/
Автор: Демидович Б.П. Ефимов А.В.
Теги: математика линейная алгебра математический анализ задачи по математике учебное пособие сборник задач
Год: 1986
Текст
СБОРНИК
ЗАДАЧ
ПО МАТЕМАТИКЕ
ДЛЯ ВТУЗОВ
ЛИНЕЙНАЯ
АЛГЕБРА
И ОСНОВЫ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
СБОРНИК
ЗАДАЧ
ПО МАТЕМАТИКЕ
ДЛЯ ВТУЗОВ
ЛИНЕЙНАЯ
АЛГЕБРА
И ОСНОВЫ
МАТГЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
Под редакцией
А. В. ЕФИМОВА, Б. П. ДЕМИДОВИЧА
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, ИСПРАВЛЕННОЕ
И ДОПОЛНЕННОЕ
Допущено Министерством
зысшего и среднего специального образования СССР
3 качестве учебного пособия для студентов
зысших технических учебных заведений
4
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
Г] ФИЗИкКо-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1986
BBK 22.1
C23
УДК 51(075.8)
Коллектив авторов;
В. А. БОЛГОВ, Б. П. ДЕМИДОВИЧ; А. В. ЕФИМОВ,
Ф. КАРАКУЛИН,; С. М, КОГАН; Е, Ф. ПОРШНЕВА,
А, С. ПОСПЕЛОВ, Р. Я. ШОСТАК
Сборник задач по математике для втузов. Ч. 1. Линейная алгебра
и основы математического анализа: Учеб. пособие для втузов./
Болгов В. А., Демидович Б. П., Ефимов’А. В. и др. Под
_ ред.
А. В. Ефимова и. Б. П. Демидовича,—2-е изд.— М.: Наука. Гл. ред.
физ.-мат. лит., 1986 г.—464 с.
Содержит задачи по линейпой алгебре и аналитической геометрии,
дифференциальному и интегральному исчислению функций одной
и нескольких переменных. Краткие теоретические сведения, снабжен-
ные большим количеством разобранных примеров, позволяют нсполр-
зовать сборник для всех видов обучения.
Для студентов первых курсов высших технических учебных за-
ведений.
Рецензент
кафедра специальных курсов высшей математики Московского
энергетического института
© Издательство «Наука»
г—
Г
1702050000—039 62-86
физико математической литературы, 1981;
053(02)-86 `
с изменениями, 1988
ОГЛАВ ЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию_ у...
уе еее.
Из предисловия к первому изданию +’...
уе. в
Глава 1. Введение в анализ... ево
$ 1. Действительные числа. Множества. Логическая сим-
Гл ава
1*
§2.
§3.
C
H
r
s
волика ........
1. Понятие действительного. числа (9). 2. `Множества
и операции над ними (11). 3. Верхние и нижние
грани (15). 4. Логическая символика (17).
Функции действительной переменной..,.,...,
1. Понятие функции (19). 2. Элементарные функции
и их графики (23).
Предел последовательности действительных чисел‘. .
1. Понятие последовательности (26). 2. Предел после-
довательности (26).
. Предел функции. Непрерывность .«. 6 2 5 s te
1. Предел функции (29). 2. Бесконечно малые и бес-
конечно большие (33). 3. Непрерывность функции в
точке. Классификация точек разрыва (35). 4. Непре-
рывность на множестве. Равномерная непрерывность
(37).
|
.KOMIJICEKCHDIG UHCIA +»««0 «©woweehthtwthwett th
§2.
§3.
1. Алгебраические операции над комплексными чис-
лами (39). 2. Многочлены и алгебраические уравне-
ния (46). 3. Предел последовательности комплексных
чисел (48).
2. Векторная алгебра и аналитическая геометрия , ,
Векторная алгебра ...
1. Линейные операции над векторами (51). 2. ` Базис
н координаты вектора (54). 3. Декартовы прямоуголь-
ные координаты точки. Простейшие задачи аналити-
ческой геометрии (57). 4. Скалярное произведение
векторов (61). 5. Векторное произведение векторов
(65). 6. Смешанное произведение векторов (67).
Линейные геометрические объекты ...........
1. Прямая на плоскости (69). 2. Плоскость и прямая
в пространстве (75).
Кривые на ПЛОСКОСТИ о ууу есь вр вые
1. Уравнение кривой в декартовой прямоугольной
системе координат (82). 2. Алгебраические кривые
второго порядка (84). 3. Уравнение кривой в поляр-
ной системе координат (93). 4. Параметрические урав-
o
o
n
s
19
26
29
39
51
51
69
82
$4.
Глава
$1.
$2.
$3.
$4.
§5.
Глава
$1.
§2.
§3.
Глава
$1
нения кривой (96). 5. Некоторые кривые, встречаю-
щиеся в математике и ее приложениях (98).
Поверхности и кривые в пространстве .......
1, Уравнения поверхности и кривой в декартовой пря-
моугольной системе координат (102). 2. Алгебраиче-
ские поверхности второго порядка (105). 3. Классифи-
кация поверхпостей по типу преобразований простра:1-
ства. (109).
3. Определители. и матрицы. Системы линейных урав-
нений „..’. еее еее
Определители ‚еее
еее
1. Определители 2-го и 3-го порядка (115). 2. Опреде-
лители п-го порядка (118). 3. Основные методы вычисле-
ния определителей л-го порядка (120).
Матрицы ‚еее еее
ооо.
1. Операции над матрицами (124). 2. Обратная матри-
ца (127).
Пространство арифметических векторов. Ранг матрицы
тори фметические векторы (130). 2.. Ранг матрицы
1
HCTeMbI JIHHCHHBIX YpaBHeHHH . .. .
,..,.
1. Правило Крамера (137). 2. Решение произвольных
систем (139). 3. Однородные системы (142). 4. Метод
последовательных исключений Жордана
— Гаусса (145).
Некоторые вычислительные задачи линейной алгебры
1. Операции над матрицами (147). 2. Вычисление
определителей (149). 3. Системы линейных уравнений
191).
4. Элементы линейной алгебры „оу. ъьуьь оо.
Линейные пространства и пространства со скалярным
произведением ....
.
1. Линейное пространство ` (155). р `Подпространства
и линейные многообразия (162). 3. Пространства со ска-
лярным произведением (164).
Линейные операторы ...
1. Алгебра линейных операторов (168). 2. Собственные
числа и собственные векторы линейного оператора’
(174). 3..Линейные операторы в пространствах со ска-
лярным произведением (177). 4. Приведение матрицы
линейного оператора к днагональному виду (181).
Билинейные и квадратичные формы ..,.....
1. Линейные формы (183). 2. Билинейные формы (184).
3. Квадратичные формы (185). 4. Кривые и поверхно-
сти второго порядка (189).
5. Дифференциальное исчисление функций одной пере-
менной
eee?eeeee°e®®°eeeeeee
Производная
сое.
1. Определение произв ной. , Пифференцирование явно
заданных функций (1933). 2. Дифференцирование функ-
ций, заданных неявно или параметрически (201).
3. Производные высших порядков (204). 4. Геометтр -
ческие и механические приложения производной (208).
102
115
115
124
130
137
147
155
155
168
183
193
193
§2.
$3.
§4.
§5.
.5 2.
$3.$ 4.
е
с
с
$6.
Дифференциал „еее
еее еее
1. Дифференциал 1-го порядка (211). 2. Дифференци.
алы высших порядков (215).
Теоремы о дифференцируемых функциях. Формула
Тейлора. .,...
бое
1. Теоремы ‘о среднем (216). 2, Правило Лопиталя—
Бернулли (217). 3. Формула Тейлора (222).
Исследование функций и построение графиков....
1. Возрастание ий убывание функции. Экстремум (275).
2. Направление выпуклости. Точки перегиба (229).
3. Асимптоты (231).4. Построение графиков функций
(232).
Векторные и комплексные функции действительной
переменной ....
...
...
..
1. Определение вектор. функции. "действительной пере-
. менной (237). 2. Дифференцирование вектор- функции
(238). 3. Касательная к ‘пространственной кривой и
нормальная плоскость (240). 4. Дифференциальные
характеристики плоских кривых (241). 5. Дифферен-
циальные характеристики пространственных кривых
(244). 6. Комплексные функции действительной пере-
менной (248).
. Численные методы функции одной переменной...
1. Численное решение уравнений (250). 2. Интерполи-
рование функций (256). 3. Численное дифференниро-
‘вание (263).
6. Интегральное исчисление функций одной перемен-
HOH
ee®
ee.e.®®
.eo.-®eeeee°
. Основные методы вычисления пеопределенного HHTe-
грала......
....
.
1. Первообразная ‘и. неопределенный интеграл (267).
2. Метод замены переменной (270). 3. Метод интегри-
рования по частям (273).
Интегрирование основных классов элементарных функ-
WHH26wweeewee
..
1. Интегрирование. рациональных дробей ` (276). `2. Ин;
тегрирование тригонометрических и гиперболических
функций (281). 3. Интегрирование некоторых иррацио-
пальдых функций (286).
Смешанные задачи на интегрирование. ,......
Определенный интеграл и методы его вычисления. .
1. Определенный интеграл как предел интегральной
суммы (290). 2. Вычисление простейших интегралов
с помощью формулы Ньютона — Лейбница (292).
3. Свойства определенного интеграла: (294). 4. Замена
переменной в определенном интеграле (298). 5. Инте-
грирование по частям (299).
. Несобственные интегралы „еее,
.
1. Интегралы с бесконечными пределами (300).
2. Интегралы от неограниченных функций (303).
Геометрические приложения определенного интеграла
1. Площадь плоской фигуры (306). 2. Длина дуги кри-
вой (311). 3. Площадь поверхности вращения (314).
4. Объем тела (317).
211
216
225
237
250
267
267
276
289290.
300
306
§7.
§8.
Глава
$1.
$2.
$3.
$4.
Ответы
Приложения определенного интеграла к решению неко-
торых задач механики и физики ........
.
1. Моменты и центры масс плоских кривых (320).
2. Физические задачи (322).
Численное интегрирование функций одной переменной
7. Дифференциальное исчисление функций нескольких
переменных
69e®929e®®®e®4e22e
Основные понятия ........
1. Понятие функции нескольких переменных. (334),
2. Предел и непрерывность функции (336). 3. Частные
производные (339). 4. Дифференциал функции и его
применение (342).
Дифференцирование сложных и неявных функций. .
Сложные функции одной и нескольких независи- ,
мых переменных (346). 2. Неявные функции одной и
нескольких независимых переменных (349). 3. Системы
неявных и параметрнчески заданных функций (352).
4. Замена переменных в дифференциальных выраже-
ниях (354).
Приложения частных производных. 1 5» +» eo 2
1. Формула Тейлора (359). 2. Экстремум функции
(361). 3. Условный экстремум (363). 4. Наибольшее и
наименьшее значения функции (365). 5. Геометричс-
ские приложения частных производных (368).
Приближенные числа и действия над ними...
1. Абсолютная и относительная погрешности (374).
2. Действия над приближенными числами (376).
*©@©©©«©#8©©9»©@©©©©ce©«@©©©»©»§&@&@
320
327
334
334
309
374
379
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Второе издание настоящего сборника задач несуществен-
но отличается от первого издания. Наиболее употреби-
тельные разделы сборника расширены за счет включения
циклов новых задач. Исправлены замеченные опечатки,
уточнены формулировки и ответы ряда задач. Для удобства
пользования задачником по многочисленным просьбам пре-
подавателей ответы на все задачи помещены в конце сбор-
ника, а нумерация задач, в отличие от первого издания,
дана по главам, так что номер каждой задачи состоит
из номера главы и порядкового номера задачи в этой главе.
Указанная работа была выполнена членами авторского
коллектива Ефимовым А. В., Каракулиным А. Ф., Ко-
ганом С. М. и Поспеловым А. С.
Авторы искренне признательны всем лицам, прислав-
шим свои замечания к первому изданию сборника, а
также сотрудникам кафедры специальных курсов высшей
математики МЭИ, ценные указания которых были учтены
при окончательном редактировании настоящего издания.
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Идея создания «Сборника задач по математике для
втузов», содержащего задачи по всем разделам курса ма-
тематики инженерно-технических специальностей вузов,
принадлежит Б. I]. Демидовичу. Однако преждевременная
смерть профессора Б. П. Демидовича помешала ему осуще-
ствить эту работу. Настоящий «Сборник задач», подготов-
ленный авторским коллективом, имеющим большой педаго-
гический опыт работы во втузах,— воплощение в жизнь
идеи Б. ЦП. Демидовича.
Общая структура «Сборника задач» предложена редак-
тором А. В. Ефимовым и отражает содержание программы
по математике для инженерно-технических специальностей
вузов, рассчитанной на 510 часов и утвержденной Учебно-
Я
методическим управлением по высшему образованию Мин-
вуза СССР 14 мая 1979 г. При составлении «Сборника
задач» нашел отражение и опыт преподавания курса Ma-
тематики в Московском институте электронной техники,
рассчитанного на 600—700 часов.
В сборник включены задачи и примеры по всем раз-
делам втузовского курса математики. С целью закрепле-
ния материала школьной программы в нем, кроме того,
приведен ряд задач, позволяющих более углубленно по-
вторить основные разделы анализа и векторной алгебры,
изучаемые в школе,
Одной из основных особенностей настоящего сборника
является включение в большинство глав цикла расчет-
ных задач, решение которых требует использования ЭВМ.
Предлагаемая первая часть сборника «Линейная ал-
гебра и основы математического анализа» включает те
разделы математики, которые, как правило, изучаются
на первом курсе. Сюда относятся векторная алгебра с эле-
ментами аналитической геометрии, линейная алгебра,а так-
же дифференциальное исчисление функций одной и не-
скольких переменных и интегральное исчислепие функций
одной переменной.
Каждый раздел сборника задач снабжен кратким вве-
дением, содержащим как необходимые теоретические све-
дения (определения, формулы, теоремы), так и большое
число подробно разобранных примеров. Начало решения
примеров и задач отмечено знаком 4, а конец— зна-
ком No». Указания к решениям выделяются знаком ®.
К задачам, номера которых помечены соответственно одной
или двумя звездочками, указания |или решения даются в
разделе «Ответы».
Глава1
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
$ 1. Действительные числа. Множества.
Логическая символика
1. Понятие действительного числа. Из курса математики средней
школы известно, что всякое неотрицательное действительное число
х представляется бесконечной десятичной дробыо
[*],41%2 во оу
(1)
где [х]— наибольшее целое число, не превосходящее х и называемое
целой частью числа х, х„ Е{0, 1,2, ..., 9} для любого nEN.
При этом дроби, у которых х„=9 для всех п т (по — некото-
рое натуральное число), обычно исключаются из рассмотрения в силу
следующих равенств:
[x],999...=[x]-+41,
[x], %1%q.. Xn 1 999... = [х] хх... (X%.-1-+ 1)
{tg>l,Xno-i=9).
Действительное число х рационально, т.е. представимо в виде
т
|
отношения = т, ПЕХ, в том и только в том случае, когда дробь (1)
периодическая. В противном случае число х иррационально.
Абсолютной величиной или модулем действительного числа х на-
зывается неотрицательное число
х, если х— 0,
[x|= —х,еслих<0.
Предполагается, что правила сравнения действительных чисел, а
также арифметические операции над ними известны из курса матема-
тики средней школы.
1.1, Доказать, что число
0,1010010001...10..,01...
ини
n
иррационально. Выписать по три первых члена из после-
довательностей конечных десятичных дробей, приближаю-
щих это число © недостатком и с избытком.
1.2. Следующие числа представить в виде правильных
рациональных дробей:
а) 1,(2); 6) 3,00(3); в) 0,110(25).
1.3. Доказать, что число 185 иррационально.
« Предположим, что 1 5 — рациональное число, т, е.
т
Ig5=—- S35 т, n€Z.
Тогда:
m
107 =5, 105", Qm.5m— 50,
Но последнее равенство невозможно: число 2 входит в разложение
левой части на простые множители, но не входит в аналогичное раз-
ложение для правой части, что противоречит единственности разло-
жения целых чисел на простые множители. Поэтому исходное пред-
положение неверно, и, следовательно, число 165 иррационально. фр»
Доказать, что следующие числа иррациональны;
1.4. УЗ. 1.5. Ир, р—простое число, п > 1.
1.6. 2+1 ИЗ. 1.7. ИЗ ИЗ.
1.8. 105. р, р--простое число.
aU
1.9. 5 -- лл, ПЕ 2, если известно, что л иррационально.
В задачах 1.10—1.13 сравнить указанные числа.
110. V2—V5 u V3—2.
< Предположим, что верно неравенство
VI—-V3 < V3—2.
(2)
V242< Y54V3,
644Y2 <84+2YV 15,
2V¥2 <14V15,
8 < 164-2 V15.
Tak как последнее“ неравенство верно, то в силу обратимости
выполненных преобразований верно и исходное неравепство (2). р
Тогда:
1
1
1.11. 1081123. И 108135.
1
1
16—
15—
1.12. (5) Ти (+) °. 1.13. logiogey HI.
Не пользуясь таблицами, доказать следующие число-
вые неравенства:
1.14. 10810-415354. 1.15. + 1
109% Л
>2
1,16. log, 26 > log, 17.
_ 1овьл 7
10
1.17. Доказать, что модуль действительного числа
обладает следующкими свойствами;
а) |х|
= тах {x, —x};
—
.
Xx=._*
6) [хуи |=;
в) [хи]
< |-НиЙи [х—92| х|- УП
(неравенства треугольника);
г) Их =|х|.
Решить уравнения:
1.18. |3х—4|= 1/2. 1.19. И х + х=0
| 2—3 =1. 1.21. sa |=!.
x+1
1.22, V(x—2)? =—x-+ 2.
Решить неравенства:
1.23. |x—2|1. 1.24. |x?—7x+-12|
> x? —7x-+ 12.
1.25. 2+2V(@+3)—10<0. 1.28. toi <4—*
1.27. V(x+1l)? <—x—1.
2. Множества и операции над ними. Под множеством понимается
любая совокупность объектов, называемых элементами множества.
Запись аЕА означает, что объект а есть элемент множества A
(принадлежит множеству 4); в противном случае пишут а4А. Мно-
жество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и
обозначается символом (27. Запись АсВ (А содержится в В) озна-
чает, что каждый элемент множества А является элементом множе-
ства В; в этом случае множество А называется подмножеством мно-
жества В. Множества А и В называют равными (А= В), если Ас В
и ВСА.
Существуют два основных .способа задания (описания) множеств.
а) Множество А определяется непосредственным перечислением
всех своих элементов dy, Mg, ..., ап, Т.е. записывается в виде
А =(ат, а›, ..., ап}.
=.
6) Множество А определяется как совокупность тех и только тех
элементов из некоторого основного множества Т, которые обладают
общим свойством ©. В этом случае используется обозначение
А={хЕТ|
а (х)},
где запись & (х) означает, что элемент х обладает свойством ©.
Пример 1. Описать перечислением элементов множество
A={xE€ Z | (x —3) (x?—1) =0 их 0}.
А есть множество всех целых неотрицательных корней уравнения
(x — 3) (x?— 1) =0. Следовательно, А = {1, 3}. p>
Объединением множеств А и В называется множество
АЦВ
= {х|хЕА или хЕВ}.
11
Пересечением множеств А и В называется множество
АПВ= {х|хЕА ихЕВ}.
Разностью множеств А и В называется множество
AV B={x|xEA u x€B}.
Если, в частности, А— подмножество некоторого универсального мно-
жества Т, то разность ГА обозначается символом А и ‘называется
дополнением множества А (до множества Т).
1.28. Установить, какая из двух записей верна;
а) {1,2} {1,2, {1, 2, 3}} или {1, 2} <{1, 2, {1, 2, 3}};
6) {1, 2} Е {1,2, {1,2}} или {1, 2}={1, 2, {1, 2}}.
В задачах 1.29—1.34 указанные множества задать
перечислением всех своих элементов.
1.29. А={х ЕВ | хз —3^2 | 2х =0}.
1.30. A= \xER|x+><2u «> 0h.
1.31. A={xEN]|x?—3x—4<O}.
1.32, A={xeZ|7
<2 <5}.
1.33.A=|EN|logy+<2}.
1.34. A=(r€R|cos? 2x =I и 9 < х<2л}.
Изобразить на координатной плоскости следующие
множества:
1.35. {(x, yy)ER? |x+y—2=0}.
1.36. {(x, y)E R?|x?—y? > O}.
1.37. {(x, y) ER* | (?—1)
(y+ 2) =O}.
1.38. {(x, YER? |y>V2x+1 un 2x+1>0}.
1.39. {(x, y)ER?|y2 > 2х1}. ^
1.40. {(x,
к и21у}.
1.41, {(х, и) ЕЕ [со 2x = cos 2y}.
1,42. {= ИЕР т, х520, уе 0}.
1.43, Описать перечислением всех элементов множества
АЦВ, АПВ, АВ и ВХ А, если
A={xE€R]|x?4+x—20=0}, B={xER|x?—x4+12=—0}.
Sanuch m|n, roe m, n€ Z, o3HayaeT, YTO число т есть
делитель числа п. Описать следующие множества:
1.44. {xEN]x|8 uw xl}. 1.45. {x EZ] 8x}.
1.46. {xEN |x12} {x EN |x]8}.
12
.
1.47. {x EN] 12Q|x} n {x EN | 8]x}.
1.48. Доказать, что!
а) равенство АПВ=В верно в том и только в том
случае, когда ВсА;
6) равенство AUB= В верно в том и только в том
случае, когда АсВ.
1.49. Пусть А = (—1, 2] и В=[1, 4). Найти множества
АЦВ, АПВ, А\ В, В\А и изобразить их на числовой
оси.
Приняв отрезок Т = [0, 1] за универсальное множество,
найти и изобразить на числовой оси дополнения следую-
щих множеств:
1.50. {0, 1}. 1.51. (1/4, 1/2). 1.52. (0, 1/2].
1.53. {1/4}
0 [3/4, 1).
1.54. Доказать, что операция взятия дополнения обла-
дает свойством рефлексивности:
(A)=A
а также связана с отношением включения < и опера-
циями U и П следующими законами двойственности:
если АСВ, то АЪВ;
AUB=AnNBu ANB=AUB.
1.55. Доказать, что операции ( и П связаны зако-
нами дистрибутивности: '
(AUB)NC=(A NC)uU(BNC),
(An B)UC=(AUC)n(BuCc).
Используя результаты задач 1.54 и 1.55, доказать
следующие равенства:
1.56. АХ ВП(АЦВ)=А
4 Так как А] В= АПВ, то левая часть доказываемого равенства
принимает вид
(АЗВ)П(АПВ)= (АЗ В)О(АПВ) = А.
1.57. А\В=АПВ. 1.58. А\В=АЦВ.
1.59. АП(А\ В) =АПВ.
Операции (] и [) естественным образом обобщаются на случай
произвольного (конечного или бесконечного) семейства множеств.
Пусть, например, задано семейство множеств А„, ПЕМ. Объединение
множеств этого семейства обозначается символом (]) А’ и определя-
ne
13
ется как множество всех тех. элементов, каждый из которых принад-
лежит по меньшей мере одному из множеств Аи. Пересечение [|] Ап
neN
определяется как множество всех элементов, принадлежащих каждому
из множеств Ди.
Для заданных семейств множеств А,, ПЕNo, найти
UA,uNA,;:
neN
neN
1.60. A,={xEZ|—n<xx<nt}.
1.61. A, ={8n—2, 3n—1}.
1.62. А,= 1, и at
1.63. Пусть А — множество всех точек плоскости, обра-
зующих стороны некоторого треугольника, вписанного
в заданную окружность. Описать (словесно) объединение
и Пересечение всех таких множеств, если:
а) треугольники произвольные;
6) треугольники правильные;
в) треугольники прямоугольные.
Множество Х называется счетным, если может быть установлено
взаимпо однозначное соответствие между элементами этого множества
и элементами множества No всех натуральных чисел.
Пример 2. Показать, что множество Z всех целых чисел
счетио.
«а Установим взаимно однозначное соответствие между элементами
этого множества и натуральными числами, например, упорядочив мно-
жество Z% следующим образом:
0,1,—1,2,—2,3,33,...,
а затем всякому целому числу поставив в соответствие его порядко-
вый номер в этой последовательности. р»
Доказать, что следующие множества счетны:
1.64. {пЕМ|и=2Е, REN}.
1.65. ПЕ Ми =, REN}.
1.66. {ПЕ
М] п =2", РЕМ}.
1.67. Доказать, что если множество Х счетнои АХ —
его бесконечное подмножество, то множество А также
счетно. Используя этот результат, доказать, что мно-
жество
{nEZ|n=kR?—k+1, REN}
счетно.
1.68. Пусть А.Х»... Хи... -—счетные множества.
Доказать, что их объединение |) Х„—счетное множество.
ПЕNo
14
@ [lycth X,p= {Xn i, Xn, 2) +09 Xn, b ++}. Torga элементы множества
U Х» можно записать в виде следующей таблицы;
ne
XG,1) Xi, 29 coer XL Uy ooeg
XotsNo2,2)+...2,{9++
со
ооо
Xn,ir Xn,2 000s Xn,py eee
e®eeeeeee9a6
Для того чтобы доказать счетность MHOMKecTBa [J X,; достаточно
ПЕNo
теперь занумеровать каким-лнбо образом все элементы этой таблицы.
Используя результат задачи 1.68, доказать, что сле-
дующие множества счетны;
1.69. @= [хе К|х= = aA некоторых т,п52 0изz} —
множество всех рациональных чисел.
1.70. Множество всех точек плоскости с рациональ-
ными координатами.
1.71. Множество всех многочленов с рациональными
коэффициентами.
3. Верхние и нижние грани. Пусть Х — произвольное непустое
множество действительных чисел. Число М = шахХ называется наи-
большим (максимальным) элементом множества Х, если МЕХ и для
всякого хЕХ выполняется неравепство х < М. Аналогично спределя-
ется понятие нанменьшего (минимального) элемента т= шШ Х множе-
ства Х.
Множество Х называется ограниченным сверху, если существует
действительное число а такое, что х <а для всех ХЕХ. Всякое число,
обладающее этим свойством, называется верхней гранью множества Х.
Для Заданного ограниченного сверху множества Х множество всех
его верхних граней имеет наименьший элемент, который называется
точной верхней гранью множества Х и обозначается символом зирХ.
Очевидно, зир Х = тпах Х тогда и только тогда, когда зир Х Е Х.
Аналогично определяются понятия ограниченного снизу множе-
ства, нижней грани и точной нижней грани множества Х; последняя
обозначается символом ШЁЕХ.
Множество Х, ограниченное сверху и снизу, называется ограни-
ченным.
|
Пример 3. Найти точные верхнюю и нижнюю грани множе-
ства [0, 1).
4 Это множество не имеет наибольшего элемента, так как для вся-
кого хЕ[0, 1) найдется уЕ[0, 1) такое, что у > х. Множество верхних
граней для полуинтервала [0, 1) —это множество [1, -- ©) с наимень-
шим элементом, равным 1. Поэтому
sup[9, 1)—1,
причем 16[0, 1).
С другой стороны, наименьший элемент для рассматриваемого
множества [0, |) существует и равен 0. Множество нижних граней—
это множество (—<, 0] с наибольшим элементом, равным нулю, ко-
15
торый и является точной нижней гранью полуинтервала [0, 1).
Таким образом,
па[0,1)=шЕ[0,1)=0. р
1.72. Доказать, что приведенное выше определение
точной верхней грани эквивалентно следующему:
Число М есть точная верхняя грань множества Х в
том и только в том случае, если:
1) х<М для всех хЕХ;
`2) для всякого в > 0 найдется элемент хЕХ такой,
чтоx>M—e.
1.73. Пусть х=11, >, =, и =, ae
а) Указать наименьший и наибольший элементы этого
множества, если они существуют.
6) Каковы множества верхпих и нижних грапей для
множества Х? Найти supX u inf xX.
Для следующих множеств найти max X, minX, supX
и ШЁХ, если они существуют;
1.74. X=4eER| x= 5, nent, 1.75. X=[—1, 1].
1.76. X={xE€Z|—S <x < O}. 1.77. X ={x ER]x < 0}.
1.78. X={x€ R|x=— ; m nENume< п}.
1.79. Пусть Х —множество всех рациональных чисел,
удовлетворяющих условию г? < 2. Показать, что множе-
ство Х не имеет наибольшего элемента. Пайти зирХ.
1.80, Пусть Хс®
— произвольное ограпиченное мно-
жество. Доказать, что множество —Х = {х| —хЕХ} также
ограничено и справедливы равенства
зир (—Х) = —шШЁХ, inf (—X)=—sup X.
1.81, Пусть А, УсК— произвольные ограниченные
сверху множества. Доказать, что множество
Х-ЕУ = {26 К |2=х-у, хЕХ, уЕУ}
ограничено сверху и
5ир(Х+У)=зирХ+5ирУ.
1.82. Пусть ХсК— ограниченное сверху и УсВ —
ограниченное снизу множества. Доказать, что множество
X—Y ={zER|z=x—y, xEX, yEY}
ограничено сверху и
sup (X —Y)=sup X—infY.
16
4. Логическая
символика. При записи математических рассужде-
ний целесообразно применять экономную символику, используемую
в логике. Мы укажем здесь лишь несколько наиболее простых и
употребительных символов.
|
Пусть &а, В, ...-— некоторые высказывания или утверждения, т.е.
повествовательные предложения, относительно каждого из которых
можно сказать истинно оно или ложно.
Занись @ означает «не ©», т. е. отрицание утверждения @.
Запись & =>В озпачает: «из утверждения © следует утвержде-
ние В» (—-—символ импликации).
Запись @ & В означает: «утверждение © эквивалентно утвержде-
нию В», т.е. из @ следует В и из В следует «. (< —символ эквива-
лентниости).
Запись & Л В означает «%`и В» (Л — символ конъюнкции).
Запись & \М В озгачает -«® нли В» (М —символ дизъюнкции).
Запись’
ухЕХ а (х)
.
означает: «для всякого элемента хЁХ истинно утверждение & (х)»
(у —квантор всеобщности).
Запись
4xEXa(x)
означает: «существует элемент хЁЕХ такой, что для него истинно
утверждение © (х)» (3—квантор существования).
Если элемент ХЕХ, для которого истинно утверждение @ (x),
пе только существует, но и единствеп, то пишут:
ql xxEX
a (x).
Пример 4. Используя логическую символику, записать утверж-
дение: «число М есть точная верхняя грань множества Х».
4
жение М =зирх означает, что выполнены условия;
а) УхЕХ (х=— М) (т. е. М — верхняя грань мпожества ХУ;
6) УАЕК (VxEX (x= A) => АМ) (Т.е. М —наименьшая из
верхних грапей множества Х).
словие 6) может быть записано также в следующей эквивалент-
ной форме (см. задачу 1.72):
Ме>ОЗхЕХ(х>М-—е). No
Пример 5. Используя логическую символику, сформулировать
припцип математической индукции.
<< Пусть< — некоторое утверждение, имеющее смысл для всехпЕМ.
Введем множество
A={n€N]a (n)},
т.е. множество всех тех натуральных чисел, ‘для которых утверж-
дение © истинно. Тогда принцип математической индукции можно
сформулировать следующим образом:
(IEA) A (2 €A => (и-+- 1Е4))
=> ASN.
(3)
Так как запись © (п) означает, что утверждение & истиино для числа
пЕМ, то утверждение (3) можно записатьи иначе:
(©(1)л(а(п)=>а(п--1)))=>УпЕМа(п). No
TO
17
Пример 6. Записать отрицания выспазываний: УхЕХа (х) и
4xE Xa (X).
< Отрицание высказывания Ух Е Х а (х) имеет вид3хЕХ
а (х) (суще-
ствует элемент хЁЕХ такой, для которого утверждение & (x) ложно).
Иначе говоря, для любого утверждения & истинно сЛедующее выска-
зывание:
УхЕ Ха (х) > 3хЕХа (х.
Аналогично
3х Е Ха(х) < ЧхЕХа(х). No
Пример 7. Используя логические символы, записать утверж-
дение: «функция [; Х К, АСК, непрерывна в точке аЕ Х», а так-
же его отрицание.
< Исходное утверждение:
У= > 036 УхЕХ
(|х—а| <8=> [9-—Р(а]|<=)
(для любого &>0 найдется 6 такое, что для любого числа хЕХ,
удовлетворяющего условию |х—а|< 6, выполняется перавенство
[7 (х)
—Г(а)| < ®).
|
Отрицание этого утверждения:
3= > ОУбЗхЕХ ([х—а| < 9л [1 (х) — 1(а)| ==)
(существует = > 0 такое, что для любого ‘6 найдется число ХЕХ,
удовлетворяющее условиям [х—а |< 6 Hu |f (x)—/f(a)| =e). P&
Прочитать приведенные ниже высказывания, выяснить
их смысл и установить, истинны они или Ложны (симво-
лами х, и, г, а, 6, с всюду, где это специально не огова-
ривается, обозначены действительные числа).
1.83. a) Vx dy (x+y= 3); 6) dy Vx (x+y=3);
B) dx, y(xt+y=3); r) Vx, y(x+y=3).
1.84. 4x, y(x>y>0Ax+ty=0).
1.85. Wx, y(x<y)@az(x<z<y).
1.86. Wx, y (x?= 2y’).
1.87. Vx(P >xex>1Vx< 90).
1.88. Vx(x >2 A x>3062<x*%<3).
1.89. 3x (V x2< x).
|
1.90. а) Уа, 6, с(3х (ах? бх-с=0) © 5 —4ас> 0);
6)Уа,6,с(Ух(ах? охЕс>0)©*—4<0Ла>0..
1.91. a) Vbda
Vx (x? + ax+b> 0);
6)36УаЯЗх(х?+ах 6=0);
в) da Wb Ax (x?+ax+b=0).
Установить точный смысл приведенных ниже выска-
зываний и записать их с использованием логической сим-
волики, сформулировать и записать их отрицания.
1.92. а) Число х, есть решение уравнения }1(х)=0.
6) Число х, есть единственное решение уравнения
f(x) =0.
18
в) Уравнение [(х) =0 имеет единственное действитель-
ное решение.
1.93. а) Множество Х < К ограничено сверху.
6) Число т есть наименьший элемент множества Х.
в) Множество Х имеет наименьший элемент.
1.94. а) Число те 2, является делителем числа ПЕД,
или в краткой записи: т|п.
6) Если число ПЕ#2, делится на 2 и на 3, то оно
делится на 6.
в) Число рЕNo простое.
$ 2. Функции действительной переменной
1. Понятие функции. Пусть О — произвольное множество дейст-
вительных чисел. Если каждому числу хЕД поставлено в соответ-
ствие некоторое вполне определенное действительное число }(х), то
говорят, что на множестве Р определена числовая `функция |. Мно-
жество О) называется областью определения, а множество
Е={ЕВ|и=1(0), ЕО}
— множеством значений числовой функции [. Символически функция
записывается в виде {: р — Е или и=} (х).
Наиболее распространенным является аналитический способ зада-
ния функции. Он состоит в том, что с* помощью формулы конкретно
устанавливается алгоритм вычисления значений функции у=(х) для
каждого из значепий аргумента х. В этом случае область определе-
ния функции обычно не указывают, понимая под нею то множество
значений аргумента х, для которого данная формула имеет смысл
(остественная область определения функции).
Пример 1. Найти область определения и множество значений
функции {[(х) = ИУ 1—х?.
4 Естественной областью определения этой функции является мно-
жество р ={х||х|< 1} =(-1, 1), a множеством значений
— множе-
ство Е ={у|и>1}=[1, о). No
Пусть функция {: р — Е такова, что для любых xy, ЕД из
условия хт7 х, следует } (х1) я [(х.). В этом случае всякому числу
уЕЕ может быть поставлено в соответствие некоторое вполне опре-
деленное число’ х@р такое, что [(х) ==у; тем самым определена новая
функция |-1: Е —+), называемая обратной к заданной функции {.
Пусть заданы функции [: Х У ив: У —2. Их композицией
(или сложной функцией, полученной последовательным применением
функций [и 8) называется функция А =ао};: Х —+ 0, определяемая
равенством
й (х) = (1 (*)), хЕХ.
1.95. Найти функциональную зависимость радиуса К
цилиндра от его высоты Я при данном объеме У = 1.
1.96. Написать выражение для объема У конуса как
функции его боковой поверхности ° при данной обра-
зующей [=2.
1.97. Написать выражение для площади 5 равнобочной
трапеции с основаниями а=2иф=| как функции угла %
при основании а.
1.98. С момента покоя 2, тело движется с постоянным
ускорением а. Найти зависимость скорости и пройденного
пути от времени движения. Как связаны между собой
пройденный путь и скорость в момент времени #2?
1.99. В равнобедренной трапеции АВСШ (рис. 1) с осно-
ваниями а ифби высотой fA проведена прямая ММ, пер-
вм
п
пендикулярная основаниям
—
и отстоящая от вершины ‘А
на расстояние |АМ|=х.
Выразить площадь © фигуры
`АВММ как функцию пере-
менной х.
А
М
2D 1.100. В шар радиуса Ю
Рис. 1
вписан цилиндр. Написать
функциональную зависимость
объема У цилиндра от его высоты Н. Найти область оп-
ределения этой функции.
1.101. В шар радиуса Ю вписан прямой круговой конус.
Написать функциональную зависимость площади боковой
поверхности 5 конуса:
а) от его образующей I:
6) от угла при вершине конуса в его осевом сечении;
в) от угла В при основании конуса.
Найти области определения каждой из полученных
функций.
1.102. Найти }(—1), f(—0,001), f (100), если #(х) = 1.
1.103. Найти f(—2), f(—1), f(0), f(1), [Е(2), если
I+x, —o<x<0,
i(x) = tor
O0<x<+00.
р 1-1.104. Найти f(1), F(a), Ка-+ 1), 1а—1), 2/1 @а), если
Хх) = ХЗ—
1.105. airs 1(0), f(—x), F(*x+1), F)+1, H(z}x
1
1-—х
То’ если i)= T°
Найти естественную область определения D и мно-
жество значений Е каждой из следующих функций:
1.106. у=
ш (х- 3). 1.107. и=И 5— 9х.
1.108. y=7/sinVx. 1.109. y=arccos+—**.
20
1.110. y=In(1—2cosx). Ltt. y=V1—]x].
1.112. y = Ig (Sx —x* —6). 1.113. y=arcsin Vi .
1.114. у== 22603 (1-х. 1.115. уе" -2, |
Найти множество С, на которое данная функция отобра-
жает множество Ё:
1.116. y=x?, F=[—1, 2].
1.117. y=|x|, F={x]
1 <]x| <Q}.
x
1.118. = эт,» Е = (0, 1).
1.119. y=Vx—x?, F=(0, 1).
1.120. y=log,x, F=(38, 27).
1.121. y= sin, F=[0, 1/2).
Найти множество нулей D,={x|f(x)=0}, область
положительности О. ={х|[(х) > 0} и область отрица-
тельности Р_={х|[(х) < 0} для каждой из заданных
функций:
1.122. f(x)=14x. 1.123. f(x) 2+ x—x?,
1
1
1.124. f(x)=sin=. 1.125. f(x)=1—e*
Показать, что функция у=[(х) удовлетворяет соот-
ветствующему функциональному уравнению:
1.126. f(x+2)—2f(x+1)+f(x)=0, f(x)=kx +0.
1.127. f(x) +f (e+1)=f(x(x+1)), F(~)
= log, x.
1.128. f (x1) f (%) =F (x1 +2), f(x)= 0%.
и
X{t+ XxX.
x
1.129. f(x) + F(a) = (EE), Fy) = le EE.
В задачах 1.130—1.133 определить функцию и==[(х),
удовлетворяющую заданному условию.
1.130, f(x4+-1)=x?—3x-4 2.
< Пусть x+1=?, t.e. x=t¢—1. Torga x?—3x-+2=1*—5i-+6,
поэтому
`
ЕО =—3х2=
—
54-6. PD
1.131. (+) = я, x0.
1.132. i(=)=*+VIFs, x>0.
1.133. f(x, +x,) = sin x, cos x,;-+ cos x, sin xg.
Функция } (х) называется четной (нечетной), если ее область
определения симметрична относительно точки х=0О и [(—х)
=] (х)
(f (— x) =—f ()).
21
Какие из указанных в задачах 1.134—1.139 функций
четные, какие нечетные, а какие не являются ни четными,
ни нечетными?
1.134. f(x)=xt-+5x?, 1.1385. f(x) =x?+ 4,
1.136. f(x) =a. 1.137. f(xy =I
136. f(x) =s—7- 1-187. F(X) = ex —] °
1.138. f(x) =sinx—cosx. 1.139. f(x) =Igot,1—х
1.140. Доказать, что произведение двух четных или
двух нечетных функций есть функция четная, а произ-
ведение четной и нечетной
— нечетная функция.
Функция f(x) называется периодической; если сущест-
вует положительное число Т (Период функцин) такое, что
VxED (f (x-+T) =F (x).
Выяснить, какие из заданных функций являются перио-
дическими, и определить их наименьший период Т!
1.141. f(x) =5cos7x. 1.142. f(x) =cos? 2x.
1.143. f(x)=xsinx.. 1.144. f(x) =cosx+sin(V 3x).
1.145. f(x)=sinx®. 1.146. f(x)=tg5>—2tg>.
Установить, какие из указанных ниже функций имеют
обратные, найти соответствующие обратные функции и их
области определения:
1.147. и=ах-Н6. 1.148. и=(х— 1}. 1.149. y=cos 2x.
x
1.150. y=InQx. 1.151. y= 22. 1.152. ит.
1.153. y=x?+1.
4 Jaa myuxuun y=x?-+1 естественная область определения есть вся
числовая прямая О =(— ®, -+0), a множество значений— луч
Е =[1, + ®). Так как для любого аЕЁЕ уравнение х*--1=а имеет
два различных решения х: (а)= Уа—Т их. (а) = —УИУз—1, то дан-
ная функция не имеет обратной. Однако каждая из функций
yj=x?+1, D;= (9, + 00), И уз ==? -|- 1, D,=(— ©, 0],
имеет обратную; равную соответственно
xi (y= Vy—1 4 me (yy=—Vy—l. P
Найти обратную функцию и область ее определения,
если исходная функция задана на указанном промежутке:
1.154. y=x?—1i a) xE€(— oo, —1/2]; 6)x E[1/2, + 00).
1.155. y=sipx: a) xE€[—a2/2, 2/2]; 6) ve tn? 30/2].
x, xE(— oo, 0],
1.156. =| 2x, x€(0, о).
22
1.157. y=cos?x: а) хЕ[0, л/2]; 6) хЕ[л/2, п];
B) xE[x, 32/2].
Найти композиции [оби во] следующих функций:
1.158. (ху =, в (х)=ИХ.
< Имеем:
(Гоа) (=(в (^)) = (У x)=(Va)? =x
(gof) (=e(/ () =e (2) =V P=[x]. P
1.159. f(x) =1—x, g(x) =x’.
1.160. f(x) =e", g (x) =Inx.
1.161. f(x)=sinx, xE€[—a, x], g(x) =arcsinx.
1.1 9
0,xE(—oo,0’
и
ХЕ (— со, 0],
182+
хе
м,x€(0,+00).
1.163. Hatitu fofof, ecan:
1.
x
a)f(x)=;—,;9)Г= Ея.
2. Элементарные функции и их графики. Следующие функции
называются основными элементарными.
1. Степенная функция: у=х@, аЕК.
2. Показательная функция: у=ах, а> 0, а7=1.
3. Логарифмическая функция: и=1овах, а> 0, а=1.
4. Тригонометрические функции: у=зштх; у=созх, у=х,
y=ctg x.
|
.
5. Обратные тригономет рические функции: y =arcsin x,
y=aroecos x, y=arctg x, y=arcct¢ x.
|
Элементарной называется всякая функция, которая может быть
получена из конечного числа основных элементарных функций с по-
мощью арифметических операций и операции композиции.
Графиком фупкции и=|(х) называется множество
Г= {(х, УЕ| хЕБ, у={ <},
где К?— множество всех точек плоскости. .
На плоскости с фиксированной декартовой прямоугольной систе-
мой координат Оху график функции представляется множеством то-
чек М (х, и), координаты которых удовлетворяют соотношению
y=] (x) (графическое изображение функции)’
При построении графиков часто используются следующие простые
геометрические рассуждения. Если Г —график функции и= (х), то:
1) график функции у: = —}(х) есть зеркальное отображение Г
относительно оси Ох;
2) график функции у. =[(— х) — зеркальное отображение Г отно-
сительно оси Ои;
3) график функции уз =} (х— а) —смещение Г вдоль оси Ох на
величину а;
|
4) график функции и. =5--|[ (х) — смещение Г вдоль оси Оу на
величину 65;
,
5) график функции у, =| (ах), а>0, а21, —сжатие в а раз
(приа>1)илирастяжениев1/араз(приа<1)ГвдольосиОх;
23
6) график функции и; =5/ (х); В>0,; ВЯ 1, — растяжение в В раз
(при >1)илисжатиев1/6раз(при6<1)ГвдольосиОу.
В некоторых случаях при построении графика функции целесо-
образно разбить ее область определения на несколько непересекаю-
щихся промежутков и последовательно строить график на каждом
ИЗ НИХ.
Пример 2. Построить график функции и=|х | x*—1],
< Раскрывая модули, можем записать:
2—х—1, хЕ(— ®; — 1
—®—-НЬ хЕ(—1, 0],
— 2-х1, хЕ(0, И,
x*+x—l, xE(1, +0).
График заданной функции есть объединение графиков (парабол),
А
представляющих эту функцию па
J
каждом из четырех промежутков
рис. 2). No
y=
Следующие` элементарные
функции записать в виде ком-
позиции основных элементар-
|
ных функций:.
1.164. /(х)
= [х|.
|
1.165. f(x) =sin (cos Vx).
1
1.166. }(х)= 21 м.
1.167. f (x)= aresin( V3 ).
1.168. 7 (х)= $1 (2**),
1.169. f (x) = 1/7/ tg@log,.x.
Для каждой из следующих функций найти ее график:
1.170. y=V Insinx.
«& Естественная область определения заданной функции есть мно-
жество
B
Y
D={x|sini=n={44208K¢2)‘
=(ам о)[16zs >
4.171, y=x+V 1—Icosec x]: 1.172. y=V —[x?— 1] +2.
1.173. y=Vcosx—1+45.
1.174. y=1+Vsinx+V— sing.
Построить графики следующих элементарных функций!
1.175. 8АИ если:
a) R=2, b= 0; 6) k=0, b=—2;
24
Поэтому
в) k= —1,-b=—1/3.
1.176.
a)a=1, x=
yY=Yo+a(x—x,)*, если:
0,=—1;
6) а=2, х=1, и =0;
в)а=—1/2, No=—2, Yo=3/2.
1.177. у= у, Е
—, если;
&— No0
a) k=1, х=1, щ=—1;
6)k=—2,No=
1.178.
а) ani,
—1, y=—1/2.
y=asin (kx +a), если:
k=2, a=1/3;
6) a=—2, k=1/2, a=—n/3.
1.179.
a) a3,
y= a tg Ext a), если;
Е=1/3,а=1/4;
6) a=—1/2, k=2, a=8n/2.
1.180.
a) p=
1.181.
y = parcsin (x -- 9), если:
=4, g=—1; 6) р=— 2/3, g=1/2.
у= рагс®: (х-- 4), если:
a) p=—3, 9=5/2; 6) p=2/5, q=—6.
1.182. у=а** +8, если:
а) а=2, k=—l: b=1;
6) a=1/2, R=2, b=—2.
1.183. y= log, (kx-+ 5), если;
a) a=10, k=10, b=—1;
6) a=1/10, R= 1/2, b= 2.
1.184.
1.186.
1.188.y
1.190.
1.192.
1.193.y
1.194.
1.195.
1.197.
1.199.
1.200.
1.201.
1.203.
y=|2—x}+]24x|. 1.185. y= x? x—]x].
y= x? —6|x|+9. 1.187. у= | 6х х|-—1.
= (x2 2x) OAT 1.189. y=x—1-V eT.
-т
ие и.=1,а
y=sgnx = 0, x =0,
—1,x<0.
=x], rae [х|— целая часть x.
= {x}, roe {х} =х— [х]|— дробная часть х.
у= 21*1—1. 1.196. у= (1/3) *+11-- 2.
у= 108 1/2 |х— 3]. 1.198. y =| log, (+ 1)|.
y = arcsin (sin (xx+ 1)).
у = агссоз (соз 3x).
y=cosx-+|sinx]. 1.202. y =| arctg (x—1),
y=xsgn(cosx) 1.204. y=|ctg (x+71).
25
.x
.
.
1.205. у=$1 5... 1.206. y=sin (arcsin i .
На плоскости Оху изобразить множества точек, коор-
динаты которых удовлетворяют заданным условиям:
1.207. xy=0. 1.208. |y|=|x?—2]x|—3].
1.209.
Е 1.210. |x+y|+|x—y|=1.
1.211. || x|—ly||=
1.212. И
$ 3. Предел последовательности действительных чисел
1. Понятие последовательности. „Госледовательностью дейст-
вительных чисел называется функция '{: No —»+К, определенная на
множестве всех натуральных чисел. Число [(п) называется п-м чле-
ном последовательности и обозначается символом х„, а формула
хи ==7 (п) называется формулой общего члена последовательности
Хи)нЕNo
Написать первые пять членов последовательности:
1.213. x, =14(—l)"—. 1.214. x,=n(1—(—1)’).
ие. 1.216. x, =(— 1)" aresin 424 ли.
1.215. x,=
Написать формулу общего члена последовательности;
1
—
,
p
a
—
1.217. — 23, 45, eee 1.218. 0, 2, 0,2,...
4
1.219. 2, FT Re pre
1.220. 1, 0, —3, 0,5, 0, —7, 0,..,
о
79
11
1.221. 2% 3,
5, 7,
5’ ove
1.222. 0,21, 72,0, У, 1, У, 0...
В задачах 1.223—1.228 требуется найти наибольший
(наименьший) член ограниченной сверху (снизу) последо-
вательности (х„)„No.
1.223. x, =6n— 5. 1.224. х, = е0"-"*-з4,
1.225. x, =”. 1.226. x, = 3n?—10n—14.
512
ni
1.227. x, —=2п + -з. 1.228. x, =— 5%.
2. Предел последовательности. Число а называется пределом
последовательности (хн) No т. lim х„==а, если для любогоё > 0
ne
n>
существует номер М (2) такой, что при п > М (2) выполняется нера-
венство |хи„—а|<е, При этом сама последовательность называется
сходящейся.
26
:
\
Критерий Коши. Для того чтобы последовательность
(Xn) ne py имела предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого
в > 0 существовал номер М (=) такой, что при п > М (8) выполняется
неравенство | Апр Хи | < # для любого рЕМ.
Последовательность (хи)„ еNo Называется бесконечно малой, есля
lim x,=0.
i>@
;
Последовательность и) Е называется бесконечно большой (схо-
дящейся к бесконечности), что формально записывается в виде
Нт х„= ©, если для любого числа Е > 0 существует номер М (Е)
fl—> @
.
такой, что при п > М (Е) выполняется неравенство |х„| > Е. Если
при этом, начиная с некоторого номера, все члены последовательно-
сти положительны (отрицательны), то используется запись
nh—>@
n>@
Число а называется предельной точкой последовательности
(хн) пеNo @СЛи для любого = > 0 найдется бесконечное число членов
этой последовательности, удовлетворяющих условию |х„—а | < 8.
Принцип Больцано—Вейерштрасса. Всякая ограни-
ченная последовательность имеет хотя бы одну предельную точку.
Наибольшая (наименьшая) из предельных точек последователь-
ности (хи) «No Называется верхним (нижним) пределом этой последо-
вательности и обозначается символом т *n ( lim n ) .
по
п
|
1.229. Используя логическую символику, записать сле-
дующие высказывания, а также их отрицания:
а) последовательность ограничена;
6) последовательность монотонно возрастает;
в) число а есть предел последовательности;
г) последовательность (X,)neN бесконечно большая:
д) число а есть предельная точка последовательности.
1.230. Найти а= Пт х, и определить номер МNo.() та-
n>@
кой, что |х„—а|<в при всех п >> М (5), если;
a) x, =0,33...3, e=0,001; б) x, = eH e = 0,005;
п
1.
—
2
В) x,=—sin >, e= 0,001; Г)
Е, г = 0,005,
Вычислить пределы:
1.231. Ша "И. 1.232. На МЕТ,
n>
3n
n—->o 7—9n
о
и-
Зи
1.233. iim a3 .
1.234. jim 9 —5n —6n?2 .
._ (п--2)3— (п—2)3
27
1.236.
1.237.
1.239.
1.241.
1.242.
1.244.
1.245.
1.246.
limeo ste|
и\57 25и?
tin
1.238. Jim (Vn+2—Vn).
jim n3/2 Verve 2). 1.240. im a ;
Jim (Geta tn te).
lim ee 1.243. lim VM sin (08)
n>o
°
noo
jim:(т sta 5+.. те) .
‘lim[5+ ae(I =|.
l>@
Доказать, что CCAM MOCMeLOBaTeEMbHOCTh (X,)neq
бесконечно masiaa H Vn€ N(x, 52 0), то последовательность
(1 /Х„)еNo бесконечно большая.
Установить, какие из заданных последовательностей
являются бесконечно большими:
1.247.
1.249.
x, = 2 2, 1.248. x, =n)",
Xn =nsin-. 1.250. x, =Ig(Ign), n=
Найти все предельные точки последовательности:
1.251.
1.253.
1.254.
Xn =p
. 1.252.x. =cos——.
— (-— 1)”
n
4
x, =arcsin
n
о
.
Доказать:
а)Пт.Xn+limУ,= lim(Xn,+Yn)<limх,--lim Уп
n>@
n> ow
n>@
по
n>®
6) lim x,+ Jim y,< lim (x,+y,)< lim x,+ lim y,.
n>o -
Для каждой из следующих последовательностей
(х,)лем найти inf {x,},sup{x,}, lim x, u lim x,
n>@
n>©
1.255. x,=1-4+—. 1.256.x, ="** cos?Mt
1.257. x, =(—1)" Ont).
1.258,x,="1%sinTM,na.
no n—2
3
1.259. х 2.
п
2
i
28
1.260. Доказать, 4uTo pasenctso lim x,= lim Xx, ЯВ-
n>
п»о
ляется необходимым и достаточным условием существова-
ния предела последовательности (х„)ле\.
$ 4. Предел функции. Непрерывность
1. Предел функции. Пусть функция и=] (х) определена на мно-
жестве О. Число а называют пределом функции у=|(х) в точке хо
и пишут Ши 7(х)=а, если для любого = > 0 существует число
х—Хо
0 (=) > 0 такое, что для любого ХЕРД из условия 0 < | х—х| <0(=)
следует неравенство |] (х)—а| < г.
Критерий Коши. Для того чтобы функция у=|(х) имела
предел в точке ху, необходимо и достаточно, чтобы для любого ё > 0
существовало 6 (=) > 0 такое, что |f (x')—f (x”)| < &, как только
|x’—x9|<8(e)u|x’—x9|<6(2).
Говорят, что число а есть предел функции у=|(х) при х, стре-
мящемся к бесконечности, и пишут Пт }(х) =а, если для любого
х>о
8>0 существует число А (=) > Отакое, что |} (х) —а]|
<
в, как только
|x| > A(e).
В дальнейшем используются следующие замечательные
пределы:
sinx
lm ——=1
1
ax>0#
,
()
1\х
lim (+=) = lim (1+.)!/* =e,
(2)
&-> ©
x
x>0
где е=2,7 1828...
— основание натуральных логарифмов.
-
Наряду с введенным выше понятием предела функции исполь-
зуют также следующее понятие одностороннего предела. Число а
называют пределом функции и=|(х) в точке хо справа (слева) и пишут
lim 1G)=a( lim Г)=, если для любого&>0сущест-
х->х+0
хх -0
.
вует число 6(2)>0 такое, что из. условия 0 < x—xXy < 6 (8)
(—6 (=) < х—ж< 0) следует |{(х)—&а|< =. Аналогично вводится
понятие одностороннего предела на бесконечности ( lim f(x) 4
X—> +0
lim f (x)\.
X>—-@
B sanayax 1.261—1.263, пользуясь только определе-
нием предела функции, доказать, что Шт [(х)=а и запол-
Х>>Xo
нить следующую таблицу:
e |0,1 | 0,01 | 0,001
6 (=)
1.261. f(x) =x*, x, =2, a=4.
1.262. f(x)=1/x, x,=1, a=1.
1.263. f(x) =Igx, x, =1, a=0.
Используя логическую символику, записать следующие
утверждения:
1.264. lim f (x)= 00. 1.265. lim jf A) = ©.
х>1-
x—>0
1.266. lim f(x)=0. 1.267. lim f(x%)=
Xx> +0
>+O
1.268. lim f(x)=0. 1.269. lim f(x) =2
x—> +0
x-> @
1.270. lim f(x) =—oo. 1.271. Ши f(x)=00,
x7> -@
> —@®D
Вычислить пределы следующих рациональных выра-
жений:
_
xmm
“433
.
x2—2
1274. “im, Tera: 1275.18. tin ota
1.276. lim (уовея). 1.277. ит АЕ.
x>240\2-% 8—х
х+1 x8 —x
1.278. lim же, т, n€N. 1.279. lim K+
,
х->1!x—|
h>0
h
:
8x3—I]
. x?—(a+1)x+a
1.280. lim 6x®—5x 1° 1.281. Him
wai
.
x3
x?
.
х'— 5х
1.282. lim (sa 2). 1.283. lim г.
1.284. lim (ep DPF er ey _ ‚Ее, ‚ ПЕМ.
x@
xn
х--2
х—4
1.285.Пт(=Ва 3 aa
1.286. |1 (4 ee
1.287. Доказать, 4To ecaH P, (x) =a,x"+...-+4,,
Q,, (x) = b,x"+ ...-+0,, TO
О прип<м,
а‹/б, при п= т,
со при прт.
х>х®
‚ Шт Fal)
x>oOQn(x)
При вычислении пределов, содержащих иррациональные выра-
жения, часто используются следующие приемы: а) введение новой
переменной для получения рационального выражения; 6) перевод
иррациональности из знаменателя в числитель ‘или наоборот.
30
3— их
Пример 1. Вычислить Пт ———.
х-19— Ух
« Пусть ta V х. Тогда
3—х
ИХи=,>
im, Ух
И
т
33-Е 6
Пример 2. Вычислить lim | (VY et+7— pyx?—7).
4 1 (Их?--7 у
_и И-УЯ-)(УИ Я=_
дю
V 8--7+ V2—7
14
= lim ———_-——— =0, >
rro Yrete7+V 8-7
Вычислить пределы:
1.288. lim —*t!_ | 1.989, lim Ye=t=3
X—>0OX Ve
x—>10
х—10
1.290. lim Viet Verio |
х-> 1
Их-—1
1.291. lim VeyhoV x > 0.
h—0
1.292. lim “=V* . 1.293. lim LV ea
x1
x—
_#x—>0
1.294. lim
У
4+oV3x+-V3x+V3x
1.295. lim VFI! 1.296. lin Vv *—! -m, neN
x—>0
x
ха х—1
1.297. Ни ИVets 2 1.098. lim V2t*%—V 2=*
хо И8+9—3
x» 0)/ 2+x— 7/22 ©
1.299. lim И ИУ.
x> +@
1.300. lim (V/ x4V x4Ve—-Vaz).
x> +0
1.301. dim (V 4x? —7x+ 4— 2x).
1.302. lim x3/2 (Vx? 4-2-- 2 — Ижз—2 2).
Используя замечательный предел (1), вычислить:
1.303. пп 58° 1.304. Но 51
x—>0
aon tg3x°
1.305. lim xctg ax. 1.306. lim Saresin x
x —>0
x—>0
4x
1.307. lim 35°" | 1,308.
ee aHBe
х—0
х—>0
x
$
79
1.309. lim (ae—ctex). 1.310, lim tg 5 sin 25°
Хх>“ ,
1.311. lim y 2—? cos , 1.312. lim а te x.
x—> 1/4
~~
x—>1/2
ste
; sina”
1.313. jim sim?sag ty med.
ge sin 2a—tg2a
1.314. iim ——7
+
1.315. Но —0—903 9). 1.316, Ни 12035
оо 182% — 5112
xn 1—cos4x °
Доказать следующие соотношения:
1.3179. Шо 16аСЕ_ Jog, e,
х=0
1.318*. Пи “= ша,
хх —=0
°
1.319, Ни Ед.
x—>0
x
При вычислении пределов вида lim wu (x)? TM), rae lim u (x)=1,
хх
>Xo
lim 9(х) =, используется замечательный ` предел (2).
K>Xo
.
х3X
Пример 3. Вычислить im, (5) .
« Имеем
т
няня)"
Так как
2х
<
—
—2
t
lim (1+555] = if +h =e
К=©
:
2х
0
и.
—2
Ир я.Зх=—56,
TO
im (rh) =n
Im 5—
=e~
x»o\2X
(здесь использована непрерывность композиции непрерывных функ-
ций). No
82
Используя замечательный предел (2), а также резуль-
%Фаты задач 1.317—1.319, вычислить пределы:
1.320. lim ey" 1.321. lim (= oe .
>on
x?oO x? 5
1.322. lim (cos x)1/**. 1.323. lim (1 + tg? И =.
х0
1.324. lim ха
м 1.325. Нтуш У ТЕ”.
x>o*
~~
«>@
(Хх oe| х—1. be
ах __ ›бХ
1.328, lim 261 1.329. па о,
ха
_—а
х-0
x
1.330. lim, (соз хил =, 1.331. lim mee
x—>0
sinx
‚
—31
1.332. Ни (созх-- зшх)1/*, 1.333. lim (<2) " i
x—>0
`
х->0
4
1.334. Доказать, что Иш [(х)==а в том и только в том
X—> No
случае, когда для любой последовательности аргументов
(Х„) Е No сходящейся к х,, соответствующая последова-
тельность ({ (Xn) «No значений функции сходится к а.
Используя результат задачи 1.334, доказать, что для
следующих функций не существует Ни [(х):
я>»
1.335. f(x)=cosx, x,= 00. 1.336. f(x)=sin +, No = 0.
1.337. f(x)=x—[x], x,= 00.
Найти односторонние пределы!
1.338. lim 7—9. 1.339. lim 2t*,
хъзщо [1—3]
*— 31"
2049
1.340. lim Ех) ¥ 1.341. lim 77%.
X>+0.
X—>2+0
.
1.342. lim arctgxy. 1.343. Ит [1/х].
>to
t
¥>+@
3
1.344. fim = LEGA 1345, шо
.
cos x—l °
a> E40
24 —>
Хх —2л +0
1.346. Доказать, что предел функции и ==] (х) в точке ху
существует тогда и только тогда, когда в этой точке
существуют левый и правый пределы и они совпадают,
2. Бесконечно малые и бесконечно большие. Функция a (x) на-
зывается бегсконечно малой при ям, если Нт a (x) =0.
X>Xy
Я Под ред. А. В. Ефимова, В, П. Демидовича
83
Бесконечно малые @(х) и В(х) называются сравнимыми, если
существует хотя бы один из пределов. Ит (x) или lim a (x) .
тжж©(Х)
z+ x9 P(X)
Tlyctb a (x) nu BP (x) —cpaBHumbie GecKOHEWHO MaJbIe при х—+ хо;
.
..
;
, 4. a(x)...
и пусть, для определенности; существует lim
=—С. Тогда:
усть, для опр
‚ существует Пт Вр) =
д
а) Если C #0, To @&(х) и В(х) называют бесконечно малыми
дного порядка. В частности, при С =1| бесконечно малые © (х) и
(x) называют эквивалентными и пишут @ ^ В.
6) Если С =0, то &(х) называют бесконечно малой более высо-
кого порядка, чем В (х), и пишут @ ==0 (В). Если: при этом существует
действительное число г > 0 такое, что lim oe) % 0; TO @ (x) Ha-
X> Xp (B (x))
зывают бесконечно малой порядка г относительно В (х).
Функция @ (х) называется бесконечно большой при х—+ хо, если
lim а (х)= ®. Подобно тому как это сделано выше для бесконечно
&>Xe
малых, вводится понятие сравнимых бесконечно больших и их клас-
сификация.
1.347. Доказать, что если lim aye 50, то най-
XXo
дется такое число О>0и константы Сти С;, что
[х—%|<6= С.В(х)<а(х)<С,8(х.
1.348. Доказать, что а ^^В в том и только в том слу-
чае, когда я —В=0о(а) или а —В=о (В).
Определить порядок малости‘а (х) относительно В (х)==х,
прих—0:
1.349. a(x)= sy x . 1.350. a (x)= j/x?—-Vx8.
4.351. (x)= | 1.352. a (x) = tg x—sinx.
1.353. a(x) =sin(Vx+2—V2).
1.3854. a(x) =3sin? x—x!,
1.355. a (x)= у! НИ х—1.
1.356. a (x)=V
14 2x—1—V x.
1.357. @ (х) =3"* —1. 1.358. а (х) = 2*—созх.
1.359. Доказать, что @а(х)—В(х) имеет 2-й порядок
малости относительно х при х-—+0, если:
а)©(х)=1/(1-х), B(x)=1—x;
6) a(x)=Vaei+x, B(x) =at+ 5-х (а 0);
в) & (х)= (1--х)", В (х)=1--лх (пЕМ).
34
Приближенно вычислить следующие выражения:
1.360, 1/1;03. 1.361, /Э5,3.
` 1.362. (1,03). 1.363. (0,97)*.
1.364. Доказать, что если а (х) — а (х) и В(х) — В, (х)
при х—+ Х, TO
а(х) limOy(x)
Hm Bm Br)”
х-> Хо
Используя результат задачи 1.364, вычислить пределы:
агат ——
1.365, lim ИХ
° °x0
In (l— x)
@TaxkakarcasinWit~WE =иIn(1—x)~(—x)mpu
x—0,TO
arosin
a
Tat
lim VI tim VIE 2p
х-0 In (1 —x)
x»0 —x
. l—x
. cos x—cos 2x
e 66. lim
e 1.367. И
—————
13
х-1 9х.
оО
|—с05Х
2__
;
2
1.368. lim 7. 1,369. tim SOYс.
х- 11/2
*—> 0 arcsin Sx-sin
q:.. . Il—cos 4x
1.370. Шт орт.
1.371 lim 2V 2 —(cos x-+sin x)3
Определить порядок роста бесконечно большой А (х)
относительно В (х) =х при х-—+ 00:
1.372. A (x) =x + 150х-+10.
1.373. A (x) =V x?+ 8x+5+]|x].
1.374. -A (x) HV ++ИЯ. 1.375. A (x)= j/x?@—x+V«x.
Bo
|
|
x?
1.376. A (x) — Зара
.1.377.А(х)=Pad.
8. Непрерывность функции. в точке. Классификация точек раз-
рыва. Функция у=](х) с областью. определения Р называется не-
прерывной в точке ж, если выполнены следующие три условия:
а) функция у={(х) ‘определена в тбчке хо; т, е. х ЕД;
2*
35
6) существует Ит f (x);
х>х
в)нпд=о).
хх)
Если условие а) выполнено; то условия 6) и в) эквивалентны
еледующему:
‘
lim Af (%); Ax) =0,
Ax>0
rye
AF (xox Ax) =F (xo-+ Ax)—F (%)
— приращение функции уи=|(х) в точке хо; соответствующее прира-
щению аргумента Ах=х— No.
Если в точке ху нарушено хотя бы одно из’ условий а)—в), то
хо называется точкой разрыва функции и=] (х). При этом различают
следующие случаи:
a) Шт / (х) существует, но функция не определена в точке хо
х>х
‘
r0
,
или нарушено условие lim | (х) =7 (хо). В этом случае ‘хо называется
Хх>х0
точкой устранимого разрыва функции.
6) Нт /(х) не существует. Если при этом существуют оба одно-
Хх>Xo
`
:
,
сторонних предела lim f(x) u lim f(x) (очёвидно, не рав-
хх +0
хх -0
ные друг другу), то хо называется точкой разрыва 1-го рода.
в) В остальных случаях хо называется точкой разрыва 2-го рода.
1.378. Используя логическую символику, записать на
языке «-6» следующие утверждения:
а) функция у=|(х) с областью определения О непре-
рывна в точке x, ED;
6) функция у=}(%) не является непрерывной в точке
x, €D.
Доказать, что следующие функции непрерывны в каж-
WOH точке их естественной области определения:
1.379. f (x) =x", ПЕМ.
Используя формулу бинома Ныюотона, получаем
Af (xo, Ax) = (xp Ax)?"— x9 = Crxo'Ax+Caxo? (Ax)?+ 2... -- (Ax).
Orciona lim Af (x9, Ах) =0. No
Ax>0
°
1.380. f(x)=a, aER.
|
1.381. [(х) =1085х; а> 0, аз 1.
1.382. f(x)=sinx. 1.383. 7 (x) =arcsinx.
Задана функция | (х). При каком выборе параметров,
входящих в ее определение, ] (х) будет непрерывной?
x2-+. x—2
1.384. j=} pap FAL
36
х—1, x<l,
1.385. 7(x)=а 2 >.
ax+1l,. x<n/2,
1.386.
=
86. 7 (x)= | sinx+b,x > n/2.
Найти точки разрыва функции, исследовать их харак-
тер, в случае устранимого разрыва доопределить функ-
цию «по непрерывности»:
1.387. =>
|.
x2 (x—1) °
В
1.389. f (x)= Comet néN. 1.390.. f(x)= — sin x.
1.388. Fy
1.391. f (x)=1—xsin—. 1.392. F(x) =37=*,
1,393. f (x) =(x+
1) arctg —. 1.394. f(x) = iad
1
дт-2
= ЕЕ. 1.396. ош,tT x
1.395. f (x)=
3x -21|
1
1
1.397. f(x) = ХТ | 1.098, f (x)=A TOS
x—l «x
2*, —l<x«<l,
1.399. 1%)= x—l, Il<x<4,
l,
x=1.
1.400. f(y =—!
21-1
Wx, O<x<l,
1,401. 1 (х)=‹ 4—2х, L<x< 2,5,
2х—7, 2,5 <х<4.
cosx, —n/2<ix< n/4,
1.402. (=) |
x= 0/4,
*—т, л/4 < х=<л.
1.403. Доказать, что все точки разрыва ограниченной
монотонной функции являются точками разрыва 1-го рода.
4. Непрерывность на множестве. Равномерная непрерывность.
Функция у=|(х) называется непрерывной на множестве ), если она
непрерывна в каждой точке xED. Ona называется равномерно непре-
рывной на множестве О), если для любого & > О существует число
3
6 (=) > 0 такое, что для любых х’, х”ЕД из неравенства |х’—х”| <
<0(=) следует |[(х')— (х") | < =.
|
Теорема Кантора. Если функция ‘у==|(х) непрерывная na
отрезке [а, 6], то она равномерно непрерывна на этом отрезке,
1.404. Доказать, что если у=}(х) непрерывная на
[а, 6] функция, то она:
а) ограничена на [а, 6];
6) достигает на [а, 5] своих верхней и нижней граней
(теорема Вейерштрасса);
в) принимает на любом интервале (а’, 6’) <[а, 6] все
промежуточные значения между [(а’) и [(5”) (Теорема
Коши).
_ 1.405. Доказать, что если функция y =f (x) непрерывна
на [а, оо) и существует конечный dim. f(x), то эта
X>+0
функция ограничена на [a, +00).
1.406. Показать, что функция
;
F(x) = sin =, x0,
0, х=0,
принимает на любом отрезке [0, а] все промежуточные
значения между [(0) и f(a), однако не является непре-
рывной на [0, 4].
1.407. Доказать, что всякий многочлен нечетной сте-
пени имеет по меньшей мере один действительный корень.
1.408. На языке «e-do сформулировать утверждение:
функция и=](х) непрерывна на множестве О, но не
является равномерно непрерывной на этом множестве.
В качестве. примера рассмотреть следующие функции:
a) f(x}=1/x, D=(0, 1]
6) F(x)=Igx, D=(0, 10);
B) f (x) =sin=, D=(0, 1].
1.409. Jloxa3aTb, uTo ecaH dyHKunA y = f (x) непрерывна
Ha [а, |- <<) и существует конечный Пт f(x), To 9Ta
х>+
функция равномерно непрерывна Ha [a, + 00).
1.410. Показать, что неограниченная функция [(х) ==
=х--зшх равномерно непрерывна на всей оси — со <
<< о.
Следующие функции исследовать на равномерную не-
прерывность на заданных множествах:
1.441, а, О=[--Ь 1.
1.412. f(x)=Inx, “D=(0, 1].
1.413, f(xy =2*, D=(0, al.
1.414, f(x)=e*cost, D=(0, I].
1.415. f(x)=arctgx, D=R.
1.416. f(x)=V x, D=[0, + о).
1.417. f(x) =xsin x, D =[0, + 00).
$5. Комплексные числа
‚1. Алгебраические операции над комплексными числами. Комл-
лексными числами называются всевозможные упорядоченные пары
г=(х, и) действительных чисел, для которых следующим образом опре-
делены операции сложения и умножения:
|
(Xi, Yi)+ Ha, уз) = (X1-+ X25, Yi + 92),
(1)
(ЖЕ» Ил) (%2, И) = (хх
— ИУ, Ху Хоу).
(2)
Множество всех комплексных чисел обозначается символом О.
Действительные числа х и у называются действительной и мни-
мой частями комплексного числа 2=(х, у) и обозначаются символами
Кеё и п соответственно. ›..
Два комплексных числа 21==(ят,. у1) ‘и ‘23 ==(хХз; 2) называются
равными в том и только. в том случае, когда Х! = ха: и уу=у.
=
Из определений (1) и (2) следует, что всякое комплексное число
(х, у) может быть записано следующим образом: |
(x, yy =(*, 0-0, 1 (у, 0).
© (3)
Если теперь комплексные числа вида (х, 0) отождествить ") с действи-
тельными числами х, а число (0, 1) обозначить: символом #, то равен-
ство (3) принимает вид
..
=х-+
и пазывается алгебраической формой комплексного числа 2=(х, у).
1.418. Доказать, что операции сложения и умножения
комплексных чисел обладают следующими свойствами:
a) 2, +2,=2,+2, (коммутативность сложения);
6) (2; + 2.) + 25 = 2,+ (2,-+ 23) (accoyuamuenocmo Ccaode-
ния);
|
|
в) 2,2, =2,2, (коммутативность умножения);
г) (2,2,) 23 = 2, (2,23) (ассоциативность умножения);
A) 2,4 (2,-+ 23) =2,2;-+212, (3QKON дистрибутивности).
1) To ecTb установить взаимно однозначное соответствие (х, 0) <> х
между множествами {(х, 0) | хЕК} и К. Из (1) и (2) следует, что это
соответствие «сохраняет операции»:
(xx, 0)+-(Xa, 0)=(xy+xe,0)<> м--хо,
(xz, 0).(х, 0) = (их, 0) < мх..
39
1.419. Доказать, что:
a) Wz, 2,04 2(2,2= 2,)
число Z Ha3bIBAeTCH частным OT ‘деления <1 на 2; и обо-
значается символом =.) ..
6) если
И Иг.=ж-и»,то
21 _ ХаХа-[ Ул? бя,
<2
xo-+ и?
ху?
В задачах 1.420—1.429 выполнить указанные опера-
ции, представив результат в алгебраической форме.
1.420. (1 —2i) (24 1-51.
@ Задача состоит в том, чтобы заданное комплексное число предста-
вить в форме
(11—27 (2-02-52 =х--йу.
Для этого можно воспользоваться непосредственно формулами (1) и
(2), однако этот же результат можно получить проще следующим
образом. Как показывают свойства операций, перечисленные в за-
даче 1.418, при сложении и умножении комплексных чисел, представ-
ленных в алгебранческой форме, с пими можпо обращаться как с би-
номами вида а--{, учитывая дополнительно, что # = (0, 1) (0, 1) =
— (—1, 0) =—1. Поэтому
(Qet )3=4-|-41-- #=3- 42,
(1 — 28) (2+ )?= (1 — 24) (3-4 41) =3—2i87? = 112i,
откуда окопчательно получаем
(1—28) (24)?+ 5i= 11—2i-++Si= И-НЗЕ, в
1.421. (2+ 3i)(3—i). 1.422. (1+ 23).
1.423. (l= i —(1 +i), 1.424, (2i—i?)?
+ (1 —3i).
1.425. =
« Результат может быть получен непосредственио по формуле из
задачи 1.419. Заметим, однако, что (1-1 (1—й ==2 есть действитель-
ное число. Поэтому, умножая числитель и знаменатель заданной дроби
на | —{, находим:
_@-)-) 1-31 1 3, 4
ЕР(Ра 2 272"
1—i\3
1.426. тит. 1.427. (=) .
(I4+)8+) (l-)G—A
42 \2
1.428, CFPC) Cn. 1.429. (et).
Найти действительные решения следующих уравнений:
1.430. (1 1) ¥ (—2+ 51) y=—4-+ I7i.
1.431. 12((2+ 1)(1+2)4 (x+y) (8—2/)) =17-+4 6.
40
Решить следующие системы линейных уравнений:
1.432. (3—2. - (4-2) 2. =1-+3Зь
(4+ 2) z,—(2+ 31) z, =7.
1.433. (2+ i)z,+(2—i) z,=6,
(3+2i)z;+(8—21)z,=8.
1.434. iz,+2,=1, ©
(12. +12, =(1- д.
Если на плоскости введена декартова прямоугольная система
координат Оху, то всякому комплексному числу г=х-|-й/ может быть
поставлена в соответствие некоторая точка М (х, и) с абсциссой хи
ординатой у.
При этом говорят, что точка М (х, у) изображает комплексное
число -2=х--йу. Плоскость, на которой изображаются комплексные
числа, называется комплексной плоскостью, ось Ох — действительной
осью, а ось Оу—мнимой осью.
Число r= V x+y? Ha3bIBaeTCA MOOYANeM KOMMIVIeKCHOFO YHCa Zz =
—=х--й/ и обозначается символом |2|. Модуль числа г равен расстоя-
нию точки М, изображающей это число, от начала координат.
Всякое решение ф системы уравнений
cosp=x/V P+y?, зтф=у/У ху?
(4)
называется аргументом комплексного числа г=х--й/ 20. Все аргу-
мепты числа 2 различаются на целые кратные 2л и обозначаются еди-
ным символом Агб 2. Каждое значение аргумента совпадает с величи-
ной ф некоторого угла, на который следует повернуть ось Ох до сов-
падения с радиус-вектором ОМ точки М (при этом ф > 0, если поворот
совершается против часовой стрелки, и ф < 0 в противном случае).
Значение Ага 2, удовлетворяющее условию
0 = Аго 2 < 2л, называется
главным значением аргумепта и обозначается символом агя г.
В некоторых случаях главным значением аргумента называется
значение Arg z, удовлетворяющее условию —л < Агб2=—л.
Из соотношений (4) следует, что для всякого комплексного числа
2 справедливо равенство
=|z|(cos@-+iésin gq),
называемое тригонометрической формой числа 2.
Пример 1. Представить в тригонометрической форме комплекс-
ное число z=—2-+-2i VY 3.
< Имеем
Iz}=V (—_22?L(2V 3)? =4, cosp=—1/2, зшф==У 3/9,
поэтому главное значение аргумента равно аЁёг=2л/З и, следова-
тельно, 2==4 (cos + isin | ‚ >
3
Следующие комплексные числа представить в тригоно-
метрической форме и изобразить точками на комплексной
плоскости:
41
1.435, —i. 1.436. 1—iV3. 1.437. at ily.
1—&
1.438. ТР. 1.439*. —cos=язы
1.440. 3тз- 150$. Laat, pcos
раны
Комплексное число х—й/ называется сопряженным комплексному
числу 2г=х--й/ и обозначается символом #.
Доказать следующие равенства;
1.442. z+z=2Rez H z—z=2iImz.
1.443, (z) =z. 1.444, |z|=|z|. 1.445. 2,-} 24 == 2, 42_.
1.446. 2,z,=2,-°2; H (2)=4. 1.447, zz=|z|?.
202
1.448. Вычислить:
—а
о
_
a) 2.2, Иu (=) ‚ если 2, =1-И 3, z,=V3+i,
—2
6) 2,2, H a ecIH 2;= 34 2i, 2,=2+4 Qi.
1.449. Пусть р (2) — произвольный многочлен с действи-
тельными коэффициентами. Доказать, что для любого 2 ЕС
верно равенство р(2)= р (2).
Решить следующие уравнения:”
1.450. |2|—2=1-24. 1.451. [2+ 2=2-1.
1.452. Доказать равенства и выяснить их геометриче-
ский смысл:
aa 121.
а) [2125 = |241 |-|2з |,
20
[22| '
б) Ата + Ата, = Arg (22), Ата,
—
Ана,
=
Arg (=)
(равенства 6) понимаются в смысле равенства множеств—
см. с. 11).
21 ——
Выяснить геометрический смысл следующих преобра-
зований комплексной плоскости:
1.453. 2+2—2. 1.454. 2.24 (3—9. 1.455. 2 iz.
1.456. 2 4 2(1—iyz. 1.457. 2+ —z. 1.458. 2 22.
27
=
1.459. 2 — 1} e 1.460. с —>d.
1.461. Доказать, что:
а) величина |2, —2г,| равна расстоянию на комплексной
плоскости между точками М, и М., изображающими
комплексные числа 2; и 2.,
42
6) letel<lal+lel a [2 — 1,125 |
(неравенства треугольника). Каков геометри-
ческий смысл этих неравенств?
1.462. Доказать тождества;
а) |24-Е га +21— аа =2 (2, +25 |?)
(каков его геометрический смысл?);
21-2 —- a
|
о [Иа ИЗ.
В задачах 1.463 —1.473 дать геометрическое описание
множеств всех точек комплексной плоскости, удовлетво-
ряющих следующим условиям:
1.463. Rez>0. 1.464. O<I]mz <1. 1.465. |Imz|<
1.466. |2|<1. 1.467. 2+2 =2.
1.468. 1<|2-2|<2. 1.469. |2|> 1—Ке2.
1.470. |2—#|=|2--2]. 1.471. 0 < агег < л/4.
1.472. |л—аго2| < лп/4. 1.473. 2=2г.
1.474. Пусть г == —1. Доказать, что Ве- =2 —0e|z|=1.
Пусть ф— произвольное действительное число. Символом е® обо-
значается комплексное число с0$ ф--{$тф. С помощью этого обозна-
чения всякое комплексное число 2г=|2| (с0$ ф-- 1 $ш ф) может быть
записано в показательной форме
z=|z\e?
Представить в показательной форме следующие комп-
лексные числа:
1.475, SE 1.476, 5—124. 1.477. —3—44.
1.478. 344. 1.479. sina—icosa.
1.480. sina +i(1—cosa).
1.481. Доказать, что символ е® обладает следующими
свойствами;
а)УпЕZ,(епт—1);6)ei?==@7!9:
ig
в)1.24:=2!+9 и е_ =е(M1—P2).
е
1.482. Данные числа 2у и 2; представить в показатель-
ной форме и выполнить указанные действия над ними;
„©
“ty
®
De
a) 2425 ae если z,=2V 3—2i, 2,=3—3Y 3i;
2
6) 23225,
|
2‚если2,=—И?+iV2, 2,=V/8—iИЗ.
21
43
1.483. Доказать формулы Эйлера
ef?4em
еФ —е—Ф
dt
i@
‘
cos Pp=——y—— зпф=——_—.
1.484. Доказать формулу Муавра: если г == ге, TO
r= rren
или, в тригонометрической форме,
2" = r"(cosnp-+isin ng).
Используя формулу Муавра, вычислить следующие
выражения:
_
1.485. (1-5 рю. 1.486. Е 1.487. (itis),
— {)?
"
—
1.488. (1-2 (1—0 3) *.
1.489. Доказать равейства:
a)(14+i)"=27”(cos +isin );
6)(V3—i)"=2"(cosАфа =)|
6
1.490. Используя формулы Эйлера, выразить через ко-
синусы и синусы кратных дуг функции:
a) cos’; 6) sin*@.
Используя формулу Муавра, выразить через созф и
зшф следующие функции:
1.491. соз ЗФ. 1.492. зп 3$.
1.493. со$ 46. 1.494. эт 4$.
Пусть а=ге® — фиксированное комплексное число. Тогда урав-
нение 27 —=а, пЕМ, имеет в точности п различных решений 2, 21, ‚.»
..., @п-т, Причем эти решения даются формулой
пиВ
)
—
2mk
2лЕ
ив
= 1/7 (cos sore
PEA pe sin SEAM)
k=0, l, eeey nL
(здесь и Т— действительное положительное число). Числа 2ь, k=
—=0, 1,...п—1, называются корнями п-й степени из комплексного
числа а и обозначаются символом И а.
Пример 2. Найти все корни 3-й степени из числа а=—2 --
+2iV 3.
44
ji—
4Таккака=4е *=4(cos +isin),ro,
ии)
on2
9 3]/_38/7
дIt
=j/7 (cs (9+3 #)+
-+i sin (s+H4)), где k=O, 1, 2.
При k=0: (а) = 3/4 ‘cos et sin 2%
;
tv
9
9)
При #=1: (Иа), =j/4 (cos F+isin),
(зим 3/7
l4xn
14x
При в = 20. (V/A), = 3/4 (cos FE +isin), >
1.495. Найти и изобразить на комплексной плоскости
все корни 2-й, 3-Й и 4-й степени из единицы.
(Из, Из (
Найти все значения корней:
1.496. Vi. 1.497, j/—T. 1.498. 7/—9.
1.499. И —1-- ИЗ. 1.500. ИЗИЗ+ 9.
1.501. И.
1.502. УТ-ЕЕИ3. 1.503. У@—27-.
1.504. Доказать, что квадратные корни из комплекс-
ного числа могут быть найдены по формуле’
Ит-Ияи(У Ели V =).
Использованне показательной формы комплексных чисел во мно-
гих случаях значительно упрощает вычисления.
Пример 3. Привести к виду, удобному для логарифмирования:
S (~) =sin p--sin 29-+...+sinng, gp 4 2nm, me Z.
4 Так kak sing=Ime'?, To, используя формулу суммы геометри-
ческой прогрессии, получаем:
.
$(ф)=пе +ImPt,
4Ime?=Im(e'?+e2O4 4ein’)—
+ф
1—Ф
ig
еФ(1—е"®) ее 2 Це —е ?
п
2
=Im
1—2
Im
=
—®
oD
=
е2е2—e2
sin+ pitt sin? тЕТ
2
2
2
2
=
ф Ime
=
ф
.>
sin >
sin ~~
45
Привести к виду, удобному для логарифмирования:
1.505. cosp-+cos2p+cos39+...+cosng. |
1.506. созф-- со Зф-+ соз5ф--... -2 с0з (2
—
1) $.
1.507. sing-+sin 3p+sindo+...+sin(2n—1)@.
2. Многочлены и алгебраические уравнения. Многочленом (поли-
номом или целой рациональной функцией) п-й степени называется
функция вида
рп(2)=авг"FO —12"~8 ...рал2 Е4,
(5)
где 2@0, аз ат,...‚ аа — коэффициенты (вообще говоря, комплексные),
причем a, 4 0, n€N. Уравнение
A,2" +-Ay_{z"-14-...+a,z4+a,=0, a, #0,
‚ (6)
4
называется алгебраическим уравнением п-Й степени. Число Zo, ДЛЯ
которого ри (2.)=0, называется корнем многочлена (5) или уравнения (6).
еорема Гаусса (основная теорема алгебры). Всякий много-
член ненулевой степени имеет по крайней мере один корень (вообще
говоря, комплексный)._
исло 2, является ‘корнем, многочлена Pn (2) в том и только в том
случае, когда р» (г) делится без остатка’на бином. (22, т. е.
Рв(2)=(2—20)Чи-1(2),
Где qn- 1 (2) многочлен (п—1)-й степени. Если р» (2) делится без
остатка на. (2 —.2)й, 1, но не делится на (2—2%)*+1, то 25 назы-
вается корнем кратности k многочлена ри (г); при этом
Рв (2) = (2— 2%)* 9и-в (2),
где Чн-в (20) 52 0.
Теорема Гаусса может быть уточнена следующим. образом: много-
член п-й степени имеет ровно п корней, если каждый корень. считать
столько раз, какова его кратность.
Если коэффициенты многочлена (5) — действительные числа и 25 =
—= No + 4 — его комплексный корень, то сопряженное ‘число 29 =X) —
— iyy—TakxKe KOpeHb STOTO многочлена, причем корни 2 и 2, имеют
одинаковую кратность (см. задачу 1.449).
Пусть многочлен ри (2) имеет корни гу, 2, ..., 2m (тп) к ат-
ностей соответственно Ау, No», ..., Еш (В -НNo-Е...-Р Ем ==п). Тогда
его можно разложить на линейные множители, т. е. справедливо тож-
дество
Pn (2) =An (2—21)*1 (2— 29) "2. .(2—Zm)"TM.
Если при этом коэффициенты многочлена
— действительные числа,
то, объединяя скобки, соответствующие комплексно сопряжен:
ным корням, можно разложить этот многочлен в произведение
линейных и квадратичных множителей c действительными коэффици-
ентами.
.
Пример 4. Найти: корни многочлена 28 -1-223-1-] ‘и’ разло-
жить его на множители.
46
4 Tax xax .26-+:2z5-+
1 =(z°-} 1)?, то корнями этого многочлена яв-
ляются корни 3-Й степени из —1:
хо
1=—1;
—_ mw ,,, 0| iV3,
a—=cos
yp tisin z= aris
mt m1 UV8
2g=COS 3—1511 3=a!
При этом каждый корень имеет кратность А=2. Разложение этого
многочлена на линейные множители имеет вид
‚ 28 -|- 228-41
= (2-- в (#—(+5 +i уrey) (#(1—" =). .
Объединяя последние две скобки в один сомножитель, получим раз-
ложение на множители с действительными коэффициентами
28-|- 223--1 = (2-1)? (22—2--1). No
Решить квадратные уравнения:
1.508. г2-- 22-5=0. 1.509. 422—221 =0.
1.510. 22-(5—2
2-5 (1—1) =0.
1.511. 27+ (2i—3)z+5—i=0.
Решить двучленные уравнения;
1.512, 22—1=0. 1.513. 24+1=0.
1.514, (2+ 1)'—16=0. 1.515. (2+1)*+16=0.
Решить биквадратные уравнения:
1.516. z4+ 1827+
81 =0. 1.517, 24+ 422+ 3=—0,
1.518. z*-+ 922+ 20=0.
1.519. 2“ — (1-0) 2-2 (1-0 =0.
Решить трехчленные уравнения;
1.520. 2-1 428430, 1.521. 284 152—160,
1.522*. Показать, что все корни уравнения
(=e) =F} @eR)
1—1
/
.
(1 —1ta)
действительны и различны.
Следующие многочлены разложить на линейные и
квадратичные множители с действительными коэффициен-
тами:
|
1.523. 2—1. 1.524. 24-1. 1.525. 2“ 2-1.
1.526. .2*-| 423 1122142-- 10; известен один корень
2: == —1+.
47
1.527. ate 23— 22—2—[; известен двукратный KO-
рень г,=2;= — +iУ3.
1.528. z*-+ 622+ о 100; известен корень 2: =1- 21.
3. Предел последовательности комплексных чисел. Число а назы-
вают пределом последовательности комплексных чисел (Zn), GN И
пишут Шт 2.=а, если для любого в > 0 существует номер М (г)
по
такой, что при п > М (Е) выполняется неравенство |2„—а| < в.
` Последовательность (2n) „еNo Называют сходящейся к бесконечности
и пишут Jim Zn= ©, если для любого ЕЁ > 0 существует номер М (Е)
такой, что при п > М(Е) выполняется неравенство |21| > Е.
- 1.529. Пусть x,=Rez, nu у =1Штг,. Доказать, что
Ит 2, =а52 со тогда и только тогда, когда Пт х, = Веа
n>
пло
u lim y,=Ima.
fl—-> @
1.530. Пусть Нт 2, =а=5Е< и Ши w,=b oo. JloKa-
по
n>@
зать, что:
а)Jim (2,Ч) =а-Е8; 6)Jim2,10,=ab.
1.531. Ilyctb limz,=a=s40o u limw,=—b>40. Noxa-
ni©
nl> @
.
а
зать, что Пш = =-.
n>o n
b
Вычислить пределы:
.
.1
.
l—in °
1.532. Иш (2—#+-, (1+9). 1.588. lim а.
5n
in?
(n +-2i) (3-++-7in)
1.534. lim 3a 3 nna 1.535. dim On) FET
fis @
_
“n
п
1.536. lim (1+<). 1.537. lim £ 2"*.
про
п
п-о
1.538. lim (2i)". 1.539. lim (274i (1—2)).
по
a> @w
11
1.
1.540. lim (aot
+50").
п-о
1.541. lim у ‚ 1.542. lim (пзше-Н: (1-+%)°).
QR> WD p=
по
48.
|
3-4. 2i\n
1.543. вп >. 0-я 1.544. lim (1 +=").
Доказать, что следующие последовательности ограни-
чены, но расходятся:
1.545. 2, =i". 1.546. 2,—(— We
пл
1.547, 2,=(1+2)e #. 1.548. 2,=5 (i +(—i).
Показать, что следующие последовательности неогра-
ничены, но не сходятся к бесконечности:
1.549. г. = (1--{"). 1.550, 2 „= (е 2 2) Inn.
1.551. Пусть г„=|2„| и Ф,„=агвг,. Доказать, что
lim z,=a (0<|al « со) тогда и только тогда, когда
п>-о
Итг, =|а| и Jim ф, =агвеа (при надлежащем выборе
u>@
области главных значений аргументов).
Результат задачи 1.551] часто используется при вычислении пре:
делов комплексных последовательностей.
Пример 5. Пусть ф— действительное число (ф 22 0). Де хазать,
ЧТО
oe¢
i
ipa
__ РФ
Нт 1, —=с05
ф-- 1 5шШ ф=е
п»
%® Рассмотрим две действительные последовательности:
(ен)
Pn = arg (14+-2)" =narg (142) =n arotg =.
Вычислим их пределы:
=
lim 7.
Штг=limей
=e FP" =],
п
по
arctg $
lim фи= iim narctg 2? =o lin —__2=9.
n> ow
п
n>o $.
n
Отсюда получаем
ip \"
,
i
lim (14-2 —1.(с03ф--1зшф) =е'®. No
по
1.552. Пусть 2=х-йу. Доказать (см. пример 5), что
lim (1 +2)" =e (cosy +isiny) == eErtly
—2,
a>@
Доказать сходимость следующих последовательностей
и найти их пределы:
1.553. 2,= 2", |z|< 1.1.554. en—пап, [21< 1.
1.555. ги = а... г”, |2|< 1.
a
1.556. 2,= og, |z|>1.
4
п
1.557. Вычислить lim Ея... 221 ‚ если |2; <! и
n> o 1+-2.-+...+22
|2,|< 1.
|
|
1.558. Нусть Пт 2, =а = со. Доказать, что
пла
lim 2-22 г... beng
п
n>@
Tmaspa2
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ
ГЕОМЕТРИЯ
$ 1. Векторная алгебра
1. Линейные операции’ над векторами. Вектором (геометричес-
ким вектором) а называется множество всех направленных отрезков;
имеющих одинаковую длину и направление. О всяком отрезке АВ из
этого множества говорят, что он представляет вектор @ (получен
приложением вектора а к точке А). Длина отрезка АВ называется
длиной (модулем) вектора а и обозначается символом |а|=|АВ |.
Вектор нулевой длины называется нулевым
вектором и обозначается символом 0.
b
Векторы аи В называются равными .
(а=6), если множества представляющих 4
их направленных отрезков совпадают.
д
дв
В ряде задач часто бывает удобно не
различать вектор и какой-либо представля-
Рис. 3
ющий его направленный отрезок. Именно
в этом смысле, например, следует понимать выражение «построить
вектор».
о
.
Пусть направленный отрезок АВ представляет вектор а. Прило-
жив к точке В заданный вектор 6, получим некоторый направленный
отрезок ВС. Вектор, представляемый направленным отрезком АС,
называется суммой векторов а и 6 и обозначается а--В (рис. 3).
Произведением вектора а на действительное число А называется
вектор, обозначаемый Ла, такой, что:
I) |A@|=[Al-lal,
2) векторы а и Ла сонаправлены при А^>0 и противоположно
направлены при А, < 0.
2.1. Доказать, что операция сложения векторов обла-
дает следующими свойствами:
a) a+0=a,;
6) аа, =а; + а: (коммутативность);
в) а. | (а; ра: =(а: {+ а.) а. (ассоциативность);
r) Vasa! b(a+b=0)
(вектор В называется вектором, противоположным` век-
тору а и обозначается символом — а);
д) уаь, а, З!а; (а: аз =а»)
(вектор @. называется разностью векторов а; и а; и
обозначается символом а,— а).
51
2.2. Доказать равенства:
а) —а=(—1)а; 6) а_—а=а,-+ (—а,);
в) а=|а|а., где а,—орт вектора @, т. е. вектор
единичной длины, сонаправленный с вектором @ (a= 0).
2.3. В параллелепипеде ABCDA'B'C'D’ векторы т,
п, р представлены ребрами АВ, АР, АА’ соответственно.
Построить векторы:
a) m+n+p, 6) */,m-+'/,n—p, B) —m—n--'/,p.
2.4. Даны векторы @; и @,. Построить векторы За,
"|5, a,+ 2a,, */›а1— а:.
2.5. Доказать, что:
а) операция умножения вектора на число обладает
следующими свойствами:
Oa=A0=0, = (A,A,) A=A, (Aza);
6) операции сложения векторов и умножения их па
числа связаны следующими двумя свойствами дистрибу-
тивности:
А (аа) = ла: Аа, и (A,-+A,) @==/),a-|- ha.
2.6. Доказать равенства:
a)a-+1/,(8—a) =*/3(a +b);
6) a—*/,(a+
6) =*/,(a—B).
Каков их геометрический смысл?
2.7. АБ, ВЕ и СЕ—медианы треугольника АВС. Дока-
зать равенствоАAD+ BE--CF =0.
2.8. АКи ВМ — медианы треугольника АВС. . Выразить
через р=АК и 49-=ВМ векторы АВ, ВС и СА.
2.9. В параллелограмме АВСО обозначены: АВ==а,
AD=b. Выразить через а и 6 векторы МА, МВ, МС
и МО, где М-—точка пересечения диагопалей паралле-
лограмма.
2.10. В треугольнике АВС АМ =« АВ и СМN=BCM.
Полагая АВ=а и АС=В, выразить АМ и ВМ через
векторы @ и 6.
2.11. АВСРЕЕ— правильный шестиугольник, причем
АВ=р, ВС=а. Выразить через р и 4 векторы СБ, РЕ,
EF, FA, AC, АРи АЕ.
2.12. Мр— точка пересечения медиан треугольника
АВС, О— произвольная точка пространства. Доказать
равенство ОМ =1!/, (ОА--ОВ-- ОС).
52
2.13. В пространстве заданы треугольники АВС и
А’В’С’; М и М’— точки пересечения их медиан. Выра-
вить вектор ММ’ через векторы АД’, ВВ" и СС’.
2.14. Точки Е и Р-— середины сторонн [АБ] и [ВС] четы-
рехугольника АВСО. Доказать, что ЕЁ =\/;(АВ+ ОС).
‚Вывести отсюда теорему о средней линии трапеции.
2.15. В трапеции АВСР отношение длины основания
[AD] к длине основания [ВС] равно ^. Полагая АС = аи
ВР =, выразить через @ и В векторы АВ, ВС, СР и БА.
2.16. В треугольнике АВС ‘АМ =а АВи АМ==ВАС.
_а) При каком соотношении между & и В векторы ММ
и ВС коллинеарны.
6) Пусть 9 и В таковы, что векторы ММ И ВС некол-
линеарны. Полагая ВС=р и ММ= 4, выразить векторы
АВиАСчерезри4.
Система . ‚векторов а1, ..., ал называется линейно зависимой, если
существуют числа А, ..., Ап такие, что хотя бы одно из них отлично
от нуля и мМа:-.. Endy = 0. B противном случае система назы-
вается линейно независимой. ,
2.17. Доказать следующие геометрические критерии
линейной зависимости:
а) система {а;, а.} линейно зависима в том и только
в том елучае, когда векторы @, и а; коллинеарны, т. е.
их направления совпадают или противоположны;
6) система {а:, а., а.} линейно зависима в том и только
в том случае, когда векторы @:, @а, и а; компланарны,
т. е. параллельны некоторой плоскости;
в) всякая система из п >4 векторов линейно зависима.
2.18. На стороне [АБ] параллелограмма АВСР отло-
жен вектор АК длины | АК |= АБ], а на диагонали
[АС] —вектор АЁ длины |АЁ|='/,|АС|. Доказать, что
векторы КЁ и [В коллинеарны и найти A такое, что
КЁ =^..ЁВ.
|
2.19. Разложить вектор $ =а-- 6-Е с по трем неком-
планарным векторам: р=а-6—2с, q=a—b, r=2b+
+ 3¢.
2.20. Найти линейную зависимость между данными
четырьмя некомпланарными векторами: р=а- 6, а=
=b—c, r=a—b+ec¢, s=6+'/,€.
2.21. Даны четыре вектора а, В, с, 4. Вычислить их
сумму, если известно, что а-+- в с=аа, 6+c+d=fa
и векторы а, 6, с некомпланарны.
63
2.22. Доказать, что для любых заданных векторов а,
рис векторы а-| 6, В+ с и с—а компланарны.
2.23. Даны три некомпланарных вектора а, 6 и с.
Доказать, что векторы а -26—c, 3a—b+¢, —a+ 5b— 3¢e
компланарны.
|
2.24. Даны три некомпланарных вектора а, фи с.
Вычислить значения Л, при которых векторы Аа6 -с,
а лс, а-- 6-- Noс компланарны.
2.25. Даны три некомпланарных вектора а, 6 и с.
Вычислить значения / и р, при которых векторы Аа- ро-с
и а-- ^\6- ще коллинеарны.
2. Базис и координаты вектора. Упорядоченная тройка некомпла-
нарных векторов 61, ез, ез называется базисом в множестве всех гео-
метрических векторов. Всякий геометрический вектор а может быть
единственным образом представлен в виде
а= Х1е; -|- Хзе. | Хзез;
(1)
числа Ху, Х., Хз называются координатами вектора а в базисе
3 = (ет, ео, ез). Запись (1) называют также разложением вектора а
по базису 3.
Аналогично упорядоченная пара ет, ез неколлинеарных векторов
называется базисом 3 = (ет, е2) в множестве геометрических векто-
ров, компланарных некоторой плоскости.
Наконец, всякий ненулевой вектор е образует базис 3 =(е) в
множестве всех геометрических векторов, коллинеарных некоторому
направлению.
Если вектор @ есть линейная комбинация векторов @а1,..., ав с
коэффициентами А1,..., Аи, Т. е.
|
п
a= >, Лкак,
k=!
то ‘каждая координата Х; (а) вектора а равна сумме произведений
коэффициентов Л1,..., Ам на одноименные координаты векторов
ат,
ое ал:
п
Х: (а)= > AgXi (ay), i=1, 2, 3.
k=1
,
Базис = (е1, ез, ез) называется прямоугольным; если векторы
е1, е› и ез попарно перпендикулярны и имеют единичную длину.
В этом случае приняты обозначения
ej =I, ез =], ез=Й.
(2)
П роекцией вектора а на вектор е называется число пр, а = |4] со$ ф,
om
где ф= (а, е) —угол между векторами а ие (О«фж<л).
Координаты Х, У, 2 вектора а в прямоугольном базисе совпа-
дают с проекциями вектора а на базисные орты {, 1, Ё соответст-
венно, а длина вектора а равна
|а| =И ХЕУ2- 28.
(3)
54
Числа
—
Х
.
cos a=cos (a, ф = УХУ
3
“~~
|Y
cosВ=с0$(а,7)= УХЕЕРЕЕА у
om
cos p==cos (a, k)= УХЕЕРРЕЯ
называются направляющими косинусами вектора а.
Направляющие косинусы вектора совпадают с координатами
(проекциями) его орта та а.
2.26. Задан тетраэдр OABC. В базисе из ‘ребер ОА,
ОВ и ОС найтии координаты:
а) вектора DE, rae р и Е— середины ребер ОА и ВС;
6) вектора ОЁ, где ЁЕ-точка пересечения медиан
основания АВС.
a
|
2.21. В тетраэдре ОАВС медиана [АГ] грани АВС
делится точкой М в отношении | АМ|:| МЁ|=3:7. Найти
координаты вектора ОМ. в базисе из ребер ОД, ОВ, ОС.
2.28. Вне плоскости параллелограмма АВСР взята
точка О. В базисе из векторов ОД, ОВ и ОС найти ко-
ординаты:
а) вектора ОМ, где М— точка пересечения диагона-
лей параллелограмма;
6) вектора ОК, где К— середина стороны [АБ].
2.29. В трапеции АВСО известно отношение. длин .ос-
нований; | АВ СО|=А. Найти координаты вёктора: СВ
в базисе из векторов АВ и АБ.
2.30. В треугольнике ABC AM=aAB, AN=
= ВАС (а, В-2 0, 1; оВ=Е=1), О— точкаа пересечения (СМ)
и (ВМ). В базисе из. векторов ОМ и ОМ найти коорди-
наты:
а) ** вектора АО; _ —__
6) векторов АВ, ВС и СА.
2.31. В треугольнике АВС АК=«аАВ, ВМ =ВВС,
СЕ=\СА. Пусть Р, О и Ю—точки пересечения прямых
(BF) и (СК), (СК) и (АМ), (АМ)и (ВЕ) соответственно.
В базисе из векторов АВ и АС найти координаты векто-
ровАР,ВОиСВ.
55
2.32. Дан правильный пятиугольник АВСРЕ. В ба-
зисе из векторов А'АВи АЕ найти координаты:
_а) векторов АС и АБ. —
6) векторов ВС, СР и ОЕ.
2.33. Дан треугольник АВС, АМ =, АВ, АМ ==3/,АС.
Прямая (ММNo) пересекает (ВС) в точке К.
а) Найтикоординаты вектора АК в базисе из векто-
ров АВи АС.
6) Доказать, что векторыр = АВ-+ КМ, q=BC+NM
и г=СА
-- МК коллинеарны и определить коэффициент
у в paBeHCTBe p= /q.
2.34. B terpasape ABCD [DM]—meguana rpann BCD
и@— центр масс этой грани. Найти координаты векторов
ЮМ иАОв базисеАВ,АСи AD.
В дальнейшем, если не оговаривается противиое, вскторы пред-
ставлены своими координатами в некотором прямоугольном базисе.
Запись а (Х, У, 2) означает, что координаты вектора а равны Х, У
и 2, т.е. a= Xi-+Yj-+Zk.
2.35. Заданы векторы @, (—1, 2, 0), а. (3, 1, 1), а. (2, 0, 1)
иа=а,—2а.|-'/.а.. Вычислить:
а) |а.| и координаты орта (а,)., вектора а1;
om
6) cos(a,, J);
в) координату Х вектора а;
Г) np; a.
2.36. Заданы векторы е (—1, 1, "/.) и а(2, —2, —1).
Убедиться, что они коллинеарны и найти разложение
вектора @ по базису B= (Ee).
2.37. На плоскости заданы ‚векторы е; (—1, 2), е; (2, 1)
и @4(0, —2). Убедиться, что = (е,, е.) базис в мпо-
жестве всех векторов на плоскости. Построить заданпые
векторы и найти разложение вектора @ по базису 25.
2.38. Показать, что тройка векторов е, (1, 0, 0),
e;(1, 1, 0) ие, (1, 1, 1) образует базис в множестве всех
векторов пространства, Вычислить координаты вектора
=—2i—k в базисе» = (е,, ее.) и написать соответст-
вующее разложение по базису.
2.39. Заданы векторы а=21-- 31, = —3/— 22, Cc==
—=1--]— А. Найти:
а) координаты орта @,;
6) координаты вектора а— '/.6 + с;
в) разложение вектора 4-6— 2с по базису No == (4, J, No);
г) пр, (а— 6).
56
2.40. Найти координаты орта @, если а (6, 7, —6).
2.41. Найти` 2(а), если .Х (а) =3, У (а) =—9 и |а| = 12.
2.42. Найти длину и направляющие косинусы вектора
p=3a—5b+c, ecm a=4i+7/+3k, b=i14+2/+R,
c= 2i—3f—R.
2.43. Найти: вектор х, коллипеарный вектору а=#—2/—.
— 2, образующий с ортом У острый угол и имеющий
длину |х|=15.
|
2:44. Найти вектор х, образующий со всеми тремя
базисными ортами равные острые углы, если [х|=2ИЗ3.
2.45. Найти вектор х, образующий с ортом / угол 60°,
с ортом #— угол 120°, если |х|=5И 2.
2.46. При каких значениях © и В векторы а = —9{
+ 3jtaku b=pi—6/+ 2k коллинеарны?
2.47*. Найти вектор х, направленный по биссектрисе
угла между векторами а = 7 —4/—4В иб= —21— + 2,
если |х|=5И6.
2.48. Заданы векторы: @ (1, 5, 3), 6(6, —4, —2),
с (0, —5, 7) иа (—20, 27, —35). Требуетея подобрать чис-
ла а, Ви так, чтобы векторы аа, Вб, ус и а образо-
вывали замкнутую ломаную линию, если «начало» каж-
дого последующего вектора совместить с «концом» пре-
дыдущего.
2.49. В тетраэдре ОАВС плоские углы трехгранного
угла с вершиной О — прямые. Точка Н — основание пер-
пепдикуляра, проведенного из вершины О к плоскости
rpaun ABC. Найти координаты вектора ОН в базисе из
векторов
ОА, ОВ ни ОС, если |ОА|=а, |ОВ|=Ь, |ОС|==с.
3. Декартовы прямоугольные координаты точки. Простейшие
залачи аналитической геометрии. Говорят, что в трехмерпом про-
страистве введена декартова прямоугольная система координат <О, 3»,
если заданы:
|) искоторая точка О, пазываемая началом координат;
2) некоторый прямоугольный базис
% = ($, /, @) в множестве всех
геометрических векторов.
Оси Ох, Оу и 102, проведениые через точку О в направлении
базисных ортов td, Л и No, называются координатными осями системы
координат CO, By = Oxy.
Если М — произвольная точка простраиства, то направленный
отрезок ОМ пазывается радиус-вектором точки М. Координатами
точки М в системе <0, 3» вазываются координаты ее радиус-век-
тора ОМ как геометрического вектора в базисе 35, т. е.
х (М) =Х (ОМ), у(М) =У (OM), г (М)
=2 (ОМ).
57
ЕслиМ:(хт,Шу21)иМ.(ха,1,25)
— две произвольные точки
в пространстве, то координаты вектора М1М. равны’
Х== — хр, У=у—г, =2— 4.
(4)
Отсюда на основании (3) расстояние между точками выражается
формулой
р (Мз» М») =[М. Ма |[=У (.— м) --(и— и) -- (4—2).
При решении задач аналитической геометрии целесообразно мак-
симально использовать методы векторной алгебры.
Пример 1. Заданы вершины А (1, 0, —1), В (2, 2, 1) и точка
Е (1, 2, 1) пересечения медиан треугольника АВС. Найти коорди-
наты вершины С.
4 Так как координаты вершины А заданы, то для вычисления ко-
ординат вершины С достаточно найти координаты вектора АС. Пусть
BF—— медиана, проведенная из вершины В. Тогда
AC=2AF=2(BA+BF)=2(B+ BE|
6)
(здесь использован тот факт, что точка Е делит медиану ВЕ в отно-
шении 2:1). Далее, из условий1задачи с помощью формулы (4) ‘вы-
‚числяем координаты векторов АВ (1, 2, 2) и ВЕ (—3, 0, 0), откуда
на основании (5) получаем ‘AC (—7, 4, 4) и, наконец, вновь используя
формулу (4), находим координаты точки С:
а
& (C) =x (A)+-X (AC)=
y (C)=y (A)+Y (AC) = 4;
2 (C) =2(A)-+Z (AC) =
Пусть на прямой| заданы точки Му, М.и м. причем М1 М..
Рассмотрим векторы ММ и ММ.. Так как они коллинеарны, то
найдется такое действительное число А, что ММ =А.ММ.. Число А,
называется отношенцем, в котором точка М делит направленный
отрезок М! Мо; причем оно положительно, если точка М находится
внутри отрезка М:Ми, отрицательно (и А > —1), если М находится
вне М.М», и равно 0; если М=М..
Пример 2. Зная координаты точек М: (x1, Yi, 21) Mg (x2, Ya, 2a)
и отношение А, в котором точка М делит направленный отрезок М! М»,
найти координаты точки М.
_ _ 9 Пусть О— начало координат. Обозначим: ОМ = т, ОМ: = Га,
ОМ =г. Так как
MyM =f—Tj, MM,=fre—P;
r—ry=A(fo—r),
откуда (так как А 22 —1)
ri +Afre
a
=—
Полученная формула и дает решение задачи в векторной форме.
Переходя В этой. формуле к координатам, получим
_ а-НА
—1-ЕМо
—21Ady
x=
>
tpn? YR? FT
©)
2.60. Точка М (1, —5, 5) задана своими координатами
В декартовой прямоугольной системе координат <О, 3 ==
== (7, Л/ ЁNo)>. Найти координаты этой точки в системе
<0’, B'=(i', Л, Е, если:
a) OO’ =—2+j—ku i'=i,f' =J, k' =k;
6) =Oun v=, J=k, k' =i;
8) Of =ful = Tet)
S= pais, W=k
(предварительно убедиться, что 3’ — прямоугольный базис).
2.51. Даны три вершины А (3, —4, 7), В(—5, 3, —2)
и С (1, 2, —3) параллелограмма АВСР. Найти его четвер-
тую вершину О), противоположную В.
2.52. Даны две смежные вершины параллелограмма
А.(—2, 6), В (2, 8) и точка пересечения его диагоналей
М (2, 2). Найти две другие вершины.
2.53. Определить координаты вершин треугольника,
если известны середины его сторон: К (2, —4), М (6, 1),
М (—2, 3}.
2.04. На оси абсцисс найти точку М, расстояние от
которой до точки А (3, —3) равно 5.
|
2.55. На оси ординат найти точку М, равноудален-
нуюотточекА(1,—4,7)иВ(5,6,—5).
2.56. Даны вершины треугольника А (3, —1, 5},
В (4, 2, 5) иС (—4, 0, 3). Найти длину медианы, про-
веденной из вершины А.
|
2.57. Отрезок с концами в точках А (3, —2) и В (6, 4)
разделен на три’равные части. Найти координаты точек
деления.
2.58. Определить координаты концов отрезка, который
точками С (2, 0, 2) ир(5, —2, 0) разделен на три равные
части.
2.59 *. Заданы точки ДА (1, 2, 3), В(2, —2, 1),С(3, 0, 3)
и (16, 10, 18). Е—точка пересечения плоскости ОАВ
(О —начало координат) с прямой, проведенной через точ-
ку Р параллельно ` прямой (ОС). Найти координаты
точки Ё.
2.60*. Заданы точки А (2,5, 2) и В (14, 5, 4); С — точка
пересечения координатной плоскости Оху с прямой, про-
веденной через точку В параллельно прямой (ОА). Найти
координаты точки С.
59
2.61. Даны’ вершины’ треугольника A(1, —1,-—83),
В (2, 1, —2) иС (—5, 2, —6). Вычислить длину биссектрисы
его внутреннего угла при вершине А.
4 Найдем разложение вектора AE noо базису из векторов АВи АС.
Пусть e;= AB/| АВ| ие› = АСПАС | — орты` векторов AB и АС.
Тогда вектор АЕ сонаправлен в вектором в =е:--ез Asp. @ зада-
чей 2.47), т. е. существует число ^ > 0 такое, что
—
АВ
АС`
АВ] | АС]
С другой стороны,
AE= AC+CE =AC+pCB= AC+p (AB— AC) =
=вАВ-- (1—1) АС, в>0. (8)
Формулы (7) и (8) представляют собой два разложения вектора
АЕ по базису из векторов АВ и АС. В силу единственности раз-
ложения вектора по базису имеем
А
А
-
=He1p.
(9)
| AB|
|AC |
Решая систему (9), находим
1
__1ABI AC]
ЛАС |-- МАВ] |AB|+|АС |
так что формула (7) принимает вид
ДЕ = —!ACl_ дв АВЕ АС.
(10)
[АВ| -Н1АС| | AB |4-| AC |
Из условий задачи находим:
АВ (1, 2, 1) и |АВ]=Уб6, АС (—6, 3; —3) и |AC|=3Y6,
и на основании (10) получаем
3
4
откуда
АЕ (т, 1,2) | ЯЕ|=-2И10. No
2.62. Треугольник задан координатами своих вершин
А (3, —2, 1), В (3, 1, 5), СС, 0, 3). Вычислить расстоя-
ние от начала координат до точки пересечения медиан
этого треугольника.
2.63. Даны вершины треугольника
А(1, 0,2),В(1,2,2)
и Сб, 4, 6). Точка [ делит отрезок АС в отноше-
НИИ А — 1/3, CE] — медиана, проведенная из вершины С.
69
Найти координаты точки М пересечения прямых (BL)
и (СБ).
-
4. Скалярное произведение векторов. Скалярным произведением
ненулевых векторов а: и а» называется число
—
(ат, а2) =|@1|| аз | соз (ат, а).
Для скалярного произведения наряду с обозначением (а1; A>) исполь-
зуется также обозначение а1ао.
Геометрические свойства скалярного произведения:
1) аа’| а: < аа. =0 (условие перпендикулярности векторов);
2) если ф= (ат, а), то
0—ф<л/2 > а:а;. >09
п/2<фол аа.<0.
Алгебраические свойства скалярного произведения!
1) а1а. =азат;
2) (^а1) а, = ^, (а1а»);
3)а(6: 6.)=аб:--абв».
Если векторы а1 (Ху, Ут; 21) и а. (Хз, У», 75) представлены
своими координатами в прямоугольном базисе, то скалярное произ-
ведение равно
аа==АХ У1У+212».
Из этой формулы; в частности, следует формула для определения
косинуса угла между векторами
а1а2
АЕ Уз 212
а Па WV xt pvt V xitvi+ai
2.64. Доказать справедливость алгебраических свойств
скалярного произведения.
2.65. |a,|=3, |a,|=4, (aj, a,) = 2n/3. Вычислить:
а) а1 =4:41; 6) (За, —24,) (а: 243);
в) (а,+ а,)*.
^^
COS (Ay, Az) =
‘|
2.66. |a,|=3, |a,|==5. Определить, при каком зна-.
чении @& векторы a, + 4a; и а; —@а; будут перпендику-
лярны.
2.67. Вычислить длину диагоналей параллелограмма,
построенного на векторах @=рр— 34, b=5p-+2q, если
ons
известно, что |р|=2И 9, |4|=3. и -(p, g)=n/4.
2.68. Определить угол между векторами а и 6, если
известно, что (а@— 6)? -- (а -|- 26)*=20 и |а|=1, |6]=2.
2.69. В треугольнике АВС АВ= Зе, —4е,, BC =e, --
-- 5е;. Вычислить длину его высоты СН, если
.
известно;
что @; и е; —взаимно перпендикулярные орты.
61
_ 2.10. Вычислить пра+ь (2а—6), если |а|]=|6|=1 и
(а, 6) = 120°.
__
2.71. Известно, что АВ =2е, —6е; и АС =Зе; + е,, где
е; и е; —взаимно перпендикулярные орты. Определить
углы треугольника АВС.
2.72. Найти угол, образованный единичными векто-
рами е; и е., если известно, что векторы а=е;- 2е; и
b = 5e,—4e,; перпендикулярны.
2.73. Найти угол @ при вершине равнобедренного тре-
угольника, зная, что медианы, проведенные из концов
основания этого треугольника, взаимно перпендикулярны.
2.74. К вершине куба приложены три силы, равные
по величине1, 2, 3 и направленные по диагоналям гра-
ней куба, проходящим через эту вершину. Найти вели-
чину равнодействующей этих трех сил.
2.75. Задан прямоугольник АВСР и вне его произволь-
ная точка М. Доказать равенство MA-MC =MB.-MD.
Вывести отсюда, что | МА | + | МС| =| МВЕ--| МОР.
2.76*. АВС —равнобочная трапеция, АВ =@а—осно-
вание, АО =6— боковая сторона, угол. между АВ и. АБ
равен л/З. Выразить через а и 6 векторы ОС, СВ, АС
и ОВ.
2.77. Зная, что |a|=3, |O|=1, |e] =4u at+b+c=
= 0, вычислить ав
-- бес -+ са.
.
2.78. Даны векторы а, (4; —2, —4) и а. (6, —3, 2).
Вычислить: .
`
а) а:а;; 6) (24а: —3За,) (а.
-- 2а,); в) (а. —а,)*;
г) |24.—а.|; д) пра,@.; е) пра,ат;
ж) направляющие косинусы вектора ay;
8) Mpa,+a,(A;—2A,); H) COS(A;,M,). =
2.79. Даны точки А (2, 2) и В (5, —2). На оси абсцисс
найти такую точку М, чтобы АМВ==л/]?2.
2.80. Найти длины сторон и величины углов треуголь-
ника с вершинами А (—1, —2, 4), В (—4, —2, 0) иС (3,
—2, 1).
|
2.81. Для заданных векторов. а, 6, и с вычислить
пре (2а— 36):
|
а) а=—{-- 27+ А, 6=31-Е7-Е, с=4-- 3,
6) а=1—2]-ЗЕ, В=—3--2]—В, с=67--
27- ЗЕ.
2.82. Доказать, что четырехугольник с вершинами
А (—3, 5,.6), В(1, —5, 7), С (8; —3, —-)ир44, 7, —2)—
квадрат.
62.
2.83. Найти косинус угла ф между диагоналями (АС)
и (ВО) параллелограмма, если заданы три его вершины,
А(2,1,3),В(5,2,—1)
иС(—3, 3,—3).
2.84. Вычислить работу силы F=i+2j+k upu nepe-
мещении мат Bos точки из положения А (—1, 2, 0)
в положение В (2, 1, 3).
2.85. Даны векторы а@(1, 1) и 6(1, —1). Найти коси-
нус угла между векторами хи у, удовлетворяющими
системе уравнений 2х у=а, х-2у=6.
2.86. Векторы а, 6 и с имеют равные длины и обра-
зуют попарно равные углы. Найти координаты вектора с,
если а=#-], b=J+R.
Если с = 1-Е У7-2, то из условия задачи следует, что векторс
удовлетворяет системе уравнений
ca=X+Y=ab=1;
cb=Y+Z=ab=1;
|ер= ХУ
22 = ай=бР=2.
Решая эту систему, находим Ху=р—1/3, У: =4/3, 21=—1/3 или
Xg=1, Yg=0, Z2=1. P
2.87. Лучи [ОА), [ОВ) и [ОС) образуют попарно рав-
ные углы величины л/З. Найти угол между биссектрисами
углов /АОВ и /ВОС.
2.88. Найти координаты вектора х, коллинеарного
вектору а (2, 1, —1) и удовлетворяющего условию ах == 3.
2.89. Вектор х перпендикулярен векторам а; (2, 3, —1)
и а. (1, —2, 3) и удовлетворяет условию х (21—]-|- No) =
— —6. Найти координаты Хх.
Если задан некоторый вектор е, то ортогональной составляющей
произвольного вектора а вдоль вектора е называется такой вектор а,
который коллинеарен е, причем разность а—а, перпендикулярна
вектору е.
Аналогично ортогональной составляющей вектора а в плоскости Р.
пазывается вектор ар, компланарный плоскости Р, причем разность
а— ар перпендикулярна этой плоскости.
2.90. Для вектора а (—1, 2, 1) найти ортогональную
‚составляющую вдоль’ базисного орта Jf и ортогональную
составляющую в плоскости векторов фи R.
2.91. Заданы векторы е (1, 1, 1) и 1 (—1, 2, 1). Найти:
а) ортогональную составляющую вектора @а вдоль век-
тора е;
$‘ ортогональную составляющую вектора @ в плоско-
CTH перпендикулярной вектору е.
63
2.92. Заданы вершины треугольника А (—1, —, 4),
В (—4, —1, 2) и С(—5, 6, —4); [ВО] —его высота, про-
`веденная через вершину В. Найти координаты точки Д.
2.93*. Заданы векторы е, (1, —2, 0), е; (1, 1, 1) и
а (—2, 0, 1). Найти ортогональную составляющую @е,, в,
"
вектора @ в плоскости векторов
е!Ие..
Если базис = (ет; еж ез)— пря-
моугольный, то координаты произволь-
ного вектора а=Х1е;-+ Х.ез-+ Хзез в
этом базисе могут быть вычислены по
формуле
X;=ae;, i=1, 2, 8.
(11)
;
В частности, формула (11) позволяет
легко найти связь между координатами одного и того же вектора в
различных прямоугольных базисах.
Пример 3. Пусть базис %' =(Г, 7’) получен из базиса % ==
— (1, /) поворотом последнего вокруг точки О на угол ф (ф > 0, если
поворот произведен против часовой стрелки, ф < 0 в противном слу-
чае) (рис. 4). Установить связь между координатами вектора а в
7
базисах 53 и 3".
Пусть а= ХЁ-НУ)]. Тогда
Х'=ай =хХи’- УЛ’,
Y! =aj’=Xij'+Yjj’.
С другой стороны; имеем:
Рис. 4
(12)
ii’=cosq, Jl’ =cos (- +9) =— sing,
ij! =cos (F-+9)=si ф, 1"= 0$ Ф.
Поэтому формулы преобразования координат (12) принимают вид
Х!=Х с0$ ф—Узшф,
У’ =Х зшф-[У с0зф. No
‚2.94. Вывести формулы преобразования координат то-
чек плоскости при переходе от системы координат
<0, 3 == ($, J)> k cucteme <O’, B’ = (i', J’)>, ecu OO’ =x,i +
-- и], а базис »’ получен из базиса YB поворотом на
угол ф вокруг точки О.
2.95. Написать формулы преобразования координат
векторов при переходе от базиса » = (1, [, Е) к базису
3= (Г, 1, Е), если
i’=cosqg-i+sing-J, j’=—sing-é+cosg-J, k' =—k.
2.96. В прямоугольном базисе %= ($, ], No) вектор д
имеет разложение а = —2--]—®. Убедиться, что тройка
64
векторов
i’ =i, ‘=
ek, RB! =- VF
—=/ +=
также образует yeaa базис я
Л,®),и
найти в этом базисе координаты вектора 4.
2.97. Проверить, что тройка векторов е, (1, —2, 0),
е, (0, 1, 1) ие. (1, 2, 2) образует (косоугольный) базис.
Выразить скалярное произведение векторов @х, @.. через
их координаты в этом базисе, если
а=лАте,+хе,+Хге; иа,=X{Ve,4+Xe,+Х?е
5. Векторное произведение вектороз. Упорядоченная тройка не-
компланарных векторов @1, е›, ез называется правой, если наблюдз-
телю, находящемуся внутри телесного угла, образованного этими
вскторами, кратчайшие повороты от еу к е› и оте. к ез кажутся
происходящими против часовой стрелки. В противном случае тройка
(21, е›, ез) называется левой.
Векторчым произведением вектора а: на вектор а» называется
вектор, обозначаесмый символом [ат, аз] (или а хао›), определяемый
следующими тремя условиями:
1) длина вектора [ат, а] равна площади параллелограмма, постро-
^^
епного па векторах ати а», т. е. | [ат, а2]|=|ат |: | 42 | $11 (@1, а2);
2) вектор [а1, а21 перпендикулярен плоскости вектоэов ати @2;
3) упорядочсииная тройка ат, ао, [ат, аз] правая.
з определения векторного произведения следует, что
аа<[аг,а:]=0
Алгебраические свойства векторного произведения:
1) [а1, а]= — [а›, а1];
i [Лат, аз] = А[а аз];
3) [аа в] = а. b}+[as, 21.
Если а1 (Ха, Ут, 21) и аз (Хо, У», 25) —векторы, заданные своими
координатами в правом прямоугольном базисе, то разложение вектор-
ного произведения [0@1,. 42] в том же базисе имеет вид
[ат, а>] = (У12.—271У») 1-- (1—1)У- (У.
— УХ.) В,
или, в символической записи (с использозанием попятия определи-
теля 3-го порядка; см. $ | гл. 3)
ГуЕ
[а1, а] =| Л: У, 21|.
. (13)
Х,И,2,
a
2.98. |141 |==1, |@,|==2 и (4, @,) == 2л/3. Вычислить:
) [2 а]; 6) [2а,-- а, а, + 2а,]|;
. | [a,-+ 3a,, 3a, —-a,] |.
2.99. Какому условию должны удовлетворять векторы @.
и а, чтобы векторы @,--а, и а. —а, были коллинеарны?
3 Под ред. Л. В. Ефимова, BG. П. Демидовича
65
2.100. Упростить выражения:
a)(i,УЕ—[Л ЕНЕЕ, ЕЛ *],
6) [fa+b+c¢, c]+fa+b+c, b]+[b—ce, а],
в) [2a+6, c—a]+[b+c, a+b],
r) 2i[/, kl+37 (i, k] +48 [i, J).
2.101. Hoxa3atb, uto [a—b, a+-6|=2[a, b] и выяс-
нить геометрический смысл этого тождества. .
as
2.102. |а|=|6|=5, (а, b)=n/4. Вычислить пло-
щадь треугольника, построенного на вектсрах а—26 и
За -- 26.
2.103. Векторы а, 6 и с связаны условием а - В -|-с =
= 0. Доказать, что [а, 6] =[6, с] =[с, а]. Каков геомет-
рический смысл этого результата?
2.104. Доказать, что при любых векторах а, р, анг
векторы [а, р], [a, 4] и [а, г] компланарны.
as
2.105. |а|=2, |6|=5, (а, 6) =л/б. Выразить через
векторы а и В единичный вектор с, перпендикулярный
векторам а и фи такой, что:
а) тройка (а, 6, с.) правая;
6) тройка (В, с., а) левая.
2.106. Заданы векторы а, (3, —1, 2) и а, (1, 2, —1).
Найги координаты векторов:
а) [a,, a,|; 6) [2a,+a,, a, |; B) [2a,—a,, 20, -|- a,|.
2.107. Вычислить площадь треугольника с вершинамн
А(1,1,1),В(2,3,4)иС(4,3,2.
2.108. В треугольнике с вершинами А (1, —1, 2), В (5,
—6, 2) и С (1, 3, —1) найти высоту h=| BDI.
2.109. Определить, при каких значениях @& и В вектор
04 -- ЗУ-- Ве будет коллинеарен вектору [a, bj, если
а(3, —1, 1), 61, 2, 0).
2.110. Для заданйых векторов а (2, 0, 3), в (—3, 5, 4),
с (3, 4, —1) вычислить проекцию вектора [а, 6] на век-
тор (а, В) с.
2.111. Для заданных векторов а (2, 1, —1), 6 (1, 2, 1),
с (2, —1, 3), 43, —1, 2) вычислить проекцию вектора
а--с на вектор [6— а, с].
2.112. Найти вектор fa, a+6|+ [a, [а, 6]], если
а(2, 1, —3), В, —1, 1).
2.113. Найти вектор [АВ-- АС, [BC, АВ]| если А (2,
2, 3), В(1, 0, 4), С(2, 3, 5).
2.114. Три ненулевых вектора а, в и с связаны соот-
ношениями а=[6, с], В =[с, а|, с=[а; 6]. Найти длины
этих векторов и углы между ними.
66
2.115. Сила F=2i—4j+5k npunomena Kk Touxe A (4,
—2, 3). Определить момент этой силы относительно, точки
O (3, 2, —1).
2.116. Даны три cua: F, (2, —l, —3), F,(8, 2, —1)
u F,(—4, 1, 3), приложенные к точке А (—1, 4, 2). Опре-
делить величину и направляющие косинусы момента равно-
действующей этих сил относительно точки О (2, 3, —1.
2.117. Вычислить площадь параллелограмма, диагона-
лями которого служат векторы 2е,—е; и 4е;—5е,, где
a“
ег и @,—e€AHHHYHbIe BeKTOpbI H (@,,
€,) = 1/4.
2.118. Найти координаты вектора х, если известно,
что он перпендикулярен векторам @, (4, —2, —3) и а, (0,
1, 3), образует с ортом 1 тупой угол и | х|= 26.
2.119. Найти координаты вектора х, если он перпен-
дикулярен векторам а, (2, —3, 1) и а. (1, —2, 3), а также
удовлетворяет условию x (£-+ 2f—7k) = 10.
2.120. При каких условиях уравнение а, = [4,, x] имеет
решение относительно Х? Сколько существует решений?
2.121. Найти сосФавляющую вектора а (—1, 2, 0), пер-
пендикулярную плоскости векторов е, (1, 0, 1) иее, (1,
‚ 1).
.122. Как изменится выражение (13), если координаты
векторов задать в левом прямоугольном базисе? Будет ли
верна эта формула в случае косоугольного базиса?
2.123*. Вектор [а, [6, с]] называется двойным вектор-
ным произведением заданных векторов. Доказать, что
справедливо равенство
[а,6, с]=6(а, с)—с(а, 6).
6. Смешанное произведение векторов. Смешанным произведением
упорядоченной тройки векторов ат, а, аз называется число [ат, аз] аз.
Геометрические свойства смешанного произведения:
1) если У— объем параллелепнпеда, построенного на векторах Qj,
азиаз,то
[а1, аз] «4
У, ебли тройка (а1, аз, аз) правая,
— У, если тройка (а1, а›, аз) левая;
2) для того чтобы три вектора а1, а›; аз были компланарны,
необходимо и достаточно выполнение условия [ат, @2] аз=0.
Основное алгебраическое свойство смешанного произведения со-
стоит в том, что циклическая перестановка векторов не меняет его
величины, т. е.
[ат, а2] а =[а2, аз| аа =[@аз, а1] ао.
Это свойство позволяет ввести обозначение [а1, а>] аа=а1азаз (ре-
зультат не зависит от того, как расставить квадратные скобки в пра-
вой части). Смешанное произведение через координаты векторов в
3*
67
правом прямоугольном базисе записывается в виде
Х1У!21
Хх,У,2.|.
ХзУз23
4,883 =
2.124. Векторы @;, @;, а: образуют правую тройку,
взаимно перпендикулярны и |@,|=4, |а.|=2, |a,|=3.
Вычислить @.4.@з.
2.125. Векторы а, 6, с образуют левую тройку,
“a
а|=1; |6|=2, |e|=3 u (a,b)=30°; cla, c_Lb.
auTu abe.
|
2.126. Заданы векторы @, (1, —1, 3), а, (—2, 2, 1) и
а; (3, —2, 5). Вычислить а:@а.аз. Какова ориентация троек:
а) (@1, а,, аз); 6) (а., ал, аз); в) (@1, аз, а.)?
2.127. Установить, образуют ли векторы @1, а, и As
базис в множестве всех векторов, если:
а) а, (2, 3, —1), а,(1, —1, 3), а,(1, 9, —11;
6)а,(3,—2, 1),а,(2,1,2),а,(3,—1, —2.
2.128. Доказать, uTo |a,a,a,|<|a@,||a@,||a3]; B Kakom
случае имеет место знак равенства?
2.129. Доказать, что при любых а, Вис векторы
a—b, b—c uw с—а комплапарны. Каков геометрический
смысл этого факта?
2.130. Доказать тождество
(a +6-}-c) (a—2b-+ 2c) (4a-+ b+ 5c) == 0
2.131. Доказать, что ecan afa, B| Th c]-+y[e, a] =
= 0, причем хотя бы одно из чисел a, BP WH Y.OTMHYNO OT
нуля, то векторы а, б и с компланарны.
2.132. Вычислить объем тетраэдра ОАВС, если ОА =
= 31-4} ОВ= —ЗУ-+ ®, ОС= 27-54.
2.133. `Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точ-
кахA(2,—3,5),В(0,2,1),С(—2,—2,3)uD&8,a4).
2.134. В тетраэдре с вершинами в точках А (1, 1, 1),
В (2, 0, 2), С (2, 2, 2) и) (3, 4, —3) вычислить stony
h—|DE\.
2.135. Проверить, компланарны ли данные векторы:
а) а= —21 7-Е 6=Е—27--ЗВ, с= 14—137Е;
6) а=21--/—ЗЕ, 6=3#—27- 28, с=:—47-Е.
‚ 2.136. При каком ^ векторы а, 6, с будут компла-
нарны?
а) а(^, 3, 1), 6(5, —1, 2), с (—1, 5, 4);
6)а(1,2,1),В(1,^,0),с(0,^,1).
68
2.137. Hoxasatb, что’ четыре точки ‘А (1,92, —1),
В(0, 1,5), С (—1, 2, 1) и D(2, 1, 3) лежат в одной пло-
CKOCTH.
2.138. Найти координаты четвертой вершины тетра-
эдра АВСО, если известно, что она лежит на оси. Оу, а
объем тетраэдра равен: и:
|
а).
А(—1, 10, 0), В(0, 5, 2);С(6, 32, 2), и= 99;
6) Л (0, 1, 1,В(4, 3, —3), С(2, —1, 1), v=2.,
2.139. Доказать, что. объем параллелепипеда, постро-
енного на диагоналях граней данного параллелепипеда,
равен удвоенному объему данного параллелепипеда.
2.140. Доказать тождества:
_а) (ас)6 (а+6)=-—адс;
6) (a—b) (a—b—c) (A+ 26—C) = 3abc;
8) (+6) (6 +0) (c +a)= 2abe;
r) Wa,B (ab (c+ aa+ Pb) =abe).
$ 2. Линейные геометрические объекты
1. Прямая на плоскости. "Прямая на плоскости в ‘декартовой
прямоугольной системе. координат Оху может быть задана уравнением
одного из следующих видов...
|
.
1) Ax-+ Ву С =0— общее уравнение прямой;
—
|
2) А (х—ж)-РВ (у— и) =0— уравнение прямой, проходящей через
точку М, (ху, Ис) перпендикулярно нормальному вектору п (А, В);
х—х
—
.
¥
3)
ed a — уравнение прямой, проходящей через точку
Мо (ж, и) параллельно направляющему вектору 4 (1, т) (каноническое
уравнение прямой);
4) ‘ r= ky tlt, 1E(—o,. +0), —napamempuueckue уравнения
р
И=,
or
прямой, которые. в векторной форме имеют вид
г=Р -- 9,
где Го (хо; Ио) — радиус-вектор точки Мо (хо, Ш), 4 (1, т) — направляю-
щий вектор прямой;
Xx
he
eo
5) + =1-— уравнение прямой в отрезках, где аи р — вели-
чины направленных отрезков, отсекаемых прямой на координатных
осях Ох и Оу соответственпо;
6) хсоз &-- у.соз В —р=0 — нормальное уравнение прямой, где
с0$ & и соз В — направляющие косинусы нормального вектора м, на-
правленного из начала координат ‘в сторону прямой, а р> 0— рас-
стояние от начала координат до прямой.
Общее уравнепие 1) приводится к нормальному виду 6) путем
умножения на нормирующий множитель
senC
=VY A?-+ B?
69
Если прямая Г. задана уравнением Buya 6), a M (x, y)—HekoTopan
точка плоскости, то выражение
(М, 1) =хсоз
“-|- усоз В—р
задает отклонение точки М от прямой Г. Знак 6(М, Г), ука-
зывает на взаимное расположение. точки М, прямой [. и начала коор-
динат, а именно: если точка М и начало координат лежат по разные
стороны от прямой [., то 6 (М, Г.) > 0, а если М и начало координат
находятся по одну сторону от прямой ЕЁ, то 6 (М, [.) < 0. Расстояние
р (М, Г.) от точки М до прямой Ё определяется равенством р (М, Г.) ==
6(м, Г.)|.
Пример 1. Написать уравнение прямой Ё”, параллельной двум
заданным прямым [1: х--2у—1=0, [.: х--2у--2=0 и проходящей
посередине между ними.
4 !-й метод. Так как вектор п (1, 2), нормальный к заданпым пря-
мым [ти [., является в то же время нормальным и к прямой L’,
то достаточно найти какую-нибудь точку М’, лежащую посередине
между [1 и Ё.. Из уравнений для Ё1 и Ё[. находим любые две точки
М ЕЁти М.ЕЁГ., например такие: М; (1, 0) и М. (—2, 0). Тогда
точка М’ (—1/2, 0), делящая отрезок М1 М. пополам, лежит посерс-
дине между [ти [.. Поэтому уравнение прямой Ё’ имеет вид
|
х-Е 2,55 =0.
2-й метод. Произвольпая точка М принадлежит [.’ в том и только
в том случае, когда р (М, Ё1) =р (М, 1.5), т.е
| ОМ, 11) [=16 (М, L2) |.
(1)
Для того чтобы снять модули в этом соотношении, установим поло-
жение начала координат относительно заданных прямых [1 и [..
Нормальные уравнения этих прямых таковы:
V5У5V5
V5aV5
Так как нормали Пт и По из точки Ов сторону li И L, противоно-
ложно направлены, то точка О находится в полосе между [л1'и Lg.
Поэтому ‘соотношение (1) принимает вид 6 (М, [1) =6 (М, [.),
—=Ои Lo: —
= 0),
ИЛИ
|
2
|
|
2
2
V5’
tT.e.L’:ху =0.>
В задачах 2.141 —2.143 требуется:
1) написать уравнение прямой, привести его к общему
виду и построить прямую;
2) привести общее уравнение к нормальному виду и
указать расстояние от начала координат до прямой.
2.141. Прямая [ задана точкой М, (хо, и) ЕЁ и нор-
мальным вектором п (А, В):
70
a) Мо
2), п(2, 2); 6) М.(2, ® пв(2, 0);
в) М, (1, 1),в (2, —1).
2.142. Прямая Г. задана точкой М, (хо, и.) Е Ё и направ-
ляющим вектором 4 (1, т):
a) М, (1, 2), 463, —1); 0) М, 1), 90, —1;
в) М, (—1, 1), 9(2, 0).
2. 143. ПрямаяГ, задана двумя своими точками М, (ху, и!)
HM, (Xj, Ys):
а) М.(1,2), М,(—1, 0); 6)М, (1, 1), М;(1, —9);
vB) M,(2, 2), М.(0,2
2.144. Заданы прямая Г и точка М. Требуется:
1) вычислить расстояние р (М, Г.) от точки М до пря-
мой L;
2) написать уравнение прямой /.’, проходящей через
точку М перпендикулярно заданной прямой Г;
3) написать уравнение прямой L”, проходящей через
точку М параллельно заданной прямой L.
Исходные данные:
a) L: —2x+y—1=0, M(—1, 2);
6) Li 2Qy+1=0, M(I, 0);
B) L: x+y+1=0, M(0, —1).
Пусть заданы две прямые Ly u Le. Возможны два случая их
взаимного расположепия:
1) (ти ЕЁ. — параллельные прямые, в частности они совпадают;
2) [т и [5 пересекаются.
В задачах 2.145 —2.149 исследовать взаимное распо-
ложение заданных прямых Ё, и [.,. При этом в случае 1)
найти расстояние р (С, 2.) между прямыми,а в случае 2) —
“oom
косинус угла (L,,L,) H Touky М, пересечения прямых.
2.145. Ly: —2x+y—1=0, L,: 2y4+-1=0,
2.146. Ly tt =4.,, Г Е,
2.147. Ly: x+y—1=0, Ls: ex ty t=
2.148. Ly: x+y—1=0, Ly 57 =i",
2.149. L: —x+2y4+1=0, Lj: 2x—4y—2=0.
2.150. Треугольник АВС задан координатами своих
вершин. Требуется:
1) написать уравнение стороны (АВ);
2) написать уравнение высоты (СО) и вычислить ее
длину h=|CD|;
3) найти угол ф между высотой (СО) и медианой (ВМ);
4) написать уравнения биссектриб [г и Ё, внутреннего
и внешнего углов при вершине А.
71
‘Исходные данный
а) А(1,.2), В (2, —2), С (6, 1);
6)А (2, —2), В (6, 1), С (—2, 0).
2.151. Показать, что точка М (—1, 2) принадлежит
прямой [:.х=2Ь у=—1— 6. Найти соответствующее
этой точке значение параметра f.
2.152. Вычислить расстояние от точки М (1, 1) до пря-
мой [: х= —1 2t, y=2+1.
Если ‘прямая задана общим уравнением `Ах-- Ву--С =0 и при
этом В 20 (т. е. прямая не параллельна оси Оу), то эта прямая
может быть описана уравнением с угловым коэффициентом вида у =
= kx-+bd.
Пример 2. Написать уравнение прямой. L’, проходящей через`
точку М (2, 1). под ‘углом л/4 к прямой Ё: 2х + Зу-4 =0.
« Углом между прямыми Ё и [’ называется наименьший из двух
смежных углов, образованных этими прямыми. Поэтому (см.
задачу 2.156)
byt
|
tg(Li,LLy) = a
=i,
'+(-з)*
где &— угловой коэффициеит прямой Ё’. Из этого уравнения находим.
#1 =1/5, К›=—5. Следовательно, задача имеет два решения. Исполь-
зуя координаты точки М, мы ‚можем записать для каждого случая
уравнение с угловым коэффициентом:
J
3
|
УЕ ХТ, у=—бх-+ 11,
или в общем виде
x—by+3=0, Sx+y—l1=0. p
2.153. Написать уравнение прямой, проходящей через
точку Мо (2, 4) и отстоящей от точки А (0, 3) на расстоя-
ние р=|.
2.154. Написать уравнение прямой, проходящей через
точку М, (1, 2) и удаленной от точки А (—2, —5) вдвое
дальше, чем от точки В (1, 8).
2.155. Написать уравнение прямой, проходящей на
расстоянии И 10 от точки А (5, 4) перпендикулярно пря-
мой, 2х бу—3==0.
2.156. Доказать, что если прямые Ё; и [, заданы
уравнениями с угловым коэффициентом, то
Ra— ky
tg (Li,Ly) = EL.
2.157. Из точки М (5, 4) выходит луч света под углом
ф=а!гс®2 к оси Ох и отражается от нее. Написать
уравнения падающего и отраженного лучей.
72
2.158. Найти уравнение прямой, отсекающей на:оси
абсцисс от начала координат: отрезок длины 2: Hv образую-
щей с прямой 2х— у+3=0. угол 45°. |
2.159. В уравнении прямой 4х+ Лу—20=0 подобрать
Л, так, чтобы угол межлу, этой прямой и прямой 2х—
— Зи--6 =0 равнялся 4
2.160. В равнобедренном треугольнике АВС заданы
вершина С (4, 3), уравнение 2х —у—5 ==0 основания (АС)
и уравнение х—у==0 боковой. стороны (АВ). Написать
уравнение стороны (ВС):
2.161. Написать: уравнение прямой, которая отстоит
от точки А (—1, 2) на. расстояние р=И 34 и составляет
с осью Ох угол, вдвое больший угла, составляемого- с
осью Ох прямой 2х —6у--5=0.
2.162. Составить уравнение прямой, которая 1 проходит
через точку М (8, 6) и атсекает от координатного угла
треугольник с площадью, равной 12.
2.163. Написать уравнение прямой, параллельной двум
заданным прямым Ё[, и Ё, и проходящей посередине. между
ними, если:
хи 45.
a) L;: 3x—2y—1—0,. L,:
=F
x
r
o
l
"
т
6) [1: 38x—15y—1=0, L,:
2.164. Написать уравнение прямой, проходящей через
точку М (2, 1) под углом л/4 к прямой Ё: х=У-Ь у=
= —2—/,t.
|
‚2.165. Даны две противоположные вершины квадрата
Д (1, 3) и С(—1, 1). Найти координаты двух его других
вершин и написать уравнения его сторон.
2.166. Известны уравнение одной из сторон квадрата
х- 9 3 =0 и точка пересечения диагоналей М (—2, 0).
Написать уравнения остальных его сторон.
2.167. Точка А (5, —4) является вершиной квадрата,
диагональ которого лежит на прямой х—7и—8=0. На-
писать уравнения сторон и второй диагонали этого
квадрата.
2.168. Написать уравнения сторон треугольника АВС,
если задана его вершина А (1, 3) и уравнения двух ме-
muaH x—2y+1=0n y—1=0.
2.169*. Доказать, что прямая 2х | и--
3 ==0 пересекает
отрезок [М,М,|, где М, (—5, 1) и М, (3, 7).
73
2.170. Написать уравнение прямой, проходящей через
точку М, (—2, 3) на одинаковых расстояниях от точек
М1(5, —1) иМ, (3, 7).
|
|
2.171. Установить, лежат ли точка М, (|, —2) и начало
координат в одном угле, в смежных или в вертикальных
углах, образованных пересекающимися прямыми [и Ё,,
если;
a) Ly 2x—y—5=0, Ly: 3x+y+10=0;
6) Ly: x—2y—1=0, L,: 3x—y—2=0.
2.172. Установить, какой из углов —острый или ту-
пой, — образованных прямыми 3х—5бу—4=0Ои х-2у-+
+3=0, содержит точку М (2, —5).
2.173. Написать уравнения сторон треугольника, зная
одну его вершину В (2, 6), а также уравнения высоты
x—7y+15=0 uw биссектрисы 7х у 5=0, проведенных
из одной вершины.
2.174. Написать уравнения сторон треугольника, зная
одну его вершину В (2, —7), а также уравнения высоты
3зхи-1] =0 и медианы х-- 2у-7=0, проведенных из
различных вершин.
2.175. Написать уравнения сторон треугольника, зная
одну его вершину А (3, —1), а также уравнения биссек-
трисы х—4и-
10 =0 и медианы 6х 10,—59 =0, прове-
денных из различных вершин.
2.176. Даны уравнения 5х 4у =0и Зх— у==0 медиан
треугольника и координаты (—5, 2) одной из его вершин.
Найти уравнения сторон.
2.177. Даны уравнения и 4=0, 7х-|-4и--5=0 бис-
сектрис двух внутренних углов треугольника и уравнение
4х |- Зу=0 стороны, соединяющей вершины, из которых
выходят данные биссектрисы. Написать уравнения двух
других сторон треугольника.
2.178. а) Доказать, что точка Н пересечения высот
треугольника лежит на одной прямой с точкой М пере-
сечения его медиан и с центром МNo, описанной окружности.
6) Проверить утверждение п. а) для треугольпика с
вершинами‘в точках ДА(5, 8), В (—2, 9), С (—4, 5). Опре-
делить, в каком отношении А точка Н делит направлен-
ный отрезок ММ.
__ 2.179. В треугольнике А (—3, —1), В (1, —5), С (9, 3),
АМ=3 МВ, АМ=3ЗМNoС. Показать, что точка пересечения
прямых (ВМ) и (СМ) лежит на медиане, проведенной из
вершины A.
74
2. Плоскость и прямая в пространстве. Плоскость Р в декарто:
Рой прямоугольной системе координат Охуг может быть задана урав
пением одного из следующих видов:
4,
1) Ax-+- By-+Cz+ D=0—o6wee уравнение плоскости;
2) A (х— хо) B (ии )-РС (2—2) =0— уравнение — плоскости,
проходящей через TOUKY Mo (Xo, Yo, 29) перпендикулярно нормальному
вектору, n (48 ©);
3) = ++ = | — уравнение плоскости в отрезках, где а, 6,
с— величины направленных отр@зков, отсекаемых плоскостью на коор-
дннатных осях Ох, Оу, Ог соответственно;
4) xcosa-+ycos B--2cos yp—p= 0— нормальное уравнение пло-
скости, где со$ и, со$ В, со$ у — направляющие косинусы нормального
вектора й, направленного из начала координат в сторону плоскости,
ар > Ч— расстояние от начала координат до плоскости.
Общее уравнение 1) приводится к нормальному виду 4) путем
умпожения на нормирующий множитель
sgnD
У +В?
Если плоскость Р задана нормальным уравнением вида 4), а
М (х, у, г) — некоторая точка пространства, то выражение
§(M, P)=xcosa+ycos B-+2zcosy—p
задает отклонение точки М от плоскости Р. Знак 6(М, Р) ука-
зываст на взаимное расположение точки М, плоскости Р и начала
координат, а именно: если точка М и начало координат лежат по
разные стороны от плоскости Р, то 9 (М, Р) > 0, а если М и начало
координат находятся по одну сторону от плоскости Р, то 6 (М, Р) < 0.
Расстояние р (М, Р) от точки М до плоскости Р определяется
равенством р (М, Р) =|6 (М, Р)|.
°
Прямая Ё в пространстве может быть задана:
1) общими уравнениями
| Ayx-+ Byy+C,z+4 Di=9,
—
Aox-+ Boy C.z+ D2=0,
где коэффициенты Ат, Вл, Су не пропорциональны коэффициентам
As, В», С, что равносильно ее заданию как линии пересечения пло-
скостей;
2) параметрическими уравнениями
х= л-Н И,
Y¥=Yo+ mt,
=Z-+ni,
или в векторной форме
r())=rot+q,
где Го (хо, Yor 20) — радиус-вектор некоторой точки, принадлежащей
прямой, а 4 (1, т, п) —направляющий вектор прямой;
3) каноническими уравнениями
X—Xqo _У\ _2—20
l
m
п
15
что равносильно описанию прямой как линии пересечения трех пло-
скостей, проектирующих эту прямую на координатные плоскости.
Пример 3.Таписать уравнение плоскости Р, проходящей через
точки М: (1, 1, 1) и М, (0, 2, 1) параллельно вектору а (2, 0, 1).
Задача имеет едипственное решение, так как векторы М1 М. (—1,
1, 0) иа (2, 0, 1) неколлинеарны. В качестве нормального вектора
к плоскости может быть взят вектор
ij
k
|
n=[M,M,, aj=|—1 1 0{/=i+/—2k.
.
201
<
.
Уравнение плоскости имеет вид (х—П-Р(у—1)—2
(2—1) =0, или
х-- и— 92 = . Так‘как в: последнем уравнении отсутствует свободный
член, то плоскость проходит через начало координат.
Другой способ. Точка М (х, у, д принадлежит искомой плоско-
сти Р в том и только в том случае, когда векторы М:М, М!:М. и
а компланарны. Следовательно,
х—1 и—1 2—1]
М.М. М:М.:а=| —Ё 1 0 |=0,
201
т.е. ху 22=0.
|
—
_
.
Пример 4. Прямая [ задана, общими уравнениями.
x-+y—z=0,
.
2х—у--2=0.
Написать канонические уравнения этой прямой, а также уравнение
ее проекции на координатную плоскость Ох.
|
4 Точка М (0, 2, 2) удовлетворяет общим уравнениям прямой (про-
верьте!) и, следовательно, лежит на этой прямой. В качестве направ-
ляющего вектора прямой может. быть взят. вектор а=[п1; Mo], Tae
т! (1, 1, —1) им, (2, —1, 0) нормальные векторы плоскостей, линией
пересечения которых является заданная прямая. Таким образом,
ijk
q=|1 1 —l/=—i—2/—3k,
2—1 0
и канонические уравнения прямой таковы:
x y—2 2—2
о -—2° —3"°
Полученная пропорция эквивалентна системе трех уравнений
—2ху—2=0,
‘ —3x+z—2=0,
—3y+-2z21+2=0,
описывающих три плоскости, проектирующие прямую на координат-
ные плоскости Оху, Охг и Оуг соответственно (уравнения прямой в
проекциях). В частности, уравнение —3х+-2—2=0 есть уравнение
проекции заданной прямой на плоскость Охг. >
76
Пример 5. Заданы скрещивающиеся прямые
р. x y—l a+? Ly: 21Ши 2—2
“1 wees OOewe Ш—
=
[5-0
иГ:
9_
Найти расстояние р (Ё1, [.5). между прямыми и написать уравнения
общего перпендикуляра [. к этим прямым.
« Найдем уравнение плоскости. `Р, проходящей через прямую Ly, na-
раллельно прямой [2 (рис. 5). Точка M, (0, 1, —2) лежит на пря-
мой [1 и, следовательно, принадле-
жит искомой плоскости Р. В каче-
стве нормального вектора к этой
плоскости, возьмем вектор
п=[41,42]=
ijk
=}-20 1|={—29—j—4k.
12 —1].
Уравнение плоскости Р:
—2х—(и—9—4 (2-2)==
или, в общем виде, 2х- en
Рис. 5
4-7 =0.
Расстояние р (Ё1, Ё2) равно расстоянию от любой точки прямой
[2, например, точки М, (—1, —1, 2), до плоскости Р. Нормальное
уравиение плоскости `Р имеет вид
4, То
V21 V21 VY21 ил’
откуда .
2
od
8
7
12
p (Li, Le)
=|6(Mg, P)|=
4+
Va'V2Vorya}ya
Для того чтобы составить уравнение. общего перпендикуляра L,
найдем уравнение плоскостей Р: и Р., проходящих через заданиые
прямые Lyn Leg соответственно и перпендикулярных плоскости Р.
меем: М (0, 1, —2) ЕР и п, =[91, п]=#— 107-28
| Р\1, откуда
Py: x—10y 22: -|- 14 =0. Аналогично М. (—1, —1, 2)EP 2 и М2 == [92,
п] :=--9$- | ПЗ DP откуда Py: 3x —2y—z-+ 3-=0
Так как [=Р.[Р.,
Ио
Зх—2у—2--3==0
— общие уравиения прямой Ё.
2.180. Заданы плоскость Р и точка М. Написать урав-
нение плоскости Р’, проходящей через точку М парал-
лельно плоскости Р, и Вычислить расстояние о(Р, Р’),
если:
a) P: —2x--y—z+1=0, M(, I, 1);
6) P: x—y—1=0, M(I, f, 2).
2.181. Написать уравнение плоскости iP’, проходя-
щей через заданные точки М; и М,. перпендикулярно
77
заданной плоскости Р, если:
а) Р: —хРиуи—1=0, М, (1, 2, 9) М, (2, 1, 1);
6) P: 2x —y+z4+1=0, M,(0, 1, 1), M,(2, 0, 1).
2.182. Написать уравнение плоскости, проходящей
через точку М параллельно векторам а, и 4», если:
а) М(1, 1, 1),а,(0, 1, 2), а,(—1, 0, 1);
6) М(0, 1, 2),а,(2, 0, 1), а,(1, 1,0).
2.183. Написать уравнение плоскости, проходящей че-
рез точки М, и'М, параллельно вектору а, если:
а) М,(1, 2, 0),М,(2, 1, 1), а(3, 0, 1);
6) М,(1, 1, 1, М, (2, 3, —1), а(0, —1, 2).
2.184. Написать уравнение плоскости, проходящей
через три заданные точки М., М, и М,, если:
а)М,(1,2,0),М,(2,1,1),М.(3, 0,1);*
6) М:(1, 1, 1),М,(0, —1, 2), М.(2, 3, —1).
Пусть ваданы две плоскости Ру и Ро. Возможны два случая их
взаимного расположения:
1) Р.|Р.5, в частности плоскости совпадают;
2) Ру и Ро пересекаются по некоторой прямой.
В задачах 2.185 —2.188 исследовать взаимное распо-
ложение заданных плоскостей. При этом в случае 1) найти
расстояние р(Р,, Р,) между плоскостями, а в случае 2) —
косинус угла между пими.
2.185. Py: —x+¢2y—z+1=0, P,: y+3z—1=0.
2.186. P,: 2x—y+z2—1=0, P,: —4x+ 2y—2z—1--0.
2.187. Py: x—y+1=0, P,: y--z+1=0.
2.188. Py: 2x—y—z+1=0, P,: —4x+2y+ 22—2:-=0.
2.189. Вычислить объем пирамиды, ограниченной пло-
скостью Р: 2х—Зи-- 62—12 ==0 и координатными пло-
CKOCTAMH.
2.190. Написать уравнение плоскости, проходящей
через точку М, (1, 7, —5) и отсекающей от осей коорди-
нат положительные и равные отрезки.
2.191. Три грани тетраэдра, расположениого во вто-
ром октанте (х<0, у>0, 2> 0), совпадают с коорди-
натными плоскостями. Написать уравнение четвертой
грани, зная длину ребер, ее ограничивающих: | АВ| =6,
|8С]=У 29, | АС|]=5, и найти длину высоты [ОН]
тетраэдра.
78
2.192. Написать уравнения плоскостей, делящих попо-
лам двугранные углы, образованные плоскостями Р, и Р.,
если:
a) Py: x—3y+2z—5=0, P,: 38x—2y—z+3=0;
6) Py: 2x—y+5z—3=0, P,: 2x—10y+4z—2=0.
2.193. Написать уравнение плоскости, равноудаленной
от двух заданных плоскостей Р, и Р,, если:
a) Py: 44—у—22—3=0, Р.,: 44—у—22—5=0;
6) Py: 5x—3y+24+3=0, P,: 10x—6y+2z+7=0.
2.194. Установить, лежат ли TouKH M,(2,—1,1) и
М, (1,2, —3) в одном угле, в смежных или в вертикаль-
ных углах, образованных плоскостями Р, и Р,, если:
a) Py: 8x—y+2z—3=0, P,: x—2y—z+4=0;
6) Py: 2x—y+5z—1=0, P,: 3x—2y+6z—1=0..
2.195. Известны координаты вершин — тетраэдра:
А (2,0, 0), В (5, 3, 0), С (0, 1, 1), В (—2, -—4; 1). Написать
уравнения его граней.
2.196. Составить уравнение плоскости, проходящей
через точку ДА (1, 1, —1) и перпендикулярной к плоскостям
2%— у 52-3=0 и x+ 38y—z—7=0.
2.197. Прямая Ё задана общими уравнениями. Напи-
сать для этой прямой канонические уравнения и урав-
нения в проекциях (см. пример 4), если:
‚ Г2х—у-22—3=0, .
оО
а) Г. x+2y—z—1=0; 0) г: 2x—ytz+2=0.
2.198. Написать канонические уравнения прямой, про-
ходящей через точку М. (2, 0, —3) параллельно:
а) вектору @ (2,
);
—3, 5
» X—1 yt2 2-1.
6) прямой
== =";
в) оси Ох; г) оси 02;
. {| 3x—y+2z—7=0,.
д) прямой x+3y—2z—3=0;
.е) прямой х=—2-Ь у=2Ь г=1— 1.
2.199. Написать уравнения прямой, проходящей через
две заданные точки Му и М, если:
а)М,(1,—2, 1), М,(3,1,—1);
6) М,(3, —1, 0), М,(1,0,—3).
—1
1
2.200. Заданы прямая Г: = = = et и точка
М (0, 1, 2) ЕГ (проверить). Требуется:
79
a) написать уравнение плоскости, проходящей через
прямую Г. и. точку М;
6) написать уравнение плоскости, проходящей через
точку М перпендикулярно прямой Г;
в) написать уравнение перпендикуляра, опущенного
из точки М на прямую Ё;
г) вычислить расстояние р (М, L);
д) найти проекцию точки М на прямой L.
2.201. Заданы плоскость Р: х-у—г- 1 =0 и прямая Г:
=! => = a ‚ причем СР (проверить). Требуется:
-—TM
а) вычислить зш(Р, 2) и координаты точки пересе-
чения прямой и плоскости;
6) написать уравнение плоскости, проходящей через
прямую СЁ перпендикулярно к плоскости Р;
в) написать уравнения проекции прямой L na пло-
скость Р.
2.202. Пусть заданы две прямые:
LiAT_И
221
и Г:^^
—У
2—2 ,
Ly
my,
ny
2
le
То
ne
Доказать, что прямые Г, и Ё, лежат в одной плоскости
в том и только в том случае, если выполнено условие
Xg—Xy Ye—Yr 22— 24
Lj my ny |=0.
le
Me
Ne
2.203. Используя результат задачи 2.202, убедиться,
что прямые Ё, и Г, принадлежат одной плоскости, и
написать уравнение этой плоскости. Исходные. данные:
>
(Хх
у--2 2—5
о
х-7 y—2 2—1.
а)Ly:2—3
44”?
L,:3—~9=со,
_ x—2 y+! z—3
_ x—! y—2 z+3
6)by ry
et rng
®
‚ 2.204. Найти расстояние между параллельными пря-
MbIMH
|
х—2у!2 их—7y—l2—3
342
49
2.205. Найти. расстояние от точки 4(2,3, —1) до
ваданной прямой Г:
а) ао
6) [х=ЗЕ-5,
3х—Зи-22+17=0;
y=2t,
z= —2t—25.
2.206. Доказать, что прямые.
_ { %x+ 2y—z—10=0,
x47. y—5 2-9
Li | x—y—z—22=0 " LQTS at
NapaswiedbHbl H HaHTH paccTonHne O(L,, L,).
2.207. Составить уравнения прямой, проходящей через
точки пересечения плоскости х—Зу-22+1=0 с пря-
MBIMH
x—5У!_2—3 и
_ yt+4 2—5
5——2~~=I
a
—6
02°
2.208. При каком значении А плоскость 5х—Зу--
- А2--1=0 будет параллельна прямой
x—4z—]1 —=0,
y—3z+2=0.
2.209. Найти уравнения проекции прямой’ a =
а на плоскость х—Зу—г2 +8=0.
2.210. Определить угол между прямой
ху 2—2 =0,
2х-Ни—2—1=0
и плоскостью. проходящей через точки’ А (2, 3, —1),
В (1, 1,0), С (0, —2, 1).
2.211. Написать уравнение плоскости, проходящей
через точку М, (7, 1, 0) параллельно плоскости 2х 3y—
—2—
15 =0 и пересекающей прямую a
2.212. Написать канонические уравнения прямой, ко-
торая проходит через точку М, (3, —2, —4) параллельно
плоскости 3x—2y—3z—7=0 и пересекает прямую
х—2 yt4 2—1
3—2°2
2.213. Jloka3aTb; 4TO расстояние между скрещиваю-
щимися прямыми Ly: r(t)—r,+q,t u L,: r(t)=—r,4+4,l
может быть вычислено по формуле
|
__ | (2—1) 4192|
р(Ги, ,)= |[91,9>]| °
Для заданных прямых ДС: и Ё., требуется:
а) доказать, что прямые не лежат в одной плоскости,
т. е. являются скрещивающимися;
6) написать уравнение. плоскости, проходящей через
прямую Ё, параллельно Ё1;
-81
в) вычислить расстояние между прямыми.
г) написать уравнение общего перпендикуляра к пря-
мым [ли L,.
2.214. Г: х
Е, L,: x—21_y+5__z—2
3
9
6 4>Г.
2.215. Ly 28a PTE! pet eet
2.216. АЯ, ДГ.
2.217. Ly co
L.:ateeet
2.218. Куб АВСРА’В’С’Р”’ задан своими вершинами
А(0, 0, 0), В(1, 0, 0), Са, 1, 0), О(0, 1,0), А’(0, 0, 1),
В’ (1,0, 1), С’(1, 1,1), О’ (0, 1; 1). Выполнить следующие
задания:
|
а) написать уравнения прямых (А’С) и (ВС’);
6) вычислить расстояние между прямыми (А’С)
и (ВС’);
в) написать уравнение общего перпендикуляра к пря-
мым (А’С) и (ВС’};
г) написать уравнение плоскости,
: проходящей через
точки Р, ОиН, где Р— центр грани АВВ’А’, О делит
ВС’ в отношении 1/3 и Н расположена на ребре (ВВ’)
так, что длина вектора РН -- НФ минимальна;
д) определить угол между полученной в п. г) пло-
скостью и диагональю куба (BD’).
$ 3. Кривые на плоскости
1. Уравнение кривой в декартовой прямоугольной системе коор-
динат. Говорят, что кривая Г в системе координат Оху имеет урав-
нение
F(x, у)=0,
(1)
если выполнено следующее условие; точка М (х, у) принадлежит кри-
вой Г в том и только в том случае, когда ее координаты хи у
удовлетворяют соотношению (1). Если, в частности, F (x, y) =f (x)—y,
то уравнение (1) может быть записано в виде
y=f (x),
(2)
и в этом случае кривая Г совпадает с графиком функции f (x).
В настоящем параграфе изучается связь между геометрическими
свойствами кривой и ее уравнением в некоторых наиболее ‘простых
случаях.
Пример 1. Написать уравнение кривой, сумма квадратов
расстояний от каждой точки которой до точек А (—а, 0), В (0, а)
и С (а, 0) равна 3а?.
82
< Пусть Г— кривая, удовлетворяющая условиям задачи; М (х, у) ЕГ
в том.и только в том случае, когда
о* (М, А)--0* (М, В)+р? (М,С) =За,
ИЛИ
(xа?)+y?+x?-+(у—а)-|(x—a?)+y?=3a’,
После простых преобразований получаем
212 2
x-+|-у 3ау—0,
или, выделяя полный квадрат,
а?
1
2
2+(9—3a)=9°
Это и есть искомое уравнение кривой, являющейся OKPYXKHOCTHIO
раднуса а/3 с центром в точке Му (0, а/3). No
В задачах 2.219—2.232 требуется установить, какие
кривые определяются заданными уравнениями, и постро-
ить эти кривые.
2.219. x+|y|=0. 2.220. |x|+y—x=0. 2.221. x?—xy=0.
2.222. xy+y?=0. 2.223. x?—y?=—0. 2.224. xy=0.
2.225. y*—9 = 0. 2.226. x*?—x—6=0.
2.227. x*y—T7xy+10y=0. 2.228. ar =
2.229. x?-+(y-+3)?=1. 2.230. x?4 2y? =
2.231. 2x?-+ y?12—0. 2.232. РИ Neo.
2.233. Написать уравнение кривой, каждая тозка` ко-
торой находится на одинаковом расстоянии от точек
М, (3, 2) и М,(2, 3).
2.234. Написать уравнение кривой, разность квадра-
тов расстояний от каждой точки которой до точек
М,(—а,0)иМ,(а,0)равнас.
2.235. Написать уравнение кривой, расстояние от каж-
дой точки которой до оси Ох вдвое больше расстояния
до оси Оу.
2.236. Написать уравнение кривой, сумма: квадратов
`расстояний от каждой точки которой до точек М; (—3, 0)
и М, (3, 0) равна 50.
2.237. Написать уравнение кривой, расстояние от
каждой точки которой до точки М, (—1, 1) вдвое меньше
расстояния до точки М, (—4,
2.238. Написать уравнение кривой, сумма расстояпий
от каждой точки которой до точек Р,(—2, 0) и F, (2, 0)
равна 2У5. .
2.239. Написать 'уравнение кривой, модуль разности
расстояний от каждой точки которой до точек Ё; (—2, —2)
иР.(2,2)равен4.
83
2.240. Написать уравнение кривой, каждая точка ко-
торой находится на одинаковом расстоянии от точки
Е(2,2)иотосиОх.
2.241. Установить, что каждое из следующих урав-
нений определяет окружность, найти ее центр Си ра-
диус К:
а)x? y?—4х би——3= 0;
6) x?-+-y?— 8x =0; B) x?+4y?+ 4y=0.
2.242. Написать уравнение окружности в каждомиз
следующих случаев (обозначено: С —центр окружности,
К радиус, М, М,, М,, М, —точки на окружности):
С (2, —3), R= 7; 6) М (2,6), С(—1, 2);
9 М, (3,‚9, M; 5 (—1, 6) — концы диаметра окружности;
Г) C(I, —1) прямая _ 5х у +9 = 0— касательная
к окружности; :
д) М (1, 2), окружность касается координатных осей;
e) M,(3, 1); Mj; (—1, 3), CEL: 38x—y—2=0;
ж)* М, (—Т, 3), М, (0, 2), М. (1, —1).
2.243. Написать уравнение диаметра окружности
Х? -|- y? 4х —бу—17=0, ‘перпендикулярного прямой
5x + 2y—13=0.
2.244. Вычислить кратчайщее расстояние от точки М,
до. окружности Г, если:
|
‘
a) M,(6, —8), Г. жж у =9;
6) М, (—7, 2); Г: No -y? —10x— 14y—151 =0.
2.245. Определить, как расположена прямая относи-
тельно окружности
— пересекает, касается или проходит
вне ее, если прямая и окружность заданы уравнениями:
a) 2x—y—3=0, x*+y?—3x4+ 2y—3=0;
6) x—2Qy—1=0, x?4+ y?—8x+2y4+12—0
B) x—y+10=0, x?+y?—I1=0.
2. Алгебраические кривые второго порядка. Алгебраической кри-
вой второго порядка называется кривая Г, уравнение которой в де-
картовой системе координат имеет вид
Ax?+ 2Bxy+Cy?-+ Dx-+ Ey+F =0,
(3)
где не все коэффициенты А, В и С равны одновременно нулю (в про-
тивном случае Г — прямая, т. е. алгебраическая кривая первого по-
рядка).
В общем случае может оказаться, что уравнение (3) определяет
так называемую вырожденную кривую (пустое множество, точку,
прямую, пару прямых).
Если же кривая Г невырожденная, то для нее найдется такая
декартова прямоугольная система координат, в которой уравнение
этой кривой имеет один из следующих трех видов (каноническое
84
уравнение):
x?
у?
2
2
ae a=I,
a,b>0,
(9)
При этом кривая. Г называется соответственно эллийсом, гиперболой
или параболой, а сама система координат, в которой ее уравнение
имеет вид (4), (5) или (6), называется канонической системой коор-
динат для_заданной кривой.
Приведение общего уравнения кривой второго порядка к кано-
ническому виду подробно рассматривается в п. 4 уз гл. 4. Целью
ya
B
Y
Puc. 6
настоящего пункта является изучение основных геометрических
свойств невырожденных кривых второго порядка на основе их кано-
нических уравнений.
22
.
Xx
Эллипс с каноническим уравнением а-я
а>—ь > 0,
имеет форму, изображенную на рис. 6.
Параметры а и 6 называются полуосями эллипса (большой и
малой соответственно), точки А: (—а, 0), А. (а, 0), В! (0, —6)+
В (0, 5) — его вершинами, оси симметрии Ох и Оу— главными ся ми,
а центр симметрии О— центром эллипса.
Точки Fy (— с, 0) иР. (с,(с, 0), где с= У а*— 52-0, называются
фокусами эллипса, векторы Е.М. и Е.М2М—— фокальными радиус-векто-
рами, а числа ту =|ЕFM | И 12=| Е.М |—фокальными paduycamu
точки М, принадлежащей эллипсу. В частном случае а=б фокусы
Ет и Е› совпадают с центром, а каноническое уравнение имеет вид
2
Ея, или хЗ-|- у? =а?, т. е. описывает окружность радиуса а
с центром в начале координат.
С
62
Число ea = yi-4 (О<е < 1) называется эксцентриси-
тетом эллипса и является мерой его «сплюснутости» (при е=0
эллипс является окружностью).
TIpampie Dy: x=—a/e u ПО: х=а/е, перпендикулярные главной
оси и проходящие на расстоянии а/е от центра, называются директ-
рисами эллипса.
2.246. Построить эллипс 9х? -25%?
= 225. Найти:
а) полуоси; 6) координаты фокусов; в) эксцентриситет;
г) уравнения директрис.
2.247. Написать каноническое уравнение эллипса, если:
a) a=3, b=2; 6) а=5, с=4; в) с=3, е= 3/5; г) Ь=5,
е = 12/13; д) с=2 и расстояние между директрисами
равно 95; е) е=1/2 и расстояние между директрисами
равно 32.
2.248. Написать уравнение эллипса с полуосями аи б
и центром в точке С (х., у), если известно, что его глав-
ные оси параллельны координатным осям.
2.249. Установить, что каждое из следующих уравне-
ний определяет эллипс, найти его центр С, полуоси,
эксцентриситет и уравнения директрис:
a) 5x?
-+9y? 30x+18y+9.=0;
6) 16x?-+ 25y? + 32x — 100y— 284 — 0;
B) 4x?+ 3y?—8x«4+12y—32=0. -
2.250. Доказать следующие утверждения:
а) Если M(x, у)—произвольная точка эллипса
+ = =1, а, то фокальные радиусы этой точки равны
r,(M)=a+ex, r,(M)=a—ex
(cM. рис. 6). Отсюда, в частности, следует, что для вся-
кой точки М эллипса выполняется равенство
га(М)г,(М)=сопз{=2а.
6) Пусть заданы точки Ё, (—с, 0) и РЁ, (с, 0),с >0.
Тогда множество точек М, удовлетворяющих . условию
|F,M|+|F,M|=const= 2a, ectb эллипс att =1, где
b*=aq*—c*,
2.251. Доказать следующие утверждения:
а) Если М(х, у)— произвольная точка эллипса
2
== +5 =1, a>b, г. (М) и г, (М) —фокальные радиусы
этой точки, а o(M,D,) u р(М, О.) —ее расстояния до
директрис, то выполняется равенство
ry(M) __ Го(М)
=
= const =e.
e(M,D,) =o (M, D,)
6) Пусть заданы точка Р (с, 0) и прямая О: х—4=0,
4а>с>0. Тогда множество точек М, удовлетворяющих
86
| FMf
e(M, D)
где а=ае и 6 =а*—с?.
2.252. Эллипс, главные оси которого совпадают с коор-
динатными осями, проходит через точки М, (2, ИЗ) и
М, (0, 2). Написать его уравнение, найти фокальные ра-
диусы точки М; и расстояния этой точки до директрис.
2.253. На эллипсе Эх? -- 25у*=225 найти точку, рас-
стояние от которой до фокуса Ё, в четыре раза больше
расстояния До фокуса Р..
2.254. Написать уравнение кривой, по которой дви-
жется точка М, если сумма расстояний от нее до точек
Е. (—1, —1) u F; (1, 1) остается постоянной и равной 2) 3.
2.255. Написать уравнение кривой, по которой дви-
жется точка М, если расстояние от нее до точки Р (3, 0)
остается в два раза меньше расстояния до прямой
xt+y—l=0.
2.256. Определить, как расположена прямая относи-
тельно эллипса: пересекает, касается или проходит вне
его, если прямая и эллипс заданы уравнениями:.
а) 2x—y—3=0, и —1,
|
_
yp
6) 2x + y—10=0, Pye
x2
y?
B) 3x-++ 2y—20=0, i Tig =!-
2.257. Написать уравнение касательной к эллипсу
x2
у?
условию
=const =e < 1, есть эллипс; += ==1,
x?2
== =1 B ero TouKe M,(x,, YW).
Пусть сначала и 72 0, т. е. точка Мо не совпадает ни с одной
из вершин А, (—а, 0) и А. (а, 0). В этом случае уравнение
2
+5!
неявно определяет функцию у=иу(х), —а<х<а,
график которой проходит через точку Мо (хо; Yo) и совпадает с соот-
ветствующей (верхней при #1 >0 или. нижней при У, < 0) половиной
x
эллипса. Дифференцируя по х тождество—2 ) 1, найдем, что
производная и’ (хо) равна
b*x
'(x9)=—=.
у (Xo)
ay,
Отсюда уравнение касательной к эллипсу в точке Му (хо; Ио) имеет
ВИД
52
Y—Yo= — Fag, *—*0)»
87
xo
или, с учетом равенства айии
И,
(7)
Если же у›=0 (и, следовательно, хь= + а), то уравнения каса-
тельных к элЛипсу имеют вид х== а, т.е. и в этом случае фор-
мула (7) остается верной. No.
‚ 2. 258. Составить уравнения касательных K лису
a +2 и —1, параллельных прямой 3х 4+ 2y+7=
2.259. Составить уравнения касательных к эллипсу
хNo-+ 4? =20, перпендикулярных ‘прямой 2x —2y—13— 0.
y?
2.260. Доказать, что. касательные к эллипсу хо =|,
проведенные ` через концы, одного ‚и того же ‘диаметра,
параллельны.
2.261. Написать уравнения касательных, проведенных
из точки А(> 3) к эллипсу хиЕ 1.
2.262. Ha эллийсе Pye! найти ‘точку Мь, бли-
жайшую. к. прямой: 2x — 3y + 25.=0, и вычислить расстоя-.
ние от точки -M, до этой прямей.
.2.263. Локазать, что. касательная к эллипсу в его
произвольной точке М составляет равные углы с фокаль-
ными радиус-векторами ЕМ и Ё,М этой. точки.
2.264*. Из левого фокуса эллипса Pha под ту-
пым углом & к оси Ох направлен луч света, причем
tga@——2. Написать уравнение прямой, na которой ле-
жит луч, отраженный от эллипса.
22
хо_И
Гипер бо ла с каноническим уравнением 8—5 =1, а в >0,
имеет форму, изображенную на рис. 7.
J
LT
88
Параметры. а и Db называются лполуосями гиперболы, точки
А; (—а, 0) и А» (а, 0) —ее вершинами, оси симметрии Ох и Оу—
действительной и мнимой осями, а центр симметрии Об— центром
гиперболы.
b
|
|
-
Прямые у= + 5х являются асимптотами гиперболы.
ТочкиРу(—с,0) uFy(c,0),
1
rae c= Изя Ь? > 0, называются
фокусами гиперболы, векторы РМ и РьМ — фокальными радиус-век-
торами, а числа г: =|Е М.] и гз=| Е.М | — фокальными рабиусами
точки М, принадлежащей
гипсгиерболе,
Число е=“-=
145 au < e< -+ оо) называется эксцентри-
ситетом гиперболы и является мерой ее «сплюснутости». В частном
случае a=b гипербола называется равносторонней; ее эксцентриси-
тет равен е=И 2, а угол между асимнтотами равен 1/2.
Прямые Dy: x=—a/e u De: x=a/e, перпендикулярные действи-
тельной оси`и проходящие на ‘расстоянии а/е от центра, 1называются
директрисами гиперболы.
2.265. Построить гиперболу 16%? —9у? —144. Найти:
а) полуоси; 6) координаты фокусов; в) эксцентриситет;
г) уравнения асимптот; д) уравнения директрис.
2.266. Построить гиперболу 16х2— 9? = —144 (conpa-
женную’к гиперболе задачи 2.265). Какова каноническая:'
система координат для этой гиперболы? Найти:
а) полуоси; 6) координаты фокусов; в). эксцентриси-
тет; г) уравнения асимптот;’д) уравнения директрис:
2.267. Написать каноническое. уравнение гиперболы,
если:ада=2,6=3;6)6=4,с=5; в)с=3,е=3/2;г)а=8
е=5/4; д) с=10 и уравнения асимптот у=-= _х; €) е=
3.
—=.3/2 и расстояние между директрисами равно 8/3.
2.268. Написать уравнение гиперболы с полуосями а
ифи центром в точке С (%, уз), если известно, что ее
действительная и мнимая оси параллельны осям Ох и
Оу соответственно.
2.269. Установить, что каждое из следующих уравне-
ний определяет гиперболу, найти’ ее центр, полуоси,
эксцентриситет, уравнения асимптот:и директрис;
a) 16x?—9 y?—- 64x —54y—161 = 0;
6) 9x?
—16y?+90x+32y—
367=0;
B) 16x?—9y?— 64x — 18y + 199 =0.
2.270. Доказать ‘следующие: утверждения:
а) Если М (х,`у)— произвольная точка гиперболы
x?
.
_
a =1, то фокальные: радиусы этой точки равны
г: (М) =а-ех, г, (М)=— а-ех,
89
если точка М лежит на правой ветви гиперболы, и
г: (М) = —а—ех, r,(M)=a—ex,
если эта точка лежит на ее левой ветви. Отсюда, в част-
ности, следует, что для всякой точки М гиперболы вы-
полняется равенство
|r, (M)—r, (M) |= const = 2a.
6) Пусть заданы точки Р; (— с, 0) и РЁ, (с, 0), с>0.
Тогда множество точек М, удовлетворяющих условию
[Е.ММ|-—|Е,МM||=const=2a, a>0, есть гипербола
И 1,гдеБ?=с*—а?.
2.271. Доказать следующие утверждения:
а) Если М (х, у) произвольная точка гиперболы
2
f=, r,(M) u_ r,(M)—doxkanpuble радиусы этой
точки, a p(M, D,). u р(М, О,)— расстояния от нее до
директрис, то выполняется равенство
п (М) (М)
p(M, (Dy) (М, Бу) = const =e.
6) Пусть заданы точка Р (с, 0) и прямая О: х—4=0,
c>d> 0. _Тогда множество точек М, удовлетворяющих
ЕМ
2
2
условиюJM = const =e >> 1, есть гипербола 3— =|,
где a=deu b=c—a’.
|
2.272. Убедившись, что точка’ М (—5, 9/4) лежит на
2
гиперболе rl, найти фокальные радиусы этой точ-
ки и ее расстояния до директрис.
2
2.273. Найти точки гиперболы 5 EE 1, находящие-
ся на расстоянии 7 от фокуса Ру.
2.274. Написать уравнение гиперболы, если известно,
что ее фокусами являются точки Р, (—3, —4) и Р, (3, 4),
а расстояние между директрисами равно 3,6
2.275. Написать уравнение гиперболы, если известны
ее эксцентриситет е=И 5, фокус Р (2, —3) и уравнение
соответствующей директрисы Зх— и 3 =
`’ 2.276. Показать, что кривая, заданная уравнением
ху=1 или у=1/х, есть равносторонняя гипербола.
Написать ее каноническое „уравнение, найти эксцентри-
ситет, фокусы и уравнения директрис.
90
2.277*. Написать уравнение касательной к гиперболе
x2
y?
,
|
2во
2.278. Составить уравнения касательных к гиперболе
x22
|
т—`ва=1!, параллельных прямой 10x—3y+9=0.
2.279. Составить уравнения касательных к гиперболе
—£ —=1, перпендикулярных прямой 4х | 38y—7=0.
|вееточкеМ,(хо,и).
x2
20
2.280. Доказать, что касательные к гиперболе ——= =
va
ab
— 1, проведенные через концы. одного и того же диамет-
ра, параллельны.
2.281. Написать уравнения касательных, проведенных
из точки А (—1, —7) к пиперболе x?— y? = 16,
2.282. На гиперболе= 54 —%
жайшую к прямой 3х + 2и- 1=0, и вычислить .paccTos-
ние от точки М, до этой прямой.
2.283. Доказать, что касательная к гиперболе в ее
произвольной точке М составляет равные углы с фокаль-
ными радиус-векторами Ё.М и Ё,М этой точки.
2.284*. Из правого фокуса гиперболы Е
под
углом &® (л<а < 1/,л) к оси Ох направлен луч света,
причем No «=2. Написать уравнение прямой, на которой
лежит луч, отраженный от гипер-
болы.
|
”
th м1)
Парабола с. каноническим уравнени-
Rin
eM y2=2px, p > 0, uMeeT opmy, H306paxKex-
ную на рис. 8.
Число р называется параметром пара-
болы, точка О —ее вершиной, а ось Ох—
осью параболы.
Точка ЕЁ (р/2, 0) называется фокусом
параболы, вектор FM — фокальным радиус-
вектором, а число г=| ЕМ | — фокальным
радиусом точки М параболы.
Прямая О: х=—р/2, перпендикулярная. D
оси и проходящая на расстоянии p/2 OT вер-
Рис. 8
шины параболы, называется ее директрисой.
-—1, найти точку Мь, бли-
[
>
2.285. Построить следующие параболы и найти их
параметры:
а) у =6x; 6) x? =Ooy;
в)и?=——4х;Г)2=—9.
2.286. Написать уравнение параболы с вершиной в На»
чале координат, если известно, что:
of
а) парабола расположена в левой полуплоскости сим-
метрично относительно оси Ох и р= 1/2;
6) парабола расположена симметрично относительно
оси Оу и проходит через точку М (4, —8);
в) oxyc параболы находится в точке Р (0,. —3).
. Написать уравнение параболы, если. известпо,
что и вершина ее находится в точке А(х,, и), параметр
равен р, ось параллельна. оси Ох и парабола распо-
ложена относительно прямой х=хХь:
а) в правой полуплоскости;
6) в левой полуплоскости.
2.288. Установить, что каждое из следующих уравне-
ний определяет параболу, найти координаты ‹ ее вершины
А и величину параметра р:
а) у =4х—8;
6) = 2—Y,
2)yet8r47 2)yoТы
2.289. Доказать следующие утверждения:
а) Если М (х; у) —произвольная точка ‘параболы у? =
= 2рх, r(M)—ee фокальный радиус, а р(М, О) —рас-
стояние от точки М до директрисы (см. рис. 8), то вы-
полняется. равенство
a
р(М, D)
6) Пусть заданы точка Ё(р/2, 0) и прямая Ш:
= const= 1.
x= —р/2.. Тогда множество точек ‘М, удовлетворя-
[FM|
ющих условию ——___ = const = 1, есть. парабола
щих У
р(М, D)
р
y= 2px.
2.290. Вычислить фокальный радиус точки М пара-
болы и?=12х, если и (М)=
|
|
2.291. Написать
ние параболы, если известны:
a) фокус Р (4, 3) и ganpextpuca D: y+ 1=0;
6). фокус ЕЁ(2, —1) и директриса 2: х—у—1 = 0.
> 292. Написать дуравнение касательной к параболе
у =2рх в ее точке М,(%, и).
2.293. Написать уравнение касательной к параболе
у?= 8х, параллельной прямой 2% 2y—3=0.
2.294. Написать уравнение касательной к параболе
a*=16y, перпендикулярной прямой 2х-- 47+ 7=0.
2.295. Написать уравнения касательных к параболе
у= 36x, проведенных из точки ДА (2, 9).
92
2.296. Ha параболе у? =64х найти точку’ Мь,, ближай-
шую к прямой 4х- Зу— 14 = 0, и вычислить расстояние
от точки М, до этой прямой.
2.297. ‘Доказать, что касательная к параболе в ее про-
извольной точке М составляет равные углы с фокальным
радиус-вектором точки М и с лучом, исходящим из точ-
ки М и сонаправленным с осью параболы.
|
2.298. Из фокуса параболы у? = 12х под острым углом @
к оси Ох направлен луч света, причем { Gaz. Написать
уравнение прямой, на которой ‘лежит луч, отраженный
от параболы: '
3. Уравнение кривой в полярной системе координат. Говорят,
что па плоскости введена полярная система координат <O, и», если
заданы:
1) некоторая точка О, называемая полюсом;
2) некоторый луч и, исходящий из точки О и называемый по-
лярной осью.
Полярными. координатами точки М #4 O называются' два’ числа:
полярный радиус г (М) =|ОМ | >0 и полярный угол ф (М)
— угол,
на который следует повернуть ось и для того чтобы ее направле-
ние совпало с направлением вектора ОМ (при этом, как обычно,
ф (М).> 0, если’ поворот осуществляется против часовой стрелки, и
ф (М) < 08 противном случае). Запись М (г, Ф) означает, что точка
М нмеет полярные координаты Ги ф
Полярный угол ф (М) имеет бесконечно много возможных ‘значе-
ний (отличающихся друг от друга на величину вида 2nn, nEZ).
Значение полярного угла, удовлетворяющее условию Оф < 21,
называется главным. В некоторых случаях главным значением поляр-
пого угла называют значение ф, удовлетворяющее условию —л <
< ф=л.
Пусть на плоскости введены правая декартова прямоугольная
система координат'`Оху (т. е. такая, что кратчайший поворот от оси
Ох к оси Оу происходит против часовой стрелки) и полярная система
«О, и», причем полярная ось совпадает с положительной полуосью
абсцисс. огда связь между декартовыми и полярными координатами
произвольной точки М 7 О дается формулами
Х=1 0$ Q, y=rsing;
(7)
r=Ve+y', tep=y/x.
Уравнение кривой в полярных координатах имеет вид Д (г, ф) =0
или г=|[(ф). Оно может быть получено либо непосредственно, исходя
из геометрических свойств кривой, либо переходом к полярным коор-
динатам в уравнении этой ‘кривой, заданном в декартовых прямо-
угольных координатах.
Пример 2. Построить кривую, заданную уравнением г=6 со$ ф.
< Прежде всего заметим следующее: ефли точка М (г, Ф) принадле-
жит заданной кривой, то для этой точки с0$ ф ==г/б
> 0, и, следо-
вательно, вся кривая расположена в секторе —л/2
<; фж л/2.
Для того чтобы построить кривую, перейдем в ее уравнении
к декартовым ко ординатам. Умножив обе части уравнения г==6с05ф
ча г, получаем г? = 6бг с0$ ф, откуда на основании формул перехода
93
(7) имеем х?-Р
у? =6х, илн (х— 3)? -|- у? =9. Таким образом, заданная
кривая —окружность радиуса 3 с центром в точке Мо с координатами
х=3, и=0 илиГо=3,Фи=0.
Пример 3. Вывести уравнение прямой в полярной системе
координат.
Если прямая Г проходит через полюс и ее угловой коэффициент
по отношению к полярной оси равен No, то уравнение этой прямой
имеет вид {9 ф= А.
|
|
Пусть теперь прямая Ё не проходит через полюс. Напишем нор-
мальное уравнение этой прямой в‘декартовой прямоугольной системе
координат
xcosa+tycosB—p=0
и перейдем в этом уравнении к полярным координатам. Получаем
(учитывая, что со$ р == @):
rcosgcosa-t-rsingsina—p=0, rcos(p—a)=p,
ИЛИ
Ро
в)
cos (p—a@)
Уравнение (8) и есть нскомое уравнение прямой в полярной
системе координат. Оно может быть получено и непосредственно из
gh
АДА
м
R
y
К
A
Puc. 9
Puc. 10
следующего очевидного tpakta: MELE npa r=r cos (p —a) =const = p
(рис. 9). No
,
Пример 4. Пусть Г— эллипс, ветвь гиперболы или парабола,
Е— фокус этой кривой, ОР — соответствующая директриса. Вывести
уравнение кривой Г в полярной системе координат, полюс которой
совпадает с фокусом, а полярная ось сонаправлена с осью кривой
(рис. 10).
< Общее свойство эллипса, гиперболы и параболы состоит в следую-
щем (см. задачи 2.251, 2.270 и 2.289):
т
<> Р(М,Р) ^ _
,
МЕГ® м. D) const =e,
(9)
где е— эксцентриситет кривой (е < |1 для эллипса; е> 1 для гипер-
болы и е==| для. параболы).
Обозначим расстояние от фокуса до директрисы через р/е (р—па-
раметр кривой, называемый полуфокальным диаметром). Тогда из
94
-
рис. 10. следует, что р (М, F)=r7 u o(M, D)=2 +4 с0$ ф. Подстав-
ляя эти выражения в (3), получаем
r
Ptr с0$ ф
откуда
__В
~ |—ecos@
(10)
|
|
ae
Уравнепие ((10) и есть искомое уравнение в полярной системе
координат, общее для эллипса, гиперболы и параболы. No
Записать уравнения заданных кривых в полярных
координатах:
2.299. у==х. 2.300. и=1. 2.301. х-у—1=0.
2.302. и =а?. 2.303. х— = а?.
2.304. х?-+
у?=ах.
Записать уравнения заданных кривых в декартовых
прямоугольных координатах и построить эти кривые:
2.305. г=5. 2.306. и ф=—1. 2.307. гсозф=2.
2.308. гзшф=1. 2.309. = ИИ
.
cos (9+4)
2.310. ГЕИ. 2.311. r=2acos@.
sin (9+4)
2.312. r=2asing. 2.313. sing=1/V5.
2.314. sine =1/2. 2.315. r? sin 2p= 2a’.
2.316. r?=
a’ cos 29.
2.317. Написать в полярных координатах уравнения!
а) прямой, перпендикулярной полярной оси и отсе-
кающей на ней отрезок, равный 3;
6) луча, исходящего из полюса под углом л/З3 к по-
лярной оси;
B) прямой, проходящей через полюс под углом л/4 к
полярной оси.
2.318. Написать в полярных координатах уравнение
окружности, если:
а) радиус Ю=5, окружность проходит через полюс,
а ее центр лежит на полярной оси;
6) радиус К =3 и окружность касается в полюсе по-
лярной оси.
2.319. Определить полярные координаты центра и ра-
диус каждой из следующих окружностей:
а) г=4с0$ф; 6) r=3sing; B) r=—dsing;
95
>
IU
.
It
r) r=6cos (3—9); д) r=8sin (+—3) :
e) r=8sin (3—9).
2.320. В полярной системе коордимат вывести уравне-
ние окружности ‚радиуса К с центром в точке С (г; $.
x2
2
2.321. Для эллипса +t 16 = 1 написать полярное урав-
нение, считая, что полярная ось сонаправлена с осью
абсцисс, а полюс находится:
а) в левом фокусе; 6) в правом ‘фокусе.
x2
2
2.322. Для правой ветви гиперболы “= 1 написать
169
полярное уравнение, считая, что полярная ось сонаправ-
лена с осью абсцисс, а полюс находится:
а) в левом фокусе; 6). в правом фокусе.
2.323. Для параболы у? =6х написать полярное урав-
нение, считая, что полярная ось сонаправлена с осью
абсцисс, а полюс находится в фокусе параболы.
2.324. Написать ‘канонические уравнения следующих.
кривых 2-го порядка:
9|
.
—9.
___ 3
5—4cos@’ 6). r=
в) Г—
4—5 созф'
aoe "
2.325. Вывести полярное ‘уравнение эллипса aS44У |
а)г =
при условии, что полярная ось сонаправлена с осью Ох,
а полюс. находится в центре эллипса.
2.326. Вывести полярное уравнение гиперболы —а
y?
—=
==] при условии, что полярная ось сонаправлена с осью Ох,
а полюс находится в центре гиперболы.
2.327. Вывести полярное уравнение параболы и? = 2рх
при условии, что полярная ось сонаправлена с осью Ох,
а полюс находится в вершине параболы.
4. Параметрические уравнения кривой. Пусть заданы функции
@ (t) u w(t), непрерывные на некотором промежутке / числовой оси
Промежуток [Г может быть интервалом (а, 5), отрезком [а, 6], а также
одним ‘из полуинтервалов (а, 6] или [а, 5), причем. не исключаются
случаи, когда а = — © и (или) O=-++ ©). Уравнения
х=ф(), у=ф(, 161,
(10)
называются параметрическими уравнениями кривой Г в декартовой
прямоугольной системе координат, если выполнено следующее усло-
вие: для всякого значения параметра Е Г точка М (ф (1), $ (1)
надлежит кривой Г и, наоборот, для всякой точки М (х, и) кривой Е
существует такое значение параметра {Е Г, что х=ф (1) и уи=\ф (В.
Исключением параметра # из (10) уравнение к ивой может быть пред-
ставлено в виде Ё (х, и) =0.
96
Аналогично определяются параметрические уравнения кривой
в полярных координатах.
Пример 5. Показать, что параметрические уравнения
x=acosf, y=asint, t€[0, 2n),
определяют окружность х?--у =а?.
<“ Если точка М (х, у) такова, что х=асо$Ё и у=азшЁ для изко-
торого значения ЕЕ [0, 2п), то
x?-+ y? =a* cos? t-+-a? sin? t =a?,
т. е. точка М (х, и) принадлежит окружности х?-
у? == а?.
Верно и обратное: если точка М (х, у) принадлежит окружности
—
ху?= а*, то, полагая #= (ОМ, 1), 1Е [0, 2л), получим х=а созй
иу=азтЕ.No
,
Пример 6. Кривая Г задана полярным уравнением 7 = 2R sin @.
Составить параметрические уравпения этой кривой в полярных и
декартовых прямоугольных координатах, выбирая .в качестве пара-
мстра полярный угол ф.
Нетрудно убедиться, что заданная кривая —окружность раднуса Ю
с центром в точке С (0, Ю). Параметрические уравнения этой кривой
в полярных коордипатах:
r=2Rsint, g=t, fE[0, 2).
Параметричсские уравнения в декартовых прямоугольных координа-
тах получаются, если в формулы перехода х==гс0$ф, у=г$шф
вместо ги ф подставить их выражепия в виде функций параметра f.
В итоге получим
х=(1созф
(1=А$13%,
| y=r (t) sing (t) = R(1—с0$ 28, tE[0, nm). >
2.328. Составить параметрические. уравнения луча
Г == {(х, у) хи! =0, у>0}, принимая в качестве пара-
метра:
|
о.|
а) абсциссу х; 6) ординату у;
в) расстояние р(М, М,) от точки МЕГ до вершины М,
луча;
г) полярный угол, если полюс совпадает с началом
координат, а полярная ось сонаправлена с осью Ох.
2.329. Составить параметрические уравнения отрезка
с концами в точках М, (1, 1) и М, (2, 3), принимая в
качестве параметра:
—
_
а) расстояние р(М, М,); 6) расстояние р(М, М,,).
2.330. Составить параметрические уравнения окруж-
ности радиуса Ю с центром в точке М, (х,, уз), принимая
в качестве параметра # угол между осью Ох и вектором
М.М, отсчитываемый против часовой стрелки.
2.331. Составить параметрические уравнения окруж-
ности Хх? -- у? =2Ах, принимая в качестве параметра поляр-
-
4 Wan non A RR. Fehumona. B. П. Лемиловича
97
ный угол, если полярная ось сонаправлена с осью Ох,
а полюс находится:
а) в начале координат; 6) в центре окружности.
В задачах 2.332— 2.340 требуется исключением пара-
метра {найти уравнения заданных кривых в виде Р(х, у) =0
и построить эти кривые.
--
2.332. х—=— 1+2 у=а—Ь t€ (—o, + 00).
2.333. x=—2t+1, y=t—Il, tE€(—o, + 00).
2.38384. x=—1+2cost, y=3+2sin¢t, ¢tE[0, 2n). |
2.335. x=acost, y=bsint, te€[0, 27).
2.336. x=14+2sect, y=—Il+tgt, tE(—2n/2, 2/2).
2.337. r=$(t+ >), y=3 (1-7), t€(0, о).
2.338. x=2Reos*t, y=Rsin2t, tEe[—x/2, n/2).
2.339. x=Rsin2t, y=2Rsin?t, tE[0, 2).
2.340. x=2pctg?t, y=2pctg?, tE(0, 2/2].
2.341. Составить параметрические уравнения эллипса
x2
3
=== = 1, принимая в качестве параметра { угол между
осью Ох и радиус-вектором ОМ, отсчитываемый против
часовой стрелки.
2.342. Составить параметрические уравнения гипер-
x2
2
болы =o 1, принимая в качестве параметра 2 угол
между осью Ох и радиус-вектором ОМ, отсчитываемый
протиВ часовой стрелки.
2.343. Составить параметрические уравнения параболы
y? = 2px, принимая в качестве параметра:
а) ординату и;
a
6) угол между осью Ох и вектором ОМ, отсчитываемый
против часовой стрелки;
в) угол между осью Ох и фокальным радиус-векто-
pom FM, отсчитываемый против часовой стрелки.
5. Некоторые кривые, встречающиеся в математике и ее при-
ложениях. В настоящем пункте, имеющем справочный характер,
приведены уравнения и указаны основные геометрические свойства
‘ряда специальных кривых (алгебраических и трансцендентных), встре-
чающихся в практике инженерных расчетов. Вывод уравнений этих
кривых может быть предложен в качестве задач повышенной труд-
ности при изучении курса аналитической геометрии. Достаточно
детальное изучение формы кривых может быть выполнено с привле-
чением методов дифференциального исчисления.
1. Спирали: спираль Архимеда г=аф (рис. 11), гиперболическая
спираль г=а/ф (рис. '12), логарифмическая спираль г==а? (рис. 13);
стрелкой указано направление обхода кривой, соответствующее воз-
растанию Ф.
98
Рис. 11
‘Hof
0<а< |“
Рис. 13
2. Лемниската Бернулли (х?- у?)? = 2а? (х?— у?) (рис. 14), или
г?= 2a? cos 29 (полюс помещен в точку 0). Характеристическое
свойство: |Ё1М |.Ц FM |=const=a?,
где Fy (—a, 0), Fe 0).
yh
3. Циссоида y*(2R—x)=x* (puc.
15), или r=2R tg Psing (nomtwc Nome-
щен в точку 0). mapa ela acon
[С
свойство: для всякого луча Фф=Фу
В
(ФЕ (—л/2, л/2)) | OM | =| BCI.
M
ui
028ис
Рис. 14
Рис. 15
4. Конхоида х?у?-|- (x-+ a)? (x? 52) =0 (рис. 16), или "559 +6
(полюс помещен в точку А (—а, 0)). Характеристическое свойство:
для всякого луча ф=Ф, (Фи, @(—7п/2, п/2)) | BM|=|BN|=const =o.
4
5. Cmpopouda x? ((x-+a)*-+y?)=a’y? (puc. 17), nan Гозо
- а*еф (полюс помещен в точку А (—а, 0)). Характеристическое
4*
99
a
Рис. 16
Рис. 17
Рис. 18
Рис. 19
Рис. 20
100
свойство: Для всякого луча gh
Ф=Ф _(@yE(—a/2, - 1/2)
|ВМ [=|ВМ |=|ОВ|.
6. Улитка Паскаля (х?--
-- 92 — 2ах)* = 6? :(х°-- у?) (рис. ТТ
18), или г=2а со ф + В (полюс
М
помещен в точку’. 0).. Харак-
теристическое свойство: для вся- D
:
>
кого луча P=Q (ФЕ(—л/2,
a
т
л/2)) |ВМ | =| ВМ |= с0п3# =.
Рис. 22
7. Четырехлепесткозая роза
(Х?-- 92)3 = 4а?х?у? (рис. 19), или
=а|$ш 2ф| (полюс помещен в точку 0). Характеристическое свой-
ство: всякая точка М этой кривой есть основание перпендикуляра,
опущенного из начала координат на отрезок | АВ] постоянной длины 2a,
движущийся так, что концы его все время находятся на координат-
ных осях.
8. Acmpouda x=acos*t, y=asin®t, t€[0, 2m), илл х?!3 + у?!—
— а?/3 (рис. 20). Характеристическое свойство: всякая точка М этой
yh
YA
М
Н
у
Рис. 23
Рис. 24
кривой есть основание перпендикуляра [РМ] к отрезку [АВ] посто-
яиной длины а, движущемуся так, что концы его все время нахо-
дятся на координатных осях.
9. Эвольвента (развертка) окружности х=а(соз Е++5т В,
y=a(sin t—tcos?), [Е [0, -- с) (рис. 21). Характеристическое свой-
ство: каждая точка М этой кривой есть конец нити, которая, оста-.
ваясь натянутой, разматывается с окружности х?-|- /? = а? (в началь-
ный момент конец пити находится в точке
'А(а, 0)). °°.
10. Циклоида х=а (1— зп 1), у=а(1—с08#, ЕЕ (- ®, +)
(рис. 22). Характеристическое свойство: кривая совпадает‘с траекто-
рией точки М окружности радиуса а, которая катится без скольже-
ния по оси Ох (в начальный момент точка М находится в начале
координат).
11. Эпиииклоида х =(а--5) cos 1—acos 2° y, y =(a--6) sin ¢—
—asin tt? 5 1Е[0, с) (рис. 23). Характеристическое свойство:
кривая совпадает с траекторией точки М окружности радиуса а,
которая катится без скольжения по окружности х2-|- у? = 52, оставаясь
101
вне ее (в начальный момент точка М находится в положении А (6, 0)).
В частном случае а=ф соответствующая кривая называется кар-
диоидой.
12. Гипоциклоида х = (6 —а) соз {-На cos 1, y = (b—a) sint —
в 1, 1Е[0, - о) (рис. 24). Характеристическое свойство!
кривая совпадает с траекторией точки М окружности радиуса a,
которая катится без скольжения по окружности х?--у?=62, оста-
ваясь внутри ее (в начальный момент точка М находится в положе-
нии А(5, 0)). В частном случае а=6/4 эта кривая совпадает
с астроидой.
13. Полукубическая парабола у? =ахз (рис. 25).
14. Петлевая парабола ау? =х (х—а)? (рис. 26).
—asin
yh
yA
0
ae
Puc. 25
ея
| xt+y+a=0
Puc. 27
Puc. 28
.
Я
15. Локон Аньези у ааа (рис. 27).
16. Декартов лист х?-|- уз —Заху=0 (рис. 28).
6 4. Поверхности и кривые в пространстве
1. Уравнения поверхности и кривой в декартовой прямоуголь-
ной системе координат. Говорят, что новерхность © в системе коор-
динат Охуг имеет уравнение
F(x,у,2)=0,
>.
(1)
102
если выполнено следующее условие: точка М (х, у, 2) принадлежит
поверхности © в том и только в том случае, когда ее координаты
и 2 удовлетворяют соотношению (1). Если, в частности,
Е (х, у, г) =Р(х, И) —2г, то уравнение (1) может быть записано в виде.
г=1(х, 9),
(2)
и в этом случае поверхность $ вовпадает с графиком функции двух
переменных [ (х, и).
Кривая Г в пространстве в общем случае определяется как линия
пересечения некоторых поверхностей $: и 5. (определяемых неодно-
значно), т. е. заданием системы двух уравнений
Fy(x,Y,2)=0, Fe(x, у,г)=0.
(3)
Пример 1. Вывести уравнение поверхности, каждая точка
которой расположена вдвое ближе к точке А (2, 0, 0), чем к точке
В (—4, 0, 0).
Если $— поверхность, Заданная условиями задачи, то М (х, и, г) Е $
в том и только в том случае, когда р (М, В) =20 (М, А), или
Ve+
=2Уй—2-А.
Отсюда получаем
|
|
(x4)?
y2-+4 22 = 4 ((x—2)?-+
42+ 2%,
3x?—24x-+-3y?+ 322=0
или, выделяя полный квадрат В слагаемых, содержащих х;
|
(x42 Ly2-+22 = 16.
(4)
Уравнение (4) и есть искомое уравнение поверхности. Из него
видно, что заданная поверхность $ есть сфера радиуса 4 с центром
вточкеМ)(4,0,0).No
Пример 9, Исследовать форму кривой Г, заданной урав-
пениями
| (x1)? y2-+27=36,
5
y+z=0
Определить вид ее проекции на плоскость Оху.
& Кривая Г задана как линия пересечения сферы (х— 1)?+-y?+-2?= 36
с плоскостью у--2=0 и, следовательно, есть окружность. .Так как
центр сферы С (1, 0, 0) лежит в плоскости сечения у{-2=0, то центр
окружности совпадает с точкой С, а ее радиус равен радиусу сферы,
т.е. Ю=4
УСтановим форму проекции окружности Г на плоскость Оху.
Исключая 2 из системы (5), получаем (х—1)?--
2,2 =36, или
(х— 1)?
36
главные оси которого сонаправлены с осями Ох и Оу, центр нахо-
дится в точке С' (1, 0), а полуоси равны а=6, 6=3 У2. >
2
8 =1. Отсюда заключаем, что искомая проекция —эллипс,.
Установить, какие геометрические образы определяются
заданными уравнениями:
2.344. z+5=0. 2.3845. x—2y+z—1=0.
2.346. х2 | у? 22 =4. 2.347. te 2)?+ y?+ (2+ 1)?= 16.
103
2.348, 2x?+ y?+ 3z27=0. 2.349. x?+ 4z7= 0.
2.350. х?-- 292 1 222-7=0. 2.351. х2— 423= 0.
2.352. хг =0. 2.353. хуг= 0.
2.354. х?— 4х =0. 2.355. ху— у =0.
2.356. Вывести уравнение поверхности, разность квад-
ратов расстояний от каждой точки которой до точек
Е. (2, 3, —5) и РЁ, (2, —7, —5) равна 13.
2.357. Вывести. уравнение, поверхности, сумма квадра-
тов расстояний от каждой точки которой до точек
Е, (—а, 0, 0) и Р, (а, 0, 0) равна постоянному числу 44.
2.358. Вывести ‘уравнение поверхности, сумма расстоя-
ний от каждой точки которой до точек ЁР,(0, 0, —4)
и РЁ. (0, 0, 4) равна 10.
2. 359. Вывести уравнение поверхности, модуль разности
расстояний от каждой точки которой до точек Ё, (0, —5, 0)
иР,(0,5,0)равен6.
2.360. Установить, что каждое из следующих уравне-
ний определяет сферу, найти ее центр С и радиус К:
а) хи -22—62 = 0;
6) х-и?-{ г?— 4x —2y + 22—19 = 0.
2.361. Составить уравнение сферы в каждом из сле-
дующих случаев (обозначено: С — центр сферы, К —ра-
диус, М, М,, М,, М, —точки на. сфере):
а)С(—1,2,0),R=2:6)М(2,—1,3 С(3,—2,1);
в) М, (2, —3, 5) и М, (4, 1, —3)— концы диаметра
сферы;
|
г) С(3, —5, —2), плоскость 9х—у-—3Зге+ И=0
касается сферы;
д) М,(3, 1, —3), М,(—2, 4, 1), М.(—5, 0, 0),СЕР:
2x+y—z+3=0.
2.362. Составить уравнение сферы, центр которой ле-
жит на прямой
2x + 4y—z—7=0,
4x + 5y+z2—14=0
и которая касается плоскостей х-2у—22—2=0 и
х+2у— 22-4 =0.
2.363. Составить уравнение сферы, вписанной в тет-
раэдр, образованный плоскоетями`
3x—2y+6z—8=0, x=0, y=0, 2=0.
2.364. Составить параметрические уравнения диаметра
сферы х*- у’-2*—2х—бу-2—11=0, перпендикуляр-
ного к плоскости 5х—
у 22—17 =0.
104
2.365. На сфере (х— 1) (у- 2)*- (2—3): =25 найти
точку M,, ближайшую к плоскости 3x—4z+19=0,
и вычислить. расстояние: от этой’ точки до плоскости.
2.366. Определить, как расположена плоскость отно-
сительно сферы (пересекает, касается или проходит вне ее),
если плоскость и сфера заданы ‘уравнениями:
|
a) z=3, x?+y?-++ 2?—6x + 2y — 10z + 22 =0;
6) y=1, x+y? + 22+ 4x—2y—624 14=0;
B) x= 5, x?-+ y?+ 2?—2x+ 4y—2z—4=0.
2.367. Установить, какие кривые определяются сле-
дующими* уравнениями:
х—5=0,
x? + y®-+
2%7 = 49,
a) | 22-0:
0) y=0;
| x*+ y?+ 27= 20,
x*4y?+27=49,
в) \ z—2=0;
x24 y2+ 2?@—42—25=0.
2.368. Найти центр и радиус окружности:
[Гэ--У-2*=у,
а) | x+2y+ 2z2—19=0;
(x — 3)?+ (y+ 2)?+ (z—1)*= 100,
0 2x —2y—z+9=0.
© Центр окружности есть проекция центра сферы на плоскость.
2.369. Найти проекцию на плоскость 2г=0 сечения
сферы х?- и? -+{ г? =4(х—2у—22) плоскостью, проходя-
щей через центр сферы и перпендикулярной к прямой
х=0, иг =0.
2.370. Точки 4(3; —2, 5) и В (—1, 6, —3) являются
концами диаметра окружности, проходящей через точку
С (1, —4, 1). Составить уравнения этой окружности.
2.371. Составить уравнения окружности, проходящей
через три точки М,(3, —1, —2), М, (1, 1, —2) и
М.(—1,3,0). ©
2. Алгебраические поверхности второго порядка. Алгебраической
поверхностью второго порядка называется поверхность $, уравнение
которой в декартовой прямоугольной системе координат имеет вид
Ax®-+ By? + C2*-+ 2Dxy-+2Exz+2Fyz+Gx-+Hy+lz+K=0, (6)
где не все коэффициенты при членах вторего порядка одновременно
равны нулю (в противном случае $ — алгебраическая поверхность
первого порядка, т. е. плоскость).
Может оказаться, что уравнение (6) определяет так называемую
вырожденную поверхность (пустое множество, точку, плоскость, пару
плоскостей). Если же поверхность невырожденная, то преобразованием
105
декартовой прямоугольной системы координат ее уравнение (6) может
быть приведено к одному из указанных ниже видов, называемых
каноническими и определяющих тип поверхности.
2
2
2
1. Эллипсоид:
о-в =1 (рис. 29).
2. Гиперболоид
а) однополостный:
Rip aS
(рис. 30, a);
°
x2
y?
22
6) двуполостный:
==— | (рис. 30, 6).
3. Конус второго порядка:
—===0
(рис. 31).
a®'6?
4. Параболоид
|
|
22
а) эллиптический:
и =2 (рис. 32, а);
2
2
6) гиперболический:
={=
(puc. 32, 6).
5. Цилиндр второго порядка
22
а) эллиптический:
Е =! (рис. 33, а);
22
6) гиперболический:
=! (рис. 33, 6);
в) параболический: -
*==2px, p>O (puc. 33, 8).
Общие методы приведения уравнения (6) к каноническому виду
опираются на теорию квадратичных форм и рассматриваются в п. 4
$ Згл. 4. Цель настоящего пункта состоит в изучении основных
геометрических свойств невырожденных поверхностей второго порядка
с использованием их канонических уравнений.
Одним из основных методов исследовапия формы поверхности по
ее уравнению является метод сечений.
Пример 3. Методом сечений исследовать форму и построить
поверхность, заданную уравнением
—_
x2
у
22 (1-45-45).
(7)
& В сечепии поверхности горизонтальной плоскостью 2==й имеем
кривую Г», проекция которой на плоскость Оху определяется урав-
непием
—
|x?y?
x2
у?
761op2—*
®)
ИЛИ
Уравнение (8) при й > 2 не имеет решений относительно (х, и). Это
означает, что соответствующее сечение пусто, т.е. рассматриваемая
поверхность целиком расположена ниже плоскости г=2. При #2
уравнение (8) определяет эллипсс полуосями а=4У 2 —В и Ь=
Puc. 29
Рис 30
Puc. 32
Puc. 31
107
=5 У2— В, вырождающийся в точку х=у=0 npu h=2. 3amertum,
что все эллипсы, получающиеся в сечениях поверхности плоскостями
‘ин [а
4
х=рВ=2, подобны между собой ($= const =>}: причем с.умень-
шением В их полуоси неограниченно и монотонно возрастают.
Полученной информации достаточно, чтобы построить эскиз по-
верхности. Дальнейшее уточнение ее формы можно получить, если
рассмотреть сечения координатными плоскостями Охг и Оиуг. Сечение
плоскостью Ох2: у=0 дает кривую х? == 16 (2—2), т.е. параболу с па-
раметром р=8, вершиной в точке х=0, г=2 и ветвями, направлен-
ными в сторону убывания значений 2. Наконец, сечение плоскостью
Оуг: х=0 дает параболу у?=25 (2—2) с параметром p=, верши-
ной в точке у=0, 2=2 и аналогично
направленными ветвями.
Выполненное исследование позво-
ляст теперь достаточно детально
изобразить. заданную поверхность
(рис. 34).
Заданпная поверхность есть эллип-
тический параболоид. Преобразование
координат
x?=(6(2-z) |
Y?=25(2-2)
X'=x, yo=y, 2? =2—2
Puc. 34
(которое сводится к сдвигу начала в
точку (0, 0, 2) — вершину параболон-
да и обращению направления оси 02) приводит его исходноз урав-
нение (7) к`каноническому виду
(хе (и) _o,
io tog
(9)
Установить тип заданных поверхностей И Построить ИХ:
о
vm oy? 22_
aanNo.4?22
2.572. ом РБ = |.
2.373.16-436 l.
2.374. 2+y—z27=— 1. 2.375, x?—y? = 22.
2.376. х- у? =2а2, а520. 2.377. x?—y? = 2az, a0.
2.378. 22 = х-- x ; 2.379. x? =2az, a0.
и
Lek ae
ey?
2.380. z=2+x%4+-y?. 2.381. -= —-41 =62.
2.382. ху?
— 2 =4. 2.383. х-—
у 21 4=0.
2.384*. Доказать; что уравнение 2? = ху определяет ко-
нус с вершиной в начале координат.
2.385*. Доказать, что уравнение г =ху определяет ги-
перболический параболоид.
2.386. Назвать и построить поверхности;
а) х*= 2у2;
6) z—a=xy.
108
2.387. Составить уравнения проекций на координатные
плоскости сечения эллиптического параболоида у? -| 2? =х
плоскостью x-+ 2y—z=0.
2.388. Установить, какие кривые определяются сле-
дующими уравнениями:
x2 и_
|
x2
y>
gp beat. yp os
| 3x—y + 6z—14=0;
| x—2y+2=0.
2.389. Найти точки пересечения поверхности и прямой:
а)
xу?2
x—3 y—4 242.
aeptagtopal ow rsp aT
xe Oy? г?_
ху 242.
6точ иде)
х? у?
xt y—2 2-3
B) pops?
ие 2.
® Персйти к парамстрическим уравнениям прямой.
2.390. Доказать, что в каждом из указанных ниже
случаев заданные поверхность и плоскость имеют одну
общую точку, найти ее координаты:
х? 22
2y?22
6 аб =—1, 5 2245=0;
в)
фа =1,
4х—Зу-122—54=0.
2.391. Доказать, что плоскость 2х — 12у—2-
16 =0
пересекает гиперболический параболоид х?— 4? = 22 по
прямолинейным образующим (т.е. прямым, целиком ле-
жащим на этой поверхности). Составить уравнения этих
образующих.
3.392. Доказать, что плоскость 4х—6бу—102—20=0
2
.
си
22
пересекает однополостный гиперболоид 5; +5 ——=1
по прямолинейным образующим. Составить уравнения
этих образующих.
—
3. Классификация поверхностей по типу преобразований прост-
ранства. Выделяют три класса поверхностей: цилиндрические, кони-
ческие и поверхпости вращения,
— инвариантных относительно преоб-
разований соответствующего типа. .
Цилиндрической поверхностью (цилиндром) называется поверх-
пость, инвариантная относительно преобразований` параллельного
переноса Т (149), определяемых любым вектором, коллинеарным неко-
торому вектору а (Р, т, п). Из этого: определения следует, что если
109
точка Му (%, и, 20) принадлежит цилнндру 5$, то и вся прямая
X—Xq Y—Yo
22—20
p=
Также принадлежит этому цилиндру.
Принята следующая термипология: всякая прямая, коллинеар-
ная вектору @(1, т, п), называется осью цилиндра $; прямые
0И220
т
n
щие цилиндру, называются его образующими; всякая кривая Г, ле-
жащая на цилиндре и пересекающая все его образующие, называется
направляющей этого цилиндра.
Пусть а (1, т, п) — любой вектор, коллинеарный оси цилиндра 5,
а направляющая Г задана уравнепиямн
‚ Мо (%, И, 20) Е5$, целиком принадлежа-
Е1(х,у,г)=0; Ез(х,и,г)=0
`Точка М (х, у, 2) принадлежит цилиндру $ в том „и только в том
случае, когда существует число # такое, что точка`с координатами
х--И, у ип, г--т лежит на образующей Г, т. е.
Fy (x+tl, y+tm, zt+in)=0,
(10)
Fa(xttl, ytim, z+tn)=
Исключая параметр # из системы (10), получим соогношение вида
Е (х, у, 2) =0, которое и является уравнением заданного цилиндра.
Пример 4. Написать уравнение цилиндра, ось которого сов-
падает с координатной осью 02, а направляющая задана уравнениями
F (x, и) =0, 2—й=0.
Полагая а=® (0, 0, 1), получим систему (10) в виде F (x, y)=
z+t—h=0. Stor результат означает, что точка M (x, y, 2) ae man
лежит цилиндру в том и только в том случае, когда ее координаты
х ии удовлетворяют уравнению Р (х, и) =0 при произвольном значе-
нии координаты 2. Следовательно, уравнение Р (х, у) =0, описываю-
щее ‘проекцию направляющей на плоскость Оху, и есть ‚уравнение
заданного цилиндра. No
Построить заданные цилиндрические поверхности!
2.393. урл =4. 2.394. © |.
2.395. 2 -- ’=ах. 2.396. х?=62. 2.397. 2г=4—х?.
2.398. х?—ху=0. 2.399. 22—22 =0.
2.400. y?+ 227=0. 2.401. xz=4. 2.402, y?4
2%=—2,
2.403. Составить уравнения трех цилиндрических по-
верхностей, описанных около сферы х?-+ у? -22—2ах=0
с осями, параллельными соответственно: а) оси Ox;
6) оси Ои; в) оси Ог.
2.404. Найти уравнение цилиндра, проектирующего
окружность
x?-+(y+2-1(х—1)=25,
ху?-+2?=16
на плоскость: а) Оху; 6) Охг; в) Оуг.
110
°
2.405. Найти уравнение проекции окружности
(x-+1)*-+
(y+ 2/8 + (22)? = 36,
P+ (y +2) + (2-1)?=25
на плоскость: a) Oxy; 6) Oxz; B) Oyz.
2.406. Составить уравнение поверхности, каждая точка
которой. одинаково удалена от прямой х=а, и=0и пло-
скости Оуг. Построить поверхность.
2.407. Составить уравнение цилиндра, если:
а) ось коллинеарна вектору 4 (1, 2, 3), а направляю-
щая задана уравнениями у?=4х, г=0;
6) ось коллинеарна вектору @ (1, 1, 1), а направляю-
щая задана уравнениями х?-{
у? =4х, 2=0.
-
2.408. Сфера х?-{ у? -- 2? =42 освещена лучами, парал-
лельными прямой х=0, у=г. Найти форму тени сферы
на плоскости Оху.
2.409. Построить тело, ограниченное поверхностями
У =х, 2г=0, 2=4, х=4, и написать уравнение диагопа-
лей грани, лежащей в плоскости х= 4.
Конической поверхностью (конусом) называется поверхность, инва-
риаптная относительшо преобразований гомотетии Н (Е, Му) с произ-
вольным коэффициентом No и центром в некоторой точке Ми (хо, и, 2),
называемой вери:иной конуса. Из этого определения следует, что если
x
точка My, (xj, yy, 21) принадлежит конусу, то вся прямая —
=
i— Xo
УИ
2—1
Yi—- Yo 21—20 |
|
зываемая образующей конуса, целиком лежит на конусе. Всякая кри-
вая Г, лежащая на конусе и пересекающая все его образующие, на-
<ывается направляющей этого конуса.
Пусть задан копус $ с вершиной М) (хо, Уо, 25) и направляющей
‚ проходящая через эту точку и вершину Муи -на-
Fy (x, y, z)=0, Ро(х, у, г) =0.
Точка М (х, у, 2) принадлежит конусу $ в том и только в том слу-
чае, когда существует число Ё такое, что точка с координатами
хХ-НЕ(х— хо), УЕЕ(и— о), 2-1 (2—2) лежит на образующей Г, т.е.
ние ytiy—w) 2+12—2))=0, ay
Fa(x+f(x—x); ytt(y—yo), 2-1
(2— 20)) =0.
Исключая параметр # из системы (11), получим уравнение конуса
в виде F (х, и,2) =0.
Пример 5. Написать уравнение конуса, вершина которого на-
ходится в точке Му (хо, у, 2%), а направляющая задана уравиениями
F (x, y)=0, z—h=0.
|
< Система (11) при этих условиях принимает вид
Lette ak y+t(y—y%)) =9,
z+ (z—z)—h=0.
111
h—z _ (h—20) — (22) й— 20
Из второго авнения {= —_
—
—|
3 Втор УР
2— 20
2—2
2—2о
’
что после подстановки, в первое уравнение дает
—Xo
F (xo (b= 29) FM, vot (29) $M )=0. (19)
Уравиение (12) и есть уравнение заданного конуса. В частном
случае ху = и, = 2, =0 (вершина конуса находится в начале координат)
уравнение конуса принимает вид
F(a~,nr2Z)=0.
13
At, nd
(13)
Заметим, что уравнение (13) однородно относительно х, уи2
(т.е. не меняется при замене х, уиг на ¢tx, ty un [2 при произволь
НОМ Ё 72 0), а уравнение (12) однородно относительно х— хо, У— И и
2—2.
.
2.410. Пусть функция трех переменных Р (Хх, у, 2) одно-
родна относительно х, и и г, т.е.
|
Vis OASE R(F (tx, ty, tz) =t5F (x, y, 2)).
Показать, что уравнение Р (х, 5, 2) =0 определяет конус
с вершиной в начале координат, причем для любого В
кривая
“Xx
F(z. 4, 1)=0, 2—h=0
есть его направляющая.
2.411. Составить уравнение конуса, вершина которого
находится в начале координат, а направляющая задана
уравнениями:
a
x? (y—6)?+2?=
a) one
6 one
,
y
22
о
.
5) eaten 5 {; —2z4+1=0
lx=a;
y—z+1=0.
Построить соответствующие конусы.
2.412. Составить уравнение конуса, если заданы коор-
динаты вершины М, и уравнения направляющей:
а) М,(0, —а, 0), +=ру, z=h;
2
2
.
6) М, (0, 0, 0), =+4=1, 2=0;
в) М. (0, —а, 0), 2-20 уфг=а;
г) М, (3, —1, —2), x?+y—2=1, x—y+z=0
Построить соответствующие“конусы.
12
2.413. Построить конус, определить его вершину и
направляющую в плоскости г =й, если конус задан урав:
нением:
а) х?-- (и— 1)
—
г?=0; 6)x?=Qyz.
2.414. Составить уравнение кругового конуса, для ко-
торого оси координат являются его образующими.
2.415. Составить уравнения проекций линии пересече-
ния сферы х?- у? -2*=а? с конусом -и—2? = 0’ на
координатные плоскости:
a) Oxy; 6) Охг; в) Оуг.
2.416. Источник. света, находящийся в точке М, (5, 0, 0},
освещает сферу х? -| и? -| 2? =9. Най-
ZA
ти форму тени на плоскости Орг.
|
=А
Е LUE¥,21)
и
`
Поверхностью вращения называется по-
верхность, инвариантная относительно по-
воротов А (ф, и) на любой угол ф вокруг
некоторой фиксированной оси и. Эта поверх- [-— —, my
пость может быть получена вращением во-
|
круг оси и. кривой, получающейся в сече-
НИИ поверхности л1обой плоскостью, прохо-
дящей через эту ось.
Пример 6. Вывести уравнение поверх-
ности, образованной вращением кривой
Рис.. 35
F (x, 2)=0, 4y=0 Bokpyr ocn Oz (рис. 35).
< Сечение поверхности произвольной плоскостью 2=2‹, есть окруж-
ность с центром в точке С (0, 0, 2.) радиуса ху, причем Е (х%, 20) =0.
Поэтому для произвольной точки М (х, и, 2) этой окружности имеем:
z=2, u р(М, 02)= ужи = Хо. Подставляя эти равенства в соот-
ношение Р (ху, 2.) =0, получаем
Е(У ж-у?, 2) =0.
(14)
Уравнение (14) и есть искомое уравнение заданной поверхности
вращения.
2.417. Составить уравнение поверхности, образованной
вращением KpHBoH z= x?, y=0:
а) вокруг оси 02; 6) вокруг оси Ох.
Построить обе поверхности.
2.418. Составить уравнение поверхности, образованной
вращением прямой 2=у, х=0:
а\ вокруг оси Ой; 6) вокруг оси 02.
Построить обе поверхности.
2.419. Составить. уравнение поверхности, образованной
вращением вокруг оси Oz:
а) кривой 2=е*, у=0;
8
4
6) кривой 2 =; y=0.
Построить обе поверхности в левой системе координат.
113.
2
2
2
2.420. Показать, что +=! есть уравнение
поверхности вращения с осью вращения Ох. Написать
уравнение кривой в плоскости 2=0, вращением которой
получена эта поверхность.x2 y3 22
2.421. Показать, что
a=! есть уравнение
поверхности вращения. Найти ее ось вращения и урав-
нения-какой-нибудь кривой, вращением которой образо-
вана ‘эта поверхность.
114
Глава 3
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И МАТРИЦЫ. —
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ |
$ 1. Определители
1. Определители 2-го и 3-го порядка. Квадратная таблипа
ava as
|
A=( if в)
„>
.\ @21 @22
составленная из четырех действительных (или комплексных) чисел,
называется квадратной матрицей 2-го порядка. Определителем 2-го
порядка, соответствующим матрице А (или просто определителем
матрицы А), называется число
det A= M11 Gia —= 411422 —@а12а3{.
@21 @22
Аналогично, если
Qif Ai2 Ars
A=| Agi Ae Arg
Q3i A32 Ass
— квадратная матрица 3-го порядка, то ‘соответствующим ей опреде-
лителем 3-го порядка называется число
а11 а1з а1з
det А =| 421 422 а2з | == а1122азз -- @›1@зэа1з -{ ат2а2заз1— а1зазза31—
Asi Ase As3
— 112421433 — Ajj A23A30. (1)
`
Определители 3-го порядка обычно вычисляются с использованием
следующего правила Саррюса: одно из трех слагаемых, входя-
щих в правую часть (1) со знаком
`-
плюс, есть произведение элементов
главной ‘диагонали матрицы А, каж-
дое из двух других
— произведение
элементов, лежащих на параллели
к этой диагонали, и элемента из
противоположного угла матрицы
(рис. 36, а), а слагаемые, входя-
щие в (1) со знаком минус, стро-
ятся таким же образом, но относи- а) (+)
5) (-)
тельно второй (побочной) диагона-
ли (рис. 36, 6).
Рис. 36
415.
Вычислить определители 2-го порядка:
3.1. |—1 4]. 3.2. |at+6 a—
3.3. |cosa —sina
= >|:
a—b ane
sing . cosa]’
3.4. а-ы.
3.5, |cosa+isina
-]
2а а—"sil
1
cosa—isina|’
3.6. |2 зщ фсозф 2312 ф—1 3.7. 1—i2 Qt
2 с05? ф—1 2Qsingcosg|
1 ТЕР
22 1-Р
ТВ ТИ]
Решить уравнения:
3:8. xx+1 |—0 3.9.|cos8x —sin5x _0
—4 4-11 ~
sin8x с085х| °
3.10*. Доказать, что при действительных а, В, С, d
a—x ctdi
корни уравнения | —_дь_.х | =0 действительны.
3.11. Доказать, что для равенства нулю определителя
2-го порядка необходимо и достаточно, чтебы его строки
были пропорциональны (т. е. чтобы элементы одной строки
получались из соответствующих элементов другой строки
умножением на одно и то же число). То же верно и для
столбцов.
—
Вычислить определители 3-го порядка:
3.12. |123| 3.13. |3 4—5| 3.14. ах хх. х
45 6],
{8 7—2,
xob+xx
789
2—1 8
хх сх
3.15. |a?+1 af ay 3.16, |sina cosa |
ap f?+1 py |,
sinB cosB 1],
ay By y?+1
siny. cosy |
3.17. [1 le
3.18, [111
11a
[= 22|,
2?6|
1ee
|
2m,._.. 20
An
ryeЕ=60$ РЕЗ —5-.
где ‘2 = cos РЕЗ.
Решить уравнения;
3.19.|3 х—х _3.20.Гххих-2
2 —1 3—0.
х--3х--4 х--5| —=0.
xt+10 2 |1
+6 x*+7 «+8
Решить неравенства:
|
3.21. | 3—2 .1
3.29, [2х2 —1|
1 x—2\< 0,
11-2/S0,
—1 2—1
5—3 х
3.23. Доказать следующие свойства определителя 3-ГО
порядка, используя его определение:
116
а) если строки матрицы определителя сделать столб-
цами с теми же номерами (т. е. транспонировать матри-
цу), то определитель не изменится;
6) если все элементы строки (столбца) умножить на
одно и то же число, то определитель умножится на это
число,
в) если переставить две строки. (столбца) определи-
теля, то он изменит знак; в частности, если’ две строки
(столбца) определителя равны, то он равен нулю;
Г) если каждый элемент некоторой строки (столбца)
определителя представлен в виде суммы двух слагаемых,
то определитель равен сумме двух определителей, у ко-
торых все строки (столбцы), кроме данной, прежние,
а в данной строке (столбце) в первом определителе стоят
первые, а во втором
— вторые слагаемые;
д) если одна строка (столбец) является линейной. ком-
бинацией остальных строк (столбцов), то определитель
равен нулю. ©
|
Используя свойства определителя 3-го порядка, пере-
численные в задаче 3.23, доказать слепующие тождества
(определители не развертывать):
3.24. |аа-Н ых а-—&х яч
aybycy
Ag bax Gg—bex Cg} == —2x | a2 be Ce),
-
Ag-+bsx а@з3— 6х Cg
agbgCz
8.25, [Qit+bi1% ayx+byGy
aby
аз-- 6х AgX-+-by Co) = (1 —x*) | G2 No Co},
Ag+ bgX азх--Оз Cg
a3bgC3
3.26*,-|1 a a®
la a]
\
166l—(atb+o)}1o
le
То с?
Вычислить следующие определители, используя свой-
ства определителя 3-го порядка, перечисленные в зада-
че. 3.23:
»
3.27. |xty 21] 3.28. |(@+)? a+1 a}
y-+-2 x 1),
(b-- 1)? b?-+-1 5],
-|z4+-xy1
(c-+1)? c+le
3.29, |sin?a cos2a cos?a 3.30. |sin?a 1 costa
sin?B cos 2B cos? |.
sin?B 1 со$? В |.
sin?y cos 2y cos?y
|sin?y 1 cos?y
111
3.31. Проверить, что определитель х у, 2 | делится
x?y*2
нах—у,ури 2-х.
117
3.32. Проверить, что определитель
x
y x+y
ухуХх|
хух.Y
делится на x+y Hu Ha x?8—xy+y?.
3.33. Построить график функции
-
xx?1
y=paz|7" | @#d).
—415 62 1
2. Определители -ro порядка. Всякое взаимно однозначное ото-
бражение л множества {1, 2, ..., п} первых п натуральных чисел
на себя называется подстановкой п-го порядка.
Всякая подстановка может быть записана в виде
men(‘tfateeIn,
(2)
0%, Qi, eee Qi,
где 1,= 1 (1+)
— образ элемента Е {1, 2, ..., п} при отображении п.
Для фиксированной подстановки л существует много различных спо-
собов записи вида (2), отличающихся нумерацией элементов верхней
строки. В частности, ‘запись вида
=(.2а)
(3)
Aj Ap «++ Ay,
называется канонической.
Говорят, что пара элементов (1, ]) образует инверсию в подста-
новке л, если {< fj, но > а,. Число $(л) всех инверсных пар
определяет четность подстановки: подстановка называется четной,
если $ (л) —четное число, и нечетной, если $ (л)
— число нечетное.
Пример 1. Определить четность подстановки
„_ (13524
~\23541/°
« Перейдем к канонической записи (3)
„—_ (12345
~\243145
и подсчитаем число инверсий. Так как инверсии образуют пары (1, 4),
(2, 3), (2, 4), (3, 4), то $ (п) =4 и л— четная подстановка. No
Определителем п-го порядка, соответствующим квадратной мат-
рице
ат 912 ›.. Ain
— @21 @2а «ee Aop
Qni Ong eee Ann
118
(или определителем матрицы А), называется число
ati aig eee Qin
det A=|7%l [2 ++ Fan |S) (15
а
e>2@8@@
д
1, Л (1)°°° an, д (п)›
ant ang eee Qnn
f
a
где сумма берется по всем подстановкам л л-го порядка.
Для определителя л-го порядка выполняются основные свойства,
аналогичные свойствам а)— д) из задачи 3.23.
3.34. На множестве {1, ..., 6} найти подстановку л,
если л (К) является остатком от деления числа ЗА на 7.
Определить ее четность.
3.35. На множестве {1,..., 8} найти подстановку л,
если л (Е) является остатком от деления числа БЕ на 9.
Определить ее четность.
Определить четность подстановок;
3.36. /52431\ 3,37. wetter)
(31254).
(143256).
3.38. /2п 21п—1.., 4321
(о
21... 341 >):
8.39, (nn—l1 ... n—k+1 n—k n—k—1.., 2 1
(kR—I1oy. 1 n n—l ..,Е--2ei)
Выяснить, какие из приведенных ниже произведений
входят в определители соответствующих порядков и с ка-
кими знаками:
|
3.40. азалазьатзаа. 3.41. алазаьазьйан.
3.44. Выбрать значения фи А так, чтобы произведение
Ява1@ззЯка ав31
входило в некоторый определитель со знаком минус.
3.45. Выбрать значения Ги Rk Tak, чтобы произведение
QV 47 вз@ 155 лкЯа@з1
входило в некоторый определитель со знаком плюс. ‘
3.46. Найти члены определителя
5x123
хх! 2
12x 38)
x1.22x
содержащие х“ и х?.
`
:. 119
Пользуясь только определением, вычислить следующие
определители:
3.47. 0
os0
0
Qj, n
0
fee 0
аз, п-1 Qo, n
0
aoeAZn~223n-1@3п!
eo@¢¢@©@©©@©#®©фа@@
Gn,1 «++ An n-9 On, n—-1i Qn,n |.
3.48. | ii Gia dis а14а @1ь
Qi @з2 @23 @24 @эь
Язт Age 000...
ата000
51@5>00O
3.49. Как изменится определитель, если:
а) к каждой строке, кроме последней, прибавить по-
следнюю строку;
6) из каждой строки, кроме последней, вычесть все
последующие. строки;
|К
в) из каждой строки, кроме последней, вычесть после-
дующую строку, из последней строки вычесть прежнюю
первую строку;
|
г) его матрицу «повернуть на 90° вокруг центра»;
д) первый столбец переставить на последнее место,
а остальные столбцы передвинуть влево, сохраняя их
расположение.
|
3. Основные методы вычисления определителей пм-го порядка.
Метод понижения порядка определителя основан на сле-
дующем соотношении (Г фиксировано):
п
ЧеА=3,акА No,
- (4)
k=1
где
ат.
coe @Т, Е-1 ат, +1
ose Aly
Att, 2) = (—1)i+ Ajm1,1 e+ Ajmt, ket Wnt, k+i +++ Aint,
:
|
91+1,1 eee Qi+tikm1 Qi+1, Е+1 оо 1+1 п
"Га eee On kei On ket $.’ Onn
(5)
называется AAeeOpauueckum OONOANENUEM BNEMEHTA Ajp WU представляет
собой (с точностью до знака (—1)1+*) определитель (п— [)-го поряд-
ка, получающийся из исходного спределителя вычеркиванием {-й
строки и Ё-го столбца, на пересечении которых стоит элемент арх.
Соотношение (4) называется разложением определителя по 1-й
строке. Аналогично определяется разложение определителя по столбцу.
Прежде чем применять метод понижения порядка, полезно, исполь-
120.
зуя основные свойства определителя, обратить в нуль все, кроме
одного, элементы его некоторой строки (столбца).
|
Пример 2. Вычислить определитель
87 210
—82 710
D=|444BI:
04-3 2
< Из первой строки вычтем, а ко второй прибавим удвоённую третью.
Полученный определитель разложим по первому столбцу, Имеем
0—1—60
—1—60
0101520
-
Da 440408 = (—1)1+3.4.| `10 15 20].
04-39
4—3 2
Далее опять обращаем в нуль все элементы первого столбца, кроме
элемента в левом верхнем углу, и. затем вычисляем определитель
второго порядка:
—1| —6
0
0—4520
0—272
—45 20
—27 2
=—4 (—90-| 540) =—1800. No
Метод приведения к треуголЪному виду. заклю-
чается в таком ‘преобразовании определителя; когда все элементы,
лежащие по одну сторону одной из его диагоналей, становятся рав-
ными нулю.
Пример 3, Вычислить определитель
и
1-122
!
D=4
=
|=
=т
lorie
« Вычитая первую строку из всех остальных, получаем
111641
|
0-211
В= 0 0-2 2=28No
|000—2
{
.
Метод рекуррентных соотношений позволяет. выра-
зить данный определитель, преобразуя и разлагая его по строке или
столбцу, через определители того же вида, но более низкого порядка.
Полученное равенство называется рекуррентным соотношением.
Пример 4. Вычислить: определитель Вандермонда
111eon
|
&yДо.agcoeAn
Dy=|ai a3 a3} ws. an |.
®®®ee®e8oe
®®
af! af! ag" we. an
`
12}
@ Покажем, что при любом п (п-—>2) определитель Вандермонда
равен произведению всевозможных разностей а;—а,у, 1<] < {= п.
Доказательство проведем по индукции, используя метод рекуррент-
ных соотношений.
Действительно, при п=2 имеем. .
1
Ро=
:
Qy ag
Пусть наше утверждение доказано для определителей Вандермонда
порядка (п— 1), т. е.
Dn-t=
II
(aj—a,).
l<j<ign-1
Преобразуем определитель Р„ следующим образом: из последней п-й
строки вычитаем (п—1)-ю, умноженную на а1 и, вообще, последова-
тельно вычитаем из Ё-й строки (кК—1)-ю, умноженную на ‚ат. Полу-
чаем
|
1
1
@оф
1
0 Ag—aj
ag—ay. ee
An— ay
2
2.
2
D,=|9 а? —@1а2
аз—а1з toe ап
— а1ап
°
ооо
. ooeo
8®‚о
s+@FF
®`.о#9@
-
—2 —1
—2
n=l
-2
0 aft§—ayae-* af’ —ayas*? ... a7 —aya?
Разложим последний определитель по первому столбцу и вынесем из
всех столбцов общие множители. Определитель принимает вид
1
]
1
e@e 1
Ц
'Qg
a4
eee Qn
:
2
2
2
2
Ри = (а2—а1) (а3—а1) ... (а, —а1) 142 03 244 ... An =
e®?°Ф®eee9®®
п-2 п-2 п-2
п-2
Qo a3 4.eeeAn
[ = (42 —а1) (а 3—1) ... (аи —а1) Ои-т.
Получили рекуррентное соотношение. Используя предположение ин-
дукции, окончательно выводим:
Dy = (@2—41) (@3— а1) ,,. (ав —а\). II (a; —a,) =
2<j<ign
= [J (a).>
l<j<ign
Вычислить определители, используя подходящее раз-
ложение по строке или столбцу:
3.50. |102] ° 3.51. |152
020}.
07 Oj.
203
120
3.52. |210 3.53. |9 1011
121],
{111}.
012
2 34]
122
3.54.а) |2-341
6) |5a2—-1 в) |@111
4—232
4b4—3
6011
Иа bedi:
2c3—2h
с101|.
3—143
445 —4
4110
Вычислить определители:
3.55. |2 —11 0 3.56. |23—3 4
0 12-1
21-1 2
3-12 3}
621of
3161
23 0-5
3.57.3 —14 2 3.58. У? Уз УБ V3
0 21-3) Ve Va yi —2уз
6—29 8
Yi02Vi5 5 Yb}
.2 2V6 Yyi0 V15
3.59.|0 —a—b —dl- 3.60. 10.6 са
.
а 0—c —e].
6 0.dc
6b¢OOF}
|edOb
_
ldеоо
4660
3.61. 1211111
3.62. 156000
13111
15600
11411),
015601.
11151
00156
. {11116
{0001 5].
3.63.|0—110| 3.64,]1x2о
1х—110
12х 3х2 428 5x4
10 х—101,
14х9х? 1653 254|,
ТО -1х!
Гуи
O01 —1 Ox
12и32435
3.65%, |< af 0 ...0 0
-
la+tp ap ...0 0.
01а&--В‚.00.
000‚Ра-В
3.66. | «--В ов 0 ....0 0
2 оа-|-В ap ...0
0
0
1 atp,..0 0
eo»@©©@©©©©&4Oe
000
1 a+f
Вычислить определители порядкап приведением их
к треугольному виду!
3.67,| 1 (2 З3...т
3.68. 1322... 2
—1
0
3...П
а32fee2
—1 —2 (0... nl,
223... 2,
—1 —2 —3,.,0
922...
3
123
* 3.69. Вычислить определитель, элементы которого за-
даныусловиямиа;=пп(й].. `
|
|
3.70. Вычислить определитель, элементы которого за-
даны условиями а,,
=тах(4]).
Вычислить определители порядка fn’ методом: ‘рекур-
рентных соотношений:
3.71. ОГ... 1
3.72. 210 wer 0
1ат0ete0
]2leen0
` 1.0 а...0
012.,.0|.
100...a
000...2
3.73..Вычислить определитель
ат ат м... ag
59%.99:®ooe>
Qy
Q2
a3
... An
.
“
ат
Qo
a3
Cae an
111...|
3.74, Доказать, что для любого определителя выпол-
няется соотношение
п
>,‚А =
j=l
detA,k=i,
0, ki,
ге Д“%,/Л — алгебраическое х дополнение элемента gy
(см. (5)).
$ 2. Матрицы
1. Операции над матрицами. Матрицей размера тхп или (тЖп)-
матрицей называется прямоугольная таблица из чисел ау), #{=1,
2, 2005 Ms fly 2; 0405 M1,
)
а
Qig eee ain
A= Чт Agg eee Agn
6оо
ф@офо
Amt Imi ere Inn
состоящая из т строк и п столбцов.
Суммой А--В (тхп)-матриц А=(а1,) и В=(51,) называется
матрица С==(с1;) того же порядка, каждый элемент которой равен
сумме соответственных элементов матриц А и В:
Cry =A + Ory t= 1, 2; ece3 Mm; foul, 25 wo05n.
Проивведением «А mampuyot A=(aj;,) Ka число & (действительное
или комплексное) называется матрица В = (;,;), получающаяся из
мётрицы А умножением всех ее элементов Ha ©:
bj, = AA; 7; i=l, 2, coe, M, j=1, 2, e999 fl.
124
П роизведением AB (mxXn)-mampuyo A=(a;;) Ha (nXk)-mampuyy
B=(6;;) называется (тх^)-матрица С = (1), элемент которой ау,
стоящий в {-й строке и ]-м столбце, равен сумме произведений соот-
ветственных элементов {-й строки матрицы А и ]-го столбца матрицы В:
A
c= 2a Ay Oyj F=1,2, voe5m, Jl,2 0h
3.75. Доказать следующие свойства алгебраических
‚операций над матрицами:
а) А+В=В--
АА+(В+С)=(А+В)|С:
6) (a+B) A=aA+ fA, a(A+B)=aA+aB, (af) A =
=a (BA);
в) ДА (ВС) =(АВ)С, А(В--С)
= АВ- АС.
Вычислить линейные комбинации матриц А и В;
3.76. ЗА 28, А= (014),
В= (302).
3.77. (1+) A+(1—i) B, А= (| _i): в=(_:1).
79. (+25) (6 <4):
7
73
1—32 56
($‚).3.81.(:3А 25)
2—53/\132
3.83, 750 23
)
(41 53
2
Вычислить:
3.78. ($4) (55).
:
3
43\/—28 93
3.80, (1 5)( 38 —1)
535
3.82, /58.—4\ /З 2
(3 о -5)(+-
\47—3/ \9 6
1—1
3
3
|
1\.
1
3.84.a)(40—231)—! ;6)|—1}(40—231).
>
o
O
3.88. (о i) VER. 3.89.. (ore а)".
sin@ cos&
Найти значение многочлена {(А) от матрицы A}
3.90. f(x)=3e—4, A= (о 3):
125
3.91. f(x) =x2—3x-+1, A=(_, 3):
~
1—23
3.92. f(x) =3x?—2x+5, A =(2 —4 i)
3—d2
Вычислить АВ— ВА:
3.98. А= (41), В= (4 =).
231
121
3.94. 4=(- 1 0), в-(о 1 2),
12 —1
311
111
753
3.95. д (с! ), p=(075),
001
007
Матрицы Аи В называются перестановочными, если.
АВ =ВА.
р
Найти все матрицы, перестановочные с данной;
3.96. [12\. 3.97. (7 3 3.98, /3 1 0
34/°
5 —2/°
(031),
003
3.99. Найти все матрицы 2-го порядка, квадраты ко-
торых равны нулевой матрице О = (оо).0
3.100. Найти все матрицы 2-го порядка, квадраты ко-
торых равны единичной матрице Е`= 01
|
3.101. Как изменится произведение АВ матриц Аи В,
если:
а) переставить #{-ю и ]-ю строки матрицы A,
6) к Г-й строке матрицы А прибавить ]-ю строку, умно-
женную На число @,
в) переставить ГЙ и [-й столбцы матрицы В,
г) к i-My . столбцу матрицы В прибавить ]-Й столбец,
умноженный на число a?
Матрица AJ называется транспонированной к матрице А, если
выполняется условие ар —=ау: для всех {, ], где ау) и ар — элементы
матриц А и АТ соответственно.
3.102. Доказать следующие соотношения;
а) (АТ)Т=А; 6) (АЕВ)Т=АТ-ВТ;
6) (AB)T =BTAT,
Вычислить ААТ и АТА для заданных матриц А}
и
1-1
121З\
3.103. (
).3.104.(20202),
4—15 —l
0-2 0-2 0
126
Квадратная матрица В называется симметричной, если ВТ =В.
Квадратная матрица С называется кососимметричной, если СТ =
—
®
3.105. Доказать, что любую матрицу А можно пред-
ставить, и при этом единственным образом, в виде А =
—=В--С, где В —симметричная, а С —кососимметричная
матрицы.
2. Обратная матрица. Квадратная матрица А называется: вырож-
денчой (особенной), если ее определитель, равен нулю, и невырож-
денной (неособенной) в противном случае. Если А — невырожденная
матрица, то существует и притом единственная матрица А-* такая,
Ч
AA-1=A-1A=E,
где Е——единичная матрица (т.’е. такая, на главной диагонали кото-
рой стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю). Матрица
А-^ называется обратной к матрице А. |
Укажем основные методы вычисления обратной матрицы.
Метод присоединенной матрицы. Присоединенная
матрица АУ определяется как транспонированная к матрице, состав-
ленной из алгебраических дополнений соответствующих элементов
матрицы А (см. формулу (5) из $ 1). Таким образом,
Аб, Де... Ап,п
Ай, 9) 4,9 .., Ам,2)
6 ооо
#@@e'@¢
Аа,п)Да,п),,,Де,п)
Справедливо равенство °
АУА=ААУ=деА.Б.
Отсюда следует, что если А— невырожденная матрица, то
1
-1__
V
&
A ~~detAА’.
Пример 1. Методом присоединенной матрицы найти А-*, если
1 2—1
a-(s 0 2)
4—2 5
АУ.=
< Имеем 4еЁ А = —4. Найдем алгебраические дополнения соответст-
вующих элементов матрицы Д:
я :—4,А—=—5в—=—8,APD==55=4,
Аа,— ,:—=—7, Аа—||25|= A@,2)=—:—.=—5,
дао 5=-6де
|о=10, 443,3)—;о——
127
Поэтому
(-4—8
—l2—-l
АУ= -95) иАбАУ=(Tis—9/454) >
в 10—6
\3/2 —5/2 3/2
Метод элементарных преобразований. Элементар-
ными преобразованиями матрицы называются следующие:
1) перестановка строк (столбцов);
‚ 2) умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;
`3) прибавление к элементам‘ строки (столбца) соответствующих
элементов другой строки (столбца), предварительно умноженных на
некоторое чисзхо.
Для данной матрицы А п-го порядка построим прямоугольную
матрицу Гл=(А|Е) размера п Х 2", приписывая к А справа еди-
ничную матрицу. Далее, используя элементарные преобразования пад
строками, приводим матрицу Гдк виду (В | В), что всегда возможно,
если Д невырождена. Тогда В =А-
Пример 2. _ Методом элементарных преобразований найти А-*
321
(+52)214
100
01 0).001
Обозначив Yepe3 Vy, Po; Ys CTPOKH MaTpuubI Ty, NponsBezemM над ними
следующие преобразования:
для
< Образуем матрицу -Гл:
_
321
гл= (45
214
‚|
9,
„и
и
Y= Vis
1—1—71, V1—71—547
r
4
„_3
,
aИ
1”
2—=\2—3Vis Vo=7V2)
V2—12—15V3;
’
2
“
,
1,
\
РЗ
уз= уз-- = 1, v3, 257 Vs.
B результате последовательно получаем
3211100
1 2/313 1/300
(4 5210 1 °)—(‹ 7/3 2/3| —4/3 1 a
2 1 41001
0—1/3 10/3|—2/3 0 1
10 1/7| 5/7 —2/7 0
100] 3/4 —7/24 —1/24
—(° 1 2/7|—4/7 3/7 0) —( 10| —1/2 5/12 =}
00 24/7|—6/7 1/71
OO01/—1/4 1/24 7/24
Следовательно,
3/4 —7/24 —1/24
(1 5/12 ine). >
—1/4 1/24 7/24
128
Методом присоединенной матрицы найти. обратные для
следующих матрин: ‘|
3.106. (34). 3.107. (57). 3.108. (25% vcore)
34
57
sina COS&
3.109.-/2 5 7\ 3.110.73 —4 5\ 3.111. sid...
(s3‹)
(Е
'}
,O11...1
5—2—3
3—5—1
001...1
000.
3.112.71111
11—l—!
1—0 0
О0 1—1
3.113.
1
|
ЗИ5 ПИБ? -ИИ5 —9У 5
1—1
—1
"
11ИУ5 —3/И5 З/УБ “vt
Методом элементарных преобразований найти обратные
для следующих матриц:“`
3.114./273\ 3.115.71 2 2) 3.116. 7/1 1 1 ot
(29‹)
2 |—)
1 1-1-1
153
2—2 |
1-1 1-1
ЕЕ1
3.117. /33 —4 —3
3.118. /y10...0
0611.
O11...0
(ss2|)
001...0 ].
233...
000...1
3.119. 00 —1
3.120. /100...01
031 4
020...00.
276 —1|
003....00].
122 —1
ее.
000...бл
Решить матричные уравнения:
12
3—2
—12
3.121. (3 ‹)-Х = (5 о). 3.122. Х. (5 —4)= (= .).
3—1
56
14 16
3.123, (2 —1).x.(38) = (м).
1 2-3
1—30
3.124. (3 2 =4).x=(10 2 ’)
\2—1 0,
078
5317—830
3.125. x( 1 —3 ~2) =(=3 90)
—521
—2150
5 Под ред. А. В. Ефимова, Б; П. Демидовича
129
3.126. Доказать следующие равенства!
а) (aA)-# = = A>}, 6) (AB)-!=B-1A-;
B) (A~?)T-= (AT).
Вычислить значение функции в (х) при х=А;
3.127. р 3x4 2x7“A— x3, А= (0 1):
°
e
2
3.128. g(x) =x—8x-!-+ 16x7?, An(o 2 -1).
011
$128, gW)=(@—II—(# E, A(T 01),
$ 3. Пространство арифметических векторов.
Ранг матрицы
. Арифметические векторы. Всякая упорядоченная совокупность
из 0 действительных (комплексных) чисел называется действитель-
ным (комплексным) арифметическим вектором и обозначается сим-
BOJIOM
х= (ха, No, ..., Xn).
Числа Х1, Хз, «++ Хп Называются компонентами арифметического
вектора х.
Над арифметическими векторами вводятся следующие операции:
Сложение: если
X= (X1, Xo, oes, х„), У= (1, у», soy Уп),
то
xt y= (Kbyte yes oes Ln tYn)
(1)
Умножение.на’ число: если \— число (действительное или комп-
лексное) и х= (х1, х2,..., х„) — арифметический вектор, то
Ах = (Ам, Ах, ..., АХ).
(2)
Множество всех действительных (комплексных) арифметических
п-компонентных векторов с введенными выше операциями сложения (1)
‘и умножения на число (2) называется пространством арифметических
векторов (соответственно действительным или комплексным). Всюду
в дальнейшем, если не оговарйвается противное, рассматривается
действительное пространство арифметических векторов, обозначаемое
символом Кл,
Система арифметических векторов {xy, ..., Х;} называется ли-
нейно зависимой, если найдутся числа No, ..., А, не авные OJHC-
временно нулю, такие, что А1х1--...-Н
А; х;=0 (где O=(0, .., 0)—
нулевой вектор). В противном случае эта система ася "линейно
независимой.
Пусть @— произвольное множество арифметических векторов.
Система векторов 3 = (е1, ..., е;) называется базисом в @, если
выполнены следующие условия:
130
а) ее ЕО, k=1,
2, ..., 8
.
,
6) cuctema B=(e1, ...) @s) линейно независима;
в) для любого вектора хЕ Ч найдутся числа А1, ...; А. такие, что
$
х=У,Aner:
(3)
‚ В=1..
Фофмула (3) называется разложением вектора х по базису 3.
Коэффициенты А:, ..., А; однозначно определяются вектором х и на-
зываются координатами этого вектора в базисе %.
Справедливы следующие утверждения:
1) Всякая система векторов @ < К” имеет по меньшей мере один
базиё? При этом оказывается, что все базисы этой системы состоят
из одинакового числа векторов, называемого рангом системы @и
обозначаемого гапе @ или г(().
2) Ранг всего пространства К” равен пои называется размер-
ностью этого пространства; при этом в качестве базиса К” можно
взять следующую систему:
ег==(1,0,0, ве 0),
\
e,=(0, 1, 0, ..., 0),
ез=(0,0,|,оу0),
(4)
ез = (0, 0,0, ..., 1).
Этот базис принято называть каноническим.
Зафиксируем произвольный базис 3 = (21, ..., е„) в простран-
стве К”. Тогда всякому вектору х можно поставить вр взаимно од-
нозначное соответствие столбец его координат в’этОм базисе, т. е.
kx1
Xo
N= Hey... A nen Х=| ‘|.
~
Xn
Замечание. Необходимо различать компоненты вектора и
его координаты в некотором базисе. Мы используем для них одина-
ковое обозначение, хотя`следует помнить, что координаты вектора
совпадают с его компонентами только в каноническом базисе.
Линейные операции . (1) и (2) над арифметическими векторами в
координатной форме выглядят следующим образом:
Z=x+YOZ=X+Y (S 2p=Xptyp, R=I, 2, ...5 7),
YHAKOV NX. (GH ypHheg, RHI, 2, ...5 0).
3.130. Доказать, что линейные операции (1) и (2) обла-
дают. следующими свойствами:
1а) хру=у+х;.
16) (ху) те=х-(у-+2);
lp) хХ--0=х; ›
5*
131
Ir) Vx¥,y dle (v=y-+2) (BeKTOp Z Ha3bIBaeTCA pa3-
ностью векторов х и у и обозначается так: Z=*X—Y);
2а) ^ (их)
=(No)хдлялюбых чиселАии;
26) |1. х=х;
3a) A(x + y)=AK
+ dy;
36) (Аи) х=Ах-их.
заданы арифметические векторы: а, == (4, 1, 3, —2),
а,=(1,2,—3, 2),аз=(16, 9,1, 3),“a,=(0, 1,2,3},
а, == (1, 1, 15, 0). Найти следующие линейные комби-
нации:
|
3.131. 3a,;+ 5a,—a,. 3.132. a;-+ 2a;—a,—2a,.
3.133. 2a;+ 4a,—2a,. 3.134. */,a;+ 3a,—/,a,+,.
Заданы те же, что и выше, арифметические векторы
2, Ay, As, Ay, а;. Найти вектор х из уравнения:
3.135. 2x+a,— 2a,—a, =0. 3.136. аа—3За,-- х-а:=0.
3.137. 2(a,— x) +5 (a, -+ x) =0.
3.138. 3 (а. 2x)—2(a,—
x) =0.
3.139. Доказать, что линейно зависима всякая система
векторов:
а) содержащая два равных вектора;
6) содержащая два вектора, различающихся числовым
множителем;
|
в) содержащая нулевой вектор;
г) содержащая линейно зависимую подсистему.
Выяснить, являются ли следующие системы арифме-
тических векторов линейно зависимыми или линейно
независимыми:
3.140. х, = (-—3, 1,5), х, = (6, —3, 15).
3.141. х,= (1, 2, 3, 0), ©,= (2, 4, 6, 0).
3.142. х, = (2, mae 1), х,= (3, —1, 5), х.= (1, —4, 3).
3.143. x,=(1, i, 2—i,3+1), #y=(1—i, 141, 1—3i,
4—?2i).
‘3,144*. Показать, что система арифметических векторов
e,=(1, 1, 1, 1, 1), e,=(0, 1,1, 1, 1), e,=(0, 0, 1, 1, 1),
е,=(0, 0, 0, 1, 1), е,=(0, 0,0,0,1) образует базис вК°.
Найти координаты заданного вектора Хх в базисе
3 =(е;,..., е,) из задачи 3.144:
3.145**. х == (1, 0, 1, 0, 1). 3.146. х= (5, 4, 3, 2, 1).
3.147. Доказать, что если векторы @:, 4., аз линейно
зависимы.и вектор @; не выражается линейно через век-
торы @:; и а», то векторы а; и а; различаются ЛИШЬ
числовым множителем.
3.148. Доказать, что если векторы Ay, Ag, «++, Ay
линейно независимы, а Векторы @/, 4, ..., а», линейно
132
зависимы, TO BeKTOp 6 sMHeHMHO выражается через век-
TOPbI @;, Aj, ..-, Ape
3.149. Доказать, что упорядоченная система векторов
Q;,@;,...,@,, He содержащая нулевого вектора, линейно
независима тогда и только тогда, когда ни один из этих
векторов не выражается линейно через предыдущие.
2. Ранг матрицы. Пусть в матрицё А размера тх п выбраны
произвольно Ё строк и А столбцов (К < шт (т, п)). Элементы, сто-
ящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квад-
ратную матрицу порядка ^, определитель которой называется мино-
ром Е-го ‘порядка матрицы А
Максимальный порядок г отличных от нуля миноров матрицы А
пазывается ее рангом, а любой минор порядка г, отличный от нуля, —
базивсным . минором.
Строки. (столбцы) матрицы А размера т Хх п можно рассматривать
как систему арифметических векторов из К” (соответственно К”).
Теорема о базисном миноре. Ранг. матрицы `равен
рангу системы ев строк (столбцоз); при’ этом система строк (столб-
ц08) матрицы, содержащая базисный минор, образует ‘базис в системе
всех строк (столбцов) этой. матрицы.
Приведем основные методы вычисления ранга ‘матрицы,
М етод окаймляющих. миноров. Пусть’ в матрице
найден минор А-го порядка М, отличный от нуля. Рассмотрим лишь
те миноры (&--1)-го порядка, которые содержат в себе (окаймляют)
минор М: если все они равиы нулю, то ранг` матрицы равен #.
В противном случае среди дкаймляющих миноров найдется ненулевой
минор (#-|-1)-го порядка, и вся процедура повторяется.
Пример 1. Найти ранг матрицы
2-4 3
A=( 9 mga
4 Фиксируем минор 2-го порядка, отличный от нуля:
—43
М.= |—2 | x0.
Минор 3-го порядка
2—4 3
Мз= 1—2
1’
0 1-tI
окаймляющий минор М2, также отличен от нуля. Однако оба минора
4-го порядка, окаймляющие. Мз, равны нулю:
2—43:1
2—4 3:0
1—21—4
1—2 12
01— 3/=%foaat1|=°
4—74—4
4—7 45
Поэтому ранг А равея трем, а базисным минором является, напри-
мер, Msg.
133
Метод элементарных преобразований основан на
том факте, что элементарные преобразования (см. п. 2 $ 2) матрицы
не меняют ее ранга (см. задачу 3.158). Используя эти преобразования,
матрицу можно привести к такому виду, когда все ее элементы, кроме
411, Aza, «++, App (Г< шш (т, п)), равны нулю. Следовательно, ранг
матрицы равен г.
Пример 2. Найти ранг матрицы
02—4
—1—4 5
A=
317
0 5—10
230
< Производя последовательно элементарные преобразования, будем
иметь
02 —4
14 —5
14—5
—1—4 5
230
0—510
3 1 71—31
7|—10—122|—
0 5—10
05 —10
0 5—10
23
0
02 —4
02—4
14 —5
100
01 —2
010
—1 01—22 |1 000}.
,
01 —2
000
01 —2
000
Ранг последней матрицы равен двум, Гследовательно, таков же и
ранг исходной матрицы. No
Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров;
3.150. /2—1 3—2 4 3.151. /1 3 5-1
(4=25“т
2-1-3 4
2—11 82
51-17/
.
779J
3.152. /3—1 32 95
3.153. /1 23 4
5-3234
2345
1—3—50—7
3456 /*
7—5141
4567
3.154. /1230-1\ 3.155. ИГРЕ 1-7 243
(ora 0)
i|2
1341 —1
АЙ 3—9 |*
4 —4# 10-52
Чему равен ранг матрицы А при различных значе-
ниях AP
О,
| A-12
3.156. A= oa
3.157. Aa(2—1 45),
17173
| 10-62
22 43
134
3.158. Показать, что элементарные преобразования не
меняют ранга матрицы.
Вычислить ранг матрицы методом элементарных пре-
образований:
3.159. /25 31 17 43 3. 60. /47 —67 35 201 155
759453132
(23 98 23 —294 5)
759454134
16 —428 1 1284 52
25322048
3.161.
3.162.
241936:72—38
17—2845 Il 39
494073147—80|
24—3761 13 50
73 59 98 219 —118
25—732—18—11
473671141—72
311219—43—55
421329—55—68
3.163. 123
3.164. /—l 3 3-4
456
4-7-2 1
78 9]
—3510
1011 12
—2301
Вычислить ранг матрицы:
.}
3.165. 13 —1 6
3.166. 0 110 3\
71-3 10
[2
4—1
171—722
16 452 9]-
34—210
8 —16—7/
3.167. sO 1100
3.168. O01 0 48I\
11000
013021
01011
21001i)
10100
—12-1-—1—11
00110
3.169.
3.170.
(2215-1)
O-1
0131)
104-21
1 0-2 OQ—1 —1
21501
010100
1—2 2-6 1.
10011Jf:
—3—1-8 1-1
}-1-—3-—-1 2 2 0
1 2-3 7-2
| 3 2-1-1
—1 —-1
3.171. Доказать что если ‘произведение матриц АВ
определено, то гапё'(АВ)
< шт {гапх А, гапб В}.
3.172. Пусть А — невырожденная матрица, а матрицы В
и С таковы, что АВ, СА определены. Доказать, что
гапо (АВ) =ЁапеВ и гапё (СА) =гапе С.
3.173. Доказать, что если сумма матриц А-В опре-
делена, то гапе (А -В) < гапб А - rang B.
135
Понятие ранга матрицы используется для исследования линейной
зависимости системы арифметических векторов.
Пример 3. Выяснить, является ли система арифметических
векторов а: =(2, —3, 1), аз = (3, —1, 5), аз=(1, —5, —3) линейно
зависимой или линейно независимой. Найти ее ранг и какой-нибудь
базис.
< Запишем матрицу А, вектор-столбцами которой являются @1, а», аз:
23}1
А—(аТ, ат, «т)=(=2=1-5)
Ранг A, как нетрудно видеть, равен 2. Следовательно, исходная си-
стема арифметических векторов линейно зависима, и ее ранг также
равен: 2..(по. теореме. о базисном миноре). Минор 2-го порядка
.
po
23_7
3 1)“
отличен от нуля и потому может быть принят за базнсный. Отсюда
следует, что арифметические вскторы а1 и Qe образуют базис исход-
ной системы.
Мо=
Выяснить, являются ли следующие системы` векторов
линейно зависимыми или линейно пезавасимыми:
3. a. x,=(1, 1, 1; 1), *,=(, —1, —1, 1), *,=(,
—1, 1, —l), ¥,=(1, 1, —1, —1). |
3.175. x,=(4, —5, 2, 6), x, =(2, —2, 1, 3), x,= (6,
—3, 3, 9), х.=(4, —1, 5, 6).
Найти ранг системы векторов:
3.176. а. =(1, —1, 0,0), а,= (0, 1, —1, 0), а,= (1, 0,
—1, 1), а.=(0, 0, 0, 1), а, =(3, —5, 2, —3).
|
3.177. a,=(1, i, —I, t, 1), a,=(1, —i, —l, i, 1),
аз == (1, —1, 1, —1, 1), a,=(38, —1,.—1, —1, 3).
Найти все значения A, при которых вектор Хх линейно
выражается через векторы а1, Oy as:
3.178. a, =(2, 3, 5), a,=(3,7, 8),a,=(1, —6, 1), «=
= (7, —2, A).
;
3.179.а,=(3,2,5),а.=(2,4,7),а.=(5, 6,^), Х=
3.180. а,=(3, 2, 6), а,=(7, 3,9), аз=(5, 1, 3), х=
=(A, 2, 5).
‚Найти ранг и какой-нибудь базис заданной системы
векторов:
3.181. а,= (5, 2, —3, 1), а.= (4, 1, —2, 3), а. =(1,1,
—1, —2), а.= (3, 4, ‚ 2).
|
3.182. a= an 3, 5), a,= (4, —3, 1, 3), a,= (38, —2,
3, 4), a,=(4,.
15, 17), a, =(7, —6, —7, 0).
3.183. а. (1, $ 3, —4), а,= (2, 3, —4, 1), а,= (2, —5,
8, —3), а. =(5, 26, —9, —12),. а, =(3, —4, 1, 2).
136
Найти ранг и все базисы системы векторов: _
3.184. a,=(I1, 2, 0, 0), a, =(1, 2, 3, 4), а, = (3, 6, 0, 0).
3.185. а:=(1, 2,3,4), а,=(2, 3,4,5}, а,=(3,4, 5,6),
а.=(4,5,6,7).
3.186. a= (2 1 —3, 1), @,=(4, 2, —6, 2), a,
=(6,3,
—9, 3), а, = (1,1
$ 4. Системы линейных уравнений
1. Правило Крамера. Пусть задана система п ‘линейных уразне-
>
ний С п неизвестными вида
аихт- атохо-|- „+. + Aintn= 443
Cait+AgeXeт«+ --2хв=65;
(1)
э
фо ооо
eee
ee#@
аа. »+AnnXn = bys
или, в матричной форме, АХ = В, где
ii Aig vee Qin
хг
bj
A= AgiQoevecn), X= *2
B=bs.
eee¢»#@@@@
°
«
Ant Ane oes Onn /
|
ха
bn
Правило Крамера. Если в системе 2 (1) де: А=А #2 0, т. е.
матрица А имеет обратную А-1, то система (1) имеет, и притом
единственное, решение
или, в покомпонентной записи,
Аf i=], 2; ones My
x=;
где А;— определитель, получаемый из определителя А заменой 1-го
столбца на столбец свободных членов.
Пример 1. Решить систему уравнений
Зя-Н2ха-Нхз =5,
2х1— ха хз= 6,
Xj +5x_q =—3,
Матрица a-(2 —11
150
Присоединенная матрица АУ имеет вид
—558
av=(1—11)
11 —13 —7
3° 21
) невырожденная, так как det A=—2 40,
137
Следовательно;
1—553
aaa a
1—11)
11 —13 —7
—553
5
1—4
2
11 —13 —7/ \—3
—2
l
T. €. Xy=2, Xg=—l1,
xg= 1. PO
Следующие системы решить по правилу Крамера;
3.187. Зх—Бу=13,. 3.188. 3x—4y=1,
|
2x—7Ty=8l.
3x+4y=18.
3.189. 2ax—3by =0, 8.190. 7x+ 2и-Р
32=15,
Зах—бу=аб.
5х— Зи--
22=15,
10х — Пи-
5г=36.
3.191. 2ху
=5, 3.192. x+ у—22=6,
x +3z=16,
2x+ 3y—7z= 16,
5y— z= 10.
5Bxt+2y+ 2=16.
3.193.
3.194.
4х. 4х, 5х. - 5х, =0,
2x,— XxX,+3x,+ 2x,=—4,
2X,
+3x,— x,= 10, 3x,
+ 3x,-+ 3x,
-+ 2x, =6,
X,-+ X,—OX,
—=—10, 3x,— x,— x,—2x,=6,
OX,+2X5° =].
3х1— х.- 3х — x,=6.
3.195*. Доказать, что для любых различных чисел ху,
Xo, Xz HW Любых чисел у, у, у, существует, и притом
только один, многочлен и=[(х) степени <2, для кото-
poro f(x,)=y, 1=1, 2, 3. Когда степень этого мно-
гочлена < 2 (равна |, равна 0)?
Но заданным условиям найти многочлен }(х)!
3.196. (1) =—1, f(—-l=9, F2)=—3.
3:197. Е,(1)=бл i,j=1, 2,3, ви=, i=],
0, 152 |.
Решить системы уравнений:
3.198. 5х.
+ 8х, х.=2, 3.199, 2x,—3x,+ x,=—7,
3x,—2x,+6x,=—7,
x, +4%,+2x,=—l,
2x,+ х,— х=—5.
X,—4x,
—=—5.
3.200.
3.201. —
2X, +2x,— X3+ x,= 4,
2x,+3x,+ 1llx,+5x,= 2,
4x,+3x,— x,+2x,= 6,
Xit x,+ 54,+2x,= 1,
8x, + 5x,—3x,+ 4x, = 12,
2x,+ x%,+ 3x, +2x,= —3,
3x, + 3x,—2x,
+ 2x,= 6.
X,+t х.- 3%x,+-4x,= —3.
138
3.202.
3.203.
2x,-+ эх, 4х. x,—20=0, 3x,+4x,+ 4,+2x,+3=0,
Xi 3x, +2%,+ 4,—11=0, 3x,+5x,+ 3x,+5x,1+6=0,
2x,-+ 10x; -+ 9x, + 9x,—40=0, 6x, -+ 8x, + х.--5х.--8=—0,
3x,+ 8x,+9x,
+ 2. — 37 =0. 3x, -+ 5x4 + 3x,--7x,+8=0.
‚ 2, Решение произвольных систем. Пусть задана система т линей-
ных уравнений с п неизвестными общего вида
QiiX{ TF AjoXa+ vee + AynXyn = 03;
Ag1Xj + GeoXo-b 00+ + AanXn = do;
(2)
“@©©@©@©©@@©#@©©©@@
A mi Xi fF AmeXe+ eae $Omntn=Oms
или, в матричной форме,
АХ В,
о
Xj
bj
Qiy Ajo «+r Ain
Гхо
bs
A= aaj dog eee Aon
,x=
.
B=
‘,
оо
у©
в
©@
e
®
Ят1@та «1 Ann
Хп
Ат
Если В=0О,; то еистема называется однородной, в противном
случае опа называется неоднородной.
Решением системы (2) называется всякий n--компонентный вектор-
столбец Х, обращающий матричнсе уравнение (3) в равенство _(соот-
ветствующий решению Х арифметизеский вектор х Е КП также будем
называть решением системы (2)).
Система называется совместной, если у нее существует по край-
ней мере одно решение, в противном случае она называется несов-
местной.
Две системы называются эквивалентными, если множества их
решений совпадают.
Теорема Кронекера—Капелли. Для того чтобы
система (2) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы
rang A=rang A;
(4)
где A=(A|B)—p асширенная матрица системы.
Пусть гапо А=гапо А=х, т. е. система совместна. Не ограни-
чивая общности, будем считать, что базисный минор располагается
в первых г (|< г«а ши (т, п)) строках и. столбцах матрицы A.
Отбросив последние 1— уравнений системы (2), запишем укорочен-
ную систему:
ада... Нах, Нат, гчайг-чт-Е ++. Рав=
ApiX{— ve. TOppX, Op, r+itrtitte ee $OpnXn= Ops
которая SKBHBaeHTHa HCXOANOH. Ha30BeM HeH3BECTHbI€ Xj; «9-5 Xp
GA3UCHOIMU, A Xp4i, +... Хи свободными и перенесем слагаемые; содер-
жащие свободные неизвестные, в правую часть уравнений (5). Полу-
139
чаем систему относительно‘ базисных. неизвестных:
апж-... +OppXp=by--Gi,pak
pti— +++ —Anns
e°e.®eeet@@8@ee°.°®®®
И]e.e
Arixit eee +p pXp =6,— а. r+1*%p4+1— eee —ApnXny
которая для каждого набора значений свободных неизвестных
Х:+1=С1, +..; ХрЕСпор Имеет единственное решение ху (ст, ...
oes) Ca—p)r very Xp (Cir o+ey Cn—p), находимое по правилу K pamepa.
Соответствующее решение укороченной, а следовательно, и исходной
систем имеет вид.
|
(x4 (с; wees Cpe -)\
Х(с1,‹..;Сп-+)= Xr(Cis‘+19Cao) .
(6)
.
Ci
(
Сп-г
Формула (6); выражающая произвольное решение системы в. виде
вектор-функции ‘от п—г свободных ‘неизвестных; называется общим
решением системы (2).
Пример 2. Установить совместность’ ‘и найти общее ‘решение
системы
Qxy+ хо— хз— Зла =2,
4х1
+ X3—7X4= 3,
2х.—3X3-+Х4—=5
ry
2x1-+Зх.—4x3—2х.=3.
Выпишем основную и`расширенную матрицы системы!
=”
2—1 —3
21-1 -—3 |2
40: 1-7
— [40 1-73}.
= 05-3 1) = 02-3 1111)
23 —4—2
23—4—2|3
Так как гапе
А =гапе А =2 (проверьте), то исходная система сов-
местна.
,
2.1
Выберем в качестве’ базисного ‘минор м, = 40|. `Тогда неиз-
вестные ху, х.— базисные, хз, х.— свободные, а укороченная система
‘имеет вид |
2-х =2-хз- Зха,
4х1 =3— xg 7%.
Полагая хз =С1: А4==с. и решая укороченную систему относительно
базисных неизвестных, получаем
3
= татzo
|3
1
=то iy oe
140
Следовательно, общее решение исходной системы имеет вид
о
(317
en
one
OO
eee
ринит:
4чаРче
1131
Хев)=|Зее |.No
(Ср св)= | оф
ст
(
C9
Исследовать совместность и найти общее решение сле-
дующих . систем:
|
3.204. х—И Зи= 1. 3.205. ИБх— d5y=)5,
V3x— Зи=ИЗ.
х—Иби=5.
3.206. 2х— yt z=—2, 3.207. x+2y—4z= 1,
x-+ 2y+ 3z=—l,
о2х- у62=—1],
x— 8y—2z= 3.
X— Yo z=—2.
3.208.
3.209.
'З— 2х, —5х. х, 3, м x,—6x,—4x%,= 6
2х—Зх,+ хз-5х. =—3, 3x,—,¥,—6x,—4x4= 2,
=6
== -—-7
в
и
i
|
X,+2x,
—4x,=—3, 2x,+ 3x, + 9x, -1+ 2x,
,
My— х.— 4х. | 9х. =22. З^« 2х, 3х, 8x, ==
3.210.
3.211.
2х4 - 7х. Зх- х.=6, 3x,—5x, + 2x, -+ 4x, = 2,
3x, + 5x, + 2х. + 2х.=4, 7x,—4x,+ x,+3x,=5,
9x, +4x%,+ x%,17x,=2. 5x,-|-7x,—4x,—6x,=3
3.212.
3.213. _
Эх,—Зх,-5х+ Ox, 4, 3X,+2x,+2x,+2x,=2,
6x,—2x,-+3x,3-+ 4x, 5, 2x, -+ 3х, + 2x, + 5x, =3,
3x,— x,-+3x,+14x%,=—8. 9x,-+ x,+4x,—5x,=1,
Ox,+2x,Зы. ==5,
7x,+ x,+6x,— =7,
8.214. x,+ x,+3x,—2x,+3x,= 1, `
2X, +2x,+ 4x,— х.- 3х, = 2,
3x, + 3x, + 5x,— 2x,'+ 3x,= 1,
2x, + 2x, + 8x,—3x,+ 9x, = 2.
8.215. 2x,— x,+ x,12x,+ 3x,=—2,
6x,—3x,-+ 2x,+4*,+ 5х, =3,
‘6x, —3x, + 4x, + 8x,-+ 13x, =9,
4x,—2x,+ хх. *x,+ 2x,=1.
3.216. 12x;-+ 14x,— 15x, + 24x, -+ 27x, = 5,
16x, -+ 18x, —22x, + 29x, + 37x, =8,
18x, + 20x,—.21x, + 32x,+ 41x, =9,
10x,+12x,—16x,+20x,+23x,=4.
I
I
141
3.217, 24x,-+ 14x, + 30x,4 40x,-+ 41x,= 28,
36x, + 21x, + 45x,+61x,+ 62x,= 43,.
48x, + 28x, + 60x,+ 82x,+ 83x,= 58,
60x,+35x,+75x,+99x,+102x,=69.
Исследовать совместность и найти общее решение в за-
висимости от значения параметра A:
3.218.
3.219.
5х. —Зх.-Н2х.-- 4x,=3, Ax,+ xet x3+ x,=1
4x, —2x,+3x,+ 7x,=1, x;+Ax;,+ x,+ x,=1,
8x,—6x,— x,— 5x,=9, x,+ x,+Ax,+ x,=—1,
7X, —3x,+ 7x, +17x,=4. y+ х, + ха Ах. =1.
3.220. 2x,— x,+ 3x, + 4x,= 65,
4x, —2x,+5x,+ 6x,= 7,
6x,—3x,+7x,1+ 8х.= 9,
Лх,— 4х, 9х. 10х.= И.
3.221. (1-Е
Л) х,
х.-
x,=1,
CLEA)
X,= 1,
Xy+
X,t+(1+A)x, =1.
3. Однородные системы. Однородная система АХ = 0 всегда сов-
местна, так как имеет тривиальное решение Х =0. Для существо-
вания нетривиального решения однородной системы необходимо и
‚достаточно, чтобы г=тгапрА < п (при т=п это условие означает,
что det A—0).
Пусть 9 с К”— множество всех решений однородной системы.
Всякий базис в множестве @ состоит из п—г векторов е1, ..., @п-„.
Соответствующая ему в каноническом базисе (см. (4) из $ 3) система
вектор-столбцов Е1, ..., Ен-г называется фундаментальной системой
решений. Общее решение однородной системы имеет вид
X=C,E,+ вое +Cy,-rpEn- ps
где С1, ..., Cy—p—MpOH3BOJIBHbIe MOCTOAHHBIE.
Базисные решения Ё\, ..., Е„-_› могут быть получены методом,
изложенным в п. 2, если свободным неизвестным придавать пооче-
редно значение |, полагая остальные равными 0.
Пример 3. Найти фундаментальную систему решений и общее
решение следующей однородной системы уравнений:
ЗА-Н ха— Bxg+ Q2xy+ x,=—0,
2x;— 2ха— 3xg— 7x4-+ 2x5 =0,
X1+ Ll x,— 12x3-4- 34x, —5x, = 0,
Xy— Sx_g+ 2x_g—16x,+
3x,=0.
4 Матрица коэффициентов
ив 21
22!—3—7 2
А=| ТИ —12 34-5
{—5 2-163
имеет ранг г=2 (проверьте!). Выберемв качестве базисного минор
Мо = 9 5 7:0. Тогда укороченная система имеет вид
За -- Х2=8х3 —2%4.— Хы
2х1 — 2х. =Зхз--7х4—2хь,
откуда, полагая хз= С], Ха=Со, Хь=Сз, находим
m= Za Fats os
оао
Общее решение системы
9314
[я-а
7
25
1
Х (ст, со, сз)= 818 9—54
схс
€2
(
Cg
}
Из общего решения находим фундаментальную систему решений
—19/8
— 3/8
—7/8
25/8
E,=X(1,0,0)= | ‚ЕВ.=Х(0,1,0)= оо
0
]
0
0
1/2
|
—1/2
Ез=Х(0, 0, 1)= 0
0
|
С использованием фундаментальной системы общее решение может
быть записано в виде
Х(ст, сэ, сз) = Ет- с2Ез-НсзЕз. No
‚ 3.222. Доказать, что всякая линейная комбинация
решений однородной системы уравнений также является
ее решением.
Найти фундаментальную. систему решений и общее
решение следующих систем:
3.223. x; +2x,— x,=0, 3.224. X,— 2x3— 3x, = 0,
2X;+9x3—3x,=0.
—2x,+4x5-+6x,=0.
8.225. 3x, +2x,+ x,=0, 3,226, 2x;—3x;+ x,=0,
2x,+5x,+3x,=0,
Xit+ xt x,=0,
BX,+4x5+2x,=0.
3X;—2X3-+2x,=0.
` 143
- 3.227,
3.228.
ж--2х:-- 4х.— Зх.=0,
2x,—4x;+ 65х.-- 3x,=0,
3x;+5x54+ 6х,— 4х. =0,
3x;—6x,+ 4x,+ 2x,=0,
4x; +5x,— 2х3 3x,=0, 4x, —8x, + 17x,
+ 1х,=0.
8x, -+- 8x3 + 24x,— 19x, = 0.
3.229. 3x; +2x,+ x%5-++ 3x,1+5x, =9,
6x;+4x;+3x,-+5x,+7x,=0;
9x;-+6x3-+ 5x,-+7x,+9x,=0,
BX, 2х;
+ 44,1 8x, =0.
3.230. хр
X3+
Xs
= VU,
Xs —X,
+x,=0,
Xi—x3
+-x,—x,=0,
XgtXy+
xX,=0,
Х1
—X,+%; = 0.
8.231. 5x, + 6x;—2iy + 7x, + 4x, =0,
2x, +3%x%,— х.- 4x, + 2x, = 0,
Tx,+9x,—3x5-+Ox,+6x,=0,
5x; + 9x3—3x,+ x,-+ 6x, = 0.
8.232, 3x,;+ 4x3+ x3 + 2x,+ 3%, =),
OXy+ Txg+ -xX3+9x,+ 4x, = 0,
4x,+ 5x3+2x,+ x,+ 5x, =0,
7x;+10x,+ x 3+ 6x,+ 5x, =0.
3.233%. Выяснить, образуют ли строки каждой из матриц
30—2443 50—5
4 29—20—3
д(9
852),в-(}—11213‹)
4 29—20—30
9—158 52
фундаментальную систему решений для системы урав-
нений
,
За--4х: 2х х.- 6х,=0,
5x, +9x5+ 7x, +4x,+ 7x, =0,
4x, 13x,— X,— x, +11lx,=0,
x; +6x,+8x,+5x,— 4*,=0.
Определить значения параметра а, при которых система
имеет нетривиальные решения, и найти эти решения;
3.234. ах. Зх; | 2х, =0, 3.235. 2х x3+3x, =0,
AXyj— X,+ x,=0,
4x;— ха 7х, =0,
8х-- х. 4х. =0.
X; + axg-+
2x, =0.
Если задана неоднородная система АХ = В, то ее общее реше-
ние может быть найдено как сумма общего решения соответствующей
однородной системы АХ =0 и произвольного частного решения не-
однородной системы.
144 .
Найти общие решения“ неоднородных систем, исполь-
зуя фундаментальную систему решений соответствующих
однородных:
3.236. 2х, a Xyg— Xy+t оз
X,;— Xat Аз+ X44
Xs
аXs
4х, -+. 5x,—5x,—Br, + 7x,
3.2397, 2x,-— 2x,+ x,— x,+
X, + 2x,— X3-+ х.— 2x,
4x,—10x,+5x,—5x,-- 7x,=1,
2x,—14x,
+ 7x, —7x,+ 11x, =1.
3.238, м АН жи, =,
2
—
2х. 2x, -+x,—x,
=1..
3.239. x, 2x,+3x,+4x,+5x,=0,
X,—2x, —3x,— 4x,— 9X, =
2x,+3x,+4x,-+5x,=
|
т
w
o
n
o
m
~
~
i
|
|
,
<
д
л
|
]
1,]
|
4. Метод последовательных исключений Жорлана
— Гаусса. С по-
мощью элементарных преобразований над строками и перестановкой
столбцов расширенная матрица системы (2) может быть приведена
к виду
у
,
‚\
10...0Q1,r4+t«eeGin by
01...03,ratceedan
bs
00... liar, rey... Gen | or .
(7)
100...0 0 2... O | dpa
[оо20 02.0|Om|
Матрица (7) является расширенной матрицей системы
ce
7’
г
xy
a1, reiXppit...
+ ainx,= b1,
Xe +, Яга. ‘Нах = ba,
Фe
e
ee.оe
eeee
(8
Xp а, ная аа. ‚атхь = br;
()
0= brats
o=— bis
которая С ТОЧНОСТЬЮ ДО обозначения, неизвестных эквивалентна ис-
ходной системе.
Если хотя бы одно из чисел т, ..., бт ОТЛИЧНО OT HYJIA, TO
система (8), а следовательно, и исходная система (2) несовместны.
,
c
Ecan #e bp41=..:=0mn=90, To cucTemMa copMecTHa и формулы (8)
дают по существу явное выражение для базисных неизвестных ху,...
‚.., Хр Через свободные неизвестные х- +1, ..., Хи.
<
145
Пример 4. Методом Жордана— Гаусса найти общее решение
системы
х1— 2%2
+=3,
3x4— Хо—2X3
=1,
2Xy+ х.— 2х3— ха=4,
А1-- Зхо — 2х3— 2х4 =7.
Производя элементарные преобразования над`строками расширен-
ной матрицы, получаем
1-2 0 1-3
1—2 01-3
z_( 3-1-2 oO} 1
0 5-2-3] 10
=\2 1-2-1] 4/°7\0 5-2-3] 10/7
1 3-2-2| 7
0 .5-2-—3]| 10
(
41
О!
23
ооо 00
00000
Первые две строки последней матрицы составляют расширенную
матрицу системы
41
41— Б8—5 =I,
5
эквивалентной исходной. Считая хт, хз базисными неизвестными, а хэ
и ха свободными, получаем общее решение в виде
4
1
ата2 3
Неа |.No
X4
C{
Co
Методом Жордана
— Гаусса исследовать совместность
и найти. общее решение следующих систем:
3.240.
3.241.
X(cy,Сэ)= Х2
=
же. 2х.Е За 4х. =0, м
=1,
7x,+14x;+20x,+27x,=0, X,+X,-+X35
=4,
5X;+10x;-+16x;-+19x,=—2,
хх.
—=— 3,
3x,-+ 5x,-+ 6x,+13x,=5.
хх,х, =2,
хх, =— 1,
3.242, 105x,—175x,—315x, + 245x, = 84,
90x, —150x,— 270x, + 210x, = 72,
75x, —125x, —225x, + 175х. = 59.
146
3.243.
3.244.
8х:- 12х,= 20, 7x,y—5x,—2x,— 4x,=8,
14x, +21x,=35, —3x,+2x,+ *,4+ 2x,=—3,
Эхз- 11. = 0,
2%— хХ.— Х.— 2x,=1,
l6x,+20x,=0, — x,
+ х.-+ 24%. =1,
10x, + 12x, = 22,
— X,+ x%,+ 2x,=3.
15x, + 18x, = 33.
$ 5. Некоторые вычислительные задачи
линейной алгебры
1. Операции над матрицами.
:
В задачах 3.245—3.248 составить’на фортране ука-
занные подпрограммы.
3.245. Подпрограмма сложения двух матриц размера
тхп. Параметры: А, В, С, М, М, где А и В— двумер-
ные ` массивы размерности Мх М, содержащие исходные
матрицы, С —двумерный массив размерности МхМ для
результирующей матрицы.
3.246. Подпрограмма умножения матрицы. размера
тхп на число а. Параметры: А, М, No, АГРА, где А-ь
двумерный массив размерности MxN, содержащий исход-
ную матрицу перед обращением к ‚подпрограмме и резуль-
тат после выполнения вычислений, АГЕКА =
3.247. Подпрограмма перемножения УХ. матриц. Па-
раметры: А, В, С, Г, М, М, где А, В и С —двумерные
массивы размерностей [хМ, МхМ и ЕхМ соответст-
венно, содержащие исходные матрицы и результат.
3.248. Подпрограмма транспонирования квадратной
матрицы. Параметры: А, М, где А— двумерный массив
размерности MxM с исходной матрицей в начале вы-
числений и с результатом после вычислений.
3.249. Даны матрицы
.
0,625 —3,125
1,6 3,20 8
_f1,20
A= (15 3,2 1,6 54) B=| 065 1,25 |»
_\—0,625 0,625
0,625 —3,125 0,625
с_[ 15 0—1
_ 0,625 1525 0
—0,625 0,625 3,125 o
Найти АВ, ВА и АС.
147
3.250. Даны матрицы
/25 —1,25 3,75 —5
2,8 6,4 3,6 1,8
д— | 4,125 —2,75 5,5 —4,125 в_(2 5,6241
— | 8,125 —4,875 —3,25 1,695 |’
|
1,2 3,23 1,2
5:25 —5,25 —1,75 3,5
0,8 0,8 0,6 0,4
Найти матрицы АВ, ВА и АТВТ.
3.251. Используя подпрограммы, полученные в зада-
чах 3.245—3.248, составить на фортране программу ре-
шения задач 3.249
— 3.250, а также одной из задач 3.178 —
3.86 и 3.90— 3.92.
Метод обращения матрицы с помощью элементарных преобразо-
ваний (рассмотренный в п. 2$ 2) может быть описан’ следующим
образом:
Я1т @12...1п 611 612. ..Вв
а21 @22... Чон | бот Pane: ben
Ani Ana-+-Ann | бит Daas Onn
(
tf)
(R) (k) tk) ey)
(
»
0 1.0они. calf a psD of
ooo
°
°
-oses
°
.
.
—>. ее
(R
(k) в
(1
00...|attт.Op Obik5...бИ
(К)
(Rk) (kh) (К)
(К)
‚
00...0 Qn, k#¥1-+°Qnn bry bry eee bun
1 0...0 | by? BD... 61m |
01...0 op 5... bon
0 о... pt oD... bun
где (5;;) =Е-— единичная матрица, а элементы матриц (а?) И (5
связаны соотношениями
alt 1)
`
К)
—
р
hi Sean
k=1, 2, ..., n, f=k-Fl,..., a, -
ahr
of)
(k)__ “RJ
—
_
b,; = aik- 1)?
k=], 2, eney п, j=l, 2, sory A,
att 1)
k)__ (R—-1) #1
k—-1)
7
af=Gj;
ai =D a”, i=1, 2, ..., kR—1, R+1, ..., М,
а
1=А-1, ..., п, qi?)—
oe —1)
|
= oe)
0D а®-1, f=-1, 2, ..., R—-1, R+1, ..., 0,
j=
(0) __p.
j=l, 2, eory fl, ON) = bi;
148
3.252. Составить на фортране подпрограмму обращения
матрицы методом элементарных преобразований. Пара-
метры: А, В, М, где А и В— двумерные массивы раз-
мерности МхМ с элементами исходной и обращенной
матриц соответственно. Сохранение массива А после ‘вы-
числений не предусматривается.
В задачах 3.258—3.256 для заданных матриц А
Hata Aq}:
0,24 0,84 0,68 0,88
—0,84 0,24 —0,88 0,68
3.253. A= —0,68 0,88 0,24 —0,84
“ \+0,88 —0,68 0,84 0,247
—0,96875 0,0625 0,125 0,25 0,5,
0,0625 —1,875 0,2 05 1
3.954. А=| 0,125 0,25 -3,5 1 2 .
0,250,51-—64:
0,5
1
3
4—8
96,4 35,2 9,9 13,2
44 61,6 16,5 23,1
3.255. А = 16,5 22 6,6 8,8
27,5 38,5 11 15,4
1,2 9;4 —1,9 —2,4
3,69,6 0 —4,8
3.256. А =| 2424 4,8 #8)
3,69,6 1,2 —7,2/
3.257. Используя подпрограмму, полученную в зада-
че 3.252, составить на фортране программу решения задач
3.253—3.256, a также одной из задач 3.114—8.117 и
3.121—3.126. При решении матричных уравнений в зада-
чах 3.121—3.126 использовать подпрограмму задачи 3.248.
2. Вычисление определителей. Определитель
|
@11 @1з «+ Afn
Ц
eee
7
An= а21 @34 Aen при ан 4-0
‚о
eo@88#¢
ani Ang «+ Ann
представим в виде
1
0
фо
0
Qoa
1
=a?.,.a
® A,=ati 1i
‚ ИЛИ Ар=а1гАв-
«
ee999Ф®
.
a
1
1
Got oh af
111
149.
Элементы определителей Ли, А,-1, ..., Ат, где
(No)
(^)
Чт, рул *** 41,п
Ак=
oe0eeses6©©Bo8,
(Е)`
(Е)
Qn, R+1- .., Ann
связаны соотношениями
(1) (1)
а
ap;
by thy) tk@
|
дати ГЕЕВ ня JERE но ts
Tek
(0)
— (nel
а;=@у, А.=а ),
и alk 1) % 0 при всех # для Ав-ь+1 70. Поэтому
(1) ` (R—1)
(n-1)
А, =а а... а... аи.
Если aff? =0, то следует, учитывая изменение знака, поменять
местами первую и некоторую другую строки определителя A, pit
так, чтобы левый верхний элемент, называемый ведущим, не был
равен нулю. Для повышения точности вычислений ведущим элемен-
том нужно выбирать наибольший по. модулю из всех элементов пер-
вого столбца каждого из определителей Аз-;, &=0, 1, ..., п 2.
Пример 1. Вычислить определитель
51-21
13 14
А=| об 05|
51 20
ооо
281438
0,228 14 38
4 3,8]
_
ч4=5-|0,46,4—0,85,4|=.6,4—o85=
10 4-1
64 —0,8 5,4
|00
——5.28 14 3,8|=—5.6,4.1 0,4375 1,75 1,4375 |=
04=I
04«I
1,75 4375
1
=—5.6,4 |4 —1
и 1,4375] —
—5.6,4.4. lo. 4375 |р ть |=5- 6,4. 4. 1,875 =240. No
3.258. Составить на фортране подпрограмму-функцию
вычисления определителя порядка п. Параметры: А, М,
где А-—_двумерный массив размерности Мх М.
Вычислить определители:
3.959. | 1,6 8,1 1464,1 62,5 240,1
0,8 2,7 133,1 12,5 34,3
0,8 1,8 2425 9,8
| 15 5,55 29,5 3,5
1,3 2,3 24,7 5,5 10,3
150
3.260. | 5 7,5 17,5 2,5 225 27,5
3,2 —3,3 10,7 1,1 5,9 12,1
17,5 10 22,5 —2,5 27,5 —12,5
87 4,4 8,9 —1,1 13,1 —5,5
225 —10 27,5 2,5 32,5 5
6,9 —34 91 1,1 9,3 11,2
|
3.261, |2,15 1,14 1,23 1,48 1,05
°
4,3. 1,71 2,87 3,7 2,73
6,45 2,85 4,51 5,92 4,41]. ^
4,3 —3,99 2,87 2,59 0,42
2,15 2,28 2,05 1,11 2,1
3.262. |1,697 1,5588 2,2361 1,3856
2,9394 4,1243 3,1623 —2,7713| .
`|3,7947 6,9714 5
1,9596 |*
24 4,4091 3,1623 3,0984
3.963, |1,575 2,4 —0,5 —0,75
21 —2,4 1,5 1,2
11,75 —1,6 1,33 0,7 |°
0,84 —0,96 0,5 0,36
3.264. Используя подпрограмму-функцию, полученную
в задаче 3.258, составить на фортране программу решения
задач 3.259—3.263 и одной из задач 3.55—3.60.
3. Системы линейных уравнений. Метод Жордана—Гаус-
са (см. п. 4 $ 4) в случае системы
п
>) 9X p=O, 1=1, 2 vray ty
(1)
j=l
заключается в последовательном исключении неизвестных; причем
после исключения (&—1)-го неизвестного остаются уравнения
п
a
Dd) a xp=O, ih, RAL, coe п,
(2)
[ЕЁ
где
(Е) (Е)
a\ra
k+l
В
Е]
ajr* )==aly)—
(Rk)
3
k=0, 1, ео еу n—l,
a)=az7s
app
(2),( 2)
piet+1)—pf) Ap5,
po—,
bd
tSOFoy
CE
(2)Are
Точность вычислений увеличивается, когда ведущие элементы а}
имеют наибольший модуль в первом столбце матрицы системы (2).
При А=п в системе (2) остается одно уравнение, из которого
вычисляется хн. Этим завершается прямой ход вычислений. Обратный
ход состоит в последовательном нахождении хь по найденным ранее
ХУ ++-;Xn, РП 1, n—2, ...;
151
Пример 2. Решить методом Жордана— Гаусса систему урав-
нений
бх; — ха-- хз= 9,13,
2х:— Хо—5X=25,
—Xi4xg— xg=43. |
« Последовательно исключая х1 и х. и выбирая ведущими элемен-
тами наибольшие по модулю в соответствующих столбцах, получаем
x1 —0,2x9-+- 0,2x3 = 1,826,
Xj —0,2x2-+0,2xq= 1,826, (4)
— 0,6х.--4,6хз = 21,348,
3.8» —0,8х; = 44,826,
3,8x, —0,8x3 = 44,826,
—0,6%9 + 4,6x5 = 215348,
я. —0,2105хз = 11,7963, (+)
4,4737х3 = 28,4958,
хз = 6,3540. |
Из уравнений, помеченных звездочкой, находим вначале хо == 13,1338,
потом ху =3,1820. No
3.265. Составить на фортране подпрограмму решения
квадратной системы линейных уравнений методом Жор-
дана
— Гаусса. Параметры: А,-.В, М, где А — двумерный
массив элементов матрицы системы, В —одномерный мас-
сив, содержащий свободные члены до обращения к под-
программе и’ решение системы после вычислений, МNo— по-
рядок системы.
И
‚ Решить следующие системы линейных уравнений:
3.266. 3,2x,-+ 5,4x3-+ 4,2x,-+ 2,2x, = 2,6,
2,lx,+ 3,2x,+3,1%,+1,1x,= 4,8,
1,2x;+ 0,4x,—0,8%,;—0,8x, = 3,6,
4,7x,+10,4x, + 9,7x,+9,7x, = —8,4.
3.267. 6,087x,; —3,913x; -+ 7,547x, -+ 1,734x, = 3,21,
1 ,739x, + 0,869x, + 1,887x, 4 0,738x, =6,35,
2,174x, —1,305x, + 2,83x, +1,04x, =1,5,
4,5 x; —1,305x, + 1,887x, + 0,541x, = —1,27.
3.268. 2,67x,+5,lx; +3,31x,+5,64x,-+ 4,76x, =6,19,
4,44x,+7,5x; + 4,67х.-+ 5,7 х.- 6, 14х, = 6,55,
5,33x;+9,8x, + 8,67x,+4,8x, +7,33x, = 12,2,
` 3,56х.- 5,3х; + 4,15х. -[ 3,69x, + 3,25х, == 5,97,
1,78х; + 4, 17x, + 2,67x, + 4,69x, + 3,75x, = 4,42.
3.269. Используя подпрограмму, Полученную в задаче
3.265, составить на фортране программу решения одной
из задач 3.266—3.268, 3.190—3.194, 3.198—3.203, 3.208,
3.209.
152
-
Метод итералий. Если для системы (1) выполняются не-
равенства©
аи|>>lays $1, eensmy
(3)
=|
`
Г
xy
то ее решение Х=| .. удовлетворяет соотношению Х= lim X0,
о.
>@®
Xn
т. е. = „т х®, 1=1,...з п, где компоненты вектор-столбца Х“®
bow.
.
i
определяются равенствами
x,=В;,
"nN
-
xt)
Bp,42
ля,
ат =0,
1=1,2,..3Nn;
k=0, 1; eee
B которых БМ! о:
= — алан.
Пример 3. Решить методом итераций систему
5х. --.0, 12х. --0, 09x35 = 10,
0,08x,+ 4х. —0,15хз
= 20,
0,18х, —0,06х.-|- 3x3=—4,5.
«& Система удовлетворяет условиям (3), и на главпой диагонали мат-
рицы располагаются наибольшие по модулю элементы слроки. При-
ведем систему к нормальному виду:
i= 2 —0,024x. — 0,018хз,
хд= 5 — 0,02: --0,03жз,
хз=—1,5 — 0,06х: --0,09хо. -
2
|
Выберем нулевое приближение x0 =( 5 ) и найдем Ха), X(2), X(3);
—1,5
-
x= 2 —0,024.5—0,018-(—1,5)
= 1,907,
x= 5 — 0,02 .2--0,03 .(—1,5) =4,915,
xs’ =—1,5—0,06 -2+-0,02 .5 = —1,52;
x= 2 — 0,024- 4,915 —0,018+ (—1,52) = 1,90940,
x?= 5 — 0,02 .1,907--0,03 .(—1,52)
= 4,91626,
x3? =—1,5—0,06 -1,907-+0,02-4,915 —=—1,51612;
x = 2 —0,024.4,91626—0,018-
(—1,51612) = 1,9092999,
x= 5 — 0,02 .1,90940-- 0,03 »(—1,51612)
= 4,9163284,
x? = —1,5--0,06 -1,90940-+0,02 -4,91626 — =—1,5162388..
Первые три знака после запятой в Х® и Х® одинаковы, поэтому
153
с точностью до 10-3 решением системы является вектор
/ 1,909
п
18) >
1,516
3.270. Составить на фортране подпрограмму решения
линейной системы уравнений методом итераций. Пара-
метры: А, В, Х, М, ЕРЗ, где А — двумерный массив эле-
ментов матрицы системы, В —одномерный массив, содер-
жащий свободные члены, Х —одномерный массив с реше-
ниями системы, МNo-— порядок системы, ЕР$ — предельная
абсолютная погрешность.
Решить методом итераций системы:
3.271. 4,1%. 0,1х.- 0,2х. - 0,2х, = 21,14,
0,3x,;-+5,3x,; + 0,9x,—0, 1x, = —17,82,
0,2x; + 0;3x, + 3,2x, + 0,2x, = 9,02,
0,1x;-+0,1x,;-+ 0,2x,—9, 1x, = 17,08.
3.272, 2,4x,+0,2x,—0,3x,— 1,lx,+5,8x, = 23,84,
0,3x;+0,1lx,+1,1x,+10,2x,+ x, = 38,85,
0,5%: —6,2х, + 0,1х.-- 1,5х,— 1,2х, = 17,23,
0,1%: 2,1х,-- 5,1х.-- 0,2х, —0,3х, = 6,56,
2,5x;+0,1x,+0,2x,+ 0,3x,+0,4x,= 6,63.
3.273. Используя подпрограмму, полученную в задаче
3.270, составить на фортране программу решения задач
3.271 nu 3.272.
154
Глава 4
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
$ 1. Линейные пространства
и пространства со скалярным произведением
1. Линейное пространство. Множество -„ называется линейчым
(векторным) пространством, если выполнены следующие условия:
1) В & введепа операция сложения элементов, т.е Ух; YE L
определено отображение }
Cx, yo—2 Е LL
(обозначение: г=х-Р у), обладающее следующими свойствами}
1а) х-у=у-х;
16) (x+y)+2=x+(y+2);
1в) 30 Е ХУухЕ + (х-0=х) (элемент 0 называется нулевым);
Ir) vx € £3(— x) E & (x-+(— x) =0) (элемент —х называется
противоположным элементу х).
2) В & введена операция умножения элементов на действитель-
ные (комплексные) числа, т. е. УЛ Е К (ЛЕС), Ух Е < определено
отображение
<A,x>—JyЕL
(o6osHayenne: y=Ax), обладающее свойствами:
2a) 1-x=x;
26) A (wx)
= (Ap) x.
3) Операции сложения элементов и умножения их на числа
удовлетворяют законам дистрибутивности:
За) A (x9)
=Ax dy;
36) (A+ py) x=Ax-+px.
Элементы линейного пространства называются векторами. Прост-
ранство „? называется действительным, если в & операция умно-
жения векторов на число определена только для действительных
чисел, и комплексным, если эта операция определена для комплекс-
ных чисел.
,
Проверить, что следующие множества являются линей-
ными пространствами:
4.1. Множество 927, всех геометрических векторов
(операции над геометрическими векторами определены
B§1ra.2).
4.2. Множество КЮ” всех арифметических п-компонент-
ных векторов Х= (хи, ..., х,) (операции над арифмети-
ческими векторами определены в 6 3 гл. `3).
155
4.3. Множество <, всех многочленов
р =а,_ "т... ай-а,
степени < и— 1 с естественным образом введенными опе-
рациями сложения многочленов и умножения их на числа.
_
4,4. Множество С „в всех функций {(!), непрерыв-
ных на отрезке [а, 6], с естественным ‘образом введен-
ными операциями сложения функций и умножения их на
числа.
|
.4.5. Множество ой„.„ всех матриц размера тхп (опе-
рации над матрицами определены в $ 2 гл. 3).
Выяснить, являются ли следующие множества линей-
ными пространствами:
о.
о
4:6. Множество 92; всех геометрических векторов,
коллинеарных фиксированной прямой.
4.7. Множество всех геометрических векторов, исходя-
щих из начала координат, концы которых лежат на фи-
ксированной прямой.
4.8. Множество всех геометрических векторов, удов-
летворяющих условию | Х| > а, где а > О— фиксированное
число.
|
4.9. Множество всех сходящихся последовательностей.
4.10. Множество всех расходящихся последовательно-
стей.
|
4.11. Множество всех функций, интегрируемых на
отрезке [а, 6
4.12. Множество всех преобразований поворота трех-
мерного пространства геометрических векторов вокруг
фиксированной оси. ,
Система векторов {хг’..., Xs}C L называется линейно вави-
симой, если найдутся. числа Ал, ..., As, He равные одновременно
нулю и такие, что \мх:--.;.--А:х;=0; в противном’ случае эта
система ‘называется линейно независимой.
Пусть 9 < - — произвольное множество векторов линейного про-
странства. Упорядоченная система векторов 8 =(е1, ..., е;) назы-
вается базисом в О, если:
a) @p ЕО,
k=l, 2, ..., $;
,
6) система 5} ===(e,. .., е;) линейно независима;
в) для любого хЕО найдутся такие числа х1, ...; Х;; ЧТО
|
$
Хх = >, Xpep.
(1)
В=]
`
Формула (1) называется разложением вектора х по бавису YB.
Коэффициенты х1, ..., Хх; однозначно определяются вектором х
и называются координатами этого вектора в базисе YB.
Если множество О < обладает базисами, то все они состоят
из одинакового числа векторов, называемого рангом @ (и обозначае-
156
мого гапе ©). В частности, ебли все пространство . имеет базис, то
оно называется конечномерным и обозначается и, где п= т ® —
число векторов в ‘любом базисе, называемое размерностью простран-
ства. В противном случае пространство - называется бесконечно-
мерным. '
a
a
Пусть „— произвольное я-мерное пространство, = (ет, ...
..., @п) — фиксированный базис в нем. Тогда всякому вектору ХЕ,
взаимно однозначно соответствует столбец его координат в этом базисе:
и
xy;
х=ме1--...Ехре,©Х=
&
e
®
Xn
При этом линейные операции над векторами в координатной форме
выглядят следующим образом:
2=x+yOZ=X-+Y;
у=Ах © У=АХ.
-
,
9
.
Пусть 3 =(ет, .... е)) и %’=(е, ..., е)—два различных
базиса в „„. Каждый из векторов базиса 3’ разложим по базису %:.
ПЕ
вк=Ньег-|...ЕРке»®
Е
ё
=
|
* |; R=1, 2,..., n>
bak
A
Матрицей перехода Тз_,в, от базиса 3 к базису %’ называет я
матрица
т... Ив
Ty,9=
7@@©@fy
tai eee tan:
vw
iy
,
,
&-й столбец которой есть столбец Еь координат вектора ел в базисе B.
Если х— произвольный вектор из -„, Хи Х’— столбцы его ксор-
динат в базисах 3B и 3’ соответственно, то имеет место равенство
Х'=(Тв)7X
(2)
(формула преобразования координат при преобразо-
вании базиса).
Пример 1. Найти координаты геометрического. вектора
,
_
х=— 1--2]--No в базисе 33’, состоящем из векторов @е= 1-7,
е2 ==, ез=ё-ЕРА.
;
;
< Выпишем координаты векторов е1, ез, ез в исходном базисе
$=(i,J, k):
1
0
1.
Ё1=
1,Вэ=I’Ез=0.
0
1
1
157
Отсюда матрица перехода Таз, имеет вид
101
011
Обращая матрицу Туз, и используя формулу (2), находим
|
11—1—1
0
X=Team)x=5(=
')( 2)=( 2)
1—1 1
1
—1й
т.е. х=2е,—ез. No
4.13. Пусть @ — произвольная система векторов из „Я.
Подсистема {е,,..., е;\< @ называется максимальной
линейно независимой подсистемой в @, если {е.,...,е,} —
линейно независимая система и всякая расширенная си-
стема е;,..., е., х, где х— произвольный вектор из @,
линейно зависима. Доказать, что всякий базис в О’ есть
максимальная линейно независимая подсистема в 0, и
наоборот.
4.14. Если заданы произвольные А векторов Х., ..., Хь»
то из них можно построить не более А линейно незави-
симых комбинаций. Используя этот результат, доказать:
если 3 и 3’— два различных базиса в системе ©, то они
состоят из одинакового числа векторов (т.е. имеет смысл
понятие ранга системы ()).
4.15. В пространстве 9?, заданы векторы
е ={-], е. =1—/, es=—i+2j—Rk.
Доказать, что система B’ == (е,, е., е.)
—базис в 9?., и
написать матрицу перехода Тв-»»’, где 3 == (е, ={, е, =},
е; =#). Найти координаты вектора х=={— 27 38 в ба-
зисе »’.
Пусть % = (7, Л, No) и 3’ =(Г’, Л, Е’) — прямоугольные
базисы в 97,. В задачах 4.16—4.18 найти матрицу пере-
хода Тзьз и выписать столбец координат вектора
x=t—2j+kR B базисе 3’.
4.16. Базис 3’ получен изменением на противополож-
ное направление всех трех базисных ортов ».
4.17. Базис 3’ получен перестановкой # =], J’ =k,
Е =7.
4.18. Базис %’ получен поворотом базиса 3 на угол ф
вокруг орта Z.
4.19. Найти ранг и какой-нибудь базис системы гео-
метрических векторов Хх: =—{- 2), х,=271—У-Ё, х. =
=—4j/1+5f—k, «,=3i—3/-+k.
158
4.20. В пространстве К“ заданы векторы е, == (1, 2,
—1, —2), е, = (2, 3, 0, —1), е=(1, 2, 1, 4), е.=(1, 3
—1, 0). Доказать, что система %’
== (е1, е., е;, е.)—базис
в В*, и написать матрицу перехода Тз-,»,, где З— кано-
нический базис в К* (см. $ 3 гл. 3). Найти координаты
вектора х=(7, 14, —1, 2) в базисе %'.
4.21. Доказать, эчто система арифметических векторов
Хх, = (1, 2, 0, 4), х.=(-Ь 0, 5, 1), х.=(1, 6, 10, 14)
линейно зависима, и написать какое-нибудь нетривиаль-
ное соотношение вида м. -РА.х.--А.х.=0. Найти ранг
и все базисы этой системы.
4.22. Доказать, что система матриц ‘вида
0eee000eee0]
0
Дов = |0...
ap
о.
a
a=1,...,m,
B=]
o
o
O
e
o
m
©
e
o
o
©
o
o
©
_
...., ft
о. . 000... 0,
В
.
образует базис в пространстве о«#„,„ всех матриц размера
тхп, и, следовательно, ЧИпой„, „= тп. Чему равны ко-
‘ординаты произвольной матрицы А = (а; ,) Е о, „ в этом
‘базисе?
4.23. Доказать, что система многочленов |, ?¢, В, ...
.., #1 образует базис в пространстве 9, всех много-
членов степени <п—1 и, следовательно, Чип,=
(этот базис называется каноническим). Найти координаты:
а) многочлена —ЗР--1 в каноническом базисе про-
странства 5^,;
|
6) многочлена {* — 2 в каноническом базисе простран-
ства 7.
_ 4. 24, `Доказать, что система многочленов В-Й-НЕ-1,
РНЕ 1, 1, 1 линейно независима.
4.25. Доказать, что система многочленов {?- 1, —t?+ 2t,
{ —{ образует базис в пространстве%.. Выписать в этом
базисе столбец координат многочлена РЕ.
4.26. Доказать, что при произвольном & система мно-
гочленов |, #— No, (1—&)*, ..., (— В)" 1 образует ба-
suc BP...
4.27. Найти матрицу перехода от канонического базиса
1, ¢, 27, ..., #771 x Oaaucy 1, t—t,, (t—t,)*, ..., (t—t,)"7}
B?,,.
4.28. Найти координаты многочлена #2—1--2 в базисе
1, 8—1, (1—1).
159
.4.29. Доказать, что пространство 5 всех многочленов
бесконечномерно. Вывести отсюда, что пространство: Ста. 5]
функций (1), непрерывных на отрезке [а, ], также бес-
конечномерно.
В задачах 4.30 — 4.34 в произвольном пространстве 7,
векторы е!, е.,..., е, и х заданы своими координатами
в некотором базисе ». Доказать, что система %’ == (е,, ...
.... @,) базис в „,, и найти столбец Х’ координат век-
тора х в этом базисе. ^
1
1
1
6
4.30. Bi=(1), E:=(1), B=(2 , х-( °),
I
2
3
14
4.33. E;=(_4), Е;= (131), Х=(ы).
SO
1
0
—1
1
4.34. в;=(о). вр=(‹). Bj=(1-"), X=(T),
0
0
1
1
4.35. Доказать следующие утверждения:
а) матрица перехода Tg. всегда невырождена, и
T 3 +3= (Гвъз) 7"
tit oe Ил
T=
тв6+@
Ent eee tan
6) если
— невырожденная матрица и 3 = (е,,..., е,) —некоторый
базис в пространстве „?,„, то система векторов
е;. = 1:е
eee+te, i=l,2,eee,hy;
Также образует базис в „®,.
4.36. Доказать, что’ если 3, 3’ и 3" —базисы в Y,,
то справедливо матричное. равенство
,
’Тз
— T3_,97°Tg, 9”.
В задачах 4.37, 4.38 в произвольном пространстве SL
векторы @;, €5, .++) @g H C1, @2, -- +, Cn 3aMaHbl своими
координатами в некотором базисе. Требуется доказать,
что системы 3 = (е.,..., е,) и 3’ =(е, :.., е„)
— базисы
в 9,„, и, используя результаты задач 4.35 и 4.36, напи-
сать матрицу перехода Ty.
1
2
3
вая, ви (3), в, (3), в,-()
3
!
|
3.
5
:
=-() =) =
|
1
1
|
1
1
1
|
2
1
3|.
4.38. Е =: |, Еь=| 1), В= :) В.=| о};
I
!
3
|
f—2
2`
/—2
,
0
,
—3
,
2
Г"
—3
Е:= ‘3 iyЕ».=
Б|’Ез= 5
a(S,
3
—4
4
—4
Пусть и &'’— два действительных (или комплексных) линей-
ных пространства. Отображение ф: < —+Я’ пространства.. на
пространство -”’ называется изоморфизмом, если:
а) ф взаимно однозначно;
6) ф (^.х)= ^Ф (®) и ф(х-РУ)=Ф (<) ФО] для любых x, VEL
и для любого числа ^.
Если существует изоморфизм L на L', то пространства LM
L' wagpiBaloTcA usomopduomu: LTM~ L'.
B задачах 4.39—4.41*) установить, является Ли H30-
морфизмом заданное oTOOpamenue 7, Ha R°.
4.39. p(xi+yf+2k)=(2x—y, 2, X+y+2).
4.40. p(xi+yf+zk)=(x+y—I1, 22, 3y).
4AAL. p(xityftzky=(e+y, —y4+2z, x+2y—22z).
4.42, Отображение ф: „—К” произвольного прост-
ранства „У, на пространство К” арифметических векто-
ров имеет BH
.
Ait +++ Ain
ф(хе;+...+XyOn)=Hr...уae oeoe.
Яа
фо Qnn
1) Для обозначения координат геометрических векторов в прямо-
угольном базисе ({, 1, No) условимся в этой главе использовать строч-
ные буквы х, у, 2, в ‘отличие. от прописных букв, используемых
в главе 2, так; как здесь прописными буквами мы обозначаем вектор-
столбцы.
.
6 Под ред. А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича
‚ 161
где 3 = (е,,..., е,) — некоторый базис в „’„‚, а А=(а,,)—
невырожденная матрица порядка п. Доказать, что это
отображение
— изоморфизм и, следовательно, что „, 2 К".
4.43. Доказать, что множество всех комплексных чисел
с обычным сложением и умножением на действительные
числа образует действительное пространство, изоморфное
пространству К?. Написать матрицу перехода от базиса
$ =(1, ) к базису 3' =(1--Ь —Й в этом пространстве,
и для числа —2-- 31 написать разложение по базису %".
2. Подпространства и линейные многообразия. Лодпространством
линейного пространства -® называется такое подмножество LK L;
которое обладает свойствами:
a)NoVEL’>ху’;
6) EL!’ => AXE L' для всякого числа А.
Если -’— некоторое подпространство в 3, то множество век-
торов
м = {Е | х=х’--хо, х’ Е.Х’ для некоторого x,€ L£)
называется линейным многообразием, полученным сдвигом подпрост-
ранства =’ на вектор Xp.
4.44. Доказать, что всякое подпространство 9’ ли-
нейного пространства -7 также является линейным про-
странством (при этом Чт Y’ < dim).
В задачах 4.45—4.49 требуется установить, являются
ли заданные множества подпространствами в соответст-
вующих пространствах. В случае положительного ответа
найти их размерность.
4.45. Множество всех геометрических векторов из 92,
а) компланарных фиксированной плоскости;
6) удовлетворяющих условию (х, а) = 0, где а — фикси-
рованный вектор;
в) удовлетворяющих условию |х|=1.
4.46. Множество всех векторов из КЮ” вида:
а) х= (0, х,, 0, х., х,,..., х,);
6)х=(1, х,, 1,Хь Хы. Х,).
4.47*. Множество всех векторов произвольного про-
странства „,„, координаты которых в фиксированном ба-
зисе удовлетворяют условиям:‘
а) х.=х,; 6) «ЖЕ...
х, =0; в) х,—х,=Ц
г) аи: +... -- а:„х„ = 0,
Anti +... +4,,%, = 9,
или, в матричной форме, АХ =0, где Ар—заданная ма-
трица размера тхп.
4.48. Множество всех матриц А порядка л, удовлет-
воряющих условиям!
162
a) AT=A (симметричные матрицы); 6). 4её А =0.
4.49. Множество всех функций [ (ЕС, 51 (см. зада-
чу 4.4), удовлетворяющих условиям:
а) {(1)=0 для некоторого & Е [а, 61;
6) {()=1 для некоторого f, E [a, 5];
_В) ГО =,
.. ta, {а т.е. [() —многочлен
степени не выше л— 1.
Пусть @ — произвольная система векторов из линейного. прост-
ранства 5.
Линейной оболочкой системы @ называется множество векторов
L (Q)= (x | x=Ayxy tA gxs, Xr, 208, Х;Е 0}.
4.50. Доказать, что,
а) -“ (0) — подиространство в „7;
6) dim Я (0)= гапя О, причем в качестве базиса в я (©)
можно взять Любой базис системы Q.
4.51. Найти размерность линейной оболочки (x, х,)
арифметических векторов х/ == (1, 0, 2, —1), х,= (0, —1,
2, 0). Показать, что вектор ea —1, 4, —1) принад-
лежит „Я (х., Х,.
|
Найти размерность и какой-н-нибудь базис . линейной
оболочки заданной системы арифметических peop ar
"4.52.х,=(1,0,0,—И,хо 1,1,0), =(1,1 1,1),
Х.-=(1; 2,3, 4), 7-©, 1,2, 3).
=
“4,53. i= (1 1, 1, 0), я: =(1, 1, —l, — 1,ob,
x=(2,2,0,0, i), х.=(1,1,5,5,2),х,=(1,—1,-—1,
0, 0).
4.54*. Г оказать, что линейная: оболочка системы ' MHO-
rowteuoB —3/?—1; 2f2-+¢, —t ‘совпадает с пространст-
вом 9, всех многочленов степени < 2.
Пусть У — произвольная система геометрических вскторбв. Гео-
метрическим образом системы У пазовем множество точек, являю-
щихся концами векторов из У, при условий, что все векторы исходят
из начала координат.
| “4. 55. Написать уравнение геометрического образа
,
JI
пейной оболочки =? (а) и многообразия „7 (а)Ё 6, если
а=—2#-Н]—Rub=2.
.
4.56. Написать уравнение теометрического образа ЛИ-
нейной оболочки „® (а, а>) и многообразия& (a,,a,)+8,
еслиа,=—{+У-Я,а,=2/—Еи= Е., .,
4.57. Задана система уравнений:
о
x,+X54—3X3— ха x,=1,
\
В"8x, X34 X3+4x,43%,=4,
x, —5x,—9x,—8x,+ x,=0.
6*
163
a) Доказать, что множество решений этой ‘системы есть
яынейное многообразие в пространстве К$.
6) Сдвигом какого пространства получается это линей-
ное многообразие? Найти ранг и какой-нибудь базис этого:
подпространства.
в) Найти какой-нибудь вектор сдвига.
3. Пространства со скалярным пронзведеннем. Действительное
линейное пространство @ называется евклидбовым пространством,
если каждой паре векторов х и у из & поставлено в соответствие
действительное число, обозначаемое символом (х, У) и называемое
скалярным произведением векторов х и У, причем выполнены следую-
щие условия:
1) (х, )=0,, х);
(Ехо, У) = (х1, ver” 5);
5 (Ax, Y)= A(x, Y),A
4) (х, х) —=0, причем (х, Spex,
Длиной вектора х называется число
[x|=V(x, x).
Вектор х, длина которого равпа единице, называется нормированным.
Для ‘любых векторов х, У евклидова пространства справедливо
неравенство Коши— Буняковского
I(x, WI) P< (x, x) (y, ¥),
которое позволяет следующим образом спределить угол между венпу-
левыми векторами:
(x, 5)
|x |-ly|
Испулсвые векторы х, PEG называются ортогональными, сели
(x, У) =0.
Базис % == (е1, ..., е„) п-мерпого евклидова простраиства EG,
называется ортонормированным, если
COSф==
0, Гр
вк еры,= 1 =}.
Если в пространстве @’„ задан произвольный базис (}, fe, »-+, Fn);
то векторы
k—-]
k—1
е1=1, er=fr—> 4 е,,
k=2, 3, eee, My
ix]
где су’
——
~ (ej, 2)
стве (процессе ортогонализации Шмидта).
Комплексное линейное пространство 9/ называется унитарным,
если каждой паре векторов х, У из U поставлено в соответствие
комплексное число, обозначаемое символом (х, У) и называемое` ска-
лярным произведением. векторов х и у, причем выполнены следую:
щие условия:
1) (x, )=0,x);
|
2) (X1-++ Xe, JY) = (x1, V) + (Xe, У};
164
‚ образуют ортогональный базис в этом простран-
‚ 3) (Ах, у) =А(х, у), ЛЕС;
4) (x) x) =0, причем (x, x)=08 x= 0.
- В унитарном пространстве не ‘определяется угол между BeKTO-
рами. Однако все остальные определения‘ и’ результаты, сформулиро-
ванные выше для ‘евклидова пространства, остаются справедливыми
и для унитарного пространства.
Евклидовы и унитарные пространства в дальнейшем называются
пространством со скалярным пройзведением. ``. '
fe
4.58. `Доказать. следующие ‘свойства скалярного про-
изведения. унитарного пространства:
а). (х, У: У.) = (х, Ii) +H У.);.
6) (х, Noу) =Л(х, у);
в) (x,;——%*,, ¥У) =(хь, У) — (х., У);
г) (х, 0) =0.
4.59. Доказать, что базис 3=(е;,..., е,) в унитар-
ном пространстве “%, является ортонормированным в том
и только в том случае, когда выполнено любое’ из сле-
дующих условий:
:
а) если х=х:е |+... -х,е, и у=иуе-... у, е,,
то (м, У=хи +... ху,
|
6) если х=х.е.-...-х„е„, то х,=(х, е,), Е=1,..., И.
4.60. Доказать, что любая система попарно ортого-
нальных векторов линейно независима.
4.61. Пользуясь неравенством Коши — Буняковского,
доказать следующие неравенства треугольника:
a) |x +y|<|xl+|y|;
6) ely Sirs yl
4.62. a) Доказать, что в пространстве В” формула
(х,Y)=XY,+
ХУ»
где х= (хр... х,) и у= (у ..., И), задает скалярное
произведение (получаемое евклидово пространство ариф-
метических векторов в дальнейшем будем также: ‚обозна-
чать символом К”).
6) Показать, что в евклидовом ‘пространстве К” кано-
нический базис (см. $ 3 гл. 3) является ортонормиро-
ванным.
‚ в) Написать неравенство Коши —Буняковского для
евклидова пространства К”.
г) Написать неравенства треугольника в евклидовом
пространстве. В".
|
4.63. Пусть x= (Xa х,) и У= (1, у,) — произвольные
векторы арифметического пространства Ю*. Показать, что
скалярное произведение в К* можно определить следую-
щими способами;
165
а) (х, у) = 2х1Е 5х5;
6)(х,У)==ху,|хаузt+Xai+XoYi.
|
Вычислить скалярное произведение векторов %==(1, —2)
и у= (5, 1) каждым из указанных способов.
4.64. Доказать, что в пространстве 9, многочленов
степени <п—1 скалярное произведение многочленов
p(t)=a,tat+...+a,_\t"7?
g(t) =b,+0,t4+...+6,_,1°72
можно определить способами!
а) (р, 9) = ао + аб... @,10,-1)
6) (р, 9) =2 p (ts) q(t,), ti, ..-, t,,—NpOH3BONbHHIE NO-
парно различные действительные числа.
Вычислить скалярное произведение многочленов р (Г)==
= 1-+Ё+Ри 9(1] =1—21--ЗЙ каждым из указанных
способов (п =4), если в случае 6) {=— 2, &=—1, 6 =1,
14=2. =
4.65. а) Доказать, что в пространстве Ста, 5} COOTHO-
шение
b
(.9=) 10504
задает скалярное произведение.
6) Написать неравенство Коши— Буняковского для
этого пространства.
в) Написать неравенства треугольника для этого про-
странства.
-
Применить ‚ процесс ортогонализации к следующим
системам векторов евклидова пространства К” (см. зада-
чу 4.62):
4.66. РД—(1,—2,2);Д= (—1,0,—1), Де—(5,—3,—7).
« Полагаем в: =/1= (1, —2, 2). Вектор ез ищем в виде е; =.—
(1)
— Cy 61. Так как (fo, е1) =—3, (ет, е1) —=9, то ср? = (Да, е1)/(@1, é;)=
= — 1/3. Следовательно, @ез =(—2/3, —2/3, —1/3). Наконец, вектор ез
находим в виде следующей линейной комбинации: ез = /— се; —
— с\ез. Вычисляя скалярные произведения (а, €1)=—3, (fs, €s) = 1;
(е2, 63) =1, находим значения коэффициентов ci» = (Та, €3)/(C1, é1) =
== —1/3, cS” =( Ss, €9)/(€2, €g)= 1. Следовательно, @з = (6, —3, —6). No
4.67. Г. =(1, 1, 1, 1), Д= (3, 3, —1, —1), fy=(—2,
0,6,8)
166
4.68.Г,=(1,2,1,3),f,=(4,1,,1),No=(3,1,1,о
ры
Р.=О, 2, 2, —1), fi=(l, ‚ —5, 3),
в
)
_ 4.70%. ди =(2, 1, 3, —1, A=, 4, 3, —3), f=(1, |,
—6, 0), fr= (5, 7, 7, 8).
Применяя. процесс ортогонализации, построить орто-
гональный базис подпространства, натянутого на данную
систему векторов в евклидовом пространстве К”:
4.71. f,=(1, 2, 2, —1), f,=(, 1, —5, 3), f,=(3,2
8, —7).4.72. f,=(2, 1, 3 —1), fr=(7, 4, 3, —8), fp= Cy,
—6, 0), Да=(5, Т,
).
Проверить sprorora abHoct следующих систем векто-
ров. в евклидовом пространстве К”. И ДОПОЛНИТЬ ИХ ДО
ортогональных базисов:
4.73*. aa
i3),е›
=
(2, о —3, 1).
4.74. е, = (1,
‚Пр е,—=(1,0,0, 1, —>, e,= (2,
—1, 0, 2).
|
|
|
4.75. е, — (2/3, M3, 9/3), @, = (1/3, 2/3, —2/3).
4.76. e;=(1,. 1, 1, 2), е, — (1, 2, 3, —8)..
4.77. Tlyctb Lamhe подгространство в ©. _До-
казать, что:
а) любой вектор ХЕ@’, однозначно представим в виде
х=у--х, где уЕГ
и
2 ортогонален`к Г (у называется
ортогональной проекцией вектора х на [, а 2 — ортого-
нальной составляющей х относительно [);:.
6) если ©Y—=(e,,.. +» €4)—Gaaite L, 10 y=->, се. rae коэф
фициеиты Ст, i=1, 2, wy Ry однозначно находятся. из
системы уравнений
`
:
у,
`
.
.
..
в-.
> (е,, е)) с=(е,, ¥), j=l, 2,...,8%,
аё=х-— у.
Используя результат задачи 4.77; найти, ортогональ-
ную. проекцию у: и: ортогональную составляющую & век-
тора Х на линейное подпространство L евклидова прост-
ранства Кг
4. 18. x == (—3, 5, 9, 3), Ё’натянуто на векторы:: е; =
—:(1, ‚ 1), e,=(2, —1, 1,4), e,=(2, —7, —1,.—]).
79, Ее — 1, —3,: 4), [..натянуто ‘на векторы:
е; == (1,
‚|), е,—(1, 2, 2, —1), e,=(1, 0, 0, 3).
ве en (5, 2, —2, 4) [ натянуто па векторы: @, =
=(2, 1,1,—1), е,—(1, ‚3, 0), е.=(1, 2,8,1).
167
4.81. Доказать, что в действительном евклидовом про-
странстве. справедлива теорема Пифагора, а также ей
обратная: два вектора х и у ортогональны тогда ‘и только
тогда, когда |х—у
P=|xP+|yf. |
4.82*. Доказать, что теорема Пифагора остается спра-
ведливой и в унитарном пространстве: если векторы х
и У ортогональны, то |х—у|=|х|?-|у|. Показать
вместе с тем, что обратное к’ теореме Пифагора утвер-
ждение в этом случае неверно.
$ 2. Линейные операторы
`1. Алгебра линейных операторов. Уинейным оператором в ли-
нейном пространстве „ называется всякое отображение А: = —+©
пространства L& в себя, обладающее свойствами
А(Ах)=^ЛАх. и А(х-фу)=Ах- Ду.
Пусть А— линейный оператор в конечномерном пространстве L,
и 3=(е:, ..., е,) —некоторый фиксированный базис. Разложим
вскторы Аек, &=1,..., п, по базису VB:
A€ p= Oper t---+anpen k=}, eee, п.
Тегда матрипа
11 @12 ... @1т
А—| @21 922 +++ Gen
-
Qy1 Ang «++ Ann
называется матрицей оператора А в базисе 3. Матрицу оператора A
будем ивогда обозначать также символом [4] или [А], если суще-
ственно, о каком базисе идет речь.
Заданием матрицы оператор определяется однозначно, а именно:
если у= Ах, то. У = АХ, где Х, У— столбцы координат векторов х,
уни А— матрица оператора А в базисе 3.
Пусть Аи 4’— матрицы оператора А в базисах Зи WB’, a
Т = Ть _, з, — матрица перехода от базиса 3 к базису %'. Тогда
формула преобразования матрицы. оператора при преобразованни ба-
зиса имеет вид
А’=Т-ЗАТ.
(1)
Пример `1. В базисе % = (1, 1, Ю написать матрицу оператора.
проектирования Ро на плоскость @: x--y-+z=0.
Оператор проектирования на плоскость « определяется равенст-
вом Рах=Ха, где Ха ортогональная проекция вектора х на пло-
скость &. Имеем
(п, х)
Рех=х—хв=х— прах:
Тир”,
[п|
168
где и— нормальный: вектор’ плескеети ©. В’раесматриваемом случае
n=1i-+jJ-+R un; следовательно,
1
2)
Poi i—zn=Z 3.1 —3ту
No;
(1 _.:
рт
i
1,.1
2
откуда
`
2/3 —1/3 —1/3
(8
2/3. =) >
—1/3 —1/3 2/3
Над линейными операторами; .дейетвующими в фиксированном
пространстве „, вводятся следующие. операции:
ALS,сложение операторов: (А -{ В).х = Ах-- Вх; при этом [A+B] =
=A+B6) умпожение операторов на числа: (^А)х=А (Ах); при этом
ЛА] =ЛА;
aумножение операторов: (АВ)х = А (Вх); при этом [АВ] = АВ.
Обратчым к оператору „А.называется оператор А-*% такой; что
АА-1
= А-\А=Е, где Е— единичный оператор, реализующий‘ тож-
дественное отображение. Оператор А имеет обратный (и в`этом слу-
чае называется невырожденным} в том и только в том случае, когда
его матрица А невырождена (в любом базисе); при этом [4-1] = A~4,
В задачах 4.83 —4.89 установить, какие из заданных
отображений пространства 92, в себя являются: линей-
ными операторами; выписать их матрицы в прямоуголь-
ном базисе ® =($, /, ®.
4.83. Ах=Ах, ^—— фиксированное число.
4.84. Ах=Ах--а, No и а фиксированы. `
4.85. Ах = (х, ее, где е —заданный единичный. век-
тор. Выяснить геометрический смысл этого. отсбражения.
4.86. Ах=[а, х|, а— фиксированный вектор.
4.87. Ах= (а, х)х, а— фиксированный вектор.
4.88**.; С(е, ф) — отображение, состоящее в повброте
на угол ф вокруг оси, задаваемой единичным вектором е.
4.89. Если x=xityf+zk, ‘TO
Ax=(y+2)i+(2x+2)f+(8x—y+2)k.
В задачах 4.90 —4.95 установить, какие из заданных
отображений пространства арифметических векторов. В
в себя являются линейными операторами; выписать. их
матрицы в каноническом базисе. |
4.90. Ах = (хх, мха, За).
4.91. Ах= (хх, xs +1, «3+ 2).
4.92. Ах= (0, х,—х., 0).
4.93. Ax = (xj
-+ 2x, + 2x3, —3x3-+ 45, 2x,-+ 3x,).
169
4.94. Ах =(ЗНха, м — 2 —х, Зх.- 2%).
4.95. Ах = (ЗН5х, жж НТ Зх;— бхз).
В пространстве КЮ? заданы. два линейных оператора
А и В. Найти‘ матрицу [С] линёйного оператора’ Cr
— АВ— ВА и его явный вид в каноническом базисе Кз:
4.96. Ах= (2х,, —2х. + Зх;+ 2хь, 4 —х,Е 5х»),
Bx = (—3x,;+%,, 2x3-+%3, —X,+ 3X5).
& Так как Ае:= (0, —2, 4), Ае.—= (2, 3, Tay Ae;= (0,2, 5)и Ве;=
= (—3, 0,0), Ве.=(0, 2, I), Вез=(1, 1,3),то
020
30]
a-(—2 32) 8=( 0.2')
4 —15
0—13
042
4-7 5
ав-(64’)вл(05з).
—12 —7 18
14—613
и-4 1-3
ан)—26 —1 5,
По ‘определению матрицы линейного оператора в каноническом
базисе В” ее столбщы являются ‘наборами компонент обраЗов’ базис-
ных векторов, т.е.
Се!
= (—4, 6, —26), Се, =(1, —1, —1), Сез=(-3, —2, 5).
Отсюда находим:
,
Сх=обехе-хе)=абе-- Ce,fryCs=
И
о
= (—4х. -- 1х. -—Зхз, 6х1 —х.— хз, 26-5) >
4.97. x= (7x, + 445, 4x,—9x,, 3x,+4,),
= (x, — 6s, 3x, + 7х», X14 X,—Xs).
4.98. Ae = (Ohm By x, +4x,— Xs, 3X, — OX, + 2X5),
= (Xp
4%, $ 8xy, QWy4-Xg, Bx,—Xy). |
4.99. к
2х., Эх.—2х,--4ху, —3x,+5x,—45),
== (2-х, Ех,-Н 9х», "Xp 2%_ 4 XQ)6
4, 100.
НЕ
хм, 2х, x1 + 2x, =- 3X3),
= (xy
+XX, 2X X_ Хз». Ky Xe).
:
В: даних 4. 101 —4. 105 найти матрицы указанных
линейных операторов. .А ‚действующих в пространстве 92,,
в базисе 33’ из задачи 4.18.
4.101. Ax =[a, x], a— фиксированный вектор.
Далее,
Поэтому
ъ
< "Пусть а=а1:#--
4>] 4 аз®. Тогда-матрица линейного. опёратора-:А
в базисе 33 = (1, ], Ё) имеет. вид (см. задачу 4.86):
0—6 ay
мья(.a3,0—
—AgQy0
170
Матрица перехода из базиса 3 в базис $’ была найдена в за-
даче 4.18:
10
0
тень = (0 с0$ф —sin .)
Osing cos@
]
0
0
Ts),a=(0 cos@sin°}
0 —sin g cos@
Tak Kak
то, используя формулу (1), находим
[А],ТЗ в[Ав"Га,в,=
10
0
О—аал/100
=(0cosgm—sin)(аз0=)(0 cos@sinг)=
Osing cosg/ \—a, ay 0 0 —sin » cosy
0
—da, cos @-+a,sin P agsin p-+a,cos@
-( a3COSP—a,sin»
0
—а1
\>
—QsSin@—@_COSФф
Qj
4.102. Ах =Ах, ^— фиксированное число.
4.103. Ах = (х, е)е, где е— заданный единичный век-
тор.
4.104. Ах= (а, х)х, а— фиксированный вектор.
4.105. A=U(e, @,) из задачи 4.88, Ф=3; cosa =
|
=cos=Cosy==.
4.106. В 9, задан линейный оператор А, матрица
которого в некотором базисе 3% = (ег, е,, е:, е.) равна
12 01
30—12
А=2531
12 13
Найти матрицу этого оператора в базисах;
а) 3’ = (е,, ез, 6., е.);
6) B =(€j, €y-+©, еее, е, +ее, -е.).
4.107. В ?, заданы два базиса!
8’: e; = 8e,—6e;-+7e,, e; = —16е,-
Те, — 13е,,
é, = 9e, —3e;-+ 7e,,
3": е =е—2е,+ е,, е; =3е,—е,-2,
е. = 2€;+e,+ 2.
Найти матрицу оператора А в базисе 3%", если его мат-
рица в базисе No3’ имеет вид
|1 —18 15
A’ -(- —22 2)
|2522
171
4.108. В пространстве „Я; оператор А в базисе 8
e; = e, + 2e;, e@,= 2e,+ 3e; HMeeT MaTpHILy (33 3): ‘Onepa-
Top Bs базисе 3": ef=3e,+ е;, ©" = 4e;+ Зе; имеет мат-
рицу (‹ 5). Найти матрицу оператора А--В в базисе 3”.
4.109. Пусть р (tf) =a,_4t"~ 14, . + a,t + a,—HeKorto-
рый многочлен и А— линейный оператор. Рассмотрим
оператор р (А), определяемый равенством
р(А) =а,_,А"-1-+... аа АЧаЕ.
Найти матрицу оператора р (А), если р(0 =38—2#-5,
а оператор А задан матрицей. А= (5 4).
4.110. В пространстве 9, задан линейный оператор
а
и
дифференцирования В =-х. Найти матрицу этого опера-
тора в базисе!
а) 1, Е, 12, ‚от,
i
f—t))"-2
6) l, (t{ — te),ЖЕ 0)? pore, SRO, HER.
Доказать oneparoptioe равенство О” == О (О — нулевой опе-
ратор: Ох =0).
|
4.111. В пространстве 7. задано отображение
OS
Ap(t)=\ K (t, 1) p (x) de,
у“
где К (Ё, %) многочлен от двух переменных, степень ко-
торого по { не превосходит 3. Доказать, что АЬ—линей-
ный оператор в 5,; найти его матрицу в базисе 1, [, No,
#2для случая, когда К(Е,т)=Ё+ т.
4.112. В простраистве 9. задано отображение
App(1)=р(1-ЕА),
где /— некоторое фиксированное число. Доказать, что
А,— линейный оператор, и найти его матрицу в базисе
ГИ, В.
4.113. В пространстве’ функций, дифференцируемых
4.
dt
H onepatop A=e умножения на функцию е\. Проверить
равенство DA—AD=AA.
172
на всей оси, заданы оператор дифференцирования В =-—-
`В задачах 4.114—4.119 требуется установить, какие
из заданных линейных операторов в 92. являются невы-
рожденными,-и найти для них явный вид обратных опе-
раторов (е —фиксированный вектор единичной длины, а
х=жа- и 2).
|
4.114. Ах =Лх, ^— фиксированное число.
4.115. а) Ах =(х, е)е; 6) Ax=[e, x].
4.116. a) Ах=х—(х, е)е; 6)* Ах=х—2 (х, ее.
4.117. Ax =(y+z)i4+
(2x4 2) J+ (84—y+2) R.
4.118. Ax=2zi+(x—z)ft (2x+32)R.
4.119. А =0(е, $) —оператор поворота на. угол ф
вокруг оси, заданной вектором е.
Установить, какие из заданных линейных операторов
в К? являются невырожденными, и найти явный вид об-
ратных операторов:
4.120. Ах = (хх.х., Х., Х.).
4.121, Ax =(x,+ 2x5, —X_, 2X,—X;).
4.122, Ax = (x, 4 2x,-+ 2x5, 2x, -+ X¥,—2Xx,, 2x,—2x,+4,).
Миожество Гд всех векторов Ах, XE L, Ha3zbiBaerca OOpazom one-
ратора А. Множество N, pcex BexTopos xE L, AA KOTOpHIX Ax =0,
называется ядром оператора А. Образ и ядро линейного сператора
являются подпространствами в -. При этом размерность образа
Гд==@ит Гд называется рангом, а размерность ядра пд==@ит Мл —
дефектом оператора А. Справедливо равенство гд-|-Пд=л, где п —
размерность пространства L.
4.123. Описать образ и ядро следующих линейных
операторов, действующих в пространстве 92.:
а) Ах == (х, ее, |е|=1;
6) Ax==[x, a], a0.
4.124. Описать образ и ядро оператора дифференци-
рования 2), действующего в пространстве ^,.
—
В задачах 4.125 —4.127 для указанных линейных опе-
раторов, действующих в пространстве Юз, определить ранг
и дефект, а также найти базисы образа и ядра..
4.125. Ах
== (жж 2-х, мА Ы—Ха, Xy+ X,).
<4 Для представления арифметических векторов и заданпого линей-
ного сператора воспользуемся каноническим базисом в No3. В. этом
базисе матрица оператера имеет вид
:
и?1
a-(1 0 -i)
110
>
173
По определению yET, B TOM H TOMbKO B том случае, когда
найдется вектор хЕ КЗ такой, что у = Ах, или, в ora
записи;
121Х1
т
1l0
Хз
.
gO
va
Равенство (2) означает, что образ г д совпадает с линейной ' 0бд-
лочкой системы столбцов матрицы А. Следовательно, ранг опера-
тора А совпадает с рангом его матрицы, т. е. равен. двум, а в каче-
стве базиса Тд может быть выбран любой из базисов системы столб-
цов матрицы А, например
1
2
в.=(1). в,=(°).
1
1/
Аналогично ХЕМд в том и тольков том случае, когда Ах=0,
или, в координатной записи, |
l2.
|
Х1
0
ак=(| 0 (= )=(о).
@
110Хз|0
|
,
Отсюда следует, что ядро Мл совпадает с подпространством решений
однородной системы (3), т. е. дефект оператора А равен, ПАП — ГА ==
=3—2=1|, а в качестве базиса в NoМд может быть выбрана фунда-
|
ментальная. система ‘решений. системы (3), пзпример р (= ,) >
uty
tor
aa
[
4.126. Ах = (2х, — —Xy, X;—2x,+ Хх, м -- м — 2Х,).
4.127. Ах= ых +: Xn Xi. |-Х, -|-Хэ, X, 4 x, -+X,).
4.128. Доказать, что оператор А невырожденный тогда
и только тогда, когда его дефект равён нулю; а, следо-
вательно, ранг совпадает с размерностью пространства.
2. Собственные числа и собственные. векторы линейного оператора.
Пусть число А.и вектор хЕ., х > 0, таковы, что
‚ Ах=АХ.
(4)
Тогда число А называется: собственным числом линейного оператора A,
а вектор х — собственным. вектором этого оператора, соответствую-
щим собственному числу А.
°
В.-конечномёрном пространстве„.„ векторное.. равенство .(4). эквн-
валентио матричному равенству
ий.
(A—AE) X=0, X £40.
(5)
Отсюда следует, что чиело А. есть собственное число оператора, А
B TOM и. ТОЛЬКО в ТОМ случае, когда det (A—A АЕ) =0 ),
A @CTh
корень многочлена р(^)
= 4е! (А—ЛЕ), называемого ‘apaxmepucrau.
цеским многочленом оператора. А. Столбец ‘координат Х любого соб-
ственпого вектора, соответствующего собствениому числу А, есть
некоторое нетривиальное решение взнородной системы (5).^
‘174
Пример 2. Найти собственные числа и собственные векторы
оператора Роху проектирования на плоскость Оху в пространстве 9/9..
1) Геометрическое решение. Равенство Рохух=Ах, х 70, озна-
чает, что ортогональная проекция вектора х на плоскость Оху кол-
линеарна самому вектору х. Но это возможно лишь в двух случаях.
а) Вектор х =0 компланарен плоскости Оху. Для всех таких
векторов Рохух==х, т. е. все они являются собственными векторами
оператора Роху, соответствующими собственному числу м=1.
6) Вектор х >20 ортогонален плоскости Оху. Для всех таких
векторов Роху,х=0=0.х, т. е. все они являются собственными век-
торами оператора Роху, соответствующими собственному числу А. =0.
‚ В итоге заключаем, что оператор Рох, имеет два собственных
числа: ^ =1 и А. =0. Соответствующие им собственные векторы:
мех Ни, х 20,
Аз=0: х(®) =2k,
x(As)=0.
2) Аналитическое-решение. Матрица оператора Рох, в прямо-
угольвом базисе 3 = ($, Л, В) имеет вид '
100
p-(010),000
Характеристическое уравнение:
|
i—a00
det(P—AE)=| 0 I-A O |=—A(1—A)?=0,
00—~A
откуда м=Ти А. =0— собственные числа оператора.
Найдем собственные векторы, соответствующие собственному числу
и =1. При А=1| система (5) принимает вид
00Ovsx
0
p—Hx-(0 0 о) (= (‹)-
00—1 2
0
‚Фундаментальная система решений:
1
0
0
0
x
ивучивь= (у).
0
Отсюда заключаем, что собственные векторы, соответствующие собст-
венному числу Ал =1, имеют вид
x) = xI-+ И),
где х и и— произвольные числа, не равные одновременно нулю.
Аналогично рассматривается случай А. =0. При этом получим
aA)= 2h,
где а— произвольнее число, отличное от нуля, No
а общее решение:
175
В задачах 4.129 —4.133 найти собственные числа и соб-
ственные векторы операторов в 7°.. Решить эти задачи
геометрически, т. е. в инвариантной форме, не связанной
с выбором какого-либо базиса в 9, (см. пример 9, гео-
метрическое решение). После этого в задачах 4.129 —4.131
провести аналитическое решение.
4.129. Ах=ах, а— фиксированное число.
4.130. Ax=(x, i)i—onepaTop проектирования на ось Ох.
4.131. Ax =[i, x].
4.132. А=О(е, $) —оператор поворота на угол ф вок-
руг оси, заданной вектором е.
’ 4.133. Ах=х—2(х, е) е— оператор зеркального отра-
жения в плоскости с нормальным вектором е.
В задачах 4.134 —4.143 найти собственные числа и соб-
ственные векторы линейных операторов, заданных своими
матрицами.
2-1 2
010
4.134.А(5—3 ,).4.135.4(- 10),
— 0-2
—2 12
4—5 2
,1—33
4.136. a-(s —7 2). 4.137. А=| —2 —6 3),
6—9 4
—1—48
—34
77—126
4,138. a-(' —7 8) 4.139. Ax(10 —19 к).
6 —77
12 —24 13
100
26 —15
4.140. A=( 1 2 ') 4.141. Aa(1 1 -5).
—1 01
12 —6
о0
4.142. a—(3 -—3 1), 4.143. 4 ( 11 -2),
3—5 1
—t—10
4.144. В пространстве 92, геометрических векторов на
плоскости задаи оператор поворота С(ф) на угол Оф Qn
вокруг начала координат. Проверить (геометрически и
аналитически), что при ф=-Е0, л этот оператор не имеет
собственных чисел. Этот пример показывает, что линей-
ный оператор в действительном пространстве может не
иметь собственных чисел (и собственных векторов).
4.145. В комплексном пространстве „9, оператор А ==
—= А ($) задан матрицей
(Sin p —sing )
sinp cosP
О<ф< 2.
176
Найти его собственные числа и собственные векторы.
Сравнить полученные результаты с результатами задачи
4.144.
|
4.146*. Пусть оператор А, действующий в комплексном
пространстве „,„, задан в некотором базисе матрицей
с действительными элементами. Доказать, что:
а) если ^— собственное число, то ^А—также собствен-
ное число;
6) если Х@®— столбец ‘координат собственного век-
тора, соответствующего собственному числу А, то ^® —
столбец координат собственного вектора, соответствую-
щего собственному числу ^.
4.147*. В комплексном пространстве „Я. найти собст-
венные числа и собственные векторы линейного оператора,
заданного вещественной матрицей
4—57
A=( |—4°).
—4 05
4.148. Показать, что если х — собственный вектор опе-
ратора А, соответствующий собственному числу А, то
он является собственным вектором оператора р(А) =
—=а,_:А"*-+...ТаА-аЕ, соответствующим' собствен-
ному числу р (^).
4.149. Доказать, что:
а) оператор А имеет обратный в том и только в том
случае, когда он не имеет нулевых собственных чисел;
6) если оператор А имеет обратный, то Аи А”! имеют
одни и те же собственные векторы. Как связаны между
собой собственные числа этих операторов?
$. Линейные операторы в пространствах со скалярным произве-
дением. Пусть А— линейный оператор, действующий в пространстве
со скалярным произведением `(х, У). Линейный оператор А* назы-
вается сопряженным к оператору А, если для любых векторов х, у
выполняется равенство
(Ах, )=(х, А*у).
Для всякого оператора А сопряженный оператор А* существует и
единствен.
,
|
Если оператор А в ортонормированном базисе имеет матрицу
А =: (а;,), то сопряженный оператор А* в том же базисе имеет
*
*
—
матрицу А*=(4;;), где а)=алд (матрица А* называется. соявя-
женной. к матрице A). В частном случае евклидова пространетва
А*=АТ.
|
177
Пример 3. Линейный оператор А: 63 —+ 3 в базисе $’ ==
= (e;, е.„, és) имеет матрицу
°
113
им, (
5 -1),
27 —3
Известно, что е, =е:-|-2е.--ез, е. =ег-е›--2ез; еу==е1-е: и
базис 33 = (е1, ео, ез) ортонормирован. Найти матрицу сопряженного
оператора А* в базисе $B
Так как базис 3’ не ортонормирован (проверьте!), то, чтобы вос-
пользоваться утверждением о связи матриц операторов А и А*, не
ходимо найти матрицу [А]5. Имеем
111
i—220`
110
3—1 -—1
следовательно,
2 —37
266
[А]в= Га’ в[А],»ты
—4 5). Ale (—3 —4
5),
6—55
7665
ху
Отсюда окончательно получаем:
—36 —37 —15
[A*]q, =T3',
Тьне =( 30
30
i). >
26279
4.150. Доказать, что операция * перехода от опера-
тора А к сопряженному А* обладает следующими свойст-
вами;
а) (А*)* = А.
«& Запишем цепочку равенств, верных для любых векторов хи у,
(Ах, у) = (х, А*у) = (А*у, х) = (9, (А*)* х) = ((А*)*х, у) = ((А*)*х, у),
т. е. (Ах, у) = ((4*)*х, У). Отсюда, в силу произвольности векторов
х, у, получаем А=(А*)* (показать подробнее!). No
6)(A-+B)*=A*+B*;8)(AB)*
= B* A"; r)(aA)*=aA?;
д) (А”*)* =(А*)7?, если А невырожден.
Линейный оператор А в базисе %' = (е!, ..., е») имеет
матрицу А. Найти матрицу сопряженного оператора А* в
том же базисе No’, если векторы е\,..., е„ заданы столб-
цами своих координат в некотором ортонормированном
базисе 3 = (е., ..., @,):
4,151. А=(1 1), В =(0), Е#=(1).
,,113
!
4.152. д= (с -1), Ei=(2), E:=(1), = (+).
27 —3
2
0
478
1.1
ami
1
‚£0
4.153. А = (: e =). e=e?, Ei=(1), B=(1)
|82
1
1
|
E=(1),0
В пространстве многочленов 9. задано скалярное про-
изведение
|
ОИ
(fF, g)= ab) + 4,5, + a,b;,
(6)
где f(t) =a,+a,t4+a,t?, g(t)=6b,+6,t+6,t?. Hatta mar-
и сопряжен-
>
]
—
|
d
рицы оператора дифференцирования D=—
ного оператора О» в базисе No: `
нь
|
1
. 4.154. Ba(ph—zh Pol, P+: t).
4.155. B=(1, ¢ opt
e
.
’,9
9`.
ме:
4.156. Найти сопряженный оператор для поворота евк-
лидовой плоскости. на угол @& вокруг’ начала координат
против часовой стрелки.
4,157, Пусть. Оху— декартова ‘прямоугольная. система
координат на плоскости и А— оператор проектирования на
ось Ох параллельно прямой /[: ах
-Ефу= 0 @79. Найти
матрицу сопряженного оператора А*.
‚ 4.158. Пусть. Оху— декартова прямоугольная система
координат на плоскости и Ар— оператор отражения точек
плоскости относительно прямой /: ах -- бу =0. Найти мат-
рицу. оператора А*.
Понятие сопряженного оператора может быть использовано при
исследовании. совместности неоднородной. системы линейных, уравне-
инй. Пусть АХ = В — матричная запись такой системы, . причем т = п.
Тогда Х и В— столбцы координат соответствующих арифмети®еских
векторов в капоническом. базисе евклидова пространства К”, а квад-
ратной матрице А в этом же ‘базисе соответствует. некотдрый. ‘линей-
ный оператор `А: Кл.—+К”. Система А*Х:==0, где. А* — матрица. сопря-
жениого оператора А* в каноническом. базисе, называется ‘вопря-
женной однородной системой. Верна. следующая тео рема
Фредгольма: ‘для #10г0 чтобы система АХ =В была совместна,
необходимо и достаточно, чтобы вектор-столбен В ‘был ортоганалёен
ко всем решениям сопряженной однородной системы.
4.159**. Доказать теорему Фредгольма.
Используя ‘теорему Фредгольма, исследовать. совмест-
ность следующих систем’ линейных уравнений:
$119
4.160. 3x,
Е 2х. x,=-—1, 4.568. x,-x,4+x,=9,
7x,+6x,+5x,=5,
X4+%,+4%,=1,
5x,+4x,+3x,= 2.
X,+x,+%x,=—l.
4.162. 2x,+ x,—2x,=1, 4.163. x,+%,+4,=1,
Xy—2x,+ x,=1,
хх,
+хз=|,
—2x,+ ж- х.=1.
жНх.-х.=1.
4.164*. Доказать альтернативу Фредгольма:
либо система АХ = В совместна при любой правой части В,
либо сопряженная однородная система А*Х = 0 имеет
ненулевые решения.
4.165. Какие из систем линейных уравнений, указан-
ных в задачах 4.160— 4.163, совместны при любой правой
части?
Линейный оператор М в пространстве со скалярным произведе-
нием называется самосопряженным, если Н=Н*. Самосопряженпый
оператор в унитарном (евклидовом) пространстве называется также
эрмитовым (симметричным). Для того чтобы оператор А был эрмн-
товым (симметричным), необходимо и достаточно, чтобы в любом
ортонормированном базисе его матрица А = (а; ;) удовлетворяла. соот-
ношению а; =ау; (а; =ар:). Такие матрицы называются эрмитовыми
(симметричными).
_
Линейный оператор U в унитарном (евклидовом) пространстве
называется унитарным (ортогональным), если
UU*=U*U=E, т.е. 0*= 0-1.
Для того чтобы сператор А был упитарным (ортогональным)
нсобходимо и. Достаточно, чтобы в любом ортопормированвом
базисе его матрица А -==(а;;) удовлетворяла соотношению 'А71==А*
(А-1
= АТ). Такие матрицы называются унитарными (ортосональ-
ными).
4.166. Доказать следующие свойства самосопряженного
оператора:
а) собственные числа ‘действительны;
6) собственные векторы, соответствующие различпым
собственным числам, оргогональны.
,
4.167. Доказать следующие свойства унитарного опера-
тора:
`
а) собственные числа по модулю равны единице; .
6) для того чтобы линейный оператор был унитарным,
необходимо и достаточно, чтобы он переводил ортонорми-
рованный базис снова в ортонормированный базис;
‚в) унитарный оператор ссхраняег скалярное произве-
дение;
г) унитарный оператор сохраняет длины векторов.
4.168. Показать, что в пространстве 92, следующие
операторы являются симметричными:
180°":
а) Ах=Ах, ^— фиксированное число}.
6) Ах=(х, 6е, |е|=1;
в) Ах=х—(х, ее, |е|=1.
4.169.`Показать, что в пространстве ‘многочленов 9%, со
скалярным произведением (6) следующие операторы явля-
ются симметричными:
а) 10—10; 9 -еКт)-
4.170. Показать, что в пространстве 92; оператор 0 (е, $)
поворота на угол ф вокруг оси, заданной единичным
вектором е (см. задачу 4.88), является ортогональным.
4.171. Показать, что операторы задачи 4.168 являются
ортогональными.
4. Приведение` матрицы ‘линейного оператора к диагональному
виду. Если оператор А, действующий в пространстве 5, имеет’ п
линейно независимых собственных векторов ет, ез, ..., ев, соответст:
вующих собственным числам Ал, Аз, ..., Аи, то в базисе из этих ‘век-
торов матрица оператора: А имеет диагональный вид
(hy
0
Aa
|
©
Пример 4. Привести матрицу А линейного оператора к диаго-
нальному виду и.найти соответствующий базис, если
20
^-( о? 0).
\—-2 —2 +1
@ Характеристическое уравнение
1—A 2
0
det(A—AE)=| O 2—A 0 |=(^—2) (1—^2) =0
—2—2ША
имеет корни А1=2, А›=1, Аз=— 1. Следовательно, матрица может
быть приведена к диагональному виду. Находим соответствующие
собственные векторы. При ^=2 система’ (5) принимает вид: `
|
—120sx;
0
ива х—( оо 0)( a )=(0),
—2—2—3
Хз
0
—м-2x,
=0,
— 21 —2ха— Зла =0.
ИЛИ
181
Фундаментальная система решений состоит из одного вектора Ё:=
= (2, 1, —2)Т. Аналогично, при’ А=| система (5) принимает вид:
02OVsx 0
о
{A—E) х=( 0 1 0)( a )=(0), или ogy
oO
2—2—2Xs
0
2x1 on 2X5
Из sro cuctembl HaxXOAMM BTOpOH CobcTBeHHEIN BeKTOp E,=(1,0,—J)!.
Наконец, при ^А=—| из системы
220\им
0
|
0
aH x=( 0 3°)(=) (‹),
ИЛИ m1 a!
—2—20/\xzs 0
a
находим третий собственный вектор Ез= (0, 0, 1)Т.
Найденные векторы Е1, Ез, Ез образуют искомый базис, в кото-
ром матрица А линейного преобразования имеет следующий -диаго-
нальный вид:
200
(010).>
00 —1
В задачах 4.172—4.179 выяснить, какие из заданных мат-
риц линейных операторов можно диагонализировать пере-
ходом к ‘новому базису. Найти этот базис и соответст-
вующую ему диагональную форму матрицы.
4.172. /112 3 4.173.
/
010 0
224
001 0
001—2 /°
000 1/1
-
000 2
—617—]
`
4.174. /111
4.175.
2—1 2
( ').
(533),
111
— 0—2
4.176. /1/20 1/2 4.177. /—13 —!
(9. A (Er).
1/2 0 1/2
—33 1
4.178. 1 1 1 #1 4.179. 9001
Гы
|
0010
i—l 1-1 ]°
0100/7°
}1—l1—!1 1
1000
4.180*. Вычислить А”, если!
a) д= (11): 9 А=(3 4).
Вычислить!
4.181. /17 —6\8 4.182, /43 —3\e
(+5 x2) :
(2 3-2) .
44 —3
Матрица А самосопряженпого оператора всегда приводится н
днагональному виду. При этом, используя понятие унитарного оле-
182
ратора, ее можно представить в виде
A=UDU-},
где (— матрица унитарного оператора, осуществляющего переход от
исходного базиса к базису из собственных векторов оператора А, а
О — диагональная матрица вида (7).
Найти ортонормированный базис из собственных век-
торов и матрицу в этом базисе для линейного оператора,
заданного в некотором ортонормированном базисе матри-
цей А (искомый базис определен неоднозначно):
I] 2—8
1—8 4
—810 5
4-4 И/.
$ —10
112
4.185. 4-(. 3 0). 4.186. . 4= (1 1 2)
004
294
Для данной матрицы А найти диагональную матрицу р
и унитарную (ортогональную) матрицу И такие, что
А=(риИ-::. -
Е
Ав.А (3 21). 4.188. АН (9, И). 1,
2—2 |
2..7:
1`4#`0\
7
4.189. (м 0).
\
0:0 1/
.bo
‘7320
a 212—2
4.190. 4=(- 4 -2). 4.191. A=| 2 9 4),
0—2 5/7
\2-4 §/
$ 3. Билинейные и квадратичные формы
1. Линейные формы. Говорят, что в действительном линейном
пространстве = задана линейная форма, если.каждому вектору хЕ .
поставлено в соответствие чнсло {(х), причем выполнены условия
‚ НУ) =) Ро), х, УЕФ,
0х) =), x2, LER.
Доказать, что в пространстве „? функция f(x), KEL,
является линейной формой:
|
|
ь
|
4.192. f(xy=\x(t)dt, ®=Сьь, х=х(;
‘
a
.
Lae
4.193. f(x)=x(t), L=Ciao, «= x(t), | tyefa; 6];
4.194. f(x)==(~, а), L=F;, AEV?;—uKcnpoBan-
ныи вектор.
с
oo,
a
4.195. /(х)=абх, L=7, a, 0€ V?;— uKkcupoBar-
ные векторы.
|
_хо
г
+
183
4, 196. [ (x) =x" (to)s. f== Cha b}» x= x(t), te Е [а, b}.
4.197, Ilyctb.B пространстве
фиксирован базис
В = (ез, ..., е„). Пусть, далее, f (e,)) =a;, i=1, 2, ..., n,
где {(х)
— линейная форма в -9.
|
а) Доказать, что f(x) =a,x;4+.. ‚ Ралх „» ГДЕ Хр, ...
..., Х„—Координаты вектора ‘х в базисе °
6), 'Обозначим Y* множество линейных форм / (x),
в котором введепы операции сложения и умножения на
число следующим образом:
g=fith, ecan Vx € & (g(x)=f, (x) +h (*));
h=hf, ecan Vx€ (1 (х)= No (х)).
Доказать, что „’*— линейное пространство.
в) Доказать, что Ат .Я*==и (пространство „7 назы-
вается сопряженным к пространству &):
4.198. Доказать, что:
а) если KER", х=(х., ..., х,), то формула ] (х) =х,
определяет линейную форму;
|
6) всякую не равную тождественно нулю линейную
форму [(х), хЕК", надлежащим выбором базиса можно
привести к виду [(х)=х,, где х, первая координата
вектора х в этом базисе.
2. Билинейные формы. Числовая фупкция А (х, 5): LX LOR,
заданная Ha действительном линейном пространстве. L, называется
билинейной формой, если при фиксированном у она является линей-
HOH ‘формой по Хх, а при фиксировапном х — линейной формой по У,
Билинейная форма называется симметрической, если А (х, У)=А (у, x),
x, УЕ г. Если в. пространстве `„ фиксирован ‘некоторый базис
$} ==(е1,..., En), то матрица А=(а;;), а: =А (ег, ej), называется
митрицей билинейной формы А (х, у) в базисе %3..
Доказать, что в пространстве LY функция. A(x, 5)
является билинейной формой:
4.199. A(x, еле У), где, h— линейные фор.
мывSY.
bb*
4.200. A(x, =) к (s,2)x(s)y(t)dsdt,rne2=Cha, 6};
aa
.
o
o
х=х(ПЕСщаь, У-=У(ЮПЕСа,ьь К ($, [)- некоторая не-
прерывная функция двух переменных.
4.201. А (x, У)= > ах» ‘ где Y=R", x, yER’,
i, j=l
.
== (а;;) некоторая матрица.
-
4.202. Пусть в пространстве „Я, фиксирован базис
= (е.,..., е,), А (х, 'у)—билинейная форма в =”,
А (е;, е;) =а:;. Доказать, что;
184
а). А (х, y= 2 ‚Чл rye x, yj, j=l, 2, ...,n,—-
координаты векторов. х иув базисе 3;
6) если А’ =(а) —матрица билинейной формы А (х,у) в
базисе 3’ = (е/,..., е’), то А’=ТТАТ, гдеТ = Та —
матрица перехода от базиса 3 к базису BV’.
Пусть в пространстве КЗ? задана билинейная форма
А (х, 3)..Найти ве матрицу в базисе 3 = (е,, е„, е.), если:
1.108. A(X, Y= *XYi t+ 2x Yet 3X—y3, е. =(, 1, 1,
e,=(1, 1, —]), e= (i, —1, —1;
204A(x, У)=ха| Уз-Хз, е,=(1,0,0),е.=
== (1, 1, 0), е=(1, 1, No).
В ре К” задана билинейная форма А(х, у)
в базисе 3. Найти ее матрицу в базисе No’, если!
-
4.205. п=4, А(х, Ух, хз Ха,
11141
No—1 1-—!1
Tysy=11—i—1,
1—1—11
4.206. n=2, А(х, у) =хии Ех, ху: — Ху
|
11
Тв
=(11)e
4.207. Доказать, что скалярное произведение' (х, ¥)'B
евклидовом пространстве © является билинейной формой.
3. Квадратичные Формы. Пусть А (х, 5) — симметрическая ‘били-
нейная форма. Форма А (х,..®), которая получается из А (х, у), если
положить у-=х, называется квадратичной. При этом A (x, У) назы-
(
вастся билинейной формой, полярной к квадратичной форме А (х,х).
Если в действительзом линейном пространстве „.@„ фиксирован
некоторый базис = (е1,..., е»„), то квадратичная форма A (x, x)
в этом базисе имеет вид
А(х,=> арх,
(1)
где - (а;;) — матрица квадратичной. формы и х=ж1е: |... же„.
Ayer’ в иекотором базисе выражение (1) квадратичной ‘формы не
содержит произведений хх; (2), т. е.
A(x, x)= > Арх.
2)
i=]
Тогда выражение (2) называется каноническим видом квадратичной
формы. В частпости, если А; = 1, 0, 1=1,2,..., п, то получаем
нормальный вид квадратичной формы А (х, x).
Для всякой квадратичной формы существует такой базис No";
в котором опа имеет канонический (и даже нормальный) вид.
185
Методы приведения квадратичной формы к каноническому виду.
Метод Лагранжа выделения полных квадратов.
Пусть квадратичная форма А (х, у) в базисе 3 имеет вид (1). Если
все коэффициенты а;; (при квадратах x}), i=1, 2,...; 0, равны нулю
и в то же время форма не равна тождественно нулю, то отлично от
нуля хотя бы одно произведение, например 2а:эх1х.. Выполним -пре-
образование базиса, при котором координаты векторов в старом и
новом базисах связаны формулами
i= mit хз»
1XQ=1—x2)
’
Xj=Xis i=3, ..63.n.
72
‚2
72
2
Тогда За1»х1Хе
=Зато(x; —а )=Wjox1 —2jore5‚И так как,попред-
положению, а411=а.5=0, то коэффициент при x отличен от нуля.
Таким. ‘образом, всегда найдется такой базис 3, в котором в за-
писи (1) хотя бы один коэффициент, при квадрате отличен от нуля.
В дальнейшем считаем, что алт 22 0. (Если а11=0, то отличен от
нуля коэффициент. при квадрате какой-нибудь другой координаты и
к. рассматриваемому случаю можно прийти, иначе. занумеровав век-
торы ет, €g, 0+ env что.также является некоторым преобразованием
базиса.)
Рассмотрим часть квадратичной формы, содержащую. Mf, Te.
Oy = OyjXi + ayer sXe... + Залижаха.
Дополним эту сумму ДО ПОЛНОГО квадрата:
1
9
O07 an (ayy Xp. ee Нашли) —У,
rre pects алгебраическая | cyMMa членов, ‘не зависящих: OT OM ‘Если
теперь сделать замену.
Не
|
пои
x= OyyX4-+ coe аи,
Xj == Xj,
i=2,...,:n;
“oy
то квадратичная форма в HOBOM базисе примет вид
A,HaatУахaex1ee
i, j=2,
|
oy
ht,
:
boots
my
SeО
Ан
EAE
в
И
а
И
rot aba cp
Re
"
7
И
:
os
В полученной форме выделено слагаемое я. ,› а оставшаяся. часть
11
A, является квадратичной. формой a
у але рассуждения по-
вторяются для квадратичной формы Ay (x, х), ит. д.
Пример 1. Методом Лагранжа привести к каноническому виду
квадратичную форму
A(x,x)—хх. 4x4%3—x3—8x3.
< 1-е преобразование: n= Xo, Xo=X1, Xq == X3. Тогда получим
|
А=ЩЖ ок —8x5
186
“
c
c
п
‘
и"
’
_. .9-е преобразование: х1 = — х1--Хз, Хз= Х2, Хв== хз. Получим но-
вое выражение для квадратичной формы:
„8
„#
ип
vw
=—Xj+X2+4x2x3—8x3.
:
уе
”
aoe
”
wn”
oa
#
3-е преобразование: хр ==21, хх =-Н2хз;, хз =хз; и форма
принимает канонический вид: 18 гг
004%
A(x,х)=—4! --х2 —12x3 e
При этом
ose
Я =Xj{—Xq,
-
aoe
Xg =I
+ 2x3;
78?
x3 =>
Хз. >
Метод собственных векторов. Будем рассматривать
квадратичную форму (1) в евклидовом пространстве К”. Так как ее
матрица A= (7 симметрична, то она может быть представлена в
виде А—=ИДО!, где О — диагональная матрица, на диагонали кото-
рой стоят собственные числа матрицы А, а И — ортогональная мат.
рица (см. пп. Зи 4$ 2). Столбцы матрицы И являются координатами
некоторого ортонормированного базиса 5’ = (е1; ..., еп), в котором
матрица А имеет диагональный вид О, и, следовательно, квадратиз-
мая форма
— искомый канонический вид. Соответствующее преобразо-
вание координат спределяется соотношением
°
Xj
X32
Xn
Xn
Пример 2. Найти ортогональное преобразование, приводящее
222
нвадратичную copmy A (x, x) = 6x1 -+ 5x9-+ 7x3 — 4х1ха-- 4х1Хз, задан-
ную в евклидовом пространстве КЗ, к каноническому виду. Написать
этот канонический вид.
Матрица квадратичной формы имеет вид
6—22
А=| —2 50.
207
(Обратить внимание, как получаются элементы а1; (1 = ]) из явного
вида квадратичной формы!) Собственные числа этой матрицы суть
‚ А. =6, А, =9. Соответствующие ортонормированные собствен-
ные векторы
1—
€; = (2/3, 2/3, —1/3),
ез = (—1/3, 2/3, 2/3),
ев = (2/3, —1/3, 2/3),
и; следовательно,
9—1 9
2 2—1
y=4(
2 2—}5:UTa3 —1
22e
3\_122
2—1 2
187
В базисе. 3 ==(еъ: ео, ез) ‚заданная. квадратичная. форма имеет вид
A(x; :%)
=
3x, --6ха 49x53. ‚ а соответствующее преобразование коор-.
динат:
1
‚
a
,
y= z (2x1 —x9-+ 2x2)
)
|‚РИ
Ха — 3 (2x1 -+- 2x2 —x3)s
n= (— x14 2x94 2x5). P
4.208. Доказать, чтовсякая квадратичная формаА (х,х)
в евклидовом пространстве 6, может быть. записана в
виде А(х, х) =(Ах, х), где (х, у) —скалярное произве-
дение в ©, и А— некоторый
ee оператор.
4.209. Доказать, что полярная билинейная форма A(x, у)
однозначно ‘определяется своей квадратичной формой
А (х, х).
Методом Лагранжа найти нормальный вид и невы-
рожденное линейное преобразование, приводящее к этому
виду, для следпующих квадратичных форм;
4.210. xi-+ 9x3 —4x3 | 2х.х, —4хх..
4.211. х,х, Хьхз
-- Хз.
4.212. 4-х
ха — 4х; | 4x,x,—3x,%5.
Найти ортогональное преобразование, приводящее сле-
дующие формы к каноническому виду, и написать этот
канонический вид!.
4.213. Ld? 5-2 -- 6х: 4х1х, — 0х. х...
4.214. Xp жа 5 — бл; 2х8 — 2х.Хз.
4.215. xi x3 x5 + 4x5
t Чл. - 4х,х..
4.216. 17x? + 1424+ 142— 4хх:—4х Хх, — Вх.
Квадратичная форма А (х, х); определенная в действительном
линейном пространстве .#„, называется положительно (отрицательно)
определенной, если для всякого х Е L,(x # 0)
А (х, х)>0 (<0).
Пусть А = (а;,) —матрица квадратичной формы А (х, х) и
|
Га Gia +++ An
vasy Dn= Aot ze ++ Aon
ee°®eae
ayy Age
D;=ajiz, Оз= @2т Gea
Ani
Ang ооо ann
— последовательность главных миноров матрицы А.
"
Критерием положительной определенности квадратичной формы
является следующее утверждение (критерий Сильвестра):
для того чтобы квадратичная форма A(x, х) была положительно
определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры
ее матрицы А были положительны, т.е. ОЕ > 0, Ё=1,2,...,. п.
188
4.217*. Доказать: ‘для того чтобы. квадратичная ‘фор-
ма А(х, х) была отрицательно определенной, необходимо
и достаточно, чтобы имели место неравенства (—1)* ДО,
>
0,
k=1, 2,..., n.
В задачах 4.218— 4. 224 определить, какие квадратич-
ные формы являются положительно либо. отрицательно
определенными, а какие нет:
4.218. xi+ 26x}
+ 10x,x;
4.219. — 9-2, — 49
4.220. x?— 15x32
+ 4x,x;— 2x5
+ 6x,%5.
4.221. 12x,*,—12x,x, + 6x,x,— 11x?
—
6x}— 6x3.
4.222.Ox?+6x3+6x3+12x,x,—Юж
х.—2х.хь.
4.223. 2x2 + xx; 4% 1X3 —2x,%3-+ 2%,%,.
4.224, x24 4x?-+ 4x34
8x3 + 8x5x,.
4.225. Доказать, что квадрат длины вектора |хр
в п-мерном евклидовом пространстве ©’, является положи-
тельно определенной квадратичной формой.
4. Кривые и поверхности второго порядка. Гиперповерхностью
второго порядка в евклидовом пространстве К7 называется множество.
точек, координаты которых удовлетворяют уравнению
A (x, x)+2(b, x)+e= > а умху--2 > bpXp-t+e=0, (3)
i, jel
где в левой части стоит многочлен второй степени от п переменных
Х1, Xo, oe ey Xn:
Ganaya классификации гиперповерхностей второго порядка со-
стоит в нахождении такого базиса B Re, ‚в котором левая часть
уравнения в новых переменных х1, ха; ..., Хи имеет наиболее про-
стой вид. Для этого сначала ищется такое ортогональное преобразо-
вание, что в новых переменных квадратичная форма A (x, x)=
n
= No а;;х.х, имеет канонический вид. В новом базисе уравнение (3)
. 6/=1
ваписывается следующим образом:
3‚а”
D) Ante +2 No иж -е=0,
k=]
k=1
причем не все Л», #=1, 2,...; п, равны нулю. Ecan Ag 4 9, To
переносом начала координат можно уничтожить линейный член:
2
2
‚8
‚
‚в\
bp
b
Ankh+2byxp=p(xi+3) ae=hak ze.
После этих преобразований получаем (изменяя нумерацию перемен-
ных, если это необходимо)
(3
„а
п.и
.
В
\
Aaa
НА + Os41%s41 fo”= 0.
(4)
Уравнение (4) называется каноническим уравнением гиперповерхности
второго порядка.
189.
_
Множество точек плоскости ®?, удовлетворяющих уравнению (3),
`называется’` кривой второго. порядка: В этом случае каноничёкое
уравнение (4) может принимать один из следующих видов’ (в пере-
менных х, И):
>dxdey?+c=0 (No%о
ах? фу= о (Ai#
3)
Aix?-+ c=
(М=0
Пример 3. ifamicats каноническое уравнение кривой второго
порядка:
3x? +. 10xy-+-3y?
—2x— 14y—13=0,
определить ее тип’и найти каноническую систему координат.
Матрица квадратичной части многочлена второй степени’ равна
Ё ° . Ее собственные числа: А1=8и^.=— 2; собственные векторы:
г (575. 1
\
.
е (55
Выполняя преоб 180
1
VY2)VY2у2
VY2’
73) .
рр
вание ``
` х=—— (x! - и’),
= (x’—
?
coe
узи, у-узе-и a
получаем
вез" 75 x! УИ —13—0.
Так. как. Ay и А отличны от нуля, то по каждой из новых. ‘перемен-
ных. хи можно выделить, ПОЛНЫЙ квадрат: `
_
wing =8(r-W) —4,
|
32
—2 "2
—— y’—=> (
ии
oe 9,
Заменой переменных:
way VE, ay,
|
2
у
TF
соответствующей сдвигу по каждой из ‘координатных осей, » получим
Вх’ у" 2—8—0, или х’ р =1,
Последнее уравнение есть каноническое уравиение гиперболы. Резуль-
Ттирующее преобразование координат имеет Вид
—x
и
р
“VF ( +y")+
y")—1,
y= ee
a кановическая система координат © ‚ег, @2), Tae O'(2, —1),
yeltygh eye zal
е!: =
е›=
190
В задачах 4.226—4.231 написать каноническое уравне-
ние кривой второго порядка, определить ее тип и найти
каноническую систему координат.
4.226. Эх?
— 4ху 6y?+ 16x—8y—2=—0.
4.227. х?— 2ху-| у? — 10х—бу-{
25=0.
4.228. 5x? 12ху—22х—
12, —19=0.
4,229. 4x*—4xy
+ y?—6x-+ 3y—4= 0,
4,230. 2x?+ 4xy + 5y?—6x—8y—1=0.
4.231. x?—4xy + 4y*—4x —3y—7 = 0.
4.232. Кривая второго порядка определяется уравне-
нием:
а) 2—2 ^(и— 2х) =0; 6) х- 2Axy+y?—1—0.
Определить ее тип при изменении параметра ^ от — со
до -+ oo.
Множество точек евклидова пространства No3, удовлетворяющих
равнению (3), называется поверхностью второго порядка. Канони-
ское уравнение (4) в этом случае принимает один из следующих
идов (в переменных д, у, 2):
1)Axx?++Agy?+Agz?+¢=
(AyAgA3 # 0),
2 Ayx?+Agy?+bz=0
(Аоx0$
3) Аж -Н Ау --с=0
(АаАз % 0),
4) Ayx?-++ by =0
(Ay# 0),
5) Ayx?-+e=0
(Aq# 0).
Поверхности типов 3)—5) являются цилиндрами (эллиптическим,
гиперболическим и т. д. в зависимости от типа кривой в сечении
плоскостью 2=0).
” Пример 4. Написать каноническое уравнение поверхности вто-
рого порядка
|
4х3 -|- 412 — 822 — 10ху-|- 4уг-|- 42х — 16х— 1бу—82--72 =0,
определить ее тип и найти каноническую систему координат.
Матрица ! квадратичной части ‚многочлена второй степени равна
9
?
4—
(- 4 2]. Ee собственные числа: А1=9, Аз=—9, ж==0, а
2 2—8
|
собственные векторы:
Выполнив преобразование
1
я=
( 3x’-+y' 4+2VF 2’),
3Y2
<
Lm (—3x’ ty! 2 VE 2’);
( —4y'+V 22’);
ол
у
<
‘
|
3
i
-
=
G
s
:
x
,
a
l
191
получаем
9x!?— 9y’* —722' +72= 0,
Преобразование сдвига необходимо выполнить лишь по переменной 2’:
—722' +72 = —72 (z' —1) = —722",
Второе преобразование координат имеет вид
д,=,=—|,
феткуда 3 окончательно получаем каноническое уравнение гипербо-
Anueckoro параболоида
xa _y"ge
Результирующее npebpasonaus координат таково}
3г)-+3,
“av
“vt —3x" + y" +2V 22" tq,
= УЗ—=( —4y" + V 32") +5,
а каноническая система координат (0’, ву, ез, ез), где
5 x3) “(re -уз:9).
В задачах 4.233—4.240 написать каноническое уравк--
ние поверхности второго порядка, определить ее 'тий и
найти каноническую систему координат.
4.233. 7х? -- бу? - 52 —4ху—4уг —6х—24у-- 18г--30=0.
4.234. 2х?— Ту? — 42° -- 4ху -- 20уг— 16гх-- 60х— 12у --
-+ 122 —90=0.
4.235, 2x?+ 2y?— 52? + 2ху— 2х —4,— 4242 =0.
4.236. 2x?-+ 2y?-+ 32? + Axy+- 2y2 + 2zx—4x +.
+6y~-2z+3=0.
4.237, 4x?-+ y*-+ 4z*—4Axy + 4yz — 82x — 28x 4-
+2y+16z+45=0. _
4.238.2x?+Sy?+222—2ху—4х2+2уг+2х—
— 10y—2z—1=0.
4.239, x?+dy?+237+Ay+Qy2+ 62x——2x+by+22=0.
4,240. x?—2y? АУТ дуг— 10гх-+ 2х--
4-4y— 10z—1=0.
192
Глава 5
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОВ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
$ 1. Производная
1. Определение производной. Дифференцирование язно
- задан-
ных функций. Пусть . А! (хо, Ax) =f (x9 -4-Ax) —f (x9) —npupawenue
функции у=р(х) в точке х., соответствующее приращению аргу-
мента Ах. Производной 1-го порядка (или первой производной) функ-
ции у=|(х) в Точке ху называется предел
У
Ш т. Af(Xo,Ax)
Pe egae о
Г
Числа
;
А] (хо, Ах)
*(ю)=lim—
|. a)
Ax>-0
Ax
Af (х., Ax)
’ (x))= lim —
I(к
Ax ++0
Ax
называются соответственно левой и правой производными функции
y=f (x) B TouKe xy. Для существования производной [’ (х.) функции
#(х) в точке хо необходимо и достаточно, чтобы ее левая и правая
производные в этой точке существовали и совпадали, т. е.
f’ (%) =F, (%o)-
TIpumep |. Haitn f* (0) u РЁ (0) для функцин f(x) =|x |.
< Имеем по определению
,
—
1
|Ах|—__
‘
—Ах_
Cr ar
|А
A
;
_-_
.
x|__
.
AX
Is©7alin Ax
alin Ax
Заметим, что функция [(х)=|х| не имеет производной в точке
хо =0. Pp
Производная функции ](х), рассматриваемая на множестве тех
точек, где она существует, сама является функцией. Процесс нахож-
дения производной называют также дифференципованием.
Таблица производных основных элементарных функций.
1. (x%)’ =ax?-1, a #0.
2. (a*)’ =a* Ina, a > 0; (e*)’ =e*.
3. (log, x)’ = log, e+ ,a>O, a1; (In Nar,
7 Mon ven. A. B. Edumosa, B. П. Демидовича
193
4, (sin x)’ =cos x.
5. (cos x)’ =— sin x,
,1
6. (tg x) тосах"
i
sin? x°
7. (ctg x)’= —
8. (arcsin x)’ = —(arccos x)’== 1
Vim
3Tat
Правила дифференцирования функций
I. Пусть С — постоянная и ] (х), 8 (х) — дифференцируемые функ-
ции. Тогда:
1. (С)’=0.
4. (1g)’=Fe-+ ie"
2. (f-+g)’=h+e". 5. (4) ГВ, g #0.
3. (Cf)’ =Cf’.
|. Пусть [функция у=7(х) имеет производ ve ‘в точке ху, а
функция 2=& (у) имеет производную в точке уу =] (хо). Тогда слож-
ная функция г=8 (1 (х)) в точке х, имеет производную, равную
2’ (Xo) =g" (Yo)I’ (Xo)
(2)
(правило дифференцирования сложной функции).
Пример 2. Найти производную функции 2= logs (arcsin x).
4 Полагая г =105зу и у=агозт х, имеем
9. (arctg x)’= —(arcctg x)’=
1
1
'
=|
.—
’
————.
2’(и)= logge 7 Hy’ (x) и
1—x?
Отсюда, согласно (2), получаем
logs e
1
atcsinx Yy]—xa
2’ (x)=
Hatitu Af (x,, Ax), ecaH:
5.1, f(x) =x*?, x, =], Ax=0,1.
5.2. 1(х)=И x, x= 1, Ax =0,25.
5.3. f(x) =Igx, x,= 100, Ax =—90.
Hantu Af (x,, Ax) kak dyHKuuto Ax, ecuins
5.4. f(x) =sinx, x,= 1/2.
Имеем
a(S, Аз) = (ах) шт
Ах
Ах
= сз(9-Е)=25а7°>
=x, x, =—l. 5.6, f(x) =e", x= 1.
(x)
=loggx, ж=
Пользуясь только определением производной, найти
(x):
5.8. f(x) =ctg x.
Имеем:
Со(х--Ах)—сх
lim
‘sin (— Ax)
(Ех) = im,
Ах
= Jim
Ax+oAxsinxsin«АЯ
1
1
im, sinxsin(x-+-Ax) sin? x’
5.9. f(x) =1/x®. 5.10. f(x)=V x.
5.11. f(x) =2*. 5.12. f(x)
= log, x.
5.13. Известно, что [(0)=0 и существует предел
dim ГHe) ) Доказать, что этот предел равен f’ (0).
ew
5. 14*. Доказать, что если [(х) имеет производную
в точке х,, то
limA Mia) — tol) f (%o) —%ob” (x0).
Jima samanHonw f(x) natitu fi (x,) u fi (%,):
5.15. f(x) =|x—1]/4+|x4+1],-x,=41
[x,
x<l,
5.16. f(x) =
Xy=l.
( —x?+2x, x>1,
< Имеем
,
__:
f(x) —f (I)
fd).
.
х—1
(=Пт0
ро=Jimox—l=1
И
иumPHA)|=2—1
I(Y=tim x—|=im
х—1 —
=— Шп (х—1=0. No
`
х->1+0
0,
x<0,
“
5.17. М9 [мик > 0, X)= 0.
5.18. f(x)= V 1—e-**, x, =0.
=|
x=0,
Lipa +40,
5.20*. Показать, что функция
( xsin— » X~0
Г)=
7
|0,
x=0,
7*
195
5.19. f(x
x, =0.
непрерывна при х=0, но не имеет в этой точке ни ле-
вой, ни правой производной.
196
Найти производные следующих функций;
5x5
5.21. y= 3— Ox += xt, 5.22, y= ——~>.
'
ol
11
xa!
.23. С
5.24. и = x-+1°
5.25. ym ae, 5.26. y= (x*—1) (x?—4) (x?-+ 9).
143
—
|
5.27. у= Tm . 5.28, Y= BRT
а гих
_а-вх
5.29.y=и”. .5.30.=а
2
mae
5.31. y= 5— zy 5.32. у= Ve
5.33. yx (Vix ен 5.34. УЗИ зу.
5.35. и= (Зи? --биух “x*. 5.36. = z=
Их
иx)у
утVa
6.37. y=xclex. 5.38. yore.
.
иx
5.39. mina 5.40. y=V x sin x.
5.41. и-=хиNo (2 тх— 3%). 5.42. у= 38 log, x ++.
.
i —COSX
5.43. y= 2sinx—3tgx. 5.44. Y=
core
1— x2
5.45. yaw VEE 5.46. a тя
5.47. y=sin =. 5.48. y= 6соз
5.49. и= (1 +4). 5.50. y= VOLT
5.51. y=sins. 5.52, y=V1-+sin 4x—V 1—sin 4x.
5.53. y=xarcsinInx. 5.54. у= оз (1—5).
5.55. и= у’ И -Е 102 х}з. 5.56. у= хе-*.
5.57. y=er? cos’ =,
5.58. =5 хат=Ш(НИ а).
—_
1+ x?
5.59.у=Шtg(1+=) .0.60. у=Ш Vyite
5.61. y= V/ arcctg *5. 5.62. y= V 1++ tg (4 ++).
5.63. y =cos* (sin ). 5.64. y= VE х.
5.65. у = arctg (x—V 14+ x+ a,
b-+-acosx
a-+5cos x°
5.66. y= arccos
_=
— x2.
5.67. y=Vixe®. 5.68 y=—.
5.69. y= ome, 5.70. y = QY sin?x,
5.71. y= 3". 5.72. y=Inx-lgx—Ina-log,x.
5.73. y= log, In2x. 5.74. y= el In (ax? tox 0),
|
5.75. y=InarctgV 1+ x?. 5.76. y=In(x+Vat+x?).
Найти производные гиперболических фФинкций:
р
р
УНКи
ех —с-х
..
5.77. shx= 5 (гнперболический синус),
ex +-e—*
.
5.78. chx= are (гиперболический косинус),
shx
¥
5.79. thr= 7 (гиперболический тангенс),
chx
.
5.80. cthx= an (гиперболический котангенс).
Логарифмической производной функции у =! (х) называется произ-
водная от логарифма этой функции, т. е.
(шу’==-
Применение предварительного логарифмирования часто упрощает
вычисление производной.
Пример 3. Найти производную функции у= V (x— 1)
% Так как функция определена npn x€[0,1]U(2, +00), To
[п y=5 (In x-+ In| x—1|—In| «—2)).
Отсюда (см. пример 5.117)
и
|
Я (УЕ),
—4х--2
2V x (x—1) (4-23 ©
Пример 4. Найти производную сложно- показательной функ-
ции у= (1+ 5)".
y’=(In y)’-y=
197
Логарифмируя, получим (так как 1 ++ > 0)
Iny=x In (1+%).
Отсюда находим производные левой и правой частей
и
I
(Iny) = = (1+) Dx"
Следовательно,
y’ = (In Wy=(14>)" (1n (1+=)-75). >
Используя предварительное логарифмирование, найти
производные следующих функций:
5.81.
о. 5.82. у= уе
ere) ea
V x+2
5.83.
"=И и.
5.84. ух / ead
у”] (x+2)Vx—2
5.85. y= x". 5.86. y= x,
их
5.87. у=ИХИ . 5.88. у=(шх).
5.89. y=(sinx)acsin x, 5.90, y= x*”,
5.91, y=lO 5.90%, ym xe?4 x2 4.08",
xin x
Вводя промежуточные переменные, вычислить произ-
водные заданиых функций:
5.93*. y=In (cos?x+V 1+ cos? x).
5.94. y = (arccos x)? In (arccos x).
e-*° arcsin (e~ *”)
5.95. y=у Уре 5
5.96. y= oa1— 4" arctg a7 х.
5.97*. Пусть
— | x+2x, х<0,
Го \ аб, х>0.
Найти коэффициенты а и 6 так, чтобы функция | (х) была
непрерывна и дифференцируема в любой точке.
5.98. Пусть
9] тт’ ele!
ах-НЬ, |х|< 1.
198
Найти коэффициенты а и 6 так, чтобы функция [ (х) была
непрерывна и дифференцируема в любой точке.
Найти производные следующих функций:
5.99. у= ite ‚ 5.100. у= И *+Их+У»х.
5.101. и=”*И (1—х)" ах)".
5.102. иу= з1п (соз*Хх) со$ ($11? х). 5.103. у=
5.104. = (5) (=)* (=), a,b>0.
5.105. y=In(In" mx). 5.106. y= we" In ale .
x
5.107. y= log, sin ( Qax +5). 5.108, y =arctg (tg? x).
5.109. y=log,e. 5.110. y= (sin x)s*,
5.111. у И хех, 5,112. у=У с03х-а7 293 Х,
5.113.и= п (shx) +555. 5.114. 4 =arctg
(th x).
5.115. y=e7* shay. 5.116. y=arccos (1/ch x).
5.117. у= Ш |х|.
Ф Функция у= No.| х| определена УхЕК, х720, и
ln} x|= ln x,
x >0,
[x1= In(—x), «<0.
1
cos” mx °
Отсюда
1—, x>0 |
(In| x)= 1
=—, х20. No
—,x<0
х
x
5.118. y=aresin—. 5.119. y=|sin x].
5.120. y=|arctgx|.
5.121. y=[x]x, rae [x]—wenaa sactb sncna x.
4 Функция у=[х]х определена УхЕК. Если ВЕД, то у=Ёх при
хЕ[Е, &-- 1). Поэтому
у’ =, хЕ(®, НИ,
а в точках х==&, РЕД:
f-(k)=k—l, В ЕЕ. PO
x, x<0,
ох,
х< 0,
хо. 2128 Ма, х50
199
5.122. у= |
xe7*, lx|<l,
5.124. y=} le lel
xz83—x
5.125. = Шу И ==.
5.126. y= (x —a,)TM (x—a,)% ... (x—a,,)%.
5.127, y=a*". 5.128. y = (log,a)*.
5.129, y= sin (sin (sin x)). 5.130. 4 = (I/x)'”.
- In 3-sin x--cos x
5.131. у=
3x
5.132
eosbx 1sin?ax
Oke =
3cos?bx*
5.133. Доказать, что производная четной функции—
функция нечетная, а производная нечетной функции—
функция четная.
5.134. Доказать, что производная периодической функ-
ции есть фупкция также периодическая.
5.135*. Найти [ (х,), если | (х) = (х—х,)ф{х), где функ-
ция ф(х) непрерывна в точке х..
Пусть $Ф(х) и \1(х) — дифференцируемые функции.
Найти производные следующих сложных фупкций:
5.136. у= ИО. 5.137. у=агсаеwp (x)
5.138. y= w(x)? TM, w(x) > 0.
5.139.y=logis)p(x),P(x)>0,p(x)>0,p(x)~1
4 Перейдем к патуральным логарифмам:
Нор ФО.
Отсюда паходнм
ф'(*)|w(x_
(x) |
:
ры
|У19 |
In? @ (x)
In p(x) (x) Ф (х)
Пусть | (х) — произвольная дифференцируемая функ-
ция. Найти и’:
5.140. и=[(пх). 5.141. и=ш (70).
5.142. y=f (e*) ef TM.
« Имеем у’=Р (е^) exel (*) +.f (e*) el (x) Fe (x) — gf (x) (exf" (ex)+
+f (x)
7 (e*)). »
5.143. y=) (i (x)).
200
2. Дифференцирование функций, заданных неявно или парамет-
рически. ГОбвофят, что функция у=]|(х), хЕ(а, 8), неявно задана
уравнением ЁР (х, у) =0, если для всех хЕ(а, 6)
Р(х, [(х)) =0.
(3)
Для вычисления производной функции у=] (х) следует тождество (3)
продифференцировать по х (рассматривая левую часть как сложную
функцию х), а затем полученвое уравнение разрешить относительно
г (®).Пример 5. Уравнение х?-- у? =1 неявно определяет на интер-
вале (—1, 1) две функции:
41(x)=у1—x?,
уз(х)=—У1—2.
Найти их. производные, не используя явных выражений (4).
Пусть и (х) — любая из.этих функций. Тогда, диффереицируя по х
тождество
|
(4)
2+ у? (х) =1,
получим
|
2х--2 (х) у’ (х) =0.
Отсюда
1(x)=——*_
y’) y(x)’
т, е.
р
°
Yo (Xx) ИУ.
Пример› 6. Вывести правило дифференцирования обратной
фупкции.
Если х=/[-1 (и), уЕЕ, —функция, обратная к у=}(х), хЕОБ, то
для всех уЁЕЕ выполнено равенство
Г) —и=0.
-
Ипаче говоря, обратпая функция х=|-1 (и). есть функция, заданная
веявно ypaBHellHeM
7 (х) —у=0.
(5)
Для вычисления производной функции х=/-* (у) дифференцируем
(5) по и:
i” (x (y)) x’ (y) —1=9,
откуда
,
1 c.g
x!(y)=> >
Р (х (9))
При неявном задании фувкций, а также для сложных функций
будем для производной использовать также обозначения типа ух
там, где необходимо уточнить, по какой переменной ведется диффе-
ренцирование.
201
5.144. Найти значение у, в точке х=1, если
x8 —2x?y?
+ bx + y—5=0, и(1 =1.
5.145. Найти у, в точке (0, 1), если е7 + ху=е.
Найти у, для следующих функций, заданных неявно}
5.146. 25-51. 5.147. м -ру =.
5.148. Vx +Vy =Va, a>O0. 5.149. QyiIny=x.
5.150. e*siny—e’cosx=0, 5.151. sin (xy)
+ cos (xy)= 0.
5.152, 2%
+ 2¥= 2*+4¥, 5,153. x—y=arcsinx—arcsiny.
5.154. arctg= =In V 2+ y?. 5.155. ху = атс, .
x
5.156, x/= y*. 5.157. ay =(=)"
5.158. Доказать, что функция у, определенная урав-
нением ху—пу= 1, удовлетворяет также уравнению и? --
Е (ху
Пу =0.
Найти производные функций, обратных к заданным:
5.159. y=shx.
ex —e~*
x -|-e7*
т,
,_@
5 .TakKak(shx)!= 5 >
> 0 для всех хЕК, то функция sh x мопотоино возрастает па всей
действительной оси и, следовательно, имеет обратную, обозначаемую
агзй х. По правнлу дифференцирования обратиой фупкции получаем
ани
=
2
|
|
Ху—=а Vy
р
=——— =
—.
yx eres che Ут Ут
Следовательно, переходя к обычным обозначениям, имеем
(arsh x)’ ——_|
Ия.
5.160*. y=chx. 5.161. y=arcsin2%,
5.162. y=2x?—x, x € (1/2, 4-00).
Пусть и=а(х)— функция, обратная к заданной
y ==] (x). Выразить ©’ (х) через х и @ (х), если:
5.163. и=х».
«Я Учитывая, что
Имеем по определенилто $Н х ==
(x*)! = x* (In x+ 1),
получаем:
,
1
1
1
Ху— ,
ye хо ylna@+)’
202
так как х=а (у). В обычных обозначениях
яШ
1
"Итати" 7
5.164. y=x+ter. 5.165. y= thx tx,
5.166. y=x-+log,x. 5.167, y=xInx.
Пусть заданы функции
х=Ф(0;, у=ф(0, (Е (а, В.
(6)
Если при этом х=ф (1 на интервале (%, В) имеет обратную #=ф-1 (х),
то определена новая функция
у (х) =Ф (ф-* (*),
(7)
называемая функцией, заданной параметрически соотношениями (6).
Дифференцируя (7) по х и используя правило дифференцирования
обратной функции (пример 6), получаем
.
ии.
(8
ФXt
i ример 7. Найти ух, если
x=cos*?t, y=sin?, t€(0, 1/2).
4@ Tax kak gj =—2 cos tsin#, pp =cos ¢, TO no формуле (8) находим
Для функций, заданных параметрически, найти у,!'
5.168. x= 2t, y= 3t?—5t, t€(—oo, +00).
5.169. х=й--2, у=0,5Ё, t€(—0o, +00).
1
5.170. х= т, и= (г). #2 —1.
5.171. х=2- у=9\, {Е (—о0, +09).
5.172. х=асозф, у=бзшф, фЕ (0, л).
5.173. х={ 1, see
sm 1/2).
t
Vit
Viper’ EO +).
5.175. x«=In(1+?%), т расы ЕЕ (0, Но).
5.176. x«=3 log, ctg f¢, y=tei betel [Е (0, л/2).
5.177.х= агсзш (#— 1), у=агссоз >, 12 (0, ИЗ).
5.178. х= И ТУР, y=V 1-7 » LE(1, +o).
6.179. x=asht, y=beht, t€(0, +00).
5.174. х = arccos——————
203
Найти и,- в указанных точках:
5.180. x=tInt, y=, t=1.
5.181. x=t(fcost—2sint), , |
y=t(tsint+2cosf), f= 1/4.
5.182, x=e' cost, y=e'sint, t=n/6.
sat
sat?
5.183. Тр, Утв, 1=2
3. Производные высших порядков. Лроизводной 2-го порядка от
функции и=|(х) называется производная от ее первой производной,
T.
е.
,
oy" (x)= (y’ (x))'.
Вообще производной п-го порядка (или п-й производной) называется
производная от производной порядка (п—1), т. е.
Y¥TM (х) = (у"-т (х)), п=2,3,..,
И
.
|
|
ап
Для производной п-го порядка используется также обозначение и.
Пример 8. Найти у”, если у=1п (Хх УИ 1- 2).
.
1.
Имеем иу’=—————. Следовательно,
И 1-х
и). в
Vit#2 ) (1 22)9/2 _
Найти производные 2-го порядка от следующих функ-
ЦИЙ:
5.184. у=с05*х. 5.185. у= атс д".
5.186. и=10в, 1—8. 5.187. у==е-*,
5.188. y=
5.189%, y=x"*,
— xX?
5.190. Hatitu yg’ (0), y" (0), y’"(0), ecan y (x) =e* sin 3x.
5.191. Найти и” (2), если и=ш(х—1).
5.192. Найти и! (1), если у= 3 шх.
5.193. Найти и (0), и’ (0), у" (0), если у= 2х соз (sin x).
Пусть 7 (и)
— дважды дифференцируемая функция. Най-
ти у’ ии, если:
5.194. y=f(1/x?). 5.195. y=Inf (e*).
Пусть и (х) и 9(х)
— дважды дифференцируемые функ-
ции. Найти и’, и’, если:
5.196. и=и? (и>0).
< Имеем пу=о ши. Отсюда находим
Ио| vu
j=v Inu“+re
204
U
о
и=у( In и---. и’) =из (© In ити),
:
u
,
о
u!
vu! +ou"u —vu"*
ини(унии и(иши u’+
+
==
|
и
us
u’
2 uu” —ul® Зи’
и (че
ши}
Уи пи +otdn a}. >
5.197, y=Vue+o. 5,198. y=in—.
Найти формулу для п-й производной заданных PyHK-
ций:
5.199. y= x”, mEN. 5.200. y=a'*, RER.
5.201*. y=sinx. 5.202. y=Inx. 5.203*, y= cos? x.
3x
5.204, y= 71
Применяя азложение в линейную комбинацию более
простых функций, найти указанные производные от за-
данных функций!
5.205. y= ‚ найти ут.
.
4 Преобразуем выражение к виду
м
1
ЕГ
Так как
\
|
|
(ny
ayn
y
y
=РИарн
(докажите]), то
п)—
|
п
ит = (—1) "(рука ):
5.206. У,
найти и”.
5.207*. =, найти и“.
V 1-х_
- Пусть и (х) и u(x) имеют производные до п-го порядка включи-
тельно. Тогда для производной п-го порядка их произведения
и (х) 9(х) справедлива формула Лейбница
(uv) = ити -- пий-Ву pied yn?) yo" 1, typi) ==
— >, СКит-юию,
7
=0.
n(n—l)... (n—k+1)
ni
—y. yO)—
—
—
— би-
raeUO=u,WO=OHMCn
[-2-..0°R
ina
номиальные коэффициенты.
~
Ons7
Применяя формулу Лейбница, найти производные ука-
занных порядков от заданных функций:
5.208. y=(x?+x4+1)sinx, nattu y®),
5.209. и= (х? —х)е*, найти yTM,
5.210. y=sinx-e~*, Halitu y®.
5.211. у=х105,х, найти у”.
5.212. у=хзйх, найти ий”.
5.213*. Показать, что
(еах соз 6х)“ = гпеах соз (фх -- пФ},
где r=Ve+B, tgp=—, sing=—r e
et/x
5.214. Hoxa3atb, ato (x"~7e!?)
= (—1)" дуг.
5.215. Вычислить значение п-й производной функции
3x+ 2
4=89x в вточке х=0.
« По условию имеем
y (x) (x?
—2x+5)=Зх-2.
Продифференцируем это тождество п раз, применяя формулу Лейб-
ница. Тогда (для п—=2) получим
yo (x) (x2 —2e $5) пу (ок— 2) В ут (4.20,
откуда при х=0 -
Бу (0)—2"-1(0)+n(n—1)x" (0)=0,
или
ут (0) == пут-Ъ (0) Ae) y62—2) (0),
“Mu ‘получили рекуррентную формулу для определения п-й про-
изводной в точке х=0 (п-—2). Значения и(0) и и’ (0) найдем нс-
посредственно:
x*—4x+ 19 __19
y(0)==/¥O=Toe
cao 0D
Затем, полагая последовательно N= 2, 3, 4, ..., с помощью рекур-
рентной формулы получим значения производных высших порядков.
Например,
”2 192.1256
У -5 2155 "5-15
yo" (0)—=2..3. 26 3:2
19
234
5 15 5°55=^oop®
Применяя метод, описанный в задаче 5.215, найти
производную 4-го порядка в точке х=0 от заданной
функции:
206
5.216. y= SEF, eA0, 5217, ya EAT
5.218. Показать, что функция y=—arcsinx удовлетво-
ряет дифференциальному уравнению (1—х?)у" = ху".
5.219. Показать, что функция у= Ce* + Caxe* + e
удовлетворяет дифференциальному уравнению и`"Ay! +4y=
5.220. Показать, 4To yHKUHA y=e-*COSX yOBJeTBO-
ряет дифференциальному уравнению y@Y)+ 4y = 0,
5.221. Показать, что функция y= x" (cos (In x)+sin (In x))
удовлетворяет дифференциальному уравнению xy" -+
+ (1—2n)
xy’ + (1-14) y=0.
В задачах 5.222—5.226 найти производные 2-го по-
рядка от функций, заданных неявно;
у
5.222. Vx +y= ae Fx, a> 0.
« Дифференцируя уравнение, определяющее функцию и (х);, получаем
х-- уу’ ae
yix—y_ уху
Very
ETP VRE R
Отсюда
хуи =ху —у
(9)
и, следовательно,
х—у'
Дифференцируя (9) и используя найденное для и’ выражение (10),
получаем
yar ety)
(xy)
5.223. y®=2px. 5.224. y=1-+ xe’.
5.225. y= te (x+y). 5.226. ev”= xy.
5.227. Вывести формулу для второй производной функ-.
ции, обратной к заданной функции у==] (х).
5.228. Доказать, что если (а-- 6х) е/=х, то ху” =
= (xy' —y)’.
Найти производные 2-го порядка следующих функций,
заданных параметрически: -
7
5.229. х=ШЬ у=В, [6 (0, +00).
< Имеем
го 72
—_948
——
—Wet9
gps,
ух=x,=31 И Ухх=(и,)х (их):-ty u
it 91
Заметим, что в данном случае параметр # легко исключить из задан-
ных уравнений, полагая {=е*. Следовательно, выражение для хх
как функции от х имеет вид ухх
= 968%. No
207
В общем случае, если х=ф (1), у=ф (1, то хх вычисляется по
формуле
ф’ (0 sp’ (2)
yr VAP’ OA-VOvrO_I’OMv
Хх—
(Ф’ (1))*
(ф’(0))*
5.230. х = зес1, у=Ш Ё, ЕЕ (0, m/2).
|
5.231. х= агсуш &, и= п (1 — 12), ЕЕ (—1, 1).
5.232. x=arctg?t, y= In(14+ 2%), t€ (—oo, +00),
5.233. x=acos*t, y=asin't, t€(0, 1/2).
5.234. Показать, что функция и(х), заданная пара-
метрически ypaBHeHuamu x=sint, у=ае "У? 4 фе-Ё Уз,
[Е (—л/2, л/2), при любых постоянных а и 6 удовлетво-
ряет дифференциальному уравнению (1 —х?) у,‚— хи. = 2y.
yh
4. Геометрические и механические
y =f(z)
приложения производной. Значение
производной ]’ (хо) функции и=} (х)
в точке ху равно угловому коэффици-
енту = ф касательной ТТ’ к rpa-
фику этой функции, проведенной че-
рез точку Mo (xy, Yo), THE Yo =? (Xo)
(рис. 37) (геометрический
смысл производной).
Уравнение касательной ТТ’ к
графику функции ужр(х) в его точ-
ке Мо (хо, Ш) имеет вид.
Y—Yo =P (Xo) (х— 0). —
Прямая NWN’, проходящая че-
рез точку касания М, перпенди-
кулярно к касательной, называется нормалью к графику функции
у=}(х) в этой точке. Уравнение нормали
(x— Xo) +1" (%o) (¥—Yo) =0.
Написать уравнения касательной и нормали к графику
функции у=](х) в данной точке, если:
5.235. иу= 2? —5х--4, х=-.
5.236. у= хх + 2—4—3, xy =—2.
5.237. у==Их, х=4.
5.238. у={ 2х, x, =0.
5.239. у=шШх, х=1.
5.240. y=el-”, x, =—l.
5.241. Написать уравнения касательной и нормали
в точке М, (2, 2) к кривой хе, Иа, [52 0.
5.242. Написать уравнения касательных к кривой
x=tcost, y=tsint, t€(—oo, + о),
в начале координат и в точке {== л/4.
208
Yo
2:
Рис. 37
5.243. Написать уравнения касательной и ‚нормали
к кривой х-у?-- 2х —6=0 в точке с ординатой Yo= 3.
5.244. Написать уравнение касательной к кривой
х-- /° —2ху =0 в точке М, (1, 1).
5.245. Под каким углом график функции и =е*/* пере-
секает прямую х= 2?
5.246. В какой точке М, кривой (1/?= 2х3 касательная
перпендикулярна к прямой 4х —Зи--2 = 0?
5.247. Найти коэффициенты Бисв уравнении пара-
болы ужи НС касающейся прямой у=х в точке
Мь (1, 1).
5.248. Показать, что касательные к гиперболе у
в точках ее пересечения с осями координат параллельны
между собой.
5.249. Составить уравнение нормали к графику функ-
ции у=—Ух-+2 в точке пересечения с биссектрисой
первого координатноГо угла.
5.250. Составить уравнение такой нормали к параболе
y=x*?—6x+6, которая перпендикулярна к прямой, со-
единяющей начало координат с вершиной параболы.
5.251. В точках пересечения прямой х—и-1=0и
параболы у=л? —4х--5 проведены нормали к параболе.
Найти площадь треугольника, образованного нормалями
и хордой, стягивающей указанные точки пересечения.
5.252. Показать, что нормали к развертке окружности
x=a(cost+tsint), y=a(sint—tcost) являются каса-
тельными к окружности х?-
у? =а?:
Углом ® между кривыми у=| (хи и=РЬ (х) в их общей точке
Мо (хо, у0) называется угол между касательными к этим кривым
в точке М..
fs (хо) —Н (Хо)
5.253.
зать, что 0 =
;..
NES BOTT EH GO eo
Найти углы, под которыми пересекаются заданные
кривые:
5.254. y=x? nH y=x’.
5.255. у= (x —2)? и y=4x—x°+4.
5.256. y=sinx u y=cosx, x€[0, Qn}.
5.257. х?--
у? =8ах и y?= *2а—х`
5.258. Доказать, что сумма отрезков, отсекаемых каса-
тельной к кривой х!/?-- у!/? =а!/? на осях координат,
для всех ее точек равна д.
Под ред. А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича
209
5.259. Показать, что отрезок касательной к астронде
x2/3
+. y2/3 = Q2/3, заключенный между осями координат,
имеет постоянную длину, равную а.
5.260. Найти расстояние от начала координат до нор-
мали к линии у=е**
-|- х?, проведенной в точке в абсцис-
сой х=0.
5.261. Доказать, что отрезок касательной к трактрисе
заключенный между осью ординат и точкой касания,
имеет постоянную длину.
Если кривая задана в поляр-
ных координатах уравнением г=
==7 (ф), то угол 0, образованный
касательной ТТ’ и радиус-векто-
ром ОМ точки касания М (рис.
38), определяется соотношением
tg9— 2), (11)
To
5.262**. Вывести форму-
лу (11).
Рис. 38
5.263. Найти угол 9 меж-
ду касательной и радиус-
вектором точки касания для логарифмической спирали
r=aer®,
5.264. Найти угол 9 между касательной и радиус-век-
тором точки касания для лемнискаты г? =а? соз 2$.
Если х=х (1 — функция, списывающая закон двнжения мате-
ах.
риальной точки, то первая производная = есть скорость, а вто-
ах=
“
рая производная „=; ==х-— ускорение этой точки в момент времени t
(механический смысл первой и второй производ-
ных).
5.265. Закон движения материальной точки по прямой
uMeeT BHA x =?7/,t4—4t?+ 162?.
а) В какие моменты времени точка находится в начале
координат?
6) В какие моменты времени направление ее движения
совпадает с положительным направлением оси Ох?
в) В какие моменты времени ее ускорение равно нулю?
5.266. Найти скорость гармонического колебания с
амплитудой а, частотой ® и начальной фазой ф=0.
210
5.267. Тело массой 4 движется прямолинейно по за-
кону х=Ё--1--1. Определить кинетическую энергию
тела в момент времени #=5.
5.268. В какой момент ЕЕ [0, 2л] надо устранить дей-
ствие сил, чтобы точка, участвующая в гармоническом
колебании х=соз 31, продолжала двигаться равномерно
со скоростью v= 3/2.
5.269. Точка движется по логарифмической спирали
г = е'®. Найти скорость изменения полярного радиуса,
если известно, что он вращается с постоянной скоростью ©.
5.270. `Точка движется по окружности г=2асо3ф.
Найти скорости изменения абсциссы и ординаты точки,
если полярный радиус вращается с угловой скоростью в.
5.271. В какой точке эллипса 16х? -|- 9и? = 400 ордината
убывает с той же скоростью, с какой абсцисса возрастает?
5.272. Радиус шара изменяется со скоростью 9. С ка-
кой скоростью изменяются объем и поверхность шара?
5.273. Колесо вращается так, что угол поворота про-
порционален квадрату времени. Первый оборот был’ сде-
лан колесом за время Т =8с. Найти угловую скорость ®
в момент времени {= 32 с после начала движения. —
$ 2. Дифференциал
1. Дифференциал 1-го порядка. Функция у=}!(х) называется
Сифференцируемой в точке ху, если ее приращение Ау (хо, Ах) может
быть представлено в виде
Ay (xo, Ax) =A Ax-t
0 (Ax).
(1)
Главиая линейная часть А Ах приращения Ду называется дифферен-
циалом этой функции в точке ху, соответствующим приращению Ах,
н обозначается символом ау (хо, Ах).
Для того чтобы функция у=|(х) была дифференцируемой в точ-
ке ху, необходимо и достаточно, чтобы существовала производная
Г (хо); при этом справедливо равенство А =} (ж).
Это утверждение позволяет называть дифференцируемой всякую
функцию, имеющую производную. Именно в таком смысле мы и
употребляли это выражение в .$ I.
` Выражение для дифференциала имеет вид
4у (хо, 4х) =Р (хо) ах,
где принято обозначение 4х ='Ах. Из формулы (1) следует, что если
Ё (хо) = 0, то при Ах —+0 приращение функции и ее дифференциал
4у в фиксированной точке являются эквивалентными бесконечно ма-
лыми, что позволяет записать приближенное равенство:
Ау = 4у при |Ах|<1.
(2)
Пример 1. Найти приближенно значение объема У шара ра-
диуса г= 1,02 м.
211
«Ч Так нак УИ = лм, то, полагая /, =1, Аг=0,02 и используя
формулу (2), получаем:
У (1,02) =У (П-Н АУ (1, 0,02) & V (1)-+-V’ (1)-0,02=
=3 п 4л.0,02 ^ 4,43 мз. No
Геометрический смысл дифференциала Диффе-
ренцуал 4у(х, Ах) равен прирашению ординаты касательной TT"
к графику функции y=/(x) B
YA
точке Му (хо, и) при приращении
г аргумента, равпом Ах (рис. 39).
М(тизАх, о + Ay)
5.274. Используя форму-
A, Ay лу 4у=у ах и правила вы-
Мото Ya) fy
числения производных (см.
dr.
$1, п. 1), доказать следую-:
Г
i
:
>= щие свойства дифференциала:
Dy
Lg Thx
a) d(C)=0, rue C—no-
стоянная;
Рис. 39
6) а(Си-- Су) =С, 4и-|-
,
--С, 4; |
|
в) 4(10) =ипф-оаи; г) а)
иwo
5.275. Пусть z (x) =z (y (xх))—сложная функция, обра-
зованная композицией функций и=иу(х) и г=г (у). Дока-
зать, что
°
dz (x, dx)=z, (y) dy (x, dx),
т. е. выражение для дифференциала сложной функции
через дифференциал промежулочного аргумента имеет
такую же форму, что и основное определение 42 (х, Ах) ==
= г, (х) ах (это утверждение называется инвариантностью
формы 1-го дифференциала).
5.276. Доказать, что для линейной функции у=ах-Ь
приращение Ду и дифференциал 4у совпадают.
5.277. Найти приращение Ду и дифференциал ау функ-
ции у=^, соответствующие значению аргумента х, =2
и двум различным приращениям аргумента (Ах), =0,1 и
(Ах),= 0,01.
5.278. Найти приращение А$ и дифференциал 4 пло-
щади 5 квадрата, соответствующие приращению Ах сто-
роны х. С помощью рисунка геометрически истолковать
А$, 45 и разность А5— 45.
‚5.279. Материальная точка М движется прямолинейпо
по закону $=1[([), где {—момент времени, а $— пройден-
ный путь за промежуток времени от 0 до #. Дать меха-
212
ническое истолкование дифференциала пути 4$, соответ-
ствующего промежутку времени Ар =
—
Е.
5.280. Используя результат предыдущей задачи и фор-
мулу (2), найти приближенно путь Аз, пройденный точ-
кой М за промежуток времени от #=3 до ВЬ=4, если
закон движения точки М задан формулой $= 1 -агсй$.
Солоставить ответ с точным значением Д5.
5.281. Для функций; а) } (х) =лх"и 6) ф (х) =зшх найти
значения аргумента х, при которых дифференциалы этих
функций не являются эквивалентными их приращениям
приАх-+0.
|
5.282. Дан отрезок [х., хх + Ах] изменения аргумента х
функции у=] (х); Ду и ду— соответствующие приращение
и дифференциал функции у. Возможны ли равенства:
а) dy =~ Ay, 6) dy== Ay, B) dy= > Ау на всём этом отрезке?
5.283. Ребра куба увеличены на 1 см; При этом диффе-
ренциал АУ объема У куба оказался равным 12 смз. Найти
первоначальную длину ребер.
|
5.284. Радиус круга увеличен на | см. Дифференциал
площади круга оказался при этом равным бл см?. Найти
первоначальную величину радиуса.
Найти дифференциалы указанных функций при произ-
вольных значениях аргумента х и при произвольном его
приращении Ах= Ах:
5.285. xV @&—x + a*arcsin = —5,
5,286. sinx—xcosx-+4.
5.287. xarctgx—InV1+ x%. 5.288. xInx—x-+1.
5.289. xarcsinx+ V 1—x?—3.
‚ При вычислении дифференциалов неявно заданных функций
удобно использовать основные свойства дифференциала, перечислен-
ные в задачах 5.274 и 5.275.
Пример 2. Найти 4у, если функция у=у(х) задана неявно
уравнением
In “= x?y?,
(3)
< Перепишем (3) в виде тождества
InHO = pty? (x)
и вычислим дифференциалы левой и правой части. Используя свойства
дифференциала, находим.
У\_] у_xxdy—ydx_1 _Аа
a(nи Е(ея
=,4 „34%,
4(х?у?) =х? 4 (у?)--у?а(х?) =2х?у ау-- 2ху? ах.
213
Приравнивая полученные выражения, получаем
1
1
7У—=ах=2x*ydyt2xy?dx.
Из этого уравнения, линейного относительно 4у, находим оконча-
тельное выражение для ау через х, у и dx:
Я 1-- 2х3?
Чу
т1—ху? x.
Отсюда, в частности, может быть получено и выражение для
производной неявной функции:
‚у 1-- 2х3?
=а 1—2.
Найти дифференциалы следующих неявно заданных
функций:
5.290. ysty—xv?=—1. 5.291. x44
yt = x*y*.
5.292, x2/3 + y?/3 — 2/3, 65.293. #=х-ру.
5.294. y=x-+arctgy. 5.295. y=cos(x+y).
5.296, arctg 2 —=InVx?+y%. 5.297. cos (xy) =x.
В задачах 5.298—5.302 произвести указанные прибли-
женные вычисления, используя замену приращения Ау
подходящей функции у=}(х) дифференциалом 4у этой
функции при малой абсолютной величине приращения Ах
аргумента х.
5.298. Вычислить приближенно: а) — агс$1 0,05;
6) arctg 1,04; B) In1,2.
5.299. Обосновать приближенную формулу
МХ-ЕАХ и Ух А
Vet
и 37s
и вычислить по этой формуле #25.
5.300. Найти приближенное значение функции f(x) =
= е*"-* при x=1,2.
5.301*. Найти приближенное выражение для прираще-
ния ЛУ объема У прямого кругового цилиндра с высотой й
при изменении радиуса основания г на величину Ar.
5.302*. По закону Клапейрона объем У, занимаемый
газом, давление газа р и абсолютная температура Т` свя-
заны формулой рУ= АТ, где Ю—газовая постоянная.
Найти приближенное выражение для приращения AV
объема У при изменении давления^р на величину Ap,
считая неизменной температуру T.
|
214
2. Дифференциалы высших порядков. Рассмотрим дифференциал
dy (x, Ayx)=f' (x) Ayx как функцию х при фиксированном Ах=А:х.
Предполагая, что функция и ={(х) дважды дифференцируема в точке х;
найдем дифференциал от ау (х, А1х) при Ах=А»м:
а (аи (х, А1х)) |, дх=Ан == f" (x) Aqx Agx.
Значение MOyyeHHOrO BbIpPaKeHHA mpn Ayx=A,x—=dx называется вто-
рым дифференциалом или дифференциалом 2-го порядка функции
и=[(х) и обозначается символом 42у(х, dx).
Таким образом,
у = Р (x)dx?,
Аналогично
у =а (4?) =["“(х) 4х3,
апу=а (а"-н)) = К”) (x) dx".
Найти дифференциалы 2-го порядка указанных функ-
ций у аргумента л:
5.303. y=asin(bx+c). 5.304. y=3-*,
5.305. y= 52%. 5.306. y=ax?+ bx +e,
]
x?—3x12 °
5.308,y=V1—x?arcsinx.
5.309. y=In(x +V 14+ x).
5.310. y= arcsin (asin x). |
5.311. Доказать, что второй дифференциал сложной
функции 2(х) =2г (у (х)) выражается через дифференциалы
4у и 4 промежуточного аргумента формулой
42=2,dy?+2,d’y.
5.307. y=
Для первого дифференциала имеем (см. задачу 5.275) dz=2, dy,
откуда, дифференцируя еще раз (по х, но используя инвариантность
формы первого дифференциала), получим:
d®z=d(dz)=d(z,ду)=г,а(ау)+ду-а(гу)=2,аЗу--гу4у?. No
Этот пример показывает, что дифференциалы 2-го порядка (и бо-
лее высоких порядков) не обладают инвариантностью формы, свойст-
венной дифференциалам 1-го порядка‘ (см. задачу 5.275).
Найти дифференциалы 2-го порядка следующих неявно
заданных функций:
5.312. ху--
и =|..
.
5.313. (x—a)?-+ (y—b)? = R?.
5.314. P+ty=y. 5.315. x=y—asiny.
215
3. Теоремы о дифференцируемых функциях.
Формула Тейлора
1. Теоремы о среднем.
Теорема Ролля. Если функция |(х) непрерывна на отрезке
[а, b], Ougqepenyupyema npu xE(a, 6) u f(a)=f (6), то существует
по крайней мере одна точка 5 Е (а, 5) такая, что | (5) =0.
Точки; в которых |’ (х) =0, называются стационарными точками
функции | (х).
Теорема Лагранжа. Если функция [|(х) непрерывна на
отрезке [а, 6] и дифференцируема при хЕ (а, 5), то существует по
крайней мере одна точка Ё Е (а, 5) такая, что
Fo)! (a) =f’ (&)-(b—a) (формула Лагранжа).
Теорема Коши. Ecau dynxyuu f(x) u g(x) nenpepoientt xa
отрезке [а, 6], дифференцируемы при х Е (а, 6) u g’ (x) 0 для всех
х Е (a, 5), то существует по крайней мере одна точка $ Е (а, 6)
такая, что
f(b)—f(a) _ Ff (&)
|
0—@-= 0
(формула Коши).
2
5.316. Функция f (x)= 7—2
[--1, 1] равные значения (проверьте!). Ее производная [ (х)
равна нулю только. в двух точках х=- ИТО (про-
верьте!), расположенных за пределами этого от-
резка. Какова причина нарушения заключения теоремы
Ролля?.
5.317. Показать, что функция ] (х) =х?—| на отрезке
[—1, 1] удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Найти
все стационарные точки этой функции.
|
5.318. Пусть f (x) =x(x—1) (x—2) (x—3). Доказать,
что все три корня уравнения [(х) =0 действительны.
_ 5.319*. Доказать, что уравнение 16х“—64х31 =0
не может иметь двух различных действительных корней
на интервале (0, 1).
|
5.320*. Доказать, что уравнение е*`1 -- х—2= 0, имею-
щее корень х=!1 (проверьте!), не имеет других действи-
тельных корней.
|
|
5.321*. Доказать, что если функция ] (х) непрерывна на
отрезке [а, 5] и дифференцируема на интервале (а, 6), то
‘функция F(x) =(F () —F @) 6—@) —f )—F
@) (xa)
имеет по крайней мере одну стационарную точку на ин-
тервале (a, В).
|
5.322. Записав формулу Лагранжа для функции | (х)=
—=У3х3-- 3х на отрезке [0, 1], найти на интервале (0, 1)
соответствующее значение &.
216
имеет на концах отрезка
5.323. Доказать, что если производная } (х) тождест-
венно равна нулю на интервале (а, 6), то функция [(х)
постоянна на этом интервале.
5.324. Доказать, что если [ (х) > О{Ё (х) < 0) на ин-
тервале (а, 65), то функция [(х) монотонно возрастает
(монотонно убывает) на этом интервале.
Функция [(х) удовлетворяет условию Ли пшица на интер-
Basie’ (a, 5), если существует такое Л Е К, К>О0, что
[А(ха)—РР(ха)| K-|Xa—1|
для любых ху, х. Е (а, 65).
5.325. Доказать, что если sup ae (x)= M, To функция
a
f(x) Ha интервале (а, 6) удовлетворяет условию Липшица
с константой К, равной М:
5.326*. Пусть | (х) иф (х) дважды дифференцируемы на
интервале (а, 5). Доказать, что если }” (х) =" (х) на (a, 5),
то | (х) и @(x) отличаются на линейное слагаемое.
5.327. Доказать, что если функция } (х) удовлетворяет
условиям теоремы Лагранжа на [а, 6], то | i ()——f (a) |=
== m-(b—a), где m= inf f’ (x).
agx<b
5.328. Записав формулу Коши для [(х)= 2х3-|- 5х |
и & (*) =х?-4 на отрезке [0, 2], найти значения &.
2. Правило Лопиталя — Бернулли. Раскрытие неопре ne
.
о
|
ленностей типа > Hu —. Пусть при х—+а функции [(х) и
0
ф (х) обе бесконечно малые или обе бесконечно большие. Тогда их отно-
шение не определено в точке х=а, и в этом случае говорят, что оно
|
|
со
представляет собой иеопределенность типа 0 ИЛИ соответственно __.
Однако это отношение может иметь предел в точке х=а, конечный
или бесконечный. Нахождение этого предела называется раскрытием
неопределенности. Одним из способов раскрытия неопределенностей
0со
,
|
типа + И x является правило Лопиталя
— Бернулли, основанное
на следующей теореме, носящей их имя.
Теорема. Лусть в некоторой окрестности U точки х=а
функции f (x) u @ (x) дифференцируемы всюду, кроме, может быть,
самой точки х=а, и пусть ф’ (х) = 0в0. Если функции |(х) иф (x)
являются одновременно либо бесконечно малыми, либо бесконечно боль-
Г (х)
шими при х—+а и при. этом существует предел отношения $) их
производных при х—+а, то тогда существует также и предел отно-
@ (x) самих функций, причем
19 FG)
Jim oa) EM ee
(1)
шения
217
Правило применимо и в случае, когда а= о.
|
e#x— |
Пример 1. Найти п
(т.е. раскрыть неопределен-
xo arctg 5x
раскр
ред
ность типа т}.
Используя формулу (1), получаем:
lim
=]
ze?
1+ 25x?
|
1
2%Е
—
поскольку е?х —+1 un Tobe — 1 при х—+0. No
В некоторых случаях раскрытие неопределенностей вида 0. ИЛИ
0
co
op может потребовать неоднократного применения правила Лопиталя—
Бернулли.
.
In?x
Пример 2. Найти lim р (+. е. раскрыть неопределен-
х-+о
=)
HOCTb THNa — }.
со
< Применяя дважды формулу (1), получаем:
2шх
lim nx
i
*
2limInx2lim
I
—
——
м
—_ —_—
На каждом этапе применения правила. Лопиталя
— Бернулли сле-
дует пользоваться упрощающими отношение тождественными преобра-
зованиями, а также комбинировать это правило с любыми другими
1x=0.»
приемами вычисления пределов.
-
a
°
t
x—s in
Xx
Пример 3. Найти Ит Ви вп т. е. раскрыть неопре-
х-0
x
0
деленность типа ->).
< Используем формулу (1):
—.——cosx
, tgx—sinx .. cos?x
1
1] — с0$3х
lim ——,——= _ lim =
Ш.
x0
x
x+0
3x
3xro x* cas? x
Освободим знаменатель дроби от множителя с05?х, поскольку он
имеёт предел | при х —+0. Развернем стоящую в числителе разность
кубов и освободим числитель от сомножителя (1-+cos x-+ cos? x),
имеющего предел 3 при х—+0. После этих упрощений получаем
‚ tgx—sinx . l—cosx
lim ——_{
= lim ——-.
х-0
x
x0
x
Применяем снова (1):
. tgx—sinx . 1—cosx .sing
lim ——_,;——= lim ——_,——
= lim =—.-
x79
x
x70
x
хъо 2х
Используя первый замечательный предел, получаем окончательный
ответ 1/2, уже не прибегая вновь к правилу Лопиталя
— Бернулли. No
218
0
00
Раскрыть неопределенности типа 0 ИЛИ ъ'
. Incos2x
- x—arcts x
5.329.
тр
5.330. jim—j
5.331, lim ——%noy7n?
tava *
а
т=п,а=-0.
5.332.
ат, аз, са.
In sin ax
5.333, lim поры.
х-—>0
|
oe
8/— 8a
5.334. нп _*”=! 5335, нп ИИ
xo afcsin 3x "
x25 Vx—V5 "
. Incosax
- eX —e-*— 2x
5.336. jim Tn cos bx. . 5.337. jim
5х. .
5.338. Ши ПОРТЫ 65.330. Ни ХХ,
Xx>+0 еЗ/Х—]
х—>0 x—tgx
_ eX —er*
._63“—Зх— ]
5.340. Пт вх) . 5.341. dim, Sin? 5x °
. ctg x—1
- x8 —4x2+ 5x—2
5.342, im sine . 5.343. Пт 8—7 —3 .
4
. Inx
.
Inx
5.344, „И ya? m> 0. 5.345. lim T--2Insin x .
tga
2
cos x-In (x—3)
5.346. im In (I1—x) . 5.347. in
in (e* —e8) о
11-(1 — +tg >
ctg mx
5.348. lim
x7>1—0
Раскрытие неопределенностей типа 0. и ©— <.
Для вычисления Jim [Ё(х)ф (х), где | (х) — бесконечно малая, а ф (х) —
х>а
бесконечно большая при х—+а (раскрытие неопределенности типа
0. ©), следует преобразовать произведение к виду i/o @) | неопреде-
ленность типа о или к виду Но ( неопределенность типа =)
и далее использовать правило Лопиталя
— Бернулли.
Пример 4. Найти Jim sin (x—1)-te > (раскрыть неопреде-
-
ленность типа 0. оо).
219
—1]
%® Имеем: im sin (x —1)-tg =, lim Sin (x—I)
>I
to “^^
ctg 9
, cos(x—1)
2.
gMX=2
2 аПХ
п
Для вычисления т (Г (х) —Ф (х)), где f(x) u @ (х) — бесконечно
большие при х—+а (раскрытие неопределенности типа со — оо), сле:
дует преобразовать разность к виду [ (х) (1-—} т >| ‚ затем раскрыть
~9%),со
неопределенность ФР” типа -®. Если - lim
1, то
ределенность Ро
ИПx
lim Fay #1
\s
Jim (7 (х) —ф (х))
=®. Если xe lim
=
х-а
еленность типа 0.0, рассмотренную выше.
Пример 5. Найти т (х—113х) (раскрыть неопределенность
X> +0
1, то получаем неопре-
типа © — со).
Имеем:
;
lim (x—In3x)= lm „(1-1 =).
&->+00
X-> +00
x
Так как
|8
3 In? nek
2Inge
tim
lim
Я3am2%=3lim——~=
х-+®ю Х
X—> +00
1
К-+®ю ХХ
"
X¥ —++00
1.
1
=6limInx_¢lim *—=6 lim1 0,
X=»+00
X +»+00ви
И+
TO
lim (х— Ш8х)=- о. No
K->+ o
Раскрыть неопределенности типа 0. оо ИЛИ 00 —oo!
5.349, lim x(e/*—1). 5.350. lim (в)
5.351. lim xe-*, 5.352. lim xin? x
Хх
x>+0
5.353. lim ия) =>
5.354. lim (e* + e-*—2) ctgx. 5.355. lim x’et/”,
x—>0
x0
5.356. lim (x— 1) ctg n(x—1). 5.357. lim хз.
x->]
X—>@
5.358. lim Inx-In(x—1). 5.359, 1 (пут).
коnen(x )
|
оInxnx
5.360. lim женя).
xo: \arctgx x
220
.
1
1
5.361.
]
——
7—
о
lin SV
3(1—j/ x )
5.362. lim (as son): 5.363. lim ( zs—ctg* x).
—‹ 2cosx
х->0
2
Раскрытиё неопределенностей типа 09, оо%, 1”. Во
всех трех случаях имеется в виду вычисление предела выражения
(Ё (х))® ©, где }(х) есть в первом случае бесконечно малая, во ‘втором
случае
— бесконечно большая, в третьем случае
— функция, имеющая
предел, равный единице. Функция же ф (х) в первых двух случаях
является бесконечно малой, а в третьем случае
— бесконечно большой.
Поступаем следующим сбразом. Логарифмируя предварительно
у= (!(х))?®, получаем равенство
Iny=@ (x) Inf (x)
(2)
и находим предел пу, после чего находится и предел у. Во всех
трех случаях ши в силу (2) является неопределенностью типа 0. со
(проверьте!), метод раскрытия которой изложен выше.
Пример 6. Найти т (1+) (раскрыть неопределенность
X—>+00
типа 1°).
% Введем обозначение y=(1t2)TM. Тогда’ ши= 2х п (1+5)
является неопределенностью типа 0-0. Преобразуя выражение пу
= (1+;x
к виду пиу=2
7x
‚ находим по правилу Лопиталя— Бер-
нулли
1(1)
8
1+*
lim Iny=2 lim
=2 lim
=2,
X>+00
X-7 +00
—
Хо 1-5—
x?
x
Следовательно,
] \2x
lim y= lim (1+) —=е?. No
X> +0
Х- +00
x
Раскрыть неопределенности типа 0°, oo°, 1%;
5.364. lim xs. 5.365. lim (arcsin x)'2*.
x>+0
x>+0
I
5.366. lim (m—2x)°os*, 5.367. lim x!nte*—1),
л
x>+0
x 5-0
5.368. lim х!». 5.369. lim («+ 2%) 1х.
°
X> +0
X>+O
‘
5.370, lim (ctgx)'/"*, 5.371. lim (tg x)?*~2,
x>+0
yo
0
2
5.372. lim x!M1-», 5,373, lim (+38 г)”.
5.374. fim (cos 2x)3/*, 5.375. iim (e*
+ x)'/%,
х->0
tga
5.376. lim (2—4) а
х>а
x \1/
1
5.377. lim( Gta"). 5.378. limm (a)
x0
е
х—>0
x
3. Формула Тейлора. Если функция y=/ (x) имеет производные
до (п--1)-го порядка включительно в некоторой! окрестности Ц, (а) ==
= {х|| х—а]| < 6} точки а, то для всякого хЕЦ, (а) справедлива
формула Тейлора (порядка п)
Fe)=F @+LO и-9-- 79 и-о+...
а
ЕР ад" Вика 9,
где
о
“(yt (a8 (x—a))
n+1
Ки+1 (x)=
(n+ 1)!
(x —a)
’
0< 9<!
(остаточный член в форме Лагранжа). Таким образом, формула
Тейлора порядка п позволяет представить функцию у = I (x) в виде
суммы многочлена 1-й степени и остаточного члепа.
В частности, при а=0 имеем
Fo =FOQ+LO pp LO а... и
(формула Маклорена).
5.379. Многочлен 2х3 — 3х2 | 5х--| разложить по сте-
пеням двучлена х--1.
5.380. Для многочлена х“-Р 4х? —х--3 написать фор-
мулу Тейлора 2-го порядка в точке а=1. Записать ос-
таточный член в форме Лагранжа и найти значение 0,
соответствующее следующим значениям аргумента: а) х=0;
6) х=1; в) х=2.
5.381. Пусть Р (х) —многочлен 4-й степени, Р (2)= —1,
Р’ (2) =0, Р" (2) =2, Р”’'’(2) =—12, Ра\) (2) =24. Вычис-
лить Р (—1), Р’(0) и Р"(1.
Для заданных функций написать формулу Маклорена
п-го порядка:
5.882. y=e*. 5.383. y=sinx. 5.3884. y=cosx.
5.385. y=In (1+). 5.386%, y=arctg x. 5.387. y=(1-+ x)”.
222
Используя формулы Маклорена, полученные в зада-
чах 5.382—5.387, написать первые п членов формулы
Маклорена (без остаточного члена) для следующих функций!
x2
5.388", y=e 7. 5.389%, y=sin’x, 5.390, y=sin=.
5.391. и=п (4-Е х?). 5.392. у= 8-Е8.
5.393. Написать формулу Тейлора 3-го порядка для
функции = в точке а=2. Построить графики дан-
ной функции и ее многочлена Тейлора 3-й степени.
5.394. Написать формулу Тейлора 2-го порядка для
функции у=1фх в точке а=0. Построить графики дан-
Ной функции и ее многочлена Тейлора 2-й степени.
5.395. Написать формулу Тейлора 3-го порядка для
функции у-=агсутх в точке а=0. Построить графики
данной функции и ее многочлена Тейлора 3-й степени.
5.396. Написать формулу Тейлора 3-го порядка для
функции У=у= в точке а=1. Построить графики дан-
x
.
ной функции и ее многочлена Тейлора 3-й степени.
‚Формула Тейлора широко используется при вычислении значе-
ний функции с заданной степенью точности. Пусть, например, тре-
буется вычислить значение функции |(х) в точке хо с абсолютной
погрешностью, не превосходящей =, если известно значение этой функ-
ции и ее производных в точке а. Из формулы Тейлора следует, что
fa) #f@+FO (xa... +O
где по — минимальный из номеров п, для которых
|Юли (хо)|<г.
Пример 7. Вычислить число е с абсолютной погрешностью, не
превосходящей 0,001.
Применяя формулу Маклорена к функции f (х) =е*, получаем
1
ее. РЕ» 9<9<Ь
(хо —а)"о;
е
Наименьшее значение п; удовлетворяющее условию aii < 0,001;
где 0 <0 < 1, paBHO п, =6. Следовательно,
11
1
en lbp rote bey 2.718. >
5.397. Вычислить с абсолютной погрешностью, не пре-
восходящей 0,001, приближенные значения следующих
чисел!
223
a) sin]; 6) Ve; 8) In 1,05; г) y/ 33.
5.398. Выяснить происхождение приближенных ра-
венств:
—
|
|
|
а)
Ит- ха 1-х, |x| <1;
1
6) ИЕ 1-х, |х|< 1,
и найти их предельные абсолютные погрешности.
Остаточный член в формуле Тейлора может быть записан в фо P-
ме Пеано
Кич1 (х) =0 (| х—а |”),
использование которой полезно при вычислении пределов.
|—с0$3х
Пример 8. Найти Илlim | Bee Tae
Так как 1 —с0$3 x =(1—cos x) (I-+ cos x-+ cos? x), a 5x2+-7x3 ~5x?,
TO
I—cos?x , 3(1—cos x)
UN, BELTS ulyBR
Заменяя COSxX его разложением по формуле Маклорена со$-х =1 —
2
— 5+ о (х?), получаем
x
2
lim1—cos?x—Зип 2о(*)—Зт х?/2
хо 5х2 --7%3 — 6Бхьо
x?
Bxyso хз’
x?
8
поскольку oy 1? (x*) ~ 55 при х—+ 0. Окончательно
li 1—cos?x_3
eo Bt7Tx8 10
_ x—1—sin (2x— 2)
Пример 9. Найти lim yo sin Gx—3)"
< По формуле Тейлора
sin (2x —2) =sin 2(x— on (jx—1)),
sin (3x —3) =
0 (х— 1).
Следовательно,
x—1—sin =
— (x—1)—o0(|x—1))!
iim x—1+sin (3х— — т 4(x—1)+o(|x—1]) °
Отбрасывая бесконечно малые высших порядков, т.е. переходя в чи-
слителе и в знаменателе к эквивалентным бесконечно малым при
х —+1, получаем
lim x—1—sin (2x —2) —lim —(x— 1) _ ft >
x21 X—I1-+sin(Bx—3) xsi 4(x—1).~— 4
224
5.399. Показать, что разложение по формуле Макло-
рена для функций зпх, 9х, агсзшл, агсюх, #—|и
ш(1--х) можно записать в виде х-+о(|х|) и что при
х—+0 все эти функции эквивалентны бесконечно малой
а (х) =х (и, следовательно, эквивалентны между собой).
5.400. Используя разложение по формуле Маклорена,
вычислить пределы:
~~
а) птх>0
И 1--хХ— Их
. 1—cosx
. tg x—sinx
>6)lim———; B)lim
.Хх
)imx2+.x3’ yt
$ 4. Исследование функций и построение графикоз
1. Возрастание и убывание функции. Экстремум. Функция у = (x)
называется возрастающей (убывающей) в интервале (а, 8), если из
неравенства х; < х2, где х1, хоЕ (а, 5) следует неравенство
f(x)<
< | (хо) (соответственно |(х1) > } (х2)). `
Если фупкция } (х) дифферечцируема на интервале (а, 5) и Ё(х)-> 0
при всех хЕ(а. 65), то функция [(х) возрастает на (а, 6); если же
[' (х) < О при всех хЕа, 6), то [(х) убывает на этом интервале.
В простейших случаях область определения функции и=(х)
можно разбить на конечное число интервалов монотонности. Каждый
из интервалов монотонности ограничен критическими точками, в ко-
торых }’(х) =0 или [(х) не существует.
Если существует такая окрестность И’, (хо) точки ху, что для
всякой точки хх, ЭТОЙ окрестности выполняется неравенство
f (x) > Ё (хо) (или 1 (х) < [(х)), то точка ху называется точкой мини-
мума (максимума) функции у=|(х), а число | (х,) — минимумом (ма-
ксимумом) этой функции. Точки минимума и максимума функции
называются ее точками экстремума.
Необходимое условие. экстремума. Если х,— точка
экстремума функции { (х), то | (хо) =0 или [” (хо) не существует, т. е.
х)—-критическая точка этой функции.
Обратное, вбобще говоря, неверно.
|
Достаточные условия экстремума непрерыв-
ной функции. 1) Пусть функция } (х) дифференцируема в неко-
торой окрестности (х, —б, ж --5) критической точки ху, за исключением,
быть может, самой этой точки. Если при этом‘в интервалах (ху— 9, хо)
H (Xp, Xy-+5) производная [(х) имеет противоположные зкаки, TO
Xy—TOUKa экстремума, причем, если } (х) >0 при хЕ(ж— 6, хо) и
(x) < 0 при хЕ (хо, х-Н5), то хо, — точка максимума, а если{* (х) < 0
при хХЕ(%—65, х,) и [ (х) >0 при хЕ(%, ж--5), то ж—точка ми-
нимума. Если же |’ (х) при хЕ (х— 5, х--5), х > хи, сохраняет
зпак, то точка х, не является точкой экстремума.
2) Пусть функция [(х) дважды дифференцируема в критической
точке х, и в некоторой ее окрестности. Если }[” (хо) < 0, то хь—точка
максимума функции [(х), если |” (ху) > 0, то ху —точка минимума.
Если же }’ (х.) =0, то требуются дополнительные исследования.
Пример 1. Hatta интервалы монотонности и точки экстремума
[x—
функции [(х) =
N
D
w
e
8 fon pen. A. GB, Edumosa, B. ИП. Демидовича
Находим производную:
*—^ при хЕ(-®, 0000, Ns
r= 2—х
.
„3 при хЕ(1, Но).
Приравнивая ее нулю, получаем х=2. Таким образом; критическими
точками (с учетом тех точек, где производная не существует) явля-
ются: х=0, х.=1, хз=2. Они разбивают область определения | (х)
на четыре интервала монотонности: (— 0, 0), (0, 1); (1; 2) w (2; +00).
Tak Kax f’(x)> 0 при хЕ(—, 0)|](1, 2) и [’(х) < 0 при хЕ(0, IU
(2, <), то [(х) возрастает. на интервалах (—‹®; 0) и (1; 2);
убывает на интервалах (0, 1) и (2; --°);, в точке хз=2 достигает
максимума ({ (2)
= 1/4), а в точке х. =1— минимума (} (1) =0), Полу-
ченные результаты удобно свести в следующую таблицу:
Таблица 4.1
x |(—o,0) 0
(0, 111.1
(1, 2)
2 (2, -Но)
F(x) д
+00 \
0
я
<
\
f’ (x)
>0 1несущ.|<0несущ. >0
0
<0
Заметим, что в рассматриваемом примере первое достаточное
условие позволяет определить характер каждой из критических то-
чек данной функции. В то же время второе достаточное условие
неприменимо в точке х., так как в этой точке не существует первая
производная:
5.401*. Доказать следующее обобщение второго доста-
точного условия экстремума. Пусть х, —критическая точка
функции ] (х), и первая из`не равных нулю производных
этой функции в точке х, имеет порядок No. Если Ё-чет-
ное число, то х, является точкой экстремума, причем
точкой максимума, если [* (х) < 0, и точкой минимума,
если [® (х,)> 0. Если же #— нечетное. число, то экстре-
мума в точке ху нет.
5.402. Исследовать на экстремум в точке х, функцию
f (x) = (x—x,)¥ p(x), где ЕЕМ и $(х) непрерывна в точ-
ке х, причем ф (х,)= 0.
.
5.403*. Пусть
_ gem’, x0,
__ ¢ xe7/*, x0,
и о=®-1
То
Доказать, что функция {(х) имеет в точке х=0 мини-
MyM, a функция &(х) не имеет в точке х, экстремума,
226
хотя
f®(0)=gTM(0)=0,REN.
Для указанных функций найти интервалы возрастания
и убывания и точки экстремума:,
5.404. y=xV 1—2x?. 5.405. y=
. 5.406. y=7~.
5.407. y=x—2sinx. 5.408. y=x—2Inx.
|
5.409. y= Inx—arctg x. 5.410. y=e* cosx.
5.411. y=x*. 5.412. y=ch?x-+1.
2х2—|
x4
Наибольшее (наименьшее) значение непрерывной функции [(х) на
данном отрезке [а, 6] достигается или в критических точках, или на
концах этого отрезка.
".
Определить наиббльшее М и наименьшее т значения
следующих функций на указанных отрезках (а если от-
резок не’ указан, то во всей области определения):
5.413. y= —3x4 + 6x?; [—2, 2]. 5.414. y=x+2Vx; [0, 4].
5.415. y= ==; [0, 4]. 5.416. y=
[0, 1].
5.417. УРИЕЕТ-ИХ
0, 1].
5.418. y=arctg =; `[0, 1].
5.419.
т.т (9.420, y= xerr"??,
Доказать следующие неравенства:
|
5.421*. ех > 1-х, хэ20. 5.422. созх > a x= 0.
5.423, SFP 14 £0.
5.424. sinx-+ te x > Qu, x€ (0, 1/2).
5.425. Два тела движутся с постоянными скоростями
и, м/с и 9; м/с. Движение происходит по двум прямым,
образующим угол л/2, в направлении к вершине этого
угла, от которой в начале движения первое тело нахо-
дилось на расстоянии ам, а второе—на расстоянии 6м.
Через сколько секунд после начала движения расстояние
между телами будет наименьшим?
5.426. Для доставки продукции. завода МNo в город А
(рис. 40) строится шоссе МР, соединяющее завод с же-
лезной ‘дорогой АВ, проходящей через город А. Стоимость
перевозок по шоссе вдвое больше, чем по железной
8*
227
дороге. К какому пункту Р нужно провести шоссе, чтобы
общая стоимость перевозок продукции завода No в город А
по шоссе и по железной дороге была наименьшей?
|
5.427. Окно имеет форму прямоугольника, завершен-
ного полукругом (рис. 41). Задан периметр р этой фи-
гуры. При каких размерах х и у окно будет пропускать
наибольшее количество света?
5.428. Из трех досок одинаковой ширины сколачи-
вается желоб для подачи воды. При каком угле % наклона
боковых стенок к днищу желоба площадь поперечного се-
чения желоба будет наибольшей?
5.429. В треугольник с основанием а и высотой П
вписан прямоугольник, основание которого лежит на ос-
новании треугольника, а две вершины —на боковых сто-
ронах. Найти наибольшую плошадь вписанного прямо-
угольника,
5.430. Периметр осевого сечения цилиндра равен ба.
Найти наибольший объем такого цилиндра.
D
С
N;\
.
=
4
А
р
В|3
0
500 KM
|. NW
L
A
B
|
Рис, 40
Puc. 41
Рис. 42
5.431. Цилиндр вписан в конус с высотой Йи радиу-
сом основания г. Найти наибольший объем вписанного
цилиндра.
|
|
5.432. Найти наименьший объем конуса, описанного
около шара радиуса г.
5.433. Найти наибольший объем конуса при, заданной
длине { его образующей.
5.434. Определить наибольшую площадь прямоуголь-
ника, вписанного в круг радиуса г.
|
5.435. На параболе у=^? найти точку М, наименее
удаленную от прямой и=2х—4.
5.436. В полукруг радиуса К вписан прямоугольник
с наибольшей площадью. Определить его основание х и
высоту у.
228
5.437. Отрезок длины а разделить на две. части так,
чтобы сумма площацей квадратов, построенных на этих
частях, была наименьшей.
5.438. Коническая воронка, радиус основания кото-
рой К, а высота Н, наполнена водой. В воронку погру-
жается шар. Каким должен быть радиус шара г, чтобы
объем воды, вытесненный из воронки погруженной частью
шара, был наибольшим?
|
5.439. Определить наименьшую высоту й =|ОВ| двери
вертикальной башни А ВСР, чтобы через эту дверь в башню
можно было внести жесткий стержень ММ длины [, конец
которого No скользит вдоль горизонтальной прямой АВ.
Ширина башни | АВ | =а<] (рис. 42).
2. Направление выпуклости. Точки перегиба. График дифферен-
цируемой функции и=[(х) называется выпуклым вниз (или вогнутым
вверх) на ‚интервале (а, 5), ‘если дуга кривой на этом промежутке
расположена выше касательной, проведенной к графику функции
y=/ (x) в любой точке хЕ(а, 6).
|
И
7
f(%)), K——.
|
Иа
In)
х
Рис 45
Если же на интервале (а, 6) всякая касательная располагается
выше дуги кривой, то график дифференцируемой функции на этом
интервале называется выпуклым вверх (или вогнуитым вниз) (на рис. 43
график функции у=} (х) является выпуклым вниз на интервале (а, хо)
и выпуклым вверх на интервале (хо, 6)).
Если функция дважды дифференцируема на (а, 6) и Г (х) >0
(Р' (х) < 0), то ез график является выпуклым вниз (вверх) на этом
интервале.
В простейших случаях область определения функции f (x) можно
разбить на конечное число интервалов с постоянным направлением
выпуклости. Каждый из этих интервалов ограничен точкамн, в KO-
торых [” (х) =0, либо |” (х); не: существует. Точка (жу, | (хо)), в кото-
рой направление выпуклости графика функции меняется на противо-
положное, называется точкой перегиба (см. рис. 43).
Достаточное условие точки перегиба. Пусть
функция [(х) дважды дифференцируема в некоторой окрестности
Us (Xp) точки хо, в которой [" (хо) =0 или |’ (ж) не существует. Еслн
при этом в интервалах (х,—6, х,) и (%, х--0) производная | (х)
имеет противоположные знаки, то х.—точка перегиба.
|
229
Пример 2. Найти интервалы выпуклости и тозки перегиба
графика функции и
“ Находим вторую производную:
2 (3—
(2222) хе, 006, 1)
PM (x)=
.
2(x—3
oe), KE(1, +00).
Следовательно, критическими точками первой производной являются
точки х1=0, ха. =1, хз=3. При этом в точках ху и хо вторая про-
изводная не существует (в частности, {[- (1) =4, a fy (1) =—4), а
в точке хз она равна нулю.
-
Получаем четыре интервала выпуклости: (—с, 0), (0, 1), (1, 3),
(3, -- <). Исследуя знак второй производной в каждом из этих интер-
валов, выводим, что график функции является выпуклым вниз на
интервалах (— о, 0), (0, 1), (3, -®) и выпуклым вверх на интер-
вале (1, 3). Следовательно, точки х. и хз являются точками перегиба
графика функции, а х: не является. Полученные результаты удобно
свести в следующую таблицу:
Таблица 4.2
x (—oo,0) 0 (0,1) 1 (1,3)
(3,+©)
ВЫП.
вып.
вып.
вып.
F(x) BHH3 be вниз 0 вверх
BHH3
[”(x) >0 несущ.|>0 |несущ.| <0
>0
>
Найти интервалы выпуклости графика функции y =
= / (x), TOUKH перегиба и угловые коэффициенты А каса-
тельных в точках перегиба:
`
.
5.440. y=xi-+7x+1. 5.441. y= x*-+ 6x?.
5.442. у= и(x—2)84+3. 5.4438. y= j/x+1—f/X—1.
5.444. y= j/(x-+ 1)?+ j/(x—D?*. 5.445. y= xe* +1.
5.446. у=хш|х|. 5.447. у= lnx+1.
5.448. При каких значениях а и б точка (1, 3) яв-
ляется точкой перегиба кривой’ у =ахз
-- фх*?
5.449. При каком выборе параметра Ё кривая вероят-
ности
ШNoрва
y rae »h>O,
имеет точки перегиба с абсциссами х= + 6?
230
х--1
x?-+|
перегиба, лежащие на одной прямой.
5.451*. Показать, что точки перегиба кривой у=хзшх
лежат на кривой и? (4 -|- х*) = 4х2.
5.450. Показать, что кривая у=
имеет три точки
3. Асимптоты. Пусть для функцииу==/ (х) существует такая
прямая, что расстояние от точки М (х, Я) графика функции до
этой прямой стремится к нулю при бесконечном удалении точки М
от начала координат. Тогда такая прямая называется асимптотой
графика функции.
Если при этом координата х точки М стремится к конечному
числу а, то полупрямая х=а (и>0 либо у< 0) является верти-
кальной асимптотой. Для существования вертикальной асимптоты в
точке
‘х =а необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из преде-
лов lim f (x) был равен бесконечнсати.
ха0
Непрерывные функцни не имеют вертикальных асимптот.
Если же координата x точки М стремится к --® или —о, то
нмеем наклонную асимптоту. и=^х--6, для существовання которой
необходимо и достаточно существование двух пределов
Е)
lint. >=А иim (Е(х)—Ех)=6.
д<
При этом указанные пределы могут быть различными прн х—-
(для правой наклонной асимитоты) и при х —*— © (для левой на-
клонной асимптоты).
[х— 1}
хо*
4 Так как функция нпепрерывна на всей оси, кроме точки х=0, то
тем
асимптота может существовать лишь в этой точке,
меем:
Пример 3. Найти асимптоты графика функции у=
и, следовательно, прямая х =0 — вертикальная асимптота,
Найдем наклонные асимптоты. Так как
[х—1—.
lim —~—=0=ea lim (7 - 0.) =0=5,
х-—> +
x
r7- +@
то прямая у= 0.х--0=0 является одновременно и правой и левой
наклонной (в данном случае горизонтальной) асимптотой. No
Найти асимптоты графиков указанных функций!
5.452. у= И =. 5.453, y= / O—x,
5.454. y=V | e—3]3|/x. 5.455, y= 3x-+ arctg 5x.
5.456, y= 2EP)4 ox. 5,457, y= St,
5.458. y =x In (¢ +=). 5.459. y = x arcsec x.
5.460. Доказать, что график целой рациональной функ-
WWW y=a,x"-+a,x* 1+... +a, x+a,, no2, He uMeer
никаких асимптот.
4. Построение графиков. функций. Для построения графика функ-
ции у=}(х) с непрерывной второй производной (всюду в области
определения функции кроме, быть может, конечного числа точек)
сначала проводим элементарное исследование, выясняющее некоторые
особенности функции (если они имеются): симметрия, периодичность,
постоянство знака, нули, точки пересечения с осью Оу, точки раз-
рыва и т. п. Затем, используя первую и вторую производные, нахо-
дим точки экстремума и перегиба, интервалы монотонности и’выпук-
лости, а также асимптоты. |
|
x—|
x2
« Фуикция определена и непрерывиа всюду, кроме точки. х==0,
всюду неотрицательна и равна нулю лишь в точке х=|. Ее иссле-
дование проведено в примерах 1—3. Результат этого исследования
полезно свести в одну таблицу
— объединение таблиц 4.1 и 4.2. При
этом следует вычислить и записать в соответствующую клетку таб-
лицы | (3) =—1/27— угловой коэффициент касательной к графику
функции в точке перегиба. Рекомендуется также вычислить [- (1) =
,
wy
oe
== —l Hu {+ (1) =1— угловые коэффициенты левой и правой касатель-
ных в точке (1, 0) графика. Эти данные помогают точиее построить
график функции, приведепный на рис. 44,
7h
При ме р 4. Построить график функции у=
<
=
“
.
Пример .5. Построить график функции ‘у = Ух (х— 1).
Функция определена и непрерывна на всей действительной оси
и обращается в нуль в точках х=0и х=1.
Находим первую производную
SetAe _ *—3
"ПЗУ
/ x*(x—1)
Приравнивая ее нулю, получаем х= 1/3. Таким образом, критичес-
кими точками функции являются: х1=0, х. =1/3, хз=1| (в точках
х1—=0 и х‹=1 производная не существует). Эти точки разбивают
область определения на четыре интервала монотонности (—oo, 0),
(0, 1/3), (1/3, 1), (1, +). Так как у’ (х) >0 при хЕ(—, OU
232
(1 (0, 1/3)U(1, +0), To y(x) Bospactraet Ha HHTepBatax (— оо, 1/3)
что и’(х) <0 при
хЕ(1/3, 1) и, следовательно, функция на этом интервале убывает. В
и (1, oo). Аналогично рассуждая, находим,
точке х. =1/3 функция достигает максимума (тах (19) =3 Ут =
= 0,529), а в точке хз =1-— минимума (ушу (1) =0).
Таблица 4.3
x|(2%,0) 0 (0,1/3)|1/3 (1/3,1) | ‘(1,о)
у
>0 несущ. >0
0
<0
|
не сущ.
>0
у
>0 не сущ.
<.0
несуш.Г<0
зи
и
и
иЗи1|\
я
у
0
0
—
Вып.
ВЫП.
НИЗ
вып. вверх
в верх
2
Находим теперь вторую производную у” = —
Критическими точками первой производной являют
не существует).
(вторая производная в этих точках
интервала выпуклости исходной
функции: (—©, 0), (0, 1) И (1, -+ 00).
В первом интервале функция вы-
пукла вниз (так Kak y” >O npn
x <0), a BO втором и третьем—
выпукла вверх (/’< 0 при х> 0,
кроме точки х== 1). Следовательно,
(0, 0) является точкой перегиба
графика функции (с вертикальной
касательной).
Результаты проведенных ис-
следований сводим в таблицу (таб-
лица 4.3).
Для уточнения поведения
функции в окрестности точки
x=! заметим, что К (Ю=— о,
(=, т.е.вточке(1,0)
графика функции левая и правая
9из(х—1)4
ся х1=0 и хз=1]
Получаем три
\*
Я:
и
Va“5
|
Ol1/5 7
L
1 |--
Рис. 45
касательные совпадают, образуя вертикальную касательную.
Наконец, определим асимптоты. Так как функция непрерывна
на всей оси, то вертикальные асимптоты отсутствуют. Для определе-
ния наклонных асимптот находим сначала
Их (х— 1)?
=
lim y(x)_ lim
x>oto *# x7>t@
233
a 3aTeM
lim
«(y(@)—x)= lim (3/x(«e—1)?—x)=
„ит U2) = lim (7/1)? — 4)
2x?+ x
= lim
=
xo bo1/x?(x—18x /x(x—1)?
Пе?
Следовательно, правая и левая наклонные асимптоты совпадают и
—2/3.
2
определяются уравнением у=х— 5.
График функции приведен на рис. 45. No
Построить графики следующих функций;
2__к\з
5.461. у= =. 5.462. у (2—3):
234
о_1
оNo
5.463. ух (x? — 5), 5.464. I= FG?’
5.465. ут. 5.466. уе". 5.467. Ут.
5.468. y—=—2-— . 5.469. y=—*—. 5.470. yo
A“Уво.
.
ау.
.fe==.
x
x3
5.471. у= aq - «5.472. y= aay. 5.473. p=5
.
х?— |
x3
5.474. Y= TT 8.475. У эт.
5.476. у Их1Ь-иИх—. 5477 y = j/ x? — 9х.
5.478.yИИ|" И
5.479. у ==
"5.480 y= /1—x
Tt
ЕТ.
т
3/1
5.481. и= Их- } + ИхЬ—1.
5.482. и ИИ.
5.483. y= . 5.484. иг.
x3
x?
5.485. Y=
iat 5.486. oS Wea
5.487. y= qa. 5.488. y=
—
V/ (+2)
V PHI
ия
5.489. ya VEE 5.490. = ST
_ V|2—3|
__
х?
5.491. =:
5.492. "= уп’
5.493. и=и|^-—1|. 5.494. ии —Р.
ao
1
sinx--cos4°
6.497. y= xarctg x. 5.498. y= = +-arectg x.
5.499. y= e?*~**, 5.500. y = xe72*/2,
5.501, y= —entt, 5502, yay e- 1/8,
5.495. y=sinx-+cosx. 5.496. y=
5,503. y= xel/*, 5,504, y= = emus,
5,505. y= (x—2) e-!*, 5.506. y =(2x— 1) e2/*,
5.507; y = (x?+ 1) e-**/2, 5.508. y = x2e2/2,
5.509. у= хзе-*/?.
5.510. у=ш («НИТ 5.51. у= 1%.
5.512. yaa 6.513. y=x? Inx.
5.514, y= “2%. 5.515. yx Inte,
5.516. y=x7/In|x]. 5.517. y=x In*] x].
5.518. у=
In| x*—1]. 5.519, у Ш] х |.
5.520. y=x*, х> 0. 5.521*. ухи, x > 0.
5.522, y=(1+x)*, x >—1, 5.523%, y= EE
Построить кривые, заданные параметрически:.
6.524. х—={, у={е`7®, (ER.
<q Проведем вспомогательные вычисления:
‚1
ж = (1-Н Де’ и=(1—0 е7% Трей,
и
м
”
_
#—2_
ки =(2-е, ун= (1—2) е-\,
Еве at
Tak Kak x;=0O npn t=—1 w x} (—1) == > 0, To tnin=
Tax
<:
как ии =0 при &=1 и yy (y=—+ <0, TO Ymax=—- Отсюда
следует, что кривая расположена в области {(х, y)|xEf—Il/e, +o),
yE(— o, 1/е]}. Из выражения для производной ух определяем кри-
тические точки 5=1 (ух (1) =0) и &=—1 (их (—1) не существует).
Критические точки первой производной находим из выражения для
второй производной иухх: в = у? (y ‘ex (У 2) =0), 4=— V 2
(ухх (-У 2) =0) ив = 1 (хх (—1 нее существует). Следовательно,
A Си Зе"3, —У Зе’) ив(У Зе’ уз 2/e У 2) точки пере-
гиба.
235
ay
Наконец, находим
Таблица 4.4
асимптоты. Если t{—+—o,;
—-— 0, Т. е. х=0— вертикальная асимптота. Отметим, что при
приближении точек кривой к этой асимптоте их координата по х
остается отрицательной. Если Ё—+-- ®, то х—-- 0, а у—0,
f
x
y
ух
Vey Поведение кривой
Выпукла вверх,
_
убывает, x=0—
(VD
<0
<0
<0} <0 вертикальная асим-
птота
2
_
уз |-У —YVBeУ
> 0 | Точка перегиба
(-И 2,
Выпукла вниз,
—1) <0
<0
<0 | >0 убывает
—1
—-
—е сущ. сущ Точка возврата
Выпукла вверх,
возрастает, точка
(—1, 1)
>0|<0 (0,0) лежит на
кривой
|
е
_
0
Максимум
м
Выпукла вверх,
(1,V2) >0
>0
<0) <0 убывает
|
_
_
2
y2 ИЗе’:
ae
0 Точка перегиба
е
Выпукла 9 ees:
91.
-
убывает, у =0 — го-
(у2,|}
>0
>0
<0} >0 ризонтальная
асимптота
т. е. у=0—горизонтальная асимптота. Точки кривой при прибли-
жении к ней имеют положительную координату по и.
Результаты исследования сводим.в таблицу (таблица 4.4). и де-
лаем все необходимые выводы в правой ее колонке. Кривая приве-
дена на рис. 46. >
Sh
|
—
—
Рис. 46
5.525. х=й— 2, у=Ё- 26 CER.
5.526. x=t+e7t, y= 2t+e7%, (ER.
5.527. x=acos*t, y=asin’t, t€[0, 27).
5.528. х=й—Зл, у=й
— басы т, 1ЕК.
Построить следующие кривые, заданныев полярной
системе координат!
§.529. r=asin3q. 5.530. r=a(l+cosy).
.
5.531. r=V ay. 5.532. r? == 2a* cvs 94.
$ 5. Векторные и комплексные функции
действительной переменной
1. Определение вектор-функции действительной переменной.
Если каждому значению действительной переменной {Е)СК по-
‘ставлен в соответствие вектор а ()Е9/?з, то говорят; что на мно-
жестве О задана вектор-функция а = а (1) действительной переменной $.
Задание вектор-функции а==а (1) равносильно заданию трех
числовых функций ах (1), а, (1), аз (1) — координат вектора а:
а=а, (д-ра, (Уаз @) No
или, кратко, а= (ах (1), а, (1); ах (1)). Если вектор а является рг-
диус-вектором точки M (x, y, z), то соответствующую вектор-функ-
цию принято обозначать:
r=r (}=x (ity ()/ +2 (4 R.
237
Годографом вектор-функции Г=Р (1) называется линия, описы-
ваемая в пространстве концом вектора Г. Всякую линию в прост-
ранстве можно рассматривать как годограф некоторой вектор-функ-
ции. Параметрические уравнения годографа:
_
х=х (0, у=у (0, 2=2(1.
Пример 1. Найти годограф вектор-функции
r©
Е
ув [ЕБ.
1-- 22
1-й
« Имеем параметрические уравнения годографа
1—2
Qt
SS THR) ITER?
Исключая параметр ¢, получим
1— 12)? 42
ея
=1.
2=1|.
Следовательно, годографом вектор-функции Г (1) является окруж-
пость
х? -|- 12 =1, 2=1,
из которой исключена точка (—1, 0, 1), получающаяся в пределе
‘при t—+ +o. >
Найти годографы вектор-функций:
5.533. r=(2i—lhi+(—3t+2)j+4ik, (ER.
5.534. г=ИТ-РЕНИТ-ЕД, ЕЕ, Ц.
5.535. r=4cht-i—j+3sht-k, tER.
5.536. г=зН- (21—12) 1, CER.
5.537. r=cost-i+sint-J+tk, tER.
5.538. г=2с053
{1.1 23112 1.1, ЕЕ [0, 2].
5.539. = -- РУ- ВА, [ЕБ.
5.540. r=cos?t-i+sintcost-J+sin?¢-R, t€]0, 2x].
5.541. r=5cost-i+4sint-j+2k, tE[0, 2z].
5.542. r=(shi—l)i+ch’?t-j+3k, fER.
2. Дифференцирование вектор- функции. Производной вектор-функ-
ции а=а (1) по аргументу ¢ называется новая вектор-функция
da_,
Aa_ =, а(-А)-а()
dt sto
AT atbo
At
Если а (t) = (a, (0), ау (0, az (¢)), то.
da_(4;() аа,() а:(0
“dt\ dt ’°’ dt° dt /*
d
Если r=r (t)=(x (9, y (0, 2(1)), то производная = есть век-
тор, направленный по касательной к годографу вектор-функции
Г (2) в сторону возрастания аргумента {.
238
dr
Если #— время, то —17 ==® есть вектор скорости конца вектора г.
Правила дифференцирования вектор-функции
(а=а
(1, b=5 (2).
с
.
1) a =0, где с — постоянный вектор.
а
|
аа
.
2) a (aa) = ar ‚ где и— постоянный скаляр.
-- db
3)aaz 7+aa
4) = (pa) = 2 а--ф a » Tle ф=ф (1) —скалярная функция от &.
а
da
Idb
9 6, В (4, в)+(а, Ar).
а
аа
db
6) a 4, ы=| 9%, ь|+[4. ar|
dd
7) 5 a (9 (t)) = . ee. ‚ где ф=Ф (1) —скалярная функция от &.
5.543. Доказать, что (a, + )=0 ecH |a|=const.
5.544. Дано уравнение движения Fr == —41/. Опре-
делить траекторию и скорость движения.
5.545. Дано уравнение ‘движения ЗИ (41—11)
Определить траекторию и скорость движения. Постро-
ить векторы скорости для моментов {=0, [=1, [=2,
1=3.
5.546. Дано уравнение движения г=2 (1— зш АЕ --
+2(1—-cos?)f. Определить траекторию и скорость дви-
жения. Построить векторы скорости для моментов
{=n/2, t=n
5.547. Найти единичный касательный вектор годографа
вектор-функции Г == 4 — ({-- 8)*^°] при #=0.
5.548. Найти единичный касательный вектор годографа
вектор-функции г = (#-- 1-Й] при {1 =— 1.
5.549; Найти производные вектор-функций!
a) r=sint-i+cos*t-J+sin/cost-kR;
6) r=({cost-i+¢sint-J-+IR;
в) r=(¢t-+cosf)i+¢t/+sint-kR.
5.550. Найти производные вектор- функций
а) г= ей--со [У--(Р-Н1)А вточке (1, 1, 1);
6) г= 11 -- (1+ 17-4 ИР-ТЕ при {=—2.
5.551. Найтн г (а, 5), если
а=Н--
Ру ВВ, БЕРИВВ.
239
5.552. Найти fa, 6], ecm a=it+tj+tk, b=
=t+J+th.
5.553. Найти a ,ecmna=uituy+tu'k, rpeu=sint.
Если ГР =Р (р)= (х (1, у (1), 2(1)), то
ardЕ.)=(вх Фу =)
‘dt? dt\ dt. diz’ dt?’ dit?
гdv
|
Если {— время, то We ap = вектор ускорения конца век-
тора Г.
5.554. Найти вторые производные вектор-функций:
a) r=cost-i+ey-+
(l?-+- 1)R,
6) r=li+tcost.J+isint-R
при произвольном Ёи при #=0.
5.555. Дано уравнение движения: r=2(t—sinf)i+t
+2(1—cost)j. Определить ускорение движения. Г]о-
строить векторы ускорения для моментов Ё=л/2, [=л.
5.556*. Дано уравнение движения: r = 3ti-+ (4¢ — 2?)/.
Определить ускорение W JBHXKeHHA и его тангенциаль-
ную ш; и нормальную и, составляющие в любой момент #
и при 1=0..
5.557. Дано уравнение движения: г=\,Йр--
+ Ч, (21--1)з”*] Определить ускорение движения и его’
тангенциальную и нормальную составляющие в любой‘
момент Ёи при [=0.
3. Касательная к пространственкой кривой и нормальная плос-
кость. Уравнения касательной к пространственной кривой х=х (р,
у=и (1), 2г=2(1) в точке Мо (хо, у, 20), которой соответствует зна-
чение параметра &, имеют вид
—
Хх— Xq
Y—Yo_ 220
_
ах
dy
dz
dt |r=¢t, dt |1=0 dt |r=xt,
где х, у, 2— текущие координаты точки касательной. Уравнение
нормальной плоскости в той же точке:
dz
Р-р
+e 20) ——ar
Пример 2. Доказать, что касательная к винтовой линии
г = (а с03 1, азт 1, 81) образует постоянный угол с осью 02г.
4 Найдем вектор, касательный к годографу вектора г:
dr
dt
(= lo
aux
(x—No)Tt t=f¢
t=f
=(— asint, acosf, 0).
240.
Отсюда.
2’(1_
b
ep Var
dt
cos p=
T. e. y=const. p»
Пример 3. Написать уравнения касательной и нормальной
плоскости к кривой х=й— 1, у=Е-1, г=й в точке М, (0, 2, .1).
«< Данной точке соответствует значение параметра #=1. Имеем
|
dx
ay
dz
о
= а ар=".
Подставляя значение #$=1, получаем
Ах
__ dy
—_ dz
—_
а=’аа’
аато
Уравнения касательной:
x y—2 2—1
—
—
— ——Ц——
——
213
Уравнение: нормальной плоскости:
2(x—0)+ 1-(y—2) +3 (2—1) =0,
ИЛИ
2х--и--32—5=0. >
Для каждой ‘из следующих кривых написать уравне-
ния касательной и Уравнение нормальной плоскости
в данной точке:
5.558. х = 4 31?Е, y= ИЗ Р СОЗ z=2cos?t nput=n/4.
5.559. rao, y=zh,2=5 при t=2.
5.660. x=acht, y=asht, z=ai npn t=O,
5.561. x?4-y?=10, y2+ 22?=25 B точке ‚ М. (1, 3, 4).
5.562. 2х2-- Зи?--22=9, З®- у?— 2—0 в точке
М (1, —1, 2).
4. Дифференциальные характеристики плоских кривых. Пусть
кризая в плоскости’ Оху является годографом вектор-функции
Г=Р (5) = (х (5), и ($)), где $з— длина дуги кривой.
Кривизной кривой в точке Му называется число
lim |,
К=м->м.AS
где ф--угол поворота касательной, соответствующий дуге М.М
(рис. 47;, даипной кривой, а Аз — длина этой дуги. Величина А = |/К
называется радиусом крививны.
Кривизна К определяется соотношением
d*r
K== ay
ds?
Под рел. А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича
241
Формулы для вычисления кривизны: 1) если кривая вадан&
уравнением в явной форме и=] (x), то
иу`
(1+ y")°/*
2) если кривая вадана уравнением в неявной форме !) Р (х, и) =
=0,то
`
Fre Pry Px
Pay Fyy Fy
FyFy0.
(Fx+ Fy)”
3) если кривая задана параметрическими ypaBHeHHAMH X=x (2),
Ии=и (0), TO
e
?
x! у’
ни— (x! 2+ y’2)3/2 ’
4) если кривая задана в полярных координатах уравнением
г=г (Ф), то
72-2778— г
(2 7/2/32
Окружностью кривизны (соприкасающейся окружностью) кривой
в ее точке М называется предельное положение окружности, прове-
денной через точку М и две другие точки кривой Р и 0, когда
— Mu Q—M.
Радиус окружности кривизны равен радиусу кривизны в соответ-
ствующей точке М, а центр окружности кривизны (центр кривизны)
-
находится на нормали к кривой,
проведенной в точке М в сторону
вогнутости кривой.
Координаты Х и У центра
хривизны равны
,
#2
ХИ ОУ»,у
1-- и’?
У.
Рис. 47
‘Эволютой кривой называется
линия, описываемая центром кри-
визны при движении точки по кривой. Формулы для координат
центра кривизны определяют параметрические уравнения эволюты.
Пример 4. Найти уравнение эволюты параболы и2=2 (х-| |).
Имеем уу’ =2, т. е. y= . После повторного дифференцирова-
<
y
.
у"?
НИЯ получаем и’2--иу"=0, откуда ys
= -=. Находим ко-
1) Здесь используются частные производные функции двух пе-
ременных; определение см, вп. 3$ 1 гл. 7.
242
ординаты центра кривизны:
.)
—[14+—
X=x— ии, (Я) 3,
—
у’
2
— 1/4/3
27?
1
ly"?
ve
тем самым найдены параметрические уравнения эволюты:
3
Х=> y?, Y=— 3.
Исключив параметр у, найдем уравнение эволюты в виде
8
Уз ХЗ. py
Вычислить кривизну данной кривой!.
5.563. у=х* в начале координат и в точке М (1, 1).
5.564. х*-- 9, == 9 в вершинах эллипса А(3, 0) и В (0, 1).
5.565. x?—xy+y?=1 8B точке М (1, 1).
5.566. х=Ё, и=ЕЁ— ШИР при #=1.
5.567. x= 1/,t2, у=\).Ё в точке М (1, 1/,).
5.568. r=a(l—cosq) в любой точке и при ф=л.
5.569. г? = а?зт2ф при ф=л/4.
Найти радиусы кривизны {B любой точке) данных
кривых:
5.570. a) y= Ух 6) и.
5.571. а) х”3- y?/8 = q?; 6) x=acost, y=Dsint.
5.572. x=a(t—sint), y=a(l1—cosf).
5.573. a) r?=a*cos2g; 6) г=аф.
5.574*. Вершиной кривой называется такая ее точка,
в которой кривизна имеет максимум или минимум. Найти
вершину кривой у=е“*.
5.575. Найти вершину кривой у = пх.
Вычислить координаты центров кривизны и написать
уравнения окружностей кривизны данных кривых в ука-
занных точках:
5.576. у= яр в точке М (0, а).
5.577. у=е-* в точке М (0, 1).
5.578. и= хе“ в точке М (—1, —119).
5.579. y=sinx B Touxe M (n/2, 1).
5.580. x=a(t—sin?t), y=a(1—cos?) B TouxeM (na, 2a).
Найти эволюты кривых: ,
5.581, a) y= x5; 6) x?—y? =a’, B) 2 -- у? g?,
243
ив
—_——___
5.582. x=alnce a
er
5.583, x=2t, y= t?—2.
5. Дифференциальные характеристики пространственных кри-
вых. Во всякой неособой точке М (х, и, г) пространственной кривой
Г=Р (1) можно построить три взаимно перпендикулярных вектора:
ar.
о
.
У
r=
(направляющий вектор касательной),
°
B= a ar (пап авляющий вектор бинормали)
—at?dt2
Pp.
р
р
A
)
No=[В, Г] (направляющий вектор главной нормали)
HAM соответствующие им основные единичные векторы:
тТ8=B
y=N
[7]? [Bl ’
[N|’
которые можно вычислить также по формулам:
ar
=|dt
——
v=
—
= IT, VI.
ds’
dsl jds|’ B=[t, У]
Трехгранник C Bepwunoll B-Touke Mo, ребрами которого служат каса-
тельная, главная нормаль и бинормаль, называется естественным
трехгранником (триэдром) пространственной кривой. Гранями его
являются плоскости: соприкасающаяся (проходит через векторы Ги No),
нормальная (проходит через ‘векторы Ми В), спрямляющая (проходит
через векторы Ви Т).
°
Уравнения главной нормали имеют вид
0И 220
—
—
’
где х, у, г--текущие координаты точки главной нормали, NV,, N,,
No.-— координаты вектора No.
Уравнения бинормали:
АУ _22—20
Уравнение соприкасающейся плоскости:
Вх(х—хо) +Ву(у—
уз) - В: (2—2) =0..
Уравнение спрямляющей плоскости:
Nx (¥—Xo)Му (и— ую) НМ; (2— го) =0.
Пример 5. Найти основные единичные векторы т, У и В
кривой х=|— $1 {, И=с0$ $, 2={ в точке М, которой соответствует
зпачение параметра {=0. Написать уравнения касательной, главной
нормали и бинормали в этой точке.
< Имеем
r=(1—sin t) i+ cos t-j-+ tk,
ar __ cos t-¢—sin?t-j+-kR,
at
42
ie =sin t-g—cos (-/,
244
ste
„При #=0 получим
dr
ar
Pag Ee Geassi jfk
oe-
B=|5. Ч |= -1 01/=!+k,
,
0 —10
|tJPk.
—1 01
Следовательно,
= РЕЙ. v=—J,
+ke
V2
У.2
Так как при {=—0 имеем х=|, y=1, z=0, то.
х— | и—1|
г
.
‘о
>= =" =7 7 ypapnenna касательной;
x—l y—l1 2
0 =] = 9 — уравнения Главной нормали;
pot a! = 4 — уравнения бинормали. No.
Если пространственная кривая задапа как пересечение двух
поверхностей
.
F(x, у, 2) =0,
G(x, у, г) =0,
©
то удобнее вместо векторов > и <r рассматривать векторы
dr =(dx, dy, dz) u d’r =(d*x, d*y, d?z), причем можно считать одну
из переменных х; у, 2 независимой и ее второй дифференциал рав-
‚ ным нулю.
|
Пример 6. Написать уравнения соприкасающейся, нормальной
и спрямляющей плоскостей кривой
|
ху --2=6,
x? —yIt 224
в ее точке М(1, 1, 2).
« Дифференцируя данные. уравнения и считая х независимой
переменной, получим:
х ах-- уау-|- гаг=0,
xdx—y dy+zdz=0
dx?
+dy?+yФуа?гФа==0,
ах
—
ду?—уФу--а“--2г=0.
При х=1, у=1, 2=2 имеем:
dy =0, d2=— +de, d*y =0,. z= — >det,
1
3
Следовательно; АГ = (as, 0, —5 ax , ar=( 0, 0, —FZ az? .
Заменим эти векторы векторами, им коллинзарными, (2, 0, —1) и
245
(0, 0, —1), откуда
T= (2, 0, —1),
ij PR
ijЕ
B=-|20—1|=2/, N=|02 —=2(— i—2R).
00—1
20-1
Отсюда находим:
у—1 =0— уравнение соприкасающейся плоскости;
2х—2=
О — уравнение нормальной плоскости;
х--22—5=0
— уравнение спрямляющей плоскости. No
Найти основные единичные векторы т, %, В и соста-
вить уравнения касательной, главной нормали и бинор-
мали данных кривых:
|
5.584. х=е, у=е\, z=t npn t=0.
t
5.585. x =t—sint, y=1—cosf, z=4sin> при #=л.
5.586. х=2Ь у=ШЬ 2=й при #=1.
5.587. и=х, 2=2x*? в точке х=|.
5.588. Написать уравнения плоскостей, образующих
естественный трехгранник KpHBOoK x=—1?+ 1, y=cost,
z=e в точке (1, 1, |).
5.589. Написать уравнения плоскостей, образующих
естественный трехгранник кривой х=НУ9, и=Ну,
= шзш Е при #=л7/2.
5.590. Найти векторы т, %, В и написать ‘уравнения
всех ребер и плоскостей, образующих естественный трех-
гранник кривой х==(1-- 1)*, у=В, г=Ий-| в точке
(1, 0, 1).
|
‘5.591. Найти векторы“ *, %, В и написать уравнения
всех ребер и плоскостей, образующих естественный трех-
x?+y?+-2%=14,
123
в точке
.
хи 2—2
(1, 2, 3)
Кривизна пространственной кривой определяется аналогично
кривизне плоской кривой. Если кривая задана уравнением г = (5), то
|ar
kK=R=|ar
R
ds
В случае общего параметрического задания кривой имеем
{fdr а.
1
dt’ at?
|
dr3
at
Кручением (второй кривизной) пространственной кривой в точ-
ке М называется число
гранник кривой |
246
где 9— угол поворота бинормали, соответствующий дуге ММ. Вели-
чина о называется радиусом кручения или радиусом второй кривизны.
Если Р=Р ($), то
|
dr@rг
dB| ds ds?“ds3
°= Tas |= Vier»?
ds
d
где знак минус берется в том случае, когда векторы a и % имеют
одинаковое направление, и знак плюс—в противоположном случае.
Если РГ =Г (1, где г — произвольный параметр, то
drdrdr
аа?ав
=[=er|3
4’ ав
Пример 7. Найти‘ кривизну и кручение кривой х=ей соз Ь
y=elsint, 2г=е в любой точке.
< Имеем
r=(elcost, ef sin t,- et),
2” = (e! (cos !—sin ¢), e# (sin t--cos 0), ef),
2
ee sin t, 2ef cos ¢, et),
ar
t
t
t
ar = (—2e (sin ¢-+-cos ?t), 2e' (cos t—sin ?), e*).
Отсюда
|
i
J
Е
| SF | =e (cost—sinf) ef(sinf-+-cosf) et}.
dt" dt
—2et sin t
2ecost et
= et (sin t-—cos t, — (sin t-+-cos 8), 2),
ef(cost—sint) ef (sint-+cosf) et
aranar
—2e# sin t
2e! cos t ей| — Qe3t,
dt dt* dt —2et (sint-+-cos t) 2ef(cost—sint) et].
Следовательно,
_ _еЁУ (5 [—с0$ 18--(5 Есоз 084. _У2 _,
est Y ((sin t—cos t)?-+-(sin ¢--cos f)?+ 1)8 ~ 3° 4
2e8t
e-t
O~ al ((sin ¢—cos ¢)?-+ (sin ¢-+-cos ¢)?-+-4) 38° >
Вычислить кривизнуи кручение кривых:
5.592, x=e', y=et, г=й/2 в любой точке и при
[=0.
5.593. х=ьЬ у=йЙ, 2=й в любой точке и при Ё=0.
247
5.594. х=31—1, y=3l?, 2г=3- 1, в любой точке
и при #=1.
||
|
5.595. х=21, у=Ь г=й в любой точке и при #=1.
2
3x
5.596. y=
г=-;- при х==1|.
5.597. 2x=y*, г=х? в любой точке и при у=|.
5.598*. Дано уравнение движения ЕР
ВВ.
Определить ускорение 4 движения, тангенциальную и»;
и нормальную W, составляющие ускорения в любой мо-
мент Ё и. при #=1.
-
6. Комплексные функции действительной переменной. Если каж-
дому значению действительной переменной t€EDCR поставлено
в соответствие определенное комплексное число г=х--йу, то z(t)
называется комплексной функцией действительной переменной 1
с областью определения D:
2=2 (lt) =x (f) Fly (2).
Задание комплексной функции 2==г(!) равносильно заданию двух
действительных функций х=х (1, у=у(|, или заданию вектор-
функции Г (В = (х (0, и(1).
‘’Пример 8. Построить кривую, заданиую уравнением 2 (1) =
— ее НВ, —oct<to.
4@ Tax Kak z(t) =e (cos Bt-+ isin Bt), To| z(t) |=e% и агб 2 (#} = В.
Monaraa p=ft, находим, если В 72 0, i= . Следовательно, г=|2г (2) |=
a
=e 6 9 (—Ф © <ф<--<®), и мы получили уравнение логарифми-
ческой спирали (гл. 2, $ 3, п. 5, а также рис. 13, слева), если ав 22 0.
При «=0—окружность г==1, при В =0— луч ф==0.
П роизводной комплексно „функции 2 (1) называется комплексная
ray
lim А2 (0
функ0т
ции действительной переменной распространяются обычные правила
дифференцирования (см. п. | $ 1).
|
Пример 9. Доказать, что (е^)”
= АеМ , где А=о-|-
В — произ-
вольное комплексное число.
4 Пустьг(0=еМ=©4181, тогда.х(1)=е4созВЁии((]=20$шВЕ.
Отсюда находим:
=’ (Ю-Ни/ (0. На комплексные функ-
x’ (t) =aeTM cos Bt —Be% sin Bt,
y!(t)=ae“!sinBt+BecosВЕ.
Следовательно;
2’(1)=x! (1)+iy!(0)=(aecosBt—Be“ sinBZ)--
+i (ae sin Bt
+ Be%! cos Bt) = ae®/ (cos Bt +i sin Bd)-+-
+ipe“#(cosfi--isinBt)=ae%+iB --речи =— =
= (a-+ iB)eG+ipyt —Aer PE
Построить кривые, 3aaHHble ypaBHeHusiMH z=z (f),
e
,
и найти 2 (1:
248
5.599. 2==й--Й, 1Е(— оо, +00).
aU
5.600. z=1—i+te*, t€(—oco, + оо).
5.601. z= 2ей, РЕ [0, д].
5.602. 2= de! +e7'!, t€ (— oo, + 0).
5.603. z=(2+i) e+ (2—i)e7', tE€(—oo, + oo).
5.604, z= /?+ it*, 1€(— o, -++ oo),
5.605. z=¢-+i—ie~", t€[0, Qn].
|
5.606. г=аей (1—1), аЕЮ, 16 (— оо, + 00).
5.607*. Известно, что 2=2(Т) определяет закон дви-
жения точки на плоскости. Найти компоненты скорости
и ускорения по направлению касательной к кривой 2==г (1)
и перпендикулярному к нему.
5.608*. Точка г пробегает окружность |2 | = А с посто-
янной угловой скоростью, равной единице. Найти вектор
скорости точки No, движущейся. вместе с 2 по закону
@ =] (2).
Пусть р=-" — оператор дифференцирования, т. е. Ог (2 =г' (0.
Линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициен-
тами р (2) =а„0”"--...--а)--а определяется следующим образом.
p (D) z (t) =an2zTM (|... Баг (д-На2 (0). _
5.609*. Доказать следующие свойства линейного диф-
ференциального оператора с постоянными коэффициентами;
a)p(D)eM=p())eb
:
6) p(D) (ez (t)) =e"p (D+A) z (t), rae z(t) —nponsBons-
ная комплекснозначная функция, п раз дифференцируема
при любом ЕЕ (— со, -+00),
.
Для заданных функций вычислить. указанные линей-
ные комбинации производных!
|
5.610. х” (Е)-- 3х' (К --х (4), если х (1) = 17!соз Ё.
«4 Заметим, что х(1) = Ве (1% -1+0'). Поэтому х’ (1-Е 3х' (И -|-
+ x(t) = (D? + 3D + 1) x(t) =Re (D?-++ 3D+ 1) th ttl, Используя
результат задачи 5.6096), находим: =
(D?4-3D +1) te 44+ Ot Sew AtOt (D-Li—1)?-+3(D+i—1) +1) t=
=e(~A+0t (D242 (i—1) D+ (i—1)?+3D4-3 i—1)+1) t=
=&-1+11 (р*-|-(1-- 2) D+ (—2+ A) f= eH! (1
—2)+i(242) =
=e! (((1 —2t) cos ¢—(2-++2) sin ¢) ++i ((1 —2t) sin ¢-+ (2+-2) cos 4).
Отсюда получаем:
х’(ЕЗх' --х(0=Re(D?
+-3D+- 1)teat =
=e? ((1— 2) cos ¢—(2-++-t) sind). »
5.611. х’'’ (1) -- 46х (1); х (1)= e* cos 3¢.
249
5.612*, x” (t)—x’ (Ух (1); х (р =е!/2$1 t.
5.613. х’ (В - 2х (2х (1; x(t) =etsin2t+e7*
cost.
5.614. х’”’ (А —х (1); Хх =ВзшЬ
5.615. x” (t)—2x’ (t)+5x (1); x(t) =et sin VILE.
5.616, 3/,x" (t)—x' (O+x(t); «<(Q)=U+F)e'
cost.
$ 6. Численные методы функции одной переменной
1. Численное решение уравнений. Корень ЁЕ (а, 6) уравнения
f(x) =90 изолирован на отрезке [a, 6], если на этом отрезке не со-
держится других корней указанного уравнения. Отрезок [а, 6] назы-
вается отрезком изоляции корня.
Метод хорд. Пусть на отрезке [а, 6] изоляции корня урав-
нения [ (х)=0 выполняются условия:
а) функции- Г), Г (х) и f’ (x) непрерывны;
6) | (а)-1 (6) <0
в) функции f’ (х) и [ (х) ие изменяют своего знака.
Определим числа хи (п=1, 2, ..) равенствами
xЕ
.
=)” F(%n-1)—Ffa) '
x , ea kno)I(n=)
a f (6) —F (*n-1)
‘Тогда последовательность (хп), = No СХодится к корню Е прип—+ 0,
Xo=6, ecu f(a)
F
(x3) < 0,
‚ ж=а, если f (a)+f (xy) > 0.
и для всех натуральных п выполняются неравенства
| f (xn)|
Хе—61<
о,
M—
[%n—S1<
М жи хв-т
где. т= "min {ff Оо)[Ги М= пах. РГ (х)|.
a<cxigb
agx
Пример 1. Найти корни ypapnenua
хгагов х—1 =0
методом хорд с точностью до 0,0001.
4 Построив графики функций у=аго хи у=1/х, по расположе-
нию точек пересечения заключаем, что указанное уравнение имеет
два корня Ё и Ё, равных по абсолютной величине и различных
по знаку. Найдем положительный корень ё&1, выбрав отрезком изо-
ляции этого корня отрезок [1, V 3]. Для функции | (х)=х. arctg x—1
имеем
f’ (x) =arctg Хх ——, ГР =.
1я
(1-Е х2)3
и
F(1)-F(V 3) =(F — ') (7371) = -0.2148019-0,8197992 < 0,
c
l
k
250
поэтому условия а), 6) и в) выполняются. Так как [(х) >0 при
x€[1, V 3], 10 mex (х)
<М, где
m=f" (1) и
‚2853981;
М=Р (V3) = 24 VS 1.480210,
И “am —0,1515577. Чтобы определить знак произведения f (1)+f (xz),
найдем ху. Поскольку
(У 3—1 11)
|] — ——___—_————-
= 1, 1527608
‚ КИЭ-а)
и, следовательно, [(1)*Ё(х1) > 0, то числа х„ следует вычислять по
формуле
(У 3З—лн-1) f (Xn-1) .
(И 3)—f (%n-1)
x=
Xn F4X%n-1—
Сведем вычисления в таблицу:
п
Xn mt
f (xn ~1)
—(X4—-%n—1)
Xn
aon (¥n— Xn —1)
ita
—0,2146019 | —0,1527608 |1,1527608 | 0,0231890
2| 11527608 |—0’0129601 | —0’0090807 |1,1618415| 0’0013762
3| 1,1618415 |—0,0006758 | —0,0004730 |1,1623145| 0,0000716
Последний столбец определяет предельную абсолютную погрешность 1).
Таким образом, & =1,1623 -- 0,0001 и &=—1,1623 + 0,0001. No»
Метод касательных. Пусть на отрезке [а, 5] изоляции
корня Ё уравнения ](х) =0 выполняются указанные выще условия
а), 6) ив) и числа х„ (п=1, 2, 3,...) определяются равенством
_
f (xn-1)
“
Яир Gans)”
причем
_ [а, если1(а)*}(6) < 0,
_ 6-9 Е(@)
не ПОДотоFT
Тогда последовательность ем сходится к корню & NpH n—> oo,
и для всех натуральных пл выполняются неравенства
| Xn—§| => [Ea H }xn—§ | <j (%,—Xn~1)*,
1) Здесь и во всех приведенных далее расчетных задачах проме-
жуточные вычисления проводятся с таким числом десятичных зна-
ков, которое обеспечивается используемой ЭВМ.
251
где
m= min |f’(x)], My= тах |[ (%)|.
<b
agxgb
.
as
Пример 2. Найти положительный корень ообРазнения
х.агое х— | =0 методом касательных с точностью до 0,0
< Как и в предыдущем примере, отрезком изоляции является отре-
вок [1, V 3}. Поскольку для функции’ f(x) =x-aratgx—1 имеем
_ AV 3-1) ) 1,1527608> 0 и [(1)Ё (6 >0, то числа Xn
f(V 3)—F (1)
вычисляем по формуле
tn=int—fe, хо=У3,
Функции [/ (х), [’(х) и значение т =: 1,2853981 найдены в примере 1.
—_ р!
—
vt
Ш
о
Далее, М1=й (1) =0,25, потому что |! (х)= Ия < 0 на от
резке изоляции. Наконец, 1 -0,0972461.
Результаты вычислений сведем в таблицу:
М
п
Xn-1
f (xn-1)
I (xno) =—(xXyn—X%n 1)
in
Ty (kno *n—1}"
р |1, 73205080 ‚813799211 ‚4802102|0,5497862 |1, 1822646] 0,0534645
о |1 182964610 ‚02706281 ‚3617976] 0,0198728 |1,1623918| 0,0000384
Следовательно, корень уравнения & = 1,16239 + 0,00004. No
Убедиться в том, что уравнения не имеют дейвтви-
тельных корней!
5.617. 2*—х—
17, =0, 5.618. и агощя +1 =0,
5.619. (х2--2х--2): =0. 5.620. И2х—1 Те =0.
5.621. x*—x?-+
1 =0.
5.622**. Корень Е уравнения [(х)=0 изолирован на
отрезке [а, 6], функция {(х) непрерывна и f (a)-/ (5) < 0.
Составить на фортране подпрограмму уменьшения отрезка
изоляции в 2" раз, используя последовательное деление
отрезка пополам. Параметрами выбрать величины F, A,
В, М, где F — идентификатор подпрограммы-функции для
вычисления значений функции | (х), А и В— концы ис-
ходного отрезка изоляции до вычислений и концы полу-
ченного отрезка изоляции после вычислений, No — показа-'
тель степени в выражении 2”, характеризующем уменьшение
отрезка изоляции.
252
5.623. Решить уравнение No--1'—3=0 комбиниро-
ванным методом, применяя метод хорд и метод касатель-
ных и сравнивая результаты.
‘4. Построив графики функций у=х3 и у=3— х?, приходим к выводу;
что указанное уравиение имеет однн действительный корень & на
отрезке [1, 2]. Уменьшим отрезок изоляции в 4 раза, используя метод
половинного деления, Для ](х) =х3-Рх?—3 имеем (|) =—1<0и
[(2) = 9 > 0. Найдем [ (1,5) =; > 0, поэтому более узким отрезком
изоляции является отрезок `1, 1,5]. Найдя [(1,25)
= 0,515625 > 0,
получим отрезок {[1, 1,25]. Так как
|
_ (25-0
|
=1 FH
Fy = 1649484 > Om
то, применяя метод хорд, пеобходимо использовать формулу‘
(1,25—xn—1) f (tn=1)
F (1,25)
—f (%n-1)
а, применяя метод касательных,— формулу
FU)FO>9,
Ап =Хпв-1—
(п=1, 2, 3, cody
>
oo
a
Яв —=Хв-1—
(n=1, 2, 3, eee), Xp = 1,25,
Результаты вычислений сведем в две таблицы:
а) для метода хорд:
Хи
f(xn=1)
—(Xn- Xn—1)
Xa
1.
—1
| —0, 1649484
1,1649484
1,1649484 —0,0619384 —0,0091209
1,1740693
1,1740693 —0,0031786 —0,0004651
1,1745344
6) для метода касательпых:
пп
(Xn)
Р (в) —(Xn~Xn—1)
Xn
11 1,25
0,515625 7,1875
0,0717391 1, 1782609
21| 1,1782609 0,0240767 | 6,5214179
0,0036919 1,1745690
При вычислении методом хорд получили возрастающую последо-
вательность (х„) приближений корня &:
1 < 11643484 < 1,1740693 < 1,1745344 <...< &,
253
а при вычислении методом. касательных
— убывающую последователь-
ность (хр):
Ё<...х 1,1745690 < 1,1782609 < 1,25.
Совпадающие десятичные знаки членов обеих последовательностей
являются точными для корня &. По заданной предельной абсолютной
погрешности # значение п, при котором. достигается необходимая
точность, находится.из неравенства
|Xn—Xp|<8,
при этом =F (int in) +e. Таким образом,
5 =1,17455 + 0,00003. No
Вычислить одним из указанных методов с точностью
до 0,0001 действительные корни уравнений: а) методом
хорд, 6) методом касательных, в)’ комбинированным ме-
тодом:
5.624. хз--2х—8=0.
5.625. +x*+1=—0.
5.626. х*— 3 4х—1=0. 5.627. x°-+2x—30=0.
5.628. х — З^ 1 х—1=0. -5.629. free
0.
5.630. —dx+1=—0.
5.631. 2x? —5x?+-7x—2=—0.
5.632. (x+ 1)?—x=0.
9.633, x1 —2x—2=0.
5.634. xt —4x+1=0.
5.635, xe +x+1=0.
5.636. x= j/5—x.
5.637, x=2+4 j/x.
5.638. x3 + 60x—80=0. 5.639. x5—x—2=0,
5.640. х= 10 |5х.
5.641. х=2— 6х.
5.642. х? = — Inx.
5.643. х?= п (х- 1).
5.644. 4х==2*.
5.645. x?=e*+2.
5.646. x-+-sinx—1=0.
5.647. х— созх=0.
5.648. x*= cos x.
5.649, x=arctg)/x.
5.650. Inx
= arctg x.
9.651, x?+Inx—4=0.
5.652. x*-arctgx—1=0.
5.653. Составить на фортране программу решения сле-
дующей задачи: найти методом хорд корни уравнения
е-*—Хх =0 в точностью до 0,0001.
Программу бледует представить как совокупность трех праграм-
мных единиц: основной программы, подпрограммы-функции нахожде-
ния корня уравнения [(х) =0 методом хорд на отрезке изоляции
Кор Ne р], подпрограммы-функции вычисления значений функ-
ции | (x).
Подпрограмма-функция вычисления вначений функции:
FUNCTION F(X)
F=EXP(X—2.)—X
RETURN
,
END
|
Todnpocpanna-dy hk yun нахождения корня методом хорд. Пара-
метры: Е, А, В, $, ЕР5, Е— имя подпрограммы-функции вычисления
254
‘значений функции [(х); А и В`—концы отрезка изоляции корня,
5 — наименьшее: значение |} (х)| на отрезке изоляции, EPS—npe-
дельная абсолютная погрешность.
FUNCTION CHORD(F,A,B,S,EPS)
FA = F(A)
FB =F(B) |
X =A—(B—A)*FA/(FB—FA)
FX = F(X)
1Е(ЕА»ЕХ.СТ.о) СО ТО 2
1 X= X—(X—A)sFX/(FX—FA)
FX= F(X
IF(ABStFX)/S,GT.EPS) GO TO 1
RETURN
RE
2 X=X—(B—X)#FX/(FB—FX)
FX =F(X) |
IE(ABStFX)/S.GT.EPS) СО ТО 2.
CHOR
RETURN
END
- Операторы FA=F(A); FB=F(B) nu FX=F(X) ucnonpsywrca
в указанной подпрограмме для того, чтобы избежать лишних вычис-
лений значений функции | (х); при исполнении программы запись F(X)
влечет обращение к подпрограмме-функции и вычисление соответст-
вующего значения этой функции.
Основная программа. Анализируя поведение функции /(х)=е*-?— х
и ее производной |’ (х)=е*-?— 1, заключаем, что уравнение е“-2—х—0
имеет два корня на отрезках [0, 0,3] и [3, 3,2]. Поскольку f” (x) =
= е*-> 0, To f(x) возрастает, и выполняются неравенства
—0,864665
=e~?—1<|(х)<е71"
— 1 = —0,817316 для хЕ[О, 0,31,
1,718281 =е—1 << |’ (х) < ее? —1=2,320116 для хЕ[3З, 3,2]. Поэтому
|” (х)| > 0,8173 в первом случае и ||” (х)| > 1,7182 во втором. Эти
числа вместе с концами отрезков изоляции и заданной предельной
абсолютной погрешностью определяют значения параметров, т. е.; как
говорят, являются фактическими параметрами для подпрограммы
СНОВО. Основная программа имеет вид:
EXTERNAL F
ROOT! = CHORD (F,0.0,0.3,0.8173,0.0001)
ROOT2= CHORD(F,3.,3.2,1.7182,0.0001)
WRITE (8,1) ROOT1, ROOT2
1 РОВМАТ (’ КОРНИ УРАВНЕНИЯ!',Еб.4,? и !,Еб.4)
STOP
END.
>
e
Составить на фортране подпрограммы-функции для на-
хождения указанным методом корня уравнения [(х) =0
на отрезке изоляции [а, 8]. Параметры: РЕ, А, В, $, ЕР5;
ЕР—имя подпрограммы-функции вычисления значений
функции | (х), А и В—концы отрезка изоляции корня,
$-—параметр, определенный ниже, ЕР$ — предельная аб-
солютная погрешность. Параметр Ер—имя подпрограм-
мы-функции вычисления | (х).
255
5.654. Метод хорд. Параметры: К, А, В, $, ЕР®, $ ==
‘om ‚ где М=шах |} (х)| ит=шш || (%) | дляхЕе[а, 6].
- 5.655. Метод касательных.. Параметры: Е, ЕБ, А, В,
S, EPS, Sao, roe M,=max|/"(x)| » m=min|f' (x)|
для хЕ[а, 6].
5.656. Комбинированный метод. Параметры: F, FD, A,
B, EPS.
5.657. Для уравнения {(х)==0О одной из задач 5.624 —
5.652 составить на Фюртране подпрограмму-функцию вы-
числения значений. функции } (х).
Составить на фортране программы решения одной из
задач 5.624 —5.652 указанным методом:
5.658. Метод хорд. Использовать решения задач 5.654
и 5.667.
5.659. Метод касательных. Использовать решения за-
дач "5. 655 и 5.657.
‚ 5.670. Комбинированный метод. Использовать решения
задач 5.656 и 5.657.
2. Интерполирование Функций. Пусть функция у=р(х) в узлах
интерполяции хьЕ [а, 6], #=0,1,..., п, принимает значения [(х»)==ук,
тогда разделенные разности определяются равенствами:
—
——
Ик ЧЕ+т
Ay(Xp,Ха)==,
У
т
АЕ — ХЕ+1
Ag (xg, pai) — An (Xpas, Xfe4)
Ay(xxryА
’
у (Хе, ХЕ» ХЕ+а)=
Хи
Ay (Xp, Xptts cer Xptlods Xray =
Ay (Xz, ХЕ+Т, ...,у Xba p—1) — Ay (eats co ey Xp)
(kR+-l<n)
Xr—Xr+i
а интерполяционный полином функции [(х) на отрезке [а, 6] имеет
ВИД
Pa (x) =Yot+ >, (xX —X5) (K—X4) 006 (K— Xp) AY (Xo, XE, «0, Xp)3 (1)
kel
при этом в случае существования непрерывной Mpon3spoquoh f+) (x)
на [а, 6] выполняется “sparen
п (— жи)|
Mnyr= тэх | +1 (4) |..
agx<gob
Mast
(n+
(n+1)!
(2)
[1(%)—рах)|=
где
Пример 3. Найти У 2 с точностью до 10-4, построив для
функции [1 (х) =У х иптерполяционный полином на отрезке [1,69, 2,95].
256
‚® Выберем п==2 и узлы antepnoanaan x)= 1,69, «= 1;96;"4,
= 2,25.
Оценим точность по формуле (2). Так как [1\ @=— 16 “V2 <0,
функция [#7 (j= х-5/ a убывает на отрезке Г = (1,69, 2 ‚25]; поэтому
I
|
М.—
OE (x) me fet 69).
—-() 1
.
9 max | (x) =f'"" (1,69) 8 1,60)" 1,3 0,1009984
Torga QA pasHoctH re (x)=f (x)—pe2 (x) получим: неравенство
а < ZB | (x= 1,69) (2 —1,96) (x —2,25)|,
откуда следует выполнение неравенства
“tral 2100084 9,31, 0,04-0,25 —0,0000521 `_
и достижение заданной точности.
Найдем коэффициенты интерполяционного полинома, вычислив
разделенные разности и поместив результаты вычислений в таблицу;
к|
|
Ш
у (ху, *e+1)
|
АУ (к Як’ Яыа)
0 11,69] 1,3] _
1
3
—
:
| 1,3—1,4 —=0,3703703 0,3703703 —0,3448275 _
в |196 |-14| 169— 1,96
1,69—2,5
=
ро
1,4—1,5
= —0,0456121
|
5 55 913448275
2 |2,25] 1,5
ue
Полином имеет вид
pg (x) = 1,3-+ 0,3703703(x — 1,69) —0,0456121 (x —1,69) (x— 1,96),
рз (2) =1,3--0,3703703.0,31 —0,0456121.0,31 .0,04=
=1,3--0,1148147—0,0005655 = 1,4142492.
Отсюда
У 3= 1,4142
+ 0,0001. No
Конечные pasnocmu Aty; (k=1, 2, ...; 1[=0, 1,2,...) опреде-
ляются равенствами:
Ги”
Ану= АИ Уь
А? ИА
АУЬ
e°eee
Atyp=AR 1—8 1.
Для равноотстоящих узлов хь = -НЁВ (Е =0, 1,..., п) с шагом
интерполяции В > 0 интерполяциоинный полином (1) приобретает вид
Pn (x)=Yo +>) p=) ear О Алу
(3)
k=1
9 Под ред. А. В. Ефимова, В. И. Демидовича
257
X—X
|
‘и АNoи,
— конечные разности А-го порядка, а неравенство
где {=
(2) —вид
.
;
M,;
lf()—Pn(|<СTHрп+1IT(0)
(4)
k=0
Пример 4. Функция у=}(х) задана таблицей
x
]‚0
1‚|
1‚2
1‚3
и | 2,7854 2,8330 2,8761 2,9151
Определить, каким аналитическим выражением можно представить
указанную функцию на отрезке [1, 1,3], и вычислить } (1,15).
Аналитическое выражение, позволяющее вычислить значения функ-
ции } (х), не данные в таблице, будем искать в виде полинома, зна-
чения которого совпадают с заданными значениями функции, т.е.
в виде полинома рз(х), удовлетворяющего соотпошениям Pg (Xp)=
=f (xp) npn А =0, 1, 2, 3. Единственным полиномом с такими свой-
ствами является интерполяционный полином рз(х), определяемый
равенством (3). Найдем конечные разности, сведя. вычисления в сле-
‘дующую таблицу:
А
Xp
Yp
Ау,
A’Yp
AY
0 | 2.7854
| Г. 2’8330 ат —0,0045] 9 goog
о 1,2 | 2,8761 | O'oagq |—0.0041|
3 13 |295| 0,0:
Применяя формулу (3) при #==0,1, п=Зи х=1, получим
Pg (x) = 2,7854
+ 0,476 (x— 1) —0,225 (x— 1) (x—1, 1)-+
-+ 0,0666 (x— No) (x —1,1) («—1,2).
Тогда
Dg (1,15) = 2,7854 + 0,476-0,15 —0,225-0,15-0,05-+
+0,0666 .0,15-0,05 (—0,05) = 2,7854
+ 0,0714—0,0017-++-0,0000 = 2,855}.
Для вычисления | (1,15) заметим, что { (1,15)
= рз (1,15), и предель-
ной абсолютной погрешностью равенства |(х)= ри (х), если произ-
водная [+1 (х) неизвестна, считается модуль последнего из слагае-
мых, входящих в сумму (3). Поэтому { (1,15) =2,8551. No
5.671*. Доказать равенство
k
A‘y,= 2 Ci (—1)” Yes iv»
fs Ol=1,
У—
где(=иут,
258
5.672*. Доказать равенство
Ay (x1 won Day1» (Xy) ,
ь
гдеи),=i (x—x,).
6.673. Jaa byuKunn f(x) =cos—то
поляционный полином, выбрав узлы х-==0, хх =1, х;=2,
д
х. =3. ВЫЧИСЛИТЬ cos Тб.
5.674*. Для функции }(х) =х построить интерполя-.
ционный полином, выбрав узлы х=9, х;=10, х, = 12,
х; = 15 и используя значения In 2=0,693147, In3=1 ‚098613
и 15 = 1,609438. Вычислить п 11.
Функция и=}(х) задана таблицей. Найти значения
этой функции при указанных, не входящих в таблицу
значениях х; и х; аргумента х.
5.675.
x|1,0 1,1 12°1,3 1,4 1,5 1,6 1,7
х построить интер-
y | 1,042 1,061 1,087 1,119 1,160 1,212 1,274 1,350
x, = 1,26, x,= 1,58.
5.676.
x|1,8
1,9
2,0 2,1 2,2 2,3 4,4 2,5
и | 1,958 2,107 2,268 2,443 2,632 2,841 3,071 3,324
x, = 1,89, х, = 2,43.
5.677.
x 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 1,05 1,19
у 0,742 0,789 0,835 0,880 0,924 0,967 1,008 1,046
x, = 0,83, x, =0,97.
5.678.
Xx | 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95 2,00 2,05
у | 1.2322 1,2097 1,1789 1,1389 1,0888 1,0281 0,9558 0,8713
x,=1,74, x,=1,97.
9+
259
5.679,
x | 2,70 2,76 2,80 2,85 2,90 2,95 "3,00 3,05
y |1,5827 1,4865 1,3721 1,2383 1,0838 0,9071 0,7069 0,4817
44 = 2,72, X, = 2,93.
5.680.
x|10152025303540£4
4.| 0,985 0,966 0,940 0,906 0,866 0,819 0,766 0,707
х,=23, x,=41.
5.681.
x|1,] 1,6 2,1 2,6 3,13,6 4,1'4,6
y | 1,029 1,389 1,649 1,800 1,852 1,822 1,739 1,632
XN,= 1,3, х.=4,0.
5.682.
ох. | 0,13
0,18 0,23 0,28 0,33 0,38 0,43 0,48
и | 0,1296 0,1790 0,2280 0,2764 0,3242 0,3712 0,4173 0,4626
х,=0,20, х,=0,41.
5.683.
x|1,1
},2
1,3
1,4
1,5
1,6 1,7 1,8
y | 0,1198 0,0897 0,0660 0,0477 0,0339 0,0236 0,0162 0,0109
x,= 1,25, x,—1,76.
5.684.
x|5055606570
75
80
85
y |0,285 0,319 0,223 0,042 —0,148 —0,273 —0,283 —0,178
x,=58, xX,=79.
5.685. Вычислить значения интегрального синуса Si (x)=
x
=| sm @ при х=0,26 и при х= 0,45, используя таб-
0
лицу его значений;
x 0.17 0,22 0,27 0,32 0,37 0,42 0,47 0,52
Si (x) |0,16973 0,21941 0,26891 0,31819 0,36720 0,41591 0,46427 0,51225
260
5.686. Вычислить значения интеграла’ вероятностей
x
9 =у= е-" 4 при х=0,27 и: при х=0,58, исполь
л
зуя таблицу его значений;
Xx | 9,05 0,15 0,25 0,35 0,45 0,55 0,65 0,75
@ (x) | 0,05637 0,16800 0,27633 0,37938 0,47548 0,56332 0,64203 0,71116
5.687. Применяя интерполирование, решить’ уравнение
x-Inx—1=0.
4 На отрезке / =[1,6, 1,9] изоляции кория для функции у=х ах — 1
имеем;
|
x|1,6
1,7
1,8
1,9
y | —0,2479952 —0,0979324 0 (0580148 0, 2195296
Функция у=хпх—1 на отрезке Г возрастает, поскольку у’=
=шх--1 > 0 при хЕ Г. Следовательно, существует обратшая функ-
ция х=Ф (у), для которой, считая теперь у аргументом и х значе-
нием функции, построим интерполяционный полином хз (у). Данный
прием называется обратной интерполяцией. Поместив результаты
вычислений ‘в таблицу, получим:
АХ (Ук Opa ge [AX (Yor Yea
+ 9 «15(YeYes) ‘tog ен
о|—0, 2479952| 1,6|
| | —0,0979324| 1,7 | 0,6005878 | —0,0821705 | (0270049
2| 0,0580148| 1,8 | 0’6]91651 |—0,0695452
3| 0,2195226| 1,9 | °’
Отсюда искомый полином имеет вид
кз (у) =1,6-- 0,6663876 (и--0,2479952) —
—0,0821705 (и--0,2479952) (и-- 0,09793924)-{-
-+-0,0270049 (y + 0,2479952) (y-}-0,0979324) (y—0,0580148).
Для нахождения корня нужно положить у=0. Получаем
хз (0) =1,6--0,1652609—0,0019956 —0,000038 = 1,7632273.
Следовательно, корень равен 1,76323
— 0,00004, где предельная аб-
солютная погрешность полагается равной абсолютной величине
` по-
следнего слагаемого в выражении для хз (0). No
261
5.688. Пользуясь таблицей значений функции у==] (х),
найти значение х,, при котором [(хь)= 0,569:
x | 1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85
y | —1,125 —0,926 —0,704 —0,458 —0,187 0,109 0,432 0,782
5.689. Пользуясь таблицей значений функции у =(х),
аайти значение х,, при котором f(x,)
= 4,498:
x|1,1
1,2
1,3
1,4 1,5 1,6
| 2,431 2,928 3,497 4,144 4,875 5,696
5.690. Используя таблицу, методом обратного интерпо-
лирования решить уравнение shx = 4,9370:
x]22.2
24 26
и | 3,6269 4,4571 5,4662 9,6947
5.691. Используя таблицу, методом обратного иитерпо-
лирования решить уравиение tg x == 1,767:
| 60°
61°
62°
1,732 1,804 1,881
Составить на фортране указанные подпрограммы!
5.692. Подпрограмма вычисления разделенных разно-
стей Ду (хи, х,...,х,), Е=Ь 2, ..., п, Ay (x)
=y (x).
Параметры: Х, у, м, где МNo-—число элементов массивов
Х и У, содержащих соответственно значения аргумента
и значения функции. Результат вычислений содержится
в массиве У.
5.693*. Подпрограмма вычисления конечных разностей
А^у, =1,2,....П— 1. Параметры У и М, где У —мас-
сив, содержащий No элементов —значения функции при
входе и конечные разности при выходе из подпрограммы.
5.694*. Подпрограмма-функция вычисления значений
интерполяционного полинома для функции, заданной таб-
лично. Параметры: Х, У, М, КЕУ, АЮО, где Х — массив
значений аргумента, У —массив значений функции, если
КЕУ =0, и массив разделенных разностей, если КЕУ = 0,
No — размерность массивов Х и У, АК — значение аргу-
мента полинома.
5.695. Подпрограмма вычисления значений интерполя-
ционного полинома функции, заданной таблично. Пара-
метры: Х, У, М, КЕУ, АЮКО, Р, ЕР$, где Х — массив
значений аргумента, У —массив значений функции, если
КЕУ = 0, и массив разделенных разностей, если КЕУ =2 0,
262
N —pa3mepHocTb массивов Х и У, АК@
— значение аргу-
мента полинома, Р — значение полинома, ЕР$ —модуль
последнего слагаемого, входящего в интерполяционный
NOJIMHOM.
5.696. Подпрограмма-функция вычисления значений
интерполяционного полинома функции, заданной таб-
лично, при равноотстоящих узлах интерполирования.
Параметры: Х, Н, У, М, КЕУ, АКС, где Х — начальный
узел интерполирования, Н— шаг, У — массив значений
функции, если КЕУ =0, и массив конечных разностей
с соответствующими коэффициентами, если КЕУХ =20,
No —величина массива АК — значение аргумента поли-
нома.
5.697. Используя подпрограмму-функцию, полученную
в задаче 5.696, решить с помощью ЭВМ одну из задач
5.675—5.686.
5.698. Используя подпрограмму-функцию, полученную
в задаче 5.694, решить с помощью ЭВМ одну из задач
5.687—5.691.
5.699. Используя подпрограмму, полученную в задаче
5.695, решить с помощью ЭВМ одну из задач 5.688, 5.689.
3. Численное дифференцирование. Формулы численного диффе-
ренцирования получаются в результате дифференцирования интерпо-
ляционных формул:
F(x)&pn(x)=Ay(Xo.£1)+((¥—%0)+(X—41)Ay(Xo.X21,хз)--
+((x Xo)(X—1)+(4=X0)(4X—2)+
“+ (x— x4) (X —%2)) Ay (Xg, X14, Ke, 3) Poesy
при этом погрешиость приближенного равенства /’ (х) = Dn (х) равна
производной от погрешности ги (х) ={ (х)— ри (х).
В случае равноотстоящих узлов Xp=Xp—-y-+A (kR=1, ...; an),
хь Е [а, 6] и [(хь) =ук справедливы соотношения
2—1 312—6t +2
пя (А
ои
2418—9211: —3
+ as А+...) ©
{2|
POs) ae (AME)
Mt
byte), ©
|
где = (х— хо). Формулы (5) и (6) содержат соответственно по п
и п—| слагаемому.
Пример. 5. Материальная точка М движется прямолинейно.
Закон движения $=}(т) представлен с помощью таблицы (т —время
263
-
‚в CeHyHAaX, S—NyTb B MeTpax):
02103068130222
Найти скорость о и ускорение ш точки М в момент времени т== 3,5.
$ Составляем таблицу конечных разностей функции $=} (т):
т
`
As
Afs
435 | 445
0
0
1.
‘9
2
6
6
2
10201260
33038
1860
468622460
5|130} go|30| >
6222~
Принимая за начальный момент времени момент т=3, ближай-
ший кт= 3,5, будем иметь 1—3)
=0,5. Применяя формулы (5)
и (6), полузаем:
y=}! (9,5) =- (би 24. 3- (0,5): —6-0.5--2 6 )-
= 37,75 (m/c),
s
2
0)
w=P,5) =e (244 0,5—1)-6-+ 6+ (0,5) = ‚5-11 0)=
—21 (м/с?). No
Функция f(x) задана таблицей. Вычислить значения
производной [ (х) в указанных двух точках х, и лх,:
5.700.
х |1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5
[(х) | 1,44013 1,54722 1,67302 1,81973 1,98970 2,18547 2,40978 2,66557
Xx — 2,03, No5 — 2,22.
264
5.701.
х |1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 15 1,6 1,7
f(x) {10083 1,1134 1,2208 1,3310 1,4449 1,5634 1,6876 1,8186
xy — 1, 14,. Xo = 1,42...
5.702.
x 2,8
2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,8
f (x)
x, == 3,02, x,=3,31.
3,92847 4,41016 4,93838 5,51744 6,15213 6,84782 7,61045 8,44671
5.703.
x {0,75 0,80 0,85 0,99 0,95 1,00 1,05 1,10
f (x)|0,2803 0,3186 0,3592 0,4021 0,4472 0,4945 0,5438 0,5952
x, =:0,82, x, = 1,03.
5.704.
x 1,1
1,2 1,3 1,4
1,5 1,6 1,7 1,8
f (x) | 0,8802 0,9103 0,9340 0,9523 0,9661 0,9764 0,9838 0,9891
х, = 1,34, х; = 1,65.
Вычислить значения f’ (x) un /’(*) в указанной точке:
5.705.
265
f(x)|31985963
х=2,5.
Составить На фортране указанные подпрограммы:
5.707*. Подпрограмма-функция вычисления значений
.
п
первой производной полинома ш, (В = [] ({(—^). Пара-
|
k=0
метры: М, T.
5.708*. Подпрограмма-функция вычисления значений
второй производной полинома w,, © Пе
Пара-
метры: М, Т.
о
5.709. Подпрограмма-функция вычисления значений
первой производной интерполяционного полинома
< t(t{—1)... ((—R+1
—
Ph(x)=yy+d. (
=
+) A*yf, t=
в.
k=1
h
Параметры: Х, Н, У, М, КЕУ, АБО, где Х — начальный
узел интерполирования, У — массив значений функции
при КЕУ =0 и массив, содержащий величины ух, a Ay
(Е=1,..., п) при KEY ~0, ARG—snauenne аргумента,
при котором вычисляется производная, М есть п -{-1.
5.710. Подпрограмма- функция вычисления значений
второй производной интерполяционного полинома р, (х).
Параметры те же, что в задаче 5.709.
5.711. Используя подпрограмму-функцию, составлен-
ную в задаче 5.709, написать на фортране программу
решения одной из задач 5.700—5.704.
5.712. Используя подпрограммы-функции, составленные
при решении задач 5.709 и 5.710, написать на фортране
программу решения одной из задач 5.705, 5.706.
268
Глава 6
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
$ 1.. Основные методы вычисления неопределенного
интеграла
1. Первообразная ‘и неопределенный интеграл. Функция F (x)
называется первообразной функции | (х), заданной на некотором мно-
жестве Х, если Ё’(х)=}|(х) для всех х ЕХ. Если Р (х)
— первооб-
разная функции | (х), то Ф (х) является первообразной той же функ-
циивтом итолько втомслучае,когдаФ(х)=Р(Хх)С,гдеС—
некоторая постоянная. Совокупность всех первообразных функции
Г(х) называется неопределенным интегралом от ‘этой функции и 0бо-
значается символом Wie ах. Таким образом, по определению
У dx ={F (x) -+-C},
(1)
где Р(х)—одна из первообразных функции /(х), а постоянная ‘С
принимает действительные значения.
В силу установившейся традиции равенство (1) записывается без
явного обозначения множества справа, т. е. в виде
|FW)de=FС,
при этом С называют произвольной постоянной.
Свойства неопределенного интеграла
1. (1094) =.
2. No (x)dx=}(x)+C.
3. (af(x)de=a f(x)de,a£0.
4. (h@+h@ a= lh@ det] h@ ae.
Таблица основных неопределенных интегралов
п
xn} G
5—|
.0,=
t
п=— В.
2. { Zainizite.
3. (atde=“ 40 (@>0,a¥1); (et drmer 4c,
ev
4, \ sin x dx =— cosx-+C,
267
5. сов яя вшя-- С.
Ахost x =tg x-++C.
7. ит
час
8.
рем tes
ные (+)
= In| cosec x—ctg x|-+-C.
+-C= In| tg x+sec x]-+C.
10. \ ate5q=sarctgX4+C (#0.
4х
И. але Ее
—
@%0.
12. | pasate
6, [|< lal.
dx
8. | asdx
—_—
14. |
(e+V Fal)+0 (a#0).
15. ( sh edx=ch x.
=In|/x<+Yx—ail+c, |x] > a] >.
16.. \снх4х= 8х--С.
17,|ес=+.
dx
18. те ст х-+С.
Найти первообразные следующих функций!
6.1.2х7.6.2.4.6.3,=+x
6.4, St! 6.5, (ИЕН 6.6. 1—2sint~.
— xpx,
2
1
об OO. —___— 6
.8. 2—3х, 6. 9.
Exо
6.7 уз
6е
We
6.10. ———
—
6.11. 2Е .6.12. 1—83112х05?2х.
cos? 4x°
х—1
._Х
og X-\2
6.13. (cos* 5 ++ 2sin 5 cos +—sin*+} .
6.14.cos(a+x)cos(a—-x)+sin(%+х)т(&—х).
Отыскание неопределенного интеграла с помощью таблицы основ-
ных интегралов и тождественных преобразований называют непосред-
ственным интегрированием.
268
Пример 1. Вычислить (, 42— x4°
Ix
1—x?x3
<еееa
a—x3)dx=
|
я1—2 — не
i+. >
Используя таблипу основных интегралов, найти сле-
дующие интегралы:
|
6.15. | (3+ 2х-+ +) dx. 6.16, i
.
1
x+1
6.19. | (7-7)
6.20. {Wary sy dx. 6.21. (SP ax,
Vax
x
6.22. | 2* ex dx. 6.23, | 2* (14 3x?-2-*) de.
6.24. ( (2х-- 3605) 4х. 6.25. | “SE dx.
6.26. |
Ц, 6.27, ( 00824 |
cos*x
cos? x sin? x
cet3d
6.28.|зи=dx,
6.29*. a) веха 6) | +12 хах.
6.30. |
6.31. \ (arcsin x + arccos x)dx.
cosa+sin®x"
6.32. J (sing eos 35) ах.
dx
6.33.| ата. 6.34. (бт. 6.35. SS
У —3—Уж-3
(1 +x)"
6.36. | 7
6.37. | ара 4
6.38. (+a) (x-+b) dx. 6.39. ( (a1/3
4. 41/9)3 dy.
6.40, {Fa OS =? ay,
6.41. a) | ctg?x dx; 6) | cth® xx.
6.42, |
6.43. вах
.269
2. Метод замены переменной. Существуют следующие два ва-
рианта этого метода.
а) Метод подведения под знак дифференциала.
Пусть требуется вычислить интеграл Ро ах. Предположим, что
существуют дифференцируемая функция и=ф (х) и функция g (u)
такие, что подынтегральное выражение {(х) 4х может быть записано
в виде
f(x)dx=g( (х))ф’(х)ах=в(и)4и
(указанное преобразование называется подведением и =ф (х) под знак
дифференциала). Тогда
ооаяа д)Ф'ди
= Фа] и=ф (х)'
т. е. вычисление интеграла Fe dx сводится к вычислению интег-
рала \ gy (и) ди (который может оказаться проще исходного) и после-
дующей подстановке и==ф (х).
Пример 2. Вычислить интеграл \ sin? x cos x dx.
Имеем:
4
|sin?xcosxdx= |sin?xd(sinx)=| аи="
ont
.—
u=sinx
im’
«
==
“С. >
2х--1
Пример 3. Вычислить интеграл Ed,
< Имеем:
2x+1 dea
ee
яа3фи
-
=] и] luaxtex—-3-+C=ln [x?-+-x—3|+C. >
Операция подведения функции ф(х) под знак дифференциала
эквивалентна замене переменной х на новую переменную и==ф (х).
Пример 4. Вычислить натеграл | ——_
ae.
ИВ1
4 Произведем замену переменной по формуле
и=3x=|.
Тогда и==Зах, т. е. dx= du И
ах __1|аи
УЕ3)м"
Выполненное преобразование эквивалентно подведению под знак диф-
ференциала функции и=3Зх--1. No
С = УЗх-Т--С.
u=3x+1
Вычислить интегралы с помощью подходящей замены;
6.44. ( V3 +xdx. 6.45. \ (3—4 311 х)1/3 с0з х ах.
270
6.46. \chxshxdy. 6.47, (soe ax
6.48. | иг. 6.49. ея.
0$ ——
sec? x
V2.
6.50, | de. 6.51. \—2—Ssin ps
6.52, | ctgxdx. 6.53. | 3 dx.
6.54. | cos (ax beах. 6.55. \ sin(Inx)&.,
d
6.56. si
5" (=).
° 6.58. \ arse: 6.59. a ах.
6.60. { х-5-*' ах. 6.61. | “ит.
е-ах
ах
6.62. | pear
6.63.
=:
6.64.
6.65. (“5х4
6 \7e=r
Yara
Footer
Хx
XaX
6.66.| тт. 6.67. ег.
1
6.68. аят. 6.69. \ a ax,
6.70. \chtxshxdx. 6.71. | 7
6.72. | tg xdx. 6.73. | cth4xdx.
6.74, | dr. 6.75. | are.
6.78. | apy <b <a).
xdx
6.77. ea 6.78.ии
6.79.
x? dx
4
ty
Vert г. уи
Применяя различные приемы, найти неопределенные
р
интегралы.
х—1
x3
6.81*. {8 4%. 6.82. \ seer
=—; dx.
271
6.83. (= SA de. 6,84. | ae
я.
6.85. а ‚ах; 6.86. ава.
6.87. (х Vara. 6.88. (@ a) rat .
рал
6.89. (=t+! ay. 6,90. eras comet
a? +- 2х2
Vi—te
6.91. =. 6.92. (ex s/t e-{ e* dx.
6.93. | = dx. 6,944, (qr
arcsin
~
6.95. | ты ах.
6.96.
ке" 1
__
Ут
. (VY 3=chx sh xdx.
dx
e
e
т.
.9e
—_
©
6.98 (a
. 6.99
ея
6.100*. зе хх. 6.101*. { cos? x dx.
6.102. \ “ 6.103. { (sin ax + cos ax)* dx.
sin —
(1-+-cos 2x)? |
6.104. | sean ae. 6.105. {SS ах.
1
sin 2x
1
sin 2x
6.106.
ее 4х. 6.107.
Еах
ах
6.108*, поет. 6.109. | зу.
6.110. | {пахах. 6.111. | tg? (ax +b) dx.
6.112, { x? ctg? (x?— 3) de.
6.113. ( esec *te x sec xdx,
6) Метод подстановки. Пусть требуется вычислить интег-
\ f (x) dx, rae функция { (х) определена на некотором множестве Х.
Введем новую переменную и формулой
где
х=ф (и): (0 —Х,
функция ф (и) дифференцируема на некотором множестве (и
осуществляет взаимно однозначное отображение ИП на Х, т. е. имеет
272
обратную
u =ф-! (x): X—+ U,
Подставив х==Ф (и) в исходное подынтегральное выражение, получаем
f(x) dx =f (@p (u)) pF (u) du=g (u) ди.
Далее, справедливо равенство
годах= РФ4)9’дам =2)аи
и=ф- 1 (х)
и=Ф- (х)*
т. е. вычисление интеграла \ | (х) ах сводится к вычислению интег-
рала а (и) 4и (который может оказаться проще исходного) и поеле-
дующей подстановке u=@~! (x).
ЕЕ iy.
1+ Их
< В рассматриваемом случае область о редалания подынтегральной
функции Х = [0, -- ©). Произведем подстановку
x= (и) =и?, иЕЮ, - ®)].
Тогда ах =2и аи, и=ф-! (х) =Их; откуда
1-+Нх_ии_
в
_du
фу:
2(rae 2|
и--2) du—4 ai
—(geogetm)-4 In (u-+ С, _
Пример 5. Вычислить интеграл
ex 2 (3qenol? — —ржи) —4 In Ws НЕС. No
Применяя указанные подстановки, найти интегралы:
6.114, Цяae ee
2
6.115. (ee.
X=
6.116. уdx =, х=В.
6.117. \ ett х=ШЬ
Применяя подходящие подстановки, найти интегралы:
ох— 1)*
119.
.
6.118. \=(5х 1) 4х. 6. М dx
х--2
|
6.120. ее dx. 6.121, Vass dx,
6.122, =
6.123. кет:
3. Метод интегрирования по частям. Если и(х) и 9(х)
— диффе-
ренЦцируемые функции; то справедлива следующая формула интегри-
18 под ред. А. В. Ефимова, В. П. Демидовича
273
рования по частям:
SNu(x)v!(x)dx=u(x)0(— v(x)u!(x)dx,
или в краткой записи
|
фи ие—(udu,
(2)
Эта формула используется в ‘тех случаях, когда подынтегральное
выражение } (х) 4х можно так представить в виде u dv, что стоящий
в правой части (2) интеграл при надлежащем выборе выражений ци
4о может оказаться проще исходного интеграла. Гри этом за и удобно
принимать множитель, который упрощается при дифференцировании.
Например; если под знаком ннтеграла стоит произведение многочлена
на тригонометрическую или показательную фупкцию, то к и следует
отнести многочлен, а оставшееся выражение к 4, При этом форму-
ла (2) может применяться неоднократно.
Пример 6. Найти {x4 cos x dz.
Пслагаем и=? и du=cos xdx. Тогда аи=2х ах и о= \ cos xdx=
= sinx (постоянную С здесь полагаем равной нулю, т.е. в качестве
о берем одну из первообразных). По формуле (2) имеем
\x*cosxdx
=x?sinx—\2xsinxdx.
К стоящему справа интегралу снова применяем формулу интегриро-
вания по частям, причем к и снова относим многочлен (т. е. 2х).
Имеем: и=2х, ди =зт хах. Отсюда
аи=3ах и v=\sinxdx=—CoSXx.
Применяя формулу (2), получаем окончательно:
\x*cosxdx=x?sinx—(2xcosx—=COsx)2dx)=
=x* sinx-+2xcosx—2sinx+C. »
Если подынтегральная функция содержит сомножителем лога-
рифмическую или обратную тригонометрическую функции, то их
следует принимать за и, так как в результате дифференцирования
эти функции упрощаются.
Пример 7. Найти } шхах
Полагаем и= 1х, @=ах. Тогда и и и= ( dx=x, Подста-
вив В формулу (2), находим
°
{im xde—x Inx— ( Xe Mx Inx—x 40. >
Иногда’ после двукратного применения формулы интегрирования
по частям, приходим.в правой Части к выражению, '‘содержащему
исходный интеграл, т. е. получаем уравнение с искомым интегралом
в качестве неизвестного.
Пример 8, Найти | ех зил вх х.
274
& Полагаем и = е@х , du=sin bx dx. Torga du =ae®* dx, u=— у cos bx,
Подставив в (2), имеем
|e@*sinbxdx=—+e**cosbx-+—|eXcosbxdx.
Temepb momaraem u=e%%, du=cos bxdx. Torga. du=ae%* dx, v=
=--sinbxи
1
. afe@*
|
.
af,
\e@*sinbxdx=—>e2*COsbx-t —pSinbx——- e@*sinbxdx}.
В итоге получено уравнение относительно неизвестного интеграла
{ eae $1 6х ах. Решая это уравнение, находим
ae
2
—
(1 Sz)|e sinbxdx eaxSes
Cry
ИЛИ
`
5ьbx)
e@*(asinbx—6cos bx
ax
°
\e sin bx dx=
PLB?
--С. No
Применяя формулу интегрирования по частям, найти
интегралы;
6.124. \ агссоз хх. 6.125. | xcos x dx.
6.126. (xinxdx. 6.127. |edx.x
6.128. | (t@—x+ 1) Inxde. 6.129. (x? sin x de.
6.130. \“xe-*dx. 6.131. | xede.
6.132*, je edx, 6.133, | 2 ах
6.134. \ xarctgxdx. 6.135. ея ах.
6.138. | ш(х-РИТ- 22) ах. 6.139. | х шхах. -
6.140. | хЗ* ах. 6.141. | (x*—2x-+4
3)cosxdx.
а
6.142. ме. 6.143. | соз (In x) dx.
Применяя различные методы, найти интегралы:
6.144*. \ eve 4х. 6.145. { x (arctg x)? dx.
6.146.
ая 6.147. сша x de.
6.148, | SS ae. 6.149%, \ aap &
)
6.136. ( eax cosbxdx. 6.137. [ eatecos x dy.
)
275
6.150**, Вывести рекуррентную формулу для интеграла
7 = (три Найти Ри /.,.
я-а)"
|
‚Найти интегралы.
*%.
2
xx
6.151 \V8+aЧаах. 6.152 \ Ут ах.
6.153. { xaresin x dx. 6.154. js
6.155. { xarctg x dx. 6.156. \ УХ ay.
x
6.157*. \ V a®§— x? dx.
$ 2. Интегрирование основных классов
элементарных функций
1. Интегрирование рационал-ных дробей. Ивтегрирование произ-
Ри(x) 5Byx+eeeых do
Qn (x) ах... ах -Н ао
вительными коэффициентами в общем случае производится следую-
щим образом.
Ри (х)
Если тп, т. е. исходная дробь
Ce. Qn (A)
дует предварительно выделить в STOR дроби целую часть, т. е, пред-
ставить ее в виде
©
с дейст-
вельной` рациональной дроби
неправильная, то сле-
СЯ= Minn +B,
(1
rie Mm—n(x) ¥ К, (х) — многочлены степеней т—л > 0 и г соответ-
ственно, причем г < пл, т. е. дробь wy правильная.
Pm (x)
Выделение целой части в дроби
производится дележйем
Qn (x)
числителя на знаменатель «уголком».
Пример 1. Выделить целую часть дроби
Ри(х) (x?--1°
Qn (x) x (x? —2x-+1)’
« Дробь пеправильвая, так как т=6 > п=3. Для выделения целой
части записываем числитель и знаменатель в каноническом виде:
(x?+ 1)3=x8+ 3x4+ 3x2-++I,
x(x?—2x + 1) =x3—2x?+-x,
и далее, выполняя деление «уголком» первого многочлена на второй;
получаем в частном x3-1 2x2 6х--10, а в остатке 17х2— 10% 1.
Следовательно,
(41)? зо
x (x®?—Ox-+1) Xx + 2x + 6x + 10-+S
и выделение целой части закончено. >
276
и —10x+-1
хх'
_ Kak noka3pwaet формула (1), операция выделения щелой Частг
сводит интегрирование` произвольной рациональной дроби к интегри..
рованию многочлена и правильной рациональной дроби. ` 7 |
Для того чтобы проинтегрировать правильную рациональную
Pm (x)
Q, (x)
s
|
|
так называемых простейших дробей. Это разложение осуществляется
следующим образом. Пусть знаменатель Q,, (x) =a,X"-+-...--ayx-+ay
имеет действительные корни 01, ..,; 0; кратностей$1, ...., 5 И
комплексно-сопряженные пары корней Ву, Вх, -.-, Вь, Вк кратностей
tit, ..., к соответственно (5-.,„-
и -Нан-н.,.-Н 2 =п), т. е.
справедливо разложение
Qa (X) =n (X—@)"! oe. (x—a)? (к pix qi)" cee (x? -- рьх-9ь) No,
где
дробь
‚ т < п, следует предварительно разложить ее в ёумму
мери+ч,=«В,(и В Ув
Тогда разложение дроби < a в сумму простейших имеет вид.
п
Loy
“a
Qn(x) x
(x — 01)"
K—Oy©
(0
У
А, |ВКС
Bie cp
{
.
Ради RA OR pat ae ^^"
Bees ce
Вх НС
eee
pe
e+
eee +
‘в
‘в
é,5“
(2)
eek
(x?+ Ppx+ 9x) ©
Koadpunuents AY’, BY? 1 Ci? B stom pa3noxKenHH определяются путем
NpHpaBHHBaHHA KOXPPHUMEHTOB MpH OMMHAKOBBIX CTeNeCHAX XxX Y MHO-
гочлена Ри (х) и многочлена, который получается в числителе правой
части (2) после приведения ее к общему знаменателю (метод неопре-
деленных коэффициентов). Можно также определять эти коэффициен-
ты, полагая в равенстве (2) или ему эквивалентном х равным под-
ходяще подобранным числам (в первую очередь значениям действи-
тельных корней знаменателя @„ (х)).
(х-- 2)?
x (x—1)?
Искомое разложение имеет вид
(x+2)?_А,В+C
x(x—1)? ~~ ' x—1 * (x—1)*"
Пример 2. Дребь
разложить в сумму простейших.
Приводя правую часть к общему знаменателю, получаем тождест-
венное равенство
х24х14=А(х— 1)2- Вх(х—1)СХ.
(3)
/
.
Приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях х дает си-
стему уравнений:
A+B=1, —2A—B+C=4, A=4,
277
откуда получаем А=4, В=—3З, С =9. Следовательно, искомое раз-
ложение имеет вид:
wt4x+44 3 4 '9
x(x—1)? x
И
(x—1)?"
Можно определить коэффициенты ДА, В, С другим способом, по-
лагая последовательно в тождестве (3) х=0, х=| и, например,
х=р—1: при х=0 находим А=4, при х=| получаем С =9, а при
х=—1 имеем 4A-+2B—C=1, Tt. ec. B=—3.
При решении этого примера лучше всего было бы комбинировать
оба способа, т. е. найти А=4 при х=0, С =9 при х=1, а В опре-
делить из равенства коэффициентов при х? в (3), т. е. из равенства
А-В =1. No
‘Формула (2) показывает, что интегрирование произвольной ра-
циональной дроби сводится к интегрированию простейших дробей
следующих четырех типов:
А
А
|
р — = «= Аш|х—@|--С.
2)
А
(Е=2,3,...).{ +
a=
A
+C
(x —a)*
(x —a)*
Е—1 (х— а) #1
Ах--В
3) —————_-,, p*—49 < 9.
peg’ PM ,
Метод интегрирования дробей этого типа рассмотрим на примере.
.
х—|
Пример 3. Найти хх ИА
< В рассматриваемом случае дискриминант квадратного трехчлена,
стоящего в знаменателе, отрицателен: р?—49 =1—4=— 3 < 0, т. е.
имеем дробь третьего типа. Так как (х?--х--
1)’ =2х--1, то числи-
тель дроби преобразуем следующим образом:
1
3
х—1=> (2x+)- 55 (x?-+x+’—5
(это преобразование называется выделением в числителе производной
квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе). Поэтому
х—1
оС-х- 1)’
3
ах_
ее
etext
=
1
3
Jdx
Оставшийся интеграл находится выделением полного квадрата в квад-
ратном трехчлене:
!
==
ах—
а
+7
dx
:
МЕС
= arotgarth С.
V3
278
В результате маны интеграл равен
х—1
—In (x?
—
\so
= n(t@txt1—V3 arotg = Ут
_АРВ
(Е рх--9)*
Метод интегрирования дробей этого типа рассмотрим также на
примере.
x42
(Lox poe”
Здесь р?—49=4—12=—8 < 0, т.е. имеем простейшую дробь
четвертого типа. Сначала выделяем в числителе производную квадрат-
ного трехчлена:
(к
У
(x? xp 3p
а-я =
lia
p*—4q < 0,
k=—2, 3, eee
Пример 4. Найти
]°
x
mappa+ | рол
Для вычисления оставшегося интеграла предварительно приведем
его к стандартному виду, выделяя полный квадрат в квадратном
трехчлене:
ain
Tay)
_it\(yr)__!\du
2у5 (++ yy 2V2 JCF cas
Vo
Далее используем метод интегрирования по частям.
_¢( 1-Ни— и? ии
аи_
(Iu)? о (1-42)
J
1
Cea
1
1
ssarctg u+5 | ud(ipa
Ея) = тив + 5 тя2—5 arctgutC=
= (вто ияipa 7) +¢.
Окончательно получаем:
x-+2
ара“ 1 1 gttlI x-+1
~ epee 4yv2 are “уз +4 x2-1 2x13 6. No
В общем случае Ё > 2 рассмотренный в примере 4 прием позво-
ляет свести вычисление интеграла \ (1-- м2) -* 4и к вычислению
интеграла \ (1-- и?) -^+1 дц, т. е. дает рекуррентный метод вычисле-
ния интегралов этого типа.
279
Проиллюстрируем метод интегрирования рациональных дробей
в целом на еледующем примере.
сот
< Дробь ое правильная, ‘ее разложение в сумму простейших
+1)
дробей имеет вид
Пример. 5. Найти =
1... Bx+C , Dx-+E
ео Гат ту.
Имеем
О
1=А (х?-|- 1)2-- Вх? (х2-- 1) Cx (x?-+ Их - Ех.
Полагая х=0, находим А=1. prea
коэффициенты при оди-
?
наковых степенях х, получаем 0=
0=2A+8-+D,
O=C-+E, tT. €.
—
B=—1, C=0, D=—1 un E=0.
Следовательно,
ax
|
1x
x
—
)твяяеие=} (5 зева)41
=In ]xX1-5 In(x3+-
ис
Заметим, что разложение дроби
та На простейшие можно
x (x?-+ 1)
получить и не примевяя метода неопределенных коэффициентов,
а именно
_ d+.a——
]
x
ey x(x 1)? x(x? 1)G1?—
__ @-х2) — x?
хо
хор
х(НИ (хо Р-НЕ (1 °
Найти интегралы;
6.158. \ eos=. 6.159. зала:
6.160. асы.
6.161. тя.
6.162. ( =".
6.163. тва.
6.164, (erg: 6.165. VaGer.
6.166. Very 6.167. (eee х.
6.168. | ate ax. 6.169. (5
= пах.
6.170.
ах. 6.471. |
de.
6.172. \ erry:
6.173. | a7.
280
—I)d
an
8.174". Jarre 6.175%. | потери
x*—x-+4
6.176. amara) 8)" 6.177. Sat tye
|
ох— 13
6.178. wre
6.179. \ aero
4
6.180. | 54>ax, 6.181. (рот.
Найти интегралы, не применяя метода’ неопределенных
коэффициентов;
6.182*, \ one
6.183%, { а.
6.184. | чт. 6.185%, ети.
6.186. та.
6.187*. арест“
6.188. | их. 6.189.
2. Интегрирование тригонометрических и гиперболичесних
функций.
а) Интегралы вида з sin” x cos” x ах.
Если хотя бы одно из чисел т или П— нечетное положительное
целое число, то, отделяя от нечетной степени один сомножитель и
выражая с помощью формулы $2 х-|-с0$2 х=1 оставшуюся четную
степень через дополнительную функцию,. приходим к табличному
интегралу.
sin?x .
Пример .6. Найти
и
|Исозх
< Имеем:
$113 Х
sin? x
1— cos?x
—_—_———— dxr= |
sinxdx=—|—————-
d cosx=
Иcosx
Vcosx
WY eosx”
dcos x
cos?x
——(3
+-
dcosx=
VY cosx Vices
=axome TeИсоих--0.No
Если же т и п— четпые неотрицательные числа, то степени по-
нижаются посредством перехода к двойпому аргументу с помощью
тригонометрических формул:
1-+-cos 2x
1—с0$2х
1
2ye
Sin?x—
, sinxcosx=—s
.
cos? x
9 ; sin*x
5;
5in2x
Пример 7. Найти { sin? x cost x dx,
281
<4 Vmeem:
\sin?xcos!xdx=\(sinxcosx)?cos?xdx=
2
= мс из ($11?2х4х-|-
+3 |51072.соз
нь
—s A axх-|-
8
2
|5
xsin4xa2х
+75) si 2x dsin
в
——- С. No»
Если т-п=— 2, КЕМ, т.е. т--п является целым четным
отрицательным числом, то целесообразно использовать подстановки
{Ех= или Сх=Ё.
Пример 8. Найти \ sin!/3 x cos
~19/3 xdx.
113
«4Таккак373>
то вычисление интеграла сводится к ии-
тегрированию степеней тангенса:
Выах—
с054 Х
1/3
2
=| te x (1-+tg о ет =| ter? xdtext (te? xdige—
=>tex4teeEC,>
Для вычисления интегралов вида [ tem x dx, са" хах, где
т=2, 3, ..., используются тригопометрические формулы
193 х —= зе х— |, с? х=с03ес?х— 1.
Пример 9. Вычислить \ ctg4 x dx. .
< Имеем:
\ctg4x4х=\ctg?x(cosec?x—1)dx=
—\ctg?xdctgx—| (cosec?x —1)dx=
—— £18"abet x- -х--С. No
В общем случае интегралы вида (sin xcos"xdx, rhe mu n—
целые числа, вычисляются с помощью рекуррентных формул, кото-
рые выводятся путем интегрирования по частям.
ах
Пример 10. Вывести рекуррентную формулу для
ине
с ее помощью найти
ах.
и
щ
cos?x °
282
4 Vimeen:
}_
dx
sin? x-+ cos? x
2h+1 \ Costktiy > eosin
=
sin? x
sin x
=) 052+1х= |cos2k=
сок =|Понт
costetig Mtl on—i-
Sin x
[lonaraem u=sinx, du= Rt ly dx. Torna du=cosxdx, v =
1
—Эрох
cosh x ‚ И интегрированнем по частям получаем
sinx
!2h+1= BE costhg Dh | costk= tg tl 2k-ts
ИЛИ
sin x
l
Гок+1= Ok cos2kx + 1—5 Topi
(рекуррентная формула).
В частпости, при А =1 имеем
1.— Ах
sin x
8— | с053Зх 26052х
С05х ^
sinx 1
со Го In| tgx+secx 1-- С. >
Найти интегралы!
6.190. | sin?xdx.
6.191. |e ax
6.192. \ cos’x dx.
6.193. vw tax dX.
sin? x
cos§x
6.196. ‘sin®x
6.197. и
6.198.
$114хa х°
)
)
6.194. sint cost xd 6.195. cme
|saz
|saeco 6.199. |
“sin?
xcos?x
еяС
бо, (°С), 6.201. с
sinxcOSx
“COS?X
6.202. [ tg? xdx.
6.203. | (ctg’ ~ +etgs 5) ae.
6.204. lS . 6.205. | cost x dx.
COSXSin’X
` 283
6.206. | Sint ay, 6.207. ( sin® 2x de.
У свя
dx
6. 208.
иг
054к°
6.209. ее
|
3—3.
6.210. \ saran:
6.211. {cos x cos? 2x dx.
‚6) Для интегрирования произведений синусов и косинусов раз-
личных аргументов пииенютя тригонометрические формулы:
COs @& COs, p= (cos (#—B)-+ cos (a+ B)),
sin ~ sin p= (cos («—B)—cos (a+ в),
ar
-.ginacosB=+(sin(и—В)+зщ(&+-В)).
Пример 11. Найти | сз Ox cos Be di.
Имеем_.
|cos9xcos5xde=>|(с0$4х-cos14x)dx=
1
==-5 sin о sin 14e-4C, >
Найти интегральн
6.212. ( sin3xcosoxdx. 6.213. ( sin 10x sin 15x dx.
6.214. | cos 5 cos =dx, 6.215. | siti=cos = dx.
6.216. (cos x cos® 3x dx. 6.217. \ sin x sin 2x sin 3x dx.
в) Интегралы вида
\R(sinx,cosx)dx,
где Ю (и, 9) —рациональная функция двух переменных, приводятся
к интегралам от рациональной функции нового аргумента f подста-
новкой {а sat. При этом используются формулы
inc
coset dea"!
Та, Я’ ГЕЯ.
dx
Пример 12. Найти | тот тх 5
264
@ Полагаем 198 sal. Тогда
”
ах
—0.
dt
\ Teese asin a7
‘Mf or treats) +e)
=?) ep orgT
ав?зас с>
“x
Если под интегралом $ х и с0$ х содержатся только в четных
стеленях, то удобнее использовать подетановку 18 x= ft.
.ax
1—5 sin?x
< Разделив числитель и знаменатель Ha COS?x -H HCNOMbSyAR подета-
повку {18 х=}, получим:
Пример 13. Найти \
т
ete ig?x “Sima ИЕямс
=+in |-вх +-С. >
Найти интегралы:
|
6.218. тя: 6.219. \ А =.
g.220%, (98% de, 6.221. | pe
6,222, | с я 5 4х. 6.223. (5g
ах
6.224. (a8Dosing: 8225". | warEy RTS
6.226. чета» 6.227. |
dx
tgx
sin?x+8sin x cos x4+-12 cos?x%°
г) Интегрирование гиперболических функций производится ана-
логично интегрированию тригонометрических функций, причем исполь-
зуются следующие формулы:
ch? x—sh?x=1, shxch = sh 2x,
ch? = (ch 2x-++1), sh? = (ch 2x— 1),
СВЕ
—НИ у—
1х ch? x’
sh? x
Найти интегралы!
6.228, \ch?3xdx. 6.229. | sh?2x dx.
6.230. | sh?xch®xdx. 6.231. | ch xdy.
ах
dx
6.232. \ ется ° 6.233%. | x—4ch? x"
ax
т
6.234*. (пост. 6.235. } Успя--Т4х.
6.236. | cth®xdx. 6.237. | thtx dr.
3. Интегрирование некоторых иррациональных функций. a) Ин-
тегралы вида
fel (в), (=), ae
re R (x, y, 2, ...)—pallHonabHad (byHKUMA CBOMX аргументов, my, ny,
Mz, fo, ..-,—Il@Ible числа, вычисляются с помощью подстановки
ахЬ
.
„тт
НО ys где з— общий знаменатель дробей —, -_,
cx+d
ny Ng
Пример 14. Найти |
|
dx
(/x+3—1) Vx+3
Производим подстановку х--3 ={. Тогда 4х =4В4Ё, и, следова-
тельно,
3
—
Waves) nen *frrt|
=4(t-4+In}t—1)+o=4(/x4+3-+4in | /x4+3—1/) +0. &
Найти интегралы:
ax
xdx
6.238. |. 6.239.
Рут
тики3
6.240.
ре. 6.241. | И ха dx.
ИИх
ини ха
x+1 dx
6.242. (Vs p+ 6.243.
Е:
о
x—|
6.244, еду: 6.245. | V han,
6) Вычисление интегралов вида
\Ю(х,Уа- bx+c)dx,
где Ю— рациональная функция двух аргументов, производится с
помощью тригонометрических подстановок следующим образом. Выде-
лением полного квадрата в квадратном трехчлене и последующей
286
.
b
заменой переменной u=X-b 5 исходный интеграл приводится к ин-
тегралу одного из следующих трех типов:
О ^(м, Ума,
2) \R(u, УР-Ри?)аи,
3) \ R(u, V w—l*) du.
Последние интегралы тригснометрической или гиперболической подста-
HOBKOH соответственно
l)hu=ZIsint um u=l/tht,
2) и=ИеЁ или и=138Ь
3) u=Isect или u=lcht
приводятся к интегралам вида \ В ($1п &, с0$ # 4 или \ R(sh?, ch #) dé.
Пример 15. Найти \ У х?—а? ах.
< Производим подстановку x=acht. Тогда dx=ashtdt,
У х*— “?-=азН Е, и далее
—_____-
2
2
\Иан а?|а \(ch2t—1)dt= a —t)4C=
a”
2
2
—_——___.
(sh é ch t—)+C=5 Ve—a—F In| x+ V —a®|+C. »
Пример 16. Найти | и.
У(2-Е4х-7
Выделяя полный квадрат в квадратном трехчлене, имеем
dx
du
ooo
=;
Где и=х 2.
УР
\ Tare
r
Производя теперь подстановку и = V 3tg t, du 13 dt, V 2+3=
= V 3sec t, nomyuaem:
У (2-433 J cos?t
V33sec3t
3
си
иtr?--С.No
3
_
8VwFS 8Vpae7
При вычислении интегралов вида
тхп
т
ay
V ax? + bx-+e
следует предварительно выделить в числителе производную квадрат-
ного трехчлена.
х—|
Приме
17; Найти —
dx.
P
р
ея
287
@ Имеем
1
cot, ( EO
————
=
—_—
У
V 1—4x— 3
Cmte2)" ax —3 (
iho
\Vica—e |
gin Viens
x+2
7.
—V 1—4« —x? —3 arosin и С.
Заметим, что в этом примере нет необходимости производить три`
гонометрическую подстановку, так как выделение полного квадрата
сразу, приводит к табличному иитегралу. No
нтегралы вида
dx
(тх-- п)г Уах --вх с
сводятся к рассмотренным выше интегралам с помощью подстановки
aK=
=>
(r= 1, 2)
Mk N=
Пример 17 Hatem |
dx
Ут2—1.
< Полагаем rat. Тогда =
V t—2xk—1l= V 4-2-1
VY 1—2f—2 A
rs
—
t
t
1a
+1
x
x-+1
— -C = — arasin ———-++C =~ arasin —+C., No
yor
Va.
Vat
1х
dt
dt
ху.
|; |АЙ
уза”
—=—arcsin
Найти интегралы!
6.246.
ак
Xx
Деду. 8 leaner
6.248. | И = 6.249. | ep.
x
V at—x2
|
dx
dx
.25 e
——щ—о
.251, О_о
6.250. \ yas
° \ye
dx
х-|-4
5e
те
.2
e
—_,
——.de
6.252
==
6.253 FTES *
288
|
х—3
®
e
*SS
°e5.
Ы——
6.254 УЕ dx. 6.255, рун dx
dx
dx
о
о.—
—=—=——
о
.25 e
о
6,256 |; Vx +8x+1 6.207. |х— 1)V6x—x?—5
dx
dx
© 58.
Ee
.
e
6.2
x? V t—x-+ 2x? 6.259, | — 2)2У х2-Е5
x45
6.260, ИТ 2х— ах. 6.261. (И 3—2
— мах.
6.262, (__ __. 6.263, (ae dx.
V (+1)
*
6.264. (Из 2х-- ТОах. 6.265. (ИУ4х— 4х.
6.266. | Sa 6.267, =.
х8— а?
6.268. =Ta z+ 6.260. (VG par,
$ 3. Смешанные задачи на интегрирование
Найти интегралы!
6.270. | 75" dx. 6.271. | =~dx,
я 2х4
6.272. 2+9сэ" 6.779. тя
6.274, } 5прет. 6.275. \ Vas
6.276. Ta 6.277. | TT
6.278. x V x? —4dx. 6.279. \ x И 4х—5 ах.
и
ax
2
5
e
®
o
Tenva°
6.280. (Vxt+4x+5dx, 6.281 | 96-я
xdx
dx
e
e
—.о
6.2 3.
—Ц
easeу 16 <” \Tare1 и
6.284. et =" 6.285. \ a ride
sin x
xdx
6.286. \ Sz dx. 6.287. \ os
COS X
6.288. \ aea aide. 6.289, акр.
Ик, x dx.
6.290. \ a 6.291, { 2=Viee
SV Ss
Под ред. А, В. Ефимова, Б. П. Демидовича
289
secxtgx
cos?x
6.292. Vereen
6.293. вет ах.
6.294. \ sper: 6.295. т
sinxcosx
cos® x
6.296. Е 6.297. snes 2
6.298. \
6.299. \
shxchx
sh? are
6.300, ( th'xdy. 6.301. (aye dx.
6.302, | =% 6.303. | sin? (Inx)dx.
6.304. | xe dx. 6.305. | xe-**dx.
ех dx
(a¥ — bx)2
6.306. \ ape 6.307. | ae.
6.308. | ersinxdy. 6.309. | Ver—I dx.
arcsinx 1-х?
arasin e*
6.310. | аула 4х. 6.311. ее к.
6.312. ее ах. 6.313. { x(1+-x4) arctg xdx,
6.314. (ACEdx. 6.315. | xin
4 +x") dr.
6.316. \xVx?+1InVx?—1dx.
6.317. ура ate.
1
агсёе 2”? 1,
6.318. (м -- шх) ах. 6.319.
я
$ 4. Определенный интеграл и методы его вычисления
1. Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Ссли
функция /[(х) определена на отрезке ах иаэзх<км<ж<.
‚ ЗХ,-1< х,=6— произвольное разбиение этого отрезка на п час-
тей (рис. 48), то интегральной суммой функции } (х) на [а, 6] вазы-
вается сумма вида
п
Sn= >) f (Ex) Axe,
k=|
re Xp-1 Ep Xp, Axp=Xp—Xp_i, R= 1, 2, 3, ..., n. Peomerpnueckn
Sp, есть алгебраическая сумма площадей прямоугольников, имеющих
основания Ах» и высоты f (Ez).
Если определенная на отрезке [а, 5] функция [(х) такова, что
существует конечный предел последовательности интегральных сумм
290
$, при условии, что наибольшая из разностей Ах, стремится к нулю,
причем этот предел не зависит ни от способа разбиения отрезка [а, 6]
на отрезки [хь-т, ХЕ], ни от выбора точек & на этих отрезках, то
функция {(х) называется интегрируемой на отрезке [а, 6], а сам
предел называется определенным интегралом Бот функции {(х) в пре-
делах от а до фи обозначается символом (Fw ах. Таким образом,
а
°
Fb
n
(лоах= tim DF (Re) At.
(1)
maxАх,>0#=1
Непрерывная на отрезке [а, 6] функция {(х) интегрируема на этом
отрезке.
|
Геометрически определенный интеграл (1) представляет собой алгеб-
раическую сумму площадей фигур, ограниченных графиком функции
у=|(х), осью Ох и прямыми х=а
и х=б, причем площади, распо-
Dh
ложенные выше оси Ох, входят в
эту сумму со знаком плюс, а пло-
щади;, расположенные ниже оси
Ох,— со знаком минус.
Пример 1. Вычислить
4-16
(x 4х, рассматривая определен-
}
ный интеграл как предел интег- —|
ральных сумм.
0
% 1-й способ. Разделим отре-
30K интегрирования [1, 2] нап
]
равных частей длины Ах =>.
Рис. 48
Точки деления:
I
2
п|
Х =1, m=l+—,
О
ey Xn-t
=I+ и} Хи=2.
В качестве точек &» выберем, например, левые концы каждого час-
тичного отрезка. Тогда
пвуь Инт)» Ид (+=), --
vas Ро).п
Следовательно,
ыы (Иа) (ия) +++) _
2n—1
п-Т
= (tt (nt (n +e +Qn—I=4( HD)
k=l
k=!
10°
291
Применяя формулу суммы квадратов целых чисел
у в _п (1-1 (27-1)
т
6
?
k=!
находим
$, И р. (4п—1) _(и—1) n CaN) lot ett
n®
6
6
бл?
откуда
,
из
1
2-й способ. Разобьем отрезок [1, 2] на части так, чтобы
абсциссы точек деления образовали геометрическую прогрессию:
Хо=1, x1 =G, Xg=Q", ..., Хн-1т=9"-1, хв=9"=2,
где д=2!”, Точку Ё, выберем на левом конце А-го отрезка. Тогда
(хо)= 1, Р(ж1) =9*, 7 (хз)= 9%, oes Pn =P,
Ах =9—1, Ах. =9*—9=9(9—1), Ахз=9? (9—1), ...
...; Ажв=97-1 (1—1),
Зи=1 9—1 +49 9—1 -9 9... 79 9—П=
1) (1 --ае--... 93 ®-5)= ( eo!
938 —1
=(9 TET Fee tg
и
23—|
7
gan ginay oR om |.
Следовательно,
o
~
]
2
7
x2dx= Ши ще. P
\
со9 Иру] З
$2+
Вычислить определенные интегралы, рассматривая их
как пределы соответствующих интегральных сумм:
5
л/2
6.320*. \ (1-х)4х. 6.321%. | cos хах.
0
0
10
3
6.322%. | erdx. 6.323%. (
0
1
2. Вычисление простейших интегралов с помощью формулы
Ньютона — Лейбница. Если Р (х) —одна из первообразных непре.
рывной на [а, 5] функции ](х), то справедлива следующая фор-
мула Ньютона— Лейбница:
|
b
(i) d=F WP =F OF).
292
e
Пример 2. Вычислить \ ак
é
xinx’
< Имеем
dx CdInx
ee
ao |НЫ ‚No(12)—п(п=112=0,69.No
Используя формулу Ньютона
— Лейбница, вычислить
интегралы:
2
8
6.324. | хз 4х. 6.395. ТЕ
3,
ИЕ.
2
1
6.326. | (3x*—2x+I) dx. 6.327. ( (Vx+ И) ах.
1
0
8
3/—
9
6.328. те 6.329. \ /x—ldx.
‘dx
cos?x°
0
6.330. ( зпхах. 6.331. (
л/2
=-/4
C
a
n
a
3
6.332. (e%dx. 6.333. | 2*dx.
0
2
=. 6.335. (т1
x
6.334.
л/3
6.337. \ sin? g dg.
у
в
6.336.
же.
/3
6.358. tg* rds, 6.339. {shea
a
t
y
e
e
n
y
g
n
"
a
t
n
d
dx
4x2+4x+5°
6.341. (rat
=|
et dx, 6.343. ( tax,
x—2
=?
6.340.
6.342.
a/x*
x
е
4х. 6.345, | co
1
6.344.
=
=
>
.
“
O
C
)
а
293
л/2
6.346. бя
6.347. уе
1/3
6.348. \ ch? 3xdx. 6.349. iis
0
2
dx
2—1
6.350. |
я. 6.351. BSH х.
3/4
1
x*+3x
6.352. | Ener
С помощью определенных интегралов найти пределы
сумм:
294
6.353**. lim (sep +o te. Чери).
6.354. lim Веро —-.. . +c0s (n — 1)iz)
Jt—> @
6.355, lim >7( V 1++ +V 1424. +V i+ a).
Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:
6.356. у=-2, у=0, х=2, х=З.
6.357. y= j/x, y=0, x= 1, x=8.
6.358. y=6—x—2x?, y= x42.
x2
-—
6.359. y=) y=2) x.
л
д
6.360. у=созх, у=0, х=;—5, х=— 4.
6.361. y=e-*, y= 0, x=1, х=2.
6.362, y==, y=0, x= 2, x=3,
6.363. y=, x4-y =4.,
3. Свойства определенного интеграла.
1) Если 1 (х)> 0 на отрезке [а, 68], то Sie) dx= 0,
2) Если # (х)<g (x) на [а, 6], To
b
b
(fedex
| gar.
a
b
b
3) годах|< ИАТая.
4) Если [(х) непрерывна на [а, 6], п— наименьшее, М —нан-
большее значения }(х) на [a, 6], то
b
m(b—a) <= \ f(x) dx <M b—a)
a
(теорема об оценке опрфделенного интеграла).
Пример 3. Оценить интеграл
vane
1
i|dx
= Vine
0
4 Имеем: 11-52 при О<х< Г;
Е
=
ee,
И утя<
1
.
1
т. е. m= ут M=1, 5—а=1. Следовательно, yi= 11.
5) Если [(х) непрерывиа, а & (х} интегрируема на [а, 6], g (x) 0,
ти М — наименьшее и наибольшее зпачения } (х) на [а, 6], то.
b
b
b
m\gwdrali@gmacm хода
а
а
а
(Обобщенная теорема 0б оценке определенноро
интеграла).
6) Если [(х) непрерывна ua fa, 6], TO существует такая точка
сЕ(а, 6), что справедливо равенство
b
(Fw) dx =f (c) (5 —a)
(теорема о среднем значении).
Число
(
b
Гора| 94
называется средним вначением функции [(х) на отрезке [а, В].
7) Если |[ (х) непрерывна, а 2 (х) интегрируема на [а, 6] ис (х) —0,
то существует такая точка с@ (а, 65), что справедливо равеиство
b
b
да dx=f(0)Ig(x)dx
(обобщенная теорема о среднем),
295
8)ЕслиP©ug?(x)were Hala,Ы,то
b
< Cp(x)ax\e(x)dx
ГЕа
(неравенство Коши —Буняковского).
9) Интегрирование четных и нечетных функций в симмет-
ричных пределах. Если функция [(х) четная, 10 ( f (x) dx=
-а
а
а
=2 \ 7 (х) ах. Если функция ](х) нечетная,; то \ f (x) dx=0.
0
-a
10) Если функция ] (х) непрерывна на отрезке [а, 8], то интег-
рал с переменным верхним пределом
Ox)
= |Fat
является первообразной для функции ] (х), т. е.
A
Ф и - (ом) =/(х), х@[а, 6].
11) Если функции Ф(х) u % (x) дифференцируемы в точке
x€(a, 6) и{(1) непрерывна при ф (а) <1=<1 (6), то
tp (x) С!
($140a)= фу@-—1Фо)’@.
@ (x)
хз
Пример 4. 1 (х)= \ е-! А, Найти Г’ (х).
0
< Используя свойство 11) и учитывая, что ф (х) =0, т. е. ф' (х) =
имеем
I! (x) = er’)? «(x?)’ = Are **, y®
6. 361. Определить знаки интегралов, не вычисляя их;
а)* [и dx; 6) Г хех ах; f xInxdx.
1/3
6.365. Не вычисляя интегралов, выяснить, какой из
интегралов больше:
2
2,
2
алиSS;бевл=:
4
В) \ e-*cos?*xdx WIM f e-** cos? x dx.
6
296
6.366. Найти среднее значение функции на данном
отрезке:
a) x8, O<x<1; B) cosx, OS x<4U/2;
6) Их, O<x<l; Г) соз3х О<хжл/2.
6.367. Сила переменного тока меняется по закону | =
= /,sin (Fi+o), где T—nepvon. Найти среднее зна-
чение силы тока за полупериод.т
6.368. Оценить интеграл | У 8 же ах.
—1
,
2л
ах
6.369. Оценить интеграл \ ==.
Г
р \V5+2sin»
1
6.370. Оценить интеграл (ИП
(1 + x3) dx, ПОЛЬ-
e
>
зуясь:
а) обобщенной теоремой об оценке интеграла;
6) неравенством Коши — Буняковского.
1
6.371. Оценить интеграл \VG+¥) хах, пользуясь:
0
а) обобщенной теоремой об оценке интеграла;
6) неравенством Коши
— Буняковского.
.
dl dl
6.372. Найти; a) ap 6) Faq? CCH -
44é
1= 54% 0<а<8.
a
6.373. Найти точки экстремума функции
@(x)=| at (x>0, 0<а<5).
а
Найти. производные следующих функций:
Vx
x
6.374,Ф(x)=| а. 6.375.®(x)=\sin(12)dt.
0
1/х
0
`
dt
6.376. (x) =| Free 8-377. Oy) =) 5 (x > 0).
297
6.378. Доказать, что
3
x*sinx
\Txtdx=0.
-3
4. Замена переменной в определенном интеграле. Если функция
f(x) непрерывна на отрезке [а, 65], а функция х-=ф (1 непрерывно
дифференцируема на отрезке [11, #5], причем а=ф (Н), В =ф (Ъ,), то
b
te
ид ax=(F@Me Wat.
a
t
1—x2
Пример 5. Вычислить
Г^ах.
У? /2
«& Применим подстаповку х-==зш{. Тогда dx=costdt, t==arcsinx,
ty = arcsin Y2_%a uv t,=arcsin t=. Coледовательно,
24
2
1
л/2
И1—*?
1—0,
1—sin?¢
cos?ft
|ye
feоо cosfdt== | sin?¢dt
V2 /2
л/4
л/4
п/2
.,
л/2
— sin
л
Л
д
=\
t= (—etgt—9| =-S4147=1-4. p
n/4
л/4
2
6.379. Можно ли интеграл хи —x° dX BbIUHCMTb
0
с помощью подстановки х =$11 {?
Вычислить интегралы с помощью указанных подста-
НОВОК;
6
dx
6.380. | —
ox—2=(?,
1+V 3x—2
In8
6.381. TET 1,
sh1
6.382. \ Иж dx, x=sht.
—
0
л/2
dx
x
6.383. | эх,
ВУ =Ь
0-
298
л/4
ах
6.384. ) ГЕЭзш Е х=Ь
:
6.385. \ ИЗ — 2х — dx, x+1=2siné.
I
Вычислить интегралы с помощью замены переменной:
2
0
dx
dx
°
é
—-—_——— 6 6,
$
®
6.386. J yea 838% | pare
4/V3
Уз
У—4
ах
6.388. )
dx. 6.389. | о.
У У(1-хз
5
ах
dx
6.390. | actor. 6.391. va
т
ах
__хах _
392. .
‚ 6.393.
6.39
xV 144024x3
{У4х°
1$
3
6.394.
ах 6.395. \ x 2/9— x? dx.
In2
я
0
63
2
6.396. Показать, что
г:
и
,
л/2
6.397. Показать, что | == | = ях.
МИ2
л/4
6.398. Убедиться в том, что
2
3x7—2x51x3 x
| ara a=0.
5. Интегрирование по частям. Если функции и=и (х), v=v (x)
и их производные и’ (х) и и’ (х) непрерывны на отрезке (а, 6], то
b
b
b
|udo=ue —\ode
a
a
a
(формула интегрирования по частям).
е
Пример 6. Вычислить \ In x ax.
1
299
< Положим и=шх, du=dx, тогда =, и=хк. Имеем
е
в
[inzdr=ein x} —( Xe ame
щее+Lol.p
Вычислить интегралы методом интегрирования по
частям:
6.399. | xe* dx. 6.400. оarceln x= de.
л/3
6.401. | к“ 6.402, fine
cos?«
3/6
л/4
273 1 -=-
6.403, \ e* sin4x dx. 6.404. | а,
е
f
6.405. фи хах. 6.406. имена
л/4
6.407. }Х8 с0$ 2хах. 6.408. { e*cos xdx.
6.409. Показать, что для интеграла
л/2
л/2
[,= (sin"xdx= \с05"хах, ПЕМ,
0
0
п|
верна рекуррентная формула /„=-——1,-:. Вычислить
" "то. Показать, что для интеграла
Г.=(неа née,
0
верна рекуррентная формула 1,=—t tale. Вычис-
лить I,.
$ 5. Несобственные интегралы
1. Интегралы с бесконечными пределами. Если функция /(х)
непрерывна при а:<х < -|- ©, то по определению
4©
6
)1)de—=lim1(x)de,
(1)
Если существует конечный предел в правой части формулы (1),
то несобственный интеграл называется сходящимся, если этот предел
не существует, то — расходящимся.
Геометрически несобственный интеграл (1) в случае ] (х) > 0 есть
площадь фигуры, ограниченной графиком функции у==} (х), прямой
х—=а и осью Ох (асимптотой).
b
Аналогично определяется интеграл \ # (х) ах. Далее, по опреде-
—2
лению
+©
С
+©
(f(x)dx= \f(x)dx+\f(x)dx,
(2)
—©
—06
с
где с, — © <с<--®, — произзольно, причем интеграл в. левой
части равенства (2) считается сходящимся, если сходятся оба инте-
грала в правой части.
Признаки сходимости и расходимости приведем
только для интегралов вида (1).`
1) Если Р (х) —первообразная для [(х) и существует конечный
предел Шт Ё (х) =Р (--%), то интеграл (1) сходится и равен
x7 +0
+@
| FQ) de =F (+@)—F(a);
если же lim F(x) не существует, то интеграл (1) расходится,
х>+
+©
2) Пусть при axx<+to 0=<1(х)
= а(х). Если ( g(x) dx
a
+©
+®
+©
сходится, то сходится и \ Г (х) ах, причем \ Г (х) ах= \ g (x)dx.
a
a
a
|
+©
+®
Если S Г (х) 4х расходится, то расходится и \ g(x) dx (приз-
a
наки сравнеция).
3) Если при азх< о (х) >0,а(х)>Ои существует KO-
нечный предел lim i) 20, то интегралы | f (x) dx u g(x)dx
x> +0 E(%
g (x)
сходятся или расходятся одновременно (предельный п р. изнак
сравнения).
+®
+®
4) Если сходится \ 17 (х) 4х, то сходится и \ Г (х) ах (по-
а
а
следний интеграл называется в этом случае абсолютно сходящимся).
+©
Пример 1. Вычислить \ е-3х ах.
0
301
4 Имеем:
4©
.
1
b
| et de= lim \e~8*dx= Шт (—seTM )=
b-> +00
b+ +0
3
)
0
0
1 lim (1 e-%)==
На практике в качестве интеграла, с которым производится
сравнение, обычно используются интегралы вида
+0I
\ par, a>0O,a>0,
x
которые сходятся при & > 1 и pacxofatca npu acl. +®
Пример 2. Исследовать на сходимость интеграл | x1У dx.
1
4 При х—+--® имеем
1
x+1 * (14+—) 1
Уж—
3/2 ~1/2*
+®
Так как интеграл \ =; pacxogutca (a=1/2< 1), To uw задан-
x
1
ный интеграл также расходится. р
Вычислить несобственные интегралы (или установить
их расходимость):
+
+@
dx
6.411. Vanao. 6.412. | We’
е
е
+0
4
+0
,
x
-
6.413. ) аби‘ 6.414. | e~** cosx dx.
-
0
xd
Ех_
хах
x
6.415. | эр. 6.416. | wispy a
+0
i
+0
Xax
—xt
6.417. ) ут. 6.418. ) xe-** de,
+o
+O_
6.419. xcosx dx. 6.420. | = dx.
Геи ГУ
302
+©
+©
6.421, ( = 1! dx. 6.422,
}>
} утя
4©
+©
dx
e2e
e
~
e
6.423. ) Ут 6.424, \ ¢ хх
Исследовать на ‘сходимость интегралы!
+©
+©
-dx
V 84+
VY x21
6.425. | s5F 3. 6.426. )
Те ae.
+0
ane dx. 6.428
та
]
2x8 1/8 +
|
"
1
+0
J
+®
I
dx
+© sin—-
|
430.
1
+0
J
6.427,
6.429.
Vx(e+
1) +2)
) оду
dx
xIninx
+©
. 6.432. \e2
dx
6.431.
Ух соз?х
2. Интегралы от неограниченных функций. Если функция } (х)
непрерывна при ах <ф и Шт 1[(х) =, то по определению
х->Ь-0
E-y»
b
\f(x)dx= lim \f(x)dx.
- (3)
a
porto Gg
Если существует конечный предел в правой части формулы (3),
то несобственный интеграл называется сходящимся, если этот предел
не существует, то — расходящимся.
Геометрически несобственный интеграл (3) в случае / (х) > 0 есть
площадь фигуры, ограниченной ‘графиком функции у=] (х), прямой
х=аи вертикальной асимпзотой х==5.
Аналогично определяется несобственный интеграл в случае
lim | (х)=
х>а+0
В случае, когда СсЕ(а, В)— точка разрыва и фувкция ] (х) не-
ограничена в любой окрестности точки с,
b
c—V1
b
|Г(х)ах= fim5 \ f(x)dx-- lim,J f(x)dx.
(4)
a
a
C+2
Признаки сходимости и расходимости несобственных интегралов
от неограниченных функций аналогичны признакам из п. 1.
303
‚ Ha практике в качестве интеграла, в которым производитея
сравнение, обычно используются интегралы вида
b
b
\oe
ее (a>0),
(5)
которые сходятся при &а<1! и расходятся при @=>I1 (сравните
с аналогичными интегралами в случае бесконечных пределов инте-
грирования).
Пример 3. Исследовать на сходимость интеграл
2
dx
Inx °
1
1
I
я При х—+1 ЕЕ
(эквивалентные бесконечно большие),
так как
1
lim Inx — limx—1
т_! 1.
х—| 1
х-1 Шх
х—! 1/х
х—1
2
Интеграл \
расходится как интеграл типа (5) при &==1, Сле-
1
2
,
|
ах
довательно, расходится и inx°
Пример 4. Исследовать на сходимость интеграл
|
ва“
У,
tg x—x
и
ч Задача состоит в Том, чтобы установить характер поведения
подынтегральной функции‘ при х —+-0. В числителе при х—+--0
имеем
2х8 -- Ух-=х? (2х3? 4-1) 2 хи,
В зпаменателе воспользуемся формулой Маклорена для фупкции {6 х:
1
|.
1 х—х= (+3 х%--0 (х3) ) —=—з x3 +9 (x9) ~-3 x,
Следовательно, при х—+-{-0
2--Ух 1/2
~
,=—3 Wa
tgx—x
—1/ 3x8
x
|
x
Так как интеграл { sje PaCKOAHTCA, TO pacxo_UTCA и заданный
х0
интеграл. >
304
Вычислить несобственные интегралы (или. установить
их расходимость):
1
6,433, \ apa east. | Et 6.435, de
|
_24
6.436. \ ay 8.487. \ ye
` Bdx
Сах
6.438. фут. 6.439, \ wet
У1dx
dx
6.440.
cos—~--——. 6.441.
о
\эNo
\ V «(1—x)
Исследовать на сходимость интеграль:
i cos—
2
6.442. у: dx. 6.443. я
1
1
6.444. хх . 6.445.
ен
ах
1
I
dx
Vx
6.446. \ =. 6.447. oa
Inxty
6.448. т . 6.449. р
1
0
eux
е1/х
6.450. \ Sra. 6.451. } dx.
6.452. Доказать, что при & > 0 определяющий гамма-
+©
функцию Г() интеграл Эйлера Г (а)== ( em*xTM"" de схо-
0
дится, и установить следующие соотношения:
а) если « =п— целое число, то (n+ 1)=n1;
6)Г(&- 1)=оГ(а)для любого&>0;
в)Г(>)=Ил:
Под оел. А. В. Ефимова. Б. П. Демидовича
305.
9г(5) =;
д) Г (n+) =1.3.5.. (@и-ПИ =, п — целое.
$ 6. Геометрические приложения определенного
интеграла
‚ 1. Площадь плоской фигуры. Площадь фигуры, ограниченной
графиком непрерывной функции у==] (х) ({(х) > 0), двумя прямыми
х=а и x=b wn осью Ох, или площадь криволинейной трапеции,
yl
yh
«Y=h lz)
!
Л а<,
2
§ 4-14)
Puc. 49
Puc. 50
>
|
ограниченной дугой графика функции у=] (х), аз х=< 6 (рис. 49),
вычисляется по формуле
b
$=\f(x)dx.
(1)
Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций
y=fi(x) и y=fe(x), В)< р (х), и двумя прямыми x=a, x=)
(рис. 50), определяется по формуле
b
S=\ (fe @)—fi @) ae.
(2)
a
Простейшие задачи на применение формул (1) и (2) были приве-
дены в $ 4 (задачи 6.356—6.363).
Пример 1. Найти площадь фигуры, лежащей в правой полу-
плоскости и ограниченной окружностью’ х?--у2=8 и параболой
y?= 2x.
Найдем точки пересечения кривых (рис. 51), решив систему урав-
нений
ху? =8,
у=2x,
Получим точки (2, 2) и (2, —2). Используя симметрию относительно
оси Ох, найдем искомую площадь $ как удвоенную сумму площадей
криволинейных трапеций, ограниченных соответственно дугами пара-
306
болы y= V 2x, 09=х=2; и окружности y= V 8— x3, 2=х< У 8:
2
и8
52 V2xdx+\VIFtr)
0
2
2
— (УЗ. ="
2
—___
+($ V 8—x?-+-4 arcsin
0
x)=
V 8/\:
8
4
=2 3gr2n—2—n =20 my >
Иногда удобно использовать формулы, аналогичные (1) и (2), но
по переменной у (считая х функцией от и), в частности,
а
5=\(fe(yy)—fi(y))dy.
(3)
Пример 2. Найти площадь фнгуры, ограниченной параболой
(у—2)2=х—1, касательной. к ней в точке с ординатой уу =3 и
осью Ох.
Форма фигуры (рис. 52) не позволяет непосредственно применить
формулы (1) или (2). Однако если рассматривать фигуру относительно
оси Оу, то можно применить формулу (3). Итак, пусть у— независи-
yh
Рис. 51
Рис. 52
‘мая переменная. Уравнение параболы запишем в виде х= у —4у--5.
Найдем уравнение касательной к параболе. Оно имеет вид: х— хо =
= Xy (y—Yy). Tak Kak xy = 2 (y—2), то хо=х | -з=2. Найдя, далее,
абсциссу точки касания х.=2, получаем уравнение касательной
x—2=2(y—3), или х=2у—4.
Полагая в (3) {1 (у)=2у—4, | (у) =у —4у-5, имеем:
3
3
5=( (40—49 —@и—9) = | —м+94=
0
0
3
1
3
=| v3? y= 0—3 9D.
0
307
Заметим, что применение формул (1) и (2) при ‘решении примера
2 потребовало бы вычисления суммы трех интегралов:
|
ve
;— | (на ((Le42) 04D) ae
+16
ах.
. Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой
уи=1/х?, осью Ох и прямой х=| и лежащей правее этой прямой.
< Искомая площадь (рис. 53) выражается несобственным интегралом
Если фигура ограничена кривой, имеющей параметрические урав-
нения х=х (1, и=и (1), прямыми х=а, х=6 и осью Ох, то площадь
ее вычисляется по формуле
ta
ts
S=\y@x' Hat = (yar,
(4)
ty
t
где пределы интегрирования находятся из ypaBHeHnh a=x (2,),
Ь—л (15) (и (1) —0 на отрезке [41, &.]).
А
a1
т
|
Рис. 53
Рис. 54
у
Формула (4) применима также для вычисления площади фигуры,
ограниченной замкнутой кривой (изменение параметра Е от fy WO fg
должно соответствовать обходу контура по часовой стрелке).
Пример 4. Найти площадь петли кривой
х—а(—1), и=ь (41—19) (a>0, 6 > 0).
<< Найдем точки пересечения кривой с координатными осями. Имеем:
х=0 при = + 1; у=0 npn t=0, t= 3: 2. Следовательно, получаем
следующие точки: (0, 35) при #=1; (0, —35) при #=—1; (—а, 0)
при #=0; (За, 0) при 1= 2. Точка (За, 0) является точкой само-
пересечения кривой. Прин 90<#=—=2 у-—>0; пр —2=<{=<0 у=<0
(рис. 54).
308
_
Площадь фигуры находим как удвоенную площадь верхней ее
половины:
За
2
2
5=2( уак=ЭКи(0 х'(1)dt=2{6(4¢— В)а.214=
—а
0
0
`
4в256
.
2
=
2— {4
=
— $3——-
———
tab|(4 14)dt tab(+t 5) rzab,
Площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной функции
г = (ф) и двумя лучами ф= <, ф=В, гдеф и г— полярные координаты,
или площадь криволинейного сектора,
|
ограниченного дугой графика функ- „А
ЦИИ Г=Г ($), < <ф«<<В, вычисляется
по формуле.
20 7=2 asing
Ес
и
5=F|г4ф.
(5)
Yo
a
Г=Ра 605 ф
Пример 5. Найти площадь лун-
ки; ограниченной дугами окружнос-
21
тей г=2а соз ф, г=2азтф, О<фж<
<= 1/2, a> 0.
Р55
Окружности пересекаются при
ис.
ф=л/4; рассматриваемая фигура (рис.
55) симметрична относительно луча ф==л/4. Следовательно, ее пло-
щадь можно вычислять так:
m/4
m/4
$=2.—\4a?sin?pdy=2a”|(1—с0$2p)dp=
0
2
4
= 2a? (9-5 sin 29 |" =($-!) а?, >
&
Y
0
0
6.453. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой
у= шх и прямыми х=е, х=е?, у=0.
6.454. Найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом
x?
у
`
1.
6.455. Найти площадь фигуры, ограниченной парабо-
лами у =4хи х*=4у.
6.456. Найти площадь фигуры, ограниченной‘ парабо-
лой у=х*--2х и прямой у=х--2.
6.457. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми
-27
2
Y= 29 HY.
6.458. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми
4
y= 2px u y= (%—p) (p> 9).
309
6.459. Найти площадь фигуры, ограниченной окруж-
HOCTAMH x?-++ y?=a?, х3-- у? —2ау=а? и прямой у=а.
6. 400. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми
а
Y=aryY=яя5ИосьюОу.
6.461. Найти плошадь фигуры, ограниченной осью Oy,
параболой (х— а)? = 2р(у—6) и касательной к ней в точке
с абсциссой х=с (с>а>0, р>0..
6.462. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми
у= е*—1, у=е*—3, х=0.
6.463. Найти площадь фигуры, ограниченной парабо-
Noh y=3+2x—x? u ocbio Ox.
6.464. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой
у=агсэупх и прямыми х=0, у=л/2.
6.465. Найти площадь верхней лунки, ограниченной
окружностями х?-- у =а? и х*-- у 2ау=а".
6.466. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
(х— 1) (и 2) =2 их{у=2.
6.467. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой
у= шх, касательной к ней в точке х=е и осью Ох.
6.468. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми
y=In(x+2), y=2Inx, y=0
6.469. Найти площади каждой из двух частей, на ко-
торые круг х?-{- у? < 2ах разделен параболой у? =2ах—а*.
6.470. Найти площадь лунки, ограниченной гипербо-
лой х*— У’ =а* и параболой у’= > ax.
6.471. Найти площадь гиперболического сегмента с вы-
сотой Й и основанием 2 (действительная полуось гипер-
болы равна а).
6.472. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой
x?
Ш
6.473. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
Хх
—
у=0?, (х—а?)=а* иосьюОх(>0).
6.474. Найти площади каждой из двух частей, на кото-
рые круг х? -{ у? < 2ах разделен гиперболой 4х*— Зу? = а?.
6.475. Найти площадь эллиптического сегмента с вы-
сотой Й и основанием 27 (большая полуось эллипса рав-
на а, основание сегмента. параллельно малой оси).
6. 476. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми
ax
y=я, Y=Gg HWOCbIOOx.
6.477. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой
ха
Y= aa и ее асимптотами.
x и ее асимптотой.
310
6.478. Найти площадь фигуры, ограниченной астрои-
moh x=acos*t, y=asin'ft.
6.479. Найти площадь петли кривой х=3 (3—1),
=йЁ.
6.480. Найти площадь фигуры, ограниченной одной ар-
кой циклоиды х=2(1— т), у=2(1—с05Ё и осью Ох.
6.481. Найти площадь петли кривой х=а(Ё--1), у=
= b(t®?— 32).
6.482. Найти площадь петли кривой х=2Е—Й,
y= 2P—P.
6.483. Найти площадь фигуры, ограниченной кардиои-
дой г=а(1- $1).
6.484. Найти площадь одного лепестка кривой г =
==asin29.
6.485. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой
г =а 5115$.
6.486. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми
г=а
1 ф5есф, г= 2асозф и полярной осью.
6.487. Найти площадь фигуры, лежащей в первой чет-
верти, ограниченной кривыми г =а 1 ф, г == соо И ПОЛЯр-
HOH OCbIO.
6.488. Найти площадь фигуры, ограниченной двумя по-
следовательными витками' логарифмической спирали г = е?,
начиная с ф=0.
6.489. Найти ‘площадь фигуры, ограниченной кривыми
r?=2cos2g, r=1 (r 1).
6.490. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой
r=acos 39.
6.491. Найти площадь фигуры, ограниченной лемниска-
той Бернулли г* = а* $1 2$.
6.492. Найти ‘площадь фигуры, ограниченной окружно-
стью г==И3 зшф и кардиоидой г==1—с0$ф (вне карди-
ОИДЫ).
2. Длина дуги кривой. Если гладкая кривая задана уравнением
у-=|(х), то длина [ ее дуги равна
b
=| VITO ae,
a
roe a nw в —абциссы концов дуги.
Если же кривая задана параметрическими уравнениями х==х (й),
у=у (1 (ИЗ), то
t= (V (i)?+ Gi)? at,
ty
зи
Аналогично выражается длина дуги пространственной кривой, задан-
ной параметрическими уравнениями х==х (1); у=у(1, 2=2(1,
ty abs ly:
ty
t=
V
(xi)*+
Gi)? + Gi)? at.
ty
Если задано полярное уравнение гладкой кривой r=—r (Q),
а фжВ,то
В
,
=ИЯ4.
a
Пример 6. Найти длину дуги полукубической параболы
у? =х3 от начала координат до точки (4, 8).
< Имеем:
3/2
3 х1/2
Ух’,
y=a% ;
4
9
_42
oy 3/2|4 =8
Пример 7. Найти длину астроиды х==а со$? #, y=a $113 $.
< Имеем
х, = —За соз? зш &, y;=3asin? t cos t,
л/2
— = \ У 942 с05* 15102 1--9а2 5114$ 052 24=
л/2
sin?¢ |n/2 За
=3a | sin tcos tdt—=3a« 9 =5,
0
откуда [= ба.
ОИ
Пример 8. Найти длину кардиоиды г=а (1—с0$ $) (a> 0).
< Имеем:
|
г’=аз ф;
д
=| V a? (1—cos @)?--a? sin? 9 dg=
0
п
V2(1—cos )ф)аф=2a\sin$dp— 4a,
0
“
>
откуда 1=8а. No
6.493. Найти’длину дуги параболы у=х* от х=0 до
x=1.
6.494. Найти длину дуги кривой y= = (3——x) Vx
между точками ее пересечения с осью 0х.
312
6.495. Найти длину дуги полукубической параболы
y? =, (х— ру, лежащей внутри параболы у? =Qpx.
6. 496. Найти длину дуги кривой у =а ш (а*—х?) (а > 1),
лежащей выше оси Ох.
6.497. Найти длину замкнутой кривой 8а2у? = х? (42— х?).
6.498*. Найти периметр лунки, образованной окруж-
ностями: 2 - у =2ах и
= у (a>b> 0).
6.499. Найти длину дуги цепной линии y= ch 2x or
x=0 no x=3.
-
6.500. Найти длину дуги кривой y=2 In sin OT
x¥=1/2 no x=3/2.
6.501. Найти длину дуги полукубической параболы
= (х— р), отсекаемой прямой х=2р (p> 0).
6.502. Найти длину дуги кривой х==а (3с0$ #—соз ЗВ,
y =a(3sint—sin3t) or t=0 go 1=5 (a> 0).
6.503. Найти длину дуги кривой х= е! соз{, у=еЁ шт
от#=0до=.
|
6.504. Найти длину петли кривой х = #, у=} (3—2).
6.505. Найти длину дуги кривой nae, y= 2—1.
между точками ее пересечения с осями координат.
6.506. Найти длину петли кривой х=а(Ё--1),
=3(8—31) (a> 0).
|
6.507. На циклоиде x=a(t—sin?), y=a(l—cos?)
найти точку, которая делит длину первой арки циклоиды
в отношении 1:3, считая от начала координат (a> 0).
6.508. Найти ‚длину дуги логарифмической спирали
г = е®, находящейся внутри окружности г==1! (а>0).
6.509. Найти длину дуги кардиоиды r= 2(1—cos 4),
находящейся внутри окружности г =1.
6.510*. Найти длину всей кривой г == а соз3 С (a> 0).
6.511. Найти длину дуги спирали Архимеда r =5q,
находящейся внутри окружности г = 10л.
6.512. Найти длину всей кривой г = а $11* т (a> 0).
Найти длины дуг пространственных кривых:
6.513. х=ай, у=а (1+3 в), z=a (1—8) отр= 0
до #=ИЗ (a>O0).
913.
6.514. х=е созЬ у=езшЬ, г=е! между плоскостями
2=0и z=a (а>0).
|
6.515. x? =4y, 92?=16xy между плоскостями х=0
И Х=4.
6.516. x=aV tcost, y=aVtsint, z=at or t=0 no
произвольного #>0 (a> 0).
6.517. x =t—sint, y=1—cost?, z= 4 03 > между дву-
мя точками пересечения кривой с плоскостью Ох2г.
3. Площадь поверхности вращения. Площадь поверхности, образо-
ванной вращением вокруг оси Ох дуги кривой, заданной функцией
у=|(х), ах, вычисляется по формуле
b
Q,=20 | F(x) VITO War.
a
Если дуга задана параметрическими уравнениями х —=х (1), и=и (1),
ti ate te; TO
ts
Q,=20|y()VEOFYOPat.
ts
Если дуга задана в полярных координатах г = ($); о <ф<В, то
р
TS
Q = 20 ( rsing V r2-+-(r')2 do.
©
Если дуга кривой вращается вокруг произвольной оси; то пло-
щадь поверхности вращения выражается интегралом
В
Q=2n | Rdl,
A
где К — расстояние от точки на кривой до оси вращения, 41 — диф-
ференциал дуги, А и В— пределы интегрирования, соответствующие
концам дуги. При этом А и 4{/ должны быть выражены через пере-
менную интегрирования.
Пример 9. Найти площадь поверхности, образованной враще-
нием астроиды х2/3 -|- у?/3 = а?/3 вокруг`оси Ох.
< Имеем:
y= (42/4 — 42/3) 3/2
(a2/3 — x2/3)1/2
3
2_
у = (4—2) (-з= v8)
xi/s
é
а—588 0113
V'+
5
=lxta"
314
Следовательно;
а
а
ai/3
Q .==2-2n | (42/3— х2/3) 3/2 . та dx = 4na1/8 \ (22/3 — х2/3)3/2 х-—1/3 дх ==
3 (a2/3— x2/8)5/2]a 19
=—
|=—Да?
4ла
5
5
5 sat,
2
0
Пример 10. Найти площадь поверхности, образованной вра-
щением одной арки циклоиды х==а (1—т 1), у=а (1 —с0$ 1) вокруг
оси Ох.
Имеем:
xj=a(1—cos 2), yj=asint,
V («2+ (y))2=V a2(1 —cos #)2-+- a? sin? ¢ =
=aYy 2(1—cos t) = 2a sin ,2
Отсюда
2п
on
Q,=2n(а(1—с0$#)-2asin5dt=8na?\sin’5dt==
6
5
Qn
=8ла?| 1—cos?1 sin dt=
2
2
0
cos3 Е [27
tz|64
=—
2
——
=
1блаe9 5 о 5ла?,>
Пример 11. Найти площадь поверхности, образованной вра-
щением кардиоиды г=2а (1-|-с0$ ф) вокруг полярной оси.
< Имеем:
г =— 2asing,
VYr+ (r’)?= V4a? (1+ cos @)?-+ 4a? т? ф=4а соз
и, далее,
м
“
)
t
o
|
-
3
д
Q.=20|2a(1-4cos @)sin@-4acosУар=бала?\cos4=.$sin+о4ф=
0
0
6.518. Найти площадь поверхности (называемой кате-
ноибом), образованной вращением дуги цепной линии
y= ch 2x, O0<x<3, BoKpyr ocn Ox.
315
‚ 6.519. Найти площадь поверхности эллипсоида, сбразо-
ванного вращением эллипса 4х? -{- у? =4 вокруг: а) оси Ох;
6) оси Оу.
6.520. Найти площадь поверхности, образованной вра-
щением вокруг оси Ох дуги кривой yaar oT x=—|
yox=1.
6.521. Найти площадь поверхности, образованной вра-
щением вокруг оси Ох дуги кривой y=hVx (х— 12) меж-
‘ду точками ее пересечения с осью Ох.
6.522. Найти площадь поверхности, образованной вра-
щением вокруг оси Оу дуги полукубической параболы
Say?
= 4x°, отсекаемой прямой х=а.
6.523. Найти площадь поверхности, образованной вра-
щением петли кривой Эау? = х (За—х)? вокруг: а) оси Ох;
6) оси Оу.
6.524. Найти площадь поверхности, образованной вра-
щением дуги кривой у=е-*/?,0< х < -- оо, вокруг оси Ох.
6.525. Найти площадь поверхности, образованной вра-
щением дуги кривой х==а(3с0$ #—с03 3#), y=a(ssint—
—т37),0< <л/2,вокруг:а)осиОх;6)осиОу.
‘6.526. Найти площадь поверхности, образованной вра-
щением петли кривой х=а(Р- 1), y= (3—1) BOKpyP
оси Ох.
|
|
6.527. Найти площадь поверхности, образованной вра-
щением одной арки циклоидых =а(#— т, у=а(1—с0$ #)
вокруг ее оси симметрии.
|
6.528. Найти площадь поверхности, образованной вра-
щением дуги эвольвенты окружности х=а (Е 3 #-{ соз #),
y=a/(sinf—tcost), O<f<n, Boxpyr оси Ох.
6.529. Найти площадь поверхности, образованной вра-
щением окружности г=2а 1шф вокруг полярной оси.
6.530. Найти площадь поверхности, образованной вра-
щением . кардиоиды г=а(1--с0$ф) вокруг касательной
в ее вершине (2а, 0).
6.531. Доказать, что площадь поверхности, образован-
ной вращением лемнискаты г? = а* зт 2ф вокруг полярной
оси, равна площади ‘поверхности сферы радиуса а.
6.532. Найти площадь поверхности, образованной Bpa-
щением дуги кривой г=а $ес* + », 0x9 5 ‚ вокруг по-
лярной оси.
316
`4: Объем тела. Если площадь S (x) сечения тела плоскостью,
перпендикулярной оси Ох, является ‘непрерывной функцией на отрез-
ке [а, 5], то объем тела вычисляется по формуле
b
=(5(x)dx.
(6)
Пример 12. Найти объем тела, основание которого—круг
радиуса а, а сечение плоскостью, перпендикулярной фиксированному
диаметру круга, есть равнобедренный треугольник высоты й.
«<q Выберем систему координат так, чтобы плоскость Oxy совпадала
с плоскостью круга, начало координат-—с его центром, а ось Ох
содержала фиксированный диаметр (рис. 56). Получим уравнение
окружности в виде x*+ y2?=a?,
.
Сечение тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, есть равно-
бедренный треугольник с основанием 2у=2 У а? и высотой #.
меем:
$=5.2 V @—xth=h V a—x? (—axx<a),;
a
a
V=h \Vatxdx=2h|Va@—xdx=
—а
0
—on(* Veo Ls
XN_o,@
= (5Уз #45aresin=)|’ 2h "5
Выражение для функции 5$(х) достаточно просто получается
в случае тел вращения. Так, если криволинейная трапеция, ограни-
ченная кривой у-=|(х), аз х=<6, вращается вокруг оси Ох или
1—-_ ла?
=>пай.>
7]
Puc. 56
Рис. 57
оси Оу, то объемы тел вращения вычисляются соответственно по фор-
мулам:
b
ул | f(x) dx,
@)
b
a
Vy—2n | x1 Fe) Idx, azo.
(8)
Если криволинейный сектор, ограниченный\ кривой г=г. ($)
и лучами ф=оа, ф=В, вращается вскруг полярной оси, то объем
317
тела вращения равен
В
у=зл | "за.
{#7
Вычисление объемов тел зпачительно проще производится
с помощью кратных интегралов. Поэтому мы ограничимся здесь
только простейшими задачами.
Пример 13. Фигура, ограниченная кривыми y= V 2px
2
,
HI=
(x — p)3/? ‚ вращается вокруг оси Ох. Найти объем тела
р
вращения.
« Найдем точки пересечения кривых:
Ир (х— р), или рак
= 4(— р);
Ур
очевидно, уравнению удовлетворяет значение х =2р, и тогда у==2р, т. е.
имеем точку пересечения (2р, 2р),—рис. 57. Искомый объем есть разность
двух объемов: объема У1, полученного вращением криволинейной
трапеции, ограниченной параболой у = ИУ 2рх (0<х=—< 2р), и объема Vo,
полученного вращением криволинейной трапеции, ограниченной полу-
кубической параболой == (x — p)3/2 (p <x 2p),
p
Используя формулу (7), получаем:
У;=У!—У.=
2р
2р
2p
2p
r=I\Yide—x|ysвеер |xdx—a.—|(x—р)34х=
р
р
2р
x?
‘=
=4лрз —прз =3Злрз. No
р
2
2p 4п (5—р)
=2 пр
р
i
Пример 14. Фигура, огравиченная KpuBoh x=acost; y=
=asin 2¢ (0 < ta, 7/2) u осью Ох; вращается вокруг оси Оу, Найти
объем тела вращения.
« Очевидно, что О<хж«<аи OR yea, а также что у=0 при #=0
и при &=л/2,; т, е рассматриваемая фигура является криволинейной
трапецией. Далее, при &=0 х=а, при =л/2 х==0, Следовательно,
искомый объем выражается формулой (8). Имеем:
а
0
vy=2a\ x(0 9 dt = 2n ( acos t-asin 2t(—asin f) dt=
П/з
п/2
37/8
=ла8|$1122}ато |(1—с0$48)4
=
0
0
75(+ узat)TMate
No»
318
При мер 15. Кардиоида r=—a(l—cosq) вращается вокрур
полярной оси. Найти объем тела вращения.
л
—
4
< yaaa фо сора gaatSSE |=aas, >
6.533. Найти объем тела, основание которого
— область
плоскости Oxy, ограниченная астроидой х==асо3? Ь,
y=asin’t, a сечение плоскостью, перпендикулярной оси
Ох, есть квадрат.
6.534. Найти объем клина, отсеченного от прямого
кругового цилиндра радиуса а плоскостью, проходящей
через диаметр основания под углом & к плоскости осно-
вания.
6.535. Найти объем тела, образованного вращением
вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями 2y =x?
u 2x-+2y—3=0.
6.536. Найти объем тела, образованного вращением
вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями у=е`**—],
y=e*+1, x=0.
6.537. Найти объем тела, образованного вращением
вокруг оси Оу фигуры, ограниченной линиями иу=х,
y=x+tsin?x (О<х<л).
6.538. Найти объем тела, образованного вращением2
вокруг оси Оу фигуры, ограниченной линиями у= +
+2x+2u y=2.
6.539. Найти объем тела, образованного вращением па-
раболического сегмента с основанием 2а и высотой й вокруг
ВЫСОТЫ.
6.540. Найти объемы тел, образованных вращением фи-
гуры, ограниченной кривой х=ай, у=аш{ (а>0) и ося-
ми координат, вокруг: а) оси `Ох; 5 оси Оу.
6.541. Найти объем тела, образованного вращением во-
круг оси Ох фигуры, ограниченной кривой х=асозЬ
у=азш2Ёи осью Ox (OX
x <Q).
6.542. Найти объем тела, образованного вращением аст-
роиды х=асо3? 1, у=а5$113 вокруг прямой х=а.
6.543. Найти объем тела, образованного вращением кри-
вой г=а511*ф вокруг полярной оси.
6.544. Найти объем тела, образованного вращением
лемнискаты г? == а? соз 2ф вокруг полярной оси.
6.545*. Найти объем тела, образованного вращением
гокруг оси Ох фигуры, ограниченной. кривой y=
и осью Ох.
319
$ 7. Приложения определенного интеграла к решению
некоторых задач механики и физики
1. Моменты и центры масс плоских кривых. Если дуга кривой за-
дана уравнением и=} (х), ах жж, и имеет плотность 1) р==р (x), TO
‘статические моменты этой дуги М; и Му относительно координат-
ных осей Ох и Оу равны
b
Мур)ГТЕР,
b
Му== р (хх И1-(Р <) ах,
моменты инерции /х и /, относительно тех же осей Ох и Оу вычисля-
ются по формулам
0 (x) F(x) VIFF @))? de,
b
1,=|
a
B
p(x) УТЕС Фа,
Ly=
а координаты центра масс Х и у —по формулам
b
ia? =t {ows VIF Wax,
b
=> fom re VTEU OP ar,
где {— масса дуги, т. е.
b
t=( 9) VIF0 @) ae.
Пример 1. Найти статические моменты и’ моменты инерции от-
носительно осей Ох и Оу дуги цепной линии у=сИх при О<х 1.
«4 Имеем: у’=з8 х, Yl+(y)i=V 1+sh?x=chx. Следовательно,
|
1
и, сиб |(t-{-ch2x)de= (+5sh2|=
1
=4 (2-2),
1) Всюду в задачах, где плотность не указана, предполагается, что
кривая однородна и р=1.
320
1
1
1
Му=\xchxdx= за(ия) язя|— sh
xdx=
0
0
0
1
s=sh 1—chx ash 1 — с 1-1,
|
—
«Но
sh ly shed,
1
|
|
1,=(chtxdx=| (1-+-sh?x)chxdx=(sh+4)
0
0
1
1
|1
= \x2chxde= |x2d(shx)=2?shx —2\ xshedr=
0
00
0
1
=sh1—2{ xd (ch
x) =sh1—2 [+ chx
0
|
‚—(чхах}=
=shl—2chi--2shl=3shi—2chl. »
Пример 2. Найти коордипаты центра масс дуги окружности
x=acost, y=asint, расположенной в первой четверти.
я
|
д,
‚
.
4 Имеем: l=,
0=1= 5,
x; =—asint, y,=acost,
V (<i)?+ (yd? = Vasin? f-Pa® cos? fa.
Отсюда получаем:
‚ п/2
У.
9.
1/2
M,=@ \ cost dt=a*sint
==;
:
л/2
2
:
9
п/2
2
Му==а
sintd{=— a*cost ==”,
0
=Му_a2ai=a®_2а
р а in’?*
пР
В приложениях часто оказывается полезной следующая
Теорема Гульдена. Площадь поверхности, образованной
вращением дуги плоской кривой вокруг оси, ‘лежащей в плоскости
дуги и ее не пересекающей, равна произведению длины дуги на длину
окружности, описываемой ее центром масс.
Пример 3. Найти координаты центра масс ‘полуокружности
и=У а?— хе.
« Вследствие симметрии х=0. При вращении полуокружности вок-
руг оси Ох получается сфера, площадь поверхности которой равна
4ла?, а длина полуокружности равна ла. По теореме Гульдена имеем
4ла? = ла.9лу.
— 24а
2
Отсюда y=— ут. е. центр масс С имеет координаты С (0, =)
_
bP
11 Под ред. А. В. Ефимова, Б. П. Демндовича
321
6.546. Найти статический момент синусоиды у=зшх
(0<х=л) относительно оси Ох.
|
6.547. Найти статический момент и момент инерции
относительно оси Ох дуги кривой у=е* (0<х=— |).
6.548. Найти статический момент и момент инерции
относительно оси Ох одной арки циклоиды х = а (Е — 31 #),
y=a(l—cosf).
6.549. Найти статический момент и момент инерции
полуокружности радиуса а относительно ее диаметра.
6.550. Найти статические моменты относительно осей
Ох и Оу всей дуги окружности г=2асозф, лежащей
выше полярной оси.
e
x
6.551. Найти центр масс дуги цепной линии у=асп-
(O<x<a).
6.552. Найти центр масс всей дуги астроиды х == а со3? &,
у=а$113{, расположенной выше оси Ох.
6.553. Найти декартовы координаты центра масс дуги
кардиоиды г==а (1 -+с0$ $) (0<ф=—< пл).
6.554. Пользуясь теоремойй Гульдена, найти ‘центр масс
дуги астроиды х=ас03°1, у=а51131, лежащей в первой
четверти.
2. Физические задачи. Некоторые применения определенного
‘интеграла при решении физических задач иллюстрируются ниже
в примерах
.4 —7.
Пример 4. Скорость прямолинейного движения тела выра-
жается формулой и=2Её-НЗР (м/с). Найти путь, пройденный телом за
5 секунд от начала движения.
q Tak как путь, пройденный телом со скоростью о(1) за отрезок
времени [11, #5], ‘выражается интегралом
.fo
S=\v(t)dt
i,
то имеем.
5
$=\(2¢+32?)dt=(2+#°)5
- == 150(m). »
6
0
Пример 5. Какую работу необходимо затратить для того,
чтобы тело массы ‘т поднять с поверхности Земли, радиус которой А;
на высоту А? Чему равна работа, если тело удаляется в бесконеч-
HOCTb?
=
«4 Работа переменной силы /\(х), действующей вдоль оси Ох на OTs
резке [а, 6], выражается интегралом
А(г
322
Согласно закону всемирного тяготения сила Р, действующая на тело
массы т, равна
кет,
где М —масса `Земли, г— расстояние массы т от центра Земли, А —
гравитационная постоянная. Так как на поверхности ‹ Земли, т. е.
при г=АЮ, имеем Р= то, то можем записать тает. Отсюда
находим RM =gR?, a noTomy
Следовательно, искомая работа равна
R+h
R+h
\Fdr= |mgR=mgR?(—
R
Отсюда при й —-|-® имеем
lim A=mgR. p
ho+2»
®
a
Пример 6. Вычислить кинетическую энергию однородного
кругового конуса, вращающегося с угловой скоростью ® вокруг
свсей оси, если заданы радиус. основания конуса NoЮ, высота Н и
плотность \%.
« Кинетическая энергия тела; вращающегося вокруг некоторой оси
с угловой скоростью в, равна 5-16”, где / — момент инерции тела
относительно оси вращения. За элементарную массу 4т примем мас-
су полого цилиндра высоты Й с внутренним радиусом г и толщиной
стенок 4 (рис.'58). Тогда ат = 2лгйл аг (0 < г= ВЮ). Из подобия тре-
угольников ОСР и ОАВ имеем
г H—h
r
——
Ст..=[7|—
.
RWOTeh(г)
Следовательно,
R
и элементарный момент инерции d/ равен
dm = 2nyH (1 -+) rdr,
dl =dm-1—2nyH (1) r3 dr,
e
Таким образом, момент инерции всего конуса есть
R
.®
1—\a= ja 1-7) 8 dp= OnvH Rt =) =тбл HRS,
~re
р ONETSто”
и кинетическая энергия конуса равна
м
K=5 5 MHRA",
11*
323
Пример 7. С какой силой жидкость плотности \ давит. на
вертикальную треугольную пластину с основанием ‘а и высотой. #,
погруженную в жидкость вершиной вниз так, что основание нахо-
дится на ее поверхности?
riК
dA
В
>
1
я
ar.
—+=
a
a
x
|у
{CUYD
Е
Г
0
lr~
Рис. 58
Рис. 59
«< Согласно закону Паскаля сила Р, с которой жидкость плотностиу
давит на площадку $ при глубине погружения Н, равна.
P=ygHS.
Вводя систему координат, показанную на рис. 59, рассмотрим
элементарную прямоугольную площадку, находящуюся на глубине х
и имеющую сснование В и высоту 4х. Из подобия треугольников
САВ и СЛЕ кмеем
b
a
77>
‚т. е. b=—- (A—x),
следовательно,
dS =b dx=— (h—x) dx, dP= ygx dsHETM (h— x) dx.
Таким образом, сила давления жидкости на всю пластину равна
h
_
уда
уда (No h®\ _ yeah?
P= for
\xa—x)dx=——и (7—2 = >
0
.
6.555. Скорость тела, брошенного вертикально вверх
с начальной скоростью и, без учета сопротивления воз-
духа равна 9 =,— 21, где {— протекшее ‘время, &—ус-
корение свободного падения. На какую’ максимальную
высоту поднимается тело?
* 6.556. Точка оси Ох совершает гармонические колеба-
ния около начала координат со скоростью =, соз (0 -- Ф),
где {— время, и, ®, ф— постоянные. Найти закон коле-
бания точки и среднее значение абсолютной величины
скорости за период колебаний.
6.557. Два тела движутся по одной и той же прямой:
первое со скоростью и, =3й —41 (м/©), второе со ско-
324
ростью 9, = 4 (Ё--3) (m/c). Если в начальный момент они
были вместе, то в какой, момент и на каком расстоянии
от начала движения они опять будут вместе?
6.558. Скорость движения точки v=0,1te-%-%# (м/с).
Найти путь, пройденный точкой от начала движения до
полной остановки (о (1,) =0).
6.559*. Какую работу надо затратить, чтобы растянуть
пружину на 65 см, если сила в 1 Н растягивает ее Ha | cm?
6.560. Вычислить работу, которую надо затратить,
чтобы насыпать ‘кучу песка конической формы с радиусом
основания КЮ и высотой Н. Плотность песка %.
6.561. Вычислить работу, которую надо затратить,
чтобы выкачать ‘жидкость плотности ^› из котла, имеющего
форму параболоида вращения, обращенного вершиной
вверх. Радиус основания К, высота Н.
6.562. Вычислить работу, которую надо затратить при
постройке пирамиды с квадратным основанием, если вы-
сота пирамиды Н, сторона основания а, плотность мате-
риала +.
_ 6.563. Вычислить работу, которую ‘падо затратить,
чтобы выкачать жидкость плотности у из резервуара,
имеющего форму конуса, обращенного вершиной вверх.
Радиус основания А, высота А.
6.564. Вычислить работу, которую надо затратить,
чтобы выкачать жидкость плотности % из цистерны, огра-
ниченной поверхностями: /=2рг2, х=-на, га=р(р> 0).
6.565*. Электрический заряд е,, сосредоточенный в на-
чале координат, отталкивает заряд е из точки (а, 0)
в точку (5, 0). Определить работу А силы отталкивания-Р.
Чему равна работа при удалении заряда е в бесконечность?
6.566*. Цилиндр с подвижным поршнем заполнен паром
объема У, =0,2мз с упругостью р,= 10330 Н/м?. Какую
работу надо затратить, чтобы при постоянной температуре
(изотермический прецесс) объем пара уменьшить в 2 раза?
6.567*. Определить работу, произведенную при адиа-
батическом сжатии воздуха, имеющего начальные объем
У, =8м? и давление р, =10000 Н/м?* до объема У, =2мз.
6.568. Найти кинетическую энергию однородного шара.
радиуса К. и плотности \, вращающегося с угловой ‘ско-
ростью ® вокруг своего диаметра.
6.569. Найти кинетическую энергию пластинки, имею-
щей форму параболического сегмента и вращающейся
вокруг оси параболы с постоянной угловой скоростью в.
Основание сегмента ‘а, высота й, толщина пластинки 4,
плотность ‚ материала \.
325
6.570. Найти кинетическую энергию треугольной плас-
тинки, вращающейся вокруг основания, с угловой ско-
ростьюw. Основание пластинки а, высота й, толщина J,
плотность у.
6.57. Найти кинетическую энергию однородного кру-
гового цилиндра плотности у с радиусом основания К
и высотой Н, ращающегося с угловой скоростью® вок-
руг своей оси.
’ 6.572. С какой силой жидкость плотности у давит на
вертикальную треугольную пластинку с основанием а
и высотой Йй, погруженную в нее так, что вершина на-
ходится на поверхности, а основание параллельно поверх-
HOCTH?
6.573. Конец трубы, погруженной в жидкость плот-
ности ‘у, закрыт круглой заслонкой. Определить силу
давления на заслонку, если ее радиус К, а центр нахо-
дится на глубине Л.
6.574. Найти силу, с которой жидкость плотности %
давит на вертикальную стенку, имеющую форму полу-
эллипса, большая ось которого находится на поверхности
жидкости. Большая полуось эллипса а, малая 6.
6.575. Найги силу давления жидкости плотности %,
заполняющей круговой цилиндр, на боковые стенки ци-
линдра, если радиус основания Ю, высота НЯ.
6.576. Найти массу стержня длины [=565м, если ли-
нейная плотность стержня меняется по закону }=1 --
-- 0,1 ^° (кг/м), где х— расстояние от одного из концов
стержня.
6.577*. Найти количество тепла, выделяемое перемен-
ным током / =1, с0$ @©Ё в течение периода 2л/® в провод-
нике с сопротивлением К.
6.578*. За какое время вода,.наполняющая цилиндри-
ческий сосуд с площадью основания S = 100 см? и высо-
той Н =20см, вытечет через отверстие на дне площадью
S,= 1 cm??
6.579**. При установившемся ламинарном (струйном)
течении жидкости через трубу круглого сечения радиуса
а скорасть течения и в точке, находящейся на расстоя-
нии г от оси трубы, дается формулой о= 41? — *),
`
$
р— разность давлений жидкости на концах трубы,
и — вязкость жидкости, /[— длина трубы. Определить
расход жидкости @, т.е. объем жидкости, протека-
ющей через поперечное сечение трубы в единицу Bpe-
мени.
326
6.580*. С какой силой полукольцо радиуса К и массы
М притягивает материальную точку т, находящуюся
в его центре?
6.581. За какое время вода вытечет из конической
воронки, имеющей высоту Н=50см, радиус верхнего
основания А =5см, радиус нижнего основания г == 0,2 см?
6.582. Определить расход жидкости через „водослив
прямоугольного сечения. Высота водослива й, ширина а,
ВЯЗКОСТЬ ЖИДКОСТИ Ц.
$ 8. Численное интегрирование функций одной
переменной
Численное интегрирование состоит в нахождении интеграла
No (x) ах OT непрерывной функции f (x) no квадратурной Формиуле
a
b
n
{f(x)dxx>тк!(Хр),
а
k=]
где коэффициенты ак — действительные числа и узлы хх принадлежат.
la, bj], R=1, 2, ... , a. Bug суммы`
п
Sal) = ¥ angi (xe)
k=!
определяет метод численного интегрирования, а разность
b
В»(р= 1094—5,()
а
— погрешность метода.
Для метода прямоугольников
b
n
<
,
дак= У,Иж,
(1)
;
a
k=!
b—a
h
h=—— (шаг разбиения), хи =@— =, хь=хв-1--й (R=1, 2, ..., a).
;
Для метода. трапеций
b
n=l
годах = ca» id),
р
а
k=]
A= 5 Xp, Xp=Xp-i th (k=1, ..., A).
327
Для метода Симпсона
b
n
п-1
|fears3(, ЕР®--4У Геи-д-2У 1кы (2)
b
k=1
k=|
—a
2n
Правые части формул прямоугольников (1), трапеций (2) и Симп-
сона (3) являются интегральными суммами и при А —+0 стремятся
к данному интегралу. Однако при фиксированном Й каждая из них
отличается от соответствующего интеграла на величину К» (1). По
заданной предельной абсолютной погрешности & > 0 подбирается па-
раметр п, или, что то же самое, шаг No, при котором выполняется
неравенство
й—
» Xo Fs Xp=Xpeaarth (k=1, 2, ... 2п).
|, |<
Величины Ю,„ (Г) (в предположении существования входящих
в них пронаводных) характеризуются равепствами
Rn (=
" (5) 2, ЕЕ[а, 68], для метода, ‘прямоугольников,
Кн (n=? iz
”
Ю„ (= — = Я У) (Е) 18, ЕС[а, 6], для метода Симпсона.
2, ЕС[а, 6], для метода трапеций,
Пример 1. Найти ш 2 с точностью до 10-% из соотношения
|
‚ах
ш2 = \ >, вычислив‘ интеграл методом Симпсона.
0,5
“
]
1
|
4 Для подынтегральной функции i ()J=— Ha отрезке 5, 11,
имеем, /(1У) (== ‚ откуда | У) (х) | < 24.2?. Учитывая, что а==
I
=—, b=1, = ‚ получаем
1
5/1 \*
]
{RnD1<579924-2 (= » ИЛИ. [Ruf1<т5бия-
Для достижения задапной точности необходимо выполнение неравенства
103
1
~4
4
12074<10»ИЛИп
TW?
120
что будет иметь место при n* > 100, Поэтому следует выбрать. п=4.
Найдя h=t=0, 0625, мы заведомо сможем вычислить значения
16
функции с точностью no 10-4, Получим таблицу 1):
1) См. сноску на с. 251.
328
Хо=0‚5
i (хо) —=2
.
x,=0 5625
f (x4) =1,7777777
ха=0 ‚6250
f (xe) =1,6
Xq = 0,6875
f (%3) = 1,4545454
x, = 0,7500
|
f (xq) = 1,3333333
x, =0,8125
| (хь) = 1,2307692
хв ==0,8750.
-. | f (xg) =1,1428571
%, = 0,9375
| F (x9)= 1,0666665
:
Xg=1
F(x)=
1=3
0.=5,5297589 | 0.=4,0761904
Подсчитав сумму
O=0,-} 402+ 203= 33,271415
и 3 =0,0208333, по формуле Симпсона (3) получаем результат:
` п 2=0,6931. >
Другой способ оценки погрешности метода численного интегри-
рования состоит в том, что’ используется асимптотическое равенство
b
Sny4
Say
—т
\ F(x) 4x—Snyay )=—
и р о(пу’
где
°
и=No. (A>1),v=I,2,3,e003
н т=2 для методов прямоугольников и трапеций, т==4 для метода
Симпсона. Вычисления по формулам для нахождения суммы `5), (/)
производятся при П=Лу, Па, Пз, ... ДО тех пор, пока не будет вы-
полнено соотношение
| Эту ()—Say].
ma
@
Указанный способ называется правилом ‚Р увге. Критерием его
применимости является соотношение
Sayer )—Say (7) ~ \-т
Sry (/) —Sry_y (f) ~
"
°
Число ^ > 1 выбирается любым, однако предпочтительно равным 2
или 3.
Пример 2. Вычислить методом трапеций с точностью до 10-%
интеграл
. 329
«< Выберем п1=10, п›=20 и вычислим значения подынтегральной
функции / (х) =
(Е =1,2,.. 7 10)'n x=
Сначала
Vite
находим
9
1— [(eo)+I(xt)4У F(x) ahy=-k.
=!
мулу трапеций (2), найдем
a
5
= 4-64) h'y = 0,9094937,
И .-$ J (xSP.
Таблица 6.1
сумму
соответственно в узлах х —=х, А =--
к
(^—1,2,oe
~ 10°
10
., 20) (см. таблицу 6.1).
би, = 01.1 =0,9091616, ‚ где
Применяя снова фор-
(1)
(2)
Из соотношений хь’=хь,,
Xo
x? =0,1
x =0,2
х= 0,3
xa =0,4
x =0,5
ro =0.6
xs? =0,7
xy =0,8
xs) 0,9
ХО=1
Гы) =.
р (хп?) =0,9995004
f (ха?) =0,9960936
fxs?)= 0, 9867674
f (x$?)=0 ,9694584
f (x2?) = 05428091
j (2?) —= 0,9068453
f (x$?) = 08629030
f (xg?)= 0, 8132501
f (<$?) = 0,7605057
f (x{?) =0,7071068
(2)
xy=
xy = 0,05
x =0,1
xf = 0,15
ХР= 0,0
=0,25
t= 0,3
iF = 0,35
xy == 0,4
xg == 0,45
x15 "=0,5
ay?= 0,55
06
из —0, 65
xi? =0 ‚7
xip =0,75
x32 =0,8 ©
xi?= 0,85
ия—0,9
ыы =0,95
x?=|
f (x?)= 0,9999376
f (<P)= 0,9983168
| (х?)== 0 9922778
i (x9?)= 0,9792281
[ (x?)= 0,$573324
f (x2)2 0,9259358
f (x$2)= 0,8857451
f (x) = 0,8386278
f (x) = 0,7871027
f (cf?) = 0,7337535
0, = 9,0916166
0, = 9,0982576
£
330
& =0, 1,..., 10, видно, что.для нахождения $5, нет необходимости 3a-
HOBO ВЫЧИСЛЯТЬ каждое из 21 значений функции, а к найденным ранее
значениям, вошедшим в сумму 01, следует добавить 10 новых значе-
HHA, образующих сумму 02. Полагая в левой части неравенства (4)
^=:2, т=2, учитывая значения 51, и $„„, получаем
$.——Sh п1= 0,0001 106.
Поэтому с точностью до 10-4 имеём
1
\ .=0,9094. p>
Пример 3. Составить на фортране программу вычисления
1
..
методом прямоугольников интеграла |
5И1+8
«$ Задание для ЭВМ целесообразно составить в виде трех программ-
ных единиц: основной программы, подпрограммы-функции, вычйсля-
ющей значения подынтегральной функции, и подпрограммы-функции,
которая осуществляет вычисление интеграла методом прямоуголь-
НИКОВ.
Основная программа:
EXTERNAL F
S=RECT (0.,1.,F,20)
WRITE (3, 1) $
1 FORMAT (' HHTEFPAJI=’ F6.4)
STOPEND
Подпрограмма-функция для вычисления значений подынтеграль-
ной функции:
FUNCTION F(X)
F=1 {SQRT(I, +. X43)
RETUR
END
Подпрограмма-функция вычисления определенного интеграла
методом прямоугольниксв:
FUNCTION RECT(A, B, F, N)
H=(B—A)/N
RECT =0.
X =A—H/2.
DO 1 I=1,N
X=X-+4H
1 RECT= RECT-+F (X)
RECT =RECTsH
RETURN
END
>
B-3anayax 6.583—6.606 вычислить указанные опре-
деленные интегралы с точностью до 107“ одним из сле-
331
дующих методов: а) методом .прямоугольников, 6) методом
трапеций, в) методом Симпсона.
3.5
i xed
xdx
6.583. УБЕя- а. 6.584. т т. 6.585. \ xii.
2
0
2
4
6.586..| ax. 6.587. jt ae 6.588. ‘и 1+ x dx.
1
0
0,6
0
6.589. Ия, 6500. | te :. 6.591.
|
$
УТ
yI-x?
0
i+2
1
6.594. \хш(1--х) ах. 6.595. |”ах.
10
6.592. | “ _. 6.593. ИЯ
9
0
1
3
2
1
0,5
=
3
6.596. ( ede. 6.597. |e” ¥dx. 6.598. |.
|
.0
0
2
In (Lx?
|
3,1416
6.599. {aerr dx. 6.600. ( (5-4 созл) 4х.
0
0
|
|
6.601. фура. 6.6.602. Иов хак.
0Vx
0
.
av
1
4
x
aratg x
6.603. \V sina sin5 dx, 6.604, а
0,6
0,8
6.605. \ ax. в.6.606. | Зи:
0,4
,
0
В задачах 6.607—6.613 составить на. фортране подпро-
граммы для вычисления определенных интегралов, при-
менив указанные методы и выбрав названные параметры,
обозначив через А, В и Е соответственно начало отрезка
интегрирования, его конец и идентификатор подпрограм-
мы-функции, вычисляющей значения подынтегральной
функции.
6.607. Подпрограмма-функция вычисления определен-
ного интеграла методом прямоугольников, параметры:
332
А, В, Е, М, где МNoМ— число отрезков, на которые разби-
вается исходный отрезок |[А, В].
6.603. Подпрограмма- -функция вычисления определен-
ного интеграла методом трапеций, параметры: А, В, Е, No.
6.609. Подпрограмма- -функдия, вычисления .определен-
ного интеграла методом трапеций, параметры: А, В, Г,
ЕР$, где ЕР$ — предельная ‘абсолютная погрешность.
6.610. Подпрограмма-функция вычисления определен-
ного интеграла методом Симпсона, параметры: А, В, Е, No.
6.611. Составить на. фортране подпрограммы- функции
для вычисления значений подынтегральных функций
в задачах 6.583—6.606.
` 6.612. Составить на фортране программу решения за-
дач 6.583—6.606, используя подпрограммы, полученные
при решении задач: а) 6.608 и 6.611; 6)* 6.607 и 6.611;
в) 6.610 и 6.611.
6.613*. Составить на фортране программу решения-
задач 6.583—6.606, используя подпрограммы, получен-
ные при решении задач 6.609 и 6.611.
Глава 7
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
$ 1. Основные понятия
1. Понятие функции нескольких переменных. Всякий упогядочен-
ный набор из п действительпых чисел х, ..., х„ обозначается
(х1, ..., Хл) или Р (5, ...,.Хп) и называетея точкой. п-мерного
арифметического пространства Кл, числа х!, ..., хп пазываются коор-
динатами точки .Р=Р (х!, ..., хп). Расстояние между `точками
Р (ха, ..., ха) WP? (x, ..., Xn) спределяется формулой
р(Р, Р'’)=И (ж— м)... (жи ха).
Пусть РСК”
— произвольнсе множество точек п-мерного арнф-
метического пространства. Если каждой точке Р (1, ;.., х„) ЕР
поставлено в соответствие некоторое . вполне определенное действи-
|
тельное число f(P)=f (x1, ..., хп), то
J
говорят, что на множестве О задана число-
вая функция [: К” > К от п переменных
х1, ..., Ап. Множество Ш) называется
областью спределения а множество
Е = {иЕК,| и=|{(Р), РЕО}— областью
значений функции и==}(Р).
В частном случае п =2 функция двух
переменных z=/f (x, у) может рассмат-
риваться как функция точек плоскости
в трехмерном геометрическом простран-
‚
стве с фиксированной системой координат
Охуг. Графиком этой функции называется
Рис. . 60
множество точек
P={(x, y, 2)ER3|z=f(x, y)},
представляющее собой, вообще говоря, ‘некоторую поверхность в КЗ.
Пример 1. Найти область определения функции
2=агсп4.x
©
\
ip
< Функция определена при
«< #90.
Следовательно, — ху х при х>0 и. хюу<р—х при`х<0.
Область определения функции изображена на рис. 60 (содержит
границы, за исключением начала координат). No
|
334
—* и. Найти { (3, —2), 1(и, х,
Пример 2. Пусть | (х, и)
(2.4),< Имеем:
_38—(—2)_ 5
yм
1B, = 3-5 =—5, hs x)=
1\3 а
“
1(+ 1)= (+) - (3) f="__byw, >
м
7.1. Выразить площадь 5 треугольника как функцию
длин двух его сторон хи у, если его периметр равен 2р.
Найти область определения этой функции.
7.2. Выразить объем У кругового конуса как функцию
площади © его боковой поверхности и длины { образую-
щей. Найти область определения этой функции.
7.3. Выразить площадь $ равнобочной трапеции. как
функцию длин ее сторон, если х и у— длины оснований,
z— длина боковой стороны. Найти область определения
этой. функции.
|
Найти области определения функций двух переменных
(R =const):
7.4. г=У В —я*— и. 7.5. 2=V x?+ y?— Ri.
1
1
2Ve
eI
Oo
7.
—
__-
18.2 — Taman mae
7.8.г = (2x + 8y— 1)/(x—y).
7.9. 2z=V1—(x?+y)?. 7.10. z=In(—x—y)..
7.11. 2= И, 7.12. z=yV cost.
2x— x2?—
7.13. Vi. 7.14. 2 = arccos-
7.15. = Иди Иж-у—4.
7.16. z = arcsin =; + arcsin (1—y).
7.17. f(r, op) =rV sing. 7.18 f(r, ¢) =rV
cos 29.
Найти области определения функций трех переменных:
7.19. и=И
No -- 12-- 23— ра (R =const).
7.20. u = arcsin PTH |
7.21. u==in(1—x?—y?4+2%).
ги:
335
Найти области определения функций п переменных:
7.22. u=VI-4+VI—B+.. „Им.
7.23 ИЕ
р
+4
Gn
~
7.24. Дана функция f (x, y) = и. Hafita f(2,. 1
ae|, 2), Ё (3, 2), i(a, a), ‘f(a, в)
7.25. Дана функция [(х, N= ao Hatitu f{(—8, 4)
Я F(A, L).
. 7.26. Найти 7 (х), если ‘(4)= Very (x > 0).
x
7.97. Пусть z=xtyt f(x—y).. Найти функции ри,
если г=? при у=0.
7.28**. Найти [(х, и); если i (ety, 4) = x?—y?,
7.29. Даны функции: f(x, gy) =x? y*, 9 (x, y) = x*—y’.
Найти: а) {(ф(х, и), у"); 6) O( (x, и), ФС, и).
7.30. Даны функции: P(x,y) =e* COS y, tp (x, y) =e* siny.
Доказать:
a
.
a) p* (x, y)—y х, у) =Ф(2х, 29);
6) 2p(x, у)ф(х, у) = (2x, 2y), —
|
7.31. Даны
НЫ [(х, И=
—
и, p(x) =cosx,
ах Найти: а) ФО, p(x); 6) @ (F(X, у).
2. Предел и непрерывность функции. Число А называется пре-
селом функции и=|(Р) при ‘стремлении точки Р(х1, ха, ..+) Xp)
к точке Рь (а1, а», ..., ал), если для любого г > 0 существует такое.
9>0, что ‚из условия
О<р(Р, = Иа...
а,а <8
следует
|
|f(xt, Xe, ...5 Xn) —A| < 5.
При этом пишут:
-
А= Jim f(P)= Men F (tis toy „-льжи).
Ха!
Xe ay,
хн->ап
Пример 3. Выяснить, имеет ли функция a yi ‘предел при
х-+0,‘у->0?
336
< Пусть точка Р (х, и) стремится к точке` Ро (0, 0). Вассмотрим
изменёние х и у вдоль прямой у=х. Получаем
limon"Ни вик==Итта
45>
ythey о
т
тт ра.
poo TH ТИ
ПЕГ
у—0
Результат имеет различные значения в зависимости от. выбранного К,
и поэгому функция предела не имеет.
Функция“и =[(Р) называется непрерывной в точке Ро, - если
выполнены следующие три условия:
1). функция / (Р) эпределена в точке ‘Py;
2) существует aim) (P);
3) jim, (PHF (2%),
Функция называется непрерывной. в области, если она непре-
рывна в каждой точке этой области. Если в точке Р, хотя бы ‘одно
из условий 1)—3) нарушено, то Ру называется точкой. разрыва функ-
ции }(Р). Точки разрыва могут быть изолированными, образовывать
линии разрыва, поверхности разрыва ит. д. ОХ
Пример 4. Найти точки разрыва функции
1—xyz.
хи 24°
Функцияне определена в точках, в которых знаменатель обра-
щается в нуль. 'Поэтому она имеет поверхпость разрыва
— плоскость
2х--Зу—г--4=0. No
,
Найти ‘пределы:
хо3Vxy+
х>0 ХИ
у—0
y>9
7.34. lim S24. 7:88; lim (14-224
y2)# +H,
x—>0
x—>0
у—0
у>0
‘
.
7.36. lim (x? +y?) sin-——,.
x—>@
xPу?..
ym
7.37. Tloka3aTb, 4TO npH x—On y—O cyHKunA 2 =
x
|
= 7 Может стремиться к любому пределу. Привести
примеры такого приближения точки (х, у) к точке (0, 0),
при KoTopoM limz=3, linz=2, limz=1, limz=—2.
7.38. Показать, что для функции h(x, N=, H
существует rat у), вычислив повторные пределы
e
im (Li
и lim (lim F(x, у).
х—0
ит(
Под ред. А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича
337
7.39. Показать, что для функции | (х, y)= ии
существуют и равны между собой повторные предел
“
lim(Himf(x,у)=lim(jimГ(х,и)=0=
x7>0\y>0
:
y>0\x7>0
тем. не менее Ит](х, у) не существует.
x—>0
.
0
.
7.40. Выяснить, имеет ли функция sin!n (x*-+ y?) пре-
дел при х-—+0, и-+ 0?
x?
7.41. Выяснить, имеет ли функция vie предел при
X—» 00, Y— oo?
7.42*. Показать, что функция
(_жу
22
F(x, y)=
ue если 9 x?-+ y?=40,
|
0, если. х=иу=0
в точке (0, 0) непрерывна вдоль каждого луча х = Ёсоза,
у={зша (9 [< - о), проходящего через эту точку,
tT. e. limf(tcosa, i sina) =f (0, 0), однако эта функция
[0
не является непрерывной в точке (0, 0).
7.43. Показать, что в точке (0, 0) следующие функции
непрерывны' по каждой из переменных х и у, но разрывны
по совокупности переменных:
(
2.
а)fessy=|Я cca x+y"70,
||
0,
если х=иу=0;
(_х—
-у
2.(
91 9)={eo cme FO
0, если „х=у=0.
Найти точки разрыва функций двух переменных:
1
1.
7.44.г= GoD Epp’ 7.45. 2=ini хо ли*
1
7.46.2=пути’ 7.47. 2=ш(1—х?—и?).
ОНИ
ПИ
ТВ, 2=у" 719. 2= ии.
Найти точки разрыва функций трех переменных: .
7.50. и 7.51. u=— ra 2
atta!
._1
1.
7.52, аура. 7.53. зи.
338
;
]
Z
7.54. и= ——
.
xP y?—2-1
3. Частные mpouzsoqnpe. Tlycth (xy, ..., Xp, » ++; X,)—Mpous-
вольная фиксированная точка из ‘сбласти определения функции
u==f (x1, ..., хп). Придавая значению переменной хь (#=1, 2, .,., п)
приращение Ах», рассмотрим предел
lim f (x1, +++) XpfAxg, 2-2, Xn)—P (41, 000) р +++, Хи)
Ах»
Axp>0
Этот предел называется частной производной (1-го порядка) данной
функции по ` переменной хь в ‘точке (х1, ..., хи) и обозначается
ди
Е,
.
д» HAM ]x,(x1, -neyXn).
Частные производные вычисляются по обычным правилами фор-
мулам дифференцированкя
(при этом все переменные, кроме х», рас-
сматриваются как постоянные).
Пример 5. Найти’ частные производные функции.
у
z=arctg —.,
6x
< Считая у постоянной, `получим
дг
1
( у)=
у
аа |.а |= ве.
дх 1+(4)
x
xety
Считая х постоянной, получим
дг
1
x
Функция и=](х1, хо, ..., хп) называется однородной функцией
степени` т, если для любого действительного числа #70 справед-
ливо равенство
Г (Ехт, tXo, ...,у хп) = 1% .f (x1, XQ, soy Xn).
Если однородная степени т функция и=| (ху, Хо, ..., Хп) имеет
частные производные по каждой из переменных, то выполняется
соотнощение (теорема Эйлера)
/
,
,
.
Xfy, Xt» Hey vee) Xn) daly (ЖЖ, +.) жа)...
Ри
ь(xy,Хз,@eeyXn)=mf(x1,No, eeeyхп).
Пример 6. Проверить теорему Эйлера, если
f(x, y) =Ax®+ 2Bxy+ Cy’.
< Имеем
|
|
(Ех, ty) = А (4%) --2В (1х) (у) +C (ty)? =F F(x, У).
Следовательно, т=2;
+ (х, )=2(Ах-+- ВУ, fy (x, )=2(Вх- СУ,
xf x (x, y)+yfy (x, y) =2x (Ax-+ By) + 2y (Bx+Cy) =2f (x, y). »
339
Yacmuomu производными 2-го порядка функции-и = (хт, Ха, -- +, Xp)
называются частные производные от се частных производных первого
порядка. Производные второго ‘порядка обозначаются следующим
образом:
9|5“9р6,
.
.
OXp дхь ~~Ox;
XpXp
Г, 2») eee, Ry tees Xn)s
.
_9_(0и \_ ou
ах
,
,No
Ox,
Ox, ~ OXp Ox;
Кр (1, Oy08&y Rk»oer, ррозуXn
ит, д.
Аналогично” определяются и обозначаются частные производные
порядка выше второго.
Результат многократного дифференцирования функции по раз-
личным переменным не зависит от очередности ‘дифференцирования
при условии, что возникающие‘при этрм «смешанные» частные про-
изводные непрерывны.
Пример 7. Найти частные производные 2-го порядка функции
г=аг4с=.
4 Имеем (ou. пример 5
-
Oz
и
‹
г
x
OxMY буEY
” Дифференцируем вторично:
| 0":_д(-ita)—qe
2xy -
Ox® бх\ ЮУ) (5-3
.
922 0
и )=— L-(x?+-y")—2y-y yy?— x?
Oxdyбу\яя
ау дати,
д%2_д x
|.(x24y®)—2x.Xx у—х?
дудхOx(aie)- ау у
(мы здесь убедились в том, что ote
ona)
, OxOy —дидх
8 (2 )=-: 2ху
>
Oy? ду)
(ху) °
Найти частные производные 1-го и 2-го порядков от
заданных функций:
7.55. 22%— 648". 7.56. z=ay+—.
7.57, 2=—24_. 7.58. z= xe~,
Иру
.
-
7.59, z="S". 7.60. z=y".
e
e
—
2
3.
e
2.
—
i
и,
‘7.61. z=In(x?+ 4’). 7.62. г arcsin ea
]
у\2
. eo: ——_—— о
e4,
—(+)e
7.63..u Veigae 764 u x
340°
7.65, u=xy?2°t*
+ 3x—4y + 22—t +1.
7.66. Найти р: (3, 2), fy (3, 2), [хх (3, 2), Pry (3, 2), „СЗ, 2),
если [(х, у) =хзи- ху?
—2х+Зу—1.
7.67. Найти [,(1, 2), [(1, 2), [м», 2), [у 0, 2),
x+y?
hoy (1, 2),. ecnn f(x, y)= } ef dt.
7.68. Показать, что de ore если г==х $11 (ах- 6
’ Oxdy дидх’
+ у).
7.69. Показать что = "2 ore eCJIH Z==cos# arec
’
OxOy OyOx’
os—.
_
7.10. Найти fires (0; 1), Fr, (0, 1), ри (0, 1), “Foi (0, 4),
если [(х, у) =е*ч.
7.71. Найти
I
V«FFFU=a
7/12. Найти wi 3» CCH U=x*siny+y*sinx:
д0Р+9
7.73. Найти ar ayt CCIM U= (X—Xy)? (Y—Yp)!.
В задачах 7.74—7.77 проверить теорему Эйлера об
однородных функциях.
7.74. z= X84 x2y—y*>. 7.75. 2=a45 .
et y+2.
7.77, u Tap eta
‚елии=1
4
OxOy0&On
7.76. z=<arctg 4.
7.78. Вычислить.
dxaxdx
‘Or Op 00
byayay
“OrOp00|?
02620:|
‘Or дф 90
если х=гс030 созф, у=гс030
зтф, г=и 310.
7.79. Показать, что (==). +++ 2=0, если 2=
= 4e~ 4 4. (2x + 4у—3З)е'—х—1.
—
ди du, Ou
3
_
7.80. Показать, что oe toy + г = Уи, если и=
=п(8-у?-г?Sey).
7.81. Показать, что aoe Sea + oe5;oy Ou5:= = 0, если и=
__¥—y , t—x
2 +y—z°
341
7.82. Показать, что функция и= АзшАхсоз а удов-
летворяет уравнению колебаний струны
ди „Oru
“42—a
о®
Ot
Ox
i
_ (k= Xo)?
- 7.83. Показать, что: функция и т =e 14а y OB-
л
летворяет уравнению теплопроводности
Ou, Ou
ot
Oa°
I
ГИ (x—a)?-+(y—b)?+ (2-0)?
7.84. Показать, что функция и =
удовлетворяет уравнению anaes
д?и д3и
д Г бут Ня“Oz?7 =O.
° 7.85*. Показать, что функция
(__*Y
21 42
перев em See
0, если х=у==0,
имеет частные производные [, (х, у) и [,(х, и) в точке
(0, 0), хотя и разрывна в этой точке.
7.86*. Показать, что для функции
2—y?
3
о
F(x, y) = у ати» ебли Хх +yy? 40,
0,
если х=у=0,
значение второй смешанной производной в точке (0, 0)
зависит от порядка дифференцирования, а именно:
|(0, 0)=—1, их(0,0)=1.
4. Дифференциал функции и его применение. Полным прираще-
нием функции и=|(х1, Хо, ..., Хи) в точке Р (х1, хо, ..+, Xp), COOT-
ветствующим приращениям аргументов Алхи:, Ах., ..., Ахи, называется
разность
Au =f (ж-НАхт, хз -|- Ах», ..., X,+Ax,)—f (x1, May sees Xn).
Функция и=/(Р) называется дифференцируемой в точке (ху, хо, ...
..., Хп), CCH всюду в некоторой окрестности этой точки полное
приращение функции может быть представлено в виде
Au=A,Ax,+AgAxo+...+А»Axn+0(p),
где р = V Ag+ Ag+. .. +- Аха, Ay, А.,..., А„— числа, не завися-
щие от Ах:, Ах, ..., Ахн.
Дифференциалом аи 1-го порядка функции и=| (1, х, ..., Хи)
в точке (х1, хо, ..., хп) называется главная часть полного прираще-
342
ния этой функции в рассматриваемой точке, линейная относительно
Ах:, Ах», ..., Ахп, Т.е.
du= Ay Ax + Ay Ах. --...-- Аи Ахн.
Дифференциалы независимых переменных по спределению прини-
маются равными их приращекиям:
ах =Ахр, ах =Ахо, ..., AX, =AXy.
Для дифференциала функции и=} (х1, хо, ..., Хн) справедлива фор-
мула
du diy toe diyb oe bom din
(1)
Функции и, и нескольких переменных подчиняются обычным
правилам дифференцирования:
а (и Ро) =аи- ао,
d (uv) =v du--u dv,
аи.
9
у
Пример 8. Найти полное приращение и дифференциал функ-
ции | (х, и) =х?у в точке (х, и).
<
7(х- Ах, yt Ay) = (x-+ Ax) (y+AY),
Af (x, у) = (х-- Ах)? (у-- Ау) —ху=
=2хуАх- x?Ay-+ 2xАхАу--уАх?--Ах?Ду,
‚А (х, у) =2ху Ах--
х?Ау. No
Пример 9. Найти дифференциал функций
fx,у,)
1-й способ. Имеем
По формуле (1) получаем
Xz
yz
1
а
(x? y%)9/? “ (x? y2)9/? a У х-и:
— (8-19)
4г— 2 (x dx-+y dy)
(x? у)?
2-й способ. Применяя правила дифференцирования, имеем:
df(x,y,д= И dz—z-dИя _
I
4(х,у,д=—
x? y?
VPHyide 2tty
—
V x+y? GP +y?) dz—2 (xdx+y dy) >
ey
’
(x2
+ y2)8/?
343
-При достаточно малом о = V A+ Axe + coef Ахя для диффе-
ренцируемой функции и=] (х1, Х, ...; хз) имеют место приближен-
ные равенства
|
АиАdu,
f(xy Ах, No-Р Аж, 0005 tnt Axn) ©
=f (Xi, Xa, ...; Xn) df (xi; X25 +++, Xn)-
Пример 10. Вычислить приближенно
У (4,05)2- (3,07)3.
«% Искомое число будем рассматривать как значение функции
|(х, )=У *-Ру? при х=ж-- Ах, ужи Ау, если х=4, у=3
Ах
= 0,05, Лу= 0,07. Имеем: .
[(4, 3) =У42-3 =5
xdx-ty dy
Af(x,y)~af(x,y)=——_—_——_
| ИУхи.
+:0.05-Е3-0:07 w 0,08.
Af.4,3)=
Следовательно,
У (4,05) (3,07) = 5--0,08 =5,08. No
Дифференциалом 2-го порядка а4?и функции. и=р(х1, Хо, *.., Xp)
называется дифференциал от ее дифференциала 1-го порядка, рас-
сматриваемого как функция переменных ху, х2, ..., Хн при фиксиро-
ванных значениях ху, хо, ..., AX,
и=4(du).
Аналогично определяется дифференциал 3-го порядка:
аи= а (и).
`
Вообще,
‚ пи =—а (4"-\).
Дифференциал ‘т-го порядка функции и=] (х1, Хз, «++, Xn), где
хр Хо, ..., хи— независимые переменные, выражается символической
формулой
д
|
т
|
amas(5diabaedeabo.ta din и;
(2)
которая формально раскрывается по биномиальному закону.
Например, в случае функции 2=](х, и) двух независимых пере-
менных Хх и у для дифференциалов 2-го и 3-го порядков справедливы
формулы
022
24
o
d2=~% ах?
ayд, di dy +55 d3
_ (3)
Oz, ,
032 *
P2= sy dx +3555 dx? dy +35,5g te ay? +55 a0" (4)
Пример 11. Найти 422, если г=ехУ.
« Имеем (по правилам дифференцирования)
аг=еху.а (xy) =e*Y (y dx-+-x dy).
344
Дифференцируем ‘вторично, учитывая, что dx и dy не зависят O Xx
иу (т. е. считая dx и ау постоянными):
d*z=e*yVd (xy): (y dx-+x dy)-+e*y. -d (y dx-++- x dy)=
=ery(ydx-+ xdy)*+e*92 dxdy=e*y ((ydx+x dy)?+2 dxау). No
7.87. Найти полное приращение и дифференциал
функции 2 =?
— ху- у, если х. изменяется от 2 до.
ауот|до1,2.
7.88. Найти полное приращение и дифференциал функ-
ции 2=|ю (х?-{ у?), если х изменяется от 2 до 2,1, a y--
от |1 до 0,9.
Найти дифференциалы функций;-
7.89. г=ш (ИУ. 7.90. zatgh
7.91. 2= т cos—. 7.92, u=(xy)*.
7.93. [(ха» Хь» Хз» Ха) = х-*.Ш Х..
7.94. Найти аЁ(1, 2, 1), если Ё(х, у, 2) =
Вычислить приближенно:
7.95. (2,01)з,°з. 7.96. И (1, 02 (1 ‚97)з.,
7.97. эт 28°. с0$ 61°.
7.98. Цилиндрический стакан имеет внутренние .разме-
ры: радиус основания А =2,5 м, высоту Н.=4м и тол-
щину стенок /=1 дм. Найти приближенно объем мате-
риала, затраченного на изготовление стакана.
7.99. Прямоугольный параллелепипед имеет измерения:
а=2м, Ьр=3м, с=бм. Найти приближенно величину
изменения длины диагонали параллелепипеда, если а уве-
личится на 2см, Б—на |см, а с уменьшится на 3 см.
7.100. В усеченном конусе радиусы оснований К == 20см,
г-==10О0см, высота # = 30 см. Как приближенно изменится
объем конуса, если А увеличить на 2 мм, г— на Эмм и
й уменьшить на | мм? -
Найти дифференциалы 1-го и 2-го порядков следую-
щих функций (х, и, 2 — независимые переменные):
7.101. 2=- Зла — уз. 7.102. 2=7—=.
7.103. 2= V x? 2ху. 7.104. г =
2ж-у?°
у
Verte
7.105. z=(x+y)e%. 7.106. z=xIn=.
7.107. z=aretg 7. 7.108. и=ху уг-гх.
7.109. u=e*?,
|
345
7.110. Hatirn d3z; ecnn z=esinx.
7.111. Найти и, если и
y8 + 28—dxyz2.
7.112. Найти и, если и=ш(х-и-2).
7.113. Найти d®u, ecnn u = e%*toytez,
$ 2. Дифференцирование сложных и неявных функций
1. Сложные функции одной и’ нескольких независимых перемен-.
ных. Если и= | (жа, хз, .. ..Хп)— дифференцируемая функция пере-
менных х1, Хо, ..., Хи, Которые сами являются дифференцируемыми
функциями независимой переменнойй:
—Ф1(0),ха=Фо(1,...,Хв=Фа(0,
го производная сложной функции и =} (ф1 (0, Po (0, ..., Фн (f)) вы-
числяется по формуле
аи ди‚ах
‚ах
дии
age
ae,
(1)
‘dt Ox,
OX,
дхн
В частности, если { совпадает, например, с переменной х!1, TO «пол:
ная» производная _ И mo x; paBHa
du
dX»
ди ЧХп
иНи+быRe
2)
Пример 1. Найти & если и=:хуг, где х=й-|-1, у=ШЬ,.
z=teg?.
« По формуле (1) имеем
ae ye:оке +Ру.‚ес?{=
=a inttg
ЕТ
а 1)In?sec?t.>
Пр
2. Найти 92 и 4 если 2==иу*,
rey= (x
pumep 2.
ЭхИ д,
г=у*, где у=ф (х).
4 Имеем ух пу. По формуле (2) получим
dz
/
,
Е Шу-- хуя ^".ф’(х). No
Пусть
и (х1, Хо, eoey Xn),
где А1 =Ф! (ty, ts, ...у т), Хо —=
== Do (ty, boy wees Ems coer X= Dr (E14,bos Ёт) (И, В, ..., {п —неза-
висимые переменные). Частные производные -фупкции и по th, te,
yt, выражаются следующим образом:
ди_ди Ox;,OW дхо
хп
Ot; Ox, Oh Oxy 0 +5. Oty’
ди duOxy, OuOxy, ди|Ap
0—дмOte OX»Oty mee OXnOty,
(3)
346
При этом выражение (1) из § 1 для дифференциала 1-го порядка
сохраняет свой вид (свойство инвариантности формы первого диффе-
ренциала)
д
д
du = Sean t+ diy+.. +5 Ow
Выражения для дифференциалов высших порядков сложной функ-
ции, вообще говоря, отличаются от выражения вида (2) из $ 1.
Например, дифференциал 2-го порядка выражается формулой
Аи=oOdx,+9ах+ 19dx‘ut
= Ox,"ХЕ Oxy 71 "°°!Ox,”
ди1Cuin
див
Нах.1“1+5y,4Yo eeebad Хп.
(4)
Пример 3. Найти 42 и 422, если 2г=}|(и, о), где и = (*—?)/2,
U== XY.
Имеем 42=/, аи--|, 4%, где du =x dx—y dy, du=ydx-+«x«dy. Cne-
довательно,
dz=fi+(xdx—y
dy)+fi+(ydx-+ xdy)= (xf, УГ) ах- (xf,—yf) dy.
Дифференцируем вторично:
d?z=d (f’)«du+f’ -а (аи) а (|) а%-Е Г,-а (4) =
= (fF duit dv) du+ fi +d®u-t (fi ,du-t fi, dv) du-+ fi,+d*v,
где 4?и = 4х? — 4у?, 429 = 2ах ау. Следовательно,
422 = (р, (хах— уау) |, (уах--хау)) (хах—уау) |.
+Ff,(dx?—dy?)+(fi,(«dx—y dy)-+ff, (ydxxdy))(ydxxdy)|
4-fi2ds cysfi, (xdx—y dy)? +f", (y dx x dy) (x dx—y dy)+
“EY (dx?— dy) + fi, (x dx—y dy) (y dx-+x dy) +f", (ydx-+-x dy)?+-
+ 2f% dx dy= fi, (x? dx®— 2xy dx dy+ y? dy?) + 27, (xy. (dx?— dy?) +-
+(x?—y?)dxdy)+f,(y?dx?+2xydxdyx?dy”)+f),(dx?—dy?)+-
+2p,dxdy=(р лугРУ, К)ах?
а(xyft+(8—y)Fh oh A)axdy+
На-На РЁ.) 42. No
7.114. Найти =, ecw 2=e%" 9, rrex=tgt, y= ?—t.
d
7.115. Найти =, если 2 =хУ, где х =п Ё, у=эш Ё,
7.116. Найти a, если z=aretg =, rhe x=e2#+1, y=
= e2!__|,
7.117. Найти a если u==, me x=e', y=Int, z=
347
dz‘ dz
г2”
—^
=
©
у
:
=
7.118. Haiitu = u =, если 2 In(e*+ е>), где у
= чех.
», 02|dz
_
x+1
owen?
7.119. Найти a Ho, если 2=arclg—— ‚где у=е
Oz Oz
у
дхИду
7.120. Найги
‚ если 2г=и?по, где u=—-, =
=мy?,
.|
7.121. Найти 42, если г = и? — и, гдели
=хзу,9=
= YCOS X.
vOz02
2
7.122. Найти on ay? если г=} (и, 9), где и И =
= x?—3y.
7.123. Найти и с: ‚ если
2=[(и,о),гдеи=п(х°
— 93),
= хи?.
°
7.124. Найти 42, если 2= (и, 0), где и =со$ (ху); 9 =
==No—1.
7.125. Найти 42, если 2=[(и, 5), ‘где u=sin=, U =:
= Vxy.
7.126. Найти du, если u=fi(x, у, 2), где = И,
y=si—t, z= 2st.
7.127. Найти 5.ди И ou если и=(х Xq, X =. где
дж:
OX, ’
1)Ла’8,4
х, == (x, х.), Ха=Й (1, Ху Х;).
7.128. Показать, что функция г=у. (cos и) у удов-
г
оряет уравнению92
—.
летворяет ур
ЕНаи=у
7.129. Показать, что функция 2=х} (4)—v—y
удовлетворяет уравнению Нам.
7.130. Показать, что функция 2=
1oz,102 2
воряет уравнению-- ato yA
7.131. Показать, что функция
Ти ат
+5 уг} (y—x, г—х) удовлетворяет уравнению)
Y
F (x8 —y) удовлет-
и == XYZ.
Т
Т
022 02 022
7.132. Найти it’ Oeay’ agi? COM z=f (u,v), re ues
= XU, U= X/Y.
848
oO
:
7.133. Найти деду, если и=](х, у, г), где 2=ф (х, и).
7.134. Найти все частные производные 2-го порядка
от функции и=(х, ху, xyz).
7.135. Показать, что ии u= xp (+9) +yp(x+y)
2)
ди
удовлетворяет уравнению aa 25доу + бувя —=0.
7.136. Показать, что функция и = 9 (wy) + (=) удов-
летворяет уравнению
2ди yo
xa
qt+—
yt
,
75,
7.137. Найти 4?и, если и=| (1), где t=x?+y?-+42?.
7.138. Найти ?и, если и=[ (ах, by, cz).
7.139. Найти 42, если г=[(и, 9), где и=хзтуи, 9 =
=YCOSX.
2. Неявные функции одной и нескольких независимых перемен-
ных.. Пусть уравнение }(х, у) =0, где } — дифференцируемая функция
переменных х и у, определяет у как функцию х. Первая производная
этой неявной функции у=у(х) в точке х, выражается по формуле
=0.
dy
— hx (хо, Ио)
(5)
ах X=Xq
fy (Xo, Yo)
при условии, что Г, (хо, Ио) = 0, где и= (хо), F (Xo. Yo) =O.
Производные . высших порядков ‘вычисляются последовательным
дифференцированием формулы (5).
dy|d’y
Пример 4. Найти и 7a
}-+xy— In (e*Y +e-*y) =0.
< Обозначим левую часть данного уравнения через [(х, у). Тогда
уе: ху уе-%У _ 2уе- ху
Г.(х,у)==Y—
x
-х
x
—x?
еху--е-ху ^ exYt e-xy
,
хехУ — хе-хУ — 2хе-ху
|(х,у)=x— x
—х—Xx
—xy°
у
еху--е-ху . еху-ре-*Уу
если
По формуле (5) получаем
‘
dy
2ye-*y¥
y
——
—
—a
———
—
—
—
Дифференцируем вторично, учитывая, что у есть функция х?
ре
y
вау
7==(-Е) >
ах? Ах x]
x?
x2
а’
Пусть уравнение РЁ (х1, хо, ..., Хи, и) =0, где Е — дифференцируе-
мая функция переменных х1, хо, ..., хп, и, определяет U Kak функ-
\
349
цию независимых переменных ху, Хо, ..., Хп.. Частные производные
этой неявной функции и==и (х1, Х2, ..., Хи) в точке. M? (x1, X2, ..., Х)
вычисляются по формулам
ди
Fy, (xt, x2,
ХЛ, u°)
дхь
——
,
00
xo
(k=1, 2, ‚. оу п)
(6)
RIM=M° Fy (x1, x29 +++» %p, 0°)
при условии, что’ и (хх, ..., Ха» W°) 4 O, roe uw®=u(M?) и
Е (М5,`и0) =0.-
Можно также найти частные производные функции и следующим
образом: вычисляем полный дифференциал функции РЕ (х1, Хо, ..., Хи, И),
приравниваем его нулю:
OF
OF
Ox,dx, 4+ oeдх,Р dty te. w+ Se tint 5 du =
и выражаем отсюда ди.
Oz 02
Пример 5. Найти Эх И ay’ если
x3 +. 298 4- 23 — 3xyz—2y+3=—0.
<“ 1-й способ. Обозначим левую часть данного уравнения через
Е (х, и, г). Тогда
|
Ех (х, и, 2) =3x?— 3yz,
-
Fy (x, y, 2) =6y? —3xz—2,
Fz (x, y, 2) =32?—3xy.
По формулам (6) получаем:
Oz92 Fs(x,y,2)__ 9x*—Зу2
8—yz
‘Ox— Fi(x,у,2) 322—Зхуxy—2?’
dz _ _Ру(х, у, 2) _ 6/—3Зхг—2 бу —Зхг—2
би Виа 322 8xy Зуи
2-й способ. Дифференцируем данное уравнение:
3x? dx+ 6y* dy-+ 3z? dz—3yz dx —3xz dy —3xydz—2dy =0.
Отсюда выражаем 42:
3 (x2— yz) dx
+ (бу? —3Зхг—2) dy
3 (xy— 2?)
dz=
Сравнивая. с формулой dae dx > ау, .получаем
Oz ии,
Oz _ 6y" —3xz—2
‘Oxху’буЗи°>
7.140. Найти я если x%e27
—y%e?*=0.
350
_7.141. Найти ии, если узшх—
со$(х—и)=0.
`
.dtd?
_
7.142. Найти = at ecln x-+y=e*-Y,
.аd*y
7.143. Найти
т, если х—уасву=о.
ели ЧИ
4?у
d®y
7.144. Найти ae ‚ я
‚
‚ если
°
x=1
х=1
Х=1
`Ш=!
у=1
y=1
xt My+и—4х2y—2=0.
oд
92^
7.145. Найти >= и ay в точке (1, —2, 2), если
23 —4х2г -|- у —4==0.
дг
2
ху
7.146. Найти ‘Fe A ду’ если г ш (х- г) —-==0.
7.147. Найти -52 и 5= › если Р (уг, No 2-2) 0.
.д
д
7.148. Найти 5: И Gy если f (yz, e*7) =0.
7.149. Найти dz, ecau yz=arctg (xz).
7.150. Найти 42, если хг — 2/9 -- No3 -р уз =0.
.OzOz022
|
|
7.151. Найти 9х’ би’ Tray? COM КИТА 4х
-|- 22—5 = 0.
,
,
. 022 022 022
7.152. Найти Oat? Oxy? Op’ eclH x+y+2z2=e?,
=
.
9
eo oy? 22
7.153. Найти 422, если из =|
7.154, Показать, что функция г, определяемая уравне-
нием ф(сх—а2, су— 652) =0, где ф—произвольная диф-
ференцируемая функция двух переменных, удовлетворяет
уравнению
dz
дг
aa+Oa=e.
7.155. Псказать, что функция г, определяемая уравне-
2
ne 2—а \?
нием (х—
ас0$а)?--(у—ап )*=|—
постоянные, удовлетворяет уравнению
(BY +S)
‚оAea,a,m—
` 351
7.156. Показать, что функция 2, определяемая урав-
нением и==хф (г) --ф (2), удовлетворяет уравнению
02/дг\* dzOzOz4.2 52)=0
он (32 “Ox OyOxdy*Oy?\0х] ~°
3. Системы неявных и параметрически ‘заданных функций. Огра-
ничимся рассмотрением функций двух независимых переменных,» Пусть
система двух уравнений |
F(%)yyи,0)=0;
(7)
б(х; у; и;0) =0
имеет решение х=ху; И=и; иИ=и) и =, причем функции РЁ ид
имеют в окрестности точки Ру (х, И; Uos Vo) непрерывные частные
производные первого порядка; и якобиан
OF OF
D(F; G)_| Ou du
D(u,v)| 0G 06
Ou ду
отличен от нуля в точке Ру. Тогда в некоторой окрестности точки Рь
система (7) определяет единственную систему непрерывных функций
u(x, y) H u(x, у), имеющих непрерывные частные производные и
удовлетворяющих условиям
и(Хоу0)=No09(Хо;У)=.
Дифференциалы этих’ функций 4и и 4о (а значит; и частные про-
изводные) можно найти из системы уравнений
OF
OF
OF
OF
GeMy UTayUtay=O
GG, ,0G,,G, ,a, |
ay +aydy Oadu-+-9049=0.
Пример 6. Функции и и о независимых переменных х иу
заданы. неявно системой уравнений
ио=х, иду =0,
Найти ди, 49, аи, dv.
DEF, 0) _
Ш —1 ‘отличен от н
Ви; |l—yl
у
yan
при у =—1. Дифференцированием находим два уравнения, связы-
вающие дифференциалы всех четырех переменных:
« Якобиан системы
du-+-du=dx, du—ydv—vdy=0.
Решая эту систему относительно 4и: и 49 при уз —1; получим
ди—РО gyOYI+y
—
|
Ту’
352
Дифференцируем повторно:
___ (dx dy+ dv dy) (1 +y¥)—dy (ydx+ody)__
(i1+-y)?
d
(«+7“Thy "аdy ) (+9) dy ¥y de+ 0 dy
—
(1-9)?
7
_(1+y) dx dy dx dy—v dy*—y dx dy—vdy* 2 (dx dy—v dy?)
(и)
Г п’.
Pow ty +9) —dy (dx
—0dy)_
|
(1-55)?
_аа
_ Ея.Иdy(1+y)—dxdy4-0aye
=
(У
7
_— dx dy+v dy®—dx dy+u dy’ _2(0 dy?—dx dy)__ 42
=
(И?
(14.
eee
Пусть. функция г независимых переменных хи у задана пара-
метрически уравнениями
х=—х (и, 0), y=y(U, 3), 2=2(и, Vv)
Ox Ox
DD(x,9) _ ди ду
D(u,v) | Oy oy
ди до
+0
в окрестности точки Р (Шо; Uo). Тогда дифференциал 42 Этой функции
(а значит, и ее частные производные) в окрестности точки Р можно
найти из системы уравнений
дх
дх
dx=ан5dv,
oy
Oy
=, du 5,du
Oz
02
dz—=a duРу dv.
|
.дг
дг.
-
Пример 7. Найти Oe и ду если
—
X=UuUCOSU, y=usinu, z=Ccv,
4 Имеем
D(x, y) |cosu —usinv]
|
D(a,v)|sinv ис0$9=u£0 ПР u#0.
Дифференцированием
|
находим три ‘уравнения, связывающие диффе
ренциалы всех пяти переменных:
dx—=cosudu—u sin о dv, dy=sinv duu cos uv dv, dz=cdv.
12 Под. ред.. А; В; Ефимова; Б. Ц. Демидовича.
353
Из первых двух уравнений найдем 4:
cosvdy—sinvdx
Ц
e
du=
Подставим найденное значение 40 в третье уравнение:
аг=-- (cos v dy—sin v dx).
Отсюда
Oz
csinv Oz __ccosv
Ox— un>ou
7.157. Функции у и г независимой переменной х за-
даны системой уравнений
7.2-- у?— 32 =— 1, 4%--2у?
— 323 =0,
dydzd*ydz
dx’ ах’ dx?* dx?
|
7.158. Функции у и 2 независимой переменной х ва-
даны системой уравнений
д-у—2?=0, x94Qy?+За?=|.
Найти ау, 4г, у, а?г.
7.159. Функции и и о независимых переменных хи и
заданы неявно системой уравнений
xutyo=1, xty+tu+v=0
Найти аи, 4, 4и, 49.
7.160. Показать, что х——— Ну a +2 = 0, если
ии=Зх—Зу-а, = -у nen
7.161. Найти = u —, если X=U+V, y=u—v,
Найти
при х=1, и=—2, 2=0.
дх Oy
z= uv’,
7.162. Найти 02 И 02 если xX=acosuchy, y=
NOL.
Ox ду'
|
y=
= bsinuchv, z=cshuv.
7.163. Haiitu dz, ecu x=e"cosv, y=e"sinv, z=uv.
7.164, Hatttu dz, ecnn x=u-+v, y=u?+0', z=u5+03
(u=4 v).
|
4. Замена переменных в дифференциальных выражениях. Часто
в дифференциальных выражениях входящие в них производные по
одним перемепным необходимо выразить через производные по новым
переменным.
Пример 8. Преобразовать уравнение
Фу_dy0
dx? dx’
полагая х = с0$ No
354
@ Выразим производные от у но х через производные от у по Е
dy
dy
dydtdt
ах dx —sint’
dt
d fdy
dy
Фиd(dy a(#)_Е.Getcstdt
dx?dx(== а —
sin? ¢-(— sin #) —
od d*y cost dy
sin? £ dé sinet dt’
Подставим полученные выражения производных в данное урав-
нение и заменим х на созй
о
1=dy cost dy
|ау
(1—cos* 1)(sary dt?sin8t-ay) 00s ‚(- sint —4)= о,
2.
или Bao. >
Пример 9.
резов уравпение
приняв х за функцию, а у за аргумент.
«4 Выразим производные от у по х через производные от х по и:
ит PydN dy dy
ахdx’ dx?==(в: iu(&|dx
dy
dy
dy
«A
ах
4х
_._ 4 tay’
Ey aay
dy dy
dy
Подставим эти выражения производных в данное уравнение:
@х.
dy?
1
(у +2y-(у
ау
dy
ИЛИ
ax
dx
—сх0.
Пример 10. Перейти к полярным координатам в выражении
t
A
РИ. ,
xy —У
`12*
355
4 Имеем
|
x=rcos@; y=rsing;
dx=cosgdr—rsingdg; dy=singdr-+rcos
9 dg,
откуда
,_.4y__singdr-+rcos @ dg
ax cos@~dr—rsing dg’
Подставим. выражения х, у; у’. в А:
sin p dr-++rcos gdp dr
reos pr sin @ « cos pdr—rsing dp _ dp
A=
, COS sin @ dr-+r cos@ dg
?*Cosypdr—rsingdp
‚>
rsin@
Пример 11. Преобразовать уравнение
022 „ 022
жи9=0
Ox?
Oy
.
|
|
x
перейдя к новым независимым переменным ци 9; если и=ху, =.
« Выразим частные производные от 2- по хну через частные произ-
водные от г по ци,
Имеем
ди бт Ou, woe
дх EF? oy дб’
По формулам (3) получим
o_oOu, Oe ov 01
дх-OuOx'OuOx
Ov и’
Oz0=)=%Oz
yoca) ou
“ox?Ox\Ox/Ou\Ox
Ov
ох
022
022 1
022
‘|1
=( sr У" дибо
(>+38a
=o sa
|
2би И диз’
‚02_02.oe4
dz. _Ozх.
бу ouoy'dvoyби” ovya’
G22 (2)_,(2(2) (No) Lp 2)
ay? dy\ dy} \dy\ Ou) dy\ dv) FF Ov]
_, (82du,Oz ow 02 du,022dv\1,Oz,2
—=*Е "Oy'Oudv.Oy(5-55"aytoeOv?>УТ "=)=
me (Mr PE (PE MA) Lye, 2)
~\Qua дидуи? диду до? уз]у ди’ 3]:
.‘
.032 2х2 022 ‚ха082‚2х02°
—
Ou? ay? dudu yf008Гузди,
356
Подставим найденные выражения производных в данное уравнение:
022
022
1 д2г
af ,27<
|
*(+диз"2бибоу oat|
022 9х202 x?.022 2xOz
__af.2 __
Ре<
у(«ди?=y*dudu’ y'508 узx)—.
После упрощений при х 720 и у? 0 получим
Oz_|dz
ИЛИ
Oe _tdz
°
ди ду 2xy dv’
дидо биде’ ©
:
Oz az
Пример . 12. Преобразовать уравнение у 9; — ‘a= (y— x) 2,
приняв за новые ‘независимые переменные величины и=х?- y?,
|
и = Ру и.за новую функцию = ш2— (хи.
« Выразим частные производные от 2 по х иу через частные произ-
водные от & по и и и. Для этого продифференцируем данные соот-
ношения:
|
ан =2 (х ах--у4у),
.
(de dy\ |
dv =—
tp
,
dw =F — (dx-+ dy).
Учитывая формулу (1) $ 1, имеем
Ow
Ow
dz 5,”
ИЛИ
dw
4
деГах_dy\_dz
25 (xdx-+ty dy) —-F ( a +4 )\=2 — (dx+- dy),
откуда
1ди. 1 aw.1Ow
Следовательно,
dz
ди 1dw
дг
dw1dw
а (ия) Sem? (2G
ae gett)
`02Oz
|
Подставим эти выражения 9х И ди в данное уравнение:
dw1:д
Ow 1Ow
(ae et!) (Sr B get!) =U
или 0—0. >
Ov
co,
357
7.165. an *peevemms
aУ+2x94—y=0,
полагая х = 1/1.
7.166. Преобразовать уравнение
2х
aa a tiie
1x8 t+ qm
полагая х == tg#.
7.167. Преобразовать уравнение.
"3 (@y\*_ aydy_dy (dy\2_6
dx?
dxdx? dx?\dx
’
приняв и за аргумент.
7.168. Преобразовать уравнение
(у — у)=2ху
(1 у”),
перейдя к полярным координатам.
7.169. Преобразоваль выражение ware + У ‚ перейдя
к полярным координатам.
7.170. Преобразовать уравнение
д
д
(x+ 4) 5,—(x—y)5 = 0,
перейдя К НОВЫМ независимым переменпым и и 9, если
и=пИ жи, v=arctg +
7.171. Преобразовать уравнение xo sty oexray 0, пе-
рейдя к новым независимым переменным и иу, если и =,
и=у/х.
ди ди
7.172. Преобразовать выражение и == —ока КЕOR’ перейдя
к полярным координатам.
7.173. иреобразовать pone
__ 0%
Ou
1Ou
Ore та7 op?
sorte02?т На ’
перейдя от цилиндрических координаг к сферическим
(у =рз1п0, ф=ф, г=рсоз 6).
7.174. г еобразовать уравнение
(xy+2)22 (Ly) =xt ye,
358
приняв за новые независимые переменные и=уг —х,
и=хг2—у и за новую функцию ш = ху—г.
7.175. Преобразовать уравнение.
Oz
1 022
l
Зи =х,
.
°
xX
приняв за новые независимые переменные н=--, О —=Х
и за новую функцию & = хг—у.
7.176. Преобразовать уравнение
022
“Ox? +o +Sar =2
приняв за новые независимые переменные И =
х—=z
—
—
и за новую функцию ш == ге”.
$ 3. Приложения частных производных
1. Формула Тейлора. Если функция /(Р) дифференцируема m+)
раз в некоторой окрестности (И (0) точк! Ру Xt, e003 Xn), TO для
всякой точки P (xq, «26, Xn) EU (Po) справедлив" формула
Тейлора
|
dt (Por Axt, s+) Btn), F(a
Atty oes Mtr
|(Pymf(Pa) Po BateanBend4PEPoy Myoi Mea)
dTMf (Py, Axy,..., Ади ат (Е, Ах, .., Ах»)
т!
(m+ 1)!
где Ax;
= X{— X15 0005 AXy = Xn— Xn a Р — некоторая точка указан-
ной окрестности.
В случае, например, функции { (х, И) двух переменных x AL
формула Тейлора в развернутом виде згписывается следующим образом
..-
(I)
i (x, y)=f (Xo, vo) +a (f (Хо; Yo) (x— Xo) No (Xo, Yo) (y—o)) +
le
,
5 (Fees(Xo,10}(х—хо)?-21 (Хоз1% ee +
<
|
$Foy(40,Yo) WOE НД ия, "Ни+
9
\т+' .
+a (¢-Xo)5+Y—Ho)i) f(xo84(x—20),Yor
+8. (y—y)), 0< 0,0 <1. (2)
Последнее слагаемое в формуле (2) (остаточный член) можно
корочё зацисать в виде
о
о (р”), где р=У (х— ж)*- (Y— Yo)?
(форма Пеано).
В частном случае, при Хо == Ио =0, формула (2) называется фо р-
мулой Маклорена.
359
Пример 1. Функцию f(x, y) = x8 —5x?—xy+y?+ 10x+ 5y—4
разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (2, —1).
< Имеем 1 (2,.—1) =2. Вычислим последовательно частные произ-
водные данной функции и их значения в течке (2, о’
hy (x, y) =38x?—10x—y-+10, [и (2, — = 3:
fy (xt, у) =—x-+2y+5,
fy (2, “1 =|;
ex (x, y) =6x—10,
x. (2, —1) =2;
Ру (ху =—1,
fy (2, —1) =—1
fuy (x, y) =2,
fyy (2, —1) =2;
frxx (4, Y) =
frxx (2, —1) =6.
Все последующие производные тождественно равны нулю. По фор.
муле (2) получаем искомое разложение
Гы ИО
Пример 2. Разложить по формуле Тейлора в окрестности
точки (1, 1) до членов 2-го порядка включительно функцию`
f(x, y=
4@ Имеем [(1, 1) =1. Вычислим частные производные 1-го и 2-го
порядка данной функции и их значения в точке (1, 1): .
fx (x, y) =y* Iny,
к(1, 1)=0;
fy (x, у) =хух-1,
fy, 1) =1;
fxx (x, y)=y* In? y,
"
их (1, 1) =0;
fry (4, = HF (Iny+), (1, N=;
fuy(,y)=x(x—1)y*%,
fyy (1, 1) =0.
По формуле (2) получим
|
(к, отно О-о-о
где р=У (х— 1)8-- (у 1}.
7.177. Разложить Е, y+ Е) по целым положитель-
ным степеням Л и А, если [(х, у)= ху.
7.178. Найти приращение, получаемое функцией} (х, у) =
a= — No 2ху-- Зу —6бх—2у—4. при переходе от значений
xe —2, y= 1 к значениям X,=—2-+4h, y= 1+.
`7.179. Функцию |(х, у)= —2,'--Зху разложить по
формуле Тейлора в окрестности точки (2, 1).
7.180. Разложить {(х-- А, и А, z2+2 по целым по-
ложительным степеням В, No, Г, если | (х, у, г) = No -Qy?+
+22
— 2yz+ Зх—у— 42+ 1. |
7.181. Функцию
/(х,и,г2)=xy zt 2(xy+x2+yz)
разложить по формуле Тейлора в окрестности точки
(1, 2).
182. Разложить по формуле Маклорена до членов
3-го порядка включительно функцию | (х, и) =есозх.
360
7.183. Разложить ‘по формуле `Маклорена до членов
4-го порядка включительно ‚функцию {(х, y)=sinxshy.
7.184. Разложить по формуле Тейлора в окрестности
точки (1, 1) до членов 3-го порядка включительно функ-
цию | (x, y)=y/x.
7.185. Разложить по формуле Тейлора в окрестности
точки (1, 1, 0) до членов 2-го порядка включительно
функцию f(x, ys 2) =In (xy +24).
7.186. Разложить по формуле Тейлора |B окрестности
точки (1, 1) до членов 2-го порядка включительно неяв-
ную функцию г (х, у. определяемую уравнением. ae Зиг—
—4x = 0, если zd, 1)=1.
2. Экстремум функции. Функция и=[(Р) имеет максимум (минимум)
в точке Ру (х1, ..., хп), если существует такая ‘окрестность точки Po,
для всех точек Р (хт, ..., Хи) котброй, отличных от точки Ру; вы-
полняется неравенство [(Рь) > Г(Р) (соответственно i (Po) < f(P)).
Максимум или минимум функции называется ее экстремумом.
Необходимое условие экстремума. Если дифферен-
цируемая функция [(Р) достигает экстремума` в точке Ру, то в. этой
точке
f,, (Po) =0 для всех k=1, 2; voy My
(3)
или = df (Po; Axy; ...,, Ax,) = 9 тождественно относительно
Axy, ..., Axy.
/
Точки, в которых выполняются условия` (3), называются стацио-
нарными точками функции и=}{(Р). Таким образом, если Ру, — точка
экстремума функции и={(Р), то либо Ру— стационарная т точка, либо
в этой точке функция недифференцируема.
Достаточные условия
экстремума.
Пусть
Рь.(х0, ..., 0) — стационарная точка функции и=}(Р), причем эта
функция дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки :Ру
и все ее вторые. частные производные. пепрерывны в точке Р..
Тогда:
у если второй диффёренциал Ши (Ру, Ах, ...; Ах,) ‘кок функ:
ция Дх!, ..., Ах, имеет постоянный знак: при’ всевозможных наборах
значений Axi, ..../ЛХл; Н6 равных одновременно нулю, то’ функция
и=|(Р) имеет в очке Ро экстремум, ‚а, именно
— максимум при
аи (Ро, Аха, ..., Ахи) < 0 и минимум при du (Ро, Ах»... Ах») > 0;
2) если &и (Po, Axy, ..., Аха) является знакопеременной функ-
цией Алх:, ..., Ахи, т. е. принимает. как ‘положительные, так `и’‘отри-
цательные anaes TO -TOUKa Po He является точкой экстремума
функции и =[(Р)
3) если 4?и (Po; Axy, ..., Ax,) ==0 uan и (Ру, Axi, ... Ах») «50,
причем существуют такие наборы значений Дх:, ..., Ах, не. равных
одновременно нулю, для которых значение второго дифференциала
обращается. в нуль, то ункция-и=|(Р). в точке Ру может иметь
экстремум, но может и не иметь его (в этом случае для выяснения
вопроса требуется дополнительное исследование). |
В частном случае функции двух переменных достаточные условия
экстремума ‹можно сформулировать следующим образом.‘ Пусть
Po (Xv, Yo) — стационарная точка функции z=/ (x, и), причем‘ эта
‚
361
‘функция дважды дифференцируема в некоторой ‘окрестности точки Ро
и все ее вторые частные производные непрерывны в точке Ро. Введем
обозначения:
А = fex (Xo, Yo), B=fry (Xo, Yo), C= fyy (Xo, Yo)
D =AC— B?.
Тогда:
1)еслиР>0,тофункция2=f(x,y)имеет в точке Рь(ж,и)
экстремум, а именно —максимум при А < 0(С < 0) и минимум при
А>О(С > 09};
2) если О < 0, то экстремум в точке Ро (Хо, Ио) отсутствует;
3) если р =0, то требуется дополнительное исследование.
Пример 3. Исследовать на экстремум функцию
z=x3+уз—Зху.
4 Найдем частные производные 1-го ‘порядка и составим систему
уравнений вида (3):
Oz
2
— 3/4,2__ y\ —
ИЛИ
x?—y=0,
y*—x=0
Решая систему, найдем две стационарные точки:
Р\ (0, 0) и Р.(1, 1).
Найдем частные производные 2-го порядка:
072 x 022. "3 022
Ox?’ Oxdy >oy?
Затем составим дискриминант Ор = АСЫ—В? для каждой стационар-
ПОЙ ТОЧКИ.
Для точки Р\
92| 0,pa98
Ox? |p
,
OXдуP,
Следовательно, экстремума в точке Py tert.
Для точки Р.
__ 022
= ORF
= бу.
022
А=
of
Oy? |p,
—
——3, С=
=0, р= —9<0.
022
022.
’B==
—3,
—=>
Ox Oy {|P
Oy? |p,
D=36—9>0, A>O.
Следовательно, в точке Р» функция имеет минимум, равный
у=1-13 =1.
y=!
2min—2
Для того чтобы установить тип стационарной точки, нет необходи-
мости использовать изложенный выше признак, связанный с опреде-
лением знаков ри А. Достаточно непосредственно исследовать знак
второго дифференциала как квадратичной формы ах и ау, используя
метод выделения полного квадрата. Так, например, для стационарной
362
точки. Р› имеем:
422(Ро; ах, dy)=6dx?—3dxdy+6dy*=6 (de——ay ’+3©ay?,
~
откуда сразу видно, что при любых Ах и ау, не равных одновременно
нулю, 422 > 0 и, следовательно, Р» —точка минимума. No
Найти экстремумы функций двух переменных:
7.187. а=х Рху у — 3х— би.
7.188. z= xy? (1—x—y) (x > 0, y> 0).
7.189. ах + у Ay,
7.190. г=лу + (x>0,y>0).
7.191. z=x?+y?—2Inx—l8Iny (x >0, y> 0).
7.192. z=
x3 + 3xy?— 15x— 12y.
7.193. z=2x?—ху?5. 2
7.194. 2 =(22-4 у?) е +H”),
7.195. 2=2—j/x?+4’.
Найти экстремумы ‘функций трех переменных!
7.196. их -- и? - 22 —4х + бу—22г.
7.197. и =ху?г3 (1 —х— 2у— 32) (х>0, у>0, 2>0).
—yt4¥ 4242
7.198.и=х-Е+7+a
Найти экстремумы функций г, заданных неявно:
7.199%, x? + y? + 22 4х—2у—42—1=0.
7.200. 2x? 4-2y? + 22+ 8yz —z+8=0
3. Условный экстремум. Функция и =[(Р) =|(хт, ..., ха) имеет
условный максимум (условный минимум) в точке Ро (х%, ..., хо),
если существует такая окрестиость точки Ро, для всех точек Р: ко-
торой (Р = Р.), удовлетворяющих уравнениям связи
*
фк (Р)
= ФЕ, ..., Хи) =0 (=12,..., т; т < п),
выполняется неравенство {(Ро) > Г(Р) (соответственно [(Ро) < [(Р)).
Задача нахождения условного экстремума сводится к исследова-
нию па обычный экстремум`функции Лагранжа
т
L(ktseeeykavBayeeeAm)=F eeetatDSМФА(а 44,Kadi
R=1
Ay (R= 1, 2, ...., m) Ha3bIBaloTcA множителями Лагранжа.
Необходимые условия условного экстремума выражаются систе-
мой п-т уравнений
91. (Р) _
Ox; — (=1;:2, ..., м),
(4)
фк (Р) =0 (=1, 2, ..., т,
из которой могут быть найдены неизвестные
xo, No,
фу Ao
0
x
9
1?
o@ey
4.
363
где xt, ee, x? — координаты точки, в которой возможен условный
экстремум.
Достаточные условия условного экстремума связаны с изучением
знака 2-го дифференциала функции Лагранжа 4? (х0, ..., хо, No1? eee
...) No, ах, ..., ах) для каждой системы значений xi, sey хп
м, wey Mrs полученной из (4) при условии, что’ 4х1, Аха, ›.., Ах
удовлетворяют уравнениям -
п
Opp (x9, ..., x7)
У.
1’
п dx;=0
(R=1, 2, eee, m)
(5)
Oxy
j=!
npu dx?-+-dx?-+-...--dx? #0.-A именно, функция {(Р) нмеет услов-
ный максимум в точке Ро (x4; soe, XP), если для всевозможных зна-
‘чений Ах, ..., хи, Удовлетворяющих условиям (5) °и не равных
одновременно нулю, выполняется неравенство &2[. (x1, и.» XW? No, ...
.... No ах -.., Ах) < 0, и условный минимум, если при этих
условиях 42Ё (х1, ...» Ху Ау ва» А, ЖЕ eee, ах) > 0.
В случае функции г=|(х, у) при уравнении связи D(x, у) =0
функция Лагранжа имеет вид
|
Г (х, у, М =Рх, у -ЕА-ФО, У).
Система (4) состоит из ‘трех уравнений:
ОГ,
OL
|
5:=0, Зи=, ф(х, у)=0.
Пусть Ро (хо, и), No— любое из решений этой системы и
0 px (Po) фу (Ро)
A=—! px (Po) Lx (Po, No) Ly (Poy No)|.
py (Po) Гхи(Рь, No) Lyy (Po, No)
Ecnou A<0, то функция .г==/(х, у) имеет в точке Ру (хо; у)
условный максимум; если А > О—то условный минимум.
. Пр им ер 4. Найти условный экстремум функции г=х--2у при
ху“ =5.
|
< Составим функцию Лагранжа:
L(x, y, A) =x 2y+h (+ y?—5),
Имеем о, Some.
Система уравнений (4) принимает вид
1-2 =0,
ж--
у =5.
. Система имеет два решения: ху =—1, yy =—2, May; Xgext,
ВИ __Ё
931, _ OL, aL
уз=2,Аз= рeТаккак=5==2),дяди=» дд=2 TO
d*L = 24 (dx? +- dy?),
364
1
При А= 5) aL > 0. Поэтому функция имеет условный минимум
в точке Р; (—1, —2) и гив=—5. При =
PL < 0. Поэтому
‚ функция имеет условный максимум в точке Р. (1, 2) и 2ах —5-
Или иначе:
ф(х, и)= х2--у? —5,
Px=2x, py=2y, @x(—1,—2)=—2, py(—1,—2)=—4, >
Lig=, Liy=0, ИИ при del:
следовательно;
0—2—4
—40|
т. е. функция имеет условный минимум в точке Ру (—1, —2). Ана-
логично для точки Ра (1, 2)
024|-
4 0—1
т. е, Р. (1, 2) —точка условного максимума, No
Найти условные экстремумы функций!
7 201. tax tye
res при xtyt+3= 0.
7.203. atts - при
1,
7.204. 2г=ху? при х-- 2у=1.
7.205, 2=2x-+y при х2-у =1.
7.206. и= 2х у—2г при ХУ wee
7.207. и=х-у --2? при as+ - 4 и
7.208. и =ху?гз при х- 2y+. г — 12 (x>0, y>0, z>0).
7.209. u=xyz npn X+ty+z=4, xy + y2+ 2x= 5,
7.210*. Доказать ‘неравенство
33zd.
2
\3
xtH--=(| .
если x20, yo 0, z>0.
4. Наибольшее и наименьшее значения `функции.. Если функция
[(Р) дифференцируема в ограниченной замкнутой области, то она
достигает своего наибольшего (наименьшего) значения или в стацио-
нарной точке или в граничной точке области.
_
365
Пример 5. Найти наибольшее и наименьшее значения. функ-
ции 2=43-|-у3—Зху в области
0=х=2, —1<у=<2.
% Данная область
— прямоугольник.
1) Найдем стационарные точки (см. пример 3): Р. (0, 0) и Р. (1, 1).
Значения функции в этих точках: 21 =0, 22=—I.
2) Исследуем функцию на границах области.
а) При х=0 имеем 2=и3. Эта функция монотонно возрастает и
на концах отрезка [—1, 2] принимает значения: 2 |„--1=—1, Зу-=2=8.
6) При х=2 имеем г=8-|- уЗ—бу. Найдем значения этой функ-
ции B стационарной точке и на концах отрезка [—1, 2]. Имеем
2’ = 3y?—6; 2’ =0 при у =2, или, в данной области, при у=У 2;
21 py =8t+2V 2—-6V 2=8—4YV 2; 2 -1= 13; 2|у-2=4.
3)Cpu у=—1 имеем 2г=х3—1--3хиг=d+3 >0.Функция
мопотопно возрастает от 2|„_о=—1 до 2|„_2= 13.
г) Прии=2 имеем г=х3-4+ 8 — 6х; 2’=3х?—6;
2’=0прих=У2;
2 avy 78 —4V 2; z|,-9=8, Z|,22=6.
3) Сравнивая все пайденные значения функции, заключаем, что
nang=| вточке(2,—1);2наим=—1вточках(1,1)и (0,—1). No
Пример 6. При каких размерах. открытая ‚прямоугольная ван-
на данной вместимости У имеет наименьшую площадь поверхности.
Найти эту площадь.
Ч Ванна имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Пусть его
измерения равны х, у, г. Так как объем V=xyz задан, то =,
Площадь поверхности ванны равна
5, дааа нина (+) м
Задача сводится к нахождению минимума функции $, у, причем
по смыслу задачи х > 0, и> 0.
Решая систему уравнений
,
OV
Si (x, W=—~zty=0,
Sy (%, = 4x0,
:
3/
находим стационарную точку хи =у = 21. Проверим выполнение
достаточных условий минимума:
,
4
”
4y
Six (x, у=-з, ©хи (х, и) =1, Syy (x, И =.
Следовательно,
А=5« (ИУ, ИУ)2, в=5 (ИУ, ИУ) =1,
C=Sy, (WV, ИИ) =2, БЕАС—В*=4—1>0, Ад.
Итак, функция S(x, У) имеет минимум при x=y=y W;
366
yo. VW av
И:2
уни(7т
7.211.`Найти наибольшее значение функции z=x —
— 2и--5 в областях:
а) х>0, и>0, ху
6)x<0, y>0, tes |
7. 212. Найти наибольшее и наименьшее значения функ-
ции 2 = х? -- у? —ху—х—у в области х>0, и>0, х-уз3.
7.213. Найти наибольшее и наименьшее значения функ-
ции 2=хиу в области ху].
7.214. Найти наибольшее и наименьшее значения функ-
ЦИИ 2== ху? в области х?-Р у? <1.
7.215. Представить положительное число а в виде про-
изведения четырех положительных сомножителей так,
чтобы сумма их обратных величин была наименьшей.
7.216. Из всех прямоугольных параллелепипедов, имею-
щих данную сумму длин ребер 12а, найти параллелепи-
пед с наибольшим объемом.
7.217. Найти прямоугольный параллелепипед с длиной
диагонали 4, имеющий наибольший объем.
7.218. Внутри четырехугольника найти точку, сумма
квадратов расстояний которой от вершин была бы наи-
меньшей.
7.219. В полушар радиуса К вписать прямоугольный
параллелепипед наибольшего объема.
7.220. В прямой круговой конус с радиусом основания
Ю и высотой Н вписать прямоугольный параллелепипед
наибольшего объема.
7.221. Из всех треугольников с основанием а и углом
а при вершине найти треугольник с наибольшей площадью.
7.222*. На эллипсе х?-- 9у* =9 найти точки, наиболее
и наименее удаленные от прямой 4х-- 9и = 16.
7.223*. На эллипсе х? -- 4y?: — 4 даны две точки А (— ИЗ,
0,5) и В(1, И3/2). На том же эллипсе’ найти такую
третью точку С, чтобы треугольник АВС имел наиболь-
шую площадь.
7.224. Определить ‘наружные размеры закрытого ящика
с заданной толщиной стенок 6 и емкостью (внутренней)
У так, чтобы на.его изготовление было затрачено наи-
меньшее количество материала.
тогда 2 —
)+ИзИ>
367
_
7.225. На плоскости даны и материальных точек
Р. (ху, и1), Р; (х%%, и.), ..-., Р,(Хь, И) с массами, соответ-
ственно. равными т;, т., ..., т‚,. При каком положении’
точки Р (х, у) момент инерции системы относительно точ-
ки Р будет наименьшим?
7.226*. Точки А и В расположены в различных опти-
ческих средах, отделенных одна от другой плоскостью
А.В, (рис. 61). Скорость распространения света в первой
среде равна 9, во второй —о.. Пользуясь принципом
Рис. 61
Рис. 62
Ферма, согласно которому световой луч распространяется
вдоль той линии АМВ, для прохождения которой тре-
буется минимум времени, вывести закон преломления
светового луча.
7.227. Пользуясь принципом Ферма, вывести закон
отражения светового луча от ‘плоскости в однородной
среде (рис. 62).
7.228*. Если в электрической цепи, имеющей сопро-
тивление А, течет ток [, то количество тепла, выделяю-
щегося в единицу времени, пропорционально /Ю. Опре-
делить, как следует разветвить ток / на токи /[1, /., ..., Г,
при помощи ип проводов, сопротивления которых К,,
Ю,, ..., В» Чтобы выделение тепла было наименьшим.
5. Геометрические прилежения частных производных. Касатель-
ной `плоскостью.к поверхности в ее точке Му (точка касания) назы-
вается плоскость, содержащая в себе все касательные к кривым, про-
веденным на поверхности через эту точку.
Нормалью к поверхности называется прямая, перпендикулярная
к касательной плоскости и проходящая через точку касания.
Если уравнение поверхности имеет вид
Е(х, у, 2) =0,
то уравнение касательной плоскости в точке Му (х, 1, 20) есть
F x (Xe, Yor 20) (X —Xo)+ Fu (Xo, Yor 20) (y—yo)+ Fz (хо, Yor 20)(2— 2) =0.
(5)
(368 |.
Уравнения нормали:
_
"x= Xo
Y=Yo — 2—2
Ру (хо, 9, 20) Fy (Xo, Yo. 20) Fz (Xo, Yor 20)
В случае задания поверхности в явной форме :
=f (x, у)
уравнение касательной плоскости в точке Му (хо; Yo, 20) имеет вид
2—2 = (хо, И) (х— хо) -Е {и (хо, уо) (у— уо);
а уравнения нормали—
:
(5)
X—Xqo — YY _2—2%
fx (Xv, Yo) fy (Xo, Yo) =!
Пример 7. Найти уравнения касательной плоскости и нор-
мали к поверхности
x2 + Qy? 328-4 xy + yo—2e2-+ 16= 0
вточке М(1, 2, 3).
«‘`Обозначив через Ё (х, и, 2) левую часть уравнения поверхности,
найдем частные производные и их значения в точке М:
Fy (x, y, 2) =2x-+y—2z,
Fy, (1, 2, 3) =—2;
Fy(x, y, 2)=4y+x+2, Fy(1, 2, 3)=12;
Fz (x, y, 2)=—6z+y—2x, Fz (1, 2, 3) =—18,
По формулам (5) и (6) имеем
—2 (x —1)+ 12 (y—2)—18
(z—3) =0, или х—бу--92—16=0
— уравнение*касательной пяоскости,
а
— уравнения нормали. No
Особой точкой плоской кривой {(х, у)=0 называется течка
М (хо, и), координаты которой удовлетворяют системе трех уравнений:
Г(хо, Yo) =9, fe (Xo Yo) =0, [у (хо, Yo) =0 .
(7)
Пусть выполнены условия (7), числа
A=fx(Xo.Yo), В= (хо,и), С==уу(хо,у).
не все равны нулю и А=АС— В*. Тогда:
‚а) если А > 0, То М— изолированная точка (рис. 63).
6) если А < 0, `то. М — узел (двойная точка) (рис. 64).
в) если А=0, то М — либо точка возврата 1-го рода (рис. 65)
чли 2-го рода (рис. 66), либо изолированная точка, либо точка само-
прикосновения (рис. 67).
Угловой коэффициент: =” касательной к кривой‘в особей- токе
находится из уравнения
>
“
А--2ВА-+
СЁ? =0.
Под ред. А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича
369
В случае изолированной точки касательной нет, в узле— две различ-
ные касательные; в точке возврата и точке самоприкосновения
— одва
общая касательная к двум ветвям кривой.
Если А=0, то для решения вопроса о типе особой точки нужно
изучить расположение точек кривой в некоторой окрестности особой
точки.
В случае трансцендентной кривой могут быть и иные типы осо-
бых точек: угловые точки, точки прекращения и т. д.
®М
а
Рис. 63
Рис. 64,
Puc. 65
><
г
—
Рис. 66
Рис. 67
Пример 8. Исследовать особые точки конхоиды]
(х2-- у?) (х—а)— 52 =0 (2>0, b> 0).
Обозначив левую часть уравнения uepes f(x, и), найдем частные
производные и приравняем их: нулю;
fx (X, y) = 2x (xn—a)? 4-2 (x —a) (x? +4") —262x =0,
fy (x, y) =2y (2—a)*=0,
Система уравнений имеет единственное ‚решение ж = =0, т. е.
кривая имеет одну особую точку О (0,0
Найдем вторые производные:
fix (x5 y) = 2 ((x—a)? + 2x (x—a)у? +24 (ea) — 09)
Fey (Xs у) =4у (х—а),
Foy (x, У) =2 (х— а).
Вычислив их значения в точке О, получаем.
А=2 (42—65), B=0, C=2a?, A=AC—B?
= 4a? (u?~ 62).
Если а > Ь, то А> 0, и точка О— изолированная (рис. 68). Если
а<ь, то А<0, и точка О— узел (рис. 69). Если а=ьЬ, то А=0.
Найдем угловой коэффициент касательной:
З_р?32—0
b?—a?
2(a?—b%) аа, во,
т. е. касательная совпадает с осьо Ох.
370
x
х—а
ХИ 2ах—х?, и, следовательно, кривая симметрична относительно
оси Ох (0=<х<а; а <х=<2а). Поэтому при а=ф Ор —точка возврата
1-го рода (рис. 70). No
.
Огибающей семейства плоских кривых называется линия (или
совокупность нескольких линий), которая касается’ всех кривых дан-
ного семейства, причем каждая ее точка является точкой касания.
Из уравнения кривой получаем (при a=b) y=+
x
YR|
||!
Я
|
И
|
|
|
1
|
|
|
|
|
В
|
|
|
|||
“7|
в-р | ath
7
|
j
°
|
‚||
{
1
|
1.
|
|
|
|
|I.
}
|
` Рис. 68
Рис. 69
Рис. 70
,
Если однопараметрическое семейство. кривых { (x, у, a) =O umeer
огибающую, то ее уравнение можно получить из системы уравнений
f(x, y, @)=0, [к (х, y, a) =0.
(8)
Исключая из системы (8) параметр @а, получим уравнение вида
О (х, у) =0. Кривая, определенная этим: уравнением, называется дис-
криминантной кривой. Дискриминантная кривая состоит из огибаю-
щей и множества особых точек данного семейства.
os
Пример 9. Уравнение траектории движения снаряда, выпу-
щенного из точки О с начальной скоростью % под углом & к гори-
зонту (без учета сопротивлеция воздуха), есть
2
yo=xtga— 6" .
2u9 COS? &
Принимая угол @ 3a Mapametp, найти огибающую всек траекторий
снаряда, расположенных в одной и той же вертикальной плоскости.
< Имеем
;
2
ох
Р(х,у,о)=ва—
—
209 COS? &
9
x
x° sina
x
x
fou(t,ya=
EL (1-2 tea),
|
С05°% yzcosq cos’ a
ue
371
Составим систему вида (8)
9х2VX .
уха
у
200 с0$2 &
x
Bx
cos? & a,
2
Из второго .уравнения получим: tg a= и о
=
po4.
gx
lttg2a
gex?
,
|
.
=—^——. Подставляя в первое уравнение, найдем уравнение оги-
22|
6°х“ -|-
башощей (парабола безопасности):
y=vo gtx?Lup или y=vp gx?
—_ ——
———
’
——,
awe —тии —
e
gZ
Queg
2g 203
7.229. Найти уравнения касательпой плоскости и нор-
мали к следующим поверхностям в указанных точках;
a) z=sinxcosy в точке (л/4, л/4, 1/2);
|
6) z=e*°s B touKe (I, x, 11).
7.230. Найти расстояние от начала координат до ка-
wo
x
сательнои плоскости к поверхности z=y Ig — в точке
ла
(=,а,а
7.231. Найти углы, которые образует нормаль к по-
x
л
верхности 2 == агс я в точке (1, |, 7) с осями коорди-
нат.
7.232. Для поверхности г =4х— ху-|- у? найти уравне-
ние касательной плоскости, параллельной плоскости
4x+-y+2z+9=0.
-
7.233. Найти уравнения касательной плоскости и нор-
мали к следующим поверхностям в указанных точках!
а) х(и-Ё г) (ху—2г)--8 =0 в точке (2, .1, 3);
6)2*/+242=8BTouKe(2,2,1);
B) 27+ 4z-+x*=0 B TouKax пересечения с осью 02.
7.234. Для поверхности х— 2 —2х--бу=4 найти
.
осьМ2 у 2-1
уравнения нормали, параллельной прямой —— ==. =——.
‚7.235. На поверхности х2- 2y?-+ 327-4 2xy-+-2x2-+
4y2=8
найти точки, в которых касательные плоскости парал-
лельны координатным плоскостям.
7.236. Показать, что касательные плоскости к поверх:
ности x2/3 + y#/3 + 22/3 = q?/3 отсекают на осях коорди-
нат отрезки, сумма квадратов когорых постоянна и
равна а?.
372
7.237. Найти уравнения касательной плоскости и нор-
мали к следующим поверхностям, заданным параметри-
чески, в указанных точках:
а) х=гсозф, у=гзшф, г=г ва в точке (г, g,);
6) х=исоз9, и=изшо, 2==а0 в точке (и, VY).
7.238*. Под каким углом пересекаются цилиндр
Хх? -|- у? = а* и гиперболический параболоид 62 = ху в общей
точке (ху, И» 20)?
7.239*. Показать, что следующие поверхности попарно
ортогональны:
a)x?+y?+z27=2ax nwx?+y?42?=Qby;
6) xyz=a? uw 22? =X? +? +f (x?—y’);
B) xy=a2*, P+y?+27=6b uw 22+ 2x? =c (2? + 2y’),
Исследовать особые точки кривых:
7.240.° и =.
~TM
7.241. y? (a?+ х*) = х? (а°—х*). 7.242. No- у =x8.
7.243. у =(х— 1}. 7.244. (у— 2х?) = No.
7.245. 4 = 5 Ox, 7.246. y?=ax?+ x3.
7.247, y®=1—e-*. 7.248. y2=1—e-*,
7.249%, УТ: 7.250*. у=хх.
7.251. Найти огибающую семейства прямых и =ах- а?.
7.252. Найти огибающую семейства прямых хс0$9
+-ysina =p (p =const, p > 0).
7.253. Найти огибающую семейства окружностей xP
+-(y—C)*?= R? (R = const).
7.254. Найти огибающую " семейства napa6on. y?=
= 2px+- p?.
7.255. Найти огибающую семейства napabon y += 3a? +.
+ 2ax— x’.
2
©
.
,
-
®
_
Xx
7.256. Найти огибающую семейства Эллипсов Ty --
Yd
t
+ T=a7= (/ = const).
7.257. Найти огибающую семейства окружностей, про-
ходящих через начало координат и имеющих центр. на
параболе и” = дах.
7.258. Исследовать характер дискриминантных. кривых
семейства следующих линий (С — переменный параметр):
а) кубических парабол и— |= (х— С);
6) полукубических парабол (и— С)? = (х—С};
в) парабол Нейля (и— 1) =(х—С)?;
г) строфоид (а—х) (и— С)? =х? (ах).
- 373
$ 4. Приближенные числа и действия над ними
1. Абсолютная и относительная погрешности. Пусть число а
есть приближение числа А. Например, А = УЗ иа= 1,7. Приа > А
число а называется приближением по избытку, при а < Ар— по недо-
статку. Так, число 1,73 есть приближение УЗ по недостатку, а
число 1,74—по избытку. Абсолютная погрешность приближения
(приближенного числа) а определяется равенством
А=|а—А |.
Поскольку Точное число А во многих случаях неизвестно, то
неизвестна и абсолютная погрешность ДА, однако при этом может быть
указана верхняя грань абсолютной погрешности. Наименьшая из
верхних граней ЛА. абсолютной погрешности называется предельной
абсолютной погремновтью. На практике часто за предельную абсо-
лютную погрешность А’ принимают одну из верхних граней. Имеет
место включение
A€|la—Ag, a--Agl,
которое принято записывать в виде А=а-+А.. Например, уз =
— 1,7321 = 0,0001.
|
Относительная погрешность числа а определяется равенством
А
6—=—.
Аналогично определяется предельная относительная погрешность
`
N
А.
ba.
Например, для A= УЗ и а=1,7321
0,0001
б=т73ат 0,0000.
В десятичной записи числа вначащей цифрой или знаком назы-
вается любая цифра, отличная от нуля. Нуль считается значащей
цифрой в том случае, когда он расположен между значащими цифрами
или стоит правее всех значащих цифр.
|
Округлением числа называется замена его числом с меньшим
количеством значащих цифр. При округлении соблюдаются следую-
щие правила:
|
1) если первая из отбрасываемых цифр меньше 5, то сохраняемые
знаки оставляют без изменепия:
2) если первая из отбрасываемых цифр больше 95, то последний
из сохраняемых знаков увеличивают на 1;
3) если первая из отбрасываемых цифр равна 5, а среди следу!о-
щих за ней цифр есть отличиые от нуля, то последиий из сохраняе-
мых знаков увеличивают на 1;
4) если первая из’ отбрасываемых цифр равна 5, а все следующие
за ней являются пулями, то последний из сохраняемых десятичных
знаков увеличивают на |, когда он нечетный, и сохраняют неизмен-
ным, когда он четпый.
Если абсолютная погрешность приближенного числа а не превы-
шает единицы разряда; выражаемого . п-й значащей цифрой в деся-
374
тичной записи этого числа, то а называется числом, имеющим п вер-
ных знаков в широком смысле. Если же абсолютная погрешность не
превышает половины единицы указанного выше разряда, то прибли-
женное число а называется числом, имеющим п верцых знаков в узком
смысле. При этом для предельной относительной погрешности 6,
справедливы неравенства
`
§
l
1п-1»$
11п-1
|
< (т)
“< (т)
соответственно в первом и во втором случаях; в обоих неравенствах
Ё означает первую значащую цифру числа: а. Обратно, если предель-
ная относительная погрешность удовлетворяет неравепству
1
l
ЕЕ. 101 -1,
-
6.=
то соответствующее приближенное число а с первой значащей цифрой
К имеет п верных знаков в узком смысле.
7.259. Найти предельную абсолютную и относительную
погрешности следующих приближенных чисел, полученных
при измерении:
a) 23,015 xr; 6) 84,5 cm; B) 20°15’.
7.260. При измерении длины пути получен результат
25,2 км с тачиостью до 2 м, а при измерении площадн
(аэрофотосъемка) получен результат 1500 м? с точностью
до 30 м. Вычислить предельную абсолютную и предель-
ную относительную погрешности обоих результатов.
7.261. При измерении длины участка пути в 10 км
допущена ошибка в 10 м, а при измерении диаметра гайки
в 4 см допущена ошибка в 1 мм. Какое из этих двух
измерений более точное?
7.262. Каковы предельные абсолютная и относительная
погрешности приближенных чисел, полученных при округ-
лепнии:
a) 36,1; 6) 0,08.
7.263. Округлить числа 29,15 и 3,25 до первого деся-
тичного знака после запятой.
7.264. Округлить число 5,3726 до тысячных, до сотых
и до десятых долей. Найти абсолютную и относительную
погрешности каждого из этих трех округлений.
7.265. Округлить до трех значащих цифр следующие
числа: 0,02025, 1876672, 599983.
7.266. Определить число верных знаков в узком смысле
и дать соответствующую запись приближенных чисел:
а) 413287,51, если предельная относительная погреш-
ность не превышает 1%;
6) 0,0794, если предельная относительная погрешность
пе превышает 2%.
875
7.267. Со сколькими знаками нужно взять число VY 21,
чтобы предельная относительная погрешность не превы-
шала 1%?
|
7.268. Со сколькими знаками нужно взять числа ш 40
uv arclg2, чтобы их предельная относительная погреш-
ность не превышала 0,1 %?
2. Действия над приближенными числами. Пусть и== (хт, Хо,...
.., Хн)— дифференцируемая в рассматриваемой области функция.
Тогда предельная абсолютная погрешность А„ значения функции
определяется соотношением
Xk
()
где Ах, — предельные абсолютные погрешности значений соответству-
ющих аргументов. Для предельной относительной погрешности имеет
место равецство
|
8|1
Пример 1. Найти предельные абсолютную и относительную
погрешности обьема кснуса радиуса г и высоты Й, если г= 15 - 0,02 см,
В —= 19,1 + 0,05 см и л==3,14.
2
уi Аль.
(2)
< Имеем => rh = 4498, | смз. Учитывая, чт0 Г=]5, Й== 19,1,
3
л=3,14, А. =0,02, А„=0,05 и Ал=0,С016, найдем Oe rth ==
Ov2
nn
— 1432,5, x3 nirh= 599, 74 и ЗЕ Л! = 235,5. Применяя форму-
лу (1), получаем предельную абсолютную погрешнеёть
`
д
>
Ay=|=]Ag+ || 44+ 2-|Ay,=26,06 смз.
Предельная ‘относительная ‘погрешность. может быть определена ‘из
равенства
26, |
6. 44987 006.
Takum o6pasom, v== 4498 + 26,1 cm’, >
Доказать следующие утверждения;
7.269*. Предельная абсолютная погрешность суммы рав-
на сумме предельных абсолютных погрешностей слагаемых.
`7.270*. Предельная относительная погрешность произ-
ведения равна сумме предельных относительных погреш-
ностей сомножителей.
376
7.271*. Предельная относительная погрешность и-й сте-
пени в п раз больше предельной относительной погреш-
ности основания.
7.272*. Предельная относительная погрешность частно-
го равна сумме предельных относительных погрешностей
делимого и делителя.
7.213*. Предельная абсолютная погрешность А„„ произ-
ведения ио удовлетворяет соотношению А„,=А- А, и.
Произвести указанные действия над приближенными
числами, в которых все десятичные.
знаки ‘являются вер-
ными в узком смысле:
7.274, 130,6 + 0,255+ 1,15224
-- 41,84+ 11,8216.’
7.275, 17,83+ 1,07 -- 1,1.10*. 7.276. 153 ‚21— 81,329.
7.277. 61,32—61,31. 7.278. 35,2-1,748.
7.279. 65,3-78,5. 7.280. 7,6:2,314.
7.281. 170:5. 7.282. 40,53.
7.283. И54,71.
7.284. При измерении радиуса круга с точностью до
0,5 см получилось число 12`см. Найти абсолютную и от-
носительную погрешности площади круга.
7.285. Определить абсолютную погрешность десятич-
ного логарифма положительного приближенного числа х,
вычисленного ‘с относительной погрешностью 6
7.286. С какой предельной абсолютной погрешностью
следует измерить’ стороны прямоугольника а=4 м и
р 5 м, чтобы его площадь $ можно было вычислить с
точностью до 0,1 м??
о
|
,
«Имеем $ =а6 и А$ =0,1. Предполагая равными слагаемые в фор-
муле (1), получим
в
ди
_Agок
Ay
“дж | Аи, Откуда А о,п|——| Ox;
(принци пр авных влияйий). Поэтому, вычисляя частные про-
изводные aq OP и. 95 =@=4, найдем, что
0,1
0,1
Аа= aE = 0,01 , Ap= 5.4 = 0,0125.
Распределяя число 0,1 в формуле для А; между двумя слагаемыми
не поровну, а как-нибудь иначе, получим другие значения для Ао
vu Ap, обеспечивающие, однако, ‘все ту же предельную абсолютную
погрешность. >
7.287. С какой абсолютной погрешностью следует из-
мерить сторону х квадрата, чтобы определить площадь это-
го квадрата с точностью до 0,001 м?, если 2 м« хх 3м?
371
7.288. Вычислить плотность алюминия, если алюмини-
евый цилиндр диаметром 2 см и высотой 11 см имеет мас-
су 93,4 г. Относительная погрешность измерения длин
равна 0,01, а относительная погрешность определения мас-
сы равна 0,001.
7.289. С какой точностью следует определить радиус
основания А и высоту Н цилиндрической банки, чтобы
ее вместимость можно было определить с точностью до 19/5?
7.299. С какой точностью следует взять приближеп-
ное значение угла х^А25°, чтобы найти значение зйх с
четырьмя верными знаками в узком смысле?
7.291. С каким числом верных знаков в широком смыс-
ле следует взять значение аргумента хАх2, чтобве по-
лучить значение функции у=е* с точностью .до 0,001?
7.292. С каким числом верных знаков должен быть
известен свободный член уравнения х*— 2х -- 182 =0, что-
бы получить корни этого уравнения с четырьмя верными
знаками в узком смысле?
7.293. Требуется измерить с точностью в 1°/, площадь
боковой поверхности усеченного конуса, радиусы основа-
ний которого =2ми =1м, а образующая я 5м. С ка-
кой точностью нужно для этого измерить радиусы и O6-
разующую и со сколькими знаками нужно взять число WP
ОТВЕТЫ
ГЛАВА 1
1.1. Приближение с недостатком 0,1; 0,10; 0,101. Приближение
с избытком: 0,2; 0,11; 0,102. 1.2. a) oi 6) son в) aa
ig
Ig+
1.11 logs 2% > logis +
1.12
1)(1)°
elt.
125
Bo:
12,
5
7
73
ae 2}. 1.19. {—1, 0}. 1.20. ©.
1.21. {0, 2}. 1.22. (—, 2]. 1.23. (—®, ПЗ, +). 1.24. (3, 4).
1.25. [1
У
17, —1+V 5]. 1.26. (-=
В) и (595,
ну). 1.27, (—o, —l]. 1.28 а) {1, }<{1, 2, {1,2, 3}};6) обе
записи верны. 1.29. А=={0, 1, 2}. 1.30. А={1}. 1.31. А={1,2, 3, 4}.
1.32. А={—2, —1, 0, 1, 2}. 1.33. А={1, 2, 3}. 1.34. А={п/2, л,
Зл/2, 2п}. 1.35. См. рис. 71, 1.36. См. рис. 72 (граница заштрихо-
у
4h
=<
f
F
«4
>
/|7
1.13. о, 25. > 1. 1.18.
Рис. 71
Рис. 72
ванной области не принадлежит множеству). 1.37. См. рис. 73.
1.38. См. рис. 74 (штриховая линия не принадлежит множеству).
1.39. См. рис. 75 (граница заштрихованной области не принадлежи:
множеству). 1.40. Точка (2, 2). 1.41. См, рис. 76. 1.42. См. рис. 77
(Граница заштрихованной области не принадлежит множеству).
1.48. А]В={—5, 3, 4}; АПВ=414}; А\В={—5}; В\А={3}.
1.44. {2, 4, #}. 1.45. {8 | Е}. 1.46. {1, 2, 4}. 1.47. {24^
| РЕМ}.
1.49. АЦВ= (— 1, 4); АПВ=И, 4}; АВ =(—1, 1; В\А=(, 4).
1.50. (0, 1). 1.51. [0, 1/4) [1/2, 1]. 1.52. {0} (112, 1). 1.53. [0, 1/4)|)
(1/4, 3/4)Ц {1}. 1.60. 2; {—1, 0, 1}. 1.61. (2 EN| 2 4 3k, REN}; ©.
379
1.62. {хЕК | х=1/п, пЕМ}, {1}. 1.63. а) Все точки данного круга: ©;
6) все точки кольца между‘ данной окружностью и концентрической
окружностью вдвое меньшего радиуса; 7; в) все точки круга; nen
круга. 1.73. а) шш Х не существует; тах Х =1; 6) [1, 1), (—o,0
зир Х =1; ШЁХ =0. 1.74. 1/2; не существует; 1/2: 0. 1.75. 1; — |
1; —1. 1.76. Не существует; —5; 0; —5. 1.77. Не существует; не
существует; 0; нё существует. 1.78. Не существует; не существует;
1; 0. 1.79. зир Х=У 2. 1.83. а) Истинно; 6) ложно; в) истинно:
г) ложно. 1.84, Ложно. 1.85. Истинно. 1.86. Ложно. 1.87. Истинно,
1.88. Истинно. 1.89. Ложно. 1.90. а) Истинно; 6) истинно.
1.91. а) Истинно; 6) истинно; в) ложно. 1.92. а) f (xo) = 0; f (xo) 4 0.
61) Год=блух (x#xo=>F(Xx)¥0); |(хо) 4OV(f(x0)=
=OA3x(x£x0Af(x) =0)).. B) 3X9(f(Xo)=0)A(Wx(x#ж>
=>f(x)40)); ye(f(x)40)v(Вх,ха(хр5хЛ|(м)= (2)=0)).
1.93. а) ЗМухЕХ (< М); УМзхЕХ (х>МмМ). 6) (тЕХ)л
АХи):таУХ(<.9втЕХ^
X (m= x); WX’ EXAxEX (x < x’). 1.84. a) 3REZ (n=km);
ykeZ пят. 6) (2|nA3|n)=>6l[n; (2m A3ln) AG6tn.
(Замечание. Так как исходное высказывание ‘истинно, то его
отрицание ложно.) в) УпПЕМ (п|р
=> (п=1 Vv n=p)); anEN (nipa
A(n#1An# p)).--
—
1.95. R= Va ‚1.96, уе
И 16—91, s= tea.
24n?
4
1.98. и=а (1—1); = 1—1); =>, rie {>> to.
ah|
а>
ane п.
a—b
a+b
1.99. ЗАВММ = he
а
a-b a— x)2h atb
|
.
ct, lear
яч.
.
2
—_
1.100. Ир лл (48? — 3) 2 =[0, 2^]. 1.101. а) sae V 4R2—2B,
2=[0, 28]; 6) S= 4nR? sin 5 cos* > D=[0, a); в) S=
=4nR?
cos f sin? B, D=[0, n/2]. 1.102. O, —6, 4. 1.103. —1, 0, 1, 2,4.
1.104, 0, a®—1, a°-+3a?+3a, a — Sa" + 34—2, 16a3—2, 1.105. 1 Ех,
'1—
x
2 х—1 I+x
|
ая Тя’ я, 1 ‚1.106. D==(—3; +0); E=(— со, + 00),
1.107. D=(—, 5/2), E=[0, +0),° 1.108 D= Y= [4n%e?,
pe Nuc
п? (2241), E=[0, m]. 1.109. D=[—3/2,: 5/2), E=[0, x).
1110.D=UY(3(3+5),a(s+3))
,
E=[—o, I1n3}j.
keZ
.
1.111. O=[([—1, 1], E=[0, ly 1. 112, D=(2, 3),Е = (— o, lg |.
1113, D=[—1, 1], E= {o + |: 1.114. В=[0, 2], Е=[1, 2%].
381
1.115. D=(—o, +0), E=[l/e?, +). 1.116. G=[0, 4],
1.117, G=[I, 2]. 1.118. G=(— o, O)U(I1, + о). 1.119. G=(0, 1/2].
1.120. @=(1, 3). 1.121. G=[0, У 212) 1.122. Do={~I), Di=
=(—1, +), D.=(—, —1). 1.123. D)»={—1, 2}, Dy =(—1, 2),
_=(—o, —1)Y(2, +e). 1.124. Dy= ЕТ, 162
‘
1
1
|
1
1
р.=
аа], DL=
;
" ne ZNO) (a; mt)
о Е: 2(n+1)
1.125. Do={l}, Di =(—
© OUI, +00), D_=(0, 1). 1.1381. fi)=
2
.
= x?—2. 1.132. но АУ ТЕХ 1.133. f (x) =sin x. 1.134. Yernaa.
1.135. Ни четная, ни нечетная. 1.136. Ни четная, ни нечетная.
1.137. Нечетная. 1.138. Ни четная, ни нечетная. 1.139. Нечетная.
1.141. Т=2л/7. 1.142. Т=л/2. 1.143. Непериодическая. 1.144. Непе--
риодическая. 1.145. Непериодическая. 1.146. Т=бл. 1.147. Если
а=0, то обратная фупкция не. существует; если а20, то y=
= *—^ — обратная функция и О=(— о, --о). 1.148. Обратная
— И х-1, D=(— , -{ о). 1.149. Обратная не существует.
1.150. Обратная суете", D=(—o, +0). 1.151. Обратная
y=2log,.x, D=(0, --®). 1.152. Обратная т, x z—1.
115. в у--УяЕЬ D=[—-F,40); бу-ИЕН,
р=|- +, ). 1.155. a) y=aresinx, D=[—1, 1]; 6) y=a-+aresin x,
1
- fx, «0,
_1
.
р =[—1, 1]. 1.156.
я S 0. 1.157. a) у— aracos (2x —1),
D=[0, 1; 6 у=п— arecos Qx—1), D=[0, И:
B) y= n+ —arecos (2r—1), р = (0, 1].
1.159. fog=1—x?,
gof=(1—x)*. 1.160. fog=x, x>0; gof=x. 1.161. fog=x,
(x-+ta,xEé[—a, — 1/2),
г | х› Х@[— 1/2, 1/2],
х—л`хЕ(л/2, п].
1.162, fog'=0, gof=g. 1.163. a) x; 6) х/У Т--Зха. 1.164. } (и) =Иш,
u=x*, 1.165. f(u)=sinu, u=cosv, v=Y x. 1.166. f (u)=2",u=sinv,
p=x3, 1.167. f(u)=arcsinu, u=e”, u=j/x 1.168. f(u)=sinu,
и— 9%, ox, 1.169. f(u)=u-18, u=v%, va=tet, -t—logsx.
1.171. | (2— + kn, ты) [+62\. 1.172. {(—1, 2), (1, 2)}.
1.173. lobar kn) | REZ}. 1.174. {(кл, 1) [Е 7}. 1.175. а) Прямая, про-
ходящая через начало коордипат и через точку (1, 2); 6) прямая,
параллельная оси Ох, проходящая через точку (0, 9): в) прямая,
проходящая через точку (0, —1/3), параллельная бисссктрисе 2-го и
382
4-го координатных углов. 1.176. а) Парабола у= х?, смещенная вдоль
оси Оу вниз на 1; 6) парабола у=х?, растянутая в 2 раза вдоль
оси Оу, смещенная вдоль оси Ох вправо на 1; в) парабола y=—x?,
отраженная относительно оси Ох, сжатая, вдоль оси Оу в 2 раза,
смещенная вдоль оси Ох влево на 2 и вдоль оси Оу вверх на 3/2.
1.177. а) Гипербола у=1/х, смещенная вдоль оси Оу вниз на | и вдоль
оси Ох вправо на 1; 6) гиперболау = 1/х, отраженная относительно оси
Ох, растянутая вдоль оси Оу в 2 раза, смещенная вдоль оси Оу вниз
на 1/2 и вдоль оси Ох влево на 1. 1.178. а) Синусоида у = $ш х, сжатая
в 2 раза вдоль оси Ох и смещенная вдоль оси Ох влево на л/б; 6) сину-
соида у = $ш х, отраженная относительно оси Ох, растянутая вдоль оси
Оув2 раза, растянутая вдоль оси Ох в 2 раза и смещенная вдоль оси
Ох вправо на 2л/3. 1.179. а) Тангенсоида у={е х, растянутая вдоль
оси Оув3 раза, растянутая вдоль оси Ох в З`раза и смещенная вдоль
оси Ох влево на 3л/4; 6) тангенсоида у={е х;, отраженная относи-
тельно оси Ох, сжатая вдоль оси Оу в 2 раза, сжатая вдоль оси Ох
в 2 раза и смещенная вдоль оси Ох влево на 3л/4. 1.180. а) График
обратной тригонометрической функции у=агаз1п х, растянутый вдоль
оси Оу в 4 раза и смещенный вдоль оси Ох вправо на 1; 6) график
функции у=агоз$ш х, отраженный. относительно оси Ох, сжатый вдоль
оси Оу в 3/2 раза и смещенный вдоль оси Ох влево на 1/2,
1.181. а) График обратной тригонометрической функции у=агов х,
отраженный относительно оси Ох; растянутый вдоль оси Оу в 3 раза
и смещенный вдоль оси Ох влево на 5/2; 6) график функции и =агсе х,
сжатый вдоль оси Оу в 5/2 раза и смещенный вдоль оси Ох вправо
на 6. 1.182. а) График показательной функции у=2%Х, отраженный
относительно оси Оу и смещенный вдоль оси Ох вправо на 1; 6) гра-
фик функции у=2%, отраженный относительно оси Оу, сжатый вдоль
оси Ох в 2 раза и смещенный вдоль оси Ох вправо на |. 1.183. а) Гра-
фик логарифмической функции у=1х; смещенный вдоль оси Оу
вверх на | и вдоль оси Ох вправо на 1/10; 6) график функции
у=1е х, отраженный относительно оси Ох; смещенный вдоль оси Оу
вверх на 122 и вдоль оси Ох влево на 4,
1.1841).
°
1.185.
—2x, хЕ(— <, — 2],
|
у=1 4 x€(—2, 2); ео „Е (—®, 01,
2x, x€(2, +0).
x4, x€(0, +0).
(х-- 3), хе (—®, 0],
1.186. у= { (x—3)?, хЕ(0, -оо).
295
.
6(*+15) =, «Е(<, —5|0, ++0);
1\? 23
|
—6 (x-+75] 94? (5, 0),
1.188.
1.189.
y=4 —(x-+1)?-}4, «E(—o, 1], y= oe xE(—o, 1],
1.187. y=
(x-+-1)?—1, xE(1, +0),
0,
xE(1, +o).
1) Здесь и далее ко всем аналогичным задачам этого параграфа
в ответе фактически приводится тот вид исходной функции, из кото-
рого уже легко получить ее график.
383
1.190.y
aac xE(—2, 3/2).
1—
xE(— 00, —2),
1.191.
хЕ(—2, 0],
+255:
3
,
1.192. При xE(— 0, с) прямая у=—1, при х@ (0, {- ®) — прямая
|
“aR
х
Е
(
—
®
,
—2)0[3/2,+ ®),
l
e
||—
y=1, при х=0 у=0. 1.193. При x€{[n, n+l), ПЕЙ,
— прямая
y=n. 1. 194. При хЕ[п, n+1), nEZ,—npaman y=x—n.
1.195.
1.196.
Вр
хЕ(—«, 0}, )- ete
xE(—o; —1],
1—1 0—1, x€(0, - 0).
(3) . +2, ХЕ(—1, +).
_ f logia8—x), хЕ(—®, 3),
1.197, y=
а хЕ(3, + =).
— 1062 (х-- 1), хЕ(—1, 01,
1.198. ыы «+1, Е, +=).
Ра —Ал,
x€|aan—=,2k+-—+]»REZ,
1.199. y=
.
хаб, x€ (Qet nay @k-+1) +2).
..
( 3x—2kn, Е [#33, (2-1) 3]
me
1.200. y=
REZ.
3x — (2k 4-1) x, (0+3 3, 2-1) 3),
- V Bcos(#r+), x€[2ko, (2k+1) x],
1.201. y=
д
REZ
V Bcos(x+ 7), Ел, 2 (+1) л),
— aratg(x—1), £E(—00; 1],
1.202. y= | та (x—1), хЕ(1, о).
(x, Е (2—5, din +>),
1.203. y=4 .0, хол,
REZ.
= (Отт, Фа),
—
св(#5), rean, tn+3|.
.
1.204. у= |
‘’` ВЕХ..
ва (++), жевал, внут),
384
1.205. y= 5 (i —cos д). 1.206. Отрезок прямой у== а, хе [—7, 3].
1.207. Оси координат. 1.208. Кривая, симметричная относительно
обеих осей координат; в первой четверти —часть параболы у=
—=— (*—1)*--4 при хЕ[0, 3] и часть параболы у= (х—1)*—4 при
хЕ(0, |). 1.209. Квадрат
с вершинами (1, 0), (0, 1), (—1, 0), (0, —1).
1.210. Квадрат со сторонами х= 1/2, у= 1/2. 1.211. Кривая,
симметричная относительно обеих осей координат и биссектрисы пер:
вого и третьего . квадрантов;в области С=\{(х, 1)|х-—0, у>0,
х>у}— луч у=хр—1. 1.212. Кривая, симметричная относительно
¥
l
|
обеих осеи координат, в первом квадранте при у= — — отрезок пря-
2
мой Х=
при > от езок прямой и=1—-—^
32о4
‘
1.218. 0, 31, 5,... 1.214. 2, 0, 6, 0, 10, ... 1.215. —8,
141720
2n7л8n13л141
=,=,=, 1216—,—
=~, —-, —,... 1.217.
11,
3’ 5’ 7°°**
1.216
3’
3’
3’
3°
3%
117
x a (—!" 1.218, x =1+(—1)". 1.219. x,= on 1.220. x, =
гит. 1.218. a=W 1219 ty a 1.220. ay =
— поз "ИИ, 1.001, ¢,=(—1) т. 1.222. и зш
1.223. Наибольший член х.=4. 1.224. Наибольший член х=е.
1.225. Наибольший член: ху = 1/6. 1.226. Наименьший член хо. = —22.
1.227. Наименьший член хз = 24. 1.228. Наименьший член хз == —9/8.
1.229. а) ЗА > ОчтЕМ (|х„|=—< А);
УА>ОЗ"
ЕМ (]х„| > А).
6) WAEN (ха < Xn41); ЗЕМ =, +1). B) Ve > OINEN WHE
EN(na>N=>|x,—al < &); Je >OVNENAREN (2 > NAlx,—a|S8).
r) VE >OINEN WrEN(2 > N= [xXn,|> 4); JE>OVNEN Qn EN
(n>NA|x_,|<E). 2) Ve >O9nEN(|4,—a|<&); Je >OWNEN
(х„—а|>®). 1.230. а) а=1/3, N=3; 6) a=!1, N=10; B) a=0,
N =999; r) a=5/7, МNoМ=3. 1.231. 1/3. 1.232. —5/9. 1.233. 0. 1.234.
—1/2. 1.235. 0. 1.236. 0. 1.237. + со. 1.238. 0. 1.239. 1/2. 1.249. —1.
1.241. 1/2. 1.242. 1/3. 1.243. 0. 1.244. 1. 1.245. 1/5. 1.247. Является.
1.248. Не является. 1.249. Не является. 1.250. Является. 1.251. 1/3,
3. 1.252. 0, У 3/2, 1, —У 2/2, —1. 1.253. л/5, — л/б. 1.255. ии {х„}=
= lim x,= lim x,=1, sup{x,}=2. 1.256. lim x, =inf{x,}=0,
ПФ
now
N-> ow
lim x,=1, sup {x,}=5/4. 1.257. Последовательность неограничена
n—->@
сверху и снизу; lim Xn,=+o0, lim.x,=—oo. 1.258. inf {x,}=—YV 3,
n>
n>0
sup{x,}=2Y 3 lim r= —V 3, im x,
И
3. 1.259. inf {x,}=
-
fl— oo
.П->о
b
o
]
©
в
1
3
|—
=—5, sup {tn} =, Jim n= 5, Jim n=
‚
1.264. УЕ > 036 > 04(0< |х| < S=>/f(%)| >). 1.265. ЧЕХО
35>0(—8<x—1<OSf(x)<—E).1.266.ve
> 0ОЗА >0(х>
А
=> |f(x)|<€).1.267. VE>035A>0(% >A=f(x) >EB).1.268. ve>0
35 >0(0<х<6=>|/9|<:). 1.269. уё>03А
> 0(:х| > ASD
=> |f (x)—2| < e). 1.270. VE >03A >0(% <—ASD/ (x) < —B).
13 под ред. А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича
385
1.271. УЕ>ОЗА > < =>|f(x)| > £). 1.272. —2. 1.273. 2.
1.274. —oo. 1.275. 0. 1.276. + о. 1.277. 0.1.278. т/п. 1.279. 3х°.
1.280. 6. 1.281. (а— 1} 3а?. 1.282. 1/4. 1.283. -- оо. 1.284. п. 1.285. 0.
1.286. —1/2. 1.288.(3/54.289. 1/6. 1.290. У 2/2. 1.291. 1/2 х.
1.202, 3. 1.293. --oo. T2908. У 23. 1.295. 1/n; 1.296. туп. 1.297. 3/2.
1,298. 37 2/2. 1.299. 0. 1.300. 1/2. 1.301. —7/4. 1.302. 2. 1.303. 3.
1.304. 7/3. 1.305. 1/m. 1.306. 3/4. 307. 2. 1.308. (1? —В?)/2. 1.309. 0.
1.310. —м/л. 1.31. —У 2/4. 4.312. 1. 1.313. 0 при п> м, 1 при
=m, 0, при n<m. 1.314. 4. 1315, 1/2. 1.316. 25/16. 1.317.
оба (1-Х)
cas
4 3ameuaa, 4TO
= log, (1-+ x)!, uv Bocnomb30BaBIUMCb HeMpe-
рывностью функции ; (х) =107ах (см. задачу 1.381), можем записать:
lim
Е tim, log, (1-- x)'/* = log, (iim (+xl/*) = loga г. >
x-0
1.318. ® Сделать замену а* — 1 =. 1.319. ® Сделать замену (1-е —
(+ *)?—1
x
—1-y. Тогда а ш (1-Е х)= т 1- и). Следовательно,
У о. ПИ 1320, 0 1321 ею. 1399. е-No?.
х Ш(-НУ,
x
1.323. ¢3. 1.324. 2. 1.325. 1. 1.326. Ina. 1.827. alna. 1.328. — log е.
1.329. а—6. 1.330. 1. 1.331. .—1/2. 1.332. е. 1.333. 1/е. 1.338. + 1,
1. 1.338. —с, --.'1.340. -- сс, 0. 1.341. 0, -- о. 1,342. л/2, —л/о.
1.343. 0, —1. 1.344. 2, —2. 1.345. —2, —2. 1.349. 3/2. 1.350. 2/3.
1.351. 1. 1.352. 3. 1.353. 1. 1.354. 3. 1.355. 1/3. 1.356. 1/2. 1.357. 1/2.
1.358. 1/2. 1.360. 0,97. 1.361. 5,03. 1.362. 1,15. 1.363, 0,88. 1.366. — In 10.
1.367. 3. 1.368. —2. 1.369. 2/3. 1.370. 8/9. 1.371. ЗУ 2/2. 1.372. 3.
1.373. 1. 1.374. 1/2. 1.375. 2/3. 1.376. 2. 1.377. 1/6. 1.384. A=3.
1.385..a=2. 1.386. b=ma/2. 1.387. х,=0, x,=-1—TouKH pa3pbiBa
второго рода. 1.388. х= 0/3— точка разрыва первого. рода. 1.389.
х == О— точка устранимого разрыва; }(0) =п. 1.390. х==0 —точка устра-
нимого разрыва; } (0) =1. 1.391. х= 0— точка устранимого разрыва;
# (0) =1. 1.392. х.=2, х.=
—2 —тозки 'разрыва второго рода. 1.393.
х=0— точка разрыва первого рода. 1.394. х-= —2— точка разрыва
первого рода. 1.3%5. х=
2 — точка разрыва первого рода. 1.396. x=0—
точка устранимого. разрыва, |} (0) =2; х== 1— точки разрыва второго
рода. 1.397. хх =0р— точка устранимого разрыва, [ (0) == —1; хо =1 —
точка. устранимого разрыва, до 0; хз = —1 — точка разрыва BTO-
рого рода. 1.398. х=0— точка устрапимого разрыва; f (0)= 1/2. 1.399.
х=1— точка разрыва первого рода. 1.400. х== | —точка разрыва пер-
РОГО рода. 1.401. х=2,5 —точка разрыва первого рода. 1.402. х = л/4—
точка разрыва первого ра. 1.408. (ve > 0 VxyED 35 >0(|х— ху | <
<6=>11(х)—[(%)|<=)^(3=>0\6>03х",ЕР(х'—х"|<вл
A| f(x’ re (х”)| > &)). 1.41. Равномерно непрерывна. 1.412. Не яв-
ляется равномерно непрерывной. 1.413. Равномерно ‘непрерывна.
1.414. Не является равномерно непрерывной. 1.415. Равномерно пе-
прерывна. 1.416. Не является равномерно непрерывной. 1.417. Не
является равномерно непрерывной.
1.421. 9--7:. 1.422. —3--41. 1.423. —4
3.
14
|
2
:
.424. —29--25.
1.426. 7p! 1.427. i. 1.428. 5 1.429. —+—i. 1.430. x=2,
y=3. 1.431, x= 1/3, y= 1/4. 1.432, = 1, zg, 1.433. = 2+,
386
в
а
©
=
г. =2.-—{. 1.434. z;=14-if, z2,=t, FER. 1.435. cos Eb isin SE2
1.436. 2 (cos зе) 1.437. cos 7 isin. 1.438. со +}
+ isin No) \1. 439. сов
is sin ae ® Определить угол ф, удовлет-
‚оряющий условиям Фе, 2m), COS g=—coss, sin p=sinS.
m,,, 0 )\
,
1.440. со Азы. 1.441. 2cos 4(cos ig ti sin Gg J: 1.448. a) —41,
VS3
ти,
Зол8G
51
- 6) 10 —2i, 14! . 1.450. 5 2i. 1.451. ql 1.453.
Сдвиг 13 вектор а (—2, 0). 1.454. Сдвиг на вектор а (3, —1). 1.455.
Поворот на угол л/2 против часовой стрелки. 1.456. Поворот на угол
л/4 по часовой стрелке. 1.457. Симметрия относительно начала коор-
динат. 1.458. Гомотетия с центром в начале координат и коэффици-
ентом =2. 1.459. Поворот на угол л/4 против часовой стрелки
с последующей гомотетией с центром в начале координат и коэффи-
циентом 1/У5. 1.460. Отражение относительно действительной: оси.
1.462. а) Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме
квадратов его сторон. 6) ® Воспользоваться тождеством а). 1.463. Полу-
плоскость х20. 1.464. Полоса О<и< 1. 1.465. Полоса |у|=<2.
1.466. Внутренность круг& радиуса | с центром в начале координат.
1.467. Окружность х?-- (и-|-
1)? =4. 1.468. Кольцо между окружно-
стями ‘и: (х-|- 2)2--
у
=Ти фо: (х-- 2)" у: =4 (у, не принадлежит
кольцу). 1.469. р = {(х, y)|y? > 1— 2%}. 1.470. Прямая 2+ y+5=0.
1.471. Сектор, ограниченный лучами l;={(x, y)|y=0, x0} u
[5 = {(х, y)| y= x, x= 0} (ayy И не принадлежит сектору). 1.472. Сек-
тор, ограниченный лучами А = {© у |у=х, х< 0} и pA Y)lYy=—*,
24
2
arctg —
ctg _—
x <0}. 1.473. Ocb Ox. 1.475. 5e 7 1.476. 13¢ (5 . 1.477.
i (arcty + л)
i (n-arctg —)
us)
бе
. 1.478. И5е
2’. 1.479. е 2’. 1.489.
oO
.л
2sin©е'> при 5Шя>0, —2sinЯо(л+®).при ‘sin“<0.
2
2
2
2
_;= 8
jim
j=
1.482. а) 242 23, 3; 6) l6e 4, 2e 2, 1.485. 32. 1.486. 2.
1.487. 512(1—iV3). 1.488. —+. 1.490. а) 70 cos p-+ со$ 36);
6) z (3 sin p—sin 3g). 1.491. 4 cos? p—3cos g. 1.492. 3 sin p—4 sin? @.
1.493. cos! (p—6 cos? psin* p-+sin* g. 1.494. 4sin pcos? p—4 cos g sin* g.
1.495. Корни 2-й степени из единицы: 21 =1, 22
= —1, корни 3-й сте-
Vs,
1 V3,
пени из единицы: 21=1, в=-5+
23=—yi
корни 4-й степени из слиты: И, и 23=—1, 24=—.
1.496. + У +9. 1.497. +E ato, ,v2 (1-Й. 1.498. cos = +
в)1(Е)
‚в —0, I, ..., 8. 1.499. + У? (1+3).
13*
387
1.500. УЗ (сз (1+5 в) +1 (+5 ,)). k=0, 1, 2, 3.
1.501. W/3 (cos (7 +4) isin ( a4 t)), #=0, 1, 2, 3, 4.
6/7
ал
Л
—
1.502. УЗ(<(3+33в)+10(+5re)|,k=0,1,2,3,4,5.
1.503.23(se (SPP ina , в—0,1,2,3,4.
5
5
sin2cos"т $
зш 2иф
sin? n@
1.505.
° 1.506. ~~.
1.507. ——“.
1.508. — | +20.
ф
251 ф
$1-ф
sin ©
1.509. 4 + УЗ, 1.510. —2--1 —3 bi 1.511. 1-}-i, 2—3/. 1.512. 4
_5 ac
1.513. — 1 VS. 1.514. 1, —3, —1+ 2i.
1.515. (—1-+
Y 2)4 iV 2, Coyne ГИ 5. 1.516. 21 э==2з,а= 3.
1.517. +Ё ЗИ 3. 1.518. + 4 Y)5i. 1519. + (+0,
+73 (55-615). 1.529. 5 (1+3), — 1 VS Liv,
—3/3. 152 t1, 4%, 4V 2040. 1.522, x=tg= --cm k==0,
1,..., a—l, rye о =- агс{7 а. ® Положить а: =19 a, АНУ и вос-
пользоваться тригопометрической формой _комплексиого числа.
1.523. (2—1) (2-- No (22-1). 1.524. (22-2
VY 2-+1) (22+2 V 2+1).
1.525. (22—2-- 1) (22--2--1). 1.526. (22 22-2) (22--22-|-5). 1.527.
(г— 1) (222-21). 1.528. (22—22-[5) (22--82--20).° 1.532. 2—4.
1.533. —1. 1.534. — 1. 1.535. ЕЕ ь 1.536. 1. 1.537. 0. 1.538. oo.
3
— 1—5
3—
1.539. с. 1.540. —=—. 1.541. 19 3-29. 1.542. |--1. 1.543.
Mie 1.544. e? (cos 24-isin 2). 1.553. 0. 1.554. 0. 1.555. —.
1.556, 0. 1.557. ——22,
1—2:
MB =—+ (a—6), MC ==— MA, MD =— MB.
b
2.10. AN =afa-+(1—f)b, B оф ) a-+-(1—f) b. 2.11,CD=q—p,
DE=—p, EF=—q, КА=р— а, АС ==p-+q, AD =2q, AE=2q—— р.
2.13. М 71 | BBA OCH. 2.15. AB—M2=9, ВСВ
|
|
14-0’
НА,
O
o
aT
Ab—a
nA.
_в.
7D
CD= Гл, Dam — eq ato 2.16. a) a=8; 6)
—; (bp— 4), АС= =—в@Р—9). 2.18. A=5. 2.19. ЕР
Е г.2.20. Зр—49—3"—25=0. 2.21. 0.2.24. 0, 1, 2. 2.25. А=и=
=1. 2.26. а) (— 1/2, 1/2, 1/2); 6) (1/3, 1/3, 1/3). 2.27. (7/10, 3/20,
3/20). 2.28. а) (1/2, 0, 1/2); 6) (1, —1/2, 1/2). 2.29. (1, —1/А, — 1)
!
2.30. a)
a1? B—1)}
< AO=AM+MO0O=a AB—OM =
—=а(АМ--МВ)—ОМ==“(АО-++ON)+aМВ—OM=aAO+a0ON+
Еа^ОМ—ОМ.
Отсюда
находим
AO=ar)NoомОМ—
OM. Аналогично рассуждая, получаем АО = PCY om
(!тОМ—
l—a
—
_ 7 ON. 3nech NB=AON un MC=pOM. B силу един-
ственности разложения по базису тогда имеем AO = ——
а— OM+
ртом: & 9 7B. Ey) (ma aH)
—
]
СА
. © Воспользоваться результатом задачи 2.30а).
I—a)’ 1—f
Re wy! y (1 —- <) <2 (2aB—a—B B(l—a)
are aay
aay) м
В).
= [В(— У) Zpy—F—V
1
=.
CO( oy
=e ). 2.32. a) AC((Y 5+1)/2, 1),
AD(t, (У 5+1); 6) КВП, . СВ (У 5-3)/2,
(И 5 3)/2), DE(—1, U—V 5)/2). 2.33. a) (2/5, 3/5); 6) —9/5.
2.34. БМ (1/2, 1/2, —1), eae 13, 1/3). 2.35. а |а|=
=ИЗ, а,,(-МУЗ, му 0);) cos(Hi,= VS;8)X(a)=
——19/3; r) np,a=Y (a)= . 2.36. р 2.37, om Be Fe
2.38. а=—2е,1 ез—ез. 2.39. а) а, (2/У 13, З/У 15, 0) : 6) а—56+
+e=d(3, 11/2, 0); 3) a+b—2c=—2j; 1) пр, (а—6) =6.
2.40. (6/11, 7/11, —6/11). 2.41. ЗУ6. 2.42. |р|=У 154, сова=
—= 9/У 154, соз В =8/У 154, созу= З/У 1. 2.43. х = —5i+-10/+4-10k.
2.44. x=21+2742k. 2.45. x= + 5i+——5/— — В. 2.48. “= 1,
уз V2
B=4. 2.47. хи. ® Х=Л (4,6%), где ас и В, —орты
abc?
заданных векторов а и. 2.48. a=2, В—=3, у=5. 2.49.
и.,
barc?
са?6?
а26?-|- 62?
-|- са?” а26?-- 62% -- за). 2.50. а) (3, —6, 6); 6) (5,5, 1;
в) (—5/У 3; 7/У 3, 5). 2.51. D(9, —5, 6) 2.52. C (6, —2), D(2, —4).
2.53. А (—6, —2), В (2, 8), С (10, —6). 2.54. М, (7, 0) и М, (—1, 9).
389
2.55. М (0, 1, 0). 2.56. 7. 2.57. (4, 0) и (5, 2). 2.58. (—1, 2, 4) и
(8, —4, —2). 2.59.). (—19, 10, —17). ® Разложить вектор ОД по базису
из векторов ОА, ОВ и ОС. 2.60. (10, —5, 0). ® Разложить вектор
ОВ по базису из векторов {, ], ОД. 2.62. У 18213. 2.63. (11/7,'10/7,
18/7). 2.65. а) 9; 6) —61; в) 13. 2.66. a=-+ 3/5. 2:67. 15, V 593. 2.68. 27/3.
2.69. 19/5; 2.70. 1/2. 2.71. A=n/2, B = arccos 2, —=агссо$ ——
о
.
—
4
Ar [а|-[6|
2.72. (ет, ег) = л/З.
2.73.
arccos 5 e 2.74. 5. 2.76.
=
а
а,
CB= 17 a—b, AC = 141 late, DB=a—b. @ Cuauana найти
вектор ДК, где К —такая точка основания, что | АК |=| AB]. 2.77. —13.
2.78. а) 22; 6) —200; в) 41; г) У 105; д) 11/3; е) 22/7; ж) соза=2/3,
cos B = —1/3, cos y=— 2/3; 3) —84/У 129; и) 11/21. 2.79. М, (1, 0)
иМ, (6, 0). 2.80. |АВ|=5, 1ВС]=5И 2, |AC |=5; A=n2, B=
— G=n/4. 2.81. a) —41/5; 6) 73/7. 2.83.
. 2.84. 4, 2.85. —475.
2.87. arccos 5/6. 2.88. (1, 1/2, —1/2). 2.89. (—3, 3, 3). 2.90. a; = 2},
а; в—=— 1-Е. 2.91. а) (2/3, 2/3, 2/3); 6) (—5/3, 4/3, 1/3). 2.92. (—2,
0, 2). 2.93. —1+5/—5 В. ® Вектор Ae ¢, NMeeT BHA A, с, =
= yey
+ Aces, где коэффициенты А; н А» могут быть найдены из
условия перпендикулярности вектора 1—ае,, е; плоскости векторов
ег и @о. 2.94. х’ = (х— хо) cos P—(y—Yo) Sing, y! =(x— Xp) sing+
-- (и—1.) cos @. 2.95. X’=X cosg+Y sing, Y’=—X sing-+Y cos g,
3
Zi=—Z. 2.96 (—2, V 2,0). 2.97. a= Dy Xi?xPee,=
=5хx?-|-2х0XP+9x$)х®—2(Хххо.XPxX)_
3 (XPX® EXPY) 4 4 (ХФ + Xg?X?) 2.98. a) VW 3;6)3 V3;
в)10У3. 2.99.[а1,а]=0,т.е.а,||а».2.100.а)2(#—1;6)2[а,с];
в)[а,с];93.2.102.50И&.2.105.а)ela,5; Оф |,В.
2.106, a) (—3, 5, 7); 6) (—6, 10, 14); By (—12, 20, 28). >. 107. 2V 6.
2.108. 5. 2.109. а=—6, В=?21. 2.110. —103/У 86. 211. VY 6.
2.112. (—20, 7, —11). 2.113. (5, 16, 7). 2.114. |a|=|b|=]ec|=1;
векторы попарно перпендикулярны. 2.115. —41-- 31-44. 2.116. У66;
с0$ &=1/У 66, созВ=—4/У66, созу=—7/У66. 2.117. Sy.
2.118. (—6, —24, 8). 2.119. (7, 5, 1). 2.120. a,
| ay, есконечное MHO-
жество решений. 2.121. (—1/2, 0, 1/2). 2.122. Появится знак минус
перед определителем; в случае косоугольного базиса формула неверна.
2.123. ® Вычислить координаты векторов в обеих частях и убедиться,
что они равны. Вычисление координат удобно производить в следующем
специальном базисе: орт { сонаправлен с вектором 6, орт 7 лежит в
плоскости векторов би с. 2.124. 24. 2.125. —3/2. 2.126. —7. а) Левая;
6) правая; в) правая. 2.127. а) Нет; 6) да. 2.132. 17/2. 2.133. 6.
2.134. ЗУ 2. 2.135. а) Ла 6) нет. 2.136. а) —3; 6) при любом А,
2.138. a) (0, 0, 0); 6) (0,1, 0
390
2.141. a) 2(x-+1)+2 (y—2)=0. Общее уравнение: x-+-y—1=0,
1
1
|
Нормальное уравнение; ——х-- —— у—
= 0; р=—.
УЗИ?У2
У2
6) 2(х— 2) =0. Общее уравнение: х—2=0, прямая параллельна оси
Оу. Нормальное уравнение: х— 2=0; р= 2, B) 2(x—1)—(y—1)=0.
Общее уравнение: 2х—у—1=0. Нормальное уравнение: Var
|
5
1
1
1
x+1l y—2
1
3
нение: х--Зу—5=0. Нормальное уравнение: —— х——
Уб У’
х—1 и—1
5
5
|
——— =0; p=——. 6) ——==——..._ Obmee aBHeHHe: .—
yi? Vio 0
Г"
*
-- 1=0, прямая параллельна оси Оу. Нормальное уравнение: х— 1 =0;
р=1. в) a 4 | . Общее уравнение: у—1=0, прямая парал-
0
лельна оси Ох. Нормальное уравнение: у—1 —=0; р=1.2.143. а) = —
==. Общее уравнение: x—y-+1=0. Нормальное уравнение:
1
x—1 y-—1
]
—_—— = 0;
=—— 6
=>.
a 5%+7554 ИЗ
рУЗ)
Общее
0—3
уравнение: х—1 =0, прямая параллельна оси Оу. Нормальное урав-
нение: х—| =0; р=1. в) — =", . Общее уравнение: y—2=—0,
прямая параллельна оси Ох. Нормальное уравенне: y—2=0, p=2.
3
2.144. а) p(M, Пу Г: и“=, LY 2 (О+
+0—2=0; 9 РМ, 0,
НЙ, Ln ay =0;
x y--1
”
в) 0(M, L)=0, L’: T=
» LY x+-y+1=0. 2.145, Tepecexaiorca p
"
a“
—
touke M,(—3/4, —1/2); cos (Ёл, [2)=1/У 5.2.146. Пересекаются в точке
т
Мь (1, 0); соз (Гл, [5) =2/У 5. 2.147. Параллельны; р ([1, [5)=У92/4.
2.148. Параллельны; р (Ё1, [) == 2.2. 149. ‹Совпадают. 2.150. а) (AB):
Tt _y—?2
x—O6 _y—l
19
“7*
, (CD): —
=,
=
L;:
pap OO Ey
vi nee Vi758’ 9
х—1
y—2
.
(У 56
=a
—
—=
——,
о: 26-+5 V 17) (x—1
И26-25У17 AVBVIt
ЗУ Тео
—
—
‘
=
3
Xx
2
+ (4 ¥ %B—V 17) y—2)=
=, (ср):= —
у
1
р
|
y+2
=>
h=4,
cos =,
Li:
==
=,
—4
Ту: " 4-275 3475 *
(4—2У 5) (x2) + (3+V 5) (y +2) =0. 2.151, t=—1/2. 2.152. 4/5.
2.153. x-+1=0, y—2=0. 2.154. 18x+y—11=0, 15x—y—13=0.
2.155. 3x—y—1=0, 3x —y—21=0. 2.157. y—2x+6=0, y+2x—6=0,
2.158. 3xt+y +6=0, x—3y + 2=0. 2.159. 20, —4/5. 2.160. 7x—y —
391
о:
—25=0, 2.161. 3x—5y+47=0, 3x—5y—11=0, Зх--бу-- 17 = 0,
3x + 5y—41=0. 2.162. 3x —2y— 12=0, 3x —8y
+24 =0.2.163.a)3x—
2— 2y—7=0; 6) x—dy—?*/,=0. 2.164. x—5y1+3=0, 5x+y—11=0.
2.165. В (1, 1),D (1,3), (AB): x1 =O, (BC): y—1=0, (CD): x+1=0,
(AD): y—3=0. 2.166. 3x—y4-1=0, x+3y+7=0, 3x—y+11=0.
2.167. (AB): 3x 4y+ 1 =0, (BC): 4x—3y—7=0, (CD): 3x+4y—
—24=0, (AD): 4x—3y—32=0, (AC): 7x+y—31 =0. 2.168. x4 2y —
—7=0, x—4y—1=0, x—y+2= 0. 2.169. ® Отклонения 6 (My, L)
И 6 (Mo, [) имеют разные знаки. 2.170. 4х + у-5=0 или и—3=0.
2.171. а) В одном углу; 6) в вертикальных углах. 2.172. Тупой.
2.173. 4x—3y+ 10=0, 7x+y—20=0, 3x-+-4y—5=0. 2.174. x—3y —
—23=0, 7x -+ 9y +19 = 0, 4x+3y- 13 ==0, 2.175. 2x+9y—65=0,
6x—7y—25 = 0, ‚18-Е 13/—41 —0, 2.176. х—бу- 17 =0, 8x-+3y—17 = 0,
7x + 9y + 17= 0. 2.177. 4x —3y =0, 12x-+ 5y+ 16=0. 2.178. 6) ya —2/3.
2.180. a) 2x—y+2z2—2=0, ИИ; 6) х— и=0, плоскость параллель-
на оси Ог`и проходит через начало координат; 1/У 9. 2.181. а) х-у—
—3=0;6) x+2y—2=0. 2,182. a) x—2y—z=0; 6) —x+y+22—
—5=0, 2.183. a) —x-+ 2y—3z—3=0; 6) 2x—2y—z-+1=0. 2.184. a) x-+
,
aon
+y—3=0; 6) 2x—y—1=0. 2.185. [lepecekaiotcn, с0$ (Ру, Ро) =
=———-. 2.186. Параллельны, р (Ра, Р) = Vs . 2.187. Пересека-
2У15 om
.
`
ются, с0$ (Р1, Р.)= 1/2. 2.188. Совпадают. 2.189. 8. 2.190. х-Ни-Ег—
—3=0. 2.191. 3Y 5x—Gy—4Y)V 524+-12V 5=0,4V 5/V 161.
2.192. а)
20 и 2x+y—3z+8=0;. 6) 38x—6y+
+7z—4=0 uw x+4y+3z+4=0. 2.193. a) 4x—y—2z—4=0;
6) 20x—12y4-4z+13=0. 2.194. a) B смежных углах; 6) в одном
углу.. 2.195. x—y4-3z—2=0, x—y—2=0, 5x —Qy-+ 127— 10 = 0,
5x —2y+21z—19= “0. 2.196. 2x—y—z—2=0. 2.197. a) g=([m,
4x+3y—5=0,
No] =—38i+47-+5k, уравнения в проекциях: 5x-+3z—7=0,
би—4г--
1 =0;
6) g=([m,
no] =— i—7j/—5k, уравнения B проек циях:
ix—yTl=9,
x—2
z+3 x—2
г-|-3.
5x—z—1=0, 2.198. а)
И= би 21,
5y —7z—12=0.
2—35
52—1
х—2 у 2-3. г) х—2 у 2z4+3, х—2у 2-3,
) “oT
оо! ==:
ху __2-
x—l yt+2 2—1. ХЗ и!
у=а=.2.188.аая: ==
_2
_
_1=0:
x—2y+z=0,
=—25. 2.200. a) x eee 6) 2x-+y—1=0; в)
о,
или
oo ‚ Г) 18/¥ 30; дБ M’(3/5,—1/5,—1).
2.201. a) 1/V 15, M(1,—6, —4); 6) 3x—y-+22—1=0; 3 ot mY
2.203. а) 2x— 16y—13z-4+31=0; 6) 6x—20y—11z+1=0. 2.204. 3.
2.205. а) 6/У 5: 6) 21. 2.206. 25. 2.207.
а.
220. И. 2209, В 223 о aresin —3— ,
|
4—17
|
2V7
x—7 y—1_ 2
x—3 y+t2.2+4
_
2.211. =.
2.212. обо. 2.214. 6) 4х
\.
- B4x—44y—7z-+ 181 =0,
+3y + 122 —93 =0;
в) 13; г)
7684970.
2.215. 6) 4x-+ 12, 32-76=0; в) 127/13; г)
16
|
—90=0;
2.216. 6) 6х —Зу— 22-52 =0; в) 7; Г)
В 62 20-0
2.217, 6) 2x—3y—4z—74=0; в) 4126; р У
2.218.
Е и—2.6)1/5: 8) и
x-++-y—2z——} — 0:
г) x+y+3z—2=0, a) arcsin ——
ИЗ.
2.219. См. рис. 78. 2.220. См. рис. 79. 2.221. Прямые х=0и
х—у=0. 2.222. Прямые у=0 и х-- у=0. 2.223. Прямые х—у=0и
у. 2.224. Прямые х=0 и у=0. 2.225. Прямые у= +3.
|
А
cey-0
yA
<
R
Y
&
н
у
¥=0
r-y=0
.
4/=21
Рис. 78
Рис. 79
2.226. Прямые х=—2 и х=3. 2.227. Прямые и=0, х=2 их=5. 2:228. Ок-
ружность радиуса А =2 с центром в начале координат. 2.229. Ок-
ружность радиуса К =1 с центром ‹в точке С (0, —3). 2.230. Начало
координат. 2.231. Пустое множество. 2.232. Точки (0, +1). 2.233. хХ—
—y=:0. 2.234. fax tee =0. 2.235. y=+2x. 2.236. eye ie.
2.237, x2-Ly2=8. 2.238, Tp yal. 2.239. xy=2. 2.240. уф.
2.241. а) С(2,—3), В=4; 6) С(4,0), Ю=4: 3) C0, —2), R=2.
2.242, a) (x—2)?-+ (y+3)?=49; 6) Ot P+ (y—2)? = 295 в) (х—1)
++(у—4 =8;г)(д1-4 0=4; д&—1+(9—0 или
(x—5)®+ (y—5)?= 25; ©) («— 2) (у—4)8=10;ж) («4 Н(у--=25.
® Написать уравнение искомой окружности в виде х2-Р уз-- Ох --
-- Еу--Е =0, подставить в него координаты каждой точки и затем
найти О, Е и ЕЁ. 2.243. 2х —5у-- 19=0. 2.244. а) 7; 6) 2.2.245. а) Пе-
ресекает; 6) касается; в) проходит вне окружности. 2.246. а) а=5,
b=3; 6) Fy (—4,0), Fe (4, 0); 8B) cme r) Dy: ae, Ds: a
2.247.a)и, 9 иШ.УИ 1,r)S47 —
247, a) ot Gah OY gerg=l®) eg tig=
=
oy
(x— Fo (y— Hoy
1) = +H=1;0) veal. 2.248.
— 1, 2,249, a) C(3,
—1), a=3, b= У5, e=2/3, Dy: o 3-0; De: 2x —15=0; 6) C(—1,
2), a=5, b=4, e=3/5, Dy: 8x+4+28=0, Do: 8x—22=0; 8B) C(1, —2),
393
a=4, b=2V 3, e=1/2, Dy: y+10=0, De: у—6=0. 2.252. и
2
—
2
—
+251, ri2=44V3, у (4+ 3). 2.253. (—15/4,
+У 63/4). 2.254. 2х2 —ху--2,2 —3=0. 2.255. 7х
—
Qxy+7y2—46x+
--2,--
71 =0. 2.256. а) Прямая пересекает эллипс; 6) проходит вне
эллипса; в): касается эллипса. 2.258. Зх-- 2у— 10 =0и 3x-+ 2y-+ 10=0,
2.259. ху Б= Ou x+y+5=0. 2.261. x+y—5=0nx+4y—10=0,
2.262. М, (—3, 2), И13. 2.264. 2х--1у—10=0. ® Воспользоваться
результатом задачи 2.263. 2.265. а) а=3, 6=4; 6) Е; (—5,0), Е. (5,
0); в) =>; r) р: 1) x= ba. 2.266. а) а=4,
6=3; 6)Е1(0,
«5
4
|
16.
2.
—5), Рь (0, 5); в) е=-р; Г у=Езх; дут. 2.267. а) т—
ИИ
И
И.
—5 го 5 16=1;в) 4 —=1;Г)64—36 ГА)35 =
ху
(x—Xp)—Way
_
e) 4—5 . 9.968. 5
=
. 2.269. а) С (2, —3), а=3,
Ьр=4, е=5/3, уравнения асимптот: 4x—3y—17= On fet oy tl =)
уравнения директрис: 5х—1=0 и 55—19=0; 6) С (—5, 1), а=8
р—=6, е=5/4, уравпения асимптот: 3-4, И =0и 3x—4y
+19=0,
уравнения директрис: х = — 11,4 и х=1,4; в) С (2, —1), а=4, b=3,
е = 5/4, уравнения асимптот: Ax + 3y— 5=0 и 4х— Зи— 11 =0, урав-
нения директрис: у=—4,2 и у=2,2. 2.272. г1=9/4, г.=41/4, р(М,
21) =9/5, p (M, De) =41/5. 2.273, (—6, +4 V 3). 2.274. 7y° + 24xy —
— 144=0. 2.275. 7x2 ~6xy —y? -+- 26x — 18y—17= 0. 2.276, и,
е=У2, Е:(-И2,—V2),F,(V2,V2),Dy9:xtytV2=0.
2.277,
1. ® См. задачу 2.257. 2.278, 10x—3y—32=0,
10x —3y-+-32— 0. 2.279. 3x—4y—10=0, 3x—4y+ 10=0. 2.281. 5x —
—3y—16=0, 13x + by +48 = 0. 2.282. М, (—6, 3), р= Ш/УИ 13.
2. 284. 2% Пу--6 = 0. ® Воспользоваться ‘результатом задачи 2.283.
2.285. a) p=3; 6) p=5/2; B) p=2; r) p=1/2. 2.286. a) y2=— x;
6) x2= —2y; B) x? = ~ 124, 2.287. a) (y—yo)* = 2p (x—Xp); 6) (y—yo)*=
——2р (х— хо). 2.288. а) А (2, 0), р=2; 6) А (0, 2), р— 11/9; в) AG, 3),
p=1/8; r) A(6, —1), p=3; ® Al, 2), р=2; е) А (—4, 3), p=1/4.
2.290. 6. 2.291. а) ета =4 6) x?+- Qxy-+ y?—6x+2y+9=0.
2.292. yoy=p(x-+x,). 2.298. x4-yt-2=0. 2.294. 2x—y—16=0.
2.295. 3x —y+3=0 un 3x—2y+ 12=0. 2.296. M, (9, —24), p (My, L)=10.
2.298. y— 18=0. 2.299. tg p=1. 2.300. r sin p=1. 2.301. 7 cos(@—z |=
23
;
2.302. r=a. 2.308. r?= —“— . 2.304. r=acos op. 2.305. Ок-
1
у.
с0$ 2ф
ружность х2-{
у? = 25. 2.306. Прямая у=— х. 2.307. Прямая х=2.
2.308. Прямая у=1. 2.309. Прямая х—у—!=0. 2.310. Прямая
х-у—2=0. 2.311. Окружность (x——a)*+ y2=a?, 2.312. OxpyxHoctTs
x? (у— а)? =а?. 2.313. Пара лучей х = + 2у, у 0. 2.314. Семейство
394
концентрических скружностей радиусов r,=(—1)" = an, п=0, 1,
2,... 2.315. Гипербола ху=а?. 2.316. Лемниската Бернулли (х?-- у2)*=
= а? (x2—y?). 2.317. а) г с0о$ф =3; 6) ф=л/3; в) ф=1. 2.318. а) г =
— 10 с0$ ф; 6) г= +6 5шф. 2.319. а) С(2, 0), R=2; 6) C (3/2, 1/2),
R= 3/2; в) C (5/2, —n/2), ЮВ =5/2; г) С (3, л/3), R= 3: д) С (4, 57/6),
К=4; е С(4,—л/б), Ю=4. 2.320. 12—21 со (ф—Ф) =Ю*—8.
|
9
2.321. а) г=
6) r=
2.322. a) r=—
o——3cos 9’
5-3 cos @
4—5cos@
9
3
у?
6) 4—5 505$. 2.323. "1 —созф' 2.324. а) к =1; 6) те
_4|.2
—
2a
“5 =1; B) y?=6x. 2.325. r? == cost 2.326. г — 0—1
2р с0$ф
2.327. T= "ne . 2,328. a)x=t, y=t+1,fE[—1, +0); 6)x=/—l,
1210, -Н о); в)
И 2 yh, fE[0, +00); r) x=
=? cos#
_ v3 sint
|-= =).
cos ‚_ 37
"7 2 cos ‚_37\'
4
4
1
2
—
2.329.
—=1-|-——{, =|——f, t 0,
51;6 —=2—
в
1
Е,
У5};6)х
oe, y=3
t, tE[0, V 5]. 2.330. x=x,+Rceost, y=yo+
+R sint, ¢€[0, 21). 2.331. a) x= R(1-+cos 2t), y=R sin 2t, t€[—n/2,
m/2); 6) x = R (1+ cos 4), y=R sin ?, £€@[0, 2m). 2.332. Прямая Ty
—3 =0. 2.333. Парабола y*=x. 2. 334. Окружность (х- 1)?-++ (y—3)?=4.
2.335. Эллипс т.
2.336. Правая ветвь гиперболы
(*— 10% 9-1)_
жи
=. 2.337. Правая ветвь гиперболы
A
=], 2.888. OxpyxHoctb (x —R)?+y2=R2, 2.339. Окружность
х2-- (у— Ю)? = Ю?. 2.340. Верхняя ветвь ‘параболы y?=—2px.
2 34]
r=
ab cost
y=
absint
a
V а? sin? f--6? cos? t-
V a®sin? ¢-+6? cos???’
abcost
ab sint
1210, 2л). 2.342. х = V 6 cos? f—a?sin?é | 4 V 6? cos? t—a?sin?t’
где 1¢(—arcte =, arctg =) для правой ветви и {Е [лагает
2
n-faretg~) для левой ветви. 2.343. а) r= »y=t, 1€(—o, +o);
6) x=2pctg*t, y=2pctgt, roe tE(0, me) _для верхней ветви и
[Е (3л/2, 2л) для нижней ветви; в) х=5 с > y==pctg »£E(0,'2s).
2.344. Плоскость г = —5, параллельная плоскости Оху. о. 345. Плос-
кость с нормальным вектором п (1, —2, 1). 2.346. Сфера радиуса К=2
с центром в начале координат. 2.347. Сфера радиуса А =4 с центром
в Точке С (2,0, 1). 2.348. Начало координат. 2.349. Ось Оу.
2.350. Пустое множество. 2.351. Пара пересекающихся плоскостей
395
x—2z=0 4 x4+22=0, параллельных оси Оу. 2.352. Пара координат-
ных плоскостей Оуг и Оху. 2.353. Тройка координатных плоскостей.
2.354. Пара плоскостей х=0 и х=4. 2.355. Пара покои в. H
у=х. 2.356. РУО 2.357. х? -|-у? +2 =а?. 2.358. ки be =
2.359. “47 —1. 2.360. a) C(0, 0, 3), R=3; 6) C(2, 1, —1),
R=5. 2.861, 2) KLIP y—IeteA=4 6 ии
Ч(2—1=18;в)+0 =9: в3
+9++2=55, до ое3 49
2.362. (х-- 1)? --(и—3)?- (2—3)* =1. 2.363. (« 3) (у +5) +
4\?64
2.365. Му (—2, —2, я, 0 =3, 2.366. a) Пересекает; 5): касается; 2 про-
ходит вне сферы. 2.367. а) Прямая, проходящая через точку (5,0 ‚—2)
параллельно оси Оу; 6) окружность в плоскости Охг, имеющая центр
в начале координат и радиус К, в) окружность,’ лежащая в пло-
скости 2=2 с центром в точке С (0, 0, 2) и радиусом Ю =4; г) окруж-
ность в плоскости г=6 с центром в точке С (0, 0, 6) и радиусом В ==У 13.
2.368. а) С (1, К „2), R=4; 6) C(—I, 2, 3), R= 8. 2.369. Эллипс
5+18
2х—2—1 Yo.
— 9)?
_3)2 —
2.371.
и su (2 3" Г, 2.372. Эллипсоид. 2.373. Однопо-
лостный гиперболоид. 2.374. Двуполостный гиперболоид вращения.
2.375. Конус. 2.376. Параболоид вращения. 2.377. Гиперболический па-
раболоид. 2.378. Эллиптический параболоид. 2.379. Параболический ци-
линдр. 2.380. Параболоид вращения с вершиной (0, 0, 2). 2.381. Гипер-
болический параболоид. 2.382. Однополостный гиперболоид вращения.
2.383. Двуполостный гиперболоид вращения. 2.384. ® Воспользоваться
однородностью уравнения. 2.385. ® Перейти к новой системе координат
поворотом осей Ох и Оу ‚вокруг оси Ог на угол лп/4. 2.386. а) Конус вто-
рого порядка с вершиной в начале координат (см. задачу 2.384); 6) гипер-
болическ ий параболоид см. задачу. 2.385). 2.387. На плоскость Оху:
х*-|-4ху-- 5,2 —х=0; на плоскость Ох2: х?— 2хг-- 522—4х =0; на
плоскость Оцг: у 2-02у—г=0. 2.388. а) Эллипс; 6) парабола.
2.389. а) М; (3,4, —2) и М. (6, —2, 2); 6) М (4, 3, 2) — прямая касается
поверхности; в) прямая и поверхность не имеют общих точек.
2.399. а) М (9, 5, —2); 6М(3, 0, —10); вмМ(,-—2, 2.
о 391 2e— 12y— 2-4 16 =0, 2x— 12y—z+ 16=9, , 399 yt+2z=0,
" —2y+4=0,
x+2y—8=0.
" Vx—5 =0,
ox—by=
y+4=0. " 2.403. a) y?-- 2% =a", 6) x?+2?=2ax; B) x?-+y?=2ax.
2.404. a) x21 5y2—8y— 12= 0; 6) fe reat te = 0; B) 2y—z—2=0,
2.405. ja) Bx" + ay" — 36x + l6y— 3=0, 2=0; 6) 2x —22—7= 0, y=0;
B) 4y?-+ 822+ l6y+ 36z—31=0, x=0. 2.406. y? = 2ax— x2.
2.407. a) (Зи— 22)? = 12 (3Зх—2); 6) (x —2)2+ (y—z)?=4 (x—2).
2.418, Уравнение проектирую дего „цилиндра: 2х2 -- (у—2-|-2)? =8;
контур тени —эллипс -„-
ИВ
2.409. x=4, zty=2.
x
2
2.411.а) te=; б9) =16уй;в)—H+E45x0,
396
“ха2
r) x?-+-y2—27=0. 2.412. а) h?x?
= 2рг (1 (у-|-а) —а2г); 6) +4 —
.^ __,\2
[ео в) х--22=2(у-а); г) 3х? — бу? -{ 72 —бху-|10хё --
`—2уг—4х--4у—42-4-4=0. 2.413. а) вершина (0, А, 0), направляю-
щая —окружность х?-- (у— 1) =1?, г=й; 6) вершина (0, 0, 0), на-
правляющая
— парабола х?=2йу, г=й. 2.414. ху ха-Ниг==0, ось
конуса проходит в 1-ми 7-м октантах; ху--хг—уг =0, ось конуса
проходит во 2-м и 8-м октантах; ху—хг—у2=0, ось конуса прохо-
дит в 3-м и 5-м октантах; ху— хг--уг=0, ось конуса проходит
в 4-м и 6-м октантах. 2.415. a) Окружнссть ха уз = (а/У 2);
6) отрезки г=-= alV 2, —alV 2 <x<a/Y2; в) отрезки z=
=-а/У 2, —а/И2 <y<a/V 2. 2.416. Ypannenne проектирующего
конуса: 9х? — 16? — 1622 —90х--225=0, контур тени — окружность
у - г? = (15/4)2. 2.417. а) г=х?-у?; 6) И22 =л?. 2.418. а) х?--
‘
_
2
4
+ 22=y?, 6) 2=х2-ру?. 2.419. a) z=e7 TH"), 6) t= ae
x2, y?
2.420. at peal. 2.421. Поверхность образована вращением
т2
гиперболы mao! y=0 sexpyr ccu Oz.
ГЛАВА 3
o
3.1, 18. 3.2. 4ab. 3.3. 1. 3.4. (a—b)?. 3.5. 0. 3.6. 1. 3.7, I.
3.8. x.=—4, .=—l. 3.9. ra EE, КЕЗ. 3.10. ® Показать,
что дискриминант соответствующего ‚квадратного трехчлена неотрица-
телен. 3.12. 0. 3.13. 0. 3.14. абе--х (аб -- вс-- са). 3.15. а? -- В? -- У?-Н1.
3.16. эт (а—
В)--т(В—у)Нэш(у 9). 3.17. —3. 3.18. ЗУЗ Е
3.19. *—4 + И 22. 3.20. (—o, +00). 3.21. (4, +00), 3.22. (—6, —4).
3.26. ® Показать, что последний столбец исходного определителя
а
Qa
может быть представлен в виде ( 63 )- (@-Ны-Е о) ( р? ) —
c3
с?
а\
1
— (ab--ac-- 6a ыы ( .) и воспользоваться этим представ-
С
1
лением. 3.27. 0. 3.28. @ 3.29. 0. 3.30. 0. 3.33. Парабола у =
123456
12345678
= (х— а) (х— 6). 3.34. (3 625 Я ‚ нечетная. 3.35. (5 16 07384) $
четная. 3.36. Нечетная. 3.37. Нечетная. 3.38. Четность подстановки
совпадает с четностью п. 3.39. Если п нечетно, то подстановка четная,
при любом 2; если п четно, то четность подстановки совпадает с чет-
ностью No. 3.40. Входит со знаком минус. 3.41. Входит со знаком
плюс. 3.42. Не входит. 3.43. Входит со знаком плюс. 3.44. 1=5, #=1.
п (п-1)
3.45. {=6, 2=2. 3.46. 10х°— 53. 3.47, (1)? unde, pties -Gnie
397
3.48. 0. 3.49. а) Не изменится; 6) ге изменится; в) обратится в нуль;
п (п-1)
г) умножится на (—1) 7 ; д) умножится на (—1)"-1. 3.50. —2.
3.51. —14. 3.52. 4. 3.53. 0. 3.54. а) 8а-- 156 - 12— 19а; 6) 2a—8b+
+ е-+54; _ в) 2a—b—c—d. 3.55. 0. 3.56. 48. 3.57. 223.
3.58.9 10(V¥3—V 2). 3.59. (be—cd)®. 3.60. (b> —c—d) (b+c-+d)X
xX (6b —c+d)(b+c—d). 3.61. 394. 3.62. 665. 3.63. x6—xt+x3 +
2 — 2x +1. 3.64. 2x4 y (y— x)®. 3.65. a”, ® Доказать, что исходный
определитель А„(%) можно представить в виде: Ан (я) =аА/_1 {2).
3.66. a? +B". 3.67. nl. 3.68. 2n+1. 3.69 1. 3.70, (—1)"-+
3.71. — а1а. .›. m(L+i+...t2).
3.72.
ned.
Qy Qo
An
n(n=1)
3.73. (—1) 2? . П = (a:—4»).
lgk<cign
25—93
2--2 .0
52
3.76.sa
7—з).3.77.(0 а.3.178.(7о)
3.79.
3.80. /2 0 3.81. 7,1 5 —5
3.82. 711 —22 29
°
03/°
€100).
(9—27:)
29—7/.
13 —17 26
3.83. 756 3.84. а) (31); 6) 120 —6 9 3
3.85.
р
40—23|
Е
—40 2—3—1}.
25
200—10155
80—62
3.86. /13 —14
3.87. 1 па
3.88. Ап тт -1!
21 —22
®
01/°
0
°
3.89. /cosna —sinna
3.90. /8 15
3.91. $ 2
sinna cosna/ +
023
—l1—1/°
3.92. 21 —23 15
3.93. 4 —8
3.94.
419
(-в 34 0).
12 —4/°
(= —62)
22 25
—8—92
000
on
3.95. | 000}. 3.96. (3
), ле а и Б— любые числа.
000
36 а-ЕЗЬ
а3p
|
абс
3.97.
‚ геан Ь— любыё числа. 3.98. | Оба Ь |, где
а06
а, 6, с любые числа. 3.99. (1 ,) ‚ где а, 6, с— произвольные
/
числа, удовлетворяющие cooTHOWeHHIO a*-+-bc=0. 3.100. + E£;
а0b
.
.
|
(3 2) roe a*+bc=]. 3.101. a) i-a uw ]|-я строки произведения
MOMeHAIOTCA MeECTaMH; 6) K i-H CTpoKe произведения прибавится ]-я стро-
ка, умноженная на ©; в) i-H wu ]-Й столбцы поменяются местами;
398
г) к {-му столбцу произведения прибавится ]-й столбец, умноженный на ©.
3.103. (15 4\.
5—2 21—1 3.104.,5—6—4
443); —2 5-3 7
(-s 12 0):
.
21—3 26 -2 }:
—408
—1 7—2 10
—11 5—1 5-1
3/2 —1/2
—53
5—1 5-1 5
—1 5-1 5-1
5—1 5-1 5
5—1 5—1 5 3.106. (32 1
3.107. ( 7 3)
3.108.
cosa sina
3.109.
1—1
1
(ne cova)"
(=41-:
27 —29 24
3.110. /—8 т —11
3.11. 1—1 0...0
(-—5
-1), .
O | —1...0
3
0 O 1...0
ооо
о
9
00 О0...1
8.112. /1/4 1/4 1/2 0% 3.103. 1/4 3/20 1/4 1/20
1/4 1/4 —1/2 0
1/4 1/20 —1/4 —3/20
1/4 —1/4 0 1/2 7°
1/4 —1/20 —1/4 3/20
1/4 —1/4 0 —1/2
1/4 —3/20 1/4 —1/20
3.114. /—7/3 2 =1/3\ 3.115. /19 29 2
oy (Cs 5/3 —1‚1.
(29 1/9 -9),
2/9 —2/9 1/9
11341%7—7512—19
3.116. 1 |
afao.—1-t
3—2-58
4\1—1 1-1]
41 —30 —69 11]
1-1-1 1
—59 43 99 —159
3.118.
. (—1)”-1
—1—
1—
, (17-2
0|= (Ir-3
1
100
—7/6 —1/2 5/6 —5/3
01/20
32 19—12 1. |
00 1/3..
12 1/2 —1/2 1
ee ees
3.119. a 1/2 —7/6 10/3 3.120.
3.121.
3.122. (3 —2\ 3.123. /12\ 3.124. 7645
5-4/°
34/'
(2!>)
33
ae
3.125. /1 23
3.127. /—l —1
3.128. 7212
(4 5)
0—1)’
(021).
\789
002
2
5
8
3.129.|—755\
+(_5)
\
5 5oT
4
8.131. (1,
7, 7). 3.132. (4, 6, —35, —1). 3.133. (70, 40, —20,
—16). 3.134. (61, 26, 185, =z), 3.135. (—1/2, 1, 3, 3).
3.136. (—17, —13, 41, 5). 3.1387. (—8/3, —7/3, —16/3, —11/3):
3.138. (—23/4, —29/8, 27/8, 9/8). 3.140. Линейно независима. 3.141, Ли-
нейно зависима. 3.142. Линейно независима. 3.143. Линейно зависима.
3.144. ® Расписав векторное равенство одет- ве. -- изез-Р це. =0
покомпонентно, показать, что получающаяся система четырех ураз-
нений (относительно G1, Qe, @з, G4) имеет единствепное решение
Oy = Ag = @з = =0. 3.145. 4 Положим ме хое. -Нхзез--
хде. +
-- хьев =х и распишем это равенство покомпонентно; х1=1, х1- ха=0,
xy Xg+%X3=1,
Xy+ Xe+ xXs+ %4=0,
жи хо--хз xy4-X54=1.
Пешая эту систему, находим ху=|, х=— |, Xg=1, Xy=—1, X,= 1.
Итак, х=е1—е.--ез—е.--еь. No 3.146. 5e; —e,—e3—e4,—é,,.
3.150. 2. 3.151. 3. 3.152. 3. 3.153. 2. 3.154. 2. 3.155. 2. 3.156. 2,
если ^=0, и 3, если Л = 0. 3.157. 3 при любом /. 3.159. 3. 3.160. 2.
3.161. 3. 3.162. 2. 3.163. 2. 3.164. 2. 3.165. 2. 3.166. 3. 3.167. 5.
3.168. 4. 3.169. 3. 3.170. 6. 3.174. Линейно независима. . 3.175. Ли-
нейно зависима. 3.176. 3. 3.177. 3. 3.178. A=15. 3.179. A 4 12.
3.180. Ни при каких А. 3.181. г=3; 3 =(@а», аз, аз). 3.182. г=3;
== (Ay, а», @а5). 3.183. г==3; No = (а, ао, аа). 3.184. г=2; 3 =
== (а1, аз), 3,= (аз, пы. 3.185. г=2; 1 = (ал, а»), Bo = (a1, аз),
3= (ат, аа). 3.186. 7=2; 8%,= (ат, ay), Bo= (Go, ay), Bs= (As, Ay).
3.187. х == [6, и=7. 3.188. х=2, и=3. 3.189. х=— 6, и=
— 2/за.
3.190. х=2, у=-—], 2==1. 3.191. х==1|, у=3, г==5. 3.192. х=-3,
и=1, г=— 1. 3.193. x, =1, x, =—1, хХз=2, ХА. =— 2. 3.194. х, ==
Xp = Xg = x,=0. 3.195. Степень многочлена меньше двух, если выпол-
пяется соотношение Ё= (уз—2) (хо — х1) = (У. — ул) (хз— хо); если
Е 20, то степень равна единице; если же K=O, то степень равна
нулю. ® Доказать, что определитель системы уравнений у; =ах?-
ох с, 1=1, 2, 3 (с неизвестными _^ b, с), отличен от нуля.
х—х2) (х— хз).
3.196. x) =x?—5x-+3. 3.197. (x
2
х)=
fex|+7he=Goa?fh
X—Xy) (X— Xe
—X1) (X— Xo
=
3.198. xy =— =
(ха— х1) (Xz— Хз) =
и (хз— Xe) 198. 1
3,а —2,
хз =1|. 3.199. жм=—|, х=|, xg =—2. 3.200. xy=1, x, =1,
X3=—l1, %y=—1. 3.201. xy; =—2, x5 =0, xg=1, 4 =—1. 3.202. xy= 1,
Xg=2, X%3=2, x,=0. 3.2038. xy=2, xo =—2, x3=1, м=-|,
3.204. (1-+V3 cq, c1) '. 3.205. Cucrema necopmectua. 3.206. Cuctema
HecopMecTHa. 3.207. (—1-+-2c,, 1-tcey, cy). 3.208. (—1, 3, —2, 2) T.
1
3.209.
(0, 2, 1/3,
—3/2) Т. 3.210. (-п+па-п Cy,
ЩиаТЕСьсьс, т,
3.211. Система несовместна.
68113
3.212. (cy, —13+3cy, —7, 0)Т. 3.213. (-7+7 тт 6
400
e
{
т.
р Cis ci] . 3.214. Система несовместна. 3.216. (Ст, Co; 5—8cj-+- 49,
|
53
5Б
5
—3, 1+ 2c;— C2) т.
3.216. (29gris
—
ЯР Со
19
T
17
5
7
— ot 3% Ci; ca . 3.217. ([РУ-ви-то- то Ciy C25
T
|
1—1 C3, cs) . 3.218. Если ^20, то. система несовместна;: ‘если
2
35
13
77
19
т
A=0, то kK=(— 3-3-5
ZTZITyeCi;с
3.219. Если (A—1)(A+3) 40, то хр (1,1, 1, ПТ; если
\ =р—3, то система несовместна; если А=1, то Х = (1 —с1—
с—сз,
Cr, Cg, 63). 3.220. Если ^=8, то Х = (с1, 4+ :—9с,, 3—9, сз)Г;
если A # 8, To a 4— cy, 3—2cy, cy) |. 3.221. Ecan 4(A-+3) + 0,
то Х = ни (1, 1) Г; если ^=—3, то система несовместиа: если
А
h=0, To X=(l—cy—ce, сь с)Г. 3.223. Е Е1=(3, 1, 5) Т.
3.224. c,E,;--+CoE2, Ey=(2, 1, 0) T, E,=(3, 0, IT, 3.225. Система
имеет только тривиальное решение. 3.226. с.Ё!, Ет= (4, 1, —5) Г.
3.227. СЕ -сЕ., Е1л= (8, 5—8 , ОТ, Е =(—7,.5, 0, ПТ.
3.228. c.Ei-+ceEs, Е1=(1, 0, —5/2, 7/2)Т, В. =(0, 1, 5, -7Т.
3.229. с1Е1-Е с2Ез -{ сзЕз, Fmd. 0, 0, —9/4, 3/4)', E,=(0, 1, 0,
—3/2, 1/2)7, Es= (0, 0, 1, —2, ПГ. 9 3.280. cEyteoEs+csEs,
Ex=(1, 1, —1, 1, 0, 0)7, E,=(—1, 0, 0, 0, 1, 0)', Е:=(0, —1,
0, 0; 0, ПТ. 5.231, С-В», ВЕ 0, 1/3, 1,0, 0) Т, Е› = (0, —2/3,
1) Т. 3.232. qE;tmEs, Е1=(—3, 2, 1, 0, 0Т, Е, = (5, 3,
0, 0, 1) Т. 3.233. Строки матрицы А не образуют, а строки матрицы В
образуют. ® Если ранг матрицы коэффициентов при неизвестных
равен rs то необходимо проверить, что а) ранг А (соответственно В)
равен 5—; 6) строки матрицы А (соответственно В) являются ре-
шениями исходной системы. 3.234. аа =2, Х =с1Е1, Ет= (1, 0, —2) Т;
аз=—4, Х=е1Ет, Е1=(1, —24/5, —4/5) Т. 3.235. а=—1, Х=аЕь
E,=(—5/3, 1/3, 1) 1. 3.236. Кореи сы оз Хо= (1/3, 1/3,
0, 0, 0)7, Ey=(0, 1, 1, 0, 0)1, Е, =(0, 1, 0, 1; О)Т, Е, =(1/3,
—5/3, 0, 0, 1) 1. 3.287.
И CoE, хр 1/6, 0,
0, ОТ, Е:= (0, 1/2, 1, 0, 0)Т, Е, =(0, —1/2, 0, 1, 0)Т, Ез= (1/3,
5/6, 0, 0, 1) т. 3.238. Koh bah each Bak CE X) =(1/3, —1/3,
0, 0, 0, ОТ,Е,=(1,1,0, 0,0,0)Т,Е.=(—1, 0, 1,0,0,0Т,
Ез=(0, 0,0, 1,1,0)T, О 0, 0, 1, о. 1)Т. 3.239. ХораБ:
+ Ез-- сзЕз, Xo=(1, —1/2, 0, 0, 0), F:=(0, —3/2, 1, 0, 9”
E,=(0, —2, 0, 1,0)7, E;=(0, —5/2, 0, 0, 1) 7. 3.240. (1, —1,
—1, 1) Т. 3.241. (6—c, —5-+c, 3, —l—c, от, 3.242. Система не-
.
3
116
совместна. 3.243. (5—5 сл, Са, 0, 0, 5—5 с», 1). 3.244. (—1-|-
+а-2,За-9»,сл,с)Т
Под ред. А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича
401
3.245. SUBROUTINE SUM(A,B,C,M,N)
DIMENSION A(M,N),B(M,N),C(M,N)
DG 1 1=1,M
DO 1 J=1,N
C(I,J)
= A(I,J) + B(I,J)
RETURN
ЕМО
3.246. SUBROUTINE MUL(A,M,N,ALFA)
DIMENSION A(M,N)
DO 11=1,M .
DO 1 J=1,N
A(I,J)
= ALFA+A(I,J)
RETURN
END
.
—
o
w
s
3.247.
SUBROUTINE MULM(A,B,C,L,M,N)
- DIMENSION A(L,M), B(M,N),C(L,N) 3.248.
DO 2 1=1,L
SUBROUTINE TRANS(A,N)
DO 2 K=1,N
DIMENSION A(N)
C=0.
NI=N—1
DO 1 J=1,M
РО 1 1=1,No1
1 C=C-+-A(I,J)*B(J,K)
I}=1-+-1
2 C(I,K) =C
DO'1 J=H,N
RETURN
B=A(I,J)
END
A(1,J) =A(J,1)
1 A(J,1) =B
RETURN
END
3.249.
6—8—5—15
00
240.10
0022
AB=(, an)? BA=\
бо 13]? AC=(4 И 5)
—201-1
|
3.250.
5 17 14,2 5,755,7
9,35 25,3 22,275 9,625
10,4. 15,6 8,775 6,5 ,
4,9 1,4 3,15 3,5
72,1 —48,1 30,85 —28,25
52,85 —34,85 28,75 —25,7
46,875 —31,225 10,25, —10, 125
12,275 —8,225 4,75 —4,925
3.251. Задание для ЭВМ состоит из главной программы и всех
подпрограмм, к которым есть обращения из главной. Ниже приво-
дятся главные программы для задач 3.249, 3.250, 3.92:
402
AB=
BA=
‚ ЛАТВТ= (ВАТ.
Программа к задаче 3.249:
DIMENSION A(2,4),B(4,2),C(4,3), AB(2,2), BA(4, 4) ,AC(2,3)
DATA A/1.6,—1.6,3.2,3.2,0.,1.6,8.,6.4/,C/0.625, 1.25,0.625,—0.625,
*—3.125,0.,1.25,0.625,0.625,— 1.25,0.,3.125/
EQUIVALENCE (B(1,1),C(1,})
CALL MULM(B,A,BA,4,2,4)
CALL MULM(A,B,AB,2,4,2)
CALL MULM(A,C,AC,2,4,3)
WRITE (3,1) (AB(I,J),J = 1,2), 1 ‚2)
—
&
),
FORMAT (5H ‘AB ‚ин 2
WRITE (3,2) ((BA(I,J),J=1
2 FORMAT (5H BA ,4(1H ,4F8
WRITE (3,3) ((AC(I,J),J =1,3),] =1,2)
3 FORMAT (5H AC ,2(1H_ ,3F8.2))
STOPEND
2Е8.Him
F8.2))
Программа к задаче 3.250:
DIMENSION A(4,4),B(4,4),AB(4,4),BA(4,4), ATBT(4, 4)
READ (1,1) (AC, J),J =1,4),1 =1,4),((B(1,J),J =1,4),1 = 1,4)
FORMAT (4F8.3)
CALL MULM(A,B,AB,4,4,4)
CALL MULM(B,A,BA,4,4,4)
CALL TRANS(A,4)
CALL TRANS(B,4)
.
CALL MULM(A,B,ATBT,4,4,4)
WRITE (3,2) ((AB(I,J),J = 1,4),f =1,4),((BA(,J),J = 1,4),1 = 1,4),
#((ATBT(I,J),J = 1,4),1 =1,4).
FORMAT (IH ,4F10.3) ~
STOPEND
—
&
Программа предусматривает ввод исходных матриц с внешнего
устройства. При вводе с перфокарт (п/к) одна п/к должна содер-
жать строку матрицы. Ввод можно осуществить и следующими опе-
раторами:
READ (1,1) А, В
1 FORMAT (4F8.3)
В этом случае п/к должна содержать столбец матрицы.
Программа к задаче 3.92:
DIMENSION AG, 3), ASQ(3,3), B(3,3)
DATA A/1.,2.,3.,—2.,—4.,—5.,3., 1.,2./,B/5.,0.,0.,0.,5.,0.,0.,0.,5./
CALL МОМ, A,ASQ,3,3,3)
CALL MUL(A,3,3,—2.)
CALL MUL(ASO,3,3,3)
CALL SUM(ASQ,A,A,3,3)
CALL SUM(A,B,A,3,3)
WRITE (3,1) (A(I,J),J = 1,3), 1 = 1,3)
FORMAT (1H _,3F6.1)
STOP
END
—
403
3.252.
SUBROUTINE INVMAT(A,B,N) IF(I.EQ.K) GO TO 9
DIMENSION A(N,N),B(N,N)
IF(I.LE.K) GO TO 8
DO I! I=1,N
A(I,J) = A(1,J) ~AKJ#A(I,K)
DO 11 J=1N
8 B(I,J) = B(I,J)—BKJ#A(1,K)
B(1,J) =0
9 CONTINUE
IF(I.EQ.J) B(I,J)=1->
IF(J.LE.K) GO TO 99
11 CONTINUE
A(K,J) =AKJ
K=1
99 B(K,J) =BKJ
5 CONTINUE
10- СОМТИМОЕ
РО 10 J=1,N
K=K-+1
IF(J.LE.K) GO TO 7
1F(K.LE.N) GO TO 5
AKJ =A(K,J)/A(K-K)
RETURN
7 BKI=B(KJ/A(KK)
END
Программа рассчитана на обработку матриц с ненулевыми элемен-
тами на главной диагонали.
3.253.
3.
0,12 —0,42 —0,34 —0,44
0,42 0,12 0,44 —0,34
0,34 —0,44 0,12 0,42
‚5
—
>
=
—
t
o
&
;
o
l
e
e
e
f
e
e
h
p
e
e
p
e
e
|
1
|
|
,20 |
l
1
1
||
|
‚125
0,44 0,34 —0,42 0,12
‚0625
3.255. / 12,7273 —7,2727 —19,0909 10,509
—9,0909 5,4545 13,6364 —8, 1818
\ she
18,1818 50,9091 29,0909
29,7272 —13,6364 —36,3636 21,8182,
3.256. / 20
2,5 —3,3333 —6,6667
—9,5833 —0,8333 1,6666 2,9167
8,3333 0,8333 —1,6666 —2,5
—4,1667 0
0,8333 0,8333/
3.257. Программа к задаче 3.254:
DIMENSION A(5,5),B(5,5)
WRITE (3,2) ((B(I,J),J =1,5, .
-
READ (1,1) A
1=1,5
1 FORMAT (5210.5)
‚ 2 FORMAT (1H 5F8.4)
CALL INVMAT(A,B,5)
STOP
.
END
3.258.|
FUNCTION DET(A,N)
IF(AMA.GE.AMB) GO TO 2
DIMENSION A(N,N)
- LROW=L
K=1
AMA = AMB
РЕТ =1
2 IF(L.LT.N) GO TO 1
8 L=K
IF(LROW.NE.K) GO TO 3
“AMA = ABS(A(L,K))
SIGN =1
LROW=K
GOTO6
1L=L+1
3 SIGN=—|
AMB = ABS(A(L,K))
DO 5 J=K,N
404
S=A(K,J)
DO 7 J=KI,N
A(K,J) = A(LROW,J)
7 A(I,J) = A(I,J) —A(I,K)*A(K,
5 A(LROW,J) =S
АК К)
IF(A(K,K):NE.0) GO TO 6
DET=0
ЕКLT.N)GOTO8
RETURN
DET =DET+A(N,N)
6 DET =SIGN#A(K,K)*DET
RETURN
К! =К--1
END
DO 7 I=KI,N
3.259. 207,36. 3.260. 234,375. 3.261. 2,03. 3.262. 1,7368. 3.263. 0,378.
3.264. Программа к задаче 3.260:
DIMENSION A(6,6) WRITE (3,2) DELTA
READ (1,1) A
FORMAT (5H DET=,F10.4)
1 FORMAT (12F5.1) | STOP
DELTA =DET(A,6) END
3.265,
SUBROUTINE EXCLUS(A,B,N) WRITE (3,60)
DIMENSION A(N,N),B(N)
60 FORMAT (’ DET=0’)
K=1
RETURN
1L=K
7 Ki=K+1
AMA = ABS(A(L,K))
DO 8 I=KI,N
LROW=L
C = A(I,K)/A(K,K)
2L=L+1
Bt) — B(I)
— B(K)#C
AMB = ABS(A(L,K))
O8 J=KI,N
IF(AMA.GE.AMB) GO TO 3
8 Ad, А (I,J) —A(K,J)#C
LROW=L
K=
АМА =АМВ
IF(K.LT.N)GOTO 1
3 IF(L.LT.N) GO TO 2
B(N) = B(N)/A(N,N)
IF(LROW.NE.K) GO TO 4
NI=N—1
GOTO6
DO 10 [=1,NI
4 205 1=К,М .
S=0
S = A(K,J)
NI=N—I+1
АК J) — A(LROW, J)
DO 9 J=NI,N
5 A(LROW,J)=S
9 S=A(N—I, DB) +S:
S=B
10 ВМ сх B(N—I)—S
B(LROW) =S
END.
6 IF(A(K,K).NE.0) GO TO 7
3.266. (5, —4,
3, 2)Т. 3.267.(—0,46,° 2,76, 1,802, 1,85)".
3.268. (1,12; —2,4, 2,25, 0,53, 1,05)Г.
3.269. Программак задаче 3.266:
DIMENSION A(4,4),B(4) WRITE (3,2) В
‚ ВЕАРО (1,1) A,B
2 FORMAT(1Н ,4Е6,1)
1 РОВМАТ (16Е4.1/4Е4.1) STOP
CALL EXCLUS(A,B,4)
END
3.270. |
SUBROUTINE ITER(A,B,X,
DO 1 J=1,N
«N, EPS)
1 A(I,J) =—A(I,J)/A(I,1)
DIMENSION A(N,N),B(N), X(N) 5 DO 3 I=1,N
DO 7 I=1,N
S=0
B(1) =B(1)/A(I,])
DO 2 J=1,N
7 X(I)=B())
IF(J.EQ:I) GO TO 2
405
S=S+A(I,J)#X(J)
A(I,l)=S
2 CONTINUE
S = ABS(A(I,1)—X(1))
3 А(1,) =В(1)-- $
1Е($.СТ.ЕР$) КИМЬ=1
KIND =0
4 CONTINUE
DO 4 I=1,N
JF(KIND.EQ.1) GO TO 5
S=X(I)
RETURN
X(I) = A(I,1)
END
3.271. (5,2, —4,2, 3, —1,8)Г. 3.272. (1,5, —2,7, 2,5, 3,1, 4,3)Т.
3.273. Программа к задаче 3.272:
DIMENSION A(5,5),B(5), X(5) WRITE (3,2) X
READ (1.1) A, BO”
2 FORMAT (1H ,5F8.2)
1 FORMAT (5F7.2/)
STOP
CALL ITER (A,B,X,5,0.0001) END
ГЛАВА 4
`4.6. Да. 4.7. Да, если прямая проходит через начало координат.
4.8. Нет. 4.9. Да. 4.10. Нет. 4.11. Да. 4.12. Her. 4.15. Ta+9°=
1 1—1
1/2
—!O0
=(1 —1 2), x=(—32).
4.16. Tow ~( 0—1 0),
о 0-1
—2
"
;
0—1
—|
00Г
—2.
х-( 2). 4.17. твье (| 00}, х-( `). 4.18. Ту,=
“|
01 0/
|
00
1
= (о cos @ —sin °) » XxX! -(-2 cos g++ sin °) . 4.19. г=2; базисом
0sing cos@
2sing-+cos »
’
1 21#1
2323\
ABJIACTCA, HANPHMEP, CHCTEMA (Xj, Xz). 4.20. Ty y= —1 01 =] ,
—2—14 0
0
x'= ‚|. 4.21. 3 2х, —хз =0, г=2, любая пара векторов обра-
2
7
зует базис этой системы. 4.22. Координаты матрицы в этом базисе
0
1
_9
и—1
совпадают с ее элементами. 4.23. а) ( 0): 6)
i]: 4.25. ( 0),
—3
—|
;
0/
1 —ty
J3
4 cee (—1)"-145'?
9a
4.27. O 1 2 3... (-18'-2 1-1? | 428, (1).
000о...
1
0
1
1
2
|
143i
4.30.
2
. 4.31.
.4. 2.
°
e
e
nA ee
e
(2)- aan (1). 998 (0). 688 (НН)
2
2
—42 —71 —41
4.34. (| ) ° 4.37.
T 3_,
-(
12
20
°) e 4.38.
Таз, ==
1.
7128
201-1
—3 1-2 #1
— 4 2 2-1 ]° 4.39. Является. 4.40. Не является, так как
1. 1—1
нарушено условие линейности отображения. 4.41. Не является, так
как нарушено условие взаимной однозначности отображения. 4.43.
Гв-в = (| 1) ‚ —2+3i=—2(1+)—5(— i). 4.45. a), 6) Подпро-
странство размерности 2, базисом является любая пара неколлинеар-
ных векторов из заданпого множества; в) не является подпростран-
ством. 4.46. а) Подпространство размерности п—2; 6) не является
подпространством. 4.47. Множества, указанные в пп. а), 6), г),—
подпространства, а множество из п. в) подпространством не является.
® Условие, которому удовлетворяют координаты в любой из задач
этой серии, можнб записать в виде АХ.=0, где А— некоторая ма-
трица, имеющая п столбцов, а Х — столбец координат в фиксирован-
ном базисе. Поэтому размерность соответствующего подпространства
равна п—гапвА, а в качестве базиса можно взять любую фундамен-
тальную систему решений системы узазнений АХ = 0. 4.48. а) Под-
2 2 ‘n(ntl)
пространство размерносги п =;
6)
пространством. 4.49. а) Бесконечпомериое подпространство; 6) He
является подпространством; в) подпространство размерности п.
4.51. 2. 4.52. 3; один из базисов есть, например 3} == (х1, хо, ха).
4.53. 3; один из базисов есть, например 5 = (х1, хо, Xx yA 4.54. ® Задан-
ная система многочленов линейно независима. 4.55. 7 (а) — прямая
*~*~ 4?
-®(а)--6—прямая хи
= ‚4.56.
т—1
—2
1 —1°
-® (ах, аз) —плоскость —3х—у—22=0, L (ay, а, 2) + 6 — плоскость
— Зх—у—22--5 =0. 4.57. Множество решений-неоднородной системы
есть линейное многообразие, полученное из подпространства размер-
ности п—гапя А=3 решений. соответствующей однородной системы
сдвигом на произвольное частное решение неодпородной системы.
4.62. (2 =)ни) <> i> 3 We Х4-И Bele
2
i=l i=1
t=1
< > (xi-+ yi)?
Хи=
+xi-+/>yi.4.63,a)0;6)—6.
i=!
i=]
b
b
4.64, a) —1; 6) 24. 4.65. 5 (| nna
[2Е
b
\ 1/2
b
|
1/2
°
(|рoa) -({8?(0a) <(
b
1/2
b
1/2
<( fre) +(Jeroa) . 4.67. eg =f, =(1, 1, 1, 1h eg=
a
не является под-
в)
1/2
(ИЕ(4)a) <
407
==(2, 2, —2, —2), é3=(— 1, 1, —1, 1). 4.68. ет=}!=(1, 2, 1, 3);
ез = (10/3, —1/3, 1/3, —1). ез= (— 19/185, 87/185, 61/135,
— 72/185}:
4.69. ет= 1=(1, 2,2, —!), eo=(2, 3, —3, 2), ез==(2, —|, —1|,
—9). 4.70. ее ==(2, 1, 3, —1), е. =(3, 2, —3, =1), ез= (1, 5,
1; 10). ® Система fy, fo; fs, fy He является линейно независимой
(вектор Дз может быть получен как линейная комбинация векторов
г и 2). Поэтому получение вектора ез с использованием ]з дает
в результате ез=0. Показав это, следует искать вектор ез в виде
ез =. —с®е:— сео. 4.11. = (въ, е», ез), = (1, 2, 2, —1), е› =
==(2, 3, —3, 2); ез=(2, —1, —1, —2). 4.72. `В =(ет, ео, ез),
e;=(2, l,3, —1), е=(3, 2,—3, —1), ез=(1,5,|,10).4.73.ез=
= (—4, 2, —], 3), е.= (2, 4, 3, 1). ® Для определения вектора
ез=(х1, Хо, Хз, Ха) достаточно найти какое-нибудь решение системы
относительно неизвестных ху, Хо, Хз, ‘х4 двух линейных уравнений
(ез, е1) =0, (ез, ез) =0. Для ойределения ез аналогичная система
состоит из трех уравнений. 4.74. е. =(1, —1, 1, —1, 0), е = (0, 5,
1, —4, —2). 4.75. ез= (2/3, —2/3, —1/3). 4.76. eg=(1, —2, 1, 9),
еа= (25, 4, —17, —6). 4.78. у=(1, 7, 3, 3), z=(—4, —2, 6, 9).
4.79. у=(1, —1, —1, 5), ==(3, 0, —2, —1). 4.80. у=(3, i, —I,
— 2), г= (2, 1, —1, 4). 4.82. ® Из равенства |х—у |= |х |?-+|y|?
следует, что (х, у)-Н (у, х) =(х, у)-|+ (х, у) =0, т. е. (х, У) —мпимое
число, не обязательно равное нулю.
A400
4.83. Является; ^-(‹ А | . 4.84. Не является. 4.85. Является
00 A/
оператором .проектирования на ось, заданную вектором е. Если е =
cos?a cosh cosa cosycosa
=cosa-i-+-cosB-j--cos y-R, TO An co acosfh cos?B cosycos | .
cosacosy cosBcosy cos?y
0 —a3z а.
4.86. Sipasetca; ecru A=a,t+a,j+ask, To = аа 0 —
|
—аоQy0
4.87. Не является. 4.88. Является. No Ясно, что.
Y=U(EC, PX =e Ну,
(1)
где У. — составляющая вектора у вдоль оси е, у, —составляющая
вектора у, компланарная плоскости &. Составляющая у, равна
Ув=хе=(х,ве.
(2)
Сеставляющая Ус получается из вектора Х поворотом последнего
в плоскости & на угол ф. Для нахождения Va введем вспомогатель-
ный вектор [е, Хо], лежащий в плоскости я перпендикулярно век-
тору Ха, причем тройка ха, [е, хо], е— правая. Разложим вектор
Ух на составляющие вдоль Хо и [е, Ха]:
—
Ха
:
[е, Xa] __.
Ya=|Xa|cosФТ al +|xa|sing Therxall
xell =
=COS P'Xo-+Ssin P:[e, Xq]. (3)
Наконец,
Xa =X—X,= х— (х, е) е.
(4)
408
Подставляя (2), (3) и (4) в (1), получим
у= (х, ее- созф (х— (х, е) е)-|-
$шф[е;, х—(х;,е)е]=
= 05 ф.х -- (1—с0$`$) (х; е)е--
зш фе, х]. (5)
Из (5) следует, что оператор {(е; ф) представляет собой сумму опе-
раторов задач 4.83, 4.85 и 4.86, матрицы которых известны. No
011
011
4.89. Является; an(2 0 '). 4.90. Является; a-(2 0 )
3—!11
3—!1 1
оо0
4.91. Не является. 4.92. Являегся; ^- (‹ 1 -1), 4.93. Является;
|
000
122.
310
a-(c —3 в Является; a-(1 —2 =1) 4.95, Не является.
203
032
22 13 —37\
4.97. -(-= —16 a Cx = (22x, -+ 13x,—37x3, —39x;
— 16x_-+
—| 0—6
|
-
—15 23 —7
й
+25x3, —x1— 6x3). 4.98. c=( 2 8 -4) , Cx=(—15x,+23x,
— 7x5,
—7 1.7
|
2х1 -- 8х. —4хз, —7x,+x.-+7x3). 4.89. C=O, Cx=0. 4.100. C=
о—
=( 0 4), Cx=(2x4+Зхо—2х3, x;—4X3, 5x1 2X3).
20 —2
~
400\_
4.102. (0 А, 0). 4.103. (Ey, Е», Ез),
O0A
cos? a
|
где Е1 = [сз (cos B cos p—cos
ysin°
cosa(cusB sitp--cos yс0$Ф)
cosa(cosBcosp—cosysin@)
cos? B cos? ~-}- cos? y sin? @
A= cos” pcos sin 2p +-cosB cos y cos 2p
cosa(cosBsinp+cosycos@)
Ез= ott sin 2p-+cos B cos pcos 2 |,
(cosBsinp+cosycos@)?
e=cosai-+cospj+cosyk.
ay
0
0
4.104. 0 az, cos? paz sin? © + (42— аз) $1 29
0 >(42—аз)зт2ф—а2$11?ф--аз03?Фф
409
2
—(2sing+cosp) 2cos p—sing
|
В
4.105. + 2cos@-+ sin @ 2—-> sin 29 —(l-rsin ф)
.2sin p—cos p
1+cos?p 2+ Зш2ф
1 021
—2010
2 351
1—4 —8 —7
1 123
1347
122
4.107, Av=(3—1—2). 4.108. [A+B]ye=( Mo MY,
—29,5 —25
2--3 1
4.109. [p (A)]=34°— 24456 =( —6 22
``
|
—22 49 /`
4.110.а) (01
} 9[!
\
02
0
010
03
01
0
0—1
001
.
о)
|
о)
4.111. /1/2 1/3 1/4 1/5 4.112. ИГ А? AS
11/2131/4
012h3h?
0000J
0013h7°
0000
000 1
4.114. Оператор обратим в том и только в том случае, когда A X 0;
А-*х=- х. 4.115. а) Оператор проектирования ил ось, задаиную
вектором е, не имсет обратного; 6) оператор г2 имеет обратного.
4.116. а) Оператор проектирования на плоскость, перпендикулярную
вектору е, не имеет обратного; 6) оператор зеркального отражения
в плоскости, перпендикулярной вектору е, обратим, причем А?! = А. ®
Последнее следует из равенства А*= Е, которое геометрически оче-
видно, но может быть и проверено следующим образом: Ах =
=A (x—2(x, e)e)=x—2 (x, e) e—2 (x, e) Ае=х—2(х,е)е—2(х,е)х
x (e—2e)=x=Ex, EJ. 4.117. Aq~tx=(— x-+-2y—z) i4-(—x— 3y—
—2:) + (2х—Зи--22)No. 4.118. Оператор не имеет обратного. 4.119. (7-1 (е,
4) =И(е, —ф)=((—е, $). 4.120. А-,= А. 4.121. Оператор ие имеет об-
ратного. 4.122. Ах == (X14
+ 2X, -1- 2x3, 2x4-|-X_g— 2x3, 2x;— 2x_g-+-4%3).
4.123. а) No д— двумерное подпространство всех векторов, ортогональ-
ных вектору е, Гд— одпомерное подпростраиство всех векторов, кол-
линеарных вектору е; 6) No 1 — одномерное подпространство всех век-
торов, коллинеарпых а, Тд— двумериое подпространство всех векто-
ров, ортогопальных а. 4.124. Мр=
9, =К, Тр= 9, _т. 4.126. ГА=2,
базис Гд: е1= (2, 1, 1), е=(—1, —2, 1); ng=1, базис М д: е= (1,
1, No). 4.127. гд=1, базис Гд: е= (1, 1, 1); пд=2, базис Мд: ег =
410
= (1, —1, 0), е›=(1, 0, —1). 4.129. А=а, х — любой ненулевой
вектор. 4.130. Л, =1, x(t) =xl,x #0, A~=0, 2) — yf 4 2k, х(®з) x 0.
4.131. A=0, xV= xi, x £0. 4.132. Mpn p=2nl, 1[=0, +1, ..., one-
ратор И(е, $) совпадает с единичным. Поэтому в этом случае А=1,
а х(^
— любой ненулевой вектор. При ф=(21-Е1) л, 1[=0, +-1,..., А1=1,
x) —ae, a0, Ag=—l, x2) любой ненулевой вектор, перпен-
дикулярный ‘вектору е. При ф >= лр 1[=0, +1,..., оператор имеет
единственное собственное число А =1, а х‘^ ae, a 72 0. 4.133. м=1,
x) — moboit ненулевой векгор, компланарный плоскости отражения,
1
Ag=—l, x) —ae, a #0. 4.134, A=—l, хо ( ') az 0.
—1
]
0
4.135. ^=2, хо
ны (0 ) ‚ @y H Gg HE paBHbI ONHOBpeMeHHO
0
]
]
1
нулю. 4.136. A,;=1, Kal 1); Ag =0, ха (2
@=0.
]
3
3
1\
4.137. А=1, мо а (1), чо 4.138. ЛМ =3, xt) <a(2 ))
1
2
1
°
2
Ag=—l, xm —a( 2); a0. 4.139. A~=1, ха (1)
\1
0
1
+ ( 0), Qj, Qg He PaBHbI OMHOBPeMeHHO HYIO; Ag=—l, XA)
—1
3
0.
0
BY.
—2
.a4#0. 4.141. A=—1, xtrmau(0 ) peal ) aita, 4 0.
|
0
|
4
4.142. м=-1, ха (1 No=2,
(1): hg= —2,
|
|
7
|2
2
xt al ): a 40, 4.143. A= 2, xma(—), с, 72 0. 4.145. При
3
3
любом ф 72 0, л оператор А имеет два собственных числа Ay (~) =
— с0$ ф-Е Е $ш ф=е®, А, (ф) =с0$ ф—15щ ф=е-. Соответствующие
1
.
им собственные векторы: ха) (=a ( :) и Х() (ф) =В (; ) ‚ где
a wu В— произвольные отличные от нуля комплексные числа. При
—=0 и ф=л оператор А имеет по одному собственному числу:
А, (ф=0) =1, А (ф=л) =—1. В обоих случаях собственным вектором
является любой ненулевой вектор из комплексного пространства „9.
4.146. ® К равенству (А— ЛЕ) Х(No =0 ‘применить операцию комп-
411
’
1.
лексного сопряжения. 4.147. м =1, XA) -(2 )
»
Ag= 2-- 3i, Хх) =
1
3—3
3--31
°(5—3); As =2—3i, x0) —<a( 543); aEC, a0. @ Boc-
4
пользоваться результатом задачи 4.146. 4.149. 6) Ад-!:= 1/Алд.
36
—83 —59 —45
*171313
4.151; (—1 9-е ( 107° 83 7) 4.153. (= 628 e—8 )
14103
—11 #8 =2—8/
—3/2 —2 —1/2
—1 11
4.154. 2-( 1/2 0 =). 2"
(
0 0 0), 4.155. D=
1/2 2 3/2
—!—1 1
0.10
02/3 0\
.
-(0 0 a), >= (1. 0° -12). 4.156. Поворот на угол % вокруг
000.
04/3 0
начала координат по часовой стрелке. 4.157. (sia о) . 4.158. aX
82—02 —
|
—
ьpe) еслиаб720;(о_1)приa=0; (01)
mph b=0. 4.159. <@ Ilyctb ay, ..., аа ЕК” соответствуют. вектор-
столбцам матрицы А. По теореме Кронекера — Капелли система сов-
местна тогда и только тогда, когда гапе
А =гапе А, т.е. вектор 6,
соответствующий вектор-столбцу В, принадлежит линейной оболочке
векторов @1, ..., а», Которые соответствуют также вектор-строкам
сопряженной матрицы А* (рассматривается действительный случай).
Арифметический вектор х является решением сопряженной системы
по определению тогда и только тогда, когда (@;, x) =0, i=1, 2,. п,
а значит, и (6, х) =0. Теорема доказана. В комплексном случае стро-,
ками матрицы А* являются не векторы а1, ..., ав, а их комплексно-*
сопряженные,но доказательство проводится аналогично. No 4.160. Сов-
местна; общее решение сопряженной системы се, е= (—1,-—1, 2).
4.161. Несовместна; общее решение сопряженной системы сте!
-- сзе»,
ey=(—1, 1, 0), eg =(—I, 0, 1). 4.162. Совместна; сопряженная си-
стема имеет только тривиальное решение. 4.163. Совместна; общее
решение сопряженной системы, как в задаче 4.161. 4.164. ® Вослоль-
воваться теоремой Фредгольма. 4.165. Только система из задачи 4.162.
1
0
71
1
0
2
1
.0
4.172.
Ет=
0,Ез=
|;
Ез=
0,Еа=
9|?
‘NO
0
0
—1
1000
fi
1
1
отоо\|
—1
2
A=
|
0090
4.173. Ет =
1;Е=
1’Ез=4$
0002
1
—1
8
1
100ON:
|
|
|
—3
00—10 0
Е=
9|,A=002
о’.4.174.Е1= 1’E,=
0$
|
No0 00—3
—!
412
0‚7300
Ез=(')
(о 0 0). 4.175. Диагонализировать нельзя.
000
|
I
1\-
70
7000
4.1%. в. ( 0), в.=(о). ь,=(1. д—(о |>
—1/.
|
0
\0 0:1
|
|
0.
1
200
4.177. Е = 0), в. (| \, B=(1),4=(0 2 0), 4.178, Ey=
—3
3
|
\0 01
1
1
1
1
200 0|
]
0
0
—|
0200
=о |;ee: »Es=\9JoEa==)A=0020f
o/
0
|
—1
0002
]
0
‘0
—1
0
1
—|
0
4 179 E,=
0
Е==
]
’Ез=
1
, Е4=
0,A—
1/
0
0
1
10oO0
0100
12"— |
10
=| 90-1 oO]: 4.180. а) 0 2
6) 01) При т четном,
00 0—1
(; 5) при m нечетном. ® Использовать формулу А” =Т-107Т.
..
190 189 —189
2/3
07—
4.181. [1385 2999) 4.182. (1% 127 =128 4.183. вь= (23)
_
252 252 —251
1/3
1/3
—2/3\
900
МУ2
в, =(-27). ®=( 1/3 p=(0 —9 о 184 в (муз).
2/3
2/3/
0 018
0
1/V 18
2/3
900
Ex=( _1/y'18 }, .-(-2/), 2=(о 9 0). 4.185. Ey=
_4/V 18
1/3
00 27
ПУ2
ГУ2
00
.
4 0). 4.186.
1
04
^уз
/V3
1/V'6\
000
ву?
‚Ба=
МУЗ ‚Ез= 1/У6 2=(‹00
0
0
2
0
0
0
—1/V 3
2/V 6
006
[2 1:
V6YV6
50
1 /2—i —1
4.187.U=|1_9; о D=( 1). 44188. ие (| oi):
V6 V6)
413
20
ИУ 1/V 20
75 00
D=(5 3): 4169. U=| 1/f2 i/V'2 0 _p=(0 -30).
0о1
001
Ф
2/3 —2/3 —1/3.
100
4.190. =(22 3 23\, D=(о )
13 2/3 —23
\o07
оо1)
==3
Уз sv8
100
419. U=|——= —= <I, D=(01 0)
V53V53
00 10
052
V5 3)
‚ 4.306. ^^=(. >).
(
7
1
,
5
#
|1=1!—9XieXs
4.210. x;4xЩЖ, Хо= их,
2
Q°° 6°
_
1х
[=
3u®
72‚2‚2
‚2‚2‚2
4.211.х;—х>—53›
4.212. хм хз —хз,
Xj==Xj—X2—Ху
fr =a ei teh,
Хэ —=Х
хз—
ay
,
,
aIT
.
Хоа =
Х2-- Хз»,
3
a
хз=
хз.
4.213. Эх? 18х27 — 9х
4.214. Ser + Baa! — 2a,
2
г,
|= заза
|
пу
®
i,
о,
г,|
7
| Xo —zuTy kata Хз»
"уз"
Ve х.--
9
;
1
,
2
,
1
1
,
[= gar gergs
yr
°
Хз=
xy2,
= 11—-=
у
У
414
4.215. хи’,
4.216. 9x17 + 18x57-+ 18x57,
]
,
]
;
2
,
2
,
(4=—== x; --}§ —= хо-- — Xs) [хм юж
Уз7у?SSNees
x1-+
хо—
хз|t=xlwe
xl
}eeVTм1
72Vo3912"341323*3
1
,
2
,
2
,
2
,
1
,
|Veye
[Bn gar gers
4.218. Положительно определенная. 4.219. Отрицательно определен-
ная. 4.220. Общего вида. 4.221. Отрицательно определенная.
4.222. Положительно определенная. 4.223. Общего вида. 4.224. Поло-
жительно определенная. 4.226. Эллипс y=, O' (—4/5, 2/5),
е = (1/У5, 21/5), е›= (—2/У 5, ИБ), 4.227. Парабола и’ =
=4V 2x’, 0", 1) ,ey=(1/V2, 1/V.2), eg=(—1/YV2, ПУ 2). 4.228. Ги-
пербола el, 0’ (1,1), ex =(3/V13, 2/V 13), ee =(—2/V13,
З/И 13). 4.229. Параллельные прямые х’ = + Y 5/2, O’(—3/5, —3/10),
e,=(—2/V5,1/V'5), eg=U/V'5,2/V'5), wan, в старых переменных,
2х—у--1=0, 2х—у—4=0. 4.230. Эллипс
зв ==1,
0’ (7/6, 1/3), е. = (@/У5, —ИУ5), с. (ЛИЗ) 275). 4.231. Ha:
рабола у’? =
х'’, О’ (3, 2), е=
о УЕ). eg =- (7—;
5
У5 Te
V5
-УЕ). 4.232. а) При ЛЕ (—<,. —1) —гипербола (х—^)? -{
1\2__13-1
- ОЛ ‚ при А^=р—1— две пересекающиеся прямые
x—y=0, xty+2=0, при АЕ (—1, 0) —гипербола (х—^)? --
‚ при ^=0—парабола х?=2у, при AE (0, + ®)—
3
эллипс
+»(т)=
бола (1х
-- уз=Ь, 0’, 0), ex=(—1/V2, МУЗ),
ва = (ИУ, —1/У2), при ^=—1!— две параллельные прямые
x—y+1=0, при ЛЕ (—1, 0) —эллипе (1—^No) x’?-+(1+A) y?=1,
0’ (0, 0), ее =(—ИУ2, ИУ?), (ИИ ?, —1/И 2), при А=
= О—окружность ety?=1, при ЛЕ (0, 1) эллипс (1 —A) x’2 ++
+(+Ay2=1, 0'(0, 0), es=(—1/V2, 1/V 2), eg =(—1/V2,
—1// 2), при А^=1-—две параллельные прямые x-+-y + 1=0, npu
АЕ (1, +) —гипербола (1— А) Хх --(-А)у’ =1, 0’ (0, 0), ег=
СМУ? ИУ?)
УЗ, —1/И 2). 4.233. Эллипсоид
; 6) при ЛЕ (— ©, —1) —гипер-
a
a= - 0’ (1, 2, —1), е1= (1/3, 2/3, 2/3), е›=(2/3, 113,
—2/3), В “9/3, т 4.234. Гиперболический параболоид
1и?
|
о, О’ (1, 2, 3), ej =(—2/3, 1/3, 2/3), ез = (1/3, —2/3,
“415
2/3); €3= (2/3, 2/3, 1/3). 4.235. Двуполостный гиперболоид ast
y*
—
—
—
—
+в -чБ=Ь 0* (0, 1, —2/5), = (ИИ, —МУЗ, 0), =
= (УЗ, ‚УЗ, 0), ез = (0, 0, 1), 4.236. Эллиптический парабо-
x
|
a 5 ees 0’ (—1/40, —19/40, 1/2), es= (1/8;
лоид вуза т
(
), е1
V6; IVE), ©. (ИИ ПУЗ, V3); es=(I/V 2,
—1/У 2,0), 4.237. Параболический цилиндр y! =n x’, O' (2, 15 —I),
в1 =(2/3, 2/3, 1/3), ез==(2/3; 1/3, —2/3), ез=(1/3, —2/3, 2/3).
4.238. Эллиптический цилиндр
И, 0’ (0, 1, 0), es=(1/V'3,
(УЗ, —1/3), е=(ИУб, —2У6, UV’), ее (ИУ, 0,
1/V 2). 4.239. Однополостный гиперболоид т18 +твтв —5Zl,
0’ (—1/3, —2/3, 2/3), ee=(1/V3, —1/V3; 1/V3), eg=(1/V6,
2/V6, /V6), eg=(U/V2, 0, ШУ 2). 4:240. Гиперболический
цилиндр et,
О’ (1/6, 1/3, —5/6), ет ==(1/И2, 0, —1/У2),
е=(ИУЗ, —МУЗ, МУЗ), es=(1/V6, 2/V6, НУб).
ГЛАВА 5
5.1. 0,331. 5.2. 0,5. 5,3. —1. 6.6, (Ax)®—DAx. 5.6.-¢ (e4*—1).
2
“|
1
5.7. loge (1 + Ax). 5.9.
i65.10.9
x e5.11.2хIn2.5.12.хlogaе.
5.14. ® Воспользоваться тождеством: Xf (xq) — хо! (x) = (xf (X9)—Xof(%0))—
— (xof (x) — xof (Xo). 5.15. f- (—}) =—2, [+ (—!) =f-(1)=0, [+ (1) == 2.
5.17. [- (0) =[, (0) =0. 5.18. {- (0) =—1,[+ (0) =1. 5.19. [- (0) =1,
р (0) =0. 5.20. ® Функция| y=sin— не имеет предела при х—+0.
25x4
2
5.21. | 2+3 x3, 5,22. “a+ 5.23. a+ a
“age
—4х2—4
5.25. -
. 6.26. 2x (38x4-+ 12x2?—3]). 5.27.
ea
Cet
TE
3 (x? 4-1)
3
1
2
bc—ad
5.28. — ——-~———.,. 5.29. ——a —
— .5.30. ———.
G+3e—I
Уke+4
|—4х
2
x+1
5.31. 5.
5.32. =
=
5.33.
=.
x? (2x —1)?
- Ух 2-Их)?
2х Ух
2
l
` 3/=(43/7
1
6.34. =. 6.35. 2И/ 42(3И 4+5). 5,38. —х
ve 2и
x
|
82
_
Хх|—2
5.37. 3x? ctg x—
=. (3 sin 2x —2x)
anт
|
sin® x
2sin?x
_ 2х_ x—sin 2x
539
1
УЕcos?x /x xV/2cos?x
I-sin x
416
|
17
—
5—
‘—
5.40" = sin x+ Vircosx, 5.41.3 x9 (2In x—3*) + / x8 X
2
1
2x —x?
2 cos?x—3
(+= 3). 5.42. 2( 3 log tps | ta. 5.43, соб
5.44. sin72 (+4): 5.45.Vx (19x85 +-9a) | 5.46. —_
2%
6 / (+a)?
(1x4)
VY1—x4
5.47. 3 соз ЭХ. 5.48. —4 sin, 5.49. 24х (1--4х2)?. 5.50. т ox
——.
2 7/1+3x3
a)
3°
5.51. sinx.
5.52, 20S 4* (Teindet
VY Tpsin 4a).
2.
[cos4x |
5.53. агсзш Inx +
|
5.54. I cosx. 5.55.
3sin2x
Vi=Wntx
2
44/1 sin? x
5.56. 2xe-2* (1-+-x). 5.57. zen! (cos? —sin . 5.58 Vx? + a.
1
2х
1
. 5.60. ——-.
5.61. —
———.
COs x
1—x!4
Xx
(x?+4)У arctg>
2
|
5.62.
-
—
‚5.63. 53%x
;
2
3x? cos? (+= V ( l+tg (x+—))
x
cosV x
-i
x sin (2sin 5) ° 5.64, УМ——
° 5.65. п
’ео
31.
4V хэш Ух
21 +)
er!?
|
|
1 2x2
—_p~x2
ух (1-х). 5.68. —е
a2
In 2.
5.70, 2” sin? * Ip 2-cos x-sgn (sin x).
4
5.59.
Иа—в?
5.66.atom 4" (sin x). 5.67.
Inx—1
In? x
5.71. 3.2" 13.12. = B72, Mg
5.69. 2т*.
x?
]
10°
5.13, xin 2-In 2x °
е" In
+6 2ах 5)
2V In (ax?-+ oxo) (ax? + bx+to)
5.75.
. 5.76.
a . 5.77. che.
(2-х?) У 1-х?—: arctg V 1+-x?
У а?-х?
1
(x—3) (19x— 17)
5.78. shy. 5.19. Chex ‚ 5.80. ~The x * 5.81.
(<-+ 1
10 —2x —2x?
|
2x? -+-9x + 1
.
‚5.83.
8x2 И д (х--2)2 (х—1)
2Vxt2 (х— 1} (2х1)
5__ 7.4 ЕЯ УЗ
2
I1c? ~7xt —58x" +48x
.
5.85. хх (шх— 1).
4Vx—1 V @ 425 Y (x—2)8
8.86, x2¥2* ($+inx-n2),
5.87. (У av 7revert ,
x
14 пол пел. А. В. Ефимова. Б. П. Пемиловича
417
5.14.
-
5.82.
5.84.
1x 1—Inx-InInx
агсзтх / Insinx
5.88. (In x) ——.
5.89. (sin x)
=s+
+ aresinx-ctgx }. 5.90. x*¥-x*-1 (1x In x (Inx—1)).
(In x)*
‘| 2пх
+
о
5.91. “in In In x+- lage
5.92. x (1 +-In x7) +
"Е х2х.2х (+= 2-Inx) -+2** In2-x* (Inx+l), х>0. ® Найти
производную
каждого
слагаемого.
5.93.
—sin 2x x
2x
,
x
1+2 VY 1-Есох
® В качестве промежу-
2V 1-4 cos? x (cos?x-+ У 1-Е с0з2х) `
точной переменной взять и=с0$х и далее воспользоваться пра-
arccosx
вилом дифференцирования сложной фупкции. 65.94. ————
|] —х?
2 arosin e~**
+ e~*? (| —en2x?)1/2
(1 —e7 2**)3/2
5.95. fs (4a-* arctga-*+a-**—1). 5.97. a=2, b=0,
@ Ycnosua непрерывности lim f= Jim 57 и дифференцируе-
х (2 шагско$ х- 1). 5.95. —2хе-*
мости Ё. (0) = [+ (0) составляют в cononynnocTH систему двух урав-
нений отпосительно аи, 6.98. а=—5, b=>.
2x?
си (1—6)? (1—3)
5 100. 142Ve+4VxVietVu
ВИЕИЕЕУЕУ xtVea Vo
m
n
1
1 —х\т+я
1+-x m+n
5.101. ato(a(1=2)
—т(=)
),
_ тзштх mtg mx
5.102.
—sin 2x cos (cos 2x),
5.103. cost +l mx cos® mx’
x
a
5
f
h
5.104. $) (+) =) b—a "), x>0. 5.105, —“_.
b
x
x]_ x
bj
xInmx
1
2
.Л
5.106. 3—5, |х| <
3° 5.107. 2m log,
e ctg (2a2 +5).
to
5.108,2tex(I
2) . 5.109. —
. 5.110. (sin x)°°S *(ctg
xcosx—
1+tg4x
x In?x
— sin
x Insin x). 5,111. 3 (Ve «(sn 2х п ").
ЗШх у
(
1
6.112. —————— а’ 608% (| со5х ша). 5.113. th?x ( 1
.
2V cosx
(1+
¥cosxIna)
osha
1
sgn (sh x)
—
_х
—
Se
5.114. ох"
5.115. e-* (achax—sh ax),
5.116. che
418
5.118. —
5.119. cos(x—m7k), если ¥ € (wk, п(Е-1),
1
xV e—1-
1
если же х= лк, то и’. (лв) =—1, РА (mk) =1, REZ. 8.120. я’
-
x
x>0;
И <0; и’ (0)=—1; и’(0)=--1. 5.122. —, хз0;
’
1+x?’x
?У_
—
a
—
e
e
e
?
?
—е-х, x>0. 6.123, 1, x0; 5 х>0. 5.124. 0, |х| 1;
?г
|
2х4 -|- 4х3 — 36х2--54 3/ 3—x
—х2 —_ 2.
_
2xe (l—x?), |x[> <1. 5.125. 3 — nt Ox
В+.
5.126. 2 = 6.127, a**.x2-1.a Ina, 5.128. (log, a)* (-==-
t=]
.
1
— Inlog, x). 5.129. cos x cos (sin x) cos (sin (sin x)). 5.130. (+)* x
xiat. 5.131.—= (1+123).
b46
b
sin ax
in?
acos ax cos ох Sinax sin 0x|.cos bx
sin* ax
5.132.
cos? bx
3 Inпоза =)
5.135.@ (Xo). ® Воспользоваться определением производной.
ФФ
ОУ (x)
, ® (x) P (X)—@(x) P(X)
5.136.
кк
. 5.137.
5
5
.
V@?(x)+p?(x)
Pp? (x) +? (x)
5.138. p(xo G (x)Inap(x)LMA7
et ro): 5.140. НЗ.
рГ (х)
,
“92 x
5.141. 7 ‚ 5.143, F(F (x) f (x). 5.144. 2. 5.145. ——. 5.146. — ay
x(y2—2x?)
oo Vy4
1
5.147. 7(28x) 5.148.
х' 5.149. Fa ing’
e* sin yey sinx
_у
2х (27—1)_
_
5.150. oY cos x—e* cosy’ 5.151. a 5.152. 57—95) = 2 ”
1—y? 1—
VY|—x?
ху
у1—х?
Шири
5.153.
To xi пути. 5.154. ty" 5.155. ху
у хШу-у
у
1
5.156. x ‘Fin MK 5.157. с. 5.160. = у
® Функция
у=сьх, ХЕ (—®, о), не имеет обратной, поэтому следует рас-
матривать два промежутка (—o, 0) u (0, -|-®), на каждом из
которых заданная функция монотонна и, следовательно, имеет обрат-
1
1
ную.
5.161.
"оба е "СЯ х.
5.162. Ут’
6.164.Tet"
5.165. ——2-. 5.166, —-2) 5.167,
“1+ ба? (х)° ^^ .’&“(х-- Юве’ *° “1-Е ша (x)’
5
1
ot
позе
5.168. 3{—-.. 5.180. 3;. 5.170. рт. ВИ, — 24,
5.172. — ctg p. 5.173. 2 cos?¢ (cos 2t—2 sin 2f). 5.174. 1. 5.175. 5.
14*
419
}
2—1
Ия
5.176. 2ingctgot, ват, ИВ вв, У ИР)
3
2V4—P
((i—-/t)
5.179. 2 th t, 5.180. 1. 5.181. —1. 5.182..24+Y3. 5.183. -=-
2—6x4
2юр
5.184. —2 со$ 2х. 5.185. (1—9) ° 5.186. Заз 6—1
|
—х? (0,
x (1+ 2x*) arcsin x
5.187,
2e (2x? — 1),
5.188.
(i at (x57
5.189. хх-1(2 пх Inx
_
=
)
Gr (+ +=- ИЕГ2У: (2+Inx)
® Воспользоваться логарифмической производной. 5.190. и’ (0) =3,
y" (0) = lz, y’!’ (0) =9. 5.191. 2. 5.192. 6. 5.193. y(0)=1, у’ 0-02
y" (0)= In? 2—1, 8.194, y’ = -в/ (+). и= ae !1)+% (т1).
‚ _ехГ’ (е*) „о, (и (e*) | Г’ (е*)_ 2,
И" ре) Ге Re)
uu!
+ vo!
(uw? 2?) (uu”
+vv")+(u’u—uv’)
®
Т.
‘=
e
18 "= уши’
w=
(изо?!
|
,__ul
yuu" —ul® yy" —v!3
т! т-пв
5.198.y’=———, y=
и
— oe . 5.199. (m—n)i~
,
если nem; 0, если п>м. 5.200. (k Ina)" ak,
5.201. sin (++ п). © И’= 60$ Х=$ (+5) ,y'=(sin(« +.
+3)) cos (x45 ) =sin (x-+a) u T.n. 5.202. (— yo BD 11,
5.203. 2"-1 cos | 2x +3). ® Воспользоваться формулой: с05?х ==
__ 1-Е с0$ 2х
°
2п |!
(x— 1): — (х—2)
—
5
. 5.204. Пя
т.
5.206.
Gtx ya
5.207. 1.8:5...37 (9—2). ® Воспользоваться равенством 1-Ех =
220 (1 —х)0 У1—х
=2— (1—х).
5.208.
cos x (209—x—x?)—15 sin x (2x-F I).
5.209. e* (x21 39x-+. 360). 5.210, 4/2 sin (+21) г-х. 5.211. 8 “e2"
6.212, xshx-+ 100 chx. 5.213. @ Доказательство провести методом
математической индукции. 5.216. 7—9, 5.217. — 48.
“4142
5.223, —2, 5,224, ety 2ae. 5.225. Р-Р).
и
(1 — хе?)
ВИК”
и (1-5) «—1)3)
Pex
.
5.226.
. 6,227, —-—. 5.230. —ctg?¢ ‘или
пя (ГРУ
(7.8
"
1
7
о-лл
ага ‚ЕЦ, +00). 5.231. —1— пили—2 зес? х, «Е( —2, 2).
2
a
-5п
О: ЗИ
5.232. 2(1-Р) или 25ес*х, #Е(-5 5). 5.233. 30 cost t sin t
а2/3
ИЛИ уе’ хЕ(0, а). 5.235. 7х-Ну—3=0, х—7у--
71 =0.
420
5.236. у—5=0, х--2=0. 5.237, x—4y1+4=0, 4x+y—18=0.
5.238. у—2х=0, 2ytx=0. 5.2389. x—y—1=0, x+y—1=0.
5.240, 2x—y+3=0, oN
5.241. 7x—10y+6=0, 10x -+-
+7y—34=0. 5.242.
хи YY mV 2/4=0.
5.243. 5x+6y—13=0, Y by By Wat DO.
244. x+ty—2=0.
5.245. arctg =. 5.246. Mo (1/8, —1/16). 5.247, y=x?—x-+1.
5.249. ox —y—1=0. 5.250. 4x—4y—21=0. 5.251. 3,75. 5.254. B touke
М: (0, 0) угол равен 0 (параболы касаются) и в точке М. (1, 1) угол
arctg >. 5.255. arcte =. 5.256. arctg2VY2. 5.257. л/А и л/3.
5.260. 2/УБ. 5.262. « Если кривая задана уравнением г==г (ф), TO
декартовы координаты точек М этой кривой, как функции угла ф,
даются выражениями
x=r(g)cosg, иуи=г (9) $11 $.
Отсюда ОМ =г () соз ф:{--л (ф) зш ф-], т. е. вектор р (1, 12) кол-
линеарен ОМ. Вектор т (1, у,) ‚является направляющим вектором
касательной ТТ’, а так как
Yo r'sing-+rcos@_r-+r’tg@
у,==F
__
r
’
¥ %, rcosp—rsing 1 rtg@
To. BexTop e(r'—rtgg, г--г’ 16 ф) коллинеарен т. Следовательно,
yt
cos9=— €)
г
lellel Pree
|—с0520_у
1
откуда 18 0 = Ив. p 5.263. 0=arctg +.
5.264. O= > +29. 5.265. а) Н=0, &=8; 6) #Е(0, 408, + ®);
в) ны (3+ УЗ), b= = (3— V 3). 5.266. —aw sin ot. 5.267. 242.
5.268. i mt, 6.269. awe??, 5.270. v,=—2aw sin 29, vy =—2aw cos 29.
5.271. В touxax (3, 16/3) nu (—3, —16/3). 5.272, 4nr?u u 8nrv.
5.273. 2л. рад/с.
‘6.277. (Аиу)1=1,261, (ау:=1,2, (Ау =0,120601, (ау). =0,12.
6.278. Аз=2х Ах-- Ax? ds = 2x Ах. 5.279, ds =f’ (ty) At ectb mytb, Ko-
торый был бы пройден точкой М за промежуток времени ДЁ при
равномерном движении со скоростью ]”. (#1). 5.280. 4$=0,1, дз =0, 08.
5.281. а) 0; 6) 5 Ал. 5.282. Равенства а) и в) невозможны; равен-
ство 6) возможно в случае линейной функции (см. задачу 5.276).
5.283. 2 см. 5.284. 3 см. 5.285. 2У а?—х3 ах. 5.286. x sin xdx.
5.287. arctgxdx. 56.288. пхах. 5.289. arcsinxdx. 5.290. mare
x (y2— 2x?) dx
_Vz
ах
5.291. Vp * 5.292.
ах. 5.293. 7—1.
2:
—1.
sin (x+y)
x+y
‚5.
сах. 5.296. ах.
5— Ах. 5.295. Ев РИ) x.
фуx
5.294.
421
5.297, — LEY
sin (*Y) 1. 5,998, а) 0,05; 6) 0,805; в) 0,2. 5.290, 2,93.
х зш (ху)
5.300. 1,2. 5.301. ДУ
= 2лий Аг. ® Поскольку В постоянна, то 9
является функцией только одного аргумента г: о= лйг?. 65.302. "AV
= a Ap. ® При постоянном Т объем У является функцией только
одного аргумент p: V=RT 1. 5.303. —ab? sin (bx--c) dx? =
= — 6?у 4х?. 5.304. 3-х? In9 (2x? In 3—1) dx?,
—x2
—
2—
5.305, (2—*) sin = 2x C08 * а 5.306, 2a dx, 6.307.2aaa oe
— x2.
5.308. И! Se д. 6.809. —x (1-1 x%)-8P dx?
2
3 1.2
5.310. —
a a 5.312. рт: 5.313. ое
ке
(x —y) dx?
5.314, 6 Gaye + 5815. Ge.
5.316. / (x) pasppiBHa npx x=O0€f—I, 1]. 5.317. 0. 5.319. @ Mpo-
вести доказательство методом от противного, предварительно уста-
новив, что производная левой части уравнения имеёт единственный
действительный корень х=1. 5.320. ® Провести доказательство ме-
тодом от противного, предварительно установив, что производная левой
части уравнения не имеет действительных корней. 5.321; ® Р (5) =ЁЕ (а).
5.322. Е=1/УЗ. 5.326. е Воспользоваться результатом задачи 5.323.
5.328. мВ Е, =5/3. 5.329, 0. 5.330. 1/3. 5.381. “am,
Ina—Inb
2
3/42
5.332. те ша” 5.333. 1. 5.334. 2/3. 5.335. 35 e 5.336. a /6 e
5.337. 2. 5.338. 2/3. 5.339. —1/2. 5.340. 2. 6.841. 9/50. 6.842. 1/2.
5.343. 1/2. 5.344. 0. 5.345. 1/2. 5.346. — ю. 8.347. соз 3. 5.348. —2.
5.349. |1. 5.350. 0. 5.351. 0. 5.352. 0. 5.353. 2. 5.354. 0. 5.355. - ®.
5.356. 1/л. 5.357. а. 5.358. 0. 5.359. —1. 5.360. 0. 5.361. 1/12.
5.362. —1. 5.363. 2/3. 5.364. 1. 5.365. 1. 5.366. 1. 5.367. е. 5.368. 1.
5.369. 2. 5.370. 1/е. 65.371. 1. 5.372. jie. 5.373. 1. 6.374. e~8,
5.375. е?. 5.376. е. 5.377. 1/Уе. 5.378. ИУ. 5.379. —9-+-17(x-+-1)—
—9 (x 1)2?+-2 (x-+-1)8.
5.380.
11 (x—1)-+10 (x—1)?+-
+4(1+6(x—1)) (x—1)§; а) 0=1/4; 6) 0—любое действительное
число; в) 9=1/4, 5.381. Р(—1) =143, Р’(0)=—60, Р” (1) =26
5.382, 1-++-т += +... toto хп+1, 5.383.
И
„5
n-t , 9 (or-+m+1) 5}
|
=r ooot+ (—1) at
crm
хп+1, п нечетно;
,
пп sin ( Ox-+(n-+1) 3)
|
Tr ata eet)’ at
“+I
att,
п-1
п четно. 5.384. АА... +0? = 4.
(ex+(+1)5 | п+1.
°
—_
—_—_
-- соз
И
хп, п нечетно; | 5] TY ...
п 6(в -+05)
vet (1) 7 —-7
“erin
хп+1, п четно. 5.385. х—
хп +3
x?
n-1
Tate bed nt ив, *>—" 8.886. *—
3
5
#48
gen?
Rai (Os п нечетно; rH 4
x”
+5..."
а (х), п четно. ® Остаточный член
записать в общем виде.
5.387. ee <x 2¢-
a (%a—1) xe,
4 (GN). (GaN 1) (= Vf —n) (1-408) n-l
nl
(ni)!
5.388. А
Я,
in eB
>—1. Ol ooog (KY gay©Bpas:
x8
ложении ей по формуле Маклорена (см. задачу 5.382) положить и =
хз +1,
x
(2x)? cos
_4 (2x)?”
=—5.5.389.>7(Sa
+...+(—I1)"- Oni) * ® Запи-
сать вы = (1 —с08 2х) и воспользоваться результатом задачи
5х__ (5%)
(5х)2п +1
5.384. 5.390.
5.391. 2 In 24+
2” oF.pear bee FI D1 Gn ПГ"
x
1=x?
omen
—_
the
—
0=
—
+2-— +» +. ‚+ (1 ‚ 5.392. 2 [1-55
1
1:3 xt
—ynayz13. (20— 3) xen
~ "92.21 ° ator
рати “ip
т
=).
5.393, 2—(x— ея
tartanс ys 5.394. х-|
хз 1-2 113 0х
ха 90х-- 6038.
+e
соб
° 5.395. x=
=4] (1 — 0242772
5.396. 1 —
-#— 3uy a 1)3
_(«—1)4
5.397. a) 0.849:
Печ 0—1". Oe
x3
x?
6) 1,648; в) 0,049, г) 2,012. 5.398. а) eee 6) = (088.
5.400. а) 1; 6) 1/2; в) 1/2.
5.401. ® Воспользоваться разложением функции по формуле Тей-
лора в окрестности точки No До члена порядка No включительно.
5.402. {(х)=0— минимум, если Ф (%) > бил четное; [ (%) =0— мак-
симум, если ф (хо) < О ип четное; экстремума нет, если п нечетное.
5.403. ® Воспользоваться первым достаточным условием экстремума.
5.404. На (—1, —ИУИ 3) и(1/У 5, 1) убывает, на (-1/И 3, 1/V2)
возрастает; Ymin=Y¥(—1/V 2)=— W/V 2, ymax=y (I/V 2) =1/2.
5.405. На (— ®, —1!) и(0, 1) возрастает, на (—1, 0) и(1, -- с) убы-
вает; Утах = (—1) =у (1) =1. 5.406. На (0; 1] и(1, г) убывает, на
423
(2, |+ во) возрастает; унии= y (e) =e. 5.407. Ha (5 (6—1), 5 (еп)
убывает,
на 5 (6k+- 1), 5 (62 + 5) возрастает; —упиа =
=(2a+5)=2+($—ИЗ)м2—0,685, Ymax=
=yhn+e)=2+Ia(3—УЗ)я2
-
1 п- 0,685,
ХЕХ. 5.408. На (0, 2) убывает, на (2, ++ 0) BO3pacTaeT; Ymin = y (2)=
=< 2(1—In 2)+ 0,61. 5.409. BospactaeT Bo sce области определения.
5.410. Ha er) = (8k+ о) возрастает, на (3 @e+ 0),
|
|
To
= (8h-+5) | убывает умах == (28 тень, ‘ V2 a ss
aU
тп—y
д+4)—ел
e*eу?
— 1 ‚ 55е?Ёл,
kEZ.
5.411. На (0, 1/е) убывает, на (1/е, 4) возрастает; ити
=и(1/е)=
— (1/е)1/е2 0,69. 5.412. На (— ©, 0) убывает, на (0, -- со) возрастает;
Ymin
=Y (0) =2. 65.413. М=3, т=р—24. 5.414. М=8, т=0.
5.415.М =0,6, т=-—1. 5.416, М =1, т=0,6. 5.417. М =2, m= j/ =
=1, 26. 5.418. М =л/4, т=0. 5.419. M=1, m=—1. 5.420. M=1/V e*
~ 0,61, m=—1/Ve = —0,61. 5.421. @ PaccmorpeTs pyHkunio y=e*—
— (1-х) и показать, что у нее существует единственный минимум:.
итш=у
(0) =0. 5.495.
о 5.426. | AP |= (500-7) wa x
| “i+
V3
U3
op
]
лх
27
< 442,3 км. 5.427. х—= tin’ v=z(P— т). 5.428. ="
ah—
3
—m2
5.429. 4 . 5.430. лаз. 5.431. 57 eh. 432. 3
5.434. 272, 5.435. М (1, 1. 5.436. х=ВУ 2,y=R/V2. 5.487. Разде-
2
a
лить отрезок пополам. 5.438. г =
КНУ К*-Н
(VRB К) (У В H2+2R)
5.439. h = (e2/3
— d3/3)3/2, 5.440. Ha (— ®, 0) —выпуклость вверх, на
(0, -+co)—BspbinyKnocTb BHH3, M (0, 1)—tTouka перегиба, А=7,
5.441. График всюду выпуклый вниз. 5.442. На (— со, 2) — выпуклость
вверх, на (2,-- ©) —выпуклость вниз, М (2, 0) —точка перегиба, &=0.
5.443. На (— ©, —1) и (1, { ®)— выпуклость вниз, на (—1, 1) —вы-
пуклость вверх, My, (— 1, и 2) и М? (1, и 2) — точки перегиба,
#1 =.= ©. 5.444. График всюду выпуклый вверх. 5.445. На
ne coo, —1)—BBbINyKJIOCTh BBepx, Ha (—1, -- ®)— выпуклость вниз,
М (—1, | —е-?) —точка перегиба = —е-? = —0,14. 5.446. На
(— 00 ‚ 0) —выпуклость вверх, на (0, -- о) — выпуклость вниз, М (0, 0)—
точка ’перегиба, Е =. 5.447. На (0, е-5/8) —выпуклость вверх, на
(2-5/6, -- ®) —выпуклость вниз, м (2-9,
ео — точка пе-
3
3
9
1
———
—5/3 АУ —
°e
e———
——.
e
er
4
pernoa, & —5е
0,28. 5.448. а 7 35 5 5.449 ‘уз
5.451. ® Если х, — абсцисса точки перегиба, то хуй хх =2. Тогда
424
1% 5.452. x=2 у=1. 5.453. ух
4-- 2
у
eOe
°
3.
5.454, x =0, y= 1 (правая), у= —1 (левая). 5.455. y= 345 (правая),
1?=У?(хо)=251ху=
у=3=—5 (левая). 5.456. х=0, у=2х, х=—1 (правая). 5.457, у=0.
5.458. on yar, 5.459. у=-5х—1.5.461. или (0)=—1;
( +i, i), (+ УБ, 0) — точки перегиба. 5.462. утах=и
(+ )=1,
Ymin=y¥ (+ V3) =y 0) =0; (+ У 5—7. 5-Й,
х(5
з)')е (+Vsv, 5+7>
5
_|
x (ИМ 3) _ точки перегиба. 5.463. итах=и (— И 3)=У 3,
р
ишш = Y¥(V 3)=—V3; (0, 0)u (+ ve =. LY 8) Foun пере-
гиба. 5.464. уп
= и (3) ===; (0, 0)—точка перегиба: x=1 и
x+2
2 асимптоты. 5.465. утах == (0) =0, Ymin =Y (И 4) = У 1 ;
(-j/3, _23 ИЗ) — точка перегиба; х=|1 и Y = х — асимптоты.
y=
5.466. (0, Опочка перегиба; х=- 1 иу= х—_асимптоты. 5.467. утах=
=9(3/4)=—4 i/ 4, Ymin
=y(0) =0;(73, ЗИ 2) точка
перегиба х=р—| и у=х— асимптоты. 5.468. Ymax = y(I)= az,
И 13 1) точка перегиба; х= 3/3 и и=0— асимптоты.
5.469. (0, почка перегиба; х=+ ТГ иу= 3 MOT 5.470. утах=
=1(0)=0,
Ymin=y(—/22)=_t-4(-V YS,
27+V5)\“(-.ту.ИУ _
OtV4 /
945
точки перегиба; х=| и у=ОЙ асимитоты, 5.471. (0, 0) —точка пере-
гиба; х= —2, х=2, у=0—асимптоты. 5.472. утах=УСА
Ymin=¥ (3)=4,5; (0, 0)—точка перегиба) х=—УИ 3, х=УЗ,
у=х— асимптоты. 5.473. уши = (—1)
=—1/3;(—У4,—3/4/6)—
точка перегиба; x= j/ 2uy= O—acumnTorTl. 5.474. ymin
=y (0) =—I,
(-У 3/3, —1/2) —точки перегиба; и=1—асимптота. 5.475. (0, 0) и
(И 4/2, 1/3) —точки перегиба; х=—! и у=|р— асимптоты.
5.476. Ymax=y (0)=2, (+1, j/ 2) точки перегиба; и=0— асимп-
Tota. 5.477. Ymin=Y¥(1)=—1; (0, 0) uw (2; 0)—tTouKH перегиба.
425
5.478. утах
= (0) =2, ужа ==у(+10= 9/4. 5.479. (0, 0) — точка пере-
гиба; х=—1, х=|1, у=0— асимптоты. 5.480. (0, 1) и (I, 0) —точки
перегиба; у==— х—асимптота. 5.481. (0, 0), (+1, + j/ 2) —точки
перегиба. 5.482. (0, 0), (41,4 9/3) rome, перегиба; у=2х—
асимптота. 5.483. (0, 0), (+1, - И 2) —точки перегиба; y=x—
асимптота. 5.484. (0, 0) —точка перегиба;
у= —1 — левая асимптота,
7==1— правая асимптота. 5.485. уши =и (— и 3)= 1; (0, 0) —точка
перегиба; rey 2—acumntota. 5.486. Ymaxy=Yy(0)=0, Ymin =
=y (2)= И 16; ([-И4,-и 2)—точка перегиба; x= /4
у=х— асимптоты, 5.487. Ymax=y(— И 6)=-— 3] j/ 3 (0, 0) и
(93, ЗИ 2) точки перегиба; х=— i/ 2 и у=х— асимптоты.
5.488. Ymin=y (0) =0,; (4+ V 2, 2/V 3)—rouxn перегиба; y =x—
правая асимптота, у= —х— левая асимптота. 5.489. (— И, 0) и
(—1, —!) — точки перегиба; х=0 и у=1 — асимптоты. 5. 490. Ymax=
=y (I= 1/9/4, (4, И 0.16) —точка перегиба; J, y=0—
асимптоты. _ 65.491. max =¥(—V 3)=0, ymin =y(V 3)= 0;
(V 2, 1/V 2), (— V 2, —1/V 2) —точки перегиба; x = О— асимпто-
та, у=!1
— правая асимптота, у = —1 — левая асимптота. 5.492. ути=
= y(0)=0, ymin=y¥ (4 V 5) = 2; х= + | —симптоты, у—х— правая
асимптота, у= — х— левая асимптота. 5.493. ушах= (0) =1, упил =
=и(+1) =0. 5.494, ушах
= (0)==2У2,ушу(+ У5)==0,(+1,
1) —точки перегиба. 5.495. Ymin=y + т) =— У 2, итах =
(2) =УЗ, (ben, —
перегиба REZ,
2
3
8.496. Ymin =YИез) тр ‚нити
Че)
Gt
х== 5 вл асимптоть, EZ. 5.497. ymin=y (0) =0, у 1
левая асимптота, в ря асимптота, 6.498. уши
= (1)=
л
=5+4 ; Ymax=y (—
a+ т , (0 , 2 точка перегиба;
у=5-Ел— левая асимптота, pad mone асимптота. 5.499. утах==
= и (1) =е, (28, с? ) точки перегиба; и=0О— асимптота.
1
1
—
5.500. Ymax=Y (I) =——=, Ymin=y (—1) =——= ©, 0), (+ 3,
ae
Ve9 min—
(—
Ve
(
)
у
3
+ — }— точки перегиба; у=0— асимптота. 5.501. ушах =и (1) =
е
|
е
>, (. + У. (2+ УЗ е- 6+7 ) токи перегиба; х—0—
левая асимптотаа у=0О—асимптота. 65.502. Ymax=y(LD=—,
426
Ymin=y(0)=о;(+|. $sens)
+
V
3, 5ти" ) точки пе-
региба; у=0— асимптота. 5.503. Ymin = Y (1) =e; jmee-+-1—acuuntota,
х.=0— правая acHMnToTa. 5.504. Ymax => (У =e, Ymin =
=y(—Y 2)=—“VE (+И/ НИТ, ЕЙ УТ 4
)
И € ИНЕТ, + 5 V5—-Vite
У Пе РСТ) лока пере-
гиба; у=0—асимптота. 5.505. ушах = (—2) =—4 У е, ути=я (1) =
= —1/е: (0, 4, —1 ‚бе-5/?) — точка перегиба; х=0— левая асимптота,
y =x —3—acumntora. 5.506. (1, е?) —точка перегиба, х=0— правая
асимптота у=2х--3— асимптота. 5.507, ушах =у (+1) =2/ Ve,
2-V3
Ипа == y (0) =1; (viva (3—Y3)e ? и(. V 2473,
(24V3
(3+ YV3)e 2 —TOUKH перегиба; y=0—acumntota, 5.508. Ymin=
=y(1)=e?, x=O—npasaa acumntota, 6.509. ушах=у(У 3) =
=3 VY 3e~ 9/2,
Ymin=4 (— V 3)=—3 И 3е- 8/3;
(0, OF
(+1,
-е71/?), (+ Уб6, +У 62-3) —точки перегиба; у=0— асимптота.
5.510. (0, 0)—точка перегиба. 5.511. так =>, ¢ УЕ
3
2Ve
5.512. ymax =Y (> )=-« х=1 —асимптота, х==0 и у=0
— правые
1
+|
3
асимптоты. 65.513. Ymin=Y ( 7) =— (WeУ?
besx)
точка перегиба. 5.514. ymax =Y (Va=z; ors
— \— точка
еб
перегиба, х=0 и у=0— правые асимптоты, 5.615. ие. /е) ==1 /е3,
| точка перегиба х=0 и у=0О—правые асимптоты.
Ymin =x (1) =0; (еси THEY бе-з-Ут) A (лени,
Зуб
VT) точки перегиба. 5.516. ушах
=и(0)=0,ужа=
=y{+ V e)=2e; x=+1—acumntote. 5.517. ушах = (1/22)
== 4/е,
Ymax=Y (—1)=0, Ymin==y (—l/et) = 4/6. (0,0), (+1/Ye, ИУ е)—
точки | перегиба.
518. —Утах= (0)=0; х= 1 — асимптоты.
| 5-У13
5.519. ИУС e) = 1/е?, Ymin = ¥ (£1) =0;
te©,
(УВ). =), (ue
(Gt¥8y 7“)
точки перегиба; х=0 и у=0О— асимптоты. 6.520. уши
==и (1/е) =
427
= (1/6)1/°= 0,69, выпукла вниз, у —+ 1 прих —+--0, т.е. М (0, 1—
точка ‘прекращения. 5.521. утах
=и (2) =е!/® я 1,44; (0,58,.0,12) и
(4,35, 1,4)—точки перегиба; у->0 при х- -|-0, т. е. M (0, 0) —
точка прекращения; у=!1— асимптота. ® Точки перегиба удовлетво-.
ох
x
.
ряют уравнению In > 2x In ——x=0, их можно He находить.
5.522. х=0О—точка устранимого разрыва (> (0) =у+ (0) =е), функ-
ция убывающая, выпукла вниз, х = —| — вертикальная асимптота,
у=1— асимнтота. 5.523. х=0— точка устранимого разрыва, y=0—
асимптота. Точки экстремумов удовлетворяют уравнению {8 х==х.
Точки перегиба удовлетворяют уравнению {1 х=
e Точки
2х
2—2 `
|
экстремумов и перегиба можно не находить. 5.525. хии==—1 при
—1 (и(1)=3), уши =—1 при #=—1 (х(—1) =3); парабола с вер-
шиной в начале координат, ось которой
— прямая у=х (х > 0, у>0).
5.526. Xmin=Ymin=! mpH t=O (точка возврата); у=2х —асимптота
npu ¢ —>-+ 0. 5.527, Actponsa (cm. $83 гл. 2, рис. 20). 5.528. | —1—Зл,
1+5 ) — максимум, 1 — Зл, = — минимум, (— 3x, 0)—
точка перегиба, и=х и у=х--бл
— асимптоты. 5.529. Трехлепестковая
роза; Р = [0, п/З] 0125, 110 [4л/З, 5л/3]; экстремумы при ф=л/б,
ф=5л/6, ф=3Зл/2. 5.530. Кардиоида, полюс—точка возврата, гшах=
= (0) =24, гиш = (л) =0. 5.531. р=(0, -- ®); линия спирально
завивается вокруг полюса, асимптотически к нему приближаясь;
(У 2^, 1/2) —точка перегиба; полярная ось (ф==0) —горизонтальная
асимптота. 5.532. Лемниската Бернулли (см.'$ 3 гл. 2, рис. 14).
—2
5.633. Прямая ==
2
1о =— =. 5.534. В плоскости Оху дуга
окружности д? --у?=2 между точками (1, 1) и (0, У5), пробегаемая
против часовой` стрелки. 5.535. Правая ветвь гиперболы ры 1,
у=— 1, пробегаемая снизу вверх, если смотреть от начала координат.
5.536. В плоскости Oxy парабола = (6x — x), пробегаемая слева
направо. 5.637. Винтовая линия х == с0$ #& у=п В, 2=+. 5,538. Астро-
ида x2/3 4 42/8 — 22/8, г=0. 5.539. Линия пересечения цилиндров
у=х?, г=53, пробегаемая снизу вверх. 5.640. Кривая Вивиани
— ли-
ния пересечения сферы и кругового цилиндра: х2-|-/2-|-22=1, х2--у2—х.
5.541. Эллипс stil 2=2. 5.542. Дважды пробегаемая пара-
бола у=х?--х, 2=3. 5.544. Прямая 4х--Зу=0, 2г=0; o=3i—4y.
5.545. Парабола (в плоскости Оху) = (12% — 3; 9=34-- (4—2 J,
Vv|r_0=3+4,
9 |1_1=3#--2),
v t-2=3i,
9 +-з=37— 2).
5.546. Циклоида (в плоскости Оху) х=2(Ё— $111), у=2 (1—со0$ {);
o=2
(1 —cos f) i+2sint-j; при [=> %=2 (1--7), при Ёё=л 9
=
4$.
5.547, 0,61—0,87. 5.548. у @ 7. 5.549, a) cos f-d—sin 2¢-f +
-+ cos 2t-R; 6) (cos¢—t# sin t)¢-+-(sin¢-+-¢cos?t) f+; B) (1—sin?¢) i+
428
|
+j+cost-k. 5.550. a) d; 6) 121-2) = be 5.651. 14 312-55,
5.552, (3— 291-88 —20/—2, 5.553. cos t+ 2uj + Зи?
5.554. а) ot =— cost. i-tetj+or, 2°ae и —=— i-+/-+2k; ба =
ar
=—(2sin f+-1 cos t) /-+(2 cos t—tsin f) k; We |, eet ad 5.555. w =
= 251 #.#--2 с0$#.]; 4 |,_лв=26 9 |, _=— 9. 5.556. w=— 2/,
ПИ 4 1—2)
=
6
,
"узи
" ур’ при #=0 w,=—1,6,
—
,
__a
_
2.2
__
l
W,=1,2. @ ma Ши =И и — их. 5.557.
Рут
w =1, wo, =———; при {=0 %={1-], и, =1. 5.558, x+27—4,
у=2 (касательная); 2х—г=:
—2
_8
|
93 2—4
=a SE
(касательная); 3Зх--бу--122—70=0. (нормальная.
плоскость). 5.560. у=2г, х=а (касательная), y+z=0 (нормальная
x—1 y—3_
плоскость). 5.561. ==
4 (касательная); 12х—4у--32=12
(нормальная плоскость). 5.562. Е
a
(касательная);
8x + 10y+72= 12 (нормальная плоскость). 5.563. К [50 =, K |x 7 =
=: УЕ 5.564. Кд=3, Kg=1/9. 5.565. З/У, 5,566. 1/2.
5.567. 1. 5.568. K=———, K =>. 5.569. 3.
2у2
4а sing
Pan за
a
9%3/8 1 | 3/2
(b4x2
+ aty? 3/2
и
5.570,a) OF; Gere. 5st. 9) УТ;
(b4x2
+ aty2)8/2 _— (а? sin?t+ b? cos? t)8/2
t
6)arp,
ab
. 5.572, 4a sin >
a? +- 72)3/2
In2 1
5.573. а) 37 ; 6)
or
5.574. (>, 75) + ©
Соста-
вить выражение кривизны К и найти ее точку экстремума.
5.575. (75, ~ 2). 5.576. (0, 5): ¥t(y-5) =4.
5.577. (0, 5): a +(y-5] =>. 5.578. (—1, =): (x1)?
+(y —e+—+) =e 5.579. (F 0) (-5) НУ =1.
5.580. (ла, — 24); (х—ла)?-- (у--2а)? = 16а?. 5.581. а) x7"9 $
4_|.
byt 1. 6) X2/9 _y2/8 — (2q)?/8, в) (X-+Y)?/8-1
(X —¥)?/8 =
Y=
429
1
VY3
x—J+h), va UD. Bare (its + 2h) r—1=
=—(y—1)=2 (касательная) x=y, z=0 (главная нормаль);
=и
J+), B=
“a
ная нормаль); п--2=6, х=л (бинормаль). 5.586. = (214-128),
= 24?/3, 5.582. У=ась x. 5.583. tao УЗ. 6.584. t=
x
2
e
—=— (бинормаль). 5.585. т=ф, “=—
—
5 (бинормаль)
73
(1—No); и=2, 2=4 (касательная); у—г--2=0, х=л (глав-
х—2 и 2—1
1.
i
y
;
v= (— t—2j+2k), p= 3 (2i—2j—R); 3 FT SR
(Kaca
(и 2—1
Щи 2—1
тельная); J
(главная нормаль);
FSI
(бинормаль). 5.587. А ee v=— 2 (214+2j—h), В =
аи.
х—1 122
= V3 (1—1); x—l =y—1=—— * ace) i
=—
— = = 2? (бинормаль). 5.588. х--2у=3
(соприкасающаяся плоскость); 2г=1 (нормальная плоскость); 2х—у=1
(спрямляющая плоскость). 5.589. у=х (соприкасающаяся плоскость);
<+y=
5.590. т=}{, *=А, В=—1], у=0, 2==1| (касательная); х=1, у=0
(главная нормаль); x=1, z=1 (бинормаль); у=0О (соприкасаю-
x
(главная нормаль);
\
= (нормальная плоскость); г = 0 (спрямляющая плоскость).
щаяся плоскость); х= (нормальная плоскость); 2=1 ‘спрямля”
ющая плоскость). 65.591. t= = Ot —),
+
У5
V30
_1
д—1 9-2 2z—3
+24 +58), Bare (+В; Poe
(nace.
тельная);
3 (главная нормаль); x—l_y-2
Iio 5
рмаль), 5“
=
(бинормаль); х--2у—2г—2=0 (соприкасающаяся — пло-
скость); 2х—у==0 (нормальная плоскость); х--2у--52—20=0
(спрямляющая плоскость). 5.592. Ки
wa3O=ie;при
3
1-0 к=И2, =. 5.503. К=2 V ate o=
yee
при ¢=0 K=2, o=3. 5.594. K=0=-sa
при #=1 K=0=5. 6.695. K= ory ; =
ра при
13.5.597. К=
944+ 4° +1
бу
ум
=
——
‚ при и=|1 K=
=,
ИУ,
був РЯ 3V3
o= — . 5.598. w=2j+4tk, их =4Ь Wy =2) Wr let = 4.
2
ew, =o , Wy => . 5.599. Парабола y®=x; 2! (f) =2t+1,
.—
5.600. Прямая х—у=2; 2’ (1 =е “. 5.601. Верхняя полуокруж-
ность у=
И 4— 48; 2’ (0) =. 5.602. Эллипс х=4 с0$ В у=9зш &
2
г’ (1 =1(3ей —е-П). 5.603. Правая ветвь гиперболы = — 4 =a 1;
z’ (t) =(2+i) et—(2—i)e-*. 5.604. Дважды пробегаемая «правая»
ветвь параболы y==x*; 2’ (t)=2¢-+-4it3. 5.605. Apka циклоиды x =
= t—sin?t, y=1—cost; 2’ (t)=1—e-‘t. 5.606. SponpBenta oKpyx-
HocTH x=a(cost--tsint), y=a(sint—t cos #); 2’ () =ate!t. 5.607. r‘,
ro’; r"—ro’?, 2r'g’ + rg”. ® Представить закон движения в показатель
ной форме 2=ге® и найти производные 2’и 2”. Искомые величины
‘суть коэффициенты прие и #4. 5.608. Скорость и={а (2). ® Вос-
пользоваться показательной формой комплексного числа: 2= Юе® и
aw 4, 42.
|
dtdzdt
тат примера 9, показать, что ДА (е^1) =А^еМ для любого ВЕМ.
6) Предварительно доказать, что ОА (еМ2 (1)) =еМ (р--^) г (В. Дейст-
витедьно, несложной проверкой убеждаемся; что Д (No2 (1)) =
—=емМ (Р-Н ^)2(6, и далее, используя этот результат, что ОА (eM2(t))==
=2(0*-1ем(1)))=D(eM(D+d)R-42(1)=eM(D+LAYEZ(f).
—+i)}t
5.611. — 9e% sin 3¢. 5.612. 0. @ ef sint =Ime\ 2 .
5.613. ей (соз 2#—8 $120. 5.614. #(18— 1) соз1- (6—9 — #3) sin #,
5.615. ef (sin 2¢-+-42 (1+ 22) соз 21 (1-- #) 73/2. 5.616. её (соз #—2# зщ 8).
5.622. 4 По условию [(а)-Ё (5) < 0. Определим числа x,
(п=0, 1, ...) равенством
найти производную
. 5.609. ® а) Используя резуль-
Xn = (Ant b,)/2;
re dg =a, bo =), Par=f (Qn-i)-/ (Xn-i), N=1, 2, «0.5 H
a=" еслиp,<0,b=" еслир,«0,
" Xn—f, если p, => 0,
6,1,еслир>0.
Получим [а; С [ав-1, 6-1], п=1, 2, ..., причем fa,, b,]—
отрезок изоляции корня,длина которого в 2" раз меньше длины
исходного отрезка. В частности, аа =, =хи-1т, если [(хп-1) =0.
Программа имеет следующий вид: ‘
ЗОВВОЧТИМЕ ЕОВКЕЕ, А, В, М) 2 АМ=Х
К=0
| 3 K=K-+1
AN=A
IF(K.LT.N) GO TO 1
BN=B
A=AN
1 X=(AN-+BN)/2.
B=BN
S=F(X)
RETURN
IF(S.EQ.0.) GO TO 4
4А=Х
IF(F(AN)#S.GT.0) GO TO 2
B=X
BN= X
RETURN .
GOTO3
END
431
Данную программу можно использовать и для нахождения корня
уравнения ] (х)=0 на отрезке [а, 5], взяв значением ‘корня вели-
чину (Ant Pn)? при этом предельная абсолютная погрешность равна
р—а)/28 +4.
(
м, 1 670. 5.625. —0,6823. 5.626. —2,2340, 0,3276.
5.627. 2,8981. 5.628. —1,4305, 1,2963. 5.629. 2,0946. 5.630. —2,3300.
0,2016, 2,1284. 5.631. 0,3684. 6.632. —2,3247. 5.633. —0,7976, 1,4945.
5.634. "0,2510, 1,4934. 5.635. —0,7549. 5.636. 1,5160. 5.637. 3,3532.
5.638. 1,2970. 5.639. 1,2672. 5.640. 1,3713. 5.641. 1,7555. 5.642. 0,6529.
5.643. 0, 0,7469. 5.644. 4, 0,3099. 5.645. —1,4916. 5.646. 0,5110.
5.647. 0,7391. 5.648. +0,8241. 5.649. +0,7339, 0. 5.650. 3,6926.
5.651. 1,8411. 5.052. 1,0967.
5.654.
FUNCTION CHORD(F, A,
IF(DX. GT.EPS) GO TO 1
«B,S,EPS)
CHORD = X
FA =F(A)
RETURN
FB=F(B)
2 X =X —(B—X)#FX/(FB—
X==A—(B——A)*FA/(FB—FA)
,ЕХ)
X1=X
FX =F(X)
FX=F(X) |
DX = S#ABS(X— X1)
IF(FA#FX.GT.0.) GO TO 2
X1=X
1X=кхе AEX EX —FA)
IF(DX.GT. EPS) GO TO 2
FX =F
CHORD= X
DX =~ SSABS(X—X1)
RETURN
Xl=X
END
5.655.
FUNCTION TANGEN(E,ED,
GO TO4
«A ,B,S,EPS)
3 Х=В
FA =F(A)
4 X1=X
C=A—(B—A)*FA/(F(B) —
X = X —F(X)/FD(X)
«FA)
ТО — X)#«2.GT.EPS)
Р=ЕА»Е(С)
«СОТО4
IF(P) 2,1,3
TANGEN =X
1 TANGEN=C
RETURN
RETURN
END
2X=A
5.656.
FUNCTION COMBI(F,FD,A,B,EPS)
FA= F(A)
FB =F(B)
X= A= (B— A)*FA/(FB— FA)
FX =F(X
IF(FAxFX.GT.0.) GO TO 2
X——
1 X= X—(X—A)s#FX/(FX
—FA)
FA =F(X
XT = XT —F(XT)/FD(XT)
IF(ABS(X —XT).GT.EPS) GO TO1
COMBI=(X -++ XT)/2.
RETURN
2 XT=B
3 X = X—(B— X)+FX/(FB— FX)
FX = F(X)
432
XT =“XT—F(XT)/FD(XT)
_
-
AF(ABS(X— XT).GT.EPS) GO TO 3°
‘COMBI=(x 4+ ХТ)/2.
:RETUR
!' END
‚5.657.
Ответ к задаче 5.624:
FUNCTION F(X)
Е = X#a3+2.4XK — -8.
ВЕТОВМ
Ответы к другим задачам отли-
ЕМО
чаются вторыми операторами.
5.658. Задание для ЭВМ состоит из трех. программных единиц:
подпрограмм- -функций' FUNCTION -F(X), FUNCTION CHORD(F,A,B,
$, EPS) и основной программы, которая для задачи 5.633 имеет вид:
EXTERNAL F
ROOT! =CHORD(F, —1.,—0.5,1.4,0.0001)
ROOT2= CHORD (F,1.2,1.8,3.4,0.0001)
WRITE (3, 1) ROOT, ROOT2
1 РОВМАТ (’ КОРНИ УРАВНЕНИЯ ' ‚Е8.4,’ И',Е8.4)
$ТОР
,
END
5.659. Задание для ЭВМ содержит 4 программных единицы. Ответ
к задаче 5.651. имеет вид:
1) подпрограмма-функция
. 2) подпрограмма-функция
вычисления значений функции:
вычисления значений производ-
HOH:
FUNCTION F(X) |
FUNCTION FD(X)
F = X#a2-+- ALOG(X)—4
FD = 2.#X --1./Х.
RETURN — .
RETURN
END: ©ses ©
ЕМО °
3) подпрограмма- функция вычисления корня методом ‘касатель-
ных:
..
FUNCTION TANGEN(F,FD,A,B $ EPS)
‚ 4) основная программа:
EXTERNAL F,FD
ROOT = TANGEN(F,EFD,1.,2.,0.3,1.E —4)
WRITE (3,1) ROOT
1 РОВМАТ (’ КОРЕНЬ= ',F6.4)
STOP ......
cath ges
\
END.
|
5.670... См.. ответ. к задаче. 5.659. Основная программа к задаче
5.651 имеет вид:
EXTERNAL F,FD
ROOT = COMBI(F, FD,1.,2.,1.E— -4)
WRITE (3,1) ROOT
1:FORMAT (12H KOPEHb=_ ,F6.4 )
STOP
* END
Lottie
15 пол пел. А. В: Вфимова. Б. И. Демидовача
433
5.671 и 5.672. ® Воспользоваться методом математической индук-
ции. 5.673. (5) = e987Л —0,95И + 0,0001. 5.674. In 11 =2,3079 4
+ 0,0003. ® Для нахождения значений функции в узлах интерполя-
ции использовать равенства ш9=2 113, ш10=ш5-- 2, ш 12 =
—2 11 2 -- п 3, п 15= ш 5-1 3. 5.675. } (1,26)= 1,105, } (1,58) =1,261.
5.676. f (1 89) =2, 092, f (2,43)=3,144, 5.677. f (0, 83) —0, 817, f (0, 97) =
— 0,942. 5.678. f (1 т 2148, ГС ‚97)= 1,0007. 5.679. }(2,72) =
=1, ‚5463, # (2,93)= 0,9805. 5.680. — [(23) =0 ‚921, f(41)=0,755.
5.681. г ‚3)= 1,184, f (4,0) = 1,758. 5.682. [ (0,20) =0,1987, } (0,41) =
— 0,3990. 5.683. а, 25) =0 ‚0771, f (1,76) =0,0128. 5. 684. f (58) = 0,275,
f(79) = — 0,291. 5.685. Si (0, 26) =0 ‚25903, $1 (0,45) = 0,44497.
5.686. Ф (0, 27) = 0,29742, @ (0,58) =0, 58792. 5. 688. 1,82. 5.689. 1,45.
5.690. 2,3. 5.691. 60°30".
|
5.692.
5.693.
SUBROUTINE DEL(X, у ‚No)
SURBOUTINE DELTA(Y,N)
DIMENSION X(N), Y(N)
DIMENSION Y(N)
NI=N—1
Ni=N—!
DO 2 1=1,No1
DO 2 1=1,М1
А=У(Т)
А =У(1)}
DO1 K=I,NI1
DO 1 K=I,NI1
C= X(K)— X(K+])
B= ¥ (K+ 1)—Y¥(K)
ВЮ-КИС
У(К) =Л
У (К)=
] А=В_
1АВ
2УМ
oR
RE URN
RETURN
“END
END
® Программу 3afaun 5.693 noacnnet cnenyioulan cxema (N = 6):
Yi .Ay; Аи:
YaЛ
8
YoacyАpay
veAbeмыМмА
y Ya Ady АЗуз
ye Us
После выполнения операторов внешнего цикла при !=3 массив У
будет содержать величины уз, Ау. Ду, АЗи, Ау», АЗуз, а после
выполнения всей программы
— величины и;, Ау, Ау, АЗу, A*yy, A®y;.
5.694.
FUNCTION POLINT(X,Y,N,
Y(K)=
¢KEY,ARG)
2 А=В
DIMENSION X(N),Y(N)
3 Y(N)=A
Ni=N—1
4 POLINT= Y(N)
IF(KEY) 4,1,4
DO 5 K=1,N}
!DO3is 1,NI
5 xy POLINT#(ARG—
>
—
—
DO2К=1,М1
RE URN W-N)
= (ЮУК 1))/(X(K)
END”
+— X(K-++ 1)
434
® (Интерполяционйый полином вычисляется по схеме:
Йт--1 (<) = (.. . (У (No) @—X(N—-D+YYN 1)) (« —X (N— 2))-
N—2))...)(*—X (I)+ Y¥ (1),
[roe
где. ве выражения, стоящие В скобках, последовательно ВЫЧИСЛЯЮТСЯ
начиная с виутренних скобок.
5.685.
SUBROUTINE РОГУМ(Х,У,
*N, KEY,ARG,P,EPS)
DIMENSION X(N), Y¥(N)
Ni=N—1
_ IF(KEY). 4,1,4
1 DO 3 [=1.NI
By)
6?К=1,М
ВЮ VK 1))/(X(K)
*— к +1))
Y(K) =A
5.696.
FUNCTION POLIN(X,H,Y,N;
*KEY,ARG)
DIMENSION Y(N)
.M=N—1
IF(KEY) 5,1,5
1DO3 I=1,M
A=Y(I)
DO 2 K=I,M
B= Y(K--1)— Y(K)
Y(K) =A
2A=B
3 Y(N) =A
EPS ~ EPS+(ARG— X(I))
5 P=P+-EPS#Y(I+1)
EPS = EPSY(N)
EPS = ABS(EPS)
RETURN
END
Е =1.
ОО 4 1=3,М
Е=|—1]
Е= «Е]
4 У(Т) =У(Г/Е
5 Т=(Ава—Х)/Н
РОГ
[М = Y(N)
DO 6 K=1,M
|
6 POLIN= POLIN«(T— M4 K)
+ У(М— К)
‘RETURN
END
5.697. ‚Задание для ЭВМ должно. содержать две программные
сдиницы:
а) подпрограмму- функцию
FUNCTION POLIN(X,H,Y,N,KEY,ARG)
6) основную программу, которая для задачи 5.676 имеет вия:
DIMENSION Y(8)
DATA Y/1.958,2.107,2.268,2.443,2.632, 2. 841, Е 071, 3 324]
2
P{ =POLIN(1.8,0-1,Y ,8,0, 1.89)
P2 —POLIN(1.8,0.1,Y,8,1,2.43)
WRITE (3,1) P1,P2
FORMAT (' Е(1.89)=
STOPEND
—
5.698. а) Подпрограмма-функция:
'F5.3,’ F(2.43) =',F5.3)
FUNCTION POLINT(X, У, М,КВУ, АБО):
6) основная программа (к 5.689):
DIMENSION X(6), Y(6)..
DATA X/I. 1,1.2,1.3,1.4,1,5,1.6/,Y /2.431 ,2.928,3.497,4.144.4.875, |
ж5.696/
15*
435
X0 = POLINT(Y ,X,6,0,4.498)
WRITE (3,1) X0
| FORMAT (30X,'F(’,F3.2,’) = 4.498")
STOP
END
Нри обращении к подпрограмме-фуикпии РО1МТ первый параметр
при любых обозначениях есть массив узлов интёрполяции, а вто-
рой
— массив соответствующих значезий функции.
5.699. а) Подпрограмма:
SUBROUTINE POLYN(X,Y,N,KEY,ARG,P,EPS)
6) освовная программа (к 5.688):
DIMENSION Х(8),У(8)
DATA X/1.5,1.55,1.6,1.65,1.7,1.75,1.8,1.85/,Y /—1.125,—0.926,
«— 0.704 ,—0.458,—-0.187,0.109,0.432,0.732/
CALL POLYN(Y,X,8,0,0.569,POL Y,EPSI)
WRITE. (3,1) POLY ,EPSI
1 FORMAT(’ F(X)=0.569, PE X=',F4.2,
*’ C TOUHOCTDHIO JIO ',F5.4)
STOPEND
5.700. {" (2,03)= 1,42249, р (2,22) —1,87640. 5.701. [' (1,14)-= 1,0704,
р (1,42)= 1,1698. — 5.102.’ [ (3,02) =5,63133, [ (3,31) =7,34833.
5.703. |" (0,82)
= 0,8077, [ (1,03) =0,9914. 5.704. Р (1,34)= 0,1873,
Г (1,65) =0,0741. 5.705. Г (2) =9, [ (2) ==12, 5.706. Р (0,5) = 63,5,
Г! (2,5)= 75.
5.707.
FUNCTION DW1(T,N)
IF(S.LE.TN) GO TO 1
TN=
DW1 =: DW1%D
$= 0.
RETURN
DWI=1.
2 DWi=: DWIM(T— $
D=0.
3 S=-S-b]
| IF(ABS(T— 5). LT.1,E—21) GO TO 3 IF(S.LE.TN) GO ‘TO 2
DW1 =DWI1(T —S)
RETURN
D=D- HI. /(Т— 5)
END
$=$-1.
® Для и; =] (1—2), п=0, 1, ...,
k=0
Г
п
|
к
]
в,
tz,
о’ (=.
У=0, 1... и. о
I ШВ,
t=v,
Rev
436
5.708.
и
FUNCTION DW2(T,N)
2IF(TK.LT.TN) GO.TO 1
ТМ =М
DW2 =DW2s(T— TN). :
TK =0.
3 DW2 =DW24S2 a,
SI =0.
RETURN
$2 =0.
4 ТК =ТК-1.
; DW2=1. °°
GOTO!
|
' IF(ABS(T) .LT.t.£ = 21) во то 4 5 IF(ABS(T).LT.1.E=
1 S1=S1-+1./(T—TK)’
421)GOTO8^
DW2=qpweaT — TK)
TK=TK+1.
TK=TK+1.
=. KT — TK))«S4
IF(ABS(T —TK).LT.1.E —21) GO TO 5 GOT
S2 = S2-++ (1./(T— T-K))+S1
END.
® Для и, °-П. (—#
и"50
(1) Ут==) -*«оу wh
my=
= (>. -4)--> 7==). Ww Os 4te
\k= 0)
f=
=2p(0)vs> приЕ»,
A
—^
=|
—*
а,‘
n
{-
,
w(t) =2
a
p
(€—e)Уых.= ‚приt=v,v=0,I,we,A
myi
. 6.709. о,
FUNCTION POLIDI(X, Н,У,.
F=1.
*N, KE Y,ARG)..:
DO 4 1=3,N
DIMENSION: Y(N)
FI =I—1!
М=М—1 .
Е == ЕжЕ]
IF(KEY) 5,|, Bry
4 Y(1)
= Y(D/F.
;
ГОО ЗТ=1, "М. bp ts
5 T=(ARG— X)/H:
A=Y(I)
la
POLIDI
=Y(2):
DO 2 K=I1,M
DO 61=2,M
ВЕ
(К)
6 POLIDI =POLIDI + DWI(T,
У (К)=
#[ — 1)*У (1-Е 1)
2 А—=В
, RETURN
|
3 Y(N)=
|
END :
ot
5.710. Подпрограмма-функция
FUNCTION POLID2(x, H,Y,N,KEY ‚АКО)
отличается от подпрограммы задачи 5.709 следующими тремя опера-
торами (пятый, четвертый и третий от конца):
POLID2= Y(3)
РО 6 1=3,М
6 POLID2=POLID2+4 DW2(T,I—1)¥Y(I+ 1)
437
5.711. Зздание для ЭВМ должно содержать три программных
единицы:
ВВ
а) программу-функцию
FUNCTION DW1(T,N)
6) подпрограмму-функцию
FUNCTION POLID1(X,H,Y,N,KEY,ARG)
в) основную программу, которая для задачи 5.701 имеет вид:
DIMENSION Y(8)
DATA Y/1.0083,1.1134,1.2208,1.331,1.4449,1.5634,1.6876,1.8186/
DX1=POLID1(1.,0.1,Y,8,0,1.14) °
DX2=POLID1(1.,0.1,Y,8,1,1.42)
WRITE (3, 1) DX, DX2
|
| FORMAT (’ ЗНАЧЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ ’ ‚Е7.4,
+ ПРИ Х =1.14 И ',Е7.4,' ПРИ Х = 1.42”)
STOP
END
5.712. Задание для ЭВМ должпо содержать пять программных
единиц:
подпрограммы-фувкции:
а)
FUNCTION DW1(T,N)
6)
FUNCTION DW2(T,N)
B)
FUNCTION POLIDI(X, H,Y,N,KEY,ARG)
i
FUNCTION POLID2(X%, Н, ‚У, М, KEY ,ARG)
д) основную программу, которая для задачи 5.705 имеет вид:
DIMENSION Y(6)
DATA У/1.,5.,21.,55.,113.,201./
D1 =POLIDI(1., 1. LY ,6,0,2.)
D2 == POLID2(1.,1.,Y,6,1,2.)
WRITE (8,1) D1,D2
] FORMAT (ПРИ Х=2 1-Я ПРОИЗВОДНАЯ=!’ ‚24.1,
*ж 2-Я =',Е 4.1)
STOP
END
ГЛАВА 6
6 © 40. 6.2. 3x j/x-LC. 6.3. 3Injx|—2+46. 6.4. 7+
5 an 6.5. x-+6 V «+3 Ins eH. 6.6. зпх- С.
Ра
. = Уаты-с. 6.8, ео 6.9.
a
6.10. вис 6.11.55 к-т | х—1 1+. 6.12. Ut stn 8x-+C.
6.13. > cos 2x-}C. 6.14. 5 sin 2x-+C. 6.15. eae tial ee
11
2—
—*
6.16. ——4+C. 6.17. eV mx+C. 6.18.
я “EC.
6.19. ЗИ
Их —4Их-+С. 6.20. 2 Иая--2х + ту:а
+С. 6.21. +2 |= 1-6. 6.22.
6.23. "+
хех
Wet 1 +6.
438
+с.
6.26. 3tg¢x+2ctgx+C. 6.27. —ctg «—tg c-+C. 6.28, 1 sins) 40
6.29. a) —x-tgx+tC; 6) х_Шх--С. ® Использовать тождества:
a) tg? x=sec*x—1; 6) 1—th?x=sch? x. 6.30. tgx-+C. 6.31. 5. *+С.
Ч ж ГС. 6.24. x243sinx+C. 6.25. —2ctgxe—In tes
6.32. х-- с0$ х-- С. 6.33.5 arctg 4“с. 6.34. су
vot С.
6.35. агсзш ==. 6.36. Infx+YVx?+3|—In][x+pYx?—3|/+¢.
6.37. In| x|+2arctg x-+-C. 6.38. S++ (a+) Fabs tC. 6.39: ах--
а
а 1/3 24 16, 6.40. x+3 In| tg x+secx|—
—2tgx+cC. 6.41. a) еше: 6) x—cthx+C. 6.42. An | «=p
1
x—2y2
2
2—7|4+C. 6.43. x————In
С. 6.44. —
УЯ—71+
4V2 rst
3”
XV BEPC. 6.45. —23— 40) С. 6.46. м С.
|
,
|
о
6.47.
—3tpin To
6.48.
у
6.49. ъ In | ar bx|-+C.
6.50. — Inja—btgx|+C. 6.51. Ye 4, 2—3 sin
gtx
.
6.52, 1 fsinx|+C. 6.58. ПЗС. 6.54. ny оС
«не
6.55. —cos (In x) +C. 6.56. —2cos WY x-C. 6.57. In
6.58. оазис 6.59. Sf @— +6. 6.60. a oS)
6.61. Е 4-С. 6.62. — ага (е-1*)+ С.) 6.63. VF
Хагозш «V3 --С. 6.64. 3 013+ И
+C. 6.65. —In (cos xf
УЕ
TV costarsx44) -+C. 6.66. parte (x4)+ C. 6.67. —+ In (ety ИН).
ch? x
6.68. ‘ [11 02--58х1--С. 6.69. 5. че ` 6.70. +e.
6.71.
С. 6.72. —In|cosx}+-C. 6.73. © in} sh de 4-6.
|
‘|
|
1
6.74.
6.75. > th (x? +- ПС.
6.76. зу
Хх
УЕ Le
6.77
2x 16
x "Гук",
рут" ут
6.78. $ (4-7) +. 6.79. ии.
6.80. a x
439
x In (а НУ а*—П--С. 6.81. In НС. ® eR
_ (*4+2)—3
1
3
40
—@-2х-2+2
30°
|
7 х—2
1
6.83.
я 5+5. 6.84. tap |" alte
3-+ 2x4
.
3—2| С. 6.86. = In| x>-+5x—8]+C. 6.87.
6.82. х— ИЗ. aratg
6.85. x In
95
ХИ (5x4 — 3)!3)5--С.
6.88. Зт(x Yeo 1)-+In(te ЕС.
6.89. a4 Vi Tt arcsin (2x)-+C. 6.90. 2 arctg 47 x
жа (5-ЕУ PF) +0. 6.91, ВС. 6.92,—зи (4-е*)“--С.
Уatma
6.93. пену "НС. 6.94. от +1)+C. @
_— +2%)—2*
2*
eatcsin x
кн
— VIR areas
aresin nx.
6.99. | arcsin (2 In x)-+C. 6.100. 2 _ sin 2, @ sin?x лы
2
2
6.101. ета +C. @ cos? x= со 6.102. V 2-In| te —~— С.
V2 вуз|
6.103. x44 sin? ax-+-C. 6.104. 5. in ig (54+) |+. 6.105. :. x-+
+ In| tg (x43) [45 sin xp “С. 6.106. 2У 3 с0з2х-+С.
6:107. —In (cos? x-+ У со х-:P46 6.108. In| tg x|-+6. ‚©
т
9
]
:
——
—=—
|
—
sin xcosx Sin Dx 6.109.
Ут n| cos Изх | +C. 6.110. ZX
x Inchax-+-C, 6.111. ыы ао 6. 112. —5 ctg (x —3) —
oy
—
25-6. 618. ес. 614. з in| VI= Bt lec
‚|
Xx
|
:
—
6.115. — In| ——————. |-+C. 6.116. 2 In ( *£ +1), 6.117. ея —
M5.>In) 7a |+
+
(5—1 4ee 1)20
— In (eX+ IC.
6.118.
==
6.
6.119.—2V1—2+5У(1—=}
=—
с.
6.120. »( VEER
2 Из 2 (ИЕНFi41))+6.
3
!
1
V3 И3-Ее*—V3
6.121.
„—_
. -6.
.
2—5 ГС. (6122. зо ИИ rete
440
6.123. Ш
С. _ 6.124. x arqcos x—] I= 2460,
veri t
Ут
6.125. xsinx-+cosx-LC. 6.126.
33
—F
—2—
Ing 7 +6. 6.127. 2 x? Inx
6.129. (2—x?)
cos x-+2x sin x-LC. 8.130. Рана е-# с
6.131. (х3 — 3х2
| 6х — 6) ех--С. 6.132.. > (x?-+1)+C. @ Поло-
ЖИТЬ. = x, du = xe~*" dx. 6.133. — (In?x42Inx-+2)40.
дв. Lat.
=
т
6. 134.
(x?-+ 1) arctg x ~ 40. 6.135. Teos? yy 18? x+C.
(x —Yy 1—x?) ertccos.x
-6.136. ———~
aR (b sin bx +-a cos bx) С. 6.137.
5
С.
x4
6.138. x In (x-F Vit#) Vip +e. 6.139. = ям С.
6.140. а In 3—1)-4C. 6.141.
зи 2(Е—1)сос.
6.142. xtgx-+ln|cos x |--C. 6.143. 5 (sin ((Inпя) сов (пя) С.
6.144. 7х (Их
— 1) - С. ® Сделать подстановку x0 и проин-
петеировать. по- частям.
6.145. Ite
-
(arot 8. es aratg x +
.
aresin. x
+ln(tx 4C,
гв7|+
(6.147. —x ctg хп к x |-> EC, 6.148. x 2Sin =
С
6.149. СЫ 2 arotg х- С. © TMonomute u= x, dv=—
wre
6,150. 4°/, ее, 1 (et ay
хх 1(
ays а?
(x? a2)”
а?5 ara —T
}хxdxata
ОХ
|
р.
а реа
аi (=Эи—)
аа)"=<j Но(—i)’Lni)
Хх
|
N
e
=t= а?ре
-1| Отсюда = x
x
|
1:
“3x
х (spat aratg =) -С,.
Age (
+2a?atpayt
+ aarcté=) С. >6.151.
Полагаем и= И ха, ..du= dx.
xdxот=
|
=
x2 dx.
Тогда ди =:
ани,| +adx=xVа-а-|=
хх Иха — a и-ку та [узта dx+-
>. dx
+|
Отсюда (VF Fiat yea аа х
441
хах
ую’
dx =—xV a®—xit
xInfx+Y 2@+al+C. Pm 6.152. 4 Полагаем и=х, 49=
Тогда .4и =4х, = — У а*—3. Имеем (=ai — x3
+{Va?—x?ах=—хVOB |
egoaVY
.хз
к
2
dy
+a \7a
=a
Отсюда =
2х
2
x V PoE arcsin = С. No 6,153, |(S—Z) aresin e+
|
44VEC 6.154, (In (In x)— 1) In x--C, 6,155, — arate x —
45 In (x?-+-1)+C. 6.156. — 2V 1—xaresinY x+2V x+C.
6.157. 5pV PRLS arcsin =+6. е См. решение задачи 6.151.
a
arcte 24 = Ос.
V3,V6
=i +6 6.161. 5 In (e8—3x-43)-+
—6
6.158. с In
c.f niacin
LY Barctg уз!ЗС. 6.162. ты
1.
г
x+3
1.
+ = агс4е ————
ve + C. 6.164. F arote
С. 6.165. Ing
3x—3
qe
legal to 6.167. шум
2
+3И | х—31-+С. 6.168. ‚5 In| x |— An | r+2|4+2 In | x—2|-+C.
420
6.169. state] 6.170. “TEBE Tl
1
с!
+1521, 6.171. Е
6. 172.1 In apy tO
1
tte 9+1 +
v2 +6.
yt
173, ———|
2+
ИЯпи2+1,
_1 х--1
_ «(stp gent ее #)+с. * Г pdt
=| ао
т—ет—
т
(1.
Далее
рт Вычислить ПО. рекуррентной формуле, выведенной в за-
даче 6.150. 6.175. Уи! [pg in@ttet+ + aes +
-{-
+73
2-1
Bx+C
yao. woe ery = tere
Dx-+eE
ж Ех!’
Neo 6.159.
—4
= |+. 6.163. 2 п (2x +6)+
ona”
In т| ЕС. 6.166. =
arotg ———___—
arctg —_——
-+——___—-
442
. Применяя метод неопределенных коэффициентов, получаем
Хх
ООО ООО
ОЕ1x42.,
ее 9-0 зоо9енЯа
xO
N
e
:
|ax
ax
ждения (
txt i=|
1\?, 3
r+) +9
2
4
становка хэ = и затем использование рекурреитноя формулы,
выведенной в задаче 6.150. 6.176. a
g PeKOMeHAyeTen MNOA-
; In|
reciente
6.178. Tin
а».V3y
3
244ipaTt2
te + 6.180.x} x
xIn |=a "| —aretg x-+C. 6.181. т +28 =4, 6.182, >
Залы —+C..@ Aepa = fiat 6.183. 3 x
x In ota ay arte S40.
° (a?+-a?) aR aT x
2 2)— (х2—а?
—
—
ya Я 184.VW"at 1FiHe
6.185. оО +eee te «ее =Se
6.186. — a— +=spatinix|—> In (x2-++-1)-LC, 6.187.—. 5 1 (ПХ
х (х*—
2)? -|- С. е Положить
х*=.6.188.—ЕН :7 i—
ИЕ+C. 6.189. =Inete"TB In(x6+x3+-2) 6V7= x
xarotg: a te. 6.190. —cosx
щи—
— po te. 6.192. sinx — вых sin®wet sin’x + С.
6.193. 4 Sasne Sm LC, 6.194. xan че С. 6.195. a
sind soe
6.196. —ctgx = ctg3 r= ctg'x + C.
3
6.197.. хе ЕС. 6.198.
МЫ
1.
—33tg?x
_sinx | sin x
+ secx[+C. 6.202. ~ te? *
ов. 6.203. ааа —
ив“ С. 6.199. — КО
6.200. Е ped
In
— ctg? x2 ctg? 4.2 In
39
sin |--с. 6.20% —2Vectgx 4.
443
z
sin® Xx
6.205. sing sin?x + LC. 6.206. 2 coseЕЕ У со? х-ЁС..
3
|
6.207. —х— ры
чт.
6.208. «ит
16
4 terete. 6.209.3Inte~ —
+C.6.210.1Inte=
3
3
x
2
2]
2tg?—з
cos x
1
|
cos 8x
sn? =; С. 6.211. > Sin rt py sin3e- aton ta 6.212. — 16°
—
sos 2х
sin25x,sindx
+
+C. 6.213. = т 0 С. 6.214. a F438 sin
|3
x|
|
g sin-5x sin 7x
4-C. 6.215. 7 COS 3—5 с03х-С. 6.216.
=50458+E.
—
.
Xx
|
И 5-4
-|
|
1
6.217. — cos 6x — — cos 4x —— cos 2x-+C. 6.218.—— ш—————
,24
16
8
У5
—
Xx
Cs
С. 6.219. arcte (t в!)
с
6.220.
tg x46. ® Чис-
2
литель и знаменатель подынтегральной функции, умножить на (1— $11 х).
6.221. Ав 2х УТ +C. 6.222. 1 arcte( 5) +C.
4V 7 Qtgx+V7
2
2
—
246 ——1
6.223. — In (1 +4 cos? x) 4-C. 6.224. у 3 пн)
2
2 Htesth
.2 5.
-
—.
=
| ———
‚.Ф
-=
8.22 5( tg 5!) БИ
в y 15 С (sin x-+-4)(sin x—1)
72
(sinx4-4)—(sinх— 1)
=Е
. 6.226. In|мо сов FG
|
| tgx
.
sh 6x
ch® 2x
6.227.rad шв 6.228. 5 +5 re 6.229, —— —
ra НХ
оз:З|sh2xsh4x
6.230. 35 8 +- С. 6.231. St i +-———32 -- С.
eg Ly|the
:—
но-
—
)
J
1
-
6.232. —2cth 2x4 С. 6.233. 4 Inhap 5 +6. ® Разделить ' ислй
1
гель и знаменатель подынтегральной дроби на ch?x, 6.234. he
— с х-НС. ® Числитель и знаменатель подынтегральной „дроби
умножить на вп х-- 1.6.235.2 У 231 5-+С. 6.236. [п | sh a oth?>t С.
6.237. x—th ЕАН. 6.238. arctg ЖЕ ete. 6.239. 5 И 2—3
(9х—3)5--
+3к 3)—3)?-+C. 6.240. 2Y” НИИ онИ ЕН
5.241. багов ух + a — бмух-а- 31 + Их-а|-+ С.
444
at
,
3 3f/fx+l\4 3
x1
6.242.
(Е)—зу(ЕН
(ус. 6.243. п
рan
—2mr +C.
6:244.
6)/x—l2arctgи*+0
4
5
.
in| Yeo
t Vt!
1
|
6.245.
—2 агс!
|WT
orci mpi
6.246. —
РИ ЗУ 4 |+. 6.247. InttV +l
т
—а?Vax+C.
6.250. arcsin rot te. - 6.251.
nee
ря a|+ С.
6.252. ИЗ
к
о
в
ш
АЕОУ ЗС — 625
arcsin
3
ут
.
..
Уф;
+
oat
—|
————————
2V3."ТУЗ]
—
(g?@— x23
6.248. V =i —arecos—+C. 6.249. Уф)
+- С. 6.254. ИЯ 1-С. 6.255. И
—
==> о
И 2-1 ye 6.256. In
+ z arcsin
Xx
————— {С
14-4x-+V x2 4-8x-41 | |
ОИ 2%
—+1
6.257. — y= +
6.258. a
1ИУ
Иж -5
—In
РЕ
-С.
6.259.
ет—
2, 5—2х-3ЗУ х2-5
к
НИ
——
-LC. 6.2¢
1—9,
2
РС.
57No
Prd] ЕС. 6.250. V 1—2x—x?-+aresin ИЗ
6.261. ~ 6arcsin at — ЖЕНЕ
(x8+3x?—7x—9)+C.
.
хз
___
Их? —1
6.262. ———————— ++ C. 6.263. Injx- ИС.
Wi+
Jx+-V =]
+
6.264.
+ (хх—1+Их?—2х+10)+С.
—
—
у2
6.265. х—2Зуя aresin ~ 5 С. 6.266. УР +4
=
—_
2
_
+ т («Ух 5)+ С. 6.267. > V Pa +5 Injx+YV x?—a?|+C.
x
]
—___—
—__- + C,
6.269. — (2x3—5x)V «2 —1+-
6.268.
Vitae t
a
.
=(И
ИУ 2—1) +с.
8
х2
6.270. in (x? 2x + 4);
arctg +6. 6.271.
А+
уз Из
|
|
2x—1—YV 5
|
|
|
2х—
24
o_O
С. 6.272. so)
+ tn| x?——x—1]+ a n
РИ |+
5—9"
"445
1 +43 6.«2 5—1,2ИЗ te2k!
- 55 In 5|-+¢- 27
nУ
g7 arctg v3 +
1x
|:x4]1
1
о
:
+316.
6.274. т?"
тар )+c.
6.275.
И
In («+5 + Ив?#8 )-+С.
6.276. —У 6-4 шх— 1? х- 2 агсш wate
|
6.277. — ем ЕВЕ +C. 6.278,
с.
6.279.
ED
V x? 4-4x—54-9 ln (x24Vo Pde) 4
+C. 6.280. ate VETER DI (x24 Vp ded) +0.
1
1
—___.
|
—
—_—_
282,—214
;
6.281. г arctg 3 re +C. 6.282 5 In (x2 4- V x#-+16)+C
6.283.
VS
С.
6.284.
2 х-|-4
Х=——х
4V x2+-4 +
Vx4и
V3.
Жагев —ик
2V ТС. 6.285. Vig[—*= +C. 6.286, —x-+tg x+
1
‘
3 (1 —sin mre
+- sec ee 6,287. ЖЕ 5-2 In
tg —2)
о
2
1
УЗ вх
—{
С. 6.290.
УЗт(3V3+
УЗ VY3—tex
ле"
|
,
ecx
6,291. Berg ЕТС. 6.292. ие +.
6.293. — пеш
in(sines 46. 6.294, Li [tg x|-+tg®<+
+. х Le. 6.295. ве ох
cos xt
&sintx
3CcOS x
xcos3x sin3x,xCcOSXx
~8sin?Lhe In|te5
+—
5+C.6.297.— 6+18
5
т
+C. 6.298. In |thx|]4-C. 6.299. arctg (th x)+C. 6.300. In (ch x)—
NoXx ns
2
4-C. 6.303,
cos ‘ye 6.288.
6:289.
Le.
ут
С. 6. 296.
—
y x cos (2 In.x)-+ 2x sin 2(In 2)
.2
10
х (2x—1)+C. 6.305. — е-**-|-С. 6.306. с In
|
1
‚ах 5х
6.307. ~——__- (5=- =) 2=-ЕС. 6.308.
2
+6 6.304, x
eat
pelt
>earcsin*(x+
446.
+ VY 1—x*)+C.
6.309.
2Ye*—1—2arctg VY e* —1+4C.
V 1—x?
1
‘6.310. —— aresin х-- 5 (arcsin x)?+-In|]x|+C. 6.311. x—
—
x3
— e-~* arcsin (e*)— In (14+ V 1 —e**)+-C, «<0. 6.312. -5-- (=
— =) arctgx+-—> (arctg ne In (1-+x7+C. 6.313.
>+
3;
In (1+x-+ x?)
| 1-+-x|
+ Ux? arcte x+C. 6.314,
Ш Vinten
—
2.
2
+ У Barctg ate. 6.315. <-> In (44-x4)19 arctg —-EC.
217
2 3/2
_
-5
6.316.
+И о Veli_V?x
Ус
1. 6.317.— V Pox?
In—
" aig yo to leh .317. —У1—х у
—x2
—pttVI=* ac ocx <1. 6318 xx+C, x>0. 6.319 x—
Xx
.
—In (1-+ e*)
— 2e-*/? arotg e* *— (arctg e* 2)24-C,
6.320. . ® Отрезок [0, 5] разделить на п равных частей.
6.321. |. ® Отрезок [0, л/2] разделить на п равных частей. Приме-
sin па. cos orbs
нить формулу: с0$ а-- с0з 2а- ... -+-cosna=
sin 2
6.322. е10—]|. ® Отрезок [Ю, 10] разделить на п равных частей.
6.323. 2/3: ® Отрезок [1, 3] разделить на п частей так, чтобы абсцис-
сы точек деления образовали геометрическую прогрессию. 6.324. 15/4.
6.325. 9/2. 6.326. 5. 6.327. 19/15. 6.328. 32. 6.329. 45/4. 8.330. 1.
6.331. |. 6.332. е?—е. 6.333. 7Лп2. 6.334. ш2,5. 6.335. (In 3)/2.
л|
дл, 8ИЗ
1
)
37.
—-
>.
e
.
e
®
О.=
—
6.336, n/12. 6.53 SG 6.338 6 + 7 6.339 3 (2—3 ch 2+
|
4
24+Y 5
1]
3.
;
—
=
e
®]
—— ————— _
®
e—
‘
e
+ ch 2). 6.340. д arctg 7. 6.341. In Zp УЗ 6.342 5-72
4d
J(¢—%"в)
at
6.343. 2 In 37 O° 6.344. 9
V . 6.345. sinl. 6.346. 4°
2
n
0ОИ
|
,
.—
e`—
—.
.
6.349.
—]—e6.350.
о
6.347. 3° 6.348 i2 sh 2+ 6
9
ПЕ
2V3
6.351, 2—In 5. 6.352. 6.353. =
n
-|-
ar
<... Нет (т +(2) +...+ (=)
441
n
n
можно рассматривать как. интегральную для `функции
НИЕ
iт
|
|
ix
tog
=
——
;
——>. >
на отрезке (9, 1]. Поэтому jim Snr ) i+ x arctg x 0 4°
6.354. 1. 6.355. = (230 — 1). 6.356. г. 6.357. >. 6.358. 7. 6.359. =.
|1
6.360. 1_ #2. 6.361. ——-—. 6.362. 2ш3. 6.363. 4—3 Ш3.
2
ее?
2
6.364. а) Минус. ® Разбить отрезок интегрирования на отрезки
[—-2, —Пи[—1, 1 и воспользоваться свойствами |) и 9). 6) Плюс;
в) минус. 6.365. а) Второй; 6) первый; в) второй. 6.366. а) т 6) 4
2
2
|
2m
B) —; 1) =. 6.367. — /осоз ф: 6.368. 2 V7</1 <6. 6.369. =.
2¥? @y 2-0;
27
.
‘2
—
<1< ——. 6.310. а) СУ 2—0 </1<
Уз
3|
30
2
——
6) 11|< Уз . 6.371. а) 3 <1<= У5; 6) 1/<И2195.
|
а!3
dl
%
л
6.372. а) 98 в’ 6) da.
я‘ 6.373. k= -5 (2k +1), k=-0, 1,
sinx
sin x
1
|
2... 6.374. . 6.375.
т —. 6.376. —
x
2Vx eT
У! --
x®x
|
2
2
|
3
6.377. —— 6.379. Нет. 6.380. 2 sp 3): 6.381. In =.
6.382. + (2-|-sh 2). 6.333, —2—arctg ~~. 6.384. —“—. 6.385
..—-|-
.5..
——.
..
=. OD. .Л.
4
|
V5
V5
‚ЗИЗ |
6.3960. Л. 6.387. Л. 6.388. ГОИЗ_м 6.35. ИЗ.
6
6
3
2
||
о
Г\са И5-3
|
6.390. 55 (л--2). 6.391. 2 (2—4). 6.392. In ^. 6.303. —.
6.394, 4—n. 6.395. om, 6.399. 1. 6.400. nV 2—4. 6.401. y(n x
xV 3—9In 3). 6.402. e—2. 6.403. = (el. 1), 6:404. Y 2—
24V 3°
ett |
л1
ла—8
—
—
In 1tVo
. 6.405. —.
6.405. = cn Oe
e
e
e
УЗ ИТУ
4
4°2
32
1.3.5... (28—10 п
|
—
— (27/2—
=
6.408. 9 (e
1). 6. 409. lop
9.4.6.QR
2.4.6...2
o
n
a
ny. 16.
35
~~ 3-567... (QR+1) ПО; =; 8 =556
—94%|е
д. 6.410. 11==
448.
ма. ме.
. 6.411. i 6.412. Расходится.. 6.413. rr 6.414. a 446: ‘Pac-
7
xomutca. 6.416. 1-++-In2. 6.417. + 8.418. >: 6.419.- Раоходихся.
п . 6.421. Расходится. 6.422. Расходится. 6.423. 'Расхо-
6.420.
дится. 6.424. 1. 6.425. Сходится. 6.426. Сходится. 6.427. Расходится.
6.428. Расходится. 6.429. Сходится. 6.430. Сходится. 6.431. Расходит-
ся. _ 6.432. , Расходится. 6.433. . Расходится. 6.434. > (И 341) .
6.435. Расходится. 6.436. л. 6.437. л/З. 6.438. 16/3. 6.439. 2И 5.
6.440. Расходится. 6.441. пл. 6.442. Сходится. 6.443. Сходится.
6.444. Расходится. 6.445. Сходится. 6.446. Расходится. 6.447. Схо-
дится. 6.448. Расходится. - 6.449. Сходится. 6.450. Расходится.
6.451. Расходится.
6.453. e%. 6.454. лаб. 6.455. 16/3. 6.456. 9/2. 6.457. р (3л—2).
56
а?
|
С3
6.458. == 6.459. а?. 6.460. ——(n—21n2). 6.461. 6.462.
157
4
о” бр.
2 ш2—5. 6.463. 32/3. 6.464. 1. 6.465. д?. 6.466. 1,5—2In 2,
e
ла2,na?,2,
6.467, —1. 6.468. 4In2—1. 6.469. —-—Za*u +7 a8.
2
=
|
a*r
6.470. a? —+-In(2+ VY 3) ) 6.471. + (a+h) -———————. x
(V3|
V 2ah +h?
ИУ
2
sq
_
_
xe
6.472. бла?. 6.478.76 V 2—2—In(l+-V 9).
.
.
ла?
_
6.474. —— Ра з_
юо+тИЗи? > e+:
In(2+ Y 3).
2
v3
a
6.475 at arccos (1—-= —(a—h)r. 6.476 a (1-++2 In 2)
VY 2ah —h?
"4
"
3
8V.3
24
2
— па?
и
=
6.477. ла?. 6.478. ma. 6.479. ——_. 6.480. 12л. 6. 481. < ab V3.
8
34
a?
|
6.482. 15 . a 2 ла?. 6.484. = . 6.485. a . 6.486. тae
)-
2
6.487. =. 6.488. 1д" — 13. 6.489. УЗ 3—5. 6.490. р.
6.491. а?. 6.492. 5 3 . 6.493. 5 УЗ++т ш (2+ У5).
6.494. 2У 3. 6.495. 2р (ЗУ 3—1). 6.496. 4a In (a+ VW a®@—1)—2Y a?
6.497. na 2. 6.498. na—2 (a—6) arctg > . ® Перейти к полярным
lL
|
:
4
Зл
координатам: 6.499. > sh6. 6.500. — In ие ши 2).
6.501. г . 6.502. Ga. 6.503. V2 (e—1). 6.504. ye 6.505. ©
6.506. 4аУ 3. 6.507. ка (2 Ye), = Sa, 6.508. У
Цод ред. А. В. Ефимова, Б. П, Демидовича
449.
6.509. 8(2— 3). 6.510. 5 ла. © 0<p<3n. 6511. 5 УТ +
16
3°
6.516. 1аУ1(+29. 6.517. д 2. 6.518. = (sh 12-12). 6.519. a) вл
+ (2-НУ3);6)2+; =
V3
УЗ
6.522. тема (У 2-1). 6.523. a) 3ла* 60).
Е
+51 (я УТЕЕВ). 6.512. —а. 6.513. 2аУ 6. 6.514. аУЗ. 6.515. 8
‚ 6.520. 5" (2 У 2—1). 6.521. 48л.
6.524. (ИУз+чы ГЕИ >} . 6.525. а) 9л2а?; 6) 24па?. 6.526. Зла?.
6.527. 3 поз (3л—4). 6.528. 6л2а2. 6.529. 47202. 6.530. 2 na.
6.532. 5 ла? (2У 2—1) 6.533. = аз. 6.534. fa tg a.
т.
1]
nm
64
math
6.535. 15 6.536. af
6.537. 7° 6.538. 3 п. 6.539. 5—.
85
3ag
64 —g
6.540. a) ; = . 6.541. ТЕ Па. 6.542. Gwe’. 6.543. 05=":
+©
6.544. Ae (3 Bin (Y 2+-1)—2). 6.545. л2. ® | ка.
0
6.546. Y2+In(I+Y 2). 6.547, М. le Vipet—_Yo+
tin VB=1) (+ VTFA) Lez (+A)?8). 6.548, Meat,
3
1, =? ad, 6.549. M,=2a?, / „=“. 6.550. M,= 2a’, M , = 707.
—_4(sh1—ch 1+1)__
]
—_@(2-382)_
6.551.
х=
sh1
(1-в 59 )
4Y=—TsahipoTM
=> (esch 1-++ch 1). 6.552,.x=0, Ра. 6.553. === . 6.554. х=у=
2, 6.555. в. 6.556. x= sin (wt-+ g); ор и 6.557. =бс,
= 144 м. 6.558. 250 м. 6.550. 0,125 Дж. © По закону Гука сила
пропорциональна растяжению пружины. 6.560. 15 вулКЗН?.
6,561. = пулА?Н?. 6,562, oy eval 2, 6.563. + gynll?R?,
6,564, —- V 2 gyap, 6,565, ege{ ——— }; —“—. © Io saxony Kyaoua
~15
ab
a
сила взаимодействия зарядов в NycToTe paBua F =, тде х— рас-
стояние между зарядами. 6.566. 2066 |п1п2. ® При изотермическом:
Us
Npowecee pU= Pove. Работа равна 4= р 40, где и; и из — начальное
Us
450
`
#- *_
и конечное значения объема. 6.567. fos“(CirСо ) 1). ® При
эднабатическом процессе
рой, где
1,4. (закон Пуассона).
Раб
a-( Pod ay 6.568, 4 nyo®Rs. 6.569. Гот, ци
аботаравнаА= oR -
6
.
5
6
8
.
7, ay , 569. софту ина.
gyah*
=<:
9
6.570. и yalh3w?. 6.571. + ло?уК“Н. 6.572.
6.573. gynR?H. 6.574. = вла. 6.575. gynRH?. 6.576. 20,625 кг.
6.577.ок
чество теплоты, выделяемой постоянным током за время $, равно
Q=0,24/2Rt. 6.578. = | ВН 5,6 мин. ® По закону То-
ричелли скорость истечения воды’ из отверстия на расстоя-.
нии х от свободной поверхности равна v= У где ия 9,6.
@ Ilo закону Джоуля
— Ленца KOJIH-
6.579.
<
(a=|о.2лгdre SPiat Jor ryг4г—
лра*
pl
a __пра* + 6580. xin re G—rpa-
‘8
и
= P(e
|,Зы°
лк?
витационная nocton Anton, ® Применить закон всемирного тяготения.
6.581. x V 2s |1 мин. 6.582. = wah V 2gh.
‘6. 583. 0,5236. 6.584. 0, 1963. 6.585. 0,1178. 6.586. 0 ‚3926.
6.587. 1,7500..6.588. 3,2413. 6.589. 4,2218. 6. 590. 0,4969. 6.591. 0, ‚6082.
6. 502. 2 6291. 6.593. 0,3927. 6.594. 0, 2500. 6.595. 1, ‚4627. 6.596. 1,3419.
6.597. 0,8120. 6.598. 1,1184. 6.599. 0, 1728. 6.600. 4,3555. 6.601. 0 ‚6205.
6.602. 0,6076. 6.603. 1,‚5708. 6. 604. 0 ‚9160. 6.605. 0, ‚6651. 6.606. 0,7721.
6.607.
6.609.
FUNCTION R(A,B,F,N)
FUNCTION T(A,B,F »EPS).
H=(B—Ay/N
т=(FA)+FB)2.
X =A—H/2.
H=яА
DO 1 I[=1,N
N=]
X=X+H
1 Х=А mis
1 R=R+ F(X)
DO 2 1=1,N
RETURN
2T=T yt Ete )
END
“T2=T
6.608.
|
М=но
FUNCTION TR(A,B,F,N)
H=1/2.
H =(B—A)/N
Т=Т»Н
хе) РВ).
ЕР$! =АВ$(Т —Т1)/3.
Х=
IF(EPS.GT.EPS1) GO TO 3
DO 1Diet, N
RETURN
X=X-+H
3Т!=Т
1.ТВ=TR+F(A)
T=T2 :
TR=TR#H
СОТО1
‚
КЕТОВМ
END
END
451
6.610.
FUNCTION P(A,B,F,N)
H = (B—A)/(2#N)
1=0—
P2—0.
X=A. -
DO 1 I~1,N
¥=X+H |
P] = P1-+ F(X)
X=X-+H
1 P2= P2-+ F(X)
P= (F(A) = F(B) +2. «Р2-- 4. *Р)+Н/З.
RETURN
END
6.611. Для задачи 6.583 ответ записывается следующим образом:
FUNCTION F(X)
F =1./SQRT(5.-4.*X
— X#X)
RETURN
END
Для остальных задач оператор, определяющий значение Л,
следующий вид:
Е = X/(X#X+3.4X42.,)
F = (1+SQRT(X))/X#42
r= SQRT (1.4
X3)
= SQRT(1.-++- X#+5)
Fo) /SQRT(1.-F X44)
Pa! ./SQRT(1.—X*+#4)
F = 1./(1.+X #2) +0.333333
F —SQRT(X+#(I.—X))
F = X+ALOG(I.-} X)
F =EXP(X«#2)
F =E XP(X¥23)
F = EXP(SQRT(X)).
F = 1./ALOG(X)
¥=1.4X#82
F = ALOG(Y)/Y
F = ALOG(5.-++-4.*#COS(X))
P= BIN(X) — X)/SQRTX)TSQRT (A)
F = (X#0.333333)%COS(X)
F= SORTISIN(X))#SIN(X2,)
Е = (ATAN(X)— X)/X-++1.
F=EXP(X)/X
F = (SIN(X)—X)/X-+H1.
6.612. 6) Ответ приводится для задачи 6.597.
три Е
Y = R(0.0,0.5,F,N)
-
1.YI=Y
N=Nx2
Y = R(0.0,0.5,F,N)
EPS = АВ$((У1 — У) /3.)
452
‚
имеет
6.584)
6.585)
6.586)
6.587)
6.588)
6.589)
6.590)
6.591)
6.592)
6.593)
6.594)
6.595)
6.596)
6.597)
6:588)
6.599)
6.600)
6.601)
6.602)
6.603)
6.604)
6.605)
6.606)
IF(EPS—0.0001)2,2,1
2 WRITE (3,3) Y
3 FORMAT (’ HHTEFPAJI =’,F8.4)
STOP
END
® Задание для ЭВМ должно содержать три программы— указанную
здесь и две другие, полученные при решении задач 6.607 и 6.611.
Программа решения любой другой задачи отличается от приве-
денной операторами, содержащими обращение к подпрограмме- функ-
ции В, например для задачи 6.598 У =В (0. 0,3.1416,F,N)..
в) Отличие от приведенной выше программы B указанных. опера-
то
¥ ~P(0.0,0.5, F,N)
‘EPS = ABS((¥ l= Y)/15:)
6.613. Ответ для задачи 6, 600,
EXTERNAL F
Y =T(2.,3.,F 0.0001)
WRITE (3,1) Y
FORMAT (7 , ‚20. 4)
STOP
oe
END
oO
® См. указание к задаче 6.612 6)..
=
ГЛАВА 7
TA. S=V p (p=) (p— DEFY =P 0< xe pO <y<p.x+y>p.
7.2.1 == ИИ 58,0 < S< nl?. 7.3: suite VY waa
z> a 7.4. ху? << Юз. 7.5. ху?— В?. 7.6. ху? <В.
7.7. ити Re 7.8. x #y. 7.9. —lettyal. 7.10. ху < 0.
ТА. хх < 2х. 1.12. Полосы И
ча der
(Е—целоечисло).7.13.0<ху? 1.при.0<а<1,р 1при
а>1. 1.14. Два тупых вертикальных угла, образованных прямыми
у=0.и y=—2x, включая границу. без общей вершины (0, 0).
7.15. 4 х2-- у? < 9. 7.16. Криволинейный треугольник, образованный
прямой. у=2 и. Параболами у*= х, исключая вершину (0, 0).
7.17. Озфжл. 7.18. Часть. плоскоёти, заключённая между лучами
=-4ией,оВ"но.
7.19.
у?+22>R?,
7.20. оке, 2720. 7.21. ха-Р и? <1, 7.22. MEP H куб
— 5х, «< 1 (Е =1, 2, . ose, Mt). fa 23, п-мёрный sanunconx 24 #8
he, 7.24. f(2, 1) =1/4; Ра, 2) =4; f (3; 2)
И
an
(аа —a)=1. 7.25, f(—3, 4) =— 24/25, Fl yi)=F (sy).
7.26. Yi-px®. 7.27. f (x) =x2—x; 2=2y4-(x—y)*. 7.28. a
_
Щи|
_4
uv.
—
Обозначим и=х-Ни; v= с. Torna x Её’ = Го 5 Р(и; 9)
453
ua
ury2 и? (1—5)
—@-о: Ce То
|
и и овхии. No7.29. а) х4— т -- 24; 6) ety? 7.31. a) COS2%;
. Остается переименовать переменные
6) cos (x2—y?). 7.32. —6. 7.33. 1. 734. 0. 7.35. е. 7.36. 1.
7.37. lim 2= 5
вдоль прямой y=kx; limz=3 npw k=4/8;
KX» 0
—
..
y>0
lim 2—2 при k=3/2; limz=1 npn k=2; fimz=—2 npn k=1/2.
7.40. He имеет. 7.41. Не имеет. 7.42. ® Рассмотреть изменение х и
у по параболе у=х?. 1.44. (1, —1). 7.45. (т, п), где m, nEZ.
7.46. Линии разрыва—прямые х=Ёл и y=mn, roe #, тЕФТ.
7.47. Линия разрыва — окружность х8-- у? =1. 7.48. Линии разрыва—
прямая х-- у=0 и параболау? =х. 7.49. Линии разрыва
— окружность
ху =| и гипербола х? — 2 =]. 7.50. Поверхности разрыва
— коор-
динатные плоскости =), у=0, г=0. 7.51. Поверхность разрыва—
SUNCOM aStS r+
. 7.52. Поверхность pa3pblBa— koHyc
х2-|- у? _2=0, 7. "5.
аъ разрыва —однополостный гипербо-
лоид x*-+-y?—z%*=1]. 7.54. Поверхность разрыва
— двуполостный
гиперболоид х2--у2—22=—|. 7.55.
54—155, ==By!—
2
22
2.
— 15х38, С 209 — 30xy', = y= —45x7y?, ‘ae== 20y° — 30x3y.
2OZ
yOZ
1022QyOz
1 022
7.56. =U ИР, ба, бед!’ д =
Ox(2my
ду—(yy? *Oxt (x2
+ y2)8/2
072
ax4y?
Oz
3x3y
Oz;
ху
DeByaEyy биahye” И,
902
ар—
—2)e-,
—2)e- 22
oy
хе“Y,==y(xy“le*
Oxay *У 2)eХУ, dy?
og
02 —s cosy? 02 _ Зузту? 02 250$ и?
= xe xy. 7.ve
Ox
x2уи
x
’on
x3
,
022 Зузш
022 2$ и2-|- 492 с0$ у
-
=
—=-
—
. 7,60.’ <? yt iny
OxOy xz *—Qy?
x
Ox
,
д
_
,
022
032 No
022
бу=9 Fer yin’, Эх д"; У, age ED
‚
02 2х dz 2y Oz2(y2—x?) 022
Y 2% TS сити Wyte OF GEER Ody
_4xy Pz 2(x*—y") 7.62. дг__ _узвпх 02 |x]
ит, дя ру,
оау’дупу
022_ 2хи
O72, (y?— x?) sgnx
Oz
2|х|у
Ox®(и-у)а * Oxdy (у ° д (ха--у)?°
7.63. ди
x
О?ц— 2х2—у?—22
0?ц =.
Ox пруа’ 9 a yeyease’—OxOy
Зху
Ou° 2[и\2ou2fy\2ди
7.64. И, [7
бери -{- 22)5/2
дх
х\х
Oy у \х)]’ 02
в. ди _ 2(2--1) [9\2 0и 2(2—1) [у\2 и _
Ах
х0
хх)’ 0
Op 21'ez—
454
|
(4£\
[и ди=
y\2 19
(с x’ Oxdy ху
Ox Oz
|
x2,
их,
ди__4
92
у
Ou
2 344
__
344
.
ид: =F (4) 1+ ап L). 7.65. 5х =y 234 +3, —oy = 2xyz3tt—4:
ди .Ou
ди
Phхано,9ум—|, =0 2x00,Fea
2-
2
;
и = 2yz°t', LU _3y? аа os
Oz
Yu ot
9
Ox? ’ oy?
—
2.{4 ON
23 ;2
—
—бу2",oF хугг,OxOy
OxOz at, ’Beate=
_ 41/2313. и
244 Oe By 19343 ou
25243
= 4y72°05,
By 02 ==бхуг? А, dy at 8xyz2°t3, 2 Ot 12xy2228,
7.66. f,(3, 2)=56, fy (3, 2)=42, frx (3, 2) =36, ute 2)=31,
3, 2)=6. 7.67. fe (l, 2)=eet—1), fy(l, Y=, к, 2) =
=e (Set*—I1), fry (1, 2) =8e5, fyy (1, 2) = 18e°. 170. р, 1) =0,
er
one
eee
ди
,
fey©. =2 fey© Y= fry, =O. 7.71.Oxdy BEOn —
48 (x —&)?
2
=54 See
me r=V 8+ —H?.
fy
,
ОР+Чи
5
ie ay 3=—6 (с0$ х--со$ и). 7.73. хр диа = Р\Ч! 7.18. г? со$ 0.
7.85. [х (0, 0) =Р, (0, 0) =0. ® Проверить, ‘что, функция. равна’ “нулю
во всех точках осей Ох и Оу, и использовать определение частных
производных. 7.86. ® Проверить, пользуясь правилами дифференци-
рования и определением частной производной, что fy (x, y) =
r—y?
4х2?
РИ
ал 3+
on |приx? y?#0,fx(о, 0)=0, и,'следова-
тельно, :Ёх (0, у =— у. Отсюда fry (0, y= hey (0, 0) = —1. Аналогично
находим, что [их (0, 0) =1. 7.87. А2г=0, 3, d2= 0,8. 7.88. Az=0, 0187,
dz=0, 0174.
7.89. dz=
4+-
VFiUs ИР) Vere
1
x
7.90. de—=——4—_ (2x dy— yde). 7.91. de=—yte (x dy —y dx).
x2 cos? 2
4g
oS
x
Q
7.72.
7.92. cae dytin(ey) de). 17458. Чи) х
x
пхаат--хе пдаж4х,—хе*sInxyImx4dg+
ho a . 7.94. df,2, == Se—2(e+By) . 1.55. 8,99.
7.96. 2,95. "7.97. 0,227. 7.98. 8,2 мз. 7.99. Уменьшится на 1,57 см.
7.100. Увеличится на 617, 5 см. 7. 101. ‚42 =3х(х-- 2) хе ЧАШ,
dz =6((x-+-y)dx® + 2x dx dy ——y dy). 7.102. dz=(x dy— yan( ete =}.
42—29 (4 ат (тт dxdy—— dy? .
7.103. dz=
_2g
__28
_РЕ пб ахtoyея x"ay" 1704.dz=
И
(х?-{- 2ху)?
2
=x"dy—xydx ,vz— И ЗИ (у(2x?—y?)dx3 2x(2y"— x8)dxdy—
(x2 4 уз)! (x2 + y%)9
455
— BaF yedy2). 7.105,› да ert tge txt Hida (ху а, =
=vy ye4xy+f2)d+ 2OLY)(xy+2)axduaebay$2)asdy?).
7.106.а(т2 )&-- dy;@z=—Geeуdxdy atdy?.
1
7. 107. dz=обр
(иax—xdy),_d?2—— (2x2opOxy и?) x
x (2y (2%-+-y) dx?
+. 2 (y? — 2x?) dx dy— 2х (x+y) dy?).
7.108. du=
= (yz) ах- (2+)
dy+ (x+y) dz,.
‘d®u = 2 (dx dy-+-dydz +
+dzdx). 7.109. du=exv2(yzdx-+2xdy+xydz); dha=ey?((угdx+
+ zx dy xy dz)?-++-2(z dx dy-x dy dey d2:dx)).
“7.110. az =
=ey (— cos
xdx}—3sinxdx?dy 3.cos
x dx dy’ isin a) 7.111. аЗи=6
— б-раа —захдуа). 7.112. du =
oe.
7.113. d®u
= e9xtbyrez (a dx-+b dye dz)TM. :
~
dz
=
'dz
и
°
—= 2х—3у
2¢—
—
—-
-
7.114. We
eet{—3(2 1)..|7.15.at ху57|
42 _ е?1(х— у)
du _¥ (2+ 2yt?) —yatet
+In x cost). 7.116. Ti ap ou at =
ie—
702
e*®
dz_2*--ей(хEY)
02_
42(2 05. "7.120. oe —91“(ux —
Не
dx yrP+(x+1)? `
Ox
v
имо
92о nu,wy
г
ag
ag
— “8ve). ea он) таз dz= - ((2uv 02) sin y- ‘(wa
— 2uv)
ysinx)
се у- (и"— ыы cosx) dy. 7.122:Ze
Oz
=хр(и,)—eIЕмы(м,v), wy
aye fu la, — -3fy (u, v).
‘7.423. te хзape (u,. v) -+ yf, (u, v), +
aaah
v)—
a hau, 5). 7.124. dz =(Bx4folu, v9 (ws v) sin (Ay) ах —
_ esp (ху). [и (и, 0). +7fo (i, .0)) dy. 7.125. da, (cos = fu (u, v) +
-++- —5ву: fo(u, 9} 6 ах—х 4у). 1.126. du = (Qsfx (x, Ys. 2-25}, (х,
у, 2) 24 (x, у,2))ds-+ (2 (x,y, 2)—2ify(x,y, 2)2; (х,у,г))dt.
7.127. Seal, @ 1, Хз, Xs; xa) +f, (%4,: Xe, Bay жа) By, (41, . ха) +
ЕЁ: р же жа; 24) (hy, (ay Xa’ ¥3) 4-hy. (hy Xe хз) By, Cr xa),
= =},„(1, Ха, Хз, ta)+h, (1, Хз, Хз, ХЕ», (%1, ха)FF Oa, Xo,Хз,
a2
xa) (hy, tia s+, (x1, 708, (x4, %3))- 7182.55 == Уи (и, 0)
+Alu(и,О (u,v),aaxoy "0h (u,yh (awha(u,
хо, D+ ~fou(u,v)+
+2 (и, 5). ^7.133. ry i Fe ait ely
456
uv)—oaloи,v),ao
ии (и, y=
o
92
п
“
,
и
Ww.
и
a
02
1.134. а == [а -- уаз -- у222[з + Aah +. 2yzfia + 2y2fas,. эй =
.
”
.
”
1,
и
‘ди
°.
O2u
== хр No 2х2ароз -[ ха], Fat——= xy faq, 5х9
Oxdy ties~+xyz2+
и
и
”`
O74
+ xfia -- xzfis + 2xyzfas + fr + zfs,
OxOxOz=xyfis+дур +
+ ху? г]зз - yfs, ou ax *yfas+ x*y2fsa+ xfs).
7.137. `4?и =
= 4f" (f)- (x dx-+ ydy-+2 dz)?+ 2f! (t)-(dx?--dy?-4-dz%), 1.138; аи =
=afi,dx?+ bfo2dy®+cfgdz?+Qabfiadxdy+2achisdxdz+
+ 2bef2s dy be 7.139. 422 = ($12 у. [ми— у sin
x sin-y- ‘fav y? sintx x
fou —y cos x- fy) dx?+ (x sin 2y- fuu-+2 (sin y tos x —xy sin x cos Wiuv—
—ysin2x-fov+2(cosy-hu—sinx-fo))dxdy+(x2cos?yши +
ау yapa vey
2
__
2
=
+ 2x cos хсо5 у. fav-+cos х. foo -хту. fa) dy?. 7.140. dx — Хе — yer *
dy y COS x+sin (x—y)
dyхиоа?у
.—
. .14
7
РУ
714 dx sin ey
м a dx xty+1’ 4х?
2). -..
ах =1
y=1
= WFD
гаай= у
dy
| дcs
da} 3°
x=1
=
yh
|
oo.
уг (х-2)—2 = dz ха (х-2)
7147, _
у (х--г)’ - Oy 23+ Qxy (x2) °
Ox
_Fala,v)+2xFy(u,vy) 02___Ки(и, УРи,1 one
Fu (4,Yb22Fo (u,v) OY Fu, v)+22Foy, 9)"
ину а, оу га. 1.148. =
ее[о (и, 9).
||a
0х у (и, о)--хех, (п, 0)’
Oz
fu (4, 9)
где и-= уг, v=e**, 7.140. ‘de =
ду Уи(и,и)хех?| (и,9
а
__ 2ах—а (1-22? ay ‚9 15
у? (2-{ 3х2) ах-|- (Зи ет) ay
252
0.—
2/
°
y (1-F x22?)—
|
|
и (е*!*’
—ху). ;
пл. 2-2, 2
02МЭ т,02._oe
Ox 1-4-2’ Oy 1-2’ бхди. (+ 23°
Ox OxOy
—0%2_
ху2
2___ 2) dy.
Oy? ми 7.153.:2—ae Meyee dy+
|
‘dy
dz ‚ty
}az.5
~
2.
2
2
:
и
=.
-
:
__
,®
—__
+ 9? — а*) ду"). 1.1571.. Ox
Sie3?des 8°diis*
4
4
|
7.158. dy==—— dx, dz=2 dx, dy у53 (4x?+ 5y?) dx? ре
би’
52
|
x2) dx2
=1.
==
НБ3(522.— ie.
7.159. du:
xXy
’
2) В ответах к задачам 7. 134° и 7. 138 через {{ и fy сбозначены
частные производные функции | (фл (x, у, г), фз (х, у, 2), Фз (а, и, 2)
по переменным pj WIN Qj UW Q;.
|
‘457
ила
d?y——d?4— а((и—и)а-(у—
ух
(x
— v-t-u—x)
dx dy+(v—x) dy*). 7.161. 2 —u0?+-urv, sprue ate:
7.162. w= cosucthy, seep sin w eth,
7.163. 4г =
=“ © cos u—u sin и) ах--(и cos v-+- usin v) dy). 7.164. dz =—3uv dx+
+5 (w+) dy. 7.165. 4 —y==0. 7.166. ht y= 0. 7.167. г
+540. 7.168. pale, 27.169. w=r oe 7.170. ac =<,
7.171. au oe . 7.172. ш= и ат oe 7.173. w=
=: ot art sareSE ря Гы м 7.174. 5-0.
7175. я =0. 7.176, их =
"7.177. f (xh, yk) =xy?-|-y2h-2xyk
+ Qyhk-xk?-]-Ak®. 7.178. Af (x,
y)=—h?4-2hk4-3k?. 7.179. f(x,Ри Эва 2)
3—2) у П—6(и—1)-(«—2)8—2(и—1}8. 7.180. fF (x 4-A,
ие, гда, у ав ку) Ех 4y—22—1)
41(62—
—2 y —4) + h?+ 2k? + 3l%-+ Ak—2kl. 7.181. f(x, y, 2) =8—8 (yt+1)+
ее
1)?
+ (2z—2)?—2 (x—l) Y+-1)—2 (x—1) x
x eRe
7.182. f (x, Halt +5 (y? —х?) --
4- т (А-З -о (р), ле р= ИИ. 1.183. Fe, W=xy-+
+a (ey? —y)+-0 (p'), rae p=V x+y?. 7.184. f (x, y)= 1 —(x—)+
+(y =1)Hee—1)? (&—1)G1)
— (& — 19 He — 1)? (Y—1)4-0 (63), где
p=V &— 1 -+(и—1). 7.185. f(x,y, 2)==(x—1)4+(y—1)—
— 7 (1p (y— 1)?-F- 224-0 (p”), rae p= V(x— 1)? (Y— 1)? 4-2.
7.186: z=1 += (1) — (y— 2 «— 1—5 (y— 1)?-{-0 (p%),
где p==YV (x—1)?4-(y—1)?._ 7.187. 2min=—9 при ‘х=0, у-=3.
7.188. 2max == 1/64 при х= 1/4, у = 1/2. 7. 189. 2пип
= — 4/З при х-==0,
ох В стационарной точке (2, °— 2/3) экстремума нет.
7.190. гг= 30 при х=5, у=2. 7.191. 2пцп = 19—18ш3 при х-=1,
у=3. 7.192. 2тш =— 28 при х=2, У-=1|; ‘2тах=28 при x==—2,
у==—_ 1. В стационарных. точках (1, 2), (—1, —2) экстремумов нет.
7.193. 2ща=0 npn x=y=0. B стационарных точках (—5/3, 0),
(1, 4), (1, —4) экстремумов нет. 7.194. гти=0 при х=у==0;
2нах =2е-`1 при х=+ 1, у=о0. В стационарных точках (0, +. 1)
экстремумов нет. 7.195. гиах= при х=у=0. 7.196. ити
== —14
при х=2, у=р— 3, 2=1. 7.197. итах==1/77 при х=у=а=1/Т.
7.198. Umin = 2°/4 при х=21/^, у—21/2, 2-23/*. 7.199. Уравнение
определяет две функции, из которых одна имеет максимум (2тах :-6)
при х=— 2, у=|, другая —минимум (2пии == —.2) прих == —2, у=1;
в точках окружности (х-{- 2)? -- (у— 1)? =16 каждая из этих функций
имеет краевой экстремум 2 = 3 ® Указанные функции определяются
явно равенством 2г=2 + У 16— (х-|- 2)2— (у—1)* и определены только
458
внутри и на окружности (х-|- 2)? -| (у— 1)? =16, в точках которой обе
функции принимают значение 2=2. Это значение является наименьшим
для одной функции
и наибольшим для другой. 7.200. Уравнение опре-
деляет две функции, из которых одна имеет минимум (2тп==1) при
х=0,и=—2,адругая
— максимум (тан 8/2) при х= 0, и= 16/7.
7.201. 2т1п
= —19/4 при х=у=— 3/2. 7.202. 21п=2 при х=у=1.
7.203. 2min=— 1—2V2 npux=—1/V 9, y=1/V 2; 2max=1—2V 2
при х=1/И 9, у=—1/У 2. 7.204. г. =0 прих=1, и=0; 2тах
= 1/27
при х=у= 1/3. 7.205. гти=—И 5 при х=—2/У5, у=- ШУ 5;
2тах =У 5 при x=2/V5, y=1/V5. 7.206. Umin=—18 при
х—= —4, у=— 2, 2=4; ling, = 18 np x 4,y=2,z=—4. 7.207. umin=4
npyx=y=0, z=+2; итах=16прих=+4, у—2—0: прих
= =0,
y= 3 экстремума нет. 7.208. итах= 2% при х=у=2=2. 7.209. итах=2
в точках (2, 1,1), (1,2, 1), (1, 1,2); ить = 50/27 вточках (2/3, 5/3, 5/3),
(5/3, 2/3, 5/3), (5/3, 5/3, 2/3). 7.210. ® Искать минимум функции
или -| 23)/3 при ху--2=$. 7.2. а) 2наиб=6 при х=1,
у=0; 6) 2наиб =5 при х=у=0. 7.212. 2,.,6 =6 при х=3, у=0и
при х=0, и=3; 2наым=—1 при х=у=1|. 7.213. 2наиб =1/2 при
х=у= + ПУ 2; 2нанм =— 1/2 прих=—у= + 1/V 2. 7.214. _наиб=
=2/(3У
3) при х=НУ 3, у=-У 2/3; гизим — —2/(3 УУ 3) при
х=-ИУ 3, y=+V 2/3.
7.215. a=j/a a: И <. Иа.
7.216. Куб с длиной ребра а. 7.217. Куб с длиной ребра
a/V 3. 7.218. Координаты искомой точки равны средним
арифметическим — координат вершин.
7.219. Длины — сторон
параллелепипеда: 2Ю/У 3, 2Ю/У 3, В/У 3. 7.220. Длины стерон
_ 2/5
|
22R, к2К,
треугольник с длиной боковой croponn allesin a /2). 7.222. (—12/5,—3/5),
(12/5, 3/5). ® Достаточные условия экстремума заменить геометриче-
Y3—-1 14¥V3
ИЗ’ 22
ваться. выражением площади треугольника через координаты его вер-
mun. 7.224, x=y=2— 3/0426, 7.225, xT ahah tnkn
|
тт. --...т, '
__ Mai + Moyet -- -tMnYn . 7.226. sin@ <4 . е Очевидно, точка М,
параллелепипеда
zz: 7.221. Равнобедренный
скими соображениями. 7.223. С (
) . ® Воспользо-
My-+ Ma... Е тр
sin p
в котерой луч переходит из одной среды Е другую, должна нахо-
а
и В;, причем
АМ =——.
—=—-
M=atga
диться между А: и Ву, пр
cosa’
cos B’ AiM=atg a,
В.М =510 В. Продолжительность движения луча равна соа -+
1
+ —— =. Задача сводится к отыскавию мивимума функции
VgcosB
ь
—
+
.
t
t
=C.
fa, В)=01COSO|0,0$В при условии, что аgab gBp=c
7.227. а=В. 7.228. Из... 1, 1
n=Ry.К: еееВ.‘ ® Найти
минимум функции h(i, bas eee в) = ПАВ, +...
при
459
Ntlat tin Sl. 7.229, a) x—y—
22} 1=0,
|
С.
В
ye
5
.
. 2—2:
ay
—: 2.)
62—99 —
1ул
в-.7.230. ue.
==
6) х--ег 2—0, =
=—
OV6
‚1
1
и
Lo
7.231. cos a==——— , cossp=—————_, COS p= — ———.. 7.232. 4x + y+
|
V6
V6. у
6ra
+ 2z—78=0. 7.233. a) Ox + 7y — ees 0, peel,
“yty—4z=
57. на, =
0) xty—42=0, [= 1 == B= OKO
(в точке’ (0, 0, 0)); 2=-—4,
а
(в точке
1
(0, 0, —4)). 7.234.
= = ait",
7.235. В точках
(0, +2V 2, 2У 2) касательные плоскости параллельны плоскости
Оху,вточках(--2,14,+2)—плоскостиОхг,вточках(+4,42,0)—
плоскости Оу. 7.237. а) х со$ Ф-Рузш фу, —218 & =0, ¥— So COS Фо
COS Po
—Го$11
z—r, ctga
—7—
Fo
o's > 6)axsinv9—ayCOSUpиг
= аи,
SiN Po
—tga
Хх—10С030__У—ШоЧ%_2—@%
7.238 cos p= 2629
asin U9
~
— ACOSly
uy‘
°
aV ao
® Углом между двумя поверхностями в точке их пересечения назы-
вается угол между касательными плоскостями, проведенными к этим
поверхностям в данной точке. 7.239. @ Поверхности называются
ортогональными, если они пересекаются под прямым углом в каждой
точке линии их пересечения. 7.240. Изолированиая точка (0, 0).
7.241. Узел (0, 0). 7.242. Изолированная точка (0, 0). 7.243. Точка
возврата 1-го рода (1, 0). 7.244. Точка возврата 2-го рода (0, 0).
7.245. Точка самоприкосновения (0, 0). 7.246. (0, 0) — изолированная
точка, если а < 0; узел, если а > 0; точка возврата 1-го рода, если
а=0. 7.247. Узел (0, 0). 7.248. Точка возврата 1-го рода (0, 0).
7.249. Угловая точка (0, 0). « Показать, что lim 5 y’ =0, lim of =1.
х=+
i>-
7.250. Точка прекращения (0, 1) ® Показать, "TO jimn yal.
7.251. y=— x7/4, 7.252, x?+y?= p®. 7.253, x= +R. 7.254. rub
4
—_— x2
2/34 2/3 2/3.
__
щей нег. 7.255. у= 3 x*.7.256, x8 ty" =1
7.257. у? = on
7.258. а) Дискриминантная кризая у==!| является огибающей и мно-
жеством точек перегиба данного семейства; 6) дискриминантная кри-
4
вая распадается на прямые: Y=X—y (огибающая) и у=х (мпоже-
ство точек возврата 1-го рода); 5, дискриминантная кривая иу=|
есть множество точек возврата |-го рода и не является огибающей;
г) дискриминантная кривая распадается на прямые: х=—а (огибаю-
щая) и х=0 (множество узлов).
7.259. а) | г, 0,0043%; 6) | мм, 0,12%; в) 1’, 0,066%. 7.260. |) А=
= 0,002 км, 6=0,008%; 2) А=30 м?,6 —2%. 7.261. Первое. 7.262. а) 0,05,
460
0,14%; 6) 0,005, 6,25%. 7.263. 29,2 и 3,2. 7.264. 1) 5,373, 0,0004,
0:0074%.2) 5,73, 0,0026, 0,048%; 3) 5,4, 0,0274, 0,51%. 7.265. 202.10-+,
188. 104, 600. 103. 7.266. а) Два, 41-10%; б) один; 8-10-2. 7.267. Не меньше
чем с двумя знаками. 7.268. Не меньше чем с тремя знаками.
7.269—7.273. @ Воспользоваться формулой (1) $ 4. 7.274. 185,7.
7.275. 1,3.102. 7.276. 71,88. 7.277. Вычитание произвести нельзя.
1.278. 61,5. 7.279. 512.10. 7.280. 3,3. 7.281. 3.10. 7.282. 66.103.
7.283. 7,397. 7.284.< 12л см?,
< 8,3%. 7.285. = 0,436. 7.287. < 0,17 мм.
7.288. 2,74 0,1 г/смз, 7.289. По принципу равных влияний К измерить
с относительной. погрешностью 0,25%, а высоту Н с относительной
погрешностью 0,5%. 7.280. 12”. 7.291. 4. 7.292. 4: 7.293. По принципу
равных влияний л можно взять с тремя верными знаками в узком
смысле, радиусы измёрить с точностью до 0,8 см, а образующую
с точностью до 1,25 см.
СБОРНИК ЗАДАЧ
|
ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ВТУЗОВ
Линейная алгебра
и основы математического анализа
Под редакцией А. В. ЕФИМОВА, Б. П. ДЕМИДОВИЧА
Редактор Ф. И. Кизнер
Художественный редактор Г. М. Коровина
Технический редактор В. Н. Кондакова
Корректор Т. С. Вайсберг
ИВ. No 12974
Сдано в набор 11.06.85. Подписано к печати 28.02.86. Формат
84х 108/32. Бумага тип. No 2. Гариитура литературная. ‘Печать высо-
кая. Усл.. печ. л. 24.36. Усл. кр.-отт. 94,57. Уч:-изд. л, 29,43; Тираж
140 000 экз. Заказ No 4758. Цена 1 р. 20 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука»
Главная: :редакция физико-математической ‘литературы
117071. Москва В-71, Ленинский проспект, 15.
Ордена Октябрьской. Революции: и ордена Трудового. Красного Знамени
МПО «Первая образцовая типография» имени А. А. Жданова
Союзполиграфпрома при Государственном комитете ‘CCCP
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
113054. Москва, Валовая, 28.
Отпечатано с матриц в типографии издательства «Коммуна».
г. Воронеж, пр. Революции, 39.
462
Llena? p. 20 x,