каждой строки, кроме последней, вычесть после-
дующую строку, из последней строки вычесть прежнюю
первую строку;
г) его матрицу «повернуть на 90° вокруг центра»;
д) первый столбец переставить на последнее место,
а остальные столбцы передвинуть влево, сохраняя их рас-
положение.
3. Основные методы вычисления определителей /г-го порядка
Метод понижения порядка определителя основан на
дующем соотношении (/ фиксировано):
det А = S °МЛ<'’/г)>
/2=1
еле-
(4)
где
#11 • #1, k-1 al,k + t - #172
#Z-1, I •• ^i-l,k + l •
#z + l, 1 • • • ai+l,k-l #/+l, /2 + 1 • • • #Z + 1, i
#«1 • an, k~l an,k + i • • #лв
(5)
называется алгебраическим дополнением элемента а^ и представляет
собой определитель (п—1)-го порядка.
Соотношение (4) называется разложением определителя -по 1-й
строке. Аналогично определяется разложение определителя по столбцу.
Прежде чем применять метод понижения порядка, полезно, исполь-
зуя основные свойства определителя, обратить в нуль все, кроме од-
ного, элементы его некоторой строки (столбца).
137
Пример 2. Вычислить определитель
8 7 2 10
—8 2 7 10
4 4 4 5
0 4—32
Из первой строки вычтем, а ко второй прибавим удвоенную третью.
Полученный определитель разложим по первому столбцу. Имеем
0—1—6 0
0 10 15 20
Р = 4 4 4 5 = (—1)1+3-4
0 4—3 2
— 1 —6 0
10 15 20
4—3 2
Далее опять обращаем в нуль все элементы первого столбца, кроме
элемента в левом верхнем углу, и затем вычисляем определитель
второго порядка:
Р = 4
— 1 —6 0
0 —45 20
0 -27 2
= 4»(—1)1 + х-(—1)
—45 20 | _
—27 2 I “
= —4 (-90 + 540) = - 1800. >
Метод приведения к треугольному виду заклю-
чается в таком преобразовании определителя, когда все элементы,
лежащие по одну сторону одной из его диагоналей, становятся рав-
ными нулю.
Пример 3. Вычислить определитель
1111
D = 1 -1 2 2
11-13*
111-1
Вычитая первую строку из всех остальных, получаем
1 0 1 —2 1 1 1 1 = — 8.
р= 0 0 0 0 —2 0 2 —2
Метод рекуррентных соотношений позволяет выра-
зить данный определитель, преобразуя и разлагая его по строке или
столбцу, через определители того же вида, но более низкого порядка.
Полученное равенство называется рекуррентным соотношением.
Пример 4. Вычислить определитель Вандермонда
п
1 1 1 ... 1
а-± а<? о2 ... ап
2 2 2 2
#1 0,2 Оз • • • Он
п-1 „П-1 „П-1 „п-1
01 0'2 Оз . . • On
138
Покажем, что при любом п (п^2) определитель Вандермонда ра-
вен произведению всевозможных разностей а;—aj,
Доказательство проведем по индукции, используя метод рекуррентных
соотношений.
Действительно, при п = 2 имеем
D2 =
1 1
ai а2
Пусть наше утверждение доказано для определителей Вандермонда
порядка (л—1), т, е.
Преобразуем определитель Dn следующим образом: из последней л-й
строки вычитаем (л—1)-ю, умноженную на аг и, вообще, последова-
тельно вычитаем из &-й строки (&—1)-ю, умноженную на а±. Получаем
1 1
О а2~ лт
О а2—аха2
1
Л3 —Of
Лз— Л4Л3
1
Лп —Л!
2
Л/г
Разложим последний определитель по первому столбцу и вынесем из
всех столбцов общие множители. Определитель принимает вид
Dn = (а2 —ai) (л3 — лх)... (а„—Л1)
1 1 1 ... 1
л2 л3 л4 ... л„
2 2 2 2
л2 л3 л4 ... ап
П-2 П-2 П —2 П-2
Л2 Лз л4 ... ап
= («г—«О (,aa—a1)...(an—a1)Dn_i,
Получили рекуррентное соотношение. Используя предположение ин-
дукции, окончательно выводим:
J->n=(a2—ai)(aa—a1)...(an—a1) JJ (at— aj) =
2 < / < /<п
1.44. Вычислить определители, разлагая их соответст-
венно по 3-й строке и 2-му столбцу:
а)
2—341
4—232
л b с d »
3—143
б)
5 л 2 —1
4 b 4 — 3
2 с 3 —2
4 d 5 — 4
— а2 — &£*
1 < / < i < n
(at—aj). >
139
Вычислить определители:
1.45. 2—11 0 1.46. 2 3—3 -
0 12—1 2 1 —1 : 2
3—12 3 6 2 1 I Э •
3 16 1 2 3 0 -1
1.47. 3—14 2 1.48. /2 3 V"5
5 2 0 1 V 6 /21 /10 —2/3
0 2 1-3 К io 2T<i 5 5 /6
6—2 9 8 2 2/6 /10 /15
1.49. 0 —a —b —। d 1.50. 0 b c d
a 0 —c —t b 0 d c
b c 0 ( ) c d 0 b -
d e 0 0 d c b 0
Вычислить определители порядка п приведением их
к треугольному виду:
1.51. 1 2 3 . ... n 1.52. 3 2 2 ... 2
— 1 0 3 . ,.. n 2 3 2 ... 2
— 1 —2 0 . .. n 2 2 3 ... 2
.... • •
— 1 —2 -3 . .. 0 2 2 2 ... 3
1.53. Вычислить определитель, элементы которого за-
даны условиями az7 = min(i, /).
1.54. Вычислить определитель, элементы которого за-
даны условиями а/7 = max (f, j).
Вычислить определители порядка п методом рекуррент-
ных соотношений:
1.55. 0 1 1 ... 1 1.56. 2 1 0 ... 0
1 at 0 ... 0 1 2 1 ... 0
10 #2 ... 0 • 0 1 2 ... 0
10 0 ... an 0 0 0 ... 2
1.57. Вычислить определитель
пП-1 П-1 s/l-l n
ai a2 a9 ... an
al
ai
1
2
«2
а2
1
al
as
1
а*
ап
1
140
1.58. Доказать, что для любого
няется соотношение
" I det А,
о,
определителя выпол-
k = i,
£ =7^ it
где А{к,в— алгебраическое дополнение элемента ак,
(см. (5)).
§ 2. Матрицы
1. Операции над матрицами. Матрицей размера тХп или (mXn)-
матрицей называется прямоугольная таблица из чисел а/, у, i = 1,2, ...
/ = 1, 2, ..., и,
А =
аи а12 • • • ат
#21 ^22 • • • #2п
ат1 ат2 • • • атп
состоящая из т строк и п столбцов.
Суммой А-\-В (тХп)-матриц А — (а^) и B = (bij) называется
матрица С = (с/у) того же порядка, каждый элемент которой равен
сумме соответственных элементов матриц А и В\
сi/ — ai/+ bij1 * = 1, 2, m, / = 1, 2, ..., n.
Произведением аЛ матрицы A = (дуу) на число а (действительное
или комплексное) называется матрица В—(Ь^), получающаяся из
матрицы А умножением всех ее элементов на а:
bij — aaij, /=1, 2, / = 1, 2, ...,n.
Произведением АВ (тХп)-матрицы А = (а^-) на (nXk)~матрицу
B — (bij) называется (тХ^-матрица С=(с/у), элемент которой d/y,
стоящий в f-й строке и /-м столбце, равен сумме произведений соот-
ветственных элементов Z-й строки матрицы А и /-го столбца матрицы В:
п
cij~^ aivbvp Z = 1, 2, ..., m, /* = 1, 2, ... k.
v= 1
2.1. Доказать следующие свойства алгебраических опе-
раций над матрицами:
а) А + В = В + Д, Д + (В + С) = (Д + В) + С;
б) (а + Р) А = аА + рА, а (А + В) =аА + аВ, (сф) А =
= а(рА);
в) А (ВС) = (АВ) С, А (В + С) = АВ + АС.
Вычислить линейные комбинации матриц А и В:
2.2. ЗЛ + 2В, Л = B=(Z^“).
141
2.з. (1+ол+(1-1)в,
Вычислить:
2.4. /3 —2Х /3 4Х 2.5. /2 —ЗХ /9 —6Х
\5 ^2 5у * \4 —6/ \6 -4/ *
2.6. М ЗХ /—28 93Х /7 ЗХ 2.7. /1 —3 2\ /2 5 6\
V 5 А 38 —126 А2 1/ (З—4 1 )(1 2 5).
\2 —5 3/\1 3 2/
2.8. /5 8—4\ /3 2 5\ 2.9. /5 0 2 3\ / 6\
(69—5)14—13). ( 4 1 53)/—2 |
\4 7 — 3/\9 6 5/ \3 1 -1 2/1 7 /
\ V
2.12. /1 -2V 2.13. /I ау
\3—4/ • (.О М ’
2.14. А 2.15. /cosa — sinaV
\0 X/ ’ \sina cos a J *
Найти значение многочлена f (Л) от матрицы Л:
2.16. f(x) = 3x2-4, Л =
\И оJ
2.17. Цх) = х2-Зх+1, Л =
/1 —2 3\
2.18. f (%АЗх2 — 2%+’5, Л = (2-4 1).
\3 —5 2/
Матрицы А и В называются перестановочными, если
AB = BAt
Найти все матрицы, перестановочные с данной:
2.19. Л 2Х 2.20. (1 -ЗХ 2.21. /3 1 0\
\3 4/ ’ \5 —2у * 0 3 1).
\0 0 3/
2.22. Найти все матрицы 2-го порядка, квадраты ко-
/О ОХ
торых равны нулевой матрице \ .
2.23. Найти все матрицы 2-го порядка, квадраты ко-
Z7 h ОХ
торых равны единичной матрице £=( ) .
142
2.24. Как изменится произведение АВ матриц Л и В,
если:
а) переставить f-ю и /-ю строки матрицы А,
б) к i-й строке матрицы А прибавить /*-ю строку, умно-
женную на число сс,
в) переставить х-й и /-й столбцы матрицы В,
г) к f-му столбцу матрицы В прибавить j-й столбец,
умноженный на число ос?
Матрица Лт называется транспонированной к матрице Л, если
выполняется условие а^ — а^ для всех t, ац и а^ — элементы
матриц A ij и ЛТ соответственно.
2.25. Доказать следующие соотношения:
а) (ЛТ)Т = Л; б) (Л + В)Т = Лт Ч-ВТ;
б) (ЛВ)Т = ВТЛТ.
Квадратная матрица В называется симметрической, если В~^ — В.
Квадратная матрица С называется кососимметрической, если =
=—С.
2.26. Доказать, что любую матрицу А можно пред-
ставить, и при этом единственным образом, в виде А =
= В + С, где В— симметрическая, а С —кососимметриче-
ская матрицы.
2. Обратная матрица. Квадратная матрица А называется вырож-
денной (особенной), если ее определитель равен нулю, и невырож-
денной (неособенной) в противном случае. Если А — невырожденная
матрица, то существует и притом единственная матрица Л~1 такая,
‘что
ЛЛ-* = Л-М = £,
где Е— единичная матрица (т. е. такая, на главной диагонали кото-
рой стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю). Матрица
Л-1 называется обратной к матрице Л.
Укажем основные методы вычисления обратной матрицы.
Метод присоединенной матрицы. Матрица А^, эле-
ментами которой являются алгебраические дополнения соответствую-
щих элементов матрицы Л (см. формулу (5) из § 1), называется при-
соединенной к матрице Л. Справедливо равенство
(XV)T А = А (Av)'T = detA-E.
Отсюда следует, что если А—невырожденная матрица, то
Пример 1, Методом присоединенной матрицы найти Л~^, если
/1 2 —1\
Л = (3 0 2).
\4 —2 5/
143
Имеем det А = —4. Найдем алгебраические дополнения соответст-
вующих элементов матрицы А:
Л (1.D = 1' 0 2
1—2 5
Л(1’2) = — | 3 2
I 4 5
Л(1’3) = 13 0
(4—2
=4, да==_|_2 1|=_8. Л(М) = |2 J|=4,
= -7, Л<?-2> = |* 2 1=9, Л«,?) = -Ц =—5,
= _6, Д(?.з) = _|1 2| = ю, Л«.з) = Ц 2 =-6.
| л ' 1 л/ I [ О V
Поэтому
/ 4 —8 4\ /—1 2 —1\
(Лу)т =( — 7 9—5) и Л-! = — Ц (Лу)т = { 7/4 —9/4 5/4).
\—6 10 —6/ \3/2 —5/2 3/2/
►
Метод элементарных преобразований. Элементар-
ными преобразованиями матрицы называются следующие:
1) перестановка строк (столбцов);
2) умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;
3) прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих
элементов другой строки (столбца), предварительно умноженных на
некоторое число.
Для данной матрицы А п-го порядка построим прямоугольную
матрицу Гд = (Л | Е) размера пх2и, приписывая к А справа единич-
ную матрицу. Далее, используя элементарные преобразования над
строками, приводим матрицу Гд к виду (Е | В), что всегда возможно,
если А невырождена. Тогда В— А"1.
Пр имер 2. Методом элементарных преобразований найти А-1
для
/3 2 1\
А = ( 4 5 2 .
\2 1 4/
Образуем матрицу Гд:
/3 2 1 1 0 0\
Гл = [ 4 5 2 0 10).
\2 1 4 0 0 1/
Обозначив через yf, у2, 7з строки матрицы Гд, произведем над ними
следующие преобразования:
/ 1 " , 2 / //г * 1 „
71=3-71» Ti=Ti-yT2, Vi =Т1-24Тз,
Г‘ 4 ZZ 3 f z Z / ZZ 1 ZZ
72= 72 “У 71» 72= у 72» 72 =72 —
V 2 z/ Z . 1 z Z Z Z 7 'Г
уть Та=Тз+уТ2,
144
В результате последовательно получаем
/3211 ( 4 5 2 0 \2 1 4 0 /1 0 0 1 \0 0 0 0\ /1 2/3 1/3 1/3 0 0\ 1 0 ) —> ( 0 7/3 2/3 —4/3 1 0 ) •—> " о 1/ \о —1/3 10/3 —2/3 0 1/ 1/7 5/7 —2/7 0\ /1 0 0 3/4 —7/24 —1/24\ 2/7 —4/7 3/7 0 -^010 —1/2 5/12 -1/12 ) . 24/7 —6/7 1/7 1/ \0 0 1 —1/4 1/24 7/24/
Следовательно,
/ 3/4 —7/24 —1/24\ -1/2 5/12 —1/12 ). > \—1/4 1/24 7/24/
Методом присоединенной матрицы найти обратные для
следующих матриц:
2.27. /1 2\ 2.28. /3 4\ 2.29. ^cosa — sina\ \3 4/ \5 7/ \sina cosa/’
2.30. /2 5 7\ 2.31. /3-4 5\ 2.32. /111...1\ ( 6 3 4 1. ( 2 —3 11. / 0 1 1 ... 1 \ \5 —2 —3/ \3 —5 — 1/ 0 0 1 ... 1 .
\0 0 0... 1/
Методом элементарных преобразований найти обратные
для следующих матриц:
2.33. /2 7 3\ 2.34. /1 2 2\ 2.35. /1 1 1 1\ ( 3 9 4 ). (2 1 —2 ). / 1 1 — 1 — 1 \ \1 5 3/ \2 —2 1/ 1-11 —1 Г \1 -1 -1 1/
2.36. /3 3 —4 —3\ 2.37. /1 1 0 ... 0\ /06 1 1 \ / 0 1 1 ... 0 \ 1 5 4 2 1 00 1 ... 0 . \2 3 3 2/ \ / \0 0 0 ... 1/
2.38. /0 0 1 —1\ / 0 3 1 4 1 1 2 7 6 —1 /’ \1 2 2 —1/
Решить матричные уравнения:
2.39. /1 2Х у /3 5\ 2.40. v /3 -2\ /-1 2\ \3 4J ‘ “ \,5 9/ Л ’ 1^5 _4/ ~ ^-5 6/ ‘
2.41. /3 —П у (Б 6\ __ /14 16\ ^5 -2У ‘Л‘ V 8/\ 9 10/ ’
2.42. /1 2 —3\ / 1 — 3 0\ ( 3 2 —4 ). X = ( 10 2 7), \2 -1 0/ \10 7 8/
145
/ 5 3 1\ /—8 3 0\
2.43. X • ( 1-3-2) = (-5 9 0).
\—5 2 1/ 2 15 0/
2.44. Доказать следующие равенства:
а) (аЛ)-1 = ± А-*; б) == В-М"*;
в) (Д-1)Т = (ЛТ)-\
§ 3. Пространство арифметических векторов.
Ранг матрицы
1. Арифметические векторы. Всякая упорядоченная совокупность
из п действительных (комплексных) чисел называется действитель- 4
ным (комплексным) арифметическим вектором и обозначается сим-
волом
Х = (Хь х2, х„).
Числа хъ х2, хп называются компонентами арифметического
вектора х.
Над арифметическими векторами вводятся следующие операции,
Сложение', если
*=(*!> х2, XJ, ^=(г/ь y2i */п),
то
x+j = (хг4-^/1, X2 + f/2> •••> + (1)
Умножение на число: если X — число (действительное или комп-
лексное) и х = (хъ х2, хп) — арифметический вектор, то
Хх = (Ххь Хх2, Ххп). (2)
Множество всех действительных (комплексных) арифметических
n-компонентных векторов с введенными выше операциями сложения (1)
и умножения на число (2) называется пространством арифметических
векторов (соответственно действительным или комплексным). Всюду
в дальнейшем, если не оговаривается противное, рассматривается
действительное пространство арифметических векторов, обозначаемое
символом
Система арифметических векторов {xi, . . .,xj называется ли-
нейно зависимой, если найдутся числа не равные одно-
временно нулю, такие, что . .+Х5х5=0 (где 0—(0, 0, ..., 0) —
нулевой вектор). В противном случае эта система называется линей-
но независимой.
Пусть Q— произвольное множество арифметических векторов.
Система векторов *В = (£Ъ es) называется базисом в Q, если
выполнены следующие условия:
a) ek fzQ> 1, 2, ..., s;
б) система ® = (е1} ..., линейно независима;
146
в) для любого вектора x£Q найдутся числа Xi, ..такие, что
х= .2
kz=\
(3)
Формула (3) называется разложением вектора х по базису 53.
Коэффициенты Х]? Ks однозначно определяются вектором х и на-
зываются координатами этого вектора в базисе 53.
Справедливы следующие утверждения:
1) Всякая система векторов Q с имеет по меньшей мере один
базис; при этом оказывается, что все базисы этой системы состоят
из одинакового числа векторов, называемого рангом системы Q и
обозначаемого rang Q или г (Q).
2) Ранг всего пространства R" равен и и называется размер-
ностью этого пространства; при этом в качестве базиса можно
взять следующую систему:
= 0, 0, 0),
е2-=(0, 1, 0, 0),
е3 = (0, 0, 1, 0),
(4)
£>л = (0, О, О, ..., 1).
Этот базис принято называть каноническим.
Зафиксируем произвольный базис 53 = (£f, •••> £п) в простран-
стве Тогда всякому вектору х можно поставить во взаимно од-
нозначное соответствие столбец его координат в этом базисе, т. е.
х^=хге^ + .,, + хпеп Х =
Замечание. Необходимо различать компоненты вектора и
его координаты в некотором базисе. Мы используем для них одина-
ковое обозначение, хотя следует помнить, что координаты вектора
совпадают с его компонентами только в каноническом базисе.
Линейные операции (1) и (2) над арифметическими векторами в
координатной форме выглядят следующим образом:
г —х-|-У Z = X -f-У zk — xk-\-yky /г = 1, 2, ..., и),
3.1. Доказать, что линейные операции (1) и (2) обла-
дают следующими свойствами:
la) x+j 4-л:;
16) (x+y) + z = x + (y +£)-,
1в) л* 4-0 =х;
1г) Vx, у (x=y + z) (вектор z называется раз-
ностью векторов ж и у и обозначается так: z = x—у);
2а) X (рх) = (Хр) х для любых чисел X и р;
26) 1 • х = х\
147
За) 2i(x+<y) = %x4-Xy;
36) (% + fx)+
Заданы арифметические векторы: ах=(4, 1, 3, —2),
а2 = (1, 2, —3, 2), а3 = (16, 9, 1, —3), а4 = (0, 1, 2, 3),
аб = (1, —1, 15, 0). Найти следующие линейные комби-
нации:
3.2. 3«14-5а2—а3. 3.3. ai + 2a2 — а± — 2а5.
3.4. 2а1 + 4я3 —2я5. 3.5. 1/2^1 + ^з — 1/2^ + а&-
Заданы те же, что и выше, арифметические векторы
«1, а2, а3, а±, аъ. Найти вектор х из следующих урав-
нений:
3.6. 2л:-{-а1— 2а2~ а5=0. 3.7. а^ — Зс^+х+а^Ъ.
3.8. 2(^1 —х)+5 (а4+х)=0.
3.9. З(я3+2х) —2(а5-~ х) = 0.
ЗЛО. Доказать, что линейно зависима всякая система
векторов:
а) содержащая два равных вектора;
б) содержащая два вектора, различающихся числовым
множителем;
в) содержащая нулевой вектор;
г) содержащая линейно зависимую подсистему.
Выяснить, являются ли следующие системы арифме-
тических векторов линейно зависимыми или линейно
независимыми:
3.11. = 3, 1, 5), х2 = (6, —3, 15).
3.12. Xi = (l, 2, 3, 0), х2 = (2, 4, 6, 0).
3.13. хг-(2, —3, 1), Х2 = (3, — 1, 5), х3 = (1, —4, 3).
3.14. ^ = (1, i, 2 — 1, 3 + 0, х2 = (1 — 0 1+0 1 — 30
4-20.
3.15* . Показать, что система арифметических векторов
ех = (1, 1, 1, 1, 1), е2 = (0, 1, 1, 1, 1), е3 = (0, 0, 1, 1, 1),
е4 = (0, 0, 0, 1, I), еб = (0, 0, 0, 0, 1) образует базис в Rt
Найти координаты заданного вектора х в базисе
93 = (^1, ..., еъ) из задачи 3.15.
3.16* *. лг = (1, 0, 1, 0, 1). 3.17. х=\2, —1, 2, —1, 2).
3.18. х = (5, 4, 3, 2, 1).
2. Ранг матрицы. Пусть в матрице А размера тХп выбраны
произвольно k строк и k столбцов (Z?^min(m, /г)). Элементы, сто-
ящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квад-
ратную матрицу порядка k, определитель которой называется мино-
ром k-го порядка матрицы А,
148
Максимальный порядок г отличных от нуля миноров матрицы А
называется ее рангом, а любой минор порядка г, отличный от нуля,—
базисным минором.
Строки (столбцы) матрицы А размера туп можно рассматривать
как систему арифметических векторов из R” (соответственно Е/л).
Теорема о базисном миноре. Ранг матрицы равен
рангу системы ее строк (столбцов); при этом система строк (столб-
цов) матрицы, содержащая базисный минор, образует базис в систе-
ме всех строк (столбцов) этой матрицы.
Приведем основные методы вычисления ранга матрицы.
Метод окаймляющих миноров. Пусть в матрице най-
ден минор &-го порядка 7И, отличный от нуля. Рассмотрим лишь те
миноры (/г-|~1)-го порядка, которые содержат в себе (окаймляют) ми-
нор М: если все они равны нулю? то ранг матрицы равен k. В про-
тивном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой минор
(/? + 1)-го порядка, и вся процедура повторяется.
Пример 1. Найти ранг матрицы
Фиксируем минор 2-го порядка, отличный от нуля:
= | 12 1Н0-
Минор 3-го порядка
2—4 3
1 —2 1
О 1 —1
окаймляющий минор М2, также отличен от нуля. Однако оба минора
4-го порядка, окаймляющие М3, равны нулю:
2 —4 3! 1 2—4 3:0
1 —2 11 —4 Л 1—2 1'2 Л
о 1 —1| з -0, о 1 —ih ~0,
4 —7 4’ —4 4 —7 4 5
Поэтому ранг А равен трем, а базисным минором является, напри-
мер, М3.
Метод элементарных преобразований основан на
том факте, что элементарные преобразования (см. п. 2 § 2) матрицы
не меняют ее ранга (см. задачу 3.24). Используя эти преобразования,
матрицу можно привести к такому виду, когда все ее элементы, кро-
ме ац, а22, .arr (r^min(m, и)), равны нулю. Следовательно,
ранг матрицы равен г.
Пример 2. Найти ранг матрицы
(О 2 —4\
—1—4 б\
3 1 7 ].
О 5 —10 /
2 3 0/
149
Производя последовательно элементарные преобразованиял будем
иметь
✓1 4 —5\ 0 0\
/ 0 1 —2 \ / 0 1 0 \
—J 0 1 —2 I—> ООО.
I 0 1 - 2 / \ 0 0 0 /
\о 1 —2/ \о О О/
Ранг последней матрицы равен двум, следовательно, таков же и ранг
исходной матрицы.
Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров:
3.19. /2 —1 3 —2 4> \ 3.20. /1 3 5 —1\
( 4 —2 5 1 7 • ( 2 -1-3 4 \
\2 —1 1 8 2. 1 5 1—1 7 /•
\7 7 9 1/
3.21. /3 —1 3 2 5\
/5—3 2 3 4 1
( 1 —3 -5 0- -7 /'
\7 —5 1 4 1/
Чему равен ранг матрицы А при различных значе-
ниях X?
3.22. /3 1 1 4\ 3.23, /1 —1 2
А =( ( X 1 4 7 10 17 1 \ 3 / -1 10 X 5 —6 X
42 2 4 3/
3.24. Показать, что элементарные преобразования не
меняют ранга матрицы.
Вычислить ранг матрицы методом элементарных пре-
образований:
3.25. /25 31 17 43\ 3.26. /47 —67 35 201 155\'
I 75 94 53 132 \ I 26 98 23 —294 86 ).
I 75 94 54 134 ' \16 —428 1 1284 52/
\25 32 20 48/
3.27. /24 19 36 72 —38\ 3,28. /17 —28 45 11 39\
I 49 40 73 147 —80 \ / 24 —37 61 13 50 \
I 73 59 98 219—118 /• 25 —7 32 —18 —11 I
\47 36 71 141 —72/ \ 31 12 19 —43 —55 f
\42 13 29 —55 —68/
I
Ж
3.29. Доказать, что если произведение матриц АВ
определено, то rang(y4B) min {rang Л, rang#}.
3.30. Пусть Л— невырожденная матрица, а матрицы В
и С таковы, что АВ, СА определены. Доказать, что
rang (ЛВ) = rang В и rang (СЛ) = rang С.
3.31. Доказать, что если сумма матриц А-]-В опреде-
лена, то
rang (Л + В) rang Л + rang В.
Понятие ранга матрицы используется для исследования линейной
зависимости системы арифметических векторов.
Пример 3. Выяснить, является ли система арифметических
векторов «х —(2, —3, 1), а2~(3, —1, 5)., а3=(1, —5, —3) линейно
зависимой или линейно независимой. Найти ее ранг и какой-нибудь
базис.
◄ Запишем матрицу А, вектор-столбцами которой являются aly а2,
а3:
f 2 3i 1'
Л^(«1, а2, а3)=( —3 —li —5
\ Т "5 —3
Ранг А, как нетрудно видеть, равен 2. Следовательно, исходная си-
стема арифметических векторов линейно зависима, и ее ранг также
равен 2 (по теореме о базисном миноре). Минор 2-го порядка
отличен от нуля и потому может быть принят за базисный. Отсюда
следует, что арифметические векторы аг и а2 образуют базис исход-
ной системы.
Выяснить, являются ли следующие системы векторов
линейно зависимыми или линейно независимыми:
3.32. х1 = (1, 1, 1, 1), х2 = (1, — 1, — 1, 1), х3 = (1,
— 1, 1, —1), х4 = (1, 1, —1, —1).
3.33. Хх = (4, —5, 2, 6), х2 = (2, —2, 1, 3), х3 = (6,
—3, 3, 9), х4 = (4, — 1, 5, 6).
Найти ранг системы векторов:
3.34. <?! = (!, —1, 0, 0), а2 = (0, 1, —1, 0), «8 = (1, О,
—1, 1), «4 = (0, 0, 0, 1), а5==(3, —5, 2, —3).
3.35. ах = (1, i, —1, — i, 1), «2 = (1, — i, —1, i, 1),
а3 = (1, —1, 1, —1, 1), а4 = (3, —1, —1, —1, 3).
Найти все значения %, при которых вектор х линейно
выражается через векторы ait а2, as:
3.36. ах = (2, 3, 5), а2 = (3, 7, 8), а3 = (1, —6, 1), х=~
=(7, —2, %).
161
3.37, лх = (3, 2, 5), л2 = (2, 4, 7), а3 = (5, 6, X), х=*
=(1, 3, 5).
3.38. = (3, 2, 6), л2 = (7, 3, 9), а3 = (5, 1, 3), х=*
==(%, 2, 5).
Найти ранг и какой-нибудь базис заданной системы
векторов:
3.39. af = (5, 2, —3, 1), л2 = (4, 1, —2, 3), л3==(1, 1,
— 1, —2), а4 = (3, 4, —1, 2).
3.40. аг = (2, —1, 3, 5), л2 = (4, —3, 1, 3), а3 = (3, —2,
3, 4), а4 = (4, —1, 15, 17), л5 = (7, —6, —7, 0).
3.41. ^=(1, 2, 3, —4), л2==(2, 3, —4, 1), а3 = (2, —5,
8, — 3), а4-(5, 26, —9, —12), а5 = (3, —4, 1, 2).
Найти ранг и все базисы системы векторов:
3.42. Л1 = (1, 2, 0, 0), о2 = (1, 2, 3, 4), л3 = (3, 6, 0, 0).
3.43. Л1 = (1, 2, 3, 4), а2 = (2, 3, 4, 5), л3 = (3, 4, 5, 6),
а, = (4, 5, 6, 7).
3.44. Л1 = (2, 1, —3, 1), а2 = (4, 2, —6, 2), а3 = (6, 3,
—9, 3), а4-(1, 1, 1, 1).
§ 4. Системы линейных уравнений
1. Правило Крамера. Пусть задана система и линейных уравне-
ний с п неизвестными вида
GtlXl + 2*2 + • • • + а1пХП = ^f,
fl2l*14"#22*2 + • • • + #2п*п~ ^2>
GnlxlA~Gn2x2-{- • • • + Gnnxn~ bn*
или, в матричной форме, АХ == В, где
(aii ai2
а21 а22
Gnl °п2
Gln
а2п
Gnu.
Правило Крамера. Если в системе (1) det А = А 0, т. е.
матрица А имеет обратную А~1, то система (1) имеет, и притом
единственное, решение
или, в покомпонентной записи,
х/ = ~ , i = 1, 2, ... ? п.
где А/—определитель, получаемый из определителя А заменой 4-го
столбца на столбец свободных членов.
152
Пример 1. Решить систему уравнений
—j— 2^2 “4“ ==
2%1 — %2 “F -^3 ~
-{- 5.^2 = — 3.
/3 2 1\
Матрица Л = ( 2 —1 1 ) невырожденная, так как det X = —2^0.
\1 5 0/
Присоединенная матрица Xv имеет вид
** /—5 1 1ц
Ау5 —1 -13 ).
\ 3 —1 —7/
Следовательно,
/-5 5 3\
1 -1-1
\ 11 -13 —7/
и
/—5 5 3\ / 5\ /~~4\ / 2\
Х = А-1В = — -~[ 1 — 1 — 1 )( б) = — 2) = (— 1),
\ 11 _13 _7/3/ 2 \-2/ \ 1/
т. е. Xi —2, х2 — —1, xs — 1.
Следующие системы
4.1, Зх — 5у = 13,
2х —7i/ = 81.
4.3. 2ах — ЗЬу = 0,
Зях — 6by = ab.
решить по правилу Крамера:
4.2. Зх — 4у=1,
Зх-4-4//= 18.
4.4. 7х + 2у + 3г= 15,
5х—3// + 2z= 15,
10х—11«/+5г = 36.
4.6. x-j-y — 2z = 6,
2х4-3г/—7z=16,
5x + 2z/+ г =16.
4.8.
2%i — x2 + 3xs + 2x4 = 4,
Зх, “J— Зх2 4~ Зх3 —{- 2х4==
3X1— х2— хз—2х4 = 6,
3X1 — Х2 Зх2 х4 6.
любых различных чисел х4.
4.5. 2х+1/ =5,
х +3г=16,
5г/— г=10.
4.7.
4X1 + 4х2 + 5xs + §х4 = 0,
2xi 4-Зх3— х4=10,
Xj+ х2 — 5х3 =— 10,
Зх2 Я- 2х3 = 1.
4.9* . Доказать, что для
х2, х8 и любых чисел уг, у2, у3 существует, и притом
только один, многочлен y = f(x) степени ^2, для кото-
рого
= <=1,2,3.
Когда степень этого многочлена < 2 (равна 1, равна 0)?
153
По заданным условиям найти многочлен f (х):
4.10. = /(-1) = 9, /(2) = —3.
4.11. Ш) = 6,7, i, /=1,2, 3, б/у = / 1’
Решить системы уравнений:
4.12. 5xi + 8x2 + х3 = 2, 4.13. 2xj — Зх2 + х3 = —7,
Зх, — 2х2 + 6х3 = —7, хг + 4х2 + 2х3 = —1,
2Xj + х2 х3 = 5. _Xj —' 4х2 = —5.
4.14. 4.15.
2Xj + 2х2— х3 + х4 == 4, 2Xj + Зх2 + 11х3 + 5х4 = 2,
4X1 + ЗЛ2— х3 + 2х4 = 6, Xj + х2 + 5х3 + 2х4 — 1,
8хт + 5х2 — Зх3 + 4х4 = 12, 2X1 *4* я2 + $%з + 2х4 = —3,
3X1 + Зх2 — 2х3 + 2х4 — 6. хг + х2 + Зхд + 4х4 =—3.
4.16. 4.17.
2X1+ 5х2 + 4х3 + х4 — 20 = 0, 3xj+4x2+ х3+2х4+3=0,
Xi + Зх2 + 2хд + х4 — 11 = О, 3X14“ 5х2 + Зх3+5х4+6=0,
2X1+ 10х2 + 9х3 + 9х4—- 40 = 0, 6xi + 8x2+ х3+5х4+8=0,
3X14- 8х2 + 9х3 + 2х437 = 0. 3xi + 5x2 + 3x3+7x4+8=0.
2. Решение произвольных систем. Пусть задана система т линей-
ных уравнений с п неизвестными общего вида
^1Л+ #12*2 + • • • + ainxn ~ Ь-ь
#21*1+ #22*2 + . . • + #2п*п — ^2 8 (2)
#znl*l + #/й2*2 + • • • + Q'tnn^n ~ ^т>
или, в матричной форме,
= (3)
где
Если В—О, то система называется однородной, в противном
случае она называется неоднородной.
Решением системы (2) называется всякий n-компонентный вектор-
столбец X, обращающий матричное уравнение (3) в равенство (соот-
ветствующий решению X арифметический вектор xglR" также будем
называть решением системы (2)). Система называется совместной,
154
если у нее существует по крайней мере одно решение, в противном
случае она называется несовместной. Две системы называются экви-
валентными, если множества их решений совпадают.
Теорема Кронекера—К а пел л и. Для того чтобы
система (2) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы
rang А = rang А, (4)
где А = (А\ В} — расширенная матрица системы.
Пусть rang А — rang А = г, т. е. система совместна Не ограни-
чивая общности, будем считать, что базисный минор располагается
в первых г (1 «С г min (т, и)) строках и столбцах матрицы А.
Отбросив последние т — г уравнений системы (2), запишем укорочен-
ную систему:
£цх1+ • • • + + г + 1хг + 1 + •• • а1пхп — Ьй
................................................... (5)
arlxl~V • • • + arrxr + ar, r + l%r + l+ • • • A~arnxn — br>
которая эквивалентна исходной. Назовем неизвестные xlt xr
базисными, a xr + 1, свободными и перенесем слагаемые, содер-
жащие свободные неизвестные, в правую часть уравнений (5). Полу-
чаем систему относительно базисных неизвестных:
W1+ • • • ~\~airxr — — сц, r+ixr + i— ... — а1пхп,
^Г1Х1Ч~ • • • + аГГХГ дг аГъ r + l^r + l ... arnXnt
которая для каждого набора значений свободных неизвестных
= хп = сп~г имеет единственное решение хг (clt ...
хг (с\, ..., сп_г), находимое по правилу Крамера.
Соответствующее решение укороченной, а следовательно, и исходной
систем имеет вид
'Х1 (С1» ♦ * • > сп- г)
х(а, .... сп-г) = хг (с1> • • •» сп-г) Ci 1 Сп-г ) (6)
Формула (6), выражающая произвольное решение системы в виде
вектор-функции от п — г свободных неизвестных, называется общим
решением системы (2).
Пример 2. Установить совместность и найти общее решение
системы
2х1-р х2— х3—3x4 — 2i
4xf + х8—7х4 = 3,
2х2—Зх8-|~ х4 — 1,
2х± -ф- 3%2 — —2х4 — 3.
155
◄ Выпишем основную и расширенную матрицы системы:
,2 1|
AJ L9I
0 2
\2 3
—1 —3\ /2 1 —1 —3 2\
1 *“7 I 7-1 40 1 “7 3 I
—3 11’ О 2 — 3 1 1 )
—4 —2/ \2 3 —4 —2 3/
Так как rang А — rang А — 2 (проверьте!), то исходная система сов-
местна.
!2 1 I
Выберем в качестве базисного минор М2 = L . Тогда неизвест-
ные xit %2 — базисные, х8, х4—свободные, а укороченная система
имеет вид
2%j х2 — 2 х8 4“ Зх4,
4xi = 3—х8-}~7х4.
Полагая х8~Cf, х4 = с$ и решая укороченную систему относительно
базисных неизвестных, получаем
Q 1 7
— ~4 ~~4 с> + J с2>
1.3 1
2 с2-
Следовательно, общее решение исходной системы имеет вид
Х(съ
3 1 ,7
4~ТС1'+тС2
1,3 1
у+т Ci ~'2С2
Ci
Исследовать совместность и найти общее решение
следующих систем:
4.18. х—/31/=1,
/Зх- 31/ = /3.
4.20. 2х— у+ г = — 2,
х 4" 21/ 4~ 3z = — 1,
х — Зу— 2z— 3.
4.22.
Зх, — 2х2 — 5х8+ х4= 3,
2х, — Зх2 "4" х3 5х4 = —3,
х, -4- 2х2 — 4х4 = —3,
х,— х2 —4х3 + 9х4= 22.
4.19. /5х— 5t/ = /5,
х— / 5у = 5.
4.21. х + 2у— 4г= 1,
2x4- у— 5г = —1,
х— у— Z — —2.
4.23.
*1+ *2 —6х3 —4х4= 6,
Зх4— х2 — 6х8 — 4х4= 2,
2х14-Зх2 + 9х34-2х4= 6,
Зх, 4* 2ха 4~ Зх3 4- 8х4 = —7.
156
V 4.24. 4.25.
2х4 + 7x2 + Зх3 + *4 = 6, 3xj— 5x2 + 2x3 + 4x4 = 2,
3x4 -j- 5x2 4~ 2x3 -f- 2x4 = 4, 7x, — 4x2 4" x3 4- 3x4 = 5,
9xt4-4x2+ *3 + 7x4 = 2. Бх^-7^2 — 4x3 — 6x4 = 3.
4.26. 4.27.
9x4— 3x2-|-5x3-|- 6x4 = 4, 3x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 2,
6x,— 2x2H-3x34- 4x4 = 5, 2x4 4-3x2 4-2x3 4-5x4 = 3,
3x4 — x3 4~ 3x3 4-1 4x4 = —8. 9x4 4~ *2 4~ 4x3 — 5x4 = 1,
2*x 4“ 2x2 4- 3xs 4- 4x4 — 5,
7x4 4- *2 6x3 x4 = 7.
4.28. x4 4“ *2 4- 3x3— 2x44-3x5= 1,
2x4 + 2x3 4- 4x3 — x4 4- 3x6 = 2,
3x4 4- 3x2 4- 5x3 — 2x4 4- 3x6 = 1,
2x4 4- 2x2 4- 8x3 — 3x4 4- 9x5 = 2.
4.29. 2x4— x24- *3 + 2x44- 3x6 = 2,
6x4 — 3x2 4- 2x3 4" 4x4 4“ 5x6 = 3,
6x4 — 3x2 4" 4x3 4” 8x4 4~ 1 ^*5== 9,
4x4 2x2 4* *3 ~4~ *4 ~F 2xs 1 „
4.30. 12xj4- 14x2— 15x3-|-24x44-27x5 = 5,
16X1 + 16x2 — 22x3 4- 29x4 4- 37x5 = 8,
18xj 4~20x2 — 21x34*32x4 -|-41xs = 9,
1 Oxi 4- 12x2 — 16x3 4- 20x4 4- 23x5 = 4.
4.31. 24Xj4-14x24-30x3 + 40x4 4- 41xe = 28,
36x14-21x24-45x34~61x44~ 62x8 = 43,
48xj + 28x2 4- 60x3 + 82x4 4- 83x5 = 58,
60Xj 4- 35x2 4- 75x3 4- 99x4 4- 102x6 = 69.
Исследовать совместность и найти общее решение в за-
висимости от значения параметра %:
4.32.
5X1— Зх24-2х34~ 4х4 = 3,
4xi— 2*2 + Зх3 4- 7х4 = 1,
8Х]—6х2— х3— 5х4 = 9,
7X1— 3*2 + 7*3 + 17х4 = Л.
4.33.
%*i4- х34- *3+ *4 = I.
*14- Хх2 4- *3 4" *4 = 1 >
*14- х24-Х*34- х4=1,
*14~ *2 х3 4~ ^*4 = 1 •
157
4.34» 2xi*—“ ^2 “Ь Зх3 4* 4х4 = 5,
4%i — 2х2 4~ 5х3 4~ 6х4 = 7,
6%1 — Зх2 + 7х3 + 8х4 — 9,
?vX1 — 4x2 + 9x9 4- 10х4 = 11.
4.35. (1 -р X) Xf -f- #2~h ха = 19
я* + (1 + X) х2 + х3 = 1,
Xi 4- х2 4- (1 4~ х3 — 1 •
3. Однородные системы. Однородная система АХ —О всегда
совместна, так как имеет тривиальное решение Х — О. Jljin. существо-
вания нетривиального решения однородной системы необходимо и до-
статочно, чтобы r = rang4 < п (при т — п это условие означает, что
det 4=0).
Пусть Q cz IR” — множество всех решений однородной системы.
Всякий базис в множестве Q состоит из п— г векторов еъ ..., еп_г.
Соответствующая ему в каноническом базисе (см. (4) из § 3) система
вектор-столбнов Еъ ..., Еп_г называется фундаментальной системой
решений. Общее решение однородной системы имеет вид
X = q£14- ... -\-сп-гЕп-г>
С{, ..., сп_г— произвольные постоянные.
Базисные решения ..., Еп_г могут быть получены методом,
изложенным в п. 2, если свободным неизвестным придавать поочередно
значение 1, полагая остальные равными 0.
Пример 3. Найти фундаментальную систему решений и общее
решение следующей однородной системы уравнений:
Зх] 4- х2 — 8х3 4- 2х44“ *5==0,
2Xi— 2х2— Зх3— 7х4 + 2х5 = 0,
X] 4“ 1 1*2 —— 12х3 4~ 34х4 —5%5 = 0,
X]— 5х2+ 2*з — 16х44-3*п = 0.
Матрица коэффициентов
имеет ранг г = 2 (проверьте!). Выберем в качестве базисного минор
13 II
М2 = L 2 к О’ Тогда укороченная система имеет вид
3%14* *2 — 8*з — 2х4— х^г
2xt — 2х2 = Зх3 4- —2xg,
откуда, полагая xa — clf х4 — с2, х5 = с3, находим
19 3 , 1 7 , 25 1
*1-------g" С1----£> + тр С3, *2 —----g" С1 4- -g" С2---2* Сз*
158
Общее решение системы
X (ci, с2, cs) =
(19 3,1)
“"8 С1~8С2+‘2 Ся
7 , 25 1
“ Т С1+'8 с*~2 Ci
Cl
С2
> >
Из общего решения находим фундаментальную систему решений
Е1~Х (1, 0,0)==
КН
8
7
~ 8“
1
0
L 0 J
Е3=Х (0, 0, 1) =
1
’ 2
О
О
1 >
С использованием фундаментальной системы общее решение может
быть записано в виде
X (С{, с3, с3)=ciEi~f-C2Ea~l~CsEs. ►
4.36. Доказать, что всякая линейная комбинация ре-
шений однородной системы уравнений также является ее
решением.
Найти фундаментальную систему решений и общее ре-
шение следующих систем:
4.37, х{ + 2х3— х8 = 0,
2х, + 9х2 — Зх3 — 0.
4,39, 3%i + 2x2+ х3 —0,
2х4 4~ бх2 4~ Зх3 0,
Зх4 4* ^х2 4- 2Хд =5 0.
4.41, х4 4- 2х2 4- 4х3 —
3xi “Н бх2 4" 6х3 —
4xj4-5x2— 2х34-
3xi + 8х2 4- 24х3 — 1 9х4 = 0.
4,38, Ху — 2х3—Зх3 — 0,
—2xj + 4ха 4- 6х3 = 0.
4,40, 2xi — Зха 4- 4х3 = 0,
*i+ *2 4- xs = 0,
3xi2х3 4- 2х3 — 0.
Зх4 = 0,
4х4 = 0,
Зх4 == 0,
159{“
4.42, 2xf —4x2 + 5x3 + 3x4 = 0,
3X1—- 6x2 + 4x3 + 2x4 = 0,
4%i —8x2+ + llx4 = O.
4.43. 3xj + 2x2+ x3 + 3x4 + 5x5 — 0,
6xi “4“ 4x2 + 3x3 -J- 5x4 -J- 7x6 = 0,
9Xi + 6x2 + 5x3 + 7x4 + 9x5 = 0,
3xi + 2x2 +4x4 + 8x6 = 0.
4,44. Xi+ x3 + xB =0,
x2 —x4 -4* === 0,
Xi Xg + X5 x&== 9>
*2 + *з + *6 = 0,
Xf *4 4~ *5 = 0.
. 4.45. 5xi + 6x2 — 2x3 + 7x4 + 4x5 = 0,
2xi ~*b 3x2 — x3 4~ 4x4 +2x5 = 0,
7xi + 9x2 ~ 3x3 4- 5x4 4- 6x5 = 0,
5xi 4-9x2 — 3x3 4- x4 + 6x5 = 0.
4.46. 3xj+ 4x2+ x3 + 2x4 + 3x5 = 0,
5Xj+ 7x2 + x3 + 3x4 + 4x5 = 0,
4xj ~4“ 5x2 + 2x3 + x4 + 5x6 = 0,
7Xi + Юх2 + xg + 6x4 + 5x6 = 0.
4.47* . Выяснить, образуют ли строки каждой из матриц
/30 —24 43 50 — 5\ /4 2 9 —20 —3\
Л=( 9 —15 8 5 2 ), £=(1-112 13 4)
\ 4 2 9 —20 —30/ \9 —15 8 5 2/
фундаментальную систему решений для системы уравне-
ний
3X1 Н~ ^*2 + 2х3 + х4 + 6х5 — 0,
5X1 + 9х2 + 7х3 + 4х4 + 7хб = 0,
4Xi + 3x2— х3— х4+11х5=0,
Xi + 6х2 + 8х3 + 5х4 — 4хб = 0.
Определить значения параметра а, при которых система
имеет нетривиальные решения, и найти эти решения:
4,48. 6z2Xj + Зх2 + 2х3 — 0, 4.49, 2хх + х2 + Зх3 = 0,
axi— х2+ х3 = 0, 4xi~ х2 + 7х3=0,
8xi+ *2 + 4х3 = 0. Xi + ax2 + 2x3 = 0.
160
Если задана неоднородная система АХ = В, то ее общее реше-
ние может быть найдено как сумма общего решения соответствующей
однородной системы АХ = 0 и произвольного частного решения не-
однородной системы.
Найти общие решения неоднородных систем, используя
фундаментальную систему решений соответствующих одно-
родных:
4.50. 2х± + х2 — х3 — х4+ х5 = 19
х^ x2-j- х8 4~ х4 2хъ = 0,
3xi + Зх2 — Зх8 — Зх4 + 4хб = 2,
4Xi + Зх2 ~ 5х3 — 5х4 + 7х5 = 3.
4.51. 2X1— 2х24- хз— *4 + ^6=1»
-|- 2х2 х3 4* х4 2%5 = 1,
4X1 ~ + 5х3 — 5х4 + 7хб = 1,
2X1— 14х2 + 7х3 — 7х4+ 11хб = 1.
4.52. Xi х2 х3 х4 х8 х^ —— 1,
2X1 2х2 "4“ 2х3 4~ х4 х§ -j- х8 = 1.
4.53. Xi 4” 2х2 Зх3 4“ 4х4 4~ 5х6 = 0,
х± — 2х2 — Зх3 — 4х4 — 5хб = 2,
2х2 4- Зх3 4~ 4х4 4“ 5хб = — 1.
4. Метод последовательных исключений Жордана — Гаусса.
С помощью элементарных преобразований над строками и перестанов-
кой столбцов расширенная матрица системы (2) может быть приведена
к виду
0 ... 0 ci, г+1 ... ain bi
0 1 . . . 0 С2, Г+1 • • • ®2П ^2
0 0 ... 1 агу г+1 ... ctrn br (7)
0 0 ... 0 0 ... 0 br+i
V0 0 ... 0 0 ... 0 bm
Матрица (7) является
*1
х2
расширенной матрицей системы
4- + 1Ч~ • • • ainxn~
4“ а2, Г+1ХГ + 1 4“ • • • 4~ а2пХп — ^2,
хг 4“ Gr> r+l^y +1 4~ • • • 4-Crn-^n = (8)
0 — br+i
0 = Ьт
Под ред. А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича
161
которая с точностью до обозначения неизвестных эквивалентна исход-
ной системе.
Если хотя бы одно из чисел b'r+1, ..., b'm отлично от нуля,, то
система (8), а следовательно, и исходная система (2) несовместны.
Если же Ь'г+1 b'm = 0, то система совместна и формулы(8)
дают по существу явное выражение для базисных неизвестных хх, ..., хг
через свободные неизвестные хг + 1, хп.
Пример 4. Методом Жордана — Гаусса найти общее решение
системы
X/ — 2х2 Ж ^4 — —3,
Зх^—~ — 2х3 = 1,
2Х} -j— х% — 2хз—- х4 = 4,
Xj + Зх2—2х3 —2х4 = 7.
Производя элементарные преобразования над строками расширен-
ной матрицы, получаем
последней матрицы составляют расширенную мат-
Две
строки
Первые
рицу системы
4 1
Xj Xg & —If
2 3
Х2 — У *8“ -g-*4 = 2,
эквивалентной исходной. Считая хх, х2 базисными неизвестными, а х3
и свободными, получаем общее решение в виде
/4 1
l + yCi+j
9 3
2+5-С1+-5-С2
Ci
V С2 )
Методом Жордана — Гаусса исследовать совместность
и найти общее решение следующих систем:
162
4.54. 4.55.
х± 4" 2x2 -f- 3xs 4~ 4x4 = 0, x14~ %2 = Ь
Чх^ 4-14x2 4~ 20x3 4~ 27x4 = 0, 4~-^2~L-^3 = 4,
&Xi 4~ 10x2 4~ 16x3 4- 19x4 = -— 2, x2 4~ %з 4~ ^4 == — 3,
3xx 4— 5x2 4- 6X3 4" 13x4 === 3. x3 4- x4 4~ *^5 2,
x^ 4- -^5 ~ 1 •
4.56. 105xi — 1 75x2 — 315x3 4- 245x4 = 84,
90xt — 1 50x2 — 270x3 4- 210x4 = 72,
75xx — 125x2 - 225x3 4- 175x4 = 59.
4.57.
8xi4- 12x2 = 20,
14xi4-21x2 = 35,
9x34- llx4 = 0,
16x3 4~20x4 = 0,
10x54- 12xc = 22,
15x64- 18x6 = 33.
4.58.
7xf —5x2 —2x3— 4x4 = 8,
—- 3xi 4- 2x2 ~L 4- 2x4 = — 3,
2xi — x2 — хз “ 2x4 = 1,
•— Xi 4- -^з 4“ 24x4 = 1,
*^2 ~Ь ^з 4- 2x4 = 3.
§ 5. Некоторые вычислительные задачи
линейной алгебры
I. Операции над матрицами.
В задачах 5.1— 5.4 составить на фортране указанные
подпрограммы.
5.1. Подпрограмма сложения двух матриц размера
тхп. Параметры: А, В, С, М, N, где А и В —двумер-
ные массивы размерности MxN, содержащие исходные
матрицы, С —двумерный массив размерности MxN для
результирующей матрицы.
5.2. Подпрограмма умножения матрицы размера тхп
на число а. Параметры: А, М, N, ALFA, где А —дву-
мерный массив размерности MxN, содержащий исходную
матрицу перед обращением к подпрограмме и результат
после выполнения вычислений, ALFA = ос.
5.3. Подпрограмма транспонирования квадратной мат-
рицы: Параметры: А, М, где А —двумерный массив раз-
мерности МхМ с исходной матрицей в начале вычисле-
ний и с результатом после вычислений.
5.4. Подпрограмма перемножения двух матриц. Пара-
метры: А, В, С, L, М, N, где А, В и С —двумерные мас-
6*
163
сивы размерностей LxM, MxN и LxN соответственно,
содержащие исходные матрицы и результаты.
5.5. Даны матрицы
/ 0,625
А / 1,6 3,2 0 8 \ 1,25
Л \ —1,6 3,2 1,6 6,4/’ Д 0,625
\— 0,625
—3,125
0
1,25
0,625.
0,625 —3,125
1,25 0
0,625 1,25
—0,625 0,625
0,625'
— 1,25
0
3,125.
Найти АВ, ВА и АС.
5.6. Даны матрицы
А =
2,5 —1,25 3,75 -5 \ /2,8 6,4 3,6 1,8-
4,125 8,125 —2,75 —4,875 5,5 —3,25 —4,125 \ 1,625 ) ’ в = ( ' 2 1,2 5,6 3,2 2,4 3 1 1,2
5,25 —5,25 —1,75 3,5 J <0,8 0,8 0,6 од
Найти матрицы АВ, ВА и АТВГ.
5.7. Используя подпрограммы, полученные в задачах
5.1—5.4, составить на фортране программу решения за-
дач 5.5, 5.6, а также одной из задач 2.4—2.12 и 2.16—2.18.
Метод обращения матрицы с помощью элементарных преобразо-
ваний (рассмотренный в п. 2 § 2) может быть описан следующим об-
разом:
/^11 #12-. Ь11 ^12*
Д21 ^22‘*>°2п ^21 Ь22...Ь2п
ап2... апп bni bn2... Ьпп,
'1 0.. ..0 Л(£) Л1, k+l‘ • (fe)
0 1.. ..0 jfa, $2, ^4-1 • • • .^2H
0 0., ..1 4^+1- (fe) • •G.kn
,0 0., ..0 <45+1.. (k) . • Gnn
b&> b% b&... b%... b$ ] b^ —,
b& b№... . (fc) bkn
bft h(k) ОП2 ••• °nn )
<1 0.. ..0 b(n) 0ц ЫТ. h(n) • >Ь1П
0 1. . .0 г (П) 021 b^. h(n) • • 02П
.0 0.. ..1 ,(П) OflL b%. .•bnn /
164
где (bjj)-E—единичная матрица, а элементы матриц и (Ьц*)
связаны соотношениями
(/г-1)
^/)^~7^~i) » 6 = 1, 2, n, / = /г,
akk
гЦ-d
^/, = ^=1T- k=l,2,...,n, / = 1, 2, ..., п,
а&
Ak-1)
(fe) (/г-1) akj </г-1) . 1 о , . , . i
Cltf —®ik i / — 1, 2, ..., k—1, fl,
akk
j = k+l, ..., n, а/^ — ац,,
«(fe-l)
i=l, 2, ..., Л-1.А+1,
akk
l=\,2,...,n, b^ = bu.
5.8. Составить на фортране подпрограмму обращения
матрицы методом элементарных преобразований. Пара-
метры: А, В, N, где А и В —двумерные массивы раз-
мерности NxN с элементами исходной и обращенной
матриц соответственно. Сохранение массива А после вы-
числений не предусматривается.
5.9. Найти А-1, если
Z 0,24 0,84 0,68
д _ / —0,84 0,24 —0,88
Я Д —0,68 0,88 0,24
\—0,88 —0,68 0,84
0,88\
0,68 А
—0,84 Г
0,24/
5.10. Найти А"1, если
(-0,96875
0,0625
0,125
0,25
0,5
0,0625 0,125
— 1,875 0,25
0,25 -3,5
0,5 1
1 2
0,25 0,5\
0,5 1 \
1 2 I
-6 4 /
4 —8 /
5.11. Используя подпрограмму, полученную в зада-
че 5.8, составить на фортране программу решения задач
5.9, 5.10, а также одной из задач 2.33 — 2.36 и 2.39 — 2.43.
При решении матричных уравнений в задачах 2.39 — 2.43
использовать подпрограмму задачи 5.4.
2. Вычисление определителей. Определитель
аи а12 • • • ат
при 7* 0
Qni @п2 • • • ^пп
165
представим в виде
qii
1 О
#21 (1)
— «22
#11
„(1)
С-2.П
или Ап = «и-А^-ь
О
#П1 (1) (1)
~— «п2 .•. апп
#и
Элементы определителей Аш An-i, . Aj, где
Ak> (/г)
#/г+1, Л+1 • »• #&+1, п
i • •
• #п, п
Ап-Л —
f = 6+b
связаны соотношениями
</г) (/г-1) Clik 1}CLki Х)
Qii ==аИ '-------Tfe-1?—
akk
#£/ —aij> Al—a tin ,
и a(kk~ly 0 при всех k для A„_^+i 0. Поэтому
А (0) (1) (&-1) (П-1)
Ап — #11 *#22 • • •O'kk •<>йпп
Если п/г1-1> —0, то следует, учитывая изменение знака, поменять
местами первую и некоторую другую строки определителя
так, чтобы левый верхний элемент, называемый ведущим, не был
равен нулю. Для повышения точности вычислений ведущим элемен-
том нужно выбирать наибольший по модулю из всех элементов пер-
вого столбца каждого из определителей An_/j, 6 = 0, 1, 9.., п—2,
Пример 1. Вычислить определитель
п, / = 6+1, .п,
А ==
А = 5-
1
0,2
—0,4
1
6,4 -
•5- 2,8
О
0
> 2,8
I 6,4
0
-0,8
1,4
4
О
1,4
—0,8
4
5,4
5
1
—2
5
О
3,8
5,4
—1
1
3
6
1
—2
1
О
2
= 5-
1
4
5
О
2,8 1,4
6,4 —0,8
О
3,8
5,4 =
—1
О
1,75
4
—1
О
1,4375
—1
О
4.14
’ I 1,75 1,4375
= 5-6, 4-4-1,875 = 240.
4
3,8 = -5-6,4- 0,4375
=-5.6,4-|1’75 !>4375l=f
|4 —1 I
= 5-6,4-4-|0 4375 )>875
5.12. Составить на фортране подпрограмму-функцию
вычисления определителя порядка п. Параметры: A, N,
где А—двумерный массив размерности NxN.
166
Вычислить определители:
5.13. 1,6 8,1 1464,1 62,5 240,1
0,8 2,7 133,1 12,5 34,3
0,8 1,8 24,2 5 9,8
1 1,5 5,5 2,5 3,5
1,3 2,3 24,7 5,5 10,3
5.14. 5 7,5 17,5 2,5 22,5 27,5
3,2 —3,3 10,7 1,1 5,9 12,1
17,5 10 22,5 —2,5 27,5 — 12,5
8,7 4,4 8,9 —1,1 13, 1 —5,5
22,5 — 10 27,5 2,5 32,5 5
6,9 —3,4 9,1 1,1 9,3 11,2
5.15. Используя подпрограмму-функцию, полученную
в задаче 5.12, составить на фортране программу решения
задач 5.13, 5.14 и одной из задач 1.45—1.48.
3. Системы линейных уравнений. Метод Жордана—Гаус-
с а (см. п. 4 § 4) в случае системы
п
2 aijXj t = 1, 2, ..., n, (1)
/=1
заключается в последовательном исключении неизвестных, причем
после исключения (k—1)-го неизвестного остаются уравнения
= i—k, *4-1, п, (2)
j-k
где
ClikClkj . <Q)_
—CLtj------, К— и, 1, ..., П—1, Ctij —G'lji
akk
, b?> = bi.
akk
(k)
Точность вычислений увеличивается, когда ведущие элементы akk
имеют наибольший модуль в первом столбце матрицы системы (2).
При k = n в системе (2) остается одно уравнение, из которого
вычисляется хп. Этим завершается прямой ход вычислений. Обратный
ход состоит в последовательном нахождении хь по найденным ранее
хЛ + 1, ..., k — п — 1, п—2, ..., 1.
Пример 2. Решить методом Жордана —Гаусса систему урав-
нений
5лу— %2~Р — 9,13,
2 %!— х2 — 5х3 = 25,
——Xi -р 4%2— х8==43,
167
Последовательно исключая х± и х2 и выбирая ведущими элемен-
тами наибольшие по модулю в соответствующих столбцах, получаем
*! —0,2*2 + 0,2*3 = 1,826, *!—0,2х2 + 0,2х3 = 1,826, (*)
—0,6*2 + 4,6*s = 21,348, 3,8*2—0,8*3 = 44,826,
3,8*2 — 0,8*з = 44,826, — 0,6*2 + 4,6*3 = 21,348,
*2—0,2105*3=11,7963, (*)
4,4737*з = 28,4258, *3 = 6,3540.
Из уравнений, помеченных звездочкой, находим вначале *2 = 13,1338,
потом *х = 3,1820.
ч5.16. Составить на фортране подпрограмму решения
квадратной системы линейных уравнений методом Жор-
дана-Гаусса. Параметры: А, В, N, где А —двумерный
массив элементов матрицы системы, В —одномерный мас-
сив, содержащий свободные члены до обращения к под-
программе и решение системы после вычислений, N —по-
рядок системы.
5.17. Решить систему
3,2*х + 5,4*2 + 4,2*3 + 2,2*4 = 2,6,
2,1х1 + 3,2х2 + 3,1х3 + 1,1х4 = 4,8,
1,2*х + 0,4*2 — 0,8х3 — 0,8*4 = 3,6,
4,7*! + 10,4*2 + 9,7*з + 9,7*4 = —8,4.
5.18. Используя подпрограмму, полученную в задаче
5.16, составить на фортране программу решения одной
из задач 5.17, 4.4—4.8, 4.12—4.17, 4.22 и 4.23.
Метод итераций. Если для системы (1) выполняются не-
равенства
I aii I > 2 i=l, 2, ..., п, (3)
/=1
(*i\
. I удовлетворяет соотношению X = lim X{k\
• ! k —> оо
Хп/
т. е. *z- = lim *(/г), i==l..п, где компоненты вектор-столбца Х^
k —> оо
определяются равенвтвами
40>=₽,-,
4ft+1,= 2 = «=1, 2........ k — 0,1....
/=1
в которых ^i==bi/aiit ац^—ац/ац.
168
Пример 3. Решить методом итераций систему
5*1+ 0,12л^2 —0,09*3 = 10,
0,08*т + 4*2—0,15*3 = 20,
0,18*х—0,06*2 + З*3 = —4,5.
4^ Система удовлетворяет условиям (3), и на главной диагонали мат-
рицы располагаются наибольшие по модулю элементы строки. При-
ведем систему к нормальному виду:
Х1= 2 —0,024*2—0,018*3,
*2 = 5 —0,02*1 +О,ОЗ*3,
*3 = —1,5 — 0.06*1 +0,02*2.
/ 2 \
Выберем нулевое приближение Х(0> = 1 5 J и найдем Х(1), Х(2), Х(3):
\-1,5/
л4*’ = 2 —0,024-5—0,018-(—1,5) = 1,907,
4П= 5 —0,02 -2+0,03 -(—1,5) = 4,915,
хзь=—1,5 — 0,06 - 2 + 0,02 - 5 =—1,52;
xi2,= 2 —0,024-4,915—0,018-(—1,52) = 1,90940,
42,= 5 —0,02 -1,907+0,03 -(-1,52) = 4,91626,
%з2>=—1.5 —0,06 -1,907+ 0,02-4,915 =—1,51612;
х{8)= 2 —0,024-4,91626 — 0,018-(—1,51612)= 1,9092999,
43)= 5 -0,02-1,90940 +0,03 -(—1,51612) =4,9163284,
43) = —1,5 — 0,06-1,90940 + 0,02 - 4,91626 =—1,5162388.
Первые три знака после запятой в Х(2) и Х(3) одинаковы, поэтому
с точностью до 0,001 решением системы является вектоо
/ 1,909\
Х = 1 4,916 ).►
\—1,516/
5.19. Составить на фортране подпрограмму решения
линейной системы уравнений методом итераций. Пара-
метры: А, В, X, N, EPS, где А —двумерный массив эле-
ментов матрицы системы, В —одномерный массив, содер-
жащий свободные члены, X — одномерный массив с ре-
шениями системы, N — порядок системы, EPS — предельная
абсолютная погрешность.
Решить методом итераций системы:
5.20. 4,1*1 + 0, 1х2 + 0,2х3 + 0,2х4 = 21,14,
0,3X1 + 6,3х2 + 0,9х3 — 0,1х4 = —17,82,
0,2xi + 0,Зх2 + З,2х3 + 0,2х4 = 9,02,
0,1X1 + 0,1ха + 0,2х3 — 9,1 х4 = 17,08.
169
5.21. 2,4xx4-0,2x2 —0,3xs — l,lx44-5,8x6 = 23,84,
0,3x14-0)1x2 + 1,1xs+10,2x4+ x5 = 38,85,
0,5x1-6,2x2 + 0,1a-s+ 1,5х4-1,2х6 = 17,23,
0,lXi+2,1x24-5,1xs4- 0,2x4 —0,3x8 = 6,56,
2,5xi4-0, 1x2 + 0,2xs4- 0,3x44~0,4*5= 6,63.
5.22. Используя подпрограмму, полученную в задаче
5.19, составить на фортране программу решения задач
5.20 и 5.21.
ОТВЕТЫ
1.1.18. 1.2. 4аЬ. 1.3.1. 1.4. (а—&)2. 1.5. 0. 1.6. ху = — 4, х2=—1.
1.7. х = ^—1.8. ® Показать, что дискриминант соответст-
6*3
вующего квадратного трехчлена неотрицателен. 1.10. 0. 1.11. 0.
1.12. abc-\-x (ab-r\- Ьс-\-са). 1.13. а2 + Р2+T2+J- sin (а—f) +
+ sin(P — 7) + sin(y—а). 1.15. —3. 1.16. з/зЕ 1.17. — 4 ± У~22.
1.18. (—оо, 4-а>). 1.19. (4, 4-оо). 1.20. (—6, —4). 1.24. е Показать,
что последний столбец исходного определителя может быть представ-
/ а3 \ / а2 \ / а \ / 1 \
лен в виде! 63 ) = (а + b + с) I b2 I—(ab-j-сс + be)( b j + a&cf 1 1,
\ с3 / \ с2 J \ с / \ 1 /
и воспользоваться этим представлением. 1.27. Парабола у =
/ w t\ < оо 2 3 4 5 * оо /1 2345678А
— (х а)(х i>). 1.28. 6 2 5 J 4j, нечетная. 1.29. J 627384J,
четная. 1.30. Нечетная. 1.31. Нечетная. 1.32. Четность подстановки
совпадает с четностью п. 1.33. Если п нечетно, то подстановка четная
при любом k; если п четно, то четность подстановки совпадает с чет-
ностью k. 1.34. Входит со знаком минус. 1.35. Входит со знаком
плюс. 1.36. Не входит. 1.37. Входит со знаком плюс. 1.38. i = 5, /г=1.
п (п-1)
1.39. t = 6, k — 2. 1.40. 10х4—5х3. 1.41. (—1) 2 *alna2j n-i • • • anl>
1.42. 0. 1.43. а) Не изменится; б) не изменится; в) обратится в нуль.;
п (п -1)
г) умножится на (—1) 2 ; д) умножится на (— 1.44. а) 8а 4-
4- 15&+12С— 19d; б) 2а—8b + c+5d. 1.45.0. 1.46. 48. 1.47. 223.
1.48. 9 V10 ( ]/"3— У~2). 1.49. (be—cd)2. 1.50. (Z>4-c4-d) (Z?4-c— d).
1.51. nl. 1.52. 2n4-l. 1.53. 1. 1.54. (— l)n-1.n. 1.55. —aja2...anX
n (n-1)
x( 7-+T-+ •••4-;k)-,-56-«+l.l-57.(-l) 2 П («<—«*)•
\«1 anJ \<&<i<n
2.2. /25 — 3\ 2.3. /2-\-2i 0 \ 2.4.
^6 7- 8J' \ 0 2 — 2i)’
2.6. /2 0\ 2.7. /1 5 —5\ 2.8. /1.1 —22 29\
\0 3J ’ ( 3 10 0 ). 19 —27 32 ).
\2 9 —7/ \13 —17 26/
/5 2\ 2.5. /0 0\
\7 oj’ \0 0/
2.9. /56\ 2.10.(31).
69 У
\17/
170
2.11.
г 5\ 2.12.
15 )
25 /•
13 —14\
21 —22 Г
2.13.
1 па\ 2.14. /V пХ,"-1
0 1/ \О
2.15.
2.18.
f cos па —sin па
\sin па
21
— 13
— 9
2.16.
2.17.
а
—5Ь
—23
34
22
cos па }
15\ 2.19.
10 \
25?
—3 2
— 1 —1
а
а
ЗЬ а
где а и b—любые числа.
а> bt с—любые числа. 2.22.
а b
о —а
(а b с'
0 а b
0 0 а,
где
, где а, с—произвольные
числа, удовлетворяющие соотношению а2 -J- Ьс — О. 2.23.
где a2-\-bc = 1. 2.24. а) t-я и /-я строки произведения поменяются
местами; б) к t-й строке произведения прибавится /-я строка, умно-
женная на а; в) t-й и /-й столбцы поменяются местами; г) к t-му
столбцу произведения прибавится /-й столбец, умноженный на а<
2.27.
—2 1 \
3/2 —1/2/ *
2.28.
7 —4
—5 3
2.29.
cos a sin а
— sin а cos а
2.30.
1
—38
. 27
— 1
41
—29
1
—34
24
2.31. /—8
( ~5
\ 1
29
18
-3
— 11
—7
1
2.32.
'1
О
О
— 1
1
О
О
— 1
1
О'
о
о
2.33. /—7/3
( 5/3
\—2
2
— I
1
— 1/3
-1/3
1
о
О
о
2.34.
1/9
2/9.
.2/9
2/9'
2.36.
2/9
1/9 —2/9 ) .
—2/9
1/9,
2.38.
' —7 5 12 -
3 —2 • -5
41 - -30 - -69
—59 43 99 —
— 1/6 1/2 —7/6
—7/6 -1/2 5/6
3/2 1/2 -1/2
. 1/2 1/2 -1/2
-19'
8
111
159/
\0
10/ЗХ
—5/3 j
1 / ’
1 /
2.35.
/1
1
4 \ 1
\1
2.37.
/1 —1
/ 0
О
1
1
—1
— 1
1
— 1
1
—1
1
—1
— 1
1
О
О
1
— 1
1
— 1
1
— 1
(-1р-2
о о ...
1 -1\
<2 3/
1
171
2.40. /3 —2\ 2.41. р 2\ 2.42. /6 4 5\ 2.43. /1 2 3\
\5 — 4} ' \3 4J ‘ (2 1 2). (4 5 6).
\3 3 3/ \7 8 9/
3.2. (1, 4, —7, 7). 3.3. (4 , 6, —35, —1). 3.4. (70 , 40, —20,
— 16). 3.5. ^51, 26, 18у, -llyj . 3.6. (—1/2, 1, 3, 3).
3.7. (—17, —13, 41, 5). 3.8. (—8/5, —7/3, —16/3, —11/3).
3.9. (—23/4, —29/8, 27/8, 9/8). 3.11. Линейно независима. 3.12. Ли-
нейно зависима. 3.13. Линейно независима. 3.14. Линейно зависима.
3.15. ® Расписав векторное равенство а1^1 + а2^2 + аз^з+а4^4==®
покомпонентно, показать, что получающаяся система четырех урав-
нений (относительно ах, а2, а3, а4) имеет единственное решение
а1 = а2==а8==а4==0. 3.16. й Положим х1е1-\-х2е2~\-хаеа+х^е^ +
4-х5£5 — хи распишем это равенство покомпонентно: хх=1, х1~\-х2 =
~ 0, Х3 -j-X2-j-Xa = 1, Хх4~Х24“Xg-j-Х4 = 0, Хх + Х2Х34"Х4-р х5 = 1 .
Решая эту систему, находим хх=1, х2 —— 1, х3=1, х4 —— 1, хб = 1.
Итак, х~ег— е2 + еа—e4-j-eR. ► 3.17. 2^—3^2 + З^3—3^4-L3^6.
3.18. 5£?14-ев4-в84-г44-*б. 3.19.2. 3.20.3. 3.21.3. 3.22. г = 2,
если Х = 0, и г~3, если X 0. 3.23. г^З при любом К. 3.25. 3.
3.26. 2. 3.27. 3. 3.28. 2. 3.32. Линейно независима. 3.33. Линейно
зависима. 3.34. 3. 3.35. 3. 3.36. Х = 15. 3.37. % 12. 3.38. Ни
при каких X. 3.39. г —3; = а4). 3.40. r = 3; 53 = (ах, а2г
аъ). 3.41. г = 3; ^8 = (а1У а2> а4). 3.42. r = 2; 5Bi = («i, а2), = (**2,
а3). 3.43. г —2; = а2), ®2 = («1»«з)> 23з = (Л1> «Д- 3.44.
г = 2; = а4), ®2 = («2, а4), % = («з> «4).
9
4.1. х = 16, #==7. 4.2. х = 2, «/ = 3. 4.3. х = —6, у — ~ -^а.
4.4. х = 2, г/= — 1, 2=1. 4.5. х = 1, у = 3, 2 = 5. 4.6. х = 3, г/=1,
г = — 1. 4.7. хх — 1, х2 — — 1, х8 = 2, х4 — — 2. 4.8. хх = 2, х2 = х3 —
— х4 = 0. 4.9. Степень^многочлена меньше двух, если выполняется со-
отношение £ = (г/3—1/2) (х2—х^ = (у2— уг) (х3—х2); если k Ф 0, то сте-
пень равна единице; если же /г = 0,то степень равна нулю. ® Доказать,
что определитель системы уравнений У1~ах}-\- 6х/4~с, г = 1, 2, 3
(с неизвестными а, Ъ, с), отличен от нуля. 4.10. /(х)=х2 — 5x4-3.
4 11 f /х) - ^-^(х-хз) . (х—х,)(х-х8) ,,,
' (Х1—Х2) (Х,— Хя)’ '2' (Х2 — X,) (х2 —Хз) ’
= 4.12. х,=-3, х2 = 2, х8 = 1. 4.13. Xj=-1,
(Х8 — Xl) (Хд — х2)
х2 = 1, х8 = — 2. 4.14. хг = 1, х2 = 1, х3 = — 1, х4 = — 1. 4.15. хх — — 2,
х2 — 0, х8=1, х4= — 1. 4.16. хг = 1, х2 = 2,_х3 = 2, х4 = 0. 4.17.хх = 2,
х2 = —2, х3=1, х4 —— 1. 4.18. (14~ КЗ сх, Ci)T. 4.19. Система
несовместна. 4.20. Система несовместна. 4.21. (—14-2^, 14-^1, Cl)T-
4.22. (—1, 3, —2, 2)т. 4.23. (0, 2, 1/3, —3/2)т. 4.24.
। 1 9 Ю 5 , 1 \Т л Г
4-~сх jy-c2, yj--------—С14-—с2, С1, с2\ . 4.25. Система не-
совместна. 4.26. (сх, — 134-3сх, —7, 0)т. 4.27. f—~4"YC1’
172
1 13 15 6 \Т л „„ „
у---7“С1» “у--7"сь ci J • Система несовместна. 4.29. (ct,
/ 20 , 53 5
• (v+Ci—ТС2’ -у-
. Если X 0, то система
7 7
2 2 С1
. Если (Л— 1)(А.+3) #0, то Х=-т-1^-Х
Л-j-
2
9'9 - -
. I >
^-2» 1--2 С3’ Сз
если к — 0, то X =
3 5 13
2 2 Сх 2 С2’
С2
с2> 3 — 8ci~\-4c2, —3, 1 -{-2ci—с2)^"• 4.30
5,5 1,2 \Т л
---2*С1 ‘ “б”С2’ —сг+т7С2’ С1> с2 ) -4.
7
--g-Сз, Cl.
несовместна;
19
~^-с2, с„
Х(1, 1, 1, 1)т; если Х =—3, то система несовместна; если Х = 1, то
X = (1—С1 — С2 — с3, cJt с2, с3)Т- 4-34. Если Х = 8, то X=(ci, 4 +
+ 2q — 2с2, 3 —2с2, Сг)Т; если X 8, то Х = (0, 4—2сь 3—2^, Ci)T.
4.35. Если X(XJ-3)#0, то X ==-г--~-у (1, 1, 1)т ; если X ——3, то
Л-f- о
система несовместна; если Х = 0, то Х==(1— сх—с2,Сх,с3)Т 4.37. c^Ei,
Ei = (3, 1, 5)т. 4.38. CiEi + aEi, £х = (2, 1, 0)т, £2=(3, 0, 1)т.
4.39. Система имеет только тривиальное решение. 4.40. с^Е^ Ег =
= (4, 1, —5)т. 4.41. cxfx + ^fa, Ех = (8, —6, 1, 0)т, Е2 = (—7,
5, 0, 1)т. 4.42. c^ + czEs, Ei = (l, 0, —5/2, 7/2)т, Е2 = (0, 1, 5,
— 7)т. 4.43. ^Ei-j-CzEz+csEs, Ei = (l, 0, 0, —9/4, 3/4)т, Е2 = (0,
1, 0, —3/2, 1/2)т> £3 = (0, 0, 1, —2, 1)т. 4.44. c1£i+c2E2+c8£8,
Ei = (i, 1, —1, 1, 0, 0)Т, Е2 = (—1, 0, 0, 0, 1, 0)т, Е3 = (0, —1,
О, О, О, 1)т. 4.45. Cjfx+caEs, Ef = (O, 1/3, 1, 0, 0)т, Еа=(0, —2/3,
О, О, 1)т. 4.46. c^r+czEz, Е1 = (—3, 2, 1, 0, 0)т, Е2 = (—5, 3,
О, О, 1)т. 4.47. Строки матрицы А не образуют, а строки матрицы В
образуют, о Если ранг матрицы коэффициентов при неизвестных
равен г, то необходимо проверить, что а) ранг А (соответственно В)
равен 5—г; б) строки матрицы А (соответственно В) являются ре-
шениями исходной системы. 4.48. «1 = 2, X=c1Ei, Е1 = (1, 0, —2)т;
а2= — 4, X^^Et, Е1 = (1, —24/5, — 4/5)т. 4.49. at = — 1, X = CiEly
£1==(-5/3, 1/3, 1)т. 4.50. Хо+с^х+с^+сзЕз, Хо = (1/3, 1/3,
0, 0, 0)т, Ег = (0, 1, 1, 0, 0)Т, £’2 = (0, 1, 0, 1, 0)Т, Е8 = (1/3,
-5/3, 0, О, 1)т. 4.51. X^+ciEi+czEz+сзЕз, Хо-=(2/3, 1/6, О,
О, 0)т, £i = (0, 1/2, 1, 0, 0)т, £2 = (0, -1/2, 0, 1, 0)т, Е3 = (1/3,
5/6, 0, 0, 1)~1". 4.52. X 3CiE с2Е 2-]-с $Е 3-[-с^Е X8== (1/3, —1/3,
О, О, О, 0)т, £1 = (1, 1, 0, 0, 0, 0)т, Е2 = (—1, 0, 1, О, О, 0)Т,
Е3 = (0, О, 0, 1, 1, 0)т, £4 = (0, О, О, —1, О, 1)т. 4.53. Х04-с1£1+
+ с2Е2+с3Е3< Хо = (1, —1/2, 0, 0, 0), ^-(О, —3/2, 1, 0, 0)т,
£г = (0,_-2, 0, 1, 0)т, £3 = (0, —5/2, О, О, 1)т. 4.54. (1, —1,
; —5+с, 3, —1—с, с)т. 4.56. Система не-
3 6 \Т
Ci, 0, 0, -g-—у с2, с2\ . 4.58. (— 1 +
— 1, 1)т. 4.55. (6 —с,
л ( 5
совместна. 4.57. 1у —
4-^i + 2c2, —3-|-Q 4-2са, Ci, С2)~^.
173
5.1. SUBROUTINE SUM(A,B,C,M,N)
DIMENSION A(M,N),B(M,N),C(M,N)
DO 1 I = 1JM
DO 1 J = 1,N
1 C(I,J)=A(I,J) + B(I,J)
RETURN
END
5.2. SUBROUTINE MUL(A,M,N,ALFA)
DIMENSION A(M,N)
DO 1 I = 1,M
DO 1 J = 1,N
1 A(I,J) = ALFA*A(I,J)
RETURN
END
5.3.
SUBROUTINE MULM(A,B,C,L,M,N)
DIMENSION A(L,M), B(M,N),C(L,N) 5.4.
DO 2 I = 1,L SUBROUTINE TRANS(A,N)
DO 2 K = 1,N C = 0. DO 1 J = 1,M 1 C==C+A(I,J)*B(J,K) 2 C(I,K) = C RETURN END 5.5. / 6 —8 - AB = f° °V BA=[ 2 4 \0 11J \ -1 6 \—2 0 5.6. /5 17 9,35 25,3 I 10,4 15,6 \ 4,9 1,4 /72,1 —48,1 30,85 - BA! 52’85 —34,85 28,75 - 1 46,875 —31,225 10,25 - \12,275 —8,225 4,75 DIMENSION A(N) N1=N —1 DO 1 1 = 1, N1 11 = 14-1 DO 1 J = li,N B = A(I,J) A(I,J) = A(J,I) 1 A(J,I)=B RETURN END _5 —15\ 0 10 1 AC= 0 22>\ 2 13 Г ^0 11 15; 1 -1/ 14,25 5,75 \ 22,275 9,625 j 8,775 6,5 Г 3,15 3,5 / —28,25 X ~25’7 ), ATBT = (BA)T. -10,125 /’ k 7 —4,925/
174
5,7. Задание для ЭВМ состоит из главной программы и всех
подпрограмм, к которым есть обращения из главной. Ниже приво-
дятся главные программы для задач 5.5, 5.6 и 2.18.
Программа к задаче 5.5:
DIMENSION А(2,4),В(4,2),С(4,3),АВ(2,2),ВА(4,4),АС(2,3)
DATA А/1.6,—1.6,3.2,3.2,0.,1.6,8.,6.4/,С/0.625,1.25,0.625,—0.625,•
^—3.125,0., 1.25,0.625,0.625, — 1.25,0. ,3.125/
EQUIVALENCE (В( 1,1),С( 1,1))
CALL MULM(B,A,BA,4,2,4)
CALL MULM(A,B,AB,2,4,2)
CALL MULM(A,C,AC,2,4,3)
WRITE (3,1) ((AB(I,J),J = 1,2),I = 1,2)
1 FORMAT (5H AB ,2(1H ,2F8.2))
WRITE (3,2) ((BA(I,J),J = 1,4),I —1,4)
2 FORMAT (5H BA ,4(1 H ,4F8.2))
WRITE (3,3) ((AC(I,J),J = 1,3),I = 1,2)
FORMAT (5H AC ,2(1 H ,3F8.2))
STOP
END
Программа к задаче 5.6:
DIMENSION A(4,4),B(4,4),AB(4,4),BA(4,4),ATBT(4,4)
READ (1,1) ((A(I,J),J = 1,4),I = 1,4),((B(I,J),J = 1,4),I. = 1,4)
1 FORMAT (4F8.3)
CALL MULM(A,B,AB,4,4,4)
CALL MULM(B,A,BA,4,4,4)
CALL TRANS(A,4)
CALL TRANS(B,4)
CALL MULM(A,B,ATBT,4,4,4)
WRITE (3,2) ((AB(I,J),J = 1,4),I = 1,4),((BA(I, J),J = 1,4),I = 1,4),
*((ATBT(I,J),J==1,4),I = 1,4)
FORMAT (1H ,4F10.3)
STOP
END
Программа предусматривает ввод исходных матриц с внешнего
устройства. При вводе с перфокарт (п/к) одна п/к должна содер-
жать строку матрицы. Ввод можно осуществить и следующими опе-
раторами:
READ (1,1) А, В
1 FORMAT (4F8.3)
В этом случае п/к должна содержать столбец матрицы*
175
Программа к задаче 2.18:
DIMENSION A(3,3),ASQ(3,3),B(3,3)
DATA A/l.,2.,3.,—2.,—4.,—5.,3.,1.,2./, В/5.,0.,0.,0.,5.,0.,0.,0.,5./
CALL MULM(A,A,ASQ,3,3,3)
CALL MUL(A,3,3,—2.)
CALL SUM(ASQ,A,A,3,3)
CALL SUM(A,B,A,3,3)
WRITE (3,1) ((A(I,J), J = 1,3),I = 1,3)
1 FORMAT (1H ,3F6.1)
STOP
END
6.8.
SUBROUTINE INVMAT(A,B,N)
DIMENSION A(N,N)»B(N,N)
DO 11 1 = 1, N
DO 11 J = 1,N
B(I,J) =0
IF(LEQ.J) B(I,J) = 1
11 CONTINUE
K = 1
100 L = K
AMA = ABS(A(L,K))
LROW = K
1L=L+1
AMB = ABS(A(L,K))
IF(AMA.GE.AMB) GO TO 2
LROW--L
AMA —AMB
2 IF(L.LT.N) GO TO 1
IF(AMA.NE.O) GO TO 12
WRITE (3.13)
13 FORMAT(' DET = O')
12 -IF(LROW.NE.K) GO TO 3
GO TO 6
3 DO 5 J = 1,N 5e9<
IF(J.LT.K) GO TO 4
S = A(K,J)
A(K,J)=A(LROW,J)
A(LROW,J) —S
4S = B(K,J) 6,1°’
B(K,J)=B(LROW, J)
B(LROW,J) = S
176
5 CONTINUE
6 DO 10 J = 1,N
IF(J.LE.K) GO TO 7
AKJ = A(K,J)/A(K,K)
7 BKJ = B(K,J)/A(K,K)
DO 9 I = 1,N
IF(LEQ.K) GO TO 9
IF(I.LE.K) GO TO 8
A(I,J)-A(I,J)-AKJ*A(I,K)
8 B(I,J) = B(I,J)—BI<J*A(I,K)
9 CONTINUE
IF(J.LE.K) GO TO 99
A(K,J) = AKJ
99 B(K,J) = BKJ
10 CONTINUE j
K-K + l
IF(K.LE.N) GO TO 100
RETURN
END
/0,12 —0,42 —0,34 —0,44\
/ 0,42 0,12 0,44 —0,34]
I 0,34 —0,44 0,12 0,42 A
\0,44 0,34 —0,42 0,12/
(2 1 1 1 1 \ j
1 1,5 1 1 1 \
11 1,25 1 1 ] .
11 1 1,125 1 У
11 1 1 1,0625/
5.11. Программа к задаче 5.10:
DIMENSION А(5,5),В(5,5)
READ (1,1) А
1 FORMAT (5F10.5)
CALL INVMAT(A,B,5)
WRITE (3,2) ((B(I,J),J = 1,5),I = 1,5)
2 FORMAT (1H 5F8.4)
STOP
END
5.12. FUNCTION DET(A,N)
DIMENSION A(N,N)
K = 1
DET—1
8 L-K
AMA —ABS(A(L,K))
LROW-K
1L-L+l
AMB — ABS(A(L,K))
IF(AMA.GE.AMB) GO TO 2
LROW-L
AMA —AMB
2 IF(L.LT.N) GO TO 1
IF(LROW.NE.K) GO TO 3
SIGN—1
GO TO 6
3 SIGN- — 1
DO 5 J-K,N
S-A(K,J)
A(K,J)=A(LROW,J)
5 A(LROW,J) —S
IF(A(K,K).NE.O) GO TO 6
DET —0
RETURN
6 DET — SIGN*A(K,K)*DET
Kl-K+1
DO 7 I = K1,N
DO 7 J-KLN
7 A(I,J) — A(I,J)-~A(I,K)*A(K,J)/A(K,K)
K = K1
IF(K.LT.N) GO TO 8
DET —DET*A(N,N)
RETURN
END
177
5.13. 207,36.
5.14. 234,375.
5.15. Программа к задаче 5.14:
DIMENSION А(6,6)
READ (1,1) А
1 FORMAT (12F5.I)
DELTA==DET(A,6)
WRITE (3,2) DELTA
FORMAT (6H
STOP
END
DET=,F10.4)
5.16.
SUBROUTINE EXCLUS(A,B,N)
DIMENSION A(N,N),B(N)
K = 1
1 L = K
AMA = ABS(A(L,K))
LROW = L
2 L = L + 1
AMB = ABS(A(L,K))
IF(AMA.GE.AMB) GO TO 3
LROW = L
AMA = AMB
3 IF(L.LT.N) GO TO 2
IF(LROW.NE.K) GO TO 4
GO TO 6
4 DO 5 J = K,N
S=A(K,J)
A(K,J) = A(LROW,J)
5 A(LROW,J)=S
6 IF(A(K,K).NE.O) GO TO 7
WRITE (3,60)
60 FORMAT (' DET = O')
RETURN
7 K1=K+1
DO 8 I = K1,N
C = A(I,K)/A(K,K)
B(I) = B(I)—B(K)*C
DO 8 J = K1,N
8 A(I,J) = A(I,J) — A(K, J)*C
178
K = K1
IF(K.LT.N) GO TO 1
B(N) = B(N)/A(N,N)
N1=N—1
DO 10 1 = 1, N1
S = 0
N1=N—1 + 1
DO 9 J = NI,N
9 S=A(N — I,J)*B(J) + S
10 B(N —I) = B(N —I)—S
RETURN
END
5.17. X =
5\
—4 ]
3 /
—2/
5.18.
Программа к задаче 5.17:
DIMENSION A(4,4),B(4)
READ (1,1) A,В
1 FORMAT (16F4.1/4F4.1)
CALL EXCLUS(A,B,4)
WRITE (3,2) В
2 FORMAT (1H ,4F6.1)
STOP
END
5.19.
SUBROUTINE ITER(A,B,X,N,EXP)
DIMENSION A(N,N),B(N),X(N)
DO 7 1 = 1,N
B(I) = B(I)/A(I,I)
7 X(I) = B(I) DO I J=1,N 1 A(I,J)=—A(I,J)/A(I,I) 5 DO 3 1 = 1,N S = 0 DO 2 J=1,N IF(J.EQ.I) GO TO 2 S = S + A(I,J>X(J) 2 CONTINUE 3 A(I,I) = B(I)+S KIND = 0 DO 4 1 = 1,N S=X(I) X(I) = A(I,I) A(I,I) = S S = ABS(A(I,I)—X(I)) IF(S.GT.EPS) KIND=1 4 CONTINUE IF(KIND.EQ.l) GO TO 5 RETURN END / 5,2\ 5.20. X = ( "~4’2 ] . \ 3 / \—1,8/ / 1)5\ / —2,7 \ 5.21. X= 2,5 . \ 3,1 / \ 4,3/ 5.22. Программа к задаче 5.21: DIMENSION A(5,5),B(5),X(5) READ (1.1) A,В 1 FORMAT (10F7.2/) CALL ITER(A,B,X,5,0.0001) WRITE (3,2) X 2 FORMAT (1H ,5F8.2) STOP END
j
Глава 4
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
§ 1. Линейные векторные пространства
и пространства со скалярным произведением
1. Линейное векторное пространство. Множество называется
линейным векторным пространством, если выполнены следующие
условия: i
1) В X введена операция сложения элементов, т. е. VX, у£&
определено отображение
<х, yy—+z£<£
(обозначение: % = х-]-у), обладающее следующими свойствами:
la) x+j=j + x;
16) (x + .y) + z===x + (.V4-£);
1в) Vx^Jf (х + 0 — х) (элемент 0 называется нулевым);
1г) Vx£J?3(—х)^^(х+(—х) = 0) (элемент —х называется
противоположным элементу х).
2) В введена операция умножения элементов на действитель-
ные (комплексные) числа, т. е. V^£^(^(;C), Vx£J? определено
отображение
(обозначение: у~Хх), обладающее свойствами:
2а) 1 х = х;
26) X (рх) = (Xpi) х.
3) Операции сложения элементов и умножения их на числа
удовлетворяют законам дистрибутивности:
За) Z, (х-}~ J/) = Ax-f-
36) (Х + р) х = Хх+рх.
Элементы линейного векторного пространства называются векто-
рами. Пространство называется действительным, если в Зв опе-
рация умножения векторов на число определена только для действи-
тельных чисел, и комплексным, если эта операция определена для g
комплексных чисел.
Проверить, что следующие множества являются линей-
ными векторными пространствами:
180
<i
1.1. Множество всех геометрических векторов
(операции над геометрическими векторами определены
в § 1 гл. 2).
1.2. Множество R" всех арифметических п-компонент-
ных векторов х=(х1, ..., хп) (операции над арифмети-
ческими векторами определены в § 3 гл. 3).
1.3. Множество всех многочленов
• p{i)=an_1tn~1+... 4-0^4-а0
степени —1 с естественным образом введенными опе-
рациями сложения многочленов и умножения их на чи-
сла.
1.4. Множество С^а, д] всех функций /(/), непрерыв-
ных на отрезке [а, Ь], с естественным образом введен-
ными операциями сложения функций и умножения их на
числа.
1.5. Множество п всех матриц размера тхи (опе-
рации над матрицами определены в § 2 гл. 3).
Выяснить, являются ли следующие множества линей-
ными векторными пространствами:
1.6. Множество Т3! всех геометрических векторов, кол-
линеарных фиксированной прямой.
1.7. Множество всех геометрических векторов, исходя-
щих из начала координат, концы которых лежат на фи-
ксированной прямой.
1.8. Множество всех геометрических векторов, удов-
летворяющих условию | х | > а, где а > 0 —фиксированное
число.
1.9. Множество всех сходящихся последовательностей,,
1.10. Множество всех расходящихся последовательно-
стей.
1.11. Множество всех функций, интегрируемых на
отрезке \а, Ь].
1.12. Множество всех преобразований поворота трех-
мерного геометрического пространства вокруг фиксирован-
ной оси.
Система векторов {Xj, ..., хJ cz называется линейно зави-
симой, если найдутся числа %1Э ..., не равные одновременно
нулю и такие, что AjXx-f-... + %sx5 = 0; в противном случае эта
система называется линейно независимой.
Пусть Q а X — произвольное множество векторов линейного
векторного пространства. Упорядоченная система векторов 53 =
= ..., es) называется базисом в Q, если:
a) ek€Q> &=*= 1, 2, ..., s;
б) система 53 = (^i, ..., е$) линейно независима;
181
в) для любого найдутся такие числа Xf, xs, что
X ~ S (О
£ = 1
Формула (1) называется разложением вектора х по базису 53.
Коэффициенты %i, xs однозначно определяются вектором х
и называются координатами этого вектора в базисе 53.
Если множество QczJf обладает базисами, то все они состоят
из одинакового числа векторов, называемого рангом Q (и обозначае-
мого rangQ). В частности, если все пространство имеет базис, то
оно называется конечномерным и обозначается 56 п, где n — dimJf—
число векторов в любом базисе, называемое размерностью про-
странства. В противном случае пространство 56 называется беско-
нечномерным.
Пусть 56п—произвольное n-мерное пространство, . ,еп)—
фиксированный базис в нем. Тогда всякому вектору х£56п взаимно
однозначно соответствует столбец его координат в этом базисе:
(*i\
. I ,
хп/
При этом линейные операции над векторами в координатной форме
выглядят следующим образом:
j/ = Xx^r = M\
Пусть 53 — (ец ...? еп) и 53'=(#i, • е'п)—два различных
базиса в 56 п. Каждый из векторов базиса 53' разложим по базису 53:
/ilk\
ek — • • • ~Y^nken = l . j, —1, 2, • n.
'ink'
Матрицей перехода от базиса 53 к базису 53' называется
матрица
/hi ...
• ••••)’
• • • Inn'
k-й столбец которой есть столбец E'k координат вектора e'k в базисе 53.
Если х— произвольный вектор из 56 п, X и X'—столбцы его коор-
динат в базисах 53 и 53' соответственно, то имеет место равенство
Х'^(Т^у-1Х <2)
(формула преобразования координат при преобразо-
вании базиса),
182
Пр и мер 1, Найти
х = — в базисе
e'2=j+k, e'? = i+k.
Выпишем' координаты
й):
координаты геометрического вектора
53', состоящем из векторов #' = /+/,
векторов е', е', е' в исходном базисе
/°\ / 1 \
£г = ( 1 ), е; = ( 0 ),
\ 1 / \ 1 /
Отсюда матрица перехода Tsq_^^ имеет вид
/1 0 1\
( 1 1 0 ) t
\0 1 1/
Обращая матрицу и используя
формулу (2), находим
/1 1 —1\ / —1\ / 0\
= = ± -1 1 1 2 = 2 ,-
\ 1 —1 1/\ 1/ \—1/
т. е. х = 24—4.
1.13. Пусть Q —произвольная система векторов из S.
Подсистема {е^ ..., ^5}czQ называется максимальной
линейно независимой подсистемой в Q, если {е1У ..., es}—
линейно независимая система и всякая расширенная система
., es, х, где х—произвольный вектор из Q, линейно
зависима. Доказать, что всякий базис в Q есть макси-
мальная линейно независимая подсистема в Q, и на-
оборот.
1.14. Если заданы произвольные k векторов ..., xk,
то из них можно построить не более k линейно незави-
симых комбинаций. Используя этот результат, доказать:
если 23 и 23'—два различных базиса в системе Q, то они
состоят из одинакового числа векторов (т. е. имеет смысл
понятие ранга системы Q).
1.15. В пространстве заданы векторы
e^i+J, e'3= — i + 2J—k.
Доказать, что система 23' = -—базис в У^3, и
написать матрицу перехода где 23 = (e1 = i, e2=J,
е3 = й). Найти координаты вектора х = i — 2j-\~ 2k в ба-
зисе 23'.
Пусть 23 = (Л У, й) и 23'= (/',/, й') — прямоугольные
базисы в В задачах 1.16—1.18 найти матрицу
183
перехода и выписать столбец координат вектора
№=/-—2/+£ в базисе S3'.
1.16. Базис S3' получен изменением на противополож-
ное направление всех трех базисных ортов 33.
1.17. Базис 33' получен перестановкой
k' =
1.18. Базис 33' получен поворотом базиса 33 на угол ф
вокруг орта Z.
1.19. Найти ранг и какой-нибудь базис системы ге-
ометрических векторов хг = — i + 2j, х2 = 2Z — j + А,
х3 — — 4/ -f- 5у — k, х4 3/ — 3j + Л.
1.20. В пространстве R4 заданы векторы е[ —
-(1,2, —1, —2), е;=(2, 3, 0, —1), е' = (1, 2, 1, 4),
—(1,3, —1,0). Доказать, что система 33' = (el, el, el, el)—
базис в R4, и написать матрицу перехода где S3—
канонический базис в R4 (см. § 3 гл. 3). Найти коорди-
наты вектора х = (7, 14, —1, 2) в базисе 33'.
1.21. Доказать, что система арифметических векторов
*1 = (1, 2, 0, 4), х2 = (—1, 0, 5, 1), х3 = (1, 6, 10, 14)
линейно зависима, и написать какое-нибудь нетривиаль-
ное соотношение вида ^Xi + Х2х2 + Х3л*3 — 0. Найти ранг
и все базисы этой системы.
1.22. Доказать, что система матриц вида
Аа$~
' о ... о о о ... о '
о ... о о о ... о
О ... О 1 о ... о
О ... ООО ... о
, 0 ... ООО ... о ,
а = 1, ..., т,
[3— 1, ..., п
3
образует базис в пространстве п всех матриц размера
mXft, и, следовательно, п = тп. Чему равны ко-
ординаты произвольной матрицы А = (аи)^(МтлП в этом
базисе?
1.23. Доказать, что система многочленов 1, /, Z2, ...
..., tn~l образует базис в пространстве 9*п всех много-
членов степени «С п — 1 и, следовательно, dim = п
(этот базис называется каноническим). Найти координаты:
а) многочлена —3/2 + 1 в каноническом базисе про-
странства
б) многочлена t2, — 2t в каноническом базисе простран-
ства
184
1.24. Доказать, что система многочленов /8 +/2 +1 + 1,
£2-Н+1, /4-1, 1 линейно независима.
1.25. Доказать, что система многочленов/24~ 1, —/24-2/,
/2 —/ образует базис в пространстве «5%. Выписать в этом
базисе столбец координат многочлена —2/24~/—1.
1.26. Доказать, что при произвольном /0 система мно-
гочленов 1, t — (/ —/0)2, •••» (/ — /о)""1 образует ба-
зис в
1.27. Найти матрицу перехода от канонического базиса
1, /, /2, ..., t^1 к базису 1, / —/0, (/ —/0)2, (/ —/о)”"1
в
1.28. Найти координаты многочлена t2 —• t + 2 в базисе
1, t-\, (/-I)2.
1.29. Доказать, что пространство 3 всех многочленов
бесконечномерно. Вывести отсюда, что пространство С\а, ъ]
функций /(/), непрерывных на отрезке [я, Ь], также беско-
нечномерно.
В задачах 1.30—1.34 в произвольном пространстве <2?п
векторы е\, ..., е'п и х заданы своими координатами
в некотором базисе 33. Доказать, что система 33' =
— (еп ..., ej—базис в и найти столбец X' коор-
динат вектора х в этом базисе.
/1\ / 1 \ / 1 \ /б\
1.30. £;=( 1 ), Е^[ 1 , £;= 2 , х= 9 .
\1/ \2/ \3/ \14/
/ 2\ / 3\ / 1\ / 6\
1.31. 2 ,£'^ 2 .
\-3/ \—5/ \ 1/ \—7/
1.33. £'1 = (14-t)’ ^=(—2t)’
/ 1 \ /0\ /—1 \ / 1 \
1.34. £;=.( О 1-f ), Х=( 1 ).
\0/ \0/ \ 1 / \1/
185
1.35. Доказать следующие утверждения:
а) матрица перехода 7\в->«' всегда невырождена, и
б) если
//и ... t±n \
• • • tnn'
— невырожденная матрица и S3 = (ех, ..., е„) — некоторый
базис в пространстве S п, то система векторов
•• +tnie„ 2, . ..,n,
также образует базис в 2? п.
1.36. Доказать, что если 23, 23' и 53" —базисы в 2п,
то справедливо матричное равенство
Tsq -> _> «в' - Т
В задачах 1.37, 1.38 в произвольном пространстве 2п
.векторы е19 е2, ..., еп и el, е2, ..., е'п заданы своими
координатами в некотором базисе. Требуется доказать,
что системы 23 = (еп ..., еп) и 23' = (el, ..., е'п)—базисы
в 2п9 и, используя результаты задач 1.35 и 1.36, на-
писать матрицу перехода
/1\ /2\ /3\
1.37. Et - 2 ), Е2 = 3 ), Es = 7
\ 1 / \3 / \ 1 /
/3\ /5\ ( х\
Пусть и —два действительных (или комплексных) линей-
ных пространства. Отображение (р: пространства на
пространство называется изоморфизмом, если:
а) ф взаимно однозначно;
б) ф(Хх) = %ф(х) и ф(х+^) = ф(х) + ф(д/)
для любых х, и для любого числа X. Если существует изо-
морфизм бб на <£?',то пространства бб и бб' называются изоморфными'.
^с^.бб\
186
В задачах 1.39—1.41х) установить, является ли изо-
морфизмом заданное отображение Т’д на R3.
1.39, q(xi + yj+zk)— (2х~у, г, х + у~\~г).
1.40. <р (xi+yj+zk)— (x + z/— 1, 2г, Зу).
1.41. <p(xi+yj+zk) = (x+y, —y + 2z, x + 2y—2z).
1.42. Отображение <р: 3? п—> R" произвольного про-
странства .2? п на пространство R" арифметических векто-
ров имеет вид
/ ац ... afn '
^(x1ei+...+xnen) = (xi, ..., х„)(........
.. апп
где S3 = (еп ..., еп) — некоторый базис в а А = (а^) —
невырожденная матрица порядка п, Доказать, что это
отображение — изоморфизм и, следовательно, что
1.43. Доказать, что множество всех комплексных чисел
с обычным сложением и умножением на действительные
числа образует действительное пространство, изоморфное
пространству R2. Написать матрицу перехода от базиса
53 = (1, i) к базису 53' = (1 + Z, —I) в этом пространстве,
и для числа—2 4-3/ написать разложение по базису 23'.
2. Подпространства и линейные многообразия.’5 Подпростран*
ством линейного векторного пространства называется такое под-
множество д£' CZ 36, которое обладает свойствами:
а) х, У^Зв' =>х+у^',
б) х £ 3£' —> Кх£ 36' для всякого числа %.
Если — некоторое подпространство в то множество век-
торов
— {х£ 36 \х — х'4*о> х'^с^'для некоторого х0$<^}
называется линейным многообразием, полученным сдвигом подпрост-
ранства на вектор х0.
1.44. Доказать, что всякое подпространство S' ли-
нейного векторного пространства S также является ли-
нейным векторным пространством (при этом
<^dim J?7).
В задачах 1.45—1.49 требуется установить, являются
ли заданные множества подпространствами в соответст-
J) Для обозначения координат геометрических векторов в прямо-
угольном базисе (-Z, j, k) условимся в этой главе использовать строч-
ные буквы х, у, z, в отличие от прописных букв, используемых
в главе 2, так как здесь прописными буквами мы обозначаем вектор-
столбцы.
187
вующих пространствах. В случае положительного ответа
найти их размерность.
1.45. Множество всех геометрических векторов из
а) компланарных фиксированной плоскости;
б) удовлетворяющих условию (х, а) = 0, где а —фик-
сированный вектор;
в) удовлетворяющих условию |х’|=1.
1.46 . Множество всех векторов из вида:
а) х=(0, х2, 0, х4, х5, ..., хп)\
б) х=(1, х2, 1, х4, х5, .х„).
1.47 *. Множество всех векторов произвольного про-
странства п, координаты которых в фиксированном ба-
зисе удовлетворяют условиям:
а) х£ = хп; б) %i + x2+ • • • +^^0; в) хх —х2^1;
г) alix1+...+alnxn = Q,
Н” • ’ • @тп%п
или, в матричной форме, АХ = 0, где Л —заданная мат-
рица размера тхп.
1.48. Множество всех матриц А порядка и, удовлет-
воряющих условиям:
(симметричные матрицы); б) detX^O.
1.49. Множество всех функций /(/), непрерывных на
отрезке [<7, /?] и удовлетворяющих условиям:
a) f = ® для некоторого Ь];
б) Для некоторого ft];
в) f (?) = + •. - + ях/ + ^с, т- е- f (0 ~ многочлен
степени не выше п — 1.
Пусть Q — произвольная система векторов из линейного вектор-
ного пространства
Линейной оболочкой системы Q называется множество векторов
<^(0)=={х|х = %1Х1+...+Хл, хх, ...,
1.50. Доказать, что:
a) S (Q) — подпространство в
б) dim (Q) = rang Q, причем в качестве базиса в J?(Q)
можно взять любой базис системы Q.
1.51. Найти размерность линейной оболочки S (хх, х2)
арифметических векторов хх = (1, 0, 2, —1), х2==(0,—1,
2, 0). Показать, что вектор х = (1, —1, 4, —1) принад-
лежит S (хх, х2).
Найти размерность и какой-нибудь базис линейной
оболочки заданной системы арифметических векторов:
188
1.52. ^ = (1, О, О, —1), х2 = (2, 1, 1, 0), х3-(1, 1,1, 1),
ЛГ4 = (1, 2, 3, 4), х5 = (0, 1, 2, 3).
1.53. л\ = (1, 1, 1, 1, 0), х2 = (1, 1, — 1, — 1, — 1),
х3 = (2, 2, О, О, —1), х4 = (1, 1, 5, 5, 2) хб = (1, —1,
—1, О, О).
1.54* . Показать, что линейная оболочка системы
многочленов —-З/2—1, 2/2-Н, —t совпадает с простран-
ством 5% всех многочленов степени ^2.
Пусть V — произвольная система геометрических векторов. Гео-
метрическим образом системы V назовем множество точек, являю-
щихся концами векторов из V, при условии, что все векторы исходят
из начала координат.
1.55. Написать уравнение геометрического образа ли-
нейной оболочки (а) и многообразия + если
а = ~21+J—k и b = 2i—j.
1.56. Написать уравнение геометрического образа ли-
нейной оболочки S (а4, а2) и многообразия S (а1У а2) + Ь,
если а1 = — i+J + k, a2=2J—k и b = i + k.
1.57. Задана система уравнений:
$1 *4“ %2 ЗХ3 *^4 ~Ь” ^5 == 1 »
3%!— х2+ ^з + 4х4 + 3хб = 4,
Xj —5х2—9х3—-8х4 + хб = 0.
а) Доказать, что множество решений этой системы есть
линейное многообразие в пространстве 1R3 * 5.
б) Сдвигом какого пространства получается это линей-
ное многообразие? Найти ранг и какой-нибудь базис этого
подпространства.
в) Найти какой-нибудь вектор сдвига.
3. Пространства со скалярным произведением. Действительное
линейное пространство называется евклидовым пространством,
если каждой паре векторов х и у из поставлено в соответствие
действительное число, обозначаемое символом (х, у) и называемое
скалярным произведением векторов х и у, причем выполнены следую-
щие условия:
1) (х, Л = (^, х);
2) (Xi + x2, » = (xn j) + (x2, у);
3) (Хх, ^)=Х(х, j),
4) (х, х)^?0, причем (х, х) = 0®х = 0.
Длиной вектора х называется число
|x|= V'tx, X).
Вектор х, длина которого равна единице, называется нормированным.
189
Для любых векторов х, у евклидова пространства справедливо
неравенство Коши—Буняковского
К*. JO |2< (х, х)(у, J>),
которое позволяет следующим образом определить угол между нену-
левыми векторами:
cos
(X, У)
1*1 • 1Л
Ненулевые векторы х, у£<§ называются ортогональными, если
(х, ^) = 0.
Базис SB = (ef, е„) «-мерного евклидова пространства
называется ортонормированным, если
(eit ^)=SJ7=|
Если в пространстве £п задан произвольный базис (Д, /2. . ..> /п),
то векторы
k-\
ek=fk— 2 CiBi, k = 2, 3, n,
i — l
(fk, еЛ . o
где образуют ортогональный базис в этом пространстве
\eb ei)
(процесс ортогонализации Шмидта).
Комплексное линейное пространство 41 называется унитарным,
если каждой паре векторов х, у из 41 поставлено в соответствие
комплексное число, обозначаемое символом (х, у) и называемое ска-
лярным произведением векторов х и у, причем выполнены следующие
условия:
1) У)—(У? х)\
2) (Хг+Хг, = J);
3) (Хх, Д/) = Х(х, >), Х£С;
4) (х, x)>sO, причем (х, х)=О£>х —0.
В унитарном пространстве не определяется угол между векторами.
Однако все остальные определения и результаты, сформулированные
выше для евклидова пространства, остаются справедливыми и для
унитарного пространства.
Евклидовы и унитарные пространства в дальнейшем называются
пространством со скалярным произведением,
1.58. Доказать следующие свойства скалярного про-
изведения унитарного пространства:
а) (х, ^1+^) = (лг, Ji) + (x, ys);
б) (jr, Ху) = А.(х, у)',
в) (х, — х2, y) = (xlt у) — (хг, уУ,
г) (х, 0) = 0.
190
1.59. Доказать, что базис 33 = (е^ ..., еп) в унитар-
ном пространстве (Un является ортонормированным в том
и только в том случае, когда выполнено любое из сле-
дующих условий:
а) если х == хпеп и у = + ... + упеп,
то (х, у)= ад + ... + хауп-г
б) если х=х1е1+... +хве„, то xk = (х, ек), k=l,...tn.
1.60. Доказать, что любая система попарно ортого-
нальных векторов линейно независима.
1.61. Пользуясь неравенством Коши —Буняковского,
доказать следующие неравенства треугольника:
a) К 1*1 + bl;
б) ||*|-МК1*+Л
1.62. а) Доказать, что в пространстве R" формула
(X, У)=ХгУ1+ ... +хпуп,
где х = (%i, и у = (ух, ..., задает скалярное
произведение (получаемое евклидово пространство ариф-
метических векторов в дальнейшем будем также обозна-
чать символом R").
б) Показать, что в евклидовом пространстве R" кано-
нический базис (см. § 3 гл. 3) является ортонормиро-
ванным.
в) Написать неравенство Коши — Буняковского для
евклидова пространства
г) Написать неравенства треугольника в евклидовом
пространстве R".
1.63. Пусть х = (%1, х2) и у~(У1, у2)—произвольные
векторы арифметического пространства R2. Показать, что
скалярное произведение в R2 можно определить следую-
щими способами:
а) (*, у) = 2x^1 + 5х2<у2;.
б) (*, у) = х1у1 + х1Уъ + х2У1 + х2у2.
Вычислить скалярное произведение векторов х^(1,—2)
и j = (5, 1) каждым из указанных способов.
1.64. Доказать, что в пространстве многочленов
степени 1 скалярное произведение многочленов
Р (0 = + . + an_xtn~^
и
<7(/Wo + ^+.‘-+Vi^~S
191
можно определить способами:
а) (/?, <7) = йД + «Д+ ... +an_1bn_i,
п
б) (мЬЕр&Ш). •••> tn—произвольные
/г=1
попарно различные действительные числа.
Вычислить скалярное произведение многочленов р (t) =
~1-Н + /2 и q (/)= / — 2/2 + 3/? каждым из указанных
способов (и —4), если в случае б) /х = —2, /2 =—1,/8=1,
/4 = 2.
1.65. а) Доказать, что в пространстве С[а,ь] соотно-
шение
ь
(f, g)-^f(t)g(t)dt
а
задает скалярное произведение.
б) Написать неравенство Коши — Буняковского для
этого пространства.
в) Написать неравенства треугольника для этого про-
странства.
Применить процесс ортогонализации к следующим
системам векторов евклидова пространства IRW (см. зада-
чу 1.62):
1.66. Л=( 1,-2, 2),/2=(-1,0,-1),/3=(5,-3,-7).
1.67. Л = (1, 1, 1, 1), /2 = (3, 3, —1, —1), /3 =
= (—2, 0, 6, 8).
Применяя процесс ортогонализации, построить орто-
гональный базис подпространства, натянутого на данную
систему векторов в евклидовом пространстве R":
1.68. /1 = (1, 2, 2, -1), /2 = (1, 1, -5, 3),Л=(3, 2,
8, —7).
1.69. Л = (2, 1, 3, -1), /2 = (7, 4, 3, -3), /3 =
= (1, 1, -6, 0),/4 = (5, 7, 7, 8).
Проверить ортогональность следующих систем векто-
ров в евклидовом пространстве R" и дополнить их до
ортогональных базисов:
1.70* . Ci = (1, —2, 1, 3), е2 = (2, 1, —3, 1).
1.71. 6i = (2/3, V3, 2/3), ба-е/з, 2/3, —2/3).
1.72. 6i = (l, 1, 1, 2), е2 = (1, 2, 3, —3).
1.73. Пусть L — линейное подпространство в ^„.Дока-
зать, что:
а) любой вектор х£$п однозначно представим в виде
x—y-\-z, rjapy£L и z ортогонален к L (у называется
192
ортогональной проекцией вектора х на L, a z—-ортого-
нальной составляющей х относительно Л);
k
б) если 23 = (0П . •ek) — базис L, то у= 2 с,-0,> где
1=1 '
коэффициенты ci9 7=1, 2, ..., k, однозначно находятся
из системы уравнений
k
2(0/> e,)c; = (0/, х), j=i,2,...,k,
1=1
a z = x—y.
Используя результат задачи 1.73, найти ортогональ-
ную проекцию у и ортогональную составляющую z век-
тора х на линейное подпространство L евклидова про-
странства
1.74. х = (4, —1, —3, 4), L натянуто на векторы:
ех = (1, 1, 1, 1), е2==(1, 2, 2, -1), е3 = (1, 0, 0, 3).
1.75. х = (5, 2, —2, 2), L натянуто на векторы:
ех = (2, 1, 1, -1), 02 = (1, 1, 3, 0), е3 = (1, 2, 8, 1).
1.76. Доказать, что в действительном евклидовом
пространстве справедлива теорема Пифагора, а также ей
обратная: два вектора х и у ортогональны тогда и только
тогда, когда I х— у |2 = | х |2 + |^ |2.
1.77* . Доказать, что теорема Пифагора остается спра-
ведливой и в унитарном пространстве: если векторы х
и у ортогональны, то |х—у |2 — | х |2 + |_У |2. Показать
вместе с тем, что обратное к теореме Пифагора утвержде-
ние в этом случае неверно.
§ 2. Линейные операторы
1. Алгебра линейных операторов. Линейным оператором в ли-
нейном векторном пространстве X называется всякое отображение
А: X—> X пространства в себя, обладающее свойствами
А(Хх) = Мх и A (x-f-j) = Ах+ &У-
Пусть А — линейный оператор в конечномерном пространстве
и 53 = (^i, — некоторый фиксированный базис. Разложим
векторы Ае^ Л = 1, ..., п, по базису 53:
Ае^ = + k — 1, ..., П.
Тогда матрица
/ ^11 Д12 • • • а1п \
. / ^21 а22 • • • а2п |
^л2 • • • апп '
7 Под ред. А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича 193
называется матрицей оператора А в базисе S3. Матрицу оператора А
будем иногда обозначать также символом [Д] или [Д]^, если суще-
ственно, о каком базисе идет речь.
Заданием матрицы оператор определяется однозначно, а именно:
если у— Ах, то Y — AX, где X, Y—столбцы координат векторов х,
у и А—матрица оператора А в базисе 53.
Пусть А и Д'—матрицы оператора А в базисах 53 и 53', а
— матрица перехода от базиса 53 к базису 53'. Тогда фор-
мула преобразования матрицы оператора при преобразовании базиса
имеет вид
А'=Т~1А7\ (I)
Пример!. В базисе 53 = (Л j, k) написать матрицу оператора
проектирования Ра на плоскость а: *+*/+? = ().
Оператор проектирования на плоскость а определяется равенством
РаХ — ха, где Ха—ортогональная проекция вектора х на пло-
скость а. Имеем
г» п (п, х)
Рах=х—хп — х— прпх-
где п—нормальный вектор плоскости а, В рассматриваемом случае
— и, следовательно,
п . . 1 2 . 1 . 1 .
Pai 1 Зп 3 1 3 3
_ . . 1 1 , , 2 . 1..
1 112
=л-4 л=-4 /-4./+4 л,
О ООО
откуда
/ 2/3 —1/3 —1/3\
Ра= (-1/3 2/3 -1/3 ). ►
\_1/3 —1/3 2/3/
Над линейными операторами, действующими в фиксированном
пространстве вводятся следующие операции:
а) сложение операторов: (Д-~|-2?)х = Дх-[-Вх\ при этом [А + В]=
=Д -р В*,
б) умножение операторов на числа: (ХД)х = ^(Дх); при этом
[М]=М;
в) умножение операторов: (АВ) х = А (Вх)’, при этом [АВ]—АВ.
Обратным к оператору А называется оператор Д~х такой, что
ДД"1 = Д~М — Е, где Е—единичный оператор, реализующий тож-
дественное отображение. Оператор А имеет обратный (и в этом слу-
чае называется невырожденным) в том и только в том случае, когда
его матрица А невырождена (в любом базисе); при этом [Д-1]=Д-1,
В задачах 2.1—2.7 установить, какие из заданных
отображений пространства в себя являются линейными
операторами; выписать их матрицы в прямоугольном
базисе ‘23 = (/, у, А).
194
2.1. Ах=^ху К— фиксированное число.
2.2. Ах = Кх + ау % и а фиксированы.
2.3. Ах = (ху е)еу vjip е — заданный единичный век-
тор. Выяснить геометрический смысл этого отображения.
2.4. Ах = [а, х], « — фиксированный вектор.
2.5. Ах = (а, х)х, « — фиксированный вектор.
2.6* *. U (е, ср) — отображение, состоящее в повороте
на угол ср вокруг оси, задаваемой единичным вектором е.
2.7. Если x = xi + yj + zk, то
Ах = (y + z)i + (2х + z)J + (3%—у + z) k.
В задачах 2.8—2.10 установить, какие из заданных
отображений пространства арифметических векторов R.3
в себя являются линейными операторами; выписать их
матрицы в каноническом базисе.
2.8. Лх^(х2 + %3, 2%1+ х3, 3%1 —х2 + х3).
2.9. Лх = (Х1, х2 + 1, х3 + 2).
2.10. Лх = (0, х2 —х3, 0).
2.11. В задан линейный оператор Л, матрица
которого в некотором базисе 23 =(#1, в2, е3, е4) равна
/12 о 1\
/30—12)
I 2 5 3 1 у
\1 2 13/
Найти матрицу этого оператора в базисах:
а) 23' = (е!, е3, е2, е4);
б) S3' = (е4, ^1 + ^2, ^1 + ^2 4~ #з, 4* ^2 + е3 4~
2.12. В е^з заданы два базиса:
53': &1 — 8&1 — б£24~7в3, е2 =— 16в14~7в2—-13^з,
е'3 = 9^1 — Зе2 4-7вз,
S3": е± = е1 — 2е2 + e3i е2=- Зе4 — е24-2е8,
в3 = 2е4 + е2 4- 2#3.
Найти матрицу оператора Л в базисе 23"', если его матрица
в базисе 23' имеет вид
г 1 —18 15\
Л'' =[ —1 —22 20 ).
< 1 -25 22/
2.13. В пространстве J?2 оператор Л в базисе 23':
^1 = ^14-2е2, e2 = 2ei + 3e2 имеет матрицу Опера-
тор В в базисе 23": ^ = 3^i4-e2, e2 = 4ei4-2e2 имеет
7*
195
матрицу (q Найти матрицу оператора А + В в ба-
зисе 33".
2.14. Пусть p(t) = an_1tn~1 . 4-«1/+^о"“некотоРый
многочлен и А — линейный оператор. Рассмотрим опера-
тор р(А), определяемый равенством
р (А) = ап_1Ап~1 + . .. +a1A+aGE.
Найти матрицу оператора р(Л), если р (t) = 3t2 — 2/+ 5,
а оператор А задан матрицей
2.15. В пространстве 9\ задан линейный оператор
дифференцирования = Найти матрицу этого опера-
тора в базисе:
а) 1, Z, /2, ...,
б) 1, .... (<~У ,
Доказать операторное равенство Dn=-0 (О —нулевой опе-
ратор: Ох = 0).
2.16. В пространстве <^4 задано отображение
1
Лр(/) = J К (t, т) р (т) йт,
о
где К (/, т)—-многочлен от двух переменных, степень
которого по t не превосходит 3. Доказать, что Л— линей-
ный оператор в <^4; найти его матрицу в базисе 1, t, t2,
/3 для случая, когда K(t, т) = ^ + т.
2.17. В пространстве <*Р4 задано отображение
Ahp (f) = p(t + h),
где h — некоторое фиксированное число. Доказать, что
Ah — линейный оператор, и найти его матрицу в базисе
1, /, /2, t\
2.18. В пространстве функций, дифференцируемых
на всей оси, заданы оператор дифференцирования
и оператор А = еи умножения на функцию еи. Прове-
рить равенство DA — AD = KA.
В задачах 2.19—2.26 требуется установить, какие из
заданных линейных операторов в являются невырож-
денными, и найти для них явный вид обратных операто-
ров (е —фиксированный вектор единичной длины, а х==
=xi + yJ + zk).
196
2.19. Ах = кх, X — фиксированное число.
2.20. Ах = (х> е)е. 2.21. Лх = [е, х].
2.22. Ах = х — (х, е) е. 2.23*. Ах = х — 2(х, е)е.
2.24. Ах = (у + г) i + (2% + z)j + (Зх — у + г) Л.
2.25. Лх = 2г/ + (х —г)/+(2х4-3г)й.
2.26. А — U(e, (р) — оператор поворота на угол <р вокруг
оси, заданной вектором е.
Установить, какие из заданных линейных операторов
в R3 являются невырожденными, и найти явный вид
обратных операторов:
2.27. Ах = (хх — х2 + х3, х3, х2).
2.28. Ах = (х2 + 2х3, — х2, 2х2 —х3).
2.29. Лх=(х1 + 2х2 + 2х3, 2х14~х2 — 2х3, 2х1 —-2х2+х3).
Множество Т д всех векторов Ах,х£<£, называется образом опера-
тора А. Множество NA всех векторов х£&, для которых 4х = 0, назы-
вается ядром оператора А. Образ и ядро линейного оператора являются
подпространствами в При этом размерность образа гд —- dim Тд
называется рангом, а размерность ядра пд = dim NA—дефектом one
ратора А. Справедливо равенство + —п’ где }г—размерность-
пространства £.
2.30. Описать образ и ядро следующих линейных опе-
раторов, действующих в пространстве
а) Лх = (х, е)е, |е|= 1;
б) Лх —[х, а], а=#0.
2.31. Описать образ и ядро оператора дифференциро-
вания £), действующего в пространстве 5\.
В задачах 2.32—2.34 для указанных линейных опера-
торов, действующих в пространстве R3, определить ранг
и дефект, а также найти базисы образа и ядра.
2.32. Лх = (хх + 2х2 + х3, хх —х3, хх + х2).
Для представления арифметических векторов и заданного линей-
ного оператора воспользуемся каноническим базисом в R3, В этом
базисе матрица оператора имеет вид
/1 2 1\
А — [ 10—1
V 1 0/
По определению у^Тд в том и только в том случае, когда най-
дется вектор xgR3 такой, что у —Ах, или, в координатной записи,
/1
Y = AX =( 1
\1
2 1\ /хг
0 — 1 Д х2
1 0/ \х8
2\ / 1\
6 )4“ 1 )
1/ \ о/
(2)
197
Равенство (2) означает, что образ Т д совпадает с линейной обо-
лочкой системы столбцов матрицы А. Следовательно, ранг опера-
тора А совпадает с рангом его матрицы, т. е. равен двум, а в каче-
стве базиса Т д может быть выбран любой из базисов системы столб-
цов матрицы А, например
/1\ /2\
Е1== 1 ), Е2 = [ 0 ).
\1/ \1/
Аналогично x£N д в том и только в том случае, когда Ах — О,
или, в координатной записи,
/1 2 1\ /х±\ /0\
АХ =( 1 0 —1 )( х2 ) = ( 0 ). (3)
\1 1 0/\х3/ \0/
Отсюда следует, что ядро Хд совпадает с подпространством решений
однородной системы (3), т. е. дефект оператора А равен пд = п—Гд=
—3—2 — 1, а в качестве базиса в Мд может быть выбрана фунда-
/ 1\
ментальная система решений системы (3), например, Е=1 —1 ].
\ 1/
2.33. (2xj — х2 — х3, -2х2 + %3, Xi + x2—-2х3).
2.34. Ах=(%хх24~х3, х14-^24-х3, Xi4_^24_^3).
2.35. Доказать, что оператор А невырожденный тогда
и только тогда, когда его дефект равен нулю, а, следо-
вательно, ранг совпадает с размерностью пространства.
2. Собственные числа и собственные векторы линейного оператора.
Пусть число X и вектор xgJ??, х 0, таковы, что
Ах = ^х, (4)
Тогда число X называется собственным числом линейного оператора А,
а вектор х—собственным вектором этого оператора, соответствую-
щим собственному числу X.
В конечномерном пространстве <£п векторное равенство (4) экви-
валентно матричному равенству
(А-Х£)Х=О, Х^О. (5)
Отсюда следует, что число Л есть собственное число оператора А
в том и только в том случае, когда det (А—ХЕ)=0, т. е. X есть
корень многочлена p(X) = det(A—ХЕ), называемого характеристи-
ческим многочленом оператора А. Столбец координат X любого соб-
ственного вектора, соответствующего собственному числу %, есть не-
которое нетривиальное решение однородной системы (5).
Пример 2. Найти собственные числа и собственные векторы
оператора Роху проектирования на плоскость Оху в пространстве ^3.
1) Геометрическое решение. Равенство Рохух = ^х, х 0, озна-
чает, что ортогональная проекция вектора х па плоскость Оху кол-
линеарна самому вектору х. Но это возможно лишь в двух случаях.
198
а) Вектор x 0 компланарен плоскости Оху. Для всех таких
векторов Рохух~х’ т- е- все они являются собственными векторами
оператора Роху, соответствующими собственному числу Хх = 1.
б) Вектор х 0 ортогонален плоскости Оху. Для всех таких
векторов РОхух~0 = Ьх, т. е. все они являются собственными век-
торами оператора Роху, соответствующими собственному числу Х2 —0.
В итоге заключаем, что оператор Роху имеет два собственных
числа: Хх = 1 и Х2=0. Соответствующие им собственные векторы:
Х1==1: =xi-j-yji х(Л1) 7= 0,
Л2=0: x^ = zk, Xм 0,
2) Аналитическое решение. Матрица оператора Роху в прямо-
угольном базисе 33 = (/, J, k) имеет вид
/1 0°\
Р = ( 0 10).
\0 0 0/
Характеристическое уравнение:
/1—X 0 0 \
det(P—ХЕ)=4 0 1—X 0 ] = —X (1 —Х)2 = 0,
\ 0 0 —X/
откуда Хх=1 и Х2=0—собственные числа оператора.
Найдем собственные векторы, соответствующие собственному чис-
лу Хх = 1. При X = 1 система (5) принимает вид
/00 0\/х\ /0\
(Р—Е)Х — ( 0 0 0 V у ) = ( 0 )
\0 0 — \J\zJ \0/
Фундаментальная система решений:
/1\ /0\
Е1 — ( о j j Е% = 1 1 )г
\0 / \0 /
а общее решение:
/ х
хЕ1+уЕ2 = [ у
\0
Отсюда заключаем, что собственные векторы, соответствующие собст-
венному числу Хх = 1, имеют вид
х(Х1)=х/4-г/У,
где х и у—произвольные числа, не равные одновременно нулю.
Аналогично рассматривается случай Х2 = 0. При этом получим
x^ = zkt
где z—произвольное число, отличное от нуля,
199
В задачах 2.36—2.40 найти собственные числа и соб-
ственные векторы операторов в Решить эти задачи
геометрически, т. е. в инвариантной форме, не связанной
с выбором какого-либо базиса в (см. пример 2, гео-
метрическое решение). После этого в задачах 2.36—2.38
провести аналитическое решение.
2.36. Ах = ах, я —фиксированное число.
2.37. Ах = (х, i) i — оператор проектирования на ось Ох.
2.38. Ax = [i, х],
2,39х A = U(e, <р) —оператор поворота на угол ср вок-
руг оси, заданной вектором е.
2.40. Ах = х — 2(х, в) е~ оператор зеркального отра-
жения в плоскости с нормальным вектором е.
В задачах 2.41—2.46 найти собственные числа и соб-
ственные векторы линейных операторов, заданных своими
матрицами.
( 2 — 1 2\ / ° i 0\
2.41. А = ( 5 -3 3*1 • 2.42. А = ( -4 4 0 ).
к-1 0 -2/ к—2 1 2/
{4 -5 2\ / 1 — 3 3\
2.43. Д = ( 5—7 3 2.44. Л = ( —2 —6 13 )
к0 -9 4/ к—1 —4 8/
f 1 —3 4\ / 7 —12 6\
2.45. Л = ( 4—7 8 2.46. А = Ю -19 10 ).
кб —7 7/ \12 —24 13/
2.47 , В пространстве 7^2 геометрических векторов на
плоскости задан оператор поворота £7(ср) на угол О^ср < 2л
вокруг начала координат. Проверить (геометрически и
аналитически), что при ф=^0, л этот оператор не имеет
собственных чисел. Этот пример показывает, что линей-
ный оператор в действительном пространстве может не
иметь собственных чисел (и собственных векторов).
2.48 . В комплексном пространстве оператор А
задан матрицей
Л(ф) =
COS ф —sin ф
sin ф cos ф
0 <^ср < 2л.
Найти его собственные числа и собственные векторы.
Сравнить полученные результаты с результатами зада-
чи 2.47.
2.49 *. Пусть оператор Л, действующий в комплексном
пространстве .2? п, задан в некотором базисе матрицей
с действительными элементами. Доказать, что:
200
а) если X — собственное число, то X —также собствен-
ное число;
б) если Х^>—столбец координат собственного век-
тора, соответствующего собственному числу X, то Х^~
столбец координат собственного вектора, соответствую-
щего собственному числу X.
2.50* . В комплексном пространстве S* найти собст-
венные числа и собственные векторы линейного оператора,
заданного вещественной матрицей
/ 4 -5 7\
А = ( 1—49)
\—4 0 5/
2.51. Показать, что если х — собственный вектор опе-
ратора Л, соответствующий собственному числу X, то
он является собственным вектором оператора р (Л) ==
= ап_1Лп~1+ • • • +«1Л + <2оЕ, соответствующим собствен-
ному числу р (X).
2.52. Доказать, что:
а) оператор Л имеет обратный в том и только в том
случае, когда он не имеет нулевых собственных чисел;
б) если оператор Л имеет обратный, то Л и Л-1 имеют
одни и те же собственные векторы. Как связаны между
собой собственные числа этих операторов?
3. Линейные операторы в пространствах со скалярным произве-
дением. Пусть А — линейный оператор, действующий в пространстве
со скалярным произведением (х, у). Линейный оператор Л* назы-
вается сопряженным к оператору А, если для любых векторов х, у
выполняется равенство
(Ах, у) ~(х, А*у).
Для всякого оператора А сопряженный оператор А* существует и
единствен.
Если оператор А в ортонормированием базисе имеет матрицу
Л = (а,у), то сопряженный оператор А* в том же базисе имеет мат-
рицу Л* = (#//), где a*j = aji (матрица А* называется сопряженной
к матрице Л). В частном случае евклидова пространства Л* = ЛТ.
Пример 3. Линейный оператор A: в базисе 5)' —
= (^i, ез) имеет матрицу
/1 ! 3\
[А]^= 0 5—1).
\2 7 —3/
Известно, что = #1 + 2#2 +^2 — ^1+^2 +2^3, £з = 01 + ^2 и ба-
зис 53 — (et, е2, ортонормирован. Найти матрицу сопряженного
оператора Л* в базисе 53',
201
Так как базис не ортонормирован (проверьте!), то, чтобы вос-
пользоваться утверждением о связи матриц операторов А и А*, не-
обходимо найти матрицу [А] (базис 53 по условию ортонормирован-
ный). Имеем
/1 1 1\ /—2 2 0\
^33 ( 2 1 1 Ь Tsq, = 1—1 1 j ,
\1 1 О/ 2 \ 3 -1 -1/
следовательно,
/2 —3 7\ / 2 6 6\
= 1 6 -4 6 ), [А*]й = -3 -4 -5 ).
\6 —5 5/ \ 7 6 5/
Отсюда окончательно получаем:
/—36 —37 —15\
M*hs' —Tsq _> $з' = ( зо 30 14 ). |>
\ 26 27 9/
2в53. Доказать, что операция * перехода от операто-
ра Л к сопряженному Л* обладает следующими свойствами:
а) (Д*)* = Д.
Запишем цепочку равенств, верных для любых векторов х и у,
(Ах, у) = (х, A*j) = (A*j, х) = (j, (А*)*х) - ((А*)*х, j)=((A*)*x,j),
т. е.
(Ах, j) = ((A*)*x, у).
Отсюда, в силу произвольности векторов х, у, получаем А = (А*)*
(показать подробнее!).
б) (Л + В)* = Л* + В*; в) (ЛВ)* = В*Л*; г) (аД)* = аД*;
д) (Д"х)* = (Л*)“х, если А невырожден.
Линейный оператор А в базисе 23' ==(е[, ..., е„) имеет
матрицу А. Найти матрицу сопряженного оператора А* в
том же базисе S3', если векторы е'±, ..., е'п заданы столб-
цами своих координат в некотором ортонормированием
базисе 23 = Mi, .
2.54. =
/! 1 3\ /1\ /1\ /к
2.55. Л= 0 5-1, Е[= 2 , Е'2= 1 , £3 = И).
\2 7 — 3/ \1/ \2/ \0/
/1 1 1 \ /1\ /1\
2.56. А = ( 1 е е2 ), е = е 3 , Е[ =( 1 ), £'= 1 ),
\1 е2 в / \1/ \2/
202
В пространстве многочленов 5% задано скалярное про-
изведение
(Л g) = + «2^2> (6)
где f (t')—a0 + a1t-\-a2t2, §(1) = Ь0 + Ь-^ + b2t2. Найти мат-
рицы оператора дифференцирования О = и сопряжен-
ного оператора D* в базисе 23:
2.57.
2.58. 23 = (1, t, у/2—у) .
2.59. Найти сопряженный оператор для поворота евк-
лидовой плоскости на угол а вокруг начала координат
против часовой стрелки.
2.60. Пусть Ох у — декартова прямоугольная система
координат на плоскости и А — оператор проектирования на
ось Ох параллельно прямой /: ах + Ьу = 0 (а=^0). Найти
матрицу сопряженного оператора Д*.
2.61. Пусть Оху—декартова прямоугольная система
координат на плоскости и А — оператор отражения точек
плоскости относительно прямой /: ах + Ьу = 0. Найти мат-
рицу оператора Д®.
Понятие сопряженного оператора может быть использовано при
исследовании совместности неоднородной системы линейных уравне-
ний. Пусть АХ = В— матричная запись такой системы, причем т — п.
Тогда X и В — столбцы координат соответствующих арифметических
векторов в каноническом базисе евклидова пространства а квад-
ратной матрице А в этом же базисе соответствует некоторый линей-
ный оператор A: Система Д*Х = 0, где А*—матрица со-
пряженного оператора А* в каноническом базисе, называется сопря-
женной однородной системой. Верна следующая теорема
Фредгольма: для того чтобы система АХ = В была совместна+
необходимо и достаточно, чтобы вектор-столбец В был ортогонален
ко всем решениям сопряженной однородной системы.
2.62* *. Доказать теорему Фредгольма.
Используя теорему Фредгольма, исследовать совмест-
ность следующих систем линейных уравнений:
2.63. 3%1 + 2х2-4- = — 1, 2.64. х1 + х2 + х3 = 0,
7Х14-6х2 + 5х3 = 5, х1 + х24-х3 = 1,
5х^ -ф 4ха -ф Зх3 = 2. Xi -ф х2 -ф х3 =—1.
2.65. 2X1+ х2 — 2х3=1, 2.66. хх-фх2-фх3=1,
ХХ 2х2 -ф Х3 = 1 > Хх -ф Х2 -ф Х3 =: 1,
—2хх-ф х2-ф х3=1. . Х1-фх2-фх3= 1.
203
2.67* . Доказать альтернативу Фредгольма:
либо система АХ = В совместна при любой правой час-
ти В, либо сопряженная однородная система Л*Х = 0 имеет
ненулевые решения.
2.68. Какие из систем линейных уравнений, указан-
ных в задачах 2.63—2.66, совместны при любой правой
части?
Линейный оператор Н в пространстве со скалярным произведе-
нием называется самосопряженным, если //_//*. Самосопряженный
оператор в унитарном (евклидовом) пространстве называется также
эрмитовым (симметричным). Для того чтобы оператор А был эрми-
товым (симметричным), необходимо и достаточно, чтобы в любом
ортонормированном базисе его матрица А = (а^) удовлетворяла соот-
ношению dij — aji (а^ — ац). Такие матрицы называются эрмитовыми
(симметричными).
Линейный оператор U в унитарном (евклидовом) пространстве
называется унитарным (ортогональным), если
UU* = U*U—E, т. е. U* = U~X.
Для того чтобы оператор А был унитарным (ортогональным),
необходимо и достаточно, чтсбы в любом ортонормированном
базисе его матрица А = (ац) удовлетворяла соотношению Л-1 = Л*
(Л'1 = ЛТ).Такие матрицы называются унитарными (ортогональными).
2.69. Доказать следующие свойства самосопряженного
оператора:
а) собственные числа действительны;
б) собственные векторы, соответствующие различным
собственным числам, ортогональны.
2.70. Доказать следующие свойства унитарного опера-
тора:
а) собственные числа по модулю равны единице;
б) для того чтобы линейный оператор был унитарным,
необходимо и достаточно, чтобы он переводил ортонорми-
рованный базис снова в ортонормированный базис;
в) унитарный оператор сохраняет скалярное произве-
дение;
г) унитарный оператор сохраняет длины векторов.
2.71. Показать, что в пространстве 9^ следующие
операторы являются симметричными:
а) Лх = ^х, X —фиксированное число;
б) Лж = (х, е)е, | е | = 1;
в) Ах = х — (х, е) е, | е |= 1.
2.72. Показать, что в пространстве многочленов 5% со
скалярным произведением (6) следующие операторы явля-
204
ются симметричными:
а)/ю —H-О; б) = Ш.
\ )
2.73. Показать, что в пространстве оператор f7(e, <р)
поворота на угол <р вокруг оси, заданной единичным
вектором е (см. задачу 2.6), является ортогональным.
2.74. Показать, что операторы задачи 2.71 являются
ортогональными.
4. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному
виду. Если оператор Д, действующий в пространстве имеет п
линейно независимых собственных векторов elf е2, ent соответст-
вующих собственным числам %г, то в базисе из этих век-
торов матрица оператора А имеет диагональный вид
(7)
В задачах 2.75—2.80 выяснить, какие из заданных мат-
риц линейных операторов можно диагонализировать пере-
ходом к новому базису. Найти этот базис и соответст-
вующую ему диагональную форму матрицы.
2.75. /И 1\. 2.76. /2-1 2\ .
(111 5—3 3
\1 1 1/ \-1 0 —2/
2.77. /1/2 0 1/2\ . 2.78. /-1 3 -Г\
(010 | -35-1 ).
V/2 0 1/2/ \—3 3 1/
2.79. /1 1 1 1\ 2.80. /0 0 0 к
/1 1 —1 —1 X /0 0 1 0\
11—1 1 — 1 /• 10 10 0?
Ч —1 —1 И М00 0'
2.81* . Вычислить Ат> если:
~ (о 2) ; А “ (з —2) ’
Вычислить:
2.82. /17 —6\5 \35 —12/ ’ 2.83. /4 3 —3\б (23—2),
\4 4 —3/
Матрица А самосопряженного оператора всегда приводится к
диагональному виду. При этом, используя понятие унитарного опера-
тора, ее можно представить в виде
A = UDU~lf
205
где U — матрица унитарного оператора, осуществляющего переход от
исходного базиса к базису из собственных векторов оператора Д, а
D—диагональная матрица вида (7).
Найти ортонормированный базис из собственных век-
торов и матрицу в этом базисе для линейного оператора,
заданного в некотором ортонормированном базисе матри-
цей А (искомый базис определен неоднозначно):
2.84. /112 —8\
А = \ 2 2 10).
\ —8 10 5/
2.86. /3 -I 0\
А = U 3 0).
\0 0 4/
2.85. / 17 -8 4\
А = ( — 8 17 —4 ).
\ 4 —4 11/
Для данной матрицы А найти диагональную матрицу D
и унитарную (ортогональную) матрицу U такие, что
A = UDU“*:
2.87. л_( 3 2+2П 2.88. л __ ( 3 2-П
\2 —2i 1 J ’ 7 J *
2.89. / 1 4f 0\
А = ( —4г 10).
\ 0 01/
2.90. / 3 2 0\ 2.91. /22 -2\
А= — 2 4—2), А = [ 2 5-4).
\ 0 —2 5/ 2 —4 5/
§ 3. Билинейные и квадратичные формы
1. Линейные формы. Говорят, что в действительном линейном
векторном пространстве задана линейная форма, если каждому
вектору х£3? поставлено в соответствие число /(х), причем выпол-
нены условия
7(x+j)^Hx)+/(J), х,
/(Хх) = Х/(х), x£Jf, XgR.
3.1. Доказать, что в пространстве 2? функция
х € <=2?, является линейной формой:
ь
a) Z (0 dt, = С1а> ЬЪ Х = Х (ty,
б)/(Х) = %(/„), J^ = C[C,6], х = x(t), t0 е[а, Ь];
в) f(x)=(x,a), ^ — ^s, «С—фиксированный
вектор.
206
3.2. Пусть в пространстве 3? фиксирован базис
= . ..,е„). Пусть, далее, f(ez) = az, i = 1,2, ...,n,
где f (х) — линейная форма в
а) Доказать, что f (х) = . +апхп, где xit . • .
..., хп — координаты вектора х в базисе S3.
б) Обозначим 2?* множество линейных форм f(x),
в котором введены операции сложения и умножения на
число следующим образом:
g = + если (g(x) = fi(x) + f2(x));
h = если Vx£2 (h(x) = kf (х)).
Доказать, что J?* —линейное векторное пространство.
в) Доказать, что dimj£7*=n (пространство 2* назы-
вается сопряженным к пространству J?).
3.3. Доказать, что:
а) если х£К", х=(хь то формула f(x) = Xt
определяет линейную форму;
б) всякую не равную тождественно нулю линейную
форму /(х), x£Rn, надлежащим выбором базиса можно
привести к виду /(x) = %i, где %!—первая координата
вектора х в этом базисе.
2. Билинейные формы. Числовая функция А (х,у): <£?ХЗ? —> R.,
заданная на действительном линейном векторном пространстве
называется билинейной формой, если при фиксированном у она яв-
ляется линейной формой по х, а при фиксированном х—линейной
формой по у. Билинейная форма называется симметрической, если
А (х, у) = А (yf х), x,ygJZ. Если в пространстве фиксирован
некоторый базис = то матрица Л = (а2у), — А(в[, ej),
называется матрицей билинейной формы А (х, у) в базисе
3.4. Доказать, что в пространстве S функция А(х,у)
является билинейной формой:
a) A (x,y)=f1 (x)f2(y), где/j, f2—линейные формы в J?;
ь ь
б) A(x,y)=^K(s, t)x(s)y(f)dsdt, где ^’ = Cla, ц,
a a
x = x(t)^C[a,b], У ~y 0“ некоторая не-
прерывная функция двух переменных;
в) А(х,у) = 2 aijXiypV№2^Rn,x,y С R", Д=(я/7)—
ь /= 1
некоторая матрица.
3.5. Пусть в пространстве фиксирован базис
23 = (^1, ..., еп), А (х,у) — билинейная форма в 2п и
ei)^aij Доказать, что:
207
a) A (x, J) = 2 аих1У/' где xi> Уj' i, j^= 1,2.....n,~
i, /=1
координаты векторов x и у в базисе 93;
б) если А' = (а'ц) — матрица билинейной формы А (х, у) в
базисе 23' = (в£, ...» е'п), то Л' = АТ, где Т = —
матрица перехода от базиса 23 к базису SB'.
З.бе Пусть в пространстве R3 задана билинейная форма
А (х, у). Найти ее матрицу в базисе 23 = (еп е2, е3), если:
a) A(x,y) = x1yi + 2x2y2 + 3xsy3, ef = (l, I, 1), е2 = (1,
1, -1), £?s= (1, —1, —1);
б) А (х, у) = хгу2 + x2ys + х3у±, et=( 1, 0,0), е2 = (1, 1, 0),
е8 = (1, 1, 1).
3.7. В пространстве R" задана билинейная форма
А (х, у) в базисе 23. Найти ее матрицу в базисе 23', если:
а) п = 4, А (х, j)==x1y2 + x2z/3 + x3y4,
/i 1 1 1\
/1—1 1 — 1 \
Т® ->©' = ( j 1 _1 _ 1 1;
\1 -1 -1 1/
б) п = 2, А(х, у) = х1у1 + х1у2 + х2у1 — х2у2,
Ц
3.8. Доказать, что скалярное произведение (х, у) в
евклидовом пространстве <§ является билинейной формой.
3. Квадратичные формы. Пусть А (х, >)—симметрическая били-
нейная форма. Форма А (х, х), которая получается из А (х, j), если
положить у — х, называется квадратичной. При этом А (х, у) назы-
вается билинейной формой, полярной к квадратичной форме Л(х, х).
Если в действительном линейном пространстве <£п фиксирован
некоторый базис 23 — ..., еп), то квадратичная форма А (х, х) в
этом базисе имеет вид
Л(х, х) = 2 a.ijXiXj, (1)
». /=1
где A — (aij) — матрица квадратичной формы и х = х1е1А~ ...-|-хпе„.
Пусть в некотором базисе выражение (1) квадратичной формы не
содержит произведений х/х/ (i j), т. е.
А (х, х) = 2 М- (2)
1 = 1
Тогда выражение (2) называется каноническим видом квадратичной
формы. В частности, если Х/==±1, 0, 1 = 1, 2, ..., п, то получаем
нормальный вид квадратичной формы А (х, х).
Для всякой квадратичной формы существует такой базис 23',
в котором она имеет канонический (и даже нормальный) вид.
208
Методы приведения квадратичной формы к каноническому виду.
Метод Лагранжа выделения полных квадратов.
Пусть квадратичная форма А (х, у) в базисе 53 имеет вид (1). Если
все коэффициенты ац (при квадратах х/), 1 = 1, 2, п, равны нулю
и в то же время форма не равна тождественно нулю, то отлично от
нуля хотя бы одно произведение, например 2а12Х1Х2- Выполним пре-
образование базиса, при котором координаты векторов в старом и
новом базисах связаны формулами
£ Хг = х1Ч-Х2,
Х2 = х{-Х2,
х/=х^, Z = 3, ...» п.
Тогда 2^2^1^2 = 2^12 (х(2--х'2) = 2я12х'2—2aJ2x'2, и так как, по пред-
положению, ап = я22 = 0, то коэффициент при х'2 отличен от нуля.
Таким образом, всегда найдется такой базис 53, в котором в за-
f писи (1) хотя бы один коэффициент при квадрате отличен от нуля.
В дальнейшем считаем, что аи 0. (Если = 0, то отличен от
нуля коэффициент при квадрате какой-нибудь другой координаты и
к рассматриваемому случаю можно прийти, иначе занумеровав век-
торы ег, е2, ..., еп, что также является некоторым преобразованием
базиса.)
Рассмотрим часть квадратичной формы, содержащую хх, т, е8
' Oj = C1iX^4_26Zi2X1X24~ ♦••4~2tzlnxzz,
Дополним эту сумму до полного квадрата:
°1=7- (0пХ1 + - + «1П*п)?—V,
G11
где у есть алгебраическая сумма членов, не зависящих от х±. Если
теперь сделать замену
^ = «ПХ1 + ... + «1пХп,
%z==Xf, 1 = 2, ..., п,
то квадратичная форма в новом базисе примет вид
п
Л(Х> x) = ±xf + £ =
i, j = 2
В полученной форме выделено слагаемое —х'2, а оставшаяся часть
aii
Ai является квадратичной формой в Далее рассуждения по-
вторяются для квадратичной формы А± (х, х), и т. д.
Пример 1. Методом Лагранжа привести к каноническому виду
квадратичную форму
А (х, х) = 2х1х2 + 4х1х3—х|—8х|.
1-е преобразование: хх = х', х2 = х', х3 = х'. Тогда получим
Л = -х'2 -1- 2х'х' + 4х'х'— 8х'\
I
209
2-е преобразование: х"^~ x'-j-x^, х"==х'} х'' = х'. Получим новое
выражение для квадратичной формы:
Д==- х;Ч< + 44<-8х"Д
Л А £ Q О
3-е преобразование: х"' — x"A-Zx", и форма
принимает канонический вид:
А (х, х) ——-- х'"24-х'"2 — 12х'"\
При этом
х"'=х1—х2,
x"' = xt 4-2х3,
= *3- ►
Метод собственных векторов. Будем рассматривать
квадратичную форму (1) в евклидовом пространстве IR". Так как ее
матрица А = (а^) симметрична, то она может быть представлена в
виде A — U^DU, где D—диагональная матрица, на диагонали кото-
рой стоят собственные числа матрицы Л, a U—ортогональная мат-
рица (см. пп. 3 и 4 § 2). Столбцы матрицы U являются координатами
некоторого ортонормированного базиса 53' — (elt ..., еп), в котором
матрица А имеет диагональный вид D, и, следовательно, квадратич-
ная форма— искомый канонический вид. Соответствующее преобразо-
вание координат определяется соотношением
/хЛ /Х2\
• ) = • Г
Пример 2. Найти ортогональное преобразование, приводящее
квадратичную форму А (х, х) = бх^Н-5x^4- 7х|—4xLx24~ 4*i*3, заданную
в евклидовом пространстве R3, к каноническому виду» Написать этот
канонический вид.
Матрица квадратичной формы имеет вид
/ б -2 2х
—2 5 0).
\ 2 0 7/
(Обратить внимание, как получаются элементы ац (i # /) из явного
вида квадратичной формы!) Собственные числа этой матрицы суть
= 3, Х2 = 6, Х3 = 9, Соответствующие ортонормированные собствен-
ные векторы:
е[ = (2/3, 2/3, —1/3),
£?' = (—1/3, 2/3, 2/3),
*?' = (2/3, —1/3, 2/3),
210
и, следовательно,
/ 2 — 1 2\ /22 —1\
t/ = 4( 2 2 —1 ), (Л ==Ц-( —1 2 2).
d \—1 2 2/ 15 \ 2 —1 2/
В базисе SB' = (e'9 <+ ез) заДанная квадратичная форма имеет вид
А (х, х) = 3х'2 +6л;'2 + 9х'2, а соответствующее преобразование коор-
динат:
x1 = l(2xj-x' + 2x;),
х2=4(2Ч+2х'—х'),
*з = 4 (“ х'1 + 2х2+2х'з)- ►
3.9. Доказать, что всякая квадратичная форма А (х, х)
в евклидовом пространстве может быть записана в
виде А (х, х) = (Лх, х), где (х, у) — скалярное произведе-
ние в Sn и Л —некоторый линейный оператор.
3.10. Доказать, что полярная билинейная форма А (х,у)
однозначно определяется своей квадратичной формой
Л(х, х).
Методом Лагранжа найти нормальный вид и невы-
рожденное линейное преобразование, приводящее к этому
виду, для следующих квадратичных форм:
3.11. х?+ 5x1— 4x1 + 2х1х2--4x^3.
3.12. XiX2 + x2x3 +
3.13. 4x1 + ^2 + А — 4ххх2 + 4ххх3 — Зх2х3.
Найти ортогональное преобразование, приводящее сле-
дующие формы к каноническому виду, и написать этот
канонический вид:
3.14. 11x1 + 5x1 + 2x1 + 16х1х2 + 4х1х3 — 20х2х3.
3.15* х? + х! + 5x1 — 6хгх2 + 6ххХз — 6х2х3.
3.16. х? + xl + х! + 4ххх2 + 4ххх3 + 4х2х3.
3,17, 17xi+ 14x1+ 14x1 — 4ххх2 — 4ххх3 8х2х3.
4. Кривые и поверхности второго порядка. Гиперповерхностью
второго порядка в евклидовом пространстве Rn называется множество
точек, координаты которых удовлетворяют уравнению
Д1(х, х)+2(&, х) + с= 2 afjXiXj+2 fc/s*/j+c = °> (3)
Z,/ = 1 Л = 1
где в левой части стоит многочлен второй степени от п переменных
Xi, х2, хп.
211
Задача классификации гиперповерхностей второго порядка со-
стоит в нахождении такого базиса в К”, в котором левая часть
уравнения в новых переменных х[, хг, ..., х'п имеет наиболее про-
стой вид. Для этого сначала ищется такое ортогональное преобразо- в
вание, что в новых переменных квадратичная форма А (х, х) =
п
= 2 aijxixj имеет канонический вид. В новом базисе уравнение (3)
С/=1
записывается следующим образом:
п п
2 Kkx'k +2 2 b'kXk+c = 0,
k=i k=l
причем не все i— 1, 2.........и, равны нулю. Если 0, то
переносом начала координат можно уничтожить линейный член:
,2 / ( > bk\2 Ьь „ Ьь
^kxk A~2bflxk=,kk f Xk 4~x— ) —л——hfcXk—г—.
этом случае каноническое
следующих видов (в пере-
После этих преобразований получаем (изменяя нумерацию перемен-
ных, если это необходимо)
+ ...4-X5xs +Z)s+iXs+i + c" = 0. (4)
Уравнение (4) называется каноническим уравнением гиперповерхности
второго порядка.
Множество точек плоскости IR2, удовлетворяющих уравнению (3),
называется кривой второго порядка. В
уравнение (4) может принимать один из
менных х, у):
1) Xjx2 4- %2У2 + с = 0
2) Xjx2 + by = 0
3) XiX2-H = 0
Пример 3. Написать
порядка:
Г
(XiX2 0);
(М Ф 0);
(Xi # 0).
каноническое
уравнение кривой второго
Зх2+ 10х^ + 3^3—2х—14г/—13 = 0,
I
определить ее тип и найти каноническую систему координат.
Матрица квадратичной части многочлена второй степени равна
(3 5\
) . Ее собственные числа: 2^ = 8 и 12 =—2; собственные векторы:
О и/
/ 1 1 \ /1 1 \ „
«*1 = 1 , —== ), е2=| -7:—,-----. Выполняя преобразо-
V / 2 У 2 J \ К 2 У 2 У
вание
1 1
х=у^(х' + у), у^у^(Х'-у'),
получаем
8х'а-2/2---^х' + -^/-13=-0.
У2 /2
212
Так как Xi и Х2 отличны от нуля, то по каждой из новых перемен-
ных х' и у' можно выделить полный квадрат:
2
Г — 4,
8%'2-!Д~ х' = 8 (х —
К2 \
-2у'г+-^=у’=-2(у'
2
Заменой переменных
„ , V 2 „ , 3
% = х -—Hv—, у = у'-------—- ,
соответствующей сдвигу по каждой из координатных осей, получим
8х"2 — 2у"2 — 8 = 0, или х”2 — ~ у"2 = 1.
Последнее уравнение есть каноническое уравнение гиперболы. Резуль-
тирующее преобразование координат имеет вид
V *
У=у=^-У)-^
а каноническая система координат (О', elf е2), где О' (2, —1),
1 . . 1 . 1 , 1 , -
^1= —7=7 i-\—yr—J, ^2= ~7= I----7=j
К 2 К 2 /2 К 2
В задачах 3.18 — 3.24 написать каноническое уравне-
ние кривой второго порядка, определить ее тип и найти
каноническую систему координат.
3.18. 9х2 — 4ху + 6(/2 4-16х— 8у — 2 = 0.
3.19. х2 — 2ху + у2 — 10х — 6у + 25 = 0.
3.20. 5х2+12xi/—22x—12г/—19 = 0.
3.21. 4х2 — 4ху + у2 — 6х + 3г/ — 4 = 0.
3.22. 2х2 + 4ху + 5z/2 — 6х — 8у—1=0.
3.23. х2 — 4x1/+ 4i/2 — 4х — Зу — 7 = 0.
3.24. Кривая второго порядка определяется уравне-
нием:
а) х2 —2z/4-X(z/2 —2х) = 0; б) х2 + 2Хху + у2— 1 = 0.
Определить ее тип при изменении параметра X от —оо
до +оо.
Множество точек евклидова пространства R3, удовлетворяющих
уравнению (3), называется поверхностью второго порядка. Канони-
213
(ХхХ2Х3 0),
(ХД2 Ф 0),
(Х1Х2 0),
(Х1 / 0),-
(Х1 Ф 0).
являются цилиндрами (эллиптическим;
ческое уравнение (4) в этом случае принимает один из следующих
видов (в переменных х. у, г):
1) Х1х1 24-Х2^4-^з224-с=9
2) К^+^ + Ьг^О
3) X2f/2 4“с — 9
4) Х1Х2 + ^ = 0
5) Х1х24-с = 0
Поверхности типов 3)—5)
гиперболическим и т. д. в зависимости от типа кривой в сечении
плоскостью г = 0).
Пример 4. Написать каноническое уравнение поверхности вто-
рого порядка
4х24-4г/2 — 8г^— 10хг/4-4#г4~4гх— 16х—16{/—8г 4-72 = 0,
определить ее тип и найти каноническую систему координат.
Матрица квадратичной части многочлена второй степени равна
/4—5 ~
( -5 4
\ 2 2
собственные векторы:
/ 1 1
2\
2 ]. Ее собственные числа: Хх = 9, %2 =—9, %3 = 0, а
—8/
4
, 0 ), £?2=
е2~-=
_2 £ _1\
3 ’ 3 ’ 3 J *
Выполнив преобразование
Зх' + i/' + 2K2z'),
о У 2
У=~~(-Зх'+ j/' + 2j/~2z')»
о У Л
1
2 =
-4/+ К 2 г'),
получаем
9х'2—9/2—72г'+ 72=0.
Преобразование сдвига необходимо выполнить лишь по переменной г':
—72г' + 72 = —72 (г' — 1) = —72г".
Второе преобразование координат имеет вид
х" — х', у" = у', г" = г' — 1,
откуда окончательно получаем каноническое уравнение гиперболи-
ческого параболоида
8 8
214
Результирующее преобразование координат таково:
х=у-Ц( Зх"+ //’+2/1г'')+у,
y^Wi{~3x"+ y''+2^^+l-
г=тН( -4y''+^^+i’
а каноническая система координат (О', ег, е2, е3), где
( 1 1 4 \ /2 2 1 \
\ 3/2 ’ 3/~2 ’ 3/1/ <?8—\3’ 3’ 3/ ►
В задачах 3.25 — 3.32 написать каноническое уравне-
ние поверхности второго порядка, определить ее тип и
найти каноническую систему координат.
3.25. 7x2+6//2+5z2 — 4х// — 4yz — 6х — 24//+ 18г+30=0.
3.26. 2х2 — ly2 — 4г2 + 4х//+ 20//Z — 16zx + 60x — 12//+
+ 12г —90 = 0.
3.27. 2х2 + 2/ — 5г2 + 2х// — 2х — 4// — 4г+ 2 = 0.
3.28. 2х2 + 2//2 + 3z2 + 4х// + 2//г + 2гх—4х +
+6// —2г + 3 = 0.
3.29. 4х2 + у2 + 4г2 — 4ху + 4yz — 8гх — 28х +
+2//+16г+ 45 = 0.
3.30. 2х2 + 5//2 + 2г2 — 2ху — 4xz + 2//г + 2х —
— 10// —2г—1 = 0.
3.31. х2 + 5/ + г2 + 2ху + 2yz + бгх — 2х + 6// + 2г = 0.
3.32. х2 —2/ + г2 + 4х^ + 4//г—10гх + 2х +
+4//— Юг— 1 = 0.
ОТВЕТЫ
1.6. Да. 1.7. Да, если прямая проходит через начало координат.
1.8. Нет. 1.9. Да. 1.10. Нет. 1.11. Да. 1.12. Нет, 1.15.
215
/1 ° 0 \ / 1 \
«( О cos <р —sin ф J, X' —I —2 cos <р—|-sin ф ). 1.19. г = 2; базисом
\0з1Пф со8ф/ \ 2 sin ф-f-cos ф/
/ 1 21 1\
/ 2 3 2 3 \
является, например, система (Xi, х2). 1.20. Т%_^, = ( ___। q । । I,
2 —1 4 0/
X'
. 1.21. 3Xi + 2x2—х3 —О, г = 2, любая пара векторов обра-
зует базис этой системы. 1.22. Координаты матрицы в этом базисе
совпадают с ее элементами. 1.23. а)
/1 —10 /о -/о ... (—1)п-1/о-1
1.27. (О 1 -2Z0 З/о ... (—1)"~2 (и—I)/о-2
\0 О О 0 ... 1
нарушено условие линейности отображения. 1.41. Не является, так
как нарушено условие взаимной однозначности отображения. 1.43.
= _?) • -2+3< = -2(l+i)-5(-«). 1.45. а), б) Подпро-
странство размерности 2, базисом является любая пара неколлинеар-
ных векторов из заданного множества; в) не является подпростран-
ством. 1.46. а) Подпространство размерности п—2; б) не является
подпространством. 1.47. Множества, указанные в пп. а), б), г),—
подпространства, а множество из п. в) подпространством не является.
© Условие, которому удовлетворяют координаты в любой из задач
этой серии, можно записать в виде АХ —О, где А — некоторая ма-
трица, имеющая п столбцов, а X— столбец координат в фиксирован-
ном базисе. Поэтому размерность соответствующего подпространства
равна п — rang Л, а в качестве базиса можно взять любую фундамен-
тальную систему решений системы уравнений АХ —О, 1.48, а) Под-
216
9 <-,2 П («+ 1) ..
пространство размерности — Сп——; б) не является под-
пространством. 1.49. а) Бесконечномерное подпространство; б) не
является подпространством; в) подпространство размерности п.
1.51. 2. 1.52. 3; один из базисов есть, например = х2, х4).
1.53. 3; один из базисов есть, например ф —(хп х2, х5). 1.54. ® За-
данная система многочленов линейно независима. 1.55. (а) — пря-
х У 2 сю, ч , . х—2 у+1 z . __
мая 2^2 " — j * («) + &— прямая -^2“ — —j— = р • 1.56.
(«1, а2) — плоскость —Зх—у—2z = 0, X (aif a2)-\-b—плоскость
—Зх—у — 2z + 5 —0. 1.57. Множество решений неоднородной системы
есть линейное многообразие, полученное из подпространства размер-
ности п—rang Л =3 решений соответствующей однородной системы
сдвигом на произвольное частное решение неоднородной системы.
е2 = (—2/3, —2/3, —1/3), £?3 = (6, —3, —6). 1.67. = (1, 1, 1, 1),
^ = (2, 2, -2, -2), tf3 = (-l, 1, -1, i). 1.68. = e2) es),
^ = (1, 2, 2, —1), 4?2 = (2, 3, —3, 2), #3~(2, -1, —1, —2). 1.69.
= e2, ?з), <?i=(2, 1, 3, -1), <?2-=(3, 2, -3, -1), e3 = (l, 5,
I. 10). 1.70. e3 — (—4, 2, —1, 3), e?4 —(2, 4, 3, 1). ® Для определе-
ния вектора £3 = (xi, x2, x3, x4) достаточно найти какое-нибудь реше-
ние системы относительно неизвестных х4, х2, х3, х4 двух линейных
уравнений (е3, — (г?3, #2) = 0. Для определения аналогичная
система состоит из трех уравнений. 1.71. ^3 = (2/3, —2/3, —1/3).
1.72. е3^(1, —2, 1, 0), ^4—(25, 4, —17, —6). 1.74. J = (l, —1,
— Г, 5), z=(3, 0, —2, —1). 1.75. j=(3, 1, —1, —2), z = (2. 1, —1, 4).
j.77. @ Из равенства \х—у |2 = | х |2+1у |2 следует, что (х, у) 4~
+ (д/, х) = (х, у) + (х, у)~ 0, т. е. (х, у) — мнимое число, не обяза-
тельно равное нулю.
/X
2.1. Является; = ( 0
\0
0 0\
% 0 ). 2.2.
0 V
Не является. 2.3. Является
оператором проектирования на ось, заданную вектором е. Если е =»
217
(cos2 a cos p cos a cos у cos a\
cos a cos P cos2 p cos у cos p j.
cos a cos y cos p cos у cos2 у /
e / 0 —a3 a2\
2.4. Является; если то Д=( a3 0 —a± }.
\—a2 сц 0 /
2.5. He является. 2.6. Является. Ясно, что
y = U(e, <p)x=j/e + ;/a> (1)
где ye— составляющая вектора у вдоль оси е, у а—составляющая
вектора у, компланарная плоскости сс. Составляющая уе равна
Уе = хе = (*» *) е> (2)
Составляющая у& получается из вектора Ха поворотом последнего
в плоскости а на угол ср. Для нахождения у а введем вспомогатель-
ный вектор [в, ха], лежащий в плоскости а перпендикулярно век-
тору Ха, причем тройка Ха, [е, Ха], в—правая. Разложим вектор
у а на составляющие вдоль Ха и [е, Ха]'-
№= I ха | cos Ф^+l Ха I S1B ф -|Г—а]| =
= cos (p-Xa + sinq).[e, XaL (3)
Наконец,-
ха —х—хе — х— (х, е)е9 (4)
Подставляя (2), (3) и (4) в (1), получим
j = (x, e)^ + cos<p(x—(х, е) £) + sin <р [е, х—(х, е)е] =
= cos<p-x+(l—cos ср) (х, tf)e + sin(p[£, х]. (5)
Из (5) следует, что оператор U(e, (р) представляет собой сумму
операторов задач 2,1, 2,3 и 2.4, матрицы которых известны.
/О 1 1\ /0 1 1х
2.7. Является; Д=( 2 0 1}. 2.8. Является; Л==1 2 0 1}.
\3 —1 1/ \3 —1 1/
2.9. иНе является. 2.10. Является; Л = /1 0 2 1\ /—2 0 1 -( 2 3 5 11-«Л'-( ‘-4-8- ~ 1 3 -1 0 2 / ’ °' Д 1 4 6 \1 1 2 3/ \ 1 3 4 /0 0 0\ :( 0 1 —1 ). 2.11. а) Д' = \0 0 0/ /1 2 2\ ‘ . 2.12. А"= 3 —1 —2 ). \2 -3 1/
218
ратим в том и только в том случае, когда X 0; А~^х=^ — х.
К
2.20. Оператор проектирования на ось, заданную вектором е, не имеет
обратного. 2.21. Оператор не имеет обратного. 2.22. Оператор проек-
тирования на плоскость, перпендикулярную вектору еу не имеет
обратного. 2.23. Оператор зеркального отражения в плоскости, пер-
пендикулярной вектору е. Обратим, причем А”1 = А. • Последнее сле-
дует из равенства А2 = Е, которое геометрически очевидно, но может
быть и проверено следующим образом: А2х — А(х—2(х, е) е) =
= х—2 (х, е) е—2 (х, е) Ае=х—2 (х, е) е—2(х, е)(е—2е) — х = Ех,
х £ 2.24. А“хх = (— х+2^—г) /+(— х—Зу—2z)/+(2x—3^/+2z) k.
2.25. Оператор не имеет обратного. 2.26. y) = U(e, —ф)—
= U (—еу ф). 2.27. 4“* = А. 2.28. Оператор не имеет обратного.
2.29. А~1х = -^ (х14-2х2+2х3, 2хх+х2—2х3, 2хх—2х2+х3). 2.30. a) NA—
двумерное подпространство всех векторов, ортогональных вектору е,
ТА—одномерное подпространство всех векторов, коллинеарных век-
тору е\ б) Nд— одномерное подпространство всех векторов, колли-
неарных а, Тд—двумерное подпространство всех векторов, ортого-
нальных а, 2.31. 2Vp = ^0 = IR, TD=^pn_t. 2.33. гл = 2, базис ТА\
е1 = (2, 1, 1), е2 = (— 1, —2, 1); пА=1, базис NА: e = (lt 1, 1).
2.34. гА = 1, базис ТА: е = (1, 1, 1); пА = 2> базис NА: £х = (1, —-1, 0),
#2 = (1, 0,—1). 2.36. Х = «, х(Л)—любой ненулевой вектор. 2.37. Хх = 1,
х(А1) = х/, х £ 0, Х2=0, x(^ = yj+zk, х^^О. 2.38. К=0, х(Х> =
= xi, х 0. 2.39. При ф = 2зт/, / = 0, ±1, ..., оператор U (е, ф)
совпадает с единичным. Поэтому этом случае Х=1, а х<^)—любой
ненулевой вектор. При ф = (2/+1)л, Z=0, ±1, 4..,Хх = 1, х^ = ае,
а Ф 0, %2 = —1, х(^2)— любой ненулевой вектор, перпендикулярный
вектору е. При ф # л/, Z = 0, ±1, ..., оператор имеет единственное
собственное число Л=1, а х^ =аеу а 0. 2.40. Хх = 1, х^—любой
ненулевой вектор, компланарный плоскости отражения, Х2 =— 1,
/ 1\
х(^)==ае} 2.41. К = — 1, Х<*>=а( 1 ), а 0. 2.42. Х = 2,
\-1J
219
/1\ /Ох
Х(^) ( 2 )+а2 ( 0 ], и а2 не равны одновременно нулю.
\0/ \1/
/1\ /1\
2.43. ^=1, Х^ = а[ 1 ); Х2 = 0, Х^ = а[ 2 ); а 0. 2.44. Х=1,
\1/ \3/
/Зх /1\
Х<^=а( 1 ), а^О. 2.45. %± = 3, Х<Х1>==а( 2 ); Х2 =—1, Х(х*> ==
\1/ \2/
/1\ /2\ / 1\
— а( 2 ); а 0. 2.46. Л1 = 1, Х(Х1> = аг( 1 )+а2( 0 ), cxi, а2 не
\1/ \0/ \-1/
/3\
равны одновременно нулю; Х2 =—1, Х^А = а1 5 ), а 0. 2.48. При
\6/
любом ф # 0, л оператор А имеет два собственных числа (ф) =
= cos <p + i sin ф = ei(?, Х2(ф) = соБф— гзтф — е-Ю. Соответствующие
им собственные векторы: Х(^1)(ф) = а (—/) И ^(Х2)(ф) = Р W
а и Р — произвольные отличные от нуля комплексные числа. При
ф = 0 и ф = л оператор А имеет по одному собственному числу:
X (ф = 0) = I, А,(ф — л) =—1. В обоих случаях собственным вектором
является любой ненулевой вектор из комплексного пространства Jf2.
2.49. • К равенству (Л—КЕ) Х<^ — О применить операцию комп-
/1\
лексного сопряжения. 2.50. 11 = 1, Х(Х1) = оц 2 ); X2 = 2 + 3i, Х^2* —
\1/
/3—Згх /3 + 3i\ *
= а ( 5 — 3/ ); Х3 — 2— 3i, Х^3^ — а( 5+ 3i \; а £ С, а 0. ® Вос-
\ 4 J \ 4 /
пользоваться результатом задачи 2.49. 2.52. б) Хл-х = 1Дл.
, /—83 —59 —45\ /14 —8 —8 \
2.54. ( j . 2.55. I 107 83 67 ) . 2.56. ( 11 82 —6 8—6 ).
К 1 \ 14 10 3/ \11 8—6 82—6/
/—3/2 —2 —1/2\ / — 1 1 1\
2.57.D=[ 1/2 0 —1/2), Р*==( 0 0 0 ). 2.58. D =
\ 1/2 2 3/2/ \—1 —1 1/
/0 1 0\ /0 2/3 0 \
==( 0 0 3 ), D* = f 1 0 —1/2 ). 2.59. Поворот на угол а
\0 0 0/ \0 4/3 0 /
вокруг начала координат по часовой стрелке. 2.60.
«п. 1 (b2—a* —2аЬ\ . ~ /1 0\
2.61. -о-.-/о о , 2 ,2 ’ если «^^0; при л = 0;
a2.-\-b2 \ — 2аЬ а2 — b2J \0 —1 /
( 1 при Ь—0. 2.62. Пусть «j, ..., ап £ соответствуют
220
вектор-столбцам матрицы А. По теореме Кронекера — Капелли система
совместна тогда и только тогда, когда rang A — rang Л, т. е. вектор &,
соответствующий вектор-столбцу В, принадлежит линейной оболочке
векторов alt ..., ап, которые соответствуют также вектор-строкам
сопряженной матрицы Л* (рассматривается действительный случай).
Арифметический вектор х является решением сопряженной системы
по определению тогда и только тогда, когда (а/, х) =0, « = 1,2, ..., п,
а значит, и (Ь, х) = 0. Теорема доказана. В комплексном случае стро-
ками матрицы А* являются не векторы .... ап, а их комплексно-
сопряженные, но доказательство проводится аналогично. 2.63. Сов-
местна; общее решение сопряженной системы се, е — (—1, —1, 2).
2.64. Несовместна; общее решение сопряженной системы с1е1А~с2е2,
е3=(—1, 1, 0), е2 = (—1, 0, 1). 2.65. Совместна; сопряженная система
имеет только тривиальное решение. 2.66. Совместна; общее решение
сопряженной системы, как в задаче 2.64. 2.67. ® Воспользоваться
теоремой Фредгольма. 2.68. Только система из задачи 2.65. 2.75. Ei —
/1\ / 1\ / 0\ /3 0 0\
/ 1 ), £2 = ( о ) , Е3 = ( 1 ), Л =4 0 0 0 ). 2.76. Матрица не
\1/ V1/ 1/ 4)00/
/ 1\ /1\
может быть диагонализирована. 2.77. Е±-~I 0 ), Е2 = ( 0 ), Е3 —
\—1/ \1/
/0\ /0 0 0\ / ь \ /°\
= ( 1 ), Л=4 0 1 0 ). 2.78. E^l 0 , Е2= 1 , £3= 1 ,
\0/ \0 0 1/ 3/ / \3/ \17
/2 0 0\ Л =( 0 2 0 ] . 2.79. Е± = /Г\ /1\ 1 р - ° \ 0 /’ \ 1 / /!\ / 1\ р _ ° ] р _ -1 \ . £з-1 0 ,Et-\ _j 1,
\0 0 1/ /2 0 0 0\ \о/ \0/ /1\ \1/ \—1/ /0\ / 0\
/ 0 2 0 0| Г. 1 0 1 / 1 1 /—11
Л=(оО2о)’ 2-8°- £i-( 0 1. £ 2 = ( ( , £з= j .
\о 0 0 2/ \1/ \о/ \ о/
/ —1\ /1 0 / 0 1 л 0 1 0 0\ 0 о о. q 2т— 1\ . _ /1 0\
0 )’ л \о 0 -1 о • 2-81- а) ^0 2“ / ’ б) (о 1)
\ 1/ \0 0 /2 -1\ при т четном, 1 „ 1 —2 1 0 —1/ при т нечетном. © Использоватъ формулу
A"’=T~1DmT. 2.82. /3197 —1266Х \7385 —2922J ' /190 189 —189\ . 2.83. ( 126 127 —126 ).
/2/3\ / 1/3\ / \252 252 —251 / ' — 2/3\ /9 0 0\
2.84. Е, = 1 2/3], Е2 = -2/3 ], Е,= 1/3 ), D = ( 0—9 0 ).
\1/3/ \ 2/3/ \ > 2/3/ \0 0 18/
221
2.85. £j =
'\IV 2'1
1/K2
V 0 )
/ l/KK , 2/3\ /9 0 0\
, 02 = — I//T8 , Еа = ( — 2/3 ), 0=( 0 9 0).
\-4//Т8/ \ 1/3/ \0 0 27/
0/2 О 0\
, О=( 0 4 0).
\0 О 4/
2.86. Ei =
( 1/ГТ
-1/У~2
I 0 )
е2 =
'1/У~2
i/^l
к 0 ,
( 2 1 + Z1
2.87. U = /9 0\ Кб Кб 1—t —2 1 Кб КК D /б 0\ -П ,D~<0 -l/2-88-^- /Пб к 1 2 + iJ’ (i!V"z 1/K2 О'' /б 0 0\
о = К ) \0 8J . 2.89. U= l/y~2 i/y~2 0 , 0=10 — 3 0 ). 0 0 lj \0 0 1/ /2/3 —2/3 —1/3\ /10 0\
2.90. U = 2/3 1/, \1/з 2/; ( 2 2 V5 3 Кб 1 4 К 5 3 У~5 0 8 - v з Кб 3 2/3 , 0=040. 2.91. U = 3 —2/3/ \0 0 7/ 3 2 Z1 0 °\ — ; 0=1 0 1 0 ). 3 \0 0 10/ 2 3;
6 0 —4\ /° 1 1\
3.6. а) / з —1 —1 —Г 0 6 2 ); б) Л —4 2 6/ = ( 0 1 2 ). 3.7. a) A' = \1 2 3/
1 “3 1 1 у 1 1 1—3 \-1 -1 3 -Ь /2 z2 ,2 3.12. Xi —Xi —Хз , Xj^ — Xi —*2—-*3, Х% — Х1 + Хч — Хз9 ч ^3 = \ /2 2\ ,2 ,2 .2 ; б) ^' = (2_2)‘ ЗЛЕ *1 +*2 —Хз , / z z 1 , , 5 , -^1 — *^2 “р g Х%) 1,1, \ *2= -g *2—-g-*3, 1 , ^3= 3.13. Xi -}-Х3 —X3 ( 1 ' . ' xi — A'i H- %2» X4 == Xi -j- X3, L Хз= —X2 + X3.
222
3.14. 9х?+18х2?—9%з2.
/ 2 . , 2 , 1 .
Xi= -д Н—д-*2—з"%3’
1 , 2 / 2 /
Х2 =---g-Xl- + “g- Х2+“0“^3>
2 , 1 2 /
Х3 = --у *2 +-ц *§•
3.15. Зх?+6х22—2%з2.
( 1 ' > 1 ' . ’ -
Х1==-—г Х1 +—7~ Xi Н-т= *8’
/3 /6 /2
1 1 . ,
х2=----у=- Х1 — Х2 +
/3 Кб
+7Г*’’
1 z 2 ,
x^~——xr-----т=-х2.
к Кз Кб
3.16. 5х[2-—х22—х32,
3.17. 9%12+18х22+18хз2,
1 ' . 1
—±=- х2 Ч——— %3»
Кб К2
1 Z 1
—7=- %з»
К2
Х2
1 z 2 , . 2 ,
Х1—Х1------g’ х2 4—g- X ,
2 z I , 2 ,
Х2 — "з~ Х1 7^ х2-7$ Х$>
2 z 2 / 1
= Х1 +“д- х2~^-^х3>
*‘=?у
1 ' г
Х2=—Х14-----
Кз Кб
1 Z 2
Хд— 7—** Х1 !— Х2»
( Кз Кв
х'2
3.18. Эллипс -2-+#'2=1,
^ = (-2/^. 1/Кб)-
^ = (1/К2 , 1/К2), ₽2 = (-1/К2 , 1/К2)-
х'2 у'2
О’ (-4/5, 2/5), в! = (1//5, 2/Кб),
3.19. Парабола /г = 4 У~2х', О' (2, 1),
3.20. Гипербола
------g—1, О' (1,1), ^-(3/КТЗ? 2//13), ^2 = (^2/К13,
З/КТЗ). 3.21. Параллельные прямые х' — ± Кз/2, О'(—-3/5, —3/10),
ei = (—2/Кб, l/Кб), е2 = (1/Кб , 2/Кб ), или, в .старых,, пере-
менных, 2х—#4-1=0, 2х—#—4 = 0. 3.22. Эллипс Ь
О' (7/6, 1/3), ^ = (2/Кб, -l/Кб), ^2 = (1/Кб, 2/Кб). 3.23. Па-
Р.6ОЛ.,»-^=/, О' (3, 2). -р^), ‘•=(тГ.
2 \
----тг=г). 3.24. а) При Xg(—оо, —1) — гипербола (х — Х)2 +
4~^# — yj =—j-—, при Х =— 1—две пересекающиеся прямые
х—у = 0, х4-#4~2 = 0, при (—1, 0) — гипербола (х—Х)24-
+ У~~7-] =—у-—, при 2i = 0 — парабола х2 = 2г/, при Xg(0,+oo)—
ЭЛЛИПС
; б) при А,£(—оо, —1) — гипер-
бола (1 —Х)х/24-(1+_Х)#'2 = 1, О' (0, 0), ^i = (—1/К2),
^2 = (—1/К2, —1/J/ 2 ), при Х = — 1—две параллельные прямые
х — #±1=0, при Х£(—1, _0)—эллипс (1—Х)х'24-(1 + W'2 = Ь
О'(0, 0), ^ = (-1/К2, 1/К2), £?2 = (-1/К2, -1/К2), при U
= 0—окружность х24-#2 = Ъ при Х£(0, 1)—эллипс (1—Х)х'2 -|-
223
+ (1 + А.)/2 = 1, 0'(0, 0), ₽1 = (-1/К2, 1/К2), ^ = (-1//2,
—1/У2 ), при Х= 1 —две параллельные прямые x-f-г/± 1 = 0, при
Х£(1, + 2^)—-гипербола (1— Х)х'2+_(1 А)г/2 = 1, 0'(0, 0), =
= (—1/]/2, 1/^2), ^2 = (—1/1^2, —1/]/*2). 3.25. Эллипсоид
T + t+S=1’ °'(1’ 2’ ^ = (1/3, 2/3, 2/3), <?2 = (2/3, 1/3,
—2/3), ^3 = (2/3, —2/3, 1/3). 3.26. Гиперболический параболоид
^--^=-2/, О'(1, 2, 3), б?1 = (—2/3, 1/3, 2/3), «2 = (1/3, —2/3,
2/3), = (2/3, 2/3, 1/3). 3.27. Двуполостный гиперболоид +
+ ^“4тЬ=-!’ °'(°' ’’ -2/5)>^1 = -1/К2.0), е2 =
= (1/1^2, l/}^2 , 0), е3 — (0, 0, 1). 3.28. Эллиптический парабо-
лоид ——]—^—=2/, О' (-1/40,-19/40, 1/2), е1 = (1/Уб,
J> /2 /4 _/2/2 J
1/J/6, -2//б), *2 = (1//3, 1//3, 1//3), ^(l/j/2,
—1/]/*2, О). 3.29. Параболический цилиндр i/'2 = — х', О'(2, 1, —1),
^ = (2/3, 2/3, 1/3), ^2=-(2/3, —1/3, -2/3), £?3 = (1/3, —2/3, 2/3).
3.30. Эллиптический цилиндр -g-+ = 1, О' (0, 1, 0), ₽1 = (1/рЛ3,
1/Кз, —1/3), ₽2 = (1/Кб, -2/Кб, -I//6), ₽8 = (i/VT, 0,
х'2 ^/,2 z'2
Х/у 2 ). 3.31. Однополостный гиперболоид tty+ttz--Г7о’“ >
1/о 1 /о 1/2
О'(-Д/3, —2/3, 2/3), е1 = (1/_Кз', -1//3, 1//з). е2 = (1//б’,
2//б, l/yT), /^з = (1/]/2, 0, —1//2). 3.32. Гиперболиче-
ский цилиндр -i——-у—=1, <7*(1/6, 1/3, —5/6), ^ = (1/|/2", 0,
I/O 1/0
-1//2), ^а = (1/КЗ,-1/КЗ, 1/Кз), е3=(1/Кб, 2/Кб\
1/ /б).
Глава 5
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 1. Производная
1. Определение производной. Дифференцирование явно задан-
ных функций. Пусть Д/ (х0, &x) = f (х0 + Дх) —f (х0) — приращение
функции y = f(x) в точке х0, соответствующее приращению аргу-
мента Дх. Производной 1-го порядка (или первой производной)
функции у = f (х) в точке х0 называется предел
/'(Хо)= lira —Ах) . (1)
дх -> о Дх
Числа
f'_ (х0) = lim 4^*0’
Дх-> - о Дх
К и
4(х0) = lim
дх-> + о Дх
называются соответственно левой и правой производными функции
y = f(x) в точке х0. Для существования производной /'(х0) функции
f (х) в точке х0 необходимо и достаточно, чтобы ее левая, и правая
производные в этой точке существовали и совпадали, т. е.
/С (х„)=/+(х0).
Пример 1. Найти /-(0) и f'+ (0) для функции f (х) = | х |.
Имеем по определению
/'_(0)= lim 1^1 = lim ~А* =-]
Дх—> — о Дх Дх—> — о Дх
I и
4(0)= lim 1А£1== lim —=1.
Дх-> + о Дх Дх—> + о Дх
Заметим, что функция /(х) = |.х| не имеет производной в точке
хо = О, так как /1 (0) # f+ (0) >
Производная функции f (х), рассматриваемая на множестве тех
точек, где она существует, сама является функцией. Процесс нахож-
дения производной называют также дифференцированием.
8 Под ред. А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича 225
Таблица производных основных элементарных функций.
1. (^xay==axa-li а&0.
2. (а*)' =ах In а, а > 0; (ехУ =ех.
3. (logc х)' = loga е~ , а > 0, а # 1; (In х)' .
4. (sin х)' =cos х.
5* (cos x)r =— sinx,
6. (tgx)'=—4-.
cos?x
7, (ctgx)' =-.
6 sin? X
B. (arcsin x)' =— (arccos x)'—-p^===r- ,
9. (arctg x)'===—-(aicctg x)z ==y-—.
Правила дифференцирования функций
I. Пусть С—постоянная и / (х), g(x)—дифференцируемые функ-
ции. Тогда:
1. (С)'=0. 4. (fgY^f'g+fg'.^
2. tf+gy =f'+g'. Б. g560.
3. (Cfy^Cf.
II. Пусть функция y — f(x) имеет производную в точке х0, а
функция z —g (у) имеет производную в точке yo~f(xG). Тогда слож-
ная функция z — g(f(x)) в точке х0 имеет производную, равную
г' (xQ)=g' (Уо) f' (xQ) (2)
[правило дифференцирования сложной функции).
Пример 2. Найти производную функции г = log3 (arcsin х).
Полагая z — Xog^y и .у = arcsin х, имеем
е' (у) = log3 е~ и у' (х) = ~7== .
У У 1 — хз
Отсюда, согласно (2), получаем
z4x)=J^._’=.>
arcsin х i_________х2
Найти Af(x0, Ах), если:
1.1. /(х) = х8, х0=1, Ах = 0,1.
1.2. /(х) = рЛх, х0=1, Ах = 0,25.
1.3. f(x) = lgx, хо=100, Ах = —90.
Найти Д/(х0, Ах) как функцию Ах, если:
1.4. /(x) = sinx, х0=у.
226
◄ Имеем
о . Ах / л , Ах\ о . 2 Ах
—2sin-g-cos J=-2sin*T. >
1.5. f(x) = x2, х0 =—1. 1.6. f(x) = ex, х0= 1.
1.7. f (x) = log2 x, x0= 1.
Пользуясь только определением производной, найти
Г (%):
1.8. f (х) = ctgx.
◄ Имеем:
(ctgx)' = lim £^+M-ctg*= lim _______sin(- Ax)__
x Дх -> 0 Ax Ax -> 0 Ax Sin X sin (x + Ax)
i __________L_.
' Ax™0 sin x sin (x+Дх) sin?x‘ ”
1.9. f(x) = ^. 1.Ю. f(x) = /7.
1.11. /(x)=2‘. 1.12. f(x) = log2x.
1.13. Известно, что f(0) = 0 и существует предел
lim . Доказать, что этот предел равен f (0).
х-+ о х
1.14* . Доказать, что если f(x) имеет производную
в точке х0, то
lim = f (Хо} _Xof, (%о)>
Х~Х0
Для заданной f (х) найти f'_ (х0) и f'+(x0)i
1.15. /(х) = |х-1 | + |х+ 11, х0 = ±1.
' X, х^ 1,
Хо = 1 •
—х2 + 2х, х > 1,
1.16. 7(х) =
◄ Имеем
/1(1) = lim Их)—Hl^ iim = i
х-^1—0 X— 1 X-.I-0X—1
и
/;(1)= lim Нх)-/(1)= lim -*2+.2x-U
х->1 + 0 X—1 х->1 + 0 X—1
x=— Hm (x—1)=0.
. x-> 1 + 0
8*
227
1.17. f(x)= JO, x<0, J x2 Inx, x > 0, Xq 0.
1.18. №) = Vl — e~x*. xo = O.
' 0, x = 0,
1.19. f(x) = xo = 0.
1.20*. Показать, что функция
. 1
X Sin — ,
X ’
0,
X =7^ 0,
х~ 0
непрерывна при x = 0, но не имеет в этой точке ни ле-
вой, ни правой производной.
Найти производные следующих функций:
1.21. у = 3-2х + ~х\ 1.22. у = — ‘3 и а2
1.23. ~ „ а ?/ х2
У X у х Ч (2. 1.24. у ^Ух3 Ь " *
1.25. __ a-j-bx _ 2 1_
У c^-dx * • У 2х — 1 %’
1.27. ц — х j 2g ц 1 / 1 ~1х2
У "2_^Т- J ' Г 1+х2' и = 2 sin х 3 to- % 1 30 и — sinx~~cosx
1.29.
Д/ 4^ От. 11 /V V Л/ • Я • и и • [А - • J SinxH-COSX
1.31. у = ]/ arcctgy. 1.32. 1/= У 1 + tg (x+yj .
1.33. z/= cos2 ^sinуV 1.34. y = у sinj/%".
1.35. у — arctg (x — V1 + x2).
1.36.
cos х
у = arccos -4-7-----
Cl + b COS X
X
1.37. у =Vxe 2 . 1.38. у
е~х2
2%
1.39. z/ = 2i"7. 1.40. y = 2v~^~x.
1.41. у = 32\ 1.42. y = lnx-lgx —lna-!ogex.
1.43. z/ = logaln2x. 1.44. £/ = еГ1п (a^+ta+c).
228
1,45. 1« arctg J/1 4- л2. 1.46, y = In (x4-K#a+x2)-
Найти производные гиперболических функций:
1.47. shx =--g— (гиперболический синус),
1.48. chx =--у— (гиперболический косинус),
1,49. thx = |^-i (гиперболический тангенс),
1.50. cthx=|J~ (гиперболический котангенс).
Логарифмической производной функции у=/ (л) называется произ-
водная от логарифма этой функции, т, е.
(1П^)г=“- .
Применение предварительного логарифмирования часто упрощает
вычисление производной.
гт о т т « . 1 (Х“~* 1)
Пример 3. Наити производную функции &’= [/ —-—.
Имеем
In = ~ 0п *+1п (х—1)— In (х—2))s
Z1 ч/ / 1/1.1 1 \
(In У) — у — 2 ( х +х_ । х—2 J ’
откуда
, /1 х2 —4x4-2
и' — (In у) -у — Л-
2 Ух{х—\)(х—2)3
Пример 4. Найти производную сложно-показательной функ-
/IV
НИИ у^ 114"Y ) *
Логарифмируя», получим
ki ^ = х In •
Отсюда наж)дим производные левой и правой частей
(In £/)'=— = 1п (14—-.
у \ 1 х ] 14-х
Следовательно,
= «/)'•»= (‘+т)Ж(in 0+т)—ьУ' ►
229
Используя предварительное логарифмирование, найти
производные следующих функций:
, с, (2*—1) , с з <(х+2)(х—1)8
1.51. у = (х+1)3 • 1-52. у = у ——-----------.
1.53. f/==. j/x~'r2
3/(х_1)2(2х+1)
1.54. y = xsi f---х.~J-—
* |/ (x+2) /x—2
1.55. y — xx. 1.56. y = x2*.
______________з/~
1.57. y = VxV ». 1.58. f/ = (lnx)1/*.
1.59. «/ = (sinx)arcsin x. 1.60. y = xxX.
1.61. 1.62*. y = xx' + x2X + 2xX.
xlnx
Вводя промежуточные переменные, вычислить произ-
водные заданных функций:
1.63* в #= In (cos2x + ]/1 +cos2x).
1.64. r/ = (arccosx)2ln(arccosx).
„ *2 arcs:п
L86- ?/.=TrSarctsa"x-
i.67* T Пусть
I x2 + 2x, x^O,
f (x) — ax x > 0.
Найти коэффициенты а и b так, чтобы функция f (х) была
непрерывна и дифференцируема в точке хо = О.
1.68. Пусть
г. . ( Р-r, |х|> 1,
( ax2+-b, |х| < 1.
Найти коэффициенты а и b так, чтобы функция f (х)
была непрерывна и дифференцируема в любой точке.
Найти производные следующих функций:
1.69. -= У1.70. у = /х+КГ+У’х.
230
1.71. ^='"+{/(l-^)w(l+x)n.
1.72. у = sin (cos2 х) cos (sin2 x). 1.73. у = —.
'•74-"-(тПтУ(тУ-
L75. s-lnOn-mx). 1.76.
1.77. z/=log2 sin ^2лх+у) . 1.78. {/ = arctg (tg2 x).
1.79. y = logxe. 1.80. i/ = (sinx)C0SJ(.
1.81. у =УТ“а'х. 1.82. у^Vcosx
1.83. y = ln(shx) + j^. 1-84. у = arctg(thx).
1.85, j/ = e_*shax. 1.86. у = arccos •
1.87. z/=ln|x|.
Функция j/ = ln | x[ определена Vx£R, x 56 0, и
In IX I =
In X,
In (— X),
X > 0,
X < 0»
Отсюда
X?4 0. ►
1.88.
1.90.
r/ = arcsin||j.
y-=|arctgx|.
1.89. y=|sinx|.
1.91. y = [x]x, где [x] —целая часть числа x.
^Функция y — [x]x определена Vx £ R. Если^^й, те y^kx
при x £ [й, й+1). Поэтому
у’ —k, х £ (k, fe+1),
а в точках x=k, k й:
( 1 —х, х< 0, (х, х< О,
1.92. у = { е_х^ %>0 1.93. ^ = (ln(1+%)jX>o.
( х2е~х‘, 1x1^1,
1.94, у = | 1/е> |%1>1<
231
1 nc ' %2 3~“х
1.95. у — j_x у (з+х)2 •
1.96. t/ = (x —^1)“’ (х —а2)“2 ... (х—ап)ап.
1.97. у = аха. 1.98. у = (log^a)*.
1.99. i/= sin (sin (sin х)). 1.100. у = (1/х)1/х.
* In В • sin х 4- cos х
1.101. у =------------.
с/ зх
• sin ах , . _
1.102. г/=3“^ +4'^44-
J 1 3 cos3 ox
1.103. Доказать, что производная четной функции —
функция нечетная, а производная нечетной функции —
функция четная.
1Л04. Доказать, что производная периодической функ-
ции есть функция также периодическая.
1.105* . Найти f (х0-), если /(х) = (х —х0)ф(х), где
функция ф (%) непрерывна в точке х0.
Пусть ф|х) и ф (%) -^дифференцируемые функции. Найти
производные следующих сложных функций:
1.106. !/=Тф2(х) + ^(х). 1.107. у = ъ^^'
1.108. у = ф (хЦ (х), чр(х)>0.
1.109. у = logq, (Х)'ф(х), ф (х) > в, ф(х)>0, ф(х)тИ.
Перейдем к натуральным логарифмам:
. , . . In ф (х)
г/=10§ф(х)ф(х)=ГК?^.
Отсюда находим
*Ф' W 1 7 Ч ф' W 1 ,74
у-- 1Пф(х) — 1пф(х) . /.,,4 ,
, ^Ф(х) ф(х) __ 1 (Ф (*) __ ф (-у) \ fe.
У In2 ф (х) 1пф(х) \ф(х)
Пусть f (х) — произвольная дифференцируемая функция.
Найти у':
1.110. у-/(1пх). 1.111. y-ln(f(x)).
1.112. y = f(ex)e^x\
Имеем у' = f' (ех) ехе^х) + f (ех) e^kx) f' (х)=е^х} (ех f (ех) +
+ Г (х) f (ех)). >
1.113. i/ = f(/(x)).
2. Дифференцирование функций, заданных неявно или парамет-
рически. Говорят, что функция у — f (х), х£(а, Ь), неявно задана ууоъ-
нением F (х, i/) = 0, если для всех xg(a, b)
F(x,f^) = 0. (3)
232
Для вычисления производной функции у —j (к) следует тождество (3)
продифференцировать по х (рассматривая левую часть как сложную
функцию к), а затем полученное уравнение разрешить относительно
/'(*)•
п р имер 5. Уравнение х2-\-у2 — 1 неявно определяет на интер-
вале (—1, 1) две функции:
4/1 (х) = ЦП=Т2‘.
Уг (*) = — Ц1—X2.
Найти их производные, не используя явных выражений (4).
Пусть у (х)—любая из этих функций. Тогда, дифференцируя по х
тождество
х2 + у2 (х) = 1,
получим
2x^2 у (х) у' (х) — О,
Отсюда
т. е,
»>. . х х
№ (х) - у j
И
у 2 (х) — — —7"Т = ——
У‘2 (X) У1 — X2
Пример 6. Вывести правило дифференцирования обратной
функции.
«3 Если x = f“x(z/), у£Е,—функция, обратная к y=f (х), xgD, то
для всех у£Е выполнено -равенство
f(rxO/)W=o.
Иначе говоря, обратная функция x=f~1(y') есть функция, заданная
неявно уравнением
/(х)-^ = 0, (5)
Для вычисления производной функции х = /“1(г/) дифференцируем
(5) по у\
Г (х(у))х' (#) —1=0,
откуда
При неявном задании функций, а также для сложных функций
будем для производной использовать также обозначения типа у'х там,
где необходимо уточнить, по какой переменной ведется дифференци-
рование.
233
1.114. Найти значение у'х в точке х=«1, если
ха— 2х2у2 + 5x + i/—5 = 0, //(!)=!.
1.115. Найти у’х в точке (0, 1), если еУ-^ху — е.
Найти у'х для следующих функций, заданных неявно:
1.116. $+^-=1. 1.П7. x4 + ^ = xV-
1.118. x + Y y — V^a, а > 0. 1.119. 2ylny = x.
1.120. exsin (/ —^cosx = 0. 1.121. sin (xy) + cos(xy)==0.
1.122. 2х -\-2у = 2х+у. 1.123. х —i/ = arcsinx —arcsiny.
1.124. arctgInKx2 + f/2. 1.125. xy==arctg~.
x у
1.126. хУ = ух. 1.127. а7=(-У.
э к У J
1.128. Доказать, что функция у. определенная уравне-
нием ху — In г/= 1, удовлетворяет также уравнению у2 4~
+ (ху—1)у' = 0.
Найти производные функций, обратных к заданным:
1.129. y = shx.
(>Х_£~ Х gX-L-g—X
Имеем по определению shx = • Так как (sh %)'==——— >0
для всех х£ 1R., то функция shx монотонно возрастает на всей дейст-
вительной оси и, следовательно, имеет обратную, обозначаемую arsh х.
По правилу дифференцирования обратной функции получаем
Ху = (ar sh у)' = -Д- = Д—-—-Д-= Д — = —1——
Ух еХ+е~х chx jAl + sh2* Kl + ^‘
Следовательно, переходя к обычным обозначениям, имеем
(arshx)'=-—>
V 1-|-х?
1.130* . // = chx. 1.131. // = arcsin2*.
1.132. у = 2х2 — х, х£(72, + «>)•
Пусть у == а (х) — функция, обратная к заданной// — f (х).
Выразить а' (х) через х и а(х), если:
1.133. у = х\
Учитывая, что
(ххУ —Xх (In % + 1),
получаем:
1 11
Ху~ Ух хХ (1п х + Ч-// (In (i/) +1) ’
234
так как х = а(у). В обычных обозначениях
ос' (х) = —т--*
4 х (1пос(х) + 1)
1.134. у = х + ех. 1.135. у = */2х + х3.
1.136. r/ = x + log2x. 1.137. y = xlnx.
Пусть заданы функции
* = Ф(О, £ = *€(а. р).
(6)
s
Если при этом х = ф (/) на интервале (а, 0) имеет обратную t ==ф-1 (х),
то определена новая функция
{/(х)=1|>(ф_х(*))> (7)
называемая функцией, заданной параметрически соотношениями (6).
Дифференцируя (7) по х и используя правило дифференцирования об-
ратной функции (пример 6), получаем
yx^’t.t'x^=V4. (8)
ф/ X/
Пример 7. Найти у'х, если
x = cos2/, # = sin£, ^€(0, л/2).
Так как ф/ = cos t, ф/ = — 2 cos t sin /, то по формуле (8) находим
1
Ух~ 2 sin Г
Для функций, заданных параметрически, найти ух.
1.138. х = 2/, у = Ы*— 5/, /£(—оо, 4-00).
1.139. х = /34-2, z/ = 0,5/2, t£(— 00,4-00).
1.140. »=(4п) .
1.141. 1С(— те, 4-ос).
1.142. x = acos<p, г/= & si<i <р, <р(Ц0, л).
1.143. x = tg/, z/ = sin 2/4-2 cos 2/, /£(—л/2, л/2).
1.144. x = arccos—-J— » = arcsin A_L_г-, /£(0, 4-°°)-
У 14-г2 ’ Ki -Н2
1.145. x = ln(14-/2), y = t — arctg/, /С(0,4-оо).
1.146. х = 3 log2ctg/, у = tg 14-ctg t, /(ЦО, л/2).
1.147. x = arcsin(/2—1), y = arccos2/, t £ (0, J^2).
1.148. %=]/' l-]/7, y = ]/ 1-У7, /€(l,4-«>).
1.149. x = r/ = bch/, /£(0,+oo).
Найти y'x в указанных точках:
235
1.150. х = /1п/, г/ = ^, / = 1.
1.151. х —titcost — 2sin/), J
... . 4 , о ' t — n/4.
y = t(i sin/ +2 cos 0,
1.152, x = e*cos/, у — e'sin/, / = л/6.
1.153. x — j , y — y+72, /=2.
3, Производные высших порядков. Производной 2-го порядка от
функции yt=zj (х) называется производная от ее первой производной,
т, е.
у" (х) = (у‘ (х))'.
Вообще производной n-го порядка (или п-й производной) называется
производная от производной порядка (п—1), т. е.
у{п) (х) == (уШ-X) (Х)у, п = о, 3, ...
п « dny
Для производной n-го порядка используется также обозначение
Пример 8. Найти у", если у = In (% + V 14~%2)*
Имеем у‘ s=—, Следовательно,
у» ~ ( * у ==_________х___ !>
\ И +%? ) (1+%2)3/2 *
Найти производные 2-го порядка от следующих
функций:
1.154» z/==cos2x. 1Л55» # = arctgx2.
1.156. y = log8^/T^5. 1.157. у = е~х\
1.158. t/= yLS-21-X- . 1.159*. y = xV \
a Kl—x? . y
1.160. Найти y‘ (0), у" (0), у’" (0), если у (х) — е2х sin3x.
1,161. Найти у1'-'- (2), если y = ln(x—1).
1.162. Найти yiv (1), если y = xs\nx.
1.163, Найти у(0), у' (0), у" (Q), если # = 2sin*cos(sinx).
Пусть/(ы) — дважды дифференцируемая функция. Най-
ти у' и'у'', если:
1.164. = 1.165. у = In f(e-)
Пусть и(х) и v(x)—дважды дифференцируемые функ-
ции. Найти у', у", если:
1,166. y = uv (ц>0).
236
Имеем 4п^==у1п^, Отсюда находим
У' / i 1 v' f
— ~v In и A---и t
У и
т. е.
yr,^yf
(X) \ / f \
v' In ^+“ u' j = uv I *>' in ZZ + ~ u’ ) >
( , , , v ,\ , / v' , , v’u’u-\-vu"u—vu'2\
V In « + — ll' + !/ t>" In U +— U'-j-^—2------ j =
\ ll у \ U ll j
„ ( ( u' f /1 V . utl"—u'z . 2u'v' , „ , \
= UV I I U-\-V In U ) -\-V-2----1---lfl « ) ♦ ►
\ \ w J ll ll 1
1.167. ^/иЧо8. 1.168. y = lny.
Найти формулу для n-й производной заданных функций:
1.169. у = хт, т^М. 1.170. у = акх,
1.171* . y — smx. 1.172. y = hix. 1.173*» t/ = cos2x.
1.174. =
y 1—X
Применяя разложение в линейную комбинацию более
простых функций, найти указанные производные от за-
данных функций:
1.175. У==^2~7Т’ найти у{п\
Преобразуем выражение к виду
2х 1 1
—1 х+1~* X—1*
Так как
/ 1 \ (и) 1
(т±т)
то
= (—!)« п!
(х+ 1)”+^
(X—1)« + 0 •
1.176. у = ~2—J.», найти у(50>.
J х2, — Зх+ 2 J
1.177* . t/ = /- '.l-'L- , найти y<20).
у Hl — х и
Пусть а (х) и v (х) имеют производные до n-го порядка включи-
тельно. Тогда для производной п-го порядка их произведения и (х) v (х)
237
справедлива формула Лейбница
у' -j_ i^n - 2) y"_|_ . w. -j-
k — Q
tn. ,пч „k П (П— 1). . .(tl — k+ 1) n\ л
где ««» = «, v^=v и Cn=—---------r^_---------=- (ге_^-би-
номиальные коэффициенты.
Применяя формулу Лейбница, найти производные ука-
занных порядков от заданных функций:
1.178, у = (х2 + х-г ijsinx, найти
1.179. у = (х2— х)ех, найти z/(20).
1.180. r/ = sinx-e-x, найти у{*\
1.181. y = xlog2x, найти у(10).
1.182. y = xshx, найти г/(100).
1.183* . Показать, что
(еах cos bx)(n) = rneax cos (bx + nep),
где r=^Va2 +&2, tg<p = “-.
1.184. Доказать, что (x«"1e1/x)(n) =(—
1Л85. Вычислить значение n-й производной функции
3x4-2 п
ц = -» п , -е в точке х = 0.
47 х2—2*4-5
По условию имеем
у (х) (х2 — 2x-f-5) = 3x4-2.
Продифференцируем это тождество п раз, применяя формулу Лейбница.
Тогда (для п 2) получим
i/<n> (х) (х2 —2х + 5) + и^<л-1) (2х—2) + ”(га~^ (х)-2=0>
откуда при х = 0
(0)—2пу^-D (0) 4- п (п— 1) у^~ 2> (0) = 0,
или
yW (0) =2 (0)—n(n~9 (/<«-?> (0).
о о
Мы получили рекуррентную формулу для определения n-й произ-
водной в точке х = 0 (п^2). Значения у (0) и у' (0) найдем непосред-
ственно:
/ох 2 '/т -Зх2—4*4-19 1 _19
г/(0)-5 , У (0)- (x2_2x+5)2 |х=0 25 *
238
Затем, полагая последовательно п — 2, 3, 4, ...,спомошью рекуррент-
ной формулы получим значения производных высших порядков,
Например,
п"(0)=—-2 Л-2±2.=-51
У 5 25 5 5 125’
,„,т 2 56 3-2 19 234 .
У (0)=-5-3-125—У25=-625’^
Применяя метод, описанный в задаче 1.185, найти
производную 4-го порядка в точке х = 0 от заданной
функции:
1 юс ax+b . А 1 х24-х4-1
1.186. у =—--у, с=£0. 1.187. у = -^—hr
и cx-\-d' v х2—х+1
1.188. Показать, что функция у — arcsin х удовлетво-
ряет дифференциальному уравнению (1— х2)у" ~ху'.
1.189. Показать, что функция у = Сге~2х + С2е2х + ех удов-
летворяет дифференциальному уравнению у" — 4у' 4 • 4п = ех.
1.190. Показать, что функция у = е~х cosx удовлетв-*-
ряет дифференциальному уравнению +4z/ = 0.
1.191. Показать, что функция у=хп (cos(lnx)+sin(ln х))
удовлетворяет дифференциальному уравнению х2у” +
+ (1~2п)х/ + (1+п2)у-0.
В задачах 1.192—1.196 найти производные 2-го поряд-
ка от функций, заданных неявно:
у
1.192. У\2 + //2 = оеаГС*е а > 0.
Дифференцируя уравнение, определяющее функцию у (х), получаем
х±_У^_ = aearCtg * у'х—У
х2+ У2 Vx^y^. •
Отсюда х+уу’ =ху’—у («)
и, следовательно, у.^_±У^ х—у (Ю)
Дифференцируя (9) и используя найденное для у’ выражение (10).
получаем
1.193. у2 = Ърх. 1.194. у=1+хеУ
1.195. y = tg(x + r/). 1.196. ех~У = ху.
1.197. Вывести формул)' для второй производной фуг к
ции, обратной к заданной функции у = f(x).
239
1.198. Доказать, что если (а + bx) е^!х — х, то хгу" =
= <ху' -у)*.
Найти производные 2-fo порядка следующих функций,
заданных параметрически:
1.199. х = 1п/, y = t\ /£((), +оо).
<3 Имеем
ц=Д=з^
Xt
и
Ухх — \Ух)х—\yx)i*tx— '
Заметим, что в данном случае параметр t легко исключить из задан-
ных уравнений, полагая, t~ex. Следовательно, выражение для ухх
как функции от х имеет вид ухх — 9е3х.
В общем случае, если я = (р(/), # = -$(/), то ухх вычисляется по
формуле
Ухх (<р' (О)8
|ф' (О Ф'(Л
I <₽"(/)
(ф' (О)3
1.200. x = secl, z/ = tgl, /£(0, л/2).
1.201. x = arcsin/, г/=1п(1—/2), /£(—1, 1).
1.202. х = arctg/, у = In(1 + /2), /£(—оо, -|-оо).
1.203. x = acos3/, z/ = asin8/, /(Ц0, л/2).
1.204. Показать, что функция у(х), заданная пара-
метрически уравнениями x = sin/, у = ае‘,2 +Ье~(У2 ,
/€(—л/2, л/2), при любых постоянных а и b удовлетво-
ряет дифференциальному уравнению (1 — х2)у"хх —ху'х =2у.
4. Геометрические и механичес-
кие приложения производной. Зна-
чение производной f' (xQ) функции
y = f(x) в точке х& равно угловому
коэффициенту k~ tgcp касательной
ТТ' к графику этой функции, про-
веденной через точку 7И0(х0, yQ)t
где yo = f(xo) (рис. 46) (геомет-
рический смысл производ-
н о й).
Уравнение касательной ТТ' к
графику функции y=^f(x) в его точке
Уъ) имеет вид
У- Уо = f' (^о) (х—х0).
Прямая N№, проходящая через точку касания Л40 перпендику-
лярно к касательной, называется нормалью к графику функции у =
= f(x) в этой точке. Уравнение нормали
(х—Л-О) + /' (х0) (у— уй) =0.
Написать уравнения касательной и нормали к графику
функции y = f (х) в данной точке, если:
1.205. у = х2 — 5х + 4, х0 =—1.
1.206. z/ = x34-2x2 — 4х —3, х0 = —2.
1.207. у —Ух, х0 = 4.
1.208. у — tg 2х, хо = О.
1.209. у — Inх, х0= 1.
1.210. у = е1~х\ х0 =—1.
1.211. Написать уравнения касательной и нормали
в точке Мо(2, 2) к кривой х = -~^-, # = ^2+4’ *¥=0-
1.212. Написать уравнения касательных к кривой
x = /cos/, y = /sin/, /£(—оо, +оо),
в начале координат и в точке £ = л/4.
1.213. Написать уравнения касательной и нормали
к кривой х3 + у2 + 2х — 6~0 в точке с ординатой yQ=^3.
1.214. Написать уравнение касательной к кривой %5 4~
+уь — 2ху = 0 в точке Мо (1, 1).
1.215. Под каким углом график функции у = ех{'2 пере-
секает прямую % = 2?
1.216. В какой точке 7И0 кривой г/2 = 2х3 касательная
перпендикулярна к прямой 4х— Зу-[-2 = 0?
1.217. Найти коэффициенты b и с в уравнении пара-
болы = + + касающейся прямой у = х в точке
мо(1, 1).
Y__zj
1.218. Показать, что касательные к гиперболе у ==
в точках ее пересечения с осями координат параллельны
между собой.
1.219. Составить уравнение нормали к графику функ-
ции у = — Vх + 2 в точке пересечения с биссектрисой
первого координатного угла.
1.220. Составить уравнение такой нормали к параболе
у — х2,— 6х + 6, которая перпендикулярна к прямой, соеди-
няющей начало координат с вершиной параболы.
1.221. В точках пересечения прямой х—у 4-1 = 0 и
параболы у = х2 — 4x4-5 проведены нормали к параболе.
241
Найти площадь треугольника, образованного нормалями
и хордой, стягивающей указанные точки пересечения.
1.222. Показать, что нормали к развертке окружности
x = a(cos/-|-/sin/), z/ = fl(sin/— /cos/) являются каса-
тельными к окружности х2-]-г/2 = я2.
Углом со между кривыми y — f1(x) и y — fz (х) в их общей точке
Af0 (х0, Уо) называется угол между касательными к этим кривым
в точке 7Й0.
1.223. Доказать, что
tg о = ^2 /1 (*о)
1 + /1 (х0) /2 (х0)
Найти углы, под которыми пересекаются заданные
кривые:
1.224. z/~x2 и у = х3.
1.225. у = (х — 2)2 и у = 4х — х2 + 4.
1.226. f/ = sin х и t/ = cosx, х£[0, 2л].
1.227. х2 + «/2 = 8шс и у2 = -^— .
1.228. Доказать, что сумма отрезков, отсекаемых каса-
тельной к кривой х1/2 +у1/2 = а1/2 на осях координат, для
всех ее точек равна а.
1.229. Показать, что отрезок касательной к астроиде
x2/3 + i/2^3 = #2/3, заключенный между осями координат,
имеет постоянную длину, равную а.
1.230. Найти расстояние от начала координат до нор-
мали к линии у = е2х -] х2, проведенной в точке^с абсцис-
сой х = 0.
1.231. Доказать, что отрезок касательной к трактрисе
заключенный между осью ординат и точкой касания, имеет
постоянную длину.
Если кривая задана в полярных координатах уравнением г = г (<р),
то угол 0, образованный касательной ТТ' и радиус-вектором ОМ
точки касания М (рис. 47), определяется соотношением
Гф
(12)
242
1.232* *. Вывести формулу
(12).
1.233. Найти угол 0 между
касательной и радиус-вектором
точки касания для логарифми-
ческой спирали г = aek®.
1.234. Найти угол 0 между
касательной и радиус-вектором
точки касания для лемнискаты
г2 = а2 cos 2<р.
Рис. 47.
Если х=х (f)—функция, описы-
вающая закон движения материаль-
dx
ной точки, то первая производная % есть скорость, а вторая про-
срх *•
Взводная = х—ускорение этой точки в момент времени t (меха-
нический смысл первой и второй производных).
1.235. Закон движения материальной точки по прямой
имеет вид х^1/^4 —4/3ф-16/2.
а) В какие моменты времени точка находится в начале
координат?
б) В какие моменты времени направление ее движения
совпадает с положительным направлением оси Ох?
в) В какие моменты времени ее ускорение равно нулю?
1.236. Найти скорость гармонического колебания с ам-
плитудой а, частотой со и начальной фазой = 0.
1.237. Тело массой 4 движется прямолинейно по закону
х = /2 +1 + 1. Определить кинетическую энергию тела в мо-
мент времени / = 5.
1.238. В какой момент Z£[0, 2л] надо устранить дей-
ствие сил, чтобы точка, участвующая в гармоническом ко-
лебании x = cos3/, продолжала двигаться равномерно со
скоростью v = 3/2.
1.239. Точка движется по логарифмической спирали
г = Найти скорость изменения полярного радиуса, если
известно, что он вращается с постоянной скоростью со.
1.240. Точка движется по окружности г = 2а cos ср.
Найти скорости изменения абсциссы и ординаты точки,
если полярный радиус вращается с угловой скоростью со.
1.241. В какой точке эллипса 16х24-9#а = 400 ордината
убывает с той же скоростью, с какой абсцисса возрастает?
1.242. Радиус шара изменяется со скоростью v. С ка-
кой скоростью изменяются объем и поверхность шара?
243
1.243. Колесо вращается так, что угол поворота про-
порционален квадрату времени. Первый оборот был сделан
колесом за время Т = 8 с. Найти угловую скорость со
в момент времени £ = 32 с после начала движения.
§ 2. Дифференциал
1. Дифференциал 1-го порядка. Функция y — f(x) называется
дифференцируемой в точке х0, если ее приращение А#(х0, Ах) может
быть представлено в виде
Ах/ (х0, Ах) = А Ах4-о (Ах). (1)
Главная линейная часть А Ах приращения А*/ называется дифферен-
циалом этой функции в точке х0, соответствующим приращению Ах,
и обозначается символом dy (х0, Ах).
Для того чтобы функция у = f (х) была дифференцируемой в точке х0,
необходимо и достаточно., чтобы существовала производная /' (х0);
при этом справедливо равенсгво A=f' (х0).
Это «.утверждение позволяет называть дифференцируемой всякую
функцию, имеющую производную. Именно в таком смысле мы и
употребляли это выражение в § 1.
Выражение для дифференциала имеет вид
dy (х0, dx) = f' (х0) dx,
где принято обозначение dx = Ax. Из формулы (I) следует, что если
f' (х0) уА 0, то при Ах—> 0 приращение функции и ее дифференциал
dy в фиксированной точке являются эквивалентными бесконечно ма-
лыми, что позволяет записать приближенное равенство:
At/ « dy при | Ах | <^ 1. (2)
Пример 1. Найти приближенно значение объема V шара ра-
диуса г = 1,02 м.
4
Так как V (г)=— яг3, то, полагая г0 = 1, Аг = 0,02 и используя
формулу (2), получаем:
V (1,02) = V (1) +AV (1, 0,02) 7(1)4-V' (1)-0,02 =
= -у л-р4л-0,02 4,43 м3.
О
Геометрический смысл дифференциала. Диффе-
ренциал dy(x0, Ах) равен приращению ординаты касательной ГТ'
к графику функции y = f(x) в точке Л10(х0, t/0) ПРИ приращении
аргумента, равном Ах (рис. 48).
2.1. Доказать, что для линейной функции у = ах^Ь
приращение Az/ и дифференциал dy совпадают.
2.2. Найти приращение Ду и дифференциал dy функ-
ции у = х\ соответствующие значению аргумента х0 = 2и
двум различным приращениям аргумента (Ax)i = 0,1 и
(Дх)2 = 0,01.
244
z.j. наити приращение
AS и дифференциал dS пло-
щади S квадрата, соответ-
ствующие приращению Ах
стороны х С помощью ри-
сунка геометрически истол-
ковать AS, dS и разность
AS —dS
2.4. Материальная точка
М движется прямолинейно по
закону s = f (t), где t — момент
времени, a s —пройденный
путь за промежуток времени
от 0 до t. Дать механическое
истолкование дифференциала пути ds, соответствующего
промежутку времени Д/ = /2 —
2.5. Используя результат предыдущей задачи и фор-
мулу (2), найти приближенно путь As, пройденный точ-
кой М за промежуток времени от ^=3 до /2 = 4, если
закон движения точки М задан формулой s — 1 +arctg t.
Сопоставить ответ с точным значением As
2.6. Для функций: a) f(x) = xn и б) ф(х) = sinх найти
значения аргумента х, при которых дифференциалы этих
функций не являются эквивалентными их приращениям
при Ах —* 0.
2.7. Дан отрезок [х0, х0 + Ах] изменения аргумента х
функции y = f(*x)\ &у и dz/ —соответствующие приращение
и дифференциал функции у. Возможны ли равенства:
a) dy = ~ ку, б) dy = &у, B)dy = ~ &у на всем этом отрезке?
2.8. Ребра куба увеличены на 1 см. При этом диффе-
ренциал dV объема V куба оказался равным 12 см3. Найти
первоначальную длину ребер.
2.9. Радиус круга увеличен на 1 см. Дифференциал
площади круга оказался при этом равным 6л см2. Найти
первоначальную величину радиуса.
Найти дифференциалы указанных функций при произ-
вольных значениях аргумента х и при произвольном его
приращении Ax = dx:
2.10. х —x2 + a2arcsin-~—5.
2.11. sin х —xcosx-f-4
2.12. хarctg хin Kl+х2. 2.13. xlnx—
245
2.14. xarcsinx+Vl— x2 —3. 2.15. y*+y — x2 = 1.
2.16. arctg у =»ln]/x2+y2. 2.17. ev = x+y.
В задачах 2.18—2.22 произвести указанные прибли-
женные вычисления, используя замену приращения Др
подходящей функции y = f(x) дифференциалом dy этой функ-
ции при малой абсолютной величине приращения Дх аргу-
мента х.
2.18. Вычислить приближенно: a) arcsin 0,05;
б) arctg 1,04; в) In 1,2.
2.19. Обосновать приближенную формулу
и вычислить по этой формуле р/25.
2.20. Найти приближенное значение функции f (х) =
= ех*~х при х= 1,2.
2.21* . Найти приближенное выражение для приращения
ДУ объема V прямого кругового цилиндра с высотой h при
изменении радиуса основания г на величину Дг.
2.22* . По закону Клапейрона объем V, занимаемый
газом, давление газа р и абсолютная температура Т свя-
заны формулой pV = RT, где R — газовая постоянная.
Найти приближенное выражение для приращения ДУ
объема У при изменении давления р на величину Др, счи-
тая неизменной температуру Т.
2. Дифференциалы высших порядков. Рассмотрим дифференциал
dy{x, А]х)=^/' (х) Дре как функцию х при фиксированном Ax = AiX.
Предполагая, что функция у = f (%) дважды дифференцируема в точке х,
найдем дифференциал от dy (х, Aix) при Ах = Д2х:
d {dy (х, Aix)) |х, Дх=д2х = f" (х) Aix А2х.
Значение полученного выражения при ^x = ^x = dx называется вто-
рым дифференциалом или дифференциалом 2-го порядка функции
y=zf{x) и обозначается символом d2y (х, dx).
Таким образом,
d2y — f" {х) dx2,
Аналогично
d3y = d (d2y) = f'" (x) dx3,
dny = d (dn~1y) = f<n> (x) dxn.
Найти дифференциалы 2-го порядка указанных функ-
ций у аргумента х\
246
2.23. y—asm(bx+c). 2.24. г/ = 3~* .
2.25. y = ~-. 2.26. y = ax2 + bx + c.
2.27. xy + y2=l. 2.28. (x — a)2 + (y — b)2 = R2.
2.29. x^-\-y2 = y. 2.30. x — y — asmy.
3. Теоремы о дифференцируемых функциях.
Формула Тейлора
1. Теоремы о среднем.
Теорема Ролля. Если функция f (х) непрерывна на отрезке
[а, Ь], дифференцируема при х£(а, b) и f (a)=f (b), то существует
no крайней мере одна точка Ь) такая, что f' (£)=0.
Точки, в которых f' (х)== 0, называются стационарными точками
функции f(x).
Теорема Лагранжа. Если функция / (х) непрерывна на
отрезке [я, и дифференцируема при х£(а, Ь), то существует по
крайней мере одна точка %>£(а, Ь) такая, что
f (b) — f {а) — f' (£) • (Ь—а) (формула Лагранжа).
Теорема Коши. Если функции f (х) и g (х) непрерывны на отрезке
[а, д], дифференцируемы при х£(а, Ь) и g' (х) 0 для всех х£(а, Ь)
то существует по крайней мере одна точка ^^(а, Ь) такая, что
3.1. Функция f(x) =—^4— имеет на концах отрезка
[—1, 1] равные значения (проверьте!) Ее производная f' (х)
равна нулю только в двух точках x = ±V10 (проверь-
те!), расположенных за пределами этого отрезка. Ка-
кова причина нарушения заключения теоремы Ролля?
3.2. Показать, что функция /(х) = х2—1 на отрезке
[—1, 1] удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Найти
все стационарные точки этой функции.
3.3. Пусть f (х) = х (х — 1) (х—4 2) (% — 3). Доказать, что
все три корня уравнения f' (х) = 0 действительны.
3.4* . Доказать, что уравнение 16х4— 64х + 31=0 не
может иметь два различных действительных корня на ин-
тервале (0, 1).
3.5* . Доказать, что уравнение ех~1 + х — 2 = 0, имею-
щее корень х=1 (проверьте!), не имеет других действи-
тельных корней.
3.6* . Доказать, что если функция f (х) непрерывна на
отрезке [а, Ь] и дифференцируема на интервале (а, Ь), то
247
функция F (х) = (f (x| — f (a)) (b—a) — (f (ty — f (a)) (x —a)
имеет по крайней мере одну стационарную точку на ин-
тервале (а, Ь).
3.7. Записав формулу Лагранжа для функции f(x) =
= ]/3х3 + 3х на отрезке [0, 1], найти на интервале (0, 1)
соответствующее значение £.
3.8. Доказать, что если производная f' (х) тождественно
равна нулю на интервале (а, Ь), то функция f (х) постоянна
на этом интервале.
3.9. Доказать, что если /' (х) > 0 (/' (х) < 0) на интер-
вале (а, Ь), то функция /(х) монотонно возрастает (моно-
тонно убывает) на этом интервале.
Функция f (х) удовлетворяет условию Липшица на интер-
вале (а, Ь), если существует такое К, что
I / (а;2)—/|
для любых Xi, х2^(а, Ь).
3.10. Доказать, что если sup f (х) = ЛГ, то функция
а < х < b
f(x) на интервале (a, ty удовлетворяет условию Липшица
с константой К, равной М.
З.Ы*. Пусть /(х) и ср (х) дважды дифференцируемы на
интервале (а, Ь), Доказать, что если f" (х) = <р" (х) на (a, b),
то f (х) и ср (%) отличаются на линейное слагаемое.
3.12. Доказать, что если функция f (х) удовлетворяет
условиям теоремы Лагранжа на [а, Ь], то \f (b)—f
где т = inf f (х).
b
3.13. Записав формулу Коши для функций f (х) = 2х3 +
+ 5х+1 и g(x)=x2 + 4 на отрезке [0, 21, найти значе-
ния
2. Правило Лопиталя — Бернулли. Раскрытие неопреде-
„ 0 оо ___
ленностеи типа — и — . Пусть при х —> а функции f (х) и
<р (%) обе бесконечно малые или обе бесконечно большие. Тогда их отно-
шение не определено в точке х — а, и в. этом случае говорят, что оно
„ 0 оо
представляет собой неопределенность типа — или соответственно-.
и оо
Однако это отношение может иметь предел в точке х — а, конечный
или бесконечный. Нахождение этого предела называется раскрытием
неопределенности. Одним из способов раскрытия неопределенностей
О оо
типа — и является правило Лопиталя— Бернулли, основанное
на следующей теореме, носящей их имя.
248
(Теорема. Пусть в некоторой окрестности U точки х = а
функции f (х) и (р (х) дифференцируемы всюду, кроме, может быть,
самой точки х = а, и пусть ср' (х) ф 0 e'U. Если функции f (х) и (р (х)
являются одновременно либо бесконечно малыми, либо бесконечно боль-
~ F (*)
шими при х—>а и при этом существует предел отношения ' их
производных при х —> а, то тогда существует также и предел отно-
f(x)
шения -"-(-у самих функции, причем
lim
lim Ш.
<pW
(i)
а
Правило применимо и в случае, когда я=оо.
е2х_] /
Пример 1. Найги lim ---------I т. е. раскрыть
х -> О arctgbx \
О \
ленность типа 1.
Используя формулу (1), получаем:
неопреде-
v с2*—1 .. 2е2х 2
lim --- ]lm -------------------,
arctgbx 1 5
14-25x?
поскольку е2зс —► 1 и
1
l+25x2
1 при x —> 0
В некоторых случаях раскрытие неопределенностей вида ~ или
— может потребовать неоднократного применения правила Лопиталя —
00
Бернулли.
1п2х (
Пример 2. Найти lim —.j- ( т. е. раскрыть неопределенность
X -> 4- оо Х \
00 \
типа ----- .
оо /
Применяя дважды формулу (1), получаем:
2
X
1п2 X
lim lifli
2 In х
х 2 .. In х 2
.___ ilm _____
ОХ“ 3 х —> -4- оо X О х__> 4- со ОХ
На каждом этапе применения правила Лопиталя — Бернулли сле-
дует пользоваться упрощающими отношение тождественными преобра-
зованиями, а также комбинировать это правило с любыми другими
приемами вычисления пределов.
fpr х — S:n X f
Пример 3. Найти lim ——( т. е. раскрыть неопре-
0
делевность типа —
249
Используем формулу (1):
1
tgx—sinx
lim ——5-----= lim
х->о х3 х^0
cos2x C0S*____1 1 —cos8x
3x2 3 x _fo x2 cos2 x
Освободим знаменатель дроби от множителя cos2x, поскольку он
имеет предел 1 при х —► 0. Развернем стоящую в числителе разность
кубов и освободим числитель от сомножителя (14-cos x-j-cos2 х),
имеющего предел 3 при х —► 0. После этих упрощений получаем
tgx—sinx 1—cosx
lim = hm --------
x-> 0 х3 х-> 0
Применяем снова (1):
n tgx—sin х
lim —---г----==
х->0 х*
.. 1—COSX ..
11m ----5--= li m
х -> о х2 х -> о
sin х
2х
Используя первый замечательный предел, получаем окончательный
ответ 1/2, уже не прибегая вновь к правилу Лопиталя—Бернулли.
Раскрыть неопределенности типа или
Р2Х__1 {/г___?/ К
3.14. lim --------L. 3.15. Hm . * КЛ .
х о arcsin Зх х _> 5 Ух—у 5
3.16. lim -!--C0S • 3.17. lim
х 0 In COS Ьх х-> 0 Х—sinx
n v —2arctgx o .. x—sinx
3.18. hm ——— . 3.19. hm ---------------f—,
x-r + m e3^-l x^0 *-tg*
3.20. lim
x -> 0
ex_~e-x
In (1 +x)
3.21. lim
x 0
e3x—3x—t
sin2 5x
3.22. lim
ctg x— 1
sin 4x
3.23. lim
x-> 1
x3 — 4x24-5x—2
x3 — 5x2 + 7x — 3 *
3.24. lim , m > 0.
YUl 1
X->+oo Л
3.25.
x -> о 1 + 2 In sinx '
3.26. lim
± ЛХ
tg-T
•j—77--r. 3.27. lim
ln(l— x)
cos x-In (x— 3)
In —e3)
ln(l-x)+tg^.
3.28. lim ----7-------
x _ 1 ctg ЛХ
Раскрытие неопределенностей типаО-ооиоо — oo#
Для вычисления lim f (x) ф (x), где f (x)—бесконечно малая, а ф (x) —
x -> a <
бесконечно большая при x а (раскрытие неопределенности типа
250
неопреде-
Ф (х) I оо \
или к виду (неопределенность типа —J
0*оо), следует преобразовать произведение к виду { (
ленность типа -д-
и далее использовать правило Лопиталя'—Бернулли.
Пример 4. Найти lim sin (х—l)*tg-^- (раскрыть неопреде-
х -> 1 *
ленность типа 0- оо).
. тг . лх sin (х—1)
Имеем: lim sin (х— l)*tg-— = lim ------=
х -> 1 2 х i . лх
х ctg—
cos (х—-1) 2 .. . . 9 лх 2
= lim --------—z——=------lim cos (х—l)sm2—--=----.
X -> 1 1 Л X -> 1 2 л
Для вычисления lim (/(х)—ф(х)), где /(х) и ф (х)—бесконечно
х -> а
большие при х а (раскрытие неопределенности типа оо — оо), сле-
дует преобразовать разность к виду f (х) ( Затем раскрыть
ф (х) 00 V ф (Х) , 1
неопределенность -v-j-t типа —. Если lim -77—^1, то
F f W 00 х->а /(x)
lim (/(x)—ф (x)) = 00. Если же lim = 1, то получаем неоп-
x a x -> a / Xх)
ределенность типа co «О, рассмотренную выше.
Пример 5. Найти lim (х—1п3х) (раскрыть неопределенность
х-++ оо
типа оо — оо).
Имеем:
/ 1п3 х \
lim (х—ln3x)= lim х(1-------------L
х -> + ОО Х-> + ОО \ Х J
Так как
, , 31п2х-— , „ 21пх-—
„ 1п3х .. х о .. 1п2х о X
lim -----= hm --------:---= 3 lim ------= 3 lim -------;---=
X->+oo X X->+oo 1 X-^+oo X x-^+00 1
= 6 lim ^^=6 lim -^-=6 lim —=0,
X—>4-oo X X->+oo * X->+oo X
TO
iim (x—ln3x)= + °°-^
X ->+ oo
Раскрыть неопределенности типа O-oo или oo —oo:
3.29. iim (ex — e~x — 2) ctgx. 3.30. lim
x -> 0 x 0
251
3,31. lim (х—l)ctg3r(x—1). 3.32, limxsin —.
X -> I X-> OO X
3.33. lim Inx-ln(x—1). 3.34. lim A-Д-Y
x-И x-»i Vn * in
3,35. lim $—L----)
*->o\arctSx KJ
3.36. limf-;—1 ------ *
^i^2(l-K*) 3(1— з/ x) J
3.37. lim (A-3,38, lim/Ц—ctg2A
л \ctgx 2cosxy x-^o Vх /
** 2
Раскрытие неопределенностей типа 0°, oo°, 1го, Во
всех трех случаях имеется в виду вычисление предела выражения
(/ (х))Ф <*>, где f(x) есть в первом случае бесконечно малая, во втором
случае—бесконечно большая, в третьем случае—функция, имеющая
предел, равный единице. Функция же ф (х) в первых двух случаях
является бесконечно малой, а в третьем случае—бесконечно большой.
Поступаем следующим образом. Логарифмируя предварительно
#=(/(х))ф <л), получаем равенство
1п#=ф(х) Inf (х) (2)
и находим предел In у, после чего находится и предел у. Во всех
трех случаях In у в силу (2) является неопределенностью типа Ооо
(проверьте!), метод раскрытия которой изложен выше.
/ 1 \2х
Пример 6. Найти lim I 1 -]— I (раскрыть неопределенность
х ->«» \ х /
типа Iе®).
/ 1 \2л / 1 \
◄ Введем обозначение #=1 1-]-—-J . Тогда In #*=2х In ( 1-[—j-)
является неопределенностью типа оо-0. Преобразуя выражение In#
Inf l-k—\
\ А /
к виду In# = 2----—г------- , находим по правилу Лопиталя — Бер-
1/х
нулли
1___(___1\
1 \ х2 )
14--х '
lim lnj/=2 lim --------—;-------= 2 lim ------j—=2,
X->co X -> oo * oo | |
X2 * X
Следовательно,
f IV*
lim #== lim (1-|------) =e2. ►
X -> oo X -> oo \ X J
Раскрыть неопределенности типа 0°, oo°, 1”:
252
3.39. lim x*nx. 3.40. lim (arcsin x}ts x.
x -> 0 x -> 0
1
3.41. lim (л —2x)cos*. 3.42. lim x1"^-1).
Л X -> 0
X-> 2
3.43. lim xx'x. 3.44. lim (x + 2*)1/*.
3.45. lim (ctgx)Vinx. 3.46. lim (.tgx)2*-".
x -> 0 я
*** T
3.47. lim x1"1-*». 3.48. lim (1+-Ц*.
3.49. lim (cos2x)3/*2. 3.50. lim
x -> 0 x -> 0
3. Формула Тейлора. Если функция .у = /(x) имеет производные
до (п-=|-1)-го «порядка включительно в некоторой окрестности =
{х | |х—а\ < 6} точки а, то для всякого x£Vs(a) справедлива
формула Тейлора («порядка п)
f(x) = f (<z)+Ajp (х—a)+^p(x—а)2+...
...+^^(x-«)« + /?„+1(x).
где
п , ч /<п + 1>(аЧ-6(х—в)) .
Rn<-i(x)=-L-----------------2 (x-a}n+1,
0 < 0 < 1
(«4-1)1
(остаточный член в ф о р м е Лагранжа). Таким образом, формула
Тейлора порядка п позволяет представить функцию y — f(x) в виде
суммы многочлена n-й степени и остаточного члена.
В частности, при а = 0 имеем
/(х) = Н0) + Мх+фх2+...+^Р^+
I f±^lxn + l
4 (п+1)! ’
о < е < 1
(формула Маклорена).
3.51. Многочлен 2х3— Зх2 + 5%4~1 разложить по сте-
пеням двучлена х + 1.
3.52. Для многочлена х44-4х2 — # + 3 написать фор-
мулу Тейлора 2-го порядка в точке а=1. Записать ос-
таточный член в форме Лагранжа и найти значение 0,
соответствующее следующим значениям аргумента: а) х = 0;
б) х = 1; в) х = 2.
3.53. TIvctb Р (%) —многочлен 4-й степени, Р (2) = — 1,
Р' (2) = 0, >'(2)=2, Р"'(2)-—12, P(IV)(2) = 24. Вычис-
лить Р(—1), Pf (0) и Р"(1).
253
Для заданных функций написать формулу Маклорена
п-го порядка:
3.54. у = ех. 3.55. у — sinх. 3.56. y = cosx.
3.57. у = In (1 + х). 3.58*. у ~ arctg х. 3.59. у == (1 + х)06.
3.60. Написать формулу Тейлора 3-го порядка для
функции у — -^Г\ в точке я==2. Построить графики дан-
ной функции и ее многочлена Тейлора 3-й степени.
3.61. Написать формулу Тейлора 2-го порядка для
функции y = tgx в точке п = 0. Построить графики дан-
ной функции и ее многочлена Тейлора 2-й степени.
3.62. Написать формулу Тейлора 3-го порядка для
функции y = arcsinx в точке а~ 0. Построить графики
данной функции и ее многочлена Тейлора 3-й степени.
3.63. Написать формулу Тейлора 3-го порядка для
функции у = в точке а — 1. Построить графики дан-
ной функции и ее многочлена Тейлора 3-й степени.
Формула Тейлора широко используется при вычислении значе-
ний функции с заданной степенью точности. Пусть, например, тре-
буется вычислить значение функции f (х) в точке х0 с абсолютной
погрешностью, не превосходящей е, если известно значение этой
функции и ее производных в точке а. Из формулы Тейлора следует, что
/ (*о) « f (х0-а)+ ... (х0—а)«о,
1 1 ilQl
где п0—минимальным из номеров п, для которых
Пр и мер 7. Вычислить число е с абсолютной погрешностью.,
не превосходящей 0,001.
Применяя формулу Маклорена к функции f(x) = ext получаем
11 1
«-/<)-1+-^+^+...+-^+^ . о < о < 1.
еО
(/г+1)!
Наименьшее значение п, удовлетворяющее условию
где 0 < 0 < 1, равно п0 = 6. Следовательно,
<0,0001.
3.64. Вычислить с абсолютной погрешностью, не пре-
восходящей 0,001, приближенные значения следующих
чисел:
a)sinl; б)/ё; в) In 1,05; г) ^33.
254
3.65. Выяснить происхождение приближенных формул:
а) УТ+х« 1 4- jx—jx2, |х| < 1;
б) j/1 +х « 1 +у х—^х2, )х|<1
и оценить их погрешность.
Остаточный член в формуле Тейлора может быть записан в ф о р-
ме Пеано
Rn+i (х) = о(|х—яр*),
использование которой полезно при вычислении пределов*
Пример 8. Найти ^lim^•
Так как 1 —cos3 х=(1 — cos х) (14-cos x+cos2 х), а 5х?+7х3~5х2, то
1 — cos3 х 3(1 — cos х)
х -> о $х-
по формуле Маклорена cos х = I —
JTo 5х2-|-7х3 “
Заменяя cosx его разложением
— ——|-о (х2), получаем
1 —cos3 х __3
5х2 + 7х3 ""
X2 X2
поскольку ‘2г+°(х2)'---ёГ
lim
: -> О
х2
2 Ь° (ха) з ж2/2
----5----=4 Um
5 х2
при х 0. Окончательно
1—cos3 х 3 -
То 5х2-}-7х3 10- ►
.-г гч тт v v х—I—sin (2х—2)
Пример 9. Наити lim -----——.
1 х—1-j-sin (Зх—3)
◄ По формуле Тейлора
9 (Х — П
sin (2х—2) =sin 2 (х—1) =-j-j—--[-о (| х — 1 [),
sin (Зх—3) = ^=^+о(|х-1 I).
Следовательно,
х— 1— sin (2х—2)_ . — (х— 1)—о (Iх—~ 1 [)
/Т1 x-l+sin(3x-3) xl™i 4(х-1) + о(|х-1|) •
Отбрасывая бесконечно малые высших порядков, т. е. переходя в чис-
лителе и в знаменателе к эквивалентным бесконечно малым при х -► 1,
получаем
х—1—sin (2х—2) — (х—1) 1 .
1 х —1+sin (Зх—3) ! 4 х-1 4
255
3,66. Показать, что разложение по формуле Макло-
рена для функций sin х, tgx, arcsinx, arctg х, — 1 и
ln(l+x) можно записать в виде х + о(|х|) и что при
х —> 0 все эти функции эквивалентны бесконечно ма-
лой а(х) = х (и, следовательно, эквивалентны между
собой).
3.67. Используя разложение по формуле Маклорена,
вычислить пределы:
а) iim limkz^; в) lim -tg^n?.
ж-O x ) x^0 xi+xi
§ 4. Исследование функций и построение графиков
1. Возрастание и убывание функции. Экстремум. Функция y = f (х)
называется возрастающей (убывающей) в интервале (а, Ь), если из
неравенства х± < х2, где хх, х%£(а, Ь) следует неравенство f (х±) <
< f (хъ) (соответственно f (хх) > /(х2)).
Если функция f (х) дифференцируема на интервале (а, Ь) и
Г (х) > 0 при всех х£ (а, Ь), то функция f (х) возрастает на (а, Ь)\
если же f' (х) < 0 при всех х£(а, Ь), то f (х) убывает на этом ин-
тервале.
В простейших случаях область определения функции y — f(x)
можно разбить на конечное число интервалов монотонности. Каждый
из интервалов монотонности ограничен критическими точками, в ко-
торых f' (х)=0 или /' (х) не существует.
Если существует такая окрестность 1/б(х0) точки х0, что для
всякой точки х х0 этой окрестности выполняегся неравенство [ (х) >
> / (х0) (или f (х) < f(xQ)), то точка х0 называется точкой минимума
(максимума) функции у~[(х), а число t(xQ)—минимумом (макси-
мумом) этой функции. Точки минимума и максимума функции назы-
ваются ее точками экстремума.
Необходимое условие экстремума. Если х0—точка
экстремума функции f (х), то f' (хо) = О или /' (х0) не существует, т. е,
х0—критическая точка этой функции.
Обратное, вообще говоря, неверно.
Достаточные условия экстремума непрерывной
фу нкц-и и. 1) Пусть функция f (х) дифференцируема в некоторой
окрестности (х0—6, х0-]-6) критической точки х0, за исключением,
быть может., самой этой точки. Если при этом в интервалах (х0—б,х0)
и (хо, Хо+6) производная /' (х) имеет противоположные знаки, то
х0—точка экстремума, причем, если f' (х) > 0 при х£(х0—6, х0) и
f' (х) < 0 при х£(х0, х0+6), то х0—точка максимума, а если
f' (х) < 0 при х£(х0—6, х0) и (х) > 0 при xg(x04-6, х0), то
х0-г-точка минимума. Если же f' (х) при xg(x0—б, х0 + б), х ф х0,
сохраняет знак, то точка х0 не является точкой экстремума.
2) Пусть функция f (х) дважды дифференцируема в критической
точке х0 и в некоторой ее окрестности. Если f" (х0) < 0, то х0 —
точка максимума функции /(х), если /" (х0) > 0, то х0—точка ми-
нимума. Если же f"(xo)=O, то требуются дополнительные исследо-
вания.
256
Пример 1. Найти интервалы монотонности и точки экстре-
мума функции / (х)=1Л-~ 1 Ь .
Находим производную:
/ х—2
х3
2—х
i %3
Г W =
при х£(—оо, 0)U(О, 1),
при х£(1, 4-оо).
Приравнивая ее нулю, получаем х = 2. Таким образом, критическими
точками (с учетом тех точек, где производная не существует) являются:
Xi==0, х2 = 1, х3=2. Они разбивают область определения f (х) на
четыре интервала монотонности: (—оо, 0), (0, 1), (Г, 2) и (2, -J-oc).
Так как f' (х) > 0 при х£(— оо, 0)(J(1, 2) и/' (х) < 0прих£(0, 1)U
и(2, +©о),то /(х) монотонно возрастает при х£(— оо, 0)U(1, 2), мо-
нотонно убывает при х£ (О, 1) U (2, +©о), в точке х3 = 2 достигает ма-
ксимум (2) , а в точке х2 = 1 — минимум (f (1) = 0). Получен-
ные результаты удобно свести в следующую таблицу:
условие позволяет определить характер каждой из критических то-
чек данной функции. В то же время второе достаточное условие
неприменимо в точке х2, так как в этой точке не существует первая
производная. |>
4.1*. Доказать следующее обобщение второго доста-
точного условия экстремума. Пусть xQ — критическая точка
функции /(х), и первая из не равных нулю производных
этой функции в точке х0 имеет порядок k. Если k — чет-
ное число, то х0 является точкой экстремума, причем
точкой максимума, если f(ft)(xo)<O, и точкой минимума,
если f(ft)(x0) > 0. Если же k — нечетное число, то экстре-
мума в точке х0 нет.
4.2. Исследовать на экстремум в точке х0 функцию
f (х) — (х — х0)к(р (х); где k^N и ср (х) непрерывна в точке
х0, причем <р(хо)=#О.
9 Под ред. А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича 257
4.3* . Пусть
[е-1^2, х#=0, ( хе~1/х‘, х=£0,
H*) = jo, х = 0, S'W 0, х = 0.
Доказать, что функция f (х) имеет в точке х0 = 0 минимум,
а функция g(x) не имеет в точке х0 экстремума, хотя
^)(0) = g^(0) = 0,
Для указанных функций найти интервалы возрастания
и убывания и точки экстремума:
4.4. y = xV\=7*. 4.5. У^^1. 4.6. у=^.
4 7. y~x — 2sinx. 4.8. у=х— 21пх.
4.9. у = Inx — arctg х. 4.10. у — excosx.
4.11. у — Xх. 4.12. y = ch3x + l.
Наибольшее (наименьшее) значение непрерывной функции f (х)
на данном отрезке [а, Ь] достигается или в критических точках, или
на концах этого отрезка.
Определить наибольшее М и наименьшее т значения
следующих функций на указанных отрезках (а если от-
резок не указан, то во всей области определения):
4ЛЗ. т/ = —Зх4 + 6х2; [—2, 2]. 4.14. i/=x+2/x; [0, 4].
4.15. 9 = i=i; [0, 4]. 4.16. s = L=^;[0, 1].
4.17. 1; [0, 1].
4.18. у=arctg [0, 1].
4.19. « = 4:т4- 4.20. y = xe~xi'\
Доказать следующие неравенства:
4.21% ех> 1+х, х=#0. 4.22. cosx> 1— -у, х^=0.
4.23. >1 + ^-, х#=0.
4.24. sinx+tgx>2x, х£(0, л/2).
4.25. Два тела движутся с постоянными скоростями ^м/с
и v2 м/с. Движение происходит по двум прямым, образую-
щим угол л/2, в направлении к вершине этого угла, от
которой в начале движения первое ’•тело находилось на
расстоянии ом, а второе —на расстоянии Ьм. Через сколько
258
секунд после начала движения расстояние между телами
будет наименьшим?
4.26. Для доставки продукции завода N в город А
(рис. 49) строится шоссе NP, соединяющее завод с же-
лезной дорогой ДВ, проходящей через город Л. Стоимость
перевозок по шоссе вдвое больше, чем по железной до-
роге. К какому пункту Р нужно провести шоссе, чтобы
общая стоимость перевозок продукции завода N в город А
по шоссе и по железной дороге была наименьшей?
4.27. Окно имеет форму прямоугольника, завершен»
кого полукругом (рис. 50). Задан периметр р этой фигуры.
При каких размерах х и у окно будет' пропускать на-
ибольшее количество света?
4.28. Из трех досок одинаковой ширины сколачивается
желоб для подачи воды. При каком угле ос наклона бо-
ковых стенок к днищу желоба площадь поперечного се-
чения желоба будет наибольшей?
4.29. В треугольник с основанием а и высотой h впи-
сан прямоугольник, основание которого лежит на осно-
вании треугольника, а две вершины —на боковых сторо-
нах. Найти наибольшую площадь вписанного прямоуголь-
ника.
4.30. Периметр осевого сечения цилиндра равен 6а.
Найти наибольший объем такого цилиндра.
4.31. Цилиндр вписан в конус с высотой h и радиусом
основания г. Найти наибольший объем вписанного ци-
линдра.
4.32. Найти наименьший объем конуса, описанного'
около шара, радиуса г.
4.33. Найти наибольший объем конуса при заданной’
длине / его образующей.
4.34. Определить наибольшую площадь прямоуголь-
ника, вписанного в круг радиуса г.
9* 259
4.35. На параболе у — х2 найти точку Af, наименее
удаленную от прямой г/=2х—-4.
4.36. В полукруг радиуса 7? вписан прямоугольник
с наибольшей площадью. Определить его основание х и
высоту у.
4.37. Отрезок длины а разделить на две части так,
чтобы сумма площадей квадратов, построенных на этих
частях, была наименьшей.
Рис. 51.
4.38. Коническая воронка,радиус
основания которой 7?, а высота //,
наполнена водой. В воронку погру-
жается шар. Каким должен быть
радиус шара г, чтобы объем воды,
вытесненный из воронки погружен-
ной частью шара, был наибольшим?
4.39. Определить наименьшую вы-
соту h = 10В\ двери вертикальной
башни ABCD, чтобы через эту дверь
в башню можно было внести жест-
кий стержень MN длины /, конец
которого N скользит вдоль горизонтальной прямой АВ.
Ширина башни \ AB\~d < I (рис. 51).
2. Направление выпуклости. Точки перегиба. График дифферен-
цируемой функции y — f (х) называется выпуклым вниз (или вогнутым
вверх) на интервале (а, Ь), если дуга кривой на этом промежутке
расположена выше касательной, проведенной к графику функции
= в любой точке х£(а, Ь).
Если же на интервале (а, Ь) всякая касательная располагается
выше дуги кривой, то график дифференцируемой функции на этом
интервале называется выпуклым вверх (или вогнутым вниз) (на рис. 52
график функции y = f (х) является выпуклым вниз на интервале (а, х0)
и выпуклым вверх на интервале (х0, Ь)).
260
Если функция дважды дифференцируема на (а, Ъ) и /* (х) > О
(/" (х) < 0)» то ее график является выпуклым вниз (вверх) на этом
интервале.
В простейших случаях область определения функции / (х) можно
разбить на конечное число интервалов с постоянным направлением
выпуклости. Каждый из этих интервалов ограничен точками, в ко-
торых /" (х)=0, либо f" (х) не существует. Точка (х0, f (х0)), в ко-
торой направление выпуклости графика функции меняется на проти-
воположное, называется точкой перегиба (см. рис. 52).
Достаточное условие точки перегиба. Пусть
функция f (х) дважды дифференцируема в некоторой окрестности
U6 (Хц) точки х0, в которой f" (хо) = О или f“ (х0) не существует. Если
при этом в интервалах (х0—6, х0) и (х0, x0-j-6) производная /"(х)
имеет противоположные знаки, то х0—точка перегиба.
Пример 2. Найти интервалы выпуклости и ючки перегиба
Iх-1 I
графика функции у=-—^2"
Находим вторую производную:
/'(*) =
2(3—х)
х4
2 (х — 3)
х4
х€(-оо, 0)U(0, I),
*€(!> +«>).
Следовательно, критическими точками первой производной являются
точки х1=0, х2 = 1 х9 = 3. При этом в точках Х| и х§ вторая про-
изводная не существует (в частности, /1(1) = 4, а /+(1)==—4),
а в точке х3 она равна нулю.
Получаем четыре интервала выпуклости: (—оо, 0), (0 1), (1, 3),
(3, + оо). Исследуя знак второй производной в каждом из этих интер-
валов, выводим, что график функции является выпуклым вниз на интер-
валах (—оо, 0), (О, I), (3, + оо) и выпуклым вверх на интервале (1, 3).
Следовательно, точки х2 и х8 являются точками перегиба графика
функции, a xt не является. Полученные результаты удобно свести
в следующую таблицу:
Таблица 4.2
X (—00, 0) 0 (0. I) 1 (I, 3) 3 (3, 4-00)
/W + «О 0 2 Т
Г(х) -h не сущ. + не сущ. —- 0 4-
Найти интервалы выпуклости графика функции y=sf (х),
точки перегиба и угловые коэффициенты k касательных
в точках перегиба:
\ 261
4.40. г/ = х’ + 7%+1. 4.41. z/ = x4 + 6x2.
4.42. г/ = У(х-2)5 + 3. 4.43. у» f/x+1 — f/x^l .
4.44. z/=.|/(x+ 1)2 + |/(х—1)\ 4.45. у*»хе2х-\-1.
4.46. л/=«хIn|х|. 4.47. #«хЧпх-|-1.
4.48. При каких значениях а и b точка (1,3) является
точкой перегиба кривой у^ах2+Ьх2?
4.49. При каком выборе параметра h кривая вероят-
ности
h>0,
у л
имеет точки перегиба с абсциссами х =« ± 6?
4.50о Показать, что кривая у» имеет три точки
перегиба, лежащие на одной прямой.
4.51*, Показать, что точки перегиба кривой у^=хsinx
лежат на кривой z/2(4-(-x2) = 4x2.
8. Асимптоты. Пусть для функции y***f(x) существует такая
прямая, что расстояние от точки М (х, f (х)) графика функции до
зтой прямой стремится к нулю при бесконечном удалении точки М
&Т начала координат. Тогда такая прямая называется асимптотой
графика функции.
Если при этом координата х точки М стремится к конечному
числу а, то полупрямая х = ц (У > ® либо у < 0) является верти-
калькой асимптотой. Для существования вертикальной асимптоты
$ т&чке х~а необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из пре-
дело» lim f (х) был равен бесконечности.
X—> fl! zb 0
Непрерывные функции не имеют вертикальных асимптот.
Если же координата х точки М стремится к +оо или —оо, то
имеем наклонную асимптоту y-kx~\-bt для существования которой
необходимо и достаточно существование двух пределов
lim f-^c^=k и lim (f (х) — kx) = b.
X -> оо Х Л->а»
При этом указанные пределы могут быть различными при х —> ф- оо
(для правой наклонной асимптоты) и при х—>—оо (для левой на-
клонной асимптоты).
I х_1 I
Пример 3. Найти асимптоты графика функции у=^-------------—-.
◄ Так как функция непрерывна на всей оси, кроме точки х = 0,
то вертикальная асимптота может существовать лишь в этой точке.
Имеем:
lim
>0-0
и, следовательно, прямая х = 0 — вертикальная асимптота.
262
Найдем наклонные асимптоты. Так как
|х-1|
lim ---—---=0 = Л и lim ( ' * 2 '—0-л4=0 = &(
X 4- оо % Х-> + со \ - /
то прямая #п=0-х+0 = 0 является правой наклонной (в данном слу-
чае горизонтальной) асимптотой.
Совершенно аналогично находим, что та Ж0 прямая у = 0 яв-
ляется и левой наклонной асимптотой.
Найти асимптоты графиков указанных функцийг
4.52. 4.53. у =
4.54. у = у |%2—з \/х. 4.55. у = Зх + arctg 5х.
4.56. у — ^7+2х. 4.57. У = — .
4.58. z/ = xln + • 4.59. у —к arcsec х.
4. 60. Доказать, что график целой рациональной функ-
ции z/ = «0%n + ^ix"~x+• • •+6Z«-ix + 6Zn, не имеет
никаких асимптот.
4. Построение графиков функций. Для построения графика
функции y — f(x) с непрерывной второй производной (всюду в области
определения функции кроме, быть может, конечного числа точек)
сначала проводим элементарное исследование, выясняющее некоторые
особенности функции (если они имеются): симметрия, периодичность,
постоянство знака, нули, точки пересечения с осью Оу, точки раз-
рыва и т. п. Затем, используя первую и вторую производные, находим
точки экстремума и перегиба, интервалы монотонности и выпуклости,
а также асимптоты.
_ . т-т , I х— 1 I
Пример 4. Построить график функции у=х —~~—I .
Функция определена и непрерывна всюду, кроме точки х*=0,
всюду неотрицательна и равна нулю лишь в точке х = 1. Ее иссле-
дование проведено в примерах 1—3. Результат этого исследова-
ния полезно свести в одну таблицу—объединение таблиц 44 и 4.2.
График функции приведен на рис. 53.
263
Построить графики следующих функций:
4.61. у~(^г- 4-62-
4 63. S-±x-^-5). 4.64. у-^.
4.65. л .. *3—Зх л х4 У Xs— 1 • 4‘66' У х2— 1 • 4,67> У х»+1
4.68. г/ = Тз4^- 4.69. у = -3^-г. 4.70. у = -^—?. v х2,4-2 J х4— 1 и хл— 1
4.71.
4.74. X2 —1 - X3 j/= о , 1 . 4.75. У = —-— . и х2 4-1 и х3 4-1
4.76. у==*/х + \ — 1/ х— 1. 4.77. 1/=|/х2 — 2х.
4.78. у=‘/(х+1)2 + |/(Х-1)2.
4.79. У = oz2—+ bz- • 4.80. у = 1/ 1 - х3. а |/х-|-1 f/х— 1 а v
4.81. у=\/ х+1+у/ х — 1.
4.82. у=®/хЗ + 1_|_з/хз_ь
4.83. t/=* /3 . 4.84. </ = —-А, . ч а fx* + l J }/x2 + l
4.85. уЗ у2 t/= -. 4.86. у= . а 3|/х»4-2 J |/хЗ —4
4.87. Г3 у2 у = ^7^=. 4.88. у = —. р/(*®+2)? Ух2+1
4.89. ?/ Xs 4-2 „ У = • 4.90. у = . х
4.91. у-* I*’-3' . 4.92 у- z £
4.93. ^ = У|х2-1|. 4.94. f/ = ]/|x2-2|3.
4.95. y = sinx + cosx. 4.96. у = ! . U S1DX4-COSX
4.97. y = xarctgx. 4.98. y = -|- +arcclgx.
4.99. i/ = e2*->:s. 4.100. у = хе-хг'^.
4.101. г/ = 1е-1/\ 4.102.
264
4.103. у = хе1,х. 4.104. у = 1е-^.
4.105. у = (х — 2)e~Vx. 4.Ю6. у = (2х — \)е^х.
4.107. z/ = (x2 + l)e-^. 4.108. у = х*е^х.
4.109. г/ = х8е~*!/2.
4.110. у = In (х 4-/х2 + 1). 4.111. у = {~.
4.112. 4.113. z/ = x2lnx,
4.114. У = ^- 4.115. t/ = x2 In2 х.
4.116. г/ = х2/1п|х|. 4.117. z/ = xln2|x|.
4.118. t/=ln|x2— 11. 4.119. у — -^-1п21 х\.
4.120. . у = Xх, х>0. 4.121*. у = х1/\ х > 0.
4.122. г/ = (1+х)^, х>—1. 4.123*. У=~.
Построить кривые, заданные параметрически:
4.124. x=.tel, у = 1е~г, f£lR.
<J Проведем вспомогательные вычисления:
x; = 0+0e‘. J4 = (l— 0 е~1, ^=|^|е-2/,
/2___________________________________9
^ = (2 + 0?, ^=(/-2)е-»,
Так как х'=0 при t = —1 и x"tt (—0 = ~~~ > 0, то хтщ=; — -Le Так
как ^=0 при / = 1 и ^(1)=—— < 0, то г/тах=Л. Отсюда сле-
дует, что кривая расположена в области <^(х, г/)|х^|^—
у£^— выРажения для производной ^определяем
критические точки ^ = 1 (#'(1) = 0) и /2 ——1 (^(~0 не сущест-
вует). Критические точки первой производной находим из выраже-
ния для второй производной ухх\ t3~ 2 (Ухх(^ 2)=0), /4 = — У~2
(Ухх(— К"2)=0) и J5 = —1 (Ухх(— 1) не существует). Следова-
тельно, А (- K2/Z \ - Г 2Z 2) и В ( ^2 е^2, fl/Z 2) -
точки перегиба.
Наконец, находим асимптоты. Если t—>—оо, то х—>0t а
у—>—оо, т. е. х—-0 — вертикальная асимптота. Отметим, что при
приближении точек кривой к этой асимптоте их координата по х
остается отрицательной. Если t—>+°°» то х—^Ч"00» а у—>0,
т. е. //=0—горизонтальная асимптота. Точки кривой при прибли-
жении к ней имеют положительную координату по у^
265
Результаты исследования сводим в таблицу (таблица 4.3) и де-
лаем все необходимые выводы в правой ее колонке^
Таблица 4.3
t X У у'х Ухх Поведение кривой
(—ео, -Г2) <0 < о > о < о Выпукла вверх, монотонно убывает, х = 0 — вертикаль- ная асимптота
-К2 z^ -/aZ'5 — > о Точка перегиба
(-К2, -1) < о < о > о > о Выпукла вниз, монотонно убывает
— 1 е —е не сущ. не сущ. Точка возврата
(-1,1) — — > 0 < 0 Выпукла вверх,' монотонно возрас- тает, точка (0, 0) лежит на кривой
1 е 1 е 0 — Максимум
(1. К 2) > 0 > 0 < 0 < о Выпукла вверх, монотонно убывает
Г2 Z2Z^ К2 z^ — 0 Точка перегиба
(Jf2, +со) > о > о < о > о Выпукла вниз, монотонно убывает, y~Q—горизон- тальная асимптота
266
Отметим, что кажущееся противоречие между положительностью
первой производной и монотонным убыванием функции при t< — 1
вызвано тем, что при изменении параметра t от —оо до —1 значе-
ния х изменяются от 0 до —1 /е (т. е. убывают). Кривая приведена
на рис. 54.
4.125. x=t2 — 2t, y = t2 + 2i, t£R.
4.126. x = t + e~t, y = 2t + e~2t, t£R.
4.127. x = acos3t, y = asin3t, t € [0. 2л).
4.128. x — t3 — Зл, у = t3 — 6 arctg/, / £ R.
Построить следующие кривые, заданные в полярной
системе координат:
4.129. r = asin3<p. 4.130. r = a(l+cos<p).
4.131. r = 4.132. г2 = 2a2 cos 2<p.
§ 5/ Векторные и комплексные функции
действительной переменной
1. Определение вектор-функции действительной переменной.
Если каждому значению действительной переменной t g £>czR, по-
ставлен в соответствие вектор а (/) £ то говорят, что на мно-
жестве D задана вектор-функция действительной переменной a — a(t).
Задание вектор-функции a — a(t) равносильно заданию трех
калярных функций ax(t), ау (/), az(t) — координат вектора а:
а = ах (/) /4- ау (/) j+az (t) k,
267
или, кратко, a = (ax(f), QzifVh Если вектор а является ра-
диус-вектором точки М (х, у, z), то соответствующую вектор-функ-
цию принято обозначать:
Г = Г (t) = X (/) /4- у (/) /4- г (/) k
Годографом вектор-функции г = г(/) называется линия, описы-
ваемая в пространстве концом вектора rt Всякую линию в прост-
ранстве мож’но рассматривать как годограф некоторого вектора. Па-
раметрические уравнения годографа:
Х = Х(/), i/= !/(/), z=z(O-
Пример 1. Найти годограф вектор-функции
1 _Ji
Имеем параметрические уравнения годографа
Г—Z? 2Z
^“14-Р’ Z~
Исключая параметр /, получим
Следовательно, годографом вектор-функции г (I) является
окружность
Х^+у^=^\} 2=1,
из которой исключена точка (-—1, 0, 1). При изменении /от —оо
до 4-оо точка М (х, у, г) на годографе движется от точки
(—1, 0, 1) против часовой стрелки (если наблюдать из точки, рас-
положенной выше плоскости z=l), при этом lim х = —1,
i
lim у = 0. ►
t -> ± *»
Найти годографы вектор-функции:
5.1. r = (2Z-!)/ + (—3/ + 2)/ + 4/й, Z£R.
5.2. r = Kl-f2Z + /l + /2/. > €[0, 1].
5.3, г — 4 eb t-i — / + 3sh t k, t £ R.
5.4. r = 3ti + (2t — t2} J, t£R.
5.5. r-cost-1+ sm t-J-4-tk, Z^R.
5.6. r = 2cos31 • i+ 2 sin3/•>, I £[0, 2лJ.
5.7. r^ti + Pj + t^k, Z(=R.
5.8. r = cos2 / •«+sin Z cosZ-jH-sin Z-A, ZC[O, 2л].
5.9. r==5cos/-i ф-4 sinZ-j+2^, /£[0, 2л].
5,10. r = (shZ — l)Z + ch2/-</+3£) Z£R.
268
2. Дифференцирование вектор-функции. Производной вектор-функ-
ции a—a(t) по аргументу t называется новая вектор-функция
+ и™ Нт
dt д/->о д/->о
Если a (t)~ (ах (/), ау (/), az(t}), то
da (dax (t) d^y (/) daz (t) \
dt \ dt 1 dt ’ dt /
Если r — r (t) — (x (/), у (0, z(0), то производная есть век-
тор, направленный по касательной *к годографу вектор-функции
г (t) в сторону возрастания аргумента t.
„ . dr
Если t—время, то — — v есть вектор скорости конца вектора г.
Правила дифференцирования вектор-функции
(а = а (/), b^b (0)-
d / , . . da , db
"di^^dt^-dt-
2) — (аа) — а -гр , где а—постоянный скаляр,
(Хр (Хр
de
3) — где с—постоянный вектор.
d , х do) , da ,
4) -77 (фа) ='Чт « + <р ~рр , гдеф = ф (/)—скалярная функция от
(Ху (Хр (Ху
_ d z fda - \ i / db\
5) d/a’b)=(dF-+ lit)-
d 1,1 lda Ji Fzr dbl
6) ^[a, + ^J.
7)
8)
da dq)
dq) ’ dt ’
где q) = q> (/)—скалярная функция от t.
если | a | — const.
5.11. Дано уравнение движения г~ 3ti — 4tj. Опреде-
лить траекторию и скорость движения.
5.12. Дано уравнение движения r = 3ti + (4t — tz)J.
Определить траекторию и скорость движения. Построить
векторы скорости для моментов t = 0, t=l9 t=^2, t = 30
5.13. Дано уравнение движения r = 2(/-—sin/)Z +
cos/)/. Определить траекторию и скорость дви-
жения. Построить векторы скорости для моментов
/ = л/2, t==n.
5.14. Найти единичный касательный вектор годографа
вектор-функции r=^e2ti~ (/ + 8)4/3/ при / = 0.
269
5.15. Найти единичный касательный вектор годографа
вектор-функции r = (t3 + t)i + t2j при / =— 1.
5.16. Найти производные вектор-функций:
а) г = sin t • i + cos21 -J + sin t cos t k;
6) r = t cos t • / +1 sin t •/+ tk;
в) r = (if + cos f) i + tj + sin t k.
5.17. Найти производные вектор-функций!
a) r = ezi + cosZ-У-|-(/2+ 1)й в точке (1, 1, 1);
б) r = Z8/ + (f4-l)V+/^+Ijfe при t = — 2.
5.18« Найти ^(а, 6), если
a = ti + t3j + tsk, b = i + tj+t2k.
5.19, Найти ~ [а, &], если а = i -f- tj+ t2k, b =*
— ti+J+i2k.
5.20, Найти если a = ui + u2J+u3k, где u = sin/.
3. Касательная к пространственной кривой и нормальная плос-
кость. Уравнение касательной к пространственной кривой x = x(t),
у-=-у(1)> z = z(t) в точке 7И0(х0, Уь> zo), которой соответствует зна-
чение параметра /0, имеет вид
x—Xq^ У—Уо z—z0
dx I dy I dz I *
dt |/=/0 dt |/=/0 d/1/ = /0
где x, у, z—текущие координаты точки касательной. Уравнение
нормальной плоскости в той же точке:
S L=/»+(Mc) S L=/o+(z-zo) it L,=°-
Пример 2. Доказать, что касательная к винтовой линии
г = (a cos f, a sin t, bt) образует постоянный угол с осью Oz.
Найдем вектор, касательный к годографу вектора г;
dr . , ,
= (—a sin t, acost, b).
Отсюда
z' (t) b
cos V—, , r---=>
t. e. y —const.
270
П р и м е'р 3. Написать уравнения касательной и нормальной
плоскости к кривой x — t2— 1, '# — / + 1, s = /3 в точке Л4о(О, 2, 1).
Данной точке соответствует значение параметра / = h Имеем
Подставляя значение / = 1, получаем
£1 =2, ^1 =1, *1 с3.
dt |/= 1 dt 1 dt |/= 1
Уравнение касательной:
х___у—2___z—1
Уравнение нормальной плоскости:
2 (х-0) +1.(г/—2) + 3 (z — 1) = 0,-
или
2x+^+3z—5 = 0. ►
Для каждой из следующих кривых написать уравне-
ние касательной и уравнение нормальной плоскости в
данной точке:
5.21. х = 4 sin2t, у = 4 sin t cos t, z = 2cos21 при /«=л/4.
5.22. x = 4-^2, = 2 = 4-^ ПРИ t~2.
5.23. x = ach/, z/ = ash/, z = at при t = 0.
5.24. x2 + i/2=10, z/24-z2 = 25 в точке Л40(1, 3, 4).
5.25. 2x2 + 3z/2 + z2 = 9, 3x24-z/2— z2 = 0 в точке
M0(l, -1, 2).
4. Вторая производная вектор-функции. Если
г = г (/) = (%(/), y(t), z(t)),
то
d2r d / dr \ / d2x d2y d2z \
di2 ~~dt \ ~dt ) ydt2' di*' di2)'
Если / — время, то —вектор ускорения конца вектора г.
Пусть кривая в плоскости Оху является годографом вектор-
функции Г = г (s) = (x (s), у (s)), где s—длина дуги кривой.
Кривизной кривой в точке 7И0 называется число
lim
M-^MQ
As
271
где <р—угол поворота касательной,
соответствующий дуге (рис. 55)
данной кривой, a As—длина этой ду-
ги. Величина R=-~\/K называется
радиусом* кривизны.
Кривизна К определяется соотно-
шением
d*r
ds*
Формулы для вычисления кривизны: 1) если кривая задана
уравнением в явной форме y — f(x), то
/<==|(1+/2)3/?|;
1
2) если кривая задана уравнением в неявной форме Л) F (х, у) —
== 0, то
Р XX Р ху Рх
Р*У Руу Ру
Рх Fy о
(Fx2+ Fy2)3/2
3) если кривая задана параметрическими уравнениями х = х(/),
y ^y(t), то
К =
|х' У'\
\х" у"\
(х'2+ #'2)3/2
4) если кривая задана в полярных координатах уравнением
•* = г(ф), то
|г2 + 2г'2 —гг"|
Л I (г2-4-г'2)3/2 I’
Окружностью кривизны (соприкасающейся окружностью) кривой
в ее точке М называется предельное положение окружности, прове-
денной через точку М и две другие точки кривой Р и Q, когда
Р — -> М и Q —> М.
Радиус окружности кривизны равен радиусу кривизны, а центр
окружности кривизны (центр кривизны), соответствующей точке 714,
находится на нормали к кривой, проведенной в точке М в сторону
вогнутости кривой.
Координаты X и Y центра кривизны равны
v г /0+/2)
7
У=уР-±У1
*) Здесь используются частные производные
ременных; определение см. в п. 3 § 1 гл. 7.
функции двух пе-
272
I
Эволютой кривой называется линия, описываемая центром кри-
визны при движении точки по кривой'. Формулы для координат
центра кривизны определяют параметрические уравнения эволюты.
Пример 4. Найти уравнение эволюты параболы #?=2 (х-[-1).
Имеем 2уу'—2, т. е. у'==—. После повторного дифференцировав
у'2 1
ния получаем у'?-\-уу" = О, откуда у"=-------=-----~ Находим ко-
У У
ординаты центра кривизны:
тем самым найдены параметрические уравнения эволюты:
Исключив параметр у, найдем уравнение эволюты в виде
г?=Ахз. >
5.26. Найти вторые производные вектор-функций:
a) r = cost-i + etJ+(<t2+ 1)k,
б) r = ti + tcost-j+tsint-k
при произвольном t и при t = 0.
5.27. Дано уравнение движения: r = 2(/-—sin/)Z4-
4-2(1—cos/) j. Определить ускорение движения. По-
строить вектору ускорения для моментов / = эт/2, t = n.
5.28* . Дано уравнение движения: г = 3/Z + (4/ — t2)j\
Определить ускорение w движения и его тангенциальную
wx и нормальную wn составляющие в любой момент t и
при / = 0.
5.29. Дано уравнение движения: r=^l2t2i-\-
4- х/3 (2/4-1)3/2/. Определить ускорение движения и его
тангенциальную и нормальную составляющие в любой
момент t и при / = 0.
Вычислить кривизну данной кривой:
5.30. у = х2 в начале координат и в точке Л4(1, 1).
5.31. %24-9#2 = 9 в вершинах эллипса А (3, 0) и В (0, 1).
5.32. х2 — хуу2 = 1 в точке 214(1, 1).
5.33. x = t2, y^t—1/^ при /=1.
6.34. У = в точке Л4(72, х/3).
273
5.35. г = я (1—cos ср) в любой точке и при <p = n.
5.36. r2 = a2sin2cp при ф = л/4.
Найти радиусы кривизны (в любой точке) данных
кривых:
5.37. y=Vx. 5.38. 4—$=1.
j v а* о1 2,
5.39. х2/3 + у2/3 = я2/3. 5.40. % = acos/, y-fesin/.
5.41. x = a(t — sin/), r/ = a(l—cos/).
5.42. r2 — a2 cos 2ф. 5.43. r = шр.
5.44* . Вершиной кривой называется такая ее точка,
в которой кривизна имеет максимум или минимум. Найти
вершину кривой у = е~х.
5.45. Найти вершину кривой у = 1пх.
Вычислить координаты центров кривизны и написать
уравнения окружностей кривизны данных кривых в ука-
занных точках:
5.46. и = —- в точке М (0, а).
“ а24-х? v ’ '
5.47. у = е~х2 в точке М (0, 1).
5.48. у = хех в точке М (—1, —1/е).
5.49. «/ = sinx в точке М (л/2, 1).
5.50. x = a(t— sin t), y = a(l — cost) в точке M(ла, 2а).
Найти эволюты кривых:
5.51. у — х2. 5.52. х2 —z/2 = a2. 5.53. х2/3+ г/2/3 = а2/3.
5.54. х = a In —У а2 —у2.
5.55. x = 2t, y==t2 — 2.
5. Дифференциальные характеристики пространственных кри-
вых. Во всякой неособой точке М (х, I/, г) пространственной кривой
г = г(/) можно построить три взаимно перпендикулярных вектора:
dr
Т=-^ (направляющий вектор касательной),
В=
N— В, Г] (направляющий вектор главной нормали)
или соответствующие им основные единичные векторы:
1-\Т\ ’ р-\в\ ’ v-|JVl’
которые можно вычислить также по формулам:
dr
dt 3
d2/*l
2^2" (направляющий вектор бинормали),
1-
Трехгранник с вершиной в точке 7И0, ребрами которого служат каса-
тельная, главная нормаль и бинормаль, называегся естественным
274
трехгранником (триэдром) пространственной кривой. Гранями его
являются плоскости: соприкасающаяся (проходит через векторы TnN),
нормальная (проходит через векторы N и В), спрямляющая (проходит
через векторы В и Т).
Уравнения главной нормали имеют вид
х—Хр _ у~у0 _г—z0
Кх Ку Kz ’
где х, у, г—текущие координаты точки главной нормали, Nx, N
Nz—координаты вектора N.
Уравнения бинормали:
x—xG у—Уо = z-—Zq
Вх By Bz
Уравнение соприкасающейся плоскости:
(х—х0) + Ву (у—ур) + Bz (г—z0) = 0„
Уравнение спрямляющей плоскости:
Nx (х—х0) + Ny (y—y0)+Nz (г—z0)=0.
Пример 5. Найти основные единичные векторы т, v и р
кривой х — 1 — sin/, # = cos /, г — t в точке Л4, которой соответствует
значение параметра / = 0. Написать уравнения касательной, главной
нормали и бинормали в этой точке.
<] Имеем
г = (1—sin/) cos
— cos t-i—sin
—-=sin t-i—cos /•/,
dt*
При t = 0 получим
7-—==-/-!-* —
1 — dt t+K’ dt2.
i j k
—1 0 1
0—10
N==[B,
ij k
1 0 1
-1 0 1
Следовательно,
— i+k
T- K2
v=_y,
Так как при / = 0 имеем х = 1, £/= 1, z —0, тох
х—\__у—1
0
— уравнения касательной^
Z
т
~—уравнения главной нормали;
X—1 у—1 Z
———уравнения бинормали. |>
Если пространственная кривая задана как пересечение двух
поверхностей
( F (х, у, г) = 0,
I G(x, у, z) = 0,
л dr d2ri
то удобнее вместо векторов и рассматривать векторы
dr^(dx, dy, dz) и d2r = (d2x, d2y, d2z), причем можно считать одну
из переменных х, у, z независимой и ее второй дифференциал рав-
ным нулю.
Пр и мер 6. Написать уравнения соприкасающейся, нормальной
и спрямляющей плоскостей кривой
Г x2 + £/2+z2 = 6,
I х2-—r/24-z2 = 4
в ее точке М (1, 1, 2).
Дифференцируя данные уравнения и считая х независимой пере-
менной , получим:
xdx-\-y dy-\-zdz = 0,
xdx—ydy+zdz — 0
a
dx?+dy2+у d2y -|- dz2 4- z d2z — 0*
dx%—dy2—у d2y-{- dz2 4- z d2z = 0,
При №l, y — lj 2=2 имеем:
d#=0, dz =—i-dx,
d2«/=0, d2z = -4dx2-
О
Следовательно,
dxt 0,
-1^
Заменим эти векторы
(0, 0, —1), откуда
векторами, им коллинеарными (2, 0, —1) и
В =
Г=(2, 0,
ij
2 0
0 0
k
— 1
—Г
N=
-1).
i J
0
2
k
0 =2(-Z—2k),
— 1
2
0
Отсюда находим:
у—1=0—уравнение соприкасающейся плоскости;
2х—z = 0—уравнение нормальной плоскости;
х-}-22—5 = 0 — уравнение спрямляющей плоскости.
Найти основные единичные векторы т, v, Р и соста-
вить уравнения касательной, главной нормали и бинор-
мали данных кривых:
5.56 ' ~
5.57. x=Z —sin/, 1 —cosZ, z = 4sin-^- при / = л.
5.38
5.59
х = е*, у = z~t при / = 0.
. . t
х = 2/, i/ = lnZ, г — /2 при /=1.
у = х, г = 2х2 в точке х=1.
5.60. Написать уравнения плоскостей, образующих
естественный трехгранник кривой х = /2 + 1, у = cos /,
z = в точке (1, 1, 1)
5.61. Написать уравнения плоскостей, образующих -
естественный трехгранник кривой х = //И2, y = tlV2,
г—In sin/ при / = л/2
5.62. Найти векторы т, v, р и написать уравнения
всех ребер и плоскостей, образующих естественный трех-
гранник кривой х = (/+1)2, z=K/2+l в точке
(1, 0, I).
5.63. Найти векторы т, v, р и написать уравнения
всех ребер и плоскостей, образующих естественный трех-
( x2 + i/2 + a2=14,
гранник кривой < 9 __9 в точке (1, 2, 3).
Кривизна пространственной кривой определяется аналогично
кривизне плоской кривой. Если кривая задана уравнением г = г($),то
d2r I
ds2 Г
«4
В случае общего параметрического задания кривой имеем
ar 1 I
ИГ ’
K=i
13
Кручением (второй кривизной) просфанственной кривой в точ-
ке М называется число
I г 0
— = 1Ш1 --- ,
Р N — М
где 0 — угол поворота бинормали, соответствующий дуге МАГ. Вели-
чина р называется радиусом кручения или радиусом второй кривизны.
211
Если r = r(s), то
dr d2r d?r
-p I dp I _ ds ds2 * ds3
I ds j j d2r |2
I j
. dB
где знак минус берется в том случае, когда векторы и V имеют
одинаковое направление, и знак плюс — в противоположном случае.
Если r = r(Z), где t—произвольный параметр, то
dr d2r d3r
dt * dt2 ’ ~dF
Пример 7. Найти кривизну и кручение кривой х=е* cos t>
y~ets\nt, z — et в любой точке.
Имеем
г = (е* cos/, г* sin Z, г*),
— = (е* (cos t—sin Z), г* (sin Z + cos Z), г*),
-^-=(—2et sin/, 2г* cos/, г*),
d3r
_-^-=:(—2г* (sin Z + cos Z), 2г* (cos/—sin/), г*).
Отсюда
dr
dt ’
d2r 1
dt2 J
i j k
г* (cos t — sin t) e* (sin Z + cos /) г*
—2г* sin t 2г* cos t
=г2*(зш/—cos/, —(sin Z+cos/), 2),
dr d2r d3r
~dt' 'dt2 dt3
ei (cos t—sin t)
—2el sin /
—2г* (sin /-}-cos t)
e* (sin Z + cos t) г*
2г* cos t e*
2et (cos t — sin /) г*
= 2г3*э
Следовательно,
e2t ]/"(sin t — cos Z)2 + (sm t Ц-cos /)2 + 4 У~2 +
------- ——. £ ~ ,
г3* |/\(sin/ — cos £)2 + (sin Z + cos/)2+1)3 3
2г3* г~*
c —------------------------------------------— ___
г4* ((sin t — cos Z)2 + (sin Z + cos Z)2+ 4) 3
Вычислить кривизну и кручение кривых:
5.64. х = е*, z/ = e~*, г = /рЛ2 в любой точке и при
/-0.
5.65. x = у = /2, z~t* в любой точке и при / = 0.
к
5.66. х = 3/— /3, у — З/2, г = 3£ + /3, в любой точке
и при t = 1.
5.67. х = 2/, х/ = In /, z = /2 в любой точке и при /= 1.
у2 л'З
5.68. y——t z = ~ ПРИ х=1.
5.69. 2х = г/2, z = x2 в любой точке и при z/=l.
2
5.70* . Дано уравнение движения r = ti + t2j-\- — t3k.
Определить ускорение w движения, тангенциальную wx
и нормальную wv составляющие ускорения в любой мо-
мент t и при t= 1.
6. Комплексные функции действительной переменной. Если каж-
дому значению действительной переменной t £ D GZ R поставлено
в соотвеютвие определенное’ комплексное число z = то z (/)
называется комплексной функцией действительной переменной I
с областью определения D:
z = z(t}==x(t) + iy(t).
Задание комплексной функции z = z(t) равносильно заданию двух
действительных функций x = x(f), y = y(t), или заданию вектор-
функции r(/) = (x(Z), y(t)).
Производной комплексной функции z{t) называется комплексная
функция z'(/) = lim А/) + (/). На комплексные
ы -> о
функции действительной переменной распространяются обычные
правила дифференцирования (см. п. 1 § 1).
Пример 8. Найти кривую, определяемую функцией z = /2-|-*7,
/ g (— оо, + ©о), и производную этой функции.
О Если 2 = %+ф, то х---/2, y — t, Искомая кривая является парабо-
лой у2 — х. Находим производную данной функции z'=^2t-\~i.
Построить кривые, заданные уравнениями z = z(t),
и найти z (/):
5.71* . z=l-i + /e‘“, /£(—оо, -j-оо),
5.72. z=2e'\ t € [0, л].
5.73. z = 3e« + e-'\ оо, 4-00).
5.74. z = (2 + i)et + (2-i)e-t, /€(—00, +00).
5.75. z = Z2 + i/4, /£(—+°°)-
5.76. z-=t + i — ie~H, t € [0, 2л].
5.77. z^aelt(\ —it), /£(—oo, +oo).
5.78. 2 = e(a+^)Z, a, P£R, +oo).
5.79* . Известно, что z = z(t) определяет закон дви-
жения точки на плоскости. Найти компоненты скорости
и ускорения по направлению касательной к кривой
г = г(/) и перпендикулярному к нему,.
27f
1
5.80* . Точка z пробегает окружность | z | = 7? с посто-
янной угловой скоростью, равной единице. Найти вектор
скорости точки w, движущейся вместе с г по закону
§ 6. Численные методы функции одной переменной
1. Численное решение уравнений. Корень g £ (а, Ь) уравнения
f(x) = O изолирован на отрезке [а, Ь], если на этом отрезке не со-
держится других корней указанного уравнения. Отрезок [а,
называется отрезком изоляции корня.
Метод хорд. Пусть на отрезке [а, Ь] изоляции корня урав-
нения /(х)=0 выполняются условия:
а) функции f(x), f (х) и f" (х) непрерывны;
б) /(«)•/(*)< 0; г//
в) функции /' (х) и f (х) не изменяют своего знака.
Определим числа хп (п~ 1, 2, 3, ...) равенствами
a)f(Xn-i)
(&—Xn-Jf (Хо!)
x0 = b, если f(a)-f(xl) < 0,
x0=a, если (xx) 0.
Тогда последовательность сходится к корню g при
п —> оо, и для всех натуральных п выполняются неравенства
I хп £ I
ш*п)\
—zz—1
М —/72. I
хп ъ [ ~ | Хп Хп -if,
где min |/'(х)| и М = max I/'(*)[•
х < b а < х < b
Пример 1. Найти корни уравнения
x-arctg х— 1 — О
методом хорд с точностью до 0,0001.
Построив графики функций £/ = arctgx и у = \/х, по расположе-
нию точек пересечения заключаем, что указанное уравнение имеет
два корня gx и g2, р-авных по абсолютной величине и различных
по знаку. Найдем положительный корень gx, выбрав отрезком изо-
ляции этого корня отрезок [1, з]. Для функции Дх) = x-arctg х—1
имеем
f'W = arctgx+--^> =
И
—Л ==—0,2146019-0,8137992 < 0,
К 3 )
/(!)•/(/3) = (т-.1) (
280
Поэтому условия а), б) и в) выполняются. Так как f" (х) > 0 при
*€[1, Уз], то т f' (%) М, где
«=/' (l)=-J+y= 1,2853981,
M = f (Кз) = у+-^=1,4802102,
и —==0,1515577. Чтобы определить знак произведения f (l)*f(Xi),
найдем Xi. Поскольку
Хх = 1 - * =1,1527608,
НК 3)—/(1)
числа хп следует вычислять по формуле
" "-1 /(Кз)-/(хп_х) ‘
Сведем вычисления в таблицу:
п ХП-1 f (ХП-1) — (хп — хп — j) Хп М-т 1 —— (хп-хп_1)
1 1 —0,2146019 —0,1527608 1,1527608 0,023152
2 1,1527608 —0,0129601 —0,0090807 1,1618415 0,0013762
3 1,1618415 —0,0006758 —0,000473 4,1623145 0,0000716
Последний столбец определяет предельную абсолютную погрешность Ч.
Таким образом, gi= 1,1623 ± 0,0001 и g2 = —1,1623 ± 0,0001. >
Метод касательных. Пусть на отрезке [а, 6] изоляции
корня £ уравнения /(%)—0 выполняются указанные выше условия
а), б) и в) и числа хп (п=1, 2, 3, ...) определяются равенством
Хп — хп — 1
Г fe-i)
причем
। а, если
х0=< Ь, если
I с, если
/(а)-/(с)>0,
/(с)=0,
где
(»-
/(&)—/(«)
J) Здесь и во всех приведенных далее расчетных задачах проме-
жуточные вычисления проводятся с таким числом десятичных знаков,
которое обеспечивается используемой ЭВМ, •
281
Тогда последовательность (*n)n€^| сходится к корню £ при п—> оо,
и для всех натуральных п выполняются неравенства
|ХП—и <' ^п)|' И |х„ ——Xn-i)2,
//t £тп,
где
т— min [ f' (х) |, Мг = max |/"(х)],
а< х < Ъ а < х < &
Пример 2. Найти положительный корень уравнения
x»arctgx—1—0 методом касательных с точностью до 0,0001.
Как и в предыдущем примере, отрезком изоляции является отре-
зок [1. Гз]. Поскольку для функции f (х) = x*arctgx—1 имеем
с*=1—(3 j V (1) ,~i 1527608 > 0, то числа хп вычисляем по
формуле
*о=КЗ.
Функции f' (х), /" (х) и значение т= 1,2853981 найдены в примере 1,
4х
Далее, Mi = /" (1) = 0,25, потому что f'" (х) = — 7——— < 0 на от-
(1 -f-x )
резке изоляции. Наконец, -^--=0,0972461.
Результаты вычислений сведем в таблицу:
п ХП-1 f Г Un-i) ~(Xn ——1) Хп
1 1,7320508 0,8137992 1,4802102 0,5497862 1,1822646 0,0534645
2 1,1822646 0,0270628 1,3617976 0,0198728 1,1623918 0,0000384
Следовательно, корень уравнения g = 1,16239 ± 0,00004.
Убедиться в том, что уравнения не имеют действи-
тельных корней:
6.1. 2х — х — 1/2 = 0. 6.2. х2 —arctg %+1 = 0.
6.3. (х2 + 2х + 2)2 = 0. 6.4. ]/2х — 1+1g 1=о.
6.5. х4 —х2+1 = 0.
6.6* *. Корень £ уравнения f(x) = O изолирован на
отрезке [a, fe], функция f (х) непрерывна и < 0.
Составить на фортране подпрограмму уменьшения отрезка
изоляции в 2" раз, используя последовательное деление
отрезка пополам. Параметрами выбрать величины F, А,
В, N, где F — идентификатор подпрограммы-функции для
282
вычисления значений функции f(x), А и В —концы ис-
^одцого отрезка изоляции до вычислений и -концы
Полученного отрезка изоляции после вычислений, N —
показатель степени в выражении 2П, характеризующем
уменьшение, отрезка изоляции.
6.7. Решить уравнение %3 4-х2 —3 = 0 комбинирован-
ным методом, применяя метод хорд и метод касательных
и сравнивая результаты.
Построив графики функций у — х3 и у~3—х2, приходим к выводу,
что указанное уравнение имеет один действительный корень g на
отрезке [1, 2]. Уменьшим отрезок изоляции в 4 раза, используя
метод половинного деления. Для /(х)=х34~х2—3 имеем f (1) =—1 < О
21
и /(2) = 9 > 0. Найдем /(1,5)=-^- > 0, поэтому более узким отрезком
I °
изоляции является отрезок [1, 1,5]. Найдя f (1,25) = 0,515625 > 0,
получим отрезок [1, 1,25]. Так как
с = 1 — (.9. — 1 1649484 > 0
/(1,25)—/(1) 1’1МУ4В4>и-
то, применяя метод хорд, необходимо использовать формулу
— хп _ j
__(1 >25 _ i) / (хп _ j)
/ (1,25)—/
(n=l, 2, 3, ...),
а, применяя метод касательных,—формулу
хп=хп^-^=^~ (п=1, 2, 3, ...)( х“о=1.25.
Г Un-i)
Результаты вычислений сведем в две таблицы:
а) для метода хорд:
п *П-1 f (Xn-i) — (хп — Хп_ 1) хп
1 1 — 1 —0,1649484 1,1649484
2 1,1649484 —0,0619384 —0,0091209 1,1740693
3 1,1740693 —0,0031786 —0,0004651 1,1745344
б) для метода касательных:
п *72-1 Г Un-t) —j)
1 1,25 0,515625 7,1875 0,0717391 1,1782609
2 1,1782609 0,0240767 6,5214179 0,0036919 1,1745690
283
При вычислении методом хорд получили возрастающую последо-
вательность (х„) приближений корня g:
1 < 1,1649484 < 1,1740698 < 1,1745344 <...<£,
а при вычислении методом касательных—убывающую последователь-
ность (хп):
?<...< 1,1745690 < 1,1782609 < 1,25.
Совпадающие десятичные знаки членов обеих последовательностей
являются точными для корня Н. По заданной предельной абсолютной
погрешности е значение га, при котором достигается необходимая
точность, находится из неравенства
I Хп *п I < е»
при этом 1 — ^-Цсп + хп) ±е. Таким образом,
1,17455 ± 0,00003. >
Вычислить одним из указанных методов'с точностью
до 0,0001 действительные корни уравнений: а) методом
хорд, б) методом касательных, в) комбинированным ме-
. тодом:
6.8. х84-2х — 8 = 0.
6.10. х4—Зх24-4х—1=0.
6,12. x8 —Зх24-х—1 = 0.
6.14. х8 —5х+ 1=0.
6.16. (х4-1)8 —х = 0.
6.18. х1 —4х+1 = 0
6.20. х=р/5—х.
6.22, х84-60х—80 = 0.
6.24. х= 101g х.
6.26. х2 = — 1пх.
6.28. 4х=2*.
6.30, x4-sinx—1 = 0.
6.32. x2 = cosx.
6,34. lnx = arctgx.
6.36. x2-arctgx—1 =0.
6.9. x34-х4-1 = 0.
6.11. x3 4- 2x — 30 = 0.
6.13. x« — 2x —5 = 0.
6.15, 2xs-5x24-7x —2 = 0.
6.17. x4 —2x —2 = 0,
6.19. xS4-x4-l = 0.
6.21, x = 24- /x.
6.23. xi— x—2 = 0.
6.25. x = 2 — Igx.
6.27. x2 = ln(x4- 1).
6.29. x2 = e*4-2.
6.31. x — cosx = 0.
6.33. x = arctgj/x.
6,35, x24-Inx—4 = 0.
6.37. Составить на фортране программу решения сле-
дующей задачи: найти методом хорд корни уравнения
е*'2—х = 0 с точностью до 0,0001.
О Программу следует представить как совокупность трех програм-
мных единиц: основной программы, подпрограммы-функции нахожде-
ния корня уравнения / (х)=0 методом хорд на отрезке изоляции
284
корня [а, 6], подпрограммы-функции вычисления значений функ-
ции/^).
Под про грамм а-функция вычисления значений функции:
FUNCTION F(X)
F = EXP(X—2.) —X
RETURN
END
Подпрограмма-функция нахождения корня методом хорд. Пара-
метры: F, А, В, S, EPS, F—имя подпрограммы-функции вычисления
значений функции f (х), А и В—концы отрезка изоляции корня,
S—наименьшее значение | f' (х) | на отрезке изоляции, EPS—пре-
дельная абсолютная погрешность.
FUNCTION CHORD(F, А, В, S, EPS)
FA = F(A)
FB = F(B)
X = А—(В — А) * FA/(FB — FA)
FX = F(X)
IF(FA * FX.GT.O) GO TO 2
1 X = X —(X—A) * FX/(FX —FA)
FX = F(X)
IF(FX/S.GT.EPS) GO TO 1
CHORD = X
RETURN
2 X = X — (В —X) * FX/(FB —FX)
FX = F(X)
IF(FX/S.GT.EPS) GO TO 2
CHORD = X
RETURN
END
Операторы FA = F(A), FB=F(B) и FX = F(X) используются
в указанной подпрограмме для того, чтобы избежать лишних вычисле-
ний значений функции / (х); при исполнении программы запись F(X)
влечет обращение к подпрограмме-функции и вычисление соответст-
вующего значения этой функции.
Основная программа. Анализируя поведение функции f (х)=ех~ 2—х
и ее производной f (х) — ех~2— I, заключаем, что уравнение ех~2—х=0
имеет два корня на отрезках [0, 0,3] и [3, 3,2]. Поскольку f" (х) =
= ах“2>0, то /' (х) возрастает, и выполняются неравенства
—0,864665 = а“2—-1 </' (х) а “х,7 — 1 =-—0,817316 для х£[0, 0,3],
1,718281 —е—1 (х) а1’2—1 =2,320116 для х£[3, 3,2]. Поэтому
I/' (x) I > 0,8173 в первом случае и | f' (х) | > 1,7182 во втором. Эти
числа вместе с концами отрезков изоляции и заданной предельной
абсолютной погрешностью определяют значения параметров, т. е., как
говорят, являются фактическими параметрами для подпрограммы
CHORD. Основная программа имеет вид:
EXTERNAL F
ROOT1 =CHORD(F,0.0,0.3,0.8173,0.0001) •
285
ROOT2 = CHORD (F,3. ,3.2,1.7182,0.0001)
WRITE (3,1) ROOT1, ROOT2
1 FORMAT (' КОРНИ УРАВНЕНИЯ',Р6.4', и ',F6.4)
STOP
END ►
Составить на фортране подпрограммы-функции для на-
хождения указанным методом корня уравнения f(x) = O
на отрезке изоляции [а, Ь]. Параметры: F, А, В, S, EPS;
F—имя подпрограммы-функции вычисления значений функ-
ции f(x), А и В —концы отрезка изоляции корня, S —па-
раметр, определенный ниже, EPS —предельная абсолютная
погрешность. Параметр FD — имя подпрограммы-функции
вычисления f' (%).
6.38. Метод хорд. Параметры: F, А, В, S, EPS, S=-~-^-ff ,
где М == max | (х) | и m = min|/'(х)| для Ь].
6.39, Метод касательных. Параметры: F, FD, А, В, S,
EPS, s = где = maxIWI и m=min |f (х)| для
Ь].
6.40. Комбинированный метод. Параметры: F, FD, А,
В, EPS.
6.41. Для уравнения f (х) = 0 одной из задач 6.8 — 6.36
составить на фортране подпрограмму-функцию вычисления
значений функции /(%).
Составить на фортране программы решения одной из
задач 6.8 — 6.36 указанным методом:
6.42. Метод хорд. Использовать решения задач 6.38
и 6.41.
6.43. Метод касательных. Использовать решения задач
6.39 и 6.41.
6.44. Комбинированный метод. Использовать решения
задач 6.40 и 6.41.
2. Интерполирование функций. Пусть функция y_f(x) в уз-
лах интерполяции xk£[a, 6], & = 0, 1,..., п, принимает значения
f(xk) = yki тогда разделенные разности определяются равенствами:
, ч Ук— Ук + 1
&У (xk> Y >
хк—хк+1
А , v х &У(хк> ^ + 1) — *fc + 2)
Ay(xft, xA + 1, xk+2) =--------------------,
xk xk + 2
&У (xk> xk + i> •••> xk + i-i> xk + i) —
__ &У (Xk> Xk + 1’ - • • > Xk + l-l) &У (Xfr-ц, . . . , + р
~ Xk—Xf^l
286
а интерполяционный полином функции f (х) на отрезке [л, 6] имеет
вид
п
Рп (*) =Уо+ У (х—х0) (х —Хх) . . . (X—Xk-T.) Sy (Хо, Xi, ..xky, (1)
*=1
при этом в случае существования непрерывной производной (х)
на b] выполняется неравенство
п
XX (я—х^) f
/е=0
(2)
где
^л+1= max | (х) |.
а < х < b
Пример 3. Найти 2 с точностью до 0,0001, построив для
функции f (х)= У' х интерполяционной полином на отрезке [1,69, 2,251.
*4 Выберем п = 2 и узлы интерполяции х0 = 1,69, Xj = l,96, х2 = 2,25.
15 — 7/2
Оценим точность по формуле (2). Так как /<IV)(X) =—___х < о,
функция fHt (х) — — х” 5/2 убывает на отрезке 7 = [ 1,69, 2,25]; поэтому
о
Q 1
М3 = max f” (х) =/'" (1,69)« 4 . q- = 0,1009984.
х€/ о (1 ,ОУГ* 1 ,<3
Тогда для разности г2(х)=/(х)—р2 (х) получим неравенство
|г4 (х) I < 1 (х-1,69) (х-1,96) (х—2,25) |,
О!
откуда следует выполнение неравенства
0 1009984
| г2 (х) | < 0,31 *0,04-0,25=0,0000521
и достижение заданной точности.
Найдем коэффициенты интерполяционного полинома, вычислив
разделенные разности и поместив результаты вычислений в таблицу:
k xk Ук дг/ (xft, xk+d (хk’ xk+i’ xk + d
0 1,69 1,3 1,3—1,4 =0,3703703 =0,3448275 0,3703703 — 0,3448275
1 1,96 1,4 1,69—1,96 1,4 —1,5 1,69—2,25 = — 0,0456121
2 2,25 1,5 1,96—2,25”“
287
Полином имеет вид
р2 (х) = 1,3 + 0,3703703 (х— 1,69)—0,0456121 (х— 1,69) (х—1,96),
р2 (2) = 1,3+0,3703703-0,31 —0,0456121 -0,31 -0,04 =
= 1,3+0,1148147—0,0005655 = 1,4142492,
Отсюда
VI. = 1,4142 ± 0,6601. >
Конечные разности Akyi (Z? = l, 2,...; / = 0, 1, 2, ч..)ойре-
деляются равенствами:
Д1^- =Д^ = ^+1—Уь
&2У1 =Дг// + 1—ЛУь
^ky. ^k- iy.+1—д/г - iy
Для равноотстоящих узлов xk=xQ-}~kh (6 = 0, I, п) с шагом
интерполяции h > 0 интерполяционный полином (1) приобретает вид
п
k =0
, X — Хц j. ,
где t——— и Длг/0—конечные разности £-го порядка, а неравен-
ство (2) —вид
,, п
\fw-Pn wK-^ij »4 П> -*)
(4)
Пример 4. Функция y = f (х) задана таблицей
X 1,о 1,1 1,2 1,3
У 2,7854 2,8330 2,8761 2,9151
Определить, каким аналитическим выражением можно представить
указанную функцию на отрезке [1, 1,3] и вычислить f (1,15).
Аналитическое выражение, позволяющее вычислить значения функ-
ции f (х), не данные в таблице, будем искать в виде полинома, зна-
чения которого совпадают с заданными значениями функции, т. е.
в виде полинома р3 (х), удовлетворяющего соотношениям р3 (xk) =
= /(х^) при /г = 0, 1, 2, 3. Единственным полиномом с такими свойст-
вами является интерполяционный полином р3 (х), определяемый
равенством (3). Найдем конечные разности, сведя вычисления в сле-
дующую таблицу:
288
k хк Д’"Л
0 1 2 3 1 1,1 1,2 1,3 2,7854 2,8330 2,8761 2,9151 0,0476 0,0431 0,0390 —0,0045 —0,0041 0,0004
Применяя формулу (3) при Л = 0,1, и = 3 и х0 = 1, получим
р3 (х) = 2,78544-0,476 (х—1) — 0,225 (х—1) (х—1,1)+
+ 0,0666 (х—1)(х—1,1)(х—1,2).
Тогда
р3 (1,15) = 2,7854 + 0,476-0,15 — 0,225-0,15-0,05+
+ 0,0666-0,15-0,05 (—0,05)==2,7854+0,0714—0,0017+0,0000=2,8551.
Для вычисления /(1,15) заметим, что / (1,15) =р3(1,15), и предель-
ной абсолютной погрешностью равенства / (х) = рп(х), если произ-
водная /(л+1)(х) неизвестна, считается модуль последнего из слагае-
мых, входящих в сумму (3). Поэтому / (1,15) = 2,8551. ►
6.45 *Л Доказать равенство
k
&кУ1 - 2 cvk(-iyyk+i-v
v=0
где Q = __11—г, 0! =Ь
й v! (k—v)! ’
6,46 *. Доказать равенство^
k
by(xit ...» ха) = 2,+—,
^-\Wk (Xv)
k
где (x — x{).
1=1
6.47 < Для функции f(x) = cos^-x построить интер-
поляционный полином, выбрав узлы х0 = 0, хх=; 1, х2 = 2,
х3 = 3. Найти cos-—- и оценить точность.
6.48 . Для функции f(x)=lnx построить интерполя-
ционный полином, выбрав узлы х0 = 9, Xj—10, х2=12,
х3=15 и используя значения In 2=0,693147, In 3=1,098613
и In 5 = 1,609438. Найти In 11 и оценить точность.
10 Под ред. А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича
289
Функция у — f (х) задана таблицей. Найти значения
этой функции при указанных, не входящих в таблицу
значениях хх и х2 аргумента х.
6.49 .
X | 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7
У | 1,042 1,061 1,087 Xj = 1,26, Х2 = 1,58. 6.50. 1,119 1,160 1,212 1,274 1,350
X | 1,8 1,9' 2:,О 2,1 2,2’ 2.3 2,4 2,5
У | 1,958 2,107 2,268 Xj= 1,89, х2 = 2,43. 6.51. 2,443 2,632 2,841 3,071 3,324
X | 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 1,05 1,10
У 1 0,742 0,789 0,835 Xf=0,83, Х2 —0,97. 6.52. 0,880 0,,924 0,967 1,008 1,046
X 11,70 1.75 1,80 1,85 1,90 1,95 2,00 2,05
У ]1,2322 1,2097 1,1789 1,1389 1,0888 1,0281 0,9558 0,8713 Xi=l,74, х2=1,97. 6.53.
X |2,70 2,75 2,80 2,86 2.90- 2,95 3,00 3,05
У |1,5827 1,4865 1,3721 1,2383 1,0838 0,9071 0,7069 0,4817 Xj = 2,72, х2=2,93. 6.54,
X | 10 15 20 25 30 35 40 45
У' 1 0,985 0,966 0,940 Х± — 23, Х2= 41. 6.55. 0,906 0,866 0,819 0,766 0,707
X | 1,1. 1,6 2,1 2,6 3,1 3,6 4,1 4,6
У | 1,029 1,389 1,649 1,800 1,85г 1,822 1,739 1,632
Xi = 1,3. х, = 4,0.
290
6.56.
X 0,13 0,18 0,23 0,28 0,33 0,38 0,43 0,48
V , х 6 .0,1296 0,1790 f=0,20, Х2 = .57. 0,2280 0,41. 0,2764 0,3242 0,3712 0,4173 0,4626
X |1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1»7 1,8
у |о,1198 0,0897 Х( =z= 1 ,25, Xg —* 6.58. 0,0660 1,76. 0,0477 0,0339 0,0236 0,0162 0,0109
X 1 50 55 । 60 65 70 7: 5 80 88
у | 0,285 0,319 0,223 0,042 —0,148 —0,273 —0,283 —0,178
Xf==58, x2**79.
6,59, Вычислить значения интегрального синуса Si (х)«®
*
при х«0,26 и при ^»а,0,4б, используя таб-
лицу его значений:
х |0,17 0,22 0,27 0,32 0,37 0,42 0,47 0,52
81 (х)10,16973 0,21941 0,26891 0,31819 0,36720 0,415910,46427 0,'5122Й
6,60, Вычислить значения интеграла вероятностей
X
[e-^dt при х««0,27 и при я *«0,58, исполь-
у л- 0
зуя таблицу его значений:
х 10,05 0,15 0,25 0,35 0,45 0,55 0,65 0,75
Ф (х) 10,05637 0,168000,276330,37938 0,47548 0,56332 0,64203 0,71116
6,61« Применяя интерполирование, решить уравнение
—1^0.
На отрезке Z — [1,6, 1,9] изоляции корня для функции у~х In х—I
имеем:
X | 1,6 1,7 1,8 1,9
У 1—0,2479952 —0,0979324 0,0580148 0,2195226
Функция {/==xlnx—1 на отрезке I возрастает, поскольку у'
«±= In %+1 > 0 при x£It Следовательно, существует обратная функ-
ция x»=<p(^), для которой, считая теперь у аргументом и х значе-
нием функции, построим интерполяционный полином %з(г/). Данный
10* 291
прием называется обратной интерполяцией. Поместив результаты
вычислений в таблицу, получим:
k v X ^(Vk’Vk+i) Лх(Ук-«к+1- yft+s) ук + г> ук+»)
0 1 2 3 —0,2479952 —0,0979324 0,0580148 0,2195226 1,6 1,7 1,8 1,9 0,6663876 0,6412426 0,6191651 —0,0821705 —0,0695452 0,0270049
Отсюда искомый полином имеет вид
(у) == 1,6+0,6663876 (у + 0,2479952) —
—0,0821705 (#+0,2479952) (у+0,0979324)+
+0,0270049 (г/+0,2479952) (у+ 0,0979324) (г/—0,0580148).
Для нахождения корня нужно положить г/ = 0. Получаем
х8 (0) = 1,6+0,1652609—0,0019956—0,000038 = 1,7632273.
Следовательно, корень равен 1,76323 ± 0,00004, где предельная аб-
солютная погрешность полагается равной абсолютной величине по-
следнего слагаемого в выражении для х3(0).
6.62. Пользуясь таблицей значений функции y = f(x),
найти значение х0, при котором f (х0) = 0,569:
х | 1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85
У 1—1,125 —0,926 —0,704 —0,458 —0,187 0,109 0,432 0,782
6.63. Пользуясь таблицей значений функции y*=f(x),
найти значение х0, при котором f (х0) = 4,498:
X 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6
У 2,431 2,928 3,497 4,144 .4,8755,696
6.64. Используя таблицу, методом обратного интерпо-
лирования решить уравнение shx —4,9370:
X 1 2 2,2 2,4 2,6
У | 3,6269 4,4571 5,4662 6,6947
6.65. Используя таблицу, методом обратного интерпо-
лирования решить уравнение tgx= 1,767:
х
60° 61° 62°
| 1,732 1,804 1,881
292
Составить на фортране указанные подпрограммы:
6.66. Подпрограмма вычисления разделенных разно-
стей Ду (%i, х2, ..., х*), k -= 1, 2, ..., п, Ду (xj « у (х4).
Параметры: X, Y, N, где N — число элементов массивов
X и Y, содержащих соответственно значения аргумента
и значения функции. Результат вычислений содержится
в массиве Y.
6.67* . Подпрограмма вычисления конечных разностей
ДЛ1/п 2, ..., n—1. Параметры Y и N, где Y — мас-
сив, содержащий N элементов — значения функции при
входе и конечные разности при выходе из подпрограммы.
6.68* . Подпрограмма-функция вычисления значений
интерполяционного полинома для функции, заданной таб-
лично. Параметры: X, Y, N, KEY, ARG, где X —массив
значений аргумента, Y — массив значений функции, если
KEY = 0, и массив разделенных разностей, если KEY =^0,
N — размерность массивов X и Y, ARG —значение аргу-
мента полинома.
6.69. Подпрограмма вычисления значений интерполя-
ционного полинома функции, заданной таблично. Пара-
метры: X, Y, N, KEY, ARG, Р, EPS, где X —массив
значений аргумента, Y —массив значений функции, если
KEY = 0, и массив разделенных разностей, если KEY #=0,
N — размерность массивов X и Y, ARG — значение аргу-
мента полинома, Р — значение полинома, EPS —модуль
последнего слагаемого, входящего в интерполяционный
полином.
6,70. Подпрограмма-функция вычисления значений
интерполяционного полинома функции, заданной таб-
лично, при равноотстоящих узлах интерполирования.
Параметры: X, Н, Y, N, KEY, ARG, где X—начальный
узел интерполирования, Н —шаг, Y —массив значений
функции, если KEY==0, и массив конечных разностей
с соответствующими коэффициентами, если KEY=^=0,
N — величина массива, ARG — значение аргумента поли-
нома.
6.71. Используя подпрограмму-функцию, полученную
в задаче 6.70, решить с помощью ЭВМ одну из за-
дач 6.49—6.60.
6.72. Используя подпрограмму-функцию, полученную
в задаче 6.68, решить с помощью ЭВМ одну из за-
дач 6.61—6.65.
6.73. Используя подпрограмму, полученную в зада-
че 6.69, решить с помощью ЭВМ одну из задач 6.62—6.63.
293
3. Численное дифференцирование. Формулы численного диффе-
ренцирования получаются в результате дифференцирования, интерпо-
ляционных формул:
Г (х)~Рп(х)--;Д//(х(>, х,)-|-((х—х0)4 (х—Xj)) Д//(х,), xit x2)-f-
+ ((х—х0)(х—xt)+(x—XKj) (х—л%) +
+ (х—ХХ)(Х—Х2))Д^(ХО, Хх, Х2, х3)+...,
при этом погрешность приближенного равенства f (х)—р'п (х) равна
производной от погрешности гп (х) — f (х)—рп (х).
В случае равноотстоящих узлов х^=х^_1+/г (^=1, ...» п),
хд£[а„ Ь\ и / (х/г)=#& справедливы соотношения
1 ft I 2* —1 А2 1 З/2 —6/ + 2 А„ ,
/ (*) ~ у ( Дг/о + —2—Д ----------6 ~" Д 0°+
, ^з—Й9+Ш-3 .. . \ ,к.
4--------12------Д 4*#+ • • • ) > (5)
г// / ч 1 Л 2 t /Л 1 \ А Ч 1 А 4 I \ f£\
f W А2^+ (£ — 1) А8#оН |2------А4# в4~ • • • 1 > (01
где t — (х—х0). Формулы (5) и (6) содержат соответственно по п
и п—1 слагаемому.
Пример 5. Материальная точка М движется прямолинейно.
Закон движения s —f (т) представлен с помощью таблицы (т—время
в секундах, s—путь в. метрах):
т а 1 2 8 4 5 0
0- 2 10 30 68 130 222
Найти скорость и ускорение w точки М в момент времени т—ЗДх*
Составляем таблицу конечных разностей функции $ = /(?):
s As A2s
&4S
О
1
2
3
4
5
6
О
2
10
зо-
бе
130
222
2
8
20
38
62
92
6
12
18
24
30
0
О
о
Считая за начальный момент времени, ближайший к т = 3,5,
3 5___________________________3
момент т==3* будем иметь t — ——--—0,5. Применяя формулы (5)
294
и (6), получаем:
„-/ (3,5) - 1 (38+ 24+ 3-<°Д--в-°.5+2 _
1 \ 2. О /
= 37,75 м/с,
tt>=/"(3,5) =qV ^24+(0,5-1)-6+-^3!г1^^±11.0^ =
— 21 м/с?.
Функция /(х) задана таблицей. Вычислить значения
производной /' (х) в указанных двух точках xf и х2:
6.74.
х 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5
/(х) 1,44013 1,54722 1,67302 1,81.973 1,98970 2,18547 2,40978 2,66557
xf = 2,03, хг==2,22.
6.75.
X 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7
f(x) 1 1,0083 1,1134 1,2208 q = 1,14, xa = 1,42. 3.76. 1,3310 1,4449 1,5634 1,6876 1,8186
X 2,8 2,9 3..0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5
f w J 3,92847 4,41016 4,93838 5,51744 6,15213 6,84782 7,61045 8,44671 ^ = 3,02, X2 = 3,31.
6.77.
X 0,75 0,80' 0,85 0,90 0,95 1,00 1,05 1,10
0,2803 0,3186 0,3592 0,4021 0,4472 0,4945 0,5438 0,5952
Xi = 0,82, х2=1,03.
295
6.78.
х 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8
f(x) 0,8802 0,9103 0,9340 0,9523 0,9661 0,9764 0,9838 0,9891
Xj= 1,34, x2 = 1,65.
Вычислить значения f (x) и f" (x) в указанной точке:
6,79.
X 1 2 3 4 5 6
х=»2. 6,80, /(О 1 5 21 55 113 201
X 0 1 2 3 4 5
№=2,5. но 1 3 19 85 261 631
Составить на фортране указанные подпрограммы:
6.81*. Подпрограмма-функция вычисления значений
п
первой производной полинома №Г!(/) = Ц (t—k). Пара-
й = 0
метры: N, Т.
6.82* . Подпрограмма-функция вычисления значений
п
второй производной полинома №п(0 = Ц (t — k). Пара-
л=о
метры: N, Т.
6.83. Подпрограмма-функция вычисления значений
первой производной интерполяционного полинома
" <(/_1)...(<_Л+1) х—х0
“ f/o + Л- -------Ti Д кУо. t = /г
Параметры: X, Н, Y, N, KEY, ARG, где X —начальный
узел интерполирования, Y—-массив значений функции
при KEY = 0 и массив, содержащий величины у0, ^-ДО/о
296
(k= 1, n) при KEY#:0, ARG — значение аргумента,
при котором вычисляется производная, N есть п4-1.
6.84. Подпрограмма-функция вычисления значений
второй производной интерполяционного полинома р„(х).
Параметры те же, что в задаче 6.83.
6.85. Используя подпрограмму-функцию, составлен-
ную в задаче 6.83, написать на фортране программу ре-
шения одной из задач 6.74—6.78.
6.86. Используя подпрограммы-функции, составленные
при решении задач 6.83 и 6.84, написать на фортране
программу решения одной из задач 6.79, 6.80.
ОТВЕТЫ
1.1. 0,331. 1.2. 0,5. 1.3. —1. 1.5. (Дх)2—2Дх. 1.6. е(е^—1).
2 1 1
1.7. log2 (1 + Ах). 1.9. --1.10. Ml. 2* In 2. 1.12.
Xlog2e. 1.14. • Воспользоваться тождеством: xf (х0)—х0/(х) =
«=(х/(хо)~Хо/(хО))-(хо/(х)-х0/(х0)). 115. /С (—1) =—2, /;(-!) =
=Л(1)=0, 4(1)=2. 1.17. /L (0)=/i (0)=0. 1.18. (0) = —1» Л (0)=U
1.19. /1(0) = 1, f+(0) = 0. 1.20. • Функция у = sin— не имеет пре*
Я 25jc4
дела при х—>0. 1.21. — 2-{-— х3. 1.22.---— .
, „„ V* (19х8+9а) 3 1.2
1.23. '..1.24. -у «-57=+------------37=--
бт/^+а)2 5 /х» 36/х
« лг bc—ad t __ 1—4х , __ 2
2 (c+dx)f • ’,26- х2(2х-1)2 • • • /7(2—/Г)2 *
1.28.-------2* 1.29. 2c°f*--3 .
(1 —|—X2) —X4 COS.X
1.30. ---,'1. 1.31.-------------.
sin2(x+-^J (х2 + 4) -у arcctgy
у2__1 I v
1.32. ------------* г- , . 1.33. -±cos+x
3x?cos2 (х+у) (1+ts(x+-7))2
,7-7 •|ж- ^r-
ЛГПЪ h2 ^X/2
1.36. --- Sgn (sin x). 1.37. -(1 +x).
а+fccosx & 2 у x
1.38. —e-x^J+^l. 1.39. 2Inx • 'ПД 1.40. 2Г’‘"г* X
2x2 in4 x
„х v 1 / x3 \
Xln 2’cos x-sgn (sinx). 1.41. 3 -2 In 3* In 2. 1.42. “jHS ( Jo* j •
297
Zln w+bx+tb (2ax+b)
1.43, __—!------. 1.44. _______________
^Ina-lnax 2 |^ln (ax2 + bx-[-c) (axiJrbx-Jrc)
x < л» 1
J/^+x2
(x—3)(19x—17)
(x+1)*
1.45.
(2 + x2) Y'l+x2 arctg Z1+*2
1.48. shx. 1Л9. -rj—. 1.50.
ch2x
. 1.46.
. 1.47. chx.
1.52.
10—2x—2x2
Зх2 у/ x2 (x-|-2)2 (x—1)
-гр—• 1*51.
sh2 x
L53>___________2x2+-9x+ 1
2 V"x+2i/(x— l)42x+l)4
1.54. 1 lx^—7x4—58x3-|-48x2 , i,55. (lnx_1}.
4/x—1 V\x+2p / (x—2)?
3 /”””
1.56. x2X-2* f—4-lnx-ln2^ . 1.57. (]/х"Г x -3+.
Vх / 6 у x2
. BO -lnx*lnlnx . e_ arcsin x f In sin X ,
1.58. (Inx)*--. 1.59. sinx ( - 7.--.—-^- +
1 X2 In X \ 1— X2
+ arcsin x» ctg x . 1.60. xxX>xx~l (1 +* In x (In x—1)).
1.61. Д^(1п1пх+Т1----------AlHiA . 1.62, xx2+X(i + inx2) +
дЛпл * In X X J x 1 ‘
4- %2*.2* In2‘lnx^+ 2** ln2*x* (ln*+l), x > 0. • Найти
производную каждого слагаемого. 1.63. —sin2xX
1 + 2 V 14- cos2 x Л n
X---- .....~т-----!, ----- . • В качестве промежу-
2 У14- cos2 х (cos§ х 4- Ю + cos2 х)
точной переменной взять w=cos3x и далее воспользоваться пра-
. 1 ал arccosx
вилом дифференцирования сложной функции, 1.64.------- .....X
У 1 —х2
ху/Qi 1 1ч 1 ек о 1-2 arcsinа”*24-^“х2(1—е”?^2)1^2
X(21narccosx+1). 1.65. —2xe^xi------;—-—!,
(1—£>-^2)3/2
Е66’ "" 7i (46Z-*arctg а-х+а-^—1). 1.67. а=2, Ь=0.
(* 1 * J
® Условия непрерывности lim f (х) == lim f (х) и дифференцируе-
х->~о х->+0
мости /L (0) = /+ (0) составляют в совокупности систему двух урав-
1 3
нений относительно а и Ь. 1,68. а =—, & = -п-.
1.69.
1.70.
_______2х2______
У (1—х6)2 (1—х3)2 _____
1+2 J/T +4 У~хУх+ /Т
298
1.71. ---г—
т-\-п
Xcos (cos 2x).
ъ
b—a
x
m n
f X X m+n f 1 -)-X \ m+n
П I ”F“i J —W —-------
\ 1+x J \ 1—x J
t msinmx mtgmx _
cos"+1 mx cos" mx
n
xlnmx
1.78.
У J . 1.77. 2
2 tg x (1 4-tg2 x)
l + tg4x
. 1.79.
—тЦ—. 1.80. (sinx)
xln2x 4 '
1.72. —sin2xX
L76-
b \a
r) x
1
cos -V (ctg XCOSX—
— sinx In sinx). 1.81. A ( У'х )sfn2 x ^sin 2x In x-|-~A.x
1.82.--------_______r a (1+ V cosx In a).
2 у cos x
1.83.
1.86.
th3x
sgn (sh x)
ch x
1___A
2 sh x y
. 1.88.
1.84. ~2x‘ * e~x(achax— shax).
—. 1.89. cos (x—nk), если xg
л (Aj-J-1)), если же x = ilk, то у- (itk) =— 1, y'+ (л&)=1,
1.90. -q^r, *>0; —*<0; /-(0)=-l, n(0)=+l.
1.92. — l,x<0; — e~x, x>0. 1.93. 1, x<0; x > 0. 1.94. 0,
|x[^l; 2xe~A;2(l—x2), |x| < 1. 1.95.
2x44-4x3—36x24-54 3 /"
3(l—x)2(9—x2) V
3—x
(Тм)Г
1.96. »V —. 1.97. axa-xa~i-a\na. 1.98. (logx a)x ( — -------------
v x—ai \ In x
i = 1 *
— In logax^ . 1.99. cos xcos (sin x) cos (sin (sinx)). 1.100. x X
‘•10L -^(l + >n?3).
1.102.
1.105.
1.106.
1.108.
s*n ax
---------------. 3cos bx in 3 4 5-3— ,.
cos2 bx \ cos2 bx /
ф (x0). ® Воспользоваться определением производной.
<p (x) q/ (х) + ф(х) ч|/ (х) 1Л07. фх (х) яр (х)—-ф (х) 1}/ (х)
V Ф2(х)4- яр2 (х)
ф (х)Ф <*>
a cos ax cos bx-\-b sin ax sin bx
sin2 ax
ф2 (х) + Яр^ (х)
7 ', \ ’ .' , , . . ф (х} яр' (х) X . . f (1ПХ)
( Ф7х)1пяр(х)+^А;1^_^^ . 1.110. ---
1.111.
1.116.
1.119.
4#. 1.113. г (f(x))fr(x). 1.114. А 1.115.
/ W 6
---b^L. 1.117. . 1.118.-
а2у у(2у2—х2)
i 1.120. eX'siny + e-,,sinxj 121
2 (1 + In у) ’ ’ еУ cos х—excosy*
e
x
299
1.122.
1.124.
1.127.
2^“*. 1.123.
1 — У1—уг
у_ 1—X2—j/2 у_ . xlny—y
X l+X2 + l/2 ’ X 01ПХ—X
. • Функция 0 = ch х, xg(— oo, +00),
(fiy—l) _
2У(1—2Х) ~
•£+£.. i.i25.
x—у
1.130.
x Ух2— 1
не имеет обратной, поэтому следует рассматривать два промежутка
(—оо, 0) и (0, +оо), на каждом из которых заданная функция моно-
тонна
и, следовательно, имеет обратную. 1.131. loga^’Ctgx.
1 1 2
УТ+8? ' 1Л34‘ 1+е“<« ' 1Л35’ 1+6а2 (х) '
—-----------• 1-137. ——J——. 1.138. 3/—1-. 1.139. .
a(x)+log2e l + lna(x) 2 3t
b
----1.141. — 23t+1. 1.142. —~ ctg ф. 1.143. 2cos2/X
/+1 a
t 2
X(cos2/—2sin2/). 1.144. 1. 1.145. ~. 1.146. 4 In 2 ctg 2/.
ad О
>4 b
4-. 1.149. —th/.
V a
1.132.
1.136.
1.140.
1.147.
1.150.
1.155.
1.158.
+4-
ческой
1.161.
1.164.
1.165.
1.167.
1.144. 1.
У 2—Z2
У 1—412 ’
1.148.
1.146.
,— 4
1. 1.151. —1. 1.152. 24-|/У. 1.153. -у. 1.154. —2cos2x.
тттгг1-1™- -Т1п2-^-|).-2ля-
_g_+ (1+2^и1пл . 11ю Z--(2+ln»)(ll»»+
1 . 1 \ • п
---—г-Ч----7=------- I • • Воспользоваться логарифми-
4 j/T 2 у х (2 + In х) /
производной. 1.160. у' (0) = 3, у" (0) — 12, у'" (0) = 9.
2. 1.162. 6. 1.163. #(0) = 1, / (0) = ln2,/(0) = ln22—1.
у, 2 „ ( 1 \ „ 6 „ ( 1 \ , 4 „ ( 1 \
x3 ' \
yf «г y" — e2x_____________________________
У f{ex) > y k f (ex) ? (ex) J
uu' 4~ vv' „ (w2+ u2) (uu"+ vv") + (u'v — uv')2
/'И , /"(**)
1.168.
Хх772-"
1.171. i
]/'^2-]-t>2 (iz2+ L>2)3/2
, u’ v' „ uu"—u!2 vv"—v'2
0'-------------, y" = .-----------------------. 1.169.
a v u2 v2
l, если n^m\ 0, если ti > m. 1.170. (k In a)n akx.
sin
, I । л
• £/' = cos X = sin ( X—|--g-
> У"
sin (x4-я) и т. д. 1.172.
+ъ)) = ’
. 1.173. 2«-lcos
хп
2 l+cos2x .
лои: cos2x =--g---. 1.174. (1__х)^Г .
m I
(m—n) !
p- j . ® Воспользоваться форму-
2n !
300
. (х— I)60—(х—2)Е0 , 4_ 1-З-б...37(79—х) _ _
1.176. ;/ о \ . 1.177. ----------. • Восполь-
(х2—Зх+2)зх 220 (1 —х)20 У 1—х
зеваться. равенством 1+х = 2— (1—х). 1.178. cos х (209—х—х2) —
— 15sinx(2x+l). 1.179. е* (х2 + 39х-Ь360). 1.180. 4 У2 sin (х —
Л
зательство провести методом математической индукции.
1.18,.
2—хе?
Х (1— хеУ)3/
1.197.
e~x. 1.181. 8 ! х/2 - . 1.182. xshx+100chx. 1.183. • Дока-
1.201.
или
—Дг. 1.194. е?УХ
У3
И(1+у)2+(*-1)2)
. 1.187. —48. 1.193.
2(1+У2)
У&
1.200. —ctg8/ или (х2_1)3/2 ,
п
2 ’
1.203.
<й
1.195.
1.196.
/хх
(/i)3 ’
2
I—/2
2sec? xt
a2'9
х2(1+г/Я
или —2sec2x,
2 ’ 2 J '
у). 1.202. 2(1+<2)
1
За cos11 sin t ИЛИ
Зх1/з /а2'3—х2/3
, х£(0, а). 1.205. 7х+у—3 = 0, х—7f/+71=0.
1.206. у—5 = 0, *+2 = 0. 1.207. x—4^+4 = 0, 4x4-{/—18 = 0.
1.208. i/—2x = 0, 2r/ + x = 0. 1.209. x—y—1=0, x~\-y— 1 =0.
1.210. 2x—{/4-3 = 0, x4"2{/—1=0. 1.211. 7x—10//4-6 = 0, lOx +
4-7#—34 = 0. 1.212. # = 0, (л4-4)х4-(я—4)у—л2 рг2/4 = 0.
1.213. 5х4-6г/—13 = 0, 6х—5^4-21=0. 1.214. х4~#—2 = 0.
9
1.215. arctg у. 1.216. М0(1/8, —1/16). 1.217. у = х2-х+1.
1.219. 2х—у—1=0. 1.220. 4х—4г/—21 = 0. 1.221. 3,75.
1.224. В точке Mt (0, 0) угол равен 0 (параболы касаются) и в
точке Л4а(1, 1) угол arctg. 1.225. arctg 4-. 1.226. arctg 2)^
/ ID
1.227. л/4 и л/2. 1.230. 2/рг5 . 1.232. ◄ Если кривая задана
уравнением г = г (ф), то декартовы координаты точек М этой
кривой, как функции угла ф, даются выражениями
х = г (ф) cos ф, у — г (ф) sin ф.
Отсюда ОМ = г (ф) cos ф»/4~ г (ф) sin Ф 7> т* е* вектор р(1, tgф)
коллинеарен ОМ, Вектор т (1, Ух) является направляющим вектором
касательной Т71', а так как
' __ sin ф 4~* rcos ф __ r4-r\tg(p
r' cos Ф—гв1Пф г'—Неф ’
то вектор е(гг — Неф, г4"г'1£ф) коллинеарен т. Следовательно,
Л (Р> г'
COS 6 = , ,
|РН*1 +
откуда tg 6 = =4- • ► 1.233. 6 = arctg 1.
301
1.234. е = у+2<₽. 1.235. а) ^=0, fg = 8; б)/£((), 4)U(8, +«>);
в) ti =А (3+ /Т) , h = 4- (3— КЗ) . 1.236. —ewsincot 1.237. 242.
О о
7
1.238. -yg- л. 1.239. а(£>еа^. 1.240. vx = — 2а(д sin 2ф, vy =—2acocos2(p.
1.241, В точках (3, 16/3) и (—3, —16/3), 1.242. 4nr?v и 8nrv.
1.243. 2л рад/с.
2.2. (A#)i = l,261, (dy)i*= 1,2, (Ai/)2 = 0,120601, (^)2 = 0,12.
2.3. As = 2х Ax4~Ax2, ds = 2xAx. 2.4. ds — f'it-fi&t есть путь, кото-
рый был бы пройден точкой М за промежуток времени А/ при равно-
мерном движении со скоростью /'(^1)« 2.5. <7s — 0,1, As = 0,08.
2.6. а) 0; б) -^-+^ле 2.7. Равенства а) и в) невозможны; равенство б)
возможно в случае линейной функции
2.9. 3 см, 2.10. 2 1/~а2—х2 dx,
In х dx, 2.14. arcsin x dxt
dx
--y^\ * 2Л8’ a) 0>05; 6)
АУ«2лг/гАг. ® Поскольку
только одного аргумента
2.13.
2.11.
2.15.
(см. задачу 2.1)в 2.8. 2 см.
xsinxdx. 2.12, arctg xdx.
4^-. 2.I6. ^±y.dx.
1+5у? х—у
в) 0,2. 2.19. 2,93, 2.20. 1,2.
0,805;
h постоянна, то v является функ-
r: v — nh.r?. 2.22. ДР’»——/ А/’,
является функцией только одного
—ab2 sin (bx-\-с) dx2 = — b2y dx2.
(2—х2) sin х—2х cos х
2.17.
2.21.
цией
® При постоянном Т объем V
аргумента р: V = RT ~. 2.23.
2.24. З"**2 In 9 (2х2 In 3— l)dx2, 2.25. ~vuo л dx2,
2.26. 2«Л-. 2.27. . 2.28. *!** 2.2»>'' + °у.
(х-|-2у)3 (У—Ь)9- (1—Зр2)8-
2.30. .<*-&** .
(1—a cos у)*
3.1. f (х) разрывна при х = 0 £ [—1, 1]. 3.2. 0. 3.4. ® Провести
доказательство методом от противного, предварительно установив,
что производная левой части уравнения имеет единственный дейст-
вительный корень х=1. 3.5. ® Провести доказательство методом
от противного, предварительно установив, что производная левой
части уравнения не имеет действительных корней. 3.6. © F (b) — F (а).
3.7. В = 1//3", 3.11. в Воспользоваться результатом задачи 3.8.
3.13.
5i = 1/2, 52-6/3. 3.14. 2/3. 3.15.
2
3^/5
3.16. а2/Ь2. 3.17. 2,
3.18. 2/3. ЗЛ9. —1/2. 3.20. 2. 3.21. 9/50. 3.22. 1/2. 3.23. 1/2. 3.24. 0.
3.25.1/2. 3.26.—со. 3.27. cos 3. 3.28. —2. 3.29. 0. 3.30. 4-со, 3.31. 1/л.
3.32. а. 3.33. 0. 3.34. —1. 3.35 . 0. 3.36. 1/12 . 3.37. —1. 3.38 . 2/3.
3.39. 1. 3.40. 1. 3.41. 1. 3.42, е. 3.43. 1. 3.44. 2. 3.45. 1/е. 3.46. 1.
3.47. 1/6.3.48.1.3.49. е~6.3.50. е2. 3.51. —9+ 17 (%+ 1)—9 (х + 1)2+
4-2 (%+1)3. 3.52. 74-11 (х—1)4- 10 (х—1)24-4(14-в(х—1))(х—I)3;
а) 0 = 1/4; б) 0—любое действительное число; в) 0 = 1/4,
302
X х^
3.53. Р(—1) = 143, Р'(0)=—60, Р"(1) = 26. 3.54. 1 +-р-+-2гЧ----
л-1
Х *d/ . , п 2 Х" I
1Г“ зГ+ 5Г~ йг +
х" eQx
л!"Г’(я + 1)1
3.55.
(«+1)1
n
~~2
хп+х, п
X X3 , хъ
нечетно; 77-37+^
уП-1
—------1---
(п- 1)Г
п-х «1
. . хп-'
(«4-1)1
v-2
х«+\ п четно 3.56. i — — +
2!
+ Т — +(-» ’ (+i)i
п
X3
3.57. X ~. * . +’(—-4)л""^-Ру j—' j—i"ли"Jl'T ?
2 ‘ 1 п 1 (п+1) (1 + 0х)«+х
П-1
3.58. х-^-+^-...+(-1) 2 ^+/?„+1(х),
п
X3 X3 о Хп “
X—у+^—...+(—1) —p+R„+i(x), П четно,
член записать в общем виде. 3.59. 1 + —• х-|-
-J-cos
nl 1
xn
—т-тп----'-—кп*\ п нечетно;
(п+1)!
(«4-1)1
x«+i
xn+\ n четно,
n нечетно;
® Остаточный
«(я—I) „2, ,
а (а— 1) ... (а—п+1) сс(и—1) . . (а—п) (1+0х)«-”-1 t
+ * + («+1)1 * '
х>-1, 3.60. 2-(х-2)+(х-2)?-(х-2)»+(1 Д~7х-2)0 ‘
3.61.
х3 1+2 sin8 0х
Х+Т’ cos40x 4
3.62.
х3 . х4 90х + 603х3
Х + Т+4Г(1_0?Х2)7/а*
3.63.
3.64.
________(х__1)2__L (х__1 )з । Л5_ ___!.)4__
2 16<Х 4 ^128(1+0(x_i))9/2.
a) 0,842; б) 1,648; в) 0,049, г) 2,012. 3.65. Погрешность:
1 з
I Г» К г3
J 8T^« З'ю- “>б> •>
4.1. ® Воспользоваться разложением функции но формуле Тей-
лора в окрестности точки х0 до члена порядка k включительно.
4.2. f(xo)=O—минимум, если ф (х0) > 0 и п четное; /,(хо)==О—мак-
симум, если ф(х0) < 0 и п четное; экстремума нет, если п нечетное.
4.3. * Воспользоваться первым достаточным условием экстремума.
4.4. На (—1, —1//2) U(l//2’> 0 убывает, на (—1/j/T, l/fT)
возрастает; Pmln = {/(—1/К^ )=—1//2 > </maX==!/( 1/^2")= 1/2.
4.5. На (— <ю, —1) (J (0, 1) возрастает, на (—1, 0) (J (1, +оо) убы-
303
вает; утп=у(—1)=|/(1) = 1. 4.6. На (0, 1)Ц(1,е) убывает, на
(е, 4-оо) возрастает; ут\п=У (е)=е. 4.7. На (-^-(66—1), -^(6ft+l) )
\ о о J
убывает, на ( ~ (6/г+ 1), ~ (6&+5) ] возрастает; !/min =
\ о «3 J
=у (гйл+у) =2Лл+ (у- /3 ) « 2fert—0,685, ymax =
=y^2kn+^^=2(k + l)n— (у— /Г) » 2(k+ 1)л+ 0,685,
k g g. 4.8. На (0, 2) убывает, на (2, +00) возрастает; у^Ы — У (2) ==
=«2(1—In 2) «0,61. 4.9. Возрастает во всей области определения.
4.10. На ^-—-(8/?—3), ~(8& + 1)^ возрастает, на ^~(8&+1),
/ л ______________________________________________\
(8&+ 5)^убывает; утак ^у f 2kn +•?•') =е2 д е 4 « 1 >55е2А?л,
i/min = p(2^+-^) = -e2to^T-3y-^-l,55e2fex, g.
4.11. На (0, \{e) убывает, на (1/е, 4~оо) возрастает; г/min — У (1/е) «
1
= (1/е) е « 0,69. 4.12. На (— оо, 0) убывает, на (0, -f-co) возрастает;
«/min = 1/(0) = 2. 4.13. Л4 = 3, т = —24. 4.14. Л4=8, т~0.
4.15. Л4=0,6, m =—1. 4.16. Л4 = 1, т = 0,6. 4.17. Л4=2, т=®/2 «
я 1,26. 4.18. Л4 = я/4,т = 0. 4.19. Л4 = 1, m = —1. 4.20.Л4 = 1/^Г«
« 0,61, т =—1/У~е к—0,61. 4.21. • Рассмотреть функцию у—ех—
— (1 + х) и показать, что у нее существует единственный минимум:
J/min=l/(0)=0. 4.25. с. 4.26. | ЛР | =/бОО—-км и
« 442,3 км. 4.27. х=-т~^-, «/ = 4- ( Р~ V 4.28. а = -^-.
4+ л 2 V 2 J 3
4.29. 4.30. ла8. 4.31. А №Л. 4.32.-f-лг3. 4.33. 2з1_ е8.
4 27 _3 _ 9 рЗ
4.34.2г?, 4.35. N(l, 1). 4.36. x = R У 2 , y = R/y2 . 4.37. Разде-
. „о RH V/?2_|_Я2
лить отрезок пополам. 4.38. г = -— :---Ц---' .................. .
( К/??+№-₽) ( КR2+m+2R)
4.39. А = (е2/3—d2/3)8/a. 4.40. На (— оо, 0) —выпуклость вверх, на
(О', —[~оо) — выпуклость вниз, М (0, 1)—точка перегиба, k = 7.
4.41. График всюду выпуклый вниз. 4.42. На (— оо, 2) — выпуклость
вверх, на (2, Н-оо) — выпуклость вниз, М (2,0)—точка перегиба, & = 0.
4.43. На (—оо, -—1) (J (1, 4-оо) — выпуклость вниз, на (—1, 1) — вы-
пуклость вверх, Л4Х (— 1, р/2) и М2 (1, р/2)—точки перегиба,
&1Х=£2 = оо. 4.44. График всюду выпуклый вверх. 4.45. На
(—оо, —1) — выпуклость вверх, на (—1, +оо) — выпуклость вниз,
Л1(—1, 1—е-?) — точка перегиба, /г== — г2 «—0,14. 4.46. На
(— оо, 0) — выпуклость вверх, на (0, 4~оо) — выпуклость вниз, М (0, 0)—
точка перегиба, Л = оо. 4.47. На (0, е“5^6)—выпуклость вверх, на
304
+»)—выпуклость вниз, М 1—-g-e-6^8^—точка пе-
региба, й = -Л-е-8/8 «-0,28. 4.48. а=--| > 6=+. 4.49. —U ,
2 2 2 q у 2
4.51. • Если х0—абсцисса точки перегиба, то x0tgx0=«=2. Тогда
yl = y2- (xq) = xq sin2x0 =-Ц- * 4.52. х = 2, ^ = 1, 4.53. у*=х—~
4+4 d
4.54, х = 0, у—1 (правая), # =—1 (левая). 4.55. У = Зх-}-~ (правая),
у — Зх—(левая). 4.56. х — 0, у^2х, х =—1 (правая). 4.57. # = 0.
4.58. х = —~, y=x-f--~-, 4.59. у=^-х— 1. 4.61 ym\n=V<fi)
I* ' 125
—1;
И (± VTT, о)—точки перегиба. 4.62. £/max = # (±1)=1,
f/min=H± КЗ ) = (0) =0;
20 Х
6+ К2Г
20 Х
I ) —точки перегиба. 4.63. z/max —у (— У 3 ) == ‘/'3",
j +
—точки пере-
Ут1п = у(Кз)=- /3; (0, 0) и
27
гиба. 4.64. г/min(3) = -g-; (0, 0)—точка перегиба; х — 1 и
У=+^ асимптоты. 4.65. Утах =17(0) =0, ут1п = у(^/4)=у^/ 4;
— р/2 ,----у р/2 \—точка перегиба; х = 1 и у — х—асимптоты.
4.66. (О, 0)—точка перегиба; х= ±1 и у = х—асимптоты. 4.67. #тах=
= И1/Т) = -+Т’ fein=y(0)=0; (j/2, ^1/2) - точка
перегиба; х = —1 и у = х~асимптоты. 4.68. ^тах = ^(1) = А-,
о
р/Т, ~г р/4 —точка перегиба; х = —|/2 и г/ = 0 — асимптоты.
4.69. (0,0)—точка перегиба; х— ±1 и у — 0—асимптоты. 4.70. г/тах ==
= у(0)=0, ymln=y(-^2-)=-/i;
у/ 2(7+/45)Л и < ..8/ 7-V15 2(7-/45)*\
Э+^Дб ) \ V 2 ’ 9—1^45 J
точки перегиба; х = 1 и у = 0—асимптоты. 4.71. (0, 0)—точка пере-
гиба; х — -~2, х*=2, у~0 — асимптоты. 4.72. r/max ^у (—3) = — 4,5,
{/min:=^(3)’=:=4,5; (0, 0)—-точка перегиба; х = — /^3~, /У,
305
у — х—асимптоты. 4.73. ут\п=^у (—1) = --1/3; (— 4 , — |/4 /б )-—
точка перегиба; х = р/2 и {/ = 0—асимптоты. 4.74. Ут\п~У (0) ==—1»
(± КЗ'/З, —1/2) —точки перегиба; £ = 1— асимптота. 4.75. (0, 0) и
(|/4/2, 1/3)—точки перегиба; х =—1 и у == 1 — асимптоты,
4.76. ^гпах={/(0) = 2, (±1, 2 )—точки перегиба; у —0—асимп-
тота. 4.77. Ут\п~У (!) =—!; (О, 0) (2, 0)—точки перегиба.
4.78. ^max=^(0) = 2, ^min = r/(±l) = |/4. 4.79. (О, 0)—точка пере-
гиба; х =—1, х = 1, у — Ъ—асимптоты. 4.80. (О, 1) и (1, 0)—точки
перегиба; у == — х — асимптота. 4.81. (О, 0), (±1, ± у/2 )—точки
перегиба. 4.82. (О, 0), (±1, ± р/2 )—точки перегиба; у—2х—
асимптота. 4.83. (О, 0), (±1, ± pZ2 )—точки перегиба; ^ = х—
асимптота. 4.84. (О, 0)—точка перегиба; у ——1—левая асимптота,
1 —правая асимптота. 4.85. S<min = ^ (~ р/З-) = 1; (0» 0)—точка
перегиба; х = — р/ 2 — асимптота. 4.86. #тах = у (0) = 0, {/mln
» у (2) = р/16; (— р/4,— р/2)—точка перегиба; x = pZT и
у^х—асимптоты. 4.87. Утак — у(~~ р/б)== — З/р/Г; (0, 0) и
(р/3, З/р/25)—точка перегиба; х==—р/2 и #==х—асимптоты,
4.88. Ут1п—У (0)=0, (± 2/]/3~)—точки перегиба; J7==x —
правая асимптота, г/ = —х—левая асимптота. 4.89. (— p/2j 0) и
(— Ь —1)—точки перегиба; х —0 и у = 1 — асимптоты. 4.90. утак ==
= (1) = 1/р/4 , (р/4 j f/0,16)—точка перегиба; х==—1, у~ 0 —
асимптоты. 4.91. _Jmax = H— Кз)=0, f/mln == У ( Кз) = 0;
(/2, 1//Т), (- /2, -1//2“) —точки [перегиба; х = 0—асимп-
тота, # = 1 — правая асимптота, {/=—1 —левая асимптота, 4.92. #min=
— ^(0)=0, = К^) = 2; х= ±1—асимптоты, */—х—пра-
вая асимптота, у = —х—левая асимптота. 4.93. утак = у (0) = 1,
Fmin=H±l)=0. 4.94. f/max=J/(0)=2 J/% J/mln={/(± К2) = 0;
(± Ь 1)—точки перегиба, 4.96. ут\л\ = У [^~|-2#я^=— J-GF,
{/max = У —точки перегиба, k£ 2.
. „„ / я , \ V~2 f Зя . nt \ V2
4.96. {/min — У ([~2Лл J vsz—-^ , ^max У ( ’j-4~2&JlJ —--~T
3л
x = ~j—|-&л—асимптоты, k g Z. 4.97. #mln = У (0) == 0,: у
ЯХ , ЛХ
== — -g--1 — левая асимптота, r/—-g----1 — правая асимптота,
Л ЛЛ Z, X 1 I И/ /<\ 1| Зл /л Л \
4.98. {/min У О) —*2 I f Утах У ( 1)= g—I 4“ ? \
X X
точки перегиба; у~-^-\-п—левая асимптота, у =-jr—правая асимптота,
Аг Ал
306
4.99. ifaiax == У (0 = У*2 , е1/2^ — точки перегиба; у == 0 —
асимптота, 4.100. #тах = у (1) = -i= , у^ = у (—1) -U ;
У е у е
( — 1/'з \
(О, 0), I ± У 3 , ± •—— ) -—точки перегиба; у = 0—асимптота.
\ . е у е /
4.101.{/max=j/(l) = y , (1 ±-^, (2Т /2) е-(а т Уа точки
перегиба; х = 0—левая асимптота, у = 0 — асимптота. 4.102. #тах ==
= Н± I)=|. г/mln = г/(°) = °; (±^г> Зе~3 *} и
VTT» —точки перегиба; у = 0—асимптота.
4.103. г/min == у (1) = е; у = х-]~1 — асимптота, х = 0—правая асимп-
Тота. 4.104. f/max = у ( /Т) = —3= , ут\л = у (— /Г) = — —L= 5
У 2е У 2е
L j/tp, ± ± i /П о Н <• * ,
3 5 *+, 1/-<' 1 |Z'7 *^ —точки пере-
гиба; # = 0—асимптота. 4.105. #шах = у (—2) = — 4 Уе , #min =
= у (}) == — 1/а; (0,4, —1,6а~бу<2)—точка перегиба; х = 0—левая
асимптота, у — х—3—асимптота. 4.106. (1, е2)—точка перегиба,
х = 0—правая асимптота, # = 2x4-3—асимптота. 4.107. #тах =
= у(± 1) = 2//ё", !/min = H0) = 1; (±Уг— /3,
2 - ~Кз
(З-КЗ)^ 2 , , ................
точки перегиба; # = 0—асимптота. 4.108.__#rniT1 = #^(l) = е-
правая асимптота. 4.109. #rnax~# (/3) = 3/3 е
= у(- ]Лз) = -3 КЗе-872; (0, 0),
У~6, ± Уб е~9)—точки перегиба;
4.110. (0, 0)—точка перегиба. 4.111.
2 + ^8
(3+УТ)е~ 2 / —
?2, х=з0 —
-8/2. 4/min =
(±1, ±е~1/а),
у = 0—асимптота.
£/тах — У (^) ~1
1 \ 1 /J 3\
Кё"/ 2е V Уе~’ 2е/
(е Уе 1 -----т=)—точка перегиба; х = 0 и # = 0—правые асимп-
\ 2е Уе /
ТОТЫ, 4.112. Утах = у х== 1 ~асимптота> х==0 и У = 0*'~
лравые асимптоты. 4.113. ут\п=У
точка перегиба. 4.114. уты = у{Уе ) точка
перегиба, х = 0 и // = 0—правые асимптоты. 4.115._£/тах = г/(1/е) “
~ 1/е2, Ут^У (1) =0; ( , 7-±^- И
807
g-i,»+Vi(«# 7—g з+Ve —Т0ЧКи перегиба. 4.116. утзк —
=“У(0) = 0, 4Ып = И± /Г) = 2е;х=± 1—асимптоты. 4.117. f/max =
~у(1/е2) = 4/«2, Утах=И-1) = 0, ут\п=у (-1/е2) = -4/е2; (0, 0),
(i \IV~e , ± 1/Ке )—точки перегиба. 4.118. </гаах = 1/(0) = 0;
Х«= ± 1—асимптоты. 4.119. «/maX = //(± e) = l/e2,_j/min = !/(± 0=0;
/ б-^1з , xZ-ToV з-^гз'Х / 5+V1S / ,rTQ\2
е— , ±е—.(5+/13Y
б+ГП\
X е 2 )—точки перегиба; х = 0 и у—0 — асимптоты.
4.120. Ут[п = у (1/е) = (1/е)1/е » 0,69, выпукла вниз, у—>1 при
х—>4-0, т. е. Л4(+0, I)—концевая точка. 4.121. £/тах = # W ==
₽ ех^е « 1,44; (0,58, 0,12) и (4,35, 1,4)—точки перегиба; Л1 (+0, 0) —
концевая точка; у—\—асимптота. ® Точки перегиба можно не
находить, достаточно показать, что они находятся из уравнения
X х
In?--[~2х In--х = 0. 4.122. х — 0—точка устранимого разрыва
(#_ (0)==г?+(0) = е), функция убывающая, выпукла вниз, х~—1 —
вертикальная асимптота, у — 1—асимптота. 4.123. х = 0—точка устра-
нимого разрыва, = 0—асимптота. Точки экстремумов удовлетво-
ряют уравнению tgx = x. Точки перегибов удовлетворяют уравнению
2х
tgx=2—. • Точки экстремумов и перегибов можно не нахо-
дить. 4.125. xmin = —I при / = 1 (#(1) = 3), = —1 при
t ——1 (х (—1)_3); парабола с вершиной в начале координат, ось
которой — прямая у — х (х > 0, г/> 0). 4.126. хт1П = £/т|П= 1 при
/==0 (точка возврата); у — 2х— асимптота при t—>+°°- 4.127. Аст-
(( Зл\
—1—Зя, —-l + y ) — максй-
Зд\
1—Зя, 1—д’)—минимум, (—Зя, 0)—точка перегиба, у=х
и 4/ = х-|-6я—асимптоты. 4.129. Трехлепестковая роза; £> = [0, я/3]и
U [2я/3, я] U [4я/3, 5я/3]; экстремумы при ф = я/6, ф —5я/6,
Ф = Зя/2. 4.130. Кардиоида, полюс—точка возврата, rmax==r (0) = 2«,
rmln = r (я) = 0. 4.131. D — (0, +°°); линия спирально завивается
Вокруг полюса, асимптотически к нему приближаясь; (^2я, 1/2) —
точка перегиба; полярная ось (ф = 0) — горизонтальная асимптота.
4.132. Лемниската Бернулли (см. § 3 гл. 2, рис. 21).
- 4 ГТ *+ 1 # —2 Z _ о
5.1. Прямая ——й“=='Т« 5.2. В плоскости Оху дуга ок-
£ ——о 4
ружности х24- у2 — 2 между точками (1, 1) и (о, 2), пробегаемая про-
X2 Z2
тив часовой стрелки. 5.3. Правая ветвь гиперболы — — — =1, у = — 1,
пробегаемая снизу вверх, если смотреть от начала координат.
5.4. В плоскости Оху парабола y = -^(Qx—х2), пробегаемая слева на-
право. 5.5. Винтовая линия x = cos/, r/ = sin tf z — t. 5.6. Астроида
308
х2/э_}_^2/з ^s2/8, z=0. 5.7. Линия пересечения цилиндров y*~x2,
z=x3, пробегаемая снизу вверх. 5.8. Кривая Вивиани—линия пере-
сечения сферы и кругового цилиндра: х2+^+^ = 1» х?-|-^2=х.
X2 £/2
5.9. Эллипс 25+10“^ z = 2. 5.10. Дважды пробегаемая парабола
l/=x24-x, z = 3. 5.11. Прямая 4х4-3*/ = 0, z =0; v = 3i—4j. 5.12. Пара-
бола (в плоскости Оху) у=—(12х—х2); = 37+(4—2/)/, tF|f=0«a=
= 3/+4/, v lt=i = 3/+2/, ®lt=2=3Z, «ф-з = 3/—2/. 5.13. Циклоида
(в плоскости Оху) х = 2 (/ —sin /), у = 2 (1 — cos /); v = 2 (1 — cos i) 1+
+ 2sinZJ; при/=~ t> = 2(r+J), при / = л t? = 4Z. 5.14. 0,6Z—0,8/.
5.15. —J=(2Z —У). 5.16. a) cos M — sin 2/.y-f-cos 2/-Л;
r 5
6) (cos t—i sin t) Z+(sin/+/ cos t)J-}-k', в) (1—sin t) Z+/+cos t-k.
5.17. a) /; 6) 12Z—2J---^=k. 5.18. 1 -f- 3/2+5t4. 5.19. (3/a—2/)<+
r 5
+ (3Z2—2t)j—2tk. 5.20. cost(l+2uj+3u2k). 5.21. x+2z = 4, ^=2
% - 2
(касательная); 2x—z = 3 (нормальная плоскость). 5.22. —j—«=
8
У~ z-—4
=—_—за (касательная); 3x-|-6#+12z—70 = 0 (нормальная
плоскость). 5.23. y = z, x = a (касательная); у-}-г — 0 (нормальная
плоскость). 5.24. (касательная); 12х—4#+3z= 12
1Л о
. е х— 1 У+ 2 —2
(нормальная плоскость). 5.25. -----—------=------
-5—— 1А ——;=— (касательная);
о 1U /
d2r
8х+10*/ + 7z = 12 (нормальная плоскость). 5.26. а) -^- = —cosZ-Z+
I б/2/*
10 = -^+У+2*; б) =-(2sinZ + <cos/)y+
d2r I
+ (2 cos/ —i sin/) &; -^-|/=0
1/-ТГ/2 =2,‘i W I/ -Л = ~2J- 5-28- 2j,
1/-Л/2 if-я 16Z+25
6 j л tn . г» dv
w . ....-при Wn=\,2. • Wt =-77 ,
у 4/2—16/+25 dt
w2. —11%. 5.29. w — i-]---J. . У, = 1, wn — — * ;
" K2/ + I K2* + l
9
при /=0 w=Z+Z wn=l. 5.30. |x=0=2, к |x=1 =------7= . 5.31. К a = 3,
5 У 5
5.35. ^=--------,
4a sin-2-
s47 (9х^з-ы)8/2 ,,„т^г)1/2
О.О/. -------7-----. 0.00.-----77-j----.
6xi/3
+»'>+“ 1,
= 2#. 5.27. w =2 sin Z-Z4-2cos/•/;
4£-2)
/<в = 1/9. 6.32. 3// 2. 5.33. 1/2. 5.34.
I s= —
|<p=ji 4#
5.36.
_3
a
309
5.39. V\^\. 5.40. ^±^1 W2cos2 03/a t
K ’ a4b4 а“
«..4,41.5.12.g. J=).
• Составить выражение кривизны /С и найти ее точку экстремума.
3-45-(?Т ~¥)- б-46- (°- у); *?+(^-т)2=-т-
5.47. (о, * V x3+(\/_ ’ У ’ . 5.48. f-1, е—Ц,
(х+1)?+(У-е + 1У=Л 5.49. (-£, О У (х—iy+^=l.
5.50. (ла, —2а); (х—na)?+(f/+2a)2 = 16a2. 5.51. Х =
/=15-1+_1-. 5.52. А2/2—Г2/з=(2а)2/8. 5.53. (X+Y)3'3 + (Х —Г)2/»=
X 4 J
= 2а2/з. 5.54. Г = асЬ —. 5.55. Х?=^ГЗ. 5.56. t = -^=(Z—J+ft),
»»р=(/+Д P==y=(-Z+/+2fe); х—1=—(jr—l) = z (каса-
тельная); х—у, z = 0 (главная нормаль); -—=-|- (бинор-
маль). 5.57. T = Z, v=—у=(/+*), р = _Ц(/—ft); у^2, 2 = 4
(касательная); у—z+2=0, х = п (главная нормаль); у-{-г~6, х = л
(бинормаль). 5.58. т=4-(2Z+j-|-2ft), v =-|- (— I—2/4 2ft), 0=
о о
1 /о/ х—2 у г— 1 . . х—2 у г—1
= у(2Z—2/—ft); —=у=-у- (касательная);—р=-^=—^—
(главная нормаль); -у-==-^==—р (бинормаль). 5.69. т =
= -^=(Z+/+4ft), v=-l(2Z+2/-ft), fi = —L^(Z—»; х-1 =
1 z~2 / ч х— 1 у— 1 z—2. ч
— 1 =. .р (касательная); =—- -=—р (главная нормаль);
У,। g____2
—j—.Lf "о“~ (бинормаль). 5.60. х2/7 = 3 (соприкасающаяся
плоскость); z=l (нормальная плоскость); 2х—^=1 (спрямляющая
плоскость). 5.61. у = х (соприкасающаяся плоскость); х-\-у — -—:
V 2
(нормальная плоскость); z = 0 (спрямляющая плоскость). 5.62. x=i
Р = — J, у^=0, z=l (касательная); х=1, у — 0 (главная нор’
маль); х = 1, z = l (бинормаль); у~0 (соприкасающаяся плоскость).
х = 1 (нормальная плоскость); z = l (спрямляющая плоскость)’
5.63. t=-L(2Z-J), v = --J=(Z+2/+5ft), ₽ = у= (Z+2/-ft);
х—1 у—2 z—3 . . х—1 у—2 z—3 .
—ж—=-——==——— (касательная); —=—...„та—— (главная нор-
А IV 1 zJ О
310
. X—1 Я—-2 2—3 _ X . О пл/
маль); —j—==—— (бинормаль); х4~2р—2—2=0 (соприка-
сающаяся плоскость); 2х—р = 0 (нормальная плоскость); x-J-2#-}-
1<2
+ 5z—20=0 (спрямляющая плоскость). 6.64. #= >
°—- К-}Т' ’=--*? ='= к=
= Z (9/4+4^ + l)S ’ с~ SP+S^+I ’ "РИ /=° К=2, а=Э
5.66. /< = а=—при £=1 К==с—-^. 5-67-1)? ’
°— (2Д1)2; лри /=1/<=4’ °=—5-68- ^=1г-
1 =„А rz 1/9</4 + 4ув+1 6д
о- 3 . 5.69.Х-]/ (ув+уг+1)3, а- ду^4у&+ jпри д-1
К = ^-^=, о = — у. 5.70. w^=2J+4tk,w%=4t,wv = 2-,w-I\t=i=4.
з у 3 *
л
dV v2 1 “4"
© , wv =-5-. 5.71. Прямая х—у —2; z' (t) = e
at К
® Применить формулу Эйлера etq> =cosф4~/sin ф- 5,72, Верхняя
полуокружность у — ]/4—х2 ; z* Ц)~21&*-, 5.73. Эллипс х = 4 cos /,
у — 2 sin /; z' (t) = i (Зе^—5.74. Правая ветвь гиперболы
— — —• =1; z9 (/) = (2+0 e*—(2—5.75. Дважды пробегаемая
«правая» ветвь параболы у — х2; z' (t)~2t-\-4it'6. 5.76. Арка циклоиды
x — t—sin/, у — 1—cost; z' (/) = 1—5.77. Эвольвента окружно-
сти х — а (cos t-^-t sin /), г/= a (sin/ — /cos/); z'(/)=tf/A 5.78. «Hora-
ce
рифмическая спираль г = е^ , оф # 0; если а = 0, то функция г = 1;
если р = 0, то луч <р = 0; z' (t) — («+ iР) e^a+t^ l. 5.79. г', гф'; г"—гф'?,
2r/(p/ + rq)". ® Представить закон движения в показательной форме
z — ге1Ч) и найти производные г' и z". Искомые величины суть коэф-
фициенты при е1Ц) и iet4). 5.80. Скорость v — izf' (z). ® Воспользо-
ваться показательной формой комплексного числа: z = 7?el<p и найти
dw dw dz
производную ж .
6.6. По условию
(п — 0, 1, ...) равенством
хп= (^п~\~Ьп)/2^
Определим числа хп
где а^а, bG = b, pn==7 2, и
_( ап-Ъ если Рп < 0, *n-i> если рпС0,
если Рп^О, bn-t, если рп > 0.
Получим [ап, Ьп\ С2[ап_ъ Ьп_\\, 11=1, 2, ..., причем [ап, Ьп\^
отрезок изоляции корня, длина которого в 2п раз меньше длинь'
исходного отрезка. В частности, ^n = ^n = ^n-i> если f (xn_i) = 0
311
Программа имеет следующий вид:
SUBROUTINE FORK(F,A,B,N)
К=0
AN = A
BN=B
1 X = (AN+BN)/2
S = F(X)
IF(S.EQ.O.) GO TO 4
IF(F(AN)*S.GT.O) GO TO 2
BN=X
GO TO 3
2 AN= X
3K=K+1
IF(K.LT.N) GO TO 1
A==AN
B = BN
RETURN
4 A=X
B = X
RETURN
END
Данную программу можно использовать и для нахождения корня
уравнения f (х) = 0 на отрезке [а, &], взяв значением корня вели-
чину (an4-Z>rt)/2, при этом предельная абсолютная погрешность равна
6.8. 1,6702. 6.9. —0,6823. 6.10. —2,2340, 0,3276. 6.11. 2,8931.
6.12. —1,4305, 1,2963. 6.13. 2,0946. 6.14. —2,3300, 0,2016, 2,1284.
6.15. 0,3684. 6.16. —2,3247. 6.17. —0,7976, 1,4945. 6.18. 0,2510,
1,4934. 6.19. —0,7549. 6.20. 1,5160. 6.21. 3,3532. 6.22. 1,2970.
6.23. 1,2672. 6.24. 1,3713. 6.25. 1,7556. 6.26. 0,6529. 6.27. 0, 0,7469.
6.28. 4, 0,3099. 6.29.-1,4916. 6.30. 0,5110. 6.31.0,7391. 6.32. ±0,8241.
6.33. ±0,7339, 0. 6.34. 3,6926. 6.35. 1,8411. 6.36. 1,0967.
6.38. FUNCTION CHORD(F,A,B,S,EPS) FA = F(A) FB —F(B) X=A—(В—A)*FA/(FB— FA) X1 = X FX = F(X) IF(FA*FX.GT.0.) GO TO 2 1 X = X —(X—A)*FX/(FX-FA) FX = F(X) DX =S*ABS(X—XI)
X1 = X IF(DX.GT.EPS) GO TO 1 CHORD == X RETURN 2 X = X-(B—X)*FX/(FB-FX) FX = F(X) DX=S*ABS(X — XI) XI-X IF(DX.GT.EPS) GO TO 2 , CHORD = X RETURN END
812
6.39. FUNCT ION TANGEN( F, FD, A, В ,S, EPS)
FA= F(A)
' C —A— (B—A)*FA/(F(B) — FA)
P== FA*F(C)
IF(P) 2,1,3
1 TANGEN = G
RETURN
2 X = A
GO TO 4
3 X = B
4 X1 = X
X = X —F(X)/FD(X)
IF(S*(X1 — X)**2.GT.EPS) GO TO 4
TANGEN=X
RETURN
END
6.40. FUNCTION COMBI(F,FD,A,B,EPS)
FA=F(A)
FB = F(B)
X — A—(B —A)*FA/(FB—-FA)
FX = F(X)
IF(FA*FX.GT.O.) GO TO 2
XT = A
1 X = X — (X — A)*FX/(FX—FA)
FX = F(X)
XT = XT — F(XT)/FD(XT)
IF(ABS(X — XT).GT.EPS) GO TO i
COMBI = (X+XT)/2.
RETURN
2 XT=B
3 X = X — (B —X)*FX/(FB — FX)
FX = F(X)
XT = XT — F(XT)/FD(XT)
IF(ABS(X — XT).GT.EPS) GO TO 3
COMBI =(X + XT)/2.
RETURN
END
6.41. Ответ к задаче 6.8:
FUNCTION F(X)
F=X**3+2.*X— 8.
RETURN Ответы к другим задачам отли-
END чаются вторыми, операторами.
313
6.42. Задание для ЭВМ состоит из трех программных единиц:
подпрограмм-функций FUNCTION F(X), FUNCTION CH0RD(F,A,B,
S, EPS) и основной программы, которая для задачи 6Л7 имеет вид:
EXTERNAL F
ROOT1 =CHORD(F,— 1.,—0.5,1.4,0.0001)
ROOT2= CHORD(F, 1.2,1.8,3.4,0.0001)
WRITE (3,1) ROOT1,ROOT2
1 FORMAT (' КОРНИ УРАВНЕНИЯ',F8.4,' И SF8.4)
STOP
END
6.43. Задание для ЭВМ содержит 4 программных единицы. Ответ
к задаче 6.35 имеет вид:
1) подпрограмма-функция вычисления значений функции: 2) подпрограмма-функция вычисления значений производ- ной:
FUNCTION F(X) F = X^2+ALOG(X) —4. RETURN END FUNCTION FD(X) FD = 2.*X+1./X RETURN END
. 3) подпрограмма - функция вычисления корня методом касатель-
ных:
FUNCTION TANGEN(F,FD,A,B,S,EPS)
4) основная программа:
EXTERNAL F,FD
ROOT = TANGEN(F,FD, 1.,2. ,0.3,1E — 4)
WRITE (3,1) ROOT
1 FORMAT (' КОРЕНЬ == ',F6.4)
STOP
END
6.44. См. ответ к задаче 6.43. Основная программа к задаче 6.35
имеет вид:
EXTERNAL F,FD
ROOT=COMBI(F,FD,1.,2.,1E—4)
WRITE (3,1) ROOT
1 FORMAT (12H КОРЕНЬ = ,F6.4)
STOP
END
6.45. и 6.46. © Воспользоваться методом математической индук-
ции. 6.47. =0,9511 ± 0,0001. 6.48. In 11 = 2,3979 ±
± 0,0003. ® Для нахождения значений функции в узлах интерполя-
ции использовать равенства In 9 = 2 In 3, In 10 = In 5 + In 2, In 12 =
= 2 1n2+ln3, In 15 = ln5+ln3. 6.49. f (1,26)=1,105, / (1,58) = 1,26L
314
6.50. f (1,89) = 2,092, f (2,43) = 3,144. 6.51. f (0,83) =0,817, /(0,97) =
= 0,942. 6.52. /(1,74) = 1,2148, / (1,97) = 1,0007. 6.53. / (2,72)= 1,5463,
/(2,93) =0,9805. 6.54. /(23)=0,921, /(41)=0,755. 6.55. /(1,3) = 1,184,
/(4,0) = l,758. 6.56. /(0,20) = 0,1987, / (0,41) = 0,3990. 6.57. /(1,25)=
= 0,0771, / (1,76) = 0,0128. 6.58. /(58)=0,275, /(79) = —0,291.
6.59. Si (0,26) =0,25903, Si (0,45) =0,44497. 6.60. Ф (0,27) =0,29742,
ф (0,58)=0,58792. ,6.62. 1,82. 6.63. 1,45. 6.64. 2,3. 6.65. 60°30'-
6.66.
6.67.
SUBROUTINE DEL(X,Y,N)
DIMENSION X(N),Y(N)
N1=N— 1
DO 2 1=1,N1
A = Y(I)
DO 1 K=I,N1
SUBROUTINE DELTA(Y,N)
DIMENSION Y(N)
N1=N—1
C=X(K) —X(K4-I)
B = (Y(K)-
Y(K)=A
1 A=B
2 Y(N) = A
RETURN
Y(K+'1))/C ]
DO 2 I = 1,N1
A = Y(I)
DO 1 K = I,N1
B = Y(K + 1)-Y(K)
Y(K) = A
A = B
2 Y(N) = A
RETURN
END
END
I
@ Программу задачи 6.Б7 поясняет следующая схема (N = 6):r
У1
Уг
Уз
Уь
Уз
Ув
&У1
&У2
&Уз
&У1
&Уь
&2У1
^У2
^Уз
&2Уь
&У1
^У2
^Уз
&У1
&*У2
После выполнения операторов внешнего цикла при 1=3 массив Y
будет содержать величины у±, Д2^’, Д3#ь Д3#2, Д3^з, а после
выполнения всей программы—величины у^ &У1> Д?У1> №ylt &*Уй Д6^.
6.68.
FUNCTION POLINT(X,Y,N,KEY,ARG)
DIMENSION X(N),Y(N)
ni=n—1
IF(KEY) 4,1,4
1 DO 3 1 = 1,N1
A = Y(I)
DO 2 K=I,N1
B = (Y(K)-Y(K+0)/(X(K)-X(K+I))
Y(K) = A
2 A = B
3 Y(N) = A
4 POLINT = Y(N)
DO 5 K=1,N1
6 POLINT = POLINT*(ARG~ X(N —K))+Y(N —K)
RETURN
END
8Г8
6.69.
SUBROUTINE POLYN(X,Y,N,KEY,ARG,P,EPS)
DIMENSION X(N),Y(N)
N1=N— 1
IF(KEY) 4,1,4
1 DO 3 I = 1,N1
A»Y(I)
DO2K=I,N1
B = (Y(K)~Y(K+ 1))/(X(K)-X(K+I))
Y(K) = A
2 A = B
3 Y(N)~A
4 P —Y(l)
EPS = 1
DO 5 I = 1 ,N1
EPS = EPS*(ARG—X(I))
5 P==P-|-EPS*Y(I + 1)
EPS = EPS*Y(N)
EPS = ABS(EPS)
RETURN
END
• Интерполяционный полином вычисляется по схеме:
Pn-i (х) = (.. .((Y (N) (х-Х (N — 1)н- Y (N — 1)) (х—Х (N-2)) +
+ Y (N—2))...) (х-—X (1)) +Y (1),
где все выражения, стоящие в скобках, последовательно вычисляют-
ся, начиная с внутренних скобок.
6.70.
FUNCTION POLIN(X,H,Y,N,KEY,ARG)
DIMENSION Y(N)
M = N —1
IF(KEY) 5,1,5
1 DO 3 1 = 1,M
A = Y (I)
DO 2 K = I,M
B=Y(K+1)-Y(K)
Y(K) = A
2 A = B
3 Y(N) = A
F=l.
DO 4 Ix=3,N
FI = 1 — 1
316
F= F*FI
4 Y(I) = Y(I)/F
5 T = (ARG—X)/H
POLIN = Y(N)
DO 6 K = 1,M
6 POLIN = POLIN*(T —M+ K) + Y(N—K)
RETURN
END
6.71. Задание для ЭВМ должно содержать две программные 6ДЙ-
ницы:
а) подпрограмму-функцию
FUNCTION POLIN(X,H,Y,N,KEY,ARG)
б) основную программу, которая для задачи 6.50 имеет вид:
DIMENSION Y(8)
DATA Y/l.958,2.107,2.268,2.443,2.632,2.841,3.071,3.324/
Pl = POLIN(1.8,0.1,Y,8,0,1.89)
P2 = POLIN(1.8,0.1, Y, 8,1,2.43)
WRITE (3,1) P1,P2
1 FORMAT (' F(1.89) = ',F5.3,' F(2.43) = ',F5.3)
STOP
END
6.72. а) Подпрограмма-функция:
FUNCTION POLINT(X,Y,N,KEY,ARG)
б) основная программа (к 6.63):
DIMENSION X(6),Y(6)
DATA X/1.1,1.2,1.3,1.4,1.5,1.6/,Y/2.431,2.928,3.497,4.144,4.875,
$5.696/
X0 = POL INT(Y, X ,6,0,4.498)
WRITE (3,1) X0
1 FORMAT (30X,'F(',F3.2,') = 4.498')
STOP
END
При обращении к подпрограмме-функции POLINT первый параметр
при любых обозначениях есть массив узлов интерполяции, а вто-
рой— массив соответствующих значений функции.
6.73. а) Подпрограмма:
SUBROUTINE POLYN(X,Y,N,KEY,ARG,P,EPS)
б) основная программа (к 6.62):
DIMENSION X(8),Y(8)
DATA X/1.5,1.55,1.6,1.65,1.7,1.75,1.8,1.85/,Y/—1.125,-0.926,
$-0.704,-0.458,-0.187,0.109,0.432,0.732/
317
CALL POL YN(Y,X,8,0,0.569,POLY,EPSI)
WRITE (3,1) POLY,EPSI
1 FORMATf F(X) =0.569, ГДЕ Х = ',Е4.2;
*' С ТОЧНОСТЬЮ ДО ',F5.4)
STOP
END
6.74. /'(2,03) = 1,42249, /'(2,22)= 1,87640. 6.75. /'(1,14) = 1,0704,
/' (1,42) = 1,1698. 6.76. f' (3,02) = 5,63133, /' (3,31) = 7,34833,
6.77. Ho>W=/O;8O77, f (1,03) =0,9914. 6.78. f <1,34) =0,1873,
/"(2) = 12. 6.80. /'(2,5) = 63,5,
/' (1,65) = 0,0741. 6.79. /' (2) = 9,
/"(2,5) = 75.
6.81.
FUNCTION DW1(T, N)
TN = N
s=o.
DW1 = 1.
D=0.
1 IF((T—S).EQ.O.) GO TO 3
DW1 =DW1*(T—S)
D = D + 1./(T-S)
S=S + L
n
• Для K7„(/) = JJ (t—k), n = 0, U
/2 = 0
f n
S ji? ’
^(0=-{ П A = 0
П
Л = 0
4 k тф. v
6.82.
FUNCTION DW2(T,N)
TN=N
TK=0.
SI =0.
S2=0.
DW2 = 1.
IF(T.EQ.O) GO TO 4
1 S1=S1 + 1./(T—TK)
DW2 = DW2*(T—TK)
TK=TK+h
IF((T—TK).EQ.0) GO TO 5
S2 = S2+(1./(T—TK))*S1
IF(S.LE.TN) GO TO I
DW1=DW1*D
RETURN
2 DW1=DW1*(T—S)
8 S = S + 1.
IF(S.LE.TN) GO TO 2
RETURN
END
Vi
v^0, I} et43 n,
t = Vj
2 IF(TK.LT.TN) GO TO 1
DW2 = DW2*(T—TN)
3 DW2 = DW2*S2
RETURN
4 TK = TK+1.
GO TO 1
5 IF(T.EQ.TN) GO TO 3
TK = TK4-1.
S2 = (1./(T~TK))*S1
GO TO 2
END
318
е Для и>„(О = Г[ (/—k)
ft=o
(n ч ® n / n \p
w« t=k} ~
k = 0 J fe = O \/? = o /
/ ✓ n \A n \ ti n
=№n(off^ Tzr^ J ~Xi (/—T^k S t^~j
\\/e=0 / k=Q / /?=0; /=^+1
= 2t0„ P)£ ~ £ при Vi
j=l k=0.
1 /_1 1
Г=7 S ranPHZ==v‘ v=0,1, ...»»,
1 fc = 0
k Ф v
n n
wn(t)^2 IJ (t-k) У
/=v+l
6.83.
FUNCTION РОЫП1(Х,Н,¥^,КЕУ,АК<3)
DIMENSION Y(N)
M —N —1
IF(KEY) 5,1,5
1 DO 3 1 = 1,M
A = Y(I)
DO 2 K = I,M
B-Y(K + 1) —Y(K)
Y(K)=A
2 A = B
3 Y(N) = B
F = l.
DO 4 I=3,N
FI = I —1
F = F*FI
4 Y(I)==Y(I)/F
5 T^=(ARG—X)/H
POLID1=Y(2)
DO 6 I=2,M
6 POLID1 =POLID14~DW1(T,I— 1)*Y(I +1)
RETURN
END
6.84. Подпрограмма-функция
FUNCTION POLID2(X,H,Y,N,KEY,ARG)
отличается от подпрограммы задачи 6.83 следующими тремя операто-
рами '(пятый, четвертый и третий от конца):
319
POLID2 = Y(3)
DO 6 I«3,M
6 POLID2 = POLID24-DW2(T,I —1>Y(I4-1)
6.85. Задание для ЭВМ должно содержать три программных еди-
ницы:
а) программу-функцию FUNCTION DW1(T,N)
б) подпрограмму-функцию
FUNCTION POLID1(X,H,Y,N,KEY,ARG)
в) основную программу, которая для задачи 6.75 имеет вид;
DIMENSION Y(8)
DATA Y/l.0083,1.1134,1.2208,1.331,1.4449,1.5634,1.6876,1.8186/J
DX1 = POLID1(1.,0.1,Y,8,0,1.14)
DX2 = POL1D1(1 .,0.1 ,Y,8,1,1.42)
WRITE (3,1) DX1,DX2
1 FORMAT (' ЗНАЧЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ ',F7.4,
*' ПРИ X = 1.14 И ',F7.4,' ПРИ X = 1.42')
STOP
END
6.86. Задание для ЭВМ должно содержать пять программных
единиц:
подпрограммы-функции:
a) FUNCTION DW1(T,N)
б) FUNCTION DW2(T,N)
в) FUNCTION POLID1(X,H,Y,N,KEY,ARG)
г) FUNCTION POLID2(X,H,Y,N,KEY,ARG)
д) основную программу, которая для задачи 6,79 имеет вид:
DIMENSION Y(6)
DATA Y/l.,5.,21.,55.,113.,201./
DI =POLID1(1.,1.,Y,6,0,2.)
D2 = POLID2(1.,1.,Y,6,1,2.)
WRITE (3,1) D1,D2
1 FORMAT (' ПРИ X = 2 I-Я ПРОИЗВОДНАЯ =<F4.1,
*' 2-Я ==',F4.1)
STOP
END
Глава 6
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 1. Основные методы вычисления неопределенного
интеграла
1. Первообразная и неопределенный интеграл. Функция F (х)
называется первообразной функции /(х), заданной на некотором мно-
жестве X, если F' (x)=f (х) для всех х£Х. Если Ф (х) и F (х)—две
первообразные одной и той же функции f (х), то
Ф (х) = F (х) 4~ С,
где С = con st. Обратно, если F (х) — некоторая первообразная функ-
ции /(х), то {F (х)+С | R}—совокупность всех ее первообразных,
называемая неопределенным интегралом от функции /(х) и обозна-
чаемая знаком f (х) dx. Таким образом, по определению
J/(x)dx = {F(x)+C}, (1)
где F(x)—одна из первообразных функции /(х), а постоянная С при-
нимает действительные значения.
В силу установившейся традиции равенство (1) записывается без
явного обозначения множества справа, т, е. в виде „
J f (x)dx~F (х)4-С,
при этом С называют произвольной постоянной.
Свойства неопределенного интеграла
1. (J f(x)dx^ = f(x).
2. р'(*)* = /(*)+<?.
3. 5 af (x)dx=a^ f (х) dx, а 0.
4 • J (/i (х) + f 2 (х)) dx = J fi (х) dx + h W dx.
ill Под ред. А. В. Ефимова. Б. П. Демидовича
321
Таблица основных неопределенных интегралов
1, ( 1 xndx—%jp[+c —
2* ( |^=1п|х|+С,
з. ( ах Р i a*dx==—-[-С (а > 0, а £ !);• 1 exdx~ex-\~C.
4. k sin xdx=— cosx-f-C,
б. \ cos xdx = sin х+Са
6, ( ' dx , , - , —2~==tgx+Ct I cos?x * dx
7. ( ) S1H2X & ‘
8. ' dx I, x | . ,, 1 -—=ln tg-н* 1 sinx 1 2 1 ‘
9. dx . I . ( x । л \ I =ln|tg (y+T)|.
10. L.^->re,'«+c
11. (-А1-4Н—l+c. J a2—x2 2a \x—a[ 1
12. C • X 1 f . > . 1 J Tra =arcsm t+Ct 'x •< 1a I-
13. ( ’7r^==^~ ln 1 x+ F <2~a2 l+c> Ml>|a|.
14.
15- J sh xdx = ch x+C,
16. J ch xdx = sh x-j-C,
17. C-^-=thx+C. J ch2x 1
18. C dx x. , \ -T«-=—cthx+e, J sh2x
Найти первообразные следующих функций:
1,1, 2Л 1.2, 4^/х. 1.3. - + Л-
1.4. х34-5№-1. 1,5, . 1,6. 1—sin24.
х у х *
322
1,7. - Д . 1.8. е*~*х. 1.9. -^4=-.
Уа+bx f/5x
1.1° . 1.11. 44-• 1.12. 1-8sin2 *2хcos22х.
LUu - лЛ A 1
1.13. cos2 у 4-2 sincos у—sin2у.
1.14. cos (а + х) cos (а—х) + sin (а + х) sin (а—х).
Отыскание неопределенного интеграла с помощью таблицы ос-
новных интегралов и тождественных преобразований называют непо-
средственным интегрированием.
р dx
Пример 1. Вычислить \ __$ s
Р dx Р ^dx Р 1—х24~х2 ,
J х2—x4~J х2(1 — х2) J х2(1— х2)
р dx , р dx 1 , 1 , I 1 + х I t ~
—Ьтг in т-Н+С, ►
х 1 2 1 -—X 1
1— х%
Используя таблицу основных интегралов, найти сле-
дующие интегралы:
1,15, IVmxdx. 1.16.
1.17, ^dx. 1.18. f^±^dx.
J У ax J x
1.19, 2xexdx. 1.20, J (2x + 3 cos x) dx.
* P 2—sinx ,
l.2l . \ «—dx.
J sinzx
1.22 *. a) J tg2xdx; 6) Jthaxdx.
1-24- '“•f/fcr-
1.26. С Р=3-1УЙ. dx, fW Л
J уxi— 9 -J. MJ+x2)
1.28. $ (x + a)(x + b)dx. 1,29, J («1/s +x1/8)8dx.
«л P cos2 x + 3 cos x — 2 *
k3°- j----ж--------dx-
1.31. a) §ctg2xdx; 6) Jcth2xdx.
1.32. Г-..-—-.- . 1.33,
J yxi—i J *2—8
2. Метод замены переменной. Существуют следующие два вари-
анта этого метода в
11*
323
а) Метод подведения под знак дифференциала.
Пусть требуется вычислить интеграл f (х) dx. Предположим, что
существуют дифференцируемая функция ц = ф(х) и функция g(u)
такие, что подынтегральное выражение f(x)dx может быть записано
в виде
f (х) dx == g (ф (х)) ф' (х) dx=g (и) du
(указанное преобразование называется подведением и = ф (х) под знак
дифференциала). Заметим, что выполняется соотношение
J f (х) dx «а J g (ф (х)) ф' (х) dx = g (и) du
Поэтому вычисление интеграла f (х) dx сводится к вычислению ин-
теграла J g (и) du (который может оказаться проще исходного) и по-
следующей подстановке и — ф(х).
Пример 2. Вычислить интеграл sin3 х cos х dx%
Имеем:
ССР и^ I
\ sin3 х cos х dx — \ sin3 х d (sin x) = \ u3du—~r 4
J J J 4 |M=sinx 1
+C=51£i+C. ►
p 2x4-1
Пример 3. Вычислить интеграл \ dx,
J x x—о
Имеем:
(* 2x-|-1 , Cd(x2+x—3) C* du
j J ~№-3 7=
— In I и I Ia = x3 + x--84_^~lnl X2-j-X 3 I 4*C. ►
Операция подведения функции ф (х) под знак дифференциала
эквивалентна замене переменной х на новую переменную п = ф(х).
Пример 4. Вычислить интеграл С ------,
J j/(3x+l)a
Произведем замену переменной по формуле
и = Зх 4 11
Тогда du = 3dxt т. е. dx = ~du и
О
dx
^(Зх + 1)?
rf-Sr=“1/8| +С=/Зх+1 + С,
О I /о V
J U Я = 8х + 1
Выполненное преобразование эквивалентно подведению под знак диф-
ференциала функции u = 3x4h ►
324
Вычислить интегралы с помощью подходящей замены:
1.34. + 1.35. (3 — 4sinx)1/8 cosxdx,
1.36. (chxshxdx. 1.37. {^-dx.
J J tg4x
1.38. f-A~. 1.39. f-^-.
J x ln2x J a-{-bx
x
o P COS —7=r
sec2x , i л* I V 2 .
----r-т— dx. 1.41. I-------------dx.
a~btSX J 2 3<5in—*
K2
1.42. ^ctgxdx. 1.43. ^34*dx.
1.44. J cos (ax+ b)dx. 1.45. J sin (In x)^-.
1.46. fsin/x--^. 1.47. Г---- .
J K* JCos(x-^
1.48. C-4V. 1.49. f *-- dx.
J sh2 3x J 3/x2— 1
1.50. J x*5“*2dx. 1.51, J dx
1 —4x2 *
1.52. p p— ax J l+r?*A 1-53. C
J V 5-3x2 *
, ------. 1.55. C......;s^--
}^9x2 — 1 J К cos2 x + 4
1.56. e x" dx 1 -7 f xdx
J^ + f J /%4 + i '
1.58. C 2'<^rr. 1.59. J a2-\-b2x j cos3 ax
1.60. ]Jch2xshxdx. 1.61. У(7_ie'^2^.
1.62. ^tgxdx. 1.63. ^cth4xdx.
1.64. C fll/x л i ел f
J dx. 1.65. J ch2 (%2 + jj.
1.66. ] (a_b)x2-{a + b) ^<b<aY
1.67. C 1 68 C X(^x
J4x2+7- + y
x2 dx
1.70.
a*
/а2*—1
dx.
325
Применяя различные приемы, найти неопределенные
интегралы.
'-71*- JwH' '-7ЧзТЯЛ-
1.73. C*2.^.2*±3dx. 1.74. f -2->
1-75. 1.76. C .fit1 -Qdx.
j 9—4x8 J x6+5x—8
1.77. $ x8 j/5x4-3dx. 1.78. J (з—~
1.79. f /t1.... dx. 1.80. ।-2 , 2
J /1— 4x2 J a3 + i>V
1.81. 1.82. Je* p/4 + e*dx.
1.83. С dx. 1.84*. СнзЙл,
J Ke2*+4 J 2*4-1
1.85. ГЛ!2^±£+
J Kl-x?
C X^x2 — 1
1.86. dx.
dx '
dx.
dx.
dx
x К1—4 In x
1.92.
1.90* . \sin2x
dx
x
sin
1.87. J КЗ —chxshxdx.
1.89. C—Л dx
J x у 1 —4In2 я
1.91*. ^cos2xdx.
1.93. J (sin^ + cos#x)2dx.
1.95.
J cos 2x
dx. 1.97. f - .. dx.
J ycos4% + 3
1 АЛ C dx
p x2
1.94. \ —^dx.
J COS (Xs)
1.96. f
J V 3— cos2 x
1.98*.
J Sin X cos x J ctg Кз X
1.100. J thaxdx. 1.101, J tgz (ax-j-b) dx.
1.102. $x2ctg2(x8-3)dx.
1.103. esec x tg x sec x dx.
б) Метод подстановки. Пусть требуется вычислить интег-
рал \ / (х) dx} где функция / (х) определена на некотором множестве X,
326
Введем новую переменную и формулой
х = ф(4/):
где функция ф (и) дифференцируема на некотором множестве U и
осуществляет взаимно однозначное отображение U на X, т4 е, имеет
обратную
ц = Ф~х (х): X Ut
Подставив х=ф(&) в исходное подынтегральное выражение, получаем
f (%) dx~ f (ф (ц)) ф' (и) du=g (и) dut
Далее, справедливо равенство
р (X) dx = J / (ф («)) ф' (и) du 1^., w = Р (и) du 1^.,
т. е. вычисление интеграла / (х) dx сводится к вычислению интег-
рала J g {и) du (который может оказаться проще исходного) и после-
дующей подстано вке и == ф ”1 (х).
гт к г» (* 1,
Пример 5. Вычислить интеграл I -------dx,
J 1 + V х
<0 В рассматриваемом случае область определения подынтегральной
функции Х=[0, +<х>). Произведем подстановку
х = ф(ц)=ц2, ц£[0, 4-оо).
Тогда dx = 2u du, ц = ф~1 (х) — х, откуда
f l + x а о f ^34-ц ,
| ---L-7=-dx = 2 \ —~~du —
J 1+ K X J «+1
=2 J (u?—u+2)du—4 J j
+2u"j — 4 In (и+1)+C| =
) |u=y x
= 2 —p+2xI/2^ — 4 In (K x+ 1)+C.
Применяя указанные подстановки, найти интегралы:
х = (1 —
2
1.104. С -- ,
J х К1 — х3
1.105. С
J х К4—х?
< inn С dx
X = t2.
-7 , . dx,
ех 1 ’
х= Int
327
Применяя подходящие подстановки, найти интегралы:
1.108. Сх (5х — I)1’ dx. 1.109. С е3х J J У1-е*
1.110. С * + 2 , 1 ' ..— dx. J Ух+1+1 1.111. J (3—х)’ dx‘
1.112. Г dx 1.113. f* dx
J /3+е* ' J X Vx2+1 ‘ s
3. Метод интегрирования по частям. Если u(x) и y(x)—диффе-
ренцируемые функции, то справедлива следующая формула интегри-
рования по частям:
J и dv == uv— J v du. (2)
Эта формула используется в тех случаях, когда подынтегральное вы-
ражение f (х) dx можно так представить в виде и dv, что стоящий в
правой части (2) интеграл при надлежащем выборе выражений и и dv
может оказаться проще исходного интеграла. При этом следует иметь
в виду, что к и следует относить множители, которые упрощаются
при дифференцировании. Например, если под знаком интеграла стоит
произведение многочлена на тригонометрическую или показательную
функцию, то к и следует отнести многочлен, а оставшееся выражение
к dv. При этом формула (2) может применяться неоднократно.
Пример 6. Найти х? cos х dx.
«4 Полагаем и — х2 и dv~ cos xdx. Тогда du — 2х dx и cosxc/x=
= sin x (постоянную С здесь полагаем равной нулю, т. е. в качестве v
берем одну из первообразных). По формуле (2) имеем
х2 cos xdx — x2 sinx—J 2xsin xdx.
К стоящему справа интегралу снова применяем формулу интегриро-
вания по частям, причем к и снова относим многочлен (т. е. 2х).
Имеем: и — 2х, dv—-sin xdx. Отсюда
du~2dx и y=^sinxc/x =—cosx.
Применяя формулу (2), получаем окончательно:
J х? cos х dx = x2 sin х——2х cos х— (—cosx) 2dx^ =»
=х? sin х + 2х cos х—2sinx-|-C.
Если подынтегральная функция содержит сомножителем логариф-
мическую или обратную тригонометрическую функции, то их следует
принимать за и, так как в результате дифференцирования эти функ-
ции упрощаются.
Пример 7. Найти \ Inхс/х.
328
Полагаем w=lnx, dv — dx. Тогда du — — и v = j dx~x. Подста-
вив в формулу (2), находим
р С dx
\ In х dx — х In х— \ х • ~==:Х In х—x-j-C. ►
Иногда после двукратного применения формулы интегрирования
по частям, приходим в правой части к выражению, содержащему ис-
ходный интеграл, т. е. получаем уравнение с искомым интегралом в
качестве неизвестного.
Пример 8. [Найти J еах sin bx dx.
Полагаем и—еах, dv=sin bx dx. Тогда du—aeaxdx, v—-\-cosbxt
-я
Подставив в (2), имеем
Р 1 а С
\ еах sin bxdx = — еах cos bx-\- \ еах cos bx dx.
Теперь полагаем и — еах, dv — cos bxdx. Тогда du — аеах dxt
1
V = -rSinbX и
b
0 1 CL ( Cax Cl C \
\ eax sin bxdx =-r eax cos bx-\- — -r- sin bx—- \ ec*sin&xdx ).
J b \b \ b b J )
В итоге получено уравнение относительно неизвестного интеграла
еах sin bx dx. Решая это уравнение, находим
Л , \а2 \ С . asin bx— b cos bx
( 1 +“^2 ) \ e sin bx dx = eax---£2------|-Cf,
или
P Л , eax (a sin bx—b cos bx) , .
\ e**sin bxdx=---*--------------"+c- >
J a2.-[-b* '
Применяя формулу интегрирования по частям, найти
интегралы:
1,114. ^arccosxdx. 1.115. Jxcosxdx.
1.116. JxlnxcU. 1.117.
1.118. J (x2 — x+ 1) Inxdx. 1.119. Jx2sinxdx.
1.120. ^x2e~xdx. 1.121, J x3exdx.
1.122* . ^x3e-xidx. 1.123.
J 0 x*
1.124. Cx arctg xdx. 1,125, *dx.
v COS X
329
1.126. [eaxcos bxdx. 1.127, $earccos*dx.
1.128. § In(x + f/l + x2)dx. 1.129. ^x3lnxdx.
1.130, J x3xdx. 1.131. J (x2 — 2x + 3) cos x dx.
1.132. 1.133. fcos(lnx)dx. ’
CUb - Л J
Применяя различные методы, найти интегралы:
1.134* . Jer^dx. 1.135. J х(arctg х)2dx.
1.136. J^^dx. 1.137. j* xctg2xdx.
1.138. \^^dx. 1.139*. f, 2f .^dx,
J ex J (x2+l)2
1.140**, Вывести рекуррентную формулу для интег-
рала 7„= Найти 72 и 73.
Найти интегралы.
. 1.141**, { j/x^-padx. 1,142**, C-^jL^dx.
J J У a?—x?
1.143. Cxarcsinxdx. 1.144. C --n lnx^ dx.
J J x
1.145. ^x2arctgxdx. 1.146. f-cs‘l£? dx.
J J У 1—x
1.147*, $ /a3—x2dx.
§ 2. Интегриг звание основных классов
элементарны функций
1. Простейшие интегралы, содержащие квадратный трехчлен.
Интегралы в г д а
Г ____dx___ Г dx
J cx24-Z>.v-|-c И J J/ax2+Z>x-fc
приводятся к табличны л интегралам 10—14 (см. п. 1 § 1) путем вы-
деления полного квадрата в квадратном трехчлене.
Пример 1. Найти С ----—~х- t
J К1—4х—хЗ
Имеем:
dx С dx . х + 2 ,
.......~-==г== I -----.,.—^- — arcsin ^r-4-C.
/1—4х—х2 J К5-(%+2)2 Кб
330
Интегралы вида
тх-\-п
ax2 + bx-^c
dx и
f ,
J У ах% Ьх-]-с
приводятся к интегралам вида
dx
ах2 + Ьх-\-с
dx______
У~ах2-]-Ьх-}-с
и
путем выделения в числителе производной 2ах-\-Ь квадратного трех*
члена.
р %_____j
Пример 2. Найти \ _——г dx.
1 г J3x?+2х+1
1 4
Так как (3x? + 2x-j-l)'==6х-]-2, х—1 =-£-(6х-|-2)—5 то
о <э
1 , / О Q । п 114 2 4” 1 <
= -^1п(Зх?+2х+1)-----arctg-y=--|-C. >
Интегралы вида
С---------(г = 1, 2)
J (тх-\-п)г У ах2 -[-Ьх-\-с
dx
сводятся к рассмотренным выше интегралам
тх-\-п ==-~ .
Пример 3. Найти | ... =
J к J/x?—2х—1
Полагаем х=-р. Тогда dx = —, р
,/~1 2 ' V Т^2Г^
Угт1’1—’— "
р dx
с помощью подстановки
t
р_________dt__________
\ ~ i К1 —2Z—/г
J<?._----------------
= —=— arcsin 4~ С=
2—(< + 1)2 /2
п , * + •
>= — arcsin —-^=г 4- С — — arcsin —
X /2
х Ух2— 2х—1
331
Найти интегралы:
2 1 С________
J х2+4х-5*
2.3. [ .
J У$х— х2
2.5. f~74-
J X2—6х
2.7. [-А\,
J х2 — 5x4-4
2.9. [
J /2—х—х2
nil С_____х dx__
J х44-6х2+13 ’
2.13. С
J х2 — 2x4-6
о - - Г dx
2.2. С-----—-----.
J 2х2—4x4-5
2.4. f /._...dx..
J V^x2+px-[-q
o n C dx
J/4—6х—Зх2’
dx
72—3X_|_3-
’ 3 ,
dX.
/х2 —6X4-1
’ 3* * х dx
I З2*—4-3*4-3'
Г ==?......dx.
dx
х /’х2 4- 8х 4-1
_______dx______
х2 У1 —х 4-2х2
(x—1) Убх— x2—5 ’
dx
(%+2)2 )/x2+5‘
^4
2. Интегрирование рациональных дробей. Дроби вида ---------,
А Ax-f-B х4х+# о о яо
-------г , -----!!, где 6 = 2, 3, ...; А, В, а, р,
(х—— a)k x2A~px-\-q (x2-\-pxA~q)k
q — постоянные, причем р2—4.q < 0, называются простейшими.
Интегралы от простейших дробей первых двух типов находятся
элементарно, интегрирование простейшей дроби третьего типа рас-
смотрено в примере 2.
Интегрирование дроби четвертого типа после выделения в числи-
теле производной квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе и
выделения полного квадрата в этом трехчлене, сводится к вычисле-
нию интегралов
J (х2 + рх + q) ~k d (х2+ рх+ q) =
(k— 1) (x24"px-{-q)k-i
и
Последний интеграл может быть вычислен по рекуррентной формуле
(см. задачу 1.140).
Р (х)
Интегрирование произвольной рациональной дроби —
Qn (х)
&тХт 4“ • • • "4“ ч ..
да=-т—------л-т—р-7— с действительными коэффициентами в общем
. - +М + 0о
случае производится следующим образом.
332
Р (х)
1) Если т^п, т. е. исходная дробь 7—7— неправильная, то
Ч.п \х)
следует предварительно выделить в этой дроби целую часть, т. е.
представить ее в виде
Р т W
Мт-П
(X)
(О
где Мт_п(х) и Rr (х)— многочлены степеней т—n^Q и г соответ-
ственно, причем г < п, т. е. дробь -=-- ) правильная.
Qn \х)
Р (х)
Выделение целой части в дроби -~т ~~ производится делением
Qn \х)
числителя на знаменатель «уголком».
Пример 4. Выделить целую часть дроби
Рт(х)__ (*2 + 1)3
Qn (х) х(х2— 2x4-1)*
Дробь неправильная, так как т = 6 > п~3. Для выделения целой
части записываем числитель и знаменатель в каноническом виде:
(х24- I) = x6 + 3x4 + 3x2+1,
х (х2—2x4-1) — х3—2х?+х,
и далее, выполняя деление «уголком» первого многочлена на второй,
получаем в частном х34~2х2 4-6x4-10, а в остатке 17х2—10x4-1*
Следовательно,
x(^)b)^3+2-2+fa+10 +
17х2— 10x4-1
х3 — 2х24-х
и выделение целой части закончено.
2) Как показывает формула (1), операция выделения целой части
сводит интегрирование произвольной рациональной дроби к интегри-
рованию многочлена и правильной рациональной дроби.
Интегрирование правильной рациональной дроби ,т < п,
Qn \х)
производится разложением дроби в сумму простейших дробей указан-
ных выше четырех типов с последующим интегрированием.
Указанное разложение осуществляется следующим образом. Пусть
знаменатель Qn (х) = апхп-\-.. .4-«ix4-^o имеет действительные корни
ах, ..., az кратностей sx,_..., si и комплексно-сопряженные пары
корней pi, рх, ...» рд, Р/г кратностей ti, ..., соответственно
(si4~ • • *4“5z4~2^i4- • • •4"2//г = п), т. е. справедливо разложение
Qn (х) = вп (х—«i)S1 • • • (x~^i)s^ (x2+pix+qi)fi * * * (x2+Pkx+4k)*k>
где
х2+Рчх+Яур=(х—Pv) 0—Pv)> ^ = 1,
k.
333
P (х)
Тогда разложение дроби в сумму простейших имеет вид
ч.п w
Pjn (*) _ , л*?
Qn(x) х—«1 ’ * (х—ai)si ‘ ’ x—at '
Л(? R(1)v l r(1) R(1L > Г(1>
। I 1 । X~]~Ct^ ।
* "Г (х—a;)sZ -«2 + Р1^+?1 (х2+ /?!* +<71)6 ‘ м
R(fe) , r(ft) о(*> I
। । । Btkx-\-Ctk /9ч
*”’Г х2 + рАх+<7й "* ”'Г(х2+рйх+дА)^ * u
Коэффициенты Л/, В/ и Сг* в этом разложении определяются путем
приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях х у многоч-
лена Рт (х) и многочлена, который получается в числителе правой
части (2) после приведения ее к общему знаменателю (метод неопре-
деленных коэффициентов). Можно также определять эти коэффициен-
ты, полагая в равенстве (2) или ему эквивалентном х равным подхо-
дяще подобранным числам (в^ первую очередь значениям действитель-
ных корней знаменателя Qn (х)).
ГТ г ТТ 3» С х2+4x4-4 ,
Пример 5Й Найти \ —?-------А^-^хе
J х(х— I)2
х24~ 4x4- 4
Дробь ‘ *_1^2“ правильная, ее разложение в сумму простей-
ших дробей имеет вид
х2 4~4х4~ 4 Л . В . С
х (х — I)2 2=5 ~ ‘ х— 1 ‘ (х—I)2 *
Приводя правую часть к общему знаменателю, получаем
х2 4- 4х 4- 4 = А (х —1)24- Вх (х— 1) 4- Сх (3)
(тождественное равенство числителей), откуда, приравнивая коэффи-
циенты при одинаковых степенях х, имеем
44-В = 1, —24 —В4~С = 4, А = 4>
и далее находим
В = —3, 6 = 9,
Следовательно,
-----U ’ 1Л = ‘
J х(х—I)2 J \х X—1 1 (х— I)2 J
о
= 4 In | х | —3 In | х—1 1“ ——р 4“
Можно было бы определить коэффициенты А, В, С, полагая в тож-
дестве (3) х = 0, х=1 и, дополнительно, х = — 1, Тогда при х = 0
находим 4 = 4, при х = 1 получим С = 9, а при х = —1 имеем 44 4-
4-2В —С<=1, т. е. В = —3.
При решении этого примера лучше всего было бы комбинировать
1-й и 2-й способы, т. е4 найти 4 = 4 при х = 0, С = 9 при х = 1, а В
334
определить из условия равенства коэффициентов при ха в (3), т, е,
из равенства Л4-В = 1,
Пример 6, Найти
dx
X (Х2+ 1)2
◄ Дробь х(х2+‘1)2
дробей имеет вид
правильная, ее разложение в сумму простейших
1 Л Вх+С , Dx+E
х(х24-1)2~х + Х2+1 + (х24-1)3*
Имеем
1 = Л (х2+1)2+ Вх* (х24-1)4-Сх (х2+ 1)+£х2+ Ех.
Полагая х = 0, находим Л = 1. Приравнивая коэффициенты при оди-
наковых степенях х, получаем 0 = Л-|-В, 0 = С, 0 —2Л-ф-^4-^,
0 = С+£, т. е,
£ = — 1, С = 0, £> = —1 и £=0.
Следовательно,
dx — СР
X(X2+1)2 \Х
X X \ л _
хЧТ (х2+1)2Гх=щ
==1п|х1-41п(х2+1) + гр1-Г)+С.
Заметим, что разложение дроби
но получить и не применяя метода
а именно
1
X (х2+ I)2
на простейшие мож-
неопределейных коэффициентов,
1 (14-х2)—ха 1 х
Х(Х2+1)2 ~~ X (Х24-1)2 Х(Х24-1) (Х24-1)2
(14~х2)—*2 х 1 х х
~ х(х24-1) (ха4-1)2 ~х~хНЛ (*2+ I)2*8
Найти интегралы:
2.19, ( * dx
1 (х-3)(х+4)’
2.21. ( ’ х8 + 2 , | х3 —4х
2.23. ( . Зх2+2х-1 , 1 (х-1)2(х + 2)“л-
2.25. 1 ’ dx
1 х(х24-2)
2.27\ Г (х—1) dx J (*2+'1)«
2.29. ( ‘ dx
(х—а) (х—Ь) ‘
л пл С 2х2—1 ,
2,2°’ J Xs—5х2 + 6х dx‘
2 22 С х4 + 3х3 + 3х2-5^
‘J х3+Зх2+Зх+1 ах‘
2.24, С 2^~г Л^- dx.
J (х2—5х4-4)3
л пл С dx
х dx
9 9 Я* . ________________
• J (X—1)(х24-х+1)2 *
9 ЧП С______х2 *4~4______ .
* ’ J (х4-1)(х-2)(х-3) aXt
335
P dv
2.31.
J х3+8
2.33. f dx.
J я4— 1
5x—13 л
(x2—5x+6)2 aXt
dx
х4+2х2+Г ‘
Найти интегралы, не применяя метода неопределенных
коэффициентов:
2-35‘- 2-36’-
2-37.у-,_£, + 3. 2.38-.
2-39-j Т’тгг • 2'40‘- J (.-+1И,._2)
2.41. f dx. 2.42. f dx.
J (х+09 J х94-х3 — 2
3. Интегрирование тригонометрических и гиперболических
функций.
а) Интегралы вида smOTx cosnx dx.
Если хотя бы одно из чисел т или п—нечетное положительное
целое число, то, отделяя от нечетной степени один сомножитель и
выражая с помощью формулы sin2x+cos2x—1 оставшуюся четную
степень через дополнительную функцию, приходим к табличному ин-
тегралу.
Пример 7. Найти
sin3 х
J7^dx-
Имеем:
sin3x
7-7= ax =
1/ cosx
sin2x C 1—cos2x
•7= sin x dx = — I -7 z-- - d cos x =
/ cos x 1 ?/ cos x
cos х
= d cos x ==
cos x
4 4
3 v
Если же m и n—четные неотрицательные числа, то степени по-
нижаются посредством перехода к двойному аргументу с помощью
тригонометрических формул:
9 l + cos2x . „ 1—cos 2х
cos2 х = ——g------, sin2 х =----------
sin х cos х = у sin 2х.
Пример 8, Найти \ sin2x cos4хс/х.
336
Имеем:
J sin2 х cos4 х dx = (sin x cos x)2 cos2 xdx —
0 sin22x 14-cos2x , 1 (* . 2n , .
«« l —---------*_------dx =x --- \ sin2 2x dx-}*
• 1 C . on л j if i—cos4x , ,
+ -g- \ sin22x«cos2xdx = -£- I ---------dx-|~
। 1 C • 9 n j • n x ein 4x , sin3 2x , л .
+ -id s-n22xdS1n2x = -ig--------—+ ___ + C.
Если m-}-n ——2k, к e. m-\-n является целым четным
отрицательным числом, то целесообразно использовать подстановки
igx — t или ctgx = /.
Пример 9. Найти sin1/8 х cos'"13/3 х dx.
. 1 13
Так как —------— 4, т0 вычисление интеграла сводится к
о о
интегрированию степеней тангенса:
J sin1/3 х cos'" 13/3 х dx = у tg1/3 = у tg1/3 х (1 +
+ tg2Jtgl/3 + ytg7/3 xc/tgx=3S
^^tg4/3x + -^tg10/3x+C. ►
Для вычисления интегралов вида^ tgz7z х dx, Jctg^xdx, где
tn = 2, 3, используются тригонометрические формулы
tg2x —sec2x—1, ctg2 х = cosec2 х—1,
Пример 10. Вычислить ctg 4 х dx.
◄ Имеем:
ctg4 х dx = ctg2 х (cosec2 х — 1) dx =
= —- J- ctg2 x d ctg x — (cosec2 x— 1) dx =
= _ _£M_L_|_ctgX_|_x+c> ►
В общем случае интегралы вида j sinOT х cosn х dx, где т и п —
целые числа, вычисляются с помощью рекуррентных формул, кото-
рые выводятся путем интегрирования по частям.
Пример 11. Вывести рекуррентную формулу для^*
С dx
и с ее помощью наити \ —з— .
J cos3 х
337
sin2 x-р cos2 х
cos2£ + i x
dx (
4 Имеем:
/2ft+l==jc5s^+ix
— C s^n2x j ।
cos2^ + 1x k ’ J cos2/e_-1x
Полагаем w = sin x, dv =—*—dx. Тогда du = cos xdx. v *=
COS2ft + iX
sinx f ‘
s,n* соТ»Г-и/^+ z2A-i«
2k cos2Tx * И интегРиРованием 110 частям получаем
J _ sin x
7^+i- cos^ x
If dx t f
2k J cos2*-** "г"
ИЛИ
^2fc + i
sin x ,7 1 \ ;
— 2/scos2*x + V“”2T/ /2/г”1
(рекуррентная формула).
В частности, при /г = 1 имеем
dx __ sin х
cos3 х 2 cos2 х
1 { dx
2 J cosx
sin x , 1 . , . , , , _ .
^2cos2r + ~2 lnl tgx+secxl + C, >
Zr WO А» Xr
Найти интегралы:
2.43, ! । sin3 x dx. 2.44. 1 P sin3 x , i J— dx. ) cos8x
2.45, ( i cos7 x dx. 2.46. J cos4 у dx.
2.47. 1 । sin2xcos2xdx. 2.48, § cos2 x sin4 x dx.
2.49. 1 ? dx 2.50. P sin2x , J cos6 x
) sin6 x
2.51. ' ? dx 2.52. P dx
) sin3 x cos1? x J sin4 x cos2 x *
2.53. t 1 COS 1 X + qr J ] —3 dx. J sin X cos X 2.54. dx 1 COS5 X ‘
2.55,1 i tgsxdx. 2,56. J (ctg3 -§- + ctg4y)cfx.
2,57, ! Г dx 2,58, J cos3 x dx.
J P^CGS X sin3 X
2,59. p sin3 x 2,60, 1 sin3 2x dx.
) У cos x
838
2.64. I cos xcos2 2xdXi
б) Для интегрирования произведений синусов и косинусов раз-
личных аргументов применяются тригонометрические формулы;
cos a cos Р = ~ (cos (а—(3) + cos («+Р))г
sin а sin р = у (cos (а—р)—cos (а+ Р))?
sin а cos Р = i (sin (а—Р) + sin (а-j- Р)),
Пример 12, Найти cos 9х cos бх dxt
Имеем
cos 9х cos 5х dx =
cos 14х) dx =
* sin4x4-Asin 14x+t?,
O 40
Найти интегралы:
2.65. J sin Зх cos 5x dx.
2.67. C cos 4- cos -^dx.
J z о
2.69. \ cosxcos23xdx.
2.66. j sin lOxsin 15xdx.
2.68. J sin cos -y- dx.
2.70, \ sinxsin2xsin3xdx.
в) Интегралы вида
R (sin x, cos x) dx>
где R (a, t»)—рациональная функция двух переменных, приводятся и
интегралам от рациональной функции нового аргумента t подстанов-
X
кой tg-g- = ^, При этом используются формулы
9/ 1__/2 О dt
cosx=-TTF5
P dx
Пример 13, Найти \ >
F r J 4cosx-|-3 sinx+5 *
339
Полагаем tg.-^- = /. Тогда
C /* 2 C-
J 4 cos *4-3 sin *4-5 \
__________J/________
4тт£+3-ттн-+5) <‘+
C dt __ 2
J (<+3)« “ <4-3 + =
2
tg f+3
Если под интегралом sin x и cos x содержатся только в четных
степенях, то удобнее использовать подстановку tg* —/.
Пример 14. Найти С ----dx. %- .
r r J 1—5 sin2*
Разделив числитель и знаменатель на cos2 * и используя подста-
новку tg* = /, получим:
Г dx________С______dig х
j 1—5sin2*~J 14-tg2*—51
dt _ 1
1—4/?— 4 П
+»
14-2/
1—2/ (
1 4~2 tg x
1 —2 tg x
dx
Найти интегралы:
9 71 С ____________
J3cos* + 2‘ j 3—2sin*4~cos*‘
2.73*. \r^~dx. 2.74. fr— dx7---------
J14-sm* J 4 sin2*—7 cos2*
Л __ C sin* * o «о C sin 2* ,
2-75- J cos? x—2 cos *+5 dx" 2'76, J l+4cos?xdx‘
2,77. C . 2.78*. C-r-—-r-^------------n-
J 2—sm* J (sin*4-4) (sin*—1)
2.79. C|+cttgx^- 2.80. f 2 , 0 -—— , 19-----2~-
J 1—ctg* J sin2 *4-8 Sin *COS *4- 12 cos2*
г) Интегрирование гиперболических функций производится ана-
логично интегрированию тригонометрических функций, причем исполь-
зуются следующие формулы:
ch2*—sh?x —1, sh * ch *=-^-sh 2*,
ch2x=-i- (ch 2*4-1), sh? * = y (ch 2*—1),
1 — th?* = sch?*, 1—cth2 *~csch2 *,
Найти интегралы:
2.81. Jch23xdx. 2.82а ^sh32xdx.
340
2.83. ^sh2xch2xdx. 2.84. J ch4 x dx.
“•jsranfe
2.87*. 2.88. J]/chx+ Idx.
2.89. Jcth3xdx. 2.90. ^th4xdx.
4. Интегрирование некоторых иррациональных функций, а) Ин-
тегралы вида
где R (х, у, z, ...)— рациональная функция своих аргументов, tnt,
т2, п2, ...»—целые числа, вычисляются с помощью подстановки
ax-\-b л о т2
---!—z=ts. где s—общий знаменатель дробей — , — ,
сх + d Щ п2
ТТ 1С 1_Т V С dX
Пример 15. Наити \ у----:-------г---— .
J (/х+3-1) Ух + 3
Производим подстановку х+3 = /4. Тогда dx = 4t3dt, и, следова-
тельно,
С д -;f м — (LSL-, С ('-)+'д
= 4 (t ~Т In | t— 1 |) 4~ C = 4 (j/"x-j- 3 + In | j/”x + 3— 1
Найти интегралы:
2.91. С--2.92. С—^L-,.
J (5 + *) 1^1+* J у/ 2х—3
2.93. f--^з7=. 2.94. f----_________\dx-
J У^х—у х J (* + #) (1 + v * + а)
2-»-уГа<Л.- 2-’Чр^-
2-97^(РРР' 2-98-Н/й>
б) Вычисление интегралов вида
f R (х, У ах2 + bx + с) dx,
где R — рациональная функция двух аргументов, производится е
помощью тригонометрических подстановок следующим образом. Вы-
делением полного квадрата в квадратном трехчлене и последующей
\ 341
заменой переменной исходный интеграл приводится к ин-
тегралу одного из следующих трех типов!
1) J R(u, V"i^u2)du,
2) J R (и, ]KZ? +u2) dut
3) ^R («, I^m2—Z?) du.
Последние интегралы тригонометрической или гиперболической подста-
новкой соответственно
1) w = /sin/ или u—lthti
2) и = I tg t или и — I sh tt
3) и = / sec t или и = I ch t
приводятся к интегралам вида J R (sin t, cos t) dt или /?(sh t, ch t)dt.
p dx
Пример 16. Найти I.......... - ,
JK(^ + 4x+7)»
Выделяя полный квадрат в квадратном трехчлене, имеем
dx С du
-7=============Г- = | , где w = x4-2,
К(j?4-4x+7)s J K(«2 + 3)3
_ i/"3
Производя теперь подстановку и=
3tgZ’ du=^Ttdt'
= Y 3 sec получаем:
Г dx
J К(*- + 4*+3)3
- Sin^ + C^A ,+С
3 3 + З 3 /х?+4х+7
Пример 17. Найти j/x2—cfcdx,
◄ Производим подстановку х ~ a ch t. Тогда dx = a sh t dtt
У x*—a% = asht, и далее
р „______ р //2 р п2 /sh 9/ \
\ Vx*—a2dx = a3 Uh? tdt^-% \ (ch 2/— — (^1Г~Ч+С=<
=y (shZch/—Z) + C=-i- J<x2 —jln|x+ /х2—a2| + C, >
С Л Л 1 f
I --------------dt =— \ COStdt =
J COS? t Y33 sec3 3 j
Найти интегралы:
2.99. f-----^7==- 2.100. C—-----------7-^-7==.
J (х2-3) К4-xj J (x?+1) (x+ /x2+1)
2.101, f 1>/yg~1dx. 2.102. \-^=dx.
J * J /a2—xi
342
2.103. J/l — 2x— x*dx. 2.104. J V(3 — 2x —x2)sdx.
2.105. 2.106. [ VjEEldx.
2.107. J /x2 —2x+10dx. 2.108. $/4x —x2dx.
2.109. 2.110. C -fi = dx.
J J V\2-a2
2.111. . f r dx 2.112. ( V(х2 - 1 )8 dx. J И(х2 + 9)3 J
§ 3. Смешанные задачи на интегрирование
Найти интегралы:
3.1. j *t3, -Л dx. 3.2. f-3-*3 . dx. x^ + 2x + 4 Jr-x— 1
3.3. J dx n д C dx (x—2)2(x+3j- J’J’ J (x3-l)2’
3.3. J dx p P x dx x»(x«4-l)2‘ • • J /'x2+x+2‘ s
3.7. J ln_x_^z 3 8 f x У 6-4-4 jn x—ln!x J x j/x2-J-8x+4 "
3.9. ( xYx- — 4 dx. 3,10, xV— 5dx.
3,11. ?/x? + 4x + 5dx. 3.12, \ ——~^==.
•> J (х2 + 9)/16—х?
3.13. Г xdx g 14 Г dx ) J/x«4-16’ J У(х2+4)?
3.15. fr-T'.+i- 3-ie-b-U/!±>
3.17. 1 f ,sinx-dx. 3.18. C ,4-n - • ) 1—sinx J 1 -|-COS X
3.19. f (I 3-2°- J 2+t^
3.21. 1 fsJln-,. 3-22'f
3.23. f ^cxfedx. 3.24. f-^^dx. J У .5—sec2 x J sinx+5
3.25. Г* dx 3 26 C — ) sin x cos! x * ’ “ J cos0 x ‘ 343
3.27. 3.28. f х sinx cos 2xdx.
8-29-1жж-
3.31. J th?xdx. 3.32.
3.33. 3.34. $ sin2 (Inx)dx.
3.35. J xe2x dx. 3.36. J xe~x2dx.
о o7 C ex dx „ „„
3-37. e2x_|_4ex_5- 3.38. j aXbx dx.
3.39. $ garcsin 3.40. J |/’gX_l dx.
3.41. 2+^dx. 3.42.
J x2 Kl— x2 j gX
3.43. ^^^dx. 3.44. Jx(l +x2)arctg xdx.
3.45. jln ц+У" dx. 3.46. $ x in (4 + x4) dx.
3.47. J x/х2 + 1 In/х2—1 dx.
3.48. f * -rln ........dx.
J К1—x2 К1 —x2
3.49. ( Xх (1 + lnx)dx. 3.50. C dx.
J 7 J ex,i(l -j- ex)
§ 4. Определенный интеграл и методы его вычисления
1. Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Если
функция f (х) определена на отрезке а^х^Ь и а = х0 < х± < х2 <...
...< xn^i < хп~Ь— произвольное разбиение этого отрезка на п час-
тей (рис. 56), то интегральной суммой функции f (х) на [а, Ь] назы-
вается сумма вида
п
sn=
/г = 1
где Axk = xk—k—1, 2,3,..., я. Геометрически
Sn есть алгебраическая сумма площадей прямоугольников, имеющих
основания Дх^ и высоты f (5л).
Если определенная на отрезке [а, Ь] функция f (х) такова, что
существует конечный предел последовательности интегральных сумм
Sn при условии, что наибольшая из разностей Дх# стремится к нулю,
причем этот предел не зависит ни рт способа разбиения отрезка [a, b\
на отрезки [^-1, ни от выбора точек на этих отрезках, то
344
функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [а, 6], а сам
предел называется определенным интегралом от функции f(x) в пре-
ь
делах от а до b и обозначается символом J f (х) dx. Таким образом,
а
п
f(x)dx*= lim
тахДхй-> о fc=1
(1)
Непрерывная на отрезке [а, 6] функция f (х) интегрируема на этом
отрезке.
Геометрически определенный интеграл (1) представляет собой алгеб-
раическую сумму площадей фигур, ограниченных графиком функции
g — f(x), осью Ох и прямыми х — а и х~Ь> причем площади, распо-
ложенные выше оси Ох, входят в эту сумму со знаком плюс, а пло-
щади, расположенные ниже оси Ох,—со знаком минус,
2
Пример 1. Вычислить Jx2dx, рассматривая определенный
1
интеграл как предел интегральных сумм.
1-й способ. Разделим отрезок интегрирования [1,2] на п рав-
ных частей длины Дх = —. Точки деления:
п
Хо = 1, хх = 1 + — , х2 = 1 + — ? х„_1 = Н—
В качестве точек выберем, например, левые концы каждого час-
тичного отрезка, Тогда
/w=i, »•
f , v Л . и —IV
...»——) .
345
Следовательно,
/2П-1 n-i -
=^(n2+(n+l)2+(n+2)2+...+(2n-l)2) = l( £ *2~Z>2
\/г=1 Л=1
Применяя формулу суммы квадратов целых чисел
п
/г = 1
_/г(п+1)(2п+1)
6
находим
1 / (2и — 1) 2п (4/2—1) (п— 1) п (2п-~ 1)
6 6
__14п2—9/2 +1
6/г2
откуда
х2 dx = lim
/г->оо
14п2-—9« +! 7
6п2 ~ 3 '
2-й способ. Разобьем отрезок [1,2] на части так, чтобы
абсциссы точек деления образовали геометрическую прогрессию:
х0=1> x1=q, x2 = q2, xn^i — qn~l, xn = qn—2,
где <7 = 21//1. Точку выберем на левом конце Л-го отрезка. Тогда
/ (х0) = 1, /(Х1)=<72> /(х2)=94, /(хп-1) = <72<п-1),
Lxt = q — 1, bxi = q2—q = q(q — \), kxs — q2(q—\),,„
...,H.xn = qn-i(q-\)t
S„ = l-(?-l) + 93(<?-l)+?e(<7-l) + ...-|-93<n-l>(9-l) =
о3п______________________________________________1 лЗтг___i
23 —1 7
~ 22/n + 2^п +1 22^n + 2W +1 *
Следовательно,
2
§x2dx 2?/«+2i/«4-l =-3 ' ►
Вычислить определенные интегралы, рассматривая их
как пределы соответствующих интегральных сумм:
4.1*.
4.3*.
5 JT/2
$(14-x)dx. 4,2*, QQSxdx.
о о
10 з
J exdx. 4.4*
0 1
346
2. Вычисление простейших интегралов с помощью формулы
Ньютона — Лейбница. Если F (х)—одна из первообразных непре-
рывной на [а, Ь] функции f(x), то справедлива следующая фор-
мула Ньютона — Лейбница:
ь
f(z)dx=F(x)|*=F(&)-F (а).
е2
Пример 2. Вычислить
е
dx
X In X
4 Имеем
е* е*
С — 11пх| |б =In (In е2) —In (In е) =1п 2 « 0,69. ►
J xlnx J Inx 1 1 [г v 1 ' '
е е
Используя формулу Ньютона—-Лейбница, вычислить
интегралы:
8
С dx
2
4.5. f ;
-i
2
4.7. J G
1
8
4.9. p
1
n
4.11. J sinxdx,
П/2
2
1
— 2x4-1) dx, 4,8, J (К* +
5
Ухг) dxt
б
3Z- ° ____
f-^-dx. 4.10. J Ух— Idx.
2
0
12. f
J COS2 X
-Л/4
3
4.14. §2xdx.
0
2
4^-
1
Л/4
4.18. У sin2(pd(p<
о
2
2
4 17 C *2 dx
q J 14-
о
jc/3
4.19. J tg*xdx. 4.20. У
3T/6 0
347
4.23.
1
C dx_________
J 4x2 + 4x4-5
0
4
p *2+3 .
,Ь=2^- ‘
1
r dx
J V*2 + 2x + 2
о
p e1 Jx2
4.25. \^~dx. 4.26,
С 1 <
. \ -™—о dx.
J X3 — X2.
-2
e
e
P dx
X (1 + In2 X) '
1/3
4.29. У ch23xdx.
о
2
dx
J V' 2 + 3x—2x2 ‘
3/4
C x2+3x—-dx
J (%+l) (*2+l)
0
л/2
. у cos8 a da.
о
з
C dy
J y2 — 2y—8'
2
2
4.32. f^=|r
о
С помощью определенных интегралов найти пределы
сумм:
4.34* *. lim (П2 + i2 + ft2_|_22 + • • • +^2Zjr^)-
4.35. lim i(l+cosi+cos2g + .. . +cos(n—l)i) .
4.36. ltaj( /Й4+ /ч4+ + />+4)-
Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:
4.37. z/ = yx2, г/ = 0, х = 2, х = 3.
4.38. у== f/х, у —0, х—1, х — 8.
4.39. у = 6—х—2х2, у — х + 2.
4.40. у — ^-, y = 2Vx.
Отт зт
„ . „ > Х——^, Х—~
4,42, у — е~х, у = 0, х=1, х = 2.
348
9
4.43. У = —> У = 0, х°=2, х = 3.
4.44. f/ = y» х + «/ = 4.
3. Свойства определенного интеграла.
ь
1) Если /(х)^0 на отрезке [а, д], то J /(x)dx^sO.
а
2) Если /(x)^g(x) на [a, Ь], то
b ь
j f (х) dx < J g (x) dx.
a a
3) ^f(x)dx J |f(x)| dx.
4) Если f (x) непрерывна на [a, b], m—наименьшее, Af —наи-
большее значения f (x) на [a, b], to
ь
m (b—a) «С f (x) dx <; M (b—a)
a
(тeоpeм’а об оценке определенного интеграла).
Пример 3. Оценить интеграл
/=[ =
J /Т+Р
О
Имеем: 1 1 + х4 <: 2 при 0 х 1;
-i=<-7=L=<b
/2 ]/ 1 + х4
т. е. /n=—U=, М = 1, Ь—а~1. Следовательно, ►
К2 1<2
5) Если f (х) непрерывна, a g (х) интегрируема на [а, £>],
g (х) 0, т и М — наименьшее и наибольшее значения f (х) на
Га, &], то
b b ь
g(x) dx«с J f (х) g(x) dx<M^ g (x) dx
a a a
(обобщенная теорема об оценке определенного
интеграла).
6) Если f (х) непрерывна на [а, 6], то существует такая точка
с g (а, Ь)> что справедливо равенство
ь
J f (х) dx — f (с) (Ь— а)
а
(теорема о среднем значении).
349
Число
ъ
f (c)=^=s J f wdx
a
называется средним значением функции f (х) на отрезке [а, 6].
7) Если f (х) непрерывна, a g(x) интегрируема на [a, Z>] и
g(x)^0, то существует такая точка (а, Ь), что справедливо
равенство
ъ ъ
р (*)#(*) dx—f(c) g(x) dx
а а
(обобщенная теорема о среднем).
8) Если /2 (%) и g2 (х) интегрируемы на [а, 6], то
Ъ
Р W £ (*) dx
а
(неравенство Коши — Буняковского).
9) Интегрирование четных и нечетных функций в симмет-
а
ричных пределах. Если функция f (х) четная, то J f (x^dx =
-а
а а
=s2 р(х) dx. Если функция f (х) нечетная, то f(x)dx — 0.
О -а
10) Если функция /(х) непрерывна на отрезке [а, 6], то интег-
рал с переменным верхним пределом
х
Ф (X) = р (/) dt
а
является первообразной для функции f (х), т. е.
/ х
ф' (x)=f /(/) dt
\а
х £ [a, b}>
11) Если функции ф(х) и ф(х) дифференцируемы в точке
х£(#> b) и f (t) непрерывна при ф (а) t ф (Ь), то
-ф (X) \ '
f(t) di\ =/(г|>(х)) if' (x)—f (<jp(x))q)' (x).
(₽ (X) /X
X*
Пример 4. Z(x)==p“^d/. Найти /'(x).
0
350
«4 Используя свойство 11) и учитывая, что ф(х)=*=0, т. е. ф'(х)=0,
имеем
/'(х) = ^-^2)2.(х2)'=2^-^4. >
4Л45г Определить знаки интегралов, не вычисляя их:
1 1 1
a)* J f/x dx\ б) J x3exdx; в) Jx Inxdx.
— 2 -I 1/3
4.46. He вычисляя интегралов, выяснить, какой из
интегралов больше:
2 2 2 2
х С dx С dx dx С dx
а))тда или )т’ б)р или
1 1
в) С е~х cos2 ,» dx или J e~x* cos2 х dx.
о о
4,47. Найти среднее значение функции на данном
отрезке:
а) х3-, Os^x^Cl; в) cosx, 0^х^л/2;
б)^/х,0^х^1; г) cos’х, 0хл/2.
4.48, Сила переменного тока меняется по закону /==
= /osin ( —/ + <р ], где Т—период. Найти среднее зна-
чение силы тока за полунериод.
1
4,49, Оценить интеграл \ 8 + х* dx.
— 1
2зт
С dx
4*50« Оценить интеграл \ -7======.
J K5+2sinx
1
4.51. Оценить интеграл J ]/(1 + х)( 1 + х?) dxt пользуясь:
о
а) обобщенной теоремой об оценке интеграла;
б) неравенством Коши—-Буняковского.
1
4.52^ Оценить интеграл Jl^H + x3) xdxt пользуясь:
о
а) обобщенной теоремой об оценке интеграла;
б) неравенством Коши—Бу ваковского.
351
4.53. Найти: а) , б) -г-, если
7 ар 7 da
Р
I — ^dx (О<а<0).
а
4.64. Найти точки экстремума функции
Ф(х) = |^(й (х>о, 0<а<^-).
а
Найти производные следующих функций:
X Ух
4.55. <D(x) = ^~dt. 4.56. Ф(х)«= j sin(/a)dt
О 1/х
О х3
4-58-®<*Нт <*>“)•
X г ~ X3
4.59. Доказать, что
з
-3
4. Замена переменной в определенном интеграле. Если функция
f (х) непрерывна на отрезке [а, д], а функция х —ф(/) непрерывно
дифференцируема на отрезке [^, /2], причем а = ф(/х), 6 = ф(/2), ю
ъ t2
f (х) dx = / (<р (0) ф' (/) dt.
a /j
Пример 5. Вычислить j -----------—ах'
УТ/2
«^Применим подстановку x = sin/. Тогда $x = cos tdt, t — arcsin x,
. У' 2 л л
— arcsinи t2 = arcsin 1=— . Следовательно,
т: Л
1 ____ л/2 _______ л/2
f y'l—x2 С V*! —sin2/ f cos2^/
I -1--------- I '—r-o-j— COS \ -T-o-7 dt =5
J X2 J sin21 J sin? t
У2/2 л/4 Я/4
Л/2
f 1—sin2/ . |Л/2 л . . . Л , Л .
“J -Ж-Л=(-с‘2/-/)|я/4=-'2+1+Т=1-4 • ►
352
2
4.60. Можно ли интеграл J х 1—x2dx вычислить
о
с помощью подстановки x = sin/?
Вычислить интегралы с помощью указанных подста-
новок:
6
4.61. f-----%=... , Зх—2 = /2.
J 1+ К Зх—2
1
In 8
4.62. [ e*+l = Z2.
J V^+1
1пЗ
sh 1
4.63. J J/x2 + 1 dx, x = sht
0
л/2
4.64. f , tg4 = /.
J 3+2 cos x & 2
0
Л/4
4.65. C , , odx. „ -, tgx = t
J l-|-2sin2x’ &
0
1
4.66. J]/3 —2x—x2dx, x+l=2sin/.
-i
Вычислить интегралы с помощью замены переменной:
4.67.
4.69.
4.71.
4.73.
4.75.
2
С dx
2/Уз
4 /У~3
х2 — 1
4.68.
-2
dx
dx.
4.70.
Р dx
Д V7+3+ V (*+ зТ?'
f
J j/(l+x?)3’
У 3/s
dx
х+ V 2х—Г
, ______=. 4.74. С
J х /Ц-4х2 J
1/4
dx
i—4х
-1
In 6 ______ 3
j* 4-76’ x2dx.
In 2 0
2
2
X
5
о
12 Под ред. А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича
' 353
4.77.
4.78.
4.79.
Показать,
1 л/2
т-т 0 <dx С cos х ,
Показать, что \ :—= I ---------dx.
J arcsinx J к
1/ГГ Я/4
Убедиться в том, что
Зх7—2хб+х3—х
х4+Зх2-Н
5. Интегрирование по частям. Если функции и~и(х), v^v(x)
и их производные и' (х) и v' (х) непрерывны на отрезке [а, 6], то
ь ь
f и du~ tiv v du
а а
(формула интегрирования по частям).
' е
Пример 6. Вычислить J In х dx
1
dx
Положим и~ In х, dv = dx, тогда du=^—, v~x. Имеем
х
е е
Р \е Р dx 1е
\lnxdx = xlnx — \ х • — = 5—х =е— е + 1 = 1. ►
1 Y
Вычислить интегралы методом интегрирования по
частям:
4.80. ^xexdx. 4.81
b
1 1
arcsin х .
• у (XX.
К 1+*
л/3 е
4.82. С 4.83. С In2xdx.
J COS* X J
л/6 1
Л/4 2 ГГ ________
4.84. У e3xsin4xd%. 4.85. C - dx.
° 2 X
e 1
4.86. JxInxdx. 4.87. Jxarctg xdx.
i о
31/4 л/2
4.88. x2cos2xdx. 4.89. yexcosxdx.
о о
354
4,90, Показать, что для интеграла
Л/2 л/2
/„= j* sin'1xdx= J cosnxdx,
о о
верна рекуррентная формула = Вычислить
/, и Ц-
4.91, Показать, что для интеграла
1
1п = ^xne~xdx,
верна рекуррентная формула /„=—Вычис-
лить /4.
§ 5, Несобственные интегралы
1. Интегралы с бесконечными пределами. Если функция f (х)
непрерывна при лСх<4~оо. то по определению
+ СО ь
f /(x)dx = lim С f (х) dx. (!)
J b->+oo V
a a
Если существует конечный предел в правой части формулы
то несобственный интеграл называется сходящимся, если этот предел
не существует, то—расходящимся.
Геометрически несобственный интеграл (1) в случае /(х) > 0 есть
площадь фигуры, ограниченной графиком функции у — /(х), прямой
х — а и осью Ох (асимптотой).
b
Аналогично определяются интеграл J f (х) dx и интеграл
— оо
Ь ее Ь С
? f(x)dx— lim f/(x)dx+ lim \f(x)dx. (2)
J 6-^+ooJ a — oc V
- ее С a
Признаки сходимости и расходимости приведем
только для интегралов вида (1).
1) Если F (х)—первообразная для /(х) и существует конечный
предел Um F (x) — F ( + 00), то интеграл (1) сходится и равен
X -> + оо
+ оо
С f (x)dx = F ( + <») — F (а);
а
если же Um F (х) не существует, то интеграл (1) расходится.
X + оо
12*
355
4- <х>
2) Пусть при а х < + оо 0 / (х) g (х). Если J g (х) dx
а
4-оо 4- оо 4-оо
сходится, то сходится и J f(x)dx, причем f(x)dx^ J g(x)dx.
а а а
4-00 4- 00
Если f(x)dx расходится, то расходится и g(x)dx (приз-
а а
наки сравнения).
3) Если при а^х < + оо f (х) > 0, g(x)> 0 и существует ко-
4-оо 4-оо
f (х) Р Р
нечный предел Пт —~~ 0, то интегралы \ f (х) dx и l g(x)dx
+ оо g(x) J • J
а а
сходятся или расходятся одновременно (предельный признак
сравнения).
4- оо 4-оо
4) Если сходится | / (х) | dx, то сходится и f (х) dx (no-
ri а
следний интеграл называется в этом случае абсолютно сходящимся).
5) Если при х —> + оо функция f (х) > 0 является бесконечно'
оо
малой порядка а по сравнению с 1/х, то интеграл J f(x)dx схо-
а
дится при а > 1 и расходится при а*С1.
4- оо
Пример 1. Вычислить е~3х dx.
о
◄ Имеем:
4-оо Ъ
\ е~^с?х=^ lim \e~3xdx~ lim
$ b —> 4- oo 3 Ь —> 4- oo
= ’ lim (i_e-36)’.
Ь -* 4- oo
Пример 2. Исследовать на сходимость интеграл
Имеем
х+ 1 X _____________________________ 1
X3 X3 У X
4- оо
Данный интеграл расходится, так как расходится I ►
J V х
356
Вычислить несобственные интегралы (или установить
их расходимость):
4- оо -}- оо
5.1. f —5.2. ( —^=.
J X У In X
е е
4- оо 4-оо
Р Р
5*3’ J ^+6х+1Г б-4’ J е~2Х C0S Xdx-
— оо О
5.7.
' xdx
К(*2+5)3’
5.9.
4- сю
J хcos xdx.
о
Исследовать на сходимость интегралы:
dx
Н-2х2 + 5х4 ‘
5.11
Т.Л.* .22 dx
+ Зх+1
Зх2 + К(* + I)3
5.13. С 3f
5.14.
dx
J Ух (х+ 1) (х+2)
5.15.
sin ~
---~dx.
COS2X
2. Интегралы от неограниченных функций. Если функция f (х)
непрерывна при а^х < b и /(£>) = ©о, то по определению
ь Ъ-у
f f (х) dx — lim \ / (х) dx.
J v -> о J
(3)
Если существует конечный предел в правой части формулы (3),
то несобственный пнтеграл называется сходящимся, если этот предел
не существует, то — расходящимся.
357
Геометрически несобственный .интеграл'(8) в случае j\(x) > 0 есть
площадь фигуры, ограниченной графиком функции £/=./(х), прямой
х=а и вертикальной асимптотой х — Ь.
Аналогично определяется несобственный интеграл в случае
f (fl) =00.
В случае, когда с£(а, £)— точка разрыва и /(c)—оо:
b c-Vt ь
f / (х) dx ~ lim V f (х) dx + lim Г / (х) dx,
J Viу2о J
a 1 a .C4-.V,
Если первообразная F (x) функции f (x) непрерывна при a^x^b,
то к интегралам (3) — (4) применима формула Ньютона—Лейбница
b
$ f(x}dx = F (b)-F(a).
а
Признаки сходимости и, расходимости несобственных интегралов
от неограниченных функций аналогичны признакам из п. 2,
Эталоном для
(4)
сравнения обычно служит интеграл
ь
С dx
J (*-х)<
(б)
который сходится
Пример 3.
при а< 1 и расходится при
Исследовать на сходимость интеграл
2
При х —>- 1 -— ~-------
ШХ х—-1
как
(эквивалентные бесконечно большие), так
tI Ьх х —1 1- .
Нш —.—= lim ---------= lim 1.
С -> 1 I х -> I hl X х -> 1 4х
х— 1
2
Интеграл J расходится, как интеграл типа (5) при а—1. Сле-
2
довательно, расходится и
Вычислить несобственные интегралы (или установить
их расходимость):
2
5.17.
О
х dx
J
dx
х In3 х
W8
ГТ 5.20. 4 2/3 С dx 5 21 С J /бх—х2—8 J х/9х2 —1 ‘ 2 1/3 2 С2
5.22. С • . 5.23. С— J )/ 4—х2 J> х Kin х VTjn 1
5.24. f cos-4--^. 5.25. f . x“ x Kx(l~x)
Исследовать на сходимость интегралы:
5.26.
5.28.
1
5.27. f—
J /1-*4
о
5.29.
Г
J tg х—х ’
о
о
5.30.
1
С
J ех—cos х ’
о
5.31. Доказать, что при ос>0 определяющий гамма-
+ со
функцию Г (а) интеграл Эйлера Г(сс)=^ j e~xxa~1dx схо-
о
дится, и установить следующие соотношения:
а)* если п — целое число, то Г(и+1) = п1;
б) Г(а+1)»==аГ(а) для любого а > 0;
в)* Г (у)
г) Г(4)=1?’’
д) г(л + -Г) = 1-3-5... .(2п—1)-^, п — целое.
§ 6. Геометрические приложения определенного
интеграла
1. Площадь плоской фигуры. Площадь фигуры, ограниченной
графиком непрерывной функции £/—/(%) (/ (х)^>0), двумя прямыми
х = а и х^Ь и осью Ох, или площадь криволинейной трапеции,
359
ограниченной дугой графика функции у = [(х), а^х^Ь (рис. 57),
вычисляется по формуле
ь
S — ^f(x)dx. (1)
а
Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций
y~fl(x) и y — f2(x), /i(*)^/2(x)> и двумя прямыми х~а, х — Ь
(рис. 58), определяется по формуле
ь
(/2«~/i(x)Wx. (2)
а
Простейшие задачи на применение формул (1) и (2) были приве-
дены в § 4 (задачи 4.37—4.44).
Рис. 58.
Пример 1. Найти площадь фигуры, лежащей в правой полу-
плоскости и ограниченной окружностью х2-\-у'2 = 8 и параболой
у2 — 2х.
Найдем точки пересечения кривых (рис. 59), решив систему урав-
нений
х2 + у2 = 8,
у2—2х.
Получим точки (2, 2) и (2, —2). Используя симметрию относительно
оси Ох, найдем искомую площадь S как удвоенную сумму площадей
криволинейных трапеций, ограниченных соответственно дугами пара-
болы у~уг2х, 0*^х*С2, и окружности у— У 8— х2, 2^х^}/~8:
/ 2 К“8 .4
S=2H \r2xdx+ J У 8— хЧх j=
\o 2 /
=2f K2- 4*8/2Г + Г4 K8^ + 4arcsin-^'\ Г8 =
\ 3 10^2 / 2 /
/8 \ 4
= 2 I —4~2л—2 — jt ) i=2n ►
\ о 1 <5
360
Иногда удобно использовать формулы, аналогичные (1) и (2), но
по переменной у (считая х функцией от у), в частности,
d
S = J (Л ({/) — fi (у)) dy. (3)
С
Пример 2. Найти ’площадь фигуры, ограниченной параболой
(у—2)2 = х—1, касательной к ней в точке с ординатой у$ = 3 и
осью Ох.
Форма фигуры (рис. 60) не позволяет непосредственно применить
формулы (1) или (2). Однако если рассматривать фигуру относительно
оси Оу, то можно применить формулу (3). Итак, пусть у—независи-
мая переменная. Уравнение параболы запишем в виде х = г/2—4г/ + 5.
Найдем уравнение касательной к параболе. Оно имеет вид: х—х0 —
=4 (у—у0). Так как х^ = 2 (у—2), то Хо == х' |z/=s-== 2. Найдя, далее,
абсциссу точки касания х0 = 2, получаем уравнение касательной
х—2 — 2 (у—3), или х—2у—4.
Полагая в (3) ft (у) = 2у—4, f2 (у) = У2—4^+5, имеем:
з з
S = $ ((^~4i/+5)-(2f/-4))^= J (y2-6y + 9)dy =
о о
3
С 1 13
= \ (y—3)^dy=-^ (у — 3)3 =9. >
J о о
о
Заметим, что применение формул (1) и (2) при решении примера
(2) потребовало бы вычисления суммы трех интегралов:
1 2
(^.x+2)<te+J((yX+2)-(2+»/7=T))dx+
—4 I
5
4-J (2—
1
361
Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой
г/=х]/х2, осью Ох и прямой % —1 и лежащей правее этой прямой.
Искомая площадь (рис. 61) выражается несобственным интегралом
оо
Если фигура ограничена кривой, имеющей; параметрические урав-
нения x=^x(t), прямыми х—-а, х*=Ь и осью Ох, то пло-
щадь ее- вычисляется по формуле
12
S — J у (/) х' (/) dt — у (/) dx (7),
Л Л
(4)
где пределы интегрирования находятся из уравнений a — x(t1)i
b «=х (/2) (у (/) ^0 на отрезке [/ь /2 ]) •
Формула (4) применима также для вычисления плошади фигуры,_
ограниченной замкнутой кривой (изменение параметра t от до t2
должно соответствовать обходу контура по часовой стрелке).
Пример 4. Найти площадь петли кривой
x^a(t2—l), y^b(4t — t^ (а > О, b>0).
Найдем точки пересечения кривой с координатными осями. Имеем:
хх=0 при 1; у~0 при t~0, Следовательно, получаем
следующие точки: (О, ЗЬ) при Z — (0, — ЗЬ) при / = ‘—1; (~а, 0)
при / —0; (За, 0) при Z=i2. Точка (За, 0) является точкой само-
пересечения кривой. При у^0’, при —2^/^0 у^0
(рис. 62).
Площадь фигуры находим как удвоенную, площадь верхней ее
половины:
За 2 2
S^2 ydx*=2 J у (t) х'(t)dt<=2 J b(4t — ts)a-2idt =
-а 0 0
2
С /4 /б \ 12 9Б6
= 4ab \ (4t2~t4)dt=^4ab 4 ab. >
J \ о О / |0 1о
862
Площадь фигуры, ограниченной
графиком непрерывной функции
г = г(ф) и двумя лучами ф = а, ф = £,
где ф и г—полярные координаты, или
площадь криволинейного сектора, огра-
ниченного дугой графика функции
г=г(ф), а*Сф«ср, вычисляется по
формуле
3
S = 4pW (5)
а
Рис. 63.
Пример 5. Найти площадь лунки, ограниченной дугами ок-
ружностей г = 2йсозф, г = 2й sin ф, 0^ф^л/2.
Окружности пересекаются при ф —л/4; рассматриваемая фигура
.(рис. 63) симметрична относительно луча ф=л/4. Следовательно, ее
площадь можно вычислять так:
л/4 л/4
S 2 • J 4й? sin? ф с?ф = 2й? (1 — соз2ф)б/ф =
о О
п о ( 1 . о \ |л/4 ( л . \ о
= 2й? ф---jr- sin 2ф = -тг — 1 ►
\ 2 /Jo \ 2 J
6.1. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой
г/ = 1пх и прямыми = % = // = 0.
6.2. Найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом
у2 «.2
ал 1 Ь*
6.3. Найти площадь фигуры, ограниченной параболами
г/2 = 4х и %2 — 4у.
6.4. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой
у = х2 + 2х и прямой у = х-\-2.
6.5. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми
27 х2
У 3=3 х2+9 и У 6 *
6.6. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми
уЛ = 2рх и у2 = у(х—рТ (р > 0).
6.7. Найти площадь фигуры, ограниченной окружно-
стями х2 + у2 = а2, х2-\-у2 — 2ау = а2 и прямой у^а.
6.8. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми
Й3 -Й2Х ~
У=~Г-}—7, //=“ГП—о и осью Оу.
” й2 +J а3 + х2
6.9. Найти площадь фигуры, ограниченной осью Оу,
параболой (х—а)2 = 2р (tj — b) и касательной к ней в точке
с абсциссой х~о (с > а > 0, р > 0).
.363
6.10. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми
у =ех—1, у = е2х—3, х —0.
6.11. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой
# = 3 + 2х — х2 и осью Ох.
6.12. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой
у = arcsin х и прямыми х = 0, # = зт/2.
6.13. Найти площадь верхней лунки, ограниченной
окружностями х2-\-у2=-а2 и х2-\-у2-\-2ау^а2 (а > 0).
6.14. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
(x~l)(i/ + 2) = 2 и х + # = 2.
6.15. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой
# = 1пх, касательной к ней в точке х = е и осью Ох.
6.16. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми
# = 1п(х + 2), # = 21пх, у=^0.
6.17. Найти площади каждой из двух частей, на ко-
торые круг х2+-у2^.2ах разделен параболой у2 = 2ах — а2.
6.18. Найти площадь лунки, ограниченной гиперболой
з
х2 — у2 = а2 и параболой у2~-^-ах.
6.19. Найти площадь гиперболического сегмента с вы-
сотой h и основанием 2г (действительная полуось гиперболы
равна а).
6.20. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой
^5
а2У2=с=2а^х И ее асимптот°Й (^>0).
6.21. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
%2 —у2— а2, (х2 — a2)2y2 = as и осью 0х(х>0).
6.22. Найти площади каждой из двух частей, на ко-
торые круг х2+у2 ^2ах разделен гиперболой 4х2 — Зу2=а2.
6.23. Найти площадь эллиптического -сегмента с вы-
сотой h и основанием 2г (большая полуось эллипса рав-
на а, основание сегмента параллельно малой оси).
3.24. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми
—2» Ут Х~~2 и осью Ох (а > 0).
6.25. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой
у2^-»—и ее асимптотами.
а2 — х2
6.26. Найти площадь фигуры, ограниченной астроидой
x = acos3/, # = n:sin3/.
6.27. Найти площадь петли кривой х^~ t (3 — I2),
y^i2.
6.28. Найти площадь фигуры, ограниченной одной ар-
кой циклоиды х = 2(/ —sin/), # = 2(1—cos/) и осью Ох.
864
6.29. Найти площадь петли кривой х = а(/2+I), у =
6.30. Найти площадь петли кривой x = 2t — ta,
y = 2t? — t3.
6.31. Найти площадь фигуры, ограниченной кардиои-
дой г = а(1 + sin <р).
6.32. Найти площадь одного лепестка кривой г—a sin 2<р.
6.33. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой
г = a sin 5<р.
6.34. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми
r = atg(psec<p, г = 2а cos ф и полярной осью.
6.35. Найти площадь фигуры, лежащей в первой чет-
а
—и поляр-
cos ф г
верти, ограниченной кривыми r = atg<p, г
ной осью.
6.36. Найти площадь фигуры, ограниченной двумя по-
следовательными витками логарифмической спирали г=еф,
начиная с <р = 0.
6.37. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми
г2 = 2соз2ф, r=l (г^1).
6.38. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой
г = a cos 3<p.
6.39. Найти площадь фигуры, ограниченной лемниска-
той Бернулли г2 = а25ш2ф.
6.40. Найти площадь фигуры, ограниченной окружно-
стью г = ]/3з1пф и кардиоидой г=1—соэф (вне карди-
оиды).
2. Длина дуги кривой. Если гладкая кривая задана уравнением
g=f(x), то длина I ее дуги равна
ь
V ! + (/)? Л,
а
где а и b — абсциссы концов дуги.
Если же кривая задана параметрическими уравнениями x—x(t),
(G ^^2), т°
7=jVUT+(w)24/.
tx
Аналогично выражается длина дуги пространственной кривой, задан-
ной параметрическими уравнениями x-x(t), y = y(t), z~z(t)t
365
t ^2*
^2 ________________
?=j/W)2+(j/;)2+(^)2^
ts
Если задано полярное уравнение гладкой кривой г = г((р),
то
Р
/ = J ]/'r2 + «)W
а
Пример 6ч Найти длину дуги полукубической параболы
4/2=х3 от начала координат до точ-ки (4, 8).
Имеем:
у=х8/а, г/'=Ах1/а
4 _______
Пример 7« Найти длину астроиды х — я cos3/, r/ = asin3t
Имеем
x't =—Зя cos2 / sin Z, у\ = За sin? t cos
л/2
-i-1 == J У'9a2 cos41 sin21 + 9a2 sin4 t cos21 dt =
о
л/2
0 C . . , ,, o sin21 1^/2 3a
= Зя \ sin t cos t dt — 3a-
J 2 [о 2
о
откуда 7 = 6я.
Пример 8. Найти длину кардиоиды г = я (1—coscp).
◄ Имеем:
г' = a sin ср,
л
•i- Z = J У а2 (1 — cos (р)2 + я2 sin? <р dtp =
О
л зт
= a J /* 2 (1—cos ср) <ftp = 2д у sin сйр = 4^
о о
откуда 7 —8я. ►
6.41. Найти длину дуги параболы у*=х~ от х = 0 до
х = 1.
6.42. Найти длину дуги кривой у — ~(3—• х) Кх между
точками ее пересечения с осью Ох.
366
6.43. Найти длину дуги полу кубической параболы
g
— р)3, лежащей внутри параболы у2=*2рх.
6.44. Найти длину дуги кривой у ~а In(as — ха) (а > 1),
лежащей выше оси Ох.
6.45. Найти длину замкнутой кривой 8а2у2^х2 (а2 — %2).
6.46* . Найти периметр лунки., образованной окружно-
стями: х2 + у2 = 2ах и x2 + y2 = 2by (а > b >0).
6.47. Найти длину дуги цепной линии y = — ch2% от
х==0 до х--3.
2 jt v
6.48. Найти длину дуги кривой р = —Insin-^- от
1 3
Х = у ДО №=у •
6.49. Найти длину дуги полукубической параболы
у8 = у {х — р)8, отсекаемой прямой х = 2р.
6.50. Найти длину дуги кривой x = a(3cost — соэЗ/),
p = a(3sirH — sin 3/) от / = 0 до / = -^-.
6.51. Найти длину дуги кривой x = efcos/, p = efsin/
от t = 0 до t ~ 1.
6.52. Найти длину петли кривой x==t2, y = t (4— .
\ и J
/6
6,53. Найти длину дуги кривой x = , z/ = 2 — -у
между точками ее пересечения с осями координат.
6.54. Найти длину петли кривой х = я(/2+1),
y-|(<s-30.
6.55. На циклоиде x-=a(t— sin/), у^а(1 — cos/) найти
точку, которая делит длину первой арки циклоиды в от-
ношении 1:3 (считая от начала координат).
6.56. Найти длину дуги логарифмической спирали
находящейся внутри окружности г=1.
6.57. Найти длину дуги кардиоиды г = 2 (1 — cos ср),
находящейся внутри окружности г=1.
6.58* . Найти длину всей кривой г = a cos3 у .
6.59. Найти длину дуги спирали Архимеда r = 5q>,
находящейся внутри окружности г=10я.
6.60. Найти длину всей кривой г = я sin4-—.
367
Найти длины дуг пространственных кривых:
6.61. x = at2, y = a(t + ^t2\ , z = a(t—от / = 0
\ о J \ О J
до t = V 3 .
6.62. x = efcos/, = sin/, z = между плоскостями
z = 0 и z = a (а > 0).
6.63. х2 = 4г/, 9г2 = 16ху между плоскостями х = 0
и х = 4.
6.64. x = aV~t cost, y^=a]^tsmt, z — at от /--=0 до
произвольного t > 0.
6.65. x = t — sin t, у — 1 —cos/, z = 4cosмежду двумя
точками пересечения кривой с плоскостью Oxz.
3. Площадь поверхности вращения. Площадь поверхности, образо-
ванной вращением вокруг оси Ох дуги кривой, заданной функцией
у~ f (*)> ct-^x^b, вычисляется по формуле
Qx=2np(x) П + (/' (Ч)2^.
Если дуга задана параметрическими уравнениями х = х (/), у = у (/),
^1%, то
/2
Qx=2л J у (t) У(%' (0)2+(г/' W)2 dt.
Если дуга задана в полярных координатах г = г (ф), а ф «С р, то
Qx=~2n \ г sin ф j/724-(r')2 dtp.
Если дуга кривой вращается вокруг произвольной оси, то пло-
щадь поверхности вращения выражается интегралом
0=2л Rdl,
где R— расстояние от точки на кривой до оси вращения, dl—диф-
ференциал дуги, А и В — пределы интегрирования, соответствующие
концам дуги. При этом R и dl должны быть выражены через пере-
менную интегрирования.
Пример 9. Найти площадь поверхности, образованной враще-
нием астроиды х2/3+^2/3 = а2/3 вокруг оси Ох.
368
Имеем:
у = (а2№ —х2/*)Ы2,
„._3 (_|,„)=_<^,
-|/’1 . а2/3—х2/з_ Л1/3
К %2/3
Следовательно,
а
Р Л1/3
Цх^2-2л \ («2/8__х2/3)3/2 . __
о
а
= 4ла1/» § (O2/3_x2/S)3/2x-l/8^ =
о
я 1/4 3 (а2/3_%2/3)б/2
— 4ла1/3~ -----—-—
5
2
а
12 2
—— ла2.
о
О
Пример 10. Найти площадь поверхности^ образованной вра-
щением одной арки циклоиды x = a(t—sin/), у = а(\—cos/) вокруг
оси Ох.
◄ Имеем:
х/ = а(1—cos/), y't = a sin t,
U/)2 + (f//)'“ cos t)2-}-a2 sin2 / =
— a У 2(1 —cos /) = 2a sin у ,
Отсюда
2л 2л
Qx — 2л J а (1 —cos t) • 2a sin dt — 8ла2 J sin3 ~ dt =
о 0
=8тш2
2л
J 1 — cos2—-) sin у divs*
0
/ з Z
/ / C0S 2"
= — 1бзта2 \ cos -----------—
\ z о
2л
64 2
=— л<А
о з
Пример 11. Найти площадь поверхности, образованной вра-
щением кардиоиды г — 2а (1 -|-cos <р) вокруг полярной оси.
◄ Имеем:
г' з=— 2а sin ср,
г? + (г')2 = У'4а2 (1 + cos ф)2 + 4а2 sin2 ф = 4а cos ,
869
и, далее,
л
2л \ 2а (1 -f-£os ф) sin ф-4асоз -|-Лф =
л
== 64ла2 С cos4 sin «ig2 да*.
6.66. Найти площадь поверхности (называемой кате-
ноидом), образованной вращением дуги цепной линии
4/«у ch 2х, О^х^З, вокруг оси Ох.
6.67. Найти площадь поверхности эллипсоида, образо-
ванного вращением эллипса 4х2-|~р2 = 4 вокруг: а) оси Ох;
б) оси Оу.
6.68. Найти площадь поверхности, образованной вра-
щением вокруг оси Ох дуги кривой 4/ = уХ3 от х=»—1
ДО X = 1.
*6.69. Найти площадь поверхности, образованной вра-
щением вокруг оси Ох дуги кривой у==:-^}^х(х —12)
между точками ее пересечения с осью Ох.
6.70. Найти площадь поверхности, образованной вра-
щением вокруг оси Оу дуги полукубической параболы
9ш/а = 4х3, отсекаемой прямой х~а.
6.71. Найти площадь поверхности, образованной вра-
щением петли кривой 9ш/2=^х(3я —х)2 вокруг: а) оси Ох; .
б) оси Оу.
6.72. Найти площадь поверхности, образованной вра-
щением дуги кривой у е~х/2, 0 х < + оо, вокруг оси Ох.
6.73. Найти площадь поверхности, образованной враще-
нием дуги кривой х=а (3 cos t —cos 3/), у=а (3 sin t—sin 3/),
O^/^n/2, вокруг: а) оси Ox; б) оси Oy.
6.74. Найти площадь поверхности, образованной вра-
щением петли кривой х = а(/?4-1), у —у(3 —/2) вокруг
оси Ох.
6.75. Найти площадь поверхности, образованной вра-
щением одной арки циклоиды х=а (/ — sin /), у=а(\ — cos/) .
вокруг ее оси симметрии.
6.76. Найти площадь поверхности, образованной вра-
щением дуги эвольвенты окружности х=м (/-sin/ +cos/),
я (sin/ — /cos/), 0^/^л, вокруг оси Ох.
370
6.77. Найти площадь поверхности, образованной вра-
щением окружности г = 2аsin ф вокруг полярной оси.
6.78. Найти площадь поверхности, образованной вра-
щением кардиоиды г = а (1 + cos ф) вокруг касательной
в ее вершине (2а, 0).
6.79. Доказать, что площадь поверхности, образован-
ной вращением лемнискаты г? = а2зт2ф вокруг полярной
оси, равна площади поверхности сферы радиуса а.
6.80. Найти площадь поверхности, образованной вра-
щением дуги кривой г — a sec2 у, вокруг по-
ляркой оси.
4. Объем тела. Если площадь S (х) сечения тела плоскостью,
перпендикулярной оси Ох. является непрерывной функцией на отрез-
ке [а, Ь], то объем тела вычисляется по формуле
ь
V = S(x) dxt
а
(6)
оси Ох, есть равно-
Пример 12. Плоскость равнобедренного треугольника дви-
жется перпендикулярно к неподвижному диаметру круга радиуса а.
Основание треугольника естьсхор-
да круга, а вершина лежит на
прямой, параллельной неподвиж-
ному диаметру, на расстоянии h
от плоскости круга. Найти объем
тела, образованного движением
плоскости треугольника от одного
конца диаметра до другого.
Выбрав систему координат так,
чтобы центр круга был в начале
координат (рис. 64), а неподвиж-
ный диаметр—на оси Ох, получим
уравнение окружности в виде
х*+у2 = а2.
Сечение тела плоскостью, перпендикулярной
бедренный треугольник с основанием — 2 У а2—х? и высотой h,
Имеем:
S(x) /й2—x2h—h\^d2—х2 (—и^х^а),
а а
V = Л J Vеа2—х2 dx — 2Л У а2—х2 dx =
-о о
7 X ----2 ! °2 Х \ Л 1 91.
= 2й( — У а2—х2+ —— arcsin — = 2й л
\ 2 2 aj о 222
Выражение для функции 5 (х) достаточно просто получается
в случае тел вращения. Так, если криволинейная трапеция, ограни-
371
ченная кривой g = f(x)i а^х^Ь<
вращается вокруг оси Ох или оси Оу,
то объемы тел вращения вычисляются
соответственно по формулам:
$
Vx=n\.p(x)dxs (7)
а
b
Vy = 2л х | f (х) [ dx, а^а 0. (8)
а
Рис. 65.
ми <р = а, Ф = (3,
вращения равен
Если криволинейный сектор, ог-
раниченный кривой г —г(ф) и луча-
вращается вокруг полярной оси, то объем тела
V — л j г3 sin ф бйр*
а
Вычисление объемов тел значительно проще производится с по-
мощью кратных интегралов. Поэтому мы ограничимся здесь только
простейшими задачами.
Пример 13. Фигура, ограниченная кривыми у — \^2ох
2
и у=—— (х — р)3!\ вращается вокруг оси Ох. Найти объем тела
V Р
вращения (рис. 65).
Найдем точки пересечения кривых:
У^рх = —^(х— р)3/3, или 2р2х = 4(х— р)3;
V Р
очевидно, уравнению удовлетворяет значение х = 2р, и тогда
у~2р, т. е. имеем точку пересечения (2р, 2р). Искомый объем есть
разность двух объемов: объема V19 полученного вращением криво-
линейной трапеции, ограниченной параболой у~ У~2рх (0«Сх<^2р),
и объема И2, полученного вращением криволинейной трапеции, огра-
2
ниченной полу кубической параболой у — —^=. (х—р)'^2 (р <х^2р)л
V P
Используя формулу (7), получаем:
2р 2р
У* —Vi—1/2 = л^ yldx—л^ yldx =
0 р
2р 2р
= л-2р у xdx—л~У(х — p)^dx =
о р
п х2 |2р 4л (х — р)4 ]2Р ч „ j.
~ 2лр • ------ -—-d-d- = 4лр3 — лр3 = Злр3. ►
2 |0 р 4 |р
372
.1
Пример 14. Фигура, ограниченная кривой x = tzcosZ, у~
е® я sin 2/ (0 С л/2) и осью Ох, вращается вокруг оси Оу. Найти
объем тела вращения.
Очевидно, что (У^х^а и О^у^а, а также что # = 0 при / = 0
и при / = л/2, т. е. рассматриваемая фигура является криволиней-
ной трапецией. Далее, при / —0 х~ а, при / — л/2 х~ 0. Следова-
тельно, искомый объем выражается формулой (8). Имеем:
У^ = 2л ух (/) у (/) dt = 2л a cos t-a sin 2Z (— a sin i) dt =
6 ffl/2
2
1^/2 л2а8
Io
Пример 15. Кардиоида г = я(1 — cos ср) вращается вокруг
полярной оси. Найти объем тела вращения.
(l-coscp)4 |л_8
4 [о 3 ™ •
6.81. На хорде астроиды х^аcos3/, z/ = asin8/, парал*
лельной оси Ох, построен квадрат, сторона которого равна
длине хорды и плоскость которого перпендикулярна
к плоскости Оху. Найти объем тела, образованного при
движении плоскости квадрата, если определяющая его
хорда перемещается по астроиде.
6.82. Найти объем клина, отсеченного от прямого кру-
гового цилиндра радиуса а плоскостью, проходящей через
диаметр основания под углом а к плоскости основания.
6.83. Найти объем тела, образованного вращением
вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями 2у=^х2
и 2% + 2z/ — 3 — 0.
6.84. Найти объем тела, образованного вращением
вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями у = е~2х—1,
у — с х -1- 1, х = 0.
6.85. Найти объем тела, образованного вращением
вокруг оси Оу фигуры, ограниченной линиями у = х,
у = x + sin2x (О^х^л).
6.86. Найти объем тела, образованного вращением
v2
Х^
вокруг оси Оу фигуры, ограниченной линиями у = --}-
2х 2 и у — 2.
873
6.87. Найти объем тела, образованного вращением пара-
болического сегмента с основанием 2а и высотой h вокруг
высоты.
6.88. Найти объемы тел, образованных вращением
фигуры, ограниченной кривой х = а/2, = (а > 0)
и осями координат, вокруг: а) оси Ох; б) оси Оу.
6.89. Найти объем тела, образованного вращением
вокруг оси Ох фигуры, ограниченной кривой x^acos/,
y = asin2/ и осью Ох (О^х^а).
6.90. Найти объем тела, образованного вращением
астроиды x = tfcos4, y= asin31 вокруг прямой х = а.
6.91. Найти объем тела, образованного вращением
кривой г sin2 ср вокруг полярной оси.
6.92. Найти объем тела, образованного вращением
лемнискаты r2 = a2cos2qp вокруг полярной оси.
§ 7* Приложения определенного интеграла к решению
некоторых задач механики и физики
1, Моменты и центры масс плоских кривых. Если дуга кривой
задана уравнением у == f (х), а^х^Ь, и имеет плотность 1) р ==р (х),
то статические моменты этой дуги Мх и Му относительно коорди-
натных осей Ох и Оу равны
b
мх = J р (х) f (х) К1+ (Г (х))Чх
а
b
Му — ^р(х)х У 1 + (/' (х))? dx,
а
моменты инерции Iх и 1у относительно тех же осей Ох и Оу вычис-
ляются по формулам
ь
1Х = 5 р & f- W Г1 + (У (х))? dx.
а
Ь
1 у = У Р (х) X2 К1 + (/' (х))? dx,
а
х) Всюду в задачах, где плотность не указана, предполагается,
что кривая однородна и р==1.
374
а координаты центра масс х и у—по формулам
ь
~х = Jk. =, 2. J р (х) х К1 +(/' W)2 dx<,
а
b
~у = = уj Р (*) / И К 1 + (Л W)2 dx,
а
где / — масса дуги, т. е.
ъ
I = • Р (х) К'1 + (/' W)2 dx.
а
Пример 1. Найти статические моменты и моменты инерции
относительно осей Ох и Оу дуги цепной линии у —ch х приО*Сх<;1.
Имеем: у' = sh х, рг1 + (у')2= У~1 + sh2 х ch х. Следовательно,
1 1
Мх «= С ch2 х dx = -~ С (1 +ch 2х.) dx = -i ( х + 4- sh 2х^| ==х
J J А \ j 1°
о о
= l(2+sh2>,
1 1 1 р
Му х ch xdx — $ х d'(sh х) = х sh х | — sh х dx =
оо о
= sh 1—chxl =sh 1—ch 1 + 1,
Io
i i
Ix == J ch3 x dx = (1 + sh2 x) chx dx —
о о
f , . sh8 x \ |i . t . 1 , q ,
= sh x -|------— = sh 1 + — sh3 1,
\ &
jy ==.J x2 ch x dx = f x2d (sh x) =x2 sh x —2
о о
i
= sh 1 —2 x d (ch x) = sh 1 —2 ^x ch x
о
x sh x dx =
= sh l~2ch L+2:sh’l. = 3sh 1—2chi.
Пример 2. Найти координаты центра масс дуги окружности
acos t, y — asint, расположенной в. первой^ четверти.
Имеем-: х/,= —csin/, y't^acest,
(^z)2 + ~ Va? sin2 /+ cos2 i — а.
375
Отсюда получаем:
Л/2
Мх = я2 j cos t dt ^a2 sin 1|^2 = a2,
о
Л/2
My~a2 f sin t dt ~—a2 cos 1l^2 = a3#
y J |o
о
—__ a2 ___________ 2a a2 __ 2a
X I na/2 л ’ тш/2 л *
В приложениях часто оказывается полезной следующая
Теорема Гульдена. Площадь поверхности, образованной
вращением дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости ду-
ги и ее не пересекающей, равна произведению длины дуги на длину
окружности, описываемой ее центром масс.
Пример 3. Найти координаты центра масс полуокружности
у~У а2—х2.
Вследствие симметрии х = 0. При вращении полуокружности вок-
руг оси Ох получается сфера, площадь поверхности которой равна
4ла2, а длина полуокружности равна па. По теореме Гульдена имеем
4па2 = па • 2пу.
— 2а п f 2а\
Отсюда у ——, т. е. центр масс С имеет координаты С 0, — .
л \ п J
7.1. Найти статический момент синусоиды у = sinx
(О^х^л) относительно оси Ох.
7.2. Найти статический момент и момент инерции от-
носительно оси Ох дуги кривой у = ех(0^х^ 1).
7.3. Найти статический момент и момент инерции от-
носительно оси Ох одной арки циклоиды x = a(t — sin/),
у = а(1 —cos /).
7.4. Найти статический момент и момент инерции по-
луокружности радиуса а относительно ее диаметра.
7.5. Найти статические моменты относительно осей Ох и
Оу дуги окружности r = 2«coscp, лежащей выше полярной
оси.
7.6, Найти центр масс дуги цепной линии y~ach~
(О С^х^а).
7.7. Найти центр масс дуги астроиды x = «cos3/, у =*
= расположенной выше оси Ох.
7.8. Найти декартовы координаты центра масс дуги
кардиоиды г = а (1 + cos ср) (0 <р л).
7.9. Пользуясь теоремой Гульдена, найти центр масс
дуги астроиды х = «cos3/, у = а sin3/, лежащей в первой
четверти.
376
2. Физические задачи. Некоторые применения определенного
интеграла при решении физических задач иллюстрируются ниже в
примерах 4—7.
Пример 4. Скорость прямолинейного движения тела выражает-
ся формулой У — 2/ + 3/2 (м/с). Найти путь, пройденный телом за
5 секунд от начала движения.
Так как путь, пройденный телом со скоростью v(f) за отрезок
времени /21> выражается интегралом
12
S = J и (0 dt,
то имеем:
&
S = J (2/ + 3/2)d/ = (/2 + /3) = 150(м). >
О
Пример 5. Какую работу необходимо затратить для того,
чтобы тело массы т поднять с поверхности Земли, радиус которой
R, на высоту h? Чему равна работа, если тело удаляется в беско-
нечность?
Работа переменной силы f (л), действующей вдоль оси Ох на от-
резке [а, д], выражается интегралом
ь
А — J f (х) dx.
а
Согласно закону всемирного тяготения сила F, действующая на тело
массы т, равна
„ . тМ
F —k —zr-,
г2
где М — масса Земли, г—расстояние массы т от центра Земли, k —
гравитационная постоянная. Так как на поверхности Земли, т. е.
г, г’ - тМ _
при r — R, имеем F — rng, то можем записать mg = k —• Отсюда
находим kM—gR\ а потому
г
Следовательно, искомая работа равна
R+h R+h f
Sc dr / 1 \ R n h
Fdr = у mg R2. = mgR2 ( — — J Ц = ~^h
R R
Отсюда при h —► oo имеем
I im A —mgR. ►
Пример 6. Вычислить кинетическую энергию однородного кру-
гового конуса, вращающегося с угловой скоростью со вокруг своей
оси, если заданы радиус основания конуса R, высота Н и плотность у.
377
◄ Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг некоторой оси
с угловой скоростью о, равна — la2, где / — момент инерции тела
За элементарную массу dm примем мас-
h с внутренним радиусом г и толщиной
стенок dr (рис. 66).. Тогда dm —
—2jtrhy dr (0 «С г «С R). Из подобия
треугольников OCD и О А В' имеем
относительно оси вращения,
су полого цилиндра высоты
г H — h
R ~~~ Н
т. е. h — H
Следовательно,
dm — 2пуН
и элементарный момент инерции dl
равен
dl — dm-г2 — 2луН ( 1 —
г3 dr.
Таким образом!, момент инерции всего конуса есть
^dl = ^ 2луН -r3dr — 2nyH ----^-^iyHR\
о о
и кинетическая энергия конуса равна
к= ►
давления воды на вертикальную тре-
Пример?. Найти силу
угольную пластину с основанием- а
и высотой /г, погруженную в воду
вершиной вниз так, что основание
находится на поверхности воды.
Воспользуемся законом Паска-
ля, согласно которому сила давле-
ния Р жидкости с удельным ве-
сом у на площадку S при глубине
погружения Н равна
Р = yHS.
Рис. 67.
основание b и вы-
Вводя систему координат, по-
казанную на рис. 67, рассмотрим
элементарную прямоугольную пло-
щадку, находящуюся па глубине х и имеющую
соту dx. Из подобия треугольников С АВ и CDE имеем
b h—х
a h
, я ,,
т. е. b^~(h—х),
следовательно,
dS=bdx = —^h—x) dx и dP =--x dS = (h—x)dx
(для воды у=1).
Таким образом, сила давления воды на всю пластину равна
h ft
r t*
\ x dS — \
о о
a f h3
h
a№
6
2 ~ 3
7.10. Скорость тела, брошенного вертикально вверх
с начальной скоростью t’o, без учета сопротивления воз-
духа равна v^VQ — gt.. где t—протекшее время, g —ус-
корение свободного падения. На какую максимальную
высоту поднимается тело?
7.11. Точка оси Ох совершает гармонические колеба-
ния около начала координат со скоростью v =* v0 cos (со/ + ф),
где t — время, р0, со, ф — постоянные. Найти закон коле-
бания точки и среднее значение абсолютной величины
скорости за период колебаний.
7.12. Два тела движутся по одной и той же прямой:
первое со скоростью —4/ (м/с), второе со ско-
ростью u2 = 4(f + 3) (м/с). Если в начальный момент они
были вместе, то в какой момент и на каком расстоянии
от начала движения они опять будут вместе?
7.13. Скорость движения точки v = 0,1 (м/с).
Найти путь, пройденный точкой от начала движения до
полной остановки (и (/2) = 0).~
7.14* . Какую работу надо затратить, чтобы растянуть
пружину на 5 см, если сила в 1 Н растягивает ее на 1 см?
7.15. Вычислить работу, которую надо затратить., что-
бы насыпать кучу песка конической формы с радиусом
основания R и высотой /У. Удельный вес песка у.
7.16. Вычислить работу, которую надо затратить, что-
бы выкачать воду из котла, имеющего форму параболои-
да вращения, обращенного вершиной вверх. Радиус
основания R, высота Я.
7.17. Вычислить работу, которую надо затратить при
постройке пирамиды с квадратным основанием, если вы-
сота пирамиды ZZ, сторона основания а, удельный вес
материала у.
7.18. Вычислить работу, которую надо затратить, чтобы
выкачать воду из резервуара, имеющего форму конуса,
379
обращенного вершиной вверх. Радиус основания /?, вы-
сота Н.
7.19. Вычислить работу, которую надо затратить, что-
бы выкачать воду из цистерны, ограниченной поверхнос-
тями: i/2 = 2pz, z = p (р > 0).
7.20* . Электрический заряд е*, сосредоточенный в на-
чале координат, отталкивает заряд е из точки (а, 0) в
точку (ft, 0). Определить работу А силы отталкива-
ния F. Чему равна работа при удалении заряда е в беско-
нечность?
7.21* . Цилиндр с подвижным поршнем заполнен паром
объема Vo =0,2 м3 с упругостью ро = 1ОЗЗО Н/м2. Какую
работу надо затратить, чтобы при постоянной температу-
ре (изотермический процесс) объем пара уменьшить
в 2 раза?
7.22* . Определить работу, произведенную при адиа-
батическом сжатии воздуха, имеющего начальные объем
К0 = 8 м3 и давление р0= 10 000 Н/м2 до объема 1^ = 2 м3.
7.23. Найти кинетическую энергию однородного шара
радиуса R и плотности у, вращающегося с угловой .ско-
ростью со вокруг своего диаметра.
7.24. Найти кинетическую энергию пластинки, имею-
щей форму параболического сегмента и вращающейся
вокруг оси параболы с постоянной угловой скоростью со.
Основание сегмента а, высота h, толщина пластинки d,
плотность материала у.
7.25. Найти кинетическую энергию треугольной плас-
тинки, вращающейся вокруг основания с угловой ско-
ростью со. Основание пластинки а, высота ft, толщина /,
плотность у.
7.26. Найти кинетическую энергию однородного кру-
гового цилиндра плотности у с радиусом основания R
и высотой //, вращающегося с угловой скоростью со вок-
руг своей оси.
7.27. Найти силу давления воды на вертикальную
треугольную пластинку с основанием а и высотой ft,
погруженную в воду так, что вершина находится на
поверхности, а основание параллельно поверхности воды.
7.28. Конец трубы, погруженной в жидкость с удель-
ным весом у, закрыт круглой заслонкой. Определить
давление на заслонку, если ее радиус /?, а центр нахо-
дится на глубине //.
7.29. Найти силу, с которой жидкость с удельным
весом у давит на вертикальную стенку, имеющую форму
380
полуэллипса, большая ось которого находится на поверх-
ности жидкости. Большая полуось эллипса а, малая Ь.
7.30. Найти силу давления жидкости с удельным ве-
сом у, заполняющей круговой цилиндр, на боковые стен-
ки цилиндра, если радиус основания R, высота Н.
7.31. Найти массу стержня длины / = 5 м, если ли-
нейная плотность стержня меняется по закону у==1-{-
+ 0,1 х3 (кг/м), где х — расстояние от одного из концов
стержня.
7.32* . Найти количество тепла, выделяемое перемен-
ным током / = /0cos(o/ в течение периода 2л/со в провод-
нике с сопротивлением R.
7.33* . За какое время вода, наполняющая цилиндри-
ческий сосуд с площадью основания S= 100 см2 и высо-
той 77 = 20 см, вытечет через отверстие на дне площадью
So = 1 см2?
7.34* *. При установившемся ламинарном (струйном)
течении жидкости через трубу круглого сечения радиуса
а скорость течения v в точке, находящейся на расстоя-
нии г от оси трубы, дается формулой v =
р — разность давлений жидкости на концах трубы, р—
коэффициент вязкости, / — длина трубы. Определить рас-
ход жидкости Q, т. е. количество жидкости, протекающей
через поперечное сечение трубы в единицу времени.
7.35* . С какой силой полукольцо радиуса R и массы
М притягивает материальную точку т, находящуюся в
его центре?
7.36. За какое время вода вытечет из конической во-
ронки, имеющей высоту // = 50 см, радиус верхнего ос-
нования = 5 см, радиус нижнего основания г = 0,2см?
7.37. Определить расход жидкости через водослив
прямоугольного сечения. Высота водослива й, ширина а,
коэффициент р.
§ 8. Численное интегрирование функций одной
переменной
Численное интегрирование состоит в нахождении интеграла
f (х) dx непрерывной функции f (х) по квадратурной формуле
Ь п
/ (х) dx я У2 ankf (xft),
a k-i.
381
где коэффициенты ап^—действительные числа и узлы х^ принадлежат
[а, Ь], /г = 1} 2у . ..$ п. Вид суммы
п
sn (/) = ankf (хй)
/г = 1
определяет метод численного интегрирования, а разность
ь
(/) = J f(x)dx-Sn(f)
а
— аогрешность метода.
Для метода прямоугольников
ъ п
У f (X)dx X f
a k-i
— - (шаг разбиения), х0=а— xk—xk^+h (й = 1, 2,
Для метода трапеций
ъ
(1)
> п).
(2)
---2----г2^ ' )’
k-i '
а
h==:—— xG = af xk=xk^ + h (£ = ly л).
Для метода Симпсона
z? ✓ п \
^f(x)dX^~(f(a) + f(b) + 4^ /(^a-i)+2^ ЫУ (3)
а ' /? = 1 k~i '
h = - , х0 = а, xfe=xft_i+/i(* = l, 2, 2п),
Правые части формул прямоугольников (1), трапеций (2) и Симп-
сона (3) являются интегральными суммами и при h —► 0 стремятся
к данному интегралу. Однако при фиксированном h каждая из них
отличается от соответствующего интеграла на величину Rn (/). По
заданной предельной абсолютной погрешности 8 > 0 подбирается па-
раметр п, или, что то же самое, шаг h, при котором выполняется
неравенство
I Rn (/) I <
Величины Rn (/) (в предположении существования входящих в
них производных) характеризуются равенствами
Rn (j) == f" (g) А2, В А] для метода прямоугольников^
(/) =/" (?) Л2, £(:(«> 6] ДЛЯ метода трапеций,
382
/?„(/) =—/(Г/) g£[a, />] для метода Симпсона.
IcU
Пример 1. Найти In 2 с точностью до Ю-4 из соотношения
р dx
In 2 = \ , вычислив интеграл методом Симпсона,
0,6
” 1 Для подынтегральной функции f (х) =~"на отрезке £-1-,
24 1
/av) (х) == — , откуда | /(1V) (х) | < 24-25. Учитывая, что a = -^-, b == 1,
, I
h — , получаем
, имеем
.1.. . 94 • 25
2-180
или
I Rn (/) I < ] 20 „л •
Для достижения заданной точности необходимо выполнение неравенства
1
120 п4
io-4,
. 108
ИЛИ п1 > ,
что будет иметь место при п4 > 100. Поэтому следует выбрать п = 4.
Найдя Л = -^г-= 0,0625, вычислим значения функции с точностью,
1о
заведомо превосходящей1) 10-4. Получим таблицу:
х о -— 0,5 хг = 0,5625 /(х0)=2 /(Xi) = 1,7777777
х2 — 0,6250 f(x2)=l,6
х3 = 0,6875 х4 = 0,7500 /(х3) =1,4545454
f (Х4) = 1,3333333
х5 = 0,8125 х6 = 0,8750 f (х5) = 1,2307692
/(х8) = 1,1428571
х7 =0,9375 х8 = 1 /(*8)=1 f (х7) = 1,0666666
01=3 о2 = 5,5297589 а3 = 4,0761904
Подсчитав сумму
о ох -р 4сг2 + 2о3 = 33,271415
*) См. сноску на стр. 281.
383
и ~ = 0,0208333, по формуле Симпсона (3) получаем результат:
о
In 2 = 0,6931. >
Другой способ оценки погрешности метода численного интегри-
рования состоит в том, что используется асимптотическое равенство
ь
J f (х) dx-snv + х (/) + о (nvTi), .
а
где
= v-1,2, 3,..„
и т~2 для методов прямоугольников и трапеций; т = 4 для метода
Симпсона. Вычисления по формулам для нахождения суммы Sn(f)
производятся при п~п1, п2, nSi... до тех пор, пока не будет вы-
полнено соотношение
Указанный способ называется правилом Рунге. Критерием его
применимости является соотношение
Число X > 1 выбирается любым, однако предпочтительно равным 2
или 3.
Пример 2. Вычислить методом трапеций с точностью до 10~4
интеграл
1
С
J Кн7*5'
о
Выберем = 10, и2 = 20 и вычислим значения подынтегральной
функции f (х) = ---—соответственно в узлах х/е1) = xG + kh± = -Д
у 1 +х3 10
(k^ 1,2,..., 10)и =х04-^2=:^ (&*=1,2,.., 20) (см. таблицу 6.1).
Сначала находим сумму = 0,9091616, где
g
П1 4-/ (xfeO и = Применяя слова формулу
Л=1
трапеций (2), найдем
Sn2 = (Oi + а2) Л2 = 0,9094937,
ю
где h2 = ™ и o2 = V/(^-i). Из соотношения x^ = x2kf k =
k-1
384
Таблица 6.1
х?»=о хГ=о х1а>=0,05 /(х(1®) =0,9999376
хР=0,1 /(4й) = 0,9995004 х-г2’=0,1
- х82> = 0,15 /(xi®) = 0,9983168
х?’=0,2 / (4°) = 0,9960238 Х42)=0,2 х^=0,25 /(х(52’) = 0,9922778
х?>=0,3 /(х'81)) = 0,9867674 Хе® =0,3 Хт” =0,35 /(х^’)= 0,9792281
х?‘=0,4 /(х?’) =0,9694584 4’= 0,4
х!,2)=0,45 f(x^®) = 0,9573324
х‘х’ = 0,5 /(х?’) = 0,9428091 х‘1?=0,5 xi®=0,55 f(xl®) = 0,9259358
х?’ = 0,6 /(х£’) = 0,9068453 х$=0,6 4® =0,65 /(xg’) = 0,8857451
х?’=0,7 /(х?’) =0,8629030 42?=0,7 4? =0,75 /(x{25’) = 0,8386278
х?’=0,8 /(xj1>) = 0,8132501 х^’=0,8 х,® =0,85 /(4а)) =0,7871027
4’=0,9 Их?’) = 0,7605057 х$ = 0,9 'х129)=0,95 /(х[2е’) =0,7337535
V(D 1 Х10 = I ;(х1о) = 0,7071068 v(2) — 1 %20 — 1
cjj = 9,0916166 о2 = 9,0982576
1,..., 10, видно, что для нахождения 3П2 нет необходимости заново
вычислять каждое из 21 значений функции, а к найденным ранее
значениям, вошедшим в сумму ох, следует добавить 10 новых значе
ний, образующих сумму о2. Полагая в левой части неравенства (4)
Х = 2, т = 2, учитывая значения и S„2, получаем
*$Л2
—Ч--------= 0,0001106.
Поэтому с точностью до 10“4 имеем
dx
У'Г+х^
0,9094. >
13 Под ред. А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича
385
Пример 3. Составить на фортране программу вычисления ме-
f dx
то дом прямоугольников интеграла I -7г-..
J V 14-*3
о
Задание для ЭВМ целесообразно составить в виде трех программ-
ных единиц: основной программы, подпрограммы-функции, вычисля-
ющей значения подынтегральной функции, и подпрограммы-функции,
которая осуществляет вычисление интеграла методом прямоуголь-
ников.
Основная программа:
EXTERNAL F
S = RECT (O.,1.,F,2O)
WRITE (3, 1) S
1 FORMAT (' ИНТЕГРАЛ = ' F6.4)
STOP
END
Подпрограмма-функция для вычисления значений подынтеграль-
ной функции:
FUNCTION F(X)
F=1./SQRT(L+X»*3)
RETURN
END
Подпрограмма-функция вычисления определенного интеграла ме-
тодом прямоугольников:
FUNCTION RECT(A, В, F, N)
Н = (В —A)/N
RECT=0.
Х = А—Н/2.
DO 1 I = I,N
х = х+н
1 RECT=RECT4-F(X)
RECT = RECT*H
RETURN
END >
В задачах 8.1—8.24 вычислить указанные определен-
ные интегралы с точностью до 10"4 одним из следующих
методов: а) методом прямоугольников, б).методом трапе-
ций, в) методом Симпсона.
3,5 1 1
С dx_______ о Г xsdx f х dx
8^’ J }/'5 + 4х—ха ’ J ’ 8.3. J х2 + 3%4-2 ‘
2 0 0
386
И » Z-— 2
Р dx Г 1 + с г______
8.4. J 44ZJ2 • 8.5. I —^2—dx. 8.6. У 1 4-%3 Jx.
О j о
2 0,5 0,6
р .------. Г dx С dx
8.7. $К1+х‘Л. 8.8. J ^==5. 8.9. J 7=.
° 0 0
10 1
8.10. f ЗЛЛ-7- 8.11. { К*d-х)dx.
J £/ 1 +х2 J
2 V 0
1 1
8.12. ^л!п(1 +x)dx. 8.13. е*2dx.
о о
1 0,5 8 .
8.14. $e*8dx. 8.15. 8.16.
0 0 2
С In (14- X2) 3,1416
8.17. j 8.18. J In (5 + 4 cos х) dx.
о о
1 . 1
8.19. 8.20. ? I/хcosxdx.
J V х 0J
о °
8.21. § j/sinxsiny dx. 8.22. C^^-?dx.
0 0
0,6 0,8
8.23. ( -dx. 8.24. f — dx.
J X J X
0,4 0
В задачах 8.25—8.28 составить на фортране подпро-
граммы для вычисления определенных интегралов, при-
менив указанные методы и выбрав названные параметры,
обозначив через А, В и F соответственно начало отрезка
интегрирования, его конец и идентификатор подпрограм-
мы-функции, вычисляющей значения подынтегральной
функции.
8.25. Подпрограмма-функция вычисления определенного
интеграла методом прямоугольников, параметры: А, В,
F, N, где N—число отрезков, на которые разбивается
исходный отрезок [А, В].
8.26. Подпрограмма-функция вычисления определен-
ного интеграла методом трапеций, параметры: А, В, F, N.
13*
387
8.27. Подпрограмма-функция вычисления определен-
ного интеграла методом трапеций, параметры: А, В, F,
EPS, где EPS —предельная абсолютная погрешность.
8.28. Подпрограмма-функция вычисления определен-
ного интеграла методом Симпсона, параметры: А, В, F, N.
8.29. Составить на фортране подпрограммы-функции
для вычисления значений подынтегральных функций в
задачах 8.1—8.24.
8.30. Составить на фортране программу решения задач
8.1—8.24, используя подпрограммы, полученные при реше-
нии задач: а) 8.26 и 8.29; б)* 8.25 и 8.29; в) 8.28 и 8.29.
8,31» Составить на фортране программу решения за-
дач 8.1—8.24, используя подпрограммы, полученные при
решении задач 8.27 и 8.29.
ОТВЕТЫ
1.1. 1.2. ЗхУхА-С, 1.3. 31п|х|—у + С. 1.4. у +
4- xi—In ] х |Ч-С. 1.5. х4-6 Ух 4-3 1пх-4= 4- С. 1.6. sinx-|-C,
i ух
1.7. 4 У a + bic + C. 1.8. —\-ег~9Х+С. 1.9. — JL.5“*/8 4-С.
Ь о In о
1 X3 Х~ 1
1,10. — tg 4*4-С. 1.11. «3--ф-5—НН-2 In ] х—1 Ц-С, 1.12. — sin 8х4-С.
4 о z о
1.13. х—^-cos2xH-C. 1.14. A sin 2х4-С. 1.15. х Утх-{-С.
i 2 о
п-1
1.16. -2-4-4-С. 1.17. 2 Уах+2x4-4 + 1.18. 4+2 In | х |4-С.
П — 1 о 1/ q О
1.19. ]д2^1 + С» ,-20- *?+3sinx4-C. 1.21. —2ctgx— Injtg^j+C.
1.22. а) —x4-tgx4-C, С) х—thx-]-C, • Использовать тождества:
a) tg?x — sec2x—1; б) 1 — thBx— schBx. 1.23. A. arctg ~4~С.
1.24. —4= In 4-С. 1.25. arcsin-~+С, 1.26. In | х 4-
2 И5 j/5-х. /3
4 /х?+3|- 1п|х+ У xi— 3|-f-C, 1.27. ln|x|4-2arctgx4-C.
1.28. 4+ (a+bj^-l-abx+Ci 1.29. ax-j-as,3xi^3aL/3x6,s +
О Z 4 о
х§
4- -g-+C. 1.30. x-f-3 In | tgx-|-secx |—2tgx-|-C, 1.31. a) —ctgx—x-f-C;
6) x—cthx+C, 1.32. In|x-b J/ й—7|4-C. 1.33. x——L—x
— +c. 1.34. 4/(3+xj5+C, 1.35.-4(3~4sinx)4/8+C.
9 о 10
x+2 У 2
Xln
388
,.3в. Й^+С. 1.37. -т,+ ‘=. l-м. -jijK.
1.39. у In | а+Ьх |+С. 1.40. — у In | а—6 tg х [+С. 1.41.X
Xln|2-3siPy=| + C. 1.42. ln|sinx| + C. 1.43. ^з+С.
1.44. у sin (ах+&)+С. 1.45. —cos(lnx) + C. 1.46. —2cosK*+C.
1.47. InItg (^+£} l+C. 1.48. -4-cth3x+C. 1.49. -J У(^4)*+С,
I у Z о у | О
Л50- -2ik5"x2+c- ‘-51’ Tln|ra|+C- b52- -Iх
1 x l/~3 I
Xarctg (<?-ax) + C. 1.53. arcsin——FC. 1.54. — In | 3x4-
_________ У 3 У 5 6
4-/'9x2 —1 |4~C. 1.55. —In (cos x+ yT6s2x4-4)4-C.
. 1.56. у arctg (x4) + C. 1.57. Z ln(*2 + K*“ + 0+C. 1.58. ln|a2 +
+ &2x|+C. 1.59. —-L-------f-C. 1.60. 44+C' 1.61. =J-^+C.
~ 1 * 2ncos2nx о 7—ex
1.62. In[ cosx l + C. 1.63.
l.os.lft^+D+c. .«».rj7-ras
—y= arctg -^= + C.
2 K7 j/7
1.67.
1.69.
1.71.
1 л
2-In | sh4x| + C. 1.64. _« +(?.
4 Inn
----r.1 -^ln
4-C.
Ка— Ьх+Уа + Ь x
1.68. у In (4x2 + 7) + C.
1|п|х2+Гх^+Т|+С. 1.70. 2-In (а* + + C.
" 3
(x+2)-3_ 1
(x+2)2 (x + 2)2
. . л ... 7
x—1
x+2 (x+2)2‘
^+c. 1.73. x-ln|x2-4| + Z-ln|g| +C.
3+2x4| ‘
_______ .3—
1.76. у In | x5+5x—8 Ц-С. 1.77. ± i/(5x4—3)5+C. 1.78. 31n(x +
+ Kj^+T)-yln(x2+1)+C. 1.79. —у Kt -4^ +4 arcsin (2x)+C.
1.72.
1.74.
x— y~3 arctg x
Ain
4a b
КЗ
ax2 — b
nx24- b
- • 4
1.73. jL|„
1.80. 4 a^tg ^+4 In (bx+ №+bW)+C. 1.81. J----+C.
b a ° i/a^lna
г.82. £|/(4+e^+C. 1.83. In (e^+/^+4) + C. 1.84. x-^ X
xzin^.n-uc • 1 _(l+2^)-2^ 2x ,ftx
Xln (2х + 1)+C. __y_ 2X4 1 1 2X+1 ’ l,85,e
- j/T^x?+arcsinx+C. 1.86. Z*2-1+C. 1.87. -y [C(3-chx)«+C.
389
1.88. —у /1—4 lnx+C. 1.89. у arcsin (2 In х) +С. 1.90. у —
sin2x . „ 1—cos2x , х , sin2x „ л
•-------кС. ® sm2x=±=--------. 1.91. — 4----кС. © cos2х =
4 2 2 1 4 1
__ I 4- cos 2х
2
, X
8T/1
1.92. К 2 In
+С.
1.93. х-]--~ sin2 ах-\-С.
<4 А 1 • । 1 [ I «ГС \ I 1 I 1 I Г ( | \ I |
1.94. ~ In I tg 4-—J |4-С. 1-95. ~x4--g-In | tg ^х4-~4-j j +
+ 4sin2x4-^^+C. 1.96. —2/3—cos2x + <?. 1.97. — ln(cos2x+
z о
-k 1/ cos4 x4-3) 4-C 198 In 1 ter y 1 _L C • 1 2
sin x cos x sin2x ’
1.99. In | cos У'Зх |-hC. 1.100 — In ch ях4-C.
1 1 Xs 1.101. ^-tg(ax+6)— x+C. 1.102. —-jctg (x3—3)--у -+C.
1.103. ^CX + C. 1.104. Д- In 1—x3 — l +c.
3 / 1—x3 + l
1.105. 4-Ini 4 — +c- 1.106. 2 |2+|/4 —X3 2 In (/~x+1) + C.
1.107. 6х— ln(^+l) + C. 1.108. iMfez"1)2' zo Y 9 0 i (5x—1)20\ 1 20 J +C.
1.109. -2 / l-e*+ /(1— e*)3 - ~ /(1- о о -ex^ 4- C.
1.110. 2^— (*+1)i _ i±l 4-2 /'x+l — 2 In ( /7+1 + o') + C.
\ О z. J
1.111. 1 1 2(3—x)e 5(3—a 1 X 1.112. О - In ^±£= Ц+С. V 3+ex+ /3
1.113. In 1 1+ / X2—1 +c. 1.114. xarccosx— 1— x2-|-C.
у 2 y2 О о z-
1.115. х sin x4-cos х4-С. 1.116.In х —— 4-С. 1.117. —j/ x2lnx—
zS 4 Z
9 3/~ n (x3 x2 X x3 x2 , „
4- у х-4-С. * 1.118. inx—g"H—4—x4~C
1.119. (2—x?)cosx + 2x sinx4-C. 1.120. ? — (x2 + 2x4-2)e~*4-C.
g-X2
1.121. (x3 — 3x24-6x—6)e*4-C. 1.122. -L_(x2_i_1)_|_Ct ® поло-
жить u~ x2, dv= хе”*2 dx. 1.123. —(ln2x4-2 Inx4-2)4- C.
1J24. ±(«!+1).гс1е,_Д+С. ^iT_|te> + C.
pQ.x I /у "t/~ 1 ___ ^агссозл
1.126. (bsinbx + acosbx)+C. 1.127. ]e--|-C.
1.128. x In (x+ /Т+79- /T+7?+C. 1.129. ^-inx-^C+C.
4 lb 1
390
1.130. (х 1П3—О + £- 1.131. (х2—2x4-1) sin x-f-2(x—l)cosx-|-C.
1.132. x tgx4-ln | cos x|4-C. 1.133. (sin (lnx)-|-cos (Inx)) 4~C.
1.134. 2е^х(У~х—1)4-C. • Сделать подстановку x — t2 и проин-
1 I x2
тегрировать по частям. 1.135. ——(arctg x)^—xarctgx-f-
+ y ln(14-x2) + C. 1.136. -arcsin*_[_
X2
1.137. —xctgx+ln|cosx|---2~+C. 1.138. e~x
in ----A=- 4-C-
1 + /1 —x2
2sinx—cos2x—5 . r
io ' c’
t-139. ~2 (X2>?+1)arctg X + C' ® Положить “=x>
1 140 / -C d±
J(x2+a2)« a2J (x2 + a2)« a2 J (x2+a2)n-l
1 (* X rfx ____ 1 1/ X t
“ a? J X (x2 + a2)” ~ ‘a2’ n~'1 ~ a2 \ 2 (n—1) (x2 + a2)«~i +
j \ 1 / X \
2 (n—1) 2 (n—1) a2 \ (x2 + a2)n-1 3) M
1/x 1 x\ 1 / x
Отсюда /2 = 2^2 (Х2_|_а2 + arctg— j + C, /3 = ^2 ( (x2_|_a2)2 +
+2^ra+2^arCtg^)+C- M J41,
dv — dx. Тогда du — —^=== , v — x. Имеем С Ух2 -f- a dx=x Уx2-^a —
Ух2+а J
C x2dx тп— С (х24-я) —a . i/"T^—
— 1 ——==- =xVx2+a — J dx = x у x24-a —
J Ух2-\-а J Ух2 + а
— J x24-adx4-a^ . Отсюда ^Ух2+ adx = ^- /'x24-a +
+ ~ In I x-f- j/ x2 + a 14-C. ► 1.142. Полагаем и — x, dv = ---X ^X—..
2 У a2—x2
..
Тогда du = dx, v = — У a2—x2 . Имеем I • -—- dx = — x У a2—x2+
J У a2—x?
+ С У a2.—x2dx — — x У a2—x2 -j- f dx = — x У a2—x2 +
I J 1/ /72-y2
, , r dx С x2 . _ Г х2 .
4- а2 I — — | —- dx. Отсюда | ___- dx =
J рЛз2—х2 J У а2—х2 J У а2—х2
— —у а2— х24—arcsin-------|-С. 1.143. ( — — — ) arcsin х +
2 '2 а \24у ’
у уЗ
4---У1 — х2 + С. 1.144. (1п(1пх)—1) 1пх + С. 1.145. arctgх —
4 о
— ——~ In (х2+1)Н-С. 1.146. —2 V 1—хarcsin К*+2 /~х+ С.
6 6
у - т- гу2 у
1.147. У а2—х24—2“ arcsin
о См. решение задачи 1.141.
391
2.1. ll + C. 2.2. ~^= arctg
6 |*4-5| К 6 Кб
2.3. arcsini=^4-C. 2.4. in |*+y+ К x2 + ₽x + ? |+ C.
2.5. ' mli^l+C. 2.6. ^.resl. <*+Ijy-S +C.
6 I x I 3 J<7
2.7.1]n|x?-5x+4|+-|ln|^|+C. 2.8. 1 In (x?-3x+3) +
+ К 3 arctg —4-C. 2.9. — К2—x— x2+-x-arcsin —* + C.
УЗ Лй
2.10. J/x?-6x4-l 4-C. 2.11. 1 arctg ^±^+C. 2.12.
4 Z Z 1П 0
Xln
2.14.
2.15.
2.17.
2.13. 2 In (x?—2x4-6)4—arctg --л j- -|-C.
+ C. 2.16. —
x
14-4x4- K^ + ^4-1 .
^2x2—x4-l 1 2—x4- |/2x2—x4-l , r
T ln |x| ---+G •
2 in 5-2x4-3/^+5 , 1 lx—31 , r
~ 9.x4-2) ~27 ,П-[7+21----+C- 2J9- 7ln 17+4|+C-
I 7 17 1
—g- ln|x|—у In J x—2| + —ln|x—31+C. 2.21.x—In | x |—
2-22- <+гп+л7гж+с-
3(x—1) ^'9 |П1Х—1 l + 'g’,nlJC + 2 l+C-
’ +f- 2-25- T,n^2+C- 2-26 7Пх
narctgz£J+c„,27._4(^_ +
X)4"C’ * J-S* <*2+ D3 J И+1)3 ~
x?+l)3 ~ 4 (x2+ I)2 “J (x2+l)3 • ДалееУ (x2+l)3 сычислить
по рекуррентной формуле, выведенной в задаче 1.140. 2.28. In | х—1 | —
1 х 1 1/г"з +1
__In(x? + x+l) + __^+^arctg-VT+C. .
2.18.
2.20.
— у In |x + 2|+-|-In | x—2 I+C-
2.23.
2.24.
X)n
2(x2—5x + 4)a + C'
x24-x K~2-|- I
x?— x У"2+ I
3x , 3 _
2(xs4- 1) + 2 ar
X
А } Bx —J"* С j Dx —1~ Е п
(x4-1)(x24-jc4- 1)2 — (х?Ч-х4-1)2 ’ Ф^еняя
J 1 х
метод неопределенных коэффициентов, получаем —f) (^24.х + 1)а ~
392
1 1 х — \
1 х + 2 Л
“ 9(х—1) 3(х*4-х + 1)? 9 х2+х+Г ДЛЯ
С dx С . dx
J (14^+^=J рекомендуется
нахождения
подстановка
* + ~ = / и затем использование рекуррентной формулы, выведенной
в задаче 1.140. 2.29. .JL In | ^—f| + C- 2.30. 2-1п|х+1| —
— 2 In I*—2|+-5-!п|х—3| + С. 2.31. 1 In -J.5±2)a +Х1х
1 1 2 1 1 24 х2—2x4-4 ‘ 12
4-1п|—||+С. 2.33.
‘ IX —2 I ‘
antgx „
20+72)+“!—+с- 2-35-
1 (а2 4~х2) — х*
а2 х2 (х2 4~ я2)
1
2
х—3
х
х+т х
1
а2х
2.36.
4а3 Х
________________= _LX
(х24-«2)(х2—а2)_2а2
х— К~3 1 , I х — 1 1 п
---~г=- — Т ln ТТ +С-
х4-КЗ 4 '
I , с е 1 ^(1+х6)—X6
6(х64-1) ‘ *
2.39. 4F+i’+ln|x|_Tln(x?+1)+C-
X arctg-5LJ- + C. 2.32. -Ц-
у 3 *
Xln I i^II-arctg х + С. 2.34.
I х 4“ * I
1 4 X , ~ 1
----s-arctg--• Т7""Г“1—2;
я3 a---------x2 (x2 4- a2)
w , I x—a I 1 x x ,
X In —— — к-т arctg------hC.
|x4-a| 2aA a
(x2 4- a2) —> (x2—a2) o o_ 1 ,
v v 1 7 v______L 9 37 _____ n
X (x2+a2)(x2-a2) ’ 4 ]/~3
2.38. In | x I —-1-In (x® + 1) +
x(x« + l)2 x(x«+l)2'
2.40. iln(x4 + l)X
____L—+ —3______
6(x+ l)eT7(x+l)’
-TiJ+i?-- 2M- I-"-' 1-+ю<^ч-хч-2)+?-А=х
xarctg__+C. 2.43. _cosx+-T-+C. 2.44. 7^5^-
— -——kC. ’ 2.45» sin x—sin8x+4-sin6x—i-sin’x + C.
5 cos5 x 1 . ‘57
*3x , sinx , sin 2x , n x sin 4x
2.4b. - + —-+-^- + C. 2.47. -g--32-
Х(х*—2)24-С. ® Положить х4 = /. 2.41.
1
2.44.
2
2М- П-
sin 4x sin8 2x . . 2 . „ 1 . . , o -л
-------------l-c. 2.49. — ctgx — — Ctg3x—— ctg5x+C. 2.50.
ytgs x+| tg3 x+C. 2.51. -nl?-+31n|tgx|+ltg2x+-l-X
Xtg’x + C.2.52. _^l__1|_+tgx+C. 2.53. (In | tg ± |-
_ ln I tgf4+4^+C. 2.54. _liH^+3 Д£+3 ln1 tgx+
I \ 2 ‘ 4 j j J 4 cos4 x 8 cos2 x 8
+ secx|+C. 2.55. -l-tg2x+ In | cos x | + C. 2.56. x+2ctg4~
393
-:ctg?4-4ctg34-2In к"41+с- 2-57- -2fctgx+c.
Z О Z | z I
2.58. sin x —~ sin3 X-}-Ct 2.59. —-2 p^cos x 4- -f- Кcos^ x4~C.
0.0 о
5 1 I 3
2.60. ~x—s’sin 4x4~z^ sin3 4x4-Tqo sin 8x+C. 2.61. tgx4~
1b о Уо Izo
+ ±tg3x+C. 2.62. 31n|tg||-—l_+C. 2.63. 21n|tg±|-
3
cosx । c. 1 . , I . o , 1 . _ , ~ cos 8x ,
~2Ж+С- 2.64. - sinх+^пЗх+^шбх+С. 2.65.-^4-
4-^ + C. 26e si^25x|sin^x)Cj 2 67 3_sin5x+3s.n^ +
n i sin — . _ . „
, ~ 3 x 1 „ _ __ 2 , sm5x . sin7x , _
+C. 2.68. yCOS---cosx+C. 2.69. ——- +—+—_ + C.
2.70.
— cos 6x---^cos4x—^-cos2x4-C. 2.71. —
24 16 8 5
Гб+tg 4
+-C.
/S-tg-I
2.72. arctg (tgi-1 )+C. 2.73. —-tg x+x+C. • Числитель
\ Z j COS X
и знаменатель подынтегральной функции умножить на (1—sinx).
—4= >П
4/7
2.74.
2.76.
2.78.
2 tg x — \П
4-С. 2.75. -1 arctg
2tsy-1'
1 9 1/ 4
—— In (1 4-4 cos3 x)4-C. 2.77. —g—arctg
9 4tg4+>
4= arctg--4=^-+C.
K15 K15
Uy-!
1
__(sin x~H4) — (sin x— 1)
(sin x4) (sin x—1) 5 (sin x4~4) (sin x —
— cosx 14-C. 2.80. In
-jj. 2.79. in | sin x —
I tg x4~ 2 I . p « j sh 6x x (
_| + C. 2.81. —+t+C.
2.82. £{^—£1^4-С. 2.83. £у£_А4-С. 2.84. ^4-£^ +
+ ^+С. 2.85. - 2cth2x4-C. 2.86. 1 In | |4-С. • Раз-
делить числитель и знаменатель подынтегральной дроби на ch2x.
2.87. —— cthx4~C. Ф Числитель и знаменатель подынтегральной
2
дроби умножить на chx-j-l. 2.88. 2р^ 2 sh -^-4~С. 2.89. In | sh х | —
£^4-С, 2.90. х—thx—44+С- 2.91. arctg Ю.+^С.
2 о 2
394
о ________ Q _________
2.92. -3/(2х-3)6+-|-У(2х-3)2+С.
— 2 arctg у x + C. 2.97. 6^ x—12 arctg
2.96. In
2.98. In
/ x— 1
4/T_l i
2.99.
—7=-|n
2/ 3
4-C. 2.100. In
+C.
а2 У a2—x?-\-C.
2.105.
___----, - —2 arc
/x+i — /x—i
X— / з /l—x-
x-|- |/~3 /4-х?
___-1 1/ (a2__________ y2\3
2.101. /х2 —1—arccos—4-C. 2.102. —5-
x ‘ 3
2.103. -ф- У' 1 — 2x—x2+arcsin ~r C. 2.104. 6arcsin%~y-—
2 У 2 2
— 3-2x-x2 (X3 + 3X2_7X_9) + C. 2.105. - . -.t-J-C.
4 ' 3/(1+x2)»
2.106. ln|x-(- /х^Л 1 — +c- 2.107. Г x2 —2x+10 +
+ ^- In (x— 1 + |/x2—2x+ 10) + C. 2.108. /4x—x? +
+2arcsin^=^+C. 2.109. - ^^t.^-|-|n(x+ /x24-5) + C.
2.110. i /^=T2+^ln|x+/П^?| + С. 2.111. jL^g+C.
9 V x2 +9
2.112. 4-(2*3~ 5%) pGc2 — 1 4-^ In (x2 4- Ух2 — 1)4-C«
о о
1 2 x4-1
3.1. 7-In (x2 +2x+4)-I—arctg ———|-C.
2 /3
+ ln|x2-x—l|+-B^ln —— ---l-C.
/5 2x-l+ / 5
3.3.
3.2. y + x +
______!-----1-
5 (x—2)
^ln|”||+ C-3'4 —
2
¥ln
.2/3 . 2x+l
!rcte VT
-Ц+с.з-з.Д ’—-Lr)+c.3.6. Кзг+*+2-
1—x3 4 \ x4 x4 x44~l /
---In ^x-j- У~х2-}-х+ 2^ -|-C. 3.7. — j/*64-41nx—ln2x-h
4-2агС51пЦ4=^ + ^ 3.8. —4~lnl 2% + 2-^%2 + 8--4-l+C.
У 10 2 I x I ‘
395
3.9. КЦ„,.1£.^-С. 3.10. 5)3 —(х4-2) Vх*+4х —5 +
4-91п (х+24- Ух?+4х — 5) + С. 3.11. - + 4х + 5 +
+ 4- In (*+ 2+ Ух2 + 4х+5) +С, 3.12. -1 arctg —у. 5* .-+<?.
2 15 - ЗУ 16—х2
3.13. 4-1П (х?+Ух« + 16) +С. 3.14. — = 4-С. 3.15. 2^ +
* 4 у х2 4- 4
. я 2 }/ х—1 /'TZZV
+4/«-7T.relS -17Т-+С- »-»• -УТГХ+С.
3.17. —x4-tg x4-secx4-C. 3.18. х tg 2_р2 In | cos4~ С. 3.19.
/ . х \
1 2 { 2 | 1
2 4-С. 3.20. arctg I -2- /4-С. 3.21. -2— х
3 (1 —SiD х)3 п з \ 3 ' 2К з
Xln
/j4-tgx
К 3—tg x
+c.
Q __________ V
3.22. 2tgx —— 3/tg4x4-C, 3.23.
(secx \ n
-- )4~C-
К 5 )
si n 2 x
3.24. L2_±4-5sinx — 24 In (sin x4~5) 4-C,
3.25. In | tg x|-ptgax + ^H-C. 3.26. tgx+-| tgSx4-tC^H-C.
j о о
cos x 3 cos x 3
4 sin4 v 8 sin2 x ‘ 8
, sin 3x , x cos x sin x . ~ , , .. . , n 9 ол , ... v ,
4---To—I----о------n~4-C« 3*29- ln[thx|4-C. 3.30. arctg (thx)4-C
lo 2 2
3.27.
3.28.
x cos 3x
6
th2 x th4 x z---
3.31. in(chx)—4>~—4~+С. 3.32. 2sbKl+x + C. 3.33. xtbx —
. . , , гу о о. * x c°s (2 lnx)4~2x sin 2(ln x) , „ „
— ln(chx)4-C. 3.34. у------1---------------i--+C. 3.35.
~ Io II — 1 I
£l-(2x-1)+C. 3.36. __e-^ + C, 3.37. -Inl^^-JI+C.
1 /nx hx\ 1
3.38. -j----Ц—г ( rj—)— 2x + C. 3.39. — ^rcsin x (x _|_
Ina— In b \bx ax] 2
_|_ i __X2) + c. 3.40. 2 1 ~ 2 arctg Уех— 1 4-C.
3.41.---Ll_2_arcsinx 4--l(arcsinx)2 4- ln|x|4-C. 3.42. x —
— arcsin (ex) — In (1 4~ К1 — ^2x) 4- C, x^cO. 3.43. —
- ^x—arctg x4-y (arctgx)2 4-y In (1 4-x2)4~C. 3.44. у+~^-+
396
+4<,+л.ге1г.+с.
+ /~3arctg li^ + C. 3.46. —х?+—In (4+%4)+2arctg-^.4-С.
&>)^1П Гта_±1п1^=1 +
3 F *2+14-1
-$ 1
х?--arcsin х —
2
14.
9 3
4-С( |х| > 1. 3.48. In ]ГГ-
\1—* ]Л1— х)
1 ± 1/*1 — г2
— In ~--------------|-С, 0 < х < 1. 3.49. хх+С,
— In (1 4~гх)—2г~*/2 arctg <?х/2—(arctg£x/2)2 + C.
3.47.
3.50. х —
4.1. у. • Отрезок [0, 5] разделить на n равных частей.
4.2. 1. • Отрезок |^0, 4^ разделить на п равных частей. Применить
па (п-Н)а
sin — cos L—
формулу: cos a-f-cos 2a-f-... -|-cos na --------------.4.3. e*°— 1.
SlHy
• Отрезок [0, 10] разделить на n равных частей. 4.4. 2/3. ® Отре-
зок [1, 3] разделить на п частей так, чтобы абсциссы точей деления
образовали геометрическую прогрессию. 4.5. 15/4. 4.6. 9/2. 4.7. 5.
4.8. 19/15. 4.9. 3^-. 4.10. 45/4. 4.11. 1. 4.12. 1. 4.13. е2—е. 4.14. 7/1п 2.
о4
4.15. in2,5. 4.16. (1пЗ)/2. 4.17. я/12. 4.18. у—у- 4.19. у+~
4.20. — (2—3 ch 2+ch» 2). 4.21. 1 arctg — . 4.22. |n -Z+ .
3 4 7 1 + К 2
4.23. y+71n2. 4.24. 2 In у—1. 4.25. l(e —yi). 4.26. sin 1.
it 9 11 19 л
4.27. i. 4.28. 7. 4.2». ^>2 + ^. 4.30. In y. 4.31.
4.32. 2—In 5. 4.33. 4.34. ~ < Сумму S„ =...
можно рассматривать как интегральную для функции / (х) =
1
14-х?
р dx
на отрезке [0, 1], Поэтому lim Sn = \ -г-2=arctg х
а -> «о J 1 "г
о
1___л
|о“” 4 '
397
4.35. 1. 4.36. А(23/2 — 1). 4.37. 4.38. 4.39. 7. 4.40.
о и 4 о
l/”2 1 1 Я
4.41. 1---4—. 4.42.--------4.43. 2 In 4. 4.44. 4—3 In 3.
2 ее2 2
4.45. а) Минус. • Разбить отрезок интегрирования на отрезки
[—2, —1] и [—1, 1] и воспользоваться, свойствами 1) и 9). б) Плюс;
1 3
в) минус. 4.46. а) Второй; б) первый; в) второй. 4.47. а) — ; б) ~ ;
В) —; г) — . 4.48. — Z0cos ф. 4.49. 2 V 7 < 1 < 6. 4.50.-22- <
п Зя л 1^7
< 7 < j/~3 -. 4.51. а) — (2 ]Г2— 1) < 1 < -22—2(2 V 2- 1); 3 3 4
б) |/|<- 22р2. 4.52. а) -2 < / < 2 /5; б) 1 < /2J25. 4 О О
«3. .) gP dl (Р л = 4-;б) -7-=- —. 4.54. х = 4(2*-Н), * = о, 1,2, ... |3 da а 2 v 1 '
. rr. sinx 4.55- . . sin х , I 1 1 . _ х2—fx 4.56. — -4 sin . 4.57. == . 4.58.
X 2 У x x2 x2 j/ 14~ *3 In x
4.60. Нет. 4.6L -2(з+1п-2у 4.62, In-2. 4.63. 2-(2+sh2)- о У . t) J Л 4
4.64. -2_ arctg —2=-. 4.65. —. 4.66. л. 4;67. —. 4.68. —.
К 5 K5 3 3 6 6
4.69.4- (2 V 3—л). 4.70. 1 4-71- ± (л+2). 4.72. 2 fin 2 —И
О X oz \ 4 J
4.73. In . 4.74. 2-. 4.75. 4—л. 4.76. ^л. 4.80. 1
2 6 16
4.81. л К"2—4. 4.82. -2 (5л К 3—9 In 3). 4.83. е—2. 4.84. А (езя/4+1)
1о 25
4.85. V 2-----|^+1п 2+^2. 4.86. ^±1. 4.87. Л-----------------L
К 3 1+К2 4 42
4 88 — & 4 89 — (ел/3____1) 490 /.—'3'5 • -(2& 1) л
4.88. 32 . 4.89. 2 (е I). 4.90. /2ft- 2 4,6. у
, 1 2-4-6...2Й , . ,, , 16 , 35
(п —2fe); + i — 3.5.7.(2*4-1) й+1)> 35! /8~256Я'
4.91. /4 = 24——.
4 е
1 л 2
5.1. . 5.2. Расходится. 5.3. —— . 5.4. . 5.5. Расходится.
2 5
5.6. 1 + 1п2. 5.7. 5.8. 4г. 5.9. Расходится. 5.10. Сходится,
о 2
5.11, Сходится. 5.12. Расходится. 5.13. Расходится. 5.14. Сходится.
5
5.15. Сходится. 5.16. Расходится. 5.17. Расходится. 5.18. X
398
X(®Z 3+1). 5 19. Расходится. 5.20. л.. 5.21-у- 5.22. у. 5.23. 2 Х^
5.24. Расходится. 5.25. л. 5.26. Сходится. 5.27. Сходится. 5.28. Рас-
ходится. 5.29. Сходится. 5.30. Расходится.
Q ГЛ.
6.1. е*. 6.2. nab. 6.3. 16/3. 6.4. 9/2. 6.5. ~(3л—2). 6.6. р*
6.7. а2.. 6.8. —— (л—2 In 2). 6.9. ~. 6.Г0. 2 1п2-4-. 6.11.32/3.
4 6р 2
6.12. 1. 6.13. а2. 6.14. 1,5—2 In 2. 6.15. 1. 6.16. 4Гп2—1.
6.17. и у^+|а2. 6.18. а2 (y^+’n (2+ КЗ)} •
6.19. r(a+h)---- = .... In a+ft+ У2дМ±!.. 6.20. бла2.
K2a/i+/i2 а
6.21. у (3 /2- 2- tn (1 + У2)). 6.22. ~+а2~ In (2+ К 3)
tf ^-а2Н----In (2+ 1/~3). 6.23. = — arccos (1 — —} —
2 2 КЗ V^2ah— Л2 \ а)_
ч я лГ ч
— ra—h)r. 6.24. -+(л+21п2). 6.25. ла2. 6.26. + ла2. 6.27. --Г. .
4 об
6.28. 12л. 6.29. ^ab У~3. 6.30. 4- 6.31. 4 ла2. 6.32. . 6.33. .
о 1р 2 о 4
6.34. ^Сл+4-Y 6.35. 2^. 6.36. ~(е^— I)2. 6.37. V~3 —5-.
т \ о у 4 <5
6.38. 6.39. а?. 6.40. j/~3. 6.41. у X~5+yln(2+Хб)-
6.42. 2 КЗ. 6.43. 2р (3 |/~3— 1). 6.44. 4а In (а+ Ха2 —1) —2 Fa2—1.
6.45. ла j/~2. 6.46. ла—2 (а—&) arctg — . ® Перейти к полярным
координатам. 6.47. sh 6. 6.48. — In tg ^-==— In (1 4- К~2).
6.49. ^р. 6.50. 6а. 6.51. 1). 6.52. -Цр-. 6.53. ~.
6.54. 4аХ"3. 6.55. х=а(~---у=~а. 6.56. + ~.
\ о 2 у 2 а
6.57. 8(2— V 3). 6.58. у ла. • Ос<р<3л. 6.59. 5л. X 1+4л2 +
+ 4-1п(2л+ Х"1+4л2). 6.60. 4 а. 6.61. 2аХ~6- 6.62. аХ~3- 6.63. 8.
6.64. 4 а VI (3 + 2/). 6.65. 8 Х"2. 6.66. 4 (sh 12+12). 6.67. а) 8л +
О о
+ -у=- In (2+ V~S); б) 2л+-зр^~ . 6.68. (2 /~2— 1). 6.69. 48л.
6.70. ^ла2(Х"2+1). 6.7Т. а) Зла2; б) ла2 Х~3.
1э , о
399
6.72. л^/~5-|-41п ..!.±X5). 6.73. а) 9я2а2; 6) 24яа2. 6.74. 3м1.
6.75. яа2 (Зя—4). 6.76. 6я2а2. 6.77. 4я2а2. 6.78. — яа2.
° 5
6.80. 4 ла2 (2 V 2-1). 6.81. с3. 6.82. 4«3tg«.
v IUD * О
6.83. ^я. 6.84. я. 6.85.^. 6.86. я. 6.87.^.
ID 4 z о £
6.88. а) б) 6.89. 4 ла3. 6.90. 4 л2а». 6.91. 4$ ла3.
£ 4 15 4 105
6.92. ^(3j/2Jn(/2+l)-2).
7.1. К2+1п(1+К2). 7.2. Л1х=1(е К14-е2-К2 +
+ln( К2-О U+ Л+ё2)),7л=4 ((1+е2)3/2- К8). 7.3. Мх=%а\
О о
256 лтл/З
/х=-^а3. 7.4. Л4д. = 2а2, 7.5. Л4х = 2а2, Л4„ = яа2.
10 £ и
76 - a(shl-ch 1 + 1) Л П ’ - a(2 + sh2)
sh 1 -aV~ S’? • v---4 sh 1
Q _ ____ Q _ __ _
=s —(csch I4~ch 1). 7.7. x = 0, y-—-a. 7.8. x = y = — a. 7.9. x — y~
£ DO
= -|-а. 7.10. . 7.11. x = -~- sin (co/-}-ф); r'cp = — t)0. 7.12. t — § c,
s=144 m. 7.13. 250 m. 7.14. 0,125 Дж. • По закону Гука сила про-
порциональна растяжению пружины. 7.15. -i-ул/?2//2. 7.16. -^-Х
ХлЖ. 7.17. 4гТ^2-7Л8-4-^?^?- 7.19.-!^ /2яр3. 7-20. еоеХ
(1 1 \ п тг v
— — — J ; . • По закону Кулона сила взаимодействия за-
г? ^0^
рядов в пустоте равна г=—где х—расстояние между зарядами.
7.21. 2066 In 2. • При изотермическом процессе pv^p^v^. Работа
равна Л = J pdv, где и v2 — начальное и конечное значения объема.
7.22. . • При адиабатическом процессе pvk=.
= PqVq, где &«1,4 (закон Пуассона). Работа равна Л — J dv.
Vo
4 1 11
7.23. лусо2/?5. 7.24. -^-tfydha*. 7.25. —yalhW. 7.26. ~x
10 OU x tt
ХлсоЧ^Я. 7.27. . 7.28. ynR2H. 7.29. 4 -yafcl 7.30. ynRH?.
d V
400
7.31. 20,625 кг. 7.32. . • По закону Джоуля—Ленца КОЛИ-
CD
чество тепла, выделяемого постоянным током за время /, равно
S /* 9//
Q=0,24/2/?/. 7.33. — у -^-«5,6 мин. • По закону Тори-
челли скорость истечения воды из отверстия на расстоянии х
от свободной поверхности равна и = р , где pi^0,6, g—ускоре-
ние свободного падения. 7.34.
яра*
8|1/
v 2яг dr
.л. пР ( (р2——г2) ? \ |fl__ яра^
r >гаг~ 2|х/ 4 ) |о~ 8И/ ’
менить закон всемирного тяготения. 7.36.
7.37. -f pa/i Кяёй .
и
> 7.35.
4|х/ J {
о
2km.M
л/?2
/?2
Зг2
При-
мин.
8.1. 0,5236. 8.2 . 0,1963. 8.3. 0,1178. 8.4. 0,3926. 8.5. 1,7500.
8.6. 3,2413. 8.7. 4,2218. 8.8. 0,4969. 8.9. 0,6082. 8.10. 2,6291.
8.11. 0,3927. 8.12. 0,2500. 8.13. 1,4627. 8.14. 1,3419. 8.15. 0,8120.
8.16. 1,1184. 8.17. 0,1728. 8.18. 4,3555. 8.19. 0,6205. 8.20. 0,6076.
8.21. 1,5708. 8.22. 0,9160. 8.23. 0,6651. 8.24. 0,7721.
8.25.
FUNCTION R(A,B,F,N)
Н = (В —A)/N
R=0.
Х = А—H/2.
DO 1 I = 1,N
Х = Х + Н
1 R = R + F(X)
R = R*H
RETURN
END
8.26.
FUNCTION TR(A,B,F,N)
H = (B —A)/N
TR = (F(A)-F(B))/2.
X = A
DO 1 I = 1,N
X = X+H
1 TR = TR4-F(X)
TR = TR*H
RETURN
END
8.27.
FUNCTION T(A,B,F,EPS)
Tl = (F(A) + F(B))/2.
T = T1
H = B—A
N=1
1 X=A—H/2.
DO 2 I = 1,N
X = X + H
2 T = T4-F(X)
T2 = T
N = N*2
H = H/2.
T = T*H
EPS1=ABS(T— Tl)/3.
IF(EPS.GT.EPSI) GO TO 3
RETURN
3 T1=T
T = T2 .
GO TO 1
END
14 Под ред. А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича
401
8.28.
FUNCTION P(A,B,F,N)
H = (B —A)/(2*N)
Pl=0.
P2=0.
X = A
DO 1 1 = 1, N
X = X + H
P1=P1 + F(X)
X = X + H
1 P2 = P2-}-F(X)
> = (F(A)—F(B) + 2.*P2 + 4.*Pl)*H/3
8.29. Для задачи 8.1 ответ записывается следующим образом:
FUNCTION F(X)
F = 1 ./SQRT(5. + 4.*X — X*X)
RETURN
END
Для остальных задач оператор, определяющий значение F, имеет
следующий вид:
F = (X**3)/(X**8+I.) (к 8.2)
F=X/(X*X+3.*X + 2.) (к 8.3)
F=l/(4. + X*::=2) (к 8.4)
F = (1+SQRT(X))/X**2 (к 8.5)
F = SQRT(1. + X**3) (к 8.6)
F = SQRT(1. + X**5) (к 8.7)
F = 1./SQRT(1. + X**4) (к 8.8)
F = 1./SQRT(1. — X**4) (к 8.9)
F = l./(l. -4- X**2)**0.333333 (к 8.10)
F = SQRT(X*(1. — X)) (к 8.11)
F=X*ALOG(1.4-X) (к 8.12)
F = EXP(X**2) {к 8.13)
F = EXP(X**3) (к 8.14)
F = EXP(SQRT(X)) (к 8.15)
F=1./ALOG(X) (к 8.16)
Y = l. + X**2 F = ALOG(Y)/Y (к 8.17)
F = ALOG(5. + 4.*COS(X)) (к 8.18)
F = (SIN(X)-X)/SQRT(X)+SQRT(X) (к 8.19)
F = (X**0.333333)*COS(X) (к 8.20)
F - SQRT(SIN(X))*SIN(X/2.) (к 8.21)
402
F = (AT AN(X)— X)/X+1 ,
F = EXP(X)/X
F=(SIN(X)— X)/X+l.
(к 8.22)
(к 8.23)
(к 8.24)
8.30. б) Ответ приводится для задачи 8.15:
EXTERNAL F
N=16
Y = R(0.0.0.5,F,N)
1 Yl—Y
N —N*2
, Y = R(0.0,0.5,F,N)
EPS = ABS((Y1 —Y)/3.)
IF(EPS—0.0001)2,2,1
2 WRITE (3,3) Y
3 FORMAT С ИНТЕГРАЛ = ',F8.4)
STOP
END
• Задание для ЭВМ должно содержать три программы—указанную
здесь и две другие, полученные при решении задач 8.25 и 8.29.
Программа решения любой другой задачи отличается от приве-
денной операторами, содержащими обращение к подпрограмме-функ-
ции R, например для задачи 8.18 Y = R(0.0,3.1416,F,N).
в) Отличие от приведенной выше программы в указанных опера-
торах:
Y = Р(0.0,0.5,F,N)
EPS = ABS((Y1— Y)/15.)
8.31. Ответ для задачи 8.16.
EXTERNAL F
Y = T(2.,3.,F,0.0001)
WRITE (3,1) Y
1 FORMAT C ',F20.4)
STOP
END
© См. указание к задаче 8.30, б).
Гдава 7
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. Основные понятия
1. Понятие функции нескольких переменных. Напомним, что
всякий упорядоченный набор из п действительных чисел xj, .хп
обозначается (хь хп) или Р (xlt ..., хп) и называется точкой
«-мерного арифметического пространства числа хъ хп на-
зываются координатами точки P = P(xv хп). Расстояние между
точками Р (xj, хп) и Р (х[, х„) определяется формулой
р(Р, P') = V (xj —х[)2+ • + (х„—х^)2
Рис.
Пусть D cz —произвольное множество точек «-мерного ариф-
метического пространства. Если каждой точке Р (хь xn)£D
поставлено в соответствие некоторое вполне определенное действитель-
ное число /(P) = f (Xi, ..хп), то говорят, что на множестве D задана
числовая функция f: Rn —> R от п переменных хь ..., хп. Множество D
называется областью определения, а множество Е— {u£R \ u = f (Р),
—областью значений функции и==[(Р).
В частном случае п — 2 функция двух переменных z~f(x, у)
может рассматриваться как функция точек плоскости в трехмерном
геометрическом пространстве с фиксированной системой координат Охуг.
Графиком этой функции называется мно-
жество точек
Г-{(х, у, Z)^\2^f(xt у)},
представляющее собой, вообще говоря,
некоторую поверхность в R3.
Пример 1. Найти область опреде-
ления функции
У
z = arcsin— .
X
Функция определена при
—Х0О.
Следовательно, —х^у^х при х>0 и х^у^—х при х < 0.
Область определения функции изображена на рис. 68 и содержит
границы области, за исключением начала координат. ►
404
Пример 2. Пусть f (х, у) — —-— . Найти / (3, — 2), / (у, х),
ху
' \ х у J
Имеем:
1.1. Выразить площадь S треугольника как функцию
длин двух его сторон х и у, если его периметр равен 2р.
Найти область определения этой функции.
1.2. Выразить объем V кругового конуса как функ-
цию площади S его боковой поверхности и длины I обра-
зующей. Найти область определения этой функции.
1.3. Выразить площадь S равнобочной трапеции как
функцию длин ее сторон, если х и у — длины оснований,
z— длина боковой стороны. Найти область определения
этой функции.
Найти области определения функций двух переменных
(7? = const):
1.4. г== VR2 —-х2 — у2. 1.5. z=^Vx2-}~y2 — R2.
1.6. г= -1—=. 1.7. z = -7==T==.
R -—х'2—у‘г У х2 + у2—Ri
1.8. z = (2x-\-3y — 1)/(х —у).
1.9. г = Ц1-(х2 + //)2. 1.10. z = ln(-x-t/).
1.11. 1.12. z = yVcosx.
1.13. z — j/loga (№ + у2}. 1.14. z = arccos^p^.
1.15. z = V9 —x’ —z/2 + ]/x2 + z/2 —4.
1.16. z — arcsin ~r + arcsin (1 —y).
1.17. f(r, (p) = r]/sinq>. 1.18. f(r, <p) = r ]/cos2<p.
Найти области определения функций трех переменных:
1.19. u = V x2 + y2 + z2 — R2 (jR = const).
1/"I f/2
1.20. и = arcsin
406
1.21. и = In (1 — х2—-z/2 + z2).
Найти области определения функций п переменных:
1.22. и = V1 — х[ + К1 — х| + • • • + V1 —
123 и—-1/1 ~__________—____ ________
1.23. и-у а, а, ... af.
1.24, Дана функция f(x, у) = ^~^- Найти /(2, 1),
/(1, 2), /(3, 2), /(2, 3), /(a, a), f(a, -а).
1.25. Дана функция f(x, у) = $. Найти /(—3, 4)
Х-“Г У
1.26. Найти f (х), если f (х > 0).
1.27. Пусть z = x-\-y + f(x—у). Найти функции /иг,
если г —х2 при у = 0.
1.28* *. Найти /(х, у), если f(^x + y, ^0==х®—у2.
1.29. Даны функции: /(х, у) = х2+у2, <р(х, у) = х2 —у2.
Найти: а) /(<р(х, у), у2\, б) ср(/(х, у), <р(х, у)).
1.30. Даны функции: ср (х, у) = ех cos у, ф(х, z/) = e*slny.
Доказать:
а) ср2(х, у) — фа(х, #) = ср(2х, 2г/);
б) 2<р(х, г/) ф(х, #)=ф(2х, 2у).
1.31. Даны функции; /(х, г/) = х2—у2, cp(x) = cosx,
\])(x)=sinx. Найти: а) /(ср(х), ф(х)); б) ср(/(х, у)).
2. Предел и непрерывность функции. Число А называется пре-
делом функции u — f(P) при стремлении точки Р (х1? х2. хп) к
точке Ро (ai> •••» если для любого 8 > 0 существует такое
д > 0, что из условия
о < Р (Л рй) = K(xi-ai)2+...+(xn-an)2 < 6
следует
1/(^1. х*.....Хп) — А | < е.
При этом пишут:
Л= lirn f(P)= lim /(хь х2, хп).
P-^PQ
Пример 3.
х —> 0, у —► О?
Выяснить,
Хп~>ап
имеет ли
х2 —
функция
предел при
406
Пусть точка Р (х, у) стремится к точке Ро (0, 0). Рассмотрим
изменение х и у вдоль прямой у — kx. Получаем
.. х2—у2 х2 — &2х2 1 — k2 1—k2
lim hm -x- т’г~79=‘1 v
У-+Ь
Результат имеет различные значения в зависимости от выбранного Л,
и поэтому функция предела не имеет. ►
Функция u=--f(P) называется непрерывной в точке Ро, если
выполнены следующие три условия:
1) функция f (Р) определена в точке Ро;
2) существует lim / (Р);
р-+р0
3) lim /(Р)=/(Р0).
Р-+Р*
Функция называется непрерывной в области, если она непре-
рывна в каждой точке этой области. Если в точке Ро хотя бы одно
из условий 1)—3) нарушено, то Ро называется точкой разрыва функ-
ции f (Р). Точки разрыва могут быть изолированными, образовывать
линии разрыва, поверхности разрыва и т. д.
Пример 4. Найти точки разрыва функции
1 — хуг
и~ 2х~\-3у — г+4’
Функция не определена в точках, в которых знаменатель обра-
щается в нуль. Поэтому она имеет поверхность разрыва — плоскость
2х + 3г/ — z-j-4 = 0.
Найти пределы:
*У
1.33. Ит
х->0 ХУ
1.32.
lim ,_______
х->0 3— V XI/+ 9
у—> 0
lim^
л->0 У
У^о
1.34.
1.35. lim(l+x2 + i/2)x2+^
х->0
(/->0
1.36.
lim
.2-
y-^oa
Показать, что при x—>0 и z/—>0 функция
может стремиться к любому пределу. Привести
: такого приближения точки (%, у) к точке (0,0),
1.37.
г =---- ।
Z/—-X
примеры
при котором Ншг^З, lim z = 2, limz = l, Пшг = —2.
1.38. Показать, что для функции /(х, = не
существует lim/(x, у), вычислив повторные пределы
л->0
lim /limf(x, y)\, lim/lim f (x, y)\.
x->0 / [/->0 \x->0 J
407
1.39. Показать, что для функции f(x, =
существуют и равны между собой повторные пределы
lim Him f (х, у)\ — lim Him f (x, y~)\ — 0,
x->0 J y-+0 \x^0 J
тем не менее lim f (x, у) не существует.
1.40. Выяснить, имеет ли функция sin In (х4 + у2) пре-
дел при х —> 0, у —> 0?
к2 |
1.41. Выяснить, имеет ли функция 4Т\ предел при
х 1 У
X—► ОО, у—>оо?
1.42* . Показать, что функция
—если х2 + у2 0,
если х = у = 0
f(x, y) = < **+уг-’
o.
в точке (0, 0) непрерывна вдоль каждого луча x = /cosa,
y = /sina (0 t < + оо), проходящего через эту точку,
г. е. lim/(/cosa, /sina) = f(0, 0), однако эта функция
/->о
не является непрерывной в точке (0, 0).
1.43. Показать, что в точке (0, 0) следующие функ-
ции непрерывны по каждой из переменных х и у, но
разрывны по совокупности переменных:
ч г/ х f / оХ\У 2Т2 > если *2 + */2¥=0,
a) /(%, У)=] (х2+у2)29 1
( 0, если х = у = 0;
₽, X ( /~Т~'"хз > ССЛИ ^2+y2=¥=0t
б) f(x, f/)= < (* + */)3 I -7- >
( 0, если х = у = 0.
Найти точки разрыва функций двух переменных:
1 44 Z=z-------!------- 1.45. z =_________-______
• ,(Х—1)2+(^+1)2 Sin9-nx+sin2^ •
1.46. г = -—С—. 1.47. г = 1п(1 — х-— у2).
sinxsinr/ х J '
1 48 z — х2 + У2 1 до у !
Найти точки разрыва функций трех переменных:
1.50. w = 1.51. ц = ^--------Л—_
K^Z х I I z
а2 * Ь2 ' с2
408
1.52. и =...-;..I--». 1.53. u = 2 i „1 „—г.
1.54. u==-^~,—7-—^r-T—r-
x? + у2 — z? +1
3. Частные производные. Пусть (xt-, . .и x&, хп)— произ-
вольная фиксированная точка из области определения функции
и — f (xf, ..., хп). Придавая значению переменной х& (k = 1,2, ..., п)
приращение Дх^, рассмотрим предел
lim /(хь ••• Xfe+A-Tfe.....xn)—/(xlt Ч........Хп)
д*й->-о
Этот предел называется частной производной (1-го порядка) данной
функции по переменной xk в точке (хХ) ..., хп) и обозначается
ди £, I X
или 4ft(xt, ... х„).
Частные производные вычисляются по обычным правилам и фор-
мулам дифференцирования (при этом все переменные, кроме х^, рас-
сматриваются как постоянные).
Пример 5. Найти частные производные функции
у
z = arctg
Считая у постоянной, получим
dz 1 . (___у \ У
dx
Считая х постоянной, получим
dz 1 1 х
‘ \ х J
Функция и — f (xi, х2, ..., хп) называется однородной функцией
степени т, если для любого действительного числа справед-
ливо равенство
f (i^ii tx2l ..., '==z * f (*f, ^2> • • • > ^n)-
Если однородная степени m функция u — f(xi, x2, ...» хп) имеет
частные производные по каждой из переменных, то выполняется
соотношение (теорема Эйлера)
(xi, ха, ..х^ + хг/^ (хь х2, ..., хп) +...
... +V' (*ь х2) ..., xn) = mf (xi, х2, ...» пх).
Хп
Пример 6. Проверить теорему Эйлера, если
f(x, у)=Ах24-2Вху+Су2.
Имеем
f (tx, ty) = А (/х)2+ 2В (tx) (ty) + С (ty)2 = (х, у).
409
Следовательно, m==2;
/;(х, у)~2(Ах+Ву), f'y(x, у')—2(Вх-]-Су),
xf'x{x, y) + yf'y(x, у)^2х (АхА- By')Jr2y(Bx+Cy)=2f (х, у). >
Частными производными 2-го порядка функции ц = / (xt, х2, ..., хп)
называются частные производные от ее частных производных первого
порядка. Производные второго порядка обозначаются следующим
образом:
д / ди \
дхъ \дхк)
д f ди \
dxL \J
д2и ,,, , ч
х (Х1' *2’ А^’ *’’’ Хц^
dxk xkxk
д2и ,
=»х----„ И1» Л2, •••> */г> •••>
dXkdxt *k*t
• • • > Хп)
и т. д.
Аналогично определяются и обозначаются частные производные
порядка выше второго.
Результат многократного дифференцирования функции по раз-
личным переменным не зависит от очередности дифференцирования
при условии, что возникающие при этом «смешанные» частные про-
изводные непрерывны.
Пример 7. Найти частные производные 2-го порядка функции
g — arotg
Имеем (см. пример 5)
dz у dz х
дх х2~гУ2 И ду х2-у-у2*
Дифференцируе.м вторично:
d2z ___ д f у \ __ 2ху
дх2 дх \ х2 -ф- у2) (х2 4- у2)2 ’
d2z __д ( у \__________ 1-(*24-#2)—2у-у___ у2 — х2
дхду~~ду \ — х2+^2(л-2 + у2)2 ““(^2 + ^2)?’
d2z д / х \ Ь(х24~*/2) — 2х-х у2—х2
Ъудх дх \х2-\~y2J (*2+У2)2, 1^2-1-у~У2
/ х d2z d2z \
\ дхду ду дх J
д2г___д ( х \ 2ху
~ <х2+у2у2 *
Найти частные производные 1-го и 2-го порядков от
заданных функций:
1.55. г = х5 + //6 — 5х3у3. 1.56. г=-ху + ^.
1.57. z = . 1.58. z = xe ~Xil.
1.59, г = с-4^. 1.60, z = yx.
410
1.61. г = In (х2 + у2). 1.62. z —arcsin - _ . г
V x-+yi
1.65. и = ху2г3^ -|- Зх — ty + ^z— t 4- 1.
1.66. Найти /1(3, 2), /;(3, 2), f"xx(3, 2), f"xy(3, 2),
Г (3, 2), если /(х, y) = x3y + xy2 — 2x + 3y—l. v
1.67. Найти /'(1, 2), /;(1, 2), /'^(1, 2), f'xv(\, 2),
х2 4- у2
2), если f (х, у)= J e*dt.
d~z д2г
1.68. Показать, что тт~--г7Г • если z = xs\n[ax+by).
kJuy иу с/л
d^z д2г у х
1.69. Показать, что =•>—г > если z = cos — arccos —.
’ дхду дудх х у
1.70. Найти /А-хх(0, 1), fxxy(fi> 1)> fxyyffit 0» fyyyi^t 1)>
если / (х, у) = ех‘и.
1.71. Найти ч д , если и — In —— - —'--—-г.
дхдуд^дц’ К(х —ЮЖ#—П)3
1.72. Найти я*Г“ если ы == х8sin#4-#3 sinx.
дхА dys
1.73. Найти если и = (х —х0)р(#—#0)«.
В задачах 1.74—1.77 проверить теорему
однородных функциях.
Эйлера об
1.74. z = ха 4- х2у — у3. 1.75.
1.76. z==arcfg-^-. 1.77* w =
" л о •
х3—у3
^4-у4-г
]/S X2 + у2 + Z2
1.78, Вычислить
дх дх дх
дг дер д§
ду ду ду
дг 00 *
дг дг дг
дг 0ф 00
если х = г cos 0 cos <р, # = г cos 0 ain ф, z^rsin0.
1.79. Показать, что (^y + ^ + % + z==^» если г “*
>= 4е-21/4-(2х4-4#-3)в-^—х—1.
411
т-r ди , ди , ди 3
1.80. Показать, что г + г + т^'-г-г-» если и=
дх 1 ду ' dz x-j-y-j-z9
я®= In (х3 + f/3 + г3 — 3xyz).
1.81. Показать, что ^ + f~ + 5~’ + ^z=0, если i/ =
1.82. Показать, что функция и =« A sin Кх cos dkt удов-
летворяет уравнению колебаний струны
д2и „ д2и
---—- /72-
а/? дхг
j (*-*о)8
1.83. Показать, что функция 4°2/ удов-
2а у nt
летворяет уравнению теплопроводности
ди 9 д2и
dt и dx2*
1.84. Показать, что функция и = . л- . —-
К(х-а)?+(//^)2+(г-с)?
удовлетворяет уравнению Лапласа
д2и . д2и j д2и___________________~
dxt'dyP'dz2 ~~U*
1.85* . Показать, что функция
i> если х2 + //2«#0,
/(х, #)= < *2+*/2’ 1 £7 ,
( 0, если x = i/=n=0
имеет частные производные /*(х, у) и fy(x, у) в точке
(0, 0), хотя и разрывна в этой точке.
1.86* . Показать, что для функции
р/ ч ( ху , если х2 + //2=^=0,
/{х, У)~ < *2+у2 i j -г,
( 0, если х = у = 0
значение второй смешанной производной в точке (0, 0)
зависит от порядка дифференцирования, а именно:
0)^-1, /;до, о>1.
4. Дифференциал функции и его применение. Полным прираще-
нием функции u~f(xly х8, ..., хп) в точке Р (xlt х2> •••» хп), соот-
ветствующим приращениям аргументов Дхг, Дх2> •••> называется
разность
Ди = /(х1 + Дх1) х2+Ах2, xn+^xn) — f(xb х2, ..., хп).
412
Функция u~f(P) называется дифференцируемой в точке (xj, х2, ...
.... хл), если всюду в [некоторой окрестности этой точки полное
приращение функции может быть представлено в виде
Дн — Ai Дх1-ф- Л2 Дх2• • • + Ахп4-о (р)>
где р — ]/"дх?+ Дх1+ •.. + Ахн , А}, Л2, ..., Ап—числа, не завися-
щие от Дхх, Дх2, •••> Ах„.
Дифференциалом du 1-го порядка функции tz = /(xx, х2, .хп)
в точке (х1? х2, •••» хп) называется главная часть полного прираще-
ния этой функции в рассматриваемой точке, линейная относительно
Axj, Дх2, • ••, Ахл, т. е.
du — Ai Дху -j- А2 Дх2-|- .•. -|- Ап \хп.
Дифференциалы независимых переменных по определению прини-
маются равными их приращениям:
d%i — Axt, dx2 = Дх2, • • • , dxn — Ахп.
Для дифференциала функции u — f(xt, х2, ..., хп) справедлива фор-
мула
, ди , , ди , , ди .
du=——+ —-dx2+ •• dxn- (1)
дхх дх2 дхп v '
Функции и, v нескольких переменных подчиняются обычным пра-
вилам дифференцирования:
d (п+ v) —duA~dv,
d (uv) — vdu-\-udv,
, ( u\ v du — udv
—•
Пример 8. Найти полное приращение и дифференциал функции
f(x, у)=х2у в точке (х, у).
<4 /(х + Дх, 1/4-Д«/) = (х+Дх)2 (у + ку),
А/(Х, г/) = (х + Дх)2(г/+Дй— Х2£/ =
— 2ху Дх+X2 Ду+ 2х Дх Д^-ф- у Дха + Дх2 Ду,
df (*, У) — %ху Дх-ф-^2Ау. ►
Пример 9. Найти дифференциал функции
/(х> У’г) = •
V х2+у2
1 - й способ. Имеем
df xz df _ yz df__________________ 1
57(x2 + y2)3 /2’ ’ 5y~*~(x2 + y2)^2 ’
По формуле (1) получаем
dj(x, у, г) ==- (Х2(Хг+1/2)3/?^+ Л==
__(х2 -ф- у2) dz—z(x dxA~ У dy)
(i^+y^ '
413
2-й способ. Применяя правила дифференцирования, имеем:
ги xdx + ydy
___________________К+ У2 __ (*24~ У2) dz—z(x dx 4- У dy)
x2H-z/2_____________(х2+//2)3/2 : ’ ’
При достаточно малом р = Р^Дх/4- Дх|4- • • • 4-Д*п для дифферен-
цируемой функции u = f(xi, х2, . ..,х„) имеют место приближенные
равенства
Az/ du,
/(Xt4-Axf, х2 + Аха, х„4-Ах„)
~ f (*1 *2, . • •, xn) + df (хь x2, ..xj.
Пример 10. Вычислить приближенно
V (4,05)Ч-(3,07)?.
Искомое число будем рассматривать как значение функции
f (х, у)=Ухг + у2 при х = х0+Дх, !/ = г/о-т-Д(/, если х0 = 4, у0=3,
Дх = 0,05, Д1/ = 0,07. Имеем:
/(4, 3) = Ц4*+3^ = 5,
Д/ (х. у) к df (х, у)=——
V х-+у2
Д/(4, 3) « 4-.°-05+3-°>07 « 0,08.
О
Следовательно,
у (4,05)2+(3,07)2 » 5 + 0,08 = 5,08. >
Дифференциалом 2-го порядка d-u функции u — f(xy х^, .хп)
называется дифференциал от ее дифференциала 1-го порядка, рассмат-
риваемого как функция переменных х1э х2, .хп при фиксированных
значениях dxf, dxz, dxn:
d2u — d (du).
Аналогично определяется дифференциал 3-го порядка:
d3u~d (d2u).
Вообще,
dmu — d (dm~xu).
Дифференциал m-ro порядка функции u = f (xf, х2, ...,х„), где
х1? х2, хп—независимые переменные, выражается символической
формулой
/ д д д \т
dmu— ( -т—- dxA+~т— dx2~r •. • 4-3—dxn 1 и, (2)
Xdxt 11 дх2 2 ‘ дхп п J k 7
которая формально раскрывается по биномиальному закону.
414
Например, в случае функции z = /(x, у) двух независимых пере-
менных хи// для дифференциалов 2-го и 3-го порядков справедливы
формулы
d2z , Q . о d2z d2z 2
d2z = dx2- г 2 з—— dx dy 4- -4-5- dy2, (3)
дх2 1 дх оу J 1 ду2. v
. d2z d2z d3z
diz=^-^r dx6 -|-3 ч -<- dx- dy-[-3 5—f/x dy--^-^- dy\ (4)
дхл dx2dy J dxdy2 J 1 dy2 J 7
Пример 11. Найти d'~z, если г — ехУ.
Имеем (по правилам дифференцирования)
dz = ехУ • d (ху) — ехУ (у dx 4- х dy).
Дифференцируем вторично, учитывая, что dx и dy не зависят от х и
у (т. е. считая dx и dy постоянными):
d2z = ехУ d (ху) -(ydx-^x dy) + ехУ -d(y dx-\-x dy) ~
= ехУ (у dx 4~x dy)2. ехУ2 dx dy = ехУ ((у dx-\-x dy)2-\~ 2 dx dy). ►
1.87. Найти полное приращение и дифференциал функ-
ции z = х2 —-ху 4-у\ если х изменяется от 2 до 2,1, а у —
от 1 до 1,2.
1.88. Найти полное приращение и дифференциал функ-
ции г= lg(x24~//2), если х изменяется от 2 до 2,1, а у —
от 1 до 0,9.
Найти дифференциалы функций:
1.89. г = In (у 4- Vx2 + y2). 1.90. z=tg-~.
1.91. г tin cos у. 1.92. u — (xy)z.
1.93. f(xit x2, %3, х4) = %12"Хз-1пх4.
1.94. Найти df (1, 2, 1), если f (х, у, z) — .
Вычислить приближенно:
1.95. (2,01)3’03. 1.96. ]/\1,02)3 4~(1,97)*.
1.97. sin 28°• cos 61°.
1.98. Цилиндрический стакан имеет внутренние разме-
ры: радиус основания 7? —2,5 м, высоту /7 = 4 м и тол-
щину стенок /=1дм. Найти приближенно объем мате-
риала, затраченного на изготовление стакана.
1.99. Прямоугольный параллелепипед имеет измерения:
п = 2м, & = 3м, с = 6м. Найти приближенно величину
изменения длины диагонали параллелепипеда, если а уве-
личится на 2 см, Ь — на 1 см, а с уменьшится на 3 см.
1.100. В усеченном конусе радиусы оснований R = 20 см,
г —10 см, высота ft = 30 см. Как приближенно изменится
415
объем конуса, если R увеличить на 2 мм, г — на 3 мм и h
уменьшить на 1 мм?
Найти дифференциалы 1-го и 2-го порядков следующих
функций (х, у, z — независимые переменные):
1.101. Z = xs + 3x2y—y9. 1.102. z = A_i. х У
1.103. z =* V x2 + 2xy. 1.104. г =
Vx^+y2 •
1.105. z = (x + r/)ex^. 1 .106. z — x In — . X
1.107. z = arctg—. 1 .108. и=^ху-\-yz-\-zx.
1.109. и = ехУ*. 1.110. Найти d3z, если 1.111. Найти d2ut если 1.112. Найти deu, если 1.113. Найти dmu, если z^ey sinx. и = х3 + у3 + г8 — 3xyz. u = ln(x + y + z). и = еах+by^cz
§ 2. Дифференцирование сложных и неявных функций
1. Сложные функции одной и нескольких независимых перемен-
ных. Если и — f (хх, х2, ...,хп)—дифференцируемая функция пере-
менных хх, х2, ..., хп, которые сами являются дифференцируемыми
функциями независимой'.переменной /:
Хх = фх(/), х2 = ф2(/), • =
то производная сложной функции и = f (фх (/), ф2 (/)» • ••, фп(^)) вы-
числяется по формуле
du___ди dx\ ( ди ^2 । I ди dxn
dt dxi dt * dx2 dt * *** ‘ dxn dt ' ' '
В частности, если t совпадает, например, с переменной хх, то «пол-
ная» производная функции и по хх равна
dx± дхг + дх2 dx1 дхп dxr *
Пример 1. Найти, если u—xyz, где х = /2-|-1, у~ In
2 —tg t.
По формуле (1) имеем
^-z=yz-2t-}-xz • — + %//•sec^ t~
dt *
= 2t In Mg t + j) in t seca /.
416
Пример 2. Найти4^- и если z — yx, где у~у(х).
ОХ их
dz
Имеем -g^~yx у. По формуле (2) получим
d.Z
^-=ух\пу+хух~1-([>' (х). >>
Пусть u = f (х., х2, ..., хп), где x1 = (f.(t1, t2, ..tm), х2 =
= <p2 (<1, /2. • *m)> • • •> *n = <Pn(^l. <2, •••> tm)(t., tz.../,в—не-
зависимые переменные). Частные производные функции и по /3, t2) ...
..., tm выражаются следующим образом:
du du dxf du dx2 . du '"'dx^,' dxn
dt. дхг dtt ‘ dx2 dt. 1 ' dt-i ’
du _ __ du dxi . du a%2 । , du dx„ dxn
dt2 dxi dt2 ’ dx2 dt2 1 ’ dt2 ’
du _ du dxt . du dx2 । . du dxn
dt m дхг dtm * dx2 dtm 1 ’ dtm
(3)
При этом выражение (1) из § 1 для дифференциала 1-го порядка со-
храняет свой вид (свойство инвариантности формы первого дифферен-
циала)
. ди , . ди . , . ди ,
du *= -ч— dx-i -]—— dx2 -j- v— dxn.
дхг дх2 дхп
Выражения для дифференциалов высших порядков сложной функ-
ции, вообще говоря, отличаются от выражения вида (2) из § 1.
Например, дифференциал 2-го порядка выражается формулой
d2u = (^dXi+^dXs+---+£;dXn) и+
+£r^+^d2^+-+£^- (4)
Пример 3. Найти dz и d2z, если z = f (и, у), где и=-^~ (х2—у2)9
v^xy.
◄ Имеем dz = f'udu-]-fvdv, где
du=xdx—ydy, dv — ydx-\-xdy.
Следовательно,
dz = f'u• (xdx—у dy) + f'v-(y dx+ x dy) = (xf'u+yfi) dx + (xf'v—yf'u) dy.
Дифференцируем вторично:
d2z — d (/w) • dufu‘d (du) -\-d (/p) dv-\- fvd (dv) =
= (fuudu + fuv-dv) du + fu-d2u + (fuv du + fvvdv) dv + fadfy
где d2u = dx2 — dy2i d2v = 2dx dy.
417
Следовательно,
d2i =(fuu (xdx —у dy) + fuV (y dx4-x dy)) (xdx —у dy)4-
4- f'u (dx2 — dy2) 4- (fuv (x dx—у dy) 4~ fvv (ydx-{-x dy)) (ydx-^x dy) +
4- f'v • 2 dx dy = fuu (x dx — у dy)2 4- f"uv (y dx 4-x dy) (x dx -ydy)-{-
+ f'u (dx2—dy2) + fuv (x dx — ydy) (y dx-'rxdy) + fvv(y dx 4- x dy)2 4-
4- 2 f'v dx dy — fuu (x2 dx2—2xy dx dy 4- y2 dy2)-^-2f'uV (xy (dx2 — dy2) 4-
4- (x2—y2) dx dy) 4- fvv (y2 dx2 4- 2xу dx dyJr x2 dy2) 4- fu (dx2 — dy2)-^
2/и dx dy — (x~fuu 4~ %xyfUQ 4- y2fvv ~]~fu) dx2~\-
4~ 2 (xyfuu-[- (x2 — y~) f uv—xyf uu 4- fv) dx dy 4~
4~ (y^fuu—2xyfuv~h x2fvv—fu) dy-2.
2.1. Найти если z = e2x~3y, где x = tg t, y — t2 — t.
2.2. Найти если z — x?, где x = ln^, # = sin/.
2.3. Найти ~, если z — arctg у, гдех = е2<4-1, y =
— e2f—1.
2.4. Найти , если «=~г, где х = е*, y—\nt, z~
= Г1 — 1.
2.5. Найти и 7-, если г = In (ех 4- еУ), где у =
ОуС ах
1 3 I
= jx-4-tf’
2.6. Найти тг и если г — arctg , гдеу=е{х+1)\
дх dx' ъ у * * я
2.7. Найти ~ и , если z — u2 In v, где и = ~, v =*
дх ду' ' х '
=^х2 + у\
2.8. Найти dzt если z = u2v — u2u, где u — xsinyt v =
= у cosx.
2.9. Найти || и , если z — f (a, v), где и = , v—
== х2 — Зу.
2.10. Найти ~ и ccmz^f(uy v), rj\cu^ ln(x2—у2),
v^xy2.
2.11. Найти dzt если z — f(u, v), где tz = cos(xz/), v =
^xl — 7y.
2.12. Найти dz, если z — f(u, v), где u = sin-~ , v =
^=V~x/y.
4!8
2.13. Найти du, если u = f(x, у, z), где х = s2+/2, у=
= S2_/2, z = 2s/.
2.14. Найти —• и если и = f (хп х2, х8, х4), где
Х8 — (Xj, ^4 ~ С^1» ^2> ^з)*
2.15. Показать, что функция z =у*у (cos(х—#)) удов-
dz , dz z
летворяет уравнению + •
2.16. Показать, что функция z = xf ^-^—х2—у2 удов-
dz , dz оо
летворяет уравнению х-^+у-^ = г — х2 — у2.
2.17. Показать, что функция
1 dz , 1 dz z
ет уравнению —г = "2-
х dx 1 у dy у2
2.18. Показать, что функция
у
z = 7(FZ^) удовлетвори-
и = J? X* — № (# + ?) +
+ у л'аУ2 + / (У—х, z — х) удовлетворяет уравнению
2.19. Найти -д^-, если z = f(u,v), где ы=
= ху, v — x[y.
d2u
2.20. Найти если и~ f (х, у, z), где z = cp(x, у),
2.21. Найти все частные производные 2-го порядка от
функции u = f (х, ху, хуг).
2.22. Показать, что функция и — хц>(х + #) + tfty (х + #)
д'-'и о д2и , д2и п
удовлетворяет уравнению 2 ^ + ^2 = °-
2.23. Показать, что функция u = ty(xy)-\-ty удов-
летворяет уравнению
д2и
дх2
t>d2u . du ди п
U --------У "3“ = О.
J dy2 f ох ду
2.24. Найти d?u, если u — где t = x2 + y2 + z2.
2.25. Найти d2u, если и== f (ах, by, cz),
2.26. Найти d2z, если z = f(u, v), где H=xsini/, v =
= у COS X.
2. Неявные функции одной и нескольких независимых перемен-
ных. Пусть уравнение f (х, у) = 0, где/—дифференцируемая функция
переменных х и у, определяет у как функцию х. Первая производная
419
этой неявной функции у —у (к) в точке х0 выражается по формуле
^1 _ /хОо.Уо)
dx |л=Х0 f'y (х0> у0)
при условии, что fy(x0, у0) О, где у0 = у(х0), f (х0, уо)=О.
Производные высших порядков вычисляются последовательным
дифференцированием формулы (5).
„ dy d2y
Пример 4. Наити ~ и , если
dx dx2
1 ~\~ху—In (ехУ -\-е~хУ) = 0.
Обозначим левую часть данного уравнения через / (х, у). Тогда
£zz х уехУ — уе-~хУ 2уе~хУ
fx(.X, у) —у g!cy е_ ху — g-xjz ’
t'!.. ,Л хехУ—xe-ху _ 2хе~хУ
1у(х> У)—Х
По формуле (5) получаем
%уе~хУ _ У
dx 2хе~хУ х ’
Дифференцируем вторично, учитывая, чго у есть функция х*.
dy / у X
d2y__d у \_______ dx v______ \ х )____2у
dx2 dx\ х ) х2 х2 х2 ‘
Пусть уравнение F (х1э х2, ..хп, и) = 0, где F—дифференцируе-
мая функция переменных xt, х2, хп, и, определяет и как функцию
независимых переменных хь х2, ...,хп. Частные производные этой
неявной функции и = и (хь х2, ».., х„) в точке M°(xi,x2, ...,Хп)
вычисляются по формулам
ди I F'xk W> xl, и0)
при условии, что F'u (xj, х2, ..., х°, ы°) 0, где и? = и(М()) и
F(M\ w°) = 0.
Можно также найти частные производные функции и следующим
образом: вычисляем полный дифференциал функции F (хь х2, ...»хп, и),
приравниваем его нулю:
dF , dF _ dF . dF A
—dX} — dx24- ... 4-—— dxn4--^— du = 0
dx£ 1 dx2 dxn n ‘ du
н выражаем отсюда du.
dz dz
Пример 5. Найти и , если
x8 + 2у3-]- z3 — 3xyz—2y+3 = 0.
420
◄ 1-й способ. Обозначим левую часть данного уравнения
F (х, у, z). Тогда
Fx(x, У, z)^3x2—3yz,
Fy(x, у, z) = 6y2— 3xz— 2,
F'z(x, у, z) = 3z2—3xy.
По формулам (6) получаем:
dz F'x(x, у, z) Зх2—3yz х2—yz
d*~~~ Fz(x, у, z)~~— 3z2—3xy~~xy—z2 ’
dz Fy(x, у, z) Gy2 — 3xz—-2 бу2— 3xz—2
<fy~~-'Fz(x, y, z)~ 3z2 — 3xy “ 3 (xy—z2)
2-й способ. Дифференцируем данное уравнение:
Зх2 dx + бу2 dy+3z2 dz—3yz dx—3xz dy — 3xy dz—2dy = 0»
Отсюда выражаем dz:
3 (x2—yz) dx + (бу2—3xz —2) dy
dZ^ 3(X0-Z2) •
dz dz
Сравнивая с формулой dz = -^dx-\-^dy> получаем
dz x2—yz dz бу2 — 3xz — 2
dx xy—z2 ’ dy 3(xy—z2) ‘
через
2,27. Найти если xW — у2е2х^0. dx ’ 57 2.28. Найти если ysinx — cos(x — у)^0, 2.29. Найти ~ , если х + у = ех~У. dx ’ dx2 ’ 2.30. Найти ~ , если х-у-\- arctg у = 0. CtJC ClsC
2.31. Найти dy dx <?у 1 dx2 х=1 ил d?y х=1’ dx3 у=1 П II
X2 + Уху + у2 — 4х + 2у — 2 = 0
2.32. Найти dz дх и v в точке (1, — ду v 2, 2),
г3 4хг + #а — 4 = 0.
2.33. Найти dz Тх И dz , если z ду 1п(х + г)-^ = 0.
2.34. Найти /)о Л О' ^Ид-, если F(x + «/ + z, х2 + «/2 + г2'
2.35. Найти g и если f(yz, е*г) = 0-
если
если
= 0.
421
2.36. Найти dz, если yz = arctg (xz).
2.37. Найти dz, если xz —ez/*' + x3-f-i/s = 0.
2.38. Найти ~ , д~/ , если x2 — 2z/24-z2 — 4x +
+ 2г —5 = 0.
2.39. Найти —,еслих + у + г = е^.
2.40. Найти d2z, если + Х— Аг==1.
2.41. Показать, что функция г, определяемая уравне-
нием ср (сх—аг, су — bz) = Q, где ср — произвольная диф-
ференцируемая функция двух переменных, удовлетворяет
уравнению
2.42. Показать, что функция г, определяемая уравне-
нием (х — acosa)3 + (z/ —asinct)2= - V, где а, ос, т —
постоянные, удовлетворяет уравнению
дг . fdz\*
дх) ‘ \ду)
= т*.
2.43. Показать, что функция г, определяемая уравне-
нием у = хер (z) + Ф (2), удовлетворяет уравнению
d2z /dz\2- ^dzdz д2г _^d2z fdz\2 ~
дх% \ду) дхду дхду 1 ду2 \дх) ж ‘
3. Системы неявных и параметрически заданных функций.
Ограничимся рассмотрением функций двух независимых переменных.
Пусть система двух уравнений
F у, и, с)—0, /7ч
G (х, у> и, и) =0 v '
имеет решение х — х0. y = yQ, u = uQ и v~v0, причем функции F и G
имеют в окрестности точки Р0(х0, ^о> wo> ^о) непрерывные частные
производные первого порядка, и якобиан
дЕ dF
D (F, G)___ ди dv
D(u, и) ~ dG dG
ди dv
отличен от нуля в точке Ро. Тогда в некоторой окрестности точки Ро
система (7) определяет единственную систему непрерывных функций
ц(х, у) и и(х, у), имеющих непрерывные частные производные и
удовлетворяющих условиям
«(^о, i/o) = wo, о»(хо, =
422
Пример
заданы неявно
Дифференциалы этих функций du и dv (а значит, и частные про-
изводные) можно найти из системы уравнений
dF , dF / , dF Л I л
“т— dx —I— —z-— dy "г— du —j—т— dv О,
дх ду v ' ди 1 dv
dG . dG dG , . dG , n
“x— dx -1—— dy |5— d и —I——— dv = 0.
dx 1 dy1 du 1 dv
6. Функции и и v независимых переменных х и у
системой уравнений
и -j- v — х, и—yv — 0.
d2u, d2v.
D(F, <5) _| 1 1
1 —У
Найти du, dv,
4g Якобиан системы г
D (и, v)
y^ — I. Дифференцированием находим два уравнения, связывающие
дифференциалы всех четырех переменных:
du-]-dv — dx, du — у dv — vdy — 0.
Решая эту систему относительно du и dv при у £— 1, получим
ydx + Pd//- dx-frfy
t+f/ ’ 1+</
—у— 1 отличен от нуля при
Дифференцируем повторно:
(dx dy + dv dy)(\ + у)—dy (у dx+v dy) _
(H-У)2 ~
/ , , , dx — v du , \ ,, . x .
( dx dy H-]-j-y dy ) (1 + У) — dy (y dx -|- v dy)
= (1-Ы2
(1 + y) dx dy-f-dx dy—v dy2—у dx dy—v dy2 _ 2 (dx dy—c dy2)
= 0+^? д 0 +г/)? ‘
—dvdy(\ + y)—dy(dx — vdy)_
(l + </)2
dx — vdy , , ... , ,
----dy (1 +//)— dx dy+vdy2
= 0+^)2 =
— dxdy-{-vdy2—dx dy-)-v dy2 2(vdy2—dxdy)
= (l+г/)2 - (I+i/)2 ' ~~ “
Пусть функция г независимых переменных х и у задана пара-
метрически уравнениями
х = х(и, v), у = у (и, v), г = г(и, v)
дх дх
D (х, у)____ ди dv
D (и, v)~ ду ду
ди dv
£0
42S
в окрестности точки Р (tz0, t>0). Тогда дифференциал dz этой функции
(а значит, и ее частные производные) в окрестности точки Р можно
найти из системы уравнений
du-[-^- dv,
ди 'dv
, ду . , ду ,
dy~~ du-\-~ dv,
du 1 du ’
f dz , . dz ,
dz~-—~ du-4——dv,
du * dv
dz dz
Пример 7. Наити и -x—, если
r r dx dy
x = ucosv, y — usinv, z = cvt
Имеем
D(x, у) I cos v —и sint/1 . _
\== . ==w/0 при tz^O.
D (u, v) j sin v и cost/ J
Дифференцированием находим три уравнения, связывающие диффе-
ренциалы всех пяти переменных:
dx = o.03vdu—4sint/dt/, dy — s\n vdu-\-u cos v dv, dz — cdvt
Из первых двух уравнений найдем dv:
, cos v dy—sin v dx
dv —--------------
и
Подставим найденное значение dv в третье уравнение:
(cos v dy—sin v dx).
Отсюда
dz________________ c sin v dz_____c cos v
дх и * ду и * ~
2.44. Функции у и z независимой переменной х заданы
системой уравнений
7ха + уа —- Зга = — I, 4xa + 2z/a — 3za = 0.
<1Г „ dy dz d2y d2z . on
Наити £ тг dA’ж nP« x=1- У—2’ z = 2-
2.45. Функции у и z независимой переменной х заданы
системой уравнений
х2 + г/2 — za = 0, x2 + 2«/24-3z2~ 1,
Найти dy, dz, dty, d2z.
2.46. Функции и и v независимых переменных х и у
заданы неявно системой уравнений
xu+yv==l, x+y+u-l-v^Q,
Найти du, dv, d2u, d2v,
2.47. Показать, что x^+i/^+z-^-=0, если uv==3x—
— 2y + z, v2 = x2 + y2 + z2.
2,48. Найтии ~ , еслих = и4-и,y = u — v, z = u2v2.
2.49. Найти и , если x = a cos u ch a, y =
ox oy ' U
—bsinwchu, z^csha
2.50. Найти dz, если x=e“cosu, r/ = e“siny, z = uv.
2.51. Найти dz, если x=u + v, y~u2-\-v\ г = и?-\~&
(u=£v).
дифференциальных выражениях. Часто
4. Замена переменных в
в дифференциальных выражениях входящие в них производные по
одним переменным необходимо выразить через производные по новым
переменным.
Пример 8. Преобразовать уравнение
ox d2y dy
(1— х2) -т4 — х/=°,
4 dx2 dx
полагая x = cos t.
Выразим производные от у по х через производные от у по t*
dy dy
dy dt dt
dx dx —sin t *
dt
d (dy\ d2y dy
d2y _d idy\ -sin/-^+C0S<-dT
dx2 dx\dxj dx sin21•( — sin t)
dt
1 d2y cos t dy
Sin2 t ’ dt2 sin3 t * dt ‘
Подставим полученные выражения производных в данное урав*
нение и заменим х на cos t:
_ f I d2y cos t dy A . ( 1 dy \ л
• (1—COS2/) . -7, • -77“--r-TT-J-—COS t---------r—, • -j— UO,
v 7 \ sin21 dtl sin31 dt J \ sin t dt J
или 4y=°- ►
Пример 9. Преобразовать уравнение
^+24^y^0,
dx2 ‘ \dx)
приняв х за функцию, а у за аргумент.
426 ’
Выразим производные от у по х через производные от х по у\
dy__ 1 d2y
dx~~~ dx 1 dx2
dy
\ — / i \
dxldx \ dyl dx ] dx
\ dy / \ dy J
d2x
dy2 _1_
(dx\^. dx
\dyj dy
d2x
dy2
dx \3 ’
dy) '
Подставим эти выражения производных в данное уравнение:
d2x
тЛ-2 = °>
fdx\* / dx\ 2
\dy) \dyj
или
^-2л=0.
ch/2 dy
Пример 10. Перейти к полярным координатам в выражении
д^х + УУ'
ху' — у '
Имеем
Х = ГСО8ф, r/ = rsincp,
dx ~~cos ф dr — г sin ф гйр, ch/= sin ф dr -}-r cos ф dcp,
откуда
, dy sin ф dr -j- r cos ф с/ф
dx cos ф dr — г sin ф chp
Подставим выражения х, у, у' в А:
, . • sin ф dr 4-r cos ф dq>
ГСО8ф + г81Пф« --------—-------X—X
______________ cos ф дг — г sin ф dq)
sin ф dr 4- г cos ф d<p
г COS ф • ----X—------:-Х__Х_ _ r sin ф
cos ф dr — г sm ф dq) Y
dr
i. ъ.
Пример 11. Преобразовать уравнение
d22 d2z
у2 ___ ;,2 — Л
йл2 У ду2 ’
перейдя к новым независимым переменным и и v, если и=ху, v=—.
Выразим частные производные от г по х и у через частные произ-
водные от 2 ПО и И V.
Имеем
ди __ dv 1 ди dv х
дх~~У' дх~~ у" ду~~Х} ду—’"" ~у*‘
426
Я
По формулам (3) получим
— =3— LZ-L— . __ ,
дх ди дх ди дх ди 1 dv у'
д2г д ( дг \ д ( дг \ ди . д ( дг \ dv
дх2 дх \ дх J ди \ дх ) дх ' dv \ дх ) дх
— ( I д'2г 1 j / д2г д2г
\ ди2. V ‘ ди dv у J * \ ди dv ‘ dv2.
У J У
d2z ._____д2г
и и -. dudv ' yi »'
дг дг ди . дг dv дг дг х
ду ди ду 1 ди ду ди ди у2 ’
d2z ___ д f дг \_ ( д ( дг \ д
ду2. ду \ду ) Х \ ду \ ди J ду
(\ . JLi _
\ dv ) y* ' dv y* ) ~~
/ d2z du
=x\diS ‘ dy
f d2z
= X
\ du2
d2z dv f d2z du
' du dv dy \ du dv dy
d2z x ( d2z * d2z
du Sv y2 \ du dv dv2.
d2z 2x2
“ x IS2 7"
d2z dv\ 1
dy) у2
dz _2_\
IkT yA j
d2z , x2 d2z 2x дг
du dv 1 ' yl dv2 ' У3 dv ’
Подставим найденные выражения производных в данное уравнением
2 ( 2 д^2 । о д*г । 1 д2*
Х ди2. * dudv ”г у2 dv2 )
< 2 f 2 д2г 2х2 д2г х2 д2г ( 2х dz \
У \ ди2 у2 dudv ‘ у^ dv2 ’ t/3 ~3v )
После упрощений при х 0 и у 0 получим
д2г __ 1 dz д2г 1 дг
dudv 2ху dv ’ ИЛИ dudv 2и dv ' ►
Пример 12. Преобразовать уравнение
дг дг .
у17~х1^^{у~х'г>
приняв за новые независимые переменные величины u=x2~^y2t
v==zl—pJ- и за новую функцию w— In г—+
Выразим частные производные от г по х и у через частные произ-
водные от w по и и v. Для этого продифференцируем данные соот-
ношения;
du —2 (х dx-]- у dy),
dw == —* —- (dx+dy),
Учитывая формулу (1) § 1, имеем
dw dw , dz . . , , .
-^du+dx>=—- (dx + dy}i
или
o dw . , , , . dw
2 -4— (x dx4-ydy)--5—
du K ।
---(dx+dy),
откуда
dw 1 dw
2х -zr—
du
1 dw
x2 dv
y2 dv
Следовательно,
dz (о
-~-=z 2x
dx \
dw
1 dw
du x2 dv
dz
^y=z
dz dz
Подставим эти выражения — и в данное уравнение:
dw 1 dw \
du у2 dv ' j
1 dw
yz V du \2 dv
или -^- — 0. J>
dv
dw 1 dw ]
du y2 dv
2.52. Преобразовать уравнение
x4
dx2 ‘
2^-g-S-O.
полагая x=l/t.
2.53. Преобразовать уравнение
Л2У . 2x dy у _ p
dx2 ' 1 -\-x2 dx ’ (1 +%2)2 7’
полагая x = tg/.
2.54. Преобразовать уравнение
о / d2y \2 dy d2y d2y / dy\2
\ dx2 J dx dx? dx2 \dxj
приняв у за аргумент.
2.55. Преобразовать уравнение
(ху' —уУ = 2ху{\ +у'2),
перейдя к полярным координатам.
2.56. Преобразовать выражение w х ~ Ц- у ~ , перейдя
к полярным координатам.
428
2.57. Преобразовать уравнение
перейдя к новым независимым переменным и и v, если
u = ln]^x2+y2, v = arctg-^.
d%z d2z
2.58. Преобразовать уравнение х ~д^ + У = пе-
рейдя к новым независимым переменным и и v, если и = у,
v=y/x.
cftti д2 и
2.59. Преобразовать выражение w —перейдя
к полярным координатам.
2.60. Преобразовать выражение
______д2и . 1 д2и f д2и 1 ди
W dr2 ‘ г2 дер2 1 дг2 * г дг ’
перейдя к сферическим координатам (r = psin0, ф==ф,
z = pcos0).
2.61. Преобразовать уравнение
а? д%
(xr/ + ^g + (l-^)g==x + ^,
приняв за новые независимые переменные u = yz — x>
v~xz — y и за новую функцию w~xy — z.
2.62. Преобразовать уравнение
dz . 1 d2z___________________ 1
ду' 2 У ду2 х ’
х
приняв за новые независимые переменные и~=~ > v^x
и за новую функцию w — xz — у.
2.63. Преобразовать уравнение
d2z d2z . dz__
дх2 ‘ дх ду -г” дх
приняв за новые независимые переменные u = v =
= и за новую функцию ш = геУ.
§ 3. Приложения частных производных
1. Формула Тейлора. Если функция f (Р) дифференцируема т+1
раз в некоторой окрестности U (Ро) точки (х?» •••» *л)> т0 Для
всякой точки P(xi, ...3 хп)£и(Ро) справедлив^ формула
429
Тейлора
j (Р} _ °’ Axj, »»«> Лх„) i| (^ю? Axf, «»»> Ахп) ।
. dmf(P^ Axf, Дх„) d">+7(P., Дхь ..., Дхп)
•’*‘Г ml (m+l)! ’
где Axj—xj — xi, ...-, &xn = xn— x*h, a P — некоторая точка указан-
ной окрестности.
В случае, например, функции f (х, у) двух переменных х и у
формула Тейлора в развернутом виде записывается следующим образом:
/(*> У) = /(*о> Ус)4-ур(71 Uo. У о) (х—xB) + f'/(x0, Уо) (У~Уо)) +
Н—2! ^хх (*0’ —х0)2-\-2/Х1/ (х0, уп) (х—х0) (у—Уо) +
„ 1 / д д \т
л-fyy (*о> Уо) (у—у0)2)+ • • +—7 (х—х0) д-+(у—Уо) Ч- f (х0, у0)+
ГН 1 ОЛ иу j
1 / д О \т + А
+ /и-о+6(х — Л-о),Уо +
+ О(у_у0)). (2)
Последнее слагаемое в формуле (2) {остаточный член) можно
короче записать в виде
о(р'л), где р = V(х—х0)2+(у—Уо)'2
(форма Пеан о).
В частном случае, при х.0=2/0==0, формула (2) называется фор-
муле й М а к л о р е н а.
Пример 1. Функцию /(х, у) — х3 — 5х2—ху-\-^+10х+Д(/—4
разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (2, —1).
Имеем f (2, —1)=2. Вычислим последовательно частные произ-
водные данной функции и их значения в точке (2, —1):
f'x (х, у) = 3х2—Юх—у+10,
/у (х, у)=—х-}-2у4-5,
f'xx (х, у)=6х—10,
f'xy (х, у) = -1,
i'yy (*> у) =2,
!ххх(х, у) ='6,
fx&, -d) = 3;
f'y(2, -1)=1;
fxx(2, -1)=2;
/«(2, -1) = -1;
fyy (2, -1) = 2;
fxxx (2, -J) = 6.
Все последующие производные тождественно равны нулю. По форму-
ле (2) получаем искомое разложение
/ (х, у) = 2+3 (х-2) + (у+ 1) + (х-2)2-(х-2) (у+ 1) + (у+ 1)2+
+(х-2)з. >
Пример 2. Разложить по формуле Тейлора в окрестности
точки (1, 1) до членов 2-го порядка включительно функцию
f(x, у) = ух.
430
Имеем f(i, I) — L Вычислим частные производные 1-го и 2-го
порядков данной функции и их значения в точке (1, 1):
fx (*> у) =УХ in У< f 'x (1. 0=0;
fy(x, у)=хух~\ fy (I, 1) = 1;
f'xx (х, у) = ух In2 у, fx.х (1. 1>=0;
fxy(x, у)=у*~ЦХ1пу+1),
f"yy(x, у) = х(х—\)ух~\ fyy(l,l) = O.
По формуле (2) получим
f (X, у) = 1 -I (у-1) + {X-1) (у—1) + о (р2),
где р= К(х— 1}а+(</— О2-
З.Г. Разложить f(x-\-h, y + k) по целым положитель-
ным степеням h и k, если f(x, у) = ху2.
3.2. Найти приращение, получаемое функцией f (х, у) =
«=—х2-^ 2ху + 3t/2 — 6х—2у — 4 при переходе от значений
х =— 2, t/=l к значениям хх — — 2-\-h, yt~ 14-&.
3.3. Функцию f (х, у) — х? — 2z/3+ Зху разложить по
формуле Тейлора в окрестности точки (2, 1).
3.4. Разложить f(x-\-h, y + k, z-j-l) по целым поло-
жительным степеням h, k, I, если f(x, у, г)~х'‘~\-2у‘'-\-
+ 3z2 4- xy — 2yz + Зх — у — 4г 4- 1.
3.5. Функцию f(x, у, z) = x2 4-*/2 + z2 — 2 (xyxzyz)
разложить по. формуле Тейлора в окрестности точки
(1, -1, 2).
3.6. Разложить по формуле Маклорена до членов 3-го
порядка включительно функцию f(x, у) = суcosx.
3.7. Разложить по формуле Маклорена до членов 4-го
порядка включительно функцию f(x, y) = sinxshz/.
3.8. Разложить но формуле Тейлора в окрестности
точки (1, 1) до членов 3-го порядка включительно функ-
цию /(х, у). = у/х.
3.9. Разложить по формуле Тейлора в окрестности
точки (1, 1, 0) до членов 2-го порядка включительно
функцию f (х, у, z) — In (ху 4- г2).
3.10. Разложить по формуле Тейлора в окрестности
точки (1, 1) до членов 2-го порядка включительно не-
явную функцию z(x, у), определяемую уравнением +
+ Зуг—4х = 0, если г(1, 1)«1.
2. Экстремум функции.Функция u~f(P) имеет максимум (минимум)
в точке Р0(хъ Хп), если существует такая окрестность точки Ро,
для всех точек Р (xlf ...» хп) которой, отличных от точки Ро,
431
выполняется неравенство f (PG) > f (P) (соответственно f(P0) < f (P)),
Максимум или минимум функции называется ее экстремумом.
Необходимое условие экстремума. Если дифферен-
цируемая функция f (Р) достигает экстремума в точке Ро, то в этой
точке
fx (^о) = О Для всех k — 1, 2, ..п, (3)
л k
или df(PGi Дхх, ..., Дх„) = 0 тождественно относительно
Дхх, ..., Дхп.
Точки, в которых выполняются условия (3), называются стацио-
нарными точками функции u = f(P). Таким образом, еслиР0—точка
экстремума функции u~f(P), то либо Ро—стационарная точка,
либо в этой точке функция недифференцируема.
Достаточные условия экстремума. Пусть
Р0(х?', х«)— стационарная точка функции u = f(P), причем эта
функция дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки PQ
и все ее вторые частные производные непрерывны в точке Ро
Тогда:
1) если второй дифференциал d2u(PQ, Дхь ..., Дхп) как функ-
ция Дхь ..., Дхп имеет постоянный знак при всевозможных наборах
значений Дх1? ..., Дхп, не равных одновременно нулю, то функция
u = f(P) имеет в точке PG экстремум, а именно — максимум при
d2u (Ро, &хъ • • • > Д*п) < Q и минимум при d2u (Ро, Дхъ ..., Дхп) > 0;
2) если d2u(PG, Дхх, ..., Дх„) является знакопеременной функ-
цией Дх1? ..., Дх„, т. е. принимает как положительные, так и отри-
цательные значения, то точка Ро не является точкой экстремума
функции и = f (Р);
3) если d2u(PG, Дхь ..., Дхп) 0 или d2u (Ро, Дхх, . ..,Дхп)«сО,
причем существуют такие наборы значений Дхх, ..., Дх„, неравных
одновременно нулю, для которых значение второго дифференциала
обращается в нуль, то функция u = f(P) в точке Ро может иметь
экстремум, но может и не иметь его (в этом случае для выяснения
вопроса требуется дополнительное исследование).
В частном случае функции двух переменных достаточные условия
экстремума можно сформулировать следующим образом. Пусть
Ро (х0, у0)—стационарная точка функции z = / (х, у), причем эта
функция дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки Ро
и все ее вторые частные производные непрерывны в точке Ро. Введем
обозначения:
— fxx (*0> ^о)> & ~ fxy (*0, Уо), С — fyy (х0, у0)
D = ЛС — В2.
Тогда:
1) если D > 0, то функция z = f (х, у) имеет в точке Ро (х0, у0)
экстремум, а именно—максимум при А < 0 (С < 0) и минимум при
А > 0 (С > 0);
2) если D < 0, то экстремум в точке Ро (*о, #о) отсутствует;
3) если D — 0, то требуется дополнительное исследование.
Пример 3. Исследовать на экстремум функцию
z = х3 + //3— Зху.
432 ,
<4( Найдем частные производные I-го порядка и составим систему
уравнений вида (3):
g=~3 (х2-^) = 0. g=3(j/2-x) = 0,
ИЛИ
X2— у — О,
1/2 — Х = 0.
Решая систему, найдем две стационарные точки:
Pi (0, 0) и P2(l, 1).
Найдем частные производные 2-го порядка:
Затем составим дискриминант D = АС—В? для каждой стационарной
точки.
Для точки Pf
Х-Д-l =°> в=Йг1 =-3’ С==тгт| “°- D=—9<0.
дх2 [z>1 dxdy\pt ду2 \pt
Следовательно, экстремума в точке Pi нет.
Для точки Р2
л=^| _6, a-^J =_3, с=|£| =в,
. дх2. |рг dxcty|p2 ду2 |р2
D = 36—9 > О, А > 0.
Следовательно, в точке Р2 функция имеет минимум, равный
Zmin — z\x~ 1 — 1 1 3= 1.
lz/ = l .
Найти экстремумы функций двух переменных:
3.11. г = х2 + ху + у2 — Зх — бу.
3.12. z = xy2 (1 — х — у) (х > 0, у > 0).
3.13. г-Зх2 —x3 + 3z/24~4z/.
3.14. г = х«/ + ^ + ^(х>0, г/> 0).
3.15. z = x2 + y2 — 21пх— 18 1пг/ (х > О, у > 0).
3.16. г = х84-3хг/2 — 15х— 12^.
3.17. г = 2№ —х^2 + 5х24-//2.
3.18. г = (2х? + г/2)е~ (хг+^>.
3.19. z = 2 —|/хЧТ2-
Найти экстремумы функций трех переменных:
3.20. w = x? + i/24-z2 — 4х + 6г/ — 2г.
.15 Под ред. А. В. Ефимова. Б. П. Демидовича 433
3.21. u = xz/2z3(l — x~ 2y — 3z)(x > 0, у > 0, z > 0).
8.22. u = x + + + 4 .
л у *
Найти экстремумы функций г, заданных неявно:
3.23* . x? + #2 + z? + 4x —2//*—4г —7== 0.
3.24. 2х2 + 2^ + г? + 8г/г —г + 8-0.
3. Условный экстремум. Функция u~f (Р) — f (х^, ..., хп) имеет
условный максимум (условный минимум) в точке Р^(х±, ..., х^),
если существует такая окрестность точки Ро, для всех точек Р ко-
торой (Р Ф Pq), удовлетворяющих уравнениям связи
4k (р) = 4k (*i > ..., х„) = 0 (k•= 1,2, ..., m; т < /г),
выполняется неравенство f(Po) > f (Р) (соответственно f(P0) < f (Р)).
Задача нахождения условного экстремума сводится к исследова-
нию на обычный экстремум функции Лагранжа
т
L(xit хп, .... Хи)=/(х!.................+ •••> *п)'>
k = l
(Л=1, 2, m) называются множителями Лагранжа.
Необходимые условия условного экстремума выражаются систе-
мой п-\-т уравнений
+^-=0 (1=1,2, .... п), (4)
4k (Р) = 0 (6=1, 2, ..., m)i
из которой могут быть найдены неизвестные
x'i, ..., хп, .. .j Кт,
где Xf, ..., хп—координаты точки, в которой возможен условный
экстремум.
Достаточные условия условного экстремума связаны с изучением
знака 2-го дифференциала функции Лагранжа d2L (х®, ..., Ху?, %®, ...
.. .5 dxi, ...,dxn) ддя каждой системы значений xj, ...,х^,
полученной из (4) при условии, что dxt, dx2, dxn
удовлетворяют уравнениям
~ dx/ = o (*=1> 2, .... m) (5)
/=1 7’
при dxi+dx2+ ... +dxn 0. А именно, функция f (Р) имеет услов-
ный максимум в точке Р0(х1, ..., х°), если для всевозможных зна-
чений dxi, ...» dxn, удовлетворяющих условиям (5) и не равных
одновременно нулю, выполняется неравенство d2L (х?, ...» х^, X?, ...
,. .> ^пг> dxi, ..., dxn) < 0, и условный минимум, если при этих
условиях d2L(x?, Х1, ..., ХЙг, dxt, dxn) > 0,
434
В случае функции z=^f(xt у) при уравнении связи ср (я, ^)«=0
функция-Лагранжа имеет вид
L(x, у, ty = f(x, ^) + Х.<р(х, у).
Система (4) состоит из трех уравнений:
^=°, -|£=°, ^х,у)=о.
Пусть Ро (х0, у$), Хо—любое из решений этой системы и
о <р'х {Ро) фр (Ро)
Л =--- фх (Ро) Рхх (Ро, Ьо) Р"ху(Р0, Хо) I
(Ро) Рху (Ро, Ч) Lyy (Ро, Хо)
Если Д < 0, то функция z — f(x, у) имеет в точке Р0(х0, yQ)
условный максимум; если Д > 0—то условный минимум.
Пример 4. Найти условный экстремум функции г = х + 2#при
х2 4- у* — 5.
Составим, функцию Лагранжа:
Т(х, У, ^) = % + 2^4-Х (х2 + ^2 — 5),
Имеем = 1 + 2Хх, = 2 + 2Ху.
дх ду
Система уравнений (4) принимает вид
1+2Хх = 0,
2 + 2ta/ = 0,
х?+^2 = 5.
Система имеет два решения: xi = -—l, ^ = —2, X, ==-^-; Хо = 1,-
о 1 1 Т d2L 97 d2L n d2L 97 ™
Уъ — 2, Л2 =---ft • Так как — 2л, — = 0, -4-7- = 2Л, то
£ 2 дх2 дхду дуЪ
d2L = 2k (dx2 + dy2).
При = i d2L > 0. Поэтому функция имеет условный минимум
4
в точке Pi (—1, —2) и Zmin——5. При % = —d2L <0. Поэтому
функция имеет условный максимум в точке Р2 (1, 2) и zmax = 5.
Или иначе:
<Р(*, У)=^х2 + У2—5,
<Рх = 2х, <pj = 2^z, <рх (—1, —2) = —2, (рИ—1, —2)==— 4,
Рхх = 1 > Lxy = 0, Lyy = 1 при X — — ;
следовательно,
Д == —
0 —2 —4
—2 1 0
—4 0 1
= 20> 0,
15*
435
т’ ё. функция имеет условный минимум в точке (—1, —2). Ана-
логично для точки Ра (1, 2)
О ? 4
2 —I О
4 0-1
= —20 < 0,
т. е. Р$(1, 2)—точка условного максимума. ►
Найти условные экстремумы функций:
3.25. z^x\-\~y2 — ху + х + у — 4 при % + у + 3^0.
. 3.26. + при х + у = 2.
* у
8.27. г = при х2+у2= 1.
3.28. г = ху2 при х + 2у=1.
3.29. z*^2x + y при х2 + «/2 = 1.
3.30. и = 2х-\-у— 2г при x24-z/2 + z2 = 36.
у-2 /»2
3.31. и — ха + г/2 + г2 при -16 +^-+ —-1.
3.32. u = xz/2z® при x + 2y-^3z= 12 (х>0, #>0, г>0).
3.33. u = xyz при х + у + г — 4, ху + уг + гх = 5.
3.34* . Доказать неравенство
я8 + !/3 + г3 -^ / * +!/+ г \ 3
3 \ 3 ) ’
если х;>0, у^=0, г^О.
4. Наибольшее к наименьшее значения функции. Если функ-
ция / (Р) дифференцируема в ограниченной замкнутой области, то она
Достигает своего наибольшего (наименьшего) значения или в стацио-
нарной точке или в граничной точке области.
Пример 5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
g=xs-j-^/3—Зху в области
0<х<2, —1«^^^2.
Данная область — прямоугольник. *
1) Найдем стационарные точки (см. пример 3): Рг (0, 0)иР2(1, 1).
Значения функции в этих точках; Zi = 0, z2 —1.
7 2} Исследуем функцию на границах области.
а) При х —0 имеем z = t/3. Эта функция монотонно возрастает и
на концах отрезка [—1,2] принимает значения: ?]^=-1 =—1, z|^=2 =8.
б) При х = 2 имеем z = 84-{/3—бу. Найдем значения этой функ-
ции в стационарной точке и на концах отрезка [ — 1, 2]. Имеем zf =
w 3yl—6; г' =»0 при i/2 —2, или, в данной области, при у=У2;
*\у^Т^8 + 2 /^—6 /2=8-4 /У; г|у=-1 = 13; z|J/=2=4.
В) При у^=—1 имеем z = x8 —1-|-Зх и г'=3х24~3 > 0. Функция
монотонно возрастает от г|л:=о = —-1 до z[x=2 = 13.
436
г) При ^/ = 2 имеем z = x84~8—6х; z' =3х2.—6; z' =0 при х — |/~2;
^\x—VT3==^—4 2; z|x=o = 8, z|x=2=6.
3) Сравнивая все найденные значения функции, заключаем, что
2наиб = 13 в точке (2, —-1); гнаим = ~ 1 в точках (1, 1) и (0, —1).
Пример 6. При каких размерах открытая прямоугольная ван-
на данной вместимости V имеет наименьшую площадь поверхности.
Найти эту площадь.
Ванна имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Пусть его
измерения равны х, yt г. Так как объем V—хуг задан, то z = —— л
ху
Площадь поверхности ванны равна
V f 1 1 \
S = S(x, j/)=2(xz+{/z)+xi/ = 2(x+j/)—- -\-xy = 2V (—+~ ) +ху.
ЛУ \ У л J
Задача сводится к нахождению минимума функции S (х, у\ причем
по смыслу задачи х > 0, у > 0.
Решая систему уравнений
Sx(x, у)=—^-+!/ = 0,
2V
Sy(x, У) — —7Г +*=0,
У •
находим стационарную точку х0 = #0—^/21/. Проверим выполнение
достаточных условий минимума: а
j» 41/ " _,z 41/
Sxx (х, у) = -^- , Sxy (X, у) => 1, Syy (X, у) =
Следовательно,
A=Sxx(l/2V, f/2V) = 2, B = S^(®/2V;®/27) = 1,
C = S"yytf/2V, f/"2V)=2, D = AC—B2 = 4— 1 > 0, A > 0.
Итак, функция S (x, у) имеет минимум при x=y= ^/2V;
V f/2V '
тогда z = —— = ;
3/41/2 2
3.35. Найти наибольшее значение функции г = х—2//Ч-5
в областях:
а) х>0, у>0,
б) х sgCO, у^0, y—xs^l.
3.36. Найти наибольшее и наименьшее значения функ-
ции г = ха + у2 — ху — х~у в области х^ 0,1/ 0, x+yt^3.
3.37. Найти наибольшее и наименьшее значения функ-
ции z = xy в области х2 + уг 1.
437
3.38. Найти наибольшее и наименьшее значения функ-
ции г = ху2 в облаг- 'и х2 + у2 1.
- 3.39. Представить положительное число а в виде произ-
ведения четырех положительных сомножителей так, чтобы
сумма их обратных величин была наименьшей.
3.40. Из всех прямоугольных параллелепипедов, имею-
щих данную сумму длин ребер 12а, найти параллелепипед
с наибольшим объемом.
3.41. Найти прямоугольный параллелепипед с длиной
диагонали d, имеющий наибольший объем.
Рис. 69» Рис. 70.
3.42. Внутри четырехугольника найти точку, сумма
квадратов расстояний которой от вершин была бы
наименьшей.
3.43. В полушар радиуса R вписать прямоугольный
параллелепипед наибольшего объема.
3.44. В прямой круговой конус с.радиусом основания
R и высотой 7/ вписать прямоугольный параллелепипед
наибольшего объема.
3.45. Из всех треугольников с основанием а и углом
а при вершине найти треугольник с наибольшей площадью.
3.46* . На эллипсе x24-9z/2=*9 найти точки, наиболее
и наименее удаленные от прямой 4х + 9у^= 16.
3.47* . На эллипсе х2 + 4z/2 = 4 даны две точки А (—V3,
0,5) и В(1, /3/2). На том же эллипсе найти такую
третью точку С, чтобы треугольник АВС имел наиболь-
шую площадь.
3.48. Определить наружные размеры закрытого ящика
с заданной толщиной стенок 6 и емкостью (внутренней)
Гтак, чтобы на его изготовление было затрачено наимень-
шее количество материала»
438
3.49, На плоскости даны п материальных точек •
Pi(xi9 РЛх^Уъ)' •••> Рп(хп> Уп) с массами, соответст-
венно равными mi, т2, .тп. При каком положении
точки Р (х, у) момент инерции системы относительно точ-
ки Р будет наименьшим?
3.50* . Точки А и В расположены в различных оптиче-
ских средах, отделенных одна от другой плоскостью
| AJ31 (рис. 69).- Скорость распространения света в первой
среде-равна vif во второй — v2. Пользуясь принципом
Ферма, согласно которому световой луч распространяется
вдоль той линии А МВ, для прохождения которой тре-
буется минимум времени, вывести закон преломления
светового луча.
3.51. Пользуясь принципом Ферма, вывести закон
отражения светового луча от плоскости в однородной среде
(рис. 70).
3.52* . Если в электрической цепи, имеющей сопротив-
ление R, течет ток /, то количество тепла, выделяюще-
гося в единицу времени, пропорционально I2R. Опреде-
лить, как следует разветвить ток I на токи Ii9 Z2, ..., 1п
при помощи п проводов, сопротивления которых Rt,
R2, •••> Rn> чтобы выделение тепла было наименьшим.
5. Геометрические приложения частных производных. Касатель-
ной плоскостью к поверхности в ее точке {точка касания) назы-
вается плоскость, содержащая в себе все касательные к кривым,
проведенным на поверхности через эту точку.
Нормалью к поверхности называется прямая, перпендикулярная
к касательной плоскости и проходящая через точку касания,
Если «уравнение поверхности имеет вид
F{x, у, z)=0,
то уравнение касательной плоскости в точке Л40(х0, уй, z0) есть
F'x (х0, «/о, го) (х—x0)4-F^ (х01 у0, z0) (у—уй)-\-р’г (х0, г/0, z0) (г—zo)=O.
(5)
Уравнения нормали:
Л'—х(, = У—Уо _ г—Zp <6)
Fx^Xo, уо, z0) Fy(x0, у0, z0) ^г(х0, уй, г0) '
. В случае задания поверхности в явной форме
z = f(x, У)
уравнение касательной плоскости в точке Мй(х0, у0, zQ) имеет вид
z—г0 = /*(х0, </о) (х—х0) + ^(х0, УоЦу—Уо),
а уравнения нормали —
х—х„ _ у—j/р _,г~ г0
/;(х0. Уо) Гу(*о, У о) — 1
439
При м е р 7. Найти уравнения касательной плоскости и нор-
мали к поверхности
х24~202—3z2+xy-{-yz—2xz4-16 = 0
в точке М (1, 2, 3).
Обозначив через F (х, у, z) левую часть уравнения поверхности,
найдем частные производные и их значения в точке Л1:
F'x(x, у, z)=2x-(-0—2z, F*(l, 2, 3) = —2;
У, z)^4y+x+zt F'y(l, 2, 3) = 12;
F'(x, у, z) = —6z4-0—2х, F*(l, 2) 3) =—18.
По формулам (5) и (6) имеем;
—2 (х—1)4-12 (0—2) —18 (z—3)=0, или х—6^4-9z—16 = 0
— уравнение- касательной плоскости,
I.;:;,;- Xi—1 0 — 2 Z —3 X—1 0 — 2 Z—.3
-2 ~ 12 ~"-18 ’ ИЛИ 1 — -6 “7Т“
— уравнения нбрмали.
Особой точкой плоской кривой [ (х, 0) = О называется точка
М (*о, !/о)> координаты которой удовлетворяют системе трех урав-
нений: ,
/(*0, 0о) = О, f’x(xa, уо) = 0, f'(x0, j/o)=0.. (7)
Пусть выполнены условия .(7), числа
А=Г‘^х(х9, у0), В = Гху(ха, уа), C = f"yy(x0, ус)
не все равны нулю и Д = ЛС—В2. Тогда:
а) если Д > 0, то М—изолированная точка (рис. 71).
б) если Д < 0, то М—узел (двойная точка) (рис. 72).
в) если Д = 0, то Л4—либо точка возврата 1-го рода (рис. 73)
или 2-го рода (рис. 74), либо изолированная точка, либо точка са-
моприкосновения (рис. 75).
Рис.71.
Рис. 72.
Рис. 73.
Угловой коэффициент k = y' касательной к кривой в особой
точке находится из уравнения
Л + 2ВЛ + С^2 = 0.
В случае изолированной точки касательной нет, в узле—две различ-
но
ные касательные; в точке возврата и точке самоприкосновения—одна
общая касательная к двум ветвям кривой.
Если Д=0, то для решения вопроса о типе особой точки нужно
изучить расположение точек кривой в некоторой окрестности особой
точки.
Рис. 74.
Рис. 76.
В случае трансцендентной кривой могут быть и иные типы осо-
бых точек: угловые точки, точки прекращения и т. д.
Пример 8. Исследовать особые точки конхоиды
(х2 + ^2) (х— а)2—62х2 = 0 (а > О, b > 0).
Обозначив левую часть уравнения через f (х, у), найдем частные
производные и приравняем их нулю:
f'x (х, у) = 2х (х —й)2-|-2 (х — а) (х2 + ^/2)—2Ь2х = 0,'
fy (.x, у) = 2у(х —а)2 = 0.
Система уравнений имеет единственное решение х0=у<>=0, т. е. кри-
вая имеет одну особую точку О (0, 0).
Рис. 76.
Рис. 78.
Найдем вторые производные:
f"xx У^2 ((х-а)2 + 2х (х-а) + х2 + //2 + 2х (х-а)-Ь2),
f'xy(x, y} = ty(x—a),
Гуу(х,-у) = 2{х-а)\
Вычислив их значения в точке О, получаем
Л = 2(а2 —&2), В = 0, С = 2а2, Д== АС — В2 = 4п2 (а2-Ь2).
441
Если а > b, то Д > 0, и точке О—изолированная (рис. 76). Если
а < Ь, то Д < 0, и точка О—узел (рис. 77). Если а~Ь, то Д —0.
Найдем угловой коэффициент касательной:
/>2__
2 (а2—62) + 2й2А2 = 0, /г=- ~ =0,
т. е. касательная совпадает с осью Ох.
X
Из уравнения кривой получаем (при a = Z?) у=±-—-X
X 2ях—х2 , и, следовательно, кривая симметрична относительно оси
Ох(0^х<-а; а<х^2а). Поэтому при а = Ь О—точка возврата
1-го рода (рис. 78). ►
Огибающей семейства плоских кривых называется линия (или
совокупность нескольких линий), которая касается всех кривых дан-
ного семейства, причем каждая ее точка является точкой касания.
Если однопараметрическое семейство кривых f (х, у, а) = 0 имеет
огибающую, то ее уравнение можно получить из'системы уравнений
f(x, у, а)=0, f'a(x, у, а)=0. (8)
Исключая из системы (8) параметр а, получим уравнение вида
D (х, г/) = 0. Кривая, определенная этим уравнением, называется
дискриминантной кривой. Дискриминантная кривая состоит из оги-
бающей и множества особых точек данного семейства.
Пример 9. Уравнение траектории движения снаряда, выпу-
щенного из точки О с начальной скоростью rG под углом а к гори-
зонту (без учета сопротивления воздуха), есть
у^х tga —
2v2 cos2 а*
Принимая угол а за параметр, найти огибающую всех траекторий
снаряда, расположенных в одной и той же вертикальной плоскости.
Имеем
РХ2
< f(X’y’a) = xtga-2^^~!'’
е, , х х £х‘2 sin а х /, gx ,
/' (х, у, а) =--—-----х— — —-х— ( 1— ~ tga
у cos2 a v2 cos3 а cos2 al v2
Составим систему вида (8)
, gx2
V-Xiea~2^^’
cos2 ay v2 J
TT , Vq 9 1
Из второго уравнения получим: tga = ~ и cos2 a = jg2"^^
p2x2
= "2^1 4 • Подставляя в первое уравнение, найдем уравнение оги-
S x-~rva
442
бающей (парабола безопасности^
____gW + vj
~~ g
или
y~2g 2vi
3.53. Найти уравнения касательной плоскости и нор-
мали к следующим поверхностям в указанных точках!
а) г = sinxcos г/ в точке (л/4, л/4, 1/2);
б) г = еХС03^ в точке (1, л, 1/е).
3.54. Найти расстояние от начала координат до каса-
тельной плоскости к поверхности г = у tg в точке
3.55. Найти углы, которые образует нормаль к по-
верхности г = arctg у в точке ^1, 1, с осями коор-
динат.
3,56. Для поверхности г = 4х — ху + у2 найти уравне-
ние касательной плоскости, параллельной плоскости
4х 4~ у -j- 2z 9 “ 0.
3.57. Найти уравнения касательной плоскости и нор-
мали к следующим поверхностям в указанных точках:
а) х(^/ + г) (хг/ —г) + 8 = 0 в точке (2, 1, 3);
б) 2х/2 4-2^г = 8 в точке (2, 2, 1);
в) г24-4г + х2 = 0 в точках пересечения с осью Ог.
3.58. Для поверхности х2 —г2 —2х + 6г/ = 4 на^ги
w и х 2 у z -I* 1
уравнения нормали, параллельной прямой —J— ==-|-=—1— .
3.59. На поверхности х24-2у2 + Зг2 + 2ху + 2хг + 4//г=
= 8 найти точки, в которых касательные плоскости па-
раллельны координатным плоскостям.
3.60. Показать, что касательные плоскости к поверх-
ности х2/3+//2/8+г2/3 =я2/3 отсекают на осях коорди-
нат отрезки, сумма квадратов которых постоянна и
равна а2.
3.61. Найти уравнения касательной плоскости и нор-
мали к следующим поверхностям, заданным параметри-
чески, в указанных точках:
a) х = г cos ср, л/ = г sin ср, г —г ctg а в точке (г0» Фо);
б) x = ucost>, f/ = usinu, z~av в точке (u0, и0).
3.62* . Под каким углом пересекаются цилиндр
xa4-t/2=\z2 и гиперболический параболоид bz^xy в общей
точке (х0, //0, г0)?
443
3.63* . Показать, что следующие поверхности попарно
ортогональны:
а) х2 +1/2 4- za = Чах и х2 + у2 + z2 = ЧЬу;
б) хуг = а2 и 2z2 = х2 + у2 + f (х2 —'у2);
в) ху = аг2, х2-\-у2+г2 — Ь и z2 4- 2х2 = с (г2 4- Чу2).
Исследовать особые точки кривых:
3.64. х2 + у2 = х* + у*.
3.65. 1/2(аа + х2) = х2(а2—х2). 3.66. x’+j*=A
3.67. у2 = (х—I)8. 3.68. (у — 2х2)2 = х5.
3.69. 4t/2 = x?4-5x4. 3.70. у2 = ах2 + х8.
3.71, г/2=1— е~х\ 3.72. у2=1-е-*8.
3.73*, г/ = гА^. 3.74*. у —х*.
& 1 -\-еЧх и
,3.75. Найти огибающую семейства прямых # = ах + аа.
3.76. Найти огибающую семейства прямых xcosa +
4- у since = р (р == const, р > 0).
3.77. Найти огибающую семейства окружностей ха+
+(у — С)2 = /?а (R = const).
3.78. Найти огибающую семейства парабол у2~
=2рх + р2.
. 3.79. Найти огибающую семейства парабол # = 3яа +
+ 2ах — х2.
3.80. Найти огибающую семейства эллипсов
%-2 „2
-у + 77^-72 = 1 (/ = Const).
а2 ’ (/—а)2 4 '
3.81. Найти огибающую семейства окружностей, про-
ходящих через начало координат и имеющих центр на
параболе у2 = 4ах.
3.82. Исследовать характер дискриминантных кривых
семейства следующих линий (С — переменный параметр):
а) кубических парабол у—1 = (х —С)3;
б) полукубических парабол (у — С)2 = (х—-С)3;
в) парабол Нейля (у— I)8 —(х — С)2;
г) строфоид (а—х) (#;--С)2===х2(я4-х).
§ 4. Приближенные числа и действия над ними
1. Абсолютная и относительная погрешности. Пусть число а
есть приближение числа А, Например, А =1^3 и а—1,7, При
а > А число а называется приближением по избытку, при а < А —
по недостатку. Так, число 1,73 есть приближение j/^no недостатку,
444
А число 1,74—по избытку; Абсолютная погрешность приближения
(приближенного числа) а определяется равенством
Д == | а—А
Поскольку точное число А во многих случаях неизвестно, то неиз-
вестна и абсолютная погрешность Д,однако при этом может быть указана
верхняя грань абсолютной погрешности. Наименьшая из верхних
граней Да абсолютной погрешности называется предельной абсолют-
ной погрешностью. На практике часто за предельную абсолютную
погрешность Да принимают одну из верхних граней. Имеет место
включение
Д£[а—Да, а+Д-д],
которое принято записывать в виде Л = а±Да. Например,
/З" =1,7321 ± 0,0001.
Относительная погрешность числа а определяется равенством
Аналогично определяется предельная относительная погрешность
* Например, для А= ^3 и а =1,7321
' =0,00006.
В десятичной записи числа значащей цифрой или знаком назы-
вается любая цифра, отличная от нуля. Нуль считается значащей
цифрой в том случае, когда он расположен мёжду значащими циф-
рами или стоит правее всех значащих цифр.
Округлением числа называется замена его числом с меньшим
количеством значащих цифр. При округлении соблюдаются следую-
щие чправила:
1) если первая из отбрасываемых цифр меньше 5, то сохраняе-
мые знаки оставляют без изменения;
2) если первая из отбрасываемых цифр больше 5, то последний
из сохраняемых знаков увеличивают на 1;
3) если первая из отбрасываемых цифр равна 5, а среди следую»
щих за ней цифр есть отличные от нуля, то последний из сохра-
няемых знаков увеличивают на 1;
4) если первая из отбрасываемых цифр равна 5, а все следующие
за ней являются нулями, то последний из сохраняемых десятичных
знаков увеличивают на 1, когда он нечетный, и сохраняют неизмен-
ным, когда он четный.
Если абсолютная погрешность приближенного числа а не превы-
шает единицы [разряда, выражаемого n-й значащей цифрой в деся-
тичной записи этого числа, то а называется числом, имеющим п вер-
ных знаков в широком смысле. Если же абсолютная погрешность не
превышает половины единицы указанного выше разряда, то прибли-
женное число а называется числом, имеющим п верных знаков в узком
445
смысле. При этом для предельной относительной погрешности
справедливы неравенства
1 / 1 \п~* 1 / 1 \ «-1
6й<т(1о) и 6"^2л(тб)
соответственно в первом и во втором случаях; в обоих неравенствах
k означает первую значащую цифру числа а. Обратно, если предель-
ная относительная погрешность удовлетворяет неравенству
я _ 1 1
° "^.2 (Л 4-1) То^’
то соответствующее приближенное число а с первой значащей циф-
рой k имеет п верных знаков в узком смысле.
4.1. Найти предельную абсолютную и относительную
погрешности следующих приближенных чисел, получен-
ных при измерении:
а) 23,015 кг; б) 84,5 см; в) 25°15'. ,
4.2. При измерении длины пути получен результат
25,2 км с точностью до 2 м, а при измерении площади
(аэрофотосъемка) получен результат 1500 м2 с точностью
до 30 м2. Вычислить предельную абсолютную и предель-
ную относительную погрешности обоих результатов.
4.3. При измерении, длины участка пути в 10 км до-
пущена ошибка в 10 м, а .при измерении диаметра гайки
в 4 см допущена- ошибка в 1 мм. Какое из этих двух
измерений более точное?
4.4. Каковы предельные абсолютная и относительная
погрешности приближенных чисел, полученных при
округлении:
а) 36,1; б) 0,08.
4.5. Округлить числа 29,15 и 3,25 до первого деся-
тичного знака после запятой.
4.6. Округлить число 5,3726 до тысячных, до сотых
и до десятых долей. Найти абсолютную и относительную
погрешности каждого из этих трех округлений.
4.7. Округлить до трех значащих цифр следующие
числа: 0,02025, 1876672, 599983.
4.8. Определить число верных знаков в узком смысле
и дать соответствующую запись следующих приближен-
ных чисел:
а) 413287,51 при точности в 1%; б) 0,0794 при точ-
ности в 2%.
4.9, Со сколькими знаками нужно взять число У 21,
чтобы предельная относительная погрешность не превы-
шала 1 % ?
446
4.10. Со сколькими знаками нужне» взять числа In 40
и arctg 2, чтобы их предельная относительная погреши
ность не превышала 0,1 %?
2. Действия над приближенными числами. Пусть «=
=₽=/(хх, z2, •••> *л)—дифференцируемая в рассматриваемой области
функция. Тогда 'предельная абсолютная погрешность Дк значения
функции определяется соотношением
п
д«=]£ |^| д*л’ ' о)
где Д^—предельные абсолютные погрешности значений соответст-
вующих аргументов. Для предельной относительной погрешности
имеет место равенство
(2)
Пример 1. Найти предельные абсолютную и относительную
погрешности объема конуса радиуса г и высоты h, если г==
= 15 ± 0,02 см, Л = 19,1 ± 0,05 см и л = 3,14.
Имеем лг2Л = 4498,1 см3. Учитывая, что r=15, h=19,l# о
л ==3,14, Дг=0,02, ДЛ = 0,05 и Дя = 0,0016, найдем ^-=4 ^Л== ал 3
= 1432,5, = 599,74 и яг2 = 235,5. Применяя фор- дг 3 dh 3 r F
мулу (1), получаем предельную абсолютную погрешность
Предельная относительная погрешность может быть определена из
равенства
6^Si=0-006-
Таким образом, v = 4498 ± 26,1 см3. ►
Доказать следующие утверждения:
4.11 *. Предельная абсолютная погрешность суммы равна
сумме предельных абсолютных погрешностей слагаемых.
4.12 *. Предельная относительная погрешность произве-
дения равна сумме предельных относительных погрешно-
стей сомножителей.
4.13 *. Предельная относительная погрешность n-й сте-
пени в п раз больше предельной относительной погреш-
ности основания.
447
4.14 *. Предельная относительная погрешность частного
равна сумме предельных относительных погрешностей
делимого и делителя.
4.15 *. Предельная абсолютная погрешность Дйг, произ-
ведения uv удовлетворяет соотношению = Диу + Д^.
Произвести указанные действия над приближенными
числами, в которых все десятичные знаки являются вер-
ными в узком смысле:
4.16 . 130,6 + 0,255+1,15224 + 41,84+11,8216.
4.17 . 17,83+ 1,07+ 1,1 -102. 4.18. 153,21—81,329.
4.19 . 61,32 — 61,31. 4.20. 35,2-1,748.
4.21. 65,3-78,5. 4.22. 7,6:2,314.
4.23. 170:5. 4.24. 40,53.
4.25. /54JL
4.26. При измерении радиуса круга с точностью до
0,5 см получилось число 12 см. Найти абсолютную и
относительную погрешности площади круга.
4.27. Определить абсолютную погрешность десятич-
ного логарифма положительного приближенного числа хг
вычисленного с относительной погрешностью 8.
4.28. С какой предельной абсолютной погрешностью
следует измерить стороны прямоугольника аж 4 м и
b ж 5 м, чтобы его площадь S можно было вычислить
с точностью до 0,1 м2?
Имеем S=?ab и AS—0,1. Предполагая равными слагаемые в фор-
муле (1), получим
I дх{ j
(принцип равных влияний). Поэтому, вычисляя частные
dS dS . Л
производные ^-=6 = 5 и —=а = 4, найдем, что
Дв==ГБ=0’01’ ^=5^=0,0125.
Распределяя число 0,1 в формуле для Д^ между двумя слагаемыми
не поровну, а как-нибудь иначе, получим другие значения для Да
и Д&, обеспечивающие однако все ту же предельную абсолютную
погрешность.
4.29. С какой абсолютной погрешностью следует изме-
рить сторону х квадрата, чтобы определить площадь этого
квадрата с точностью до 0,001 м2, если 2 м < х < 3 м?
448
4.30. Вычислить плотность алюминия, если алюмини-
евый цилиндр диаметром 2 см и высотой 11 см имеет массу
93,4 г. Относительная погрешность измерения длин равна
0,01, а относительная погрешность определения массы
равна 0,001.
4.31. С какой точностью следует определить радиус
основания R и высоту Н цилиндрической банки, чтобы
ее вместимость можно было определить с точностью
до 1%?
4.32. С какой точностью следует взять приближенное
значение угла х«25% чтобы найти значение sinx с че-
тырьмя верными знаками в узком смысле?
4.33. С каким числом верных знаков в широком смысле
следует взять значение аргумента х « 2, чтобы получить
значение функции у = ех с точностью до 0,001?
4.34. С каким числом верных знаков должен быть
известен свободный член уравнения х2 —2x + lg2=^0,
чтобы получить корни этого уравнения с четырьмя вер-
ными знаками в узком смысле?
4.35. Требуется измерить с точностью в1% площадь
боковой поверхности усеченного конуса, радиусы основа-
ний которого ^2 м и 1 м, а образующая ^5 м.
С какой точностью нужно для этого измерить радиусы и
образующую и со сколькими знаками нужно взять число л?
ОТВЕТЫ
l.l.S = )/p(p—х)(р —^(х-рр—р); 0<х<р, 0<р<р,х+у>р.
1.2. — 0<5<л/2. 1.3. /4z2 —(х—«/)?;
ЗлФ 4
1.4. 1.3. х2+у2>7?2 1.6. х2+у2 < R2.
1.7. х2+у2 > R2. 1.8. х у. 1.9. —1 <х2+у< 1. 1.10. x-j-y < 0.
1.11. x<x2-|-j/2 < 2х. 1.12. Полосы —Д-|]-2йл
(k—целое число). 1.13. 0 < х2+р2^ 1 при 0 < а < 1, х2+у2^ 1 при
а > 1. 1.14. Два тупых вертикальных угла, образованных прямыми,
у = 0 и у =—2х, включая границу без общей вершины (0, 0).
1.15 4^х2 + р2«с9. 1.16. Криволинейный треугольник, образованный
прямой у = 2 и параболами р2=±х, исключая вершину (0, 0).
1.17. 0 л. 1.18. Часть плоскости, заключенная между лучами
<p = —J и <р=^- и ф=-^-. 1.19. x2+y2+z2^R2.
1.20. 0<х2+у2<г2, г^0. 1.21. х2-}-у2 —г2 < 1. 1.22. n-мерный куб
449
2 2
— iC-x^d (£ = 1, 2, ,,,, ri). 1.23, n-мерный эллипсоид |-
ai ai
+ 1.24./(2, l)^l/4;/(h2)=4;/(3,2) = 0;/(2>3)«oo;
an
/(a,a) = -l;f(a, -a) = l. 1.25. f(-3, 4)—24/25J(l, y/x)^f(xty).
1.26. L27- = z^2y+(x—y)2. 1.28. —Д-^.
<4 Обозначим u — x-}-y, v~—. Тогда x—, f (u, v) —
X 1 —V 1 —j— V
U2 U2V2 u2 (1—V) ~
= ^02,==—f-jZp '• Остается переименовать перемен-
ные и и v я x н у. 1.29. а) х4 —2х2у2-\~2у*’, б) 4х2//2- 1.31.. a) cos 2х;
б) cos (х2 —— у2). 1.32. —6. 1.33. 1. 1.34. 0. 1.35. е. 1.36. 1.
1.37. lim z—-г—г- вдоль прямой y — kx\ limz = 3 при 6 = 4/3;
%->о 1
у -*о.
limz = 2 при 6 — 3/2; limz = l при 6 = 2; limz = —2 при й = 1/2,
1.40. Не имеет. 1.41. Не имеет. 1.42. ® Рассмотреть изменение х и
# у по параболе у — х2. 1.44. (1, —1). 1.45. (т, п)у где ту
1.46. Линии разрыва — прямые х = 6л и у — тл, где k,
1.47. Линия разрыва—окружность х2-{~у2 — 1. 1.48. Линии разрыва —
прямая х4-г/ = 0 и параболау2—х. 1.49. Линии разрыва—окружность
х2+{/2 = 1 и гипербола х2—у2 — 1. 1.50. Поверхности разрыва—коор-
динатные плоскости х = 0, у = 0, г — 0. 1.51. Поверхность разрыва —
х2 у2 Z2
эллипсоид ^2“4~'£2"+^2-==1- 1’52’ Поверхность разрыва—конус
x2+j/2—z2 = 0. 1.53. Поверхность разрыва—однополостный гипербо-
лоид х2 + #2 —z2 = l. 1.54. Поверхность разрыва—двуполостный
гиперболоид х2 + #2—z2 =—1. 1.55. —=5х4 —15х2#3, ~=5^—
f)2z d2z д2?
-15х^2, -^-=20x3-30x//3, -=-45xV> —2-=20//3-3(W
dz _ у дг _ d2z __ 2у d2z ______1_ d2z
дх У х2 ’ ду Х 1 х ’ дх2 х3 дхду х2 ’ ду2 ‘
j ^7 dz У3 dz _____________ х3 d2z_________________Зху3
дх (х2+«/2)3^2 ’ ду (х? + ^2)3у<2 г дх^ (х? + ^г)б/2
W6/2-, ------3^-7Г. 1.58. ^-={1-Ху)е-Х,,
дхду (x? + i/2)6/ дуЪ (х?+^2)6^2 дх
Hz d2z d2z d2z
Г~^-ХУ’ ^=х(х,-2)^, =
Ч ru . ко dz cosy2- dz 2ysiny2 д2г 2cos^
дх х2! ду х
д2г _^2уьту2 д2г_______2sin ff2+4#2 cosу$
Ъхду~" х? f ду^ х
fly (1^7 d2z
х (ху—2)
* д2г ____________
’ дх2. х3- ’
1.60. 44=1/* In у,
UX
d2z
450
&
Ы>,С\\ 161 дг — 2х ' дг 2у д2г __2(у2—х2) д2г
w и,. 1.01. .0х x2+yt ’ ду.^ х2+у2 < дхг (х2+у2)2 ’ дхду~
4*У d'lz .2 (x2-y2) dz__ (x2 4-.#2)£’ * **’ dx у щпх dz |x|
(,Х2+'У2)2 • ду2 x2+y2.' dy x?+y2 ’
d2z 2\х\у d2Z __ ({/2 — X2) sgn X d^z_ 2 1 -у 1 У
dx2 (х^+у^ 9 dxdy (x2-j-y2)2 . д^2 (xi+г/2)2 •
1.63. du _ x d2u __ 2x2—y2—z2 v d2u
дх (х2~|~£<2 + z2)3/2 ’ дх2. (x2-^~y2~j-z2)^2 dx dy
Зху j.64. dx x \ x / * du z / у V du
(х2+у2 + г2) 6/2 ’ " ду у \ x ) ’ dz
Уш", / х д2и __z (z-j- 1) / y\z d2U _г(г-1) fy > z d2u.
dx2 x2 \ x ) ’ dy2. У2 \ z> ) ’ 'dzT===
Гш2^, / х d2u _ z2 ( У \z — lUWi 4-zln—, X ]
dxdy xy \ x J ’ dx dz X \ X J \
д2и_ dy di -|а> ^(l + zln—. 1.65.’^-={/2z3/4 + 3, -^-=! \ X J ^dx dy IxyzH^—4,
3u O *9 9лД I n a 9 <U4 1 A О Ч/Д d U
—-=3xz?z2/4 + 2> —-==4х#2Л8 — 1, -T-о-—0, —-~=2xz3/4, =
dz . dt * dx2 dy2 dz2
^Xy^, ^2xy2z2t2, ^=3у^, =
^2“ f ... |Э‘‘>“ О •<<•< ^2“ <0 9 »Л
-——=6xuz‘Z4, -—г-=8л-уг3/3, = 12xy2z2t3.
ду дг w ду dt а dz dt а
= 4r/2z3/8,
1.66. f’x(3, 2) = 56, f'y(3, 2) =42, /хл(3,2)=36, /ед(3, 2)=31,
fyy(3, 2)=6. 1.67. /Г(1, 2) = е(2е4-1), f'y(\, 2) = 4rf, to(l, 2) =
= е(6е4—1), t"xy{\, 2) = 8е5, f"yy (1, 2) = 18е6. 1.70. fxxx (О, 1) = 0,
d^u
/i;;(o,i)=2, (о, i)=o, С'ло, !)=о. i.7i. ——_=
txxy\ ’ / /хуу \ 'ууу х ' dxdyd^dv[
6 । 48 (х — %,)2 (у — л)2 1П-----1\2' i' /-Га
= — -^Н-----1, где г = У (х — £)2 + (у—I])2.
d^u дР+Ч и
1.72. ~ о ==-- 6 (cos х4-cos у). 1.73. л < fl=P* 1>78< ^-cosO.
dx^dy* dxPdyQ
1.85. /х(0, 0) = /^(0, 0) —0. • Проверить, что функция равна нулю
во всех точках осей Ох и Оу, и использовать определение частных
производных. 1.86. ® Проверить, пользуясь правилами дифференци-
рования и определением частной производной, что fx (х, у) —
= при х2- + У2*0’ ^(°> °)=°> и> следова-
тельно, f'x(0, у)=~у- Отсюда fXy (0, y)=fXy (0, 0)=—1. Аналогично
находим, что fyX (0, 0)=.1. 1.87. Дг==0,33, йг=0,3. 1.88. Дг =0,0187,
dz=0,0174. 1.89. dz = —==x_гт— 7=---------\+ /-—-^ •
Ух^уу5 (у + VX2 + у2) у\2 +yi
1.90. dz^=-----г (2xdy—y.dx\ \М. dz=---^is^-{х dy—y dx).
9 9 РГ У- У
х^ COS- —
х
451
1.92. du — (xy)z (-1 dx+^dy+In (xy)dz'). 1.93. d/ = (r2 —
^-x8)x*8"*8"1 lnx4 б/х^х*8"*81ПХ1 lnx4dx2-— х*2“Хз lnxt lnx4dx3 -f-
+ 1.94, df(l, 2, l)==^z—2^c + 2dy)^ • , 95 8;29
1.96. 2,95. 1.97. 0,227. 1.98. 8,2 м3. 1.99. Уменьшится на 1,57 см.
* 1ЛОО. Увеличится на 617,5 см3. 1.101. dz—3x(x-\-2y)dx-\-3(x2—y2)dy,
d2z—6 ((х+у) dx2-[-2xdxdy—y dy2). 1.102. dz=(xdy~ ydx)(~~\—yY
d2z=2\^dx2+\
(%4-y) dx-\-ic dy
^~^]dxdy~lfl dy]
K / У j
__ —f/2 dx2 -j-2xy dx dy—x2 dy2
1.103. dz —
1.104. dz^
(x2-\-2xy)zf2
= ’ d2z==71. 11,1 2'6/2 (y(2x?—y2)dx2+2x(2y!i~x2)dxdy—
(x2+y2)3'2 (x2-t-y2)6'2
— 3x2ydy2). 1.105. dz = exv ((y2+xj/+ 1) dx+(x24~xi/+ 1) dy), d2z =
•= ехУ(у{у2+ху + 2) dx2 + 2 (x-)-y) (xy-)-2) dxdy-\-x (x2+xy\-2)dy2).
1.106. dz=^ln 7--1) d-x+^dy, d2z=-~ dx2+^dxdy-~dy2.
1.107. </z = 2x2 + 2xs/+H(i'dX—Xdy}' </2z=“(2x2+2xy+^)2 X
X (2y (2x + y) dx2 -|- 2 (y2 — 2x2) dxdy—2x (x-}-y) dy2). 1.108. du =
= (У + z)dx 4- (z + x)dy -j- (x + y) dz, d2u — 2(dxdy + dydz-\~
4- dz dx). 1.109. du — e*yz (yz dx-f-zx dy-f-xy dz)d2u — ехУг ((yz dx -j-
+ zx dy-\-xydz)2-\~2 (z dxdy-\-xdy dz-\-y dzdx)). 1.110. d?z =
= ev(—cosxdx3 — 3 sin xdx2 dy-\-3 cos x dxd^/24-sin x dy2).. 1.111. d3«=?=
= 6(dx»-]-dy3+</z» — 3dxdydz). 1.112. —— 51 (^ + ^y+tfz)e
1.113. dmu = eax+byw (a dx+ b dy+cdz)*1.
Л . dz <
2.1. -yr=e
dt
4~lnxcos/y 2.3.
dz_______ ex
Hx^ ’
У
y2 + (x + \)2 ’
x2 J dy
— 2uv) у sin x) dx4~ ((2uv—v2) x cos y+ (u2.—2uv) cos x) dy. 2.9
2# f/ z x dz 2x
x
. 2
x
(x+f/ + z)e
2.2. ^r=x« f-^-4-
dt \xt
du x (z-\-2yt2) yzte*
>2x"31/(2 sec2/ — 3(2/— 1)).
dz_2e2t(x — y)
dt x2 + y2 ’
dz__ex-\-ey (x2-j— 1)
dx ex еУ
dz^y (1-2 (x+1)2)
dx f/2 + (x+l)2 ’
2.8. dz — ((2uv—v2) sin у—(и2 —
dz
dx"~“
^2xf'v(u, v)-^^f'u(u, v), ^=^-^f'u(U,v)-3f^U.v).
Л «Л dz 2x . dz „ z . 2y
2.10. — = -5----9f'(u, v) + y2f'(u, v), —-z=2xyf(u, v)— x
дх X2 — y2. u 4 7 V 'v V dy ’ f rfb —
X f'u (w> v). 2.11. dz = (5x4/^ (u, v) — yf'u (u, v) sin (xy)) dx —
2.5.
dt
2.7.
dz
dx
tx2
2.6. A
dx
452
— (x sin (xy) f’u(u, v)-\-7fv(u, v))dy. 2.12. dz^~ (cos ~ f'u(u, t>) +
У \ У
+ 4 V v))(ydx—xdy). 2.13. du = (2sf’x(x, y, z)+2sfy(x,
y, z) + t2f’z(x, y, z))ds+(2tfx(x, y, z) — 2if'y(x, y, z)+2sfi(x, y,
z))dt. 2.14. (*i, *2, *s. *4)+/^(^i. x2> x3, x^gx (xi, x8) 4.
+ /*.(*!. xt, x3, xt)(h'Xi(xt, x8; xa)-\-h'Xt(xlt xt, x3)gx (X1, x8)),
|^==/x,(xi- *2> *s> x^+f'xt (*!• *2, x3, Xi)gXi(Xi, Xi)+f'Xt(X1,Xi, xa,
xj(h'x, (xit ха, xs)+h'Xt(xi, хг, Xi)gXt(X1, Xi)). 2.19. |^=y24(«>
H2^{* v)+± f"vc(u, v), ^-y=xy fuu(u, ^-—^(u.vj+f^u,
f)-y »)> = v)---jrfuv(“> v)+-^fuv(u, v)+
4*"^" fv 2-20- dx dy~^xy~i~ fxz(Py~^ /ггУхФг + fz^xy
2-21- S’==^i+f/24+/zV”88 + 2f//'12 +2jzz/'18 4- 2^4, ~ =
= *24+2*2z/"a8+^zV;8, ^=x2y2f33, ^=Х4'4+хУг24,+
« » , _ «•**»•* .* d2U fr H
Ms + **4 + 2xyz/28 4- fa + zf3 , = xyf13 4- xy*f23 4-
+xy2zf"33+yf'3, ^-2=x2yf"i3+x2yzf'33-^xf3i). 2.24. d2u =
= 4f" (t)-(x dx+ydy-j-z dz)2+2f (t)• (dx2+dy2-]-dz2). 2.25. d2u =
= «V11 dx2 4- b2 fi3 dy2 4- c2 f33 dz2 4- 2ab f\3 dx dy 4- 2ac/"3 dx dz 4-
+ ^bc /"s dy dz. 2.26. d2z =? (sin? у -f"uu—2y sin x sin у• f"uv 4.y2 sin2 x X
X 4~У eos X Q dx2+(x sin 2y-f"uu+2 (sin ycosx—xy sinx cos y) fuv—
— у sin 2x • 4 4- 2 (cos у -f'u — sin x-Q) dx dy 4- (x? cos2 у f"uu 4-
+2x cosx cos JZ.4+cos2x-4—x
2.28 dy^ycosx + sin(x—У)
dx sin(x—y) — sinx
_4(х + г/) d0_l+0?
“(x+jz+l)2* ’ ’ dx y2 ’
siny-f')dy2. 2.27. .
w/ dr ъх *
d?y
dx2 “
2.29.
dx хге2У
^y.—XjYy—i
dx x4-i/4-l ’
=0,
X=1
d2g _ 2(14-y2)
dx^ yb-
2.31.
dy
dx
*/=i
(Ру О Qa ^ (?2 1
dx2 x=i 3 dx2 Л=1 3 2.32. 5~ = 1, ^-=-7г. дх ду 2 2.33. дх
i/=i У9 1
*) В ответах к задачам 2.21 и 2.25 через fi и обозначены
частные производные функции / (<pi (х, у, z), ф2 (х, у^ г), <ря (х, у, г))
по переменным <р/ или ф/ и фу,
453
+ (г^—г^) у + ^+1 = (^ '*)/ О 'fe — 2)(l+^)S — (S^-z) X
X (l — x)g — (i + /?)(i—x)3—i(g — z) + s(i+^)47,([—^) + (s — 2)f +
+ (i+tf)-8—8=(z 'Ь ’*)/ s-g v^—w+e/e+m+ev+^—^e—
— Z9)/ + (I —zs—'h’+*H + (e+^ + *3) v+(z ‘П ‘x)J = (l+z <y+fi
'ч+^J те •с(1—я)г—е(г—*)+г(1—^)9—(1—Я)(г—*)е +
+ 8fe—*)9+fc—*)Sl+ZI = 0 ‘x)J eg 'zK+nz+zH — =U>
‘*)!v ге •8уч+»*+^г+^хг+%^+^=(¥+^ ‘4+*)l те
«?,?.«(? ..... .п_ьце_ .....
77"^ ‘ ~r £9 2 0— 7777 29 2
^zQ mzQ
> । z96 sd . гФ _
VZQ J
np no ap
<ГЯ==< ‘88г
•o=^-
0-^.0 •*-*
= -09’2
t OQ _ TIQ
-1-—кг '0=^4
_________, de d . z<bg e ?.u!s 8d
np 0 3p np 7 nzQ I
•^^+^л£+л^=т .в2.г
ИР I . nzQ | nzQ
jp_______cbz ins
’£S*2 *—~J~m -ggz ’?-/-7— -=zj go-g
пр 6 г (b^uis—j г' ° v xzp
xEp — - •8S-s-°=^~^ 383 ^(a + ”)f +
~Нгрш7£—= zp *jg’g -(fip (a insa-j-a soo ri)-\-xp(a ins n—a sooa)) п-Э =
q ftp v xg
= 2P’0S‘2 'л чр 77 ins ~=—^- ‘a qp 77 soo-y=-^- '№’%
fip t • xp , „ . . , : .
•/Jsn—ian=~ Ч« + г«»='^ 'srz -(z/ip(x—a) + fipxp(x—n+a —
X — И
--------------—---=.fm
ftp (a—x)~\~xp (77 — %)
zxp (zx—szg) ^-=
r t zg , /?g G
= ^P xp-^ = 2p •xp— — = /ip -дкг
Л Лу
=^•^’2 -(^P(z^—ix) +
. e(l— z4-/?+y)jfiQ =
— fi) + zxp (n—i?)) — =nzp — z= azp
6
t_______fi — X________ _
fip (a—fi) -j-xp {n—fi) ~71^
= Zzp 'zxp (8/?S + ?A>) -—
V
<9__=;г2Е .<A_
S z3p g ezp д zp g “
+np xp fixz-zxp (zq-zfi)) ^^zzp -OKZ ----------
__^gxp_gxp . g(z+l) ,z+ [_%> . z+ l^xp
Z80 Zgp s (z-x)fiz *zQ f>Z ZQ X—Z ZQ .
_____________________________= . x—Gzgx+Q/? r
йР(й/гзг+^£)+*Р G^S+zM P £bZ ^P(szsx+i)z— xpz
r . (« *«) “/ гхЗх-Y- (p ‘n) nlfi fin
~ZP ’9e‘2 •гхЭ = л 'zfi—n atfj ----------------------------=-£
t(a ‘и);/2X^~}~(a ‘tl)n/fi xq
0 *») “/zxSZ ~Zg 28 3
3tfj , fa ‘w);j?g+0 ‘») ”j______fip
(a >n)tj/iz+(a ‘ri)”j ~ zg
— XQ -un-, Az-\-x)fixz + fz_fiQ
~Tq Кг ------------ “
(a ‘n) nJz
^+z/l + zx=a 'z+/i + x = n
(a ‘n)"jzz+(a ‘n)^j
(a rH)^jxz+(P "nY^J ~~
____________2_ ‘ . (z + %) Axg-bgZ _
(z+x) zx zq • gz—(z+x)z/i
. ZQ
+ ^-(Р3—Зх2^)4-.о(р3), где р=угх2+г/2. 3.7. f (х, у)=ху +
+ *Si')+<’(P4)> где Р= 3.8. f{x, i/)=l — (*_!)+
+(«/—1)+(х—I)2—(х—l)(i/—1)—(х—1)«+(х—1)2(у—1)+о(р2), где
p=/(«-!')?+(</-!)?. 3.9. f(x, у, 2) = (x-l) + (j/-l)_
— y(x—1)? —(p—O^ + z’ + ofp2), где p =
= y<(x-l)2+(i/-l)2+z?. 3.10. z=14-_(x-1)-2-(^-1)-
— у (x—I)2 —-|-(p—l)2-f-o(p2), где p= ]^(x—I)2+ (j/—I)2.
3.11. Zmin==—9 при x = 0, i/ = 3. 3.12. ^max = 1/64 при x= 1/4,
#=1/2. 3.13. zmin —— 4/3 при x = 0, # = —2/3. В стационарной точке
(2, —2/3) экстремума нет. 3.14. Zmin — ЗО при х = 5, у~2.
3.15. 2min = 10—18 In 3 прЪ х=1, у — 3. 3.16. zmln = —28 при
х — 2, # = 1; zroax = 28 при х = —2, # = — 1. В стационарных точках
(1, 2), (—1, —2) экстремумов нет. 3.17. 2mjn = 0 при х~у — 0.
В стационарных точках (—5/3, 0)и (1, 4), (1, —4) экстремумов нет.
3.18. zmin = 0 при х = # = 0; zmax = 2e~1 при х=±1, У — 0- В ста-
ционарных точках (0, i, 1) экстремумов нет. 3.19. zrnax = 2 при
х = # = 0. 3.20. wmin= —14 при х = 2, у = — 3, 2=1. 3.21. «тах = 1/77
при x = # = z = l/7. 3.22. wmin_28^4 при х = 24/4, # = 2^2, 2 = 23''4.
3.23. Уравнение определяет две функции, из которых одна имеет
максимум (zmax —6) при х =—2, у — 1, другая — минимум
— 2) при х =—2, у—\\ в точках окружности (х + 2)2 +
+ (у—1)2 = 16 каждая из этих функций имеет краевой экстремум
2=2. • Указанные функции определяются явно равенством 2=
= 2 ± У 16—(х 4-2)^—(у—I)2 и определены только внутри и на
окружности (х + 2)2 + (у—1)2=16, в точках которой обе функции
принимают значение 2 = 2. Это значение является наименьшим для
одной функции и наибольшим для другой. 3.24. Уравнение опреде-
ляет две функции, из которых одна имеет минимум (2min=l) При
х = 0, у — — 2, а другая — максимум (zmax = —8/7) при х = 0, z/= 16/7.
3.25. 2min = —19/4 при х = # = —3/2._3.26. zmjn = 2 при х = #=1.
3.27. zmin=-I—2 |<2 при х=-1//2, г/ = 1/У'2; гтах = 1-2/2
при х=1/]/Т, у——1/Г2. 3.28. zmjn = O_npH х=1, у — 1;
гтах = 1/27_при х=у==1/3. 3;29. 2min=— У~5_при х = —. 2/У~5~,
^=-1/К5; гтах=/5 прих=2/К5,1/=1/Г'5. 3.30. wmin = -18
при х =—4, у ——2, 2 = 4; zzmax = 18 при х = 4, # = 2, 2 = —4.
3.31. wmin = 4 при х = # = 0, 2= ±2; «тах = 16 при х=±4,
# = z = 0; при х = 2 = 0, у—±3 экстремума нет. 3.32. «тах=2б
при х = # = г = 2. 3.33. «щах = 2 в точках (2, 1, 1), (1, 2, 1), (1, 1,2);
«min = 50/27 в точках (2/3, 5/3, 5/3), (5/3 2/3, 5/3), (5/3, 5/3, 2/3).
3.34. • Искать минимум функции w = (х3 + #3 + z8)/3 при
^ + Z/+z = s. 3.35. а) 2наиб = 6 при х = 1, z/ = 0; б) гнаиб = 5 при
х = у — 0. 3.36. гнаиб = 6 при х = 3, у —0 и при х = 0, f/ = 3;
гнаим = —1 при x=i/=l. 3.37. 21^6= 1/2 при х—у=±1/}^2;
^наим “' 1/^ При Х = - 1/=^1/Г'2. 3.38. гнаиб = 2/(3 ) при
х = 1/Кз, 0=±К2/3; гиаим = -2/(3/3) при х=-1/К£
455
f/=± /2/3. 3.39. а = у/ а > \/~а • р/а • а . 3.40. Куб с длиной
ребра а. 3.41. Куб с длиной ребра (1/У~3. 3.42. Координаты искомой
точки равны средним арифметическим координат вершин.
3.43. Длины сторон параллелепипеда: 2R/Y~S, 2/?//з’, RlV^S.
2 2 /2* Н
3.44. Длины сторон параллелепипеда ——R, ——R, — .
о 3 3
3.45. Равнобедренный треугольник с длиной боковой стороны
а/(2 sin ос/2). 3.46. (—12/5, —3/5), (12/5, 3/5). • Достаточные усло-
вия экстремума заменить геометрическими соображениями.
„ г/Кз-1 1+ Кз \ л о
3.47. С ( -——,----------г- . • Воспользоваться выражением
\ J<2 2 К2 )
площади треугольника через координаты его вершин. 3.48. х — у —
х_/rzixt + m2x2+ ... 4-m„x„
АП) т2 +... + тп *
Slna vl * гч лл
——— . • Очевидно, точка /И.
Sin р v2
= г = ]/У+26. 3.49.
~ ~h+ ..» + тпУп g 5Q
у . т1+т2+.. . + тп
в которой луч переходит из одной среды в другую, должна нахо-
a ь
диться между Aj и Bf, причем AM —----------, ВМ =----- , АЛИ —
cos a cosp
=?=a.tga, B1M = Mgp. Продолжительность движения луча равна
-— ----1--------тг • -Задача сводится к отысканию минимума функции
01COS OC ' H2C°sP J
l&, .-„„о при условии, что atga+6tg|} = c.
Vi cos ос u2 cos p
3.51. a = p. 3.52. /i:/2:.. .. - :-J-. • Найти минимум
к2 Kn
функции /(?!, I2t ...» /п)=?/1/?1+/2^2+ •• - + InRn при
/1+• ’ • + — I* 3.53. а) х—у—2z-(-l—0, —।—==
1 1
г—. г------
2 .. , п л х—1 У—п е о г- а яа
= —б) x+ez—2 = 0, ——=------------. 3.54. -—.
—2 1 0 е 2/6
1 1 2
3.55. cosa=——z, cosp=-— , cos у—-— . 3.56. 4x4- и А-
Кб Кб Кб
Ч-2г—78 = 0. 3.57. а) 2х+7г/—5г + 4 = 0, ;
2, / —о
л л —2 у — 2 г—1 ж _ х у z ,
б) х+у—4z = 0, —j—= —J—=—р ; в) г=0, у=-£-=-р (в точке
(О, 0,0)); г = —4, i=-£=i±J (в точке (0, 0, —4)). 3.58. =
10
У 3—z-f-4
~ 3 ~ 4
. 3.59. В точках (0, ±2 К2 . Т2 V2 ) касательные
плоскости параллельны плоскости Оху, в точках (±2, 4-4, ±2) —
плоскости Охг, в точках (±4, ^.2, 0) — плоскости Oyz,
456
Л х— r0coscpo У — rosintpo
3.61. a) xcos<p04-gsin<p0-‘-ztga=0, —^-^=—=
_ z-^TflCtga gj axsinv0—ay cos vo-\-uoz — auovo, -—“° COS v° =
i — tga asinu0
v— «л sin Ул z—avQ nOn 26z0
=="----2----—-------У. 3.62. cos(p=----r . • Углом между
— flcosu0 Uq ауаЦЬ2
двумя поверхностями в точке их пересечения называется угол между
касательными плоскостями, проведенными к этим поверхностям в дан-
ной точке. 3.63. • Поверхности называются ортогональными, если
они пересекаются под прямым углом в каждой точке линии их пе-
ресечения. 3.64. Изолированная точка (0, 0). 3.65. Узел (О, 0).
*3.66. Изолированная точка (О, О).‘3,67. Точка возврата 1-го рода
(1, 0). 3.68. Точка возврата 2-го рода (0, 0). 3.69. Точка самопри-
косновения (0, 0). 3.70. (О, 0) —изолированная точка, если а < 0;
узел, если а > 0; точка возврата 1-го рода, если а —0. 3.71. Узел
3.72. Точка возврата 1-го рода (0, 0). 3.73. Угловая точка
• Показать, что lim г/' =0, lim / = 1.
X—* 4- О
(О, 1). • Показать,
у=-±х*. 3.80.
О
(О, О).
(О, О).
щен и я
3.76.
3.79.
3.82. а) Дискриминантная кривая у — 1 является огибающей и мно-
жеством точек перегиба данного семейства; б) дискриминантная кри-
4
вая, распадается на прямые: у = х—(огибающая) и у —к (мно-
жество точек возврата 1-го рода); в) дискриминантная кривая у~{
есть множество точек возврата 1-го рода и не является огибающей;
г) дискриминантная кривая распадается на прямые: х = —а (оги-
бающая) и х = 0 (множество узлов).
х->-0
что lim у~ 1.
х-* + 0
х=±/?. 3.78.
х2/3_|_^2/3 = /2/3>
3.74. Точка прекра-
3.75. ^ = -х2/4.
Огибающей
3.81. t/2 =----f-д-.
х —|— 2и
нет.
х3
4.1. а) 1 г, 0,0043%; б) 1 мм, 0,12%; в) 1', 0,066%. 4.2. 1) Д=
=0,002 км, 6 = 0,008%; 2) Д = 30 м2, 6 = 2%. 4.3. Первое. 4.4. а)
0,05, 0,14%; б) 0,005 , 6,25%. 4.5. 29,2 и 3,2. 4.6. 1) 5,373, 0,0004,
0,0074%; 2) 5,73, 0,0026, 0,048%; 3) 5,4, 0,0274, 0,51%. 4.7. 202-10~4,
188-104, 600-103. 4.8. а) Два, 4L-104; б) один, 8-10“?. 4.9. Не меньше
чем с двумя знаками. 4.10. Не меньше чем с тремя знаками.
4.11.—4.15. • Воспользоваться формулой (1) § 4. 4.16. 185,7.
4.17. 1,3-10?. 4.18. 71,88. 4.19. Вычитание произвести нельзя.
4.20. 61,6. 4.21. 512-10. 4.22. 3,3. 4.23. 3-10. 4.24. 66-Ю3.
4.25. 7,397. 4.26. < 12л см2, <8,3%. 4.27. и 0,435. 4.29. <0,17мм.
4.30. (2,7 ± 0,1) г/см3. 4.31. По принципу равных влияний R измерить
с относительной погрешностью 0,25%, а высоту Н с относительной
погрешностью 0,5%. 4.32. 12". 4.33. 4. 4.34. 4. 4.35. По принципу
равных влияний л можно взять с тремя верными знаками в узком
смысле, радиусы измерить с точностью до 0,8 см, а образующую
с точностью до 1,25 см.
Л-
Приложение
КРАТКОЕ ОПИСАНИЕ ЯЗЫКА ФОРТРАН-IV
Фортран является удобным алгоритмическим языком для решения
различных прикладных задач. Слово «фортран» образовано из началь-
ных слогов двух английских слов FORmula TRANslator (переводчик
формул).
Программа на фортране записывается, как правило, на специаль-
ном бланке и состоит из последовательности операторов. Каждый
оператор записывается на отдельной строке..Строка бланка содержит
80 колонок (позиций). При отсутствии специальных бланков фортран-
программа записывается на обычной бумаге с учетом того, что в каж-
дой строке должно быть не более 80 символов с соблюдением ниже-
излагаемых требований. Оператор фортрана занимает колонки с 7-й
по 72-ю включительно. Колонки с I-й по 5-ю включительно отводятся
для метки оператора. Метка — это целое число без знака, может за-
писываться в любых из пяти колонок. Пробелы внутри метки игно-
рируются. Если оператор не помещается в одной строке, он может
быть продолжен на другой строке. Знаки арифметических операций
не повторяются. Продолжение записи может занимать не более
19 строк, в каждой из которых в 6-й колонке записывается символ,
отличный от 0 или пробела. Обычно ставится номер строки
продолжения.
Запись комментариев. Программа может содержать различные
пояснения, облегчающие ее чтение и понимание. Комментарии можно
разместить в любом месте программы. В первой позиции строки
комментария обязательно ставится буква С. Для записи комментариев
можно использовать любые символы фортрана, а также, прописные
буквы русского алфавита.
Основными конструкциями языка фортран являются операторы.
Они делятся на два класса: выполняемые и невыполняемые. Выпол-
няемые операторы указывают действия и порядок выполнения дей-
ствий. Невыполняемые операторы используются для описания величин,
указания их типа, структуры и т. д.
Основные символы. В качестве букв для написания операторов
используются заглавные буквы латинского алфавита: А, В, С, D, Е,
F, G, Н, I, К, J, L, М, N, О, Р, Q, R, S, Т, U, V, W, X, Y, Z.
Цифры: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Цифра 0 (ноль) перечеркивается (#)
для отличия ее от буквы О. Специальными символами являются:
+ —знак сложения,
— — знак вычитания,
* —знак умножения,
, / —знак деления,
. —десятичная точка,
, —запятая,
( —левая скобка, открывающая,
) —правая скобка; закрывающая.
458
Константы и переменные. Различают шесть типов констант:
целые, вещественные, комплексные, логические, символьные, шест-
надцатеричные.
Целая константа (форма I) — любое число, записанное без деся-
тичной точки. Величина целой константы не может превышать
2^—1 « 2-10».
Вещественная константа (форма F) — любое число, записанное с
десятичной точкой, разделяющей целую и дробную части числа.
Максимальное число цифр в форме F равно 7.
Экспоненциальная форма записи вещественного числа (форма Е).
В этой форме число состоит из вещественной или целой константы
и порядка. Порядок начинается буквой Е, за которой следует целая
константа (величина порядка) не более чем из двух десятичных цифр
со знаком или без знака. Число цифр мантиссы не должно пре-
вышать 7.
При необходимости использовать большую точность применяется
константа с двойной точностью (форма D). Она записывается как
число с десятичной точкой, содержащее от 8 до 16 значащих цифр,
либо в экспоненциальной форме с буквой D вместо Е, мантисса мо-
жет содержать до 16 значащих цифр.
Переменные — величины, которым присвоены наименования, сим-
волические имена. Символическое имя — набор букв или букв и цифр,
количество их в наборе от 1 до 6. Имя начинается всегда с буквы.
Использование в именах специальных символов, пробелов не раз-
решается.
Типы переменных. Тип переменной соответствует типу данных,
которые они описывают. Целые переменные описывают целые числа,
вещественные переменные —вещественные и т. д. Для описания типа
переменных в простейшем случае служит оператор
тип а 1,32,33,... ,3ц
где гип — одно из служебных слов REAL (вещественный), INTEGER
(целый), DOUBLE PRESION (двойной точности), LOGICAL (логичес-
кий); аг, а2, ..., ап — имена переменных. Если нет в программе
явных указаний на тип переменных, то переменные, чьи имена начи-
наются с букв I, J, К, L, М, N, представляют целые величины; все
остальные переменные представляют вещественные переменные.
Переменные с индексами. Массив — упорядоченная последователь-
ность величин (элементов массива), обозначаемая одним символичес-
ким именем. Каждый элемент массива определяется именем массива
и его положением в массиве, т. е. значениями индексов. Именем мас-
сива может служить любое допустимое символическое имя. Индексы
заключаются в круглые скобки. Число индексов называется размер-
ностью массива. Число элементов в массиве называется размером
массива. В качестве индексов используются любые арифметические
выражения, переменные как целого, так и вещественного типов.
В качестве индекса в случае выражения вещественного типа берется
его целая часть, т. е. отбрасывается дробная часть. Индексы элемен-
тов массива могут быть только ^1.
Описание массивов. Массивы, используемые в программе, должны
быть обязательно описаны. Описание массивов дается в начале про-
граммы, располагается до первого выполняемого оператора. Для
описания массива служит оператор DIMENSION, общий вид которого
DIMENSION a1(n1,ti2>- • . »r>i),. . . ,an(mi,ina,... :гпк)
459
где aj, an—имена массивов. Верхние границы изменения индек-
сов задаются целыми положительными числами, 1 1 7,1 к 7.
Элементы многомерного массива располагаются в выделяемой памяти
последовательно друг за другом так, что быстрее меняется первый
индекс, а медленнее — последующий.
• Арифметические выражения. Арифметические выражения в форт-
ране аналогичны обычным алгебраическим выражениям. В арифмети-
ческие выражения могут входить константы, переменные простые
или с индексами, функции, которые соединяются с помощью ариф-
метических операций. Если в выражении отсутствуют скобки, то
вычисления производятся согласно следующим правилам: сначала
выполняется возведение в степень (знак ♦ *), затем умножение (знак*)
и деление (знак /), затем сложение и вычитание. Если в выражении
имеются скобки, то вначале производятся вычисления внутри скобок.
Если выражение содержит функции, то в первую очередь вычисля-
ются аргументы этих функций и соответствующие значения этих
функций. Арифметические выражения могут содержать константы,
переменные и функции различных типов. Перед выполнением опе-
рации переменные преобразуются к одному типу, поэтому для сок-
ращения времени выполнения операции лучше не смешивать пере-
менные различных типов в одном выражении (запись Y + 5. пред-
почтительней, чем запись. Y-J-5).
Основные невыполняемые {описательные) операторы фортрана.
Некоторые описательные операторы были рассмотрены выше. Оста-
новимся на других, часто встречающихся операторах.
Оператор EQUIVALENCE записывается в виде
EQUIVALENCE^, b, с,(d,e,f,.. .)
где а, Ь, с, . 4i, d, е, f, ...—переменные, простые или с индексами.
Смысл данного оператора состоит в том, что значения, соответ-
ствующие а, Ь, с, ..., размещаются в одной ячейке, d, е, f, ... также
все в одной ячейке. Сопоставляемые переменные должны быть одина-
ковой длины. Надо учитывать, что при сопоставлении отдельных
элементов массивов сопоставляются все остальные элементы двух
массивов.
Оператор COMMON записывается в виде COMMON А.В,С, ... ,
где А, В, С—названия переменных с индексами или без. Область
COMMON—специальная область для хранения общих данных для
двух или нескольких подпрограмм или же общих данных для основ-
ной программы и ее подпрограмм. В фортране-IV область COMMON
может быть разделена на несколько блоков. Структура записи опе-
ратора COMMON с использованием блоков следующая:
COMMON /имя блока/ ai,a2,...
Оператор FUNCTION имеет следующий вид
FUNCTION имя (аргумент! , аргумент^.
Данный оператор является заголовком подпрограммы. Аргументы в
операторе фиктивные и входят лишь в описание способа вычисления
функции. Аргументами могут быть переменные без индексов, массивы,
либо имена функций. Внутри подпрограммы хотя бы один раз дол-
жен встречаться оператор с именем подпрограммы-функции в правой
части оператора присваивания. Последним выполняемым оператором
подпрограммы-функции должен быть оператор RETURN. Он обеспе-
чивает возврат управления в основную программу. Последним опе-
460
ратором подпрограммы должен быть END , При обращении к под-
программе-функции должно быть соответствие между типами и коли-
чеством переменных фактических и формальных.
Оператор SUBROUTINE имеет вид
SUBROUTINE имя (аргумент^ аргумент2, ..., аргумент^
Оператор является заголовком подпрограммы SUBROUTINE. Эта
подпрограмма применяется в том случае, когда необходимо получить
несколько результатов. Переменные, значения которых вычисляются,
указываются в списке аргументов. Вышерассмотренная подпрограмма-
функция дает явно только один результат. Подпрограмма SUBROU-
TINE является самостоятельной программой с переменными, лока-
лизованными по области действия только в этой подпрограмме.
В основной программе обращение к подпрограмме SUBROUTINE
производится с помощью оператора
CALL имя (аргументу ...» аргумент^
Здесь аргумент!, ..., аргументп—входные и выходные фактические
параметры. В качестве аргумента подпрограммы может фигурировать
имя любой подпрограммы. В 'этом случае в основную программу
надо включать описательный оператор
EXTERNAL имяь имя2, ...
Как и в подпрограмме-функции, так и в подпрограмме SUBROU-
TINE, при использовании в качестве формального параметра имени
массива необходимо описать его с помощью оператора DIMENSION.
Допускается в качестве границ изменения индексов использовать
наряду с целыми константами также и целые переменные. Они обя-
зательно должны включаться в число формальных аргументов. Под-
программа SUBROUTINE должна содержать хотя бы один оператор
RETURN. Завершается подпрограмма оператором END, который
обозначает конец подпрограммы SUBROUTINE.
Ввод и вывод информации в фортране производится под управ-
лением оператора FORMAT. При вводе он указывает, из каких по-
зиций (колонок) должны считываться данные для переменных, перечис-
ленных в списке в/в (ввод/вывод), и в каком формате. О структуре
списка в/в будет сказано ниже. При выводе оператор FORMAT
указывает, в какие позиции и в каком формате производится вывод.
Форма представления переменной или числа и поле, из которого
они должны считываться при вводе (или в которое должны, печа-
таться при выводе), определяются спецификацией формата оператора
FORMAT. В наиболее простых случаях число спецификаций фермата
в операторе FORMAT должно соответствовать "числу переменных в
списке в/в. Оператор FORMAT записывается в виде
метка FORMAT(S!,S2,...Sn)
где метка—целое число без знака, S^, Sx, ..., Sn—спецификации.
Перечислим основные часто встречающиеся спецификации. Для
ввода (вывода) числовых данных используются спецификации Iw,
Fw.d, Ew.d; здесь w—общее число позиций, отводимых под данное
число (общее количество цифр числа), d—количество десятичных
цифр после десятичной точки. Длина поля d должна включать пози-
ции под точку и знак числа для спецификации F, а также позиции
для знака порядка, буквы E(D) и две позиции для величины порядка
в случае спецификаций Е, D. При выводе числа в формате E(D)
461
нужно предусмотреть четыре позиции под порядок числа, для раз-
мещения 0, целых, точки и знака числа. При выводе доджно соб-
людаться ограничение^— d^7. При выводе в случае спецификации
типа F, если выводимое число не помещается в отведенные позиции,
то соответствующее поле заполняется звездочками. Для повторения
нескольких одинаковых спецификаций можно использовать только
одну, поставив перед ней число, равное количеству повторений.
Можно повторять группы спецификаций, заключая их в скобки и
ставя перед скобкой целое число, равное количеству повторений
группы. При выводе на печать текста или комментариев используются
спецификации типа Н и спецификации типа «литерал». Спецификация
формата типа *Н имеет вид wH, где w—число любых допустимых
в фортране буквенно-цифровых символов, которые следуют непосред-
ственно за буквой Н. При спецификации типа «литерал» буквенно-
цифровая информация обязана заключаться в кавычки. Преимущество
спецификации типа «литерал» заключается в том; что в этом случае
не надо указывать количество символов, в то время как при специ-
фикации типа Н это обязательно. Для управления размещением
данных в строке используется в простейшем случае спецификация
типа wX, где w—число пробелов, которые употребляются для улуч-
шения наглядности выводимых результатов.
Оператор FORMAT может располагаться в любом месте про-
граммы.
Оператор FORMAT взаимодействует с операторами ввода—вывода:
READ (читать) для ввода и WRITE (писать) для вывода. Общий
вид операторов READ и WRITE следующий:
READ (i, nl) список
WRITE (i, n2) список
Здесь i в первом, случае обозначает номер устройства, с которого
считывается информация, во втором случае определяет системное
печатающее устройство, nl—-метка оператора FORMAT. В ДОС, как
правило, для ввода информации с п/к оператор READ имеет вид
READ(1, nl) список, а оператор WRITE соответственно WRITE (3, п2)
список. Список в/в имеет вид а^, а2 ..., ап, где ах, а2, ...» ап—
элементы списка. Элементами списка могут быть: переменные (простые
или с индексами), имена массивов, форма неявного DO. Последняя»
форма используется особенно часто, когда необходимо записать
память или вывести на печать определенную часть массива, а такж
для организации вывода массива по строкам. Форма неявного D&
заключается в скобки. Внутри скобок располагаются переменные __
индексами или формы неявного DO, разделенные запятыми, если
несколько. За последней переменной записываются индексные пар$\
метры i = mi, m2, mg, где i—индекс, mx, т2, т3—соответственно
нижняя, верхняя границы и шаг изменения индекса. Если Шз=Ч
он не указывается.
При перфорации информации для оператора READ используются,
все 80 колонок (позиций) перфокарты, они определяют запись при
вводе. Запись при выводе не должна превышать Г20 символов в
строке системного печатающего устройства (АЦПУ). Для вывода ин-
формации на печать можно использовать оператор PRINT п2 список.
Основные выполняемые операторы фортрана. Арифметический
оператор присваивания имеет вид
переменная = выражение ♦
462
Здесь знак == отличается от обычного алгебраического знака равен-
ства. Этот знак имеет смысл «заменить на .т. е. вычисляется
значение арифметического выражения, стоящего в правой части, и
полученная величина становится новым текущим значением перемен-
ной, стоящей слева от знака равенства. Поэтому, например, допус-
тима запись 1 = 14-1; она обозначает увеличение значения целой
переменной I на единицу.
Все операторы программы, написанной на фортране, выполняются
последовательно, если нет среди них специальных операторов управ-
ления порядком выполнения операторов. Таковыми являются ниже
перечисленные операторы:
Оператор GO ТО п обеспечивает безусловную передачу управ-
ления на оператор с меткой п. В программе не должно быть опера^
торов, имеющих одинаковые метки. Помеченный оператор может рас-
полагаться в любом месте программы.
Вычисляемый оператор GO ТО имеет вид
GO ТО (П1,п2,п8,
где rij, в2, ..., nm — метки выполняемых операторов, I— простая
целая переменная. Переход выполняется к оператору с меткой пр
если и i — j. Если значение i лежит вне диапазона
то выполняется следующий за GO ТО оператор.
Арифметический оператор IF записывается в виде IF(a)Bf,n2,B3.
Он обеспечивает условную передачу управления в зависимости от
значения выражения а. Если а < О, управление передается оператору
с меткой В!*, если а = 0, то управление передается оператору с мет-
кой в2; если а > 0, то управление передается оператору с меткой в3.
Оператор, следующий за арифметическим оператором IF, всегда
должен иметь метку. Чаше всего арифметический оператор IF ис-
пользуется при составлении циклических программ.
Оператор цикла DO позволяет првторить выполнение группы
операторов, следующих за оператором DO. Оператор DO записывается
в виде
DO n i =
где в — метка последнего оператора, i—целая переменная без индек-
сов (счетчик цикла), принимающая положительные значения, mj—
тачальное значение счетчика цикла, т2— конечное значение счетчика
лкла, П13—шаг изменения счетчика цикла. Операторы повторяются,
тех пор пока выполняется условие i^m2. Если mi > ш2, то
тСераторы выполняются только один раз. Совокупность повторно
^полняемых операторов называется областью действия оператора DO
образует цикл. Если ш3 = 1, его можно не указывать, т. е. можно
исать DO в i = m1,ni2.
Задание начальных данных в фортран-программе. Иногда удобно
присвоить некоторым переменным определенные значения в момент
загрузки ^программы. Наиболее часто для этой цели используется
оператор DATA. Этот оператор имеет вид
DATA Vi,V2,... >vn/ri*Xi,r2*x2,... ,rm*xm/,...
Переменным vx, v2, ..., vn ставятся в соответствие значения:
значений хх> г2 значений х2 и т. д. Общее количество указанных в
списке переменных должно быть согласовано с общим числом чис-
ловых значений. В качестве переменной v могут быть простые пере-
менные, переменные с постоянными индексами, или имена массивов.
463
При. выполнении этого оператора не выполняется преобразование
числовых данных к типу переменной v. За этим должен следить
сам программист.
Порядок следования операторов в программном модуле. Програм-
мный модуль состоит из основной программы и программных единиц
(подпрограмм). Первым оператором подпрограммы должен быть опе-
ратор определения программной единицы, если она используется
(операторы FUNCTION или SUBROUTINE). Потом располагаются
операторы описания типа и массивов, а также операторы DATA,
EXTERNAL, COMMON. Затем следуют определения операторов-функ-
ций. После располагаются выполняемые операторы. Завершает про-
граммную единицу оператор END. Основная программа должна со-
держать оператор STOP, обозначающий окончание работы основной
программы. Он непосредственно ставится перед оператором END,
которым заканчивается любая программа. Необходимо отметить, что
в каждой программе возможно использование стандартных (встроен-
ных) функций, которые постоянно хранятся в основной памяти, не
требуют специального описания внутри данной программы.
Мы перечислили основные правила языка фортран. Более пол-
ное изложение имеется в «специальных руководствах.
-ip. iO коп