ОСНОВАНИЯ
МАТЕМАТИКИ

PRINCIPIA MATHEMATICA
BY
ALFRED NORTH WHITEHEAD, SC.D., F.R.S.
FELLOW OF TRINITY COLLEGE, CAMBRIDGE, PROFESSOR OF PHILOSOPHY
IN HARVARD UNIVERSITY, AND SOMETIME PROFESSOR OF APPLIED
MATHEMATICS IN THE IMPERIAL COLLEGE OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
AND
BERTRAND RUSSELL, M.A., F.R.S.
LATE FELLOW AND LATE LECTURER OF TRINITY COLLEGE, CAMBRIDGE
VOLUME I
SECOND EDITION, REPRINTED
lH
4
f h.
ihtHgHtfam ||
JhtVmhm^fkmrft»^ II
WpaMUM II
£» '
CAMBRIDGE
AT THE UNIVERSITY PRESS
1935

АЛЬФРЕД Н. УАЙТХЕД
БЕРТРАН РАССЕЛ
ОСНОВАНИЯ
МАТЕМАТИКИ
В трех томах
Том I
Перевод со второго английского издания
Ю.Н. Радаева, И.С. Фролова
Под редакцией доктора физико-математических наук,
профессора Г.П. Ярового;
доктора физико-математических наук,
профессора Ю.Н. Радаева
ИЗДАТЕЛЬСТВО "САМАРСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ'
2005

Печатается по решению
Редакционно-издателъского совета
Самарского государственного университета
САМАРСКИЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ
УДК 517.11
ББК 22.12
К 13
Уайтхед А., Рассел Б.
К 13 Основания математики: в 3 т. Т. I / А.Уайтхед, Б.Рассел; пер. с англ.;
под ред. Г.П.Ярового, Ю.Н.Радаева. Самара: Изд-во "Самарский
университет", 2005. 722 с.
ISBN 5-86465-359-4 (общ.)
ISBN 5-86465-360-8 (т.1)
Трехтомная монография А. Уайтхеда и Б. Рассела "Principia Mathematical
занимает уникальное место в мировой математической литературе. Ее первое
английское издание увидело свет в 1910-1913 гг. в трех томах, составлявших
вместе почти 2000 страниц. "Principia Mathematics по праву считается одним из
самых ярких сочинений по основаниям математики и, в широком смысле, —
выдающимся вкладом в интеллектуальную сферу прошедшего столетия. Не будет
преувеличением сказать, что по прошествии почти целого столетия с
момента первого издания этой монографии интерес к ней не ослабевает и "Principia
Mathematics до сих пор продолжает оказывать весьма существенное влияние на
развитие математики и логики. Первый том этой монографии выходит в свет
в рамках перспективного проекта, реализуемого Самарским государственным
университетом, по полному переводу на русский язык и комментированию
указанного сочинения с целью приобщения всего научного сообщества к этому
выдающемуся образцу творческой мысли. Предполагается, что современный перевод
на русский язык "Principia Mathematics восполнит также существующий
пробел в литературе по математической логике и основаниям математики, а также
будет способствовать развитию формальной математики в духе ее
основоположников.
УДК 517.11
ББК 22.12
ISBN 5-86465-359-4 (общ.) © Cambridge University Press, 1935
ISBN 5-86465-360-8 (т.1) © РадаевЮ.Н., ФроловИ.С.,
перевод на русский язык, 2004
© Самарский государственный
университет, 2005
© Изд-во "Самарский университет",
оформление, 2005

Содержание
Предисловие редакторов перевода 9
Библиографический список 21
Дополнительный список литературы 22
Предисловие 25
Введение ко второму изданию 33
Введение 71
ЧАСТЬ I. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА 163
Введение к части I 165
ГЛАВА 1. ТЕОРИЯ ВЫВОДА 169
*1. Базовые понятия и предложения 170
*2. Непосредственные следствия из базовых предложений 177
*3. Логическое произведение двух высказываний 188
*4. Эквивалентность и формальные правила 193
*5. Смешанные предложения 200
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ КАЖУЩИХСЯ ПЕРЕМЕННЫХ 203
*9. Распространение теории вывода от низших к высшим типам
предложений 203
*10. Теория предложений, содержащих одну кажущуюся переменную . 215
*11. Теория двух кажущихся переменных 227
*12. Иерархия типов и аксиома сводимости 237
*13. Тождество 245
*14. Описания 250
ГЛАВА 3. КЛАССЫ И ОТНОШЕНИЯ 265
*20. Общая теория классов 265
*21. Общая теория отношений 278
*22. Исчисление классов 283
*23. Исчисление отношений 290
*24. Универсальный класс, нуль-класс и существование классов .... 293
*25. Универсальное отношение, нулевое отношение и существование
отношений 304
А. Н. Уайтхед , Б. Рассел

6 СОДЕРЖАНИЕ
ГЛАВА 4. ЛОГИКА ОТНОШЕНИЙ 307
*30. Дескриптивные функции 307
*31. Обращение отношений 313
*32. Референты и релятивы данного терма относительно данного
отношения 316
*33. Области, обратные области и поля отношений 320
*34. Относительное произведение двух отношений 328
*35. Отношения с ограничениями областей и обратных областей .... 336
*36. Отношения с ограничениями полей 346
*37. Множественные дескриптивные функции 348
*38. Отношения и классы, производные от двойной дескриптивной
функции 363
Замечания к главе 4 366
ГЛАВА 5. ПРОИЗВЕДЕНИЯ И СУММЫ КЛАССОВ 369
*40. Произведения и суммы классов классов 372
*41. Произведение и сумма класса отношений 382
*42. Различные предложения 386
*43. Отношения относительного произведения к его сомножителям . . 390
ЧАСТЬ II. ПРОЛЕГОМЕНЫ К АРИФМЕТИКЕ
КАРДИНАЛОВ 393
Введение к части II 395
ГЛАВА 1. ЕДИНИЧНЫЕ КЛАССЫ И ПАРЫ 397
*50. Тождество и различие как отношения 399
*51. Единичные классы 405
*52. Кардинальное число 1 411
*53. Различные предложения о единичных классах 416
*54. Кардинальные пары 423
*55. Ординальные пары 429
*56. Ординальное число 2Г 439
ГЛАВА 2. ПОДКЛАССЫ, ПОДОТНОШЕНИЯ
И ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ТИПЫ 447
*60. Подклассы данного класса 450
*61. Подотношения данного отношения 455
*62. Отношение принадлежности классу 457
*63. Относительные типы классов 462
*64. Относительные типы отношений 471
*65. О типовом определении многозначных символов 476
Principia Mathematica I

СОДЕРЖАНИЕ
7
ГЛАВА 3. ОДНО-МНОГОЗНАЧНЫЕ, MHO Г О-ОДНОЗНАЧНЫЕ
И ОДНО-ОДНОЗНАЧНЫЕ ОТНОШЕНИЯ 479
*70. Отношения, классы референтов и релятивов которых принадлежат
заданным классам 482
*71. Одно-многозначные, много-однозначные и одно-однозначные
отношения 488
*72. Различные предложения, касающиеся одно-многозначных,
много-однозначных и одно-однозначных отношений 501
*73. Подобие классов 513
*74. Одно-многозначные и много-однозначные отношения
с ограниченными полями 525
ГЛАВА 4. ВЫБОРКИ 535
*80. Элементарные свойства выборок 540
*81. Выборки из много-однозначных отношений 553
*82. Выборки из относительных произведений 557
*83. Выборки из классов классов 563
*84. Классы взаимно исключающих классов 571
*85. Различные предложения 578
*88. Условия существования выборок 588
ГЛАВА 5. ИНДУКТИВНЫЕ ОТНОШЕНИЯ 595
*90. Об отношении предшествования 602
*91. О степенях отношения 610
*92. Степени одно-многозначных и много-однозначных отношений . . . 624
*93. Индуктивный анализ поля отношения 629
*94. О степенях относительных произведений 637
*95. Об эквифакторных отношениях 645
*96. О потомстве терма 655
*97. Разбиение поля отношения на семейства 670
ПРИЛОЖЕНИЕ 1 681
*8. Теория вывода для предложений, содержащих кажущиеся
переменные 681
ПРИЛОЖЕНИЕ 2 697
*89. Математическая индукция 697
ПРИЛОЖЕНИЕ 3 705
Истинностные функции и другие функции 705
УКАЗАТЕЛЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ 715
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ ПЕРЕВОДА
9
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ
ПЕРЕВОДА
Настоящим изданием мы начинаем опубликование на русском языке
фундаментальной трехтомной монографии А. Уайтхеда и Б. Рассела
"Principia Mathematical1. Предполагается, что два оставшихся тома будут изданы
в течение ближайших трех лет, завершая тем самым проект по полному
переводу "Principia Mathematical? на русский язык.
Трехтомная монография А. Уайтхеда и Б. Рассела занимает уникальное
место в мировой математической литературе. Ее первое английское
издание увидело свет в 1910-1913 гг. в трех томах, составлявших вместе почти
2000 страниц1. "Principia Mathematics по праву считается одним из самых
ярких сочинений по основаниям математики и, в широком смысле, —
выдающимся вкладом в интеллектуальную сферу прошедшего столетия. Не
будет преувеличением сказать, что "Principia Mathematical оказала настолько
существенное влияние на развитие математики и логики, что по
прошествии почти целого столетия с момента первого издания этой монографии
интерес к ней не ослабевает. По нашему глубокому убеждению, перевод
на русский язык трехтомной монографии А. Уайтхеда и Б. Рассела
восполнит также известный пробел в литературе по основаниям математики2 и
будет воспринят как совершенно необходимый шаг в направлении приоб-
1 Второе издание вышло в свет в 1925-1927 гг.
2Заметим, что круг фундаментальных русскоязычных литературных источников по
математической логике и основаниям математики весьма ограничен и, по существу,
исчерпывается двухтомной монографией Д.Гильберта и П.Бернайса "Основания
математики", перевод на русский язык которой был опубликован в 1979-1982 гг. через
сорок лет после выхода в свет оригинального немецкого издания. Необходимо
отметить также книгу "Основания геометрии" Д.Гильберта, перевод которой на русский
язык с седьмого немецкого издания 1930 г. вышел в свет в 1948 г., и особенно три
добавления к ней "Об основаниях логики и арифметики" (1904 г.), "Обоснования
математики" (1927 г.) и "Проблемы обоснования математики" (1928 г.). Во втором из
них Д.Гильберт указывает на то, что "математика, как и любая другая наука, не
может быть основана только на логике".
А.Н. Уайтхед, Б.Рассел

10
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ ПЕРЕВОДА
щения научного сообщества к такого рода образцам научной творческой
мысли.
Выполняя перевод оригинального материала такого значительного
объема, написанного более ста лет назад, мы столкнулись с проблемой
полной и ясной передачи тех мыслей, которые авторы "Principia Mathematical',
как нам представляется, стремились донести до читателя в четырех
различных аспектах: историческом, философском, логическом и собственно
математическом. Преследуя эту цель, мы сделали все от нас зависящее
для того, чтобы перевод как можно точнее соответствовал оригиналу: не
подверглась никакому изменению символика и математическая
терминология оригинала3; не нарушена нумерация предложений логической системы
А.Уайтхеда и Б.Рассела; полностью сохранены все вспомогательные
разделы книги; в значительной степени оставлен без изменения присущий
авторам стиль изложения, часто в ущерб современным нормам орфографии
русского языка.
"Principia Mathematica" несет на себе отпечаток личностей ее авторов.
Б. Рассел является одним из самых ярких философов XX столетия. Рассел
как философ — основоположник сразу двух философских направлений —
неореализма и аналитической философии. Опубликованная в 1948 г. его
"История западной философии" сразу завоевала огромную популярность
и была переведена почти на все языки мира, в том числе и на русский.
Рассел также хорошо известен своим фундаментальным вкладом в теорию
познания и критику религиозного мировоззрения4.
I
А.Уайтхед и Б.Рассел начали совместную работу по основаниям
математики в 1903 г. в целях развития всего математического знания из
небольшого числа четко сформулированных аксиом с помощью логических
правил вывода. Краеугольным камнем предпринятой ими работы выступает
логистическая концепция, которая утверждает, что математика
принципиально сводима к формальной логике. Эта концепция включает в себя два
важнейших положения: (1) все математические истины могут быть
сформулированы в терминах некоторого символического языка и
распознаваться как логические истины; (2) все математические доказательства могут
быть переформулированы как символьные цепи логического вывода5.
Значительно позлее, в 1955 г., Б.Рассел указал цель этого направления —
"продемонстрировать, что вся чистая математика следует из чисто логических
3Заметим, что математическая терминология "Principia Mathematica" сейчас часто
воспринимается как архаичная. В примечаниях переводчиков и редакторов перевода
мы сочли целесообразным указать на современные аналоги устаревшей терминологии.
4 С этим аспектом творчества Рассела заинтересованный читатель может
ознакомиться по сборнику статей: Рассел Б. Почему я не христианин. М.: Политиздат, 1987.
334 с. Здесь особо следует отметить одну из ранних его работ (1914 г.) "Мистицизм
и логика".
5 В системе "Principia Mathematica" имеется весьма примечательное определение
процесса формального логического вывода (см. с. 80 настоящего издания): "Логический
вывод есть пропуск одной истинной посылки и распад одной импликации." — Прим. ред.
Principia Mathematica I

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ ПЕРЕВОДА
11
посылок и использует только концепции, определимые в логических
терминах". Почти десять лет А.Уайтхед и Б.Рассел работали над написанием
"Principia Mathematical'. Первый том был издан Cambridge University Press
в 1910 г.6
Содержание "Principia Mathematical' разделено на шесть частей, части
подразделяются на главы, главы — на параграфы.
Первый том начинается с Введения, которое состоит из трех разделов:
— "Предварительные сведения о понятиях и обозначениях",
— "Теория логических типов",
— "Неполные символы".
Он также содержит первую часть "Математическая логика", состоящую из глав
— "Теория вывода",
— "Теория кажущихся переменных",
— "Классы и отношения",
— "Логика отношений",
— "Произведения и суммы классов";
и вторую часть "Пролегомены к арифметике кардиналов", состоящую из глав
— "Единичные классы и пары",
— "Подклассы, подотношения и относительные типы",
— "Одно-многозначные, много-однозначные и одно-однозначные отношения",
— "Выборки",
— "Индуктивные отношения".
Второй том начинается с "Предварительных формальных соглашений", за
которыми следует третья часть "Арифметика кардиналов", состоящая из глав
— "Определение и логические свойства кардинальных чисел",
— "Сложение, умножение и возведение в степень",
— "Конечное и бесконечное";
четвертая часть "Арифметика отношений", состоящая из глав
— "Подобие ординалов и реляционные числа",
— "Сложение отношений и произведение двух отношений",
— "Принцип первых разностей, умножение и возведение в степень отношений",
— "Арифметика реляционных чисел";
а также первая половина пятой части "Серии", состоящая из глав
— "Общая теория серий",
— "О сечениях, сегментах, промежутках и производных",
— "О сходимости и пределах функций".
Третий том включает вторую половину пятой части с главами
— "Вполне упорядоченные серии",
— "Конечные и бесконечные серии и ординалы",
— "Компактные серии, рациональные серии и непрерывные серии";
и шестую часть "Количества", состоящую из глав
— "Обобщения чисел",
— "Вектор-семейства",
6 Отметим одну интересную деталь. Издательство Cambridge University Press оценило
убытки от предполагаемого издания "Principia Mathematica" в £600, но согласилось
на половину означенной суммы. Королевское общество (Royal Society) внесло £200.
Остался дефицит в £100. Авторы внесли по £50 каждый, после чего начался процесс
напечатания.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

12
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ ПЕРЕВОДА
— "Измерения",
— "Циклические семейства".
Следуя логистической концепции, А.Уайтхед и Б.Рассел большое
внимание уделили развитию выразительных средств математической логики,
создав символическую систему, превосходящую все известные аналоги.
Если попытаться кратко охарактеризовать самое существенное в "Principia
Mathematica", то можно, по-видимому, указать лишь на одно
обстоятельство. Это выдающееся произведение ярко продемонстрировало, насколько
мощным орудием современной математики является понятие формальной
логической системы. Не стоит, тем не менее, полагать, что вся математика
как наука представляет собой лишь грандиозное собрание тавтологий,
основанных на стремлении редуцировать ее к одной лишь экстенсиональной
логике. Современные достижения логики и математики уже ответили на
вопрос о том, до каких пределов может быть формализовано
математическое знание и как могут быть ограничены наши знания о подобного рода
формальных системах.
А.Уайтхед и Б.Рассел построили формальную систему исчисления
предложений, опираясь лишь на две сентенциональные связки (отрицание
и дизъюнкция), на три определения (см. с. 83)
p.q. = .~(~pV~q) Df,
p^>q> = .~p\/q Df,
p = q. = .p-=>q.qz>p Df,
а также на следующие пять схем аксиом (см. с. 84):
(1) \-: р\/ р .z>. р, т.е. если р или р истинно, то р истинно;
(2) h : q . э . р V q, т.е. если q истинно, то р или q истинно;
(3) \-:p\/q.z>.qVp, т.е. если р или q истинно, то q или р истинно;
(4) h : p\/ (q\/ г) . э .qV (pV г), т.е. если р истинно либо "q или г"
истинно, то q истинно либо " р или г" истинно;
(5) h :. q z> г. z> : р V q . э . р V г, т.е. если q влечет г, то "р или q" влечет
"р или г",
к которым добавляются аксиомы, связывающие реальные и кажущиеся
переменные (см. с. 92, 208)
(6) Ь : фх. 3 . (gz). фг,
(7) Ь: фх V фу. z>. (зг). фг.
Справедливости ради необходимо заметить, что аксиома (4), как
выяснилось позднее, выводима из оставшихся с помощью правила modus ponens,
а вместо аксиом (6), (7) сейчас чаще всего используются другие, которые
в формальной системе "Principia Mathematical выступают в качестве
наиболее важных предложений, связывающих реальные и кажущиеся
переменные (см. с. 91):
(6*) "Если фх всегда истинно, то фу истинно", т.е.
h : (х). фх. z>. фу;
(7*) "Если фу истинно, то фх иногда истинно", т.е.
Ь:фу.э.(дх).фх.
Principia Mathematica I

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ ПЕРЕВОДА
13
В свете выше сказанного понятна особая роль математической логики
в попытках разобраться в основаниях современного математического
знания. Поэтому мы считаем необходимым остановиться здесь на основных
этапах важнейшего эволюционного процесса, который привел к
фундаментальному понятию формальной дедуктивной системы и постепенному
осознанию того, что основания математики должны быть одной из таких
систем.
II
Логика—одна из древнейших научных дисциплин. Формальная
традиционная логика была создана в трудах Аристотеля (Aristoteles, 384-322 гг.
до н.э.) на заре европейской цивилизации в Древней Греции. Аристотель —
автор оригинальной, тщательно разработанной логической системы. Его
силлогистика была исторически первой логической дедуктивной системой.
Сам Аристотель свое логическое учение называл "Аналитикой". Ключевым
в логике Аристотеля является понятие силлогизма7. Исследуя строение
силлогизмов, он все термины в них представляет буквами. Этим он вводит
в логику буквенные переменные, совершая тем самым фундаментальное
открытие, которое собственно и позволяет считать его основателем
формальной логики. Действительно, буквенная форма представления логики8
ясно указывает на то, что заключение получается не как следствие
содержания посылок, а как следствие их формы и сочетания. Форма
силлогизма характеризуется числом переменных, их расположением, соединениями
терминов силлогизма (выражаемыми союзами "и" и "если") и четырьмя
отношениями между общими терминами. Аристотель развил систематическое
исследование силлогистических форм. Логика Аристотеля, таким образом,
предстает как наука о законах, которым должны подчиняться силлогизмы,
выраженных с помощью переменных. В течение двух тысячелетий
считалось, что логика Аристотеля настолько совершенна, что не может иметь
дальнейшего развития.
Математическая логика —часть формальной логики,
характеризующаяся применением математических методов и символьных представлений для
выражения мыслительных процессов человека в процессе его
познавательной деятельности.
Еще в начале XX века математическая логика казалась совершенно
абстрактной математической дисциплиной. Сейчас положение коренным
образом изменилось. В наши дни, когда математика все глубже проникает
во многие области науки и искусства, современная логика привлекает все
большее внимание не только ученых, но и людей, чья профессиональная
деятельность напрямую не связана с математической логикой. Все
большее число высших учебных заведений включает в обязательную программу
7 Сам Аристотель признавался, что на создание теории силлогизма он затратил
очень большой труд.
8Здесь, следуя Я. Лукасевичу (J.Lukasiewicz), отметим, что в логических системах
"буквы являются знаками общности".
А. Н. Уайтхед, Б. Рассел

14
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ ПЕРЕВОДА
обучения курсы математической логики, теории алгоритмов, теории
вычислимых функций или их фрагменты. Быстрый прогресс в области
классических и квантовых вычислений выявил фундаментальную роль
математической логики в этих областях знания.
Математическая логика традиционно также была тесно связана с
философией математики, ибо математика, в противоположность другим
наукам, в процессе получения нового знания использует доказательства, а не
наблюдения. Математическая логика оправдывает свое название не
только потому, что она формировалась, исходя из потребностей математики, и
что подавляющее большинство результатов, составляющих в настоящее
время ее классический базис, принадлежит ученым-математикам. Дело в том,
что ее структура типична для строго математической дисциплины.
Поэтому эта наука может трактоваться не только как логика математики, но и
как математика логики, поскольку она является в значительной степени
результатом применения математических методов к проблемам
формальной логики.
В целом математическая логика должна быть отнесена к числу
новейших научных дисциплин, формирование которых происходило в основном
в первой половине XX столетия. Идея математической логики (или скорее
математизации формальной логики) впервые в ясной форме была
выдвинута Лейбницем (1646-1716) (G.W.Leibniz). Одним из первых Лейбниц
высказал мысль о введении в логику математической символики и
использовании в логике математических методов. Однако Лейбниц не создал
законченной формализованной логической системы9. В 1672 г. Лейбниц
значительно усовершенствовал счетную машину, ранее изобретенную Паскалем.
Лейбниц выдвинул первые идеи о "machina rationatrix", думающей машине.
Синтезируя логику и математику в единую науку, Лейбниц преследовал
две цели. Первая из них состояла в истолковании мышления как
оперирования знаками в форме некоторого исчисления. Базой этого исчисления
должна служить "char act eristica universalis", т.е. всеобщая система
знаковых обозначений для представления предметов и отношений между ними.
Вторая — во всестороннем применении логических исчислений в научном
поиске10. Лейбниц назвал будущую науку об исчислении умозаключений
"calculus ratiocinator". Реализация программных установок Лейбница
потребовала от него разработки ряда новых научных направлений. Прежде
9Цикл логических работ Лейбница (всего их пять) был написан им, начиная с
апреля 1679 г. Все они не окончены. Большинство логических произведений Лейбница не
печаталось при его жизни (некоторые из них, по-видимому, вообще не предназначались
для опубликования). Они были извлечены из его рукописного архива и опубликованы
разными издателями много времени спустя после его смерти. Важнейшие логические
работы Лейбница были впервые переведены на русский язык и вошли в третий том
его сочинений. См.: ЛейбницГ.В. Сочинения: В 4 т. Т. 3. М.: Мысль, 1984. 734 с.
10Ему принадлежит идея о том, что, записав исходные гипотезы на языке
специальных знаков, можно, сформулировав правила логического вывода новых суждений
из исходных, заменить рассуждение вычислением. Лейбниц также считал, что
подобное универсальное логическое исчисление на практике может быть реализовано как
вычислительная машина. Таким образом задачу математической логики молено
сформулировать следующим образом: заменить рассуждения вычислениями.
Principia Mathematica I

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ ПЕРЕВОДА
15
всего, необходим был метод, позволяющий разлагать сложные понятия на
простые, сводя последние к небольшому количеству основных. Затем надо
было найти подходящие символы ("характеры"), которые могли бы
представлять и замещать понятия и термины естественного языка. Наконец
требовались организующие принципы символического исчисления.
Грандиозный метафизический проект Лейбница не мог быть осуществлен во всей
полноте так, как он был задуман. Тем не менее он дал мощный импульс
развитию математической логики.
Первые после Лейбница существенные результаты на пути применения
математики к логике были получены в XIX в. де Морганом11 (A. de
Morgan, 1806-1871) и Булем12 (G.Boole, 1815-1864). Буль построил первую
систему математической логики в форме алгебры логики. Затем
последовали работы Джевонса (W.S.Jevons, 1835-1882) и Пирса13 (C.S. Peirce,
1839-1914). К концу XIX столетия окончательно сложилась алгебра
логики. Проблемы строгого и точного обоснования математики и
необходимость аксиоматического ее изложения исследовались в работах Фреге
(G.Frege, 1848-1925) и Пеано14 (G.Peano, 1858-1932). Последний придал
математической логике ее современную форму. Пеано и его сотрудники
начали в 1894 г. работу над изданием "Formulaire de Mathematiqued'
("Формуляр математики"), в котором все математические дисциплины должны
были бы предстать в форме логического исчисления. Здесь мы
процитируем А.Уайтхеда и Б.Рассела с их оценкой вклада Пеано в разработку
оснований математики: "Его главная заслуга состоит не столько в его
определенных логических открытиях и не столько в деталях его обозначений
(хотя оба этих достижения — самого высокого уровня), сколько в том, что
он впервые продемонстрировал, как символическая логика освободилась от
чрезмерной навязчивости обычных алгебраических форм, став поэтому
подходящим инструментом для исследования. Направляемые нашим
собственным пониманием его метода, мы пользовались очень большой свободой
при конструировании и реконструировании символики, стараясь сделать
ее адекватной всем граням предмета исследования. Ни одного символа не
было введено иначе как на почве его практической целесообразности и
непосредственной пригодности для целей нашего исследования."
Пеано впервые сформулировал задачу применения символической логики
с целью дедуктивно-аксиоматического построения всей математики. Ему
принадлежит система аксиом для формальной арифметики натуральных чисел
(1889 г.)15. Пеано вместе с группой единомышленников реализовал свой
грандиозный проект "Formulario Mathematico", направленный на формализованное
11 MorganA.de. Formal logic: or, the calculus of inference, necessary and probable.
London, 1847.
12BooleG. The mathematical analysis of logic, being an essay toward a calculus of
deductive reasoning. Cambridge and London, 1847.
13PeirceC.S. On the algebra of logic: A contribution to the philosophy of notation //
Amer. J. Math. 7. 1885. P. 180-202.
14Профессор математики Туринского университета (1890-1932).
15Представляет интерес анализ логических основ теории натуральных чисел, данный
Ф.Клейном (F.Klein) (см.: КлейнФ. Элементарная математика с точки зрения высшей.
Т. I. Арифметика. Алгебра. Анализ. М.: Наука, 1987. С. 26-35).
А.Н. Уайтхед, Б.Рассел

16
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ ПЕРЕВОДА
представление всех разделов математики в символике математической логики,
в пяти изданиях в течение 1895-1908 гг., собрав в последнем из них
приблизительно 4200 теорем на 516 страницах16. При этом он заявил, что он до некоторой
степени реализовал метафизическую программу Лейбница, что представляется
справедливым, так как Пеано создал и логическую идеографию, т.е.
символический язык, который впоследствии стал общеупотребительным, и формальную
систему, представляющую математическое знание. Книга "Formulario Mathematico"
к настоящему времени уже почти забыта. Не осталось энтузиастов, которые бы
продолжили формализацию математики в духе Пеано и видели бы в этом хоть
какой-то смысл17. Тем не менее представляется преждевременным утверждать,
что формализованная математика никогда не найдет применения.
Появлением фундаментальной книги "Principia Mathematica"18 Уайтхеда
(A.N.Whitehead, 1861-1947) и Рассела (B.Russell, 1872-1970)
заканчивается этап создания классических логических исчислений с целью
представления всех математических дисциплин как формальных исчислений. Эта
цель была отчетливо сформулирована Гильбертом (D. Hilbert, 1862-1943)
в двадцатых годах в его программе обоснования математики на базе
математической логики с помощью аксиоматического метода. С этого
времени, по-видимому, и начинается современный этап развития
математической логики, характеризующийся использованием точных математических
методов при исследовании формальных теорий. Именно с предпринятой
в начале XX века Гильбертом разработки теории доказательств на базе
развитого в работах Фреге и Пеано логического языка обычно связывают
становление собственно математической логики. Двухтомная монография
Гильберта и Бернайса (P.Bernays) "Основания математики"19 (1934-1939)
подвела в определенном плане итог работы над программой обоснования
математики средствами математической логики. Предложенный
Гильбертом аксиоматический метод в перспективе сулил перевод всей математики
на формальные рельсы с последующей ее универсальной алгоритмизацией.
В тридцатые года XX века, благодаря прежде всего работам Геделя
(K.Godel, 1906-1978), Черча (A. Church), Поста (E.L.Post, 1897-1954) и
Тьюринга (A.M.Turing, 1912-1954), стало ясно, что программу Гильберта
по обоснованию математики реализовать в полной мере невозможно,
однако бурное развитие математической логики, стимулировавшееся в то время
программой Гильберта, позволило ей не окаменеть в своем суровом совер-
16 Первые четыре тома имели название "Formulaire de Mathematiqued\ Последний
пятый том был практически полностью подготовлен к изданию самим Пеано и был
назван "Formulario Mathematico". В нем Пеано даже перешел от французского языка
к Latino sine flexione — специально разработанному им языку, который он применял
для написания научных работ.
17Критический анализ направления, основанного Пеано, дан Ф.Клейном (см.:
Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Т. П. Геометрия. М.:
Наука, 1987. С. 351-353).
18 Whitehead A.N., Russell В. Principia Mathematica. Cambridge: Cambridge University
Press, V. I, 1910; V. II, 1912; V. Ill, 1913.
19Имеется перевод на русский язык этой двухтомной монографии. См.: Гильберт Д.,
БернайсП. Основания математики. Логические исчисления и формализация
арифметики. М.: Наука, 1979. 560 с; Гильберт Д., БернайсП. Основания математики. Теория
доказательств. М.: Наука, 1982. 656 с.
Principia Mathematica I

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ ПЕРЕВОДА
17
шенстве, а шаг за шагом уточнить определение алгоритма и
вычислимости функций, развить рекурсивный анализ, четко сформулировать понятие
разрешимости множеств и формальных систем.
Заметный вклад в математическую логику был сделан русскими
и советскими учеными: П.С. Порецким (1846-1907)20, В.И. Гливен-
ко (1897-1940), И.И. Жегалкиным (1869-1947)21, А.Н.Колмогоровым
(1903-1987), А.И.Мальцевым (1909-1967), А.А.Марковым (1903-1979),
П.С. Новиковым (1901-1975)22.
Часто говорят, что логика изучает законы мышления,
причем не столько в историческом и психологическом плане, сколько
в формально-структурном. Ясно, что в структурном смысле мышление,
по-видимому, отражает некоторые черты реальной действительности.
Математическая логика, оставляя за скобками сущность такой связи
между мышлением и действительностью, имеет в качестве предмета
своего исследования лишь формальную ее природу.
Формальное исследование любого явления, связанного с нашим
опытом, начинается с замены реальных объектов некоторыми их идеализаци-
ями. Для математической логики основная в этом смысле идеализация —
язык или, точнее говоря, формализованный вариант естественного языка,
связь которого с мыслительной деятельностью человека трудно не
заметить. Язык является важнейшим аспектом формальной системы. Связь
между формальной системой и реальностью в рамках математической
логики устанавливается с помощью моделей формальной системы. Модель
наполняет содержанием и смыслом символические выражения формальной
системы.
Роль формального логического исчисления как средства открытия
новых истин не следует преувеличивать: и в настоящее время эта роль
является более чем скромной. Однако в рамках математической логики (и
в частности в рамках теории формальных исчислений) оказался
разработанным аппарат, позволяющий вскрыть конституционные принципы
функционирования вычислительных и управляющих устройств, которые в
значительной степени определяют облик всей современной цивилизации.
Чтобы передать компьютерам функции, долгое время считавшиеся
исключительной привилегией человеческого интеллекта, необходим их
формальнологический анализ с целью выявления того, какие именно функции
могут быть переданы в системы организации, хранения, обработки и
обмена информацией. Тем не менее не следует забывать о том, что "Principia
20Профессор Казанского университета (с 1886 г.—доктор астрономии), астроном,
логик и математик. Первым в России начал читать лекции по математической логике.
Его работы по математической логике были опубликованы в изданиях
Физико-математического общества при Казанском университете.
21 Один из основоположников советской школы математической логики.
Совместно с П.С.Новиковым (1901-1975) и С.А.Яновской (1896-1966) руководил семинаром
по математической логике в Московском государственном университете в 30-40-х гг.
XX века.
22 Ему принадлежат фундаментальные научные результаты в области теории
множеств и математической логики. Его книга "Элементы математической логики"
(1959 г.) была первым отечественным курсом математической логики.
А.Н. Уайтхед, Б.Рассел

18
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ ПЕРЕВОДА
Mathematical' посвящена именно основаниям математики, а не
математической логике. Математическая логика, существенным образом развитая,
использовалась авторами и как базис всего математического знания, и как
формальное средство для его представления.
III
Приступая к переводу "Principia Mathematica", мы полностью отдавали
себе отчет в том, что русская математико-логическая терминология так до
конца и не устоялась, поэтому неизбежно должны будут возникнуть
проблемы с подбором русского перевода английских математических,
логических и философских терминов23. По этой причине мы сочли необходимым
дополнить перевод предметным указателем, с помощью которого могут
быть установлены оригинальные английские термины, послужившие
прообразами для соответствующих русских терминов. Издание предметного
указателя предполагается осуществить после выхода в свет последнего
третьего тома. В ряде случаев в подстрочных примечаниях мы пытаемся донести
до читателя те или иные аргументы в пользу избранной нами
терминологии. Заметим, что избранная нами математико-логическая терминология
во многом согласуется со многими известными и авторитетными
справочными руководствами (см.: Кондаков И.И. Логический словарь-справочник.
М.: Наука, 1976. 720 с; этот источник содержит более трех тысяч статей,
посвященных основным понятиям и категориям, как традиционной, так и
символической логики). Естественно, что наша позиция в выборе
математико-логической терминологии, по-видимому, будет разделяться не всеми.
Именно поэтому мы считаем уместным уже сейчас обратить внимание чи-
23Настоящее предисловие дополняет список литературы, которая может быть
рекомендована для сопоставления терминологии по математической логике и основаниям
математики, а также для сравнительного анализа содержания "Principia Mathematical
с современной точкой зрения. В свое время издательством "Наука" был реализован
беспрецедентный проект по изданию серии "Математическая логика и основания
математики". Большинство литературных источников по математической логике на русском
языке было издано в рамках этого проекта. Формирование русской научной
терминологии по математической логике и основаниям математики также оказалось под сильным
влиянием тех научных школ, которые приняли участие в реализации указанного
проекта. Ясно, что приведенный список литературы может быть использован теми, кто
только начинает изучение соответствующей проблематики. При его подборе в полной
мере учитывалось то обстоятельство, что ни одно из имеющихся на русском языке
руководств в полной мере не отвечает целям первоначального обучения: литературные
источники либо технически трудны для первоначального их прочтения (это касается
прежде всего таких фундаментальных книг, как [5, 11, 24]), либо чрезмерно эскиз-
ны (это последнее относится к таким источникам, как [2, 7, 15]). Компромисс может
быть найден в сочетании книг [17, 27], совместно использовать которые также
довольно трудно ввиду существенных различий как в отборе тематики, так и в терминологии
и обозначениях. Существенную помощь с целью формирования ясного представления
о месте математической логики и оснований математики в структуре современного
научного знания может оказать материал двух энциклопедий — пятитомной Философской
энциклопедии (гл. ред. Ф.В.Константинов) и пятитомной Математической
энциклопедии (гл. ред. акад. И.М.Виноградов).
Principia Mathematica I

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ ПЕРЕВОДА
19
тателя на употребление и перевод отдельных терминов, в значительной
степени повлиявших на все русское прочтение "Principia Mathematical'.
Там, где у нас не было уверенности в том, что русский перевод
полностью передает те же логические оттенки смысла, что и английский
оригинал, мы приводим, как правило, в подстрочных примечаниях подлинный
текст. Такая мера представляется нам совершенно необходимой из-за
существенной разницы выразительных средств русского и английского
языков24.
1. Проблема возникает уже в переводе названия книги. Мы отказались
от более близкого оригиналу перевода "Принципы математики!',
преследуя единственную цель — назвать книгу в соответствии с ее реальным
содержанием.
2. Английский термин proposition переводится как предложение, или
как высказывание, и, таким образом, в нашем переводе предложение и
высказывание имеют один и тот же смысл. Ясно, что это может
вызвать ряд возражений25. Под предложением обычно понимается
грамматически оформленная минимальная целостная речевая единица,
обладающая смысловой законченностью26. Суждение — мыслительная форма, с
помощью которой утверждается или отрицается что-либо относительно
предметов, их свойств и отношений между ними. Английский термин judgment
всегда переводится как суждение. Под высказыванием следует понимать
каждое предложение, в отношении которого имеет смысл утверждать,
что его содержание истинно или ложно27. Следовательно, английский
термин proposition в том смысле, в котором он систематически используется
в "Principia Mathematical? для обозначения предложений формального
языка, рассматриваемых исключительно в связи с теми или иными оценками
их истинностных значений, лучше всего соответствует русскому термину
высказывание2*. Тем не менее, учитывая то обстоятельство, что в
формальной логике содержание предложений всегда сводится к его истинностной
оценке, можно в принципе не различать указанные два понятия, правда,
отдавая себе отчет в том, что предложение есть одна из высказывательных
форм.
3. Английские термины statement, declaration, assertion переводятся как
утверждение, несмотря на известные оттенки в значениях этих слов.
4. Термин phrase всюду переводится как оборот речи.
5. А.Уайтхед и Б.Рассел избегают термина set, соответствующего
русскому термину множество. Несмотря на это, мы переводим, например,
24Так, довольно часто встречается присущее английскому языку терминологическое
использование определенного артикля the.
253аметим, что, например, в русском переводе книги А.Черча "Введение в
математическую логику" термин proposition переводится как суждение. Английским
прообразом последнего термина выступает обычно judgment.
26 В этом смысле термину предлоэюение лучше всего в англ. языке соответствует
термин sentence.
27Цитируется по [2, с. 19].
28Термин высказывание вызывает большие споры в современной математической
логике. Отголоски дискуссий по этому поводу имеются в [9, с. 250] и далее.
А. Н. Уайтхед, Б.Рассел

20
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ ПЕРЕВОДА
theory of aggregates как теория множеств. Вместо множеств А. Уайтхед и
Б. Рассел оперируют с классами: класс (что то лее самое, что и
многообразие или аггрегат) есть сущность, составленная из всех объектов,
удовлетворяющих некоторой пропозициональной функции. Составляют класс
элементы {members). В дальнейшем, однако, классам отказывается в
самостоятельной сущности. Символы для классов в системе "Principia Mathematical
признаются неполными символами. Во Введении А. Уайтхед и Б. Рассел
замечают, что классы являются просто удобными символическими или
лингвистическими конвенциями, а не подлинными объектами как их элементы,
если таковые есть индивиды. Конечно, следует быть осторожным при
отождествлении понятий класса и множества. Понятие класса в современной
математике считается более широким, чем множество. Так, в [17, с. 178]
класс называется множеством, если он является элементом какого-нибудь
класса.
6. В пропозициональной функции xRy, где R есть символ бинарного
отношения, мы называем х референтом, а у — релятивом. Соответствующие
английские термины есть referent и relatum.
7. Нам показалось ближе соответствующим истинному положению дел
перевод термина series не как последовательность, а как серия.
Естественно, что мы ни в коем случае не считаем преодоленными те
трудности, которые возникают при попытке взаимно-однозначного
отображения английской терминологии А. Уайтхеда и Б. Рассела на некоторый
вариант русской математико-логической терминологии и не предлагаем
"терминологических революций", а лишь приводим обоснование своих
рекомендаций.
При переводе на русский язык первого тома "Principia Mathematica"
исправлен ряд неточностей, впрочем весьма незначительных, обнаруженных
в оригинале. Мы позволили себе внести эти исправления без специальных
оговорок.
Мы надеемся, что издание книги А.Уайтхеда и Б.Рассела на русском
языке будет с удовлетворением воспринято не только специалистами по
математической логике и основаниям математики, но также и всеми
теми, кто в той или иной мере интересуется ролью математики в
современной науке и возможностями научного поиска с помощью формальных
исчислений, ярким представителем которых выступает система "Principia
Mathematical'. Редакторы перевода и коллектив переводчиков с
признательностью примут пожелания, предложения и критические замечания
читателей.
Г. Яровой, Ю. Радаев
Самара, август 2004 г.
Principia Mathematica I

Библиографический список
[1
р:
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[9
[ю:
[11
[121
[13!
[14;
БулосДж., Джеффри Р. Вычислимость и логика. М.: Мир, 1994. 396 с.
Гильберт Д., АккерманВ. Основы теоретической логики. М.: Изд-во иностр.
лит., 1947. 304 с.
Гильберт Д. Основания геометрии. М.; Л.: Гостехтеоретиздат, 1948. 492 с.
Гильберт Д., БернайсП. Основания математики. Логические исчисления и
формализация арифметики. М.: Наука, 1979. 560 с.
Гильберт Д., БернайсП. Основания математики. Теория доказательств. М.:
Наука, 1982. 656 с.
Гладкий А.В. Математическая логика. М.: Российск. гос. гуманит. ун-т,
1998. 479 с.
ГудстейнР.Л. Математическая логика. М.: Изд-во иностр. лит., 1961. 164 с.
ГудстейнР.Л. Рекурсивный математический анализ. М.: Наука, 1970. 472 с.
КарриХ. Основания математической логики. М.: Мир, 1969. 568 с.
КлиниС.К. Введение в метаматематику. М.: Изд-во иностр. лит., 1957. 526 с.
КлиниС.К. Математическая логика. М.: Мир, 1973. 480 с.
Колмогоров А. Н., ДрагалинА.Г. Введение в математическую логику. М.:
Изд-во МГУ, 1982. 120 с.
Колмогоров А. Н., ДрагалинА.Г. Математическая логика. Дополнительные
главы. М.: Изд-во МГУ, 1984. 120 с.29
КуратовскийК., МостовскийА. Теория множеств. М.: Мир, 1970. 416 с.
29Эта работа, вместе с предыдущей, недавно была издана в форме книги, входящей
в серию "Классический университетский учебник", основанную в 2002 г. и посвященную
250-летию Московского государственного университета: Колмогоров А.Н., ДрагалинА.Г.
Математическая логика. М.: Едиториал УРСС, 2004. 240 с.
А.Н.Уайтхед, Б.Рассел

22 ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[15] ЛиндонР. Заметки по логике. М.: Мир, 1968. 128 с.
[16] Математическая теория логического вывода: Сб. переводов. М.: Наука,
1967. 352 с.
[17] Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М.: Наука, 1971. 320 с.
[18] Новиков П.С. Элементы математической логики. М.: Физматлит, 1959. 400 с.
[19] СтоллР.Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. М.: Просвещение,
1968. 232 с.
[20] СлупецкийЕ., Борковский Л. Элементы математической логики и теория
множеств. М.: Прогресс, 1965. 368 с.
[21] СмальянР. Теория формальных систем. М.: Наука, 1981. 208 с.
[22] ТакеутиГ. Теория доказательств. М.: Мир, 1978. 416 с.
[23] ТарскийА. Введение в логику и методологию дедуктивных наук. М.: Гос.
изд-во иностр. лит-ры, 1948. 326 с.
[24] ЧерчА. Введение в математическую логику. Т. I. M.: Изд-во иностр. лит.,
1960. 488 с.
[25] Успенский В. А. Лекции о вычислимых функциях. М.: Физматгиз, 1960.
492 с.
[26] Успенский В.А. Машина Поста. М.: Наука, 1988. 96 с.
[27] ШенфилдДж. Математическая логика. М.: Наука, 1975. 528 с.
[28] Яблонский СВ., ГавриловГ.П., Кудрявцев В.Б. Функции алгебры логики и
классы Поста. М.: Наука, 1966. 120 с.
Дополнительный список литературы
1. Философская энциклопедия. Т. I-V. (гл. ред. Ф.В.Константинов). М:
Советская энциклопедия. Т. I, 1960; Т. II, 1962; Т. III, 1964; Т. IV, 1967;
Т. V, 1970. См. статьи: Аксиома (т. I, с. 31, 32); Алгебра логики (т. I,
с. 33-38); Алгоритм (т. I, с. 38-42); Бесконечная индукция (т. I, с. 153,
154); Буль (т. I, с. 199, 200); Вывод (т. I, с. 307-310); Высказывание (т. I,
с. 312, 313); Гедель (т. I, с. 338); Гливенко (т. I, с. 374, 375); Дедукция
(т. I, с. 440, 441); Джевонс (т. I, с. 469, 470); Жегалкин (т. II, с. 126, 127);
Изоморфизм (т. II, с. 246-249); Интерпретация (т. II, с. 296, 297);
Интуиционизм (т. И, с. 300-302); Исчисление (т. II, с. 387-390); Категорическое
суждение (т. II, с. 476); Категоричность системы аксиом (т. II, с. 476);
Квантификация предиката (т. II, с. 485, 486); Квантор (т. II, с. 486, 487);
Конструктивное направление (в математической логике) (т. III, с. 50, 51);
Лейбниц (т. III, с. 161-165); Логика высказываний (т. III, с. 205-209);
Логическая истинность (т. III, с. 230, 231); Логическая семантика (т. III, с. 231,
232); Логический синтаксис (т. III, с. 241); Логическое исчисление (т. III,
с. 246); Математическая индукция (т. III, с. 338-340); Математическая
логика (т. III, с. 340-342); Метод аксиоматический (т. III, с. 416-418);
Многозначная логика (т. III, с. 472-474); Модальная логика (т. III, с. 475-478);
Натуральное исчисление (т. III, с. 560, 561); Независимость (т. IV, с. 16);
Неполная индукция (т. IV, с. 55, 56); Непротиворечивость (т. IV, с. 59-61);
Неразрешимая формула (т. IV, с. 61, 62); Отрицание (т. IV, с. 186-188);
PRINCIPIA MATHEMATICA I

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
23
Пеано (т. IV, с. 229); Пирс (т. IV, с. 255-257); Полнота (т. IV, с. 302);
Полнота функциональная (т. IV, с. 303, 304); Полнота дедуктивная (т. IV,
с. 351); Понятие (т. IV, с. 311-318); Порецкий (т. IV, с. 321); Посылка
(т. IV, с. 327); Правила вывода (т. IV, с. 330); Правило замены равного
равным (т. IV, с. 330, 331); Предваренная форма (т. IV, с. 350); Предикат
(т. IV, с. 303, 304); Предикатов исчисление (т. IV, с. 351-356); Принцип
замещения (т. IV, с. 366); Принцип исключенного третьего (т. IV, с. 367,
368); Равенство (т. IV, с. 445, 446); Разрешения проблемы (т. IV, с. 459,
460); Рассел (т. IV, с. 467, 468); Рекурсивные функции и предикаты (т. IV,
с. 487-489); Секвенций исчисление (т. IV, с. 573); Семантика (т. IV, с. 576);
Семиотика (т. IV, с. 577, 578); Синтаксис (т. V, с. 15); Суждение (т. V,
с. 159-162); Схема аксиом (т. V, с. 170); Тавтология (т. V, с. 177, 178);
Теорема (т. V, с. 203, 204); Теорема о дедукции (т. V, с. 204); Типов
теория (т. V, с. 233, 234); Тождества закон (т. V, с. 237); Тождества проблема
(т. V, с. 237); Тождественная истинность (т. V, с. 237, 238); Тождество
(т. V, с. 238-241); Умозаключение (т. V, с. 276); Формальная логика (т. V,
с. 392, 393); Формальная система (т. V, с. 393); Фреге (т. V, с. 409, 410).
2. Математическая энциклопедия. Т. I-V. (гл. ред. акад. И.М.Виноградов).
М: Советская энциклопедия. Т. I, 1977; Т. II, 1979; Т. III, 1982; Т. IV,
1984; Т. V, 1985. См. статьи: Аксиом схема (т. I, 102, 103);
Аксиоматический метод (т. I, 109-113); Алгебра логики (т. I, 123-129); Алгоритм
(т. I, 202-206); Алгоритмическая проблема (т. I, 214-218); Антиномия (т. I,
292-296); Арифметика формальная (т. I, 319-321); Бесконечная индукция
(т. I, 434, 435); Булевы функции (т. I, 553, 554); Вывод (т. I, 779, 780);
Вывода правило (т. I, 779); Выводимое правило (т. I, 781); Вычислимая
функция (т. I, 818-821); Геделя теорема о неполноте (т. I, 909, 910); Геделя
теорема о полноте (т. I, 910, 911); Дедукции теорема (т. И, 65, 66);
Индивидная константа (т. II, 555); Индивидная переменная (т. II, 555, 556);
Индуктивное определение (т. II, 556, 557); Индукции аксиома (т. II, 558);
Карнапа правило (т. И, 728, 729); Квантор (т. II, 837);
Логико-математические исчисления (т. III, 411-415); Логическая аксиома (т. III, 415);
Логическая операция (т. III, 416); Логическая формула (т. III, 416); Логические
исчисления (т. III, 416-420); Логический закон (т. III, 420); Логическое
следствие (т. III, 420); Математическая логика (т. III, 568-574);
Многозначная логика (т. III, 713-720); Модус поненс (т. III, 790, 791); Наименьшего
числа оператор (т. III, 875, 876); Нормальный алгорифм (т. III, 1072, 1073);
Общезначимость (т. III, 1147); Общерекурсивная функция (т. III, 1147);
Пеано аксиомы (т. IV, 227, 228); Перечислимое множество (т. IV, 265); Пирса
стрелка (т. IV, 287, 288); Предваренная формула (т. IV, 555, 556);
Предикат (т. IV, 576, 577); Предикатная переменная (т. IV, 577); Предикатный
символ (т. IV, 577); Предикатов исчисление (т. IV, 577-580);
Примитивная рекурсия (т. IV, 636); Примитивно рекурсивная функция (т. IV, 636,
637); Пропозициональная связка (т. IV, 698); Пропозициональная форма
(т. IV, 698); Пропозициональная формула (т. IV, 698); Пропозициональное
исчисление (т. IV, 699, 700); Противоречие (т. IV, 720, 721); Разрешения
проблема (т. IV, 850); Разрешимое множество (т. IV, 852); Разрешимый
предикат (т. IV, 852); Рекурсивная функция (т. IV, 960, 961);
Рекурсивный предикат (т. IV, 962); Рекурсия (т. IV, 962-965); Семантика (т. IV,
1110); Синтаксис (т. IV, 1181, 1182); Суждение (т. V, 269); Терм (т. V,
338); Типов теория (т. V, 351-353); Тьюринга машина (т. V, 456-458); Фор-
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

24
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
мальная система (т. V, 639, 640); Формальный язык (т. V, 636-638); Черча
тезис (т. V, 855); Шеффера штрих (т. V, 894);
3. Кондаков И.И. Логический словарь-справочник. М.: Наука, 1976. 720 с.
См. статьи: Аксиомы арифметики (23, 24); Аксиомы исчисления
высказываний (24); Аксиомы Пеано для натуральных чисел (24); Алгоритм (30-32);
Вывод (101, 102); Исчисление (220); Исчисление высказываний (221-227);
Исчисление предикатов (228-231); Квантификация предиката (242, 243);
Кванторные правила (243); Кванторы (243, 244); Лейбниц (278, 279);
Математическая индукция (333); Математическая логика (333, 341);
Машины Тьюринга (345, 346); Modus ponendo tollens (361); Modus ponens (361,
362); Modus tollendo ponens (362); Modus tollens (362); Натурального
вывода система (374, 375); Натуральное число (375, 376);
Непротиворечивость (385); Общезначимая формула исчисления предикатов (399);
Общезначимость (399); Омега-непротиворечивая теория (405); Основные
законы логики высказываний и предикатов (416); Парадокс (431-433); Пеано
(436, 437); Полная индукция (453, 454); Полнота системы аксиом (454);
Правило подстановки (470); Предикат (473); Пропозициональная форма
(482); Пропозициональные связки (483, 484); "Principia Mathematica" (500,
501); Равенство (504); Рассел (512); Свободная переменная (524);
Связанная переменная (524); Силлогизм (528-533); Символика математической
логики (534-540); Система аксиом Пеано (545); Система аксиом Фреге
(545, 546); Стрелка Пирса (571); Таблица истинности (584, 585);
Тавтология (585-587); Теорема (588, 589); Теорема дедукции (589); Терм (594);
Формальная система (651); Формула (652, 653); Фреге (654); Штрих
Шеффера (672, 673).
Principia Mathematica I

ПРЕДИСЛОВИЕ
25
ПРЕДИСЛОВИЕ
Математическое исследование принципов математики, являющееся
предметом настоящей работы, возникло в результате соединения двух
различных направлений, каждое из которых в основном может быть
охарактеризовано как весьма современное. С одной стороны, мы имеем
работы аналитиков и геометров, формулирующие и систематизирующие
аксиомы геометрии и анализа, а также работы Кантора по теории
множеств30. С другой стороны, мы имеем аппарат символической логики,
которая после необходимого периода развития приобрела к настоящему
времени, благодаря работам Пеано и его последователей, техническую
гибкость и логическую завершенность, что, конечно же, существенно для
любого математического инструмента, предназначаемого для исследования
того, что мы до настоящего времени имели в качестве начал математики.
Из объединения двух указанных направлений проистекают два следующих
результата: (1) то, что прежде было принято явно или неявно, в качестве
аксиом оказывается либо ненужным, либо чисто логически доказуемым31;
(2) то, что те же самые методы, с помощью которых принятые аксиомы
выводятся, будут давать ценные результаты в областях (таких, например,
как теория бесконечного числа), прежде считавшихся недоступными для
познания. Следовательно, поле математики расширяется и посредством
добавления новых предметов, и также — обратного проникновения в области,
не попадавшие до настоящего времени в поле зрения философии.
Настоящая работа первоначально предназначалась нами для включения
во второй том " The Principles of Mathematics". С этой целью ее написание
было начато в 1900 г. Однако по мере продвижения работы становилось все
более очевидным то обстоятельство, что предмет исследования существен-
30 В оригинале — theory of aggregates. — Прим. перев.
31 В оригинале — demonstrable. — Прим, перев.
А.Н. Уайтхед, Б.Рассел

26
ПРЕДИСЛОВИЕ
но больше, чем мы предполагали. Более того, по многим
фундаментальным вопросам, которые были оставлены невыясненными и представлялись
сомнительными на предшествующих стадиях работы, мы в настоящее
время достигли состояния уверенности в том, что нам удалось найти их
удовлетворительное решение. Поэтому стало совершенно необходимым сделать
нашу книгу независимой от " The Principles of Mathematics"'. Мы, однако,
стремились избежать и многословных дискуссий, и общего
философствования и сформулировать все наши утверждения в наиболее догматичной
форме. Единственным оправданием этого служит то, что главный довод
в пользу любой теории, претендующей на обоснование принципов
математики, всегда должен быть индуктивным, т.е. должен основываться на том
факте, что эта теория позволит нам реализовать вывод обычной
математики. В математике самая большая степень самоочевидности обычно
находится не в ее начале, а на некоторой более поздней ступени. Следовательно,
самые первые дедуктивные построения, до тех пор пока они не достигли
указанной ступени, дают доводы, укрепляющие нашу уверенность скорее
в исходных посылках32 (поскольку из них следуют истинные заключения),
чем в заключениях (поскольку заключения следуют из посылок вывода).
В процессе конструирования типичной дедуктивной системы, например
подобной той, которая развивается в настоящей работе, возникают две
противоположные задачи, которые должны быть одновременно выполнены.
С одной стороны, мы должны подвергнуть анализу существующую
математику на предмет поиска использованных исходных посылок, их
взаимной непротиворечивости и возможности сокращения их числа и сведения
к более фундаментальным предположениям. С другой стороны, когда мы,
наконец, определились с исходными посылками, мы должны еще раз
произвести всю работу заново в той степени, в которой это необходимо для
всего рассмотренного материала и всего множества заключений,
следующих из принятых посылок и представляющих достаточно общий интерес,
чтобы они вообще заслуживали оформления в виде утверждений.
Процедура предварительного анализа никак не отражена в
окончательном варианте книги, который в этом смысле представляет собой чистый
окончательный результат проделанной работы, представленный в форме
не подлежащих определению понятий и предложений, логически
невыводимых ниоткуда. Мы не заявляем, что проведенный анализ не мог бы
быть продолжен далее, так как нет никаких оснований считать, что
вообще невозможно найти еще более простые понятия и аксиоматические
положения, с помощью которых то, с чего началось развитие теории, могло
бы быть определено или логически выведено. Все, что утверждается, — это
достаточность тех понятий и аксиоматических положений, с которых мы
начинаем, но ни в коем случае не их необходимость.
В процессе вывода новых предложений из исходных посылок мы
полагали существенным доводить его до такой степени, когда уже по большому
счету оказывается доказанным справедливость того, что обычно принима-
В оригинале — premisses. — Прим. перев.
PRINCIPIA MATHEMATICA I

ПРЕДИСЛОВИЕ
27
лось бы как данное. Однако мы никогда не считали желательным
ограничивать себя столь строгими рамками поставленной таким образом
задачи. Обычным является рассмотрение только частных случаев, даже тогда,
когда с помощью нашего аппарата не представляет затруднений также и
исследование общего случая. Например, арифметика кардинальных чисел
обычно представляется в связи с конечными числами, однако ее общие
законы в равной степени справедливы и для бесконечных чисел, и их
доказательство наиболее просто проводится вообще без какого бы то ни было
различия между конечным и бесконечным. Также многие свойства, обычно
связываемые с последовательностями33, включают размещения, которые,
строго говоря, не являются последовательными и обладают лишь
некоторыми из отличительных свойств последовательных размещений. Во всех
подобных случаях доказательство для особого класса размещений вместо
доказательства, обладающего большей общностью, следует рассматривать
как недостаток логического стиля изложения. Аналогичный процесс
обобщения, в большей или меньшей степени, вплетен в нашу работу. Мы
всегда искали наиболее общие и, по возможности, простые гипотезы, с
помощью которых могло бы быть получено то или иное заключение. По этой
причине важность того или иного предложения, особенно это касается
последних частей книги, лежит в гипотезах, принятых для его обоснования.
Заключение будет чаще всего известно читателю, по крайней мере, по
некоторым частным случаям, однако гипотезы, выдвинутые для его
обоснования, всегда, когда это оказывается возможным, будут достаточно общими,
чтобы допускать также многие другие случаи, помимо тех, для которых
рассматриваемое заключение уже знакомо читателю.
Мы сочли необходимым привести полные доказательства, поскольку
в противном случае едва ли было бы возможно усмотреть, какие именно
гипотезы в действительности требуются и следуют ли наши результаты
из явно принятых нами исходных посылок. (Следует напомнить, что мы
не просто утверждаем, что такие-то и такие-то предложения истинны, но
и также, что сформулированных нами аксиом достаточно, чтобы их
доказать.) В то же время, несмотря на то что полные доказательства
совершенно необходимы при стремлении избежать ошибок и убедить сомневающихся
в корректности наших рассуждений, доказательства предложений все же
могут быть пропущены читателем, специально не заинтересованным
именно в этой части предмета и не сомневающимся в нашей аккуратности при
оперировании с имеющимся в нашем распоряжении материалом. Читатель,
специально интересующийся лишь некоторыми частями книги, возможно,
найдет достаточным для себя изучить предыдущий материал, обращаясь
к соответствующим резюме, которыми снабжены части, главы и
параграфы книги, поскольку в них содержатся объяснения необходимых понятий
и формулировок основных доказанных предложений. Тем не менее
доказательства, содержащиеся в главе 1 части I, совершенно необходимы, так
как по их ходу объясняется способ их построения. Доказательства самых
33 В дальнейшем мы чаще всего переводим термин series не как последовательность,
а как серия. — Прим. ред.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

28
ПРЕДИСЛОВИЕ
первых предложений приводятся полностью без пропуска шагов, но по
мере продвижения изложения доказательства становятся все более сжатыми,
сохраняя при этом достаточно деталей, позволяющих читателю с помощью
ссылок восстановить их полностью.
На принятый порядок изложения в некоторой степени повлиял выбор
авторов. Например, мы рассматриваем арифметику кардинальных чисел
и арифметику отношений ранее последовательностей, хотя и должны
были бы рассмотреть последовательности прежде. В целом, однако, порядок
изложения определялся логической необходимостью.
Весьма значительная часть работы, связанной с написанием настоящей
книги, была затрачена на противоречия и парадоксы, которые поразили34
логику и теорию множеств. Мы исследовали большое количество гипотез
с целью разрешения указанных противоречий. Многие из подобных
гипотез были выдвинуты не нами, но примерно такое лее количество —
придумано нами самими. Иногда мы тратили целые месяцы, постоянно работая
над тем, чтобы убедить самих себя в том, что та или иная гипотеза не
оправдывает себя. В течение длительного изучения мы достигли такого
состояния, что время от времени нам пришлось менять свою точку зрения;
постепенно также становилась очевидной необходимость использования
теории типов с целью избежания противоречий. Особая форма теории типов,
развитая в настоящей работе, не есть логическая неизбежность; имеются
и другие формы, в такой же степени совместимые с истинностью наших
дедуктивных построений. Указанная особая форма была выбрана нами,
исходя из двух соображений: та форма теории типов, за которую мы
выступаем, представлялась нам наиболее вероятной; была потребность дать
хотя бы одну полностью определенную непротиворечивую теорию. Едва ли
что-нибудь в нашей книге потребовало бы изменений, если была бы
принята другая, отличная от нашей, форма теории типов. В действительности
мы можем даже сказать, что если существует иной путь, не приводящий
к противоречиям, то совсем немногое в нашей книге, исключая, пожалуй,
то, что в явном виде связано с типами, окажется зависящим от выбора
формы теории типов. Потому, как только это у лее будет установлено (а как
мы заявляем, мы это уже установили), становится возможным построение
математической логики, не приводящей к противоречиям. Необходимо
отметить в целом негативное влияние теории типов: она запрещает некоторые
логические умозаключения, которые в ином случае оказывались бы
справедливыми, и не разрешает никакие логические следствия, которые в ином
случае оказывались бы несправедливыми. Следовательно, мы можем
небезосновательно ожидать, что те логические умозаключения, которые
разрешены теорией типов, могли бы оставаться справедливыми, даже если сама
теория типов была бы признана несправедливой.
Наша логическая система целиком содержится в занумерованных
определенным способом предложениях и не зависит от Введения и
резюмирующих разделов книги. Введение и резюме предназначены для
дополнительного объяснения и ни в коем случае не составляют звеньев дедуктивных
34 В оригинале — infected. — Прим. перев.
PRINCIPIA MATHEMATICA I

ПРЕДИСЛОВИЕ
29
цепочек. Объяснение иерархии типов, данное во Введении, немного
отличается от того, которое приводится в *12. Это последнее объяснение
является более строгим, и именно оно подразумевается во всем последующем
изложении.
Использование символики в нашей работе продиктовано насущной
необходимостью: без ее помощи мы были бы не в состоянии производить
необходимые рассуждения. Она была развита в результате реальной
практической работы и ни в коем случае не является ненужным наростом,
введенным лишь с целью представления излагаемого материала. Общим методом,
который направлял наше оперирование с логическими символами, мы
обязаны Пеано. Его главная заслуга состоит не столько в его определенных
логических открытиях и не столько в деталях его обозначений (хотя оба
этих достижения — самого высокого уровня), сколько в том, что он впервые
продемонстрировал, как символическая логика освободилась от чрезмерной
навязчивости обычных алгебраических форм, став поэтому подходящим
инструментом для исследования. Направляемые нашим собственным
пониманием его метода, мы пользовались очень большой свободой при
конструировании и реконструировании символики, стараясь сделать ее адекватной
всем граням предмета исследования. Ни одного символа не было введено
иначе как на почве его практической целесообразности и непосредственной
пригодности для целей нашего исследования.
В примечаниях и объяснениях читатель найдет некоторое количество
опережающих ссылок. Несмотря на то, что мы предприняли все разумные
предосторожности, чтобы сохранить аккуратность использования этих
опережающих ссылок, мы, разумеется, не в состоянии гарантировать их
аккуратность с той же степенью убежденности, какую мы имеем в случае
ссылок на изложенный ранее материал.
Указания на предшествующие работы других авторов часто
оказывались невозможными, так как мы вынуждены были трансформировать все,
что заимствовали, приспосабливая заимствования к нашей системе и
нашим обозначениям. Поэтому мы находимся, по большому счету, в долгу
у каждого читателя, знакомого с литературой по рассматриваемому
предмету. В части обозначений мы настолько, насколько это возможно,
следовали Пеано, дополняя его обозначения, когда это было необходимо,
обозначениями Фреге или Шредера. Значительная часть символики тем не
менее является новой. Это обусловлено не столько неудовлетворенностью
символикой, введенной другими авторами, сколько новизной понятий, для
которых вообще не существовало символов. Во всех вопросах логического
анализа мы находимся в долгу у Фреге. В тех местах, где мы отступаем
от него, единственной причиной являются противоречия, показывающие,
что он так лее, как и все логики античности и современности, позволил
ошибочному положению прокрасться в его исходные посылки (вне этих
противоречий было бы почти невозможно обнаружить то ошибочное
положение). В части, касающейся арифметики и теории последовательностей,
вся работа основывается на результатах Георга Кантора. В части, каса-
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

30
ПРЕДИСЛОВИЕ
ющейся геометрии, перед нами постоянно были работы Штаудта, Паша,
Пеано, Пьери и Веблена.
Мы извлекли на разных стадиях работы много полезного из критики
наших друзей, таких как G.G. Berry (Bodleian Library) и R.G.Hawtrey.
Мы должны поблагодарить совет Королевского общества (Council of
the Royal Society) за грант от правительственного издательского фонда
(Government Publication Fund), покрывающий расходы в 200 фунтов
стерлингов на напечатание, а также членов специального комитета сената
Кембриджского университета (Syndics of the University Press), взявшего на
себя значительную долю расходов, связанных с проведением работы.
Техническое совершенство всех департаментов издательства University Press,
энтузиазм и доброжелательность его сотрудников значительно облегчили
работу над корректурой книги.
Второй том книги уже находится в печати и, наряду с третьим томом,
увидит свет, как только будет завершена работа по его напечатанию.
А. N. W.
В. R.
Кембридж, ноябрь 1910 г.
PRINCIPIA MATHEMATICA I

АЛФАВИТНЫЙ СПИСОК ПРЕДЛОЖЕНИЙ, ОБОЗНАЧАЕМЫХ
СПЕЦИАЛЬНЫМИ ИМЕНАМИ
Название
Abs
Add
Ass
Assoc
Comm
Comp
Exp
Fact
Id
Imp
Perm
Simp
»
jj
Sum
Syll
jj
»
»
Taut
Transp
jj
jj
jj
jj
jj
jj
Номер
*201.
*13.
*335.
*l-5.
*204.
*343.
*33.
*3-45.
*208.
*331.
♦1-4.
*202.
*3-26.
*327.
*l-6.
*205.
*206.
*333.
*334.
*12.
*203.
*215.
*216.
*217.
*337.
*41.
*411.
:/?з~р. з . ~p
iq.-э . p\/ q
:p.pz>q.z>.q
:pV {qV r) . з . qV {pV r)
:.рзд.рзг.з:р.з.#.г
:. p , q з . r: з : p . з . q з г
.pz>p
:. p . з . qz> r: з : p . g . з . г
ipVq.-э .qVp
:q,*z> .p-Dq
: p .q.-э . p
:p.q.^.q
:.pr.D:pV^.D.pVr
:.дзг.з:рз#.з.рзг
:.рз#.з:дзг.з./?зг
:/?з#.дзг. з ./?зг
:<7зг.рзд.з./?зг
: /? Vp . з . р
: р з ~ g . з . g з ~ р
: ~рз#. з . ~q-Dp
:рз#. з. ~#з~р
: ~#з~;?. з . p^q
:./?.#.з.г:з:/?.~г.з.~р
:рз<7. = .~<73~/?

ВВЕДЕНИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
33
ВВЕДЕНИЕ
КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Подготавливая новое издание "Principle, Mathematical', авторы полагали,
что наилучшим вариантом будет сохранение без изменений текста,
исключая лишь опечатки и небольшие ошибки36, даже в тех местах, где, как
мы понимали, необходимы были исправления. Главная причина, по которой
мы приняли это решение, заключается в том, что любое изменение
предложений повлекло бы изменение ссылок, а это уже требует значительных
усилий по переработке всего текста. Наиболее предпочтительный путь
поэтому—указать во Введении те главные исправления, появление которых
было бы желательно. Некоторые из исправлений едва ли можно оспорить,
другие, вообще говоря, дело вкуса.
Самое значительное исправление, которое является результатом
развития математической логики за прошедшие четырнадцать лет, — это
подстановка (часть I, глава 1) одного неопределимого предложения " р и q
несовместны" (или иначе "р и q оба ложны") вместо двух
неопределимых предложений "не-р" и "р или q". Этим мы обязаны д-ру Шефферу
(Н.М. Sheffer)37. Как следствие, Нико (М. Jean Nicod) было показано38,
что одно примитивное предложение могло бы заместить пять
примитивных предложений +1-2-3-4-5-6.
35 Этим Введением так же, как и приложениями к книге, авторы в значительной
степени обязаны F.P.Ramsey (King's College, Cambridge), целиком прочитавшему рукопись и
внесшему ценные критические замечания и предложения.
36 Здесь мы находимся в долгу перед многими читателями, и в особенности перед
д-рами Behmann и Boscovitch (Gottingen).
37 Trans. Amer. Math. Soc. V. XIV. P. 481-488.
38 "A reduction in the number of the primitive propositions of logic", Proc. Camb. Phil.
Soc. V. XIX.
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

34
ВВЕДЕНИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Отсюда следуют значительные упрощения при построении
молекулярных предложений и матриц; параграф *9 заменяется новым параграфом
*8, содержащимся в приложении 1 к этому тому.
Другое исправление, которое также не вызывает сомнений, — это
нецелесообразность различения реальных и кажущихся переменных 39 в
примитивном понятии "утверждение пропозициональной функции" 40. Во всех
местах, где в " Principia Mathematical мы имеем утверждаемое
предложение вида "К/*" или "Ь./р", оно должно быть принято, как имеющее
смысл "Ь . (jc) . fx" или "Ь . (р). fp". Следовательно, примитивное
предложение *1-11 больше не требуется. Все, что необходимо для того, чтобы
приспособить напечатанные в первом издании предложения к указанному
изменению, — это соглашение о том, что если область действия
кажущейся переменной в утверждаемом предложении, в котором она встречается,
распространяется на все это предложение, то этот факт явно
отображаться в символике не будет до тех пор, пока вместо понятия "всякий" не
потребуется понятия "некоторый". Другими словами, "Ь.ф*" будет иметь
значение "Ь. (jc) . флс"; однако в утверждаемом предложении "Ь.(з*).ф*"
по-прежнему необходимо явно указывать41 на то, что в нем участвуют
только "некоторые" jc, а не "все" jc.
Имеется также возможность указать более точно, чем это было сделано
прежде, какие именно нововведения были сделаны в главе 2 части I по
сравнению с главой 1. Их всего три, два из которых являются
существенными логическими новшествами, а третье — касается только обозначений.
(1) В главе 1 вместо "р" мы подставляем "фл:", так что вместо
" h. (р). fp" получается " h . (ф, х). Дф*)". Также в утверждаемое
предложение " \-. f(p, q,r,...)" возможна подстановка фдг, фу, фг, ... на места р, q,
г, ..., или подстановка ф*, фу на места р, q и подстановка yz на место
г и т.п. Таким образом, получаются новые общие предложения, отличные
от фигурирующих в главе 1.
(2) Мы вводим в главе 2 новое примитивное понятие "(3*)«Ф*'\ т.е.
экзистенциональные предложения, которые отсутствовали в главе 1.
Ввиду того, что реальные переменные устраняются, общие предложения вида
u(p)»fp" действительно появляются в главе 1, а предложения "(ЗР) >fpn —
нет.
(3) Посредством определений мы вводим в главе 2 общие предложения,
42
выступающие как молекулярные конституенты других предложении;
поэтому " (jc) . фх. V . р" означает " (jc) . фл: V рп'.
Это и есть те три нововведения, которые отличают главу 2 от главы 1.
Еще один момент, по отношению к которому исправление в новом
издании было бы желательным, — это аксиома сводимости (*12-1-11).
Указанная аксиома может быть оправдана с чисто прагматической точки зрения:
39 В современной математической логике реальным и кажущимся переменным Уайтхе-
да и Рассела соответствуют свободные и связанные переменные. — Прим. ред.
40 В оригинале — "assertion of a propositional function". — Прим. перев.
С помощью квантора существования (з*). — Прим. перев.
Термин констпитпуента здесь следует трактовать как составляющую
предложения. — Прим. ред.
Principia Mathematica I

ВВЕДЕНИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
35
она приводит только к желаемым результатам и не приводит ни к каким
нежелательным. Ясно, однако, что эта аксиома не способна нас полностью
удовлетворить. Нельзя также сказать, что для этой проблемы вообще
может быть получено сколько-нибудь удовлетворительное решение. Д-р Леон
Хвистек (Leon Chwistek) предпринял героическую попытку43 совсем
избежать использования этой аксиомы (и любого предложения, ее
заменяющего); из его работы становится понятным, что этот путь вынуждает нас
пожертвовать слишком большой частью обычной математики. Существует
иной путь, рекомендованный Витгенштейном (L.Wittgenstein), по чисто
философским причинам44. Он предполагает, что функции предложений есть
всегда истинностные функции и что функция может встречаться в
предложении только в форме ее логических значений. Подобная точка зрения
также сопряжена с определенными трудностями, но они, возможно, не
являются непреодолимыми45. Из нее следует, что все функции от функций
экстенсиональны. Она также заставляет нас не рассматривать
высказывание "А уверен в р" как функцию от р. Почему это возможно показывается
в " Tractatus Logico-Philosophicus" (loc. ей. и с. 19-21). Мы не готовы
утверждать, что эта теория, безусловно, справедлива, но, по-видимому, стоило
проработать на страницах книги вытекающие из нее следствия. Видимо,
весь первый том останется верным (хотя часто будут необходимы новые
доказательства); теория индуктивных кардиналов и ординалов также
окажется жизнеспособной; но теория бесконечных дедекиндовых и
правильно упорядоченных последовательностей будет утрачена, что не позволит
иметь дело с иррациональными и вещественными числами. Доказательство
Кантора для 2п > п рассыпется, если только п не предполагать конечным.
Возможно, некоторая дополнительная аксиома, встречающая меньше
возражений, чем аксиома сводимости, даст нужные результаты, но мы не
преуспели в поиске подобной аксиомы.
Следует сказать, что новый и мощный метод в математической
логике был недавно предложен д-ром Шеффером. Однако применение этого
метода потребовало бы полного изменения текста " Principia Mathematical.
Мы могли бы порекомендовать д-ру Шефферу самому справиться с этой
задачей, так как того, что было им до настоящего времени
опубликовано, едва ли достаточно, чтобы другие смогли предпринять необходимую
перестройку книги.
Приведенный общий обзор мы продолжаем его детальным развитием.
43 В его "Theory of Constructive Types" (см. список литературы в конце настоящего
Введения).
44 См.: Tractatus Logico-Philosophicus, *5-54 ff.
45 См.: приложение 3 к настоящему тому.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

36
ВВЕДЕНИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
I. АТОМАРНЫЕ И МОЛЕКУЛЯРНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ
Наша система начинается с "атомарных предложений" 46. Мы
принимаем их как данное47, поскольку они порождают проблемы, относящиеся
к философской части логики и ни в коем случае не подлежащие
обсуждению (по крайней мере, в настоящее время) в рамках математического
исследования.
Атомарные предложения могут быть негативным образом определены
как предложения, не включающие никаких частей, являющихся
предложениями, и не содержащие понятий "любой" или "некоторый" 48. Таким
образом, "этот предмет красный", "это событие предшествует тому" есть
атомарные предложения.
Позитивная схема определения атомарных предложений (она
представляется нам предпочтительной) подразумевает перечисление всех их
возможных типов:
R\(x) означает "субъект х имеет предикатом #1" 49;
К2(х,у) [либо xR2y] означает "субъект х находится в отношении Rj
(интенсионально) с субъектом у";
Ri(x,y>z) означает "субъекты х, у, z находятся в трехместном
(тернарном)50 отношении /?з (интенсионально)";
R${x, у, z, w) означает " субъекты х, у, z, w находятся в четырехместном
отношении51 /?4 (интенсионально)";
и т.д. ad infinitum52, или до такой степени, когда построение
отношения еще возможно. Логика не знает, существуют ли в действительности
л-местные отношения (интенсионально); это в любом случае —
эмпирический вопрос. Мы признаем как эмпирический факт, что существуют, по
крайней мере, двухместные (бинарные) отношения (интенсионально), так
как в противном случае невозможны были бы последовательности. Однако
логику и не интересует этот факт; ее заботят исключительно гипотезы,
выдвинутые на основании существующих предложений такой-то и такой-то
формы. В некоторых случаях гипотеза сама по себе имеет
вопросительную форму либо содержит внутри себя часть, которая имеет
вопросительную форму; во всех подобных случаях сам факт того, что гипотеза может
быть оформлена, доказывает ее истинность. Но даже тогда, когда та или
46 В современной математической логике "атомарным предложениям" Уайтхеда и
Рассела соответствуют "простые предложения", или "неделимые предложения", структура
которых не подлежит логическому анализу. — Прим. ред.
47 В оригинале — datum. — Прим. перев.
Этот способ определения понятия "атомарное предложение" кажется нам более
предпочтительным, ибо явно отображает ту стадию, когда необходимо завершить
рекурсивный анализ высказывания на предмет оценки его логической структуры.
Категорические суждения (т.е. высказывания, содержащие указания на всеобщность или
единичность) не допускаются в качестве атомарных предложений. — Прим,, ред.
49 В русскоязычной литературе по математической логике приведенная запись
трактуется как "субъект х обладает свойством R\". Предикатный символ R\ называют при этом
предикатом-свойством или унарным предикатом. — Прим. ред.
50 В оригинале — triadic. — Прим. перев.
51 В оригинале — tetradic. — Прим. перев.
52 До бесконечности (лат.). — Прим. перев.
PRINCIPIA MATHEMATICA I

I. АТОМАРНЫЕ И МОЛЕКУЛЯРНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ
37
иная гипотеза встречается в логике, то обстоятельство, что она может быть
оформлена, находится вне пределов логики.
Перечислим все истинные атомарные предложения и отметим тот факт,
что истинные предложения перечислены все без исключения. Любое
другое истинное предложение теоретически может быть выведено из них чисто
логическими методами. Другими словами, список вариантов из
необработанных предложений 53, требуемых в доказательствах, может быть сведен к
списку истинных атомарных предложений вместе с положением о том, что
каждое истинное атомарное предложение есть одно из следующих: (здесь
должен быть приведен список истинных атомарных предложений).
Если попытаться использовать этот метод, то следует подразумевать
бесконечную нумерацию, поскольку представляется естественным
предположить, что количество истинных атомарных предложений бесконечно,
хотя и не следует принимать это с полной уверенностью. На практике
общность с помощью этого метода полной нумерации как раз и не достигается,
так как указанный метод требует от нас больше знаний, чем мы обладаем.
Мы должны далее перейти к молекулярным предложениям. Для
начала предположим, что р, q, r, s, t обозначают атомарные предложения54.
Введем примитивное понятие
p\q,
которое, возможно, следует прочесть как "р несовместно с q" 55 и которое
будет истинным, когда хотя бы одно (или оба одновременно) из атомарных
высказываний будет ложным. Поэтому возможно также следующее
прочтение приведенной выше записи: "р ложно или q ложно"; или по другому
" р влечет не q". Поскольку мы собираемся определить дизъюнкцию,
импликацию и отрицание в терминах p\q, то этих способов прочтения p\q
с самого начала следует избегать. Символическую запись "p\q" следует
произносить как "р штрих q" 56. Положим теперь
~р. = -р\р Df,
р э q . = . р | ~ q Df,
pVq. = .~p\~q Df,
p . q . = . ~ (p | q) Df.
Таким образом обычные истинностные функции могут быть построены
только с помощью штрих-символа. Заметим, что с помощью приведенных
только что формул может быть получено
р э q . = . р | (q | q) Df.
Мы находим также, что
p.z>.q.r. = .p\(q\r).
53 В оригинале — the apparatus of crude fact. — Прим. перев.
54 Буквы р, q, r, s, t в современной терминологии обычно называют простыми
пропозициональными буквами (или простыми пропозициональными переменными). — Прим..
ред.
55 По поводу дальнейшего изложения см.: Nicod, "A reduction in the number of the
primitive propositions of logic", Proc. Camb. Phil. Soc. V. XIX. P. 32-41.
56 В настоящее время символ | обычно называют штрих-символом Шеффера. — Прим.
ред.
А.Н. Уайтхед, Б.Рассел

38
ВВЕДЕНИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Поэтому импликация р з q представляет собой вырожденный случай
функции от трех предложений.
Используя штрих-символ, мы в состоянии построить какое угодно
количество новых предложений; например, (р \q) \ r, p\(q\ r), (p\q)\(r\s) и т.д.
Необходимо заметить, что штрих-символ подчиняется закону
коммутативности (p\q) = (q\p), однако закон ассоциативности (p\q)\r = p\(q\r) не
будет справедлив. (Разумеется все эти результаты будут обоснованы
позднее.) Заметим также, что, когда мы конструируем новое предложение,
используя штрих-символ, мы не в состоянии распознать его истинность или
ложность до тех пор, пока либо (а) мы не в состоянии выяснить
истинность или ложность хотя бы некоторых его конституент, либо (б), по
крайней мере, одна из его конституент не будет подходящим образом входить в
предложение. Случай (а) интересен для логики как приводящий к правилу
вывода; именно:
на основании р и р \ (q \ г) может быть выведено г.
Приведенное правило (или некоторый его вариант) должны быть
приняты в качестве примитивного предложения. В этом месте мы применяем
это правило, подразумевая, что р, q, r есть атомарные предложения. Его
обобщение будет приведено ниже. Перейдем к рассмотрению случая (б).
В процессе построения новых предложений с помощью штрих-символа
предполагается, что штрих-символ может иметь справа (или слева) от себя
любое предложение, уже построенное по аналогичной схеме, т.е., вообще
говоря, не требуется, чтобы штрих связывал только атомарные
предложения. Поэтому по трем данным атомарным предложениям р, q, r мы можем
построить сначала p\q и q\r, а затем — (р\q) \ г и р\ (q\ г). По четырем
заданным р9 q9 r9 s мы можем построить предложения
{(p\q)\r}\s, (p\q)\{r\s), p\[q\(r\s)}
и, разумеется, другие предложения, переставляя символы р, q, r, s.
Приведенные выше предложения — существенно различны. Фактически мы
имеем:
{(P\q)\r}\s. = :.~pVq.r:V:~s,
(р I 4) I (г \s) . = :. р . q . V . г. s,
P\{q\(r\s)}. = :.~p:V:q.~rV~s.
Все предложения, получаемые с помощью этого метода, следуют из
правила: в предложении " р \ q" возможна подстановка на места р или q или на
оба места предложений, уже построенных с помощью штрих-символа. Это
правило позволяет получить некоторое собрание новых предложений, не
пересекающееся с первоначально определенными атомарными
предложениями. Все предложения, сконструированные подобным способом, за вычетом
атомарных предложений будут называться "молекулярными
предложениями". Итак, всякое молекулярное предложение имеет форму p\q, где р и
q сами, возможно, являются молекулярными предложениями. Если р есть
молекулярное предложение р\\рг, то р\ и р2 также могут быть
молекулярными предложениями; полагая, что р\=р\\ \р\2, получаем, что р\\
также должно иметь форму р\\\\рт и т.д.; после конечного числа подобных
шагов мы должны достичь атомарных конституент. В предложении р \ q
PRINCIPIA MATHEMATICA I

I. АТОМАРНЫЕ И МОЛЕКУЛЯРНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ
39
штрих-символ между р и q называется "главным" штрихом; если р = р\\ рг,
то штрих между р\ и рг называется вторичным штрихом; то же самое
касается штриха между q\ и qi, если q — q\ \qi- Если р\ —р\\ \р\г, то штрих
между р\\ и р\2 есть третичный штрих и т.д.
Атомарные и молекулярные предложения в совокупности есть
"элементарные предложения". Поэтому элементарные предложения
есть атомарные предложения вместе со всеми предложениями,
полученными из них путем связывания штрих-символом конечное число раз. Они
образуют некоторое вполне определенное собрание предложений. Если
теперь считать, вплоть до того места в дальнейшем изложении, где будет
явно отменено соглашение о том, что буквы р, q, r, s, t используются для
обозначения не только атомарных, но и элементарных предложений, то
сформулированное выше правило вывода по-прежнему будет иметь место,
т.е.
если р, q, г — элементарные предложения, то на основании
р и р | (q | г) может быть выведено г.
Это примитивное предложение.
Обратимся к упомянутому выше случаю (б). Когда молекулярное
предложение содержит повторения некоторой конституенты, организованные
некоторым специальным образом, то иногда мы в состоянии судить об
истинности всего предложения, даже не оценивая истинность или ложность
какой бы то ни было конституенты. Простейший пример подобного
положения дел есть предложение
Р\(р\р),
которое всегда истинно. Содержательно это предложение означает, что
"р несовместно с несовместностью р с самим собой", что, разумеется,
представляется очевидным. Возьмем предложение "p.q.^ . p". С помощью
штрих-символа его молено представить в виде
{(P\q)\(p\q)]\(p\p).
Возьмем еще одно предложение "~/?.d.~/?V~^". Оно имеет
представление
(р\р)\{(р\1)\(р\ф).
Еще один пример — "p.o.pVg". Для этого предложения будет
р\[{(р\р)\ШШ(р\рШяШ-
Все эти предложения истинны независимо от выбора р и q. Это как раз
и иллюстрирует то обстоятельство, что мы можем построить неизменно
истинные57 в силу их структуры предложения, что собственно и делает
молекулярные предложения важными для логики. Логика бессильна на
уровне атомарных предложений, так как их истинность или ложность
может быть выяснена только эмпирически. Тем не менее истинность
молекулярных предложений, имеющих определенную структуру, может быть
установлена без всяких экспериментальных свидетельств.
57 В оригинале — invariable truths. В современной математической логике такие
предложения называются тавтологиями. — Прим. ред.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

40
ВВЕДЕНИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Законы логики в части, касающейся элементарных предложений, есть
всегда утверждения, смысл которых сводится к констатации того, что
какими бы ни были элементарные предложения /?, q, г, ... , некоторая функция
F(/?,<?,r,...),
значениями которой являются молекулярные предложения, построенные
с помощью штрих-символа, будет всегда истинной. Предложение " F(p)
всегда истинна независимо от того, каким может быть элементарное
предложение /?" обозначается как
(P).F(P).
Аналогично предложение " F(p, q,r,...) всегда истинна независимо от того,
какими могут быть элементарные предложения /?, q, r, ..." обозначается
как
(p,q,r,...).F(p,q,r,...).
В случае, когда подобное предложение утверждается, мы будем
опускать "(/?,#, г,...)". Поэтому запись
u\-.F(p,q9r9..y
обозначает утверждение (в противоположность гипотезе) о том, что
функция F(p, q,r,...) всегда истинна, какими бы ни были элементарные
предложения /?, q, г, ....
(Различие между реальными и кажущимися переменными, которое
делается Фреге и в Principia Mathematica, на самом деле не диктуется
никакой необходимостью и оказывается ненужным. Что бы ни появилось как
реальная переменная в Principia Mathematica, оно может быть
истолковано как кажущаяся переменная, областью действия которой является все
утверждаемое предложение, в котором она фигурирует.)
Правило вывода в той форме, в которой оно приведено выше, никогда
не требуется в пределах самой логики, а необходимо тогда, когда логика
начинает применяться. В пределах логики требуемое правило будет
другим. В логике высказываний, о которой сейчас и идет речь, используется
следующее правило:
Какими бы ни были элементарные предложения р, q, r, на основании
u\-.F(p,q,r,..r к "\-.F(p,q,r,...)\{G(p,q,r,...)\H(p,q,r,...)}",
может быть выведено " h . #(/?, q,r,...)".
Иные формы правила вывода будут исследоваться ниже. Приведенное
правило — единственное, которое мы пока будем использовать.
Логика высказываний (*1-*5) может быть выведена, как показал Нико,
с помощью правила вывода из двух примитивных предложений
I- • РI (РI Р\
V \p-Dq.-D. s\q^p\s.
Первое из этих предложений может быть интерпретировано как " р
несовместно с не-/?", или ир или не-/?", или "не (р и не-/?)", или как "/? влечет
/?". Второе может интерпретироваться как
p^q.^:q^~s.^.p^~s,
являясь одной из форм принципа силлогизма. Этот принцип, записанный
с помощью штрих-символа, будет иметь следующий вид:
{p\(q\q)}\[{(s\q)\((p\s)\(p\s))}\{(s\q)\((p\s)\(p\s))}l
Principia Mathematica I

II. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ИНДИВИДОВ
41
Нико затем показал, что указанные два принципа могут быть заменены
одним. Этот принцип, записанный с помощью штрих-символа, есть
{p\(q\r)}\[{t\(t\t)}\[(s\q)\((p\s)\(p\s))}l
Представленный в таком виде принцип выглядит менее сложным, чем
второй из данных выше принципов, записанных в терминах штрих-символа.
Если интерпретировать принцип Нико на языке импликаций, то получится
В этой форме он выглядит более сложным, чем
p.z> .q.-э . s\qz>p\s,
однако сам по себе он является менее сложным.
Из указанных выше примитивных предложений вместе с правилом
вывода может быть доказано все, что логика может сказать об элементарных
предложениях, при условии, что мы добавляем еще одно примитивное
предложение: в предложении (р, qt г,...). F(p, q,r,...) разрешается подстановка
вместо р, q, r, ... функций
Mp,q,г,.. )Ji(p,q, г,.. .),/з(р,<?,г,...), ...
и утверждение предложения
(р, q, г,...) . F[f\ (р, <?, г,...), /2Q?, q, г,...), f3(p, q, г,...), ...},
где /i, fit /з, ••• есть функции, построенные с помощью
штрих-символа. Поскольку первое из утверждений применяется ко всем элементарным
предложениям, а второе — только к некоторым из них, то первое из
утверждений, очевидно, влечет второе58.
Мы коснемся более общей формы этого принципа позднее.
II. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ИНДИВИДОВ
1. Определение "индивида"
Мы видели, что атомарные предложения есть элементы следующей
последовательности форм:
Ri(x), R2(x,y\ R3(x9y,z\ R4(x,yyz,w)9 ...
Здесь каждый символ R\, R2, R3, R4, • • • —характеристика той специальной
формы, в которую он входит: т.е. символ Rn не может входить в
атомарное предложение Rm(x\,X2<).. .,хт), если только п отличается от т, и его
вхождение неотличимо от вхождения символа fim, причем вхождение Rn
не может происходить на места х\, Х2, ... ,хт. С другой стороны, любой
терм, который может входить на места х-ов в Rn(x\9X2,.. .,xn), может
также входить на места х-ов в Rm(x\,X2,...jXm), даже если т отличается от п.
Термы, которые могут входить в атомарное предложение любой формы,
58 Здесь Уайтхед и Рассел явно формулируют правило подстановки логических
выражений, построенных из элементарных предложений с помощью штрих-символа, на места
самих элементарных предложений в категорическое суждение (р, q, г,...) . F(p, q, r,...),
подчеркивая при этом ограниченный, вообще говоря, характер предложения
(j>9q9r9...).F[fi(p9q,r9...)9f2(p,q,r9...)9f3(p,q9r,...\...)
по отношению к исходному предложению (/?,qtr,...) . F(p, q,r,...). Значение различного
рода правил подстановок в математической логике трудно переоценить, ибо они являются
ключевыми элементами всех формальных логических исчислений. — Прим. ред.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

42
ВВЕДЕНИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
называются "индивидами" или "частностями"; термы, входящие на места
/?-ок, называются "универсалями" 59.
Коротко мы могли бы сформулировать наше определение следующим
образом: "индивид" есть все, что может быть предметом атомарного
предложения.
Для заданного атомарного предложения Rn(x\, Хг>..., хп) мы будем
называть любой из *-ов " конституентой" этого предложения, a R„ —
"компонентой" 60. То же самое мы будем говорить относительно
любого молекулярного предложения, в которое входит Rn(x\,X2,...,хп). В
элементарном предложении р | #, в котором р и q могут быть как
атомарными, так и молекулярными предложениями, мы будем называть р и q
"составляющими" (или "частями") предложения p\q\ любую
составляющую р или q мы будем, в свою очередь, называть также составляющими
(или частями) p\q и т.д., пока мы не достигнем атомарных составляющих
предложения p\q. Итак, сказать, что г "входит в" p\q, все равно, что
сказать, что г есть "составляющая" предложения p\q.
2. Определение элементарной функции индивида
По данному элементарному предложению, содержащему составляющую,
для которой индивид а является конституентой, молено образовать другие
предложения, замещая последовательно а другими индивидами. Таким
образом можно получить вполне определенное множество элементарных
предложений. Обозначая первоначальное предложение через фя, мы будем
обозначать через ф* пропозициональную функцию, полученную замещением
символа а на символ х. Поэтому ф* есть функция аргумента х,
значениями которой являются элементарные предложения. Весь смысл
использования записи "ф*" состоит в том, что она собирает воедино определенное
множество предложений: именно все предложения, которые являются ее
значениями при различных аргументах.
Мы уже имели дело с различными специальными функциями
предложений. Если р есть составляющая некоторого молекулярного предложения, то
мы можем рассмотреть множество предложений, полученных в результате
подстановки других предложений вместо р. Если первоначальное
предложение обозначить как fpy то результат подстановки q на место р будет
обозначаться через fq.
Когда индивид или предложение дважды входит в некоторое
предложение, то могут быть получены три функции, варьируя одно, другое или
оба вхождения. Например, р\р может трактоваться как значение одной из
59 В этом месте Уайтхед и Рассел вводят фундаментальные для всей
математической логики понятия с помощью терминов, давно вышедших из научного словаря.
Так, за переменными jci, *2, ... ,*л в предложении Rn(xi,X2,...,xn) закрепился термин
"индивидные (предметные) переменные", а символ Rn выражает предикат этого
предложения и обычно называется простым предикатным символом (или простой предикатной
буквой). — Прим. ред.
60 Терминология восходит к Витгенштейну.
PRINCIPIA MATHEMATICA I

II. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ИНДИВИДОВ
43
трех функций аргумента q: p\q, q\p, q\q. Подобные же рассмотрения
могут иметь место, если число вхождений больше чем два. Поэтому р\(р\р)
есть значение q | (г | s) или q \ (r \ q), или q\(q\ г), или q | (r | г), или q\(q\ q).
Когда мы утверждаем предложение "Ь . (р). Fp", предполагается, что р
варьируется, куда бы она ни входила. Подобным же образом мы можем
утверждать предложение вида "(*)«ф*'\ означающее, что "все предложения из
собрания предложений, указываемых посредством ф*, истинны"; здесь
также предполагается, что варьируется каждое вхождение х.
3. "Всегда истинное" и "иногда истинное"
Для заданной функции возможно такое положение, что все ее
логические значения оказываются истиной; но может случиться и так, что, по
крайней мере, одно из ее значений истина. Предложение, для которого все
значения функции ф(дс, у, z,...) истинны, выражается посредством символа
"(*,;у,г,...).фСх,;у,г,...)",
если, конечно, мы не утверждаем его. В последнем случае утверждение
записывается как
"Ь.ф(*,у,г,...)".
Подобные утверждения, в которых переменными были элементарные
предложения, у лее встречались выше. Рассмотрим случай, когда
переменные представляют собой индивиды, а функция является элементарной, т.е.
все ее значения — элементарные предложения. Мы более не хотим
ограничивать себя случаем, когда утверждается, что все значения ф(*, у, z,...)
истинны; мы желаем найти возможность сделать предложение
(x,y,z,...).<$>(x,y,z,...)
частью некоторой функции, определенной с помощью штрих-символа.
Сейчас, однако, мы пригнорируем это наше намерение и займемся
соответствующими рассмотрениями в разделе III данного Введения.
В дополнение к предложению, что функция ф* "всегда истинна" (т.е.
(*).ф;с), мы будем нуждаться в предложении, что ф* "иногда истинна",
т.е. истинна, по крайней мере, для одного значения х. Это предложение
мы обозначаем через
"(а*).ф*"-
Подобным же образом предложение, что ф(*,у,z,...) "иногда истинна",
обозначается как
"(Я^У.г,...).ф(дс,у,г,...)".
Нам потребуются, в дополнение к предложениям (х, y,z,...). <$>(x,y,z,...) и
(Я*»)7»^,...). ф(*, y,z,...), различные другие предложения подобного типа.
Рассмотрим сначала некоторую функцию двух переменных. Мы можем
построить следующие предложения:
(Я*): (У) • Ф(*>Л М : (Я>0 • Ф(х,у),
(ЯУ): (*) • <Ь(х,у\ (у): (а*). <$>(х,у).
Все это — существенно различные предложения, среди которых не
найдется ни одной пары эквивалентных. Выглядело бы совершенно
естественным при построении указанных предложений рассматривать функцию
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

44
ВВЕДЕНИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
ф(*,у) как сформированную в два этапа. Взяв ф(а,й), где а и Ь есть
постоянные, мы можем образовать сначала функцию ф(а,у), зависящую от
одной переменной у; затем мы можем образовать предложения
(у).ф(а,у) и (ду). ф(я,у).
Теперь мы можем изменять а, получив при этом функцию одной
переменной, что приводит к четырем следующим предложениям:
(*):(у).ф(*,у), (а*):()0.ф(*,)0, (*) "• (Я)7) • Ф(*, У\ (Я*) = (Я)7) • ФС*»)7)-
С другой стороны, мы могли бы идти от ф(а,£) к §(х,Ь), затем к (х). ф(*,Ь)
и (д*). ф(лс, &) и в таком случае — к
(у):(*).ф(*,у), (азО:(*)-Ф(*.)0. Су):(Я*)-Ф(*,>>), (Я)7): (Я*) • Ф(*.)0-
Все эти предложения будут называться "предложениями общего вида".
Таким образом шесть предложений общего вида могут быть выведены из
функции ф(*,у). Мы имеем
(х) : (у) . ф(*, у) : = : СУ) : (*) . ф(*, у),
(Я*): (Я)7) • ФС*,)7) s = : (Я)7) = (Я*) • Ф(х9у).
Больше нельзя указать ни одной эквивалентности, которая бы имела место
всегда. Например, различие между "(х) : (ду) . ф(*,у)" и "(Я)7) : (*) • ФС*,)7)"
точно такое же, как в анализе между "Для каждого, сколь угодно малого,
е найдется 6 такое, что ..." и " Существует 6 такое, что для каждого, сколь
угодно малого, € ... ".
Ввиду приведенных только что рассмотрений может показаться, что
проще считать функцию от нескольких переменных построенной
посредством последовательных шагов, на каждом из которых участвует только
функция одной переменной. Однако существуют аргументы и в пользу
иной точки зрения. Имеется два основных довода в пользу метода
последовательных шагов: во-первых, только функции одной переменной должны
выступать в качестве примитивного понятия; во-вторых, определения,
подобные данным выше, требуют либо изменения х при неизменном у, либо
изменения у при неизменном х. Первому из указанных случаев
соответствует вхождение "(у)" или "(ду)" слева от "(*)" или "(Я*)"? второму — "(*)"
или "(длс)" слева от "(у)" или "(ду)". Возражения против метода
последовательных шагов сводятся к тому, что он интерферирует с методом матриц,
который привносит упорядочение в последовательное генерирование типов
предложений и функций, требуемое теорией типов, и что он с самого
начала требует от нас оперировать с предложениями вида (у). ф(а, у), не
являющимися элементарными. Возьмем, например, предложение "Ь : q . э .р V q".
Оно также будет трактоваться как
\-:.(p):.(q):q.z>.pVq,
или
\-:.(q):.(p):q.z>.pVq,
и поэтому будет включать все значения каждой из функций
(q) : q . э . р V q, рассматриваемой как функция р,
либо
(р) : q, z> . р V q9 рассматриваемой как функция q.
Тем самым появляется возможность начать логику с элементарных
предложений, как мы того и лее лаем. Совершенно бесполезно расширять опре-
Principia Mathematica I

II. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ИНДИВИДОВ
45
деление элементарных предложений, так как это приведет только к
увеличению числа значений переменной q или р в рассматриваемых функциях.
Следовательно, по-видимому, необходимо начать с элементарной функции
ф(*Ь*2,....*и).
перед которой мы будем употреблять для каждого хг либо "(*)", либо
"(gjc)", полагая произвольным порядок следования переменных в этом
процессе. Здесь ф(*ьХ2,...,хп) называется "матрицей", а то, что идет перед
ней,— "префиксом". Так, в
"ф(*,)0" — матрица, "(д*): (у)" — префикс. Ясно, что матрица, содержащая
п переменных, приводит к п\2п предложениям, префиксы которых
содержат упорядоченные всеми возможными способами переменные с
различаемыми в каждом случае вхождениями "(*г)" и "(Э*г)"- (Некоторые из этих
предложений оказываются эквивалентными.) Процесс получения подобных
предложений из некоторой матрицы будет называться "обобщением"
(процедурой, или схемой, обобщения), даже несмотря на то, берутся ли "все
значения" или только "некоторые значения"; итоговые предложения будут
называться "предложениями общего вида".
Ниже нам встретится случай матриц, содержащих переменные, не
являющиеся индивидами; поэтому мы можем сказать следующее.
"Матрица" есть функция от любого числа переменных (которые могут
быть, а могут и не быть индивидами), значения которой — элементарные
предложения, используемая с целью проведения процедуры обобщения.
"Предложение общего вида" есть таковое, полученное по схеме
обобщения из некоторой матрицы. Здесь мы добавим еще одно определение.
"Предложение первого порядка" есть таковое, полученное по схеме
обобщения из некоторой матрицы, в которой все переменные являются
индивидами.
4. Методы доказательства предложений общего вида
Существует два основных метода доказательства предложений общего
вида, один —для универсальных предложений, другой —для предложений,
утверждающих экзистенциональность. Метод доказательства
универсальных предложений заключается в следующем. В данном предложении
\-.F(p,q,r,...),
в котором F построена с помощью штрих-символа и р, q, r, ... —
элементарные предложения, мы замещаем р, q, г, ... некоторыми (выбранными
по нашему желанию) элементарными функциями индивидов, полагая
p = fdxi9X2,...,xn),
q = f2(xi,x2,...,xn),
и т.д., а затем утверждаем результат для всех значений jci, *2, ... ,хп.
Утверждаемое таким образом меньше, чем исходное утверждение, так как р, q,
г, ... в исходном утверждении могли принимать в качестве своих значений
любое элементарное предложение, в то время как в новом утверждении они
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

46
ВВЕДЕНИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
могут принимать только значения f\, fz, /3, ... . (Две или более функции
из /i, /2, /3, ..., возможно, идентичны.)
Для доказательства экзистенциональных теорем примем два следующих
примитивных предложения:
♦8-1. Ь . (а*, у). фа | (ф* | фу),
*8 11. Ыа*).фл;|(<МфЬ).
Принимая для них сокращенную запись, соответственно приходим к
утверждениям
фа. э. (д*) . ф*,
(х) . ф*. z> . фа . фЬ.
Эти два примитивных предложения мы принимаем не только для одной
переменной, но и вообще для любого числа переменных. Поэтому мы
принимаем, что
ф(я!, а2,.. •, ап). z> . (a*i, *2> • • • , *п) • ф(*1, *2, • • •, *п),
(*Ь *2, •••,**)• ф(*Ь*2.. . . ,*п) . => • Ф(«Ь«2, • • • ,«п) • Ф№ь Ь2, . .., Ьп).
Предложение (х). ф*. э . фа . фЪ в данной форме выглядит неподходящим
для доказательства экзистенциональных теорем. Однако его можно
представить в форме
(gjc). ~ флс. V . фа . фЬ
или
~ фа V ~ фЬ. z> . (з*). ~ ф*,
причем эта форма идентична *9-11, если заместить ф на ~ф. Таким
образом, два принятых примитивных предложения неотличимы от *9-1 и *9-11.
Для осуществления логического вывода мы по-прежнему принимаем,
что из (х). фх и (х). ф* z> y\fх мы в состоянии вывести (х). ух, а из р и
p^q — q, даже если функции или предложения, участвующие в выводе,
не являются элементарными.
Экзистенциональные теоремы часто могут быть получены из
приведенных выше примитивных предложений следующим способом. Допустим, что
мы знаем утверждаемое предложение
К/(*,*).
Поскольку флс. э . (зу). фу, то мы можем вывести
Ma?) •/(■*> Л
т.е.
b:W:(3j)./U,j).
Подобным же образом имеем
Ь : 00 :(3*)./(*,)>).
С другой стороны, поскольку ф(х,у). z> . (3z,w). ф(г,м>), то мы можем
вывести
Ь. (Я *> У) •/(*,)>)
и
Ь. (ЗУ>*)•/(*>У)-
Principia Mathematica I

III. ПРЕДЛОЖЕНИЯ ОБЩЕГО ВИДА С ПЕРЕМЕННЫМИ
ОГРАНИЧЕННОГО ДЕЙСТВИЯ 47
Мы можем проиллюстрировать доказательства универсальных и экзи-
стенциональных предложений на простом примере. Мы имеем
\-.(p).pz>p.
Подставляя ф* на место р, получим
h . (jc) . ф* z> ф*.
Поэтому так же, как и в разобранном выше случае с /(jc,jc), имеем
Ь-'.(х):(яу).<$>х=><$>у,
Ь:О0.(3*).ф*зф);,
Ь:(з*,;у).Ф*=>Ф;у.
За исключением специальных аксиом, утверждающих экзистенциональ-
ные теоремы (таких, как аксиома сводимости, аксиома умножения и
аксиома бесконечности), два указанных выше примитивных предложения дают
единственный метод доказательства экзистенциональных теорем в логике.
Все они в действительности всегда выводятся из предложений общего
вида (x).f(x,x) или (х). /(jc, х, х) и т.п. подстановкой других переменных на
места некоторых вхождений х.
III. ПРЕДЛОЖЕНИЯ ОБЩЕГО ВИДА С ПЕРЕМЕННЫМИ
ОГРАНИЧЕННОГО ДЕЙСТВИЯ
Для любого примитивного предложения по данным (jc) . фх и
(jc) . ф* z> \^jc мы можем вывести (jc) . vyjc. До сих пор, однако, мы не
ввели специального обозначения, позволяющего нам сформулировать
соответствующую импликацию (в противоположность к выводимости).
С другой стороны, предложения (дх).фд: и (jc, у). ф* z> \\гу позволяют
нам вывести (у). \|гу; здесь нам бы также хотелось быть в состоянии
сформулировать соответствующую импликацию. До сих пор мы
определили лишь случаи предложений общего вида, появляющихся как полные
утверждаемые предложения. Теоретически это — единственный вариант
их использования, и нет никакой необходимости определять какие бы
то ни было другие. Но практически в высшей степени удобно иметь
возможность трактовать их как части функций, построенных с помощью
штрих-символа. Это целиком вопрос определения. Вводя подходящие
определения, предложения первого порядка, как может быть показано,
удовлетворяют всем предложениям *2-*5. Следовательно, при
использовании предложений *2-*5 нет больше необходимости предполагать, что р,
q, r, ... есть элементарные предложения.
Следующие основные определения приводятся ниже.
Когда некоторое предложение общего вида входит как часть в другое
предложение общего вида, то говорят, что переменная, входящая в часть
предложения общего вида, имеет ограниченное действие. Если
рассматриваемая часть содержит кажущуюся переменную х, то говорят, что область
действия переменной х ограничена рассматриваемым предложением общего
вида — частью другого предложения. Поэтому в р \ {(х). фх} область
действия переменной х ограничивается предложением (х). фх, в то время как
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

48
ВВЕДЕНИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
в (jc) . р | ф* область действия переменной х простирается на все
предложение. Область действия указывается точками.
Новый параграф *8 (приведенный в приложении 1) заменяет собой *9
в Principia Mathematica. Однако его общее содержание будет объяснено
уже сейчас.
Вхождение предложения общего вида в виде части в некоторую
функцию, построенную с помощью штрих-символа, определяется посредством
следующих определений:
{СО • Ф*} I q • = • (3*) • Ф* \q Df,
{(3*).ф*}1<7- = .(x).$x\q Df,
р I { Су) • ¥j} • = • (зу). р I w Df,
р I { (зу) . w} • = • Су) • р I w Df -
Тем самым определяется значение выражений, содержащих
штрих-символ между двумя предложениями, одно из которых элементарно, а
второе — предложение первого порядка. Когда штрих-символ встречается
между двумя предложениями, причем оба — предложения первого порядка, то
мы будем придерживаться соглашения о том, что предложение слева от
штрих-символа должно элиминироваться первым, рассматривая при этом
предложение справа от штрих-символа как элементарное; затем должно
быть элиминировано предложение справа от штрих-символа и в каждом
случае в соответствии с данными определениями. Поэтому
{ (*) . ф*} | { (у) . уу}. = : (д*) : ф* | { СУ) . уу}:
= :(а*):(Я)0-Ф*1ЧО%
{(3*)-<t>*H((3:y)-Wb = -(Ях):фх\{(яу).\\гу}:
= :(3*):СУ).Ф*1¥;У,
{(а х). ф*} | { Су) . \\fy}. = : (*). (а?). ф* | у\гу.
Соглашение о порядке элиминирования необходимо только ради
определенности, поскольку оба возможных способа дают эквивалентные
результаты. Например, в двух из приведенных только что примеров, если бы мы
сначала элиминировали у, то пришли бы к предложению
(3)0: СО • Ф* IW,
которое требует, чтобы либо (х). ~ ф*, либо (ау). ~ \jfy, и в таком случае
оказывается истинным.
При этих же условиях
СО : (3)0 • Ф* IW
истинно. Возможность изменения порядка переменных в префиксе
обеспечивается благодаря структуре их вхождения, т.е. тому обстоятельству, что
х входит лишь с одной стороны штрих-символа, ау-с другой. Порядок
следования переменных в префиксе безразличен, если все вхождения одной
переменной располагаются с одной стороны определенного штрих-символа,
а все вхождения других переменных —с другой. Следующая
эквивалентность, вообще говоря, не имеет места:
(а*): Су) • х(х>у) : =: Су) •• (а*) • х(х,у);
здесь правая часть чаще оказывается истинной по сравнению с левой
частью. Тем не менее следующая эквивалентность имеет место:
(а*): Су) • Ф* I ¥J: = •• Су) •• (а-О -Ф* I w-
Principia Mathematica I

III. ПРЕДЛОЖЕНИЯ ОБЩЕГО ВИДА С ПЕРЕМЕННЫМИ
ОГРАНИЧЕННОГО ДЕЙСТВИЯ 49
Возможность изменять порядок следования переменных в префиксе, когда
они разделены штрих-символом, есть примитивное предложение. Вообще,
после завершения процедуры элиминации удобно размещать слева те
переменные, которые "целиком" участвуют в записи, а справа—те, которые
участвуют лишь "частично", предполагая при этом, что переменные
входят таким образом, что наше примитивное предложение применимо.
Совсем необязательно, что в приведенном выше примитивном
предложении штрих, разделяющий * и у, является главным штрихом, т.е.
Р|[{(3*).Ф*}|{СУ).УУ}]- = -р\1(х)г&у.$х\уу\-
= •- (а*): Су) • р I (Ф* I w):
= :(у):(Я*)-Р1(Ф*1*1О0-
Все, что действительно необходимо, так это то, чтобы имелся некоторый
штрих-символ, который бы разделял переменные х и у. В противном
случае порядок, вообще говоря, не может быть изменен. Возьмем, например,
матрицу
ф* V \|гу. ~ ф* V ~ цгу.
Перепишем ее в форме
(флэууЛууэф*
или
{ Ф* I (WIW) ) I (WI (Ф* I Ф*) } •
Здесь нет ни одного штрих-символа, отделяющего все вхождения х от всех
вхождений у, и на самом деле предложения
(у) : (ал) - Ф* V \\fy. ~ фх V - \|/у,
(а*): Су) • Ф* v w • ~ Ф* v - \\fy
не эквивалентны, за исключением специальных значений ф и \у.
Посредством данных выше определений мы в состоянии вывести все
предложения, невзирая на порядок переменных в префиксе, из матрицы
элементарных предложений, соединенных штрих-символом. Задавая
произвольную подобную матрицу, содержащую часть р, мы можем заменить р
через фх или ф(*,у) и т.д., и затем добавить префикс (jc) или (а*), или
(*,у), или (*): (ау), или Су) : (а*) и Т-Д- Если оба символа р и q входят
в матрицу, то мы можем заменить р через ф*, a q — через \уу, либо
можно заменить оба символа на ф*, либо один —на ф*, а другой на любую
функцию от ф*, построенную с помощью штрих-символа.
В случае предложения вида
P\{(x)iRy.y(x9y)}
нам следует трактовать его как некоторый случай р I { (jc) - фл:} и сначала
элиминировать х. Таким образом находим, что
Р I ((*) •" ЗУ • V(x,y)}. = : а* = 00 • РI V(x,y).
Другими словами, определения типа { (jc) . фл:} | ^ применимы без всяких
изменений, даже если ф* не является элементарной функцией.
Определения ~р, р Vq, p .q, p^q должны быть оставлены без
изменений. Поэтому
А.Н.Уайтхед, Б.Рассел

50
ВВЕДЕНИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
~ { (х) . фх } . =
~{(а*).Ф*Ь
р . z> . (х). фх:
:{(х).фх}|{(х).фх}:
; (а х): фх | {(х). фх} :
: (З*) : (ау). (фх | фу),
:(х):(у).(фх|фу),
:/>|[{(*).ф*Ш(*).ф*}]:
: РI {(Я^)s (ЯУ) • (Ф^ I фу) > =
:(х):(у).р\ (фх | фу),
; (х) . фх} | (р | />) :
: (ах) . фх | (/? | р) : = : (ах) . фх э р,
:[-{(*)•Ф*Ш~р:
:{:(Я^):(ЯУ)-(Ф^1ФУ)Л(Р1Р) =
:(*М(Э30.(Ф*1фу)}|(р1р):
:(х):(у).(фх|фу)|(/>|/>),
:(л):(у).(р|р)|(фх|фу).
Будет видно, что в приведенных выше логических выражениях две
переменные появляются там, где следовало бы ожидать только одной. Можно
будет найти, не откладывая, что указанные две переменные могут быть
сокращены до одной, т.е.
фх.
фх.
э./?: =
V./?: =
р . V . (х). фх: =
= .(ах).фх|фх,
= . (х). фх | фх.
(а*):(азО-Ф*1фу =
(х):(у).фх|фу:
Эти формулы приводят к
- {(х). фх}. = . (ах). - фх,
~{(3*)-Ф*Ь = .(х).~фх.
Однако мы не в состоянии доказать эти предложения на текущем этапе;
но даже если бы и смогли, то вряд ли они оказались бы полезными,
поскольку мы пока еще не знаем того, когда два предложения общего вида
эквивалентны и возможна ли подстановка одного логического выражения
в другое в качестве части предложения, построенного с помощью штрих-
символа, без нарушения истинностного значения.
Сейчас поэтому предположим, что мы имеем некоторую функцию,
построенную с помощью штрих-символа, в которую р входит несколько раз,
скажем р \ (р | р), и мы хотим заменить символ р на (х). фх. В таком случае
мы должны написать в качестве второго вхождения р "(у), фу", а в
качестве третьего — "(z). фг". Таким образом, итоговое предложение будет
содержать столько различных переменных, сколько имеется вхождений р.
Требуется всего четыре примитивных предложения для цели,
обозначенной выше. Они есть:
(1) 1-.а(х,у).фд|(фх|фу), т.е. Ь:фа.э.
(2) h-a(x). фх|(фя|ф£), т.е. Ь:(х).фх.
(3) Расширенное правило вывода, т.е. из (х). фх и (х). фх z> \\tx выводима
(х). \ух, даже если ф и у неэлементарны.
(4) Если все вхождения х отделены от всех вхождений у
некоторым штрих-символом, то порядок следования х и у в префиксе может
быть изменен; т.е. выражение (ах): (у). фх| фу может быть заменено на
Су) : (3*) • Ф* I ФУ> и наоборот, даже если это выражение является частью
целого утверждаемого предложения.
,(ах).фх.
. э . фя . ф&.
Principia Mathematica I

IV. ФУНКЦИИ И ПЕРЕМЕННЫЕ
51
Данные выше примитивные предложения принимаются для любого
числа переменных.
С помощью приведенных выше примитивных предложений может быть
доказано, что все предложения *1-*5 одинаково применимы и тогда, когда
одно или несколько предложений р, #, г, ... не являются элементарными.
С этой целью мы можем воспользоваться работой Нико, доказавшего, что
примитивные предложения вида *1 могут быть выведены из
и
V .pz>q. z>. s\q-Dp\s
вместе с правилом вывода: " По заданным р и p\(q\r) мы можем
вывести г".
Таким образом, все, что необходимо сделать, —это показать, что
данные выше предложения остаются истинными, когда все предложения р, q, s
(или некоторые из них) не являются элементарными. Это будет сделано
в параграфе *8 приложения 1.
IV. ФУНКЦИИ И ПЕРЕМЕННЫЕ
Самое существенное использование переменной — это применение ее как
указателя на некоторое собрание элементарных предложений с тем, чтобы
мы могли утверждать, что все предложения из этого собрания истинны,
либо истинно по крайней мере одно. Мы уже использовали функции от
индивидов, подставляя ф* вместо р в предложения *1-*5, и также
посредством примитивных предложений вида *8. Тем не менее до сих пор мы
всегда полагали, что функция остается постоянной, в то время как
индивид варьируется, и не рассматривали случаи "дф" или когда область
действия "ф" меньше, чем целое утверждаемое предложение. Сейчас
необходимо рассмотреть все подобные случаи.
Предположим, что а есть постоянная. Тогда "фа" будет обозначать для
различных значений фл: все различные элементарные предложения, в
которых а является конституентой. Это, конечно же, есть собрание
элементарных предложений, отличное от любого, полученного варьированием
индивида; следовательно, имеются все основания выдвинуть новые
предложения общего вида. Значениями функции будут по-прежнему элементарные
предложения, как если бы ее аргументом был бы индивид; однако все они
составляют некоторое новое собрание элементарных предложений,
отличное от таковых, рассмотренных ранее.
Поскольку ниже мы будем иметь возможность рассматривать функции,
значения которых не есть элементарные предложения, то уже сейчас нам
бы хотелось выделить те из них, которые в качестве своих значений имеют
элементарные предложения, посредством восклицательного знака,
помещаемого между буквой, обозначающей функцию, и буквой, обозначающей ее
аргумент. Поэтому " ф! х" представляет собой функцию двух переменных:
х и ф! z. Это матрица, так как выражение не содержит кажущихся
переменных, и его значениями являются элементарные предложения. В даль-
А. Н. Уайтхед , Б. Рассел

52
ВВЕДЕНИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
нейшем мы будем применять запись " ф! jc" там, где до сих пор было
написано ф*.
Если заменить х постоянной а, то можно сформировать предложения
вида
(ф).ф!я, (зф).ф!я.
Это неэлементарные предложения, и поэтому они не имеют формы ф! а.
Утверждение подобного рода предложений выводится из матриц с
помощью метода, изложенного в *8. Примитивные предложения из *8 следует
применять, когда все переменные (или некоторые из них) есть
элементарные функции, и также тогда, когда все они индивиды.
Функция может появляться в матрице исключительно в виде своих
значений61. Чтобы получить матрицу, продолжим, как и ранее, в
молекулярном предложении, построенном с помощью штрих-символа, вместо
р, q, г, ... записывать ф!*, yly, X • Z, ... • Мы можем затем применить
правила из *8 к ф, у, х> • • • так же> как и к ■*> У> z-> • • • • Различие
между функцией индивида и функцией от элементарной функции индивидов
состоит в том, что в первом случае переход от одного значения к
другому осуществляется как переформулировка того же самого утверждения
применительно к другому индивиду, а во втором —как
переформулировка самого утверждения, но применительно к тому же самому индивиду.
Поэтому переход от предложения "Сократ смертен" к "Платон смертен"
есть переход от /! х к / ! у; но переход от предложения " Сократ смертен" к
предложению "Сократ мудр" есть переход от ф ! а к у I а. Функциональная
вариация возникает в таком предложении как: "Наполеон обладал всеми
чертами великого полководца".
Возьмем собрание элементарных предложений; каждая матрица будет
иметь в качестве значений предложения из этого собрания. Каждое
предложение общего вида может быть получено из некоторой матрицы с
помощью процедуры обобщения62. Каждая матрица естественным образом
определяет некоторую классификацию элементарных предложений,
которая в свою очередь определяет вполне определенный спектр обобщения
матрицы63. Таким образом, предложение их любит Сократа" указывает
на некоторое собрание предложений, обобщенных в предложениях " (х). х
любит Сократа" и u(qx).x любит Сократа". Однако предложение "ф!
Сократ" указывает лишь такие элементарные предложения, в которых
упоминается Сократ. Обобщения "(ф).ф! Сократ" и "(зФ)*Ф« Сократ"
приводят к классу элементарных предложений, которые не могут быть
получены из индивидной переменной64. Любое значение предложения " ф!
61 Это предположение носит фундаментальный характер для всего последующего
изложения. Оно сопряжено с некоторыми трудностями, но сейчас мы проигнорируем их. Оно
принимается (не совсем, правда, адекватно) вместо аксиомы сводимости.
Соответствующее обсуждение приводится в приложении 3.
62 В типичном предложении логики все переменные в матрице должны быть
подвергнуты процедуре обобщения. В других предложениях общего вида, таких как "все люди
смертны", некоторые из переменных в матрице замещаются постоянными.
63 В оригинале — the scope of the generalization. — Прим. перев.
В оригинале — individual-variable. — Прим. перев.
PRINCIPIA MATHEMATICA I

IV. ФУНКЦИИ И ПЕРЕМЕННЫЕ
53
Сократ" есть обычное элементарное предложение; то новое, что вводится
переменной ф, это —новая классификация, а не новый классифицируемый
объект. С другой стороны "(х).х любит Сократа", "(Ф)«Ф« Сократ" и т.д.
являются новыми предложениями, не содержащимися среди элементарных
предложений. Задача *8 как раз и состоит в том, чтобы показать, что эти
предложения подчиняются тем же правилам, что и элементарные
предложения. Метод доказательства безразличен к тому, какие переменные
участвуют в предложениях, до тех пор, пока все функции, которых это касается,
в качестве значений имеют элементарные предложения. Сами переменные
могут быть элементарными предложениями, как это имеет место в *1-*5.
Новое множество возникает в ситуации, когда переменная функция
имеет значения, не являющиеся элементарными предложениями. Однако
такого рода переменные, по всей видимости, не нужны. Каждое элементарное
предложение есть некоторое значение ф!£; поэтому
(p)-fP- = - (Ф, х). Дф!*), (3/>) • fP • = • (3<М) • /(ф!*).
Следовательно, все предложения второго порядка, в которых
переменная есть элементарное предложение, могут быть выведены из
элементарных матриц. Вопросы, связанные с иными предложениями второго
порядка, будут обсуждаться в следующем разделе. Функция от двух
переменных ф(*,у) указывает некоторый класс из классов предложений. Мы
будем иметь класс ф(я,у) для заданного а и переменного у; затем —класс
из всех классов ф(а,у), если а изменяется. Следует ли трактовать
функцию, как указывающую классы ф(я,у) или ф(*,&), зависит от
принятого порядка обобщения. Поэтому порядок "(Я*):(У)" подразумевает ф(я,у),
а"О0:(3*)"-ф(*,*>).
Рассмотрим матрицу ф! х как функцию двух переменных. Если мы
сначала будем варьировать х, фиксируя при этом ф (что представляется
наиболее естественным в смысле порядка), то тем самым образуется класс
предложений ф ! х, ф ! у, ф ! z, ..., которые различаются чисто
подстановкой одного индивида вместо другого. Образовав один такой класс, мы
можем образовать другой, и т.д., пока мы не проделаем это всеми
возможными способами. Предположим теперь, что сначала варьируется ф при
фиксированном х, равном а. В таком случае мы сперва образуем класс всех
предложений вида ф! я, т.е. всех элементарных предложений, в которых а
есть конституента; затем мы образуем класс ф! Ъ и т.д. Множество
предложений, являющихся значениями ф! а, не может быть получено вариацией
индивидов, т.е. не имеет формы fx (при постоянном / и переменном х).
Это как раз то, что делает ф переменной нового вида, отличной от х. Вот
почему также обобщение формы (ф). ^!(ф!2,^) не дает функцию вида fix
(при постоянном /). Заметим также, что в то время как а есть
конституента /! а, сама / таковой не является; поэтому матрица ф! х имеет ту
особенность, что, когда х приписывается некоторое значение, то это
значение будет конституентой результата, но когда ф приписывается некоторое
значение, то это значение поглощается результирующим предложением и
полностью исчезает. Мы можем определить функцию ф! х как некоторое
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел -

54
ВВЕДЕНИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
подобие предложений, которое возникает, когда одно получается из другого
посредством замещения одного индивида другим.
Мы уже видели, что существуют матрицы, содержащие в форме
переменных функции индивидов. Мы можем обозначить каждую такую
матрицу как
/!(ф!2,у!2,х!2,...,*,у,г,...)-
Поскольку функция может входить в матрицу только исключительно в
виде своих значений, то, например, ф! 2 может входить в данную выше
матрицу только через посредство вхождений ф ! х, ф ! у, ф ! z, ..., или —ф ! я,
ф! &, ф! с, ..., где а, Ь, с, ... есть постоянные. Постоянные не
возникают в логике, другими словами, я, Ь, с, ... предполагавшиеся
постоянными, следует рассматривать как результат внелогического65 присваивания
значений переменным. Поэтому можно считать, что они поглощаются
переменными х, у, z, • • • • Сами переменные х, у, z, ... будут встречаться
в логике как аргументы переменных функций. Следовательно, любая
матрица, которая содержит переменные ф! 2, у! 2, х * 2, х, у, z и не содержит
никаких других, если она того вида, который может явно встречаться в
логике, то она будет получаться подстановкой ф ! *, ф ! у, ф ! z, Y ! х, у ! у, у I z,
X • xj X • У1 X • z или некоторых из них вместо элементарных предложений
в некоторую функцию, построенную с помощью штрих-символа.
Здесь необходимо пояснить, что означает, когда мы говорим "матрица,
которая может явно встречаться в логике", или когда мы называем ее как
"логическая матрица". Логическая матрица —это такая матрица, которая
не содержит постоянных. Поэтому р \ q есть логическая матрица; то лее
самое справедливо и по отношению кф!х, где и ф и х — переменные. Взяв
любое элементарное предложение, мы получим логическую матрицу, если
мы заменим все ее компоненты и конституенты переменными. Матрицы
иного вида получаются из логических матриц при присваивании значений
некоторым из ее переменных. Существуют, однако, различные пути
анализа предложения и поэтому различные логические матрицы могут быть
выведены из данного предложения. Таким образом, предложение, которое
является значением p\q, будет также значением (ф ! х) | (у! у) и х • (*> у)-
Разные формы требуются для различных целей; но все формы матриц,
явно необходимых в логике, — логические матрицы, определенные выше. Это,
конечно же, просто иллюстрация того обстоятельства, что логика всегда
направлена на достижение полной общности. Проверка логической
матрицы состоит в том, чтобы выразить ее, не используя никакого нелогического
символа, т.е. мы не должны требовать символа "Сократ". Рассмотрим
выражение
/! (ф! 2, у! 2, х * 2,..., х, y,z,.. .)•
Когда некоторое значение присваивается /, то получается матрица,
содержащая переменные ф, V, Х> • • • х, У, z, ... . Однако до тех пор, пока /
остается переменным, это матрица нового типа, содержащая новую
переменную /. Мы называем / "функцией второго порядка", потому что среди
65 В оригинале — extra-logical. — Прим. перев.
PRINCIPIA MATHEMATICA I

IV. ФУНКЦИИ И ПЕРЕМЕННЫЕ
55
ее аргументов фигурируют функции. Когда значение присвоено не только
/, но и также ф, V, х> •••■*> У> z> ••• > мы получаем элементарное
предложение; однако, когда значение присваивается только /, мы получаем
матрицу, содержащую в качестве переменных только функции первого порядка
и индивиды. Это совершенно аналогично тому, что происходит, когда мы
рассматриваем матрицу ф! х. Если мы припишем значения и ф, и х, то мы
получим элементарное предложение; но когда мы приписываем значение
только ф, мы получаем матрицу, содержащую только индивид в качестве
переменной.
Не существует логической матрицы вида /!(ф!2). Матрицы, в которых
единственным аргументом является ф! 2, есть таковые, содержащие ф! а,
ф ! Ь, ф! с, ..., где я, Ь, с, ... — постоянные; однако эти матрицы не есть
логические матрицы, выведенные из логической матрицы ф! х. Так как
ф может входить только через посредство своих значений, то ф должна
входить в логическую матрицу вместе с одним (или большим количеством)
из переменных аргументов. Простейшие логические функции, зависящие от
единственной переменной ф, есть (х). ф ! х и (д*). ф ! *, но они не являются
матрицами. Логическая матрица
/!(ф!2,*ь*2,...,*п)
всегда выводится из некоторой функции, построенной с помощью штрих-
символа,
F(j>u P2, РЗ, • • •, Рп)
посредством подстановок ф ! х\, ф ! *2, ..., ф ! хп вместо р\, рг, • • •, Рп- Это
единственный метод построения такого рода матриц. (Мы тем не менее
можем положить xr = xs для некоторых г и s.)
Функции второго порядка обладают двумя связанными друг с другом
свойствами, которыми не обладают функции первого порядка. Первое из
них заключается в том, что если / присваивается некоторое значение, то
результат может быть логической матрицей; второе заключается в том, что
определенные постоянные значения могут присваиваться /, не выходя за
пределы логики.
Поясним сначала первое свойство: например, / ! (ф!2,*) есть матрица,
содержащая три переменные /, ф и х. Следующие логические матрицы (из
бесконечного их числа) получаются из приведенной путем присваивания
некоторого значения /: ф ! х, (ф ! х) | (ф ! х), ф ! х э ф ! х и т.д. Подобным же
образом выражение ф ! х z> ф ! у, являющееся логической матрицей,
получается путем присваивания значения / в /! (ф!2,*,у). Во всех этих случаях
постоянное значение, которое присваивается /, может быть представлено
исключительно с помощью логических символов (что выступало как
второе свойство /). Но это не имеет места для ф!*: для того чтобы
присвоить значение ф, мы должны ввести нечто такое, что мы могли бы
называть "эмпирическими постоянными", такими как "Сократ", "смертен" и
"грек". Функции х, которые могут быть построены, не выходя за пределы
логики, должны включать функциональный символ в качестве обобщенной
переменной, подобно тому, как это в самом простом случае имеет место
в (ф). ф ! х и (дф). ф ! х.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

56
ВВЕДЕНИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Данное выше уточнение понятий функции второго и высшего порядков
до некоторой степени представляется произвольным. Мы могли бы принять
в логике символы
Ri(x)9 R2(x,y\ R3(x9y9z),
где R\ есть переменный предикат, /?2 — бинарное отношение
(интенсионально) и т.д. Каждый из символов R\(x), /?2(*,)>), R3(x9y,z), ... является
логической матрицей, так что если мы используем их, то нам следует иметь в
своем распоряжении логические матрицы, не содержащие переменных
функциональных символов. Возможно, стоит напомнить самим себе о значении
"ф!а", где « — постоянная. Это значение заключается в следующем.
Выберем произвольное конечное число предложений различных форм R\(x),
R2(x>y), ••• и скомбинируем их с помощью штрих-символа любым
желаемым способом, позволяя при этом каждому из них повторяться любое
конечное число раз. Если, по крайней мере, одно из них включает а в виде
конституенты, т.е. имеет форму
Rn(a>bub2j... ,Ь„-\\
то молекулярное предложение, которое мы таким образом построили,
будет иметь форму ф! а, т.е. будет значением "ф! я" при некотором
подходящем ф. То лее самое, разумеется, справедливо и по отношению к самому
предложению Rn(a9b\9b2,-.-,bn-\). Совершенно ясно, что логика
предложений и тем более логика предложений общего вида была бы недопустимо 66
сложной, если бы мы удерживали себя от использования переменных
функциональных символов; однако, едва ли мы могли бы утверждать, что она
была бы невозможна. Что касается матриц, мы могли бы построить
матрицу /! (R\,x), в которой R\(x) было бы некоторым значением. Другими
словами, те свойства матриц второго порядка, которые мы обсуждали, будут
присущи также матрицам, содержащим переменные универсали, но ими не
могут обладать матрицы, содержащие исключительно переменные
индивиды.
Присваивая значения ф ! 2 и х в /! (ф!2,*) и оставляя / переменным, мы
получим некоторое собрание элементарных предложений, которые
невозможно получить посредством переменных, представляющих индивиды, и
функций первого порядка. Вот почему новая переменная / оказывается
полезной.
Мы можем перейти подобным же образом к матрицам
F ! {/! (ф! 2, х\g! (ф! 2,х),...,у! 2,х * 2,. -., х9у9...}
и т.д. до бесконечности. Все это представляет собой просто новые пути
классификации элементарных предложений, ведущие к новым типам
общности.
V. ФУНКЦИИ, ОТЛИЧНЫЕ ОТ МАТРИЦ
Когда матрица содержит несколько переменных, функции от некоторых
из них могут быть получены превращением оставшихся в кажущиеся
переменные. Функции, полученные подобным образом, не являются матрицами,
66 В оригинале — intolerably. — Прим. перев.
PRINCIPIA MATHEMATICA I

V. ФУНКЦИИ, ОТЛИЧНЫЕ ОТ МАТРИЦ
57
и элементарные предложения не будут их значениями. Наиболее простые
примеры есть:
(у), ф !(*,)>) и (ду).ф !(■*,)>)•
Когда мы имеем предложение общего вида (ф). F { ф ! 2, х, у,...},
значениями ф могут быть только матрицы, так что функции, содержащие
кажущиеся переменные, исключаются. Мы можем, если это соответствует нашему
желанию, ввести новую переменную, чтобы иметь возможность обозначать
не только функции, подобные ф! 2, но также и
(у). Ф !(*,)>), (у,г).ф! (x,y,z), ..., (3)>). Ф !(*,)>), ... ;
короче, все такие функции одной переменной, которые могут быть
выведены с помощью процедуры обобщения из матриц, содержащих только
одну переменную-индивид. Обозначим подобные функции как ф^, или \\fix,
или Х\Х и т.д. Здесь символ 1 предназначается для указания того, что
значениями функций могут быть предложения первого порядка, полученные
обобщением по отношению к индивидам. В силу *8 не будет никакого
вреда от включения подобного рода функций, наряду с матрицами, в форме
значений некоторого класса переменных.
Теоретически совсем необязательно вводить такие переменные, как фь
поскольку они могут быть заменены бесконечной конъюнкцией или
дизъюнкцией. Поэтому, например,
(фО . ф1*. = : (ф). ф ! х: (ф,у). ф ! (х,у): (ф) (ду). ф ! (*,у): etc.,
(ЯФО • <М. = : (ЗФ) • Ф * х: V : (дф) (у). ф ! (х,у): V : (дф,;у). ф ! (х,у): V : etc.,
и в общем, задавшись произвольной матрицей /! (ф! 2, *), мы будем
иметь следующий процесс интерпретации выражений (фО . / ! (фх ! 2, х) и
(ЯФО • / • (Ф1 • 2, л:). Положим
(ф1)./Кф12,^). = :(ф)/!{0').ф!(2,Л^}:(Ф)./!{(3^).ф!(2,Л^},
где /! { Су) . ф ! (2, у), х} строится следующим образом: где бы в / ! { ф ! 2, х}
ни встречалось значение ф, скажем ф! <я, выполним подстановку
Су).ф!(я,)0 и развернем ее посредством определений, приведенных
в начале *8. Выражение / ! {(ду). ф ! (2, у), х] конструируется подобным
же образом. Аналогично положим
(ф2).ЖФ2!2,х). =: (ф)./!{(у,*).ф!(2,у,и0,*}:
(Ф) - /! { Су) •• (3™). ф ! (2, у, w), х}: и т.д.,
где "и т.д." подразумевает префиксы (gj):(>v)., (gj,w)., (w):(gj).. Мы
определяем подобным же образом ф3, ф4, .... Затем
(ф1)./!(ф12,^). = :(ф1)/!(ф12^):(ф2)/!(ф22,д:): и т.д.
Этот процесс опирается на тот факт, что /! (ф! 2, х) для каждого
значения ф и х есть предложение, сконструированное вне пределов круга
элементарных предложений посредством штрих-символа, и что *8 позволяет
нам любое из них заменить на предложение, которое не является
элементарным. Выражение (дфО./! (ф1 2,х) определяется как в точности
аналогичное дизъюнкции.
Очевидно, что на практике с бесконечной конъюнкцией или
дизъюнкцией невозможно манипулировать, не опираясь на некоторые специальные
допущения. Мы в состоянии выдать результат для любого конечного
отрезка бесконечной конъюнкции или дизъюнкции, и мы в состоянии "увидеть",
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

58
ВВЕДЕНИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
что эти результаты будут справедливы всюду в пределах нашего
исследования. Но мы не в состоянии доказать их, так как математическая индукция
здесь неприменима. Мы поэтому примем определенные примитивные
предложения, которые утверждают лишь то, что все, что мы в состоянии
доказать в каждом отдельном случае, справедливо вообще. Опираясь на них,
становится возможным манипулирование с переменными, подобными фь
Аналогично мы можем ввести fidtyiZyX), где любое число индивидов и
функций \j/i, 5Сь ••• возможно появляются как кажущиеся переменные.
Никаких существенных трудностей при этом не возникает, пока
кажущиеся переменные, появляющиеся в функции, не будут иметь более
высокий порядок, чем аргумент этой функции. Например, xeD'R, что есть
(ЗУ) • xRy* может без всяких опасений рассматриваться как если бы оно
имело форму ф! х. В силу *8 ф1* может быть подставлено вместо ф! х, не
вмешиваясь в истинность какого-бы то ни было логического предложения,
частью которого является ф! х. Подобным же образом любое логическое
предложение, справедливое по отношению к У! (фг £, х), будет таковым и
по отношению к /\(ф\2,х).
Совершенно новая ситуация возникает, когда кажущаяся переменная
имеет более высокий порядок, чем аргумент. Самые простые случаи есть:
(ф)./!(ф2,*), (ЯФ).Я(<Н,*).
Эти выражения есть функции от х, но они, очевидно, не встречаются среди
значений ф! х (где ф —аргумент). Если мы примем новую переменную фг,
чтобы включить функции, в которых ф! z может выступать в качестве
кажущейся переменной, то мы получим другие новые функции
(Ф2) • / ! (Ф2 I *), (ЗФ2).Я(Ф2£*)>
которые опять не встречаются среди значений фг* (где фг —аргумент),
поскольку полнота значений67 фг23 которая при этом вовлекается, отлична
от полноты значений ф! 2, которая была вовлечена в рассмотрения
прежде. Мы можем расширить смысл ф: функция от х, в которую ф входит
в качестве кажущейся переменной, имеет соответственно расширенное
толкование, так что как бы ни была определена ф,
(ф)./!(ф2,*) и (аф)./!(ф2,*)
никогда не могут быть значениями для фл:. Попытка сделать их таковыми
подобна попытке поймать свою собственную тень. Невозможно получить
одну переменную, которая заключает среди своих значений все возможные
функции индивидов.
Мы обозначаем через фг* функцию от х, в которой ф] есть кажущаяся
переменная, но не найдется ни одной переменной более высокого порядка.
Подобным же образом фз* будет содержать фг в качестве кажущейся
переменной и т.д.
Существо дела состоит в том, что переменная может свободно
перемещаться через любую, правильно определенную полноту значений при
условии, что все эти значения таковы, что любое одно из них может замещать
другое существенно в любом контексте. При построении ф1* единственная
67 В оригинале — totality of values. В дальнейшем мы будем переводить этот термин и
непосредственно как тотальность значений. — Прим. перев.
Principia Mathematica I

V. ФУНКЦИИ, ОТЛИЧНЫЕ ОТ МАТРИЦ
59
возможная полнота есть таковая от индивидов, которая уже
предполагается. Тем не менее, когда мы позволяем ф выступать в качестве кажущейся
переменной в некоторой функции от х, то мы расширяем полноту
функций от jc, несмотря на то, что ф, возможно, у лее была определена. Поэтому
всегда необходимо специфицировать тип ф, где бы ни появлялась ф в
качестве кажущейся переменной.
Другое условие, которое имеет важное значение, полностью
обеспечивается определениями *8 вместе с принципом, утверждающим, что
функция может входить только через посредство своих значений. В силу
этого принципа функция от функции есть функция, построенная с помощью
штрих-символа, от значений этой функции. Кроме того, в силу
определений *8, значение любой функции может значимо замещать любое
предложение в функции, построенной с помощью штрих-символа, так как
предложения, содержащие любое число кажущихся переменных, всегда могут
быть подставлены на места элементарных предложений и вместо друг
друга в любую функцию, построенную с помощью штрих-символа. Значимое
замещение как раз и подразумевает, что каждое законченное
утверждаемое предложение должно выводиться из некоторой матрицы посредством
процедуры обобщения, и что в этой матрице подстановка постоянных
значений вместо переменных должна всегда, в конце концов, приводить к
функции от атомарных предложений, построенной с помощью штрих-символа.
Мы говорим "в конце концов" потому, что когда допускаются такие
переменные, как фг2, то подстановка некоторого значения вместо фг может
привести к предложению, все еще содержащему кажущиеся переменные, и
в этом предложении кажущиеся переменные должны быть замещены
постоянными, перед тем как мы придем к функции от атомарных предложений,
построенной с помощью штрих-символа. Мы можем ввести переменные,
которые будут требовать нескольких подобных этапов, но конец должен быть
всегда одним и тем же: функция от атомарных предложений, построенная
с помощью штрих-символа.
Тем не менее, по-видимому, хотя это, возможно, трудно доказать
формально, функции Ф1, /i не вводят предложений, которые не могут быть
выражены без них. Возьмем сперва один очень простой пример.
Рассмотрим предложение
(ЗФО • ф1*- Ф1Я, которое мы будем называть как f(x,a).
Так как ф1 включает все возможные значения ф! и также великое
множество других значений в своем диапазоне, то f(x,a), как представляется,
утверждает меньше (делает меньшее по объему утверждение), чем должно
было бы посредством
(ЗФ)*Ф • ■*• Ф -я» которое мы будем называть как fo(x,a).
Однако в действительности /(jc, а). z>. fo(x, а). Это может быть видно из
следующего: §\х имеет одну из различных наборов форм
(у).ф\(х,у), (y,z).<$>l(x,y,z), ...,
(ЯУ) • Ф ! (х,у), (ay,z). ф ! (х,у,z),
(У): (gz) • Ф ! (хуу,z), (ЗУ): (z). ф ! (х,у,z\ ....
Примем сначала, что ф^. = . (у). ф ! (х,у). Тогда
А.Н. Уайтхед, Б.Рассел

60
ВВЕДЕНИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
ф!*. ф1Я . = : (у). ф ! U,у): (у). ф! (а,у) :
э :ф\(х,Ъ).ф1(а,Ъ):
^ : (зФ)Ф ! JC. ф ! а.
Предположим затем, что ф]*. = . (зу). ф! (х,у). В этом случае
ф1*. ф!« . = . (ду). ф ! (х,у): (gz). ф ! (a,z):
=> : (gy.z): ф ! (*,у) V ф ! (x,z). ф ! (я,у) V ф! (я,г):
z> : (дф).ф! х. ф!я,
т.к. ф ! (jc,y) V ф ! (jc,z) имеет форму ф ! х при фиксированных у и z. Ясно,
что этот метод доказательства применим и в других случаях, упомянутых
выше. Следовательно,
(ЭФО • Ф1* • Ф1а • - • (аФ) • Ф • х • Ф •а-
Мы можем быть также удовлетворены тем, что тот же самый результат
по той же самой причине остается справедливым и в общем виде
(ЯФО ■ / !(Ф1 2,*). = . (аф). / !(ф! z,x).
Мы знаем, что /! (ф! z, x) выводится из некоторой функции, построенной
с помощью штрих-символа,
F(p,q,r9...)
подстановкой ф! jc, ф! а, ф! Ь, ... (где а, Ь, ... есть постоянные) вместо
некоторых из предложений р, q, r, ... и gj ! x, g2 ! *, £з • *, • • • (где g\,
gi-> 8ъ, •■• есть постоянные), вместо других предложений из р, q, r, ...,
замещая при этом оставшиеся предложения из р, q, r, ... постоянными
предложениями. Рассмотрим типичный случай; предположим, что
/!(ф!2,х). = .(ф!А)|{(ф!х)|(ф!Ь)}.
Мы в таком случае должны доказать
ф1А|(фцс|ф1Ь).э.(аф)ф!А|(ф!х|ф!Ь)1
где fyix может иметь одну из форм, перечисленных выше.
Сначала предположим, что ф]х. = . (у) ф ! (х,у). Тогда
Ф1в|(фцс|ф1б). = 1Ш-(ъ™).фНа,у)\{ф1(х^)\<ЬЧЬ,™)}'.
=>:(аУ).фКл,У)|{ф!иу)|ф!(Ь,у)}:
э :(аФ).ф!в|(Ф«^1ф!Ь),
поскольку для данного у выражение ф! (х, у) имеет форму ф ! х.
Предположим затем, что ф1 х. = . (зу) ф ! (х,у). Тогда
ф1в|(фцс|ф1Ь). = :(у):(г,^).ф!(А>у)|{ф!(х,г)|ф!(Ь,^)}:
=> :(av)-v'fll(vi^lvib),
полагая при этом у! jc. = . ф ! (jc,z) V ф ! (jc,w). Подобным же образом могут
быть рассмотрены и другие случаи. Поэтому отсюда следует нужный
результат.
Рассмотрим следующее коррелятивное предложение
(ФО . /! (Ф1 2, jc) . = . (ф). /! (ф 2, jc).
Здесь нуждается в доказательстве именно обратная импликация, т.е.
(ф)./!(ф2>х).э.(ф!)./!(ф12,х).
Это следует из предыдущего случая с помощью транспозиции. Также это
PRINCIPIA MATHEMATICA I

V. ФУНКЦИИ, ОТЛИЧНЫЕ ОТ МАТРИЦ
61
может быть независимо обосновано следующим образом. Предположим,
как и прежде, что
/!(ф12>х). = .(ф,А)|((ф1х)|(ф1Ь)),
и сначала положим
ф1Х. = .(у).ф!(>,;у).
Тогда
(<М) I ((<М I (Ф1*)) • = : (ЭУ) = few)ф! (а,у) | {ф ! (x,z) I ф ! (Ь, w)}.
Поэтому мы требуем, чтобы по данному
(у).(у!в)|(у!*|у!Ь)
мы имели бы
(ЗУ): fc w) ф ! (в, у) | {ф ! (jc, z) | ф ! (Ь, w)}.
При этом
(\у). (\у!л) | (у! jc | \у! b). z>:. ф ! (л, z). =>. ф ! (*, z). ф ! (b, z):
ф ! (a, w). z> . ф ! (jc, w). ф ! (b, w):.
z>:. ф ! (я, z). ф ! (я, vt>). з . ф ! (jc, z) . ф ! (b9 w):.
z>:. ф ! (я,и>). i): ф ! (a,z). =>. ф ! (x,z). ф ! (b,w) (1)
Также ~ ф ! (я, w). z>: ф ! (a, w) . z>. ф! (jc, z). ф ! (b, w) (2)
(1).(2).э:.(¥).(¥!я)|(¥!^
что и требовалось доказать.
Положим затем
(ф!х). = .(ду).ф!(х,у).
Тогда
(ф1«)|((фцс)|(ф1Ь)). = :(у):(эг,н').ф!(«,у)|{ф!(:с,г)|ф!№,н')}.
В этом случае требуемый результат получается просто с помощью
подстановки z = w = у.
Точно такой же метод применим и в любом другом случае.
Следовательно, вообще:
(фО. /! (ф1 г, х). = . (ф). /! (ф ! z, jc).
Хотя данных выше аргументов едва ли достаточно для формальных
доказательств, их вполне хватает, чтобы стало ясно, что в действительности
любое предложение общего вида о ф! 2 будет также справедливо и о ф] 2.
Это дает нам в части, касающейся подобных функций, что все требуемое
могло быть получено из аксиомы сводимости.
Так как доказательство может быть проведено только в каждом
отдельном случае, то необходимо ввести примитивное предложение,
утверждающее, что результат имеет место всегда. Это примитивное предложение есть
Ь:(ф)./!(ф!2,х).э./!(ф!2,х) Pp.
В качестве иллюстрации предположим, что мы доказали некоторое
свойство всех классов, определенных функциями вида ф! 2, тогда указанное
выше примитивное предложение позволяет нам подставить класс D7?, где
Й есть отношение, определенное как ф!(х,у), либо как (з^)-ф! C*,y,z), и
т.д. Каким бы ни был класс или отношение, определенное некоторой
функцией, не содержащей кажущихся переменных, за исключением индивидов,
указанное выше примитивное предложение позволяет нам рассматривать
его, как если бы оно было определено с помощью матрицы.
А. Н. Уайтхед , Б. Рассел

62
ВВЕДЕНИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Мы должны сейчас рассмотреть функции вида фг*, где
ф2х. = . (ф). /! (ф ! 2, х) или ф2х. = . (дф). /! (ф ! 2, x).
Попытаемся выяснить всегда ли или при каких обстоятельствах мы имеем
(ф).*!(ф!2,*).э.*!(ф22,х). (А)
Давайте начнем с одного важного частного случая. Положим
g! (ф ! 2, х). = . ф ! а z> ф ! х.
Тогда g ! (ф ! 2, х) . - . х - а в соответствии с *13-1.
Мы хотим доказать
(ф). ф ! аz> ф ! jc. z> . фгя э ф2*,
т.е.
(ф). ф ! az>ф ! jc. z>: (ф)./ ! (ф !2,a). z>. (ф)./ ! (ф !2, jc) :
(аф)./!(ф!2,я).э.(Эф)./!(ф!2,*).
При этом / ! (ф ! 2, х) должна быть выведена из некоторой штрих-функции
F(p,q,r,...)
с помощью подстановки вместо некоторых /?, q, г, ... значений ф ! х, ф ! &,
ф! с, ..., где я, £, с, ... есть постоянные. Как только ф предписано, оно
приобретает форму цг! х. Следовательно,
(ф). ф ! a z> ф ! х. z>: (ф) : /! (ф ! 2, а). z>. / ! (ф ! 2, jc) :
э:(ф) :/!(ф!2,д).э.(ф):/!(ф!2,х):
(ЭФ) :/!(ф!2,в).э.(аф):/!(ф!2,*).
Поэтому вообще имеет место (ф). ф ! а э ф ! х. э . фгя э фг* без всякой
необходимости использовать какую-либо из аксиом сводимости.
Мы не должны, однако, принимать, что (А) всегда истинно. Ниже
описывается соответствующая процедура: / ! (ф ! 2, х) получается из некоторой
штрих-функции
F(p,q,r,...)
в результате подстановки вместо некоторых р, q, г, ... значений ф ! jc, ф ! &,
ф!с, ... (а, Ь, с, ... есть постоянные). Мы принимаем, что, например,
ф2*. = .(ф)./!(ф!2,х).
Поэтому
ф2*. = . (ф). F (ф ! jc, ф ! а, ф ! Ь,...).
Все, что мы хотим знать,— будет ли
(Ф) • g! (Ф! 2, х). z>. g! (ф2 2, *).
При этом g ! (ф ! 2, jc) будет выводиться из некоторой штрих-функции
G(p,q,r,...)
с помощью подстановки ф! jc, ф!я', ф!£', ... вместо некоторых /?, #, г,
... . Чтобы получить g! (фг2, jc), мы должны положить ф2Jc, фгя', фг^', • • •
в G(p, q,r,...) вместо ф ! jc, ф ! а', ф ! Ъ\ ... . Мы, таким образом, получим
некоторую новую матрицу.
Если известно, что (ф). g ! (ф ! 2, х) истинно, поскольку G(p, q,r,...)
всегда истинна, то g! (фг 2, jc) истинно в силу *8, так как оно получается из
G(p,q,r,...) в результате подстановки вместо некоторых р, q, г, ...
предложений фгх, фгя', ф2^'> • • •, которые содержат кажущиеся переменные. Итак,
в этом случае наличие логического вывода гарантировано.
Мы имеем, таким образом, следующее важное предложение.
Principia Mathematica I

VI. КЛАССЫ
63
Как только известно, что (ф). g! (ф ! I, х) истинно, поскольку g ! (ф ! z, х)
всегда является значением некоторой штрих-функции
G(p, q,r,...),
которая истинна для всех значений р, q, г,..., то g! (фг 2, jc) также истинно,
что, конечно же, также верно и для (Ф2). g! (фг 2, х).
Это, тем не менее, не покрывает случая, когда (ф). g! (ф! 2, х) не
является логической истиной, но является гипотезой, которая может быть
истинной для одних значений х и ложной для других. Именно в этом
случае логический вывод g! (фг 2, jc) оказывается иногда законным, а иногда —
нет; различные варианты должны исследоваться по отдельности. Мы будем
иметь в дальнейшем одну важную иллюстрацию невозможности
логического вывода в связи с математической индукцией.
VI. КЛАССЫ
Теория классов сразу же упрощается в одном направлении и
усложняется в другом при допущении, что функции могут входить только в виде
своих значений, и при стремлении избегать аксиомы сводимости.
В соответствии с нашей теорией все функции от функций
экстенсиональны, т.е.
$х=хух.z>. f (<$>z) = f (yz).
Это очевидно, поскольку ф может входить в jf (ф2) только при
подстановке значений ф вместо /?, q, r, ... в некоторую штрих-функцию, и если
фх=х\ух, то подстановка фх вместо р в штрих-функцию дает то же самое
истинностное значение истинностной функции, что и подстановка цгх.
Следовательно, нет никаких причин различать функции и классы, для того
чтобы иметь в силу сказанного выше
фх =х \j/jc . z> . ф х - \\f х.
Мы будем продолжать использовать обозначение х(фх), которое часто
более удобно, чем ф jc; однако в дальнейшем не будет никакой разницы в
значениях этих двух символов. Поэтому классы, как нечто отличное от
функций, теряют даже то затененное присутствие, которое остается за
ними в *20. То же самое, разумеется, применимо к экстенсиональным
отношениям. Это, насколько можно понять, —упрощение.
С другой стороны, мы сейчас должны отличать классы различных
порядков, составленные из членов одного и того же порядка. В простейшем
случае, беря классы индивидов, *(ф!лс) следует отличать от х(§\х) и т.д.
В силу предложения, сформулированного в конце предыдущего раздела,
общие логические свойства классов будут одинаковыми для классов всех
порядков. Поэтому, например,
аср. Рсу. ^. асу
будет иметь место, какими бы ни были порядки а, Р, у соответственно. Но
для классов иных типов возникают проблемы. Возьмем в качестве первого
примера р'к и .у'к. Мы имеем
х е р*к. = : а е к. эа . х е а.
Поэтому р'к есть класс более высокого порядка, чем любой из членов к.
А.Н. Уайтхед, Б.Рассел

64
ВВЕДЕНИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Следовательно, возможно, что гипотеза (а). /а не влечет /(р'к), если а
имеет порядок членов к. Существует один вид доказательства,
предложенный Цермело, простейшим примером которого является его доказательство
теоремы Шредера—Бернштейна (данное в *73). Этот вид доказательства
состоит в определении некоторого класса классов к и затем проверке того,
что р1кек. Судя по виду, "р'кек" невозможно, поскольку р'к не того же
самого порядка, что члены к. Этим, однако, сказано не все. Класс
классов к всегда определяется посредством некоторой функции вида
(хь х2,...): (&УиУ2, • • •) • F(xiea, х2еа,.. .^еа^ба,...),
где F есть штрих-функция, и "аек" означает, что приведенная выше
функция истинна. Может случиться, что эта функция истинна, когда р1к
подставляется вместо а и результат интерпретируется с помощью *8.
Оправдывает ли это нас при утверждении р'кек?
Рассмотрим иллюстрацию, которая важна в связи с математической
индукцией. Положим
к = а(^"аса.сеа).
Тогда
к"р'кср'к.аер1к (см. *40-81)
так, что в некотором смысле р'кек. Другими словами, если мы подставим
р'к вместо а в функцию, определяющую к, и применим *8, то получим
истинное предложение. На основании определения *90
<RSa = piK.
Поэтому /Г*'я есть класс второго порядка. Следовательно, если мы имеем
гипотезу (а). /а, где а — класс первого порядка, мы не можем допустить
(а)./а. э./(£",'я). (А)
На основании предложения, данного в конце предыдущего раздела,
если (а). /а логически выводится из универсально-истинной штрих-функции
элементарных предложений, то f(R+'a) также будет истинной. Поэтому
мы можем подставлять /Г*'а вместо а в любое утверждаемое
предложение "Ь./а", которое встречается в Principia Mathematica. Однако, когда
(а). /а есть просто гипотеза, а не универсальная истина, то импликация
(А) не будет prima facie68 необходимо истинной.
Например, если к = ct (R"a с а . а е а), то мы имеем
абК.э:апРбК. = .Л"(апР)ср.ябР.
Следовательно,
абк.£"(апр)ср.ябр.э.р'кср. (1)
Мы подставим р1к вместо а в те многочисленные предложения *90,
доказанные к настоящему моменту, откуда получим
R" (а П р1к) с р. а е р . э . р'к, (2)
т.е.
z е Р . aR*z. ^z,w • w с Р : а е Р . aR*х: z> . х е р
или
aR*x. э :. z б Р . aR*z. 3ZfW .we$: aefi:^ . xefi.
Ha первый взгляд (лат.). — Прим. ред.
Principia Mathematica I

VI. КЛАССЫ
65
Это значительно более мощная форма индукции, чем та, которая
используется в определении aR*x. Однако доказательство нельзя считать
правильным, так как мы не имеем права подставлять р'к вместо а при переходе
от (1) к (2). Поэтому доказательства, которые используют эту форму
индукции, должны быть реконструированы.
В дальнейшем будет найдено, что выглядящая правдоподобной форма,
к которой мы можем свести большинство ошибочных заключений, есть: из
данного " h . (jc) . f{x, jc)" мы можем вывести " h : (х): (gy) . f(x,y)". Поэтому
из данного "h . (а). Да,а)" мы можем вывести "Ь : (а): (дР) ./(а,Р)".
Однако это зависит от возможности равенства а = р. Если теперь а одного
порядка, а Р~другого, то мы не знаем, возможно ли равенство а = р.
Предположим, что мы имеем
а б к. z>a . ga
и хотим вывести gp, где р есть класс более высокого порядка,
удовлетворяющий Рек. Предложение
(Р):. а б к . эа . ga: э: Р б к. э . gP,
развернутое с помощью *8, становится
(Р):: (да):.абк.э .ga: z> : РбК. z> . gp.
Это справедливо, только если возможно равенство a = р. Следовательно,
заключение ошибочно, если р более высокого порядка, чем а.
Применим эти рассмотрения к доказательству Цермело теоремы
Шредера—Бернштейна, данному в *73-8 ff. Мы имеем класс классов
к = a (a с СГЯ. Р - СГД с a. R"a с a)
и доказываем р'кек (*73-81), что приемлемо в том ограниченном смысле,
объясненном выше. Мы затем добавляем гипотезу
х~б(Р-СГД)иД'Ук
и переходим к доказательству р'к — Схек (в четвертой строке
доказательства *73-82). Это также приемлемо в том лее самом ограниченном
смысле. Однако в следующей строке того же доказательства мы
вынуждены использовать это неприемлемым образом, переходя от /?'k-i'jc6K к
р'кср'к-i'jc, так как
абк.эа .р'кса.
Переход от
аек.эа.р'кса к р'к - i'jc б к. z> . р'к с р1к - Сх
справедлив, только если р'к-Сх есть класс того же самого порядка, что
и члены к. Когда абк. эа .р'кса выписано, оно превращается в
(а)::: (дР)::. (jc) :: абК. z> :. РбК. z> хе$ : z> . хба.
Это выводится из
a€K.D:.a€K.D.x€a:D.i6a
с помощью принципа, что /(а, а) влечет (Р). /(а, Р). Однако здесь Р должен
быть того же порядка, что и а, хотя в нашем случае а и Р как раз не
одного и того же порядка, если а = р'к- Сх и р —обычный член к. Начиная
с этой точки, там, где мы выводим р'к с р'к - i'jc, доказательство поэтому
разрушается.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

66
ВВЕДЕНИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Тем не менее не представляет труда исправить этот дефект в
доказательстве. Все, в чем мы нуждаемся, это —
jc~e(p-a'/?)U^yK.D.jc-6/?'K
или обратно
jc б р'к. z>. jc б ф - СГД) U R"p'K.
Имеем
хер'к. э:.аек. эа : a- l'jc~6K:
эа : ~ (Р - d'# с а - i'jc) . V . ~ {Д" (а - l'jc) с а - l'jc} :
эа : х б Р - СГД . V . х б R" (а - l'jc)
z>:. jc б Р - СГД: V : а б к. эа . х е R"a.
Следовательно, на основании *72-341
хер'к. z>. хе ф - СГД) U/Гр'к,
что дает требуемый результат.
Допустим, что a - l'jc имеет порядок, не более высокий, чем а; это
гарантируется, когда а имеет, по крайней мере, второй порядок, поскольку
l'jc и поэтому - l'jc имеют второй порядок. Мы можем всегда полагать, что
порядок наших классов увеличен до заданного, но не увеличен
неопределенно.
Итак, теорема Шредера—Бернштейна сохраняется.
Другая трудность возникает по отношению к подклассам. Положим
Cl'a = p(pca) Df.
Сейчас существенно, что "Pea", когда Р имеет более высокий порядок,
чем а, при условии, что его члены имеют точно такой лее тип, что и а.
Однако, когда мы имеем
Р с a . эр . /р,
Р должен быть некоторого определенного типа. Как правило, мы будем
в состоянии продемонстрировать, что предложение этого типа имеет место,
каков бы ни был тип р, если мы можем показать, что оно имеет место,
когда Р того же типа, что и а. Следовательно, не возникает никаких
трудностей до тех пор, пока мы не придем к канторову предложению 2" > и,
которое вытекает из предложения
~{(Cl'a)sma},
доказываемого в *102. Доказательство приводится ниже:
Re 1 -> 1. aiR = a . d'Rс Cl'a . £ = x{xea -Rlx]. z>:
yea.yeR'y. z>y .y~e£>:yea~eRiy. ^y .ye%: z> :уба. эу . ^//?'y:
z>:|~6d'fl.
Так как это предложение является очень важным, то мы займемся им
более детально.
Пусть a = х (А ! jc) и
хД{2(ф!г)}. = ./!(ф!2,*).
Тогда на основании наших данных
А!л.э.(Яф)./!(ф!2>х),
/! (ф ! 2, jc) . z> . А ! jc . ф ! у ^у А ! у,
/ ! (ф ! 2, х). /! (ф ! 2, у). =>. х = у,
f! (ф! 2, х). /! (у! 2, х). z>. ф ! у =у у! у.
Principia Mathematica I

VII. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ
67
С этими данными
х б а - R'x. = : А ! х: /! (ф ! z, х). Эф . ~ ф ! х.
Тогда
I = х {(ф): А ! х: /! (ф ! I х). z>. ~ ф ! jc} .
Поэтому ^ определена функцией, в которой ф появляется как кажущаяся
переменная. Если мы расширим начальную область изменения ф, то
расширится область значений, фигурирующая в определении £;. Вследствие чего
не существует способа избежать того, что ^ имеет более высокий порядок,
чем подклассы а, усматриваемые в определении СГа. Следовательно,
доказательство 2п > п непригодно, когда не принимается аксиома сводимости.
Мы, однако, обнаружим, что упомянутое предложение остается истинным,
когда п конечно.
Что касается отношений, то возникают в точности такие лее вопросы,
как и в отношении классов. Отношение больше не отличается от функции
двух переменных, и мы имеем
Ф (*, У) = V (х, у) • = : ФС*, У) • =х,у • ¥(*, У)-
Трудности по отношению к р'\ и R1T не столь важны, чем те, которые
касаются р'к и СГа, поскольку р'\ и R1T не столь употребительны. Но
очень серьезное затруднение встречается в том, что касается подобия. Мы
имеем
a sm р . = . (g/?). R е 1 -> 1. а = D'fl. р = СГД.
Здесь R должно быть ограничено в пределах некоторого типа; однако
какой бы тип мы ни выбрали, возможно, найдется коррелятор более высокого
типа, посредством которого аир могут быть коррелированы. Поэтому мы
никогда не сможем доказать ~ (a sm P), за исключением специальных
случаев, когда а или Р конечны. Это затруднение было продемонстрировано на
примере канторовской теоремы 2п > и, которую мы только что подвергли
исследованию. Почти все наши предложения связаны с доказательством
того, что некоторые два класса являются подобными, и все они могут
быть интерпретированы так, чтобы оставаться справедливыми. Тем не
менее несколько известных предложений, связанных с доказательством того,
что некоторые два класса не являются подобными, будут несправедливы,
исключая случай, когда, по крайней мере, один из двух классов конечен.
VII. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ
Все предложения, относящиеся к математической индукции во второй
части (глава 5) и третьей части (глава 3), остаются справедливыми при
подходящей интерпретации. Однако доказательства большинства из них
становятся ошибочными, если не принимать аксиому сводимости, а в
некоторых случаях новые доказательства могут быть получены лишь ценой
проведения значительного объема работы. Затруднения сразу лее
проявляются при рассмотрении определения "jc/?*y" из *90. Опуская условие
"jceC"/?", которое никак не относится к нашему исследованию, определение
"хЯ*у" может быть записано как
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

68
ВВЕДЕНИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
zRw. -DZtW .ф!гэф!н':эф.ф!хэф!};, (А)
т.е. "у обладает каждым элементарным наследственным свойством,
которым обладает jc." Мы можем вместо элементарных свойств взять свойства
любого другого порядка; как мы увидим в дальнейшем, удобно взять
свойства третьего порядка, когда R есть одно-многозначное или
много-однозначное отношение, и свойства пятого порядка в других случаях. Но для
целей предварительного рассмотрения безразлично, какого порядка свойства
мы возьмем, и поэтому во имя определенности мы начнем с элементарных
свойств. Трудность состоит в том, что если ф2 есть любое свойство второго
порядка, то мы не можем вывести из (А)
zRw. z>Z)M> . ф2г э ф2и>: z> . ф2х z> ф2у. (В)
Допустим, например, что ф2г. = . (ф). /! (ф ! г, z); тогда из (А) мы можем
вывести
zRw. z>z,w. /! (ф ! z, z) =>ф /! (ф! z, w): z>: /! (ф ! z, х). эф . /! (ф ! z, х):
z> : ф2х. z> . ф2у. (С)
Однако, вобще говоря, наша гипотеза здесь не заключается в гипотезе (В).
Если мы положим ф2г. = . (аФ) • / • (Ф • 2, z), то мы получим в точности
аналогичный результат.
Следовательно, для применения математической индукции к свойству
второго порядка недостаточно того, что оно должно быть само
наследственным, а оно должно быть составлено из наследственных элементарных
свойств. Другими словами, если свойство, о котором идет речь, есть ф2г,
где ф2г есть любое из
(ф)./!(ф!2,г) или (дф)./! (ф!2,г),
то недостаточно иметь
zRw. ^ZjW. ф2г э ф2и\
для каждого элементарного ф мы должны иметь
zRw. z>ZtW./ ! (ф ! t z) =>/ ! (ф ! t w).
Одно неудобное следствие есть то, что prima facie индуктивное свойство
не должно иметь форму
xR*z. ф ! z,
или
S ePotidlR.$\S,
или
а б NC induct. ф ! а.
Это неудобно, так как подобные свойства часто являются
наследственными, когда ф само по себе —нет, т.е. мы можем иметь
xR*z. ф! z. zRw. z>ZjVV, . xR*w. ф ! w,
когда мы не имеем
ф ! z • zRw. z>ZtM, . ф ! w,
и аналогично в других случаях.
Все эти рассмотрения приводят к необходимости еще раз проверить все
индуктивные доказательства. В некоторых случаях они остаются
справедливыми, в других —они легко исправляются; встречаются случаи, когда
исправление трудоемко, но оно всегда возможно. Метод исправления
индуктивных доказательств объясняется в приложении 2 к этой книге.
Principia Mathematica I

VII. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ
69
Насколько мы смогли обнаружить, не существует пути, следуя
которому наши примитивные предложения молено было бы сделать
адекватными дедекиндовым и вполне упорядоченным отношениям. Практическое
применение дедекиндовых отношений зависит от *211-63—692, что
приводит к *214-3— 34, показывающим, что последовательность сегментов
последовательности дедекиндова. Именно поэтому теория действительных чисел
остается; действительные числа определяются как сегменты
последовательности рационалов. Этот вопрос является предметом *310. Сомнение в
справедливости предложения о том, что последовательности действительных
чисел дедекиндовы, привело бы к разрушению всего анализа.
Доказательства этого предложения в Principia Mathematica зависят от
аксиомы сводимости, так как они зависят от *211-64, утверждающего, что
По причинам, объясненным выше, если а имеет порядок членов X, то
(а). /а может не влечь /(s'X), поскольку s'X есть класс более высокого
порядка, чем члены X. Поэтому, несмотря на то, что мы имеем
D'P£ = fi{(aP).a = p"P)f
s'X = P"s'Pel%
мы еще не в состоянии вывести s'XeD'P^ за исключением случая, когда
s'X или s'Pe"X имеют по некоторой причине точно такой же порядок, что
и члены X. Так будет, когда X конечен, но обратное необязательно верно.
Таким образом, теория иррационалов требует перестройки.
Точно такие же трудности возникают по отношению к вполне
упорядоченным последовательностям. Теория вполне упорядоченных
последовательностей покоится на определении *250-01:
Bord = Р(С1ех'СТ < <TminP) Df,
откуда
PeBord . = :acC'P.g!a-F'a.
В процессе дедуктивных заключений мы постоянно подставляем вместо a
некоторый конструируемый класс более высокого порядка, чем СР.
Например, в *250-122 мы подставляем вместо а класс С'Р П р'Р'(аПСТ), который,
вообще говоря, имеет более высокий порядок, чем а. Если эта
подстановка незаконна, то мы не в состоянии доказать, что класс, содержащийся
в С? и имеющий последователей, должен иметь и непосредственного
последователя, без чего теория вполне упорядоченных последовательностей
становится невозможной. Эта отдельно взятая проблема могла бы быть
преодолена, но очевидно, что тогда многие важные предложения не
могли бы быть обоснованы.
Можно было бы бесконечные вполне упорядоченные
последовательности принести в жертву логической строгости. Однако теория
вещественных чисел, будучи составной частью обычной математики, едва ли может
быть предметом сомнения, имеющего под собой разумную основу. Мы
имеем оправдание, полагая, что некоторая логическая аксиома, будучи
истинной, будет служить оправданием теории вещественных чисел. Требуемая
аксиома, возможно, более ограничительна, чем аксиома сводимости, но она
до сих пор не найдена.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

70
ВВЕДЕНИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Ниже приводятся некоторые работы по математической логике,
опубликованные с момента выхода в свет первого издания Principia Mathematica.
D. HiLBERT. Axiomatisches Denken, Mathematische Annalen, V. 78. Die
logischen Grundlagen der Mathematik, ib. V. 88. Neue Begrundung der
Mathematik, Abhandlungen aus dem mathematischen Seminar der Hambur-
gisvhen Universitat, 1922.
P. BERNAYS. Ueber Hilbert's Gedanken zur Grundlegung der Arithmetik,
Jahresbericht der deutchen Mathematiker-Vereinigung, V. 31.
H. BEHMANN. Beitrage zur Algebra der Logik. Mathematische Annalen. V. 86.
L. Chwistek. Ueber die Antinomien der Prinzipen der Mathematik.
Mathematische Zeitschrift, V. 14. The Theory of Constructive Types. Annates
de la Societe Mathematique de Pologne, 1923. (Доктор Хвистек любезно
позволил нам прочитать рукопись полной работы, имеющей то же самое
название.)
Н. Weyl. Das Kontinuum, Veit, 1918. Ueber die neue Grundlagenkrise
der Mathematik, Mathematische Zeitschrift, V. 10. Randbemerkungen zu
Hauptproblemen der Mathematik, Mathematische Zeitschrift, V. 20.
L. E. J. Brouwer. Begrundung der Mengenlehre unabhangig vom
logoschen Satz des ausgeschlossenen Dritten. Verhandelingen d. Akademie
v. Weteschappen, Amsterdam, 1918, 1919. Intuitionistische Mengenlehre,
Jahresbericht der deutchen Mathematiker-Vereinigung, V. 28.
A. Tajtelbaum-Tarski. Sur le terme primitif de la logistique, Fundamenta
Mathematicae, Tom. IV. Sur les "truth-functions" au sens de MM. Russell et
Whitehead, ib. Tom. V. Sur quelques theoremes qui equivalent a Faxiome du
choix, ib.
F. Bernstein. Die Mengenlehre Georg Cantor's und der Finitismus,
Jahresbericht der deutchen Mathematiker-Vereinigung, V. 28.
J. KOnig. Neue Grundlagen der Logik, Arithmetik und Mengenlehre, Veit,
1914.
С I. Lewis. A Survey of Symbolic Logic, University of California, 1981.
H. M. Sheffer. Total determinations of deductive systems with special reference
to the Algebra of Logic. Bulletin of the American Mathematical Society,
V. XVI. Trans. Amer. Math. Soc. V. XIV. P. 481-488. The general theory
of notational relativity, Cambridge, Mass. 1921.
J. G. P. Nikod. A reduction in the number of the primitive proposition of
logic. Proc. Camb. Phil. Soc. V. XIX.
L. Wittgenstein. Tractatus Logico-Philosophicus, Kegan Paul, 1922.
M. SchOnwinkel. Ueber die Bausteine der mathematischen Logik, Math.
Annalen, V. 92.
Principia Mathematica I

ВВЕДЕНИЕ
71
ВВЕДЕНИЕ
Математическая логика, изложение которой занимает первую часть
настоящей работы, была построена, преследуя три различные цели.
Во-первых, она нацелена на проведение наиболее широкого анализа понятий, с
которыми она оперирует, и процессов, с помощью которых она проводит
доказательства, а также на сведение к наименьшему числу неопределенных
понятий и недоказанных предложений (называемых соответственно
примитивными69 понятиями и примитивными предложениями), от которых она
отправляется. Во-вторых, она создается для наиболее точного выражения
математических предложений: обеспечение подобного выражения и
гарантия представления в наиболее простых и удобных обозначениях являются
главным мотивом выбора темы изложения. В-третьих, логическая система
специально построена так, чтобы разрешить парадоксы, которые в
последние годы не давали покоя изучающим символическую логику и теорию
множеств; мы уверены, что теория типов, как будет показано в
последующем изложении, позволяет избежать противоречий и точно указать на
неточности, вызванные ими.
Среди отмеченных выше трех целей первая и третья часто вынуждают
нас допускать методы, определения и обозначения, которые являются более
сложными, нежели те, которые мы бы имели, преследуя только вторую из
них. Это в особенности справедливо для теории дескриптивных выражений
(*14 и *30) и теории классов и отношений (*20 и *21). Для этих двух
позиций (и в меньшей мере для остальных) было найдено целесообразным
до некоторой степени принести в жертву ясность во имя корректности.
Эта жертва, однако, в главном временная: в каждом случае обозначение,
принятое в конце концов, даже несмотря на то, что его действительное
значение представляется очень сложным, обладает некоторым внешне про-
69 Или первоначальными, базовыми. — Прим. ред.
А.Н.Уайтхед, Б.Рассел

72
ВВЕДЕНИЕ
стым значением, которое за исключением некоторых чрезвычайно важных
ситуаций может быть без всякого ущерба подставлено вместо
действительного значения. Поэтому оказывается удобным при предварительном
объяснении обозначения трактовать эти внешне простые значения как
примитивные понятия, т.е. как понятия, вводимые без определений. После того
как понятие становится более или менее привычным, значительно проще
следовать более сложным объяснениям, которые, как нам представляется,
более корректны. В тексте работы там, где это необходимо твердо
следовать строгому логическому порядку, более легкий способ изложения не
используется; это, однако, сделано применительно к Введению. Объяснения,
приведенные в главе I данного Введения, как раз то место, где ясности
отдан приоритет в ущерб корректности; исчерпывающие разъяснения
частично приведены в последующих главах Введения, а частью могут быть
найдены в тексте работы.
Использование системы символьных обозначений, отличающейся от
представления понятий посредством языковых единиц, во всех разделах
книги, цель которой — охватить строгие и точные доказательные
рассуждения, было продиктовано желанием постоянно следовать трем
сформулированным выше целям. Причин подобного расширения системы символьных
обозначений за пределы хорошо известных областей чисел и относящихся
к ним понятий может быть указано много:
(1) Используемые здесь понятия более абстрактны по сравнению с
теми, которые применяются в обычном языке. Соответственно не найдется
ни одного слова, которое используется в основном в точности в том
смысле, в котором здесь это требуется. Любое использование слов потребовало
бы неестественных ограничений их обычных значений и привело бы к
большей трудности, связанной с необходимостью постоянного запоминания их
нового смысла, чем определения новых символов.
(2) Грамматическая структура обычного языка адаптирована к
широкому спектру его использования. Поэтому он не обладает уникальной
простотой в представлении тех немногих простых, хотя и весьма
абстрактных, процессов и понятий, которые пояляются в дедуктивных цепочках
умозаключений, используемых в данной работе. В действительности, в
высшей степени абстрактная простота понятий, применяемых в данной работе,
наносит урон обычному языку. Обычный язык в состоянии представлять
сложные понятия более просто. Предложение "кит большой" наилучшим
образом характеризует язык, давая сжатое выражение сложному факту;
но в то же время подлинный анализ предложения "единица —число"
приводит в обычном языке к совершенно недопустимому многословию.
Соответственно, краткость достигается посредством использования
символической системы, специально разработанной, чтобы представлять понятия и
процессы дедукции, встречающиеся в данной работе.
(3) Адаптация правил символической системы к процессам дедукции
помогает интуиции в областях, слишком абстрактных для воображения,
представить непосредственно в сознании подлинные отношения между
используемыми понятиями. Те или иные сочетания символов становятся привыч-
Principia Mathematica I

ЗВЕДЕНИЕ
73
ными, если они представляют важные сочетания понятий; в свою очередь
возможные отношения (в соответствии с правилами символической
системы) между указанными сочетаниями символов также постепенно
становятся узнаваемыми, и эти новые сочетания представляют еще более сложные
отношения между абстрактными понятиями. Поэтому мышление, в конце
концов, подводится к построению цепочки умозаключений в тех областях
мышления, в которых воображение полностью было бы не в состоянии
функционировать без помощи символической системы. Обычный язык не
оказывает такой помощи. Его грамматическая структура не
представляет однозначно отношений между понятиями. Поэтому "кит большой" и
"единица —число" выглядят настолько похоже, что глаза не приходят на
помощь воображению.
(4) Краткость, обеспечиваемая символической системой, позволяет
целому предложению представать взору как единое целое, или самое большее
разделенным на две или три части там, где присутствуют естественные
разделители, представленные символически. Это не самое главное
достоинство символической системы, но в действительности очень важное в связи
с преимуществами, отмеченными в (3).
(5) Достижение первой из указанных выше целей данной работы,
именно полного перечисления всех понятий и шагов в математических
рассуждениях, вызывает необходимость сжатого и максимально
формального представления каждого предложения в форме, в наибольшей степени
характеризующей саму себя.
Дальнейшее освещение методов и символической системы данной книги
заключается в рассмотрении пределов их полезной применимости:
(а) Большая часть математического исследования касается не анализа
процесса рассуждения как такового, а представления абстрактного
доказательства, достаточного для того, чтобы убедить должным образом
подготовленное мышление. Для подобных исследований детальное представление
шагов в рассуждении не является, разумеется, необходимым при условии,
что детали достаточно проработаны, чтобы предохранять от ошибок. В
этой связи следует упомянуть, что исследования Вейерштрасса и других
ученых той же школы продемонстрировали, что даже в широко
распространенных областях математического знания требуется гораздо больше
деталей, чем могли предвидеть предыдущие поколения математиков.
(Р) Пропорционально тому как воображение без труда работает в той
или иной области знания, символический метод (за исключением
выражения результата самого анализа) становится необходимым лишь как
удобное сокращение письма, регистрирующего результаты, полученные без
помощи символического метода. Вторичная цель данной работы —показать,
что с помощью символической системы дедуктивное рассуждение может
быть распространено на области знания, которые обычно
рассматриваются как не поддающиеся математическому исследованию. До тех пор пока
понятия из таких областей знания не станут более привычными,
детальный тип рассуждения, который также необходим для анализа шагов, будет
подходить для исследования общих истин, связанных с этими предметами.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

74
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА I
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПОНЯТИЯХ
И ОБОЗНАЧЕНИЯХ
Обозначения, принятые в настоящей работе, основываются на
таковых, восходящих к Пеано, и следующие разъяснения представляют собой
до некоторой степени развитие той модели, которой был предварен его
Formulario Mathematico70. Принято, следуя Пеано, использование точек
в качестве скобок, а также множества разработанных им символов.
Переменные. Понятие переменной, которое встречается в настоящей
работе, является более общим, нежели то, которое явно применяется в
обычной математике. В обычной математике переменная обычно появляется
вместо неопределенного числа или количества. В математической логике
любой символ, значение которого недетерминировано, называется
переменной, и различные частные определения, совместимые с его смыслом,
называются значениями переменной. Значениями может выступать любое
множество сущностей, предложений, классов или отношений соответственно
обстоятельствам. В утверждении "Мистер А и Мистер В", "Мистер А" и
"Мистер В" —переменные, значения которых ограничены множеством
людей. Переменная может иметь либо заранее согласованный круг (область)
предписанных значений, либо (при отсутствии какого-либо явного
указания на область ее значений) все значения, которые придают смысл
утверждению, в котором она появляется. Поэтому, когда в учебнике по логике
утверждается, что "А есть А" без явного указания на то, каким может
быть А, то это означает, что любое утверждение, имеющее форму "А есть
А", истинно. Мы можем называть переменную ограниченной, когда ее
значения ограничиваются лишь некоторыми из возможных; в противном
случае мы будем называть переменную неограниченной. Тогда, когда в
утверждении встречается неограниченная переменная, то она представляет
любой объект, такой что утверждение, касающееся этого объекта, приобрета-
70 Дж. Пеано (1858-1932) вместе с группой единомышленников реализовал свой
грандиозный проект "Formulario Mathematico", направленный на формализованное
представление всех разделов математики в символике математической логики, в пяти
изданиях в течение 1895—1908 гг., собрав в последнем из них приблизительно 4200 теорем
на 516 страницах. Первые четыре тома имели название "Formulaire de Mathematiquei\
Последний пятый том был практически полностью подготовлен к изданию самим
Пеано и был назван "Formulario Mathematico". В нем Пеано даже перешел от французского
языка к Latino sine flexione — специально разработанному им языку, который он
применял для написания научных работ. При этом он заявил, что он до некоторой степени
реализовал метафизическую программу Лейбница, что представляется справедливым, так
как Пеано создал и логическую идеографию, т.е. символический язык, который
впоследствии стал общеупотребительным, и формальную систему, представляющую
математическое знание. Книга "Formulario Mathematics к настоящему времени уже почти забыта.
Не осталось энтузиастов, которые бы продолжили формализацию математики в духе
Пеано и видели бы в этом хоть какой-то смысл. Критический анализ направления,
основанного Пеано, дан Ф. Клейном (см. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения
высшей. Т. И. Геометрия. М.: Наука, 1987. С. 351-353). Тем не менее представляется
преждевременным утверждать, что формализованная математика никогда не найдет
применения. — Прим. ред.
Principia Mathematica I

ГЛАВА I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПОНЯТИЯХ
И ОБОЗНАЧЕНИЯХ 75
ет одно из двух значений (истина или ложь). Для целей логики
неограниченная переменная более удобна, чем ограниченная, и мы всегда будем
ее использовать. Мы обнаружим в дальнейшем, что неограниченная
переменная все же подчиняется некоторым ограничениям, наложенным самим
способом ее вхождения, т.е. то, что может быть значимо (в плане
истинности или ложности) сказано относительно предложения, не может значимо
говориться относительно класса или отношения, и т.д. Однако
ограничения, которым подчиняется неограниченная переменная, совсем
необязательно должны быть явно указаны, так как они являются пределами значения
утверждения, в котором встречается эта переменная, и поэтому они заданы
самим этим утверждением. Все это будет полностью разъяснено позже71.
Суммируя, выделим три наиболее замечательных факта, связанных
с использованием переменной: (1) переменная раздваивается в своем
денотате и соответственно остается неопределенной; (2) переменная
сохраняет узнаваемую абсолютную тождественность в различных вхождениях в
одном и том же контексте, так что много переменных могут встречаться
вместе в том же самом контексте, каждая —со своей отдельной
индивидуальностью; (3) либо круг возможных значений двух переменных может
быть одним и тем же, так что возможное значение одной из них будет
возможным значением другой, либо возможные значения переменных могут
различаться, так что если одно возможное значение одной из переменных
приписывается другой, то итоговое утверждение будет лишено смысла,
вместо того чтобы быть полностью недвусмысленным предложением
(истинным или ложным), как это было бы, если бы все переменные получили
произвольные, но подходящие только для них значения.
Использование различных букв. Переменные будут обозначаться
буквами (не более одной буквы для каждой переменной), что касается также
постоянных; однако буква, которая однажды была назначена посредством
определения для постоянной, не должна впоследствии использоваться для
обозначения переменной. Строчные буквы латинского алфавита72 будут
использоваться для обозначения переменных, за исключением р и s
после *40, где этим двум буквам приписаны постоянные смысловые
значения. Следующие прописные латинские буквы получат постоянные
смысловые значения: В, С, Z), E, F, I и /. Из строчных греческих букв мы дадим
постоянные смысловые значения е, i и (на более поздних стадиях) —т], 0
и со. Некоторые из прописных греческих букв будут время от времени
вводиться для постоянных, но прописные греческие буквы никогда не будут
применяться для обозначения переменных. Остальные латинские строчные
буквы р, q, r будут называться пропозициональными буквами и стоять на
местах переменных высказываний (за исключением того, что начиная с *40
и далее буква р не должна использоваться как переменная); буквы /, g,
Ф> ¥? Ъ в и (до *33) F будут называться функциональными буквами и
будут использоваться для обозначения переменных функций.
Ср. глава II настоящего Введения.
В оригинале — ordinary alphabet. — Прим. перев.
А.Н. Уайтхед, Б.Рассел

76
ВВЕДЕНИЕ
Строчные греческие буквы, не упомянутые до сих пор, будут
использоваться для переменных, значениями которых являются классы, и они
будут характеризоваться для простоты термином греческие буквы.
Обычные прописные буквы, не упомянутые до сих пор, будут использоваться
для переменных, значениями которых являются отношения, и они будут
характеризоваться термином прописные буквы. Латинские строчные буквы,
за исключением р, q, r, s, /, g, будут использоваться для переменных, про
значения которых неизвестно, являются ли они функциями, классами или
отношениями; они будут характеризоваться термином строчные латинские
буквы.
После нескольких первоначальных глав книги переменные
высказывания и переменные функции едва ли встретятся. Мы будем в таком случае
иметь три основных типа переменных: переменные классы, обозначаемые
строчными греческими буквами; переменные отношения, обозначаемые
прописными буквами; переменные, необязательно классы или отношения,
которые будут обозначаться строчными латинскими буквами.
Дополнительно к указанному использованию строчных греческих букв
для переменных классов, прописных букв для переменных отношений,
строчных латинских букв для переменных, обозначающих тип, полностью
неопределенный рассматриваемым контекстом (это проистекает из
возможности "систематической неопределенности", разъясняемой позже там, где
даются пояснения к теории типов), читателю необходимо помнить только
то, что все буквы представляют переменные, если, конечно, они уже не
были определены как постоянные ранее в тексте книги. Вообще,
структура самого контекста определяет круг переменных, которые он содержит;
однако специальное указание природы используемых переменных так, как
это здесь предлагается, значительно экономит мыслительные ресурсы.
Фундаментальные функции предложений. Соединение предложений,
рассматриваемых как целые сущности, необязательно недвусмысленно
определенные, в единое предложение, более сложное, чем его конституен-
ты, есть функция с предложениями в роли аргументов. Общая идея
подобного соединения предложений или переменных, представляющих
предложения, не будет использоваться в данной работе. Однако существует четыре
специальных случая, имеющих фундаментальную важность, поскольку все
последовательно возникающие соединения подчиненных предложений в
одно сложное предложение формируются из них шаг за шагом.
Эти случаи есть: (1) функция отрицания, (2) логическая сумма или
функция дизъюнкции, (3) логическое произведение или функция
конъюнкции, (4) функция импликации. Указанные функции в том смысле, в
котором они требуются в данной работе, не являются независимыми. Если
две из них принять в качестве первичных (примитивных) неопределяемых
понятий, то две оставшиеся могут быть определены через них. До
некоторой степени (хотя и не полностью) все равно, какие именно функции
приняты в качестве примитивных. Однако простота первичных понятий и
Principia Mathematica I

ГЛАВА I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПОНЯТИЯХ
И ОБОЗНАЧЕНИЯХ 77
симметричность всего построения, по-видимому, достигаются, если первые
две функции приняты в качестве первичных73.
Функция отрицания с аргументом р, где р есть любое предложение,
представляет собой предложение, которое является отрицанием р, т.е.
предложение, утверждающее, что р не истинно. Это обозначается как ~ р.
Поэтому ~р означает пе-р, что означает отрицание р.
Логическая сумма есть пропозициональная функция с двумя
аргументами р и q и является предложением, утверждающим по раздельности р
или q, т.е. утверждающим, что, по крайней мере, одно из предложений р
или q истинно. Это обозначается как р V q. Поэтому р V q есть логическая
сумма аргументов р и q, или просто логическая сумма р и q.
Соответственно р V q означает, что хотя бы одно из р или q истинно, включая также
случай, когда оба предложения истинны.
Логическое произведение есть пропозициональная функция с двумя
аргументами р и q и является предложением, утверждающим совместно р
и q, т.е. утверждающим, что оба предложения р и q истинны. Это
обозначается как р. q, или (для того, чтобы использовать точки в качестве скобок
так, как будет вскоре объяснено) как p:q, либо p:*q, либо p::q. Поэтому
p.q есть логическое произведение аргументов р и q, или просто логическое
произведение р и q. Соответственно р. q означает, что оба предложения р
и q истинны. Нетрудно видеть, что эта логическая функция может быть
определена через две предыдущие функции. Для истинных р и q ложным
должно быть утверждение, что ~ р или ~ q истинно. Следовательно, в
данной книге р. q есть просто сокращенная символическая форма для
~(~/>V~4).
Никакого другого смысла предложению "оба предложения р и q истинны"
здесь не приписывается.
Функция импликации есть пропозициональная функция с двумя
аргументами р и q и является предложением о том, что ~р или q истинно,
т.е. предложением ~ рУ q. Поэтому, если р истинно, то ~р ложно, и
соответственно ~рУq оставляет единственную возможность, что q истинно.
В этом плане предложение ~рУq будет применяться для представления
утверждения р влечет q. Идея, содержащаяся в этой пропозициональной
функции, настолько важна, что требует символики, которая бы
непосредственно представляла указанное предложение, связывая бы р и q, без
вмешательства ~р. Однако использование "влечет" не выражает ничего,
кроме связи между р и q, также выражаемой дизъюнкцией "не-р или q".
Символ, используемый для ир влечет #", т.е. для "~pV#", есть "p-Dq", Этот
символ также может читаться как "если р, то q". Сочетание импликации
с использованием кажущейся переменной приводит к расширению,
называемому "формальной импликацией". Это понятие объясняется позже: оно
является производным от только что определенной "импликации". Когда
необходимо явно различать "импликацию" и "формальную импликацию",
первая будет называться "материальной импликацией". Таким образом,
73 Таким образом логическая система "Principia Mathematical' основывается на двух
первичных сентенциональных связках: отрицание и дизъюнкция. — Прим. ред.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

78
ВВЕДЕНИЕ
"материальная импликация" есть просто "импликация" так, как это здесь
определяется. Процесс логического вывода часто путают с импликацией;
это будет объяснено отдельно.
Приведенные четыре функции от предложений есть
фундаментальные постоянные (в смысле — определенные) пропозициональные функции с
предложениями в качестве аргументов. Все остальные постоянные
пропозициональные функции с предложениями в качестве аргументов,
насколько они необходимы в настоящей работе, последовательными шагами
формируются из них. Переменные пропозициональные функции в этой книге
встречаться не будут.
Эквивалентность. Простейший пример образования более сложной
функции предложений с помощью указанных четырех фундаментальных
форм доставляет "эквивалентность". Говорят, что два предложения р и q
"эквивалентны", если р влечет q и q влечет р. Это отношение между р и q
обозначается "p = q". Поэтому up = q" появляется вместо "(/?d^).(^d/?)".
Нетрудно видеть, что два предложения эквивалентны тогда и только
тогда, когда они либо оба истинны, либо оба ложны. Эквивалентность
становится более важной, когда мы переходим к "формальной импликации"
и "формальной эквивалентности". Не предполагается, что два
эквивалентных предложения в некотором смысле идентичны или хотя бы отдаленно
касаются одного и того же. Поэтому предложения "Ньютон был
человеком" и "солнце горячее" эквивалентны, поскольку оба истинны; "Ньютон
не был человеком" и "солнце холодное" также эквивалентны, поскольку
оба ложны. Здесь мы уже предвосхитили логические выводы, следующие
из нашего формального рассуждения. Эквивалентность по своему
происхождению есть просто взаимная импликация так, как это утверждается
выше.
Истинностные значения. "Истинностное значение" предложения есть
истина, если оно истинно, и ложь, если оно ложно74. Будет
установлено, что истинностные значения рУ q, p .q p^q, ~ p, p = q зависят только от
истинностных значений р и q, а именно: истинностное значение р V q есть
истина, если истинностное значение одного из предложений р или q есть
истина, и ложь в противном случае; "p.q" имеет значение истина, если
оба предложения р и q истинны, и ложь в противном случае; "/?d^"
имеет значение истина, если р ложно, либо q истинно; "~;?" имеет значение,
противоположное истинностному значению р\ "p = q" истинно, если р и q
имеют одинаковые истинностные значения, и ложно во всех остальных
случаях. Предложения, которые будут появляться в настоящей работе, всегда
могут быть выведены из приведенных выше путем комбинаций и
повторений. Следовательно, нетрудно видеть (хотя это не может быть доказано
формально в полной общности, но возможно для каждого отдельного
случая), что, если предложение р входит в предложение f(p), с которым нам
возможно придется иметь дело, истинностное значение f(p) будет зависеть
не от особенностей предложения р, а только лишь от его истинностного
74 Этот оборот заимствован у Фреге.
Principia Mathematica I

ГЛАВА I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПОНЯТИЯХ
И ОБОЗНАЧЕНИЯХ 79
значения, т.е. если p = q, то /(/?) = /(#)• Поэтому, как только два
предложения эквивалентны, то любое может быть подставлено вместо другого
в любую формулу, с которой нам может представиться случай иметь дело.
Мы можем называть функцию f(p) как "истинностная функция", когда
ее аргумент р есть предложение и истинностное значение f(p) зависит
только от истинностного значения р. Подобные функции никоим образом не
являются единственно возможными функциями предложений. Например,
предложение "А уверен в р" есть функция от р, которая меняет свое
истинностное значение для различных аргументов, имеющих одинаковое
истинностное значение: А может быть уверен в правильности одного истинного
предложения и не уверен в правильности другого истинного предложения,
А может быть уверен в правильности одного ложного предложения, не
будучи уверенным в правильности другого. Такие функции не исключаются
нами из рассмотрения. Они включаются в круг общих предположений,
которые мы можем сделать о функциях, но все те специальные функции
предложений, которые мы будем иметь возможность конструировать или
явно рассматривать, будут истинностными функциями. Это обстоятельство
тесно связано с одной чертой математики, а именно с тем, что математика
всегда заинтересована экстенсиями, а не интенсиями75. Указанная связь,
сейчас не очень очевидная, будет становиться яснее, после того как мы
рассмотрим теорию классов и отношений.
Символ утверждаемости. Символ "Ь" называется "символом утвержда-
емости (утверждения)" и означает, что утверждается то, что за ним
следует. Он необходим для того, чтобы различать полное предложение,
которое мы утверждаем, от любых подчиненных предложений, содержащихся
в нем, но не утверждаемых. В обычном письменном языке предложение,
заключенное между двумя знаками точки, обозначает утверждаемое
предложение, и если это не так, то вся эта книга —одна большая ошибка. Знак
"Ь", предшествующий предложению, преследует ту же самую цель в
нашей символической системе. Например, если встречается "Ь(/?эр)", то это
следует принять как полное утверждение и обвинить авторов в ошибке,
если, конечно, не признавать, что предложение "рэр" истинно (каковым оно
является на самом деле). Предложение, сформулированное символами без
предшествующего знака "Ь", не утверждается, а просто выдвигается для
рассмотрения либо является подчиненной частью некоторого
утверждаемого предложения.
Логическое умозаключение (вывод). Процесс логического вывода
заключается в следующем: если утверждаются предложение "р" и предложение
"рэ^", то, как следствие, утверждается предложение "#". Доверие к
выводу есть уверенность в том, что если два указанных утверждения не
ошибочны, то не ошибочным будет и заключительное предложение.
Соответственно, в символах: когда бы ни встретились
"Ьр" и "\-(pz>q)",
75 В оригинале — mathematics is always concerned with extensions rather than
intensions. — Прим. ред.
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

80
ВВЕДЕНИЕ
где р и q, разумеется, имеют специальные определения, интересные для
нашей познавательной деятельности, то будет встречаться и "Kg", если,
конечно, это утверждение мы желаем записать. Процесс логического вывода
не может быть сведен к одним лишь символам. Его единственное
проявление в записи есть появление "Yqn. Разумеется, удобно, даже рискуя
повториться, записать "Ьр" и "Ь(/?э#)" рядом, прежде чем перейти к "Ь#"
в качестве результата логического вывода. Когда это предполагается
проделать, то ради привлечения внимания к процессу логического вывода мы
будем просто писать
"\-pz>\-q",
рассматривая эту запись как сокращение для
"\-рп и "\-(pz>q)" и "Ь$".
Поэтому запись "Ь p-DVq" можно прочитать как "/?, и в силу этого #"; эта
запись есть в действительности в точности такое сокращение, которое и
должно быть; "р, и в силу этого q" явно не утверждает, что есть часть
смысла этой записи, что р влечет q. Логический вывод есть пропуск одной
истинной посылки и распад одной импликации.
Специальное использование точек. Точки в линейной
последовательности символов имеют двоякое использование; одно из них —в качестве
скобок, заключающих (выделяющих) предложения, второе — как логическое
произведение двух предложений. Точки, сразу же следующие или
предшествующие символам "V", "э", "=", "Ь'\ "(*)", "(*,)>)", "(*,**)", •••, "(Я*)",
"(а*»>0'\ u(3.x9y3z)n, ••-, "[0*)<№\ uR'y" или аналогичным выражениям,
служат для выделения предложения; точки, встречающиеся в других
ситуациях, служат для обозначения логического произведения. Общий принцип
такой: большее количество точек указывает на внешние скобки, меньшее —
на внутренние. Точное правило, касающееся области действия скобок,
указываемых точками, формулируется, разделяя все вхождения точек на три
группы, которые мы назовем I, II, III. Группа I состоит из точек,
примыкающих к знаку импликации "(^)'\ эквивалентности "(=)'\ дизъюнкции "(V)"
или равенства по определению "= DP. Группа II состоит из точек,
следующих за круглыми скобками, заключающими кажущуюся переменную,
например, "(*)", и(х9у)" или "(£*)"> u(Qx,y)", или "[(гх)ф;с]" и аналогичные
выражения76. Группа III состоит из точек, которые стоят между
предложениями и указывают на их логическое произведение. Группа I сильнее
чем группа II, а группа II сильнее, чем группа III. Область действия
скобок, указываемых любым количеством точек, простирается вперед и назад
за любое меньшее количество точек или равное количество точек из более
слабой группы до тех пор, пока мы не достигнем либо конца
утверждаемого предложения, либо большего количества точек или равного количества
точек, принадлежащих группе равной или более сильной. Точка,
обозначающая логическое произведение, имеет область действия одновременно и за
ней и перед ней; другие точки работают только по одному направлению
от прилежащих знаков дизъюнкции, импликации и эквивалентности или
76 Значение этих выражений будет объяснено позлее. Примеры использования точек
в связи с этими выражениями будут даны на с. 87, 88.
PRINCIPIA MATHEMATICA I

ГЛАВА I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПОНЯТИЯХ
И ОБОЗНАЧЕНИЯХ 81
в прямом направлении (слева направо) от прилежащих знаков одного из
оставшихся видов, перечисленных в группе II.
Несколько примеров послужат для того, чтобы проиллюстрировать
использование точек.
UP v Я • 3 • Ч v рп означает предложение Ulp или q1 влечет lq или /?'".
Когда мы утверждаем это предложение, а не просто его рассматриваем, то
мы пишем
"\-:pVq.z>.qV p",
где две точки после символа утверждаемости показывают, что то, что
утверждается, есть все без исключения следующее за символом
утверждаемости, так как двоеточие или большее количество точек не встречается
больше нигде. Если бы мы написали ир: V : q . z> . q V р", то это должно
было бы означать предложение "либо р истинно, либо q влечет lq или /?'".
Если бы мы захотели утверждать это предложение, то мы должны
были бы поместить три точки после знака утверждения. Если бы мы
написали upV q . э .q:V : /?", то это должно было бы означать предложение
"либо 1р или с? влечет q, либо р истинно". Формы "р. V .q. z> .q Vp" и
"pV^.D.^.V.p" не имеют смысла.
"рзд.згдэг.з.рэг" будет означать "если р влечет q, то, если q
влечет г, то р влечет г". Если мы захотим утверждать это предложение
(оно истинно), то мы пишем
"Ь:.рэ#.э:#эг.:э./?э г".
Далее "рэ^.э.рпэ.рэг" будет означать "если 1р влечет #' влечет
Lq влечет г\ то р влечет г". Это предложение в общем не истинно.
(Заметьте, что "pz>q" иногда наиболее удобно прочитать как "р влечет #", а
иногда—как "если ру то <?".) "p^q.q^r. э .рэг" будет означать "если р
влечет q и q влечет г, то р влечет г". В этой формуле первая точка
указывает логическое произведение, следовательно, область действия
второй точки простирается в обратном направлении до начала предложения.
" pz>qiqz>r .-э .р-эг" будет означать "р влечет #, и, если q влечет г, то
р влечет г". (Это в общем не истинное предложение.) Здесь две точки
обозначают логическое произведение; так как две точки нигде больше не
встречаются, то область действия этих двух точек простирается в
обратном направлении до начала предложения, и — в прямом направлении до
его конца.
"р V q . z> :. р . V . q z> г: з . р V г" будет означать "если р либо q истинны,
то либо р, либо '<? влечет г' истинно, что влечет, что либо р, либо г
истинно". Если предполагается утверждать это предложение, то мы должны
поместить четыре точки после знака утверждения, поэтому
"\-::pVq.z>:.p.V .qz>r:z>.pV г".
(Это предложение доказывается в тексте работы; оно есть *2-75.) Если
мы желаем утерждать (что эквивалентно вышеприведенному)
предложение "если р либо q истинны, и либо р, либо lq влечет г' истинно, то либо
р, либо г истинно", то мы пишем
"\-:.pVq:p.V .qz>r:z>.pV r".
А.Н. Уайтхед, Б.Рассел

82
ВВЕДЕНИЕ
Здесь первая пара точек указывает логическое произведение, а вторая
нет. Поэтому область действия второй пары точек распространяется
через первую пару, и —в обратном направлении, пока мы не достигнем трех
точек сразу после знака утверждения.
Остальные случаи использования точек следуют тем лее самым
принципам и будут объясняться по мере их появления. При прочтении
предложения на точки следует обращать внимание прежде всего, так как они
отображают его структуру. В предложении, содержащем несколько знаков
импликации или эквивалентности, знак с большим количеством точек
перед ним или после него — главный знак: все, что идет перед ним,
составляет предложение, из которого следует или которое эквивалентно тому, что
идет после него.
Определения. Определение есть формальное заявление о том, что
первый раз вводимый символ или комбинация символов означает в точности
то же самое, что и некоторая другая комбинация символов, значение
которой уже известно. Или, если определяющая комбинация символов есть
таковая, приобретающая смысл только при подходящем объединении с
другими символами77, то это означает, что любая комбинация символов, в
которую входит определяемый символ или определяемая комбинация символов,
должна приобретать значение (если вообще об этом можно вести речь),
являющееся результатом подстановки определяющей комбинации символов
вместо определяемого символа или определяемой комбинации символов,
где бы они ни встретились. Мы будем давать имена определяемое78 и
определяющее79 соответственно тому, что определяется, и тому, что
определяет значение. Мы выражаем определение, располагая определяемое слева,
а определяющее — справа от знака "=", находящегося между ними, и
располагая также буквы "DP справа от определяющего. Понятно, что знак
"=" и буквы "DP считаются вместе формирующими один символ. Знак
"=" без букв "DP будет иметь другое значение, которое мы вскоре
разъясним.
Примером определения является
fDq . = . ~ pV q Df.
Заметим, что само определение, строго говоря, не является частью
того субъекта, в котором оно встречается. Определение целиком связано
с символами, а не с тем, что они символизируют. Более того, оно
истинно или ложно, будучи проявлением волевого решения, а не
предложением. (По этой причине перед определениями не встречается символ утвер-
ждаемости.) Теоретически вообще нет необходимости давать определение:
вместо определяемого мы могли бы всегда использовать определяющее и
поэтому целиком избежать появление определяемого. Поэтому, хотя мы
используем определения и не определяем "определение", "определение" не
77 Этот случай будет полностью рассмотрен в третьей главе настоящего Введения. Нет
никакой необходимости касаться этого сейчас.
78 definiendum — Прим. перев.
79 definiens — Прим. перев.
PRINCIPIA MATHEMATICA I

ГЛАВА I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПОНЯТИЯХ
И ОБОЗНАЧЕНИЯХ 83
входит в состав наших примитивных понятий, так как определения не
являются субъектной частью нашей теории, а появляются, строго говоря,
просто из соображений удобства типографского набора. Практически, если
мы не введем определений, то наши формулы очень скоро станут
настолько длинными, что ими трудно будет оперировать; однако теоретически все
определения представляются излишними.
Несмотря на то, что с теоретической точки зрения все определения
излишни, тем не менее справедливо то, что они часто сообщают больше
важной информации, чем содержится в предложениях, в которых они
используются. Это обусловлено двумя обстоятельствами. Во-первых, определение
обычно подразумевает, что определяющее подлежит тщательному
рассмотрению. Следовательно, собрание определений охватывает наш выбор
субъектов и наше решение о том, какие из них наиболее важны. Во-вторых,
когда то, что определяется, является (как это часто бывает) уже
хорошо знакомым, подобно кардинальным и ординальным числам,
определение содержит анализ общей идеи и может в силу этого выражать заметное
продвижение. Канторовское определение континуума иллюстрирует это
обстоятельство: его определение суммируется утверждением, что то, что он
определяет, есть объект, обладающий свойствами, обычно связываемыми
со словом "континуум", хотя то, что в точности устанавливает эти
свойства, до этого не было известно. В подобных случаях определение есть
"приписывание определенности": оно дает определенность понятию,
которое до этого было в большей или меньшей степени неясным.
По этим причинам в последующем изложении определения есть нечто,
наиболее важное и в наибольшей степени заслуживающее постоянного
внимания читателя.
Несколько важных замечаний должно быть сделано относительно
переменных, входящих в определяющее и определяемое. Однако они будут
отложены до появления понятия "кажущейся переменной", когда можно
будет рассмотреть предмет полностью.
Сводка предшествующих утверждений. Выше были обозначены три
примитивных понятия, которые не были "определены", а лишь
описательно объяснены. Их примитивность относительна в нашем представлении
логической связи, хотя, разумеется, каждое подобное представление
выигрывает в значимости соответственно простоте его примитивных понятий. Эти
понятия символизируются посредством "~р" и "р Vg", а также префиксом
предложения "Ь".
Было введено три следующих определения:
p.q. = .~(~pV~q) Df,
pz>q. = .~ pV q Df,
p = q . = . p-Dq.qz>p Df.
Примитивные предложения. Некоторые предложения должны быть
допущены без доказательств, т.к. любой вывод исходит из предложений,
которые утверждались ранее. Примитивные предложения в той степени, в
какой они касаются упоминавшихся выше функций от предложений, могут
быть найдены в *1, где начинается формальное представление предмета.
А.Н. Уайтхед, Б.Рассел

84
ВВЕДЕНИЕ
Подобные предложения будут называться "примитивными
предложениями" или "базовыми предложениями". Они, подобно примитивным
понятиям, до некоторой степени есть результат произвольного выбора, хотя, как и
в предыдущем случае, значимость логической системы возрастает
соответственно меньшему количеству и большей простоте примитивных
предложений. Мы обнаружим также, что благодаря слабости нашего воображения
при работе с простыми абстрактными понятиями может быть сделан лишь
весьма небольшой акцент на их очевидность. Они очевидны для
должным образом подготовленного мышления, однако при этом найдется
достаточно много предложений, которые не могут быть совершенно истинными
и опровергаются их противоречивыми следствиями. Состоятельность80
логической системы есть ее адекватность и когерентность81. Это означает:
(1) система должна содержать среди своих дедуктивных следствий все те
предложения, в истинности которых мы уверены, и быть способной
реализовать дедукцию только из логических посылок, хотя вероятно, что
для них может потребоваться одно небольшое ограничение в форме
существенно повышенной строгости формального представления; (2) система не
должна приводить к противоречиям, а именно при проведении выводов мы
никогда не должны приходить к тому, чтобы утверждать и р и не-р, т.е.
"Ь.р" и "Ь.~р" одновременно не могут быть легитимны.
Ниже следуют примитивные (базовые) предложения, используемые в
исчислении высказываний. Буквы "Рр" обозначают "primitive proposition"82.
(1) Любое предложение, следующее из истинной посылки, истинно Pp.
Это правило, которое оправдывает вывод.
(2) h : рУ р . э . р Рр, т.е. если р или р истинно, то р истинно.
(3) Ь : q . з . р V q Рр, т.е. если q истинно, то р или q истинно.
(4) h : р V q . z> . q V р Рр, т.е. если р или q истинно, то q или р истинно.
(5) h:pV(^Vr).D.^V(pVr) Рр, т.е. если р истинно либо "q или г"
истинно, то q истинно либо " р или г" истинно.
(6) h:.^Dr.D:/?V^.D./?Vr Рр, т.е. если q влечет г, то "р или q"
влечет "р или г".
(7) Кроме приведенных выше примитивных предложений, нам
потребуется еще одно примитивное предложение, называемое "аксиомой
идентификации реальных переменных". Когда мы имеем две порознь
утверждаемые функции от переменной х, где х неопределенна, то часто валено знать,
можем ли мы отождествить переменную х в одном из утверждений с
переменной х в другом. Это как раз такой случай, когда аксиома позволяет нам
сделать вывод: представляют ли оба утверждения переменную х как
аргумент одной функции, т.е. будет ли ф* составляющей обоих утверждений
80 В оригинале — proof. — Прим. перев.
81 Здесь мы используем философский термин "когерентная теория", соответствующий
тому термину, который был в данном контексте использован авторами. Когерентная
теория характеризуется взаимной совместностью и непротиворечивостью составляющих ее
предложений. — Прим. ред.
82 Примитивное предложение. — Прим. перев.
PRINCIPIA MATHEMATICA I

ГЛАВА I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПОНЯТИЯХ
И ОБОЗНАЧЕНИЯХ 85
(какой бы ни была пропозициональная функция ф), или, говоря с
большей общностью, будет ли ф(*, у, z,...) составляющей одного утверждения,
а ф(*, и, v,...) составляющей другого. Эта аксиома вводит одно положение,
которое еще не было объяснено. Более подробно см. замечания,
сопровождающие *3-03, *1-7, *1-71 и *1-72 (здесь эта аксиома формулируется) данной
работы, так же, как и объяснение понятий пропозициональных функций
и неопределенных утверждений, которое будет вскоре дано.
Некоторые простые предложения. Дополнительно к примитивным
предложениям, которые мы у лее упоминали, нижес л е дующее есть
наиболее важное из элементарных свойств предложений, обнаруживаемых среди
дедуктивных заключений.
Закон исключенного среднего:
V.pV~p.
Это есть *2-11 (см. ниже). Мы будем указывать в круглых скобках номера,
присвоенные предложениям в основном тексте данной работы.
Закон противоречия (*3-24)
К~(Р.~Р).
Закон двойного отрицания (*4-13)
Кр = ~(~р).
Принцип транспозиции, т.е. если ир влечет q, то не-q влечет не-р" и
наоборот. Этот принцип имеет различные формы, именно:
(*4-1) \-:pz>q. = ~qz>~p,
(*4-11) \-:p = q. = .~p = ~q,
(*4-14) h :. р . q . з . г: = : р . ~ г. z> . ~ q,
а также другие варианты приведенных форм.
Закон тавтологии в следующих двух формах:
(*4-24) \-:р. = .р.р,
(*4-25) h : р. = . р V р,
т.е. "р истинно" эквивалентно "р истинно и р истинно", а также "р
истинно или р истинно". С формальной точки зрения именно через закон
тавтологии и его следствия алгебра логики во многом отличается от
обычной алгебры.
Закон поглощения:
(*4-71) \-:.pz>q. = :p.^.p.q,
т.е. "р влечет #" эквивалентно "р эквивалентно p.q". Этот закон
называется законом поглощения потому, что он показывает, что сомножитель
q в логическом произведении поглощается сомножителем р, если р
влечет q. Этот принцип дает нам возможность замещать импликацию (p^q)
эквивалентностью (р. = . р . q), когда это представляется удобным.
Аналогичный и весьма важный принцип:
(*4-73) h :. q . э : р . = . р . q.
Логическое сложение и умножение предложений подчиняются законам
ассоциативности и коммутативности, а также закону дистрибутивности
в следующих двух формах:
(*4-4) V :. р . q V г. = :. р . q . V . р . г,
(*4-41) h:. p .V .q .r: = : рУ q . рУ г.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

86
ВВЕДЕНИЕ
Вторая из этих форм отличает соотношения логического сложения и
умножения от арифметического сложения и умножения.
Пропозициональные функции. Пусть фх есть утверждение, содержащее
переменную х и такое, что оно становится предложением, когда
переменной х приписывается любое постоянное строго определенное значение.
Тогда фх называется "пропозициональной функцией"; фх не является
предложением, так как, благодаря неопределенности х, фх в действительности
ничего не утверждает. Поэтому "х обижен" на самом деле ничего не
утверждает до тех пор, пока мы не установим, кто есть х. Благодаря
индивидуальности, продолжающей сохраняться в неопределенной переменной *,
это только один из примеров из множества предложений, которые можно
получить, придавая все возможные значения переменной х в "jc обижен",
чтобы образовать предложение, истинное или ложное. Также, если "х
обижен" и иу обижен" встречаются в одном и том же контексте, где у есть
другая переменная, то в соответствии со значениями, придаваемыми х и
у, они могут быть признаны (возможно) одним и тем лее предложением
или (возможно) разными предложениями. За пределами значения, данного
х и у, они сохраняют в том контексте их неопределенное различие. Поэтому
"х обижен" есть неопределенное "значение" пропозициональной функции.
Когда мы лее лаем говорить о пропозициональной функции,
соответствующей "jc обижен", мы будем писать "Jc обижен". Таким образом, "jc обижен"
есть пропозициональная функция, а "дс обижен" — неопределенное значение
этой функции. В соответствии с этим, хотя мы и можем различать
предложения "jc обижен" и "у обижен", встречающиеся в одном и том же
контексте, но по смыслу "Jc обижен" и "у обижен" неразличимы. Вообще
фх есть неопределенное значение пропозициональной функции фх, и когда
определенное значение а подставляется вместо х, то фа будет
определенным значением фх.
Пропозициональные функции представляют собой фундаментальный
тип, из которого выводятся обычные типы функций, такие как "sin*" или
"log*". Эти производные типы функций рассматриваются позднее и
называются "дескриптивными функциями". Функции предложений,
рассмотренные выше, являются частными случаями пропозициональных функций.
Множество (область) значений и полное изменение. Для каждой
пропозициональной функции фх существует множество (область) или
собрание значений, состоящее из всех предложений (истинных или ложных),
которые могут быть получены присвоением всех возможных значений
переменной х в фх. О значении переменной х, для которого фх истинно,
будет говориться, что оно "удовлетворяет" фх. В зависимости от
истинности или ложности предложений из указанного множества значений
следует отметить и символически представить три важных случая. Эти случаи
даются тремя предложениями, по крайней мере одно из которых должно
быть истинным. Либо (1) все предложения из указанного множества
истинны, либо (2) некоторые предложения из указанного множества истинны,
либо (3) ни одно предложение из указанного множества не является
истинным. Утверждение (1) символически представляется записью "(х).фх",
PRINCIPIA MATHEMATICA I

ГЛАВА I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПОНЯТИЯХ
И ОБОЗНАЧЕНИЯХ 87
а второе — "(&*). ф*". Эти два символа остаются без определений, но
содержат два новых примитивных понятия нашей символической системы.
Символическая запись " (jc). ф*" может быть прочитана как " фх всегда"
или "фх всегда истинно", или "фх всегда истинно для всех возможных
значений х". Символическая запись "(Я*)-Ф*" может быть прочитана как
"существует jc, для которого фл: истинно", или "существует значение jc,
удовлетворяющее ф£", что согласуется с естественной формой выражения
мысли.
Предложение (3) может быть выражено в терминах фундаментальных
понятий. Для того чтобы это сделать, заметим, что "~фл*" есть
отрицание фл*. Соответственно ~ ф* есть иная пропозициональная функция такая,
что каждое значение фх противоречит значению ~ фх и наоборот.
Следовательно, " (jc) . ~ фл*" символизирует предложение: каждое значение фх не
истинно. Это и есть случай (3).
Очевидно, ошибочно, хотя в эту ошибку легко впасть, допускать, что
случаи (1) и (3) противоречат один другому. Символическая система сразу
же вскрывает эту ошибку: для (1) имеем (х). фх, а для (3) — (л*). ~ фх, в то
время как отрицание (1) есть ~ {(л*). фх]. С целью краткости символической
системы дается определение:
~ (jc) . фх. = . ~ {(л*). фх] Df.
Об определениях, цель которых — достигнуть некоторых тривиальных
преимуществ в краткости посредством несущественной отладки
символики, будет говориться, что они представляют собой "просто символический
импорт" в противовес тем определениям, которые включают рассмотрение
важных понятий.
Предложение (л:). фл: называется "полным изменением (вариацией)"
функции фх.
По причинам, которые будут объяснены в главе II, мы не принимаем
отрицание как примитивное понятие, когда дело касается предложений вида
(jc) . фх и (зле). фх. Однако мы определяем отрицание (л*). фх, т.е. отрицание
"фх всегда истинно", как "фх иногда истинно", т.е. "fax). ~фл*". Подобным
же образом мы определяем отрицание fax) • фл* как (л*). ~ фх. Поэтому мы
полагаем
~ {(jc) . фд:}. = . fax). ~ фх Df,
~{(Э*)-<М • = •(*)-~Ф* Df-
Аналогично мы определяем дизъюнкцию, в которой одно из
предложений имеет форму "(л*).фл:" или "fax)^x", в терминах дизъюнкции
предложений, не имеющих указанную форму, полагая
(jc) . фх. V . р : = . (jc) . фх V р Df,
т.е. "либо фх всегда истинно, либо р истинно" будет означать "'фл* или р1
всегда истинно". Подобные определения принимаются и в других случаях.
К этому мы возвратимся в главе II и в *9 основного текста работы.
Кажущиеся переменные.
Символическая запись " (jc) . фл:" обозначает одно вполне определенное
предложение, и нет различия в значении между "(jc) . фл:" и "(у). фу", когда
они встречаются в одном и том же контексте. Поэтому "jc" в "(л:). фл:" не
А.Н. Уайтхед, Б.Рассел

88
ВВЕДЕНИЕ
есть неопределенная конституента любого выражения, в котором
встречается "(х). ф*"; кроме того, подобное выражение не перестает нести
ограниченное значение из-за неопределенности х в "фх". Символическая запись
" (jc). фJc" обладает некоторой аналогией с символом определенного
интегрирования
так как он ни в коем случае не является выражением, зависящим от х.
Область изменения х в "(*)-ф*" или "(Я*)*Ф*" охватывает все поле
значений х, для которых "фх" имеет значение; соответственно значение
"(х).фх" или "(Я-яО-Ф*" включает также предположение о том, что
указанное поле детерминировано. Переменная jc, которая входит в " (jc). ф*"
или "(з*)-ф*", называется (следуя Пеано) "кажущейся переменной". Как
следует из смысла "(3*) • Ф*'\ переменная х также является кажущейся
переменной. Предложение, в которое х входит в качестве кажущейся
переменной, не будет функцией от х. Поэтому, например, " (jc). jc=jc" будет
означать, что "каждое равно себе самому". Это есть абсолютная
константа, а не функция от jc. Вот почему в подобных случаях х называется
кажущейся переменной.
Помимо "области изменения" х в "(*). фдс" или "(а*) • Ф*'\ которая
представляет собой поле возможных значений jc, мы будем говорить об "области
действия"83 х, подразумевая функцию, все или некоторые значения
которой формально утверждаются. Если мы утверждаем все значения (или
некоторое значение) "фх", то "фх" есть область действия переменной jc;
если мы утверждаем все значения (или некоторое значение) "флсэр", то
" фл: з р" есть область действия переменной jc; если мы утверждаем все
значения (или некоторое значение) "фхэхулс", то "ф*э\у;с" будет областью
действия переменной х и т.д. Область действия переменной х
указывается определенным количеством точек после "(*)" или "(дл)"; область
действия переменной х простирается вперед, пока мы не достигнем того же
количества точек, не указывающего логическое произведение, или
большего количества точек, указывающего логическое произведение, или же конца
утверждаемого предложения, в которое входит "(*)" или "(Я*)'\ какой бы
из указанных случаев ни встретился первым84. Поэтому, например,
" (jc): фх. з . ух"
будет означать "фл: всегда влечет хуле", но
" (jc). фх. z> . \\f jc"
будет означать "если фх всегда истинно, то ух истинно для аргумента jc".
Заметим, что в предложении
(х).фх.-э. \\fx
две переменные х никак не связаны друг с другом. Так как только одна
83 В оригинале — scope. Здесь мы сочли возможным использование более длинного, но
более точного термина "область действия" переменной х (в некоторой символической
записи). — Прим. перев.
84 Это согласуется с правилами для вхождений точек типа группы II, как было
разъяснено выше на с. 79, 81.
■Г
PRINCIPIA MATHEMATICA I

ГЛАВА I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПОНЯТИЯХ
И ОБОЗНАЧЕНИЯХ 89
точка следует за х в скобках, то действие первой переменной ограничено
"ф*'\ непосредственно следующим за х в скобках. Обычно в целях ясности
лучше писать
(х). ф*. z> . уу
вместо
(х). ф*. z> . \j/x,
так как использование различных переменных подчеркивает отсутствие
связи между двумя переменными; тем не менее нет никакой логической
необходимости использовать различные буквы и иногда удобно
использовать одну и ту же букву.
Неопределенное утверждение и реальная (свободная) переменная.
Любое значение "ф*" функции "ф*" может утверждаться. Подобное
утверждение неопределенного представителя значений " ф£" символизируется
посредством
"Ь.фх".
Неопределенное утверждение подобного рода является примитивным
понятием, которое не может быть определено в терминах утверждаемости
предложений. Это примитивное понятие — одно из таковых, которые
ясно выражают принципы использования переменной. Вне неопределенного
утверждения, рассмотрение "фдс", представляющего собой
неопределенного представителя значений "ф*", имело бы мало последствий. Когда мы
рассматриваем или утверждаем "ф*", переменная х называется "реальной
(свободной) переменной"85. Возьмем, например, закон исключенного
среднего в форме, характерной для традиционной формальной логики:
"а есть либо Ъ, либо не Ь".
Здесь а и Ъ — реальные переменные: когда они изменяются, получаются
различные предложения, все из которых истинны. Пока а и Ъ остаются
неопределенными (так, как в приведенном выше выражении), ни одно
определенное предложение не утверждается, но то, что утверждается, есть
любое значение рассматриваемой пропозициональной функции. Мы можем
легитимно это утверждать, если какое бы значение ни выбрать, то это
значение оказывается истиной, т.е. если все значения истинны. Поэтому данная
выше форма закона исключенного среднего эквивалентна
и(а,Ь).а есть либо Ь, либо не Z?",
т.е. эквивалентна "всегда истинно, что а есть либо Ь, либо не Z?". Эти две
формулировки эквивалентны, но не идентичны. В последующем мы найдем
необходимым сохранить различие между ними.
Когда мы утверждаем нечто, содержащее реальную переменную, как,
например,
"1-.* = *",
85 В современной литературе по математической логике термин "реальная
переменная" встречается крайне редко. Реальная переменная (если ограничивать это понятие
только индивидными переменными типа переменной х) в точности соответствует
понятию свободной индивидной переменной. Реальная переменная Уайтхеда и Рассела
охватывает также и пропозициональные символы типа ф. — Прим. ред.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

90
ВВЕДЕНИЕ
то мы утверждаем любое значение пропозициональной функции. Когда мы
утверждаем нечто, содержащее кажущуюся переменную, как, например, в
"\-.(х).х = х ",
или
"b.(gjc).jc = jc",
то мы утверждаем в первом случае все значения, а во втором случае —
некоторое (неопределенное) значение рассматриваемой пропозициональной
функции. Ясно, что мы на законном основании можем утверждать "любое
значение", если все значения истинны; в противном случае, поскольку
значение переменной остается определяемым, то оно может быть определено
так, чтобы получилось ложное предложение. Поэтому в приведенном выше
примере, поскольку мы имеем
"b.jc = jc",
то мы можем вывести
"\-.(х).х = х".
В общем, в данном утверждении, содержащем реальную переменную х, мы
можем трансформировать реальную переменную в кажущуюся, заключая
х в круглые скобки в начале, за которыми следует столько точек, сколько
их имеется после символа утверждения.
Когда мы утверждаем нечто, содержащее реальную переменную, мы
не можем, строго говоря, ожидать утверждения предложения, так как мы
получаем определенное предложение лишь присваиванием значения
переменной, и при этом наше утверждение применяется только к одному
определенному случаю, так что оно вообще не обладает такой же силой, как
прежде. Когда то, что мы утверждаем, содержит реальную переменную, то
мы утверждаем целиком неопределенное единственное из всех
предложений, получающихся присвоением различных значений переменной. Будет
удобно говорить о подобных утверждениях как об утверждении
пропозициональной функции86. Обычные математические формулы содержат
подобные утверждения; например, запись
" sin2 х + cos2 x = 1"
не утверждает этот или иной частный случай приведенной формулы и не
утверждает то, что формула справедлива для всех возможных значений
х, хотя она и эквивалентна этому последнему утверждению; попросту она
утверждает, что формула имеет место при полностью неопределенном jc;
она может законно делать это, поскольку как бы ни определялась jc,
получается истинное предложение.
Несмотря на то, что предложение, содержащее реальную переменную,
строго говоря, не утверждает никакое предложение, о нем все еще будет
говориться как об утверждающем предложении, за исключением случая,
когда природа неопределенного утверждения дискуссионна.
Определение и реальные переменные. Когда определяющее содержит
одну или более реальных переменных, то определяемое должно также их
включать. В таком случае мы имеем функцию реальных переменных,
86 Или ассерторической пропозициональной функции. — Прим. ред.
Principia Mathematica I

ГЛАВА I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПОНЯТИЯХ
И ОБОЗНАЧЕНИЯХ 91
а определяемое должно иметь то же самое значение, что и определяющее,
для всех значений упомянутых переменных. Это требует, чтобы
символическая запись определяемого содержала буквы, представляющие реальные
переменные. Это правило не всегда отмечается математиками, а его
нарушение вызывало иногда существенную дезорганизацию ума особенно в
геометрии и философии пространства.
В определениях, данных выше для "р.#'\ "p^q" и "p = q", p и q есть
реальные переменные, и поэтому они появляются в обоих частях
определения. В определении " ~ {(jc) . флс}" только функция, а именно ф2, есть
реальная переменная. Таким образом, что касается рассматриваемого
правила, переменная х может и не появляться слева. Когда реальная
переменная есть функция, необходимо указывать, каким образом она
снабжается аргументом. Поэтому есть возражения против того, чтобы опускать
кажущуюся переменную там (как и данном случае), где она является
аргументом функции, которая представляется реальной переменной. Это
становится особенно наглядным, если вместо общей функции ф* мы возьмем
некоторую частную функцию, скажем "х = а", и рассмотрим определение
~ {(х). х = а]. Наше определение дает
~ {(jc) . х = а]. = . (ах) ,~(х = а) Df.
Но если бы мы приняли обозначение, в котором неопределенное значение
"jc = a", содержащее кажущуюся переменную х, не входит в определяемое,
то мы вынуждены были бы найти обозначение, использующее саму
функцию, именно "Jc = а". Кажущаяся переменная при этом не используется, но
на практике это выглядит довольно неуклюже. В действительности мы
нашли удобным и возможным, исключая пояснительные части работы,
оставить явное использование символов типа фх как постоянных (т.е. х = а)
или как реальных переменных за пределами данной работы.
Предложения, связывающие реальные и кажущиеся переменные.
Наиболее важные предложения, связывающие реальные и кажущиеся
переменные, следующие:
(1) "Когда пропозициональная функция может утверждаться, то может
утверждаться предложение, что все значения этой функции есть истина".
Короче, но менее точно: "то, что имеет место для любого, каким бы его
ни выбрать, имеет место для всех". Это расшифровывает само себя как
правило, что когда реальная переменная входит в утверждение, то мы
можем сделать ее кажущейся переменной, заключая представляющую ее
букву в круглые скобки сразу же после знака утверждения.
(2) "То, что имеет место для всех, имеет место для любого", т.е.
h : (jc) . фл. z> . фу.
Этим утверждается, что "если фх всегда истинно, то фу истинно".
(3) "Если фу истинно, то фJc иногда истинно", т.е.
h : фу. з. (gjc). фх.
Утверждаемое предложение вида "(дд:).фх" выражает "теорему
существования", именно "существует jc, для которого фх истинно". Указанное выше
предложение дает единственный практически используемый путь
доказательства теорем существования: мы должны найти некоторое частное у,
А.Н. Уайтхед, Б.Рассел

92
ВВЕДЕНИЕ
для которого имеет место фу, а затем вывести "(дх).фд;". Если бы мы
приняли то, что называется аксиомой умножения, или эквивалентную
аксиому, предложенную Цермело, то в важном классе случаев это бы привело
к теореме существования, где ни одного частного случая ее истинности не
могло бы быть найдено.
В силу " h : (jc) . фх. э . фу" и " h : фу . э . (ajc) . фх" мы имеем
"Ь: (jc) . фх. э. (gjc). фх", т.е. "то, что всегда истинно, иногда
истинно". Если бы ничего не существовало, то сформулированное утверждение
не имело бы места; поэтому предполагается, что нечто существует. Это
проявляется также в принципе "то, что имеет место для всего, имеет
место для любого", что не было истинно, если бы не существовало
"любого".
(4) "Если фх всегда истинно и ух всегда истинно, то 'фх.хух' всегда
истинно", т.е.
h :. (jc) . фх: (х) . \\fx: э . (jc) . фх. \|tt.
(Требуется, чтобы ф и \\f являлись функциями аргументов одного и того
же типа. Позднее мы разъясним это требование.) Обратное также имеет
место, т.е.
h :. (х) . фх. \|/х. э : (х) . фх: (jc) . \|tt.
До некоторой степени не так важно, какие из предложений,
связывающие реальные и кажущиеся переменные, выбрать в качестве примитивных.
Принятые в основном тексте книги (*9) примитивные предложения,
связывающие реальные и кажущиеся переменные, есть:
(1) Ь:фх.э.(Яг).фг-
(2) Ь:ф*уфу.э.(аг).фг,
т.е., если фх или фу истинно, то (gz). фг истинно. (По поводу
необходимости этих примитивных предложений см. замечания в *9-11 основного текста
работы.)
(3) Если мы можем утверждать фу, где у — реальная переменная, то мы
можем утверждать (х). фх, т.е. то, что имеет место для любого, каким бы
его ни выбрать, имеет место для всех.
Формальная импликация и формальная эквивалентность. Когда об
импликации, скажем фх. э. \|лх, говорят, что она имеет место всегда, т.е.
когда (х): фх. z>. \|/х, мы будем говорить, что фх формально влечет \ух.
О предложениях вида " (х): фх. z> . \ух" будет говориться, что они
выражают формальные импликации87. В обычных примерах импликации таких,
как "'Сократ —человек' влечет 'Сократ смертен'", мы имеем предложение
вида "фх. z> . \|/jc" в случае, в котором "(jc) : фх. э . \|fjt" истинно. В подобном
случае мы осознаем импликацию как частный случай формальной
импликации. Поэтому мы почти готовы принять, что импликации, не
являющиеся частными случаями формальных импликаций, вообще не должны
рассматриваться как импликации. Существует также и практическое
основание для того, чтобы пренебрегать такими импликациями; вообще говоря,
такие импликации могут иметь познавательную ценность только, когда
87 Понятие формальной импликации принадлежит Б. Расселу. — Прим. ред.
Principia Mathematica I

ГЛАВА I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПОНЯТИЯХ
И ОБОЗНАЧЕНИЯХ 93
уже известно, что либо их гипотезы ложны, либо их заключения
истинны; ни в одном из этих случаев они не служат нам при познании
заключения, поскольку в первом случае заключение вообще может не быть
истинным, а во втором —уже известно, что заключение истинно. Таким образом,
подобные импликации не служат той цели, для достижения которой они
главным образом были бы полезны, именно познанию нами посредством
дедукции заключений, которых мы из-за недостаточности знаний не знали.
Формальные импликации, наоборот, действительно служат этой цели,
благодаря тому психологическому факту, что мы часто знаем " (х): фх. э . ух"
и фу в случаях, когда о \|гу (следующем из указанных посылок) мы не
можем непосредственно знать.
Эти доводы, хотя они и не гарантируют полностью необходимость
избегать импликаций, не являющихся примерами формальных импликаций,
являются весьма важными доводами в пользу формальной импликации.
Формальная импликация утверждает, что для всех возможных значений х,
если истинна гипотеза фх, то истинным будет заключение \рг. Поскольку
" фх. э. \|/jc" будет всегда истинно, когда фх ложно, то в формальной
импликации важны только такие значения jc, для которых фх истинно. Таким
образом, предложения вида "все а есть Р", "ни одно а не есть Р"
являются формальными импликациями, так как первое (как видно, благодаря
тому, что только что было сказано) утверждает
(jc) : х есть один из а. э. х есть один из р,
а второе —
(jc) : jc есть один из а. э. х не есть ни один из р.
Любая формальная импликация " (jc) : фх. э . \|f jc" может быть
интерпретирована как "все значения jc, которые удовлетворяют88 ф*, удовлетворяют
и \|/jc", в то время как формальная импликация " (х): фх. э . ~ \|/jc" может
быть интерпретирована как "ни одно значение jc, которое удовлетворяет
ф;с, не удовлетворяет \yjc".
Аналогично для предложения "некоторые а есть Р" мы имеем формулу
(gjc): jc есть один из а. jc есть один из р,
а для предложения "некоторые а не есть Р" —
(gjc): jc есть один из а. х не есть ни один из р.
Две функции фх, \|/jc называются формально эквивалентными, когда
каждая из них влечет другую, т.е. когда
(х):фх. = . yjc,
а предложение такого вида называется формальной эквивалентностью.
В силу того, что было сказано об истинностных значениях, если фд: и
\|/jc формально эквивалентны, то каждая из них может замещать другую
в любой истинностной функции. Следовательно, для целей математики и
настоящей работы ф| может замещать \уг или наоборот в любом
предложении. Сказать, что фд: и \|/jc формально эквивалентны, — то же самое, что
сказать, что ф2 и \\fz имеют тот же самый объем, т.е. любое значение х,
которое удовлетворяет одному, удовлетворяет и другому. Таким образом,
88 Говорят, что значение х удовлетворяет ф* или ф*, если ф* истинно для этого
значения X.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

94
ВВЕДЕНИЕ
где бы в нашей работе ни встретилась постоянная функция, истинностное
значение предложения, в которое она входит, зависит только от объема
функции. Предложение, содержащее функцию ф% и обладающее
указанным свойством (т.е. его истинностное значение зависит только от объема
ф2), будет называться экстенсиональной функцией от фг. Поэтому
функции от функций, с которыми мы будем иметь дело, будут
экстенсиональными функциями от функций.
То, о чем только что говорилось, объясняет связь (отмеченную выше 89)
между тем, что все функции от предложений, с которыми в особенности
имеет дело математика, представляют собой истинностные функции, и тем,
что математика заинтересована экстенсиями, а не интенсиями90.
Удобные сокращения. Следующие определения дают альтернативные и
часто более удобные обозначения:
фх. z>x . ух: = : (jc) : фх. r>. \\fx Df,
фх. =х . \|/jc: = : (jc) : фх. = . \\fx Df.
Обозначение "фх. z>x .\\fx" введено Пеано, однако у него не было
обозначения для общего понятия "(х).ф*'\ В виде упражнения на использование
точек в качестве круглых скобок молено отметить, что мы могли бы
написать
фх=>х\ух. = . (jc) . фх z> \\fx Df,
фх=х\ух. = . (jc) . фх = \[fjc Df.
На практике, однако, когда фх и \ух являются специальными функциями,
невозможно использовать меньшее количество точек, чем в первой записи,
а часто требуется большее их количество.
Следующие определения дают сокращенные обозначения для функций
двух или более переменных:
(х,у) . ф(х,у). = : (х) : (у) . ф(х9у) Df,
и так же для любого количества переменных;
ф(х, у) . =>^ . у(х, у) : = : (*, у) : ф(х, y).z>. \\f(x, у) Df,
и так же для любого количества переменных.
Тождество. Пропозициональная функция "jc тождественно у"
выражается посредством
х = у.
Понятие тождества будет определено ниже (ср. * 13-01), но из-за некоторых
трудных моментов, связанных с этим определением, мы здесь опустим его
(ср. глава II). Разумеется, мы имеем
h . х = х (закон тождества),
\-:х = у. = .у = х,
\-:x = y.y = z*'D»x = z.
Первое из них выражает рефлексивность тождества: отношение
называется рефлексивным, когда оно имеет место между термом и им самим, либо
89 См. с. 79. — Прим. ред.
90 Экстенсия — объем, интенсия — содержание. — Прим. ред.
Principia Mathematica I

ГЛАВА I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПОНЯТИЯХ
И ОБОЗНАЧЕНИЯХ 95
вообще, либо как только оно имеет место между указанным термом и
некоторым другим термом 91. Второе из приведенных предложений
устанавливает, что тождество есть симметричное отношение: отношение называется
симметричным, если как только оно имеет место между х и у, то оно
также имеет место между у и jc. Третье предложение выражает тот факт, что
тождество есть транзитивное отношение: отношение называется
транзитивным, если как только оно имеет место между х и у и между у и z,
то оно также имеет место между х и z.
Мы в дальнейшем обнаружим, что никакого нового определения
знака равенства в математике не требуется: все математические уравнения, в
которых обычным образом используется знак равенства, выражают
некоторое тождество, и поэтому в них применение знака равенства происходит
в указанном выше смысле.
Если х и у тождественны, то одно может замещать другое в любом
предложении, не изменяя истинностного значения предложения; поэтому
мы имеем
V : х = у. э . ф* = фу.
Это фундаментальное свойство тождества, из которого в основном следуют
все оставшиеся свойства.
Может показаться, что тождество не должно иметь столь важного
значения, поскольку оно может иметь место только между х и у, если х
и у представляют собой различные символы для одного и того же
объекта. Эта точка зрения, однако, не применима к тому, что мы будем
называть "дескриптивными оборотами речи", т.е. оборотами речи вида
"единственный такой-то". Именно по отношению к подобным оборотам
речи тождество важно, что мы вскоре и разъясним. Такое предложение, как
"Скотт был автором Вейверли", выражает тождество, в котором есть
дескриптивный оборот (именно "автор Вейверли")92; это иллюстрирует, как
в подобных случаях утверждение тождества может быть важным. Это,
в сущности, тот же случай, когда газеты сообщают "личность
преступника не была установлена". В таком случае знание о преступнике
выражается дескриптивным оборотом, именно "человек, который совершил деяние",
а мы хотим найти jc, о котором было бы истиной утверждать "jc =
человек, который совершил деяние". Когда обнаруживается такой jc, личность
преступника считается установленной.
Классы и отношения. Класс (что то же самое, что многообразие или
агрегат) есть сущность, составленная из всех объектов, удовлетворяющих
91 Данное Уайтхедом и Расселом понятие рефлексивности отношения при первом
прочтении оставляет много неясностей, особенно это касается альтернативы либо ...,
либо ... . По-видимому, рефлексивность здесь следует понимать как выполнение отношения
между термом и им самим без всяких ограничений и предварительных условий, либо
выполнение отношения между термом и им самим, как только это отношение выполняется
между этим термом и некоторым термом (что означает, что для каждого терма найдется
некоторый терм такой, что между ними будет иметь место отношение, претендующее на
то, чтобы быть рефлексивным). — Прим. ред.
92 Интересно отметить, что "автор Вейверли" было псевдонимом Вальтера Скотта до
тех пор, пока держалось в секрете, что этим автором является он. — Прим. ред.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

96
ВВЕДЕНИЕ
некоторой пропозициональной функции93. Если а есть класс, составленный
из объектов, удовлетворяющих фх, то мы будем говорить, что а есть класс,
определенный фх. Каждая пропозициональная функция поэтому
определяет класс, даже если она принимает только ложные значения (в этом
случае соответствующий класс будет нулевым, т.е. в нем не будет
элементов). Класс, определенный функцией ф*, будет представляться посредством
2(фг)94. Таким образом, например, если фх есть уравнение, то 2(фг) будет
классом его корней; если фх есть "jc имеет две ноги и не имеет перьев", то
2(фг) будет классом людей; если фх есть "О < х < 1", то 2(фг) будет классом
правильных дробей, и т.д.
Очевидно, что один и тот же класс объектов будет иметь множество
определяющих функций. Когда нет необходимости специфицировать
определяющую класс функцию, удобно представлять класс единственной
греческой буквой. Греческие буквы, за исключением тех, которым приписан
постоянный смысл, будут использоваться только для представления классов.
Формальная логика сталкивается с трудностями двух типов. Один
тип появляется в связи с классами и отношениями, а второй — в связи
с дескриптивными функциями. Существо затруднений для классов и
отношений, насколько это касается классов, состоит в том, что класс не
может быть объектом, подходящим для того, чтобы быть аргументом
любой определяющей его функции. Если а представляет класс, а ф* есть
одна из определяющих его функций (так, что а = г(фг)), то недостаточно,
чтобы фа было ложным предложением. Оно должно быть бессмысленным.
Таким образом, по-видимому, необходима некоторая классификация того,
что предстает в виде объективных составляющих предметов существенно
различных типов. Этот вопрос обсуждается в главе II, посвященной
теории типов, а формальное исследование в систематическом изложении,
образующем основное содержание данной работы, направляется этим
обсуждением. Часть систематического изложения, которая специально
касается теории классов, есть *20, а в данном Введении теория классов
обсуждается в главе III. Здесь достаточно отметить, что в законченном
исследовании *20 нам удалось избежать решения вопроса о том, может
ли класс предметов существовать (в каком-либо смысле) как один
объект. Логика индифферентна к решению этого вопроса любым из двух
способов, хотя возможно, если бы мы более пристально рассмотрели
некоторое решение, согласно которому классы и отношения являлись
бы в некотором действительном смысле объектами, существующими и
универсально признаваемыми, то мы лишь упростили бы одно или два
определения и несколько предварительных предложений. Наши символы,
такие как их(фхУ\ а и другие, которые представляют классы и
отношения, определяются их применением, как оператор V2, используемый для
93 Согласно А. Черчу, "класс есть нечто, имеющее или могущее иметь элементы"
(см.: ЧерчА. Введение в математическую логику. Т. I. M.: Изд-во иностр. лит., 1960.
С. 34). — Прим. ред.
94 Вместо z может быть использована любая другая буква.
Principia Mathematica I

ГЛАВА I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПОНЯТИЯХ
И ОБОЗНАЧЕНИЯХ 97
О— ft- —
дх2 ду2 dz2'
не имеет смысла отдельно от подходящей функции, зависящей от jc, у, г, на
которую он действует. Итог наших определений состоит в том, что способ
использования классов в общем соответствует их использованию в
мышлении и речи; какой бы ни была основная интерпретация одного, она будет
также и основной интерпретацией другого. Поэтому фактически
классификация типов в главе II в действительности выполняет единственную,
хотя и весьма существенную, службу, оправдывая нас в удерживании от
вступления в цепи рассуждений, ведущих к противоречивым заключениям.
Оправдание — то, что воспринимается как предложения, в
действительности лишено смысла.
Определения, встречающиеся в теории классов, посредством которых
понятие класса (по крайней мере при его использовании) сводится к
другим понятиям, принимаемым в качестве примитивных, невозможно понять
без более полного обсуждения, которое было проведено сейчас (ср. глава II
настоящего Введения, а также *20). Соответственно в этом
предварительном обзоре мы продолжим формулировку более важных простых
предложений, которые следуют из указанных определений, предоставляя
читателю проработку в его мышлении обычной, не подвергнутой анализу идеи
класса предметов. Практическое применение нашей символики согласуется
с обычным использованием этой идеи в языке. Следует заметить, что в
систематическом изложении нашего исследования классов и отношений не
требуется никаких новых примитивных понятий, а лишь два новых
примитивных предложения именно двух форм "аксиомы сводимости" (ср. с
материалом следующей главы) для одной и двух переменных соответственно.
Пропозициональная функция "jc есть элемент класса а" будет
выражаться, следуя Пеано, посредством обозначения
jcea.
Здесь € есть начало слова eoxi. "jcea" может быть прочитана как "jc есть
один из а". Поэтому "хе человеческая раса" будет означать "jc есть
человек" и т.д. Для удобства типографского набора мы положим
jc ~ € a. = . ~ (jc € a) Df,
x,yea. = .xea.yea Df.
Для "класса" мы будем писать "Cls"; поэтому "aeCls" означает "а есть
класс".
Мы имеем
1-:;с€|(фг). = .фх,
т.е. "1х есть элемент класса, определяемого 2(фг)' эквивалентно 'jc
удовлетворяет ф|', или сф;с истинно"'.
Класс полностью задан, если известны его элементы95, т.е. не может
быть два разных класса, имеющих один и тот же элементный состав.
Поэтому если фх и \\fx формально эквивалентные функции, то они
определяют один и тот же класс; при этом если jc —элемент класса, определяемого
95 В оригинале — its membership. — Прим. перев.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

98
ВВЕДЕНИЕ
4>Jc, и в силу этого удовлетворяющего фх, то х также удовлетворяет \j/jc,
и поэтому является элементом класса, определяемого \|Лх. Таким образом,
мы имеем
V :. 2(фг) = z(yz). = : фх. =х . ух.
Следующие важные предложения очевидны:
h :. а = 2(фг). = : хе а. =х . фх,
т.е. а тождественен классу, определяемому фг, тогда и только тогда, когда
"jc есть один из а" формально эквивалентно фх;
\-:.a = fi. = :xea.=x.xefi,
т.е. два класса аир тождественны тогда и только тогда, когда они имеют
один и тот же элементный состав;
h . Jc (jc € а) = а,
т.е. класс, чья определяющая функция есть "jc есть один из а", есть а,
другими словами, а есть класс объектов, которые являются элементами а;
Ь.г(фг)еСК
т.е. класс, определенный функцией ф£, есть класс.
Далее будет видно, что в соответствии со сказанным выше любая
функция одной переменной может быть замещена некоторой эквивалентной
функцией вида "jcea". Следовательно, любая экстенсиональная функция
от функций, аргументом которой является функция вида "zea", каким бы
ни было возможное значение а, будет также являться функцией с
аргументом, представляющим собой любую функцию ф2. Поэтому вариация
классов может заменять вариацию функций одной переменной во всех
предложениях того вида, с которым нам придется иметь дело.
В точности аналогично мы вводим дуальные или двухместные
отношения, т.е. отношения между двумя термами. Подобные отношения для
простоты будут называться просто "отношениями"; отношения между
более чем двумя термами будут для отличия называться многоместными
отношениями, или (когда количество термов специфицировано) тройными,
четверными, ... отношениями, или также трехместными,
четырехместными, ... отношениями. Такие отношения не будут нас интересовать, пока
мы не перейдем к геометрии. Сейчас мы будем касаться только дуальных
отношений.
Отношения, подобно классам, берутся экстенсионально, т.е. если R и
S — отношения, имеющие место между одними и теми же парами термов,
то R и S считаются тождественными. Мы можем рассматривать
отношение в смысле, требуемом для наших целей, как класс пар; т.е. пара (х,у)
есть пара класса пар, формирующих отношение R, если х находится в
отношении R с у96. Эта точка зрения на отношения как классы пар не
будет, однако, вводиться в наше символическое представление и упоминается
лишь для того, чтобы показать, как можно так понимать значение слова
отношение, чтобы отношение определялось посредством его объема.
96 Указанная пара имеет смысл, т.е. пара (х>у) отличается от пары (у,*), если только не
выполняется х = у. Мы будем называть ее "парой со смыслом", чтобы отличать ее от
класса, состоящего из х и у. Она может быть названа также упорядоченной парой.
Pfuncipia Mathematica I

ГЛАВА I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПОНЯТИЯХ
И ОБОЗНАЧЕНИЯХ 99
Любая функция ф(х,>>) определяет отношение R между х и у. Если
мы рассматриваем отношение как класс пар, то отношение, определяемое
q>(x,y), есть класс пар (jc,>>), для которых §(х,у) истинна. Отношение,
определяемое функцией ф(х,у), будет обозначаться посредством
хуф(х,у).
Мы будем использовать прописные буквы для обозначения отношений,
когда нет необходимости специфицировать определяющие их функции.
Таким образом, когда бы ни встретилась прописная буква, следует понимать,
что она обозначает отношение.
Пропозициональная функция "jc находится в отношении R к у" будет
выражаться обозначением
xRy.
Это обозначение придумано, чтобы оставаться как можно ближе к
обычно^ языку, который, когда необходимо выразить отношение, обычно
упоминает его между его термами, как, например, в "jc любит у", "jc равно у",
"jc больше, чем у" и т.д. Для "отношения" мы будем писать "Rel"; поэтому
"#eRel" означает "R есть отношение".
Благодаря экстенсиональной трактовке отношений, мы будем иметь
Ь :. хуф(х, у) = хуу(х,у). = : ф(х, у) . =^ . у(х,у),
т.е. две функции двух переменных определяют одно и то же отношение
тогда и только тогда, когда эти две функции формально эквивалентны.
Мы имеем
Ь . z {хуф(х, у)} w. = . ф(г, w),
т.е. "z находится к w в отношении, определяемом функцией ф(х,;у)"
эквивалентно ф(г,и>);
V :. R = хуф(х, у). = : xRy. =х,у . ф(х, у\
Ь :. R = S . = : xRy . =ХуУ . xSy,
V . xy(xRy) = Д,
\-.[ЯуЪ(х,у)]еШ.
Эти предложения аналогичны тем, что были ранее даны для классов.
Из них следует, что любая функция двух переменных формально
эквивалентна некоторой функции вида xRy] следовательно, в экстенсиональных
функциях двух переменных вариация отношений может замещать
вариацию функций двух переменных.
И классы, и отношения обладают свойствами, аналогичными
большинству тех предложений, которые вытекают из отрицания и логического
сложения. Логическое произведение двух классов аир есть их общая часть,
т.е. класс, элементы которого являются элементами обоих классов.
Логическое произведение представляется посредством а П р. Поэтому мы полагаем
anp = jc(jcea.*e|3) Df.
Это дает нам
b:jc€anp.==.jcea.jcep,
т.е. "jc есть элемент логического произведения а и р" эквивалентно
логическому произведению "jc есть элемент а" и "jc есть элемент Р".
А.Н.Уайтхед, Б.Рассел

100
ВВЕДЕНИЕ
Аналогично логическая сумма двух классов а и |3 есть класс, элементы
которого есть элементы хотя бы одного класса; мы обозначаем логическую
сумму через a Up. Соответствующее определение есть
aU)3 = Jc(jteaV.xeP) Df,
а связь с логической суммой предложений дается посредством
b:jceaup. = :jtea.v.jtep.
Отрицание класса а состоит из тех элементов х, для которых "jtea"
может быть осмысленно и достоверно опровергнуто. В дальнейшем мы
обнаружим, что найдутся термы иных типов, для которых "jtea" не
является ни истинным, ни ложным, а бессмысленным. Эти термы не являются
элементами отрицания а.
Таким образом, отрицание класса а есть класс термов подходящего
типа, которые не являются его элементами, т.е. класс Jc(x~ea). Мы будем
называть этот класс "-а" (читается "не-a"); поэтому соответствующее
определение есть
- а = х (х ~ € a) Df,
а связь с отрицанием предложений дается посредством
b:xe-a. = .jt~ea.
Вместо импликации мы имеем отношение включения. Говорят, что класс
а включается или содержится в классе р, если все элементы а есть также
элементы р, т.е. если х е a. z>x . х е р. Мы пишем "ас Р" для " а содержится
в Р". Поэтому мы полагаем
аср. = :хеа.э*.хеР Df.
Большинство формул, касающихся р . q, p Vq, ~р, рэ^, остаются
справедливыми, если мы подставим а П р, a U Р, - а, а с р. Вместо
эквивалентности мы подставляем тождество; "р = q" было определено как "pz>q.qz>р",
но "а с p. Pea" дает "jtea. =* . JceP", откуда a = p.
Ниже следуют предложения, касающиеся классов, которые аналогичны
предложениям, данным ранее для предложений:
Ь . а П р = - (- a U - Р),
т.е. общая часть а и р есть отрицание "не-a или не-Р";
|-ле(аи-а),
т.е. их есть элемент а или не-а";
h . х ~ € (а П - а),
т.е. "jc не есть элемент обоих классов а и не-а";
Ь . а = - (- а),
Ь:аср. = .-рс-а,
h:a = p.s.-a = -pf
h : a = а П а,
h:a = aUa.
Два последних предложения есть две формы закона тавтологии.
Закон поглощения имеет место в форме
h:acp. = .a = anp.
Поэтому, например, "все критяне — лжецы" эквивалентно "критяне
тождественны лгущим критянам".
Principia Mathematica I

ГЛАВА I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПОНЯТИЯХ
И ОБОЗНАЧЕНИЯХ 101
Поскольку мы имеем
\~:pz>q.qz>r.z>.pnr,
постольку мы имеем
Ь:аср.рсу-=>-асу.
Это выражает обычный силлогизм Barbara (с переставленными
посылками); "асР" означает то же самое, что и "все элементы а есть элементы
Р" так, что приведенное выше предложение утверждает: "Если все
элементы а есть элементы р и все элементы р есть элементы у, то все элементы а
есть элементы у". (Следует заметить, что в английском языке силлогизмы
традиционно выражаются с "therefore" так, как если бы они утверждали
и посылки, и заключение. Это, конечно же, просто недостаточно
организованный стиль речи, поскольку действительно утверждается только лишь
связь между посылками и заключением.)
Силлогизм Barbara, когда меньшая посылка есть индивид,
Ь: xefi.ficy.-э.хеу,
т.е. "если Сократ — человек и все люди смертны, то Сократ смертен". Это,
как было указано Пеано, не есть частный случай "Ь:аср.рсу-=>.асу",
так как "jceP" не есть частный случай "асР". Это положение является
важным, поскольку традиционная логика здесь ошибается. Природа и
масштаб этой ошибки станут яснее на более поздней стадии.
Для отношений мы имеем в точности аналогичные определения и
предложения. Мы полагаем
Rf\S = xy(xRy.xSy) Df,
что приводит к
\-:x(RC\S)y. = .xRy.xSy.
Аналогично
RUS = xy(xRy.V .xSy) Df,
-R = xy{~(xRy)} Df,
RgS . = : xRy. z>Xiy . xSy Df.
Вообще, когда нам требуется аналогичный, но отличающийся символ
для отношений и классов, мы будем выбирать для отношений символ,
полученный добавлением точки в некоторое удобное положение к
соответствующему символу для классов. (Точка не должна располагаться на линии,
так как это может вызвать недоразумение в силу того, что точки
используются в качестве скобок.) В каждом случае такие символы требуют и
получают специальные определения.
Говорят, что класс существует, когда он обладает хотя бы одним
элементом: "а существует" обозначается через "д ! а". Таким образом, мы
полагаем
g !a. = .(gjc).jcea Df.
Класс, который не имеет элементов, называется "нулевым классом"97 и
обозначается через "Л". Любая пропозициональная функция, которая
всегда ложна, определяет нулевой класс. Одна из таких функций уже нам
97 Или "пустым классом". — Прим. перев.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

102
ВВЕДЕНИЕ
известна, именно "х не тождественен jc", ее мы будем обозначать
посредством "хфх". Ясно, что мы можем использовать эту функцию для
определения Л и положить
А = х(хфх) Df.
Класс, определяемый всегда истинной функцией, называется
универсальным классом и представляется символом V; поэтому
V = x(x = x) Df.
Таким образом, Л есть отрицание V. Мы имеем
h.(jc).JC€V,
т.е. " 1х есть элемент V всегда истинно"; и
h . (jc) . х ~ € Л,
т.е. " 'jc есть элемент Л' всегда ложно". Также
Ь:а = Л. = .~д!а,
т.е. "а есть нулевой класс" эквивалентно "а не существует".
Для отношений мы используем похожие обозначения. Мы полагаем
£lR. = .(&x,y).xRy Df,
т.е. "а ! Я" означает, что найдется, по крайней мере, одна пара jc, у, между
которыми имеет место отношение R. Л будет отношением, которое никогда
не имеет места, а V — отношение, которое имеет место всегда. V
практически никогда не требуется; Л будет отношением ху(хфх.уфу). Мы имеем
\-.(х,у).~(хАу),
и
Ь:Я = Л. = .~а IR.
Нет классов, которые содержали бы объекты более чем одного типа.
Соответственно, имеется один универсальный и один нулевой класс,
подходящие к каждому типу объекта. Нет необходимости различать символы
универсального и нулевого классов в зависимости от типа, так как будет
обнаружено, что не существует возможности путаницы. Такие же
замечания могут быть сделаны относительно отношений.
Описания. Под "описанием" мы понимаем оборот речи вида
"единственный такой-то"98 или некоторого эквивалентного вида". Сейчас мы
сосредоточим наше внимание на речевом детерминативе единственного
числа100. Мы будем использовать его строго, чтобы обеспечить
единственность; т.е. нам не следует говорить "А есть единственный сын Б", если
у В имеются другие сыновья помимо А. Таким образом, описание вида
98 В оригинале — the so-and-so. — Прим. перев.
99 Логическая операция, если так можно трактовать описание, о которой идет речь,
весьма часто используется как в мыслительном процессе, так и в математических
доказательствах. В обычном языке эта операция выражается некоторым детерминативом
единственного числа. Так, в английском языке таким детерминативом служит определенный
артикль the. Описание характеризует объект тем, что для него и только для него
выполняется некоторый вполне определенный предикат. Теория описаний, основанная на
понятии ь-символа, излолсена в главе VIII монографии: Гильберт Д., БернайсП.
Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики. М.: Наука, 1979.
С. 467-550. Там же доказана устранимость ь-символа. — Прим. ред.
100 В английском языке это — определенный артикль the. В дальнейшем мы будем
использовать the в качестве речевой единицы, указывающей на единственное
число. — Прим. перев.
Principia Mathematica I

ГЛАВА I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПОНЯТИЯХ
И ОБОЗНАЧЕНИЯХ 103
"единственный такой-то" приложимо, когда имеет бытие один такой-то и
не больше. Следовательно, описание требует некоторую
пропозициональную функцию фх, которая удовлетворяется единственным значением х и
никаким другим значением; тогда "единственное jc, удовлетворяющее фх"
есть описание, которое определенно описывает один вполне определенный
объект, хотя мы можем и не знать, какой именно объект описывается.
Например, если у есть человек, то "jc есть отец у" должно быть истинно для
одного и только одного значения х. Следовательно, " единственный отец уп
есть описание вполне определенного человека, хотя мы можем и не знать,
о каком именно человеке идет речь. Оборот речи, содержащий
детерминатив единственного числа "the", всегда предполагает некоторую
первоначальную пропозициональную функцию, не содержащую "the"; поэтому
вместо " х есть отец у" нам следует взять в качестве начальной функции " х
порождает у"; тогда "единственный отец уп дает единственное значение jc,
которое удовлетворяет данной пропозициональной функции.
Если фх есть пропозициональная функция, то символ "(ис)(флг)"
используется в нашей символической системе так, что он всегда может быть
прочитан как "единственный jc, который удовлетворяет фх". Мы, однако, не
определяем "(г*)(Ф*)" как замещение "единственный jc, который
удовлетворяет ф*", трактуя последний оборот как заключающий примитивное
понятие. Каждое использование символа "(ис)(фх)" там, где он встречается
как конституента предложения на месте объекта, определяется в терминах
уже известных примитивных понятий. Пример такого определения при
использовании символа "(ис)(флг)" дается предложением "Е ! (ис)(ф^)", которое
вскоре будет рассмотрено. Более полно этот предмет в целом исследуется
в главе III.
Упомянутый символ должен быть сравнен и контрастировал с
символом "Дфх)", который при использовании может быть всегда прочитан как
"jc-ы, которые удовлетворяют фх". Оба символа представляют собой
неполные символы, определенные только при их использовании, как это
обсуждается в главе III. Символ " Зс(фдг)" всегда имеет одно применение именно
к классу, определяемому фд:; однако "(ис)(ф;с)" только тогда имеет
применение, когда фх удовлетворяется только одним значением jc, ни больше, ни
меньше. Следует заметить, что смысл, данный символу " (ис)(фдг)"
определением Е! (ис)(ф;с), приводимым сразу же ниже, не предполагает, что мы
знаем смысл "одного". Это также характеризует определение любого
другого применения (ис)(флг).
Определим символ "Е! (ис)(фдг)" так, чтобы его можно было прочитать
"существует единственное jc, удовлетворяющее флг". (Ниже будет отмечено,
что это значение существования отличается от того, которое мы выражаем
посредством д.) Его определение есть
Е ! (ис)(флг). = : (дс): фх. =х . х = с Df,
т.е. "существует единственное jc, удовлетворяющее фх" имеет смысл
"существует объект с такой, что фд: истинна, когда jc есть с, и ни в каком
другом случае".
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

104
ВВЕДЕНИЕ
Ниже следуют эквивалентные формы:
Ь :. Е ! (1х)(фх) . = : (ас) : фс : фх. z>x . х = с,
Ь :. Е ! (1*)(фх) • = : (3е): Фс : Ф* • Фз7 • ^х,у >х = у,
Ь :. Е ! (ис)(ф*). = : (gc) : фс: х Ф с. э* . ~ фх.
Последняя из них утверждает, что "существует единственное jc,
удовлетворяющее фх" эквивалентно "существует объект с, удовлетворяющий фх,
а любой другой объект, отличный от с, не удовлетворяет фх".
Тот тип существования, который был только что определен, охватывает
очень много случаев. Так, например, "существует наиболее совершенное
Существо" будет иметь смысл:
(3 с): х есть наиболее совершенный. =х . х = с,
что, учитывая последнюю из приведенных выше эквивалентностей,
эквивалентно
(дс):х есть наиболее совершенный:
х Ф с э* . х не есть наиболее совершенный.
Предложение, подобное "Аполлон существует", в действительности
имеет ту же самую логическую форму, хотя оно явно не содержит
детерминатив единственного числа. "Аполлон" в действительности
означает "уникальный объект, обладающий такими-то свойствами", скажем,
"уникальный объект, обладающий свойствами, приведенными в Classical
Dictionary"101. Если эти свойства составляют пропозициональную
функцию флс, то "Аполлон" означает "(ис)(фд:)", а "Аполлон существует" —
"Е ! (ис)(фд:)". Возьмем другой пример: "автор Вейверли" означает "человек
(объект), который написал Вейверли". Поэтому "Скотт есть автор
Вейверли" есть
Скотт = (ijc) (jc написал Вейверли).
Здесь (как было уже отмечено) явно проявляется важность тождества
в связи с описаниями.
Обозначение "(гхХфх)", которое длинно и неудобно, встречается редко
и в основном требуется, чтобы привести к другому обозначению
именно "Rcyn, которое имеет смысл "единственный объект, находящийся в
отношении R к у". Другими словами, мы полагаем
Riy = (ix)(xRy) Df.
Перевернутая запятая может читаться как "от"102. Поэтому если R есть
отношение отца к сыну, то "/?'>>" значит "отец у-а"; если R есть отношение
сына к отцу, то "R'y" значит "сын у-а", а у будет "существовать" только,
если у имеет одного сына и не более того. R'y есть функция от у, но не
пропозициональная функция; мы будем называть ее дескриптивной функцией.
Все обычные функции математики имеют этот тип (это проявится более
полно в последующем изложении). Поэтому в наших обозначениях "sinу"
должно записываться "sinУ, a "sin" должно представлять отношение,
которое sin'у имеет к у. Вместо переменной дескриптивной функции ufyn
101 Тот же самый принцип приложим к применению имен собственных существующих
объектов, например, ко всему спектру использования имен собственных для объектов,
о которых говорящему известно из сообщения, а не благодаря персональному знакомству.
102 С позиций русского языка перевернутая запятая выступает как детерминатив
родительного падежа. — Прим. ред.
Principia Mathematica I

ГЛАВА I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПОНЯТИЯХ
И ОБОЗНАЧЕНИЯХ 105
мы полагаем R'y, где переменное отношение R занимает место переменной
функции /. Дескриптивная функция будет в общем существовать, когда у
принадлежит некоторой области, а не выходит за ее пределы; поэтому если
мы имеем дело с положительными рациональными числами, то л^у будет
иметь значение, если у есть квадрат некоторого числа и ни в каком другом
случае; если мы имеем дело с действительными числами и согласны с тем,
что yjy означает положительный квадратный корень (либо отрицательный
квадратный корень), то л$ будет иметь значение при условии, что у
положительно, и ни в каком другом случае; и т.д. Таким образом, каждая
дескриптивная функция имеет то, что мы можем назвать "областью
определения" или "областью существования", которая может быть определена
так: если функция есть R'y, то ее область определения или существования
будет классом тех значений аргумента у, для которых мы имеем Е! R'y,
т.е. для которых Е! (ix)(xRy), т.е. найдется единственное х (и не больше),
имеющее отношение R к у.
Если R есть произвольное отношение, то мы будем говорить о R'y как
об "ассоциированной дескриптивной функции". Большое количество
постоянных отношений, которые мы будем вводить, важны только (или в
основном) из-за их ассоциированных дескриптивных функций. В таких случаях
легче (хотя и менее корректно) начать с приписывания смысла
дескриптивным функциям и выводить смысл отношения из такового для
дескриптивной функции. Это будет проделано в последующих разъяснениях
обозначений.
Различные дескриптивные функции отношений. Если R есть
произвольное отношение, то обращение отношения R есть отношение, которое имеет
место между у и х, как только R имеет место между х и у. Поэтому
отношение больше чем есть обратное к меньше чем, перед—к после, причина—
к следствию, муж —к жене и т.д. Обращение отношения R
записывается Cnv'R или R103. Соответствующие определения есть
R = xy(yRx) Df,
Cnv'tf = R Df.
Второе из них не является формально корректным определением,
поскольку нам следует определить " Cnv" и затем вывести значение Cnv'/?. Однако
этого не стоит делать, если принять такой план нашего вводного курса,
который был бы направлен на простоту, а не на формальную корректность.
Отношение называется симметричным, если R = R, т.е. если оно
имеет место между у и х, как только оно имеет место между х и у (и
поэтому наоборот). Тождество, различие, согласие или несогласие во всех
аспектах есть симметричные отношения. Отношение называется
асимметричным, когда оно несовместно с его обращением, т.е. когда RC\R = А или,
что эквивалентно
xRy. z>Xiy . ~ (yRx).
Перед и после, больше и меньше, предок и потомок есть асимметричные
отношения, как и все остальные отношения такого же типа, приводящие к
ЮЗ Второе из этих обозначений заимствовано из Algebra und Logik der Relative Шредера.
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

106
ВВЕДЕНИЕ
сериям. Однако имеется много асимметричных отношений, не приводящих
к сериям, например такие, как брат жены 104. Отношение может быть ни
симметричным, ни асимметричным; например, это имеет место для
отношения включения классов: а с |3 и р э а будут оба истинны, если а = Р, но
в любом другом случае самое большее только одно из них будет истинно.
Отношение брат — ни симметрично, ни асимметрично; если х есть брат у,
то у может быть либо братом, либо сестрой х.
В пропозициональной функции xRy мы называем х референтом, а у —
релятивом. Класс x(xRy), состоящий из всех jc-ob, находящихся в
отношении R к у» называется классом референтов у по отношению к Я;
класс y(xRy), состоящий из всех у-ов, к которым х находится в
отношении R, называется классом релятивов х по отношению к R. Эти два класса
обозначаются соответственно через к'у и R'x. Таким образом,
~H'y = x(xRy) Df,
<Rix = y(xRy) Df.
Стрелка направлена в сторону у в первом случае, чтобы показать, что
нас интересуют объекты, находящиеся в отношении R к у; она направлена
от х во втором случае, чтобы показать, что отношение R идет от х к
элементам Фактически она идет от референта к релятиву.
Обозначения R'y, я х чрезвычайно важны и постоянно
применяются. Если R есть отношение родителя к ребенку, то 7с';у=родители у^
К'х=детм х. Мы имеем
\-:ye^x. = .xRy.
Эти эквивалентности часто присутствуют в обычном языке. Например,
мы говорим, не отличая "jc есть житель Лондона" от "jc населяет
Лондон". Если мы полагаем R для "населяет", то "jc населяет Лондон" есть
"xRЛондон", в то время как "х есть житель Лондона" есть "хе R'Лондон".
Вместо Те и к мы иногда используем sg'R и gs'tf, где "sg"
—сокращенное "sagitta" 105, a "gs" есть обратная запись "sg". Поэтому мы полагаем
sg'R=ll Df,
gs'R=1? Df.
Эти обозначения иногда более удобны, чем стрелка, особенно когда
отношение представляется комбинацией букв, а не одной буквой, как R.
Поэтому, например, мы должны писать sg'iRHS), а не ставить стрелку над
всем (RHS).
Класс всех термов, которые находятся в отношении R к тому или иному
терму, называется областью R. Поэтому если R есть отношение родителя
104 это отношение не является строго асимметричным, но будет таковым за
исключением, когда единственный брат жены будет единственным мужем сестры. В греческой
православной церкви это отношение строго асимметрично.
105 sagitta (лат.) — стрела. — Прим. перев.
Principia Mathematica I

ГЛАВА I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПОНЯТИЯХ
И ОБОЗНАЧЕНИЯХ 107
к ребенку, то областью R будет класс родителей. Мы обозначаем область R
посредством "D7?". Таким образом, мы полагаем
DiR = x{(%y).xRy} Df.
Аналогично класс всех термов, к которым тот или иной терм находится
в отношении R, называется конверс-областъю106 R; это то лее самое, что и
область обращения отношения R. Конверс-область R представляется "G7?";
поэтому
сгл = ?{(а*)-*ку} Df-
Сумма области и обращенной области называется полем и
представляется CR:
С'Д = В'Ди(ГЯ Df.
Поле в основном важно в связи с сериями. Если R — упорядочивающее
отношение серии, то CR будет классом термов серии, D'tf будет
включать все термы, исключая последний (если таковой существует), G'/? будет
включать все термы, исключая первый (если таковой существует). Первый
терм, если он существует, есть единственный элемент G7?n-D'/?.
Условием того, что серия не должна иметь конец, является G'tfcD'tf, т.е.
"каждый последователь есть предшественник"; условие отсутствия
начала есть D'tfcG'tf. Эти условия эквивалентны соответственно D7? = C7£ и
<I'R = C'R.
Относительное произведение двух отношений R и S есть отношение,
которое имеет место между х и г, когда найдется промежуточный терм у
такой, что х находится в отношении R к у, а у находится в отношении S
к z. Относительное произведение R и S представляется посредством R\S;
таким образом, мы полагаем
R\S=xz{(^y).xRy.ySz} Df,
откуда
\-:x(R\S)z. = .(&y)-xRy.ySz.
Поэтому "тетка по отцовской линии" есть относительное произведение
сестра и отец; "бабушка по отцовской линии" есть относительное
произведение мать и отец; "дед по материнской линии" есть относительное
произведение отец и мать. Относительное произведение не
коммутативно, но оно подчиняется закону ассоциативности, т.е.
h.(P\Q)\R = P\(Q\R).
Оно также подчиняется закону дистрибутивности по отношению к
логическому сложению отношений, т.е. мы имеем
\-.P\(Q0R) = (P\Q)0(P\R),
h.(QOR)\P = (Q\P)0(R\P).
Однако по отношению к логическому произведению мы имеем лишь
\-.P\(QnR)G(P\Q)r\(P\R),
h.(Qr\R)\P<L(Q\P)r\(Q\R).
106 Или обратной областью. В литературе встречается также такой перевод как проти-
вообласть. — Прим. ред.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

108
ВВЕДЕНИЕ
Относительное произведение не подчиняется закону тавтологии, т.е.,
вообще говоря, мы не имеем R \ R = R. Мы полагаем
R2=R\R Df.
Поэтому дед по отцовской линии = (отец)2, бабушка по материнской
линии = (мать)2.
Отношение называется транзитивным, когда R2 GR, т.е. если xRy и yRz,
то мы всегда имеем xRz, т.е. когда
xRy. yRz. ^Хул • xRz.
Отношения, которые генерируют серии, всегда транзитивны; поэтому,
например,
x>y.y>z.=>x,y,z.x>z.
Если Р есть отношение, генерирующее серию, то Р удобно читать как
"предшествует"; поэтому "хРу.yPz - =>^tZ. jtPz" становится "если х
предшествует у, а у предшествует г, то х предшествует г". Класс отношений,
которые генерируют серии, частично характеризуется тем, что отношения
транзитивны и асимметричны и никогда не соотносят терма с ним самим.
Если Р есть отношение, генерирующее серию, и если мы имеем не
просто Р2аР, а Р2 - Р, то тогда Р генерирует серию, которая компактна
(uberall dicht), т.е. такую серию, когда между любыми двумя термами
имеются термы. В этом случае мы имеем
xPz.=>>(Ry)'xPy.yPz,
т.е., если х предшествует г, то найдется терм у такой, что х
предшествует у, а у предшествует z, т.е. найдется терм между х и z- Поэтому
среди отношений, которые генерируют серии, те из них, которые генерируют
компактные серии, характеризуются Р2 = Р.
Много отношений, которые не генерируют серий, не транзитивны,
например, тождество или отношение включения между классами. Подобные
случаи возникают, когда отношения не асимметричны. Отношения,
которые транзитивны и симметричны, представляют собой чрезвычайно
важный класс: их молено рассматривать как состоящие в обладании некоторого
общего свойства.
Множественные дескриптивные функции. Класс термов х, которые
находятся в отношении R к некоторому элементу класса а, обозначается
через Р"а или Р€'а. Соответствующее определение есть
Я"а = *{(ду) -yea.xRy] Df.
Поэтому, например, пусть R будет отношением населения, а а —класс
городов; в таком случае Р"а=жители городов. Пусть R будет отношением
"меньше, чем" между рациональными числами, а а —класс тех
рациональных чисел, которые имеют вид 1-2~", где л —целые; в таком случае Р"а
есть все рациональные числа, меньшие, чем некоторый элемент а, т.е. все
рациональные числа, меньшие 1. Если Р есть генерирующее отношение
серии и а —любой класс элементов серии, то Р"а будут
предшественниками альф, т.е. сегментом, определенным а. Если Р есть отношение такое,
что Р'у всегда существует, когда yea, то Р"а будет классом всех термов
вида Р'у для значений у, являющихся элементами а; т.е.
Р"а = х{(яу).уеа.х=Р'у].
Principia Mathematica I

ГЛАВА I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПОНЯТИЯХ
И ОБОЗНАЧЕНИЯХ 109
Таким образом, элемент класса "отцы великих людей" будет отцом у,
где у~ некоторый великий человек. В других случаях это не будет иметь
место; например, пусть Р будет отношением числа к любому числу,
делителем которого оно является; тогда Р"(ч^тные числа)=делители четных
чисел, но этот класс не будет составлен из термов вида " единственный
делитель jc", где х — четное число, так как числа не имеют лишь по одному
делителю на каждого.
Единичные классы. Класс, чей единственный элемент есть х, мог бы
мыслиться тождественным jc, однако Пеано и Фреге показали, что это не
так. (Причины этого будут объяснены предварительным образом в главе II
Введения.) Мы обозначаем через "i'jc" класс, единственный элемент
которого есть jc: таким образом,
l*jc = у(у=х) Df,
т.е. "i'jc" означает "класс объектов, которые тождественны jc".
Класс, состоящий из jc и у, будет i'jc U i'y; класс, полученный
добавлением х к классу а будет а U i'jc; класс, полученный отбрасыванием х от
класса а будет а - i'jc. (Мы пишем а - р как сокращение для а П - р.)
Как будет отмечено, единичные классы определяются без всяких
ссылок на число 1; фактически мы используем единичные классы, чтобы
определить число 1. Это число определяется как класс единичных классов, т.е.
1 = a {(gjt). а = i'jc} Df.
Это приводит к
h :. а е 1 . = : fax) iyea.=y.y = x.
Отсюда появляется далее
Ь : а е 1. =х . g ! Ьх)(хеа),
откуда
Ь:г(фг)б1. = .а!(ис)(фх),
т.е. "г(фг) есть единичный класс" эквивалентно "единственный jc,
удовлетворяющий фх, существует".
Если a€l, то Га есть единственный элемент класса а; единственный
элемент класса а есть единственный терм, к которому а находится в
отношении I. Поэтому "Га" занимает место "(ис)(ф.х)", если а обозначает 2(фг).
На практике Га является более удобным обозначением, чем "(ис)(ф*)", и
обычно используется вместо "(ис)(ф;с)".
Данное выше объясняет большинство из логических обозначений,
применяемых в данной книге. В приложениях к различным разделам
математики вводятся другие определения; однако объекты, определяемые этими
дальнейшими определениями, принадлежат большей частью скорее
математике, чем логике. Читатель, овладевший изложенной выше символикой,
обнаружит, что все дальнейшие формулы могут быть расшифрованы с
помощью сравнительно небольшого количества дополнительных определений.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

110
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА II
ТЕОРИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ТИПОВ
Теория логических типов, которая будет изложена в данной главе107,
зарекомендовала себя прежде всего своей способностью разрешить
некоторые противоречия, из которых наиболее известное математикам
принадлежит Бурали-Форти и касается наибольшего ординала. Однако эта
теория целиком независима от указанной косвенной рекомендации: она
также созвучна здравому смыслу, что делает ее достоверной по своему
существу. В дальнейшем мы сначала будем развивать эту теорию на
своей собственной основе, а затем применим ее для разрешения упомянутых
противоречий108.
I. Принцип порочного круга
Анализ парадоксов, которых необходимо избежать, показывает, что они
все проистекают из порочного круга некоторого вида109. Порочные круги
возникают при предположении, что некоторое собрание объектов может
содержать элементы, которые могут быть определены лишь посредством
этого собрания как единой совокупности. Поэтому, например, собрание
предложений^ как предполагается, содержит предложение, утверждающее, что
"все предложения либо истинны, либо ложны". Могло показаться, что
подобное утверждение не могло быть легитимным, если все предложения не
относились бы к некоторому уже определенному собранию предложений,
что невозможно, если создаются новые предложения о всех
предложениях. Мы вынуждены поэтому сказать, что предложения о всех
предложениях лишены смысла. Вообще, любое данное множество объектов, подобное
указанным, если мы предполагаем его всеобъемлющим110, будет содержать
элементы, которые предполагают эту всеобъемлемость, но тогда такое
множество не будет всеобъемлющим. Оборотом речи, что множество "не
всеобъемлюще", мы выражаем прежде всего ту мысль, что нет значимого
утверждения, которое можно было бы сформулировать о "всех его
элементах". Предложения, как показывает данная выше иллюстрация, должны
составлять множество, не имеющее всеобъемлемость. То же самое
справедливо, как мы вскоре увидим, и для пропозициональных функций, даже
когда они ограничиваются только такими, которые имеют существенным
аргументом один данный объект а. В подобных случаях необходимо разбить
107 Критический анализ теории типов А. Уайтхеда и Б. Рассела дан в приложении к
книге, см.: Гильберт Д., АккерманВ. Основы теоретической логики. М.: Изд-во иностр. лит.,
1947. С. 207-232. - Прим. ред.
108 Уже к 1937 г. Д. Гильберт и В. Аккерман, по-видимому, имели достаточно
оснований, чтобы в предисловии ко второму изданию "Основ теоретической логики"
утверждать, что подавляющее большинство исследователей отказалось от теории типов
А. Уайтхеда и Б.Рассела (см.: Гильберт Д., АккерманВ. Основы теоретической логики.
М.: Изд-во иностр. лит., 1947. С. 15). — Прим. ред.
109 См. заключительный раздел данной главы. Ср. также с Н. Poincare, "Les mathemati-
ques et la logique", Revue de Metaphysique et de Morale, Mai 1906, p. 307.
110 В оригинале — have a total. — Прим. перев.
Principia Mathematica I

ГЛАВА II. ТЕОРИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ТИПОВ
111
наше множество на более мелкие множества, каждое из которых способно
быть всеобъемлющим. Это как раз то, на что направлена теория типов.
Принцип, который позволяет нам избежать нелегитимных
всеобъемлющих сущностей, может быть сформулирован как: "Что бы ни вовлекало
все от данного собрания, не должно быть одним из этого собрания"; либо
обратно: "Если при условии, что некоторое собрание всеобъемлюще, оно
имело бы элементы, могущие быть определяемыми лишь в терминах этой
всеобъемлемости, то упомянутое собрание не всеобъемлюще". Мы будем
называть этот принцип "принципом порочного круга", так как он позволит
нам избежать порочных кругов, вовлеченных в допущение о не легитимных
всеобъемлющих сущностях. Те аргументы, которые противоречат
принципу порочного круга, будут называться "заблуждениями порочного круга".
Такие аргументы при определенных обстоятельствах могут приводить к
противоречиям, но, как это часто бывает, заключения из них в
действительности истинны, хотя и аргументы ошибочны. Возьмем, например,
закон исключенного среднего в форме "все предложения либо истинны, либо
ложны". Если на основании этого закона мы выступаем за такое
рассуждение, что, "поскольку закон исключенного среднего является
предложением, следовательно, закон исключенного среднего либо истинен, либо
ложен", то мы впадаем в заблуждение порочного круга. "Все предложения"
должны быть некоторым способом ограничены, прежде чем они станут
легитимной всеобъемлющей сущностью111, а любое ограничение, которое
делает ее легитимной, должно делать любое утверждение о
всеобъемлемости выпадающим за пределы указанной всеобъемлющей сущности.
Воображаемый скептик, утверждающий, что он знает, что ничего не знает, и
опровергаемый вопросом, знает ли он, что он знает, что ничего не знает,
высказал ерунду и был софистично опровергнут аргументом, вовлекающим
заблуждение порочного круга. Для того чтобы это утверждение скептика
приобрело значение, необходимо наложить некоторое ограничение на то, о
чем, как он утверждает, его знания отсутствуют, так как то, о чем
возможно отсутствие знания, формирует нелегитимную всеобъемлющую
сущность. Однако как только подходящее ограничение было наложено им на
указанное собрание предложений, о которых, как он утверждает, его
знания отсутствуют, предложение, что у него нет знания о каждом элементе
этого собрания, не должно само быть одним из них. Следовательно,
любой заслуживающий внимания скептицизм закрыт для приведенной выше
формы опровержения.
Парадоксы символической логики касаются объектов различных видов:
предложения, классы, кардинальные и ординальные числа и т.д. Все эти
виды объектов, как мы покажем, представляют не легитимные
всеобъемлющие сущности, а поэтому способны приводить к заблуждениям
порочного круга. Посредством теории (разъясняемой в главе III), которая сводит
утверждения, касающиеся классов и отношений, к таковым, касающимся
111 Оригинальный термин "totality" здесь переведен как "всеобъемлющая сущность".
В дальнейшем в целях компактности изложения мы часто будем использовать
транслитерацию "тотальность". — Прим. перев.
А.Н.Уайтхед, Б.Рассел

112
ВВЕДЕНИЕ
пропозициональных функций, парадоксы сводятся к таковым,
касающимся предложений и пропозициональных функций. Парадоксы, касающиеся
предложений, лишь косвенно релевантны для математики, а парадоксы,
более близко касающиеся математики, все связаны с пропозициональными
функциями. Поэтому мы сразу же перейдем к рассмотрению
пропозициональных функций.
II. Природа пропозициональных функций
Посредством пропозициональных функций мы придаем смысл такому
нечто, содержащему переменную х и выражающему предложение, как
только переменной х присваивается некоторое значение. Т.е. она
отличается от предложения единственно тем, что она неопределенна: она содержит
переменную, которой не приписаны значения. Это согласуется с
обычными математическими функциями в плане наличия переменной величины;
отличие состоит в том, что значениями функции являются предложения.
Поэтому, например, "jc есть человек" или "sinjc = 1" будут
пропозициональными функциями. Мы обнаружим, что с самого начала можно впасть в
заблуждение порочного круга, допуская в качестве возможных аргументов
пропозициональной функции термы, предполагающие эту функцию. Эта
форма заблуждения чрезвычайно поучительна и избежание ее приводит,
как мы увидим, к иерарахии типов.
Вопрос, относящийся к природе функции112, никоим образом не
является простым. Может показаться, что существенной характеристикой
функции является неопределенность. Возьмем, например, закон тождества
в форме "А есть Л", в которой он обычно выражается. Ясно, что
психологически мы здесь имеем единичное суждение. Но что мы должны сказать
об объекте этого суждения? Мы не судим о том, что Сократ есть Сократ,
ни о том, что Платон есть Платон, ни о чем ином, что было бы
определенным суждением, представляющим частный случай закона тождества.
Но каждое из этих суждений находится, в известном смысле, в пределах
нашего суждения. В действительности мы судим о непреде ленном случае
пропозициональной функции "А есть А". Мы, по-видимому, имеем только
одну мысль, не имеющую определенного объекта, но обладающую в
качестве своего объекта неопределенными значениями функции "А есть А". Это
как раз тот тип неопределенности, который образует существо функции.
Когда мы говорим о "фх", где х не специфицировано, мы подразумеваем
одно значение функции, но неопределенное. Мы можем выразить это как
то, что "фх" неопределенно обозначает фа, фЬ, фс и т.д., где фа, фЬ, фс и
т.д. — различные значения "ф;с".
Когда мы говорим, что "флс" неопределенно обозначает фа, фЬ, фс и
т.д., то мы подразумеваем, что "флс" означает один из объектов фа, ф&, фс
112 Когда в последующем изложении употребляется слово "функция", то всегда
понимается "пропозициональная функция". Другие функции не будут предметом рассмотрений
в данной главе.
Principia Mathematica I

ГЛАВА И. ТЕОРИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ТИПОВ
113
и т.д. не в смысле не определенный, а в смысле не заданный.
Следовательно, "фх" лишь тогда имеет правильно определенное значение (правильно
определенное настолько, чтобы, по существу, "фУ оставалась
неопределенной), когда объекты фа, фЬ, фс и т.д. правильно определены. Т.е.
функция не является правильно определенной, если только все ее значения уже
правильно не определены. Из этого следует, что нет функций, имеющих
среди своих значений такое, что предполагает саму функцию; если это не
так, то мы не могли бы рассматривать объекты, неопределенно
обозначаемые этой функцией, как определенные до тех пор, пока сама функция не
была бы определена; обратно, как мы только что видели, функция не
может быть определенной до тех пор, пока ее значения неопределенны. Это
частный случай принципа порочного круга, но, возможно, наиболее
фундаментальный. Функция есть то, что неопределенно обозначает некоторое
нечто от некоторой всеобщности именно ее значений; следовательно, эта
всеобщность не может содержать никаких элементов, которые вовлекают
эту функцию, поскольку, если это так, то указанная всеобщность
содержала бы элементы, вовлекающие саму всеобщность, что, согласно принципу
порочного круга, всеобщность делать не может.
В дальнейшем будет видно, что согласно вышеприведенному, значения
функции предполагаются этой функцией, а не наоборот. Это достаточно
очевидно в каждом частном случае, когда значение функции не
предполагает эту функцию. Поэтому, например, предложение " Сократ — человек"
может быть полностью понято без рассмотрения его в качестве значения
функции "х — человек". Наоборот справедливо, что функция может быть
понята без обязательного понимания ее значений множественно и
индивидуально. Если бы это было не так, то нельзя было бы осмыслить ни
одной функции вообще, поскольку число значений (истинных или ложных)
функции необходимо бесконечно и обязательно найдутся аргументы,
которые нам незнакомы. То, что действительно необходимо, так это всеобъ-
емлемость ее значений, данная интенсионально так, чтобы относительно
любого выбранного объекта, по крайней мере, теоретически определялось,
есть ли этот объект значение функции или нет, а не всеобъемлемость ее
значений, данная индивидуально и экстенсионально.
На практике необходимо отличать саму функцию от
неопределенного значения этой функции. Мы можем рассматривать саму функцию как
нечто, что неопределенно обозначает, в то время как неопределенное
значение функции есть то, что неопределенно обозначено. Если неопределенное
значение записано как "фх", то мы будем записывать саму функцию как
"ф*". (Любая другая буква может использоваться вместо х.) Таким
образом, мы должны сказать, что "фх есть предложение", но "ф* есть
пропозициональная функция". Когда мы говорим "фх есть предложение", то мы
подразумеваем высказать нечто, что истинно для каждого возможного
значения jc, хотя мы и не решаем, какое значение должна иметь х. Мы делаем
неопределенное утверждение о любом значении функции. Но когда мы
говорим "ф* есть функция", то мы не делаем неопределенного утверждения.
Было бы более корректно сказать, что мы делаем утверждение о неопре-
А.Н. Уайтхед, Б.Рассел

114
ВВЕДЕНИЕ
деленности, принимая точку зрения, что функция есть неопределенность.
Сама функция фх есть неделимое нечто, которое неопределенно
обозначает множество ее значений; в то же время флс, где х не специфицировано,
есть один из обозначаемых объектов с неопределенностью, присущей схеме
обозначений.
Мы уже видели, что в соответствии с принципом порочного круга
значения функции не могут содержать термов, определимых только в
терминах этой функции. Для данной функции фх значениями для функции пз
будут все предложения вида фх. Следовательно, не должно быть
предложений вида фх, в которых х имеет значение, которое вовлекает фх. (Если
бы это было бы так, то значения функции не были бы все
определенными до тех пор, пока сама функция не была бы определена, а мы нашли,
что функция неопределенна, если ее значения не были ранее определены.)
Следовательно, не должно быть такого положения, как значения для фх
с аргументом фх либо с любым аргументом, вовлекающим фх. Т.е. символ
"ф(фх)" не должен выражать предложение такое, как "фа", даже если фа
есть значение для фх. В действительности " ф (фх)" должен быть символом,
который ничего не выражает: поэтому мы можем сказать, что он не
имеет значения. Поэтому для любой данной функции фх имеются аргументы,
с которыми она не имеет значения, а также аргументы, с которыми она
имеет значение. Мы будем называть аргументы, с которыми фх имеет
значение, "допустимыми значениями х". Мы будем говорить, что фх "значима
с аргументом jc", когда фх имеет значение с этим аргументом х.
Когда говорится, что, например, "ф(фг)" не имеет смысла и поэтому ни
истинно, ни ложно, то необходимо избежать недопонимания. Если "ф (фг)"
было бы проинтерпретировано как имеющее смысл "значение для ф% с
аргументом ф% истинно", то оно не было бы бессмысленным, а было бы
ложным. Ложным —по той же причине, по которой предложение "король
Франции лысый" ложно, именно потому, что не существует такого
предложения как "значение для ф% с аргументом фг". Однако когда мы
утверждаем фа с некоторым аргументом а, то мы не имеем в виду утверждать
предложение "значение для фх с аргументом а истинно"; мы
подразумеваем утверждение действительного предложения, которое есть значение для
фх с аргументом а. Поэтому, например, если фх есть "Jc есть человек", то
ф(Сократ) будет "Сократ есть человек", а не "значение для функции 'Jc
есть человек' с аргументом Сократ истинно". Таким образом, в
соответствии с нашим принципом, что "ф(ф£)" не имеет смысла, мы не можем
легитимно отрицать "функция 1х есть человек' есть человек", так как это
чепуха, но мы можем легитимно отрицать "значение для функции 1х есть
человек' есть человек с аргументом 1х есть человек' истинно" не на том
основании, что рассматриваемое значение ложно, а на том, что не
существует такого значения для функции.
113 В этой главе мы будем вести речь о "значениях для ф*" и "значениях ф*",
подразумевая в каждом случае одно и то же, именно фа, фб, фс и т.д. Различие в фразеологии
служит для того, чтобы избежать неопределенность там, где задействовано несколько
переменных, особенно когда одна из них представляет собой функцию.
Principia Mathematica I

ГЛАВА И. ТЕОРИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ТИПОВ
115
Мы будем обозначать символом "(jt).4>Jt" предложение "фх всегда"114,
т.е. предложение, которое утверждает все значения для фх. Это
предложение вовлекает функцию фх, а не просто неопределенное значение
функции. Утверждение фх, где х не специфицировано, есть другое
утверждение, отличное от того, которое утверждает все значения фх, причем
первое из них есть неопределенное утверждение, а второе — ни в каком смысле
не является неопределенным. Будет отмечено, что " (jc) . фх" не
утверждает "ф* со всеми значениями jc", поскольку, как мы уже видели, должны
быть значения х, с которыми "фх" не имеет смысла. То, что утверждается
"(д:).фд:", есть все предложения, являющиеся значениями для фх;
следовательно, только с такими значениями х, которые делают "ф£" имеющими
значения, т.е. со всеми возможными аргументами, что фх утверждается,
когда мы утверждаем "(х).фх". Таким образом, удобный путь прочтения
"(д:).фд:" есть "фх истинно со всеми возможными значениями jc". Это тем
не менее не столь аккуратное прочтение, чем "фх всегда", так как
понятие истины не является частью содержания того, о чем мы судим.
Когда мы высказываем суждение "все люди смертны", мы высказываем
истину, но понятие истинности не обязательно присутствует в нашем сознании,
не более, чем это было бы необходимо, когда мы высказываем суждение
"Сократ смертен".
III. Определение и систематическая неопределенность
истинности и ложности
Поскольку предложение " (х). ф*" вовлекает функцию фх, то оно в
соответствии с нашим принципом не может быть аргументом ф. Т.е. символ
"ф{(*)-Ф*}" не должен иметь смысла. Этот принцип с первого взгляда
мог бы показаться как имеющий определенные исключения. Возьмем,
например, функцию "/? ложно" и рассмотрим предложение "(р).р ложно".
Последнее должно быть предложением, утверждающим все предложения
вида "р ложно". Мы должны склониться к тому, чтобы сказать, что такое
предложение должно быть ложным, так как "р ложно" не всегда истинно.
Следовательно, мы должны прийти к предложению
"{(р)-р ложно} ложно",
т.е. мы должны прийти к предложению, в котором " (р). р ложно" есть
аргумент функции "р ложно", что мы провозгласили невозможным. Мы
увидим, что "(р).р ложно" предположительно будет предложением обо всех
предложениях, а также, что на основании общей формы принципа
порочного круга не должно быть предложений обо всех предложениях. Тем не
менее ясно, что для данной функции найдется предложение (истинное или
ложное), утверждающее все ее значения. Следовательно, мы приходим к
заключению, что "р ложно" и "q ложно" не должны всегда быть
значениями с аргументами р и q для единственной функции "р ложно". Это,
114 Мы используем "всегда" как имеющее смысл "во всех случаях", а не "во все
времена". Также "иногда" будет иметь смысл "в некоторых случаях".
А. Н. Уайтхед, Б. Рассел

116
ВВЕДЕНИЕ
однако, возможно, только если слово "ложь" действительно имеет много
различных значений, подходящих для предложений различного рода.
Нетрудно видеть, что слова "истина" и "ложь" имеют много
различных значений в соответствии с видом предложения, в котором они
применяются. Возьмем любую функцию фх, и пусть фа будет одним из
ее значений. Назовем вид истины, применяемый в фа "истиной первого
рода", (Это не предполагает, что так было бы и в другом контексте;
тем самым просто указывается на истину первого рода в нашем
контексте.) Рассмотрим далее предложение (х). фх. Если оно обладает
истиной рода115, подходящего для него, то это будет означать, что
каждое значение фх обладает "истиной первого рода". Поэтому если
мы называем род истины, подходящий для (х). флс, " истиной второго
рода", то мы можем определить и{(х).$х} обладает истиной второго
рода" как имеющее смысл "каждое значение фх обладает истиной
первого рода", т.е. "(jc). (фхобладает истиной первого рода)". Также если
мы обозначим посредством "(дд:).флс" предложение "ф* иногда", или
как мы можем не столь аккуратно выразить это "фх с некоторым
значением jc", то мы найдем, что (gjt). фх обладает истиной второго
рода, если существует х, с которым фх обладает истиной первого рода;
поэтому мы можем определить "{(Э*). ф*} обладает истиной второго
рода" как имеющее смысл "некоторое значение для фх обладает
истиной первого рода", т.е. "(3*). (фхобладает истиной первого рода)".
Такие же замечания относятся к понятию ложности. Таким
образом, "(х).(фхобладает ложностью второго рода)" будет иметь смысл
"некоторое значение для ф* обладает ложностью первого рода",
т.е. "(gjc). (фх обладает ложностью первого рода)", в то время как
"{(3*)-Ф*} обладает ложностью второго рода" будет иметь смысл
"все значения для фх обладают ложностью первого рода", т.е.
" (jc) . (фх обладает ложностью первого рода)". Таким образом, род
ложности, принадлежащий общему предложению, отличен от такового,
принадлежащего частному предложению.
Применяя эти рассмотрения к предложению "(р).р ложно", мы видим,
что должен быть специфицирован его род ложности. Если, например,
подразумевается ложность первого рода, то функция "р обладает ложностью
первого рода" только тогда имеет смысл, когда р есть предложение такого
вида, которое обладает ложностью или истинностью первого рода.
Следовательно, " (р). р ложно" будет замещаться предложением, эквивалентным
"все предложения, обладающие либо истинностью первого рода, либо
ложностью первого рода, обладают ложностью первого рода". Это
предложение обладает ложностью второго рода, а не является допустимым
аргументом функции "р обладает ложностью первого рода". Таким образом,
видимое исключение из принципа, что "ф{(лс). фх}" должно не иметь смысла,
исчезает.
Такие же рассмотрения позволят нам иметь дело с "не-р" и "р или q".
Может показаться, что они могут быть функциями, у которых любое пред-
115 Или обладает истинностью рода. — Прим. перев.
Principia Mathematica I

ГЛАВА II. ТЕОРИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ТИПОВ
117
ложение может выступать в качестве аргумента. Но это благодаря
систематической неопределенности смысла "не" и "или", посредством которой они
адаптируют сами себя к предложениям любого порядка. Чтобы объяснить
полностью, как это происходит, лучше начать с определения простейшего
типа истинности и ложности.
Вселенная состоит из объектов, обладающих различными качествами
и находящихся в различных отношениях. Некоторые объекты,
встречающиеся во Вселенной, являются сложными. Когда объект является
сложным, то он состоит из взаимносоотносящихся частей. Рассмотрим сложный
объект, составленный из двух частей а и Ь, находящихся одна к другой
в отношении R. Сложный объект "а-в-отношении-Д-к-Ь" может обладать
способностью быть воспринимаемым; когда он воспринимается, то он
воспринимается как один объект. Более пристальное наблюдение, возможно,
покажет, что он сложный; мы затем высказываем суждение, что а и Ь
находятся в отношении R. Такое суждение, выводимое из восприятия просто
концентрацией внимания, может быть названо "суждением восприятия".
Это суждение восприятия, рассматриваемое как актуальное событие, есть
отношение четырех членов, именно а, Ь и R, a также воспринимающего
субъекта. Восприятие, наоборот, есть отношение между двумя членами,
именно "а-в-отношении-Д-к-£" и воспринимающим субъектом. Поскольку
объект восприятия не может быть ничем, то мы не можем воспринимать
"а-в-отношении-Д-к-b", если а не находится в отношении R к Ь.
Следовательно, суждение восприятия, в соответствии с данным выше
определением, должно быть истинным. Но это не означает, что в суждении, которое
появилось в нас при восприятии, мы уверены в отсутствии ошибки, так как
мы можем ошибаться в обдумывании того, что наше суждение в
действительности было выведено просто посредством анализа того, что мы
воспринимаем. Но если наше суждение так и было выведено, то оно должно быть
истинным. Фактически мы можем определить истину там, где это касается
подобных суждений, как состоящую в том факте, что существует некий
комплекс, соответствующий не интуитивной (дискурсивной) мысли,
которая есть суждение. Т.е., когда мы высказываем суждение "а находится
в отношении R к Ь", то о нем говорится, что оно истинно, когда
существует комплекс "а-в-отношении-Д-к-Ь", и говорится, что оно ложно, если
это не так. Это определение истинности и ложности суждений указанного
вида.
Мы увидим, что согласно вышесказанному, суждение не обладает
единственным объектом, именно предложением, но имеет несколько
взаимносоотносящихся объектов. Т.е. иными словами, отношение, образующее
суждение, не есть отношение двух членов, именно рассуждающего сознания и
предложения, а есть отношение между несколькими членами, именно
сознанием и тем, что называется конституентами предложения. Т.е., когда
мы высказываем суждение "это красное", то возникает отношение между
тремя членами: сознанием, "этим" и красным. С другой стороны, когда мы
воспринимаем "красноту этого", имеется отношение между двумя членами,
именно сознанием и комлексом-объектом "краснота этого". Когда высказы-
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

118
ВВЕДЕНИЕ
вается суждение, найдется некоторая комплексная сущность, составленная
из сознания и различных объектов суждения. Когда суждение истинно
в случае суждений того вида, который мы рассматривали, то имеется
соответствующий комплекс объектов одного только суждения. Ложность по
отношению к нашему данному классу суждений состоит в отсутствии
соответствующего комплекса, составленного из одних только объектов. Из
данной выше теории следует, что "предложение" в том смысле, в котором
предложение предполагается единственным объектом суждения, есть
ложная абстракция, так как суждение имеет несколько объектов, а не один.
Именно множественность объектов в суждении (в противоположность
восприятию) заставила людей говорить о мысли в "дискурсивном" плане, хотя
они, по-видимому, еще ясно не осознали, что подразумевалось этим
эпитетом.
Благодаря множественности объектов единичного суждения мы
заключаем, что то, что мы называем "предложением" (в смысле, в котором оно
отличается от фразы, его выражающей), вообще не является одной
сущностью. Т.е., иными словами, фраза, выражающая предложение, есть то, что
мы называем "неполным" символом116; он не имеет значения сам по себе,
а требует некоторого дополнения для того, чтобы овладеть полным
смыслом. Этот факт каким-то образом скрывается тем обстоятельством, что
само суждение дает достаточное дополнение, и тем, что само суждение
не делает вербального добавления к предложению. Поэтому " предложение
'Сократ —человек'" использует "Сократ —человек" так, что требуется
дополнение некоторого рода перед тем, как оно приобретает полный смысл;
однако когда я высказываю суждение "Сократ —человек", то смысл
заполняется актом суждения и мы больше не имеем неполного символа. Тот
факт, что предложения есть "неполные символы", важен философски и
уместен при некоторых обстоятельствах в символической логике.
Суждения, с которыми мы имели дело до сих пор, таковы, что
имеют такую же форму, как и суждения восприятия, т.е. их субъекты всегда
частны и определенны. Однако существует много суждений, которые такой
формы не имеют. Таковыми будут "все люди смертны", "я встретил
человека", "некоторые люди —греки". Прежде чем иметь дело с подобными
суждениями, введем некоторые технические термины.
Мы будем давать имя "комплекс" любому такому объекту, как "а
находится в отношении R к Ь" или "а обладает качеством #", или "а, Ь и
с находятся в отношении 5". В широком понимании комплекс есть нечто,
что встречается во Вселенной и не является простым. Мы будем называть
суждение элементарным^ когда оно просто утверждает подобное "а
находится в отношении R к Ь", "а обладает качеством q" или "а, Ъ и с
находятся в отношении S". Тогда элементарное суждение является истинным,
когда имеется соответствующий комплекс, и ложным, когда
соответствующего комплекса нет.
Возьмем сейчас такое предложение, как "все люди смертны". Здесь
суждение не соответствует одному комплексу, а многим, именно "Сократ смер-
116 См. главу III.
Principia Mathematica I

ГЛАВА II. ТЕОРИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ТИПОВ
119
тен", "Платон смертен", "Аристотель смертен" и т.д. (Одно отступление:
нет необходимости задавать вопрос, не требует ли каждое из них
дальнейшего исследования перед тем, как мы достигнем самых последних
комплексов, вовлеченных в рассмотрение. Для иллюстративных целей " Сократ
смертен" здесь трактуется как элементарное суждение, хотя в
действительности, как будет объяснено позлее, оно таковым не является. Подлинно
элементарные суждения не так легко обнаружить.) Мы не подразумеваем
отрицания того, что, возможно, есть некоторое отношение понятия человек
к понятию смертный, которое может оказаться эквивалентным " все люди
смертны", но в любом случае это отношение не есть то же самое, что мы
утверждаем, когда говорим, что все люди смертны. Наше суждение, что
все люди смертны, объединяет вместе несколько элементарных суждений.
Однако оно не составляется из них, поскольку (например) тот факт, что
Сократ смертен, не является частью того, что мы утверждаем, как может
быть замечено посредством рассмотрения того факта, что наше
утверждение может быть понято человеком, который никогда не слышал о Сократе.
Для того чтобы понять суждение "все люди смертны", нет необходимости
знать, что есть люди. Мы должны признать поэтому как радикально
новый тип суждения такие общие утверждения, как "все люди смертны". Мы
утверждаем, что для данного jc, являющегося человеком, х всегда
смертен. Т.е. мы утверждаем, что "jc смертен" для каждого jc-a, который
является человеком. Поэтому мы в состоянии высказать суждение (истинное
либо ложное) о том, что все объекты, обладающие предписанным
свойством, также обладают некоторым другим предписанным свойством. Т.е.
для любых данных пропозициональных функций фх и \j/jc найдется
суждение, утверждающее ух для каждого jc117, для которого мы имеем фх.
Подобные суждения мы будем называть общими суждениями118.
Очевидно (как объяснялось выше), что определение истины отличается
в случае общих суждений от такового в случае элементарных суждений.
Давайте назовем тот смысл истины, который мы дали для элементарных
суждений, элементарной истиной. В таком случае, когда мы утверждаем,
что истинно то, что все люди смертны, мы будем подразумевать, что все
суждения вида "jc смертен", где jc есть человек, обладают элементарной
истинностью. Мы можем определить это как "истина второго порядка".
Тогда, если мы выразим предложение "все люди смертны" в форме
"(jc).jc смертен, где х есть человек",
и назовем это суждение /?, то ир истинно" должно быть принято как
имеющее значение ир обладает истинностью второго порядка", что в свою
очередь означает
"(jc).'jc смертен' обладает элементарной истинностью, где jc есть человек".
Для того чтобы избежать необходимости явно формулировать
ограничение, субъектом которого является наша переменная, удобно заменить
данную выше интерпретацию предложения "все люди смертны" немного
отличающейся. Предложение "все люди смертны" эквивалентно "'jc есть че-
117 В оригинале — with every x. — Прим. перев.
118 Или суждениями общего вида. — Прим. перев.
А.Н.Уайтхбд, Б.Рассел

120
ВВЕДЕНИЕ
ловек' влечет 'jc смертен' для всех допустимых значений jc". Здесь х не
ограничена такими значениями, как люди, но может иметь любое
значение, для которого "'jc есть человек' влечет 'jc смертен' имеет значение, т.е.
истинно либо ложно. Такое утверждение называется "формальной
импликацией". Преимущество этой формы состоит в том, что значения, которые
может приобретать переменная, даны функцией, аргументом которой она
является: значения, которые может принимать переменная, есть все те
значения, для которых упомянутая функция имеет смысл.
Мы используем символ "(х).фх", чтобы выразить суждение общего
вида, которое утверждает все суждения формы "фх". Тогда суждение "все
люди смертны" эквивалентно
"(jc).'jc есть человек' влечет 'jc смертен'",
т.е. (в силу определения импликации) —
"(jc).x не есть человек или jc смертен".
Как мы только что видели, смысл истины, приложимый к этому
предложению, не есть то же самое, что смысл истины, приложимый к "jc есть
человек" или "jc смертен". И вообще в любом суждении (jc) . фл: смысл,
в котором это суждение является или может являться истинным, не есть
то же самое, что смысл, в котором фд: является или может являться
истинным. Если фх есть элементарное суждение, то оно истинно, когда оно
указывает на соответствующий комплекс. Однако (jc) . ф;с не указывает на
единственный соответствующий комплекс: соответствующие комплексы
настолько многочисленны, насколько таковы допустимые значения jc.
Как следует из приведенного выше, такие предложения, как "все
суждения, сделанные Эпименидом, истинны", будут на первый взгляд
справедливы, только если все его суждения одного порядка. Если они различных
порядков, из которых п-й — наивысший, то мы можем сделать п
утверждений вида "все суждения порядка т, сделанные Эпименидом, истинны", где
т пробегает все значения вплоть до п. Но ни одно такое суждение не
может включать само себя в свой собственный круг, поскольку такое
суждение имеет всегда более высокий порядок, чем то суждение, на которое
оно ссылается.
Рассмотрим затем, что подразумевается отрицанием предложения
вида "0с).ф;с". Мы замечаем сначала, что "ф;с в некоторых случаях" или
"ф;с иногда" есть суждение, находящееся на одном уровне с "ф;с во всех
случаях" или "фх всегда". Суждение "ф;с иногда" истинно, если
существует одно или более значений х, для которых фд: истинно. Мы будем
выражать предложение "фх иногда" посредством обозначения "(Э*)-Ф*'\ где
"З" стоит вместо "существует", а весь символ может быть прочитан как
"существует jc такое, что ф;с". Мы принимаем эти два вида суждений,
выражаемые посредством "(;с).ф;с" и "(3*)-Ф*'\ как примитивные понятия.
Мы также принимаем отрицание элементарного предложения в качестве
примитивного понятия. Мы можем затем определить отрицания (х). фл: и
(gjc). фд:. Отрицание любого предложения р будет обозначаться символом
"~р". Тогда отрицание (х).фх будет определяться как имеющее смысл
"(3jc)^jc",
Principia Mathematica I

ГЛАВА II. ТЕОРИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ТИПОВ
121
а отрицание (gjc). фх будет определяться как имеющее смысл "(х).~фх".
Таким образом, на традиционном языке формальной логики отрицание
универсального аффирматива должно определяться как частный негатив,
а отрицание частного аффирматива—как универсальный негатив.
Следовательно, смысл отрицания для такого рода предложений отличен от
такового для отрицания элементарных предложений.
Аналогичное объяснение будет применено к дизъюнкции. Рассмотрим
утверждение "либо /?, либо всегда фх". Мы будем обозначать дизъюнкцию
двух предложений р, q посредством "pV#". Тогда наше утверждение есть
"/?. V .(л).фх". Мы будем предполагать, что р есть элементарное
предложение и что фх есть всегда элементарное предложение. Мы берем
дизъюнкцию двух элементарных предложений как примитивное понятие и желаем
определить дизъюнкцию
"p.v.(jc)^jc".
Последнее может быть определено как "(х) .рУфх", т.е. "либо р истинно,
либо всегда истинно фх" должно иметь смысл и1р или фх' всегда истинно".
Также мы определим
"р.у.(ах).фх"
как имеющее смысл "(gjc). р V фх", т.е. мы определяем "либо р истинно,
либо найдется jc, для которого фх истинно" как имеющее значение "найдется
jc, для которого либо /7, либо фх истинно". Аналогично мы можем
определить дизъюнкцию двух универсальных предложений: " (jc) . фх. V . (у). \|гу"
будет определяться как имеющее смысл " (jc, у). фх V \|fy", т.е. " либо фх
всегда истинно, либо \|гу всегда истинно" должно иметь смысл "'фх или \|гу'
всегда истинно". Этим же методом мы получаем определения дизъюнкций,
содержащих предложения вида (jc) . фх и (дх). фх в терминах дизъюнкций
элементарных предложений; однако смысл "дизъюнкции" не будет тем же
самым для предложений вида (jc) . фх и (дх).фх, каким он был для
элементарных предложений.
Такие же объяснения могли бы быть даны для импликации и
конъюнкции, однако в этом нет необходимости, поскольку они могут быть
определены в терминах отрицания и дизъюнкции.
IV. Почему данная функция требует аргументы
определенного типа
Рассмотрения, проведенные до сих пор, приводились как доказательство
той точки зрения, что функция не может значимо обладать в качестве
аргумента чем-либо, определенным в терминах самой функции, являлись
в большей или меньшей степени косвенными. Однако прямое рассмотрение
типов функций, имеющих в качестве аргументов функции, и типов
функций, имеющих аргументы, отличающиеся от функций, продемонстрирует,
что если мы не ошибаемся, то не только невозможно, чтобы функция ф£
имела саму себя или нечто, выведенное из себя, в качестве аргумента, но
и если \\fz есть другая функция такая, что найдутся аргументы а, с
которым и "фа", и "\|/а" имеет значение, то yz и все, что выводится из нее,
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

122
ВВЕДЕНИЕ
не может значимо быть аргументом ф£. Это происходит оттого, что
функция является существенно неопределенным объектом, и оттого, что если
она встречается в некотором определенном предложении, то она обязана
входить таким образом, чтобы неопределенность исчезла, и образовалось
полностью определенное предложение. Несколько иллюстраций это
прояснят. Поэтому выражение "(х).фх", которое мы уже рассматривали, есть
функция от (f>jc; как только предписано фх, мы имеем определенное
предложение, полностью свободное от неопределенности. Но очевидно, что мы не
можем подставить вместо функции что-либо, что не является функцией:
"(х).фх" означает "фх во всех случаях" и зависит, для того, чтобы иметь
значимость, от того факта, что существуют "случаи" фх, т.е. от
неопределенности, являющейся характеристикой функции. Этот пример
иллюстрирует тот факт, что когда функция может значимо входить в качестве
аргумента, что-либо, не являющееся функцией, не может входить значимо в
качестве аргумента. Но наоборот, когда что-либо, не являющееся функцией,
может значимо входить в качестве аргумента, то функция не может
значимо входить. Возьмем, например, "х есть человек" и рассмотрим "фх есть
человек". Здесь нет ничего, чтобы устранить неопределенность,
конституируемую фх; поэтому нет ничего определенного, о чем можно было бы
сказать, что это человек. Функция в действительности не является
определенным объектом, который мог бы быть или мог бы не быть человеком;
она является просто неопределенностью, дожидающейся своей
детерминации 119, а для того, чтобы она могла значимо входить, она должна
получить необходимую детерминацию-определенность, которую она, очевидно,
не получает, если она просто подставляется в предложение вместо чего-
то определенного120. Однако этот аргумент не приложим прямо к такому
утверждению, как "{(л).ф;с} есть человек". Здравый смысл должен
расценить подобное утверждение как бессмысленное, но оно не может
осуждаться на основании неопределенности своего субъекта. Мы здесь
нуждаемся в новом возражении, именно в следующем: предложение не есть одна
единственная сущность, а отношение нескольких; следовательно,
утверждение, в котором предложение является как субъект, будет значимым, если
только оно может быть сведено к утверждению о термах, которые
появляются в этом предложениии. Предложение, подобное таким оборотам, как
"единственный такой-то", где грамматически оно появляется как субъект,
должно быть разбито на конституенты, если мы ищем истинный субъект
или субъекты121. Но в таких утверждениях, как ир есть человек", где р
есть предложение, это невозможно. Следовательно, " {(jc) . фх] есть человек"
бессмысленно.
11 Здесь мы приводим мысль, выраженную на языке оригинала: It is a mere ambiguity
awaiting determination. — Прим. перев.
120 Заметим, что утверждения, касающиеся значения оборота, содержащего "фг",
касаются символа "фг" и поэтому не подпадают под правило, что устранение
функциональной неопределенности необходимо для значимости. Значимость есть свойство знаков.
Ср. с. 113, 114.
121 Ср. глава III.
Principia Mathematica I

ГЛАВА II. ТЕОРИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ТИПОВ
123
V. Иерархия функций и предложений
Мы, таким образом, приходим к заключению, что и с позиций
принципа порочного круга, и с позиций прямого обследования, что функции,
у которых данный объект а может быть аргументом, не способны быть
аргументами друг друга, и что они не имеют терма, общего с
функциями, у которых они могут быть аргументами. Мы поэтому приходим к
построению иерархии. Начиная с а и других термов, которые могут быть
аргументами одной и той же функции, у которой а может быть
аргументом, мы затем приходим к функциям, у которых а является возможным
аргументом, а затем —к функциям, у которых такие функции являются
возможными аргументами, и т.д. Однако иерархия, которая должна была
бы быть построена, не столь проста, как могло бы сначала показаться.
Функции, которые могут принимать аргумент а, образуют не легитимную
всеобъемлющую сущность и сами требуют построения в иерархию
функций. Это легко видно из следующего. Пусть /(фг, jc) будет функцией двух
переменных ф2 и jc. Тогда, если, сохраняя х фиксированным, мы
утверждаем это со всеми возможными значениями ф, то мы получаем предложение
ф. / (фг, *).
Здесь, если х является переменной, то мы имеем функцию от jc; однако так
как эта функция вовлекает всеобъемлющую тотальность значений фг122,
то она не может сама быть одним из значений, включенных в тотальность,
на основании принципа порочного круга. Как следствие, всеобъемлющая
тотальность значений ф2, вовлеченных в ф./(фг,jc), не является
тотальностью, объемлющей все функции, у которых jc может быть аргументом, и
не существует такой тотальности как таковой, объемлющей все функции,
у которых jc может быть аргументом.
Из данного выше следует, что функция, у которой фг появляется как
аргумент, требует, чтобы "фг" не стояло на месте любой функции, которая
допускает данный аргумент, но должно быть ограничено так, чтобы ни
одна функция, чьи возможные значения "ф2", не вовлекала никакую ссылку
на всеобъемлющую тотальность таких функций. Возьмем в качестве
иллюстрации определение тождества. Мы могли бы попытаться определить
"х тождественно у" как имеющее смысл "что бы не было истинным от jc,
истинно от у", т.е. "ф* всегда влечет фу". Здесь, поскольку мы
собираемся утверждать все значения "ф* влечет фу", рассматриваемого как
функция ф, то мы будем вынуждены наложить на ф некоторые ограничения,
которые удержат нас от включения в значения ф значений, на которые
ссылаются "все возможные значения ф". Поэтому, например, "jc
тождественно а" есть функция от jc; следовательно, если значение ф в "ф* всегда
влечет фу" легитимно, то мы будем в состоянии вывести посредством данного
выше определения, что если х тождественна а и jc тождественна у, то у
тождественна а. Хотя заключение и прозвучало, но рассуждение содержит
122 Когда мы говорим о "значениях ф£", то предписываются именно ф, а не z. Это
следует из объяснения на с. 113. Когда сама функция является переменной, то возможно и
проще писать ф, а не ф£, исключая положения, в которых требуется эмфаза того, что следует
писать аргумент, чтобы сберечь значение.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

124
ВВЕДЕНИЕ
заблуждение порочного круга, так как мы взяли "(х).фх влечет фа" как
возможное значение фх, каковым оно быть не может. Но если мы наложим
любое ограничение на ф, то может случиться, насколько это проявляется
сейчас, что с другими значениями ф мы могли бы иметь истинное фх и
ложное фу так, что предложенное нами определение тождества оказалось
бы явно ошибочным. Эту трудность можно обойти посредством "аксиомы
сводимости", объясняемой позлее. Сейчас она упомянута только для того,
чтобы проиллюстрировать необходимость и уместность иерархии функций
данного аргумента.
Присвоим имя "я-функции" функциям, которые значимы для
данного аргумента я. Затем предположим, что мы взяли любую выборку
я-функций, и рассмотрим предложение "я удовлетворяет всем функциям,
принадлежащим данной выборке". Если мы здесь заменяем я некоторой
переменной, то мы получаем я-функцию; но на основании принципа
порочного круга эта я-функция не может быть элементом нашей выборки,
поскольку она ссылается на всю выборку. Пусть выборка состоит из всех
тех функций, которые удовлетворяют / (ф2, jc). Тогда наша новая функция
есть
ф • {/ (ф£ х)} влечет фх,
где х есть аргумент. Таким образом, получается, что какую бы выборку
я-функций мы бы ни сделали, найдется другая я-функция, которая
располагается за пределами выборки. Такие я-функции, как иллюстрирует
данное выше, будут всегда возникать при взятии функции двух аргументов,
ф2 и jc, и утверждении всех или некоторых значений, получающихся от
варьирования ф. Что поэтому действительно необходимо, чтобы обойти
заблуждение порочного круга, так это разделить наши я-функции на "типы",
каждый из которых не содержит функций, которые ссылаются на весь тип.
Когда что-либо утверждается или отрицается относительно всех
возможных значений и о некоторых (неопределенных) возможных
значениях переменной, то эта переменная, следуя Пеано, называется кажущейся.
Присутствие слов все или некоторые в предложении указывает на наличие
кажущихся переменных; однако часто кажущаяся переменная
действительно присутствует там, где язык сразу не указывает ее наличие. Поэтому,
например, "А смертен" имеет смысл "существует момент времени, когда
А умрет". Таким образом, переменное время входит как кажущаяся
переменная.
Самые яркие примеры предложений, не содержащих кажущихся
переменных, подобны тем, которые непосредственно выражают суждения
восприятия такие, как "это красное" или "это болезненное", где "это" есть
нечто, непосредственно данное. В других суждениях, даже в тех, в
которых, на первый взгляд, переменные вообще не присутствуют, часто
случается так, что в действительности они есть. Возьмем, скажем "Сократ —
человеческое существо". Для самого Сократа слово "Сократ",
несомненно, стоит как объект, который он непосредственно осознает, а суждение
" Сократ — человеческое существо" не содержит кажущихся переменных.
Но по отношению к нам, кто знает Сократа лишь по описанию, слово
Principia Mathematica I

ГЛАВА П. ТЕОРИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ТИПОВ
125
"Сократ" не может означать того же, что оно значит для него самого;
оно скорее означает "человека, обладающего тем-то и тем-то", скажем,
"Афинского философа, выпившего яд123." Как будет показано в главе III,
во всех предложениях о "том-то и том-то" имеется кажущаяся переменная.
Таким образом, в том, что мы имеем в сознании, когда говорим "Сократ —
человеческое существо", существует кажущаяся переменная, хотя
кажущейся переменной не было в соответствующем суждении от лица Сократа,
конечно, при условии, что мы полагаем, что имеется непосредственное
осознание себя самого.
Какие бы примеры предложений, не содержащих кажущиеся
переменные, ни взять, то очевидно, что те пропозициональные функции, чьи
значения не содержат кажущихся переменных, являются источником
предложений, содержащих кажущиеся переменные, в том смысле, в котором
функция фх является источником предложения (х). фх. Значения фх не
содержат кажущуюся переменную х, которая появляется в (jc) . фх; если
они содержат кажущуюся переменную у, то она может быть таким же
образом элиминирована, и т.д. Этот процесс обязан закончиться, поскольку
нет предложений, которые мы были бы в состоянии понять, содержащих
более чем некоторое конечное число кажущихся переменных, на том
основании, что все то, что мы в состоянии осмыслить, должно иметь конечную
сложность. Таким образом, мы должны, в конце концов, достичь функции
стольких переменных, сколько их получилось в процессе достижения ее,
отправляясь от нашего исходного предложения, и указанная функция
будет такой, что ее значения не будут содержать кажущихся переменных.
Мы можем называть эту функцию матрицей нашего исходного
предложения, а также любого другого предложения и функции, которые
получаются посредством превращения некоторых аргументов функции в кажущиеся
переменные. Таким образом, например, если мы имеем матрицу-функцию,
чьи значения есть ф(х,;у), то мы можем вывести из нее
О0.фС*,э>), что является функцией от х\
(х).ф(х,у), что является функцией от у;
(х,у)шф(х9у), что имеет смысл иф(х,у) истинна со всеми возможными
значениями х и >>".
Последнее есть предложение, не содержащее реальных переменных, т.е.
переменных, за исключением кажущихся переменных.
Ясно поэтому, что все возможные предложения и функции могут быть
получены из матриц посредством процесса превращения аргументов
матриц в кажущиеся переменные. С целью разделения наших предложений
и функций на типы мы будем начинать с матриц и рассмотрим, как они
должны разделяться, стараясь избежать при этом заблуждений порочного
круга в определениях функций. Для этого мы будем использовать такие
буквы, как а, Ь, с, jc, yy w, чтобы обозначать объекты, не являющиеся ни
предложениями, ни функциями. Такие объекты мы будем называть
индивидами. Такие объекты будут конституентами предложений или функций,
123 Согласно историческому преданию, Сократ умер, приняв ядовитый сок цикуты
(Conium maculatum). — Прим. ред.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

126
ВВЕДЕНИЕ
подлинными конституентами в том смысле, что не будут покидать анализа,
подобно (например) классам или оборотам вида "единственный такой-то".
Первые встречающиеся матрицы таковы, что их значения имеют форму
ф(х), у(х,у), x(x,y,z...)9
т.е. где аргументы, сколько бы их ни было, все являются индивидами.
Функции ф, \|/, х, ---•> поскольку (по определению) они не содержат
кажущихся переменных и не имеют аргументов, кроме индивидов, не
предполагают никакой всеобъемлющей тотальности функций. Из функций \|/,
X, ... мы можем продолжать формировать другие функции от jc,
подобные (у).$(х,у), (ау)-Ф(*.)0, (y,z).x(x,y>z\ (y)ifaz).x(x9y9z) и т.д. Все они
не предполагают никаких тотальностей, исключая таковые от индивидов.
Мы поэтому приходим к некоторому собранию функций от jc,
характеризуемых тем, что они не вовлекают никаких переменных, кроме индивидов.
Такие функции мы будем называть "функциями первого порядка".
Теперь мы можем ввести обозначение для того, чтобы выразить "любая
функция первого порядка". Мы будем обозначать любую функцию
первого порядка через "фЦс", а любое значение такой функции — через "ф!х".
Таким образом, "ф!х" обозначает любое значение для любой функции,
которая не имеет аргументов, отличных от индивидов. Как будет видно,
" ф! jc" есть само по себе функция от двух переменных, а именно ф! z и jc.
Поэтому ф! jc вовлекает переменную, не являющуюся индивидом, именно
ф ! z. Аналогично " (jc) . ф ! jc" есть функция переменной ф ! 2, а поэтому
вовлекает переменную, отличную от индивида. Еще раз, если а есть данный
индивид, то
"ф! jc влечет ф! а со всеми возможными значениями ф"
есть функция от jc, но не функция формы ф! jc, так как она вовлекает
кажущуюся переменную ф, которая не является индивидом. Дадим имя
"предикат" любой функции первого порядка ф ! Jc. (Это использование
слова "предикат" предлагается лишь для целей настоящего обсуждения.)
Тогда утверждение "ф!;с влечет ф!а со всеми возможными значениями ф"
может быть прочитано как "все предикаты от jc являются предикатами
от а". Тем самым делается утверждение о jc, но не сопоставляется с jc
никакого предиката в только что определенном специальном смысле.
Благодаря введению переменной функции первого порядка ф ! 2, мы
имеем новый набор матриц. Поэтому " ф! х" есть функция, которая не
содержит кажущихся переменных, но содержит две реальных переменных ф! 2
и jc. (Следует заметить, что когда ф предписано, то мы можем получить
функцию, чьи значения вовлекают индивиды в качестве кажущихся
переменных, например, если ф!х представляет собой (у).у(х,у). Однако, пока
ф переменно, ф! jc не содержит кажущихся переменных.) Снова, если а
есть определенный индивид, то ф! а есть функция одной переменной ф! 2.
Если а и Ъ есть определенные индивиды, то " ф! а влечет ф ! Ь" есть
функция двух переменных ф! z и \j/! 2, и т.д. Мы, таким образом, приходим к
целому множеству новых матриц
ЯФ12). £(ф!2,у!2), Fftllx) и т.д.
Эти матрицы содержат индивиды и функции первого порядка в качестве
Principia Mathematica I

ГЛАВА II. ТЕОРИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ТИПОВ
127
аргументов, но (подобно всем матрицам) они не содержат кажущихся
переменных. Любая такая матрица, если она содержит более чем одну
переменную, порождает новые функции одной переменной посредством
превращения всех ее аргументов, за исключением одного, в кажущиеся переменные.
Мы, таким образом, получаем функции
(ф)-^(ф!2,^!2), которая является функцией от \j/!2;
(х) .F($\z,x), которая является функцией от ф!г,
(ф) .F($\z,x), которая является функцией от х.
Мы будем называть матрицами второго порядка матрицы, имеющие
среди своих аргументов функции первого порядка и не имеющие
аргументов, кроме как функций первого порядка и индивидов. (Совсем не
обязательно, чтобы матрицы второго порядка имели среди своих аргументов
индивиды.) Мы будем называть функциями второго порядка либо матрицы
второго порядка, либо функции, выведенные из таких матриц
превращением некоторых из их аргументов в кажущиеся переменные. В дальнейшем
мы увидим, что либо индивид, либо функция первого порядка могут
появляться как аргумент функции второго порядка. Функции второго порядка
есть функции, содержащие переменные, являющиеся функциями первого
порядка, но не содержащие никаких иных переменных, исключая
(возможно) индивиды.
Мы имеем сейчас в нашем распоряжении различные новые классы
функций. На первом месте находятся функции второго порядка, которые
имеют один аргумент, являющийся функцией первого порядка. Мы будем
обозначать переменную функцию этого типа через /!(ф!2), а любое
значение этой функции посредством /!(ф!2). Подобно ф!х, /!(ф!2) есть
функция двух переменных, именно /!(ф!2) и ф!2- Среди возможных значений
/!(ф!2) будут ф!а (где а —постоянная), (х).ф!х, (дх).ф!х и т.д. (Они
являются результатом присвоения значения /, оставляя при этом ф
ожидающим присвоения значения.) Мы будем называть подобные функции
"предикативными функциями функций первого порядка".
На втором месте находятся функции второго порядка двух аргументов,
один из которых является функцией первого порядка, а оставшийся —
индивид. Обозначим неопределенные значения таких функций как
/!(ф!2,*).
Как только х приписано значение, мы будем иметь предикативную
функцию от ф!2. Если наша функция не содержит функции первого порядка
как кажущиеся переменные, то мы получим предикативную функцию от jc,
если мы припишем значение ф!2. Таким образом, в самом простом случае,
если /!(ф!2,х) есть ф!х, то присвоение значения ф дает нам предикативную
функцию от х в силу определения "ф!х". Однако если /!(ф!2,х) содержит в
качестве кажущейся переменной функцию первого порядка, то присвоение
значения ф!2 дает нам функцию второго порядка от х.
На третьем месте находятся функции второго порядка от индивидов.
Они все выводятся из функций вида /!(ф!2,х) превращением ф в
кажущуюся переменную. Поэтому нет необходимости нового обозначения для них.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

128
ВВЕДЕНИЕ
Мы имеем также функции второго порядка от двух функций первого
порядка или от двух таких функций и индивида и т.д.
Мы можем сейчас перейти точно таким лее путем к матрицам
третьего порядка, которые будут функциями, содержащими функции второго
порядка в качестве аргументов и не содержащими кажущихся переменных
и аргументов, иных, чем индивиды, функции первого и второго порядков.
Отсюда мы можем перейти, как и раньше, к функциям третьего
порядка; и так мы можем продолжать до бесконечности. Если наивысший
порядок переменной, встречающейся у функции в качестве аргумента или
кажущейся переменной, есть функция порядка л, то функция, в которую
она входит, имеет порядок л+ 1. Мы не достигаем функций бесконечного
порядка, так как число аргументов и кажущихся переменных у функции
должно быть конечным, и поэтому каждая функция должна иметь
конечный порядок. Поскольку порядки функций определяются шаг за шагом,
то не может быть процесса "перехода к пределу", а функции бесконечного
порядка возникать не могут.
Мы определим функцию одной переменной как предикативную, когда
она имеет следующий порядок за порядком ее аргумента, т.е. низшего
порядка, совместимого с порядком, который имеет указанный аргумент. Если
функция имеет несколько аргументов, а наивысший порядок функции,
входящей в аргументы, есть л, то мы будем называть функцию
предикативной, если она имеет порядок л+1, т.е. если она низшего порядка,
совместимого с порядками аргументов, которыми она обладает. Функция
нескольких аргументов предикативна, если найдется один ее аргумент такой, что
когда другие аргументы имеют предписанные значения, мы получаем
предикативную функцию от одного неопределенного аргумента.
Важно заметить, что все возможные функции в приведенной выше
иерархии могут быть получены посредством предикативных функций и
кажущихся переменных. Итак, как мы видели, функции второго порядка от
индивида х имеют форму
(ф)./!(ф!£х), (Эф)./!(ф!г,*), (Ф,У)./К№чИх) и т.д.,
где / есть предикативная функция второго порядка. Вообще говоря,
непредикативная функция порядка л получается из предикативной
функции порядка л превращением всех аргументов порядка л - 1 в
кажущиеся переменные. (Остальные аргументы также могут быть
превращены в кажущиеся переменные.) Поэтому мы не нуждаемся во введении
в качестве переменных функций, иных, чем предикативные. Более того,
для того чтобы получить любую функцию одной переменной jc, нам не
нужно выходить за пределы предикативных функций двух переменных.
Функция (\|/)./!(ф!г,у!2,х), где / задана, есть функция от ф!2 и jc, и
она предикативна. Поэтому она имеет форму ^!(ф!2,х), и, следовательно,
(ф,У)-ЖФ-'2,у!2,х) имеет форму (ф).^!(ф!2,х). Итак, вообще говоря,
последовательными шагами мы находим, что если ф!м есть предикативная
Principia Mathematica I

ГЛАВА II. ТЕОРИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ТИПОВ
129
функция достаточно высокого порядка, то любая предписанная
непредикативная функция от х будет представляться в одной из двух форм
(<|>).F!(<|>!iU), (ЯФ).^!(Ф!2,*),
где F — предикативная функция от ф!м и х.
Природа выстроенной выше иерархии функций может быть
переформулирована следующим образом. Функция, как мы видели на более
ранней стадии, предполагает как часть своего смыслового содержания,
тотальность, состоящую из ее значений, либо, что приводит к тому же,
тотальность ее возможных аргументов. Аргументами функции могут быть
функции, предложения или индивиды. (Напомним, что индивиды были
определены как нечто, не являющееся ни предложением, ни функцией.) Сейчас
мы пренебрегаем случаем, когда аргумент функции является
предложением. Рассмотрим функцию, чьим аргументом является индивид. Эта
функция предполагает тотальность индивидов; однако если она не содержит
функций в виде кажущихся переменных, то она не предполагает
тотальности функций. Однако если она содержит функцию в виде кажущейся
переменной, то она не может быть определена до тех пор, пока не будет
определена некоторая тотальность функций. Следовательно, мы сперва должны
определить тотальность тех функций, аргументами которых являются
индивиды и которые не содержат функций в виде кажущихся переменных.
Эти функции — предикативные функции индивидов. В общем,
предикативная функция переменного аргумента есть таковая, которая не вовлекает
тотальности, за исключением тотальности возможных значений ее
аргумента, а также тотальностей, предполагаемых каждым из возможных
аргументов. Итак, предикативная функция переменного аргумента есть любая
функция, которая может быть специфицирована без привлечения новых
типов переменных, не обязательно предполагаемых переменной, являющейся
аргументом.
Совершенно аналогичное построение может быть развито для
предложений. Предложения, которые не содержат функций и кажущихся
переменных, могут быть названы элементарными предложениями. Предложения,
которые не элементарны, но не содержат ни функций, ни кажущихся
переменных, за исключением индивидов, могут быть названы предложениями
первого порядка. (Следует заметить, что никаких переменных, за
исключением кажущихся, в предложениях встречаться не может, поскольку то, что
содержит реальную переменную, есть функция, а не предложение.) Таким
образом, элементарные предложения и предложения первого порядка будут
значениями функций первого порядка. (Следует напомнить, что функция
не есть конституент одного из ее значений: поэтому, например, функция
"Jc есть человеческое существо" не является конституентой предложения
"Сократ—человек".) Элементарные предложения и предложения первого
порядка не предполагают никакой тотальности, исключая тотальность
индивидов. Они являются в одной из трех форм
ф!лс; (лс).ф!лс; (а*). ф!лс,
где ф\х есть предикативная функция индивида. Следовательно, если р
представляет переменное элементарное предложение или переменное пред-
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

130
ВВЕДЕНИЕ
ложение первого порядка, то функция fp есть либо /(ф!х), либо
/{(*). ф!*}, либо / {(д*). ф\х]. Таким образом, функция от элементарного
предложения или предложения первого порядка может быть всегда
редуцирована к функции от функции первого порядка. Следовательно,
предложение, вовлекающее тотальность предложений первого порядка, может
быть редуцировано к предложению, вовлекающему тотальность функций
первого порядка; очевидно, что то же самое в равной степени приложи-
мо к более высоким порядкам. Пропозициональная иерархия может быть
поэтому выведена из функциональной иерархии, а мы можем определить
предложение порядка п как предложение, которое включает кажущуюся
переменную порядка п - 1 в функциональной иерархии.
Пропозициональная иерархия на практике никогда не требуется, а уместна лишь для
разрешения парадоксов; следовательно, нет никакой необходимости углубляться
в детали типов предложений.
VI. Аксиома сводимости
Остается рассмотреть "аксиому сводимости" 124. В дальнейшем мы
отметим, что в соответствии с данной выше иерархией ни одно
утверждение обо "всех а-функциях", где а есть некоторый данный объект, не
может быть значимо сделано. Поэтому такое положение, как "все свойства
а", означающее "все функции, истинные с аргументом а", будет
нелегитимным. Мы должны будем различать порядок рассматриваемой функции.
Мы можем говорить о "всех предикативных свойствах а", "всех свойствах
второго порядка а" и т.д. (Если а не является индивидом, а объектом
порядка л, то "свойства второго порядка а" будут иметь смысл "функции
порядка /1+2, удовлетворяемые а".) Однако мы не можем говорить о "всех
свойствах а". В некоторых случаях мы можем видеть, что некоторое
утверждение будет иметь место относительно "всех свойств порядка па", каким
бы ни было значение п. В таких случаях не будет никакого вреда
рассматривать утверждение как бы о "всех свойствах а" при условии, что мы
помним о том, что это в действительности есть несколько утверждений,
а не одно утверждение, которое могло бы быть истолковано как
приписывание дополнительного свойства а сверх всех свойств. Подобные случаи
будут всегда вовлекать некоторую систематическую неопределенность,
похожую на ту, которая входит в смысл слова "истина" так, как это было
разъяснено выше. Благодаря этой систематической неопределенности,
будет возможно иногда объединять в единое вербальное утверждение то, что
в действительности есть несколько различных утверждений,
соответствующих различным иерархическим порядкам. Это иллюстрируется на примере
лжеца, когда утверждение "все утверждения, принадлежащие А, ложны"
должно быть разбито на различные утверждения, отсылающие к его утвер-
124 Дискуссия по поводу аксиомы сводимости имеется в приложении к книге, см.:
Гильберт Д., АккерманВ. Основы теоретической логики. М.: Изд-во иностр. лит., 1947.
С. 219-230. - Прим. ред.
Pfuncipia Mathematica I

ГЛАВА II. ТЕОРИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ТИПОВ
131
ждениям различных порядков и приписывающие каждому подходящий тип
ложности.
Аксиома сводимости вводится для того, чтобы узаконить великое
множество рассуждений, в которых на первый взгляд мы касаемся таких
понятий как, "все свойства а" или "все а-функции" и которые тем не
менее едва ли могут быть заподозрены в существенной ошибочности. Для
того чтобы сформулировать аксиому, мы должны сперва определить то,
что подразумевается "формальной эквивалентностью". Две функции фх,
\\fx называются "формально эквивалентными", когда с каждым возможным
аргументом х фх эквивалентно \\fx, т.е. фх и ух либо оба истинны, либо
оба ложны. Таким образом, две функции формально эквивалентны, когда
они удовлетворяются одним и тем же набором аргументов. Аксиома
сводимости есть предположение о том, что для любой данной функции фх
найдется формально эквивалентная предикативная функция, т.е.
найдется предикативная функция, которая истинна, когда ф* истинно, и ложна,
когда фх ложно. В символической записи эта аксиома есть
Ь : (зу): фх. =х . у!*.
Для двух переменных мы также требуем подобную аксиому, а именно: для
любой данной функции ф(х,у) найдется формально эквивалентная
предикативная функция, т.е.
Ь : (ЗУ): ф(х,у). =х,у . у\(х,у).
Для того чтобы объяснить цели введения аксиомы сводимости, а
также природу оснований того, почему она предположительно истинна, мы
сначала проиллюстрируем ее, применяя к некоторым частным случаям.
Если мы называем предикатом объекта предикативную функцию,
которая истинна для этого объекта, то предикаты объекта составляют лишь
часть его свойств. Возьмем, например, такое предложение, как "Наполеон
обладал всеми достоинствами, которые присущи великому полководцу".
Мы может интерпретировать это как имеющее смысл "Наполеон обладал
всеми предикатами, которые присущи великому полководцу". Здесь
имеется предикат, представляющий собой кажущуюся переменную. Если мы
положим "/(ф!г)" для ифЦ есть предикат, присущий великому
полководцу", то наше предложение станет
(ф)./(ф!г) влечет ф!Наполеон.
Поскольку оно ссылается на тотальность предикатов, то оно само по себе
не есть предикат Наполеона. Отсюда никоим образом, однако, не следует,
что не найдется некоторого одного предиката, общего и присущего
исключительно лишь великим полководцам. В действительности, конечно же,
такой предикат существует. Число великих полководцев конечно, и каждый
из них определенно обладает некоторым предикатом, которым не
обладает ни одно другое человеческое существо, например, точный момент его
рождения. Дизъюнкция подобных предикатов конституирует предикат,
общий и присущий лишь великим полководцам125. Если мы обозначим этот
125 Когда (конечный) набор предикатов задается пересчетом, то их дизъюнкция есть
предикат, так как никакой предикат не входит в виде кажущейся переменной в эту
дизъюнкцию.
А.Н.Уайтхед, Б.Рассел

132
ВВЕДЕНИЕ
предикат через \\f\z, то утверждение, сделанное относительно Наполсчша,
будет эквивалентно \у!(Наполеон). Эта эквивалентность имеет место в
равной степени, если мы подставим любой другой индивид вместо
Наполеона. Таким образом, мы достигли предиката, который всегда эквивалентен
свойству, которое мы связываем с Наполеоном, т.е. он принадлежит тем
объектам, которые обладают этим свойством, и никаким другим. Аксиома
сводимости утверждает, что такие предикаты существуют всегда, т.е.
любое свойство объекта принадлежит тому же самому собранию объектов,
что и объекты, обладающие некоторым предикатом.
Мы можем затем проиллюстрировать наш принцип на примере его
применения к тождеству. В этой связи оно имеет некоторое сходство с лейб-
ницевым тождеством неразличимых. Ясно, что если х и у тождественны,
а фJc истинно, то фу истинно. Здесь не может быть существенным то, какой
сорт функции фх возможен: утверждение должно иметь место для любой
функции. Однако мы не можем утверждать обратное: "Если со всеми
значениями ф ф* влечет фу, то л: и у тождественны", так как предложение
"все значения ф" недопустимо. Если мы пожелаем говорить о "всех
значениях ф", то мы должны ограничиться функциями одного порядка. Мы
можем ограничить ф предикатами или функциями второго порядка, или
функциями любого понравившегося порядка. Но мы обязательно должны
исключить функции всех порядков, за вычетом одного. Поэтому мы
получим, так сказать, иерархию различных степеней тождества. Мы можем
говорить, что "все предикаты х принадлежат у", "все свойства второго
порядка jc принадлежат у", и т.д. Каждое из этих утверждений влечет все
предыдущие утверждения: например, если все свойства второго порядка jc
принадлежат у, то все предикаты х принадлежат у, так как иметь все
предикаты jc есть свойство второго порядка, и это свойство принадлежит jc.
Однако мы не в состоянии без помощи аксиомы утверждать обратное, что
если все предикаты jc принадлежат у, то все свойства второго порядка jc
должны также принадлежать у. Таким образом, мы не в состоянии без
помощи аксиомы быть уверенными в том, что jc и у тождественны, если они
имеют одни и те же предикаты. Тождество неразличимых Лейбница дало
соответствующую аксиому. Следует заметить, что под "неразличимыми"
он не подразумевал два объекта, которые согласуются по всем своим
свойствам; одно из свойств х — быть тождественным jc, и поэтому это свойство
необходимо должно принадлежать у, если jc и у согласованы по всем
своим свойствам. Некоторое ограничение общих свойств, необходимых для
того, чтобы сделать объекты неразличимыми, подразумевается потребностью
в аксиоме. С иллюстративными целями (а не интерпретируя Лейбница)
мы можем предположить, что общие свойства, требуемые для
неразличимости, ограничиваются предикатами. Тогда тождество неразличимых будет
утверждать, что если jc и у согласованы по всем своим предикатам, то они
тождественны. Это можно доказать, если мы примем аксиому сводимости.
В таком случае каждое свойство принадлежит одному и тому же
собранию объектов, как это определяется некоторым предикатом.
Следовательно, найдется некоторый предикат, общий и присущий только тем объектам,
Principia Mathematica I

ГЛАВА II. ТЕОРИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ТИПОВ
133
которые тождественны х. Этот предикат принадлежит jc, поскольку х
тождественен сам себе; следовательно, он принадлежит у, поскольку у обладает
всеми предикатами х\ следовательно, у тождественен х. В итоге мы можем
определить тождественность х и у, когда все предикаты х принадлежат у,
т.е. когда (ф): флс. э . фу. Мы поэтому принимаем следующее определение
тождества126:
х = у. = : (ф): фх. э . фу Df.
Оставив в стороне аксиому сводимости или некоторую эвивалентную
в указанной связи аксиому, мы вынуждены были бы рассматривать
тождество как нечто неопределимое и допускать (что выглядит невозможным),
что два объекта могут быть согласованы по всем своим предикатам, не
будучи тождественными.
Аксиома сводимости еще более существенна в теории классов. Следует
заметить сначала, что если мы допускаем существование классов, то
аксиома сводимости может быть доказана. В таком случае для любой данной
функции ф!2 произвольного порядка найдется класс а, состоящий только
из тех объектов, которые удовлетворяют ф!г. Следовательно, "ф!лс"
эквивалентно "jc принадлежит а". Однако "jc принадлежит а" есть предложение,
не содержащее кажущихся переменных, а поэтому — предикативная
функция от х. Следовательно, если мы предположим существование классов, то
нет необходимости в аксиоме сводимости. Допущение аксиомы сводимости
есть не столь сильное допущение как существование классов. Это
последнее допущение до этого места было сделано без колебаний. Тем не менее
и на основании противоречий, которые требуют более сложного анализа,
если допускаются классы, и на том основании, что всегда лучше делать
менее сильные допущения, требуемые для доказательства наших теорем,
мы предпочитаем допускать аксиому сводимости, а не существование
классов. Для того чтобы объяснить применение аксиомы сводимости к классам,
необходимо сначала объяснить теорию классов, которая является
предметом главы III. Мы поэтому отложим до третьей главы объяснение
применения нашей аксиомы к классам.
Между тем стоит отметить, что всем тем целям, которым служит
аксиома сводимости, в равной степени прекрасно служит и предположение о
существовании функции порядка п (где п фиксировано), которая
формально эквивалентна ф!х, каков бы ни был порядок ф\х. Здесь под "функцией
порядка л" мы будем подразумевать функцию порядка п по отношению
к аргументам ф!х; поэтому если эти аргументы абсолютно порядка т, то
мы примем существование функции, формально эквивалентной фЦс, чей
абсолютный порядок есть пл-т. Аксиома сводимости в форме, принятой
выше, принимает п = 1, но в этом нет необходимости, чтобы применять
аксиому. Нет также необходимости в том, чтобы п было одним и тем же
для различных значений т; что действительно необходимо, так это, чтобы
п было постоянным, пока т постоянно. Необходимо, чтобы там, где дело
126 В этом определении второй знак равенства должен рассматриваться в объединении
с "Df" как единый символ; определяется же тот знак равенства, за которым не следуют
буквы "Df".
А.Н. Уайтхед, Б.Рассел

134
ВВЕДЕНИЕ
касается экстенсиональных функций от функций, мы были бы в
состоянии иметь дело с любой а-функцией посредством некоторой формально
эквивалентной функции некоторого данного типа, чтобы получить
результаты, которые в противном случае потребовали бы не легитимного понятия
"все а-функции"; не важно, какой есть данный тип. Не очевидно, однако,
что аксиома сводимости преобразуется нами в значительно более разумную
форму, данную выше, более общую, но и более сложную.
Аксиома сводимости эквивалентна предположению "любая комбинация
или дизъюнкция предикатов эквивалентна некоторому единому
предикату", т.е. предположению о том, что если мы утверждаем, что х
обладает всеми предикатами, которые удовлетворяют функции /(ф!г), то
найдется некоторый один предикат, которым будет обладать jc, когда наше
утверждение истинно, и которым х не будет обладать, когда оно ложно,
и также, если мы утверждаем, что х обладает одним из предикатов,
который удовлетворяет функции /(ф!г). Посредством этого предположения
порядок непредикативной функции может быть понижен на единицу;
следовательно, после некоторого конечного числа шагов мы будем в состоянии
получить из любой непредикативной функции формально эквивалентную
предикативную функцию. Маловероятно, что приведенное выше допущение
можно было бы подставить вместо аксиомы сводимости в символические
выводы, поскольку его использование потребовало бы явного введения
дополнительного предположения о том, что посредством конечного числа
шагов мы могли бы перейти от любой функции к предикативной функции,
а это предположение не могло бы быть правильно выдвинуто без
разработок, едва ли возможных на ранней стадии. Но на основе изложенного
выше ясно, что если приведенная выше альтернативная аксиома истинна,
то такова же и аксиома сводимости. Обратное, дополняющее
доказательство эквивалентности, разумеется, очевидно.
VII. Причины, по которым принимается аксиома сводимости
То, что аксиома сводимости самоочевидна, является предложением,
которое едва ли может быть оправдано. В действительности самоочевидность
есть не более чем часть причины, по которой аксиома принимается, и
никогда не может быть оставлена в стороне. Причина, по которой
принимается аксиома, как и любое другое предложение, всегда по большому счету
индуктивна, именно множество предложений, которые почти несомненны,
может быть выведено из нее, и не существует известного равноценно
разумного способа, посредством которого эти предложения могли бы быть
обоснованы как истинные, если бы аксиома была бы ложной, а также, что
из нее нельзя вывести то, что, вероятно, является ложным. Если аксиома
представляется самоочевидной, то это практически означает только то, что
127 Здесь предполагается, что комбинация или дизъюнкция предикатов дается
интенсионально. Данная экстенсионально (т.е. посредством нумерации), она не требует никаких
пред пол ожений; однако в этом случае число задействованных предикатов должно быть
конечным.
Principia Mathematica I

ГЛАВА II. ТЕОРИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ТИПОВ 135
она почти не подвергается сомнению для того, что считается
самоочевидным и ложность чего исключается. Если аксиома сама по себе почти не
подвергается сомнению, то это просто дополняет индуктивное
свидетельство, выводимое из того факта, что ее следствия почти не подвергаются
сомнению: самоочевидность не дает новых свидетельств радикально нового
типа. Непогрешимость никогда не достижима, а поэтому некоторый
элемент сомнения должен всегда быть связан с каждой аксиомой и всеми
ее следствиями. В формальной логике элемент сомнения меньше, чем в
большинстве наук, но он все же присутствует, как явствует из того
факта, что парадоксы следовали из посылок, которые не были ранее известны,
и невозможно было требовать их ограничений. В случае аксиомы
сводимости индуктивное свидетельство в ее пользу весьма сильно, поскольку
причины, по которым она принимается, и результаты, к которым она
приводит, таковы, что выглядят справедливыми. Хотя, по-видимому, крайне
невероятно, что указанная аксиома должна исключать ложные положения,
также в высшей степени невероятно, что она может оказаться выводимой
из некоторых других более фундаментальных и более очевидных аксиом.
Возможно, что использование принципа порочного круга, как в данной
выше иерархии типов, является более сильным, чем это необходимо, и его
менее сильное использование могло бы позволить избежать аксиомы
сводимости. Подобные изменения, однако, не привели бы к чему-то ложному,
утверждаемому на базе принипов, объясненных выше: они бы просто дали
более легкие доказательства тех же самых теорем. Поэтому, кажется,
имеются сравнительно небольшие опасения по поводу того, что использование
аксиомы сводимости может привести нас к ошибке.
VIII. Противоречия
Сейчас мы готовы продемонстрировать, как теория типов влияет на
разрешение противоречий, которые поразили128 математическую логику.
С этой целью мы начнем с перечисления некоторых важных
противоречий, а затем покажем, что они все включают заблуждения порочного круга
и, следовательно, их всех можно избежать, применяя теорию типов.
Будет отмечено, что эти парадоксы не относятся исключительно к
понятиям числа и количества. Соответственно никакое решение не может быть
адекватным, если оно ищет их объяснение просто как результат
некоторого нелегитимного использования этих понятий. Решение следует искать
в таком тщательном исследовании фундаментальных логических понятий,
какое было предпринято на предшествующих страницах книги.
(1) Самое старое противоречие принадлежит Эпимениду. Критянин
Эпименид сказал, что все критяне — лжецы, а все остальные
утверждения, сделанные критянами, являются определенно ложными. Была ли это
ложь? Простейшая форма этого противоречия проявляется, когда человек
говорит "Я лгу"; если он лжет, то он говорит правду, и наоборот.
128 В оригинале — beset. — Прим. перев.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

136 ВВЕДЕНИЕ
(2) Пусть w будет классом всех тех классов, которые не являются
элементами самих себя. Тогда, какой бы класс х ни был бы взят, "х есть w"
эквивалентно их не есть х". Следовательно, давая х значение w, имеем "w
есть w" эквивалентно "w не есть и>".
(3) Пусть Т будет отношением, которое существует между двумя
отношениями R и S, всякий раз, когда R не находится в отношении R к
S. Тогда какими бы ни были R и S, "R находится в отношении Т к 5"'
эквивалентно "R не находится в отношении R к 5"'. Следовательно,
придавая значение Т и /?, и S, "Г находится в отношении Г к Г" эквивалентно
"Г не находится в отношении Г к Г".
(4) Противоречие Бурали-Форти129 может быть сформулировано
следующим образом: может быть показано, что каждая вполне
упорядоченная серия имеет ординальное число, и что последовательность ординалов
вплоть до любого заданного ординала (включая и его самого) превосходит
данный ординал на единицу, а также, что (при определенных, весьма
естественных предположениях) последовательность всех ординалов (в порядке
возрастания) вполне упорядочена. Тогда последовательность всех
ординалов имеет ординальное число, скажем Q. Но в таком случае
последовательность всех ординалов, включая £2, имеет ординальное число Q+1, которое
должно быть больше, чем Q. Следовательно, Q не есть ординальное число
всех ординалов.
(5) Число слогов в английских именах конечных целых чисел имеет
тенденцию возрастать с ростом чисел и должно постепенно возрастать до
бесконечности, поскольку только конечное число имен может быть
составлено из данного конечного числа слогов. Следовательно, имена некоторых
целых чисел должны состоять, по меньшей мере, из девятнадцати слогов,
а среди них должно найтись наименьшее. Следовательно, "наименьшее
целое число, не именуемое менее чем девятнадцатью слогами" должно
обозначать некоторое вполне определенное число; в действительности оно
обозначает 111777. Но "наименьшее целое число, не именуемое менее чем
девятнадцатью слогами" есть само имя, состоящее из восемнадцати слогов 130;
следовательно, наименьшее целое число, не именуемое менее чем
девятнадцатью слогами, может быть именовано восемнадцатью слогами, что есть
141
противоречие .
(6) Среди трансфинитных ординалов некоторые могут быть
определены, а другие нет; общее число возможных определений есть No 132, а число
трансфинитных ординалов превышает No- Следовательно, должны
существовать неопределимые ординалы, а среди них должен быть наименьший.
Он определяется как "наименьший неопределимый ординал", что является
противоречием133.
129 «Una questione sui numeri transfiniti", Rendiconti del circolo mathematico di Palermo,
Vol. XI. (1897). Cm. *256.
130 В англ. языке. — Прим. перев.
131 Это противоречие было предложено нам G.G. Berry (Bodleian Library).
132 No есть число конечных целых чисел.
133 Ср. Konig, "Ueber die Grundlagen der Mengenlehre und das Kontinuumproblem", Math.
Annalen, V. LXI. (1905); A.C.Dixon, "On 'well-ordered' aggregates" Proc. London Math. Soc.
Principia Mathematica I

ГЛАВА II. ТЕОРИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ТИПОВ
137
(7) Парадокс Ришара134 подобен таковому для наименьшего
неопределимого ординала. Он заключается в следующем: рассмотрим все
десятичные дроби, которые могут быть определены с помощью конечного числа
слов; пусть Е — класс таких десятичных дробей. Тогда Е имеет No членов;
следовательно, его члены могут быть упорядочены как первый, второй,
третий, .... Пусть N будет числом, определенным следующим образом:
если /1-я цифра в десятичной дроби с номером п есть /?, то пусть л-я
цифра числа N есть р + 1 (или 0, если р = 9). Тогда N отличается от всех
членов Е, поскольку какое бы конечное значение п ни взять, /i-я цифра
в N отличается от /i-й цифры в /i-й десятичной дроби, составляющей класс
Е, а поэтому N отлично от /i-й десятичной дроби. Тем не менее мы
определили N с помощью конечного числа слов, и поэтому N должно быть
элементом Е. Таким образом, N одновременно является и не является
элементом Е.
Во всех этих противоречиях (которые представляют собой просто
подборку из бесконечного их числа) имеется одна общая деталь, которую мы
можем описать как самоотсылка или возвратность. Замечание Эпименида
должно включать само себя в свой собственный круг. Если все классы при
условии, что они не члены самих себя, являются членами и>, то это
должно так же применяться к и>; подобным образом и в случае противоречия
с отношениями. В случаях с именами и определениями парадоксы
происходят из-за рассмотрения невозможности именования и определимости как
элементов имен и определений. В случае парадокса Бурали-Форти серия,
чье ординальное число вызывает трудность, есть последовательность всех
ординальных чисел. В каждом противоречии что-то говорится о всех
случаях некоторого типа, а из того, о чем говорится, возникает новый случай,
который одновременно является и не является случаем того же самого
типа, что и случаи, которые были все задействованы в том, о чем говорилось.
Это характеристика не легитимных тотальностей, которые мы определили,
формулируя принцип порочного круга. Следовательно, все наши
противоречия есть иллюстрации заблуждений порочного круга. Остается только
показать, что упомянутые не легитимные тотальности исключаются
посредством иерархии типов, которую мы выстроили.
(1) Когда человек говорит "Я лгу", то мы можем интерпретировать его
утверждение как: "Существует предложение, которое я утверждаю и
которое является ложным". Т.е. он утверждает истинность некоторого
значения функции "я утверждаю р, и р ложно". Мы, однако, видели, что слово
"ложь" неопределенно, а для того чтобы сделать его определенным, мы
должны специфицировать порядок ложности, или, что приводит к тому
Series 2, V. IV. Part I. (1906); и E.W.Hobson, "On the Arithmetic Continuum", ibid
Решение, предложенное в последней из этих статей, зависит от изменения "аппарата
определений", а поэтому в общих чертах согласуется с решением, принятым в данной работе.
Однако это не лишает силы утверждение в тексте данной работы, если придать постоянный
смысл "определению".
134 Ср. Poincare, "Les mathematiques et la logique", Revue de Metaphysique et de Morale,
Mai 1906, особенно разделы VII и IX; а также Peano, Revista Mathematica, V. VIII. No. 5
(1906), p. 149 ff.
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

138
ВВЕДЕНИЕ
же, порядок предложения, которому приписывается ложность. Мы видели
также, что если р есть предложение порядка л, то предложение, в котором
р встречается в виде кажущейся переменной, уже не будет иметь порядок
л, а будет иметь более высокий порядок. Следовательно, тип истинности
или ложности, которым обладает предложение "существует предложение
р, которое я утверждаю и которое имело ложность порядка л", есть
истинность или ложность более высокого порядка, чем л. Следовательно,
утверждение Эпименида не попадает в пределы своего собственного круга, а
поэтому не возникает никаких противоречий.
Если мы рассматриваем утверждение "Я лгу" как компактный
способ одновременного высказывания следующих утверждений: "Я утверждаю
ложное предложение первого порядка", "Я утверждаю ложное
предложение второго порядка" и т.д., то мы обнаруживаем следующее курьезное
положение: так как не утверждается ни одного предложения первого
порядка, то утверждение "Я утверждаю ложное предложение первого порядка"
ложно. Это утверждение имеет второй порядок, следовательно, "Я
высказываю ложное утверждение второго порядка" истинно. Это утверждение
третьего порядка, причем единственное утверждение третьего порядка,
которое делается. Следовательно, утверждение " Я высказываю ложное
утверждение третьего порядка" ложно. Таким образом, мы видим, что
утверждение "Я высказываю ложное утверждение порядка 2л+1" ложно, хотя
утверждение "Я высказываю ложное утверждение порядка 2л" истинно.
В таком положении дел нет противоречия.
(2) Для разрешения противоречия о классе классов, которые не
являются элементами самих себя, мы предположим (это будет объяснено в
следующей главе), что предложение о классе всегда сводится к утверждению
о функции, которая определяет этот класс, т.е. о функции, которая
удовлетворяется элементами этого класса и никакими другими аргументами.
Поэтому класс есть объект, выведенный из функции и предполагающий
функцию, как например, (х). фх предполагает функцию фх.
Следовательно, в силу принципа порочного круга класс не может значимо быть
аргументом определяющей его функции, т.е. если мы обозначаем через "£(фг)"
класс, определенный посредством фг, то символ "ф{г(фг)}" должен быть
бессмысленным. Следовательно, класс и удовлетворяет и не
удовлетворяет определяющей его функции, а поэтому (как это выявится более
полно в главе III) есть и не есть элемент самого себя. Это непосредственное
следствие ограничения возможных аргументов функции, которое было
объяснено в начале настоящей главы. Таким образом, если а есть класс, то
утверждение "а не является элементом а" всегда бессмысленно, и поэтому
нет никакого смысла в обороте "класс тех классов, которые не являются
элементами самих себя". Следовательно, противоречие, проистекающее из
предположения, что такой класс существует, исчезает.
(3) В точности такие лее замечания применимы к предложению
"отношение, которое имеет место между R и S, как только R не находится
в отношении /?к5". Предположим, что отношение R определяется
функцией ф(х,у), т.е. R имеет место между х и у, как только ф(х,у) истинно, и ни
Principia Mathematica I

ГЛАВА II. ТЕОРИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ТИПОВ
139
в каком другом случае. Тогда, чтобы интерпретировать "R находится в
отношении R к S", мы будем предполагать, что R и S могут значимо быть
аргументами ф. Но, предполагая, как в главе III, что R предполагает свою
определяющую функцию, это требует, чтобы ф могла иметь в качестве
аргумента такой объект, который определяется в терминах ф, чего функция
делать не может, как мы видели в начале настоящей главы. Следовательно,
"R находится в отношении R к S" бессмысленно, а противоречие исчезает.
(4) Разрешение противоречия Бурали-Форти требует некоторых
дальнейших построений. На этой стадии достаточно заметить, что серия есть
отношение, а ординальное число —класс серий. (Эти утверждения
обосновываются в основной части работы.) Следовательно, последовательность
ординальных чисел есть отношение между классами отношений, и она
имеет более высокий тип, чем любые из серий, являющиеся элементами
рассматриваемых ординальных чисел. "Ординальное число всех ординалов"
Бурали-Форти должно быть ординальным числом всех ординалов данного
типа и поэтому должно быть более высокого порядка, чем любой из
ординалов. Следовательно, оно не находится среди указанных ординалов, и
нет противоречия в том, что оно больше, чем любой из них 135.
(5) Парадокс о "наименьшем целом, не именуемом менее чем
девятнадцатью слогами" заключает в себе, как это сразу же очевидно,
заблуждение порочного круга. Слово "именуемый" отсылает к тотальности имен, и
ему еще позволяется встречаться в том, что провозглашается одним из
имен. Следовательно, не должно найтись такого, как тотальность имен
в смысле, в котором об этом говорится в парадоксе "имен". Нетрудно
видеть, что в силу иерархии функций теория типов делает тотальность
"имен" невозможной. Мы можем фактически различать имена
различных порядков: (а) элементарные имена будут такими же, как и истинные
"собственные имена", т.е. согласованные названия, не включающие
никаких описаний; (Ь) имена первого порядка будут такими, что включают
описание посредством функции первого порядка; т.е. если ф! х есть
функция первого порядка, то "терм, который удовлетворяет ф! Jc" будет
именем первого порядка, хотя и не всегда найдется объект, именуемый этим
именем; (с) имена второго порядка будут такими, что включают описание
посредством функции второго порядка; среди таких имен найдутся такие,
которые включают ссылку на тотальность имен первого порядка. И так мы
можем продолжить построение полной иерархии имен. Однако ни на
какой стадии мы не можем приписать смысл слову "именуемый", если мы не
специфицируем порядок используемых имен; любое имя, в котором
встречается оборот "именуемый посредством имен порядка л", есть необходимо
имя более высокого порядка, чем п. Таким образом, парадокс исчезает.
Решения парадокса о наименьшем неопределимом ординале и парадокса
Ришара вполне аналогичны приведенным выше. Понятие "определимый",
которое встречается в обоих, есть почти такое же, как "именуемый",
которое встречается в пятом парадоксе: "определимый" есть то, чем становится
135 Решение парадокса Бурали-Форти посредством теории типов в деталях дается
в *256.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

140
ВВЕДЕНИЕ
"именуемый", когда исключаются элементарные имена, т.е. "определимый"
означает "именуемый посредством неэлементарного имени". Здесь имеется
точно такая лее неопределенность, встречавшаяся ранее, и точно такая лее
необходимость добавлять слова, которые специфицируют тот тип, к
которому принадлежит определение. И если тип может быть специфицирован,
то "наименьший ординал, не определимый посредством определений
этого типа" есть определение более высокого типа; в парадоксе Ришара,
когда мы ограничиваем себя, как и должно, десятичными дробями, которые
имеют определение данного типа, то число N, которое вызывает парадокс,
оказывается имеющим определение более высокого типа, а поэтому не
проникающим в пределы круга наших предыдущих определений.
Бесконечное число других противоречий похожей природы может быть
без труда построено в дополнение к данным семи. Решения парадоксов
будут иметь точно такой же тип. В них во всех появление противоречия
производится наличием некоторого слова, которое обладает
систематической неопределенностью, подобно словам истина, ложь, функция,
свойство, класс, отношение, кардинал, ординал, имя, определение. Любое такое
слово, если предвидится его типовая неопределенность, будет, по-видимому,
генерировать тотальность, содержащую элементы, определяемые в своих
собственных терминах, а поэтому приводить к возникновению заблуждений
порочного круга. В большинстве случаев заключения из аргументов,
которые вовлекают заблуждения порочного круга, не будут
самопротиворечивыми, но где бы ни появилась нелегитимная тотальность, небольшая доля
изобретательности позволит нам построить заблуждение порочного круга,
приводящее к противоречию, которое исчезает, как только типовая
неопределенность слов станет типово определенной, т.е. определенной в форме
принадлежности к тому или иному типу.
Таким образом, возникновение противоречий происходит всегда,
благодаря присутствию слов, заключающих скрытую типовую неопределенность,
а решение кажущегося противоречия лежит на пути выведения скрытой
неопределенности на свет.
Несмотря на противоречия, которые являются результатом
незамеченной типовой неопределенности, нежелательно избегать слов и символов,
обладающих типовой неопределенностью. Подобные слова и символы
охватывают практически все понятия, с которыми имеют дело математика и
математическая логика: систематическая неопредленность есть результат
систематической аналогии. Т.е. почти во всех рассуждениях, которые
составляют математику и математическую логику, мы используем понятия,
которые можем получить любым одним из бесконечного числа различных
типовых определений, любым одним, которое оставляет рассуждение
справедливым. Поэтому посредством использования типово неопределенных слов
и символов мы можем сделать одну цепь рассуждений приложимой к
любому одному из бесконечного числа различных случаев, что было бы
невозможно, если бы мы отрицали использование типово неопределенных слов
и символов.
Principia Mathematica I

ГЛАВА II. ТЕОРИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ТИПОВ
141
Среди предложений, полностью выражаемых в терминах типово
неопределенных понятий, практически только экзистенциональные теоремы
могут различаться по отношению к истинности и ложности в соответствии
с типовым определением, которое они получают. Если мы предположим,
что полное число индивидов есть л, то полное число классов индивидов
есть 2", полное число классов классов индивидов есть 22", и т.д. Здесь л
может быть как конечным, так и бескончным, и в любом случае 2п > п.
Поэтому кардиналы, превосходящие л, но не превосходящие 2П, существуют в
применении к классам классов, но не в применении к классам индивидов
так, что каким бы ни принять число индивидов, найдутся
экзистенциональные теоремы, которые будут иметь место для более высоких типов
и не будут иметь места для более низких типов. Даже здесь, пока число
индивидов не утверждается, а просто принимается гипотетически, мы
можем заменить тип индивидов любым другим типом при условии, что мы
сделаем соответствующее изменение во всех других типах, встречающихся
в том же контексте. Т.е. мы можем дать имя "относительные индивиды"
элементам произвольно выбранного типа т и имя "относительные классы
индивидов" классам "относительных индивидов", и т.д. Таким образом,
пока дело касается гипотетических построений, в которых показывается,
что экзистенциональные теоремы для одного типа влекут
экзистенциональные теоремы для другого типа, только относительные типы релевантны
в экзистенциональных теоремах. Это применимо также к случаям, когда
гипотеза (а поэтому и заключение) утверждается, при условии, что
утверждение имеет место для любого типа, каким бы его ни взять. Например,
любой тип имеет, по крайней мере, один элемент; следовательно, любой
тип, который состоит из классов какого-либо порядка, имеет хотя бы два
элемента. Дальнейшее следование этой теме должно быть оставлено для
основной части данной работы.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

142
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА III
НЕПОЛНЫЕ СИМВОЛЫ
(1) Описания. Под "неполным" символом мы подразумеваем символ,
относительно которого предполагается, что изолированно он не имеет
никакого значения, а определен лишь в некотором контексте. Например, в
обычной математике j-x и J есть неполные символы: что-то должно быть
добавлено перед тем, как мы получим что-либо, имеющее смысл. Такие символы
обладают тем, что мы можем назвать "определением при использовании7'.
Таким образом, если мы полагаем
дх2 ду2 dz2
то мы определяем использование V2, но само V2 остается без значения. Это
отличает такие символы от того, что (в обобщенном смысле) мы можем
называть собственными именами: собственное имя "Сократ", например,
замещает определенного человека, а поэтому имеет значение само по себе,
без всякой необходимости включения в контекст. Если имеется контекст
как в предложении "Сократ смертен", то этими словами выражается факт,
в котором сам Сократ выступает как конституент: есть определенный
объект, именно Сократ, который обладает свойством быть смертным, и этот
объект есть конституент того сложного факта, который мы утверждаем,
когда говорим "Сократ смертен". Однако в других случаях такой простой
анализ нас подводит. Допустим, мы говорим: "Круглый квадрат не
существует". Ясно, по-видимому, что это истинное утверждение, и еще мы не
можем рассматривать его как отрицание существования определенного
объекта, называемого "круглый квадрат". Если бы такой объект был, то он
должен был бы существовать: мы не можем сначала принять, что
определенный объект есть, а затем перейти к отрицанию того, что подобный
объект есть. Как только грамматический субъект предложения может
предполагаться не существующим без превращения этого предложения в
бессмысленное, то ясно, что грамматический субъект не является
собственным именем, т.е. не является именем, прямо представляющим некоторый
объект. Таким образом, во всех подобных случаях предложение должно
допускать такой анализ, чтобы то, что было грамматическим субъектом,
исчезло. Поэтому когда мы говорим "круглый квадрат не существует", мы,
возможно, сначала пытаемся провести такой анализ, подставляя "ложно,
что есть объект х, который одновременно круглый и квадратный".
Вообще, когда говорится, что " единственный такой-то"136 не существует, то мы
имеем предложение формы137
"~Е!(1*)(ф;с)",
т.е.
~[(.Яс):фх.=х.х = с}
136 Напомним, что так мы переводим англ. оборот "the so-and-so". — Прим. перев.
137 Ср. с. 102, 104.
Principia Mathematica I

ГЛАВА III. НЕПОЛНЫЕ СИМВОЛЫ
143
или некоторой эквивалентной. Здесь кажущийся грамматический субъект
(ис)(фх) полностью исчез; поэтому в "~Е! (1*)(фх)" (1*)(фх) есть неполный
символ.
Распространяя указанный выше аргумент, можно легко показать, что
(ис)(фх) всегда есть неполный символ. Возьмем, например, следующее
предложение: "Скотт —автор Вейверли". [Здесь "автор Вейверли" есть
(ijc)(jc написал Вейверли).] Это предложение выражает тождество; поэтому
если "автор Вейверли" не могло быть взято в качестве собственного имени,
а предположительно стоит вместо некоторого объекта с, то предложение
должно было бы быть "Скотт есть с". Однако если с все, что угодно,
исключая Скотта, то это предложение ложно; в то же время, если с есть
Скотт, то предложение становится "Скотт есть Скотт", что тривиально и
отличается от "Скотт —автор Вейверли". Обобщая, мы видим, что
предложение
а = (1*)(фх)
— одно из таких, которые могут быть истинными или могут быть
ложными, но никогда — просто тривиальными, как а = а\ в то же время, если
(ис)(фх) было бы собственным именем, то а = (1*)(фх) необходимо было бы
либо ложным, либо тем же самым тривиальным предложением а = а. Мы
можем выразить это, сказав, что а = (ис)(фх) не есть значение
пропозициональной функции а = у, откуда следует, что (1*)(фх) не есть значение у. Но
поскольку у может быть любым, то, следовательно, (1*)(фх) есть ничто.
Следовательно, поскольку при использовании (ис)(фх) имеет смысл, то это
выражение должно быть неполным символом. Можно было бы предположить,
что "Скотт—автор Вейверли" утверждает, что "Скотт" и "автор
Вейверли" есть два имени одного и того же объекта. Однако недолгое
размышление показывает, что это было бы ошибкой. Если бы это было значением
"Скотт —автор Вейверли", то для его истинности потребовалось бы, чтобы
Скотт был назван автором Вейверли: если он был так назван, то
предложение было бы истинным, даже если кто-нибудь еще написал Вейверли;
в то же время, если никто так его не называл, то предложение должно
быть ложным, даже если он написал Вейверли. В действительности он был
автором Вейверли в то время, когда никто не называл его так, и он не
был бы автором, если каждый называл его так, но кто-нибудь другой
написал Вейверли. Таким образом, предложение "Скотт—автор Вейверли"
не есть предложение об именах, подобно "Наполеон есть Бонапарт"; это
иллюстрирует смысл, в каком "автор Вейверли" отличается от подлинно
собственного имени.
Итак, все обороты (отличные от предложений), содержащие
детерминатив единственного числа138, есть неполные символы: они приобретают
смысл при их использовании, а не изолированно. "Автор Вейверли" не
может означать то же самое, что и "Скотт", или "Скотт—автор
Вейверли" означало бы то же самое, что "Скотт есть Скотт", что, очевидно, не
так; не может "автор Вейверли" означать что-либо другое, отличное от
138 В англ. языке соответствующий детерминатив есть the. — Прим. перев.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

144
ВВЕДЕНИЕ
"Скотт", или "Скотт —автор Вейверли" было бы ложно. Следовательно,
"автор Вейверли" ничего не означает.
Из изложенного выше следует, что мы не должны пытаться
определить "(ix)((j)jc)", а должны определить случаи использования этого символа,
т.е. предложения, в которые входит это символическое выражение. В
поисках определения использования этого символа важно следить за значением
предложений, в которых он встречается. В качестве иллюстрации возьмем
предложение "Автор Вейверли был поэт". Это влечет (1), что Вейверли
было написано, (2), что это сочинение было написано одним человеком,
а не в сотрудничестве, (3), что единственный человек, написавший его,
был поэтом. Если хотя бы одно из них не соответствует
действительности, то исходное предложение ложно. Таким образом, предложение "автор
'Slawkenburgius on Noses' был поэт" ложно, так как такая книга вообще
не была написана; "автор 'Трагедии служанки' был поэт" ложно, так как
эта пьеса была совместно написана Бьюмонтом и Флетчером. Указанные
две возможности ложности не возникают, если мы говорим "Скотт был
поэтом". Поэтому наша интерпретация использований (ис)(фх) должна быть
такой, чтобы допускать их. Принимая фх в качестве замещения "jc написал
Вейверли", ясно, что любое утверждение, гласящее о (ис)(флс), требует (1)
(Я*)(Ф*) и (2) Ф* • фу • ^>х,у '* = У\ здесь (1) утверждает, что, по крайней
мере, один объект удовлетворяет фд, а (2) — что самое большее один объект
удовлетворяет фх. Оба вместе эквивалентны
(Зс):фх.=х.х = с,
что мы определили как
Е ! (тх)(фх).
Таким образом, "Е! (ис)(фх)" должно быть частью того, что утверждается
любым предложением о (ис)(ф;с). Если наше предложение есть f {Ьх)(фх)}>
то далее утверждается /с, если фд:. =х . х = с. Поэтому мы имеем
/{(тх)(фх)}. = :(Яс):фх.=х.х = с:/с Df,
т.е. "jc, удовлетворяющий фд, удовлетворяет /jc" имеет смысл: "существует
объект с такой, что фд истинно, тогда и только тогда, когда х есть с и
fc истинно" или более точно: "существует объект с такой, что 'фд' всегда
эквивалентно 'д есть с' и /с". Здесь "(1д)(фд)" полностью исчезло; поэтому
"(1д)(фд)" чисто символично и не представляет прямо никакого объекта так,
как это делает строчная латинская буква139.
Предложение "а = (1д)(фд)", как нетрудно заметить, эквивалентно
"фд:. =х . х = а". На основании определения это есть
(Яс):фх.=х.х = с:а = с,
т.е. "найдется с, для которого флг. =л . jc = с, и это с есть а", что
эквивалентно фх.=х ,х = а. Поэтому "Скотт —автор Вейверли" эквивалентно
"'jc написал Вейверли' всегда эквивалентно 'jc есть Скотт"',
т.е. "jc написал Вейверли" истинно, когда jc есть Скотт, и ложно, когда jc
не есть Скотт.
139 Далее мы будем обычно писать "/(ис)(ф*)", а не "/{(иХФ*)}"-
Principia Mathematica I

ГЛАЗА III. НЕПОЛНЫЕ СИМВОЛЫ
145
Таким образом, несмотря на то, что "(ис)(фх)" не имеет смысла сам
по себе, он может быть подставлен вместо у в любую пропозициональную
функцию fy, и мы получим значимое предложение, хотя и не значение fy.
Когда /{(ис)(фх)}, как определено выше, образует часть некоторого
другого предложения, мы будем говорить, что (ис)(фх) имеет вторичное
вхождение. Когда (ис)(фх) имеет вторичное вхождение, то предложение, в
которое он входит, может быть истинным, даже когда (1х)(фх) не существует.
Это применимо, например, к предложению: "Нет такой личности, как
король Франции". Мы можем интерпретировать это как
~{Е!(исХф*)},
или как
И(ас).с = (1*)(фх)},
если фх замещает "jc есть король Франции". В каждом из двух случаев
утверждается, что предложение /?, в которое входит (1*)(фх), ложно, и
предложение р есть поэтому часть объемлющего предложения. То же самое
применимо к такому предложению, как: "Если бы Франция была
монархией, то король Франции был бы из Дома Орлеанов".
Следует заметить, что такое предложение, как
~/{(«)(фх)},
неопределенно; оно может отрицать / {(ис)(флг)}, и в этом случае оно будет
истинным, если (ис)(флг) не существует, или оно может иметь смысл
(£с):фх.=х.х = с:~/с,
и в этом случае оно истинно, только если (ис)(флг) существует. В обычном
языке, как правило, должна приниматься последняя интерпретация.
Например, предложение "король Франции не лысый" должно быть
отвергнуто как ложное, будучи скорее имеющим смысл "король Франции
существует, и он не лысый", а не "ложно, что король Франции существует, и
он лысый". Когда (ис)(флг) существует, две интерпретации неопределенности
дают эквивалентные результаты; но когда (1*)(фх) не существует, то одна
интерпретация истинная и одна ложная. Необходимо уметь различать их
в наших обозначениях; вообще, если мы имеем такие предложения, как
\|/(1*)(фх). => . р,
р . =>. \|/ (гк)(ф*),
\|/(<иг)(фх). =>. х (г*)(ф*),
и т.д., то мы должны быть в состоянии различать посредством наших
обозначений, следует ли трактовать все или только часть рассматриваемого
предложения как "/(ис)(флг)" нашего определения. С этой целью мы будем
писать "[(ис)(фх)]", за которым следуют точки в начале части (или всего)
того, что должно быть взято как /(ис)(флг), а количества точек должно
быть достаточно для того, чтобы указать скобками /(ис)(флг); т.е. /(ис)(флг)
должно представлять собой все, следующее за точками, пока мы не
достигнем равного количества точек, не обозначающих логического произведения
или большего их количества, обозначающего логическое произведение, или
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

146
ВВЕДЕНИЕ
конца предложения или окончания скобок, заключающих "[0*)(Ф*)]"-
Таким образом,
[0х)(фх)].\1/(1х)(фх).э./7
будет означать
(3 с) : фд:. =х . х = с: \|/с: э . р,
но
[(1*)(фл:)]: \|/ (лхЩх) .z>.p
будет означать
(дс): фх. =х . х = с:\j/c. э .р.
Важно различать указанные две ситуации, если (ис)(фх) не существует, то
первое истинно, а второе ложно. Снова
[0*)(фл)].~\|/(1х)(фх)
будет означать
(rc) : §х. =х.х = с: ~ус,
в то время как
-{[(«)(фх)].чг(ис)(фх)}
будет иметь смысл
~ {(ЭО : фл: - =х • х = с : \j/c}.
Здесь опять, когда (1*)(фх) не существует, первое выражение ложно, а
второе — истинно.
Чтобы избежать неопределенности в предложениях, содержащих
Ол;)(фх), мы подправим наше определение, или скорее обозначение,
полагая
[(1*)(фх)]. /(чх)(фх) . = :яс:фх.=х.х = с:/с Df.
С помощью этого определения мы избегаем всех сомнений относительно
той части целого утверждаемого предложения, которое следует
рассматривать как "/(ис)(флг)" определения. Указанная часть будет называться
областью (ис)(фх). Поэтому в
К«)(фх)]./(тх)(фх).э.р
область (чх)(фх) есть /(ис)(ф.к); однако в
[(1х)(фх)]:/(«)(фх).э.р
область есть /(ис)(флг). э . р\ в
-{[(«)(фх)]./(ис)(фх)}
область есть /(ис)(флг); но в
{[(тх)(фх)].-/(ис)(фх)}
область есть ~ /(ис)(флг).
В дальнейшем будет видно, что когда (ис)(флг) имеет в качестве
области целиком все предложение, то предложение не может быть истинным,
если только не будет иметь место Е! (ис)(флг); однако когда (ис)(флг) имеет
в качестве области только часть рассматриваемого предложения, то это
предложение часто будет истинным, далее когда (ис)(флг) не существует.
Затем также видно, что когда Е ! (1*)(фх), то мы можем увеличить или
уменьшить область (ис)(флг) настолько, насколько пожелаем, не изменяя при этом
истинностного значения любого предложения, в котором оно встречается.
Если предложение содержит два описания, скажем (ис)(флг) и (ijc)(\|/jc),
то мы должны различать, какое из них обладает большей областью, т.е.
Principia Mathematica I

ГЛАВА III. НЕПОЛНЫЕ СИМВОЛЫ
147
мы должны различать
(1) КисКфх)]: [(тхКчгх)]. / {(ис)(фх), (w)(Vx)},
(2) [(w)(VJc)]: [(тх)(фх)]. / КтхХфх), (wXV*)}-
Первое из них, после удаления (ис)(флг), становится
(3) (дс): фх. =х . х = с: [(i*XV*)]. / {с, (i*XV*)b
а после удаления (ijc)(\|/jc) —
(4) (3с):. фх. =х . д: = с:. (g J): \|/х. =* . х = с: / (с, d),
и получается в точности такое же предложение, если в (1) мы удалим
сначала (ijc)(\j/jc), а затем (ис)(флг). Аналогично, когда устраняются (1*)(фх)
и (ut)(\|fjt), (2) становится
(5) (a d) :.yx.=x.x = d:. (gc): фх. =* . х = с: / (с, d).
Предложения (4) и (5) эквивалентны, поэтому истинностное значение
предложения, содержащего два описания, не зависит от вопроса, какое из
них имеет большую область.
В дальнейшем будет найдено, что в большинстве случаев, в которых
встречаются описания, их область есть на практике наименьшее
предложение, заключенное в точки или другие ограничители, в котором они
содержатся. Таким образом, например,
[(ъкХф*)] • Ч> 0*ХФ*) • =э • [(1*ХФ*)] • X (1*ХФ*)
будет встречаться значительно чаще, чем
[(ъкХфх)]: V (1*ХФ*) • => • X 0*ХФ*)-
По этой причине удобно выработать решение, что когда область вхождения
(ис)(флг) есть наименьшее предложение, заключенное в точки или другие
ограничители, в котором содержится указанное вхождение, то область не
нуждается в указании посредством "[(г*ХФ*)]"- Поэтому, например,
р .z> .а = (ix)($x)
будет иметь смысл
р. z> . [(г*Хф*)] •а = (1*ХФ*);
р . z> . (да) . а = Ьх)(фх)
будет иметь смысл
р . =>. (да). [(1*ХФ*)] •а = 0*ХФ*);
р . => . а Ф (лх)($х)
будет иметь смысл
р . => . [(1*)(ф*)]. ~ {а = (гкХф*)};
но
р . =>. - {а = (ъкХф*)}
будет иметь смысл
р. => . ~ {[(1х)(фх)]. а = (ъкХф*)} ■
Это соглашение позволяет нам в подавляющем большинстве
действительно встречающихся случаев обходиться без явного указания области
дескриптивного символа; и оно также согласуется с молчаливо
подразумевающимися в этом вопросе соглашениями обычного языка. Таким образом,
например, если "(ис)(фх)" является оборотом "единственный такой-то", то
"аф (исХфлг)" следует читать "а не есть единственный такой-то", что
обычно должно считаться как подразумевающее, что "единственный такой-то"
существует; однако "~ {(ис)(фх)}" следует читать "не является истинным то,
А.Н. Уайтхед, Б.Рассел

148
ВВЕДЕНИЕ
что а есть единственный такой-то", чему обычно позволяется иметь место,
если "единственный такой-то" не существует. Разумеется, обычный язык
более свободен и менее устойчив в своих значениях на этот счет; однако
при условии соблюдения требования определенности наше соглашение, по-
видимому, остается близким к обычному языку настолько, насколько это
возможно.
В том случае, когда наименьшее предложение, заключенное в точки или
другие ограничители, содержит два или более описаний, мы будем
принимать при отсутствии каких-либо указаний об обратном, что то описание,
которое при написании встречается раньше, имеет большую область, чем
то, которое встречается позже. Таким образом,
(т*)(ф*) = (ix)(\|/*)
будет иметь смысл
(Зс): фх. =х . х = с: [(ix)(\j/x)]. с = Ьх)(ух\
а
(<ur)(\|/x) = Ол;)(фх)
будет иметь смысл
(Я^О : Vх • -х •х = d: [(1*)(фх)]. (ис)(фх) = d.
Нетрудно видеть, что эти два предложения эквивалентны.
(2) Классы. Символы для классов, подобно символам для описаний,
являются в нашей системе неполными символами: их использование
определяется, но сами по себе они не предполагаются имеющими какое-либо
значение. Т.е. использование подобных символов определяется таким
образом, что когда определяющее подставляется на место определяемого, то
больше не остается никакого символа, который мог бы
предположительно представлять какой-либо класс. Поэтому классы, так как мы их ввели,
являются просто удобными символическими или лингвистическими
конвенциями, а не подлинными объектами, как их элементы, если таковые есть
индивиды 140.
Существует один старый спорный момент, должна ли формальная
логика иметь дело в основном с интенсиями или с экстенсиями. В общем
ученые-логики, чья деятельность в основном имела философский план,
решили вопрос в пользу интенсий, а те, чья деятельность была связана
с математикой, решили его в пользу экстенсий. В действительности дело
обстоит, по-видимому, следующим образом: когда математическая логика
требует экстенсий, философская логика не дает ничего, кроме интенсий.
Наша теория классов признает и примиряет эти два, по-видимому,
противоположных факта, показывая, что экстенсия (что есть то же, что и
класс) есть неполный символ, смысл которого всегда приобретается при
его использовании через ссылку к интенсий.
В случае описаний оказалось возможным доказать, что они
представляют собой неполные символы. В случае классов нам не известно никакого
в равной степени определенного доказательства, хотя более или менее
убедительные аргументы могли бы быть извлечены из античной проблемы
140 Здесь А.Уайтхед и Б.Рассел отказывают классам в самостоятельной
сущности. — Прим. ред.
Principia Mathematica I

ГЛАВА III. НЕПОЛНЫЕ СИМВОЛЫ
149
Один и Много141. Тем не менее нашей целью не является догматически
утверждать, что не существует того, что называется классами. Для нас
целесообразно лишь продемонстрировать, что неполные символы, которые
мы ввели в качестве представителей классов, охватывают все те
предложения, во имя которых о классах молено было бы думать как о чрезввычай-
но важных вещах. После того как это было показано, принцип экономии
примитивных понятий приводит к введению классов исключительно как
неполных символов.
Для того чтобы объяснить теорию классов, необходимо прежде
всего разъяснить различие между экстенсиональными и интенсиональными
функциями. Это достигается посредством следующих определений:
Истинностное значение предложения есть истина, если оно истинно,
и ложь, если оно ложно. (Это выражение принадлежит Фреге.)
Говорят, что два предложения эквивалентны, когда они имеют одно
и то же истинностное значение, т.е. когда они оба либо истинны, либо
ложны.
Говорят, что две пропозициональные функции формально
эквивалентны, когда они эквивалентны с каждым возможным аргументом, т.е.
когда любой аргумент, который удовлетворяет одной функции, удовлетворяет
также и другой, и обратно. Поэтому "Jc есть человек" формально
эквивалентно "Jc есть двуногое, лишенное перьев"; "Jc есть четное простое число"
формально эквивалентно "Jc тождественно 2".
Функция от функции называется экстенсиональной, когда ее
истинностные значения с любым аргументом точно такие же, как и с любым
формально эквивалентным аргументом. Другими словами, /(фг) есть
экстенсиональная функция от фг, если при условии, что \уг формально
эквивалентна фг, / (фг) эквивалентна / (\yz). Здесь кажущиеся переменные ф и у
есть необходимо такого типа, для которого аргументы могут быть значимо
приписаны /. Мы нашли, что нет никакой необходимости использовать как
кажущиеся переменные функции непредикативных типов; соответственно
в последующем изложении все рассматриваемые экстенсиональные
функции представляют собой в действительности функции от предикативных
функций142.
Функция от функции нзывается интенсиональной, когда она не
является экстенсиональной.
Природа и значение различия между экстенсиональными и
интенсиональными функциями будут более ясными, если мы рассмотрим
некоторые примеры. Предложение "'jc есть человек' всегда влечет 'jc смертен'"
есть экстенсиональная функция от функции "Jc есть человек", так как мы
можем подставить "jc есть двуногое, лишенное перьев" вместо "jc есть
человек" или любое другое утверждение, которое применимо к тем же самым
141 В двух словах эти аргументы сводятся к следующему: если существует такой
объект, как класс, то он должен быть в некотором смысле одним объектом. Много может
быть сказано только о классах. Следовательно, если мы признаем классы в качестве
объектов, то мы обязаны предполагать, что один и тот же объект может быть и одно, и
много, что, по-видимому, невозможно.
142 Ср. с. 128.
А.Н.Уайтхед, Б.Рассел

150
ВВЕДЕНИЕ
объектам, к которым применимо "jc есть человек", и не применимо ни к
каким другим. Однако предложение "А уверен в том, что 'jc есть
человек' всегда влечет 'jc смертен'" есть интенсиональная функция от "jc есть
человек", так как А, возможно, никогда прежде не рассматривал вопроса
о том, смертны ли двуногие, лишенные перьев, или, возможно,
ошибочно полагал, что двуногие, лишенные перьев, бессмертны. Таким образом,
даже если "jc есть двуногое, лишенное перьев" формально эквивалентно
"jc есть человек", то никоим образом не следует, что тот, кто уверен в том,
что все люди смертны, должен быть уверен в том, что двуногие,
лишенные перьев, смертны, поскольку он, возможно, никогда не задумывался
о двуногих, лишенных перьев, или предполагал, что двуногие, лишенные
перьев, не всегда есть люди. Еще один пример. Предложение "число
аргументов, удовлетворяющих функции ф! z, есть л" есть экстенсиональная
функция от ф! z, так как его истинность или ложность не изменяется от
того, что мы подставляем вместо ф! z любую другую функцию, которая
истинна, как только ф! z истинна, и ложна, как только ф ! z ложна.
Однако предложение "А утверждает, что число аргументов, удовлетворяющих
функции ф! 2, есть л" есть интенсиональная функция от ф! z, поскольку,
если А утверждает это о ф! z, то Л определенно не может утверждать то
же о всех предикативных функциях, которые эквивалентны ф! 2, так как
жизнь слишком коротка. Рассмотрим далее предложение "два белых
человека заявили, что они достигли Северного полюса". Это предложение
утверждает, что "два аргумента удовлетворяют функции 'Jc есть белый
человек, заявивший, что он достиг Северного полюса'". На истинность или
ложность этого предложения не повлияет, если вместо "Jc есть белый
человек, заявивший, что он достиг Северного полюса" подставим любое
другое предложение, которое имеет место для тех же самых аргументов и ни
для каких других. Следовательно, это экстенсиональная функция. Однако
предложение "это странное совпадение, что два белых человека заявили,
что они достигли Северного полюса" утверждает, что "это странное
совпадение, что два аргумента должны удовлетворять функции 'Jc есть белый
человек, заявивший, что он достиг Северного полюса'", не эквивалентно
"это странное совпадение, что два аргумента должны удовлетворять
функции 'Jc есть д-р Кук или коммандор Пири'". Таким образом, "это странное
совпадение, что два аргумента должны удовлетворять функции ф! Jc" есть
интенсиональная функция от ф! Jc.
Приведенные выше примеры иллюстрируют тот факт, что функции от
функций, с которыми в особенности имеет дело математика, являются
экстенсиональными, и что интенсиональные функции от функций
встречаются лишь там, где вводятся нематематические понятия, такие как
уверенность кого-либо в чем-либо или эмоции по поводу некоторого факта.
Следовательно, совершенно естественно, что в математической логике
специальный акцент делается на экстенсиональных функциях от функций.
Когда две функции формально эквивалентны, мы можем сказать, что
они имеют один и тот же объем. В этом определении мы находимся
в согласии с практическим использованием. Мы не предполагаем, что суще-
Principia Mathematica I

ГЛАВА III. НЕПОЛНЫЕ СИМВОЛЫ
151
ствует нечто такое, как экстенсия: мы просто определяем целиком оборот
"имеющие один и тот же объем". Сейчас мы можем сказать, что
экстенсиональная функция от функции есть таковая, чья истинность или ложность
зависит лишь от экстенсии (объема) ее аргумента. В таком случае
удобно рассматривать утверждение как таковое об объеме. Поскольку
экстенсиональные функции важны и многочисленны, то совершенно
естественно рассматривать объем как объект, называемый классом, который
предполагается субъектом всех эквивалентных утверждений о различных
формально эквивалентных функциях. Поэтому, например, если мы говорим
"было двенадцать Апостолов", то совершенно естественно рассматривать
это утверждение как приписывание свойства быть в количестве двенадцати
некоторому собранию людей, именно тем людям, которые были
Апостолами, а не как приписывание свойства удовлетворять функцию "х был
Апостолом" двенадцатью аргументами. Этой точке зрения способствует
ощущение того, что существует нечто тождественное в случае двух функций,
"имеющих один и тот же объем". Если мы возьмем такую простую
проблему, как "сколько комбинаций может быть составлено из п предметов?",
то с первого взгляда кажется необходимым, чтобы каждая "комбинация"
была бы единым объектом, который мог бы быть подсчитан как один. Это,
однако, совсем не требуется технически, и мы не видим причин
предполагать, чтобы это было истинным философски. Техническая процедура,
посредством которой преодолевается кажущееся затруднение, описывается
ниже.
Мы уже видели, что экстенсиональная функция от функции может
рассматриваться как функция класса, определенного функцией-аргументом,
а интенсиональная функция так рассматриваться не может. Для того
чтобы избежать необходимости давать различные трактовки интенсиональным
и экстенсиональным функциям от функций, мы построим некоторую
экстенсиональную функцию, выведенную из любой функции от
предикативной функции \|/! z и имеющую свойство быть эквивалентной той функции,
из которой она выводится, при условии, что она экстенсиональна, а
также свойство быть значимой (благодаря систематической неопределенности
эквивалентности) с любым аргументом ф2, чьи аргументы в свою очередь
имеют тот же самый тип, что и аргументы \\f! z. Функция, выведенная
указанным образом, записывается как "/{2(фг)}" и определяется следует
ниже: для данной функции / (\у! z) выведенная функция есть " существует
предикативная функция, которая формально эквивалентна фг и
удовлетворяет /". Если ф£ есть предикативная функция, то выведенная функция
будет истинной, как только /(фг) истинна. Если / (ф£) — экстенсиональная
функция, а фг — предикативная функция, то выведенная функция не будет
истинной, если /(фг) не истинна; поэтому в этом случае выведенная
функция эквивалентна /(ф2). Если /(фг) не является экстенсиональной
функцией, а фг — предикативная функция, то выведенная функция может быть
в некоторых случаях истинной, когда оригинальная функция ложна. Но
в любом случае выведенная функция всегда экстенсиональна.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

152
ВВЕДЕНИЕ
Для того чтобы выведенная функция была значима для любой
функции фг, каков бы ни был ее порядок, при условии, что она допускает
аргументы правильного типа, необходимо и достаточно, чтобы f(ylz) была
значимой, где у! z — любая предикативная функция. Смысл этого условия
состоит в том, что относительно аргумента ф2 мы принимаем лишь
гипотезу о том, что он формально эквивалентен некоторой предикативной
функции \\f! z, а формальная эквивалентность имеет тот же самый тип
систематической неопределенности, что и тип, принадлежащий истинности и
ложности, и поэтому она может иметь место между двумя функциями любых
двух различных порядков при условии, что функции принимают
аргументы одного и того же типа. Поэтому с помощью выведенной функции мы
не просто обеспечили возможность заменять интенсиональную функцию
экстенсиональной, а мы практически устранили потребность исследования
различий типа для функций, чьи аргументы имеют один и тот же тип.
Это имеет результатом некоторое упрощение в нашей иерархии, как бы
проистекающее из рассмотрения исключительно предикативных функций.
Если / (\|/! z) может быть построена посредством примитивных понятий
дизъюнкции, отрицания, (х). фх и (gjc). фх, как в случае всех функций от
функций, явно встречающихся в настоящей работе, то в дальнейшем
будет обнаружено, в силу систематической неопределенности указанных
выше примитивных понятий, что любая функция фг, чьи аргументы имеют
тот же самый тип, что и \у! z, может быть значимо подставлена на
место \|f! z в / без любого другого изменения в символике. Таким образом,
в подобном случае то, что символически (но не в реальности) является
одной и той же функцией /, может принимать в качестве аргументов
функции нескольких различных типов. Если с данным аргументом фг функция
/ (фг), таким образом интерпретированная, эквивалентна / (\у! г), как
только \у! z формально эквивалентна ф2, то /{2(фг)} эквивалентна /(фг) при
условии, что найдется предикативная функция, формально эквивалентная
фг. В этом месте мы применим аксиому сводимости, согласно которой
всегда найдется предикативная функция, формально эквивалентная фг.
Как было объяснено выше, удобно рассматривать экстенсиональную
функцию от функции, как имеющую в качестве своего аргумента не
функцию, а класс, определяемый этой функцией. Мы видели, что
выведенная нами функция всегда экстенсиональна. Следовательно, если исходная
функция была /(у! г), то мы записываем выведенную из нее функцию
как /{2(фг)}, где "2(фг)" может быть прочитано как "класс аргументов,
удовлетворяющих ф£" или более просто "класс, определяемый ф£". Таким
образом, "/{г(фг)}" будет означать "найдется предикативная функция \у!г,
которая формально эквивалентна фг, и такая, что f(ylz) истинна". В
действительности это есть функция от фг, но мы трактуем ее символически,
как если бы она имела аргумент 2(фг). С помощью аксиомы сводимости
мы находим в результате обычные свойства классов. Например, две
формально эквивалентные функции определяют один и тот же класс, и
обратно, две функции, которые определяют один и тот же класс, формально
эквивалентны. Утверждение, что х есть элемент г(фг), т.е. класса, опреде-
Principia Mathematica I

ГЛАВА III. НЕПОЛНЫЕ СИМВОЛЫ
153
ляемого фг, истинно, когда фх истинно, и ложно, когда фх ложно. Поэтому
все цели в математике, для которых, по-видимому, могли бы
потребоваться классы, достигаются посредством чисто символических объектов 2(фг)
при условии, что мы принимаем аксиому сводимости.
В силу аксиомы сводимости, если ф£ есть любая функция, то
найдется формально эквивалентная предикативная функция \у! г, в таком случае
класс г(фг) тождественен классу z(y\z) так, что каждый класс может быть
определен посредством предикативной функции. Следовательно,
тотальность классов, о которой можно значимо утверждать, что данный терм
принадлежит или не принадлежит ей, есть легитимная тотальность, несмотря
на то, что тотальность функций, о которой можно значимо утверждать,
что данный терм принадлежит или не принадлежит ей, не является
легитимной тотальностью. Классы, которым данный терм а принадлежит или
не принадлежит, есть классы, определяемые а-функциями; они также
являются классами, определяемыми предикативными а-функциями. Назовем
их а-классами. Тогда "а-классы" образуют легитимную тотальность,
выводимую из предикативной а-функции. Следовательно, множество видов
общих утверждений, которые в противном случае включали бы парадоксы
порочного крута, становятся возможными. Ни одно из таких общих
утверждений не приводит к противоречиям, а многие из них таковы, что едва
ли могут предполагаться нелегитимными. Тот факт, что они остаются,
возможен, благодаря аксиоме сводимости, а то, что они в противном случае
были бы исключены принципом порочного круга, следует рассматривать
как аргумент в пользу аксиомы сводимости.
Данное выше определение "класса, определяемого функцией ф2" или,
скорее, любого предложения, в котором встречается этот оборот речи,
символически представляется следующим образом:
/ №)}. = : (gv): фх. sx. V!jc : / {y!z} Df.
Для того чтобы рекомендовать это определение, мы перечислим пять
необходимых требований, которым должно удовлетворять определение классов,
и затем покажем, что данное выше определение им удовлетворяет.
Мы требуем от классов, если предполагается, что они служат целям,
для которых они обычно используются, чтобы они обладали
определенными свойствами, перечисляемыми ниже. (1) Каждая пропозициональная
функция должна определять класс, который может рассматриваться как
собрание всех аргументов, удовлетворяющих этой функции. Этот принцип
должен иметь место, когда функция удовлетворяется бесконечным числом
аргументов, и когда она удовлетворяется конечным числом аргументов. Он
должен также иметь место, когда нет аргументов, удовлетворяющих
функции; т.е. "нулевой класс" дожен быть ничем не хуже, чем любой другой
класс. (2) Две пропозициональные функции, которые формально
эквивалентны, т.е. такие, что любой аргумент, удовлетворяющий одной из них,
удовлетворяет и другой, должны определять один и тот лее класс; другими
словами, класс должен быть таким, чтобы целиком определяться своими
членами так, что, например, класс "двуногих, лишенных перьев" был бы
тождественен классу "людей", а класс "четных простых чисел" был бы
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

154
ВВЕДЕНИЕ
тождественен классу "чисел, тождественных 2". (3) Обратно, две
пропозициональные функции, определяющие один и тот же класс, должны быть
формально эквивалентными; другими словами, когда задан класс, его
элементы детерминированы: два различных набора объектов не могут давать
один и тот же класс. (4) В том самом смысле, в каком классы
существуют (каким бы этот смысл ни был), или в некотором близком аналогичном
смысле должны существовать также классы классов. Таким образом,
например, "комбинации из п предметов по т за один раз", где п предметов
образуют данный класс, есть класс классов; каждая комбинация из т
предметов есть класс, а каждый такой класс есть элемент специфицированного
множества комбинаций, множество которых есть поэтому класс, чьи
элементы—классы. Класс единичных классов, или пар, абсолютно
невозможно избежать; первый из них есть число 1, а второй—число 2. Поэтому без
классов классов арифметика становится невозможной. (5) При всех
обстоятельствах не имеет смысла предполагать, что класс тождественен одному
из своих элементов. Если бы подобное предположение имело бы какой-либо
смысл, то "аеа" было бы значимой пропозициональной функцией143, и
таковым было бы "х~еа". Следовательно, на основании (1) и (4) нашелся
бы класс классов, удовлетворяющий функции "а~еа". Если мы назовем
этот класс к, то мы будем иметь
а в к. =а . а ~ в а.
Поскольку на основании нашей гипотезы " к е к" предполагается значимым,
то приведенная выше эквивалентность, которая имеет место для всех
возможных значений а, имеет место для значения к, т.е.
К€К. = .К~€К.
Но это есть противоречие144. Следовательно, "аеа" и "а~еа" никогда
не должны иметь смысла. Вообще, в этом заключении нет ничего
удивительного, но оно имеет два следствия, которые заслуживают специального
внимания. Первое, класс, состоящий только из одного элемента, не
должен быть тождественен этому элементу, т.е. не должно иметь места l'jc=jc.
Так как xei'x и, если х = Сх, то мы имеем t'jcei'jc, что, как мы видели,
не должно иметь смысла. Следовательно, " х = l*jc" должно быть абсолютно
бессмысленным, а не просто ложным. Второе, может показаться, что класс
всех классов будет классом, т.е. (записывая "Cls" для "класса") "ClseCls"
будет истинным предложением. Однако эта комбинация символов должна
быть бессмысленной; исключая, конечно, вариант неопределенности в
значении "Cls" так, что в "ClseCls" первое "Cls" может предполагаться
имеющим смысл, отличный от второго.
Что касается приведенных выше необходимых требований, то для
начала ясно, что в соответствии с нашим определением каждая
пропозициональная функция ф£ определяет класс 2(фг). Принимая аксиому
сводимости, всегда должны найтись истинные предложения о г(фг), т.е. истинные
143 Как было объяснено в главе I (с. 97), "jcca" означает "jc является элементом
класса а", или коротко их есть один из а". Определение этого выражения в терминах нашей
теории классов будет вскоре дано.
144 Это второе из противоречий, которые обсуждались в конце главы И.
Principia Mathematica I

ГЛАВА III. НЕПОЛНЫЕ СИМВОЛЫ
155
предложения формы / {2(фг)Ь Предположим, что ф£ формально
эквивалентно \|/! z, и предположим, что \у! z удовлетворяет некоторой функции /.
Тогда г(фг) также удовлетворяет /. Следовательно, для данной функции фг
найдется истинное предложение формы /{2(фг)}, т.е. истинное
предложение, в котором "класс, определенный ф£" есть грамматическое
подлежащее. Этим показывается, что наше определение отвечает первому из пяти
требований.
Второе и третье требования вместе утверждают, что классы г(фг) и z(yz)
тождественны тогда и только тогда, когда формально эквивалентны
определяющие их функции, т.е. мы должны иметь
2(фг) = z(w) . = :^x.=x.\\fx.
Здесь значение "г(фг) = г(¥г)" выводится посредством двукратного
применения определения /{2(фг)} из определения
"х!г=в!г,
которое есть
X! 2 = в!2. = :(/):/1x12.э./!в!2 Df
на основании общего определения тождества.
При интерпретации " z(<$z) = z(yz)" мы примем соглашение, которое мы
приняли по отношению к (ис)(фх) и (ix)(\|/x), именно, что неполный
символ, встречающийся первым, обладает более широкой областью действия.
Поэтому 2(фг) = z(yz) на основании нашего определения становится
(3X) : Ф* • =* • X ! х: х Ч = ztyz),
что, удаляя z(yz), становится
(ЯХ) г>фх.=х.х1х:. (а в): ух. =х . 0 ! х: х! z = 6 ! £
что эквивалентно
(ЭХ» в): фх. =х . х ! х: \\fx. =х . 6 ! х: х! z = Э ! z,
что в свою очередь эквивалентно
(ЭХ): Ф* • =х • X 1х: \|/х. щ . х ! *,
что на основании аксиомы сводимости эквивалентно
фх. =х . \|/jc.
Таким образом, наше определение использования г(фг) таково, чтобы
удовлетворить условиям (2) и (3), которые мы выдвинули для классов, т.е.
мы имеем
Ь :. £(фг) = z(W) . = : ф*. =х . ух.
Перед рассмотрением классов классов было бы правильно определить
элемент класса, т.е. определить символ "лге£(фг)", возможное прочтение
которого "jc есть элемент класса, определяемого фг". Поскольку последнее
представляет собой функцию формы /(г(фг)}, то оно должно
выводиться посредством общего определения таких функций из соответствующей
функции flylz). Мы поэтому положим
xe\\flz. = .ylx Df.
Это определение необходимо лишь для того, чтобы придать смысл
"хег(фг)"; в силу определения /{2(фг)} этот смысл есть
(3 V) • ФУ • =у • ¥ '-У: ¥ *-х.
Поэтому выявляется, что uxez(fyz)" влечет фх, поскольку оно влечет \|Mjc,
a \\f! х эквивалентно фх; кроме того, в силу аксиомы сводимости фх влечет
А.Н.Уайтхед, Б.Рассел

156
ВВЕДЕНИЕ
"xezifyz)", так как найдется предикативная функция \у, формально
эквивалентная ф, а х должен удовлетворять \у, поскольку х (ex hypothesi146)
удовлетворяет ф. Поэтому в силу аксиомы сводимости мы имеем
Ь:хег(фг). = .фх,
т.е. х есть элемент класса 2(фг) тогда и только тогда, когда х удовлетворяет
функции ф, которая определяет этот класс.
Затем мы должны рассмотреть, как интерпретировать класс классов.
Так как мы уже определили /{2(фг)}, то мы будем, естественно,
рассматривать класс классов, как состоящий из тех значений 2(фг), которые
удовлетворяют /{г(фг)Ь Будем писать а вместо г(фг); тогда мы можем
писать &(/а) для класса значений а, удовлетворяющих (/а)146. Мы будем
применять то же самое определение и положим
F{ftaa)}. = :(art:/P.=p.^!P:F{g!u} Df,
где "Р" обозначает любое выражение, имеющее форму z(ylz).
Возьмем "yea(fa)" в качестве F{d(/a)}. Тогда
Ь :. у е d(/a). = : (gg): /р . =р . g ! р : у еg ! a.
Так как мы полагаем
jce\|/!z. = . у! х Df,
то мы также полагаем
yeg\a.=.gly Df.
Таким образом, мы находим
Ь :. yeafja). = : (gg):/р . =р . g ! р : g ! у.
Если мы теперь распространим аксиому сводимости так, чтобы
применить ее к функциям функций, т.е. если мы примем
то мы без труда выводим
(Zg):f{z(vlz)}.=w.gl{z(ylz)},
т.е.
1-:-(а*):/Р-=р-*1Р-
Таким образом,
\-:.yea(fa). = .fy.
Поэтому каждая функция, аргументами которой могут быть классы,
т.е. каждая функция от функции определяет класс классов, элементы
которого есть классы, удовлетворяющие определяющей функции. Таким
образом, теория классов классов не вызывает трудностей.
Затем мы должны рассмотреть наше пятое требование, именно что
"2(фг)е2(фг)" должно быть лишено смысла. Применяя наше определе-
145 В соответствии с гипотезой (лат.). — Прим. ред.
146 Применение единственной буквы, такой как а или (3, для представления переменного
класса будет вскоре дополнительно разъяснено.
Principia Mathematica I

ГЛАВА III. НЕПОЛНЫЕ СИМВОЛЫ
157
ние /{2(фг)}, мы находим, что если этот набор символов имел бы смысл,
то он означал бы
(ЭУ): Ф* • =х • ¥?- х: у! zey! z,
т.е. в силу определения
jce\|/!z. = . у! x Df,
это означало бы
(3 V): Ф* • =х • ¥! *: ¥! (V! 2).
Однако здесь встречается символ "\у! (\у!г)", который приписывает
функцию как аргумент самой себе. Такой символ никогда не имеет смысла
по причинам, изложенным в начале главы II (с. 112-114). Следовательно,
"2(фг)€г(фг)" не имеет смысла, и наше последнее пятое требование
выполняется.
Как в случае /(ис)(флг), так и в f {z($z)} имеется неопределенность
области действия г(фг), если он встречается в предложении, которое само
есть часть более широкого предложения. В случае классов, поскольку мы
всегда имеем аксиому сводимости, именно
которая замещает Е! (ис)(флг), то истинностное значение любого
предложения, в котором встречается 2(фг), то же самое, какую бы область действия
мы бы ни приписали 2(фг), при условии, что это предложение есть
экстенсиональная функция от функций, которые оно может содержать.
Следовательно, мы можем принять соглашение, что областью действия всегда
будет наименьшее предложение, заключенное в точки или скобки, в
котором встречается 2(фг). Если когда-то потребуется более широкая область,
то мы можем указывать это посредством "[2(ф£)]'\ за которым следуют
точки так же, как мы это делали для [(*ис)(флг)]-
Аналогично, когда встречаются два символа, обозначающие классы,
например, в предложении вида / (2(фг), 2(щ)), то нет нужды помнить
правила для областей действия этих двух символов, так как любой выбор, как
нетрудно доказать, даст эквивалентный результат. Для предварительных
предложений некоторое правило все лее желательно. Поэтому мы можем
принять, что символ, обозначающий класс, который встречается первым
в порядке написания, имеет более широкую область действия.
Сейчас мы можем понять применение единственной буквы а для
представления класса. Как обозначение, а обладает неопределенностью
настолько, насколько это имеет место по отношению к символам г(фг), z(w), z(xz),
и т.д., которые он замещает, где фг, щ, %z — различные определяющие
функции класса. В соответствии с произведенным выбором получаются
различные предложения. Однако все получающиеся предложения
эквивалентны в силу легко доказываемого предложения:
"Ь : ф*. =х . ух. э. / {г(фг)} = f [%щ)}п.
Следовательно, если мы не желаем обсуждать сами определяющие
функции так, чтобы при этом понятие класса в действительности не было бы
должным образом представлено, то неопределенность в обозначении а
полностью имматериальна, хотя, как мы вскоре увидим, мы идем к
самоограничению предикативными определяющими функциями. Поэтому "/(а)",
А.Н.Уайтхед, Б.Рассел

158
ВВЕДЕНИЕ
где а есть переменный класс, в действительности есть "/{*(фг)}", где ф
есть переменная функция, т.е. оно есть
где ф есть переменная функция. Но здесь появляется затруднение, которое
устраняется посредством ограничения нашей практики и аксиомы
сводимости. Пусть определяющие функции фг, yz, и т.д. будут иметь различный
тип, хотя аксиома сводимости гарантирует, что некоторые из них
—предикативные функции. Тогда при интерпретации а как переменной в
терминах вариации любой определяющей функции мы придем к ошибкам, если
мы не ограничим себя предикативными определяющими функциями. Эти
ошибки возникают особенно при переходе к полной вариации (ср. с. 86, 87).
Соответственно
/а =. (ЗУ). ф ! х. =х . у! х. f {у! z] Df.
Именно в том и есть своеобразие определения использования
единственной буквы (именно а) для переменного неполного символа, что он, хотя и
в смысле реальной переменной, встречается лишь в определяемом, а "ф",
будучи реальной переменной, встречается лишь в определяющем.
Таким образом, "/а" замещает
'ЧаУ)-ф!*.^.у!*./{у!2}'\
а "(а)./а"-
"(Ф):(Я¥).фЬ.=х.¥!х./{чг!2Г.
Соответственно в математическом рассуждении мы можем отбросить весь
аппарат функций и думать лишь о классах как о "квазипредметах",
способных непосредственно представляться единственным именем. Преимущества
этого двояки: (1) классы определяются своим элементным составом так,
что один набор элементов есть один класс, (2) "тип" класса полностью
определяется типом его элементов.
Предикативная функция класса может быть поэтому также определена
как
/!a = .(av)^!x.sx.V!x./!{V!2} Df.
Таким образом, предикативная функция класса всегда является
предикативной функцией от любой предикативной определяющей класс функции,
хотя обратное не имеет места.
(3) Отношения. Для отношений мы имеем теорию, в точности
аналогичную той, которую мы только что разъяснили для классов.
Экстенсионально отношения, подобно классам, представляют собой неполные символы.
Снова по причинам, которые были объяснены в главе II, мы требуем
разделения функций двух переменных на предикативные и непредикативные.
Мы используем обозначение "ф\(х,у)" для предикативной функции х и у.
Мы используем "ф!(х,;у)" Для функции в противоположность ее
значениям; мы используем "хуф(х,у)" для отношения (экстенсионально),
определяемого §(х,у). Мы полагаем
/ Ш(х,у)}. = : (gv): <К*,зО • =*,у • V! (х9у): / {у ! (х,у)} Df.
Поэтому, даже когда / {\|/! (х, у)} не является экстенсиональной функцией
Principia Mathematica I

ГЛАВА III. НЕПОЛНЫЕ СИМВОЛЫ
159
от \|/, / {хуф(х, у)} является экстенсиональной функцией от ф.
Следовательно, как и в случае классов, мы выводим
Ь :. хуф(х, у) = хуу(х, у). =х,у : ф(х, у). =х,у . ф(х, у),
т.е. отношение определяется своим объемом, и обратно.
По аналогии с определением " х е \|/I zn мы полагаем147
Это определение, подобно "jcc у! z", вводится не ради себя самого, а для
того, чтобы придать смысл
х{Щ(х9у)}у.
Этот смысл, в силу наших определений, есть
(3V) : Ф(*.)0 • =х,у • V ! С*.?) : *(¥ * С*.?)}? Df,
т.е.
(3 V) '• Ф(*. У) • =** - V! (^ У) s V! (*. У). Df,
а это, в силу аксиомы сводимости,
эквивалентно
ф(*,)0-
Таким образом, мы всегда имеем
Ь : х {хуф(х, у))у. = . ф(*. у).
Когда определяющая функция отношения не существенна для
понимания, мы можем заменить хуф(х,у) единственной прописной буквой. В силу
предложений, данных выше,
Ь :. R = S . = : xRy . =х# . xSy,
\-:.R = хуф(х, у) . = : *#у - ^ - ф(х,у),
1-.Д = ху(хЯу).
С классами отношений и отношениями отношений можно иметь дело,
как выше мы имели дело с классами классов.
Аналогично тому, как класс не должен быть способен быть или не быть
элементом самого себя, так и отношение не должно быть ни референтом,
ни релятивом по отношению к самому себе. Это эквивалентно
утверждению, что ф! (х,у) не может значимо быть одним из аргументов в ф! (х,у).
Этот принцип опять следует из ограничения на возможные аргументы
функции, объясненного в начале главы П.
Мы можем подытожить всю эту дискуссию о неполных символах
следующим образом.
Использование символа "(ис)(флг)" так же, как если в "/(ис)(флг)" он
прямо представлял аргумент у функции /2, делается возможным посредством
теорем
Ь :. Е ! (гх)(фх) . э : (х) . fx. э . /(ис)(фх),
Ь : (1х)(фх) = (vc)(yx) - э . /(«)(ф*) = /(ix)(V*),
Ь : Е !! (ис)(фх) . э . (ис)(фх) = (ис)(фх),
Ь : (гк)(фдг) = (ix)(\|/x) . = . (i*)(V*) = (1*)(ф*),
Ь : (1*)(ф*) = (vc)(yx) . (i*)(\|f*) = (ix)(xx). z>. (ък)(ф*) = (i*)(x*).
147 ^то определение вызывает некоторые вопросы по двум смыслам отношения, с
которыми мы будем иметь дело в *21.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

160
ВВЕДЕНИЕ
Использование символа ";с(фх)" (или единственной буквы, такой как а,
для представления такого символа) так же, как если в и/[х(фх)}" он прямо
представлял аргумент а у функции /а, делается возможным посредством
теорем
Ь:(а)/а.э./{*(ф*)},
Ь : х(фх) = х(ух) . э . / {х(фх)} = f {х(ух)Ъ
Ь . Jc(4>jc) = х(фх),
Ь : х(фд:) = х(ух) . = . Jc(\|/jc) = х(фх),
h : Щх) = х(ух) . х(ух) = х(%х) . э . Дфх) = х(х*)-
В этих предложениях типы должны предполагаться должным образом
согласованными там, где возможна неопределенность.
Использование символа ихуф(х,у)" (или единственной буквы, такой
как #, для представления такого символа) так же, как если в "/ [хуф(х,у)}"
он прямо представлял аргумент R у функции /Я, делается возможным
посредством теорем
Ь:(Л)/Л.э./{Лрф(х,у)Ь
Ь : хуф(х, у) = ху\|/(*, У) - => - / ДОФС*. у)} = f {xyy(x, у)},
Ь : хуф(х, у) = хуф(х, у),
Ь : хуф(х, у) = хуу(х, у). = . хуу(х, у) = хуф(х, у),
Ь : хуф(х, у) = хуу(х, у) . хуу(х, у) = ху%(х, у) .
z>.xy<k(x,y) = xyx(x,y).
В этих предложениях типы должны предполагаться должным образом
согласованными там, где возможна неопределенность.
Из этих трех групп теорем следует, что эти неполные символы
подчиняются тем же самым формальным правилам тождества, как и символы,
которые прямо представляют объекты, пока мы расматриваем лишь
эквивалентность результирующих переменных (или постоянных) значений
пропозициональных функций, а не их тождество. Это рассмотрение
тождества предложений никогда не входит в наше формальное рассуждение.
Аналогично ограничения на использование этих символов могут быть
подытожены следующим образом. В случае (ис)(фх) основное, в чем
релевантна неполнота, есть то, что мы не всегда имеем
(x)fx. =>. /(1*)(фх),
т.е. функция, которая всегда истинна, может тем не менее не быть
истинной при (ис)(ф;с). Это возможно, так как /(ис)(фх) не является значением /Jc,
и поэтому, даже когда все значения fx истинны, /(ис)(ф;с) может не быть
истинным. Это случается, когда (ис)(ф;с) не существует. Поэтому, например,
мы имеем (jc) . jc=jc, но мы не имеем
круглый квадрат = круглый квадрат.
Вывод
(*)/*. э./(1*)(фх)
справедлив только, когда Е! (ис)(ф;с). Как только мы знаем Е! (ис)(фх),
тот факт, что (ис)(фд:) является неполным символом, становится ирре-
левантным, пока мы ограничиваем себя истинностными функциями148
148 Ср. с. 79.
Principia Mathematica I

ГЛАВА III. НЕПОЛНЫЕ СИМВОЛЫ
161
от предложения, являющегося его областью действия. Но даже тогда,
когда Е! (ис)(фх), неполнота (ис)(фх) может играть роль, когда мы выходим
за пределы истинностных функций. Например, Георг IV желал знать, был
ли Скотт автором Вейверли, т.е. он хотел знать, является ли
предложение вида "с = (ис)(фх)" истинным. Однако не нашлось бы предложения
вида "с = У, относящегося к тому, о чем он желал знать, если бы оно было
справедливо.
В отношении классов релевантность их неполноты есть нечто другое.
Это может быть проиллюстрировано тем фактом, что мы можем иметь
2(фг) = w! z. 2(фг) = х! 2,
не имея
V ! z = х ! t
Действительно, прямым применением определений мы находим, что
Ь :2(фг) = v!2. = . ф* =^!^-
Поэтому мы будем иметь
Ь:фх =ху\х.фх =*Х!*-=>-2(фг) = \|/!2.2(фг) = х!2,
но при этом мы не будем обязательно иметь \|/! z - X! z, так как две
функции могут быть формально эквивалентными, не будучи тождественными;
например,
х - Скотт. =х . х - автор Вейверли,
однако функция "2 = автор Вейверли" обладает тем свойством, которое
желал знать Георг IV —является ли ее значение с аргументом "Скотт"
истинным, в то время как "2 = Скотт" не обладает таким свойством, а поэтому
указанные две функции не тождественны. Следовательно, найдется
пропозициональная функция, именно
x = y.x = z.=>.y = z,
которая имеет место без всяких исключений, но которая не имеет места,
когда вместо х мы подставим класс, а вместо у и г —функции. Это
возможно только из-за того, что класс является неполным символом, а поэтому
"г(фг) = \|/!г" не является значением "jc = y".
Мы обнаружим, что " 6 ! z = \|/ ! 2" не является экстенсиональной
функцией от \|/! z. Поэтому область действия 2(фг) релевантна при интерпретации
произведения
2(фг) = \|/!2.2(фг) = х*2.
Если мы возьмем все произведение в качестве области 2(фг), то оно
будет эквивалентно
де:фх^е!х.е!2 = \|/!2.е!г = х!2,
а это влечет
\\f\z = xlt
В общем мы можем сказать, что тот факт, что z (фг) является неполным
символом, не релевантен, пока мы ограничиваем себя экстенсиональными
функциями от функций, но приобретает тенденцию становиться
релевантным для других функций от функций.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

ЧАСТЬ I.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ЛОГИКА
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

ВВЕДЕНИЕ К ЧАСТИ I
165
ВВЕДЕНИЕ К ЧАСТИ I
В настоящей части мы будем рассматривать объекты, традиционно
относящиеся к символической логике либо заслуживающие того в силу их
общности. Мы будем, говоря иными словами, устанавливать такие
свойства высказываний, высказывательных функций, классов и отношений,
которые, по-видимому, свойственны любому математическому рассуждению,
а не только тем или иным областям математики.
Предмет части I подлежит двоякой трактовке: (1) как цепочка
вывода, зависящая от базовых предложений, (2) как формальное исчисление.
Примем сначала первую точку зрения. В *1 мы постулируем некоторые
аксиомы, позволяющие выводить одно высказывание или
пропозициональную функцию из других. Исходя из этих постулатов, в главе 1 мы выводим
различные предложения, относящиеся к четырем способам
конструирования новых высказываний из заданных, а именно отрицанию, дизъюнкции,
объединению и импликации, из которых последние два могут быть
определены в терминах первых двух. На протяжении всей первой главы пока
будет предполагаться, что переменные высказывания представляют собой
элементарные высказывания, т.е. в них не содержится ссылок, явных
или неявных, на какие-либо обобщения; хотя, как будет показано в
главе 2, абсолютно те же предложения применимы к любым высказываниям,
выступающим в качестве значений переменных. Данное ограничение
накладывается ввиду различия между разными типами высказываний,
объясняемого во второй главе введения. Значение и цель этого, тем не менее, чисто
философские, а поскольку нас интересуют лишь математические аспекты,
нет необходимости особо напоминать об этом предварительном
ограничении круга высказываний, от которого мы формально избавляемся в начале
следующей главы.
В главе 2 мы сначала рассмотрим отношения высказываний,
содержащих кажущиеся переменные (т.е. включающие понятия "все" и
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

166
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
"некоторые") друг к другу и к высказываниям без кажущихся
переменных. Мы покажем, что там, где речь идет о высказываниях с
кажущимися переменными, мы можем определить отрицание, дизъюнкцию,
объединение и импликацию таким образом, что их свойства будут
аналогичны свойствам соответствующих понятий, применяемых к элементарным
высказываниям. Мы также покажем, что формальная импликация, т.е.
"(jc).cj)jtD\|/jc", рассматриваемая как отношение фх к \j/Jc, обладает
свойствами, аналогичными свойствам материальной импликации, т.е. upz>q",
рассматриваемой как отношение р и q. Далее мы рассмотрим предикативные
функции (функции предикатов) и аксиому редукции, без которых нельзя
обойтись при трактовке функций как кажущихся переменных. Примером
такого использования функций может служить тождество—следующий
предмет рассмотрения в главе 2. В заключении этой главы мы будем иметь
дело с описаниями, т.е. с фразами, построенными по принципу "so-and-so"
(в единственном числе). Будет показано, что внешний вид грамматической
конструкции "so-and-so" обманчив, и что такого рода высказывания,
будучи полностью сформулированы, включают в себя вместо этих
конструкций кажущиеся переменные.
В главе 3 мы рассмотрим классы, а также отношения — пока
последние считаются аналогичными классам. Выясняется, что классы и
отношения так же, как и описания, представляют собой "неполные символы" (см.
введение, глава 3), и показывается, что высказывания, которые
грамматически говорят о классах, следует на самом деле считать относящимися к
функциям высказываний и кажущимся переменным, принимающим в
качестве значений предикативные пропозициональные функции (так же, как
и у отношений). В оставшейся части главы 3 рассматриваются
исчисление классов и те аспекты исчисления отношений, которые имеют аналоги
в исчислении классов.
Глава 4 посвящена тем свойствам отношений, у которых нет аналогов
в теории классов. В этой главе вводятся некоторые понятия и системы
обозначений, которые будут постоянно нужны нам для дальнейших
рассуждений. Большинство свойств отношений, имеющих свои аналоги в
теории классов, не так важны, в то время как не имеющие подобных
аналогов свойства обладают первостепенным значением. Частично по этой
причине особое внимание, уделяемое до настоящего времени аспекту
исчислений в символической логике, оказалось препятствием для собственного
развития теории отношений.
Заключительная глава 5 распространяет понятия сложения и
умножения классов или отношений на случаи, когда слагаемые и сомножители
заданы не по отдельности, а как элементы некоторого класса.
Обеспечиваемое таким обобщением преимущество состоит в том, что теперь мы в
состоянии оперировать с бесконечным числом слагаемых и сомножителей.
Рассматриваемая как формальное исчисление математическая логика
подразделяется на три подобных друг другу ветви, а именно (1)
исчисление высказываний, (2) исчисление классов, (3) исчисление отношений.
Исчисление (1) рассматривается в главе 1, в то время как исчисления (2)
Principia Mathematica I

ВВЕДЕНИЕ К ЧАСТИ I
167
и (3), пока они параллельны друг другу, рассматриваются в главе 3. Для
каждой из них у нас имеется четыре сходных понятия: отрицание,
сложение, умножение и импликация или включение. Среди них отрицание схоже
(по смыслу) с отрицанием в обычной алгебре, а импликация, или
включение, схоже с отношением "меньше или равно". Но эта аналогия не должна
превалировать, так как она имеет ряд важных ограничений. Сумма двух
высказываний представляет собой их дизъюнкцию, сумма двух классов —
это класс элементов, принадлежащих одному или другому из них,
сумма двух отношений представляет собой отношение, заключающееся в том,
что одно или другое отношение выполняется. Сумма класса классов —это
класс элементов, принадлежащих какому-либо из этих классов, а сумма
класса отношений есть отношение, заключающееся в том, что одно из
отношений класса выполняется. Произведением двух высказываний является
их совместное утверждение, (в то время как) произведением двух классов
является их общая часть, произведением двух отношений является
отношение, заключающееся в том, что оба отношения выполняются.
Произведение класса классов представляет собой часть, общую всем из них, а
произведение класса отношений представляет собой отношение, заключающееся
в том, что все отношения рассматриваемого класса выполняются.
Включение одного класса в другой заключается в том, что все члены одного
класса являются членами другого, в то время как включение одного отношения
в другое заключается в том, что для каждой пары элементов, для которых
выполняется одно отношение, выполняется и другое. Таким образом, ясно,
что свойства отрицания, сложения, умножения и включения аналогичны
для классов и отношений и, за некоторыми исключениями, аналогичны
свойствам отрицания, умножения, сложения и включения для
высказываний. (Исключения возникают в основном из-за того, что "р влечет д" есть
высказывание и может само иметь следствие и быть следствием, в то
время как "а содержится в Р", где а и р —классы, не является классом и,
следовательно, не может ни содержать, ни содержаться в другом классе у.)
Но классы обладают некоторыми свойствами, не распространяющимися на
высказывания: это происходит из-за того, что классы обладают не
дихотомическим делением, соответствующим делению высказываний на истину и
ложь, а трихотомическим: (1) универсальный класс, содержащий целиком
некоторый тип, (2) нулевой класс, не содержащий ни одного члена, (3) все
остальные классы, которые и не пусты, и не содержат все в
соответствующем типе. Итоговые свойства классов, не имеющие аналогов у
высказываний, рассматриваются в *24. Так же как классы обладают свойствами, не
имеющими аналогов среди свойств высказываний, так и отношения
обладают свойствами, не имеющими аналогов среди свойств классов, хотя все
свойства классов имеют свои аналоги для отношений. Специальные
свойства отношений более многочисленны и важны, чем свойства, относящиеся
к классам, но не высказываниям. Поэтому изучению этих свойств отведена
целая глава —глава 4.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

ГЛАВА I.
ТЕОРИЯ ВЫВОДА
Целью настоящей главы является продвижение по первой стадии
вывода чистой математики из ее логических оснований. Эта первая стадия
непременно затронет саму дедукцию, т.е. принципы, посредством которых
заключения выводятся из посылок. Если мы ставим своей целью сделать
явными все допущения и производить вывод всех иных предложений из
этих допущений, то очевидно, что первые допущения, в которых мы
нуждаемся, — это те, которые делают возможной саму дедукцию. Символическую
логику часто разбивают на две равноправные части: теорию классов и
теорию высказываний. Но, с нашей точки зрения, эти части не равноправны:
в теории классов мы выводим одно предложение из другого посредством
принципов теории высказываний, в то время как в теории высказываний
нигде не требуется теория классов. Следовательно, в нашей системе
выводов теория высказываний обязательно предшествует теории классов.
Обсуждаемый нами далее предмет не совсем верно определять как
теорию высказываний. В действительности эта теория изучает то, как одно
высказывание может быть выведено из другого. Для того чтобы одно
высказывание можно было вывести из другого, необходимо наличие между ними
такого отношения, которое позволяло бы первому высказыванию быть
следствием второго. Когда высказывание q является следствием р, мы говорим,
что р влечет q. Таким образом, понятие вывода базируется на отношении
импликации, и каждая система выводов должна среди своих постулатов
содержать все свойства импликации, необходимые для узаконивания обычной
процедуры вывода. В настоящей главе некоторые высказывания
объявляются постулатами, и затем показывается, что этих постулатов достаточно
для всех общих форм вывода. Однако мы не будем доказывать, что все
они необходимы, и возможно, что их число может быть уменьшено. Все,
А.Н.Уайтхед, Б.Рассел

170
ГЛАВА 1. ТЕОРИЯ ВЫВОДА
что утверждается относительно постулатов, — это то, что (1) они истинны,
(2) их достаточно для теории дедукции, (3) мы не знаем, как уменьшить
их число. Что касается (2), заметим, всегда есть элемент сомнения,
поскольку трудно быть уверенным в том, что никогда ни один принцип не
используется неосознанно. Обычай твердо следовать правилам формальной
символики является защитой от неосознаваемых допущений; но даже этой
зашиты не всегда достаточно.
*1. Базовые понятия и предложения
Поскольку все термины определяются через другие, каждая система
определений, не содержащая порочного круга, должна опираться на
некоторый аппарат неопределяемых терминов. Выбор понятий, которые мы
принимаем в качестве неопределяемых, до некоторой степени произволен;
мотивируют наш выбор стремления (1) свести количество неопределяемых
понятий до минимума, (2) из двух систем с одинаковым количеством таких
понятий выбрать ту, которая проще. Мы не знаем способа доказать, что
такая-то система неопределяемых понятий содержит их настолько мало, что
может привести к таким-то результатам149. Так что мы можем только
сказать, что такое-то понятие относится к разряду неопределяемых в такой-то
системе, а не то, что оно неопределяемо по существу. Следуя Пеано, мы
будем называть неопределяемые понятия и недоказываемые предложения
соответственно базовыми понятиями и базовыми предложениями
(постулатами). Базовые понятия объясняются посредством описаний, имеющих
своей целью указать читателю, что они значат; но объяснения не
становятся определениями, т.к. они сами содержат идеи, ими описываемые.
В этом параграфе мы, во-первых, перечислим базовые понятия;
во-вторых, определим импликацию; наконец, в-третьих, сформулируем базовые
предложения данной главы. Для удобства ссылок каждое определение или
предложение в книге имеет номер. Следуя Пеано, мы используем числа
с десятичными и целыми частями, чтобы между двумя высказываниями
можно было вставить новое. Целая часть номера соответствует номеру
главы. Определения, как правило, будут иметь десятичные части,
меньшие 1, и располагаться в началах параграфов. Каждый номер будет
сопровождаться звездочкой и использоваться также для ссылок; таким образом
"*1.01" будет ссылкой на определение или предложение, а "*1 "—ссылкой
на параграф, в котором предложения имеют нумерацию, начинающуюся
с 1, т.е. настоящий параграф.
Базовые понятия
(1) Элементарные высказывания. Под "элементарным"
высказыванием мы подразумеваем такое, которое не содержит ни одной переменной,
149 Признанные методы доказательства независимости неприменимы без оговорок
к фундаментальным понятиям. См. Principles of Mathematics, § 17. То, что там говорится
о постулатах, еще в большей мере применимо к базовым понятиям.
Principia Mathematica I

.1. БАЗОВЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРЕДЛОЖЕНИЯ
171
пли, выражаясь иначе, не содержащее таких слов, как "все", "некоторые",
;'те" и эквивалентных им. Высказывание "это —красное", где "это" —
нечто, данное нам в ощущениях, будет элементарным. Любая комбинация
данных элементарных высказываний при помощи отрицания, дизъюнкции
или конъюнкции (см. ниже) является элементарной. Для обозначения
элементарных высказываний в базовых предложениях настоящего параграфа,
а также в выводах, построенных из этих предложений в *2 — *5, мы будем
использовать буквы р, q, r, s .
(2) Элементарные пропозициональные функции. Под "элементарной
пропозициональной функцией" мы будем понимать выражение,
содержащее неопределенные составляющие, т.е. переменные, или несколько таких
составляющих; причем когда неопределенная составляющая или
составляющие определены, т.е. когда переменной или переменным присвоены
значения, результат рассматриваемого выражения есть элементарное
высказывание. Таким образом, если р есть неопределенное элементарное
высказывание, то "не-р" есть элементарная пропозициональная функция.
В *9 мы покажем, как обобщить результаты данного и последующих
параграфов (*1 — *5) к высказываниям, не являющимся элементарными.
(3) Утверждение. Любое высказывание может либо утверждаться,
либо только рассматриваться. Если я скажу: "Цезарь умер", то я утверждаю
высказывание "Цезарь умер", а если я скажу: " 'Цезарь умер'— это
высказывание", то делаю другое утверждение, и "Цезарь умер" уже не
утверждается, а только рассматривается. Подобное происходит и с гипотетическими
высказываниями; например, "если а = Ь, то b = а" содержит два не
утверждаемых высказывания "а = Ь" и "Ь = а", в то время как утверждается
здесь то, что из первого высказывания следует второе. В речи мы
указываем, когда высказывание только рассматривается, используя обороты " если
то-то и то-то", или "чтобы так-то и так-то" или просто заключая
высказывание в кавычки. В символике, если р — высказывание, то р само будет
обозначать не утверждаемое высказывание, в то время как утверждаемое
высказывание будет обозначаться
"К р."
Знак "Ь" называется знаком утверждения150; он читается "верно, что"
(хотя с философской точки зрения это не совсем то, что он означает).
Точки после знака утверждения указывают его область действия; т.е.
утверждается все, что следует за этим знаком до тех пор, пока мы не
достигнем либо равного количества точек перед знаком импликации, либо конца
предложения. Таким образом, "Ьгр.гэ.д" означает "верно, что из р
следует q", в то время как "Ь.р.эЬ.^" означает "р верно, следовательно, q
верно" 151. Первое утверждение не обязательно заключает в себе
истинность р или q, а второе включает истинность обоих.
(4) Утверждение пропозициональной функции. Кроме утверждений
тех или иных высказываний нам понадобятся также так называемые
"утверждения пропозициональных функций". Общее понятие утверждения
150 Мы заимствуем и идею, и символ утверждения у Фреге.
151 См. Principles of Mathematics, § 38.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

172
ГЛАВА 1. ТЕОРИЯ ВЫВОДА
любой пропозициональной функции не используется до *9, а время от
времени мы будем использовать понятие утверждения различных
специальных элементарных пропозициональных функций. Пусть фх есть
пропозициональная функция с аргументом jc; тогда мы можем утверждать фх, не
присваивая значения х. Так делается, например, когда закон тождества
формулируется в виде: "А есть Л". Здесь А остается неопределенным,
поскольку как бы А ни было определено, результат не изменится. Таким
образом, когда мы утверждаем флс, оставляя х неопределенным, наше
утверждение о значении функции двусмысленно. Это законно только в ситуации,
в которой как эту двусмысленность ни разрешить, результат будет всегда
истинным. Возьмем в качестве иллюстрации сформулированный ниже
постулат *1-2:
т.е. из " 'р или р' следует р". Здесь р может быть любым элементарным
высказыванием: оставляя р неопределенным, мы получаем утверждение,
которое применимо к любому определенному элементарному высказыванию.
Такие утверждения похожи на формулировки у Евклида: когда говорится
"пусть треугольник ABC равнобедренный; тогда углы при основании
равны", то это применимо к любому равнобедренному треугольнику; имеется
в виду один треугольник, а не какой-то определенный. Все утверждения,
приведенные в книге, за очень малым исключением, суть утверждения
пропозициональных функций, а не конкретных высказываний.
Постоянные элементарные высказывания фактически не встречаются
ни в нашей книге, ни в какой-либо другой работе, анализирующей только
логические понятия. Все понятия и предложения логики общие:
утверждение, которое (например) истинно для Сократа, но не истинно для
Платона, не является логическим 152, и если утверждение, истинное для обоих,
появляется в логике, то оно не должно относиться к кому-либо, а
только к переменной х. В логике, чтобы получить определенное высказывание
вместо пропозициональной функции, необходимо взять некоторую
пропозициональную функцию и утверждать, что она истинна всегда или
иногда, т.е. при всех возможных значениях переменной или при некоторых.
Таким образом, если дать имя "индивид" любой сущности, не
являющейся ни высказыванием, ни функцией, то высказывания "каждый индивид
тождественен сам себе" или "индивиды существуют" будут логическими
высказываниями. Но эти высказывания не являются элементарными.
(5) Отрицание. Если р — высказывание, то высказывание "не-р" или
"р ложно" будет обозначаться как "~р". На данном этапе р должно быть
элементарным высказыванием.
(6) Дизъюнкция. Если р и q — любые высказывания, то высказывание
"р или #", т.е. "либо р истинно, либо q истинно", причем альтернативы
не обязательно исключают друг друга, обозначается:
"pVq."
152 Когда мы говорим, что высказывание "является логическим", то имеем в виду, что
оно может быть выражено в терминах базовых понятий логики. Мы не имеем в виду, что
логика применима к нему, т.к. это, конечно, справедливо для любого высказывания.
Principia Mathematica I

.1. БАЗОВЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРЕДЛОЖЕНИЯ
173
Это дизъюнкция, или логическая сумма р и q. Так, " ~ р V q" означает
ир ложно или q истинно"; "~(/? Vq)" означает "неверно, что р или q
истинно", что эквивалентно ир и q оба ложны"; "~ (~/? V ~ q)" означает "неверно,
что или р ложно, или q ложно", что эквивалентно "р и q оба истинны";
и т.д. Пока р и q должны являться элементарными высказываниями.
Все базовые понятия, описанные выше, относятся к теории вывода.
Остальные базовые понятия будут введены в главе 2.
Определение импликации. Когда высказывание q следует из
высказывания р, так что если р истинно, то и q должно быть истинно, мы говорим,
что из р следует q. Можно определить понятие импликации в той форме,
в которой мы хотели бы. Смысл, придаваемый нами импликации, может
показаться на первый взгляд искусственным; но несмотря на то, что
имеются и другие правомочные значения, то, что принимается нами, значительно
удобнее для наших целей, чем любая из прочих альтернатив.
Существенно необходимое для нас свойство импликации таково: "То, что следует из
истинного высказывания, есть истина". Именно благодаря этому свойству
импликация позволяет проводить доказательства. Но это свойство никоим
образом не определяет, следует ли что-нибудь и что именно из ложного
высказывания. Что оно определяет, так это то, что если из р следует q, то
невозможно, чтобы р было истинно, a q ложно, т.е. должно быть либо р
ложно, либо q истинно. Наиболее удобная интерпретация импликации
заключается в том, чтобы утверждать также обратное: если либо р ложно,
либо q истинно, то "из р следует #" должно быть истинным.
Следовательно, значение "из р следует #" определяется как: "Либо р ложно, либо q
истинно". Таким образом, мы полагаем:
*101. p^>q. = .~pvq Df.
Здесь символы "Df означают "определение" и рассматриваются вместе
со знаком равенства как образующие единую конструкцию, обозначающую
"определяется как" 153. Все, что находится слева от знака равенства,
означает—согласно определению — то же самое, что находится справа от него.
Определение не принадлежит к базовым конструкциям, так как
определения рассматриваются только в рамках обозначений, а не того, что
обозначается; они вводятся для практического удобства, хотя теоретически в них
нет необходимости.
В силу принятого нами определения импликации, когда выполняется
upz>q", либо р истинно, либо q ложно; следовательно, если р истинно,
то и q должно быть истинно. Таким образом, это определение сохраняет
существенное свойство импликации; на самом деле оно дает наиболее общее
значение импликации, совместимое с данным свойством.
153 Знак равенства, после которого не следуют буквы "Df', имеет другое значение,
определяемое в дальнейшем.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

174
ГЛАВА 1. ТЕОРИЯ ВЫВОДА
Базовые предложения
*11. Все, что следует из истинного элементарного высказывания,
истинно. Pp.154
Данный принцип обобщается в *9 на высказывания, которые не
являются элементарными. Заметим, это не то лее, что сказать: "если р истинно,
то если р влечет q, то q истинно". Это истинное высказывание, но оно
равным образом справедливо и когда р не истинно, и когда из р не
следует q. В отличие от сформулированного выше принципа, оно не позволяет
утверждать просто истинность q без каких-либо гипотез. Мы не можем
выразить наш принцип в символике, в частности потому, что любой
символизм, использующий переменную р, предполагает истинность р только
гипотетически, а не фактически166.
Вышеприведенный принцип используется всегда, когда нам
необходимо вывести высказывание из высказывания. Но подавляющее
большинство утверждений в настоящей работе являются утверждениями
пропозициональных функций, т.е. они содержат неопределенные переменные.
Поскольку утверждение пропозициональной функции представляет собой
базовое понятие, отличное от утверждения высказывания, то нам
потребуется базовое предложение, отличное от *Ы, хотя и близкое к нему, для
того, чтобы иметь возможность выводить утверждение пропозициональной
функции "\|/jc" из утверждений двух пропозициональных функций "фх" и
"фх^ух". Это базовое предложение таково:
*1*11. Когда можно утверждать фх, где х — реальная переменная, и можно
утверждать фхэхуд:, где х — реальная переменная, то можно также
утверждать \|/jc, где х — реальная переменная. Pp.
Этот принцип применим в той же мере к функциям от нескольких
переменных.
Значение вышеприведенного базового предложения заключается, в
частности, в том, что оно до некоторой степени формализует один результат
теории типов. Предположим, что у нас имеются два утверждения
пропозициональных функций "Ь . фх" и "Ь . фхэ\|/х"; тогда "jc" в фх — не
произвольный объект, а такой, для которого "фх" имеет значение (т.е. допустимый
в качестве аргумента функции "фх"); аналогично в "фхгэхуд:" х есть нечто,
для чего "фд::э\|/л:" имеет значение. Кроме некоторых аксиом, мы не
знаем, совпадают ли объекты, для которых " фх э \|/jc" имеет значение, с теми,
для которых "фх" имеет значение. Базовое предложение *1-11, обеспечивая
в качестве результата при утверждении пропозициональных функций " фх"
и "фхгэхуд:" также и утверждение пропозициональной функции "\|лх", до
некоторой степени формализует важный принцип, вытекающий из теории
типов, в форме, очень удобной для проведения фактических выводов: если
существует аргумент а, для которого и "фа", и "\уа" имеют значения, то
154 Буквы "Рр" означают "primitive proposition" по Пеано.
155 Последующие замечания по поводу этого принципа см. в Principles of Mathematics,
§38.
Principia Mathematica I

*1. БАЗОВЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРЕДЛОЖЕНИЯ
175
область аргументов, для которых "фа" имеет значение, совпадает с
областью аргументов, для которых "\|/я" имеет значение. Очевидно, что если
можно утверждать пропозициональную функцию "фд:э\|/д:", то найдутся
аргументы а, для которых "фаэ\|/я" имеет значение и для которых,
следовательно, "фа" и "\уа" должны иметь значения. Таким образом, согласно
нашему принципу, аргументы jc, для которых " флс" имеет значение, — те же,
что и аргументы, для которых "\|лх" имеет значение, т.е. типы возможных
аргументов для фх (ср. р. 15) совпадают с типами возможных
аргументов для \j/Jc. Базовое предложение *111 ввиду того, что оно формулирует
практически значимое следствие этого факта, называется "аксиомой
тождества для типов". Другое следствие этого принципа, состоящее в том, что
если найдется аргумент а, для которого и фа, и у а имеют значения, то фх
имеет значение, лишь только ух имеет значение, и наоборот, будет дано
в "аксиоме тождества для реальных переменных", вводимой в *1-72. Эти
два предложения, *1-11 и *1-72, образуют необходимый формализм для
построения доказательств, согласующихся с теорией типов.
Вышеприведенное базовое предложение *1-11 используется в любом
выводе одной пропозициональной функции из другой. Мы
проиллюстрируем применение этого предложения, развертывая во всю длину
доказательство *2-06, в котором оно впервые использовалось. Это предложение
таково:
" h :. р э q . э : q э г. э . р z> г".
Мы доказываем в *2-05 предложение:
Ь:.рэг.э:/7эа.э.рэг.
Очевидно, что *2-06 выводится из *2*05 с помощью *2-04, формулируемого
как:
Ь:.р.э.аэг:э:а.э./7эг.
Если же в этом предложении мы заменим р на pr, q на рэа, а г на
рэг, то получим в качестве частного случая *2-04 такое предложение:
|-::^эг.э:/?э^.э.рэг:.э:.рэ^.э:^эг.э.рэг, (1)
в котором роль гипотезы играет *2-05. Теперь базовое предложение *1-11
позволяет сделать заключительный вывод.
*1-2. \-:pV p.z>.p Pp.
Данное предложение гласит: "Если р истинно или р истинно, то р
истинно". Оно называется "принципом тавтологии", и в дальнейшем мы
будем именовать его "Taut". Для ссылок удобно дать специальные
имена некоторым из важнейших предложений; но в общем случае ссылки на
предложения будут даваться по номерам.
*1-3. \-:q.z>.pVq Pp.
Данный принцип гласит: "Если q истинно, то 'р или q' истинно".
Например, если я —"сегодня среда", а р — "сегодня вторник", то тогда
получится: "Если сегодня среда, то сегодня либо вторник, либо среда". Принцип
называется "принципом добавления", поскольку он утверждает, что если
высказывание истинно, то добавление к нему какой-либо альтернативы не
повлияет на истинность этого высказывания. Обозначим его "Add".
*1-4. YipVq.zz.qVp Pp.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

176
ГЛАВА 1. ТЕОРИЯ ВЫВОДА
Данный принцип гласит, что "р или #" влечет "q или р". Он
устанавливает перестановочный закон для логического сложения высказываний и
будет называться "принципом перестановки". Обозначим его "Perm".
*15. \-:pV(qVr).^>.qV(pVr) Pp.
Данный принцип гласит: "Если либо р истинно, либо lq или г' истинно,
то либо q истинно, либо 'р или г' истинно". Он представляет собой
форму ассоциативного закона для логического сложения и будет называться
"принципом ассоциативности". Обозначим его "Assoc". Высказывание
PV(qVr).z>.(pVq)Vr,
которое было бы более естественной формой закона ассоциативности,
обладает меньшей дедуктивной способностью и поэтому не принимается в
качестве базового предложения.
*1-6. \-:.qz>r.-DipVq.-D.pVr Pp.
Данный принцип гласит: "Если из q следует г, то из 'р или из q'
следует 'р или г' ". Другими словами, к посылке и заключению импликации
можно добавить некоторую альтернативу, не повлияв на истинность самой
импликации. Этот принцип будет называться "принципом суммирования"
и обозначаться "Sum".
*1-7. Если р — элементарное высказывание, то ~ р — элементарное
высказывание. Pp.
*1-71. Если р и я — элементарные высказывания, то р V q — элементарное
высказывание. Pp.
*1-72. Если фр и \\гр — элементарные пропозициональные функции,
принимающие в качестве аргументов элементарные высказывания, то фр V \\fp —
элементарная пропозициональная функция. Pp.
Последняя аксиома применима также к функциям от двух и более
переменных. Она называется "аксиомой идентификации реальных
переменных". Заметим, что если ф и \у — функции от аргументов различных
типов, то нельзя построить функцию "фд:У\|/д:", потому что аргументы ф и
\|/ не могут принимать одно и то же значение. Более общая форма данной
аксиомы будет приведена в *9.
Аксиомы *1-7-71-72 мы будем использовать, как правило, неявно.
Именно эти аксиомы и аксиомы *9 делают релевантной теорию типов,
как объясняется во Введении, и любое обоснование этих аксиом
обосновывает и такое последующее рассуждение, которое приводит к теории типов.
На этом заканчивается список базовых предложений, необходимых для
теории вывода применительно к элементарным высказываниям.
Principia Mathematica I

*2. НЕПОСРЕДСТВЕННЫЕ СЛЕДСТВИЯ ИЗ БАЗОВЫХ ПРЕДЛОЖЕНИЙ 177
*2. Непосредственные следствия из базовых
предложений
Краткое содержание *2.
Для доказательства первых предложений настоящего параграфа
достаточно просто заметить, что они являются частными случаями общих
правил, установленных в *1. Причем в этой ситуации правила не являются
посылками, так как они утверждают любой частный случай самих себя, и
ничего более того. Поэтому, когда в первых доказательствах будет
использоваться некоторое общее правило, оно будет цитироваться в квадратных
скобках156 с указанием (если это необходимо) замен букв, фигурирующих
в данном правиле, на те, которые требуются в конечном случае. Таким
образом, "Taut^-" означает то, чем станет "Taut", когда ~/? будет
написано вместо р. Если "Taut-^-" заключено в квадратные скобки перед
некоторым предложением, это означает, что в соответствии с "Taut" мы
утверждаем то, чем станет "Taut", когда ~р будет написано вместо р.
Для процесса вывода из обоих правил существенно уметь распознавать
конкретное предложение как частный случай некоторого общего
предложения, доказанного ранее или принимаемого в качестве допущения; однако
это нельзя возвести в ранг общего правила, т.к. необходимое применение
является частным, а общее правило не может явно включать в себя част-
ное применениех .
Далее, когда две разных цепочки символов выражают одно и то лее
высказывание в силу определения, скажем *1-01, и одно из высказываний,
назовем его (1), утверждается, то указание "[(1).(*1-01)]" перед
утверждением другого высказывания означает, что в силу *1-01 новая цепочка
символов представляет собой то же самое высказывание, которое утверждалось
в (1). Ссылка на определение заключается в круглые скобки, в отличие
от ссылки на предыдущее предложение.
Все или почти все предложения настоящей главы действительно
необходимы при выводе математики из наших базовых предложений.
Доказательства даются со всеми подробностями, хотя в дальнейшем будут
использоваться некоторые способы сокращения. Такая скрупулезность объясняется
тем, что важность рассматриваемого предмета заключается не в
предложениях самих по себе, а (1) в том, что они вытекают из базовых
предложений, и (2) в том, что это — наилегчайший, простейший и элементарнейший
пример символьного метода обращения с принципами математики вообще.
В дальнейшем — в теории классов, отношений, кардинальных чисел,
последовательностей, ординальных чисел, геометрии и т. д. — будет применяться
тот же метод, несмотря на возросшую сложность рассматриваемых
предметов и функций.
156 Позже мы прекратим отмечать различие между посылкой и правилом, по которому
производится вывод. Это важно лишь на начальной стадии.
157 Здесь уместно будет напоминание о правиле замены. Данный вопрос подробно
рассматривался ранее. — Прим. ред.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

178
ГЛАВА 1. ТЕОРИЯ ВЫВОДА
Перечислим наиболее важные предложения, доказываемые в настоящем
параграфе.
*202. \-:q.z>.pz>q
Т. е. из q следует, что р влечет q, т.е. истинное высказывание следует
из любого высказывания. Это предложение называется "принципом
упрощения" (обозначается "Simp"), поскольку, как будет выяснено позже, оно
позволяет нам перейти от совместного утверждения q и р к утверждению
просто q. Если вспомнить то специальное значение, которое мы приписали
импликации, предложение станет очевидным.
*203. \~:pz>~q.z>.qz>~p
*215. \-:~pz>q.z>.~qz>p
*216. \-:pz>q.-D.~qz>~p
*217. \-:~pz>~q.'D.q'Dp
Данная группа предложений образует "принцип транспозиции",
обозначаемый "Transp". Их следствием является правило: стороны
импликации молено поменять местами, если заменить отрицание на утверждение,
а утверждение на отрицание. Имеется аналогичное алгебраическое
правило, согласно которому молено поменять местами части уравнения с
одновременной переменой знаков.
*204. h :. р . э . q э г: э : q . э . р z> r
Данный принцип называется "принципом коммутативности" и
обозначается "Comm". Он гласит, что если г следует из q при истинном /?, то г
следует из р при истинном q.
*205. \-:.q^r.z>:p^q.z>.p^r
*206. Ь :.pz>q.^:q^r.z>.pz>r
Два данных предложения служат источником силлогизма Barbara (как
будет показано далее) и называются поэтому " принципом силлогизма"
(обозначается "Syll"). Первое гласит, что если г следует из <?, тогда если q
следует из р, то г следует из р. Второе аналогично первому и отличается
от него лишь тем, что переставлены посылки.
*2-08. Ь.рэр
Т. е. любое высказывание влечет само себя. Это называется " принципом
тождества" и обозначается "Id". Данный принцип отличается от "закона
тождества" ("х есть *"), который является его следствием (см. *13-15).
*2-21. h :~/?. z>.pz>q
Т. е. из ложного высказывания следует любое высказывание.
Дальнейшие предложения настоящего параграфа относятся в основном
к группе предложений из *3 и *4, которые дают те лее результаты в более
сжатой форме. Теперь мы перейдем к формальным доказательствам.
*2-01. \-:pz>~p.z>~p
Это высказывание утверждает, что если из р следует его же ложность,
то р ложно. Оно называется "принципом сведения к абсурду (reductio ad
Principia Mathematica I

*2. НЕПОСРЕДСТВЕННЫЕ СЛЕДСТВИЯ ИЗ БАЗОВЫХ ПРЕДЛОЖЕНИЙ 179
absurdum)", и мы будем использовать для ссылки на него имя "Abs" 158.
Доказательство следующее.
Доказательство.
[Taut^] b:~/7V~/>.:D.~/> (l)
[(1).(*1.01)]\-гр*~р.*~р
*2 02. \-:q.z>.pz>q
Доказательство.
[Add^J \-iq.*.~pVq (l)
[(l).(*l-01)]h: q.z>.pz>q
*203. \-:p-D~q.z>.qz>~p
Доказательство.
[Perm—— —] br-pV-^.iD.-^V-/? (1)
[(1).(*1-01)] \-:pz>~q. z>.qz>~p
*204. \-:. p . z> . q z> r: z> : q. z> . p z> r
Доказательство.
[Assoc~p,~q] h :. ~ p v (~ ^ V r). => . ~ # V (~ p V r) (1)
[(1).(*1-01)] \-:. p. z> . q z> r: z> i q . z> . p z> r
*2-05. \-:.qz>r.z>:pz>q.z>.pz3r
Доказательство.
[Sum^] b:.^Dr.D:~/?V^.D.~pVr (1)
[(1).(*1-01)] \-i.q-Dr.z>:p-Dq.-D.p-Dr
*206. \~:.pz>q.z>iqz>r.z>.pz>r
Доказательство.
qz>rtpz>qypz>r
Comm г::рг.э:рэо.э.рэг:.
P> Я* r *
z>:.pz>q.z>:qz>r.i>.pz>r (1)
[*2-05] \-:.q-Dr.z>:p-Dq.z>.pz>r (2)
[(1).(2).*1-11] \-:.pz>q.z>:qz>r.z>.pi>r
В последней строке данного доказательства "(1).(2).*1-11 "означает,
что в соответствии с *1-11 мы производим вывод некоего высказывания,
а именно pz>q.z>:qz>r.z>.npz>r, которое, согласно (1), следует из
высказывания qz>r.z>:pz>q.z>.pz>r, которое, согласно (2), истинно. Вообще
в таких случаях мы будем опускать ссылку на *Ы1.
Два последних предложения образуют "принцип силлогизма"
(обозначается "Syll"), потому что, как будет показано, из них выводится силлогизм
Barbara.
*207. \-:p.z>.pVp [*l-3 -]
Н
158 Имеется интересная историческая статья, посвященная этому принципу: Vailati.
A proposite d'un passo del Teeteto e di una dimostrazione di Euclide. Rivista di Filosona
e scienze affine. 1904.
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

180
ГЛАВА 1. ТЕОРИЯ ВЫВОДА
Здесь мы ничего не добавляем вслед за "*1-3 —", потому что доказыва-
Ч
емое предложение есть то, чем станет *1-3, если р будет написано вместо q.
*208. У.р^>р
Доказательство.
[*2-05 - — ] У :: р V р . э . р: э:. р. э . р V р : э . р э р (1)
[Taut] У: /? V р. =>. р (2)
[(1).(2).*Ы1] y:.p.z>.PVp:z>.p^p (3)
[*2-07] Ь :/?.=>./? V/7 (4)
[(3).(4).*М1] У.р:>р
*2 1. b.~/?V/? [*2-08.(*1-01)]
*211. У.рУ~р
Доказательство.
[Perm—-] b:~/?Vp.:D.pV~/? (1)
[(1).*2-1.*Ы1]Кр:э~р
Это закон исключенного среднего.
*2 12. Ь.рэ~(~р)
Доказательство.
[*2-11^] b:~pV~(~p) (1)
[(1).(*1Ю1)]1-:/>:>-(-/>)
*2 13. Ь.рУ~{~(~/>)}
Данное предложение является леммой для *2-14, которое вместе с *2-12
образует принцип двойного отрицания.
Доказательство.
~/?,~{~(~р)}
[Sum— ] У : -/? . э . ~ {- (~р)}. э :
4>
pV-p.iD.pV-t-C-p)} (1)
[*2-12-^] Ь:~/7.:э.~{~(~р)} (2)
[(1).(2).*Ы1] \-ipV~p.*.pv~[~(~p)} (3)
|(3).*2-11.*1-11] Ь : р V ~ {- (~ р)}
*2 14. Ь.~(~р):э/?
Доказательство.
регт~{~(~р)]]\-гру~{~(~р)].*.~{~(~р)}ур (1)
[(1).*2-13.*1-11] h.~{~(~p)}Vp (2)
[(2).*1-01J Y.~(rp)z>p
*215. y:~pz>q.-D.~qz>p
Principia Mathematica I

*2. НЕПОСРЕДСТВЕННЫЕ СЛЕДСТВИЯ ИЗ БАЗОВЫХ ПРЕДЛОЖЕНИЙ 181
[*2№~P'~{~q)\ \-i.qz>~(~q).z>:~pz>q.^.pz>~(~q) (l)
А г
[*2-12^] Y.qz>~(~q) (2)
Р
[(1).(2).*М1] Yi~pz>q.z>.~p*~{~p) (3)
[*2.()3^^] Yi~pz>~(~q).z>.~qz>~{rp) (4)
[*2-05—^^~]1-:.~(~/7)э/7.э:~^э~(~/7).э.~^эр (5)
[(5).*2-14.*Ы1] У : - ? => ~ (~ р). э . ~ $ =>р (6)
р> q* r
~ р => ~ (~ ?). =>. ~ q э ~ (~ р) : =>:.
~/7=>^.=>.~/7Э~(~^):=>:~/7=>^.=>.~^з~(~/7) (7)
[(4).(7).*1-11]Ь:. ^э^.э.^эЧ^):э:
~р:>4-=>-~2=>~(~р) (8)
[(3).(8).*М1] У : ~ /7 э 9 . э . ~ q э ~ (~ р) (9)
Грэ,^эЧ^),^эр ; ( } ^ ;
z>:.~p-Dq.z>.~qz>~(~p):-Di~p-Dq.z>.~qi>p (10)
[(6).(10)-*М1]Ь:.-рэ^.э.-^э-(~р): э:
~pz>q.z>.~qz>p (11)
[(9).(11).*141]Ь:~рэ$.э.~$э/>
Замечание к доказательству *2-15. В проведенном выше доказательстве
(3), (4), (6) имеют вид р\ z> p2, pi =>Рз» Ръ =>£Ч соответственно, а
доказываемое предложение есть р\ z>p4- Из р\ гэ/72, Р2^>Ръ, Ръ ^Рл высказывание
р\ z> /74 выводится многократными применениями *2*05 или *2*06 (оба из
которых суть "Syll"). Нет необходимости в подробном изложении этого
процесса всякий раз; поэтому сократим запись до
"[Syll] У.{а).(Ь).(с).*У.((Ъп,
где (а) имеет вид p\i>p2, (b) имеет вид р2~эръ-> (с) имеет вид ръ =>/?4, a (d)
— р\ id/74- Аналогичные сокращения будут применяться и к соритам
произвольной длины.
Кроме того, если имеется "К/7]" и "У.p\i>p2", а р2 — доказываемое
предложение, удобно просто написать
[etc.] K/72",
где "etc." —ссылка на предыдущие предложения, в силу которых имеет
место импликация ир\^>р2"- Эта форма записи содержит в себе неявное
использование *1-11 или *1-1 и делает многие доказательства более
короткими и ясными. См., например, первые две строки следующего
доказательства.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

182
ГЛАВА 1. ТЕОРИЯ ВЫВОДА
*216. b:pz>q.-D.~qz>~p
Доказательство.
[*212] \-.qz>~(~q).z>
[*205] \-:pz>q.z>.pz>~(~q) (1)
[*203—] Ь : р z> ~ (~ q) . z> . - q z> ~ /? (2)
[Syll] Ы1).(2).эН:/>:э$.:э.~$э~/>
Замечание. Мы будем обозначать предложение, которое доказывается,
"Prop", и будем писать "Ь .etc. z>h .Prop", когда доказательство
заканчивается, как в *2-16, импликацией, консеквент которой есть
доказываемое предложение. Таким образом, " э h . Prop" завершает доказательство и
в определенном смысле соответствует "Q.E.D.".
*217. Ь:~#:э~/?.:э.р:э<7
Доказательство.
М)3-
*2-03 — -]Ь :-?:>-/?. :>./?:>~(~?) (1)
[*2-14] 1-:~(-^)э^:з
[*2-05] Ь:/7э-(~^).э./7э^ (2)
[Syll] h.(l).(2).3h.Prop
Предложения *2-15, *2-16 и *2*17 суть различные формы принципа трас-
позиции, обозначаемого "Transp".
*218. h :~р-эр.-э.р
Доказательство.
[*2-12] Ь.рэ~(~р).э
[*2-05] Ь.-/?:>/?.:э.~/?:э~(~/?) (1)
[*2-01^]Ь:~рэ-^р).э^^р) (2)
[Syll] Ь.(1).(2).:эЬ:/?:эр.:э.~(~р) (3)
[*2-14] К-(-/>) эр (4)
[Syll] Ь.(3).(4).эЬ.Ргор
Данное предложение есть дополнение к принципу reductio ad absurdum.
Оно гласит, что предложение, следующее из предположения своей же
ложности, истинно.
*2 2. \-:p.z>.pVq
Доказательство.
Ь . Add . => Ь : р. => . q V р (1)
[Perm] \-:qVp.z>.pVq (2)
[Syll] b.(l).(2).=>!-.Prop
*2 21. Ь :-/?.=>./?=># [*2-2—]
Два последних предложения используются очень часто.
*2 24. \-:p.z>.~pz>q [*2-21. Comm]
*2-25. \-:.p:V:pVq.z>.q
Доказательство.
Ь . *2-1 . => Ь : - (р V я) • V . (р V #)
[Assoc] z> Ь : р . V . (~ (р V q). V . #}: z> h . Prop
Principia Mathematica I

*2. НЕПОСРЕДСТВЕННЫЕ СЛЕДСТВИЯ ИЗ БАЗОВЫХ ПРЕДЛОЖЕНИЙ 183
*2 26. \-:.~p:V:pz>q.z>.q [*2-25—1
Р
*2-27. Yi.p.z>:pz>q.^>.q [*2-26]
*2 3. Ь : р V (# V г) . э . р V (г V q)
Доказательство.
[Perm J h:^Vr.D.rV^:
Гп flVr,rVo. ,
[Sum- -]:> \-: p V (qV г) . z> . p V (rV q)
Q* r
*2-31. \-:pV(qVr).z>.(pV q)V r
Данное предложение вместе с *2-32 образуют ассоциативный закон для
логического сложения высказываний. Для доказательства введем
сокращение (которое будет систематически использоваться и в дальнейшем)159.
Когда имеется последовательность предложений вида аэЬ, Ьэс, cz>d, и
"add" — доказываемое предложение, то полное доказательство имеет вид:
[Syll] Ь:.дэЬ.э:Ьэс.э.дэс (1)
Ь : а . э . Ъ (2)
[(1).(2).*М1] ЬгЬэс.з.яэс (3)
Ь : Ь. э . с (4)
[(3).(4).*М1]1-:а.э.с (5)
[Syll] h.flDC.D:CDJ.D.flDd (6)
[(5).(6).*1-11] h:cDJo.aDd (7)
V : с. э . d (8)
[(7).(8).*Ml]h:e.D.d
Выписывать все это полностью довольно утомительно; поэтому мы
просто запишем
V:а . э.Ь.
[etc] z>. с.
[etc] z> . J: z> h . Prop,
где "az>d"—доказываемое предложение. Слева мы указываем в
квадратных скобках предложения, благодаря которым имеют место
последовательные импликации. После Ъ мы ставим одну точку (а не две), чтобы
показать, что именно из Ь, а не из "оэЬ", следует с. Но после d мы ставим
две точки, чтобы показать, что теперь имеется в виду "дэ^". Если "adJ"
не есть доказываемое предложение, но используется в продолжении
доказательства, то мы пишем
I-: а . э . b .
[etc] :э. с.
[etc] э . d (1)
и тогда "(1)" означает "adJ". Теперь приведем доказательство *2*31.
Доказательство.
159 это сокращение применяется в тех лее самых случаях, которые были рассмотрены
в замечании к *2-15, но оно часто более удобно, чем сокращение, объясняемое в том заме-
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

184
ГЛАВА 1. ТЕОРИЯ ВЫВОДА
[*2-3] I-: р V (q V г) . z>.pV(rVq).
[Assoc-1 -] z>.rV(pV q).
и.*
[Perm-1 ] D.(pV^)Vr:DF. Prop
*2 32. h(pV^)Vr.D.pV(^Vr)
Доказательство.
[Perm-——] h:(pVq)Vr. D.rV(pV^)
[Assoc-1-1-] z>.pV(rVq).
[*2-3] z>.pv(q V.r) :dK Prop
*2-33. pVqV r. = .(pVq)Vr Df
Это определение вводится лишь для того, чтобы избежать
использования скобок.
*2-36. h.^Dr.D:pV^.D.rVp
Доказательство.
[Perm] Yipv r. z>.rV p
[Syll——— -—-—JDh.pV^. z>.pVr:z>:pVq.z>.rV p (1)
[Sum] h:.pr. z>:pVq.z>.pVr (2)
h.(l).(2).Syll.z>h.Prop
*2-37. \-:.qz>r.z>:qVp.z>.pVr
[Syll. Perm. Sum]
*2*38. h:.^Dr.D:^Vp.D.rVp
[Syll. Perm. Sum]
Доказательства *2-37-38 в точности аналогичны доказательству *2-36.
(Мы записываем "*2-37-38 "вместо "*2-37 и *2-38 ". Подобное сокращение
мы будем использовать и в дальнейшем.)
Следует отличать использование в доказательстве некоторого
основного принципа вывода, к примеру любой формы принципа "Syll", от
использования частных посылок, к которым этот принцип вывода
применяется. Принцип вывода дает общее правило, по которому делается вывод,
но сам не является посылкой в выводе. Если мы все же будем
трактовать его как посылку, то нам понадобится либо то же самое, либо некое
другое общее правило, которое позволит нам вывести требуемое
заключение, — в результате мы будем накапливать и накапливать посылки, не
имея при этом возможности сделать какой-либо вывод. Поэтому, когда
в процессе вывода применяется общее правило, как, например, в случае
" [Syll] h . (1). (2). э Ь . Prop", упоминание " [Syll]" требуется лишь для того,
чтобы напомнить читателю о том, как делается вывод.
Тем не менее, правило вывода может появиться как одна из обычных
посылок. Например, в случае "[Syll]" предложение "рэ^.э:рг.э.рэг"
Principia Mathematica I

*2. НЕПОСРЕДСТВЕННЫЕ СЛЕДСТВИЯ ИЗ БАЗОВЫХ ПРЕДЛОЖЕНИЙ 185
является одним из тех, к которым молено применить наши правила
вывода, и тогда оно станет обычной посылкой. Различие между двумя
способами использования принципов вывода имеет важный философский смысл,
и в предыдущих доказательствах мы явно указывали на это различие,
заключая правило вывода в квадратные скобки. Однако с практической
стороны продолжать делать такое различие не совсем удобно. Поэтому впредь
мы будем и обычные посылки заключать в квадратные скобки, если это
будет удобно, и включать правила вывода вместе с другими
предложениями в число утверждаемых посылок. Таким образом, мы будем писать,
например
"K(l).(2).Syll.:>l-. Prop"
а не " [Syll] К(1). (2). э И . Prop"
*2-4. Ь:. p.V.pVqiD.pVq
Доказательство.
*2-41.
К *2-31 .эЬ:.р. V.
[Taut. *2-38]
Ь :.#. V ./? V q:z> . pV q
Доказательство.
*242.
*243.
*2-45.
*2-46.
*2-47.
*2-48.
*2-49.
*25.
*251.
*252.
[Assoc^|]h:.^.V
[Taut. Sum]
\-:.~p.V.pz>q:z>.pz>q
Ь:. p.z>.pz>qm.pz>q
F:-(pV^).D.-p
h:~(pVq).z>.~q
\-:~(pVq).z>.~pVq
b:~(PVq).^.p\/~q
h-(pv?).D.-pv^
b:-(/?D^).D.-/?D^
F:-(pD^).D.pD~^
Yi~(p^>q).z>.~pz>~q
*2-521.Ь: -(рэ^). d.^d/j
pV q: z>: pV q .z>.q:
э:р\/^:.эК Prop
.pVq: Dip.V .(qV q):
z>: p V qi. i>Y .Prop
[*2-4^1
P
[*2-42]
[*2-2 . Transp]
[*l-3 . Transp]
[*2-45.*2-2—.Syll]
[*2-46.*l-3—.Syll]
f*2-45.*2-2— — .S3
1 p, я
[*2-47. —]
P
[*2-48 . —]
P
[*2-49 . —]
P
[♦2-52-17]
*2-53. hpV q.z> .- p^>q
Доказательство.
У . *2-12-38 .DhpV^.D.~(-p)v^:DK Prop
*2-54. h
*2 55. У
*2 56. У
~pz>q. э.р V q
— p . z>: pV q.z> .q
~ q .z>: pV q .z> . p
[*2-14-38]
[*2-53 . Comm]
[*2-55^|.Perm]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

186
ГЛАВА 1. ТЕОРИЯ ВЫВОДА
*2-6. Y:.~pz>q.z>:pz>q.z>.q
Доказательство.
[*2-38] Y:.~pz>q.z>:~pV q.zt.qV q (1)
[Taut. Syll] Y:.~pVq.z>.qVq:z>:~pVq.z>.q Prop (2)
Ь . (1) . (2) . Syll .э(-:.-рэ^.з:-рУ^.э.^:.эК Prop
*2-61. Y:. pz>q.z>:~pz>q.z>.q
*2-62. h:.pVq.z>:pz>q.z>.q
*2-621.h :. p z> q . z>: p V q . z>. q
*2-63. Y:.pVq.z>:~pVq.z>.q
*2-64. Y :.pV q.z>:pV ~q.z> .p
*2-65. Y:. pz>q.z>:pz>~q.z>.~p
*2-67. Y:. pVq.z>.q:z>.pz>q
[*2-6 . Comm]
[*2-53-6 . Syll]
[*2-62 . Comm]
[*2-62]
[*2-63^|.Perm]
[*2-64^]
Доказательство.
[*2-54 . Syll] Y :. p V q. z> . q : z> : ~ p z> q . z>. q (1)
[*2-54 . Syll] Y:.~pz>q.z>.qiz>.pz>q (2)
b.(l). (2). Syll. эЬ. Prop
*2-68. Y:.pz>q.z>.q:z>.pVq
Доказательство.
[*2'67-p-] h:. pz>q.z>.q:z>.~pz>q (1)
h . (1). *2-54 .Dh. Prop
*2-69. Y :. p z> q . z> . q : z> : q z>p . z> . p [*2-68 .Perm. *2-62^^]
*2 73. Y:.pz>q.z>:pVqVr.z>.qVr [*2-621-38]
*2-74. Y:.qz>p.z>:pVqVr.z>.pVr [*2-73^| . Assoc . Syll]
*2-75. Y::pVq.z>:.p.V.qz>r:z>.pVr [*2-74-^ . *2-53-31]
*2-76. Y:.p.V.qz>r.z>:pVq.z>.pVr [*2-75 . Comm]
*2-77. Ь :.p.z>.qz>r:z>:pz>q.z>.pz>r [*2-76-=-]
*2-8. |-:.^Vr.D:~rV5.D.^V5
Доказательство.
Y . *2-53 . Perm . Y :.qV r. z>:~rz>q:
[*2-38] z>:~rV s.z>.qV s:.z>Y .Prop
*2-81. (-::^.D.rD5:D:.pV^.D:pVr.D.pV5
Доказательство.
Y . Sum .Dh::^.D.rD5:D:.pV^. D:p.V.rD5 (1)
Y . *2-76 . Syll .z>Y::pVq.z>:p.\/. rz> s:.z>i.
pV q.z>:pV r.z>.pV s (2)
Ml). (2). :> К Prop
*2-82. \-:.pVqVr.z*:pV~rV s.z*.pVqV s
flVr-rV5,flV5.
*2*8 . *2-81- --
p, r, s
*2-83. Y :: p . z>. q z> r: z>:. p . z> . r z> s : z>: p . z>. q z> s
Principia Mathematica I

*2. НЕПОСРЕДСТВЕННЫЕ СЛЕДСТВИЯ ИЗ БАЗОВЫХ ПРЕДЛОЖЕНИЙ 187
[*2.82^^1
Р. Я
*2-85. h./?V^.D./?Vr:D:p.V.^Dr
Доказательство.
[Add . Syll] h:.pV^.D.r:D.pr (1)
Ь . *2-55 . :эЬ :: ~р . D:.pVr.D.r:.
[Syll] z>:.pVq.z>.pVr: DipV^.D.r:.
[(1). *2-83] э :. p V q . э . p V r: z>: q V r (2)
h . (2). Comm .3 h :. pV q .э . /? V г: э:~р.э.рг
[*2-54] D:p.V.pr:.Dh. Prop
*2-86. 1-:.рэ^.э.рэг:э:р.э.рг [*2-85-«-]
А.Н.Уайтхед, Б.Рассел

188
ГЛАВА 1. ТЕОРИЯ ВЫВОДА
*3. Логическое произведение двух высказываний
Краткое содержание *3.
Логическое произведение двух высказываний р и q можно было бы
определить как высказывание "р и q одновременно истинны". Но в
таком случае это явилось бы новым базовым понятием. Поэтому мы
принимаем в качестве логического произведения высказывание ~ (~ р V ~ <?), т.е.
"ложно, что либо р ложно, либо q ложно", что, очевидно, истинно тогда
и только тогда, когда р и q одновременно истинны.
Таким образом, мы полагаем
*301. p.q. = .~(~pV~q) Df
где "р.^" — логическое произведение р и q.
*302. рэрг. = .рэ^.рг Df
Это определение принимается лишь в целях сокращения доказательств.
Когда имеются две утвердительные пропозициональные функции
"Ь.фх" и "Kyjc", мы будем иметь "Ь.фх.уд:" при условии, что
аргументы функций ф и \|/ относятся к одному типу. Для любых функций
это будет доказано в *9; а пока нас интересуют лишь элементарные
пропозициональные функции элементарных высказываний. Проведем
доказательство в этом случае.
Согласно *1-7, ~фр и ~ \\fp — элементарные пропозициональные
функции, следовательно, на основании *1-72, ~ фр V ~ \|/р — элементарная
пропозициональная функция. Таким образом, согласно *2-11,
h : - фр V ~ \\гр . V . - (~ фр V ~ ур) .
Следовательно, по *2-32 и *101
Ь :. фр . э : >|ф . э . ~ (- фр V - \\fp)y
т.е. по *3-01
h :. фр . э : \\гр . э . фр . \\гр.
Таким образом, согласно *1-11, когда мы имеем "Кфр" и "К\|/р", мы
имеем также "Ь.фр. ур".
Это предложение есть *3-03. Должно быть понятно, что оно так же,
как и *1-72, применимо к функциям двух и более переменных.
Вышеприведенное предложение есть наиболее удобная для
практических целей форма аксиомы идентификации реальных переменных (ср.
*1-72). После того как будет снято ограничение на использование лишь
элементарных высказываний и пропозициональных функций, чтобы
определить, когда две функции имеют аргументы одинакового типа, можно
будет использовать следующий удобный способ.
Если фх содержит в качестве конституенты %(x,y,z,...), а ух содержит
в качестве конституенты %(x,u,v,...), то тип аргументов фх и \\fx-тот же,
что тип аргумента х в %(x,y,z,...), и, следовательно, фд: и \\гх имеют
аргументы одного типа. В таком случае, если можно утверждать фд: и \jtjc, то
можно утверждать и фх. \\fx.
Как пример использования этого предложения, рассмотрим
доказательство *3-47. В нем доказывается
Principia Mathematica I

*3. ЛОГИЧЕСКОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЫСКАЗЫВАНИЙ 189
1-:.рэг.^Э5.э:р.^.э.^.г (1)
и [-:.pz>r.qz>s.z>:p.r.z>.r.s, (2)
а само предложение *3-47 есть
В предложениях (1) и (2) р, q, r, s — элементарные высказывания
(как и во всей главе 1); многократно применяя *1-7-71, заключаем, что
" pz>r .qz> s .z>: p .q .z> .q .г" и upz>r .qz> s .z>:q .r .z> .г. s" —
элементарные пропозициональные функции. Следовательно, согласно *3-03,
\-::pz>r.q-Ds.z>:p.q.z>.q.r:.pz>r.qz>s.z>:q.r.z>.r.s,
и конечный результат вытекает из *3-43 и *3-33.
Перечислим основные предложения настоящей главы.
*3-2. Ь :. р .z>:q .z> .p .q
Т.е. "р влечет, что q влечет p.q", т.е. если каждое из двух
высказываний истинно, то таково же и их логическое произведение.
*3-26. V\p.q.i>.p
*3-27. )r:p.q.z>.q
Т. е. если логическое произведение двух высказываний истинно, то
каждое отдельное высказывание истинно.
*3-3. Ь :. р .q -z> .r:z>: p .z> .qz>r
Т. е. если р и q совместно влекут г, то из р следует, что q влечет г.
Этот принцип (следуя Пеано) назовем "экспортированием", поскольку q
"экспортируется" из посылки. Обозначим его "Ехр".
*3-31. У :. р >э .qz>r:-D:p .q . :э .г
Данное предложение является коррелятивом вышеприведенного и будет
называться (следуя Пеано) "импортированием" (обозначается "Imp").
*3-35. )r:p.pz>q.-D.q
Т. е. "если р истинно и q следует из него, то q истинно". Назовем это
предложение "принципом суждения" (обозначается "Ass"). В отличие от
*1-1 оно применимо не только, когда р действительно истинно, но и в
условиях гипотетической истинности р.
*3-43. Ь:.pz>q.pz>r.z>:p.z>.q.r
Т. е. если высказывание влечет каждое из двух высказываний, то оно
влечет и их логическое произведение. Согласно Пеано, это предложение
называется "принципом композиции" (обозначается "Сотр").
*3*45. \~:.pz>q:p.r.z>.q.r
Т. е. обе части импликации могут быть умножены на общий
множитель. Согласно Пеано, это предложение называется "принципом
множителя" (обозначается "Fact").
*3-47. h.pDr.p^.Dip.^.D.r.i
Т. е. если р влечет г, a q влечет s, то из произведения р и q следует
произведение г и s. В настоящей главе доказывается также закон
противоречия (*3-24), и\~ ш~(р.~р)п. Однако, несмотря на его известность, мы
обнаружили лишь несколько случаев его применения.
*301. p.q. = .~(~pV~q) Df
*302. pz>qz>r. = .p-Dq.qz>r Df
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

190
ГЛАВА 1. ТЕОРИЯ ВЫВОДА
*3-03. Если даны две утверждаемые элементарные пропозициональные
функции "Ь . фр" и "Ь . ур", аргументами которых являются элементарные
высказывания, то имеем Ь. фр. у р.
Доказательство.
Ь . *1-7-72 . *2-11 . э Ь : ~ фр V - ур . V > - (~ фр V ~ ур)
h . (1) . *2-32 . (*1-01) - э Ь :- фр . э : ур . э . ~ (~ фр V ~ ур)
h . (2) . *3-01 . э Ь :. фр . э : \|гр . э . фр . \|/р
(1)
(2)
(3)
*31.
*311.
*312.
*313.
*314.
*32.
*3-21.
*322.
Ь.(3)-*М1.эЬ.Ргор
Ь:р.£.:э.~(~рУ~2)
f-:~(~pV~#>:D.p.<7
-p. V . ~#. V .р .q
p.q.^.~(~pV~q)
. p .z>:q.z> .p .q
.q .z>: p .z> . p .q
p .q .z> .q . p
[Id.(*3-01)J
[Id.(*3-01)j
[*3-ll. Transp]
[*3-l . Transp]
[*3-12]
[*3-2 > Comm]
Это одна из форм коммутативного закона для логического умножения.
Более полная форма приведена в *4-2.
Доказательство.
[*3-13^]Ь:
p,q
>(q. p) > э . ~ # V ~ р .
[Perm] D.-pV~^.
[•3-14J э.-(/>.*)
h . (1). Transp . э Ь . Prop
Заметим, что "(1)" здесь обозначает предложение
"~(q.p).z>.~(p.qr,
как было объяснено в доказательстве *2-31.
*3 24. Ь.~(р.~р)
(1)
[*2-11
[*3-14
Это закон противоречия.
*3-26. Ьгр.^.э.р
Доказательство.
1*2-02 И
[(1).(*1«1)]
[*2-31]
^]b.~pV~(~p)
-р-]Ь_~(р.~р)
Ь :р. э .qz>p
Ь:~р.V.~#Vp:
:э h : ~р V~#. V >p:
[*2-53~рУ~^] Dh4-PV^).D.
Р,
[(2).(*3-01)]
*3-27. )r:p.q.z>.q
Доказательство.
[*3-22]
[*3-26^]
Г
Ь:р.#.э.р
Ь:р.#- z> -# -р
d.^:dK Prop
(1)
(2)
Principia Mathematica I

*3. ЛОГИЧЕСКОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
191
Предложения *3-26-27 будем называть "принципом упрощения", как и
*2-02, из которого они выводятся (обозначаются "Simp").
*3-3. Ь :. р .q -z> .r:z>: p -i> .qz>r
Доказательство.
[Id.(*3-01)] hr-p-^.э.г: z>:~(~pV~#).:>.г:
[Transp] d:-t.d.-/>V-^:
jld.(*l-01)] э:~г.э.р-^:
[Comm] э:р.э.~гэ-^:
[Transp.Syll] э:р.:э-2:эг:.:эЬ. Prop
*3-31. )r :.p .z> .qz>r:-D: p .q .z> .r
Доказательство.
[Id.(*l-01)] hr.p.D.pr: Di-p.V.-^Vr:
[*2-31] Di-pV-^.V.r:
[*2-53~PV~g'~] D:-(-pV^).D.r:
[Id.(*3-01)J э:р.^.э.г:.эК Prop
*3-33. )r-.pz>q.qz>r.z>.pz>r [Syll. Imp]
*3-34. Viq-эг.pzzq.-D.p-^r [Syll.Imp]
В дальнейшем эти два предложения будут обозначаться "Syll"; обычно
ими гораздо удобнее пользоваться, чем *2-05 или *2-06.
*3 35. Vip.p^>q.z>.q [*2-27.Imp]
*3-37. \r:.p.q.z>.r:-D:p.~r.z>.~q
Доказательство.
Ь . Transp . Dh:^Dr.D.-TD-^:
[Syll] z>\r:.p.z>.qz>r:z>:p.z>.~rz>~q (1)
Ь.Ехр, z>)r:.p.q.z>.riz>:p.z>.qz>r (2)
К Imp, :эЬ:.р.:э.~г:э~<7::э:р.~г>:э.~<7 (3)
h.(2).(l). (3). Syll. Dh. Prop
Это другая форма правила транспозиции.
*3-4. hzp.q.^.p^q [*2-51 . Transp > (*1-01 - *3-01)]
*3-41. Ь:./?зг.:>:/?.#.:>.г [*3-26 . Syll]
*3 42. h:.pr.D:p.^.D.r [*3-27 . Syll]
*3-43. Ь :.pz>q.pz>r.-D:p.z>.q.r
Доказательство.
Ь > *3-2 .Dh:.^.D:r.D .q.r
h - (1) . Syll ,э1*::рэ^.э:./}.э:г.э^.г:. (1)
[*2-77] D:./?Dr.D:/?.D.^.r (2)
h > (2) > Imp - z> V . Prop
*3-44. )r:.qz>p.rz>p.z>:qVr.z>p
Данный принцип аналогичен *3-43. Аналогия между *3-43 и *3-44
относится к тому же классу, что и вообще аналогия, имеющаяся между
формулами с произведениями и суммами.
Доказательство.
Ь . Syll. эк :.-рг .гэ р . э:~рр:
[*2-6] э:^эр.э.р (1)
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

192
ГЛАВА 1. ТЕОРИЯ ВЫВОДА
Ь . (1). Ехр > :э Ь :: ~ # :э г > э:.гэр.э:^э/?.э.р:.
[Comm.Imp] эг.^эр.гэр.э.р (2)
Ь . (2). Comm. :э Ь \.qz> р .гэ р .э:-рг.э . pi.
[*2-53.Syll] эЬ.Ргор
*3-45. )r:.pz>q.z>:p.r.z>.q.r
Этот принцип позволяет нам умножать обе части импликации на общий
множитель; поэтому он был назван Пеано "принципом множителя". Будем
обозначать его "Fact". Это аналог базового предложения *1-6 относительно
умножения.
Доказательство.
~ г
k Syll — - :э Ь :. pz>q.z>:qz>~r.z>.pz>~r:
[Transp] :э : ~ (р э ~ г) . э . ~ (q z> ~ г) :.
[Id.(*l-01.*3-01)] эЬ.Ргор
Данное предложение, а точнее его аналог для классов, было доказано
Лейбницем, и, вероятно, привело его в восторг, поскольку он назвал его
"praeclarum theorema" 160.
Доказательство.
Ь . *3-26. э Ь :. pz>r.qz>s.z>:pz>r:
[Fact] z>: p .q .z> .r.q:
[*3-22] z>: p .q .z> .q .r:
160 Philosophical works, Gerhardt's edition, V. VII. P. 223.
Principia Mathematica I

•4. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ И ФОРМАЛЬНЫЕ ПРАВИЛА
193
*4> Эквивалентность и формальные правила
Краткое содержание *4-
В этом параграфе мы будем работать с правилами, аналогичными
в той или иной степени правилам обычной алгебры. Именно эти
правила положили начало "исчислению формальной логики". Трактуемые как
''исчисление", правила вывода могут быть интерпретированы и многими
другими способами. Но все другие интерпретации опираются на исходную
трактовку, поскольку во всех них мы выводим следствия из правил,
принимая таким образом априори теорию вывода. Простейшая интерпретация
"исчисления" состоит в следующем. Все индивиды считаются числами и
суть либо 0, либо 1; "рэ^" должно принимать значение 0, если р есть
1 и q есть 0; в противном случае — значение 1; ~р должно быть 1, если
р есть 0, и 0, если р есть 1; "р.#" должно быть 1, если р и q оба 1,
и 0 —в любом другом случае; "pVq" должно быть 0, если р и q оба 0,
и 1 — в любом другом случае; знак утверждения означает, что следующее
за ним выражение имеет значение 1. Символическая логика,
рассматриваемая как исчисление, несомненно, представляет интерес сама по себе; но, по
нашему мнению, этот аспект до настоящего времени слишком
подчеркивался в ущерб точки зрения, согласно которой символическая логика —лишь
наиболее элементарная часть математики и логическая база всех
остальных частей. По этой причине мы только вкратце остановимся на вещах,
необходимых для алгебры символической логики.
Когда каждое из двух высказываний влечет за собой другое, мы
говорим, что они эквивалентны, и пишем "p = q". Полагаем:
*401. p-=q . = .pz>q .qz>p Df
Очевидно, что два высказывания эквивалентны тогда и только тогда,
когда они оба истинны или оба ложны. Следуя Фреге, будем называть
истинностным значением высказывания истину, если оно истинно, и ложь,
если оно ложно. Тогда два высказывания эквивалентны, когда они имеют
одно и то же истинностное значение.
Следует заметить, что если р = #, то q можно подставить вместо р без
изменения истинностного значения любой функции от р, не содержащей
конструкций, отличных от перечисленных в *1. Это доказывается в
каждом отдельном случае, но не в общем, потому что у нас нет средств
указания на то, что данная функция может быть построена с применением
только именно таких конструкций. Будем называть истинностной
функцией функцию /(р), аргумент которой есть высказывание, а истинностное
значение зависит только от истинностных значений его аргументов. Все
функции высказываний, которые нам особенно интересны, суть
истинностные функции; таким образом
p = q^.f(p) = f(q).
Причина этого заключается в том, что все функции от высказываний,
с которыми мы имеем дело, конструируются исходя из базовых понятий *1.
Однако это не является достаточным условием для того, чтобы функция от
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

194
ГЛАВА 1. ТЕОРИЯ ВЫВОДА
высказываний оказалась истинностной функцией. Например, "А полагает,
что р" может быть истинно при одном истинном р и ложно при другом.
Перечислим основные предложения настоящего параграфа.
*4-1. Ь:р:э<7. = .~<7:э~р
*411. Ь zp = q. = ,~ q = ~ p
Оба предложения суть формы "принципа перестановки".
*413. Ь./? = ~(~/>)
Это принцип двойного отрицания: высказывание эквивалентно
отрицанию своего отрицания.
*4-2. V.p = p
*4-21. )r:p = q. = .q = p
*4-22. \r:p = q.q = r.z>.p = r
Эти теоремы утверждают, что эквиваленция рефлексивна, симметрична
и транзитивна.
*4-24. Ь :р . = .р .р
*4-25. h:p. = .pV p
Т. е. р эквивалентно "р и р" и "р или р", что приводит к двум
формам закона тавтологии и является источником принципиального различия
между алгеброй символической логики и обычной алгеброй.
*4-3. Ь : р .q . = .q . р
Это коммутативный закон для произведения высказываний.
*4-31. )r:pVq. = .qVp
Это коммутативный закон для суммы высказываний.
Ассоциативные законы для умножения и сложения высказываний суть
*4-32. \-z(p.q).r. = .p.(q.r)
*4-33. Ь : (р V q) V г . = . р V (q V r)
Дистрибутивный закон имеет две формы:
*4-4. )ri.p.qVr. = :p.q.V.p.r
*4-41. h:.p.V.q.r: = .pVq.pVr
Вторая из этих форм не имеет аналога в обычной алгебре.
*4-71. )г :.pz>q . = :р . = .р .q
Т. е. р влечет q тогда и только тогда, когда р эквивалентно р. q. Эта
теорема используется повсеместно; она позволяет заменять импликацию эк-
виваленцией.
*4-73. Ь :. q. э : р . = > р > q
Т. е. истинный множитель может быть опущен либо добавлен к
высказыванию без изменения истинностного значения этого высказывания.
*4-01. p = q . = .pz>q .qz>p Df
*4-02. p = q = r. = .p = q.q = r Df
Эти определения предназначены лишь для введения удобных
сокращений.
Principia Mathematica I

•4. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ И ФОРМАЛЬНЫЕ ПРАВИЛА
195
*4 1.
*411.
*4-12.
*413.
*414.
*415.
*4-2.
*4-21.
*4-22.
\-:pz>q. = .~qz>~p [*24647 ]
\-:p = q. = .~q = ~p [*24647 . *3-47-22 ]
\-:p = ~q. = .q = ~p [*2-0345 ]
h.p = ~(~p) [*24244 ]
)r:. p.q.z>.r: = :p.~r.z>.~q [*3-37 . *443 ]
V\.p.q.z>.~r\ = iq.r.z>.~p [*3-32 . *44344 ]
V.p = p [Id.*3-2 ]
Vip = q. = .q = p [*3-22 ]
)r ip = q .q = r .z> . p = r
Доказательство.
Ь . *3-26 . z>V ip = q.q = r. z> .p = q.
[*3-26] =>./?:>?
V . *3-27 . zy)r:p = q.q = r.z>.q = r.
[*3-26] э.рг
h . (1). (2). *2-83 . z>h:/7 = ^.^ = r>z>./7i>r
h > *3-27 . z>V\p = q.q = r. z> .q = r
[*3-27] э.гэ^
h . *3-26 . эЬ : p = q .q = r. :> . p = q .
[*3-27] =>-?=>/>
h - (4). (5). *2-83 . z>)r:p = q.q = r > z> .гэр
h . (3). (6). Comp .Dh. Prop
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Замечание. Три последние утверждения показывают, что отношение
эквивалентности рефлексивно (*4-2), симметрично (*4-21) и транзитивно
(*4-22). Импликация рефлексивна и транзитивна, но не симметрична. Для
любого отношения, которое должно иметь формальный характер
равенства, весьма существенны свойства симметричности, транзитивности и (по
крайней мере в некоторых приложениях) рефлексивности.
*4-24. \ггр. = .р.р
Доказательство.
Ь > *3-26 . э Ь : р . р. э . р (1)
Ь . *3-2 > :эЬ:. р.:>:/?.з.р.р:.
[*2-43] э Ь : р . э . р . р (2)
Ь.(1)_(2).*3-2.:эЬ.Ргор
*4-25. Угр.=.р.р [Taut.Add|]
Замечание. Предложения *4-24-25 являются двумя формами закона
тавтологии^ который и отличает, главным образом, алгебру формальной
логики от обычной алгебры.
*4-3. Vip.q. = .q.p [*3-22]
Замечание. Если для любых значений р и q мы имеем
ф(р,#).:э.ф(2,р),
то мы также имеем
ф(р,?). = .ф(?,р)
Ибо Ф(Р,Я)
*4-31. Y\p Vq. = .qVp [Perm]
Р>Я
:ф(^,р).э>ф(р,^).
А.Н.Уайтхед, Б.Рассел

196
ГЛАВА 1. ТЕОРИЯ ВЫВОДА
*4-32. Ь : (р > q) > г > = . р . (q . г)
Доказательство.
Ь . *4-15 . г>Ь:.р.р.:э.~г: =:q .r .z> .~ р:
[*3-2] э:р.:э.~(2.г) (1)
h > (1) > *4-11 . d h : ~ (р . ^ . d . - г) . = . - {р . d . ~ (^. г)):
[(*1-01.*3-01)]:эЬ.Ргор
Замечание. Здесь " (1)" обозначает " Ь :./?.#.id.~r: = :p.id.~(#. г)",
которое получается из предыдущих шагов в *4-22. Использование *4-22 будет
часто подразумеваться как вышесказанное. Принцип тот же, что и
объясненный по отношению к импликации в *2-31.
*4 33. \-:(pVq)Vr. = .pV(qVr) [*2-3132]
Два последних утверждения — ассоциативные законы для умножения и
сложения. Чтобы избежать скобок, мы введем следующее определение:
*4-34. р .q .г . = .(р .q). r Df
*4-36. \r:.p = q.z>:p.r. = .q.r
*4-37. )r:.p = q.z>:pVr. = .qVr
*4-38. \r:.p = r.q=s.^:p.q. = .r.s
*4-39. \r:.p = r.q = s.z>:pVq. = .rVs
*4-4. )r:.p.qVr. = :p.q.\/.p.r
Это первая форма закона дистрибутивности.
Доказательство.
р . z>:q .z> . р .q:. p .z>:
р. i>:.^.3-p-^:r-i>-p-r:.
z>:.qVr.z>:p.q.V.p.r
qV r .z>: p .q .V . р .г
q . э . р\
q . V . р .
q . z> .q:
q . V . р ,
q.V.р.
Ь _ *3-2 .
[Сотр]
[*3-48]
Ь . (1). Imp
Ь _ *3-26 .
[*3-44]
Ь. *3-27.
[*3-48]
Ь.(3).(4).
h.(2).(5).
*4-41. h:-p>V
[Fact. *3-47]
[Sum . *3-47]
[*3-47 . *4*32 . *3-22]
[*3-48-47 . *4-32 . *3-22]
: г. id./?.
Сотр
id
эЬ:
> h
id >p:.
P
qVr
p.qVr
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
q.r: = .pV q
Prop
Это вторая форма закона дистрибутивности — форма, у которой нет
аналога в обычной алгебре. В соответствии с соглашением об употреблении
точек, "р. V >q> г" означает "pV(^.r)".
Доказательство.
Ь . *3-26 . Sum . эЬ :.р. V .#. г: z>.pVq
b.*3-27.Sum. эЬ :./?. V >#. г: z>.pVr
h > (1) - (2). Comp . id Ь :. p . V . # . r: z> .pV q.pV r
V . *2-53 . *3-47 . z>)r :. pV q . pV r. z>:~p-Dq.~p-Dr:
[Comp] id : ~ p . id . # . r:
[*2-54] z>:p.V .q.r
h.(3).(4). iDh.Prop
(1)
(2)
(3)
(4)
Principia Mathematica I

•4. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ И ФОРМАЛЬНЫЕ ПРАВИЛА
197
*4-42. Ь :. р . = : р . q . V . р . ~ q
Доказательство.
Ь.*3-21. эЬ
[*2-11] эЬ
К*3-26. эЬ
K(l).(2). эЬ
[*4-4]
*4-43. )r:.p. = :pVq.pV~q
Доказательство.
К*2-2. эЬ
[Comp] э Ь
Р
.qV~q.z>-.p.z>.p.qV~q:.
p.z> .p.qV ~q
p.qV ~q .z>. p
>p . = :p.qV ~q:
= : p .q .V . p .~q:.z>h . Prop
: p .z> .pV q . pV ~q
(1)
(2)
b.*2-65-
Dh:-/7D^.D:~/?D~^.D.p:.
[Imp] z>)r :.~ pz>q .~pz>~q .z>.p:
[*2-53.*3-47] z>\-:.pVq.pV~q.z>.p
h . (1) - (2) - эЬ.Ргор
= : p . V .p.q
(i)
(2)
*4-44. h :- p
Доказательство.
Ь > *2-2 . z>b :. p .z>: p . V >p .q (1)
h > Id . *3-26 . z>Y\.pz>p:p.q.^>.p:.
[*3-44] z>b:.p. V.p.q:z>.p (2)
h . (1). (2). Dh. Prop
*4-45. Y:p. = .p.pVq [*3-26 . *2-2]
Следующие формулы принадлежат Де Моргану, а точнее, являются
пропозициональными аналогами формул, введенных Де Морганом для
классов. Первая из них, очевидно, заключает в себе определение, данное
нами логическому произведению.
*4-5.
*4-51.
*452.
*453.
*4-54.
*4-55.
*4-56.
*4-57.
Ь:
Ь:
Ь:
Ь:
h:
Ь:
Ь:
Ь:
p.q.
~(p-q).
p.~q.
~(p-~q)-
-p.q.
~(~p.q)
~p.~q
~{~p.~q)
III III
=
III
III
III
III
=
~pV~q
~(~PVq)
.~pVq
>~(pV~q)
.pV~q
*~{pVq)
.pVq
[*4-2 . (*3-01)]
[*4-5-12]
[*4-5—-*4-13]
[*4-5242]
[*4-5—-*4-13]
P
[*4-54-12]
[*4-54— - *4-13]
q
[*4-56-12]
Следующие формулы получаются непосредственно из предыдущих. Их
значение состоит в том, что они показывают, как импликации
преобразуются в суммы или отрицания произведений, и наоборот. Очевидно, что
первая из них заключает в себе определение *1-01.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

198
ГЛАВА 1. ТЕОРИЯ ВЫВОДА
*4-6.
*4-61.
*4-62.
*4-63.
*4-64.
*4-65.
*4-66.
*4-67.
*4-7.
Ь: P^>q- =
Ь : ~ (р э q) . =
h: pz>~q.=
h: ~pz>q.=
h: ~pz>~q.=
Yi~(~pz>~q). =
)r :.pz>q . = :p .-э .
Доказательство.
*4-71.
h . *3-27 . Syll.
Ь - Comp >
[Exp]
[Id]
Ml)-(2).
h:.pD^. = :p. = .
Доказательство.
1
1
1
1
-.*3-21_ эЬ:
*3-26] э h :
-. *3-26 . Dh:
-.(1)_(2). эЬ:
-. (3). *4-7-22 .Dh.
.~pVq
.p.~q
.~pV~q
.p.q
.pVq
.~p.~q
.pV~q
.~p.q
p.q
z>b :. p . z> .
:эЬ :.pz>p
z>b ::pz>p
z>b \.pz>q
:> h . Prop
p.q
: p .q .z> . p
. p .z> . p .q
.p.ее.p.q
. p .z> . p .q
Prop
[*4-2.(*l-01)]
И-6-11-52]
|*4-6 —]
[*4-62-ll-5]
[*2-53-54]
[*4-64-ll-56]
[*4.64 ^1
q
[*4-66-ll-54]
p .qm.pz>q
. pz>q .z>: p .z>
.z>: pz>q .z>z p
.m p .z> . p .q
:z>: p . = . p .q
:z>: p .z> . p .q
: = : p .=2. p .q
.p.q:
.p.q:
(1)
(2)
:p.=.p.q:
(i)
(2)
(3)
Это предложение часто применяется. Оно дает возможность
преобразовывать любую импликацию в эквивалентность, что является
преимуществом, если мы хотим уподобить символическую логику обычной алгебре.
Но когда символическая логика становится инструментом доказательства,
нам необходимы импликации, и в этом случае заменять их на
эквивалентности неразумно. Эти замечания относятся и к следующему предложению.
*4-72. Ь:.pz>q. = :q. = .pVq
Доказательство.
Ь >*44 ,:эЬ:-р
[*3.26^^]
[*4-12]
[*4-57]
[*4-31]
=>?
. = :-£:>-/?:
= : ~q. = . ~q . ~ р:
=:q.=.qVp:
= :q. = .pVq:.z>\r. Prop
*4-73. h :.q .z>:p . = - p .q [Simp - *4-71]
Данное предложение очень полезно, поскольку оно показывает, что
истинный множитель можно исключить из произведения, не меняя его
истинностного значения, точно так же, как истинная гипотеза может быть
исключена из импликации.
Principia Mathematica I

♦4. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ И ФОРМАЛЬНЫЕ ПРАВИЛА
199
*4-74. Ь:
*4-76. Ь:
*4-77. И
*4-78. Ь:
~ р .z>:q . = . pV q
q^>p . rz>p . = :qV г.
q.r
Р
qVr
[*2-21 . *4-72]
[*4-41— .(*1-01)J
[*3-44 . Add. *2-2]
,рэ^. V .рэг: =
р=>#. V .рзг: = :
Доказательство.
Ь.*4-2.(*1-01).зЬ:
[*4-33]
[*4-31-37]
[*4-33]
[*4-25-37]
[*4-2.(*1-01)]
*4-79. h.^D/?.V.rD/?: = :
Доказательство.
Ь. *4-1-39. Dh:.^Dp.V.rD/?:
[*4-78]
[*2-15]
[*4-2.(*3-01)]
\q.r.
-pV^.V .~/?Vr:
-p.V.^V-pVr:
~ p . V . ~ p V # V r:
-pV-p.V.^Vr:
-p.V.^Vr:
p.3.#Vr:.3K Prop
~/?3~#.V.~p:D~r:
~p . z> . ~# V ~ r:
~ (~ 4 V - r) . э . p :
# . r. з . p :. z> h . Prop
Замечание. Аналоги *4-78-79 для классов ложны. Возьмем, например,
*4-78 и положим р = English people, q = men, r = woman. Тогда р содержится
в q или г, но не содержится в q и не содержится в г.
*4-8. Ь:р:э~/?. = .~р [*2-01. Simp]
*4-81. h:~pz>p. = .p [*2-18.Simp]
*4-82. \-:pz>q.pz>~q. = .~p [*2-65 . Imp . *2-21 . Comp]
*4-83. \-:pz>q.~pz>q. = .q [*2-61. Imp . Simp . Comp]
Замечание. Предложения *4-82-83 могут быть также получены из
предложения *4-43, а фактически являются другими его формами.
*4-84. \-:.p = q.z>:p^>r. = .qz>r [*2-06 . *3-47]
*4-85. Y:.p = q.z>irz}p. = .rz>q [*2-05 . *3-47]
*4-86. \-:.p = q.z>:p = r. = .q = r [*4-21-22]
*4-87. (-:.р.^.э.г: = :/?.э.рг:Е:^.э.рэг: = :^./?.э.г
[Exp. Comm . Imp]
Предложение *4-87 заключает в себе принципы экспортации,
импликации и коммутативности.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

200
ГЛАВА 1. ТЕОРИЯ ВЫВОДА
*5. Смешанные предложения
Краткое содержание *5.
Настоящий параграф, в основном, содержит предложения двух видов:
(1) те, которые потребуются в качестве лемм в последующих
доказательствах, и (2) те, которые интересны сами по себе или будут важны в других
приложениях, нежели в нашем исследовании. Несколько предложений
параграфа будут использоваться очень часто. Перечислим их.
*51. Ь р .q .z> . p = q
Т. е. два высказывания эквивалентны, если они оба истинны.
(Утверждение о том, что два высказывания эквивалентны, если они оба ложны, —
*5-21.)
*5-32. h:./j.:>.£ = r: = :p.#. = .p.r
Т. е. сказать, что при условии р высказывания q и г эквивалентны, все
равно что сказать, что совместное утверждение р и q эквивалентно
совместному утверждению р и г. Это очень полезное правило вывода.
*5-6. \~:. р .~q .z> .r: = : p.zyqV r
Т. е. "р и не-*? влечет г" эквивалентно "р влечет q или г".
Среди предложений, на которые в дальнейшем нет ссылок, и введенных
лишь из-за их внутренней образности, отметим следующие: *5-11-12-13-14. В
них утверждается, что для любых двух высказываний р и #, либо /?, либо
~ р должно влечь за собой q\ из р должно следовать либо #, либо не-#;
либо р влечет <?, либо q влечет р\ а при наличии произвольного третьего
высказывания г, либо р влечет q, либо q влечет г161.
Нет в дальнейшем ссылок также на предложения *5-22-23-24; в них
показывается, что два предложения не эквивалентны тогда и только тогда,
когда одно из них истинно, а другое ложно, и что два предложения
эквивалентны тогда и только тогда, когда они оба истинны или оба
ложны. Из этого следует (*5-24), что отрицание "р. q . V . ~ р. ~ #"
эквивалентно "p. ~q. V .q. ~p". Предложения *5-54-55 гласят, что и произведение, и
сумма р и q эквивалентны, соответственно, либо р, либо q.
Доказательства всех следующих далее предложений весьма просты, и
мы поэтому часто лишь указываем предложения, используемые в них.
*51.
*511.
*512.
*513.
*514.
Y\p .q.zz.p = q
Vpz>q. V . ~pzzq
\- pz>q . V . pz>~q
\- pzyq . V .qz> p
\- pz>q. V .qz>r
[*3-4-22]
[♦2-5-54J
[*2-51-54]
[*2-521]
[Simp . Transp. *2-21]
161 Cf. Schroder, Vorlesungen iiber Algebra der Logik, Zweiter Band (Leipzig, 1891),
p. 270-271, где объясняется, почему эти предложения выглядят так странно.
Principia Mathematica I

*5. СМЕШАННЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ
201
*5 15. \r:p = q.V.p = ~q
Доказательство.
Ь . *4-61 . з Ь : ~ (/? з #) . з . р. ~ #.
[*54] з.р=~#
[*2-54] z>b:pz>#.V.p=~2 (1)
h . *4-61 . з Ь : ~ (# з р) . з . #. ~ р .
[*54] з.# = ~р.
[*442] з.р = ~#:
[*2-54] зЬг^зр.У.р = ~# (2)
Ь.(1).(2).*4-41.зЬ.Ргор
*5 16. Ь.~(р = #.р = ~#)
Доказательство.
h . *3-26 . з Ь :р = #.рз~#.з . pz^q . pz>~q .
[*4-82] з.~р (1)
Ь . *3-27 .zy)r:p = q.pz>~q.z>.qz>p.pz>~q.
[Syll] з . ? з ~ ? .
[ Abs] з . ~ q.
h . (1). (2). Сотр. зН:р = я.рз~<7.з.~р.~#.
И-65^] з.~(~?зр)
h . (3). Exp. зЬ:.р = <7.з:рз~<7.з.~(~#зр):
[Id.*l-01] D:~(pD-^).V.-(~pp):
[*4-51 .(*4-01)] з : ~ (p s ~ ?):. з h . Prop
*5 17. \-1 pV q . ~ (p . q) m = m p = ~ q
Доказательство.
h . *4-64-21. зЬ:рУя. = .~язр
h . *4-63 . Transp . зЬ:~(р.#). = .рз~#
h . (1). (2). *4-38-21 .Dh. Prop
*518.
*519.
*5-21.
*5-22.
*5-23.
*5-24.
*5-25.
\-:p = q. = .~(p = ~q) [*54546. *547P ^ ~Я]
Ь.~(р = ~р) [*548-.*4-2]
b:~p.~#.3.p = # [*54 . *441]
b:.~(p==2). = :p.~#.v.~p.~# [*4-61-51*39]
\r:.p-=q. = :p.q.V.~p.~q [*548 . *5-22 . *443
b:. ~(p.#.v.~p.~<7). = :p.~<7.V.<7.~p [*5-22-23]
Ь:. p V q. = :pz>q.z>q [*5-62-68]
(1)
(3)
(1)
(2)
•36]
Из *5*25 вытекает, что мы могли бы взять импликацию вместо
дизъюнкции в качестве базового понятия и определить "р Vq" как "рэ^.э.^".
Этот путь, однако, потребовал бы большего числа базовых предложений,
чем принятый нами метод.
*5-3. Ь:.р.<7.з.г: = :р.#.э.р.г [Simp. Comp. Syll]
*5-31. h.r.p^Dipo.^.r [Simp. Comp]
*5-32. h:.p.^.q = r: = :p.q. = .p.r [*4-76 . *3-3-31 . *5-3]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

202
ГЛАВА 1. ТЕОРИЯ ВЫВОДА
Данное предложение будет часто использоваться в последующих
доказательствах.
*5-33.
*5-35.
*5-36.
*5-4.
*5-41.
*5-42.
*5-44.
*5-5.
*5-501.
*5-53.
*5-54.
*5-55.
*5-6.
*5-61.
*5-62.
*5-63.
.р.<7зг. = :р:р.#.з.г
.p.p = q. = .q.p = q
> р . з.рз#: = . рз#
:р.э.рг: = :.р.э:^.э.р.г
.р. э:рэ^. = .#
.р. з:#. = *p = q
.pVqVr.z>s: = :pi}S.qz>s.rz>s
,p.q.=.p:V:p.q.=.q
,pVq. = .p:V:pVq. = .q
.р.~#.зг: = :/?.з.#\/г
pV q.~q. = .p . ~ #
,p.q.V.~q: = .p\/~q
. pV q . = : p .V . ~ p .q
[*4-73-84. *5-32]
[Comp. *54]
[Ass. *4-38]
[Simp. *2-43]
[*2-77-86]
[*5-3 . *4-87]
[*4-76 . *5-3-32]
[Ass. Exp. Simp]
[*5-l. Exp. Ass]
[*4-77]
[*4-73 . *4-44 . Transp. =
[*l-3 . *54 . *4-74]
[*4-87— . *4-64-85]
Я
[*4-74. *5-32]
[*5.62^^]
q* p
ъл]
[*4-74 . *l-3 . *5-l . *4-37]
*5-7. b:./?Vr. = .#Vr: = :r.V./? = <7
*5-71. l-:.p-r.D:pVg.r. = .p.r
В следующем доказательстве, а также всюду в дальнейшем "Нр" будет
означать посылку доказываемого предложения.
Доказательство.
г . *4-44 . з г :. р V q: г. = : р . г. V . q. г (1)
Ь . *4-62-51 . з г :: Нр . з :. ~ (q. г) :.
[*4-74] 3:.p.r.V .q.r: = :p.r (2)
h . (1). (2). *4-22 . з Ь. Prop
*5-74. Ь:.р.з.<7 = г: = :рз#. = ./?зг
Доказательство.
h . *5-41 .зЬ::/?з#.з.рзг: = :р .з.
■ #зг:.
рзг.з.р з^: = :р.з.гз^
(1)
К (1). *4-38. зЬ ::/?з# . = .рзг. = :.р.з.#зг:р.з.гз#:.
[*4-76] = :. р. з . # = г:: з h . Prop
*5-75. Ь:.г.з.~#:р. = .#\/г:з:р.~<7. = .г
Доказательство.
г. *5-6 . зЬ :.Нр. з :р. ~q. з . г
h . *3-27 . з г :. Нр . з : q V г. з . р :
[*4-77] з:гзр
h . *3-26 . з Ь:. Нр . з : г з ~ #
h . (2). (3). Сотр. з г :. Нр .з:гз/?.гз~#:
[Сотр] з : г. з . р. - #
h . (1). (4). Сотр. з Ь :. Нр .з:/?.~#. = .г:.з. Prop
(1)
(2)
(3)
(4)
Principia Mathematica I

ГЛАВА 2.
ТЕОРИЯ КАЖУЩИХСЯ
ПЕРЕМЕННЫХ
*9. Распространение теории вывода от низших
к высшим типам предложений
Краткое содержание *9.
В настоящем параграфе мы вводим два новых базовых (примитивных)
понятия, которые могут быть выражены как " фх всегда162 истинна" и " фх
иногда истинна" или, более правильно, как "фх всегда" и "фх иногда".
Когда мы утверждаем "фх всегда", то мы утверждаем все значения фх,
где "ф£" означает саму функцию в противоположность неопределенному
значению этой функции (ср. с. 86, 113); мы не утверждаем, что фх истинна
для всех значений jc, поскольку в соответствии с теорией типов существуют
значения jc, для которых "фх" не имеет смысла; например, функция фх
сама должна быть подобным значением. Мы будем обозначать "фх всегда"
посредством нотации
(*) • Ф*,
где за символом "(jc)" будет следовать достаточно большое число точек,
чтобы та функция, "все значения" которой рассматриваются, попала бы
в область его действия. Форма, в которой подобные предложения наиболее
часто встречаются, есть "формальная импликация", т.е. такое
предложение, как
(jc) : фх. z> . \\fx,
162 Мы используем "всегда" в смысле "во всех случаях", а не "во все времена".
Подобное лее замечание применимо к "иногда".
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

204
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ КАЖУЩИХСЯ ПЕРЕМЕННЫХ
т.е. "фл всегда влечет \}/jc". Эта форма, в которой мы выражаем
универсальный аффирматив "все объекты, обладающие свойством ф, обладают
свойством \|г".
Мы будем обозначать "фх иногда" посредством нотации
(gx). фл.
Здесь "д" означает "существует", а целиком символ может читаться как
"существует jc такое, что фх".
В предложении любого из двух видов (jc) . фх, (gjc). фх переменная х
называется кажущейся переменной. Предложение, которое не содержит
кажущихся переменных, называется "элементарным", а функция, все
значения которой есть элементарные предложения, называется элементарной
функцией. По причинам, объясненным в главе II Введения, может
показаться, что отрицание и дизъюнкция и их дериваты должны обладать
различным смыслом, когда они применяются к элементарным предложениям
и таким предложениям, как (х). фх и (дх). фх. Если фх является
элементарной функцией, то в этом параграфе мы будем называть (jc) . фх и (gjc). фх
"предложениями первого порядка". Тогда, в силу того факта, что
дизъюнкция и отрицание не обладают одинаковым смыслом применительно к
элементарным предложениям или предложениям первого порядка,
следует, что, утверждая примитивные предложения *1, мы должны либо
ограничить их применением к предложениям одного типа, либо мы должны
рассматривать их как одновременное утверждение некоторого числа
различных примитивных предложений, соответствующих различным смыслам
"дизъюнкции" и "отрицания". Также по отношению к примитивным
понятиям дизъюнкции и отрицания мы должны либо в примитивных
предложениях *1 ограничить их дизъюнкциями и отрицаниями элементарных
предложений, либо мы должны трактовать каждое из них как реально
множественное, так что по отношению к каждому типу предложений нам будет
требоваться новое примитивное понятие отрицания и новое примитивное
понятие дизъюнкции. В этом параграфе мы продемонстрируем, как при
условии, что примитивные понятия отрицания и дизъюнкции
ограничиваются элементарными предложениями и переменные р, q, r из *1-*5 поэтому
будут необходимо элементарными предложениями, оказывается возможным
получить определения отрицания и дизъюнкции предложений первого
порядка и доказательства аналогов (для предложений первого порядка)
примитивных предложений * 1*2—6. (*1-1 и *1-11 должны приниматься заново
для предложений первого порядка, и аналоги предложений *1-7-71-72
требуют нового исследования.) Следовательно, аналоги предложений из *2-*5
следуют просто повторением предыдущих доказательств. Следует также,
что теория вывода может быть распространена от предложений первого
порядка на такие предложения, которые содержат две кажущиеся
переменные, просто посредством повторения процесса, который расширяет
теорию вывода от элементарных предложений к предложениям первого
порядка. Поэтому простым повторением процесса, предложенного в данном
параграфе, можно достичь предложений любого порядка. Следовательно,
отрицание и дизъюнкция могут рассматриваться на практике, как если бы
Principia Mathematica I

*9. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЫВОДА ОТ НИЗШИХ
К ВЫСШИМ ТИПАМ ПРЕДЛОЖЕНИЙ 205
не было различия в этих понятиях, применительно к различным типам;
другими словами, когда встречаются "~р" или "pV#", на практике нет
никакой необходимости знать, какого типа р или #, поскольку свойства
отрицания и дизъюнкции, принятые в *1 (которые одни и используются
при доказательстве других свойств), могут утверждаться, без
формального изменения, предложениями любого порядка или, в случае дизъюнкции
pV#, любых двух порядков. На практике ограничение при исследовании
отрицания и дизъюнкции как единого понятия163, одного и того же для
всех типов, возникнет лишь тогда, если мы пожелаем допустить, что
найдется некоторая одна функция переменной р, чье значение всегда есть ~ /?,
каким бы ни был порядок /?, или что найдется некоторая одна функция
от р и q, значение которой всегда есть pV#, каким бы ни был порядок
р и q. Подобное допущение не появляется, пока р (и q) остаются
реальными переменными, поскольку в таком случае нет никакой необходимости
придавать тот же самый смысл отрицанию и дизъюнкции для различных
значений р (и #), когда эти различные значения обладают различными
типами. Однако если предполагается трансформировать р (или q) в
кажущуюся переменную, то, поскольку два наших примитивных понятия (jc) . фх и
(gjc). фх оба требуют некоторой определенной функции ф и ограничивают
указанную кажущуюся переменную допустимыми аргументами ф, молено
заключить, что отрицание и дизъюнкция должны, где бы они ни
встретились в выражении, в котором р (или q) является кажущейся переменной,
ограничиваться подходящим для заданного типа или пары типов типом
отрицания или дизъюнкции. Поэтому, например, если мы утверждаем закон
исключенного среднего в форме
"b./?V~p",
то нет необходимости накладывать какое-либо ограничение на р: мы можем
дать р значение любого порядка, а затем придать отрицанию и
дизъюнкции, встречающимся в данной формуле, подходящий для данного порядка
смысл. Однако если мы утверждаем
"h.(p).pV~p",
то необходимо, если предполагается, что наш символ будет значимым,
чтобы "pV~p" было значением аргумента р функции фр; а это возможно,
только если отрицание и дизъюнкция в приведенной выше формуле
обладают наперед заданным смыслом и если поэтому р ограничена одним
типом. Таким образом, утверждение закона исключенного среднего в форме,
включающей реальную переменную, является более общим нежели
таковое в форме, включающей кажущуюся переменную. Подобные замечания
в общем применимы там, где переменная является аргументом типово
неопределенной функции.
В том, что следует далее, единичные вхождения букв р и q будут
представлять элементарные предложения, и таковыми будут "фх", "\|Лдс" и т.д.
Мы покажем, как, допуская примитивные понятия и предложения из *1
применительно к элементарным предложениям, могут быть определены и
163 В оригинале — as single ideas. — Прим. перев.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

206
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ КАЖУЩИХСЯ ПЕРЕМЕННЫХ
доказаны аналогичные понятия и предложения применительно к
предложениям вида (jc) . фх и (gjc). фх. Посредством простого повторения
аналогичного процесса затем будет следовать, что аналогичные понятия и
предложения могут быть определены и доказаны для предложений любого порядка;
откуда, далее, будет следовать, что во всем том, что касается дизъюнкции
и отрицания, пока сами предложения не являются кажущимися
переменными, мы можем полностью игнорировать различия между различными
типами предложений и различным смыслом отрицания и дизъюнкции. На
практике, поскольку мы никогда не будем иметь возможности
рассматривать предложения в качестве кажущихся переменных, иерархия
предложений (в противоположность иерархии функций) никогда не будет
релевантной после данного параграфа.
Цель и задача данного параграфа являются чисто философскими,
а именно продемонстрировать, как посредством определенных
примитивных предложений мы можем вывести теорию вывода для предложений,
содержащих кажущиеся переменные, из теории вывода для элементарных
предложений. С чисто технической точки зрения, различие между
элементарными и остальными предложениями может игнорироваться, пока
предложения не появляются в виде кажущихся переменных; в таком случае мы
можем рассматривать примитивные предложения из *1 применительно к
предложениям любого типа и продолжить, как и в *10, где возобновляется
чисто техническое развитие теории.
Следует отметить, что хотя в настоящем параграфе мы доказываем,
что аналоги примитивных предложений из *1, если они имеют место для
предложений, содержащих п кажущихся переменных, также имеют место
для таковых, содержащих п + 1 переменную, нам вообще не следует
предполагать, что математическая индукция может быть использована,
чтобы заключить, что аналоги примитивных предложений из *1 имеют
место для предложений, содержащих любое число кажущихся переменных.
Математическая индукция является методом доказательства, который все
еще неприменим и (как проявится в дальнейшем) не может быть свободно
использован до тех пор, пока не будет сформулирована теория
предложений, содержащих кажущиеся переменные. Все, что мы в состоянии сделать
посредством предложений настоящего параграфа, — это доказать желаемые
нами результаты для любого предписанного числа кажущихся переменных,
скажем десяти, посредством десятикратного применения одного и того же
доказательства. Таким образом, мы можем доказать относительно любого
предписанного предложения, что оно подчиняется аналогам примитивных
предложений из *1, но мы можем сделать это, только продвигаясь шаг
за шагом, а не посредством любого такого сжатого метода164, который
обеспечивался бы математической индукцией. Тот факт, что высшие
типы могут быть достигнуты только шаг за шагом, является существенным,
поскольку иначе для, продолжения нам бы потребовалась кажущаяся пе-
В оригинале — compendious method — Прим. перев.
Principia Mathematica I

*9. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЫВОДА ОТ НИЗШИХ
К ВЫСШИМ ТИПАМ ПРЕДЛОЖЕНИЙ 207
ременная, которая "путешествовала" бы от одного типа к другому165, что
противоречило бы принципу, на котором выстроены типы.
Определение отрицания. Во-первых, мы должны определить отрицания
(jc) . фд: и (gjc). фд:. Мы определяем отрицание (х). фх как (gjc). ~ фд:, т.е
"это не тот случай, когда фд: всегда истинна" будет означать "это как раз
тот случай, когда не-фд: иногда истинна". Аналогично отрицание (gjc). фд:
будет определяться как (jc) . ~ фд:. Таким образом, мы полагаем
*901. - {(jc) . фд:}. = . (gjc). - фд: Df
*9 02. - {(ах). фд:}. = . (jc) . ~ фх Df
Чтобы устранить скобки, мы будем писать ~ (х). фд: вместо ~ {(х) . фд:}
и ~ (дх). фд: вместо ~ {(gjc). фд:}. Таким образом:
*9011. - (jc) . фд:. = . ~ {(jc) . фд:} Df
*9021. ~(^)^. = .~{(Э*).ф*} Df
Определение дизъюнкции. Чтобы определить дизъюнкцию, когда одно
или оба предложения имеют первый порядок, мы должны различать шесть
случаев так, как следует ниже:
*903. (jc) . фдс. V . р : = . (jc) . фдс V р Df
*904. р . V . (jc) . фх: = . (jc) . р V фд: Df
*905. (ддг).фх. У .р: = .(^х).фх\/р Df
*906. р . V . (gjc). фд:: = . (gjc). р V фд: Df
*907. (jc) . фх. V . (ду) . уу: = : (jc) : (gу) . фд: V р Df
*908. (ду). уу. V . (jc) . фд:: = : (jc) : (gу). \|гу V фд: Df
(Определения *9-07-08 предназначаются, чтобы применять их так же,
когда обе функции ф и \\f не являются элементарными.)
В силу этих определений, истинная область действия кажущейся
переменной всегда есть все утверждаемое предложение, в которое она входит,
даже когда при написании ее область выглядит лишь как часть
утверждаемого предложения. Таким образом, когда (gjc). фд: или (jc) . фд: выглядит
как часть утверждаемого предложения, то в реальности этого не
происходит, поскольку область действия кажущейся переменной в
действительность простирается на все утверждаемое предложение. Будет показано,
однако, что настолько, насколько это касается теории вывода, (gjc). фх и
(jc) . фд: ведут себя подобно предложениям, не содержапщм кажущихся
переменных.
Определения импликации, логического произведения и эквивалентности
без изменения будут перенесены на (jc) . фд: и (gjc). фд:.
Приведенные выше определения могут быть повторены для
последовательных типов, и поэтому появляется возможность достичь предложений
любого типа.
Примитивные предложения. Необходимые примитивные предложения
имеются в количестве шести и могут быть разделены на три группы по
165 В оригинале — wander from type to type. — Прим. перев.
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

208
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ КАЖУЩИХСЯ ПЕРЕМЕННЫХ
два предложения. У нас имеются первые два предложения, которые
оказывают влияние на переход от элементарных предложений к предложениям
первого порядка, а именно
*91. Ь:фх.з.(дг).фг Рр
*911. Ь:фхУф;у.з.(дг).фг Рр
Из них первое устанавливает, что если фх истинна, то найдется такое
значение фх, которое истинно; т.е. если мы сможем обнаружить пример
какой-либо истинной функции, то указанная функция "иногда истинна".
(Когда мы говорим о функции, как об "иногда" истинной, то не
подразумевается, что мы утверждаем, что найдется более чем один аргумент,
для которого она истинна, а подразумевается лишь то, что существует,
по крайней мере, один аргумент.) Практически приведенное выше
примитивное предложение дает лишь метод доказательства " экзистенциональных
теорем": для того чтобы доказывать подобные теоремы, необходимо (и
достаточно) обнаружить некоторый пример, в котором объект обладает
рассматриваемым свойством. Если бы мы приняли то, что может быть
названо "экзистенциональными аксиомами", т.е аксиомами, утверждающими
(gz) • фг для некоторого специального ф, то эти аксиомы дали бы другие
методы доказательства существования. Примеры таких аксиом — это
мультипликативная аксиома (*88) и аксиома бесконечности (определенная в
предложении *120-03). Однако в настоящей работе мы не приняли ни одной
подобной аксиомы.
Второе из приведенных выше примитивных предложений используется
лишь однажды при доказательстве (gz). фг. V . (gz). фг: з - (gz). фг,
которое является аналогом предложения *1-2 (именно р V р. з . /?), когда р
замещается (gz). фг. Влияние этого примитивного предложения состоит в
подчеркивании неопределенности переменной z, необходимом для того, чтобы
гарантировать корректность (gz). фг166. Мы имеем, разумеется, в силу *9-1
фх.з.(дг).фг и фу. з . (gz). фг.
Но если мы попытаемся вывести из них, что фх V фу. з . (gz). фг, то
мы должны применять предложение рр.гэр.з.^гэ/?, где р есть
(gz). фг. Будет обнаружено по отношению к предложению *4-77 и
предложениям, применяемым при его доказательстве, что это предложение
зависит от *1-2, т.е. от pVp.z>p. Следовательно, оно не может быть нами
использовано, чтобы доказать (дх). фх. V . (gjc). фх: з . (дх). фх, и поэтому
мы вынуждены принять примитивное предложение *9-11.
В противоположность импликации мы имеем следующие два
предложения, касающиеся вывода из (посылок) или построения вывода к
(заключению), когда посылки или заключения являются предложениями,
содержащими кажущиеся переменные. Сначала мы имеем аналог предложения
*1-1 для нового смысла импликации, происходящего из данных выше
определений отрицания и дизъюнкции, а именно
*912. То, что следует из истинной посылки, истинно. Pp.
166 В оригинале — to secure (дг).фг. — Прим. перев.
Principia Mathematica I

*9. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЫВОДА ОТ НИЗШИХ
К ВЫСШИМ ТИПАМ ПРЕДЛОЖЕНИЙ 209
Т.е. от данных " h . р" и " h . p z> q" мы можем перейти к " h . q", даже
когда предложения р и q не являются элементарными. Аналогично, как
и в *141, мы можем перейти от "Кфд:" и " Ь . фх э \jtjc" к "K\|rjc", когда jc
является реальной переменной, а фх и ух — не обязательно элементарные
функции. Именно в этой последней форме указанная аксиома обычно и
требуется.
Затем мы имеем примитивное предложение, которое разрешает переход
от реальной к кажущейся переменной, именно "если может утверждаться
фу, где у — любой допустимый аргумент, то может утверждаться (х).фд:".
Другими словами, когда фу истинно, как бы ни выбрать у среди
возможных аргументов, то (jc) . фх истинно, т.е. все значения фх истинны. Т.е.,
если мы можем утверждать целиком неопределенное значение фу, то так
и должно быть, поскольку все значения истинны. Мы можем выразить
это примитивное предложение словами: "То, что истинно в любом случае,
каким бы ни был выбран этот случай, истинно во всех случаях". Мы не
можем выразить символически это предложение, так как если мы положим
"\-:фу.->.(х).фх",
что означает: "каким бы мы ни выбрали у, фу влечет (jc). фх", а это, вообще
говоря, ложно. То, что мы подразумеваем, есть: "Если фу истинна, каким
бы мы ни выбрали у, то (jc) . фх истинно". Мы, однако, еще не придумали
символа для просто гипотезы того, что утверждается в "Ь.фу", где у
есть реальная переменная, и пока не стоит вводить подобный символ, так
как он востребовался бы крайне редко. Предположим, что мы используем
символ [фу], чтобы выразить указанную гипотезу, тогда наше примитивное
предложение есть
Ь : [фу]. z> . (jc) . фх Рр .
На практике это примитивное предложение используется только для
вывода, а не для импликации; т.е. когда мы действительно имеем предложение,
содержащее реальную переменную, оно позволяет нам трансформировать
эту реальную переменную в кажущуюся переменную, помещая ее в
скобки непосредственно после знака утверждения, за которым следует
достаточное количество точек, чтобы достичь конца этого утверждения. Этот
процесс будет называться "преобразованием реальной переменной в
кажущуюся переменную". Таким образом, для технического использования мы
можем утверждать наше примитивное предложение в форме:
*913. В любом утверждении, содержащем реальную переменную, эта
переменная может быть трансформирована в кажущуюся переменную,
все значения которой утверждаются удовлетворяющими рассматриваемой
функции. Pp.
Затем мы имеем два примитивных предложения, касающихся типов.
Они требуют некоторых предварительных разъяснений.
Примитивное понятие: Индивид. Мы говорим, что jc есть индивид, если
jc —ни предложение, ни функция (ср. с. 125.).
*9131. Определение "принадлежности одному и тому же типу".
Ниже шаг за шагом следует определение. Определение для более высоких
типов предполагает таковое для более низких типов. Мы говорим, что и
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

210
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ КАЖУЩИХСЯ ПЕРЕМЕННЫХ
и v "принадлежат одному и тому же типу", если (1) оба они индивиды, (2)
оба элементарные функции, принимающие аргументы того же самого типа,
(3) и есть функция, a v —ее отрицание, (4) и есть фх или \|rjc, a v — 4>JcV\|rJc,
где ф;с и \\fx являются элементарными функциями, (5) и есть (у).фС*,у),
а V— (г).ф(А\г), где ф(А\у)> V(*\50 принадлежат одному и тому же типу,
(6) оба есть элементарные предложения, (7) и есть предложение, a v есть
~ и или (8) и есть (х). фх, a v — (у). \[гу, где фх и \jrJc принадлежат одному
и тому же типу.
Наши примитивные предложения есть
*914. Если "фх" значимо, тогда если jc принадлежит тому же самому
типу, что и а, то " фа" значимо, и обратно. Pp. (Ср. замечание по поводу
*10-121 на с. 216.)
*915. Если для некоторого а найдется предложение фа, то найдется
функция фх, и обратно. Pp.
В дальнейшем будет видно, что в силу определений,
(jc) . фх. з. р означает ~ (jc) . фх. V . р, т.е. (gjc). ~ фх. V . р,
т.е. (дх). ~фх V/?, т.е. (д;с).ф;сзр
(gjc). фд:. э . р означает ~ (gjc). фх. V . р, т.е. (jc) . ~ фх. V . р,
т.е. (jc) . ~ фх V /?, т.е. (jc) . фд: з р
Чтобы доказать, что (х). фх и (дл*). фх подчиняются одним и тем же
правилам вывода, как и фх, мы должны доказать, что предложения вида (jc) . фх
и (gjc). фд: могут замещать одно или более предложений р, а, г в *1-2—6.
После того как это будет показано, предыдущие доказательства
последующих предложений из *2-*5 становятся приложимыми. Эти
доказательства приводятся ниже. Доказываются также иные предложения, требуемые
в указанных доказательствах.
*9-2. h : (jc) . фх. з . фу
Это предложение формулирует принцип вывода от общего к частному,
т.е. "то, что имеет место во всех случаях, имеет место в любом случае".
Доказательство.
Ь.*2-1. зЬ . ~фу Уфу (1)
Ь . *9-1. з Ь : ~ фу V фу. з . (ах). ~ фх V фу (2)
Ь . (1). (2). *М1. з Ь . (gjc). ~ фд: V фу . (3)
[(3). (*1-01)] h : (gjc). - фд:. V . фу (4)
[(4). (*9-01. *1-01)] Ь : (jc) . фх. з . фу
Во второй строке данного выше доказательства " ~ фу V фу" берется как
значение для аргумента у функции "~фд:\/фу", для которой х есть
аргумент. Похожий метод использования *94 применяется в большинстве
следующих доказательств.
*1-11 используется, как и в третьей строке данного выше
доказательства, почти во всех шагах, исключая таковые, представляющие собой
просто применения определений. Следовательно, на них в дальнейшем не
будет ссылок, за исключением случаев, когда их использование неясно или
особенно важно.
*9-21. V :. (jc) . фд: з \jtjc . з : (jc) . фх. з . (jc) . \|/jc
Principia Mathematica I

*9. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЫВОДА ОТ НИЗШИХ
К ВЫСШИМ ТИПАМ ПРЕДЛОЖЕНИЙ 211
Т.е. если фдс всегда влечет уд;, то "фдс всегда" влечет "\|/дс всегда". Это
предложение постоянно используется в оставшейся части этой работы.
Доказательство.
Ь.*2-08. зЬ:фгз\|гг.з.фгз\|/г (1)
Ь . (1). *94 . з Ь: (gу): фz з \\fz. з. фу з \|/z (2)
Ь . (2). *94 . з Ь:. (ддс):. (gy): фдсз\jtjc . з. фуз\|/z (3)
h . (3). *943 . зh :: (z) :: (ддс) :. (gy) : фдсзуде. з . фу з\\fz (4)
[(4). (*9-06)] h :: (z) :: (ддс) :. фд: з ух. з : (gy) . фу з \\fz (5)
[(5). (*1-01 . *9-08)] Ь :. (gx). ~ (фдс з ух): V : (z): (gy). - фу з щ (6)
[(6). (*9-08)] Ь :. (gx). ~ (фдс з ух): V : (gy). ~ фу. V . (z). yz (7)
[(7). (*l-01)j Ь :. (jc) . фдсзуд:. з : (у) . фу. з . (z) . yz
Это и есть доказываемое предложение, так как " (у). фу" — то же самое
предложение, что и "(д:).фдс", а "(z).yz" — то же самое предложение, что
и "(jc).\|Tjc".
*9-22. h :. (jc) . фд: з \\fx. з : (gx). фдс. з . (gx). уде
Т.е. если фд: всегда влечет \|гдс, тогда если фдс иногда истинна, то такова
же \\fx. Это предложение, подобно *9-21, постоянно используется в
последующем изложении.
Доказательство.
Ь.*2-08. зЬ: фуз\|/у . з.фуз\|/у (1)
h . (1). *94 . з Ь : (gz): фу з \|/у. з . фу з \|/z (2)
Ь. (2). *94 . зЬ :. (gx):. (gz): фхз\|/jc. з . фу зyz (3)
h . (3). *943 . з Ь :: (у):: (gx):. (gz): фдс з ух. з . фу з \|/z (4)
[(4). (*9-06)] Ь :: (у):: (ддс):. фд: з уде. з : (gz). фу з \^z (5)
[(5) . (*1-01 . *9-08)] h :. (gx). - (фх з ух): V : (у): (gz). ~ фу з yz (6)
[(6). (*1-01 . *9-07)j h :. (gx). - (фх з \|/jc): V : (у). - фу. V . (gz). yz (7)
[(7). (*1-01 . *9-01-02)] h :. (jc) . фх з \jrjc. з: (gy). фу . з . (gz). yz .
Это и есть доказываемое предложение, так как " (gy). фу" — то же самое
предложение, что и "(ддс). фдс", а " (30 • Vz" _ то же самое предложение,
что и "(ддс). уде".
*9 23. Ь : (jc) . фх. з . (jc) . фд: [Id . *943-21]
*9-24. Ь : (gjc). фх. з . (gjc). фд: [Id . *943-22] -
*9 25. Ь :. (jc) . р V фд:. з : р . V . (jc) . фд: [*9-23 . (*9-04)]
Сейчас мы переходим к доказательствам аналогов предложений *1-2— 6,
заменяя в этих предложениях р, q, г на (jc) . фх или (gjc). фдс.
Доказательства приводятся ниже.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
. з Ь . Prop
i-З. h:.
(х). фд:,
Доказательство
К*1-2
Ml)-
h.(2).
[(3).(«
К (4).
[(5).0
.
*94 .
*943 .
к9-05-01-
*9-21.
к9-03)]
. V . (jc) .
зЬ,
зЬ:
зЬ:
■04)] И
зЬ:
Ь:
фдс: з . (дс) .
. фд;У
;(эу)
:. (х) :
:. (jc) :
:. (дс) :
:.(дс).
фдс. з
^JCV
• (ЗУ):
- фдс. \
фдс. V
фд:. V
фдс
. фдс
фу . з . фдс
:фдсУ
'.(У)
.(У).
.(у).
фу • =>
. фу: з
фу: з.
фу •• =>«
. фд:
. фдс
• М-
. (дс).
фд:
фдс
*9-31. h :. (ддс) . фдс. V . (ддс) . фд:: з . (ддс) . фдс
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

212
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ КАЖУЩИХСЯ ПЕРЕМЕННЫХ
Это единственное предложение, использующее *9-11.
Доказательство.
Ь . *91МЗ . з Ь : (у): фд: V фу. з . (gz). фг (1)
[(1). И-03-02)] Ь:(ау).ф*Уфу.з.(Эг)фг (2)
Ь.(2).*9-13. зЬ:(х):(Эу).фхУфу.з.(эг)фг (3)
[(3). (*9-03-02)] Ь :. (Зх): (Зу). фх V фу: з. (Зг)фг (4)
[(4). (*9-05-06)j h :. (Зх). фх. V . (Зу). фу: з. (gz). фг
*9-32. h :. # . з : (jc) . фд:. V . q
Доказательство.
h . *1-3 - зЬ :.#. з : фд:. V .q (1)
h . (1) . *9-13 . з h :. (jc) :. q . з : фд:. V . #
[*9-25] зЬ:.?.з:(д:):фд:.У.2 (2)
[(2) . (*9-03)] Ь :. 4 . з : (jc) . фд:. V . q
*9*33. h :. q. з : (gjc). фд:. V . q [Доказывается, как и выше]
*9-34. V :. (jc) . ф х. з : р . V . (jc) . фд:
Доказательство.
Ь. *1*3 . зЬ :фх. з . р \/фд: (1)
Ь . (1). *9-13 . з h : (jc) : фд:. з . р V фд: (2)
Ь . (2). *9-21 . з Ь : (jc). фд:. з . (jc) . р V фд: (3)
h. (3). *9-04 . з Ь . Prop
*9-35. Ь :. (gjc) . фд:. з : р . V . (gjc) . фд: [Доказывается, как и выше]
*9-36. h :. р . V . (jc) . фд:: з : (jc) . фх. V . р
Доказательство.
Ь.*1-4. зЬ :р Уфх.з. фд: V р (1)
Ь . (1). *9-13*21. з Ь : (jc) : р V фд:. з . (jc) . фд: V р (2)
Ь . (2). *9-03-04 . з Ь . Prop
*9-361. h :. (jc) . фд:. V . р: з : р . V . (jc) . фд: [Похожее доказательство]
*9-37. V :. р. V . (gjc). фд:: з : (gjc). фд:. V . р [Похожее доказательство]
*9-371. V :. (gjc) . фд:.\/./?:з:/?.\/. (gjc). фд: [Похожее доказательство]
*9-4. h :: р : V : q . V . (jc) . фд':. з :. q : V : р. V . (jc) . фд:
Доказательство.
h . *1-5 . *9-21 . з V :. (jc) : р. V . q V фд:: з : (jc) : q . V . р V фд: (1)
h . (1). (*9-04). з V . Prop
Principia Mathematica I

*9. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЫВОДА ОТ НИЗШИХ
К ВЫСШИМ ТИПАМ ПРЕДЛОЖЕНИЙ 213
*9-401. Ь :: р: V : q. V . (gjc). фд::. з :. q: V : р . V . (gjc). фд:
*9-41. V :: /?: V : (jc) . фд:. V . г:. з :. (jc) . фд:: V : р V г
*9-411. h :: р: V : (gjc). фд:. V . г:. з :. (gjc). фд:: V : р V г
*9-42. h :: (jc) . фд:: V : q V г:. з :. q : V : (jc) . фд:. V . г
*9-421. Ь :: (gjc). фд:: V :q V г:. з :. <? : V : (gjc). фд:. V . г
*9-5. h :: р з # . з :. р . V . (jc) . фд:: з : q . V . (jc) . фд:
Доказательство.
h . *1-6 . з V :. р з # . з : р V фу. з . q V фу
Ь . (1). *9-1 . (*9-06). з Ь :. /? з # . з : (gjc):р V фдс. з . q
h . (2). *9-13 . (*9-04). зЬ ::рз? . з : (у):. (gjc): /? V фд:.
[(3). *9-08] h :: р з ?. з:. (£jc). - (р V фд:). '
[(4). *9-01] h :: р з q . з :. (jc) . р V фд:. з . (у)
[(5). *9-04] h :: р з # . з :. р. V . (jc) . фд:: з :
[Как и выше]
[Как и выше]
[Как и выше]
[Как и выше]
[Как и выше]
Уфу
з . # V фу
v • Су) • я v Фу
.# Уфу
£ . V . (у) . фу
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
*9-501. h :: /? з #. з :. р . V . (gjc) . фд:: з : q . V . (gjc) . фд: [Как и выше]
*9-51. h :: р . з . (jc) . фд:: з :. р V г. з : (jc) . фд:. V . г
Доказательство.
h . *1-6 - зЬ:.рзфд:. з :р V г. з . фд: Vr (1)
Ь . (1). *9-13-21 . з Ь :: (jc) . р з фд:. з :. (jc) : р V г. з . фд: V г (2)
h . (2). (*9-03-04). з h . Prop
*9-511. Ь :: p . з . (gjc) . фд:: з :. р V г. з : (gjc) . фд:. V . г [Как и выше]
*9-52. Ь :: (jc) . фд:. з . q: з :. (jc) . фд:. V . г: з . q V г
Доказательство.
h . *1-6 . зЬ :. фxz>q. з: фхУг . з .q Vr (l)
h . (1). *9-13-22 . з h :: (gjc) . фд: з q . з :. (gjc) : фд: V г. з . q V г (2)
Ь . (2) . (*9-05-01). з Ь :: (jc) . фд:. з . q: з :. (jc) . фд: V г. з . q V г (3)
h . (3). (*9-03). зЬ.Ргор
*9-521. h :: (gjc) . фд:. з . q : з :. (gjc) . фд:.У.г:з.#Уг [Как и выше]
*9-6. (х) . фд:. ~ (д:) . фд:. (gjc) . фд: и ~ (ддс) . фд: одинакового типа.
[•9-131, (7) и (8)]
*9-61. Если фх и \|f jc — элементарные функции одного и того же типа, то
существует функция фх. V . \jrjc.
Доказательство.
На основании *9-14-15 найдется я, для которого "\}/я", и поэтому "фа",
значимы, следовательно, таково же "фй.У.уя", в силу примитивного
понятия дизъюнкции. С помощью *9-15 получаем результат.
То же самое доказательство имеет место для функций любого числа
переменных.
*9-62. Если ф(х,у) и \\fz — элементарные функции и аргумент jc имеет тот
же самый тип, что аргумент функции \|Г, то существуют функции
СУ) • Ф(£ У) • V . ух, (ау). ф(д\ у). V . ух.
Доказательство.
На основании *9-15 найдутся предложения ф(х,Ь) и \|Гя, в которых,
согласно предположению, jc и а принадлежат одному и тому же типу.
Следовательно, на основании *9-14 существует предложение ф(а,Ь), и
поэтому, в силу примитивного понятия дизъюнкции, существует предложение
ф(я, Ь). V. \\fa, тогда на основании *9-15 и *9-03, существует предложение
А.Н. Уайтхед, Б.Рассел

214 ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ КАЖУЩИХСЯ ПЕРЕМЕННЫХ
Су) • Ф(я>}0 • V • Уя- Аналогично существует предложение (ду). ф(я, у). V . \|Ш.
С помощью *9-15 получаем результат.
*9-63. Если $(х,у) и у(х,у) — элементарные функции одного и того же
типа, то существуют функции (у). ф(£, у). V . (г). \К*,г), и т.д. [Доказывается,
как и выше]
Мы завершили доказательство того, что в примитивных
предложениях *1 любое одно из встречающихся предложений может замещаться
(jc) . фх или (gjc). фх. Следовательно, с помощью простого повторения
доказательств мы можем показать, что любое другое предложение, входящее
в указанные предложения, может быть замещено (х). \\fx или (gjc). \\fx.
Таким образом, все примитивные предложения из *1, и поэтому все
предложения из *2-*5, в равной степени имеют место, когда некоторые или все
рассматриваемые предложения имеют одну из форм (jc) . фх или (gjc). фх,
что и было доказано.
Как следует с помощью простого повторения доказательств,
предложения из *1-*5 имеют место, когда р, q, r замещаются предложениями,
содержащими любое число кажущихся переменных.
Principia Mathematica I

*10. ТЕОРИЯ ПРЕДЛОЖЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ОДНУ КАЖУЩУЮСЯ
ПЕРЕМЕННУЮ 215
*10. Теория предложений, содержащих одну
кажущуюся переменную
Краткое содержание *10.
Основная цель данного параграфа — распространить на формальные
импликации (т.е. на предложения формы (х). фхзух), по возможности,
большее число предложений, доказанных ранее для материальных
импликаций, т.е. для предложений формы p^q. Поэтому, например, мы доказали
в *3-33, что
Положим
р = Socrates is a Greek,
q — Socrates is a man,
r - Socrates is a mortal.
Тогда мы имеем: "если 'Socrates is a Greek' влечет 'Socrates is a man' и
'Socrates is a man' влечет 'Socrates is a mortal', следовательно, 'Socrates is
a Greek' влечет 'Socrates is a mortal'". Однако это само по себе не
доказывает, что если все греки люди, и все люди смертны, то все греки смертны.
Полагая
фх. = . х is a Greek,
\\fx. = . х is a man,
/jc. = . x is a mortal,
мы должны доказать
(х).фд:з\|Гд:: (jc) .\\r xz>%x:z>: (jc) . флсз/х.
Это именно такие предложения, которые должны быть доказаны в
настоящем параграфе. В дальнейшем будет видно, что формальная
импликация ((jc) . фх z> \\fx) есть отношение между двумя функциями фх и \\fx.
Много формальных свойств этого отношения аналогично свойствам отношения
"рз#", которое выражает материальную импликацию; именно такие
аналоги должны быть доказаны в настоящем параграфе.
В этом параграфе мы будем предполагать, что, как это было
показано в *9, предложения из *1-*5 могут применяться к таким
предложениям, как (х).фх и (gjc). ф;с. Вместо метода, принятого в *9, оказывается
возможным принять отрицание и дизъюнкцию в качестве новых
примитивных понятий в применении к предложениям, содержащим кажущиеся
переменные, и принять, что с отрицанием и дизъюнкцией в новом
смысле примитивные предложения из *1 по-прежнему имеют место. Если этот
метод принимается, то нет необходимости вводить (gjc). фх в качестве
примитивного понятия, так как мы можем положить
*1001. (gjc). фх. = . ~ (jc) . ~ фх Df
Для того чтобы разъяснить, как этот альтернативный метод может
быть развит, в настоящем параграфе мы не будем предполагать ничего из
того, что было доказано в *9, за исключением некоторых предложений,
которые в рамках альтернативного метода будут являться примитивными
предложениями, и будем предполагать (что частично характеризует
альтернативный метод) возможность применения к предложениям, содержащим
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

216
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ КАЖУЩИХСЯ ПЕРЕМЕННЫХ
кажущиеся переменные, аналогов примитивных понятий и предложений из
*1, а поэтому и их следствий, установленных в *2-*5.
Следующие два определения служат просто для того, чтобы ввести
обозначение, которое часто более удобно, чем обозначение (jc) . фх з \|гх или
(jc) . фх=\|Гх.
*1002. фхз^ух. = . (х). фх з ух Df
*1003. фх^ух. = . (х). фх з ух Df
Первым из этих обозначений мы обязаны Пеано, который, тем не менее,
не имел обозначения для (х). фд:, исключая специальный случай
формальной импликации.
Следующие предложения (*10-1-11-12-121-122) уже были даны в *9. *1(И
есть *9-2, *1011 есть *9-13, *10-12 есть *9-25, *10-121 есть *9-14 и *10422
есть *9-15. Указанные пять предложений все должны быть приняты в
качестве примитивных предложений в рамках альтернативного метода; с
другой стороны, предложения *9-1 и *9-11 не требуются как примитивные
предложения в рамках альтернативного метода.
Предложения настоящего параграфа интенсивно используются на
протяжении всей оставшейся части настоящей работы. Наиболее часто
используемые предложения следующие:
*101. h : (jc) . фх. з . фу
Т.е, то, что истинно во всех случаях, истинно в любом отдельном
случае.
*10-21. h :. (jc) . рзфх. = :р. з . (jc) . фд:
*10-22. h :. (jc) . фд: - \jfjc. = : (jc) . фх: (jc) . \\fx
Условия значимости в этом предложении требуют, чтобы ф и \\f
принимали аргументы одного и того же типа.
*10-23. Ь :. (jc) . фх з р. = : (дх). фх. з . р
Т.е. если фх всегда влечет р, тогда если фх иногда истинна, то р
истинно.
*10-24. Ь : фу. з . (дх). фх
Т.е. если фу истинна, то найдется х, для которого фх истинна. Это
единственный метод доказательства экзистенциональных теорем.
*10-27. Ь :. (z). фг з \|rz. з: (z). фг. з . (z). yz
Т.е. если фг всегда влечет \\fz, то "фг всегда" влечет "\\rz всегда". Три
следующих предложения, которые в равной мере полезны, аналогичны
*10-27.
*10-271. Ь :. (z). фг = yz. з: (z). фг. = . (z). щ
*10-28. h :. (jc) . фх з \|гх . з : (дх). фх. з . (дх). \|Гх
*10-281. h :. (х). фх = \\гх. з : (дх). фх. = . (дх). \|гх
*10-35. h :. (gx). р. фх. = : р: (дх). фх
*10-42. h :. (дх). фх. V . (дх). \|гх: = . (дх). фх V ух
*10-5. h :. (дх). фх. \|Гх. з : (дх). фх: (дх). \|Гх
Следует заметить, что хотя *10-42 выражает эквивалентность, *10-5
выражает только импликацию. Это положение является источником
множества последующих различий между формулами, касающимися сложения,
и формулами, касающимися умножения.
Principia Mathematica I

*10. ТЕОРИЯ ПРЕДЛОЖЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ОДНУ КАЖУЩУЮСЯ
ПЕРЕМЕННУЮ 217
*10-51. Ь :. ~ {(gjc). фд:. \|лдс}. =: фх. з* . ~ \\fx
Это предложение аналогично
Ь :-(/?. Я) - = - Р => ~ q,
которое следует из *4-63 посредством транспозиции.
Что касается оставшихся предложений настоящего параграфа,
некоторые из них используются достаточно часто, а остальные являются
леммами, которые применяются лишь однажды или дважды, иногда на
значительно более поздней стадии.
*10 01. (дд:).фд:. = .~(д:).-фд: Df
Это определение предназначается для использования лишь тогда, когда
мы избегаем метод из *9 в пользу альтернативного метода, который уже
разъяснялся. И в том, и в другом случае мы имеем
Ь : (gjc) . фх. = . ~ (х). ~ фх.
*1002. §xz>x\yx. = . (jc) . ф* z> \jrjc Df
*1003. фх=х\\гх. = . (jc) . фх = ух Df
*101. h : (jc) . фх. э . фу [*9-2]
*1011. Если фу истинна для любого возможного аргумента у, тогда
(jc) . фх истинно. [*9-13]
Это предложение в некотором смысле является противоположным *10-1.
*104 может быть сформулировано как: "то, что истинно для всего, истинно
для любого", в то время как *10-11 может быть сформулировано как: "то,
что истинно для любого, каким бы оно ни было выбрано, истинно для
всего".
*1012. Ь : (jc) . р V ф*. з : р. V . (jc) . фх [*9-25]
В соответствии с определениями из *9 этО предложение есть. просто
пример "^d^", т.к. по определению обе части импликации есть различные
символы для одного и того же предложения. В соответствии с
альтернативным методом, наоборот, *10-12 является существенным предложением.
*10121. Если "ф;с" значимо, то если а принадлежит тому же самому
типу, что и jc, то "фа" значимо, и обратно. [*9-14 ]
Из этого предложения следует, что два аргумента одной и той же
функции должны быть одного и того же типа; так как если хна аргументы
фх, "фх" и "фа" значимы, и поэтому jc и а принадлежат одному и тому
же типу. Таким образом, данное выше примитивное предложение
заключает в себе итог нашей дискуссии о парадоксах порочного круга главы II
Введения.
* 10-122. Если для некоторого а найдется предложение фа, то найдется
функция фх, и обратно. [*9-15]
*1013. Если фх и \\fx принимают аргументы одного и того же типа, и
мы имеем "Ь.ф;с" и "h.ijrjc", то мы будем иметь "Ь. ф;с.\|г;с".
Доказательство.
Повторным применением *9-61-62-63-131 (3) получаем, что найдется
функция ~$xV ~\\fx. Следовательно, на основании *2-11 и *3-01,
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

218
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ КАЖУЩИХСЯ ПЕРЕМЕННЫХ
h : ~ фх V ~ \\гх. V . фх. \|Гх (1)
Ь . (1). *2-32 . (*1-01). з Ь :. фх. з : ух. з . фх. ух (2)
Ь.(2).*9-12.зЬ.Ргор
♦10-14. h :. (jc) . фх: (jc) . \|rx : з . фу. \\fy
Это предложение истинно всякий раз, когда оно значимо, но оно не
всегда значимо, когда его гипотеза167 значима, так как тезис168 требует,
чтобы ф и \|Г принимали аргументы одного и того же типа, в то время как
гипотеза не требует этого. Следовательно, если предполагается применять
*10-14, когда ф и \\f даны, или когда у дана как функция от ф, и наоборот,
то мы не должны признавать обоснованным тезис, исходя из гипотезы,
если при этом ф и \|Г не принимают аргументов одного и того же типа.
Доказательство.
Ь.*10-1. зЬ: (х).фх.з.ф;у (1)
Ь.*10-1. зЬ: (х).ух.з.\|гу (2)
Ь . (1). (2). *10-13 . з h : (х) . фх. з . фу : (jc) . \\fx . з . \\fy:
[*3-47] з Ь :. (jc) . фх: (jc) . ух : з . фу. \\fy:. з Ь . Prop
*10-2. Ь :. (jc) . р V фх . = : р . V . (jc) . фх
Доказательство.
Ь . *10-1 . *1-6 . з h :. р . V . (jc) . фх: з . р V фу :.
[*10-11] з Ь :. (у) :. р . V . (jc) . фд:: з . р V фу :.
[*1012] з Ь :. р . V . (jc) . фл:: з . (у) . р V фу (1)
Ь.*10-12. эЬ:.(у).рУфу.э:/>.У.(х).фх (2)
Ь.(1).(2). зЬ.Ргор
*10-21. Ь:.(Jc).JpзфJc. = :^?.з.(Jc).фJC [*10-2^]
Это предложение используется значительно чаще, чем *10-2.
*10-22. h :. (jc) . фх. \|Tjc . = : (jc) . фх: (jc) . \|fjc
Доказательство.
h - *10-1 • зЬ :(jc). фJc.\^fJc.з. фу.уу (1)
[*3-26] з . фу:
[*10-11] з h :. (у): (jc) . фх. у jc . з . фу:.
[*10-21] ^>\-:.(х).фх.\\гх.^.(у).фу (2)
h . (1). *3-27 . з h :. (х)фх. \\fx. з . щ :.
[*10-11] з h :. (z): (x) . фх. \\fx. з . \\fz :.
[*10-21] з h :. (х) . фх. \|гх. з . (z) . Щ (3)
h . (2). (3). Comp . з h :. (х) . фх. \\fx. з : (у) . фу : (z) . yz (4)
h . *10-14-11. з h :. (у) :. (х) . фх: (х) . \|гх: з . фу. \|Гу:.
[*10-21] з Ь :. (х). фх: (х). x\fx: з . (у). фу . \|гу (5)
Ь . (4). (5). з Ь . Prop
Приведенное выше предложение истинно всякий раз, когда оно значимо;
однако, как указывалось в связи с *10-14, оно не всегда значимо, когда
значимо "(х). фх: (х). ух".
* 10-221. Если фх содержит конституенту х(*, у, Z,...) и \\fx содержит кон-
ституенту %(х, и, v,...), где х является элементарной функцией, а у, z, ...
167 Т.е. антецедент импликации +10-14. — Прим. ред.
168 Т.е. консеквент импликации *10-14. — Прим. ред.
Principia Mathematica I

*10. ТЕОРИЯ ПРЕДЛОЖЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ОДНУ КАЖУЩУЮСЯ
ПЕРЕМЕННУЮ 219
w, v, ... есть либо постоянные, либо кажущиеся переменные, тогда фх и
\|/Jc принимают аргументы одного и того же типа. Это может быть
доказано в каждом частном случае, а не в общем, при условии, что при
получении ф и \|г из х функция х подвергается лишь отрицаниям,
дизъюнкциям и обобщениям. Указанный процесс иллюстрируется с помощью
примера. Положим, что фл есть (у). %(х, у). з. 0jc и \|/jc есть fx. з. ОО-хС*»?)-
С помощью определений из *9 получаем, что фд: есть (зу) - ~х(*»з0- V . 0х
и уд есть 0>).~/jc. V .%(х,у). Следовательно, поскольку примитивные
понятия (jc) - Fx и (gjc). Fx применяются лишь к функциям, то найдутся
функции ~x(£50vft£> ~/*vx(£>0- Следовательно, существует
предложение ~х(а,Ь)\/Ъа. Следовательно, так как "pVq" и и~р" являются
значимыми лишь тогда, когда р и q есть предложения, то найдется
предложение х(а,Ь). Аналогично для некоторых и и v существуют предложения
~/wVx(m,v) и x(m»v). Следовательно, на основании *9-14, и и a, v и Z?
принадлежат соответственно одному и тому же типу, и (еще раз на основании
*9-14) найдется предложение ~/яУх(я,Ь). Следовательно (*9-15), найдутся
функции ~x(a,y)V да, ~ fa\f %(а,у), и поэтому существуют предложения
(ЯУ)-~Х(а,у)Уда, Cv).~/flVx(a,j),
т.е. существуют предложения фа и \уя, что и требовалось доказать. Этот
процесс аналогично может применяться и в других случаях.
*10*23. V :. (jc) . фд-. з р. = : (gjc). фд:. з. р
Доказательство.
Ь . *4-2 . (*9-03). з I-:. (jc) . ~ фд: V р. = . (jc) - ~ фд:. V . /? :
[(*9-02)] = .(Эл).фх.з.р (1)
К(1).(*1-01). зЬ.Ргор
В данном выше доказательстве мы используем предложения из *9. В
рамках альтернативного метода, когда (gjc). фл определяется в
соответствии с * 10-01, доказательство продолжается следующим образом.
*10-23. V :. (jc) . фд:. зр . = : (gjc). фд:. з .р
(1)
Доказательство.
Ь . Transp . (*10
[*10-21]
[*101]
[Transp]
[*10-11]
[*10-21]
К*10-1.
[Transp]
[*10-11-21]
[(1)]
К(2).(3).
•01),
. з 1-:. (gjc). фл - з . р: = : ~ р . з . (jc) > ~ фд:
= : (jc) г ~ р > з . ~ фд:
з : ~ р . з . ~ фл :
з : фд:. з >р:>
з V :. (л) :. (gjc) . фх - з . р : з : фл. з . р :.
з Ь :. (ал) - фд:. з . р : з : (jc) : фд:. з . р
зЬ :. (jc) : фд: • з .р: з:фд:зр:
з: ~р. з . ~фд::.
з V :. (jc) : фд:. з . р : з : (jc) : ~ р . з > - фд:
з : (gjc) . фл. з . р
з 1-. Prop
(2)
(3)
Всякий раз, когда мы имеем утверждаемое предложение формы р з фл,
мы можем перейти посредством *10-11*21 к утверждаемому предложению
р. з . (х). фд:. Этот переход постоянно требуется, как и в последней строке
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

220
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ КАЖУЩИХСЯ ПЕРЕМЕННЫХ
данного выше второго из доказательств. В дальнейшем он будет
указываться просто ссылкой "* 10-11 -21", а два шага, которые он требует, не будут
выписываться по отдельности.
*10-24. h : фу . з . (qx) . фх
Это *9-1. В рамках альтернативного метода доказательство является
следующим.
Доказательство.
h . *10-1 . з h : (jc) > ~ фх . з . ~ фу:
[Transp] з I-: фу . з - ~ (jc) . ~ фх:
[(*1О01)]зКРгор
*10-25. Ь : (jc) . фд:. з > (дх). фх [*10-1-24]
*10-251. Ь:(х)>~фх>з.~{С*)-Ф*} [* 10-25 .Transp]
*10-252. Ь : - {(gjc). фх}. = . (jc) . ~ фх [*4-2 . (*9-02)]
*10 253. Ь : - {(jc) . фд:} - = . (gx). фд: [*4-2 . (*9-01)]
В рамках альтернативного метода, когда (gjc) - фд: определяется в
соответствии с *10-01, доказательства *10-252-253 являются следующими.
*10-252. Ь : ~ {(дх). фд:}. = . (jc) . ~ фх [*4-13 . (*1О01)]
*10-253. Ь : - {(jc) . фд:} - = . (gx) _ фх
Доказательство.
h . *10-1 . з Ь : (jc) . фх . з . фу .
[*2-12] з.~(~фу):
[*10-11-21] з Ь : (jc) . фд:. з _ (у) . ~ (~ фу) :
[Transp] =>Ь:~{О0.~(~Фз0}. з . - {(х) . фх]:
[(•10-01)] з Ь : (Яу) - ~ фу • э . ~ {(л). фд:} (1)
Ь . *1(И . з Ь : (у) . ~ (~ фу) . з . ~ (~ фх) .
[*2-14] з.фх:
[*10-11-21] зЬ:(у).~(~фу). з.(х).фх:
[Transp] з Ь : ~ {(jc) . ф х] - з . - {(у) . ~ (~ фу)} -
[(•10-01)] з.(Яу).~фу (2)
Ь . (1). (2). з Ь . Prop
*10-26. h :. (z) - фг з yz: фх: з - \\fx [*10-1 - Imp]
Это одна из форм силлогизма Barbara. Например, положим
фг • = - z есть человек, \yz - = - z смертен, х = Сократ.
Тогда указанное предложение становится:
"Если все люди смертны, а Сократ есть человек, то Сократ смертен".
Другая форма силлогизма Barbara дается предложением *10-3.
Указанные две формы, ранее ошибочно отождествлявшиеся, впервые стали
различаться Пеано и Фреге.
*10-27. h:. (z) - фг з \|fz. з: (z). фг - з > (z). yz
Principia Mathematica I

♦ 10. ТЕОРИЯ ПРЕДЛОЖЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ОДНУ КАЖУЩУЮСЯ
ПЕРЕМЕННУЮ 221
Нр > з: (z). фг з yz:
з: (z) - фг - з. (z). yz
Нр - з: (z). yz з фг:
з : (z). yz • з • (z). фг
(i)
(2)
Это *9-21. В рамках альтернативного метода доказательство является
следующим.
Доказательство.
h . *10-14 . з h :. (z) . фг з \|fz: (z) . фг : з : фу з у у. фу.
[Ass] з.\|гу:.
[*10-1] з Ь :. (у) :. (z) . фг з \|/z : (z) . фг : з . \|/у s-
[*10-21] з I-:. (z). фг з yz: (z). фг: з. (у). \^гу (1)
h . (1). Exp . з h . Prop
*10-271. h :. (z). фг = yz. з : (z). фг. = . (z). yz
Доказательство.
Ь.*10-22. з1-:
[*10-27]
K*10-22. з1-:
[*10-27]
К (1). (2) > Comp. з К Prop
*10-28. Ь :> (x) - фх з ух. з : (gx) - фх. з . (gx) . yx
Это *9-22. В рамках альтернативного метода доказательство является
следующим.
Доказательство.
Ь.*10-1 . зЬ:. (х).фхзух. з.фузуу.
[Transp] з . ~ уу з ~ фу:.
[♦10-11-21] з Ь :. (jc) . фх з \^JC. з : (у). ~ уу => ~ Фу :
[*10-27] з: СУ) - ~ уу. з . (у). - фу:
[Transp] з: (gy). фу . з . (gy). уу:_ з Ь . Prop
*10-281. Ь :. (х). фх = ух. з : (gx). фх. = . (gjc). ух [*10-22-28 . Comp]
*10-29. h :> (jc) . фх з ух: (jc) . фх з ух: = : (jc) : фх - з - ух - х*
Доказательство.
Ь . *10-22 . з I-:- (jc) . фд: з ух: (х). фх з ух i
= : (jc) : фх з ух > фх з /л: (1)
h . *4-76 - з Ь :. фх з ух. фх з х* - = : фх - з . у с. %х :.
[*10-11] з h :. (jc) :. фх з ух. фх з %х. = : фх - з . ух. ух:.
[*10-271] з I-:. (х): фх з ух. фх з ух: = : (х): фх - з - ух. ух (2)
К (1). (2). з К Prop
Это расширение принципа композиции.
*10-3. h :> (х) - фх з ух: (х) . ух з ух: з . (х). фх з /х
Это вторая форма силлогизма Barbara.
Доказательство.
h . *10-22-221. з I-: Нр . з > (х). фх з ух . ух з ух.
[Syll. *10-27] з . (х). фх з ух: з Ь . Prop
*10-301. Ь :. (х) . фх = ух: (х). ух = ух: з . (х). фх = ух
Доказательство.
Ь . *10-22*221. з h :. Нр > з : (х) . фх = ух. \^х = ух:
[*4-22 . *10-27] з : (х). фх = ух:. з Ь . Prop
Во второй строке доказательств *10-3 и * 10*301 мы сократили процесс
доказательства способом, который часто оказывается удобным. В *10-3
полный процесс выглядел бы следующим образом:
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

222
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ КАЖУЩИХСЯ ПЕРЕМЕННЫХ
Ь . Syll. з Ь : фх з \|f jc . \|fл з х* • з . фх з х*:
[*10-11] з Ь : (jc) : фх з ух. ух з ух. з . фх з хх:
[*10-27] зЬ : (л): фхз\^л:. ухзхх. з . (х) . фхзх-^
Два данных выше предложения показывают, что формальная
импликация и формальная эквивалентность есть транзитивные отношения между
функциями.
*10-31. h :. (jc) . фх з ух. з: (х): фх. ух. з . \|/jc . ух
Доказательство.
Ь . Fact. *10-11. з V :. (jc) :. фх з ух. з : фх. х* . з . ух. ух (1)
Ь . (1). *10-27 . з К Prop
*10-311. V :. (jc) . фх = ух. з : (х): фх. х* • = • ух. х*
Доказательство.
h . *4-36 . *10-11 . зЬ :. (jc) :. фjc = \|/jc. з: фх.х*-= . ул-Х* (1)
h . (1) . *10-27. з Ь . Prop
Два данных выше предложения являются расширением принципа
множителя.
*10-32. h : фх=хух. = . ух=хфх
Доказательство.
h . *10-22 . з h : фх=хух. = . фхз*ух. ух=>хфх.
[*4-3] = . ухз^фх. фхз^хух.
[*10-22] = . ух=хфх: з Ь . Prop
*10-321. )г:фх=хух.фх=хух.^.ух=хух
Доказательство.
Ь . *10-32 . Fact. з h : Нр. з . ух=хфх. фх=*хх.
[*10-301] з . yjc^x*: => Ь. Prop
*10-322. Ь : \|fX=^X . Х*=*Ф* • => • V*=jtX*
Доказательство.
Ь . *10-32 . з h : Нр . з . \|/х=*фх. фх=хух.
[*10-301] з . ух=*х*: => Ь . Prop
Это предложение показывает, что формальная эквивалентность
симметрична.
а)
(2)
*10-33.
h :. (jc) : фх.р: = :
Доказательство.
К*10-1.
[*3-27]
(х). ф.
зЬ:
К(1).*3-26.зЬ:
[*10-11-21]
h.(2).(3).
К*1(Н.
[Fact]
[*10-11-21]
К(4).(5).
зЬ:
зЬ:
зЬ:
зН:
зЬ:
зК
х:р
.(х):
•W:
.(х):
•С*):
.(У).
.(У).
•О».
: фх,
: фл,
: фд:,
: фх,
•ФУ-
•Фу:
•фу:
Prop
.р:
.р:
.р:
.р:
р:
р:
3
3
3
3
3
3
3
3
.фу.
•р
.фу:
.(У)-
:О0.
. фх:
. фх.
:(*):
р.
,фу
,фу
.р:.
:фх
(3)
(4)
(5)
*10-34. h :. (gx) . фл з р . s : (х) . фл .
Principia Mathematica I

*10. ТЕОРИЯ ПРЕДЛОЖЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ОДНУ КАЖУЩУЮСЯ
ПЕРЕМЕННУЮ 223
Это непосредственно следует из *9-05-01 и *1-01. В рамках
альтернативного метода доказательство является следующим.
Доказательство.
К*4-2.(*10-01)
Ь :>(дл).ф;сзр,
[*4-61.*10-271]
[*10-33]
[*4-53]
[*4-6]
*10-35. h :> (gjc) - р > фл . = : р : (дх) - фх
Доказательство.
I-. *3-26
-{(*). ~(фхзр)}:
~ {(л) : фх. ~»:
- {(*). фх: ~ р}:
- {(л) . фх}. V . р :
(jc) . фх. з -р
з Н : р . фх. з . р:
з Ь : (jc) : р - фх - з . р :
з Ь : (gjc). р . фх. з . р
з I-: р . фх. з . фх:
з h : (jc) : p - фх. з . фх:
з V : (gjc). р . фх. з. (а*) • Ф*
з h :. р - з : фл. з . р . фх -
*10-11-21] з Ь :. р > з : (jc) : фх - з - р . фх:
10-28] з : (зл). фх. з . (gjc) . р . фх
Ь.(1).(2).(3).1тр.зЬ.Ргор
10-11]
10-23]
Ь . *3-27
♦10-11]
40-28]
Ь. *3-2 .
(1)
(2)
(3)
*10-36. Ь :. (gjc) > фх V р > = : (дл) . фх. V . р
Это непосредственно следует из *9-05. В рамках альтернативного
метода доказательство является следующим.
Доказательство.
Ь . *4-64 . з Ь
[*10-11] зЬ
фд V р . = . ~ фх з р :
(jc) : фх V р . = . ~ фх з р :
[*10-281]
[*10-34]
[*10-28(*10-01)]
зЬ:.(э*)-Ф* Vp. =
(З.х).~ф;с:зр:
(х) - ~ фх. з . р :
(З*) • ф* - V- р :. з Ь . Prop
Данное предложение требуется лишь для того, чтобы привести к
следующему:
*10-37. Ь :. (gjc) > р з фх. = : р. з > (gjc) > фх [*10-36^]
*10-39. h :> фхз^х*: \|/лз*9;с : з : фх - ул - зх . /jc - 0jc
Доказательство.
Ь > *10-22 > з Ь :> Нр - з : (jc) : фх з %х. ул з Эх:
[*3-47 . *10-27] з : (х) : фх. \|/л • => • Xх - Bjc :. з I-. Prop
Это предложение истинно лишь тогда, когда заключение значимо;
значимость гипотезы не гарантирует значимость заключения. По поводу
условий значимости см. замечания к *10-4 ниже.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

224
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ КАЖУЩИХСЯ ПЕРЕМЕННЫХ
*10-4. Ь :. фх=ххх. \\гх=хвх. з : фх. \\fx. =д..%х • Эх
Доказательство.
h . *10-22 . з Ь :. Нр . з : фхз^х*. ухз^Эх:
[*10-39] з:фх.\|/х.зл.хх.Эх (1)
Аналогично h :.Нр. з :х*« Эх. =>jc • ф*.ух (2)
h . (1) . (2). Comp. з h :. Нр. з : фх. \|/х . зл . х*. Эх: х*. Эх. з* . фх. ух:
[*10-22] з : фх. ух. =х . %х. Эх:. з Ь . Prop
В *10-4 и большом количестве последующих предложений, как в *10-39,
заключение может не быть значимым, когда гипотеза истинна.
Следовательно, для того чтобы можно было легитимно использовать *10-4 при
выводе, т.е. переходить от утверждения гипотезы к утверждению
заключения, функции ф, у, x> Э должны быть такими, чтобы их области
значимости пересекались. В силу *10-221, это обеспечивается, если они имеют
формы F{x,%(x,y,z,...)}, f{x,x(x9y9z,...)), G{x,xC*,ui...)}, g{x,x(x,yyz,-..)}. Это
также обеспечивается, когда ф и у или ф и Э, или х и ¥? или х и Э
имеют подобные же формы, так как ф и х должны иметь пересекающиеся
области значимости, если гипотеза значима, и так же должно быть для
\\f и Э.
10 41. Ь:.
(х). фх
Доказательство.
Ь.*10-1.
[*2-2]
К*10-1.
[*1-3]
Ml). (2).
[*3-44]
[*10-11-21]
. *10-13
. V . (х) . \\fx: з . (х) . фх V \|fx
з Ь : (х) . фх. з . фу.
-=> • ФУ V \\fy (1)
з Ь : (х) . \|fx. з . \|гу.
з.фуУу); (2)
. з h :. (х) . фх. з . фу V \|гу: (х) . \\fx. з . фу V \\fy :.
з h :. (х) . фх. V . (х) . \|fx: з . фу V хру
з Ь :. (х) . фх. V . (х) . \|/х: з . (у) . фу V уу:. з Ь . Prop
Заметим, что в данном выше доказательстве использование *2-2 и *1-3
законно лишь тогда, когда фу и \\гу имеют пересекающиеся области
значимости, так как в противном случае, если у таково, что существует
предложение фу, то не найдется предложения \|fy, и наоборот.
*10-411. h :. фх^сХ* • ^х=хдх. з : фх V ух. =х . %х V Эх
Доказательство.
h . *10-14 . з h :. Нр . з : фх = ух. \\fx = Эх :
[*4-39] з:фхУух. = .Х-^Эх (1)
К(1).*1041-21.зКРгор
*10-412. \-:фх=х\\гх. = .~фх=х~ух [*4-11 . *10-11-271]
*10-413. Ь :. фх=л;Х^. \ух=*Эх. з : фх з \\гх. =* . ух з Эх
Доказательство.
V . *10-411-412 . з Ь :. Нр . з: ~ фх V \\гх. =х . ~ х* V Эх:
[(*1-01)] з: фхзух. =х.х^=>Эх:.зЬ .Prop
*10-414. I-:. фх=*х* • yx=xQx. з : фх = \\гх. =х . х* = Эх
Доказательство.
Ь . *10-413 фу 'q • *Ю-32 . з I-:. Нр. з : ух з фх. =х . Эх з ух (1)
Ь . *10-413 . (1)'. *10-4 . з h . Prop
Principia Mathematica I

*10. ТЕОРИЯ ПРЕДЛОЖЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ОДНУ КАЖУЩУЮСЯ
ПЕРЕМЕННУЮ 225
Предложение *10-413-414 в основном используется в случаях, в которых
либо х замещается у, либо 0 замещается \|/, причем в каждом из этих
двух случаев часть гипотезы становится излишней, будучи истинной на
основании *4-2.
*10-42. Ь :. (gx) > фх. V . (gx) • V*: = • (3*) • Ф* V ух
Доказательство.
Ь . *10-22 . з Ь :. (х) . ~ фх : (х) . ~ ух: = - (х) . ~ фх. ~ ух:.
[*4-11] з Ь :. ~ {(jc) . ~ фх: (jc) . ~ ух]. = . ~ {(л) . ~ фх > - ух}:.
[*4-51-56 . *10-271] з Ь :. ~ {(jc) . - фх}. V . - {(jc) . - ух} :
= . ~ {(jc) . ~ (фх V ух)}:.
[*10-253] зЬ :. (gx) . фх. V . (дх) . ух: = . (дх) . фх V ух:.
з Ь. Prop
Это предложение используется очень часто. Оно должно быть контра-
стировано с *10-5, в котором мы имеем только импликацию, а не
эквивалентность.
*10-43. Ь : $Z=zyz . фх. = . ^z=zyz. ух
Доказательство.
h - *10-1 - зЬ:фг=гуг.з.фх = ух (1)
Ь.(1)_*(5-32). зЬ.Ргор
*10-5. V :. (дх) > фх. ух. з : (дх). фх: (gx) >ух
Доказательство.
Ь . *3-26 . *10-11. зV : (jc) : фх>ух. з . фх:
[*10-28] з Ь : (gx). фх. \|/jc . з . (gx). фх (1)
Ь . *3-27 . *10-11 . з h :. (х) : фх - ух. з . ух:
[*10-28] з Ь : (gx) - Ф* - У* - => • (д*) - V* (2)
h - (1) - (2) > Comp > з h :. Prop
Обращение данного выше предложения ложно. Тот факт, что в этом
предложении говорится об импликации, в то время как в *10-42 говорится
об эквивалентности, является источником множества последующих
различий между формулами, касающимися логического сложения, и формулами,
касающимися логического умножения.
*10-51. h :. ~ {(gx) . фх. ух]. = : фх. з* . ~ \\fx
Доказательство.
h . *10-252 . з Ь :. ~ {(дх) . фх - ух} . = :(*).- (фх. ух) :
[*4-51-62 . *10-271] = : (jc) : фх. з - - \\fx:. з Ь . Prop
*10-52. h :. (gx) - фх . з : (х) . фх з р . = - р
Доказательство.
Ь . *5-5 . з h :: Нр . з :. р . = : (дх) . фх. з . р :
[*10-23] = : (х) . фх з р :: з Ь . Prop
*10-53. Ь :> ~ (дх) . фх - з : фх. з* . ух
Доказательство.
К*2-21.*10-11. з
h :. (х) :. ~ фх. з : фх. з . ух:.
[*10-27] з h :. (х) . ~ фх. з : (х) : фх . з > ух:.
[*10-252] з Ь:. ~ (gx) - фх. з : (х): фх - з . ух:. з h . Prop
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

226
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ КАЖУЩИХСЯ ПЕРЕМЕННЫХ
*10-541. г :. фу - зу - р V x\fy: = : р . V > фуз^у
Доказательство.
К *4-2 . (*1-01). зЬг.фу.з^ .р Ууу: = : (j) > ~фу Vp V\jry:
[Assoc . *10-271] = : (у) > р V - фу V \|гу :
[*10-2] = : p . V . (у) . ~ фу V \|гу:
[*1-01] = : p . V . фуз^уу:. з Ь. Prop
Данное выше предложение необходимо лишь для того, чтобы привести
к следующему:
*10-542. Ь :. фу > зу . р з \|гу : = : р . з . фуз^у [*10-541-р-]
Это предложение является леммой для *84-42.
*10-55. Ь :. (ах) - фх. ух: фхз*ух: = : (дх). фх: фхз*\|/х
Доказательство.
г > *4-71 . з г :. фх з ух. з : фх. \\fx. = . фх (1)
К(1).*1041-27.з
V :. фхз*ух. з : (jc) : фх. ух > = . фх:
[*10-281] з : (дх) . фх - ух. = . (дх) . фх (2)
Ь _ (2). *5-32 . з Ь. Prop
Это предложение является леммой для *117-12-121.
*10-56. г :. фх - з* - ух: (3*) - Ф* - Xх: => • (Я*) • V* • X*
Доказательство.
Ь > *10-31 . з h :. фх. зх > ух: з : фх . х* • =>* . ух. х*:
[*10-28] з:(дх).фх.х*-:=>.(дх).ух.х.х: (1)
Ь . (1). Imp > з h . Prop
Это предложение и *10-57 используется в теории серий (часть V).
*10-57. Ь :. фх. з* > ух V %х: з : фх. з*ух . V . (дх) . фх - ух
Доказательство.
Ь . *10-51 . Fact. з
Ь :. фх. зх . \\fx V %х: ~ (дх) . фх. %х: з : фх . зх > ух V %х: фх. з* . ~ х*:
[*10-29] з : фх. з* .ух Vх*. ~%х:
[*5-61] з : фх. з* . ух (1)
Ы1).*5-6.зЬ.Ргор
Principia Mathematica I

•11. ТЕОРИЯ ДВУХ КАЖУЩИХСЯ ПЕРЕМЕННЫХ
227
*11. Теория двух кажущихся переменных
Краткое содержание *11.
В этом параграфе предложения, доказанные для одной переменной в
параграфе *10, распространяются на две переменные с добавлением
нескольких предложений, не имеющих аналогов для одной переменной, таких как
*11-2-21-23*24 и *11*53-55*6*7. "ф(*,;у)" обозначает предложение, содержащее
х и содержащее у; когда переменным jc и у не приписаны значения, то
ф(х,у) есть пропозициональная функция от х и у. Определение *11-01
показывает, что "истинность всех значений ф(х,;у)" не нужно принимать как
новое примитивное понятие, оно определимо в терминах "истинности всех
значений \|/л". Причина этого есть то, что, когда х приписано значение,
ф(л, у) становится функцией одной переменной, а именно у, откуда следует,
что для каждого возможного значения х предложение "00- ФС*»}7)"
содержит примитивное понятие, введенное в *9. Но "00- фОс,}0", с другой
стороны, есть только функция одной переменной, а именно х, так как у здесь
стала кажущейся переменной. Следовательно, приведенное ниже
определение * 11-01 является легитимным. Мы полагаем:
*11-01.
*1102.
*1103.
*1104.
*1105.
*1106.
(х,у). ф (х,у). = : (х): (у). ф(х,у)
(x,y,z). ф (х,y,z). = : (х): (y,z). ф(х,y,z)
(Я*> У) • Ф (х, у). = : (а*): (ay). ф (х, у)
(я*> y,z) • Ф (х, y,z)- = '- (я*) •• (я:у> $ • Ф (*. у. z)
ф (х,у). z>x,y .\\f(x,y) : = : (х, у) : ф (х, у) . z>. \\f(x, у)
Ф (х,у). =ХуУ . \|/ (х,у): = : (х, у): ф (х,у). = . \\f(x,у)
Df
Df
Df
Df
Df
Df
Предполагается, что данные выше определения распространяются на
любое число переменных, которое может встретиться.
Предложения данной части работы могут все быть распространены на
любое конечное число переменных; так как аналогия является точной, то
нет необходимости в наших доказательствах совершать тот же самый
процесс для более чем двух переменных.
В дополнение к определению * 10-01 нам необходимо примитивное
понятие, такое, что "каким бы ни был возможный аргумент jc, ф(х,у)
истинна, каким бы ни был возможный аргумент у" влечет соответствующее
утверждение, где х и у переставлены, за исключением "ф(;с,;у)". Каждое из
двух предложений169 может быть взято выражающим смысл предложения
"ф(х,у) истинна, какими бы ни были возможные аргументы х и у".
Предложения данного параграфа используются в несколько меньшей
степени, чем таковые из параграфа *10, но некоторые из них используются
часто. Это следующие предложения:
*11 1. Ь : (х, у). ф (х, у). э . ф (z, w)
*11И. Если ф(г,и>) истинна, какими бы ни были возможные аргументы z
и w, то (х,у). $(х,у) истинна.
Эти два предложения есть аналоги *10*1-11.
*11-2. I-: (х,у). ф (х,у). = . СУ,л) . ф (х,у)
169 речь идет 0 предложениях "(jc) : (у) . ф (jc, у)" и "(у) : (jc) . ф (jc, у)". — Прим. ред.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

228
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ КАЖУЩИХСЯ ПЕРЕМЕННЫХ
Т.е. сказать, что "для всех возможных значений х ф(х,у) истинна для
всех возможных значений у", равносильно тому, что сказать "для всех
возможных значений у ф(х,у) истинна для всех возможных значений jc".
*11 3. г :.р . •=>. (х,у). ф (jc,у): = : (х,у): р . э . ф (х,у)
Это аналог *10-21.
*11 32. Ь :. (х,у) : ф (jc,у) . з . \\f (jc,у) : э : (jc,у) . ф (jc,у) . э . (jc,у) . у (jc,у)
Т.е. "если ф(х,у) всегда влечет \\f(x,y), то сф(х,у) всегда' влечет 'у(х,у)
всегда'". Это есть аналог *10-27. *11-33-34-341 есть соответствующие
аналоги *10-271-28-281 и также интенсивно используются.
*11-35. h :. (jc, у): ф (jc, у). z> . р : = : (gjc, у). ф (jc,у). z> . р
Т.е. если ф(х,;у) всегда влечет р, то если ф(х,у) когда-либо истинна, то
р истинно, и обратно. Это аналог *10-23.
*11-45. Ь :. (gjc,;y) :р.ф(х,у): = :р: (gjc,;y) . ф (х,у)
Это аналог * 10-35.
*11 54. Ь :. (ях,у). фх. уу. = : (gjc). фх: (ду) • ¥J
Данное предложение полезно, так как оно раскладывает предложение,
содержащее две кажущиеся переменные, на два предложения, каждое из
которых содержит лишь по одной кажущейся переменной. "фх.\|гу" есть
функция двух переменных, но составляется она из двух функций одной
переменной. Такая функция похожа на коническое сечение, которое
представляет собой две прямые линии170: она может быть названа "разложимой"
функцией.
*11-55. Ь :. (g jc, у). фх. \|/ (jc, у). = : (gjc). фх: (ду). \|/ (jc, у)
Т.е. говорить, что "существуют значения х и у, для которых фх.\|/(jc,у)
истинна", равносильно тому, что сказать "существует значение jc, для
которого фх истинна и для которого найдется значение у, такое, что у(х,у)
истинна".
*11-6. Ь :: (gjc):. (gj). ф (х,у) . \|гу: х*:. = :. (gj) :. (gjc). ф (jc,у). х*: W
Данное утверждение дает преобразование, которое оказывается
полезным во многих доказательствах.
*11 62. Ь :: фх. \\f (х,у) . э^ .х(х,у) : = :. фх.z>x:y (x,y) . z>y . x(jc,у)
Это преобразование также часто оказывается полезным.
*1101.
*1102.
*1103.
*1104.
*1105.
*1106.
(х,у) . ф (jc,у) . = : (jc) : (у) . ф (л,у)
(jc,;y,z). ф(х,у,г). = : (л): 0>,z). ф(х, y,z)
(Э*, у). ф (jc, у). = : (g jc): (ду). ф (х, у)
(Э*> У, г). ф (jc, у, z). = : (д jc) : (д yt z). ф (jc, у, z)
ф (х,у). эяо,. у (jc,у) : = : (jc,у) : ф (jc,у) . э . у (jc, у)
Ф С*,?) • =xj • ¥(*,}>) *• = : (x,У) : Ф (x,y) . = . \\r (x,y)
Df
Df
Df
Df
Df
Df
с аналогичными определениями для любого числа переменных.
170 Данная авторами ассоциация пропозициональной функции " фх. \\fy" с коническим
сечением, представляющим собой две пересекающиеся прямые линии, на наш взгляд
выглядит по меньшей мере странно. Но это не означает, что подобная ассоциация вообще не
имеет права на существование. — Прим. ред.
PRINCIPIA MATHEMATICA I

♦ 11. ТЕОРИЯ ДВУХ КАЖУЩИХСЯ ПЕРЕМЕННЫХ
229
*1107. "Каким бы ни был возможный аргумент jc, ф(х,у) истинна, каким
бы ни был возможный аргумент уп влечет соответствующее утверждение,
где х и у преставлены, исключая "ф(х,у)". Pp.
*11-1. Ь : (х, у) . ф (х, у) . э . ф (z, w)
Доказательство.
Ь . *10-1. э Ь : Нр. э . (у). ф (z, у).
[*10-1] э . ф (z, w): э Ь . Prop
* 11-11. Если ф(г,м>) истинна, какими бы ни были возможные аргументы
z и w, то (jc, у). ф (jc, у) истинна.
Доказательство.
На основании *10-11 из гипотезы следует, что СУ)-Ф(г,}0 истинна,
каким бы ни был возможный аргумент z; а это на основании *10-11 влечет
(х,у).ф(х,у).
*1112. Ь :. (х,у). р V ф (х,у) . э : р . V . (х,у). ф О,у)
Доказательство.
Ь . *10-12 . э Ь :. Су) . р V ф (*, у) . э : р _ V . (у) . ф (х, у) :.
[*1041-27]эЬ:.и,>;).рУф(д:,>;). э : (*) :р . V . (у) . ф(х,у) :
[*10-12] э : р . V . (jc, у) . ф (jc,у):. э Ь . Prop
Это предложение используется лишь для доказательства *11-2.
*1113. Если ф(х,у), \\f(x,y) принимают первые и вторые аргументы
соответственно одного и того же типа, и мы имеем " Ь . ф (jc, у)" и " г . у (х, у)",
то мы будем иметь " г . ф (jc, у). \\f (jc, у)" • [Доказательство, как и в *10-13]
*1114. Ь :. (*, у) . ф (д, у) : (х,у) . у (х,у) : z> : $ (z, w) . у (z, w)
Доказательство.
h.*10-14. эЬ:.Нр. э:(у).ф(г,у):(у)-¥(г,)0
[*10-12] z>: ф (z, w) . \|f (z, w):.Dh. Prop
Это предложение, наряду с *10-14, не всегда значимо, когда его
гипотеза истинна. Предложение *11-13, наоборот, всегда значимо, когда его
гипотеза значима. По этой причине *11-13 всегда может быть без проблем
использовано при выводе, в то время как *11-14 может быть использовано
только в выводе (т.е. для действительного утверждения заключения, когда
утверждается гипотеза), если известно, что заключение значимо.
*11 2. Ь : (х,у). ф (х,у). = . (у>х). ф (*,у)
Доказательство.
Ь - *11-1. э Ь : (х, у). ф (х, у). э . ф (z, w) (1)
h . (1). *11-0711. э h:. (w, z): (x,y). ф (jc,у) . э . ф (z, w) (2)
h,(2),*lM2^tfey)-*fey)1-=>
P
h :. (x,y) . ф (*,у) . э . (w,z) . ф (z, w) (3)
Аналогично г :. (w, z). ф (z, w). :>. (;t, j). ф (х, у) (4)
Н.(3).(4).эН.Ргор
Заметим, что " (w, z). ф (z, w)" является тем же самым предложением,
что и "(у, jc). ф(;с,у)"; предложение не является функцией никакой
кажущейся переменной, которая в нее входит.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

230
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ КАЖУЩИХСЯ ПЕРЕМЕННЫХ
«1121. г: (х, у, z). ф (х, у, z) - =. Су, г, х). ф (х, у, г)
Доказательство.
[(«11-01-02)] V :: (jc, у, z). ф (х,у, z). s
[*11-2] =
[*11-2. «10-271] =
[(«11-01-02)] s
(х):.(у)#-(г).ф(х,у,г):.
(у):-С*):(г)-ф(х,у,г):.
00»(г):(х).ф(х,у,г):.
(у, г, х). ф (х,у, г):: э h - Prop
♦11-22. h : (gx,y) . ф (х,у) - = ■ ~ {(х,у) - - ф (х,у)}
Доказательство.
Ь «10-252 . Transp _ (*11-03). э
Ь : (а*,з0 - Ф (*,у) • = - ~ (W = ~ (ЗУ) - Ф (*>У)} -
[«10-252-271] = . ~ {(х) : (у). ~ ф (jc, у)}.
[(«11-01)] s . ~ {(*, у) . ~ ф (jc,?)} : э h . Prop
«11-23. h : (ajc, у) . ф (jc, у) . = - (gy. *) • Ф С*. У)
Доказательство.
h . «11-22 . э h : (ах, у) . ф (х,у) . = . ~ {(х,у) . - ф (х,у)}.
[«11-2 . IVansp] = . ~ (Су, х). ~ ф (х, у)}.
[(*П-22)] = .(зу,х).ф(х,у):эЬ.Ргор
«11-24. V:(ах,у,г).ф(х,y,z). = .(ay,z,x).ф(х,у,г)
Доказательство.
[(«1103-04)] Ь:: (ах, у, г). ф (х,у, z). г :. (дх):. (ду): (аг). ф (х,у, z):.
[♦11-23J = :. (ay):. (а*) = (3Z) - Ф (*, У, г):.
[«11-23 . «10-281] = :. (gy) :. (gZ) : (gjc) . ф (х,у, z) :.
[(«11-03-04)] = :. (ду, z, х) . ф (х, у, г) :: э h . Prop
«11-25. h : ~ {(дх,у). ф (х,у)}. = . (х,у). ~ ф (jc,y) [*ll-22.Transp]
«11-26. h :. (дх): (у) . ф (х, у): э : 00: (дх). ф (х, у)
Доказательство.
Ь . «10-1-28 . э h :. (ах) : (у). ф (х, у): э : (ах) . ф (х,у)
h.(l). «10-11-21. эЬ. Prop
(1)
Заметим, что обращение этого предложения ложно. Например, пусть
ф(х,у) будет пропозициональной функцией "Если у является правильной
дробью, то х есть правильная дробь, большая, чем у". В таком случае для
всех значений у мы имеем (дх). ф (х, у), так что (у): (Э*) • Ф (•*» У)
удовлетворяется. На самом деле, "(у): (3*)- Ф(*>У)" выражает предложение: "Если
у является правильной дробью, то всегда найдется правильная дробь,
превосходящая у". Однако (ах): (у) • Ф (х,у) выражает предложение: "Найдется
правильная дробь, которая больше, чем любая правильная дробь", которое
является ложным.
Principia Mathematica I

• 11. ТЕОРИЯ ДВУХ КАЖУЩИХСЯ ПЕРЕМЕННЫХ 231
*11-27. Ь :. (дх,у): (gz). ф (х, у, z): = : (gx): (gy, z). ф (x, у, z):
= :(gx,j,z)^Uj,z)
Доказательство.
h . *4-2 . (*ll-03). з
Ь » (Я*> )0#- (3z) - Ф (*, y, z): =:. (gx):_ (gj): (gz). ф {x, y, z) (1)
V. *4-2 . (*ll-03). э
Ь » (Я>0: (ЯО - ф (х, у, z): s : (gy, z). ф (х, у, z) (2)
Н.(2).*10-Ц.281.э
V :: (gjc):. (gy)#- (Я*) ■ Ф (*.* *) :- = » (Я*): (ЯУ. z). ф (*, у. z) (3)
Н.(1).(3).(*11-04).эН.Ргор
Все предложения *10 обладают аналогами, которые имеют место для
двух или более переменных. Наиболее важные из них доказываются далее.
*11-3. V :. р . э . (jc, у) . ф (х, у) : = : (х, у) : р . э . ф (jc, у) :
Доказательство.
h - *10-21 - э h :. р. э . (jc, у) > ф (jc, у) : = : (х) : р . э . (j) . ф (х, у) :
[*10-21-271] = : (х,у) : р. з . ф (х,у):. з Ь . Prop
«11-31. h :. (х, у) . ф (jc, у) : (jc, у) .у(х,у): = : (jc, у) : ф (х, у) _ у (х, у)
Здесь условия значимости правой части требуют, чтобы ф и у
принимали аргументы одного и того же типа.
Доказательство.
Ь . *10-22 . э Ь :: (jc,у) . ф (лс,у) : (х,;у) . у (x,y) :
= :. (х) :. Су) . ф Ос,;у) : (у) . \|/ (х, у) :.
[*10-22-271] = :. (jc, у) : ф (jc, у) . у (jc, у) :: э Ь . Prop
Доказательства большинства следующих предложений проводятся
точно так же, как и для *11-3-31: аналогичное предложение в *10 используется
дважды вместе с *1-27 или *10-271, или *10-28, или *10-281, в
зависимости от случая. Когда доказательства согласуются с этим образцом, то мы
будем просто указывать ссылки на использованные предложения.
*11-311. Если фЦс,;у), \\f(x,y) принимают аргументы одного и того же типа,
и мы имеем " h . ф (jc, у)и, " h . \\f (jc, у)", то мы будем иметь
" h . ф (jc, у). \|f (jc, у)". [Доказательство, как и в *1043].
*11-32. Ь :. (х, у) : ф (х, у) . э - у (jc, у) : э : (jc, у) . ф (jc, у) . э . (х,;у) . у (jc, у)
[*10-27]
*11-33. Ь :. (х,у) : ф (х,у) . = . у (х,у) : э : (*, j) . ф (jc,у) . = . (х,у) . \|/ (х, j)
[*10-271]
*11-34. h :. (x, j) : ф (х, у) . э . \}f (jc, j) : э :
(gjc, у). ф (х,у). э . (ajc,у). ¥ (*, у) [*Ю-27-28]
*11-341. h :. (х, у) : ф (jc, у) - = . у (дт, j) : э :
(Я^ У) - Ф (х*У) ■ s - (Я^ У) - ¥ (х, у) [*Ю-271-281]
*11-35. h :. U,j) : ф (х,у) . э . р : = : (Я^, ^) . ф (jc, j) . э . /? [*10-23-271]
*11-36. Н:ф(г,^).э.(ах>у)-ф(х>у)
Доказательство.
h . *11-1 > э h : (х, у) - ~ ф (jc, у) . э - ~ ф (z, w) (l)
h . (1) . Transp .Dh. Prop
*ll-37. h :: (x,y) : ф (x,y) . э . ^(x,j) :. (jc,j) : \}f (x,};) . э . x (x, j) :.
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

232
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ КАЖУЩИХСЯ ПЕРЕМЕННЫХ
э : (х,у) : ф (х,у) . э . X (*>>0
Доказательство.
В следующем логическом выводе "Нр" означает гипотезу
доказываемого предложения. Мы будем использовать это сокращение всегда, когда это
удобно, во всех случаях, когда доказываемое предложение является
гипотетичным, т.е. вида "pz>q". Аналогично "Нр (1)" будет означать "гипотеза
(1)" и т.д.
г . «11-31 . з г :: Нр . э :. (х,у):. ф (х,у) . э . \\г(х,у): \|/(х,у). э . х(х,у) (1)
г . Syll. «11-11 . э Ь :. (х,;у) :. ф (х,у) - э . \\г (х,у) : \\г (х,у) . э . х(*.з0 "•
[*11-32] э Ь:. (х, у) : ф (х, у) . э . у (х, у) : у (х, у) . э . х (х,;у) :
э : (х,;у) : ф (х, у) . => . х (*,з0 (2)
b.(l).(2).Syll.:>b.Prop
Приведенное здесь представляет собой тип доказательства, к которому
в дальнейшем приходится часто возвращаться. Доказательство, следующее
данному образцу, будут указываться только посредством номеров
использованных предложений.
«11-371. г :: (х, у) : ф (х, у) . = . у (х, у) :. (х, у) : У (*, 30 - = - X (*> 30 »
э :. (х,у) : ф (х,у) . = . х (х,у) [«11-3141-33]
«11-38. г :: (х, у) : ф (х,;у) . э . x\f (х, у) :. э :. (х, у) : ф (х,у) . х (*.з0 - => -
V(*.3»-X(*.3» Pact. *ll-ll-32]
«11-39. г :: (х, у) : ф (х, у) . э . \|f (х, у) :. (х, у) : х (х,у) . э . 0 (х, у) :. э :.
(х, у) : ф (х, y).XM.D.\|f (х, у) - 6 (х, у) [*3-47 . «1М1-32]
«11-391. г :: (х, у) : ф (х, у) . э . \|/ (х, у) :. (х, у) : ф (х, у) . э . х (х, у) :.
= : (х,;у) : ф (х, у) . э . у (х, у) . х (*.з0
Доказательство.
г . «4-76 . э h :. ф (х,у) . э . у (х, у) : ф (х,у) . э . х(х,у) :
s : ф (х,;у) . э . \\f (х, у) . X (х, у) :.
[«11-11-33] э г :. (х, у) : ф (х, у) . э . у (х, у) : ф (х, у) . э . х (х, у) :
'= : (х,у) : ф(х,у) . э . \\f(x, у) .%(х,у) ::
[*11-31] э г :: (х,у) : ф (х,у) . э . у (х,;у) :. (х,;у) : ф (х,у) . э . х(х,у) :.
ее : (х,у) : ф (х, j) . э . \}f (x, j) . %(х,у) ::
э h . Prop
«11-4. г :: (х, j) : ф (x,j) . = . \|f (x, j) :. (x,j) : х (х, у) . = . 9 (х, j) :. э :.
(х, j) : ф (х, у) -х(х,У)- = -У(х,у).в (х,у)
Доказательство.
г - «11-31 . э h :: Нр . э :. (х,у) :. ф (х,у) . = . у (х,у) : х (х,у) . = . Э (х,у) :.
[«4-38 . «11-11-32] э :. (х,з0 : ф(х,у) -Х(х,у) т = .у{х,у) - 9(х,у) ::
э h . Prop
«11-401. h :: (х, у) : ф (х, у) . = . у (х, у) : э :. (x,j) :
у
Ф (*,}0 - X&,у). = . \\г (х,у). х(х,у) [*И-4£ - Id]
«11-41. I-:. (gx, j) . ф (х, у) : V : (gx, j) . \|/ (х, j) : = : (gx, j) :
ф (х, у). V . \|/ (х, j) [«10-42-281]
Principia Mathematica I

• 11. ТЕОРИЯ ДВУХ КАЖУЩИХСЯ ПЕРЕМЕННЫХ
233
♦11 42. Ь :. fax,у). ф (х, у). у (л, у). з: (g*, у). ф (л, у): (g*, у). у (*, у)
«11-421. h :. (x,у) . ф Uj) . V . (*,y) . \|/ (*,y) : э : (x,y) : ф Uj) . V . \|/ (x,y)
~ф,~\|/
[♦10-5]
[♦11-42-
Ф, V
Transp. *4-56]
♦11 43. h :. (gjc,y): ф (x,y). э . p: s : (jc, y). ф (jc, у). э . р [♦10-34-281]
♦11-44. Ь :. (jc, у) : ф (jc,y) . V . р: s : (jc,y) . ф (jc,y) . V . р [♦10-2-271]
♦11 45. Ь :. (gjc,y): р. ф С*,у): s : р: (д*. у). ф (*, у) [♦10-35-281]
♦11-46. Ь :. (gjc, у) : р . э . ф (jc,y) : = : Р - => - fax, у) . ф (х,у) [♦10-37-281]
♦11-47. Н:.(х>у):р.ф(х>у): = :р:(дс>у).ф(х>у) [*10-33-271]
*11-5. Ь :. fax) : ~ {(у) - Ф U, у)}: = : ~ {(*, у) • Ф (*, у)} • = ' fax, У) • ~ Ф (■*> >0
Доказательство.
К*10-253. эН:.(дх):~{(у).ф(*,у)}: = :~{(*):(у).ф(*,у)}:
[(*11-01)1 = :~{(*,у).ф(*,У»
Ь . *10-253 . э Ь : ~ {(у) . ф (*,у)}: s : (ду) - - Ф (*,у) :
[♦10-11-281] э Ь :. (gjc) : - {(у) . ф (х,у)}: = • fax) : fay) . ~ ф (*,у) :
[(*11-оз)] = :(а*.зО-~Ф(*,у)
Ь . (1). (2). э h . Prop
♦11-51. h :. (ддс) : (у) . ф (х,у) : = : ~ {(*) : (ду) . ~ ф (*,у)}
Доказательство.
~[(*):~(у).ф(*,У)]
(азО-~Ф(*.зО"
(*)2(азО-~Ф(*>у)-
{М:(азО-~Ф(*.У»
Ь . *10-252 . Transp . э Ь :. (дjc) : (у) - ф (jc, у): =
[-.♦10-253. э Ь : - (у) . ф (jc, у) : =
[♦10-11-271] э Ь :. (jc) : - (у) . ф (jc,y) : =
[Transp] э Ь :. ~ [(*) : ~ {(у) ■ Ф (х, у)}]. =
Н.(1).(2).эН.Ргор
♦11-52. h :. (дл\у) . ф (х,у) . \\г (х,у) . = . ~ {(х,у) : ф (х,у) . э . - у (х,у)}
Доказательство.
Ь . ♦4-51-62 . э
Ь:. ~ {ф (х,у) . \\г (х,у)}. = : ф (л\у) . э - ~ у (л,у)
Н. (1) .*ll-ll-33.z>
Ь :. (х,у) . ~ {ф (х,у) . \|/ U,y)}: = : (л\у) : ф (х,у) . э . -^(л\у)
h : (2) . Transp . ^H-22 . э h . Prop
♦11-521. h :. ~ (а^,у) • Ф (*,у) . - У (х,у) : = : (л\у) : ф U,y) . э . ^ (х,у)
[♦11-52. Transp. ^^ ]
♦11-53. h :. (л:, у) . фл: z> \|fy. = : (а*) . фх. э . (у) . \|fy
Доказательство.
h . ♦10-21-271. э h :. (jc, у) . фх э \|/у. = : (х) : фд:. э . (у) . \}fy:
[♦10-23] = : (gjc). фх. э . (у). \|/у:. э h . Prop
♦11-54. h :. (а^,у) • Ф* - УУ - = = fax) . фх: (ау) - УУ
Доказательство.
h . ♦Ю-Зб. z> h :. (ay) - фх. \|fy. = : фх: (ay) - УУ :-
[♦10-11-281] э Ь :. (а^,У) . фх. \}fy . = : (а^) : фх: (ду) . уу:
[♦10-35] = : (gjc). фд:: (ду). \\гу:. э h . Prop
Это предложение весьма часто используется.
(1)
(2)
(1)
(2)
(1)
(2)
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

234
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ КАЖУЩИХСЯ ПЕРЕМЕННЫХ
*11-55. Ь :. (дх, у) . фх. \\г (х, у). =: (дх) > фх: (gy) . у (л, у)
Доказательство.
Ь.*10-35. эЬ:.(ду).фх>у(х,у). = : фх: (ду).у(х,у) »
[*10-11] Dh:.(i):. (ду) . фх. \\f (х, у). = : фх: (ду). у (х, у) :_
[*10-281] э Ь:. (дх): (ду). фх. у (х, у). = : (дх): фх: (ду). \|/ (х, у):
Это предложение весьма часто используется.
*11-56. h :. (х) - фх: (у) . \\fy : = : (х,у) . фх. уу
Доказательство.
Ь . *10-33 . э Ь :: (х). фх: (у). уу :
h . *10-33 . э Ь:. фх: (у) . \|/у :
[*10-11] э Ь:. (х) :. фх: (у) . \|/у:
[*10-271] э Ь :: (jc) :. фх: (у) . \|/у:.
[(•И-01)]
Ь.(1).(2).эЬ.Ргор
ее:. (х):.фх:(у)-\|гу
= : (у) . фх. уу:.
= :(у).фх-\|/у:.
= : (х) : (у) . фх - \\fy:
= :(х,у)_фх.уу
oh. Prop
(1)
(2)
*11-57. Ь : (x). фх. = . (х,у). фх. фу [*11-56 _ *4-24]
Применение *4-24 зависит здесь от того факта, что (х). фх и (у). фу
представляют собой одно и то же предложение.
*11-58. Ь:(дх).фх. = .(дх,у).фх.фу [*11-54. *4-24]
*11-59. h г.фх.э^.ух: = : фх. ф у. z>Xty . \j/ x. \|fy
Доказательство.
Ь . *11-57 . :эЬ :.фх. гэ^.ух: = : (х,у): фх. э .ух: фу. э . уу :
[*3-47 . *11-32] э : (х, у) : фх. ф у. э . \|f х. \|fy (l)
К *11-1 . эЬ:. (х,у):фх.фу.э.\^х>\|/у:э:фх.фу . z> . \\f x. \\fy (2)
h . (2) у . *4-24 . э Ь :. Нр (2) . э : фх. э . у х
h.(3),
. \|/ х. \|fy: z> : фх. z>jc . \|f x
(3)
(4)
,*10-11-21.э
Ь:.(х,у):фх.фу.
h.(l).(4).z>h.Prop
*11 6. h :: (дх):. (ду). ф (х,у) _ \|/у: %х:_ = :. (ду):. (дх). ф (х,у) _ х*= ¥У
Это предложение очень часто используется в последующих
доказательствах.
Доказательство.
Ь . *10-35 . э Ь :. (gy). ф (х,у). уу: хх: = : (gy): ф (х,у) . \|/у. х* »
[*1011281] эЬ::(дх):.(ду).ф(х,у).\|/у:хх:
= =>(Э*) » (Я?) • Ф (■*, У) • *У • X*:-
[*11-23] = :. (ду) :. (дх) . ф (х,у) . уу . х*=-
[*11-341. Perm] =:. (ду):. (дх). ф (х,у). %х. \\гу:.
[*10-35-281] = :. (ду):. (дх). ф (х, у). ух: уу:: э Ь . Prop
«11-61. h :- (ду) : фх. э* _ у (х, у) : z>: фх. z>x . (ду) . \|/ (х, у)
Доказательство.
h . *11-26 . э h :: Нр . з :. (х) :. (ду) : фх. э . \|f (х, у) (1)
Ь . *10-37 . э V :. (ду) - фх. э . \|/ (х,у): э : фх > э . (ду). \|/ (х,у):.
[*10-11-27] э Ь :: (х) :. (ду) : фх _ э . \\f (х,у) :. э :. (х) : фх. э . (ду) _ у (х,у) (2)
h . (1). (2). з Ь. Prop
Principia Mathematica I

♦ 11. ТЕОРИЯ ДВУХ КАЖУЩИХСЯ ПЕРЕМЕННЫХ
235
*11-62. Ь :: фх.у (х,у) . 1>ХчУ . %(Х>У) : = » Ф*- =>* -V(x,y) - ^-XUj)
Доказательство.
Ь . *4-87 . *1М1-33 - э
Ь :: фх. \\f (х,у) . э^ . х (Х>У) '• = '•• (Х>У) :- Ф* • => : ¥(*> }0 • => ■ X С*,}0
[*10-2М1-271] = :. (jc) :. фх - э : (у) : у (*,}>) • => • %(х,у) --
э г . Prop
*11-63. Ь :. ~ (ад:, у) . ф (*, у) . э : ф (*, у) . э^ . у (х, у)
Доказательство.
К*2-21 >*11-11 . эЬ:. (х,у) :. ~ ф (х,у) . z> : ф (х,у) . z> .у (х,у) :.
[*11-32] э Ь :. (х,у) . ~ ф (х,у) . э : (х,у) : ф (х, у) . э . у (х,у) :-
[*11-25] э Ь :. ~ (gx, у) . ф (х, у). э : (дг,у) : ф (х, у). э . у (х,у):.
г> г . Prop
*11-7. h :. ~ (а*,?): ф (*,у). V . ф (у, х) : = . (a*, у). ф (х,у)
Доказательство.
Ь . *11-41 - э h :. (gд:, у) : ф (*,у) . V . ф (у,х) :
' (a^j) - Ф (х,у). V . (д*, у). ф (у, х):
*
11-23] = : (ах, у) . ф (х, у) . V . (ду, х). ф (у, х) :
[*4-25] = : (ах, у) . ф (х, у) :> э Ь . Prop
В последней строке данного выше доказательства используется тот
факт, что
(а*.зО-Ф(*>зО и (ау, *). Ф (у, *)
являются одним и тем же предложением.
Первое применение следующего предложения встречается в
доказательстве *234-12. Его пригодность основывается на том, что оно позволяет нам
перейти от гипотезы
фг. %w. z>ZtW . yz. 6w,
содержащей две кажущихся переменных, к произведению двух гипотез,
каждая из которых содержит лишь одну.
*11-71. Ь :: (а г). фг: (3™) • Xw '• э :-
фг - =>z. \|/z: xw - =>w • ©w: =: фг. xw • =>z,h>. yz. 9w
Доказательство.
г - *10-1 > *3-47 - :э Ь :. фг. =>z . yz: x™ - ^w - 6w =
:>: фг - xw - => - yz - 6vv
h - (1) - *ll-ll-3 . э h :. фг. =>z. yz: x™ • =>w • 6w:
z>: фг. x™ • =>z,w - ¥^ - 6w
г . *10-1 . z> h :: фг - x^ - ^.w - VZ. 6w: :> :. фг - Xw ■ 3w - W • ^w:.
[*10-28] :> :- (aw) - фг. x^ - => - (3w) - VZ - 0vv :-
[*10-35] z>:. фг: (a1^) • Xw'- ^ : ¥^: (aw) ■ ^w
(3)
г - (3). Comm. *3-26 . z> h :: (gw). xw: z>:. фг - yyv. z>z>M,. \\fz - 6w:
э : фг. :> - yz (4)
г - (4) > *10-11-21 . z> h :: (a^7) • X^: э :- Ф^ • Xw • ^z.w - \|/Z - 6w:
э : фг. эг. \|fz (5)
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

236
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ КАЖУЩИХСЯ ПЕРЕМЕННЫХ
Аналогично h :: (gz) - фг: z>:. фг. yw. z>ZtW. yz • 6vv:
:э : x>v. dw . 0w (6)
h . (5). (6). *3-47 . Comp. э
h :: Hp . э :. фг . %w > z>z>vt,. yz. Ow: :э : ф z - z>2. \\fz: X™ - ^ - ®w (7)
h . (2). (7) . э h . Prop
Principia Mathematica I

*12. ИЕРАРХИЯ ТИПОВ И АКСИОМА СВОДИМОСТИ
237
*12. Иерархия типов и аксиома сводимости
Примитивное понятие " (х). фх" было объяснено в смысле " фх всегда
истинна", т.е. "все значения фх есть истина". Но какой бы ни была
функция ф, будут существовать такие аргументы х, для которых ф*
бессмысленна, т.е. с такими аргументами ф не имеет никакого значения.
Аргументы, с которыми ф* имеет значения, формируют то, что мы называем
"областью значимости" функции фх. " Тгт" определяется как область
значимости некоторой функции. В силу *9-14, если ф*, фу и \\гх являются
значимыми, т.е. истинны или ложны, то такова и уу. Из этого следует,
что два типа, которые имеют общий элемент, совпадают, и что два
различных типа взаимно исключительны. Любое предложение вида (х). фх,
т.е. любое предложение, содержащее кажущуюся переменную,
детерминирует некоторый тип как область значений кажущейся переменной, этот тип
фиксируется функцией ф.
Деление объектов на типы вызвано заблуждениями порочного круга,
которые в противном случае171 возникают172. Эти заблуждения
показывают, что не должно существовать тотальностей, которые, если они
претендуют на то, чтобы быть легитимными, содержат элементы,
определенные в терминах самих себя. Следовательно, любое выражение,
содержащее кажущуюся переменную, не должно принадлежать области значений
этой переменной, т.е. должно принадлежать другому типу. Таким образом,
кажущаяся переменная, содержащаяся или подразумевающаяся в
выражении, есть то, что детерминирует его тип. Этим принципом мы и будем
руководствоваться далее.
Как объяснено в *9, предложения, содержащие переменные,
генерируются из пропозициональных функций, которые не содержат этих кажущихся
переменных, с помощью процесса утверждения всех или некоторых
значений таких функций. Положим, что фа есть предложение, содержащее а\
мы дадим имя обобщение процессу, который трансформирует фа в (х). фх
или (дх). фх, и мы будем называть обобщенными предложениями все
таковые, содержащие кажущиеся переменные. Ясно, что предложения,
содержащие кажущиеся переменные, предполагают существование других
предложений, не содержащих кажущихся переменных, из которых они могут
быть получены с помощью процедуры обобщения. Предложения, которые
не содержат кажущихся переменных, мы называем элементарными
предложениями1™, а термы таких предложений, отличные от функций, будем
называть индивидами. Тогда индивиды формируют первый тип.
На практике нет необходимости знать, какие объекты принадлежат
самому низшему типу, и даже не валено, является ли низший тип
переменных, встречающихся в данном контексте, таковым от индивидов или от
чего-либо другого. На практике лишь относительные типы переменных
являются релевантными; таким образом, низший тип, встречающийся в дан-
171 Т.е. при отказе от деления на типы. — Прим. ред.
172 Ср. Введение, глава П.
173 Ср. с. 170, 171.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

238
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ КАЖУЩИХСЯ ПЕРЕМЕННЫХ
ном контексте, может быть назван таковым от индивидов, до тех пор пока
дело касается только этого контекста. Соответственно, приведенное выше
описание индивидов не существенно для истинности того, что следует; все,
что является существенным, это способ, с помощью которого другие типы
генерируются из индивидов, каким бы ни устанавливался их тип.
Применяя процесс обобщения к индивидам, входящим в элементарные
предложения, мы получаем новые предложения. Для законности этого
процесса требуется только то, чтобы ни один из индивидов не был
предложением. Это так, поскольку гарантируется смыслом, который мы
придаем самому слову индивид. Мы можем пояснить, что индивид есть нечто,
что существует само по себе; в таком случае очевидно, что он не является
предложением, поскольку предложения, как было объяснено в главе II
Введения (с. 116), представляют собой неполные символы, не имеющие
отдельного значения, а приобретающие таковое при их использовании.
Следовательно, применяя процесс обобщения к индивидам, мы не рискуем навлечь
тем самым рефлексивные заблуждения. Мы будем давать имя
предложения первого порядка таким предложениям, которые содержат одну или
более кажущихся переменных, чьи возможные значения есть индивиды, и не
содержат никаких других кажущихся переменных. Предложения первого
порядка не все принадлежат одному и тому же типу, поскольку, как было
объяснено в *9, два предложения, которые не содержат одно и то же число
кажущихся переменных, не могут принадлежать одному и тому же типу.
Благодаря систематической неопределенности отрицания и дизъюнкции, их
типовые различия на практике обычно могут быть проигнорированы. Не
будет возникать ни одного рефлексивного заблуждениям, так как ни одно
предложение первого порядка не вовлекает ни одной тотальности,
исключая тотальность индивидов.
Обозначим посредством "ф!х" или "(f>!(Jc,;y)" и т.д. элементарную
функцию, чей аргумент или аргументы являются индивидами. Мы будем
называть подобную функцию предикативной функцией от индивида. Подобные
функции, наряду с таковыми, выведенными из них посредством обобщения,
будут называться функциями первого порядка На практике, не рискуя
навлечь рефлексивные заблуждения, мы можем трактовать функции первого
порядка как тип, так как единственная тотальность, которую они
генерируют, есть таковая от индивидов, и, ввиду систематической неопределенности
отрицания и дизъюнкции, любая функция первого порядка, которая будет
встречаться, будет значимой, какая бы функция первого порядка ни была
бы взята в качестве аргумента, при условии, что придается правильный
смысл используемым отрицаниям и дизъюнкциям.
Ради ясности изложения мы повторим в некоторых других терминах
наше представление о том, что подразумевается понятием функции
первого порядка. Давайте дадим имя матрица любой функции любого
количества переменных, которая не содержит кажущихся переменных. Тогда
любая возможная функция, отличная от матрицы, выводится из матрицы
посредством процедуры обобщения, т.е. посредством рассмотрения
предложения, которое утверждает, что рассматриваемая функция истинна при
Principia Mathematica I

*12. ИЕРАРХИЯ ТИПОВ И АКСИОМА СВОДИМОСТИ
239
всех возможных значениях либо при некоторых значениях одного из
аргументов, при условии, что оставшиеся аргумент или аргументы остаются
неопределенными. Поэтому, например, из функции ф(х,;у) мы имеем
возможность вывести следующие четыре функции;
(х). ф (х, у\ (а х). ф (х, у), (у). ф (х, у), (а?). ф (дс, у),
первые две из которых являются функциями у, а две последние —
функциями х. (Все предложения, за исключением таких, которые являются
значениями матриц, также выводятся из матриц посредством описанного выше
процесса обобщения. С целью получения предложения из матрицы,
содержащей п переменных, не предписывая значений никакой из переменных,
необходимо трансформировать все переменные в кажущиеся переменные.
Таким образом, если §(х,у) есть матрица, то (х,у). §(х,у) является
предложением.) Мы дадим имя матрицы первого порядка таковым, аргументы
которых являются индивидами, и дадим имя функции первого порядка (от
любого числа переменных) таковым, которые либо являются матрицами
первого порядка, либо выводятся из матриц первого порядка посредством
обобщения, примененного к некоторым (а не всем) из аргументов этих
матриц. Предложения первого порядка будут результатом применения
процедуры обобщения ко всем аргументам матрицы первого порядка.
Как мы уже говорили, обозначение "ф!2" используется для любой
элементарной функции одной переменной. Поэтому "ф!х" представляет любое
значение любой элементарной функции любой переменной. В дальнейшем
будет видно, что "ф!д:" является функцией двух переменных, а именно ф!2
и х. Поскольку она не содержит кажущейся переменной, то это матрица,
однако так как она содержит переменную (именно ф!2), которая не
является индивидом, то она не будет матрицей первого порядка. То же самое
применимо к ф!я, где а есть некоторая определенная постоянная. Мы
можем построить несколько новых матриц, таких как
~ф!я, ~ф!х, ф!хУ фГу, §\хУлу\х, fylxVyly,
ф!х.:э.\у!;с, ф!х.у!;с, ф!хV\\r\yV%\z, и т.д.
Все это есть матрицы, которые среди своих аргументов включают
функции первого порядка. Подобные матрицы мы будем называть матрицами
второго порядка. Из этих матриц, применяя процедуру обобщения к их
аргументам, независимо от того, являются ли они функциями или (если они
вообще имеются) индивидами, мы получим новые функции или
предложения. Такие функции (вместе с матрицами второго порядка) будут
называться функциями второго порядка, а подобные предложения будут
называться предложениями второго порядка. Поэтому мы приходим к следующим
определениям:
Матрица второго порядка есть матрица, которая среди своих
аргументов имеет, по крайней мере, одну матрицу первого порядка и не имеет ни
одного аргумента, отличного от матриц первого порядка и индивидов.
Функция второго порядка есть функция, которая представляет собой
либо матрицу второго порядка, либо происходит из таковой в результате
применения процедуры обобщения к некоторым (но не всем) аргументам
матрицы второго порядка.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

240
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ КАЖУЩИХСЯ ПЕРЕМЕННЫХ
Предложение второго порядка есть предложение, которое происходит
из матрицы второго порядка посредством применения процедуры
обобщения ко всем ее аргументам.
В дополнение к данным выше примерам матриц второго порядка мы
можем дать следующие примеры функций второго порядка:
(1) Функции, у которых единственный аргумент есть ф!2: (jc) . ф!х,
g • ф!*, ф!я.:э.ф!Ь, где а и Ь есть постоянные; ф!х. z>x -g!jt, где g\z есть
постоянная функция; и т.д.
(2)Функции, в которых аргументами являются ф!2 и \\f\z:
ф! лг.э^.у! jc, ф ! х. =х .\|f! jc, (gjc). фх.ух, ф!я. э.у!Ь,
где а и b есть постоянные, и т.д.
(3) Функции, у которых единственный аргумент есть индивид jc:
(ф).ф!;с, (зф).ф!х, ф!х.Эф.ф!а, где а есть постоянная, и т.д.
(4) Функции, у которых аргументы есть ф!2 и jc: ф!;с, ф!;с.:э.ф!я, где
а есть постоянная; (ду): ф!х. = . у!*; и т.д.
Примеры функций второго порядка могли бы быть умножены до
бесконечности, однако данного выше, по-видимому, достаточно для
иллюстративных целей.
Матрица второго порядка одной переменной будет называться
предикативной функцией второго порядка одной переменной или
предикативной функцией матрицы второго порядка. Таким образом ф!я, ~ ф!я и
ф!я.:э.ф!Ь есть предикативные функции от ф!£. Аналогично функция
нескольких переменных, по крайней мере, одна из которых есть матрица
первого порядка, а остальные являются либо индивидами, либо матрицами
первого порядка, будет называться предикативной^ если она представляет
собой матрицу.
В дальнейшем будет видно, однако, что функция второго порядка
может иметь в качестве своих аргументов лишь индивиды; примеры были
даны выше под номером (3). Подобные функции мы не будем называть
предикативными, так как предикативные функции индивидов уже были
определены как функции первого порядка. Таким образом, порядок
функции не детерминируется посредством порядка ее аргумента или
аргументов; на самом деле функция может быть любого порядка, превосходящего
порядок или порядки ее аргументов.
Переменная матрица, чей аргумент есть ф!2, будет обозначаться как
/!ф!£ и вообще матрица, аргументами которой являются ф!2, \\f\z, ..., jc,
у, ... (где среди аргументов найдется, по крайней мере, одна функция),
будет обозначаться через
/! (ф!2,у!z,...х,;у,...).
Такая матрица не является матрицей ни первого, ни второго порядков, так
как она содержит новую переменную /, значения которой представляют
собой матрицы второго порядка. Перейдем к построению новых матриц так
же, как мы проделали это с матрицей ф!х; тем самым образуется
матрица третьего порядка. Они вместе с функциями, выведенными из них
Principia Mathematica I

*12. ИЕРАРХИЯ ТИПОВ И АКСИОМА СВОДИМОСТИ
241
посредством обобщения, называются функциями третьего порядка, а
предложения, выведенные из матриц третьего порядка посредством обобщения,
называются предложениями третьего порядка.
Следуя этим путем, мы можем продолжать до бесконечности, переходя
к матрицам, функциям и предложениям все более высоких порядков. Мы
вводим следующее определение:
Говорят, что функция предикативна, когда она есть матрица.
Будет отмечено, что в иерархии, в которой все переменные есть индивиды
или матрицы, матрица есть то же самое, что и элементарная функция
(ср. с. 203, 204).
"Матрица" или "предикативная функция" есть примитивное понятие.
Тот факт, что функция предикативна, указывается, как и выше,
посредством восклицательного знака после буквы, обозначающей функцию.
Переменные, встречающиеся в данной работе с этого места и далее, все
будут либо индивидами, либо матрицами некоторого порядка в данной
выше иерархии. Предложения, которые встречались до этого места в
качестве переменных, не будут больше встречаться в таком качестве, исключая
несколько изолированных случаев, которые в последующем изложении
использоваться не будут. На практике по причинам, разъясненным на с. 238,
функция матрицы может допускать любой аргумент, который
представляет собой функцию того же самого порядка и принимает аргументы того
же самого типа.
На практике нам никогда не нужно знать абсолютные типы наших
переменных, а лишь только их относительные типы. Т.е. если мы
доказываем какое-либо предложение при предположении, что одна из наших
переменных есть индивид, а другая — функция порядка л, то доказательство
по-прежнему будет иметь место, если вместо индивида мы возьмем
функцию порядка га, и вместо нашей функции порядка п мы возьмем функцию
порядка п + т с соответствующими изменениями для всех остальных
переменных, которые могут быть задействованы. Это происходит от принятого
нами допущения, что наши примитивные предложения применимы к
переменным любого порядка.
Мы будем использовать строчные латинские буквы (отличные от /?, #,
г, s) для переменных самого низкого типа, встречающихся в любом
контексте. Для функций мы будем использовать буквы ф, \|/, х> ®, /> g, F
(исключая более позднюю стадию, когда символ F будет определен как
постоянное отношение, а 9 —как порядковый тип континуума).
Позднее мы разъясним другую, более удобную на практике иерархию,
иерархию классов и отношений, которая выводится из функциональной
иерархии, приведенной выше.
Когда любая предикативная функция, скажем ф!2, встречается в
качестве кажущейся переменной, было бы гораздо правильнее указать этот
факт, помещая "(ф!£)" перед тем, что за ним следует, как в: "(ф!2) -/(ф!2)".
Однако, во имя краткости, мы будем писать просто "(ф)" вместо "(ф!2)".
Поскольку то, что следует за ф в скобках, всегда должно содержать ф
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

242
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ КАЖУЩИХСЯ ПЕРЕМЕННЫХ
с данными аргументами, то никакого недоразумения от этого происходить
не будет.
Следует отметить, что в силу того способа, которым была
сгенерирована иерархия функций, непредикативные функции всегда происходят от
таковых, являющихся предикативными, посредством процедуры обобщения.
Следовательно, нет необходимости вводить специальное обозначение для
непредикативных функций данного порядка, принимающих аргументы
заданного порядка. Например, функции второго порядка индивида х всегда
выводятся с помощью обобщения из матрицы
fl(<blz,vlz,...x,y,z,...),
где функции /, ф, у, ... предикативны. Поэтому возможно без потери
общности не использовать кажущиеся переменные, исключая такие, которые
являются предикативными.
Однако мы требуем средства для символического представления
функции, чей порядок не предписан. Мы будем использовать "флс" или "/(Х-2)"
и т.д., чтобы выразить функцию (ф или /), чей порядок по отношению
к ее аргументам не задан. Такая функция не может быть
преобразована в кажущуюся переменную, если мы не предполагаем, что ее порядок
был фиксирован ранее. Так как единственная цель этого обозначения —
избежать необходимости фиксирования порядка, то подобная функция не
будет использоваться в качестве кажущейся переменной; так будут
использоваться лишь предикативные функции, потому что, как мы только что
видели, это ограничение не связано с потерей общности.
Мы должны сейчас сформулировать и разъяснить аксиому сводимости.
Важно заметить, что поскольку существуют различные типы
предложений и функций, и так как процедура обобщения может применяться
лишь в пределах некоторого одного типа (или, в силу систематической
неопределенности, в пределах некоторого правильно определенного и
завершенного множества типов), то все обороты речи, ссылающиеся на "все
предложения" или "все функции", или на "некоторое
(недетерминированное) предложение", или на "некоторую (недетерминированную) функцию",
представляют собой prima facie бессмысленность, хотя в некоторых
случаях они приобретают способность интерпретироваться без каких-либо
возражений. Противоречия проистекают от использования подобных оборотов
речи в случаях, когда не может быть обнаружен не причиняющий вреда
смысл174.
Если математика как наука возможна, то абсолютно необходимо (как
было объяснено в главе II Введения), чтобы мы обладали некоторым
методом формулировки того, что будет обычно эквивалентно тому, что мы
имеем в мыслях, когда мы (неточно) говорим о "всех свойствах jc". ("Свойство
jc" может быть определено как пропозициональная функция,
удовлетворяемая jc.) Следовательно, мы должны найти, по возможности, некоторый
метод сокращения порядка пропозициональной функции, не влияя на
истинность или ложность ее значений. По-видимому, это как раз то, что
174 В оригинале — where no innocent meaning can be found. — Прим. перев.
Principia Mathematica I

*12. ИЕРАРХИЯ ТИПОВ И АКСИОМА СВОДИМОСТИ
243
здравый смысл делает, принимая классы. Предполагается, что любая
данная пропозициональная функция \рх какого-либо порядка эквивалентна для
всех значений х утверждению вида "jc принадлежит классу а".
Предполагая, что существует такая сущность, как класс а, это утверждение будет
утверждением первого порядка, поскольку оно не содержит намека на
произвольную функцию. На самом деле то, что указанное предложение имеет
первый порядок, является лишь практическим преимуществом по
сравнению с исходным утверждением \\fx. Нет никаких преимуществ в
допущении того, что в действительности существуют такие объекты, как классы,
а противоречие о классах, которые не являются элементами самих себя,
показывает, что если классы все-таки существуют, они должны быть чем-то,
радикально отличающимся от индивидов. Могло бы показаться, что
единственная цель, которой служат классы, и одна из главных причин, которая
делает их удобными лингвистически, есть то, что они обеспечивают метод
понижения порядка пропозициональной функции. Мы не будем поэтому
допускать ничего такого, что могло бы включаться в допущении здравым
рассудком классов, исключая то, что каждая пропозициональная функция
эквивалентна для всех ее значений некоторой предикативной функции того
же самого аргумента или аргументов.
Это предположение, касающееся функций, будет делаться, каким бы ни
был тип их аргументов. Пусть fu есть функция любого порядка
аргумента и, который может сам по себе быть либо индивидом, либо функцией
любого порядка. Если / — матрица, то мы пишем функцию в форме /! щ
в таком случае мы называем / предикативной функцией. Таким образом,
предикативная функция индивида есть функция первого порядка; для
более высоких типов аргументов предикативные функции занимают то место,
которое функции первого порядка занимают по отношению к индивидам.
Мы предполагаем далее, что каждая функция одной переменной
эквивалентна для всех ее значений некоторой предикативной функции того же
самого аргумента- Это допущение представляет собой существо обычной
гипотезы о классах; во всяком случае, оно сохраняет столь много от
понятия класса, сколько нам необходимо для любого его применения, и столь
мало для того, чтобы избежать противоречий, которые признание
классов, в меньшей степени вызывающее возражения, необходимо влечет за
собой175. Мы будем называть это предположение аксиомой классов или
аксиомой сводимости.
Мы должны допустить также, что каждая функция двух переменных
эквивалентна для всех своих значений некоторой предикативной функции
этих переменных, т.е. некоторой матрице. Это допущение есть то, что мы
имеем в виду, говоря, что любое утверждение о двух переменных
определяет отношение между ними. Мы будем называть это допущение аксиомой
отношений или (аналогично предыдущей аксиоме) аксиомой сводимости.
При рассмотрении отношений между более чем двумя термами нам
понадобится такое же допущение для трех, четырех, ... переменных. Но все
175 В оригинале — the contradictions which is less grudging admission of classes is apt to
entail. — Прим. перев.
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

244
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ КАЖУЩИХСЯ ПЕРЕМЕННЫХ
эти допущения не являются необходимыми для нашей цели и поэтому не
будут сделаны в данной работе.
Выраженные в символах, две формы аксиомы сводимости представляют
собой следующее:
*121. Ь:(з/):фд;.=*_/!* ?Р
*12 11. Ыз/):фи,У)-^.Я (*,)>) Рр
Мы называем две функции ф£, ух формально эквивалентными, когда
фх > =х . \\f jc, и также мы называем ф (х, у) и \\f (х, у) формально
эквивалентными, когда
^>(x,y).=Xty.\\f(x,y).
Таким образом, приведенные выше аксиомы гласят, что любая функция
одной или двух переменных формально эквивалентна некоторой
предикативной функции одной или двух переменных соответственно случаю.
Из приведенных выше аксиом первая главным образом понадобится
в теории классов (*20), а вторая — в теории отношений (*21). Первая
также является существенной в теории тождества, если мы хотим определить
тождество (как мы сделали в * 13-01); ее использование в теории тождества
содержится ниже, в доказательстве * 13-101.
Мы можем просуммировать то, что была сказано в данном параграфе,
следующим образом:
(1) Функция первого порядка есть функция, которая не содержит
переменных, исключая индивиды, не важно в форме ли кажущихся
переменных или в форме аргументов.
(2) Функция (и + 1)-го порядка есть функция, у которой имеется
хотя бы один аргумент или кажущаяся переменная порядка л, и которая
не содержит аргументов или кажущихся переменных, не являющихся
либо индивидом, либо функцией первого порядка, либо функцией второго
порядка, либо ..., либо функцией порядка п.
(3) Предикативная функция есть функция, которая не содержит
кажущихся переменных, т.е. является матрицей. Возможно также без потери
общности не использовать другие переменные, за исключением матриц и
индивидов, пока переменные предложения не требуются.
(4) Любая функция одного или двух аргументов формально
эквивалентна некоторой предикативной функции того же самого аргумента или
аргументов.
Principia Mathematica I

*13. ТОЖДЕСТВО
245
*13. Тождество
Краткое содержание *13.
Пропозициональная функция "х тождественно у" будет записываться
как "jc = у. В дальнейшем мы обнаружим, что подобное использование
знака равенства включает все наиболее распространенные случаи
использования равенства, которые встречаются в математике. Определение равенства
таково:
*13-01. х = у. = :(ф):ф!д;.:э.ф!;у Df
Данное определение означает, что х и у будут называться
тождественными, когда каждая предикативная функция, которая удовлетворяется х,
также удовлетворяется у. Мы не можем утверждать, что каждая
функция, которая удовлетворяется jc, также будет удовлетворяться у, так как
х удовлетворяет функциям различных порядков, а они не могут все
охватываться одной кажущейся переменной 176. Однако, в силу аксиомы
сводимости, следует, что если х = у и х удовлетворяет \|fjc, где у — любая
функция, предикативная или непредикативная, то у также удовлетворяет \|гу (ср.
с предложением *13-101 ниже). Следовательно, на самом деле указанное
определение является настолько сильным, насколько оно было бы таковым,
если оно было бы распространено так, чтобы охватить все функции от х.
Заметим, что второй знак равенства в данном выше определении
объединяется с "DP, и поэтому в действительности он не является тем же
самым символом, что и определяемый знак равенства. Таким образом,
данное выше определение не циклично177, несмотря на то, что на первый
взгляд оно выглядит таковым.
В дальнейшем постоянно встречаются ссылки на предложения данного
параграфа. Большинство из них самоочевидны, а доказательства не
представляют трудностей. Наиболее важными из предложений данного
параграфа являются следующие:
«13-101. Ь : х = у. з . \|fjc :э \|гу
Т.е. если х и у тождественны, то любое свойство х является свойством
У-
*1312. Ь : jc = у. э . ух = уу
Это предложение включает *13-101 вместе с тем фактом, что если х и
у тождественны, то любое свойство у является свойством х.
*13-15-16-17, которые утверждают, что тождество рефлексивно,
симметрично и транзитивно.
*13191. Ь :у = х. Зу . фу: = . фх
Т.е. утверждать, что каждое, тождественное jc, обладает некоторым
свойством, эквивалентно утверждению о том, что х обладает этим
свойством.
176 В этом месте авторы утверждают, что определяющее в предложении * 13-01,
содержащее одну кажущуюся переменную ф определенного порядка, не будет покрывать все
возможные случаи, которые необходимы для точного определения равенства. — Прим. ред.
177 В оригинале — the definition is not circular. Цикличность определения означает, что
определяемый символ определяется в терминах самого себя. — Прим. ред.
А.Н.Уайтхед, Б.Рассел

246
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ КАЖУЩИХСЯ ПЕРЕМЕННЫХ
♦13-195. Ь-:(#у).у = х.фу. = .фх
Т.е. утверждать, что нечто, тождественное jc, обладает некоторым
свойством, эквивалентно утверждению о том, что jc обладает этим свойством.
*13-22. Ь : (gz, w). z ~ x. w = у. ф (z, w). = - ф (х, у)
Это аналог *13-195 для двух переменных.
«13-01. х = ;у. = :(ф):ф!л:.э.ф!}> Df
Следующие определения содержат сокращения, которые часто
оказываются удобными.
*1302. хфу. = .~(х = у) Df
*1303. x = y = z- = .x = y.y = z Df
«13-1. Ь:.х = ;у. = :ф!л;.:эф.ф!;у [*4-2 . (*13-01). (*10-02)]
«13*101. Ь: x = y.z>.\\fxz>\\fy
Доказательство.
Ь . *12-1 . э Ь :. (аф) :> \\fx. = . ф ! х: \\fy . = . ф ! у (1)
Ь . *13-1 . э Ь :: Нр . э :. ф ! х - Эф . ф ! у:.
[*4-84-85 . (*10-27)] z>:. \\fx . = . ф ! х: \\fy. = . ф ! у : эф : хрх . z> . \|гу :.
[*10-23.] э :- (дф) : ух. = . ф ! х: \|гу. = . ф !у:.: \\fx. э . \|гу (2)
К (1). (2). э К Prop
В силу этого предложения, если х = у, то у удовлетворяет любой
функции независимо от того, является она предикативной или непредикативной,
которая удовлетворяется х. В дальнейшем будет замечено, что данное
доказательство использует аксиому сводимости (*12-1). Но для этой аксиомы
два терма х и у могли бы быть согласованными по отношению ко всем
предикативным функциям, а не в отношении всех непредикативных
функций. Поэтому мы неизбежно приходим к тождествам различных степеней,
соответственно степени функций, по отношению к которым согласованы х
и у. Строгое тождество в этом случае должно было бы быть взято в
качестве примитивного понятия, а *13-101 должно было бы быть примитивным
предложением так же, как и * 13-15-16-17.
«13-11. Ь :. х = у. = : ф ! jc. =ф >ф ! у
Доказательство.
h . *10-22 . э h:. ф!*.=ф.ф!;у::э:ф!;с.:эф.ф!;у:
[*13-1] ^>:х = у (1)
К «13-101. эЬ:.д; = ;у.э.ф!л;эф!;у (2)
Ь . «13-101. «1-7 - зЬ:.д: = ;у.э.~ф!л;э~ф!;у.
[Transp] э.ф!>;эф!х.р (3)
Ь . (2) > (3). Сотр. э h :x = y > э . ф ! jc = ф ! у :
[*10-11-21] э Ь :. х = у. э : ф ! jc . =ф . ф \у (4)
К(1).(4). зКРгор
*1312. Ь : х = у. э . \\гх = \\гу
Доказательство.
h . «13-101 . Comp . э h : х = у. э . x\fx э \\fy . ~ \jtjc э ~ \\fy.
[Transp] э . x\fx = \\fy: э h . Prop
Principia Mathematica I

*13. ТОЖДЕСТВО
247
*1313. h : \\fx - x = у . э . \\fy [*13*101 - Comm - Imp]
*1314. h : \\rx _ ~ yy. э . x Ф у [*13-13 . *4-14]
*13 15. Kjc = jc [Id.*l(Ml.*13-l]
*13 16. t-:x = y. = .y = x [*13-11 . *10-32]
*1317. \-:x = y.y = z*=>'X = z
Доказательство.
h . *13*1 . :> h :: Hp . э :> ф ! jc . Эф - ф !у: ф !)>. Эф - ф ! z:.
[*10-3] э:. ф ! jc. Эф . ф \z" =>Ь -Prop
В приведенном выше применении *10*3, ф ! х, ф ! у, ф ! z
рассматриваются как три различные функции от ф, и ф замещает х предложения *10-3.
Приведенные выше три предложения показывают, что тождество
рефлексивно (*13*15), симметрично (*13*16) и транзитивно (*13-17). Все это —
три проявления отношений, обладающих формальными свойствами,
которые мы обычно связываем со знаком равенства.
*13171. \-:x = y.x = z.=>.y = z [*13-16-17]
*13 172. \-:y = x.z = x.z>.y = z [*13-16-17]
*1318. \-.х = у.хфг>^>уфг [*13-17 . *4-14]
«13-181. Y-.x = y.y±z.^>.x±z [*13-171 . *4-14]
*13 182. h:.x = y.z>:z = x. = .z = y [*13-17-172 . Ехр . Сотр]
*13183. )r :.x = y , = :z = x.=z.z = y
Доказательство.
Ь . *13-182 . *10-11-21 ,z>)r:.x = y.z>:z = x.==z.z = y
h . *10-1 . z>h:.z = JC.=z.z = ^:3:x = jc-i>.JC = j:
[*13-15] z>:x = y
Ь.(1).(2).эКРгор
*13 19. h . (зу). у = х [*13-15.*10-24]
«13-191. Ь :.)> = jc. Зу. фу: = . фх
Доказательство.
h . *10-1 . э Ь .:. у - х. z>y . фу: э : jc = jc. :э . фх:
[*13-15] z>: фх
Ь . *13*12 . z> Ь :.у = jc. э : фх- э . фу :.
[Comm] эЬ :. фх. э :у = х> э . фу :.
[*10-11-21] э h :. фх. э : у = х . :>у . фу :.
Ь.(1).(2). эЬ.Ргор
(1)
(2)
(1)
(2)
Это предложение постоянно применяется в последующих
доказательствах.
*13192. h :. (g с) :х = Ь *=х.х = с:\рс: = .yb
Доказательство.
h . *4-2 . *3-2 . z>\r::\\fb .z>:.x = b .=х.х = b:\pb:.
[*10-24] z>:.(gc): x = b .=x .x = c:\\fc (l)
h . *10-1 . z>\-:. х = b . =х . х = с: \\f с: и : b = b . = . b = с: \\f с:
[*5-501 . *13-15] ■=>: b = с . \\f с :
[*13-13] z>:yb (2)
f-. (2). *10-ll-23 . э h :. (gc) : jc = fc. =x . jc = с: \\r с: э . у fc (З)
К(1ЫЗ).эЬ.Ргор
Это предложение полезно в теории описаний (*14).
А.Н.Уайтхед, Б.Рассел

248
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ КАЖУЩИХСЯ ПЕРЕМЕННЫХ
эЬ
эЬ
эЬ
эЬ
:фх
: фд:
: фдс
:фУ-
X-
JC =
JC =
JC =
= У
= У
= У
= У-
. э
. э
. э
э
э
э
.х = у
■ФУ
. фу - х =
- Фз7 - j =
. фд:. у =
. фд:. х -
zy
-X
= JC
= У
*13193. Ь:фд:.д: = у- = .фу.д: = у
Доказательство.
h.Simp. эЬгфд:. д: = у>:э. jc = y (1)
К*13-13 эЬ:фд:.х = у.:э.фу (2)
h - (1). (2). Comp . z> h : фдс. jc = у . z> . фу - х = у (3)
K*13-16.Fact.
K3)£f]
[*13-16 . Fact] э . фд:. jc = у (4)
ЫЗ). (4). => h . Prop
Это предложение используется весьма часто.
*13 194. Ь : фд: _ jc = у. = . фх. фу . jc = у [*13-13 . *4-71]
*13195. Ь : (gy) . у - х. фу - = . фд:
Доказательство.
Ь . *3*2 . *13-15 z> V : фдс. э . jc = jc - фд:.
[*Ю-24] з.(ду).у = *-фу (1)
Ь > *13-13 . *1(И1 . э h :- (у) : у = jc - фу. э . фд::
[*10-23] э Ь:. (gy) . у = jc . фу _ э _ фд: (2)
Ь . (1) . (2) . э h . Prop
Это предложение весьма часто используется в последующих
доказательствах.
*13 196. Ь :. ~ фх. = : фу _ Эу . у ф х [*13-195 . Transp . *10-51]
*13-21. )r:.z = x.w = y. z>ZtW - ф (z, w) : = > ф (jc, у)
Доказательство,
h. *ll-62 -z>
. Z = х. z>z : w = у. z>w - Ф fc w) :.
. w = y . dw. ф(д:, w) :.
• ФС*»зО " =>b.Prop
b::z = JC.w = y. z>ZjW - Ф (z, w) :
[*13-19l]
[*13-191]
Это предложение является аналогом *13-191 для двух переменных.
*13-22. h : (gz, w) - z = x - w = у. ф (z, w) . = - ф (jc, y)
Доказательство.
h . *ll-55 .Dh:. (gz, w) . z = x. w = y > ф (z, w) -
= = (SO : z = x : (g w) . w = у. ф (z, w) :
[*13195] = : (gw). w = у - ф (jc, w) :
[*13-195] = : ф (jc,y) :.Dh. Prop
Это предложение является аналогом *13-195 для двух переменных. Оно
часто используется, особенно в теории пар (*54, *55, *56).
Следующее предложение является полезным в теории типов. Его цель —
продемонстрировать, что если а есть любой аргумент, для которого "фа"
значимо, т.е. для которого мы имеем фа V ~ фа, то " фд:" значимо тогда и
только тогда, когда jc либо тождественен а, либо не тождественен а.
Следовательно (как будет доказано в *20-81), если "фа" и "уа" оба значимы,
то класс значений jc, для которых "фд:" значимо, совпадает с классом
значений д:, для которых "уд:" значимо, т.е. два типа, которые имеют общий
элемент, тождественны.
В следующем ниже доказательстве основное положение, которое
необходимо отметить, есть использование предложения *10-221. Имеются две
Principia Mathematica I

*13. ТОЖДЕСТВО
249
переменные, а и х, которые отождествляются. При первом использовании
мы находимся в зависимости от того обстоятельства, что и фя, и х-а оба
входят и в строку (4), и в строку (5): вхождение фа в обе строки
доказательства оправдывает отождествление двух символов я, а когда они уже
отождествлены, то вхождение х = а в обе строки доказательства
оправдывает отождествление двух jc-ob. (Это было бы незаконно, если бы два
символа а не были бы уже отождествлены, так как их = а" обладает типовой
неопределенностью, если ни х, ни а не принадлежат данному типу.)
Второе использование предложения *10-221 оправдывается тем фактом, что и
фа, и фх входят в обе строки (2) и (6) доказательства.
*13-3. г :: фа V ~ фа . з:. фх V ~ фх. = : х = а . V . х Ф а
Доказательство.
К*2-11.
К (1). Simp.
К*2-11.
К (3). Simp.
К*13-101 .Comm.
К(4).(5).*10-13-221.з
г :: фа V ~ фа . з : х - а . V . х Ф а :. фа V ~ фа . з : jc = а . з . фх V ~ фх (6)
Ь . (2). (6). *10-13-221 . з
h :: фа V ~ фа . з . фх V ~ фх :. фа V ~ фа . з : х = а . V . х ф а :.
фа V ~ фа . з : х = а . з . фх V ~ фх (7)
h . (7). Simp . з
h :: фа V ~ фа . з . фх V ~ фх:. фа V ~ фа . з : х = а . V . х ^ а (8)
Ь . (8). *5-35 . зЬ::фяУ~фя.з.фхУ~фх. = :х = я.У.х^я::
з h . Prop
з h . фх V ~ фх
з Ь : фа V ~ фа . з . фх V ~ фх
зЬ :х = я. V . хфа
=>\-:.фаУ ~фа.^:х = а.У .хфа
з г :. фа V ~ фа . з : х = а . з . фх V ~ фх
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
А.Н.Уайтхед, Б.Рассел

250
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ КАЖУЩИХСЯ ПЕРЕМЕННЫХ
*14. Описания
Краткое содержание *Ц-
Описание есть оборот речи вида "единственный терм, который и
т.д."178 или, в более явном виде, "единственный терм х, который
удовлетворяет фх", где фх есть функция, удовлетворяемая одним и только одним
аргументом. По причинам, разъясненным во Введении (глава III), мы не
определяем "единственный *, который удовлетворяет ф£", а мы
определяем любое предложение, в котором встречается этот оборот речи. Поэтому,
когда мы говорим "тот самый единственный терм *, который
удовлетворяет фх, удовлетворяет также и yjc", то мы будем подразумевать "найдется
терм Ь такой, что ф* истинна тогда и только тогда, когда х есть Ь и \\fb
истинна". Т.е. записывая "(ис)(ф.к)" для "единственный терм х, который
удовлетворяет ф*", у О*) (ф*) имеет смысл
(gb): фх. =х . х = Ь : \\fb.
Это, однако, все еще не совсем адекватное определение, так как когда
(1*)(фх) встречается в предложении, которое является частью некоторого
объемлющего предложения, то существует сомнение, большее или же
меньшее предложение должно быть взято в качестве "\|/(ис)(фх)". Возьмем,
например, \|/ (ис) (ф*). з . р. Это может быть либо
(дЬ) : ф*. =х . х = Ь : \\fb : з . р,
либо
(gfc):. ф*. =х . х = Ь: \\rb. з . р.
Если "(gb): фх. =х. х = Ь" ложно, то первое из них должно быть
истинным, в то время как второе —ложным. Поэтому крайне необходимо
различать их.
Предложение, которое предполагается трактовать как "\|/(i;t) (фх)",
будет называться областью (ис) (ф*). Таким образом, в первом из
приведенных выше двух предложений область (ix)($x) есть "\|/(ис) (фх)", в то время
как во втором из них — \|/ (ix) (фх). з . р. Для того чтобы избежать
неопределенности в отношении области, мы будем указывать область, записывая
символ "[0*)(ф*)]" в начале этой области, а за ним — достаточное
количество точек для распространения действия символа до конца указанной
области. Поэтому из двух приведенных выше предложений первое есть
[(ix) (ф*)]. \|/ (ix) (фх). з . р,
в то время как второе есть
[(ix) (ф*)]: \|/ Си) (фх). з . р.
Итак, мы приходим к следующему определению
«14-01. [(ис) (фх)]. у (ис) (фх). = : (gfc): фх. =х . х = Ь: yb Df
На практике будет обнаружено, что область, которая обычно
требуется, представляет собой наименьшее предложение, заключенное в точки
или скобки, в которое входит "(гдс)(фл:)". Следовательно, когда область для
178 Здесь, как и ранее, словом единственный мы переводим определенный артикль
английского языка the. — Прим. перев.
Principia Mathematica I

*14. ОПИСАНИЯ
251
(ix) (фх) таким образом указана, то мы будем обычно опускать явное
упоминание о ней. Поэтому, например, мы будем иметь
я Ф О*) (Ф*) • = : (3^): Ф* • =х • * = Ь: а Ф Ь,
~{а = (ix) (фх)}. = . ~ {(gb) :фх.=х.х = Ь:а = Ь].
Из этих предложений первое необходимо влечет (gb): фх. =*. х = Ь, в то
время как второе — нет. Мы полагаем:
*1402. Е ! (ix) (фх). = : (gb): фх. =х . jc = £ Df
Это определяет: "Единственный х, удовлетворяющий фх, существует",
что имеет место тогда и только тогда, когда фх удовлетворяется одним
значением х и никаким другим значением.
Когда два или более описаний встречаются в одном и том же
предложении, то необходимо избежать неопределенности, которой обладает большая
область. Для этой цели мы полагаем:
*1403. [(ix) (фх), (ix) (у*)]. / {(IX) (фх), Ох) (ух)}. = :
[Ы) (фх)]: [(IX) (ух)]. / {(ix) (фх), (IX) (ух)} Df
Будет показано (*14-113), что истинностное значение предложения,
содержащего два описания, не зависит от того, какое из двух описаний имеет
большую область. Следовательно, мы должны в общем принять
соглашение, что описание, входящее в запись первым, обладает большей областью,
если явно не указано обратное. Поэтому, например,
(ix) (фх) = (ix) (\|/х)
будет означать
(gfc): фх. =х . х = Ь: Ь = (ix) (\|/x),
т.е.
(gb): фх. =х . х = Ь:. (дс): \|/х. =х . х = с: Z? = с.
По этому соглашению мы имеем возможность почти всегда избегать явного
указания порядка устранения двух или более описаний. Если, однако, мы
требуем большей области для последнего из описаний, то мы полагаем
*1404. [(ix) (ух)]. / {(ix) (фх), (ix) (ух)}. = .
[(ix) (ух), (ix) (фх)]. / {(ix) (фх), (ix) (yx)} Df
Всякий раз, когда мы имеем Е ! (ix) (фх), символ (ix) (фх) ведет себя
формально как обычный аргумент любой функции, в которую он может
входить. Этот факт заключен в следующем предложении:
*1418. Ь :. Е ! (ix) (фх). э : (х). ух. э . у (ix) (фх)
Т.е., когда терм (1х)(фх) существует, то он обладает любым таким
свойством, которое присуще каждому терму. Это не так, когда (ix) (фх) не
существует; например, правящий в настоящее время король Франции не
обладает свойством быть либо лысым, либо не лысым.
Если терм (ix) (фх) обладает каким-либо свойством, то он должен
существовать. Этот факт сформулирован в предложении:
*14-21. V : у Ох) (фх) . э . Е ! (ix) (фх)
Это предложение очевидно, поскольку "Е!(1х)(фх)", по определению,
является частью "уОх)(фх)". Когда в обычном языке или философии
о чем-то говорится как о "существующем", то это что-то
описывается^ т.е. это не есть нечто непосредственно данное, такое как вкус или
цветовое пятно, а нечто вроде "вещество" или "сознание" или "Гомер"
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

252
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ КАЖУЩИХСЯ ПЕРЕМЕННЫХ
(в смысле "автор гомеровских поэм"), которое известно по описанию как
"единственное такое-то"179 и, таким образом, имеет форму О*) (фх).
Поэтому во всех таких случаях существование (грамматического) подлежащего
(чх) (фх) может быть аналитически выведено из любого истинного
предложения, имеющего это грамматическое подлежащее. Может показаться, что
слово "существование" не может быть значимо применено к
непосредственно данным субъектам; т.е. наши определения не только не дают смысла
"E!jc", но и не существует основания в философии полагать, что может
быть найден смысл существования, который мог бы быть применен к
непосредственно заданным субъектам.
Кроме того, что было дано выше, далее следуют те из предложений
настоящего параграфа, которые используются в большей степени.
*14-202. Ь :. фх. =х . х - Ь : = : (ijc) (флг) = Ь: = :фх.=х.Ь = х: = :Ь = (чх) (ф*)
Из первой эквивалентности, приведенной выше, следует, что
*14-204. Ь : Е ! (ис) (фх). = . (gfc). (чх) (ф*) = Ь
Т.е. (ijc) (ф*) существует, когда найдется нечто такое, которое (ис) (фх)
есть.
Мы имеем
*14-205. Ь : у (ис) (фх). = . (gfc). Ъ = (ис) (фх). yb
Т.е. (ис) (фх) обладает свойством у, когда найдется нечто такое, которое
есть (ис) (фх) и которое обладает свойством у.
Мы должны доказать, что такие символы, как "(ис) (фх)",
подчиняются тем же самым правилам по отношению к тождеству, как и символы,
которые прямо представляют объекты. Однако при этом существует одно
частичное исключение, так как вместо того, чтобы иметь
(ис) (фх) = (чх) (фх),
мы имеем лишь
*14-28. Ь : Е ! (ис) (фх). = . (ис) (ф*) = (ис) (ф*)
Т.е. "0*)(Ф*)" удовлетворяет свойству рефлексивности тождества, лишь
если (ис) (фх) существует.
Свойство симметричности тождества выполняется для таких символов,
как (ис)(фх), без предположения о существовании, т.е. мы имеем
*14 13. Ь : а = (чх) (фх) . = . (ис) (фх) = а
*14 131. Ь : (ijc) (фх) = (ijc) (\|/jc) . = . (ijc) (\|/jc) = (ijc) (фх)
Точно так же свойство транзитивности равенства выполняется без
предположения о существовании. Это доказывается в * 14-14-142-144.
*1401. [(чх) (фх)]. у (чх) (фх). = : (gfc): фх. =х . х = Ъ: yb Df
*1402. Е ! (ис) (фх). = : (gb): фх. =х . х = b Df
*1403. [(чх) (фх), (ис) (ух)]. / {(чх) (фх), (чх) (ух)}. = :
[Ьх) (фх)]: [(чх) (ух)]. / [(чх) (фх), (чх) (ух)} Df
*1404. [(чх) (ух)]. / {(чх) (фх), (чх) (ух)}. = .
[(чх) (ух), (чх) (фх)]. / {(чх) (фх), (чх) (ух)} Df
179 В оригинале—"the so-and-so". Мы тем самым напоминаем о терминологическом
использовании определенного артикля английского языка. — Прим. перев.
Principia Mathematica I

♦ 14. ОПИСАНИЯ
253
*14-1. Ь :> [(ix) (\|/jc)] . у (ix) (фх). = : (gfc): фх - =* . х = b : \\fb
[*4-2 . (*14-01)]
В силу наших соглашений относительно области в том случае, когда
область явно не указывается, приведенное выше предложение является в
точности таким же, как и следующее
*14-101. \-:.у(<\х)(фх). = :(яЬ):<Ьх.=х.х = Ь:уЬ [*14-1]
*14 11. Ь :_ Е ! (ijc) (фх). = : (gb): фх. =х . х = Ь [*4-2 . (*14-02)]
*14 111. V :. [Ох) (ух)]. / {(IX) (фх), (IX) (ух)}. = :
(3 Ь, с): фх. =* . х = Ъ : \|/х. =* . х = с: f(b, с)
Доказательство.
V . *4-2 . (*14-04-03). з
Ь :: [(ix) (\|/x)]. / {(ix) (фх), (ix) (\|/x)}. = :.
[(ix) (ух)]: [(ix) (фх)]. / {(ix) (фх), (ix) (ух)}:.
[*14-1] = :. [(ix) (ух)]:. (ЯЬ) : фх. =, . х= Ь : / [Ъ, (ix) (ух)}:.
[*14-1] = :. (дс):. ух. =х . х = с:. (gZ?) : фх. =х . х = Ь : ДЬ, с):.
[*11-55] = :. (gb, с) : фх. =х . х = с: ух - =х . х = b : f(b, с):: з г . Prop
*14 112. Ь :. / {(ix) (фх), (ix) (ух)}. ее :
(3 Ь, с) : фх. =х . х = Ь : ух. ее, . х = с: / ф, с)
[Доказательство как и в *14-111]
В приведенном выше предложении мы подразумеваем соглашение,
объясненное на с. 251 после формулировки предложения *14-03.
*14 113. Ь : [(ix) (фх)]. / {(ix) (фх), (ix) (ух)} . = .f {(ix) (фх), (ix) (ух)}
[*14-111-112]
Это предложение показывает, что когда два описания встречаются в
одном и том же предложении, то истинностное значение этого предложения
не зависит от того, какое из двух описаний имеет большую область.
*1412. г :. Е ! (ix) (фх). з : фх. фу . =>х,у . х = у
Доказательство.
Ь . *14-11 з Ь :. Нр . з : (а*>) :фх.=х.х = Ь (1)
Ь . *4-38 . *10-1 .*1111-3. з
г :. фх. =х . х = Ь : з : фх. фу . =ХуУ . х-Ь .у = Ь .
1*13-172] э^.х = у (2)
К (2). *10-11-23 . з Ь:. (gb): фх. =х . х = Z?: з : фх. фу. з,^ . х = у (3)
h . (1). (3). зЬ.Ргор
*14121. г :. фх. =х . х = Ъ: фх . =х . х = с: з . Z? = с
Доказательство.
г . *10-1 . з Ь:. Нр .з : фЬ . = . Ь — Ь : фЬ . = . Ь = с:
[*13-15] з:фЬ:фЬ_ = .Ь = с:
[Ass] з : Ь - с :. з г . Prop
А.Н.Уайтхед, Б.Рассел

254
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ КАЖУЩИХСЯ ПЕРЕМЕННЫХ
*14122. h :. фх. =х . х = Ь : = : фх. з* . х = Ь : фЬ :
= : фх. =>х . л: = Ь: (gjc). фх
Доказательство.
h . *10-22 . з h :. ф*. =* . jc = Ь : = : фх. з* . jc = Ъ : jc = Ъ . з* . фх:
[*13-191] s : фх. з* . jc = Ъ: фЬ (1)
h . *4-71 . з Ь :. фх. з . х-Ь: з : фх. = . фх. jc = Z?:.
[*10-11-27] зЬг.ф*. зх. х = Ь:з : фх. =х. фдг. х = Ь :
[*10-281] з : (g jc). фх. = . (gjc). фх. jc = Ь.
[*13-195] =. фЬ (2)
h . (2). *5-32 . з h :. фх. з* . * = Ь : (g jc) . фх: = : фх. з* . jc = Ь : фЬ (3)
К(1).(3). э К Prop
Два следующих предложения (* 14-123-124) помещены здесь ввиду
аналогии с * 14-122, но они не применяются до тех пор, пока мы не дойдем
до теории пар (*55 и *56).
*14123. Ь :.ф(г, w). =ZjW .z = x. w = y:
= : ф (z, w) . 3Z)VV. z = x. w = y: ф (х,у):
= : ф (z, w). 3Z)VV. z = x. w = у: (gz, w). ф (z, w) :
Доказательство.
К *11-31 . зЬ:.ф(г,м>). =ZtW .z = x. w = y:
= : ф (z, w). 3ZjVV .z = x.w = y:z = x.w = y. 3ZtH,. ф (z, w):
[*13-21] = : ф (z, w). 3Z>VV.z = x. w = y: ф (x,y): (1)
h . *4-71 . зЬ:. ф(г, w) . 3.z = jc. w = y :
з : ф (z, w). = . ф (z, w). z = x. w = y:.
[*ll-ll-32] з h :. ф (z, w). 3ZiH,. z = jc . w = y:
з: ф (z, w). =z,„. ф (z, w). z = x. w = у :
[*11-341] з: (gz, w). ф (z, w). = . (gz, w). ф (z, w). z = x. w = y.
[*13-22] =-ф(х,у) (2)
h . (2). *5-32 . з h :. ф (z, w). 3ZjH,. z = x. w = у: (gz, w). ф (z, w) :
= : ф (z, w). 3ZjM,. z = x. w = y: ф (х, у) (3)
h.(l).(3). зЬ.Ргор
*14-124. h :. (gx,y) : ф (z, w) . =ZjVV. z = *. w = у :
= : (3*>}0 • Ф U.y): Ф fc w). ф (w, v). 3z>H,tM,v . z = w . w = v
Доказательство.
I-. *14-123 . *3-27 . з
h :. (gx,у): ф (z, w). =ZiW . z = x. w = y: з . (gx,y). ф (х,у) (1)
h . *11-1 . *3-47 .3 h :. ф (z, w) . =ZfW . z = jc . w = у :
з : ф (z, w). ф (w, v). з . z = jc . w = у. w = jc . v = у .
[♦13-172] 3.z = «.w = v (2)
h.(2).*ll-ll-35. з
Ь :• (3*>30 : Ф fc w). =z,w • z = x. w = y:
з : ф (z, w) . ф (w, v). з . z = w . w = v (3)
h.(3).*ll-ll-3.3
Ь - (3^^): Ф fc w). =z,w • z = x. w = у:
з : ф (z, w). ф (w, v). 3WMjV . z = и . w = v (4)
Principia Mathematica I

♦14. ОПИСАНИЯ
255
h . *11-1 . z> Ь:. ф (jc,у): ф (z, w) . ф (и, v) . 3z,h,,M)V . z = и . w = v :
z>: ф (x,y) : ф (z, w) . ф (х,у) . зг>н,.z = x. w = y :
[*5-33] z>: ф (x, у): ф (z, w) . 3ZjVV. z = x. w = у:
[♦14-123] э : фfc w). =z,w . z = x. w = у (5)
Ь.(5).*11-11-34-45.з
Ь » (a^^) • Ф (х,у): ф (z, w). ф (и, v). 3Z,W,M,V. z = и . w = v:
=> *• (a^j): Ф few) • =z.w • z = x. w = y: (6)
K(l).(4).(6).3b.Prop
*1413. Via- (ijc) (фх). = . (ijc) (фх) = а
Доказательство.
I-. *14-1. z> h :. a = (ijc) (фх). = : (gZ?): фх. =* . x = b: a - b (1)
h . *13-16 . *4-36 .z>\- :.фх.=х .x = b:a = b: = :$x.=x.x = b:b = a:
[*10-11-281] з h :. (gZ?): фх. =x . jc = Z?: a = b :
= : (3^): Ф* • —x • * = b : Z? = a :
[*14-1] =: (ijc) (фJc) = a (2)
h.(l).(2). эЬ.Ргор
Это предложение не является непосредственным следствием *13-16,
поскольку " а = (лх) (фх)" не является значением функции "х = у". Такие же
замечания применимы к следующим предложениям.
*14 131. Ь : (ijc) (фх) = (ix) (ух) . = . (ис) (ух) = (ис) (фх)
Доказательство.
Ь . *14*1 . э h :: (ix) (фх) = (ijc) (\|/jc) . = :. (gZ?) : фх. =x . x = b : b = (ix) (\|/x) :.
[*14-1] = :. (gZ>):. фх. =* . jc = b :. (gc): \|/x • =* • * = с: Z? = с:.
[*ll-6] = :. (gс) :. \|/jc . =x . jc = с:. (gZ?) : фх. =x . x = Z?: b = с:.
[*14-1] = :. (gc) :. \|/jc . =jc . jc = с: (ijc) (фх) = с:.
[*14-13] = :. (gc):. \|/jc . =x . jc = с: с = (ijc) (фх):.
[*14-1] = :. (лх) (\|/x) = (лх) (фх) :: z> h . Prop
В приведенном выше предложении в соответствии с нашим
соглашением дескриптивное выражение (ix) (фх) перед (ix) (\|/x) элиминируется, так
в " (ix) (фх) = (ix) (\|/х)" оно встречается первым; однако в " (ix) (\|/x) = (ix) (фх)"
описание (ix)(\|fx) должно быть элиминировано первым. Порядок
элиминирования не влияет на истинностное значение, как это было доказано
в *14-113.
Приведенное выше предложение может быть доказано также
следующим образом:
Ь . *14-111 . э Ь :. (ix) (фх) = (ix) (\|/х).
: (gZ?, с) : фх. =х . х = b : \|/х. =х . х = с: b = с :
' (Qb, с) : \|/х. =х . х = с : фх. =х . х = b : с = Z?:
: (ix) (\|fx) = (ix) (фх):. z> h . Prop
[*4-3.*13-16.*ll-ll-341] =
[*11-2.*14-111] =
*14-14. \-:а = Ь.Ь = (лх) (фх). з . a = (лх) (фх) [*13-13]
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

256
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ КАЖУЩИХСЯ ПЕРЕМЕННЫХ
*14142. \-:а = (ijc) (фх). (ijc) (фд:) = (ijc) (\|/jc) . з . а = (ijc) (ух)
Доказательство,
h . *14-1 . з h :: Hp .з :. (gZ?) : фJC. =x . jc = b : a = b :.
(g с): фд:. =x . x = с: с = (ix) (\\fx):.
[*13-195] з :. фJc. =x . x = a :. (gc) : фJc. =* . jc = с: с = (ijc) (\|fx):.
[*10-35] з :. (gc):. фх. =x . jc = a : фх. =x . x = с: с = (ijc) (\|/x) :.
[*14-121] з :. (gc):. фх. =x . jc = a : a = с: с = (ijc) (\|/x) :.
[*3-27 . *13-195] з :. a = (ijc) (yx):: з V . Prop
* 14-144. h : (ix) (фх) = (ix) (\|/x) . (ix) (\|/x) = (ix) (%x) . з . (ix) (фх) = (ix) (xx)
Доказательство.
h . *14-111. зЬ ::Hp. з :. (дя,Ь): фJc. =x . х = я :\|/jc. =* . x = b : a = b:.
(gc, d): \|fjc. =* . jc = с: %x. =* . jc = d: с = d:.
[*13-195] з :. (дя): фх. =x . jc = a : \\fx. =x . jc = a :.
(gc): \\fx. =* . x = с: x* • =x • * = с :.
[*ll-54] з :. (g<2, c): фJc. =* . jc = a : \|/jc . =x . jc = a :
\|/jc . =* . x = с: %x. =* . x = с:.
[*14-121 . *ll-42] з:.(дя,с):фх. =* . x = a :%х. =x . x = c: a = c:.
[*14-111] з :. (ijc) (фх) = (ijc) (xjc) :: з V . Prop
*14145. \-:a = (ijc) (фх) . a = (ix) (\|/x) . з . (ix) (фх) = (ix) (\|/x)
Доказательство.
h . *14-1 . d(-:.a = (ix) (фх) . = : (gZ?) : фх. =x . x = Z?: a = b :
[*13-195] = :фх.=х.х = я (1)
К (1). *14-1 . з h :: Hp . = :. фх. =x . x = a :. (gZ?) : yx. =x . x = b : a = b:.
[*14-1] = :. (gZ?):. фх. =x .x = a: \|/x. =x .x = b:a = b:*
[*14-111] з :. (ix) (фх) = (ix) (\|/x):: з h . Prop
*1415. h :. (ix) (фх) = b . з : \|/ {(ix) (фх)}. = . \\rb
Доказательство.
I-. *14-1 . з
h :: Hp . з :. (gc) : фх. =x . x = с: с = b :.
[*13-195] з:.фх.=^.х = Ь (1)
К(1).*14-1.з
h :: Hp . з :. \|/ {(ix) (фх)}. = : (gc) : x = b . =x . x = с: \|/c:
[*13-192] = :уЬ::з|-.Ргор
*1416. h :. (ix) (фх) = (ix) (фх) . з : x {(uc) (фх)}. = . x {(ix) (\|/x)}
Доказательство.
h . *14-1 . з h :. Hp . з : (gZ?) : фх. =x . x = Z?: b = (ix) (\|/x) (1)
K*14-l. з1- ::фх. =x .x = b: з :.
X {(ix) (фх)}. = : (gc): x = b. =x . x = с: %c:
[*13-192] =:Xb (2)
h . *14-13-15 . з h :. 6 = (ix) (\|/x). з : yb . = . X {(ix) (фх)} (3)
h . (2). (3). з V :. фх. =* . x = Z>: Z? = (ix) (\|/x) :
э:хК«)(фх)}. = .х{(«)(¥^)} (4)
Ь.(1).(4).*10-1-23.зКРгор
Principia Mathematica I

*14. ОПИСАНИЯ
257
*1417. I-:. (ijc) (фх) = b . = : \|/! (ijc) (фх). =v . \|/! Z>
Доказательство.
Ь.*14-15.*10-11-21.з
I-:. (ix) (фх) = b. з : \|/! (ijc) (фх). =v . у! Z? (1)
I-. *10-1 . *4-22 .z>\-::x\x.=x.x = b:\\fl (ijc) (фх). =v . \\r! Z?:
з : (ijc) (фх) = b . = *b = b:
[*13-15] з:(1х)(фх) = Ь (2)
К(2).Ехр.*КН1-23.з
I" •" (3X): X1* • =x • * = * *• =>:- VJ О*) (Ф*) • =v • ¥J *: => • О*) (Ф*) = * (3)
h.*12-l. зЬ:(дХ):х!х.^.х = Ь (4)
Ь . (3). (4). з Ь :. \|/! (ijc) (фх). =v . \|/! Ь : з . (ijc) (фх) = Ь (5)
Ь.(1).(5).зКРгор
Следует заметить, что мы пи в коем случае не имеем
(ix) (фх) = b. = : у! (ix) (фх). z>v . у ! Z?,
так как если ~ Е ! (ix) (фх), то \|/! (ix) (фх) всегда ложно, и поэтому
\|/! (ix) (фх). 3V . \|/! b
имеет место для всех значений Ь. Однако мы имеем
*14171. Ь :. (ix) (фх) = Ъ . = : \|/! Ъ . з¥ . у ! (ix) (фх)
Доказательство.
Ь . *14-17 . з Ь :. (ix) (фх) = Z?. з : \|/! Z?. 3V . \|/! (ix) (фх) (1)
Ь . *10-1 . *12-1 . з V :. \|/! Z?. 3V . \|/! (ix) (фх): з : b = b . з. (ix) (фх) = Z?:
[*13-15] з: (ix) (фх) = b: (2)
h.(l).(2). зЬ.Ргор
*1418. h :. E ! (ix) (фх) . з : (x) . \|/x. з . \|/ (ix) (фх)
Доказательство.
г . *10-1 . з г : (x) . \|/x . з . \|/Z? :
[Fact] з г :. фх. =x . x = b : (x) . \|/x: з : \|fx. =x . x = b : \|/Z>:
[*10-ll-28] з г :. (gZ?): фх. =* . x = b: (x). \|/x: з : (gZ?): фх. =x . x = Z?: \|/Z?:.
[*10-35] з h :: (gZ?) : фх. =x . x = b :. (x) . \|/x:. з : (gZ?) : фх. =x . x = Z?: \|/Z?:.
[*14-M1] з h :. E ! (ix) (фх) : (x). \|/x: з : \|/ (ix) (фх) :. з h . Prop
Приведенное выше предложение показывает, что при условии
существования (ix) (фх) этот символ обладает, формально говоря, всеми логическими
свойствами символов, прямо представляющих объекты. Следовательно,
когда (1х)(фх) существует, тот факт, что он является неполным символом,
становится нерелевантным по отношению к истинностным значениям
логических предложений, в которые он входит.
*14-2. Ь.(1х)(х = я) = я
Доказательство.
г . *14-101. з г :. (ix) (х = а) = а. = : (gZ?): х = а . =х . х = b: b = a :
[*13-195] = :х = а.=х.х = а (1)
h.(l).Id. зЬ.Ргор
*14-201. Ь:Е!(1х)(фх).з.(дх).фх
Доказательство.
I-. *14-11 . з г :. Нр . з : (gZ?): фх. =х . х = b :
[*10-1] з:(дЬ):фЬ. = .Ь = Ь:
[*13-15] з : (дЬ) . фЬ :. з h . Prop
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

258
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ КАЖУЩИХСЯ ПЕРЕМЕННЫХ
*14-202. Ь :. фд:. =х . х = Ь : = : (ис) (фх) = Ь: = :фх.=х.Ь = х: = :Ь = (ijc) (фд:)
Доказательство.
h . *14-1 . з Ь:. (ijc) (фд:) = Z? .=: (дс) : фд:. =х . jc = с : с = Ь :
[*13-15] = : фд:. =х . jc = Ъ:. з h . Prop
[Вторая половина доказывается точно таким же образом, как и первая.]
*14-203. Ь :. Е ! (ис) (фд:). = : (д*). фд:: фд:. фу. зх0, . jc = у
Доказательство.
Ь . *14-12-201 . з Ь :. Е ! (ijc) (фд:) . з: (gjc) . фд:: фд:. фу . з*^ . х = у (1)
h . *10*1 . з Ь :. ф£ : фх. фу. зхо, . х = у: з : фЬ : фд:. фЬ . з* . jc = Ъ:
[*5-33] з : фЬ: фд:. з* . jc = Z?:
[*13-191] з:д: = Ь.з*.фд::
фд:. 3jc . я: = Z?:
[*10-22] :э:ф*.=х.х = й (2)
К (2). *10-1-28 . z>\-:. (Qb): фЬ : фх. фу. z>Xjy . х = у: z> : (&Ь): фх. =х . х = b:.
[*10-35] зЬ :.(д£).ф£: ф*. фу . зхо,. дт = у : з: (д£) : фд:. =х . jc = Z> :
[*14-11] ' з: Е! (ис) (фд:) (3)
h . (1). (3). зЬ.Ргор
*14-204. Ь:. Е! (ис) (фд:). = : (gfc). (ис) (фд-) = Ь
Доказательство.
K*14-202.*10-11.3
Ь :. (b) :. фд:. =х . jc = Ъ : = : (ис) (фд:) = Ъ :. з
[*10-281] V :. (gfc):. фд:. =х . jc = Ь: = : (gfc) (ис) (фд:) = Ъ (1)
К(1).*14-11.зЬ.Ргор
*14-205. Ь : \|/ (ijc) (фд:) . = . (gfc) . Ь = (ijc) (фд:) . \|/Ь [*14-2021]
*14 21. Ь : \|/ (ис) (фд-) . з . Е ! Од:) (фд:)
Доказательство.
Ь.*14-1 .з
V :. \|/ ((ис) (фд:)}. з : (gb) : фд:. =х . jc = Ь : \\rb :
[*10-5] з:(дЬ):фд:.=х.д:=Ь:
[*14-11] з: Е ! (ис) (фд-):. з Ь . Prop
Это предложение показывает, что если какое-либо истинное
утверждение может быть сделано о (ис) (фх), то (ис) (фд:) должно существовать. Оно
будет очень часто применяться на протяжении оставшейся части
настоящей работы.
Даже когда (ijc) (фд:) не существует, все же молено найти истинные
предложения, в которые входит "(1*)(Ф*)"> но в таких предложениях этот
символ имеет вторичное вхождение в смысле, разъясненном в главе III
Введения, т.е. утверждаемое предложение, о котором идет речь, не обладает
формой \\f (ijc) (фд:), а обладает формой /{\|/(ис)(фд:)}, или, другими словами,
предложение, которое есть область (гд:)(фд:), является лишь частью целого
утверждаемого предложения.
Principia Mathematica I

*14. ОПИСАНИЯ
259
*14 22. h : E ! (ijc) (фд;). = . ф(ис)(фд:)
Доказательство.
Ь.*14-122. z>\-:.$x.=x.x = b:^.<bb (1)
Ь . (1). *4-71 . => Ь :> фл:. =x . x = b: = : фд:. =* . x = Ь: фЬ :.
[*1011-281] => h :> (gb) : фд:. =x . jc = b : = : (g[b) : фд:. =* - x = b: фЬ:.
[*14-11-101] z> Ь : E ! (ijc) (фд;) _ = . ф(ис)(фх): z> Ь . Prop
В качестве примера приведенного выше предложения мы можем взять
следующее: "Предложение 'автор Вейверли существовал' эквивалентно
'человек, который написал Вейверли, написал Вейверли'". Поэтому такое
предложение, как "человек, который написал Вейверли, написал
Вейверли", не содержит логически необходимую истину, поскольку оно было бы
ложным, если бы поэма Вейверли не была бы написана или была бы
написана двумя авторами. Например, "человек, который квадрировал круг,
квадрировал круг" является ложным предложением180.
*14 23. Ь : Е ! (ис) (фд:. ух). = _ ф {(ис) (фд:. уд:)}
Доказательство.
Ь . *14-22 . z> Ь :. Е ! (ис) (фд:. ух).
= : [(где) (фх. \\fx)]: ф {(ix) (фх. ух)}. у {(ix) (фх. ух)}
[*10-5 . *3-26] z>: ф {(ис) (фд:. ух)} (1)
Ь . *14-21 . э Ь : ф {(ис) (фд:. \|/jc)} . э . Е ! (ис) (фд:. ух) (2)
К (1). (2). э К Prop
Заметим, что во второй строке приведенного выше доказательства
требуется *10-5, а не только *3-26. Так как область дескриптивного символа
(ijc) (фд:. ух) есть все произведение ф {(ис) (фд:. ух)}. у {(ис) (фл:. \|/jc)}, то
поэтому, применяя *14-1, предложение в первой строке справа становится
(gb): фх > ух. =х . х = b: фЬ. yb,
которое на основании *10-5 и *3-26 влечет
(gb) :фх.ухш=ХшХ = Ь: фЬ,
т.е.
ф {(где) (фх. ух)}.
*14-24. Ь : Е ! (ис) (фд:) . = : [(ис) (фд:)]: фу. =у . у = (ис) (фд:)
Доказательство.
Ь > *14-1 . э Ь :. [(ис) (фд:)]: фу . =у . у = (ис) (фл:) :
= = (3 Ь): фу - =у - у = b: фу _ =у . у = b :
[*4-24 _ *10-281] = : (gfc): фу . =у . у = b:
[*14-11] = : Е ! (ис) (фд:):. э Ь . Prop
Это предложение следует сравнить с *14-241, где в силу меньшей
области символа Ол:)(фл:) мы получаем импликацию вместо эквивалентности.
180 Оно является ложным, так как проблема квадратуры круга, как известно,
неразрешима. — Прим. ред.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

260
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ КАЖУЩИХСЯ ПЕРЕМЕННЫХ
♦14-241. Ь : Е ! (ijc) (фд:). z>: фу. =у . у = (ijc) (фд:)
Доказательство.
h . *14-203 . эЬ :: Нр . э :. фу . фд:. э .у = х:>
[Ехр] э :. фу.=>: фх.э >)> = jc::
[*10-11-21] э h :: Нр . э :. фу . э : фд:. :>* . у = jc :.
[*4-71] э :- фу . = : фу: фд: - =>* . у - х:
[*13-191] = :у = jc . :>* > фд:: фд:. =>*.у = х:
[*10-22] = :фд;.=х.;у = лг:
[*14-202] = : у = (ijc) (фд:):: э Ь . Prop
*14 242. h :. фд:. =л - jc = Ь: =>: \^/Ь . = . \j/ (ijc) (фд:) [*14-202-15]
♦14-25. Ь :. Е ! (ijc) (фд:) . =>: фдо*\|/д:. = . \|/ (ijc) (фд:)
Доказательство.
Ь . *4-84 > *10-27-271. => Ь :: фд:. =х . jc = Ъ : =>:. фдох\|/д: - = : jc = Ь . =>* . \j/jc :
[*13-191] =:\|/Ь:
[*14-242] =. \|/ (ijc) (фд:): (1)
Ь. (1). *10-11-23 . z> Ь:. (gfc): фд:. =х . х = Ъ :
э : фх1>хуцх - = - \|f (ijc) (фд:) (2)
К(2).*14-11. эЬ.Ргор
*14-26. h :. Е ! (ijc) (фд:) - =>: (gjc). фд:. \|/jc . = . \|/ {(ис) (фд:)}. = . фдо^уд:
Доказательство,
h. *14-11 .=>
У :-Нр. э :(gb): фд:. =х . х = Ь (1)
Ь . *10-311 . => h :: фд:. =х > jc = Ъ : э :> фд:. \|/jc > =* . jc = Ъ. \|/jc :.
[*10-281] z>:. (дд:)фд:. yjc > = - (gjc). jc = b . \\fx.
[*13-195] =.i|/fc_
1*14-242] =.у{(тх)(фдс)} (2)
b.(2).*10-ll-23.z>
Ь :. (gb) : фд:. =x . jc = b : =>: (gjc). фд:. \j/jc - = . \|/ {(ijc) (фд:)} (3)
К(1).(3).*14-25.:эЬ.Ргор
*14-27. Ь :- E ! (ijc) (фдс) - э : фдт^^^д:. = . (ijc) (фд:) = (ijc) (\|/jc)
Доказательство,
h . *4-86-21 > => h :: фд: - = . jc = b : =>:- фд: - vj/jc : = : \|fjc. = - jc = b (1)
h . (1) - *10-ll-27 . => Ь :: фд:. =x . x = b : =>:. (jc) :. фд:. = . \|/jc : = : \|/jc . = . jc = b :.
[*10-271] :> :. фд:. =x . \|/jc : = : \|/jc > =x - x = b :
[*14-202] = :b = (ix)(^x):
[♦14-242] =: (ijc) (фд:) = (ijc) (yjc) (2)
h . (2). *10-ll-23 . *1441 _ z> h . Prop
*14-271. Ь :. фд:. =x . \|/jc : э : E ! (ijc) (фд:). = . E ! (ijc) (\|fjc)
Доказательство.
Ь > *4-86 . => h :: фд: = \|fjc . =>:. фд:. = . jc = b : = : \|/jc . = . jc = b ::
[*10-ll-27] => Ь :: Нр . э :. (jc) :. фд:. = . jc = b : = : \|fjc. = . jc = b :.
[*10-271] z> :- (x): фд:. = . jc = b : = : (jc) : \|fjc. = . jc = b::
[*10-11-21] => Ь :: Hp . =>:. (b) :. фд:. =x > jc = b : = : \|/jc . =x . jc = b :.
[*10-281] э :. (gb): фд:. =x . д: = b : = : (gb): \ifx. =x . д: = Z?::
э Ь > Prop
Principia Mathematica I

♦14. ОПИСАНИЯ
261
*14-272. h :. фх > =х . \|лх: z> : х 0*) (ф*) - = • X 0*) (\|/jc)
Доказательство.
h > *4-86 . э h :: фд: = \|/jc. =>:. фх. = . jc = Ъ : = :\|/jc> = . jc = Ь :.
[*1011-414]=> Ь :: Нр . э :. фх. =х - jc = Ь : = : \\fx. =х . jc = Ь :.
[Fact] =>:. фх. =* . х = Ъ: х& : = ** V* * =х • х = Ь : yb :.
[*10-11-21] => Ь :: Нр > э :. (Ь) :. фх. =х . jc = Ь: х^ : = : \|/jc. =х . jc = Ь : х^ :-
[*10-281] э :. (gfc): фд:. =х . jc = Ь : %Ь : =
: (gfc) :\|/х .=х . х =Ъ: ф :.
[*14-101] z>:. х Ы) (ф-зс) - = - х 0*) (у*) " => Ь • Prop
Два приведенных выше предложения показывают, что Е! (ix) (фх) и
Х(ис)(ф;с) являются "экстенсиональными" свойствами фх, т.е. их
истинностное значение остается неизменным при подстановке вместо фх любой
формально эквивалентной ей функции \|/х.
*14-28. Ь : Е ! (ис) (фд:). = . (ix) (фд:) = (ис) (фх)
Доказательство.
Ь . *13-15 . *4-73 - э Ь :. фх. =х . jc = Ъ : = : фд:. =х . jc = Ъ : Ь - Ь (1)
Ь . (1) - *10-11-281. z>
h :. (gb) : фх. =х . jc = Ь: = : (д£): фх. =х . jc = Ь : Ъ = Ь (2)
Ь.(2).*14-1-11.эЬ.Ргор
Это предложение гласит, что (ис) (фх) тождественен самому себе всякий
раз, когда он существует, и никак иначе. Поэтому, например, предложение
"правящий король Франции есть правящий король Франции" ложно181.
Целью следующих предложений является продемонстрировать, что
когда имеет место Е ! (ис) (фх), то область (ijc) (фх) не существенна для
истинностного значения любого предложения, в которое входит (ис) (фх). Это
предложение не может быть доказано в общем случае, но может быть
доказано в каждом частном случае. Следующие предложения указывают метод,
который всегда продолжается посредством предложений *14-242, *10-23 и
*14-11. Указанное предложение может быть доказано в общем виде, когда
(ix) (фх) входит в форме х Ьх) (фх) и х О*) (ф*) входит в то, что мы можем
назвать "истинностной функцией", т.е. функцией, чья истинность или
ложность зависит исключительно от истинности или ложности ее аргумента
или аргументов. Это охватывает все случаи, с которыми нам когда-либо
придется иметь дело. Т.е. если х (1JC) (Ф*) входит любым способом,
который может быть получен с помощью процессов из *1-*11, то, при условии
Е ! (ис) (фх), истинностное значение / {[(ис) (фх)]. хО*)(Ф*)} в точности
совпадает с таковым для
[(1х)(фх)]./{х(«)(фх)}.
Это доказывается в следующем предложении. В нем, однако,
использование предложений в качестве кажущихся переменных привлекает аппарат,
нигде больше не востребованный, и в последующем изложении это
предложение мы поэтому нигде не использовали.
181 Это предложение ложно, так как не существует правящего короля Франции. На
момент написания книги Франция являлась республикой. — Прим. ред.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

262
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ КАЖУЩИХСЯ ПЕРЕМЕННЫХ
*14 3. hz.p = q. эм . f(p) = f(q) : Е ! (ix) (фх) : => :
/ {[(«) (Ф^] • X («) (Ф*М • = • [ЬХ) (фх)] . / (X (IX) (фх)}
Доказательство.
Ь . *14-242 . э
Ь :. фх. =х . х = Ъ: z>: [(ix) (фх)]. х (ix) (фх). = . *ф (1)
Ь > (1) > z> Ь :. р = q . эм . /(р) = /(#) : фх. =х . х = Ь : э :
/ КО*) (фх)]. X Ох) (фх)}. ее . /(хЬ) (2)
Ь . *14-242 . э
Ь :. фх. =х . х = Ь: э : [(ix) (фх)]. / (х (тх) (фх)}. ее . f(Xb) (3)
К(2).(3).э
Ь :> р ее ^. эм . /(/?) = /(^) : фх. =х . х = Ь : э :
/ {[(ix) (фх)]. х Ох) (фх)}. ее . [(ix) (фх)]. / (х Ох) (фх)} (4)
Ь . (4). *10-23 . *14-11 . z> Ь. Prop
Следующие предложения являются непосредственными приложениями
данного выше предложения. Они, однако, доказываются независимо, так
как *14*3 вводит предложения (а именно р и q) в качестве кажущихся
переменных, чего мы нигде не делали, и что не может быть сделано
легитимно без явного введения иерархии предложений с аксиомой сводимости,
подобной *12-1.
*14 31. Ь :: Е ! (ix) (фх) . э :. [(ix) (фх)]. р V х (ix) (фх) .
Е=:р.У.[0х)(фх)Ьх0х)(фх)
Доказательство.
V . *14-242 . э V :. фх. =х . х = Ь : z>: [(ix) (фх)] - р V х (ix) (фх) . = .p\/yb (1)
V > *14-242 . э V :. фх. =х . х = Ъ : z>: [(ix) (фх)] > х Ох) (фх) . = . *ф :
[*4-37] z>:р V [(ix)(фх)]х(ix)(фх) . = .рУ%Ь (2)
V . (1). (2). z> Ь :. фх. =х . х = Ъ : э : [(ix) (фх)] - р V х (ix) (фх) -
= ./^[0х)(фх)]х(1х)(фх) (3)
Ь . (3). *10-23 . *14-11. z> Ь . Prop
Следующие предложения доказываются точно таким же путем, как и
*14-31; следовательно, мы будем просто указывать ссылки на предложения,
используемые при доказательствах.
*14 32. Ь :. Е ! (ix) (фх). = : [(ix) (фх)]. ~ х (ix) (фх).
= .~{[(1х)(фх)].х0х)(фх)}
[*14-242 . *4-11. *10-23 . *1441]
Эквивалентность, утверждаемая в этом месте, не выполняется, когда
~Е!(1х)(фх). Предположим, например, что фу есть "у —король Франции".
Тогда (ix) (фх) = король Франции. Пусть уу будет "у лысый". В таком
случае
[(ix) (фх)]. ~ х (ix) (фх). = . король Франции существует и
он не лысый;
а
~ [(ix) (фх)]. х (ix) (фх) - = - ложно, что король Франции
существует и он лысый.
Из них первое ложно, второе истинно. Любое из них могло бы иметь
смысл "король Франции не лысый", что неопределенно, однако было бы
более естественным принять первую (ложную) интерпретацию в качестве
Principia Mathematica I

*14. ОПИСАНИЯ
263
смысла этих слов. Если бы король Франции существовал, то оба
предложения были бы эквивалентны; поэтому в применении к королю Англии
оба предложения являются истинными или оба являются ложными.
*14 33. Ь :: Е ! (ijc) (фд:). z>:_ [(ijc) (фх)]. р э х Ьх) (Ф*) •
= : р . э . [(ix) (фх)]. х (ix) (фх)
[*14-242 . *4-85 . *10-23 . *14-11]
*14 331. h :: Е ! (ix) (фх). z>:_ [(ijc) (фд:)]. х Ох) (фд:) z> p .
= : [(ix) (фд:)]. х (ix) (фх). ^ • Р
[*4-84 . *14-242 . *10-23 . *14-11]
*14 332. Ь:: Е ! (ис) (фд:). э :. [(ис) (фд:)]. р = х (ис) (фд:) _ =
: р . = . [(ix) (фх)]. х Ьх) (фд:)
[*4-86 . *14-242 . *10-23 . *14-11]
*14 34. Ь :. р: [(ix) (фд:)]. X Ох) (фх): = : [(ix) (фд:)]: р . X Ьх) (фх)
Это предложение не требует гипотезы Е ! (ix) (фх).
Доказательство.
K*14-l_z>
Ь :. р : [(ix) (фд:)]. х Ьх) (фх) : = : р : (gfc) : фх _ =х . х = Ъ : ур :
[*10-35] = : (gfc) : р: фд:. =х . jc = Ь: *ф:
[*14-1] s : [(ijc) (фд:)]: р. х (ix) (фх) :. э h . Prop
Предложения приведенного выше типа могли бы быть продолжены до
бесконечности, однако поскольку они доказываются по единообразному
плану, то нет никакой необходимости выходить за пределы основных
случаев р V q, ~ р, р => q и р - q.
Следует заметить, что предложение, в котором (ix) (фх) имеет большую
область, всегда подразумевает соответствующее предложение, в котором
этот символ имеет меньшую область, однако обратная импликация
имеет место, лишь если либо (а) мы имеем Е! (ix) (фх), либо (Ь) предложение,
в котором (ijc) (фх) имеет меньшую область, влечет Е ! (ис) (фх). Второй
случай встречается в * 14-34, и именно по этой причине мы получаем
эквивалентность без гипотезы Е ! (ix) (фх). Предложение, в котором (ис) (фх) имеет
большую область, всегда влечет Е ! (ix) (фх) в силу * 14-21.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

ГЛАВА 3.
КЛАССЫ И ОТНОШЕНИЯ
*20. Общая теория классов
Краткое содержание *20.
Нижеследующая теория классов обеспечивает соответствующие
обозначения для представления классов, но строится без допущения о том, что
существуют такие вещи, как классы. Эти допущения делаются только при
определении высказываний, выражения которых содержат символы,
представляющие классы, как, например, в параграфе *14, где были определены
высказывания, содержащие описания.
Характеристикой класса служит то, что он состоит из всех термов,
удовлетворяющих некоторой пропозициональной функции. Таким образом,
всякая пропозициональная функция определяет некоторый класс, причем
две формально эквивалентные функции (т.е. такие, что как только одна из
них истинна, истинна и другая) определяют один и тот же класс, и
обратно, две функции, определяющие один и тот же класс, формально
эквивалентны. Если две функции формально эквивалентны, мы будем говорить,
что они имеют один и тот же объем182. Неполные символы, которые
занимают место классов, используются в технических целях, чтобы выразить
нечто, отождествляемое в случае двух функций, имеющих один и тот же
объем. Без этого нечто, представляющего классы, мы не можем, например,
подсчитать комбинации, образуемые из данного множества объектов.
Истинностные значения предложений, в которых встречается
функция ф, могут зависеть от частной функции ф или же только от объема
ф. В первом случае мы будем называть предложение интенсиональной
182 В оригинале: extension. — Прим. перев.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

266
ГЛАВА 3. КЛАССЫ И ОТНОШЕНИЯ
функцией от ф, во втором — экстенсиональной функцией от ф. Например,
(jc) . фх и (gjc). фх — экстенсиональные функции от ф, поскольку, если ф
формально эквивалентна \|/, т.е. если фх. =х . \|/jc, мы имеем (jc) фх. = . (jc) \|tjc
и (gjc) фх. = . (gjc) \|/jc. С другой стороны, "я считаю, что (jc) . фх" —
интенсиональная функция, поскольку, даже если фх. =х > yjc, то ниоткуда не
следует, что я считаю, что (jc). \|/jc, следует из того, что я считаю, что (jc) . фд:.
Свойство экстенсиональности функции / от функции ф! z есть
ф ! д:. = х . у! д:: эф,у : / (ф ! z). = - / (\|/! z).
(Мы пишем ф! 2, когда говорим о функции в противопоставлении к
аргументу.) Все функции, интересные с математической точки зрения,
экстенсиональны.
Когда функция ф! z экстенсиональна, ее можно рассматривать как
нечто, присущее классу, определяемому ф! г, поскольку ее истинностное
значение не изменяется, пока не изменяется класс. Поэтому нам в теории
классов необходим метод получения экстенсиональной функции по любой
заданной функции от функции. Это достигается при помощи следующего
определения.
♦20-01. f{z(yz)}. = : (аф): ф ! х . =х . yjc: /{ф!2} Df
Здесь f{z(w)} есть на самом деле функция от \|/2, которая определена,
когда / {ф ! z] имеет значение для предикативной функции ф ! Ь Несмотря
на это, удобно считать, что f{z(yz)} как будто бы имеет аргумент z(v^z),
который будем называть "классом, определяемым функцией \|/£". Далее будет
показано, что f{z(yz)} всегда является экстенсиональной функцией от \|/2,
и что применяя определение тождества (*13-01) к фиктивным объектам
2(фг) и 2(\|/z), мы будем иметь
2(фг) = z(yz) • = ' (х): фх - = . yjc.
Это является отличительной характеристикой классов и обосновывает
трактовку z(yz) как класса, определяемого функцией \\fz.
По отношению к области действия z(\\fz) и порядку элиминации двух
таких выражений мы будем принимать те же соглашения, что и
введенные в *14 для (ис)(ф;с). Условие, соответствующее Е! (ijc) (\|/jc), есть
(ЗФ) : Ф • х.=х .\\fx и всегда выполняется в силу *12-1.
Следуя Пеано, мы будем использовать нотацию
xez(yz)
для выражения "jc есть элемент класса, определяемого \|/£". Введем
следующее определение:
*2002. jc€^!z). = ^!jc Df
В этой форме данное определение никогда не используется; оно введено
только ради предложения
h :> jc е z yz . = : (дф): \|/у • -у - Ф • У : Ф • х>
которое выводится из *20-02 и *20-01 и ведет к
Ь: jc е 2 \|/г - = . yjc
посредством *12-1.
Мы будем использовать строчные греческие буквы (отличные от
е, L, я, ф, \\f, х, 0) для обозначения классов, т.е. для замены выражений
вида z (фг) или z (ф I z). Когда строчная греческая буква встречается в каче-
Principia Mathematica I

*20. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КЛАССОВ
267
стве кажущейся переменной, она считается заменяющей выражения вида
£(ф!г), где ф есть явно указанная кажущаяся переменная. Использование
одной буквы вместо таких выражений, как z (фг) или z (ф! z), на
практике почти обязательно, так как в противном случае обозначения быстро
становятся невыносимо громоздкими. Таким образом, запись "лт" будет
означать "jc есть элемент класса а" и может использоваться всюду, где нет
какой-либо специальной определяющей функции для класса а.
Следующая дефиниция определяет, что понимается под классом.
*20 03. С18 = а{(дф).а = 2(ф!г)} Df
Заметим, что выражение "а{(дф). а = 2(ф !z)}" не может встречаться
изолированно: мы определяем (в *20-01) лишь некоторые конкретные
использования подобных выражений. Вышеприведенное определение
разрешает использовать символ " Cls" как замену выражения d {(дф) - а = z (ф ! z)}
всюду, где последнее встречается; при этом значение комбинации символов
не меняется. Таким образом, символ "Cls" также не может встречаться
изолированно, а только в некоторых конкретных контекстах.
Наше последнее определение, как и многие последующие,
двусмысленно по отношению к типам. Латинская буква z, в соответствии с нашими
соглашениями, должна представлять наинизший тип; тогда ф имеет
непосредственно следующий за ним тип. Удобно говорить о классе как об
объекте того же типа, что и его определяющая функция; тогда а имеет тип,
непосредственно следующий за z, a "Cls" имеет тип, непосредственно
следующий за а. Таким образом, тип "Cls" фиксируется относительно
наинизшего рассматриваемого типа; но если в двух разных контекстах
различные типы являются наинизшими, то значение "Cls" будет различным
в этих двух контекстах. Значение "Cls" становится определенным, лишь
когда специфицирован наинизший тип.
Равенство между классами определяется путем буквального
применения *13-01 к определяющей функции и дальнейшего использования *20-01.
Предложения настоящего параграфа могут быть разделены на три
группы. Первые —это предложения, которые относятся к фундаментальным
свойствам классов; они заканчиваются на *20-43. Затем идет группа
предложений, которые относятся одновременно к классам и описаниям; они
охватывают предложения с *20-5 по *20-59 (за исключением *20-53-54).
Наконец, у нас имеется группа предложений, предназначенных для
доказательства того, что классы классов обладают всеми теми же формальными
свойствами, что и классы индивидов.
Перечислим основные предложения первой группы.
*20 15. Ь :. \\rx.=x.z (yz) = z (xz)
Т. е. два класса идентичны тогда и только тогда, когда определяющие
их функции формально эквивалентны. Это основное свойство классов.
*20-31. Ь :.z(yz) = z(xz). = :xez(yz) . =х -xez(xz)
Т. е. два класса идентичны тогда и только тогда, когда они имеют одни
и те же элементы.
*20 43. \-:.а = р. = :хеа.=х.хе$
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

268
ГЛАВА 3. КЛАССЫ И ОТНОШЕНИЯ
. Это то же самое предложение, что и *20-31, только использующее
греческие буквы вместо 2(\|/z) и z(%z).
♦20-18. Ь:. z (фг) = z (yz). э: /{2(фг)}. =. /{ztyz)}
Т. е. если два класса идентичны, любое свойство одного присуще и
другому. Это аналог предложения *13-12.
♦20-2-21-220тношение идентичности классов рефлексивно, симметрично и
транзитивно.
♦20-3. Ь : х е z (щ) - = - \|/дс
Т. е. терм принадлежит классу тогда и только тогда, когда он
удовлетворяет определяющей функции класса.
Во второй группе предложений (*20-5 — *20-59) мы показываем, что при
определенных обстоятельствах выражения вида (ис)(фд:) могут быть
подставлены вместо х в *20-3 и различные другие предложения первой группы,
и доказываем некоторые свойства выражений вида "(ш)С/а)'\ т.е. "класс,
который определяется функцией /". Здесь следует напомнить, что "а"
обозначает "2(фг)", а "/а", следовательно, обозначает "/{2(фг)}". В
действительности, это функция от ф2, а именно экстенсиональная функция,
связанная с /(\|/!2) при помощи *20-01. Таким образом, выражение, содержащее
переменный класс, всегда представляет собой сокращение для выражения,
содержащего переменную функцию.
Третья группа предложений показывает, что переменные классы
удовлетворяют всем примитивным предложениям, сформулированным ранее для
переменных индивидов или функций, откуда при помощи простого
повторения доказательств первой группы предложений (*20-1 — *20-43) можно
заключить, что классы классов имеют все формальные свойства классов
индивидов или функций. Нам не представится возможности явно
рассматривать классы функций, но классы классов будут встречаться постоянно —
например, каждое кардинальное число будет определено как класс классов.
Классы отношений, которые также будут часто встречаться, обсуждаются
в *21.
♦20-01. f{z(vz)} - = : (аф) : у ! х. = х. Х|/х: /{ф!|} Df
♦2002. хе(ф!2). = -ф!д: Df
♦2003. Cls = a Kg ф). а = z (ф ! z)} Df
Три следующих определения введены только лишь в целях сокращения.
♦2004. х,уеа. = .хеа.уеа Df
♦2005. jc, j,z€a. = .x,yea.zeci Df
♦2006. jc~ea. = .~(jc€a) Df
Следующие определения лишь распространяют те определения,
которые уже были даны для других символов, на символы, представляющие
классы, с минимальными возможными модификациями.
♦20-07. (a). /a . = . (ф). / [z (ф ! z)} Df
♦20-071. (3а). /а . = . (Яф). / К (ф ! z)} Df
♦20-072. [(ш) (фа)]. / (ш) (фа) . = : (gу) : фа . =а . а = у : /у Df
♦20-08. /{а(\|/а)}. = : (аф): уа • =а - Ф ! « : / (ф ! a) Df
♦20-081. аеу!а. = .\|/!а Df
Principia Mathematica I

*20. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КЛАССОВ
269
Следующие предложения выражают наиболее общие свойства классов.
*20 1. Ь :. Жщ)} . = : (зФ) : ф! jc . =, . \|/jc : /{ф!2} [*4-2 . (*20-01)]
*2(М1. Ь :. ух. =х . XJC: э : /{2(\|/z)}. = . fffixO)
Доказательство.
h . *4-86 . э Ь :: Нр . э :. ф ! jc. =х . \|/jc : =ф : ф ! х. =х . х* *•-
[*4-36] э :. ф ! х. =* . ух: f {ф ! 2}: =ф : ф ! л:. =л . %х: f {ф ! 2}:.
[♦10-281] э :. (аф): ф ! х. =* . \|/д:: / {ф ! 2}:
= : (аф): ф ! д:. еел . %х: f {ф ! 2} :.
[*20-1] э :. f{z(yz)} . = . Л2(хг)}:: э h . Prop
Это доказывает, что каждое высказывание относительно класса
выражает некоторое экстенсиональное свойство определяющей функции
класса, и, следовательно, его истинность или ложность не зависит от выбора
функции, определяющей класс, а зависит только от объема определяющей
функции.
♦20-111. Н:./(ф!2)-зф^(ф!2):э:/{2(ф!г)}.=ф.^{2(ф!г)}
Доказательство.
Ь. Fact. э Ь:: Нр. э:. ф! х. =х. \|/! jc : / (у! 2): =: фI х. =х. у! *: g (у I 2)::
[*10-11-21] :> h:: Hp. э:. ф! jc. =x. у! jc : / (y! 2): =v: ф! Jc. =x. \|/! jc: g (y! 2):-
[*10-281] э:.(аУ):фЬ.^-У^:/(у12): = :(аУ):ф^-^.у!.^:^(у!2):.
[*20-l] э:./{2(ф!*)}.гг.${2(ф!*)} (1)
К(1).*10-11-21.:эЬ.Ргор
*20112. h :. (as):- / {2 (ф ! z)} - =Ф . g {2 (ф ! z)}
Доказательство.
.*121 .эН:.(ай:/(ф!г).=ф^(ф!2) (1)
Ь.(1).*20-Ш.эКРгор
Таким образом, аксиома сводимости справедлива и в случае, когда
классы используются в качестве аргументов.
♦20-12. V : (аф) : ф ! jc. =х . ух: /{2(\|/z)} - = . / {2 (ф ! z)} [*20-ll . *12-1]
*2013. Ь :. \|/*. =х . х*: => : 2(\|/z) = 2(xz)
Значение выражения "z(yz) = 2(xz)" может быть получено двойным
применением *20-01 к *13-01 с использованием соглашения о том, что z(yz)
должно иметь большую область действия, чем z{yj)^ поскольку
встречается раньше.
Доказательство.
V . *20-1. э V:: z(yz) = z(xz) . = :- (аФ): у* • =* • Ф ' *: ф ! 2 = z(xz)
[*20-1] = :. (аф, в):. ух. =х . ф ! jc: х* - =х - 9 ! jc: ф ! 2 = 9 ! 2 (1)
Ь . *12-1. *10-321. э
г :: Нр . э :. (аф) :. ух. =* . ф ! х: %х. =х . ф ! х:.
[*13-195] э :. (аф, 9):. \|/jc . =х . ф ! jc : %х. =* . 9 ! jc : ф ! 2 = в ! 2 (2)
К (1). (2). э1-. Prop
*2014. Ь :. z(yz) = 2(xz) - => - W • =х - X*
Доказательство.
Ь . *20-1 . э h :: 2(\|/z) = z(xz) - = » (аФ) : Vх • sjc - Ф ' х: ф ! 2 = 2(xz)
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

270
ГЛАВА 3. КЛАССЫ И ОТНОШЕНИЯ
[*20-1] = :. (аф, 0) :. \\fx. =х . ф ! х: %х. =х . 0 ! х: ф ! 2 = 0 ! 2 :.
[*13-195] = :. (аф) :. \|fjc. =* . ф ! х: %х. =х . ф ! *:.
[*10-322] d :. \|fjc. =л . х* " => Ь . Prop
Это предложение является обращением *20-13.
*2015. Ь :. у*. =х . х*: = . 2(yz) = 2(/z) [*20-13-14]
Данное предложение утверждает, что две функции определяют один и
тот же класс тогда и только тогда, когда они формально эквивалентны,
т.е. выполняются при одном и том же наборе значений. Это существенное
свойство классов, обосновывающее корректность определения *20-01.
*20151. ЫэФ)-2(уг) = 2(ф!г)
Доказательство.
h . *20-15 . э h :. ух. =хх. ф ! х: э . 2 iyz) = 2 (ф ! z) :-
[*10-11-28] э h :. (аф): \^jc . =хх. ф ! jc : э . (дф). 2 iw) = 2 (ф ! z) (1)
К(1).*12-1. э К Prop
Вследствие данного предложения все классы могут быть получены из
предикативных функций. Этот факт особенно важен, когда классы
используются в качестве кажущихся переменных. Ибо в этом случае, в
соответствии с определениями *20-07-071, кажущиеся переменные действительно
включены в предикативную функцию. Благодаря *20-151 при этом нет
ограничений на используемые классы, за исключением неизбежного
ограничения, являющегося следствием природы их принадлежности. Таким
образом, класс в отличие от функции имеет свой порядок, определяемый
порядком его возможных элементов, т.е. аргументов, для которых
определяющая функция класса является значимой.
*2016. Ь : (Эф) : / {2 (Vz)}. = . / {2 (ф ! z)} [*20-12]
*20-17. Ь : (ф) . / {2 (ф ! z)}. з - / {2 (yz)) [*20-16 . *10-1]
*2018. Ь:. 2 (фг) = 2 (vz) - э: / {2 (фг)} - = - / {2 (yz)} [*20-11-15]
*2019. h:.2(vz) = 2(xz).s:CO:/!2(vz).3-/!2(xz)
Доказательство,
h . *20-18 . «10-11-21. э Ь :. 2 (\|/z) = 2 (xz). э :
0)/I2(Vz)-3./!2(xz) (1)
h . *20-18-15 . э h :: ф ! x. =**. \|f*: 0 ! x. =xx. x*:
/!2(^г)-э./!2(хг):э:/!2(ф!г)-э./!2(в!й (2)
K(2).*10-ll-27-33.z>
h :: ф ! x. =** . \\rx: 0 ! *. =xx. x* » if)'- f ! 2 (vz) -=>-/! 2 (xz) :. => :.
(Л/!2(ф!г)-э./!2(в!г):-
[*20-112.*10-l] з :. ф ! x. =**. ф ! x: э : ф ! х. =xjc . 0 ! х:.
[*4-2] э:. ф ! х. =хх. 0 ! х:.
[*10-301-32.Нр] э :. у*. =хх. х*:.
[*20-15] =>:.2(¥z) = 2(xz) (3)
К(3).*10-11-23-35.:э
h :: (аф, 0) : ф ! х. =**. \\гх: 0 ! х. =хх. х*:. if) - f ! 2 iyz) -=>./! 2 (xz):.
э . 2 iyz) = 2 (xz) (4)
Ь.(4).*12-1. эН:-(Я:/!2(^г)-э-/!2(хг):э.2(^) = 2(хг) (5)
h.(l).(5). эЬ.Ргор
*20-191. h:.2(Vz) = 2(xz)-s:CO:/!2(vz)-s./!2(xz)
Principia Mathematica I

*20. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КЛАССОВ
271
*20-2. Ь.2(фг) = 2(фг)
Доказательство.
Ь. *2(Н5 -
[*20-18-19. *10-22]
э Ь :. z (фг) = 2 (фг) - = : ф* =хх . ф* (1)
Ь.(1).*4-2.*10-11.зКРгор
*20-21. Ь: 2 (фг) = 2 (W) • = - z (yz) = 2 (фг) [*20-15 . *10-32]
*20-22. h : z (фг) = 2 (yz). 2 (уг) = z (xz). :>. 2 (фг) = 2 (xz)
[*2016 . *10-1]
Вышеприведенные предложения не являются непосредственными
следствиями предложений *13-15-16-17 по причинам, аналогичным изложенным
в замечании к *14-13, а именно потому, что /{2(уг)} не есть значение /*,
и, следовательно, "2(фг) = 2(\|/г)" не есть значение "х = у".
*20-23. Ь : z (фг) = 2 (щ) - 2 (фг) = 2 (xz) - э . 2 (\|/г) = 2 (xz) [*20-21-22]
*20-24. h : 2 (vz) = 2 (фг) - 2 (xz) = 2 (фг). э . 2 (уг) = 2 (xz) [*20-21-22]
*20-25. Ь :. а = г (фг) - =*а. а = г (уг): = . г (фг) = 2 (уг)
Доказательство.
a = 2 (фг) - =xa - a = z (уг): =>:
2 (фг) = 2 (фг). = . 2 (фг) = 2 (уг):
=>:2(фг) = 2(уг)
a = 2 (фг). 2 (фг) = 2 (уг). э . a = z (уг):
2 (фг) = 2 (уг). э: a = г (фг). э. a = 2 (уг)
Ь.*10-1. эН:
[*20-2]
Ь . *20-22 . э Ь :
[Exp.Comm] z> Ь:
Ь. *20-24
[Ехр] э h:
К(2).(3). =>h
[*10-11-21] эН:
К(1).(4). =>К
*20-3. Ь:*е2(уг).=
Доказательство.
Ь.*20-1.з
Ь::*ег(уг).=
[(♦20-02)] s
[*10-43] s
[*10-35] =
[*12-1] =
. 2 (фг) = 2 (уг)
. 2 (фг) = 2 (уг)
. 2 (фг) = 2 (уг)
. 2 (фг) = 2 (\|/г)
Prop
у*
. a = 2 (уг). э. a = г (фг):.
: a:
: a:
■z(\\fz).
: 2 (фг).
э . a = z (фг)
= .а = г(уг):.
а = г (фг). =*а. а = г (уг)
(1)
(2)
(3)
(4)
■(ЯФ)
-(ЯФ)
-(ЯФ)
.(ЯФ)
.\\fx::
=хУ
=хУ
=хУ
■ ф!у
.ф!у
:.\|ту
: W - =хУ - Ф ! J
э h . Prop
: х е (ф ! г) :
: ф! XI.
ф\у:\ух:.
\\fx:.
Данное предложение показывает, что х является элементом класса,
определяемого у тогда и только тогда, когда х удовлетворяет \|/.
«20-31. Ь:.2(уг) = 2(фг). = : xez(w) - =xx.xez(xz) [*20-15-3]
*20-32. Ь . х [x e z (фг)} = 2 (фг) [*20-3-15]
*20*33. Ь :. а = г(фг). = : хеа . =хх. фх
Доказательство.
К *20-31. z>h :. а = г(фг)- = :хеа. =хх.хе2(фг) (1)
Н - (1) - *20-3 . э Ь. Prop
Здесь а пишется вместо некоторого выражения вида 2(уг).
Использование одиночной греческой буквы удобно во всех случаях, когда нет
необходимости указывать определяющую функцию.
А. Н. Уайтхед, Б. Рассел

272
ГЛАВА 3. КЛАССЫ И ОТНОШЕНИЯ
*е(ф!г).:э;сф.;уе(ф!г):
ф ! х. гэ^ф . ф ! у:
л = у:.:эКРгор
*20-34. h :.x = y . = :xea.z>xa.yea
Доказательство.
Ь . *4-2 . (*20-07). эЬг.леа.э^л.уеа: =:
[*20-3]
[*13-1]
Данное предложение вместе с *20-25 иллюстрирует использование
греческих букв в качестве кажущихся переменных.
*20-35. \-:.х = у. = :хеа. =ха.уеа [*20-3 . *13-11]
*20-4. Ь : a e Cls. = . (дф) a = z (ф I z) [*20-3 . (*20-03)]
*20-41. h.2(\|/z)€Cls [*20-4-151]
*20-42. \-.z(zea) = a
Греческая буква a (как и некоторые другие) на самом деле является
лишь сокращением для выражения вида z (фг); таким образом, данное
предложение, по существу, есть повторение предложения *20-32.
Доказательство.
h . *20-3 . *10-11 . z>h : xez(\\fz). =xx .\\tx
[*20-15] э Ь . х [х е z (yz)} = х (ух). z> Ь . Prop
*20-43. \-:.а = р. = :хеа.=хх.хеР [*20-31]
Следующие предложения относятся к случаям, когда встречаются как
классы, так и описания. В подобных ситуациях, применяя определения
*13-01 и *2001, мы будем использовать соглашение о том, что описания
должны иметь более широкую область действия, чем классы, если не
оговорено противное.
*20 5. Ь : (1л) (фл) е l (yz) . = . \|/ {(лх) (фл)}
Доказательство.
h . *14-1 . z> h :: (ix) (фл) ez (\|/z) . = :
[*20-3]
[*14-1]
*20-51. h :. (1л) (фл) = Ъ . = : (1л) (фл) е a . =^a . Ь е a
Доказательство.
Ь . *20-5-3 . э
Ь :. (ijc) (фл) ez (\|/! z) - = . Z?ez (у! z): = : У ! О*) (фл). = . у [Ь :. э
[*10-11] h :. Ох) (фл) е a . =xa . Z? e a : =:. у! (uc) (фл). =x\\f .\\flb:
[*14-1] = : (i*) (фл) = Z? :. э h . Prop
*20-52. h :. E ! (ijc) (фл). = : (gZ?): (лх) (фл) e a . =xa .bea
Доказательство.
Н.*20-51.*10-11-281.э
h :. (gZ?). (ix) (фл) = b . = : (gZ?). (1л) (фл) e a . =xa .bea (1)
h . (1). *14-204 .Dh. Prop
*20-53. h :. (3 = a . z>x(3 . фр : = . фа
(gc) : фл:. =xx ,x = c:cez (}\fz) '
(gc) : фл. =хл . x = с : \|/c :.
\|/ {(1л) (фл)} ::d(-. Prop
Principia Mathematica I

*20. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КЛАССОВ
273
:. р = а . z>jcP . фр : з : а = а . з . фа :
з: фа
. Р = а. з:фа. з .фр.-.
.фа . з : Р = а. з . фР:.
. фа . з : Р = а. злф . фР :.
Prop
Это аналог предложения *13191.
Доказательство.
Ь.*10-1. зЬ
[*20-2]
Ь.*20-18-21. зЬ
[Comm] з Ь
[*1011-21] зЬ
h.(l).(2). зЬ
*20 54. Ь : (gP). р = а. фр . = . фа
Это аналог предложения * 13-195.
Доказательство.
Ь.*20-18.*10-11
[*10-23]
Ь . *20-2 . *3-2 .
[*10-24]
h.(l).(2).
♦20-55. h . 2 (фг) = (ia) (jc e a . =xx. ф*)
Доказательство.
К *20*33 . зК :. jcea. =*;с.ф;с: =*a. а = 2(фг):.
[*20-54] з Ь :. (gP) :. х е а . =х*. фх: =ха . а = Р :. 2 (фг) = Р :-
[*14-1] з h. 2(фг) = (ia)(jcea. =хх. ф*). зh .Prop
♦20-56. h . Е ! (ia) (xea . =xjc. ф*) [*20-55 . *14-21]
*20-57. Ь:. 2 (фг) = (ia) (/а). з : g {2 (фг)} .s.g {(ia) (/a)}
Доказательство.
Ь . *14-1 . з Ь :: Нр . = :. (gP) : /a . =ха . а = Р :. 2 (фг) = Р :.
= :./а.=;са.а = 2(фг)
^Ь:.^{(ш)(/а)}. = :(аР):/а.=,а.а-р:^р
(1)
(2)
з h : Р = а . фР . з*Р . фа :
зЬ:(зР).р = а.фр.:э.фа
з Ь:фа. з . а = а . фа .
э.ЭР).р = а.фР
з h . Prop
(i)
(2)
[*20-54]
Ь . *144 .
Ml). (2)
[*13-183]
[*20-54]
*2058. Ь
(1)
(2)
з h :: Нр . з :. g {(ia) (/а)}. =
(дР): а = 2 (фг). =ха. а = р : ^р :
(аР)-2(Ф*) = р.£Р:
#{2(фг)}::зЬ.Ргор
2 (фг) = (ia) {a = 2 (фг)}
Доказательство.
h . *4-2 . *10-11 . з h : a = 2 (фг) - =*a . a = 2 (фг) :
[*20-54] з h :. (аР):. a = 2 (фг) - ^a . a = р : 2 (фг) = Р »
[*14-1] з К 2 (фг) = (ш) {а = 2 (фг)}. з Ь . Prop
*20-59. Ь : 2 (фг) = (ia) (fa). = . (ia) (/a) = 2 (фг)
Доказательство.
Ь . *20-1. з Ь :. 2 (фг) = (ia) (/a). =
[*1443] =
[*204] =
(gV) :$x.=xxylx:ylz = (ia) (/a) :
(g\|/): фх. =д*у! x: (ia) (/a) = \|/! 2:
(ia) (/a) = 2 (фг) :. з h . Prop
Далее мы докажем, что классы обладают всеми формальными
свойствами индивидов и имеют такие же отношения с классами классов, что
и индивиды с классами индивидов. Доказать необходимо лишь аналоги
наших примитивных предложений и определений, если только эти аналоги не
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

274
ГЛАВА 3. КЛАССЫ И ОТНОШЕНИЯ
являются определениями. Мы возьмем предложения *10-1-11-12-121-122
вместо соответствующих предложений из *9 и докажем аналог *10-01. Как
было отмечено в *10, мы, таким образом, докажем все предложения, на
которых основываются последующие доказательства. Аналоги *20-01-02 и *14-01
остаются определениями, но аналоги *10-01 и *13-01 становятся
предложениями, требующими доказательства. Предложение *9-131 должно быть
обобщено посредством определения: два класса являются классами "одного
и того же типа", если они обладают предикативными определяющими
функциями одного и того же типа. Кроме того, необходимо доказать
аналоги *10-1-11-12-121-122, *11-07 и *12-1-11. Когда все это будет сделано,
аналоги остальных предложений могут быть доказаны простым повторением
предыдущих доказательств. Вместо такого повторения мы будем только
указывать номера предложений, чьими аналогами они являются.
*20-6. Ь : (да). /а . = . ~ {(а). ~ /а}
Доказательство.
Ь.*4-2.(*20-071).:э
Ь:(да)./а. = .(дф)./{2(ф!г)}.
[(♦10-01)] =.~[(ф).~Я2(ф!г)}].
[(♦20-07)] = - ~ {(а). ~ /а}: э Ь . Prop
Это аналог * 10-01.
*20-61. Ь:(а)./а.э./р
Доказательство.
Ь . *10-1 . (*20-07). э Ь : (а) . /а . э . f{z (ф ! z)}: э h - Prop
Это аналог *10-1.
На практике нам также понадобится
h:(a)./a.3./{2(V!z)}.
Это *2017.
Далее нам понадобится
b.(ga).2(\|/z) = a.
Это *20-41.
*20-62. Если /р истинно при любом возможном аргументе р вида 2(ф!г),
то (a) . fa истинно.
Это аналог предложения *10-11.
Доказательство.
h . *10-11. z> . если f[z (ф ! z)} истинно при любом возможном аргументе
ф, то (ф)./{2(ф!г)} истинно, т.е. (по *20-07) (а)./а истинно.
*20-63. h :. (а) . р V /а . э : р . V . (а) . /а
Это аналог предложения *10-12.
Доказательство.
Ь. *4-2 . (*20-07). э
Ь:(а).рУ/а. = :(ф).рУЛ2(ф!г)}:
[♦10-12] =:р^.(ф)./{2(ф!г)}:
[(♦20-07)] E:p.v.(a)./a:.DK Prop
*20-631. Если "/а" имеет значение, то если р имеет тот же тип, что и а,
то "Ур" имеет значение, и наоборот.
Principia Mathematica I

*20. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КЛАССОВ
275
Это аналог *10-121.
Доказательство.
По *20-151, а имеет вид 2(ф!г), и поэтому, по *20-01, /а есть функция
от ф!2. Аналогично Р имеет вид 2(\|/!z), a /P есть функция от \\f\t
Следовательно, применяя *10-121 к ф!2 и \|/!2, получим требуемое.
♦20-632. Если для некоторого а существует предложение /а, то
существует и функция /а, и наоборот.
Доказательство.
По определению *20-01, f{z (у! z)} есть функция от \\f\t Следовательно,
предложение следует из * 10-122.
♦20-633. "Для любого возможного класса а, /(а,Р) истинно, каков бы ни
был возможный класс Р" влечет соответствующее утверждение, в котором
произведена взаимная замена аир, исключая лишь "/(а, Р)".
Это аналог +11-07 и сразу следует из *11-07, поскольку /(а, Р) есть
функция определяющих функций а и р.
♦20-64. Ь :. (а) . /а : (а) . ga : э . /Р . ф
Доказательство.
Ь . *4-2 . (*20-07). э
Н:-(а)./а:(а)-ва: = :(ф)./{2(ф!г)}:(ф)^{2(ф!г)}:
[♦10-14] э : f{z (\|/! z)}. g{z (\|/! z)}:- э h - Prop
Заметим, что "Р" есть просто сокращение для любого символа вида
2(\|f!z). Вот почему выше ничего не требуется более доказывать.
Вышеприведенное предложение — аналог ♦10-14. Так же, как и в том
предложении, для значимости заключения необходимо, чтобы / и g были
функциями от аргументов одного и того же типа. Но это не требуется для
значимости гипотезы. Следовательно, несмотря на то, что
вышеприведенное предложение истинно всегда, когда оно значимо, оно не будет истинно
всегда, когда значима ее гипотеза.
♦20-7. Ь : (gg) : /а . =ха .g ! а [*20-112]
Это аналог ♦12-1.
♦20-701. Ь : (gg) : / {2 (ф ! z), х]. =хф, х .g {2 (ф ! z), x]
[Доказательство проводим так же, как и в ♦20-112, используя ♦12-11
вместо *12-1.]
♦20-702. Ь : (gg) : / {*, 2 (ф! z)} - =лф, х. g ! {х, z (ф ! z)}
[Доказательство, как и в ♦20-701.]
♦20-703. Ь:(а^:/{2(ф!г),2(^!г)}.=,ф,У-^М2(ф!г),2(\|/!.г)}
Доказательство.
Н.*10-311.эН:./{х!2>в!2}.глХ,в^!{х!2,в!2}:э:
ф ! * =х* х! * - V! * =** В ! * - / (X! & 0 ! 2} - =х%, 0 .
ф ! х =хх х ! *. У! * =** Э ! д:. g (х! 2,0 ! 2.} (1)
Ь.(1). ♦11-11-3-341. :э
Ь:.Нр(1). э: (RX,Q).§lx=xxxlx.\\rlx=xxeix.f{xlz,Qlz}-=x$,\\r.
(Я Ъ®) - <Ь > х =хх%\ х .\\г I х =ххд I х. g I {%\ z,Q I z]:
[*20-1.*10-35]э:/{2(ф!г),2(^«г)}-гхф1^^!{ф!21^!2} (2)
К (2). ♦10-11-281. э
A. Н. Уайтхед , Б. Рассел

276
ГЛАВА 3. КЛАССЫ И ОТНОШЕНИЯ
Ь» (аЙ = /{х12,в!2}.=хх,в^!{Х!г,в!2}:э:
(as)"- / {z (ф! z), 2 (\|/! z)}. гхф, \|/. g ! {2 (ф! г), 2 (\|/! г)}
Ь.(3).*12-11.:эЬ.Ргор
Предложения *20-701-702-703 дают аналоги *12-11 для классов.
*20 П. h :. а = |3 . = : g ! а . 3xg . g ! р [*20-19]
Это аналог * 13-01.
Этим завершается доказательство того, что все рассмотренные до сих
пор предложения равно применимы и к индивидуалам, и к классам. В
точности подобные рассуждения распространяют данный результат на классы
классов, классы классов классов и т. д.
Из всего вышесказанного можно заключить, что, хотя такие
выражения, как 2(фг), не имеют самостоятельного значения, тем не менее те из
их формальных свойств, с которыми мы до сих пор имели дело, ничем
не отличаются от соответствующих свойств символов, имеющих
самостоятельное значение. Следовательно, ничто во введенном нами до
настоящего момента аппарате не требует указания, обозначает ли данный символ
класс или нет, если только этот символ не имеет вхождения, значимого
лишь для класса. Это очень важный результат, который позволяет
придать гораздо большую общность нашим предложениям, чем это было бы
возможно в противном случае.
Два следующих предложения (*20-8-81) суть следствия *13-3. "Тип"
любого объекта д: будет определен в *63 как класс термов, либо равных х,
либо не равных х. Мы можем определить "тип аргумента ф2" как класс
аргументов х, для которых "фх" имеет значение, т.е. класс х(фх V ~фх).
Тогда первое из следующих предложений показывает, что если " фя" имеет
значение, то тип аргументов ф2 есть тип а; второе предложение
показывает, что если "фй" и "\|/а" оба имеют значение, то тип аргументов ф2 —
тот же самый, что и тип аргументов \|/2, поскольку каждый из них есть
тип а. Предложение *20-8 будет использовано в *63-11, являющемся
фундаментальным в теории типов отношений.
*20-8. г :. фа V ~ фа . э . х (фх V ~ фх) = х(х = а.Ч.хфа)
Доказательство.
Н.*13-3.*10-11-21.э
Ь::Нр. z>:. фх. =*х : х = а . V . хф а :.
[*20-15] э :. х (фх V ~ фх) = х (х = а . V . х + а):: э г . Prop
♦20-81. г :. фа V ~ фа . уа V ~ \\fa . э . х (фх V ~ фх) = х (\|/х V ~ \|/х)
Доказательство,
г . *20-8 . э : Нр . э . х (фх V ~ фх) = Jc (х = а . V . х ф а) (1)
К*20-8 . э:Нр.э.х(\|/хУ~ух) = х(х = я. V .хфа) (2)
г. (1). (2). *10-121-13 . Сотр. э
V : Нр . э. х (фх V ~ фх) = х(х = а.\/.хфа).х (\\rx V ~ \\f x) = х(х = а.У.хфа)
[*20-24] э . Jc (фх V ~ фх) = х (ух V ~ \\fx): э г . Prop
В третьей строке вышеприведенного доказательства возможно
применение *10-121 при условии, что при данном "а" в (1) и (2) гипотеза
" фа V ~ фа . \\fa V ~ x\fa "
значима. Следовательно, в силу * 10-121 "а" в (1) и "а" в (2) должны быть
Principia Mathematica I

*20. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КЛАССОВ
277
одного и того же типа, а в силу * 10-13 мы можем утверждать произведение
(1) и (2), устанавливая равенство двух "д".
Поскольку тип есть область значимости функции, если фх есть всегда
истинная функция, то 2(фг) должно быть типом. Так как если функция
всегда истинна, аргументы, для которых она истинна,— те же, для
которых она истинна; таким образом, 2(фг) есть область значимости фх, если
справедливо (jc) . фх. Следовательно, а есть тип, если (jc).jcea. Отсюда
вытекает, что какова бы ни была функция ф, х (фх V ~ фх) есть тип; в
частности, х (х = а . V . jc Ф а) есть тип. Так как а — элемент класса, этот класс
есть тип, которому принадлежит а. В силу *20-8, если фа значимо, тип,
которому принадлежит a, есть класс аргументов, для которых фх
значимо, т.е. х (фх V ~ фх). И если существует аргумент а, для которого и фд,
и \\га значимы, то в силу *20-81 фх и \\fx имеют одну и ту же область
значимости.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

278
ГЛАВА 3. КЛАССЫ И ОТНОШЕНИЯ
*21. Общая теория отношений
Краткое содержание *21.
Определения и предложения настоящего параграфа и *20 совершенно
аналогичны; отличие имеется лишь в том, что здесь мы рассматриваем
функции двух переменных, а не одной. Используемое нами слово
отношение будет пониматься экстенсионально, т.е. как класс пар (х,у), для
которых данная функция \\г(х, у) истинна. Его связь с функцией \|/ (х, у) в
точности такая же, как и у класса с его определяющей функцией. Мы полагаем
•21-01. /{ху \|/ (х,у)}. = : (Зф): ф ! (х,у). =хх,у. у (jc,у): / {ф ! (8,0)} Df
Здесь выражение "ху у(х,у)"7 взятое изолированно, не имеет смысла —оно
встречается лишь в определенном контексте. В *21-01 алфавитный порядок
и и v соответствует типографскому порядку х и у в f {xy\\f(x,y)}, так что
/ {уху (х,у)}. = : (аф): ф ! (х,у). =хх,у. у (х,у): f {ф ! (v, и)} Df
Это важно в связи с соглашением о подстановке, формулируемым ниже.
Будет показано, что
ху У (х,у) = ху х (х,у) . = :\\f (х,у) . =хх,у. х (х,у),
т.е. два отношения, как определено выше, равны тогда и только тогда,
когда им удовлетворяют одни и те же пары аргументов.
Для подстановки в ф !(*,)>) и ф1(у,х) мы принимаем соглашение, что,
когда функция (в противоположность ее значениям) представлена в форме,
содержащей х и у или какие-либо другие буквы алфавита, значение этой
функции для аргументов а и b находится путем подстановки а вместо Jc и
Ь вместо у, в то время как значение этой функции для аргументов Ь и а
находится путем подстановки Ь вместо Jc и а вместо у. Т.е. аргумент,
записанный первым, подставляется вместо буквы, идущей раньше в алфавите,
а аргумент, записанный вторым, — вместо буквы, идущей позже в
алфавите. Таким образом, способ подстановки зависит от алфавитного порядка
букв со значком л и типографского порядка остальных букв.
Данное соглашение о порядке подразумевается в следующем
определении, где а — первый по порядку аргумент, а Ь — второй.
*21-02. а{ф\(х,у}Ь. = .ф1(а,Ь) Df
В соответствии с нашим соглашением,
Ь{ф1(х,у}а. = .$1(Ь,а) Df
а{ф1(у,х}Ь. = .фНЬ,а) Df
Ь{<$>1(у,х}а. = .ф1(а,Ь) Df
Определение *21-02 не используется в том виде, как оно сформулировано,
а введено лишь ради предложения
а {ху \\f (х, у)} Ь. = : (дф): ф ! (х,у). =хх,у.у(х,у): ф ! (а,Ь),
являющегося следствием из *21-01-02.
Мы будем использовать прописные латинские буквы для обозначения
переменных выражений вида хуф1(х,у) точно так же, как использовали
Principia Mathematica I

*21. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОШЕНИЙ
279
греческие буквы для обозначения переменных выражений вида z (ф ! z).
Если прописная латинская буква, скажем R, используется в качестве
кажущейся переменной, предполагается, что при вхождении буквы R в
выражения вида "(Я)" или "(Я^)" эти выражения заменяются на "(Ф)" или "(яФ)'\
а все последующие вхождения R заменяются на иху$1(х,у)". Фактически
мы полагаем:
(Л)./Д. = ./{*уф!(х,з0} Df.
Использование одной буквы для выражений, подобных хуф(х,з0, дает
неоспоримые практические удобства.
Следующая дефиниция вводит класс отношений.
*21-03. Ке1 = Я{(дф).Я = хуф!(л;,;у)} Df
Здесь применимы замечания, аналогичные сделанным при определении
"Cls" («20-03).
В силу принятых определений «21-01-02 и соглашения, относящегося к
прописным латинским буквам, запись " xRy" будет означать: "jc находится
в отношении /? к /'. Использовать эту нотацию на практике очень удобно,
и мы, после предварительного развития теории, полностью заменим ею
громоздкую запись х {ху ф (х, у)} у.
Доказательства предложений настоящего параграфа фактически не
приводятся, поскольку они совершенно аналогичны доказательствам из *20;
следует лишь заменить «12-1 на «12-11, а предложения из *10 —на
предложения из *11.
Предложения настоящего параграфа разбиваются на три группы, как и
в *20. На предложения второй группы в дальнейшем ссылок почти не
будет. На предложения третьей группы, распространяющие на отношения те
формальные свойства, которые до сих пор были постулированы или
доказаны для индивидов и функций, явных ссылок в последующем нет; однако
эти предложения необходимы всякий раз, когда предложение,
постулируемое или доказанное для индивидов и функций, применяется к отношениям.
Перечислим основные предложения первой группы.
«21-15. г :. у (х,у). =хх,у. х (х,у): = . ху \|/ (х,у) = ху х (х,у)
Т. е. два отношения равны тогда и только тогда, когда определяющие
их функции формально эквивалентны.
«21-31. г :. ху \\г (х,у) = ху х (х,у) , = :х {ху у (х,у)} у. =хх,у .х{ху% (х,у)} у
Т. е. два отношения равны тогда и только тогда, когда они имеют
место между одними и теми же парами термов. То же самое выражается
следующим предложением.
*21-43. )r:.R = S . = :xRy .=xx,y .xSy
«21-2-21-22. Равенство отношений рефлексивно, симметрично и тран-
зитивно.
*21 • 3. Ь : х {ху у (х, у)} у . = . у (х,у)
Т. е. два терма находятся в данном отношении тогда и только тогда,
когда они удовлетворяют определяющей функции этого отношения.
«21-151. Маф).*Ж*,у) = #ф!(*.3>)
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

280
ГЛАВА 3. КЛАССЫ И ОТНОШЕНИЯ
Т. е. каждое отношение может быть определено через предикативную
функцию. Следовательно, не происходит потери общности в ситуации,
когда отношение выступает в качестве кажущейся переменной и применением
♦21-07 или *21-071 сводится к предикативной функции.
♦21-01. f[iyv(x9y)}. = : (аф): ф ! (х9у) . =хх,у .у(х,у):/{ф ! (fi,v)} Df
Соглашение относительно порядка переменных в *21-01-02 (см. с. 278)
связывает и, v с Jc, у таким образом, что
/{уху (х,у)}. = : (аф) : ф ! (jc,у) . =хх,у. \|/(д,у):/{ф ! (v, й)} Df
«21-02. а{<ЬЧх,у}Ь. = .ф\(а,Ь) Df
♦21-03. Re\ = R{(n<b).R = xy<bl(x,y)} Df
Следующие определения только распространяют те определения,
которые уже были даны для других символов, на отношения с минимальными
возможными модификациями.
♦21-07. (R). /R . = . (ф). / {ху ф ! (х,у)} Df
♦21-071. (яЛ)-/Л- = -(аФ)-/{*Уф!(х,у)} W
♦21072. [(ifl) (фЯ)]. / (itf) (фД). = : (aS): фД . =XR . R = S : /S Df
♦21-08. / [RS у (RJS)}. = : (аФ): ¥ (RJS). =XR,S . ф ! (RJS): / {ф ! (R,S)} Df
♦21-081. Р{ф ! (R,S)} Q . = . ф ! (P,Q Df
Здесь остается в силе соглашение относительно типографского и
алфавитного порядков.
♦21082. /(Д(\|/Д)}. = :(аФ):\|/Д.=^.ф!Д:/(ф!Д) Df
♦21-083. Деф!Д.=.ф!Я Df
♦21-1. Ь :. / {хуу(х,у)}. = : (Яф) : ф ! (х,у). =хх,у .у(х,у):/{ф1 (fi,v)}
[♦4-2.(*2101)]
♦21-11. ^:.w(xj).=xx,y.x(x,y):^:/[xyy(x,y)}. = ./{xyx(x,y)}
[♦4-86-36. ♦10-281. ♦гы]
Смысл данного предложения заключается в том, что всякое
высказывание о некотором отношении выражает собой некоторое экстенсиональное
свойство определяющей функции этого отношения.
♦21-111. Ь:./{ф!(х,з))}.^ф.^{ф!(х,з))}:з:/{^)ф!(х,>;)}.^ф.^{^)ф!и,>;)}
[Fact. ♦И-П-З. ♦10-281. ♦гы]
♦21-112. \-:Л^8):-/{хуфНх,у)}.=хф.81{хуф1(х,у)} [*12-1. *21-111]
Заметим, что в этом предложении требуется *12-1, а не +12-11,
поскольку мы имеем дело с функцией (/) от одной переменной, а именно ф, хотя
эта переменная сама является функцией от двух переменных.
♦21-12. Ь :. (аф):. ф ! (х,у). =хх,у .у(х,у): / {хуу(х,у)}. = ./{хуф ! (х9у)}
[♦21-11. ♦12-11]
Это первое использование примитивного предложения +12-11, если не
считать ♦20-701-702-703.
♦21-13. Ь :. у (х,у). =хх,у. х (ху): =>. ху у (х,у) = ху % (х,у)
[♦21-1. ♦12-11. ♦13-195]
♦21-14. Ь :. ху у (х,у) = ху х (х,у) . =>: у (х,у). =хх,у . х (х,у)
[Доказательство аналогично ^20-14 ]
♦21-15. Ь :. \|/ (х,у). =хх,у. х (х,у) : s . ху \|/ (х,у) = ху х (*,у) [♦21-13-14]
Principia Mathematica I

*21. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОШЕНИЙ
281
Данное предложение утверждает, что две двуместные функции
определяют одно и то же отношение тогда и только тогда, когда они формально
эквивалентны, т.е. когда им удовлетворяют одни и те же пары
аргументов. Это фундаментальное свойство отношений, как было определено выше
(«21-01).
«21-151. \-.(яФ)-хуу(х,у) = хуф\(х,у) [«21-15. «12-11]
«21-16. Ь : (аф) :/{ху У С*,?)) • = -Я*У Ф ! (*,з0) 1*21-12]
♦21-17. Ь : (ф) ./{ху ф ! (х,у)}. э ./{хуу(х,у)} [«21-16. «10-1]
«21-18. Ь :. ху ф (х,у) = ху \|/ (х,у). э : / {ху ф (х,у)}. = . / {ху \|/ (х,у)}
[«21-11-15]
*21 19. Ь :. ху у (х, у) = ху % U, у) - = : (/): /! *у ¥ (*, У) - => - / ! *У X (*> У)
[«21-18. «10-11-21. *21-1. «10-35. («13-01). «21-112 . «10-301]
«21-191. \-:.xy\\f(x,y) = xyx(x,y). = :(J):flxy\\f(x,y).^.f\xyx(x,y)
[«21-18-19]
«21-2. Ь . ху ф (х,у) = ху ф О,у) [«21-15 . *4-2]
«21-21. Ь : ху ф (х,;у) = xy\\f(x,y). = . ху\|/(jc, у) = ху ф (x,j)[*21-15 . «10-32]
«21-22. Ь: ху ф (х,у) = ху \|/ (х,у) .ху у(х,у) = хух (х,у). э .
Jcy ф (х,у) = ху х (х, у) [«21-15 . «10-301]
«21-23. Ь : ху ф (х, у) = ху у (х, у) .ху ф (х, у) = ху х (х,у). э .
*уу(*,3» = *УХ(*.зО [*21-21-22]
«21-24. \г:ху\у(х,у) = хуф(х,у).хух(х,у) = ху<Ь(х,у).^.
хуу(х,у) = хух(х,у) [«21-21-22]
«21-3. h : х {ху v (*,}>)} У - = - V (*о0 [«21-1-02. «10-43-35 . «12-11]
Это предложение показывает, что х и у находятся в отношении,
определяемом \|/, тогда и только тогда, когда х и у удовлетворяют x\f(x,y).
Заметим, что здесь снова потребовалось примитивное предложение
«12-11.
«21-31. Ь :.xy\\f(x,y) = хух(х,у) . =: х{ху\|/(х,у)}у. =хх,у.х{хух(х,у)}у
[«21-15-3]
«21-32. \-.ху[х{хуф(х,у)}у] = хуф(х,у) [«21-3-15]
«21-33. Ь :. R = ху ф (х,у). = : xRy . =хх,у. ф (х,у) [«21-31-3]
Здесь R заменяет собой некоторое выражение вида ху\\г(х,у). Во всех
случаях, когда вид определяющей функции не важен, удобно обозначать
отношение одной прописной буквой.
«21-4. Ь : ReRel. ==. (дф). R = ху ф ! (х,у) [«20-3. («21-03)]
«21-41. Ь.хуф(х,;у)е11е1 [«21-4-151]
«21-42. \-.xy(xRy) = R [«21-3-15]
«21-43. Ь :. R = S . = : xRy. =хх,у . xSy [«21-15-3]
Предложения «20-5-51-52 не имеют аналогов в теории отношений.
«21-53. Ь :. S = R. z>xS . ф5 : = . фД [«10-1. «21-2-18-21. Comm . «10-11-21]
«21-54. h :. (gS). S = R. ф5 . = . фД [«21-18. «10-11-23. «21-2. «10-24]
«21-55. h . ху ф (х,у) = (itf) {xRy. ~хх,у. ф (х,у)} [«21-33-54. «14-1]
«21-56. Ь . Е ! (iR) {xRy. =хх,у. ф (х,у)} [«21-55. «14-21]
«21-57. Ь :. ху ф (х,у) = (тЯ) (fR) . з :g {ху ф (х,у)} . = .g {(itf) (fR)}
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

282
ГЛАВА 3. КЛАССЫ И ОТНОШЕНИЯ
[*14-1.*21-54.*13-183]
♦21 58. Ь : ху ф (х,у) = (лК) {R = ху ф (х,у)} [*4-2 . *10-11. *21-54. ♦14-1]
Следующие далее предложения суть аналоги *20-6 и последующих и
преследуют подобные же цели.
♦216. \-:faR).fR. = .~[(R).~fR} [Аналогично *20-6]
*21-61. t-:(R).fR.z>.fS [Аналогично *20-61]
♦21-62. Если fR истинно, какое бы значение вида ху ф ! (х,у) ни принимал
аргумент R, то (R). fR истинно. [Аналогично *20-62]
♦21 63. t-:.(R).pVfR.z>:p.V.(R)fR [Аналогично *20-63]
♦21-631. Если ufR" значимо, то при условии, что S имеет тот же тип,
что и R, "/£" значимо, и обратно. [Аналогично *20-631]
*21-632. Если для некоторого R существует высказывание fR, то
существует функция fR, и обратно. [Аналогично +20-632]
*21-633. Предложение "каково бы ни было произвольное отношение R,
f(R,S) истинно, каково бы ни было произвольное отношение S" влечет
предложение "каково бы ни было произвольное отношение 5, f(R,S)
истинно, каково бы ни было произвольное отношение R".
[Аналогично *20-633]
♦21 64. Ь :. (R) .fR:(R).gR:z>.fS . gS [Аналогично *20-64]
*21-7. )-:(Rg):fR.=xR.glR [Аналогично *20-7]
♦21-701. Ь : (gg):/(R,x). =XR,x.gl (R,x) [Аналогично *20-701]
♦21-702. h : (gg): / (x,R). =XR, x.gl (R,x) [Аналогично *20-702]
*21-703. h : (gg): / (R,S). =XR, S . g ! (R,S) [Аналогично *20-703]
♦21-704. h : (gg): / (R,a). =XR, a . g ! (#,a) [Аналогично ♦20-704]
♦21-705. h : (gg): / (ajl). =*a, Д • 8 ! (ajl) [Аналогично ♦20-705]
♦21-71. h :. R = S . = : g ! R . z>xg . g ! S [Аналогично ♦20-71]
Последняя группа предложений показывает, что отношения, подобно
классам, обладают всеми теми формальными свойствами, которые были
бы им присущи, если бы они были символами, имеющими
самостоятельное значение. Следовательно, если только некоторый символ не
используется таким способом, который свойственен лишь отношениям, нам нет
необходимости решать, обозначает ли он отношение или нечто другое. Этот
результат так же, как и соответствующий результат для классов,
упомянутый в конце +20, играет важную роль, позволяя придать значительно
большую общность нашим предложениям, которую они имели бы
противном случае. Результаты, полученные в +20 и +21 для классов и отношений,
среди элементов и термов которых нет классов и отношений, могут быть
распространены путем простого повторения доказательств на классы
классов, классы отношений, отношения классов, отношения отношений и т. д.
Principia Mathematica I

*22. ИСЧИСЛЕНИЕ КЛАССОВ
283
*22. Исчисление классов
Краткое содержание *22.
В этом параграфе мы, наконец, добрались до исторического ядра
символической логики. Греческие буквы (за исключением ф, \|/, х, 6) мы будем
всегда использовать для обозначения выражений вида х (ф! х) или, когда
буква представляет не кажущуюся переменную, х($х). Строчные
латинские буквы могут либо иметь самостоятельное значение, либо представлять
классы или отношения; это возможно в силу замечаний в конце *20 или
*21. Мы полагаем:
«22-01. a<zp. = :xea.z>x.xe$ Df
Такое обозначение вводится для выражения того, что "класс а
содержится в классе Р", или "все а суть Р".
*2202. аГ\$ = х(хеа.хе$) Df
Это определение логического произведения, или общей части аир.
*22-03. aup = Jc(;tea.V.;teP) Df
Это определение логической суммы двух классов; им является класс,
состоящий из всех элементов одного и всех элементов другого классов.
*2204. -а = х(х~еа) Df
Это определение дополнения класса (читается "не-a"). Оно не содержит
всякий объект, для которого "jcea" не истинно, а только те объекты, для
которых "jcea" ложно; т.е. исключаются те объекты, для которых "jcea"
бессмысленно. Таким образом, дополнение а состоит их всех объектов
типа, непосредственно низшего, чем а, которые не являются элементами а;
но оно не содержит объектов какого-либо другого типа, нежели этот.
*22 05. a-p = an-p Df
Это часто используемое и удобное сокращение.
Необходимые для алгебры логики постулаты были перечислены
Хантингтоном183. В нашей нотации они примут следующий вид.
Речь идет о некотором классе К с двумя правилами действий, U и П;
мы требуем соблюдения следующих десяти постулатов.
la. aUb принадлежит классу, если а и Ъ принадлежат классу.
16. аГ\Ь принадлежит классу, если а и Ъ принадлежат классу.
Па. Существует элемент Л такой, что a U Л = а для всякого элемента
а.
116. Существует элемент V такой, что а П V = а для всякого элемента
а.
Ilia. al)b = bUa, если а и Ь, aKJb и Ы)а принадлежат классу.
III6. аГ\Ь = ЬГ)а, если а и Ь, aOb и ЬПа принадлежат классу.
IVa. a U (Ь П с) - (a U Ь) П (a U с), если а, Ь, с, a U b, a U с, b П с, a U (Ь П с),
(a U Ь) П (a U с) принадлежат классу.
183 Huntington. Trans. Amer. Math. Sqc. V. 5, July 1904, p. 292.
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

284
ГЛАВА 3. КЛАССЫ И ОТНОШЕНИЯ
IV6. а П (b U с) = (а П Ъ) U {а П с), если <з, Ь, с, а П Ь, а П с, Ъ U с, а П (b U с),
(я П Ь) U (а П с) принадлежат классу.
V. Если элементы Л и V из постулатов Па и 116 существуют и
единственны, то для любого а найдется элемент - а такой, что
aU-a = V и аГ\-а = А.
VI. В классе К существуют, по крайней мере, два элемента х и у
такие, что хфу.
Вышеприведенные постулаты взаимно независимы, т.е. для любых
девяти из них найдется интерпретация, в которой не выполняется оставшийся
десятый постулат.
Для наших целей "К" необходимо заменить на "Cls". Соответственно
Л и V будут нулевым и универсальным классами, определенными в *24.
Тогда вышеприведенные постулаты доказываются ниже в качестве
предложений:
1а7в *22-37, а именно "Ь . aU peCls";
16, в *22-36, а именно "Ь . an Pe Cls";
На, в *24-24, а именно "h.aUA = a";
116, в *24-26, а именно "b.anV = a";
Ilia, в *22-57, а именно " V . a U р = р U a";
Ш6,в *22-51, а именно "Ь . an Р = р Па";
IVа, в *22-69, а именно "h . (aU Р)П (aUy) = aU (Р Пу)";
IV6,b *22-68, а именно "h . (an P) U (аПу) = аП(риу)";
V, в *24-21-22, а именно "Ь.аП-а = Л" и "h.aU-a = V";
VI, в *24-1, а именно "b.A^V".
Таким образом, опираясь на проведенный Хантингтоном анализ
постулатов формальной логики, можно сделать вывод, что предложения,
доказываемые далее, достаточны для того, чтобы данная алгебра была
справедливой и для классов. Соответствующие предложения *23 и *25 доказывают
то же самое для отношений, требуется лишь подставить Rel, U, П, Л, V
вместо Cls,U,n,A,V.
Перечислим основные предложения настоящего параграфа.
(1) Формальные законы:
*22 51. b.anp = pna
*22 57. h.aup = pua
Это закон коммутативности.
*22 52. h . (а П Р) П у = а П (Р П у)
*22 7. h . (a U P) U у = a U (P U у)
Это закон ассоциативности.
*22-5. h.afia = a
*22 56. h.aUa = a
Это закон тавтологии.
Principia Mathematica I

*22. ИСЧИСЛЕНИЕ КЛАССОВ
285
*22 68. h . (а П Р) U (а П у) = а П (Р U у)
*22 69. h . (а U Р) П (а U y) = а U (Р П Y)
Это закон дистрибутивности. Можно заметить, что вторые формулы
отличаются от первых взаимной заменой знаков сложения и умножения.
*22 8. I-. - (- а) = а
Это принцип двойного отрицания.
*22-81. Ь:аср. = .-рс-а
Это принцип транспозиции.
(2) Другие полезные предложения:
*22 44. h:acp.pcY-3.acY
*22-441. bracp.jtea.iD.jteP
Это две формы силлогизма Barbara.
*22 62. Ь:аср. = .аир = р
*22 621. Н:аср. = .апр = а
Эти два предложения позволяют преобразовывать любое включение
(а с р) в равенство.
*22 91. Ь.аир = аи(р-а)
Т.е. "а или Р" совпадает с "а или часть р без а".
*2201. acp. = :jcea.z>x.jcep Df
*2202. апр = х(д:еа.д:ер) Df
*2203. aup = JcUea.V.jcep) Df
*2204. -а = х(х~еа) Df
*2205. а-р = аП-р Df
*221. Н:.аср. = :д:еа.эх.д:еР [*4-2 . (*22-01)]
*22 2. h.anp = JcUea.jceP) [*20-2. (*22-02)]
*22 3. h.aup = Jc(xea.V.xeP) [*20-2 . (*22-03)]
♦22-31. b.-a = Jc(jc~ea) [*20-2 . (*22-04)]
*22 32. h.a-p = Jc(xea.jc~eP) [*20-2 . (*22-05). *22-2 . *20-32]
*22 33. h:xeanp. = .jcea.jcep [*20-3 . (*22-2)]
*22 34. h:.xeaup. = :xea.v.jcep [*20-3 . (*22-3)]
*22 35. b:jce-a. = .jc~ea [*20-3 . (*22-31)]
*22 35. Ь.-а^а
Доказательство.
Ь . *22-35 . *5-19 . Dh:~(jce-a. = .jcea}:
[*10-11] Db:(jc):~{ie-a. = .jcea):
[*10-251] э Ь : ~ {(jc) :xe-a. = .xea}:
[*20-43 . Transp] z>h:~(-a = a):z>h. Prop
Данное предложение используется в доказательстве того, что пустой
класс не равен классу, содержащему все (*21-1), что в свою очередь
используется, чтобы доказать существование, по меньшей мере, двух
классов. Наших аксиом недостаточно для того, чтобы вывести существование
более одного индивида, но из них вьюодится существование, по крайней
мере, двух классов и, по крайней мере, двух отношений.
А.Н. Уайтхед, Б.Рассел

286
ГЛАВА 3. КЛАССЫ И ОТНОШЕНИЯ
*22 36. Ь . а П р е Cls [*20-41]
*22 37. h.aUpeCls [*20-41]
*22 38. K-aeCls [*20-41]
*22 39. Ь . z (фг) Пг (\|/г) = г (фг. уг)
Доказательство.
К*22-33. эН:л:ег(фг)Пг(\|/г). = .д:е2(фг).д:е2(\|/г).
[*20-3] = .фх.\|/х (1)
г . (1). *20-33 . эЬ.Ргор
*22-391. V . г (фг) U г (\|/г) = 2 (фг V \|/г) [Доказательство аналогично]
*22-392. h . - z (фг) = г (~ фг) [Доказательство аналогично]
*22-4. 1-:.аср.рса. = :д:€а.=х.д:€р
Доказательство.
h . *22-1 .z>\-:: a<z$. = :xea.z>x.xe$:.$ca. = :xe$.zyx.xea:.
[*4-38] z>\-::ac:fi.ficia. = :.x€a.z>x.x€$:xe$.z>x.xea:.
[*10-22] = :. хеа . =х . *ер :: z> h . Prop
*22-41. h:acp.pca. = .a = P [*22-4. *20-43]
*22 42. г. ac a [Id.*10-ll]
*22 43. h :аП Pea [*3-26 . *10-11]
*22 44. Наср.рсу.э.асу [*10-3]
Это одна из форм силлогизма Barbara. Вот другая:
*22-441. Ьгаср.леа.э.лер [*101.Imp]
*22-45. Ь:аср.асу. = .а<=РПу
Доказательство.
*2246.
*2247.
*22-48.
*22481
Ь . *22-1 . :эЬ г.аср .асу .= :xea.z>x .хе$: хеа .z>x . хеу:
[*10-29] =:xea.z>x.xe$.xey:
[*22-33 . *10-413] = :xea.z>x.xe$r\y:.z>\-. Prop
Ь:д:еа.аер.э.д:ер [*22-441 .Perm]
|-:асу-=>.апрсу [*22-43-44]
|-:аср.э.аПу<=РПу [*10-31]
. Ь:а = р.э.аПу = РПу
Доказательство.
*2249.
*225.
Ь.*22-41. э:.Нр.э:аср.реа:
[*22-48] э:аПусрПу.рпу<=аПу:
[*22-441] э:аПу = РПу:. эЬ. Prop
Ь:аср.у<=б.=>.аПу<=рп6 [*10-39]
Ь. аПа = а
Доказательство.
h . *22-33 . 1>:.хеаГ\а. = :хеа.хеа:
[*4-24] =:хеа
(1)
b.(l).*10-ll.*20-43.z>KProp
Это закон тавтологии для логического умножения классов.
*22 51. Ь.апр = рпа [*22-33 . *4-3 . *10-11 . *20-43]
*22 52. h . (а П Р) П у = а П (Р П у) [*22-33 . *4-32 . *10-11 . *20-43]
Principia Mathematica I

♦22. ИСЧИСЛЕНИЕ КЛАССОВ
287
Таким образом, логическое умножение классов удовлетворяет
коммутативному и ассоциативному законам. Ссылки на *22-33-34-35 и *20-43 будут
в дальнейшем часто опускаться.
*22 53. аПрПу = (аПР)Пу Df
Это определение лишь средство, чтобы избежать излишних скобок.
*22 54. Ь:.а = р.:э:асу. = .рсу [*20-18]
*22 55. Ь:.а = р.:э:уса. = .усР [*20-18]
*22-551. 1-:а = р.э.аиу = Риу [*10-411]
*22 56. Ь.аиа = а [*4-25 . *10-11]
Это закон тавтологии для логического сложения классов.
*22-57. h.aup = pua [*4-31 . *1(И1]
*22 58. h.acaup.pcaup [*1-3 . *2-2]
*22 59. Ь:асу.рсу. = .аирсу
Доказательство.
Ь . *22-1 .з ::Нр .= :. хеа . z>x . хеу :хе$ . z>x . хеу :.
[*10-22] = :.(х):. xea.zy. хеу: хе$. э . хеу:.
[*4-77 . *10-271] = :. (х) :. хеа . V . хе Р : э . хеу :.
[*22-34 . *10-413] = :. (jc) : xе a U р . э .хеу :: эЬ . Prop
Предложение-аналог *4-78
аср.У.асу: = .асриу
ложно. Справедливо лишь
аср.\/.асу:=>.асриу.
Такое же замечание действительно в отношении аналога *4-79. Ср.
*22-64-65.
*22-6. \- z.xeaUfi . = :acy .$<zy .z>y .хеу
Доказательство.
h . *22-59 .z>)r:.acy.$<zy.z>:xeaU$.z>.xey:.
[Comm] z>)r:.xeaU$.z>:acy.$cy.z>.xey:.
[*10-11-21] z>)r:.xea\J$.z>:a<zy.$<zy.z>y.xey (1)
h . *10-1 . z>t-:.acy.$cy.z>y.xey:z>:acaUp.$ca\J$.z>.xeaU$:
[*22-58] Dijceaup (2)
h . (1). (2). э h . Prop
*22 61. h.acp.D.acpuy [*22-44-58]
*22 62. h:acp. = .aup = p
Доказательство.
h.*4-72. z>\- ::xea. z> . xeft: = :. xea . V . xeft : = . xefi :.
[*22-34] =:.jceaup. = .jcep (1)
h.(l)*10-271 . z>b:: acp . = :. xea U p . =x . xe$>:.
[*20-43] =:. aup = p::z>h. Prop
*22 621. h:acp. = .anp = a [*4-71]
Доказательство проводится так же, как и в *22-62. Предложение
*22-621 —одно из наиболее полезных предложений настоящего параграфа.
*22 63. h : a U (а П Р) = a [*4-44]
Вывод *22-63 из *4-44 имеет ту же форму, что и выводы других
предложений настоящего параграфа, выписанные полностью. Поэтому мы
ограничиваемся лишь ссылкой на *4-44. Подобным же образом будем поступать
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

288
ГЛАВА 3. КЛАССЫ И ОТНОШЕНИЯ
и впредь в этом параграфе. Общая схема вывода такова: р, q, r заменяются
на jcea, хер, xey; затем применяется * 10-11, а также другие предложения
параграфа *10 совместно с *22-33-34-35.
*22-631. b.an(aU(3) = a [*22-58-621]
*22-632. h:a = p.z>.a = anp [*22-42-621]
*22 633. h:acp.z>.aUY = (anp)UY [*22-551-621]
*22-64. bi.acY.V.pcv: =>.апрсу
Доказательство.
Ь.*22-47-51. z>h:acY.=>.anpcY:P<=Y.=>.anpcY (l)
h . (1). *4-77 . э h . Prop
Обратное к данному предложению неверно, поскольку неверно обратное
к *10-41.
*22-65. h:acp.V.acY:3.acpUY [*22-61-57. *4-77]
И здесь обратное неверно.
*22 66. b:acp.:D.aUY<=pUY [*2-38]
*22 68. h . (а П Р) U (а П y) = а П (Р U y)
Доказательство.
Ь . *22-34 . э h :: jc е {(а П Р) U (а П Y)}. = :. д: б а П р . V . jc е а П y :•
[*22-33] = :.хеа.хе$ .V . JC€a.;teY:•
[*4•4] =:.;t€a:jc€p.V.;t€Y:-
[*22-34] =:.xea.xe$Uy:.
[*22-33] =:.хеаГ\фиу) (1)
Ь . (1). *1011. *20-43 . э Ь . Prop
*22-69. h . (a U Р) П (a U y) = a U (Р П y) [Аналогично с помощью *4-41 ]
Вышеприведенные предложения *22-68-69 суть две формы закона
дистрибутивности. Отметим, что каждое из них получается из другого
взаимной заменой знаков сложения и умножения.
*22-7. h.(aup)UY = aU(pUY) [*4-33]
*2271. aUpUY = (aUP)UY Df
*22-72. h:acY-Pc6.3.aupcYU6 [*3-48]
*22 73. h:a = Y.p = 6.z>.aUp = YU6 [*10-411]
*22-74. h:anpcY.anY<=p. = .anp = ariY
Доказательство.
Ь . *22-43 . *4-73 .z>h:anpcY. = .anpca.anpcY.
[*22-45] =.anpcanY (1)
h.(l)~-. z>h:anYcp. = .ariYcanp (2)
I-. (1). (2). *4-38 . э1-:аПрсу.аПуср. = .аПрсаП7.аПусаПр.
[*22-41] = .апр = аПу:эК Prop
Principia Mathematica I

*22. ИСЧИСЛЕНИЕ КЛАССОВ
289
«22-8. К-(-а) = а [*4-13]
«22 81. Ь:аер. = .-ре-а [*4-1]
«22 811. Ь:ае-р. = .ре-а [*4-1 . «22-8]
«2282. Ь:аПреу. = .а-у<=-Р [*4-14]
«22 83. h:a = p.s.-a = -p [*4-11]
«22-831. h:a = -p. = .p = -a [*4-12]
«22-84. h.-(anp) = -aV-p [*4-51]
«22 85. h.anp = -(-aV-P) [«22-84-831]
«22 86. h.-(-afi-p) = aup [*4-57]
«22-87. h.-afi-p = -(aup) [«22-86-831]
*22-84-85-86-87 суть формулы Де Моргана.
«22-88. K(jc).jce(aU-a) [*2-11]
Это одна из форм закона исключенного третьего.
«22 89. K(jc).jc~e(a-a) [*3-24]
Это одна из форм закона противоречия.
«22 9. h.(aup)-p = a-p [*5-61]
«22-91. h.aup = aU(P-a)
Доказательство.
h . «5-63 . z>h:.xea.V.xeP: = :xea.V.x€p.Jc~ea:.
[«22-33-34-35] 3b:.xeaup.=E:jcea.V.jce(p-a):
[*22-34] =:xeaU(P-a): (1)
h . (1). «10-11. «20-43 .эк. Prop
«22-92. h:aep.z>.p = aU(P-a) [«22-91-62]
«22-93. h.a-p = a-(afiP)
Доказательство.
h . «4-73 . Transp . z>h:.xea.z>:x~ep. = .~(jcea.xeP).
[*22-33] =.x~£(anP):. (1)
[*5-32] z>h:.x€a.x~ep. = .jcea.x~e(anp):.
[«22-35-33] z>b:jcea-p. = .jcea-(anp):
[«10-11 . «20-43] Dh.a-p = a-(anp).Dh. Prop
«22-94. h : (a). /a . = . (a). / (- a)
Доказательство.
h . «10-1 . z> h : (a). /a . э . / (- a)
[«10-11-21] Dh(a)./a.D.(a)./(-a) (1)
h.*10-l . z>h:(a)./(-a). z>./{-(-a)}.
[«22-8 . «20-18] =>./a:
[«10-11-21] Dh:(a)./(-a).D.(a)./ (a) (2)
h . (1). (2). z> h . Prop
Данное предложение используется в связи с математической индукцией
в «90-102, что в свою очередь необходимо для доказательства «90-132,
одного из фундаментальных предложений теории математической индукции.
«22-95. Ь : (да) ./а . = . (да) ./(-а)
Доказательство.
К «22-94. эН:(а).~/а. = .~/(-а) (1)
Ь . (1). Transp. «20-6 . э Ь . Prop
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

290
ГЛАВА 3. КЛАССЫ И ОТНОШЕНИЯ
*23. Исчисление отношений
Краткое содержание *23.
Определения и предложения настоящего параграфа совершенно
аналогичны приведенным в «22. Свойства отношений, которым не соответствуют
свойства классов, не будут затрагиваться вплоть до главы 4. В настоящем
параграфе доказательства опущены, поскольку они повторяют
доказательства аналогичных предложений из «22. Здесь, как и всюду в дальнейшем,
прописные латинские буквы обозначают выражения вида ху ф! (х,у) или,
если они не выступают в качестве кажущихся переменных, ху$(х,у).
Основные предложения настоящего параграфа аналогичны соответствующим
предложениям «22.
«23-01.
«23-02.
«23-03.
«23-04.
«23-05.
R GS . = : xRy. iDjcj . xSy
RnS =xy (xRy. xSy)
R U S = xy (xRy. V . xSy)
-R = xy{~(xRy)}
R-S=Rn-S
Df
Df
Df
Df
Df
К этим определениям применимы замечания, аналогичные приведенным
«22.
R G S . = : xRy . z>Xy . xSy
в
«231.
«232.
«233.
«23-31.
«2332.
«2333.
«2334.
«2335.
«23351
«2336.
«2337.
«2338.
«2339.
«23391
«23392
«234.
«23-41.
«23-42.
«23-43.
«23-44.
♦23-441
«23-45.
«2346.
«2347.
«23-48.
Jx,y •
. R h S = ху (xRy. xSy)
. R U S = xy (xRy . V . xSy)
.-R = xy{~(xRy)}
.R-S =xy {xRy . ~ (xSy)}
:x(RnS)y. = .xRy.xSy
:.x(R0S)y. = : xRy . V .xSy
: x — Ry. = . ~ (xRy)
.-R?R
.RnS eRel
.RUS eRel
.-tfeRel
. xy ф (x,y) hxy\y (x,у) = ху {ф (x,y). \|/(x,y)}
. xy ф (x, y) U xy\\f (x, у) = ху {ф (x, y). V . \|/ (x, y)}
■ - xy Ф Uj) = *y {- Ф Uy)}
:.RgS .S GR.eq: xRy. ^j,. jc5>
.tfhSetf
:RgS .S gT.d.RgT
:RgS .xRy.zz.xSy
\RgS .RgT.d.RgS C\T
\xRy .RgS . э .xSy
\RGT.z>.Rf)S gT
:RgS .d.RHTgS f)T
Principia Mathematica I

*23. ИСЧИСЛЕНИЕ ОТНОШЕНИИ
«23-481.
«23-49.
«235.
«23-51.
«23-52.
«2353.
«23-54.
«2355.
«23-551.
«23-56.
«23-57.
«23-58.
«23-59.
«236.
«23-61.
«2362.
«23-621.
«2363.
«23631.
«23632.
«23633.
«23-64.
«23-65.
«2366.
«2368.
«2369.
«23-7.
«2371.
«2372.
«2373.
«23-74.
«23-8.
«2381.
«23811.
«2382.
«2383.
«23831.
«23-84.
«23-85.
«2386.
«23-87.
«23-88.
«23-89.
«23-9.
«2391.
«2392.
\-:R = S .^>.RnT = S ПТ
\-:PgQ.RgS .^>.Pf)RGQnS
t-.RC)R = R
h.flhS =S f)R
M/?hS)hr=tfh(Shr)
RnSnT = (RC)S)nT Df
h:./? = 5 .э:Яс7\ = .5еГ
t-:.R = S .^>:TgR. = .STgS
\-:R = S .z>.ROT = S ОТ
\-.ROR = R
\-.ROS =SGR
\-.RgROS .sgRUS
\-:RgT .S gT . = .rOS gT
\-:.x(RGS)y. = :RGT .S gT .z>T.xTy
\-:RgS .=>./?gSu7
\-:RgS . = ./?05 =S
\-:RgS .==.Rf)S =R
\-.RU(RnS) = R
\-.Rf)(ROS) = R
t-:R = S .z>.R = Rf)S
\-:RgS .z>.ROT = (RC)S)OT
\-:.RgT .V .S GT:z>.RnS GT
\-:.RgS . V .RgT:z>.RgS ОТ
\-:RgS .z>.RUTgS ОТ
h . (R h S) U (/? h T) = R h (S U T)
V . (R 0 S) h (Я и T) = R 0 (5 h 7)
h.(/?05)ur = /?U(50r)
/?U5u7 = (/?u5)ur Df
hiPefl.QcS.o.PUQetfuS
|-:Р = /?.е = 5.з.Р0е = ^и5
Н:Рпеед.РпДс(2. = .Рпе = Рт
h. -(-R) = R
\-:RgS . = .-S g-R
\-:Rg-S . = .S g-R
\-:RCiS gT. = .R-Tg-S
\-:R = S . = .-/? = -£
\-:R = -S . = .S=-R
\-.-(RnS) = -RU-S
t-.RnS =-(-RU-S)
\-.-(-Rf)-S) = ROS
t-.-Rf)-S =-(ROS)
\-.(x,y).x(RU-R)y
\-.(Xjy).~{x(R-R)y}
\-.(RUS)-S =R-S
\-.RGS =RU(S -R)
\-:RgS .z>.5 =/?U(S -R)
А.Н.Уайтхед, Б.Рассел

292
ГЛАВА 3. КЛАССЫ И ОТНОШЕНИЯ
*23-93. h.R-S=R-(Rf\S)
*23-94. \-:(R).fR. = .(R).f(-R)
*23 95. Ь:(дЛ)./К.з.(ЯЛ)./(-Л)
Principia Mathematica I

*24. универсальный класс, нуль-класс и существование
классов 293
*24. Универсальный класс, нуль-класс
и существование классов
Краткое содержание *24-
Универсальный класс, обозначаемый символом V, есть класс всех
объектов, тип которых в данном контексте обозначается строчными латинскими
буквами, т.е. наинизший рассматриваемый тип. Таким образом V, как и
"Cls", двусмыслен в отношении типа. Его определение таково:
«24-01. V = x(x = x) Df
Любое другое свойство, присущее всему, работает так же хорошо, как
и "jc = jc", но это единственное из таких свойств, которое мы до сих пор
изучали.
Нуль-класс, обозначаемый символом Л, есть класс, у которого нет
элементов. Как и V, он двусмыслен в отношении типа. Мы используем один
и тот же символ Л для нуль-классов разных типов; но эти нуль-классы
различаются. Тип Л определяется тем, какие рассматриваются термы х,
при которых "*еЛ" ложно: каким бы х ни было, "*еЛ" не будет
представлять истинное высказывание, но если х не относится к подходящему типу,
"дгеЛ" будет бесмысленно, а не ложно. Таким образом, Л имеет тип,
следующий за типом jc, при которых "хеЛ" значимо и ложно. Определение
Л таково:
*24 02. A = -V Df
Когда класс а не нулевой, так что он содержит хотя бы один элемент,
говорят, что он существует. (Этот смысл "существованния" не следует
путать с определенным в * 14-02.) Мы будем писать "д ! а", если "а
существует". Вот соответствующее определение:
*24 03. g !a. = .(gjc).jcea Df
В настоящем параграфе мы сначала займемся свойствами Л и V, а
затем уже свойствами существования. Если сравнивать алгебру
символической логики с обычной алгеброй, Л займет место 0, в то время как V будет
сочетать в себе свойства 1 и оо.
Отметим наиболее важные из свойств Л и V, доказываемых в
настоящем параграфе.
*241. h.A^V
Т. е. "ничего не есть все". Как результат мы получаем существование,
по крайней мере, двух классов. Если бы философы-монисты были правы
в своем убеждении, что существует только один индивид, то имелось бы
только два класса Л и V, причем V было бы (в этом случае) классом,
чей единственный элемент и есть таковой индивид. Наши примитивные
предложения не требуют существования более чем одного индивида.
* 24-102 103. Любая тождественно истинная функция определяет
универсальный класс, а любая тождественно ложная функция определяет
нуль-класс.
А. Н. Уайтхед , Б. Рассел

294
ГЛАВА 3. КЛАССЫ И ОТНОШЕНИЯ
*24-21-22. Это варианты законов противоречия и исключенного
третьего, а именно: "ничто не есть одновременно а и не-а" (а П - а = Л) и "все
есть либо а либо не-а" (а U - а = V).
*24-23-24-26-27. Здесь сформулированы свойства Л и V, относящиеся
к сложению и умножению, а именно: умножение на V и сложение с Л не
делают изменений в классе (*24-26-24); сложение с V дает V, а умножение
на Л дает Л (*24-27-23). Следует отметить, что свойства Л и V получаются
одни из других взаимной заменой сложения на умножение и обратно.
*24-3. Ь:аср.ЕЕ.а-р = Л
Т.е. "а содержится в р" эквивалентно "ничего есть а, но не р".
*24 311. Ь:ас-р. = .аПр = Л
Т.е. "не-а есть р" эквивалентно "ничто не есть одновременно а и р".
*24-411. h-.рса. .а = ри(а-р)
*24-43. 1-:а-рсу. = .асриу
Как правило, предложения, относящиеся к V, гораздо менее полезны,
чем соответствующие предложения, относящиеся к Л.
Свойства существования классов вытекают из свойств Л благодаря тому
факту, что g ! а есть отрицание а = Л, что доказывается в *24-54. Таким
образом, в силу *24-3 мы имеем
*24-55. 1-:~(аср). = .д !а-р
Т. е. "не все а суть р" эквивалентно "существуют такие а, которые не
есть р". Это известное утверждение формальной логики о том, что
отрицание общеутвердительного суждения есть частноотрицательное.
Далее,
*24-56. b:.g!(aUp). = :g la.V.g !p
*24-561. Н:я!(аПр).э.д!а.а!р
Т. е. если сумма существует, то одно из слагаемых существует, и
обратно; а если произведение существует, то оба сомножителя существуют (но
обратное неверно).
Доказательства предложений настоящего параграфа не представляют
трудностей.
*2401. V = jc(jc = jc) Df
*2402. A = -V Df
*2403. g la. = .(Qx).xea Df
*241. h.A^V [*22-351. (*24-02)]
*24-101. h.V = -A [*22-831. (*24-02)]
*24-102. \-:(х).фх. = .г(фг) = У
Доказательство.
Ь . *13-15 . *5-501 . => h :. фх. = : фх. = . х = х:.
[*10-11-271] => h :. (jc) . фд:. = : (jc) : фл:. = . jc = jc :.
[*20-15] =:z(<i>z) = z(x = x):
[(*24-01)] = : z (фг) = V:. z> h . Prop
Таким образом, всякая тождественно истинная функция определяет
универсальный класс, и обратно.
Principia Mathematica I

*24. УНИВЕРСАЛЬНЫЙ КЛАСС, НУЛЬ-КЛАСС И СУЩЕСТВОВАНИЕ
КЛАССОВ
295
«24-103. 1-:С*).~фл;. = .2(фг) = Л
Доказательство.
К «24-102
[*22-392]
[*22-831]
[(♦24-02)]
«24-104. h.(jc).jceV
Доказательство.
э I-:. (jc) . ~ фх. =: z (~ фг) = V:
з:-2(фг) = У:
= :2(фг) = -У:
= : z (фг) = Л:. э Ь . Prop
.xeV:
=>h.jceV.
r>h : Jtea . z>.
3h:aeV:
r> h : (a) . a e V : => h . Prop
h. *20-3 .=>h:JceV. = .x = x
h . (1). «13-15 . «10-11-271 oh. Prop
«24-105. h.(jc).JC~eA
Доказательство.
h.«22-35. z>l-:JteA. = .Jc~eV:
[*4-12] =>h:jt~eA.=E.JceV
h . (1). «10-11-271. «24-104 . z> h. Prop
«24-11. h.(a).acV
Доказательство.
h . «24-104 . «10-1
[Simp]
[«10-11. *22-l]
[*10-11]
«24-12. h.(a).Aca
Доказательство.
h . «24-105 . «10-1 .
[*2-21]
h.(l). «10-11. «22-1
«24 13. h:a = A. = .acA
Доказательство.
h . «24-12 . «4-73 ,
[*22-41]
«24-14. h:(x).Jcea. = .a = V
Доказательство.
h . «24-102 . z> h : (jc) . x e a . = . x (jc e a) = V .
[*20-32] = . a = V : э Ь . Prop
«24-141. h:Vca. = .V = a
Доказательство.
h . «24-11. «4-73 .DhVca.E.acV.Vca.
[*22-41] =.V = a:z>KProp
«24-15. h:(jc).jt~ea. = .a = A
Доказательство.
h . «24-103 . =>b : (jc) . jc~ea.= . Jc(jcea) = A.
[*20-32] Е.а = Л:эК Prop
(1)
(1)
=>h .л~еЛ.
=>h : хеЛ. э . xea
=> h. Prop
э1-:асЛ. = .асЛ.Лса.
= . a = Л : э h . Prop
a)
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

296
ГЛАВА 3. КЛАССЫ И ОТНОШЕНИЯ
*2417.
*24-21.
*24-22.
*2423.
*24-24.
h : а = V . = . - а:
h .аП-а = Л
b.aU-a = V
Ь.аПЛ = Л
КаиЛ=а
= Л
Два последних предложения
с нулем.
*24-26.
h.anV = a
[*22-83. (*24-02)]
[*24-103 . *22-89]
[*22-88 . *24-102]
[*24-12 . *22-621]
[♦24-12 . *22-62]
показывают алгебраическую аналогию Л
[*22-621 . *24-11]
= :~(jcea.Jt~ep):
= : ~ (х е a . х е - (3):
= :~(jcea-p)
. э
(jtea-p).
a)
Это показывает аналогию V с 1.
*24-27. KaUV = V [*22-62 . *24-11]
Это показывает аналогию V с оо.
*24 3. h:acp. = .a-p = A
Доказательство.
h . *4-53-6 . =>
Ь r.jcea. z> . Jtep:
[*22-35]
[*22-33]
Ь.(1).*10-11-271,
Ь :.acp.= .(jc) .
[*24-15] = .а-р = Л:эЬ.Ргор
Данное предложение используется весьма часто.
*24 31. h:acp. = .-aUp = V
Доказательство.
Ь . *4-6 . 3h:.JC€a.3.jcep: = :jr~ea.V.jt€p:.
[*10-11-271] ^h:.acp. = :(jc):jc~ea.V.jcep:
[*22-35] =:(x):xe-a.v.jcep:
[*22-34] =:(x).jc€(-aUp):
[*24-15] =:-аир = У:.э1-. Prop
Это предложение — коррелятив *24-3, но, в отличие от того, не будет
полезным в дальнейшем. Всякое предложение, содержащее Л, имеет
коррелятив, содержащий V, но мы часто будем пропускать эти коррелятивы,
поскольку они редко будут требоваться в последующих доказательствах.
*24 311. h:ac-p. = .anp = A
Доказательство.
Ь . *22-35 . зЬг.леа.э.хе-р:
[*4-41-62]
[*22-33]
К(1).*10-11-271.:э1-:ас-р.
[*24-15]
*24 312. h:-acp. = .aUp = V
Доказательство.
Ь.*22-35. эЬ:.-аср. = :
[*4-64] =:
[*22-34] =:
[*24-14] =:
*24 313. Ь:аПр = Л. = .а = а-р [
:jcea. э .х~€р
: ~ (х е а . х е р):
: ~ (х е а П р)
. (х). х ~ е а П р .
,аПр = Л:э1-
(1)
Prop
\ x~ea.z>x. xeft:
: (jc) : х е а . V . х е р :
: (х). х е a U р :
:аир = У:.эЬ. Prop
*24-311 . *22-621]
Principia Mathematica I

*24. универсальный класс, нуль-класс и существование
классов 297
*24 32. 1-:.аир = Л. = .а = Л.р = Л
Доказательство.
Ь. *2413 .э1-:.аир = Л. = :аирсЛ:
[*22-59] =:аеЛ.реЛ:
[*24-13] = :а = Л.р = Л:.:>К Prop
*24 33. b:.a = V.z>.aUp = V
Доказательство.
Ь . *22-551 .z>h:Hp.3.aUp=VUp
[*24-27 . *22-57] = V : э Ь . Prop
*24 34. Н:а = Л.з.аПр = Л [*22-481 . *24-23]
*24 35. h:a = V.3.anp = P [*22-481 . *24-26]
*24-36. h:a = A.z>.aUp = p [*22-551 . *24-24]
*24-37. h :.апр = Л. = : хеа .yep . z>Xy . хфу
Доказательство.
h . *22-15 . э Ь :. а П р = Л . = : (х) : х ~ е (а П р) :
[*22-33] = : О). ~ (д:еа . хе р) :
[*13-191] = : (х, у) : х = у. э . ~ (jc е а . х е р):
[Transp] =:(jc,y):jtea.xep.r>.x#;y:.:Db .Prop
*24-38. Ь:.аПр = Л.=>:а#р.У.а = Л.р = Л
Доказательство,
h. *22-481 .з1-:аПр = Л.а = р.з.аПа = Л.
[*22-5] э.а = Л.
[*20-23] з.а = Л.р = Л (1)
h . (1). Exp .=>Ь:.аПр = Л.з:а = р.з.а = Л.р = Л:
[*4-6] з:а#р.У.а = Л.р = Л:.эЬ. Prop
*24-39. h:.anp = A. = :jcea.z>^.JC~ep [*24-311 . *22-35]
*24-4. 1-:аПр = Л. = .(аир)-а = р. = .(аир)-р = а
Доказательство.
Ь . *24-311. э h : а П р = Л . = . Р с - a.
[♦22-621] =.р-а = р.
[*20-9] = . (a U р) - а = р (1)
h.(l)El^. 3|-:.рпа = Л. = .(Риа)-р = а:
[♦22-51-57] =>Ь:аПр = Л. =.(aUp)-p = a (2)
h.(l).(2). эН.Ргор
*24-401. Н:рса.э.(риу)-а = у-а
Доказательство.
h.*22-68. эЬ:(риу)-а = (р-а)и(у-а) (1)
Ь . *24-3 . э h : Нр . з . р - а = Л (2)
h.(l).(2). з1-:Нр.з.(Риу)-а =Ли(у-а)
[*24-24] = у - а : э h . Prop
А.Н. Уайтхед, Б.Рассел

298
ГЛАВА 3. КЛАССЫ И ОТНОШЕНИЯ
*24-402. !-:аПр = Л.^са.Т1ср.=>.^Пт1 = Л
Доказательство.
Ь . *22-49 . з Ь:Нр . э.^П^сапр.
[*22-55] =>.^Пт1сЛ.
[*24-13] э.£пт) = Л:э1-. Prop
*24-41. h : а = (а П р) U (а - р)
Доказательство.
Ь . *22-68. z> h . (а П Р) U (а - р) = а П (Р U - р)
[*24-22] = а П V
[*24-26] а.эН. Prop
*24 411. Ь:рса.з.а = ри(а-р)
Доказательство.
Ь . *22-633 „а . э h . р с а. з . р U (а - р) = (а П р) U (а - р)
а>Р> Y
[*24-41] = а : з h . Prop
*24 412. h:pca.Ycp.3.(a-P)U(p-Y) = a-Y
Доказательство.
h . *24-41. з h : Нр . з . (a - Р) U (р - y) = (a - р П y) U (a - р - y) U (р - y)
[*24-3-23] = (а - р - y) U (р - y)
[*24-68] ={(a-P)up}-Y
[*24-411] = а - y : => h . Prop
Данное предложение используется в *234-181 в теории непрерывных
функций.
*24-42. h:anpcY.ct-pcY. = .acY
Доказательство.
h . *22-59. 3h:afipcY.a-pcY.= .(anp)U(a-p)cY.
[*24-41] = . а с y : => Ь . Prop
*24-43. h:a-pcY- = .acpUY
Доказательство.
Ь . *5-6 . 3r-::x€a.x~ep.3.^eY: = :.Jcea.3:xep.V.^€Y:.
[*22-35-33] 3b::jr€a-p.3..*€Y: = :.*€a.3:x€p.V.Jt€Y:.
[*22-34] =:.xea.3.xe(pUY) (1)
*24-431. h . (a U y) П (р U - y) = (а П р) U (a - y) U (р П y)
Данное предложение вместе со следующим являются леммами для
*24-44.
Доказательство.
Ь . *22-68. з h : (a U y) U (р U - y • = ((« и Y) П р} U {(a U y) П - y)
[*22-68] = (а П р) U (y П р) U (а - y) U (y - Y)
[*24-21] = (а П р) U (y П р) U (а - y) U Л
[*24-24] = (а П р) U (y П р) U (а - Y)
[♦22-51-57] = (а П р) U (а - y) U (р П y) • => h . Prop
Principia Mathematica I

*24. универсальный класс, нуль-класс и существование
классов 299
*24-432. h . (а - у) U (р П у) = (а П р) U (а - у) U (Р П у)
Доказательство.
h. *24-22-35 . ^h:anp = (anp)n(YU-Y)
[*22-68] = (а П р П y) U (а П р - y)
[*22-51] = (а П р П y) U (а П - y П р)
[*22-551] э h . (а П р) U (а - y)= (а П р П y) U (а П - y П р) U (а - y)
[*22-63] =(anpriY)U(a-Y)
[*22-57] = (а - y) U (а П р П y)
[*22-551] э h . (а П р) U (а - y) U (р П y) = (а - y) U (а П р П y) U (р П y)
[*22-63] = (а - y) U (Р П y) . э h . Prop
*24-44. h . (a U y) П (р U - y) = (а П - y) U (р П y)
*24-45. h:(ariY)U(P-Y) = A. = .pcY.Yc-a
Доказательство.
h . *24-32. 3h:(anY)U(p-Y) = A-=-anY = A-P-Y-A-
[*24-3-311] =.Yc-a.pcY:^h. Prop
*24-46. h:(ariY)U(p-Y) = A.3.anp=:A
Доказательство.
Ь . *24*45 . *22-44. эНгНр.э.рс-а.
[*22-811] э.ас-р.
[*24-311] э.аПр = Л:э1-. Prop
Следующие предложения, вплоть до *24-495, являются леммами,
вводимыми для использования в более поздних предложениях, большинство из
которых используется всего пару раз.
*24-47. b:anp = A.aUp = Y. = .acY.p = Y-a
Доказательство.
h . *24-311 .э1-:аПр = Л. = .рс-а (1)
h . *22-41 . ^h:aUp = Y.=.aUpcY.YcaUP-
[*22-59.*24-43] =.acY.pcY.Y~acP' (2)
h.(l).(2).^h:anp = A.aUp = Y.= .pc-a.acY.pcY.Y~acP-
[*4-3] =.acY.PcY.Pc-a.Y~otcp.
[*22-45] =.acY.PcY~ot.Y-otcp.
[*22-41] =z.a<zy.p = y-a:z>\-. Prop
*24-48. 1-:.^са.^са.Т1ср.т1'ср.аПр = Л.э:
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

300
ГЛАВА 3. КЛАССЫ И ОТНОШЕНИЯ
Доказательство.
h.*22-73. z>bi% = % .i\ = if .z>.%Ui\ = %'\Jr\' (1)
h . *22-481 . z> h :. % U ч . £' U ч'. з : (£ U ч) П а = (£' U ч') П а :
[*22-68] э : g U а) U (т) П а) = (§' П а) U (т) П а) (2)
h . *22-621 эН:§са.э.§Па = ^:§/са.э.^,Па = §/:
[*3-47] Dh^ca.^ca.D.^na^^'na^' (3)
h . *22-48 зН:чср.э.чПасаПр:
[*22-55] зН:чср.аПр = Л.э.чПасЛ.
[*24-13] э.чПа=Л (4)
Аналогично Ь: ч' ср.апр = Л.э.ч' Па = Л (5)
h.(3).(4). зН:.Нр.э:(£г>а)и(чПа) = £иЛ
[*24-24] =5 (6)
h . (3). (5). э h :. Нр . э : (§' П a) U (т)' П а) = i' U Л
[*24-24] =5' (7)
Н.(2).(6).(7).эН:.Нр.э:|ит| = ^ит1'.э.5и|' (8)
Аналогично h :. Нр . э : J; U ч = ^' U ч' . э . ч U т]' (9)
Ь.(1).(8).(9). эЬ.Ргор
Вышеприведенное предложение, также используемое в двух следующих,
применяется в теории пар (*54-6), в теории наибольшего и наименьшего
(* 117-632) и в главе, посвященной упорядочиванию множеств по принципу
первичных отличий (*170-68).
*24-481. Н:.аПр = Л.аПу = Л.э:аир = аиу. = .р = у
Доказательство.
К*24.48.а'-а;а/,а'Р'У.о
а,рЛ§\ч,ч'
|-:.аса.аса.рс-а.ус-а.а-а = Л.э:
aUp = aUy. = .a = a.p = Y (1)
h . *22-42 . *24-21 . э
|-:.аса.аса.рс-а.ус-а.а-а = Л.= .рс-а.ус-а.
[*24-311] =.аПр = Л.аПу = Л (2)
h . *20-2 . *4-73. э1-:а = а.р = у = -Р = У (3)
h . (1). (2). (3). э. Prop
Вышеприведенное предложение используется в теории выборок (*83-74),
в теории наибольшего и наименьшего (* 117-582) и в теории трансфинитной
индукции (*257).
*24-482. h:.^ca.4cp.anp = A.=>:^U4 = aUp. = .^ = a.4 = p
[*24-48 ^4 . *22-42]
Данное предложение используется в теории сходимости (*232-34).
*24-49. |-:.аПр = Л.=>:асриу. = .асу
Доказательство.
h.*22-621 .э1-:асриу. = .а = аП(риу)
[*22-68] =(апр)и(апу (1)
h.*24-24. =>1~:аПр = Л.э.(аПр)и(аПу) = аПу (2)
h . (1). (2). э h :. Нр . э : а с р U у .= . а = а П у.
[♦22-621] = . а с у : э h . Prop
Principia Mathematica I

*24. УНИВЕРСАЛЬНЫЙ КЛАСС, НУЛЬ-КЛАСС И СУЩЕСТВОВАНИЕ
КЛАССОВ 301
*24-491. 1-:.рПу = Л.асриу.
э.а-Р = аПу.а-у = аПР-а-(а~Р)и(а~У)
Доказательство.
h . *22-621 . э h : Нр . з . а = а П (р U у)
[*22-481] э.а-у = аП(риу)-у
[*24-4] =апр (1)
Аналогично h : Нр . =>. а - р = а П у (2)
h.(l).(2). эН:Нр.э.(а-Р)и(а-у) = (аПу)и(апР)
[*22-68] = аП(уир)
[*22-621] =а (3)
h.(l).(2).(3). эН.Ргор
Данное предложение используется в теории выборок (*83-63-65) и в
теории сегментов ряда (*211-84).
*24-492. h:pca.a-p = Y-=>-a-Y=P
Доказательство.
h . *22-481 .эН:Нр.э.а-у=а~(а-Р)
[*22-8-86] =an(-aUp)
[*22-8-9] =апр
[♦22-621] =Р:э1-.Ргор
Данное предложение используется довольно часто, особенно в теории
рядов. Впервые оно используется в *93-273, в теории "образований".
*24-493. Н:рПу = Л.э.а = (а-р)и(а-у)
Доказательство.
Ь . *22-84 . *2447. эЬ:Нр.э.-ри-у = У.
[*24-26] э.а=аП(-ри-у)
[*22-68] = (а - Р) U (а - у): э h . Prop
*24-494. Н:^са.чср.аПр=гЛ.э.(^ич)-а=ч.(^ит1)-р = ^
Доказательство.
h. *24-3 .
Ь.*24-311.
[*22-44]
[*22-621]
h. *22-68 .
Н.(1)-(2).(3).
Аналогично
Ь.(4).(5).
=> h : Нр . э . 2; - a = Л
э h : Нр . э.рс-а.
э.т]с-а.
э. ч-а=ч
3h.(^-4)-a = (^-a)U(4-a)
*24-24 э h : Нр . э . (1= U ч) - а = ч
h:Hp. э.йил)-р = ?
э Ь . Prop
(i)
(2)
(3)
(4)
(5)
Данное предложение ипользуется в теории выборок (*83-63 и *88-45).
*24-495. Н:аПу = Л.з.(аиу)-(риу) = а-р
Доказательство.
h . *22-87-86 . э
h-(aUY)-(PUY) = (a-p-Y)U(Y-P-Y)
[•24-21] =a-p-Y (1)
h . *24-311 . *22-621 . э h : Нр . э . a - у = а (2)
h.(l).(2). z>h.Prop
Вышеприведенное предложение используется в теории минимальных
точек (*205-83-832-84).
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

302
ГЛАВА 3. КЛАССЫ И ОТНОШЕНИЯ
В оставшейся части настоящей главы мы будем иметь дело с
существованием классов. Многие из свойств существования классов следуют из того
факта, что говорить о том, что класс существует, все равно, что сказать
"класс не эквивалентен нуль-классу". Это доказывается в *24-54.
*24-5. h:a!a. = .(3Jc).jcea N'2 - (*24-03)]
*24-51. h:~3 !a. = .a = A
Доказательство.
h . *24-5. э h : ~ 3 ! a .= . ~ {(gjc). хе а}.
[♦10-252] = ..(*). *~еа.
[*24-15] =.a-A:z>h.Prop
*24-52. h . а ! V [*24-51-1 . Transp]
Данное предложение гласит, что класс всех объектов одного
рассматриваемого типа не нулевой, а содержит, по крайней мере, один член.
Предположение, что существует что-то, эквивалентное данному предложению,
подразумевается в предложении *10-1, то, что истинно всегда, будет
истинным в любом случае. Это не выполнялось бы, если бы не было случаев
чего-либо; следовательно, оно влечет существование чего-то. В дальнейшем
будет показано, что вышеприведенное предложение (*24-52) опирается на
*24-1, которое опирается на *22-351, зависящее от *10-251, которое
опирается на *10-24, которое, в свою очередь, опирается на *10-1 или на *9-1.
Предположение о существовании чего-то имеет место при использовании
действительных переменных, которые иначе потеряют свои значения. Это
явно видно в *9-1 ив доказательстве *9-2, которое является тем лее, что
и *1(Н.
*2453.
*24-54.
*24-55.
*24-56.
*24-561.
*24-57.
н.~а!л
h : з • <* • = • а =£ Л
Н:~(асР). = .а!а-Р
h:.af.(aUP). = :a!cx.V.a!p
h : а ! (а П р). э . а ! а . a J P
|-:.аПр = Л.э:а ! а.э.а^р
[*24-41 . *20-2]
[*24-51 . Transp]
[*24-3 . Transp . *24-54]
[*10-42 . *22-34]
[*10-5 . *22-33]
Доказательство.
V. *22-481. эг-:аПр = Л.а = р.э.аПа = Л.
[*22-5] э.а=Л.
[*24-51] э.-д!(апР) (1)
h . (1) . Exp . Transp . э h . Prop
*24-571. г-:з!а.а = р.э.з!(аПр)
Доказательство.
h . *24-57 . Comm. э1-:.а !а.э:аПр = Л.э.а^р:
[Transp] э : а = р . э . а'П р =£ Л .
[*24-54] э.а!(апр) (1)
h . (1) .Imp oh .Prop
*24-58. |-:.аср.э:а!а.з.а!р [*10-28]
Principia Mathematica I

*24. УНИВЕРСАЛЬНЫЙ КЛАСС, НУЛЬ-КЛАСС И СУЩЕСТВОВАНИЕ
КЛАССОВ 303
*24-6.
h:.acpz>:a?tp. = .a!p-a
Доказательство.
«24-61.
*24-62.
*2463.
h . *2241 . Transp. э h :. Hp . =>: а Ф р . э . - (р с а)
[*24-55] э . a ! р - а
*24-21 э1-:а = р.эр-а = Л
Ь . (2). Transp . *24-54 .z>h:g!p-a.=>.a:£p
h.(l).(3). эН.Ргор
|-:~а!р.э.аир = а [*24-51-24]
|-:~а!р.э.апр = Л [*24-51-23]
|-:.Л~е/с. = :аеА:.эа.д!а
(1)
(2)
(3)
В этом предложении для условий значимости необходимо, чтобы к было
классом классов. Условие "aeL эа . g ! а" является гипотезой во многих
предложениях. Благодаря вышеприведенному предложению эту гипотезу
можно заменить на "Л~е&".
Доказательство.
h. *13-191.э1-:.Л~е/с.= : а = Л . эа . а~ек:
[Transp] =:аек.^>а.аФА:
*24-54]
: а б &. эа . g ! а:. =э h . Prop
Данное предложение будет часто встречаться в последующих частях
книги. Нам нередко придется работать с классами существующих
классов, и наиболее подходящая форма, которая гласит, что все члены класса
классов существуют, — это " Л ~ е /с".
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

304
ГЛАВА 3. КЛАССЫ И ОТНОШЕНИЯ
*25. Универсальное отношение, нулевое
отношение и существование отношений
Краткое содержание *25.
Настоящий параграф содержит аналоги определений и предложений
*24, касающиеся отношений. Доказательства даваться не будут,
поскольку они в точности повторяют доказательства из *24.
Универсальное отношение, обозначаемое символом V, есть отношение,
которое имеет место между любыми двумя термами соответствующих
типов, какие только могут быть в данном контексте. Нулевое отношение,
обозначаемое символом Л, есть отношение, которое не выполняется ни для
какой пары термов, а его тип предопределен типами термов, для которых
осмысленно отрицание того, что эти термы выражают. Будем говорить,
что отношение R существует, если найдется хотя бы одна пара термов,
для которых это отношение имеет место; UR существует" записывается как
На предложения этого параграфа мы будем ссылаться гораздо реже по
сравнению с *24, но ради единообразия приведем аналоги всех
предложений из *24 с той же самой нумерацией (кроме целой части).
Все замечания, сделанные в *24, применимы mutatis mutandis184 и
здесь.
*2501.
*2502.
*2503.
*251.
*25101.
*25102.
*25103.
*25Ю4.
*25105.
*2511.
*2512.
*2513.
*2514.
*25141.
*2515.
*2517.
*25-21.
*25-22.
*2523.
*25-24.
*2526.
*2527.
V = ху {х = х . у = у) Df
A = -V Df
а!л. = .(а*оо-*лу Df
h.A#v
h.v = -A
h : (x,y) . ф (xj) . = . ху ф (x,y) = V
h : (x,y). ~ ф (x,y) . = . ху ф (х9 у) = A
h . (x,y) . xVy
h . (x,y) . ~ (xAy)
h.(/?)./?cV
h.(/?). A clR
\-:R = A. = .RgA
\-:(x,y).xRy. = .R = V
\-:VclR. = .V = R
\-:(x,y).~(xRy). = .R = A
\-:R = V.==.-R = A
\-.RCi-R = A
h./?U-/? = V
h./?hv = v
\-.RUA = R
h./?hv = /e
h.i?UV = V
184 С должным различением деталей (лат.). — Прим. перев.
Principia Mathematica I

*25. УНИВЕРСАЛЬНОЕ ОТНОШЕНИЕ, НУЛЕВОЕ ОТНОШЕНИЕ
И СУЩЕСТВОВАНИЕ ОТНОШЕНИЙ 305
*25-3. \-:RgS . = .R-S =А
*25-31. \-:RgS .=.-RUS =V
*25-311. \-:RG-S . = .RC)S=A
*25-312. \-:-RgS . = .RUS=V
*25313. \-:RC)S =A. = .R-S=R
*25 32. \-:RUS =A. = .R = A.S = A
*25 33. h:/? = V.^./?U5=V
*25-34. \-:R = A.^>.Rf)S = A
*25-35. h:P = V.=>.PhS=S
*25 36. \-:R = A.z>.R0S =S
*25-37. h :: R h 5 = A . = :. Jttfy . z5w . =>WjVV : x * z . V . у Ф w
*25-38. \-:.RnS=A.^>:R±S . V . Д = A'. S = A
*25 39. h :. Я h 5 = A . = : JtPy . эх^ . - (xSy)
*25-4. h:Phe=:A.E.(PU0-?=:Q. = .(PU0-!2 = P
*25-401. h:2G/Jo.(2UP)-P = /?:-P
*25-402. \-:PnQ = A.RGP.S GQ.z>.RnS =A
*25-41. h.P = (PhS)U(/?-S)
*25-411. h:5Gi?.D.i? = 5U(i?-5)
*25-412. Н:ЙсР.5с£Ь:э.(Р-0и(£)-5) = Р-5
*25-42. \-:PnQGR.P-QGR. = .PGR
*25 43. Н:Р-£сЯ. = .Рс£)иЯ
*25-43i. h.iPO^h^u-^^^hautF-^utghi?)
*25-432. h . (P - R) О (б П P) = (P h 0 U (P - P) U (0 П P)
*25-44. h . (P и P) h (б и - R) = (P h - 0 0 (Q h 7?)
*25-45. h : (P h P) 0 (£> - R) = A . = . Q GR . R G - P
*25-46. Н:(РПЯ)0(е-Я) = А.э.Рпе = А
*25-47. h:PhQ = A.PUQ = P=.PeP.Q = P-P
*25-48. Н:.РсР.Р'сР.5се.5,се.Рпе = А.э:
RUS =R'0S' . = .R = R' .5=5'
*25-481. Н:.РП£ = А.РПР = А.э:Рие = РиР. = .£) = Р
*25-482. h:.PeP.SGQ.Ph£ = A.3:PUS=PUQ. = .P = P.S==Q
*25-49. Н:.РПЙ = А.:э:Рс£)иР. = .РсР
*25-491. Н:£ПР = А.Рс:£иР.:э.
R-Q = PC)R.P-R = Pf)Q.P = (P-Q)U(P-R)
*25-492. Y:QgP.P-Q = R.^.P-R^Q
*25-493. Н:£>ПР = А.э.Р = (Р-£))и(Р-Р)
*25-494. \-:RgP.S GQ.PnQ = A.^>.(RGS)-P = S .(RUS)-Q = R
*25-495. h : P hP = A . э . (P UP) - (Q UP) = P - g
*25-5. h:a \R. = .(>£x,y).xRy
*25-51. h:~g!P. = .P = A
*25-52. h.g!V
*25-53. h.~a!A
*25-54. h.:g !Р.==.Р*А
*25-55. h:~(PcS). = .g !P-S
*25-56. h:.g!(PUS). = :g!P.V.a!S
*25 561. b:£l(RnS).z>.£lR.£lS
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

306
ГЛАВА 3. КЛАССЫ И ОТНОШЕНИЯ
*25-57.
*25-571.
*25-58.
*25-6.
«25-61.
*25-62.
*25-63.
\-:.Rf)S =A.z>:rIR.z>.R±S
\-:&lR.R = S .-=>.&l(RnS)
\-:.R<zS .э:д !Д.э.д !5
Ь:.Яс5 .z>:R±S .ss.g IS -R
h:~a !5 -^./?US =/?
h:~g !5 .=>.tfriS =A
Ь:.А~еА;. = :Л€£.:эя.д;!Я
Principia Mathematica I

ГЛАВА 4.
ЛОГИКА ОТНОШЕНИЙ
В настоящей главе будут рассмотрены общие свойства отношений, не
имеющие параллелей в теории классов. В дальнейшем постоянно будут
использоваться обозначения, вводимые здесь; идеи, выраженные посредством
определений, как окажется, будут иметь фундаментальное значение.
*30. Дескриптивные функции
Краткое содержание *30.
Функции, которые мы до сих пор рассматривали, за исключением
небольшого числа функций частного вида наподобие а П р, были
пропозициональными — в качестве значений они принимали высказывания. Однако
обычные функции в математике, такие, как jc2, sinjc, logjc, не
принадлежат к числу пропозициональных. Функции такого рода всегда означают
"терм, имеющий такое-то и такое-то отношение к jc". По этой причине они
могут быть названы дескриптивными функциями — они описывают
некоторый терм посредством его отношения к их аргументу. Так, "sin я/2"
описывает число 1; тем не менее высказывание, в котором встречается sin я/2, —
не то же самое, что и высказывание с 1, заменяющей sin я/2. Это
можно увидеть на примере высказывания "sinя/2 =1", которое несет
осмысленную информацию, в то время как "1 = 1" тривиально. Дескриптивные
функции, как и описания вообще, имеют смысл не сами по себе, а лишь
как конституенты высказываний185.
Общее определение дескриптивной функции таково:
*3001. R'y = bx)(xRy) Df
185 Ср. с *14 выше.
А.Н. "Уайтхед, Б. Рассел

308
ГЛАВА 4. ЛОГИКА ОТНОШЕНИЙ
Иначе говоря, "R'y" означает "терм, который имеет отношение /? к у".
Если таких термов, имеющих отношение R к у, несколько или ни одного,
все высказывания о R'y, т.е. все высказывания вида "ф(/?'у)", будут
ложными. Апостроф в "R'y" может читаться как "о/" (предлог родительного
падежа). Например, если R есть отношение отца к сыну, "R'y" означает
"отец у". Если R есть отношение сына к отцу, "R'y" означает "сын у"; в
этом случае все высказывания вида "ф(Я'у)" будут ложными, если только
у не имеет единственного сына.
Все функции, встречающиеся в обычной математике, суть частные
случаи вышеприведенного определения; все они получаются, как описано
выше, из того или иного отношения. Таким образом, в нашей нотации "R'y"
используется вместо "/у", последнее же обозначение зарезервировано для
пропозициональных функций. Нам следует писать "sin'у" вместо "sinу",
используя "sin" для выражения отношения х к у, когда х = sin у.
Определение R'y = (vc)(xRy), в котором значение, приписываемое
определяемому терму, есть описание, должно пониматься в таком смысле, что
определяемый терм (в данном случае R'y) и описание, приписываемое ему
в качестве значения (в данном случае (uc)(jc/?y)), взаимозаменяемы в
употреблении. Можно сказать, что это определение гораздо более условно, чем
прочие определения, поскольку описание, приписываемое в качестве
значения, не имеет смысла само по себе. Возможно, формально более корректна
запись
f(R'y). = .f{(,x)(xRy)} Df.
Но даже это определение не совсем полно —в нем не упоминается
область действия описаний R'y к (ix)(jc/?y). Полная форма выглядела бы так:
[R'y]. / (R'y) . = . [(vc)(xRy)]. f ibxXxRy)} Df.
Нет необходимости принимать такую форму определения, при условии,
что мы понимаем определение *30-01 как возможность записи R'y вместо
(uc)(jc/?y) всюду, т.е. также и в указании области действия. Употребление
данного определения всегда имеет место в соответствии с предложением
♦30-1:
Ь : [R'y]. / (R'y). = . [(vc)(xRy)]. / {(ix)(xRy)}.
Следует заметить, что *ЗО01 не влечет с необходимостью
R'y = bx)(xRy)9
так как последнее по определению эквивалентно
(vc)(xRy) = (vc)(xRy),
что, в соответствии с *14-28, справедливо лишь при Е ! (ис)(хКу), т.е. когда
имеется лишь один терм и не более, находящийся в отношении R к у.
Все соглашения из *14, касающиеся области действия, прямо
переносятся на R'x, т.е., если не оговорено обратное, областью действия R'x считается
наименьшее высказывание, заключенное в скобки или какие-либо другие
скобки и содержащее данное выражение R'x.
Полагаем
*30-02. R'S'y = R'(S'y) Df
Principia Mathematica I

*30. ДЕСКРИПТИВНЫЕ ФУНКЦИИ
309
Это определение используется лишь для того, чтобы избежать скобок. Оно
должно интерпретироваться как означающее
[R'S >]. / (Л«S ». = . [R\S 'у)] .f{R\S »} Df.
В дальнейшем мы часто будем определять новые выражения, имеющие
дескриптивные фразы в качестве своего значения; в таких ситуациях
определение всегда будет интерпретироваться как и выше. В соответствии с этим,
всякое высказывание, в котором встречается новое выражение, есть
высказывание, получающееся при подстановке старого выражения вместо нового
всюду, где последнее встречается.
Таким образом, для интерпретации R'(S 'у) выше сначала S 'у трактуется
так, как если бы это был не дескриптивный символ, применяются *30-01
и *14-01 или *14-02 к R'iS'y), а затем — *3001 и *1401 или *14-02 к S'у.
Большинство предложений настоящего параграфа —
непосредственные следствия соответствующих предложений из *14. Таким образом,
*14-31-*14-34 и *14-113 непосредственно приводят к *30-12-*30-16,
показывающим, что либо всегда, либо когда существует R'y, "область действия"
R'y или R'y и S 'у не влияет на истинностные значения интересующих нас
предложений. Имеем
*3018. г-:. Е ! Я'у: (z) . ф Z : э . ф (Я'у)
— то, что справедливо для всякого, справедливо и для R'y при условии,
что R'y существует. Это прямое следствие *14-18, показывающее, что, когда
существует R'y, тот факт, что "/?'у" есть неполный символ, не
предотвращает возможности его подстановки в качестве значения z, если мы имеем
(z). ф z или утверждаем пропозициональную функцию фг.
Одним из наиболее употребимых предложений настоящего параграфа
является
*30-3. г-:. х = R*y. = : zRy - щ . z = х
получаемое непосредственно из * 14-202. Следующее аналогичное
предложение вытекает из данного посредством * 14-122:
«30-31. г-:. jc = Д'у. = : xRy :zRy.^>z.z = x
Т.е. высказывание ux = R'yn заключает в себе, в добавление к "xRy",
утверждение о том, что все, находящееся в отношении R к у,
тождественно JC.
На следующее предложение мы будем постоянно ссылаться.
*30-37. г-: Е ! Д'у. у = z . э . R'y = R'z
В посылке Е \R'y может быть заменено на Е! R'z, но наличие того или
другого обязательно, поскольку, в силу *14-21, "R'y-R'z" влечет Е!Я'у и
Е ! R'z (эквивалентные при у = z) и, следовательно, не может быть истинно,
если R'y и R'z не существуют.
Предложение *30-37 употребляется, главным образом, когда у и z
заменяются оба дескриптивными функциями. Например, пусть z заменяется
5 V. В силу *14-21, если S'w не существует, обе части импликации в *30-37
окажутся ложными, а импликация все же —истинной. Следовательно, неза-
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

310
ГЛАВА 4. ЛОГИКА ОТНОШЕНИЙ
висимо от того, существует S 'w или нет, ее можно подставить вместо z,
получив
h : Е ! R'y. у = S V. э . R'y = R'S 'w.
Теперь аналогичная замена у на T'v приводит к
h : Е ! R'T'v .fv = 5V.D. /?T'v = /?'S 'w.
Очень важным является следующее предложение.
*30 4. h :. Е ! Д'у. =>: а = Д'у. = . яДу
Данное предложение утверждает, что при условии существования R'y
сказать, что а есть именно тот терм, который находится в отношении R
к у, эквивалентно тому, чтобы сказать, что а находится в отношении R к
у. Например, "я is the occupier of the house у" эквивалентно иа occupies
the house y", ua is the writer of Waverley" эквивалентно "a wrote Waverley",
"a is the father of у" эквивалентно "a begot у". Однако мы не можем из
"John Smith inhabits London" заключить "John Smith is the inhabitant of
London".
В этой и следующих главах будет введено множество постоянных
отношений, для которых Е ! R'y всегда истинно. В таком случае, в силу *30-4,
справедливо
a = R'y. = .aRy
при любом возможном значении у. Следующее предложение полезно в
случаях, когда для отношений R и S всегда существуют R'y и S 'у.
♦30-41. h :. (у). R'y = S 'у. = : (у). Е ! R'y: R = S
Таким образом, если мы знаем, что R'y и S 'у всегда тождественны, мы
знаем не только, что R и S тождественны, но и что R'y (и, следовательно,
S 'у) всегда существуют.
«30-01. R'y = (w)(xRy) Df
*30 02. R'S'y = R'(S'y) Df
При интерпретации R'(S'y) выражение R'(S'y) трактуется как обычный
символ, пока R'(S'y) не будет исключено применением *3001 и *14-01 или
*14-02, а затем вышеприведенное определение применяется к R'(S'y).
*301. h : [R'y]. / (R'y). = . [(vc)(xRy)]. f(vc)(xRy) [*4-2 . (*30-01)]
♦30-11. h :. [R'y]. / (R'y) . = :(nb):xRy.=x.x = b:fb [*30-l . *14-l]
Нижеследующие предложения суть непосредственные приложения
предложения * 14-31 и последующих за ним, сделанные в соответствии с *30-1.
[R'y] .PVX (R'y) • = : Р - V . [R'y]. х (R'y) [*14-31]
[R'y]. ~ x {R'y) . = .- {[R'y] • X {R'y)} [*14-32]
*3012.
*3013.
*3014.
«30-141.
*30142.
*30-15.
h::E
h::E
h::E
h::E
h::E
h:.z?:
\R'y
\R'y
\R'y
\R'y.
\R'y
[R'y
3
3
Э
Э
Э
lo
p.^.[R'y]-x(R'y) И4-33]
[R'y].X(.R'y)-^-P И4-331]
P. = .[R'y]-x(R'y) [* 14-332]
[R'y].pz>x(R'y).:
[R'y].X(R'y)z>p.:
[R'y].p^X(R'y)- = '
: [R'y].x(R'y) ■■ = : [R'y] .p.%(R'y) 1*14-34]
Следующие два предложения суть непосредственные следствия из
♦14-113-112.
*3016. \-:[R'y].f(R'y,S'z). = .[S'z].f(R'y,S'z) [*14113]
*3017. \-:.[R'y].f(R'y,S'z). = :
Principia Mathematica I

*30. ДЕСКРИПТИВНЫЕ ФУНКЦИИ
311
(a b, с) : xRy .=Jc.x = b:xSz.=x.x = c:f(b,c) [*14-112]
*3018. h :. Е ! R'y: (z). ф z: э . ф (R'y) [*14-18]
*3019. h :. R'y = b . э : V (/?» . = . у £ [*14-18]
*30 2. h :. Е \R'y. = : (g Z?): jctfy. =x . jc = b [*4-2 . *14-11 . (*30-01)]
В доказательстве *30-2 мы должны использовать определение *30-01,
а не *30-1, поскольку Е!(ис)(ф;с) не имеет вида /* (ис) (ф jc). Это проявится,
если мы попытаемся применить определение *14-01 к Е! (ис) (ф х), что
приведет к выражению, содержащему бессмысленную конституенту Е ! Ь. А по
определению *30-01 каждое типографское вхождение символа R'y означает
то, что получится при замене этого символа на (1х)(д:/?у), следовательно,
EIR'y означает Е! (ix)(xRy).
*30-21. г-:: Е \R'y.= : (g x). xRy: xRy. zRy. э*,г . jc = z [*14-203 . (*30-01)]
*30-22. h : E ! R'y. = . R'y = (ix)(xRy) [* 14-28 . (*30-01)]
Заметим, что
Д'у = (гг)(хДу)
не всегда имеет место, а лишь когда Е ! R'y.
*30-3. h :. х = R'y. = : zRy. =z - z = * [*14-202]
«30-31. h :. jc = Я'у. = : xRy: ztfy - эг . z = JC [*14-122 . *30-3]
*30-32. \-:E\R'y. = .(R'y)Ry [*14-22]
*30-33. h :: E ! Д'y . э :. у (R'y) : = : (a jc) . Jt/ty .\|(jc: = : jc/ty. =>x . у jc
[*14-26]
*30-34. h :. xRy. =x . jcSy: э : E ! R'y. = . E ! 5 'y [* 14-271]
«30-341. h :. xRy . =x . xSy :z>:E\R'y. = .R'y = S'y
Доказательство.
h.*14-21. ^\-:R'y = S'y.z>.EIR'y (1)
h . *14-27 . Comm . эН :. Hp . э : E \R'y. гэ.Д'у = 5'y (2)
h.(l).(2). =>h.Prop
*30-35. h :. R = 5 . э : E ! Д'у. = . E ! 5 'y [*30-34 . *21-43]
*30 36. h : E ! R'y. R = 5 . э. Д'у = S 'y [*14-27 . Imp . *21-43]
*30-37. h : E ! R'y. у = z - э. R'y = R'z
Доказательство.
h.*14-28. ^\-:E\R'y.z>.R'y = R'y (1)
h . *13-12 . э h :. у = z . э .R'y = R'y. = . R'y = R'z (2)
h.(l).(2).Ass^h.Prop
Это предложение будет использоваться очень часто.
*30-4. h :. Е ! R'y. z>: а = R'y. = . aRy [*14-241]
Это очень важное и постоянно используемое предложение.
А.Н.Уайтхед, Б.Рассел

312
ГЛАВА 4. ЛОГИКА ОТНОШЕНИЙ
*30-41. h :. Су) . Rly = S 'у. s : (у) . Е ! Rly: R = 5
Доказательство.
h . *14-21 . *10-11-27 . э h : (у). Д'у = S 1у . э . (у) . Е ! R'y (1)
h . *14-13-142 . z>\-i.(y).R'y = S'y. э : (jc,y) : x = R'y. = . x = S'y:
[(1) . *30-4] э : (х, у) : xRy . = . xSy :
[*21-43] э:Д = 5 (2)
h.*30-36. эН:Е!Д';у.Д = 5 .э./?> = 5>: (1)
[*10-11-27-35] э h :. (у). Е \R'y.R = S : э . (у) . Д'у = 5"у (3)
h . (1). (2). (3) эН.Ргор
*30-42. h :. (у). Е ! R'y. э : Я'у = S 'у. = . R = 5 [*30-41]
Гипотеза (у). Е ! Я'у выполнена для ряда важных специальных
отношений, примеры которых встретятся в следующих параграфах настоящей
главы.
*30-5. h-.ElP'Q'z.^.ElQ'z
Доказательство.
h . *30-2 . э h :. Е ! P'Q'z . = :(^Ь):хР (Q'z) .=x.x = b:
[*10-1] э : (g b) : bP (Qlz) . = .b = b:
[*13-15] э:(а*).*Р(бсг):
[*14-21] ^rEIG'zi.^h.Prop
*30 501. h : ф (P'Q'z) . = .(Rb,c).c = Qlz.b = Plc.<$>b
Относительно смысла выражения "фС^'б'г)" см. замечание к
определению *30-02.
Доказательство.
Ь . *14-1-122 . э h :: ф (P'Q'z) . s :. (gfc) : £/> (Q'z): jc/> (g'z). э, . х = * : ф* :.
[*14-205] = :. (а 6):. (а с): с= Q'zibPc: хРс .^>х. х = Ь:фЬ:.
[♦14-122-202] = :. (gfc.c) . с = g'z - * = Р'с . ф Ь :: э h . Prop
*30-51. h :b = P'g'z. = . (а с).fc = Fec. с = eez [*30-501 . *13-195]
*30-52. h :E ! P'g'z. s . (a fc,c). fc = P'c.с = Q'z [*30-51 . *14-204]
Principia Mathematica I

*31. ОБРАЩЕНИЕ ОТНОШЕНИЙ
313
*31. Обращение отношений
Краткое содержание *31.
Если R — отношение, то отношение, которое у имеет к х, когда xRy,
называется обращением R (обратным к R). Например, больше есть
обращение меньше, до—после, быть мужем—быть женой. Обращение
тождества есть тождество, обращение различия есть различие. Обратное к R
отношение обозначается R. Если R = R, отношение R называется
симметричным, в противном случае — несимметричным. Если R несовместимо с R,
R называется асимметричным. Например, " кузен" — симметричное
отношение, "брат" —несимметричное (поскольку, если х — брат у, у может быть
братом или сестрой х), " муж" — асимметричное.
Обращение отношения будем обозначать "Cnv". Мы покажем, что
всякое отношение имеет одно и только одно обратное; следовательно,
используя нотацию *30, это обратное отношение можно записать Cnv'/?. Таким
образом, R = Cnv'/?: мы имеем два обозначения для обращения R; второе
более удобно в случае, когда отношение обозначается не одной буквой.
Перечислим наиболее важные предложения настоящего параграфа.
*ЗМЗ. h.E!Cnv'/>
Т. е. любое отношение имеет обратное. Следовательно, отношение " Cnv"
проверяет гипотезу (у). Е ! Rly, т.е. имеет место (Р). Е ! Cnv'Р.
♦31-32. \-:P=Q. = .P=Q
Т. е. два отношения тождественны тогда и только тогда, когда их
обращения тождественны.
♦3133. h.Cnv'CnvT = P
Т. е. всякое отношение есть обратное к его обратному.
Во многих случаях последующего использования понятия обратного
отношения необходимы лишь предложения, заключающие в себе определения
Р и Cnv, а именно
«31-11. \-:хРу. = .уРх
и
«31-131. \-:x(CnvlP)y.==.yPx
♦31-01. Cnv = QP{xQy.=Xty.yPx} Df
♦3102. P = xy(yPx) Df
♦31-1. h :. Q Cnv P. = : xQy. =ХщУ . yPx [*21-3 . (*31-01)]
«31-101. \-:QCnvP.RCnvP.z>.Q = R
Доказательство.
h . *311 . э h :. Hp . э : xQy . =x>y . yPx: xRy . =Xty . yPx:
[*11-371] =>: xQy. =Xty . xRy:
[*21-43] э:б = Д:.э1-.Ргор
♦31-11. \-:xPy. = .yPx [*21-3 . (♦31-02)]
♦31-111. h.PCnvP [♦31-1-11]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

314
ГЛАВА 4. ЛОГИКА ОТНОШЕНИЙ
♦3112. h.P = Cnv'P
Доказательство.
h. «31-101. эН : QCnv Р. Р Cnv P . э . Q = Р:
[•31-111] z>\-:QCnvP.z>.Q = P (1)
h.(l). «10-11. «31-111. 3h:PCnvP.eCnv/>.z>Q.e = P:
[*30-31] =>.P = Cnv'P
«3113. h.E!Cnv\P [«14-21. «31-12]
«31-131. h:;c(Cnv'P)y. = .yP;c [«31-11-12 . «21-43]
«31-132. h : Q Cnv P . = . g = Cnv'P. = . б = Р [«30-4 . *31-13-12]
«31-14. h . Cnv'(P hfi) = Cnv'P h Cnv'g
Доказательство.
h.«31-131 . z>h:jc{Cnv'(Ph£)}y. = .y(Pn<2)x.
[*21-33] =.yPx.yQx.
[«31-131] = .Jc(Cnv'P)y.jc(Cnv'0y.
[*21-33] = .jc{Cnv'PnCnv'0y (1)
K(l). «11-11. «21-43. z>h. Prop
«31-15. h . Cnv'(P 0 0 = Cnv'P U Cnv'Q [Доказательство аналогично]
«31-16. h . Cnv'- P = - (Cnv'P)
Доказательство.
h.«31-131 . э h : Jt(Cnv'-P)y. = .y-Pjc.
[*23-35] = . ~ (yPx).
[«31-131] = . ~{* (Cnv'P) y}.
[*23-35] = .jc{-(Cnv'P)}y (1)
h . (1). «11-11 . «21-43 . э h . Prop
«31-17. h :. у = P'jc . = : xPz. =z - Z = у [«30-3 . «31-11]
«31-18. h :. E ! P'jc . = : (ду) : jcPz. =z. z = у [«30-2 . «31-11]
«31-21. h.Cnv'A = A
Доказательство.
h . «31-131 . э h : x (Cnv'A) у. = . у А х:
[«25-105] э h . ~ x (Cnv'A) у (1)
h.(l). «11-11. «25-15. эН. Prop
«31-22. h.Cnv'V = V [Доказательство аналогично]
«31-23. h:P = V. = .P = V
Доказательство.
«31-24. h:P = A. = .P = A
«31-32. h:P = e. = .P=£
Доказательство.
h . «25-14 . э h : P = V. = . (x,y) .x/'y.
[«31-11 . «11-33] =.(jc,y).yPx.
[*ll-2] = . (y,x). yPjc.
[*25-14] = . P = V: z> h . Prop
[Доказательство аналогично]
h . «21-43 . э h :. P = Q . s . jcPy. =Xty . jcgy :
[«4-86-21 . «31-11] = : у P x. =ло,. у £ *:
[*ll-2] =:yPx.=ytX.yQx:
[*21-43] =:Р=б:.э1-.Ргор
Principia Mathematica I

♦31. ОБРАЩЕНИЕ ОТНОШЕНИЙ
315
*3133. h.Cnv'Cnv'P = P
Доказательство.
h . *31-131. э h : jt(Cnv'Cnv'P)y. = . у (Cnv'P) x.
[*31-131] = .хРу (1)
h . (1). *1М1]. *21-43 . z> h . Prop
*3134. h:P=e. = .e = P
Доказательство.
h . *31-32 . э h : Р = G - = • £= Cnv'e •
[*31-12-32] = Cnv'Cnv'G
[*31-33] =Q:эН. Prop
*31-4. h:PcQ. = .Pc() [*31-11 . *11-33]
«31-41. Ь:Рсе. = .Рс(2 [*31-4-33-12]
*31-5. h : а ! Р. = . з ! Р [*31-24 . Transp. *25-54]
♦31-51. \-:(P).fP. = .(P).fP
Доказательство.
h.*10-l. эЬ:(Р)./Р. э./Р:
ИО-11-21] эН:(Р)./Р. з.(Р)./Р (1)
h.*10-l .*31-12. эЬ:(Р)./Р. z>./(Cnv'P).
[*10-11-21] эЬ:(Р)./Р. з.(Р)./Р (2)
h . (1). (2). oh. Prop
*31-52. h : (gP). / /^. = . (gP) . /Р [*31-51. Transp]
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

316
ГЛАВА 4. ЛОГИКА ОТНОШЕНИЙ
*32. Референты и релятивы данного терма
относительно данного отношения
Краткое содержание *32.
Для любого отношения R термы, находящиеся в отношении R к
данному терму у, называются референтами у, а термы, к которым данный терм
х имеет отношение R, называются релятивами х. Будем обозначать
символом К отношение класса референтов у к у, а символом R отношение класса
релятивов х к х. Удобно иметь также обозначение для отношений к и R
к R. Будем обозначать отношение К к R символом "sg", сокращая слово
"sagitta" 186. Аналогичное обозначение "gs" будем использовать для
отношения R к R, предполагая в этом случае, что стрелка направлена справа
налево вместо предыдущего направления слева направо. К и К
используются в основном ради дескриптивных функций, к которым они восходят:
Rly = x(xRy) и Rly = y(xRy). Например, если R есть отношение родителя к
сыну, то К1у- родители у, 7? 'х = сыновья х. Если R есть отношение
меньшего к большему среди чисел любого рода, то к 'у = числа, меньшие, чем у,
1?'jc = числа, большие, чем х. Когда Я'у существует, К'у есть класс с
единственным элементом R'y. В случае же, когда имеется более одного терма,
находящегося в отношении R к у, 7? 'у обеспечивает обозначение для класса
всех таких термов, чего не может дать R'y. Аналогичным образом, когда
существует множество термов, к которым х имеет отношение R, л х
обеспечивает обозначение для класса таких термов. Например, пусть R есть
отношение "sin", т.е. отношение, которое х имеет к у, когда jc = siny. Тогда
"sin'x" представляет все значения у такие, что Jt = siny, т.е. все значения
sin-1 х или arcsin x. Данное обозначение, в отличие от обычного, не
является многозначным, так как представляет весь класс значений, а не только
какое-то одно из них.
Определения Те, /Г, sg, gs суть:
*3201. ^ = ay {a = x (xRy)} Df
*3202. fc=pjc{p = y(*#y)) Df
*3203. sg = AR (A =~$) Df
*32-04. gs = AR (A = 5?) Df
В силу данных определений имеем sglR=R, gs'R=R. В результате
получаем альтернативные обозначения, удобные в случае, когда отношение
представляется не одной буквой.
Следует отметить, что если R — однородное отношение (т.е. отношение,
референты и релятивы которого имеют один и тот же тип), то Rr и RI
уже не будут однородными, поскольку связывают класс с объектами,
имеющими тип его элементов.
В силу определений Rr и RI будем иметь
186 Стрела (лат.). — Прим. перев.
Principia Mathematica I

*32. РЕФЕРЕНТЫ И РЕЛЯТИВЫ ДАННОГО ТЕРМА ОТНОСИТЕЛЬНО
ДАННОГО ОТНОШЕНИЯ 317
«32 13. \-.~ftly = x(xRy)
«32-131. \-.fcx = y(xRy)
Таким образом, согласно «14-21, всегда справедливо Е!7с'у и Е ! Rlx.
Следовательно, для всякого отношения R мы имеем (у). Е \К'у и (х) Е ! к'х.
В общем случае неверно (у). g ! 7с 'у или (jc) . g ! л'х. Возвращаясь к
примеру, когда R есть отношение родителя к сыну, 7? 'у = родители у,
7? 1х = сыновья х, будем иметь /Г'х = Л, т.е. ~g!/T';t, если х бездетен, и
7?'у = Л, т.е. ~д!7?'у, если у — Адам или Ева. Два вида существования,
Е!Try и а !7гу, оба применимы к Try, поскольку "к'у" —дескриптивная
функция, значением которой является класс; то же самое относится и к
/Г'х. Мы покажем, что (согласно *14-21) g *7с'у. э . Е ! 7с'у, но обратная
импликация в общем случае неверна.
Имеем
«3216. h :7? ="? . = . Й"= §~. ее .Я = S
Далее, по «32-18-181,
h : х е 7с 'у. = . xRy .eq .ye к 'х.
Следовательно, при использовании 7с у или /Г'х всякое утверждение
вида "лг/су" может быть сведено к утверждению о принадлежности к
некоторому классу. Однако поскольку рассматриваемый класс определяется
дескриптивной функцией, а дескриптивные функции определены через
посредство отношений, мы таким образом не получим метод сведения теории
отношений к теории классов.
*32-01. ~$ = ay{a = x(xRy)} Df
«32 02. fc=pjc{p=y(x/cy)} Df
«32-03. sg = AR (A =7?) Df
«32-04. gs = AR (A = Й) Df
«32 1. h : a"^ у. = . a = x (xRy) [*21-3 . (*32-01)]
«32-101. h:pft"x. = .p = y(jc/cy) [«21-3 . (*32-02)]
♦32-11. \-.x(xRy)=it'y [*32-l . *30-3]
«32-111. h . у (xRy) = fcx [*32-101 . «30-3]
«32-12. h.ElT^'y [«32-11. *14-21]
«32-121. h.Elfc'x [*32-lll.*14-21]
"E! л'/' не следует путать с "д !7с'у". Первое означает, что
существует класс 7с'у, а это, как мы только что видели, всегда истинно. Второе
означает, что 7с'у не пусто, а это истинно только при условии, что у есть
терм, к которому некоторый терм имеет отношение R. Заметим, что, в
силу «14-21, и из д !7?'у, и из ~д!7?'у следует ElTry. Противоречием к
д ! 7с'у служит не ~д !7с'у, а ~{[7с'у] .д ! 7с'у}. Из последнего не
вытекает д ! а'у, но на самом деле д ! 7с'у всегда истинно.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

318
ГЛАВА 4. ЛОГИКА ОТНОШЕНИЙ
+32 13. \-.~$6у = х(х11у) [+32-11 .+20-59]
+32 131. h . &х = у(хЯу) [+32-111. *20-59]
+32 132. h : а^ у. = . а = ^'у. = . а = х (xRy) [*32-113 . +20-57]
+32-133. h : р 5Гх. = . р = И"'*. = . р = у (xRy) [+32-101-131. +20-57]
Использование *20-57 будет предполагаться неявно. Постоянно будут
возникать ситуации, когда в предложениях, подобно +32-13,
утверждается, что дескриптивное выражение идентично некоторому классу. В таких
случаях, о каких бы свойствах класса ни шла речь в дескриптивном
выражении, релевантна ссылка на +20*57.
+32-14. Н:^=^. = .Д = 5
Доказ ате льство.
а~Йу.=ау.а~$у:.
а = х (xRy). =а,у • а = х (xSy):.
(у) :.а = х (xRy) . =а . а = jc (xSy):.
(y):x(xRy) = x(xSy):.
(y)i.{x)i{xRy). = .xSy:.
(x,y) : xRy . = .xSy:.
R = S ::z>h.Prop
[Доказательство аналогично]
[♦32-14-15]
[+32-13 . +20-33]
[+32-131. +20-33]
[+32-18-181]
Преобразование xRy к хек'у также реализуется, в общем, и в языке.
Например, пусть "xRy" есть их любит у"; тогда "хеТс'у" есть "х
—любовник у".
+32 19. \-:RgS .э.1'ус^'у.5?"(хс^х
Доказательство.
(1)
(2)
+3215.
+3216.
+32-18.
♦32-181.
+32-182.
h.+21-43. эН::7?=У
[+32-1]
[*11-2]
[+20-25]
[+20-15]
[*11-2]
[+21-43]
b:Jl = $~. = .R = S
\-:~$=~3 . = .1l=<S~. = .R = S
h ixeK'y. = . xRy
h : у б R'x. = . xRy
h : xeTc'y . = . yetf'jc
. = :
= :
= :
= :
= :
= :
= :
+322.
+32-201.
+3221.
«32-211.
+3222.
+32-221.
+3223.
+32231.
h.+32-18.
[+22-1]
h. +32-181
[+22-1]
Mi).
h:Asgfl.=
\-:AgsR.=
\-.~Й = щ^
\-.<R = gsiR
h. E ! sg'R
h . E ! gs'tf
h.sg'tf=7?
h. gs'/г = 5?"
(2)
.A =
.A =
Dh
. Dh
Dh
= 7?
-t
.Hp
.Hp
. ^>:хеК'у ,z>x .xeS'y
э:^'ус^'у
. э : у е /Г'х. э^ . у e 5 'x
э:Й\х:с£~'л:
Prop
+21-3 . (+32-03)]
+21-3 . (+32-04)]
+32-2 . +30-3]
+32-201. +30-3]
+32-21.+14-21]
+32-211.+14-21]
+32-21.+21-2-57]
+32-211.+21-2-57]
Principia Mathematica I

*32. РЕФЕРЕНТЫ И РЕЛЯТИВЫ ДАННОГО ТЕРМА ОТНОСИТЕЛЬНО
ДАННОГО ОТНОШЕНИЯ 319
*3224.
h.sg7? = gs7?
Доказательство.
«32-241.
*3225.
*32251.
*323.
h . *32-23 . (*32-01). э h . sg'tf = ay {a = x (xRy)}.
[*21-33] э h : a (sg'tf) у. = . a = x (xRy).
[*3111 . *20-15] s . a = x (yRx).
[*32-101] = .afcjc.
[*32-211] = .a(gs'tf)jc.
h . (1). *11-11 . *21-43 . э h . Prop
h . gs'jR = sgT? [Доказательство аналогично
h : A sg tf. = . A = sg'fl [*30-4 . *32-22]
h : A gs R . = . A = gs7* [*30-4 . *32-221]
h.{sg4/?nS)}'y="#'yns4
(1)
Заметим, что неверно
sg'(tfnS) = sg'tfhsg'S.
Доказательство.
h . *32-23-13 . 3h.{sg4^n5)}<y = Jc{jc(/?h5')y}
[*23-33] = x(xRy.xSy)
= x(xRy)Cix(xSy)
= ~Й*уП~$'у.^\-. Prop
[*22-39]
[•32-13]
«32-31. h.{gs4/?nS)}'x==fc'*n§~'jc
*32 32. h.{sg'(tfUS)}'y=/?'yUS^'y
*32-33. h . {gs'(tf OS)Yx= fc'jc U £~'jc
*32-34. h . {sg'(-/?)}'y = -7?'y
*32 35. h . {gs'(- Д)Г* = - fc'jc
Доказательства последних пяти предложений аналогичны *32-3.
*32 4. h :. Е ! R'z . = : а !^'z : х,у e^'z . э^ . х = у [*30-21 . *3218]
*32-41. h :. Е ! S 'у. э :^'у =^'у . = . /?'у = 5 'у
Доказательство,
h . *4-86 . эЬ ::х5у . =* .х-Ь : э :.
хЯу . =* . xSy: = : xRy .=x.x~b
V . (1). *5-32 . э V :. х5у .=x.x = b: xRy . =* . xSy : = :
xSy .=х. x = b: xRy . =х . х = Ъ
(2).*10-11-281.*32-18-181.э
[*30-3 . *14-13]
[*14-101]
У . (3). *30-2 . э :. Е ! S 'у ."Й'у =^'у. s . Д'у = S 'у:. э h . Prop
*32 42. h :."Й'у =^'у. э : Е ! Я'у. = . Е ! 5 'у [*30-34 . *32-18]
(д£) : xSy .=x.x = b: xRy . =л
(а*):*5у.5,.х = *:Д'у = *:
/Ty = S'y
х = 6:
а)
(2)
(3)
А.Н. Уайтхед, Б.Рассел

320
ГЛАВА 4. ЛОГИКА ОТНОШЕНИЙ
*33. Области, обратные области и поля отношений
Краткое содержание *33.
Для любого данного отношения R область R, что обозначается D'R, есть
класс термов, находящихся в отношении R к чему-либо; обратная область,
Q'R, есть класс термов, к которым что-либо имеет отношение R; наконец,
поле, CR, есть сумма области и обратной области. (Заметим, что понятие
поля имеет смысл, лишь когда R является однородным отношением.)
Введенная нотация D'R,Q'R, CR является производной от символов D,
Q, С, обозначающих отношения к некоторому отношению его области,
обратной области и поля соответственно. Поскольку должно быть
D'R=x{(ny).xRy)
G'R=y{(^x).xRy}
C'R=x{(>zy):xRy.V.yRx};
мы определяем D, Q, С следующим образом:
*33 01. D = aR[a = x{(Ry).xRy}] Df
*3302. a = p/UP = y{(3x).jttf;y}] Df
*33 03. C = yR[y = x {(gy) : xRy . V . yRx}] Df
Буква С выбрана как начальная буква слова "campus187".
Нам необходимо еще одно определение — для отношения х к R, где х —
элемент поля отношения R. Назовем это отношение F:
*3304. F = xR{(Ry):xRy.V .yRx] Df
Мы обнаружим, что С =~F. D будет отношением некоторого отношения
к его области, D'а—классом отношений, имеющих а своим полем.
Аналогичные замечания применимы к Ои С. Поле отношения особенно валено
в связи с цепями.
Предложения настоящего параграфа будут постоянно использоваться
в последующем. Понятия области, обратной области и поля являются
весьма общими, и их применение различно для отношений различного
сорта. Рассмотрим сначала разновидность отношений, восходящий к
дескриптивной функции R'y. Мы требуем, чтобы Rly существовало всегда, когда
имеется один и только один терм, находящийся в отношении R к
данному терму у. В этом случае значения у, для которых существует R'y,
образуют "обратную область" отношения R, т.е. Q'R, а значения, которые
R'y допускает для всевозможных у, образуют "область" отношения R, т.е.
D'R. Таким образом, обратная область есть класс всех возможных
аргументов дескриптивной функции R'y, а область есть класс всех значений
этой функции. Например, если R — отношение квадрата целого числа у к
у, то R'y = квадрат у при условии, что у —целое. В этом случае Q'R —
класс целых чисел, Y>'R — класс полных квадратов. Другой пример: пусть
R есть отношение мужа к жене; тогда Я'у = жена у, G'/? = женатые
мужчины, T)'R = замужние женщины. В этих случаях поле обычно имеет
меньшее значение; если же значения функции R'y и ее аргументы относятся к
разным типам, т.е. если отношение R не однородное, поле не определено.
187 Поле (лат.). — Прим. перев.
Principia Mathematica I

*33. ОБЛАСТИ, ОБРАТНЫЕ ОБЛАСТИ И ПОЛЯ ОТНОШЕНИЙ 321
Например, если R — однородное отношение, то а и R — не однородные, и,
следовательно, "С л" и "С/Г" не определены.
Теперь пусть R есть разновидность отношений, порождающих цепи,
скажем, отношение меньшего к большему среди целых чисел. Тогда D'/? = Bce
целые, меньшие какого-либо другого целого = все целые; Q.'R = все целые,
большие какого-либо другого целого = все целые, кроме 0 188. В этом
случае СЯ = все целые, большие либо меньшие какого-либо другого целого
= все целые. Вообще, если R порождает цепь, Б'Я = все элементы цепи,
кроме последнего (если таковой имеется), 0'Я = все элементы цепи, кроме
первого (если таковой имеется), C'R = все элементы цепи. В этом случае
"jcF/?" выражает тот факт, что х есть элемент цепи. Таким образом,
когда R порождает цепь, CR приобретает важное значение, и может быть
полезно также отношение F.
Нам представится случай познакомиться со многими отношениями,
обладающими свойствами порядка, и сформулировать предложения, которые,
хотя и имеют принципиальную важность лишь в связи с отношениями
порядка, справедливы в более общей ситуации. В таких случаях поле
отношения также будет играть важную роль. Поля отношений будут встречаться
постоянно в главе, посвященной индукции (часть II, глава 5), где
изучается способ построения отношений порядка при помощи некоторого рода
не-порядкового отношения, а также в реляционной арифметике (часть IV).
Но в начальных частях работы встречаются, главным образом, области и
обратные области.
Перечислим наиболее важные свойства областей, обратных областей и
полей, доказываемые в настоящем параграфе.
Всегда имеет место Е ! D7?, Е ! СГЯ, Е ! СД (*33-12-121-122). (Последнее,
однако, определено, только когда R однородно.)
*33 13. h : xeD'tf . = . (ay). xRy
«33-131. \-:yea6R. = .(^x).xRy
*33 132. h :. xeC'R . = : (ay) : xRy . V .yRx
*33 14. h : xRy . =>. jceD'fl .yed'fl
*33 16. h . C'R = D'fl U aiR
*33-2-21-22. Обратная область отношения совпадает с областью
обратного отношения, область отношения совпадает с обратной областью
обратного отношения, поле отношения совпадает с полем обратного отношения.
*33 24. г : а ! D7?. н . а ! ОТ?. = . g ! С'Д. = . g ! Д
*33 4. h.D7? = Jc{a.ffc'*}
и соответствующие предложения (*33-41-42) для G7? и C'R.
*33 43. г : Е ! R'y. z>. у еСГД . R'y eБ'Д
*33-431. Н:(у).Е!Д'у.э.(р)реСГД
*33 5. К С =7?
*33-51. h-.xeC'R.^.xFR
188 Предполагается, что класс целых чисел включает лишь неотрицательные
целые. — Прим. ред.
А.Н.Уайтхед, Б.Рассел

322
ГЛАВА 4. ЛОГИКА ОТНОШЕНИЙ
Доказательства предложений, содержащих Q и С, обычно целиком
повторяют аналогичные доказательства для D и поэтому часто опускаются.
«33-01. B = aR[a = x[(ny).xRy]] Df
«33-02. а = рД [р = у {(gjc) . xRy]] Df
«33 03. С = yR [у = х {(gy) : xRy. V . yRx]] Df
«33 04. F = xR{(Ry):xRy.V .yRx] Df
«33-1. \-:aDR. = .a = x{(gy).xRy] [«21-3 . («33-01)]
«33-101. h:pa/?. = .p = y{(ax).x^}
«33-102. h : у CR. = . у = x {(gy) : xRy. V . yRx]
«33103. h :. xFT?. = : (gy) : xRy . V . уДх
«33-11. h : D'/? = Jc {(gy) . x/ty} [*33-l . «30-3 . «20-59]
«33-111. \-:atR = y{('Zx).xRy]
«33-112. hiC'R^xK^zxRy.V .yRx]
«33 12. b.E!D\R [«33-11. «14-21]
«33-121. h.EICTtf
«33 122. b.EICT?
«33123. h:aDi?.E.a = D'i? [«30-4 . «33-12]
«33 124. h:pa/?. = .p = CTtf [«30-4 . «33-121]
«33125. \-:yCR. = .y = CiR [«30-4 . «33-123]
«33 13. h : xe D7?. = . (gy). xtfy [«33-11 . «20-3-57]
«33-131. h:yeatR. = .(^x).xRy
«33-132. h :. x e ClR. = : (gy): xRy. V . уДх
«33 14. hixRy.^.xeD'R.yed'R
Доказательство.
h . «10-24 . э h :. Hp . э : (gy) . xRy: (gjc). x/ty:
[«33-13-131] э uceD'jR.yea^:. э h . Prop
«33-15. b.^';ycD\R
Доказательство.
h . «32-18 . => h :xe~$y. z>x . xRy .
[•10-24] ^x.(ny).xRy.
[*33-13] эл . xeD7?: э h . Prop
«33151. h.bcO'i?
«33-152. hJ>U^xcCi?
«3316. h. C7? = D7? U СГД
Доказательство.
h . «33-132 . «10-42 . э
h:. x e C'tf . = : (gy) . x/ty . V . (gy) . ytfx :
[«33-13-131] = : x € D'R. V . x e a4/?: (1)
h . (1). «10-11 . «20-43 . з h . Prop
«33-161. h.D7?cC7?.CT/?cC'tf [«33-16 . «22-58]
«33-17. h : xRy. э . x,y e C'R [«33-14-161]
Principia Mathematica I

*33. ОБЛАСТИ, ОБРАТНЫЕ ОБЛАСТИ И ПОЛЯ ОТНОШЕНИЙ
323
*3318. h : D'tf = СГД . э . D'tf = С'/?
Доказательство.
h . *22-56 . э h : D7? = СГД. э . D7?= D7? U О'/?
[*33-16] =С7?: э h . Prop
«33-181. h:d7?cD7?. = .D7? = C'tf
Доказательство.
h . *22-62 . э Ь : О'/? с D7?. = . D7?= D7? U СГЯ
[*33-16] =С'Д: э h . Prop
*33182. h : D7? с СГД . = . СГД = С'/? [Доказательство аналогично]
Если R является разновидностью отношения, которое порождает цепь,
так что "xRy" может быть прочитано как "х предшествует у", то Q'RcD'R
есть условие отсутствия у цепи последнего терма, так как оно утверждает,
что всякий терм, следующий за некоторым термом, предшествует
некоторому другому терму и, следовательно, не является последним в цепи.
*33 2. h.CT/? = D7te
Доказательство.
h . *3141 . *10-11 . э h : xRy .=x.yRx:
[*10-281] э h : (gx). xRy. =x . (gx) .yRx:
[*33-13-131] э h : у е СГД. = . у e D7?c
h . (1). *10-11. *2043 . э h . Prop
h . D7? = Q'Rc [Доказательство аналогично]
h . C'R = CRc
Доказательство.
h . *33-16-2-21. э h . C'R= d'tfc U D'Rc
[*33-16] =C'Rc. э h . Prop
*33-24. h : g ! D'/?. = . g ! СГД. = . g ! C'R . == . g ! R
Доказательство.
(1)
*33-21.
*33-22.
K*33-13. z>h:.g!D7?. =:
[*25-5 . (*ll-03)] =:
h.*33131. эЬ:.д!СГД. =■
[*ll-2] =
[*25-5] =
h . *33132 . z> h :: g ! C'R. =
[*ll-7] =
[*25-5] =
h . (1). (2). (3). з h . Prop
(д*):(з;у).хД;у:
a!/?
(з;у):(я*)-*Д;у:
(gx,y). x/ty:
g!/?
. (Я*) :- (ЗУ) : xRy . V . yRx:.
:.(gx,;y).*fl;y:.
:.£!*
(1)
(2)
(3)
*33-241. h : D7? = Л . = . СГД = Л . = . C'R = Л . s . Я = Л
[*33-24 . Transp*24-51. *25-51]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

324
ГЛАВА 4. ЛОГИКА ОТНОШЕНИЙ
*33 25. h . Б'(ЯП S) с D7?П D'S
Доказательство.
h . * 3 3 • 13 . э h :. х е D' (R h S). = : (д у). х (R П 5) у:
[*21-33 . *10-281]
[*10-5]
[*33-13]
[*21-33]
Н.(1).*10-11.эН.Ргор
*зз-251. i-.cr(/?ns)ccr/?ncrs
«33-252. Ь.С'(ДП5)сС"ЯПС'5
*33-26. h . Б'(Д 05) = D7? U D'S
Доказательство.
h . *33-13 . э h :. хе Б'(ЯUS). =
[*21-34 . *10-281] ее
[*10-42] =
[*33-13] =
[*22-34] =
h . (1). *1011 . *20-43 . э h. Prop
*33 261. Н.СГ(Ди5) = СГДиСГ5
*33-262. \-.Ci(RUS) = CiRuCiS
*33 263. h:i?G5.D.D'/?cD'5
Доказательство.
h . *23-l . э h :. Hp . э : xRy . =>^y . xSy :
[*10-28-27] z>
[*33-13] э
[*23-l] э
*33 264. h:/?G5.D.a'/?ca'5
*33 265. \-:RGS .^.C'RcC'S
*33 27. Ь.С'Д = Б'(ДиЯ)
Доказательство.
h.*33-16-2.z>h.
[*33-26]
С'Д = СГ(ДиЯ)
= : (gy). хДу. xSy:
э : (gy). xRy: (gy) . xSy:
z>:xeD7?.xeD'S :
D:jceD'/?nD'5
[Доказательство аналогично]
[Доказательство аналогично]
(gy).x(/?0S)y:
(gy). xRy. V . xSy:
(gy) . xfly: V : (gy). xSy:
xeD'fl.V.xeD'S :
X6D^UD45
[Доказательство аналогично]
*33-26-261-16]
(*) : (gy) . xRy . э . (gy) . xSy :
(x):xeD'fl.z>.xeD'S :
D'tfcD'Sr.Dh.Prop
[Доказательство аналогично]
[*33-263-264-16. *22-72]
(1)
(1)
-.C'tf=D'tfuD'tf
= Б'(ЯиЯ).э1-.Ргор
*33-271. Ь.С'Д = СГ(ЯиД) [Доказательство аналогично]
*33 272. h . B\R UR) = a\R UR) = C\R U R) = СД [*33-27-271-16]
*33 28. h . D'V = (TV = C'V = V
Доказательство.
h . *10-25 . *25-104 . э h :. (x): (gy). x Vy:. (x): (gy) .y Vx:.
z>h:.(x):xeD'V:(x):xeCrV:.
z>h:D'V = V.CTV = V
3h.C'V = VuV
= v
[*33-13-131]
[*24-14]
[*33-16]
[*22-56]
h . (1). (2). э h . Prop
*33 28. h . D'A = СТА = C'A = A
(1)
(2)
[*33-24Ы6 . *21-2]
Principia Mathematica I

*33. ОБЛАСТИ, ОБРАТНЫЕ ОБЛАСТИ И ПОЛЯ ОТНОШЕНИЙ
325
*33 3. Н:.асБ'Д. = :л;еа.э*.д ! И"'*
Доказательство.
h. *32-181 . эН :. хеа.э* . g ! R'x: = :xea.z>x . (gy). xRy:
[*33-13] Erjcea.D, . xeD'fl:. => h . Prop
*33-31. hr.pcD'^.^ryep.r^.g IR'y Доказательство аналогично]
Три следующих предложения используются в теории выбора (*80, *83
и *85). Второе из них также используется в теории большего и меньшего
(*117) и в теории транзитивных отношений (*201).
*33 32. h : D'fl nD'5 = Л . э .Rf)S = Л
Обратное к этому предложению неверно.
Доказательство.
Ь.*23-33. =>h: x(Rf)S)y. z>.xRy.xSy.
[*33-14 . *22-33] =>. х еD'tf n D'S .
[*10-24] D.g!D'/?nD'5 (1)
h . (1). Transp. z>h:D'/?nD\S:=A. z>.-[x(RnS)y] (2)
h . (2). *ll-ll-3 . э h : D'/? П D'S = Л . z>. (x,y). - {jc (R П 5)y).
[*25-15] z>.tfhS=A:z>h. Prop
*33-33. h:Q'/?nQ'5 =A.z>.RnS = Л [Доказательство аналогично]
*3334. h:C'/?nC5 =Л.э./?П5=А
Доказательство.
h . *33-161. *22-49 . э h . D7? П D'S с С'/? n C'S .
[*24-13] э h : C'R П C'S = Л . э . D'/? n D'S = L.
[*33-32] э.ДпЗ =Л:э1-.Ргор
*33 35. h :. D7? с a . = : хДу . э^ . jc б a
Доказательство.
h . *33-13 э h :. D'fl с a . = : (gy) . xRy . э* . jc e a :
[*10-23] = : xRy. z>Xy . jc e a:. э h . Prop
*33-351. h :. G'/? с a . = : xRy. эЛ0, .yea [Доказательство аналогично]
*33 352. h :. C'R с a . = : xRy . з^у . x,y e a
Доказательство.
h . *33-16 . *22-59 . э
h :. С'Д с a . = : D'fl с a . Ci'tf с a :
[*33-35-351] = : xRy. z>Xiy .xea: xRy . э*у. yea:
[*11-391] = : xRy . эх>у . x,y e a :. э h . Prop
Два следующих предложения (*33-4-41) очень часто используются.
*33 4. h.D'tf = jt{g ifc'jc)
Доказательство.
Ь.*33-13. эЬгхеО'Д. =.(ау).х/?у.
[*32-181] = .(ду).уеЙ\>с.
[*24-5] s. Э ! 5Г'х (1)
h . (1). *10-11 . *20-33 . э h . Prop
*33-41. h . G'T? = у (Я -^'у) [Доказательство аналогично]
А.Н. Уайтхед, Б.Рассел

326
ГЛАВА 4. ЛОГИКА ОТНОШЕНИЙ
*33 42. h . OR = х {g ! (7?'х U fcx)}
Доказательство.
Ь . *33-4-41-16 . зН. С'Д=х{Э !^'х}х{я ! fr'x}
[•22-391] =Jc{3!7K.v.a!5T'jc}
[*24-56 . *20-15] = х{д ! (1? *jc U ^"*х)}. з h . Prop
*3343. Н:Е!/Г;у.з.;уеСГД.Д';убВ'Я
Доказательство.
h . *30-32 . з Ь : Е ! Я'у. з . (Я » ф.
[*33-14] з . у е СГЯ. Я'у е D7?: з h . Prop
*33 431. Ь:(>О.Е!/Г;у.з.(р).реа\К
Доказательство.
h.*33-43. зЬ:.Нр. згуеСГД.
[Simp] згуер.з.уеСГД (1)
h.(l).*1041-21. зЬ:Нр. з.реСГД (2)
Ь . (2). *10-11-21. э К Prop
*33 432. Ь:(>О.Е!Д';у.з.СГЯ = У
Доказательство.
h.*33-43.*10-ll-27. зЬ:Нр. з . ty.yed'R.
[*24-14] з . СГД = V: з К Prop
*33-44. h : Е ! R'x. з. хе D7?. Я'хe СГД
Доказательство.
К*33-43-. зН:Нр. з.хеСГЯ.Я'хеБ'Я.
л
[*33-2-21] з . х е D7?. Я'х е О4/?: з h . Prop
♦33-45. 1-:.;уеСГДиСГ5 . зу ./?> = 5>: з .Д = 5
Заметим, что в соответствии с нашими соглашениями по обозначающим
выражениям область действия как /Ту, так и S у в вышеприведенном
предложении есть iiRty = Sty\ и R'y должно быть исключено первым.
Доказательство.
h . *30-11 . з h :: R'y=S У. = :. (gb) : xRy. =х . х = Ь : fc = 5 У:.
[*30-11] = :. (gfc):. х#у. =х . х = fc:. (gfc): xSy. =х • х = с: Ъ = с:.
[*13-195] = :. (gfc): x/ty. =х . х = Ъ: xSy. =х . х = fc:.
[♦10-322] з:. x/ty. ==*. xSy (1)
h . (1). з h :: Нр . з:. у е СГД U CTS . з: х#у . = . xSy:.
[*5-32] з:.уеа'/?иа'5.х/?у. = .уеа'/?иа45.х5у:.
[*33-14. *4-71] z>:.xRy. = .xSy (2)
h . (2). *1М1-3 . з h :. Нр . з : (х9у) : х#у. = . xSy:
[*21-43] з : R = 5 :. з h . Prop
*33-46. h:. х е D7? UD'5 . зх. Д'х = S 'х: з . R = S [Доказательство
аналогично!
Principia Mathematica I

*33. ОБЛАСТИ, ОБРАТНЫЕ ОБЛАСТИ И ПОЛЯ ОТНОШЕНИЙ
327
*33 47. h :. у е СГД U d'S . z>y .l£'y ="?>: э . Я = S
Доказательство.
h.*33-41 .Transp.Dh:y~6D7?UD'S . э .1?'у = Л .^'у = Л (1)
h . (1). *13-172 . *4-83 . z> h : Нр . з. (у) .7^'у =^?'у.
[*30-41] э.7?="?.
[*32-14] ^.R = S гзЬ.Ргор
*33 48. h :. х б D'fl U D'S . z>x . £"'* = S"'jc :z>.R = S [Доказательство
аналогично]
*33 5. Ь.С=7?
Доказательство.
h.*32-l. z>\-:.a~?R. = .a = x(xFR)
[*33403] = x {(gy): xRy. V . уДх}.
[*33-102] =.aCR (1)
h . (1). *1M1. *21-43 . э h . Prop
«33-51. \-:xeClR. = . xFR [*33-132-103]
F весьма полезно в порядковой арифметике, когда мы рассматриваем
порядок, порожденный отношением Р, и "jcFP" выражает тот факт, что
х является элементом этого порядка. Два вышеприведенных предложения
(*33-5-51) в основном используются в части 4, посвященной основаниям
порядковой арифметики, а в остальном цитируются нечасто.
*33 6. h : R е &'а. = . а = D7?
Доказательство.
Ь.*32-181. эЬ:Де£Г'а. =.аБЯ.
[*33-123] = . а = D7?: э h . Prop
*33 61. h : R e fr'a . = . а = СГД
*33-62. h : R б Cl'a . = . a = C'R
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

328
ГЛАВА 4. ЛОГИКА ОТНОШЕНИИ
*34. Относительное произведение двух отношений
Краткое содержание *34-
Относительное произведение189 двух отношений R и S есть отношение,
имеющее место между х и z, когда существует промежуточный терм у
такой, что х находится в отношении R к у, а у находится в отношении S
к z. Например, относительное произведение отношений брат и отец есть
дядя по отцовской линии; относительное произведение отношений отец и
отец есть дед по отцовской линищ и т.д. Относительное произведение R
и S обозначается "7?|5"; его определение таково:
«34-01. R\S =xz{(ny).xRy.ySz} Df
Это определение имеет смысл, лишь когда G7? и G7? принадлежат
одному и тому же типу.
Относительное произведение R и R называется квадратом R] мы
полагаем
«34-02. R2 = R\R Df
«34 03. R3=R2\R Df
Перечислим наиболее полезные предложения настоящего параграфа.
«34 2. b.Cnv'(/?|S) = 5|/?
Т. е. обращение относительного произведения получается заменой
каждого множителя на обратный к нему и обращением порядка множителей.
«3421. \-.{P\Q)\R = P\{Q\R)
Т. е. относительное произведение подчиняется закону ассоциативности.
«34-25. h . Р | (£ 0 R) = (Р | Q) 0 (Р \ R)
«34 26. \-.{P0Q)\R = {P\R)0(Q\R)
Т. е. относительное произведение подчиняется закону дистрибутивности
относительно логического сложения отношений. (Если взять логическое
умножение вместо логического сложения, то будет иметь место только
включение вместо равенства; см. «34-32-34.)
«34 34. \-:RgP.S gQ.z>.R\S clP\Q
«34-36. h . D'(P | Q) с D'P. a\P | Q) с <T£
«34 41. h : E ! P'Q'z. э . P'Q'z = (PI QYz
«34-01. RIS = xz {(ay). xRy. ySz] Df
«34-02. R2 = R\R Df
«34-03. R3=R2\R Df
«34-1. h : jc (Д | S)г. = . (ay) - xRy. ySz [«21-3 . («34-01)]
«34-11. h : jc (R | S) z. = . a ! (£"'*n^f'z)
Доказательство.
h . «34-1 . «32-18-181. э
h : x(R 1S)z. s . (ay) -yefc'x .ye~3lz.
[*22-33] ее . (ay) .yefc'jcn S^'z.
[*24-5] = . a ! (fc'x n^f'z): э h . Prop
189 В настоящее время общеупотребительным является термин "композиция". — Прим.
ред.
Principia Mathematica I

*34. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ОТНОШЕНИЙ
329
*3412. Ь . R | S = Jcz {g ! (ft"'* n^'z)} [*21-33 . *34-11]
*34 2. KCnv'(/?|S) = S|/?
Доказательство.
\-.*31-131.z>\-:x{Cnvt(R\S)}z. = .z(R\S)x.
[*34-1] = .(gy).ztfy.yS*.
[*31-11] = .(ду).гДу.у5д;.
[*34-1] =.x(S\S)z (1)
h . (1). *11-11. *21-43 . э К Prop
*34-202. h . Я | S = (Cnv'JS) | S
Доказательство.
\-. *31-131.=>\-:х(Спу'к)у.ySz. = .уRx.ySz.
[*34-11] = .jt/?y.ySz. (1)
h.(l).*10-ll-281.*34-l.Dh:jc{(Cnv4*)|S}z. = .Jc(/?|5)z (2)
h . (2). *1M1 . *21-43 . э h . Prop
*34-203. h . Я 15 = R | (Cnv'S) [Доказательство аналогично]
*3421. V.(P\Q)\R = P\(Q\R)
Доказательство.
h . *34-l . *10-281 . э h :: (gz). * (PI 0 г • zRw. = :. (gz): (gy) - ^У - yG*: zKvv:.
[*ll-6] s :. (gy):. */>y: (gz). yG^. zRw:.
[*34-l . *10-281] s :. (gy). jcFy. у (fi | /?) w (1)
h . (1). *11-11 . *34-l. *21-43 . э h . Prop
*34 22. P|GI^ = (/>IG)I^ Df
Это определение используется, только чтобы избежать лишних скобок.
*34 23. \-.P\(QnR)G(P\Q)n(P\R)
Доказательство.
h . *34-1 - э
\-:.x{P\(Qn,
[*23-33]
[*10-5]
[*34-1]
[*23-33]
К(1).*11-11
Ю)У- =:(nz).xPz.z(QnR)y:
= : (gz). xPz . zQy . гЯу :
э : (gz) . xPz. zQy : (gz). xPz - z#y:
= :.jc(P|G)y.*(/4*)y:
г:.х{(Р|б)П(Р|Л)Ь:
oh. Prop
(1)
Обращение последнего предложения неверно.
*34-24. )r .(Pf)Q)\RG(P\R)n(Q\R) [Доказательство аналогично]
*34-25. Ь . Р | (G О Я) = (Р | G) О (Р | Я)
Доказательство.
h . *23-34 . *10-281 . э
h:.(gz).xPz.z(GO/?)y. = :.(gz):xPz:zGy.V.z^y:
[*4-4 . *10-281] = : (gz): xPz .zQy.V . xPz. z^y:
[*10-42] = : (gz). xPz .zQy.V: (gz. xPz. гЛу:
[*34-l] ~:x(P\Q)y.W.x(P\R)y:
[*23-34] =:x(P|GUF|/?)y (1)
h.(l).*ll-ll.*34-l.z>l-.Prop
*34-26. \-.(P\jQ)\R = (P\R)0(Q\R) [Доказательство аналогично]
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

330
ГЛАВА 4. ЛОГИКА ОТНОШЕНИЙ
.Нр
(х, у): xRy. = . xR' у:
(jc, у): xRy. yPz. =z . xR' у. yPz :
W s (ЗУ) • хЛу. yPz. =z. (gy). x/?' у. уРг:
/?|/> = /?'|/>:.э1-Ргор
P\R = P\R' [Доказательство аналогично]
P\R\Q = P\R'\Q
э:
э:
Две последние формы закона дистрибутивности, а также закон
ассоциативности (*34-21)— единственные из обычных формальных законов,
справедливые для относительного произведения. Закон коммутативности,
в частности, не имеет места.
•34 27. \-.R = R' .z>.R\P = R'\P
Доказательство.
1-.*21-43.эН
1*11-401
[«10-281]
[*21-15]
•34-28. г.Я = Д'.э
•34 29. г. R = R'. э
Доказательство.
Ь. *34-27 . э h :. Нр . э . Я | б = Я' I G •
[•34-28] z>.P\R\Q = P\R'\Q:z>\- Prop
При доказательстве равенства двух отношений, скажем R и S, мы
обычно устанавливаем сначала утверждаемое предложение вида
xRy . = . xSy
или Нр . э : xRy . = . xSy.
Затем мы переходим посредством *11-11 (вместе с *11-3 во втором
случае) к
(х, у): xRy. = . xSy или Нр . э : (х, у): xRy . = . xSy,
откуда результат следует по *21-43. Мы будем опускать эти шаги в
дальнейшем и сразу же записывать "и Ь.Ргор", после того как установим
xRy. = . xSy или Нр . э : xRy. = . xSy.
Аналогичный эллипсис будет использован и при доказательстве равенства
классов.
•34 3. h : g ! (Р | Q) . = . 3 ! (СГР П D'0
Доказательство.
h . *25-5 . э
\-г.яНР\0). = :Лах,у).х{р\0)у>..
[•34-1] = :. (а*,у): (а*) • *ft. zQy:.
[•11-27] = :.(a*,**).*ft.zfiy:.
[•11-24] =:.(nz,x,y).xPz.zQy:.
[*11-27] = :. (аг) :• (а*,у) • *ft. zQy :.
[•11-54] = :. (az) :. (а*) . xPz : (ay) - zGy:-
[•3313131] = :.(az):.Z€CTP.zeD'G:.
[•22-33] = :.(az):.zeCTPnDeG:.
[•24-5] = :. a J (СГР П D'0 :: э h . Prop
Л . = . P | б = A [*34-3 . Transp]
?>.P\Q = A.Q\P = A
•34301
•34-302
d'PnD'Q--
C'PnC'Q^A.
Доказательство.
|-.*зз-1б. э1-:НР. э.а'РпБ'е = л.а'!2пВ'р=л.
[•34-301] z>.P\Q = A.Q\P = A:z>\-. Prop
Principia Mathematica I

*34. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ОТНОШЕНИЙ
•34-31. V:ul(P\Q).z>.ulP.ulQ
Доказательство.
h . *34-3 . эЬ:Нр. э.а!(а'РпБ'0.
[*24-561] э.а!а4Р.а!Б'е.
[*33-24] ^.£IP.£IQ:^\-. Prop
*34 32. t-:.P = A.V .Q = A:z>.P\Q = A [*34-31 . Transp . *
•34-33. \-zxeT>gR. = .x(R\R)x
Доказательство.
Ь.*33-13. эЬисеБ'Я. =.fay).xRy.
[*4-24] = . (ЗУ) • xRy • xRy.
[•31-11] =.(ду).хЛу.уЛх.
[•34-1] = . х(Я IR) x: э h . Prop
•34-34. hr/ecp.^cze.D./ei^GPiG
Доказательство.
h . *23-l . э h :. Hp . э : xRy . э^ . JtPy: ySz. э^ . yQz:
[*ll-2 . *10-1-41] э : хЯу . э . xPy: ySz . э . ygz:
[*3-47] z>:xRy.ySz.^>.xPy. yQz
К(1).*10-11-21-28.э
h :. Hp . э : (gy). хЯу . yS z. э . (ay). x/>y. уQz:
[*34-l] d:x(J?|S)z.3.x(F|6)z
Н.(2).*11-11-3.э1-.Ргор
*34-35. h: a ir . сгд с D'/> . z>. a! RI p
Доказательство.
h . *33-24 . э h : Hp . э . 3 ! СГЯ
h.*22-621. эН:Нр. D.a'/? = a'i?nD?
h.(l).(2). эНгНр. .зКГДПБ'Р.
[*34-3] э . а ! RI P: => Ь • Prop
•34-351. Н:а!Д.В'ДсС[\Р.э.а!Д|^
[Доказательство аналогично *34-35 ]
*34-зб. h. b\p | Q) с D'p. a4^ IG) с ere
Доказательство.
h.*3313.3 \-:.xeBl(P\Q).
[*34-l]
[•11-23]
[•11-55. *10-5]
[*3313]
Аналогично г :. z e G'(P I G) •
Ь.(1).(2).*10-11.э1-.Ргор
Следующее предложение служит леммой для *95-31.
*34-36i. hrgi^.D^caT.a^cD'G.z>.а!р|/г|G
Доказательство.
h . *34-35 . э h : Hp . э . а ! RI G
Ь . *34-36 . э Ь : Нр . э . D'(P| G) с СГР
Ь . (1). (2). *34-351 . э h . Prop
•34 37. h . С'(Р I G) с D'P U Q'G [*34-36 . *33-161. *22-72]
э
D
Э
э
3
э
: (Э*) • х
:(аг,у).
:(ау»г).
(P\Q)z:
xPy • yQz:
*Ру • yQz -
: (ау). лгРу :
:jceD'P
:zearP
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

332
ГЛАВА 4. ЛОГИКА ОТНОШЕНИЙ
♦34 38. Ь . С\Р | Q) с С'Р U CQ [*34-37 . ♦ЗЗ-Ш. *22-72]
♦34-4. Ь : £ = Р'с. с = 6'z. э . £ = (Р \ QYz
Доказательство.
(-.♦30-31. z>b:Hp. z>.bPc.cQz.
[*34-1] э.*(Р|б)г (1)
Ь . *30-31 . э Ь : Нр . э : yQz .z>y.y = c:
[Fact] э : хРу . yQz. =>^ . хРу. у = с.
[•13-13] з^.хРс (2)
Ь . *30-31 . =>h :Нр . э :хРс. э* .х = Ъ (3)
Ь . (2). (3) . э Ь : Нр . э : хРу. y£z • =>*,? • * = Ь :
[♦10-23] э : (Яу). хРу . yQz. э* . * = 6 :
[*34-1] э:х(Р|б)г.эх.х = * (4)
Ь . (1). (4). *30-31 . э h . Prop
♦34-41. h : Е ! P'Q'z. э . P'Q'z = (РI 0'z
Доказательство.
h . *30-52 . э h : Нр. э . (g^,c).b = Р'с.с = б'г.
[•30-51 . *34-4] э .(gfc).6 = P'Q'z.b = (P\ QYz.
[♦14-145] э . P'Q'z = (PI Q)'z: => h . Prop
Последнее предложение перестанет быть истинным, если мы заменим
гипотезу на Е ! (Р\ QYz, так как (Р| QYz может существовать, когда P'Q'z
не существует. Предположим, например, что Q — отношение ребенка к отцу,
а Р — отношение дочери к отцу. Тогда (Р\ QYz- внучка z, тогда как P'Q'z =
дочь потомка z. Первая конструкция предполагает, что z имеет
единственную внучку, в то время как вторая требует дополнительно, чтобы z имел
единственного потомка.
По той же причине не имеет места
* = (/Чб)'г.э.(дс).* = Р'с.с = евс.
Это справедливо, если Р, Q суть отношения один-к-многим (ср. *71), но
в противном случае это не так.
*34 42. V : (z). R'z = Р' Q 'z. э . R = Р \ Q
Доказательство.
h . ♦14-21 . э h :. Нр . э : (z) Е ! R'z: (г). Е ! P'Q'z (1)
h . (1). ♦34-41 . ^:(z)R'z = (P\QYz:
[♦30-42 . (1)] z>: Я = P | (2 :• => H - Prop
♦34-5. h : jc/?2 у. s . (аг). *Дг. г#у [*34-l . (♦34-02)]
♦34-51. Ь : x Я3 у. = . (gz, w). xRz. ztfw. wtfy
Доказательство.
h . ♦34-1 . (♦34-03). z>
h :. xR3 у . н : (gw) . Jt Д2 w . wRy :
♦34-52.
♦3453.
♦34531.
К
h
h:
[♦34-5]
[♦11-55]
[♦11-2]
.R3=R\R2
:g!*2-^a
:D'i?na'^ =
s : (Я^) •* (Я^) -
= :(gw,z).*tfz
==:(gz,w).xtfz
m'i?na'i?
л. s. я2 = A
Jt/?z. z/?w : vv/ty:
. zRw . wRy :
.zRw.wRy:. эЬ . Pr
[♦34-21]
[*34-3]
[♦34-53 . Transp]
Principia Mathematica I

*34. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ОТНОШЕНИЙ
333
*34-54. Ь:хДх.э.хЯ2х
Доказательство.
V . *4-24 . э V : хЯх . э . xRx. хЯх.
[*10-24] э.(ду).хДу.уДх.
[*34-5] э . х Я2 х: э Ь . Prop
*34-55. h :. Я2 dS . = : хДу. y/?z. z>w. xSz [*34-5 . *10-23]
*34 56. Ь . D7?2 с D7?. СГЯ2 с О'/?. CR2 с С'/? [*34-36-38]
*34 6. t-.(RnS)2GR2f\S2
Доказательство.
h . *34-5 . э h :. х (R П 5) 2у. = : (gz). x (R П 5) z. z (Я h 5) у:
[*23-33 . *10-281] в : (gz). xRz. xSz. ztfy. z5y:
[*4-3 . *10-281] = : (gz) . xRz. z^y. xSz . z5y:
[*10-5] = : (gz). xflz . zRy: (a*) - xSz - z5y:
[*34-5] z>:xR2y.xS2y:
[*23-33] э:х(Д2П52)у (1)
Ь.(1).*1Ы1.эЬ.Ргор
*34-62. \-.(ROS)2=R2UR\S US \RUS2
Доказательство.
h . *34-26 . э h . (Д U 5) 2=R | (Д U 5) U 5 | (R U 5)
[*34-25] = Д20Д|5 US |/?US2.3KProp
Последнее предложение служит леммой для * 160-51 и используется
также в *34-73.
*34-63. Ь . Cnv'(/?2) = (Cnv4/?)2
Доказательство.
Ь . *31131 . э Ь :. х {Cnv'(/?2)} у. = : У R2 х:
[*34-5] = :(az).y/?z.ztfx:
[*31431 . *10-281] = : (3*) .xRz.zRy:
[*ЗЫ31 . *34-5] = : х (Cnv7?) 2у: э Ь . Prop
*34-7. h.Cnv'(S|S) = S|S
Доказательство.
h . *34-2 . э h . Cnv'(S 15)= (Cnv'S) | S
[*34-202] =S\S .эЬ.Ргор
Таким образом, отношение 5 \S всегда симметричное, т.е. совпадает со
своим обратным.
*34-701.
*34-702.
KCnv'(5|S) =
S\S
KC'(S|S) = D'S
Доказательство.
h. *34-37
[*33-21]
Ь. *3313
[*31-11]
[*34-1]
[*3347]
. эЬ.
. эЬ:
[*34-2-203]
.C'{S\S)
xeD'S .
cD'SUd'S
cD'5
э . (gy). xSy.
=>.(ay).xSy.;
z>.(S\S)x.
z>.xeCl(S\$)
(1)
X.
(2)
h.(l).(2).*10-ll .эЬ.Ргор
*34-703. h . Cl(S \S) = G'S [Доказательство аналогично]
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

334
ГЛАВА 4. ЛОГИКА ОТНОШЕНИЙ
*34 73. h : С'Р П CQ = Л. з . (Р 0 0 2 = Р2 О б2
Доказательство.
Ь.*34-302. э1-:Нр.з.Р|е = Л.е|Р = Л.
[*25-24] з. р2 о е2=р2 upieoeipoe2
[*34-62] = (Р и 0 2 : з h . Prop
*34-8. \-:R = R.R2GR.z>.R = R2 = R\R
Доказательство.
К*34-28. зН:Я = Я.з.Д2=Д|Д (1)
h . *ЗФЗЗ . *33-14 . ^>\-:xRy.z>.x(R\R)x (2)
h.(l).(2). ^\-:.R = R.z>:xRy.z>.xR2x (3)
h . (3). *234 . з h :. Я = Я . R2 GR . з: xRy. з . хДх:
[*4-7] з : x/ty. з . jcPjc . xRy.
[*10-24. *34-5] z>.xR2y. (4)
h.(4).*ll-ll-3. зН:Нр.з.ДсД2 (5)
h.*3-27. зЬ:Нр.з.Д2сД (6)
h . (5). (6). *2341. з h : Hp . з . R = Я2 (7)
h . (1). (7). з h. Prop
Гипотеза последнего предложения состоит в том, что R симметрично
(R = R) и транзитивно (R2 GR). Таковы формальные свойств тех отношений,
которые удобно рассматривать как определенного типа равенства.
*34-81. \-:R=R.R2GR. = .R = R.R2=R [*34-8. *4-71]
Следующие предложения — леммы для предложения *34-85,
используемого в *72-64.
*34-82. Ь :. R = R. R2 GR . з : хе D'R. = . xRx
Доказательство.
h.*34-33. -D\-:xeB'R. = .x(R\R)x (1)
h.*34-8. з1-:.Нр.з:х(/?|Р)х. = .х/?х (2)
h.(l).(2). зЬ.Ргор
*34 83. h : R = R . R2 GR . xRy . з . fr'x = fr'y
Доказательство.
K*3H1. зЬ:.Нр. -DiyRx:
[*3-2] 3:x/?z. з.уДх.хДг.
[*34-55.Hp] з.уЯг (1)
h . *3-2 . з h :. Hp . з : yRz : з . xtfy . ytfz .
[*34-55 . Hp] з . xRz (2)
K(l).(2). зЬ:.Нр. z>:xRz. = .y/?z:
[*10-11-21. *20-15 . *32Л11]>:Рх=Ру:.>\-.Рто1>
*34-84. I-: R = R. R2 GR . у e D'R. fc'jc = fc'y. з . xRy
Доказательство.
Ь.*34-82. зЬ:Нр.з.уДу (1)
h . *32-181 . *20-31 . зНг.Нр. ^>:xRz.=z.yRz:
[*10-1] z>:xRy. = .yRy (2)
h.(l).(2). зКРгор
Principia Mathematica I

♦34. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ОТНОШЕНИЙ 335
*34-841. Ь :R = R. R2 gR . xeD'R. Й~'*= fry. э . xRy
Доказательство.
h . *34-84— . э h : Hp . => .yRx
х>У
[*3141. Hp] =>. xRy: з h . Prop
*34-85. \-:.R = R.R2GR.z>:xRy. = . JteD7?. Й"'х= fc'y
[*34-83-841. *33-14]
A.H. Уайтхбд, Б.Рассел

336
ГЛАВА 4. ЛОГИКА ОТНОШЕНИЙ
*35. Отношения с ограничениями областей
и обратных областей
Краткое содержание *35.
В настоящем параграфе мы должны рассмотреть отношения,
получаемые из данного отношения R путем ограничения его области либо его
обратной области элементами некоторого заранее определенного класса.
Отношение R с областью, ограниченной элементами класса а, обозначается
"а] Я"; с обратной областью, ограниченной элементами класса р,
обозначается "/?Гр"; при наличии обоих ограничений записывается " сх 1 /? f P".
Таким образом, например, "брат" и "сестра" выражают одно и то же
отношение (наличие общего родителя), область которого в первом случае
ограничена мужчинами, а во втором — женщинами. "Отношение белых господ к
цветным работникам" — отношение с ограничением и области, и обратной
области. Мы полагаем
*3501. a]R = xy(xea.xRy) Df
и аналогично для R \ а и а ] R \ р.
Частным важным случаем является случай, когда одно и то же
ограничение накладывается на область и на обратную область, т.е. когда имеется
отношение вида "a^fa". В этой ситуации, говоря об ограничении
элементами класса а, мы будем считать его наложенным на поле. Для этого
случая удобно использовать "Я^а" в качестве альтернативного
обозначения. Таким отношениям посвящен *36.
В настоящей связи удобно рассматривать отношение между х и у,
заключающееся в том, что х принадлежит классу а, а у принадлежит
классу р. Данное отношение будет обозначаться "atP"- Таким образом, мы
полагаем
*3504. aTP = Jcy(Jcea.yep) Df
Принципиальная важность отношений с ограниченными полями
проявляется в теории серий. Пусть для серии, порожденной отношением Я, класс
а состоит из части этой серии. Тогда класс а является полем отношения
a 1 R \ р или R \ а, и именно это — порождающее отношение серии
элементов класса а в том же порядке, в котором они следуют в исходной серии:
Таким образом, с частями серий, рассматриваемыми не только как классы,
но и как серии, можно работать через посредство сериальных отношений
с ограниченными полями.
Отношения с ограниченными областями не настолько употребимы, как
отношения с ограниченными обратными областями. Отношения с
ограниченными обратными областями играют важную роль в арифметике,
особенно при установлении формальных законов. В таких случаях очень
желательно иметь отношение один-к-одному, связывающее два класса или две
серии, т.е. такое отношение, что не только R'y существует всегда, когда
yeQ'R, но также R'x существует всегда, когда xeDT?. Отношение,
которое наиболее часто выбирается для установления подобного соответствия,
есть некоторое отношение типа D, или Q, или С, или некоторое другое
Principia Mathematica I

*35. ОТНОШЕНИЯ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ ОБЛАСТЕЙ И ОБРАТНЫХ
ОБЛАСТЕЙ 337
постоянное отношение, для которого мы всегда имеем EIR'y, причем его
обратная область ограничена таким образом, что согласно этому
ограничению лишь одному значению у соответствует любое заранее заданное
значение R'y. Например, пусть X —класс отношений, никакие два из которых не
имеют одну и ту же область; тогда D ] X является взаимно однозначным
соответствием между этими отношениями и их областями: если R,S е X, то
будем иметь
DlR = BlS .о.Д = 5 .
Аналогично D'R = (D] X)'/? и D'S = (D1 X)'S. Более того, обратная область
D ] X есть X, и область D ] X есть класс областей элементов класса X. Таким
образом, D ] X представляет собой взаимно однозначное соответствие
между X и областями элементов X. Именно в таких аспектах весьма полезны
отношения с ограниченными обратными областями.
В целях ссылок в настоящем параграфе дается обширный круг
предложений, однако предложений, которые будут часто использоваться,
сравнительно мало. Среди них укажем следующие:
*35 21. h . а 1 R \ р = (а 1 R) \ р = а 1 (R \ р)
*35-31. ЫД fa) ГР = Д Г(аПр)
*35 354. К(ДГа)|$=Д|а15
Т. е. при относительном произведении не имеет значения, ограничиваем
ли мы обратную область первого множителя или область второго
множителя.
*35412. КД Г(рир') = ДГрОДГР'
*35-452. Ь:СГДср.э.Д Гр = Д
*35-48. \-:<llP<za.z>.P\(a]R)=:P\R
*35 52. КСпу'(Д Гр) = р1Д
*35-61. Ь . D'(a 1 R) = а П D7?
*35 64. КСГ(ДГР) = рпСГД
*35-65. h : р с Q'R . з . <Г(Д \ Р) = Р
Гипотеза р с G7? справедлива в большом числе случаев, в которых
появляется R \ р.
*35 66. Н:СГДср. = .Д Гр = Д
*35-7. h : ф {(R \ Р)'у). = • у е Р . ф (R'y)
Данное предложение весьма часто используется благодаря тому факту,
что ограничение обратной области применимо, главным образом, к
отношениям, появляющимся в связи с дескриптивными функциями (например,
d, a, с).
*35-71. \-:.ye$.z>y.Rly = S<y:'D.R\$=:S ГР
Это предложение полезно по причине, сходной с той, что делает
полезным *35-71.
*35-82. h.aTP = a1 VfP
Благодаря данному предложению свойства a f p могут быть выведены
из уже доказанных свойств a ] R \ р, если положить R = V.
Отношение afp есть то, что может быть названо "анализируемым"
отношением, т.е. имеющим место между х и у, когда хеа и yep, иначе говоря,
А.Н. "Уайтхед, Б. Рассел

338
ГЛАВА 4. ЛОГИКА ОТНОШЕНИЙ
когда х обладает свойством независимо от у, а у обладает свойством
независимо от х.
♦35-85. h а ! р. э . D'(a Т Р) = а
♦35-86. h g ! а . =>. СГ(а Т Р) = Р
Если А либо В пусто, то а|р также пусто (*35-88).
♦3501. a]R = xy(xea.xRy) Df
♦3502. /?fp = Jcy(jc/?y.yep) Df
♦35 03. a]R\$ = xy(xea.xRy.ye$) Df
♦3504. aTP = xyUea.yep) Df
♦3505. Д'хТР = (Д'*)ТР Df
' Это определение используется, только чтобы избежать лишних скобок.
♦351. Ь : х(а] R)y. = . xea .xRy [*21-3 . (*35-01)]
♦35101. h:jc(/?rp)y. = .x/?y.yep
♦35102. \-:x(a]R \ р)у. = . xea . xRy .yep
♦35103. h:x(aTP)y. = xea.yep
♦35 11. h . a 1 R \ p = (a 1 R) h (R \ p)
Доказательство.
(-.♦35-102. ^\-:x(a]R\ p)y. = . jcea . xRy .yep.
[♦4-24] = . x e a . xRy . xRy .yep.
[♦35-1-101] = .x(a]R)y.x(R\$)y.
[♦23-33] = . x {(a 1 /?) h (/? Г р)} у: э h . Prop
♦35-12. b.(a1/?)h(S fP) = ot1 (RnS) \ p
Доказательство.
h.*23-33. z>h:x{(a1/?)h(5 fp)}y. =.x(a]R)y.x(S \$)y.
[♦35-1-101] E.jcea. xRy. xSy. у е р.
[♦23-33] =.xea.jc(/?h5)y.yep.
[♦35-102] s.jc{a1 (RHS) Г р}у: э h .Prop
♦35 13. h . (a 1 R) h (p 1 S) = (a П p) 1 (Д h 5)
Доказательство,
h . *23-33 . z> h : x {(a 1 R) h (p 1 5)} у. s . x (a 1 Я) у. jc (p 1 S) у.
[♦35-1] = . xea. хЯу. xep. xSy.
[*22-33 . *23-33] =.xe(anp).x(/?h5)y.
[♦35-1] = . x {(a П p) 1 (R h 5)}у : z> h . Prop
♦35-14. h . (R \ a) h (5 Г P) = (R П 5) f (a П р) [Аналогично *35-13 ]
♦35-15. h . (a 1 R \ p) h (a' 1 5 Г p') = (a П a') 1 (R h 5) Г (Р П p')
Доказательство,
h. ♦35-11. э
h.(a1/?rp)n(a'UrP')=(a1^)n(/?rP)n(a'U)n(5rp')
[♦35-13-14] = {(a П a') 1 (/? h 5)} h {(/? h 5) f (p П p')}
[♦35-11] = {(a П a') 1 (R h S) \ (p П p')}. э h . Prop
♦35-16. г-.(а1/?)П5=а1(/?П5) = /?Па15 [Аналогично ^Зб^З ]
♦35-17. 1-.(/?Гр)П5=(/?П5)ГР = ЛП5ГР [Аналогично *ЗЪЛЗ ]
♦35-18. h.(a1/?fP)h5=a1 (Rf)S) \ р=ДПа1 S fp [Аналогично *35Л5 ]
Principia Mathematica I

*35. ОТНОШЕНИЯ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ ОБЛАСТЕЙ И ОБРАТНЫХ
ОБЛАСТЕЙ 339
♦35-21.
h. сх 1 /? Г Р = («1 Л) Г Р = «1 (Л Г Р)
Доказательство.
*35-22.
h . *35-102 . z>h:jc(a1
[*35-1]
[*35-101]
h.*35-102. z>h:jc(a1
[*35-101]
[*35-1]
1-.(1).(2).эКРгор
H.(a1*)|5=a1(J!|S)
Доказательство.
*35-23.
*35-24.
*35-25.
*35-26.
R\fi)y. =.xea.xRy.ye$.
= .x(a]R)y.ye^.
= .x{(alR)\p)y <
R\$)y. =.xea.xRy.yefi.
= .xea.x(R\fi)y.
= .x{a]{R\p)}y I
h.*34-l. z>\-:.x{(a]R)\S}y. = :(gz). *(a1 R)z.zSy:
[*35-l]
[*10-35]
[*34-l]
[*35-l]
1-.5|(ЛГР) = (5|/?)ГР
a]R\S=(a]R)\S
S\R\$ = (S\R)\p
= : (gz). x e a. xRz • zSy:
= : x e a: (gz). xRz ■ zSy.
= :xea.xe(R\S)y:
= . jc {a 1(Я| £)})>:.:> К Prop
[Доказательство аналогично *35-22
Df
Df
\-.(alR)\(Slp) = a](R\S)\p = {al(R\S)}\p = al{(R\S)\p}
= {(ex 1 Л)15} ГP = ex 1 {/?|(S ГP))
= (аЦ?|5)ГР = а1(Л|5ГР)
(1)
(2)
Доказательство.
h.*34-l.Dh:.jc{(a1*)|(S \$)}y. = : (gz) -*(a1 R)z.z(S \$)y:
[♦35-1-101] = : (gz). jc e a . xRz. zSy. у е p :
[♦10-35] = : xea . уep: (gz). */?z. zSy:
[♦34-1] =:xea.x(/?|5)y.yep:
[•35-102] =:x{a](R\S)\p}y (1)
h . (1). *35-21-22-23 . (*35-24-25) oh. Prop
♦35-27. a]R\S \$ = (a]R\S)\$ Df
*35-31. h . (R \ a) Г p = R \ (a П p)
Доказательство.
h.*35-101. :эЬ:л;{(ЯГсОГР};у. =.x(R\a)y.ye$.
[♦35-101] =.xRy.yea.ye$.
[♦22-33] =.xRy.yeanp.
[♦35-101] s . x {R \ (a П Р)} у: э h . Prop
♦35-32. h . a 1 (p 1 R) = (a П p) 1 Я [Аналогично +35-31 ]
♦35-33. h . (a 1 R \ p) \ у = {a 1 R f(P П у)} [Аналогично +35-31 ]
♦35-33. h. a 1 (p 1 R \ y) = {(a П p) 1 R \ у] [Аналогично +35-31 ]
♦35-35. h . a 1 R = (a П D'/?) 1 R
Доказательство.
h . +35-1. z> h : x (a 1 R) у. = . x e a. x/ty.
[♦33-14] E.xea.jceD'/?.^.
[♦22-33 . +35-1] s . x {(a П D7?) 1 R] у: z> h . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

340
ГЛАВА 4. ЛОГИКА ОТНОШЕНИЙ
*35 351. h . (R \ В) = R \ (P n СГЯ) [Аналогично *35-35 ]
♦35-352. h . а 1 R \ р = (а n D7?) 1 R \ (р П О'/?) [Аналогично *35-35 ]
*35 354. h.(/?fa)|5=/?|a15
Доказательство.
h . *34-1 . *35-101. э
h:x{(R\a)\S}z. = .(zy).xRy.yea.ySz.
[*35-1] =.(3y).x/?y.y(a15)z.
[*34-1] = . х {R | (а 1 S)} z: э h . Prop
*35 41. h . (a U а') 1 R = а 1 R 0 а' 1 R [*354 . *22-34]
*35 412. Ь . Я [ (p U р') = R \ р и R \ р' [*35-101. *22-34]
*35 413. h.(aUa,)1/?r(Pup,) = (a1/?fP)U(a1/?fP')
О (а' 1 R \ р) и (а' 1 R \ р') [*35402 . *22-34]
*35-42. Ь . а 1 (Я U S) = (а 1 R) 0 (а 1 S) [*35-1. *23-34]
*35 421. Ь . (Я и 5) [ р = (R \ р) 0 (5 [ р) [*35101. *23-34]
*35-422. h . а 1 (/? О 5) f р = (а 1 /? f р) 0 (а 1 5 [ р) [*35-102 . *23-34]
*35 43. Ь.аср.э.а1/?ср1/?
Доказательство.
Ь. *35-1 . эЬ г.аср.э :х(а1 Я)у. = . xea.xRy.
[*22-1] з.хер.хЯу.
[*35-1] э . х (р 1 R)у:. э Ь . Prop
*35 431. h.pcY.=>./?fpG/?fY [Аналогично *35-43 ]
*35432. H.acY.pc6.3.a1/?fpGYl/?f6 [Аналогично *35*43 ]
*35-44. h.a]RcLR
Доказательство.
h . *35*1 . э Ь : х (а 1 R)y. э . х е а . хЯу.
[*3-27] э . хЯу: э Ь . Prop
*35-441. К Я [рсЯ [Доказательство аналогично *35*44 ]
*35-442. h.a1 Я[р сЯ [Доказательство аналогично *35-44 ]
*35-451. h:D'/?ca.3.a1/? = /?
Доказательство.
Ь.*4-71 . эЬ:.Нр.э:хеБ'Я. s= .хеБ'Я.хеа:
[*4-36] эгхеБ'Я.хЯу. = . хеБ'Я .хЯу .xea (l)
h . *33-14 . *4-71 . э h : хЯу. = . х е Б'Я. xRy (2)
h . (1). (2). э h :. Нр. э : хЯу. = . xRy .xea.
[*35-1] == . х (а 1 R)y:. э Ь . Prop
*35-452. h : О'Я с р . э . R \ р = Я [Доказательство аналогично]
*35-453. Ь:Б'Яса.э.а1Я[Р = Я[р [Доказательство аналогично]
*35-454. h : О'Я c$.z>.a]R\$ = a]R [Доказательство аналогично]
*35-46. \-:RclS .z>.a]RcLa]S
Доказательство.
h . *23-1 . э h :. Нр . э : xRy .z>.xSy:
[Fact] э : х е а . хЯу. э . х е а . х5у:
[*35-1] э : х (а 1 R) у. э . х (а 1 5 ) у:. з h . Prop
*35-461. h: Я ciS . э. Я [ Р GS [ р [Доказательство аналогично]
*35*462. h :R(lS . э . а 1 Я \ft<za]S [ p [Доказательство аналогично]
Principia Mathematica I

*35. ОТНОШЕНИЯ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ ОБЛАСТЕЙ И ОБРАТНЫХ
ОБЛАСТЕЙ
341
.fay).xPy.y(a]R)z.
,(Ry).xPy.yea.yRz.
,(Яу).уеа'Р.уеа.
.g !а?Па
.~x{P\(a]B))zi
.(x,z).~x{P\(a]R)}z.
.Р|(а1/?) = А:эЬ.Ргор
♦35-471. Ь:а<РПа = Л.э.Р|(а1/?) = Л
Доказательство.
K*34-l. z>\-:x{P\(a]R)}z. э
[*35-1] э
[*33-14. *10-5] э
[*22-33. *24-5] э
К (1). Transp . *24-51. э
Ь:а'РПа = Л. э
[•11-11-3] эЬ:СГРПа = Л. э
[*25-15] э
*35-472. h:D<Pna = A.3.(/?fa)|P = A
*35-473. h:a<Pna = A.3.JP|(a1/?fp) = A
*35-474. h:D<JPnp = A.3.(a1^fP)l^ = A
*35-48. Ь:СГРса.э.Р|(а1Д) = Р|Я
Доказательство.
Ь.*22-1 . эЬ:.Нр. э.уеСГР.э^.уеа:
[*4-71] ^>.уеа<Р.уеа.=у.уе(1'Р:
[*10-311] ^.хРу.уе(1'Р.уеа.=у.хРу.уеа<Р
h . *33-14 . *4-71 . э h : хРу.уеСГР. =у . хРу
h . (1). (2). эЬг.Нр. z>.xPy.yea.=y.xPy:
[•10-311] э . хРу . у е а . yRz . =>, . хРу. y/?z:
[ * 3 5 • 1 ] э . хРу. у (а 1 Я) z. =>,. хРу. y/?z:
[•10-281] 3.(gy).JcPy.y(a1i«)z.s.(gy).xPy.yite:
[•34-1] D.x(P|a1/?)z. = .x(P|/?)z:.3h.Prop
•35-481. h:D'Pcp.3.(P[p)|/? = P|/? [Аналогично]
•35-51. h.Cnv'(a1/?) = ^fa
Доказательство.
h . *31-131. э h : x {Cnv'(a ]R))y.
[•35-1]
[•31-11]
[•35-101]
|-.СпуЧ/?ГР) = Р1^
h.Cnv4a1/?fP) = pi^fa
h.Di(a]R) = anDiR
Доказательство.
K*33-13. 3h:.JteD'(a1/?). ss : (gy) .x(a1 R)y:
[•35-1] = : (gy). x e a. x/ty:
[•10-35] = : x e a : (gy). x/ty:
[•33-13] = :xea.xeD\K:
[•22-33] ==: xe (a n D 7?):. э h . Prop
•35-62. h : a с D'fl. э . D'(a 1 fl) = a [*35-61 . *22-621]
*35-52.
*3553.
•35-61.
. у (a 1 R) x.
= . у e a . y/?x.
= .xRy .yea.
= . x (R \ a) у: э h . Prop
[Аналогично *35-51 ]
[Аналогично *35-51 ]
a)
a)
(2)
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

342
ГЛАВА 4. ЛОГИКА ОТНОШЕНИЙ
♦35-63. h : D7? с а. = . а 1 Я = Л
Доказательство.
К ♦Зб-б! . эЬ:а1 /? = /?. э.anD7? = D7?.
[♦22-621] э.Б'Дса
. (1). ♦35-451. э К Prop
♦35-64. h . СГ(Д Г Р) = Р П а4/? [Аналогично ♦Зб-б! ]
♦35-641. Ь : а П D7? = А . э . а 1 Я = А [♦Зб-б! . ♦33-241]
♦35-642. Ь:аПСГЯ = Л.э.ЯГа = Л [*35-64. *33-241]
♦35-643. Ь:аГШ7? = Л.э.а1 (/?US) = a1S [*35-641-42]
♦35-644. h:ana</? = A.3.(/?U5)fa = 5fa [♦35-642-421]
♦35-65. h : р с СГЯ . э . СГ(Д Г Р) = Р [*35-64 . ♦22-621]
♦35-66. Ь : СГД с р . = . R \ р = R [Аналогично ♦Зб-бЗ ]
♦35-671. KD'(/?|S) = D'(/? fD'S)
Доказательство.
К^ЗЗ-13. эЬ:.хеБЧ/?|5). s : (gy) .х(/?|5)у:
[*34-1] =:(3y,z).x/?z.z5y:
[•11-23] s:(gZ>y).x«z.zSy:
[•10-35] s:(gZ):xRz:(ay).zSy:
[♦33-13] s:(gz).jc/?z.Z€DeS:
[♦33-101] =:(gz).x(/?rD<5)z:
[♦33-13] = :jceD'(/? fD'S)z:oh.Prop
♦35-672. h . СГ(Д IS) = СГ(СГД 1 S) [Доказательство аналогично]
♦35-68. Ь:аПр = Л.э.(а1/?Гр)2 = Л
Доказательство.
h . ♦35-61-64-21. э h . D*(a1 R \ p) с a. CT(a1 Я f p) с р .
[♦22-49 . ♦24-13] эЬ:аПр = Л.э. D'(a 1 R \ p) n d'(a 1 R \ p) = A.
[♦34-531] э . (a1 R \ P)2 = A : э h . Prop
♦35-7. h : ф {(/? f P)'?}. s . у € p . ф (/?»
(1)
Данное предложение будет часто использоваться в дальнейших частях
t-vQOfVT'T.T
Доказательство.
h . *14-21. => h : ф {(Л Г Р») • э. Е ! (R \ р)>.
[*33-43] э.уеа'(/гГР).
[*35-64] э.уер
h . (1). *4-71]. э h: ф{(Я Г Р)'у}. =.уер.ф{(ЛГ Р)'у}
h . *4-73 . *35-101. => h :.уер. э : x(R ] $)у. =х. xRy:
[•14-272] э: ф {(Л Г Р)*у} • з . ф (Л»
Ь.(3).*5.32].эН:уер.ф{(КГР)'у}.э.убр.ф(Л'у)
h . (2). (4). э h. Prop
*35-71. \-:.ye$.=>y.R'y = S'y:z>.R\$ = S [P
Доказательство.
К*4-7. эН:.Нр. э:уер.эу.}'ер./г'у = 5'у:
[*35-7] э:уер.э,.(ЛГР)'у=(5 ГР»:
[*35-64] э : у е <Г(Я Г Р) U a*(S Г Р) • =>у • (R Г Р)*У = (5 Г Р)*У:
[*33-45] э:ЛГР = 5 ГР»эН.Ргор
(1)
(2)
(3)
(4)
Principia Mathematica I

*35. ОТНОШЕНИЯ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ ОБЛАСТЕЙ И ОБРАТНЫХ
ОБЛАСТЕЙ 343
*35-75. Ь.Л1Д = ДГЛ = Л1ДГР = а1ДГА = Л
Доказательство.
Ь.*35-61. эЬ.БЧЛ1/?) = Л.
[♦33-241] эКЛ1Я = Л (1)
К*35-64. эЬ.ав(ЛГА) = Л.
[*33-241] эКДГЛ = Л (2)
h . *35-441-21 .эКЛ1/?ГрсЛ1Я.
[(1).*25-13] з1-.Л1/?ГР = Л (3)
h . *35-44-21. z>\-.a]R\AdR\A.
[(2).*25-13] эКа1/?ГЛ = Л (4)
Ь.(1).(2).(3).(4).эЬ.Ргор
♦35-76. h.V]R = R\V = V]R\V = R
Доказательство.
h . *35-1 . э h :
[♦24-104. *4-73]
Ь . *35-101. э Ь :
[*24-104. *4-73]
Ь . *35-102 . э Ь :
[♦24-104 . *4-73]
h . (1). (2). (3). э h . Prop
В оставшейся части этого параграфа (за вычетом *35-81-812), вплоть
до *35-93, исключая само это предложение, изучается а|р-
♦35-81. h : jc(а 1 V)y. = .xea [*35-1. *25-104]
*35 812. h:x(V1p)y. = .jep [*35-101. *25-104]
♦35-82. Ь.аТР = а1 Vfp
x(Y]R)y. =.xeV.xRy.
=.xRy.
x(R\V)y. =.xRy.yeW.
=.xRy.
x(V]R\V)y. =.xeV.xRy.yeV.
=.xRy.
(1)
(2)
(3)
Доказательство.
h.*35-103. зЬ:х(аТр)у. s.xea.yep.
[*25-104] Es.jtea.jtVy.yep.
[♦35-102] s . x(a 1 V f p)y: э h . Prop
♦35-822. Ь.а1/?Гр = ДП(аТР)
Доказательство.
h.*35-102. =>b:jt(a1/?rp);y. = - xea .xRy.yefi .
[*4-3] = . x/ty. x e a. у е р .
[*35-103] ==.jt/?;y.jt(aTP);y.
[*23-33] =. x {R h (a T P)} у: э h . Prop
*35-83. h : D7? с a . СГЯ с p . s . Я ca T P
Доказательство.
K*33-14. эЬг.лгЯу.эглгеБ'Я.уеСГЯ:
[*22-46] згБ'Яса.СГЯср.лгеа.уер
h . (1). Comm. э h :. D'tf с a. (J'R ср.э: x/ty. э . x e a. у e р.
[*35-103] э.*(аТР))>
1- . +35-103 . эЬ:./?саТр.э: xRy. з^ . x e a . у е р:
[♦33-35-351] з : D7? с а . СГЯ с р
h.(2).(3). зН.Ргор
(1)
(2)
(3)
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

344
ГЛАВА 4. ЛОГИКА ОТНОШЕНИЙ
♦35-831. Ь.-(аТР) = (-аТР)0(аТ-Р)0(-аТ-Р)
Доказательство.
К*23-35.эЬ::*{-(аТР)};у.=
[♦35-103] =
[♦4-51] =
[♦4-42] =:
[♦4-4] =:
[♦4-25-31-37]
.~{х(аТР)у}:.
.-(хеа.уер):.
.х~еа. v.y~ep:.
дс~еа:уер. V.y~ep:. Vr.xea. У.дс~еа:у~ер:.
х~еа.уер. V .х~еа.;у~€р. V.jtea.;y~€p. V .х~
еа.у-ер:
= :.x~ea.yep.V.xea.y~6p. v.x~ea.y~ep:.
[♦22-35] =:.xe-a.yep.V.xea.ye-p.v.xe-a.ye-p:.
[♦35-103] =:.^(-aTP)y.V.x(aT-p)>'.V.x(-aT-p)>':.
[♦23-34] =:.^{(-аТР)0(аТ-Р)и(-аТ-Р)}>'::зЬ.Ргор
♦35-832. h . - (a 1 /? f p) = (- a T P) 0 (a T - P) 0 (- a T - P) 0 - /?
[♦35-822-831. Transp . +23-84]
♦35-834. h . (а Т Р) П (у Т Ь) = (а П у) Т (Р П 6)
Доказательство.
h . +35-103 . э
t-ixiiaffrniylbyy.^.xea.yep.xey.yeb.
[♦22-33 . +35-103] = . x {(a П y) T (P П 6)} у: з h . Prop
♦35-84. h . Cnv'(a T P) = P T a [+35-103 . +31-131]
♦35-85. h : g ! p. э . D'(a T P) = a
Доказательство.
h . +35-103 . +10-281. э
Ь:.(аУ)-^(аТР)>'. = :(Я>;)
[♦10-35] =
[♦24-5] ==
h . (1). +33-13 . +10-35
Э!а.э.аЧаТР) = Р
!а.Э!р
♦35-86. h
♦35-87. h:g!(aTp)
Доказательство,
h . +35-103
[♦11-54]
[♦24-5]
h:.aTP = A
xea.yep:
xea:(gy).yep:
jcea.g ! p
э h . Prop
[Доказательство аналогично]
(1)
эЬг.аКаТР). =
(дх,у).леа.уер:
(gx).xea:(ay).yep:
g ! a.g ! р:.эЬ .Prop
♦35-88.
==:а = Л. v.p = A
[♦35-87 . Transp. +24-51. ♦25-51]
♦35-881. h : СГЯ с а . э . Я | (а Т Р) = D7? Т Р
Доказательство,
h . ♦34-1. +35-103 . э
\-:x[R\(at$)}y. = .(Rz).xRz.zea.ye$
h . +33-14 . э h :. СГЯ са.э:*.э.геа:
э : Jt/fe . = . xRz. z € а
эЬ::Нр.э:.х{/?|(аТр)}у. = :(аг)
[♦4-73]
Ml)-(2).
[♦10-35]
[♦33-13]
[♦35-103]
(1)
(2)
xRz .yep:
= :(gz).jt/?z:;y€p:
==:;teD7?.;yep:
= :x(D7?TP);y::=>k
Prop
Principia Mathematica I

*35. ОТНОШЕНИЯ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ ОБЛАСТЕЙ И ОБРАТНЫХ
ОБЛАСТЕЙ 345
♦35-882. Н:В7?ср.э.(схТР)|Д = аТСГД [Аналогично]
♦35-89. Ь:Э!р.э.(аТР)КРТу) = (аТу):-я!р.=>.(аТР)|(РТу) = Л
Доказательство.
Ь.*34.1.эЬ:.х{(аТР)|(РТу)}г.
s:(ay)^(«TP)y.y(PTY)z:
[+35-103] = :(ny).xea.ye$.ye$.zey:
[+4-24] == : (д у) .Jtea.yep.zey:
[*10-35] =:g '.prxea.zey:
[•35-103] =:3!p:jt(aTY)z (1)
h.(l).3h::3!p.3:x{(aTP)|(PTY)}z. = .x(aTY)z:.
~(э!Р). э:~[х{(аТР)КРТу)}г]::эЬ.Ргор
♦35-891. Ь:.а!р.У.~Э!а:э.(аТР)|(РТа) = (аТа)
Доказательство.
h. *35-88 .эЬ:-а!а.э.аТа = Л.аТР = Л.
[♦34-32] э.аТа = Л.(аТР)|(РТа) = Л.
[•21-24] э.(аТа) = (аТР)КРТа) (1)
h . (1). *35-89 . э h . Prop
*35-892. h : (a T a)2 = (a T a) [*35-891 ^]
♦35-895. Ь:аПр = Л.э.(аТР)2 = Л [*35-68-82]
*35-9. h . D'(a T a) = <T(a T a) = C'(a T a) = a
Доказательство.
(i)
(2)
h.
к
♦35-85-86 . э h : g ! a. э . D'(a T a) = a . <T(a T a) = a
♦35-88. эЬ:~з!а.з.~а!(аТа).
[*33-29] э . D'(a T a) = Л. <T(a T a) = Л
[+24-51] э . D'(a T a) = a . d'(a T a) = a
h.
♦3591.
(1). (2). +4-83 . D'(a T a) = CT(a Ta) = a.Dh. Prop
h:/?Gata.==.C7?ca
Доказательство.
+35-92.
+3593.
h . +35-103 . Dh:./?Ga|a. = : xRy. эхо, . х, у е а :
[♦33-352] э : C7? с а :. э h . Prop
h :. (aa). P = a T a . z>: R GP. = . C'R с С'Р [+35-9-91]
Н:(Я).ф(Б\К).Е:.(а).фа
Доказательство.
«35-931.
+35932.
+3594.
♦35941.
♦35-942.
h . ♦33-12 . +14-18 . э h : (a). фа . э . ф(Б7?):
[♦10-11-21] э h : (a). ф а. э . (Я). ф (D7?)
h . ♦lO-l . э h :(/?). ф (D'tf). э . ф {D'(a | a)}.
[♦35-9] э . ф а :
[♦10-11-21] з h :(/?). ф (D7?). э . (a). ф а
h . (1). (2). э h . Prop
h :(/?). ф (a4/?). 5=. (a). ф а [Аналогично +35-93]
h :(/?). ф (C'R). = . (a). ф a [Аналогично +35-93]
h : (a/?). ф (D7?). = . (aa) • Ф a [+35-93 . Transp]
ЬгСа^.фСа^.^.Са^.фа [+35-931. Transp]
Ь:(аД).ф(С70. = .(да).фа [+35-932 .Transp]
(1)
(2)
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

346
ГЛАВА 4. ЛОГИКА ОТНОШЕНИЙ
*36. Отношения с ограничениями полей
Краткое содержание *36.
В настоящем параграфе мы сосредоточимся на специальном случае,
когда одинаковые ограничения накладьшаются на область и на обратную
область отношения. Равным образом тот лее результат может быть
достигнут наложением ограничения на поле. Большим удобством была бы
возможность рассматривать а] Р \а как дескриптивную функцию а или Р,
что безопаснее всего достичь путем использования обозначения Р [ а, в
результате чего, как объясняется в *38, и Р ['а, и [а'Р будут обозначать
Р [а. Если Р — сериальное отношение, и асС\Р, то иР [а" будет означать
"элементы а, расставленные в порядке, определяемом Р", или, выражаясь
кратко, "а Р-упорядочено". Определение Р[а таково:
♦3601. Pta = a1Pfa Df
Мы также имеем
♦36 13. \-:х(Р ta)y. = . x,yea.xPy
В большинстве предложений, содержащих Р [ а, требуется, чтобы Р
обладало, по крайней мере, некоторыми из свойств сериальных отношений.
Поэтому предложения, затрагивающие Р [ а, и которые можно представить
в настоящем параграфе, большей частью нельзя отнести к разряду
наиболее полезных. К ним молено отнести лишь следующие предложения:
♦36-25. h : С1Р с a . =. Р [ а = Р
♦36 29. \-.P[a = PnaJ[a
♦36 3. h.Pta = Pt(anC'P)
♦36-33. Y.P\OP = P
«36-01. Pta = a1Pfa Df
♦36-11. h.Pta = a1Pta [(♦36-01)]
♦36-13. h : x(P l а)у. ==. xyyea. xPy [♦36-11 . ♦35-102]
Следующие предложения получаются из соответствующих предложений
параграфа ♦Зб посредством ♦Зб-И, использование которого в каждом
отдельном случае не отмечается.
♦36-2. h . Р I a U Q I р = (PU Q) [ (а П р) [*ЗБЛБ]
♦36-201. KPtaUPtP = Pt(ar>p) [+36-2]
♦36-202. \-.P[a\JQta = (PUQ)[a [*36-2]
♦36-203. \-.PlaOQ = (PUQ)la [♦35-18]
♦36-21. h . (Р [ а) I р = Р I (а П р) [*35-33-34]
♦36-22. b-.(P[a)\(Q[a)cL(P\Q)ta
Доказательство.
h . ♦Зб-хЗ . ♦ЗФ! . z>\-:x{(Pta)\(Q[a)}z. = . (яу) .x,y,zea .xPy .yQz.
[*Ю-5] s . (gy) . jc, z € a . xPy. y(2z (1)
h . (1). *10-35 . +34-1. z> К Prop
♦36-23. b-.(P0Q)[a = P[aGQ[a [♦35-422]
♦36-24. hracp.D.PtacPtP [♦35-432]
♦36-241. h:P<iQ.z>.P[a<zQ[a [♦35-462]
Principia Mathematica I

♦36. ОТНОШЕНИЯ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ ПОЛЕЙ
347
♦36-25. h:ClP<za. = .P[a = P
Доказательство.
h .+36-13 .+4-7 . эЬ:.Р£а = Р. ==: хРу. эхо, .хууеа :
[♦33-352] s : С'Р с а :. з h . Prop
♦36-26. h : С'Р П а. э . Р | (Q [ а) = А. (Q [ а) | Р = А [*35-473-474]
♦36-27. h:PtA = A [+35-75]
♦36-28. b.P£V = P [*35-76]
♦36-29. Ь.р[а = РпаТа [♦35-822]
♦36-3. h:Pta = P|;(anC'P)
Доказательство.
Ь . +33-17 . *4-71 . э h : хРу. = . х,;уеС'Р. хРу:
[Fact] эЬ :дс,уеа.хРу. = .х,уеа. дс^еСР.хРу.
[♦22-33] =. jc, у е а П С'Р . хРу.
[♦36-13] = . х {Р £ (а П С'Р)} у (1)
Ь . (1). ♦ЗбаЗ . э Ь. Prop
♦36-31. h : а П С'Р = А . э . Р t а = А [♦36-3-27]
♦36-32. h : а П С'Р = р П С'Р. э . Р t а = Р t Р Иб-3]
♦36*33. Ь.Р^С'Р^Р [♦36-25]
♦36-34. h . Cnv'P t а = (P) t a [*35-53]
♦36-35. h . (P t a)2 g(P2) [ a [♦36-22]
♦36-4. h:.anD'/? = A.V.ana'/? = A:D.(/?U5)ta = 5 [a
Доказательство.
К*35-643.эЬ:аПБ'Р = Л. э . a1 (PU5) = a1 5 .
[♦35-21] 3.(PUSHa = S ta (1)
Аналогично h :аП<ТР = А . э .(/?US) ta = S [а (2)
К(1).(2).эЬ.Ргор
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

348
ГЛАВА 4. ЛОГИКА ОТНОШЕНИЙ
*37. Множественные дескриптивные функции
Краткое содержание *37.
В настоящем параграфе мы введем то, что можно рассматривать как
множественное число от R'y. "R'y" было определено как означающее "терм,
который находится в отношении R к у". Теперь мы вводим обозначение
"/?"Р", означающее "термы, которые находятся в отношении R к
элементам р". Таким образом, если р есть класс великих мужей, a R — отношение
жены к мужу, /?"Р будет означать "жены великих мужей". Если р есть
класс дробей вида 1-1/2п для целых л, a R — отношение "меньше чем", то
Я"р будет классом дробей, каждый элемент которого меньше, чем
некоторый элемент исходного класса дробей, т.е. /?"р — класс правильных дробей.
Нам потребуется также обозначение для отношения /?"р к р. Это
отношение обозначим R€. Таким образом, Re есть отношение, выполняющееся
между двумя классами аир, когда а состоит из всех термов, находящихся
в отношении R к некоторому элементу р.
Особо важный случай появляется, когда R'y всегда существует, лишь
только yep. В этом случае /?"р есть класс всех термов вида R'y при yep.
Мы будем обозначать гипотезу, что R'y всегда существует, если yep,
посредством нотации Е!!/?"р, означающей "/?-ы р-ов существуют".
Выпишем определения:
*3701. /rp = jc{(ay).yep.jc/?y} Df
*3702. Яс = ар(а = Д"р) Df
*3703. R€ = Cnv'(/?c) Df
Это определение используется, только чтобы избежать лишних скобок.
Без него "/?с" имело бы двоякий смысл: (#), или же Cnv'(^c)> что не одно
и то же. Во всех случаях, когда встречается нижний индекс, мы будем
принимать подобное соглашение, т.е. всегда полагать
^suffix = Cnv'(/?suffix) .
*3704. Я'"к = Я/'к Df
Таким образом, /?'"к состоит из всех классов, которые находятся в
отношении R к некоторому элементу к. RiilK имеет смысл лишь в случае,
когда к есть класс классов, связанных отношением с элементами обратной
области R; при этом Д'"к является классом классов, связанных
отношением с элементами области R.
*3705. Е!!Я"р.==:уер.Эз,.Е!Я';у Df
Здесь символ "Е!!Д"р" должен трактоваться как нечто целое, т.е.
мы не рассматриваем данное предложение как утверждение о /?"р. Если
/?"р = а, не следует полагать, что мы вольны писать "Е !!а", что было бы
нелепостью, точно так же, как "Е !х" — нелепость, далее когда x = R'y и
Е ! R'y.
Обозначение /?"а, вводимое в настоящем параграфе, исключительно
полезно и заключает в себе весьма ценную идею. Его использование
варьируется в зависимости от типа связанного с ним отношения. Прежде всего
рассмотрим тот тип отношения, который приводит к дескриптивной
функции, скажем D. Если X —класс отношений, то D"X — класс областей этих
Principia Mathematica I

*37. МНОЖЕСТВЕННЫЕ ДЕСКРИПТИВНЫЕ ФУНКЦИИ
349
отношений. Иначе говоря, D"X есть класс, каждый элемент которого имеет
вид D7?, где ReX. Допустим, что "хл" обозначает отношение т к тхщ
тогда, если мы обозначим "NC" класс кардинальных чисел, то xn"NC будет
обозначать все числа, получаемые умножением некоторого кардинального
числа на л, т.е. все кратные л. Так, например, x2"NC будет классом
четных чисел. Если R является соотношением между двумя классами аир
(т.е. таким отношением, что если yep, то R'y существует и является
элементом а, и обратно, если хеа, то R'x существует и является элементом
Р), то а = /?"р, и R можно рассматривать как преобразование, применимое
к любому элементу Р и дающее в качестве результата элемент класса а.
Именно посредством указания такого преобразования можно показывать,
что два заданных класса эквивалентны, т.е. имеют одно и то же
(кардинальное) число элементов.
В случае сериальных отношений обозначение Я"р используется иным
образом. Допустим, к примеру, что R — отношение меньшего к большему
среди вещественных чисел. Тогда, если р —любой класс вещественных
чисел, /?"р будет сегментом вещественных чисел, определяемым р, т.е.
классом вещественных чисел, меньших, чем предел или максимум р. Для любой
серии, если р —класс, содержащийся в этой серии, и R — порождающее
отношение данной серии, то /?"Р есть сегмент, определяемый р. Если р имеет
предел или максимум, скажем, х, /?"Р будет совпадать с л'х. Но если р не
имеет ни предела, ни максимума, Я"Р будет тем, что мы можем назвать
"иррациональным" сегментом серии. Позже мы увидим, что вещественные
числа могут быть отождествлены с сегментами серий рациональных чисел,
т.е. если R есть отношение меньшего к большему среди рациональных
чисел, вещественные числа будут получены как всевозможные классы Я"р
при различных значениях р. Вещественные числа, соответствующие
рациональным, будут в точности теми, что получаются из класса Р, имеющего
предел или максимум; иррациональные числа —теми, что получаются из
класса р, не имеющего ни предела, ни максимума.
Настоящий параграф можно разделить на несколько разделов. (1)
Вначале мы приводим различные элементарные свойства терминов,
определенных в начале параграфа; этот раздел заканчивается цифрой *37-29. (2)
Затем мы имеем ряд предложений, содержащих относительные произведения,
а также такие символы, как Р"й"у> ^"б'"к> и т.д. Центральным здесь
является предложение
•37-33. Н.(Р|е)"у = Р"е"У
По определению, Q'"k=Qc"k. Таким образом, P"Q'"k=(P| Qc)"k- Это
объясняет связь между предложениями с символами вида P"Q'"k и
предложениями, содержащими относительные произведения. Второй раздел
состоит из предложений с *37-3 по *37-39. (3) Далее следует ряд предложений
об отношениях с ограничениями областей и обратных областей. Главными
из них являются следующие:
«37-401. KD'(/?rP) = ^'P
«37-412. Ь.(/?Гсх)"Р = Д"(аПр)
♦37-41. h . D\R t a) = a n Я''a. СГ(Д [ a) = a n R''a
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

350
ГЛАВА 4. ЛОГИКА ОТНОШЕНИЙ
Эти предложения об отношениях с ограничениями областей и обратных
областей, а также некоторые другие, естественно связанные с ними,
нумеруются с *37-4 по *37-52. (4) Далее идет серия весьма важных предложений
о следствиях гипотезы Е !!/?"Р, т.е. гипотезы о том, что отношение R
переводит любой аргумент, являющийся элементом класса Р, в дескриптивную
функцию Rly. Основное предложение этого раздела —
*37-6. Ь:Е!!/?"р.з./?"р = л{(ау).уер.л: = /?'у}
Предложения с гипотезой Е !!Я"Р применяются к случаям К и К, в
которых эта гипотеза проверяется. Данный раздел нумеруется с *37-6 по
*37-791. (5) Наконец, имеется три предложения об относительном
произведении а [ р с другими отношениями. Эти предложения используются в
реляционной арифметике (часть IV).
Приведем предложения настоящего параграфа, наиболее часто
используемые в дальнейшем, но не упомянутые выше (опуская содержащие лишь
определения):
*3715. КД"асБ7?
.Д"асСГД
:аср.з.Р"асР"Р
.P"(aUp) = P"aUP"p
.Д"р = Я"(рПСГД)
.Д'Чх=Я'ЧаПС^).Д'Чх = Д'ЧаПС'Д)
.Я"Л = Л.Д"Л = Л
. D\P | Q) = P"D'<2. <Г(Р| Q) = Q"d\P
:.О0.Е!Дву.э:а!Я"Р. = .Я!р
:jc€tf"a. = .g !an^"'jc
:: Е !! Д"Р . з :. Д"р с a . = : у е Р . z>y . /Гуе a
Например, пусть R — отношение отца к сыну, р —класс итонцев190, а —
класс богатых людей; тогда "Я"Рса" утверждает "все отцы итонцев
богаты", а "уер. зу .R'yea" утверждает "если мальчик — итонец, его отец
должен быть богат". В силу последнего предложения эти два
утверждения эквивалентны.
*37-62. h : Е ! Rly. ye a . =>. R'yeR^a
*37 63. h :: E !!R"a. => :.xei?"a . э* .ух: = :уea . z>y .у (R'y)
♦3716.
♦37-2.
♦37-22.
♦37-25.
♦37-26.
♦37-265.
♦37-29.
♦37-32.
♦37-45.
♦37-46.
♦37-61.
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
«37-01. /?"Р = х{(Эу).уер.х/?у} Df
*3702. /?€ = ap(a = /?"p) Df
*3703. Д€ = Cnv'(/?€) Df
*3704. Д'"к = Я€"к Df
*3705. E !! R' 'P . = : у e p . z>y . E ! R'y Df
*37 1. h : jc е/Г'p . ss: (gj). у e p . x/ty [*20-3 . (*37*01)]
♦37-101. Ь:а/?€р. = .а = /?4<р [*21-3 . (*37-02)]
*37102. |-:а(Л)€р. = .а = Л"р [*37-101]
190 Итонский колледж —одна из наиболее престижных частных школ в
Англии. — Прим. перев.
Principia Mathematica I

♦37. МНОЖЕСТВЕННЫЕ ДЕСКРИПТИВНЫЕ ФУНКЦИИ
«37-103. К:аеР'''к. = .(др).рек.а = Р''р. = .аеРс"к
[«37-1-101. («37-04)]
«37-104. h :. Е !! Р''р. =: у е р. зу . Е ! Я'у [*4-2 . («37-05)]
«37-105. Ь:хе^"р. = .(ау).уер.у/?л: [«37-1. «31-11]
«37Ю6. Ь :. Е ! Р'х. з : хеР''Р . = . P'jcе p
Доказательство.
h . «37-105 . «30-4 . з1-:.Нр.з:д;еР"р. = . (gy) .yep .y = P'jc.
[«14-205] = . Р'хе р :. з h . Prop
«37-11. КРс'р=Р"р [«37-101. *30-3]
«37-111. КЕ!Рс'р [*37-11]. «14-21
*3712. h : (р). Р"р = Q'p . s . Р€ = Q [*30-42]. «37-111-11
«37-13. h : P = Q. з . P"p = g"P
Доказательство.
h . «21-43 . з h :. Hp . з : xPy. ss^ . xQy:
[Fact] з:уер.хРу.=^.уер.хЙу:
[•10-281] з:(Эу).уер.хРу.^.(ау).уер.*еу:
[*37-l] з : xeP"P . =x .xeQ"$ :. з h. Prop
«37-131. h:P = Q.3.Pc = Qc
Доказательство.
h.«37-13. зЬ:.Нр. з:а = Р"р.=а,р.а = £)"р:
[«37-101] з : a Pc p . =a,p . a & p :. з h . Prop
«37-14. h:P = e. = .Pc = a
Доказательство,
h . «37-101 . «21-15 . з
зЬ:.Рс = а. = :a = P''p.=a,p.a = <2''P:
[«13-183] =:(P)P"P=Q"P:
[«37-1 . «20-15] = : (ft x): (gy) .yep . xPy. = . (gy) .yep . xQy:
[*10-1] з : (x): (gy).у ez (г = w). xPy. = . (gy). у ег(г = w). x
[*20-3] з : (x): (gy) .y = w .xPy. = . (gy) .y = w. лбу :
[«13-195] з : (jc) : jcPw . = . xQw
К (1). «10*11-21. «11-2.3
з h :. Pc = Q€. з : (jc, w) . jcPw . = . x£?w :
[*21-43] з:Р = б
h . (2). «37-143 . з h . Prop
«37-15. KP"acD'P
Доказательство.
h.*37-l . зЬ:;сеР"а. з . (gy) .yea . xRy.
[*10-5] з.(ду).*Ру.
[*33-13] з . xeD'P : з h . Prop
«37-16. KP"acCTP [«37-15-. «33-2]
«37-17. h:./?"Pca. = :yep . JtPy. зло,. xea
Доказательство.
h.*37-l . зЬ:Р"рса. == . (gy) .yep . xRy. z>x .xea:
[*10-23] == . у e p . xPy. зло,. x e a:. з h . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

352
ГЛАВА 4. ЛОГИКА ОТНОШЕНИИ
*37171. Ь :. R"a с Р . == : хе а . xRy. з^ . у е Р
Доказательство.
К*37-105. зЬ:.Д"аср. =:(qx) . хеа. xRy .^y:.yefi:
[*10-23] =.xea. xRy. z>x>y. у e P:. з h . Prop
*3718. Ь:уер.з.7?'усД"р
Доказательство.
Ь.*32-18. эЬг.Нр.згхе^'у. з.хДу.уер.
[*37-l] з.хе/?"р:.эЬ.Ргор
*37181. hrxea.D. a'jcсR"a [Доказательство аналогично]
*37-2. h:acp.D.P"ac P"p
Доказательство.
h.*22-l. эЬ:.Нр. згуеа.э^.уер:
[*10-31] з: у e a. xPy. зу . у e p . xPy:
[*10-28] 3:(g>;).yea.xPj.3.(ay).yep.xPy:
[*37-l] з :jceP"a. з . хеР"р :. з h . Prop
Последнее предложение(*37-2) имеет форму асиллогического вывода,
принадлежащего учителю Лейбница Юнгу (Jungius). Вот пример,
приводимый Юнгом: "Circulum est figura; ergo qui circulum describit, is figuram
describit191." 192 В нашем предложении класс кругов есть а, класс фигур
есть р и отношение описывания есть R.
*37-201. Ь : Р G Q. з . Р"а с Q"a [Доказательство аналогично]
*37-202. Ь:аср.Рсе.з.Р''ас£)''р [*37-2-201
*37-21. h . P"(a П Р) с P"a П Р"р
Доказательство.
Ь.*37-1 . зЬ:.хеР"(апР). = : (ду) .уеаП р .хРу:
[*22-33] = : (ду). у е a . у е Р. хРу:
[*10-5] з: (ду) .yea. хРу: fay) .yep. xPy:
[*37-1] z>:jceP"a.jceP"p:
[*22-33] з : х е Р"а П Р''р:. з h . Prop
*37-211. h.(PhQ)"acP"ane"a [Аналогично]
*37 212. h . (Р h £>)"(<* П Р) с Р"а П Р"р П <2"а П £ГР [*37-2-201]
*37-22. Ь . Р"(а U р) = Р"а U Р"р
Данное предложение весьма употребительно. Тот факт, что здесь
фигурирует тождество, в то время как в *37-21 имеется лишь включение,
191 «круг есть фигура; следовательно, что описывает круг, описывает
фигура." — Прим. перев.
192 Цит. по: Couturat, La Logique de Leibnitz, Chapter III, § 15 (p. 75 п.).
Principia Mathematica I

*37. МНОЖЕСТВЕННЫЕ ДЕСКРИПТИВНЫЕ ФУНКЦИИ
353
объясняется тем, что предложение *10-42 дает эквивалентность, а *10-5 —
только импликацию.
Доказательство.
h . *371 . зЬ:.хеР"(аир). ==: (gy).;yeaup. xPy:
[*22-34] = : (ду): у е a. V . у е р . хРу:
[*4-4] з: (ду): у е a. хРу. V . у е р . хРу:
[*10-42] з : (gy) .yea. хРу: V : (gy) .yep . хРу:
[*371] 3:xeP"a.V.xeP"p:
[*22-34] з: х е Р' 'a U Р' 'р:. з V . Prop
*37 221. h.(PUQ)"a = P"aUQ"a [Аналогично]
*37 222. h . (Р О Q)"(a П Р) = Р"а U Р"Р U Q"a U Q"P [*37-22-221]
*37-23. У . D'Pe = a {(др). а = Р"р} [*37-101. *33-11]
*37-231. Ь.а'Р6 = С1Б
Тип " Cls" здесь — это тип, элементы которого относятся к тому же типу,
что и G7?. В доказательстве соблюдается соглашение о том, что греческие
буквы повсюду заменяют собой выражения вида z (ф! г).
Доказательство.
Ь. *37-101. з V : аР€2(ф!г). s. а = Р"г(ф!г):
[•10-11-281] з Ь : (да). аР6 г(ф!г). = . (да). а = Р"г(ф!г):
[•33-131] з Ь : 2(ф!г) е СГД.. г . (да). а = Р''2(ф!г) (1)
h . *20-2 . (*37-01) з Ь : х {(ду). у е2(ф!г). хРу} = Р"2(ф!г):
[•10-11-24] з Ь: (ф): (да). а = Р"г(ф!г) (2)
h . (1). (2). *2-02 . з Ь: 2(ф!г) е Cls. з . г(ф!г) е d'Pt (3)
h . *20-41. *2-02 . эЬ:2(ф!г)€а'Де.э.2(ф!г)€СЬ (4)
h . (3). (4). з h . Prop
Как показано в вышеприведенном доказательстве, когда доказываемое
предложение содержит "Cls", необходимо исключить обозначения с
греческими буквами и обратиться к явной функциональной записи.
*37-24. h : а е D'Pt. з . а с D'P
Доказательство.
Ь . *33-13 . *37-101. з h :: aeD'Pt. = : (gP) .А = Р"Р:.
[*20-33 . *37-1] s :. (gP): хеа . =х . (ду) .yep . xRy:.
[*11-61] з:. х е а. зЛ : (д р,у). у е р. хРу:
[*П-23] з^:(ду,Р).уер.х/еу:
[*П-55] зЛ:(ду):х/?у:(дР).уеР:
1*10-5] з* : (ду) . xRy:
[*33-13] з* : х еD'P:: з h . Prop
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

354
ГЛАВА 4. ЛОГИКА ОТНОШЕНИЙ
•37-25. h.D7? = /r'a7?.a7? = /TD7?
Доказательство.
К*33-13. зЬгхеБ'Я. =
[*33-14. *4-71] s
[•37-1] =
h . «33-131. зЬгуеСГЯ. =
[•33-14. *4-71] s
[•37-105] s
Ь.(1).(2). зЬ.Ргор
•37-26. h . Я"р = Д"(Р П О'/?)
Доказательство.
. (ау). х/?у.
.(азО-уссгд.хДу.
.*ед"сгд
. (ах). xRy .
.(gjt). jteDT?. x/ty.
.;ye/?"D7?
(1)
(2)
К*37-1. эК\хеД"р. =
[•33-14. *4-71] s
[•22-33] s
[•37-1] s
(ау)-)'еР-^)':
(Э;у).;уер.уе(ГЯ .x/ty:
(Ry).ye$n(I'R.xRy:
хеЯ"(Рп(ГД):.=>КРгор
•37-261. Ь.Д"Р = Д"(РпБ'Д) [*37-26 . *33-21]
•37-262. Ь:апа'Д = рпа'Д.з./Г'а = Д''р 1*37-26]
•37-263. h:anD^ = pnD^.3.fl''a:=£''p [*37-261]
•37-264. h : a ! а ПЯ"Р. s . (gjc,y). хеа. у ер . xRy . = . Е ! Р ПЯ"а
Доказательство.
К *22-33 . *371 . эЬ:.а!аПЯ"р. =
[•11-55] =
Ь.(1).*11-6. зЬ:.а!аП/?"р. =
[•37-105] =
[•22-33] г
(дх). хеа: (gy) .yep . xRy:
(gx,;y)..*ea.;yep.x#y
(3)0:уеР: (а*) •хеа • ^ЛУ:
(3>')-)'еР.>'еЛ"а:
ЕфПЛ'Чх
h . (2). (3). з К Prop
•37-265. Ь.К"а = К'\аПС'Ю.&"а = й"(аПС'К)
Доказательство.
h . *33-161. *22-621. з h. О'/? = ClR П О'/?.
[•22-481] з Ь . a n СГД = a n С'/? П О'/?.
[•37-262] зКД''а = Д''(аПС7?)
Ь . (1). *33-22 . зЬ.Ргор
•37-27. h : СГЯ с р . з. D7? = Я''р [*22-621 . *37-25-26]
•37-271. b:D7?ca.3.CTtf = /ra [*22-621 . *37-25-261]
•37-28. h : Я"V = D7?. /TV = СГД 1*37-27-271. *24-11]
•37-29. Ь . Я"Л = Л . Я "Л = Л
Доказательство.
h . *10-5 . зЬ гСа^.уеЛ.х^у.з.Са^.уеЛ
h . (1). Transp. *24-53 . з h . ~ (ay). уеЛ. xRy.
[•37-1] зК~э*Д"Л.
[•24-51] зЬ.Д"Л = Л
К(2)|.
>К
Л"Л = Л
(1)
(2)
(3)
(1)
(1)
(2)
(3)
h . (2). (3). >hProp.
Principia Mathematica I

*37. МНОЖЕСТВЕННЫЕ ДЕСКРИПТИВНЫЕ ФУНКЦИИ 355
*37 3. V.{sg\P\Q)Yz = P"~$'z
Доказательство.
Ь. *32-23-13 . з
^Asg\P\Q)Vz = x{x(P\Q)z}
[*34-1] =x[(ny).xPy.yQz}
[*32-18] =х{(яу).хРу.уе^1}
[(*37-01)] =Р''"(Ь.зКРгор
*37-301. h. {gs'(P I Q))'x = Qlrx [Доказательство аналогично]
*37-302. b:/? = P|^3.^z = P''tJ'z.fc'*=e''^'*
[*37-3-301. *32-23-231-16]
*37 31. \-.sg\P\Q) = P€\~$
Доказательство.
h . *37-ll-3 . Dh.(z). {sg'(P| Q)Yz = Pt'Ch (1)
h. (1). *34-42 . з К Prop
*37-311. h . gs'(P1 0 = (ИХ I P [Доказательство аналогично]
*37 32. h . D'(PI Q) = P"D'Q. d'(P \ Q) = £>"CI'P
Доказательство.
h . *33-13 . *34-l. з
l-:.x€D4Pie).s:(az):(ay).^-y6z:
[•11-23] s : (Яу) : (gz) - *Py. jGz:
[♦11-55] s : (ay): *Py: (gz) . yQz:
[•33-13] =:(ny).xPy.yeDlQ:
[*37-l] E=:jceP"D'e (1)
h . (1). *10-11. *20-43 .
3h.D'(P|0=P"D'Q (2)
h . *33-2 . э h . <Т(Р | Q) = D'Cnv'(P I Q)
[*34-2] = D'(GIP)
[(2)] = бвт>\р
[*33-2] = £"Q'P (3)
Ь . (2). (3). з h . Prop
«37-321. b:a\PcD'Q.3.D4P|Q) = D'P [*37-32-27]
*37-322. h:D'eca'P.3.CT(P|Q) = <TQ [*37-32-271]
*37-323. h : СГР = D'Q. з. D'(P \ Q) = D'P. d'(P I 6) = CTfi [*37-321-322]
*37 33. MP|G)eeY = Pe4TY
Доказательство.
Ь.*37-1.эЬ:.х€(Р|е)"у.г:(аг).г€у.х(Р|е)г:
[*34-l. *ll-55] = : (gz,;y). z € у - xPy. ygz:
[•11-23] s : (gy, z). xPy .yfe .zeY:
[*ll-55] s : (ay): xPy: (gz) - yQz. z e y :
[*37-l] =:(aj).xPy.yeQ"Y--
[*37-l] s : jceP"Q"Y:- => •" • Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

356
ГЛАВА 4. ЛОГИКА ОТНОШЕНИЙ
♦37-34. V.{P\Q)t = Pt\&
Доказательство.
К*37-11.зЫР|06'у=(Р|0"у
[*37-33] =P"Q"Y
[•37-11] =Р«'&'У (1)
. (1). *10-11 . *34-42 . э h . Prop
*37-341. Ь . {Cnv'(P I б)}. = (Й)« I (П [*34-2 . *37-34]
♦37 35. h:(z)./?'z = P'Q'z.3.(y)./ry = P''e''y
Доказательство.
Ь.♦34-42. эЬ:Нр.э.Д = Р|£)
[•37-13] з.Я"у=(Р|е)"у
[♦37-33] =Р"е"у:зЬ.Ргор
♦37-351. Ь : (а). Д'а = PlQ"a. з . (к). Я"к = Р"£Г'к
[*37-35^.*37-11.(*37-04)]
♦37-352. Ь : (а). Я"а = Р'0"а. з . (к). Я'"к= Р"£'"к
[♦37-351§.^37-11. (♦37-04)]
♦37-353. h : (z). /?'S 'z = P'Q'z. з . (у). R"S "у = P"Q"y
Доказательство.
h . ♦14-21 . з h : Hp . з. (z). E ! R'S 'z.
[♦34-41] z>.{d.R'S'z={R\SYz.
[♦14-131-144] з. (z). (R \SYz = P'Q'z■
[♦37-35] э.(у).(Я|5)"у=Р"£"у.
[♦37-33] з.(у).Я"5"у = Р"<2"у:зКРгор
♦37-354. h:(a)./?t5ta = PtQtta.3.(K)./?<t5ttK = P"etttK [^-ЗбЗ^]
♦37-355. h : (z). Я'5 'z = P"Q'z. з . (у). R"S "у = Р'"Й"у [♦37-353-^]
♦37-36. h . D7?2 = Д"Б'Д. О'/?2 = Я"СГЯ [♦37-32]
♦37-37. h . (Д2)6 = (Яс)2 [♦37-34]
♦37-371. ЯС2 = (Д6)2 Df
Это определение используется, только чтобы избежать лишних скобок.
Подобно ♦37-03, данное определение распространяется на всевозможные
индексы.
♦37-38. K7?2'jt = /?"7?'jc [*37-3]
♦37-39. Ь.Я2"а = Я"Д"а [*37-33]
♦37-4. h.ai(a]R) = Riia
Доказательство.
h . *33-131 . *35-1 . эЬ:;уеСГ(а1Я). = . (gx). хеа . xRy.
[♦37-105] 5=. у еД"а: з h . Prop
♦37-401. h . D'(/? f P) = Я"Р [Доказательство аналогично]
Principia Mathematica I

*37. МНОЖЕСТВЕННЫЕ ДЕСКРИПТИВНЫЕ ФУНКЦИИ
357
♦37-402. Ь . D'(a 1 R \ р) = а ПRl'р. <T(a ] R \ р) = Р ПR''а
Доказательство.
Ь. ♦33-13. «35-102.3
h :. JceD'(a ] R \ p). ==: (gy). хеа. x/ty. yep :
[♦10-35] == : х е a: (gy). x/ty. у е р :
[♦37-1] ==:jcea.jce/?"P:
[♦22-33] ==:jceantf"p (1)
Аналогично
Н:.уба'(а1/?ГР). = .>?ерПЛ<<а (2)
Ь.(1).(2).зЬ.Ргор
♦37-41. Ь. Б'(Д t a) = а П/Га. СГ(Д [ а) = а ПЯ"а [♦37-402 . ♦36-11]
♦37-411. h . (а 1 Д)"р = D'(a 1 R \р) = а ПЯ"р
Доказательство.
h . ♦З^О! . зЬ. (a1 /?)"Р=БЧа1 Я) Г Р
[♦35-21] -Б'(а1/?ГР) (1)
h . (1). *37-402 . з h. Prop
♦37-412. 1-.(/?Га)"р = /?"(аПр)
Доказательство.
h.^37-401. эК.(ЛГа)"Р = БЧЛГа)ГР
[♦35-31] =Б'/?Г(апР)
[♦37-401] =Д' \а П р). з h . Prop
♦37-413. ЫД £а)''Р = аПД''(апр)
Доказательство.
Ь . «37-411. ♦35-21. з Ь. (R I a)"P = а П (Я Г <х)"Р
[♦37-412] = а П Я' '(a n р). з h . Prop
♦37-42. h : Д"р с а. з . (а 1 Я)"р = Д"Р [«37-411. ♦22-621]
♦37-421. Ь:Рса.з.(/?Га)"Р = Я"Р [♦37-412 . ♦22-621]
♦37-43. h :. р с СГД. з : g ! Д"р . = . g ! Р
Доказательство.
Ь . «37-401. «35-65 . зЬ:.Нр.з:/?"Р = БЧ/?ГР)-Р:=аЧ^ГР) (1)
h . (1). «33-24 . з К Prop
♦37-431. h:.acD'tf. з : g !R"a. = . g ! a [Аналогично ♦37-43]
♦37-44. h :. СГЯ = V. з : g ! Я"Р. s . g ! p [«37-43 . ♦22-11]
♦37-441. h :. D'R = V. з : g ! fl"a. ==. g ! a [Аналогично ♦37-44]
♦37-45. h :. Су) . E ! R'y. з : g ! Д"Р. s . g ! p [♦33-431. «37-43]
♦37-451. h :. (jc). E ! R'x. з : g ! Д"а. = . g ! a [Аналогично ♦37-45]
♦37-46. h : xeR"a. = . g ! aП fc'x [*37-l . ♦32-181]
♦37-461. h:jc-e/?"a.E.an^'x=:A. = :E^xc-a [♦37-46 . ♦24-311]
♦37-462. h : x ~ e fl"a. =s . a П^'х = Л. == : se^'jc с - a [«37-461. ♦32-241]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

358
ГЛАВА 4. ЛОГИКА ОТНОШЕНИЙ
♦37-47. Ь : а ! а. ==. g ! Я'"а. = . a ! Д'"а
Доказательство.
h . *37-45-111. э h : а ! а. = . а ! /?€"а.
[(•37-04)] =.а!/?'"а (1)
К(1)^. эН:Я!а.=.Я!*в"а (2)
Ь.(1).(2). зЬ.Ргор
*37-5. Ь : (Р). Р"Р = Q'P . з . (к). Р'"к- Q"k
Доказательство.
К*37-12. зЬ:Нр. з.Р€ = £).
[*37-13] з.Р€"к=£)''к.
[(♦37-04)] з . Р*' 'к = б' 'к: з Ь . Prop
*37-501. Крп(ГДсЯ"Я"р
Доказательство.
h.*37-l .*10-24. 3h:;yep.jc/ty.3.jcetf"p:
[Ехр. *10-11-21] зЬ:.уер. з :xRy. з* . хеД"Р:
[*4-7] з : хДу . з* . xRy .хбД"р :
[*10-28] з : (а*). xRy . з . (а*) .xRy.xeRli$:
[♦33-131 . *37-105] з :yeaiR. з .;уеД"Д"Р (1)
h . (1). Imp . *22-33 . з Ь : у е р П СГД. з . у б Д"Д"р: з Ь . Prop
♦37-502. h.aflD7?сR"R"a [Доказательство аналогично]
♦37-51. Ь : р с О'/?. = . р с Д"Д"р
Доказательство.
h . *37-501 . *22-621 . з h : р с <ГД. з . р с Д' 'Я''р (1)
h.*37-16. зЬ:рсД'7?"р.з.рсСГЯ (2)
К(1).(2). зКРгор
♦37-52. hacD'/?. = .aci?"^"a [Доказательство аналогично]
В следующих предложениях, вплоть до *37-7, исключая само это
предложение, формулируются специальные свойства Я"Р, появляющиеся в
результате принятия допущения Е!!/?"р, определенного в ♦37-05. Гипотеза
Е!!Я"Р важна, поскольку имеет множество следствий, и справедлива во
многих случаях, с которыми мы будем сталкиваться.
*37-6. h : Е !! Я"Р . з . R1 'р = Jc {(ау). у е р . х = R'y]
Это очень важное и постоянно используемое предложение.
Доказательство.
h . *37-104 . з h :: Нр . з :. у б р . зу : Е ! R'y:
[♦30-4] зу : х = R'y. = . xRy:.
[♦5-32] зг.уер. x^R'y.^y.yefi.xRy:.
ИО-281] z>:.(ny).ye$.x = Ry. = .(^у) .уе$ . xRy.
[♦37-1] =.хе/?"Р (1)
h . (1). ♦10-11-21 . *20-33 . з К Prop
Principia Mathematica I

*37. МНОЖЕСТВЕННЫЕ ДЕСКРИПТИВНЫЕ ФУНКЦИИ
359
♦37-601. h : (х) . Е ! R'x. э . R' 'V = х {(3)0 . х = R'y}
Доказательство.
h . *2-02 . *10-11-27 . э h :. Нр . э : х е V. эх: Е ! R'x:
[*37-104] э:Е!!Я"У:
[*37-6] э:/ГУ = х{(з;у).;уеУ.х==Я';у} (1)
h . *24-104 . *4-73 . э h : у е V . х = /?>. s . х = R'y:
[♦10-11-281] 3h:(ay).jeV.x = /?>. = .(ay).x = /?>:
[*20-15] э h х {(Зу). у е V. х = R'y} = х {(Яу). х = R'y} (2)
h . (1). (2). эЬ.Ргор
*37-61. h :: Е !! Д"р. э :. R' 'р с а. == : у е р . z>y . R'y е а
Доказательство.
h . *37-17 . э h :: /?''р с а. = :. у е р . х/?у. эх0,. х е а:.
[*11-2-62] ==:.;уер.эу:хД;у.эх.хеа (1)
h . *37-104 . э Ь ::. Нр. э :: у е р .э^ :. Е ! Я'у:.
[*30-33] э^./г'уеа.Е: xtfy. э* . х е а (2)
h . (1). (2). э h :: Нр. э :. Я''р с а. ==: у е р . Э3,. R'y е а:: э h . Prop
*37-62. h : E ! Я'у. у е а. э . Д'у е Я''а
Доказательство.
h . *30-33 . э
h :: Е ! R'y. э :. Д'у е Я''а . = : xRy. эх
Ь . *3-2 . э1~ :.уеа. э :х/?у.
[*10-24.*37-1]
h . (2). *10-11-21. э1-:.уеа.э:хЯу.
h . (1). (3). эН.Ргор
Вышеприведенное есть тот тип вывода, относительно которого Джевонс
высказался так193: "Я вспоминаю одно из позднейших замечаний проф. Де
Моргана о том, что вся логика Аристотеля не способна доказать
утверждение 'Так как лошадь — животное, голова лошади есть голова
животного'." Следует признать, что это является достоинством логики
Аристотеля, поскольку предложенный вывод ошибочен без дополнительной посылки
"Е! голова рассматриваемой лошади". Например, для устрицы или гидры
это было бы неверно. Тем не менее, с дополнительной посылкой Е ! R'y
приведенное выше предложение представляет собой важный и общий вид
асиллогического вывода.
*37 63. h :: Е !! R"a. э :. xeR"a. эх . \|/х: ==: у еа. z>y . \|/ (R'y)
Доказательство.
h . *37-1 . э h :: х еR''а. эх . у х: = :. (ду). У е а . xRy. эх . \\f x:.
[*10-23] =:.yea.xRy. эхо, .\j/x:.
[*11-2-62] == i.yea. z>y:xRy . эх.\|/х (1)
h . *37-104 . э h ::. Нр. э ::y ea . z>y :. ElR'y:.
[*30-33] z>y :. \j/ (/?». = : x/ty. эх. \\f x (2)
h . (1). (2). э h . Prop
Это предложение часто используется.
xeR"a
э . у е а. x/ty.
э.хеЯ"а
э* .хе/?"а
(1)
(2)
(3)
193 principle 0f Science, chap. 1 (p. 18 of edition of 1887).
A.H. Уайтхед, Б.Рассел

360
ГЛАВА 4. ЛОГИКА ОТНОШЕНИЙ
*37-64. \-:.EUR"a.z>:(Ry).yea.\\f(Rly).Ei.(>£x).xeR"a.\\fx
Доказательство.
h . *30-33 . эh :: Нр > :.уеa . э :у (R'y). = . (gx).xRy .ух:.
[*5-32] h :. у е a . \|/ (Д'у). = : у е а: (gx). xRy . \\f x
К(1).*10-11-21-281.э
h ::Нр . э :. (gy) .yea .у (/?». = : (ду) :уеа: (дх).хДу.\|/х:
[*11-6] = : (дх) : (ду) . у е а . xRy : у х:
[*37-1] = : (дх). х е Я "а. у х:: э h . Prop
*37 65. h : Е !! Д"р . а сЯ"р. э . а = R"(R"a П р)
Доказательство.
h . *30-21 . *3-27 . э h :: Нр. э .-.у ер. z>y : zRy. x/ty. э . z = х
К*37-1.эЬ:.Нр.э:
хеД"(Я"аПр)
[*37-105.*11-55]
[(1).*4-71]
[*13-194]
[♦13-195]
[*10-35. *37-1]
[*4-71 . Нр]
*37 66. Н:.Е!!Д"р
Доказательство.
h . *37-65 . Ехр . *13-195 . *22-43 . э
.e3y).ytR"an$.xRy.
= . (Ry,z). zea . zRy .у е$. xRy.
= • (ЗУ* z). z e a . zRy. у e p. x#y. z = x.
= . (ЗУ* z). z e a. у e p. x/ty. z = x.
= .(^y).xea.ye^.xRy.
s .xea.xe/?"p.
= .xea:. эН .Prop
э : a с /?"p. = . (gy). у с p . a = tf"y
. Hp . э : a с Д"р. э . (gy). у с р . a = Д"у
уср.а = Д"у.э.а = Д"р:
(gy) .уср.а = Гу.э.асГр
h.*37-2.*13-13. эН
[*10-ll-23] эЬ
h . (1). (2). э h . Prop
*37-67. h :. z € у. эг. E ! RlS 'z: э . Я' '5' 'у = x {(gz). z e у. x = R'S uz]
Доказательство.
h. *34-41 .
h . (1). *14-21
h.(2).*37-6. эЬ:Нр.э.(/?|5)"у=х{(дг).г€у.х = (/?|5)'у}
[(1)] = x{(gz).zey.x = /?'S'y}
h. *37-33.
K(3).(4).
э1-:Нр.геу.
,э1-:Нр.геУ'
=> h : Нр. э
эК
.эг.Л'5'г = (Л|5)'г
.эг.Е!(Л|5)'г
.(R\Syiy=x{(nz).zey
= ^{(3г).геу
./?"5"y = (/?|5)"y
.Prop
*37-68. h :.zey. эг. P'Q'z = R'z: =>. P"Q"y = R"y
Доказательство.
|-.*14-21.э1-:Нр.геу. Е \P'Qlz.E \R'Z.
[*34-41] =>./"е'г = (/'|0'г.Е!Л'г.
[*14-21-131-144. Нр] =>. Е ! (Р \ Q)'z. (Р | 0'г = Я'г
Ь . *37-33 . э Ь . P"G"Y = (/> I 0"y
h . (2). (3). *37-6 . э
Dh:Hp.=>.P"G"Y=x{(aZ).z€Y.x=(P|G)'z}
[(2)] =^{(аг).геу.х = Л'г}
[*37-6.(l)J = Я"г:эКРгор
(1)
(1)
(1)
(2)
(1)
(2)
(3)
(4)
(1)
(2)
(3)
PRINCIPIA MATHEMATICA I

*37. МНОЖЕСТВЕННЫЕ ДЕСКРИПТИВНЫЕ ФУНКЦИИ
361
♦37-69. Н:.;уер.Эз,.Я';у = 5';у:э.Д''р = 5''р
Доказательство.
h . +14-21 . з h :: Нр . э :. у е р . э . Е ! R'y. Е ! S 1у:. (1)
[+30-4] з:.уер.э:х/?у. = .* = /?>.
[+14-142] =.*=£>.
[*30-4.(1)] =.xSy:.
[♦5-32] э:.уер.д:/?у. = .уер.х5у (2)
h. (2). ♦10-11-21-281. э
h :. Нр . э : (ду) .у ер . xRy. s . (gy). yep . xSy:
[*37-l] э :хеЯ"р. s . xeS"p:. э h . Prop
Особенно интересным случаем /?"P является Tr'p или /Г"р. Подробнее
этот случай будет изучен позлее (в *70); здесь мы приведем лишь
несколько предварительных предложений. Как будет отмечено, гипотеза Е!! к"р
или Е !! /Г"р всегда истинна в силу +32-12-121. Следовательно, имеют место
следующие применения +37-6:
♦37-7.
+37-701.
♦37-702.
+37-703.
+37-704.
♦37-705.
+37-706.
+37-707.
+37-708.
+37-709.
+37-71.
+37-711.
+37 712.
+37-713.
+37-72.
.1?"Р = а{(ау).у€р.а=1?>}
• fc"a = Р Кэ*) • хеа . р = И"'*}
:.^"Рск. = :уер.эу."Й'уек
:. к "рек. s : хер. эх. К'хек
:уеа.э.~#';уе^"а
: хеа. э. /Г'ле/Г"а
:.ае1^''р.эа.уа:==:уер.эу.у(~#';у)
:. р е Й""а . эр . у р : = : хеа . э* . \|/ (fc'x)
:. (за). а е"Й"р. у а. ==. (ay). у е Р . ¥ (&'у)
:. (за). а е 5г'р. у а . = . (а*). jc e p . у (fr'x)
: кс~#"р . э . к=^Ч(Спу'~#)''кП р}
•37-6 . *32-12]
+37-6 . +32-121]
♦37-61]
37-61]
♦37-62 . +32-12]
♦37-62 . +32-121]
37-63]
37-63]
37-64]
37-64]
37-65]
37-65]
37-66]
37-66]
: к с 5Г"р . э . к= fr* Ч(Спу'Й)"к П р)
:Kcl?"p.S.(aY).Y<=p.K=l?"Y
: к с fc"p . = . (ay) • Y с Р • к = Й~"У
Доказательство.
h . +37-11-302 . э h : Нр. з . (г). Pfyz ="Й'г.
[♦37-68] э.Ре""2"у=~#"у.
[(♦37-04)] э . P"'"3"y =Т?"у s э h . Prop
♦37-721. h : Я = Р | Q. э . ЯГу = Q'"£""Y [Аналогично +37-72]
♦37-73. h : а ! Р • = . а !~Й"Р - = - 3 ! ^""Р [*37-45 . +32-12-121]
♦37-731. h : р = Л. = .Т?"Р = Л . ==. 5г'р = Л [+37-73 . Transp]
Заметим, что Л, встречающиеся в последнем предложении, относятся
не к одному и тому же типу. Например, если R — отношение между
индивидами и индивидами, первое Л будет классом с отсутствующими
индивидами, в то время как второе и третье будут классами с
отсутствующими классами. Таким образом, многозначность, связанная с тем или иным
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

362
ГЛАВА 4. ЛОГИКА ОТНОШЕНИЙ
типом Л, разрешается различными путями для различных вхождений Л
в данное предложение. Вообще, всякий раз, когда нам придется иметь
дело с многозначными символами, мы будем использовать нотацию, прямо
указывающую на его фактическое значение. Но когда многозначным
символом является Л, вряд ли это поможет.
*37-74. h :. р с aiR. = : а el?"p. эа . з '• а
Доказательство.
h . *37-706 . э h : а б"Й "р. эа . а ! а : = : у е р. эу . а ! "5? > s
[*33-31] = : р с СГЯ:. э h . Prop
*37-75. h :. а с D7?. = : р е Й""а . эр . a ! Р [Аналогично *37-74]
*37-76. h.^"PcCls
Доказательство.
*37-761.
*37-77.
*37-771.
♦37-772.
*37-773.
*37-78.
*37-781.
*37-79.
*37-791.
*37-8.
h . *37-7 . э h :.
[*10-5]
[*32-13]
[*20-16]
[*20-4]
h.5f"acCls
|-:ае"]£"СГД.эа.э
h:pefr"D7?.3p.a
|-.Л~е~#"СГЯ
KA~eft~"D7?
h.D'T?=T?"V
KD'ft~=5T"V
|-.7?"У = а{(з;У)-а
h.^"V=g{(ax).p:
Н.(аТР)|5=аТ5"
ае7?"р.
!а
!Р
=Ъ'у]
= ft~\x}
Р
э
э
э
э
э
:(3;у).;уер.а=^';у:
:(ау).а=^>:
:(ay)-a = *(*ty)s
:(аф).а = *(ф!х):
гаеСЬг.эН .Prop
[Аналогично *37-76]
[*37-74. *22-42]
[Аналогично *37-77]
[*37-77. *24-63]
[*37-771. *24-63]
[*37-28]
[*37-28]
[*37-601 . *32-12]
[*37-601. *32-121]
Доказательство.
h. *35-103 . *34-1 . эЬ:д;{(аТР)|5}г. = .(яу).хеа.уе$ .ySz.
[*10-35. *37-105] =.xea.zeS"p.
[♦35-103] =.лг(аТ^"Р)г:э1-.Ргор
♦37-81. КД|(аТР) = (Я"а)ТР [Аналогично *37-8]
♦37-82. Н.Л|(аТР)|5=(Л"о)Т(5"р) [*37-8-81]
PRINC1PIA MATHEMATICA I

*38. ОТНОШЕНИЯ И КЛАССЫ, ПРОИЗВОДНЫЕ ОТ ДВОЙНОЙ
ДЕСКРИПТИВНОЙ ФУНКЦИИ 363
*38. Отношения и классы, производные
от двойной дескриптивной функции
Краткое содержание *38.
Двойная дескриптивная функция есть непропозициональная функция
двух аргументов: аПр, aUp, Rf)S, Ri)S, R\S, a]R, R\a, R[a.
Предложения настоящего параграфа применимы ко всем таким функциям при
условии, что ее обозначением является (как в вышеприведенных примерах)
некий функциональный символ, помещенный между двумя аргументами.
Чтобы охватить все аналогичные случаи сразу, мы принимаем в настоящем
параграфе обозначение
где "+" заменяет собой любой знак П, U, h, U, |, 1, Г, [ или любой
функциональный символ, уместный в данном месте и удовлетворяющий условию
(х,у).Е\(х?у).
Производные отношения и классы, с которыми мы будем работать, можно
проиллюстрировать на примере случая а П р. Отношение а П р к р будет
записываться an, а отношение аП р к а будет записываться П р. Таким
образом, мы будем иметь
КаПр = аП'р = Пр'а.
Преимущество введенного способа обозначения заключается главным
образом в возможности такой записи, как an "к и П р"к. Например, возьмем
такую фразу, как "иностранные члены английских клубов". Тогда, если
положить а = иностранцы, к= английские клубы, то получим
a П' 'к = классы иностранных членов различных английских клубов.
Или пусть а —коника, а к —пучок прямых; тогда
аП"к = различные пары точек, в которых элементы к пересекают а.
В данном случае, поскольку а П р = р П а, имеет место равенство а П = П а.
Однако, когда рассматриваемая функция некоммутативна, подобное
равенство не выполняется. Например, неверно R | = | R.
Нотация настоящего параграфа впоследствии будет часто применяться
к R\S. В соответствии с тем, что было сказано выше, мы будем записывать
R | для обозначения отношения R \ S к 5 и | S для обозначения отношения
R\S к R. Таким образом,
Следовательно, |S"X будет классом отношений, получаемых
относительным умножением элементов X на 5. Так, если X есть класс отношений
двоюродного, троюродного и т.д. родства, а S есть отношение родителя к
ребенку, то |S"X будет классом отношений двоюродного племянника,
троюродного племянника и т.д. в смысле перехода от старшего к младшему
поколению.
Часто удобно представлять |S"X и родственные выражения как
дескриптивные функции первого аргумента вместо второго. С этой целью
положим
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

364
ГЛАВА 4. ЛОГИКА ОТНОШЕНИЙ
и будем использовать аналогичную запись для других двойных
дескриптивных функций. Тогда так же, как и в случае /?|5, будем иметь
Это дает нам возможность образовать класс X,»/' ц, полезность которого
объясняется в основном тем, что из элементов его элементов (т.е. s'^J/'m
что будет определено в *40) состоит класс всех произведений R\S,
образуемых элементами X и элементами \х.
Таким образом, мы приходим к трем общим определениям,
относящимся к дескриптивным двойным функциям, а именно (при условии, что х$у
обозначает любую такую функцию):
*9 есть отношение х$у к у для любого у,
9 J есть отношение х$у к х для любого х,
а 2 у есть класс значений х$у, когда х есть а.
Так как а,2у —также дескриптивная двойная функция, к ней могут
применяться первые два определения. Третье определение теоретически также
применимо, хотя по типографским причинам этого следует избегать.
Отношения х$ и $ у выражают общую идею, заключенную в некотором способе
употребления в математике термина "операция", например, +1 есть
операция прибавления 1.
Обозначения, введенные в настоящем параграфе, в основном
встречаются в арифметике (части III и IV). Здесь может быть дано лишь
небольшое число предложений ввиду того, что наиболее существенные пути
использования введенных обозначений связаны с подстановкой конкретных
функций вместо общей функции "9". Так что все предложения настоящего
параграфа суть непосредственные следствия определений.
«38-01.
•3802.
♦3803.
•381.
♦38101.
«38-11.
•3812.
•3813.
♦38131.
•38-2.
«38-21.
«3822.
«3823.
х$ = йу(и = х$у)
9 у = их (и = х 9 у)
а,?,у = 9/'а
\-:и(х<})у. = .и = х$у
\-'.u(qy)x. = .u = x$y
h . х$'у = $у'х = х<}у
\-.Е\х$у.Е\$у'х
Ь:ме*9"а. = • (ЯУ)'У
Df
Df
Df
еа.и-х
h :ме9;у"а. = . (а*)- хеа.и-х
Ь-а?,У = 9/ва
h . а 9,у = и {(дл). хеа.
Н.а8ву = 8Уа = а8у
Н.Е!а8>.Е!&/а
u^xqy]
9У
ЯУ
[(•38-01)]
[(•38-02)]
[•38-1-101. «30-3]
[«38-11. *14-21]
[*38-1 . *37-1]
[*38-101. *37-1]
[(•38-03)]
[•38-2-131]
[•38-11]
[•38-22 . *14-21]
Principia Mathematica I

.38. ОТНОШЕНИЯ И КЛАССЫ, ПРОИЗВОДНЫЕ ОТ ДВОЙНОЙ
ДЕСКРИПТИВНОЙ ФУНКЦИИ 365
♦38-24. h:a!a,9,y.s.af.a
Доказательство.
h . *38-2 . *37-29 . Transp. э h : а '• а&У • => • 3 * a (1)
h . *38-21 . э h : х е а . э . (х 9 у) е а $;у .
[♦10-224] э.д!а8у (2)
h . (1). (2). э h . Prop
♦38-3. Ь.аЯ"р = у{(ЯУ).>'ер.у = аЯ>'}=7{(3>').>'ер.у:=8/'а}
[♦38-13-2]
♦38-31. Н.Я/Ч = у{(За)-аек.у = а?,у} = 7{(аа).аек.у = Я/<а} = 9>''<'к
[♦38-131-2. ♦ЗМОЗ]
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

366
ГЛАВА 4. ЛОГИКА ОТНОШЕНИЙ
Замечания к главе 4
Общие замечания по отношениям. Понятие "отношение" является
настолько общим, что валено понять, как к различным типам отношений
могут быть применены обозначения, введенные в данной главе. Нередко
предложение, верное для произвольного отношения, представляет интерес лишь
в применении к отношениям определенного типа; поэтому читателю важно
иметь в виду некоторые из основных типов отношений. Из ряда способов,
которыми отношения различных видов могут быть использованы, особенно
важны следующие три: (1) конструирование дескриптивных функций, (2)
установление соответствий между различными классами, (3) порождение
серий. Рассмотрим их по порядку.
(1) Чтобы отношение R могло быть источником дескриптивной
функции, оно должно иметь единственный референт для каждого заданного
релятива (в таком случае будем говорить "R конструирует дескриптивную
функцию"). Так, например, все отношения Cnv, R, R, D, Q, С, ^?,
определенные выше, конструируют дескриптивные функции. В общем случае,
если R конструирует дескриптивную функцию, имеется вполне
определенный класс, а именно G7?, к которому должен принадлежать аргумент этой
функции, чтобы ее значение было определено. Например, взяв синус в
качестве иллюстрации и записав "sin'у" вместо "sinу", мы могли бы
сказать, что у должно быть числом, чтобы значение sin'у существовало.
Далее, sin есть отношение у к jc, когда Jt = sin'y. Если положить а= числа
между - л/2 и л/2, включая и то, и другое, то sin \ а будет отношением
х к у, когда jc = sin'y и - л/2 ^у^ л/2. Обращение рассматриваемого
отношения, а именно а 1 sin, также будет источником дескриптивной
функции: (a] sin)'jc= тому значению sin-1*, которое лежит между -л/2 и л/2.
Приведенный пример иллюстрирует распространенную ситуацию, когда по
отношению R нельзя построить дескриптивную функцию, если только не
ограничить некоторым подходящим образом его область или обратную
область. Так, например, по отношению "родитель" нельзя построить
дескриптивную функцию, но можно это сделать, ограничив область женщинами
или мужчинами. Аналогичным образом, отношение "квадратный корень"
приводит к дескриптивной функции, если ограничить его область
положительными или отрицательными числами. Отношению "жена" соответствует
дескриптивная функция, когда его обратная область ограничена
мужчинами-христианами, но это не так, если включить в ее состав мусульман.
Область отношения, соответствующего дескриптивной функции без
ограничения его области или обратной области, состоит из всех возможных
значений функции; обратная область в такой ситуации состоит из всех
возможных аргументов функции. Если R конструирует дескриптивную
функцию, К'х будет классом всех ее аргументов, для которых она принимает
значение х. Скажем, sin'x состоит из всех чисел, синус которых равен х,
т.е. всех значений sin-1jc. В то же время sin"x состоит из синусов
различных элементов а. Если а —класс чисел, то в соответствии с нотацией *38
Principia Mathematica I

*38. ОТНОШЕНИЯ И КЛАССЫ, ПРОИЗВОДНЫЕ ОТ ДВОЙНОЙ
ДЕСКРИПТИВНОЙ ФУНКЦИИ 367
2х"а представляет их удвоенные значения, Зх"а — утроенные значения и
т.д. Вот другой пример: пусть а —пучок линий, a R'х — пересечение линии
х с заданной секущей. Тогда Я "а будет состоять из пересечений линий
пучка с секущей.
(2) Отношения, которые устанавливают соответствие между двумя
классами, в действительности представляют собой частный случай отношений,
конструирующих дескриптивные функции; а именно частный случай,
выделяющийся тем, что обратное отношение также соответствует
дескриптивной функции. Это отношение "один-к-одному", т.е. для заданного
референта всегда определен релятив, и обратно. Отношение, которое должно
быть признано соответствием, будет в общем случае обозначаться S или Т.
Как правило, в подобной ситуации нам менее интересны частные термы х
и у, для которых xRy, чем классы таких термов. Если имеется некоторый
класс р, содержащийся в обратной области нашего отношения S, то
найдется такой класс а, что а = 5 "р. В этом случае отношение S устанавливает
соответствие между элементами классов а и р. Имеет место также р = 5"а,
так что рассматриваемое соответствие взаимно. Подобного рода отношения
фундаментальны в арифметике, поскольку необходимы для строгого
определения понятия, выражаемого, когда мы говорим, что два класса (или
серии) имеют одинаковое кардинальное (или ординальное) число термов.
(3) Отношения, порождающие серии, в общем случае будут
обозначаться Р или Q, а в предложениях, чья основная ценность заключается в их
приложениях к сериям, мы будем также, как правило, и переменное
отношение обозначать Р или Q. Когда используется Р, оно может читаться
как "предшествует". Тогда Р можно читать как "следует за", Р'х можно
читать как "предшественники jc", "P'jc можно читать как "последователи".
D'P состоит из всех элементов серии, порожденной Р, за исключением
последнего (если таковой есть), G'P — из всех элементов серии, за
исключением первого (если таковой есть), С1Р — из абсолютно всех элементов серии.
Р"а будет состоять из всех термов, предшествующих некоторому
элементу а. Допустим, к примеру, что дана серия вещественных чисел, а а —
класс элементов возрастающей последовательности jci, *2, *з> • • •» xv, ...
Тогда Р"а будет сегментом вещественных чисел, определяемым этой
последовательностью, т.е. состоит из всех предшественников предела
последовательности. (Если последовательность х\, Х2, х$, ..., xv, ... возрастает, но
не имеет предела, Р"а будет целой серией вещественных чисел.)
Очень часто встречаются отношения, носящие более или менее
сериальный характер, но не обладающие всеми признаками, необходимыми для
порождения серий. Возьмем в качестве примера отношение сына к отцу.
Очевидно, что, используя это отношение, можно построить серию, начиная
с любого мужчины и заканчивая Адамом. Но ни одна подобная серия не
является полем рассматриваемого отношения; более того, данное
отношение не транзитивно, т.е. сын сына х не является сыном х. Однако, если
мы подставим вместо "сын" отношение "потомок по прямой мужской
линии" (которое может быть определено через отношение "сын" с помощью
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

368
ГЛАВА 4. ЛОГИКА ОТНОШЕНИЙ
метода, объясняемого в *90 и *91) и ограничим обратную область этого
отношения предками jc по прямой мужской линии, то получим новое
отношение, уже являющееся сериальным и имеющее в качестве поля х и всех
его предков по прямой мужской линии. Другое нарушение сериальности
проявляется в том, что одно отношение может порождать несколько серий.
Здесь примером может служить отношение "jc восточнее у". Если х и у —
точки на земной поверхности восточного полушария, это отношение
порождает для каждой параллели отдельную серию. Ограничение поля нашего
отношения одной параллелью приводит к новому отношению, уже
являющемуся сериальным. (Причиной для ограничения х и у одним полушарием
является желание гарантировать транзитивность отношения, так как в
противном случае нашлись бы три точки, х восточнее у и у восточнее г, но
х западнее г.)
Отношение может обладать свойствами всех трех типов отношений, при
условии, что к третьему типу мы отнесем все те отношения, которые
порождают серии при некоторых ограничениях, только что рассмотренных
выше. Например, отношение +1, т.е. (в силу нотации из *38) отношение
х+1 к jc, где х предполагается конечным кардинальным числом,
обладает свойствами всех трех типов отношений. Во-первых, оно приводит к
дескриптивной функции (+1)'*, т.е. х+1. Во-вторых, оно ставит в соответствие
каждому классу а чисел класс, получаемый прибавлением 1 к каждому
элементу а, т.е. (+1)"а. Это соответствие может быть использовано для
доказательства того, что число конечных целых бесконечно (в одном из
двух значений слова "бесконечно"): если в качестве класса а возьмем все
натуральные числа, включая 0, то класс (+1)"а будет состоять из всех
натуральных чисел, кроме 0; следовательно, натуральные числа могут быть
поставлены в соответствие собственной своей части194. Наконец,
отношение + 1 может быть использовано, подобно отношению отца к сыну, для
построения серии, а именно обычной последовательности натуральных чисел
по порядку их величины, в которой каждый член находится в отношении
+1 к своему непосредственному предшественнику. Таким образом, данное
отношение обладает характеристиками всех трех типов отношений.
Т. е. части, не совпадающей с целым. Об определении бесконечности см. *124.
Principia Mathematica I

ГЛАВА 5.
ПРОИЗВЕДЕНИЯ И СУММЫ
КЛАССОВ
Краткое содержание главы 5.
В настоящей главе мы проводим развитие а Г) р, аир, /? П S, ROS.
Пусть задан класс классов к. Тогда произведение195 к (обозначаемое /?'к)
есть общая часть элементов к, т.е. класс, состоящий из тех термов,
которые принадлежат каждому элементу к. По определению,
р1к = х (а е к. эа . х е а) Df.
Если к состоит только из двух элементов, скажем, а и р, то р*к = а П р.
Если к состоит из трех элементов, а, р, у, то /?'к=аПрПу и т.д. Но этот
процесс может быть распространен только на конечное число термов, в
то время как определение р'к не требует, чтобы к было конечным.
Данное понятие необходимо, главным образом, в связи с нижними пределами
серий. Например, пусть X —класс рациональных чисел, квадраты которых
больше 2, и пусть "хМу" означает "лесу, где х и у — рациональные числа".
Тогда если хеХ, тх будет классом рациональных чисел, меньших, чем х.
Далее, м"Х будет классом классов M'jt, где хеХ. Произведение классов
М"Х, которое мы обозначаем р'М'% будет классом рациональных чисел,
меньших, чем любой элемент X, т.е. классом рациональных чисел,
квадраты которых меньше 2. Каждый элемент класса М"Х является сегментом
серии рациональных чисел, а /?'м"Х —нижним пределом этих сегментов.
По существу, мы доказали существование нижних пределов серии
сегментов.
195 В нынешней терминологии — пересечение. — Прим. перев.
А. Н. Уайтхед, Б. Рассел

370
ГЛАВА 5. ПРОИЗВЕДЕНИЯ И СУММЫ КЛАССОВ
Аналогично сумма196 класса классов к определяется как класс,
состоящий из всех термов, которые принадлежат какому-либо элементу к, т.е.
s'k = х {(да). а е к. х е a] Df,
иначе говоря, х принадлежит сумме к, если х принадлежит элементу к.
Это понятие играет ту же роль для верхних пределов сегментов, какую
р'к играет для нижних пределов. Однако понятие суммы имеет гораздо
больше приложений, чем /?'к, и в целом представляет собой более важную
концепцию. Например, в арифметике кардиналов, если ни одна пара
элементов к не имеет общих термов, арифметическая сумма чисел элементов,
принадлежащих различным элементам к, совпадает с числом элементов,
принадлежащих s'k.
Произведение класса отношений (скажем, \) есть отношение, в котором
находятся между собой х и у, когда х и у находятся в каждом отношении
класса X. По определению,
р'\ = ху (RеХ. эя . xRy) Df.
Свойства р'\ аналогичны свойствам /?'к, но приложения малочисленнее.
Сумма класса отношений (скажем, X) есть отношение, в котором
находятся между собой х и у, когда найдется отношение класса X,, которое
имеется между х и у. По определению,
У\ = ху {(g/?). R е X. xRy] Df.
Это понятие имеет меньшее значение, чем s'k, хотя и большее, чем р'Х.
Оно тесно связано с суммированием серий и ординальных чисел, хотя связь
и менее очевидная, чем между суммированием кардинальных чисел и 5'к.
Формально было бы более корректным вместо определения р'к, s'k, p'X,
s'\ определить р, s, р и s — отношения, конструирующие рассмотренные
выше дескриптивные функции. Тогда бы мы имели
р = рк {|3 = х (а е к. эа . х е а)} Df,
откуда бы следовало
h : р/7К. = . р = х (а е к. эа . х е а),
h . р'к = х (а е к. эа . х е а),
и h.EIp'K.
Но в случаях, когда отношение, в противоположность дескриптивной
функции, редко требуется, проще и легче сразу же дать определение
дескриптивной функции. В подобных ситуациях всегда предполагается без
дополнительных оговорок, что отношение также определено; т.е. если
вводится определение вида
/?'jc = S'jc Df,
где S — некоторое ранее определенное отношение, всегда считается, что это
определение должно рассматриваться как производное от
/? = MJc(M = S'jt) Df.
Кроме произведений и сумм, в настоящей главе изучаются некоторые
свойства отношений R\ и |5, значения которых обусловлены
обозначениями, введенными в *38. Эти отношения имеют большое значение в
арифметике. Причина, по которой они рассматриваются в настоящей главе, за-
196 В нынешней терминологии — объединение. — Прим. перев.
Principia Mathematica I

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВЫ 5 371
ключается в том, что большая часть доказываемых предложений включает
суммы классов классов или отношений.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

372
ГЛАВА 5. ПРОИЗВЕДЕНИЯ И СУММЫ КЛАССОВ
*40. Произведения и суммы классов классов
Краткое содержание *40.
В настоящем параграфе мы вводим два обозначения (уже разобранные
выше):
р'к = х (а е к. эа . х е а) Df
л'к = х {(да). а е к. х е а} Df
Оба обозначения, как мы увидим, будут находить все больше и больше
применений, но тем не менее обозначение s'k всегда будет оставаться более
полезным, чем /?'к. Чтобы р'к и s'k имели смысл, к должно быть классом
классов.
Наиболее значимыми предложениями настоящего параграфа являются
следующие.
*4012. h : а е к. э . р'к с а
Т. е. произведение к содержится в каждом элементе к.
*4013. h : а е к. э . а с s'k
Т. е. каждый элемент к содержится в сумме к.
*4015. h :. p с р1к . = :у€К.эу.рсу
Т. е. Р содержится в произведении к, если Р содержится в каждом
элементе к, и обратно.
*40151. Нг.^'кср. = : уек.Эу. уср
Т. е. сумма к содержится в р, если каждый элемент к содержится в Р,
и обратно.
*40-2. h : к = Л. э . р'к = V
Т. е. произведение нулевого класса классов есть универсальный класс.
Это кажется, на первый взгляд, парадоксальным, но в действительности
таковым не является. Чем меньше элементов в к, тем больше, вообще
говоря, становится р1к. Если к не имеет элементов вообще, то к не имеет
элементов, к которым не принадлежит данный элемент х, следовательно,
х принадлежит р'к.
*40-23. h : g ! к. э . р'к с л'к
Т. е. если только класс к не пуст, его произведение содержится в его
сумме.
*40-38. |-.Я".у'к = .у'Д'"к .
Данное предложение весьма часто используется в арифметике. Его
утверждение заключается в следующем. Пусть дан класс классов к;
возьмем его сумму 5'ки затем рассмотрим все термы, которые находятся в
отношении R хотя бы к одному элементу s'k; это дает класс /?'Vk; далее,
возьмем каждый отдельный элемент класса к, скажем а, и образуем класс
/?"а, состоящий из всех термов, которые находятся в отношении R хотя
бы к одному элементу а. Класс всех таких классов /?"а для различных
элементов а класса к есть /?'"к; сумма этого класса, согласно последнему
предложению, совпадает с s'/?'"k.
*40-4. h :. Е !! Д"Р . э . s'tf "р = х {(ay) .yep. xeR'y]
Principia Mathematica I

♦40. ПРОИЗВЕДЕНИЯ И СУММЫ КЛАССОВ КЛАССОВ
373
Для осмысленности данного предложения требуется, чтобы R'y всегда
являлось классом. Предложение утверждает, что если R'y всегда
существует при у б Р, то сумма всех классов, находящихся в отношении R хотя бы к
одному элементу Р, состоит из всех элементов классов вида R'y, где yep.
«40-5. Ь.^"р = /?"р
Данное предложение получается из «40-4 при подстановке К вместо R
в последнем.
«40-51. Ь . р'~#"Р = х {у € р . эу . xRy]
В силу «40-5 /?'7с"р соответствует /?"р. Таким образом, если R —
сериальное отношение, /?'7?"р состоит из термов, предшествующих р в целом,
а /?"Р состоит из термов, предшествующих части р. Если Р имеет нижний
предел, он будет верхним пределом или максимумом р'Тг'Р; если р имеет
верхний предел, он будет верхним пределом /?"р.
«40-61. Ь:а!р.=>.р'Т?"Рс/?'4р./7^'Рс^'Р
В данном предложении гипотеза существенна, так как если р = Л, то
р'~Й"$ = А и Я"р = Л.
«40-01. /?'к = х(аек.эа.хеа) Df
«40 02. siK = x{(Qd).aeK.xea} Df
*40-1. h :. хер'к. = : а е к. эа . хе а [*20-3 . («40-01)]
«40-11. h : х е я'к . = . (да). а е к. хе а [«20-3 . («40-02)]
«40-12. h : а е к. э . р'к с а
Доказательство.
h . «40-1 . «10-1 . эг :.хе/?'к.э : аек.э . хеа:.
[Comm] эЬ:. аек. э :хе/?'к. э .хеа (1)
h . (1) . «10-11-21. «22-1. з h . Prop
«4013. h : а е к. э . а с s'k
Доказательство.
г. «40-11. «10-24 . эЬгаек.хеа.э.хел'к:
[Ехр] эЬ :. аек.э :хеа. э .хея'к (1)
г.. (1). «10-11-21. «22-1. э h . Prop
«40-14. h : а е к. х е /?'к. э . х е а [«40-12 . Imp]
«40-141. Ьгаек.хеа.э.хея'к [«40-11 . «10-24]
«40-15. h :. р с р'к . = :уек.эу.рсу
Доказательство.
h . «40-11 . эЬ :: Рс/?'к: = :.хер. эх : уек. эу .хеу:.
[*11-62] = :.(х, у): хер. уек. э .хеу:.
[«4-3-84 . «11-33] = :. (х,у): уек. хер . э .хеу :.
[«11-2-62] = :.уек. 3Y:xep. эх.хеу:.
[*22-1] = :. у е к. эу . Р с у:: э h . Prop
А.Н.Уайтхед, Б.Рассел

374
ГЛАВА 5. ПРОИЗВЕДЕНИЯ И СУММЫ КЛАССОВ
♦40-151. h :. s'k с р . = : у е к. э.
Доказательство.
Ь.*40-11.эЬ::.у'кс(3: =
уср
(Яу).уек.хеу.=>х.хе$:.
(y,x):.yeK.xey.z>.xefi:.
(у):, уек. э : (х): хеу. э . хер:
у€К.эу.уср::эЬ. Prop
. Y^k. э . уе\:.
,ye\.z> .хеу:^>:уек.^> .хеу
. (у):. у e\. z>. хеу: ^>: у ек. z>. хеу:.
, (у): у е X. э . х е у: э : (у): Y е к • э •* е Y:
.хер'Х.э .хер'к
[•10-23]
[*11-62]
[*22-1]
Это предложение будет часто использоваться.
*4016. h : к с X. э . р'\ с р'к
Доказательство.
h . *10-1 . эЬ::Нр.э :
[Syll]
К(1).*10-11-21.э
Ь::Нр. э:
[*10-27] э:
[*40-1] э:
V . (2). *10-11-21. э К Prop
«40-161. НгксХ.э.^'кс^'Х
Доказ ате л ьство.
V . *10-1 . эЬ:. Нр.эгуек.э.у^^:
[Fact] эгуек.хеу.э.уеХ.э.хеу:
[*10-11-28] э : (g y) • Y € к • * е Y • => • (3Y) • Y € ^ •* е Y:
[*40-11] э ixes'K. э . xes'X,
|-.(1).*10-11-21.эКРгор
*40-17. h . р'к U р X с /?'(к П К)
Доказательство.
h . *22-34 . э h :: х ер'к U р'Х. = :. х е р'к. V . х ер'Х:.
[*40-1] =:.YeK.3Y.xeY:V:Y€>t.3Y.xeY:.
[*10-41] э :. (y):. Y^k.d . xcy: V : уе\.^>.хеу:.
[*4-79] z>:. (у): у ек. у е\. z>. хеу :.
[*22-33] z>:.(y):yeKn'k.z>.xey:.
[*40-1] э:.хе/?'(кпХ)
К(1).*10-11. э К Prop
*40-171. 1-.54ки^Х = 5'(киХ)
Доказ ательство.
Ь . *22-34 . з h :: хе s'kU s'X. = :. хе s'k . V . хе Л:.
[*40-11] = :. (a y) . Y е к • * € Y: v : (ЯY) • Y е ^ - * е Y:-
[*10-42] э :.(aY):YeK-JC€Y- V-Y^X-xeY:-
[*4-4] э :. (a y) :.YeK-v-Ye^:jceY:-
[*22-34] z>:.(Ry).yeKU'k.xey:.
[*40-ll] э :. xe s'(kU X):: э h . Prop
(1)
(2)
(1)
(1)
Principia Mathematica I

*40. ПРОИЗВЕДЕНИЯ И СУММЫ КЛАССОВ КЛАССОВ
375
*4018. h . р1(к UX) = р'к п р'\
Доказательство.
V . *40-1 . эЬ :: хе/?'(киХ). = :.уекиХ.эу.хеу:.
[*22-34] = :. (у):. Y € к • v • Y е ^: э •х € Y:-
[*4-77] э:.(у):.уек.э.х€у:уеХ.э.х€у:.
[*10-11-221] э:.(у):уек. э .хеу :.(у): У^Х. =>.хеу:.
[*40-1] э:.хе/?'к.хе/А:.
1*22-33] э :. х ер'к П /?'Х:: э h . Prop
*40181. Ь.^(кпХ)с5'кП5'Х
Доказательство.
h. *40-11 . эЬ:: хел'(кпХ). = :.(ду) • У^кпХ. хеу:.
[*22-33] = :. (a Y) .уек.уеХ.хеу:.
[*10-5] э :. (ду) . у е к. хеу: (ду). у еX. хеу:.
[*40-11 . *22-33] э :. хе я'к П Л:: э h . Prop
*4019. h ::х€£'к. = :.уек. эу . у сР : эр .хер
Данное предложение является развитием *22-6.
Доказательство.
h . *40-151 . э
h :: у е к. 3Y . у с р : эр . х е Р :. = :. 5*'к с Р . эр . х е Р (1)
h . *10-1 . э h :. 5'к с р . эр . х е Р : э : s'k с s'k . э . х е s'k :
[*22-42] э:хея'к (2)
h . *22-46 . э h :. х е 5'к. 5'к с р . э . х € р :.
[Ехр] э h :. х е 5'к. э : 5*'к с р. э . х е р:.
[*10-11-21] эН:.х€5'к.э:^кср.эр.хер (3)
Ь.(2).(3). эН:.^кср.эр.хеР: = .хе^к (4)
Ь.(1).(4). Dh.Prop
*40-2. Ь:к = Л.э./?'к = У
Доказательство.
h . *24-5-51 . э h :. Нр .
[*10-53]
[*40-1] э:хер'к (1)
K(l).*10-ll-21. эЬ:.Нр.
[*24-14] э . р'к = V: э h . Prop
*40-21. Ь:к = Л.э..у'к = Л
Доказательство.
h . *24-51 . э h : Нр.
[*10-5.Transp]
[*40-11. Transp] э.х-ея'к (1)
э :
э :
э;
э
:~(За)- а€К
: (а): а е к. э .
:хер'к
. (х) . хе/?'к.
хеа:
э.
э.
э.
э.
э.
•~(3а)-
~(3<*)-
. x~€s'k
. (х). х ~
. 5*'К = Л
аек
аек
ел'к.
:эК
.
.хеа:
Prop
К(1).*10-11-21. эЬ:Нр.
[*24-15]
В последнем предложении два вхождения Л относятся к различным
типам, так как к относится к типу, непосредственно следующему за s'k.
Поэтому было бы корректнее написать
h : к = Л П Cls . э . s'k = Л П V.
Но в случае Л не так существенно различать типы.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

376
ГЛАВА 5. ПРОИЗВЕДЕНИЯ И СУММЫ КЛАССОВ
*40-22. h : Л е к. э . р'к = Л
Доказательство.
h.*40-12. эЬ:Нр. э.р'ксЛ.
[*24-13] э . /?'к = Л : э h . Prop
В этом предложении два Л —одного типа.
*40-221. h:VeK.3..s'K = V
Доказательство.
К*40-13. эЬ:Нр. d.Vc^'k.
[*24-141] э . я'к = V : э h . Prop
*40-23. h : а ! к. э . р'к с я'к
Доказательство.
h . *40-12-13 . э h : а е к. э ./?'кса.ас^'к.
[*24-44] э.р'кся'к:
[*10-11-23] э h : (да). а е к. э . р'кс s'k : э h . Prop
Заметим, что гипотеза д 'к существенна в этом предложении,
поскольку если к = Л, то /?'k = V и s1k = A. Так что
h:g !к. = ./?'kcs'k.
*40-24. h :. g ! к: у е к. эу . р с у: э . р с s'k
Доказательство.
К*40-15. эН:.уек.эу.рсу:э.рс/?'к (1)
К*40-23. эЬ:д !к. э .р'кся'к (2)
h . (1). (2). эЬ:Нр. э.рср'к.р'ксу'к.
[*24-44] э . р с я'к: э h . Prop
Последнее предложение используется в доказательстве *215-25.
*40-25. hixes'K. = .3 !кПа(хеа)
Доказательство.
К *22-33 . эЬ:д!кПа(хеа). = . (gy) .yeK.yea(jtea).
[*20-3] = . (gy). у ек. л;еу.
[*40-11] = .xes'K: эЬ .Prop
*40-26. h:g ! s'k. = . (да). аек.д !а
Доказательство.
(3*): (За) • аек.хеа:
(да), аек: (дх).леа:
(да). а ек. д ! а :. э h . Prop
h . *40-11 . эН:.д ! s'k. =:
[*11-23-55]
[*24-5]
Следующее предложение используется в доказательстве *216-51.
*40-27. Ь:.аГи'к = Л. = :у£к.э7. аПу = Л
Доказательство.
Ь . *24-311. э
h :: а П s'k = Л . = :. л'к с - а :.
[*22-1-35] = :. *е л'к. э* . х ~ б а :.
[*40-1] = :. (gy). у б к. х б у. э* . х ~ б а:.
[*10-23] = :.убк.хбу. э^.х-еа:.
[*11-2-62] = :.убК.Эу:хбу.эЛ.х~ба:.
[*24-39j = :.уек.эу.аПу = Л::эК Prop
Следующие предложения имеют смысл лишь при условии, что R
является отношением, область которого состоит из классов, поскольку в них
Principia Mathematica I

*40. ПРОИЗВЕДЕНИЯ И СУММЫ КЛАССОВ КЛАССОВ
377
содержатся выражения /?7?"а и s7?"a, и, таким образом, необходимо,
чтобы Я"а было классом классов.
*40-3. h . р7?"(a U Р) = p'R"a п рЧГ'$ [*37-22 . *40-18]
«40-31. h . slR"(a U р) = s'/Ta и s7?"P [*37-22 . *40-171]
*40-32. Н.///Гаи/^''рс/?7Г(аГ>Р)
Доказательство.
К*37-21. эКД"(апР)с/ГаГ>Я"р.
[•40-16] эК/ЛЯ''аПД''Р)с/?'/Г(апр) (1)
К*40-17. эК///Гаи/?^''рс//(/ГаП/Гр) (2)
h . (1). (2). *22-44 . э h . Prop
*40-33. h.5t/?<t(anp)c5t/?ttan^/?ttp [*37-21. (*40-161). (*40-181)]
Следующие предложения не потребуются, если область R не состоит из
классов.
*40-35. К/?'Я'"к = х{рек.эр.л;еЯ"Р}
Доказательство.
К*40-1 . эЬ:.лге/?7?'"к. = :уеД'"к.эу.л;еу:
[*37-103] =:(аР).р€К.у = /?'4р.эу.хеу:
[*10-23] = : рек. у = Я"р. эр,у . хеу:
[♦13-191] =:Рек.эр.л;еЯ"Р (1)
h . (1). *10-11. *20*3 . э h . Prop
*40*36. h . я'Д'"к = Jc{(aP). рек.хеЯ"р} [Аналогично]
*40-37. КД"/?'кс/?'Я'"к
Доказательство.
h.*37-l . эН::л:е/?"/?'к. = :. (ЗУ) .yep'K.xRy:.
[*40-1] =:.(Qy):$eK. эр .yep :xRy:.
[*10-33] = :.(ау):.(Р):Рек.э.уеР:хЯу:.
[*11-26] э :. (Р):. (зу): Р е к. э . у е р : хДу:.
[*5-31] э :. (Р):. (зу): рек. э . уе р . хДу:.
[*10-37] э :. (р):. рек. э . (зу) .yep . xRy:.
[*37-1] э :. (р): р е к. э . х е Д"Р :.
[*40-35] э:.хе/?'Я'"к::э1-.Ргор
*40-38. \-.R"s'k = s4T"k
Доказ ательство.
К *37-1 . эН::лге/?".у'к. = :.(зу) .уел'к. хДу:.
[*40-11] = :. (ЗУ) - (За) • а е к. у е а : xRy:.
[*11-6] = :. (а«):. а е к: (ду). у е а . х/?у :.
[*37-1] = :. (да). аек. хеЯ"а:.
[*40-36] ее :.jc€5'/?'"k:: э h . Prop
Данное предложение часто используется при доказательстве
арифметических предложений.
*40-4. h : Е !! Д"р . э . я'Я"Р = Jc{(gy) .у ер . xeR'y]
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

378
ГЛАВА 5. ПРОИЗВЕДЕНИЯ И СУММЫ КЛАССОВ
Это предложение имеет смысл, только когда D7?cCls.
Доказательство.
К*37-6. эЬ:Нр.э./Гр = а{(д;у).;уер.а = Я';у} (1)
К(1).*40-11.э
h :: Нр . э :. х е л'Д"р. =: (да): (дз>) .yefi.a^R'yixea:
[♦11-6] = : (ду) :уер : (да). а =R'y .xea:
[♦14-205] = : (ду). у е р . х е Д'у:: э h . Prop
♦40-41. Ь : Е !! Я"р. э . р'Я''р = х {у е р . эу .xeR'y] [Аналогично]
♦40-42. h:(jc)./?tx = JPtxUe'x.3.5t/?tta = 5t(/3ttauetta) = 5TttaU5tetta
Доказательство.
Ь.*14-21. эЬ :Нр.э.(х).Е!Я'х.Е!Р'хЕ!е'х (1)
Ь. (1).*40-4. эЬ :Нр.э.^''а = *{(д;у).;у€а.хеЯ';у}
[Нр] =*{(ЯУ).У€а.х€Р'уиеву}
[♦22-34] =Jc{(ay):yea:xeP>.V.xee>}
[*4-4 . *10-42] = х Шу) .yea.xeP'y.V. (ду) .у е а . хе б»
[(1).*40-4] = JH*es\P''a.v.jte.s'Q''a}
[♦20-42 . *22-34] =s\P"a U .s'e"a
[♦40-171] =*'(^"а U б"а): э h . Prop
Данное предложение используется в ♦40-57, где мы полагаем R = C,
/>=d, e = a.
♦40-43. Ь::Е!!Д''р.э:.^''Рса. = :;уер.эу.Я';уса
Доказательство.
h. ♦37-63. эЬ::Нр.э:.уер.эу./?'уса: = :уеЯ"Р . dy .у са :
[♦40-151] = : я'Д"р с а :: э h . Prop
♦40-44. h :: Е !!Я"р . =>:. а с/?7?"р . = :у е р . эу . acR'y
Доказательство.
h . *37-63 . эЬ::Нр.э:.уер.эу.ас/?>: = : уеД"р. =>Y . асу:
[♦40-15] = : а с р'/?"р:: э Ь . Prop
Следующее предложение используется в доказательстве ♦84*44.
♦40-45. Ь:.уер.эу./?>с5>:э.5'/?"рс^'5"р
Доказательство.
h . *14-21 . э h :. Нр . э : Е !! S "р. Е !! R1 'р: (1)
[*37-62 . *40-13] э : у е Р . эу . 5 > с s'S''Р :
[Нр] э:;уер.эу.Я';ус5'5"Р:
[♦40-43 . (1)] э : я'Д"р с s'S "р:. э h . Prop
Следующее предложение используется в доказательстве *94-402.
♦40-451. Ь:.уер.эу./?>с5>:э.р'/?4'рср'5"р
Доказательство.
h . ♦14-21 . ♦37-62 . *40-12 . э h :. Нр . э : у е р . э . /?7?"р с R'y.
[Нр] э./?7?"Рс5';у.
[♦40-44] э : р'/?"Р с p'S "р:. э h . Prop
Principia Mathematica I

*40. ПРОИЗВЕДЕНИЯ И СУММЫ КЛАССОВ КЛАССОВ 379
*40-5. К.^"Р = /Гр
Доказательство.
Ь . *32-12 . *404 . э Ь . sll''р = * {(gy). у е р . хell'y]
[•32.8] =^{(Эу).уер.х/?у}
[(•37-01)] =/Гр.э1-.Ргор
«40-51. h .р^44р = Jc{jep. z>y .xRy] [*32-12 . *40-41 . *32-18]
/?'7е"Р есть класс термов, каждый их которых находится в отношении R
ко всякому элементу класса р, в то время как /?"р есть класс термов,
каждый их которых находится в отношении R к некоторому элементу класса
р. В теории серий класс /?'7с"Р играет значительную роль,
соответствующую роли класса /?"Р (совпадающего с s'Tr'P, согласно *40-5). Если класс
Р содержится в серии, порождаемой отношением /?, то элементы /?'7с"Р
будут предшественниками всех элементов из Р, в то время как элементы /?"Р
будут предшественниками хотя бы одного элемента из р.
♦40-52. Ks4lF"P = JS"P [Аналогично *40-5]
*40-53. 1-./?'5Г"Р = >>{*€ р. эл.х/?у} [Аналогично *40-51]
*40-54. h . рФ'$ = х (Р с fcx] [*40-51. *32-181]
*40-55. h .pl<R"a = у{а с 7?» [*40-53 . *32-18]
Начиная отсюда и до +40-69, предложения приводятся из-за их
применения в теории серий.
*40-56. h . s'C 'X = F4 'X [*33-5 . *40-5]
В данном предложении условие осмысленности требует, чтобы X было
классом отношений.
*40-57. h . s'C'X = s'(D"kU СГ'Х) = s'D"X U s'CT'X [*40-42 . *33-16]
*40-6. h . pit" A = V . p'fc'A = V [*37-29 . *40-2]
♦40-61. h:g !р.э.р'^'Рс/Гр./7'^'Рс/Гр
Доказательство.
h. *37-73 .
[*40:23]
[*40-5]
Аналогично
K(l).(2).
эК:
h:
=>h
:Hp.
:Hp.
.Prop
=>
Э
Э
=>
1
• э^'Р.
.^"PcS^"
./7^44РС/?44Р
./>'5Г"Рс/ГР
Р
(1)
(2)
*40-62. h : а ! р . э . /7'7?"Р с С'/?. /?'5?""Р с С7?
[*40-61. *37-15-16 . *33-161]
Следующие два предложения (*40-63-64) используются при
доказательстве предложения *40-65, которое используется в *204-63.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

380
ГЛАВА 5. ПРОИЗВЕДЕНИЯ И СУММЫ КЛАССОВ
*40-63. h : а ! Р - О4/?. э . р'"#"Р = Л
Доказательство.
h. *33-41 . Transp. эН:х~еСГД. э.^'х = А (1)
[*37-704] эНгхер. э.~#'хе1?"р (2)
h . (1). (2). *22-32 . э h : хер - СГЯ. э .7?'xel?"P .7?'х = Л.
[*20-57] э.Ле^'р.
[*40-22] э./7^"Р = Л (3)
h . (3). *10-11-23 . эН.Ргор
♦40-64. Н : а ! р - D7?. э . р'Й""Р = Л [Аналогично *40-63]
*40-65. h : а ! Р - ClR. э . р'^'Р = Л . р'5Г"Р = Л [*40-63-64 . *33-16]
*40-66. h :.ае/?'7г'р. = гхеа.уер. эх0; • xRy
Доказательство.
h.*40-51. эН::ае/?'"#"р. = :.ас х(уе$ . эу . хЯу):.
[*20-3] = :. х е а. эх : у е Р . эу . х/?у:.
[*11-62] = :.(х,у):.хеа.уер.э . х/?у:: э h . Prop
*40-67. h :. р ep'fc 'а. = : х е а. у € р . эх,у . xtfy: = . а с р'"^' 'Р
[Доказательство аналогично *40-66]
*40-68. h.an р'*Р"а с Р"р1*Р"а
Доказательство.
h.*40-53. эН:.хеаП/?'г"а. э : хеа :уеа. эу .уРх:
[*10-26] э : хРх: у е а . z>y . уРх:
[*10-24] э : (az) :zPx:yea.z>y.yPz :
[*40-53 . *37-105] э : хеР"р1<Р"а :. э h . Prop
Данное предложение используется в теории серий (+206-2).
*40-681. \-.ar\prPiiacPiiprPiia [Аналогично *40-68 ]
Следующее предложение используется в *211-56.
*40-682. h:a ! аПр'^'Р . э . Р сР'Чх
Доказательство.
h . *40-53 . э h :. Нр . э : (а*): х е а : у е Р . эу . уРх:
[*5-31] э :(а*):уер . эу .хеа.уРх:
[+11-61] э : у е р . -=>у . (ах). х е a . уРх.
[*37-1] -=>у . у е Р"а:. э h . Prop
*40-69. h: а ! С'Р П /?'£""а. = . а ! Р - 3 ! />'^""<х
Доказательство.
h . *33-24 . *24-561 . э h : а ! С'Р Пр'^'а. э . а ! ^. 3 ! р'£""а (1)
h . *40-62 . э h : а ! a. а ! /?'£""а. э . а ! С'Р П р'*Р"а (2)
h . *40-6 . э h :. a = Л. э : С'Р П р'^Чх :
[*33-24] ^itilP.^.RlC'Pnp'IP^a (3)
h . (2). (3). *4-83 . э h : а ! Р. 3 * />'£~"<х. э . a I СТПp'F"a (4)
h . (1). (4). э h . Prop
Последние предложения относительно /?'7с"Р и /?'/Г"Р, разумеется,
имеют соответствующие аналоги для s'7c"P и s'/Г''р. Но благодаря *40-5 эти
Principia Mathematica I

♦40. ПРОИЗВЕДЕНИЯ И СУММЫ КЛАССОВ КЛАССОВ
381
аналоги значительно проще формулируются как свойства /?"Р и /?"|3.
Таким образом, например, *37*264 является аналогом *40-67. Последние
предложения относительно /?'7с"Р и /?'а"Р найдут применение в теории серий,
но до тех пор будут редко цитироваться.
*40-7. h.^a,9,"p = z{(ajc,y).jcea.yep.z = x?y}
Доказательство.
h . *40-1 . *38-3 . э
Н.^а,9,"Р=2{(ау»у)->?ер.у:=9у"а-геу}
[•38-131] = Z{fa4,x,y).yep.y = $y"a.xea.z = x9y}
[+13-19] = z [(Qx, y).xea.ye$.z:=x<}y}.^>\-. Prop
Данное предложение представляет значительный интерес, поскольку
вводит компактную форму записи класса всех значений функции х$у,
получаемых при х из класса а и у из класса р. Например, допустим, что
а —класс чисел, кратных 3, р —класс чисел, кратных 5, а хху —
арифметическое произведение х и у, тогда $'а*;"Р будет классом произведений,
кратных 3 и кратных 5, т.е. класс кратных 15. Теперь пусть а и Р снова —
классы отношений; тогда s'aJ/'P будет состоять из всех относительных
произведений R\S, получаемых при выборе R в классе а и 5 в классе р.
*40-71. 1-.^,9у'4к = (5'к)Яу=9у4^'к
Доказательство.
h . *40-38 . *38-31. э h . s'£;y"K = $/Vk
[*38-2] = (s'k) gy. э h . Prop
Гипотеза tf"aca, появляющаяся в *40-8-81, —одна из тех, что играют
важную роль в последующем. В теории индукции (часть II, глава 4) она
характеризует наследственные (hereditary) классы, а в теории серий
характеризует верхнее сечение (upper section) (когда комбинируется с а с С 7?).
*40-8. 1-:.а€коа.Л"аса:э .A'Vkcs'k
Доказательство.
h . *37-171. э h :: Нр . э :. а е к. эа : х е а . xRy. эХ|>, .yea:.
[*11-62] э:. а е к. jc e a . xRy. эад>, .yea:.
ИО-13] z>atXty.yes'K:.
[*40-11 . +10-23] z>:.xeslK.xRy . э^ .уел'к:.
[*37-171] э :. Д'Vk с s'k :: э h . Prop
♦40-81. h :. а е к. эа . R''а с а: э . к"р'к с р'к
Доказательство.
h. +37-171 . эН ::.Нр. э::аек.э ixea.xRy . э .yea::
[Exp . Comm] э :: xRy .э:.аек.э:хеа.э.уеа:.
[*2-77] э:.аек.э.хеа:э:аек.э.;уеа (1)
Н.(1).*10-11-21-27.э
Ь ::. Нр . э :: xRy .э:. аек.эа.хеа:э:аек.эа.;уеа:.
э:. хер'к.э .уер'к::
[Imp] э::хе/?'к.х/?у. э.уер'к (2)
h . (2). *37-171 . э h . Prop
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

382
ГЛАВА 5. ПРОИЗВЕДЕНИЯ И СУММЫ КЛАССОВ
*41. Произведение и сумма класса отношений
Краткое содержание *41.
Предложения, приведенные в настоящем параграфе, вплоть до *41-3,
исключая само это предложение, аналогичны предложениям параграфа *40,
кроме предложений от *40-3 и далее, которые не имеют аналогов.
Доказательства предложений в параграфе не даются в тех случаях, когда они
в точности повторяют доказательства предложений с той же десятичной
частью из *40. Меньшая значимость р'\ и s'\ в сравнении с р'\ и sl\
отражается в меньшем числе предложений в *41, нежели чем в *40.
Определениями служат:
«41-01. pl\ = xy(Re\.^R.xRy) Df
*4102. sil = xy{(^R).ReX.xRy] Df
Из числа предложений, предшествующих *41-3 и являющихся
аналогами предложений *40, только следующие два часто используются:
*4113. \-iRe\.^>.R(Ls'\
«41-151. \-:.sl\dS . = :Re\.z>R.R<lS
Из оставшихся предложений этого параграфа, не имеющих аналогов
в *40, наиболее важны +41-4344-45:
D'j'X = .y'D"X, WX^sWK CVX. = s'C"X..
Эти предложения постоянно требуются в теории селекции (часть II,
глава 4) и в реляционной арифметике. Большинство же других предложений
настоящего параграфа используется не чаще одного раза.
*41
*41
*41
*41
*41
*41
*41
*41
*41
*41
*41
*41
*41
*41
*41
*41
*41
*41
*41
*41
*41
■01. pi\ = xy(Re\.z>R.xRy) Df
02. sil = xy{(^R).Re'k.xRy} Df
1. h:.x(p'X)y. = :Re\.z>R . xRy
11. bi.x (s'K)у. = . (a R). R e X. xRy
12. h-.ReX.^.p'XGR
13. \-:Re\.z>.R<Lsi'k
14. h : R e \. x (р'\) у. э . xRy
141. h :ReX.xRy . э . jc(s'X);y
15. h :. S ep'X , = :Re\.z>R.S (ZR
151. I-:.AgS . = :Re\.z>R.R(zS
16. Ь :Хс|х.э.р'|хс/>'Х-
161. Ь :Хс|х.э. ^'Xg^'jx
17. \-. pl\ U p'\i Gp'(^ П \i)
171. К J'XO j'n = j'ftU^i)
18. \-.pi(kU\i) = pt'knpt\i
181. Ь.51(^Пц)с^'ХП5>
19. \-1: x (ГК)у. = : Re\. z>R . RczS :z>s .xSy
2. Ь:Х = Л.э.р'Ь = У
•21. Ь:Х = Л.э.^ = Л
22. Н:ЛеХ.э.р'Х = Л
221. НУеХ.э. J'X = V
Principia Mathematica I

•41. ПРОИЗВЕДЕНИЕ И СУММА КЛАССА ОТНОШЕНИЙ
383
♦41-23.
♦41-24.
♦41-25.
♦41-26.
♦41-27.
*413.
h
h
h
h
h
Ь
«41-31.
«4132.
«4133.
«4134.
:g !X. э .p'Xas'X
:.g IXiRel.^R.S еЯ:э.5с*'Х
zx(s'\)y. = .Rl\nk{xRy)
:g! *4Х. = .(дД).ДеХ.д!Я
:.Pnst'k = A. = :Re'k.z>R.PnR = A
.Спу^Х = р4Спу"Х
Доказательство.
h. «31-131. э
h:.y(Cnv4/>'X)x.=
[*41-1] s
[*31-131] s
[«37-63. «31-13] s
[*414] s
h.Cnv'j'X = J'Cnv'4X
h. Cnv44/7"K = p4'Cnv'"K
h. Cnv"i"K= s"Cnv4ttK
Доказательство,
h. «4111. «38-13. «13-195
[*35-l]
[*10-35]
[«41-11. «35-1]
«41-341. Н.^Ча44Х=(^Х)Га
«41-342. h.5'[a"b(n)[a
Доказательство.
h. «36-11. «35-21
[*41-34]
[«41-341]
[*36-ll]
Следующее предложение используется в «85-22.
«41-35. \-.s'M f4tK = M Г j4k
Доказательство.
h . «41-11 . «38-13 . э h : jc (J'M f4 4к) у. s (ga). a e к. jc (M f a) y
:xQ)4X)y:
: /? e X. эд . x/?y:
: Я e X. эд . у (Cnv4/?) x:
:РеСпу'4Ь.эР.у/>х:
: у (p'Cnv4 4X) x:. э h . Prop
[Аналогично «41-3]
[«41-3 . «37-354]
[«41-31. «37-354]
эН:.х(^а1"Х)у. = : (g Р). PeX.x(a1 Р)у:
^(g/^.PeX.xPy:
== : x € a : (g F) . P e X. xPy:
= : x(a1 s4X)y:. э h .Prop
[Аналогично «41-34]
= a1 (s4f a44X.)
= a 1 (s'X) f a
= (s4X) [aoh. Prop
[«35-101]
[«40-11. «35-101]
«41-351. h.541Mt4K = (.s4K)1M
«41-4. h.D'^cp'D"»,
Доказательство.
h . «33-13 . э
h::xeD4p4X.
[*41-1]
[*11-61]
[*33-13]
hi
hi
э:
э:
[«40-41 . «33-12] э :
«4i-4i. 1-.а4р4Хс/74а44х
[Ah
= (да). а ек. у еа . хМу.
= x (M Г s'k) у: z> h . Prop
[Аналогично «41-35]
-(ЯУ)-х(р'\)уг.
. (ду):/геХ.э/г.х/?у:.
.Re\.z>R.(Ry).xRy:.
.Re\.^>R . xeD7?:.
. xe/?4D44X:: эЬ . Prop
алогично «41-4]
A. H. Уайтхед , Б. Рассел

384
ГЛАВА 5. ПРОИЗВЕДЕНИЯ И СУММЫ КЛАССОВ
•41-42. h.C'p'bc/7'CX
Доказательство.
Н.*33-132.эЬ::.д;еС'р'Ь
[•41-1]
[•10-41-221]
[•4-78]
[•11-61]
[•33-132]
[•40-41. *33-122]
•41-43. h.Bisi\ = siBiiX
Доказательство.
h . *33-13 . => h :.
[•41-11]
[•11-23-55]
[•33-13]
[•40-4 . *33-12]
•41-44. h.aejeX. = 1s4a44X.
•41-45. h.Ctst'k=siCiiX
Доказательство.
. = ::fay).x(pg\)y.V.y(p'\)xr.
= •• (ЗУ) '-'-Re\.z>R. xRy :V:Re\.z>R. yRx::
=> - (ЗУ):: (R):-Rtb• => • xRy: V :ReX. э .y/ta
=>:: (ay)::(/?) :./?eX. э :x/?y. V .y/?x::
э ::(/?)::/?eX. э: (gy): xtfy. V .yRx:
э:хеС7?::
э :: xep'C'X::. э h . Prop
x e D's'X. = : (gy). jc (s'X) у:
= :(ЭУ):(аЯ)-Я<^.хЯ;у:
= :(a/?):/?eX:(ay).x/?y:
= :(а/г).ЛеХ.хеБ4/г:
= :хе^Б4^:.э1-.Ргор
[Аналогично +41-43]
h. *зз-1б. э h. сч'х= wx и а\*'х
[•41-43-44] =j4D4eXUj4a44X.
[•40-57] =я'С"Х.эКРгор
•41-5. h . p'X|p'|XG/?Vh,l,"|j,
Доказательство.
h . *34-1 . э
эН::х(р'Х|р'ц)г
[•41-1]
[•11-56]
[•11-37-39]
[•11-61]
[*34-1]
[•13-191]
[•11-21-35]
[•40-7]
[•41-1]
•41-51. К j'M я'И = JVX,I/'H
Доказательство.
h . *34-1. э
эЬ::х(.у'Мя'и)г
[•41-11]
[•11-54]
[•11-24-27]
[•10-35]
. = :.(ЗУ)-*0>'>0 У-У (/>>)*:.
= :. (gy):. Ре\. эР . хРу: Qe\i. эе .yQz:.
^•..(а^г.СЛО^еХ.э.хРугбе^.э.уег:.
э:.(Л0:./>еХ.еец.э.(ду).л;/>у.уег.
э.х(Р|б)г:.
z>:.(P,Q,R):.PeX.Qe\i.R = P\Q.z>.xRz:.
z>:.(R):(RP,Q).Pe'k.Qe\i.R = P\Q.z>.xRz:
э :.()?):Res'X,I/'|х.э . jc/?z:.
э :. jt(pVAj,"iA)z:: э h . Prop
(ау)-*С*'Ь)у.уС*'и)г:.
(ay)»(a ^) • Pd - *^y •• (a 6) - Q<^ -у<2*:
(ЗУ) » (3 P,Q):Peb. xPy .Qe\i.yQz:.
(& P,Q)'~ Ш - P ^. xPy. Qe\i.yQz:.
(^P,Q)'-Pe\.Qe\ii (gy). xPy .yQz:.
Principia Mathematica I

*41. ПРОИЗВЕДЕНИЕ И СУММА КЛАССА ОТНОШЕНИЙ
385
[*34-1] =:.(RP>Q):P^.Qe\x.x(P\Q)zi.
[♦13-195] = :. (д Р, Q,R). Pel. Qe\i.R = Р\ Q. xRz:.
[*11-24 . *40-7] ■=:.(&R).Reя'Ц"ц.xRz:.
[*4Ы1] = :. х (s's'X ,I,"|A) z:: э Ь . Prop
Последнее предложение (оно используется в *92-31) утверждает, что
если X и \i — классы отношений, то относительное произведение
относительной суммы \ и относительной суммы |i является относительной суммой
всех относительных произведений, образованных элементами X и
элементами \1.
Следующее предложение используется в +96-111.
♦41-52. hr.al^'XGQ.^rPeX.Dp.alPeQ
Доказательство.
Н.*35-1.*4Ы1.э
э h :: a 1 s'X G Q. = :. x e a: (g P). P e X. xPy: -=>Х)У . xQy:.
[♦10-35-23] = :. xea . Pel. xPy. э/>хо,. xQy:.
[*35-l] = :.Pe\.x(a]P)y. z>PtX)y . xgy :.
[*ll-62] = :. Pel. эр . a1 PaQ:: э h . Prop
Следующее предложение используется в +162-32 и +166-461.
*41-6. Ь :. у е р . эу . Р1у = Й'у 0 Я'у: э . j\P"P = J'G"P О 5Ь/?"(3
Доказательство.
h . *37-6 . *14-21 . *41-11 . *13-195 . э
э h :: Нр. э :. и (s'P''Р) v. = : (gy). у е Р. w (Р'у) v:
[Нр] =:(zy).ye$.u(Q'yORy)v:
[*23-34 . *10-42] = : (gy). у е Р . м (g'y) v. V . (gy). у е Р . м (tf'y) v:
[*37-6 . *41-11] = : и (J'£TP) v. V . и С*\К"Р) v:: э h . Prop
А.Н.Уайтхед, Б.Рассел

386
ГЛАВА 5. ПРОИЗВЕДЕНИЯ И СУММЫ КЛАССОВ
*42. Различные предложения
Краткое содержание *42-
Настоящий параграф содержит различные предложения о
произведениях и суммах классов. В основном в них рассматриваются классы
классов классов или отношения отношений отношений. Необходимость в
таких предложениях встречается соответственно в арифметике кардиналов
и ординалов. Так, предложение *42-1 используется в *112 и *113, где
изучается сложение и умножение кардиналов, в то время как предложения
*42*12-2 используются в *160 и *162, где рассматривается сложение
ординалов. Предложение *42-22, хотя на него и не дается явных ссылок,
полезно для понимания предложений о сериях серий серий или, скорее, об
отношениях между отношениями между отношений, необходимых в связи
с законом ассоциативности умножения в реляционной арифметике.
*421. h. sVk= sVk
Здесь к должно быть, ради наличия смысла, классом классов классов.
Предложение утверждает, что если взять каждый отдельный элемент а
класса к и образовать s'a, а затем образовать сумму всех получившихся
таким образом классов, результат будет таким же, что и при построении
суммы суммы к. Это ассоциативный закон для s и (как окажется позже)
источник ассоциативного закона сложения в арифметике кардиналов.
Почему данное предложение приводит к ассоциативному закону для s, можно
объяснить следующим образом. Пусть к состоит из двух классов, аир;
пусть а, в свою очередь, состоит их двух классов, ^ и ч, а |3 — из двух
классов £' и ч\ Тогда s'a = £ U ч . s'fi = £'U ч' (это будет доказано позже). Таким
образом, s' 'к имеет два элемента, один из которых есть £и ч, а другой —
£'ич\ Поэтому
sV'k = (£uti)U(£'U4').
Но s'k состоит из четырех элементов, а именно £, г], £', т]\ Следовательно,
sVk = £u чи£'ич\ Таким образом, наше предложение принимает вид
(^ит1)и(^ич') = ^ичи^ил';
что, очевидно, является частным случаем закона ассоциативности.
В предложении *42-1 формулируется закон ассоциативности в общем
виде, включая случай бесконечного числа скобок или слагаемых внутри
любых скобок. Приводим доказательство.
Доказательство.
h.*40-4. эЬ :: xeslsliK. = :. (ga). аек. xes'a :.
[*40-11] = :. (да): а е к: (д£). £еа . х е£:.
[*11-6] = :. (д^):. (да) ,аек.^еа:хе^:.
[*40-11] s:.(gQ.5€j'K.JC€|:.
[*40-11] = :. jc e s Vk :: э h . Prop
Principia Mathematica I

.42. РАЗЛИЧНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ
387
*4211. h . р'р"к = p's'k
Доказательство.
h. +40-41 . эН :.хер'р"к. =:(3ек.эр .xep'fi:
[*40-1 .*11-62] =:Рек.уер.эр,у.хеу:
[*11-2 . *10-23] = : (аР). Рек.уеР . э7 . хеу:
[*40-11] = :уе^'к.Эу .леу:
[*40-1] == гхерЧ'кг.эН.Ргор
Это ассоциативный закон для произведений. Вновь рассмотрим в
качестве иллюстрации случай, когда к состоит из двух классов аир,
причем а также состоит их двух классов 2; и т], а р — из двух
классов £' и т]'. Тогда /?"к состоит их двух классов: £Пг] и ^'Пч', поэтому
р'р''к = (£Пт])П(2;'Пг1'), a /?VK = 2;nrinS;'n ч\ Таким образом, наше
предложение приобретает вид
(£ПТ1)П(£'ПЧ0 = ?ПГ)П£'ПЧ\
Мы можем сказать, что дескриптивная функция /?'к, аргументами
которой являются классы классов классов, удовлетворяет закону
ассоциативности, если
Д7Гк = Д'*'к.
Это равенство можно интерпретировать следующим образом. Пусть дан
класс а; разобьем его на произвольное число подчиненных классов так, что
ни один элемент не будет пропущен, хотя некоторые элементы могут
попасть в два или более классов. Пусть классы, на которые мы разбили а,
образуют класс к, так что к есть класс классов и s'k = а. Тогда наше
равенство утверждает, что если сначала вычислить значения R от различных
подклассов а, а затем — значение R от получившегося класса, результат
совпадет с тем, какой бы мы получили при вычислении R от а
непосредственно.
В некоторых случаях (например, при арифметическом сложении
кардиналов) данное равенство справедливо, только когда ни одна пара элементов
к не обладает общим термом, т.е. когда части, на которые разбит класс
а, взаимно исключительны.
Для дескриптивной функции, аргументами которой являются
отношения отношений, мы найдем другую форму закона ассоциативности; эта
форма будет играть в арифметике ординалов роль, аналогичную роли
вышеприведенного уравнения в арифметике кардиналов.
*42 12. h. j'j"X = ,sVX
Доказательство.
Ь . *41-11. э h : jc(s's"X)y. = . (дц) .\ie\.x(sl\i)y.
[*4Ы1] = . (дц, Р). \i e \. Pe \i. xPy.
[*40-ll] = . (g/>). Pe s'X. xPy.
[*4111] = . xis's'tyy: э h . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

388
ГЛАВА 5. ПРОИЗВЕДЕНИЯ И СУММЫ КЛАССОВ
*4213. У.р1р11\ = р^1\
Доказательство.
К *41-1. эЬ :.x(pip"'k)y. =: [хеХ.э^ .х(р'\х)у:
[*41-1] = : \х е \. R e \i. э^д . x/ty:
[*11-2 . *10-23] = : (дц). \х е\. Я е ц . эд. xRy:
[*40-11] ^гЛе^.э/г.х^у:
[*41-1] = : х (p's'K) у:. э h . Prop
*422. h.C^tCtJP = 5tCttCtP = F"Ct/>=l^2tP
В данном предложении предполагается, что Р является отношением
между отношениями. Например, пусть дана серия серий, порождающие
отношения которых упорядочены отношением Р. Тогда С'Р — класс этих
порождающих отношений; s'С'Р— отношение "то или иное из
порождающих отношений С'Р" и Сs'C'P — класс всех термов, встречающихся в
какой-либо серии. Класс С"С'Р состоит из полей различных серий, а класс
«у'С'С'Р — вновь из всех термов, встречающихся в какой-либо серии. Класс
F^C'P состоит из всех термов, которые принадлежат полям серий,
являющихся элементами С'Р, а класс F2iP~из всех элементов полей элементов
поля Р\ и тот, и другой состоят из всех термов, встречающихся в какой-
либо серии. Доказательство таково:
Доказательство.
h . *41-45 . э h . Cls'OP =^С1'С1Р (1)
h . *40-56 . э h. slC"CLP=F"C'P (2)
К*33-5. 3h.F"C\P =FtrPlP
[*37-38] =~?2lP (3)
V . (1). (2). (3). э h . Prop
Следующие предложения применяются к отношению отношений
отношений. Эти предложения пригодны для доказательства законов
ассоциативности в арифметике ординалов, поскольку в таких законах фигурируют
серии серий серий, а серии серий серий наиболее просто конструируются
в предположении, что порождающие отношения составляющих серий
упорядочены отношениями, которые сами упорядочены отношением Р.
♦4221. h.^Ct'tCttC'P = CtVCttCt/> = CttC^'Ct/>=C"F"CtP = C"^2'P
Доказательство.
V . *40-38 . э h . *'С'"С"С7> = С VC"C'P (1)
У . (1). *42-2 . э V . Prop
*42-22. V . ^С"'С'Ч:Т=яЧ:'VC''C7>= s'C'CJ'C'P
=С j'C j'C'P = s'C"F"ClP
=FllF"C'P=Fir?2tP=~t2tP
[*42-21. *41-45 . *40-56 . *42-2 . *37-3]
Если в данном предложении Р является отношением, порождающим
серии серий серий, оно предоставляет нам различные выражения для класса
конечных термов этих серий. Так, допустим, что QeC'P; тогда Q —
отношение между порождающими отношениями серий. Теперь, если ReC'Q, то R
является порождающим отношением серии, которую можно считать
состоящей из индивидов. Класс индивидов, достижимых таким образом, может
Principia Mathematica I

♦42. РАЗЛИЧНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ 389
быть представлен любым из приведенных выше выражений, так же как и
другими, здесь не приведенными.
*42 3. Ь.^Ч?''а = .у7Га
Доказательство.
K*42-l. z>\-.stsirft"a=sisr$"a
[*40-5] =s7?"a. z> I-. Prop
«42-31. h.sVefr"a = ,s'#"a [Аналогично *42-3]
А.Н. Уайтхед, Б.Рассел

390
ГЛАВА 5. ПРОИЗВЕДЕНИЯ И СУММЫ КЛАССОВ
*43. Отношения относительного произведения
к его сомножителям
Краткое содержание *43.
Цель настоящего параграфа—привести ряд предложений об отношении,
которое имеет место между Р и б, когда Р = Q \ R или когда Р = R \ Q, или
когда Р = R | Q | S, где R и S фиксированы. В силу общих определений,
данных в параграфе *38, отношения эти суть соответственно \R, R \ и (R |) | (| S).
Такие отношения весьма практичны и в арифметике кардиналов, и в
арифметике ординалов; они также применимы в теории индукции (часть II,
глава 5). Вместо обозначения (Л|)|(|5), весьма неуклюжего, мы
используем компактную запись R\\S. Если X —класс отношений, /?|"Х будет
классом отношений R\P, где РеХ, |/?"Х — классом отношений P\R, где РеХ, а
(R||S)"Х — классом отношений /?|Р|5, где ^еХ. Такие классы отношений
будут часто встречаться в последующей работе.
В силу определений имеем
«43-112. Y.(R\\SYQ = R\Q\S
Список наиболее часто используемых предложений настоящего
параграфа (исключая те, которые лишь содержат определения) краток:
«43 302. Ь.(Р).РеСГ(Д||5)
«43 411. Ь./?'"СГ'Х=а"|Д"Х
«43 421. Y.sl\Rli\=(si'k)\R
Остальные предложения используются редко, хотя имеют в случаях
своего применения важное значение.
«43 01. R\\S =(R\) |(| 5) Df
Позже (в *150) мы введем более простое обозначение для
специального случая R\\R. Следующие предложения большей частью —
непосредственные следствия из определений, поэтому доказательства, как правило,
опускаются.
♦43-1. Y:P(R\)Q. = .P = R\Q
«43-101. Y:P(\R)Q. = .P=Q\R
«43-102. YiP(R\\S)Q. = .P = R\Q\S
«4311. Y.R\'Q = R\Q
«43-111. К|Д'е=С1Л
«43-112. Y.(R\\SYQ = R\Q\S
«4312. КЕ!Я|'е
«43121. КЕ!|Я'£
«43-122. Y.E\(R\\SyQ
«43-2. M*|)|(S|) = (*|S)|
Доказательство.
К «43-1. z>h:L{(/?|)|(S|)}W. =.faAf).L = R\M.M = S\N.
[«13-195. «34-21] =.L = R\S\N.
[*43-l] = . L = {(R | S) |} N: э h . Prop
Principia Mathematica I

♦43. ОТНОШЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ К ЕГО
СОМНОЖИТЕЛЯМ 391
[Аналогично *43-2]
[Аналогично *43-2]
♦43 201. Ы|Л)|(|5) = |(5|Л)
♦43-202. h.(|/?)|(5|) = (5|)|(|/?) = 5||/?
♦43 21. \-.(P\\Q)\(R\) = (P\R)\\Q
♦43 211. \-.(R\)\(P\\Q) = {R\P)\\Q
♦43 212. \-.{P\\Q)\(\B) = PHR\Q)
♦43 213. \-.QR)\{P\\Q) = PHQ\R)
♦43 22. Ь . (Р || Q) | (R || 5) = (Р \R) \\ (S \ Q)
♦43 3. V . (Р). Р е СГЯ | [*43-12 . *33-43]
♦43 301. К(Р).РеСГ|Я
♦43-302. К(Р).РеСГ(Д||5)
♦43 31. h . Р \ aiR | = Р \ ClR | = Р
Доказательство.
h . *43-12 . *33-431. зКСГРсСГД|
[*33-161] зКСГРсС"Я|
h . (1). (2). *35-452 . з h . Prop
*43-зи. кргсг|д = ргс"|д = р
♦43-312. h . Р f СГ(Д || 5) = Р Г С'(Д II5) = Р
♦43-34. Ь.Я|7? = |Д'Д = Д2
♦43-4. K/rD\P = D7?|\P
♦43-401. КЯ"а"Р = СГ|Д'Р
♦43-41. h./?'"D"X = D'7?rX
♦43-4И. кя"'а"ь=а"|/гх
♦43-42. h. J7?|"X = /?| J'X
Доказательство.
h . *41-11 . ♦ЗМ . *43-1 .
(1)
(2)
[♦43-11-111]
[♦37-32 . *43-1]
[♦37-32. *43-101]
[♦43-4. ♦З^Збб]
[♦43-401. ♦З^Збб]
\-:.x(slR\liX)z
[♦34-1]
[♦11-16]
[♦41-11. ♦34-1]
♦43-421. \-.si\Rll'k = (si'k)\R
♦43-43. h.s'(R\\Sy'\ = {R\\Sys'\
Доказательство.
h. ♦З^ЗЗ
[♦43-42]
[♦43-421]
[♦43-112]
DTcq.d
СГРср.з
(nT).Te\.x(R\T)z:
(дГ):Ге\:(яу) . xRy .yTz:
(ny):xRy:(nT).Te\.yTz:
x(R\s'\)z~ зЬ.Ргор
[Аналогично +43-42]
z>t-.sl(R\\Syi'k=stR\il\Sii'k
=R\(sl\S"\)
=R\sl\\S
= (/?||S)'j'X.z>KProp
Q\'P = (Q\*)\'P [*35-481]
\RiP = \($]R)iP [♦35-48]
S'D"-kc2a.^.(Q\)\\={(Q\a)\}\\
Доказательство.
h.^40-43. z>h:.Hp.=>:PeX. D.D'Pca.
N3-48] ^.Q\'P = [(Q\a)\rP
h . (1). ♦35-71. z> h. Prop
♦43-491. h : s'CT'X cfi .z> .(\R) \\ = {\ф] R)} \\ [Аналогично *43-49]
♦43-48.
♦43481
♦4349.
(1)
А.Н.Уайтхед, Б.Рассел

392
ГЛАВА 5. ПРОИЗВЕДЕНИЯ И СУММЫ КЛАССОВ
*43-5. h : D'P с а. СГР с р. з . (01| Д)'Р = {{Q \ а) II (Р1 R)YP
[*35-48-481. *43-112]
*43-51. h : jTTX. с а. s'CT 'X с р . э . (Q \\ R) \ \ = {(£ \ а) || (р 1 К)} \ I
Доказательство.
Ь.*40-43. зК-.Нр.згРеХ. з .D'Pca. СГРср.
N3-5] з . (б IIRYP = {(б Г а) II (Р1 *)ГР (1)
h . (1). *35-71. з h . Prop
Последнее предложение используется в доказательстве *74-773.
Principia Mathematica I

ЧАСТЬ П. ПРОЛЕГОМЕНЫ
К АРИФМЕТИКЕ
КАРДИНАЛОВ
А.Н.Уайтхед, Б.Рассел

ВВЕДЕНИЕ К ЧАСТИ II
395
ВВЕДЕНИЕ К ЧАСТИ II
Объекты, изучаемые в настоящей части, не слишком отличаются от
тех, что изучались в части I. Различие заключается лишь в степени
значимости—настоящая часть посвящена менее общим вещам, чем часть I,
и изучаются они больше ради их применения в арифметике кардиналов,
чем из-за их собственного значения. Однако, хотя арифметика
кардиналов и является целью, определяющей наш курс в части II, все изучаемые
в ней объекты, как окажется, потребуются также в арифметике ординалов
и теории серий. По мере углубления в настоящую часть подход к
арифметике кардиналов последовательно проясняется, пока, наконец, все не будет
подготовлено и ничего не пропущено, кроме определения кардинального
числа, с которого начнется часть III.
Глава 1 настоящей части посвящена единичным классам и парам.
Единичный класс есть класс термов, идентичных данному терму, т. е. класс,
единственным элементом которого является данный терм. (Как
объяснялось во Введении, глава III, с. 153-157, класс с единственным элементом х
не идентичен х.) Мы определяем символ 1 как класс всех единичных
классов, оставляя до части III доказательство того, что 1, определенный
таким образом, есть кардинальное число. Подобным же образом мы
определяем (кардинальную или ординальную) пару, а затем определяем 2 как
класс всех пар. Предложения, касающиеся пар, не часто будут
цитироваться в остальных главах настоящей части, поскольку они в основном
используются в арифметике (части III и IV). Свойства же единичных классов
постоянно необходимы в главах 3, 4 и 5 данной части.
В главе 2 сначала рассматриваются классы подклассов данного
класса, т. е. классы, содержащиеся в данном классе. Подклассы данного класса
играют важную роль в арифметике. Затем мы рассматриваем классы по-
дотношений данного отношения, т. е. отношения, содержащиеся в данном
отношении. Предложения о свойствах этих объектов аналогичны
предложениям о подклассах, хотя менее валены. После этого мы переходим к
вопросу об "относительных типах", т.е. берем любой объект, обозначаем
его тип tlx и вводим обозначения для выражения в терминах Vx типа
классов, элементом которого является дс, или отношений, в которых х может
быть либо референтом, либо релятивом и т. д. Соответствующая нотация
очень удобна в арифметике, особенно в связи с теоремами существования.
А.Н. Уайтхед, Б.Рассел

396
ПРОЛЕГОМЕНЫ К АРИФМЕТИКЕ КАРДИНАЛОВ
Сами же предложения главы 2 лишь изредка цитируются в последующих
главах настоящей части.
Очень важной является для дальнейшего изложения глава 3,
посвященная одно-многозначным, много-однозначным и одно-однозначным
отношениям. Отношение одно-многозначно, если ни один терм не имеет более
одного референта, много-однозначно, если ни один терм не имеет более
одного релятива, и одно-однозначно, если оно одновременно одно-многозначно
и много-однозначно. В этой главе определяется также понятие подобия, на
которое опирается вся арифметика кардиналов: два класса называются
подобными, если существует одно-однозначное отношение, областью которого
является первый из них, а обратной областью —второй. Мы доказываем
элементарные свойства подобия, включая теорему Шредера—Бернштейна:
если а подобно части р, а р подобно части а, то а подобно р.
Глава 4 посвящена понятию выборок, на которой основывается
умножение и кардиналов, и ординалов. Выборка из множества классов
представляет собой класс, включающий в себя по одному элементу из каждого класса
данного множества. Таким образом, отношение выбора R может быть
определено как отношение, для которого, если задан класс классов к, всегда
/?'а является элементом класса а для любого а, принадлежащего к. Более
точно, отношение выбора R для класса классов к есть такое
одно-многозначное отношение, что к является его обратной областью, и, если xR а, то
хеа. Это отношение можно назвать е-селектором из к. В общей ситуации
мы можем определить Р-селектор из к как одно-многозначное отношение,
обратной областью которого является к и которое содержится в Р. Теория
селекторов весьма существенна для арифметики. Однако предложения
четвертой главы, пока мы не доберемся до умножения кардиналов в главе 2
части III, будут уместными лишь изредка.
Глава 5 посвящена математической индукции, но не в той специальной
форме, в которой она применяется к конечным целым числам (это будет
предметом главы 3 части III), а в общей форме, в которой она
применима ко всем отношениям. Предложения этой главы играют весьма
большую роль, в первую очередь в теории конечного и бесконечного (глава 3
части III и глава 5 части V), а также во многих других случаях,
особенно при образовании серий из одно-многозначных, много-однозначных и
одно-однозначных отношений — например, в упорядочении "рациональных"
точек проективного пространства посредством последовательного
построения гармонических точек. Рассматриваемые в этой главе понятия довольно
сложны, и мы должны отослать читателя к самой главе за более
подробной информацией.
Principia Mathematica I

ГЛАВА 1.
ЕДИНИЧНЫЕ КЛАССЫ
И ПАРЫ
Краткое содержание главы 1.
Настоящую главу мы начинаем (*50) с введения обозначения для
отношения тождества, противопоставляя его функции их = у"\ таким образом,
называя / отношением тождества, мы полагаем
1 = ху(х = у) Df.
Целью данного определения является, главным образом, удобство записи:
оно позволяет нам говорить о У , D7, I\R, a] /, /"а, и т.д., что в
противном случае было бы невозможным.
В то же время мы вводим различие, определяя его как отрицание
тождества и обозначая буквой /. Свойства I и J непосредственно вытекают
из *13, поскольку
xly. = . х = у.
Затем мы вводим, следуя Пеано, весьма важное обозначение для
класса, единственный элемент которого есть х. Если принять строго и чисто
экстенсиональную точку зрения на классы, то естественно предполагать,
что этот класс идентичен х. Но, как объяснялось в *20, с точки зрения
теории классов очевидно, что х не может быть идентичен классу,
элементом которого является, даже когда он — единственный элемент этого
класса. Пеано использовал обозначение "ис" для класса, единственный элемент
которого есть х\ мы видоизменим это обозначение: "i'jc", следуя нашей
общей нотации для дескриптивных функций. Таким образом, должно иметь
место
Сх = у(у = х) = у(у1х)=!?'х.
А.Н. Уайтхед, Б.Рассел

398
ГЛАВА 1. ЕДИНИЧНЫЕ КЛАССЫ И ПАРЫ
Поэтому мы принимаем в качестве определения
i=7 Df,
что дает желаемое значение i'jc. Свойства i многочисленны и имеют
принципиальное значение.
Важно отметить, что "Га" означает "единственный элемент класса а".
Данное выражение имеет смысл тогда и только тогда, когда класс а имеет
один элемент и не более того, и в этом случае а имеет вид Гдг, где х есть
тот самый единственный элемент. Таким образом, "Га" означает то же,
что и "(г*) (хе а)", а "Г z (фг)" — то же, что "(ис) (фх)". В обозначениях Пеано
"Га" выглядит как "ia".
Классы вида Сх называются единичными классами, а класс всех таких
классов обозначается 1. Это и есть кардинальное число 1, что
соответствует определению кардинальных чисел, которое будет дано в *100. Свойства
числа 1 в той мере, в какой они не зависят от других кардиналов или от
того факта, что 1 есть кардинал, будут изучаться в *52.
После параграфа *53, содержащего различные предложения
относительно 1 или I, мы перейдем к рассмотрению кардинальных пар (*54) и
ординальных пар (*55). Кардинальная пара есть класс I'jcUi'y, где хфу.
Класс таких пар определяет собой 2 и является, как будет показано
позже (в *101), кардинальным числом. Ординальная пара, в которой, в
отличие от кардинальной пары,.существен порядок элементов, определяется
как отношение CxfCy (ср. *35-04), причем условие хфу можно добавлять
или не добавлять. Свойства ординальных пар частично аналогичны
свойствам единичных классов, частично — свойствам кардинальных пар. В *56
мы определяем ординальное число 2 (которое обозначаем 2Г, чтобы
отличить его от кардинала 2) как класс всех ординальных пар l'jc|Су, где хфу.
Позже будет показано, что это — ординальное число и в соответствии с
нашим общим определением ординальных чисел (*153 и *251).
Principia Mathematica I

*50. ТОЖДЕСТВО И РАЗЛИЧИЕ КАК ОТНОШЕНИЯ
399
*50. Тождество и различие как отношения
Краткое содержание *50.
Цель настоящего параграфа состоит, в первую очередь, во введении
обозначений. По причинам нотационного характера, необходимо иметь
возможность выражать тождество и различие как отношения, а не только как
пропозициональные функции, т. е. требуется специальное обозначение для
ху(х = у) и ху(хфу). Поэтому положим
I=xy(x = y) Df,
J=-I Df.
Несмотря на то, что различие — всего лишь отрицание тождества, круг
предложений, в которых используется различие, в корне отличается от тех,
в которых используется тождество. Как отношение тождество необходимо,
начиная уже с теории единичных классов, что и является основанием его
изучения именно сейчас. Оно также постоянно требуется в теории
математической индукции (глава 5 части II) и, наконец, нужно для того, чтобы
доказать рефлексивность подобия кардиналов и ординалов. Таковы
основные его применения.
С другой стороны, различие используется почти исключительно в
теории серий, и первый параграф в этой теории будет посвящен различию.
До тех пор различие редко будет упоминаться, за одним важным
исключением — в доказательстве ассоциативного закона умножения в реляционнной
арифметике (*174).
Наиболее значимыми предложениями о тождестве в настоящем
параграфе являются следующие.
*5016. К/"а = А
*50-4. \-.R\I = I\R = R
*50-5. Ка1/ = /Га = а1/Г<х
*50-51. h.Cnv'(a1/) = a1/
*50-52. h. D'(a 11) = СГ(а 1 /) = С\а 1 7) = а
*50-62. h:(J'R<za.z>.R\(I\a) = R
*50-63. 1-:Б'Дса.з./Га|Д = Д
Наиболее значимыми предложениями о различии в настоящем
параграфе являются следующие.
*50-23. \-:RgJ. = .RgJ
*50-24. h: R gJ. = . (jc) . ~ {xRx)
*50-43. \-:R2Gj. = .RnR = A
*50-45. \-:R2gJ.z>.RgJ
*50-47. \-:.R2Gj.z>:R<Lj. = .R2Gj. = .Rr\R = A
Можно заметить, что все эти предложения содержат RgJ или R2gJ,
причем и то, и другое выполнено, когда R — сериальное отношение.
Гипотеза R2 gJ или RC\R = A характеризует асимметричное отношение, т. е.
такое, которое, будучи справедливо между х и у, никогда не наблюдается
между у и х.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

400
ГЛАВА 1. ЕДИНИЧНЫЕ КЛАССЫ И ПАРЫ
«50-01. I = xy(x = y) Df
♦50-02. / = -/ Df
Большинство из предложений настоящего параграфа очевидны и не
требуют комментариев.
[«21-3 . (*50-01)]
[«23-35 . «50-1. (*50-02)]
[«50-11. *21-33]
[«1319. «10-24-281. «50-1]
[«30-3 . *50-1. *10-11]
[«5014. «14-21. «10-11]
«50-1.
«50-11.
«50-12.
«50-13.
«50-14.
«50-15.
«50-16.
h : xly. = . х - у
h : xJy . = . х Ф у
\-.1 = ху(хфу)
1--Й!/
\-.Гу = у
\-.(у).Е1Гу
К/"а = а
Доказательство.
h. «37-1.
[*50-1]
[«13-195]
зНис€/"а. = . (gy).yea. xly.
= .(ЯУ)'Уеа-х = у.
= . х е а: з h. Prop
«50-17. h :. х е а. з* . R'x = x: з. /?"а = а
Доказательство.
h . «14-21. з I-: Нр. з . Е !! Д"а (1)
h . «50*14 . з Ь :. Нр . з: хе а. з* . Я'х = Гх:
[«37-69.(1)] з:Д"а = /"а:
[*50-16] э:Га = а:.э1-. Prop
«50-2. h./ = /
Доказательство.
h . «50-1 . з h : jc/j . = . x = у.
[*13-16] = .}> = *.
[«50-1 ] =.ylx.
[*31-11] =.д:/у:з1-.Ргор
«50-21. h./ = /
Доказательство.
h . «21-2 . («50-02). з h. /= - / (1)
[«50-2. «23-83] = -/
[*31-16] = Cnv'-/
[(1). «31-32] - =/.з К Prop
«50-22. \-:RgI. = .RgI [«31-4 . «50-2]
«50-23. h : R G /. = . R G / [«31-4 . «50-21]
«50-24. h: R G/. = . (x). ~ (jcto)
Доказательство.
h . «50-11. з h :. R G/. = : xRy. зло,. х Ф у:
[Transp] = : * = у. з*^. ~ (x/ty):
[«13-191] = : (jc) . - (xRx) :. з V. Prop
«50-3. h . (jc) . xlx [«50-1. «13-15]
Principia Mathematica I

*50. ТОЖДЕСТВО И РАЗЛИЧИЕ КАК ОТНОШЕНИЯ
401
*50 31. h.D7 = V.d7 = V
Доказательство.
h . *50-3 . *10-24 . z> h :. (x): (gy). xly:. (jc) : (&у) .ylx:.
[*33-13-131] z> h : (jc) . х е D7: (jc) . х е СГ/:
[*24-14] z>KD7 = V.CI7 = V.z>l-. Prop
*50-32. h . СЧ = V [*50-31. *3316 . *24-27]
*50-33. h:a!/.3.D'/ = V.aV = V.CV = V
Доказательство.
h . *13-171. Transp .Dl-j.^^z.D^/y.V.j:^:.
[*50-11] Dhi.^/z. ^ixJy.V.xJzi
[*33-14] D-.JceD'J (1)
h . (1). *ll-ll-35 . z>h:a!7. z>.jceDV:
[*10-11-21] z>h:g!/. э. (jc) . xeD'J.
[•24-14] d.DV = V (2)
h . (2). *50-21 . z> h . Prop
Гипотеза g ! / в последнем предложении (*50-33) эквивалентна
гипотезе о существовании более чем одного объекта рассматриваемого типа. Это
молено доказать для всех типов, кроме наинизшего. Что касается
наинизшего типа, то мы можем доказать только существование, по меньшей мере,
одного объекта, что и сделано в *24-52. Для следующего типа мы можем
доказать существование, по меньшей мере, двух объектов, а именно Л и
V; согласно *24-1, они различны. Для следующего за ним типа мы можем
доказать существование 22 объектов; для следующего за этим — 24 и т. д.
Но для класса индивидов нельзя доказать, исходя из принятых нами
примитивных предложений, существование более одного объекта в универсуме,
и, следовательно, нельзя доказать g ! /. Конечно лее, мы могли бы
включить в число наших примитивных предложений допущение о
существовании более чем одного индивида, или допущение, из которого бы первое
вытекало, например
(ф,х,у).ф!;с.~ф!;у.
Однако лишь очень небольшое число предложений, которые мы хотели бы
доказать, зависят от данного допущения, и поэтому мы исключили его.
Следует заметить, что многие философы, будучи монистами, отвергают
такое допущение.
*50-34. Kgi/tCls
Доказательство.
h . *20-41. *22-38 . (*24-01-02). z> h . Л, V е Cls.
[*24-1] z>KA#V.A,VeCls.
[*36-13 . *50-11] э h . Л {/ [ Cls) V.
[*10-24] э h . Prop
*50-35. h. g ! J [ Rel [Доказательство аналогично +50-34]
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

402
ГЛАВА 1. ЕДИНИЧНЫЕ КЛАССЫ И ПАРЫ
*50-4. \-.R\I = I\R = R
Доказательство.
h . *341. z> h
[*50-1]
[*13-195]
h . *34-1 . э h
[*50-1]
[*13-195]
Н.(1).(2).э
:x(R\I)z
:x(I\R)z
h. Prop
• = • (ЗУ)
= • (ЗУ)
= .xRz
• = • (ay)
= • (ЗУ)
= .xRz
*50-41. \-:R\PgJ. = .R\PgJ. = .RCiP = A
Доказательство.
h . *341 . *50-11. z>h:.
[*13-196]
[*10-252]
[*ЗЫ1]
[*23-33. *25-51]
[*31-14-24]
[(1)—]
[*34-203]
h . (1). (2). э h . Prop
*50-42. h . I2 = I
Доказательство.
h. *34-5.
[*50-l]
[*13-195]
R\PclJ.
z> h: xl2z
= • (ЗУ) •
= :(x):~
= '• ~ (3*>
='- ~ (3*,
= :ДПР =
е=:Дп£:
. ;c/ty. ylz -
. jc/Jy. у = z -
. JC/}> • }>/?£ -
.x-y .yRz-
xRy.yPz.=>xf
(Ry).xRy.yPx
y) • xRy .yPx:
y) • xRy • xPy :
= A:
= A:
==:/?|Cnv'PG/:
= :^|PG/:
— •(ЗУ)
s • (ЗУ)
= . jc/z ::
.xly.ylz>
,xly.y = z>
D h • Prop
(1)
(2)
>x±z\
(1)
(2)
*50-43. \-:R2aJ. = .RnR = A
[*50-4l£]
z> h : a ! (R П /). == .
(а*,у)-*Ду-*=у-
(a*) - *я* .
. (a*).*/?2*.
,(а*,у).*д2у.*=у.
Данное предложение потребуется в теории серий. "RHR = A"
характеризует асимметричное отношение.
♦50-44. h: а ! (ЯП/). z>. g ! (R2 П/)
Доказательство.
h . *23-33 . *50-1
[*13-195]
[*34-54]
[*13-195]
[*23-33. *50-1]
I-:/?2gJ.d./?g/
\-:RnR = A.z>.RGj
\-:.R2clJ.z>:RgJ. = .R2gJ.=
Доказательство.
Ь.*23-44. э1-:.Нр.з:Дс/.з.Д2С1/
h . (1). *50-45-43 . z> h . Prop
Данное предложение используется в теории серий. Если R
отношение, то R2gR и RclJ.
*50-45
*50-46
*50-47
z>. а ! (Л2 П /) : z> h . Prop
[*50-44.Transp.*25-311]
[*50-43-45]
дпд = А
(1)
сериальное
Principia Mathematica I

*50. ТОЖДЕСТВО И РАЗЛИЧИЕ КАК ОТНОШЕНИЯ
•50-5. h.a1/ = /fa = a1/fa
Доказательство.
К*35-1 . з1-:jc(a11)y. ^.xea.xly.
[•50-1] = . jcea. jc = }> .
[•13-193] =.уеа.х=у.
[•50-1] = .xly.yea.
[•35-101] =.х(1\а)у (1)
h.(l).*23-5.z>h.a1/ =а1/П/Г<х
[•35-11] =а1/Га (2)
h . (1). (2). z> h. Prop
•50-51. h . Cnv'(a 17) = a 1 / [*35-51. *50-2-5]
•50-52. h . D'(a ] [) = d'(a 1 /) = C\a \ 7) = a
Доказательство.
h . *35-61. э V . D'(a 17) = a n D7
[•50-31] = a П V
[•24-26] = a (1)
Аналогично h . CT(a 1 /) = a (2)
K(l).(2).*33-18.z>h.Prop
•50-53. h . a 1 / Г p = (a П P) 1 / = / Г (a П P)
Доказательство.
V . *35-21. *50-5 .z>h.a1/rP = a1(P17)
[•35-32] =(anp)1/ (1)
h . (1). *50-5 . z> h . Prop
•50-54. h.(a1/)2 = a1/
Доказательство.
h . *50-5 . z> h . (a 1 7) 2= (a 1 7) | (7 \ a)
[•35-12] =а172Га
[•50-42] =a1/ta
[•50-5] = a 1 7. z> h . Prop
•50-55. H:anp = A.-.aTpG7
Доказательство.
h . *24-37 . *50-ll. z>
h:.(anp) = A. = :jcea.^ep. зло,. jt/y:
[•35-103] = . a T P G J:. z> h . Prop
•50-56. h:a !(anp). = .a !{(аТР)П7)
Доказательство.
h . *50-55 . Transp. *24-54 . э
h a!(anp). =~{aTpGJ).
[•25-55] =.й!(аТР)-^
[•23-831. (*50-02)] = . g ! {(a T P) П 7}: э h . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

404
ГЛАВА 1. ЕДИНИЧНЫЕ КЛАССЫ И ПАРЫ
*50-57. \-.Ina]R = lnR\a = lna]R\a
Доказательство.
h.*35-16. z>\-.Iha]R=a]InR
[*50-5] =I\anR
[*35-17] =lnR\a (l)
[*50-5] = a]I\anR
[*35-16-17-21] =lna]R\a (2)
h.(l).(2).z>h.Prop
*50-58. \-:a]RGj. = .R\aaJ. = .a]R\acLj
Доказательство.
h . *50-57 . z>\-iina]R = A. = .lnR\a = A. = .lna]R\a = A (l)
h. (1). *50-41. z> h . Prop
*50-59. К(/Га)"р = аПр
Доказательство.
*50-6.
K*37-412. z>h.(/ra)"P
[*50-16]
\-.R\(I\a) = R\a
Доказательство.
*50-61.
h.*35-23. z>h./?|(/ra):
[*50-4]
\-.I\a\R = a]R
Доказательство.
*50-62.
*50-63.
*50-64.
*50-65.
*50-7.
*50-71.
*50-72.
*5073.
*50-74.
K*35-354. 3h./fa|i?=
[*50-4]
h:<J'R<za.z>.R\(I\a)=R
\-:DiR<za.z>.I\a\R = R
h . R | (/ \ СГД) = R | (/ \ C'R) = R
\-.I\(D'R)\R = I\(CiR)\R = R
\-i<JiR<za.z>.R\4\a = R
\-:DiR<za.z>.\RiI\a = R
\-.R\V\C'R) = |RV \C'R) = R
\-.R\4=\R4 = R
\-.R\\I = R\
=Г'(аПр)
= a П p. з h • Prop
= (R\D\a
=R \ a. z> h. Prop
--I\(a]R)
= a 1 R. z> h . Prop
[*50-6. *35-452]
[*50-61. *35-451]
[*50-62 . *22-42 . *33-161]
[*50-63 . *22-42 . *33-161]
[*50-62 . *43-ll]
[*50-63.*43-lll]
[*50-7-71]
[*50-4. *43-ll-lll]
Доказательство.
h . *43-112 . z> h . (R || T)'Q=R \Q\I
[*50-4] =R | Q
[*43-ll] =R\'Q (1)
h . (1). *30-41. z> h. Prop
*50-75. К/||Д=|Д [Аналогично *50-74]
*50-76. \-:P\=R\. = .P = R
Доказательство.
I-. *34-27 . *30-41 .эН:Р = Л.э.Р| = Л| (1)
h . *50-73 . *30-36 . z>\-:P\ = R\.z>.P = R (2)
h.(l).(2).z>h.Prop
*50-761. \-:\P = \R. = .P = R [Аналогично *50-76]
Principia Mathematica I

*51. ЕДИНИЧНЫЕ КЛАССЫ
405
*51. Единичные классы
Краткое содержание *51.
В настоящем параграфе мы вводим новую дескриптивную функцию i'jc,
означающую "класс термов, идентичных терму jc", или, что то же самое,
"класс, единственный элемент которого есть jc". Таким образом,
Сх = у(у = х).
Но y(y = x)=l 'jc. Поэтому требуемое будет обеспечено следующим
определением:
*5101. i=7 Df
Что касается обозначений, можно подумать, что / настолько же
действенно, как l, и что данное определение излишне. Но нам еще потребуется
обратное отношение, а "Cnv'7"- недостаточно удобный символ.
Предложения настоящего параграфа в дальнейшем постоянно
используются. Следует заметить, что класс, состоящий из элементов jc и у, есть
i'jc U Су, класс, состоящий из jc, у и z, есть i'jc U Су U Cz, класс, полученный
присоединением jc к а, есть а и i'jc, и, наконец, класс, полученный
удалением jc из а, есть а - i'jc. (Если jc не принадлежит а, последнее равно а.)
Различие между jc и i'jc — одно из достижений символической логики
Пеано, а также Фреге. Если принять за основу нашу теорию классов,
необходимость такого различия становится совершенно очевидной. Но даже не
опираясь на нее, можно прийти к такой необходимости путем следующего
рассуждения. Пусть а —класс; тогда класс, единственным элементом
которого является а, имеет только один элемент, а именно а, в то время
как а может иметь много элементов. Следовательно, класс, единственным
элементом которого является а, не может быть идентичен классу а197.
Наиболее значимыми предложениями настоящего параграфа являются
следующие.
*5115. h : у е i'jc . = . у = х
*5116. Kjcei'jc
*51-2. h: jcea. = . i'jcca
Значение последнего предложения заключается в том, что оно дает нам
возможность заменить принадлежность классу (jcea) включением в класс
(i'jc с а).
♦51-211. b:jc~ea. = .i'jcna = A
*51-221. b:jcea. = .(a-i'jc)Ui'jc=a
+51-222. b:jc~ea. = .a-i'jc = a
*51-23. Ь : i'jc = Су. = . у е i'jc . = . jc € Су. = . jc = у
*51-4. h : g ! а . а с l'jc . = . а = l'jc
Т. е. существующий класс, содержащийся в единичном классе, должен
совпадать с единичным классом. Из данного предложения будет следовать,
что 0 — единственное кардинальное число, меньшее 1.
197 Данное рассуждение принадлежит Фреге. См. его статью "Kritische Beleuchtung
einiger Punkte in E. Schroder's Vorlesungen uber die Algebra der Logik", Arehiv fur Syst.
Phil, vol. I, p. 444 (1895).
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

406
ГЛАВА 1. ЕДИНИЧНЫЕ КЛАССЫ И ПАРЫ
«51-51. h:a = i'jc. = . jc = l'cx. = . jcla
Применение Гак классам аналогично применению (ис) (ф^) к
функциям; "Га" означает "единственный элемент а".
*51-59. h : \|/ {Г z (фг)}. =. у (ис) (фх)
*5101.
*511.
i=7 Df
h:aijc. = .
Доказательство.
*51 11.
*5112.
*5113.
*51 131.
*5114.
*51141.
*5115.
*5М6.
*51161.
*5117.
h. *4-2 .
[*32-1]
[*50-1]
\-:Сх = у(у
h . Е ! Г*
Ь : a = l'jc- =
h:atx.=.
h:. a = l'jc.
Ь :.cx = l'jc.
h : у el'jc.=
Ь . jc€l'jc
h . g ! l'jc
h.Q4 = V
Доказательство.
a = y(y = x)
*51-01. 3h:cujc
= *)
= .a=y(y = x)
a = l'jc
= :yea.=y.y = x
= : a ! а: у e а. з3
.y = *
h . *51-1. *20-2 .
[*10-24]
[*33-131]
[•10-11]
f*24-14l
=
=
>-y =
z»h
z>h
z>h
z>h
z>h
. а I jc.
- CL=y(yIx).
• ct=y(y = jc):Dh. Prop
[*30-3. *51-1]
[*51-11.*14-21]
[*20-57-2.*51-ll]
[*51-1-13]
[*51-13. *20-33]
= Jc: = :jcea:yea.Dy.y
[*51-14. *14-122]
[*51-ll.*20-33]
[*51-15. *13-15]
[*51-16. *10-24]
- {y(y = x)}ix.
. (3 a). a i jc .
. JceCTi.
. (jc). jced'i.
.CI'l = V
y = x
Последнее предложение используется в теории выборок (*83-71).
*51-2. h: jcea. = . l'jc с а
Доказательство.
Ь. *13-191 .3h:.jc€a. = :y = jc.Dy.yea:
[*51-15] = : у € l'jc . 3^ . у е a :
[*22-1] = : l'jc с a :. э h . Prop
Последнее предложение показывает, как заменить принадлежность
классу включением в класс; например:
Сократ — человек . =. класс термов, идентичных Сократу,
содержится в классе людей.
До Пеано и Фреге отношение принадлежности (е) считалось лишь
частным случаем отношения включения (с). Поэтому в традиционной
формальной логике предложения типа " Сократ — человек" считались
примерами универсального аффирматива198 А: "Все S суть Р", что в наших
198 иначе говоря, общеутвердительного суждения. — Прим. перев.
Principia Mathematica I

♦51. ЕДИНИЧНЫЕ КЛАССЫ
407
обозначениях записывается как "ас|3". Это приводило к смешению
фундаментально различных типов предложений, что в значительной мере
препятствовало развитию и использованию символической логики. Но с
помощью последнего предложения («51-2) мы всегда можем получить
предложение о включении (а именно "l'jcс а"), эквивалентное некоторому заданному
предложению о принадлежности классу ("jtea").
«51-21. Ь. jc~ea-i'jc
Доказательство.
h . «22-33-35 .^hrjcea-l'jc. = .jcea.jc~e l'jc.
[*3-27] D.jc-ei'jc (1)
h . (1). Transp. «51-16 . => h. Prop
«51-211. h:jc~ea. = .i'jcna = A
Доказательство.
h . «24-39 . з h :. l'jc П a = Л. = : у е l'jc. эу . у ~ e a :.
[*51-15] = :y = jc.Dy.;V~€a:
[«13-191] =:jc~ea:.z>l-. Prop
*51 22. h : a П l'jc = Л. a U l'jc = p . = . x e p . a = p - l'jc
Доказательство.
h . «24-47 . z>
h : a П l'jc = Л . a U l'jc = p. = . l'jc с p. a = p - l4jc .
[*51-2] =.jc€p.a = p-L'jc:=>h. Prop
«51-221. h:jcea. = .(a-L'jc)UL'jc = a
Доказательство.
I-. «51-2 . э Ь : jc e a . = : l'jc с a.
[*22-62] =.L'jcUa = a.
[«22-91] = . (a - l'jc) U l'jc = a: э h . Prop
«51-222. b:jc~€a. = .a~L'jc = a [«51-211. «24-313]
«51-23. h : l'jc = Cy . =. у e l'jc . =. jc e Cy. =. jc = у
Доказательство.
h . «20-31. «51-15 . z>
h:.L'jc=L'y. =:z = x.=z .z = y:
[«13-183] = :jc = ;y: (1)
[*51-15] =:jc€L'y: (2)
[(1). «13-16] = :yel'jc (3)
K(l).(2).(3).z>l-.Prop
«51-231. \-:СхПСу = А. = .хфу
Доказательство.
h . «24-311 . э Ь :. l'jc П L'y = Л . = : l'jc с - Су:
[*51-15] =:z = JC.3z.z#y:
[«13-191] =s:jc^y:.z>KProp
«51-232. h :. z e (l'jc U Cy) . = :z = x.V.z = y [«22-34 . «51-15]
Данное предложение утверждает, что элемент класса l'jc U Су — это либо
jc, либо у, и наоборот, т. е. l'jc U Су — это класс, единственными элементами
которого являются jc и у.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

408
ГЛАВА 1. ЕДИНИЧНЫЕ КЛАССЫ И ПАРЫ
z = jc. v .z = у: зг. фг:.
(z):. z = х. з. фг: z = у • => • фг:
z = л - зг. фг: z = у - зг. фг:.
фл. фу::. з1- .Prop
♦51-233. h :: a = i'jc U Су. з:. (z):- z e а. = : z = x. V . z = у
[♦51-232 . ♦10-11. *20-18]
♦51-234. h:: а = i'jc U Cy . з :. z e а. зг. фг: = . фJC . фу
Доказательство.
h. +51-233 . з h ::. Нр . з:: z € а. зг. фг: =
[♦4-77] =
[•10-22] s
[♦13-191] =
+51-235. Ь :: а = i'jc и Су . э :. (gz) • z € а . фг. = : фд:. V . фу
Доказательство.
Ь . +51-233 . з
h :: Нр . з:. (gz). z € а. фг. = : (аг): z = *. V . z = у: фг:
[*4-4] =: (gz) :г = х.фг^.г = у.фг:
[♦10-42] = : (gz): z = *. фг. V . (gz) . z = у: фг
[♦13-195] = : фд:. V .фу :: з h . Prop
♦51-236. h:.zeL<jcUp. = :z = JC.V.zep [+22-34.+51-15]
♦51-237. Ь :: а = i'jc U р. з :. (z):. z е а. = : z = jc . V . z e p
[*51-236 . +1011. *20-18]
♦51-238. h::a = L'jcUp.3:.zea. зг .фг: = :фд::г€р.зг .фг
Доказательство.
h . *51-237 . з Ь ::. Нр . з :: z € a . зг . ф z: =
[+4-77] =
[+10-22] =
[+13191] =
*51-239. b::a = i'jcUp.
Доказательство.
h. *51-237. з
h :: Нр . з :. (gz) . z e a . фг. = : (gz) :z = JC.V.zep^z:
[*4-4] =: (gz): z = x. фг. V . z e p. фг:
[+10-42] = : (gz). z = *. фг. V . (gz). z e P . фг:
[+13-195] = : фд:. V . (gz).zep. фг:: зh . Prop
♦51-24. h:.i'yci'jcUp. = :y = JC.V.yep
Доказательство.
h. *51-236 . з
h :: t'y с i'jc U p . = :. z € I'y. зг : z = JC. V . z € p :.
:. Z = JC. V . z e p : зг . фг:.
:- (z):. z = x. з. фг: z e p. з. фг:.
= :. z = jc . зг. фг: z € p. зг. фг:.
= :. фд:: z € p . зг . фг::- з h . Prop
(gz) - zea. фг. s : фд:. V . (gz).ze p. фг
[*51-15]
[+13-191]
+5125.
+513.
= :z = y.3z:z = JC.V.zep:.
= :.у = д:.\/.уеР::з1-. Prop
h:act'jcUp.JC~ea.3.acP [*51-211 . *24-49]
h:yea.y^jc. = .yea-i'jc [+51-15 .+22-33-35]
Principia Mathematica I

*51. ЕДИНИЧНЫЕ КЛАССЫ
409
«51-31. I-: з ! а П l'jc . ==. l'jc с а . = . а П l'jc = l'jc . = - х е а
Доказательство.
h . +22-33 . *51-15 . э h : а ! а П l'jc . = . (gy). у е а . у = х.
[*13-195] =.jcea. (1)
[*51-2] =. l'jc с а (2)
[*22-621] = . l'jc = l'jc Па (3)
h . (1). (2). (3). э h . Prop
*51-34. I-: jc e a . = . - а с - l'jc [*51-2 . *22-81]
*51-35. h:jc-ea. = .L'jcc-a [*51-2 . *22-35]
*51-36. I-: jc ~ е а. = . а с - l'jc [*51-35 . *22-811]
♦51-36 используется довольно часто.
*51 37. h . a = х (l'jc с a) [*51-2 . *20-33]
*51-4. h : g ! a . a с l'jc . =. a = l'jc
Доказательство.
h.*24-5 .*51-15 .эЬг.а ! a. a с l'jc . = : (gy) .y ea :y ea. э^ . у = х:
[♦14-122] =:yea.=y.y = x:
[*51-11 . *20-33] = : a = l'jc :. э h . Prop
♦51-401. h :.acL'jc. = :a = A. V .a = L'jc
Доказательство.
h . +51-4 . *5-6 . э h :. a с l'jc . з: a = Л . V . a = l'jc (1)
h . *24-12 . *22-42 . => h :. a = Л . V . a = l'jc : э . a c l'jc (2)
h . (1). (2). z> h . Prop
Последнее предложение показывает, что единичные классы являются
наименьшими существующими классами.
*51-41. h : l'jc U Су = l'jc U Cz . = - у = Z
Доказательство.
h . *20-2 . *13-13 . z> h : у = z. э . l'jc U Cy = l'jc U Cz (1)
h . *22-58 . э h :. l'jc U Cy = z = l'jc U Cz . з : Су с l'jc U Cz . Cz с l'jc U Cy:
[+51-16-232] D:y = JC.V.y = z:z = Jc.V.z = y:
[*13-16. *4-41] D:y = JC.z = Jc.V.y = z:
[*13-172 . *2-621] =>:y = z (2)
h.(l).(2).z>h.Prop
Следующие два предложения являются леммами для +51-43.
*51-42. h :. l'jc U Су = Cz U Cw. э : jc = z. у = w. V . jc = w. у = z
Доказательство.
h . *51-232 . э
h :: l'jc U Cy = Cz U Cw. = :. a = jc . V . a = у: =a : a = z . V . a = w:.
[*10-1] z>:.jc = jc.v.jc = y: = :jc = z.v.jc = w:.
[*13-15] z>:.jc = z. V.jc = w:. (1)
h. *20-2 . *13-13 . э h : l'jc U Cy = Cz U l'w . jc = z - э. l'jc U L'y = l'jc U l'w .
[*51-41] z>.y = w (2)
Аналогично h : l'jc U Cy = Cz U l'w . jc = w. э . у = z (3)
h.(l).(2).(3).z>h.Prop
♦51-421. h :. jc = z . у = w. V . jc = w. у = z: з . l'jc U Cy = l'z U l'w [*51-41]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

410
ГЛАВА 1. ЕДИНИЧНЫЕ КЛАССЫ И ПАРЫ
♦51-43. Ь:. i'jc U Су = l'z U i'w . = : x = z. у = w. V . x = w. у = z
[*51-42-421]
Все последующие предложения имеют дело с I, т. е. с отношением
единственного элемента единичного класса к этому классу. Если а
—единичный класс, то Га — его единственный элемент. Классы (ис)(ф*) и Г2(фг)
тождественны, если только один из них существует, и любое предложение
с одним из них эквивалентно аналогичному предложению с другим.
«51-51. h:a = i'jc. = .jc = i'a. = .jcia
Доказательство.
h. *51-131 . *31-11. зЬ : a = Г*. = .хГa (1)
Ь. (1) .зЬ : jcia .дча. з .a = i'jc. a = i')>.
[*51-23. *20-57-2] 3.jc = )> (2)
Ь. (2) .Exp. +10-11 . *4-71 .^\-:.xia. = :xia:yla.^y.x = y:
[*30-31] = :jc = i'a (3)
Ь . (1). (3). з Ь . Prop
*51-511. b.i'i'jc = jc f*51-51— .*20-2]
a
*51-52. h : E ! Г a. = . a = ГГ a [*51-51— . *14-21-18l
x
*51 53. h : E ! Г a . = . V a e a [*51-52-16 . *14-21-18]
*51-54. h : E ! Г a. = . (gjc). a = i'jc [*51-51. *14-204]
*51 55. h : E ! Г a . = . E ! (ijc) (jc e a)
Доказательство.
h . +51-54-14 . з h :. E ! Г a . = : (gjc): у e a . =y . у = x:
[+14-11] = : g ! (ijc) (jcea) :. з h . Prop
*51-56. h : b = Г у (фу) . = . у (фу) = СЬ = (ijc) (ф*)
Доказательство.
У(фу) = М: (1)
фу.=у.у = Ь:
Ъ = Ьх)(фх) (3)
Н.*51-51.эН:.Ь = Гу(фу). =:
[*20-15.*51-11]
[*14-202]
h.(l).(2).3h.Prop
*5157. ^:Е\1'НФУ)' = ^У(ФУ) = Ы)(фх). = .Е\(1х)(фх)
Доказательство.
h . *14-204 . *51-56 . з Ь : Е ! Г у (фу). = . Е ! (ijc) (фх) (1)
|-.*14-205.зЬ:(ис)(ф;с) = Г5>(Ф>'). = . (а Ь) .Ъ = Ьх)(фх) .Ь = Г у(ф}0.
[*51-56 . *4-71] = . (а fc). Ь = (ijc) (фх).
[*14-204-13] = . Е ! (ijc) (фх) (2)
h.(l).(2).3h.Prop
♦51-58. h:E!i'a. = .t'a = (ijc) (jc e a) [*51-57 . *20-3 . *14-272]
*51-59. h : \|/ {Г z ^z)}. = . \|/ (ijc) ^jc) [*51-56 . *14-205]
Principia Mathematica I

*52. КАРДИНАЛЬНОЕ ЧИСЛО 1
411
*52. Кардинальное число 1
Краткое содержание *52.
В настоящем параграфе мы вводим кардинальное число 1,
определяемое как класс всех единичных классов. Тот факт, что определенный таким
образом символ 1 есть кардинальное число, на настоящий момент
нерелевантен и, конечно же, не может быть доказан, пока не определено
понятие "кардинальное число". Поэтому пока следует считать 1 просто классом
всех единичных классов, где единичные классы есть классы вида Сх для
некоторого jc.
Так же, как Л и V, символ 1 имеет неопределенный тип: он
обозначает "все единичные классы рассматриваемого типа". Символ "1(a)", где
а —это тип, будет означать "все единичные классы, единственные
элементы которых принадлежат типу а" (ср. *65). Таким образом, например,
"§€ 1 (Indiv)" будет означать "| является классом, состоящим из одного
индивида", если "Indiv" обозначает класс индивидов.
Свойства 1, доказываемые в настоящем параграфе, можно назвать
логическими в противоположность арифметическим, так как они связаны
не с арифметическими операциями (сложением и т.д.), которые можно
применять к 1, а с отношением 1 к единичным классам. Арифметические
свойства 1 будут рассмотрены позже, в части III.
Перечислим наиболее часто используемые предложения настоящего
параграфа.
♦5216. h:.ael. = :g !a:jc,vea. э^у . jc = y
Т. е. a — единичный класс тогда и только тогда, когда он не пуст, и все
его элементы тождественны друг другу.
*52 22. b.i'jcel
*52-4. h :. а е 1 U ь'Л . = : jc, v e a . ^ху . jc = у
Мы определяем 0 как ь'Л. Таким образом, предыдущее предложение
утверждает, что класс имеет один элемент или ни одного тогда и только
тогда, когда все его элементы тождественны друг другу.
♦52-41. h :g !a.a~€l. = . (gjc,у).x,yea .хФу
Последнее предложение получено транспозицией *52-4, т. е. отрицанием
обеих частей эквивалентности.
*52-46. Ь :. а, р е 1. з : а с р. н . a = р. = . g ! (а П р)
Т. е. два единичных класса тождественны тогда и только тогда, когда
один содержится в другом, и тогда и только тогда, когда они имеют общую
часть.
*52 01. l = ct{(3jc).a = i'jc} Df
*52 1. h : a e 1. = . (gjc). a = i';c [*20-3 . (*52-01)]
*52-ll. hr.ael . = : (gjc) :yea . =y .y = x [*52-l . *51-14]
A.H. Уайтхед, Б.Рассел

412
ГЛАВА 1. ЕДИНИЧНЫЕ КЛАССЫ И ПАРЫ
*5212.
Н:2(фг)б1.з.я!(ис)(фх)
Доказательство.
*5213.
Н.*5М1.эН:.2(фг)б1.
[*20-3]
[•14-11]
h.l. = D4
Доказательство.
*5214.
*5215.
*5216.
*5217.
♦52171.
♦52172.
*52173.
*5218.
= :fax):yez(<^z).=y
= = fax):
ФУ-=у
-У = х
-У = х
= : 3 ! (ijc) ^jc) :. з h . Prop
Ь . *51*131. зh : a = l'jc. = . аix:
[*10-11-281]зЬ:(д*)
[*52-1] z>h:a€l
[*33-13]
h.l. = L"V
h:ael. = .E!L'a
h:.ael. = :E!a:jc,;yea.3:
h:ael. = .i'a = (ijc) (jc e a)
h:a€l. = .E!(uc)(jcea)
h : a € 1. = . l'l' a = a
h:ael. = .i'aea
h :. a e 1. = : (gjc) : x e a : у e а
Доказательство.
[
^
♦52-181.
*52-2.
■. +51-141 . з Ь:. (a*). a = l'jc.
-.(l).*52-l.z>h.Prop
h :. a ~ e 1 .eijceod^. fay).
h . 1 с Cls
Доказательство.
«52-21.
. а = l'jc . =
. = . (3*) . <
= .aeD4:
w-x = y
:. зу . у = jc
. (gjc) .ala
DtLJC
3 h. Prop
[*52-13.
[*51-54.
[*52-15 .
[*51-58.
[•51-55 .
[*51-52 .
[*51-53.
. *37-28]
■ *52-l]
. *51-55 . *14-203]
. *52-15]
. *52-15]
. *52-15]
. *52-15]
= : fax) :xea 1 yea. ^y.y = x
уеа.уфх
h . *52-l . з h : a e 1 3 . (gjc). a = l'jc .
[•51-11] 3.(g;jc).a = 2(z = jc).
[*20-54] э.(Ях,ф).2(ф!г) =
[*10-5] з. (а ф).
[*20-4] 3.a€Cls
l-.A~el
Доказательство.
*5222.
*5223.
h.*51-161. 3h
[*24-63] 3 h
a = 2 (Ф ! z)
: 3. Prop
:.a€ 1. за .
:A~el
h . L'jce 1 [*51-12 . *14-28 . *10-24 .«
h.g! i.g !-i
Доказательство.
*52-24.
h . *52-22 . *10-24 . 3 h .
[*20-54] зЬ.
[*10-5] 3h.
h . *52-21 . *22-35 . 3 h .
[*10-24] 3h.
h.(l).(2). 3h.
h.l^AnCls.l^VnCls
fax). L'jce
(3*,a).a =
((ga)).ae
Ae-1.
((3a)).ae
Prop
[*52-23
[*52-18. *10-51]
z (z = x). a
3 ! a :
^52-1]
1.
= l'jc . a e 1.
1
-1
= 2(ф!г)
. *24-54 . *24-17 . Transp]
(1)
(1)
(2)
Principia Mathematica I

*52. КАРДИНАЛЬНОЕ ЧИСЛО 1
413
*52-3. h.i"acl
Доказательство.
h . *52-22 . *2-02 . з h : у е а. з . i'y e 1:
[*51-12 . *10-11. *37-61] з h . i"a с 1
♦52-31. h : к с 1. = . (аа). к = i"a
Доказательство.
h.*52-14.z>h:Kcl. = KCL"V.
[*37-66 . *51-12] = . (да) • а с V . к = i"a.
[*24-11] = . (да) • к = i"a: з Ь. Prop
*52-4. h :.ael Ui'A . = :x,yea. з*тУ . jc = >>
Доказательство.
h . *52-16 . *24-54 . з
h :. a £ 1. = : a ^ A : jc, >> £ a . з*т>, . x = у:.
[*4-37] Dh::ael.V.a = A: = :.a = A:. V i.a£A:x,yea.^Xty.x = y:.
[*5-63] = :. a = A : V : jc, >> £ a . з*тУ .x = y (1)
h . *24-51 . *10-53 . *ll-62 . зЬ:.а = А.з:*,;у£а. ^Xty.x = y (2)
h. (1). (2). *4-72 . Dl-::ael.V.a = A: = :. х,уеа.^ХуУ .x = y (3)
h . (3) .*51-236 . зЬ.Ргор
Последнее предложение довольно часто бывает полезно. Мы определяем
число 0 как l'A; таким образом, предыдущее предложение утверждает, что
класс имеет один элемент или ни одного тогда и только тогда, когда все
его элементы тождественны друг другу. Очевидно, что х, у е а. зло, . х = у
не влечет за собой а ! а и, таким образом, оставляет для а возможность
не иметь ни одного элемента.
♦52-41. b:g!a.a~£l.= . (gjt,;y). х,уеа. хфу
Доказательство.
К*24-54.зЬ:.
[*4-56]
[*51-236]
[*52-4 . Transp]
[*11-52]
♦52-42. h:.a£l.z>:
Доказательство.
Ь. *51-31.
[*20-53]
[*10-11-28]
[*10-37]
h . (1). *52-1
h. *52-16 .
Ь.(2).(3).
z>h:
зЬ:
z>h
зН
g!a.a~£l. = :a^A.a~£l:
~ {a £ 1 . V . a = A}:
- (a £ 1 U l'A) :
~{x,yea.z>Xy.x = y]
(g*»}0 • x* У e a • x Фу:. з h . Prop
g !anp. = .anp£l
. g ! l'jc П p. = . l'jc П P = l'jc :.
. a = i'jc. з : g ! aП P . = . aП p = i'jc:.
:. (gjc). a = i'jc. з : (g*): g ! aПp. = . aП p = i'jc:
з: g ! a П p. з . (gx). a П p = i'jc
.a£l.3:g!anp.3.anp£l
3h:anp£l .з.д!anp
з h. Prop
*52-43. h:a£l.g!anp. = .a£l.anp£l
(1)
(2)
(3)
[*52-42. *5-32]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

414
ГЛАВА 1. ЕДИНИЧНЫЕ КЛАССЫ И ПАРЫ
♦52-44. Ь :. а € 1. з : а !аПр. = .аср. = .аПр = а
Доказательство.
Ь . *51-31. э h : а ! l'jc П р . = . l'jc с р:
[+13-13 . Ехр] з h :. а = l'jc . з : а ! а П р . = . а с р:.
[♦10-11-23] з Ь:. (a*). а = i'jc . з : a ! ct П р. = . а с р :.
[*52-1] эЬ:.ае1.э:а!аПр. = .аср (1)
Ь . (1). *22-621. зЬ.Ргор
*52-45. Ь::а, ре1.з:.асриу. = :а = р.У.асу
Доказательство.
К*51-236^^.з
z, *, Р
h :. хе Су U у • = : х = У • V . хеу :.
[+51-2-23] з h :. l'jc с Су U у . = : l'jc = Су. V . l'jc с у :.
[+13-21] з h :: а = l'jc. р = Су . з :. а с р U у . = : а = р. V . а с у ::
[*11-11-35] з h :: (a *, >0 • а = l'jc. р = Су. з :. а с р U у. = : а = р. V . а с у (1)
Ь.(1).*52-1.з1-.Ргор
*52 46. h :. а, р€ 1 . з: а с р. = . а = р. = . a ! (а П р)
Доказательство.
Ь . *51-2-23 . з Ь : l'jc с Су. = . l'jc = Су (1)
h . (1). *13-21. з h :. а = l'jc . р = l'^ . з: а с р. = . а = р (2)
Ь . (2). *11-11-35 . *52-1 .зЬ:.а,ре1.з:аср. = .а = р (3)
Ь . (3). *52-44 . з h . Prop
*52-6. Ь :. а € 1 .3:jc€a. = .L'jc = a. = .jc = t'a
Доказательство.
h . +51-23 . з h : jc e l'^ . = . l'jc = l'^ :
[*13-13 . Exp] з h :. a = Cy. з : jc e a . = . l'jc = a :.
[*10-11-23.*52-1]з1-:.а€1. 3:jcea. = .l'jc = cx. (1)
[*51-51] =.jc = t'a (2)
h . (1). (2). з h . Prop
♦52-601. h ::ael .з :.ф(Га). = : jcea.3^ . ф;с: = : (a*). JC€a . ф;с
Доказательство.
h . *52-15 . з h :. Hp . з : E ! V a : (1)
[*30-4] 3:jct'a. = . jc = Г a.
[*52-6] =.jcea (2)
h . (1). *30-33 . з
h::Hp .з:.ф(Га).= : jcta. з* . ф;с: = : (a*). jcta. ф jc (3)
h . (2). (3). з h . Prop
+52-602. h :. z (фг) e 1 . з : \|/ (ijc) (фJc). = . ф;сзг\|/;с. = . (a*). фл:. \|/jc
[*52-12 . *14-26]
JC€p.
*52 61. 1-:.ае1.з:Г'аер. = .аср. = .а!(аПр) [*52-601
фJC
Principia Mathematica I

*52. КАРДИНАЛЬНОЕ ЧИСЛО 1
415
*52-62. h :. а, р е 1. z>: а = р . = Л' а = Г р
Доказательство.
К*52-601.эЬ::Нр.з:Л'а = Гр. = : Jcea . z>x . x = V p:
[*52-6] =:jcea.3x.jc€p:
[*52-46] = : а = р :: z> h . Prop
*52-63. h:a,pel.a/p.z>.anp = A [*52-46 . Transp]
*52-64. h:ael.z>.anpelUL'A
Доказательство.
I-. +52-43 . z>h:Hp.a!anp.z>.anpel:
[*5-6 . *24-54] Dh:.Hp.z>:anp = A.V.anpel:
[♦51-236] э : a П p e 1 U l'A :. z> h . Prop
*52-7. h:.p-ael.ac£.£cp.z>:£ = a.V.£ = p
Доказательство.
h. *22-41.
h. *24-55.
1-. *22-48.
h.(2).(3).
h. *52-l.
h.(4).(5).
[*24-411]
. h.(l).(6).
Dh:Hp.^ca.D.^ = a
Dh:~gca).D.g!^-a
зЬгНр. э.^-acp-a
Dh:Hp.-gca).D.g!^-a.^-acP-a
z> h : Hp . z>. (3*) . P - a = Cx
*51-4 .z>h:Hp.~(|ca).i>.|-a = p-a.
Dh,
з.^ = Р
.Prop
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

416
ГЛАВА 1. ЕДИНИЧНЫЕ КЛАССЫ И ПАРЫ
*53. Различные предложения о единичных классах
Краткое содержание *53.
Предложения, представленные в настоящем параграфе, большей частью
таковы, что их естественнее было бы сформулировать раньше, однако это
было невозможно, поскольку они включают единичные классы. Следует
отметить, что CxUCy представляет собой класс, состоящий из элементов
х и у, в то время как i'jc T ь'у — отношение, имеющее место только
между х и у. Если аир суть классы, то I'aLU'p — класс классов, состоящий
из элементов аир. Если R и S суть отношения, то CR T i'S — отношение
отношений; и т.д.
Открывается параграф установлением связей между произведениями и
суммами /?'к, л'к, р% i'X. в случаях, когда элементы классов к и А.
определены, и произведениями и суммами аПр, аир, RC\S, ROS. Мы имеем
♦5301. Ь./А'а = а
♦531. Ь . р'(Са U i'p) = а П р
*53 14. h . р\к U i'a) = /?'к П а
и аналогичные предложения для s, p, s.
Далее следует ряд предложений о суммах и произведениях классов
единичных классов. Наиболее важное из них
+53-22. h..s4"a = a
Далее следует предложение, показывающее, что сумма к пуста тогда
и только тогда, когда либо класс к пуст, либо его единственным элементом
является пустой класс, т. е.
♦53-24. h :. я'к = Л . = : к = Л П Cls . V . к = С А
(Здесь мы пишем "AnCls", чтобы показать, что данное "Л" имеет тип,
непосредственно следующий за типом двух других Л.)
Далее следуют различные предложения об отношениях a'jc, R'x и Я"а
в различных случаях, сначала для общего отношения Я, а затем для
частного отношения s, определенного в *40. Чаще всего используются три из
этих предложений, а именно:
♦53 3. l-:E!/?'jc. = .^'jcel
♦53-301. Ь.Д'Ч'*=^'л;
♦53-31. h : Е ! R'x. э . Д'4'jc = CR'x=~Й'х
Остальные предложения параграфа обладают значительно меньшей
значимостью, и их редко придется цитировать.
♦53-01. b./A'a = a
Доказательство.
h. +40-1 . 3h:.JC€/A'a.
[*51-15]
[♦13-195]
Principia Mathematica I
pei'a. зр . jc€p:
p = a. зр . x e p :
jc€a:.3h .Prop

*53. РАЗЛИЧНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ О ЕДИНИЧНЫХ КЛАССАХ 417
+53-02.
h . scCa = a
Доказательство.
+5303.
+5304.
*531.
h. +40-11
[+51-15]
[+13-191]
\-.p'CR = R
t-.s\'R = R
h . р'(1'а U l'B) :
Dhrjce^'i'a. = . (gp) . pei'a. jce|3 .
г.(ЯР).р = а.«р.
= . x e a : з h . Prop
[Доказательство аналогично +53-01]
[Доказательство аналогично *53-02]
/р) = а П р
Доказательство.
h . *40-18 . z> h . /?'(l'cx U i'p) =p'i'a П /A'p
[*53-01] = a П p. => h . Prop
Данное предложение может быть распространено также на i'a U i'p U Су
и т. д. Оно выявляет связь (для конечных классов классов) между
произведением р'к и произведением элементов а П р П у П ... .
*53-11. b.j'(i/cxui'p) = aup
Доказательство.
Ь . +40-171. э Ь . s'(L'a и i'p) =.гЧ'а U лЧ'р
[*53-02] = a U р . э h . Prop
К этому предложению применимо замечание, сходное с предыдущим.
*53-12. Ь .p'(i'RuCS) = RnS [*41-18 . *53-03]
Данное предложение показывает связь между произведением р'к для
класса к, состоящего из двух отношений R vl S, и произведением R П S. Оно
может быть распространено на произведение любого заданного конечного
класса отношений.
*53-13. Ь . s'(CRUCS) = RuS [*41-171 . *53-04]
К этому предложению применимо замечание, сходное с предыдущим.
♦53-14. h . /?'(к U i'a) = р'к П a
Доказательство.
h . +40-18 . => h . р'(к U i'a) =/?'к П р\'а
[*53-01] =р'кПа
♦53-15. h . s'(k U i'a) = s'k U а [Доказательство аналогично *53-14]
♦53-16. h . p'(k U CR) = рЧ. П R [Доказательство аналогично +53-14]
♦53-17. h. s'(kUi'R) = s''kuR [Доказательство аналогично +53-14]
Последнее предложение наряду со следующим применяется в связи
с математической индукцией (+91-55 и *97-46 соответственно).
♦53-18. h . s'(a - l'A) = s'a
Доказательство.
К+51-221. z>h:Aea. z>. (cx-l'A)U l'A = cx.
[♦53-15] э . s'(a- l'A)иЛ = ^'а.
[+24-24] z>. s\a - l'A) = s'a
h . +51-222 . э h : A ~ e a. э . a - l'A = a.
[+30-37] э . s'(a - l'A) = s'a
h . (1). (2). э h . Prop
+53-181. h . i'(X - l'A) = s'\ [Доказательство аналогично +53-18]
+53-2. Ь:ке1.э.Гк = р'к = s'k
(i)
(2)
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

418
ГЛАВА 1. ЕДИНИЧНЫЕ КЛАССЫ И ПАРЫ
Для осмысленности данного предложения требуется, чтобы к было
классом классов. Оно используется в +88-47, в параграфе о существовании
выбора и аксиоме умножения.
Доказательство.
h . +51-601. зЬ ::Нр. з :. дгеГк: = : аек. за . jcea: = : (да). а€К. хеа (1)
к. (1).+40-1-11. z>h.Prop
+5321. h : X е 1 . z> Л'\ = р'\ = s'\
Для осмысленности последнего предложения требуется, чтобы X было
классом отношений.
♦53-22. К .уЧ"а = а
Доказательство.
h . +40-11 . эЬ : jce.s4"a. = . (зу) • Y€L"a* xey ,
[+37-64 . +51-12] = . (зу) .yea. xei'y.
[+51-15] = . (зу) .yea. x = y.
[•13-195] =.JC€a:z>h.Prop
♦53-221. h . l"(l'jc U Су) = l'l'jc U iYy
Доказательство.
h . +37-1 . эЬ :.a€i"(i'*Ui';y). = : (3z). z € (l'jc U L'y) . cuz:
[*51-131] = : (gz). z e (l'jc U L'y). a = l'z :
[♦51-235] s : a = l'jc. V . a = Cy:
[♦51-232] = : a e (l'l'jc U L'L'y) :. z> h . Prop
♦53-222. h:K=L"a.z>.a = t"K
Доказательство.
h . *13-12 . +20-2 . z> h : Hp . z>. l"k = t'4"a
[♦51-511. *14-21 .+37-67] =jc{(ay).yea.jc = t'L'y}
[♦51-511] =x{(zy).yea.x = y]
[♦13-195] =a:z>h.Prop
♦53-23. h : к с 1. =>. j'k = l"k
Доказательство.
h . +52-31 . z> h : Hp . = . (3a). к = l"cx (1)
h . +53-22 . з h : к = L"a . з j'k = a
[♦53-222] =l"k (2)
h . (1). (2). +10-11-23 . z> h . Prop
♦53-231. h:.jc€a.3^.jc = y: = :a = A.V.a = L'y
Доказательство.
h . +51-141 oh :-a !a: jcea. з* . jc = y : = :a = L'y (1)
h . +10-53 . 3b:.~3!a.3:jcea.DJc.jc = y:.
[+4-71] 3h:.~3f.a:jc€a.3Jc.jc = y: = .~g !a.
[+24-51] =.a = A (2)
h . (1). (2). +4-42-39 . z> h . Prop
Principia Mathematica I

*53. РАЗЛИЧНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ О ЕДИНИЧНЫХ КЛАССАХ 419
*53 24. У :. л'к = Л . == : к = Л П Cls. V . к = С А
Доказательство.
У . *24-15 . *40-11 . z>
У :. s'k = Л . = : (х): ~ {(аа). а е к. jc e a}:
[*10-51] = : (х, а): jc е а. з . а ~ е к:
[*11-2 . *10-23] s : (a jc) . х е а . за . а ~ е к:
[*24-54] = :а^Л.за.а~ек:
[Transp] =аек.за.а = Л:
[*53-231] = : к = Л П Cls . V . к = ь'Л :. => h . Prop
В формулировке и последней строке доказательства последнего
предложения мы пишем "k = A0C1s" вместо "к = Л", поскольку данный элемент
Л должен принадлежать типу, непосредственно следующему за типом Л
в "к=1'Л".
Следующее предложение используется в теории выборок (*83-731).
*53 25. У :. s'k П s'X = Л. э : к П X = Л П Cls. V . к П X = ь'Л
Доказательство.
У . *40-181 . z> У :. Hp. z>: *'(к П X) = Л:
[*53-24] э:кПХ = ЛпС18.У.кПХ = 1вЛ:.э$К Prop
*53 3. h:E!fl'jc.==.^'jcel
Доказательство.
К *30-2.z>l-:.E !/?'* =
(3 *): У^* • =у • У = &:
(3 ^):^е a'jc. =у .;yei'&:
(3Z?).7?'jc = i'fc:
^'jcel:.z>h.Prop
[*32-18 . *51-15]
[*20-31]
[*52-1]
Последнее предложение будет использоваться довольно часто.
*53 301. K/?"i'jc=7?'jc
Доказательство.
У . *37-1 . *51-15 . э У :уeR"i'x. = . (gz) .z^x.yRz.
[*13-195] = .yRx.
[*32-18] =.;ye^'jc:z>b.Prop
*53 302. b./r4i'*Ui';y)==^'jtU^';y [*37-22 . *53-301]
Данное предложение используется в теории возведения в степень
кардиналов (*116-71).
«53-31: У : Е ! R'x. z>. fl"i'jc = i7?'jc=^'jc
Последнее предложение относится к числу часто цитируемых.
Доказательство.
У . *51-11 . *14-18 . z> У : Нр. э . ь'Д'л: = £ (у = Д'*)
[*30-4] =y(yRx)
[*32-13] =7?'jc (1)
h . (1). *53-301. z> У. Prop
*53 32. h : E ! R'x. E ! Д'у. D.i?"(i'jcUi'}/) = i7?'jc U CR'y
Доказательство.
h.*37-22. Dh./J,,(ilJcUi')i) = /J,Vj:U^Vy (1)
h . (1). *53-31 . э У . Prop
A.H. Уайтхед, Б.Рассел

420
ГЛАВА 1. ЕДИНИЧНЫЕ КЛАССЫ И ПАРЫ
*53 33. h . s"i'k = i Vk [*53-31 -]
*53 34. h . .s"(l'kU i'X) = l'j'kU l's'X [*53-32-]
R
*53 35. h . s's' '(l'k U l'X) = s'k U s'X = s'(k U X)
Доказательство.
h . *53-34 . з h . s'.s"(i'k U i'X) es s'(i's*k U Cs'X)
[*53-ll] =5'киЛ
[*40-171] = л'(к uX).Dh. Prop
Последнее предложение может быть доказано также иначе:
h . *42-1 . з h . .s'.s"(i'k U i'b) s s's'(i'K U i'X)
[*53-11] S5'(KUX)
[*40-171] Е^'киЛ.эЬ. Prop
*53 4. \-:x = R'y.s .it'yel .хе~Й'у . = . i'x=~$'y. = . * = Г"]?ву
Доказательство.
h . *14-21 . *4-71 . z>\-:x = R'y. = .E\R'y.x = R'y.
[*30-4 . *5-32] =.E\R'y.xRy.
[*53-3 . *32-18] s .7?'у е 1 . jccl?e>. (1)
[*53-6 . *5-32]
[*52-22]
[*51-51]
К(1).(2).(3). эЬ.Ргор
*53-5. Ь : а ! а . = . а е Cls - ь'Л
Доказательство.
h . *20-41. э h : Я !2(фг). = .2(фг)еС1з . 3 ! 2(фг).
[*24-54] = . I (фг) е Cls . 2 (фг) # Л .
[*51-3] s . 2 (фг) е Cls . - ь'Л: э h . Prop
В последнем доказательстве, как и в других, в которых встречаются
"Cls" или другие символы типов, необходимо отказаться от системы
обозначений греческими буквами и вернуться к явным обозначениям.
«53-51. Ь : а ! Я. ==. fl e Rel - ь'Л [Аналогично *53*5]
*53-52. Ь:аек.з!а. = .аек-1'Л
Доказательство.
Ь . *24-54 .1>1-:аек.а!а.=.аек.а^Л (1)
[*51-3] = . а е к - ь'Л : z> h . Prop
*53-53. Н:ЛеХ.з!Л. = .геХ-ь'Л [Аналогично *53-52]
Все последующие предложения приводятся из-за их связи с
определением а -> р в *70. И r'Q'i?, и 7с "V играют в дальнейшем важную роль.
.^'yel . b'jc=^'y.
.i'jc=^'y.
.X = V~$'y
(2)
(3)
Principia Mathematica I

*53. РАЗЛИЧНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ О ЕДИНИЧНЫХ КЛАССАХ 421
•53 6. Ь : R = А . а ! а . => ."#"а = l'A . £""а = l'A
Доказательство.
h . *33-15-241. *24-13 . з Ь : Нр. з .^'jc = Л
Ь.(1).*37-7.эЬ:Нр.э.^"а=р{(а^).;сеа.р = Л}
[•10-35] =Р{з!а-Р = Л}
[•4-73] =&(Р = Л)
[•51-11] = l'A
Аналогично h : Нр. з . К "а = l'A
Ь.(2).(3).зЬ.Ргор
•53601. h:a !а.апа'/г = Л.э.^"а = 1'Л
Доказательство.
Ь.*33-41 . з1-:Нр.;сеа.з.1?'д: = Л
Ь . (1). *37-7 . Ь : Нр. з .7?"a=p {(з*). Jcea . Р = Л}
[•10-35] =Р(а!а.р = Л}
[•4-73 . *51-11] = ь'Л: з h . Prop
3 ! ct. а П D'fl = Л. з . а "а = ь'Л [Аналогично *53-601]
(1)
(2)
(3)
(1)
•53602.
•53603.
•53-604.
•53-61.
Я
!-сгд.з.^"(-а'Д)=и'л
[•24-21
3 ! - D7?. з. fc"(- D7?) = ь'Л [*24-21
а'Лса.а'/г^а.э .^"а =^"СГДUь'Л
Доказательство,
h. *22-92 .
h. *24-6 .
[•24-21. *53-601]
h . (1). *37-22 . э h : Нр .
[(2)]
•53-601]
•53-602]
•53611.
•53612.
•53613.
•53614.
з h: Нр. з . a = СГД U (a - СГД) (1)
зЬ:Нр.з.з!а-СГЯ.
3.7?"(a-d\R) = L'A (2)
з .^"a =7?"СГД ul?"(a - О'/?)
=^"СГД1А'Л:з1-. Prop
: D\K с a . D\K ^ a . з . Й~"а = fr"D\K U l'A [Аналогично *53-61]
: СГД ф V . з .7?"V =7?"d\R U l'A [*53-61 . *24-ll]
: D7? jfc V . з . 5P'V = fr"D7? U l'A [*53-611 . *24-ll]
K7?"a7?=7?"V-L'A
Доказательство.
V . *53-612 . *22-68 . *24-21 . з
СГД ф V . з .7?"V - l'A =7?"d\K - l'A (1)
•22-481. з V : СГД = V . з .7?"V - l'A =7?"СГД - l'A (2)
•37-772 . *51-36 . *22-621. з h .7?"СГД- l'A=^"CI\K (3)
(l).(2).(3).3h.Prop
•53-615. h . fr"D7? = fc"V - l'A [Аналогично *53-614 ]
Следующие два предложения используются в *70-12.
•53-62. h :^"СГД с у . = .1?"V с у U l'A
Доказательство.
h . *53-614 . з Ь :7?"СГД с у. = .^"V - l'A с у •
[•24-43] = .7?"V с y U l'A : з h . Prop
A.H. Уайтхед, Б.Рассел

422
ГЛАВА 1. ЕДИНИЧНЫЕ КЛАССЫ И ПАРЫ
«53-621.
*5363.
«53-631.
*53-64.
*53-641.
h
Ь
h
h
h
fr"D7?c
cr/^v.
D7^V.
• сгд = v.
:D7? = V.
7.s J"VcyUi'A
z>.D'7?=7?"a7?Ui'A
z>.D'fr=fr"D\KUi'A
э.б§"]?=т!"сгд
[Аналогично *53-62]
[*37-78 . *53-612]
[*37-781. *53-613]
[*37-78]
[*37-781]
Principia Mathematica I

*54. КАРДИНАЛЬНЫЕ ПАРЫ
423
*54. Кардинальные пары
Краткое содержание *54-
Пары бывают двух видов, а именно (1) i'jc U Су, где между х и у не
установлен порядок, и (2) i'jc f Су, где порядок установлен. В целях
различения этих видов пар будем называть эти пары кардинальными и
ординальными соответственно, поскольку (как будет показано позже) класс
всех пар вида i'jc U Су (где i'jc ф Су) есть кардинальное число 2, в то время
как класс всех пар вида Сх^Су (где СхфСу) есть ординальное число 2,
которому для отличия мы сопоставим символ "2Г", где индекс г
производится от "relational", т.к. ординал 2 —это класс отношений. В настоящем
и последующем параграфах мы определяем "2Г" и "2" как классы
кардинальных и ординальных пар соответственно, оставляя пока в стороне
доказательство того, что числа 2 и 2Г, таким образом определенные, —
соответственно кардинальное и ординальное числа. Ординальную пару
будем также называть упорядоченной парой или направленной парой. Таким
образом, направленная пара — это пара, в которой определено, что один
элемент является первым, а другой — вторым.
Мы введем также кардинальное число 0, определив его как "i'A". To,
что символ 0, определенный таким образом, — кардинальное число, будет
доказано значительно позже; откладываем мы и доказательство того, что
О, определенный указанным образом, обладает арифметическими
свойствами нуля.
Кардинальные пары имеют гораздо меньшее значение, далее в
кардинальной арифметике, чем ординальные пары, которые будут рассмотрены
в двух следующих параграфах (*55 и *56). Тем не менее необходимо
доказать некоторые свойства кардинальных пар, и это будет сделано в
настоящем параграфе. Некоторые свойства кардинальных пар, уже доказанные
ранее, будут повторены здесь для удобства ссылок. Определения чисел О
и 2 таковы:
*5401. 0 = i'A Df
*5402. 2 = а {(зх, у). х ф у. а = i'jc U Су] Df
Большинство предложений настоящего параграфа, кроме тех, которые
представляют собой определения (*54-1-101-102), используются очень редко.
Из наиважнейших выделим следующие предложения.
*542б/ \-:СхиСуе2. = .хфу
*54 3. Ь . 2 = а {(з*). хеа . а - i'jceA}
*54-4. h :. р с i'jc U Су . = : р = Л . V . р = i'jc . V . р = Су . V . р = i'jc U Су
*54-53. h : а е 2 . х, у е а . х ф у . з . а = i'jc U Су
*54-56. Ь:а~е0и1и2. = . (з*,;у, z) .х,у,1еа.хфу .хф1.уф1
«54-01. 0 = i'A Df
*5402. 2 = а {(ах, у). х ф у . а = Сх U Су] Df
*541. K0 = i'A [(*54-01)]
«54-101. h:ae2. = .(gjc,;y).Jc^;y.a = i'jcUi';y |(*54-02)]
*54102. h:aeO. = .a = A [*54-l]
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

424
ГЛАВА 1. ЕДИНИЧНЫЕ КЛАССЫ И ПАРЫ
Следующие два предложения уже встречались в *51, но формулируются
снова, поскольку относятся к теме настоящего параграфа.
*54-21. h : l'jc U Су = l'jc U Cz . = . у = z [*51-41]
*54-22. V : l'jc U Cy = l'z U l'w . = : jc = z. у = w. V . jc = w. у = z [*51-43]
*54-25. h:L'jcUL>el . ==.jc = ;y
Доказательство.
h . *52-46-l . *22-58 . э h : l'jc U Cy e 1. z>. l'jc U Cy = l'jc . l'jc U Cy = Cy .
[•20-23] D.L'jc = L';y (1)
h . *22-56 . z> h : l'jc = l'^ . z>. l'jc U Су = l'jc .
[*52-22] z>.L'jc=L>el (2)
h . (1). (2). z> h : l'jcU Cy . e 1 . = . Cx = Cy .
[*51-23] = .JC = ;y:z>b.Prop
*54-26. \-:СхиСуе2. = .хфу
Доказательство.
h.*54-101.Dh::L'jcUL'>;e2.
s :. (az, w). z ф w . l'jc U Cy = l'z U l'w :.
[*54-22] == :»(3z,w) :z^w:jc = z.)v = w.V.jc = w.^ = z:.
[*4-4 . *11-41] = :.(az,w) .z^w.jc = z.)v = w.v . (gz,w) . z^ w.x = w.^ = z:.
[*13-22] =:.хфу.У .уфх:.
[*13-16] =:.Jc^j::z>h.Prop
*54-27. h.L'jcUL>elu2 [*54-25-26]
*54-271. h . 1 U 2 = a {(3 jc,;y). a = l'jc U Cy}
Доказательство.
h . *4-42 . э
h :. a = l'jc U Cy . = : jc = у . a = l'jc U Cy . V . jc ф у . a = l'jc U Cy (1)
h . (1). *11-11-341-41. э h :. (3JC,;y). a = l'jc U Cy .
= :(3*>;y) • x = y .a = CxUCy . V .(&x,y) .хфу .a = CxUCy :
[*13-195] = : (gjc). a = l'jcU Cy. V . (3Jc,;y). хфу . a = l'jcU Cy :
[*22-56] = : (gjc). a = l'jc . V . (gjc,^). jc Ф у . a = l'jc U Cy:
[*52-l . *54-101] = : ae 1. V . ae2 :
[*22-34] = : ae 1 U 2 :. z> I-. Prop
*54-3. h . 2 = a {(gjc). jce a . a - t'jce 1}
Доказательство.
h . *52-l . *10-35 . z>
h :(gjc) .Jcea.a-L'jcel. = .(gjc,^). jcea . a-l'jc = l'^.
[*51-22^^] =s . (Rx,y). СхПСу = А. l'jcU Cy = a .
ex, p
[*51-231. *54-101] s:a€2:3h.Prop
Principia Mathematica I

*54. КАРДИНАЛЬНЫЕ ПАРЫ
425
*54-4. Ь :. р с l'jc и Су. = : р = Л . V . р = l'jc. V . р = l> . V . р = l'jc U iey
Доказательство.
h.*51-2. z>h:jc,;yep.z>.i'jcUi';ycp:
[Fact] э h : p с l'jc U l> . jc, у е р. =>. p с l'jc U Cy . l'jc U Су с р .
[*22-41] z>.p = L4jcUL> (1)
h.*51-25. Dh:.pcL'jcUL^.j~6p. z>:pc=L'jc:
[*51-401] z>:P = A.V.p = i'jc (2)
Аналогично V :. p с l'jc U Cy. x ~ e p . =>: p = Л . V . p = Cy (3)
Ь. (2). (3). *3-48 . z>
h :. p с l'jc U Cy. ~ (jc,;y ep). z>: p = Л . V . p = l'jc. V . p = Cy (4)
h . (1). (4). *34-8 . э
h :. p с l'jc U Су . э : p = Л . V . p = l'jc. V . p = Cy . V . p = l'jc U Cy (5)
h.*24-12.*22-58-42.z>
h :. p = Л . V . p = l'jc . V . p = Cy . V . p = l'jc U Cy : z>. p с l'jc U Cy (6)
h . (5). (6). z> h . Prop
Данное предложение показывает, что класс, содержащийся в паре,
является либо пустым классом, либо единичным, либо сам является парой,
из чего следует, что 0 и 1 — единственные числа, меньшие чем 2.
*54-41. h::ae2.z>:.pca.D:p = A.V.pel.V.pe2
Доказательство.
Ь.*52-1. z>h:.p = L'jc.V.p = L>:D.p6l (1)
Ь.*54-26. 3b:.jc^;y.D:p = L'jcUL';y.z>.pe2 (2)
Ь . (1). (2). *54-4 . э
Ь :: хфу . z>:. р с l'jcU Су. z>: p = Л . V . ре 1. V . ре2 ::
[*13-12]Dh::a = L'jcUL^.Jc^^.D:.pca.z>:p = A.V.pel. V.pe2::
[*11-11-35]э
Ь :. (Я*,У) • ct = l'jc U Су . jc ф у . z>:. р с a : р = Л . V . р е 1. V . р е 2 (3)
Ь.(3).*54-101.эЬ.Ргор
*54-411. h:.ae2.z>:pca.z>.peOUlU2 [*54-41-102]
*54-42. h::ae2.z>:.pca.a!p.p^a.H.peL"a
Доказательство.
h . *54-4 . э h :: a = l'jc U Су. з :.
pea.a!p. = :p = A.V.p = l'jc.V.p = L>.V.p = a:a!p:
[*24-53-56 . *51-161] = : p = l'jc . V . p = Cy . V . p = a
h . *54-25 . Transp . *52-22 . э h : jc фу . => . l'jc U Су Ф l'jc . l'jc U Су ф Су :
[*13-12] z> h : a = i'jcU Cy. jc Фу . =>. a Ф l'jc . a Ф Cy
h . (1). (2). э h :: a = l'jc U Cy . jc ф у . э :.
pea. a!p.p#a.==:p= l'jc. V . p = L'y :
[*51-235] =:(az).zea.p = L'z:
[*37-6] =:PeL"a
h . (3). *ll-ll-35 . *54-101. z> h . Prop
(1)
(2)
(3)
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

426 ГЛАВА 1. ЕДИНИЧНЫЕ КЛАССЫ И ПАРЫ
*54 43. Ь:.а,ре1.з:аПр = Л. = .аире2
Доказательство.
Ь . *54-26 .=>\-:.а = Сх.$ = 1'у.=>:аи$е2. = .хфу.
[*51-231] = .СхПСу = А.
[*13-12] ==.аПр = Л (1)
К(1).*11-11-35.э
\-:. (& х,у). a = i'x .$ = i'y. z>: аи $е2 . ==.аПр = Л (2)
Ь . (2). *11-54 . *52-1 .эЬ.Ргор
Из данного предложения вытекает, что, когда определено
арифметическое сложение, имеет место 1 V 1 = 2.
*54-44. h :. z, we i'jc и Су. =>ZfVV. ф (г, w): = . ф (х, х). ф (jc,у). ф (у, дг). ф (у,у)
Доказательство.
h . *51-234 . *11-62 . z> h:. г, we i'jc U Су . z>ZyW . ф (z, w): = :
zeCxи i';y . зг. ф (z, jc) . ф (г,у):
[*51-234 . *10-29] = : ф (jc, jc) . ф (jc, у). ф (у, х). ф (у, у):. z> Ь . Prop
*54*441. h :: z, wei'jcU i';y . zф w. эгЛУ. ф (г, w): г :. jc = ;y : V : ф (jc,;y). ф(у,х)
Доказательство.
Ь . *5-6 . з h :: z, we i'jc U Су . z ф w. dz,w . ф (z, w): = :.
z, we i'jc U Су. зг: z = w. V . ф (z, w):.
[*54-44] = : jc = x. V . ф (jc, x): jc = у . V . ф (jc, у):
у = jc . V . ф (у, х): у = у . V . ф (у, у):
[*13-15] s:jc = y.V^(jcfy):y = jc.V^(yfJc):
[•13-16 . *4-41] г : jc = у . V . ф (х,у). ф (у, х)
Последнее предложение используется в * 163-42, в теории отношений
взаимно исключающих отношений.
+54 442. h :: jc Фу . з :. z, we i'jcU Су . z ф w. dZ)W . ф (z, w): = . ф (jc,у). ф (у, х)
[•54-441]
*54-443. h :: jc ^>> : ф (jc,;y). = . ф (у, х) : =>:.
z, w e i'jc U Су. z ф w. 3Z>W . ф (г, w): = . ф (jc, у) [*54-442]
*54-45. Ь:- (gz, w) .z,we Cx иСу.ф (z, w).
з : ф(х, jc) . V . ф(х,у). V . ф(у, jc) . V . ф(у,у) [*54-235]
♦54-451. h :: ~ ф (jc, jc) . ~ ф (у,у). з :. (g z, w). z, w e i'jc U Су . ф (z, w).
= :ф(дс,у).У.ф(у^) [*54-45]
*54452. 1-::~ф(д:,дс).~фСУ,>;):ф(дс,>;). = .фСу,д:):з:
(3z> w). z, w б i'jc и Су. ф (г, w). = . ф (jc, у) [*54-451]
*54-46. Ь : (аг, w). z, w e i'jc U Су. z ф w. г . jc ф у [*54-452 . *13-15-16]
Principia Mathematica I

*54. КАРДИНАЛЬНЫЕ ПАРЫ
427
*54-5. Ь :. а е2 . з : а с l'z U l'w . = . а = l'z U Cw
Доказательство.
Ь . *54-4 . з
h :.cicl'zUl'w.3 :а = Л. V . a = i'z. V . a = L'w. V .a = i'zUi'w (1)
h . *54-3 . *24-54 . з h : Hp . з . а ф Л (2)
h . *54-26— . *13-15 . з Ь : Hp . з . a ^ l'z (3)
x,y
w
h.(3)-. з1-:Нр.з.а^'и> (4)
z
h . (1). (2). (3). (4). *2-53 . з Ь :. Hp. з: а с l'zU l'vv . з . a = l'zU l'vv (5)
h . *22-42 . з Ь : a = l'z U l'w . з . а с l'z U l'w (6)
К(5).(6).зЬ.Ргор
*54-51. 1-:.ае2.ре1и2.з:аср. = .а = р
Доказательство.
h . *54-5 . => h :. a e 2 . p = l'z U i'w . =>: a с p . = . a = p (1)
Ь.(1).*1М1-35-45.э
h :. a e 2: (gz, w). p = l'z U l'w : z>: a с p. = . a = p (2)
h . (2). *54-271 . з Ь . Prop
*54-52. h:.a,pe2.z>:acp. = .a = p.s.pca [*54-51]
*54-53. h :. a e 2. jc, у e a . x Ф у . з . a = l'jc U Cy
Доказательство.
h . *51-2 . з Ь: Hp . з . l'jc с a . Су с a .
[*22-59] D.L'jcUi'jvca (1)
K*54-26. зЬ:Нр. d.l'jcUl>€2 (2)
К(1).(2).*54-52.з1-.Ргор
♦54-531. \-:.ае2.э: х,уеа.х фу . = .a = CxUCy
Доказательство.
h . *54-53 .Exp. зЬ :.ае2.з : jc,;yea. jc^y . з . ci = l'jcUl'}> (1)
h . *54-26 . з h :. ae2 . з : a = l'jcU Cy . з. хфу (2)
h . *51-16 . з h : a = l'jcU Cy . з. jc,yea (3)
h . (2). (3). з h :. a e 2 . з : a = l'jc U Су . з . jc, jv e a . jc ^ у (4)
h.(l).(4). зЬ.Ргор
*54-54. * h :. a e 2 . = : jc, уеа.хфу. зху . a = l'jc U Cy: (3 jc, y). jc, у e a . jc ф у
Доказательство.
K*54-531 .*11-11-3. 3b:.ae2.3:jc,;yea.jc^;y.3x,y.a==L'jcUL';y (l)
h . *51-16 . *54-101 . з Ь : а е 2 . з . (Rx,y) .х,уеа.хфу (2)
h . *5-3 . *3-27 . Dh :.x,yea.хфу .z* . a = l'jcU L'y: з :
jc, у e a . jc ф у . з . jc фу . a = l'jc U Cy :.
[*ll-ll-32-34] 3h:.jc,^ea.jc^^. зхо, . a = l'jc U Cy : 3 :
(gjc,;y) .jc,^ea.jc^y.3. (a*,?). jc фу. a = l'jc U Cy (3)
h . (3) .Imp. *54-101. 3h :. jc,;yea . хфу . зхо, . a = l'jc U L'y:
(Kx,y). x,yea . хфу.э . ae2 (3)
h.(l).(2).(4). зЬ.Ргор
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

428
ГЛАВА 1. ЕДИНИЧНЫЕ КЛАССЫ И ПАРЫ
~(&х,у).х,уеа.хфу:.
(Ях,у).х,уеа.хфу (1)
В последнем предложении " х, у е а . х Ф у . -эху . а = i'jc U Су"
обеспечивает наличие не более двух элементов в классе а, в то время как
"(Я*»>0 • х,уеа. хфу" обеспечивает наличие не менее двух элементов.
*54-55. h . О U 1 U 2 = а {jc, у е а . х Ф у . э^ . а = i'jc U Су)
Доказательство.
Ь . *4-42 . э h :: х,уеа.хфу . эху . а = i'jc U Су :
х, у е а . х ф у . эХ)У . а = i'jc U Су :
V :.х,уеа.хфу . зхо, . а = i'jc U Су :
h . *ll-63 . зЬ:. ~(3jc,}>) .х,уеа. хфу .z^ : х,уеа.хфу . эХ)У . а = i'jcUi';y:.
[*4-71] з h :. х, у е а . jc ^у . эх>у . а = i'jc U i';y : ~ (&х,у) .х,уеа.хфу: = :
~(Ях,у).х,уеа.хфу:
[*11-521] = : х,уеа . ^ху . х = у:
[*52-4] ==:aeOul (2)
Ь . (1). (2). *54-54 . z>
h:.jc,;yea.jc^;y. эхо,. а = i'jc U Су : s : а е О U 1. V . а е 2 :
[*22-34] =:ае0и1и2:.эЬ. Prop
*54-56. b:a~e0ulu2. = . (g jc, y,z). x,y,zea. хфу. хфг.уфг
Доказательство.
Ь.*54-55.*11-52. э
эЬ:.а~е0и1и2.= :(Qx,y). jc,yea . хфу . а^ CxUCy :
[*51-2 . *22-59] ==: (gjc,;y). l'jcU Су с а . х фу . а ф Сх U Су :
[*24-б] = : (3jc, у). Сх и Су с а . х ф у . g ! а - (i'jc U Су):
[*51-232 . Transp] == : (g jc, у): i'jc U Су с а . x ф у: (gz) . z e а. z ^ * .гфу:
[*51-2 . *22-59] s : (ftx,y,z) .x,y,zea. хфу .хф1.уфг :.=>!-. Prop
В силу данного предложения, класс, не являющийся ни пустым, ни
единичным, ни парой, содержит, по меньшей мере, три различных элемента.
Отсюда вытекает, что любое кардинальное число, отличное от 0, 1 и 2,
равно или больше чем 3. Данное предложение используется в * 104-43,
являющемся теоремой существования значительной важности в арифметике
кардиналов.
*54-6. h:.anp = A.jc,jc'ea.>',/ep.D:
i'jc U Су = Сх* U Су'. = . jc = jc' . у = /
Доказательство,
h . *51-2 . э Ь :. Нр . z>: i'jc с a . Cx* с a . Су с р . Су' с р . а П р = Л :
[*24-48] э : l'jc и Су = Сх? U Су'. = . Сх = lV . i'y = i'/ .
[*51-23] = . jc = л/ . ;у = / :. э Ь . Prop
Последнее предложение применяется при изучении множеств пар,
образованных из одного элемента класса а и одного элемента класса р, в
случае, когда а и р не имеют общих элементов. Оно используется в
теории умножения кардиналов (* 113-148).
Principia Mathematica I

•55. ОРДИНАЛЬНЫЕ ПАРЫ
429
*55. Ординальные пары
Краткое содержание *55.
Ординальные пары, к рассмотрению которых мы теперь переходим,
имеют гораздо большее значение, чем кардинальные пары, даже в
арифметике кардиналов. Свойства ординальных пар аналогичны частично свойствам
кардинальных пар, частично — свойствам единичных классов; это
объясняется тем, что ординальные пары представляют собой наименьшие
возможные отношения, подобно тому, как единичные классы — наименьшие
существующие классы. В свойствах, аналогичных свойствам единичных
классов, не требуется, чтобы два терма пары были различными, т. е. они
справедливы для i'jcTi'jc в той же мере, что и для Сх^Су (при хфу)\ с другой
стороны, в свойствах, аналогичных свойствам кардинальных пар, вообще
говоря, требуется, чтобы два терма ординальной пары различались.
Обозначение i'jc f Су несколько громоздко и не способствует выявлению
роли пары как дескриптивной функции х от аргумента у или наоборот.
Поэтому мы вводим новый символ "jci;y" для обозначения пары. В
паре xiy будем называть х референтом, а у релятивом. В силу
определений *38 это приводит к двум отношениям: xi и iy; таким образом, мы
приобретаем возможность записывать JcJ,"p, iy"a, а*у, a,V'P и т.д., что
неоднократно используется в последующем. Следует отметить, что JcJ,"p
обозначает класс ординальных пар, в которых х — референт, а релятивом
является произвольный элемент класса р; в то время как iy^a или a fry
обозначает класс пар, в которых у выступает в качестве релятива, а
элемент класса a — референта; а*"р обозначает все классы пар вида J,;y"a,
где у есть любой элемент класса р. Наконец, в силу *40-7, s'a,V'P
обозначает все ординальные пары, референтом которых является
произвольный элемент класса а, а релятивом — произвольный элемент класса р. Это
очень важный класс, и он будет использован для определения
произведения двух кардинальных чисел, поскольку очевидно, что число элементов
.у'а*'4р есть произведение числа элементов класса а и числа элементов
класса р.
Несколько первых предложений настоящего параграфа суть
непосредственные, следствия определения xiy и обозначений, введенных в *38.
Затем мы переходим к различным элементарным свойствам отношения xiy,
из которых наиболее полезны следующие:
♦5513. h : z(x iy)w. = . z = x. w = у
*55 15. t-.D'(xiy) = Cx.<li(xiy) = Cy.C\xiy) = CxUiiy
*5516. h : D'R = l'jc . СГД = Cy. = . Д = x iу
*55 202. h :xiy = ziw. = .x = z*y = w. = .у ix-wiz
Данное предложение следует сопоставить с *54-22, чтобы выявить
причину, по которой ординальные пары в арифметике важнее, чем
кардинальные. Согласно *55-202, если две ординальные пары тождественны, то их
референты тождественны и их релятивы тождественны.
А.Н. Уайтхед, Б.Рассел

430
ГЛАВА 1. ЕДИНИЧНЫЕ КЛАССЫ И ПАРЫ
Далее мы переходим к различным свойствам отношений jcJ, и 1х. Эти
отношения играют немаловажную роль в арифметике. Следует заметить,
что если два терма находятся в отношении jc|, то референтом является
пара, релятив которой есть релятив в отношении х J,, т. е. если имеет
место R(xi)y, то R-xiy (ср. *55-122). Аналогичные замечания применимы
и к отношению 1х. Важное значение имеет класс J,jc"a, состоящий из всех
пар, в каждой из которых референтом является элемент класса а, в то
время как релятив есть х. Часто используется следующее предложение:
*55 232. Ь : а I I х*'а ПI у"$. = . х = у. g ! а П р
Далее, в *55-3— 51 мы формулируем различные свойства xiy,
аналогичные свойствам единичных классов. Наиболее важны среди них следующие:
*55 3. t-: xRy. = . хly GR . = . £ I (х 1у) ПR
Это аналог предложения *51-31.
*55 34. \-:R\R.RGxly. = .R = xly
Это аналог предложения *51-4.
*55-5. t-:.RGxlyGzlw> = :
R = A.V.R = xly.V.R = zlw-V-R = xlyGzlw
Это аналог предложения *54-4.
Затем мы переходим к таким свойствам ординальных пар, которые не
имеют аналогов для единичных классов. Чтобы связать кардинальное
число 2 с ординальным числом 2Г, нам потребуется предложение
*55-54. Ь :: хфу. z>:. С'Д = i'jc U Су .RnR = A . = :R = xiy . V .R = y ix
Данное предложение утверждает, что единственными асимметричными
отношениями, полем которых служит заданная кардинальная пара i'jc U Су,
являются две соответствующие ординальные пары х i у и у i х. Далее
формулируется ряд предложений об относительных произведениях пар и
других отношений, т.е. R\(xiy), (xiy)\S и /?|(jcJ,)0|S. Эти предложения
в арифметике очень полезны. Основное среди них —
*55-61. h:E\Riz.E\S'w.z>.(R\\SY(ziw) = (Riz)i(Siw)
В самом конце мы приводим четыре предложения, которые относятся
по своему предмету к *43, но не могли быть там помещены, потому что
в их доказательствах используются ординальные пары.
•55-01. xiy = CxUCy Df
*55 02. R'xly = R'(xly) Df
Эти определения используются; только чтобы избежать лишних скобок.
•551.
•5511.
•5512.
•55121.
•55122.
•55123.
•5513.
h.xiy = (Cx)U(Cy)
Ь . х 1'у = 1 у'х = х 1 у = i'jc U Су
\-.E\xVy
КЕЦ/х
\-:R(xl)y. = .R = xly
t-:R(ly)x. = .R = xly
b-:z(xly)w . = .z = x .w = y
Доказательство.
h . *35-103 . *55-l . z>h : z(xiy) w.
[•51-15]
[(•55-01)]
[•38-11. *55-l]
[•55-11. *14-21
[•55-11]
[•55-11]
= . z €. i'jc . w e Cy.
= .z = jc. w = y : d
Principia Mathematica I

*55. ОРДИНАЛЬНЫЕ ПАРЫ
431
*55 132. Kjc(jcJ,;y);y [*55-13]
*55 134. У.&1(х1у) [*55-132]
*55 14. У . х I у = Cnv'y I х [*55-13 . *31-131]
*5515. 1.В'(х1у) = 1'х.а\х1у) = Су.С'(х1у) = СхиСу
[*35-85-86. *51-161]
*5516. y:D'R = i'x.<luR=i'y. = .R = xly
Доказательство.
b.*33-13-131.*5115.z>
У :: D'tf = l'jc . Q'tf = Су . = :. (gw). zRw. =z. z = x: (gz). zRw . =w . w = у :.
[*14-122] = :. (gz, w). zRw: (gw). ztfw. z>z. z = x:
(a^ z). zRw : (gz). ztfw. z>w . w = у:.
[*ll-23 . *4-71] = :. (gz, w). zRw: (gw). ztfw. z>z. z = x: (gz). ztfw. z>w . w = у:.
[*10-23] = :. (gz, w). ztfw: zRw. ^ZtW .z = x: zRw. z>ZyW . w = у :.
[*11-391] = :. (gz, w).ztfw:zRw. 3ZjVV . z = jc. w = ;y:.
[*14-123] = :. zRw. 3ZjVV. z = jc . w = у:.
[*55-13] =:.zflw.3ZjVV .z(jciy)w:.
[*21-43] = :.Я = дЦу::эК Prop
Последнее предложение весьма важно и будет часто цитироваться.
*55161. У.х1у = ГЙ (D7? = l'jc . СГД = Су)
Доказательство.
У . *55-16 . *20-15 . z>
У .R (D7? = l'jc. О'/? = L';y)=i?(R = xiy)
[•51-11] =i'(*iy) (1)
h.(l).*51-51.z>h.Prop
*55 17. h . jc J, у = V (&'l'jc П ff'L» [*55-161 . *33-6-61]
*55-2. >:jcJ,>' = jc>Lz. = .>' = z
Доказательство.
У . *30-37 . *55-ll-12 .z>y:y = z.=>.xly = xlz (1)
У . *30-37 . *33121. z>
Ь : jc J, >> = jc J, Z. з . G'jc J, у = Q'x I z.
[*55-15] з. l')> = l'z.
[*51-23] z>.^ = z (2)
У . (1). (2). z> У . Prop
*55201. b:jcj,z = ;yj,z. = .jc = ;y
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

432
ГЛАВА 1. ЕДИНИЧНЫЕ КЛАССЫ И ПАРЫ
+55-202. h:xly = zlw. = .x = z.y = w. = .ylx = wlz
Доказательство.
Ь . *55-2-201. z>
Ь :x = z*y = w. ^.xly = zly*zly = zlw.
[*13-17] z>.xly = zlw
b.*30-37.*33-12-121.z>
h: xly = zlw,
[*55-15]
[*51-23]
=. x = z.y = w
=. x-z*y-w
D'jc iу = D'z i w. d'jc iу = d'z J, w.
l'jc = l'z. l'j = iV.
x = z.y = w
l-.(l).(2).=>
h :xly = zlw>
Аналогично
h . (3). (4). z> h . Prop
Последнее предложение весьма валено.
*55-21. Ь . d'jc i = V. d'J, * = V [*33-432 . *5512-121]
*55-22. \-.D'xl = R{(Ry).R = xly] [*55-122]
*55 221. KD'|* = fl{(a;y)./? = ;yJ,Jc} [*55-123]
*55 222. h : R e D'jc J,. = . D'R = l'jc. d'fl e 1
Доказательство.
h.*55-22-16. Dh:./?eD'jci. = : (g;y). D7? = l'jc. 0'/? = i'y:
[*10-35] = : D7? = l'jc : fay). СГД = l')> :
[*52-l] s : D7? = l'jc . d'/? e 1:. z> h . Prop
*55 223. b:fleD4jc. = .d'fl = L'jc.D'flel [Аналогично *55-222]
*55-224. h.D'jcinD'lj = L'(jc^)
Доказательство.
h . *55-222-223 . z>
h : Д e D 'jc J, П D Ч у. = . D 'R = Сx. d'Д e 1. d'Д = l> . D'Д e 1.
D7?=L'jc.d7? = L';y.
fl = jcj,;y.
tf 6L'(*|;y) :зЬ .Prop
[*38-13]
[*38-131]
(1)
(2)
(3)
(4)
[*52-22 . *4-71]
*55-16]
*51-15]
h . jc i "a = R {(fty) .yea.R-xiy]
h . i jc"a = R {(Ry) .yea.R = ylx]
*55-23.
*55231
*55 232. h : а ! i jc"a П i j"p. = . jc = ^. а ! a П p
Доказательство.
h . *55-231. *ll-55 . z>
h:.a!ijc"ani/'P
[*13-195]
[*55-202]
[*13-195]
[*10-35]
(3^) 2 (Э^, w).zecl.R = zlx.we$.R = wly^,
(3Z, w).zea.wep.zj,jc = wi;y:
(Яг, w).zea.we|3.;c = ;y.z = w:
(Qz).zeanfi.x = y:
3!anp.jc = j:.3h. Prop
*55 233. h:jc^^.z>.ijc"anij"p = A [*55-232 .Transp]
Два последних предложения часто используются в арифметике.
Principia Mathematica I

*55. ОРДИНАЛЬНЫЕ ПАРЫ
433
*55-24. К.у'лгГ'а^ь'яТа
Доказательство.
Н.*4М1.э
h:.z(s'xl"a)w. = .(sR).Rexl"a.zRw.
[*55-23] =.(3^ y).yea.R = xly.zRw.
[*13-195] = . (з>0 • У с a. z (* J, у) w.
[*55-13] s . (ду) .)'6a.z = x.w = };.
[*13-195] =.z = Jc.wea.
[*51-15 . *35-103] = . z (l'jc Т a) w:. э h . Prop
+55 241. г . i'J, jc"a = a T l'jc [Доказательство аналогично *55-24]
*55-25. г : а ! a. z>. D"jcJ,"a = l'l'jc
Доказательство.
г . *37-67 . *3312 . *55-12 . z>
\-:fLeT>"xl"a.= .fay).yea.fL = T>'xly.
[*55-15] = . (з>0. у e a . p = i\x.
[*10-35] =.g!a.p = L'jc (1)
h.(l).3h:.Hp.3:P6D"jcr'ct. = .P = ^.
[*51-15] s . p € l'l'jc :. э г. Prop
«55-251. г : 3 ! a . з . CT'J, jc"a = l'l'jc [Аналогично *55-25]
Данное предложение используется в теории кардинального умножения
(♦113-142).
*55-26. Ь . a"jci''a = L"a [*55-15 . *37-35]
*55-261. h.D'4jc"a = L"a [*55-15 . *37-35]
*55-262. hajc"a = ij"p.z>.a = p [*55-261. *53-22]
*55 27. г . C'U jc"a = C"jc Г 'a = p {(%y). у e a . p = l'jc U l>} [*55-15]
*55-28. \-zO.'xly = <l'xlz* = -y = z. = -xly = xlz
[*55-15 . *51-23 . *55-2]
*55 281. \-:D'ylx = D'zlx. = .y = z. = .ylx = zlx
*55-282. ViClxly = C'xlz. = .y = z. = .xly = xlz
[*55-15-2 . *54-21]
*55281. YiC'ylx = Cuzlx. = .y = z. = .ylx = zlx
*55-29. b.a|(jci) = i [*55-15 . *34-42]
*55-291. г . D | a x) = l [*55-15 . *34-42]
*55-292. г . С | (jc i) = С | a x) = ay (a = l'jc U i'y) [*55-15 . *34-41]
В следующих предложениях, до *55-51 включительно, формулируются
свойства ординальных пар, аналогичные свойствам единичных классов.
*55 3. г : xRy. = . jc I у gR . = . 3 ! (jc I у) П R [*13-21-22 . *55-13]
Первая половина данного предложения, так же как и его аналог *51-2,
дает средство для перевода предложений на язык включений.
Относительно второй половины см. для сравнения *51-31.
«55-31. h:xly = zlw. = .z(xly)w. = .x(zlw)y. = .x = z*y = w
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

434
ГЛАВА 1. ЕДИНИЧНЫЕ КЛАССЫ И ПАРЫ
D'ja;y = i'z.Crjci;y = iV.
i'jc = t'z - Су = iV.
x = z.y = w
x(zlw)y.
z = x.w = y.
z(xiy)w
(1)
(2)
(3)
Данное предложение — аналог *51-23.
Доказательство.
h . *55-16 .^h:xly = zlw.
[*55-15]
[*51-23]
[*55-13]
[(1). *13-16]
[*55-13]
h.(l).(2).(3).z>h.Prop
*55.-32. t-:.xlyf)zlw = A. = :x£z.V .y^w
Доказательство.
h . *55-3 .Dh :Qlxlynzlw. = .x(zlw)y.
[*55-13] =.x = z.y = w (1)
h.(l).Transp.z>h.Prop
*55 32. \-ixRy. = .xiyf\R = xiy [*55-3 . *23-621]
*55 34. h:g IR.RGxiy. = .R = xiy
Доказательство.
h • *55-13 . зh :. g IR.RG jclу . = : (gz, w). zRw:z#w. z>ZiW .z = JC. w = у:
[*14-123] = :ztfw. =ZtVV.z = jc. w = j:
[*55-13] = : zRw. =z>Vi,. z (x I y) w:. з h . Prop
*55341. h:./?GJcij. = :/? = A. V./? = jc^
Доказательство.
Ь.*4-42. z>\-:.RcLxly. = :Rgx ly .R = A.V . RGxly .R£ A:
[*25-54] =:RGxly.R = A.V.RGxly.&lR:
[*55-34] =:/?Сд;^./г = Л.У./? = д:^:
[*25-12] = :/? = A.V./? = jciy:.3h. Prop
*55 35. \-:Rnxly = A.RGxly = S . = .xSy.R = S -xiy
Доказательство.
h . *25-47 . z>
\-:Rf\xly = A.RUxly = S . = .xlyaS .R = S -xly.
[*55-3] = . xSy .R = S -xly:z>\-. Prop
*55 36. h:jc^. = .(/?-LJC>L>')Ujc>Ly = JR
Доказательство.
h.*55-3. =>b:jc/ty. =.xiyGR.
*5537.
[*23-62]
[*23-91]
h : x e a . у е р.
Доказательство.
h. *35-103.
[*55-3]
=
III
= . JCj,)>GO
Dh: jcea.
• *iy
.(fl-
^P
■ y^p.
0/? = /?.
xiy)0xiy = R:
. s.x(aTP)y.
= . JcJ,)>GaTP:
:Dh,
Z>h,
. Prop
. Prop
Следующее предложение является аналогом *51-232.
*55-4. h:.a{xlyGzlw]b. = :a = x.b = y.V.a = z*b = w
[*55-13. *23-34]
Principia Mathematica I

*55. ОРДИНАЛЬНЫЕ ПАРЫ
435
*55-41. h::R = xlyGzlw . з:. aRb . за>& . ф (a, b): = . § (xty). ф (z, w)
Доказательство.
h . *55-4 . з h ::. Нр. з:: aRb . за>*, . ф (а, Ь): = :.
fl = jc.fc = y.V.fl = z.fc = w: за>ь . ф (д, Ь):.
[*4-77] = :. (д,Ь):. а = jc. fc = у . з . ф(д,Ъ): я = z. fc = w. з . ф(а,Ь):.
[*11-31] = :. (а,fc):а = jc. fc = у. з . ф(д,Ь):. (я,Ь): д = z. fc = w . з . ф(а,Ь):.
[*13-21] = :. ф (jc, у). ф (z, w)::. з Ь . Prop
Последнее предложение является аналогом *51-234. Следующее
предложение (*55-42) является аналогом *51-235.
*55-42. h::R = xiyOziw.z>:. (дд, b) . aRb . ф (а, Ь). = : ф (jc, у). V . ф (z, и>)
Доказательство.
h . *55-4 . з h ::. Нр . з :: (дд, b). aflfc . ф {а, Ь) . = :.
(дд, fe):. д = jc . ^ = ^. V . д = z . ^ = w : ф (a, fc):.
[*4-4] = :.(ga,fc):.a = jc.fc = ;y. ф(а,Ь): V :a = z. fc = w. ф(а,&):.
[*11-41] = :. (дд, Ь). а = jc . b = у. ф (а, Ь). V . (да, &).я = Z . fc = w. ф (д, fc):.
[*13-22] = :. ф (jc,;y). V . ф (г, и>)::. з V . Prop
+55 43. t-:xlyGzlw = xlyUcld. = .z = c.w = d. = .zlw = cld
Это предложение является аналогом *51-41.
Доказательство.
Ь.*55-202.зЬ:г = с.и> = я\ z>.ziw = cid
[*23-551] z>.xlyUzlw = xlyGcld (1)
h.*23-58. z>h:.xlyGzlw = xlyGcld.z>:
zlwGxlyOcld .cldGxlyOzlw:
[*55-3-13. *23-34] ^:z = x.w = y.V.z = c.w = d:c = x.d = y.V.c = z*d = w:
[*13-16] ^:z = x.w = y.V.z = c.w = d:c = x.d = y.V.z = c.w = d:
[*4-41] ^:z = x.w = y.c = x.d = y.V.z = c.w = d:
[•13-172] z>:z = c.w = d (2)
t-.(l).(2).z>t-:xlyUzlw = xlyGcld. = .z = c.w = d (3)
h . (3). *55-202 . з h . Prop
*55-431. h:.xlyGzlw = albUcld.z>:
x = a.y = b.z=zc.w = d.V.x = c.y = d.z = a.w = b
Доказательство,
h . *55-4 .. з h :: Hp . =:.u = x.v = y.V.u = z*v = w:
[*11-1] = :.jc = jc.>> = >>.V.jc = z.)> = w:
= :x = a.y = b.V.x = c.y = d:.
[*13-15] =:.x = a.y = b.V.x = c.y = d (1)
h . *55-43 . ^\-:.x = a.y = b.-D:xlyGzlw = albOzlw:
[*13-171] з:Нр. z>.aibOziw = aibOcid.
[*55-43] 3.z = c.w = J (2)
h . (2). Comm . *4-7 .3h:.Hp.3:jc = fl.;y = fc.3.jc==fl.;y = fc.z = c.vv = d (3)
Аналогично h :.Hp. з: jc = c.;y = d. з. jc = c>> = d.z-a . w = fe (4)
h.(l).(3).(4).3h.Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

436
ГЛАВА 1. ЕДИНИЧНЫЕ КЛАССЫ И ПАРЫ
*55-44. t-:.xlyUzlw = albGcld.
= :x = a.y = b.z:=1c.w = d.V.x = c.y = d.z = a.w=b:
= :xly = alb.zlw = cld.V.xly = cld.zlw = alb
Доказательство.
h . *55-43 . z}h:x = a.y = b.^.xlyGzlw = albUzlw:
z = c.w = d.-3.albGzlw = albGcld:
[*3-47 . *13*17] z> h : jc = а. у = b.z = c.w = d.z>.xiyGziw = a ibUc id (1)
Аналогично \-:x = c.y = d.z = a.w = b.-3.xiyUziw = aibGcid (2)
h . (1). (2). *55-431-202 . z> h . Prop
Последнее предложение является аналогом *51*43.
*55 5. t-:.R<lxlyGzlw. = :
R = A.V .R = xly.v .R = zlw-V .R = xlyOzlw
Доказательство,
h . *25-12 . *23-58-42 . z>
\-:.R = A.V.R = xly.v.R = zlw-V.R = xlyGzlw:=>.Rc:xlyUzlw (1)
h . *25-49 . z>\-:.RGxlyGzlw.Rnxly = A.z>:RcLzlw:
[*55-341] z>:R = A.V.R = zlw (2)
h.*25-43. z>h:.R<lxlyUzlw. z> :R- x iyazi w:
[*55-341] z>:R-xly = A.V .R-xly = zlw:
[*25-24. *23-551] ^:(R-xly)Uxly = xly.V.
(R-xiy)Oxiy = xiyOziw (3)
\-.*tt'3'36.z>b-:zl(Rnxly).z>.(R-xly)Gxly = R (4)
Ь . (3). (4). z>\-:. R Gx ly U z lw. & I (R П x ly). z>:
R = xly.V.R = xlyOzlw (5)
h.(2).(5). z>\-:.RGxlyUzlw.=>:
R = A.V.R = xly.V.R = zlw.V.R = xlyGzlw (6)
h . (2). (5). h . Prop
Последнее предложение является аналогом *54-44.
*55 51. \-:.RGxiyOS .z>:xRy.V.RcLS
Доказательство.
Ь.*55-3. z>[-:^\(Rnxiy).z>.xRy (1)
Ь.*25-49. ^\-iHp.~ftl(Rnxly).^.R<iS (2)
Ь . (1). (2). э Ь . Prop
В оставшейся части параграфа мы изучаем свойства ординальных пар,
которым не соответствуют никакие аналогичные свойства единичных
классов.
*55 52. Ь . (i'jcU Су)Т (i'zU t'w) = xizOxiwOy izOyiw [*35-82-413]
*55 521. t-:x£y. = .xlyGj [*55-3 . *50-ll]
*55 53. h :. x ф у. =>: C'R = i'jc U ь'у .RgJ . = . g ! Д .RaxlyGy ix
Доказательство.
h.*55-5. =>h:.g IR.RGxlyUylx. = :
R = xly.V.R = ylx.V.R = xlyUylx (1)
h . *55-15 . z> h . C'jciy = i'jcU i';y . C'y I x = i'jc U 1'y (2)
h . (2). *33-262 . z> h . C'(jc iy О у i x) = l'jc U I'y (3)
h.*55-521. z>\-:x£y. z> .xiyGj .у ixGj. (4)
[*23-59] z>.xiyOyixaJ (5)
PRINCIPIA MATHEMATICA I

*55. ОРДИНАЛЬНЫЕ ПАРЫ
437
Ь.(1).(2).(3).(4).(5).эЬ:.
х ф у . =>: g ! R. R Gх ly U у I jc . =>. C'R = l'jc U Су . R G/ (6)
Ь . *35-91. z> Ь : С'Д = l'jc U Су. z>. R g(l'jcU l» T (l'jcU Cy) .
[•55-52] z>.RGxlxGxlyGylxGyly (7)
h . *50-24 . z> Ь : Д G/. z>. ~ (jc/?jc) . ~ (y/ty).
[•55-3.Transp] 3.tfnjcJ,jc = A.flh;yJ,;y = A (8)
Ь . (7). (8). *25-49 . z>\-:C'R = CxUCy .RgJ .z> .RaxlyGylx (9)
h . *33-24 . *51-161. э h : СД = l'jc U Cy. z>. g ! Д (10)
h . (9). (10). z> h : СД = l'jc U Cy. R G /. z>. 3 ! Д . R G jc J, у О у I x (11)
К (6). (11). зЬ.Ргор
•55-54. h :: jc ф у. z>:. C'tf =CxUi'y .Rf)R = A. = :R = xly .V .R = y lx
Доказательство.
h . *50-46 . *4-71 . z>t-:Rf)R = A. = .RGj.RnR = A (1)
h . (1). *55-53 . z> h :: jc ф у . z>:. C'R = CxUCy .Rf)R = A.
= :Q\R.RGxlyGylx.RnR = A:
[*5b-b-134] = zR = xly.V.R = ylx.V.R = xlyGylx:RnR = A (2)
(3)
(4)
(5)
h. *55-32
[•55-14]
h. *55-14
[•23-5]
[•55-134]
ь.(з).(4;
\-::хфу.
h.(2).(5;
•5557.
•55-571.
•55572.
•55573.
•55-58.
•55-581.
•55-582..
•55583.
. Dh :.хфу . э:
з:
.•31-15-33. зЬ
). *4-71 . *5-71 .
z>:.R = xly. V.
) . з Ь . Prop
\-.R\(xly)=1$
:xlyC\ylx-
R=xly.з
/^yj, jc. з
:R = xiyOy
3
tf = ;yj,jc. V
'^Tl>
\-.(xly)\S=Cxtfry
\-.R\(xly)\S =
\-.R\(xly)\S =
h : E ! R'x. з. R
Ь:Е!5';у.з.(;
b:E!/?'jc.E!5
h : E ! R'x. E ! 5
^'JCT^
=7?'jcT^';y
!|(xAy) = (i?'
= A:
.RnR=A:
.RC\R = A
> I jc. з.Д=#.
=>.дпя = д.
э.д !/?пл
= : Я = jc i у . V . R =
[•37-81. *55-l. *5^
[•55-571. *37-81]
[•55-5721]
= A:
yix
1-301]
'x)iy [*55-57 . *53-31 . *55-l]
*Ъ)|5=*ИЪ)
>.3.7?|(JC
ly)\S=(R<x)l(S'y)
'•у.э.Л|(*Ш5=(ЛЪШ5'зО
[•55-58-581]
[*55-582|]
Последние предложения часто используются в арифметике. Их
применение можно проиллюстрировать следующим образом. Пусть а, р, у, б —
классы, причем а связано с у отношением R, а р с б —отношением S.
Тогда если хеу .уеЬ, то пара, состоящая из референта jc и референта у, есть
(R'x)I(S'y), т.е., согласно последнему предложению, R\(xiy)\S, иначе
говоря, (R\\SY(xiy). Таким образом, отношение R\\S связывает пары,
выбирая из а и р референты термов из у и б. Наиболее полезная на практике
форма предложения *55-583 дана ниже под номером *55-61.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

438 ГЛАВА 1. ЕДИНИЧНЫЕ КЛАССЫ И ПАРЫ
*55-6. Ь . (R \\$Y(zI w) =~$'z T^V [*55-573 . *43-112]
*55 61. \-:ElR*z.E\S'w.^.(R\\8y(zlw) = (R'z)l(S'w)
[*55-583.*43-112]
*55-62. \-:z£w.S =xlzOylw.z>.S'z = x.S'w = y
Доказательство.
h . *55-13 . зЬ::Нр.з:. wSz. = :m = jc.z = Z-V.m=j.z = w (1)
h . (1). *13-15 . z> h :. Hp. z>: uSz. = . и = х (2)
Аналогично h :. Hp . з : uSw. = . и = у (З)
К . (2). (3). *30-3 . з Ь . Prop
*55 621. \-:x£y.S =xlzOylw.z>.Six = z.S'y = w
[Доказательство аналогично *55-62]
Четыре следующих предложения принадлежат *43, но помещены здесь,
так как в их доказательствах используется *55-13.
*55 63. t-iRlQnS .P\\Q = R\\S .z>.P = R
Доказательство.
Ь.*43-112. зЬ::Нр. *i.P\(ylz)\Q = R\(ylz)\Si.
[*34-1] з :. (aw, v). хРи . и (у I z) v. vQw. =XtW .
(дм, v). xRu. и (у i z) v. vSw:.
[*55-13 . *13-22] з:. xPy. z£>w. =XtW . xRy. zSw:.
[*4-73] z>:.zQw.zSw.z>w:xPy.=x.xRy (1)
h . (1). *10-11 . *ll-35 . з h :. Hp . з: xPy. =x . jt/ty (2)
h . (2). *10-11-21 . з Ь. Prop
*55 631. t-:'zlPnR.P\\Q = R\\S .z>.Q = S [Аналогично *55-63]
*55 632. \-:P\\Q = R\\S .£lP.&lQ.z>.£lPnR.ulQnS
Доказательство.
Ь.*55-13. ^YixPy.zQyv. з . x{P\(yiz) \ Q) w.
ИЗ-П2] =>.jc{(P||6)4yU)}w (1)
Ь.(1).зЬ :.Hp.z>:jcP>^.zG>v. з . *{(Д ||S)'CyU)} w .
[•43-112] *.x[R\(ylz)\S)w.
[*34-l] з . (aw, v). xRu. и (у i z) v. vSw.
[*55-13 . *13-22] з. jc/ty. zSw.
[*4-7] z>.x(PnR)y.z(QnS)w:.z>Y. Prop
*55-64. Ь:.а!/>.а!е.У.а!/?.а!5:з:Р||е = /?||5. = .Р = /?.е = 5'
[*55-63-631-632]
Principia Mathematica I

*56. ОРДИНАЛЬНОЕ ЧИСЛО 2Г
439
*56. Ординальное число 2Г
Краткое содержание *56.
В настоящем параграфе мы изучаем класс отношений, каждое из
которых состоит из единственной пары. В случае, когда два элемента этой
пары не тождественны друг другу, класс таких отношений (как будет
показано позже) есть ординальное число 2, которое, чтобы отличить его от
кардинального числа 2, будем обозначать"2Г". (Здесь индекс "г"
предназначается для указания на слово "relational".) Класс всех отношений,
состоящих из одной пары, без ограничения на различие двух элементов пары,
будет обозначаться "2". Это не ординальное число. Будет отмечено, что
нет ординального числа 1, поскольку ординальные числа применяются к
сериям, а серии должны иметь более одного элемента, если они вообще
имеют хотя бы один. Данное обстоятельство прояснится в большей
степени, когда мы перейдем к сериям.
Свойства 2 во многом аналогичны свойствам 1, в то время как свойства
2Г более схожи со свойствами 2.
Большинство предложений настоящего параграфа редко цитируется
в последующем, но такие ссылки, если они встречаются, очень важны.
Перечислим наиболее полезные предложения настоящего параграфа.
*56 111. Ь : R € 2Т. = . D7?, СГД е 1. D7? П СГД = Л
*56112. Ь : Re2r. = . D'R, d'Rel .C'Rel
*56 113. l-.2r = 2n£"2
Заметим, что "£"2" означает "отношения, поля которых состоят из
двух термов".
*56 13. г . 2 - 2r = R {(дя). R = а I а]
*56 37. Ь:Де2г. = .С'Де2.ДПД = Л
Т. е. 2Г является классом асимметричных отношений, поля которых
состоят из двух термов.
*56 381. г : CR = Сх .==./? = х I x
*56-39. г.2-2г = £"1
Т. е. отношения, представляющие собой пары, в каждой из которых
референт тождественен релятиву, суть отношения, поля которых состоят из
единственного терма.
*5601. 2 = R{(%x,y).R = xly} Df
*5602. 2r=R{(Rx,y).x£y.R = xly} Df
*5603. Or = i'A Df
*561. \-:Re2. = .fax,y).R = xly [*20-3. (*56-01)]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

440
ГЛАВА 1. ЕДИНИЧНЫЕ КЛАССЫ И ПАРЫ
(gjc,;y). D7? = l'jc . 07? = Су:
(gjc) . D'R = i'jc : (gy) . <1'R = Су \
D7?,Q7?el
*56-101. 1-:Де2. = .В'Д,СГДе1
Доказательство.
h.*55-16.*ll-ll-341. э
\-:.eRx,y).R = xly. s
[•11-54] =
[*52-l] s
1-.(1).*56-1.э1-.Ргор
*56102. h.2 = D"lnU"l
Доказательство.
1-.*56-101.*37-106.э
1-:Де2. = .Деб"1.Дей"1
[*22-33] = :Деб"1пС["1:э1-.Ргор
*56-103. 1-:Де2.э.д !Д
Доказательство.
h.*56-101. э1-:Де2. D.DTfcel.
[*52-16] D.g!D7*.
[*33-24] э. g ! Д: э I-. Prop
*56104. h:/?eOr. = ./? = A [(*56-03)]
*5611. \-:Re2r. = .(Rx,y).xj:y.R = xly [*20-3 . (*56-02)]
*56 111. \-:Re2r. = .D'R,<l'Rel .D'/?na'/? = A
Доказательство.
h.*51-231.*55-16.z>
h : jc^у .R = jc J, у. = . l'jcП l'>> = Л . D'R = l'jc. СГД = iey .
[*13193] =.D'/?na'/? = A. D7? = l'jc . СГД = i'y
h.(l).*56-ll.*1141-341.z>
h :. R e 2r .= : (gjc,;y). D7* П 0'Д = Л . D'R = l'jc . СГЛ = iey :
[*ll-45] = : D7? П О'/? = Л : (gjc,у). D7? = l'jc . СГД = i'y:
[*ll-54] = : D'fl П О'/? = Л : (gjc) . D7? = l'jc : (gy) . СГД = i'y :
[*52-l] = : D7? П О'/? = Л. D7?, О'/?€ 1:. э h . Prop
*56 112. h iRe2r. = . D72, О'Де 1. C'Rel
Доказательство.
1-.*56-111.*54-43.э
h:/?62r.E.D^a'/?€l.D'/?ua'/?62.
[*33-16] = . D7?, a'/? € 1. C'R e 2: э I-. Prop
*56-113. K2r = 2n£"2
Доказательство.
h. *56112101. э1-:Де2г. =s . Де2. С'Де2 .
[*37406. *33-122] = .Де2.Де£"2.
[*22-33] = . Re2 n £"2: э h . Prop
*56-114. K2r==D''lnC['ln£''2 [*56-113-102]
(1)
(1)
Principia Mathematica I

*56. ОРДИНАЛЬНОЕ ЧИСЛО 2Г
441
*5612. YiRe2r. = .Re2.R<LJ
Доказательство.
h . *55-3 . *50-11 . z>\-:x£y. = .xlyGJ:
[Fact] ^\-:R = xly.x£y. = .R = xly.xlyaJ.
[*13-193] =.R = xly.RaJ
K(l).*ll-ll-341. =>
I" =• (Ях,у) . R = *J,y. х фу .=
[*ll-45] =
[*56-l] s
h.(2).*56-ll.z>l-.Prop
*56 121. K2rG2 [*56-113]
*56 122. I-: Я e 2r. э. g ! Д [*56-121-103]
*56 13. h . 2 - 2r = R {(aa). Д = a I a)
Доказательство.
Ь . *56-ll. *ll-52 . Transp. э
(Rx,y).R = xly. RgJ:
(Rx,y).R = xly:RGJ:
Re2.RGJ
(1)
(2)
\-:R~e2r.
h. (1). *564
|-:.Де2-2г.
[*ll-45]
[*13-193]
[*55-202]
[*13-21]
[*13-195]
siR = xly.z>x#
(ga, b).R = alb:R = xly. z>Xty .x = y
(i)
: (ga, b): R = a I b : R = x ly. э*)У . jc = у :
: (ga, fc) : Я = a J, fc : a J, fc = jc J, >>. эло,. дг = у:
: (ga, fc):tf = aj,fc:a = jc.fc = ;y. злу . х = у :
: (да, b).R = alb.a = b:
: (да) . Я = а J, а :. эК Prop
2-2г можно было бы определить как ординальное число 1, поскольку
это есть то, что мы будем называть относительным числом (см. *153). Но
мы хотели бы, чтобы наши ординальные числа были классами сериальных
отношений, а такие отношения должны обладать свойством содержаться
в различии. Поэтому если бы мы определили 2-2г как ординальное
число 1, нам пришлось бы ввести неприятное исключение, которое привело
бы за собой в ординальную арифметику вереницу тривиальных, но
утомительных усложнений. Вот почему мы решили отказаться от этого пути.
*56-14. h . D'Oci) = 2П 6Vjc
Доказательство.
, h . *33-6 . z> h : D'R
\-. (1). *56-l. э
h:./?e2n&4'jc.=
[*55-16] =
[•11-45] s
[*13-193] =
[*51-23] =
[*13-195] =
[*55-16] s
[*55-22] =
*56-141. h . D'i x = 2 n fr'i'jc
L JC. =
./?e6"'l
(1)
(RZ,y).R = zly:D'R = Cx:
(gz,;y). D'R = Cz. d'R = Cy: D'R = Cx :
(gz,;y). D7? = Cz. d'R = Cy. B'R = Cx :
(gz,y). B'R = Cz. <J'R = Cy. Cz = l'jc :
(gz, y). B'R = Cz .<l'R = Cy.z = x:
fay).D'R = Cx.<l'R = Cy:
(Ry).R = xly:
ReD\xl):.z>\-.Prov
[Доказательство аналогично *56*14]
А.Н.Уайтхед, Б.Рассел

442
ГЛАВА 1. ЕДИНИЧНЫЕ КЛАССЫ И ПАРЫ
[*10-35 . *4-51
[*13-193]
[*51-23]
[*13-195 . *51-23]
[*13-193]
[•11-45]
[*55-16. *33-6]
[*56-11. *22-33]
5-61] =
*56-15. h . D'(jc I) - l'(jc I х) = 2Г П &'l'jc
Доказательство,
h . *55-22-16 . э h :. R в {D'(jc I)} - l'(jc | jc) .
: (gy). D'R = l'jc . <J'R = Cy:~ (D'R = l'jc . <J'R = l'jc) :
: (gy). D7? = l'jc . (J'R = i'y.~ (07? = i'jc) :
: (gy) .D'R=Cx.<l'R = i'y.~ (Cy = l'jc) :
: (gy). D'R = l'jc . Q.'R = Cy. jc + у:
: (az,y)-z + y. D7* = l'z . О'/? = L'y. l'z = l'jc :
: (Я*>у). z ^у. T>'R = l'z . О'/? = i/y. D7* = l'jc :
: (Яг, y).z±y.D'R = i'z.<l'R = i'yiDuR = iux:
: (Я^, y).z?fcy./f = ziy:/?€ &'i'jc :
:/?62rn&4'jc:.3l-.Prop
[Аналогично
*56-151. h . D*a *) - l'(jc i jc) = 2r П ST'l'jc
•56-16. l-.jcj,ye2
Доказательство.
*56-15]
b.*21-2. z>I-.jc^ = jc^.
[*ll-36] э h . (gz, w).jcJ,)> = zJ,>v.
[*56-l] =>l-.jc^e2.z>h.Prop
, = .;yj,jce2r. = .jc^;y
:(gz,w).
:(gz,w).
>хфу
. Prop
Z±w> xly = zlw:
z£w.x = z*y = w:
(1)
(2)
. У Ф x :
. jc i у € 2r
*56-17. h:jcj,ye2,
Доказательство.
K*56-ll.z>
h :. jciye2r. =
[*55-202] =
[*13-22] =
Аналогично
\-:ylxe2r. =
1-.(1).(2).э1-
*5618. I-: jc ~ e a. = . jc J,"a с 2T. = . J, jc"a с 2Т
Доказательство.
h. *13196 . эЬ:. jc~ea. =:yea.
[*56-17] =:yea.
[*37-61 . *38-12-ll] = : jcГ'а с 2r
Аналогично h : jc ~ e a. = . I jc"a с 2r
I-. (1). (2). э I-. Prop
*5619. \-^е2г.хеВ^. = .(яу).хфу^ = х1у. = ^ех1"-1'х
Доказательство.
h.*56-ll.*ll*45. ^\-:.Re2r.xeDlR. =: (Ry,z) .y?z.R = y Iz.xeD'R
[*55-15] =: (gy, z).y±z.R = ylz.xei'yi
[•51-23] =t(ay,z).y±z.R = ylz.x = yi
[*13-195] = : (gz) .x±z.R = xlz:
[*51-15] = : (gz).ze-i'x.R = xlz:
[*38-13] =iRexl"-\?x (2)
h.(l).(2).z>h.Prop
•56-191. \-:Re2r. xed'R. = . fay). xфу.R = y Ix. = .ReIx"- Cx
[Доказательство аналогично *56-19]
(i)
(2)
(1)
Principia Mathematica I

*56. ОРДИНАЛЬНОЕ ЧИСЛО 2Г
443
*56-2. h :. R €2. = : (a*,?): ztfw. =ZiVV. z = *. w = у [*55-13
*56-21. h:./?e2. = :g!/?: xRy. ztfw. 3W>W. x = z. у = w [*56-2 .
*56 22. I-. A ~ e 2 [*56-103 . *25-53]
*56-24. h . g ! 2. g ! - 2 [*56-22-16 . *10-24]
*56-25. h . 2 ^ Л П Rel. 2 ^ V П Rel [*56-24 . *24-54-17]
*56-26. h :. R e 2 U i'A . = : xRy. z/?w. эло,АИ,. x = z. у = и>
Это предложение является аналогом *52-4.
Доказательство.
Ь.*51-236. 3l-::/?e2Ui'A.
Де2. V./? = A:.
Яе2. V.~a !/?:.
3 ! /? : xRy. ztfw. 3^yAW -x = z-y = w:.V :.~q\R:
, *564]
N14-124]
[*25-51]
[*56-21]
[*5-62]
£IR
>x,y*,w -X = Z.y = W.V ,
: ~ (xRy). ~ (zRw):
: jc#y . э . x = z: zRw. э . у - w:
: jc/ty. zfiw. э. x = z. у = w
. jc/ty . zRw.
h . *ll-36 . Transp. э h :. 3 ! Д. =>:
[*2-21] э:
[*3-47] э:
I-. (2). *ll-ll-3 . э h :. a • R • => s *^;y • ztfw • э*,у,г,и>. jc = Z. ^ = w
h . (1). (3). *4-72 . Dh. Prop
*56-261. \-::Re2.^>:.S GR. = :S =A.V .S =R
Доказательство.
h . *55-341 . z>\-::R = xiy^>:.S GR. = :S = A. V . S = J
h . (1). *ll-ll-35 . *564 . э h . Prop
*56-262. \-:.Re2.z>:S GR.RlS . = .S =R
Доказательство.
K*56-22. эН:.Де2.э:5 =R.z>.S фк
h. (1). *5-75 . *56-261. z>
|-:.де2.=>:5сд.5М. = .5 =д
h . (2). *25-54 oh. Prop
*56-27. \-:.Re2.z>:>£lRnS . = .Rf)S e2
Доказательство.
h . *55-34 . *23-43 . э
\-:.R = xly.^>:£ \RCiS .
[*56-16]
h.*56403. эН:Яп5е2.
K(l).(2). z>\-:.R = xly.
I-. (3). *1Ы1-35 . *56-l. э h . Prop
*56-28. \-i.Re2.z>:&lRnS .^.RgS . = .RCiS =R
Доказательство.
h.*55-3. э1-:.Д = л;|;у.э:з!Яп5. =.RgS .
[*23-621] =.RC\S=R
h. (1). (2). *ll-ll-35 . *56-l . э h . Prop
(1)
(2)
(3)
(1)
(1)
(2)
RC)S =R.
tRf)Se2
i&lRHS.
= .Rf)S e2
(1)
(2)
(3)
(1)
(2)
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

444
ГЛАВА 1. ЕДИНИЧНЫЕ КЛАССЫ И ПАРЫ
h. *56-121.
[*56-28]
h.*13-13.
[(1)1
z>h:
эк:
.Нр.
.Нр.
э
э
э
э
*56-281. \-:.Re2r.z>:R\RhS . = .RclS . = .RnS =R. = .Rf)S e2r
Доказательство.
:Re2:
:g!/?hS . = .RgS . = .Rf)S =R (1)
\RnS =R.Z}.RnSe2r:
:g \RC\S .z>.Rf)Se2r (2)
h. *56-122 .э1-:/гп5,б2г.э.а!/?П5' (3)
h.(2).(3). эК-.Нр. ^:^IRC)S . = .RnSe2r (4)
h.(l).(4). эКРгор
*56-29. h:P,ee2.D:./)G2u/?. = :P = 6.V.PG/?
Доказательство,
h . *55-51 . э
\-:.xlyGzlwGR.^:x(zlw)y . V . jcJ,yG#:
[*55-31] 3:;cJ,;y = zJ,>v. V.jcJ,yGfl (1)
К(1).*13-12.э
Ь::.Р = *^;у.з::£ = г^и>.э:.Рс£иД.з:Р=е.У.РсД (2)
К(2).*11-11-35.*56-1.э
\-::.Pe2.z>::Q = zlw.=>:.PcLQGR.z>:P=Q. V.Pci? (3)
h.(3).*llll-3-35.*56-1.3
(-::.Ре2.з::£е2.з:.Рс£?иД.з:Р=£. v.Pg/? (4)
I-. *23-58-61 .Dh:.P=e.V.PG/?:D.PG2U/? (5)
h . (4). Imp. (5). з I-. Prop
*56 3. h:.P,Qe2.z>:.PGQ. = :P=Q. = .RlPnQ
Доказательство.
h. *55-3-31. z>
\-: x l у Gz I w. = . x l у = z lw. = . Q I (x I y) f) (z I w) (1)
К(1).*13-12.э
h:.P = jci^.c2 = zi>v.z>:PGe. = :/> = G. = .a!/>n6 (2)
h . (2). *llll-35 - *564 . з h . Prop
Шаги от (2) до заключения аналогичны шагам от (2) в *56-29 до
заключения *56-29. Аналогичные шаги в последующих доказательствах будут
только указываться, как и выше.
*56-31. 1-:.Р,£е2.э:Р^*2. = .РП£ = А [*56-3 . Transp]
*56-32. h:Pe2.3.Phc2€2UL'A
Доказательство.
h. *56-27 .эН:.Нр.з:д!Рпе.э.РП£е2:
[*2-54 . *25-54] з : Р П £ = A.V . PnQei:
[*51-236] з : Р П Q е 2 и i'A :. з h . Prop
*56 33. h::P,Qe2.z>:.RGPGQ. = :R = A.V .R = P.V .R=Q.V.R = PGQ
Доказательство.
h . *55-5 . *1312 .z>\-:zP = xly.Q = zlw.^i.
RgPGQ. = :R = A.V.R = P.V.R = Q.V.R = PGQ (1)
h . (1). *ll-ll-35 . *56-l. э h . Prop
Principia Mathematica I

*56. ОРДИНАЛЬНОЕ ЧИСЛО 2Г
445
*56 34. \-::P,Qe2.P£Q.z>:.RGPuQ.'3[lR.R£PuQ. = :R = P.V .R=Q
Доказательство.
h . *56-33-103 . *5-75 . *25-54 . з
\-::P,Qe2.^>:.RGPUQ.'zlR. = :R = P.V .R = Q.V .R = PGQ (1)
h . *23-62 . ^>\-:P = PUQ. = .QgP:
[*56-3] z>\-:.P,Qe2.z>:P = PUQ. = .P = Q:
[Transp] э:Р#£.э.Р^РОе:.
[*13-181] э1-:.Р,(2е2.Р^е-=>:^ = ^-=>-^#^ие (2)
О P
K(2)^-r. з!-:.Р,£е2.Р^£.з:Д=£.з.Д^Ри£ (3)
h.(2).(3). э1-::Р,еб2.Р^е.э:./? = Р.У./? = е:э./?^Р0е (4)
h . (1). (4). *5-75 . э h. Prop
*56 35. Н:С'Яе2.ЯлД = А.з.Де2г
Доказательство.
h . *55-54 . з
h :. x фу. С'/? = i'jc U Су .R nR = A . з : Д = jciy. V . Д = y I x:
[*5647] з:Де2г (1)
h . (1). *Ц.Ц.35 . *54-101. э h . Prop
*56-36. h :Re2r. з . C'Re2. RnR = A
Доказательство.
I-. *55-54 . з
\-:x±y.R = xly.z>.x±y.C'R = CxUi'y.RnR = A (1)
1-.(1).*11-11-34.*56-11.э
h :. Д € 2r . з : (a jc, y). jc ^ у . С'/? = i'jc U i'y. Д Л tf = A :
[*54-101. *ll-45] з h : C'R e 2 . R Л Д = A:. з h . Prop
Следующее предложение, кроме использования в *56-38, находит свое
применение также в элементарной теории серий (*204-463).
*56 37. \-:Re2r. = .CRe2.RnR = A [*56-35-36]
*56-38. h . 2Г = С"2 Л R (R Л R = А)
Доказательство.
1-.*37:106.*33-122. зЬ:С'Де2. = .Де£"2 (1)
Ь.*20-3. зЬ:ДлД = А. =.ReR(RnR = A) (2)
h . (1). (2). *56-37 . з1-:Де2г. = .ReC"2.ReR(R ЛД = A).
[*22-33] = .ReC"2nR(Rf)R = A): з h . Prop
Значение данного предложения заключается в установлении связи
между кардиналом и ординалом 2. В нем показано, что ординал 2 состоит из
асимметричных отношений, у полей которых (кардинальное) число термов
есть 2. Оно используется в теории правильно упорядоченных серий.
Следующее предложение, кроме использования в *56-39, находит свое
применение также в реляционной арифметике (*165-38) и в теории серий
(•205-4).
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

446
ГЛАВА 1. ЕДИНИЧНЫЕ КЛАССЫ И ПАРЫ
z>h : C'R = i'jc. э. g ! D7?. D7?сi'jc.
z>.D7? = i'jc
h:C7? = i'jc. э.а'Д = 1'л:
э h : СД = i'jc. d./? = jc|jc
3h:tf = jcj,jc. d.C7* = i/jc
(1)
(2)
(3)
(4)
*56-381. \-:C'R = Cx. = .R = xlx
Доказательство.
h . *33-24-161. *51-161
[*51-4]
Аналогично
h . (1). (2). *55-16 .
h.*55-15.
h . (1). (2). э h . Prop
*56-39. K2-2r = £"l
Доказательство.
г . *56-381. э г : C'Re 1. = . (gx) .R = xlx.
[*56-13] =.Re2-2r (1)
|-.(1).*37-106.эг.Ргор
Данное предложение устанавливает связь между 2-2г и 1, показывая,
что 2-2г есть класс отношений, поля которых состоят из
единственного терма. Это используется при обсуждении относительных чисел 0Г, 2Г
и 2-2г (*153-301).
*56-4. \-:.\ic2.^:xlye\i. = .x (i'[i) у
Доказательство.
h.*4111. Dh:.Hp.z>:jc(i»>^. = . (дД). Re2 .Re\i. xRy.
[*56-l] = . (gz, w). z i w €ц. jc (z J, w)у.
[*55-13] = . (gz, w).zj,wen,.z = jc.w = ;y.
[*13-22] =.xlye\i:.z>\-. Prop
Данное предложение является аналогом *53-23. Оно используется в
параграфе о возведении в степень в реляционной арифметике (*176-19).
Principia Mathematica I

ГЛАВА 2.
ПОДКЛАССЫ,
ПОДОТНОШЕНИЯ
И ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ТИПЫ
Краткое содержание главы 2.
Настоящая глава начинается с изучения классов, содержащихся в
данном классе, и отношений, содержащихся в данном отношении. Если а —
произвольный класс, классы, содержащиеся в а, суть элементы р(рса);
они также называются подклассами а, или (иногда) "частями" а. При этом
мы будем называть их "собственными частями", если они не совпадают с а,
используя фразу, образованную по аналогии с "собственными дробями".
Подклассами а являются все классы, которые можно образовать из
элементов класса а; иначе говоря, подклассы а —это всевозможные "комбинации"
элементов, выбранных из а в любом количестве. Если л —количество
элементов класса а, то 2" — количество подклассов а независимо от того,
конечно п или бесконечно. Количество подклассов а всегда больше
количества элементов класса а. Судя по этому, а также другим предложениям,
класс подклассов данного класса является важной функцией класса. Для
класса а обозначим класс его подклассов через "Cl'a". Это дескриптивная
функция, производимая от отношения "С1", которое определяется
следующим образом:
С1 = ка{к = р(Рса)} Df.
Подотношениями данного отношения являются все отношения,
содержащиеся в данном отношении, т. е. все отношения, которые влекут за собой
данное отношение для всех возможных аргументов. Иначе говоря, если Р —
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

448 ГЛАВА 2. ПОДКЛАССЫ, ПОДОТНОШЕНИЯ И ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ТИПЫ
данное отношение, то R является подотношением Р при условии RaP.
Таким образом, обозначая класс подотношений Р через "RPP", мы должны
иметь
RVP = R(RgP);
следовательно, в качестве определения "R1" следует принять
Rl = iP(k = R(RcLP)} Df.
Подотношения аналогичны по своим свойствам подклассам, но не
настолько важны. Однако следует заметить, что, когда одна серия содержится
в другой, т. е. получена посредством выбора из второй серии некоторых
термов без изменения порядка их следования, порождающее отношение
первой серии является подотношением порождающего отношения второй
серии. (Вовсе не факт, что подотношение порождающего отношения
некоторой серии должно порождать содержащуюся в ней серию, поскольку
поле данного отношения может быть разбито на разъединенные части, иначе
отношение не было бы сериальным.)
Далее в этой главе (*62) мы рассмотрим отношение принадлежности
классу, т. е. отношение между х и а, когда х е а. Данное отношение
находится в таком же отношении к "jcea", как "/" — к "х = у". Строго говоря,
для него мы должны были бы ввести новое обозначение, скажем,
А = Jcct (jc € a) Df.
Но, поскольку € в отличие от "=" есть буква, ее вполне можно
использовать как отдельный символ. Поэтому, чтобы избежать ненужного удвоения
символов, имеет смысл положить
e = jcct(jcea) Df.
Строго говоря, данное определение не вполне корректно, так как содержит
в себе два различных значения для "е". Однако практически на это можно
не обращать внимания, поскольку последнее определение сводится к
h:jcea. = .jcea,
где первое е имеет только что определенное значение, а второе — старое.
Все, что, по сути дела, требуется от данного определения, а именно
обеспечить смысл формулам, в которых е встречается без референта или реляти-
ва, выполняет весьма эффективно без какой-либо возможности путаницы,
приводящей к ошибкам.
Основное значение е как отношения проистекает из того факта, что
отношения, содержащиеся в е, играют весьма важную роль в арифметике.
Возьмем хотя бы задачу выбора из каждого элемента некоторого класса
классов по одному терму: в этом случае необходимо выбирающее
отношение R такое, что всегда, когда xRa, х есть элемент а, т. е. такое, что R<ie.
(Данное условие — только часть определения выбирающего отношения;
полное определение дается в *80.)
Три параграфа настоящей главы (*63, *64, *65) посвящены обсуждению
относительных типов. Мы часто сталкиваемся с необходимостью, имея
переменную jc, определить относительные типы других переменных или
многозначных символов, встречающихся в том же контексте; иначе говоря,
выразить типы этих символов в терминах типа jc. Мы принимаем
обозначение ut*xn для типа jc, "/о'а" для типа, в котором содержится а. Тогда
Principia Mathematica I

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВЫ 2
449
fo'a = aU-a, r4jc = i'jcU-i'jc = ro4'jc и г'а = Го'СГа = СГГо'а. Кроме того, мы
вводим обозначение (*65) для придания типовой определенности,
относительно х, символам с типовой многозначностью. Это обозначение находит
применение в арифметике кардиналов и ординалов, поскольку числа
обладают типовой многозначностью, и отказ учитывать данный факт ведет к
противоречиям, связанным с наибольшим кардиналом и наибольшим
ординалом.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

450 ГЛАВА 2. ПОДКЛАССЫ, ПОДОТНОШЕНИЯ И ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ТИПЫ
*60. Подклассы данного класса
Краткое содержание *60.
В настоящем параграфе четыре определения.
*6001. С1 = ка{к=рфса)} Df
Так определяется отношение к классу а класса всех его подклассов.
♦60-02. С1ех = ка{к = р(рса.д !р)} Df
Так определяется отношение к классу а класса всех его существующих
подклассов199, т.е. всех подклассов, за исключением Л. Оно часто
бывает необходимо; например, встречается в формулировке аксиомы Цермело:
"Для любого класса а существует отношение R такое, что если р — любой
существующий подкласс а, то R'$ — элемент р", т.е.
"(ЭД):РеС1ех'а.зр.Д'Ре|3."
Эта аксиома или эквивалентная ей аксиома умножения играет (как
окажется впоследствии) важную роль в качестве гипотезы многих предложений
арифметики кардиналов.
*6003. Cls2 = Cl'Cls Df
Cls2 есть класс, элементы которого —классы.
*6004. Cls3 = Cl'Cls2 Df
Cls3 есть класс, элементы которого — классы, элементы которых —
классы; т. е. Cls3 есть класс классов классов.
Помимо предложений, содержащих лишь определения, наиболее
полезными предложениями настоящего параграфа являются следующие.
*60-3. h.AeCl'a
*60 32. h . СГЛ = 1'Л
*60-34. h.aeCl'a
♦60-362. h . CI'i'jc = 1'Л U i'i'jc
Т. е. Ли i'jc суть единственные подклассы единичного класса i'jc.
*60-5. b..s'Cl'a = a
*60-57. h.KcCl'5'к
*60-6. Ь : jcea. э . I'jceClex'a
Предложения настоящего параграфа в основном находят применение в
арифметике кардиналов и ординалов, хотя они нужны также в теории
серий; едва ли ссылки на них встретятся до арифметики кардиналов.
*60-01. С1 = ка{к=р(Рса)} Df
*60-02. С1ех = ка{к = р(рса.д!р)} Df
*6003. Cls2 = CrCls Df
*60-04. Cls3 = Cl'Cls2 Df
В современной терминологии — непустых подклассов. — Прим. перев.
Principia Mathematica I

»60. ПОДКЛАССЫ ДАННОГО КЛАССА
451
♦601.
«60-11.
♦60-12.
♦6013.
♦60-14.
♦60-15.
*60-2.
♦60-21.
♦60-22.
♦60-23.
♦60-24.
♦60-3.
♦60-31.
♦60-32.
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
1-
*21-3.(*60-01)]
*21-3. (*6O02)j
*30-3. *60-l]
*30-3. *60-ll]
*60-12 . *14-21]
•14-21]
*20-33]
:кС1а. = .к = Р(рса)
:кС1еха. = .к = Р(рса.д!р)
.С1'а = р(рса)
.С1ех'а = Р(Рса.д!Р)
. Е! С1'а
.Е!С1ех'а
:реС1'а. = .рса
:реС1ех'а. = .рса.з!р
:РеС1ех'а. = .реСРа.д!Р
:реС1ех'а. = .реС1'а-1'Л
. С1 ех'а = СГа-i'A
.ЛеСГа
. СГЛ = i'A
Доказательство.
h . *60-2 . *24-13 .
[*51-15]
*60 321. h : а = Л. = . С1'а = i'a
Доказательство.
К*60-32. z>l-:a = A. = .Cl'a = i'a (1)
|-.*60-2.*51-15.э
h :• СГа = i'a . = :рса.=р.р = а:
[*10-1] э:Лса. = .Л = а:
[*24-12] з:Л = а (2)
h . (1). (2). э h . Prop
*60 33. h . С1 ех'Л = Л П Cls
Мы записываем справа "AnCls", чтобы показать, что данное Л
принадлежит высшему типу по сравнению с Л в левой части.
Доказательство.
h . *60-22-32 . э1-:реС1ех'Л. = .pei'A.g!p.
[*51-15 . *24-54] = . Р = Л. р ^ Л (1)
h . (1). *3-24 . z> h. р ~ е С1 ех'Л. (2)
h . (2). *10-11 . *24-15 . z> h . Prop
60-13
*60-12
*60-13. *20-33]
60-2-21]
*60-22. *53-52]
*60-23. *20-43]
*24-12. *60-2]
*60-3. *10-24]
:аеСГЛ. = .а = Л.
= . а е i'A: э h . Prop
*60-34.
*60-35.
*60-36.
*60-361.
*60-362.
*60-37.
kaeCl'a
h : g ! а. э . а е С1 ех'а
h : з ! а. з. g ! С1 ех'а
h : g ! а • = . g ! С1 ех'а
I-.C1'i'jc = i'AUi'i';c
h • CI ехЧ'д: = l'i'jc
[*22-42 . *60-2]
[*60-22-34]
[*60-35. *10-24]
[*60-36-33]
[*51-401. *60-2]
Доказательство.
h.*60-21. Dh:peClex4'jc. = .pei'jc.g !p.
[*51-4] =.p = i'jc.
[*51-15] s . p e i'i'jc : z> h . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

452 ГЛАВА 2. ПОДКЛАССЫ, ПОДОТНОШЕНИЯ И ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ТИПЫ
ex = i'a
•Э !<*
э : i'jcс a . з ! i'jc. = . i'jc = a:
э : i'jc с a. = . i'jc = a:
э: x e a. =. i'jc = a
э: g ! a. = . (gjc) . i'jc = a.
E.ael:
э:ае 1
(i)
(2)
(3)
(4)
«60-371. h:ael.z>.Cl'acOUl
Доказательство.
h . +51-401 . э h :: a = i'jc. э:. р с a. = . p = Л. V . p = i'jc :
[+54-102 . +52-22] э: p e 0. V . p e 1:.
[+60-2 . +22-34] э :. p e Cl'a. э . p e 0 U 1 (1)
h . (1). +10-11-23 . +52-1 . э h . Prop
♦60-38. h : a e 1. s . CI ex'a = I'a
Доказательство.
h . *60-37 . э h: a = i'jc . э . CI ex'a = I'a:
[+10-11-23] z> h : (gjc). a = i'jc . z>. CI ex'a = i'a:
[*524] э h : a e 1. з. CI ex'a = i'a
h . *60-361. *51-161. z> h : CI ex'a = i'a. э .
h . *60-21 . +10-1 . э h :. CI ex'a = i'a.
[+51-161]
[+51-2]
h . (3). +10-11-21-281. э h :. CI ex'a = i'a.
[*52-l]
[(2)]
h . (1). (4). э h . Prop
♦60-39. h . CP(i'jc U Су) = 1'Л U i'i'jc U CCy U i'(i'jc U Су) [+54-4 . +60-2]
♦60-391. Ь : а е 2 . э . Cl'a с О U 1 U 2 [♦54-411. *60-2]
Это предложение используется в теории непрерывности функций
(♦234-202).
♦60-4. h : р е Cl'a. у с р. э . у е Cl'a [+60-2 . +22-44]
♦60-41. Ь : р е Cl'a. э. р П у е Cl'a [♦60-4 . ♦22-43]
Следующее предложение потребуется в теории правильно
упорядоченных серий (♦250-14).
♦60-42. Ь : р е Cl'a .уср.д^.э.уеС! ex'a [♦60-4-22]
♦60-43. h : р, у € Cl'a. z>. р U у е Cl'a [+22-59 . +60-2]
♦60-44. h : р е Cl'a. у е CI ex'a. z>. р U у е CI ex'a [♦60-43 . +24-56 . +60-22]
Следующее предложение потребуется в теории "первых разностей"
(♦170-65).
♦60-45. h:peCl'(aUp). = .(aY»S)-Y^Cl'a.6eCl'p.p = YU6
Доказательство.
h. +60-2 . +22-621-68 . z>
h: р е Cl'(a U р). э. р = (р П a) U (р П р) (1)
h . +60-2 . +22-43 . э h . р П абСГа. рП peCl'p (2)
h . (1). (2). +10-24 . z>
h:peCl'(aUp).D.(aY»S)-Y^Cl'a.6eCl'p.p = YUo (3)
h. +60-2 . z>
l-:(aY»S)-YeCl'a.6eCl'p.p = YU6.z>.(aY,8).Y<=a-o<=P-P = YUo-
[+22-72] z>. p с а и р.
[+60-2] z>.peCl'(aUp) (4)
h . (3). (4). э h. Prop
Principia Mathematica I

*60. ПОДКЛАССЫ ДАННОГО КЛАССА
453
*60-5. Ks'Cl'a = a
Доказательство.
Ь . *40-11. *60-2 . э h : jce s'Cl'a. = . (3Р). р с a. jeep. (1)
[*22-441] э-jcea (2)
h. *22-42 . DbiJtea.D.aca.jcea.
[*10-24] z>.(gp).pca.jcep.
[(1)] D.Jces'Cl'a (3)
|-.(2).(3).эКРгор
♦60-501. h.^4Clex'a = a
Доказательство.
h . *40-ll. *60-21. э h : x e s'Cl ex'a. =. (gp). p с a. g ! p. x e p. (1)
[*22-441] э-jcea (2)
h . *22-42 . Dh:jcea. D.aca.jcea.
[*10-24 - *24-5 - *4-7] 3.aca.g!a.jtea.
[* 10-24] э.(ар).рса.а!р.д:ер.
[(1)] D.jce^Clex'a (3)
h . (2). (3). э h . Prop
Последнее предложение используется в теории умножения кардиналов
(*115-17).
*60-51. Кр'С1'а = Л [*40-22 . *60-3]
Следующее предложение используется в теории конечных и
бесконечных кардиналов (* 124-541).
*60-52. h : j'k с р. = . к с Cl'p [*40-151. *60-2]
*60 53. Ь : р с/?'к. =. ре/?'С1"к
Доказательство.
h . *40-15 . *60-2 . э h :. р с р'к. = : у е к. э7 . р е Cl'y:
[*40-41 . *60-14] = : ре/7'С1"к:. э h . Prop
♦60-54. h . СГр'к = /7'С1"к [*60-53-2]
*60-55. h : Cl'a = Cl'p. =. a = р
Доказательство.
h . *30-37 . *60-14 . э h : a = p. z>. СГа = Cl'p (l)
h . *30-37 . z> h : Cl'a = Cl'P. z>. s'Cl'a = j'Cl'P.
[*60-5] z>.a = p (2)
h.(l).(2).z>h.Prop
*60-56. h:Clex'a = Clex'p. = .a = p [Аналогично *60-55 ]
Следующее предложение часто цитируется.
♦60-57. KkcCIVk
Доказательство.
h . *40-13 . *60-2 . эЬ:аек.з.ае CI Vk (1)
h . (1). *10-11. *22-1 . э h. Prop
*60 6. Ь : х е а. э . i'jc е С1 ех'а [*51-2-161. *60-21]
Следующее предложение используется в связи с умножением
кардиналов и отношениями больше и меньше (*115-17 и *117-66).
*60-61. h . i"a с CI ex'a [*37-61. *51-12 . *60-6]
*60-62. h : х, у е а. z>. l'jc U Су е С1 ех'а [*60-6-44]
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

454 ГЛАВА 2. ПОДКЛАССЫ, ПОДОТНОШЕНИЯ И ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ТИПЫ
*60-7. h.Cl'aeCls2
Доказательство.
Ь.*60-2.оЬ:реСГа. =.рса.
[*221. *201-3] =.(аф,\|/).а = г(ф!г).р = г(у!г).\|/!д:эхф!л;.
[*Ю-5] D.(av).p = 2(v|/!z).
[*20-4] э. ре Cls (1)
h . (1). *60-2 . (*6003). эh.Prop
*60-71. Ь . Cls2 = Cl'Cls [(*60-03)]
*60-72. h . Cls3 = Cl'Cls2 j(*60-04)j
Principia Mathematica I

*61. ПОДОТНОШЕНИЯ ДАННОГО ОТНОШЕНИЯ
455
*61. Подотношения данного отношения
Краткое содержание *61.
Предложения настоящего параграфа (за исключением предложений
♦61-371-372-373, в не столь совершенной степени соответствующих *60-371)
являются аналогами предложений из *60 с той лее самой десятичной
частью. Доказательства опущены, поскольку они в точности аналогичны
приведенным в *60. Очень мало ссылок на предложения настоящего
параграфа встретится в дальнейшем.
Df
Df
Df
Df
R\ = XP{k = R(RGP)}
R\ex = iP{X = R(RGP)^\R)}
Rel2 = Rl'(Rel | Rel)
Rel3 = Rl'(Rel2TRel2)
:XR\P. = .X = R(RgP)
: X Rl exP. = . X = R (R G P. 3 ! R)
.RVP = R(RgP)
.Шех'Р = Д(ЯсР.д!Я)
. E! R1T
.EIRlex'P
:ReRVP. = .RaP
iPeRlex'P.^.PcP.g IR
:ReR\ex'P. = .ReRVP.& IR
:tfeRlex'P. = .ReRVP- l'A
.Rlex'P = Rl'P-i'A
.AeRl'P
.g!Rl\P
.Rl'A = i'A
:P = A. = .Rl\P = i\P
. Rl ex'A = Л П Rel
.PeRl'P
:g !P.z>.PeRlex'P
: g ! P. z>. a ! Rl ex'P
:g!P. = .g!Rlex'P
.Rl\xly) = CAVi'(xly)
.R\ex\xiy) = C(xiy)
:7?e2.z>.Rl\R = i'Aui\R
:7?e2.z>.Rl\RcOru2
:Re2r.z>.RVR<zOru2r
:Re2. = .R\exlR = CR
. R1'(jc i у и z i w) = i* A U i'(jc iy)\j i\z |w)U i\x i у и z i w)
:P,Qe2.z>. RV(PuQ) = l'A U i'P U CQ U i*(Pufi)
:QeRVP.RaQ.z>. ReRVP
:QeRVP.z>.QC)ReRVP
iQem'P.RGQ.z !P.3.PeRlex'P
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

456 ГЛАВА 2. ПОДКЛАССЫ, ПОДОТНОШЕНИЯ И ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ТИПЫ
*6143.
*61-44.
*61*5.
«61-501.
«61-51.
♦61-52.
*6153.
*61-54.
*61-55.
*61-56.
*61-6.
\-:Q,ReRVP.z>.QOReRVP
h : QeRVP.ReRlex'P.э . Q\JfleRlex'P
Ki'Rl'P = P
К j'Rlex'P = P
K/>'R1'P = A
I-is'XclQ.^.XclRVQ
1-:бс:р'Х. = .ее/7'Ш"Х.
\-.Ш'рЧ = рЖ"к
\-:RVP = RVQ. = .P=Q
h: Rlex'P = Rlex'2. = . P= Q
h:jcPy.D.Jc|^eRlex'P
Предложение, аналогичное *60-61, здесь не приводится ввиду того, что
у нас нет подходящих обозначений для его выражения.
♦61-62. h : хРу. zPw .z>.xlyUzlweRl ex'P
*61-7. b.Rl'PeCl'Rel
Principia Mathematica I

*62. ОТНОШЕНИЕ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ КЛАССУ
457
*62. Отношение принадлежности классу
Краткое содержание *62.
Когда в *20 было введено определение для "*еа", это было
определение пропозициональной функции, и такой способ определения был
необходим, потому что для введения отношений требовалось иметь дело с данной
функцией. Однако во многих случаях желательно все же рассматривать е
как отношение, в результате чего "дгеа" становится частным случаем
обозначения "w/?v". При этом, вообще говоря, смысл выражения "дгеа"
меняется, но это изменение не нарушает истинности предыдущих предложений,
в которых данное выражение встречалось, ибо если для выражения нового
значения ввести обозначение "jce'a", т.е., иначе говоря, положить
е7 = ха (х е a) Df,
будем иметь
h: jce'a. = . jcea.
Следовательно, на практике нет необходимости в новом обозначении, и
мы просто полагаем
e = M(jcea) Df.
Несмотря на то, что данное определение не вполне корректно, можно его
рекомендовать ввиду удобства и того обстоятельства, что оно не
приводит к ошибкам. Будем во всей оставшейся части работы считать символ
е имеющим новое значение.
Предложения настоящего параграфа получат применение почти
исключительно в теории выборок из класса классов (*83, *84, *85 и *88). Такие
выборки производятся посредством селективных отношений, частью
определения которых является то, что они содержатся в е. Отсюда вытекает
значение настоящего параграфа. Если к —класс классов, из которого
производится выбор, селективное отношение в действительности будет
содержаться в е \ к; следовательно, свойства е \ к становятся важными.
Некоторые из этих свойств даются в *62-4 и последующих предложениях.
Наиболее важными предложениями настоящего параграфа являются
следующие.
:кса'е. = .Л~ек
.Д = е|7?
.е"к=^'к
:Л~ек.э.СГе ^к = к
.D'efK=^K
:кс 1.з.е f K = i Гк
*62-2.
«62-231.
«62-26.
♦62-3.
♦62-42.
*62-43.
*62-55.
У
h
h
ь
h
h
i-
«62-01. e = M(jcea) Df
*621. b:xea. = .jcea [*21-3. (*62-01)]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

458 ГЛАВА 2. ПОДКЛАССЫ, ПОДОТНОШЕНИЯ И ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ТИПЫ
В данном предложении первое е имеет вновь определенное значение,
в то время как второе имеет старое значение. Благодаря данному
предложению новое значение может быть принято вместо старого во всех
предложениях с е, доказанных до сих пор, а также может заменять старое
значение и во всем последующем.
•62-2. К"£'а = а
Доказательство.
|-.*32-13. z>b."^'a = jc(jcea)
[•20-42] = a. z> h. Prop
♦62-21. h.^"'jc = a(jcea) [*32-131]
Таким образом, ^Рх состоит из всех классов, элементом которых
является JC.
•62 22. KD'e = V
Доказательство.
Ь.*24-104. Dh.(jc).jceV.
[•10-24] z>h:(jc):(aa).jcea:
[•33-13] DK(jc).jceD'e:
[•24-14] Db.D'e = V
♦62-23. KCTe = Cls-i'A
Доказательство.
h.*53-5. z>hraeCls-i'A. =.g !a.
[*33-131] =. a e d'e: z> h . Prop
♦62-231. h:Kca'e. = .A~€K [*24-63 . *33-131]
•62-24. h.e|e = V
Доказательство.
Ь.*24-104.*11-57. Db.(jc,y).jceV.;yeV.
[*31-11] ?>\-.(x,y).xeV.Vey.
[*10-24] э V : (jc, y): (aa). xea. aey:
[•34-1] Dh:(jc,y):jce|€y:
[•25-14] Dh.e|€ = V
*62-25. h.e|e = ap{a !(anp)}
Доказательство.
Ь.*34-1.*31-11. эЬ:а(б|е)р. = . (gjc). jcea. jeep .
[*22-33] = . g ! (а П p): z> h . Prop
•62-26. \-.R = e\ll
Доказательство.
h.*3218. z>\-:xRy. = .jce^'y.
[*30-33 . *32-12] = . (aa). jcea . a~fiy.
[*34-l] s . jc(e|^)^: z> h . Prop
*62-3. Ь . е"к = s'k
Доказательство.
K*37-l . dI-.6"k =Jc{(aa).aeK.jcea}
[(•40-02)1 =.^K.z>h.Prop
•62-31. h.^'K=^'K
Principia Mathematica I

*62. ОТНОШЕНИЕ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ КЛАССУ
459
Заметим, что поскольку е не является однородным отношением, т. е. его
референт и релятив не принадлежат одному и тому же типу, е2, строго
говоря, не имеет смысла. Ибо в случае х е а. а е к два е имеют разные
значения, и, следовательно, некорректна запись х е2к. Тем не менее удобно
разрешить использовать €2, подразумевая при этом, что неоднозначность е
проявляется вполне определенным образом в двух аргументах
произведения е|е, а именно у второго е референт и релятив должны принадлежать
к типам, непосредственно следующим за теми, к которым принадлежат
соответствующие члены отношения первого е.
Доказательство.
К*32-13. э1-.е^'к = х(* ^к)
[*34-5] = х {(за). х е а. а е к}
[(•40-02)] =j§k
*62 32. У . s = ^ ="? [*30-41. *62-3-31 . *37-11]
«62-33. !-.-£ = /ГCls
Доказательство.
У . *62-2 . *30-3 . э h : Р"^ а . =р . р = а.
[*20-41] =p.p = a.aeCls.
[*50-1 . *35-101] =р . Р (/ \ Cls) а: э Ь . Prop
Применение +20-41 в вышеприведенном доказательстве опирается на тот
факт, что а есть всего лишь сокращение для выражения вида 2(\|/z).
*62-34. y.Pe = sg'(P\e)
Доказательство.
г.*37-101 .(*37-01). эЬ:.аРер. = : а = х {(&у). у е р. хРу]
[*34-1] =Jc{jc(P|e)P}:
[*32-1-23] = : a {sg'(P I €)} Р :. э У . Prop
*62-4. У . е \ к = jtcfc (jcе а. а е к) [*21-2 . (*35-02)]
Отношение е \ к очень важно в арифметике кардиналов в связи с
задачей выбора из элементов класса к, т. е. выбора по одному терму из
каждого элемента класса к. Отношение, согласно которому производится этот
выбор, должно содержаться в е \ к.
*62-41. 1-:СГеГк = к-1'Л
Доказательство.
У. +35-101.3h:jc(efK)a. = .jcea.aeK:
[*10-11-281] э h :. (3*). х(е \ к) a. = : (gjc). xea . aeк:
[*10-35] = : (а*). jc e a : a e к:
[*24-5] = :3 ! а.аек:
[*53-52] = :аек-1'Л (1)
У . (1). *33-131. z> У . Prop
*62-42. Ь:Л~ек.з.СГеГк = к
Доказательство.
У . *51-36 . э У : Нр. э . кс - ь'Л.
[*22-621] э.к = к-1'Л.
[*62-41] э . СГе \ к = к: э У . Prop
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

460 ГЛАВА 2. ПОДКЛАССЫ, ПОДОТНОШЕНИЯ И ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ТИПЫ
*62 43. 1-.Б'еГк = 5'к
Доказательство.
К*33-11 . э1-.Б'еГк. = ;с{(аа).д:(еГк)а}
[*35401] = х {(да). хе а . а е к}
[(*40-02)] =s'k . z> h . Prop
*62-44. h : R Ge. = . (а) .^'а с а
Доказательство.
h.*231 . Dh:./?<ie. =:xRa.z>Xta.xea:
[*32-18] =:jce^'a.Dx,a.jcea:
[*ll-2 . *22-l] = : (a) .^'a с a:. э h . Prop
*62-45. h :. R Ge. E !! Д"СГД. = : a e G'R. z>a . R'a ea
Доказ ате льство.
Ь . *14-21 . *4-71 . зН.Д'аеа. = :E ! Д'а. Д'аеа :
[*30-33 . *5-32] = : E ! R'a: xR a . эх . x e a (1)
h . (1). *10-413 . зЬ::аеСГД.за.Д'аеа: = :.
a e О'/?. эа : E ! R'a: xR a. эх . x e a :.
[*10-29.*ll-62] =:.ae<l'R.z>a:E\R'a:ae<I'R.xRa.z>atX.xea:.
[*33-14 . *4-71] =:. a eG'R. эа : E ! Д'а: *Д а . эа,х .xea :.
[*37-104 . *ll-2] = :. E !!R"d'R. R Ge:: э h . Prop '
Данное предложение используется в теории выборок в доказательстве
*83-27 и его следствия *83-28.
*62-5. h.ice
Доказательство.
h . *33-21 . *52-13 . эКСГ1=1.
[*52-173] эЬ:аеа'1.эа.Гаеа:
[*62-45] эЬДсе
*62 51. Ь : Е ! V а. э. Г a = е'а
Доказательство.
h . *52-15-172 . э h :. Нр . э : lT a = a :
[*51-15] D:jc = i'a.=x.jcea:
[*30-3] =>: V а = е'а :. э h . Prop
*62 52. h : Е ! е'а. = . а е 1. = . Е ! Г а
Доказательство.
Ь.*30-2. э1-:.Е!е'а. =:(^b):xea.=x .x = b:
[*52-11] =:ael:
[*52-15] =.Е!Га:.э1-.Ргор
*62 53. h : Е ! е'а. э . е'а = Г а [*62-51-52]
*62-54. Ь : а е 1. z>. е'а = Г а [*62-51-52]
*62-55. 1-:кс1.э.еГк = 1Гк
Доказательство.
К*62-54. эН.Нр. э : аек. эа . е'а = Г a :
[*35-71] =>: е \ к = Г \ к: э h . Prop
Principia Mathematica I

*62. ОТНОШЕНИЕ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ КЛАССУ
461
3l-:.Jc(Lri"a)p. =
*62-56. h.erL"a = trL"a = a1t
Доказательство,
h . *52-3 . *62-55 .
h . *35-101. *37-6
[*51-51]
[*10-35]
[*13-193]
[*51-23]
[*13-195]
[*51-51]
[*35-1]
h . (1). (2). э h . Prop
*62-57. ЬЛ = еГ1
Доказательство.
h . *62-55
[*52-13]
[*35-452]
хХ$:(!3.у).уеа.р = Су:
Р = |Лк:(азО-у€<х.р = 1'з>:
(Яу).$ = Сх.уеа.$ = Су:
(Яу).$ = 1'х.уеа.1'х=1'у\
(Яу).$ = Сх.уеа.х = у:
Р = Сх.хеа:
jctp.хеа:
Jc(a1DP
= i. э h . Prop
(1)
(2)
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

462 ГЛАВА 2. ПОДКЛАССЫ, ПОДОТНОШЕНИЯ И ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ТИПЫ
*63. Относительные типы классов
Краткое содержание *63.
Обозначения, вводимые в этом и двух следующих параграфах,
предназначаются для того, чтобы иметь возможность выразить тип одной
переменной в терминах типа другой. Такие средства весьма полезны в
арифметике, где необходимо принимать во внимание типы, чтобы избежать
противоречий. Основными обозначениями являются следующие два: "to'a" —
для типа, в котором а содержится, и "f'jc" — для типа, элементом которого
является х. Мы полагаем
*63 02. f0'a = aU-a Df
Таким образом определяется "тип элементов а", или "тип,
тождественный типу а". Тип характеризуется свойством: если т —тип, то
(jc) . jcex,
и обратно, если (jc).jcex, то т —тип. Действительно, в последнем случае
"jcex" истинно всегда, когда оно имеет смысл, т.е. когда х принадлежит
типу, являющемуся областью значимости для х в "д;ет". Следовательно,
т есть область значимости, т. е. тип.
Поскольку имеет место (jc) . х е (a U - а), можно заключить, что a U - a —
тип. Это не "тип а", а "тип элементов а". (Если а пусто, "тип элементов а"
можно интерпретировать как "тип, которому х принадлежит, когда 'jcea'
имеет смысл".)
"Тип jc", т. е. тип, элементом которого является jc, определяется
следующим образом:
*63 01. f'jc = i'jcU-i'jc Df
Согласно тому, что было сказано выше, "foVjc" — тип элементов i'jc, т. е.
тип jc. Комбинируя определения f'jc и Го'а, получаем
b.f'jc = f0'i'jc.
Таким образом,
г . jc e f'jc и г : у ф х. э . у е t'x.
Короче говоря, f'jc состоит из всех объектов, тождественных или не
тождественных с jc, т. е. из всех у таких, для которых существует (истинное
или ложное) предложение "y = jc". Мы полагаем здесь "f'jc" вместо "f'a",
поскольку jc не обязательно класс, а на самом деле субъект, никоим
образом не ограничиваемый, в то время как "fo'*" не имеет смысла, если
только jc не класс, и поэтому мы используем запись "fo'a'\ а не "fo'jc".
Полагаем также
*63 011. fbjc = f'jc Df
Данное определение предназначено лишь для того, чтобы ввести f'jc
в единый ряд обозначений вместе с fo'jc и типами f2'jc, ^'jc, ..., t^x, &х, ...,
определяемыми ниже.
В силу *20-8, имеет место
h : фа V ~ фа . з . х (фл: V ~ фдс) = t'a,
т. е. если "фа" значимо, область значимости функции ф2 является типом а.
Principia Mathematica I

*63. ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ТИПЫ КЛАССОВ
463
Следовательно, две пересекающиеся области значимости тождественны, и
две различные области значимости не имеют общих элементов.
Будет показано, что i'jc всегда принадлежит типу, непосредственно
следующему за типом jc, a s'k (если к является классом классов) — типу,
непосредственно предшествующему типу к. Мы полагаем
*63 03. fi'K = fo's'K Df
так что fi'K есть тип, непосредственно предшествующий тому, в котором
содержится к. Например, если к —класс классов индивидов, t\ 'к — класс
индивидов. Также мы полагаем
*6304. t2lx = tTx Df
*63-041. i*'x = t'i1'x Df и т.д.
*6305. f2'K = fiVK Df
*63051. г3'к = г1<г2'к Df и т. д.
Таким образом, если даны два объекта, каждый из которых является
элементом какой-либо конструкции, перечисленной ниже: тип jc, тип
классов, которым принадлежит jc, тип классов, которым эти классы
принадлежат, и т. д., мы сможем выразить тип одного из наших двух объектов
посредством его отношения к другому объекту.
Предложения настоящего и двух последующих параграфов вряд ли
потребуются до того, как мы перейдем к арифметике кардиналов, но будут
постоянно цитироваться в первой главе арифметики кардиналов, первой
главе реляционной арифметики, а также будут часто требоваться в
доказательствах теорем существования кардиналов и ординалов.
Перечислим наиболее важные предложения настоящего параграфа.
*63 103. b.jcefjc
*63 105. b.acfo'a
*6311. h : xe f0'a . z>. f'jc = a U - a = t0'a
Т. е. если х является или не является элементом а, тип х есть тип,
содержащий а. Данное предложение использует *20-8.
*63 13. Ьгфл.фу.э.убГ'х
Т. е. если существует функция, выполнимая как при jc, так и при у, у
относится к типу jc. Для использования данного предложения в случае, когда
ф2 является типово неоднозначной функцией, необходимо получить
одинаковое типовое определение для jc и у. Например, всегда имеет место jc=jc и
у=у, но мы не можем рассматривать эти выражения как значения одной
и той же-функции 2 = 2, поскольку такая функция типово неоднозначна.
С другой стороны, х=а и у=а суть значения одной и той же функции 2 = a,
поскольку здесь присутствие а придает функции типовую определенность.
*63 15. Kf0rjc = f'jc
*6319. KrVa = f'a
*63-16. h : jc e fy . = . у е f'jc . = . а ! f'jc П г'у. = .Vx = fy
Данное предложение, опирающееся на *63-11, а следовательно, на *20-8
и *13-3 и поэтому на *9-14-15, жизненно необходимо для всей теории типов.
*63-32. Kfi'K=.sVK
*63-371. b:pcf0'a. = .pefa
*63-383. b.f'fi'K = f0'K
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

464 ГЛАВА 2. ПОДКЛАССЫ, ПОДОТНОШЕНИЯ И ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ТИПЫ
Вообще, имеет место f1 'f1 'к = f"+n 'к, причем суффиксы можно считать
отрицательными индексами, так что /Л1'гл'к = ^""'к или ^"""к в зависимости
от того, что больше: т или п.
♦63-5. hrjcefo'a. = . ae^'jc. = . acf'jc. = . f'jc = f0'a
Это предложение постоянно используется.
♦63-51. h : а е Го'к. = . а с ri 'к. = . к с г'а. = . г'а = г0'к
♦63-52. h : а е t\ "\. = . а с г2'Х. = . X с ^'а . = . г'а = t\ Ч.. = . f2'a = г0'Х
♦63-53. h : jcefo'a. = . Р'х = г'а . = . Vx = t0'a
Последние четыре предложения и их четыре аналога (♦63-54-55-56-57)
дают преобразования, позволяющие выражать любое отношение типа, как,
например, между классом и элементами или элементами элементов, и т. д.,
что часто встречается на практике.
♦63-64. b.f'p = f0V'p
Данное предложение часто цитируется в первой главе арифметики
кардиналов.
♦63-66. h.Cl'/'jc = /2'jc
♦6301.
♦63011.
♦6302.
♦6303.
♦6304.
♦63041.
♦6305.
♦63051.
♦631.
♦63101.
♦63102.
♦63103.
♦63104.
♦63105.
♦63106.
♦63107.
f'jc = i'jcU-i'jc Df
tux = t'x Df
r0'a = aU-a Df
fi'K = /0'^'K Df
?'x = tTx Df
^'jc^'^'jc Df
f2'K = fi'fi'K Df
r3'K = /i'/2'K Df
h .(jc) .jce/o'ct
h . f'jc = f0Vjc = i'jcU-i'jc
K(y).yef'jc
h .jcer'jc
h : фд;. ~ фу . э . у е f'jc
h. acro'a
h.f0'a = fo'-a
Ь:.(д:).фд::/(фу):з.фу
[♦22-88]
[♦20-2 . (♦63-01-02)]
[♦63-1-101]
[♦63-101 . *51-16]
[♦63-101 . ♦13-14]
[♦22-58]
[♦22-8]
Доказательство.
K*2-ll.*10-ll. эК(у)./(фу)У~/(фу) (1)
h . (1). ♦10-13-221 . эh :. (jc) . фд:. z>: фу ./(фу) V ~/(фу):
[*5-l] з:фу. = ./(фу)у~/(фу):
[♦2-2] э : / (фу). э . фу :. z> h . Prop
♦63-108. h:/(yer'jc).z>.ye/'jc [♦63-107-102]
♦63-109. t-ifiyeto'al.^.yeto'a [*63-107-1]
Principia Mathematica I

*63. ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ТИПЫ КЛАССОВ
465
♦63 11. b:jce/0'a.
Доказательство.
h . +22-34 . (*63-02)
[♦20-8]
[♦22-3-31. *5М5]
h . (1). (*63-01-02).
3./'jc = aU-i
. зЬ:.Нр. з
3
з
з h . Prop
a = fo'a
jcea.v.jc~ea:
:y(yea.V.y~ea)=y(y = x.V .уфх):
:aU-a = L'jcU-L'jc (1)
♦63 12. h :. фд; V ~ фд;. з : фу V ~ фу . =у . у е /'jc
Доказательство.
Ь.*63-11.*20-8.эЬ:.Нр,
[♦20-31 . *22-391-392]
♦6313. h : фд:. фу. з . yefx
♦63-14. Ь :(jc). jcea. з ./0'a = a
♦6315. K/0'/'jc = /'jc
♦63151. Ь./0'/о'а = /о'а
♦63 152. h.jce/0'/'jc
, з :
3
:г'д: = 2(фг)и-2(фг):
: >> е /'jc. =^ . фу V ~ фу:. з
[♦63-12. Imp. Add]
[♦24-14-17-24. (♦63-02)]
[♦63-14-102]
[♦63-14-1]
[♦63-103-15]
Prop
♦63-16. h : х е Vy . = . у е /'jc. = . g ! /'jc n fy. = . /'jc = t'y
Доказательство.
h. ♦бЗ-Ю! .
h. ♦бЗаЗ .
h. ♦бЗ-ЮЗ .
[♦10-24]
Ь.(2).(3).
h. ♦бЗ-ЮЗ ,
h.*63-13.
h. ♦бЗ-П .
[(1)1
Мб).(7).
h.(5).(8),
K(l).(4),
♦63-17. h : у e /'jc . z e />. з . z e /'jc [^З^б]
♦63-18. h.glfo'a [*10-25 . *63-l]
♦63-181. h : a с /0'p. = . p с /0'a. = . g ! /o'a n /0'P • = • /o'a = /o'P
Доказательство.
h . ♦бЗ-Юб . з I-: /0'a = /0'P. з . a c /0'p (1)
h. +24-6 . з I-:. а с /0'p. з : a = /0'p. V . g ! /0'P - a (2)
h . ♦бЗ-Ш. з I-: a = /0'P. з . /0'a = /0'p (3)
h . ♦бЗ-И . з Ь : jc e /0'p . jc e - a . з . /'jc = /0'P. /'jc = /0'- а.
[♦63-106] з./0'а = /0'Р (4)
K(2).(3).(4). з1-:ас/о'Р.з./0'а = /о'Р (5)
♦51-23.3h:jcer>. = .je/'jc
з h : (gz). z e /'jc . z € t'y. з . у е /'jc
зh : у e /'jc . з .yet'x.yet'y .
з . g ! /'jc П /'y
з h : у e /'jc . s . g ! /'jc П /'y
з h : /'jc = fy . з . у е t'x
з h : >> e /'jc . z € /'jc . з . z € tу
з h : jc e Vy . z e /'y . з . z € /'jc :
з Ь : у e /'jc . z € /'у . з . z € /'jc
3h :. ye/'jc. 3:z€/'jc. = .z€/'y
3h:.ye/'jc. = ./'x = /'y
(9). з h . Prop
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
A.H. Уайтхед, Б.Рассел

466 ГЛАВА 2. ПОДКЛАССЫ, ПОДОТНОШЕНИЯ И ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ТИПЫ
Ь.(1).(5). эЬ:асг0'Р. = .Го'а = г0'Р (6)
К(6)^. з1-:рсг0'а. = Ло'а = г0'Р (7)
а,р
h . *63-11 . э h : jcеГ0'а П Г0'Р . э . f'jc = г0'а. r'jc = Г0'Р •
[*13-171] эл0'а = /о'Р (8)
К*63-18. э1-:Го'а = Го'р.=>.а!г0'аПГо'р (9)
К(8).(9). эк:а!го'аПГо'Р. = Ло'а = г0'Р (10)
К(6).(7).(10).эКРгор
*63 182. hracro'p.pc/o'Y-^-ac^o'Y [*63-181]
*63 19. h.r'f0'a = r'a
Доказательство.
V . *63-105 . *22-42 . z> h . а с r0'a. г0'а с г0'а .
[*63-13] эЬ.аег'Го'а.
[*63-16] зКРгор
*63 191. Kr0'aer'a [*63-103-19]
*63-2. h : jcег0'а. ае г0'к. э . r2'jc = r'a = г0'к
Доказательство.
h . *63-11. э V : Нр. э . r'jc = r0'a. r'a = г0'к (1)
h . (1). *63-19 . (*63-04). э Ь : Нр. э . ?'х = r'a = г0'к: z> Ь. Prop
*63 21. h : а с r'jc. = . r0'a = r'jc
Доказательство.
h . *63-181-15 . э h : a с r'jc. = . r0'a =r0'r'jc
[*63-15] =r'jc: z> Ь . Prop
*63-22. h : a с r'jc. == . x e r0'a . = . r'jc = r0'a
Доказ ател ьство.
Ь.*63-103. =>h:r'jc = r0'ct.=>.jce/0'ct (1)
h. (1). *63-ll . z> h : xer0'a . = . r'jc = r0'a (2)
h . (2). *63-21 . э h . Prop
*63 23. Ь : a с r'jc. к с r'a . э . r2 'jc = r'a = г0'к [*63-2-22]
Предложения того же типа, что и предыдущее, могут быть, очевидно,
распространены на Г3 'jc и т. д.
*63-3. h : (a). а е к. э . (jc) . х е s'k
Доказательство.
К*10-1. э1-:Нр. э.Уек.
[*40-221] э.^'к = У.
[*24-14] э . (jc) . х е s'k : э h . Prop
♦63-31. 1-л'(ки-к) = 5'ки-5'к
Доказательство,
h . *40-171 . э h :. х е s\k и - к) . = : х е s'k . V . х е s'- к (1)
h . (1). *22-88 . *63-3 . э h : jc е j'k . v . х е sl- к (2)
Ь.*22-88. z>h:jcej'K.V.jce-5'K (3)
h . (2). (3). *10-22ЫЗ . э h :. jce j'k . V . jces'- к: jce л'к. V . jce- л'к:.
[(1). *5-1] э h :. jce j'(k и - к). = : jce s'k. V . jc e - s'k :. э h . Prop
Principia Mathematica I

*63. ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ТИПЫ КЛАССОВ
467
Заметим, что использование * 10-221 в вышеприведенном доказательстве
опирается на то обстоятельство, что вхождение xes'K имеется и в (2),
и в (3), и оба раза оно имеет вид f(xes'K).
*63-32. У . tx 'к = j Vk [*63-31. (*63-02-03)]
*63-321. h.ri'K = ri'r0'K = r0'ri'K
Доказательство.
У . *20-2 . (*63-03). => У. h 'г0'к =Го'я'г0'к
[*63-32] =r0'/i'K (1)
[*20-2 . (*63-03)] =г0'г0'.у'к
[*63-151] =r0VK
[*20-2. (*63-03)] =fi'K (2)
У . (1). (2). э У . Prop
*63 33. У : г0'к = г0'а.. э . h'к = hвЬ [*30-37 . *63-32]
*63-34. У . h 'r'a = г0'а = л'г'а
Доказательство.
У . *63-32 . э У . fi'r'a =s'r0'r'a
[*63-15] =sYa (1)
[*63-101] =5,(i,aU-i,a)
[*63-31] =A'aU-,sVa
[*53-02] =aU-a
[(♦63-02)] =r0'a (2)
У . (1). (2). э h. Prop
*63-35. h : r'a = r'p . э . r0'a = Г0'р [*30-37 . *63-34]
*63-36. У: г'к = r'X. э . tx 'к = fi 'a. [*63-35-33]
*63-361. h:r0'a = r0'p.z>.r'a = r'p [*30-37 . *63-19]
*63-37. У : r0'a = r0'P . = . r'a = r'p [*63-35-361]
*63-371. h:Pcr0'a. = .per'a
Доказательство.
У . *63-181. z> У : p с r0'a. = . r0'a = r0'P.
[*63-37] = . r'a = r'P.
[*63-16] s . p e r'a: z> У . Prop
*63-38. h : a eг0'к. xe r0'a. э . r'jc = Го'а = t\ 'к
Доказательство.
Ь.+63-11. э Ь : Hp.=>.r'jc = r0'a. r'a = r0'K (1)
У . (1). *63-34 . э h : Hp. =>. r0'a =t\ 'Г0'к
[*63-151-33] =ri'K (2)
У . (1). (2). э h . Prop
*63-381. h:jceri'K.z>.r'jc = ri'K
Доказательство.
У . *63-38-105 . з Ь : а ег0'к. хе a. э . r'jc = t\'к:
[«10-11-23 . *40-11] э У : хе s%'k. z>. r'jc = tx'к (1)
1-.(1).*63-32.э1-.Ргор
*63-382. У . а ! h 'к [*63-18 . (*63-03)]
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

468 ГЛАВА 2. ПОДКЛАССЫ, ПОДОТНОШЕНИЯ И ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ТИПЫ
*63 383. b.fVK = r0'K
Доказательство.
h . *63-38-18 . *10-11-23-35 . э h : а е /0'к. z>. t'h 'к =г'г0'а
[*63-19] =г'а
[*63-11] =г0'к (1)
Ь . (1). *10-11-23 . *63-18 . э h. Prop
*63 384. h : h 'к = Ц '\. э . Г0'к = Г0'Х. Г'к = /'X [*63-383-37]
*63 39. h : ri 'к = h 'X. == . /0'к = f(A • = . Г'к = f'X [*63-33-384-37]
*63 391. h:r<jc = r'y. = .r2'jc = f2>
Доказательство.
Ь.*63-39. эЬ:Г2'* = **')>. = . Г0Гд: = /о'^.
[*63-15] = . r'jc = Vy: э Ь . Prop
♦63-392. h : Г2'к = Г2'Х. = . Г] 'к = ri 'X. = . r0'K = r0'X
Доказательство.
h.*63-39. э1-:Г2'к = Г2'^. =.r0'ri'K = /0^i'^-
[*63-321] =.ri'K = ri'X (1)
h . (1). *63-39 . z> h . Prop
*63-4. h : a e /0'k . к € Го'Х. э . Го'а = ri 'к = r2 'X
Доказательство.
h . *63-38-18 . z> h : Hp. э . to'a = t\ 'к. г0'к = fi 'X.
[*30-37 . (*63-05)] z>. /0'a = ri 'к. h V* = f2'X.
[+63-321] э . r0'a = t\ 'к. ri 'к = f2'X: э h . Prop
*63-41. h.r'r2'X = ri'X
Доказательство.
V . *63-4-18 . *10-ll-23-35 . э h : кеГо'Х. э . fV*.=fVK
[*63-383] =г0'к
[*63-38-18. *10-ll-23-35] =h**. (1)
h . (1). *63-18 . э h. Prop
*63-42. V . f2 Vb = f<A [*30-37 . *63-41-383]
*63-43. h.ri'f2'jc = r'jc [*63-34-15]
*63-44. V . r2 'f2'a = r0'a [*63-43-34]
Совершенно очевидно, что аналогичные предложения будут иметь место
также для f3 и t$, t4 и ц и т. д. Мы не доказываем эти аналоги, но в случае
их использования будем ссылаться на соответствующие предложения для
t1 и Г2.
*63-5. h: jcefo'a. = . aef2'jc. = . acf'jc. = .Vx = ttfa
Доказ ательство.
h . *63-15 . э h : а с r'jc. = . а с trft'x.
[*63-371] =.ae?'x (1)
h. (1). *63-22 oh.Prop
Principia Mathematica I

*63. ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ТИПЫ КЛАССОВ
*63-51. h: а е *0'к. = . а с t\ 'к. = . к с f'а. =. f'а = *0'к
Доказательство.
V . *4-2 . (*63-03). э h : а с fi 'к. =. а с t0' s'k .
[*63-371-19] =.а€^0Ук.
[*4-2 . (*63-03)] = . а е fh 'к -
[*63-383] =.аег0'к
h . (1). *63-5-22 . э h . Prop
♦63-52. V: а е t\'X. = . а с f2'k - = . \ с Г^'а. = л'а = ^ 'X. = . fi'a = t^\
Доказательство.
.у'Х
К*63-51—. (*63-03).э
V : а е t\ 'X. = . а с fi's'\.
[*63-321] s.acri'roVX.
[(•63-03-05)] =.ас^
h. *63-321. z>
hiae^i'X.. = .aefo'fi'k-
[*63-22] = .f'a = f0Vb
[*63-321] = fi'X.
[*63-391-41-42] = ./2'a = r0'X-
[*63-15-181] =.Xc^2'a.
[*63-15] =Дс^а
К(1).(2).(3).(4).эКРгор
*63-53. h : jcef0'a. = . t2'x = f'a. = . fx - fo'a
Доказательство.
Ь.*30-37. 3h:/2'jc = r'a. z> .fi'/2'*^ Va.
[*63-43-34] D.f'jc = f0'a
[*63-19] э V : f'jc = fo'a. z>. J2'* = Га
h . (1). (2). *63-5 . э h . Prop
*63-54. Ь:аег0'к. = . fo'a = fi'K. = . f'a = fo'K- = . ^'а^г'к
Доказательство.
V - *30-37 . э V : Г'а = г0'к. эЛ17'a = fi 'г0'к.
[*63-34-321] эЛова = ^вк
h . *30-37 . э h : fa = Г0'к. э . f Va = f'fi 'к.
[*63-19-383] э.Г'а = г0'к
h . (1). (2). *63-51-53 . э h . Prop
*63-55. I-: ке f0'k. = - h'к = f2'X • = - 'о'к = t\ 'X. = . f'к = fo'k. н. ^'к = f
[Доказательство аналогично *63-54]
*63-56. h : х е t\ 'к. = .fx - t\ 'к. = . t2'jc = fo'K
Доказательство.
h.*63-321 . 3l-:jcefi'K. = .jcefoVK.
[*63-53] ^.^'jc^Vi'k
[*63-383] =f0'K
h . (1). *63-53 . экисе^'к. = . f'jc =foV*
[*63-321] =^вк
1-.(2).(3).эН.Ргор
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

470 ГЛАВА 2. ПОДКЛАССЫ, ПОДОТНОШЕНИЯ И ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ТИПЫ
♦63-57. h : а е t\'X. = . Г0'а = t2k\. = . f'a = *! 'X. = . /*'а = fo'X
[Доказательство аналогично *63-56]
*63 61. b.^'jc^Yjc [*63-19101]
*63-62. h : jcefo'a. э . I'jcef'a . J'l'jc = fa
Доказательство.
h.*63-53. э1-:Нр. D.^'jc^'a.
[*63-61] D.rVjc = r'a.
[*63-16] э . l'jc e f'a: з h . Prop
*63-621. h : x e a . z>. l'jc e fa . f'l'jc = fa [*63-62 . *63-105]
*63-63. V : jce to a. э . l'l'jce Z2'a. fl'l'jc = ^'a
Доказательство.
h . *63-101. э h. f l'jc =f0VL'jc.
[*63-62] э h : Hp . э . f a = ^'l'l'jc .
[*63-19] э .f2'a = f l'l'jc (1)
K(l).*63-103.z>KProp
*63 64. 1-.*вр = *0Ч"р
Доказательство.
Н.*51-16.*37-62.э
h: jeep. э. jccl'jc. l'jc€l"|3.
[*63-105-38] э. jcefoVjc. f0 Vjc = tx4"p.
[*13-13] э-Jceri'L''P (l)
V . (1) - *63-51. э h . Prop
*6365.
*63-66.
«63-661.
*6367.
*6368.
h.C170'a = r'a
(-.C17'jc=/2'jc
h.r'Cl'a = /2'a
h.C17i'K = r0'K
h.C172'K = ri'K
[*63-371. *60-2]
[*63-5 . *60-2]
[*60-34. *63-105-53]
[*63-51. *60-2]
[*63-52 . *60-2]
Principia Mathematica I

*64. ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ТИПЫ ОТНОШЕНИЙ 471
*64. Относительные типы отношений
Краткое содержание *64-
В настоящем параграфе вводятся обозначения для определения типа
отношения относительно к типам его области и обратной области, когда эти
типы заданы относительно некоторого фиксированного класса а.
Произвольное отношение принадлежит тому же типу, что и to'D'RIto'Q'R. Если
D'R и Q'R оба принадлежат тому же типу, что и а, то отношение R
будет принадлежать тому же типу, что и Го'аТ'о'а, а это совпадает также
с типом а Та. Тип *0'аТ'о'а будем обозначать /oo'ct, тип ^'at^'a будем
обозначать /"""а, тип fm'aTfn'a будем обозначать fmn'a, тип ^'aT^'a будем
обозначать fm"'a, тип /'"'аТ'л'а будем обозначать mf„'a. Таким образом, мы
получаем средства для выражения типа любого отношения R в терминах
типа а при условии, что типы области и обратной области отношения R
заданы относительно а.
Перечислим наиболее важные предложения настоящего параграфа.
*6416. Ь : R Gfo'a Т 'о'Р • = • R* 'Ч'о'а Т 'о'Р)
*64-201. \-zReS .•D.Ret'S .t'R = t'S
*64 231. h: R e t'Q. э . D7? е t'D'Q. Q'Re WQ. С'Д е fCQ
Здесь выражение "C'Ret'C'Q" является значимым, только если R a Q —
однородные отношения, что не требуется в остальной части предложения.
Когда R и Q — однородные отношения, мы имеем
*64-24. Ь iReVQ. = . CRefC'Q. = . t0'C'R = t0'C'Q
Данное предложение полезно в связи с теоремами существования
кардиналов и ординалов.
*64 312. V.i22'x = tnTx = tM't2'x
*64-5. h. Rl'fo'a T fo'P) = Пь'а Т fo'P) = Па Т Р)
Это предложение часто используется. Оно утверждает, что класс
отношений, референты которых принадлежат типу элементов а, в то время как
релятивы принадлежат типу элементов р (т. е. класс всех отношений,
содержащихся в to'a T fo'p), принадлежит типу to'a T fo'a, что совпадает также
с типом at a.
*64-55. h : OP с fo'a. = - Ре foo'a
*64-57. Ь : С'Р с Vх. = . Р е tn 'jc
Предложения настоящего параграфа большей частью очевидны, хотя
их формальные доказательства иногда нелегко найти. Применяются
предложения настоящего параграфа в основном в первой главе реляционной
арифметики, а также в доказательствах теорем существования в
ординальной арифметике и теории пропорций.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

472 ГЛАВА 2. ПОДКЛАССЫ, ПОДОТНОШЕНИЯ И ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ТИПЫ
*6401.
*64-011.
*64012.
*64013.
*64014.
*6402.
*64021.
*64022.
*6403.
*64031.
*64 04.
*64041.
foo'a = f'('o'aT'o'ci)
fn'jc = f'(f'jcTf'Jc)
f12'jc = *'(''* Т'2'*)
^'x-t'ifi'x^fx)
/22'jc = r'(/2'JcT/2'Jc)
и т.д.
foi'a = '4'o'aT'i'a)
fio'a = f'('i'aT'o'a)
fn'a = f'('i'aT'i'a)
и т.д.
^'a^'fo'atf'a)
fiba = f'(fi'aTf'a)
и т.д.
Va = f'(f'aTfo'a)
Va = f'(f'a T *i'a)
и т.д.
Df
Df
Df
Df
Df
Df
Df
Df
Df
Df
Df
Df
*641. b.ataefoo'a
Доказательство.
I-. *21-2 - э h: a = fo'a. э . a T a = f0'a T fo'a (1)
I-. *35-9 . э h : a T ct = fo'a T fo'a. => - a = fo'a:
[Transp] э h : а Ф fo'a. э . a T ct Ф fo'a Т fo'a (2)
h . (1). (2). э h :. a = fo'a. V . а ф Го'а: э :
a T a = r0'a T fo'a. V . а Т а Ф r0'a T fo'a (3)
h . (3). *51-15 . *63101-191. з h : а Т а = г0'а Т ^о'а. V . а Т а ^ Г0'а Т fo'a (4)
V . (4). *51-15 . *63-101. (*64-01). э Ь . Prop
*6411. Гоо'а = г'(а Т а) [*64-1. *63-16]
*6412. l-.aTpef'('o'aT'o'P)
Доказательство.
Ь . *35-85-86 . *63-18 . э Ь : а Т Р = fo'a Т 'о'Р - = - a = fo'a. р = fo'P (1)
h . (1). Transp. э h : а = fo'a. р = Г0'р. э . а Т Р = fo'a Т 'о'Р:
а = Г0'а. р ф Г0'Р - з - а Т Р ф fo'a Т 'о'Р:
[*63-101. *5Ы5] эЬ:а = г0'а. з. аТРеГ('о'аТ'о'Р) (2)
I-. (1). Transp. э h : а ф fo'a . з . а Т Р ф (Г0'а Т fo'P) •
[*63-101.*51-15. Transp] . з. аТреГ('о'аТ'о'Р) (3)
Ь.(2).(3).эКРгор
*6413. V . t\t0'a Т fo'P) = Па Т р) [*6412 . *63-16]
*6414. К (*,>>).*Со'аТ'о'Р):У [*63-1. *35-103]
*6415. h . (R). RCfo'a T fo'P [*64-14 . *25-14-11]
*6416. h : R Cfo'a Т fo'P - = • R* f'(fo'a T fo'P)
Доказательство.
h . *2-11 . э h : R = fo'a Т fo'P • V . R Ф fo'a T Го'Р :
[*23-42] э h : /? = Г0'а Т 'о'Р • Д Gfo'a T fo'P - V . R ф Г0'а Т fo'P (1)
К(1).*64-15.*10-22ЫЗ.э
Principia Mathematica I

*64. ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ТИПЫ ОТНОШЕНИЙ
473
z>\-: RGto'al t0'$ : R = t0'aUo'$ - Rzto'aUo'fi -V . Rj: to'aUo'fi (2)
h. (2). *5-l. з
э h :.Rdto'a T fo'P • = : Я = t0'aT fo'P • RcLto'aT 'o'P • V .RФ t^aT fo'P :
[*23-42] = : R = fo'a T 'o'P • V . R ф t0'a Т 'о'Р » => h. Prop
Замена в последнем предложении а на tsl'a (где i и 5 —некоторые
определенные выше индекс и суффикс) и р на t/''p дает результаты,
применимые к любому из типов, определенных в начале параграфа, поскольку
r0'r,/'a = r5,'a.
*64-2. Ь : а ! R h 5 . э . S е t'R .t'R = t'S [*63-13-16]
*64-201. \-zRgS .•D.Ret'S .t'R = t'S
Доказательство.
h . *25-6 . z>h:.Hp. z>:R = S . V . g ! S -R:
[*13-14] z>:R = S . V .R£S г.эЬ.Ргор
*64-21. h : xRy. z>. R e t\t'x T fy)
Доказательство.
V . *63-103 . *35-103 . э h . x (t'x T f'у) у (1)
h.(l). з1-:Нр.э.а!/?П(Гд:Т^) (2)
h . (2). *64-2 . э V . Prop
*64 22. h. Д e f'('o'DT? T to<l'R) [*64-16 . *63-105 . *35-83]
*64-23. Y.t*R = ?s*fR
Доказательство.
h . *63-103 . *41-13 . э I-. Д G iТД (1)
h . (1). *64-201. э h . Prop
*64-231. Ь:/?бГе.з.В'/?еГ'В'е.а'/?еГа'е.С'/?еГС'е
Доказательство.
V . *6312 . э h ::. Hp . э :: jcfly . з^у :. xQy. V . ~ (jcQy)::
[*10-28] э :: (3y). д;Ду . э, :. (Эу). *gy . V . (Эу). ~ (xQy):.
[*5-63] э, :. (яу) - д:бУ - V :. ~ (ду) . *<2? = (ЯУ) • ~ (*fiy) «
[*3-26] эх :. (ЭУ) • *<2У - V . ~ (Эу). *gy (1)
h . (1). *3313 . эН.Нр. z>:xeD'R.z>x.xeD'QU-D'Q:
[(*63-02)] :>:D7?cfo'D'0:
[•63-371] =>:D7?ef'D'e (2)
Аналогично h:Hp. э. а'ДеГ'а'б. C'Ret'C'Q (3)
h.(2).(3).. зКРгор
*64-24. h :/?ег'е. = . C'Ret'C'Q. = - *о'С'Д = fo'C'e
Данное предложение значимо, лишь когда Я и g — однородные
отношения.
Доказательство.
h . *64-22 . *63-Ш. э h . Д еt\t^C'R T 'о'С'Д).
[*13-12] э Ь : *0'С'Д = to'C'Q. э. Д еГ'Со'С'б T 'о'С'0 (1)
h. *64-22 . *63-181. э h . Q e t\t0'C'Q T fo'C'2) (2)
h. (1). (2). *6316 . з h: Го'С'Д = Го'С'б. =>. Д е f'б (3)
1-.(3).*64-231.*63-16-37.э
h :ДеГ'б. = . to'C'R = t0'C'Q. = . C'Ret'C'Q: z> h . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

474 ГЛАВА 2. ПОДКЛАССЫ, ПОДОТНОШЕНИЯ И ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ТИПЫ
*64-3. I-: foo'a = foo'P - = - a e f'p . = . fa = f'p . = . fo'a = fo'P
Доказательство.
h . *30-37 . (*64-01). з h: t0'a = fo'P. з. foo'a = fa'p (1)
h. *64-l. з h: foo'a = foo'p. 3.aTaefoo'p.
[*64-16] 3.aTaGf0'PT'o'p.
[*35-9-91] з.ас^'Р.
[*63-181] 3.f0'a = f0'P (2)
h . (1). (2). *63-16-37 . z> h . Prop
*64-31. h . tn 'jc = too't'x [*63-15 . (*64-01-011)]
*64 311. h . rn 'a = foo'fi 'a [*63-321. (*64-022-01)]
*64-312. h./22'jc = r117'jc = r0o'/2'jc [*63-15 . (*63-04). (*64-014-011-01)]
*64 313. h.r22'a = rii'ri'a = roo'r2<ct [*63-321. (*63-05)]
*64 32. h : f22'a = ta'P • = • '11 'a = tn 'P - = - foo'a = foo'P - = - f11'a = f11 'p .
= . /*2'a = г*2'р. = . a e f'p. = .fa = f'p
Доказательство.
h . *64-313-3 . з Ь: r22'a = Г2г'Р - = - t'h'o. = f'f2'P.
[*63-41-39] =.f'a = f'p
Аналогично доказываются остальные эквивалентности.
*64-33. h : a e ?0'll - = . tn 'a = tyi\*. - = - foo'a = tn 'n - = -tn 'a = foo'Li -
= . f2ia = tn 'll. = . fa = fo'Li
Доказательство.
V . *64-311-313 . эЬ:Гц'а = г22'Ц- = • fooVa = fooVM--
[*64-3] = .f'fi'a = f'f2'LL.
[♦63-383-41-55] = .fa = f0 'll (1)
Аналогично доказьшаются остальные эквивалентности.
*64-34. h: a e t\ 'li. = . foo'a = hiV> • = • *n 'a = 'н 'М- • = • ^2'a = 'oo'll •
= ./2'a = r0'M-
[Доказательство аналогично *64-33]
*64-5. h . Rl'fo'a T fo'P) = 'Ч'о'а Т 'о'Р) = ''(а Т Р) [*64-13-16 . *61-2]
*64-51. У . х \у e f(fx T fy) [*64-21. *55-132]
*64 52. hrjcero'a.^ero'p.^.jc^er'ao'aT^o'P) [*63-11. *64-51]
*64-53. h : jcе Г0'а. б с Г0'р - э . (l'jc) | б е f'(*'а Т Ф
Доказательство.
h . *64-51. з I-. (l'jc) I б е f'(f'l'jc Т г'б) (1)
h. *63-62 . з I-: Нр . з . fl'jc = fa (2)
h . *63-181-37. з h : Нр. з. Г'б = Г'Р (3)
К(1).(2).(3). зКРгор
Данное предложение используется в связи с сложением кардиналов
(♦110-18).
*64-54. h . Rl'(r0'a T ^o'a) = Гоо'а = f(a T a) = f0'Rl'(a T а)
[*64-5 . *61-34 . *63-105-11. (*64-01)]
*64-55. h : С'Р с Г0'а. =. РеГоо'а
Доказательство.
Ь.*35-91. 3h:C'Pcr0'a. = .РсГо'аТ^о'а.
[*64-54] = . Р е too 'а: з h . Prop
Principia Mathematica I

*64. ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ТИПЫ ОТНОШЕНИЙ
475
*64-56. Ь . Rl'(t'x T t'x) = Г11 'х
Доказательство.
h . *64-5 . *63-15 . э h . RT(*'* Т ''*) = . f(t*x T f*)
[(*64-011)] =*1Ь*.э1-.Ргор
*64-57. h : С'Р с Гх. = . Р е tu *х [*64-56 . *35-91. *61-2]
*64-6. h Л'Р = RTOb'D'P T 'о'СГР)
Доказательство.
h . *35-83 . *63-105 . э Ь. P Gfo'D'P T fo'Q'P •
[*64-201] э Ь . t'P=f(touI>uP T Го'О'Р).
[*64-5] = Rr^o'D'P T ^o'Q'P) •=>!-. Prop
*64 61. h : D'Pef'a. d'Pef'p . z>. f'P = *Ч« T Р)
Доказательство.
h . *6316-35 . э(-:Нр. 3.ro'D'P = r0'a.ro'a'P = r0'P-
[*64-6] эЛ'Р = *Ч'о'аТ'о'Р)
[*64-5] =Г(аТР):э1-.Ргор
*64-62. Ь : D'P е f'D'C. СГР е Г'О'б. = . Р е f'g. = . f'P = f'g
Доказательство.
Ь . *64-61. э h : Нр . э . f'P=fo'(D'G T d'G)
[*64-5-22. *63-16] =t'Q (1)
h . (1). *64-231. э h . Prop
*64 63. Ь : D'Pef'a. d'Pef'p . = . t'P = t\aT p). s . Pef'(aT P)
Доказательство.
h . *64-5 . э h : f'P = f'(a T P) - э Л'Р = f'Co'a T fo'P).
[*64-231. *35-85-86] D'PefVa. d'PefVp.
[*63-19] D'Pef'a.d'Pef'p (1)
h . (1). *64-61. *63-16 . э h . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

476 ГЛАВА 2. ПОДКЛАССЫ, ПОДОТНОШЕНИЯ И ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ТИПЫ
*65. О типовом определении многозначных символов
Краткое содержание *65.
В настоящем параграфе мы сосредотачиваем внимание на определениях
и предложениях, в которых многозначному символу приписывается
некоторый заданный тип. Если " а" — многозначный символ, представляющий
собой класс (например, Л или V), то "а*" будет обозначать то, чем станет
а, когда его элементы будут считаться принадлежащими типу jc, в то время
как "a(jc)" обозначает то, чем станет а, когда его элементы будут
считаться принадлежащими типу f'jc. Таким образом, например, "V*" будет всегда
того же типа, что и х, т.е. f'jc; V(jc) —типа f'f'jc. Подобно этому, если "Я"
обозначает отношение многозначного типа, например Л или V, то Rx будет
обозначать то, чем станет R, когда его область будет заключена внутри
типа jc; R(X,y) будет обозначать модификацию отношения R, в которой его
область и обратная область соответственно будут заключены внутри типов
jc и у; область и обратная область отношения R(x,y) соответственно будут
заключены внутри типов t'x и f'у; аналогично определяются значения R (jc)
и R(xy). Всюду в данном параграфе R и а используются не для
обозначения собственных переменных, а как символы неопределенного типа.
Обозначения настоящего параграфа применяются в элементарных
разделах теории кардиналов и ординалов, т. е. в главе 1 части III и главе 1
части IV. Однако довольно часто используется лишь одно предложение:
*65 13. V : а = $х . = . а = f'jc П р. = . а с f'jc. а = р
Здесь р считается символом неопределенного типа. Первая
эквивалентность, " а = р*. = . а = t'x П р", представляет собой всего лишь определение
р* (*65-01). Суть дела заключена во второй эквивалентности. Позволим
себе ради иллюстрации поместить 1 на место р. Тогда мы должны иметь
а = t'x П 1. = . а с f'jc. а = 1.
(Так как 1—класс классов, мы должны предполагать, что jc —класс.)
Пусть yea. Если a = f'jcO 1, то yea. = .yef'jc.ye 1. Но мы имеем (y).yef'jc.
Следовательно, yea. = .yel и, далее, a = 1. Также, если a = f'jcn 1, то,
очевидно, acf'jc. Таким образом, доказано a = f'jcn 1. э. acf'jc. a= 1.
Обратная импликация вытекает из *22-621. Основанием для данного
предложения служит то, что, когда такой символ, как "1", встречается в выражении
вида a = r'jcfi 1, для его значимости он должен быть определен как 1 того
же типа, что и а, т. е. как класс всех единичных классов, принадлежащих
тому же типу, что и элементы а. Аналогичным образом, когда мы
полагаем а=1, это не означает, что а есть класс всех единичных классов, а
лишь — что это класс всех единичных классов соответствующего типа, а
именно f'jcnl (если acf'jc). Предложение "f'jcnl = l" истинно, если
только оно значимо, но f'jc П 1 имеет определенный тип, когда jc задано, в то
время как 1 типово неопределенно. Значение последнего предложения как
раз и заключается в том, что оно предоставляет средства для подстановки
типово определенных символов вместо таких, у которых типы не
определены.
Principia Mathematica I

•65. О ТИПОВОМ ОПРЕДЕЛЕНИИ МНОГОЗНАЧНЫХ СИМВОЛОВ 477
Другим полезным предложением является
*65-2. \-.sg'{R(x,y)}=~$(xy)
Здесь R предполагается типово неопределенным символом; предложение
утверждает, что если R типово определяется как отношение между
объектами типа х и объектами типа у, то К должно быть отношением между
объектами типа t'x и объектами типа у. Данное предложение
используется лишь дважды (*102-3 и *154-2), но оба случая очень важны, один —
в кардинальной, и другой —в ординальной арифметике.
Кроме того, еще лишь одно предложение настоящего параграфа
используется в дальнейшем (в *102-84):
*65-3. К/^'ц = (Д'>)р=Д''цПГ'Р
*65 01. ax = ant'x Df
*6502. q(jc) = antYx Df
*6503. Rx = (t'x)]R Df
*6504. R(x) = (t2tx)]R Df
*65 1. R(X,y) = (t'x)]R\(ty) Df
*6511. R(xy) = (i2'x)]R\(tiy) Df
*6512. R(x,y) = (t2ix)]R\(iz'y) Df
*6513. h : a = p* . = . a = fx П p. = . a с f'jc. a = p
Доказательство.
h . *4-2 . (*65-01). э h : a = px . = . a = t'x П p (1)
h . *22-621. *1313 . э h : a с f'jc. a = p . э . a = t'x П p (2)
h . *22-43 . э I-: a = t'x П p. э . a c f'jc. a с р. (3)
[*63-13] э.ре^'д:.
[*63-371-15] z>.pcr'jc.
[*22-621] z>.p = /'jcnp (4)
K(3).(4). эЬ:а = Гл:Пр. 3.acf'jc.a = p (5)
h . (1) . (2). (5). э h . Prop
*6414. h:jcer0'a.D.YW = Ya [*63-53 . (*65-01-02)]
*6415. h: jcefo'a. э . R (x) = Ra . R (xy) = R{a^ [*63-53 - (*65-03-04-l-ll)]
*6416. h : x e fo'a . у e fo'P. э . tf (jc, y) = R (jcp) = tf(a,p)
[*63-53.(*65-l-ll-12)]
*65-2. h.sg4i^)}=l?(xy)
Доказательство.
1-.*32-1-23.(*65-1).э
h : a[sg'ftf^)}] w. = .a = z{ztt'x.wet'y.zRw].
[*22-39 . *20-42] = . a = Vx П z (w e fy. ztf w).
[*65-13] =.ac/'jc.a = 2(w6^.z/?w) (1)
h . *20-33 . => V :: a = z (we fy . ztfw). = :. z e a. =z. w e Vy. zRw:.
[*63-108] =:. w e f'y: z e a. =z. w e f'y. ztfw:.
[*4-73] = :. w e f'y: z e a. =z. zRw:.
[*20-33. *32-l] =i.wefy.a~lw (2)
h . (1). (2). *63-5 . э h : a [sg'{^)}] w. = - aef2'jc. wet'y. a~# w.
[*35-102 . (*65-ll)] = .а{Й (xy)} w: z> h . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

478 ГЛАВА 2. ПОДКЛАССЫ, ПОДОТНОШЕНИЯ И ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ТИПЫ
*65-21. h . R(x,y) = {R(X,y)} (x,y)
Доказательство.
h . *21-2 . (*65-1) - з h . [R{Xty)) ш=?х 1 [t'x] R \ t'y] \ Vy
[*35-33-34] =t'x]R\t'y
[(•65-1)] =Д(я,у).э1-.Ргор
*65 22. h.i?(jcfy) = {i?(jcfy)}(jc>y)
Это и следующие три предложения доказываются аналогично *65-21.
*65 23. \-.R(xy) = {R(xy)}(xy)
*65-24. Н.ЛЯ = (ЛЯ)Я
*65-25. t-.R(x) = {R(x)}(x)
*65 3. h ./?р"^1 = (/?'»р =/?"цПГ'р
Доказательство.
I-. *371. (*65-03). э h . Др"ц = Jc {(зу) .у ец. xRy. jcef'p}
[*22-39. (*37-01] =R"\i П Г'р (1)
[(•65-01)] =(Л"и)р (2)
Ь . (1). (2). э Ь . Prop
Principia Mathematica I

ГЛАВА 3.
ОДНО-МНОГОЗНАЧНЫЕ,
МНОГО-ОДНОЗНАЧНЫЕ
И ОДНО-ОДНОЗНАЧНЫЕ
ОТНОШЕНИЯ
Краткое содержание главы 3.
В настоящей главе мы должны рассмотреть три очень важных
класса отношений, постоянно применяемых в арифметике. Одно-многозначное
отношение есть отношение R такое, что для любого элемента у из G7?
существует один и только один терм jc, находящийся в отношении R к у, т. е.
R'yel. Например, отношение отца к сыну одно-многозначное, так как у
каждого сына есть один отец, и не более того. Отношение мужа к жене
одно-многозначное, за исключением стран, в которых практикуется
полиандрия. (Это отношение одно-многозначно как в моногамных, так и в
полигамных странах, поскольку определение не фиксирует числа релятивов для
данного референта, так что в конкретном отношении каждому референту
может соответствовать единственный релятив, и это не будет служить
основанием для исключения его из числа одно-многозначных.) Отношение
jc2 к х в алгебре одно-многозначно, но отношение х к х2 таковым не
является: существуют два различных значения х, которые дают одно и то
же значение х2.
Когда отношение R одно-многозначное, R'y всегда существует, лишь
только yeQ'R, и обратно; т.е.
R е одно-многозначные отношения . = : у е G7?. зу . Е ! R'y.
А.Н. Уайтхед, Б.Рассел

ГЛАВА 3. ОДНО-МНОГОЗНАЧНЫЕ, МНОГО-ОДНОЗНАЧНЫЕ
480 И ОДНО-ОДНОЗНАЧНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
Таким образом, отношения, порождающие дескриптивные функции,
которые принимают непустые значения при любых аргументах,
принадлежащих обратным областям рассматриваемых отношений, являются
одно-многозначными. Поэтому все отношения Cnv, D, Q, С, Тс, К, sg, gs, Re, р, s,
р, s, /, l, t, CI, Rl являются одно-многозначными.
Если R — одно-многозначное отношение, R'y — однозначная функция;
обратно, всякая однозначная функция порождается одно-многозначным
отношением. Многозначная функция от у есть элемент класса К'у, не
являющегося единичным, и любой его элемент рассматривается как значение
функции для аргумента у] но однозначная функция от у есть единственный
терм R'y, который наличествует, когда отношение R одно-многозначно. Так,
например, пусть синус в наших обозначениях появляется как отношение,
т. е.
sin = ty[x = y-y*/3 !+У75!-...} Df,
откуда
ап'у = у-У/3!+//5 !-...,
так что "sinУ имеет свое обычное значение sin у. Тогда вместо sin"1*
нам следует писать sin'jc, что обозначает класс значений sin"1*; а вместо
"^ = sin_1A:", что представляет собой ошибочное обозначение, поскольку из
y = sin-1jc и z = sin_I* не вытекает y = z, нам следует писать yesin'jc.
Аналогичные замечания применимы к любым другим функциям, встречающимся
в анализе.
Отношение R называется много-однозначным, если для любого элемента
х из D7? существует один и только один терм у такой, что х находится в
отношении R к у, т. е. R'xe 1. Таким образом, много-однозначные отношения
суть обращения одно-многозначных. Если отношение R много-однозначно,
R'x существует для любого xeD'R.
Отношение R называется одно-однозначным, если оно одновременно
одно-многозначно и много-однозначно, или, что то же самое, если оно само
и обратное к нему есть одно-многозначные отношения. Среди
вышеперечисленных отношений Cnv, sg, gs, /, i, i, CI, Rl являются одно-однозначными.
Два класса аир называются подобными, когда существует
одно-однозначное отношение R такое, что D"R = a. G7? = p, т.е. когда их термы
могут быть сопоставлены один к одному таким образом, что ни один терм из
обоих классов не пропущен и не повторяется. Будем записывать "asmp",
если "класс а подобен р". Когда два класса подобны, кардинальные
числа их элементов одинаковы; именно благодаря этому факту
одно-однозначные отношения имеют фундаментальное значение для кардинальной
арифметики.
Согласно сказанному выше, отношение одно-многозначно, если
т. е. если
"Й"СГДс1.
Principia Mathematica I

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВЫ 3
481
Аналогично отношение много-однозначно, если
fr"D\Kcl,
и одно-однозначно, когда выполнены оба условия. Появившиеся здесь
классы 7г'G7? и R^D'R очень важны; некоторые из их свойств уже были
сформулированы в *37-77-771-772-773 и *53-61~641.
Удобно рассматривать одно-многозначные, много-однозначные и одно-
однозначные отношения как частные случаи отношений
7^a7?ca.5T''D7?cp
для заданных аир. Полагаем
a->p = i^'4T/?ca.)P'D7?cp} Df.
Таким образом, "1—>1" становится классом одно-однозначных
отношений; также, как будет показано, " 1 —> Cls" становится классом
одно-многозначных отношений, а "Cls—> 1" —классом много-однозначных отношений.
Несмотря на то, что главный интерес представляют именно эти три
специальных значения a —> р, мы сначала предпримем общее изучение классов
отношений вида a —> р.
А.Н. Уайтхед, Б.Рассел

ГЛАВА 3. ОДНО-МНОГОЗНАЧНЫЕ, МНОГО-ОДНОЗНАЧНЫЕ
482 И ОДНО-ОДНОЗНАЧНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
*70. Отношения, классы референтов и релятивов
которых принадлежат заданным классам
Краткое содержание *70.
Когда заданы два класса классов а и Р, будем говорить, что
отношение R принадлежит классу а—>Р, если К'уеа для любого yeQ'R и /Г'дгер
для любого xeD'R. Если выполнено лишь одно из этих условий, результат
тем не менее будет обеспечен при замене класса, фигурирующего в другом
условии, на "Cls", так как "TryeCls" и "R'xeCls" всегда справедливы и
не накладывают никаких ограничений на R. В большинстве интересных
случаев а и р •— кардинальные числа или же только одно из них
—кардинальное число, а другое —Cls.
В силу *37-702-703, упомянутые выше условия, требуемые для
принадлежности R классу а —> р, эквивалентны
7^а7?са.5Г'т>тгср.
Данное выражение используется в определении *70-01.
Предложения настоящего параграфа фактически нигде не
используются, кроме *71, где в качестве аир выступают 1 и Cls. Перечислим
наиболее интересные предложения.
*701. г:Деа^р. = .^ЧТДса.5Г'Т>'Дср
(что представляет собой лишь определение.)
*70 13. Ь :. R е а -► р. = : (у). "Й 'у е a U ь'Л : (jc) . fc'jc e P U ь'Л
*70-22. г . р -> а = Cnv"(a-> р)
*70-4. г . а -> Cls = R (1?"СГД с а)
*70-41. г . Cls -> р = R (£""D7? с р)
*70-42. г . а -► р = (а -> Cls) П (Cls -► Р)
* 70-54. г: СГД n d'S = А . R, S е а -> Cls . э. R О S е а -> Cls
и аналогичные предложения для Cls —> р и a -»р.
*70-62. г : R е a -> Cls. z>. R \ у е a -> Cls
и аналогичное предложение для Cls —» р.
*7001. а^р = Д(1?''СГДса.£г'Т>'ДсР) Df
*701. Ь : Rеа -> Р. = .~#"СГД с а. fr"D\R с р [*20-3 . (*70-01)]
*7011. Ь:./?еа->р. = :^еа^.эу.^>еа:д:еВ^.эл.^д:ер
[*37-702-703. *70-1]
*7012. Ь : R е а -> р. = . 7?' ' V с a U С А. & 'V с р U С А
[*70-1 . *53-62-621]
Principia Mathematica I

•70. ОТНОШЕНИЯ, КЛАССЫ РЕФЕРЕНТОВ И РЕЛЯТИВОВ КОТОРЫХ
ПРИНАДЛЕЖАТ ЗАДАННЫМ КЛАССАМ 483
*7013. \-:.Rea^^. = :(y).'^iyeaUiiA:(x).^'lxe^UiiA
Доказательство.
h . *37-702 . з Ь : ~$' 'V с a U i'A. = : у е V. z>y. ~Й 1у е а и ь'Л :
[*24-104. *5-5] = :(y).~~$lyeaUilA (1)
Аналогично Ь : ft"'' V с р и С А. = : (х). Б"' jc e p U i'A (2)
h.(l).(2).*70-12.z>h.Prop
*7014. 1-::^еа->р. = :.Су):^>еа.У.^> = А:.(д:):^д:ер.У.^д: = Л
[*70-13. *51-236]
*70 15. Ь:.^еа^р. = :а!1?>.зу.1?>еа:з!^д:.^.^д:ер
[*24-51 - *4-6 . *70-14]
*7016. h : R е а -> р. = . Б'"Й caUi'A. D'frc p U С А
[♦37-78-781. *70-12]
*7017. Ь::Леа.э:./?еа->р. = :Су)."Й^еа:з ! fr'x. з*. Й~'д;ер
Доказательство.
h . *51-2 . *22-62 . з h : Нр. з . a = a U С А (1)
1-.(1).*70-13.з
Ь :: Нр . з :. R e a -> р . = : (у). ~Й ly e a: (jc) . 5T'jc e P U С А (2)
Ь.*51-236. зЬ:.5Псери14Л. = : fr'jcep. V . 5?\с = Л :
[*24-51 . *4-6] =:а!^д:.з.^д:ер (3)
h . (2). (3). э h . Prop
♦70171. h :: Л е р. з :. Де a -> р . = : а !"#'у • =>у ."Й'уе a : (jc) . fcxе p
[Доказательство аналогично *70-17]
*7018. Ь::Леа.Лер.з:./?еа^р. = :(у).1?^еа:(д:).^д:ер
[Доказательство аналогично *70-17]
*70-2. Ь . a -> р = (a U i'A) -> Р = a -► (р U i'A) = (a U i'Л) -> (р U i'A)
Доказательство.
h . *22-58-62 . з h . (a U С A) U ь'Л = a U ь'Л. (р U С А) и ь'Л = р U С А (1)
Ь . *7042 . (1). з Ь : R е а -> Р . = ."#"V с (a U i'A) U С А . fr"V с р U i'A .
[*70-12] = ./?e(aUi'A)->p. (2)
[*70-12.(1)] ^.^"VcCaUi^U^A.^'VcCpUL^Ui'A.
[*70-12] = ./?e(aUi'A)->(pUi'A). (3)
[*70-12 . (1)] = .7?"V с a U С А . fc"V с (р U i'A) U ь'Л .
[*70-12] = ./?ea->(pUi'A). (4)
Ь . (2). (3). (4). з Ь . Prop
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

ГЛАВА 3. ОДНО-МНОГОЗНАЧНЫЕ, МНОГО-ОДНОЗНАЧНЫЕ
484 И ОДНО-ОДНОЗНАЧНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
► Р = а -► (р - ь'Л) = (а - ь'Л) -► (р - ь'Л)
*70-21. 1-.а->р = (а-ь'Л)-
Доказательство.
*51-222 .з1-:Л~еа.з.а-ь'Л = а:А~ер.з.р-ь'Л = р
*51-221. зЬ:Леа.з.(а-ь'Л)иь'Л = а:Лер.з.(р-ь'Л)ир = р
> р = а -> р. (а - ь'Л) -> (Р - ь'Л) = а -> (р - ь'Л)
► р.(а-ь'Л)->(Р-ь'Л) = а->(Р-ь'Л)
(!)■=>
Л ~ е а. з. (а - ь'Л)
(2). *70-2 . з
Л е а. з. (а - ь'Л) —> р = а -
(3). (4). *4-83 . з
(а - ь'Л) ->р = а->р.(а- ь'Л) -► (р - ь'Л) = а -> (р - ь'Л)
Аналогично h . а ->(р - ь'Л) = а -> р. (а - ь'Л) -> (р - ь'Л) = (а - ь'Л) -> р
Ь . (5). (6). з Ь . Prop
*70-22. h . р -> а = Cnv''(а -> р)
Доказательство.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
h. *37-6 . *3113,
h:. 6eCnv"(a-
[*7012]
[♦32-24-241]
[*13193]
(а/?).Rea-> р. Q = Cnv'/?:
(3/?) • 7?"V с a U ь'Л . )T"V с р U ь'Л . Q = Cnv'/?:
(3/?). (gs'Cnv'/?)"V с a U ь'Л .
(sg'Cnv7?)"V с р U ь'Л. Q = Cnv'/?:
(a*).(gs'G)"VcaUi'A.
(sg'G)" V с р U ь'Л . Q = Cnv'/?:
1?"V с a U ь'Л ."3"V с р U ь'Л : (а/?) - Q = Cnv'/?:
£""V с а и ь'Л ."^"V с р U ь'Л :
gep->a:.3h .Prop
>. a—>pcy->o
[*32-23-231. *10-35] =
[*31-33. *10-24]
[*70-12]
*703. к.асу.рсб
Доказательство.
Ь.*70-1 . з1-:Нр./?еа->р. з J"a'/?ca. £""D7?cP . асу. рсб .
[*22-44] 3./?"a7?cY.fr'tD7?c6.
[*70-1] z>.Rey^>b
h . (1). Exp . *10-11-21. з h . Prop
*70-31. h . (a -► P) П (y -> 6) = (a n y) -> (Р П 6)
Доказательство.
h.*70-l. 3h:/?e(a^P)n(v->6).
= ."^"a'/?c a .7?"d7?c у. fr"D7? с p . ft""D7? с 6.
[*22-45] s . 7?"d7? с a П y . fc"D7? с р П 6 .
[*70-l] =./?6(aOY)->(Pn6):3l-.Prop
*70 32. h . (a -> p) U (y -> 6) с (a U y) -> (P U 6)
Доказательство,
h . *70-l. з h :. /? e (a -> p) U (y -> 6) .
= :"^"0'/? с a. ^"D'Z? с p. V ."Й"а'/? с y . ^t4D'/? с 6 :
[*3-26-27-48] з :7?"d7? с a. V .7?"d7? с у: )P'D7? с p . V . ??~"D7? с 6 :
[*22-65] з :"£"d7? с a U y - fc"D7? с P U 6 :
[*70-l] з : /? e (a U y) -> (P U 6):. з h . Prop
(1)
Principia Mathematica I

*70. ОТНОШЕНИЯ, КЛАССЫ РЕФЕРЕНТОВ И РЕЛЯТИВОВ КОТОРЫХ
ПРИНАДЛЕЖАТ ЗАДАННЫМ КЛАССАМ 485
+70-4. Ь . а -> Cls = R (7?''СГД с а)
Доказательство.
+70-41.
+70-42.
+70-43.
+70-431.
+70-44.
+70-441.
+70-45.
♦70-451.
+70-46.
+70-461.
+70-47.
♦70-471.
♦70-48.
♦70-481.
♦70-5.
♦70-51.
Ь.+70-l. 3h:flea->Cls. = .Т?"СГД
[♦37-761] = .7?"СГД
KCls-^/^'D'flcP)
h . a -> p = (a -► Cls) П (Cls -> p)
b-i.Rea^Cls.myeG'R.^y.Tlyea
г :.ReCls -► p . = : xeD'R. з* . fc'jcep
b:/?ea->Cls. = .7?''VeaUi'A
b:/?eCls->p. = .ft'"VepUi'A
h : R e a -> Cls. = . (y). ~J? ey e a U i'A
г : ReCls -> p. = . (jc) . fr'jcep U С А
h :. Rea -> Cls. = : (y) zll'y ea. V .^'y =
h :.fleCls-> p . = : (x): fr'jcep. V . fr'jc
h :. Дea -> Cls. = : а l~fily. зу J'y6a
h :.ReCls-> p . = :3 ! £"'jc. з* . fr'jcер
h : Д e а -> С Is. =. D ^ с а U i' A
h : Д e Cls -> p . = . D'frc p U i'A
h . Cls -> а = Cnv"(a -► Cls). а -> Cls =
h :. |, T] e а. з^ . | П T] e a U i'A : з : Я, £
са.
са:
= А
= Л
Cnv
еа-
£""D7?cCls.
з Ь . Prop
[Аналогично
[♦70-4-41]
[Аналогично
[Аналогично
[Аналогично
[Аналогично
[Аналогично
[Аналогично
[Аналогично
[Аналогично
[Аналогично
[Аналогично
[Аналогично
[Аналогично
"(Cls-» а)
-> Cls. з . R л S
♦70-4]
♦70-11]
♦70-11]
♦70-12]
♦70-12]
♦70-13]
♦7013]
♦70-14]
♦70-14]
♦70-15]
♦70-15]
♦70-16]
♦70-16]
[♦70-22]
ea->Cls
Доказательство.
Ь . +32-3 .з Ь :. Нр. з z'l'yea.^ea. з. {sg\R л S)YyeaU i'A (1)
h . +32-3 . +51-15 . +24-34 . з
h:^>ea.^^€LtA.3.{sgt(^ri5)}^ = A.
[♦51-236] z>.{sgi(RnS)}iyeaUiiA (2)
h.(l).(2).+4-4.3h:.Hp.3:l?>ea.^>eaULtA.3.{sgt(^ri5)}>eaULtA (3)
h . +32-3 . +51-15 . +24-34 . +51-236 . з
t-:~ftyeCA.l>yeaUCA.z>.{sgl(RnS)yyeaUilA (4)
h . (3). (4) . +4-4 . з h :. Нр . з :~$У,~$У eaUi'Ao. {sg\R Л S)Yye a U С А :
[+10-11-21-27. +70-45] з : R, S e a -► Cls. з. (у). {sg'(/? Л £)}')> e a U С А.
[+70-45 . +32-23] з. R Л 5 e a -> Cls:. з h . Prop
+70-52. h :. |, T] e p. з|,л . != Л ц e p U i'A : з: R, S e Cls -> p. з. R Л 5 e Cls -> p
[Доказательство аналогично +70-51]
+70-53. h :. ^, т] e a. з^ . | Л ц e a U i'A : %, ц e P . 3^tT,. % Л т] e P U i'A: з :
R,S e a -> p. Д Л S e a -> p
h . +70-5-51. з h :. Нр . з: R, S e a -► Cls . R, S e Cls -► P. з .
/?hSea->Cls.tf hSeCls->p (1)
Ь.(1).*70-42.зЬ.Ргор
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

ГЛАВА 3. ОДНО-МНОГОЗНАЧНЫЕ, МНОГО-ОДНОЗНАЧНЫЕ
486 И ОДНО-ОДНОЗНАЧНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
* 70-54. Ь : а\К П CTS = Л. Д, 5 е а -► Cls. з. R и 5 е а -> Cls
Доказательство.
Ь . *24-15 . *22-33 . з
Ь :. О4/? П d'S = Л . з : (у) : ~ ty е О4/?. у е d'S}:
[•33-41] =>:(у):-{а!1?>. Я !"?>}:
[*4-51 . *24-51] з :Су):"^> = Л.У."?^ = Л:
[*24-36] з :(y):~$yu!?ly=!?iy.V.'$iyu!?iy=llly (1)
Ь . *70-45 . з
\-:.R,Sea->C\s. з : (у) :~Й1уеаи ь'Л: (у) .t'yeaU ь'Л (2)
Ь . (1). (2). з Ь :. Нр . з : (у) :"к'у ult'y e a U ь'Л :
[*32-32] з : (у). {sg'(/? U S)}';y eaU ь'Л:
[*70-45] з : R О S е а -> Cls:. Ь . Prop
* 70-55. Ь:В'ДпВ'5=Л.Д,5еС18->р.з.Ди5еС18->р
[Доказательство аналогично *70-54]
*70-56. Ь:В'ДпВ'5=Л.а'Дпа'5=Л./?,5еа->р.з.Ди5еа->р
[*70-54-55-42]
*70-57. Ь:С'/?ПС'5=Л./?,5еа->р.з./?и5еа->Р
Доказательство.
ь. *33i6i. з ь. в'/? п в'5 с с/? n c\s. a'/? n crs с сд п cs.
[*24-13] з Ь : С'Д П CS = Л . з . В'/? П B'S = Л . СГД П d'S = Л (1)
Ь.(1).*70-56.зЬ.Ргор
*70-6. Ь : S е а -> Cls. Д" 'а с а и ь'Л. з. R \ S е а -> Cls
Доказательство.
К*37-31. 3h.{sg'(/?|5)}"V = (/?6|^)"V
[*37-33] =/?6"S^"V (1)
h . (1). *70-44 . з Ь . 5 е a -► Cls. з. {sg'(fl 1S)}"V сRel'(a U ь'Л) (2)
Ь.*37-22. з1-./г€"(аиь'Л) = /?€"аи^е"ь'Л
[*53-31] = Д€"аиь'Де'Л
[(*37-04) .*37-11-29] = Д'"аиь'Л (3)
h . (3). *22-66 . з Ь : Д'"а с a U ь'Л . з . Д€"(а U ь'Л) с a U ь'Л U ь'Л.
[*22-56] з.Д6"(аиь'Л)саиь'Л (4)
Ь . (2). (4). з Ь : Нр . з . {sg'(/? | S)}"V с a U ь'Л.
[*70-44] з. R | S е а -> Cls: з Ь . Prop
*70-61. h:/?eCls->p.5'"pcpUb^.3./?|5 6Cls->p
[Аналогично *70-6]
Principia Mathematica I

*70. ОТНОШЕНИЯ, КЛАССЫ РЕФЕРЕНТОВ И РЕЛЯТИВОВ КОТОРЫХ
ПРИНАДЛЕЖАТ ЗАДАННЫМ КЛАССАМ 487
*70-62. t-:Rea^>C\s.z>.R\yea^>C\s
Доказательство.
Ь . *35-64 . Transp .эЬ:у~€у.э.у~€<Г(ДГу).
[•33-41. *24-51] z>. {sg\R \y)Yy = A.
[*51-236] z>. [sg\R \у)Ууеаи i'А (1)
Ь . *35-101. *4-73 . э Ь :. у еу. э : jc (R \ у) у. =х . jc/ty :
[*20-15 . *32-13-23] э : {sg\R \ у)Уу =7?'у (2)
Ь.*70-45. эЬгНр.з.Дг'уеаиь'Л (3)
Ь . (2). (3). z>h :. Нр. z> :уеу - з - [sg'O? \y)YyeaU i'A (4)
h . (1). (4). *4-83 . z> h : Hp. z>. {sg'(^ \y)YyeaU С А (5)
h . (5). *10*11-21. *70-45 . э h . Prop
*70-63. h : R e Cls -► |3 . э . 61 Д e Cls -► p [Аналогично *70-62]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

ГЛАВА 3. ОДНО-МНОГОЗНАЧНЫЕ, МНОГО-ОДНОЗНАЧНЫЕ
488 И ОДНО-ОДНОЗНАЧНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
*71. Одно-многозначные, много-однозначные
и одно-однозначные отношения
Краткое содержание
*71. В настоящем параграфе мы рассмотрим наиболее элементарные
свойства одно-многозначных, много-однозначных и одно-однозначных
отношений. Эти свойства весьма многочисленны и важны. Свойства
много-однозначных отношений (т.е. отношений, принадлежащих классу Cls—> 1)
выводятся из соответствующих свойств одно-многозначных отношений
посредством *70-5, поскольку из указанного предложения вытекает, что много-
однозначные отношения — обращения одно-многозначных отношений.
Таким образом, чтобы получить свойство много-однозначного отношения из
свойства одно-многозначного отношения, достаточно поменять R и R, D и
Q, 7с и R. Делая подобные замены на каждом шаге доказательства,
получим аналогичное предложение. По этой причине в дальнейшем мы
будем опускать все доказательства свойств много-однозначных отношений,
ограничиваясь доказательствами аналогичных свойств одно-многозначных
отношений.
В силу * 70-42, одно-однозначные отношения (т. е. отношения,
принадлежащие классу 1 —» 1) суть отношения, одновременно одно-многозначные
и много-однозначные; следовательно, их свойства получаются в результате
комбинирования свойств одно-многозначных и много-однозначных
отношений. Мы будем опускать доказательства, состоящие только из таких
комбинаций.
Одно-многозначное отношение служит источником дескриптивной
функции, существующей всегда, когда ее аргумент принадлежит обратной
области отношения. Т.е. при Re 1 -»Cls мы имеем Е \R'y, лишь только yeQ'R.
Обратно, если дескриптивная функция R'y существует для аргумента у, то
R — одно-многозначно во всяком случае для этого аргумента, т.е. К'у el.
Таким образом,
Rel->C\s. = .EllR"(liR.
Дескриптивная функция R'y, произведенная от одно-многозначного
отношения R, имеет, следовательно, определенное значение тогда и только
тогда, когда yeQ'R. Таким образом, класс аргументов, для которых такая
функция существует, совпадает с обратной областью отношения, от
которого данная функция произведена, т. е.
R е 1 -► Cls. э . у {Е ! R'y] = СГД,
также верна и обратная импликация.
Нередко отношение, вообще не являющееся одно-многозначным,
становится таковым, когда его область, обратная область или поле
подвергаются некоторым ограничениям. Например, пусть R — отношение родителя
к ребенку, а —класс мужчин, р —класс женщин. Тогда R не
одно-многозначно, но а1 R и Р1 R одно-многозначны; действительно, (a] R)'y= отец у,
($]RYy= мать у. Нам часто придется иметь дело с отношениями,
получаемыми ограничениями, накладываемыми на D или Q; таким образом,
Principia Mathematica I

*71. ОДНО-МНОГОЗНАЧНЫЕ, МНОГО-ОДНОЗНАЧНЫЕ
И ОДНО-ОДНОЗНАЧНЫЕ ОТНОШЕНИЯ 489
a (D \ X) R . = . R принадлежит классу X и имеет а в качестве своей области.
Класс X может быть построен таким образом, что данному условию
удовлетворяет только единственное отношение R; в этом случае D \ X е Cls —»1. Так
как D € 1 —»Cls, получаем D \ X € Cls -»l. = .DfXel-»l. Такой тип условия:
D \ X € 1 -»1 или а \ X е 1 -»1 или С Г X € 1 -»1 часто встречается в
дальнейшей работе. Другое часто встречающееся условие — F \ X е Cls —»1. Когда
это условие выполнено, терм jc, принадлежащий полю одного отношения
класса X, не принадлежит полю никакого другого отношения этого же
класса, т. е. поля отношений такого класса взаимно исключительны.
Чтобы образно представить себе свойства одно-многозначных
отношений, полезно рассмотреть прилагаемый рисунок.
Здесь jc, у, z, ... образуют область R, а все точки овала, помеченного
символом к 'jc, таковы, что jc находится в отношении R с каждой из них;
аналогично для у и z. Что характеризует R как элемент класса 1 —»Cls, так
это отсутствие перекрытия овалов. Ибо если бы к'х и К'у имели общую
точку, она была бы релятивом и для jc, и для у, т. е. одновременно jc и у
были бы ее референтами; но для отношений из 1 —»Cls ни один терм не
может иметь более одного референта.
Приведенный выше рисунок иллюстрирует одно очень важное свойство
одно-многозначных отношений, а именно
Rel->C\s. = .R\R = I\T)lR.
Здесь / \ T)'R есть отношение тождества, ограниченное на jc, у, z,
Если бы отношение R не принадлежало классу 1 -»Cls, мы бы могли
иногда перейти от jc к некоторому терму из к'хП к'у посредством отношения
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

ГЛАВА 3. ОДНО-МНОГОЗНАЧНЫЕ, МНОГО-ОДНОЗНАЧНЫЕ
490 И ОДНО-ОДНОЗНАЧНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
R, а затем обратно —к у посредством отношения R. Если же i? € 1 —> Cls,
то R\R должно возвратить нас к точке, из которой мы стартовали.
Когда Rе 1 —»1, каждый овал к'jc, R'y, Rlz, ... на
вышеприведенном рисунке сжимается в одну точку, так что R lx = ilRlx. Поэтому
отношение R, заданное как 1 —> Cls, является на самом деле 1—> 1,
если Riy = Riz. э^ *y = z. Данное предложение часто цитируется, так
же, как и заключение о принадлежности R\fi классу 1 —»1, если
y,ze$ .R'y^R'z.^yj .y = z. (Предложения *71-54-55 ниже.)
Гипотеза R е 1 —»Cls эквивалентна гипотезе
xRz.yRz.^>x^z-x = y
(ср. *71-17 ниже), а гипотеза tfeCls—>1 эквивалентна
xRy . xRz. э w . у = z •
Эти гипотезы в высшей степени удобны для многих целей.
Перечислим наиболее интересные предложения настоящего параграфа.
(Мы опускаем здесь предложения, содержащие Cls —»1 или 1 —»1, если они
являются лишь аналогами предложений, содержащих 1 —> Cls.)
♦71 16. h : R е 1 -> Cls . = . Е !! Я"СГЯ
Это дает нам связь между одно-многозначными отношениями и
дескриптивными функциями. Также имеем
♦71163. Ь :. R е 1 -> Cls. = : у е СГЯ . =у . Е ! R'y
Для многих постоянных отношений, определяемых нами время от
времени, таких как Cnv или D, полезно следующее предложение:
♦71166. b:(y).E!/?';y.z>./?el->Cls
♦7117. I-:. R е 1 -> Cls . = : xRz - yRz. =>w .x = y
Это можно было бы принять в качестве определения
одно-многозначных отношений, если бы мы не желали вывести его из более общего
понятия а —> р. В доказательствах того, что некоторое отношение
одно-многозначно, *71-17 участвует чаще других предложений.
♦71-22. Ь : R е 1 -> Cls . S czR . z>. S e 1 -> Cls
♦71-25. h . R, S e 1 -> Cls . z>. R \ S e 1 -> Cls
♦71-36. h :. R € 1 -> Cls . z>: x = R'y . = . xRy
♦71-381. K-/?eCls^l.3./?''(a-p) = /?''a-/?''p
(Это предложение более полезно, чем соответствующее свойство
1 -> Cls.)
♦71-55. \-::Rel->C\s.z>:.R\$el->l. = :y,ze$.Riy = Rlz.=>yj:.y = z
Данное предложение постоянно используется. Например, принимая а
за R, получим
Ь:.агр€1->1. = :ле€р.а'р = а4е.зад.р = е.
Большое количество отношений, используемых для установления
соответствий в арифметике, получается из одно-многозначного отношения,
такого, как Q, наложением некоторого ограничения на обратную область,
что делает это отношение одно-однозначным.
♦71-571. h :. у € р . эу . Е ! Rly: = . R \ р е 1 -> Cls . р с СГЯ
Principia Mathematica I

*71. ОДНО-МНОГОЗНАЧНЫЕ, МНОГО-ОДНОЗНАЧНЫЕ
И ОДНО-ОДНОЗНАЧНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
491
Здесь "уер.Зу .Е!/?'/' есть Е!!Д"р, что уже играло большую роль
в качестве гипотезы, например, в предложении *37-6 и следующих за ним.
*71-7. Ь :. Qe 1 -> Cls . э : хР\ Qz. = . *Р(£'г)
Таким образом, например, мы будем иметь x(P\Cnv)R. =. jcP(Cnv7?).
♦71-01.
♦7102.
♦7103.
♦7104.
♦711.
♦71101.
♦71102.
♦71103.
♦7111.
♦71111.
♦71112.
♦7112.
♦71121.
♦71122.
♦7113.
♦71131.
♦71132.
Kl->Cls = tf(7?"d7?cl)
KCls^l=tf(fr''D7?cl)
1-. 1 —> 1 = Я(7?"СГЯс 1. fc"D7?c l)
h . 1 -> 1 = (1 ~* Cls) П (Cls -> 1)
(-:/?el->Cls. = .7?"CI7?cl
b:/?€Cls->l. = .fr"D7?cl
b:/?€l->l. = .1"a'/?cl.^"D'i?cl
1-:Я e 1 -> 1 . = ./?€ 1 -> Cls .Де Cls -> 1
h : J? € 1 -»Cls . s .^"V clUi'A
(-:/?€C1s->1. = .^"Vc1Ul'A
h : Я e 1 -> 1 . = .7?"V clUi'A. fr"V с 1 U
h : Д € 1 -> Cls . = . (y) .Tl'ye 1 U i'A
1-: R e Cls -> 1. = . (jc) . ft"'* e 1 U i'A
[♦70-4]
[♦70-41]
[♦20-2 . 0
[♦70-42]
[*20-33 .
[♦20-33 .
[♦20-33.
[♦20-33 .
[♦70-44]
[♦70-441]
i'A
1-:. Д e 1 -> 1. = : (у).~$у € 1 U i'A : (jc) . ft"'jc e 1 U t'A
\-:.Rel^Ch. = z(y)iit'yel.V.ll'y = A
h :. Re Cls -> 1. s : (jc) : 5?~'jc€ 1 . V . fc'jc = A
h :: /? € 1 -> 1 . = :. (у) :7?';y 6 1 . V .l?ey = A :.
(jc):^'jc€1
*70-01)]
♦71-01]
♦71-02]
♦71-03]
♦71-04]
[♦70-12]
[♦70-45]
[♦70-451]
[♦70-13]
[♦70-46]
[♦70-461]
.V.5Tjc = A
[♦70-14]
♦71-14. h :.Re 1 -> Cls . = : 3 \~Й'у. z>y .ll'ye 1 [*70-47]
♦71-141. \-:.ReC]s-*l.z=i!gilJl'x.^x.Jl'xel [*70-471]
♦71142. h :. J?€ 1 -> 1. s : g \~$У . =>y .^>e 1: 3 ! 5?~'jc. z>x . fcxe 1 [♦70-15]
♦71-15. h : R e 1 -> Cls . = . D'7? с 1 U i'A [*70-48]
♦71-151. b:fl€Cls->l. = .D'frclUi'A [*70-481]
♦71-152. h : R e 1 -> 1 . = . D'T? с 1 U t'A . D'frc 1 U i'A [^O-IG]
♦7116. h : R e 1 -> Cls . = . E !! Я"СГЯ
Доказательство.
I-. +37-702 . *71-1 .
hr.flel-^Cls.^iyeCTfl.Dy.^'yel:
[♦53-3] =г:у€<ГД.эу.Е!1?ву:
[♦37-104] = : E !! R"d'R:. z> h . Prop
Данное предложение очень важно; оно показывает связь дескриптивных
функций с одно-многозначными отношениями.
♦71161. b:/?€Cls->l. = .E!!/?"D7?
♦71162. h:fl€l->l.s.E!! Я"СГЯ . Е !! /TD7?
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

ГЛАВА 3. ОДНО-МНОГОЗНАЧНЫЕ, МНОГО-ОДНОЗНАЧНЫЕ
492 И ОДНО-ОДНОЗНАЧНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
*71163. h :. R е 1 -> Cls. = : у е СГЯ. =у . Е ! R'y
Доказательство.
I-. *33-43 . z> h : Е ! R 'у. э . у е СГЯ :
[*4-73] z> h :. у е СГЯ. z>. Е \R'y: = :ye (J'R . = . Е ! R'y:.
[*10-11-271. *37-104] z> I-:. Е !! Д"СГД. = : у е СГД. =у . Е ! R'y (1)
К(1).*71-16.э1-.Ргар
*71 164. h :. Яе Cls -> 1. s : хеD'R. =* . Е ! R'x
*71165. h :. R е 1 -> 1. = : у е (J'R. =у . Е ! Д'у: jc € D'R. =* . Е ! /he
*71166. h:Cy).E!/?>.D./?€l^Cls
Доказательство.
h . *2-02 . *10-1 . z>h:.Hp. z>:ye<l'R.z>.E\R'y:.
[*10-11-21. *37-104] z> Ь : Нр. z>. Е !! R"(J'R.
[*71-16] z>. R е 1 -> Cls : z> h . Prop
♦71167. h:(jc).E!/?'jc.z>./?eCls->l
*71168. h :. (y). E ! R'y: (jc) . E ! R'x: z>. R e 1 -> 1
*7117. h :. tf € 1 -> Cls. = : jctfz . jfc. =>x,y,z -x = y
Данное предложение постоянно используется в дальнейшем.
Доказательство.
(-. *52-4 . 3h:.7?'z€l U ь'Л . = : x,yel$'z. ^х,у • х = у :
[*32-18] = : xRz. yRz - ^х,у *х = у:.
[♦10-11-271 - *11-21] z> Ь:. (z) .^'ze 1 Ui'A. = :xRz.yRz. 3W -х = у (1)
K(l).*71-12. z>KProp
*71171. I-:.ReCls-> 1. = : xRy. jctfz. =>x,y,z .y = z
♦71172. h :. R e 1 -> 1 . = : jctfz . yRz. задг . jc = у : xRy . xRz - э*,у>г. у = z
*71 18. I-:. Re 1 -> Cls. = : 3 ! fr'jcn ll'y. z>^y . jc = ;y
Доказательство.
h.*32-181.*22-33.z>
h :. a ! К 'x П A 'y. зЛ0,. jc = у: = : (gz). jc#z . yflz. ^x,y .x = y:
[*10-23] = : xRz. yRz. задг . jc = >> :
[*71-17] = : R e 1 -> Cls:. z> h . Prop
*71 181. l-:./*€Cls-»l . = :a !^>n^'z. =>y>z .y = z
*71182. \-::Rel-> 1. = :. g ! ^'jc П ^'j. V . g !^'jcO^>: =>^ . jc = j
*7119. 1-:/?€1->С18. = ./?|Л = /ГВ'/?
Доказательство.
h.*34-l.*31-ll. z>h.jc(/?|^)^. = .(az).jc^z.^z (1)
l-.*50-l.*35401. =>\-.х(1\В^)у. = .х = у.уеТ)^ (2)
I-. (1). (2). *21-43 . з
Principia Mathematica I

*71. ОДНО-МНОГОЗНАЧНЫЕ, МНОГО-ОДНОЗНАЧНЫЕ
И ОДНО-ОДНОЗНАЧНЫЕ ОТНОШЕНИЯ 493
\-::R\R = I\DiR.^:.(^z)^xRz.yRz.=Xfyix = y.yeT)tR:
[•33-13 . *10-35] =х,у : (az) - х = у .yRz:
[*13-194] з,^: (gz). jc = у. xRz - yRz i
[•10-35] s^ : jc = j: (gZ). xRz .yRz и
[•4-71] s:. (az). x^z - yRz - =>*,? . jc = у:.
[•10-23] = :. xRz .yfe. =>w . jc = у:.
[•71-17] = :. Re 1 -> Cls:: z> h . Prop
•71-191. h:fl€Cls-»l.s.#|J? = /r<rfl
*7ii92. h:i?€i->i.s.i?|* = /гг>^-Л|/г = /raej?
•71-2. h . Cls -> 1 = Cnv"(l -> Cls).
1 -> Cls = Cnv"(Cls -> 1). 1 -> 1 = Cnv'41 -> l)[*70-22]
•71-21. b:/?€l->Cls. = .tfeCls->l
Доказательство.
h. *37-62 . *31-13 . z> I- : Д e 1 -> Cls . z>. Cnv'J? €Cnv"(l -»Cls).
[•31-12. *71-2] d.J?€C1s->1 (1)
h . *37-62 . *3113 . z>l-:/?eCls->l. z>.Cnv'£eCnv"(Cls-> 1).
[•31-33 - *71-2] z>./?el->Cls (2)
К (1). (2). э К Prop
•71-211. b:/?eCls->l. = .£el->Cls
•71-212, Ь:Яб1->1. = .Де1->1
•71-22. \-: R e 1 -> Cls . S clR . z>. S e 1 -> Cls
Доказательство.
h.*23-l.z>
I-:. 5 dR . =>: jcSz . ySz - 3W . xRz . yfe (1)
K*71-17.z>
h :.Д e 1 -> Cls . z>:xRz.yRz . dw . jc = j (2)
K(l).(2).*ll-37.z>
h :. Hp . z>: jcSz - ySz . =>x>yiZ . jc = у:
[•71-17] z>: S e 1 -> Cls :. z> h . Prop
•71-221. b:fleCls->l.SG/?.z>.SeCls->l
•71-222. h:/?el->l.SG/?.z>.Sel->l
•71-223. h:/?el->Cls.z>.R17?cl->Cls [*71-22 . *61-2]
•71-224. K:fleCls->l.z>.Rl\KcCls->l
•71-225. b:flel->l.z>.R17?cl->l
•71-23. h : Д € 1 -> Cls . э . R П 5 e 1 -> Cls [*71-22 . *23-43]
•71-231. b:/?eCls->l.z>./?hSeCls->l
•71-232. \-:Rel->l.z>.RCiSel->l
•71-233. b:fl,Sel->Cls.z>.flhSel->l
Доказательство.
K*71-23. z>l-:Hp. z>./?nSel->Cls (1)
l-.*71-21 . z>l-:Hp. z>.5eCls->l.
[•71-231] z>./?nS€Cls->l (2)
K(l).(2).*71-103.z>l-.Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

ГЛАВА 3. ОДНО-МНОГОЗНАЧНЫЕ, МНОГО-ОДНОЗНАЧНЫЕ
494 И ОДНО-ОДНОЗНАЧНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
*71234. \-:R,SeCls^>l.z>.RnSel->l
*71 235. Ь: R е 1 -> Cls . S e Cls -> 1. з. R h S e 1 -> 1
*71 24. h : Д, 5 € 1 -> Cls . О'/? П d'S = Л. з. R и 5 e 1 -> Cls [*70-54]
*71 241. h : Я, 5 e Cls -> 1. D7? П D'5 = Л. з. R и 5 € Cls -> 1 [*70-55]
*71 242. h : R, S e 1 -> 1. D7? П D'S = Л. СГЯ n d'S = Л . з. R и 5 e 1 -> 1
[*70-56]
*71-243. b:/?,S€l^l.C\KnC'S=A.3./?USel->l [*70-57]
♦71-244. h : Д, 5 € 1 -> Cls . R \ d'S <zS . з. R и 5 € 1 -> Cls
Доказ ате льство.
h . *23-34 . *4-4 . з
\-:.x(RGS)z.y(ROS)z. = :xRz.yRz.v.xRz.ySz.v.xSz.yRz.v.xSz.ySz (1)
I-. *71-17 . з I-:. R, S e 1 -> Cls . з: xRz. yRz. з. x = у: xSz. }tfz. =>. * = у (2)
I-. *33-14 . *4-7 . 3(-:jc/?z.}tfz. z>.xKz.ySz.Z€CTS -
[♦35-101] з. jc(J? Г CTS)z.ySz (3)
l-.(3). зЬ:.Д ra^eS.3:jc/?z-;ySz.3.jcSz.;ySz (4)
К (4)—. з h:./? Г aeSGS.3:xSz.yife.3.xSz-ySz (5)
h . (2). (4). (5). зI-:.Hp. з :xRz.ySz. з . x = y:xSz.yRz. з. jc = y (6)
h.(l).(2).(6).*4-77.3h:.Hp.3:jc(/?U5,)z.>'(/?U5,)z.3.jc = >' (7)
I-. (7). *10-11-21. *71-17 . з h . Prop
♦71-245. h:R,S eCls^l. (D'S)] RclS . з .RuS eCls-> 1
*71 25. h . Д, 5 € 1 -> Cls . з . Д 15 € 1 -> Cls
Доказательство.
I-.*71-17. з(-:Нр. 3:>£jc.zSjc.3.}> = z:
[Fact] з : uRy. jSjc . vRz. zSjc . з . у = z . uRy . vRz .
[*13-13] z>.uRy.vRy.
1*71-17] 3.m = v (1)
К(1).*11-11-3-54.з
I-:: Hp . з :. (a;y). uRy . ySx: (gz) - v/?z - zSx: з . и = v:.
[*34-l] 3:.m(/?|S)jc.v(/?|S)jc.3.w = v (2)
|-.(2).*71-17.з1-.Ргор
*71-251. K/?,SeCls->1.3./?|SeCls->l
♦71-252. \-.R,Sel->l.z>.R\Sel^>\
Предложение *71-25 может быть также выведено из *70-6.
Альтернативное доказательство *71-25.
h . *53-301. *7112 . з h : R е 1 -> Cls. з . Я'Ч'лге 1 U i'A:
[*521] з I-: R € 1 -> Cls . а е 1 . з . Д"а е 1 U i'A :
1*37-61-11-103] з I-: Rе 1 -> Cls . з . Д'"1 с 1 U i'A (1)
h . (1). *70-6 . з I-. Prop
Аналогично и *71-251 может быть выведено из *70-61.
Principia Mathematica I

*71. ОДНО-МНОГОЗНАЧНЫЕ, МНОГО-ОДНОЗНАЧНЫЕ
И ОДНО-ОДНОЗНАЧНЫЕ ОТНОШЕНИЯ 495
♦71-26. Ь . R е 1 -> Cls . z>. R \ у е 1 -> Cls [+70-62]
«71-261. h . Д € Cls -> 1. z>. р 1 Л € Cls -> 1 [+70-63]
♦71-27. h . Я е 1 -> Cls . z>. р 1 Л е 1 -> Cls [+35-44 . *71-22]
♦71-271. h.J?eCls-> 1 .=>-/? TY^Cls—> l
♦71-28. h . Я € 1 -> Cls . э . p 1 Я \ у e 1 -> Cls [♦35-442 . +71-22]
♦71-281. K/?€Cls->l.z>.p1/?rY«ECls->l
♦71-29. \-.Rel-*l.*.fL]R,R\y,fi]R\yel-*l
♦71-31. h .Re 1 -> Cls .уеСГЯ. э . (Д';у)Д;у [+30-32 . +71-163]
♦71-311. h . Re Cls -> 1. xeD'R. z>. xR (R'x)
♦71-312. h . R e 1 -> 1 . jceD'R . у е СГД . z>. xR (£'jc). (R'y)Ry
♦71-32. h::Rel^Cls.yeaiR.z>:.\\f(Riy). = :(^x).xRy.\\fx: = :xRy.z>x.\\fx
[+30-33.+71-163]
♦71-321. b::/?eCls->l .xeDiR.z>:.\\f(Rlx). = :(^y).xRy.\\fy: = :xRy.z>y.\\fy
♦71-33. \-::Rel^C\s.z>:.\\f(Ry): = :(Rx).xRy.\\fx: = :ye<l'R:xRy.z>x.y\rx
Доказательство.
h . +71-32 . +5-32 . z>
I-:: Hp . z>:. у e G'R . \\f (R'y) , = :ye d'tf : (g jc). xRy . \|/jc :
E=:ye<l'R:xRy.z>x.yx (1)
I-. +14-21 . z> h : \|/ (R'y) .z>.E\R'y.
[♦33-43] z>.yed'R:
[♦4-71] 3h:.y€a'/?.V|/(/?». = .V|/(/?^) (2)
I-. +10-5 . z>h : (gjc). jc/ty .\\fx.z>. (gjc). jc/ty .
[♦33-131] z>.ye<l'R:
[♦4-71] z> I-:. у e СГД: (3jc) . jc#y . \\fx: = . (gjc). jetty . yjc (3)
К(1).(2).(3).зКРгор
♦71-331. \-::ReC\s^l.z>:.\\f(R'x). = :(Ry).xRy.\\fy: = :xeD'R:xRy.z>y.\\ry
♦71-332. I-:. R e 1 -> Cls . z>: R'y e a . = . 3 l~$'y П a . = . у е (J'R .~Й'у с a
[.71-33^]
\\fX
♦71-333. h:.fleCls-> 1 . z>:fl'jcea . = . 3 ! fc'jcOa . = . xeD'R . fc'jcca
♦71-34. h : R e 1 -► Cls . R = 5 . у € О'/?. z>. R'y = S";y [+30-36 . +71-163]
♦71-341. b:/?€Cls->l ./? = S . jceD'/? . z>.£'jc = S'jc
♦71-35. h :: Я e 1 -> Cls . z>:. у € a'/? U d'S . z>y . R'y = S 'y: = . R = S
Доказательство.
(-.♦21-18. z>l-:.tf = S .э:)ба'Лиа'5. = .yed'RU (J'R .
[♦22-56] = .;yea'tf (1)
К (1). +71-34. z>l- ::Hp. R = S . z> ryed'tf U d'S . z>y. R'y = S'y (2)
h . (2). +33-45 . зЬ.Ргор
♦71-351. h :: Re Cls -> 1. z>:. jceD'tf U D'S . z>x . R'x = S 'jc : = . R = S
♦71-352. l-::/?el->l.D:.}'ea'/?ua'5.Dr/?'3; = 5>:E:/? = 1S:
^uceD'tf UD'S . z>x . R'x = S'x
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

ГЛАВА 3. ОДНО-МНОГОЗНАЧНЫЕ, МНОГО-ОДНОЗНАЧНЫЕ
496 И ОДНО-ОДНОЗНАЧНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
*71 36. Ь :. Rе 1 -> Cls . z>: x = R'y. = . xRy
Доказательство.
h . *30-4 . *7М63 . z>
h :.Нр.уed'R. z>: jc = R'y .= . xRy (1)
K*71-163.Transp.z>
|-:.Нр.;у~еСГЯ. z>.~E\R'y.
[•14-21. Transp] z>. ~ (x = R'y) (2)
K*33-14.Transp. z>\-:y~e<l'R.z>.~(xRy) (3)
h . (2). (3). *5-21 . z>
\-:.Rp.y~e(l'R. z>: x = R'y .== .xRy (4)
K(l).(4).*4-83.z>l-.Prop
•71361. \-:.ReCh^>l.z>:y = R'x. = .xRy
•71 362. \-i.Rel-*l.^zx = R'y. = .xRy. = .y = &'x
•7137. \-:.Rel->Cls.z>:yeR"a.==.R'yea
Доказательство.
l-.*71-33. =>1-:.Нр.з:Д';у€а. = . (gjc). xRy. xea .
[•37-105] = .yeR"a :. z>h . Prop
•71-371. b:./?€as^l.3:jce/?''a. = .£'jcea
♦71-38. h : Д e 1 -> Cls . z>. Д"(а - p) = R''a - Д"р
Доказательство.
K*71-37. з(-:.Нр.з:;у€Д"(а-Р). = .Д';у€а-р.
[•22-32 . *14-21] = . R'y e a . ~ (Я';у e p).
[•71-37] = . у e Д"а. ~ (у e Д"р).
[•22-32] = . yeR"a - Д"р :. z> I-. Prop
«71-381. h:/?€Cls->l.z>.fl''(a-p)=fl''a-fl''p
*71-4. h : Д € 1 -> Cls . z>. Д"р = Jc {(g;y). ;y € p . jc = R'y] [*37-l . *71-36]
•71-401. h:/?6Cls^l.z>.^"P = j){(3jc).jc€p.>; = ^'jc}
*71-41. h : R e 1 -> Cls . z>. D'R = x {fay) .x = R'y} [*33-l . *71-36]
•71411. h:/?€Cls->l.D.a'/? = j){(ajc).>; = ^'A:}
•71-42. h::/?€l->Cls.pca'/?.3:./?"pca. = :>;ep.z>y./?>6a
[*37-61 . *71-16]
•71-421. ^:^еСЪ^1.асВ^.=>:.Й"ас$. = :хеа.=>х.к'хе$
♦71-43. h : Д e 1 -> Cls .yea П СГД . z> .R'yeR"a [*37-62 . *71-16]
•71-431. h:/?6Cls->l.JC€anD'/?.3.^'jc6^"a
•71-44. h :: Re 1 -> Cls . а с G'R . з :. xeR"a. зх . \\fx: = : yea. зу . \\f (R'y)
[*37-63. *71-16]
•71-441. h ::fleCls-> 1 ,acD'/?. з :.>>e/?"a . зу . \|гу: = : xea . з* .у (/?'jc)
Principia Mathematica I

*71. ОДНО-МНОГОЗНАЧНЫЕ, МНОГО-ОДНОЗНАЧНЫЕ
И ОДНО-ОДНОЗНАЧНЫЕ ОТНОШЕНИЯ 497
♦71-45. h :. R е 1 -> Cls . з: (gjc). х е Я''а. ух. = . (ду). ;у € а . у (R'y)
Доказательство.
I-. *37-64 . *71-16 . з
I-:. Нр. з : (gjc). *еД"(аП СГД). \|/jc. =. (gy) .yea n О'/? . \|/(Я';у) (1)
h.*37-26. эКГ(апа'Л) = Л"а (2)
I-. *14-21 . з I-: у e a . у (R'y). з. E ! R'y.
[*33-43] э.убО'Л:
[*4-71. *22-33] з I-:yea .у (R'y). = .yea П СГЯ . у(Д» :
[•10-11-281] 3h:(ay).^6a.v|/(/?». = .(aj).j€ana'/?.\|/(^) (3)
h.(l).(2).(3). зк.Ргор
*71451. ^:ЛеСк^1.=>:(яу).уе&"а.уу.==.(ях).хеа.у(к'х)
*71-46. b:/?el^Cls.ac/?''p.3.a = /r(/r'anp)
Доказательство.
I-. *37-26 . з I-:Д"р = Д"(Р П О'/?). Д"(Д"а П p) = Д"(Д"а П Р П a4/?) (1)
I-. *37-65 . *71-16 . з
h : R e 1 -> Cls . a с Д"(Р П О'/?) .D.a = /?"(^"anpn О'/?) (2)
К(1).(2).зЬ.Ргор
*71 461. Ь : Я еCls -> 1. р с*"а . з . р = Д"(Д"Р П а)
*71-47. Ь :. R е 1 -> Cls. з: а сЯ"р . = . (ду) • Y <= Р • а = Я"у
Доказательство.
I-. *71-46 . *10-24 . *22-43 . з h :. Нр . з : а сR''р . з. (gy) • Y с Р . a = Д"у (1)
h . *37-2 . *10-11-23 . з I-: (gY) • Y <= Р - a = Д"у - з . a с Д"р (2)
К (1). (2). э К Prop
♦71-471. Ь :. Д е Cls -> 1 . з : р с/?"a. = . (gy) • Y <= a . p = /?''y
*71-48. h : R e 1 -> Cls . з . D7?6 = Cl'DT?
Доказательство.
h. *37-24. *60-2. 3l-.D7?ecCl'D\K (1)
h . *37-25 . *71-47 . *60-2 . з h : Hp . a e CVD'R. з . (g у) .уса'/?.а = Гу.
[*10-5 . *37-23] заеБ'Д€:
[Exp. *10-11-21] з I-: Нр. з . СГБ'Д с D7?6 (2)
h.(l).(2).3h.Prop
*71-481. Ь : Д € Cls -> 1 . з . D'(£)c = СГСГД
Следующее предложение используется в теории производных серий
(*216-411).
*7149. Ь:/?€1->С18.аса'/?.з./?44'С1'а = С1'/?44а./?4"С1ех'а = С1ех'/?"а
Доказательство.
Ь . *71-47 - *60-2 . зН.Нр.згуеСПГ'а. = . (gp). pea.y = R"$ .
[*37-103] = .у€Д'"С1'а (1)
h . *37-43 . з h :. Нр . р € СГа . з: g ! р . = . g ! Я"Р (2)
К(1).(2).зЬ.Ргор
*71491. Ь:/?€С18->1.асВ'/?.з.Л'"С1'а = С1'Л"а.^'"С1ех'а = С1ех'^"а
Данное предложение используется в теории производных серий (*216-4)
и в теории ординальных чисел (*251-11).
А.Н. Уайтхед, Б.Рассел

498
ГЛАВА 3. ОДНО-МНОГОЗНАЧНЫЕ, МНОГО-ОДНОЗНАЧНЫЕ
И ОДНО-ОДНОЗНАЧНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
*71-5. h :. R е 1 -> Cls . з: xRy . = . х = l'~fi'y
Доказательство.
h . *71-36 . *30-1 . з(-:.Нр.з:л:Я;у. = . х = (ijc) (xRy).
[*51-56 . *32-13] = . х = Г~Й'у:. з h . Prop
«71-501. \-:.ReCls->l.z>:xRy. = .y = l'1l'x
*71-51. \-:Rel->C\s.ye<l'R.z>.R'y = i'Tl'y
Доказательство.
h . *53-31. *7M63 . з I-: Hp . з . CR'y =~$'y.
[*51-51] з. R'y = V~lt'y: з I-. Prop
♦71-511. \-: ReCls-> I. xeD'R .z> .R'x^X'll'x
*71-52. h :/?€ 1 -> Cls . з . Д"а = i"7?"a
Доказательство.
h . *37-l. z> h . i"^"a = x {(ар). p e^"a. jcГ p}
[*51-51] =Jc{(aP).p€^"a.jc = t'P}
[*37-7] = £{(nfL,y).yea.fL=1l'y.x = rfL)
[*ll-23. *13-195] =jc{(aj).jea.jc = r^>} (1)
h . (1). *71-5 . z>l-:Hp.z>.L"'^"a = Jc{(a>').>;6a.jc/?>'}
[*37-l] =Д"а: з I-. Prop
•71-521. b:/?eCls->1.3.£''a = L"5r'a
*7153. Ь:Де1 ^Cls./?'* = /?>. з.* = ;у
Доказательство.
I-. *14-21. з I-: Hp . з . E ! R'x. E ! R'y.
[*30-32] з . xR (R'x). >>/? (R'y).
[*14-16] з . xR (R'y). уД (Д» .
[*71-17] 3.jc = j:3l-.Prop
*71-531. \-:ReCls->l.R'y = R'z.=>.y = z
*71532. \-:.Re\->l.z>:R'y = R'z.=>.y = z:R'x = R'y.z>.x = y
*71-54. \-::Rel->C\s.z>:.Rel^>l. = :R'y = R'z.=>y,z.y = z
Это предложение, а также следующее (*71-55) весьма часто
используются.
Доказательство.
h . *71-36 . з h :. Нр . з : (дд;) . xRy . xRz . =ул . (gjc) . х - R'y . х = fl'z .
[*14-205] =y,z.R'y = R'z (1)
h. (1) .з1- ::Hp. ^:.R'y = R'z* 3J>Z .)> = z: =
[*10-23] s
[*71-171] =
h. *7Ы03 . *4-73 . 3l-:.Hp.3:/?eCls->l. =.Де1
h . (2). (3). з h . Prop
(gjc) . xRy . xRz . 3y>z. у = z:
xRy . xRz. =>*,>>,* . у = z:
/?eCls->l (2)
1 (3)
Principia Mathematica I

*71. ОДНО-МНОГОЗНАЧНЫЕ, МНОГО-ОДНОЗНАЧНЫЕ
И ОДНО-ОДНОЗНАЧНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
•7155. \--.:Rel->C\s.z>:.R\$el->l. = :y,ze$.R'y = Riz.^y,z.
Доказательство.
h . *71-26 . э h :: Нр . э :. R \ р е 1 -> Cls :.
[•71-54] э:.ДГР*1->1. =i(R\$Yy = (R\PYz.^y*-y = zz
[•35-7] ^г^гер.Д'^Я'г.э^.^г-э
•71-56. \-:.Rel->l.yea'R.z>:R'y = R'z- = -y = z
Доказательство.
h . *71-532 . э h : Нр . R'y = R'z. э . у = z
I-. *71-165 . *30-37 . э1-:Нр.у = г-э.Лву = /гвг
h . (1). (2). э h . Prop
•71-561. \-:.Rel->l.xeD'R.z>:R'x = R'y. = .x = y
•71-57. Ь:-/гву = /гвг-=уЛ.у = г: = :Лб1->1:(у)-Е!Лву
Доказательство.
h. *10-1. э h:. R'y = R'z - =y,z .y = z:^>:Riy = Riy.=y.y = y:
[•13-15] э:(у).Д§у = Дву:
[•14-28] э:(у).Е!/Гу
[•71-166] э :/?€!-> Cls
|-.(2).э1-:.Нр(2). D:flel->Cls:fl';y = fl'z.^,z.;y = z:
[*71-54] z>:/?el->l
Ь.(1).(3).*71-56.эКРгор
•71-571. Н:.;уер.Эу.Е!Я';у: = .Д rpel->Cls.pcCI7?
Доказательство.
h.*71-16. э1-:.Д [pel->Cls. = :ye(J'(R \ p). z>y . E ! (R \ p)';y:
[•35-64-7] = :;у£рПСГД.э>,.;уер.Е!Д';у:
[•22-33 . *5-3] =:ye$n<l'R.z>y.E\R'y
К(1).*22-621.э
|-:./?Гре1->С18.рса4/?. = :^ерпа4/?.эу.Е!/?>:рпа'/? = Р:
[•13-193] =:ye$.z>y.El R'y :$n<l'R = p
h.*33-43. z>\-:.ye$.z>y.E\R'y: э.рсСГД.
[•22-621] э.рпа'/? = р
h . (2). (3). *4-71 . э h . Prop
•71-572. h :. ye p n СГД. эу.Е !Д';у: = .Д Гре1-> Cls
[•71-571 . *35-351. *22-43]
•71-58. \-::y,ze$.^y,z:R'y = R'z. = .y = z:.^.R\$el^>l.fi<za
Доказательство.
h . *10-1 . э h :: Нр . э :. у e р . э^ : Я'у = Л'у . = .>? = >;:
[•13-15. *14-28] z>y:E\R'y:.
[•71-571] э :. R \ р е 1 -> Cls. p с G'R
|-.*3-26.1тр.*11-11-32.э
h :. Нр . э : у, z е р. Л')' = R'z - э^г . = . у = z :
[*35-7] э:(ЛГРГУ = (ЯГР)'г.эуд. = .у = г:
[•71-54.(1)] э:Д [ре1->1
1-.(1).(2).э1-.Ргор
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

ГЛАВА 3. ОДНО-МНОГОЗНАЧНЫЕ, МНОГО-ОДНОЗНАЧНЫЕ
500 И ОДНО-ОДНОЗНАЧНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
*71-59. \-::y,ze$.z>y,z:R'y = R'z. = .y = z:. = .R\$el->l.$<z<l'R
Доказательство.
К*71-56. э1-::Д Гре1->1. э:. ye<l\R\$).z>:(R\$yy = (R\$yz. = .y = z-..
[*35-64-7] э:. ye$n(J'R.z>:y,ze$.Rty = R'z. = .y = z (1)
h . (1). *22-621 . э h :: R \ р е 1 -> 1. р с СГД . э :.
>> е р . э : у, z € р . R'y = Я'z - = - у = Z :-
[*4-73] э:.;у,гер.э:Д';у = Д'г. = .;у = г (2)
h . (2). *11-11-3 . э h :: /? Г Р е 1 -> 1 . р с О4/?. э :.
y,ze$.=>yj:Riy = R'z. = .y = z (3)
|-.*71-58.(2).э1-.Ргор
Следующее предложение используется в теории выборок (*80-91).
*71-6. \- :Rel -> Cls .z> .R = s'P {(яу) .у ed'R. P = (R'y) ly]
Доказательство.
К*4Ы1.*13-195.э
\-tx[&'P[(Ky).yea'R.P = (R'y)ly}]z. = .
(ay).ye<luR.x[(R'y)ly}z.
[*55-13] = .(я;у).;уеСГД.х = Д';у.г = ;у.
[*13-195] Е=.геСГД.х = Д'г (1)
Ь . *71-36 . *33-43 . э h :. Нр . э : z e СГД. х = R'z. = . jc/?z (2)
h . (1). (2). э h . Prop
*71 61. I-: Г e 1 -► Cls . э . е"Ч*"(СГГ П а) ="2'Т'4а
Доказательство.
1-.*37-103-67-111.*32-12.э
h : p e е"Ч*"(СГГ na).s. (дх). xe ОТ П a . p = Q"~? 'x (1)
h . *53-31. *71-16 . э h : Hp. xe СГГ Па.э. Q"~f'x =~&Tx (2)
|-.(1).(2).э1-:.Нр.э:рее'""^ "(аТПа).= .(ах)леаТПа.р=^Тх.
[*37-67 . *71-16] = . p б"2'Т"(аТ П a).
[*37-26] = . p e"2'T"a:. э h . Prop
*71-611. h : Г eCls -> 1 . э . 6"'f"(DT П а) =~$"f"a
*71-612. h : Te 1 -> Cls. э . е"Ч*"(СГГПа)= <2'Т"а
*71 613. h : ГеCls -> 1. э . ^'"^"(DTПа) = |2"7"'а
Предложение *71-613 используется в теории серий (*206-6) и в теории
"подобия положения" (*272-131).
*71-7. h :. Qe 1 -> Cls . э : хР| Qz . = .' хР (G'z)
Доказательство.
|-.*71-36. эН:.Нр. =>:yQz. = -y = Q'z:
[Fact] э : хРу. yQz. = . хРу. у = Q'z:
[•10-281J э : (gy) .xPy.yQZ. = . (gy) .xPy.y = Q'z:
[*34-1 . *13-195] э : хР | Qz . s . хР (Q'z):. э h . Prop
*71-701. h :. QeCls ^ 1. э : xQ| Pz- = - (frx)Pz
Principia Mathematica I

*72. ПРЕДЛОЖЕНИЯ, КАСАЮЩИЕСЯ ОДНО-МНОГОЗНАЧНЫХ,
МНОГО-ОДНОЗНАЧНЫХ И ОДНО-ОДНОЗНАЧНЫХ ОТНОШЕНИЙ 501
*72. Различные предложения, касающиеся
одно-многозначных, много-однозначных
и одно-однозначных отношений
Краткое содержание *72.
В данном параграфе мы докажем различные свойства, относящиеся
к 1 —»Cls, Cls —»1 и 1 —»1, но не заключающие в себе фундаментальные
свойства этих классов отношений.
Открывает настоящий параграф ряд предложений (*72-1—191),
показывающих, что различные специальные отношения одно-многозначны или
одно-однозначны. Из них наиболее полезны:
*72 182. Kjcj,;yel->1
♦72-184. \-.xl, ixel->l
Далее следует множество предложений, содержащих R'S'z при одно-
многозначных R и S или R'R'z для одно-однозначного /?, а также
родственные им. Из них наиболее полезно:
*72-241. \-:.Rel->l.z>:ye<l'R. = .y = R'R'y
Далее следует множество предложений (*72-3—341), относящихся к
произведениям и суммам классов отношений; из них чаще всего упоминается
в дальнейшем
*72-32. h :. X с 1 -> Cls : P, Q е Х . а ! СГР П d'G. эде . Р = Q : э . s'\е 1 -> Cls
являющееся обобщением *71-24.
Далее следует множество предложений (*72-4—481), связывающих
между собой Д"а и Д"Р при Re 1 -»Cls или Я"а и Д"р при fleCls-» 1.
Наиболее полезны среди них те, что содержат гипотезу /?eCls-> 1; такие
предложения время от времени цитируются в арифметике.
*72-401. h:/?eCls^l.D./?'4xn/?''p = /?''(anp)
*72 411. 1-:ДеС18->1.аПр = Л.э.Д"аПД"р = Л
Например, отношение сына к отцу много-однозначно. Пусть
а = министры, р = тупицы; тогда из предположения а П р = Л будет
следовать, что среди сыновей министров и сыновей тупиц (мужского
пола) не найдется общего. Если же R — отношение сына к родителю (не
являющееся много-однозначным), то в этом случае уже нельзя будет
вывести, что среди сыновей министров и сыновей тупиц не найдется
общего.
Далее,
*72-451. b:/?eCls->l.D./?6rCl'a7?el->l
Эффект данного предложения заключается в том, что если аир
содержатся в G7? и, кроме того, Я"а = Я"р, то а = р (поскольку Rea = R"a).
Далее следует множество предложений, касающихся отношений Re
и (R)e, или, что в конечном счете то же самое, обстоятельств, при которых
а = Д"р. = .р = Д"а и Д"Д"а = а.
* 72-502. \-:Rel->Cls.a<zD'R.z>.R"R"a = a
А.Н. Уайтхед, Б.Рассел

ГЛАВА 3. ОДНО-МНОГОЗНАЧНЫЕ, МНОГО-ОДНОЗНАЧНЫЕ
502 И ОДНО-ОДНОЗНАЧНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
Например, отцы детей мудрых отцов суть класс мудрых отцов; но отцы
детей мудрых родителей отнюдь не все мудрые, и родители детей мудрых
родителей не все мудрые: первое — потому что "aeD'fl" неверно, второе —
потому что "flel-»Cls" неверно.
Также
*72-52. г :. Д е 1 ^ 1. а с D^. р с О^. э : а = /Г 'р. = . р = /^'а
Далее следует множество предложений (*72-59—66), в которые входит
относительное произведение R | R при R е 1 —»Cls или R \ R при R е Cls —»1.
Наиболее ценные предложения здесь следующие.
*72591. \-:ReC\s->l.z>.S\R\R = S Id'R
*72-601. г : R e Cls -> 1. d'S с СГД. э . S | R | R = S
*72-66. \-:S2gS .S=S . = .(RR).ReC\s->l.S=R\R
Это "принцип абстракции". Он показывает, что всякое отношение,
обладающее формальными свойствами равенства, т. е. транзитивное и
симметричное, равно относительному произведению некоторого
много-однозначного отношения на его обращение; иначе говоря, всегда, когда отношение S
имеет место между х и у, найдется терм а такой, что xRa. yR а, где R —
некоторое много-однозначное отношение; дополнительно в *72-64 показано,
что в качестве терма а можно взять 5'jc, что равно S 'у. Данный принцип
охватывает значительную часть оснований для наших определений чисел
различных типов; при поиске таких определений мы всегда прежде
всего имели некоторое транзитивное симметричное отношение, которое
отождествляли с числом; так, согласно *72-64, желательные свойства чисел
рассматриваемого типа обеспечиваются тем, что под числом объекта
понимается класс объектов, с которыми данный объект находится в упомянутом
транзитивном симметричном отношении. Именно такой путь мы прошли,
чтобы определить кардинальные числа как классы классов, а ординальные
числа как классы отношений.
Остальные предложения параграфа менее интересны, за исключением
*72-92. г : R е 1 -> Cls . S GR. э . S = R \ CTS
Данное предложение показывает, что всякое отношение, содержащееся
в одно-многозначном отношении, может быть получено из него
ограничением обратной области. Например, всякое отношение, содержащееся в
отношении отца к сыну, может быть специализировано выделением класса
сыновей, т. е. обратной области; так как тогда все отцы этих сыновей
должны быть включены в отношение, чтобы обеспечить референтов. Но если
взять отношение родителя к отпрыску, уже не являющееся ни
одно-многозначным, ни много-однозначным, содержащееся в нем отношение не будет
определено, даже когда область и обратная область заданы; ибо такое
отношение может связывать некоторых отпрысков в одной семье с отцом, и
некоторых —с матерью, и до тех пор, пока все дети и оба родителя
связаны между собой посредством данного отношения, область и обратная
область остаются неизменными при перестановках внутри семьи.
Principia Mathematica I

*72. ПРЕДЛОЖЕНИЯ, КАСАЮЩИЕСЯ ОДНО-МНОГОЗНАЧНЫХ,
МНОГО-ОДНОЗНАЧНЫХ И ОДНО-ОДНОЗНАЧНЫХ ОТНОШЕНИЙ 503
*72 1. h.Ael -> 1
Доказательство.
h.*25405. z>\-.~(xkz.yAz).
[*2-21] z>\-.xAz-yhz.^.x = y:
[*11-11. *7Ы7] э h . А е 1 -> Cls (1)
Аналогично Ь . А е Cls -»1 (2)
h . (1). (2). *7Ы03 . э h . Prop
*72 11. h.Cnvel->l
Доказательство.
К*ЗЫЗ.*7Ы66. Dh.Cnvel->Cls (1)
h . (1). *71-54 . *31-32-12 . э h . Prop
*72 12. h .7?, )Ге 1 -> Cls [*ЗЫ2-121. *71-166]
♦72-121. h.sg,gsel-> 1
Доказательство.
h . *32-22-221. *71-166 . э h. sg, gs e 1 -> Cls (1)
h . (1). *32-14-15-21-211. *71-54 . э h . Prop
*72 13. KDel->Cls [*33-12 . *71-166]
*72 131. h.del->Cls [*33-121.*71-166]
*72 132. h : С e 1 -> Cls [*33-122 . *7Ы66]
*72 14. h . д:9, 9jc e 1 -> Cls [*38-12 . *71-166]
Последнее предложение применимо к большому количеству отношений,
с которыми мы имеем дело, например, ] Р, Р f, Р [, Р|, |Р, xl, 1х и т.д.
*72 15. Ь . Ре е 1 -> Cls [*37-111. *71-166]
В следующем предложении, *72-16, символ р имеет значение,
определенное в *40-01, и не представляет переменное высказывание. Аналогично
s в *72-161 имеет значение, определенное в *40-02.
*7216. Kpel->Cls
Доказательство.
1-.*20-2 . (*4001). э1-.р'к = х(аек.эа.д:еа).
[*14-21] эк.Е'.р'к (1)
1-.(1).*71-166.эКРгор
*72161. Ь. л el-» Cls [Доказательство аналогично *72-16]
*72162. h . р е 1 -» Cls [Доказательство аналогично * 72*16]
*72163. h . se 1 -» Cls [Доказательство аналогично *72-16]
*72 17. К/е1->1
Доказательство.
h . *52-22 . (*40-01). э h . (х) .~f 'xe 1.
[*72-12] Dh./el->Cls (1)
h . (1). *71-21 . *50-2 . Dh./eCls->l (2)
h . (1). (2). э h . Prop
*7218. h . i e 1 -> 1 [*51-23 . *71-57]
*72181. h.te 1 -> 1 [*72-18.*71-212]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

ГЛАВА 3. ОДНО-МНОГОЗНАЧНЫЕ, МНОГО-ОДНОЗНАЧНЫЕ
504 И ОДНО-ОДНОЗНАЧНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
♦72-182. У.х1уе1->1
Доказательство.
У. *55-13 . э h: z(xly)w. = . z = x. w = y: (1)
[*3-47] э У : z (х I у) w - z' (х I у) w. = . z = х. z' = х .
[*13-172] = .z = z' (2)
h . (1). *3-47 . э У : z (х I у) w. z (х I у) W . = . и> = у . и>' = у.
[*13-172] = .w = w' (3)
У . (2). (3). *71-172 . э h . Prop
*72-184. У.хи A Jrcl —» 1 [*55-2 . *71-57]
*72185. h . Ц д:) е е 1 -> 1 [*55-262 . *37-11 . *72-15 . *71-54]
*7219. У . С1 е 1 -> 1 [*60-55 . *71-57]
*72191. h.Rlel->l [*61-55 . *71-57]
*72192. У . С1 ех е 1 -> 1 [*60-56 . *71-57]
*72-193. h.Rlexel->l [*61-56. *71-57]
*72-2. y:.R,Sel->C\s.z>:x = RlS'z. = .x(R\S)z. = .x = (R\Syz
Доказательство.
К*71-36. э1-:.Нр.э:л; = Д\$'г. =.xR(S'z).
[*71-7] s.x(*|S)z (1)
h . *71-36-25 . Dh.Hp.D:jc(/?|S)z. =.x = (R\SYz (2)
h . (1). (2). э h . Prop
♦72-201. y:.R,SeC\s->l.z>:z = SlR'x. = .x(R\S)z. = -Z = (S\Ryx
*72-202. y:.R,Se\->l.z>:x = R'Siz. = .x(R\S)z. = .z = SiR'x
[*72-2-201]
* 72-21. h :. R, S e 1 -> Cls . э : zeS "0'Д. = . E ! R'S 'z - = . E ! (R1S)'z
Доказательство.
h . *71-25-163 . Dhr.Hp. =>:ze<J\R\S). = .E\(R\Syz (1)
h . (1). *37-32 . z>h:.Hp. э:ге5"СГД. = .Е!(Д|5)'г (2)
|-.*72-2.*10-11-21-281.э
У :. Hp . э : (gx). х = R'S *z. = - (3*) • * (Я IS) z:
[•14-204] э : Е ! R'S 'z. = . Е ! (Я 1S)'z (3)
У . (2). (3). э h . Prop
*72-211. h :. Д, S е Cls -> 1. э : л; е fl"D'S . = . Е ! S 'R'x. = . Е ! (S \R)lx
*72-22. У :R,S el-> Cls. ze$"<l'R.?.R'S'z = (R\Syz
Доказательство.
У . *72-21 . э Ь : Нр . э . Е ! R'S'z -
[*34-41] э . Д'5 'z = (Д | SYz: э h . Prop
*72-221. y:R9SeCls-*l.xeR"D'S .^.$'&'x=(8\Ryx
*72-23. 1-:/?,5е1->С18.э./?"5"7 = ^{(аг)-геу.л: = /?'5'у}
Доказательство.
|-.*37-33. эКД"5"у = (Д|5)"у (1)
Ь.*71-25-4. z>y:Rp.z>.(R\Sy'y = x{(3.z).zey.x = (R\SYy}
[*72-2] =Jc{(az).zeY.x = /?'5<Y} (2)
У . (1). (2). э h . Prop
Principia Mathematica I

♦72. ПРЕДЛОЖЕНИЯ, КАСАЮЩИЕСЯ ОДНО-МНОГОЗНАЧНЫХ,
МНОГО-ОДНОЗНАЧНЫХ И ОДНО-ОДНОЗНАЧНЫХ ОТНОШЕНИЙ 505
*7224. 1-:.Де1-> 1 . э : xeDT?. = .х = Д'Я'х
Доказательство.
h . *72-202 . *71-212 . э I-:. Нр. э : х = R'R'x. = . х (R \ R) х.
[*71192] =.x(I\D'R)x.
[*35101. *50-1] ее . х = х. xeDT?.
[*1345 . *4-73] = - хе D'R:. э h . Prop
♦72 241. Н:.Лб1-»1.э:убавЛ-5.у = Лв/гву
*72 242. h :.Re 1 -► 1. э : ф (Я'Д'г) - = . zeD'R . фг: ф (R'R'z) - = - zeO'tf. фг
Доказательство.
h . *ЗО501-51. э h : ф (R'R'z) - = - (а*) • * = R'R'z • Ф * (!)
h . (1). *72-2 . э h :. Нр . э : ф (R'R'z). = . (а*) - х(Д |/?)z - фх.
[*7Ы92] = . (ах). х = z. z e D'tf. фх.
[*13-195] = .геБ'Д.фх (2)
|-.(2)-.*71-212. э1-:.Нр.э:ф(Д'Д'г). ЕЕ.геСГД.фх (3)
h . (2). (3). э h . Prop
*72243. \-::Rel -> 1 . э :.zeD7?. фг- =z - v|/(/?'z): = : ф (Д'и>) . =w . и>еСГД .\|/w
Доказательство.
K*72-242. э1-::Нр. э :. zeDT? . фг - =z - Y(£'z): э :
ф(/ГД'г).=г.1|/(Д'г):
[Fact] э : ф (R'R'z) - w = R'z. =z,w • ¥ (£'z) - w = R'z:
[*14-15] э : ф (R'w). w = Wz - =z,w • V w . w = £'z:
[*10-281] э : (gz) - Ф(Д'w). w = R'z. =„ - (az) .^.w = h:
[*71-411] э : ф (R'w). w e (1'R. =w . \|/ w. w e СГД :
[*14-21. *71-163] э : ф (R'w). =w . \|/ w. w e СГД (1)
h.(l)-.Dh::Hp.3:.wea'JR.\|/w.=vv.\|/(^'w):D:\|/(/?'z).=z^z.zeD'/? (2)
/i
Н.(1).(2).эН.Ргор
Последнее предложение используется в *272-4-41, которое используется
в теории "рациональных серий", т. е. серий, ординально подобных сериям
рациональных чисел.
*72 25. h :. R е 1 -► 1 : (у). Е ! R'y: э . (у). у = Д'Д'у
Доказательство.
Ь . *71-165 . z> h :. Д е 1 -> 1 . э : (у). Е \R'y . = . (у) .yed'R (1)
h.*72-241. =>\-:Ле1->1.=>:(у).уе<1^. = .(у).у = &&у (2)
h . (1). (2). Imp . э h . Prop
Предложения Cnv'Cnv'P = P и t'i'x=x, которые были доказаны ранее,
суть частные случаи предложения *72-25; первое из них является таковым
ввиду Cnv = Cnv'Cnv.
* 72-26. h : (у). Е ! R'y. э . R = ё\1
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

ГЛАВА 3. ОДНО-МНОГОЗНАЧНЫЕ, МНОГО-ОДНОЗНАЧНЫЕ
506 И ОДНО-ОДНОЗНАЧНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
В данном предложении условия значимости требуют, чтобы область R
состояла из классов. Это предложение используется в *72-27.
Доказательство.
К*37-31. э I-. €|1? =«* N?
[*62-32] =.у|7? (1)
h . *53-31 . э h : Нр. э . (у). s4t'y=sYR'y
[*53-02] =R'y.
[*34-42] z>.s\1$=R (2)
h . (1). (2). э h . Prop
*72-27. h . D = ёТб . a = бГЙ [*72-26 . *33-12-121]
Предложение *72-27 используется в *74-63-631 и затем в *163-15.
*72 3. h : а ! X П (1 -> Cls). э . р'\ е 1 -> Cls
Доказательство.
h . *41-12 . Fact. z>\-:Rel.Rel->Cls. э .p'XdR.Re 1 -> Cls .
[*71-22] D.p'Xel->Cls (1)
h.(l).*10-ll-23.Dl-:(a/?)./?6X./?el->Cls.D.p'Xel->Cls (2)
h . (2). *22-33 . э h . Prop
*72 301. h : a ! X П (Cls -> 1). э . p'\ e Cls -> 1
*72 302. |-:а!ХП(1->1).э.^'Хе1->1
♦72-303. h : a ! X П (1 -> Cls). д ! X П (Cls -> 1). э . />'X e 1 -> 1 [*72-3-301]
*72 31. hr.y'Xel^Cls.D.Xcl^Cls
Доказательство.
h.*4113. Dhi.y'Xel^Cls.PeX. э . s'Xe 1 ->Cls .РсЙ.
[*71-22] D.Pel->Cls (1)
h . (1). Exp. *10-11-21. э I-. Prop
*72 311. h:.y'XeCls->l.D.XcCls->l
*72 312. Н:П€1-»1.эДс1-»1
*72 32. h :. Xc 1 -> Cls: P, Qe\. a ! QTn d'6. эР,е . P = Q: э . s'\e 1 -> Cls
Доказательство.
\-.*4hll.*ll-54.^\-zx(su\)z.y(su\)z. = .
(RP,Q).P,Qeb.xPz.yQz.
[*3314. *4-71] =. (RP,Q).P,Qe\.xPz.yQz.ze<IiPn<l'Q (1)
h . (1). *Ф71 . э h :. Нр . э : jc (j'b) z - у (i'X) z. = -
[*13-195] э . (3P) .Peb.xPz.yPz.
[*71-17.Hp] э.л: = ;у (2)
h . (2). *11 11-3 . *71-17 . э h . Prop
*72 321. h :. X с Cls -> 1: P, 2 e X. a ! D'P П D'£) . эР,е . P = Q: э . Укe Cls -> 1
[Доказательство аналогично *72-32]
*72-322. h :. X с 1 -> 1: P, Q e I. a ! СГР П d'6. эад . P = Q:
P, QeX. a ! D'PП D'6. э^е . P = Q: э . j'be 1 -> 1
*72-32-321]
*7
Principia Mathematica I

♦72. ПРЕДЛОЖЕНИЯ, КАСАЮЩИЕСЯ ОДНО-МНОГОЗНАЧНЫХ,
МНОГО-ОДНОЗНАЧНЫХ И ОДНО-ОДНОЗНАЧНЫХ ОТНОШЕНИЙ 507
*72 323. Ь :Лс 1 -> 1:Р, Qel. g !C'PnCQ. z>/>,G . P= G"- ^ • s'be 1 -> 1
Доказательство.
h . *33-161. *22-49 .Dh.O'Pn d'G с C'P П CQ. D'P П D'G с C'P П C'G -
[*24-58] z> Ь : g ! d'P П d'G • => • Я '• C'P П C'G :
g ! D'P П D'G. z>. g ! C'P П C'G (1)
h . (1). Syll. э h :. Hp . э : P, G e X. g ! a'P П d'G. =>p,g . P = G :
P,GeX.g!D'PnD'G.=>p,G-^=e (2)
h . (2). *72-322 .Dh. Prop
*72 34. h : Д e 1 -> Cls . g ! к. z>. р'/Г'к = Д''/?'к
Доказательство.
Ь.*4035. э1-:.>е/7'^"'к. = :рек.эр.>еЛ"р (1)
Ь . (1). *71-37 . г>1-::Нр.э:.>е/7'Л<"к. = :Рек.эр.^'>'еР (2)
Ь.*14-21. э h :. P ек. э./?'>еР:э: Рек. э.Е !/?'>:.
[*10-52] z> h :: Hp . z>:. p € к. z>p . R'y e P: z> : E ! R'y (3)
h . *14-28 . *40-l . z> h :: E IR'y. z>:. P e к. z>p . Я'у e P : = .R'y e/?'к::
[(2). (3). *5-32 . *14-21] z> h :. Hp . z>: у е/?'Д'"к . = . Д'у е/?'к.
[*71-37] = .>>e/?"/?'K:.z>l-.Prop
*72 341. Ь:ДеСк^1.д!к.:э.р'/Г''к:=Д''/?'к
Это предложение следует сравнить с *40-37 и *40-38.
*72-4. Ь:/?€1">С1з.г>.Л"апЛ"Р = Л"(аПР)
Доказательство.
Ь.*71-37. =>h:.Hp.z>:y€^"an^"p. = .R'yea .R'yefi.
[*22-33] =./?'уе(аПР).
[*71-37] = .у e Д"(а П P):. э h . Prop
Когда отношение 7? не 1 —* Cls, мы имеем только общее свойство (ср.
с *37-21)
£"(аПР)с/?"аП/?"р.
*72-401. h:^6Cls^l.z>.JR"an7?"p = /?t'(anp)
*72 41. b:/?el->Cls.anp = A.z>. Д"а П Д"Р = Л [*72-4 . *37-29]
*72-411. b:/?eCls-+l.anp = A.D./r'anfl"P = A
*72-42. h : /? е 1 -> Cls . g ! Л"а ПЛ"Р. z>. g ! а П р [*72-41. Transp]
*72 421. Ь : R e Cls -> 1 . g ! Д"а П Д"Р. z> . g ! а П р
*72 43. Ь:Де1^С18./^'а = /Гр.:э.аПО'Д = рпО'Д
Доказательство.
Ь.*71-37. z>b:.Hp. э:Л'уеа.=у.Л'уеР:
[Fact] z>:z = Ry.Riyea.=y.z = Riy.Riye$:
[*14-15] z>: z = Д'у. z е а. =у . z = R'y. z € Р:
[♦10-281] z>:(gy).z = /?'y.Z€a. = .(gy).z = ^>.Z€p:
[*71-41 . *10-35] z>:z€D'^.z€a. = .z€D'/?.Z€p:
[*22-33] z>:z€D^na. = .z€D'^np:.z)l-.Prop
*72-431. г-:^еС18^1.^"а = ^"р.э.аПа'7? = рпа'Л
*72-44. h : R e 1 -> Cls . а с Б'Д. p с Б'Д. Д"а = Д "Р. z> . a = p
[*72-43 . *22-621]
A.H. "Уайтхед, Б. Рассел

ГЛАВА 3. ОДНО-МНОГОЗНАЧНЫЕ, МНОГО-ОДНОЗНАЧНЫЕ
508 И ОДНО-ОДНОЗНАЧНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
*72-441. Ь : R е Cls -> 1 . а с СГД. р с СГЯ. Д"а = Я"р . z>. а = р
Предложение *72-441 используется в теории возведения в степень
кардиналов (* 116-659).
*72-45. Ь : Я е 1 -> Cls . z>. (Д)с Г Cl'D'fl е 1 -> 1
Доказательство.
Ь.*602. :Db:acD^.pcD'fl. = .a,PeCl'D'fl (1)
Ь . *37-11. z> Ь : Rl'а = /Г р. = . (/?)е'а = (Д)с'р (2)
h . (1). (2). *72-44 . z>
Ь :. Я £ 1 -> Cls . z>: а, peCl'D'tf. (Д)е'а = (Д)е'Р . z>a,p . а = Р :
[*71-55 . *72-15]э : (R)e \ Cl'D'fl е 1 -> 1:. z> Ь . Prop
*72-451. \-:ReC\s-> I. z>.Re \CVQ'Rel -> I
*72-46. h :. R e 1 -* Cls. z>: R"a = Д"Р. = . а n D'fl = p П D\K
[*72-43 . *37-263]
*72-461. h :. Я e Cls -> 1 . z>: R"a = Д"Р. = . а П СГД = p П a*/?
*72-47. h :. R e 1 -* Cls. z>: Д"a = СГД. = . D\K с а
Доказательство.
h . *37-25 . *72-46 . э
h :.Hp . z>:Д"а = a^. = .anD'i? = D7?ПD7?.
[*22-5-621] = . D\K с a : z> h . Prop
*72-471. b:.tfeCls-^l.z>:/ra = D\K. = .CTflca
*72-48. 1-:.7?е1->С18.а,РеСГВ^.г>:Л"а = Л"р. = .а = р
Доказательство.
h . *22-621. э h :. Hp . z>: a = p. = . a П D'R = P П D7? .
[*72-46] s . Д"а = /?"P:. z> h . Prop
*72-481. Ь :. tf e Cls -> 1. a, p e СГСГД. з : R"a = Д"Р. = . a = p
*72-49. h :. Q e 1 -> Cls . z>: Q\P \ Q) = СГ£ - = - D'G <= (TP
Доказательство.
h.*72-47. эЬ:.Нр.э:е"С1'Р = а'е. = .04ес:а'Р (1)
h . (1). *37-32 . z> h . Prop
*72-491. h :. Pe Cls -► 1. z>: D'(P I Q) = D'/>. = . СГР с D'G
*72492. h:.PeCls->l.Gel-»Cls.z>:
D\P | 0 = D7>. d'(P I Q) = <3'Q. = . СГ/> = D'G [*72-49-491]
*72-5. h : Д e 1 -* Cls . z>. Я"Д"а = а П D7?
Доказательство.
h.*37-33. эЬ.Д'7?''а = (Д|Д)''а (1)
h . (1). *7149 . z> h : Hp . z>. Д"Д"а = (I \ D7?)"a
[*50-59] = anD\K:z>b.Prop
*72-501. h:PeCls->l.z>.^<tP"a = ana'P
*72-502. h : R e 1 -* Cls . a с D7? . z>. P"^"a = a [*72-5 . *22-621]
*72-503. Ь:^еС18->1.аса^.э.Л"Р"а = а
*72-504. h:^cD'i?6.D.rt"b^ [*72-502-15]
Заметим, что Re означает Cnv'Pe, а не (R)€. Предложение *72-504
используется в теории сегментов серии (*211-64).
PRINCIPIA MATHEMATICA I

♦72. ПРЕДЛОЖЕНИЯ, КАСАЮЩИЕСЯ ОДНО-МНОГОЗНАЧНЫХ,
МНОГО-ОДНОЗНАЧНЫХ И ОДНО-ОДНОЗНАЧНЫХ ОТНОШЕНИЙ 509
*72-51. h: R е 1 -> Cls . а с D7?. р = Д"а. z>. а = Д"Р [*72-502 . *2018]
♦72-511. hrfleCls^ 1 .рса^.а = Д''р.э.р = Д''а [*72-503 . *2018]
*72-512. Ь:.Де1^1.рса^.э:;уер. = .Д':уеД''Р
Доказательство.
Ь. *71-37 . z> Ь :. Re 1 -> Cls . z>:;y еД"Д"р. ее . Д'уеД"р (1)
h.*72-503. =>\-:.ЯеС\ъ^>1.$с:а'К.=>:уек"К"$. = .уе$ (2)
h.(l).(2). z>h.Prop
*72-513. h :. Д e 1 -> 1: (y) . E ! R'y : z> :>> eP . = .R'yeR"$ [*72-512 . *33-431]
*72 52. H:./?eUl.acD'/?.pcff/?.D:a = /?"p.E.p = ^'a [*72-51-511]
*72 53. h :. R e 1 -► 1. z>: P с СГД . a = R''P. = . a с D7? . p = R''a
Доказательство.
h . *72-52 . *5-32 . z>
h:.^€l^l.D:acD'/?.pca'i?.a=^'p.E.acD^.pca^.p = ^'a (1)
h.*37-15. Dh:a = rp.D.acD'i?:
[*4-71] Dh:acD'^.pca^.a = rp. = .pca'i?.a = rp (2)
h.*37-16. Dh:P = ^'a.D.pca^:
[*4-71] Dh:acD^.pca^.p = ra. = .acD'J?.p = ra (3)
h.(l).(2).(3).3h.Prop
*72-54. h : R e 1 -► 1. z>. Cnv'(/?€ Г СГСГД) = (tf) € Г Cl'DT?
Доказательство.
Ь.*ЗЫ31.=>
h : P {Cnv\Re \ Cl'd'/Q} a . = . a (Re \ СГСГД) p .
[*37-101. *35-101 . *60-2] =.а = Д"р.рс<ТЯ (1)
h . *37-102 . *35-101. *60-2 . z>
h:p{(^)£rCrD</?}a. = .p = ^'a.acD'/? (2)
h . (1). (2). *72-53 . z> h . Prop
*72-541. b:/?el->l.S=/?.z>.Cnv'(fl€ tD'Se) = Se \DlRe
[*71-48-481. *72-54]
*72-55. h : R e 1 -* Cls . z>. a 1 R = R \R"a = a 1 R \R"a
Доказательство.
Ь.*35-1 . *71-36. =>b:.Hp.z>:jc(a1 Д)>>. =.xea.x = R'y.
[*14-15] =.R'yea.x = R'y.
[*71-37] =.уе&"а.х = ^у.
[*71-36. *35-101] =.x(R\R"a)y (1)
b.(l).*35-ll.z>h.Prop
*72-551. h :^eCls^ 1 -z>./? ГР = (^"Р)1 /? = (^"Р)1 /? ГР
*72-57. h : Q \ X e 1 -► Cls . X = &l\i. z>. ц П D'G = Q"l
Доказательство,
h . *37-42 . z> h : I = Q"[i. z>. (k] QY> = G'> (1)
h . *37-421. э h : I = G' V • => • (б Г ^)"G'> = G'^ (2)
h . (1). (2). э h : \= &'V - э . (6 Г^)'Ч^1 Й)"|А= G"* (3)
h . *72-5 . *35-52 . z> h : Q \ X € 1 -► Cls . z>. (Q \ Х)"(к] Q)"\l = \i П D'G (4)
h . (3). (4). z> h . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

ГЛАВА 3. ОДНО-МНОГОЗНАЧНЫЕ, МНОГО-ОДНОЗНАЧНЫЕ
510 И ОДНО-ОДНОЗНАЧНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
[*72-59. *35-452]
[*72-6 . *34-27]
*72-59. \-:Rel^>Cls.z>.S\R\R = S \D'R
Доказательство.
Ь.*71-19. эН:Нр.э.5|Д|*=5|(/ГВ'Д)
[*50-6] =S ГБ'ДгэЬ.Ргор
*72-591. \-iReCls^>l.z>.S\R\R = S \aiR
*72-6. \-:Rel^>C\s.aiS cDtR.z>.S\R\R = S
*72-601. hiReCls-tl.a'S c<liR.z>.S\R\R = S
*72-61. \-:Rel^>Cl8.(I'ScD'R.^.S\R\k\$=S\$
*72 611. \-zReC\8^>l.(I*Sc(I'R.^.S\k\R\$=S\$
Следующее предложение приводит нас к "принципу абстракции"
(*72-55), который, хотя на него мы не ссылаемся явно в последующем,
представляет определенный интерес сам по себе и обобщает часто
применяемый нами тип рассуждений.
*72-62. b:Re\^>Cls.S=R\R.z>.S2 = S .S=S
Доказательство.
Ь.*34-21. z>\-:S=R\R.z>.S2 = R\(R\R\R)
Ь . *72-6 . *33-21 . z>\-:Rel^>Cls.z>.R\R\R = R
Ь.(1).(2). z>\-:ttp.z>.S2=R\R
[Нр] =S
h . (3). *34-7 . z> h . Prop
*72-621. \-:.Rel->C\s.z>:y(R\R)z. = .Rly = Rlz
Доказательство.
(i)
(2)
(3)
h.*71-33. z>b:.Hp.z>:fl';y = fl'z. = . (gx). xRy. x = R'z-
[*71-36] = . (gjc). xRy . xRz.
[*31-11] = . (gx). yRx. xRz.
[*34-l] E=.}>(£|fl)z:.z>b.Prop
*72-622. h:.ReG]s^>l.z>:y(R\R)z. = .&'y = k'z
*72-63. \-:ReC\s->l.S=R\R.z>.S2 = S .S =S
Доказательство.
h.*34-21. z>\-:S =R\R.z>.S2 = (R\R\R)\R
h.*72-601. z>h:ReC1s^>l.z>.R\R\R = R
(1)
(2)
h.(l).(2). z>b:Hp.z>.S2=/?|£
[Hp] =S (3)
h . (3). *34-7 . z> h . Prop
*72-64. b:S2 = S .S=S .Д = Cnv'($~ Г D\S). z>. Д e Cls -> 1.S=R\R
Доказательство.
h . *72-12 . *71-26 . z> h . £" \ D\S e 1 -> Cls .
[*71-21] z>b:Hp.z>./?eCls->l (1)
h . (1). *72-622 . z>
Ь:.Нр.э:;у(Д|Д)г. =.^> = ^'z.
PRINCIPIA MATHEMATICA I

♦72. ПРЕДЛОЖЕНИЯ, КАСАЮЩИЕСЯ ОДНО-МНОГОЗНАЧНЫХ,
МНОГО-ОДНОЗНАЧНЫХ И ОДНО-ОДНОЗНАЧНЫХ ОТНОШЕНИЙ 511
[*31-34.Hp]=.(SrrDt5)tj = (SrrD'5)<z.
[*35-7] = . у, z e D'S . fry = frlz -
[*34-85] s.zcD^.^z (2)
h. *31-11 . эЬ:.Нр. z> :;y£z. ^.zSy .
[♦33-14] z>.zeD'S:
[*4-71] D-.yS'z.s.zcD^.yS'z (3)
h. (1). (2). (3). z> h . Prop
•72-65. h : S2 = S . 5 = 5 . = . (3Д). ReCls -► 1. S =R \R [*72-63-64]
*72-66. h: S2 <lS . S = S . = . (дД) . Д eCls -► 1. S =R \R [*72-65 . *34-81]
•72-7. b:/?el->Cls.z>.5rfD7?el->l
Доказательство.
Ь . *33-4 . *22-5 . :Db:;y,zeD7?.fc';y = fr'z.z>.g ifc'^nfc'z (1)
Ь . (1). *71-18 . z>h:>,z€D^.^">=^.z>.j = z (2)
h . (2). *72-12 . *71-55 . z> h . Prop
•72-71. b:/?€Cls->l.z>.7? Г<ТДе1->1
•72-72. Ь:Яе1->1.э.7?Г a'^> ^ Г D7* e 1 -> 1
•72-8. Ь:ХсВ'лЦ.г>.С1ГХе1->1 [*55-28-22. *71-58]
Данное предложение используется в *73 62.
•72-81. Ь : X с D'| *. => • D [ Xе 1 -»1 [*55-281-221. *71-58]
•72-9. Ь :. R е 1 -* Cls . S aR . z>: Е ! S 'у . = . Rly = S ly. = . у е <TS
Доказательство.
h . *71-22 . z> h :. Hp . z>: S e 1 -* Cls :
[•71-163] z>: E ! S 'y . s . у e CPS (1)
h.*14-21. z>\-:Rly = Sly.z>.E\Sly (2)
Ь . *30-32 . (1). z>h:.Hp. zKyed'S . z>. OS»Sy.
[Hp] z>.(S'y)Ry.
[•71-36] z>.S'>> = /?'>> (3)
h . (1). (2). (3). => h . Prop
•72-91. h : R e 1 -► Cls . 5 еД . z>. СГ(Д - S) = a4/? - CTS
Доказательство.
h . *33-131. *23-33-35 . z>
z> h : у e СГ(Д - S). = . (gjc). xRy . - (xSy) (1)
h . (1). *71-36 . z>
z> h :. Hp . z>:уе(Г(Д - S) . = . (gx) . jc = Д';у . ~ (jc = S'y) .
[•14-15 . *5-32] = . (gx). x = Rly. ~ (Д'у = 5 » .
[•10-35 . *14-204 . *72-9] = . E ! R'y. - (у е QlS).
[•71-163] = . у eСГД - d'S :. z> h . Prop
•72-911. hiReCls^l.S <zR.z>.Dl(R-S) = DiR-DtS
A. H. Уайтхед , Б. Рассел

ГЛАВА 3. ОДНО-МНОГОЗНАЧНЫЕ, МНОГО-ОДНОЗНАЧНЫЕ
512 И ОДНО-ОДНОЗНАЧНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
*72-92. Ь : R е 1 -► Cls . S GR . z>. S = R f d'S
Доказательство.
h . *23-l. *33-14 . о h:. Hp. =>: xSy. эл>у. xRy.ye d'S .
[*35-101] э^.дг^Га^)^:
[*231] э:5с«Га'5
К *35-101 . *71-36 . о Н:.Нр.э:х(ДГа'5);у. = . * = /?>.yea'S.
[*72-9] = .* = .R';y.,R';y = S';y.
[*14-142] o.* = S';y.
[*30-31] э. xSy
h.(2).*ll-ll-3. эН:.Нр.э.7?Га'5с5
(1)
(2)
(3)
h . (1). (3). z> h . Prop
* 72-921. \-:ReCls^>l.S <LR.z>.S =(DiS)]R
*7293. b:.flel->Cls./?G:S . = :;уе(ГД
Доказательство,
h . *14-21 . *4-71
(Д'у)^
oh::
[*14-25]
[*1029.*ll-62]
[*71-16 . *33-14]
*72-931. \-:.ReCls-
*72-94. hz.R9Sel-
(Ry)Sy: = :.
E\R'y.(Ry)Sy:.
E ! R'y : xRy . ^x . JcSy :.
E \R'y:y e СГД . xRy . z)^ . xSy :.
Rel^Cls.RaS :: z> h . Prop
I.RclS .^ixeD'R.^.xS (R'x)
Cls. = :3!flhS . = .(э;у).Д';у = 5';у
yeQ'R.
Доказательство.
Ь.*71-36. z>b:.Hp.:>:g !ДП5 . s . (gx,y). х = Д';у. Jt = S';y.
[*14-205] = . (gy). R'y = S'y:. з h . Prop
Principia Mathematica I

*73. ПОДОБИЕ КЛАССОВ
513
*73. Подобие классов
Краткое содержание *73.
Два класса аир называются подобными, если существует
одно-однозначное отношение с областью а и обратной областью р. Мы выражаем "а
подобно Р" записью "asmP". Когда два класса подобны, они имеют одно
и то же кардинальное число термов — именно в этом факте заключается
принципиальное значение отношения подобия.
Мы имеем
asmр . = . (дД).Re 1 -> 1. a = D7?. Р = СГЯ.
Отношение подобия есть отношение между областью и обратной
областью отношения 1 —* 1, т. е. это относительное произведение D \ (1 —> 1)
и (1 —> 1) 1 Q, или, что приводит к тому же, относительное произведение
D \ (1->1) и И.
Большинство свойств подобия непосредственно вытекает из свойств
одно-однозначных отношений и не предъявляет каких-либо трудностей.
Когда существуют отношения, устанавливающие соответствие между
элементами классов а и Р, при котором а становится подобным Р, мы
обозначаем класс таких отношений "asmP". Таким образом,
a sm P = (1 -» 1) П б\х П fr'P Df
и
sm = dp (а ! a sm P) Df.
Когда мы будем иметь дело с бинарной дескриптивной функцией,
соответствующей некоторому отношению, как в данном случае, мы будем
практиковать ради отличия от отношения располагать над функцией
черту сверху.
Следует заметить, что "sm" так же, как Л, V, 1 и 1 —> 1, имеет
неопределенный тип и только тогда принимает определенное значение, когда
указаны типы области и обратной области. Область и обратная область могут
быть одного и того же типа или же различных, т. е. "sm" может быть,
а может не быть однородным отношением. Это позволяет нам говорить
о двух классах различных типов как имеющих одинаковое число термов.
Мы еще вернемся к обсуждению данного вопроса в связи с кардинальными
числами (см. *102-*106).
Предложения настоящего параграфа, несомненно, важны для
кардинальной арифметики и часто цитируются. Для того чтобы доказать в
рассматриваемых нами фундаментальных арифметических предложениях, что
два класса а и Р имеют одинаковое кардинальное число термов, вообще
говоря, необходимо реально построить отношение R, для которого tfeasmp.
Такое отношение будем называть соответствием между а и р. Обычно это
будет достигаться путем указания некоторого отношения S, для которого
(у). Е ! S 'у, и ограничения обратной области на Р, так что искомым
соответствием будет S \ р. Очень часто будет иметь место не S е\^> 1, а S el-* Cls,
но с учетом ограничения всегда будет S \ Р е 1 —* 1.
Перечислим наиболее полезные предложения настоящего параграфа.
А.Н.Уайтхед, Б.Рассел

ГЛАВА 3. ОДНО-МНОГОЗНАЧНЫЕ, МНОГО-ОДНОЗНАЧНЫЕ
514 И ОДНО-ОДНОЗНАЧНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
*73142. h:/?tP€asnip. = ./?fp€l->l.pca'/?.a = /?"P
Т. е. R \ Р является соответствием между а и Р, если (1) R \ Р
одно-однозначно, (2) Р содержится в обратной области отношения R, (3) а
представляет собой класс термов, находящихся в отношении R к элементам
класса р.
*73 2. b:flel^l.z>.D7?sma7?.a7?smD7?
Это непосредственное следствие определения.
*7322. Ь:Де1-> 1 . РсСГД . z>./?"psmp . Д fPe(/?"p)snTp
*73-3. b.asma./faeasma
*73-31. h : a sm Р. = . Р sm a
* 73-32. h : a sm P. P sm у. ^ - a sm у
Последние три предложения показывают, что подобие рефлексивно,
симметрично и транзитивно.
*73-36. h:.asmp.z>:g!a. = .g!p
* 73-41. Ь .i"asma.i \ae(i"a)sma
Таким образом, всякий класс а подобен классу С'А высшего типа,
состоящему целиком из единичных классов.
*73-45. h.l = P(Psmi'jc)
Таким образом, 1 есть класс всех классов, подобных какому-либо
единичному классу.
*73-48. K0 = P(PsmA)
Таким образом, 0 есть класс всех классов, подобных нулевому классу.
* 73-611. Ь . J, jc"asma. Цх) \ a e (| jc"a) sm a
Данное предложение весьма часто используется. Для арифметических
целей нам часто требуется получить взаимно исключающие классы. И
независимо от того, являются а и Р взаимно исключающими или не являются,
J,jc"a и |>"Р будут взаимно исключающими при условии хфу. Таким
образом, применяя последнее предложение, мы всегда можем построить
взаимно исключающие классы, каждый из которых подобен заранее заданному
классу, т. е. каждый из которых имеет предписанное число элементов.
* 73-71. h:asmp.Ysm6.ariY = A.pn6 = A.z>.(aUY)sm(Pu6)
Это предложение играет фундаментальную роль в теории сложения.
* 73-88. h:asmY-Psm6.Yc:p.6ca.3.asmP
Т. е. " если а подобно некоторой части Р, а Р подобно некоторой части а,
то а подобно Р". Это теорема Шредера—Бернштейна. Приводимое в тексте
параграфа доказательство принадлежит Цермело.
♦73-01. asmp = (l-+l)nt)'antrp Df
*7302. sm = aP(g!asmP) Df
*7303. h:/?€asmp. = ./?€l-*l.a = D'/?.p = a'/?
*7304. b:asmp. = .g!asmp
*731. h : a sm p . = . (дД). R e 1 -* 1. a = D7? . p = (ГЯ
Principia Mathematica I
[♦33-6-61. (*73-01)J
[(•73-02)1
[*73-03-04]

*73. ПОДОБИЕ КЛАССОВ
515
*7311. b:asmp.=Mg^).^el^l.acD7?.p = £''a
Доказательство.
Ь . *22-42 . *37-25 . z>
Н:/?€1^1.а = В^.р = а^.г>./?€1-*1.асВ^.р = ^44а:
[*10-11-28] z> Ь : (дД) . R е 1 -> 1 . а = Б'Д. Р = СГД . =>.
(дД).Де1->1.асВ'Д.р = Д"а:
[*73-1] z> h : а sm р . z>. (дД) . Д е 1 -> 1 . а с Б'Д . Р = Д"а (1)
Ь . *71-29 . *37-4 . *35-62 . z>
Ь : R e 1 -> 1 . а с Б'Д. р = Д''а .z>. а 1 R е 1 -> 1. а = D'(a 1 Д). Р = СГ(а 1 Д).
[*1024] z>.(gS).Sel->l.a = D'S .p = CTS .
[*73-1] z>.asmp (2)
h.(2).*10-ll-23.z>
h : (g Д). Д € 1 -* 1. а с D'Д. Р = Д' 'а. z>. a sm р (3)
Ь . (1). (3). z> h . Prop
*7312. h : a sm P . = . (дД). Д e 1 -* 1 . p с СГД . a = Д' 'P
[Доказательство аналогично *73-ll]
*7313. Н:а8тр. = .(дД).Д€1-*С18.ДГреС18^1.рса4Д.а = Д"Р
Доказательство.
h . *71-103-271. z> h : Д € 1 ^ 1 . =>. Д € 1 ^ Cls . Д Г Р € Cls -> 1 :
[Fact] z> h : Д e 1 -► 1 . P с СГД . а = Д"Р. z>.
Де1->С1з.Д ГРеС18->1.рсСГД.а = Д"Р:
[*1011-28 . *73-12] z> h : a sm p . z>.
(дД). Д e 1 ^ Cls. Д Г P e Cls -► 1. p с СГД. a = Д''Р (1)
h.*71-26. г>[-:Д€1^С18.Д ГР^Ск^Кэ.Д rPel^Cls-Д rPeCls^l.
[*71-103] г>.ДГР<е1->1 (2)
h . *35-65 . *37-401. z>
, Ь:Рса'Д.а = Д''р.г>.р = аЧДГР).а = Б'(ДГР) (3)
h . (2). (3). z> h : Д e 1 -► Cls. Д Г P e Cls -► 1. P с а'Д . a = Д''P. z>.
ДГр€1->1.а = БЧДГР).р = С1Ч^ГР).
[*1024. *73-l] z>.asmP (4)
h.(4).*10-ll-23.3
Ь:(дД).Де1->С18.Д tPeCls-» 1. РсСГД. а = Д"р. z> .asmP (5)
h . (1). (5). z> h . Prop
*73131. Ь:азтр. = .(дД).Д€С18-*1.а1Д€1^С18.асВ4Д.р = Д"а
[Доказательство аналогично *73-13]
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

ГЛАВА 3. ОДНО-МНОГОЗНАЧНЫЕ, МНОГО-ОДНОЗНАЧНЫЕ
516 И ОДНО-ОДНОЗНАЧНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
*7314. h :. a sm р. = : (дД) : R е 1 -* Cls . р с СГД . а = R''Р :
у,zeр . R'y^R'z. эу>г.у = z
Доказательство.
Ь. *71-55 . *5-32 . э
h:./?€l->Cls./?rPel^l. = :/?€l^Cls:>,z€p./?'j = /?'z.z>^.> = z (l)
Ь.*71-26. z>b:.flel->Cls. z>:7? fP€l-*Cls:
[*4-73 . *71-103] z>:/?rPel-*l. = .7?rPeCls^l:.
[*5-32] z> h :.Re 1 -> Cls . Д Г P* 1 -» 1 - = • Д e 1 -► Cls .R \ PeCls -► 1 (2)
h.(l).(2). z>h:.(g7?):/?€l^Cls./?rPel^l.pca'/?.a = /?"p. = :
(дД): Д € 1 -► Cls. P с СГД . a = Д' 'P:
y, z e p . R*y = R lz. =>y,z . у = z (3)
b.(3).*73-13.z>l-.Prop
Применяется данное предложение в доказательстве подобия очень
часто.
*73141. h :. a sm р . = : (дД): R е Cls -► 1. а с D'fl. р = Д"а :
y,zea.Rty = Rtz.^y,z.y = z
[Доказательство аналогично *73-14]
*7з-142. 1-:/ггр€айпр.г./ггр€1->1.рсав/г.а=/г"р
Доказательство.
Ь . *73-03 . z>
h:/?rPeasmp. = .R \ Ре 1 -> 1. a = Б'(Д Г Р). Р = СГ(Д Г Р) •
[*37-401 . *35-64] = . Л Г Ре 1 -> 1 - а = Д"Р . р = р П СГД .
[*22-621] = . R \ Р е 1 -> 1 . а = Д"Р. р с СГД : z> Ь . Prop
*7315. h : a sm р. = . (дД). R \ р € 1 -* 1 . р с СГД . а = R"Р
Доказательство.
h.*73-12.*71-29.Dh:asmp.z>.(g/?)./?fP€l-*l.pca^.a = /?"P (1)
Ь.*73-142-04. эН:(д/?).ДГРе1-*1.рса'/?.а=/?"р.г>.а8тр (2)
Ь . (1). (2). z> h . Prop
*73 2. h : R e 1 -* 1. z>. D'R sm СГД . СГД sm D\R
Доказательство.
h . *20-2 . *3-21 . z>
[•10-241 э. (gS). S e 1 -► 1. D7? = D'S . СГД = CTS .
[*73-l] z>.D7?smd7? (1)
h . (1). *71-212 . z> h : R e 1 -* 11 z>. D'fl sm СГД
[*33-2-21] z>.d7?smD7? (2)
h . (1). (2). z> h . Prop
Следующие предложения, вплоть до *73-241, выводятся из предыдущих
предложений данного параграфа точно так же, как "D7?smG7?" было
выведено в *73-2 из *73-1. Поэтому вместо доказательств указываются ссылки
на используемые предыдущие предложения параграфа.
*73-21. h:/?€l^l.ac D\R. z>. a sm Д"а. a 1 R e a sm (Д' 'a) [*73-ll]
*73 22. h:/?€l^l.pca'/?.z>./?"Psmp./?rp€(/?"P)smP [*73-12]
*73 23. h : R e 1 -► Cls . P с (ГД . R \ P e Cls -► 1 . з .
/r'Psmp.flrPeC/r'pJsmP [*73-13]
Principia Mathematica I

*73. ПОДОБИЕ КЛАССОВ
517
*73-231. b:tfeCls->l.acD'tf.a1flel->Cls.z>.
asmR"a.a]Reasm(Rlia) [*73-131]
*73-24. Ь :. R e 1 -► Cls . Р с a'R : у, z e р . R'y = Rlz - =>y,z . у = г: => -
/rpsmp./? rP«E(/?''P)smP [*73-14-142]
«73-241. h :. R e Cls -> 1 . a с D'R : >, г € a . R'y = #'z - =>^z . у = z: =>.
asm^'a.a1i?easm(^'a) [*73-141-03]
*73 25. \-i.(y).E\Riy:y,ze$.Riy = Rtz.=>y,z.y = z:^.R"$sm$
Доказательство.
h . *71-166 . z> h : Hp . z> .Re 1 -> Cls (1)
h . *33-431 . z> h : Hp . z>. P с QlR (2)
h . (1). (2). z> h :. Hp . z>. R e 1 -> Cls . P с QlR :y,ze$.Rly = Rlz. z>y,z . у = z:
[*73-24] z> :R"$sm p :. z> h . Prop
Это предложение окажется полезным в следующих ситуациях. Пусть
Р —класс отношений, области которых являются взаимно исключающими,
т. е. в классе р не найдется двух элементов, области которых обладали
бы общим элементом, и предположим, что мы хотим доказать подобие
класса этих областей классу р. Класс областей есть D"P, и имеет место
(P).E!D'P. Следовательно, остается лишь доказать (полагая D вместо R
в *73-25)
р, Gep • D'P = D'G. =>ед • р = 6>
что в предполагаемой ситуации следует незамедлительно.
*73-26. Ь :. (у) . Е ! R'y : R е 1 -► 1 : z>. Д"Р sm Р . R \ Р е (Д"Р) sm P
Доказательство.
Ь.*33-431. z>h:Hp. э.Де1->1.рсСГД.
[*73-22] :D.fl''Psmp.fl TIMfl''P)smP:=>b.Prop
*73 27. \-:.Rty = Riz.=y,z.y = z:=>.R"$sm$.R\$e(R"p)sm$
[*73-26 . *71-57]
*73-28. \-::y,ze$.z>ytZ:Ry = Riz. = .y = zi.^.R"$sm$.R\$e(R"$)sm$
Доказательство.
Ь . *71-58 . *73-03 . *37-421. => Ь : Hp . z> .R \ Ре(Д"Р) snip : z> h . Prop
*73-3. h . asm a./ \ aeasma
Доказательство.
h.*50-31.*2441. z>b.acd7 (1)
h . (1). *72-17 . *50-16 . z> h . / e 1 -* 1 . a c 07. /"a = a (2)
h'. (2). *73-142-04 . => h . Prop
Это рефлексивное свойство подобия. Условия значимости требуют,
чтобы а было классом некоторого типа, но не накладывают ограничений на
тип класса.
*73-301. bifleasmp.^.^ePsma
Доказательство.
Ь . *73-03 . *71-212 . *33-2-21. z>
\-:Reasm$. = .Re\^>l.DlR = $.aiR = a.
[*73-03] =.^€Psma:z>l-. Prop
*73-31. h : a sm p . = . р sm a [*73-301-04 . *31-52]
A.H. Уайтхбд, Б. Рассел

ГЛАВА 3. ОДНО-МНОГОЗНАЧНЫЕ, МНОГО-ОДНОЗНАЧНЫЕ
518 И ОДНО-ОДНОЗНАЧНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
Данное предложение показывает, что подобие является симметричным
отношением.
* 73-311. \-:Reasm$.S e$smy.z>.R\S easmy
Доказательство.
h . *73-03 . *71-252 . z> h : Нр . z>. R \ S e 1 -> 1 (1)
h . *73-03 . *37-72 . z>h:Hp. z>.D'(R\S) = R"$.(Iu(R\S) = S"$.
a = D7?. p = QlR. P = D'S . у = d'S .
[*37-25] z>. Б'(Д | S) = a. СГ(Д IS) = у (2)
h . (1). (2). *73-03 . z> h . Prop
*73 32. h : a sm p. p sm у. =>. a sm у [*73-311-04]
Данное предложение показывает, что подобие является транзитивным
отношением. Таким образом, теперь доказано, что подобие рефлексивно,
симметрично и транзитивно.
*73-33. Ь . Cnv'sm = sm [*73-31 . *ЗЫ31]
*73-34. h . sm2 = sm
Доказательство.
h. *34-55 . *73-32 . z>h.sm2Gsm (l)
h . (1). *73-33 . *34-8 . z> h. Prop
*73 35. h . D'sm = d'sm = Cls
Доказательство.
h.*73-3. г>Ь.г(ф!г)8т2(ф!г).
[*20-18] z> Ь : a = z (ф ! z) . =>. a sm a:
[*1011-23] z> h : (дф). a = z (ф ! z) - z>. a sm a .
[*33-14] z>.aeD'sm.aea'sm:
[*20-4] z> h : a e Cls . z>. a e D'sm. a e d'sm (1)
h . *73-l . *10-5 . z>
hr.asmp. z>:(gfl).a = D'tf.p = a7?:
[*10-5 . *33-ll-lll] z>: (gfl) . a = x {(gy) . xRy]: (дД). p = у {(gjc) . xRy]:
[•20-41-18] z>: a € Cls. p € Cls (2)
b.(2).*1011-23.z>
h :. (gP). a sm P . э . a € Cls : (ga). a sm P. z> . P e Cls:.
[*33-13-131]z>h:.a€D'sm.z>.a€Cls:P€a'sm.z>.p€Cls (3)
h.(l).(3). z>h.Prop
* 73-36. h :. a sm p . э : g ! a. = . g ! P
Доказательство.
h . *33-24 . z> h :. a = D7?. P = СГД. z>: g ! a . = . g ! p :.
[*3-42] э Ь :. Д e 1 ^ 1. a = D'fl. p = О'Д . z>: g ! a. = . g ! p :.
[*1011-23] z> h :. (gtf). R e 1 -► 1. a = D7?. p = СГД. z>: g ! a. = . g ! P (1)
h.(l).*73-l.z>h.Prop
PRINCIPIA MATHEMATICA I

*73. ПОДОБИЕ КЛАССОВ
519
*73-37. h :. a sm р . э : у sm а . = . у sm P
Доказательство.
h . *73-32 . э h :. a sm P . у sm a . э . у sm P (1)
h . *73-31 . э h :. а sm р . y sm Р . z>. P sm а. y sm P.
[*73-32] z>.Ysma (2)
h . (1). (2). z> h . Prop
*73-4. h . Cnv"XsmX. Cnv f X€(Cnv"X)smX [*73-26 . *72-ll . *31-13]
*73 41. h.iuasma.ifa€(i"a)sma [*73-26 . *72-18 . *51-12]
Значение данного предложения состоит в том, что оно дает класс (i"a),
подобный а, но высшего типа. Например, если |i — кардинальное число, и
известно, что в некотором типе существуют классы, состоящие из |i
термов, то отсюда следует, что существуют классы, состоящие из \i термов,
в следующем высшем типе, и, следовательно, — в следующем за ним типе
и т. д. Для понижения типа соответствующих средств нет.
*73-42. h:ac 1 . ^.asmi"a
Доказательство.
Ь.*52-13. z>b:Hp.acD4 (1)
Ь . (1). *73-21 . *72-18 . z> h . Prop
Данное предложение предоставляет средство для понижения типа без
изменения кардинального числа при условии, что класс а состоит целиком
из единичных классов; так как t"a принадлежит типу, непосредственно
предшествующему типу а. Однако если а не состоит целиком из единичных
классов, эта конструкция невозможна.
*73 43. Ь . i'jc sm Су. х | у е (i'jc) sm (Су) [*55-15 . *72-182 . *73-2]
*73-44. h:.ael.z>:Psma. = .p€l
Доказательство.
h . *73-43 . z> Ь :. a = Су . z> : Р = i'jc. z> . Р sm a :.
[*10-11-23] z> h :. (gy). a = Су. z> : P = i'jc. z> . P sm a :.
[*10-ll-21-23] z> h :. (g>) . a = Cy. z>: (gjc). P = Cx. z>. p sm a :.
[*52-l] z>h:.ael.z>:Pel .z>.psma (1)
h . *37-25 . z> h :. R e 1 -> 1 . D'fl = Cx. z>. СГД = R"Cx
[*53-31 . *71165] =CR'x.
[*52-22] =>.CI7?el:.
[*20-18] z> h :. R e 1 -> 1. D'fl = Cx. QlR = P. z> . p e 1 :.
[*10-ll-23 . *73-l] z> I-: i'jc sm P . z>. P e 1:
[*20-18] z> h :. a = Cx. z> : a sm P . z> . P e 1 :.
[*10-ll-23 dI-:. (gjc) . a = Cx. z> : a sm P . z> . P e 1:.
[*73-31. *52-l] z> h :. a e 1. z>: p sm a. z>. p e 1 (2)
h . (1). (2). z> h . Prop
*73-45. b.l = p(psmi'jc)
Доказательство.
h . *52-22 . *73-44 . z> h : Psmi'jc. = . Pe 1 (1)
h . (1). *20-33 . z> h . Prop
* 73-46. h . Л sm Л [*72-l . *33-29 . *73-2]
A.H. Уайтхед, Б.Рассел

ГЛАВА 3. ОДНО-МНОГОЗНАЧНЫЕ, МНОГО-ОДНОЗНАЧНЫЕ
520 И ОДНО-ОДНОЗНАЧНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
*73-47. h:PsmA. = .p = A
Доказательство.
Ь . *73-46 .z>h:p = A.z>.psmA (1)
Ь . *73-12 . *10-5 . z>
h-.psmA. z>.(g/?).p = fl"A.
[*37-29] z>.p = A (2)
h . (1). (2). z> h . Prop
*73-48. h . 0 = p (P sm A) [*73-46 . *5M1. (*54-01)]
Следующее предложение используется в теории двойного подобия
*73-5. Ь : R е 1 -> 1. = . R€\ СГСГД asm
Доказательство,
h. *35-101 . *37-101. *60-2 . z>
Ь :. Re \ С1'СГД Gsm . = : Р с СГД . а = Д"Р . z>a,p . a sm p (1)
Ь . *73-22 . Ехр .э1-:./ге1->1.э:Рс СГД . а = Д"Р . z>. a sm р:
[(1). «11-11-3] z>: Re \ С1ЧГД Gsm (2)
h.*30-18.*51-12.z>
h :. р с СГД . а = Д"Р . z>a,p . a sm р : z>: Су с СГД . а = R"Cy . z>a . a sm Су:
[*51-2 . *53-301] z>: у е Q.lR . а = R 'у .Da.asm Су :
[*2053 . *73-44] z>: yeQ'R. z> .Tt'ye 1 :
[♦10-11-21. *37-702 . *71-1] z>: R е 1 -> Cls: (3)
[*72-51 . *37-16] D:acD'i?.p = ra.Da)p.pca'i?.a = rp (4)
h . (4). *4-7 . *11-37 . z> Ь :. Нр (4). z>: а с D'R . р = Д"а. z>a,p . a sm р :
[(3)б ■ *71-211 . *73-31] z>: R e Cls -> 1 (5)
h . (1). (3). (5). *71-103 . z> Ь : Re \ СГСГД Gsm. z>. R e 1 -> 1 (6)
h . (2). (6). z> h . Prop
*73-501. h : Д e 1 -> 1 . = . (R)€ \ CVD'R G sm
Доказательство.
K*71-212. z>h:flel->l.=./?el->l.
[*73-5] =.(^)erCl'a^Gsm.
[*33-21] = . (R)e \ CVD'R Gsm: z> h . Prop
*73-51. h : R e 1 -> Cls . a с D\K . z>. ^"''a sm a
Доказательство.
h.*72-7. z>h:Hp. z>. frfD'Ae 1-> 1 .
[*35-431. *71-222] z>.^"fael^l (1)
h . *33-431. *32-121. z> h . a c d'fc (2)
h . (1). (2). *72-12 . z>h:Hp. z>. 5fe 1-> Cls . frfae 1-> 1. асСГД. '
[*73-23] z>. £~"a sm a : z> h . Prop
*73-511. b:fleCls-> l.aca^.D.^'asma
[*73-51- . *71-211. *33-2 . *32-241]
PRINCIPIA MATHEMATICA I

»73. ПОДОБИЕ КЛАССОВ
521
*
•73 52. h : R e 1 -> Cls . а с Cl'D'fl. z>. (£)е"а sm а
Доказательство.
Ь . *72-45 . z> Ь :. Нр. z>: (R)e \ CVD'R e 1 -> 1:
[•71-55 . *72-15] =>: ?, Л е СГБ'Д. (Д)е'5 = (^)е'т] - э^ -5 = 4 =
[Нр] э : |, т| € а . (Д)е'1 = (ЯУл. z>^ . g = т| :
[•73-25 . *37-111] z>: (Д)€"а sm а:. z> Ь . Prop
«73-521. h : R e Cls -> 1. р с СГСГД. z>. Де"Р sm P [Аналогично *73-52]
*73-53. Ь : Re 1 -> Cls . а с Cl'D'fl .D.r'asma [*73-52 . (*37-04)]
•73-531. h : R e Cls -> 1 . р с С1'(ГД . z>. Д'"р sm p [*73-521 . (*37-04)]
73-61. h.x|"asma.(x|)rae(x|"a)sma [*73-27. *55-2]
•73-611. h.|x'4xsma.(|xHaeUx'4x)sm"a [*73-27. *55-201]
•73-62. h : XcD'jc|. э . CT'XsmX. d Г X6(<T'X)smX [*73-23 . *72-131-8]
•73-621. h:XcD'|Jc.D.D"XsmX.D \\e(D"\)sm\ [*73-23 . *72-13-81]
•73-63. h : 5 е a sm р . Г Г а, Г Г Р е 1 -> 1 - a U р с ОТ - э -
7|5|f е(Г"а)етп(Г"р)
Доказательство.
h . *73-03 . *35-452-453 . эН:Нр.э.Г|5|;Г=Г|а15ГР1?
[•35-354] =ГГа|5|р1Г.
[•35-52 . *71-252 . *73-03] z>. Т \ S \ f el -> 1 (1)
h . *37-32 z> h. D'CT 15 | f) = Г'\? "DT (2)
h . (2). *37-27 . *73-03 . z> h : Нр . э . D'CT | S \ f) = Г'a (3)
Аналогично h : Нр . э . <3'(Т 15 | f) = Г'Р (4)
h . (1). (3). (4). *73-03 . z> h . Prop
Последнее предложение будет использовано один раз в связи с
кардинальным сложением (*112-231) и еще один раз в связи с кардинальным
умножением (*114-561).
Следующее предложение (*73-69) служит леммой к *73-7.
•73-69. h:7?easnTp.ariY = A.pnY = A.z>.JRU/fYe(aUY)sm(PUY)
Доказательство.
h . *33-26-261. *50-5-52 . z>
\-:В^ = а.<3^ = $.8 =R\Jl\y.z>.DtS=aUy.<ItS=$KJy (l)
h. *71-242 . *50-5-52 . z>
h:Hp(l)./?el-^l.anY = A.priY = A.z>.JRU/fYel^l (2)
h . (1). (2). *73-03 . z> h . Prop
•73-7. h:asmp.ariY = A.pnY = A.z>.(aUY)sm(pUY) [*73-69-04]
•73-701. h:^easnTp.5"eYsm6.anY = A.pn6 = A.z>.
ROS 6(aUY)sm(Pu6)
Доказательство.
h . *73-03 . z> h : Hp . z>. D'R П D\S = A. СГД П CTS = A . fl, S e 1 -> 1.
[•71-242] z>./?0Sel->l (1)
h . *33-26-261. *73-03 . z> h : Hp . z>. D'(R U5) = aUy. Q\R U S) = P П 6 (2)
h . (1). (2). *73-03 . z> h . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

ГЛАВА 3. ОДНО-МНОГОЗНАЧНЫЕ, МНОГО-ОДНОЗНАЧНЫЕ
522 И ОДНО-ОДНОЗНАЧНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
*73-71. h : a sm р. у sm 6 . а П у = Л . Р П S = Л . z>. (a U у) sm (P U 6)
[*73-701-04]
*73-72. h : а U i'jc sm P U Су. х ~ е а. у ~ € Р. z> . а sm P
Доказательство.
K*73-l.z>
Vi^.z>.{QR).Re\^>\.D'R = aVCx.a'R = $\JCy.x~ea.y~e$ (1)
Ь.*71-381 .z>b:flel-> l .xeD'R .yed'R .z> .R"(Q'R-CR'x-Cy)
= R"a'R-R"CR'x-R"Cy
[*37-25 . *53-31] = D'R - CR'R'x - CR'y
[*72-24] = D'R-Cx-CR'y.
[*72-22] z> . (D'R - Cx - CR'y) sm (СГД - i';y - CR'x) (2)
h . *71-362 . *22-5 . z> h : Hp (2). x = R'y. z>.
D'R - Cx - CR'y = D'R-Cx. d'R - Cy - CR'x = d'R - Cy.
[(2)] z>. (D'R - i'jc) sm (СГД - Cy) (3)
h . *22-92 . *33-43 . z> h : Hp (2). x^R'y . z> .
(D7? - i'jc - ь'Д'у) U CR'y = D'R - Cx (4)
h.*71-362. z>b:Hp(4).z>.;y//?'jc.
[*22-92 . *33-44] z>. (СГД - Cy - CR'x) U t'fl'jc = Q'R - i';y (5)
h . (4). (5). *73-71-43 . (2). z> h : Hp (4). z>. (D'R - i'jc) sm (d'R - Cy) (6)
h . (3). (6). z> h : Hp (2). =>. (D'R - Cx) sm (СГД - Cy) (7)
h . *51-211-22 . z> h : D'R = a U Cx. d'R = p U Cy . jc ~ e а. у ~ e P .
z>. D 'R - Cx = а . (ГД - i';y = P (8)
h . (7). (8). z> h :Re 1 -> 1 . Hp(8). z>. asm p (9)
h. (7). (8). d h . Prop
Все оставшиеся предложения параграфа дают доказательство теоремы
Шредера—Бернштейна: если один класс подобен части другого, а другой
подобен части первого, то эти классы подобны. Приведенное здесь
доказательство принадлежит Цермело200. Объяснение приведенного
доказательства дается в связи с другим доказательством в кратком содержании *94.
*73-8. h:a'/?cp.pcD'i?.K = d(acD'/?.p-a'/?caJ"aca).D.
D'ReK.p'KcD'R
Доказательство.
Ь . *22-42-43-44 . z> Ь : Hp . z>'. D'R с D'R . р - d'R с D'R (1)
h . *22-44 . *37-25 . z> h : Hp. z>. R"D'R с D'R (2)
h.(l).(2). эЬгНр.э.Б'Дек (3)
h . (3). *40-12 . z> h . Prop
* 73-801. h:Hp*73-8.z>.p-a'/?c/7'K
Здесь "Hp*73-8" означает "гипотеза предложения *73-8".
Доказательство.
h . *20-33 . z> h :. Hp . z>: a € к. z>a . p - Q.'R с a :. z> h . Prop
200 Math. Annalen, vol. LXV. Heft 2, February 1908.
PRINCIPIA MATHEMATICA I

*73. ПОДОБИЕ КЛАССОВ
523
*73-802. Ь:Нр*73-8.э./?"/?'кс/?'к
Доказательство.
Ь.*2033. э|-:.Нр.э:аек.эа.Л"аса
h . (1). *40-81 . z> Ь . Prop
*73-81. h : Нр *73-8 . э . /?'к е к
Доказательство.
Н.*73-8-801-802.г>[-:.Нр.г>./?'ксВ'Л.р-а'Лс/7'к.Л"/7'кс/7'к:г>[-.Ргор
*73-811. Ь:Нр*73-8.э.Д>'кс/?'к-(р-СГД)
Доказательство.
Ь.*37-16.г>Ь.£"/?'ксСГД
[*22-8] с-(-СГД)
[*22-81-43] с-(р-СГД) (1)
h . (1). *73-802 . z> Ь. Prop
*73-812. г-:Нр*73-8.д:~е(Р-а^)иЛ"/7'к.г>.Л"(р'к-1'х)с/?'к-1'х
Доказательство.
Ь.*22-87. эЬ:Нр. z> .х~еД"/?'к.
[*51-36] d.^'p'kc-i'jc (1)
h . (1). *73-802 . z>b:Hp. dJ"p'kc-l'x.
[*37-2] z>. R' \р'к - Сх) с /?'к - i'jc : э h - Prop
*73-82. Ь : Нр *73-812 . z> . /?'к - Сх = /?'к. х ~ е /?'к
Доказательство.
Ь.*22-87.*51-36. z>h:Hp. z>. р-СГДс- i'jc.
[*73-801] z>.p-a'/?c/7'K-t'x (1)
h.*73-8. Dh:Hp.D./?'K-i'jccD'/J (2)
Ь . (1). (2). *73-812 . z>h:Hp. d./?'k-l'jc£K.
[*40-12] d./?'kc/?'k-i'jc.
[*51-36 . *22-43] z>. x ~ e р'к. /?'к - i'jc = р1к: z> h . Prop
*73-821. h : Hp *73-8 . хер'к- (P - СГД). z>. хеЯ"р'к
Доказательство.
h . *73-82 . Transp. z> h : Hp *73-8 . хер'к. z>. хеф- d\R) U Д"/?'к (1)
h.(l).*5-6.z>h.Prop
*73-83. h:Hp*73-8.D./7<K-(P-a'JR)=^tt/?tK./?'K = (P-a'JR)U^"/?'K
Доказательство.
h . *73-821 . z> h : Hp . z>. /?'к - (P - СГД) с R"p'K (1)
h . (1). *73-811 . z> h : Hp . z>. p'K - (p - СГД) = Д"/?'к (2)
h . (1). *24-47 . *73-801. z> h : Hp . z> ./?'к = (Р - СГД) U Д"/?'к (3)
h.(2).(3).z>h.Prop
* 73-84. h : Hp *73-8 . z>. p = /?'к U (СГД - /Гр'к)
Доказательство.
h . *22-92 . z> h : Hp . z>. p= (p - СГД) U d\R
[*22-92 . *37-16] = (P - aiR) UR"plK\J (СГД -Д"/?'к)
[*73-83] =/?'к U (СГД - Д"/?'к): z> h . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

ГЛАВА 3. ОДНО-МНОГОЗНАЧНЫЕ, МНОГО-ОДНОЗНАЧНЫЕ
524 И ОДНО-ОДНОЗНАЧНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
*73-841. Ь:Нр*73-8.Дб1^1.г>.рзтСГД.р8тВ'Д
Доказательство.
Ь . * 73-8-21. z> Ь : Нр . z>. p'Ksmfc'p'K (l)
[*24*21] г>Н.Л"/?'кП(а^-Л"/7'к) = Л (2)
Ь . *73-83 . *24-492 . *73-801. z>
Ь:Нр. :э./?'к-Д''/?'к = р--СГД.
[*24-21]э./?'кП(а^-Л"/7'к) = Л (3)
Ь . (1). (2). (3). *73-7 . z>
[*73-84] D.psm^'^'KUCa^-.R'^'K).
[*22-92 . *37-16] э . Р sm СГД (4)
h . (4). *73-2 . z> h . Prop
* 73-85. hi^el^l.a^cp.pcD^.D.psma^.psmD'^
[*73-841]
*73-86. brCrflcD'S.CTScD'fl.z).
D'(* i s) = dir . a\R i s) с <rs. a\s с d\r l s)
Доказательство.
h . *37-321 . z> h : Hp . z>. D\R \S) = D7? (1)
K*34-36. ^hid'C^l^ca'S (2)
h.(l). ^hrHp.^.a^cD'^l^) (3)
h.(l).(2).(3).z>h.Prop
*73-87. H:/?,5el-^l.a^cD'5.a'5cD'/?.D. D'R sm D\S
Доказательство.
Ь.*71-252. z>h:Hp. э.Д |S e 1-> 1 .
[*73-86-85] D.a'5smD'J?.
[*73-2] z>. D\S sm D\R: z> h . Prop
* 73-88. f-:asmY-Psm6.Ycp.6ca.D.asmP
Доказательство.
h . *73-l . z> h : Hp . z>. (дД,S). R, S e 1 -> 1. D'R = a. СГД = у -
D\S = P. CTS = 6 . y с p . 6 с a.
[*73-87] z>. (дД, S). D7? = a . D'S = p. D'fl sm D'S .
[*13*22] z>. a sm p : z> h . Prop
Это теорема Шредера—Бернштейна.
PRINCIPIA MATHEMATICA I

*74. ОДНО-МНОГОЗНАЧНЫЕ И МНОГО-ОДНОЗНАЧНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
С ОГРАНИЧЕННЫМИ ПОЛЯМИ 525
*74. Одно-многозначные и много-однозначные
отношения с ограниченными полями
Краткое содержание *74-
Цель настоящего параграфа — собрать вместе различные предложения,
в которых содержатся гипотезы вида
Д fXel^Cls,Klflel->Cls и т.д.,
или в которых такие гипотезы могут быть выведены из других.
Гипотезы подобного рода встречаются довольно часто, и поэтому важно уметь
с ними оперировать. Для полноты мы повторим ранее доказанные
предложения, касающиеся рассматриваемой темы.
Предложения настоящего параграфа, в большинстве своем, имеют
характер подготовительных лемм для теории выборок (часть II, глава 4),
а также кардинальной и ординальной арифметики. Наиболее полезные из
них: *74-772-773-774-775. Эти предложения касаются условий, при которых
Q\\R или |Д, с некоторыми ограничениями на обратную область или без
них, является одно-однозначным отношением. Их важность заключается
в том, что соответствия, посредством установления которых
доказываются многие фундаментальные теоремы кардинальной и ординальной
арифметики, имеют вид Q\\R (с ограничениями на обратную область) для
подходящих значений Q и R. Приведем вышеупомянутые предложения.
*74-772. Ь :. (х) . Е ! Q'x: (у) . Е ! R'y : Q, R e Cls -> 1: z>. Q \\ R e 1 -> 1
Гипотеза последнего предложения истинна, например, если положить
Q = R = ix. Тогда Цх) || (Cnv'J,*)^ 1 —» 1. Данное предложение используется
в *116-531, которое применяется при доказательстве одного из формальных
законов возведения в степень, а именно цшхуш = (ц х v) ш.
*74-773. Ь : Q \ a, R \ р е Cls -> 1. а с WQ . р с СГД . s'D"X с а . s'CT'X с р . z>.
(Q||^) r^el ^ 1 .(Q||^) r^e{(Q||^)"MsmX
Последнее предложение находит применение при исследовании
умножения и возведения в степень как кардиналов, так и ординалов. Если Q \ а
и Q \ Р устанавливают соответствия между у и а, 6 и Р, то, приняв за X
класс всех ординальных пар, которые могут быть образованы из а и р,
получим, что (Q\\Ryk является классом всех пар, которые могут быть
образованы из у и 6. Таким образом, в силу данного предложения, если у
подобно а, а 6 подобно Р, то класс ординальных пар, образованных из у и
6, подобен классу ординальных пар, образованных из а и р. Этот
результат полезен потому, что мы определяем произведение числа элементов а
и числа элементов р как число ординальных пар, образованных из а и р.
*74-774. 1-:./геСк->1:(у).Е!/гву:э.|Л€1->1
Последнее предложение полезно, например, когда R есть J,jc.
*74-775. Ь : Q \ s'D'XR \ s'CT'XeCls -> 1. s'D"Xc СГ<2 • s'CT'Xc СГД. z>.
(Q\\R)\lel^U(Q\\R)\Xe{(Q\\Ry^)smX
Это частный случай *74-773, и используется он аналогичным образом.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

ГЛАВА 3. ОДНО-МНОГОЗНАЧНЫЕ, МНОГО-ОДНОЗНАЧНЫЕ
526 И ОДНО-ОДНОЗНАЧНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
*74-1. h::/?fPel^Cls.z>:7?fPel^l. = :j,z€p.JR'>' = JR'z.z>>,?z.j = z
Доказательство.
Ь.*71-55 . z>h::Hp.
э:.(ЛГР)ГРб1-»1.^:у>гбр.(ЛГРГу = (ЛГР)€г.эуд.у = г:.
[*35-31-7]z>:.JRfP€l^l. = :>,z€p.JR'>' = JR'z.z>>,,z.> = z::z>h.Prop
*74-11. Ь :. R \ Р е 1 -> Cls . р с О'/?. = : Е !! Д"Р [*71-571 . (*37-05)]
«74-12. h::fl fPel-> 1 .$c:<l'R. = z.y9ze$.z>yiZ:R'y = Rtz. = .y = z
[•71-59]
♦74-13. h iRe 1 -» Cls . z> . (Д)е Г Cl'D'fl e 1 -> 1
♦74-131. h:/?eCls^l.D./^rC1417?el-»l
*74-14. |-:/ге1->СЬ.р = Л"а.э.а1/г = /гГР = а1/гГР
«74-141. h:/?eCls^l.a = /rp.D.a1fl = /?rP = a1/?rP
«74-15. h:Gr^el-*Cls.X=G"K.z>.KnD'G = G"^
♦74151. 1-:к1 G^Cls -> 1. к= Q"X. z> .Xnd'G = б"к
♦7416. h : G Г *• с 1 -> Cls . к с D'G • *• = б"к. z>. к = G' ^
♦74161. h:Kl GeCls^l.Xca'G-K=G'^-=>.^=G"K
♦7417. h : G Г G"K€ 1 -> Cls . кс D'G. э . к = G"G"*
♦74171. h:(G"X)1 GeCls^l.Xca'G-=>.^=6"!2'^
*74-2. h:G"acP.z>.a1 G = «1 GTP
Доказательство.
h.*37-4.z>h:Hp. z>.a'(a1 Q) с р .
[*35-454] z>.a1 Q = a] Q \ p: z>h . Prop
[♦72-45]
[♦72-451]
[♦72-55]
[♦72-551]
[♦72-57]
[*74-15.*22-621]
[*74-16]
♦74-201. h
•74-21. h
♦74-211. h
*74-22. h
♦74-221. h
♦74-23.
♦74-231
♦74-24.
♦74-25.
erp=(6"P)iGrp
D'Gca.3.G = «1G
[Доказательство аналогично]
[♦74-2]
[♦74-201]
[♦35-451]
[♦35-452]
a=G"£"a.=>.a10=Gre"a = aier£"cx [*74-21-211]
p = G"G"P.3.Q1p = (G"P)1G = (G"P)ietP [*74-2l-2ii]
a=G"P-P=G"a.3.a1G=QrP = a1GrP [*74-23]
Gtpel^Cls.acD'G.P=^"a.o.a1G=GrP = a1GrP
[♦74-16-24]
♦74-251. h:a1GeCk->l.pca'G.a=G"p.D.a1G=Grp = a1 GfP
[♦74-161-24]
PRINCIPIA MATHEMATICA I

*74. ОДНО-МНОГОЗНАЧНЫЕ И МНОГО-ОДНОЗНАЧНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
С ОГРАНИЧЕННЫМИ ПОЛЯМИ 527
*74-26. h:<2fPel^bac:D'<2.P = !2"a- = -aieel^l.pca'e.ct=<2"P
Доказательство.
Ь . *74-25 -Dh:erpel->l.ac D'G .$ = Q"a. z> .a] Q = Q\$ .
[*13-12] z>.a12el^l (1)
h . *37-16 .z>h:P = e"a.z>.pcd'G (2)
h.*74-16.z>h:erpel^l.acD'e.P = G"a. z>.a=G"P (3)
H.(1).(2).(3).d
h:erpel^l.acD'2.p = G"a.z>.a1(2el^l.pca'G.a = (2"P (4)
Аналогично
h : 21 ae 1 ^ 1. p с a'G-a = б"р. z>. 2t Ре 1^1. a c D'6.p = G"a (5)
h . (4). (5). z> h . Prop
*74-27. h:erP6l-»l.P = (5"G"P-s-(6"P)16€l->l.pca4e
Доказательство.
h.*74-26 .-э
a
h:erp€i->i.e"pcD4c.p=6"ei4P- = -
(e"P)iG6i->i.pca4e-e"P=c"P (i)
h . (1). *37-15 . *20-2 . z> h . Prop
*74-271. h:a1Qel->l.a = Q"Q"a. s . G Г G"« e 1 -> 1. a c D'G
[*74-26^]
*74-3. h :. G Г P e 1 -> Cls : (ga) . P = G"«: => - G"G"P = P
Доказательство,
h . *74-15 . z> h : G \ P € 1 -> Cls. p = Q"a. z>. G"G"P= G"(« n D'G)
[*37-261] =G"«
[Hp] =p (1)
h . (1). *10-ll-23-35 . z> h . Prop
* 74-301. h :. a 1 Q e Cls -> 1: (gP). a = G"P : => - G"G"« = a
[Доказательство аналогично *74-3]
*74-31. h : G \ pe 1 -> Cls . peD'(G)e - => -
Р=й"е"р.рсаве.(2ГР=((2"Р)1(2.(е"Р)1е€1->с!ь
Доказательство.
h . *74-3 . *37-23 . э h : Hp . э . p = G"G"P (1)
h . *37-23-16 . э h : Hp. э . Р с d'G (2)
h . (1). *74-231 z> h : Hp . э . G Г Р = (G"P) 1 G (3)
[•13-12] z>.(G"P)1Gel^Cls (4)
h . (1). (2). (3). (4). z> h . Prop
*74-311. h:a1 GeCls^l.aeD'Ge.=>.
a=G"G"a.acD'G.a1G = GrG"a.Gre"aeCls^l
[Доказательство аналогично *74-31]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

ГЛАВА 3. ОДНО-МНОГОЗНАЧНЫЕ, МНОГО-ОДНОЗНАЧНЫЕ
528 И ОДНО-ОДНОЗНАЧНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
*74 32. Ь : к с (ГД. R \ к € Cls -> 1. z>. ~Й \ к е 1 -> 1
Доказательство.
Ь . *33-41 . z> h :. Нр. z> : у, zeк .7f'у =~Й'г. =>. (gx). х#у . xRz.
[*35-101] D.(gjc).jc(/? \K)y.x(R \k)z.
[*71-171.Hp] z>.;y = z (1)
h . (1). *71-55 . z> h . Prop
*74-4. h : P | (Q \ I) = P | Q. = . ()' 'СГ/5 с X
Доказательство.
h. *35-23 .^>\-:P\(Q\'k) = P\Q. = .(P\Q)\'b> = P\Q.
[*35-66] ^.a'CPieicX.
[*37-32] = . fr'd'P с X: z> h . Prop
*74-41. h:a'PnD'G<=K.z>.P|Kl <2 = Р|£>
Доказательство.
K*33-13-131.*10-23.z>
h :. Hp . = : xPy . yQz. э*,^ . у e к :
[*4-71] = : xPy . ;y£z. =адг. xPy . yQz - > € к:
[•10-281] z>: (gy) . xPj . jgz. s„ . (gy) . xPy . >>£z . у € к:
[*34-l .*35-1]z>:x(P\Q)z.=x*.x(P\k] Q)zi. z> h . Prop
* 74-42. h : СГР cG"Ld. D'(P \ Q \ X) = D'P [*37-321-401]
* 74-43. h : Q"l cO'P.d. dl(P \Q\\) = d'Q n X [*37-322-401. *35-64]
*74-44. h:a'p=e"x.z>.D'(PK2r^) = D'p.a'(PiefX) = a'enx
[*74-42-43]
*74-5. h:E!(P1 P)>. s .yep. E ! P'y. = . (P] $Уу = Р'у
Доказательство.
K*35-7. z>\-:x = (P\$yy. = .ye$.x = Py (1)
h.(l).*10-ll-281.z>h:.(gx).x=(PrP)>. = :>'ep:(gx).x = P'>:.
[•14-204] z> h :. E ! (P \ P)'>. = .jeP . E ! P'y (2)
K*35-7. z>h:(PfP)> = P>. =.jep.P'j = P>.
[•14-28] =.>ep.E!P> (3)
h . (2). (3). z> h . Prop
•74-51. h :."?'}> с a. z>: E ! (a 1 РУу. = . E ! Ply. = . Ply = (a \ РУу
Доказательство.
Ь.*32-18.*35-1. z>h:.Hp. z>: xPy . =, . x(a]P)y: (1)
[•30-34] z>: E ! (a 1 РУу. = . E ! P'y (2)
h . (1). *30-341 . z> h :. Hp . z>: E ! P'y. = . Г у = (a ] РУу (З)
h . (2). (3). z> h . Prop
•74-511. Ь :. iP'jc с P . z>: E ! (P1 P)'x. = . E ! P'jc. = . P'x = (P1 P)'jc
[Доказательство аналогично *74-51]
PRINCIPIA MATHEMATICA I

*74. ОДНО-МНОГОЗНАЧНЫЕ И МНОГО-ОДНОЗНАЧНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
С ОГРАНИЧЕННЫМИ ПОЛЯМИ 529
*74-52. Ь:(5"Р)15€1->С1в.рсав5.у€р.э.{(5"р)15Гу = 5ву.Е!5'у
Доказательство.
Ь.*37-8. z>h:Hp. z>.^';ycS"p (1)
Ь.*37-1. z>h:Hp. z>.(ajc).jc5>.jce5"'p.
[•33-131] =>.ye<T{(S"P)1S}.
[*7М6] э.Е!{(5'4р)15}> (2)
K(l).(2).*74-51.z>b.Prop
*74-521. h:S rS"p€Cls-> 1. pcD'S .>€p . z>. {(S"p)1 $Yy = $'y.E iS'y
[*74-52|]
*74-53. h:(5ttp)15el^l.pcat5.>ep.z>.5t5'> = y
Доказательство.
h . *37-l . *33-131. z>h:Hp. z> .yeQ'Wfi)] S].
[*72-241. *35-51] z>.(5 Г ^ "р)Ч(^ "Р) 1 S]'y = y (1)
b.*74-52. z>h:Hp. z>.{{S"fb]SYy = S'y (2)
h.(l).(2). z>h:Hp. z>.(5 r^"P)'5'j = y.
[*35-7] z>. S 'S У = y : z> I-. Prop
*74-531. b:S Г5''Ре 1^1. PcD'S.yep. э-S'S'>> = >>
[*74-5з|]
*74-6. Ь:.Ге1^1.ХсСГаТ.ксСГВТ.г>:к=Ге"Х. = .Х = (Г)е44к
Доказательство.
I-. *37-421 . z> h : Hp . z>. TV'X= (Te \ C1'CIT)"X.
(Г)€"к={(Г)еГСГБТ}4'к (1)
h . *72-451-52 . z>
h :. Hp . z>: к = (Te\ Cl'dT)"X. = . I = {Cnv'(r€ \ C1'CIT)}"k.
[*72-54] =Л = {(Т)е f СГБТ}"к (2)
h . (1). (2). z> h . Prop
*74-61. h :. T e 1 -► 1. z>: X с Cl'dT . к = Г'"Х. = . к с Cl'DT. X = Г'"к
Доказательство.
Ь . *74-6 . *37-103 . э Ь :. Hp . z> :к с Cl'DT. I с СГОТ. к = Г "X. = .
к с Cl'DT. X с СГС1Т. X = Г '"к (1)
h.*37-15-16.z>h:K = jT'"X.z>.KcCrDT:X = f'"K.z>.XcCl'aT (2)
h.(l).(2).*4-71.z>h.Prop
*74-62. \-:.y,ze$.y£z.=>yj:.~3tyr)!>tz = A: = .S ГРеCls-^ 1
Доказательство.
Ь . Transp . z> h :.y, zefi.y^z. iy,z -ь'у DS'z = Л : = :
у, z е р. а !."? У П "]?' г - z>^. у = z:
[*32-18] = : j, г € Р . xSy. лУг. z>jc,y,z • У = z:
[*35-101] = :jc(S ГР)у.*(5 tP)z.3w.y = z:
[•71-171] = : S \ p e Cls -► 1:. z> h . Prop
A. Н. Уайтхед, Б. Рассел

ГЛАВА 3. ОДНО-МНОГОЗНАЧНЫЕ, МНОГО-ОДНОЗНАЧНЫЕ
530 И ОДНО-ОДНОЗНАЧНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
♦74-63. t-:.P,Qe'k.PtQ.z>ptQ.DiPnDtQ = A: = .e\D\'keC\s^>l
[*74-62. *72-27]
*74-631. h:.P,<2eX.P^e.^G-a'^na'G = A: = .e|arXeCls^l
[*74-62. *72-27]
*74632. \-:.Р,(2еХ.РфО.^Р£.С1РПС'0 = А: = .Р\ХеС\ъ^>1
[*74-62. *33-5]
*74-7. Y\Qe\^>C\s.P\Q = P'\Q.z>.P\iyQ = P' \DlQ
Доказательство.
Ь . * 3 4 ■ 2 7 . z> Ь : Нр. z>. Р \ Q \ Q = F \ Q \ Q.
[*72-59] z>. Р \ D'g = F \ D'G: z> h. Prop
*74-701. h : Q e Cls -► 1. Q \ P = Q \ F . z>. (d'G) ] P = (d'G)1 P'
*74-7i. h:.Gei^cis.atPcDte.at^/cDte.=>:^ie=^/ie. = .^=^/
[*74-7 . *35-66 . *34-28]
*74-711. h:.2eCls^l .D'Pcd'Q.D'F c<llQ.z>:Q\P=Q\P'.== .P = P'
*74-72. h :. Qe 1 -► Cls: PeX. z>P . CTPcD'G = => - (I G) f Xe(e"X)sfn X
Доказательство.
h . *74-71 . z> h :: Hp . z>:. P, FeX. z>PyP : P| Q = F \ Q. = . P = F (1)
h . (1). *73-28 . z> h . Prop
*74-721. \-:. QeC\s-> I: Pel .z>P .DlP c&Q:^ . (Q\) \Xe(Q\"X)smX
*74-73. h : Q e 1 -► Cls. s'd"Xс D'G - => - (I G) \ Xe (| QllX) sm" X
[*74-72 . *40-43]
*74-731. h : Q e Cls -► 1. s'D''X с d'G - э . (Q |) Г Xe (Q |"X) sm X
*74-74. h : Q e 1 -► Cls . d'i'X с D'G. z>. (| Q) \ Xe (| Ql'X) sm X
[*74-73 . *41-44]
*74-741. h : Q e Cls -► 1. D'i'X с a'Q. z>. (Q |) f Xe (Q Г 4X) sm X
*74-75. h : a 1 Q e 1 -► Cls . a с D'G - s'(l"\ с a. z>. (| Q) \ X e (| Ql 'X) srn X
Доказательство.
Ь.*4043. z>h:.Hp. z>:PeX.z>P.a\Pca.
[*43-481] =>F.|Q'P = l(a1G)'P:
[*37-69] э:|е"Х=|(а10"Х (1)
h . *43-491. z> h : Hp . z>. (| Q) \ X = {| (a 1 Q)} \ X (2)
h . *74-73 . *35-62 . z> h : Hp. z>. {| (a1 Q)} \ Xe[\ (а] <2У1Х}ШХ (3)
h . (1). (2). (3). z> h. Prop
*74-751. b:Gfa€Cls->l.acd'G.s'D''Xca.z>.(GI) \Xe(Q\"X)smX
[Доказательство аналогично * 74-75, используя * 74-731 и *43-48-49]
*74-76. b:GeCls^l.flel->Cls.GIP|tf = G|P'l^.=>.
(d'G) 1 P \ D7? = (d'G) 1 F \ DlR [*74-7-701]
*74-761. h :. Hp *74-76 . D'P с dlQ. СГР с DlR . D'P' с d'G - CI'P' с D'tf . z>:
Q\P\R = Q\F\R. = .P = F [*74-71-711]
Principia Mathematica I

♦74. ОДНО-МНОГОЗНАЧНЫЕ И МНОГО-ОДНОЗНАЧНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
С ОГРАНИЧЕННЫМИ ПОЛЯМИ 531
*74-77. h:Q,flel->Cls.s'D"X.cD'G.s'D"X.cD'fl.:>.
(Й||Д)ГЬе1-»1.(Й||Д)Г*е{(Й1]Д)"М8т>.
Доказательство.
К*74-761-.*40-43. э
G
h:Hp.o:.P,P'eX. =>:Q|/>|JR = j2|/>'|^. = .JP = JP/:
[•43-112] ^:(й\\КУР = (й\\КУР' . = .Р = Г (1)
h . (1). *73-28 . э Ь. Prop
* 74-771. h: Q,ReCls -> 1. s'D"X,с O'Q • i'a"ka'«. о.
(eil*)rbel-»l.(GII*)rbe{(GII*)"*}™ib
И4.7Т|||
*74-772 и его непосредственные следствия широко используются в
кардинальной и ординальной арифметике.
*74-772. Ь :. (*). Е ! Q'x: (у). Е !R'y: & Д eCls-► 1: z>. Q \\Re 1 -► 1
[*74-771. *33-431]
*74-773. h : Q \ a, R \ p e Cls -► 1. a с CL'Q. P с a4/?. s'D''X с a. s'CT'X с p . z>.
(eii*)r^i->i.(eii/br^€{(eiiA)"M™x
Доказательство.
h . *35-64 . z> h : Hp. z>. s'D"Xс d'(e t a). s'CT'Xс СГ(Д f p) (1)
h.*43-51. эН:Нр.э.{((2Га)||(р1Л)}ГХ = ((21|Л)ГХ (2)
h. (1). (2). *74-771. z> h . Prop
*74-774. h :. R e Cls -► 1: (y). E ! R'y: z>. | R e 1 -► 1
Доказательство.
h.*71-166. Dh:Hp.z>./?€Cls->l (1)
h . *33-431. z> h : Hp . z>. (P). a'PcD'^ (2)
h.(l).(2).*74-71-r. z>h :.Hp. z>: P\R = F \R.=PyF . P = P' (3)
h . (3). *71-57 . z> h. Prop
*74-775. hiGf^'D'^/ef^a^XeCls^l.^D^Xca'G.^a'^ca^.z).
(е1|Л)ГХб1-^1.((21|Л)Г^е{((21|Л)44М8гп^ [*74-773]
*74-78. Н:7?Г(риу)€1^С18. = .7?ГР,^Гуе1-^С18
Доказательство.
h.*71-572.z>h:/?f(PUY)€l^Cls. = :>eatJRn(PUY).3>,.E!^>:
^■eS^lO^ll^iyea^np.^.EIP^ijea^nY.^.E!/?^:
[*71-572] = :R \ p,R \ye 1 -► Cls:. z> h . Prop
*74-801. h:(PUY)1/?€Cls. = .pi/?,Yl^eCls^l
*74-81. h: R \ slK e 1 -► Cls. = . R \''к с 1 -► Cls
Доказательство.
h . *71-572 . z> h :. R \ s'k e 1 -► Cls. = : у e QlR П s'k . =>y . E ! R'y:
[*4011 . *10-35-23] = : a€K.yed'R П a . э^ . E ! R'y:
[*ll-62 . *71-572] г: a e к. z>a . R \ a e 1 -> Cls :
[*37-61] s : Я Г"кс 1 -► Cls:. з h . Prop
A.H. Уайтхед, Б.Рассел

ГЛАВА 3. ОДНО-МНОГОЗНАЧНЫЕ, МНОГО-ОДНОЗНАЧНЫЕ
532 И ОДНО-ОДНОЗНАЧНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
*74-811. Ь : (s'k) 1 R e Cls -> 1. = . 1 Д' 'к с Cls -► 1
*74-82. Ь : (Р U у) ] R е 1 -> Cls . s . p 1 R, у ] R е 1 -► Cls. Д' '(Р - Y) П Д' 'у = Л
Доказательство.
Ь . *35-1 . *71-17 . z>
Ь :: (Р U Y) 1 R е -> Cls . = :. х,у е Р U у . xRz - уДг - =>адг - * = у : -
[*13-12] z>:. jc е Р . у еу. jc/fe. yRz. :э*,у,г • хе у:.
[Transp] z>:. х е Р - у . Jt/fe. э^>>2. ~ Су е Y • yRz) '•-
[♦10-21-252] z>:.xe$-y.xRz.^x*.~(Ry).yey.yRz:.
[*10-28*37-105] э:.гбЛ"(Р-у).эг.г~еЛ"у:.
[•24-39] =>:.Д"(Р-у)ПД"у = Л (l)
h . (1). *71-22 . z>
\-z($Uy)lRel^Cte.z>.$]R9y]Rel^Cte.R"($~y)nR"y = A (2)
h*71-22 . z> h: p 1 R e 1 -> Cls. z>. (P - y) ] R e 1 -> Cls (3)
h*37-4 . z>: R'ЧР - Y) П Rl 'у = A. z>. <T(P - у) ] R П CT(Y 1 Ю = A (4)
h.(3).(4).*7l-24.z>h:p1/?,Yl^€l^Cls.JR"(p-Y)n^t'Y = A.z>.
(P-Y)1/?Oy1/?€1-*C1s.
[*35-41] z>.(PUy)1^€1^C1s (5)
h . (2). (5). z> Ь . Prop
«74-821. 1-:Л KPUY)eCls-»l . = .R\^9R \ Y€Cls-> 1 .Д"(Р~ Y) r\R"y = A
*74-822. h:(pUY)f^€l-*l. = .pi^,Yl/?€l->l.JR'4P-Y)n^ttY = A
[*74-82-801]
*74-823. h:/?f(pUY)6l^l. = ./?fp,/?fYel^l./?"(p-Y)n/?ttY = A
[♦74-8-821]
*74-83. h:.JRt'pn^"Y = A-=>:(P^Y)1^el^Cls. = .pi7?,Yl^€l^Cls
[*74-82]
«74-831. \-:.R"$nR"y = A.'=>:R\($\Jy)eCl8^>l.E-.R\p9R\yeCl8^>l
*74-832. \-:.R"$r\R"y = A.z>:($Uy)]Rel^>l. = .$]R,ylRel^>l
[*74-83-801]
*74 833. \-:.R"$nR"y = A.z>:R\($KJy)el^>l. = .R\$,R\yel^>l
[*74-8-831]
*74-84. h :. (s'k) 1 7? e 1 -» Cls . = :
1 Д' 'к с 1 -^ Cls : p, y € к. z>p,Y . Я"(Р -y)C)R"y = A
Доказательство,
h . *40-13 . *35-43 . z>h:PeK.z>.pi/?G (s'k) 1 7?:
[*71-22] z>b:.(s'ic)1 flel->Cls. z>: Рек. z>. P1 Re 1 -> Cls:
[*37-61] z>:1/?"kc1->C1s (1)
h . *72-41 . *37-421. z> h :. (s'k) 1 R e 1 -> Cls . z>:
P>Y€K.3ftY.*"(P-Y)n*"Y = A (2)
h. *37-105 . *24-39 . z>
h:.p,Y€K.z>p)Y.JRtt(P-Y)n^ttY = A: = :
Р>уск.дсер-у.хЛг-эр>у.-(ду)-<уеу.<у/гг:
PRINCIPIA MATHEMATICA I

*74. ОДНО-МНОГОЗНАЧНЫЕ И МНОГО-ОДНОЗНАЧНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
С ОГРАНИЧЕННЫМИ ПОЛЯМИ 533
[Transp] ^:fi9yeK.xe$.yey. xRz. yRz .^ptY. х е у.
[*4-7] z>p,Y. х, у е у - *Дг. yRz -
[*35-1] эр.у.л(у1Л)г.у(у1Л)г (3)
Н.(3).*71-17.г>[-:.р,у€К.г>р,у.Л'Чр-у)П^> = Л:1^4кс1^С18:э:
Р, у € к. х в Р. у е у. хДг. yRz. =>piYiW -x = y:
[*10-23 . *40-11 . *374]z>: х{(s'k)]R}z.y {(s'k) 1 R]z. z>w . jc = у:
[*7Ы7] z>:s'Kl*el->Cls (4)
h.(l).(2).(4).z>b.Prop
*74-841. Ь:.Д r.s'кeCls->l. = :
дrкcCls^l:pлeк.z>p,Y./r(p-Y)nД''Y=^
*74-842. h :. (s'k) 1 Д e 1 -> 1. s :
1/?"кс1^1:Р,уек.эр,у.Л4'(Р-у)ПЛ"у = Л [*74-84-811]
*74-843. Ь:.Д Г*'ке1->1. = :
7?Г'4кс1^1:р,уек.эр,у./?'Чр-у)П/?"у = А [*74-81-841]
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

ГЛАВА 4.
ВЫБОРКИ
Краткое содержание главы 4.
Предмет исследования настоящей главы представляет интерес, главным
образом, в связи с умножением кардиналов и ординалов. Чтобы подойти
к определению умножения, не ограниченному случаем конечного числа
сомножителей, нам нужно найти конструкцию, посредством которой мы
могли бы из заданного класса классов, скажем к, построить новый класс,
число термов которого при условии, что к конечен, совпадает с произведением,
в обычном элементарном смысле, чисел термов каждого класса,
принадлежащего к, и который независимо от того, конечен к или нет,
удовлетворяет возможно большему числу формальных законов умножения. Обычный
элементарный смысл умножения производится из сложения; т. е. цху есть
число термов в s'к, где к —класс ц взаимно исключающих классов,
каждый из которых содержит v элементов, и обратно. Аналогично и в случае
любого конечного числа сомножителей, но не бесконечного; поэтому, если
число сомножителей может быть бесконечным, требуется совершенно иное
определение, и оно опирается на теорию выборок.
Различаются выборки двух родов: выборки из классов классов и
выборки из отношений. Второе представляет собой более общее понятие, из
которого можно вывести первое. Но, поскольку первое понятие проще,
сначала мы будем изучать выборки из классов классов.
Пусть задан класс классов к; класс ц называется классом
представителей класса к, если ц образован путем выбора по одному терму из
каждого элемента к. Например, если к состоит из двух элементов а и Р и если
хеа и уе$, то CxUCy является классом представителей к. Если от
каждого избирательного округа избран один человек в парламент, парламент
становится классом представителей избирательных округов. Если к — класс
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

536
ГЛАВА 4. ВЫБОРКИ
взаимно исключающих классов, т. е. класс, никакие два элемента которого
не имеют общих между собой элементов, то класс представителей
состоит из термов, выбранных ровно по одному из каждого элемента класса к;
иначе говоря, \i — класс представителей, если
(я с s'k :аек.эа.|яПае1.
Однако это не обязательно должно выполняться, если к не является
классом взаимно исключающих классов; поскольку терм х, принадлежащий
одновременно и а, и р (где а, рек), может быть выбран в качестве
представителя от а, в то время как некоторый другой терм выбран в качестве
представителя от Р, так что классу представителей будут принадлежать
два элемента из р. Возвращаясь к случаю, когда к является классом
взаимно исключающих классов, отметим, что тогда отношение представителя к
классу, из которого он выбран, должно быть одно-однозначным, поскольку,
так как ни один терм не принадлежит двум различным классам в составе
к, ни один терм не может быть представителем двух различных классов.
Если же к не является классом взаимно исключающих классов, терм х,
принадлежащий одновременно двум классам а и Р, может быть выбран
в качестве представителя от обоих. В этом случае отношение
представителя к соответствующему классу является только одно-многозначным, а не
одно-однозначным.
Отношение представителя к классу, из которого он выбран, может быть
названо выбирающим отношением. Выбирающее отношение из к есть
отношение, которое выбирает из каждого класса а, принадлежащего к,
некоторый элемент х в качестве представителя от а; таким образом, если R —
выбирающее отношение, мы имеем
аек.эа. R'a e a: Q'R - к.
Это условие эквивалентно
Де1->С18.Дс:е.СГД = к.
Если R — выбирающее отношение, то D'R — класс представителей; а если
\i — класс представителей, то существует выбирающее отношение R такое,
что [i = D'R. Таким образом, теория выборок из классов классов целиком
содержится в теории выбирающих отношений.
Класс выбирающих отношений из класса к обозначается ед'к. Таким
образом,
ReeAlK. = .Rel^>Cls.R<Le.atR = K
и
ед 'к = (1 -► Cls) П Rl'e П &'к.
Тогда Б"ед'к есть класс классов представителей.
Будет показано, что, если аек, то R'a может быть любым элементом
из а, и мы получим различные отношения R для различных элементов
из а. Таким образом, если представители всех остальных классов,
принадлежащих к, остаются неизменными, число выбирающих отношений,
получаемых варьированием представителя от а, совпадает с числом элементов
в а. Следовательно, общее число выбирающих отношений может быть
надлежащим образом определено как произведение чисел термов,
принадлежащих различным элементам класса к. Если к конечно, это согласуется
PRINCIPIA MATHEMATICA I

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВЫ 4
537
с обычным определением умножения; и независимо от того, конечно или
бесконечно к, так определенное умножение подчиняется всем формальным
законам умножения.
Чтобы проиллюстрировать понятие выбирающего отношения,
рассмотрим очень простой случай, когда к состоит из двух классов аир, каждый
из которых содержит два элемента. Пусть х и у — элементы а, г и w —
элементы р. Предположим, что аф р, хФу, гфун- Тогда имеются следующие
выбирающие отношения из к:
х I а 0 z IP,
х I а 0 w IP,
ylaOzlfi,
yiaUwip.
Их всего четыре, т. е. число элементов в ед'к равно произведению числа
элементов в а и числа элементов в р. Аналогичные рассуждения
показывают, что наше определение произведения согласуется с обычным
определением во всех тех случаях, когда все рассматриваемые числа конечны.
Выборки из отношений представляют собой очевидное обобщение
выборок из классов классов. Выше мы имели
ед'к = (1^С18)пШ'еП&'к.
В общем случае полагаем
Рд'к = (1 -► Cls) П Ш'РП ff'K,
что выводится из определения
РА = Х.«{Х = (1->С1в)пЮсРП&к} Df.
Это определение является фундаментальным в теории выборок. В силу
определения,
Ь : R е Рд' к. = . R е 1 -> Cls. R а Р. a'R = к.
Когда k=Q'P, мы можем назвать Рд'к классом выборок из Р. В общем
случае Рд'к является классом выборок из Р \ к при условии kcQ'P; если
же это условие не выполняется, Рд'к = Л. Мы можем назвать Рд'к классом
"Р-выборок из к". Класс "е-выборок из к" есть не что иное, как введенный
нами ранее класс "выбирающих отношений из к".
Будет показано, что
RePAiK.yeK.z>.Riye~Piy.
Таким образом, если Р"к— класс взаимно исключающих классов, то D'R
выбирает по одному элементу в каждом из этих классов и, следовательно,
является классом представителей из Р"к; в этом случае
Б44Рд'к = Б44ед^"к.
В кардинальной арифметике ед'к является важным понятием, в то
время как более общее понятие Рд'к редко требуется. В ординальной
арифметике Рд'к является важным понятием. Будет показано, что
ReFAK. = .Rel^>C\s.R(LF.aiR = K.
Таким образом, Рд'к является значимым, только когда к есть класс
отношений; в этом случае
РеРд'к. £>ек. г>.Р'2еС"2.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

538
ГЛАВА 4. ВЫБОРКИ
Таким образом, R выбирает представителя из поля каждого элемента
класса к. Наиболее важен случай, когда к имеет вид С'Р, где Р — сериальное
отношение, поле которого состоит из сериальных отношений. Тогда F^C'P
становится полем отношения, которое может быть определено как
ординальное произведение отношений, составляющих С'Р; таким путем мы
получаем бесконечное ординальное произведение, аналогичное бесконечному
кардинальному произведению. Подробнее об этом мы будем говорить
позже (*172).
Несмотря на то, что в дальнейшем потребуются большей частью
только ед'к и Fa'к, мы предпримем общее изучение Рд'к, так как при этом
произойдет лишь незначительное усложнение, а большинство теорем,
справедливых для ед'к и ^д'к, имеют точные аналоги для Рд'к.
Класс Рд'к, определенный выше, есть класс одно-многозначных
отношений, содержащихся в Р, обратной областью которых является к. Мы не
знаем доказательства того, что такие отношения всегда существуют при
ксО'Р. В действительности, предложение
Kcd'P.z^a.gl/VK
эквивалентно "аксиоме умножения", т. е. аксиоме, утверждающей, что для
любого заданного класса взаимно исключающих классов, ни один из
которых не пуст, существует, по меньшей мере, один класс, образованный
путем выбора по одному элементу из каждого из этих классов. (Эта
эквивалентность доказывается ниже в *88-36). Данное предложение
эквивалентно также аксиоме Цермело201:
(a) . g !ед'С1ех'а;
а также эквивалентно предложению о том, что каждый класс может быть
вполне упорядочен. В отсутствие свидетельств истинности или ложности
этих различных предложений, мы не будем предполагать их истинность,
но будем явно вводить их в качестве гипотез, когда это необходимо.
Настоящую главу мы открываем (*80) изучением свойств Рд'к, не
зависящих от каких-либо предположений относительно Р. Затем мы
переходим (*81) к свойствам Рд'к, выводимым из гипотезы PfKeCls^l.
Важность данной гипотезы проистекает из того, что она справедлива во
многих приложениях, которые мы хотели бы рассмотреть, и из того, что она
имеет своими следствиями важные свойства Рд'к, которые в общем
случае, когда Р не подвергается каким-либо ограничениям, не верны. Эти
специфичные свойства имеют место, главным образом, из-за того факта,
что, если Р \ к— много-однозначное отношение, Рд'к состоит из
одно-однозначных отношений (а не одно-многозначных отношений, как это было бы
в общем случае). Это доказывается в *81-1. Затем мы переходим (*82)
к рассмотрению случая относительных произведений, т.е. (Р|0д'Х.
Будет показано, что при соответствующей гипотезе (Р| 0д'Х= | 2"Рд'2"Х и
D"(P| 2)д'Х = Б"Рд'2"Х. В следующем затем параграфе (*83) мы
применяем результаты *80 к частному случаю, когда Р заменяется на е,
важнейшему случаю для кардинальной арифметики. В параграфе *84 мы применяем
201 См. его работу "Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann", Math. Annalen,
Vol. LIX, pp. 514-516.
Principia Mathematica I

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВЫ 4
539
предложения параграфа *81 к случаю, когда Р заменяется на е, и когда,
следовательно, имеет место гипотеза eficeCls^l. Данная гипотеза
эквивалентна гипотезе, что никакие два класса, принадлежащие к, не имеют
общих элементов, т. е. что
а, Р е к. а Ф |3 . z>a,p . а П |5 = Л .
Класс к, если удовлетворяет этой гипотезе, является классом взаимно
исключающих классов. Для классов взаимно исключающих классов мы
принимаем обозначение "Cls2excl". В *84-14 будет показано, что Cls2excl —
класс, для которого eficeCls^l. Если к есть Cls2excl, то отношение
Df/VK одно-однозначно, и В"ед'к8тед'к. В этом случае также Б"ед'к
состоит из всех классов, образованных путем выбора по одному элементу
из каждого элемента из к, т. е. всех классов ц таких, что
ц с s'k: а е к. z>a . ц П а е 1.
В *85 мы доказываем различные представляющие определенный интерес
предложения, главное из которых — одна из форм закона
ассоциативности202, а именно
h : ке Cls2excl. э . ед Vicsmед'ед"к.
Наконец, в *88 мы доказываем существование выборок. В общем случае,
если к — бесконечный класс, это доказать нельзя. Допущение, что ед'к
никогда не пусто, при условии, что ни один элемент из к не пуст,
эквивалентно нескольким другим допущениям, например, допущению, что
всякий класс может быть вполне упорядочен. Одно из таких эквивалентных
допущений носит название "аксиомы умножения". Данная аксиома
эквивалентна допущению о том, что арифметическое произведение не может
быть равно нулю, если ни один из сомножителей не равен нулю, и
рассматривается некоторыми математиками как самоочевидная истина.
Соответствующее предложение может быть доказано, когда число сомножителей
конечно, т.е. когда к —конечный класс, но не тогда, когда число
сомножителей бесконечно. Мы не предполагаем его истинным в общем случае,
когда оно не может быть доказано, но включаем в состав гипотез всех
предложений, которые от него зависят.
202 См. замечания к *42-1-11.
А.Н. "Уайтхед, Б. Рассел

540
ГЛАВА 4. ВЫБОРКИ
*80. Элементарные свойства выборок
Краткое содержание *80.
В настоящем параграфе рассматриваются свойства РА, наиболее
непосредственным образом вытекающие из определения, без каких-либо
ограничений, накладываемых на отношение Р.
Если ЯеРд'к, то отношение R выбирает один элемент из Р'у для
любого уек в качестве выбранного референта у. Действительно, так как
Re 1 -> C1s.Q7? = k, мы имеем уек. z> .Е IR'y; и так как RgP, мы имеем
у е к. z> . (R'y) Ру, т. е. у е к. z> . R'y eP'y. Называя R'y выбранным референтом
у, мы подчеркиваем, что R'y можно заменить любым другим элементом из
"?'у, сохраняя принадлежность классу Рд'к. (Что доказывается в *80-4.)
Таким образом, если Рд'к имеет хотя бы один элемент, мы можем
предъявить столько же элементов, сколько имеется в Р 'у, меняя один только
выбранный референт у и оставляя на месте все другие выбранные
референты.
В начале параграфа мы докажем ряд простейших свойств Рд'к.
Большая их часть — непосредственные следствия из
«80-14. h:flePA'K. = .flel^Cls./?GP.a'fl = K
Наиболее полезны среди них следующие:
*80-2. Ь:д!Рд'к.э.ксС17>
«80-291. НгДеРд'к.э.ДсЕРГк
*80-3. hiRePb'K.yeK.zy.ElR'y
*80-33. b:fle/VK.z>.D\Kc/>"K
Затем мы переходим к различным предложениям (*80-4— 46), связанным
с xiy при условии хРу. Наиболее важные среди них следующие:
«80-41. hiReP&uK.yeK.tffy.z>.[[R-(R'y)ly}OxflylePA'K
Т. е. в заданном выбирающем отношении R выбранный референт у (где
yeQ'P) можно заменить любым термом, находящимся в отношении Р к у,
и оно по-прежнему останется выбирающим отношением.
*80-45. Ь.Р&'1'у = 1уйГРйу
Затем мы переходим к множеству предложений (*80-5— 54),
связывающих (PU 0д'(киХ) с Рд'к и 2д'Х. Они используются, главным образом,
как подводящие к следующему множеству предложений (*80-6—69),
связывающих Рд'(киХ) с Рд'к и Рд'Х. Наиболее полезны среди них следующие:
*80-6. Ь-.ДеРд'к.Хск.э.Д \ХеРА1Х
*80-65. Ь : к ПI = А. R е РА'к. S е РА'X. z>. R 0 S е РА '(к U X)
*80-66. \-:.Knl = A.z>:MePA\KUl). = .(^RJS).RePAtK.SePAi'k.M=ROS
Далее мы переходим к множеству предложений (*80-7— 78) об
отношениях М и M-R при условии, что (например) МеРд'(киХ) и ReP^K. Эти
предложения редко используются, но могут быть полезны при изучении
деления.
Далее мы переходим к множеству предложений (*80-8—84) об
отношениях Рд'а и /VP- Наиболее полезны
PRINCIPIA MATHEMATICA I

*80. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ВЫБОРОК
541
*80-81. h : g ! Рд'а. Рд'а = Рд'|3. z>. а = р
*80-82. h : а ф р . z>. Рд'а П Рд'|3 = Л
Наконец, остается четыре предложения (*80-9—93) о Рд'(ь';уи1'г) и одно
о /V(|3Ui'z). Из них наиболее полезно
*80-9. Ь :. у ф z. =>: М е Рд \Су U i'z). = . (ды, v). мРу .vPz.M^iyUviz
«80-01. Рд = Хк {X = (1 -> Cls) П ЮТ П &'к} Df
*801. Ь:ХРдк. = .Х = (1->Cls)ПШ'РП&'к [*21-3 . (*80-01)]
*8011. Ь . Рд 'к = (1 -► Cls) П Ш? П &'к [*80-1 . *30-3]
*8012. Ь.Е!Рд'к [*80-11 . *14-21]
*8013. h : I Рд к. = . X = Рд 'к [*80-12 . *30-4]
*8014. Ь : R е Рд'к. = . R е 1 -► Cls . R GР. СГР = к
[*8011. *20-43 . *22-33 . *61-2 . *33-61]
*8015. Н:Рсе.=>.Рд'ксед'к [*8(И4]
♦8016. Ь : R е Рд 'к. R с б - => • R e £>д 'к
Доказательство.
h . *80-14 . z> Ь :РеРд'к. z>.Ре 1 ■ -► Cls . d'P = к:
[Fact] эЬгРеРд'к.Рсб. z> .Ре 1 ->Cls. СГР = к.Рс:е.
[*80-14] z> .Ре £>д'к: z> Ь . Prop
*8017. h : Q aP . z>. £>д'к = Рд'к П RVQ
Доказательство.
h.*80-15. эН:Нр.г>.2д'ксРд4к (1)
Ь.*8(И1. эЬ.бд'ксШ'б (2)
Ь.(1).(2). эНгНр.э.ед'ксРд'кПШ'е (3)
Ь.*80-16. эЬ.Рд'кПШ'есбд'к (4)
h . (3). (4). z> h . Prop
Данное предложение используется в теории умножения ординалов
(*172-162).
*80-2. h:g ! Рд'к. э .ксd'P
Доказательство.
К*80-14. =>Ь: РеРд'к. z> .Рс:Р. СГР = к.
[*зз-264] z>. сгр с сгр. а'р = к.
[*13-13] э.ксО? (1)
h.(l).*10-ll-23.z>h.Prop
*80-21. Ь : - (к с СГР). z>. Рд 'к = Л [*80-2 . Transp]
*80-22. h:P \k=Q f к. z> . Рд'к= £д'к
Доказательство,
h . *33-14 . z> h :: СГР = к. z>:. xRy. z>. у e к :.
[*5-44] z> :. xRy . z> . xPy : = : xPy . z> . xPy. у е к :
[*35-101] =:xRy.z>.x(P\K)y (1)
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

542
ГЛАВА 4. ВЫБОРКИ
K(l).*ll-ll-3-33.Z>
Ь:.а'Р==к.э:Рс:Р. = .РсРГк (2)
\-.(2)j.z>\-:.aiR = K.=>:RcLQ. = .RGQ\K (3)
\-.(2).(3).*13-2.z>\-:.a'R = K.P\K=Q\K.=>:R<zP. = .RcLQ (4)
Ь . (4). Comm. *5-32 . z>
Ь :. Нр . z>: R аР. СГР = к. = . R сQ. СГР = к:
[*80-14] z>: R е Рд'к. = . R е £>д'к:. z> Ь . Prop
*80-23. Ь.Рд'к=(РГк)д'к
Доказательство.
Ь . *35-31. *22-5 . z> Ь . Р \к = (Р \к) Г к (1)
Ь . (1). *80-22 . z> Ь. Prop
*80-24. h : к с СГР. Q = Р \ к. z>. Рд 'к = £д '<Т£ [*35-65 . *80-23]
*80-25. h : g ! Рд 'к. Q = Р \ к. z>. Рд'к = Q^Q [*80-2-24]
*80-26. КРД'Л = ГА
Доказательство.
Ь.*80-14. эН:РеРд'к. = .Re 1 -► Cls. PgP. СГР = Л.
[*33-241 ] = .Pel->Cls.Pc:P.P = A.
[*13-193] = . А е 1 -► Cls. А еР. Р = А.
[*72-1.*25-12] = .Р = А.
[*51-15] = . Р е i'A: z> h . Prop
Заметим, что Рд 'Л — единичный класс, а не нулевой. Именно благодаря
этому факту (как будет показано позже), если ц — произвольный кардинал,
|х° = 1. См. замечание к *83-15.
*80-27. h:g ! к. э . Ад'к = Л
Доказательство.
Ь.*80-14.э1-:РеАд'к.г>.Рс:А.СГР==к.
[*25-13] z>.P = A.CTP = k.
[*33-241] z>.k = A (1)
h.(l).Transp.*1041-21.z>
а!к.э.(Р).Р~еАд'к.
[*24-15] z>. Ад 'к = Л : z> Ь . Prop
*80-28. h:g ! к. э . А-еРд'к
Доказательство.
Ь.*80-14. z>h:.g!K. z> :РеРд'к. z>* .g ! СГР:
[*33-241] z>: P € Рд 'к. z>* . g ! P :
[*25-63] z>: A ~ e Рд'к:. z> Ь . Prop
*80-29. Ь:РеРд'к.э.Р = Р Г к
Доказательство.
h . *80-14 . z> h : Hp . z>. СГР = к.
[*33-452] z>. P = P \ к: z> h . Prop
PRINCIPIA MATHEMATICA I

*80. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ВЫБОРОК
543
,*33-14.z>
>: xRy .-3Xty . хРу. у е к.
z>Xty.x(P\K)y:.z>
z>. Е ! fl'y
z> h : Нр . z>
э
=>.Р'уе1*У
.flel->Cls.
. Е ! R'y: z> h
h. Prop
yed'R.
.Prop
*80-291. \-:RePblK.z>.RaP\K
Доказательство.
h. *80-14,
h :. Hp . э :
[*35-101]
*80-3. К-ЯеРд'к.уек.
Доказательство.
h. *80-14.
[*71-163]
♦80-31. Ь:ДеРд'к.;уек.
Доказательство.
Ь.*80-14. z>h:Hp. z> .Rel -> Cls .RaP.yeQ'R.
[*71-31] ^.RaP.iR^Ry.
[*23-441] z>. (Rly) Py.
[*32-18] z>. R'y е~?У: z> h . Prop
*80-32. Н:.]?бРд'к.э^ек.Е.Е!^.Е.^^
Доказательство.
h.*80-14. z>h:.Hp. z>:CTfl = K:
[*33-43] z>:E!/?>.z>.j€K (1)
h . *14-21 . z> h iR'y €?>.=>. E ! Rly:
[(1)] z>h:.Hp. z>:/?'ye"?'y.z>.yeK (2)
h . (1). (2). *80-3-31 . z> h . Prop
*80-33. h:fle/VK.z>.D'flcP"K
Доказательство.
h . *80-14 . *37-25 . z>h:Hp. z> .DlR = RllK.RcP.
[*37-201] z>. D7? сГкгэК Prop
*80-34. Ь:Де/Ук.г>.Е!!Д"к.Я"к = Б'Д
Доказательство.
h . *80-14 . z> h : Hp . z>.Re 1 -► Cls . D'fl = к.
[*7Ы6 . *37-25] z>.E!!fl''K.fl''K = D7^.z>b.Prop
*80-35. h:^ePA'K.z>.D^ = Jc{(gj).y€K.x = /?'y} [*37-6 . *80-34]
*80-36. \-:R,S ePAlK.z>.R \aOS t-аеРд'к
Доказательство.
h.*71-26. z>h:Hp. z>.R\a,S f-ael^Cls (1)
h . *35-64 . z> h . Q\R \ a) П <Jl(S \ - a) = Л (2)
h . (1). (2). *71-24 . z>h:Hp. z>.R\aOS Г-ael-^Cls (3)
[*35-64 . *80-14] z> Ь : Hp . z>. СГ(Д f a) = к П a. <T(S \ - a) = к - a.
[*24-41] z>. СГ(Я Г« U S \ - a) = к (4)
[*35-441. *80-14] z>h:Hp. z>.R\a(LP.S \-aaP.
[*23-59] z>.R\ai)S \-aaP (5)
h . (3). (4). (5). *80-14 . z> h . Prop
Данное предложение используется в связи с отношениями "больше"
и "меньше" у кардиналов (*117-68).
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

544
ГЛАВА 4. ВЫБОРКИ
Ь. *55-3 .
[*72-91]
[*80-14 . *55-15]
Ь . (1). *33-261.
[*55-15]
[*51-221]
Ь.(1).*55-15.
[*24-21]
[*71-24.*80-14]
Ь . *80-14 . *55-3 .
[*23-59]
z> h :. Нр .
z> h : Нр .
z> Ь : Нр .
, Dh: Нр.
. э:
э
э
э
э
э
э
*80-4. \-:RePAlK.yeK.xRy.x'Py.z>.{(R-xly)Ox' 1у}еРА'к
Это очень важное предложение. Оно показывает, что если ЯеРд'к и х —
выбранный референт у (т. е. х есть R'y), то R при замене в нем х любым
элементом из Р'у по-прежнему принадлежит Рд'к.
Доказательство.
:xiydR:
:<3XR-xly) = aiR-ai(xly)
= к-Су (1)
.ai{(R-xly)Ox'ly} = (K-ity)uatx'ly
= (к -Су) U Су
= к (2)
.a4/?-x|y)na'(^iy) = (K-i»ni>
= л.
.(R-xly)0tf lyel^Ck (3)
.(*-jU30O*4ye7> (4)
h . (2). (3). (4). *80-14 . z> h . Prop
*80-41. h : RePa'k .уек. x*Py .=>.[{/?- (7?>) |y} и У J, у] еРд'к
Доказательство.
h . *80-3 . *30-32 . z> h : Hp . z>. (R'y) Ry (1)
h . (1). *80-4 . z> h . Prop
*80-42. h : g ! Рд'к. э . я'Рд'к = Р Г к
Доказательство.
h.*41-ll . z>h:x(i'PA'K)y. = . (дЯ) .ДеРд'к. jc/ty .
[*80-14] э.хРу.уек
[•35-101] z>.x(PtK)y (1)
h . *80-41 . *35-101. z>
\-:RePb'K.x(P\K)y.z>.[{R-(R'y)ly]Oxly]ePb'K.
[*55-132]z>.[{^-(7?»|>}Ux|y]€PA'K.x[{^-(^)iy}Uxij]y.
[*4Ы41]э.*(д7>а'к)у (2)
h.(2).Exp.*ll-ll-3. эЬгЛеРд'к.э.'РГке^'Рд'к (3)
h . (3). *10-ll-23 . э h : g ! Рд'к. z>. P \ к с*7>д'к (4)
h . (1). (4). z> h . Prop
*80-43. h : xPy . = . х1уеРА'Су
Доказательство.
h . *72-182 . *55-15 . z> h . xiye 1 -► Cls . <Tjc | у = 1> (1)
h.*55-3. z>\-:xPy. =.xlyaP (2)
h . (1). (2). *4-73 . z> h : xPy. = . x |у eP. x | у e 1 -► Cls . Q\x |y) = i>.
[*80-14] = . дЦу еРдЧ'у: z> h . Prop
PRINCIPIA MATHEMATICA I

*80. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ВЫБОРОК
545
♦80-44. Ь : RePb'i'y . э . Я = (R'y)ly
Доказательство.
[-.♦80-14. z>b:Hp. z>. Де 1->Cls .СГД = i';y.
[♦37-25] z>. R e 1 -► Cls . СГД = t'y. D'R=R"Cy
[*53-31 . *71-163] = i7?';y.
[♦55-16] z>. R = (Д'у) i> s => I" • Prop
♦80-45. h.PbVy = ly'r?'y
Доказательство.
h.*38-131.z>h : Re W'P'y. = .(rx) .хе~?'у .R = xly.
[♦32-18] = . (gx). jePy. R = x | у.
[♦80-43] э.ЯеРдЧ'у (1)
[-.♦80-44-31. =>Н:ДеРдЧ';у. э.Д = (/ГуН;у./Гу€1?';у.
[♦14-205] z>. (gx). Д = xiу. jceP'y.
[•38-131] z>./?e|;y"7*';y (2)
Ь . (1). (2). z> Ь . Prop
♦80-46. h : a ! PA\'y. = . a l"?У - = -У eCPP [*80-45 . *37-45 . *33-41]
♦80-5. \-iKn\ = A.RePA'K.SeQA'\.'=>.ROSe(POQ)b'(K\J\)
Доказательство.
h . *80-14 . z> Ь : Hp . z> . Д, S e 1 -> Cls . СГД = к. CTS = X. 7? aP. 5 eQ -
[Hp. *33-261. *23-72] z>. R, S e 1 -» Cls. (ГД nO'5=A. <Т(Д 05) = kUL
[*71-24] D./?U5,el^Cls.a'(/?U5) = KUX./?U5GPue.
[♦80-14] z>. R 0 5 e (P U 0д '(k U X): z> h . Prop
«80-51. 1-:Хпа'Р = Л^еРд'к.5б|Эд^.э./?и5€(Рие)д'(А:и)1)
Доказательство.
h . *10-24 . z> h : Hp . z>. а ! *Vk .
[*80-2] d.kcO?.
[♦22-48] D.KH)ica?nL
[Hp.*24-13] z>.KfU = A (1)
h . (1). *80-5 . z> Ь. Prop
«80-511. h : к П CPQ = Л Л П CPP = Л . M e (P U 0A'(к U X). z>.
M\K = MnP.M\\ = MnQ
Доказательство.
h . *80-14 . *23-621 . z> h : Hp . z>. M = M h (P U 0 .
[*35-17] D.MfK=Mh(PU0fK
[♦35-644] =MhP fK
[♦35-642 . *25-24] =MП(Р \к0Р \X)
[♦35-412-17] -=Mf(KUX)hP
[♦80-29] =Mf)P (1)
^wf^TT' Dh:Hp.D.M[\=Mrte (2)
h . (1). (2). z> h . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

546
ГЛАВА 4. ВЫБОРКИ
*80-52. Ь:кпа'<2 = Л.Хпа4Р = Л.Ме(Ри0д'(киХ).г>.
M\k = Pa1k.M\1 = Qa4
Доказательство.
Ь . *80-14 . *71-26 . z>h:Hp. z>. М |Чс,М fXe 1->Cls (l)
h . *80-511. Dh:Hp.z>.MtK = MhP.MfX = MhG-
[*23-43] z>.M\kgP.M\IgQ (2)
h . *80-14 . *22-58 . z>h:Hp. э.ксО'МЛса'М.
[*35-65] z>. СГМ Г к = к. (ГМ \l = l (3)
h . (1). (2). (3). *80-14 . z> h . Prop
*80-53. Ь : к П d'2 = Л. X Пd'P = Л . z>:
Me(POQ)Ai(KU'k). = .(^R,S).RePAlK.SeQAi'k.M = ROS
Доказательство.
h . *80-52 . z> h : Hp . Me(PО £>)д'(кU X). M \кеРд'к. M \XeQA'X (1)
b.*80-29. z>h:Hp(l).z>.M = Mr(KUX)
[*35-412] =M\kOM\\ (2)
K(l).(2). z>h:.Hp. z>.M£(POe)A'(KUX).z>.
(аР,5).РеРд'к.5еед'Х.М = Ри5 (3)
K*80-51. =>b:.Hp. z> iReP^K.S eQ^X. M = RUS . z>.
Af € (PU 6)a'(kU X):
[*ll-ll-3-35] =>: (aP,5).PeРд'к.S eQ^X. M = RUS . z>.
Me(PU£V(KUX) (4)
h . (3). (4). z> h . Prop
*80-54. h :. кП CTQ = Л . X П d'P = Л. z> :
PePA'K.5eeA^. = .(aAO.Me(Pue)A<(KUX).P = MfK.5=MfX
Доказательство.
Ь.*80-51 . z>b:Hp.PePA'K.S eQAlX.z> .R\JS e(PU Q)a\kU\) (1)
h . *80-14 . z> h : Hp (1) . z>. к П d'S = Л . X П d'S = Л .
[*35-644] z>.(PU5)rK = PfK.(P05)X = 5 ГХ.
[*80-29] z>.(PUSHk = P.(PUS)X = S (2)
h . (1). (2). z> h :. Hp . P e Рд'к. 5 e QA"k. z>.
Ри5е(Ри0дЧкиХ).(РО5)Гк = Р.(Ри5)Х = 5 .
[*10-24] г>.(дЛ/).Ме(Ри0д4(киХ).МГк = Р.МГХ = 5: (3)
h.*80-52. э h :. Hp. э : Me (PU Q)A в(к U X)./? = M fK. 5= Mf Х.э.
РеРд'к.5еед'Х:
[*10-ll-21-23] г>:(дМ).Ме(Рие)А'(киХ).Р = МГк.5=МГХ.г>.
РбРд'к.Яебд'Ь (4)
h . (3). (4). z> h . Prop
*80-6. Ь-.РеРд'к.Хск.э.РГХеРд'Х.
Доказательство.
Ь . *80-14 . *71-26 . z>h:Hp.z>.PfXel^Cls (1)
h . *80-14 . *35-441. z> h : Hp . z> .P \laP (2)
Ь . *80-14 . *35-65 . z>h:Hp.z>.a'PtX = X (3)
h . (1). (2). (3). *80-14 . d h . Prop
PRINCIPIA MATHEMATICA I

♦80. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ВЫБОРОК
547
*80-61. Ь:М ГкеРд'к.М \кеРА'к.=>.М \ (киХ)еРд'(киХ)
Доказательство.
h . * 8 0 • 6 . z> Ь : М \ к е Рд' к. z>. М \ (к - к) е Рд' (к - к):
[Fact] z> h : Нр . z>. М \ кеРд'к. М \(к-к)еРАХк-к).
[*80-5 . *24-21] z>. М \ к О М \ (к - к) е Рд '{к U (к - к)}.
[*35-412 . *22-91] z>. М \ (киХ)еРд'(киХ): z> Ь . Prop
*80-62. \-:МеРА'(кик).=>.М\кеРьК.М\кеРь1к [*80-6 . *22-58]
*80-621. biM\(K\Jk)ePA\KUk).z>.M\KeP^K.M\kePAlk
Доказательство.
К *35-31. э h.{M Г (к U X)} Гк=МГ{(киХ)Пк)
[*22-631] =М\к (1)
Аналогичной . {М \ (к U к)} \ к =М \ к (2)
h . (1). (2). *80-62 . з h . Prop
*80-63. \-:М\кеРА'к.М\кеРь1к. = .М\(кик)еРь\кик) [*80-61-621]
*80-64. Ь :. СГМ = к U к. z>: М \ ке Рд 'к. М \ к е Рд 'к. = . Ме РА'(к U к)
Доказательство.
Ь.*35-452. z>h:Hp.z>.M = Mt(KUX) (1)
h . (1). *80-63 . z> h . Prop
*80-65. h : к П к = Л . R e Рд'к. S e Рд'к. z>. R U S e Рд'(к U k)
p
[*80-5-r*23-56]
*80-651. \-:RePA'K.S ePAlk.z>.RGS \(Х-к)еРд'(киХ)
Доказательство.
h.*80-6. z>h:Hp. z>.S \ (к-к)еРА'(к- к).
[*80-65] z>. R U S \ (к - к) е Рд'{к и (к - к)}.
[*22-91] z>. R U S \ (к - к) е Рд'(к U к): э Ь . Prop
*80-66. h:.KnX = A.z>:
МеРдЧкиХ). = .(дР,5).^еРд4к.5еРд'Х.М = ^и5
Доказательство.
h.*80-62. эЬгМеРдЧки^.э.МГкеРд'к.МГХеРд'Х (1)
Ь.*35-452. z>h :МеРд'(кUX). =>.М = М f (кUX)
[*35-412] =MtKUMfX (2)
Ь.(1).(2). z>h:MePA4KUX).z>.MfKePA'K.MfXePA'X.M = MfKUMfX.
[*11-36] э.(аР,5).ДеРдМс.5еРд'Х.М = Ди5 (3)
Ь.*80-65. Dbi.Rp.^iRePb'K.S ePb'k.M^ROS . z> .МеРд'(киХ):
[*11-11-3-35] z>:(gP,5).PePA'K.5ePA'X.M = /?u5.z>.
МеРд'(киХ) (4)
Ь . (3). (4). z> h . Prop
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

548
ГЛАВА 4. ВЫБОРКИ
*80-661. \-:кГ)\ = А.РеРА1к.5 ePb"k.z>.R = (RGS)\K.S ^(RuS))^
Доказательство.
Ь.*80-14. z>h:Hp. z>. <ТД = к.СГ5 Пк = Л. (1)
[*35-452] ^.R\K = R (2)
h . (1). (2). *35-644 . z>h:Hp. z>.(R\JS) \k = R (3)
Аналогично z> h : Hp . z> . (R 0 s) \ X = S (4)
h . (3). (4). z> h . Prop
*80-67. Ь:.кПХ = Л.г>:ДеРд'к.5еРд'Х. = .
(дМ).МеРдЧкиХ)./? = МГк.5=МГХ
Доказательство,
h . *80-65-661. => h :. Hp. =>: R e PA'к. S e PA'X. z>.
ROSePA'(K\J\).R = (ROS)\K.S=(RUS)\\.
[*10-24] z> . (gM) . MePA'(кU I). Д = M \ к. 5 = M \ l (1)
h.*80-62.z>h:MePA'(KUX)./? = MfK.5=MfX.z>.^ePA'K.5ePA'X:
[*10-ll-23] z> h : (gM). M e /V(k U X) . Д = M \k.S =M fX.z>.
ReP^K.S e/VX (2)
h . (1). (2). z> h . Prop
*80-68. Нг^еРдЧк-^.уек.хРу.э.^ОхХуеРд'к
Доказательство.
h.*80-43. z>b:Hp.z>.jc|;ye/Vi';y (1)
h.*24-21. z>h.(K-i'y)ni> = A (2)
h . (1). (2). *80-65 . z> h : Hp . z>.R UxiyеРА1{(к- Су) UСу].
[*51-221] z>./?Ujc|;ye/VK:z>b.Prop
*80-69. h:g ! Рд'(киХ). = .g !Рд'к.д !РД'Х
Доказательство.
:Я!РдЧкиХ).э.Я!Рд'к.Я!Рд'Х (1)
:д!Рд'Х.э.а!Рд'(Х-к):
:Я!Рд'к.Я!Рд'Х.г>.Я!Рд(к.3!Рд'(Х-к) (2)
: Я е Рд' к. S е Рд' (К - к). z>. R 0 5 е Рд' (к U X):
:Я!РдЧ.а!РАЧХ-к).:э.Я!Рд'(киХ) (3)
:Я!Рд'к.д!Рд'Х.э.3!Рд'(киХ) (4)
. Prop
*80-7. Н:а'Рпа'е = Л.ксат.Хса4е.Л/е(Рие)д'(киХ).г>.
М-ееРд'к.М-Реед^
Ь. *80-62.
Ь. *80-6 .
[Fact]
Ь . *80-65.
[*10-11-23]
h.(2).(3).
Ml). (4).
oh
z>b
Z>b
Z>b
z>b
z>b
z>h
Доказательство.
h . *33-33 . *80-14 . z> h :
[*25-491]
h . *22-48 . *24-13 . z> h :
[*80-511-52]
К(1).(2).эКРгор
Hp.
Hp.
.PnQ = A.MaPuQ.
,M-Q = Mf)P.M-P = Mf)Q (1)
,кпсге = л.хпсгр = л.
>Mf)PePAiK.Mf)QeQAl'k (2)
Principia Mathematica I

*80. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ВЫБОРОК
549
ь. *зз-зз.
[*25-493]
Ь. *80-2 .
. oh:
эЬ:
[*22-48. *24-13]
[*80-51]
Нр.
Нр.
1
Э
Э
Э
Э
Э
*80-71. Н:а<Рпа'<2 = Л.М-<2еРд'к.М-Ре<2д'Х.=>.Ме(Ри0дЧкиХ)
Доказательство.
Pf)Q = A.
, М = (М - Р) О (М - 0 (1)
Лса'е.
ЛП(ГР = Л.
.(М-0и(М-Р)е(РО<2)д'(киХ) (2)
Ь . (1). (2). z> h. Prop
*80-72. h :. СГР П d'Q = Л . к с ОТ. I с СГ(?. =>:
М е (Р и £)д'(к и X). = . М - 2 с Рд 'к. М - Р е QA\ [*80-7-71]
*80-73. \-:Q = P\K.R = P\\.z>.PA\KU'k) = (Q\JR)Al(KU'k)
Доказательство.
Ь.*35-412. z>h:Hp. z>. QOR = P \ (киХ).
[*80-23] z> h . (G U Д)д '(к U I) = Рд '(к и I): z> Ь . Prop
*80-731. h:<2 = ^fK./? = PfX.KUXc СГР. э . к = СГ£. X = СГД
Доказательство.
h.*22-59. z>h:Hp. z>. ксСГР. ХсСГР.
[*35-65] z>.K = a'e.X = a'/?:z>h.Prop
*80-732. \-:Q = P\K.R = P\'k.KnX = A.z>.atQr)aiR = A
Доказательство.
К*35-64. z>b:Hp. z>. СГбск. СГД сХ.
[*22-49] z>. СГ£> П СГД с к П Л.
[*24-13] z>. СГ<2 П СГД = Л : э h . Prop
*80-74. h : к П X = Л . M e Рд'(к U X). z>.
MrK = Mf-X = M-PfX.MfX = Mr-K = M-PfK
Доказательство.
Ь.*24-4. z>h:Hp. z>. M \ к = М \ {(kuX)-X}
[*35-31] ={МГ(киХ))Г-Х
[*80-29] =M\-l (1)
b.*80-732. z>h:Hp. z>. СГ(Р Г к) П CT(P |^) = Л .
[*33-33] z>.PfKhPfX = A (2)
K*§0-291. z>h:Hp. z>. MaP \ (kuX) .
[*35-412] z>.MGPfKUPfX (3)
h. (2). (3). *25-491. z>h:Hp. z>. M-P \l = Mf)P \ к
[•35-17] =(МПР)\к
[*80-14. *23-621] =М\к (4)
h.(l).(4). z>h:Hp. z>.M\K = M\-l = M-P\\ (5)
Аналогично h :Hp . z>. M \\ = M \ - к = M-P \к (6)
V . (5). (6). z> h . Prop
*80-75. Н:кПХ = Л.МеРдЧкиХ).1>.М-Р|^ХеРд'к.М-Р^кеРд'Х
[*80-62-74]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

550
ГЛАВА 4. ВЫБОРКИ
.СГД = к.СГМ=ф
.СГ(М-Д) = СГМ-СГД
= ц-к
.М-Де1->Ск
.M-RgP
*80-76. Ь:МеРд'ц.ДеРд'к.ДсМ. z>. М-ДеРд'(ц-к)
Доказательство.
h . *80-14 . z> Ь : Нр . э
h . *80-14 . *72-91. z> h: Нр. z>
[(1)1
К*80-14.*71-22. z>h:Hp. z>
\-. *80-14 . *23-47 . z> h : Нр . z>
h . (2). (3). (4). *80-14 . z> h. Prop
*80-761. h: к П l = A . MeРд'(к U X). R eРд'к. R aM. z>. M - R eРд'X
Доказательство.
K*80-76. z>h:Hp. z>. М-ДеРд'{(киХ)-к}
h.*24-4. z>h:Hp. z>.(kuX)-k = X
h . (1). (2). z> h . Prop
*80-77. ЬгМеРд'^.М-ДеРдЧ^-кЬДсМ.ксц.э.ДеРд'к
Доказательство.
h.*80-76. z>b:Hp. z>. M - (M - R)ePAl{\i-(ii-K)}
K*25-411. z>h:Hp. z>. М = Д О (М-Д)
K*25-21. г>Ь.ДП(М-Д) = А
h . (2). (3). *25-4 . z>h:Hp. z>.M-(M-R)=R
h . *24-411-21-4 . z> h : Hp. z>. \i - (\i - к) = к
h . (1). (4). (5). з h . Prop
*80-771. Ь:кПХ = Л.МеРдЧкиХ).М-ДеРд'Х.Дс:М.э.ДеРд'к,
Доказательство.
h . *24-4 . z> h: Hp . z>. I = (к U X) - к
h . (1). *80-77 . z> h . Prop
*80-78. \-: MeРА'[1. xMy. z>. M-xly ePA'(\i- i'y)
Доказательство.
h.*55-3. z>b:Hp. ^.xlyaM
h.*80-14. z>h:Hp. z>.xPy.
[*80-43] ^.xlyePbi'y
h . (1). (2). *80-76 . z> V. Prop
*80-8. h : g ! Рд'к. э . d'i\PA'к = к
Доказательство.
h . *80-42 . z> h: Нр . э . i'PA 'к = Р [ к
V . (1). *80-2 . *35-65 . э Ь. Prop
*80-81. V: g ! Рд'а. Рд'а = Рд'Р. z>. а = р
Доказательство.
V. *30-37 . э h : Нр. z>. <J'i'PA'а = СГГРд'р.
[*80-8] z>. а = р: z> Y . Prop
(1)
(2)
(3)
(4)
(1)
(2)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(1)
(1)
(2)
(1)
Principia Mathematica I

♦80. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ВЫБОРОК
551
*80-82. Ь : а ф Р. z>. Рд'а П Рд'Р = Л
Доказательство.
Ь . *8044 . z> Ь: R е Рд'а . S е Рд'Р. э . (ГД = а. CTS = р:
[*13-13] z> Ь :. Нр . э : R е Рд'а. S е Рд'Р. z>. (ГД ф CTS .
[*30-37 . *33-121 .Transp] z>.R£S (1)
h. (1). *24-37 . z> h . Prop
Следующее предложение используется в *8084 и в теории двойного
подобия (*111-3).
*80-83. h . (- i'A) \ Рд е 1 -► 1
Доказательство.
Ь . *8012 . *71-166 . z> h . Рд € 1 -► Cls.
[*71-27] z> h . (- i'A) Г Рд € 1 -► Cls (1)
h.*35-l -*5М5-э
|-:Х{(-14Л)ГРд}а.Х{(-1'Л)ГРд}р.
= .Х^Л.ХРда.ХРдр.
[*2Ф54 . *80-13] s . g ! I. X = Рд 'а . X = Рд'Р .
[*80-81] z>.a = P (2)
h . (2). *71-171. z> h . (- i'A) Г Рд € Cls ^ 1 (3)
h.(l).(3).z>h.Prop
*80-84. b:A~ePA"K.z>.PA"KsmK
Доказательство.
h.*51-36. z>b:Hp.z>.PA"Kc-i'A. (1)
[*37-42] э.Рд"к = {(-1'Л) ГРд}"к (2)
Ь . *80-12 . *33-431. z> h. к с СГРд .
[*37-51] г>Н.ксРд"Рд"к (3)
h . (1). *37-2 . z> Ь : Нр . z>. Рд"Рд"к с Рд"(~ i'A)
[*37.4] са'{(-1'Л)ГРд} (4)
Ь . (3). (4). z> Ь : Нр . z>. к с СГ{(- i'A) \ Рд} (5)
h . (5). *80-83 . *73-22 . z> Ь : Нр. z>. {(- i'A) \ РдГкэтк (6)
Ь . (2). (6). z> h. Prop
Следующие три предложения будут полезными при рассмотрении
умножения кардиналов и ординалов (*113 и *172).
*80-9. h :. у ф z. =>: М е Рд *(i'y U Cz) . = . (ди, v) . иРу .vPz. M = ulyUv lz
Доказательство.
h . *80-45-66 . z> h :. Нр . z>: M e РЛСу U i'z) - = -
(sR,S).Rely'r?iy.Selz"~Piz.M = R\JS .
[*38-131. *3248] s . (ды, v) . uPy. vPz. M = и iy и vI z:. => h . Prop
*80-91. h : МеРдЧь'у U i'z) . z>. M = (M'y) |y 0 (M'z) A z
Доказательство.
h . *71-6 . *8044 . z>
h : Hp. z>. M= s'Q {(gw). wet'y U Cz. Q = (MV) I w}
[*51-235] =i'e{e = (M'y)iy.V.G = (M'z)iz]
[*51-232] = i'U'(M'y) ^ и i'(M'z) I z)
[*53-13] = (M'у) А у 0 (M'z) | г: z> h . Prop
A. H. "Уайтхед , Б. Рассел

552
ГЛАВА 4. ВЫБОРКИ
Предложения *80-9-91 могут быть распространены с совершенно
аналогичными доказательствами на любое конечное число переменных у, z, ...
Они будут иногда предполагаться для трех или четырех переменных без
дополнительных доказательств.
*80-92. h : у ф г. z>. D"PA'(i'y U Cz) = | {(а«, v) . иРу. vPz. § = i'h U i'v}
Доказательство,
h. *55-15 . *33-26 . z> h. D'(m i У U v 1 z) = Си U i'v (1)
h . (1). *80-9 . *37-6 . z> Ь :. Hp . z>: § eD'7V(i'y U Cz) . = .
(дм, v, M). uPy. vPz. M = и i y U v 1 г - Ч = Си U i'v.
[*13-19] = . (дм, v). иРу. vPz. \ - Си U i'v:. => Ь . Prop
*80-93. h : д ! PL\Cy U i'z) . = . у, z e d'P [*80-46-69]
*80-94. h: g ! РД'(Р U i'z). = . a ! Рд'Р . z e d\P [*80-46-69]
Из данного предложения, взятого вместе с *80-26 (которое дает
3 ! Рд 'Л), можно получить индуктивное доказательство существования
Рд'Р для любого конечного класса Р, содержащегося в G'P (ср. с *120-611).
PRINCIPIA MATHEMATICA I

*81. ВЫБОРКИ ИЗ МНОГО-ОДНОЗНАЧНЫХ ОТНОШЕНИЙ
553
*81. Выборки из много-однозначных отношений
Краткое содержание *81.
Если Р \ к — много-однозначное отношение, Рд'к обладает рядом
важных свойств, не присущих общему случаю. Во-первых, Рд'к состоит
целиком из одно-однозначных отношений. Во-вторых, если ЛеРд'к, в D'R
содержится по одному, и не более, терму из каждого элемента класса
Р"к. И опять, если ДеРд'к, отношение R вполне определено заданием D'R;
т.е. R,S 6/Vk.D'7? = D'£ .^.R = S. Отсюда вытекает, что Б"Рд'к подобно
Рд'к; следовательно, число элементов Рд'к совпадает с числом способов
выбора по одному элементу из каждого класса, принадлежащего Р"к.
Следует напомнить, что, когда отношение Р \к много-однозначно, ~Р"к является
классом взаимно исключающих классов, т. е. никакие два различных
класса, принадлежащих Р "к, не имеют общих элементов. Это непосредственно
следует из *71-181.
Как уже говорилось во введении к настоящей главе, предложения
данного параграфа, главным образом, рассчитаны на применение к случаю
б, что будет сделано в *84. Наиболее важными предложениями параграфа
являются следующие:
♦81-1. h:PfKeCls->l.z>./VKc:l->l
♦8114. h:PfKeCls^l./?£PA'K.z>./? = (D'/?)1PfK = PhD'JRTK
Это предложение, показывая, что R является функцией от СЛ,
непосредственно приводит к следующему:
«81-21. h: Р \ к € Cls -» 1. z>. D \ Рд'кб 1 -> 1. Б"Рд'к sm Рд'к
Это основное предложение параграфа. Следующее также имеет важное
значение.
«81-22. h : Р \ к е Cls -> 1. z>. D'7>д'к = (i {у е к. эу . ц П~Ру е 1: ц с Р"к}
♦81-1. h: Р \ к е Cls -> 1. z>. Рд 'к с 1 -»1
Доказательство.
(-.♦80-14. z>\-:RePA'K.z>.Rel^>C\s (1)
(-.♦80-291. эНг.ЯеРд'к. z>:RgP\k:
[•71-221] эгРГкеСк-Я.э.ДеСк-П (2)
h . (1). (2). z> h . Prop
«81-11. \-:Р\кеСЫ^>1.РеРА'к.хеВ'Р.=>.Е\Р'х.х(Р\к)&х
Доказательство.
h . *71-165 . *81-1 . Dh:Hp. z>.E!fl'jt. (1)
[♦30-32. ♦31-11] э . xR (R'x).
[♦80-291] *.х(Р\к)&'х (2)
h . (1). (2). z> h . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

554
ГЛАВА 4. ВЫБОРКИ
*8112. h : Р \ к € Cls -> 1. R е Рд 'к. х е DlR. z>.
R'x = (iy) (у е к. хРу) = (к 1 Р)1х
Доказательство.
Ь.*71-361. ^Ь:.Яр^:х(Р\к)Я'х. = .Я'х=[Ст\Р\к)Ух:
[*8Ы1] z>: R'x= {Cnv'(P Г к)Г*
[*35-52] =(к1Р)'д: (1)
[*35-1] =(1У)(уек.хРу) (2)
Ь . (1). (2). z> h . Prop
* 8113. h :.P \к е Cls -> 1.Д е Р д' к. z>:xRy . = .jceD'i?.хРу.уек
Доказательство.
h.*81-12.z>h::Hp. z>:. xeD'R . z>: y = R'x. = .}> = (к1 P)lx:
[♦71-361] z>:xRy. =.х(Р\к)у.
[*35-101] =.хРу.уек (1)
h . (1). *5-32 . z>
Ь :. Hp . z>: jc € D' Д. xRy . = .xeD'R.xPy .уек:
[*33-14 . *4-71] z>: xRy . = .JceD'i?. хРу .у ек:. z> h . Prop
*81 • 14. \-:P\KeC\s^>l.RePAiK.z>.R = (DiR)]P\K = PnDlR/[K
[*81-13 . *35-102-822]
Данное предложение, представляя R как функцию от D'R,
показывает, что элемент из Рд'к с заданной областью определен при условии, что
PfKeCls^l.
*8115. Ь : Р \ к е Cls -> 1. R е Рд'к. у е к. z>. CR'y = D'tf П~Р1у
Доказательство.
Ь.*81-13. h:.Hp. ^ixRy.EEjc.xeD'R.xPy:
[*32-18] z>: xeTl'y. =х . xeD'R .xef'y:
[*20-43 . *22-33] z> :~Й'у = D'tf n~Py:
[*53-31. *7M63 . *80-14] z>: CR'y = D7? П~Р'у:. э h . Prop
*81-2. г :. P \ к € Cls -> 1. tf, 5 e Рд'к. z>: D'R = D'S . = . R = S
Доказательство.
Ь . *30-37 . *33-12 . z>b:fl = S .z>.D7? = D'S (1)
h . *81-14 . *13-12 . z> h :. Hp . z>: D'R = D'S . z>. R=P h D'S T к
[*8Ы4] =5 (2)
г . (1). (2). => h . Prop
«81-21. h:P ficeCls-» 1. z>. D ГРд'ке1-> 1 .D"PA'KsmPA'K
[*81-2 . *71-59 . *73-28]
Это предложение очень важно. Как мы докажем позже, класс Б"Рд'к
при условии Р \ к е Cls —* 1 образован путем взятия всевозможных выборок
по одному терму из каждого элемента Р "к, причем каждая такая
выборка дает один элемент в D"Pa'k. Вытекающий из последнего предложения
тот факт, что при указанной выше гипотезе класс классов Б"Рд'к имеет
то же число термов, что и Рд'к, находит большое применение в теории
кардинального умножения и возведения в степень.
Principia Mathematica I

♦81. ВЫБОРКИ ИЗ МНОГО-ОДНОЗНАЧНЫХ ОТНОШЕНИЙ
555
*81 211. h : Р \ к е Cls -> 1. z>. Б"Рд'к с (1 {у е к. z>y . ц п"?'у е 1: |я с Р"к)
Доказательство.
Ь.*81-15.*52-1 . г>Ь:.Нр.ДеРд'к.|я = В'Я .=>:;уек.1>у.^п1*';уе1:.
[♦10-11-23-35] z>h:.Hp:(a/?)./?ePAtK.n = D^:z>:>eK.z>>,.nn'?'>el:.
[*37-6 . *33-12] z> h :. Нр. цеБ"Рд'к. z> :у ек. z>y . ц Г)~Р'уе 1 (1)
Ь . *80-291. *33-263 . z>
Ь : R е Рд' к. ц = D' R. z>. ц с D' (Р f' к).
[*37-401] э.цсГк:
[*10-11-23-35] эЬ:(аД).ДеРд'к.^ = В'Д.г>.р1сР''к:
[*37-6 . *33-12] z> Ь : |яеБ"Рд'к. э .цсГк (2)
Ь . (1). (2). z> Ь . Prop
*81-212. h :. у е к. z>y . |я Г)~Р'у е 1: |я с Р"к: z>. \i е Б"Рд'к. ц 1 Р Г к е Рд'к
Доказательство.
Ь . *35-442 . *37-402 . z>
Н:/? = |я1РГк.г>./?сР.а'/? = кПР"ц.В'/? = цПР"к (1)
Ь . *52-16 . z> Ь :. Нр. z>: у е к. z>y . g I V n"?'y.
[*37-46 . *32-241] z>y .у бР"|я :
[*22-1] э:ксР"|я (2)
Ь . (1). (2). *22-621. z> Ь : Нр. R = |я 1 Р \ к. z>. R аР. СГД = к. D'fl = |я (3)
Ь . *32-18 . *35-102 . z> Ь :. Нр (3). z>: у е к. z>y .~Йу = ц п~?'у.
[Нр] эу .jfye 1:
[*37-702] d:^"kc1:
[(3).*71-1] z>:tfel->Cls (4)
h . (3). (4). *80-14 . z> h : Hp. z>. \i ] P \ к eРд'к. Б'(|я 1 P \ к) = |я. (5)
[*37-6] г>.|яеБ4'Рд'к (6)
h . (5). (6). z> h . Prop
*81-22. h : P \ к e Cls -> 1. z>. D"Pa'k = jl {у е к. z>y . [я П~Р'у е 1: [я с Р"к}
[♦81-211-212]
«81-221. Н:РГкеС18^1.г>.Рд'к = 1(РГк)"В4'Рд'к
Доказательство.
Ь . *81-14 . *37-62 . z>
Ь :. Hp . z>: R е Рд'к .z>R.R = (DlR) ] Р \ к. D7? е Б"Рд'к.
[*10-24] =>л.(ЗИ)-^ = 1^1 ^Г к. |яеБ"Рд 'к.
[*38-131] =>*.Дб1 (РГк)"Б"Рд'к (1)
Ь . *81-22-212 . z> h :. Нр . z>: [я еБ"Рд'к. эц . [я 1 Р f кеРд'к :
[♦37-61] z>: 1 (Р Г к)"Б"Рд'к с Рд'к (2)
Ь . (1). (2). z> Ь . Prop
*81-23. h: Р \ к € Cls -> 1. R е Рд'к. у е к. z>. Б'Д -"?> = D7? - i'/?'>
Доказательство.
h . *22-93 . z> Ь. D7? -^'j = Б'Д - (D'/? п"?ву) (1)
h . «81-15 . z> Ь: Нр. z>. D7? - (D'R П~?'у) = D'^ - l'/?'j (2)
h . (1). (2). z> h . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

556 ГЛАВА 4. ВЫБОРКИ
*81-24. \-:P\KeCls^>l.\ieD"PbK.yeK.^>.vL-'~PiyeDiiPAi(K-iiy)
Доказательство.
\-.*80-78.=>\-:КеРА1к.уек.=>.11-(11'у)1уеРА\к-Су).
[*37-62 . *33-12] z>. Dl{R - (R'y)iy) eD'TV(к - Су) (1)
Ь. *81-1 . *80-14 . z>
P\KeCls^>l.RePbK.yeK. z> .Re 1 -> 1 .yeQ'R.
[*72-911. *71-31. *55-3] z>. D'{R - (R'y) iy} = DlR - CR'y
[*81-23] =В^-~Р1у (2)
h . (1). (2). z> h : Hp (2). D'R = ц. z>. ц -~?'y e D"PA\к - Су) (З)
h. (3). *1041-23-35 . *37-6 . *3342 . z> h . Prop
*81-25. h:у ек. хРу. цеБ"Рд'(к- Су). z>. ци СхеБ"Рд'к
Доказательство.
V . *80-68 . z> h:у ек.хРу. Д еРд'(к- Су) .z> .RUxlyeP^K.
[*37-62] z>.D'(*Uja;y)eD'7VK.
[*33-26 . *55-15] z>. D7? и i'jc e Б"РД'к (1)
Н.(1).г>Ь:>ек.д:Ру.ДеРдЧк-1'у).ц = В'Д.э.|яи1'д:еВ"Рд'к (2)
h . (2). *10-11-23-35 . *37-6 . z> h. Prop
*81-26. hz.P\KeC\s-+l.yeK.\Ln'P'yel.z>i
^-'?>eDttPA4K-L». = .|ieD't/>A<K
Доказательство.
Ь . *81-24 . z> h :. Нр . z>: \i еБ"Рд'к. z>. |i -~?';y еБ'\Рд'(к -i» (1)
h . *81-25 . z> h :. Hp. z>: [я П~?'у = Cx.\i-~?'y eD'7V(k- Cy) . z>.
(H-7*';y)Ui'jteD'7VK (2)
h . *22-551 . z> h : \i С)~Р'у = Cx. z>. (ц -?';y) U i'jc = (ц -"?'}>) U (|я п"?'>)
[*24-41] = [я (З)
Ь.*52-1 . z>b:Hp.z>.(gjt).^n"?';y = i'jt (4)
h. (2). (3). (4). э h :. Hp . z>: \i -"?'>>еБ"Рд'(к- i». z>. цеБ'\Рд'к (5)
h.(l).(5).z>h.Prop
*81-3. h:.PfKeCls^l.X="?"K.z>.D"PA'K = (l{aeX.z>a.^nael:|iC5'M
Доказательство.
h.*37-706 . z>\-:.yeK.z>y.[in~Plyel: = : ае"?"к. z>a . цПае 1 (1)
h.*40-5. э^фс"?"к. = .цс^"к (2)
b.(l).(2).*81-22.z>
h: P \ к e Cls -> 1. z>. Б"Рд'к = (1 {а е~?"к. z>a . ц n a e 1: ц с ^"к} (3)
h. (3). *13-12 . z> h . Prop
«81-31. h:PfK,erK€Cls^l.^"K='2"K.3:D"PA'K = DtteA'K
Доказательство.
h.*81-3 .z>h:Hp.3.D"PA'K = £i{ae"2"K. z>a .цПае1: |яс.у'"2"к}
[*81-3] = D"6a'k : z> h . Prop
PR1NCIPIA MATHEMATICA I

*82. ВЫБОРКИ ИЗ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ
557
*82. Выборки из относительных произведений
Краткое содержание *82.
Предложения настоящего параграфа редко используются, за
исключением их применения к закону ассоциативности для кардинального
умножения; однако они представляют определенный собственный интерес. В
этом параграфе мы докажем, что при соответствующем предположении
(^IG)a'^ получается из Рд'б"Х умножением каждого элемента на Q, т.е.
*82-272. h:(2r^el^l.XeD4G)e.=>.(/>IG)A^ = ie"/?A'e'^
Также при соответствующем предположении области (Р|0д'Х
совпадают с областями Pb'Q'% т.е.
*8232. h:Q fXel^l .Xca'G-=>.D"(^ie)A^ = D"^A'e'^
В приложениях предложений настоящего параграфа в *85, Р и Q
заменяются на б и б- В силу *62-26, e\Q = Q; в результате мы получаем связь
между 2Д'Х и ед'"(3"Х.
*82-2. \-:МеРА'к.Ме()ьЧ. G'^ck. z>. M|7Ve(P| 0Д'Х
Доказательство.
K*80-14.
[*71-25]
h. *80-14.
[*34-34]
К*80-14.
[*37-32]
К*80-14.
[♦37-201-25]
[HP]
[♦37-271]
h.(3).(4).
(5).
z>h:Hp. z>.M,AT€l->Cls.
z>.M|Wel->Cls
z>h:Hp. z>.MgP.NclQ.
z>.M\NclP\Q
z> h : Hp . z>. СГМ = к.
z>.at(M|A0 = Ar"K
z>h:Hp. z>.ATGG.a'^V = X.
z>.Ntt'kc:Qii'k.Nitl = DtN.
d.DWck.
DjuK=aw
. z>h:Hp. z>.Q'(M|A0 = X
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
h . (1). (2). (6). *80-14 . э h. Prop
*82-2i. Н:егхе1-*с18.хса4е.=>-ед^=^ег^
Доказательство.
h.*80-29M4. z>h:.Hp.z>:/?eGA^- z>.R<lQ\\.(1'R = \.
[*72-92] э.д = (бгщсгд.(гд = х.
[*35-3i] z>./?=er^ (i)
h . *35-441-65 . z> h : Hp. z>. Q \ X e 1 -> Cls . G f X с G • CP(G t *•) = *■ •
[*80-14] z>.Gt^eGA^ (2)
h.(l).(2).*51-141.z>h.Prop
A. H. "Уайтхед, Б. Рассел

558
ГЛАВА 4. ВЫБОРКИ
э.сг(м|е)=£"к.
э. СГ(М | Q) = X.
э.м|е=мкег^)-
3.M|Gel^Cls
o.Mie<iPie
(1)
(2)
(3)
*82-22. Ь : Q \le 1 -> Cls. Х= G"k. МеРд'к. z>. М\ Qe(P\ 0д'Х
Доказательство.
Ь . *80-14 . *37-32 . z>h:Hp.
[Нр]
[*35-452-23]
[*71-25 . *80-14]
Ь.*34-34.*80-14. z>h:Hp.
h . (1). (2). (3). *80-14 . z> h . Prop
*82-221. YiQ\\e\^C\s.\<zaiQ.MePt,iQli\^.M\Q\\e{P\Q)^'k
Доказательство.
h . *71-25 . *80-14 . z>h:Hp. z>. M\ Q \Xe 1 -> Cls (1)
b.*34-34.*80-14. z>h:Hp. z> .M\ Q \laP\ Q (2)
Ь. *37-32 . *35-64 . *80-14 . z>h:Hp. z>. CT(M | Q \ X) = ln £>"G"^
[*37-51. *22-621] =X (3)
h. (1). (2). (3). z> h . Prop
*82 23. b:Q\lel^l.K = Q"l.Re(P\Q)bl'k.z>.R\QePAtK
Доказательство.
Ь.*80-14. z>h:Hp. z>.CI7? = X. (1)
[*3548] z>.R\Q = R\(k]Q)
[*35-51] =R\CnvXQ\l). (2)
[*71-25] z>./?|Gel->Cls (3)
h . *37-32 . z> h : Hp . z>. d\R \ Q) = Q^d'R
[(1)] =G"X
[Нр] =к (4)
h.*80-291. z>h:Hp. z>.Rg(P\Q) \\.
[*35-23] z>.RgP\(Q\\).
[*34-34] z>. Д | Cnv'(G Г X) GP | G Г ^-1 Cnv'(G Г X).
[(2). *72-59] z>. R | G GP Г D'(G Г X) -
[*35-441] z>./?|Gc:P (5)
h. (3). (4). (5). *80-14 . z> h . Prop
«82-231. b:Q\\el^l.Re(P\Q)btl.z>.R\QePbiQ"l.R = R\Q\Q\'k
Доказательство.
h . *80-14 . z> h : Hp. z>. СГД = X. (1)
[*74-41] z>.R\Q = R\l]Q
[*35-51] =R\Cnvi(Q\l).
[*34-27] ^>.R\Q\Q\l = R\Cnv\Q\l)\Q\l
[*72-591] =R\di(QW (2)
b.*80-2. z>h:Hp. z>. Xcd'(P| G) •
[*34-36] z>.Xcd'G.
[*35-65] z>.a4Gf^ = ^.
[(1). *74-221] z>. R \ d'(G \X) = R (3)
h.(2).(3). z>h:Hp. z>./?=/?|GIG^ (4)
h . (4). *82-23 . z> h - Prop
PRINCIPIA MATHEMATICA I

*82. ВЫБОРКИ ИЗ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ 559
«82-24. \-:Q\'kel^>l.Kc:DiQ.'k = QiiK.Re(P\Q)Ai'k.=>.
K=et^.^iee/?AtK.JR=JRi^ie
Доказательство.
h. «74-16. =>h:Hp. э.к=2"Х. (1)
[*82-23] =>.Д|ее^д'к. (2)
[*80-14] э-а*(Л|б) = к.
[Hp] э.Й'ЧГ(Л|б) = Х.
[*74-4] э.Л|Й1еГ^ = Л|б1(2.
[«82-231] z>.P = P|eiG (3)
Ь. (1). (2). (3). э Ь . Prop
«82-241. \-:Q\\6l^>l.'keDi(Q)€.Re(P\Q)Ai'k.^.R = R\U\Q
Доказательство.
Ь. «74-31. эЬ:Нр. э.Х=б"б"Л.
[*8o-i4] = й"е'чгд
[*37-32] =б"СГ(Д|б).
[*74-4] э.Л|(51еГ^ = Л1Й1(2 (1)
h . (1). «82-231. => Ь. Prop
«82-25. Н:еГ^е1^1.ксВ4е.^ = е"к./?€(Р|2)д'Х.э.
(zM).MePb'K.R = M\Q [«82-24. «10-24]
«82-251. biQ\\el^l.Re(P\Q)All.^.('zM).MePbiQii'k.R = M\Q\'k
[«82-231. *10-24]
«82-26. h :. Q \ Xe 1 -> 1 .kcD'j2 . X= £>"k . =>:
R € (P I Q)a**■ - = - (gM) . M e PA'к. P = M | б [«82-22-25]
*82-26i. hr.etxei^i.xca'e-^"-
^е(Р|е)д(х. = .(Ям).МбРд(е4(х.р=м|(2г^
[♦82-221-251]
«82-27. h:er^el^l.KcDte-^ = ettK.3.(P|G)AtX = |ett/?AtK
[«82-26 . «43-121. «37-6]
«82-271. YiQ\\e\^\.\c CTQ . =>. (P | Q)A "k = | (Q f X)"PA'G"b
[«82-261. «43-121. «37-6]
«82-272. h : Q \Xe 1 -> 1 . X€D'(6)e - => - (P| G)a^= I Q"P*Q"b
Доказательство.
h . «37-23 . => h : Hp . =>. (an)- b = G"H •
[«37-261] =>. (an) • *■ = б"(М-П D'G) -
[*22-43] =>.(эк).Х=£>"к.ксБ'е (1)
Ь . «82-27 . «74-16 . =>
h:Gr^el->l.KcD(e.X=^tK.3.(P|G)A^ = IGtt/>Atet^ (2)
h . (1). (2). «10-11-23-35 . => Ь. Prop
«82-28. h:.Kl Qe 1 -► 1 .Xcd'G.K = Q"\. э :
Pe(P|0A'^=MaAf).M6PA'K.P = M|G
[«82-26. «74-26]
«82-29. h:KlQ€l-»l.Xc d'G . к = £' 'X. э . (P | Q)A "к = | Q'TV к
[«82-27. «74-26]
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

560
ГЛАВА 4. ВЫБОРКИ
•82-291. Ь : к1 Qe 1 -► 1. KeD'Qe .=>•(/> I 0д'<2"к = | Q^P^k
[Доказательство аналогично *82-272]
•82 3. V\MePbQ"\.^.1D\M\Q\'k) = 1DiM
Доказательство.
h . «80-14 - эН:Нр. =>.СГМ=е"^-
[•74-42] =>. D'(M | Q \ X) = D'M: => Ь. Prop
•82-31. Ь:Д€(Р|е)д'Х.э.Б'(Д|0 = В'Я
Доказательство.
h.*80-14-2. =>Ь:Нр. => .СГД = X.Xcd'(f \ Q).
[•34-36] э.СГДсСГе.
[•37-321] =>. D'(R | Q) = D'fl : => h . Prop
•82 32. h:Gr^el^l.Xca'e.z>.D"(/?l0A^ = D"PA'e"X
Доказательство.
h . *82-271 . э
h:.Up.*zD"(P\Q)b'\ = D"\(Q\\Y'PA'Q"U
[•37-67] z>:a€D"(P|<2)A'X. = • (a**) • МеРд'<2"Х. a = D'(M| Q \X).
[•82-3] =>. (gM). Me Рд'£"X. a = D'M.
[•37-6] э.аеБ'Тд'е'^ (1)
Ь. *82-3-221. z>h:.Hp. z>:Me/VG"k. z> .D'M = D'(M| Q \ X).
мкег*.)€(Р|е)д'ь.
[•37-62] =>. D'Me D"(P I Q)a^ :
[•37-61] э : D"/V6"Xс D"(P1 0д'Х (2)
h . (1). (2). э h . Prop
•82 33. h : к 1 Qe 1 -> 1. ке D'<2e. э . D"(P| 0)^£>"к = Б"Рд'к
Доказательство.
h . *37-23-26 . э h : к e D'ge. =>. (gX). X с Q'Q. к = £"X (1)
h . *74-26 . э
h:Kl eel^l.Xca'e-K=e"X.z>.efX€l->l.KcD'e.X=G"K. (2)
[•82-32] =>.Dt'(/?ie)A'X = D"PA'e"X.
[(2).Hp(2)] 3.D''(P|<2VG''k = D''/Vk (3)
К(3).*10-11-23-35.э
h:.Kieel-^l:(gX).Xca'G.K=G'^:=>.Dt'(/?ie)At6"K = D'TA'K (4)
h . (1). (4). z> h . Prop
Следующие предложения (*82-4-41-411-42) суть леммы для предложения
•82-43, используемого в теории кардинального умножения в доказательстве
•114-5.
•82-4. Ь : Т е 1 -► Cls . Р"Х саТ.э.Г Г'Рд'Х с (Г | Р)д'Х
Доказательство.
К*80-14.*71-25. эг-:Нр.Р€Рд4Х.э.Г|/?€1^С1з (1)
Ь . *80-14 . *34-34 . эг-:Нр.Р€Рд'Х.=>.Г|РеГ|Р (2)
Ь. *80-33 . э Ь: Нр .ReP^l .d.D'/?c ОТ.
[•37-322] ^.a\T\R) = aiR.
[•80-14] э.(Г(ЛД) = Ь (3)
Ь . (1). (2). (3) . *80-14 . => h :. Нр . => :ReP^X. z>. T \Re(T | Р)д'Х:. z> Ь . Prop
PRINCIPIA MATHEMATICA I

*82. ВЫБОРКИ ИЗ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ
561
*82-41. Ь : Т е Cls -► 1. М е (Т | Р)д'X. =>. f \ М е РА"к. М = Т \ t \ M
Доказательство.
Ь . *8(И4 . *71-25 . z>b:Hp. z>.f |M€l->Cls (l)
h . *80-14 . *34-34 . =>h:Hp. z>. f \ M cf \ T\P.
[*71-191. *34-2] cP (2)
K*80-14.*34-36. =>h:Hp. d.D'McDT.
[*37-322] =>. Q\f | M) = СГМ.
[*80-14] э.а'(Г|М) = Х (3)
К(1).(2).(3).*80-14.эЬ.Ргор
*82-411. h : T e Cls -► 1. э . (T | Р)Д'Х с Т |"Рд'Х [*82-41]
*82-42. h : Т е 1 -► 1. Р"Хс СГГ. э . (Г | Р)Д'Х = Г |"РД'Х [*82-4-411]
*82 43. h : Г, Q \ X е 1 -► 1. Р''X с СГГ . X с СГG - к = Q^X. z>.
(7,|РГ^1Й)дск = (Г||(2Г/,АвХ
Доказательство.
Ь . *82-27^ . э Ь : ge 1 -► 1. XcD'6-к=Й"Х. э . (Р\ 0д'к = | б"Рд4Х (1)
К, А.
h.(l)-^. z>h:j2rX.el^l.X.cD'(^10-K = (Gr^)"^.=>.
(P|4GVk=|(M<3)"/VX (2)
h. (2). *35-61-354 . *37-412 . *43-481. *80-14 . э
\-:Q\le\^>l.'k<z(l'Q.K = Q"'k.z>.(P\,k\Q)AiK=\Q"Pbi), (3)
•■■(З)^-- эН:(2ГХ.б1-»1.Хса'С.к=(2"Х.э.
(ПРГМ&д'кЧё'ЧЛ/Чд'Х (4)
Ь. (4). *82-42 . э Ь : Нр . э. (Г | Р \X| б)д'к = | Й'ТГ'Рд'Х.
[*43-202 . *37-33] = (Г || б)"Рд'Х,: э Ь. Prop
*82-45. h:ef>.el-»l.X.c CTQ • => • (РI GV^sm /YG">-
Доказательство.
h. *8014 . *3715 . => h :RePb'Q"\. =>л . d'tf = G"k • G'^c D'Q.
[*1415] z^.CTflcD'G:
[*74-72] эЬ : Нр. о. | (Q rX)"/VG"ksm/VG"X.
[*82-271] =>.(P| GV*.smРд'С'Х:dKProp
*82-5. h:PfG"^eCls-»l.Gr^el^l-^ca'G.3.
(P| e)AlbmD"PA'j2"X [*82-45 . *81-21]
*82-51. htPtKeCls^l.Kl Qe I -► 1 .XcCTQ.k: = Q"\.z>.
(P\ Qk'XsmD"PA'K [*82-5 . *74-251]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

562
ГЛАВА 4. ВЫБОРКИ
*82-52. h : Р \кеCls-► 1 . к1 Qe 1 -► 1. KeDlQ€. э . (Р | 0A'£>"KsmD"PA'K
Доказательство.
Ь.*37-23. эЬгНр.э.СдцЬк^б"** (1)
Ь . *37-26 . *22-43 . =>
\-:K=Qti\L.'k = \inaiQ.z>.K=Qti'k.'k<zatQ (2)
Ь . *74-161 . э h : Нр . к = (Г'Х. Xс CTQ. z>. X = <2"к.
[♦82-51] z>.(P|GV£"KsmD"PA'K:
[♦НИ1-23-35] э h :. Нр : к = £"Х. X с d'e: э . (Р | 0д'б"к smD"PA'K (3)
Ь . (1). (2). э Ь : Нр . z>. (gX) . к = G''*. X с O'Q (4)
h . (3). (4). э h . Prop
*82-53. Н:РГк,7?Гк€С18^1.к1ее1^1.кеВ4е6."?4'к=^44к.э.
(/Ч0д'ё"к8т(Л|0д*Й"к.
D'4P|0a'£''k = D''(P|0a'G''k =
(1{а€1^"к.эа .(ifiael ificT'K)
= D"Pa'k = D"Pa'k
Доказательство,
h . *82-52 . => Ь : Hp. э . (P | Q)A'g"KsmD"PA'K.
[*81-31] э . (P| Q)A'6"KsmD'7?A'K.
[*82-52 . *73-32] э . (Р| <2)A'£"Ksm(P| 0д'£"к (1)
h. *82-33 . э h : Нр. э . D"tf4 G)a'6"k = D'TVk (2)
[*81-31] = D"Pa'k (3)
[*81-3 . *40-5] = Q,{ae~?"K.z>a.\inael:\icP"K} (4)
h . *82-33 . э h : Hp . z>. D"(P I G)a'6"k = D"Pa'k (5)
K(l).(2).(3).(4).(5).z>KProp
PRINCIP1A MATHEMATICA I

♦83. ВЫБОРКИ ИЗ КЛАССОВ КЛАССОВ
563
*83. Выборки из классов классов
Краткое содержание *83.
В настоящем параграфе общие предложения, доказанные для Рд'к,
применяются к важнейшему частному случаю, когда отношением Р является е.
В этом случае мы приходим к выборкам из классов классов: если Деед'к,
то R выбирает одного представителя R'а из каждого класса а,
принадлежащего к; т. е.
аек.Зц .R'aea.
Предложения данного параграфа следуют из соответствующих
предложений предыдущего параграфа либо непосредственно, при помощи
подстановки € вместо Р, либо с использованием предложений *62, особенно
-£'a = a (*62-2) и €"k=s'k (*62-3).
Порядок предложений параграфа в основном повторяет порядок
параграфа *80 с подстановкой € вместо Р (исключая предложения
специального вида до *80-2, которые здесь не приводятся). Сначала мы приводим
предложения, непосредственно вытекающие из самых первых предложений
параграфа *80. Чаще всего из них используются следующие.
«83-11. Н:Лек.=>.ед'к = Л
Следствием данного предложения является то, что арифметическое
произведение равно нулю, если один из его сомножителей равен нулю.
(Обратное в общем случае мы не можем доказать, не привлекая аксиому
умножения) .
*8315. Кед'Л = 1'Л
Таким образом, бд'Л является единичным классом. Отсюда выводится
предложение И-°=1, где ц — кардинал (см. замечание к *83-15).
*83-2. h :. R е ед 'к. =>: a € к. = . Е ! Д'а. = . Д'а € а
Здесь R'а — "представитель" а.
«83-21. h : R ееА'к. =>. Б'Д с s'k
Далее идут предложения (*83-4— 44) о выборках из единичных классов
и классов единичных классов. Мы имеем
«83-41. h .ед'1'asma
Следствием является предложение, что произведение из одного
сомножителя равно этому сомножителю.
*83-43. h : к с 1. э . €д'к = i'(t Г к) = t'(e \ к)
Отсюда вытекает
*83-44. Ь:кс1 ,=>.ед'к€1
а это, в свою очередь, приводит к тому, что произведение сомножителей,
каждый из которых есть единица, равно единице. Причем это имеет место,
даже если число сомножителей бесконечно или равно нулю.
Далее идут предложения (*83-5— 58) о замене представителя класса и о
выборках из класса классов, некоторые из которых являются единичными
классами. Эти предложения редко цитируются в последующем.
Далее (*83-6— 74) идут предложения об областях выборок, т. е. о классе
Б"ед'к.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

564
ГЛАВА 4. ВЫБОРКИ
*83-66. Ь : g ! ед'к. =>. s'D"eA'K= s'k
(Гипотезой здесь нельзя пренебречь, если только мы не допускаем
аксиому умножения).
*83-7. b.D"eA'i'a = i"a
*83-71. Ь . Б"едЧ"а = i'a. D'a 1 i = a
Далее идут два предложения (*83-8-81) о типах ед'к и Б"ед'к. Тип
D "ед'к —тот же самый, что и тип к (*83-81).
Последние предложения параграфа (*83-9— 904) относятся к
существованию выборок.
*83-9. Ь.д!ед'Л
*83-901. h:g !eA'i'a. = .g !а
*83-904. h:g !бА'(ки i'|3). = .g !ед'к.д !|3
Из этих предложений мы выведем посредством математической
индукции, что, для всякого конечного класса к, ед'к существует, кроме случая
Лек (см. *120-62). Таким образом, произведение, состоящее из конечного
числа сомножителей (которые сами могут быть конечными или
бесконечными), обращается в нуль только тогда, когда обращается в нуль один из
сомножителей.
*831. h:g ! ед'к. э . Л~ек
Доказательство.
Ь.*80-2. эЬ:Нр. э.ксО'е.
[*62-231] =>. Л ~ е к: => Ь . Prop
*8311. Ь:Лек.=>.ед'к = Л [*83-1 .Transp]
*8312. Кед'к = (е|к)д'к [*80-23]
*8313. Ь:Л~ек.<2 = еГк.э.ед'к = £>д'd'2 [*80-24 . *62-231]
*83 14. Ь : g ! ед'к. <2 = е Г к. z>. ед'к = Qa'WQ [*83-l-13]
*8315. Ь.ед'Л = 1'Л [*80-26]
В силу данного предложения, произведение 0 кардинальных чисел
равно 1; а это арифметическое предложение (вывод которого приводится
ниже) имеет хорошо известный частный случай: \i° = 1. Мы определим
произведение чисел элементов к как число элементов ед'к. Тогда при к = Л
число элементов ед'к есть произведение 0 сомножителей. Согласно
предложению *83-15, ед'Л содержит один элемент, а именно Л. Следовательно,
произведение 0 сомножителей равно 1.
*8316. Ь:д !к.=>.Л~еед'к [*80-28]
*83 2. h :. R е ед'к. =>: а е к. = . Е ! Д'а. = . Д'а е а [*80-32 . *62-2]
*83 21. НгДеед'к.э.В'Дсу'к [*80-33 . *62-3]
*83 22. Ь : R е ед 'к. z>. Е !! Д''к. Д "к = D'R [*80-34]
*83 23. Ь:Деед'к.э.В'Д = *{(да).аек.д: = Д'а} [*80-35]
*83-24. Ь:Деед'к.аек.хеа.э Л{Д-(Д'аНа}Од:|а]еед'к [*80-41]
*83-25. h : g ! ед 'к. э . i'eA 'к = е \ к [*80-42]
*83-26. \-:Q = e\K.R ! £д'к. z>. slQAlK= Q [*83-12-25]
PRINCIPIA MATHEMATICA I

*83. ВЫБОРКИ ИЗ КЛАССОВ КЛАССОВ
565
*83-27. Ь :. R ее. R е 1 -► Cls . = : а € СГД. эа . Д'а € а [*62-45 . *71-16]
*83-271. Ь:.ДебДЧ1^. = :а€(ГД.г>а.Д'а€а [*83-27 . *80-14]
*83-28. Ь :. R е еА'к. = . а € к. z>a . Д'а е а: СГД = к
[*83-27 . *80-14 . *14-15]
*83 29. Ь :.Rеед'к. = . аек. =а .Д'аеа: СГД = к [*83-2-28]
*83 3. Н:.кпХ=Л.=>:Мб€д'(киХ). = .
(аД,5).Деед'к.5€€д'Х.М = Ди5 [*80-66]
*83-31. Ь :. к П X = Л . =>. R е ед'к. S е ед 'X. = .
(дМ) . М е €Д '(к U X). R = М \ к. S = М f X [*80-67]
*83-4. Ь . едЧ'а = | а"а [*80-45 . *62-2]
*83-41. Ь . €ДЧ'аsmа [*83-4 . *73-611]
В силу данного предложения, кардинальное произведение одного
сомножителя равно этому сомножителю. Ибо число элементов едЧ'а есть
произведение чисел элементов элементов i'a, т. е. произведение, единственным
сомножителем которого является число элементов а. Согласно последнему
предложению, это произведение равно числу элементов а.
*83 42. Ь . едЧ"а = i'(a ] Т) = i'(i \ i"a)
Доказательство.
Ь . *83-12 . z> Ь. ед Y'a = (е \ i"a)A4"a
[*62-56] =Cifi"a)AV'a (1)
Ь . *72-181 . *71-26 . => h . i \ i"a € 1 -► Cls (2)
h.*37-15.*33-21. z>b.i"ac<Ti.
[*35-65] z>h.i"a = a'(Lfi"a) (3)
h . (2). (3). *82-21 . z> h . (i \ i"a)A Y'a = i'{(i \ i"a) \ i"a}
[*35-31] =1'(ьГ1"а) (4)
[*62-56] =i'(a1i) (5)
b.(l).(4).(5).z>KProp
В силу данного предложения кардинальное произведение, все
сомножители которого суть 1, равно 1. Ибо i"a есть класс, все элементы
которого—единичные классы, и поэтому число элементов в €дЧ"а равно
произведению 1; согласно последнему предложению, €дЧ"а —единичный
класс с единственным элементом a 1 i. Более явно этот результат
излагается в *83-43-44.
*83 43. Ь : к с 1. z>. ед 'к = i'(i \ к) = i\e \ к)
Доказательство.
Ь . *83-42 . z> Ь : к = i"a. э . ед'к = i'(i \ к) (1)
Ь.(1).*10-11-23.=>
f-:(ga).K = i"a.=> . eA'K=i'(i f к):
[*52-31] z> h : к с 1. z>. €Д 'к = i'(i \ к)
[*62-55] = i'(e \ к): z> h . Prop
*83-44. Ь : к с 1. z>. ед 'к е 1 [*83-43 . *52-22]
A.H. "Уайтхед, Б. Рассел

566
ГЛАВА 4. ВЫБОРКИ
*83-5. Н:Д€€д'к.а~€К.х€а.э.ДО;с|а€ед'(ки L'a)
Доказательство.
Ь.*80-43. z>b:Hp.z>.jc|ae€A'i'a (1)
Ь . *51-211 . э Ь : Нр . =>. к П i'a = Л (2)
h . (1). (2). *80-65 .=>!-. Prop
Из данного предложения следует, что если к —класс классов, для
которого существуют выборки, и к нему добавляется один (непустой) элемент,
то для получившегося в результате класса классов по-прежнему
существуют выборки.
*83-51. Ь:Д€€д^.а€К.э.Д-(ДЧх)|а€€дЧк--1'а) [*8078]
*83-52. Ь:Д€€Д'к.абК.л;еа.=>.{Д- (Д'а) I а} 0 х | а € ед 'к [*80-41]
*83-54. 1-:кпХ = Л.Хс1./г€€д'к.э./гиГГХ€€дв(киХ)
Доказательство.
Ь.*80-65. =>Н:.Нр.=>:5€€д4Х.=>.7?и5€€дЧкиХ) (1)
Ь . *83-43 . э Ь : Нр . э Л \\ееА"к (2)
Ь . (1). (2). z> h . Prop
*83-55. Н:кПХ = Л.Хс1.5е€дЧкиХ).э.5-Г^€€д4к
Доказательство.
Ь.*80-66. z>h:Hp. =>.(ЯМ,Л0.М€€д'к.//€€д4Х.5=МО//.
[*83-43 . *51-15] =>.(дЛ/).М€€Д'к.5=Ми1ГХ (1)
Ь . *80-14 . *35-64 . эЬ:.Нр. э:Меед'к. э .(I'M nO'(i \\) = A.
[*33-33] =>.МПЦХ = Л.
[*25-4] ^.(MUl\'k)-l\'k = M.
[*13-12] ^:MeebiK.S=MOl\'k.^.S -XlXee^K (2)
Ь.(2).*10-11-21-23.э
Н:.Нр.э:(аМ).М€€д4к.5=Ми1ГХ.э.5-1ГХ€€д4к (3)
Ь.(1).(3).эЬ.Ргор
*83-56. Н:кПХ = Л.Хс1.э.€д4(киХ) = М{(а/?)./?€€д4к.М = /?и1ГМ
Доказательство.
h . *80-бб . => Ь :. Нр . =>:
М€€дЧкиХ). = .(аЛ,5)./?€€д4к.5бед4Х.М = 7?и5: .
[*83-43] =.(а^)./?€€д'к.М = 7?иГГХ:.=>[-.Ргор
Следующее предложение используется в теории кардинального
умножения (*114-41).
*83-57. h :кпХ = Л.Хс 1 .=> .€д'(киХ)8П1бд'к
Доказательство.
Ь . *83-56 . *38-131 . э h: Нр . э . ед'(к U X) = (011 Х)"еА'к (1)
Ь . *80-14 . *35-64 . эЬ:Нр.Д€€Д'к. э . СГДП<Т(1 \\) = А .
PRINCIPIA MATHEMATICA I

*83. ВЫБОРКИ ИЗ КЛАССОВ КЛАССОВ
567
[*33-33] =>.ДПЦХ = А.
[*25-4] z>.R = {ROX\'k)-l\\ (2)
Ь . (2). *23-481. *13*172 . =>
\-:Up.R,S eeAiK.RGl\\ = S Olll.z>.R = S :
[Exp . *1М1-3 . *38-ll] => h :. Hp . =>:
R,S eeAiK.(pl\'kyR=(OX\'kyS . ^R,S.R = S:
[♦38-12 . *73-25] => : (U i \X)"eA'Ksm€A'K (3)
h . (1). (3). э h . Prop
*83-58. h.€A'Ksm€A'(K-l)
Доказательство.
h . *24-41-21. *22-43 . =>
э1-.к = (к-1)и(кП1).(к-1)П(кП1) = Л.кП1с1 (1)
h . (1). *83-57 . э h . Prop
Данное предложение показывает, что в произведении любого числа
сомножителей каждый множитель, равный 1, может быть опущен без
изменения значения произведения.
Следующие предложения, до *83-74, относятся к областям выбирающих
отношений, т. е. к классам представителей.
*83-6. Ь:Д€ед'к.аек.э.а !аПБ'Д
Доказательство.
Ь.*83-2 . =>h:Hp. гэ.Д'аеа.
[*33-43] э.Д'аеаПБ'Д.
[*10-24] =>. g ! а П D\R : => Ь . Prop
*83-61. Ь:/?€€д'к.абК.аП s\k - t'a) = A.D.adD'i? = ь'Д'а
Доказательство.
h . *40-27 . э h :. а П s\k - t'a) = Л . = : P e к - t'a . =>p . a П P = Л :
[Transp.*51-15] =:Рек.д !апр.=>р.р = а (1)
Ь.*83-23.=>Ь:.Нр. z>:jteD\R. s . (gP). рек. х = Д'Р .
[*10-35 . *14-15] z>:jteanD7?. = . (gP). Рек.х = Д'Р .R'fiea .
[*83-2] =.(дР).рек.х = Д'р.Д'Р€апр.
[(1).*4-71] =.(gP).p€K.x = /?'p.7?'P€anp.a = p.
[*13-195. *22-5] =.a£K.x = /?'a./?'a6a.
[Hp.*4-73.'*83-2] =.x = R'a (2)
h . (2). *51-15 . => h . Prop
*83-62. h : \i e D''ед'к. =>. ц с s'k [*83-21. *37-63]
*83 63. \-:slKnsil = A.\ieDtteA\KUl).z>.\insiKeDiieAiK.\insiXeDiieAi'k
Доказательство.
Ь.*80-62 . =>Н:Меед'(киХ). э .М \ кеед'к.М \ Хеед'Х. (1)
[*83-21] z>. D'M \ к с s'k . D'M f к с s'X (2)
h . (2). *24-494 . z> h :. Hp . =>: Меед'(ки X). =>.
D'M \k = (D'M \kuD'M \\)- s'X.D'M \\ = (В'М \kuD'M \\)- s'k.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

568
ГЛАВА 4. ВЫБОРКИ
[*33-26 . *35-412 . *80-29] =>. D'M \ к = D'M - s'X. D'M \ l = D'M - s'k .
[*24-491] =>. D'M f к = D'Mn s'k . D'M f X = D'M n s'X (3)
K(l).(3)*37-6.=>b:.Hp.z>:
МеедЧкиХ).э.О'МП54К€0"€д'к.О'МП5'ХеО"ед'Х:
[*37-63] =>: \ieD"€A'(KUX). =>. цП 5'кеБ"бД'к. (in s'XeD"eA'X:. => h . Prop
*83-64. Нг.кпЬЛ.э:
ц € D"eA'(к U X). = . (gp, a). p € D"eA'K. о € D"€A'X. Ц = p U a
Заметим, что в качестве гипотезы здесь требуется кпХ = Л, а не
5'кП^ = Л, как в *83-63.
Доказательство.
Ь. *80-66 . => h :. Нр . z>: М е ед'(к U X). =>. ц = D'М. = .
(rR,S) . Деед'к.S €€Д'Х.М = RUS ,ja = D'M.
[*13-193]. *33-26] = . (a/?,S)./?eeA'K.Se€A'X.M = /?US.^ = D7?uD'S (1)
К(1)*10-11-21-281.*37-6.э
Н::Нр.=э:.^еО"ед'(киХ). = :
(аМ,Д,5).Д€€Д'к.5€ед'Х.М = Ди5 .\i = DlRvDlS :
[*10-35] s : (а/?, 5). R еед 'к. S е ед'X. ц = D'fl U D'S : (gM) . М = R 0 5 :
[*21-2] = : (rR,S) . Л € ед'к. S еед'Х. \i = D7? U D'S :
[*13-22] E=:(afl,S,p,a).fleeA'K.p = D'fl.Se€A'X.a = D'S .ц = риа:
[*11-24-54] =:(ap,o):(g/?)./?eeA'K.p = D'/?:(35).5€€A'X.o = D'5.
(i = p U о :
[*37-6 . *10-35] = : (gp, a). p € D"eA'K. о € D"eA'X ,ц = рио:.=>Ь. Prop
Следующее предложение используется в связи с кардинальным
умножением (*115-14).
*83-641. Ь:. 5'кП5'Х = Л.=>:
у, € D"€A'(кU X). = . (Яр, о). р eD"eA'K. о € D"eA'X. ^i = p U о
Доказательство.
Ь . *53-25 . э Ь :. Нр . э : к П X = Л П Cls . V . к П X = ь'Л (1)
Ь . *83-64 . => Ь :. к П X = Л П Cls . =>: \i e D"eA'(к U X). = .
(ар,о).реО"ед'к.оеО"€Д4Х..^ = рио (2)
Ь . *51-16 . => Ь :. к П X = ь'Л. эгЛек.ЛеХ:
[*83-11] z>: ед'к = Л . ед'X = Л . €Д'(к U К) = Л :
[♦37-29] =>: Б"ед'к = Л . Б"€Д'Х = Л . Б"ед'(кU К) = Л :
[*24-15] =>: ц ~ € Б"ед'(к U X): (р). р - е Б"ед'к:
[*11-55 . Transp. *10-252] э : ц ~ еБ"ед'(кU X) :
~(ЯР»°)-реО"ед4к.оеВ"ед'Х.1я = рио:
[*5-21] =>: цеБ4'едЧки X). = .
(ЭР, о). р е Б"€Д 4к. о € D"eA'X. ц = р U о (3)
К(1).(2).(3).эКРгор
PRINCIPIA MATHEMATICA I

*83. ВЫБОРКИ ИЗ КЛАССОВ КЛАССОВ
569
*83-65. h:5<Kn5'X = A.^€D"€A'(KUX).=>.^-5'K€D"€A'X.^-5<XeD"€A'K
Доказательство.
Ь.*83-62. z>h:Hp. э.цс^киЦ.
[♦40-171] э.цс^'киЛ (1)
Ь. (1). *24-491. =>h:Hp. =>.^-5'к=^П5'Х.^-5'Х = ^П5'к (2)
Ь . (2). *83-63 . эЬ.Ргор
*83-66. h : g ! €Д'к. =>. s'D"€A'k= я'к
Доказательство.
Ь.*41-43. =>h.5'D"€A<K = D'i'eA'K (1)
Ь . *83-25 . => Ь : Нр. =>. D'i'€A'к = D'e \ к
[*62-43] =5'к (2)
Ь . (1). (2). => Ь . Prop
*83-7. h . D"eA4'a = i"a [*83-4 . *55-261]
*83 71. h . Б"€дЧ"а = i'a. D'a 11= a
Доказательство.
Ь . *83-42 .=>!-. D"eA4"a = D"i'(a 1I)
[*53-31] =L'D4a1t) (1)
[*35-61] =L'(anD't)
[*33-2] =i'(ana'i)
[*51-17. *24-26] = i'a (2)
h . (1). (2). z> h . Prop
*83-72. h : к с 1. =>. D"€A'k = iVk
Доказательство.
h . *83-43 . => h : Hp . =>. Б"€Д'к= D'V(€ \ к)
[*53-31] =L'D'(6fK)
[*62-43] = l Vk : => h . Prop
Предложения *83-73-731 представляют собой леммы для *83-74.
*83 73. h : к П X = Л . X с 1. =>. Б"€д'(к U X) = a {(gp). р € Б"ед'к. о = р U s'X}
Доказательство.
Ь . *83-56 . *37-6 . => Ь :. Нр . =>:
оеВ'ЧЕдЧкиХ). = .(аД,5).Д€ед'к.5 =ЯиХ\1.о = В^ .
[*13-193] =-.(RR,S).ReeAiK.S=RVl\'k.o = Di(ROl\'k).
[*62-43-55] = .(RR,S).ReeAiK.S=Rul\'k.o = DiRUsi'k.
[*10-35. *21-2] = .(дД).Де€д'к.о = В'Ди.5'Х.
[*37-64] = . (др). р € Б'Чед'к. a = p U s'l:. => Ь . Prop
♦83-731. Ь :. X с 1. =>: s'k П s'X = Л . =>. к П X = Л
Доказательство.
h . *53-25 . *51-16 . => h :. 5'к П 5'Х = Л. =>: к П X = Л . V . Л € X (1)
h.*52-16. =5h:.Xcl.=5:a€X.=5a.g!a:
[*24-63] э:Л~еХ (2)
К (1). (2). э h. Prop
А. Н. "Уайтхед , Б. Рассел

570
ГЛАВА 4. ВЫБОРКИ
*83-9.
*83-901.
*83-902.
*83-903.
*83-904.
н-а
Ь:3
ьа
1-:Я
|-:а
э
э
э
\.
.ЦСУ К.
. \i с f i 'к.
[*83-15]
[*80-46 .
[*80-69]
[*83-901
[*83-901
*62-2]
•902]
902]
(1)
(2)
(3)
(1)
*83-74. Ь : s'k П s'l = Л . I с 1. =>. Б"€Д'(к и I) sm Б"ед'к
Доказательство.
Ь . *83-73-731. *38-131. => Ь : Нр. z>. Б"ед'(ки X) = (U s'X)'D"€A'k
Ь.*83-62.*24-13.=>
h::Hp. =>:. ц,уеБ"ед'к. z>: (iPi s'X = A. vn.s'X = A:
[*24-481] =>: ^ U 5'X = v U 5'X. = . |i = v:
[*38-11] =>: (U 5'Х)'ц = (и s'X)'v. = . ц = v
h . (2). *73-28 . z> h : Нр . z>. (U ^M"D"eA'KsmD"eA'K
h . (1). (3). э h . Prop
*83-8. Н.бд'ксГю'к.ед'кег'Гю'к
Доказательство.
h . *80-14 . *83-21. *35-83 . =>Ь:Деед'к. =>. Дси'кТк.
[*63-105 . (*63-03)] z>. R ati'кТ *о'к.
[*64-201] ^.Ret'ih'Kfto'K).
j(*64-021)] D.Reho'K
h . (1). *63-371. z> h . Prop
*83-81. h.D"eA'Kcro'K.D"eA'K6rK
Доказательство.
h.*83-62. =>Ь:ц€Б"€Д'к.
[*63-105. (*63-03)]
[*63-51]
h . (1). *63-371. z> h . Prop
!бд'Л
!€ДЧ'а. = .д !а
!€Д'(киХ). = .д !€Д'к.д !ед'Х
!€A'(L'aUi'P). = .g!a.g!p
!€ДЧки1'р). = .Я!€Д'к.Я!(3
При помощи +83-9-904 становится возможным индуктивное
доказательство (которое будет приведено позже) g ! ед 'к при условии, что к —
конечный класс классов, который не содержит Л в качестве элемента.
а)
Principia Mathematica I

*84. КЛАССЫ ВЗАИМНО ИСКЛЮЧАЮЩИХ КЛАССОВ
571
*84. Классы взаимно исключающих классов
Краткое содержание *84-
Класс к взаимно исключающих классов есть такой класс, что, если а
и р — два различных элемента к, а и Р не имеют общих элементов; т. е.
это класс, состоящий из неперекрывающихся классов. Классы взаимно
исключающих классов обладают множеством важных свойств. Они
необходимы в кардинальной арифметике, поскольку, кроме всего прочего, если к —
класс взаимно исключающих классов, кардинальное число s'к равно
сумме кардинальных чисел элементов из к. Также, если к —класс взаимно
исключающих классов, число классов представителей класса к (т. е. D"€a'k)
совпадает с числом выбирающих отношений (т. е. €д'к).
Фраза "к —класс взаимно исключающих классов" записывается как
"K€Cls2excl".
Важен случай, когда ни один элемент из к не пуст; тогда мы пишем
к € Cls ex2 excl.
Для Cls excl, содержащегося в классе классов у» мы пишем
С1ехсГу
по аналогии с обозначением СГу-
Формальные определения таковы:
*8401. Cls2 excl = к(а,р€К.а/р. z>a,p . а П р = Л) Df
*8402. CI excl'y = Cls2 excl П Cl'y Df
*8403. Cls ex2 excl = Cls2 excl - ^W Df
Предложения настоящего параграфа начинаются (*84-1—14) с
различных эквивалентных форм определений. Из них наиболее полезны:
«84-11. V :. к € Cls2 excl . =: а, Р € к. g ! а П Р . =>а>р . а = Р
*8413. Ь: к € Cls ex2 excl. = . к € Cls2 excl. Л ~ е к
*8414. h :к€ Cls2 excl. = .€ ficeCls-» 1
Последнее предложение особенно важно, поскольку оно делает
предложения параграфа *81 применимыми к €д'к, когда к € Cls2 excl.
Далее идут предложения (*84-2— 28), относящиеся к различным особым
случаям, таким, как Л и 0. Среди них наиболее полезны:
*84-23. h.i'ae Cls2 excl
*84-241. Ь . i"a € Cls ex2 excl
*84-25. h : к € Cls2 excl Лск.эЛб Cls2 excl
Далее идут предложения (*84-3—37), являющиеся непосредственными
следствиями предложений параграфа *81, выводимыми при помощи *84-14.
Наиболее полезное из них
*84-3. h : к е Cls2 excl. =>. €Д 'к с 1 -► 1
Далее идут предложения (*84-4— 43), относящиеся к областям выборок
из Cls excl. Большей частью они все также являются непосредственными
следствиями предложений параграфа *81 в силу *84-14. Наиболее полезны
«84-41. h : K€ Cls2excl. =>. D \бд'ке 1 -> 1. D"€A'Ksm€Д'к
*84-412. h : к € Cls2 excl. =>. D"eA 'к = р, {а е к. =>а . ц О а е 1: ц с s'k}
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

572
ГЛАВА 4. ВЫБОРКИ
*84-43. h :. а, Р е Cls2 excl. sla = s'P . =>: а с D"eA'P . = . Р с D"eA'a
Данные предложения применяются, например, в случаях табличных
отношений. Представим себе множество термов, расположенных в строках и
столбцах так, чтобы они образовывали прямоугольную таблицу. Тогда
каждый столбец является выборкой из строк, а каждая строка — выборкой из
столбцов. Это и есть частный случай последнего предложения.
Далее идут предложения относительно Тг'к, Я'"к, и Рд"к (*84-5—55).
Наиболее важные из них:
*8451. \-:R fK€Cls^l.=>.l?"K€Cls2excl
*84-53. Ь : Re Cls -► 1. ке Cls2 excl. =>. R'"к€ Cls2excl
Заключительные предложения (*84-59— 62) выявляют условия, при
которых киХ есть Cls2excl. Единственное из них, которое потребуется в
дальнейшем, есть
*84-62. h :. а ф Р. =>: i'a U t'Pe Cls2excl. = . а П p = Л
*8401. Cls2excl = к(а,р<ЕК.а/р. =>a,p . аПp = Л)
*8402. CI excl'y = Cls2 excl П Cl'y
*8403. Cls ex2 excl = Cls2 excl - V'A
*841. h :. к € Cls2 excl. = : a, P e к. а ф р . =>а,р . а П P = Л
[*20-3 . (*84-01)]
*8411. h :. к e Cls2 excl . = :a, P € к. g ! а П p . =>Qjp . a = P
[*84-l.Transp]
*8412. h :. K€ CI excl'y. = : a, P € к. а ф P . =>а,р ,аПР = Л:ксу: = :
KeCls2excl. ксу [*20-3 . (*84-02)*22-33 . *84-l]
«84-121. h :. к e CI excl'y . = :a, P<EK.g!anp. =>a,p . a = P : к с у
[*20-3 . (*84-02)*22-33 . *84-ll-]
*8413. h : к e Cls ex2 excl. = . к € Cls2 excl. Л ~ е к
Доказательство.
h . *22-33-35 . (*84-03). z>
h : K€ Clsex2excl. = . кеCls2excl. к ~ € ^Л.
[*62-21] = . к e Cls2 excl. Л ~ ек: z> h . Prop
*84131. h :. к € Cls ex2 excl. = : a, P € к. a Ф p . =>Qjp .аПР=Л:Л~€К
[♦84-13-1]
♦84132. h :. K€ Clsex2 excl . = :а,Рек.д!апр. эа,р . а = P : Л ~ е к
[♦84-13-11]
*84133. h :. к € Cls ex2 excl . =: a, P € к. g ! а П P . =>а,р .а = Р:а€К.=эа.д!а
[*84-132 . *24-63]
♦84134. h::KeClsex2excl. = :.a, Рек.=эа,р :д!а.д!Р:д!аПр.э.а = р
Доказательство.
[-.♦11-59 . Dh:.aeK.Da.g ! a: = : a, Рек. z>a>p . g !a.g !p (1)
h . *4-87 . *ll-33 . =>h::a,peK.g!anp. z>a,p . a = p : = :.
a, P € к. эа,р :g!anp.D.a=p (2)
h . (1). (2). *84-133 . => h :: к € Cls ex2 excl. = :.
PRINCIPIA MATHEMATICA I
Df
Df
Df

*84. КЛАССЫ ВЗАИМНО ИСКЛЮЧАЮЩИХ КЛАССОВ
573
а, р е к. =>а>р . g ! а. g ! Р:. а, Рек. z>a,p :д!апр.э.а = р:.
[*11-391] = :. а, Р € к. =>а>р :д!а.д!Р:д!апр.=э.а = Р::=эЬ. Prop
*84135. Ь :: ке Clsex2 excl. = :. а, Р € к. =>а,р :д!апр. = .а = Р
Доказательство.
Ь.*84-133.*22-5.*13-191.=>
h::K€Clsex2excl. = :.a, Рек.д ! апр.=эа,р .а = Р:
a, p € к. a = P . =vp . g ! а П P :.
[*11-31] = :. (a, P):. a, p € к. g ! а П p . =>. a = p :
а, Рек.а = р.=э.д!апр:.
[*4-87 . Comp. *11-31] = :. (a, P):. a, p € к. =>: g ! а П p . = . a = p:: => h . Prop
*8414. h:K€Cls2excl. = .€ [KeCls^ 1
Доказательство.
h.*10-23 . *84-ll . =>h:.K€Cls2excl. = : a, Рек. xea . jeep. =>х,а,р -a = P:
[*35-101] = : x (€ \ к) a . x (e \ к) P. z^p . a = p:
[*71-171] s : e \ кe Cls -► 1 :. z> h . Prop
Принципиальное значение данного предложения заключается в том, что
оно дает нам возможность применять предложения параграфа *81 к €д'к,
когда к € Cls2 excl.
*84-2. h . Л П Cls € Cls ex2 excl
Доказательство.
h . *24-105 . *ll-57 . => Ь . (a, P). a, P ~ € Л П Cls.
[*ll-25-63] => h :. a, p e Л П Cls . =>a,p :g!anp. = .a = P:.
[*84-135] => h . Л П Cls € Cls ex2 excl
*84-21. h. lcis с Cls2 excl
Замечание. Класс lcis есть класс всех единичных классов, элементы
которых суть классы; это следует из *65-01. Таким образом, "aelcis"
эквивалентно "а состоит из одного класса".
Доказательство.
Ь . *22-33 . (*65-01). => Ь :. a e lcis. = : a e 1 . а с Cls :
[*52-16] z>: р, у е a . z>p)Y . P = у :
[*3-41] э:р,у<Еа.д!рПу.эр,7.р = у:
[*84-ll] =>: a € Cls2 excl:. z> h . Prop
*84-22. h.l€Clsex2excl
Доказательство.
h . *52-46 .z>h:.a,Pel.z>:g!anp. = .a = p (1)
h . (1). *84-135 . z> h . Prop
*84-23. h . t'a € Cls2 excl [*84-21 . *52-22]
*84-24. Ь : g ! a . =>. t'a € Cls ex2 excl
Доказательство.
h.*13-191. =>h:.Hp. D:P = a.z>p.g!P:
[*51-15] D-.peL'a.Dp.gip:
[*24-63] z>:A~€i'a (1)
b.(l).*84-23-13.=>b.Prop
А.Н.Уайтхед, Б.Рассел

574
ГЛАВА 4. ВЫБОРКИ
*84-241. Ь. i"ae Cls ex2 excl
Доказательство.
h . *52-3 . => Ь :. р, у € i"a . =>p>v : p, у e 1 :
[*52-46] ^Y:a!pnY. = .p = Y (1)
h . (1). *84435 . z> h . Prop
*84-242. h:Kcl.=>.K€Clsex2excl [*52-46 . *84-135]
*84-25. h : к € Cls2 excl Дск.эДе Cls2 excl
Доказательство,
h . *22-l . *ll-59 . => Ь :. X с к. =>: a, P € X. =>a>p . a, P € к:
[*ll-38] z>:a,PeX.a/p.z>a,p.a,p6K.a/p (1)
h.*84-l . эЬ:.К€ Cls2 excl. э : a, Рек. a#P . =>a,p . аПР = Л (2)
h . (1). (2). *ll-37 . э h :. Hp. =>: a, p € X. а ф p . =>a,p . а П p = Л :
[*84-1 ] э : \ e Cls2 excl:. => h . Prop
*84-26. h : к е Cls ex2 excl Лск.эДе Cls ex2 excl
Доказательство.
h . *84-13-25 . z> h : Hp . z>. X € Cls2 excl (1)
h . *22-l . *10-1 . =>h:.Hp.=>:A€X.=>.A€K:
[Transp] =э:Л~€К.=э.Л~€Х (2)
Ь.*84-13. э!-:Нр.э.Л~ек (3)
h.(2).(3). =>h:Hp.z>.A~€X (4)
h.(l).(2).*84-13.=>h.Prop
*84-28. h : к € CI ехсГу Лек. у <zb .z> ЛеС1 ехсГб
Доказательство.
h . *84-12-25 . => h : Нр . z>. le Cls2excl (1)
h . *84-12 . Dh:Hp. э.ксуЛск.усб.
[*22-44] эЛсб (2)
h . (1). (2). *84-12 . z> Ь. Prop
Следующие предложения относятся к выборкам из Cls2 excl. В силу
*84-14, предложения параграфа *81, имеющие гипотезу T^fKeCls^l,
становятся применимыми, когда R есть е, а к—Cls2excl. Так что €д'к обладает
многочисленными важными свойствами, когда к есть Cls excl, что в общем
случае неверно.
*84-3. Ь : К€ Cls2 excl. =>. ед'кс 1 -> 1 [*84-14 . *81*1]
*84 31. h : К€ Cls2excl.Ree^K. xeD'R. z>. E ! R'x [*84-14 . *81-11]
*84-32. h :KeCls2excl. ReeAlK. xeD'R. =>. xeR'x. R'xek
[*84-14.*81-ll.*35-10l]
*84 33. \-:KeC\s2excl.ReeAlK.xeDlR.^.Rix = (<ia)(aeK.xea) = (K] e)lx
[*84-14. *81-12]
*84-34. b:.KeCls2excl. Деед'к.э: xRa. = . xea.xeD'R. аек
[*81-13.*84-14]
*84-341. h :K€Cls2 excl. Лббд'к. =>. R = D'R] e \K = eHDtR/fK
[*81-14. *84-14]
♦84-342. h : K€ Cls2 excl. R e ед 'к. а € к. =>. CR'a = аП D'R
[*81-15.*84-14.*62-2]
PRINCIPIA MATHEMATICA I

*84. КЛАССЫ ВЗАИМНО ИСКЛЮЧАЮЩИХ КЛАССОВ 575
*84-35. Н:.К€С18ех2ехс1.=>:Л€^'к. = .7?€1^1./?С€^к.а'/? = а'€Гк
Доказательство.
Ь . *84-13 . => Ь : Нр . =>. Л ~ € к.
[*62-42] э.а'еГк = к (1)
h . (1). *71-103 . *80-14 . =>
h :. Нр. э : Л е 1-> 1. Л G€ Г к. а'/г = а'е Г к. э. Л €€д'к (2)
Ь . (1). *80-14 . => Ь :. Нр. =>: R е €Д'к. з. СГД = (Те \ к (3)
h . (3). *80-291 . *84-3 . =>
h :. Нр. э : Лббд'к. э. Л е 1->1.ЛС€ Г к. а'/г = а'€ Г к (4)
Ь . (2). (4). э Ь . Prop
*84-37. Ь : к€ Cls2excl. g ! €Д'к. =>. ке Clsex2 excl [*83-l. *84-13]
*84-4. h :. к € Cls2 excl. R, S e €Д 'к. =>: D'tf = D'S . = . R = S [*81-2 . *84-14]
*84-41. h:KeCls2excl.=>.D Г<ед'к€1-> 1 .D"eA'KsmeA'K
[*81-21 . *84-14]
Это важное предложение, так как показывает, что, когда к есть
Cls2 excl, число классов, которые могут быть выбраны из к, равно
произведению чисел элементов различных классов, принадлежащих к.
*84-411. h :. а € к. =>а . ^ П а € 1 : |i с 5'к: =>. |i € Б"€Д'к [*81-212 . *62-2-3]
♦84-412. Ь : к е Cls2 excl. =>. D"eA'к = р, {а € к. =>а . \i П а € 1 : ц с s'k]
[*81-22 . *84-14 . *62-2-3]
Данное предложение предоставляет то, что молено было бы принять за
определение класса классов представителей:
р,{а€К.=эа.цПа€1:|яс s'k) .
Мы могли бы, приняв подобное определение, изучать класс классов
представителей, не рассматривая предварительно выбирающие отношения.
Однако такой метод имел бы свои недостатки: во-первых, в нем
требуется, чтобы к являлось Cls2 excl для получения результатов, желательных
в арифметике; во-вторых, данный метод более громоздок технически, чем
метод, использующий выбирающие отношения; в-третьих, тогда бы мы не
могли рассматривать выборки из класса классов как частный случай
выборок из отношения (а именно из е \ к) ив результате формулировать
теоремы в такой же степени общности, как применяя принятый нами метод.
*84-42. h : к € Cls2 excl. а € к. ц € Б"€д'к. z> . ц - а € Б"ед'(к - i'a)
[*81-24 . *84-14 . *62-2]
*84-421. \-:аек.хеа.\1еВ^еА\к-Са).1>.\1иСхеВ^е^к [*81-25]
*84-422. h:.K€Cls2excl.a€K.^Pia€ 1. =>:|i-aeD"eA'(K-i'a).= . |Я€Б"ед'к
[*81-26 . *84-14 . *62-2]
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

576
ГЛАВА 4. ВЫБОРКИ
♦84-43. h :. а, р е Cls2excl. s'a = s'P . z>: а с D''ед'P. s . p с D''ед'а
Доказательство.
[-.♦84-412. z>h::.Hp.z>::
acD"eA'p.=
[•40-13 . Hp] =
[♦10-542-21] =
[♦40-13 . Hp] s
[♦84-412] =
l.z>
♦84-5. b-.fleCls
Доказательство.
h . ♦71-181 . => h :. Hp . =>: g llft'x Г)~11у
[♦30-37]
.^€а.Э|:т]ер.=>п.^Пт]е1:^С5'Р:
. % e a. э|: T] € p . =>л . != П т] е 1:.
.Т)€р.эп:^еа.Э|.^Пт]€1:.
,т]€р.=эТ1:^еа.=Э|.^Пт]е1:т]с s'a:
. т] € P . эл : т] е D"eA'a::. =э Ь . Prop
7?"СГД€С18ех2ехс1
. JC = y.
."£'*="#'
Ь . ♦ЗЗ^! . ♦И-бЭ . z> Ь : x,y еСГД .
•Я
!~£'jt.tf !/?'
(1)
(2)
,=5. а = р :.
Jxy 'dliV * - Я
Ь.(1).(2). =>Ь::Нр. z> :.д;,;у€СГД. =>*,у :
g I^'jt.g !~#';y:g !"Й'*п"£';у. !>."#'* =J?';y:
[♦37-63] э :. a, p el "d\R. =>a,p :g!a.g!p:g!anp.:
[♦84-134] э :.1?"СГД€ Clsex^xcl:: z> V . Prop
Можно было бы предположить, что обращение последнего предложения
также имеет место. Однако это не так; хотя 7?'ЧТЯ € Cls ex2 excl и
обеспечивает неперекрываемость Tc'jc и к 'у, когда они не равны, тем не менее
К'х = К'у может выполняться и без х = у, так что если 7?'x = a = R'y, то
z € а. э . zRx. zRy, и, следовательно, если g ! a . х Ф у, то 7? не обязано быть
Cls^ 1 даже при Тг'СГДе Cls ex2 excl.
♦84-51. Ь:Д ГкеCls^Кэ.^'кеCls2excl
Доказательство.
К ♦71-171. ♦Зб-Ш.э
Ь :. Нр . =5: xRy.у е к. xRz. z e к.
[♦30-37]
[♦32-38]=>:;y,z€K.;c€^';yr^'z.
[♦10-23] z>:y,z€K.g!lf>n'^tz.
[♦37-63]z>: а, Р е~1^к. g ! a n P . =>a,p . a = P :
[♦84-ll]z> :~#"к€ Cls2excl:. z> Ь. Prop
♦84-52. Ь:Д rKeCls^l.Kca7?.z>.^''KeClsex2excl
Доказательство.
[-.♦37-2. z>b:.Hp.z>:aelt"K. z>. ае~#4'СГД .
[♦37-77] э : g ! a
h . (1). ♦84-51-13 . ♦гФбЗ . z> h . Prop
Jx,y,z
■Jx3yJz
*ул
y = z.
(1)
Principia Mathematica I

*84. КЛАССЫ ВЗАИМНО ИСКЛЮЧАЮЩИХ КЛАССОВ
577
*84 521. h:7?fP€l^l.7^P€ClsWl.=>.fl fP€Cls->l
Доказательство.
h.*71-55.*84-ll.z>
Н:.~Й fP€l^l."^"P€Cls2excl.3:>,z€p."^'j=^'z.3>,,z.> = z:
^zep.gl/^n/K.^.T^^'z:
[*ll-37] э:у,г€р.д!^'>П^'г.=>у,г.^ = г:
[*70-62 . Transp] =>: R \ P e Cls -► 1:. z> h . Prop
Данное предложение служит леммой для предложения *84-522, которое
используется в одном важном предложении, связанном с отношениями
взаимно исключающих отношений (*163-17).
*84-522. h :. Р с а'/г. э : Л Г Ре Cls -> 1. s ."3? Г ре 1 -> 1 .~Й"Рб Cls2excl
Доказательство.
Ь.*33-31 . =>Ь:.Нр. =>:j,z€p.=>.g!l?'>.g!l?'z:
[*22-5] =>:j,z€p.^'>=^'z.=>.g!"^'>n^'z:
[*74-62] z>:/?rpeCls^l.>,z€p.^'y=lf'z.3>.> = z:
[•71-55] z>:/?rp€Cls^l.z>.^rpel^l (1)
h . (1). *84-51 . =>
э h :. Hp . э: R \ fie Cls -► 1. = .~$ \ fie 1 -► 1 .7?"P<ECls2excl (2)
h . (2). *84-521 . э h . Prop
*84-53. h : R e Cls -► 1. к € Cls2 excl. =>. Д' "к € Cls2 excl
Доказательство.
h . *72-421. z>
|-:/г€С18->1.а,РбК.а!/г"аП/г"р.э-а!аПр (1)
h.(l).Syll. ^hi.^eCls^l .a,p€K.g ! aPip . =>a,p . a = p : =>:
a, P € к. g ! R"a П Я "Р. =>а>р . а = Р .
[*30-37 . *37-ll-lll] =>a,p . tf"a ПR"fi:
[*37-63 . (*37-04)] D:p,oei?<"K.g!pno.Dp,0.p = o (2)
b.(2).*84-ll.z>b.Prop
*84-54. h : Re 1 -> Cls . ке Cls2excl. =>. R'"к€ Cls2excl И4-53-]
*84-55. Ь.РД"К€ Cls2 excl [*80-82]
*84-59. h : к UI e Cls2 excl. = . кД € Cls2 excl. s'(k - X) n s'l = Л
Доказательство.
h.*84-14.h:KUXeCls2excl. = .ef(KUX)€Cls^l.
[*74-82l] s . € Г к, € Г X € Cls -► 1. €"(к - X) П e"X = Л .
[*84-14 . *62-3] = . кДе Cls2 excl. s'(k - X) n s'X = Л
*84-6. Ь:.кПХ = Л.э:киХ€ Cls2 excl. s . кД € Cls2 excl. s'k П s'X = Л
[*84-59. *24-313]
*84-61. h:.p-€K.=>:KUL'p€ Cls2 excl. = . к e Cls2 excl. P П s'k = Л
[*51-211.*53-02.*84-23-6]
*84-62. h :. a ^ P . =>: L'a U l'P € Cls2 excl. = . a П p = Л
[*84-61 . *51-15 . *53-02 . *84-23]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

578
ГЛАВА 4. ВЫБОРКИ
*85. Различные предложения
Краткое содержание *85.
В настоящем параграфе доказывается ряд важных предложений, а
также другие предложения, в основном представляющие собой леммы.
Наиболее важны следующие предложения:
*85-1 и *85-14, показывающие, что если Q\\ есть Cls^l, то области
бд'Х — те же, что области €д'б"Х, и <2д'Х подобно e^Q'% сводя тем
самым задачу выбора из много-однозначных отношений к задаче выбора из
классов классов;
*85-27 и *85-43, показывающие, что если K€Cls2excl, то класс Рд'-у'к
состоит из относительных сумм областей €д'Рд"к и подобен бд'Рд"к; т.е.
класс Р-выборок из s'к подобен классу, получаемому следующим образом:
будем брать элементы к один за другим и образовывать Р-выборки из
каждого; таким образом, мы получим класс классов, каждый из которых имеет
вид Рд'а, где аек; затем образуем выборку из этого класса классов;
полученная в результате выборка есть элемент €д'Рд"к; число таких выборок
совпадает с числом203 Рд'я'к;
*85-28 и *85-44, являющиеся частными случаями предложений *85-27 и
*85-43, более полезны, чем они. Предложение *85-44 дает возможность
вывести закон ассоциативности в кардинальном умножении; оно утверждает,
что если к есть Cls2excl, то €д'$'к имеет такое же число элементов, что
и €д'€д"к. (О законах ассоциативности вообще см. замечания к *42-1-11.)
Иначе говоря, если мы образуем класс выбирающих отношений (бд'а) для
каждого а, принадлежащего к, а затем образуем класс выбирающих
отношений для €д"к, то получим в результате точно такое же число термов,
как если бы мы образовали класс выбирающих отношений для €д Vk.
Попытаемся объяснить, как данное предложение приводит к закону
ассоциативности для умножения. Определим произведение (кардинальных) чисел
элементов класса а как число бд'а. Например, если числа элементов
класса а суть Ца1, |Яа2, ЦаЗ, то ЧИСЛО €д'(Х есть |Ла1ХЦа2ХЦаЗ. ПреДПОЛОЖИМ, ЧТО
другими элементами класса к, наряду с а, являются Р и у, и что Р и
у имеют также по три элемента каждый. Тогда число €д'€д"к будет
равно произведению чисел €д'а, ед'Р, €д'у, т. е. произведению сомножителей
Ца1ХЦа2ХЦаЗ, И01хИР2хИрЗ И Н^Х^гХ^З-
Но числа элементов класса я'к суть
ЦаЬ Ца2> ЦаЗ> Ц0Ь Щ2, ЦрЗ, МтЬ Ит2> МтЗ •
Таким образом, число €д'$'к равно
^alX^a2X^a3XlipiX^p2X^p3XM7lXM72XM73 •
Следовательно, *85-44 позволяет нам заключить, что
(Ца1ХЦа2ХЦаЗ) X (^ХЦргХЦрз) X (Н71ХЦ72ХИ7З)
= Hal ХЦа2Хца3 Хцр1 ХЦр2 ХЦр3 Xjiyl Х^Х^З,
а это представляет собой частный случай закона ассоциативности. На са-
203 Под числом класса понимается кардинальное число, т. е. число элементов этого
класса. — Прим. перев.
Principia Mathematica I

♦85. РАЗЛИЧНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ
579
мом деле, из *85*14 этот закон выводится в самой общей форме, когда
число скобок и сомножителей в каждой скобке может быть любым —как
конечным, так и бесконечным.
Другая важная пара предложений —*85-53*54. С ее помощью
возможно сведение задачи выбора для произвольного отношения к задаче выбора
из класса классов. Метод таков: возьмем любой терм jc, образуем класс
упорядоченных пар, для которых х есть релятив, референтом же
является терм, находящийся в отношении Pkjc. Обозначим этот класс пар PJx.
Построим подобный класс для каждого jc из а; таким образом мы получим
некоторый класс классов, а именно PJ"a. Тогда число выборок из этого
класса классов совпадает с числом Рд'а.
Есть еще одна важная пара предложений в параграфе—*85-61-63.
Согласно этим предложениям, то, что мы называем "аксиомой Цермело",
эквивалентно тому, что мы называем "аксиомой умножения". Аксиома
Цермело204 заключается в том, что каков бы ни был произвольный класс а,
ед'С1ех'а никогда не пусто, т.е. (a) . g ! ед'Оех'а. "Аксиома умножения"
заключается в том, что, если к е Cls ex2 excl, можно построить, по меньшей
мере, один класс путем выбора по одному представителю из каждого
элемента класса к, что эквивалентно
ке Clsex2excl. эк . g ! ед'к.
Эквивалентность этих двух аксиом устанавливается в *85*63. Из
теоремы Цермело 205 следует, что они обе эквивалентны допущению, что всякий
класс может быть вполне упорядочен. Это доказывается позже (*258).
Упомянутые выше предложения в символьной форме записываются
следующим образом.
*85 1. h:£H^Cls^l.z>.D''GA'X = D''eA']3''X
*85 14. b:£fXeCls^l.3.£A'XsmeA'"(5''X
*85-27. Ь : ке Cls2excl. z>. Рд Vk = i"D"eA7V'K
*85-28. b:KeCls2excl.z>.eAVK = i'T>'4\'eA''K
*85-43. h : ке Cls2 excl. z> . /Vs'Ksm ед'Рд"к
♦85-44. h : ке Cls2 excl. z>. ед VKsmeA'eA"K
В последующих предложениях используется определение
*85-5. PZy = ly"l*y Df
Т.е. PI у — класс всех пар, релятивом которых является у, референт
же находится в отношении Р к у. В таком случае
*85-53. h . Рд'а = i"D"eA'P J"a
что указывает конструкцию для Рд'а посредством ед, и
*85-54. b./YasmeA'PJ''a
что сводит вопрос о существовании Р-выборок к вопросу о существовании
е-выборок.
*85-61. Ь.е1"ке Cls2 excl. ед'к = i"DtteAteJ"K.eA<KsmeA<eJttK
204 См. Math. Annalen, Vol. LIX.
205 Там же.
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

580
ГЛАВА 4. ВЫБОРКИ
Данное предложение указывает конструкцию для произвольной
€-выборки в терминах е-выборки из Cls2 excl и сводит вопрос о
существовании первой к вопросу о существовании последней. Когда к = С1ех'а,
имеет место частный важный случай:
+85-63. Ь : е J"C1 ех'а е Clsex2 excl: g ! ед 'С1 ех'а. = . g ! ед 'е J"C1 ех'а
+85-1. Ь : Q \X e Cls -► 1. z>. Б"ед'Х = D"eA^"X
Доказательство.
Ь.+81-З. z>h:Hp. z>.D"QAi'k = \i{ae~$tt'k.z>a.iir)ael:iiczsi~$"l} (1)
h.+84-51. z>b:Hp. z>."3"Xe Cls2 excl.
[♦84-412] z> . /)"€Д'"2"Х= (i {ae^"X. z>a . \i П a e 1: \i с s'"2"X) (2)
Ь . (1). (2). z> Ь . Prop
+85 11. \- :^ \\el ^ 1. z> .D"(P\~($)Ai'k = D"PAi~$"l
Доказательство.
h . +33-431 . +3212 . z> h : Hp . z>. I с <Т"2 (1)
h . (1). +82-32 . z> Ь : Hp . z>. D"(P |^)Д'Х = D'7V£5"X: z> Ь. Prop
+85-111. h:M€€A''2"X..z>.D'(M|"2 fX) = D'M [+82-3]
+85-112. h : Меед^"Х. z>. M\~& \\eQ^\ [*82-221^-~ . +62-26]
+85-12. h :"2 Г Xe 1 -► 1. z>. D"£a^ = D"eA']3"X
Доказательство.
h.+62-26. z>h.D'<eA^ = D"(e|^)A<X (1)
Ь.+82-32. z>h:Hp.z>.D"(e|^)A'X = D"eA'^"X (2)
Ь . (1). (2). z> Ь . Prop
Данное предложение используется в связи с кардинальным умножением
(+173-14).
+85 13. Y\~U ГХб1-> 1 .Дебд'Х.э ./?| Cnv'^eeA'^"X
Доказательство.
Ь.+62-26. z>h:Hp. z>~& ГХе1->1.Де(е|~2)д^-
[♦82-231] z>. R | Cnv'^ еед^"Х: z> h . Prop
Последнее предложение используется в связи с "семействами" (*97-31).
+85-14. Ь : Q fXeCls-> 1 . z>. Q^lsme^'X
Доказательство.
Ь.+81-21. z>h:Hp. D.2A^smD"eA'X.
[*85-l] э.|2д'ЬтВ"бд^")1 (1)
Ь.+84-51. z>h:Hp. z>."2"Xe Cls2 excl.
[♦84-41] ^.Ve^'lsme^'l (2)
h . (1). (2). z> h . Prop
Предложения +85-21-22 служат леммами для предложения +85-24,
которое вместе с +85-26 требуется для *85-27.
♦85-21. Н:аек.МеРд'5'к.э.М [аеРд'а [+80-6 .+40-13]
+85-22. Ь : М е Рд Vk . z>. М \\ к] РА еед'Рд"к. i'D'(M \\к]РА) = М
Principia Mathematica I

*85. РАЗЛИЧНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ
581
Здесь М \ \к] Рд еед'Рд"к можно было бы записать как
{(М f)|(Kl Рд)}е(ед'Рд"к). Скобки опускаем, поскольку другое значение
невозможно.
Доказательство.
Ь. *85-21.
[*80-81]
[*8012. *71-166-55]
[♦35-52]
h . (1). *72-14 . *71-25 .
h. *341. *30-4 .
h. (3). *85-21.
Ь . *37-322 . *33-431.
[*37-4]
h. (2). (4). (5). *80-14
h. *37-32 . *35-62 .
[*41-35]
Ь. (7). *80-29 .
эЬ:.Нр. э:аек.э„.д !Рд'а:
о :а,Век.Рд'а = Рд'р.эа,р . а = |3:
э:Рд fке1 —»1:
о:к1 Рде1->1
э h: Нр. о . М И к 1 Рд е 1 -► Cls
^>b:R{M\\K]PA}X.s.
(да). 7? = М f а. а е к. X = Рд'а
эЬ:Нр.э.ММк1РдСе
эь.ачм Г|к1Рд} = а'(к1Рд)
= Рд"к
. э1-:Нр.э.{МПк1Рд}еед'Рд"к
эЬ.Б'(МПк1Рд) = М Г"к.
э1-.5'Б'(МПк1Рд) = МГ5'к
z>h:Hp.3.i'D'(Mf|KlPA) = M
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
Ь . (6). (8). z> Ь . Prop
*85-24. h . Рд Vk с i"D"eA7V'K
Доказательство.
h . *85-22 . z>
h : MeРд Vk . z>. (gX). X eед\Рд"к. М = i'D'X.
[*37-67] z>. M e 5"Б"ед'Рд"к: z> h . Prop
Следующие предложения служат леммами для *85-26.
*85-241. Ь:Хеед7>д''к.аек.г>.Х'Рд'аеРд'а
Доказательство.
Ь.*83-2. г>Ь:.Хеед'Рд"к. z>: Хе/>д"к. z>x .Х'ХеХ:
[*37-63] z>: а е к. z>a . Х'Рд'а е Рд'а:. z> h . Prop
*85-243. h: KeCls2excl. Хеед'Рд"к. z>. i'D'X e 1 -► Cls
Доказательство.
Ь.*83-21. z>b:Hp.z>.D'Xcs7V'K (1)
h . *40151. *8011 . z> h . *'Рд"к с 1 ^ Cls (2)
K(l).(2). z>b:Hp.z>.D'Xcl->Cls (3)
h . *8035 . *ll-45-55 . z> h :. Hp . z>: M, NeD'X. g ! CM П OW. z>.
(ga, P). a, p e к. M = Х'Рд'a . N = Х'Рд'P. g ! CM П aW.
[*85-241.*80-14]г>.(да,р).а,рек.М = Х'Рд'а.Л^ = ХТд'р.
g ! СГМ П aW. a = СГМ. P = a W.
[*13-22] z>. СГМ, awe к. M = Х'Рд'СМ. N = Х'Рд'ОW.
gia'Mnaw.
[*84-n] z>. aw = aw. м=x'/va'M. лг = х\рд'а w.
[*30-37] z>.M = N (4)
h . (3). (4). *72-32 . z> h . Prop
А.Н.Уайтхед, Б.Рассел

582
ГЛАВА 4. ВЫБОРКИ
*85-244. h:XeeA7V'K.z>.i'D'Xc/>
Доказательство.
Ь.*83-21 .*404. z>h:.Hp. z> :ReD'X. z>R . (да) .аек.ДеРд'а.
[•80-14] z>R.ReP:
[*41-151] z>: s'D'X G/>:. э Ь . Prop
*85-245. Ь :Хеед7>д"к. z>. d'i'D'X = s'k
Доказательство.
h.*85-241 .*8014. z>h:.Hp. э:аек.эа.аТРд'а = а:
[*50-17] z>:<T'X'7V'k = k:
[*8034] z>:CT'D'X = k:
[*41-44] z>: CTi'D'X = s'k :. z> h . Prop
*85 25. h:KeCls2excl.XeeA'PA"K.z>.i<D'XePAt5'K
[*85-243-244-245. *80-14]
*85-26. h : KeCls2excl. z>. 5'Т>"ед'Рд"ксРд Vk
Доказательство.
K*85-25. z>h:.Hp. z> :Хеед'Рд"к. z>x . s'D'Xe/Vs'K:
[*37-61-33] z>: л'Т>"ед7>д"к с Рд Vk :.dH. Prop
*85-27. h : KeCls2excl. z>. Рд Vk = 5"Б"ед\Рд"к [*85-24-26]
*85-28. h : K€Cls2excl. z>. ед Vk = 5"Б"ед'ед"к [*85-27^]
Следующее предложение служит леммой для *85-31.
*85-3. h : МеРд'а .zea . z>. M'zGi'D'M. M'zGi^'z
Условия значимости здесь и в *85-31-32-33-34 требуют, чтобы D'PcRel.
Доказательство.
Ь . *8032 . *33-43 . z> Ь : Hp . z>. M'zеD'M . M'z e~?'z.
[*41-13] z>. M'z Gi'D'M . M'z (LV'P'z: => I" - Prop
В следующих предложениях, вплоть до *85-42 включительно,
рассматриваются условия, при которых M = N выводится из s'D'M = i'D'iV.
Предложения *85-32-33-34 далее не используются; остальные потребуются для
доказательства *85-43.
*85-31. h:.z, wea.zi'W ,z>ZjW . i'r'zH i'?V = A : э :
M,NеРд'а . i'D'M = i'DW. z>. M' = N
Доказательство.
h. *25-54 . z>h:Hp.z,wea.g ! i'P'zni'"?V. z>ZtVi,.z = w:
[♦11-35] Dh:Hp.z,wea.M (i'7* 'г) v. и (i'~P'w) v. z>z,w,h,v. z - w (1)
h . *85-3 . z> h :: Hp. z e a. M, N eРд'а . i'D'M = i'D'iV. z>:.
и (M'z) v. z>: zea . и (i'"?'z) v. и (i'DW) v:
[*80-35] z>: z e a . и (i'~?'z) v: (gw). w e a . и (N'w) v:
[*85-3 . *1035] z>: (gw). z, we a. и (sl~Plz) v. и (i'~? V) v. и (ЛГи>) v:
[(1). *1028] z>: (gw) . z = w. и (ЛГи>) v :
[\*13-195] z>:h(7V'z)v (2)
Principia Mathematica I

*85. РАЗЛИЧНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ
583
h.(2).Exp.*10-ll-21. z>h:.Hp(2). z> :zea . z>z. M'zgW'z (3)
Аналогично h:. Hp (2). z>: z e a. z>z. N'z G M'z (4)
h.(3).(4). z>h:.Hp(2). z>:zea.z>z.M'z = ATz:
[*33-45 . *8014] z>: M = N:. h . Prop
♦85-32. h:.z,wea.z#w. z>z,„;. s'C"?'z П s'C"~?'w = Л : z>:
M,NeРд'а. i'D'M = i'DW. z>. M = W
Доказательство.
h . *41-45 . z>
h :.Hp. э :z, wea.z/w.Dz,vv.Cti'r'znC'i<P'iv = A.
[*33-34] z>z,w.i'"?'zni'"?V = A (1)
h . (1). *85-31 . z> h . Prop
*85-33. h :. z, we a . z ф w. z>Z)VV . s'D"~?'z П s'D""?'w = A: z>:
M, ЛГ е Рд'a. i'D'M = i'D W .z>.M = N
[*41-43 . *33-32 . *85-31]
Доказательство проводится в точности, как в *85-32.
*85-34. h:.z,wea.z^w. z>ZjW . s'd"~?'z П s'd"^'iv = Л : z>:
М, NеРд'а. i'D'M = i'DW. z>. M = N
[*41-44 . *33-33 . *85-31]
Следующие предложения, *85-4-41-42, служат леммами для
предложений *85-43-44, имеющих фундаментальное значение, поскольку из них
выводится закон ассоциативности в кардинальной арифметике.
*85-4. Ь :. X, |i е к. X Ф \л. z>xtM, . i'X П i'n = А : э :
М, ЛГеед'к. i'D'M = i'DW. z>. М = N [*85-31 J;. *62-2]
*85-41. h :. к е Cls2 excl .э:а,рек.а^р.:э. i'PA'a h i'PA'P = Л
Доказательство.
h . *80-14 . z> h : x (s'PA'a) у. jc (i'PA'P) у. =>^ . у e a . у е Р .
[*22-33 . *10-24] z)^ . g ! a П p :
[Transp] z>h:anp = A.z>. i'PA'a h i'/VP = A (1)
h.(l).*84-l.z>h.Prop
*85-42. h :KeCls2excl.M,WeeA'PA"K. i'D'M = i'D lN.z>.M = N
Доказательство,
h . *3037 . Transp. z> h : Рд'а ф РД'Р. z>a,p . а ф р:
[Fact] э h : кe Cls2excl. a, P e к. Рд'а ф Рд'Р. z>a,p .
к е Cls2 excl. а, р е к. а ф р.
[♦85-41] z>a,p . i'PA'a h i'PA'P = Л :
[*37-63] z> h : кеCls2excl Л, цбРд"к. \ф ц. z>^ . i'Xh i'n = A (l)
h.(l).*85-4.z)h.Prop
*85-43. h : KeCls2excl. z>. Рд VKsmeA'PA"K
Доказательство.
h . *34-41 . э h . (M). i'D'M = (i | D)'M.
[*1342] z> h :. M, N eeA'Рд"к. i'D'M = i'DW. z>M,N . M = N: э :
M,We£A'PA''K.(i|D)'M = (i|D)W.3M^.M=W (1)
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

584
ГЛАВА 4. ВЫБОРКИ
Ь . (1). *8542 . z>
z> h :. к е Cls2 excl. z>: М, Л^ е ед 'Рд "к. (i | D) 4M = (i | D) W. z>M,N ,M = N:
[*73-25] г>:(^|В)'4ед'Рд"к8тед4/>д"к:
[*37-33] з:5"В"ед'Рд'4К8тед'Рд4<к:
[*85-27] э:/>дЧ<К8тед'Рд"к:.1>|-.Ргор
*85-44. h : KeCls2excl. z>. ед^'к8тбд'бд"к [*85-43-]
Следующее предложение используется в связи с кардинальным
умножением (* 114-301).
*85-45. h : к П X = Л. э . €д'(к U X) sm ед'(i'eA'к U 1'ед'Х)
Доказательство.
Ь . *85-44 . z>
Ь : i'k U CI e Cls2 excl. z>. ед V(i'k U i'X) sm eA 'ед "(i'k и i'X) (1)
h . *24-57 . z>h:.Hp.z>:K^X.V.K = A.X = A:
[*84-62-23] z>: i'k U i'X e Cls2 excl (2)
h. *53-ll-32 . z> h . s'ii'Kи i'X) = кU X. €A"(i'kU i'X) = i'eA'к U i'eA'X (3)
h.(l).(2).(3).z>h.Prop
Цель следующих предложений, до *85*55, — показать, как получить из
класса классов класс выборок с тем же самым числом термов, что и Рд'к.
Для этой цели мы введем новое обозначение, представляющее собой
мощное средство анализа пар, содержащихся в данном отношении. Пара xiy
содержится в отношении Р, когда хРу; фиксируя у, образуем класс пар
ly'r'y; все эти пары содержатся в Р. Положим
*85-5. Р1у = 1уйГР'у Df
Тогда PI"G'Pe Cls ex2 excl. Кроме того, s'PJ"G'P — класс всех
пар, содержащихся в Р, и sVP J"G'P = P. Докажем теперь, что
Рд'а = ^1'Б"ед'Р1"а, так что каждый элемент Рд'а может быть
получен из элемента €д'Р1"а, и задача существования Рд'а сводится к
задаче существования выборок из класса взаимно исключающих непустых
классов.
*85-51. \-.PAiiix=ix"~?ix = PJx [*8045 . (*85-5)]
*85-52. Ь . Рд'Ч"а = Р 1"а [*37-35 . *85-51]
*85 53. Ь.Рд'а = 5'ТГед'Р1''а
Доказательство.
Ь . *84-241. *53-22 . z> Ь. i' 'a e Cls2 excl. s\"a = a .
[*85-27] z> h . Рд'а = i"D"eA'P"i"a
[*85-52] = i"D"eA'P J"a. э h. Prop
*85-54. h.PA'asmeA'PJ"a
Доказательство.
h . *84-241 . *53-22 . z> h . i' 'a e Cls2 excl. s'i"a = a.
[*85-43] z> h . PA'asm ед'Р'Ч"а.
[*85-52] z> h . PA 'a sm ед 7> J' 'a. z> h . Prop
Следующее предложение часто оказывается полезным.
Principia Mathematica I

*85. РАЗЛИЧНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ
585
•85-55. h.PA'asmD"eA'PJ"a.PJ"aeCls2excl
Доказательство.
h.*85-51.*80-14.z>h:/?ePJx.D.a^ = L'x:/?ePIy.z>.a^ = L>:
[•3-47]
[*13171. *51-23]
[•30-37]
[•10-11-23]
[*3-42.*11-11]
[•37-63]
84-11]
84-41]
85-54]
z>\-:RePZxC)PZy. z>. (l'R = i'x.<l'R = i'y.
э .х-уш
z>.PXx = PZy:
z>h:g!PJxnPJy. =>.PJx = PJy:
z>h :jc,yea.g ! PJxPiPJy . э^ . PJx = PJy :
z> h : X, (i e P J"a . g ! X П |i. z)^ . X = |i:
z>b.PJ"aeCls2excl.
z>h.D'(eA'PI"asmeA'PI"a.
z>h.PA'asmD'<eA'PI"a
h . (1). (2). э h . Prop
*85-56. h:PfaeCls^l.z>.eA'"?<'asmeAtPJ'ta [*85-14-54]
*85-6. Ь.ед'Ч''к = ц{(Яр).рек.р1 = Хр''р} = еХ''к
Доказательство.
Ь.*37-67. z>h.€A'4'<K=fi{(gp).peK.^ = eAVp}
[*83-4] =£{(ap).p€K.n = ip"p}
h . (1). *85-52 . z> h . Prop
Следующее предложение часто используется.
•85-601. KeJa = >La"a.eIasma.eJ"KsmK.eJel -> 1 .Е !ej'a
Доказательство.
z>b ,еХсх = J,a"a
z> h . е X <х sm a
z>h.E!eI'a
z>b.eIel->Cls
^h:a = A.eXct = eXP-^.eIP = A.
z>.p = A
эЬ.хеа.еХа = еХР.^.*Х(Х€|Р"р.
z>.(gy).xXa = yXp.
z>.a = p
(6). *10-ll-23-35 .z>h:g!a.€la = eip.z>.a=:p
(5). (7). z>h:ela = elp.z>.a=:p
h . *85-51 . *62-2 ,
[•73-611]
h.*38-12.
[•71-166]
h . (2). *73-47 .
[•73-47. (2)]
h . (1). *38-131.
[•38-131]
[•55-202]
h.
h.
(1)
(2)
(1)
h
h
h
•85-61.
(4). (8). *71-54 . z>h.elel->l
(9). (3). *73-26 . Dh.6j"KsmK
(l).(2).(3).(9).(10).z>h.Prop
h.eI"KeCls2excl.€A'K=i<'D"eA'eI"K.€A'KsmeA'eIt'K
[*85-53-54-55^]
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
•85-62. h : g ! ед'к. = . g ! ед'еХ"к
[•85-61 . *73-36]
A. H. Уайтхед, Б. Рассел

586
ГЛАВА 4. ВЫБОРКИ
*85-63. Ь : е J"C1 ех'а е Cls ex2 excl: g ! ед'CI ех'а. ==. a ! ед'e J"C1 ех'а
Доказательство.
h . *85-6 . *60-21. z>
h:XeeJttClex'a. = .(ap).pca.a!p.X = ip"p (1)
h . *73-611-36 . z>h:a!p.X = ip"p.z>.g!X:
[*3-42] Dh:Pca.g!p.X = |P"p.D.g!X:
[*1(И1-23] z> h : (gp). p с a. g ! p . X = i p'4p . э. g ! X (2)
h . (1). (2). z> h : X e (e J"C1 ex'a). z>. а ! ^:
[*10-ll.*24-63]z>l-.A~e(eJ"Clex'a) (3)
h . (3). *85-61 . *84-13 . z> h . e I"C1 ех'а е Cls ex2 excl (4)
h . (4). *85-62 . z> h . Prop
Замечание, (а), а -ед' CI ех'а—"аксиома Цермело". Последнее
предложение показывает, что она истинна, если
к е Cls ex2 excl. эк . g ! ед'к,
что, в свою очередь истинно, если
к е Clsex2 excl. z> : (an): а е к. z>a . ц П а е 1
в силу *84*412. Последнее представляет собой "аксиому умножения", из
которой выводится, как только что показано, "аксиома Цермело".
Следующие предложения приводят нас к *85-72, используемому в
теории двойного подобия (*111-3).
*85-7. h:.peX.z>p./?'PcP:MeeA'tf''X:z>.
М | R \ Iеед'X. D'(M | R \ I) = D'M
Доказательство,
h . *1Ф21 . z> h :. Нр . z>: р е X. z>p . Е ! /?'Р:
[*74-11] ^iRlXel^Cls.lcD'R (1)
[•80-14 . *71-25] z>: М \R \ \е 1 -► Cls (1)
h . (1). *71-7 . *35*7 . z> Ь :. Нр . z>: х (М | R \ X) р . z>. Р е I. хМ (Д'Р).
[*80-14.Нр] э.реХ.хеД'р.
[Нр] э.хер (3)
Ь . *80-14 . *74-44 . z>
Ь : Нр . э . D'(M | R \ X) = D'M . а'(М | R \ X) = X П СГД
[(1)1 =Х (4)
h . (2). (3). (4). *8(Н4 . z> h . Prop .
*85-701. h :. р еX. z>p . /?'Р с р : z>. D"eA7?"Xс Б"ед'Х [*85-7]
*85-702. h:.peX.z>p./?'CrpeCl'P:z>.D"eA'/?"Cl"XcD"eA'X
И5-701^]
*85-71. h:/?eeA'Cl"X.D.D"eA'D'/?cD"eA'X [*85-702 . *83-2]
Данное предложение утверждает, что если мы выберем по одному
подклассу из каждого элемента в X (где X является классом классов), то
выборки из подклассов, полученных таким образом, суть выборки из L
Principia Mathematica I

*85. РАЗЛИЧНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ
587
•85-72. h :. (S "Р) 1 S е 1 -► 1: Р еX. z>p . Д'р с 5 'Р : z> .
D"eA7?"XcD"eA\S"'X
Доказательство.
Ь . *14-21. *33-43 . z> Ь :. Нр . z>: р е X. z>. р е CTS (1)
К*85.701^ф|^.э
R, А,
Ь :. у eSilX. z>v . (R\S)ly cy:z>. D"eA7?"S "S "X сD'^'S "X (2)
h . *37-63 . *14-21 . z>
hiiUp.z}i.yeStu\.z>y.(R\SYycyi = ifie\.^.(R\SyS^c:S^:
[•74-53 . (1)] = : p e X. z>p . Д'р с S 'p (3)
h . *74-171 . z> h : Hp . z>. S "S "X = X (4)
h.(2).(3).(4).z>h.Prop
Следующее предложение — подготовительная лемма для теории
двойного подобия (*111-313).
•85-81. h:.XeCls2excl:PeX.z>p.^a<T'PcP:/?eeATttX:z>:
peX.z>p.(i'D'/?)rp = /?T'p
Доказательство.
Ь.*14-21. z>h:.Hp. z>:PeX. э.Е!Г'Р: (1)
[•83-2 . *37-6] z> : Р е X. z>. ДТ'Р е Г'Р. (2)
[*35-452 . Нр] z>. Д'Г'Р = (Д'Г р) Г Р (3)
I-. (1). *83-22 . z>h:.Hp. z>:PeX. z>.E!/?T'p.
[•33-43 . *4ЫЗ] z>./?T'PGi'D'/?.
[•35-461] z>. (ДТ'р) Г Р G(i'D7?) Г р.
[(3)] э.ЛТ'Ре(*Т>'Д)ГР (4)
Ь . (1)*37-6 . *83-23 . z> h :. Нр . z>: DlR = Й {(gy) >yeX.M = R'T'y):
[*41-11.*13-195] z>:x(s'D'R)y. = .(Ry).ye\.x(R'T'y)yi
[•35-101] э:х{(5вВ4Л)ГР}у.5.(Яу).у€Х.:с(ЛвГу)у.у€р (5)
Ь . (2). *33-14 . z> h :. Нр . уеХ. z>: х(КГу)у .z> .уеСГДТ'у.R'T'yeT'y .
[*40-4] э.уея'СГТ'у.
[Нр] э.уеу (6)
Ь.(5).(6). z>h::Hp.z>:.peX.z>:
Jc{(ieDeJDrp}y.s.(aY).p,Y€^.Jc(^rY)y.y€p.y€Y.
[•84-11. Нр] э.(яу).Р.У€Х.л(ЛТ'у)у.р = у.
[•13-195] z>.jc(/?'rp);y (7)
h . (4). (7). э h . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

588
ГЛАВА 4. ВЫБОРКИ
*88. Условия существования выборок
Краткое содержание *88.
Существование выборок не может быть доказано в общем случае,
исходя из того, что нам известно в настоящее время. Иначе говоря, мы не
можем доказать ни одно из следующих предложений:
(Р,к):кс<ТР.э.д!Рд'к
(Р, к): Р е Cls -► 1. к с СГР. z>. g ! PA 'к
(р).а!РАчгр
(к):Л~е.к. z> . g !бд'к
(к): K€Clsex2excl. z>. g ! ед'к
(а).а !ед'С1ех'а
(к):. к е Cls ex2 excl. z>K : (дц): а е к. z>a . \i П а е 1
Можно показать, что все эти предложения эквивалентны inter se206;
и, в силу теоремы Цермело (см.*258), они эквивалентны предложению
"всякий класс может быть вполне упорядочен". В настоящем параграфе
мы доказываем отмеченные выше эквивалентности, а также некоторые
предложения о существовании выборок в различных частных случаях.
Наиболее очевидным из перечисленных предложений кажется
последнее, а именно: "Если к —класс взаимно исключающих классов, ни один
из которых не пуст, то существует по меньшей мере один класс |х, в
который входит один и только один элемент из каждого элемента класса к".
Это предложение мы и примем в качестве "аксиомы умножения".
Будем называть Р перемножаемым (multipliable) отношением (и
обозначать RelMult), если существует Рд'О'Р, или, что эквивалентно, если
KcQ'P.DK.g ! Рд'к. Таким образом, мы полагаем
Rel Mult = Р {g ! Рд'd\P} Df.
Будем называть к перемножаемым (multipliable) классом классов, если
существует бд'к; полагаем
Cls2Mult = к{g ! ед'к) Df.
Аксиому умножения будем обозначать "Multах". Полагаем
Mult ах. = :. к е Cls ex2 excl. z>K : (g \л) : а е к. z>a . \л П а е 1 Df.
В настоящем параграфе мы сначала даем различные
эквивалентные формы предположения о том, что Р — перемножаемое отношение
(*88-1—15); затем — то же самое для перемножаемых классов классов
(*88-2—26); после чего мы даем различные эквивалентные формы аксиомы
умножения (*88-3—39). (Некоторые важные эквивалентные формы в
настоящий момент не могут быть приведены, поскольку они используют еще
не введенные определения, такие, как определения кардинального
умножения и вполне упорядоченных серий. См. * 114-26 и *258-37.) В заключение
мы даем предложения, показывающие, что различные специальные классы
классов перемножаемы. Большинство из этих предложений не используется
в дальнейшем, но они иллюстрируют природу трудностей, появляющихся
206 Между собой. — Прим. перев.
Principia Mathematica I

*88. УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ВЫБОРОК
589
в доказательстве того, что некоторый класс классов перемножаем;
некоторые из них показывают, что уже размер влияет на перемножаемость.
Например, предложение *88-48 показывает, что, если в заданном классе
классов к заменить каждый элемент а на i"aUi'a, результат окажется
перемножаемым классом классов; но единственный эффект произведенной
замены заключается в увеличении на единицу числа элементов каждого
элемента нашего класса классов.
Перечислим основные предложения настоящего параграфа, на которые
в дальнейшем даются ссылки.
*88-22. h : к € Cls2 Mult Л с к. =>. X € Cls2 Mult
*88-32. Ь :. Mult ах . = : к € Cls ex2 excl. =>к . g ! €Д 'к
*88-33. Ь: Mult ах. = . (a). g ! €Д'С1 ех'а
*88 361. Ь :. Mult ах. = : к с СГД. =RtK . g ! Дд'к
♦88-37. Ь :. Mult ах. = : Л ~ € к . =>к . g ! €д 'к
Последнее обычно считается наиболее удобной формой аксиомы
умножения.
*88-372. h :. Mult ах. = : Л € к. =к . ед'к = Л
Данное предложение используется в *114, чтобы доказать
эквивалентность аксиомы умножения предложению о том, что произведение
кардиналов обращается в нуль тогда и только тогда, когда один из сомножителей
обращается в нуль.
*8801. Rel Mult = Р {g ! Рд'СГР} Df
*8802. Cls2Mult = к{g !€Д'к} Df
*8803. Mult ах. = :. к € Cls ex2 excl. z>K : (дц): a € к. =>a . ц П а € 1 Df
*88-1. Ь : Ре Rel Mult. = . д ! Рд'СГР [*20-3 . (*88-01)]
*88-11. Ь : Ре Rel Mult. Хс СТР. =>. g ! Рд'Х
Доказательство.
Ь.*80-6. эЬгДеРд'СГР.ХсСГР. э.ДГХеРд'Х.
[*10-24] э.д!Рд'Х:
[*1(И1-23-35] z> Ь : g ! Рд'СГР. X с СГР. z>. g ! РД'Х (1)
К (1). *88-1 . => Ь. Prop
*88-12. h :. Ре Rel Mult. = : l с СГР. =>x . g ! Рд'Х
Доказательство.
b.*88-ll.Exp.*10-ll-21.z>
h :. PeRelMult. =>: lсСГР. z>x . g ! Рд'Х (1)
h.*10-l .*22-42.=>
h :. X с СГР. z>x . g ! Рд'Х: =>. g ! Рд'СГР.
[*88-l] z>. PeRelMult (2)
h . (1). (2). d h . Prop
*88-13. h : PeRelMult. = . g ! ед'Р J"CTP [*85-54 . *73-36 . *88-l]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

590
ГЛАВА 4. ВЫБОРКИ
*88-14. h :.ксат. э : Р \ KeRelMult. = . a ! Рд'к
Доказательство.
К*80-23. г>Н:а!Рд4к. = .а!(РГк)д4к (1)
К*35-65. эЬ:ксСГР.г>.СГ(РГк) = к (2)
h. (1). (2). эЬ:.Нр.э:а!Рд'к. = .Э КНк)д'СГ(РГк).
[*88-1] = . Р \ к е Rel Mult:. z> h . Prop
«88-15. h :. a4P = V. z>: P \KeRelMult. = . g ! Рд'к [*88-14 . *24-ll]
*88-2. h : к 6 Cls2 Mult. = . g ! €Д 'к [*20-3 . (*88-02)]
*88-21. h : Pe Rel Mult. s . P J"CTPe Cls2 Mult [*88-13-2]
*88-22. Ь : к е Cls2 Mult. I с к. = Л e Cls2 Mult
Доказательство.
h.*80-6. эЬ:Реед'к.Хск. z> .P f Хеед'Х.
[*10-24] z>.a!eA'X:
[•10-11-23-35] э(-:д!бд'кЛск.з.а!бд'1 (1)
h . (1). *88-2 . z> h . Prop
*88-23. h : к 6 Cls2 Mult. z>. CrKcCls2Mult [*88-22 . *60-2]
*88-24. h :. PeCls -► 1. z>: Pe Rel Mult. = .7*"CTPe Cls2 Mult
Доказательство.
h . *85-14 . *73-36 . z> h :. Hp . z>: g ! Рд'СГР. = . а ! ед'7*"СГР (1)
h . (1). *88-1-2 . z> h . Prop
*88-25. h :. P \ ке Cls -► 1. кс СГР. z>: P \ ке Rel Mult. = .~?"KeCls2Mult
Доказательство.
h . *85-14 . *73-36 . z>
h:.Hp. z>:a !Рд'к. = .а !ед'~?"к:
[*88-14-2] z>: P Г KeRelMult. = ."?"кбCls2Mult:. z> h . Prop
*88-26. h :: ке Cls2excl. z>:. ке Cls2Mult. = : (au): a e к. z>a . \i П a e 1
Доказательство,
h . *88-2 . *3745 . z>h : KeCls2Mult. s . а ! D"eA'K (1)
h . (1). *84-412 . z>
h::Hp.^:.KeCls2Mult . = :(дц):аек. эа . (яПае 1 : цсу'к: (2)
[*10-5] г>:(аи):аек.эа . цПае1 (3)
Ь. *40-13 . *22-621. z> h : а е к. z>a . 5'к П а = а.
[+22-481] z>a . (i П s'k П а = \i П а:
[*2-77. *10-27] эЬ:.аек.эа.|яПае1:э:аек.эа.|яП.у'кПае1 (4)
h . (4). *22-43 . эЬ:.аек.эа.цПае1:э:
а е к. эа . (я П 54к П а е 1: (я П 54к с 5'к:
[*10-24] z> : (av). а е к. эа . v П а е 1: v с s'k (5)
К(5).*10-1Ь23.э
h :. (an): а е к. z>a . \i П а е 1: z> : (av). а е к. z>a . v П а е 1: v с s'k . (6)
К (6). (2). эЬ::Нр.э:.(аи):аек.эа.^Пае1: z>. к е Cls2 Mult (7)
h. (3). (7). z> h . Prop
*88-3. h :: Mult ax. = :. к е Cls ex2 excl. эк : (a^i) :аек.эа.(яПае1
[*4-2 . (*88-03)J
Principia Mathematica I

♦88. УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ВЫБОРОК
591
*88 31. Ь : Mult ах. = . Cls ex2 excl с Cls2 Mult
h . *88-26 . *5-74 . z> h :: к € Cls ex2 excl. z>K . к e Cls2 Mult: ==:.
к e Cls ex2 excl. z>K : (g^i): a € к. эа . ^i П a € 1 :.
[*88-3] = :. Mult ax:: z> h . Prop
*88-32. h :. Mult ax . = : K€ Clsex2 excl. z>K . g ! ед'к [*88-31-2]
*88 33. h : Mult ax. s . (a). g ! €Д 'CI ex'a
Заметим, что (a) .g ! €д'С1ех'а есть аксиома Цермело.
Доказательство.
Ь . *88-32 . *85-63 . z> Ь: Mult ах. z>. g ! ед'€ J"C1 ex'a.
[*85-63] z>.g!€A'Clex'a (1)
Ь.*60-57. zdH.kcCIVk.
[*60-24] э Ь . к - i'A с С1 ex Vk.
[*8Ф13] z> Ь : ке Clsex2 excl. z>. к с CI exVK (2)
h . (2). *80-6 . z> h : к e Cls ex2 excl. R e ед 'CI ex Vk . z>. R \ к е €Д 'к (З)
h . (3). *10-ll-28-35 . э h : ке Clsex2 excl. g ! €Д'С1 ex's'K. z>K . g ! €Д'к :
[*10-1] Dh:.(a).g! €Д'С1 ex'a . z> : ке Clsex2 excl. эк . g ! ед'к:
[*88-32] z>: Mult ax (4)
h . (1). (4). z> h . Prop
*88-34. h : Mult ax. г . Cls -► 1 с Rel Mult
h . *84-5 . *88-32 . z>h :.Mult ax. z> rfleCls-» 1 .
[*85-14. *73-36]
[*88-l]
h . *84-14 . z> h :. Cls -► 1 с Rel Mult. z>:
, г>.д!ед'7?"СГД.
э.д!Дд'СГД.
z>.Re Rel Mult
(1)
K€Clsex2excl. z> .€ \ KeRelMult.
[*88-l] э.д!(бГк)д'а'еГк.
[*84-13 . *62-42] z>. g ! (e \ к)д'к.
[•80-23] z>.g!eA'K (2)
h . (2). *10-11-21. *88-32 . z> h : Cls -► 1 с Rel Mult. z>. Mult ax (3)
h.(l).(3).z>h.Prop
*88-35. h : Mult ax . = .(R).R e Rel Mult
h . *37-45 . *55-121 . (*85-5) .z>b:g!PJjc.=.g !7*'jc.
[*33-41] =.jc 6 d\P (1)
h . (1). *10-11 . *37-63 . z> h : ae/> 1"СГР. z>a . g ! a:
[*24-63] z>b.A~€PJ"d'P (2)
h . (2). *84-13 . *85-55 . z> h . P J"d'/>eClsex2excl.
A. H. Уайтхед, Б. Рассел

592
ГЛАВА 4. ВЫБОРКИ
[*88-32] z>h:Multax. z> .g !€Д'Р1"(ГР.
[*85-54 . *73-36] z>. 3 ! Рд'СГР.
[*88-l] z>.P€ Rel Mult
h. *10-1 . *88-l . z> h :(R).R e Rel Mult. z> . a ! (e \ CI ех'а)д'СГ(е \ CI ex'a).
[*62-42] z>. g ! (e \ CI ех'а)д'С1 ех'а.
[*80-23] =>.а!€д'С1ех'а
h . (4). *1011-21. *88-33 . z> h : (R). R e Rel Mult. z>. Mult ax
h . (3). (5). z> h . Prop
*88-36. h :. Mult ax. = : к с СГД. z>*,K. a ! Дд'к [*88-35-12]
*88 361. h :. Mult ax. = : к с СГД. =R,K . a ! Дд'к [*88-36 . *80-2]
*88-37. h :. Mult ax. = : Л ~ е к. z>K . a ! ед'к
Доказательство.
h . *88-36 . *62-231 . z> h :. Mult ax. z>: Л ~ € к. эк . a '• ед'к
h.*84-13 . *88-32 . z>b:.A~€K.z>K.a ! €д'к: z>. Mult ax
(3)
(4)
(5)
(1)
(2)
h . (1). (2). z> h . Prop
*88-371. h :. Mult ах. = :Л~€К.=к.а! ед'к [*88-37 . *83-l]
*88-372. Ь:.МиН;ах. = :Л€К.Е=к.ед'к = Л [*88-371 .Transp]
Данное предложение показывает, что аксиома умножения эквивалентна
допущению, что произведение кардиналов обращается в нуль тогда и
только тогда, когда один из сомножителей обращается в нуль.
*88-373. Ь : Mult ах. = . Cl'(Cls - i'A) с Cls2 Mult
Доказательство.
h . *24-63 . *53-5 . z> h :. Л ~ е к. = : а е к. z>a . а € Cls - i'A :
[*22-1] = :kcC1s-i'A:
[*60-2] =:k€C1'(C1s-l'A)
h . (1). *88-37 . z> h :. Mult ax. = : к e Cl'(Cls - t'A). z>K . a ! ед'к:
[*88-2] = : Cl'(Cls - i'A) с Cls2 Mult:. z> h . Prop
*88-38. h : Mult ax. = . Cls - i'A € Cls2 Mult [*88-23-373]
*88 39. h : Mult ax. s . (a Д) . R e 1 -> Cls . R G€. D'R = V. СГД = Cls - i'A
h . *88-38-2 . *80-14 . z>
h: Mult ax. = . (3Д) . Д € 1 -► Cls. Д ci€. d'R = Cls- i'A
h . *51-161 . *53-5 . z> h : СГД = Cls - i'A. z>. t'jce d'R
[*23-621] z>b:Rce.z>.R = Rne
h.(2).(3). z>h:/?Ge.a^ = Cls-i'A. Ь . Cxed^Rhe).
[*33-131] z>. (a>) • yR i'x. у e i'jc .
[*51-15] э. (ay). yR i'jc . у = x.
[*13-195] z>.jcfli'jc.
[*33-14] z>.xeDlR
h . (4). *10-11-21. *2444 . z> h : R ce. d'R = Cls - i'A. z>. D'R = V
(1)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
h . (1). (5). z> h . Prop
В следующих предложениях рассматривается ряд случаев, в которых
существует конструкция, с помощью которой можно доказать
существование выборок.
PRINCIPIA MATHEMATICA I

*88. УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ВЫБОРОК
593
*88-4. Ь.к1С1€€Д'С1"к
Доказательство.
Ь . *72-29 . *71-27 . =>Кк1 Clel->Cls (l)
h . *35-52-101. z>h:a(KlCl)X. = .a€K.X = Cl'a.
[*60-34] z>.ae\ (2)
h.(2).*ll-ll. z>h.KlClGe (3)
h . *35-52 . z> h . СГ(к 1 Ol) = Б'(СЦ к)
[*37-401] = С1"к (4)
h . (1). (3). (4). *80-14 . z> h . Prop
*88-41. h. СГ'ке Cls2 Mult [*88-4-2]
*88-411. Ь.К€Б"€Д'С1"к
Доказательство.
h . *35-52 . z> h . D'(k 1 CI) = <T(C1 \ к)
[*35-65. *33-43l] = к (1)
h.(l).*88-4. z>h.(a/?)./?€€A'Cr'K.D^ = K.
[*37-6] z> h . K€D"€A'C1"k. z> h . Prop
*88-42. h : кe Cls2 Mult. g ! a. = . к U t'a € Cls2 Mult [*83-904 . *88-2]
В силу данного предложения, как будет доказано позже, всякий
конечный класс существующих классов есть Cls2 Mult. Действительно, Аббд'Л;
и, согласно последнему предложению, Cls2 Mult остается Cls2 Mult, когда
один существующий класс добавляется в качестве дополнительного
элемента; таким образом, результат получается по индукции.
*88-43. Ь : s'k e Cls2 Mult .' z> . €Д' 'к € Cls2 Mult
Доказательство.
Ь . *88-2 . z> h : Нр . z>. g ! €Д Vk .
[*85-24] z>.3!i"D"<EA'€A"K.
[*37-45] э.д!ед'ед"к.
[*88-2] z>. €Д "к € Cls2 Mult: z> h . Prop
*88-431. h :. K€Cls2excl. z>: €Д"К€ Cls2Mult. = . я'ке Cls2Mult
[*88-2 . *85-28 . *37-45]
*88-44. h : CI ex Vk € Cls2 Mult. z>. к - i'A е Cls2 Mult [*60-57 . *88-22]
*88-441. h : Л ~ е к . CI ex Vk € Cls2 Mult. z>. к € Cls2 Mult [*88-44]
*88-45. H:D'/?na,/? = A.P = Jcd{x6ati?.a=^'jcUi'jc).D.P€eAtaiP
Доказательство.
h.*21-3. Dhr.Hp.DijcFa.^a.jcea^.a^'jcUi'jc. (1)
[*51-16] z^a.xea (2)
Ь.(1).*33-15.*51-2.э
h :. Hp . z>: xPa .z>x .a=1'jcUi'x.1'jccD'i?. i'jcс QlR.
[*24-494] z^.a-DT^i'x (3)
h . (3). *ll-59 . z> h :. Hp . =>: xPa . yPa. z>^ . a - D7? = i'jc . a - D7? = ily.
[*20-23 . *51-23] z>Xjy .x = y:
[*71-17] z>:Pel->Cls (4)
h.(2).(4).*80-14.z>h.Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

594
ГЛАВА 4. ВЫБОРКИ
*88-46. Ь : D7? П СГД = Л . X = а {(дх). хе СГД. а = "#'л; U i'x}. z>. X € Cls2Mult
Доказательство.
h . *21-3 . *10-281 . *33-131 . z> h :. P = M {x e СГД. a =~# 'x U i'x} . z>:
a € СГР. =a . (gx). x e СГЯ .a4'jcU i'x (1)
h . (1). *88-45 - z>h:Hp. D.Jcd{jcea'i?.a=t'jcUi'jc)eeA'L
[*10-24] z>.g!€A'X.
[*88-2] э . X 6 Cls2 Mult: z> h . Prop
*88-47. h : P = ap {a € к. p = i"a U i'a}. z>. P e eA'СГР
Доказательство.
h.*21-3. z>h:.Hp. z>: aPp . ==a,p . аек. p = i"A Ui'a. (1)
[*5146] =>a,p.aep (2)
h.(l).*ll-59. z>h:.Hp. г>:аРр.уРр.=>аДу.р = 1"Ли14а.р = 1''Си1'у.
[*40-171. *53-22-02] эаДу . s'P = a. s'P = у.
[*2023] z>aAY.a = Y
[*71-17] z>:Pel->Cls (3)
h . (2). (3). *80-14 . z> h . Prop
*88-48. h . p {(g a). a e к. p = i"A U t'a} € Cls2 Mult [*88-47]
Доказательство проводится аналогично *88-46.
*88-5. h . Л П Cls € Cls2 Mult [*83-9 . *88-2]
*88-51. h : g ! a. =>. t'a e Cls2 Mult [*83-901 . *88-2]
*88-52. h.i"ae Cls2 Mult [*83-42]
*88-53. h : к с 1. z>. к е Cls2 Mult [*83-44]
Principia Mathematica I

ГЛАВА 5.
ИНДУКТИВНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
Краткое содержание главы 5.
Предметом исследования настоящей главы являются некоторые общие
идеи, частный случай которых предоставляет математическая индукция.
Математическая индукция, по своему существу, есть применение к
числовым сериям одной и очень важной концепции, применимой ко всем
отношениям. Концепция, о которой идет речь, есть то, что мы будем называть
отношением предшествования (ancestral relation)207 данного отношения.
Если задано отношение R, сооответствующее отношение предшествования
будем обозначать "Д*"; выбор названия обусловлен тем, что если R —
отношение родителя к отпрыску, Д* будет отношением предка к потомку208;
причем, ради удобства терминологии, мы включаем х в число его
собственных предков, если х является чьим-либо родителем или отпрыском.
Вообще говорят, что а и z находятся в отношении предка к потомку,
если существует некоторое число промежуточных лиц Ь9 с, J,..., таких, что
в последовательности а,Ъ,c,d,...,z каждый терм к следующему находится
в отношении родителя к отпрыску. Однако это неадекватное определение,
поскольку точки в
"a,fc,c,d,...,z"
представляют собой нечто, неподдающееся анализу. Мы можем попытаться
улучшить это определение, если скажем, что существует конечный класс
а промежуточных термов такой, что один элемент (Ь) из а — отпрыск я,
еще один (у) — родитель г, каждый элемент из а, кроме Ь, — отпрыск одного
207 В настоящее время употребляется термин "транзитивное замыкание". — Прим. пе-
рев.
208 Говорят также об отношении предшественника к последователю. — Прим. перев.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

596
ГЛАВА 5. ИНДУКТИВНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
(и только одного) элемента из а и каждый элемент из а, кроме у, —
родитель одного (и только одного) элемента из а. Такое определение открыто
для ряда возражений. Во-первых, оно слишком усложнено; во-вторых, в
общем случае возникнут трудности с обеспечением единственности элемента,
который должен быть родителем (или отпрыском) заданного элемента из
а; в-третьих (и это на самом деле — решающее возражение), в
предлагаемом определении требуется, чтобы класс а был конечным, в то время как
мы обнаружим, что конечность, в соответствующем данному случаю
смысле, может быть определена только через само понятие отношения
предшествования, которое мы и пытаемся здесь определить. Действительно, если
N обозначает отношение vkv+1, где v — кардинальное число, то конечный
кардинал (в смысле, который нам требуется) есть кардинал, к которому О
находится в отношении N*, т. е. кардинал, для которого 0 является
предком в силу отношения
v(i(^ = v+l).
Поэтому нельзя использовать понятие конечности в определении
отношения предшествования. На самом деле отношение предшествования
определяется следующим образом.
Будем называть |д. наследственным классом для отношения R, если
/?"^1С|л, т.е. если последователи элементов |х (в силу отношения R) сами
принадлежат |х. Например, если |х — класс лиц, носящих фамилию Смит, ^i
является наследственным для отношения отца к сыну. Если [я — сословие
пэров, |х является наследственным для отношения отца к пережившему его
старшему сыну. Если ц состоит из чисел, больших 100, \i наследственно
для отношения v к v + 1; и т. д. Если а — предок z и \i — наследственный
класс, которому принадлежит а, то z также принадлежит этому классу.
Обратно, если z принадлежит каждому наследственному классу, которому
принадлежит а, то а должен быть предком z (при условии, что а
считается одним из своих собственных предков, лишь только « — чей-либо
родитель или отпрыск). Действительно, иметь а своим предком —
наследственное свойство, присущее а, и, следовательно, по условию, присущее z. Таким
образом, а яляется предком z тогда и только тогда, когда а принадлежит
полю рассматриваемого отношения, a z принадлежит каждому
наследственному классу, которому принадлежит а. Это свойство молено использовать
для определения отношения предшествования; т. е. поскольку мы имеем
aR*z. = iaeC'R :Rl'|iс\i.aeц. z>^ .zeц,
полагаем
Д* =az{ae C'R : R* *\i с \i. a e \i. z>^ . z e \i) Df.
Тогда
h :aeC'R. z> . л*'я = 2{Д"|яс|я .ae\i. z>^ .ze\i].
Элементы класса К*'а молено назвать "потомками я". Это — класс термов,
предком которых является а.
Чтобы объяснить, какое отношение все сказанное выше имеет к мате-
Principia Mathematica I

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВЫ 5
597
матической индукции, возьмем 0 в качестве а и &|3(Р = а+1) в качестве R.
Тогда, поскольку 1 = 0+1, имеем ОбCR. Аналогично предыдущему,
/?"цсц. = :аец.эа.а+1€ц.
В результате получаем
к*'0 = Р{а€|я. эа.а+1€ц:0€ц:Эц.р€ц}.
Таким образом, если р —потомок 0, то Р принадлежит всякому классу,
которому принадлежит 0 и которому, если принадлежит а, принадлежит и
а+ 1. Следовательно, посредством математической индукции, начиная с 0,
могут быть доказаны свойства р. В элементарной математике принято
говорить в такой ситуации, что свойство справедливо для всех целых чисел,
т. е. к * '0 (определенное выше) включает все целые; однако в
действительности только конечные целые (в одном из двух значений, которые может
иметь слово конечные) принадлежат классу Я*'0, и принадлежат ему они
в силу определения, будучи определенными в совокупности как класс
Р {а € ц . z>a . а + 1 € ц : 0 € ц: z>^ . Р € ц},
т.е. как а*'0 в вышеприведенном смысле. К бесконечным числам
индуктивные доказательства подобного рода, начинающиеся с 0, неприменимы.
Изучению Д* посвящен параграф *90. Отношение Д* имеет место между
хну, если x(I \C'R)y, или xRy, или xR2y и т. д. Изучению этого "и т. д.",
т. е. "степеней отношения", посвящен параграф *91. Для многих целей
технического характера удобно считать / \ CR 0-й степенью R; другими
степенями являются R, R2, и т.д. Если S—степень R, таково же и S \R. В
соответствии с определением *38, S \R есть \R'S. Таким образом, если
Re\i:S €[i.-DS -S | Я € ц : эц . Р € ц,
то Р должно быть степенью R, так как класс степеней R есть значение |х,
удовлетворяющее гипотезе
Re\i:Se\i.^s-S\Re[i.
Обратно, если Р — степень R, то Р получается повторением процесса
замены S на S \R, начиная этот процесс с R. Следовательно, если Р — степень
R, то
Re\i:S e\i.^s *S \Re\i:^mPe\i.
Таким образом, если мы обозначим Pot4/? класс степеней R, то будем
иметь
PeFoVR. = :.Re[i:S e\i.z>s .S \Re\i: z>^ . Pe\i.
Мы могли бы использовать это как определение Pot'/?; но предпочтем
более простую формулу. Действительно, как можно показать без лишних
хлопот, последнее эквивалентно
Р е Pot 'Д. = .Р (\R)*R,
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

598
ГЛАВА 5. ИНДУКТИВНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
т. е. Р принадлежит к предкам R в силу отношения | R, другими словами,
Р получается из R через последовательность
R,\RlR,\R'\RlR, и т.д.,
что то же самое, что и последовательность
R,R\R\ и т.д.
Отношение (|Д)* важно само по себе. Полагаем
Rts = (\R)* Df,
а также
FoVR=%'R Df.
Часто желательно включить I \ CR в число степеней R; класс Pot'/?
вместе с / \ CR обозначим Potid'/?. По определению
Potid'R=%V\C'B) Df,
откуда легко выводится
РоШ'Д = PoVR U i'(/ \ С'Д) Df.
Не менее важно отношение, получаемое из степеней R с исключенным
/ Г C'R. Обозначим его Rpo и положим
Rpo = sl?ot'R Df.
Таким образом, когда xRpoy, имеет место xRy, xR2y, xR3y, и т. д. Легко
доказать, что
д*=Ярои/гсд.
Если имеется серия, в которой каждый терм (кроме первого, если только
он существует) обладает непосредственным предшественником и каждый
терм (кроме последнего, если только он существует) обладает
непосредственным последователем, и R есть отношение терма к его
непосредственному последователю, то Rpo есть отношение любого предшествующего
терма к любому последующему.
В следующем параграфе (*92) рассматриваются некоторые специальные
свойства степеней одно-многозначных, много-однозначных и
одно-однозначных отношений.
В следующем параграфе (*93) поле отношения разбивается на
последовательные поколения (generations); например, для отношения родителя
к отпрыску первое поколение будет состоять из Адама и Евы, второе
поколение —из их детей, третье —из их внуков, и так далее, выбирая
всегда длиннейший маршрут от Адама и Евы в тех случаях, когда
заключались браки между разными поколениями. Для произвольного
отношения Р первым поколением является D'P-G'P, вторым поколением —
Q'P-aXP2), третьим — СГ(Р2)-СГС^3), и т.д. Вообще, если Г —степень Р
(включая I\ClR), соответствующее поколение есть
алт-а\т\р)9
т. е.
сгг-р"ат.
Для более удобной записи введем новый символ minp, который
окажется необходимым и в других случаях, особенно при изучении серий.
Прочитать символ minp можно как "минимум относительно Р". Мы
рассматриваем "хРу" как "х предшествует у"; тогда в классе а "минимумами а" будут
Principia Mathematica I

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВЫ 5
599
такие элементы из а, которые принадлежат С'Р и которым не
предшествуют никакие другие элементы из а, т.е. аПС'Р-Р"а. Поэтому полагаем
х minpa. = .хеаПС'Р-Р"а,
т. е.
minp = Jca (jc е а П С'Р - P"a) Df.
Следовательно,
minp'a = а П C'P - P"a,
т. е. minp'a состоит из тех элементов а П С'Р, которым не предшествуют
никакие другие элементы из а. (Если в а имеется единственный первый терм,
этот терм и есть тщр'а.) Таким образом, когда Т является степенью Р,
йпр'ат = ат - Р* чгг.
В результате получаем, что minp'QT, где Т — произвольная степень Р
(включая /fCT?), является поколением Р, соответствующим Г; целый же
класс поколений есть min/>"G"Potid'P. Поэтому мы полагаем
gen'P = mmp''a'Totid'P Df,
где "gen" обозначает "поколение" ("generation").
Обозначение "min/>" не будет особенно востребовано, пока мы не начнем
изучение серий, где оно будет использоваться постоянно. В части V
(относящейся к сериям) мы посвятим целый параграф (*205) свойствам minp,
а здесь рассмотрим лишь те, которые необходимы для текущей работы.
В этом же параграфе (*93) мы введем обозначение "хВР" для
"jceD'P-Q'P". Прочитать "хВР" можно как "х —начало (beginning) Р".
Если существует единственное начало Р, это /?'Р; в противном случае
класс всех начальных элементов есть ТгР, что = D'P-G'P. Например,
если Р — отношение отца к сыну, В'Р — Адам; если Р — отношение родителя
к отпрыску, Б'Р = Адам и Ева. Концом Р будет Я'Р, если конец
единствен; в общем случае классом всех конечных элементов будет ~Ё'Р, т. е.
G'P-D'P. Первым поколением Р является В 'Р. Если Pel^Cls, любое
поколение Р может быть представлено в виде Т"~Ё'Р, где Т —
соответствующая степень Р.
Поле отношения состоит, вообще говоря, не только из поколений Р, но
еще из одной части, начала которой мы никогда не достигнем, как бы
далеко ни прошли вперед. Эта часть — /?'Q"Pot'P. Две части, s'gen'P и
/?'G"Pot'P, являются взаимно исключающими и вместе исчерпывают СР.
Два следующих параграфа, *94 и *95, не имеют никаких точек
соприкосновения с последующим и поэтому могут быть пропущены
читателем, которого не интересует изучаемая в них тематика. В параграфе *94
рассматриваются степени относительных произведений, что используется
лишь в следующем параграфе (*95) об "эквифакторных отношениях". То,
о чем идет речь в параграфе *95, можно пояснить следующим образом.
При изучении соответствий и аналогичных объектов нам часто
приходилось рассматривать последовательности отношений
R, P\R\Q, P2\R\Q\ P3\R\Q\ и т.д.
А.Н.Уайтхед, Б.Рассел

600
ГЛАВА 5. ИНДУКТИВНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
Но пока в нашем распоряжении нет определения Pv, где v — любое
конечное число; поэтому мы не можем определить общий терм
последовательности как PV\R\QV. Следовательно, необходим другой метод определения.
Имеем
P\Q\R = (P\\QYR, P2\R\Q2 = (P\\Q)2lR, и т.д.
Таким образом, если Т — произвольная степень (Р |) | (| Q), общий терм
нашей последовательности имеет вид Т 'R. Для удобства обозначения
полагаем
P*Q = sg\P\\Q)* Dft.
Тогда последовательность состоит из (P*QYR. Сумма всех отношений
данного класса рассматривается в параграфе *95.
Основными предложениями, доказываемыми в *94 и *95, являются два
предложения с той же гипотезой, что и у теоремы Шредера—Бернштейна,
а именно:
R, S е 1 -> 1. aiS с D7?. СГД с D\S .
В условиях вышеприведенной гипотезы эти два предложения утверждают,
что
s'gen'(/?|S)sms'gen'(S|fl)
и
/?'<T'Pot'(fl IS) sm/?'CT'Pot'(S IR) •
Совместно они воспроизводят утверждение теоремы
Шредера—Бернштейна, так как
s'gen'iR | S) U /?'<ТТоГ(Д IS) = Б'Д
и
s'gen'(S \R)Upi<I"Fott(S \R) = DlS .
Поэтому они представляют, так сказать, подробный расчет равенства,
доказываемого в теореме Шредера—Бернштейна.
В параграфе *96 (о потомстве терма) рассматриваются свойства /F*'jc,
главным образом, при условии Rel—> 1. В этом случае, вообще говоря,
/T*'jc состоит из двух частей: открытой серии вначале и циклической
серии, идущей вслед за первой. Каждая из них может отсутствовать или
сводиться к единственному терму. Если мы обозначим эти две части Р и
у, то р целиком предшествует всей части у; Р1^, Yl^€l-»1. Таким
образом, если р или у отсутствует, /Г*'*1 Re 1 —* 1. Если у отсутствует,
серия никогда не возвращается к себе, т. е. R*lx] Rv0<zJ. Если у существует,
найдется некоторая степень R, скажем Г, такая, что у е у. z>y. уТу. Если
существует и Р, и у, найдется один терм, а именно последователь
последнего элемента Р, который обладает в точности двумя непосредственными
предшественниками, одним ври одним в у; У всех прочих термов R^'x —
только по одному предшественнику в R*'x. Таким образом, ^F*'jc имеет
форму буквы Q с х на кончике хвоста.
В параграфе *97 поле отношения разбивается на семейства. Для
произвольного элемента х из CR семейством х относительно R является
PRINCIPIA MATHEMATICA I

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВЫ 5
601
7?*'jcU /T*'jc, что мы обозначаем /?*'х. Таким образом, классом семейств
является Д*"С'Д. Те семейства, которые содержат элемент из BlR, образуют
/Г*"BLR. Если представить R*trBlR расположенным в виде
прямоугольника, в котором поколения занимают последовательные строки, то /Г*"1ГЛ
будет состоять из столбцов. Таким образом, отношение gen'/? к /Г*"#'Д
может рассматриваться как обобщенная форма табличного отношения. При
подходящем условии каждая строка является выборкой из столбцов и
каждый столбец — выборкой из строк. Это выражается следующим
предложением:
Ь : R е 1 -► 1 .~3lR e gen'/? U С А . z>.
ft"*"~Й'Я с D"€A'(gen'tf - i'A). gen'/? - i'A с Б"ед'5Г*"ТЫ
откуда мы выводим теоремы существования для выборок в
рассматриваемых случаях.
Важность идей, излагаемых в настоящей главе, очень велика. Эти идеи
преобладают при исследовании конечного и бесконечного, в теории
прогрессий и No, а также при переходе от серий, порожденных
одно-однозначными или много-однозначными отношениями между последовательными
термами, к сериям, порожденным транзитивными отношениями до и после.
Короче говоря, где бы ни применялась математическая индукция, там и
оказываются ну лены идеи настоящей главы. В последующем наибольшее
количество ссылок на результаты данной главы делается в двух главах,
посвященных конечным и бесконечным кардиналам и ординалам (глава 3
части III и глава 5 части V). В общей теории кардиналов, т. е. в главах 1
и 2 части III, до того как вводится различие между конечным и
бесконечным, настоящая глава редко будет, если вообще будет, цитироваться209.
209 Настоящая глава опирается на работу Фреге, который первым определил отношение
предшествования. См. его Begriffeschrift (Halle, 1879), Part HI, pp. 55-87. См. также его
Grundgesetze der Arithmetic Vol. I (Jena, 1983), §§ 45, 46 (pp. 59, 60). В той работе
отношение предшествования используется для доказательства свойств конечных кардиналов
и N0.
А. Н. Уайтхед, Б. Рассел

602 ГЛАВА 5. ИНДУКТИВНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
*90. Об отношении предшествования
Краткое содержание *90.
Для произвольного отношения R выражение "xR*y" означает "х
—предок у в силу R", причем терм считается своим собственным предком при
условии, что он принадлежит полю R. Определение R * таково:
«9001. /?* =xy{xeClR:Rtt\ic:\i.xe\i.^>[i.yeu} Df
Т. е. xR*y имеет место, когда х принадлежит полю R, а у
принадлежит каждому наследственному классу, которому принадлежит х\ где
наследственный класс есть такой класс \i, что Rltaca, т. е. такой класс, что
все последователи его элементов также являются его элементами.
«9002. Д* = Cnv'fl* Df
Это определение нужно лишь для того, чтобы разрешить
неоднозначность выражения /?*, которое может означать и (R)*, и Cnv'tf*. Как будет
показано, тем не менее, оба они равны между собой («90-132).
Перечислим наиболее важные предложения настоящего параграфа.
«90112. h :. xR*y: фг. zRw. z>ZyW . фи>: фх: z> . фу
Т.е. если имеет место xR*y и ф? — наследственное свойство, которым
обладает jc, то им обладает и у.
«90-12. h : х е С'Я. = . xR*x
Т. е. Д* — рефлексивно, но не всюду, а при ограничении полем R.
«9014. Ь . Б'Д* = СГД* = С'Д* = С'Д
«90-15. \-.I\ClR<zR*
«90-151. КДсД*
«90-16. \-.R*\R<lR*
«90-163. h.£"ftVjccfc*'jc
Т. е. R * 'jc есть наследственный класс.
«9017. К/£=Д*
«90-21. h : а с ClR. = . а ctf *"а . = . а с Д*"а
«90-22. h:^"aca. = i*"aca
Т. е. классы, наследственные относительно R, совпадают с классами,
наследственными относительно Д*.
«90-31. b.R*=I\ClRGR*\R
«90-32. \-.R\R*=RUR\R*\R = R*\R
«90-33. \-.R*"a = (anClR)UR*llR"a = (ar\CiR)URtiR*tta
«90-4. К (/?*)*= Д*
«90-01. Л* = ху {xe ClR: R''ц с ц. хе а. z>^ . у е a] Df
«9002. Д* = Cnv'fl* Df
«90-1. \-:.xR*y. = :xeCiR:R"uc:u.xeu.^-yea I*21'3 • (*90-01)]
PRINCIPIA MATHEMATICA I

*90. ОБ ОТНОШЕНИИ ПРЕДШЕСТВОВАНИЯ
603
«90-101. г-:Д"цсц. = .Д"-цс-ц
Доказательство.
h.*37-171. :эЬ:./г"цсц. = : xep.xRy . э^ >ye[i:
[Transp] = : у е - ц. xRy. э^ . х е - ц:
[*37-17] = : Д"- ц с - ц:. z> Ь . Prop
Предложение *90-102 является леммой к *90-11.
*90102. Н:.Д''^с^.хе|я.:Эц.}>е^:Е=:Д''^с^.}>е^.:Эц.хе^
Доказательство.
Ь . *90-101. z>
[Transp] = :Д"-цс-ц.;уе-ц. э.хе-ц (1)
Ь.(1).*10-11-271.:э
b:R"iic:ii.x€ii.^>Vi.y€\i: = :R"-iic:-ii.ye-\i.^>[L.x€-\i:
[*22-94] =:/?"^с^1.>'е^.Эц.хе^:.эг* .Prop
«90-11. hi.xRby.^ixeC'R-.R^iicni.yeii.^.xevL [*90-l-102]
*90111. Ь:: xR*y. = :. xeC'R :. ze(Л. zRw. zd2,w. и>ец:хец: Эц .уец
[*90-l . *37-171]
*90-112. h :. xR*y: фг. zflw. ^ZyW . фи>: ф*: =>. фу
Доказательство.
К*90-Ш^.э
Ь :: xR*y. э :. zez(фг). zflw. ^w . weg (фг): xez (фг): э : у eg (фг):.
[*20-3] z>:. §z*zRw. ^>ZtW . фи>: фх: э . фу (1)
h . (1). Imp . э h . Prop
*90 12. h : x e C'R . = . xR*x
Доказательство.
h.*90-l. Dh:jci?a.D.jceC'/? (1)
h. *3-27 ,*10-11 . :эг*:Д"цсц.;сец.:Эц.;сец:
[*3-21] э :.*еСД . э исеС'Л : Д"цсц. хец. id^ . хец:
[*90-1] э:д:Д*д: (2)
h . (1). (2). z> h . Prop
*9013. h : xR*y. =>. x, у e C'R. xR*x. yR*y
Доказательство.
h . *37-16 . *33-161. z> h . R"ClR с ClR (1)
h.*90-l. :Db:xfl*;y.z>.jceC\K (2)
h . *901 . z> h :. xR*y. z>:Я "СД cC'R .xeC'R . z> .yeC'R:
[(1).(2)] эгуеС'Я (3)
h . (2). (3). *9042 . xR*y. z>. xR*x .yR*y (4)
h . (2). (3). (4). э h . Prop
Следующее предложение является леммой к *90-132.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

604
ГЛАВА 5. ИНДУКТИВНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
*90131. Ь :. xR*y . = :уе C'R: R"\i с ц. у е ц. z>^ . хе ц
Доказательство.
Ь.*90-1МЗ.э
Ь:. лсК*;у. z> lyeC'R'.R^iiciii.yeii.^ .xe\i (l)
h . *37-15 . *33-161. z> h . R"ClR c ClR (2)
h. *10-1 .э1*:.}'бС'Л:Л"цс[1.}'бц.э[1 лец:э:
yeC'RiR^C'RcC'R.yeC'R.^.xeC'R:
[*5-33] :э:Д"С'ЯсС'Д.=>.л;еС'Я:
[(2)] DixeC'/? (3)
h. (3). *5-3 . ^\":, у eC'RiR'^ c:\i.ye\i. DrJC6[i:D:
jt € C7?: /?"ji с ц. у € ц . э^ . jc € ц:
[*90-ll]z>:jcfl*;y (4)
h.(l).(4).z>h.Prop
*90132. Ь.(Д)*=Д*
Доказательство.
h . *31-33 . *33-22 . *90-l . z>
Ь:. у (/?)**.= :уeClR:R"\ic:\i.yeii.Dp .xe[i:
[*90-131] =:xR*y:
[*31-11] s : yR*x :.dH. Prop
В соответствии с общим соглашением об индексах, принятым нами, и
в силу определения *9002, /?* означает Cnv'7?*, а не (R)*.
*9014. Ь. Б'Д* = О'/?* = С'Д* = С4/?
Доказательство.
h.*90-12.*33-14-17.2>h:xeC^.D.xeD^*.xea'/?*.x€C^* (1)
Ь . *33-13 . э Ь : xeD'R* . = . (gy). *Д*;у .
[*90-13] D.jceO (2)
Аналогично h:jc6Q%. D.jceC'/? (3)
h . (2). (3). *33-16 . эЬгхеС'Д*. э.хеС'Д (4)
h . (1). (2). (3). (4). z> Ь . Prop
*90-141. Ь:а!Д*. = .д!Д [*90-14 . *33-24]
*9015. К/ГС'ДсД*
Доказательство.
h.*50-l ,*35-101. z> h : jc(/Г C\R);y. E.jc = y.jeCT.
[*90-12] =.jc =:j.j/?*j.
[*13-13] э .xR*y :dH. Prop
Заметим, что отношение I \ ClR удобно рассматривать как 0-ю степень
R; поскольку, согласно *50-64-65, будучи умноженным на R, дает R;
содержится в R | R, R2 | R2, и т. д. Отношение / обладает в связи с относительным
умножением свойствами, аналогичными свойствам 1 в связи с обычным
умножением; поэтому можно считать I \ ClR 0-й степенью R, аналогично
тому, как мы считаем 1 0-й степенью п, где п — некоторое число.
PRINCIPIA MATHEMATICA I

♦90. ОБ ОТНОШЕНИИ ПРЕДШЕСТВОВАНИЯ
605
«90-151. К Дс:Д*
Доказательство.
I-. *11-1 . э I-:: z € и-. zRw. ^>ZyW .и>ец::э:.хец. xRy. э . у е ц:.
[Exp.Comm] z>:.x/?y- =5 :*€Ц. z> .ye\i (1)
h . (1). Comm. Imp. э
h :: xRy. z> :. z e ц. zflw . z>2jVi,. w e ц: xe [i: э . у e ц (2)
K(2).*10-ll-21.z>
h:: xRy. з :. г € ц. zflw. z>z?w . we ц: xe ц: Эц . у е ц:.
[*90-lll . *3317] э :. хД*;у:: => h . Prop
*9016. Ь.Д*|Дс:Д*
Доказательство.
K*ll-1 . ^>b:. ze\i. zRw. -dz,w . w e\i: ^>iye\i.yRv. z>. уец (1)
h.*90-lll.*10-l .Fact.D
h :: */?*>> . yRv. =>:. z e \i. zflw. 3zw.w£|i:.*£|i:=>.)'£|i. yflv (2)
H.(1).(2).d
h :: xR*y . ytf v. =>:. z e ц. zflw. zdZjW .и>£ц:х€ц::э.У€ц (3)
К(3).*НН1-21.*90-Ш.э
h : jc/?*j . yflv .d.jc^v (4)
h . (4). *10-ll-23 . *341 . э h . Prop
*90 161. Ь:5с:Д*.=>.5|Дс:Д*
Доказательство.
h.*34-14. =>Н:Нр.э.5|ДеД*|Д (1)
К(1).*90-16.э1-.Ргор
*90162. b.R2<zR* [*90-151-161]
*90 163. hi"S"*'jcc^'jc [*37-301.*3219.*9016]
Значение данного предложения заключается в доказательстве, что
R* 'jc — наследственный класс.
*90164. Ь.Д''Я*''асД*''а [*37-33-201. *90-16]
Данное предложение показывает, что Д* "а —наследственный класс.
*9017. Ь.Д2=Д*
Отметим, что Д2 означает (Я*)2, а не (Д2)*.
Доказательство.
Ь.*90-13. эЬ:л;Д*;у. ^>.xR*y.yR*y.
[*34-5. *10-24] -=>.xR\y (1)
h.*90-163-l . :эЬ:.уД*г. z> :уе^"*'х. э . zell^x:
[*32-181] э:хД*у.э.хД*г (2)
h . (2). Imp . э h : xR*y. ;уД*г. =э . xR*z:
[*11-11.*34-55] эЬ:Д2с:Д* (3)
h . (1). (3). э h . Prop
*90171. hi*"i"aci"a [*90-17 . *37-33]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

606
ГЛАВА 5. ИНДУКТИВНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
*90 172. b.R\R*(LR*
Доказательство.
Ь.*90-151. z>\-.R\R*CLRl (!)
Ь . (1). *9047 . э h. Prop
*9018. Ь : Р a Q. э. Р* G Q*
Доказательство.
Ь.*33-265. эЬ:.Нр. z> ixeC'P. э .xeC'Q (l)
h . *37-201 . z> h :: Нр . э :. Р"ц с £"ц:.
[*22-44] z>:. Q"^ с ц. э . Р"ц с ц:.
[Fact] э :. 2"М-с1Ц.;сец. э . Р"цс ц . хвц:.
[Syll] э :.P"^c^i.хер. э .уец:э: Q"\ic\i.xe\i. э.;уец(2)
h.(2).*10-ll-21-27.z>
h::Hp .э:.Р"цсц.дс€ц.эи.у€ц:э:(2"М'СЦ.дс€Ц.Эц.у€ц (З)
h . (1). (3). *90-l . э h :. Hp . z>: jcP*> . э . *0*;у :.dH. Prop
*90-21. h:acC'/?.s.ac Я*"а . = .acfe"a
Доказательство.
h . *4-7 . э h :. a с С 7? .dijceo.d . jc e a . jc e С 7? .
[*90-12] .jcea.jcfejc.
[*10-24 . *37-l-105] . Jte£*"a. jce/?*"a (1)
h . *37-16 .Dh:aci"a.D.ac СГД* .
[*90-14] D.acC'i? (2)
h . *3715 . *9014 .Dh:aci"a.D.aca (3)
h . (1). (2). (3). id h . Prop
*90-22. h:A"aca. = J*"aca
Доказательство.
h . *90-l .гэг* :.xR*y. ^>Xty ^"aca.jcea.D.^ea:.
[Comm] DhJ"aca.D: Jtfl*;y леа. гэ^-у .yea:
[*37-171] э:^"аса (1)
h . *90151 . *37-201 . э h . Я"а сЯ*"а.
[*22-44] Dh:i"aca.Di"aca (2)
К(1).(2).эН.Ргор
*90-23. h : а с C'R . Я"а ca. = .a = i"a [*90-21-22]
Предложение *90-23 полезно в теории отрезков (sections) серий (*211).
Отрезок серии, порожденной отношением R, определяется как класс а,
удовлетворяющий условию
асС7?.Д"аса.
*90-24. h:^'>c[i.ac[A.Di*"acn
Доказательство.
К*37-2. z>b:Hp.z>.£*"ac£*'4i (1)
Ь.*90-22. :эЬ:Нр.:э.Я*"цсц (2)
Ь . (1). (2). z> г . Prop
Это предложение показывает, что если \i — наследственный класс,
содержащий а, то ц содержит все потомки элементов из а.
PRINCIPIA MATHEMATICA I

*90. ОБ ОТНОШЕНИИ ПРЕДШЕСТВОВАНИЯ
607
*90-25. h : а с ClR . R*"a с ц. з . а с ц
Доказательство.
Ь . *90-21 . з Ь : Нр . з. а с Д*"а.
[Нр] з . а с ц: з h . Prop
*90-26. Ь:. а с С'Д .Гцсц.э:ас(А.Е.Л*"асц
Доказательство.
Ь.*90-24. э|-:.Нр.э:асц.э.^*"ас[1 (1)
К*90-25. э!-:.Нр.э:Л*"ас[1.э.асц (2)
Ь . (1). (2). з Ь . Prop
*90-27. Ь:. а с С'Д. э : а и Л"ц с ц. s . Л* "а и Л"ц с ц
Доказательство.
Ь . *90-26 . Ехр. *5-32 . з
Ь:. а с CR . з : Л1 'ц с ц . а с ц . = . R"\i с ц. Л*' 'а с ц :
[*22-59] э:аиЛ"цсц. = .Л*"аи^"цсц:.э1-. Prop
*90 31. КД*=/ГС'ДиД*|Д
Доказательство.
h . *90-15-16 . з Ь . / Г С'Д 0 Я* | Л еЯ* (1)
[Fact] э Ь : х (/ f С'R О Я* | Я) z. z#w. з. xR*z. zfiw.
[*10-24 . *34-l] ^>.x(R*\R)w.
[*23-58] з.*(/ГС'ДиЯ*|Д)и> (2)
h . *9013 . *50-3 . з Ь: xR*y. з . xlx.xeC'R .
[*35-101] з.л:(/ГС^)д:.
[*23-58] з . x (I \ C'R U R* \ R) x.
[*4-7] 3.x/?*y.x(/fC'/?U/?*|/?)jc (3)
K(2).(3).*90412^I£^1^.,
фг
h:x/?*>. 3.jc(/fC'/?U/?*|/?)j (4)
h . (1). (4). з h . Prop
В предпоследней строке вышеприведенного доказательства было
проведено следующее рассуждение. Записывая фг вместо х (/ \ CR О Л* | R) z,
получаем из (2) фг. zRw. з . фи>, а из (3) хД*;у. з . xR*y. ф*. Следовательно,
согласно (2) и (3),
xR*y . з : xR*y: фг . z#w. 3ZiVi,. фи>: фх.
Следовательно, согласно *90-112, xR*y. з . фу, что доказывает предложение.
*90-311. Ь.Я*=/ГС'ДиД|Д*
Доказательство.
К*90-31- . *90-132.з
R
\-.к*=1\с&и&*\&-
[*33-22 . *34-2] =/ \ ClR U Cnv'(fl | Я*)
[*50-5-51] = Cnv'(/ Г C'R) U Cnv'(fl | Я*)
[*31-15] = Спу'(/ГС'ЯОД|Я*) (1)
h . (1). *31-32 . з Ь. Prop
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

608
ГЛАВА 5. ИНДУКТИВНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
*90-32. Ь.Д|Д*=ДиД|Д*|Д = Д*|Д
Доказательство.
К*90-31. => h . /? | /?* =7? | / Г C'i? О /? | /г* 17?
[*50-64] =R\JR\R*\R (1)
[*50-65] = (/ \ С'Д) \RUR\R*\R
[*90-311. *34-26] =R*\R (2)
Ь.(1).(2).:эЬ.Ргор
*90-33. h.i?*"a = (anC'«Ui?*"i?"a = (anC'/?)Ui?"fe"a
Доказательство.
Ь . *90-31. *37-221. э
Ь . Д*"а = (/ \ С'Д)"а и (Д* | Д)"а
[*37-412-33]=/'ЧСДПа)иД*"Д"а
[*50-16] =(Ona)Ufe'T'a (1)
Аналогично, согласно *90-311,
Ь.Д*'Чх = (С^Па)иД'^*'Чх (2)
Ь . (1). (2). э Ь . Prop
«90-331. Н.Д*"а=(аПС'Д)иЛ*"Л"а = (аПС'Д)иЛ"Л*"а
[Доказательство аналогично *90-33]
*90-34. h:acC'i?.D. Д*"а = aUfe'T'a = a U Д"Д*"а
[*90-33 . *22-621]
«90-341. h:acC'/?.D.i"a = аиЛ*'Т'а = aUД"Д*"а
[*90-331. *22-621]
*90-35. h :. хД | Д* г. э : R"\i с ц. ^'jc с ц. эи . ze ц
Доказательство.
Ь.*32-181 . ^>\-:.xRy. ^lyell'x:
[*22-46] э:^сц.э.)/бц:
[Fact] :э:#"цсц. ЙЪссц. э ,#"цс ц.уец (1)
К *90-l . =>h :.;уД*г. э:#"цс^.}?еМ- =>.гец (2)
Ь. (1). (2). эЬ :.x/ty .;уЯ*г. :э:/?"цсц. Я'хсц. => . гбц:.
[*10-11-23 . *34-1] => Ь :. хД | Д* г. =>: £"ц с ц. 5T'jcс ц. э. zeц (3)
h.(3).*10-ll-21.2>h.Prop
♦90-351. Н:.Л"цсц. a'xc^i. г>и . ге|л: э . хД |Д* г
Доказательство.
Ь . *90-172 . Fact. => h: xR \ R*tz. zRw . =>. xR*z. ztfw.
(1)
(2)
(3)
[*34-l]
[*90-32]
h . (1). *37-171.
h. *90-32 .
[*32-181. *20-3]
[*10-11 .*22
h.(2).(3).
h :.Л"цсц,
[*20-3]
•1]
*10-1
эК
эЬ:
z>h:
Dh,
. =5
. R 'x с \i.
z> .i/?* \Rw.
=>. хД | Д* w
.R"z(xR\R*z)c:z(xR\R*z)
: JcTty . z> . xR | Д* у:
:у e Rlx. э . уez(xR \R* z):
.5Г'д:с2(д:Д|Д*г)
=>^.г€ц: =>.гб2(;сД|Д*г).
з . xR 17?* г:. ^ f". Prop
Principia Mathematica I

♦90. ОБ ОТНОШЕНИИ ПРЕДШЕСТВОВАНИЯ
609
*90-36. Ь :. xR | Я* z. = : к''ц с ц. Й~'х с |я. z>^ . z e \i [*90-35-351]
*90-4. Ь.(Д*)*=Д*
Доказательство.
Ь . «90-151-18 . э h . Д* с(Д*)* (1)
~~ - - ~Я*, xR*z
Ь.*90-112—^——.э
Ь:. х (Л*)* j: jctf*z. zfi*w. z>z,w. xR*w : хД*х: э . х Д* у (2)
Ь.*90-13. эЬ:х(Д*)*;у. э.хеС'Я*.
[*90-14] э.хеС'Д.
[*90-12] z>.xR*x (3)
Ь . *90-17 . => Ь: *Я*г. zR*w . ^ . хЯ* w (4)
Ь . (2). (3). (4). z> h : x (Я*)* j.d.jc^j (5)
h . (1). (5). => h . Prop
*90-41. Ь.С'Р* [а = аПС'Р
Доказательство.
h.*37-41. эЬ.С'Р* [a = an(/,*"aUP*"a) (1)
h . (1). *37-15-16 . *90-14 . z>h . C'P* [acanC'P (2)
h. *90-33-331. Dh.anC?cP*"aUP*"a (3)
h.(3).(l). Dh.anC'FcC?* [a (4)
h . (2). (4). э h . Prop
*90-42. h.(Q* [a)* = G* fa
Доказательство.
Ь.*90-18. =>h.(6* ta)*G(G*)*
[*90-4] G(2* (1)
h.*90-13. =>h:x(6* ta)*>.=>.x,>eC'e* [a.
[*90-41] D.jcjea (2)
h.(l).(2). z>h.(Q* ta)*GG* t« (3)
K(3).*90-151.z>b.Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

610
ГЛАВА 5. ИНДУКТИВНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
*91. О степенях отношения
Краткое содержание *91.
В настоящем параграфе рассматривается класс отношений
R, R , R ,...
Каждое из них находится со своим предшественником в отношении \R; т. е.
R2 = \RlR, R3 = \RiR2, и т.д.
Таким образом, каждый терм серии находится в отношении (|Р)* к R]
следовательно, степени отношения R могут быть определены как отношения,
которые находятся в отношении (|Р)* к R. Серия степеней, начинающихся
с / \ CR вместо Д, аналогичным образом состоит из отношений, которые
находятся в отношении (\R)* к I \C'R. (Этот класс содержит предыдущий
класс и, кроме того, / \ CR.) Сказать, что отношение Р* имеет место
между х и у, оказывается эквивалентным тому, чтобы сказать, что между х
и у имеет место одно из отношений
I\ClR, R, R2, Я3,...;
а сказать, что отношение R \ R* имеет место между х и у, оказывается
эквивалентным тому, чтобы сказать, что между х и у имеет место одно из
отношений
R, R2, Я3,...
Так что мы могли бы начать с определения степеней R, а затем у лее
перейти к определению Р* как их сумме.
Для удобства обозначений полагаем
Rts = (\R)* Df.
Тогда определение степеней R, исключающее / \ CR, имеет вид
PoVR=%slR Df,
а определение степеней R, включающее / \ CR, имеет вид
РоШ'Д=~^Д/ГС'Д) Df.
(Добавление букв "id" здесь символизирует добавление тождества (identity)
к Pot'Я.)
Также полагаем
Rpo = sToVR Df.
Многие предложения параграфа используются весьма часто.
Перечислим наиболее важные предложения.
*9М7. h :. PePotid'P: ф5 . z>s . ф (S \R): ф (/ \ CR): z>. фР
*91-171. Ь:.РеРоГД:ф5 . z>5 .ф(5 |Д)':фД: z> .фР
*91-373. h :. PeFoVR. z>P . фР: = : фР : S ePot'P. <\>S . z>s . ф (S \R)
Это формулы индукции. Первые две утверждают, что если свойство ф
наследственно в силу |Р, то, если / \ CR обладает ф, им обладает любой
элемент Potid'P, а если R обладает ф, им обладает любой элемент Pot'Р.
Третье предложение предоставляет более сильную форму индукции, чем
второе. Оно утверждает, что если свойство ф наследственно при условии,
что его аргумент является степенью Р, и фР, то каждая степень R
удовлетворяет ф, и обратно.
*91-23. Ь . Potid'P = i'(/ \ C'R) U Pot7?
PRINCIPIA MATHEMATICA I

*91. О СТЕПЕНЯХ ОТНОШЕНИЯ
611
*91 24. Ь . Pot'/? = |/?"Potid'/?
Эти два предложения весьма полезны, поскольку они предоставляют
отношения Pot'/? и Potid'/?.
*91-27. Ь : Р е Potid'/? .^.C'Pcz С'/?
*91-271. h : Ре Pot'/?. z>. D'P с D7?. (ГР с а'/?
Вообще говоря, неверно PePot'/?. =>. D'P = D7?. СГР = a'/?. Если /? —
отношение, порождающее серию (т. е. либо само сериальное, либо такое, что
/?ро сериально), последнее выражение будет характеризовать серию без
первого или последнего терма. В целях иллюстрации рассмотрим серию из
четырех термов х,у, z, w и пусть R — отношение непосредственного
предшествования в этой серии. Таким образом, /? имеет место между х и у, у
и г, z и w. Тогда /?2 имеет место между х и г, у и и>; и г, будучи
принадлежащим D'/?, не принадлежит D'/?2. /?3 имеет место только между х
и и>; ни у, ни z не принадлежат D'/?3. Все степени R выше третьей
пусты. С другой стороны, если мы возьмем циклическое отношение,
например левостороннее соседство за обеденном столом, то всегда будем иметь
D'P = D7?.CTP = a'/?, какой бы степенью /? Р ни было.
«91-282. h:PePot'/?.=>.P|/?ePot'/?
Данное предложение показывает, что Pot'/? является наследственным
классом отношения /?.
«91-34. Ь : Р, Q е Potid'/?. =>. Р \ Q = Q \ Р
Данное предложение утверждает, что относительное произведение
коммутативно, когда каждый сомножитель есть / \ С'/? или степень /?.
Затем мы переходим к предложениям относительно /?р0.
*91-502. h./?G/?po
*9i-504. ь. D'/?po = D7?. ат?ро = а'/?. с/?ро = с/?
*91-511. h./?p0|/?G/?p0
*91-52. h./?po=/?*|/? = /?|/?*
*91-54. Ь./?*=/ГС'/?и/?р0
Предложения *91-52-54 фундаментальны для теории индуктивных
отношений.
*91-542. h : jc/?* у. хфу . = . х/?роу .хфу
Это предложение, в частности, полезно, когда (как часто случается)
/?ро G /. В таком случае оно дает /?ро = /?* П /.
*91-55. K/?* = i'Potid'/?
*9156. КД^еДро
Таким образом, /?ро всегда транзитивно, что является одной из трех
характеристик сериальных отношений (см. *204). Мы обнаружим, что /?ро
часто сериально, когда /? не сериально.
*91-574. h./?*|/?p0 = /?po|/?*=/?p0=/?|/?*=/?*|/?
*91-602. Ь.(/?ро)*=/?*
А.Н.Уайтхед, Б.Рассел

612
ГЛАВА 5. ИНДУКТИВНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
«91-01.
*9102.
*9103.
*9104.
*9105.
R« = (R\)*
Rts = (\R)*
Fot'R^b'R
Potid'R=%sV \C'R)
Rpo = i'Pot'tf
Df
Df
Df
Df
Df
Первые два из вышеприведенных определений введены лишь для
удобства обозначений. Три других представляют собой очень важные понятия.
Последнее особенно полезно, когда некоторая серия задается как поле одно-
однозначного отношения между последовательными термами — таков,
например, способ задания последовательности натуральных чисел как поля
отношения между п и п+1. Тогда R^ является отношением любого
предшествующего терма к любому последующему — в приведенном примере
натуральных чисел это отношение меньшего числа к большему.
*911. \-::PRstQ. = :.S e\i.z>s .R\S e\i: Qe\i:
Доказательство.
h.*4-2.(*91-01). z>
\-::PRstQ
[*90-ll]
[*43-3.*33-161]
[*37-61]
[*43-ll]
*9111.
*9M2.
*9113.
.Pe\i
P(R\)*Q'.-
PeC\R|): (R |)"цс |я . Qe\i. z>^ . Pe\i:
(Д|)"|яс|я. <2е!Я.эц.Ре|я:.
*9114.
*9115.
*9116.
*9117.
S e\i.i>s .R\'S eiiiQeiiz^p.Peiii.
S e\i.z>s .R\S €|я:<2е|я:1>ц.Рец::1>[-. Prop
\-::PRtsQ. = :.S e\i.z>s .5 \Re\iz Qeiizzy^.Pe\i
h : PePoVR .==.PRtsR [*32-18 . (*91-03)]
\-zzPePotlR. = z.S e\i.z>s .S \Re\izRe\izzyp. Pe\i
[*91-11-12]
h : PeFotid'R. =s . PR* (/ \CR) [*32-18 . (*91-04)]
h::PePotid'^. = :.5e|i.z>5 .S \Re\i:/ \С'Яец: z>^ . Pe\i
[•91-11-14]
I-::xRpoy. = :. (gP).S €|я.э5 .S \Re\izRe\iz z>^ . Pe\i:. xPy
[*41-11. (*91-05). *91-13]
bz.PePotid'RztyS . z>s - <\>(S \R)z ф(/ \C'R)z z>. фР
5(ф5),
[*91-15-
-]
*91171. \-z.PePoVR:$S . э5 . ф (S \R): фД: z>. фР
[.91.13^2]
[Я
Эти предложения имеют большое значение, поскольку они дают нам
возможность доказать, что свойством ф обладает каждая степень R, если
им обладает R (или / \ CR), а также обладает S \R, если им обладает 5.
*91-2. \-zQRtsP.z>.(Q\R)RtsP
Доказательство.
Ь . *43-101. (*91-02). z> Ь : Hp . z>. (Q \R) QR) Q. QQR)* P.
[*90-172] z>.(2|/?)(|/?)*P.
[Id . (*91-02)] z>. (Q | R) /?ts P z z> h . Prop
PRINCIPIA MATHEMATICA I

*91. О СТЕПЕНЯХ ОТНОШЕНИЯ
613
«91-201. Ь : QRst Р. z> . (R \ Q)R$t Р [Доказательство аналогично *91-2]
*91204. Ь : P {/?ts | (| /?)} Q . = . PRts (Q \ R)
Доказательство.
h . *34-1 . z> h : P {Rts | (| R)} Q. = . (a T). P Rts T . T (| R) Q.
[*43-101] = . (gT). P/?ts T . T = Q | R.
[*13-195] = . PRts (G | Л): э h . Prop
*91-205. h : P {/?st \(R\)}Q. = . PRst (R \ Q)
«91-21. h./?ts = /Uflts|(|/?)
Доказательство.
h . *90-31 . (*91-02). z> h . /?ts =1 \ C'(| R)0Rts\ (| R)
[*43-311] =/ U Rts | (| R). z> h . Prop
«91-211. h./?st = /U/?st|(/?|)
*91-212. h :. PRts Q . = : P = Q . V . PR^ (Q \ R)
Доказательство.
h . *91-21 . *50-l. z> h :. PRts Q . = : P = Q. V . P {/?« | (| R)} Q :
[*91-204] = : P = Q . V . PRts (Q \ R):. z> h . Prop
*91-213. h :. PRst Q. = :P=Q.V. PRst (R \ Q)
*91-22. h.l?ts'e = L'eu"^ts'(!2l^) [*91-212 . *32-18 . *51-15]
*9i-22i. h.^st'e=i'Gu^st4^ie)
*91-23. h . Potid'/? = i'(/ \ ClR) U Pot'/?
Доказательство.
h . *91-22 . (*91-04). z> h . Potid'/?= i'(/ \ C'/?) u"^ts'{(/ \ C'/?) \/?}
[*50-65 . (*91-03)] = i'(/ Г C'R) U Pot'/?. z> h . Prop
*91-231. h .^ts'/ = L'/U Pot'/? [*91-22 . (*91-03). *50-4]
*91-24. h . Pot'/? = | /?"Potid'/?
Доказательство.
h.*91-12. z>h:PePot'/?. =.P/?ts/?.
[*50-65] =.P/?ts(/rC'/?|/?).
[*91-204] =.P{/?ts|(|/?)}(/rC'/?).
[*90-32 . (*91-02)] s . P {(| /?) | /?ts} (/ Г С'/?).
[*37-3] = .Pe\R"%\I\ClR).
[*4-2 . (*91-04)] = . P e | /?"Potid'/?: z> h . Prop
*91-241. hiTRbP.^.iQl^RtsiQlP)
Доказательство.
h. «91-212. 3h.(e|P)/?ts(GI^) (1)
b.*91-2. ^\-:(Q\S)RXs(Q\P).^.(Q\S\R)Rts(Q\P) (2)
h . (1). (2). *91-11 .Dh. Prop
Последняя строка вышеприведенного доказательства получается
следующим образом: при подстановке |i вместо S {((? I £)/?ts (<21P)} (1) становится
Pe\i (1),
а (2) становится
S e\i.z>.S\Re\i (2).
А. Н. Уайтхед , Б. Рассел

614
ГЛАВА 5. ИНДУКТИВНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
Но, согласно «91-11, при подстановке Т вместо Р в «91-11, а Р вместо
Q получаем
Т11ъР.=>:.Бе\1.=>5 .S \Re\i:Pe\i:z>.Te\i.
Следовательно, согласно (1) и (2), TRtsP. z>. Тец, т.е.
r/?tsp.^.(eir)/?ts(0in
что и есть доказываемое предложение.
«91-242. hiSRts(Q\P)-'=>-SeQ\"%'P
Доказательство.
Ь . «91-22 . «43-11. z> Ь. (Q \ P) e Q \"%1Р (1)
Ь. «37-1. «43-1. z>
\-:5е<2\"%'Р. = .(яТ).Те%'Р.5 = <2\Т.
[*91-2] э.(дГ).ЛДе:4'^.£|Д = <21ЛД.
[«37-1. «43-1] ^.S\ReQ\"%'P (2)
Ь. (1). (2). «91-11 — — . z> h . Prop
«91 25. h .%S\Q \P) = Q Г%'Р
Доказательство.
Ь. «91-242. z>h .%'(Q\P)cQ\"%'P (1)
h . «91-241. z> h : T e%lP. S = Q \ T . z>. S e7?ts'(G IP):
[«10-11-23] z> h : (дГ). T e%'P. S = Q \ T. z>. S e%\Q \ P):
[«37-1 . *43-l] z> h : S e Q \"%lP. э . 5* e%\Q \ P) (2)
h.(l).(2). z>h.Prop
«91-251. \-.%1'Ш\Р) = \Р"%11(2 [Доказательство аналогично *91-25]
«91-26. V.%'Q = Q \"%'I [*91-25^]
«91-261. \-.%tlQ = \Q"Xt4 [*91-251^|]
*91-262. h: Q'QcC'R. z> .%'Q= Q|"Potid'/?
[*91-257 p ^ . *50-62 . (*91-04)]
«91-263. h."3?ts4GI^) = GrPot4i? [«91-25-. («91-03)]
«91-264. b.Pot7? = i7?U/?|"Pot'tf [«91-22-263^]
P
«91-27. h : P e Potid'T? .d.C'Pc ClR
Доказательство.
h . «50-5-52 . z> h . C'(/ \ C'K) = C'R.
[*22-42] э h . C'(/ Г С'Д) с C'R (1)
h . «34-38 . Dh:acC'/?.D. C'(S | Д) с С'Д (2)
h . (1). (2). »9H7C5cC^ . z> h . Prop
(Do
Principia Mathematica I

*91. О СТЕПЕНЯХ ОТНОШЕНИЯ
615
*91-271. h : Р е Pot'Я. z>. D4P с D7? . СГР с (ГД
Доказательство.
Ь . *22-42 . z> h . D4/? с D7?. О4/? с СГЯ (1)
h . *34-36 . z> Ь : D\S с D7?. э . D4^ | Д) с D4/?. СГ(5 | Я) с О'/? (2)
, , ч /ft4 D'ScD'fl.CTScCrfl , „
h . (1). (2). *9Ы71 — . э I-. Prop
*91 28. Ь: Р е Potid4/?. э . Р | Д е Pot4/? [*91-24]
*91-281. V : Pot4/? с Potid4/?. | Д44РоШ7? с Potid4/? [*91-23-24]
*91-282. b:PePot4/?.z>.P|/?ePot4/? [*91-28-281]
*91283. b:|/?44Pot4/?cPot4/? [*91-282]
Следующие предложения показывают, что относительное произведение
двух степеней отношения R коммутативно, т. е. (см. *91-34)
Р, QePotid'R .z>.P\Q = Q\P.
Также имеем (см. *91-341)
Р, Q e Potid4/?. =>. Р | Q e Potid4P.
Именно из этих предложений (как окажется впоследствии) вытекает
закон коммутативности для сложения конечных ординалов. Ординалы
вообще не коммутативны, так как относительное произведение в общем случае
не коммутативно; но благодаря тому факту, что относительные
произведения степеней данного отношения коммутативны, конечные ординалы
коммутативны.
*91 3. Ь: Р е Potid4/? . э . R \ Р = Р | R
Доказательство.
Ь . *50-64-65 . эЬ.Д|/ГС4Я = /ГС4Д|Д. (1)
Ь.*34-21. эН.Д|(5|/0 = (Л|5)|Д (2)
Ь . *34-27 . z>\-:R\S =S\R.z>.(R\S)\R = (S\R)\R.
[(2)] z>.R\(S\R) = (S\R)\R (3)
г . *91-17 — . z>
фл
\-:.PePotid'R:R\S=S\R.'Ds-R\(S\R) = (S\R)\RiR\I\CtR = I\CtR\R:
z>.R\P = P\R (4)
h . (1). (3). (4). э J-. Prop
*91-301. h : P e^st4(/ \ C4/?). z>. R \ P = P \ R [Аналогично *91-3]
*91-302. h . | /TPotid4/? = R |44Potid4/?
Доказательство.
h . *91-3 . *13-182 . z> h :. P e Potid4/?. z>:S =R\P . = .S =P\R:
[*43-l-101] ^:S(R\)P. = .SQR)P (1)
h . (1). *5-32 . z>h : PePotid4/?. S (R\)P. = . PePotid4/? .S (\R)P:
[♦10-11-281] z> h : (gP). P e Potid4/?. S (R |) P. = .
(aP).PePotid4/?.5'(|/?)P:
[*37-l] Dh:5e/? |44Potid4/? . = . S e \ /?44Potid4/?: z> h . Prop
*91 303. h . | Д'Ч?Я4(/ \ C'R) = R |4ГЙЛ/ Г C7Q [Аналогично *91-302]
*91-304. b.|/?4<Pot4/? = /?|44Pot4/? [Аналогично *91-302]
*91-31. h . Pot4/? = R |44Potid4/? [*91-24-301]
A.H. "Уайтхед, Б. Рассел

616
ГЛАВА 5. ИНДУКТИВНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
*91-33. h . Potid'P =^st'(/ F C'R)
Доказательство.
Ь.*91-23. z>b./fC'PePotid'P (1)
Ь. *91-3 . z>h : PePotid'P.z>.P|P = P|P.
[*91-281] z>. P|Pe Potid'P (2)
h . (1). (2). *91-1 — . z> Ь: PRst (I \ C'R). z>. Pe Potid'P (3)
h . *91-301. э h : P Pst (I \ ClR) . z>. P | P = P | P.
[*91-201] z>.(P\R)Rst(I\CiR) (4)
h . *91-213 . z> h . (/ f СД) flst (/ \ C'R) (5)
h . (4). (5). *91-17 . z> h : Pe Potid'P. z>. P/?st (/ f C'/?) (6)
h . (3). (6). z> h . Prop
♦91-331. b.Pot'P=^st'P
Доказательство.
h . *91-24-33 . z>b. Pot'/?= |/?"^st'(/ f C'/?)
[*91-281. *50-65] =7?st'P.z>h.Prop
*91-34. h : P, e e Potid'P. z>. P | g = QIP
Доказательство.
h . *50-62 . *91-27 . э h : P e Potid'P. z>. P | (/ f C'P) = P
[*50-63. *91-27] =(/ГС'Р)|Р (1)
h . *34-27 . z> Ь : P ePotid'P.P\S =S \P.-d.P\S \R = S \P\R
*91-3] =5|/?|P (2)
*^
pi с _ с- I p
I-. (1). (2). «91-17 ' ' . э h . Prop
фкЗ
Это — коммутативный закон для относительного произведения двух
степеней R.
*91-341. h : Р, gePotid'P. z>. Р | QePotid'P
Доказательство.
h . *50-62 . *91-27 . z> h : Р е Potid'Р. z>. Р | (/ f C'R) = P.
[*13-12] z>.P|(/fC'P)ePotid'P (1)
Ь.*91-281. z>b:P|S*ePotid'P.z>.P|,S4PePotid'P (2)
Ml).(2).W,|'6ffM,*.3l-.P*p
фо
*91 342. Ь: Р е Potid'Р. g е Pot'P . z>. Р | £> e Pot'P
Доказательство.
Ь.*91-28. z>h:PePotid'P.3.P|PePot'P (1)
Ь.*91-282. 3h:P|eePot'P.z>.P|eiPePot'P (2)
h.(l).(2).*91-171.z>l-.Prop
*91-343. h:P,eePot'P.z>.P|eePot'P [*91-342-23]
*91-35. h . / \ OR e Potid'P [*91-23]
*91-351. h.PePot'P [*91-264]
*91-352. h.P2ePot'P [*91-282-351]
*91-36. Ь : Pe Pot'P. z>.P|P,P|Pe Pot'P [*91-343-351]
Principia Mathematica I

*91. О СТЕПЕНЯХ ОТНОШЕНИЯ
617
«91-37. h :. Potid4/?с \i. = : / \ClRe\i:S ePotid4/?.S e\i.z>s . S \Re\i
Доказательство.
h . «91-281-35 . z>
br./fCPe^irSe Potid </?.5*е^.э5.5,|/?ец: = :
/tC^ePotid^./fC^en^ePotid^.^en.^ .S {RePotid'R.S \Re\ii
[*91-17] э : P e Potid4/?. z>. P e \i (1)
h.«91-35. эЬ:РоШ4/?сц.=>./ГС4/?е^ (2)
h . «91-281. э h:. Potid4/? с ^ . z>: 5* e Potid4/?. z>5 .5 | R e \i:
[*3-41] D:SePotid7?.Seii.D5 .S |Деи- (3)
b.(l).(2).(3).z>b.Prop
«91-371. h:.PePotid4/?. z>/>. фР: = :
ф (/ f C4/?): 5 e Potid4/?. фЯ . z>5 . ф (S | /?) [*91-37]
«91-372. h :. Pot4/? c^. = :/?e^:5e Pot4/? .S e\i.z>s .S \Re\i
[Доказательство аналогично «91-37]
«91-373. br.PePot'P.z^^PrEE^PrSePot4/?^ . э5 .ф(5 |/?)
[•91-372]
p p
♦91-41. h.7?ts'(P|/?) = P|44Pot'/? [«91-25-y—. («91-03)]
p
«91-411. h.7?st4(/?|P) = |P'4Pot4/? [«91-251-. *91-331]
«9142. h.X<P = L<PUPr4Pot4/? [«91-22-41]
«91-421. b.^st4P=i'PU|P'4Pot'/? [*91-221-411]
«91-43. h : PePot4/? . QRts P. =>. QePoVR
Доказательство.
h . *91-42 .z>h:.Hp.z>:j2 = ^.V.eeP |'4Pot4/?:
[«37-1 . «43-1] z> : Q = P. V . (g Г). Г e Pot'/? . Q = P \ T :
[«13-12 . «91-343] э : Q e Pot4/?:. z> h . Prop
«91-431. h : P e Potid4/? .QRtsP.z>.Qe Potid4/?
[Доказательство аналогично «91-43]
«91-44. h :. P, б e Potid4/?. z>: QR^ P. V . P/?ts g
Доказательство.
Ь. «91-14. эЬ : Ре Potid 4/?. z> .P/?ts (/Г С'/?) (1)
h . «91-2 . э h : QRts P. z>. (Q |/?)/?ts P (2)
h. «91-212. z>\-:.PRtsQ.z>:P=Q.V.PRts(Q\R) (3)
h. «91-212. эЬгР^.э.е^/3-
[*91-2] =>.(GI*)fisP (4)
h . (3) . (4). з h :. P /?ts 2 - ^ : (61 ^) ^ts Z3 - V . P /?ts (61 /?) (5)
b.(2).(5). z>\-:.QRtsP.V.PRtsQ:z>:(Q\R)RtsP.V.PRts(Q\R) (6)
b. (1). (6). «91-17. z>b. Prop
A. H. Уайтхед , Б. Рассел

618
ГЛАВА 5. ИНДУКТИВНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
*91-45. h :. P,Qe Potid'P. z>: (3Г): T е Potid'P: Q = P\T . V . Р = Q\T
Доказательство.
h . *91-262-27 . z>h:.Hp. э :^'Р = РГРоШ'Р.^'{2 = ei'Totid'P:
[*37-1 . *43-1] э : G/k Р. = . (дГ). Г ePotid'P. Q = Р | Г :
PPts б. = . (ЯГ). TePotid'P. P= Q| Г (1)
h . (1). *91-44 . *10-42 . э Ь. Prop
*91 46. h :. P, ge Potid'P. =>: (а Т): FePotid'P :e = r|P.V.P=r|G
[*91-45-34]
В оставшейся части параграфа рассматриваются отношение Рро и его
взаимосвязь с Р*.
*91-502. Ь . R GPpo [*91-351. (*91-05). *4413]
*91 503. h . Р2 GPpo [*91-352 . (*91-05). *44-13]
*91-504. h . D'Pp0 = D'P. d'Ppo = d'P. С4Рр0 = C'R
Доказательство.
Ь.*91-502. zDh.D'PcD'Ppo (1)
h . *91-271. *40-43 . z> Ь. s'D'Tot'P с D'P.
[*41-43] z>h.D<Ppo = D<P (2)
h.(l).(2). zDh.D'P = D'Ppo (3)
Аналогично Ь . a'P = a'Ppo . C'P = C'Ppo (4)
h . (3). (4). z> h . Prop
Следующие предложения относятся в основном к отношениям между
Рро и Р*. Эти отношения очерчены в предложениях
Рро=Р*|Р = Р|Р*(*91-52)
Р*=/ГС<РОРро (*91-54)
Р* = J'Potid'P (*91-55)
*91-51. h.Ppo|P = P|Ppo
Доказательство.
Ь . *43-421. (*91-05). z> h . Рро | Р= i4| P'Tot'P
[*91-304] = J'P|"Pot'P
[*43-42 . (*91-05)] =R | Рро . z> Ь . Prop
«91-511. h.Ppo|PGPp0 [*43-421.*91-283.*4M61]
*91512. h.PpoGP*|P
Доказательство.
Ь.*90-32. э1-.РсР*|Р (1)
h . *90-16 . z> h : S GP* IP . z>. S dP* .
[*34-34] z>.S\R<iR*\R (2)
S с R \ R
h . (1). (2). *91-171 ' * . => Ь : P e Pot'P. z>. P gP* | P:
[*41-151. (*91-05)] z> h . Ppo gP* | P . z> h . Prop
Principia Mathematica I

*91. О СТЕПЕНЯХ ОТНОШЕНИЯ
619
*91-513. b.P*Gs'Potid'P
Доказательство.
К*90412*(*'Р°Ш'*)г.о
фг
Ь :. xR* у: х (s'Potid'P) z . zRw. z>z>w . jc (s'Potid'P) w:
x (s'Potid'tf) x:z>.x (s'Potid'P) у (1)
h . *43-421. z> \- . (s'Potid'fl) | P = s'\ P''Potid'P
[*91-281. *41-161] G s'Potid'P.
[*34-l . *10-23] z> h : jc (i'Potid'P) г. zRw. z>ZjVV. x (j'Potid'P) w (2)
h . *90-13 . z> \-: xR* у. z>. xe OR.
[*50-3 . *35-101] z> . x (/ f C'P) x.
[*91-35. *41-13] z> - x (s'Potid'P) jc (3)
V . (2). (3). *4-7173 . з h : Hp (1). s . jcP* у (4)
h - (1). (4) . z> Ь : jcP* у. z>. jc (J'Potid'P)y: z> h . Prop
*91-514. h./?*|/?G/?po
Доказательство.
h.*91-513. z>\-.R*\RG(siPotidiR)\R
[*43-421] Gs'|P"Potid'P
[*91-24] Gs'Pot'P
[(♦91-05)] CLRpo .Dh.Prop
*91 52. h . Др0 = P* | Л = R | P* [*91-512-514 . *90-32]
*91521. h:PePotid'P. = .PePotid'P
Доказательство.
Cnv"u , .
h . *91-15 . z> Ь:: PePotid'P . => :.
/ f C'ReCnv"^: 5 б Cnv"^. z>5 - 5 |PeCnv'4ji: z>. PeCnv'V (1)
h . *72-513-ll. z> h : P б Cnv4^ . = . P e [i (2)
h . (2). *50-5-51 . z> h : / [ C'P e Cnv4 ^. = . / \ C'R e [i (3)
h . *31-51 . D|-:.5e Cnv44^. z>5 . 5 | R e Cnv"^ : = :
5 6Cnv''^.z>5.5|/?6Cnv'V:
[(2).*34-2] =:Se[L.z>s .R\Se[L (4)
Ml).(2).(3).(4).=>
h :: P e Potid'P .z>:. I \ ORev.S e\i.^>s -R\S e[i:z> . Pe[i (5)
h . (5). *1(H1-21. *91-l-33 . z>
h : P e Potid'P .d.Pe Potid'P (6)
P R
h . (6)^— - *31-33 . z> h : P e Potid'P .d.Pe Potid'P (7)
P,/?
h.(6).(7).z>KProp
*91-522. h : PePot'P . = .FePot'P [Доказательство аналогично *91*521]
*9153. h.Ppo = (P)po
Доказательство.
h.*91-52. z>h.Ppo==P|P*
[♦90-132] = P|(P)*
[*91-52] =(P)po.z)l-.Prop
A.H. "Уайтхед, Б.Рассел

620
ГЛАВА 5. ИНДУКТИВНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
•91-54. Ь . Я* = / \ ClR U /?ро [*90-31. *91-52]
•91-541. V . Я* П У = Яро П 7 [*25-401. (*50-02). *35-441. *91-54]
*91-542. hzxRxy.xty.^.xR^y.xty [*91-541 . *50-11]
•91-543. Н.Я*''р = (РПС'Д)иДро''Р
Доказательство.
Ь . *91-54 . *37-221. z> h . Д*"Р = (/ \ С'Д)"Ри/^"Р
[*50-59] = (р П С'Д) U Дро''Р. z> h . Prop
•91544. Ь.Я*"Р = (РПС4/?)U/?ро"Р
•91-545. h : Р с СД. z>. Д*"Р = Р UДро"Р [*91-543 . *22-621]
•91-546. Ь : р с С4/?. z>. Я*"Р = Р UДро"Р
•91-55. h . Я* = s'Potid'fl
Доказательство.
Ь . *91-23 . z> h . i4Potid7?= j4{i4(/ Г С4/?) и Pot'/?}
[•53-17 . (*91-05)] =/ Г ClR и /?ро
•9156.
[•91-54] = Д*
V . Дро G/?po
Доказательство.
•91561.
*91-562.
*9157.
•91-571.
•91572.
•91573.
*91574.
Ь.*91-52. эН.Л? = Д*
ри
[•90-16] сД*
[*90-17] сД*
[•91-52] G/?p0
Ь : 5 G/?po . Т сДро - э - 5 | Г G/?po
У :S G/?po . z> .S \RGRpv .R\S clR^
\-.Rpo=RURpo\R^ROR\Rpo
h . Rpo \R — R\ Rpo
\-.Rpo-(Rpo\R)<zR
h./?po-(/?|/?p0)G/?
h . /?* | Rryo = /?po | /?* = /?po = /? | Д* = /^
=> h . Prop
|/?|/г*|л
|Д*|Д
\R
.Dh. Prop
[*34-34 . *91-56]
[•91-561-502]
[*90-32 . *91-52]
[•91-52]
[*91-57. *22-9-43]
[•91-571-572]
*\R
Доказательство.
h.*91-52. z>\-.R*\Rpo = R*\R*\R
[*90-17] =R*\R (1)
K*91-52. гэКЯ^ | R*=R | /?* | /?*
[*90-17] =Л|Я* (2)
I-. (1). (2). «91-52 . э h . Prop
*91-575. КЯ^=Я|/гро = Лро|Я = Я2|/^=Л*|Я2=Я|Я*|Л
Доказательство.
*91-58.
•91-581.
b
h
h . *91-574-52 . z> b
h.(l).*91-52.z>h
:PePotid'/?.
:Pt
e Pot \R.z>
D.FG&
.PClflpo
^po ~ ^ 1 ^pc
.Prop
[•91-55 .
[*41-13 .
-Rpo \R
•41-13]
(•91-05)]
(1)
Principia Mathematica I

*91. О СТЕПЕНЯХ ОТНОШЕНИЯ
621
*91-59. h : R aS . z>. R^ gS po
Доказательство.
h. *9018.
[*34-34]
[*91-52]
Dh
:Hp.
=>
=>
Z>
. A*
. /?#
GS*.
|/?eS*
• **po ^-^ po ■
«|S.
: =>h .
. Prop
*91-6. ViQePot4/? . z>. Pot'Q<= Pot4/?. gpo G/?po
Доказательство.
/?, <$>S
\-:.Pe PoVQ : S e Pot'/? . z>5 . S \ Q e Pot4/? : Q e Pot4/? : z>. /> б Pot4/? (1)
h . *91-343 . z> h :. G e Pot4/? . z>: S e Pot4/? . z>5 . S | Q e Pot4/? (2)
h . (1) . (2) . z> h : PePoVQ ■ QePot4/? . z>. Pe Pot4/?:
[Exp . *10-11-21] э h : Q e Pot4/? . z>. PoVQ с Pot4/? . (3)
[*41-161] ^.QpoZRpo (4)
h . (3) . (4) . z> h . Prop
«91-601. h-(i^o)po = i^o
Доказательство.
h.*91-502.3h./?poG(/?pO)po (1)
h.*9M71%^|^.=>
/?, ф5
h :. P e Pot7?po : S G/?po . z>5 . S | /?po G/?po : /?po d/?po : z>. P g/?^ (2)
h . *34-34 . *91-56 . z> h : 5 G/?po . z>5 . 5 | /?po G/?po (3)
h . (2) . (3) . *23-42 . z> h : P e Pot4/?po .d.Pg^:
[•41-151] Н.(^ю)роС/^о (4)
h . (1) . (4) . z> h . Prop
*91-602. h.(/?po)*=/?*
Доказательство.
h . *91-54 . э h - (/?po)* =/ \ C4/?po U (/?po)p0
[*91-504-601] ^IIC'RUR^
[*91-54] = /?*.z>b.Prop
*91603. h.(/?*)po=/?*
Доказательство.
Ь.*91-52. z>h.(/?*)po = (/?*)*|/?*
[*90-4] =/?*|/?*
[*90-17] = /?*.z>h.Prop
*91 62. h :. x/?po J . = : /?' V с ^ . fcx с jx . z>^ . у e \i [*91-52 . *90-36]
Сравним эту формулу с предложением *90-1, в котором приводится
аналогичная формула для /?*. Отметим, что здесь мы не требуем, чтобы
дополнительно выполнялось jteC4/?, так как* если /Г4х = Л, из
вышеприведенной формулы вытекает xRpoy. =>. ye Л, т.е. ~(х/?роу). Следовательно,
jc/?po у . z>. g ! /Г4х, т. е. xRpo у. z>. х € D4/?. Отметим, что х/?ро у всегда
выполняется, как только у принадлежит любому наследственному классу,
содержащему непосредственные последователи х, а х/?*у всегда выполняется,
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

622
ГЛАВА 5. ИНДУКТИВНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
как только у принадлежит любому наследственному классу, которому х
принадлежит сам.
*91-7. V . Fpo"CTF = D</? • £po"D'fl = CTF [*91-504 . *37-25]
♦91-71. V iRll\ka\)L. = .Rpo"[ic\i. = ./?*"ц,сц-
Доказательство.
h . *90-22-132 . z>\-:R"\i<zil. =.R*"\ic[i. (1)
[*91-602] s.(^o)*"|iC|i.
[(1)^] s-VVcii (2)
b.(l).(2).z>b.Prop
*91-711. \-:RtiiL<z[L.z>.Rvoil\i = Rii\i
Доказательство.
h . *91-71-52 . *37-2 . z>b:Hp.=>.Fpo'^c:F'V (1)
Ь.*91-502. ^h.R'^cR^'ii (2)
h.(l).(2).z>b.Prop
Данное предложение используется в теории минимальных точек серии
(*205-68).
*91-72. Ь./Г(аиДро''а) = Дро''а
Доказательство.
h . *37-22-33 . z> h . Д"(а U Яро"а) =F"a U (Я |Яро)"а
[*37-221] = (FUF|Fpo)"a
[*91-57] = Fpo "a.Dh. Prop
*91-721. hJ"(aU^po"a) = ^0"a [*91-72-. *91-53]
/v
*91-73. h :. F, gePotid'F . F/ <2. z>: (дГ) : TePot'F : Q = F| Г ■ V . F = <21 Г
Доказательство.
h . *91-45 . z>
h:.Hp.z>:(ar):rePotid</?:!2 = />l^.^|r//,.V.F=ei^.!2ir^!2 (1)
h . *91-27 . *50-62 . z> Ь : F e Potid'F . z>. F | / \ ClR = P:
[Transp] z> h : F, Г е Potid'F . P\T ф P .^> .T ф I \ C'R (2)
Ы1).(2).Э
h:.Hp.z>:(ar):rePotid</?.r//fC<i?:e = F|r.V.F=ei^ (3)
h . *91-23 . z> h : TePotid'F . Г / / \ ClR . z>. Г ePot'F (4)
h . (3). (4). z> V . Prop
*91-731. V :. F, gePotid'F . F/ Q . z>: (дГ): Г ePot'F :<2 = r|F.V.F = r|<2
[*91-73-34]
С помощью *91-73 и *91-731 степени R могут быть упорядочены и
образовывать серию по правилу: F предшествует <2, если Q = Р | Г, и следует
за 2 в противоположном случае. Однако такой порядок приводит к
открытой серии, только если FePotid'F. ТеPot'F. z>pj *P\TфР; иначе, начиная
с некоторой точки, степени будут образовывать циклическую серию.
Principia Mathematica I

*91. О СТЕПЕНЯХ ОТНОШЕНИЯ
623
*91-732. h:.P,0ePotid'fl.P/e-=>:
(a5,):5,6Potid</?:e = 5,|^|/,.V./, = 5'|P|e
Доказательство,
h . *91-731-24 . z>
h:.Hp. ^:faS9T):SePolid'R.T = S\RiQ=T\P.V.P=T\Q:
[*13495] =>: (rS) : S e Potid'fl: Q = S \R\P .V . P = S \R\Q:.=>\-. Prop
*91-74. h.Rii<R*ix = <Rvoix.Rir$*ix=Tlpolx [*91-52 . *37-302]
*91-75. \-. R* U R* = R* 0 Rpo= Rpo0 R* = RpoG I IC'RUR^
Доказательство.
h . *50-5-51. z> h . Cnv'(/ \ C'R) = I\C'R.
[*91-54] эН.Я*=/ГС\КиДро. (1)
[*91-54 . *23-56] z> h . Д* U R* = Rpo 01 \ C'R и tfpo (2)
[•91-54] =R*ORpo (3)
[(1)] =/^U** (4)
h . (2). (3) .(4).Dh. Prop
A. H. Уайтхед, Б. Рассел

624
ГЛАВА 5. ИНДУКТИВНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
*92. Степени одно-многозначных
и много-однозначных отношений
Краткое содержание *92.
Если Reds—> 1, то существует единственная последовательность
термов х\,Х2, *з, •••> начинающаяся с заданного терма х, такая, что
xRx\ - x\Rx2 • X2RX3
Например, отношение сына к отцу есть Cls—> 1, и начинающаяся с
некоторого заданного индивидуума последовательность предков по прямой
мужской линии (т.е. последовательность jci, *2, *з» •••» ° которой шла речь
выше) однозначно определена. Следствием этого свойства
много-однозначных отношений является то, что, если мы, начиная от терма у, пройдем
несколько шагов назад к терму х, а затем пройдем большее число шагов
вперед к терму z, то мы должны пройти через у по пути от х к г, если
же число шагов отхкг меньше, чем от х к у, то z должно лежать на
пути от х к у. Эти факты выражаются предложением:
/?еCls-> 1. z>.Я* |Д* с/?* и Я* .
В настоящем параграфе мы устанавливаем различные предложения
подобного сорта.
Мы доказываем также в данном параграфе различные предложения,
которые потребуются при обсуждении "семейств" в *96 и *97, и некоторые
предложения, необходимые для теории конечного и бесконечного. Однако
в целом предложения настоящего параграфа используются нечасто.
Наиболее важны из них следующие.
*9211. \-: R el -> Cls . ^>. R^IRgR* . Rpo\R = R* [D'fl
и аналогичное предложение (*92-111) для Cls—> 1.
*92 132. h : R е 1 -> Cls . Q,T е Potid'tf . z>. Q | Т | Q а Т
и аналогичное предложение (*92-133) для Cls—> 1.
*9214. h : СГД с D'fl. Q ePot'/?. z>. D'g = T>'R
По поводу этого предложения см. замечания к *91-271 во введении
к *91. Если R — сериальное отношение, G'RcD'R представляет собой
условие отсутствия у серии последнего терма.
*92-31. \--.Rel->Cls.z>.R*\R*=R*UR*
*92-311. Н:ДеС18->1.э.ДПД*=Д*иД*
*921. h : R е 1 -> Cls . z>. PotidT? с 1 -> Cls
Доказательство.
h . *72-17 . *71-26 . z> h . / f C'R e 1 -> Cls (1)
h . *71-25 . => h :. Hp. z>: S e 1 -> Cls . z>. S \Re 1 -» Cls (2)
h.(l).(2).*91-17.z>h.Prop
*92101. h : R e Cls -> 1 . z>. Potid'fl с Cls -> 1 [Аналогично *92-1]
*92102. I-: R e 1 -> 1. z>. Potid'tf с 1 -> 1 [Аналогично *92-1]
Principia Mathematica I

*92. степени одно-многозначных и много-однозначных
отношений 625
*9211. h-.Rel-tCls.^.RvolRGRb.RpolR^R* \T>'R
Доказательство.
h.*91-52. z>\-.Rvo\R = R*\R\R (1)
h . *71-19 . z> h : Hp. z>. R \ R = / \ D4/? (2)
h . (1). (2). *50-6 . э1-:Нр.э./^|Я = Д* \T>'R (3)
h . (3) . *35-441. z> h. Prop
*92111. h:/?6Cls^l.z>.^|/?poG/?*.^|/?po = (a</?)1^*
[Доказательство аналогично *92-ll]
*92112. h : R e 1 -> Cls . z>. Д | R^ \ R = Яро f D4/? [*92-ll . *91-52]
*92113. hr/^eCls-^l.^.^l^pol^^Ca^l^po [*92-lll. *91-52]
*9212. h : R e 1 -> Cls . СГД с D4/?. z>. Rpo \ R = Д* [*92-ll . *35-66]
*92121. h : Д e Cls -> 1. D7? с a4/?. z>. R | /^ = R* [*92111 . *35-63]
*9213. h : R e 1 -> Cls . <2, Г е Potid4/? . з . Г | g | £ = П D'Q
Доказательство.
h . *92-l . z> h : Hp . z>. Qe 1 -> Cls .
[*71-19] ^.eie^/fD'G-
[*50-6] э.Г|е|2 = ^ ГБ4е:эН-Ргор
«92-131. h : Д e Cls -> 1. 6, T e Potid'fl. z>. Q \ Q | Г = (СГ0) 1 Г
В настоящем параграфе, когда доказательства приведены для случая
R е 1 —» Cls, мы будем опускать доказательства предложений для случая
R e Cls —» 1, поскольку они совершенно аналогичны.
*92 132. h : Я е 1 -> Cls . Q,T e Potid4/? . z>. Q | Г | Q g Г [*9213 . *91-34]
*92 133. h : Я e Cls -> 1. Q, T ePotid'R .^>.Q\T\QgT
*9214. h:a4/?cD4/?.<2ePot7?.z>.D4e==D4/?
Доказательство.
h.*91-271. z>h:.Hp. z>: CrgcD'/?:
[*37-321] =>:D4(GI/*) = D4e:
[*13-182] z>: D4Q = D4/?. z>. D4(<21 Я) = Б4/? (1)
h.*13-15. :Dh.D4/? = D4/? (2)
h. (1). (2). *91-171Р<5=Р,/г- э h . Prop
фкЗ
«92-141. Ь : D4/? с СГД . £> e Pot4/? . z>. (T<2 = СГД
*92 142. h : (ГД с D4/?. <2 e Potid4/?. z>. D4<2 = D4/?
Доказательство.
K*50-5-52. 3h:e = /fC4/?.z>.D4e = C4/? (1)
h.*33181. z>b:Hp.z>.C4/? = D7? " (2)
h - (1). (2) - 3b:Hp.e = /rC4/?.z>.D4e = D4/? (3)
h . *91-23 . э h :. Hp . z>: Q = / f C4/?. V . g e Pot4/? (4)
h . (3) . (4). *92-14 . => h . Prop
*92143. h : D4/? с Q4/?. eePotid4/?. z>. WQ = Q4/?
A.H. "Уайтхед, Б. Рассел

626
ГЛАВА 5. ИНДУКТИВНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
*92144. h : d4/? с D4/?. Q e Potid4/?. z>. (Г<2 = D4/?. (Г<2 с D4<2
Доказательство.
h . *91-271. z> h : Hp . Q e Pot4/?. z>. СГ<2 с D4/? (1)
h. *50-5-52. z>YiQ = I\ClR.z>. aiQ = OR (2)
Ь.*33-181. 3l-:Hp.z>.C4/? = D7? (3)
h . (2). (3). *23-42 . z>Y:llv.Q = I\ClR.z>.aiQ<zY)lR (4)
V . *91-23 . э h :. Hp . z>: Q = / \ C4/?. V . Q e Pot4/? (5)
h . (1) . (4). (5). *92-142 . z> h . Prop
*92145. h : D4/? с О4/?. Q e Potid4/?. z>. D4<2 = СГД. D'0 <= <T<2
*92146. h : О4/? с D'/?. <2 ePotid4/?. z>. Г f D4<2 = Г
Доказательство.
h . *92-142-144 . z> h : Hp . z>. D'Q = D'/? . СГГ с D4/?.
[*13-13] D.aTcD'jJ.
[*35-66] э. Г Г D4<2 = T : z> h . Prop
*92147. h : D7? с CI7?. <2, Г e Potid4/? . z>. (0*01 Г = Г
*9215. h : /? e 1 -> Cls . О4/? с D'/? . Q,T e Potid4/?. z>. T | <2 I G = Г
[*92-13-146]
«92-151. h : /? e Cls -> 1. D4/? с СГ/?. & Г e Potid4/?. z>. 21 QI Г = T
*92-152. h:/?el->Cls.a4/?cD4/?.e,r6Potid4/?.z>.e|r|e = ^
[*92-15 . *91-34]
*92153. V : R e Cls -> 1. D4/? с a4/?. & T e Potid4/?. z>. Q | Г | 0 = Г
*9216. h :. /? б 1 -> Cls - P, Q e Potid4/? . z>:
(g T): T e Potid4/? : P\Q = T IV'Q.V . P\Q = Cnv4(r f D4F)
Доказательство.
h . *91-46 . z> h :. Hp . z>: (g Г) : T e Potid4/? :е = Г|Р.У.Р = Г|е (1)
h . *92-13 . z> h : Hp . Г б Potid4/?. P=T\Q .^>. P\Q = T \Т)'(2 (2)
h . *92-13 . z> h : Hp. T e Potid4/? .<2 = Г^.э.<2|£=ПЕ>'^-
[*34-2] z>.JP|e=Cnv4(rfD4JP) (3)
h . (1). (2). (3). z> h . Prop
«92-161. h :./?eCls -> 1 . P, Qe Potid4/?. z>:
(дГ) : Г б Potid4/? : 0 IP = (WQ) 1 Г . V . Q \ P = Cnv4{((TP) 1 T]
*92-17. h : /? б 1 -> Cls . F, 0 e Potid4/?. z>. (g Г). Г e Potid4/?. P112 g Г U f
Доказательство.
h . *35-441. z> h : P | 2 = T \ D40. z>. P | 0 с:Г .
[*23-58] э.Р|(2сГиГ (1)
h . *35-52-44 . z>h : P\ Q = Спу4(Г f D4F). z>. F| Qcif -
[*23-58] z>.F||2Gruf (2)
h.(l).(2).*92-16.=>h.Prop
*92-171. h:/?eCls-> 1 .F, QePotid4/?. z>. (дГ). TePotid4/?. Q\PaTO f
Principia Mathematica I

*92. СТЕПЕНИ ОДНО-МНОГОЗНАЧНЫХ И МНОГО-ОДНОЗНАЧНЫХ
отношений 627
*9218. h : Re 1 -> Cls . d'F с D'F. Л ge Potid'F. z>. F| <2е Potid'FU Potid'F
Доказательство,
h . *92-16-146 . z>
h.Hp. D:(ar):rePotid</?:F|e = ^.V.F|e = 7':
[*10-42] D:(ar).r6Potid^:F|e = r.V.(ar).rePotid</?.F|e = ?:
[*91-521] z>: (а Г). FePotid'F: F| £ = T . V . (а Г). FePotid'F. F | Q = T :
[*13195] э : F | Q ePotid'F. V . F | G e Potid'F:. z> h . Prop
*92181. h : Fe Cls -> 1. D'/?c d'F . F, £>e Potid'F. z>. Q \ Fe Potid'F U Potid'F
*9219. h : F e 1 -> Cls . CTF с D'F. F, Q e Potid'F. z>:
P\Qe Potid'F .v.Q\Pe Potid'F
Доказательство.
h . *92-18 . z> Ь :. Hp . z> : P\ gePotid'F. V . P\ jgePotid'F (1)
h . *91-521. *34-2 . z> h : F | б e Potid'F . = . Q | F e Potid'F (2)
Ь . (1). (2). z> h . Prop
*92191. h : R e Cls -> 1 . D'F с CTF. F, ge Potid'F. z>:
F | б e Potid'F. V . U | F б Potid'F
*92 3. h : F e 1 -> Cls . F, б e Potid'F . z>. F | Q gF* U F*
Доказательство,
h . *91-58 . z> h : T e Potid'F .э.ГиГ GF* U F* :
[*23-44] Z)h:r6Potid'F.F|6Gru7'.z).F||2ciF*UF*:
[*10-ll-23] z>h:(ar).r6Potid'F.F|<2ciru7'.z).F|Qc:F*UF*: (1)
h.(l).*92-17.z>h.Prop
*92 301. h : F б Cls -> 1. F, Q e Potid'F. z>. P \ Q gF* U F*
*92-31. V : F б 1 -> Cls . =>. F* | F* = F* U F*
Доказательство.
h . *90-14 . *50-64 . z> h . F* = F* | / Г C'F (1)
V . *90-15-132 . *33-22 . z> h . / \ ClR gF* .
[*34-34] z> h . F* | / f C'F GF* | F* .
[(1)] z>h.F*GF*|K* (2)
Аналогично h. F* gF* | F* (3)
h . *91-55 . *90-132 . z> h . F* | F* = s'Potid'F | s'Potid'F
[*41-51] = slf {(a P,Q).PePotid'F. QePotid'F. Г = F| Q)
[♦91-521J = s'f {(g P,Q).P,Qe Potid'F. Г = F | Q] (4)
h . *92-3 . z> h :. Hp .z>: (a F, 0 . F, С € Potid'F . T = P \ Q. z>r . T gR* U F* :
[♦41-151] z>: i'f {(a F, 0 . F, Qe Potid'F. Г = F | ^} c:F* UF* (5)
h . (4) . (5). z> h : Hp . z>. F* | F* clR^ U F* (6)
h.(2).(3).(6).z>h.Prop
*92-311. h:F6Cls->l .=>.F* | F*=F* OF*
*92-312. h:Fel->l.z>.F*|F*=F*|F*=F*UF* [*92-31-311]
A.H. "Уайтхед, Б. Рассел

628
ГЛАВА 5. ИНДУКТИВНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
*92-32. \-: R el -> I . z>. (R* О R*)\(RU R*) gR* U R*
Доказательство.
h. *34-25-26 . ^\-.(R*OR*)\(RUR*) = R*\RuR*\RuR*\ROR*\R (1)
h . *90-16132 . =э h . Я* | R GЯ* . Я* | R сД* (2)
h . *90-151. z> h . Я* | Я G Я* | Я* . Я* | R сЯ* | Я* (3)
h . (3) . *92-312 . z> h : Нр . z>. Я* | Я сЯ* U Я* . Я* | Я сЯ* О Я* (4)
h - (1) - (2) - (4) - эЬ.Ргор
*92-33. h : Я б 1 -> 1. э . (Я U Я)* = Я* О Я*
Доказательство.
h . *90-18 . э h . Я* с(Я и Я)* . Я* сг(Я и Я)* .
[*23-59] э1-.Я*иЯ*с(ЯиЯ)* (1)
h . *33-272 . z> h . / \ C\R О Я) = / f С'Я.
[*90-15 - *23-58] z> h . / \ C\R О Я) g Я* О Я* (2)
h . *92-32 . *34-34 . z> h :. Нр . z>: S сЯ* U Я* . z>. S | (Я U Я) сЯ* и Я* (3)
, x , x RUR,S CLR*UR*
h.(2).(3).*91.17.-^—^—.э
h :. Нр . z>: РеРоШ'(Я 0Я). z>P .Fg& 0Я* :
[*4Ы51] э : s'Potid (Я U Я) сЯ* и Я* :
[*91-55] э:(ЯОЯ)*с:Я*иЯ* (4)
K(l).(4).z>h.Prop
*92 34. Н:Яе1->1 . э . (ЯиЯ)ро = Я* ОЯ*
Доказательство.
h . *92-33 . *91-52 . z>
h:Hp.z>.
(Яи/Ьр0 = (Я*иЯ*)1(ДйЯ)
[*34-25-26] = Я* \RUR*\RGR* |ЯиЯ* \R
[*91-52-54-57] = Яро U (/ \C1RGrGR* \R)\RU (/ \С'ЯиЯОЯ* \R) |ЯиЯр0
[*50-65 . *71192 . *72-59-591]
^ЯроОЯи/ГСГЯиЯ* I&RURUIID'RUR* ГБ'ЯиЯро
[*35-412 . *91-502]
= Ярои/ГС'ЯиЯ* ГСГЯиЯ* tD^U^po
[*91-75] = Я* и Я* U Я* \ СГЯ U Я* Г Б'Я
[*35-441] = Я* U Я* : => h . Prop
Principia Mathematica I

*93. ИНДУКТИВНЫЙ АНАЛИЗ ПОЛЯ ОТНОШЕНИЯ
629
*93. Индуктивный анализ поля отношения
Краткое содержание *93.
В настоящем параграфе мы вводим три новых обозначения, из которых
первые два будут постоянно использоваться, особенно в теории серий, в то
время как третье, за исключением настоящей главы, будет использоваться
редко. Те два, что используются постоянно, это
хВР, означающее х е D'Р - Q 'Р,
и jc minp а, означающее хеаПС'Р- Р"а,
т. е. х принадлежит а и С'Р, и ни один элемент из а не предшествует х
в С'Р.
Буква В соответствует слову "begins" ("начинает"). Если мы возьмем
произвольный элемент у из С'Р и пройдем посредством Р-шагов вперед и
назад, насколько возможно, то получим серию, которая может быть
названа "семейством" у; если эта серия обладает первым термом, он должен
принадлежать D'P-Q'P; таким образом, элементы D'P-Q'P являются
началами (начальными элементами) семейств. Например, если Р — отношение
пэра к своему наследнику, "хВР" означает их — пэр, не являющийся
наследником пэра"; так что х первый в своем семействе. Если Р — отношение
между родителем и отпрыском, "хВР" будет верно лишь для Адама и Евы;
аналогично для других отношений.
Определение В имеет вид
£ = JcP(jteD'P-CrP) Df.
Отсюда В 'Р = D'P - Q'Р. Если Р — порождающее отношение серии, которая
обладает первым термом, этим термом является В'Р] если существует
последний терм, им является В'Р.
Для произвольного класса а можно назвать терм х минимумом а в
силу отношения Р, если х принадлежит а и С'Р, но не имеет ни одного
последователя в а, т. е. не принадлежит Р"а. Обозначим это отношение х к
а через "minp"; таким образом
х minp a . = . х е а Л С'Р - Р"а,
и определение minp имеет вид
minp = Jca (jc е а П С'Р - Р"а) Df.
Мы будем, когда это окажется удобнее, записывать "min(P)" вместо
"minp".
Имеем
mhVa = а Л С'Р - Р"а .
Если Р — сериальное отношение, класс minp'a при условии, что он не
пуст, сводится к одному терму; так что, если класс а обладает первым
термом, им является minp'a. Далее, полагаем,
тахр = min (P) Df,
тогда maxp'a, если существует, является последним термом в Р-сериях
класса а. Например, если а —класс пэров, а Р —отношение отца к сыну,
А. Н. Уайтхед , Б. Рассел

630
ГЛАВА 5. ИНДУКТИВНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
то minp'ct состоит из тех пэров, которые являются первыми в своей
линии, a maxp'ct состоит из тех пэров, которые являются последними в своей
линии. Если а — класс чисел, а Р — отношение меньшего к большему, то
minp'ct есть наименьший элемент класса а (если он существует), a maxp'ct —
наибольший (если он существует).
При работе с сериями обозначения В, "тахр" и "minp" будут постоянно
использоваться, причем два последних будут подробно изучены, но в
настоящем параграфе объектом особого внимания является несколько менее
общее понятие, а именно понятие поколений. Возьмем, к примеру,
отношение между родителем и ребенком; обозначим его Р. Тогда первое
поколение состоит из тех индивидуумов, кто является родителями, но не детьми,
т. е. В'Р] второе состоит из тех, кто является детьми, но не внуками, т. е.
G'P-G'P2, или 04Р-Р4404Р, или minp'G'P; третье состоит из тех, кто
является внуками, но не правнуками, т.е. (ГР2 -СГР3, или (ГР2 -Р^СГР2,
или minp'G'P2; и т. д. Полагаем
l^P = mmp'(Г(/rC^P);
следовательно, поколения Р образуют класс minp"G"Potid'/\ Таким
образом, полагаем
gen'P = mmp''a'Totid^P Df,
где "gen" обозначает "generation" (поколение).
В случае, когда Р — одно-многозначное отношение, например отношение
между отцом и сыном, любое поколение имеет вид Г447гР, где Т есть
степень Р (включая / \ С'Р). Но в общем случае, когда Р не одно-многозначно,
это неверно.
Поколениями Р не исчерпывается все поле Р. Действительно, х будет
принадлежать некоторому поколению Р, только если х может быть
достигнуто с помощью последовательных Р-шагов, начиная с некоторого
элемента из В*Р. Если некоторые из семейств, образующих поле Р, не обладают
начальными элементами, члены этих семейств не принадлежат никакому
поколению Р. Такие термы, собранные вместе, образуют класс
р'СГ'РоГД,
или р'СГ'РоШ'Д,
что одно и то же.
Таким образом, поле Р может быть разбито на две взаимно
исключающие части s'gen'P и p'Q"Pot'P.
В настоящем параграфе сначала рассматриваются элементарные
свойства В, тахр и minp. Затем мы рассматриваем (*93-2— 275) такие свойства
поколений, в которых не накладывается никаких ограничений на Р. Мы
доказываем
*93-25. h . gen4P€Cls2excl
*93-261. h . р'СГТоГР = jp4<r4Potid4P. р4<ГTot'P с <ГР
а также (*93-274-275), что s'gen'P и р4Q44Pot4P — взаимно исключающие
классы, вместе образующие С'Р. В последующих предложениях (*93-3—41)
Principia Mathematica I

*93. ИНДУКТИВНЫЙ АНАЛИЗ ПОЛЯ ОТНОШЕНИЯ 631
требуется, чтобы Р было одно-многозначным или много-однозначным, или
одно-однозначным. Мы доказываем
*93-32. V :. Р е 1 -> Cls . z>: а е gen'P. = . (дГ). Т е Potid'P. а = Г "~2'Р
*93-36. V : Ре 1 -> Cls . z>. s'gen'P = Р*"~Й'Р
«93-381. h :. Ре Cls -> 1. z>: jtep'CT'Pot'P. = . K'jcc D'P. xe C'P
a также ряд других свойств s'gen'P и p'G'Tot'P при условии, что
Pel->Cls.
Предложения настоящего параграфа повсеместно используются в
оставшейся части главы; они также потребуются в теории конечных и
бесконечных кардиналов. Начальные предложения, до *9312 включительно, будут
нужны также в теории серий.
*93 01. В = хР(хеТ)'Р-<1'Р) Df
*9302. minp = min (P) = х а (хе а Л С'Р - Р"а) Df
*93 021. maxp = max(Р) = min(Р) Df
*9303. gen^ = rnIrV'(T'Potid'P Df
*931. h : xBP. = . xe D'P - d'P [*21-3 . (*93-01)]
*93101. b.^'P = D'P-(TP [*93-l . *32-18]
*93102. h : x = Я'Р. = . x = i'(D'P - СГР). = . D'P - (ТРe 1. xeD'P
[*93-101. *54-3]
*93i03. ь.11'р = с'р-а'р
Доказательство.
h . *22-9 . *33-16 . z> h . C'P - d'P = D'P с d'P
h . (1). *93101. z> h . Prop
*93104. \-:xBR.z>.ll*lx = iix.Tlpoix = A
Доказательство.
h.*93-l . =>h:Hp. э.хеС'Д.
[*90-12] э.хе^*'х
h.*91-504. =>h:g !l?po'jc. =>. jted'fl:
[Transp. *931] => h : xtffl . z> .^po'x = Л
h . *91-542 . ^hiyRxX.y^x.^.yRpoX:
[*32-18] z>\-:.yR*x.^>:y = x.V .ye^'x
h . (2). (3). z> h :. Hp . z>: у R* x. z>. у = x
h . (1). (4). z> h : Hp . э .^*'jc = l'jc
h . (2). (5). э h . Prop
*9311. h : xminp a . = . x e а Л C'P - P"a [(*9302)]
*93 111. Ь.шпР'а = аЛС'Р-Р''а [*93-ll . *32-18]
-сгр
(1)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
A. H. Уайтхед , Б. Рассел

632
ГЛАВА 5. ИНДУКТИВНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
«93-112. b.^P = r^pT^ = mmp'C'P
Доказательство.
h . «93-111 . эН . minp'D'P^ D'P - P"D'P
[*37-25] = D'P-CTP
[•93-101] ="Й7> (1)
Аналогично V. minp 1С'Р=~1$1Р (2)
V . (1). (2). z> Y . Prop
«93-113. brmmp'acanC'P [«93-111]
«93-114. h . тахр = min (P) [(«93-021)]
«93-115. Ь:хтахр'а. = .хеаПС'Р-Р''а [«93-11-114]
«93-116. Ь.ттр'а = аПС'Р-Р''а [«93-115 . «32-18]
«93 117. h.^T^matp'a'P^maSp'C'P [«93-112-114]
«93-118. h.maVacanC'P [«93-116]
«93-12. V .~24Р = a4P - D'P = С'Р - D'P [«93-101-103 . «33-2-21-22]
«93-13. V . пйпр4<Г(/ \ С'Р) =7*4Р [«50-5-52 . «93-112]
«93-131. Ь.ттр'а'Р = СГР-(ГР2
Доказательство.
Ь . «93-111. z> Ь. mmp<D<P= СГР - Р"СГР
[*37-36] = СГР - СГР2 . z> Ь. Prop
«93-132. h . mhVaT = С'Р П СГР - <Г(Г | Р)
Доказательство.
h . «93-111 . z> h . mmp'DT==C'P П ОТ - P"dT
[*37-32] =С'Р П ОТ - <Г(Г IР) . => И . Prop
«93-2. h : a egen'P. = . (дГ). TePotid'P. a = ттр'ат
[*37-67. («93-03)]
«93-21. V : а е gen'P. = . (дГ). Т е Potid'P. а = ОТ - <Г(Г | Р)
[«93-2-132. «91-27]
«93-22. h .ll'Pegen'P [«93-2-13 . «91-35]
«93-221. h . СГР - СГР2 е gen'P [«93-2-131 . «91-351-23]
«93-23. h . gen'P = l'I^'P U mmp''(r'Pot'P
Доказательство.
V . «91-23 . «37-22 . z>
V . gen'P=rrnnp''(T'i'(/ \ C'P) U mrnp''C[''Pot'P
[*53-31] = i'rnrnp'C['(/ Г C'P) U rnrnp''CT'Pot'P
[*93-13] ^I'l'PUmin/'a'Tot?
«93-231. V :. S, Г ePotid'P. S ф T . z>: d'S с Р"ОТ . v . (IT с £44a\S
Доказательство.
h . «91-732 . z>
h :. Hp . z>: (g M) : S = M | P | Г . V . T = M \ P \ S :
Principia Mathematica I

*93. ИНДУКТИВНЫЙ АНАЛИЗ ПОЛЯ ОТНОШЕНИЯ
633
[*91-3] z> : (a Af) : S = М | Т | Р. V . Т = М \ S \ Р (1)
V . *34-36 . z> h : S = М | Г | Р. z>. (PS с <Г(Г | Р).
[*37-32] э.а^сР4<аТ (2)
Аналогично \-:Т = M\S \Р. z>. <ГГ с Р"а'5 (3)
b.(l).(2).(3).z>b.Prop
*93-24. \-:S,TePotid'P. S ф Т. z>. mrnP'CTS П гшпр'СГГ = Л
Доказательство.
V . *24-3 . z> V : d'S с Р'ЧГГ. z>. d'S - Р'ЧГГ = Л .
[*24-34] z>. crs n ат - р"ат = л.
[•24-34] z>. (crs - p"crs) п (сгр - р"ат) = л.
[*93411] э.пЛп/>'а'5,Птшр'аТ = Л (1)
т $ .
1-.-^—. Dh:aTcP"a'5. z>.minPtat5,nminPtaT = A (2)
I-. (1). (2). *93-231. z> h . Prop
*93 25. h . gen'P e Cls2 excl
Доказательство,
h . *30-37 . Transp. z>
h :. 5*, T e Potid'P. a = rnmp (PS . p = rnm/OT . a ф p . z>
^ГеРоШ'Р.^/Г:
[*93-24] z>: a D p = Л (1)
b.(l).*ll-ll-35-54.z>
h :. (aS). S e Potid'P. a = rnmp d\S : (дГ). TePotid'P. P = iiiin/aT :
a^P:z>.anp = A (2)
V . (2). *93-2 . z> h : a, p e gen'P. а ф p . z>. a n P = Л (3)
V . (3). *84-l . z> V . Prop
*93 26. h : S, Г ePotid'P. T e |5 "Pot'P. z>. mTVa'S П rrmVaT = Л
Доказательство.
Гб|5"'|Р"РоШ'Р.
faM).T = M\P\S.
(a Af). т = м\ s |p.
атсгш.
ат-р"а'5 = л.
(crs - p"<rs) n (ат - р"ат) = л.
rrmV(PS П пйпр'ат = Л : z> V . Prop
*93 261. V : p'CT'Pot'P = p'CT'Potid'P. p'CT'Pot'Pс СГР
Доказательство.
h . *91-23 . Dh. d"Potid'P= CT'Pot'P U i'CT(/ Г C'P)
[*50-5-52] = CT'Pot'P Ui'C'P (1)
H - (1). *53-14 . z> h . p'CT'Potid'P = p'CT'Pot'Pn ClP (2)
l-.*40-12.*91-351. z>b./?'CI"Pot'P с СГР (З)
I-. (2). (3). *22-621 . зЬ.Ргор
b.*91-24.z>l-:Hp
[*43-lll . *37-67]
[*91-3]
[*34-36 . *37-32]
[*24-3]
[*24-34]
[*93-lll.*91-27]
. z>
z>
z>
z>
z>
Z)
Z)
А.Н.Уайтхед, Б.Рассел

634
ГЛАВА 5. ИНДУКТИВНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
*93-27. h :. хе С1Р. =>: х ~ е s'gen'P. = . хб p'CT'Pot'P
Доказательство.
Ь.*40-11 .*10-51.z>
h :. х ~ е s'gen'P .=: а б gen'P. эа . х ~ € а :
[*93-21] = : Т б Potid'P. z>r . jc - б ОТ - (Г(Г | Р):
[*4-53 . *5-6] = : Т е Potid'P. хе ОТ . эг . jcб СГ(Г | Р) (1)
h . *50-5-52 . z> h : jc б С'Р. z>. jc б <Г(/ Г С'Р) (2)
h . (1). (2). z> h :: х е ClP . z>:. х ~ б s'gen'P . = :
хб СГ(/ Г С'Р): T^Potid'P. хб ОТ . z>r . хб(Г(:Г | Р):
[+91-371] = : Т б Potid'P. z>r . х е (ГГ:
[*40-41] = :jc6p'd"Potid'P:
[*93-261] = : xepWPoVP:: z> h . Prop
*93-271. h . C4P - s'gen'P = p'CT'Pot'P
Доказательство.
h . *5-32 . *93-27 . z> h : xeC'P - s'gen'P. = . xeC'P . jc6p'd"Pot'P.
[*93-261 . *4-71] = . хбр'СГ'РоГР : z> Ь . Prop
*93-272. Ks'gen'PcC'P
Доказательство.
I-. *93-2-l 13 . => h : a б gen'P. z>. (дГ). T e Potid'P. a с <ГГ .
[*91-27] D.acCT (1)
b.(l).*40-151.z>KProp
*93-273. h . C"P-p'd"Pot'P = s'gen'P [*93-271-272 . *24-492]
*93 274. h.CT = s'gen'P U p'CT'Pot'P [*24-411 . *93-271-272]
*93 275. h . s'gen'P П p'O'TofP = Л [*93-272 . *24-21]
*93 3. h : Pб 1 -> Cls . T e Potid'P. z>. тшр'СГГ = Т'фр
Доказательство.
h . *71-38 . *93-101 . z> Ь : Hp . z>. firSlP= f"D'P - 7"'СГР
[*37-25] = f"D'P - f "P"D'P
[*37-33 . *91-3] = f"D'P - P"f"D'P
[*93-lll . *91-27] = mmp'f''D'P (1)
h . *91-271 . *37-271 . z> Ь : Г б Pot'P. z>. f"D'P = ОТ (2)
h . *50-5-51-59 . z> h : T = I \ C'P. z>. f"D'P = D'P.
[*93-112] z>. mm/>T''D'P=ll'P
[*93-13] =mm/aT (3)
h . (2). (3). *91-23 . z>h:r6PotidtJP z> .nSi/>T''D'/,=min/>taT (4)
h.(l).(4).z>h.Prop
*93-31. h : Pe 1 -> Cls . z>. P''mrnp'C[T = mrnp'd (Г | Р)
Доказательство.
h . *71-38 . *93-lll. *37-265 . z>
V : Hp. z>. P"minp4aT= Р'ЧГГ - P"P"dT
[*37-32] а'(Г IP) - Р"СГ(Г IP)
[*93-lll . *34-36] =mmPia\T | P): z> h . Prop
Principia Mathematica I

*93. ИНДУКТИВНЫЙ АНАЛИЗ ПОЛЯ ОТНОШЕНИЯ
635
*93-32. h :. Ре 1 -> Cls. z>: a egen'P. = . (дГ). Г ePotid'P. а = Г"~2СР
[*93-2-3]
*93-33. V : Ре 1 -> Cls . aegen'P. z>. Р"а egen'P
[*93-2-31. *91-28-281]
*93-34. V :. Ре 1 -> Cls . z>. P""5'Pegen'P [*93-22-33]
*93-35. Ь : Ре 1 -> Cls . a egen'P. Г ePotid'P. z>. 7"'a egen'P
Доказательство.
V . *91-341. *37-33 . *34-2 . z>
h:5,rePotidtP.a = 5t^'P.z>.tS|rePotidtP.f'ta = {Cnv'(5|r)}"'^tP (1)
V . (1). *93-32 . z> V : Hp (1). Pe 1 -> Cls . z>. f"a egen'P (2)
V . (2). *10-ll-23-35 . *93-32 . z> h . Prop
*93-36. V : Pe 1 -> Cls . z>. s'gen'P = P*"~S'P
Доказательство.
b.*93-32.z>l-::Hp.z>:.
ye s'gen'P. = : (дГ). Г ePotid'P .ye f "~2'P:
[♦37-105] = : (дГ,х) . Г ePotid'P. xell'P. x7> :
[*ll-55] = : (gx): xel^'P: (дГ). TePotid'P. xTy :
[*41-11] = : (gx). хе~Й'Р. x (J'Potid'P);y :
[*91-55] = : (gx). x eTl'P. xP* у :
[♦37-105] = :jeF*"1'P:: z>h . Prop
*93-37. V : Pe 1 -> Cls . z>. C'P = P*''^'PUp'd''Pot'P [*93-274-36]
*93-38. h :. Pe 1 -> Cls . z>: xep'd'Tot'P. = ."?*'xc d'P. xe C'P
Доказательство.
h . *93-271-36 . z>
h :: Hp .z>:. xe/?'d"Pot'P .= : xe C'P. x~ еР*1Ч$1Р:
[*37-105 . *10-51] = : xe C'P: yP*x. z>y . у - e~3'P:
[♦93-101 . *22-84-8] = : x e C'P: уР*х. z^ . у e d'P U - D'P:
[*90-13 . *3346] = : x e C'P: уР*х. z>y .
j e (d'P U - D'P) П (d'P U D'P):
[*22-69 . *24-21] = :xeC'P:yP*x. z>y .у ed'P:: z> V . Prop
*93-381. h :.Pe Cls -> 1. z>: xep'd'Tot'P. = . K'x с D'P. xeC'P
*93-382. h :. Pe 1 -> 1 . z>: xep'd"Pot'Pnp'd"Pot'P. = .
7**'xU £"*'* с D'P П d'P. xe C'P [*93-38-381-261. *90-31-311]
*93-4. V : P e 1 -> Cls . d'P с D'P. g ! "2'P. Г e Potid'P. z>. g ! mm/dT
Доказательство.
V . *93-13 . z> I-: Hp . z>. g ! rnrnP'd'(/ \ C'P) (1)
h . *93-113 . *33-181 . z> h :. Hp . z>: rnmp'dT с D'P:
[*37-431] z>: g ! mmp'dT . э . g ! P"mrnP'dT .
[*93-31] z>. g ! rnm/>'d'(r | P) (2)
K(l).(2).*91-17.z>b.Prop
*93-41. h:Pel->Cls.d'PcD'P.g!"^'P.z).gen'PeClsex2excl
[*93-2-4-25 . *84-13 . *24-63]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

636
ГЛАВА 5. ИНДУКТИВНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
*93-412. Ь. Р'у (Г Tot \Рср'(Г'Pot'P
Доказательство.
Ь.*93-261
[*40-37]
[•43-411]
[*91-24]
Ь.Ре1->
. z> h . Р"р'(Г Tot'P= Р"р'(Г Totid'P
ср'Р'"СГТоШ'Р
cp'(T'|P'Totid'P
cp'(TTot'P.z>l-.Prop
Cls. э. Р"р'(Г Tot'P = p'd'Tot'P
*93-42.
Доказательство.
h . *93-261 .Dh. Р"р'СГТоГР = Р"р'СГТоШ'Р (1)
h . (1). *72-34 . *91-35 . *10-24 . z>
h : Hp. z>. PeepcacToteP=pe^eceaccPotidcP
[*43-411] =p'CI"| P'Totid'P
[*91-24] =p'CTTot'P: z> h . Prop
*93 431. h . p'd'Tot'P = p'CT'l P'Tot'P
Доказательство.
h . *91-264-304 . z> h . Pot'P = PPU | P'Tot'P .
[*53-i4] z> h. p'a'Tot'p = ctp n p'cri p'Tot'p.
[*91-271-283 . *40-151-23] z> h . p'd'Tot'P = p'd"| P'Tot'P. z> h . Prop
Следующие предложения не являются необходимыми для
последующего и приводятся без доказательств, только благодаря их интересным
конструкциям.
: ТePotid'P. z> .7^'Г =%lT = T I'Totid'P = | r'Totid'P
: Т е Pot'P. z>. PotT c"?tsT с Pot'P
:rePottP.z>.ptatTotT = jptatt^tsT = jp'atTottP
: 5, Г е Pot'Р. xS x. z>. (зу). j (5 | T) x
: S e Pot'P. xSx. z>. jtep'd'Tot'P
,C'(Pp0n/)c:p'd"Pot'P
:аК^РоП/).э.Я!р'а'ТоГР
*93-5.
*93-51.
*93-52.
*9353.
*93-54.
*93-55.
*9356.
h
h
h
h
h
h
1-
Principia Mathematica I

*94. О СТЕПЕНЯХ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ
637
*94. О степенях относительных произведений
Краткое содержание *94-
В настоящем параграфе мы рассмотрим, главным образом,
предложения, связывающие степени R \ S и S \ R. Если Р — степень R \ S, то S \ P \ R
будет степенью S \ R. Бели отношение Р — степень R \ S, оно имеет вид
произведения
{R\S)\(R\S)\...\{R\S).
Перенося начальное R в конец, получим степень S \ R. Таким образом,
существует степень S | /?, ска леем Г, такая, что
P\R = R\T.
Если flel-*Cls.a'(tf|£)<=!)'/?, будем иметь
R\(S\R)\(S\R)\...\(S\R)\R = (R\S)\(R\S)...(R\S),
иначе расставляя скобки и замечая, что R\R = I \D'R. Таким образом
Rel->Cls.ai(R\S)cT>tR.PePotiR\S . z>. (дГ). Т ePoVS \R. P = R\ T \R.
Вьфажения вида R\T\R будут необходимы постоянно. Они
подвергнутся специальному изучению в *150 и затем будут постоянно встречаться
в последующем.
Вышеприведенная связь между Pot'(Я IS) и Pot'(SI Я) очерчена в
следующих предложениях:
*9414. h . | R"Pot\R \S) = R |44Pot4(S IR)
*94-21. h . Pot'OS | R) = (S || Д)"{РоГ(Д IS) U i'/}
*94 31. h :Re 1 -> Cls . (Г(Д IS)сD'fl. z>.РоГ(Д\S) = (R\\ fl)44Pot4(S |R)
Предложения с *94-4 по *94-54 относятся к p'(I"(/?|,S) и p'WiS \R). Мы
доказываем
*94-5. \-.p'CI"Pot\S\R) = p'(l"R\"Pot'{S\K)
*94-51. h : Re 1 -> Cls . э . p4a44Pot4(S | R) = fl44p4d44Pot4(/? \S)
Там же мы доказываем (*94-53-54), что, если R одно-однозначно
и 0'(Я | S) с D'Я, либо если 5 одно-однозначно и (ГС? | Я) с D'5, то
p4a44Pot4(fl|S) подобно р'СГ'Pot'(54 Я).
Единственное предложение настоящего параграфа, на которое имеется
в последующем ссылка, — самое последнее, *94-64; благодаря тому факту,
что теорема Шредера—Бернштейна уже была доказана (*73-88), оно
используется только в *95-23. Но само предложение *95-23 не цитируется
в дальнейшем. Поэтому читатель может пропустить предложения
данного параграфа (а также *95) без ущерба для понимания дальнейшего; ему
следует, однако, прочитать введения к этим параграфам.
Наибольшую значимость предложения настоящего параграфа имеют,
когда R и S удовлетворяют гипотезе теоремы Шредера—Бернштейна, т. е.
R,S el -> 1. a4/?cD45 . d'S сБ'Д.
В этом случае R \ S представляет то, что можно назвать " отражением"
D'R в свою собственную часть; эта часть при помощи R\S снова может
быть отражена в свою собственную часть, и т. д. Термы в D'/?,
исключаемые раньше или позже в процессе отражения, образуют класс s'gen'^IS'),
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

638
ГЛАВА 5. ИНДУКТИВНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
так как каждое отражение исключает термы, составляющие одно
поколение R | S. Термы, не исключенные после любого числа отражений,
образуют класс p'G"Pot'(fi \S). Эти два множества термов составляют вместе
D'(^|S), т.е. D7?. В этом и следующем параграфах мы доказываем, что
в условиях теоремы Шредера—Бернштейна
s'gen'(fl IS) sm j'gen'(S | R). /?'СГ'РоГ(Д IS) smp'O'Tot'CS IR).
Эти два предложения, будучи объединены, дают доказательство
теоремы Шредера—Бернштейна, в силу *93-274-275. Это доказательство, по
существу, совпадает с доказательством Бернштейна, впервые
опубликованным Борелем210.
Суть двух доказательств теоремы Шредера—Бернштейна, а именно
доказательства Цермело (приведенное в *73) и доказательства Бернштейна
(приведенное в этом и следующем параграфах), лучше всего молено
объяснить, используя рисунки.
VR
Согласно Цермело, сначала доказывается, что если отношение R одно-
однозначно, а класс |3 содержится в D'R и содержит О'Я, то |3 подобен
D'R и G'/?. На рисунке точки внешнего прямоугольника образуют D'/?,
точки внутреннего прямоугольника образуют G7?, а точки внешнего
овала— р. Таким образом, заштрихованная часть фигуры представляет собой
Р - G7?. Теперь мы определим класс классов к следующими условиями: а
принадлежит к, если (1) а содержится в D7?, (2) а содержит целиком
заштрихованную область, (3) Я"аса, т. е. если х принадлежит а, то и любой
210 Legons sur la theorie des fonctions (Paris, 1898), Note I (pp. 102-7).
Principia Mathematica I

*94. О СТЕПЕНЯХ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ 639
терм, с которым х находится в отношении R, принадлежит а. Наше
предложение получается при рассмотрении р'к, т. е. области, общей для всех
элементов из к. Мы доказываем (*73-81), что р'кек, а также (*73-811), что
R"plK не содержит ничего в заштрихованной области. На рисунке R"plK
изображен меньшим овалом. Затем мы доказываем (*73-83), что /?'к
состоит целиком из заштрихованной части и меньшего овала. Следовательно, (3
(больший овал) состоит из двух взаимно исключающих частей, а именно
р'к и 0'Я-Я"р'к, последняя из которых является частью внутреннего
прямоугольника, лежащей вне внутреннего овала. Предполагая теперь, что R
одно-однозначно, имеем, что р'к подобно R"pcK\ и, добавляя 0'/?-$"/?'к,
приходим к выводу, что (3 подобно G'/?, а следовательно, и D'fi.
Чтобы получить теперь теорему Шредера—Бернштейна, необходимо
лишь заменить R на R\S и (3 на QlS и допустить, что S —
одно-однозначное отношение, область которого содержит G7?. Тогда DlR = Dl(R\S), и мы
получаем (*73-87) G'S smD'/?, а следовательно, и D'S smD'/?, что
требовалось доказать.
В доказательстве Бернштейна мы с самого начала имеем два отношения
R и S. В левой части рисунка внешний прямоугольник изображает D'/?, что
= D'(tf 15), овал изображает G'S, а второй прямоугольник — Q.\R \ S). Таким
образом, точки, принадлежащие внешнему, но не принадлежащие
второму прямоугольнику, образуют первое поколение отношения R \ S. Внутри
G'(fi|S) можно построить третий прямоугольник, который будет
изображать 5"/?'ЧТ(Я|,5), т.е. G'(tf|S)2- Точки, принадлежащие второму
прямоугольнику, но не принадлежащие третьему, образуют второе поколение
отношения R | S. По этому методу мы можем строить все меньшие и меньшие
прямоугольники. Те точки, которые рано или поздно останутся снаружи
очередного прямоугольника, образуют •s'gen'^IS); а те точки, которые ока-
А.Н. "Уайтхед, Б.Рассел

640 ГЛАВА 5. ИНДУКТИВНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
жутся общими для всех прямоугольников, образуют /?'G"Pot'(P|.S).
Аналогичная процедура, показанная на правой части рисунка и примененная к
классу D'S, делит последний на s'gen'(S |Р) и p'G"Pot'(S \R). В настоящем
параграфе мы покажем (*94-53), что при условии, являющемся частью
гипотезы теоремы Шредера—Бернштейна, /?'G"Pot'(P|S,)sm/?'G"Pott(S |Р); в
следующем параграфе мы покажем (*95-71), что в условиях теоремы
Шредера—Бернштейна .s'gen'(P|S,)sm.s'gen'(S' \R). Сложением заключаем, что
D'PsmD'S.
*9412. Ь : PePot'(P| S). z>. (дГ). Т ePoV(S \R) .P\R = R\T
Доказательство.
Ь.*34-21. =>h.(/?|S)|/? = /?|(S|/?) (1)
h . *91-36 . *34-27 =э Ь : Т е Potl(S \ R). Р | Р = R \ Т . э .
r|S|PePot4S|/?)=>P|P|S|P = PmS|/?-
[*10-24] =э - (дГ). Г ePot'OS IЮ - P\R 15 \R = R\ Г (2)
Н.(2).*10-11-23.эН: (дГ). Т ePot\S \R) - Р|Р = Р| Т . z>.
(3r).rePot<(5'|P)./,|/?|5'|P = P|r (3)
К(1).(3).*9М71.эН.Ргор
*9413. h : TePot\S \ К). z> . (дР). PePot'(P | S). Р | Р = R \ Т
[Доказательство аналогично *94-12]
*9414. Ь . | P"Pot'(P | S) = R |"Pot'(S | R)
Доказательство,
h . *94-12 . *43-1114 . *37-l . z> h : PePot'(P | S). z>. |P'PeP |"Pot'(S |R) :
[*37-61] z> h . | P"Pot'(P | 5) сP |"Pot'(S IP) (1)
b.*94-13.*43-ll-101.*37-l.z>
h : T e Pot'CS | P). z>. P |T 61P'Tot'(P 15):
[*37-61] z> h . P |4Tot4(5 | P) с | P"Pot'(P | S) (2)
h . (1). (2). z> h . Prop
*94-2. h:PePot'(P|5)UL7.=>.5 |P|PePot'(S |P)
Доказательство.
h . * 34 • 21 . z> h . 5 | (P | S) | P = (S | P)2 .
[*91-352] zDb.SKPIS^PePot'CSIP) (1)
h . *34-21 . *91-282 . z>
\-iS\P\RePot'(S\R).^.S\(P\R\S)\R = (S\P\R)\S\R.
(S\P\R)\S\RePoV(S\R) (2)
h.(i).(2).,9i.m5|p|/?eAPcot'(5|J?).,
\-iPePoti(R\S).^>.S\P\RePot\S\R) (3)
h . *50-4 . *91-351 . z> h. S | /1P e Pot'(S IP) (4)
Ь . (3). (4). z> Ь . Prop
*94-201. \--.TePot\S |P). z>. (дР). PePot'(P|S) U l7. T^S \P\R
Доказательство.
Ь . *50-4 . *51-16 . ^\-.S\R = S\I\R.IePot\R\S)UCI.
[*10-24] э h . (gP). PePot'(P15) U l7 . S \R = S | P \ R (1)
h . *91-282 - *34-21 . z> h : P e Pot'(/? |5).Г = 5|Р|Д.=>.
Principia Mathematica I

*94. О СТЕПЕНЯХ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ
641
P\R\SePot\R\S).T\S\R = S\(P\R\S)\R.
[*10-24] ^.(zQ).QePot\R\S).T\S\R = S\Q\R (2)
Ь . *50-4 . *34-21 . z>
\-:P = I.T = S\P\R.^.T\S\R = S\(R\S)\R.
[*9i-35i] 3(ae).e€Pot4^i5).risi^=,siei^ (з)
h . (2). (3). *10-11-23 . z> h : (gP). P e Pot'(P | S) U l7 . Г = S | P |P . z>.
(a0-eePot4Pi5).ri^ip=5ieip
[*22-58] z>. (ae).eePott(P|5)UL7.r|5'|P = 5|ei^ (4)
u m m n, ^^|P,(aP)-PePot4P|5)Ui7.r = ^|P|P
h . (1). (4). *91-171— — .=>!-■ Prop
*94-21. h . Pot'OS |R) = (S ||P)"{Pot'(P\S)U l7}
Доказательство.
h . *94-2 . *43112 . *37-61 - =>h . (5 ||P)"{Pot'(P|S)Ui7} с Pot45 |P) (1)
h . *94-201 . *43-102 . *37-l . z> h . Pot45 | P) с (5 || P)"{Pot'(P IS) U i7} (2)
b.(l).(2).z>l-.Prop
*94 22. h :. СГР cD'^.V. D'S с СГР: z>. Pot'(S | P) = (5 || P)"Potid'(P \S)
Доказательство.
h . *94-21 . *43-112 . *50-4 . *53-31 . z>
bPot'(S |P) = (S ||P)"Pot'(P|S)UL'(S |P) (1)
h. *37-321
[*33-161]
[*50-63]
[*34-28]
[*43-112] =>.(S\\Ryi\C\R\S) = S\R (2)
(3)
h.(l).(2).(3).=>
h : Hp . z>. Pot'(S | P)= (S ||P)"Pot'(P IS) U i/(S || P)4 \ C\R \ S)
[*91-23] = (S ||P)"Potid'(P IS): z> h . Prop
*94 3. h :. P e 1 -> Cls . a4(P I S) с D'P . z>:
PePotЧРIS). = . (ar).rePot'(S |P). P = P| Г|P
Доказательство,
h . *94-12 . э h : P e Pot'(P | S). z>. (g Г) . Г e Pot'(5 | P). P | P | P = P | Г | P (1)
h . *91-271 . z> h :. Hp . z>: P e Pot'(P | S). =>. СГР с D7?.
[*72-6] z>.P|P|P = P (2)
h . (1) . (2) . z> h :. Hp . z>: P€Pot'(P IS). z>.
(a^.TePot'^IPJ-P^PiriP (3)
h . *94-13 . z> h : Г ePot'(S IP) - => - (gP). PePof(P15). P|P |P = P | Г |Р (4)
b.(2).(4). z>h:.Hp. z>:TePot\S\R).^>.
(gP).P€Pot4P|5).P = P|r|P.
[*13-195] z>.P|r|PePot4P|5):
[*13-12] э : rePot'CS |P). P = R \ T |P. z>.PePot4(P IS) (5)
b.(5).*10-ll-21-23.z>
\-:.ni>.^z&T).TePoV(S\R).P = R\T\k.^.PePoV(R\S) (6)
h . (3). (6) . z> h . Prop
СГР
D45
cD'5
cQ4P
3
=>
=>
. =>
.D'P^DXPI^).
.D'PcCXPI^).
./fC4(P|5)|P = P.
.S\I\C'(R\S)\R =
.(5||Р)7ГСЧР|5):
.(S\\R)4\C'{R\S):
S\R.
= S\R
= S\R
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

642
ГЛАВА 5. ИНДУКТИВНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
*94-31. \-:Rel->Cls.a\R\S)c:DiR.^.Poti(R\S) = (R\\RyiPoti(S\R)
[*94-3]
Последующая цепочка предложений приводит к доказательству того
факта, что если Re 1 -> 1. (Г(Д |S)<=D7? или CTCS |Д)сБ'5\ то имеем
pt(lttPot\R\S)smpiatiPotl(S \R).
*944. \-.piaiPoV(R\S) = piail\Sii\RiiPoti(R\S)
= plSiitGii\RiiPot\R\S)
= piSttiRiiiaiiPoV(R\S)
Доказательство.
h . *94-431 . z> h. pl<J"PoV(R\S) = p'a"| (Д|S)"Pot'(/?IS)
[*43-201. *37-33] = p'd"| S"|fl"Pot'(tf \S) (1)
[*43-411] = р'£'"СГ'|Д"РоГ(Д|5) (2)
[*43-411] =plSiliRiiiaiiPotl(R\S) (3)
1-.(1).(2).(3).э1-.Ргор
*94-401. h . p'CT'Pot'(/? 15) = р'СГ'Д |44S |"РоГ(Д 15)
Доказательство.
h . *93-431 . *91-304 . z>
h./7tatTot<(/?|5) = jp<a<<(^|5)rTot<(^|5)
[*43-2 . *37-33] = p'<I"R\"S \"Pot'(R\S). z>h . Prop
*94-402. Кр'СГ'ДГХср'СГ'Х
Доказательство.
h . *43-ll . *34-36 . z> h . (P). СГД |'P с d'P (1)
Ь . (1). *40-451 . эЬ.Ргор
*94-41. h : S e 1 -> Cls . <J4(S |/?)cD'5.d.
5<<jp<a<Tott(/?|5)=:jp<a<<|/?<Tot4^|5)
Доказательство.
h . *40-12 . *91-351 . z> h . p'CT'l tf"Pot'(/? IS) с СГ| Я'(Д | S)
[*43-lll] сСГ(Д|5|Д)
[*34-зб] ca\s\K) (i)
I-. (1). z> h : Hp . z>. p'a^l^'Tot4^ 15) cD^ .
[*72-502] э.р4а44|/гсТо^(/?|5) =544544p4a44|/?44Pot(/?|5)
[*72-34] = S44p4S444a44|/rPot4(/?|S)
[*94-4] = S'>'С1''РоГ(Д IS) :=>!-■ Prop
*94-42. Ь : Д e 1 -> Cls . z>. Д"/?'СГТоГ(Д I 5) = pea"| /TPot'(/? | S)
Доказательство.
h . *72-34 . z> h : Hp. z>. R^p'd'ToViR \ S) = p'R'"<I"Pot'(R I S)
[*43-411] = p'CT'l RllPot\R | S): э h . Prop
*94-43. h : Я, 5 e 1 -> Cls . (T(S |/?)cD'5o.
S '>'СГТоГ(Д 15) = /?"p'C["Pot'(/? 15) [*94-41-42]
*94-441. h:Sel->Cls.CT(S|/?)c:D'S . z>.
StlptatToti(R\S) = ptaiiR\ilPott(S\R) [*94-14-41]
*94-442. h : R e 1 -> Cls . z>. fl44p4d44Pot4(/? 15) = р'СГ'Д |44Pot4(5 | Д)
[*94-14-42]
Principia Mathematica I

*94. О СТЕПЕНЯХ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ
643
*94-5. h . p4CT4Pot4(S \R) = piQ.iiR\iiFot\S \R)
Доказательство.
K*94-402. эЬ. p'CT'flrPot'CS \R)apiaitFoti(S \R) (1)
Ь.*94-402. э1- .р'(1"Б r/?|"Pot'(S \R)cpiaiiR\iiFoti(S \R).
[*94-401] idH .p'd'TotXS \R)cpiaiiR\itFotl(S \R) (2)
h . (1). (2). z> h . Prop
*94-51. h : R e 1 -> Cls . z>. p4d44Pot4(S | Д) = Л44/>4СГ4РоГ(Д 15)
[*94-5-442]
*94-52. h:5el->Cls.a4(5 \R)<zT)lS . z>.
p'a"Pot4(S |Д) = 544р'СГ4Ро14(Д|5) [*94-5-441]
*94-53. h : /?e 1 —> 1. СГ(Д 15) сD4fl. z>. p'CTTotX/? 15) smp'CTTot'CS | R)
Доказательство.
Ь.*93-261. э1-.р4а44РоГ(/?|5)саЧ/?|5) (1)
h . (1). z> h : Hp . z>. /?4CT4Pot4(/?\S)cDlR (2)
h . (2). *94-51 . *73-21 . z> h . Prop
*94-54. h : 5 б 1 -> 1 . <T(S |/?)cD'5.d. /?4CT4Pot4(/? | S) sm p4a44Pot4(S | Д)
[*94.53||]
[Или *94-52 . *93-261 . *73-22]
*94-6. \-:.R\S =S\R.^>:MeFotiR.NeFotiS .^>.M\N = N\M
Доказательство.
h . *34-27-28 .^\--.Rp.M\S=S\M.=>.M\R\S =S\M\R (1)
\-:.Hp.MePot'R.o:M\S =S\M: (2)
[(2)^'^'^] э : JVe Pot'S .э.М|ЛГ=Л^|М:.э1-. Prop
*94-61. h :. R15 = S \ R . э : Me Pot7? . z>. M15^ = Spo I M :
NeFoVS .=>.N\Rpo = Rpo\N
Доказательство.
Ь.*43-42. z>h.M|5po = itMrPot45' (1)
h . (1). *94-6 . z> h : Hp . MeFoVR . z>. M | Spo = j'| M44Pot4S
[*43-421] = V Iм (2)
h. (2)|^| . 3h:Hp.iV€Pot45.3.iV|/?po = Дро|ЛГ (3)
А, О
h . (2). (3). z> h . Prop
*94-62. h:R\S=S\R.?>.Rpo\Spo = Spo\Rpo
Доказательство.
h . *43-42 . *94-61. z> Ь : Hp . э . Дро I Spo= Л R^'Fot'S
N3-421] =5p0|/?po:z>|-.Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

644
ГЛАВА 5. ИНДУКТИВНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
*94 63. \-:R\S=S\R.?>.(R\S)poCLRpo\Spo
Доказательство.
К*91-502. zDh.fllS GflpJSpo (l)
Ь.*94-61. DhlHp.MG^pol^po.^.MI/?^ G/?po|^|5pol^
[*91-511] G/^o|5po (2)
h . (1). (2). *91-171 . z> h :. Hp . z>: MePot\R \ S). z>. MaRpo | S^ :
[*41-151] =>:(/? 15)p0 G/?po | Spo :. э h . Prop
*94-64. h : R | S = 5 | R . z>. (R \ S)* Gfl* 1S*
Доказательство,
h . *34-36 . z> h . D'(/? IS) с D'fl. d'OS | R) с а4/?.
[*33-16] эЬгНр.з.СЧД^сС'Д (1)
Аналогично h : Hp . z>. C\R \ S) с C\S (2)
h . (1). (2). *50-6 . *35-31. ^\-:ni>.^.I\C\R\S)<Ll\C'R\I\C'S (3)
h . (3). *94-63 . *91-54 . z> h . Prop
Principia Mathematica I

*95. ОБ ЭКВИФАКТОРНЫХ ОТНОШЕНИЯХ
645
*95. Об эквифакторных отношениях
Краткое содержание *95.
Цель настоящего параграфа заключается в следующем. Имеется
последовательность отношений
R, P\R\Q, P2\R\Q\ P3\R\Q\ ...;
требуется найти средства для определения этой последовательности без
использования чисел. Если бы мы использовали числа и приводимое позлее
(в *301) определение Pv, где v — произвольное конечное число, общий член
последовательности имел бы вид Pv \R\ Qv. Но пока еще мы не определили
числа и потому хотели бы иметь в своем распоряжении некоторые
средства, не включающие числа, для выражения того, что мы имеем в виду,
когда говорим, что в данный член последовательности Р и Q входят в одной
и той же степени. Поступим следующим образом. Используя определение
Р || Q из *43, запишем
p\R\Q=(p\\QyR.p2\R\Q2 = (p\\Q)2iR.p3\R\Q3 = (p\\Q)3tR....
Таким образом, общий член нашей последовательности получается из
произвольной степени S отношения (Р \\ Q) путем образования S 'R.
Следовательно, все члены последовательности являются термами, находящимися
в отношении (Р|| 0* к R] т. е. они образуют класс {sg'C^II Q)*YR. Для
удобства записи полагаем211
(P*e) = sge{(/,IIG)*J Dft[*95j
Итак, класс отношений, который нам необходимо рассмотреть, есть
(P*QYR.
Чтобы проиллюстрировать природу (P*Q)UR, возьмем в качестве R —
отношение двоюродного родства, в качестве Р — отношение ребенка к
родителю и в качестве Q — отношение родителя к ребенку. Тогда Р \ Q \ R
представляет собой отношение троюродного родства, Р2 \ R \ Q2 —
отношение четвероюродного родства и т.д. Таким образом, (Р* Q) 'R — класс всех
отношений непрямого родства, не включающего различные поколения;
ux{s\P\ Q)'R}y" означает "х —кузен у в том же поколении".
Большинство предложений настоящего параграфа приводится потому,
что они требуются в доказательстве предложения *95-52, утверждающего,
что при подходящих условиях s\P* Q)'Re 1 —»1. Само это предложение
доказывается, главным образом, потому, что оно требуется в доказательстве
предложения *95-63, утверждающего, что если Р и Q — одно-однозначные
отношения, у каждого из которых обратная область содержится в области,
и если первое поколение Р подобно первому поколению <2, то сумма всех
поколений Р подобна сумме всех поколений Q. Это непосредственно
приводит к предложению (*95-71), являющемуся частью теоремы Шредера—
Бернштейна (вторую часть составляют предложения *94-53 или *94-54), а
211 Данное обозначение используется только в настоящем параграфе. В *257 мы введем
совершенно другое и не связанное с нынешним значение для (Р * Q). Временное
определение сопровождается буквами "Dft", за которыми следует ссылка в квадратных скобках
на параграф (параграфы), в которых определение используется.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

646
ГЛАВА 5. ИНДУКТИВНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
именно: "Если R и S — одно-однозначные отношения, у каждого из
которых обратная область содержится в области другого отношения, то сумма
поколений R\S подобна сумме поколений S |Я".
*9501. (Р * 0 = sg'{(P || 0*} Dft [*95]
*951. \-::Me(P*QyR. = :.Re[i:Neii.^N.P\N\Qe[L:^-Me[i
Доказательство.
Н.*32-18.(*95-01).э
h-.:Me(P*QyR.= :.M(P\\Q)*R:.
[*9011] =:.MeC\P\\Q)z.Ne[i.T(P\\Q)N.^N9T.TeiJL:
Re\i: =>ц . Me\i:.
[*43-302-102] =:.Ne[L.T = P\N\Q.=>TtN.Te[i:Re[i:^-MeV'~
[*13-191] =:.Ne[i.^N.P\N\Qe\i:Re[L:^.Meii:-.^\-.Prop
*9511. h :. фД : ф#. э* . ф (Р \ N \ Q): z>: Me(P * Q)lR. z>M . фМ
Доказательство.
h :: М е (Р * 0 'Я. z>:. фД : фЛГ. э* . ф (Р | N | 0 : =>. ф М
Ь . (1) . Comm . *10-11-21. z> Ь . Prop
*9512. Ь :. Ме(/> * 0'Д. z>M . ф (Р\ М \ Q): z>: We(Р * 0'Д - i'fl . =>лг. фЛГ
Доказательство.
h.*43-112.z>
Ь:.Нр. =-Me(P*QyR.^M.${(P\\QYM}i
[*37-63] =:Ne(P\\Qyi(P*QyR.^N.<$>N (1)
Ь.*90-311^|^.:>
\-:Ne(P* Q)'R -i'R .^>. Ne(P\\ Q)li(P * 07? (2)
h . (1). (2). z> h . Prop
*9513. V.Re(P*Q)lR [*95-l]
«95-131. h.P|/?|Q€(P*G)7?
Доказательство.
Ь.*9О451^^.:эЬ:5(Р||0.:э.5(Р||0*Д (1)
h - (1) - *43-102 . (*95-01) . z> Ь. Prop
*95132. h:M€(/,*0</?.=>.P|M|e€(F*0t/?
[*90-172^!-^.*43-102]
*9514. h:.<bR:Ne(P*QyR.$N.^N.$(P\N\Q):^:Me(P*QyR.^>M.<S>M
Доказательство.
h.*95-13-132.z>h:.Hp.z>:
фД.Д€(Р*0<Д:Л^€(Р*04/?.фЛ^.^./,|Л^|ее(/,*0<Д.ф(/,|Л^|0:
[*95-ll] => :Me(P*QyR . z>M - Me(P*QyR . фМ:. z> h . Prop
В последней строке предыдущего доказательства предложение *95-11
используется с помощью подстановки Ме(Р* QyR.fyM вместо фМ.
Principia Mathematica I

*95. ОБ ЭКВИФАКТОРНЫХ ОТНОШЕНИЯХ
647
*95-21. h:Me(P*QYR.э.(д£,Г).SeFoVPUi'I.TeFoVQuCI.M = S \R\T
Доказательство.
Ь.*50-4.=>КД = /|Д|/.
[*51-16] ^\-.(>£S,T).SeFotiPUitI.TeFotiQ\JiiI.R = S \R\T (l)
h . *91-36-351. *50-4 . *34-27-28 . z>
h : S е Pot' Р U 17. Т е Ро t' Q U l 7. М = S \ R \ Т. z>.
/,|5ePot<JPUi7.r|eePot<eUL7./,|M|e = (/>l^)l^l(^ie).
[*11-36] z>. (дУ, Г). 5" е Pot7> U i7. Г е Pot'g U i4/ - РI Af | Q = S' \ R \ Г (2)
Н.(2).*11-11-35.э
Ь : (g 5, Г). S e Pot 7> U ь7. Г е Pot' Q U l7. М = 5 | R \ Т . z>.
(g5,r).5,€PotTUL7.r6Pot<eUL7./,|M|e = 5 |Д|Г (3)
h.(l).(3).*95-ll.=>l-.Prop
*95-211. b:a^cC'G-M6(P*07?.=>.
(g5,r).5,ePot</,UL7.rePotid<e-M = 5 |Д|Г
Доказательство.
Ь . *50-62-4 . z> h :. Нр . э : 5 | R \ I \ CQ = S \ R \ I:
[*51-239 . *91-23] э : (gS, Г). S е FoVP U l7 . Т е Potid'2 .M = S\R\T. = .
(SS9T).S eFotiPUiiI.TeFotiQUiiI.M = S \R\T:
[*95-21] э : (gS, Г). 5 e Pot'P U l7 . T e Potid'<2 - M = S \ R \ T :.
=> h . Prop
*95-212. hiD^cC'F.MelP^^.D.
(g5,r).5,€Potid</,.r€Pot<eUL7.M = 5,|/?|r
[Доказательство аналогично *95-211]
*95 22. h : D7? с CT. СГД с C'Q. Me(P * б)4/?. z>.
(g5,r).5 6Potid<JP.rePotid<e.M = 5'|/?|r
[Доказательство аналогично *95-211]
*95221. \- iT eFoVQ .^> .(%S). S eFoVP. S \R\Te(P*QYR
Доказательство.
\-. *9b-131. *91-351 . =>\-. (&S).S eFot'P.S \R\ Qe(P* QYR (1)
h . *95-132 . z>
biS'ePotT'.rePot'e.S |Я| Ге(Р* 07?. z>. P|S |Д|Г| G€(P*G)7*.
[*91-36] z>. (дУ). 5' б Pot'P .S'\R\T\Qe(P* QYR (2)
h . (1) . (2). *91-373 oh. Prop
*95-222. \-: S eFoVP. =>. (RT). T eFoVQ. S \R\T e(P * QYR
[Доказательство аналогично *95-221]
*95-23. h : M (P * QYR - => - M (Pst I <2ts) Л
Доказательство.
h . *32-18 . (*95-01). z> Ь : Hp . z>. M {(P || 0*} Я.
[•43-202] э.М{(Р|)|(|0}*Я.
[*43-202 . *94-64] э . M {(P |)* | (I 0*} Д •
[(♦91-01-02)J э . M (Psl | <2ts) F. z> h . Prop
*95-24. I-: M e (P * 07?. z>. M (<2ts IЛ0 Л [Аналогично *95-23]
A. H. Уайтхед , Б. Рассел

648
ГЛАВА 5. ИНДУКТИВНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
*95 3. h :. э ! R. СГ<2 с D'<2. СГД с D'<2 - э : Г € Potid'g . э . g ! Д | Г
Доказательство.
h . *50-62 . э h : Hp. z>. Я | / f С'<2 = Я ■
[*13-12] э-а!Л|(/ГСвС) (1)
h . *91-27 . *33-181 - =э h :. Нр . Т е Potid'0 . =>: СГГ с D'<2:
[*34-35] э:э!Г.э.а!(Г|0 (2)
К(1).(2).*91-371.э1-.Ргор
*95301. h:.g !Д. D'Pcd'P.D'tfc СТР. z>: 5 ePotid'P. =>. g !5|Д
[Доказательство аналогично *95*3]
*95 302. h :. СГ<2сD'<2.a'i?cD'j3o:rePotid'g■ => ■ СГ(ДI T)сD'<2
Доказательство.
h . *91-271. *34-36 . z> h : Г e Potid'g ■ => - СГ(Д I Л с <J4G (1)
b.(l).*22-44.z>l-.Prop
*95-303. h :. D'P с СГР .D'PcO'P.d:^ Potid'P . z>. D'(S | Я) с СГР
[Доказательство аналогично *95-302]
*95 304. Ь :. alQ с D'Q. СГД с D'Q. D'P с СГР. Б4/? с СГР. Ъ:
5 ePotid'P. rePotid'g ■ => ■ D'(S IД I T) с СГР. ac(5 |R\ T)<zT)lQ
[*95-302-303. *34-36]
*95 305. h :. Hp *95-304 . z>: Me (P * QYR. z>. D'M с СГР. СГМ с D'Q
[*95-304-22]
*9531. h:.Hp*95-304.g \ R .^>:S ePotid'P .T ePotid'Q.^ .&\S \R\T
Доказательство,
h . *92-142443 . z> h :. Hp . z>: S e Potid'P. Г e Potid'g - => •
Dicers .а'/?сат.
[*34-361] э.д!5|/?|Г:.э1-. Prop
*95 32. h :. Hp *95-31 . z>: M e (P * £>)'P. z>. g ! M [*95-31-22]
*95-зз. h: а4/?с"Й4е - => • a'C? I/? | г) с fir$iQ
Доказательство.
h . *34-36 . z> h : Hp . z>. CT(S | R) <i~t'Q.
[*37-32-2] z>. CT(S | /? | Г) с Г"~Й'е: э h - Prop
*95 34. h : СГРс~Й'<2. Me(P * Q)lR. z>. (дГ). ГePotid'Q - Q'Mс f ll$lQ
[*95-33-211]
*95-35. h:eel->Cls.at/?c^<e-Me(P*0^.z>.(ga).a€gen<e-atMca
[*95-34. *93-32]
*95-351. hi.Qel-^Cls.a'Rc^'Q.^:
T, V ePotid'e -3 J Q'(S |/?| Г) П а4(5' |Л| Г). =>. Г = Г
Доказательство.
h.*95-33.z>l-:.Hp.Z):
г,ГбРоШ<е.а^аЧ5|/?|Г)па<(5,|^т-=>.д!^<<"Й<епг,<4"Й4е-
[*93-з] э. д ! тше'ат nm^'ar.
[*93-24 . Transp] z>. T = Г :. z> h . Prop
*95-352. hr.PeCls-^l.D^c^T.z):
5,5/€Potide/,-a!a45|i?|r)nDi(5/|/?|7,/)-3.5=5/
[Доказательство аналогично *95-351]
Principia Mathematica I

*95. ОБ ЭКВИФАКТОРНЫХ ОТНОШЕНИЯХ
649
*95-36. h:. Qе 1 -> Cls . СГД<z~~ElQ.gl/^.D^ca'P.
D'Pca'P.a'ecD'e.D:
5,5" ePotid'P. T, Г ePotid'g- S \R \ T = 5' \R\ Г . z>. T = Г
Доказательство.
h.*95-31 .*93-101.эЬ:.Нр.э:
5, 5' e Potid'P JJ'6 Potid'g • 5 | R \ T = 5' | R \ Г . z>.
£IS\R\T.S\R\T = S'\R\T'.
[*22-5 . *33-24] z>. g ! СГ(5 I Д I T) Л а'(5' IRI 7").
[*93-351] э.Г = Г':.э1-.Ргор
*95-361. h :. Pe Cls -> 1. D'fl с~Й'Р. a ! R . D'P с <ГР.
а4РсБ4е.а4е<=Б4е.=>:
5,5' ePotid'P. Г, Г ePotid'0 ■ S |R\ T = 5' \R \ Г . z>. 5 = 5"
[Доказательство аналогично *95-36]
*95-37. h :. P e Cls -> 1 . Q e 1 -> Cls . D'P с~Й'Р. СГР с~Й'(> - Я ! R
D?ca'?.a'j2cD'e.D:
5,5' ePotid'P. Г, Г ePotid'Q ■ S |P| Г = 5' |P | Г . z>. S = 5'. Г = Г
[*95-36-361]
*95-38. h :. g !~Й'<2 Л О4/? . z>: Т е FoVQ . z>. Р | Г / Р
Доказательство.
Ь.*91-271 . эЬ:ГеРоГ<2- => - &(R\ T) с(Г<2-
[*93-101] э.СГ(Р|Г)Л~Й'е = Л (1)
Ь.*24-54. эЬ:Нр. э. - {СГР Л~Й'(> = Л} (2)
Ь.(1).(2).*13-14.эЬ.Ргор
*95 381. Ь :. а !~Й'Р Л D'P . z>: 5 е Pot'P. з . 5 | Р ф R
[Доказательство аналогично *95-38]
*95-382. h:.a 1~&'Р П D'P . V . а I^'Qn СГР: z>:
5еРоГР.ГеРоГ<2-=>-5|Р|Г/Р
Доказательство.
Ь . *91-271. *93-101. z> Ь : Г еPot'g ■ => ■ <T(S | Р | Г) Л^lQ = Л (1)
К*24-54. э1-:а!^4!2па^.э.~{а^Л^'е = Л} (2)
Ь . (1). (2) . *13-14 . эЬ:.а!^'епа'Р.э:ГеРоГ<2.=>.5|Р|Г/Р (3)
h . *91-271. *93-12 . э Ь : 5 е Pot'P. z>. D4(5 \R\T) Л~Й'Р = Л (4)
Ь.*24-54. z>h:a llfi'P CiV'R .z> . ~ {DlRn~SlP = А] (5)
h . (4) . (5) . *13-14 . z> h :. a 1~Ё'РCiDlR.z>:SeFoVP . z>. S \R\ T + R (6)
V . (3) - (6). з h . Prop
*95-383. h :. a ! R : D'fl c^4P . V . СГД с"Й4б : z>:
5 e Pot4P. T e FotlQ. z>. S \ R \ T ф R [*95-382 . *33-24 . *22-621]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

650 ГЛАВА 5. ИНДУКТИВНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
*95-4. h : Ме(Р * 0'Д. S ePot'P. T ePot'Q. S \R\ T е(Р* 0'Р. z>.
S\M\Te(P*QYR
Доказательство.
\-.Simp. z>\-:Hp.z>.S\R\Te(P* Q)'R (1)
h . *91-34 . *95-132 . z>
\-:Ep.S\M\Te(P*QYR.^.S\P\M\Q\T = P\S\M\T\Q.
P\S\M\T\Qe(P*QYR.
[*13-13] z>. S | (P | M | 01 T e (P * 0'P (2)
b.(l).(2).*95-14.z>l-.Prop
*95-41. h :. Pe Cls -> 1 . Q e 1 -> Cls . D'P с СГР. d'G с D'g . z>:
S, 5" e Potid'P. 7\ Г e Potid'Q .z> .S \S \S'\N\T'\T\f = S'\N\T'
[*95-15-151]
*95-411. h :. Hp *95-41 . D7? с ClP. СГД cC'G-d:
5 e Potid 'P. Г e Potid 'Q. Me(P*QYP .z>. M = S \S \M\T\f
[*95-41-22]
*95-42. h :. Hp *95-411 . з : Me (P * 0'P - CR . z>. P | M \ Q e (P * Q)'R
Доказательство.
I-. *95-411. *91-351-281. э
\-z.Bp.*zMe(P*QyR.z>.P\(P\M\Q)\Ue{P*QYR (1)
Ь.(1).*95-12.э1-.Ргор
*95-43. h :. Hp *95-411 . Hp *95-382 . z>: S e Potid'P. T e Potid'0 ■
P\S\R\T\Qe(P*QYR.^.S\R\Te(P*QYR
Доказательство.
h . *95-42-382 . *91-28-3 . z> h :. Hp . э : S e Potid'P. T ePotid'Q .
P\S\R\T\Qe(P*QYR.z>.P\P\S\R\T\Q\Qe(P*QYR(l)
h . *95-41 . z> h :. Hp. з : S e Potid'P. T e Potid'Q - => -
P\P\S\R\T\Q\Q = S\R\T(2)
h . (1). (2). z> h . Prop
*95-431. h : Hp *95-43 . S ePotid'P. T ePotid'0 -Me(P* QYR .
Р|5|М|Г|<2е(Р*0'Д.э.5|М|Ге(Р*0'Д
Доказательство.
h . *95-22 . z> h : Hp . э . (дУ, Г). 5" ePotid'P. Г ePotid'Q ■ M = 5" |R \ Г .
р|5|л/|пее(р*е)в/г-
[*91-341] э . (дУ, Г). 5" e Potid'P. Г ePotid'g ■ Af = 5" | R \ Г .
S\S'ePotid'P. Г ITePotid'Q.PlSlS'lRlT'lTlQeiP* QYR.
[*95-34] э . (дУ, Г). 5"ePotid'P . V ePotid'0 ■ M = S' \R \ Г .
S\S'\R\T'\Te(P*QYR.
[♦13-195] э . S | M | Г e (P * 0'P: z> V . Prop
Principia Mathematica I

*95. ОБ ЭКВИФАКТОРНЫХ ОТНОШЕНИЯХ
651
*95-44. h:. Нр *95-43 . S е Potid'P. Т е Potid'0 - =>:
Me(P*QYR.S\M\Te(P*QyR.z>.S\R\Te(P*QyR
Доказательство.
\-.Id.z>\-::<bM.=M:S\M\Te(P*QyR.z>.S\R\Te(P*QyR:.z>.<bR (l)
h . *95-431 . *91-3 . z>
Ь ::. Нр . э :: S \ Р \ М \ Q \ Т е (Р * QYR . z>:. S \ М \ Т е (Р * Q)lR :.
[*2-27] z>:.S|M|re(P*0'P.D.S|P|re(P*0'P:z>.
5|Р|Ге(Р*0'Р (2)
V . (2). Comm . z>
h :: Нр . z>:. S \ M \ T e (P * Q)'R . z>. 5 | P | Г e (P * 0 'P : z>:
S|(P|M|0|re(P*0'P.z>.S|P|re(P*0'P (3)
К(3).эЬ:.Нр.Нр(1)^:фМ^.ф(Р|М|0 (4)
h . (1). (4). *95-14 . z> h : Hp . Hp (1). Me(P * 0'P . z>. фМ: z> Ь . Prop
*95-45. h :. Hp *95-43 . S,S' e Potid'P. Г, Г ePotid'Q ■
5|5,|^|Г,|^е(Р*е)<Л.э:5,|Р|Ге(Р*е)'Р. = .5,|Р|^'е(Р*е)<Р
Доказательство.
\-.*95-44.z>\-:Up.S'\R\T'e(P*QyR.z>.S\R\Te(P*QyR (1)
I- . *91-34 . z> h :. Hp . z>: 5' | S \ R \ T \ Г е (Р * QYR :
[*95-44] э:5|Д|Г€(Р*е)'Д.:>.5'|Д|Г'€(Р*е)вД (2)
h . (1) . (2). z> h . Prop
*95-46. h :. Hp *95-41 . g ! P . D'P cl^'P. СГР с~Й'<2 ■ => "■
Te?oVQ.z>.R\T~e(P*QyR
Доказательство,
h . *95-38 . z> h :. Hp . Г e Pot'0 ■ => = PI Г ф R :
[*95-42] z>:P|re(P*0'P. z>. P|P| Г | Qe(P* QYR.
[*95-32] z>.g[!P|P|r|e-
[*34-31] z>.g!P|P.
[*34-3] D.glD'PHD'/? (1)
h . *93-12 . z> h : Hp . z>. D'P П D'P = Л (2)
h . (2). (1). Transp . z> h : Hp . T e PoVQ. z>. R \ T ~ e (P * 0'P: z> h . Prop
*95-47. h : Hp *95-46 . S e Potid'P. T . Г ePotid'0 ■
5 | P | Г, S | P | Г e (P * 0 'P. z>. Г = Г
Доказательство,
h . *91-46 . э I-:. Hp . э : (gl7) : UePotid'Q :T = U\T' .V .T'= U\T (1)
h . *50-62 . *91-35 . z> h : Hp . z>. S = S \ I \ ClP. / \ OP e Potid'P (2)
h . *95-45 . *33-24 . *22-621 . (2). э
h :Hp . UePotid'Q. T = U\ Г . z>. / \OP\R\ Ue(P* QYR - UePotid'Q.
[*50-63] z>.R\Ue(P* QYR - f/ e Potid'0 -
[*95-46 . Transp] z>. U ~ e Pot'0 - U e Potid'g .
[*91-23] z>.U = I\CQ/
[*91-27 . *50-63] z>. U | V = Г .
[*13-12] э. Г = Г (3)
Аналогично h : Hp . £/ e Potid'0. T'= U\T .z> .T = T' (4)
h.(l).(3).(4).z>h.Prop
A.H. Уайтхед, Б.Рассел

652
ГЛАВА 5. ИНДУКТИВНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
*95-471. h : Нр *95-46 . S,5" ePotid'P. T ePotid'g .
S | R | Т, S' | R | Г е (Р * 0 'Я. z>. S = 5"
[Доказательство аналогично *95-47]
*95-51. Ь : Нр *95-46 .М,М'е(Р* Q)lR. g ! СГМП СГМ'. z>. М = М
Доказательство.
Ь . *95-22 . z> Ь : Нр . z>. (а-S,5", Г, Г). S,S' ePotid'P. Г, Г ePotid'Q ■
M = S\R\T .M' = S'\R\V .
S\R\T,S'\R\T'e{P*Q)lR.
R\a\S\R\T)t\<l\S'\R\T9).
[*95-351]z>.(%S,S\T).S,S'ePotid'P.TePotid'Q.M = S \R\T.M' = S'\R\T.
S\R\T,S'\R\Te(P*QYR.
[*95-471] z>. (g,S, T). 5 ePotid'P. Г ePotid'g .М = 5|Я|Г.М' = ,У|Д|:Г.
[*13-172] z>. M = M': э h . Prop
*95-511. h : Hp *95-46 .M,M'e(P* Q)'R. a ! D'MnD'M'. z>. M = W
[Аналогично *95*51]
*95-52. h:?,e,/?6l->l.D'PcaT.a'|2cD'e.D^c^T.a'/?c1'!2.D.
s\P*QYRel-^l
Доказательство.
h . *95-21 . *34-32 . z> h : R = A . z>. (P * 0'P с l'A .
[*53-04] z>. J'(P*0'P = A.
[*72-l] z>. J'(P*0'Pel->l (1)
h . *92-102 . *95-21 . *71-252 . z> h : Hp . M e (P * 0'P. z>. M e 1 -> 1 (2)
h . *41-11 . э Ь : jc {J'(P * QYR) У - x {J'(P * 0'P} z . z>.
(gM, M') .M,M'e(P* QYR - xMy . xM'z.
[*33-14] э.(дМ, M') .M,M'e(P* QYR - *M;y - xM'z . а ! D'M П D'M' (3)
h . (3). *95-511 . z>
h : Hp . а ! R . Hp(3). z>. (gM) .Me(P*QYR. xMy . xMz .
[(2)] = .y = z
Аналогично
н:нр-а!л-л{дч/>*е)вл}г-ууч/>*е)^1г-э.л=у (5)
h . (4). (5) . *71-172 .z>b:Hp.a!/?.z>. s\P* QYRe 1 -> 1 (6)
h . (1) . (6). z> Ь . Prop
*95-6. h:D'/?c d'P. D'P с d'P. d'P =~tlQ■ Q e 1 -> Cls . э ■
d"(p*0'p=gen'e
Доказательство,
h . *92-143 . z> h : Hp . S ePotid'P. z>. d'S = d'P .
[Hp] D.D^ca'5.
[*37-322] 3.a<(5'|P) = a<JR.
[*37-32] z>. CT(S IPI T) = f "СГД (1)
h . (1). z> h : Hp . S ePotid'P. TePotid'e - => ■ Q\S \R\T) = f'li'Q. *(2)
[*93-32] z>. a\S |P| Degen'fi (3)
h . (3). *95-22 . э h : Hp . z>. <1"(Р * 04Р с gen'0 (4)
h . (2). *95-221 . *93-32 . z> h : Hp . z>. gen'g с (Г\Р * 04P (5)
h . (4). (5) . z> h . Prop
Principia Mathematica I

*95. ОБ ЭКВИФАКТОРНЫХ ОТНОШЕНИЯХ
653
*95-601. Ь : СГР сD'0 ■ &Q с D4<2. D4P =~Й4Р. Ре Cls -> 1. э .
D44(P*04P = gen4P
[Доказательство аналогично *95-6]
*95-61. h:P,e,^el->l.D<Pca<P.a<e<=D<!2-D^="^<^-a</?="^<!2-=>.
j4(^* QYRe 1 -> 1 -D4i4(P* 6)4/?= j4gen4P. a4i4(P* 04Л= jegen46
[*95-52-6-601. *41-43-44]
*95-62. h : Hp *95-61 . =>. s4gen4Psm s4gen4<2 [*95-61 . *73-2]
*9563. \-:P,Qel-^l.aiP<zT>iP.aiQc:T>iQ.~eiPsm'iiQ.z>.
^4gen4Psm ^4gen4Q
Доказательство.
h.*95-62^.Dl-:P,e^el->l.a4PcD4P.a4!2c:D4e.
D4P =~Й4Р. СГР = ~tlQ. z>. s4gen4Psm s'gen'0 (1)
V . (1). *10-ll-23-35 . *731. z> V . Prop
*95-64. |-:Р,ее1->1.а4РсБ4Р.а4ес:В4е-"Й4Р8т^4е.
р4а4то14р=л.р4а44Ро14е=л.э.Б4Р8то4е
[*95-63 . *93-274 . *33-181]
*95-65. V : P, 0e 1 -> 1 - СГР с D4P. (!'£> с D4<2 .lftlPsml?4<2 -
ClP = P*trElP . C4e = e*"~^'!2 - => - C4Psm C40
[*95-63 . *93-36]
Область применения *95-65 можно проиллюстрировать на следующем
примере. Пусть R,S — порождающие отношения двух вполне
упорядоченных серий, ни одна из которых не имеет последнего члена. Положим
P = R-R2.Q = S-S2. Тогда Р —отношение непосредственного
предшествования в Р-серии, а Q — отношение непосредственного предшествования
в S -серии. Имеем
P,0e->l.a4PcD4P.a40cD40.
Далее, кроме некоторых исключительных случаев, #4Р, ~34<2 — первые
производные двух серий (включая первые члены этих серий).
"С'Р=Р*'ФР"
означает, что, начиная с любого члена серии и проходя серию в
обратном направлении, за конечное число шагов можно прийти к элементу
первой производной, а это, несомненно, верно. Следовательно, не принимая во
внимание некоторые исключительные случаи, посредством *95-65 мы
приходим к следующему результату: если первые производные двух вполне
упорядоченных серий имеют одинаковое кардинальное число членов, то и
сами серии имеют одинаковое кардинальное число членов. Данное
предложение, конечно же, может быть доказано иначе; вышесказанное упомянуто
лишь для иллюстрации результатов *95-65.
*95-7. h:^,5,el->l.a4^cD45,.a45cD4/?.z)."^4(P|5,)sni"^4(5,|P)
Доказательство,
h . *93-101 . *24-412 . *37-16-321. z>
Ь : Hp . z> .1^4(Р | S) = (D4P - (PS) U (d'S - S44d4P).
^4(s|P) = (D's-a4p)u(a4p-p44a\s) (i)
A. H. Уайтхед , Б. Рассел

654
ГЛАВА 5. ИНДУКТИВНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
Ь . *71-38 . *37-32 . =>h : Нр . z> .R"(D'R- CTS) = СГД-Д"СГ5 (2)
Ь . *71-381. *37-32 . => Ь : Нр . z>. S "(d'S - S "(ГД) = D'S - 5 "S "(ГД
[*72-502] = D'S-CT/? (3)
h . (2). (3). *73-21-22 . z> h : Hp . z>. D'R - d'S sm a4/? - J^'CTS .
a^-s''cr/?srnD\s-cr/? (4)
h . *24-21 . э Ь : Hp . z>. (D'/? - d'S) П (d'S - 5''СГД) = Л .
(О4/? - R^d'S) n (D'S -"a4/?) = Л (5)
K(l).(4).(5).*73-71.z>l-.Prop
*95-71. hi^^el-^l.a^cD^.a^cD^.^.^gen'C^I^Jsm^gen4^!/?)
Доказательство.
Ь . *34-36 . *37-321. эН:Нр.э.аЧ/М£)сБЧД|5).аЧ5|/0сБЧ5|19 (1)
h.*71-252. э1-:Нр.э.Д|5,5|Де1->1 (2)
h . (1). (2). *95-7-63 . э h . Prop
Последнее предложение вместе с *94-53 или *94-54 вновь приводит
к формулировке теоремы Шредера—Бернштейна (*73-88). Действительно,
в силу *93*274-275 и *73-71 они вместе дают
R, S е 1 -» 1. СГД с D'S . (PS cD'/?.d. С'(Д 15) sm С'С? IR),
и при этом условии справедливо
C\R 15) = D7?. C'(S | Л) = D'S .
Principia Mathematica I

*96. О ПОТОМСТВЕ ТЕРМА
655
*96. О потомстве терма
Краткое содержание *96.
Под "потомством" ("posterity") терма в силу отношения R мы понимаем
класс к*'х. В настоящем параграфе мы, главным образом, будем
заниматься отношением (к* 'х) ] R, т. е. отношением R, ограниченным потомством х.
Мы будем также рассматривать отношения (/^'х)1Я* и (/&'х)1 /?ро,
которые, согласно *96-13, соответственно совпадают с
Наиболее интересен случай, когда R e Cls —» 1. В этом случае /Г* 'х,
вообще говоря, имеет форму буквы Q с х на кончике хвоста; т. е. К*'х молено
разбить на две части: первая — открытая серия, вторая — замкнутая серия.
Если у является их местом сочленения, то
xR*z - zRpoy • => - ~ (zRpoZ),
yR*z - э . zRpoZ;
в действительности,
(gP) : Р е Pot 7?: yR*z - эг. zPz .
Когда R e Cls —» 1, имеем также
У, Z € /v*
Итак, оказывается, что К*'х разбивается на две части: первая состоит
из тех термов, для которых ~(z/?poZ), вторая —из тех, для которых zRpoZ.
Первая целиком предшествует второй; первая существует, если ~ (xR^x),
вторая, —если g ! {(/Г*'х)1 Яро П1]. Каждый терм в Кро'х обладает одним
и только одним непосредственным предшественником, кроме терма (если
он существует), в месте сочленения хвоста и окружности буквы Q\ этот
терм имеет ровно два непосредственных предшественника, один — в хвосте
и один —в окружности. Но если либо хвост, либо окружность
отсутствует, то каждый терм в R^x обладает в точности одним непосредственным
предшественником и, следовательно,
(5Г*'х)1Де1->1.
Положим
IRix = %ixr\z(zRPoZ) Dft
jR<х=%'хпгh(гад) Dft
(эти определения будут применяться только внутри *96). Тогда Jr'x —
открытая часть серии к*'х, a Ir 'jc — циклическая часть. При условии
R e Cls —> 1 открытая часть целиком предшествует циклической части, т. е.
/?eCls-> 1 . э . Jr'xс:р'Кро"Ir'x .
Если существует и Jr'x, и Ir'x, to в Jr'x имеется последний терм,
скажем у. Последователь этого терма R'y — единственный терм в k*'jc,
имеющий два непосредственных предшественника в я*'х, а именно у
и Г(1к'хП~Й'&У).
А.Н.Уайтхед, Б.Рассел

656
ГЛАВА 5. ИНДУКТИВНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
Наиболее важные приложения предложений настоящего параграфа
относятся к теории конечных и бесконечных кардиналов и ординалов. Если
R — много-однозначное отношение, то в случае, когда Irx существует, или,
в более общем случае, когда Jr'x обладает последним термом, к*'х
является конечным классом, т. е. тем, что мы будем называть " Cls induct"
(см. *120). Иными словами,
h :/?eCls-> 1 . Е !тахя'Уя'х. z> . R* 'jc e Cls induct.
Когда Jr'x существует, но в нем отсутствует последний терм, к*'х
является прогрессией (см. *122), если его термы расположены в порядке,
порожденном R. Иными словами, придавая соответствующие значения символам
No и со, введенным Кантором (см. *123 и *263), и используя "Рго^'для
обозначения класса одно-однозначных отношений, порождающих прогрессии,
имеем
h : Re Cls -> 1. - Е ! max/?'/*'jc . g ! JR'x. z>.
% lx e N0 . (% 'jc) 1 R e Prog. (% 'jc) 1 Дро е со.
Другое очень важное предложение, в доказательстве которого полезен
настоящий параграф, — *121-47, утверждающее, что если R
одно-многозначно или много-однозначно, то, каковы бы ни были термы а и z, класс
к* 'я П R* 'z (который мы называем " интервалом" между а и z) — всегда
конечный. Доказательство того, что прогрессии являются вполне
упорядоченными сериями, также опирается на предложения настоящего параграфа,
так как оно использует предложение *122-23, зависящее от *96-52.
Настоящий параграф открывается последовательностью предложений
(заканчивающихся предложением *96*16) относительно а^| /?ро и a] R*,
рассматриваемых и в общем случае, и при а = К* 'jc. Затем мы
доказываем несколько предложений (*96-2— 25) относительно (R*ix)]R) при
условии R е 1 —» Cls; за исключением *96-24, все эти предложения используются
в теории конечных и бесконечных кардиналов. Они, однако, имеют
меньшее значение, чем последующие предложения, в которых tfi'jc
рассматривается при условии R e Cls —» 1.
ч,- "У*
Х-
Если R — много-однозначное отношение, а х принадлежит Б'Я,
отношение R, вообще говоря, упорядочивает я* 'jc (т. е. потомство х) в виде пред-
Principia Mathematica I

*96. О ПОТОМСТВЕ ТЕРМА
657
ставленной здесь фигуры. Отношение R имеет место между каждой точкой
и следующей за ней, начиная с х и затем обходя окружность в
направлении, указанном стрелкой. Точки между х и у образуют Jr'x, а точки
окружности — Irx. у является последним термом Jr'x, т.е. тахд'Уя'х; w
есть R'y, a z — V (R'wDIr'x), или, что то же самое [(Ir'x)] R}'w. w —
единственный терм, имеющий более одного непосредственного предшественника
в к*'х; w всегда существует, если ни Jr'x, ни Ir'x не пусты, и обратно, если
w существует, то ни Уя'х, ни Ir'x не пусты. Данные предложения имеют
длинное доказательство; этапы этого доказательства мы обсуждаем далее.
Если xRx, все потомство х состоит из самого х (*96-33); если xRy и yRx,
х и у составляют все потомство х (*96-331), и т.д. Последователи
элементов Ir1x принадлежат Ir'x (*96-341), а предшественники элементов JRlx,
принадлежащие a^'jc, принадлежат Jr'x (*96-351). (Следует заметить, что
поскольку R предполагается много-однозначным, а не одно-однозначным,
каждый элемент из к*'х может иметь любое число предшественников,
не принадлежащих /£*'х). Начиная с *96-4, следует ряд предложений
с гипотезой yRw.zRw. Мы доказываем (*96-42), что из yRw.zRw и yRpoZ
следует zRpoZ, т. е. z принадлежит Ir'x. Мы доказываем (*96-431), что
Jr'x целиком предшествует Ir'x; что (Jr'x)] R и (Ir'x)] R одно-однозначны
(*96-45), а также, что, если yRw. zRw. у Ф z, один из термов у или z должен
принадлежать Jr'x, а другой — Ir'x (*96-441). Отсюда вытекает (+96-453),
что, если либо xRpoX (в этом случае /я'х = Л), либо (Ж*'х)] Яро a J
(в этом случае 7я'х = Л), то отношение (R*ix)]R одно-однозначно.
(Данное предложение дважды используется в теории конечных и
бесконечных кардиналов, а именно в *121-43 и *122-17.) Теперь мы приходим
к предложению (*96-47), утверждающему, что, если два различных
элемента у и z из к*'х одновременно предшествуют терму w, то один из
них (скажем, у) является последним термом Jr'x, w является его
непосредственным последователем, a z — непосредственным предшественником
w в /я'*, т. е.
у = тахд'/я'х. w = Д'тахд'/я'х. z = {(Ir'x) ] Я}'Я'тахд'/я'х.
Таким образом, у, z, w единственны, если они существуют. Теперь мы
доказываем (*96-475), что у, z, w существуют тогда и только тогда, когда ни
/я'х, ни Jr'x не пусты.
Из последних предложений следует, что, если R одно-однозначно, Ir'x
или Jr'x должны быть пустыми (*96-491), т.е. потомство терма — либо
открытая серия, либо цикл, и не может иметь форму Q.
*9601. IRix=%ixnz(zRPoZ) Dft[*96]
*9602. JRix=%lx-IRix Dft[*96]
*961. h : z eIr'x. = . xR*z . zR^z [*20-3 . *32-181 . (*96-01)]
*96101. V : z e Jr'x. = . xR*z - ~ (ztfpoZ) [*96-l. *22-93 . (*96-02)]
*96102. h . %lx = JRlx U IRlx. Jrx П Ir'x = A [*24-41-21. (*96-01-02)]
A.H. Уайтхед, Б.Рассел

658
ГЛАВА 5. ИНДУКТИВНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
*96103. \-.(JRix)]RpoCLj
Доказательство.
Ь . *96-101 . z> h :.у {(JR'x) ] Яро) z . = : хД*;у . ~ (уДр^).уДрог :
[*13-14] z>:;y/z:.z>l-.Prop
*96104. h : Irx = A . = . (5T*'jc) 1 Я,* g J . = . //?'*= 5T*'jc
Доказательство.
h . *96-l oh:. /д'х = Л . = : xR*y . z>y . - (уДроу) :
[♦13-196] = : xR*y . уДрог - z^ . у ф z :
[*35-l] ^iC^^l^poG/ (1)
Ь.(1).*96-102.э1-.Ргор
*9611. h.(a1 R)voaa\Rvo
Доказательство.
I-. *91-502 . *35-46 . z>b.a1 Raa]Rvo (1)
h . *35-l . z>
h:.Pca1 Дро - z>:xP;y.;y(a1 fl)z . z> .xea .хДроу . yRz -
[*91-511. *35-l] z>.x(a]Rpo)z.
[*34-l] э:Р|(а1Д)са1Дро (2)
h . (1). (2). *91-171. z> h : PePot'(a 1 Д). z>. Pea 1 Rpo :
[*41-151 z> h . (a 1 /Opo ca 1 R^ . э h . Prop
*96111. h:^'aca.D.(a1 ^V = a1 ^po
Доказательство,
h . *91-502 . z> h . a 1 Д G(a 1 /?)po (1)
h . *90-22 . *91-54 . z> h :. Hp . z>: P e Pot'Д. jc e a . xPy . z>. у е a
[*351 . Fact]z>: PePot'fl . x(a ] P)y .yRz . z> .y (a 1 fl)z :
[*91-511] z>:PePotiR.a]PcL(a]R)po.z>.(a]P)\RcL(a]R)po (2)
h . (1). (2). *91-373 . z> h :. Hp . z>: P ePot4Д. z>. a 1 P G(a 1 Д)po :
[•41-52] z>:a]RpoG(a]R)vo:
[*96-ll] э : a 1 Дро = (a 1 Д)ро :. з h . Prop
*96112. V : a cD'/?. Д"а с а . э . (a 1 Д)* = a 1 Д*
Доказательство.
h . *35-62 . *37-4 . z>h:Hp. z>.C\a]R) =aU/?"a
[*22-62] = a.
[*50-5] ^.I\C\a]R) = a\I (1)
h*50-53 z>h.a1/rC^ = (anC</?)1/ (2)
h . (2). *22-621 z> h : Hp . z>. a 1 / \ C'R = a 1 / (3)
h. *91-54 - z>:(a]R)*=(a]R)poGl\Ct(a}R) (4)
h . *91-54 . *35-42 . z> h : a 1 Д* = a 1 Дро и a 1 / \ C'R (5)
Ь. (1). (3). (4). (5). *96-lll . z> Ь. Prop
*96121. h:i?"aca.D.(/?1 a)po=Rpo] a [Аналогично *96-111]
*96-122. h : a с (ГД .raca.D.(i?fa)*=i?*fa [Аналогично *96-112]
*9613. h . (^'x) 1 flpo = {(Й*'х) 1 Д}ро [*96-111 . *90-163]
*96-131. h : x e D'R . z>. (%4x) 1 Д* = {(^* 4x) 1 Д}* [*96112 . *90-163]
*96-14. h .хеС'Д. z>. jf?*'jc = l'jcU Jf^'jc [*91-54 . *32-33]
Principia Mathematica I

*96. О ПОТОМСТВЕ ТЕРМА
659
♦96141. Н.С'(сх1Д*) = /?*"«
Доказательство.
h . *35-61. *37-4 . *90-14 . =>h . С'(а] R*) = (аПС'Л)и^*"а
[*90-331] =Д*"а.эЬ. Prop
♦96142. h . С'(а 1 Rpo) = (aflD'/?)U 7^"а [*35-61. *37-4 . ♦91-504]
♦96143. \-.Ct(a]Rvo) = R*ii(anT>iR)
Доказательство.
h.*37-261.*91-504.=>|-.^pO"a = ^pOt4anDt/?) (1)
h . (1). *91-546 . *96-142 . => h . Prop
*96-144. h:ana'/?c^*"(an D'fl). =>. C'(a 1 R^) = tf *"a
Доказательство.
h . *22-62 . => h : Hp . z>. tf *"(an D7?) = (a n a4/?) Ufl*"(a П D7?)
[♦91-546] = (a П СГД) U(anD'/?)U Яро "(a nD'/O
[♦37-261. ♦91-504] =(anC'/?)Utfpo"a
[♦91-544] = tf*"a
h.(l).^96-143.=>l-.Prop
♦96-15. h . D'{(£*'x) 1 R] = Й~*'хП D'fl. <T{(fce*) 1 R] = ft^x
Доказательство.
h.^35-61. z>\-.Dl{(%ix)]R] = ft*'jtnD'/? (1)
h . *37-4 . z>\-.<lt{(%tx)}R} =Rll%lx
[♦91-74] =£po'* (2)
h . (1). (2). => h . Prop
♦96-151. h : xeDlR. z>. C'{(^'*) 1 Д} = %'x
Доказательство.
h . ♦Эб-М . => I-: Hp .=>. %'x П D7? = l'jc U (^'xn D'/?)
[♦22-63] z>. (%'x П D'fl) U ^po'x = l'jc U frpo'jc
[♦96-14] =%lx (1)
h . (1). ♦Эбаб . => h . Prop
♦96-152. К.Я*''Й*'х=Й*'х [♦90-17]
♦96-153. b .R*"%n'x = i^"%'x = %0tx [♦91-574]
♦96-154. \-.Ct[(%tx)]R*] = %tx [♦96-141-152]
♦96-155. h . D'K^'x) 1 Rpo] = t'xflD'/?. <!'{$*'*) 1 R^} = It^'x
Доказательство.
Ь . ♦Зб-б! . ♦91-504 . =>KD'{(fr*'*)1/W = Й*'хПБ'Я (1)
h . *37-4 . Dh. СГ{(&'*) 1 Яро} =/V'^"*'*
[♦96-153] = Й"ро'* (2)
h . (1). (2). => h . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

660 ГЛАВА 5. ИНДУКТИВНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
*96156. h . С6{(%'х) 1 Яро} = (У*П Б'Я) U 5?р0'х
Доказательство.
h . *96-155 . =>
Ь. С'{(%-х) 1 /?ро} = (% 1х П Б'Я)) U fcpo'jc
[*91-54] = (l'jc П С'Я П Б'Я) U (Йро'х П Б'Я) U ^'jc
[*22-62 . *33-161] = (l'jc П Б'Я) U ^po'jc. z> h . Prop
*96157. Ь : хеБ'Я. z>. C'{(X'x) 1 Яро} = %'x [*96-156-14]
*96158. \-:x~eDiR.z>.(%tx)]Rpo = A
Доказательство.
h . *91-504 . => h : Hp . z>. x ~ e Б'Яро .
[*33-4] з.^ро'л^Л (1)
h.(l).*96-155.=>l-.Prop
*96159. h : a ! (^*'х) 1 Яро . =>. С'{(Й~*'х) 1 Я^} = Й*'х [*96-157-158]
*9616. h . (X 'jc) 1 Я = Я I % 'jc
Доказательство.
h . *35-l. z> h : у {(% tx)]R}z. = .ye%lx.yRz.
[*90-16 . *4-71] ^.yellt'x.yRz.zefcx'x.
[*36-13] = . у (Я I % 'jc) z: => Ь . Prop
*96-2. 1-:Яе1->С18.э.(Х'х)1Я = Я f ^po'jc
Доказательство.
h . *72-55 . => h : Hp . =>. (%'jc) 1 Я = Я \Я''ft*jc
[*91-74] = Я Г ^"po'jc: => h . Prop
*96-21. h :Яе 1 -> Cls . xBR. =>. (%'x) ]R = R\ %'x
Доказательство.
h.*9644. =>h:Hp. z>.R\%lx = R\iixUR\1lpolx (1)
h . *35-64 . *93-l . => h : Hp . z>. (Jl(R \ l'jc) = A .
[*33-241] =>^fL4x = A (2)
h.(l).(2). =>h:Hp. z>.R\%tx = R\<Rpolx
[*96-2] = (% 'jc) 1 Я : => h . Prop
*96-22. Ь : Я e 1 -> Cls . ~ (xRx). =>. (% 'jc) ] R <zJ
Доказательство,
h . *31-11. => h : xQy .yRy.z>. xQy .yRy.yQx.
[*10-24. *34-l] z>.xQ\R\Qx (1)
h . (1). *92-132 . => h :Re 1 -> Cls . =>: <2еРоШ'Я. xgy .y/?y . => • xRx:
[*10-ll-21-23«35 . *91-55] =>: xR*y .yRy.z>. xRx:
[Transp] => : ~ (xRx). xR*y . z> . ~ (уЯу):
[*13-196] =>: - (хЯх). д:Я*>; .yRz.^.yfz:
[*32-181. *35-l] =>: ~ (xRx). =>. (^* \x) 1 Я G/:. => h . Prop
Principia Mathematica I

*96. О ПОТОМСТВЕ ТЕРМА
661
*96-23. h : R е 1 -> Cls. xBR. =>. IRlx = Л . (%'х) ]RvoclJ
Доказательство,
h . *31-11 . => h : jcgy. уТу. =>. xQy . у7>. у<2*.
[*34-1] z>.xQ\T\Qx
h . (1). *92132 . =>
Ь :. Д e 1 -> Cls . z>: а Г ePotid'/?. jc£>y .yTy. z>. хГх:
[*91-271] =>: QePotid'fl. TePot'/?.xQy .yTy .z> .xed'R
[♦11-11-3-35-54 . *91-55 . (*91-05)] =>: у e %'x. yR^y . =>. xe (ГД:
[Transp . *931] z>: xBR. z>. ~ (ye И*'*.уДроу):
[*96-l . *10-11-21] =>: xBR . =>. /*'* = Л (2)
h . (2). *96-104 . => h . Prop
*96 24. h : R e 1 -> Cls . C*R = R*'4"34Д. z>. Яро G/
Доказательство.
h . *37-105 . => h :. Hp .z>:yeC'R. =>. (gx) .xet'R. xtf*y:
[*91-504] z> : yRpoZ. => . (gx). xeB'R. jc/?*y:
[*4-7 . *3218181] =>:yflpoz. э. (gx). xtftf .уеЙ~*'х.уЯро;::.
[*96-23] D.y/z:.=>h.Prop
*96-25. h :. R e 1 -> Cls . xBR. xfl*y: yR*z . V . z/?*y: =>. jc/?*z
Доказательство.
h . *90-17 . => h : xR*y . yfl*z - => - xR*z (1)
h . *92-31. *91-75 . z>
h :. Hp . => : xR*y . z/?*y . => : xR*z . V . z/?po x (2)
h . *91-504 . *93-l . э h : хЯД. =>. - (zR^x) (3)
h . (2). (3). => h :. Hp . =>: xR*y. zfl*y. =>. xR*z (4)
h . (1). (4). => h . Prop
Следующие предложения подготавливают предложение *96-32:
Ь:Де1-> l.x^.D.U'JcU^'jc^^'ju"^*'}',
используемое в параграфе *97.
Предложения *96-3-301-302-303 также часто используются.
*96-3. huc^y.D.^'yc^'jc [*9017]
*96-301. h:x%.D.1*'jcc1*'}' [*90-17]
*96-302. h :. Re Cls -> 1. хД*у. x/?*z. => :yR*z. V . ztf*y [*92-311]
*96-303.' h :. /?eCls -> 1. xR*y . x/?*z . у ?z . => :y/?poz. V . z/?poy
[*96-302 . *91-542]
*96-31. h : /? e Cls -> 1. jc/?*y . =>. ^* 4x c^* > U ^"* ly [*96-302]
*96-311. h:/?el->Cls.x^.D.t'yct'xU^'x [*92-31]
*96-32. h : Д e 1 -> 1. xR*y. => .^'jc U %'х=%'у U ^*>
Доказательство,
h . *96-301-31. Dh:/?eCls-> 1 .xR*y .z> ,%'хи%'хс:%1уи%'у (1)
h . *96-3-311. => h : R e 1 -> Cls . хД*у . => -^*> U %'y с%'хU ^*4х (2)
h . (1). (2). э h . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

662
ГЛАВА 5. ИНДУКТИВНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
*96-33. h : /? е Cls —> 1 .xRx.z>.%lx=ilx
Доказательство.
г . *71-171 . z> г :. Нр . z> : z - х. zRw. z>z>vv. w = x (1)
h . (1). *13-15 . *90-112^ . => h : xR*y . z>. у = х (2)
h.*90-12. =>h:Hp.=>.Jcfl*jc (3)
h . (2). (3). => h :. Hp . =>: xR*y. = . у = x:. => h . Prop
*96-331. \-:ReC\s->l.xRy. yRx .d.^*'x=i'jcU ь'у
Доказательство,
h. *90-151-162. DhrHp.D.L'jcUL^c^'jc (1)
h. *71-171 . z>h:.Hp.=>:z = x.z/?w.=>ZjVV. w-y.
[*51-232] =>z>w. w e l'jc U I'y (2)
h . *71-171 . z> h :. Hp . z> : z = y. z/frv. z>ZjW . w = x.
[*51-232] =>ZjW. w e l'jc U i'y (3)
h . (2) . (3). Dh:. Hp . z>: z e l'jc U Cy. z/?w. z>ZjW . we l'jc U Cy (4)
h.*51-16. zth.xeCxUi'y (5)
h . (4) . (5). *90-112 . => h :. Hp . =>: xR*z . =>. z e l'jc U L'y (6)
h . (1) . (6). => h . Prop
Аналогичным образом доказательство может быть проведено и для
любого конечного цикла термов.
*96-34. h : R e Cls -> 1. =>. Дро ' lz (zR^z) с z (zR^z)
Доказательство,
h . *ЗЫ1. *34-1 . => h : zRpoZ . zRw. =>. wR | Яро | Rw (1)
h . (1). *92-113 . => h :. Hp . =>: zR^z. ztfw. =>. wR^w:
[*20-3] =>:zezizRpoZ) .zRw.z>.wez(zR^z):
[*37-171] з : Д' '2 (ztfpoz) с 2 (z/?poz) :
[•91-71-53] =>:Яро "2(zR^z)с2(г/^) :.эН.Prop
*96-341. hiReCls-tl.zt.R^'lRXcilR'x
Доказательство.
h.*37-21.(*96-01). =>h.^pot7/j'xc^pot^*txn^po<t2(^poz)
[*90-163. *91-602] c%gxnSpotti(zRpoz) (1)
H . (1). *96-34 . => h : Hp . =>. Дро'7я'хс fe'jcn2(z/V)
[(♦96-01)] с/*'х:э1-.Ргор
*96-342. h:/?eCls->l.=>.^*t7/jtxc//etx [*96-341. *91-71]
*96-35. h :. R e Cls ->1. =>: ~ (wRpow). zRpoW. =>. ~ (z/?poz)
[*96-34 . Transp]
*96-351. hr^eCls-^l.^.^po'V/e'jcn^'xc/^'jc
Доказательство.
h.*96-35.Fact.*96-101.=>
h :. Hp. => : we JR'x. zRpoW. z e R*lx. => . z e JRlx:. => h . Prop
*96-352. h:/?€Cls->l.=>./?*tt//etjcn^*txc//etx [*91-543 . *96-351]
Следующие предложения служат леммами для *96-45-47.
Principia Mathematica I

*96. О ПОТОМСТВЕ ТЕРМА
663
*96-4. \-:ReCls->l.S,TePotlR.ySy.yTz.=>.zSz
Доказательство.
h . *31-11 . => h : Нр . =>. z f | S | Tz.
[*92-133] =>.zSz:=>l-.Prop
*96-401. h : R e Cls -> 1.5, Т е Pot'Я. ySy. уГг. ;уЯи>. ztf w. =>. wSw. wTV
Доказательство.
h . *31-11. => h : Hp . z> . wRz. zf у. ySy. уГг. zRw.
[*34-l-2] э. w {Cnv\T \R)\S\(T\R)}w (1)
K*91-282. z>h:Hp. z>.T\RePoVR (2)
h . (1). (2). *92-133 . => h : Hp . =>. wSw (3)
h . *31-11 . z> h : Hp . z> . wRy . уГг . zRw.
[*34-l] z>.w^|r|/?w.
[*91-351 . *92-133] =>. wTw (4)
h . (3). (4). z> h . Prop
*96-402. \-:ReCls-^l.TePoVR.yRy.yTz.}>Ди>.zRw.z>.y = w.y = z
Доказательство.
Ь.*71-171. =>h:Hp. z>.y = w (1)
h . *96-4 . *91-351. => h : Hp . =>. zRz.
[*71-171] =>.z = w (2)
K(l).(2).z>b.Prop
*96-403. \-:ReCls->l.S,TePoVR.yS \Ry .yTz.yRw .zRw .=>.
Доказательство.
h.*31-ll. =>h:Hp. z>.wR\S \Ry.
[*92-133] z>.wSy (1)
h . *96-4 . *91-343 . z> \-: Hp . =>. zS \ Rz.
[*31-11] ^.wR\S\Rz.
[*92-133] z>.wSz (2)
h . (1). (2). *92-101 . *71-171 . z> h : Hp . z>. у = z (3)
h . (1). (2). (3). => h . Prop
*96-41. h : R e Cls -> 1. S, T e Pot'R. y5y. уГг . yflw. ztfw. =>. у = z
Доказательство,
h . *91-264-304 . => h . Pot4/? = i*R U | Д'ТоГД.
[*51-236] Dh:.5 ePot'fl. = : 5 = R . V . (g5'). 5" ePot4/?. S = 5" | tf (1)
h . *96-402 . z>
\-:.S =R.z>:ReCls-> 1. ГePoVR .ySy .yTz .yRw.zRw . z>.у = z (2)
h . *96-403 . =>
h :. (g5"). 5" ePot\R. S = 5' | R. э :
/?eCls->l.rePott/?.>'5>'.>'rz.>'/?w.z^>v.=>.j = z (3)
h . (1). (2). (3). => h :. 5 ePot4/?. =>:
ReCls->l.TePoVR.ySy. yTz. yRw. zRw. =>. у = z:. => h . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

664
ГЛАВА 5. ИНДУКТИВНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
*96-42. h : R е Cls ->1. yRw. zRw. yR^z . =>. zRpoZ
Доказательство.
h . *3111 . => h : Hp . =>. wRy .yRpoZ.
[*92-lll] =>.wfl*z.
[Hp.*34-1] =>.zfl|/?*z.
[*91-52] э . zflpoZ: => h . Prop
*96-421. h :ДeCls-> 1 .y,ze%lx.yflw.гКн>.y?z.=>:yRpoy. V .ztfpoZ
Доказательство.
h . *96-303 . => h :. Hp . => lyRpoZ. V . zRvoy (1)
h . *96-42 => h : Hp. yR^z - =>. zflpoZ (2)
h . *96-42 => h : Hp . zRpoy . =>. J^poJ (3)
h.(l).(2).(3).=>h.Prop
*96-431. rrfleCls-» 1 .yeJRlx.zeIRlx. => .ytfpoZ
Доказательство.
Ь.*96-102. z>h:.Hp. z>:y?z:
[*96-303] z>: j/^poz. V . zR^y (1)
h. *96-341. =>h :.Hp. z> :z/?po;y. => .yeIR'x:
[Transp . *96-102] z> : у e Jrx . =>. ~ (zfipoj) (2)
h.(2). 3h:Hp. zD.-fe/^y) (3)
h.(l).(3). зЬ.Ргор
♦96-432. V : R e Cls ->1. y, z e IRlx. ytfw. гКи>. =>. у = z
Доказательство.
h . *96-l . => h : Hp . =>. (gS, T). 5, T ePot'/?. >tf;y. гГг (1)
h . *96-303 - z> h :. Hp . э :j = z : V : (gf/): £/ePotT? :yt/z .V.zUy (2)
I- . (1). (2) . э h :. Hp . =>:
у = z : V : (gS, T,U):S,T, UePoVR.ySy . zTziyUz .V .zUy (3)
h . *96-41]. z> h :. Hp. =>: (gS, £/) .S, UePoVR .ySy .yUz .=>.y = z (4)
h . *96-41]. z> h :. Hp. =>: (gГ, £/). Г, С/ б PotlR. уГу. zl/y. =>. у = z (5)
h.(4).(5). z>h::Hp.=>:.
(g5, T,U):S,T, UePoVR.ySy .zTziyUz.V .zUy:z> .y = z (6)
h . (3). (6). z> h . Prop
*96-44. \-:.ReC\s-*l.y,ze%lx.yRw.zRw.y^z.=>:yeIRlx. V .zeIRlx
[*96-421-l]
♦96-441. h:.^eCls-> 1. y,ze%lx.yRw .zRw .y^z - =>:
we//jtx:>'€//?<x.ze//etx. V .yeIR'x.zzJr'x
Доказательство,
h . *96-432 . Transp . (*96-02). z>
z> h :. Hp . =>: z eIRlx. z>. у e Jr'x : у eIRlx. z>. z e JRlx (1)
h . (1). *96-44 . => h :. Hp . z>:у e JRlx. zeIRlx. V .у еIRlx.zeJRlx (2)
h . *91-502 . *96-342 . =>
z>h :.Hp. d:z€//j'i. э . we//?'*:ye//?'*. z>. we/^'jc:
[*96-44]z>:weVjc
h . (2). (3). => h . Prop
Principia Mathematica I

*96. О ПОТОМСТВЕ ТЕРМА
*96-442. I- :/?еCls-> 1 .y,zeJRix.yRw.zRw.z>.y = z
[*96-44 . Transp]
Следующее предложение (*96-45) имеет важное значение.
*96-45. h : ReC\s-> I .z> .(Jr'x)] R,(Ir1x)] Rel -> 1
[*96-442-432]
*96-451. h : R eCls -> 1: Jrx = Л. V .Irx = A : =>. (fr*'jc) 1 Д e-> 1
[*96-45-102]
*96-452. brtfeCls-» 1 .z>:g ! Jrx. = . xeJR'x
Доказательство.
h.*10-24. зЬгхе/я'х.э.д \JRlx (1)
h.*96-342. =>b:Hp.JceVjc. =>. % 'x с /* lx.
[*96-102] z>.JR6x = A (2)
h . *96-101 . => h : g ! /я'х. z>. g ! % 'x.
[*90-13] D.xfei (3)
h . (3). (2). Transp . => h : Hp . g ! /д'х. =>. хе%'х- IRlx.
[(*96-02)] z>.xeJRlx (4)
h . (1). (4). => h . Prop
*96-453. h :. ReCls -> 1 : хЯроХ . V . (Й~*'х) 1 Rpo Q.J: =>. (Й*'х) 1 /?e 1 -> 1
Доказательство,
h . *96-452 . Transp . =>h :tfeCls-> 1 .x/?pox.=>. Jrx = A (1)
h . *96-104 . => h : Д e Cls -> 1. {% 'x) ] R^ G /. =>. /Л 'x = А (2)
h . (1). (2). *96-451. => h . Prop
*96-46. \-^еС\з->\.у,у'е^х.ку11Уе1к1х.1>.у = У
Доказательство,
h . *92-lll. z>
hrfleCls-»! .yejR'x.R'yelR'x.yRpoy' .^.R'yelR'x.R'yRxy .
[*96-342] =>./е/я'х (1)
h . (1). Transp .^\-:ReC]s-*l.y9yeJRtx.RyeIRtx.'D.~ (yRpoy') (2)
h.(2)—4.эН:/г€С1в^1.у,У€/Лвл.Лу€/Лвл.э.-(//^) (3)
I-. (2). (3). э I-: Hp .э . ~ (yR^y). - (/ЗД -
[*96-303 . Transp] =>. у = / : => h . Prop
*96-461. b:/?eCls-> 1 .yeJRtx.RiyeIRlx.z>.y = msLXRiJRix
Доказательство,
h . *14-21 . => h :. Hp .=>: E ! R'y :
[*30-13] =>: R'y ~ e JR'x .= . ~ (R'y e JRlx).
[*71-371. Transp] =.y~eR"JRlx (1)
h . (1). *93-115 . *96-102 . => h : Hp . =>. у max/? (Jrx) (2)
h . *96-431 . => V :. Hp ./ eJr'x .=>:/ ДроЯ'у:
[*91-504] z>:/eD'fl:
[*71-164] =>:E!^y:
[*30-13] =>:ky ~eJRlx. = .~ (ky e JR'x).
[*71-371. Transp] =./ -eR^Jr'x (3)
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

666
ГЛАВА 5. ИНДУКТИВНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
Н . (3). *93-115 . => h :. Нр . => гутах* (Jr'x) . z>./ eJRlx . j?y -eJr'x .
[*96-102] z>.y'eJR'x.RyeIRlx.
[*96-46] =>-У = у' (4)
h . (2). (4). *30-31. => h . Prop
*96-462. b:/?eCls-> 1 .yeJRlx.zeIRlx.yRw.zRw.z>.
у = тахд'/я'х. w = Д'тахя'Уя'х. z = [(Ir'x) ] /?}'Д'тахя'/я'х
Доказательство.
h . *96-441-102 . *71-361. z>
h : Hp . z>. w e IR'x. w = Rly.
[*96-461] =>. у = max/?'//?'*. w = Д'тахд'//?'x (1)
h . *96-45 . =>h : Hp . =>. z = {(Ir1x) ] R}lw (2)
h . (1). (2). z> h . Prop
Последнее предложение, представляя у, z, w как функции от х и R,
показывает, что существует не более одного w в /k'x, обладающего более чем
одним непосредственным предшественником, причем в точности по
одному непосредственному предшественнику в JRlx и в Ir1x. (При выводе здесь
требуется *96-441 в дополнение к *96-462.) Таким образом, мы приходим
к следующему предложению:
*96-47. h :. R e Cls -> 1 . у, z е % lx. yRw. zRw . у ф z . =>: w = Я'max*'//?'х:
у = max*'/*'x . z = {(/д'х) ] Д}'#'тахя'/я'х. V .
z = max*'/*'jc .у = {(IRlx) ] Д}^'тахя'/я'х
[*96-441-462]
Но нам все еще необходимо доказать, что
ReCls-> 1 . g !/л'х.д ! Ir'x. =>. (gy,z, w) .y^el&'x.yRw.zRw.y^z,
или, что то же самое, в силу *96-441,
ReCls-* 1 . g ! /я'х.д ! IR6x. =>. (gy,z,w) .ye/fl'x.zeVx.y/frv.ztfw.
Это реализуется в следующих предложениях.
*96-472. h : /? е Cls -> 1 .g !/*'x.g ! /*'х. =>. (gy) .уе/я'х. tf'ye/*'x
Доказательство.
h . *90-1 . z> h :. х е JRlx. R^Jr'x с /д'х . z> : х/?*у. z> . у е/д'х:
[*96-104] =>:/я'х = Л (1)
h . (1). Transp. *96-452 . => h : Hp .=>. g ! R"JRlx- Jr'x .
[*71-401] =>. (gy, z). у e JR'x. z = Rly. z ~ e Jr'x
[*13-195] =>. (gy). у e JR'x. z = R6y - e JR'x.
[*96-102] =>. (gj) .yeJRlx.RlyeIR6x: => h . Prop
*96-473. h:/?€Cls^l.3.g!//e'x.g!//e'x.3.E!max^V/e'x.E!^'maxR'//jtx
[*96-461-472]
Principia Mathematica I

*96. О ПОТОМСТВЕ ТЕРМА
667
*96-474. h : R e Cls -> 1. з. w = /Гтахк'Уя'х. з.
Е ! {(Ir'x) 1 RYw. E ! maxRlJRlx. {(JRlx) ] RYw = max*'//?'*
Доказательство.
h.*71-361. зЬ:Нр. z>.(maxRiJRix)Rw. (1)
[*14-21] 3.E!max*'/'jt. (2)
[*93-ll] з . тахд'/я'хе Jr'x .
[(1). *96-45] з . {(Jfc'jc) 1 /?}'w = max* W* (3)
h . (2). *93-ll . з Ь : Hp . з . max*'/*'* -eR^Jr'x .
[*71-371. *30-13] з . tf'max*'/*'*~eJRlx.
[Hp.*96-102] ^.wefcx.
[*96-l. *91-52] з . wtfpoW. w Д* | Rw.
[*34-l] з . (gz). w/?pow. wR* z. ztfw.
[*96-342] з . (gz) .zeIRlx. zRw.
[*96-45] з.Е!{(/я'х)1Д}'н>
Ь.(2).(3).(4).зЬ.Ргор
*96-475. h:./?eCls^l.3:E!/rmax*'//?'jc. = .g !//?'*. g ! Vjc
[*96-473-474]
Последнее предложение вместе с *96-45-47 представляют собой основные
результаты данного параграфа.
*96-48. h :.ReCls -> 1. S = (%6х) ] R. wefcpo'jc. з :
~(w = RimaxRiJRix). = .l>lwel:w = RtmaxRljRlx. = .l>iwe2
Доказательство.
h . *96-15 . *33-41 . з h : Hp . з . g !*^'w (1)
h . *96-47 . з h :. Hp . з : (gy, z). ySw. zSw. у Ф z . з . w = ^'та^7Л'х:
[(1).*52-41] z>:l>iw~el.z>.w = Rlm3LXRtJRtx (2)
h . *96-474-102 . з h :. Hp. з : w = tf'max*'/*'*. з .^V - € 1 (3)
h . (2). (3). Transp. з I-:. Hp . з : ~ (w = Я'max*'/*'*). = .^'we 1 (4)
h . (2). *52-4 . *54-101. з h :. Hp . з :^'we2. з . w = tf'max*'//?'* (5)
h . *96-474-102 . з h :. Hp . з : w = Я'тахд'/я'х. з .
E ! {(JRlx) 1 RYw. E ! {(Ir'x) ] RYw. l'{(/*'jc) ] RYw U l'{(//?'jc) 1 /?}V =^V.
[*96-102 . *54-101]з .^'we2 (6)
h . (5). (6). з h :. Hp . з : w = ^'тахл'У/е'х. = .~§lwe2 (7)
h.(4).(7).3h.Prop
В предыдущем предлолсении мы записываем "~(w = /?'max/?'.//e'x)"
вместо "w^/?'maxtf'//e'jc" потому, что последнее подразумевает существование
Я'тахя'/я'х.
*96-49. h :: R e Cls -> 1. з :. (%lx) ] R е 1 -> 1 . = : /л'х = Л . V . JR\x = Л
Доказательство,
h . *96-48 . Transp. з h :. Hp . S = (^'х) 1 R . з :
we^po'x. w = $'max/?'//e'x. = . wel^o'^-^'w-'e 1:
[*96-15 . *91-52] з : w = ^'max^'^'jc. = . weQ'5 .^V~ e 1:
A.H. Уайтхед, Б.Рассел

668 ГЛАВА 5. ИНДУКТИВНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
[*14-204] =>:E!^'max^'//j'jc. = .(aw).w€a'5' ."^f'w-el :
[*96-475 . *71-1] э : g ! JR x. g ! 7* 'х. = . S ~ е 1 -> Cls.
[*71-261-103] = .S~€l->l (1)
h . (1) . Transp . з h . Prop
«96-491. Ь :. Д e 1 -> 1. =>: 7л'х = Л . V . JRcjc = Л
Доказательство,
h . *96-49 . => h :. Hp . x e D\K . z>: 7Л'х = Л . V . JR'x = Л (1)
h. *91-54-504. =>Ь:Нр.х~бБ'Д. z>. fc*'x = i'xnC'/?. -(xflpox).
[♦96-1J э.7*'х = Л (2)
h . (1). (2). => h . Prop
*96-492. \-:.Rel->l.xeDlR.z>:
~ (xR^x). = . 7Л'х = Л : х/?рох. = . Jr'x = Л
Доказательство.
h . *96-l-101. =>
h : Ir'x= Л . z> . ~ (хЯрох) : xeD'/? . ~ (x/?pox). => . g ! /^'x (1)
h . (1). *96-491. =>h :. Hp . =>: ~ (xflpox) . = . 7^'jc = Л (2)
Аналогично h :. Hp . z> ixR^x. = . Jr'x = Л (3)
h . (2). (3). => h . Prop
Последнее предложение используется в *122-52.
Следующие два предложения впоследствии нам не потребуются и
поэтому лишь формулируются.
h : R e Cls -> 1. g ! JRlx. g ! 7Л'х. =>. Irx П Я "/д'х б 1 . Jrx П Д"7я'х е 1
Ь :Я еCls -> 1 . /д'х = Л . =>. (%'х) 1 7ePot'{(X'x) 1 R]
*96-5. h : Д е 1 -> 1 . xeD\R. =>. fcpo'tf'x = %'х = Йр0'х U l'x
Доказательство.
Ь^П-Т.зЬг.Нр.зг^е^ро^'х. ^.ytfpjflx.
[*92-11] = .yR*x.xeDlR.
[Нр.*4-71] =.yR*x:
[*32-18 - *96-14-] =>: Йр0'Я'х = %lx= ^po'xU l'x:. z> h . Prop
*96 501. h : Д e 1 -> 1. xe (ГЯ . =>. Йро'Д'х = %'x = Йро'х U l'x
*96-502. h : Дe 1 -> Cls . xRy . => .^*> = ^*'xU i';y
Доказательство.
V . *90-31. => V :: Hp . =>:. zR*y .x=:zR* (R'y). V . z = y:: => h . Prop
*96-51. h:/?eUl.ac^*"1'/?.acV'a.D.a = A
Доказательство,
h . *37-105 . => h :. Hp . z>: у e a . эу . (gx). xe a . x/^poj.
[*32-18] D^.glan^po^:
[*14-18-21] =>:^'xea. =>. g lan^po'.R'x.
[*96-5] =>.g lant'jc:
[Transp] z>: а П a* 4x = Л . x/^j . => . у ~ е a .
[*51-211] =>. a П (Ж 'x U l'j) = Л .
[*96-502] Dant'j = A (1)
Principia Mathematica I

*96. О ПОТОМСТВЕ ТЕРМА
Ь.*91-504.=>1-:.ас:Дро''а. з:ас(ГД:
[*93-104] z>: х е~Й 'R. =>. а П % 'х = Л
h . (1). (2). *90-112 . z> h :. Нр . => ixelfi'R. хЛ*у ■ => - anl?*> = Л
[*90-13] э.у~еа:
[*37-105] з:Д*"~Й'ДПа = Л
Ь.*22-621. зН:Нр.:э.а:=Д*''71'ДПа
Ь.(3).(4).=>Ь.Ргор
*96-52. Ь:Де1->1.ас:Д*' '~Й'Д. g ! a. =>. g ! nun (Дро)'а
Доказательство.
h . *96-51 . Transp. => h : Hp . =>. g ! a - Яро "a
Ь . (1). *93-lll. эЬ.Ргор
Это предложение используется в *122-23-
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

670
ГЛАВА 5. ИНДУКТИВНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
*97. Разбиение поля отношения на семейства
Краткое содержание *97.
В настоящем параграфе мы рассматриваем уже не одно только
потомство терма, а все семейство терма, состоящее из его предков и потомков,
взятых вместе, т. е. 7с* 'jc U R* 'х. Положим
Д'х =1?'х U (l'jc П ОД) U Й~'х Df.
Таким образом, все семейство терма есть Д*'х. Наиболее важен здесь
случай, когда Re 1 —»1; в этом случае семейства взаимно исключают друг
друга, т. е.
h :Re 1 -> 1. z>. Д*''С'Д eClsex2excl.
В случае, когда R е 1 —> 1 и у принадлежит семейству, обладающему
началом, т. е. в случае g !/fe'ynl?'/?, все семейство у состоит из потомства
начала, т. е.
h : Re 1 -> 1. xBR. xR*y . =>. R*ly = %'x,
откуда вытекает
*97-21. h : Re 1 -> 1 . z>. R^lslgeniR=%ii~SiR
Когда Rel —»1, отношение gen'/? к tf*"lr/? можно представить как
отношение строк к столбцам.
R
R
R
S'R
R * х
R
R
R
Например, пусть поле R состоит из точек прямоугольника на
прилагаемом рисунке, и пусть каждая точка находится в отношении R к точке,
расположенной ниже первой. Тогда верхняя строка—U'/?, вторая строка—
G'/?-G'/?2, третья — G7?2 - G'/?3 и т. д.; таким образом, строки являются
поколениями R. Кроме того, если х — произвольная точка верхней строки,
то столбец, начинающийся с х, есть R* 'х, а если у — произвольный элемент
этого столбца, этот столбец — /?*'}'. Таким образом, столбцы суть семейства
R. Очевидно, что в случае, представленном на вышеприведенном рисунке,
Principia Mathematica I

*97. РАЗБИЕНИЕ ПОЛЯ ОТНОШЕНИЯ НА СЕМЕЙСТВА
671
каждое семейство является выборкой из поколений, и каждое поколение
является выборкой из семейств, т. е.
%'Фя с Б"£Д'gen'Я. gen'R с D"eA'%"~Й'Д.
Обстоятельства, при которых данный факт имеет место, будут
обсуждаться в настоящем параграфе (*97-3—47). Итог подводится в *97-47.
Оставшиеся предложения (*97-5— 58) относятся к циклическим семей-
ствам одно-однозначных отношений. Когда Rel—> 1, R*lx — циклическое
семейство, если xR^x. В этом случае имеем xR^y. z>. yRpoX] более того,
существует некоторая определенная степень отношения R, скажем Р, такая,
что всякий элемент семейства х находится в отношении Р к самому себе
(*97-54). (То же самое будет справедливо, конечно, для всех степеней Р.)
Семейства 1 —»1-отношений всегда либо циклические, либо открытые, т. е.
уе/?*'jc.=>у .yRpoy или уеR*'х.эу . ~(yRpoy)- б-образные семейства,
рассмотренные в *96, невозможны в случае 1 —> 1, так как в таких семействах терм,
находящийся в точке сочленения хвоста и окружности, имеет два
предшественника. Семейство любого элемента из s'gen'R дожно быть открытым
(*97-57). Семейство элемента из p'G"Pot7? не обязано быть замкнутым, но
не может иметь начала; если оно открыто, то образует серию типа *со или
*о) + о) в зависимости от того, имеет оно конец или не имеет212. Конечные
открытые семейства содержатся в s'gen'R П s'gen'/?; семейства типа со
содержатся в s'gen'Rnp'WPot'R-y семейства типа *со —в s'gen'Rn p'WPot'R;
семейства типа *о) + о) и циклические семейства —в /?'G"Pot'/?np'G"Pot'&
Семейства типа *оо + со отличаются от циклических семейств отсутствием
свойства лсЯро*, присущего последним.
Кроме уже упомянутых предложений, наиболее полезными в настоящем
параграфе являются следующие предложения:
*9713. \-.^1х=%схи%'х
*9717. \-.R^x = Rvoix=%ixU^votx=^voixV%ix
*97-5. h : R e Cls -»1. xR^x. xR^y . z> . yR^x
*97-501. h : R e 1 -» Cls . xR^x. yRpo* • => • xRpoy
*9701. tf'jt=^xU(L'jtnC'/?)u5Tjc Df
Заметим, что "i/jcDC/?" означает необходимость включения jc, если и
только если он принадлежит С'Я, так как l'jc П С'Я = i'jc при xeC'R, и
i'inC'i? = A в противном случае.
212 Здесь тип "*ш" есть тип обратных к отношениям типа ш, т. е. тип отрицательных
целых чисел в порядке возрастания, заканчивающихся -1, ш есть тип положительных
целых чисел в порядке возрастания, и, таким образом, *ш + ш — тип отрицательных и
положительных целых чисел в порядке возрастания.
А. Н. Уайтхед , Б. Рассел

672
ГЛАВА 5. ИНДУКТИВНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
*971. h :. у е R'x. = : yRx. V . у = х. х е CR . V . xRy
Доказательство.
Ь . *32-18-181. *5Ы5 - (*97-01) - =>
z> h :. у е Rlx. = : y/fa; . V . у = х. у е CR . V . xRy :
[*13-193] = : yRx. V . у = х. хе С'Д . V . xRy :. => г . Prop
*97101. Ь:;уеД'х. = :хе/Г;у
Доказательство.
г . *32-18-181. *51-15 . (*97-01). =>
z> h :. jceR'y . = : x/ty . V . jc = у. jc€ C'R . V . y/ta :
[*97-1] = :yeRlx:.=>!-■ Prop
*9711. Ь . s'/Г С'Д = С'Д
Доказательство,
h . *97-l . *40-ll . z>
\-:.ye s'R^C'R. = : (gx) . y/ta. V . (gx) . ;y = x. jce СД . V . (gjt) . xRy:
[*3313131. *13-195] = :уeD'fl. V .yeC'R . V . ye СГД:
[*33-16] = : у e C'R :. => h . Prop
*97111. b:jceC'/?.E=.jce/?'jt. = .g \Rlx
Доказательство.
Ь.*97-1. z>\-:.xeR'x. = : xRx . V . xeC'R :
[*33-17] = :jteC'/? (1)
h.*97-l . z>b:.g !fl'jt. = :fay):yRx.V . xRy-.V -.fay). xeC'R .y = x:
[*33-132. *13-19] =:xeClR (2)
b.(l).(2).=>l-.Prop
*9712. Ь.Л~еЯ*"С'Д
Доказательство.
h . *97-lll. *37-63 . z> h : cte Д*"С'Д. z>a . a ! а (1)
h . (1). *24-63 . => Ь. Prop
*9713. \-.%*сх=%'хи%'х
«-* «-*«-*
Замечание. Я* должно обозначать (/?*), а не (R)*. Последнее бессмыс-
«-*
ленно, поскольку R никогда не является однородным отношением, и
поэтому его квадрат и более высокие степени не имеют смысла.
Доказательство.
Ь.*90-12. z>\--.y = x.yeClR.z>.yR*x:
[*5Ы5] z> Ь . l'jc ПCRс%'х.
[*90-14] зЬ.ь'хПС'/^сЙ"*'* (1)
Ь.(1).(*97-01).=>1-.Ргор
*9714. h : Re 1 -> 1 . xR*y . =>. Д*'х = /?*> [*96-32 . *97-13]
Principia Mathematica I

*97. РАЗБИЕНИЕ ПОЛЯ ОТНОШЕНИЯ НА СЕМЕЙСТВА
673
*9715. Ь:Дб1->1 .xe*R*iy.z>.R*lx = R*ty
Доказательство.
h . *97-13 . => Ь :. Нр . =>: xR*y. V . yR*x (l)
h . (1). *97-14 . z> Ь. Prop
*9716. h : Re 1 -> 1. э . Я*''С'Д eClsex2excl
Доказательство.
h . *97-15 . z> h :. Hp . =>: jc € #* 'y - jc € Д* lz - =>x . Д* 6x = R* ly . R* 6x = R* lz -
[*13-171] ^>x-R^y = R*lz:
[*10-23] z>: a ! /?*')> D R*'z - z> - /?*> = R*lZ (1)
h . (1). *ll-ll-3 - *37-63 - =>
h :. Hp . =>: a, (3 e Д*' 'С'Д. я ! a П (3 . =>a,p . a = (3 (2)
h . (2). *97-12 . *84-132 . => h . Prop
*9717. \-^tx = Rpolx=%txU%0tx=^potxU%lx
Доказательство.
Ь . *97-13 . *91-54 . ^>\- .R^x=^polxU(iixnClR)U^polx (1)
[*91-504. (*97-01)] = Rpo'x (2)
Ь . (1). *91-54 . =>h .R*tx=Tl^ixU%ix=%txU<Rpotx (3)
b.(2).(3).=>b.Prop
*9718. \-.Cl(R[Rlx) = Rlx
Доказательство.
h . *37-41 . z> h . C'(R I Rlx)cRlx (1)
h . *97-l . *36-13 . z>
h.-.jccC'^.jf^'jcU^JC. =>:*(/? [R'x)y .W .y(R [^х)х:
[*33-17] z>:x,j€C4/?t^^) (2)
h. (2). *97-l . ^hixeC'R.^.R'xcC'iRtR'x) (3)
h . *97-lll. Transp. => h : x ~ e СД. =>. R'x с С'(Я t Я'*) (4)
b.(l).(3).(4).=>KProp
*97-2. h : *ЯД . =>. R* 'jc = % x
Доказательство.
h . *93-104 . *97-13 . =>h:Hp. з . Д*'jc = i'jc U fc*'jc (1)
h . *93-101. *90-12 . =>h:Hp. =>.xe%lx (2)
b.(l).(2).z>l-.Prop
A. H. Уайтхед , Б. Рассел

674
ГЛАВА 5. ИНДУКТИВНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
*97-21. Ь :Re 1 -> 1 . z>. Д*'VgenT? = %irSlR
Доказательство.
Ь.*97-14-2. z>l-:.Hp. z>:xBR. xR*y .z> .%lx = R*ly.
[*37-62] э.Д^еЙ"*''^'/?:
[*93-36] => :ye s'gen'R. =>. R*lye Й~*"~Й'Д :
[*37-61] D:^'Vgen'/?cK"1^ (1)
h . *97-2 . *93-22 .Dh. fc*''l^c: Д*'Vgen'fl (2)
h . (1). (2). з h . Prop
*97 22. h:Rel^l.i>.%l4$lRulR*"ptatiPottR = R*tiClR
[*97-21. *93-37]
*97 23. h :: Д"С7? eO U 1 . = :. x,y e C'R . =>^ : x = у . V . xRy . V . yflx
Доказательство.
Ь.*52-4.(*54-01).=>
h ::. /Г'С'ДeO U 1 . = :: a, $eR"ClR . =>a,p . a = |3 ::
[*37-63] = :: x,yeClR . э^ . R'x = R'y::
[*97-l] = :: JC^eC'/? . z>Xjy i.zRx.V .xeC'R.z = x .V . xRz.=z:
z/ty - V . j e C'R . z = у. V ■ ytfz :-
[*4-71] = :: x, у £ C7? . =>^ :. zRx. V . z = x. V . x/?z : =z :
^j. V .z = y. V.yflz:. (1)
[*10-1] z>:: x, у е С'Д . з^у :. xflx . V . x = x . V . x/?x: = :
xRy. V . x = ;y. V.;y/?x:.
[*13-15] z^r.x/ty. V.x = >>. V.yRx (2)
h . *10-1 . z> h :: x,у e C'R : z e ClR :.x,ye ClR . r^ : xRy . V . x = у . V . уДх :.=>:.
x/?z - V . x = z - V . z#Jt: yRz - V . у = z - V . zfry :.
[*5-l] z>:. xRz - V . x = z - V . zfix : = : yRz . V . у = z . V . zRy (3)
h . *33-132 . Transp. * 13-14 . z>
b-y.XiyeC'Rzz-eaRi^i.-ixRz.V .zRx).x^zi~(yRz.V ,zRy).y^z:.
[*5-21] z>:. xRz - V . x = z - V . zRx: = :
yRz.v .y = z.V .zRy (4)
h . (3) . (4) . => h ::. x, ye C'R .z>Xjy:xRy.V.x = y.V. yRx:. =>::
x, у e СlR . =>^ :. xRz - V . x = z - V . zRx: =z : yRz - V . >> = z - V . zRy (5)
b.(l).(2).(5).=>l-.Prop
*97-231. V :. ^"С'/?€0 U 1 . = : xeC'R. =>,,. CcR=^lxUCxU ^'x
Доказательство.
h . *97-23 . *32-18-181. *51-15 . э
h :. RilC'Re 0 U 1. = : xe OR. z>. C'R c^'x U l'x U fc'x (1)
h . *33-152 . *51-2 . Dh:jceC'/?.DJ'jcUi'jcU^JccC'/? (2)
b.(l).(2).=>b.Prop
Principia Mathematica I

*97. РАЗБИЕНИЕ ПОЛЯ ОТНОШЕНИЯ НА СЕМЕЙСТВА
675
*97-24. h :. Д*"С'ДеО U 1 . = : xeC'R. =>*. CcR=%'xU %'х
Доказательство.
h . *97-231. *90-14 . z>
\-:.%*"С^е0и\. = :хеС^.^х.С^=%'хи1схи%1х (1)
Ь.*90-12. зЬисеС^.э.ь'хсЖ'х (2)
Ь.(1).(2).*22-62.=>1-.Ргор
*97-241. h :: Д*"С'Д еО U 1 . = :. х,уеCR . э^ : xR*y . V . >>Д*х
Доказательство.
Ь . *97-24 . *32-18-181. =>
h ::. Д* "С'Яе О U 1 . = :: х e ClR. z>x :. у € СД. =y : xR*y . V .yR*x (1)
h.*90-13. dI-i.jc^.V.^jcid.jcC'/? (2)
b.(l).(2).*4-73.=>l-.Prop
*97-242. h :: Д*"С'Яе О U 1. = :. x, у e C'R .z>Xjy: x = y .V . xR^y . V . yR^x:.
= :.JV'C'fleOUl
[*91-542 . *97-23 . *91-504]
Оставшиеся предложения настоящего параграфа (кроме *97-5 и
следующих за ним) имеют своей целью доказательство того, что при
определенных условиях,
^""^'^cD'^A'gen4/?, т.е. /L'Vgen'fl cD'^'gen'/?
и gen'/? - l'A с Б"£д'5?"*"~Й'Я .
Благодаря данным предложениям доказывается существование выборок
в случаях, к которым они применимы.
*97-3. \-.% Г~Й'Де1->1
Доказательство.
h . *90-12 . э
h :.x,ye B'R. R*lx= R*ly . => :уеЖ*'х:
[*91-54] =>:>' = JC.V.x/?p0y (l)
h . *91-504 . => h : xRpoy . => .уеСГД:
[Transp. *93-101]=>h :ye^lR . =>. ~(jc/?^) (2)
h.(l).(2). Dh:^j€"3'/?.^'x=^^.D.x = }' (3)
h . (3). *71-55 . *72-12 , => h . Prop
*97-301. |-./Г"Й^€(^*)д'"Й'/?
Доказательство.
Ь.*72-17. =>h./r^'/?€l->Cls (1)
Ь.*90-15. зЬ./^'Я^Д* (2)
I-. *50-5-52 . Dh.O'Z \~3lR = ~Й'Д (3)
h . (1). (2). (3). *80-14 . z> h . Prop
*97-31. Ы~Й'Д)1 Cnv'fc*££A'5v'l^D4(^^1 Cnv'KcJ^I'i?
Доказательство.
b.*97-3.*85-13-^.z>
h : S e (Д*)д'1£'Д. =>. S | Cnv'fc* ееА'%"~Й^ (1)
A. H. Уайтхед , Б. Рассел

676 ГЛАВА 5. ИНДУКТИВНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
Ь . (1). *97-301. э I-. / \~Й'Я | Cnv'fc* eеА'%"1$^.
[•50-61] эН.(Зв/г)1 Cnv'&€^'l&"7fa? (2)
Ь . *35-62 . *33-431. :Db.D4(l^1Cnv'fc*}=~£'/? (3)
Ь.(2).(3).=>Ь.Ргор
*97-32. Ь .7N€D"€A'fc*""37? [*97-31]
*97-33. Ь : Я е 1 -> 1. а с s'fl*"p. Р с s'/?*"a . z>. Д*"а = Д*"Р
Доказательство.
h . *97-15 . Fact. z>h :. Нр . => :уе$ .xeRx'y. r>.R*ly = R* 'jc .yep .
[*37-62] э.Д*'хеД*"Р (1)
V . (1) . *10-ll-21-23 . *40-4 . z>b:.Hp. z>: xes'R*"^ . id* . Д*'хеД*"Р :
[Hp . Syll] z>:xea.z>x. R*lxeR*"$ :
[*37-61] з:Д*''асД*''Р (2)
h.*40-4. z>h :.Hp. r>:yefi. z>. (gjc). xea .yeR*lx.
[*97-15] z>. (aл:). x e a . Д* 'jc = tf * У .
[*37-62] з.Д*';у£Д*''а (З)
Ь. (3). *37-61. => h : Hp . z>. R*'ep с Д*' 'a (4)
h . (2). (4). z> h . Prop
*97-34. h : Re 1 -> 1. p£D"eA'/?*"a . =>. R*"a = Д*"Р
Доказательство.
h . *83-6-62 . э h :. Hp . э : jc € a . эх ■ а ! p П /?* 'jc : P с s'R* "a (1)
h . *40-4 . *97-101. Dh:.jc€a.DJt.g!pn^'jc. = .ac s'/?*"P (2)
h . (1). (2). *97-33 . =>b.Prop
*97 341. h :Re 1 -> 1. р£Б''ед'5Г*''"Й'Я. =>. Д*"Р = %tricR
~§'R
[*97-34 . *97-2
a
*97-35. h :ReCls-> 1. TePotid'/?.1'/?cDT.d.
Доказательство.
h . *97-3 . *92-101. э Ь : Hp . z>. Cnv'{(£~* \^'R) \ T] e 1 -> Cls (1)
h . *35-101 . *30-4 . z>
h : a {(Й~* Г~Й'Д) | Г};у. = . (gjc) .xell'R .a = %lx. xTy (2)
h.*91-58. =>h:.Hp. =>: xTy . => .ye^'jt:
[*13-12] =>1а = %сх.хТу.=>.уеа (3)
h.(2).(3). зЬ:.Нр. э:а{(&[1'Я)|Г}у.эад.у€а:
[*23-l . *31-131] э : Cnv'{(fc* \~S'R) | Г} G€ (4)
h . *37-321 . *35-65 . z> h : Hp . =>. D'{(i Г^'^) I T) = Й«""ЗвЛ (5)
Principia Mathematica I

*97. РАЗБИЕНИЕ ПОЛЯ ОТНОШЕНИЯ НА СЕМЕЙСТВА
677
Н . (1). (4) • (5) • *80'14 . э h : Нр. э . Cnv'{(ft* \~SkR) \ Т] еед'Й*"^'/? (6)
Ь . *35-65 . z> Ь . а\% \~$'R) =1?'Я.
[*37-32] z> Ь . <Г{(Б* Г~2'Д) | Г} = f ""З'Д (7)
b.(6).(7).z>b.Prop
*97-36. h:/?€Cls-^l.rePotidt^.^t/?cDT.z).ft^</?€Dt<€At^*<t"3t/?
[*97-35]
*97-37. \-:Rel-*l . а'ДсБ'Д . z> .gen'/?cD''eA'X''1^7?
Доказательство.
h.*92-14. z>b:.Hp.z>:rePotid7?.z>.^'/?cDT (1)
Ь . *93-32 . z> Ь :. Hp . z>: ctegen'/? . = . (дГ). TePotid'/? . a= f"lb? (2)
h . (1). (2). *97-36 . z> h . Prop
*97-38. \-:Rel^lMtRcDtR.^.%'^RcT>"€Atgen'R
Доказательство.
h . *93-36 . *40-52 . z>b:Hp.z>.s'fc*''^/? = .s'geii'/? (1)
h . (1). *84-43 . *97-37 . *93-25 . *97-16-21. z> h . Prop
*97-4. h : S eFoVR. z>. S "~3'Д = Л
Доказательство.
h.*91-31. z>b:Hp. =>.(аГ).Г€РоШ^. S =R\T .
[*37-341] z>. (дГ) . TePotid'/?. 5"^'# = f"/?"~3'/?
[*37-261-29. *93-101] =A
[*10-35] z>. S ""З'Д = A: z> h . Prop
*97-401. h :. jteD'/? : 5 eFoVR. jtfy . z>5>>, .у eD'fl: z>: S ePot'/?. z>5 . xeV'S
Доказательство.
h . *33-13 . z> h :. Hp. =>: S e Pot'/?. xSy . z>5o,. (gz). ;y/?z. xSy.
[*34-l . *33-13] z>s>J . jteD'CS |/?):
[*10-28 . *3313] z>:S ePot'/?. JteD'S .z>s .JteD'CS'|/?) (1)
h . (1). *91-373 . z> Ь. Prop
*97-402. h :. Дe Cls -► 1. xeD'fl: (gS). 5 ePot4/?. x ~ eD'S : z>.
(gS^.SePot'/?..?'*^'/*
Доказательство,
h . *97-401 . Transp. =>h:Hp. z>. (gS,;y) .S ePot'R.xSy .y~eT>lR .
[*91*271. *3314 . *93101] z>. (gS,y). S ePot'/?. xSy. у e~S6R.
[♦71-321] z>. (gS). S ePot'/?. S кхе~$'к: z> h . Prop
*97-403. h : /?e Cls -► 1. jc£^'/? . TePot'/? .~StR=ftrSlR. z>.
(g^J.^ePot'/^.jc-eD'^
Доказательство.
h . *92-131 . э h :. Hp . z>: xTy. jc7z . z/?w. z>. yRw.
[*3314] z>.y~e~$lR (1)
h.(l).*ll-ll-3-35.z)
h :: Hp . з :. xTy: (gz, w). xTz. z/?w: z>. у - el?'£:.
[*34-l. *3313] z>:. xTy .xeB\T \R).z>.y~ eE'R:.
[Transp] z>:.xTy.ye~8tR.z>.x~eDt(T\R) (2)
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

678
ГЛАВА 5. ИНДУКТИВНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
h . *10-24 . э h : Нр . jc~ eDT. =>. (gS). S ePot'/? . jc~ eD'S (3)
Ь.*37-105. эЬ:Нр.л;7>.э.;у£~Й'/?.
[(2)] э.*~€Б'(Г|/0 (4)
h . (4). *10-U-23-35 . *33-13 . =>
h:Hp.jceDT. z> .x~eD\T\R).
[♦91-282] zD.CgS^.SePot'fl.jt-eD'S' (5)
h . (3). (5). z> h . Prop
*97-41. hiReCls-tl.xe'fi'R.Te Pot'/? .~Й'/? = 7"'~Й'/?. z>.
(rS).S ePot'/?.S'jte~E'/?
[*97-402-403]
*97-42. \-:Rel^l.xe^'R.S,TePcA'R.^tk = f'^R.$'x6l$'k.^.S=T
Доказательство.
Ь.*37-6. z>h:Hp. э.(д;у).;уе^/?.5'*==:Г';у (1)
Ь . *37-62 . (1). z>h:Hp. ^.S'xeS'^'Rnf^'S'R.
[*93-3] z>. 5 'jc€ mh^'a'S П rni^'OT .
[*93-24 . Transp] z> . 5 = T : => h . Prop
*97-43. h :/?£ 1 -> 1 . rePot'/? .~Й'/? = 7"'~Й'/?. z> J'i?cDT
Доказательство,
h . *97-42 . z>
h :. Hp . xel§lR . z>: 5 ePot'/?. 5 'хе~Й'/?. z>. 7"jce~SlR :
[*10-ll-21-23] =>: (gS). 5 € Pot'/? . S 'jc etlR. z>. f'xe't'R :
[*97-41] =>:7"jc£^7?:
[*14-21] =>:E!7"jc:
[*33-44] z>: x e DT:. э Ь. Prop
*97-44. h :/?e 1 —> 1 .5, rePot'/?.lH=: Г'~£'/?. g !$"~Й'/?. z> ."^'flcD'S
Доказательство,
h . *91-45 . => Ь :. Hp . z>: (g£/) : t/ePotid'/? :5 = Г/|Г.У-Г = Г/|5 (1)
Ь.*97-4. =>b:.Hp. z>:UePoVR.S = U\T .z>.$irE6R = A:
[*91-23] э : U e Potid'/?. S = U \ T . g ! 5 "~Й'/? . =>. C/ = / \ C'/?.
[*50-63 . *91-271] z>.S = Г.
[*97-43] dJ'/?cD'5 (2)
h.*91-34. z>h:.Hp. z>:UePotidlR.T=U\S .z>.T = S\U.
[*34-36] d.DTcD'5.
[*9743] D.1'/?cD'5 (3)
b.(l).(2).(3).z>l-.Prop
*97-45. b:/?el->l .l^'flegen'/? . э . gen'/?- i'A cD"eA'^*"ll'/?
Доказательство.
h . *97-44 . *10-ll-23-35 . *93-32 . z>
h:/?€l->l ."3'^€gen'/?.5,ePott/?.g !5""Й'/?.э."Й'/?сБ'5' .
[*97-36] э.5""^/?еБ"£д'Й*"!?'/? (1)
Principia Mathematica I

*97. РАЗБИЕНИЕ ПОЛЯ ОТНОШЕНИЯ НА СЕМЕЙСТВА 679
К(1).*13-12.э
h:Re 1 -> 1 ."54/?€gen4/?. S ePot4/?. a = S44"54/?. g ! a.
э.аеБ44ед4Й*44"54/? (2)
К(2).*10-11-23-35.*93-32.э
\-:Rel^l.l$'RegeniR.aegentR.Rla.^.aeDtieAt%ir§iR (3)
h . (3). *53-52 . э h . Prop
*97-46. h :/?e 1 —> 1 ."54/?€gen4/?. э . fc*44"54/?cD44eA4(gen4/?- i4A)
Доказательство.
h . *93-36 . *40-52 . э h : Hp . э . s4K44"5'/? = s'gen'R
[*53-18] = .y4(gen4/?-i4A) (1)
h . (1). *84-43 . *97-45-16-21. *93-25 . э h . Prop
*97-47. Ь : /? e 1 -> 1. "54/? € gen4/? Ui'Ao.
gen^-L'AcD^eA'^'^^.K'^^cD^eAXgen^-L^A)
Доказательство.
h . *93-32 . => h :~£4/? = A. =>. gen'/? = i4A (1)
h . (1). *37-29 . эЬ:1^4/? = Л. э . gen4/?- 14Л = Л . %trSkR = A .
[*24-12] 3.gen4/?-i4AcD44eA4K''"3'/?.
Й~*441^4/? с D44eA4(gen4/? - l4A) (2)
h . *24-3 . Fact. э
h:/?el->l.g!"34/?;S4/? = A. 3./?6l->l.g!"34/?.(T/?cD4/?. (3)
[*93-41] э.Л-egen4/?.
[*51-222] =>. gen4/? - i4A = gen4/?.
[(3). *97-37-38] =>. gen4/? - l4A с D44eA45f*44"34/?.
Й~*44"34/? сD44eA4(gen4/? - l4A) (4)
h.(2).(4).3h:/?€l->l."54JR = A.=>.gen4/?-L4AcD44eA4K<^</?.
5Г*4ГЁ4/? с D44eA4(gen4/? - l4A) (5)
h . *97-45-46 . э
э I-: Д e 1 -> 1 ."/Hegen4/?. э . gen4/? - i4A с Б44ед4К44^4/? .
%irElR с D44eA4(gen4/? - l4A) (6)
h . (5). (6) . => h . Prop
*97-5. h : /? e Cls —> 1. Jc/?poJc. Jc/?poy - э . ;y/?po*
Доказательство.
h.*92-lll . =>h:./?eCls-^l.Jc/?poJc.Jc/?>'. z>:yR*x:
[*91-54] э : у = x. V . j/?^:
[Hp] з:у/?ро* (1)
h . *10-1 . *34-l . z> V :. /?e Cls -> 1. Jc/?poJC. PePot4/?:
jtPy. z>y . y/?poX: xP | /?z: =>: (gy). у/?,*,*. yRz:
[*92-lll] э :*/?**:
[*91-54] э :z = jc. V.z/?po^c:
[Hp] э izRpoX (2)
h . (1). (2). *91-171 . z>\-:ReCls-* 1. xRpoX. PePot'R. xPy .z> .yRpoXi
[(*91-05)] э h : /? e Cls -» 1. Jc/?po*. */?раУ • => • yRpo*: э h . Prop
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

680
ГЛАВА 5. ИНДУКТИВНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
*97-501. h : R е 1 —> Cls . jc^jc . yRpoX. э . xRpoy [Аналогично *97-5]
*97-51. h : /?е 1 —> 1 . xR^x . э . R^x=%cx= %lx= %'хГ\~Й*'х
[*97-5-501-17]
*97-52. Ь : Я е 1 -> 1 . jc^jc . хДроу. э . Я*'* = K'jcn*&';y [*97-5-501-51-14]
*97-53. hiRel-tl.PePot'R.xPx.yeRb'x.^.yPy [*92-132-133]
*97-54. Ь : Я е 1 -»1. Jc^poJC. э . (gP). PePot'P. Р f P*'x = / \R*'x [*97-53]
«-» «-»
*97-55. \-::Rel -> 1. э :.;уеР*\х. эу .уРроУ : V :yeR*'x.z>y .~(yRp<>y)
Доказательство.
К*97-53. ^b-i.Bp.xRpoX.^'.yeRb'x.^y.yRpoy (1)
h. (1)— . Transp. э h : Нр. ~ (xRpoX) .xeR*'y. э . ~ (ytfpo?) (2)
л» .У
h. (2). *97-101. z>\-:.Uv.~(xRpox).z>:yeR*'x.z>y.~(yRpoy) (3)
h . (1). (3). э h . Prop
*97-56. Ь:.Де1 -» 1 .xet'R. z> :yeR*'x.z>y . -(yR^y)
[*96-231. *97-55]
*97-57. I- :.Pel -> 1. xes'gen'P. э :убР*'*. э^. ~ (yRpoy)
[*97-21-56]
*97-58. h :. Re 1 -> Cls . z>: xes'gen'R . э . P*'jcc s'gen'P :
jeep'a'Tot'P.D.^'jecp'a'Tot'P
Доказательство.
h.*93-412. =>h .PVa''Pot'Pcp'CT'Pot'P (1)
[*90-101 . *93-273 . *37-265 . ] => h . P'Vgen'P с s'gen'P (2)
h . *93-33 . *40-13-38-43 . э Ь : P e 1 -> Cls. =>. P'Vgen'P с s'gen'P. (3)
[*90-101. *93-271 . *37-265 .] э . Р^'СГ'Pot'P с р'СГ'Pot'P (4)
Ь.(1). (2). (3). (4). *90-22 . *40-5-52 . =>
h :Re 1 -> Cls . =>. s'P*'Vgen'Pc s'gen'P.
s'P*'ya''Pot'P cp'CT'Pot'P : э h - Prop
Из данного предложения следует, что всякое семейство либо целиком
содержится в поколениях Р, либо целиком содержится в классе p'CT'Pot'P,
который может быть назван остатком поля R.
Principia Mathematica I

ПРИЛОЖЕНИЕ 1
*8. Теория вывода для предложений, содержащих
кажущиеся переменные 213
Все предложения, какого бы то ни было порядка, производятся из
матрицы, составленной из элементарных высказываний, комбинируемых при
помощи штриха. Если задана такая матрица, любая конституента может
быть оставлена константой или же заменена кажущейся переменной;
последнее может быть сделано двумя способами — взятием "всех значений"
или "некоторых значений". Таким образом, если р и # —элементарные
высказывания, из которых конструируется р \ q, мы можем заменить р на фд:
или q на \|fy, или же сделать обе замены, где фл\ \\гу — пропозициональные
функции, значения которых суть элементарные высказывания. В
результате мы сначала приходим к четырем новым предложениям:
U) . (фх | q\ (3*) . (фх | q), (y).(p\ У>0, (3>0 • (РIЧОО •
Посредством определений мы можем разделить постоянную и переменную
части в этих выражениях; полагаем
*801. {(*) . фх} | q . = . (g*) . (фх | q) Df
*8011. {(а*). фх] | q . = . (jc) . (фх | q) Df
*8012. р \{(у) .уу}. = . (ау). (р | юО Df
*8013. р | {(ау) .уу)- = -(у)-(р\ WO Df
Данные определения определяют значение штриха, когда он встречается
между двумя предложениями, одно из которых элементарное, а другое —
первого порядка.
Когда штрих встречается между двумя предложениями, из которых
оба первого порядка, мы принимаем правило, что вышеприведенные
определения должны применяться сначала к предложению, стоящему слева,
213 Данное приложение должно заменить в тексте *9.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

682
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
считая предложение справа за элементарное, а уже затем применяться
к предложению, стоящему справа. Таким образом,
{(х). фх} | {(у). уу]. = : (ах): фх| {(у). \|fy}:
= шЛ^х):(^у):(фх\^у).
То же правило может быть применено к п предложениям; они должны
быть элиминированы слева направо. Если некоторое предложение
встречается более одного раза, его вхождения должны быть элиминированы
последовательно, как если бы они были различными предложениями. Эти
правила введены только ради определенности, поскольку другой порядок
элиминации приводит к эквивалентным результатам. Однако это верно только
до тех пор, пока мы имеем дело с различными функциями, каждая из
которых содержит одну переменную, причем ни одна из переменных не
встречается с обеих сторон от штриха; для функций от нескольких
переменных это уже не будет верно. Например,
(3*): (У) • (Ф*| ЧОО : = : G) '• (3*) • (<М ЧОО •
Но, вообще говоря, не имеет места
(3*): (У) -Х(х,у): = : GO : (а*) • Х(х,у) ;
здесь истинность правой части более вероятна, чем левой. Однако мы пока
не рассматриваем переменные функции от двух переменных.
Следует заметить, что подобная возможность изменения порядка
переменных появляется благодаря штриху. Имеет место
(а*): (у) • Ф* I w- =: G): (э*) • Ф* I уу : =: (а*). ~ Ф*. v. go • ~ w •
Эти эквивалентные между собой предложения истинны тогда и только
тогда, когда либо ф иногда ложно, либо \\f всегда ложно. Но, если мы
возьмем, к примеру,
фх V \\fy. ~ фх V ~ \|fy,
то не придем к такому же результату. Действительно,
(Э х): (У) • Ф* v W • ~ Ф* v ~ УУ: =>: (у) • W • V . (у). ~ уу,
в то время как (у): (gx). фх V \|fy. ~ фх V ~ у у не приводит к той же
импликации.
Последняя матрица, будучи записана с использованием штриха, после
некоторых преобразований примет вид
{фх | (\|гу | \|fy)} I {УУI (фх | фх)}.
И х, и у здесь входят в обе части основной матрицы. Таким образом,
чтобы было возможно изменение порядка следования "(Э*)" и "(у)",
достаточно (хотя и не всегда необходимо), чтобы матрица содержала
некоторую часть выражения фх | \|fy и чтобы х и у не встречались ни в какой
другой части матрицы. (Этой частью может быть, конечно, вся матрица.)
Законность описанного изменения порядка мы принимаем в качестве
примитивного предложения и на практике переносим все префиксы а вправо
как можно дальше, поскольку это облегчает доказательства.
Перечислим новые примитивные предложения.
*81. Ь . (дх, у). фд | (фх | фу) Рр
Применение определений позволяет записать то же самое в виде
Ь : фя . э . (з*) • ф*-
*811. Ь . (gjr). фх | (фа | ф*>) Рр
Principia Mathematica I

*8. ТЕОРИЯ ВЫВОДА ДЛЯ ПРЕДЛОЖЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ
КАЖУЩИЕСЯ ПЕРЕМЕННЫЕ 683
Применение определений приводит то же самое к виду
h : (х). флс. => . фа . фЬ.
Мы имеем фа | (фа | фЬ) - V . фЬ | (фа | ф£)
и, в силу *8-1, h : фа | (фа | ф&). э . (дх). фх | (фа | фЬ):
фЬ | (фа | фЬ). э . (дх). фх | (фа | фЬ),
но мы не можем вывести (дх). фя:|(фа|фЬ) без *8-11 или какого-либо его
эквивалента.
*812. Из "(*)-Ф*" и "(х) . фх =>ухп можно вывести "(jc).\|Or", даже если
ф и у не элементарны. Рр
*813. Если все вхождения х отделены от всех вхождений у штрихом,
можно поменять порядок следования х и у в префиксе, т. е. заменить
" Су) : (Я*) • Ф* IУ У на " (Эх): Су) • Ф^ I УУп, и наоборот. Рр
Все вышеприведенные примитивные предложения постулируются не
только для одной или двух, но и для любого числа переменных. Например,
*8*1 дает нам возможность утверждать
h : ф (аь а2,..., ал). э . (з*ь х2,..., хп). ф (хи х2,..., хп).
*8-2. Ь:(д:).фл:.э.фа [*8-11^]
Для всех последующих предложений метод доказательства имеет
одинаковую структуру. Сначала мы применяем определения, чтобы привести
утверждаемое предложение к матричной форме с префиксом. Если
необходимо, мы применяем предложение *8-13 для изменения порядка
переменных в префиксе. Когда доказываемое предложение приведено к
такой форме, мы выводим его при помощи *8-1-11, используя в выводе
также *8-12, если это необходимо. Мы отмечали, что *8-1 эквивалентно
h : фа . э . (gjc). флс. Следовательно, всегда, когда мы знаем фа, мы можем
утверждать (gjc). флс; предложение *8-1 часто применяется именно таким
способом.
*8-21. h :. (х). ф*эух. э : (gjc). фх. =>. (длг).ух
Доказательство.
Применением определений и *8-13 доказываемое предложение
приводится к виду:
(у, У): (3*,z, w, zf, W). {фх | (ух | ух)} | [{фу | (yz yw)} | {фу' | (у? | уи/)}].
Полагая z = w = z? = w' = x, получаем из предыдущего
0% У) - (Я*) • (Ф* I (ух IУх)} I [(ФуI (V* V*)} I (Ф/ I (V* IV*)}] •
Согласно *8-1, доказываемое предложение истинно, если данное
предложение истинно. Но последнее истинно в силу *8-11 с у, у' в качестве а,Ь и
фу I (Ух I Ух) в качестве фа. Следовательно, и доказываемое предложение
истинно.
*8-22. h : фа V фЬ . э . (gjt). фд:
Доказательство.
К*8-11.оК(аг).(~фг)|(~<М~фЬ) (1)
Transp. э1-:(~фг)|(~фа|~фЬ).=>.(фаУфЬ)|(фг|фг) (2)
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

684
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
h . (1). (2). *8-21. з h . (gz). (фа v фЬ) | (ф21 фг) (3)
I-. (3). *8-1-21. э Ь . (gz,w). (фа V фЬ) | (ф21 фи>).
[(*8-012-013)] э h : фа V фЬ . э . (дх) - фjc : h . Prop
Эти предложения, так же как и все другие в параграфе *8, применимы
к любому числу переменных, поскольку таким свойством обладают уже
примитивные предложения.
*8 23. h : (gx). фх V фс. =>. (дх). фх
Доказательство.
Данное предложение, согласно определениям, есть
(*): (ЯУ.г). (фх v фс) | (фу | фг),
т. е. (jc) : фх V фс. =>. (дх). фх,
а это следует из *8-22.
Следующие предложения относятся к разновидностям силлогизмов.
*8-24. Ь ::/?=>#.=>:.#.э. (дх). фх :=>:/?. э . (дх). фх
Доказательство.
Применяя определения, получаем матрицу
(рэв)1И(91(<|«|фу))|(р|(фг|ф^)|р|(ф1||фу))}|
{то же выражение со штрихованными буквами}]
с префиксом
(х, у, х*, У): (gz, w, и, v, z/, и/, и', v').
Согласно *8-1, доказываемое предложение истинно, если истинна
матрица для некоторых выбранных значений z, w, и, v, z7, v/,m', v'. Положим
z = M = x.w = v = y.z' = M/ = x'.w'=v'=y'. Теперь нужно доказать
р э <? . з :. q . э . фх. фу : э : р . z> . фх. фу :. # . э . фх'. фу' : э : /?. э • фх'. фу',
а это истинно по Syll. Отсюда следует доказываемое предложение.
*8-241. V :: (х). фх. э . р : э :. р => # . э : (х). фх. э . #
Доказательство.
Полагая / (у, z) . = . {р I («I *)) I [{фу I (q I <?)} I {фг | (q I «)}],
получаем матрицу доказываемого предложения
{фх\(р\р))\{/(у,г)\/(У,2?)}
и префикс (х): (gy, z, у', z'). Полагая у = z = у' = z' = x, приводим матрицу к
виду фх z> р . э : р z> £. э . фх э q, что истинно по Syll. Следовательно,
доказываемое предложение истинно в силу *8-1.
*8-25. Ь ::/?.=>. fax). фх: => :. (дх). фх. э . (дх). \\гх: => : р . э . (дх). ух
Доказательство.
Пусть / (х, у, z, и, v, /л, л). = . {фх | (\|/у | yz)} | [{р \ (уи \ yv)} \ {р | (ym | ул)}].
Применяя определения, находим матрицу доказываемого предложения:
{р | (фа | ф*>)} | (/ (х, у, z, w, v, fit, л) | / (У, у', z', н', v', /я', л')}
и префикс
(а, Ь, у, z, у', z'): (gx, и, v, /и, л, х', и', v', m', л').
Полагаем х = а.х' = b .u = v=y .m = n = z.u' = v' =у' .т' = п' =zf.
Тогда матрица приводится к виду
р . э . фа . фЬ: =>:. фа . э . \|fy. yz : э : р . э . уу. yz:.
фЬ. з . \|fy'. yz': э : /7. э . \|/у'. щ',
Principia Mathematica I

*8. ТЕОРИЯ ВЫВОДА ДЛЯ ПРЕДЛОЖЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ
КАЖУЩИЕСЯ ПЕРЕМЕННЫЕ 685
что истинно по Syll. Отсюда наше предложение получается кратным
применением *8-1-13.
Аналогично доказываются и другие формы силлогизма.
*8-26. h : фа V ф£ V фс. э . (дх). фх V фс
Доказательство.
h : фа V фЬ V фс. э . (фа V фс) V (ф£ V фс) (1)
h . *8-22 . э Ь : (фа V фс) V (ф£ V фс) . =>. (дх) . фх V фс (2)
h . (1). (2). *8-24 . h . Prop
*8-261. Ь:фаУфЬУфс.з.(дх).фх
[*8-25-26-23]
Очевидно, что подобным образом можно доказать
фа v фЬ v фс v ф^. э . (дх). фх
и т.д.
*8-27. Ь :: #. э . (дх) . фх:э:.рэ#.э:/?.=>. (дх). фх
Доказательство.
Положим / (х, y,u9v). = .[p\ (фх | фу)} I (/? I (фи | фу)}.
Тогда матрица —
{q | (фа | фЬ)} | [{(р z>q)\f (х, у, и, v)} | {(р э а) | / (У, у', и', v')}],
а префикс — (а, Ь): (gx, у, и, v, У,у', и', v').
Полагая x = u = x' = u' = a.y = v = y' = v' = b, приводим матрицу к виду
q. z> . фа . фЬ : z> :. р z> q . э : /?. э . фа . фЬ,
что истинно. Отсюда следует доказываемое предложение.
*8-271. V :: q . =>. (gx,y). ф (х,у): э :. р э #. =>: р. э . (дх,у). ф (х,у)
[Доказательство аналогично *8-27]
Очевидно, что подобным образом можно доказать аналогичные
предложения с ф (jci, JC2,..., хл) вместо ф (х, у).
*8-272. h ::. р . z> : q . э . (дх) . фх:. z> :: г э р . э :. г. z> : q . э . (дх) . фх
Доказательство.
q. э . (дх). фх есть (дх, у). q | (фх | фу). Следовательно, доказываемое
предложение получается из *8-271 подстановкой р вместо #, г вместо р
и q | (фх | фу) вместо ф (jc, у).
*8-28. h :: р . э . (дх). фх: э :.<?.=>. (дх). фх :=>:/? V #.=> . (дх). фх
Доказательство.
Положим / (х, у, z, w) . = . {(/? V q) | (фх | фу)} | {(р V а) | (фг | фи>)}.
Тогда матрица —
{р I (фя IЩ] I [{(<? I (фс | ф<0) I / (*, у, z, w)} | {(а | (фс' | фа")) I / (х', у', z', и/)}],
а префикс —
(а, Ь, с, d, с', d'): (gx, у, z, w, х', у', z', w').
Матрица имеет вид
р . э . фа . ф£ : э :. ^. э . фс. фа*: э . / (х, у, z, w):.
^. э . фс'. фа" : з . / (х', у', z', иО,
в то время как / (х, у, z, w). = : р V q. з . фх. фу. фг . фи>.
Обозначим матрицу F (х, у, z, w, х', у', г', >/).
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

686
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Тогда \-:р . => . F(a,b,a,b,a, b, a, b),
\-:~p.z>.F(c,d,c,d,c',d\c',d').
Отсюда h : F{a,b,a,b,a,b,a,b) . V . F(c,d, c, d,c',d\ c',d').
Следовательно, используя обобщение *8-261 на восемь переменных,
получаем
Ь • (Я*> У> z, w, У, у', z', w'). F (х, у, z, w, х*, У, z', и/),
что требовалось доказать.
*8-29. h :. (х) . фх => \|/х. => : (х) фх . э . (х) . \|/х
Доказательство.
Применяя определения, находим для нашего предложения матрицу
(фх z> \|/х) | [{фу | (ум | yv)} | {ф/ | (W | yv')}]
и префикс (после использования *8-13)
(u,v,u',V)i(RX,y,y').
Матрица эквивалентна
фх => ух. э : фу . =>. \|ш. \\fv: фу' . \\fit'. у\/ .
Обозначим это выражение М (х,у,/); таким образом, мы должны доказать
(&х>У>У)-М(х,у9У).
Если \|/w.\|/v.\|m'.\|л/, то М(х,у,у') всегда истинно. (1)
Если ~\jm, положим х = у = у' = и. Тогда, если фи истинно, то фнгэхуи
ложно и М (и, и, и) истинно. Если же фи ложно, то фи. z> . \\fu. x\fv и
фи . э . \|ш'. \yv' истинны, поэтому и М (и, и, и) истинно. Следовательно,
~ уи . э . М (и, и, и). э . (дх, у, у'). М (х,у,у'). (2)
Аналогично при ~ \\fv V ~ \|ш' V ~ yi/. (3)
Все возможные случаи исчерпываются (1), (2) и (3). Отсюда, в силу *8-28,
вытекает заключение.
Теперь мы в состоянии доказать, что все предложения параграфов
*1-*5 остаются справедливыми, когда одно или более из предложений
p,q,r,... являются не элементарными высказываниями, а предложениями
первого порядка. С этой целью мы возьмем, но не то единственное
примитивное предложение, которое было бы для этого достаточным, как показал
Никод, а два эквивалентных ему, также указанных Никодом:
р=>р и p=>q .=>. s\qz>p\s.
Мы покажем, что данные предложения истинны, когда одно, два или три
из предложений р, q, s являются предложениями первого порядка. Из
этого вытекает все остальное. Первое из данных примитивных предложений,
р эр, приводит к двум случаям в соответствии с тем, подставляем мы
(х). фх или (дх). фх вместо р\ второе примитивное предложение приводит
к 26 случаям. Разберем все случаи по порядку.
*8-3. У : (х). фх. э . (х). фх
Применяя определения, данное предложение можно записать в виде
(gx): (y,z) - фх| (фу|фг), что вытекает из *8-11 при помощи *8-13.
*8-31. h : (gx). фх. э . (gx). фх
Применяя определения, данное предложение можно записать в виде
М: (ЗУ, z) - фх | (фу | фг), что совпадает с *8-1.
Этим завершается доказательство р^р.
Principia Mathematica I

*8. ТЕОРИЯ ВЫВОДА ДЛЯ ПРЕДЛОЖЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ
КАЖУЩИЕСЯ ПЕРЕМЕННЫЕ 687
*8-32. г :. (х) . фх. z> . q: z> : s \ q . э . {(х). фх} | s
Полагая р . = . (х) фх, приводим доказываемое предложение к виду
(p\~q)\~[{s\q)\~(p\s)).
В силу определений,
р\~Я-= Лв.а).фа\(в\Ф> (!)
p\s.= . (gx). фх | j,
- (р | j) . = .(х9у). (фх | s) | (фу | j),
(s\q)\~(p\s).= .(ZX9y).(s\q)\{(<bx\s)\(<$>y\s)}.
Положим f(x9y).= .(*\q)\ КФ* I s) I (фу I s)}.
Тогда ~{(*ltf)l~(pl*)}- = -U,y,x',/)./Uy)|/(x',/). (2)
Согласно (1) и (2), доказываемое предложение имеет вид
(а) : (дх, у, х', у'). {фа | (а | q)} | {/ (х, у) | / (х/, у')}.
Полагая х = у = х/=у' = а, матрицу данного предложения приводим к
фа э q . э . я | q э фа | s,
что совпадает с нашим примитивным предложением, в котором фа
подставлено вместо /?, и, следовательно, истинно. Отсюда, в силу *8-1, вытекает
доказываемое предложение.
В последующих доказательствах редукция доказываемого предложения
к матрице и префиксу посредством определений проводится всегда тем лее
методом, и подробности будут обычно опускаться.
*8-321. h :. (а*) .фх.=>.#:=>:.у|#.э. {(gx) - Ф*} I s
Мы получаем ту же матрицу, что и в *8-32, но противоположный
префикс, т. е.
(х,у,х',у'):(да).
Матрица эквивалентна
фа:э#.э:#э~.у.:э.фх:э~.у.фуэ~.у. фх' z> ~ s . фу' z> ~ s .
Обозначая это выражение /а, мы должны доказать (да). /а для любых
*,у, х',у'. Имеем
фа . ~ q . з . fa .
Также фа . q . z>:. fa . = : ~ s . z> . фх э ~ s. фу э ~ s . фх' э ~ s. фу' :э ~ s:.
=>:./о.
Следовательно, фа . э . /а .
Согласно *8-1-24, фх. :э . (да). /а,
и аналогично для фу, фх', фу'. Согласно *8-261,
фх V фу V фх' V фу'. =>. (да). /а.
Также ~ фх. ~ фу. ~ фх'. ~ фу'. э . fa .
[•8-1-24] з.(да)./а.
Согласно *8-28,
фх V фу V фх' V фу' V ~ фх. ~ фу. ~ фх'. ~ фу': э . (да). /а .
Отсюда ввиду *8-12 вытекает (да)./а, что требовалось доказать.
А. Н. Уайтхед, Б. Рассел

688
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
*8-322. h :. p . э . (х) . ух: э : s | {(х) . ух]. э . /? | s
Доказательство.
Положим /у . = . (s | \|0>) I {(р | j) | (р | *)}.
Тогда доказываемое предложение примет вид
(у, у'): (ЯЬ, с). {р | (ч* | ус)} | (/у | //).
Матрица здесь эквивалентна
р . z> . yb. ус : => : s | \[/у. э . /? | s : s | \|fy' .=>./? | s.
Полагая £ = у.с = у', выводим матрицу из примитивного предложения,
которое дает
p=>\|fy. э:5|уу.э.р| j,
р => уу' - э : s | \|fy'. э . р | s .
Отсюда вытекает доказываемое предложение.
*8-323. h :. р . э . (дх). ух: э : s | {(дх) . ух}. э . /? | s
Доказательство.
Здесь — та же матрица, что и в *8-322, но противоположный префикс,
т. е.
0>,с):(Яу,у').
Полагая у-Ь -у' =с, выводим матрицу, как в *8-322.
*8-324. h :. р => q . э : {(х). Х*110 • ^ • Р I К*) ■ Х4
Доказательство.
Положим / (х, у, z). = . (хх | #) | {(р | ху) I О? I хг)}- Тогда матрица —
{p\(q\q)}\{f(x,y,z)\f(xf,y\z,)l
а префикс —(х,хО: (gy,z, у', z')- Полагая у = z = x.y' = z' = x', получаем, что
матрица эквивалентна
р => ^ . =>: %х \q . z>. р | хх: х*71 4 - э . р | х*',
что следует из нашего примитивного предложения в силу Сотр.
*8 325. V :. р => q . =>: {(gx) . х*1 I 4 ■ => • Р I КЗ*) • X*)
Доказательство.
Здесь матрица та же, что и в *8-324, но префикс — противоположный,
т. е.
(y,z,y',z'):(g*,*').
Обозначая матрицу М (х, х'), получим, если 8w. dw . ~ xwj
М (х, X7) . = :: р => q . =>:. # => 6х . э : р . => . 6у . 6z:. q => Эх7 .=>:/?.=>. 6у'. 6z'.
Следовательно, 8у. 8z . By'. 8z'. э . М (х, х'). з . (дх, х*). М (х, х7) (1)
Но ~ 6х. 6х'. э . М (х, xf). Отсюда
~ 6х. э . М (х, х). э . (дх, х'). М (х, х7) (2)
Аналогично поступаем с 6у, бх7,8у'. Теперь результат выводится, как
в *8-321.
Этим завершается рассмотрение случаев, когда только одна из
переменных p,q,r в
p^q . z*is\q,z*,p\s
не элементарная, а первого порядка. Теперь мы перейдем к случаям, в
которых две, но не три переменные — первого порядка.
Principia Mathematica I

*8. ТЕОРИЯ ВЫВОДА ДЛЯ ПРЕДЛОЖЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ
КАЖУЩИЕСЯ ПЕРЕМЕННЫЕ 689
*8-33. h :. (jc) . фх. =>. (jc) . ух: =>: s| {(jc) . yx}. =>. {(x). фх} | s
Доказательство.
Полагая / (x, у, z). = . (s \ \\rx) | {(фу | s) \ (фг 1s)}, получаем матрицу
{фа | ft* I yc)} I {/ (x, j, z) I / (лС, y', O)
и префикс (a,x, x^ :(gb, c,y,z,y',z'). Матрица истинна при
b = x.c = x' .y = z = y' = z' = a,
будучи эквивалентна в данном случае
фа . :э . ух. ух' :э:.\|/д:э~5.э.фб[э~5: ух7 гэ~я.э.фяэ~.5.
Отсюда Prop.
Та же самая матрица появляется в следующих трех предложениях
только с другими префиксами.
*8-331. h :. (х) . фх. =>. (дх). \|/х: =>: s | {(дх). ух]. =>. {(х). фх} | s
Здесь префиксом является (а, Ь, с): (gx,y,z, x',y',z'). Матрица истинна
при x = b.x' = c.y = z = y' = z' = a. Отсюда Prop.
*8-332. h :. (gx). фх. =>. (х). ух: => :s | {(х). ух}. =>. {(дх). фх} | s
Доказательство.
Префикс здесь — (х, у, z, х', у', z'): (да, b, с). Записывая г вместо ~ я,
приводим матрицу к виду
фа . => . \\fb . ус : з :. ух => г. => . фу V фz э г: ух' z> г. => . фу' V фг' => г.
(Только а, Ь, с здесь могут быть выбраны произвольно.) Когда
значения всех функций фу, фz, фу', фz/ ложны, матрица истинна. Предположим,
что фу истинна. Положим а = у. Тогда при ложном x\fb или ус также
фа. э. у&. ус ложно, и матрица истинна. Поэтому, если ух ложно,
полагаем Ъ = с = х; если ух' ложно, полагаем Ь — с — хг. Если же и ух, и ух7
ложно, то, полагая а —у ~Ь = с = х, получаем, что матрица эквивалентна
г.э.фуУфгэпг.э. фу' V фzf z> г,
что истинно. Итак, если фу истинно, матрица может быть сделана
истинной. Аналогично для z,y',z'- Этим исчерпываются возможные случаи.
Отсюда в силу *8-28 Prop.
*8-333. h :. (gx). фх. з . (дх). ух: =>: s | {(дх). ух}. =>. {(дх). фх} | s
Доказательство.
Здесь матрица — как и раньше, а префикс (после применения *8-13)
получает вид (Ь, с, у, z, у', z'): (да, х, х').
Обозначим матрицу М(а, х, х'). Тогда
h : \\fb. z> . М (я, Ъ, Ъ). => . (да, х, х'). М (а, х, У) (1)
h : ус. з . М (я, с, с). з . (да, х, х'). М (а, х, х') (2)
V : ~ yfc. ~ ус . фу. => . М (у, Ь, с). => . (да, х, х'). М (я, х, х') (3)
(1). (2). (3). => У : фу. =>. (да, х, х7). М (а, х, х7) [используя *8-28] (4)
Аналогично для фу', фz, фг'. Отсюда в силу *8-28
h : фу v фу' V фг V фг'. =>. (да, х, х'). М (а, х, х') (5)
Но h :. ~ фу . ~ фу' . ~ фг . ~ фг7. => : фу V фг => г. фу' V фг' э г:
z>: М (а, х, х')
[*8-1] ^^g^x^J-M^x^) (6)
(5). (6). *8-28 . э V . (да, х, х7). М (а, х, х7). => V Prop
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

690
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Этим завершается рассмотрение случаев, в которых р и #, но не s
содержат кажущиеся переменные. Далее следуют четыре случая, в которых
р и 5, но не q содержат кажущиеся переменные.
*8-34. \-i.{x).$x.*.qz*:[(x).wc]\q.*A(x).$x}\[{x).yp}
Полагая / (х, у, z,u,v). = . (хх | q) \ {(фу | yz) I (фи I Xv)b запишем матрицу
в виде
(фг \~q)\{f (*, у, z, и, v) | / (У, /, z', и\ V)}.
(Это матрица и следующих трех предложений.)
Префикс — (а, х, х*): (gy, z, и, v, у', z', и', v').
Матрица эквивалентна
фа z> q . z>. / (х,у, z, и, v) - /(У,/, z', и', V)
и
/ (х,у, z, и, v) . = : X* IЯ • э . фу IXZ - фи IXV :
= : # => ~ х* • => - ФУ => ~ XZ • Фм => ~ Xv •
При y-u = yf = uf-a.z = v-x.zf-V = xf матрица истинна. Отсюда Prop.
*8-341. V :. (х) . фх. =>. q : =>: {(gx) . х*} I 4 - => - {(*) . фх} | {(gx) . х4
Матрица —та же, что и в *8-34. Префикс —
(a, z, v, z', v') : (gx, у, и, х7, у', и')
Матрица эквивалентна
фа => # . э :. q z> ~ х* • => • Ф}7 => ~ XZ • Фм => ~ УУ -
q э ~ х^ . з . фу' э ~ х^' • Фм' => ~ Xv' •
Если фа ложно, матрица истинна при у = и = у' = и' = а. Если фа истинно,
матрица истинна при ложном q. Пусть q истинно. Тогда матрица
эквивалентна
~ X* • э . фу d ~ XZ • Фм => ~ УУ '• ~ Х^ • => • Ф/ => ~ УЁ - Ф"' => ~ Xv' •
Это выражение истинно, если ложны X^XV»X^'»XV'- Если одно из них,
скажем xz, истинно, положим х = х7 = z, что приведет к истинности матрицы.
Этим исчерпываются возможные случаи. Отсюда в силу *8-28 Prop.
*8-342. 1-:.(дх).фх.э.а:=>:{(х).х41^-^.{(дх).фх}|{(х).х4
Здесь матрица остается прежней, а префикс (после применения *8-13)
получает вид
(х, у, и, х', у', и'): (да, z, v, z', v').
Обозначим матрицу М (a, z, v, z', v'). Тогда
h : ~ х* • => • М (а, х, х, х, х)
l-i-X^- э.М(я,х',х',х',х')
Ь : 4 • X* - X*7 • => - ~ (Я => Г X*) • ~ (? => ~ X*') •
э . М (a, z, v, z', v')
h : ~ q . фу. =>. ~ (фу z> 4) .
=>. М (у, z, v, г*, v')
Аналогично при ~#.фм или ~#.фу' или ~#.фм'. В силу *8-1-28,
h : ~ q . фу V фм V фу' V фм'. з . (да, z, v, z', v') . M (a, z, v, z7, v')
h : ~ фу . ~ фм . ~ фу'. ~ фм' . => . фу => ~ %z . фм => ~ Xv • Ф/ ^ ~ X^' • Фм' => ~ Xv'
z>.M(a, z, v, z', v')
(5).(6).=>h:~a. z>.(sa,z,v,z',v').M(a,z,v,z?,v')
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
К (1). (2). (3). (7). oh. Prop
Principia Mathematica I

*8. ТЕОРИЯ ВЫВОДА ДЛЯ ПРЕДЛОЖЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ
КАЖУЩИЕСЯ ПЕРЕМЕННЫЕ
691
*8-343. Ь :. (дх) . фх. z>. q : z>: {(gx) . x*) I <7 • => • ((gx) . фх} | {(gx) . x*}
Префикс к матрице имеет вид (y,z, и, v,y',z',u', V): (да, х, х7).
Обозначим матрицу / (а, х, х7).
Она истинна, если ~ %z. ~ Xv • ~ У7~ * ~ УУ (1)
Также xz • 4 • => • / (я, z, z) • => * (да, х, х7). / (а, х, х7) (2)
Аналогично при xv • Я или Х^' * Ч или Xv' * Ч (3)
Из (1). (2). (3) в силу *8-28, q . z> . (да, х, У). / (я, х, У) (4)
Далее, фа . ~ # . z> . / (а, х, х7). Следовательно,
фу . ~ q . =>. / (у, х, х7). =>. (да, х, х7). / (а, х, х7)
Аналогично для фг . ~ #. фу'. ~ # . фг7. ~ #. Следовательно,
фу V фг V фу' V фг'. - q . =>. (да, х, х7). / (а, х, х7) (5)
Но -фу.-фг.-фу'.-фг'.э./^^х7) (6)
Ввиду (5) и (6), ~ q . =>. (да, х, х7) . / (а, х, х7) (7)
Ь. (4). (7). *8-28 . => Ь . Prop
В следующих четырех предложениях q и г заменяются предложениями,
содержащими кажущиеся переменные, в то время как р остается
элементарным.
*8-35. Ь :. р . z>. (х) . ух: э : {(х). %х] | {(х). ух} .=>./? | {(х). х*}
Полагая q. = . (х). ух, s . = . (х). х^3 запишем предложение в виде
(P\~q)\~i(s\q)\~ip\s)).
В силу определений имеем
-a. = .(gZ?,c).^|yc,
p\~q
s\q
p\s
~(p\s)
(s\q)\~(p\s)
Положим f(x,y,z,w)
Тогда ~{{s\q)\~(p\s)}
(P\~q)\~l(s\q)\~(p\s))
(b,c).p\(yb\yc\
(а^зО-xylv*.
(az)-plxz,
(z,w).(plxz)|(plxw),
(*,}0: (3 Z, w). (ХУI У*) I {(p I xz) I (p IX")} •
(xylv^)l{(pl3cz)l(plxw)}.
(gx,y,x7,y):fcw,^,H/)./(x,y,z,w)|/(x/,y,^,H/),
{pl(^IW)}|{/(x,y,z,w)|/(x',y,^,H/)}.
Подставляя 0х вместо ~X-*j приведем матрицу к виду
р . э . yfc. ус : э :. \\rx z> 6у . => : р . => . 6z. 6w:. ух7 э 6у7 . э :/?.=>. 6z7. Bw7,
истинному при b = x.c = x'.z = w = y.z' = w'=y'- Отсюда Prop.
В следующих трех предложениях появляется та же самая матрица;
меняется только префикс.
*8-351. Ь :. р . z>. (х). ух: =>: {(дх) . х*} I {(*) . ух}. =>. р | {(дх) . х*}
Здесь —та же матрица, что и в *8-35, а префикс —
(х, z, w, х7, i, W): (gfc, с, у, у7).
Матрица истинна, если Qz . 6и>. 6z'. 6w'.
Пусть ~8г; положим y = y' = z-b = x.c = x'.
А. Н. Уайтхед , Б. Рассел

692
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Имеем ух z> Qy. = . ~ ух и р . z> . 8z . 8w: = . ~ р. Следовательно, матрица
эквивалентна истинному выражению
р. => . ух . ух7: z> :. ~ ух. => . ~ р :. ~ ух7 .=>:/?.=>. 8z' - 8w'.
Аналогично при ~ 8w V ~ 8z' V ~ 8w'. Отсюда в силу *8-1-28 Prop.
*8-352. Ь :. р . =>. (gx) . ух: =>: {(х) . х*} I КЗ*) • ¥*1 ■ => ■ РI К*) • Х*1
При прежней матрице префикс — (Ь, с, у, /): (gx, z, w, xf, т!, w').
Истинность достигается при x = b.x? = c.z = w = y.z? = w'=y. Отсюда
Prop.
*8-353. h :. р . z>. (gx). ух: =>: {(gx). x*J I КЗ*) - У*} ■ => ■ PI {(gx). x*}
Здесь та же матрица с префиксом (Ь, с, z, w, z', и/): (gx, у, x', /).
Если \\fb истинно, a 8z ложно, то при x = x* = b.y = y' = z матрица
истинна, так как эти значения делают \|/х э &у и ух' z> 8;у' ложными. Аналогично
в случае, когда \\fb истинно, a 8w, или 8z', или 8v/ ложно, а также в
случае, когда ус истинно, a 8z, 8w, Gz' или 8w' ложно. Остается рассмотреть
~ yfc . ~ ус : V : 8z - 8w . 8z'. 8w>'.
При второй альтернативе матрица истинна, так как из нее следует
р . z>. Qz - 8w: р . =>. 8z' - 8v/ .
Первая альтернатива дает
/?. э . yb . ус : z>: ~ /?:
z>: р . => . 8z - 8w : p. э . Gz'. 8v/,
так что матрица снова истинна. Отсюда Prop.
Этим завершается рассмотрение случаев, в которых одна, две или
три конституенты выражения p^q. з. s\qz>p\s остаются элементарными.
Остается рассмотреть восемь случаев, в которых уже не остается
элементарных конституент. Во всех этих случаях матрица —одна и та же.
*8-36. h :. (х). фх. =>. (х) . ух: z>: {(х). х*} I {(*). ух}. =>. {(х). фх} | {(х). %х]
Полагая р . = . (х). фх, q . = .(х). ух, s . = . (х). х*> будем иметь
~q. = .ezb,c).\\rb\\\rc,
p\~q
s\q
p\s
~(p\s)
(s\q)\~(p\s)
Пусть f(x,y,z,w,u,v)
~{{s\q)\~(p\s)}
: (дд) . (b, с). фд | (\\fb | yc),
(ЯХ,У)>УУ\УХ,
. (gz, w). фг I xw>
. (z, w, u, v). (фг | xw) | (фи | xv),
: (x, y): (gz, w, u, v).(yy\ ух) | {(фг I x^) I (Ф" IX^)} •
■ (ХУIV*) I Кфг I X*0 I (Ф« I Xv)} • Тогда
: (3^» У* xf, У): (z, w, u, v, z\ W, u\ v') -
/ (x, y, z, w, u,v)\f (xf, y', z\ w\ u', V),
{p\~q)\~[(s\q)\~{p\s))- = - (я, x,y, x7,/): (gZ?, c, z, w, и, v, z', w\ u', v').
{фа | (yfc | yc)} | {/ (x, y, z, w, u,v)\f(xf, y\ t,w',u', v')}.
Подставляя 8х вместо ~ xx> приведем матрицу к виду
фа . э . yb . ус : => :. ух э 8j . з . фг - => . 8w . фи => 8v :
ух7 z> 8/ . =>. фг' э 8w'. фи' э Gv',
истинному при b = x.c = x'.z = u = z' = u' = a.w = v = y.w'=v'=y'. Отсюда
Prop.
*8-361. h:. (х). фх. z>. (х). ух: =>: {(gx). х*} I {(х). ух}. =>. {(х). фх} | {(gx). %х}
Principia Mathematica I

*8. ТЕОРИЯ ВЫВОДА ДЛЯ ПРЕДЛОЖЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ
КАЖУЩИЕСЯ ПЕРЕМЕННЫЕ 693
Здесь та же матрица, но "все" и "некоторые" меняются местами в
применении к аргументам х> т-е- к ^w, v,y', v/, v'. Таким образом, g-пере-
менными будут Ь, c,y,y',z, z',m, и'.
Если ~фа, то при z-u-т! = и' -а матрица становится истинной.
Если фа истинно, то матрица истинна при ~ \\fb V ~ ус, т. е. при
~yxV~yx', так как Ь,с произвольны. Пусть ух. ух'. Тогда матрица будет
иметь вид
Gy. =>. фz => 8и>. фи => Gv: 8/ . z>. фг' => 8w'. фи' z> 8v'.
Данное выражение истинно, когда истинны 8w, 8v, 8w', 8v\
Если ~ 8w, то при у — у' — w матрица истинна.
Аналогично, если ~8v, ~8>/ или ~8v'. Отсюда Prop.
*8-362. Ь :. (х) . фх. =>. (дх) . ух: э : {(х) . х*} | {(дх) . ух}. =>. {(х) . фх} | {(х) . х*)
Здесь матрица та же, что и в *8-36. Префикс получается из префикса
*8-36, если поменять местами "все" и "некоторые" в применении к
аргументам у, т.е. к Ь,с,х,х!. Отсюда Prop получается при тех же подстановках,
что и в *8-36.
*8-363. h :. (х) . фх. э . (Эх) . ух: =>: {(Зх) . гА I {(Я*) - V4 -
=>.{(х).фх}|{(ах).х*1
Данное предложение может быть получено из *8-361, если поменять
местами "все" и "некоторые" в применении к аргументам у, а именно
Ь, с, х, х!. Таким образом, g-переменными будут х, xf,y,y,,z, z',u, u\ и
доказательство в точности повторяет *8-361 с взаимной заменой х, xf и Ь, с.
*8-364. Ь:.(ах).фх.зДх).ух:э:{(х).х^1{(^).^}.=>-{(Я^)-Ф^1{(^)-Х4
Предложение получается из *8-36, если поменять местами "все"
и "некоторые" в применении к аргументам ф, а именно a, z, н,z\u'.
Тогда а-переменными будут а, Ь, с, w, v, w', V. Если 8у истинно, то
при w = v = wf=v/=y матрица истинна. Если 8/ истинно, то при
w = v = w'=v'=y' матрица истинна. Пусть ~ 8у. ~ 8/. Матрица
истинна, если ух:э8у и ух'гэву' ложны, т.е., так как 8у, 8/ ложны, если
ух и ух' истинны. Если же ух ложно, положим Ь-с-х и а-у\ тогда
фа. z>. у£ . ус ложно, и матрица истинна. Если ух' ложно, действуем
аналогично. Отсюда Prop.
*8-365. Ь :. (дх) . фх. =>. (х) . ух: =>: {(дх) . %х} | {(х) . ух}.
э.{(ах).фх}|{(дх).х^}
Предложение получается из *8-364, если поменять местами "все" и
"некоторые" в применении к аргументам х,.а именно y,w, v,/, w', V. Тогда
g-переменными будут а,Ь,с,у,у'. Если 8w . 8v. 8v/. 8v', матрица истинна.
Пусть ~ 8w, и положим у = у' = w. Матрица истинна, если ух z> 8у и ух' z> 8у'
ложны, т. е., в данной ситуации, если ух и ух' истинны. Предположим,
что одно из них ложно, и положим Ъ - х. с = х*. Тогда уЬ. ус ложно.
Следовательно, фа . z> . \\fb . ус ложно, если фа истинно; следовательно, матрица
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

694
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
истинна, если фя истинно. Следовательно, когда фг истинно, матрица
истинна при a = z- Аналогично, когда фи, фг' или фи' истинно. Но, когда все
они ложны, матрица также истинна. Таким образом, матрица истинна, ес-
ли ~ 8w и ~ ух V ~ ух*. Аналогично для ~ 8v, ~ 8w' или ~ 8v' одновременно
с ~\|/xV~\yx'. Итак, мы показали, что матрица может выполняться при
~ 8w, ~ 8v, ~ 8w' или ~ 8v' одновременно с ~ \\fx V ~ ух*. Следовательно, она
может выполняться при ~ 8w V ~ Gv V ~ 8v/ V ~ 8v'. И мы видели, что она
истинна при 8w. 8v. 8v/. 8v'. Разбор случаев завершен. Отсюда Prop.
*8-366. h :. (gx). фх. =>. (gx). ух: =>: {(х) . х*} I КЗ*) - Y*l -
=>. {(gx). фх} | {(х). хх]
Предложение получается из *8-364, если поменять местами "все" и
"некоторые" в применении к аргументам у, а именно Ь, с, х, xf. Тогда
g-переменными будут а, х, xf, w, v, w\ V. Доказательство повторяет *8-364
с взаимной заменой Ь, с и х, xf.
*8-367. h :. (gx). фх . =>. (gx). \|/х: =>: {(gx). %x] | {(gx). yx].
=>.{(дх).фх}|((дх).х4
Предложение получается из *8-365, если поменять местами "все" и
"некоторые" в применении к аргументам у, а именно Ь,с,х,xf. Тогда
g-переменными будут а, х, У, у, у'. Доказательство повторяет *8-365 с
взаимной заменой Ь, с и х, х\
Этим завершается разбор всех 26 случаев предложения
pz>q.^>.s\qz>p\s.
Таким образом, во все предложения параграфов *1-*5 мы имеем право
подставлять предложения, содержащие одну переменную. Доказательства
предложений, содержащих 2 или 3, или 4 и т. д. переменных, могут быть
проведены аналогичным путем. Итак, предложения параграфов *1-*5
справедливы для всех предложений первого порядка.
Совершенно аналогично может быть проведено распространение на
предложения второго порядка, затем на предложения третьего порядка
и т. д. Следовательно, все штрих-функции, которые могут быть доказаны
для элементарных высказываний, могут быть доказаны и для предложений
любого порядка.
Остается доказать предложение ~ {(х). фх}. = . (gx). ~ фх и аналогичные
ему.
*8-4. Ь : ~ {(х). фх}. = . (gx) . ~ фх
Доказательство.
Ь.*8-1. =>|-:фх|фх. э.(ду).фх|фу (1)
Ь . (1). *8-21 . => h : (gx). фх | фх. =>. (дх,у). фх | фу :
[(*8-01-012)] z> Ь : (gx). ~ фх. z>. - {(х). фх} (2)
Имеем Ь : р \ q . = . р \ р V q \ q (3)
h . (3) . => h : фх | фу . = . фх | фх V фу | фу (4)
h . (4). *8-22-24 . =>Ь:фх|фу.=>.(дх).фх|фх (5)
[(*8-011)] V :. (дх, у). / (х, у) . з . р : = : (х, у). / (х, у) з р (6)
Principia Mathematica I

*8. ТЕОРИЯ ВЫВОДА ДЛЯ ПРЕДЛОЖЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ
КАЖУЩИЕСЯ ПЕРЕМЕННЫЕ 695
Ь . (5). (6). э Ь : (дх, у). фх | фу. z>. (gx). фх|фх:
[(*8-01-012)] z> h : - {(х). фх}. =>. (дх). ~ фх
К (2). (7). э К Prop
I": ~ {(З*) • ~ Ф*1. = - (х). фх [Доказательство аналогично]
h :. р . =>. (дх) . фх: = : (дх) . р => фх
(7)
*8-41,
*8-42
Доказательство.
h :./?.=>. (а х).фх
[*8-41]
[(•8-011)]
[*8-21]
*8-43.
:/?|{~(3*)-Ф*}:
: /71 {(х) . - фх}:
:(дх)./?|~фх:
: (дх) . р => фх:. h . Prop
р . з . (х). фх: = : (х). р z> фх [Доказательство аналогично]
Прочие предложения того лее типа могут быть приняты на веру.
*8-44. Ь :. (х). фх. z> : (х). ух. => . (х) . фх. ух
Доказательство.
Ь:. фг. з: yz. =>. фг. yz (1)
h . (1) . *8-1 - =>Ь::.(3х)::.(а^)::(г):.фх.=>:^.=>.фг.уг (2)
h . (2). *8-42-43 . э I-. Prop
*8-5. Если F(/?,q, г,...) — штрих-функция элементарных высказываний,
и /?,#,г,... заменяются предложениями первого порядка p\,q\,r\,..., то
p = p\.q = q\.r = ru... z>iF(p,q,r,...). = .F(puquru...).
Это вытекает из предложений
р\ . = . (х) . фх : э : р = р! . z>. рх \ q = р \ q . q \ рх = q \ p,
Р\> = - (Э*) - Ф* - =>: Р = Р\ • => • Р\ I Я = Р I Ч • ЧI Р\ = ЯIA
которые легко доказываются.
А.Н. Уайтхед, Б.Рассел

ПРИЛОЖЕНИЕ 2
*89. Математическая индукция
Во Введении к настоящему изданию уже были объяснены трудности,
которые появляются в связи с математической индукцией, если отбросить
аксиому сводимости. Напомним определение Я* (*90*01):
h :. xR*y. = : хеC'R : R"\i с \i. xe\i. =>ц . ye\i.
Символ "ц", появляющийся здесь в качестве кажущейся переменной,
должен обозначать класс некоторого определенного порядка. Если к — класс
классов, а его элементы являются классами порядка, предполагаемого
в определении /?*, мы не можем вывести ни
xR*y. z> : R"p'kc р'к.хер'к. =>.уер'к,
ни xR*y . z> : R"s'k с р'к. х е s'k . z> . у е s'k .
Необходимо, primd facie214, получить
аек.=>а i"aca,
чтобы иметь возможность рассуждать от хер'к к у ер'к или от хея'к
к yes'к. На последующих страницах мы покажем, как избежать
появляющихся усложнений.
Обозначим символом "м™" переменный класс т-то порядка и положим
*89-01. xR*my. = ixeC'R :R"\im с\im .xe\im . =>И/п .уe\im Df
Так как всякий класс равен некоторому классу любого наперед
заданного более высокого порядка, R*m <!/?*„, если тп>п. Мы покажем, что
m > 5 . z> . R*m - /?*5 .
Так что, если мы примем /?*5 в качестве Я*, все сложности исчезнут.
В параграфе *90, при подстановке R*m вместо /?*, \im вместо \i и фтг
вместо фг первым предложением, содержащим неверную индукцию,
оказывается *90-17, где используется тот факт, что К*'х — наследственный класс.
214 Прежде всего (лат.). — Пргьм. перев.
А.Н. Уайтхед, Б.Рассел

698
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Очевидно, что л*т4х— класс порядка /и+1, и поэтому, хотя
R R*m х с R*m х,
мы не можем вывести
у е %т 4х. yR*mz . => - z e %т 4х.
В данном случае, однако, как и во многих других, трудностей в
исправлении индукции нет. Положим
K = \xfn{Rti\imc:\im.xe\im}.
Тогда к*т'х = р'к. Теперь мы имеем не только Я"/?'кс/?'к, но и
цшек.:э.Я"цтсцт.
Следовательно, индукция справедлива.
Доказательства R\ <zR* и аналогичных предложений легко
исправляются так, чтобы индукция оказалась верной.
Следующая трудность — более серьезная — появляется в связи с
предложением *90-31. Доказательство, приведенное в параграфе *90, использует
тот факт, что
x(I\C'ROR*\R)z
является наследственным свойством z- Но это свойство — более высокого
порядка, чем те, с помощью которых определено /?*; т. е. если /?* есть /?*т,
то х{1 [ CR О /?*т \R)z — свойство порядка /и+1. Сначала докажем
Rq U /?* | R <z/£*,
где
*8902. R0 = / \ C'R Df
Доказательство следующее.
*891. \-.R0OR*\RclR*
Доказательство,
h :: xe\i.R"\ic:\i. э:. jc = z. V .ue\i.uRz: => - z € |я (1)
К (1). Coram. dI-:.jc = z.V .ue\i.uRz: э:х€|1.Л"цс|1.э.г€|1:.
z>h:: jc = z:. V :. xe\i .&"\1с \i. z> . ue\i: uRz:* =>:
xe\i.R"\ic:\i.=>.z€\i::
z>\-::x = z'-- V :. xe\i .^"[хсц. z^ .мецгмЯг-
гэ : x e \i. /?4 4ц с \i. =>и . z е Ц ::
э Ь:. jc/foz - V . xR*u . uRz : => . x/?*z :. => h . Prop
*89101. \- .RoOR\R* <i#* [Доказательство аналогично *90-311]
*89102. \-:ReCls->l.z>.R*=R0OR\R*
Доказательство.
Н:.Нр.Л'х€р.Л44рсР-э:хе14хир.Л44(1^ир)сР:
з:хД*;у.=>.;уе14хир (1)
h.(l). Coram. z>h:.Hp.j/x.x/?*j.=>:^4x€p.^44pcp.z).j€p .(2)
h. (2) . => h: Hp. xR*y .хфу.=> .x(R\R*)y (3)
h. (3).*89-101. =>h. Prop
*891оз. Ь:Де1->С18.э.д* = Доид*|я [*89-Ю2-]
Principia Mathematica I

*89. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ
699
*89104. h :. к = а (хе а . Д"а с а) . =>: х (R | Я*) z - => - z ер\К'"к
Доказательство.
h-.Rp.xRy.^.yep'R"'* (1)
h : Hp . a eк. у eR"a . >>/?*z. => - z e Д"а (2)
b.(2).Comm. эН :Нр .;уер7Г'к.;уД*г.:э .zep'/Г'к (3)
Ь.(1).(3). эЬ.Ргор
*89105. h :. Hp *89-104 . R e Cls -> 1 . =>: x (R | Я*) z . э . z e р'Д'4'к
Доказательство.
h :. Hp .R'xe\i.R"\iсц . P = l'/Гл;U^'fi.
3:;ye/rpU-D^.E!fl>.:D.tf>e/rpu-D^:
z>: Я"(Я"Р U - D'/?) с Д"р U - D'/? (l)
Ь:Нр(1).э.хеЯ"Р (2)
Ь.(1).(2). эН:.Нр(1).гервЛ4"к.э.геА"(Л"Ри-ВвЛ)
з.гер (З)
Ь:Нр(1).з.рс^ (4)
h . (3) . (4). z> h :. Hp . zeplRlliK . =>: Д'хе ц. Д"цс ц . =>. z e \i:
z>.x(R\R*)z (5)
b.(5).*89-104.z>l-.Prop
*89Ю6. \-:ReCls->l.z>.R*\RcLR\R*
Доказательство.
\-zx(R*\R)z. = .zeR"p€K (1)
H - (1) - *89-105 . *40-37 . => h . Prop
Нам теперь потребуется понятие интервала (*121), поскольку наше
дальнейшее продвижение опирается на тот факт, что при соответствующих
условиях /^-интервал между х и у, т. е. Я*'хП R*'y, является индуктивным
классом.
*8911. Ь:ДеСк-> 1 .xRz-zR*y . => .R(x\-iy) = i'xU/?(zHy)
Доказательство.
h . *89-102 . => h :: Hp . =>:. xR*u . = : x = и . V . zR*u (1)
\- :Rp . x = и . z>. ueR(x\-\y) (2)
h :. Hp . zR*u . =>: uR*y .э.мб/?(хНу) (3)
Ь. (2).(3). Dh:Hp.D.i'xUi?feHy)c/?(jcHy) (4)
h. (1). Dh:Hp.D./?(jcH)/)ci'jcU^feHy) (5)
h . (4). (5). э h - Prop
*89111. h:~(Ay).D./?(zHy) = A
*89112. b:/?eCls-> 1 . xRz -xR*y . - (zfl*}>) - => - x = y .R(x\-\y) =R(x\-\x)
[•89-102]
*89113. b:/?eCls-> 1 .xeClR. ~(xR\R*x). z> J(jcHjc) = i'jc
Доказательство.
Ь:.Нр. з:уЯ*х.:э.~(хЯ|Я*у)
э : xR*y - ;y#*x. => . xR*y. ~ (xR \R*y).
[*89-102] э . x = у:. => h . Prop
*89114. h:/?6Cls-)lJ"aca.Jcea-^'a.D.~(i/?|fo) [*89-105]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

700
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
*89115. b:./?eCls-> 1 .Д"аса .xea-R"a . z> ,/?(xHx) = i'jc
[*89413-114]
В качестве определения индуктивного класса принимаем свойство,
доказанное в *121-24, т. е. полагаем
Cls induct = р {т] е \i. эл>> . т] U i4y е ц,: Л е ^i: э^ . р е ц,} Df.
Иначе говоря, если М = fj£ {(gy) • £ = ч и "-М»
полагаем Cls induct = Й*'Л Df.
Существуют различные порядки индуктивных классов, соответствующих
порядку ц.. Класс \л должен быть, по меньшей мере, второго порядка,
поскольку Су — второго порядка; во всяком случае, не многое мы сумеем
доказать, если возьмем \i первого порядка. Полагаем
Cls inductm = %т 'Л Df.
Имеем (а^2) • Л = \i2 : (aMa) • ч = Из - => - (эиа) • ч U L4y = \i2 .
Так что (дмя). т] = Ц2 —свойство третьего порядка. Итак,
*89-12. h : р е Cls induct3 • ^ • (ЭИя) • Р = Из
Это фундаментальное предложение.
*8913. Ь :. Д е Cls -> 1 : ч е ц. э^. т] U Су е \i: Л е ц: ~ (xR \ R*x). x/fe: э :
Д (z н у) е ц. з . Д (х н у) е \i
[♦89-11-111.112-113]
Положим
*89131. Rm(x\-iy) = %mtxn%miy Df
Тогда
к = й„ (Я4 4aw с ат . х е ат). X = р^ (Д4 '|Зт с ри . у е p„). z>.
Rm(xHy)=piKnpiX.
Таким образом, Rm(xHy) есть класс порядка /и+1. Более того,
*89132. \-:.ReC\s-+l.xRy.z>:~(yR\ R*y) .z>.~(xR\ R*x)
Доказательство.
\-i~(yR\ R*y) .xRy.z>.(Ra).Ritac:a.yea-Riia.xRy (1)
hiHp.^'aca.yea-^'a. xRy . у = i'jc U i')> U^'a.
э.Л44у = 1>и1г'вуиЛ44Л4ва. (2)
3.*"Y<=Y (3)
Ь:.~0>Я|Я*у). э:-(уЛу):
z> : x/ty . => . x Ф у (4)
V iyea-Rlla.xRy. эл-еа (5)
Ь:.~СуЯ|Я*у). z>:~(yR2y):
z>:jc/ty.=>.jc~efc4;y. (6)
h . (2). (4). (5). (6). => V : Hp (2). ~ (yR \ R*y). z>. x e у - Я4 4y (7)
h.(3).(7). =>Ь:Нр(2).=>.~(хЯ|Я*х) (8)
Ь . (1). (8). z> Ь . Prop
*89133. \-:.Re Cls —> 1 : ц e \i. =>ло,. т] U i'y e ц : Л е [i: xRz: => :
~(zR\R*z).R(z\-*y)e\i.z>.~(xR\R*x).R(x\-\y)e\i
[*89-13-132]
Principia Mathematica I

♦89. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ
701
*8914. h :. R e Cls -> 1 . ~ (yR \ R*my). =>: xR4m+i)y. z>.
Яш (хНу)е Cls inductm+i
Доказательство.
Согласно *89-133, ~ (zR \ R*mz). Rm (z н у) e ^m+i — наследственное свойство
z при условии, что
Более того, данное свойство имеет порядок /и+1. Согласно *89-113, у
обладает этим свойством, если ~ (yR \ R*my)- Значит, х обладает им при условии
х/?*(ш+1))>. Так что при такой гипотезе имеет место
т] е цт+1 . эл,у . Т] U Су е цт+1 : Л е цт+1 : =>^+1 .Rm(xHy)e цт+ь
т. е. Rm(xHy)e Cls induct
что требовалось доказать.
*8915. b:tfeCls-> 1 i"amcaM .уеат -Д"ат . z>:
*Д*(т+1)У ■ => • Rm (х н у) е Cls inductm+i [*89-114-14]
Имеем Rm+i (хыу)с Rm (x н у),
Cls inductm+i с Cls inductm .
Следующее, что нам предстоит доказать,—
р е Cls induct™ . у с р . =>. у е Cls inductm .
Проведем доказательство сначала для Clsinduct3, а затем распространим
на индуктивные классы любого другого порядка. Доказательство
приведено ниже.
*8916. h : а ~ е Cls inducts - у е Cls induct3 . э . g ! a - у
Доказательство.
Нр . =>: (зиз): Л е \i3 : р е цз • =>р,у . р U i'y е ^3 : Y е Н-з • a ~ e Цз (1)
Лецз : Р^М-з • =>р,у • ри ь'уецз • YeM^3 . а~ецз : :э:а/Л . Лецз :
=>:д ! а-Л.Ле^з (2)
3 ! a - р . а с р U Су. =>. a = p U Су (3)
(3). з:.Нр(2).э:ре^з . а~ецз -3 ■ а-|3.э.
PUi>eu^.a/pUL'y.g!a-(PUi/y) (4)
(4). э:.Нр(2).=>:ре^з-Э ! а-р . =>. ри |/уем<з .g !a-(pUi'y) (5)
h . (2) . (5). => h :. Нр (2). =>: PeClsinduct3 .=>.рецз.д!а-р (6)
Ь.(1).(6). зЬ.Ргор
*8917. \- :ye Cls induct3 . а с у. z> . a e Cls induct3 [*89-16 . Transp]
Отсюда следует, что в условиях *89-15 Rm (x\-iy), Rm+\ (хну), и т. д. суть
индуктивные классы m+1-го или любого низшего порядка.
*8918. h :. R e Cls -> 1 . у, zе Кз'* • ~ 0>Д I Д*2}0 • =>: уД*зг. V . zfl*3y
Доказательство.
Положим % - #з (х н у) П #з (х н z).
h . *89-12-14-17.=>l-:Hp. 3.^eCls2, т.е. ^ —класс второго порядка (1)
Ь :. Нр . ~(у#*зг). ~(г/?*зу). =>: н е £. =>. н#*зу • uR*3z.ифу.ифг.
[*89-102] =>. RluR*3y • tuR^z.
[Нр] э.Я'ме? (2)
А.Н.Уайтхед, Б.Рассел

702
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Ь.(1).(2).эЬ:Нр(2).:э.уе? (3)
Ь:Нр(2).э.у~е£ (4)
h . (3). (4). z> h :. Нр . z>: yR*3z - V . ztf*3y :- э h . Prop
*89-19. b:/?eCls-> 1 .£"^2 <=H2 .^ = Й"*3'*П ц2 -Д"Ц2 • => • keOu 1
Доказательство.
h:Hp.y,ze>i.y/z.^ = /?2(^Hy)n/?2(JcHz).^<^c^.Jce5 [как выше]
[*89-12-15-17] =>.y,zelE, (l)
h:Hp(l).3.y,z-e^ (2)
K(l).(2).z>b.Prop
*89-2. h : ReCls-> 1. xR*3y .R2(yHy)eClsinduct3 . =>.R2 (xну) еClsinduct3
Доказательство.
Аналогично *89-ll-lll-112,
h :. R e Cls —> 1. xRz . э :
R (x ну) = l'jc U R (z h y). V. Д (jc н у) = l'jc.v./?(jc ну) = Л (1)
h . (1). =>h :.Нр(1):Лер.:аец. эа,и . aU ь'нец: z>:
R (z н y) e ц,. =>. R (x н у) е ц (2)
h . (2). z> h : R e Cls -> 1 . xR*3y .R2(yHy)e Cls induct3 . =>.
^2 (* н y) e Cls induct3 : z> h . Prop
Теперь перейдем к случаю, когда y(R\R*2)y] при этом поступаем
следующим образом.
Доказав, что
RеCls —> 1.xR*3y.R2 (у ну)еClsinduct3 .э./?2(хН}/)еClsinduct3,
на следующем шаге мы должны доказать, что R2 (у \-iy) e Cls induct3; с этой
целью полагаем
S=(-L'y)1*.
Тогда SeC1s-+l.S<LR.
Заметим, что yRy.^.R(y\-iy) = ь'у,
yR2y. =>. R (у ну) = ь'у U ь'Д'у .
Поэтому допустим ~ (у^у) - ~ (yR2y) •
Имеем $"\1 = &"(\х- iiy).S"\i = R"\i-iiy. Таким образом,
S' 'ц с ц-. Я'у е \i. = . Я"ц с ц. Я'у е \i,
S"\ic\i.ye\i. = ^"\1с\1.уе\1.
Далее, £~*'Д'у = Й~*'Д'у .^* 4y =1?*'у.
Значит, S2 (R'y Hy) = R2 (R'y Hy) = R2(yH у),
ввиду у(Д|#*2)у-
Более того, имеем ~ (yS | S* у), ввиду y~eD'S.
Следовательно, согласно *89-14, R2 (у Ыу) е Cls induct3. Окончательно
имеем
*89-201. h : R e Cls -> 1 . хЯ*3у. =>. Д2 (х н у) е Cls induct3
Имеем
Я3(хНу)сЯ2(*Ну).
Следовательно, согласно *89-17,
R2 (х н у) е Cls induct3 . z> . R3 (х н у) е Cls induct3 .
Таким образом,
Principia Mathematica I

*89. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ
703
*89-21. h : R e Cls -> 1. =>. R3 (x н у) е Cls induct3
ввиду ~ (*Д*з;у) • => - ^з (x н y).
*89-22. h :. R e Cls ->1. y, z e %3lx. =>: yR*3z. V . zfl*3;y
[Доказательство аналогично *89-18 с использованием *89-21
вместо *89-14]
*89-221. PoticV/? = (^^'/?o Df
*89-23. h :. 5*, Г ePotid3'/? . =>: SRts3T • V . TR^S [*89-22 -!—]
*89-24. h :. R e Cls -> 1. Я"Х с X. x e X . z>. %3*x с X
Здесь предполагается, что X имеет порядок больше третьего.
Доказательство.
h :. Нр . у е Й"*3 tx-k.z>:ze'knR3(x\-iy). =>.гфу.
^.R'zeXnRiixHy) (1)
h . *89-21-17-12 . z> h : Нр . э . (а^2). X П Д3 (* н у) = ^2 (2)
Ь.(1).(2). =>h:Hp(l). z>.(Q\i2).'knR3 (хну) = \i2*R"\i2 c:\i2-xe\i2 -
з.Й~*з'хс:)сПДз(л:н;у) (3)
h.(3). =>h:Hp. :э.;уеЙ~*з'*-^-=>-:уеЬ
z>: R^xcki.^h .Prop
Таким образом, если к — индуктивный класс, то его молено
использовать независимо от того, какого он порядка, — при условии, что
/?eCls->l.
*89-25. h : R е 1 -> Cls . =>. R3 (х н у) е Cls induct3 [*89-21 -]
R
*89-26. h :. Re 1 -> Cls . у, ze%3'x. z>: yR*3z . V . zR*3y [*89-22-]
R
n
*89-27. \-:Rel->Cls.Riil.<zX.x6'k.z>.%3Lx<z'k И9-24-]
R
*89-28. h : Д e (1 -> Cls) U (Cls -> 1). =>. Д*3 = i4Potid37?
Доказательство.
h : TePotid^R. хГу. yflz. z>. Г |RePotid3'Я. x(T \R)z
Отсюда b:i'Potid3'/? = S* .э.Л"ЬсЬ (1)
H - (1) - *89-24 . => Ь : Д eCls-> 1. Hp(l). z>. 5Г*з'*с^\х (2)
h :. Hp (1). R6*[i с ц . =>: ^'jc с ^ . z>. R^T'x с ц:
z>: x e \i. z> . S'x с ц (З)
h . (3). z> h : Hp (1). =>. Px с %3'x (4)
h . (2). (4). з h : Hp (2) . =>. §~'jcc %3'x (5)
h . (5). z> h : R e Cls -> 1. =>. R*3 = i'Potidg'tf (6)
Аналогично z> Ь : # e 1 -> Cls . z>. #*з = J'Potid3 'R (7)
h . (6). (7). z> h . Prop
*89-29. h : /? e (1 -> Cls) U (Cls ->!).=>. Д*(3+т) = /?*з [*89-24-27]
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

704 ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Теперь нам нужно получить аналогичный результат в случае, когда R
не является одно-многозначным или много-однозначным. Для этого будем
использовать одно-многозначное отношение R€.
Докажем R*m+2 %х - s (Re)*m Ч'х,
ОТКуда, В СИЛУ (Яе)*(3+т) = (Де)*3,
будет вытекать, что Я*(5+т)=Я*5,
так что для отношения, которое не является одно-многозначным или много-
однозначным, мы получаем возможность неограниченной индукции,
начиная с #*5- Доказательство приводится ниже.
*89 3. h :Re = S . =>. ^*шЧ'хс^*ш'х
Доказательство.
h ::Hp . => ::a5* i'jc. = :. i'xe\ii%e\i. z>% ./?"^бц:Эц . аец:.
э :. Cx e Cl'Y : £ e Cl'y. э*=. Я"£ е Cl'y: =>Y . a e Cl'y :•
эг.хеу ./?"усу. Dracy:.
z>:. а с a* 'jc::. z> h . Prop
*89 31. h : Де = 5* . =>. Д*(т+2)'х с s'~f*mYx
Доказательство.
Ь.*89-101. эН-5|5*с5*.
DK^'riVxc^Vx (1)
h - (1). *40-38 . => Ь : Hp . =>. JT V& Vjcc j'"?*4'jc (2)
h : X = fl (l'jce ц. 5*'4ji с [i). =>. s'^'l'jc = s'p'X (3)
h . (2). => h : /?*4'xeClsn . => J*n'ic^*'i'jc (4)
h . (3). э h . *\?*шЧ'х е Clsm+2 (5)
h . (4). (5). z> I-. Prop
*89-32. h .R?5'x = ^'(^е)*з'х
Доказательство.
h . *89-3-29 . => h . s'(Re)*3 'x с Я*5 '*
H - (1) - *89-31 . z> Ь. Prop
*89-33. h . /?*(5+m) = /?*5
Доказательство.
Аналогично *89-32, /Ц5+т)'х=.у'(Яе)*(3+т)'*
[*89-29] =*'Щ^'х
[*89-32] =Д^'х. => h . Prop
*89-34. h : )>Д*5* .xe\.R"\<z\.z> .ye\ [*89-33]
Здесь X предполагается свойством любого порядка, сколь угодно
высокого. Таким образом, в отношении математической индукции молено
утверждать, что при отказе от аксиомы сводимости все доказательства
останутся верными, если "#*" понимать как "Я*5"-
Principia Mathematica I

ПРИЛОЖЕНИЕ 3
Истинностные функции и другие функции
Во Введении к настоящему изданию мы предполагали, что функция
может входить в предложение только через свои значения. Фактически мы
предполагали, что матрица /! (ф! z) всегда появляется как результат
подстановки ф! а, ф ! Ь, ф ! с, ... вместо некоторых или всех p,q,r,... в
некоторую штрих-функцию
f (p, q,r,...),
а все другие функции функций получаются из таких матриц путем
обобщения, т. е. заменой некоторых или всех а,Ъ,с,... на переменные и взятием
"для всех значений" или "для некоторых значений".
Результаты, полученные нами при данном допущении, могут быть
обоснованы по определению, даже если само допущение не универсально
истинно. В таком случае мы можем решить, что математика должна
ограничиться теми функциями функций, которые удовлетворяют вышеприведенному
допущению. Это равнозначно заявлению о том, что математика
существенно экстенсиональна, а не интенсиональна. По этой причине мы могли бы
воздержаться от решения вопроса о том, истинно ли наше допущение или
ложно. Тем не менее, данный вопрос важен сам по себе, и поэтому мы
предлагаем некоторые размышления по этому поводу, не приходя к
догматическим выводам.
Имеется более простой, но и более приоритетный вопрос —все ли
функции высказываний являются истинностными функциями? Или, в более
точной формулировке — могут ли все предложения, не содержащие
кажущихся переменных, быть построены из атомарных предложений при помощи
штриха? Если бы это имело место, то для произвольной функции
высказываний fp было бы справедливо
Р = Я • => • fP = fq •
А.Н. Уайтхед, Б.Рассел

706
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
Следовательно, согласно определению *13-01,
p = q.z>.p = q.
В таком случае существовало бы всего два предложения, одно — истинное
и другое — ложное. Это как раз точка зрения Фреге, но едва ли ее можно
принять с легкостью. Фреге считает, что каждое предложение
представляет собой собственное имя либо для истины, либо для лжи. По причинам,
не связанным с рассматриваемым сейчас вопросом, мы не можем считать
предложения именами; однако это не помогает решить, являются ли
эквивалентные предложения тождественными. А именно этот вопрос и
интересует нас. Иначе говоря, мы должны ответить, существуют ли, и в каком
смысле, функции //?, истинные для одних истинных значений р и ложные
для других истинных значений р.
Два очевидных prima facie примера — "А убежден вр" и "в р говорится
об А". Мы можем принять эти примеры в качестве критических. Если А
убежден в р и р истинно, это не значит, что А убежден во всяком другом
истинном предложении q\ равным образом, если А убежден в р и р ложно,
это не значит, что А убежден во всяком другом ложном предложении q.
Далее, предложение "А смертен"—высказывание об А; но предложение "#
смертен", также истинное, — не об А. Значит, функция "вр говорится об А"
не является истинностной функцией от р. Данный пример существенен,
поскольку выражение "фх" используется для обозначения высказывания
о jc, так что затронутая концепция уъажется изначально относящейся ко
всей процедуре пропозициональных функций.
Прежде всего мы должны провести различие между предложением как
фактом и предложением как средством выражения истинности и
ложности. Следующая серия черных значков: " Сократ смертен" есть факт
географии215. Шум, произведенный мной, если бы я сказал: "Сократ смертен",
был бы фактом акустики. Умственное состояние, в котором я нахожусь,
будучи уверен, что "Сократ смертен", есть факт психологии. Ни один из
этих фактов не вводит понятия истинности или ложности, что является
для логики существенной характеристикой предложений. Чуть позже мы
вернемся к обсуждению предложений как фактов.
Когда мы говорим, что истинность или ложность является для логики
существенной характеристикой предложений, неясности быть не должно.
С точки зрения математической логики не имеет значения, из чего
составляется истина или ложь; важно, что они разделяют предложения на два
класса в соответствии с некоторыми правилами. Возьмем множество
символов
Примем в качестве необъясняемых утверждений
Т(х2т+\) (т<п),
F (хъп) (т < и).
Далее, введем обозначение xr\xs и предположим, что
Так в оригинале. — Прим. перев.
Principia Mathematica I

ИСТИННОСТНЫЕ ФУНКЦИИ И ДРУГИЕ ФУНКЦИИ
707
Т (хг | xs), если F(xr) или F (xs)]
F(xr\xs),ecjin Т(хг) и T(xs).
Предположим, далее, что, если /?, q, s заменяют собой символы х с
индексами или любые их комбинации, построенные при помощи штриха,
вышеприведенные правила применимы к p\q, и т.д., причем должно иметь
место
Т{р\(р\р)1
T{pz>q.z>.s\qz>p\s],
где "/?з^" означает "p\(q\q)"- Кроме того, если выполняется T{p\(q\r)}
и Г(р), то должно иметь место Т (г).
Приняв все вышеперечисленное в качестве традиционных правил,
получаем всю логику молекулярных предложений, в которой " h. /?" заменено
на "Т(рУ\
Таким образом, с формальной точки зрения совершенно не имеет
значения, из чего составляется истина или ложь; важно лишь, что предложения
делятся на два класса в соответствии с некоторыми правилами. Не
имеет значения, что представляют собой предложения, раз уж мы склонны
рассматривать наши примитивные предложения как определяющие
условия, а не как истины. (С философской точки зрения, данная формальная
процедура могла бы предварять неформальную интерпретацию наших
примитивных предложений; но к нашим текущим целям это не имеет
отношения.)
Во всей логике молекулярных предложений нам ничего не нужно знать
о предложениях кроме того, истинны они или ложны. Более того, нас
интересуют лишь такие комбинации предложений, которые истинны в силу
правил, а не потому, что составляющие их предложения истинны или ложны.
Взять простейший пример — мы утверждаем истинность р \ (р | р), но
никогда не утверждаем истинности предложения /?, если только оно не имеет
соответствующей молекулярной структуры, несмотря на то, что считаем
половину таких предложений истинными. Наши утверждения
основываются на структуре, а не на факте, что то или иное предложение истинно.
Однако, когда мы заменяем р на ф! jc, появляется совершенно иная
ситуация. Например,
имеет место г . р \ (р \ р)
и отсюда выводим V . ф ! х | (ф ! х | ф ! jc) .
Мы не способны объяснить обозначение ф ! х, не вводя характеристик
предложения, отличных от истинности или ложности. Возьмем, к примеру,
примитивное предложение (*8-11)
Н.(Я*).ф!*|(ф!а|ф!Ь).
Истинность данного предложения зависит от формы составляющих
предложений ф ! х, ф ! я, ф!&, а не просто от их истинности или ложности. Нельзя
заменить это предложение на
также истинное, но не имеющее желательных следствий. Поэтому мы
вынуждены разобраться, что означает фраза о том, что предложение имеет
форму ф ! а (где а — некоторая константа). Это приводит нас назад к фразе
А.Н. Уайтхед, Б.Рассел

708
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
"А встречается в /?", которую мы использовали выше как пример функции,
не являющейся истинностной. А это, как мы поймем, вновь приводит нас
к предложению как факту, в противоположность предложению как истине
или лжи.
Вернемся к нашим двум примерам: "А убежден в /?" и "в р говорится
об А". Мы избежим определенных психологических трудностей, если
возьмем "А утверждает, что /?" вместо "А убежден в р". Пусть "/?" — фраза
"Сократ есть грек". Слово представляет собой класс подобных друг другу
шумов. Так что лицо, утверждающее, что "Сократ есть грек", — это лицо,
которое производит в быстрой последовательности три шума, из которых
первый принадлежит классу "Сократ", второй — классу "есть", а третий —
классу "грек". Эта серия событий является частью серии событий,
составляющей данное лицо. Если А — серия событий, составляющая данное
лицо, а —класс шумов "Сократ", р — класс "есть" и у — класс "грек", то "А
утверждает, что Сократ есть грек" можно выразить (опуская быстроту
последовательности) в виде
(l3.x,y,z)-xea.ye$ .zey.xlyGxlzOylz&A.
Очевидно, что это не функция от р в том смысле, в каком р входит в
истинностную функцию.
Если теперь взять фразу "А убежден в /?", то мы обнаружим, что дело
представляется еще более запутанным — из-за сомнений в том, что
составляет убеждение. Некоторые настаивают, что высказывание должно быть
выражено словами, прежде чем мы сможем быть убеждены в нем; если
бы это было так, то с нашей точки зрения не было бы никакой
существенной разницы между убеждением и утверждением. Но если мы
займем несколько нетрадиционную позицию, то осмелимся сказать, что некто,
утверждающий "Сократ —грек", имеет одновременно две мысли, одна из
которых "означает" Сократа, вторая "означает" грека, и эти две мысли
находятся между собой в отношении, которое мы называем "предикацией".
Для наших целей нет необходимости определять, что такое "значение", как
только мы заметили, что две различные мысли могут "иметь одно и то
же значение". Отношение "иметь одно и то же значение" симметрично и
транзитивно; более того, если две мысли "имеют одно и то же значение",
любая из них может заменить другую в любом убеждении, не меняя его
истинностного значения. Таким образом, есть один класс мыслей, "Сократ",
из которых все "имеют одно и то же значение"; обозначим этот класс а.
Есть и другой класс мыслей, "грек", из которых все "имеют одно и то же
значение"; обозначим этот класс р. Обозначим отношение предикации
между двумя мыслями Р. (Это отношение, в котором находятся наша мысль
о субъекте и наша мысль о предикате, когда мы убеждены, что
предикат на самом деле применим к субъекту. Данное отношение совершенно
отличается от отношения, в котором находятся субъект и предикат, когда
наше убеждение истинно.) Тогда "А убежден, что Сократ —грек" есть
(3*> У) -х е а • У е Р • хРу • х, у е С'А .
Здесь снова предложение в том смысле, в котором оно встречается в
истинностных функциях, исчезает.
Principia Mathematica I

ИСТИННОСТНЫЕ ФУНКЦИИ И ДРУГИЕ ФУНКЦИИ
709
Нет необходимости делать ударение на вышеприведенном анализе
убеждения, который вполне может оказаться ошибочным. Все, что мы
намеревались сделать,— это показать, что "А убежден в рп может вовсе не быть
функцией от р в том смысле, в каком р входит в истинностные функции.
Рассмотрим теперь фразу "вр говорится об Л", например, "в 'Сократ —
грек' говорится о Сократе". Здесь мы должны различать (1) факт, (2)
убеждение, (3) словесное высказывание. Факт и убеждение, однако, не
создают отдельных проблем, поскольку совершенно очевидно, что Сократ
есть составляющая факта в том же самом смысле, в котором мысль о
Сократе есть составляющая убеждения. Не создает трудностей и
словесное высказывание, поскольку каждый частный случай словесного
высказывания есть серия, содержащая в качестве части частный случай слова
"Сократ". Иначе говоря, слово "Сократ" есть класс серий шумов, скажем
X; " Сократ — грек" есть другой класс серий, скажем ц; тогда факт,
состоящий в том, что слово "Сократ" встречается в фразе "Сократ —грек", есть
В результате у нас остается вопрос: Что мы имеем в виду, когда говорим,
что Сократ есть составляющая факта "Сократ —грек"? Это поднимает
новую проблему анализа. Нам, к счастью, не нужен окончательный ответ;
нам лишь нужен ответ, способный пролить свет на вопрос, существуют ли
функции высказываний, не являющиеся истинностными функциями.
Кто-то может отрицать законность анализа. Не допуская правоты
такого отрицания, мы тем не менее можем дать краткий эскиз теории, от
которой нет необходимости отказываться в любом случае. Предположим,
что фактам присущи различного рода сходства и различия. Два факта
могут иметь субъектное сходство; тогда мы будем говорить, что они
относятся к одному и тому же субъекту. Также факты могут иметь
предикатное сходство, сходство в двуместном отношении и т. д. Мы будем
говорить, что факт относится только к одному субъекту, если любые два
факта, имеющие субъектное сходство с данным, имеют и субъектное
сходство друг с другом. Для такого факта мы можем определить его субъект
как класс всех фактов, имеющих субъектное сходство с заданным. В
таком случае сказать, что Сократ есть составляющая того факта, что
Сократ—грек (предполагая по традиции, что Сократ является субъектом),—
все равно, что сказать, что этот факт принадлежит классу фактов,
который и есть Сократ. В случае убеждения, относящегося к Сократу, которое
само есть факт, составленный из мыслей, мы будем говорить, что
убеждение относится к Сократу, если это —один из классов фактов,
образующих некоторую идею, которая "означает" Сократа, какой бы смысл мы
ни вкладывали в "значение". В качестве "идеи" здесь принимается класс
физических фактов, скажем, все убеждения, которые "ссылаются" на
Сократа.
Подобная процедура применима и к предикатам. Возьмем теперь факт,
которому присущи в точности два вида сходства, а именно субъектное
сходство и предикатное сходство; такой факт будет являться субъектно-преди-
А.Н.Уайтхед, Б.Рассел

710
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
катным фактом. Предикат, включенный в него, есть класс фактов,
имеющих предикатное сходство с данным фактом.
Мы будем допускать также разные виды различия: субъектное
различие, предикатное различие и т. д. Они вовсе необязательно несовместны
с соответствующим видом сходства; например, R (jc, х) и R (jc, у) имеют
субъектное сходство по х и субъектное различие по у. Это дает нам
возможность определить, что мы имеем в виду, когда говорим, что субъект
дважды входит в факт, подобно тому, как х дважды входит в R (jc, х). Первое:
R (jc, jc) есть факт двуместного отношения, поскольку ему присуще сходство
в двуместном отношении с другими фактами; второе: любые два факта,
имеющие субъектное сходство с R(x, x), субъектно схожи друг с другом.
Это именно то, что мы имеем в виду, когда говорим, что R (jc, х) есть факт
двуместного отношения, в который х входит дважды, а не субъектно-преди-
катный факт. Далее, возьмем факт трехместного отношения R (jc, x, z). Это,
по 'определению, факт трехместного отношения, поскольку ему присуще
сходство в трехместном отношении. Факты, имеющие субъектное сходство
с R (jc, jc, z), могут быть разбиты на две группы (не три) такие, что любые
два элемента одной группы имеют субъектное сходство друг с другом. Это
говорит о том, что имеет место повторение, но не о том, повторяется jc
или z- Факты одной группы суть R(x, x, с) для различных с; факты
другой суть R{a,b,z) для различных а и Ъ. Каждый факт группы R(x,x,c)
принадлежит только двум группам субъектного сходства, в то время как
факты группы R(a,b,z)i исключая случай я = £, принадлежат трем
группам субъектного сходства. Таким образом определяется то, что мы имеем
в виду, когда говорим, что х входит дважды и z один раз в факт R (jc, jc, z).
Очевидно, что аналогичный подход возможен и в случае четырехместных
и т. д. отношений.
В соответствии с вышесказанным, когда мы говорим, что Сократ есть
составляющая того факта, что Сократ —грек, мы имеем в виду, что этот
факт принадлежит классу фактов, который и есть Сократ.
Когда мы используем нотацию " ф! jc" для обозначения высказывания,
в которое входит "jc", это факт, что "jc" входит в "ф!х", но в том, чтобы
утверждать данный факт, нет необходимости; факт делает свою работу
и не будучи утверждаем. Также фактом является то, что если "jc"
входит в высказывание р и р утверждает некоторый факт, то jc является
составляющей последнего факта. Это не закон логики, но закон языка. В
некоторых языках он может оказаться ложным. Например, раньше, когда
преступление совершалось в Индии, обвинительный акт гласил, что оно
было совершено "in the manor of East Greenwich" ("в поместье
Ост-Гринвич"). Эти слова не обозначали никакую составляющую данного факта.
Логический язык избегает фикций подобного рода.
Обозначения для функций представляют собой иллюстрацию принципа
Витгенштейна, который гласит, что логический символ должен, в
некоторых формальных отношениях, быть сходным с тем, что он символизирует.
Все факты, в которые jc входит в качестве составляющей, в соответствии
с вышесказанным, образуют некоторый класс, определяемый субъектным
Principia Mathematica I

ИСТИННОСТНЫЕ ФУНКЦИИ И ДРУГИЕ ФУНКЦИИ
711
сходством. Различные символы фх, \ух, ух, ... также сходны между собой
в некотором отношении, именно тем, что их правые половины
совершенно аналогичны (но не совпадают, так как нет двух в точности
совпадающих х). Символы R(x,х), R(x,x,z) и т.д. соответствуют своим
значениям по аналогичным причинам. Символы начинают использоваться до
того, как может быть объяснена их пригодность. Объяснить, почему " фх" —
подходящий символ для высказывания об х, как мы видели, дело хитрое.
А использовать этот символ —дело нехитрое. Наша символика, как набор
фактов, схожа, в определенном логическом отношении, с фактами, которые
она призвана символизировать. Это делает ее хорошей символикой. Но,
используя ее, мы не предполагаем предварительного объяснения, почему она
хорошая, такое объяснение возможно лишь на более поздней стадии.
Поэтому обозначение "фх" молено использовать, не объясняя загодя, что мы
подразумеваем под "высказыванием об х".
Теперь мы в состоянии провести различие между предложениями,
рассматриваемыми как факты, и предложениями как средствами выражения
истинности и ложности. Когда мы говорим: "'Сократ' входит в
предложение 'Сократ —грек'", мы имеем дело с предложением как фактом. Взятое
в таком качестве, это — класс серий, а 'Сократ' — другой класс серий. Наше
предложение истинно, лишь когда мы рассматриваем предложение и имя
как классы. Субъект 'Сократ', который входит в начало настоящего
предложения, не входит в предложение 'Сократ —грек'; истинно лишь то, что
тот другой субъект, очень схожий с первым, входит в последнее
предложение. Следовательно, совершенно необходимо во всех таких
предложениях рассматривать слова и предложения как классы подобных вхождений,
а не как единичные вхождения. Однако, когда мы утверждаем некоторое
предложение, лишь единичное вхождение имеет отношение к делу. Когда я
утверждаю "Сократ —грек", осмысленными являются частные появления
слов, и само утверждение производится путем частного появления данного
предложения. Но сказать об этом предложении: "'Сократ' входит в него" —
просто неверно, если имеется в виду 'Сократ', который только что был
написан, так как входил в него другой, отличный от этого последнего,
'Сократ'. Таким образом, мы заключаем:
Предложение как средство выражения истинности и ложности есть
частное появление, предложение лее, рассматриваемое как факт, есть класс
подобных появлений. Именно предложение, рассматриваемое как факт,
встречается в утверждениях вида "Л убежден в р" и"вр говорится об А".
Конечно, возможно делать утверждения и о частном факте "Сократ —
грек". Мы можем сказать, сколько сантиметров он имеет в длину; мы
можем сказать, что он черный и т. д. Но это не те утверждения, которые
напрашиваются на перо у философов и логиков.
Когда встречается утверждение, оно выражается посредством
частного факта, являющегося частным случаем утверждаемого предложения.
Но этот частный факт, так сказать, "прозрачен" ("transparent"); о нем
ничего не говорится, но с его помощью что-то говорится о чем-то еще. Это то
свойство "прозрачности", которое присуще предложениям, входящим в ис-
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

712
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
тинностные функции. Оно присуще /?, когда р утверждается, но не тогда,
когда мы говорим "р истинно". Предположим, что мы говорим: "Все, что
Ксенофонт говорил о Сократе, истинно". Пусть
X (р). = . Ксенофонт утверждал р,
S (р). = .р о Сократе.
Тогда наше утверждение —
X(p)*S (p) -^р • Р истинно.
Здесь вхождение р не "прозрачно". Однако, если мы говорим
jc e a. z>x . ф ! х,
мы утверждаем ф! х для всего класса значений х, и здесь ф! х имеет уже
"прозрачное" вхождение. Существенным различием является то, что в
первом случае мы говорим о символе или об убеждении, а во втором мы лишь
используем факт, чтобы сказать о чем-то еще. Это главное, что отличает
вхождения предложений в математической логике от их вхождений в
неистинностные функции.
Попробуем достичь большей определенности в этом вопросе.
Рассмотрим предложение "Сократ обладал всеми качествами, которые
приписывал ему Ксенофонт". Обозначим серию событий, которая определяет Ксе-
нофонта, X. Тогда, если Ксенофонт приписывал качество а Сократу, мы,
по-видимому, могли бы записать (используя обозначение х I у I z I w для
серии x,y,z,w)
Сократ I обладал J, качеством I a <zX .
Тогда нашим утверждением было бы
Сократ I обладал J, качеством J, a <zX. эа . Сократ обладал качеством а .
Здесь, однако, кроется двусмысленность. Слева "Сократ", "обладал",
"качеством" и "а" входят как шумы; справа они входят как символы.
Эта двусмысленность может привести к ошибочным выводам.
Действительно, то, что я пишу на бумаге,— это не шум, который производил
Ксенофонт, а символ для этого шума. Таким образом, я использую один символ
"Сократ" в двух значениях: (1) чтобы обозначить шум, который
производил Ксенофонт в определенной ситуации, (2) чтобы обозначить
определенного человека. Мы можем заявить:
Если Ксенофонт произвел серию шумов, означающую то, что
подразумевалось под фразой "Сократ обладал качеством а", тогда то, что
подразумевалось под этой фразой, истинно.
Например, если Ксенофонт сказал: "Сократ был мудрым", то, что
подразумевалось под фразой "Сократ был мудрым", истинно.
Однако наше заявление не утверждает, что Сократ был мудрым. Когда
я действительно утверждаю, что Сократ был мудрым, я высказываю нечто,
что нельзя выразить, говоря о словах, которые я использую, выражая свою
мысль; и, когда я утверждаю, что Сократ был мудрым, хотя и встречается
частный случай обсуждаемого высказывания, все же я не говорю ничего
об этом высказывании, в частности, я не говорю, что оно истинно. Таков
вывод, но не логический, а лингвистический.
Если вышеприведенные рассуждения более или менее близки к истине,
то очевидно, что между утверждением предложения и утверждением о
Principia Mathematica I

ИСТИННОСТНЫЕ ФУНКЦИИ И ДРУГИЕ ФУНКЦИИ
713
предложении лежит целая пропасть. Высказывание р, которое появляется,
когда мы утверждаем р, и /?, которое входит в "А утверждает /?",
никоим образом не тождественны. Появление высказывания как утверждаемого
значительно проще его появления в качестве объекта, о котором говорят.
В утверждении высказывания и в утверждении любой молекулярной
функции от высказывания, высказывание как таковое не встречается, если
понимать под высказыванием такое /?, которое входит в предложения вида
"Л утверждает р" или "в р говорится об Л". Когда эти последние
анализируются, не обнаруживается никаких противоречий с той точкой зрения,
что высказывания в том смысле, в котором они появляются при своем
утверждении, появляются только в истинностных функциях.
Когда высказывание р утверждается, р на самом деле не появляется,
но появляются его составляющие или его частный случай. То же самое
истинно, когда утверждается молекулярное предложение, содержащее р.
Поэтому мы не можем вывести p — q^ поскольку р и q появляются здесь
в смысле, отличном от того, в котором они появлялись, когда
утверждались содержащие их молекулярные предложения.
Аналогичные рассуждения применимы и к пропозициональным
функциям. Предположим, что имеются два предиката аир, которые всегда
находятся вместе; тем не менее, мы можем сказать, что их два, основываясь
на том, что ct(jc) и р(х) —факты, не обладающие предикатным сходством.
Но для построения матриц с помощью штриха будет использоваться
только одна пропозициональная функция а (х). Предикат а есть класс фактов,
в то время как пропозициональная функция а (х) есть всего лишь некое
символьное соглашение, принятое нами для рассуждений об определенных
высказываниях. Таким образом, может быть верно a (jc) = Р (х) при
неверном а = р. В результате мы уходим от prima facie парадоксов теории,
гласящих, что высказывания могут появляться только в истинностных
функциях, а пропозициональные функции могут появляться только через свои
значения. Остаются парадоксы смешения фактических и утверждающих
предложений.
А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

УКАЗАТЕЛЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
*101.
*2-33.
*301.
*302.
*401.
*402.
*4-34.
*901.
«9-011.
*902.
*9021.
*903.
*904.
*905.
*906.
*907.
*908.
*1001.
*1002.
*1003.
*1101.
*1102.
*1103.
pz>q
pV qVr
p.q
p^>qz>r
p = q
p = q = r
p.q.r
~K*). фх}
~ (x) . фх
~ {(Э*) • <M
~ (gx). фх
(x). фх. V . p
P . V : (X) . фХ
(gx). фх. V . p
P • v . (gx). фх
(x). фх. v . (gy). \\fy
(ЯУ) • VJ • v . (x). фх
(gx). фх
фх =>* ух
фх =х \\гх
(х,у).ф(х,у)
(x,y,z).$(x9y,z)
(Ях,у).ф(х,у)
*1104.
*1105.
*1106.
*1301.
*1302.
*1303.
*14-01.
*1402.
*1403.
*1404.
*2001.
*2002.
*2003.
*2004.
*2005.
*2006.
*2007.
*20071.
*20072.
*2008.
*20081.
*21-01.
(3*,;У,г)-Ф(*>;У,г)
<b(x,y).z>Xty.\\r(x,y)
<S>(x,y).=x,yV(x,y)
х = у
хфу
x = y = z
[(1х)(фх)].\|/(1х)(фх)
Е ! (ix) (фх)
[(ix) (фх), (ix) (\|/х)].
/ [(vc) (фх), (ix) (у.
[(1х)(ух)]./{(1х)(фх),
(ix) (\|/х)}
fizivz)}
хе(ф!2)
Cls
х,уеа
x,y,zea
х~еа
(а)./а
(да)./а
[(ш)(фа)]./(ш)(фа)
/{а(уа)}
ае(ф!а)
f{xyy(x,y)}
A.H. Уайтхед, Б. Рассел

716
УКАЗАТЕЛЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
*21·02.
*21·03.
*21·07.
*21·071.
*21·072.
*21·08.
*21·081.
*21·082.
*21·083.
*22·01.
*22·02.
*22·03.
*22·04.
*22·05.
*22·53.
*22·71.
*23·01.
*23·02.
*23·03.
*23·04.
*23·05.
*23·53.
*23·71.
*24·01.
*24·02.
*24·03.
*25·01.
*25·02.
*2503.
*3001.
*30·02.
*31·01.
*31·02.
*32·01.
*32·02.
*32·03.
*32·04.
*33·01.
а{ф\(х,у)}Ь
Rel
(R).fR
(ZR).fR
[0Д)(фД)]./(1/^фЯ)
f{RSy(R,S)}
P{<b*.(Rj)}Q
f{R(yR)}
RetylR
ac|3
αΠβ
αυβ
- a
α-β
αΠβΠγ
αυβυγ
RclS
RnS
RUS
-R
R-S
Rns ήτ
RUS ОТ
V
л
g!a
V
A
&IR
R'y
R'S'y
Cnv
Ρ
H
Ъ
sg
gs
D
*3302.
*3303.
*3304.
*3401.
*3402.
*3403.
*3501.
*3502.
*35·03.
*3504.
*3505.
*35·24.
*35·25.
*36·01.
*37·01.
*37·02.
*37·03.
*37·04.
*37·05.
*38·01.
*38·02.
*38·03.
*40·01.
*40·02.
*41·01.
*41·02.
*43·01.
*50·01.
*50·02.
*51-01.
*52·01.
*54·01.
*5402.
*55·01.
*55·02.
*56·01.
*56·02.
*56·03.
α
с
F
R\S
R2
R3
a]R
R\V
a]R\V
αΐβ
R'xlfi
a]R\S
£|*Γβ
P[a-
/?"β
Re
Re
Д'"к
Ε!!/?"β
χ?
9У
α?,3>
р'к
S'K
ρ'λ
s'X
R\\s
I
J
L
1
0
2
xiy
R'xly
2
2r
0r
Principia Mathematica I

УКАЗАТЕЛЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
*60-01.
♦6002.
♦6003.
♦6004.
♦61-01.
♦6102.
♦6103.
♦6104.
*62-01.
♦6301.
♦63011.
♦6302.
♦6303.
♦6304.
♦63041.
♦6305.
♦63051.
♦6401.
*64-011.
♦64012.
♦64013.
♦64014.
♦6402.
♦64021.
♦64022.
♦6403.
♦64031.
♦6404.
♦64041.
♦6501.
♦6502.
♦6503.
♦6504.
♦651.
♦65-11.
♦6512.
♦7001.
♦73-01.
С1
Clex
Cls2
Cls3
Rl
Rlex
Rel2
Rel3
€
tlx
tux
to'a
t^K
t2tx
^X
f2'K
*з'к
'oo'a
tUix
tUix
t2Ux
f2ix
foi'ct
'io'a
Гц'a
to1'a
hua
V«
V«
a*
a(x)
Rx
R(x)
R(x,y)
R(Xy)
R(x9y)
a->p
asmp
♦7302.
♦80-01.
♦8401.
♦8402.
♦8403.
♦85-5.
♦8801.
♦88-02.
♦8803.
♦9001.
♦9002.
♦91-01.
♦9102.
♦9103.
♦9104.
♦9105.
♦9301.
♦9302.
♦93021.
♦9303.
♦9501.
♦9601.
♦9602.
♦9701.
♦100-01.
♦10002.
♦10201.
♦10301.
♦10302.
♦104-01.
♦104011.
♦10402.
♦104021.
♦10403.
♦104031.
♦10501.
♦105011.
♦10502.
sm
Pa
Cls2excl
CIexcPy
Cls ex2 excl
Ply
Rel Mult
Cls2 Mult
Mult ax
/v*
/v#
^st
Rts
Pot'/?
Potid'/?
Ppo
в
min/>
max/>
gen'F
(P*Q) Dft[^95]
Ir'x Dft [♦96]
Jrx Dft [*96]
R'x
Nc
NC
NCP (a)
N0c'a
N0C
N'c'a
N2c'a
N'C
N2C
|i<»>
|X<2>
Nic'a
N2c'a
N,C
A.H. Уайтхед, Б.Рассел

718
УКАЗАТЕЛЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
«105-021.
«10503.
«105-031.
«106-01.
«106011.
«106-012.
«10602.
«106021.
«106-03.
«106-04.
«106041.
«11001.
«110-02.
«110-03.
«110-04.
«110-561.
«111-01.
«111-02.
«111-03.
«112-01.
«112-02.
«11302.
«11303.
«113-04.
«113-05.
«113-511.
«113-541.
«114-01.
«11501.
«115-02.
«11601.
«11602.
«11603.
«116-04.
«11701.
«11702.
«11703.
«117-04.
N2C
Ri)
μ<2>
Nooc'a
Nnc'a
Noic'a
NoVa
%с'а
NooC
μ«χ))
μ<π>
α + β
μ+cv
Ν&α+εμ
μ+cNc'a
μ +c ν +с Ф
KsmsmX
Οτρ(5)'β
smsm
Σ'κ
INc'k
βχα
μΧον
Nc'P x0 μ
μΧοΝο'α
αχβχγ
μ Χο ν χ0 ш
ГШс'к
Prod'κ
Cls3 arithm
αβχρβ
μν
(Nc'a)v
μΝο-β
μ>ν
μ>Νο'α
Nc'a> ν
μ<ν
«117-05.
«11706.
«11901.
«119-02.
«11903.
«120-01.
«120-011.
«12002.
«120021.
«12003.
«12004.
«120-43.
«121-01.
«121011.
«121012.
«121-013.
«12102.
«12103.
«121-031.
«12104.
«12201.
«12301.
«12302.
«12401.
«12402.
«124021.
«12403.
«12601.
«15001.
«15002.
«15003.
«150-04.
«15005.
«151-01.
«15102.
«152-01.
«152-02.
«153-01.
μ^ν
μ^ν
γ-cv
Nc'a -c v
γ-οΝο'β
NC induct
N|C induct
Cls induct
Cls| induct
Infin ax
Infin ax (x)
spec'β
Р(х-У)
Р(хчУ)
P(x\-y)
P(xHy)
Pv
finid'P
fin'P
vP
Prog
No
N Dft [*123-4]
Clsrefl
NCrefl
Nc'peNCrefl
NCmult
NCind
S'iQ
S№
Qb
WSm*Q
KWQ
Ρ smor Q
smor
Nr
NR
h
Principia Mathematica I

УКАЗАТЕЛЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
719
*15401.
*15501.
*155·02.
*160-01.
*161-01.
*16102.
*161·212.
*161·213.
*162·01.
*16301.
*164·01.
*164·02.
*16601.
*166·421.
*170·01.
*170·02.
*171·01.
*17102.
*172·01.
*173·01.
*174·01.
*176·01.
*176·02.
♦18001.
*180·02.
*180·03.
*180·04.
*180·561.
«181-01.
*181-011.
*181·02.
*181·021.
*181·03.
*181031.
*181·04.
*181·561.
*181·571.
*182·01.
NRy(X)
Ν0γΤ
N0R
P*Q
Ρ+χ
χ + Ρ
P + x + y
xM-y^-P
Σ'Ρ
Rel2 excl
Ρ smor smor Q
smor smor
QxP
PxQxR
Pel
Лс
^df
^fd
ΙΓΡ
Prod'/>
Rel3 arithm
PexpQ
PQ
P+Q
μ + ν
Nr\P + v
μ + Νι'β
μ + ν + Ш
PA>x
XM-P
μ+ί
ί + μ
Nr\P+l
l+Nr'P
i + i
μ+i + i
ί + ί+μ
?
*18301.
*18401.
*18402.
*18403.
*184·32.
*18501.
*18601.
*18602.
*18603.
*20101.
*20201.
*20401.
*20601.
*20602.
*20701.
*20702.
*20703.
*207 04.
*20801.
*21101.
*21201.
*21202.
*21301.
*21401.
*21402.
*21501.
*21601.
*21602.
*21603.
*21604.
*21605.
*23001.
*23002.
*23101.
*23102.
*23201.
*23202.
*23301.
ΣΝγ'Ρ
μχν
Nr'Pxv
μχΝΓ'β
μχνχϋΒ
ΠΝγ'Ρ
μ expr v
(Nr'P)exprv
μθχρΓ(ΝΓ'0
trans
connex
Ser
seq/>
ртеср
Itp
tip
limaxp
liminp
cror'P
sect'P
s'P
sym'P
Ps
Ded
semi Ded
str'P
bP
dense 'P
closed'Ρ
perf'P
ψρ
RQcn*
Qcn
PRscQ
PRosQ
(PRQ)Sc'a
(PRQU'a
(PRQ)in*
A.H. Уайтхед, Б.Рассел

720
УКАЗАТЕЛЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
«233-02.
«234-01.
«234-02.
«234-03.
«234-04.
«234-05.
«250-01.
«250-02.
«251-01.
«254-01.
«254-02.
«255-01.
«255-02.
«255-03.
«255-04.
«255-05.
«255-06.
«255-07.
«256-01.
«256-02.
«257-01.
«25702.
«25901.
«259-02.
«259-03.
«260-01.
«261-01.
«26102.
«26103.
«261-04.
«261-05.
«262-01.
«262-02.
«262-03.
«26301.
«263-02.
«264-01.
«264-429.
R(PQ)
sc (P,QYR
os (P,QYR
ct (PQYR
contin (PQYR
P contin Q
Bord
a
NO
less
"sm
<•
•>
N0O
^
>
[K-Nr'P
Nr'P<-
M Dft [*256]
N Dft [*256]
{R*QYx
Qrx
A Dft [*259]
Aw Dft [*259]
wA
Pfn
Ser infin
Qinfin
Ser fin
Qfin
Q induct
NO fin
NO infin
[V
0)
N Dft [*263]
PpT Dft [*263]
i xa
«265-01. coi
«265-02. Si
«265-03. ca2
«265-04. S2
«265-05. M Dft [*265]
«265-06. N Dft [*265]
«270-01. Comp
«27101. med
«27201. TPQ
«27301. r\
«273-02. Rspq'T Dft[*273]
«273-03. (RS)pq Dft [*273]
«27304. Trspq. Dft [*273]
«27401. P4
«274-02. Рт'к Dft [*274]
«274-03. 7>'к Dft[*274]
«274-04. Mp'k Dft[*274]
«275-01. 6
«276-01. PQ
«276-02. A Dft [*276]
«276-03. PmlX Dft [*276]
«27604. TP Dft [*276]
«276-05. Ptl'K Dft [*276]
«300-01. U
«300-02. Relnum
«300-03. Relnum id
«301-01. RP Dft [*301]
«301-02. num (R) Dft [*301]
«301-03. Ra
«30201. Prm
«302-02. (p, a) Prmr (fi, v)
«302-03. (p, a) Prm (\i, v)
«302-04. hcf([x,v)
«302-05. 1cm (^,v)
«303-01. [x/v
«30302. 0q
«303-03. oo9
«303-04. Rat
Principia Mathematica I

УКАЗАТЕЛЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
721
*331·01.
«33102.
«33201.
«33301.
«333011.
«33302.
«33303.
«33401.
«33402.
«33403.
«334 04.
«33405.
«33501.
«33502.
«33601.
«336011.
«33602.
*351·01.
«35201.
«35202.
«35301.
«35302.
*353·03.
«35401.
«35402.
«35403.
«35601.
*370·01.
«37002.
«37003.
«37101.
«37201.
*373·01.
«37302.
«37303.
«37501.
сопх'к
FMconx
герк'Р
К5
Ъд
FM ар
FM ар сопх
trs'K
FMtrs
FM connex
FM sr
FM asym
init'K
FM init
vK
uK
A„
FM subm
TK
rKl
FMrt
FM ex
FM rt ex
K8
οχα'λ
FMgrp
*k
FM cycl
KK
/к
wK
VK
MVK Dft [*373-5]
Prime
(S,v) Dft[*373-5]
(μ/ν)κ
«30305.
*304·01.
«30402.
«30403.
«30501.
«30601.
*307·01.
«307011.
«30702.
«307021.
«30703.
*307·031.
«30704.
«30705.
«30801.
«30802.
«309*01.
«31001.
«310011.
«31002.
«310021.
*310·03.
«311-01.
«31102.
«312-01.
«31202.
«313-01.
«31401.
«31402.
«31403.
«31404.
«31405.
«33001.
«33002.
«33003.
«33004.
«33005.
Rat def
X<rY
Η
Η'
XxsY
X+sY
Ratn
Ratg
<n
>n
<g
>g
я„
tfg
X-SY
X+gY
XxgY
Θ
Θ'
(н) '
%
concord (μ, ν,...)
μ+ρν
μ-ρν
μ+αν
μ Χα ν
Х+ГУ
XxrY
<f
M+QN
ΜχσΝ
cr'a
Abel
fm'a
FM
Kt
A. Η. Уайтхед , Б. Рассел

Научное издание
АЛЬФРЕД Н. УАЙТХЕД
БЕРТРАН РАССЕЛ
ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
В трех томах
Том I
Под редакцией д-ра физ.-мат. наук, проф. Г.П.Ярового;
д-ра физ.-мат. наук, проф. Ю.Н. Радаева
Редактор и корректор Т.И.Кузнецова
Художественный редактор Л.В.Крылова
Компьютерная верстка, макет Д.В.Чичеров
Подписано в печать 25.08.05. Формат 70x100/16.
Бумага офсетная. Усл.-печ. л. 58,8. Уч.-изд. л. 45,25.
Typeset by ВДЁХ2Е. Тираж 100 экз. Заказ №330.
Издательство "Самарский университет", 443011, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1,
тел. +7 846 3345423, факс +7 846 3345406. E-mail: university-press@ssu.samara.ru
Отпечатано в ООО 'Типография "Книга", 443068, г. Самара, ул. Ново-Садовая, 106,
тел. +7 846 3353526. E-mail: slovo@samaramail.ru
EAN-13
ISBN 5-86465-360-8
4"607124"810018