Финансовая математика_Бочаров П.П, Касимов Ю.Ф

Теги: экономические науки основные понятия стоимость капитал фонды экономический анализ

ISBN: 5-8297-0078-6

Похожие

Финансовая математика: Учебник

Статистика

Финансовая инженерия. Инструменты и способы управления финансовым риском

Крупный бизнес и накопление капитала в современной России

Текст

П. П.Б о ч ар о в • Ю.Ф.Касимо в

Финансовая
математика

Допущено Министерствам образования
Российской Федерации в качестве учебника
для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по направлениям подготовки бакалавров
имагистров группы экономических наук
и экономическим специальностям подготовки
дипломированных специалистов

ГлрОлриКи

Москва, 2002
УДК 330.105(075.8)

ББК 65.053

Б87

Федеральная программа книгоиздания России

Рецензенты:

доктор физико-маметатических наук, профессор М.С. Красс
доктор экономических наук, профессор Ю.Н. Черемных

Бочаров П.П., Касимов Ю.Ф.

Б87 Финансовая математика: Учебник. — М.: Гардарики,
2002. - 624 с.: ил.

ISBN 5-8297-0078-6 (в пер.)

Рассмотрены вопросы классической финансовой математики. Описаны мате-
матические модели финансовых операций, схемы этих моделей. Приведены две
основные, чаше всего используемые на практике схемы простых и сложных про-
центов, и связанные с этим основные проблемы: оценка доходности финансовых
операций, ренты, преобразование и эквивалентность денежных потоков и т.д.
Включены вопросы для самопроверки, упражнения и задачи.

Для студентов вузов, изучающих экономику, финансы, инвестиции, стра-
ховое дело и т.п., а также .для практиков—сотрудников банков, финансовых и
страховых компаний, инвестиционных и пенсионных фондов.

УДК 330.105(075.8)

ББК 65.053

В оформлении переплета использован фрагмент картины
Чарлза Демута «Я видел пятерку на золоте» (1928)

ISBN 5-8297-0078-6

Книга посвящена классической финансовой математике. Более точно,
детерминированным моделям финансовых операций и процессов. Под
детерминированностью понимается полная определенность будущих зна-
чении временных и финансовых характеристик изучаемых операций
и процессов.

Такими моделями (при определенных условиях) описывается дос-
таточно широкий класс финансовых операций. К ним относятся преж-
де всего так называемые кредитные операции. Поэтому классическую
финансовую математику часто называют математикой кредита или,
учитывая ту основополагающую роль, которую играют процент и
процентная ставка в кредитных операциях, теорией процентов, теори-
ей процентной ставки и т.п.

К основным темам, изучаемым в рамках традиционных курсов
финансовой математики, относятся простые и сложные проценты,
погашение долга, аннуитеты (ренты), расчеты, связанные с различны-
ми долговыми инструментами: векселями, облигациями, депозитны-
ми сертификатами и т.д., а также расчеты сделок с валютой. В послед-
нее время к ним прибавился ряд тем из финансового менеджмента:
анализ и оценка инвестиционных проектов, простейшие модели оце-
нивания акций и др. При этом в руководствах с прикладной ориента-
цией изложение обычно носит преимущественно операциональный
характер, т.е. результат выдается в виде готовой формулы, в которую
достаточно подставить исходные данные, чтобы получить значение
вычисляемой характеристики.

В отечественной и зарубежной литературе [1, 3-6, 8-16, 20, 21, 24,
28, 29, 31-33] прикладные аспекты финансовой математики назы-
ваются обычно «финансовые и коммерческие расчеты» (см. [28]),
«финансовые вычисления» (см. [10]) и т.п. Следует заметить, что
некоторые отечественные авторы вообще отождествляют понятия
«финансовая математика» и «финансово-экономические расчеты»
(см., например, предисловие к [21]).

Во введении будет более подробно обсужден термин «финансовая
математика». Здесь коснемся только двух аспектов его использования.
Первый касается «широты» термина. До недавнего времени соб-
ственно вся финансовая математика сводилась к тому, что мы обозна-
чили термином «классическая финансовая математика», т.е. к изуче-
нию детерминированных моделей. В последнее время в связи с серьез-
ными достижениями современной финансовой теории существенно
расширились как круг проблем, рассматриваемых в финансовой мате-
матике, так и методы их решения. Современная финансовая математи-
ка в значительной мере посвящена изучению вероятностных моделей,
возникающих при анализе финансовых проблем в условиях неопреде-
ленности и риска. Именно в этом смысле употребляется термин «фи-
нансовая математика», например в [25]. Решение таких проблем нуж-
дается в более сложном математическом аппарате теории вероятнос-
тей, математической статистики и случайных процессов, в то время
как классическая финансовая математика основана на использовании
в основном элементарной алгебры и начал анализа.

Второй аспект касается «глубины» термина. Во многих книгах по
финансовой математике говорится, что ее предметом является постро-
ение, анализ и применение математических моделей в финансовой
теории и практике. Однако действительное описание таких моделей,
а тем более тщательный и корректный их анализ дается далеко не
всегда. Именно этот аспект, а не охват (широта) тем является, по
мнению авторов, определяющим при использовании термина «финан-
совая математика».

Конечно, при первоначальном знакомстве с предметом вполне
достаточно неформального изложения с упором на упоминавшийся
выше операциональный подход. Однако при систематическом изуче-
нии финансовой математики, особенно теми, чья будущая (или насто-
ящая) профессиональная деятельность предполагает действительное
владение методами финансового анализа, необходимо более глубокое
усвоение концептуальных основ финансовой математики, ее методов
и конструкций.

Более чем пятилетний опыт преподавания финансовой математики
и смежных с ней дисциплин привел авторов к убеждению, что часто
именно недостаточное усвоение ее базовых понятий и принципов,
неумение пользоваться ими при решении конкретных проблем, а не
незнание каких-либо формул является основной причиной трудностей
и неудач при изучении финансовой математики. Именно поэтому
достаточно полное и строгое (но без излишнего формализма) изложе-
ние финансовой математики как метода построения и анализа моделей
финансовых операций и процессов было основной целью авторов
книги.

Тот факт, что в книге рассмотрены лишь детерминированные моде-
ли, обусловлен не только невозможностью чрезмерного увеличения
объема книги, но и дидактическими соображениями. Устранение нео-
пределенности и риска позволяет ограничиться элементарными мате-
матическими средствами, сводящимися по существу к современному
школьному курсу математики и началам вузовского курса высшей
математики. Это делает книгу доступной широкому кругу читателей.
Кроме того, использование относительно простых (в математическом
плане) средств позволяет дать более полное и тщательное изложение
выбранных тем.

Кратко коснемся содержания книги и способа его изложения.
В соответствии с названием (и сделанными выше замечаниями) в ней
описываются математические модели финансовых операций, а также
схемы этих моделей или финансовые схемы. Понятие финансовой схе-
мы — одно из основных в книге. Финансовая схема — это математичес-
кая структура (см. [30]), лежащая в основе определенного класса
финансовых моделей. Рассмотрены две основные, чаще всего исполь-
зуемые на практике схемы простых и сложных процентов.

Способ описания каждой схемы одинаков. Сначала анализируются
простейшие модели в рамках заданной схемы, затем модели усложняют-
ся и, наконец, формулируется общая математическая структура этих
моделей, т.е. соответствующая финансовая схема. Такой подход обеспе-
чивает не только систематичность и единообразие изложения, но и спо-
собствует более глубокому усвоению изучаемого материала. Изучаемые
модели при таком подходе воспринимаются не как разрозненные, хотя
и в чем-то «похожие» объекты, а как имеющие внутреннее единство.

Строгое изложение материала сопровождается его неформальным,
содержательным обсуждением. Особенно это касается тем, имеющих
важное теоретическое или практическое значение. Используемый при
представлении материала книги подход «от простого к сложному»
облегчает ее чтение и позволяет строить на ее основе курсы различной
степени сложности. В реализации такого подхода особенно важную
роль играет первая глава, посвященная базовым элементам финансо-
вых моделей, с помощью которых строятся эти модели (временная
и денежная шкалы, финансовые события и потоки, формальное пред-
ставление финансовых операций, а также связанные с ними отноше-
ния предпочтения и эквивалентности).
Ввиду чрезвычайно важной роли, которую играет фактор времени в
финансах, отдельный параграф гл. 1 посвящен анализу различных
временных правил, т.е. способов представления временных периодов
(сроков) в заданной временной шкале. В нем приведено большинство
правил, используемых в разных странах на различных сегментах фи-
нансового рынка.

Книга содержит практически весь традиционный материал, вклю-
чаемый в большинство учебников по финансовой математике, финан-
совым и коммерческим расчетам и т.п. Кроме того, в нее включено
довольно много новых тем, особенно в части, касающейся основных
понятий финансовой математики (гл. 1), простых процентов (гл. 4,
6, 7). Ряд тем изложен более полно и систематично по сравнению
с имеющимися руководствами. Это относится прежде всего к так
называемым непрерывным моделям, моделям с переменным капита-
лом (гл. 4,7, 9, 10) и технике эквивалентных преобразований финансо-
вых потоков (гл. 11).

Книга содержит уточнения терминологического характера. Это ка-
сается понятий процентной ставки и доходности финансовых сделок
и ряда других. Кроме того, материал проиллюстрирован рисунками
и примерами, служащими для приобретения практических навыков
финансовых расчетов. Каждая глава завершается вопросами и упраж-
нениями, а также задачами.

Как отмечалось, организация книги дает возможность построения
курсов финансовой математики различного уровня сложности, ориен-
тированных на различные категории слушателей (по цели обучения
и по уровню подготовки). Можно предложить три варианта использо-
вания книги в этих целях.

Начальный курс финансовых вычислений (ориентирован на практи-
ков): гл. 1, § 1.1, 1.2; гл. 2; гл. 3, §3.2; гл. 8, §8.1 - 8.8; гл. 12, § 12.1, 12.2;
гл. 13, § 13.1, 13.2.

Стандартный курс финансовой математики для студентов эконо-
мических специальностей: гл. 1, § 1.1 - 1.4, 1.6; гл. 2; гл. 3, § 3.1 - 3.3;
гл. 4, 5; гл. 6, §6.1,6.2; гл. 7, §7.1,7.2; гл. 8, 9; гл. 10, § 10.1, 10.2; гл. 12,
§ 12.1 - 12.3; гл. 13 (кроме § 13.1); гл. 14, § 14.1 - 14.4.

«Продвинутый» курс, ориентированный на финансовых аналитиков
и актуариев, является расширением стандартного курса включением
тем из остальных параграфов книги, прежде всего тех, которые имеют
важное теоретическое значение: гл. 1, § 1.3, 1.4; гл. 8, § 8.9, 8.10; гл. 10,
§ 10.3, 10.4; гл. 11; гл. 14, § 14.4 - 14.6.
Для сокращения записи для денежной единицы «рубль» в книге
принято обозначение (например, запись :^100 означает 100 руб.),
а для обозначения доллара используется общепринятый символ $).

Все расчеты для содержащих денежные единицы примеров выпол-
нены с точностью до копеек (для рублей) или центов (для долларов).
При этом для записи окончательного результата используется знак
точного равенства. Аналогичное соглашение принято для процентов: в
расчетах указываются лишь сотые доли процентов, но пишется знак
точного равенства.

Введение

Основная цель науки о финансах состоит в изучении того, как экономи-
ческие агенты (лица и учреждения) распределяют ограниченные ресур-
сы во времени. Акцент именно на временном, а не на других видах
распределения, изучаемых в экономике (по регионам, отраслям, пред-
приятиям), является отличительной чертой финансовой науки. Реше-
ния, принимаемые лицами по поводу временного распределения ре-
сурсов, представляют собой финансовые решения. С точки зрения лица
или лиц, принимающих такие решения, распределяемые ресурсы от-
носятся либо к расходам (затратам), либо к доходам (поступлениям).
Финансовые решения основываются на соизмерении стоимостей по-
токов расходов и доходов. В термине поток отражается временной
характер распределения средств. Проблемы, касающиеся временного
распределения ресурсов (в самом широком смысле), являются финан-
совыми проблемами.

Поскольку решение финансовых проблем подразумевает соизмере-
ние стоимостей затрат (расходов) и результатов (доходов), то предпо-
лагается наличие некоторой общей меры для оценки стоимости (цен-
ности) распределяемых ресурсов. На практике стоимость ресурсов
(активов) измеряется в тех или иных денежных единицах. Но это только
один аспект проблемы. Другой касается учета фактора времени. Если
проблема временного распределения ресурсов — отличительная характе-
ристика финансовых проблем, то финансовая теория должна давать
средства для соизмерения ценностей, относящихся к разным моментам
времени. Этот аспект проблемы имеет афористичное выражение «вре-
мя — деньги». Рубль, доллар и т.д. сегодня и завтра имеют разные
стоимости.

Кроме того, существует еще один чрезвычайно важный аспект.
Во всех реальных финансовых проблемах, с которыми приходится стал-
киваться на практике, присутствует неопределенность, касающаяся как
величины будущих расходов и доходов, так и моментов времени, к ко-
торым они относятся. Именно тот факт, что финансовые проблемы
связаны со временем, и обусловливает присущую им неопределен-
ность. Говоря о неопределенности, имеем в виду, конечно, неопреде-
ленность будущего, а не прошлого. Неопределенность прошлого связа-
на обычно (по крайней мере, в финансовых проблемах) с недостатком
информации и в этом смысле, в принципе, устранима по мере накоп-
ления и уточнения данных, тогда как неопределенность будущего
принципиально неустранима. Эта неопределенность, присущая финан-
совым проблемам, приводит к ситуации риска при их решении. Любое
решение по поводу финансовых проблем в силу неопределенности
может привести к результатам, отличающимся от ожидаемых, сколь
бы тщательным и продуманным ни было это решение.

Финансовая теория разрабатывает понятия и методы для решения
финансовых проблем. Как и любая другая теория, она строит модели
реальных финансовых процессов. Поскольку такие основные элементы,
как время, стоимость, риск, а также критерии для выбора желаемого
распределения ресурсов получают количественное выражение, то эти
модели по необходимости носят характер математических моделей.
Большинство моделей, изучаемых в современной финансовой теории,
имеют ярко выраженный математический характер. При этом матема-
тические средства, используемые для построения и анализа финансо-
вых моделей, варьируются от элементарной алгебры до весьма слож-
ных разделов случайных процессов, оптимального управления и др.

Хотя, как было сказано, неопределенность и риск — неотъемлемые
характеристики финансовых проблем, в ряде случаев ими можно пре-
небречь либо в силу стабильности условий, в которых принимается
решение, либо в идеализированных ситуациях, когда рассматриваемая
модель в силу ее специфики игнорирует наличие тех или иных видов
рисков. Финансовые модели такого рода называют моделями с полной
информацией, детерминированными моделями и т.п. Изучение таких
моделей важно по двум обстоятельствам.

Во-первых, в ряде случаев эти модели вполне пригодны для прямо-
го использования. Это касается, например, большинства моделей клас-
сической финансовой математики, посвященной моделям простей-
ших финансовых операций, таких как банковский депозит, вексельная
сделка и т.п.

Во-вторых, одним из способов изучения моделей в условиях нео-
пределенности является моделирование (см. [22]), те. анализ возмож-
ных будущих ситуаций или сценариев. Каждому сценарию соответству-
ет некоторый, уже вполне определенный, будущий «ход событий».
Анализ этого сценария осуществляется, естественно, в рамках детер-
минированной модели. Затем на основе проведенного анализа различ-
ных вариантов развития событий принимается общее решение. В этом
смысле можно сказать, что изучение общих финансовых моделей
основывается на использовании детерминированных моделей.

Предлагаемая книга посвящена детерминированным моделям,
возникающим при решении специального класса финансовых про-
блем. Отсутствие фактора неопределенности приводит к тому, что
главной проблемой при анализе таких моделей становится разработка
методов сопоставления стоимостей в различные моменты времени.

Выше уже отмечался математический характер финансовых моде-
лей. Принципы построения математических моделей в финансах те же,
что и в любых других науках. Не касаясь подробно этой темы и отсылая
читателя к специальной литературе [см. 17, 22], остановимся лишь на
одном весьма важном моменте. Характеризуя математические модели,
обычно говорят, что они являются формализацией содержательных,
неформальных моделей, имея в виду, что эти модели описываются
с помощью математического языка. Безусловно, использование мате-
матического языка — отличительная характеристика математических
моделей. Однако далеко не самая важная. К сожалению, достаточно
«часто приходится сталкиваться с игрой в символы», когда для различ-
ных понятий вводятся лишь их символьные обозначения, а вся модель
сводится к набору бессодержательных «уравнений», выражающих не-
которые «зависимости» между введенными переменными. Естествен-
но, для этих зависимостей также придумываются специальные «функ-
циональные» обозначения и т.п.

На самом деле, построение математических моделей сводится не к
«лингвистическому переводу» с содержательного языка на математи-
ческий, а к более глубокой и тонкой процедуре сопоставления содержа-
тельным объектам, понятиям и т.д. соответствующих им математичес-
ких объектов и понятий. И дело здесь не ограничивается просто
введением обозначений. Математические объекты: числа, множества
чисел, функции, матрицы, операторы, случайные величины и т.д. яв-
ляются вполне определенными конструкциями. Для них определены
различного рода операции отношения. Они обладают определенными
свойствами и т.д. Когда строится математическая модель финансовой
операции, например, связанной с выбором инвестиционного портфе-
ля, необходимо решить, какими математическими объектами (а не
символами!) будут представлены все существенные элементы такой
сделки. Как представляются активы? Что это: числа, функции или,
быть может, случайные величины? Что такое портфель: множество или
вектор активов? Что такое доходность и риск активов и портфеля:
числа, функции, матрицы или что-нибудь еще? Вопрос «что это та-
кое?» (в смысле каков этот объект, какова его структура, какими
свойствами он обладает) является основным в построении моделей.
Кстати говоря, само развитие математики шло именно по этому пути.
Туманные определения линии как «длины без ширины», функции как
«зависимости переменных» постепенно были заменены строгими или,
как говорят, формальными определениями как некоторых специаль-
ных конструкций из «элементарных кирпичиков», единственных нео-
пределяемых, но интуитивно ясных понятий, на базе которых строится
все здание математики.

Существование таких «элементарных кирпичиков» можно просле-
дить в большинстве корректных моделей из различных областей науки.
В книге также сделана попытка выделить такие «базовые элементы»
финансовых моделей, с помощью которых можно строить другие более
сложные модели. Они подробно рассматриваются в первой главе.
Существенное использование в современной финансовой теории
и практике математических методов и тот факт, что сами финансовые
модели являются математизированными, приводит к тому, что сово-
купность таких моделей и математических средств для их построения
и анализа называют финансовой математикой (в широком смысле).
Таким образом, финансовая математика в таком ее понимании
занимается построением и изучением математических моделей финан-
совых операций и процессов. При этом в ней выделяют различные
разделы, обычно связанные с соответствующей предметной областью,
например математика кредитных операций (теория процентов),
математика инвестиций, математика производных финансовых инст-
рументов, математика страховых операций (актуарная математика)
и т.п. В принципе, в таком подходе ничего плохого нет, однако
возникает вопрос, является ли такая математика на самом деле
математикой? Конечно, формула сложных процентов описывает
Модель «накопительного вклада», и ее можно в равной степени считать
математической моделью некоторого финансового процесса или
финансовой моделью, выраженной математически. Однако ни нахожде-
ние значения этой формулы для конкретных значений переменных, ни
различные ее математические преобразования, вообще говоря, не
являются, на наш взгляд, математикой. Это, конечно, применение
математики, но не сама математика. Но существует ли тогда финансовая
математика? Не является ли то, что под ней обычно подразумевают,
просто применением математики, а реальное содержание ее сводится
просто к набору финансовых моделей, хотя и математически представ-
ленным? Чем вообще занимается математика?

По мнению авторов, очень удачный ответ на этот вопрос содержит-
ся в статье известного отечественного математика М.М. Постникова
[19]. Он основан на двух экспериментальных фактах, которые можно
сформулировать в виде следующих утверждений.

1. Познание природы осуществляется с помощью моделей, т.е. упро-
щенных и идеализированных описаний окружающего мира.

Здесь модель понимается в самом широком смысле, включая и не-
формальное, словесное ее описание. 1

2. Рассматривая модели в различных науках, легко обнаружить
группы чрезвычайно сходных моделей, и результаты, полученные для
одной модели, могут быть применены в другой.

Для описания сходства моделей М.М. Постников предлагает ис-
пользовать термин «схема». Тогда сходство моделей можно выразить
утверждением, что эти модели имеют общую схему или что схожие
модели — это модели, которые основываются на одной и той же схеме.
Введение понятия схемы приводит к задаче изучения схем как таковых,
безотносительно к их конкретному воплощению.

Используя понятие схемы, М.М. Постников дает следующее опре-
деление математики:

«Математикой называется наука, изучающая все возможные схемы,
их взаимосвязи, методы их конструирования, иерархии схем и т.д. и т.п.
Таким образом, математика не есть наука о моделях мира, а есть наука
о схемах этих моделей».

Заметим, что М.М. Постников говорит о математике как о науке
о любых схемах моделей, в том числе схемах моделей из разных наук.
Но, немного сужая это определение, можно говорить о математике
данной науки, если ограничиться изучением схем лишь моделей, ис-
пользуемых в этой науке. В таком смысле финансовую математику
можно рассматривать как науку о схемах финансовых моделей.

Для того чтобы такая трактовка финансовой математики была
достаточно продуктивной, необходимо иметь такие схемы. И они есть.
Даже в элементарной классической финансовой математике можно
выделить, по крайней мере, две такие схемы. Это схемы простых
и сложных процентов. Заметим, что очень важно, речь здесь идет не о
формулах простых или сложных процентов, а именно о схемах финан-
совых моделей (которые в книге коротко названы финансовыми схема-
ми), т.е. о схемах моделей, «основанных» на теории простых и сложных
процентов.

Во введении нет смысла давать определение финансовой схемы,
в частности схем простых и сложных процентов. Первому понятию
посвящена первая глава, а двум другим, по существу, вся книга.

В заключение заметим, что авторы не настаивают на использовании
термина «финансовая математика» непременно в таком уточненном
смысле. Цель состояла в объяснении авторской точки зрения на пред-
мет и метод финансовой математики и вытекающий из нее принятый
в книге способ изложения материала. В частности, этим же продикто-
ван и выбор названия книги.
Глава 1. Базовые элементы финансовых моделей

Основными элементами финансовых моделей являются время и деньги.
В сущности, финансовые модели в той или иной мере отражают количе-
ственные соотношения между денежными суммами, относящимися к
различным моментам времени. Тот факт, что со временем стоимость
или, лучше сказать, ценность (value) денег изменяется, сейчас, благода-
ря постоянной инфляции, очевиден каждому. Рубль сегодня и рубль
завтра, через неделю, месяц, год — это разные вещи. Возможно, менее
очевидно, по крайней мере для неэкономиста, что и при отсутствии
инфляции фактор времени тем не менее влияет на ценность денег.

Допустим, что, обладая некоторой «свободной» суммой, вы решаете
положить ее на срочный вклад в банк под определенный процент.
Со временем сумма вашего счета в банке растет, и в конце срока при
благоприятных условиях вы получаете большую сумму, нежели та, что
положили вначале. Вместо депозита в банке вы могли бы купить акции
или облигации какой-либо компании, которые также могут принести
вам по прошествии некоторого времени определенный доход. Таким
образом, и в этом случае сумма, инвестируемая вначале, превращается
в большую сумму за некоторый промежуток времени. Конечно, вы
можете ничего не предпринимать и просто хранить деньги дома или в
сейфе в банке. В этом случае их сумма не изменится. Не изменится и
реальная стоимость, если нет инфляции. В противном случае она,
конечно, уменьшится. Однако, обладая, по крайней мере в принципе,
возможностью инвестировать и не делая этого, с точки зрения эконо-
миста, вы поступаете неразумно и несете вполне реальный в экономичес-
ком смысле убыток. Этот убыток носит название вмененных издержек
или упущенной выгоды. Таким образом, наивная точка зрения отличает-
ся от экономической. Считая (в отсутствие инфляции) сумму денег,
хранящуюся в сейфе, не теряющей стоимости, вы, с точки зрения
экономиста, ошибаетесь. И в этом случае ценность денег со временем
также изменяется.

Конечно, «экономический» подход предполагает наличие каких-либо
механизмов по «управлению стоимостью» денег. В современном обще-
стве он реализуется наличием инвестиционного, в частности финансо-
вого, рынка. Банки, страховые компании, инвестиционные фонды, бро-
керские фирмы предоставляют широкий спектр активов, покупка которых
ведет (часто, но не всегда) к увеличению стоимости вложенного капитала.
Накопление стоимости инвестированного капитала задает «процесс пре-
образования» стоимости денег во времени. Так, рубль, инвестированный
сегодня, превращается в два рубля через несколько лет, с другой сторо-
ны, будущие суммы имеютс точки зрения текущего (сегодняшнего) момента
меньшую стоимость, хотя бы потому, что для получения их в будущем до-
статочно инвестировать сегодня меньшую сумму.

Подытоживая, можно сформулировать общий финансовый прин-
цип, определяющий влияние времени на стоимость денег:

одна и та же сумма денег в различные моменты времени имеет
различную ценность. С другой стороны, по отношению к определенным
условиям разные суммы денег в различные моменты времени могут быть
равноценными в финансово-экономическом смысле.

Сказанное выше имеет лишь качественный характер. Целью этой
главы является точное математическое описание основных финансо-
вых понятий или, как говорят, их формализация, на основе которой
становится возможным дать математическое (количественное) пред-
ставление сформулированного «принципа относительности» для де-
нежных сумм, относящихся к различным моментам времени.

1.1. Временная и денежная шкалы

Временная шкала. Как уже было отмечено, время — один из важней-
ших факторов в финансовых операциях и сделках. Для временной
локализации денежных сумм необходимо указание временной шкалы,
т.е. способа выделения отдельных моментов времени. Под временной
шкалой' понимается система временных координат, задание которых
сводится к указанию:

— начала отсчета, т.е. начального момента времени, по отношению
к которому задаются все остальные моменты времени;

— единицы измерения, т,е. базового промежутка или единичного перио-
да, служащего для измерения длительности временных промежутков.

В экономике это обычно год, но может быть выбран любой другой
промежуток: полугодие, квартал, месяц, неделя, день или даже час.

Выбор начала отсчета и базового (единичного) промежутка времен-
ной шкалы определяется, конечно, конкретными условиями, и они

2-5169 ’ ШСТП'ГУТ

УЛ?/ тлю;::. »
выбираются из соображений удобства, простоты и т.п. В принципе они
могут быть произвольными. Временная шкала допускает наглядное
представление в виде «линии времени», т.е. прямой линии с отмеченной
начальной точкой и отмеченными моментами времени, связанными
с базовым промежутком.

-3-2-10 1 2 3 На временной шкале (рис. 1.1)

t г < , , , точка 0 соответствует начально-

му моменту времени. Обычно она
Рис. 1.1

интерпретируется как текущий
(настоящий) момент, т.е. сейчас. Точка с координатой 1 соответствует
концу базового промежутка с началом в точке 0. Так, если базовый
промежуток — год, то это момент времени год спустя; далее идут: конец
второго периода, третьего и т.д., т.е. для годового базового промежутка
это конец второго, третьего и т.д. годов. Точки с координатами —1, -2,
-3 и т.д. соответствуют предыдущим, т.е. прошлым (по отношению к
началу), моментам времени. Так, точка —2 соответствует началу позап-
рошлого года.

Шкалу, состоящую из дискретного набора моментов времени, на-
зывают дискретной. Выбрав базовый период и начало шкалы, ее можно
отождествить с множеством целых чисел Z. Во многих случаях модели
финансовых процессов рассматриваются непосредственно в дискрет-
ной шкале.

На рис. 1.1 отмечены лишь моменты времени, соответствующие
целым кратным базового периода. Можно, конечно, рассматривать и
промежуточные моменты времени, например год и 2 недели, для
годового базового промежутка. Поскольку время обладает свойством
непрерывности, то временная шкала также является непрерывной, т.е.
моменты времени, точнее их координаты, могут представляться любы-
ми вещественными (действительными) числами.

Заметим, что хотя в теории финансов обычно используется непре-
рывная шкала времени, на практике обычно ограничиваются дискрет-
ной шкалой, связанной с естественными календарными промежутками
(см. § 1.4), например годами, месяцами и т.п.

Временную шкалу обозначим символом Т, а отдельные моменты
времени буквой гили буквой с индексами Г;, /2,... и т.д. (рис. 1.2).

Любые два момента времени Г Г
----> —।- обладают определенным взаимным рас-
t-----------------------f2 положением. Если момент предше-

рис. 1.2 ствует моменту /7, то этот факт матема-
тически выражается неравенством < t. В противном случае t следует
за t2 или совладает с ним. Это равносильно неравенству t > t.

Любые два различных момента г, г определяют промежуток (отре-
зок, интервал) времени с концами, соответствующими этим моментам
(см. рис. 1.2). Длина промежутка Топределяется координатами концов:
Т~ |r2 - rj. Здесь |л| — модуль (абсолютная величина) числа а. В случае,
когда t} < t2, длина Т промежутка с концами в и t2 равна Г= t2 — гр

В математике рассматривают промежутки различных типов в зависи-
мости оттого, включаются или нет его концы в этот промежуток. Традици-
онные обозначения [/, /2], (/, г,), [Гр /2), (rp хорошо известны. Первые два
промежутка называются соответственно отрезком и интервалом.

В дальнейшем при построении математических моделей финансовых
сделок, операций, процессов и т.д. будем фиксировать выбранную вре-
менную шкалу. На практике это обычно годовая шкала, конкретная реа-
лизация которой зависит от выбранных временных правил (см. § 1.6).
Но основные характеристики изучаемых финансовых моделей не будут
зависеть от выбора той или иной шкалы. Часто в практических вопросах
приходится переходить от одной временной шкалы к другой, например
от годовой к месячной, квартальной или наоборот. При этом возникает
вопрос о соотношении (связи) временных координат этих шкал.

Пусть, например, Т и Тдве шкалы, временные координаты которых
обозначим через t и t'соответственно. Пусть начало отсчета шкалы Т'
имеет координату т0 в шкале Т, а длина базового периода шкалы Т'
имеет длину к в единицах шкалы Т. Тогда между координатами t и Г
этих шкал существует простое соотношение

t = T(i+kt'. (1)

В частности, если начала отсчетов обеих шкал совпадают, то т = О
и, следовательно, получим

t=kt'. (2)

Например, если t — координата годовой, a f — координата месяч-
ной шкалы, то к = 1/12 и, значит, при совпадении начал отсчетов
получим хорошо известное равенство

/ -• мес

1,и " 12 ’

Наконец, длины Ти Г'любого промежутка в шкалах Т и Т' соответ-
ственно связаны как

Т = кГ. (3)
Денежная шкала. В .финансовой теории и практике приходится
постоянно говорить о различных денежных суммах или о стоимости,
цене финансовых активов. Эти величины измеряются в определенных
денежных единицах. Задание фиксированной денежной единицы опре-
деляет денежную шкалу. Денежная единица — основной элемент нацио-
нальной денежной системы. Так, можно говорить о таких единицах, как
рубль, доллар, немецкая марка и т.п. Конкретное значение денежной
суммы, стоимости, цены представляется числом относительно данной
денежной единицы. В этом смысле можно говорить о 500 тыс. руб.
(.э?500 ООО) или 1 тыс. долл. ($1000) и т.д.

Значения денежных сумм — т^кже своеобразные «денежные коор-
динаты». Однако денежная шкала отличается от временной двумя осо-
бенностями. Во-первых, денежная шкала по определению дискретна,
поскольку каждая денежная система предполагает минимальную де-
нежную единицу, доли которой не имеют естественного значения; во-
вторых, сама по себе денежная шкала предполагает лишь положитель-
ные значения. Сумма, выраженная отрицательными числами, не имеет
непосредственного значения. Однако в описании различных финан-
совых сделок денежные суммы играют разную роль по отношению к
различным участникам сделки. Так, то, что для одного — доход, для
другого — расход; один дает, а другой берет деньги в долг, один поку-
пает, а другой продает и т.д. Для выражения этого обстоятельства на
практике используют и отрицательные значения для сумм, стоимос-
тей и т.п. Обычно в ситуациях, рассматриваемых по отношению к од-
ной из сторон, участвующих в сделке, эти отрицательные значения
трактуются как расход, долг, уменьшение фондов, покупки и т.п. Ко-
нечно, все определяется конкретными условиями и способом описа-
ния сделки. Хотя, в принципе, можно было бы обойтись и без отрица-
тельных значений для сумм, их использование существенно упроща-
ет описание финансовых операций. Денежную шкалу будем отмечать
символом М.

Замечание. Различие по поводу дискретности денежной и непрерывности вре-
менной шкалы не стоит абсолютизировать. С одной стороны, на практике моменты
времени и промежутки измеряются лишь с определенной точностью, скажем, до дня
или недели. Иногда, когда речь идет о таком очень динамичном рынке, как рынок
валюты или биржевой рынок акций, могут играть роль и минуты, и даже доли минут.
Нов любом случае обычно имеется естественный предел в длительности реально
значимых промежутков времени, и меньшие промежутки просто игнорируются, так что
в этом смысле временная шкала практически дискретна, и все моменты и промежутки
при выборе подходящей единицы времени могут считаться целочисленными (целое
число минут, дней и т.п.). С другой стороны, денежную шкалу можно рассматривать
практически непрерывной, если в качестве единицы взять «достаточно большую»
величину. Так, сумма в //? 2,1356 бессмысленна, однако ее числовое значение становится
осмысленным, если в качестве единицы взять 1 млрд руб.

В выборе денежной шкалы учитываются два обстоятельства. При
описании финансовых сделок, контрактов и т.п. внутри данной стра-
ны, т.е. в рамках национальной денежной системы, произвол сводится
к выбору единицы денежной шкалы. При этом переход от одной едини-
цы к другой (например, от рубля к копейкам, от долларов к центам
и т.п.) сводится к умножению исходной денежной суммы на некоторую
константу. Более того, если е и е' - две базисные денежные единицы
денежной шкалы и

е = /е',
то для любой денежной суммы, выражающейся значениями т и т'в
этих базисах соответственно, справедливо соотношение

т'е = те
или

т'е' = mle,
откуда

т = ml.

Например, при переходе от рублей к копейкам имеем базисное
соотношение

Э?1 = 100 коп.,
и переход от рублей к копейкам означает умножение суммы в рублях
на 100.

Другой вид преобразования денежных сумм, связанный с выбором
денежной шкалы, имеет место в мультивалютных сделках. Так, в экс-
портно-импортных операциях постоянно приходится переходить от
сумм, выраженных в национальных денежных единицах, к «эквива-
лентным» суммам, выраженным в иностранной валюте, и обратно. Су-
щественное отличие этого случая от рассмотренного выше заключа-
ется в отсутствии фиксированного (т.е. не зависящего от времени) со-
отношения между единицами различных валют. Это наиболее типич-
ная ситуация. В некоторых случаях такие соотношения (обменные
курсы) могут фиксироваться на государственном уровне специальны-
ми соглашениями, но даже в таких случаях, как правило, существует
свободный рынок этих валют, на котором устанавливаются ихрыноч-
ные курсы, причем последние могут существенно отличаться от уста-
новленных.
В общем случае задача о переходе от одной денежной шкалы М к
другой шкале М' решается в принципе так же, как и выше, различие со-
стоит лишь в том, что коэффициент перехода /в базисном соотношении

е = /е'

зависит от времени: / = l(t) = lf, т.е.

е = //е/.

Коэффициент /, представляющий стоимость единицы е шкалы М
в единицах е' шкалы М' в момент /, называется (текущим) обменным
курсом (exchange rate) валюты е или котировкой валюты е относительно
валюты е'. Если е' — единица национальной валюты, а е — единица
иностранной валюты, то такая котировка называется прямой, т.е. в этом
случае единица иностранной валюты выражается непосредственно в
единицах национальной валюты. В противоположном случае, когда
стоимость единицы национальной валюты выражается в единицах ино-
странной валюты, соответствующая котировка называется обратной.

Естественно, что термины «прямая» и «обратная» котировки имеют
смысл лишь относительно выбранной национальной валюты. На между-
народных финансовых рынках вместо национальной валюты говорят
о выбранной основной, базовой или расчетной валюте. Тогда котировки
всех остальных валют относительно базовой называются прямыми
котировками этих валют, а котировка базовой относительно данной
валюты называется обратной котировкой данной валюты.

Задание обменного курса (котировки) / позволяет преобразовывать
значения денежных сумм из различных шкал. Так, сумме S, заданной в
единицах е шкалы М, соответствует в шкале М' (в момент /) значение

5,' = /,У

Например, если М — долларовая, а М' — рублевая шкалы, и теку-
щий обменный курс

$1 = J?25,

то $50 соответствуют Т? 1250 по текущему курсу. Естественно, можно
находить и обратное соответствие. Так, сумме УА 500 соответствует $20.

Основные типы финансовых величин. Пожалуй, одним из важней-
ших обстоятельств, которое часто упускают из вида, является то, что
цены, курсы, стоимости, доходы всегда имеют определенную
временную привязку. Они относятся либо к моментам времени,
например курс ценной бумаги, либо к временным промежуткам,
например дивиденды или проценты. В соответствии с этим все
величины в финансовой математике (да и вообще в экономике) можно
разделить на два класса.

Первый класс составляют величины, относящиеся к моментам вре-
мени. Они являются функциями времени, т.е. изменяются с течением
времени. Их называют фондовыми величинами (или переменными состо-
яниями). В англоязычной литературе — stock variables, т.е. переменные
запаса. Эти величины представляют мгновенное значение различных
финансовых характеристик, таких как стоимость, цена, курс. Все ба-
лансовые показатели относятся к величинам этого вида.

Второй класс составляют величины (переменные), которые есте-
ственным образом связаны с промежутками, периодами времени.
Их называют интервальными величинами. В англоязычной литерату-
ре — flow variables, т.е. переменные потока. Так, годовой доход, прибыль,
доходность, процентная ставка — примеры величин этого класса.
В частности, большое семейство величин этого класса составляют
характеристики, показывающие изменение фондовых величин (т.е. ве-
личин первого класса) за определенный промежуток времени. Прира-
щение стоимости активов какого-либо фонда за год является также
примером интервальных величин.

Между величинами указанных классов не всегда удается провести
четкую грань. Рассмотрим, например, дивиденды, выплачиваемые по
обыкновенным акциям. Конкретно очередная выплата дивидендов
осуществляется в определенный момент времени. Для отдельного акцио-
нера это может быть моментом перечисления дивидендов на его счет
в банке или брокерской конторе. Поэтому на первый взгляд эта сумма
относится к моменту времени. Однако экономический смысл дивиден-
дов как доли прибыли, полученной предприятием за определенный
промежуток времени, например за год, ясно указывает на то, что эта
величина является функцией именно промежутка, а не момента време-
ни. Так, бессмысленно говорить о том, какова величина дивидендов на
данную конкретную дату: сегодня, завтра, через год. Однако можно
говорить о величине дивидендов за год, два, три и т.д. С другой
стороны, не имеет смысла говорить о цене акции за год, два года и т.п.
Можно говорить об изменении цены или средней цене за эти проме-
жутки, но это уже интервальные, а не мгновенные характеристики.

Из отмеченного выше различия между мгновенными и интерваль-
ными величинами следует различный способ их математического пред-
ставления. Так как величина первого типа есть функция времени, то
обычно этот факт записывают в виде S(t) или 5, где 5(Г) (или 5,)
значение в момент времени t некоторой величины S, например сто-
имости актива. Часто можно рассматривать всевозможные значения
5(0 при различных t из некоторого промежутка. Наглядно эта ситуа-
ция изображается графиком S(f) как функции от г (рис. 1.3).

Здесь горизонтальная ось
(ось абсцисс) есть временная
шкала, а вертикальная ось (ось
ординат) есть шкала значений
величины 5, например денеж-
ная шкала.

Величины второго класса
являются функциями проме-
жутка, и поэтому для их опре-
деления необходимо задавать
промежуток времени. Это мож-
но сделать, используя стандар-
тное обозначение для проме-
жутков [гр /2] или (Zp t2) и т.п. Так, значение величины R второго класса
для промежутка (отрезка) [/р Г2] можно записать в виде /?([7р r2J), а для
промежутка (/р Л,] соответственно Л((Гр Ц). Если тип промежутка
несуществен, то можно написать просто Я(гр t2).

—ь-

R ([Ц, ь>])
--------!--

f1 f2

Рис. 1.4

Иногда эта величина зависит не
от положения концов промежутка,
а только от его длины T=t2- tx при
Zj < tr В этом случае вместо приве-
денных выше обозначений исполь-
зуют обозначения вида /?(Т) или Rr

Наглядно величины обоих клас-
сов можно представить с помощью
временных диаграмм. Например,
конкретное значение 5 в момент
времени t, а также A((rp ZJ) можно
изобразить, как это сделано на
рис. 1.4.

Временная Т и денежная М шка-
лы вместе порождают финансовую
систему координат, которую назы-
вают финансовым пространством
или плоскостью время— деньги. Формально финансовое пространство
есть просто декартово произведение

TxM = {(/,tfi)|rеТ./ие м},

которое состоит из возможных пар вида (t, т), где t — временная, ат —
денежная компоненты (координаты) этой пары (или точки). Наглядно
финансовое пространство или плоскость время-деньги имеют вид
обычной координатной плоскости, где по оси абсцисс отмечаются
моменты времени, а по оси ординат — денежные суммы (рис. 1.5).

1.2. Финансовые события и денежные потоки

Финансовые события и платежи. Введем теперь два понятия, кото-
рые образуют своеобразный мостик между финансовыми величинами
двух классов, введенными в предыдущем параграфе. Речь идет о фи-
нансовых событиях и финансовых (денежных) потоках.

В финансовой математике, как уже упоминалось, сопоставляются
денежные суммы и моменты, или промежутки, времени, к которым
они относятся.

Определение 1.1. Пара (Г, С), состоящая из момента времени t и
значения суммы С, называется мгновенным финансовым событием или
событием 1-го рода. Мгновенные события будем называть просто
событиями.

Финансовое событие наглядно изображается либо отмеченной точ-
кой на временной диаграмме, либо точкой на плоскости время-деньги
(см. рис. 1.5).

Финансовое событие может иметь различную интерпретацию. Так,
это может быть просто указание стоимости актива в данный момент вре-
мени. Но это может быть и взнос (вклад, поступление) на счет или в фонд
в некоторый момент t определенной суммы С. Это может быть также
выплата (изъятие) со счета или фонда некоторой определенной суммы
в момент времени Л В первом случае значения С обычно записываются
положительными, а во втором случае — отрицательными числами.

Определенные выше события (1-го рода) являются формальным
представлением мгновенных финансовых величин. Интервальные фи-
нансовые величины представляются событиями 2-го рода.

Определение 1.2. Пара (J, Q, где J с Т — некоторый временной
промежуток, а Се М - денежная сумма, называется интервальным
событием или событием 2-го рода.
На временной диаграмме интер-
С вальное событие изображается, как

- на рис. 1.6.

'——._______.——Хотя мы определили два вида

t] J 2 финансовых событий, соответству-

Рис. 1.6 ющие двум типам финансовых ве-

личин, на практике во многих слу-
чаях, как, в частности, отмечалось в примере с выплатой дивидендов,
можно обойтись событиями 1-го рода. Так обычно и поступают. Для
этого используют преобразование интервального платежа в мгновен-
ный платеж:

(ЛС)^(т,С).

В простейшем случае величина платежа не меняется, а преобразова-
ние заключается в выборе момента т актуализации этого платежа. На
практике чаще всего используются два правила актуализации интер-
вального платежа (J, С), где J — промежуток с концами t}> tr В первом
случае платеж С осуществляется в начале промежутка, т.е. т= Z Такая
схема актуализации называется авансированием (рис. 1.7а). Во втором
случае платеж С осуществляется в конце промежутка, т.е. т = t. Эта
схема называется финализацией (рис. 1.7 б).

С С ч

ч---------------------------1----- --------------1--------------------------I-

?1 f2 f2

a 6

Рис. 1.7

Актуализация задает способ преобразования событий 2-го рода в
события 1-го рода. Имеется еще один вид связи между такими «разно-
родными» событиями, состоящий в преобразовании событий 1-го рода
в события 2-го рода. Речь идет об операторе изменения мгновенной
величины за некоторый промежуток времени J = [rp 7J. Если нам
известны два события (Гр 5Д, (Г2, 52) (1-го рода), соответствующие
состояниям фондовой величины в моменты tv то можно определить
событие 2-го рода (/, С), где С = S(t2) - S(t{) — изменение вели-

чины S на промежутке J.

Финансовые потоки. На практике изолированные события рассмат-
риваются редко. В большинстве случаев в финансовой сделке участвует
не одно, а множество событий.
Определение 1.3. Последовательность

{(а ’^1 )’(*2 »Q)’ ’(^л ’^л)} , Я - 00

финансовых событий называется (дискретным) финансовым или де-
нежным потоком 1-го рода и обозначается символом CF(от англ, cash
flow).

При п < °° — это конечный (дискретный) финансовый поток. В фи-
нансовой литературе рассматривают также и случай п — ©о, т.е. беско-
нечные (дискретные) потоки, например так называемые вечные ренты.

Так, открытию счета на ЗЯ 1000 и последующему снятию с него в
конце 1-го и 2-го годов соответственно 3?400 и 3? 300 соответствует
финансовый поток

CF = {(0,1000),(1, -400),(2, -300)}.

Денежный поток наглядно изображается либо последовательнос-
тью отмеченных точек на временной шкале (рис. 1.8 а), либо точками
на координатной плоскости (рис. 1.8 6).

а б

Рис. 1.8

Изображения финансовых событий и потоков на временной шкале
называют обычно временными диаграммами, а их изображения на плос-
кости — графиками.

Естественным образом определяются умножение финансового по-
тока на некоторое число и сумма (объединение) двух финансовых
потоков. Так, под результатом умножения финансового потока

СЛ = {(/,,С,),(?2,С2),...,(/„,С„)}

на число «понимается поток

aCF = {(/l,aC1),(z2,aC2),...,(r„,eC,)}.

В свою очередь, результатом суммирования потоков CF} и С7;
является поток CF} + CF2, состоящий из всех финансовых событий

и , входящих в потоки CF} и СЕ, соответственно, для

которых моменты и различны, а также событий +С]2>)
при tj^ =t^ = tj. В последнем случае, если в результате сложения сумм
имеем, что Ср + Cj.2) =0, то событие (Л, 0) можно не включать в резуль-
J J J

тирующий поток.

Моменты времени для которых имеют место ненулевые платежи,
назовем критическими моментами. Таким образом, если t — критичес-
кий момент, то в финансовом событии (Л, С) должно выполняться
условие С 0.

Пример 1.1. Для финансовых потоков событий

CF{ = {(0, 100), (2, -200), (3, 400), (5, 100), (6, -300)}
и

CF, - {(2, 400), (4, 700), (5, -150), (6, 650), (7, 800)}

найти финансовый поток 2CF{ + CFr

Решение. Прежде всего выпишем поток 2CF.:

2CFX = {(0, 200), (2, -400), (3, 800), (5, 200), (6, -600)}.

Тогда для потока 2CF, + CF2 окончательно получаем

2CF} + CFX = {(0, 200), (3, 800), (4, 700), (5, 50), (6, 50), (7, 800)},
при этом событие (2, 0) опускается, так как моменту времени t = 2 реально никакого
финансового значения не приписано.

Заметим, что в финансовой математике дискретный денежный
поток часто описывают не последовательностью t составляю-

щих этот поток событий, а его денежной или платежной функцией
cCF= C(ty.

C:T—>М, /—>С(г),

определенной на всей временной шкале. При этом функция C(t) ~0 во
всех точках, кроме критических, в которых она, естественно, совпадает
с суммами С , связанными с событиями, т.е.

Сй = !°’

[Q, если t=tk.
Функции такого рода принято называть финитными (для конечных
потоков), поскольку они отличны от нуля лишь в конечном числе
точек. Множество всех точек (моментов), в которых характеристичес-
кая функция потока отлична от нуля, называется его носителем и обоз-
начается suppCF:

suppCF = peT|C(r)^O}={z|5r2,...,^}.

С помощью денежных функций легко определяются алгебраичес-
кие операции над потоками. Пусть, например, CJ/) и С2(/) — денежные
функции потоков CF{ и CF2 соответственно. Тогда для потока CF,
являющегося суммой

CF = CFX+CF2

этих потоков, денежная функция C(t) определяется равенством

c(/)=q(/)+c2(/).

Аналогично денежная функция C(t) потока АСА, полученногоумно-
жением потока CF на число А, есть произведение денежной функции
С(0 потока СГна это число:

(?(/)= АС(г).

Согласно данному выше определению потока, его события отно-
сятся к определенным моментам времени. Рассмотрим упоминавшую-
ся выше выплату дивидендов по акциям (или процентов по облигаци-
ям). Последовательность ежегодных выплат дивидендов можно также
описать денежным потоком. Но дивиденды по своему содержанию
являются выплатами за период, например за год. Поэтому с формаль-
ной точки зрения следовало бы определить еще один вид потоков,
состоящий из платежей за период.

Определение 1.4. Интервальным финансовым потоком или денежным
потоком 2-го рода называется последовательность событий 2-го рода

где J — попарно непересекающиеся промежутки времени.

На временной диаграмме (рис. 1.9) приведена графическая иллюст-
рация денежного потока 2-го рода.

Ст с2 сп

А f2 ^2 f3 *п-1
100 200 300

0 12 3

Рис. 1.10

100 200 300

—ч 1
1 2 3
Рис. 1.11
100 200 300

Ч----1----1---h

0 12 3

Рис. 1.12

Определенная выше операция
актуализации событий 2-го рода
легко переносится и на потоки.
Применяя ее к каждому собы-
тию, из потока 2-го рода получим
поток 1-го рода, т.е. обычный по-
ток событий. Хотя в принципе
выбор конкретной схемы актуа-
лизации (авансирования или фи-
нализации) может быть различ-
ным для различных событий, на
практике обычно используют
«единообразную» схему актуали-
зации: либо авансирование для
всех событий, либо финализация
также для всех событий потока

2-го рода. ___

Таким образом, в первом случае интервальный поток CF превра-

тится в авансированный (относительно последовательности промежут-
ков J,) поток событий
к7

а во втором — финализированный поток

Оператор авансирования обозначим через Adv, а оператор финализа-
ции через Fin. Тогда

CF° = Mv(CF\,

CF1 = Fin(CF).

Пример 1.2. Для потока 2-го рода (рис. 1.10) найти соответствующие этому
потоку авансированный и финализированный потоки событий.

Решение. Авансирование потока СЛдает поток

CFa = = {(0.100),(1,200),(2.300)}

Его диаграмма приведена на рис. 1.11.

Финализация потока СТдает поток

CF1 = = {(1,100) ,(2,200), (3,300)},

диаграмма которого показана на рис. 1.12.
Можно также рассматривать преобразование потоков 1 -го рода в
потоки 2-го рода. Один из общих подходов к такому преобразованию
будет описан ниже, а здесь рассмотрим преобразование потоков, свя-
занное с понятием изменения фондовой величины. Пусть

CF = {(/I,C1),(z2,C2),...,(r„,C.)}

— поток событий, представляющий собой последовательность состоя-
ний некоторой фондовой величины. Тогда ему соответствует поток
2-го рода

cF={p„cI),(j2>c2)>...,p„c,)},

где Jk = [fjVA.+J,a Ск = \Sk = S(tk+{)~ S(tk) — изменение 5 на проме-
жутке Jk.

Описанные операции чаще всего используются в теории рент, явля-
ющихся примерами так называемых регулярных потоков платежей.

Ренты. Регулярные потоки платежей естественным образом появ-
ляются во многих финансовых контрактах, сделках и операциях. Вып-
лата процентов по облигациям или по вкладу, выплата дивидендов
акционерам, выплата пенсий участнику пенсионной схемы — все это
примеры регулярных потоков платежей. В понятии регулярности по-
тока есть два аспекта: временной и финансовый. Временной аспект
связан с регулярностью моментов осуществления платежей, например,
платежи осуществляются в конце каждого месяца, квартала или года.
Финансовый аспект связан с некоторой закономерностью в размерах
самих платежей, например, все платежи одинаковы, платежи монотон-
но растут на заданную величину, или увеличиваются в заданное число
раз, или, наоборот, уменьшаются и т.п.

Обычно потоки платежей, обладающие регулярностью платежей
как по времени, так и по величине, называют рентами. По своему
смыслу рентные платежи, как отмечалось выше, являются интерваль-
ными величинами, поскольку относятся к периодам, а не моментам
времени. Поэтому рента — это регулярный поток платежей второго
рода. Выше было показано, как этот поток превращается в обычный
поток платежей (поток 1-го рода или поток событий), который также
называется рентой. Поскольку ренты играют очень важную роль в
финансовом анализе, рассмотрим их более подробно. Начнем с опре-
деления.

Определение 1.5. Рентой называется интервальный поток (поток
2-го рода)
с последовательностью смежных промежутков
Л»-Л’--’ Л’--’
называемых периодами ренты, одинаковой длины:

Число h называется (числовым) периодом ренты. Концы
^0’ (t’ Сг’ ”

промежутков

Л “ (А-i Л)

называются (критическими) моментами ренты. Они образуют арифме-
тическую прогрессию tt = tk}+nh, п = 0,1,.... Момент t называется
началом ренты. Если рента имеет конечное число промежутков Jk (или
платежей), то она называется срочной, в противном случае — бессроч-
ной, или вечной. Конец tn последнего промежутка ф срочной ренты
называется концом ренты. Число T=tn—tQ называется горизонтом (ши-
риной) ренты.

Некоторые платежи ренты могут быть нулевыми. Периоды, кото-
рым соответствуют ненулевые платежи, называются платежными, ос-
тальные периоды — нулевыми (пустыми). Число платежных периодов
называется сроком ренты.

Начало первого платежного периода ренты называется эффектив-
ным началом, а конец последнего платежного периода — эффективным
концом ренты.

Таким образом, начало и эффективное начало ренты могут не
совпадать. При совпадении рента называется немедленной, в против-
ном случае — отложенной, или отсроченной. Если конец и эффектив-
ный конец ренты совпадают, то рента называется завершенной, в про-
тивном случае — незавершенной. На рис. 1.13 изображены диаграммы
отложенной (а) и незавершенной (б) рент.

Если все ненулевые платежи ренты равны, то рента называется
постоянной. Если платежи ренты монотонно растут, то рента называет-
ся возрастающей, если монотонно убывают, то — убывающей', и в том,
и в другом случае рента называется монотонной. По характеру моно-
тонности (убывания/возрастания) ренты делятся на арифметические
б

Рис. 1.13

и геометрические. Платежи арифметической монотонной ренты со-
ставляют арифметическую прогрессию

= Ck + d, k = 1,2,...,

а платежи геометрической монотонной ренты образуют геометричес-
кую прогрессию

си1=сЛ *=1,2,...

Приведенные выше определения задают ренту как поток CF 2-го
рода. Но на практике рента реализуется (актуализируется) как поток
финансовых событий. Выше мы привели два правила актуализации,
т.е. превращения интервального потока в поток (ренту) событий.

В первом случае все рентные платежи относятся на начала соответ-
ствующих периодов. Полученный таким преобразованием поток назы-
вается авансированной, упреждающей рентой или рентой пренумерандо.

Во втором случае все рентные платежи относятся на концы соответ-
ствующих периодов. Полученный таким преобразованием поток назы-
вается финальной, обыкновенной рентой или рентой постнумерандо.
Обыкновенную ренту в отечественной литературе [24] иногда называ-
ют задержанной. Термин «задержанная рента» не следует путать с ранее
приведенным термином «отложенная (отсроченная) рента».

На оба описанных выше представления интервальной ренты как
потока событий дословно переносятся все данные выше определения.
Так, можно говорить о срочной постоянной обыкновенной ренте,
отложенной возрастающей авансированной ренте и т.д.

3-5169
Периоды ренты на практике обычно связаны с так называемыми
стандартными календарными периодами, подробно рассматриваемы-
ми ниже в этой главе. К ним относятся годовые, полугодовые, квар-
тальные, месячные и т.д. промежутки. Ренту с годовым периодом
обычно называют аннуитетом.

Иногда суммы, относящиеся к естественным периодам ренты, реа-
лизуются не одним платежом, а серией одинаковых (более мелких)
платежей, равномерно распределенных по периоду ренты. Так, диви-
дендная рента по акциям с естественным годовым периодом часто
выплачивается ежеквартально. Другим примером может служить ку-
понная рента по облигациям. Годовой процент по облигациям, задава-
емый купонной ставкой, часто Выплачивается двумя одинаковыми
платежами по полугодиям. Ренты такого вида называютсяр-кратными
относительно базового периода ренты (обычно года). Так, р-кратная
рента с годовым периодом (т.е. аннуитет) и годовым платежом С
реализуется в виде р одинаковых платежей величины С/р. Эти платежи
сами образуют ренту, которую назовем микрорентой соответствующей
базовому периоду ренты (рис. 1.14).

С/р С/р С/р

---------------------------------1-----1-----

Сх С1+Ср С1+2/Р ... ^_,+(р-1)/р

Рис. 1.14

Микрорента получается дроблением суммы С, относящейся к неко-
торому базовому периоду. Если эта операция выполняется для всех
сумм и периодов ренты, то полученная рента называется р-кратным
дроблением исходной ренты. Оператор р-кратного дробления обозна-
чим как соответственно ренту, полученную р-кратным дроблени-
ем ренты CF, как

Пример 1.3. Для арифметической возрастающей интервальной ренты CF
(рис. 1.15) найти микроренту, соответствующую трехкратному дроблению последнего
платежа, и ренту, полученную двукратным дроблением всей ренты CF .

Рис. 1.15

Рис. 1.16
Решение. Микрорента D(3>([2, 3], 300), соответствующая трехкратному дробле-
нию последнего платежа, изображена на рис. 1.16.

Рента получающаяся двукратным дроблением ренты CF, показана на рис. 1.17.

О 1/2 1 3/2 2 5/2 3

Рис. 1.17

К дробной ренте, т.е. ренте, полученной д-кратным дроблением,
можно применить оба вида преобразования (актуализации), которые
рассматривались выше. Последовательно применяя операторы дроб-
ления и актуализации, можно получить дробные ренты событий. Так,
ренту Adv(DM{CF)) можно назватьр-кратной авансированной рентой,
а ренту лДр’Дст)) -р-кратной обыкновенной рентой.

Пример 1.4. Для интервальной ренты CF из предыдущего примера найти различ-
ные актуализации двукратного дробления этой ренты.

Решение. Очевидно, что

Adv(^{CF)) = {(0,50), (1/2, 50), (1, 100), (3/2, 100), (2, 150), (5/2, 150)}.

Аналогично

Д/и(д(2)(сТ))= {(1/2, 50), (1, 50), (3/2, 100), (2, 100), (5/2, 150), (3, 150)}.

Мы определили оператор дробления непосредственно для интер-
вальной ренты. Очевидно, что его легко распространить на ренты
событий. Для этого необходимо просто поменять местами операторы
дробления и актуализации.

Так, р-кратное дробление авансированной ренты (событий) можно
определить как авансирование кратного дробления исходной интер-
вальной ренты:

(Adv(CF)) = AddjF (CF)).

Аналогично можно определить дробление обыкновенной ренты
(событии). DM(Fin(.CF))= Fin(lF} (CF)\

На этом закончим краткий обзор основных понятий, относящихся
к регулярным потокам — рентам.

Большое внимание, уделенное финансовым событиям и потокам,
вызвано тем, что в современной финансовой теории понятие актива
непосредственно связано с понятием потока платежей. По существу,
з*
с формальной точки зрения любой актив можно представить порожда-
емым им потоком платежей. Так, облигацию можно описать потоком,
состоя щим из всех процентных выплат и выплаты ее номинала в конце
срока погашения, акцию можно отождествить с потоком выплат диви-
дендов и, в случае продажи, вырученной суммой, недвижимость —
потоком арендных платежей и т.д.

Рассмотрим, например, облигацию с номинальной стоимостью
.^’1000 и сроком погашения 3 года. Пусть купонная ставка равна 8%
годовых и проценты (купоны) выплачиваются дважды в год в конце
каждого полугодия, т.е. по истечении очередного полугодия требуется
выплатить 40. Тогда денежный поток, порождаемый этой облигаци-
ей, имеет следующий вид (рис. 4.18).

40 40 40 40 40 1040

—I-------1-----1------1------1-----1----1—

0 1/2 1 3/2 2 5/2 3

Рис. 1.18

Представление актива в виде денежного потока позволяет строить
математические модели, описывающие количественные соотношения
между основными характеристиками активов: их ценами, доходностью,
риском и др. Ниже будуг рассмотрены некоторые из таких моделей.

Нетто-величина дискретного потока и простейшие балансовые модели.
Согласно определению, финансовые события, составляющие поток
платежей 1-го рода, относятся к конкретным моментам времени. Вве-
дем теперь характеристику, связанную с событиями потока, происхо-
дящими внутри некоторого промежутка времени.

Определение 1.6. Нетто-величиной потока платежей

на промежутке J называется величина

W(CT,j)=LD,

т.е. это просто алгебраическая сумма величин Ск тех платежей потока,
моменты времени которых попадают в данный промежуток; символ
NV — сокращение от англ, netto-value.

Заметим, что здесь при определении промежутка времени важно ука-
зать, включаются ли в него или нет его границы. Например, для потока
CF= {(-3, 100), (-1,200), (1, 300), (2, 400)}
для различных промежутков можно вычислить соответствующие нетто-
величины потока:

Ж(СТ, [—4, 0]) = 100 + (-200) - -100;

ЛТ(СГ,(~1, 1]) - 300;

NV(CF, [-3, 5)) = 100 - 200 + 300 + 400 - 600.

Для нетто-величины потока имеет место очевидное свойство.

Свойство аддитивности. Для любых t[ < t2 < ty

NF(CF, [Г,, Г2|) + NV(CF, (/2, rj) = NV(CF, [Гр 7Д),
т.е. нетто-величина потока на промежутке равна сумме нетто-величин
потоков на составляющих этот промежуток непересекающихся под-
промежутках (т.е. его частях).

В финансовой математике широко используются так называемые
накопительные модели. Такой простейшей моделью является модель
накопительного счета (или фонда), состояние которого в момент t
предстявляет собой мгновенную денежную величину 5(1). Поступаю-
щие на накопительный счет средства, задаваемые входным потоком
платежей, аккумулируются на счете, увеличивая его состояние, соот-
ветственно снимаемые со счета средства образуют выходной поток
уменьшающий состояние счета. Наличие входного и выходного пото-
ков, таким образом, тесно связано с изменениями состояния счета.
Более того, само понятие состояния в этом случае нуждается в уточне-
нии. Для пояснения этого рассмотрим следующий пример.

Пусть инвестор имеет на счете в банке .27500. В некоторый момент
времени Л он вносит еще Л100. Каково состояние счета в этот момент
времени? Следует помнить, что мы имеем дело с моделью, т.е. идеали-
зированным представлением процесса формирования счета. Посколь-
ку в модели поступление новой суммы считается мгновенным, то
мгновенно должно измениться и состояние счета. Таким образом,
возникает «неопределенность»: считать ли состоянием в момент вре-
мени Г|} начальное значение .27500 или же новое «пополненное» значе-
ние ;27600? На практике такой вопрос, конечно, не возникает, посколь-
ку пополнение счета не мгновенный акт, а процесс, имеющий длитель-
ность. Однако в математической модели необходимо сделать выбор и
дать соответствующее определение состояния. В принципе возможны
три варианта.
В первом из них предлагается считать состояние просто неопределенным
в моменты поступления или изъятия сумм, но этот подход не очень удобен.

Во втором варианте состояние в момент t совпадает с «непосред-
ственно предыдущим». Математически это записывается в виде

<) = 5(zo-O),
где

5(Z0 — 0)= lim S(t)

-О

есть предел слева S(t) в точке tQ. Это значит, что функция S(t) является
непрерывной слева в точке tQ.

Для нашего примера это соответствует выбору состояния счета в
момент Zo, равного 500.

Наконец, в третьем варианте состояние в момент t считается
совпадающим с «непосредственно следующим за ним» состоянием.
Это значит, что

0 = ^ + 0),
где

5(Z0 +0)= lim 5(Z)

есть предел справа функции 5(f) в точке tQ. В этом случае 5(/) непрерыв-
на справа.

В нашем примере это соответствует состоянию счета в момент Zo,
равному J'? 600.

Таким образом, во втором варианте состояние счета в момент tQ «не
реагирует» на поступление, а в третьем варианте оно — «завершенное»,
т.е. то, в котором уже учтено поступление на счет, произошедшее в
данный момент времени.

Следует отчетливо понимать, что вопрос о том, «какое состояние на
самом деле», бессмыслен. Но, строя математическую модель, необхо-
димо дать соответствующее определение состояния.

Здесь и в последующем выбираем третий вариант — завершенное
состояние. Если бы выбрали второй вариант, то промежутки в свойстве
аддитивности были бы открытыми справа, т.е. имели вид [гр t2) и [Г t3).

Нетто-стоимость потока, как легко видеть, полностью определяет
сам поток. В самом деле,

Ck = NV(CF,[tkJk]).
Таким образом, нетто-стоимость является еще одной и, как увидим
ниже, более общей формой задания финансовых потоков.

Финансовые или денежные потоки обычно имеют источники, т.е.
финансовые средства, ресурсы, запасы, которые порождают эти пото-
ки, и приемники или цели, куда эти потоки поступают. Источники и при-
емники можно представлять в виде резервуаров, накопителей денежных
ресурсов, т.е. с позиции финансовой математики это просто фонды. Те-
кущая величина (объем) фонда есть стоимость имеющихся в данный
момент в фонде активов. Это — величина 1 -го класса. Денежный поток,
связанный с фондом, может менять его величину в течение некоторого
промежутка времени. Если положительные значения из потока рассмат-
ривать как входной поток, а отрицательные — как выходной, то исходный
денежный поток разобьется на два потока: один поступающий (втека-
ющий) в фонд, а другой исходящий (вытекающий) из него. Заданный
промежуток времени изменение величины фонда в точности равно ал-
гебраической сумме платежей потока за этот же промежуток.

Математически этот факт отражается следующим образом. Пусть
Ио— начальная величина фонда; Г — величина фонда в момент
времени t. Тогда для любого потока CF, связанного с фондом, будет
справедливо соотношение

И=ИО + Ж(СГ,(О,Ф Г>0, (1.1)

которое называется уравнением баланса.

Далее, пусть и t — произвольные моменты времени и t < t. Тогда
из (1.1) с учетом свойства аддитивности нетто-величины потока собы-
тий следует, что

V,, = + NV(CF ,(0,z2]) = V„ + NV (CF,(0, Г, ])+
+NV(CF,(?, ,r2 ]) = V,t + NV (CF,^ / J).

Таким образом, получим соотношение

V,2=Vr +NV(CF,(tt,t2]), tt<t2, (1.2)

которое также называется уравнением баланса.

Уравнение (1.2) есть просто выражение закона сохранения. В самом
деле, разность есть изменение объема фонда за промежуток
времени (/ ZJ, а объем фонда в этом промежутке изменится ровно
настолько, сколько денежных средств поступит (или уйдет) в (из) него.
Нетто-величина потока как раз и дает общий баланс поступлений
и изъятий фонда.
В качестве примера рассмотрим снова поток

CF= {(-3, 100), (-1,200), (1, 300), (2, 400)}.

Считая, что величина фонда в момент времени t = 0 составляет = :4?500,
можно найти состояние фонда в любой другой момент времени. Так,

+ д?300 - ?;?500 + 2/?300 = .Э? 800;

Э7400 = У712ОО

И т.д.

Приведенные выше определения и вычисления, отражающие зави-
симость величины фондов от соответствующих потоков финансовых
событий, не учитывают временную стоимость денег. Это чисто балан-
совые соотношения. Существуют более сложные соотношения, учиты-
вающие и фактор времени в том смысле, о котором говорилось ранее.
Так, величина фонда может изменяться не только из-за временных
поступлений, но из-за изменения стоимости активов фонда.

Общие финансовые потоки. В заключение параграфа проанализиру-
ем финансовые потоки с несколько более общей точки зрения, позво-
ляющей ввести обобщенное понятие финансового потока и, в частно-
сти, описать так называемые непрерывные потоки, которые играют
важную роль в финансовом анализе.

Рассмотренные выше потоки событий (потоки 1-города) являются
дискретными (или сосредоточенными) потоками, потоки 2-го рода —
интервальные потоки, являются распределенными. Между ними имеет-
ся двусторонняя связь. Интервальный поток CF можно (вообще гово-
ря, искусственно) преобразовать в дискретный, а любой дискретный
поток (событий) CF — в интервальный, если некоторым образом
подобрать последовательность непересекающихся промежутков
/рсодержащую все моменты дискретного потока. В этом
случае промежутку Jk можно поставить в соответствие интервальный
платеж

q-W(CF,4),
являющийся нетто-значением потока СГна промежутке Jk. Эта связь
имеет более глубокие корни; она позволяет дать обшее определение
финансового потока, включающего как дискретные, так и распреде-
ленные, в частности, непрерывные потоки.

Задать финансовый поток общего вида можно с помощью так
называемой величины потока — функции, сопоставляющей каждому
промежутку J временной шкалы Т значение И(У) величины потока,
соответствующее этому промежутку. Содержательно величина потока
для данного промежутка равна общей денежной массе, «перенесен-
ной» потоком за данный период времени. Формально это просто
некоторая функция промежутков времени. Ее естественно считать адди-
тивной в том смысле, что величина потока для промежутка, разбитого
на две части, будет равна сумме величин потоков, соответствующих
этим частям. Таким образом, можно дать следующее определение.

Определение 1.7. Величиной финансового потока CF называется
аддитивная функция промежутков временной шкалы Т, т.е. функ-
ция Ис/., сопоставляющая каждому промежутку J (любого вида) некото-
рое значение Vcr(J) из денежной шкалы М. Аддитивность VCF означает,
что для любых двух непересекающихся промежутков /, /2, дающих в
сумме промежуток/:

J = JtU/2, ЛАЛ=0,
выполняется равенство

КДД=и„(лид)=КД/,)+исд/2).

Поток СЕ, определяемый своей величиной И , назовем общим финансо-
вым потоком.

В дальнейшем величину потока будем обозначать как И, если это не
будет приводить к недоразумениям.

Определение общего финансового потока весьма похоже на опреде-
ление потока 2-го рода, однако в нем нет упоминания о какой-либо
заранее заданной последовательности смежных промежутков. Значе-
ние величины финансового потока (или объем платежа) сопоставляет-
ся любому промежутку.

Введем еще ряд дополнительных определений, связанных с поняти-
ем общего финансового потока, которые позволят точнее описать
связь этого понятия с ранее изученными потоками.

Как и для дискретных потоков, можно определить операции над
общими потоками. Так, говорят о сумме CF ~ CF{ + CF2 двух общих
потоков, задаваемых величинами Fj=Fcf и V2 = Vcf, соответственно.
При этом для каждогопромежутка/величина Й(/) = ИС£(/) суммарно-
го потока определяется суммой значений К^/) и И,(/), т.е.

С(/) = EJZ) + И2(/).

Умножение общего потока СЕ, задаваемого величиной VCF, на число
Л дает поток ЛСЕ, значение величины которого для промежутка/равно
ЛИ(/).
Будем говорить, что точка а е Т является особой или критической
точкой потока, если для любых достаточно малых промежутков J,
содержащих а, имеет место равенство

И(/) = У(а).

Здесь точка а рассматривается как промежуток (отрезок)

/ = [д,бг].

Финансовый поток, задаваемый величиной И, будем называть диск-
ретным, если он имеет дискретное (конечное или бесконечное) множе-
ство особых точек а}, ап,... таких, что для любого промежутка J,

не содержащего ни одной особой’точки, соответствующее значение
величины потока Уравно нулю:

Г(/) = 0.

В этом случае совокупность особых точек называется носителем
общего потока. Совершенно ясно, что дискретный поток с множе-
ством особых точек av..., ап, п<о° — обычный поток событий (поток
1-го рода), описанный выше. Действительно, если положить = ak
и Q = У(ак), то получим поток событий

причем, как легко видеть, нетто-значение потока CF на любом промежут-
ке /совпадает со значением величины Уисходного дискретного потока:

NV(CF, /) - И(/).

Последнее равенство, в свою очередь, подсказывает, как для обычного
(дискретного) потока событий задать соответствующий ему общий
поток, определяемый величиной V.

Вернемся теперь к общим потокам CF, задаваемым величиной И
Пусть / — произвольный промежуток (любого вида) с концами а и Ь.
Обозначим его как J = < а, Ь>. Назовем средней плотностью потока на
промежутке / величину

где |/| = b — а — длина промежутка /. Будем говорить, что поток имеет
конечную плотность /т(с) в точке с, если существует предел
Таким образом, плотность р(с) в точке с есть предел средней плот-
ности потока по промежуткам, содержащим с (се J), при условии, что
их длина стремится к нулю (\J\ 0). Существование конечной плотно-

сти в точке с означает, что для достаточно малых (по длине) промежут-
ков /имеет место приближенное равенство

/4(с)|/| = p(c)(b-a),

которое тем точнее, чем меньше длина промежутка /. В частности,
отсюда следует, что И(/) —> 0 при |/| —> 0, с е /, или, как еще говорят,
поток непрерывен в точке с, т.е. значение потока в этой точке
равно нулю:

ф})=0.

Поток, непрерывный в каждой точке с g Т, называется (всюду)
непрерывным.

Для непрерывного потока значение величины V на промежутке
/= < <2, Ь> не зависит от вида промежутка:

И(к, Ь]) = У((а, Ь]) = К([а, Ь)) = И((л, Ь)).

Поэтому величину непрерывного потока можно рассматривать не
как функцию промежутка, а как обычную функцию двух переменных
(концов промежутка):

V(J)=V(a,b).

Так в дальнейшем и будем поступать.

Условие аддитивности в этом случае запишется в виде

И(я, с) = V(a, b) + V(b, с)
для а < b < с.

В частности, плотность непрерывного потока в точке есть предел

.. И(х,у)

11ГП „Д--Х<С<у.

(у-4->о у-х

Особое значение в дальнейшем будут играть потоки с кусочно-
непрерывной плотностью р(х) в любой точке изТ. Такие потоки назовем
абсолютно непрерывными.

ц(с) =
В математическом анализе показывается, что аддитивная функция
V с кусочно-непрерывной плотностью /Дх) представляется в виде
определенного интеграла:

K(/) = j/i(x)dx,

J
в частности,
ь
jju(x)dx.
а

Этот факт доказывается просто, если определить функцию

M(t) = t),

где Го — фиксировано. Тогда из аддитивности V и существования
плотности немедленно следует

М'(г) = ^(г).

В самом деле

ay//\ г +

М (t} = lim—=

7 А-Л) h

Таким образом, Л/(/) есть первообразная для ^(0- Если fj(t) — кусоч-
но-непрерывна, то по формуле Ньютона — Лейбница [23] имеем, что
t,
t,
и, используя снова аддитивность V, получим окончательно

к(а>'2)=НФ'-

Непрерывный поток однозначно задается своей плотностью. Так,
взяв в качестве плотности постоянную функцию

д(х) - с- const,
получим так называемый равномерный поток, который каждому проме-
жутку /длины Тсопоставляет значение
Используя непрерывные и дискретные потоки, можно образовы-
вать смешанные потоки, которые являются суммами потоков с непре-
рывными и дискретными слагаемыми. В дальнейшем мы будем нео-
днократно сталкиваться с финансовыми потоками различных видов.

В заключение обратимся снова к общим потокам, задаваемым про-
извольной аддитивной функцией промежутка V. Теория таких функций
достаточно сложна, и здесь не будем заниматься ее изложением. Заме-
тим только, что во всех практически интересных случаях можно счи-
тать, что функция V, задающая величину потока, разлагается в сумму

V = r,s) +

дискретной V(s) и непрерывной V(c) частей с конечной плотностью /1(f).

Дискретная часть Pf) представляет собой дискретный поток

CF^ ={С(/)| ГеТ},

платежная функция которого определяется как значение И в точках t,
представляющих собой вырожденные отрезки {1} - [Z, г]. Таким образом,

С(/)= Г ([/,/]).

Естественно, носитель этого потока

£=suppCf(,) ={г| С(/)*0}

есть дискретное множество. Отсюда следует, что для любого конечного
промежутка / число ненулевых (критических) точек потока конечно,
и, следовательно, значение дискретной части потока на этом проме-
жутке можно представить в виде суммы

rw(J) = £c(z).

teJ

Непрерывная часть И(с) задается плотностью p(f), являющейся ин-
тегрируемой, например кусочно-непрерывной функцией. В этом слу-
чае для любого конечного промежутка / значение непрерывной части
для этого промежутка задается равенством

Таким образом, значения исходного потока определяются «платеж-
ной функцией» C(f) дискретной E(f) и плотностью /1(f) непрерывной
И(б;) частей.
Итак, для любого конечного промежутка J имеем
т=Ж)+М)<1'-
fe? j

Последняя формула дает представление для значений общих пото-
ков. Она позволяет работать с общими потоками, сводя действия
(преобразования) этих потоков к соответствующим преобразованиям
дискретной и непрерывной частей потоков. Естественно, что на общие
потоки очевидным образом можно перенести все определения этой
главы и их следствия путем их непосредственного «применения» к
дискретной и непрерывной частям общего потока.

1.3. Финансовые операции

Финансовые потоки, рассмотренные в предыдущем параграфе, —
основной инструмент при построении математических моделей фи-
нансовых операций (сделок, контрактов и т.п.).

Пожалуй, одной из самых простых финансовых сделок является
купля/продажа некоторого товара, например финансового актива. До-
пустим, некоторое лицо в момент купило некоторый актив по цене Р}

_р р и спустя некоторое время в момент t2

1 2 продало его по цене Рг Если учитывать

только цену покупки и продажи, то
временная диаграмма сделки имеет вид,
рис’1,19 как на рис. 1.19.

Здесь знак минус суммы Р означает, что, с точки зрения покупателя,
приобретение актива означает расход денежных средств. Таким обра-
зом, формально эта сделка опишется потоком

CF= {(Гр -PJ, (Г2, Р2)}.

Поток СЕ называется представляющим, образующим или порождающим
потоком сделки. При этом величина

др = Р Р

Т 2 I

называется ценовым доходом сделки.

Купив актив, покупатель становится его владельцем на период вла-
дения [Гр ?2], который совпадает с периодом самой сделки. Это означа-
ет, что владелец (покупатель) может получать текущий доход от актива
в течение периода владения. Так, лицо, купившее в начале года акции
некоторой компании и продавшее их в конце года, является владель-
цем этих акций в течение года и, следовательно, имеет право на
получение дивидендов. Аналогичным образом лицо, купившее облига-
ции, имеет право на получение процентов (купонов) по ним и т.д. Даже
покупатель (владелец) реальных активов, например недвижимости,
транспортных средств и т.д., может по-

лучать текущий доход в виде арендной ~Ру — Dj — р2

платы. Учитывая возможность получе- -----'----------------1---

ния текущего дохода, диаграмму сдел- J t2

ки купля/продажа можно изобразить Рис । 20

так, как на рис. 1.20. Здесь Dd— величи-

на текущего дохода от актива за период /. Таким образом, формально
описываемую сделку можно описать парой потоков: потоком событий
(потоком 1-го рода)

CF{ = {(г,, -/>), (tv Р2)}

и потоком 2-го рода

СЁ, ={(/,О)},

где J = [/f, rj — период сделки; D — = DT — текущий доход за период

сделки длины /2 - Гг

Итак, владелец актива получит два вида дохода: ценовой

\РТ — Р2 — Рх

и текущий — DT. В сумме эти доходы дают так называемый полный
доход

1T=DT+ ЬРТ.

Например, лицо, купившее акцию в начале года по цене Р = 9? 60,
продавшее ее в конце года по цене Р2 = 80 и получившее дивиденды

в размере 9? 5, получит полный доход /= 80 - 60 + 5 = 25(9?).

Конечно, на практике текущий доход (например, дивиденды) вып-
лачивается либо отдельным платежом, либо серией таких платежей.
Например, дивиденды по акциям могут выплачиваться одним плате-
жом в конце года. В западной практике нередки выплаты дивидендов
ежеквартально. Выплата текущего дохода одним платежом или серией
платежей с формальной точки зрения означает актуализацию интер-
вального потока

cf2 ={(/,р)}.
Если, например, доход выплачен одним платежом в конце периода
Л то имеет место финализация, т.е. поток CFi преобразуется в поток
1-го рода — г,

CF2 = FinCF2={(t2,D)},

_р р +D состоящий из одного события (/2, £>),

(1______________н—— представляющего выплату текущего до-

хода D в момент t2. В результате диаг-
*2 рамма такой операции приобретет вид,
Рис- 121 как на рис. 1.21.

По существу, это означает, что с формальной точки зрения учет
текущего дохода (с заданной схемой выплат) позволяет описывать
сделку не парой разнородных потоков CFX и СК. а одним потоком (1 -го
рода) CF, который представляет собой сумму

CF = CFX + CF2

ценового потока CF{ и преобразованного потока доходов CFr

Так, для приведенного выше примера покупки акции по д?60,
продажи по СС80 и получении дивидендов в конце года в размере 5,
представляющий сделку поток имеет вид

CF= {(0, -60), (1,85)}.

Поэтому на практике при анализе финансовых операций связан-

ные с ними денежные потоки доходов не всегда тщательно разделяются

на «ценовые» и «текущие».

Часто в качестве представляющего сделку потока берется некото-
рый «агрегированный» или «образующий поток», отдельные элементы
которого включают как ценовые, так и текущие (доходные) компонен-
ты. Так. при погашении кредита в рассрочку отдельные погасительные

платежи могут включать как выплату процентов, так и частичные

погашения основного долга.

Рассмотрим, например, простейшую кредитную сделку, которая

будет подробно изучаться в гл. 2. В этой сделке кредитор выдает в

момент должнику кредит

Рис. 1.22

на сумму Р — основной долг, при этом
должник возвращает в момент /2 долг
(т.е. Р) и оплачивает предоставленный
кредит суммой /, представляющей со-
бой величину процентов за период сдел-
ки. Диаграмма простой кредитной сдел-
ки изображена на рис. 1.22.
Знак минус при сумме Р в момент го означает, что сделка описывает-
ся с точки зрения кредитора, для которого выдача кредита представляет
собой расход собственных денежных средств.

Таким образом, как и в случае купли/продажи, простая кредитная
сделка описывается парой потоков: потоком (1-го рода)

CFX = {(Го, -К), (/,, К)}
и потоком (2-го рода)

С^={(л/)}.

В простой кредитной сделке проценты выплачиваются обычно
единовременно в конце или в начале периода. В первом случае процен-
тный поток СК преобразуется в поток

CF,= Fin CF,= {(/„/)},
а образующий {представляющий) поток СТ сделки примет вид

СТ=СГ1 + СТ2={(/а,-Р),(Г1,Р+/)}.

Сумма 5, выплачиваемая в моменту (дата погашения), называется в
этом случае полной суммой долга или суммой погашения.

Во втором случае процентный поток СК преобразуется в поток

CF, = AdvCF2 = {(/„,/)},
а образующий поток сделки примет вид

СТ=СГ| + СТ2-{(Г0,-Р+7),(г1,Р)}.

Здесь К, — Р - I — выданная сумма кредита, равная основной сумме
долга, уменьшенной на величину выплачиваемых процентов.

Рассмотрим, например, простую кредитную сделку с основной сум-
мой долга Р~ 1000 сроком в один год и величиной процентов / = .•# 100.
При выплате процентов в конце года поток платежей имеет вид

СК-{(0,-1000), (1, 1100)},

а в случае выплаты процентов авансом, т.е. в начале года, поток
платежей представляется в виде

СК= {(0,-900), (1, 1000)}.

Таким образом, в простейших сделках реальные потоки платежей
сводятся к двум событиям: начальному и конечному, которые можно
рассматривать с точки зрения одного из контрагентов сделки как
4-5169
расход и приход денежных средств соответственно. При этом в обычной
ситуации (но не всегда!) расход предшествует приходу.

Лицо, с точки зрения которого в дальнейшем будут описываться
сделки, назовем (условно) инвестором. В случае простой сделки на-
чальное событие (расход) представляет собой инвестирование (покупку
актива, выдачу кредита) на определенный период времени (инвести-
ционный период) с целью получения инвестиционного дохода (как
текущего, так и ценового). При выбранной схеме выплаты текущего
дохода (актуализации «доходного» потока) простейшая финансовая
сделка с формальной точки зрения будет представлена потоком

CF={(i1,C1),a2, с2)}.

Здесь величины платежей С и С2 могут иметь любой знак. В наиболее
распространенном случае С{ < 0 и С2 > 0.

Конечно, на практике встречаются не только простейшие сделки,
сводящиеся к двум суммам (событиям). Во многих сделках участвуют
серии платежей. Так, выданный кредит может погашаться не единым
платежом, а в рассрочку, т.е. серией погасительных платежей. Кроме
того, сам кредит может быть выдан не единовременно, а также серией
платежей (траншей}, например, при представлении так называемой
кредитной линии. Наконец, сложные инвестиционные операции, та-
кие, как управление портфелем активов (финансовых или реальных),
могут включать весьма большое число элементов: покупку и продажу
составляющих портфель активов, аккумуляцию текущего дохода, его
выплату или реинвестирование и т.д. Например, пенсионный фонд
аккумулирует взносы участников, инвестирует их в различные активы,
управляет ими, осуществляет пенсионные выплаты и т.д.

Во многих случаях сделки, осуществляемые как отдельными физи-
ческими, так и юридическими лицами (финансовыми институтами),
можно описать представляющими эти сделки финансовыми потока-
ми. При этом в детальном описании могут отдельно фигурировать как
ценовые (капитальные) потоки, представляющие «последовательные
состояния» счета, связанного с реализацией сделки, так и доходные
(текущие) потоки, представляющие потоки доходов, полученные от ее
активов. В конечном счете актуализация этих потоков позволяет опи-
сывать сделки в виде одного потока событий (платежей), полностью
представляющего все денежные суммы, участвующие в сделке. Такие
потоки назваются представляющими (образующими или порождаю-
щими) связанные с ними сделки. В таком описании сделки до некото-
рой степени маскируется различное происхождение денежных сумм,
поскольку в одной сумме (событии) представляющего потока может
учитываться как (ценовая) капитальная, так и доходная составляющие.
Хотя отмеченное выше различие исчезает, тем не менее остается еще
один аспект дела, позволяющий различать отдельные платежи пред-
ставляющего потока. Он заключается в знаках денежных сумм, состав-
ляющих события, представляющие сделку потока. Корректное описа-
ние сделки обычно предполагает выбор определенной ориентации де-
нежных сумм, участвующих в сделке. Обычно эта ориентация выбира-
ется в соответствии с выбранной точкой зрения, например, инвестора,
реализующего сделку, финансового института и т.д. Выбор такой точки
зрения классифицирует денежные суммы потока либо как отток
средств (расходы, инвестирование, оплата и т.д.), либо как их приток
(выручка от продажи, получение дохода, поступление взносов и плате-
жей и т.д.).

Таким образом, общую финансовую операцию можно представить
парой потоков платежей: расходного

с;)}

и приходного

CF+ -!(t+ С+} (t+ С+П

[V1 ’ ‘ /’V2 “ /’’

Расходный поток для некоторых видов сделок назовем также исходным
или открывающим сделку и соответственно приходный поток — заклю-
чительным или завершающим. Кроме того, в специальных сделках эти
потоки могут иметь и другие специфические названия, связанные с
типом сделки. Так, в кредитных сделках исходный поток состоит из
предоставляемых кредитных сумм, и его называют кредитным или
ссудным потоком. Соответственно заключительный поток является
потоком погасительных платежей или, коротко, потоком погашения
(погасительным потоком).

В сумме исходный и заключительный потоки сделки дают пред-
ставляющий поток

CF = CF- + CFF

Например, для обобщенных кредитных сделок, рассматриваемых в
гл. 5 и 13, исходный (кредитный) поток сводится к единственному
платежу — выдаче кредита. В этом случае

где го — момент (дата) выдачи кредита; Р — начальная сумма долга.
Кредит погашается серией погасительных платежей, образующих зак-
лючительный поток

С/7 >z(),

т.е. поток погасительных платежей.

Описание сделки представляющим ее потоком платежей является
удобным и строгим с формальной точки зрения. Все другие характери-
стики сделки, такие, как чистый доход, доходность, процентная став-
ка, как правило, однозначно определяются ее потоком.

Конечно, на практике порядок задания временных, финансовых
и других параметров сделки зависит от конкретных особенностей опи-
сания сделки. Так, в обобщенных кредитных сделках могут в качестве
исходных параметров задаваться сумма выданного кредита Р, срок
сделки Г, процентная ставка по кредиту и схема погашения. В этом
случае погасительные платежи определяются (вычисляются) по исход-
ным данным. В конечном счете завершение сделки предполагает выпла-
ту всех сумм, предписанных условиями сделки. Сточки зрения, напри-
мер, бухгалтера, собственно только эти платежи и существенны, тогда
как другие параметры (например, процентная ставка) являются лишь
дополнительными характеристиками сделки.

Для сложных финансовых операций, например таких, как управление
портфелем активов, включающим огромное количество элементарных
составляющих сделок, таких как купля/продажа активов, реинвестирова-
ние полученного доходам т.п., важнейшей характеристикой финансовой
эффективности сделок, с точки зрения инвестора, является накопленный
в результате этих сделок инвестиционный капитал. Собственно проведение
различных сделок преследует главную цель инвестора — добиться макси-
мального роста инвестированного капитала. При этом, хотя каждая от-
дельная сделка, как правило, имеет конкретный период (срок сделки), их
последовательность, реализуемая инвестором с целью увеличения капи-
тала, обычно не имеет теснее заданного конечного срока. С этой точки зре-
ния инвестирование капитала можно рассматривать как потенциально
бесконечный во времени инвестиционный или финансовый процесс.

1.4. Финансовые процессы и финансовые законы

Финансовые процессы. Выше при описании финансовых сделок
отмечалось, что их целью является увеличение (рост) инвестируемого
капитала. В простейших случаях, например в простейшей кредитной
сделке, такой рост достигается за счет единовременной выплаты в конце
срока сделки суммы большей, чем инвестированный капитал. В дру-
гих, более сложных случаях рост капитала обеспечивается серией вып-
лат текущего дохода, например дивидендов или процентов. При этом
ддя крупных финансовых институтов такой поток доходов можно
считать практически непрерывным. Если учитывать и ценовой доход, то
даже в простейшей финансовой сделке, такой как покупка акции,
накопление инвестиционного капитала можно представлять в виде
непрерывного процесса, связанного с ростом ее цены.

Сказанное выше приводит к еще одному аспекту описания финан-
совых сделок, связанному с понятием их состояния. Будем понимать
под состоянием сделки в некоторый момент времени полную величину
накопленного к этому моменту капитала. Состояние — это интеграль-
ная финансовая характеристика сделки, отражающая достигнутый
к заданному моменту времени финансовый результат сделки.

Для сделки в целом состояния в последовательные моменты време-
ни описывают дискретный или непрерывный финансовый процесс
(в формальном смысле), представляющий собой функцию времени
5(f), определенную на промежутке времени, равном периоду сделки.
При этом состояние считается известным в любой момент времени,
даже для сделок с дискретными определяющими потоками платежей.

Рассмотрим снова простейшую кредитную сделку с начальной сум-
мой кредита Р, выплачиваемой в момент t, и суммой погашения,
получаемой в момент /г Строго говоря, реально процесс «накопления»
в этом случае описывается дискретным потоком

где 50 = Ро и 5] = Р{. Без предварительного соглашения о состоянии
сделки в промежуточные моменты t:

'о < '< '1

ничего конкретного сказать нельзя. Однако если эта кредитная сделка
реализуется в виде срочного депозита в банке, то возникает понятие
накопленных или начисленных процентов для любого момента времени
из периода сделки. Тогда сумма начального капитала (кредита) 50
и накопленных к моменту t процентов / дает величину накопленного
капитала, которую можно считать представляющей состояние сделки в
этот момент времени:

ад = V Л
Конечно, величина накопленных процентов и, следовательно, со-
стояние сделки определяются конкретными особенностями сделки.
Но даже в том случае, если никаких начислений процентов не делает-
ся, по крайней мере формально, можем определить состояние сделки
исходя из равенства lt = 0, т.е. полагая 5(7) = 50 при tQ < t < t}. Таким
образом, даже в «чисто дискретном» случае можно представлять сделку
определенной на всем ее периоде функцией 5(f).

Итак, каждой сделке или последовательности сделок может быть
приписан процесс 5(f), tQ< t< tv представляющий «динамику накопле-
ния» капитала. При этом вполне возможно, что различные сделки
будут порождать один и тот же процесс. Это приводит к общему
определению финансового процесса.

Определение 1.8. Финансовым процессом на промежутке J = [f0, fj
называется функция 5(f), определенная на промежутке J. Иными
словами, это — отображение

5:7—>М

промежутка J в денежную шкалу М. Значение 5(f) (точнее, событие
(f, 5(f))) называется состоянием процесса в момент f.

Наиболее распространенным видом финансовых процессов явля-
ются инвестиционные процессы. Инвестиционный процесс начинается
с первоначальной инвестиции некоторого исходного капитала. На-
чальный момент времени f0 и величина начального капитала 50 описы-
вают вместе начальное состояние (f0, 50) инвестиционного процесса.

В дальнейшем в результате управления инвестиционным процессом,
подразумевающим начальный выбор активов, в которые инвестирует-
ся капитал, получения и, возможно, реинвестирования текущего дохо-
да от активов и дохода от их реализации за счет роста (в благоприятных
случаях) стоимости активов, в которые инвестируется капитал, созда-
ется накопленная стоимость инвестиций.

Накопленная стоимость инвестиций представляет собой достигну-
тый к данному моменту результат инвестиционного процесса — его
текущее состояние. С формальной точки зрения это состояние описы-
вается событием (f, Sr), где f — данный (текущий) момент времени,
5. = 5(f) — накопленная стоимость инвестиций в момент времени f.

Финансовые процессы определяются многими факторами или па-
раметрами, которые с достаточной долей условности можно отнести к
двум типам: внутренним и внешним.

К внутренним факторам относятся те, которые определяют основ-
ные, существенные и непосредственные характеристики финансового
процесса. К ним относятся, например, структурные факторы, такие,
как структура портфеля активов, участвующих в сделке, контрактные
характеристики сделки, такие, как способ начисления процентов в
кредитных сделках, выбранная схема погашения и т.п.

К внешним относятся факторы, определяющие начальные условия,
такие, как начальный момент инвестиций и величина инвестируемого
капитала, факторы, определяющиерынб>цн>то фсф (market enviroinent),
т.е. условия, в которых протекает финансовый процесс, такие, как
текущие и будущие рыночные цены и др.

Еще раз подчеркнем, что разделение определяющих процесс факто-
ров на внутренние и внешние достаточно условно и обусловливается
прежде всего выбранной моделью описания финансового процесса.

Задание внутренних и внешних факторов (параметров) инвестици-
онного процесса полностью определяет его траекторию на плоскости
время-деньги, т.е. дискретный или непрерывный поток событий (/, 5Д
t > Го, — состояний процесса. При этом подчеркнем, что структура,
механизм или закон динамики процесса определяются его внутренними
факторами, которые, собственно, и идентифицируют процесс. Так,
для сберегательного вклада с заданной схемой начисления процентов
именно эта схема и ее количественная характеристика (процентная
ставка) полностью определяют процесс накопления денежной суммы
вклада. Точно так же инвестирование в акции только одного вида без
изменения со временем начального количества акций описывает впол-
не определенный инвестиционный процесс. Накопленная стоимость
этого процесса полностью определяется начальным состоянием и
динамикой цен акций данного вида.

Математически финансовый процесс можно описать функцией

S, = S(r;f0;S0;Q), />/„, (1.3)

где Q — отличные от начальных условий (/ 50) параметры процесса.
Эти параметры могут иметь сложную структуру, например быть функ-
циями времени (в качестве иллюстрации здесь могут служить будущие
цены активов, составляющих инвестиционный портфель).

Запись процесса (1.3) с выделением параметров (tQ, S) и Q, по
существу, предполагает, что мы имеем дело не с одним индивидуальным
финансовым процессом, а с их семейством. В частности, предполагает-
ся, что можно «запустить» процесс при другом начальном состоянии или
при других значениях внешних параметров. Так, можно рассматривать,
например, кредитные сделки, отличающиеся лишь выданной суммой
кредита или их начальной датой и остающиеся во всех других отноше-
ниях идентичными. Можно также анализировать поведение портфеля
активов при разных вариантах будущего поведения цен активов, со-
ставляющих этот портфель, и т.д.

Предполагая, что уравнение (1.3) определяет по существу семейство
(класс) финансовых процессов, различающихся лишь выделенными
параметрами, будем, естественно, считать, что во всем остальном
(т.е. помимо значений параметров) эти процессы идентичны, анало-
гичны, подобны и т.д. Это предположение является неформальным,
содержательным по смыслу, однако очень важным. Дело в том, что
поскольку выбор функции, представляющей финансовый процесс,
никак не ограничен, то, например, можно для заданных значений
параметров строить чисто искусственным образом процессы, которые
никак не связаны между собой, т.е. процессы, в поведении которых
трудно или вообще невозможно отыскать сходные черты.

На практике же процессы, возникающие из реальных сделок, име-
ют множество общих характерных черт, обусловленных, например,
сходством в контрактах, описывающих эти сделки, в структуре и меха-
низме реализации этих сделок и т.д. Теоретически же такое сходство
проявляется в «унифицированности» способа задания уравнения (1.3),
например в виде достаточно простого аналитического выражения, как
в случае схемы простых или сложных процентов, которые будут под-
робно рассмотрены в этой книге.

Наконец, «единство» класса процессов, описываемых уравнением
(1.3), можно достичь наложением ряда требований (условий, постула-
тов), которым должны удовлетворять эти процессы. Такой «аксиома-
тический» подход широко распространен в современной финансовой
теории. Ниже сформулируем ряд таких условий, наиболее часто ис-
пользуемых в финансовом анализе.

Первым условием, выполнение которого будем предполагать, явля-
ется условие детерминированности финансовых процессов. Иными сло-
вами, исключим из числа параметров случайные, неконтролируемые
факторы. Рассмотрим лишь детерминированные модели.

Замечание. Говоря о детерминированности финансовых процессов, мы имеем в
виду, конечно, их модельную детерминированность, т.е. детерминированность в рамках
принятой модели. Реальные процессы, к которым применяются эти модели, нельзя,
конечно, считать полностью детерминированными. Так, даже простая кредитная сдел-
ка, параметры которой полностью определяются контрактом, реально может завер-
шиться совсем не так, как предписывалось этим контрактом. В случае несостоятельнос-
ти должника кредитор не получит предписываемой суммы погашения в указанный срок.
Наличие такого риска, называемого кредитным риском (credit risk, default), присуще
абсолютно всем кредитным сделкам. Однако в теории при анализе таких сделок в рамках
детерминированных моделей кредитный риск не учитывается, тем не менее он может
быть учтен в более сложных стохастических моделях.

Среди детерминированных процессов можно выделить более
узкий класс автономных процессов, в которых параметры, отличные
от начальных условий, не зависят от времени. Уравнение динамики
таких процессов (при заданных значениях параметров) можно
записать в виде

~ ^о’ *$о)’ ^—^0- (1-4)

К классу автономных процессов относятся процессы, порождаемые
многими кредитными сделками, основные параметры которых зада-
ются соответствующими кредитными контрактами (и, таким образом,
не меняются со временем).

В этой главе мы ограничимся изучением лишь автономных детер-
минированных процессов, хотя ряд приводимых далее понятий и конст-
рукций может быть рассмотрен и в более общей ситуации.

Равенство (1.4) описывает эволю-

S S

цию во времени начального капитала 0 --------------------►

50. Оно, по существу, задает некоторое * 1

преобразование /У, начального собы- 0
тия в текущее (рис. 1.23). Рис‘1 23

Такой «операторный» подход позволяет с несколько более общей
точки зрения рассмотреть связь между различными событиями, опре-
деляемую данным инвестиционным процессом. Остановимся теперь
более подробно на математической формализации отношения между
финансовыми событиями, составляющими тот или иной финансовый
процесс.

Замечание. В дальнейшем часто вместо полного обозначения события в виде
пары (I, С) будем указывать лишь его сумму С. При необходимости указания временной
привязки этой суммы будем использовать индексы. Таким образом, событие (/, Q будет
представляться «датированной» суммой Сг.

Пусть S — автономный детерминированный процесс и (т, С) —
некоторое событие. Полагая это событие начальным состоянием

^0 — г’ ^0 “

мы получим конкретный (индивидуальный) процесс

St=S(t-T,C), t>r.
В этом случае величину (состояние) 5 называют будущим или приведен-
ным к (будущему) моменту t значением события (т, С) (или суммы С)
и записывают в виде

5? = Л/(т,С). (1.5)

Таким образом, детерминированный (автономный) процесс опре-
деляет операцию преобразования (приведения, переноса) событий от про-
шлых моментов к будущим. На практике обычно говорят о преобразо-
вании или приведении денежных сумм, а не событий, что, конечно,
не совсем корректно. Мы также будем говорить о приведенных значе-
ниях денежных сумм, но при этом следует помнить о связанных с ними
моментах времени.

Заметим, что обозначение FV является сокращением (по первым
буквам) от англ. Future Value (будущее значение). Иногда вместо буду-
щего значения говорят о будущей стоимости, накопленной сумме и т.п.

В детерминированном процессе начальное состояние полностью
определяет (порождает) все последующие (будущие) состояния. Эти
состояния как бы «замещают» начальное. Это приводит к следующему
определению.

Определение 1.9. Будем говорить, что событие (tv С) непосредствен-
но замещает событие (t{, Ц) относительно данного детерминированно-
го процесса 5, если

С^З^ГрС^прИГ,^
или

С^Л^^СДпри Ц>1Г

Содержательно непосредственная замещаемость одного события
другим означает, что либо оно порождает другое как начальное событие
относительно указанного процесса, либо само порождается этим дру-
гим событием как начальным.

Это означает, что отношение непосредственной замещаемости яв-
ляется симметричным отношением, т.е. если одно событие непосред-
ственно замещает другое, то верно и обратное — второе также непос-
редственно замещает первое. При этом оба события лежат на одной
траектории, причем одно из них является начальным состоянием
процесса с этой траекторией.

Симметричность отношения непосредственной замещаемости по-
зволяет называть события, одно из которых непосредственно замещает
другое, непосредственно замещающими друг друга или взаимно непос-
редственно замещаемыми.

Очевидно, что непосредственная заменяемость обладает свойством
рефлексивности, т.е. каждое событие непосредственно замещает само себя.

Как будет видно в дальнейшем, в общем случае непосредственная
замещаемость не обладает свойством транзитивности. Иными слова-
ми, существуют такие процессы, для которых найдутся три события
(Г, С(), (г2, С2), (?3, С3) такие, что второе событие замещает первое, третье
замещает второе, но не будет замещать первое.

Нарушение свойств транзитивности приводит к весьма сложной
структуре траекторий финансового процесса. Например, его траекто-
рии, порождаемые различными начальными состояниями, могут «пе-
ресекаться» на плоскости время—деньги. Подробнее об этом будет
сказано в гл. 3, посвященной простым процентам.

Нарушение свойства транзитивности означает, что непосредствен-
ная замещаемость не является отношением эквивалентности.

Однако в финансовой практике эквивалентность событий рассмат-
ривают обычно в контексте не непосредственной замещаемости, а в
несколько более общем контексте относительной замещаемости. Что-
бы определить это понятие и показать, что оно обладает всеми свой-
ствами отношения эквивалентности, введем дополнительное ограни-
чение на «степень детерминированности» инвестиционного процесса.

Введенное понятие детерминированности процесса, как отмеча-
лось, означает детерминированность относительно будущего, когда
начальное состояние процесса однозначно определяет будущие состо-
яния. Среди детерминированных процессов можно выделить процес-
сы, обладающие в некотором смысле детерминированностью относи-
тельно прошлого. Процессы, обладающие такой двусторонней детер-
минированностью, назовем вполне детерминированными или вполне
определенными.

Определение 1.10. Финансовый процесс называется вполне детерми-
нированным или вполне определенным, если для любого события (т, С)
и любого момента времени р существует единственное значение V
такое, что событие (р, И) непосредственно замещает событие (т, С).
Заметим, что момент времени р может как следовать за моментом т, так
и предшествовать ему.

Смысл приведенного определения прост. Вполне определенные
процессы позволяют приводить (преобразовывать) события не только
к будущим, но и прошлым относительно этих событий моментам
времени.

В самом деле, если событие (р, И) непосредственно замещает собы-
тие (т, С), причемр > т, то в силу определения это означает, что

V= S(p\ т, С)
или, что то же самое,

7Т(т, С).

Если же событие (р, И) замещается событием (т, С), т.е. т > р, то

С=5(т;р, V)
или

С= /Т(р, V).

Таким образом, в этом случае событие (р, И) является начальным для
процесса, порождающего в будущем данное событие (т, С).

Постулируемая единственность значения ^(относительно заданно-
го момента р), порождающего будущее состояние (т, С), позволяет
говорить о нем как о приведенном к моменту р < г значении события
(г, С). Это значение называют приведенным или текущим значением
этого события и пишут

И=РГ(т,О. (1.6)

Обозначение PV — сокращение от англ. Present Value (сегодняшнее,
настоящее значение). Говорят также о текущей, настоящей и т.д. сто-
имости будущей суммы С.

Таким образом, оператор ГИприводит события к будущим, а опера-
тор PV — к прошлым по отношению к этим событиям моментам
времени. Оба эти оператора позволяют приводить (преобразовывать,
переносить) события ¥. любым моментам времени. Эта общая операция
приведения обозначается обычно тем же символом PV, что и приведе-
ние к прошлым моментам времени. Таким образом,

V =PV(t,C)

во всех случаях, т.е. как в случае р < т, так и в случае р > т. При этом
в последнем случае

РГ(т,С) = ГК(т,С).

Момент р, относительно которого находится приведенное (текущее)
значение события (т, С) (или суммы С), называется моментом приведе-
ния, валоризации (оценки) или полюсом. На практике его часто называют
фокальной датой.
Фиксация момента валоризации позволяет определить относитель-

ную замещаемость.

Определение 1.11. Два события (/р Ц) и (Л, С2) будут называться
замещаемыми относительно момента р, если оба события непосред-
ственно замещаемы одним и тем же событием (р, И)-

Легко проверить, что относительная замещаемость уже является
отношением эквивалентности для событий. Поэтому события (7 , С)
и (?2, С2), замещаемые относительно момента будем называть также
финансово эквивалентными (по отношению к моменту р) событиями,
р

Эквивалентность такого рода обозначим как Ц-Ц. Практик сказал

бы, что суммы С. и С2 (отнесенные к
моментам t и t соответственно) экви-
валентны (относительно р), поскольку
в моментр они имеют одинаковые при-
веденные значения. Эта ситуация изоб-
ражена на рис. 1.24,

Рис. 1.24

Финансовые законы. Выше было показано, что с вполне детермини-

рованным автономным процессом связана операция приведения со-
бытий к произвольному заданному моменту времени (полюсу) р. Также
отмечена некоторая двойственность (неопределенность), связанная
с понятием финансового процесса: с одной стороны, это — «индивиду-
альный» процесс с конкретной траекторией, с другой стороны, для
него допустима «вариация параметров», позволяющая рассматривать
уравнения (1.3) и (1.4) процесса как преобразования. Чтобы избежать
этой двойственности, выделим преобразовательный (операторный)
аспект, так сказать, в чистом виде.

Пусть (/, С) — любое событие и р — полюс. Функциональный закон

И, = И(/,р;С) = Л;(г,С), р>1,

(1.7)

определяющий будущее значение события (/, С), называют финансовым
законом капитализации.

Двойственным образом определяется финансовый закон дисконти-
рования'.

Vp = D[t,p-,C] = PVp(t,C), p<t. (1.8)

Термин «дисконтирование» происходит от англ, discount (скидка),
т.е. уменьшение стоимости в противовес к накоплению (капитализа-
ции). В нормальной ситуации от инвестиционного процесса ожидают
роста стоимости инвестированного капитала. Поэтому движение вперед
(приведение к будущему моменту времени) обозначается как капита-
лизация, а движение назад (приведение к прошлым моментам време-
ни) — как дисконтирование.

Приведение события к прошлым относительно него моментам вре-
мени называют дисконтированием, а само приведенное значение —
дисконтированным значением. Поэтому в тех случаях, когда необходимо
подчеркнуть, что речь идет о приведении к прошлым моментам време-
ни, для оператора дисконтирования используют обозначение DVp,
поскольку в современной литературе символ PVp используется в более
общей ситуации, как приведение к любому моменту времени.

Хотя на первый взгляд равенства (1.7) и (1.8) вносят мало нового по
сравнению с уравнениями (1.3) — (1.6), в них все же по сравнению
с последними смещены акценты. До сих пор в своих рассуждениях мы
оперировали понятием финансового процесса как модельного пред-
ставления «движения капитала», реализуемого в финансовых сделках
и операциях. В уравнениях (1.7), (1.8) этот процесс рассматривается
с более общей точки зрения. В них задается некоторый общий способ
преобразования (приведения) финансовых событий. Понятие финан-
сового процесса играет в этом случае лишь мотивационную роль для
введения понятий финансовых законов капитализации и дисконтиро-
вания. Финансовые законы в абстрактном, обобщенном виде отража-
ют поведение автономных, вполне детерминированных финансовых
процессов.

Финансовые законы выражают «правила обмена» сегодняшней
стоимости на будущую стоимость, и наоборот, т.е. являются формаль-
ным представлением основного принципа финансовой математики —
«временной стоимости денег». Они являются основным элементом
«финансовых схем» — абстрактных моделей финансовых операций,
процессов и систем, изучение которых составляет главное содержание
финансовой математики.

В рамках выбранных финансовых схем фиксируются основные
количественные соотношения между финансовыми показателями (пара-
метрами) моделей изучаемых операций и процессов.

Финансовым схемам посвящен следующий параграф, поэтому здесь
лишь кратко коснемся этого понятия. Финансовая схема включает:
1. Правила преобразования', для любого моментар может быть найдено

приведенное к этому моменту значение К суммы Ct, относящейся к
моменту/:

И = РИ(С).
р рх о
2. Семейство отношений предпочтения и эквивалентности', для каждого
момента р в финансовой схеме определены отношения предпочте-
ния и эквивалентности событий относительно этого момента.

При этом отношение эквивалентности и правило преобразования
связаны естественным образом. События эквивалентны относительно
р, если их суммы имеют одинаковое приведенное кр значение:

(h,Cl)~(t2,C2)^PVp{C])^PVf{C1).

Весьма важно, что правила преобразования и соответствующие им
отношения эквивалентности можно формулировать абстрактно безот-
носительно к каким-либо финансовым процессам, точнее, без их
явного упоминания. В этом случае правила преобразования суть про-
сто некоторые операции над финансовыми событиями.

Например, полагая

И,=С,(1+(р-/)2) р>/;

получим некоторое (абстрактное) правило преобразования финансо-
вых событий. С его помощью можно определить соответствующее
отношение эквивалентности для каждого полюсар.

Имея абстрактную финансовую схему, можно строить теорию этой
схемы, формулировать, доказывать или опровергать различные утверж-
дения, касающиеся финансовых событий, разрабатывать методы реше-
ния различных задач, возникающих в рамках данной схемы. Хотя сама
финансовая схема может быть задана произвольно, тем не менее, для
того чтобы разрабатываемая теория схемы была содержательна, обыч-
но рассматривают не любые финансовые схемы, а лишь те, которые
порождаются соответствующим классом финансовых процессов. Имен-
но так получаются финансовые схемы простых и сложных процентов.

Изучение финансовых схем, а не непосредственно различных клас-
сов финансовых процессов более соответствует духу математики. Суть
математического подхода к описанию реальных явлений как раз и сос-
тоит в выделении логической структуры изучаемых явлений, формали-
зации основных понятий, объектов и отношений, которые в дальней-
шем изучаются с помощью чисто математических средств.

Выше мы не накладывали никаких ограничений на вид законов
капитализации и дисконтирования и на связанные с ними преобразо-
вания событий. Однако, основываясь на некоторых общих финансово-
экономических принципах, в финансовом анализе выделяют ряд
свойств, которым могут удовлетворять финансовые законы, связанные
с наиболее распространенными и «типичными» классами финансовых
процессов. Эти свойства имеют различную степень общности. Посту-
лируя ряд из них или все вместе, можно определить все более узкие
классы финансовых схем, позволяющие получить все более детализи-
рованные и более содержательные результаты, касающиеся этих схем и
изучаемых в их рамках моделей финансовых операций и процессов.
Сформулируем теперь эти свойства.

Г. Нормированностъ. Если момент события совпадает с полюсом, то
законы не меняют значение суммы из события, а именно

Л(р,р;С) = D(p,p\C) = C

для любого р.

Это свойство одно из самых универсальных. Можно считать, что
ему удовлетворяют все финансовые законы, поскольку оно тривиаль-
ным образом выполняется для реальных финансовых процессов.

2°. Однородность по отношению к денежным суммам. Финансовая экви-
валентность событий инвариантна относительно пропорциональ-
ных изменений соответствующих этим событиям сумм.

Как следствие этого свойства, обозначая через a(t, р) и d(t, р}
финансовые законы при С = 1, из (1.7) и (1.8) получаем, что

A(p\t, С) = СА(р'Ц l) = Ca(t,p), p>t; (1.9)

D(p;t, C) = CD(p;t, \) = Cd(t,p), p<t, (1.10)

где a(t, p) — наращенное значение к моменту (валоризации) р для каж-
дой единицы капитала, вложенного в момент времени Г; d(t, р) — дискон-
тное значение в момент времени/? для каждой единицы капитала, кото-
рым можно располагать в момент времени Л Функции a(t, р) и d(t, р)
называют обычно коэффициентами роста и дисконтирования соответ-
ственно. Из (1.9) и (1.10) с учетом свойства нормированное™ непосред-
ственно вытекает, что

a(t,t) = d(t, t) = 1.

Большинство финансовых процессов можно считать удовлетворя-
ющими условию однородности. Тем не менее как на практике, так и в
теории встречаются процессы, которые нельзя отнести к однородным
относительно сумм событий. Однако мы ограничимся изучением лишь
однородных процессов и соответствующих им финансовых схем.
Условие нормированное™ финансовых законов позволяет есте-
ственным образом «склеить» два закона; капитализации и дисконтиро-
вания в один общий финансовый закон

г-/ еслнр>Г,

F(l,p,c) =

[D(t,p,C), еслир<Л

Склейка однородных законов дает также однородный закон с коэффи-
циентом

F(t,p, 1)-у(/,р),
который обычно называют обобщенным коэффициентом приведения
(дисконтирования). Ясно, что

fn(/,p), еслир>/;

\d(t,p), еслирс/.

Общему финансовому закону соответствует обобщенный оператор
приведения РИ, называемый общим оператором текущей стоимости

PVp(t, С) ~ F(t, р, С) = Cv(t,p).

3°. Свойство возрастания/убывания законов капитализации и дисконти-
рования. Из соображений разумности инвестирования следует, что
функция a(t, р) — возрастающая по р и убывающая по t. С другой
стороны, учитывая, что большинство из людей больше ценит тот
капитал, что имеет сейчас, по сравнению с другим капиталом,
фактически идентичным теперешнему, но которым мы можем рас-
полагать лишь в будущем (закон недооценки будущих возможнос-
тей), можно считать, что функция с/(г, р) является убывающей по t и
возрастающей по р.

Исходя из содержательного смысла этого свойства, будем считать,
что оно выполняется для всех рассматриваемых в книге моделей.

Помимо этого отметим, что во многих финансовых моделях функ-
ции ц(г, р) и d{t,p) обладают всеми «хорошими» свойствами, например
непрерывности, дифференцируемости и т.д.

4°. Однородность во времени (стационарность). Законы капитализации
и дисконтирования однородны во времени или стационарны, если
для любого Т> 0 соответственно имеют место равенства

a(t + Т,р + Т) = a(t, р)

d(l+T,p + T) = d(t,p).
Немедленным следствием этих условий является возможность све-
дения функций a(t,p) и d(t, р) двух переменных к однозначно определя-
ющим их функциям одной переменной

(7(0, 0, t>0,

t>Q,

а именно

a(t,p) = a(Q,p-t)=a(p~t), p>t,

d(t.,p) = d(t ~ р,(У) ~ d(t ~ р), t>p.

В однородном случае процесс приведения к полюсу (моменту вало-
ризации) р из любого другого момента t зависит лишь от длины проме-
жутка с концами t, р.

Стационарные (однородные во времени) процессы — также доста-
точно распространенный тип финансовых процессов. Поэтому значи-
тельная часть книги будет посвящена финансовым схемам со стацио-
нарными законами. Однако в гл. 9-11 рассмотрим и более общие
финансовые схемы с нестационарными финансовыми законами.

Стационарным законам капитализации и дисконтирования соот-
ветствует стационарный общий финансовый закон, для которого

v (Z+ h,p + h) = v(t,p)

для любого h > 0. Таким образом, как и в случае отдельных законов,
соответствующий двумерный коэффициент v(t,p) сводится к одномер-
ному v (Т):

v(t, p) — v(Q,p — t).

Сформулируем еще два свойства финансовых законов, уже не свя-
занные с ними органически. Однако они принципиально возможны
при определенных условиях и при выполнении очень важны для
изучения соответствующих финансовых моделей.

5°. Сопряженность законов капитализации и дисконтирования. Финан-
совые законы капитализации и дисконтирования являются сопря-
женными, если их последовательное применение к одному и тому
же финансовому событию на одном и том же интервале времени не
изменяет это событие. Таким образом, для сопряженных финансо-
вых законов a(t, р) и d(t, р) одновременно выполняются равенства
V = Ca(t,p) нС= Vd(p, t).
Сопряженность законов капитализации и дисконтирования озна-
чает выполнение равенства

a(t,p)d(p, t) = 1

для всех t>p. Заметим, что при этом общий финансовый закон F(t,p,C)
для всех t, р становится самосопряженным:

В большинстве случаев, которые будут рассмотрены ниже, законы
капитализации и дисконтирования будут взаимно-сопряженными.
В наиболее типичных случаях операция дисконтирования и определя-
ется как операция, обратная операции капитализации. Однако на
практике встречаются схемы, в которых операция дисконтирования
может определяться относительно независимо от операции капитали-
зации. Одним из таких примеров является дисконтирование по
учетной ставке при капитализации по процентной ставке.

6°. Транзитивность законов капитализации и дисконтирования.

Финансовый закон капитализации транзитивен, если

a(t,T)a(r,p)-a(t,p) (1-11)

для любых моментов времени t<x<p. Аналогично транзитивность
финансового закона дисконтирования означает выполнение свойства
d[t,T)d(T,p) = d{t,p) (1-1 Г)

для любых моментов времени t > т > р.

Свойство транзитивности финансовых законов, выражаемое равен-
ствами (1.11), (1.1 Г), называют еще переходным свойством. В финан-
совой литературе его называют также свойством расщепляемости фи-
нансового закона. Термины «транзитивность» и «расщепляемость» в не-
котором смысле симметричны и отличаются, так сказать, «точкой зре-
ния» на равенства (1.11), (1.1 Г). Когда говорят о расщепляемости, имеют
в виду возможность разложения (расщепления) исходного преобразова-
ния от момента t кр на два «частичных» преобразования: от t к т и от тк
р. Это соответствует чтению формул (1.11), (1.1 Г) справа налево. Когда
говорят о транзитивности, исходят, наоборот, жз друх последовательных
преобразований: от t к ти от ткр. В результате их композиция дает пре-
образование отГкр. Это соответствует чтению формул (1.11), (1.1 1') слева
направо. В некотором смысле использование термина «транзитивность»
предпочтительнее, поскольку с ним связано свойство транзитивности
отношения эквивалентности, порождаемое этими преобразованиями.
Мы будем использовать оба термина как синонимы.

Транзитивность финансового закона капитализации означает, что
наращенное значение инвестируемой на некоторый период времени
суммы не изменится, если процесс инвестирования на данном интер-
вале времени разбить на несколько последовательных инвестиций,
предполагая, что при очередной инвестиции вкладывается сумма,
наращенная к этому моменту времени, т.е. реинвестируется предыду-
щая сумма.

Транзитивному закону дисконтирования уже нельзя дать интерпре-
тацию, аналогичную реинвестированию для закона капитализации.

Наконец, одновременная транзитивность законов капитализации
и дисконтирования означает транзитивность общего финансового
закона

и(г,р) = и(/,т)ц(т,р).

Заметим, что транзитивность в этом (сильном) смысле означает
выполнение важного свойства поглощения для обобщенного оператора
приведения

PVf(t,C)=PVp(PVP(t,

Из сказанного ясно, что свойство транзитивности имеет место
только при выполнении определенных условий, связанных с построе-
нием соответствующих финансовых моделей и, следовательно, оно
справедливо лишь для определенного класса финансовых моделей.

И наконец, сформулируем свойство эквивалентности финансовых
законов.

7°. Эквивалентность финансовых законов. Два финансовых закона капи-
тализации а{ и а2 эквивалентны, если для любого финансового
события (t, С) оба из них дают одно и то же замещаемое событие в
момент времени р для любого р > t. Аналогично два финансовых
закона дисконтирования dx и d2 эквивалентны, если для любого
финансового события (г, С) оба из них дают одно и то же замещае-
мое событие в момент времени р для любогоp<t.

Приведение потоков платежей. Выше был подробно рассмотрен
процесс приведения (переноса) денежных сумм (или событий) в соот-
ветствии с финансовым законом, порождаемым инвестиционным про-
цессом. На практике эта процедура приведения применяется не только
к отдельным суммам, но и к финансовым потокам или, точнее, пото-
кам платежей. Содержательный смысл этой операции тот же: он
заключается в замещении потока платежей эквивалентной (в том или
ином смысле) денежной суммой, отнесенной к некоторому заранее
заданному моменту времени (полюсу, моменту валоризации).

Следует заметить, что на абстрактном уровне в рамках описываемо-
го здесь подхода дать единое (общее) определение этой процедуры
замещения (приведения) для потоков платежей не представляется
возможным. Дело в том, что поток платежей во многих моделях инвес-
тиционных процессов играет роль внешнего параметра, т.е. «входа»,
влияющего на динамику изменения состояния процесса. Так, допол-
нительные вложения или изъятия капитала с банковского счета будут
менять его состояния в соответствии с принятыми правилами управле-
ния счетом, подразумевающими, в частности, способ начисления про-
центов на вновь поступающие и изымаемые суммы. Несмотря на то что
единого определения процедуры замещения не существует, можно
выделить наиболее типичные схемы (подходы), используемые в теории
и практике финансов. При этом следует заметить, что в ряде моделей
процесс дисконтирования, т.е. приведения к прошлым моментам,
определяется значительно более сложным образом, чем процесс капи-
тализации.

Первой и, пожалуй, самой простой схемой приведения потоков
платежей является чисто формальное распространение операции при-
ведения событий на потоки. Более точно следует говорить о линейном
продолжении этой операции.

Поскольку операция приведения сумм (событий) дает их эквивален-
тные в финансовом смысле значения относительно данного моментар,
то, приводя к этому моменту времени все суммы Ск (события (tk, Ск))
потока платежей CF. получим семейство их приведенных значений

к=1,2,..,,л.

Так как все эти значения относятся к одному и тому же моменту
времени, то является осмысленным их суммирование:

_ п

v = Уи(‘|.
р р

*=1

Полученное значение и будет по определению текущим значением
потока платежей. Таким образом, приходим к следующему определению.

Определение 1.12, Пусть PV — оператор приведения событий, по-
рождаемый заданными финансовыми законами капитализации и дис-
контирования. Тогда текущей стоимостью потока платежей
С/?={(/ , С ),(?2, С С ))
называется сумма текущих стоимостей, составляющих поток событий:

py,(cf)=LWAc*)- (L12>

*=1

Учитывая взаимное расположение момента приведения р и момен-
тов событий tk, можно правую часть равенства (1.12) записать в более
подробном виде:

/Т(СТ)= х л;(С)+Е окдс4).
к-р#к , k-p<fk

Для однородных по отношению к денежным суммам финансовых
законов выражения для текущей стоимости потока можно записать как

^F)=£c4,P)+xctrf((t4
k-.p>tk k-.p<tk

гдеа(Г,р) и d(t,p) — коэффициенты капитализации и дисконтирования
соответственно.

Хотя описанный выше подход к определению текущей стоимости
потоков платежей выглядит логичным и весьма прост в вычислитель-
ном плане, он имеет существенный недостаток. Правило (1.12) для
определения текущей стоимости неявно подразумевает независимость
воздействия сумм потока на финансовый процесс, порождающий
«будущую стоимость» потока. Действительно ли, например, эффект
последовательности действий (довложений и/или изъятий) с одним
счетом равносилен сумме эффектов от аналогичных независимых
действий с отдельными суммами, составляющими поток? Как увидим
далее, это далеко не всегда так. Во многих финансовых процессах, даже
самых простых на первый взгляд, независимости действия отдельных
событий может не быть. Поэтому в таких случаях определение (1.12)
перестает быть корректным. В этих случаях оператор текущей стоимо-
сти (или оператор приведения) потока, определяемый равенством
(1.12), называют формальным оператором, тогда как другие способы
преобразования и приведения потоков и соответствующие им операто-
ры, непосредственно связанные с изучаемым (моделируемым) процес-
сом в рамках конкретной модели, называются модельными. Для нахож-
дения правила приведения стоимости потока необходим более глубо-
кий анализ конкретной динамики финансового процесса.
В тех же случаях, когда упомянутая независимость наблюдается,
правило, аналогичное линейному правилу (1.12), появляется есте-
ственным образом.

Имеется один, так сказать, «крайний случай» независимости, кото-
рый приводит к еще одному подходу для определения операции приве-
дения потоков. Формально он связан с наделением финансового про-
цесса векторной структурой. Поясним, что имеется в виду.

В финансовой практике нередко встречаются случаи, когда одно-
временно рассматривается несколько финансовых процессов в рамках
некоторого общего процесса. В частности, такая ситуация возникает,
например, при открытии инвестором нескольких сберегательных сче-
тов в одном или различных банках, при формировании портфеля
инвестиционных активов и т.п. Действительно, если инвестор покупа-
ет несколько акций, то вложение средств в отдельную акцию (как и
открытие отдельного вклада) можно рассматривать как отдельный
процесс (микропроцесс) в рамках общего «портфельного» процесса.
Эти отдельные процессы представляют собой компоненты общего
(«векторного») процесса. Здесь важно, что в течение определенного
времени (пока сохраняется структура компонент процесса) можно
говорить о состояниях процессов-компонент. При этом вполне воз-
можно, что разные компоненты могут «запускаться» в разные моменты
времени. Иными словами, вполне допустимо, чтобы Л>й процесс имел
свой начальный момент t^.

Итак, векторный процесс описывается набором

при этом «начальным состоянием» этого процесса является вектор

/г ? оО)) с(2)\ (Лп)

l'o>Jor 'о /г

' \\ ' 0 / \ ' 0 / \ ' О / /

Динамика такого процесса описывается системой уравнений для
каждой компоненты:

При таком подходе все процессы-компоненты развиваются авто-
номно, т.е. независимо друг от друга.

Несмотря на независимость развития этих процессов, инвестор
(владелец портфеля) может интересоваться их «суммарными характе-
ристиками», позволяющими оценить динамику векторного процесса
в целом. Совершенно ясно, что общая сумма инвестиционных накоп-
лений к моменту 7 составит

5, = X

Естественно, что в этой сумме учитываются лишь процессы, ини-
циированные до момента t включительно. Величину 5 (не очень
строго) назовем суммарным, или результирующим, процессом, порож-
даемым начальным состоянием 50).

Если все процессы-компоненты векторного процесса являются
вполне определенными, то для каждого из них в любой момент време-
ни определяется понятие будущего (накопленного), а также дисконти-
рованного значений сумм и событий.

В этой связи рассмотрим поток финансовых событий

ст-к^с.),^,^),...,^,^)}.

Далее, выберем полюс р общий для всех компонент рассматриваемого
векторного процесса. Тогда для каждого события (tk., Сд) из потока СЕ в
зависимости от взаимного расположения моментов Г и р можно гово-
рить о капитализации или дисконтировании суммы Ск относительно
момента р. В литературе в таком случае говорят о текущем относитель-
но моментар значении суммы Ск (события (tk, Ск)):

V^ = PV,(Ck).

Тогда вектор

|7 р/Р)..

будем называть текущим векторным значением потока CF, а сумму

А-=! £=1

просто текущим значением (стоимостью) потока CF относительно
полюса р.

1.5. Финансовые схемы

Выше говорилось, что семейство финансовых законов капитализа-
ции и дисконтирования определяет финансовую схему, т.е. определен-
ную математическую структуру, в наиболее общем и абстрактном
виде описывающую финансовые операции и инвестиционные пронес-
сы. Абстрактность и общность такого описания заключается в том, что
в нем полностью отвлекаются от содержательного смысла (контекста)
моделируемых операций и процессов, оставляя на поверхности лишь
основные соотношения между отдельными финансовыми событиями,
участвующими в сделках или являющихся состояниями изучаемого
финансового (инвестиционного) процесса. Таким образом, финансо-
вая схема — математическая структура [30], с помощью и в рамках
которой строится математическая модель финансовых операций или
процессов.

Исходными элементами этой структуры являются (мгновенные)
финансовые события (элементы 1-го рода) и платежи за период (эле-
менты 2-го рода). Из этих элементов строятся финансовые потоки
(1-го и 2-го рода). Описанные выше правила актуализации задают
различные преобразования этих элементов и их потоков.

Задание семейства финансовых законов капитализации и дискон-
тирования позволяет определить, во-первых, правила преобразования
(приведения, переноса) как отдельных финансовых событий, так и по-
токов и, во-вторых, семейство отношений предпочтения (порядка) и эк-
вивалентности между событиями и составленными из них потоками.

Теория свойств этих преобразований и связанных с ними отноше-
ний представляет собой теорию финансовой схемы. Основное значение
финансовой схемы как раз и состоит в формальном, логически строгом
описании соотношений между временными и финансовыми (денеж-
ными) характеристиками финансовых сделок и процессов. Именно в
рамках финансовой схемы получает точную формулировку широко
известный принцип финансовой математики о неравноценности (неэк-
вивалентности) одинаковых и, напротив, возможной равноценности
розных денежных сумм, относящихся к различным моментам времени.

Приведем теперь основные понятия и конструкции, относящиеся к
финансовым схемам.

Базовым множеством (носителем) финансовой схемы является класс
всевозможных финансовых событий. На формальном языке это про-
сто финансовое пространство или плоскость время—деньги, являющееся
декартовым произведением временной шкалы на денежную шкалу

ТхМ = {(/,С)|/еТ,СеМ).

Вторая компонента финансовой схемы — законы капитализации
и дисконтирования, которые для любого выбранного моментар, назы-
ваемого полюсом (фокальной датой или моментом валоризации),
определяют оператор приведения (или текущей стоимости) PVp, сопос-
тавляющий любому событию (б С) или денежной сумме С ее приведен-
ное к моменту р значение V\

V = PV^’ с> =

На оператор PV можно смотреть как
с pvp у на преобразование событий (рис. 1.25):

-----1 РГ : (z, С) —»(/>,К ).

t р

„ В однородных схемах, т.е. в схемах,

Рис. 1.25

в которых общий финансовый закон
F(t, р, С) однороден по денежным суммам, оператор приведения явля-
ется линейным (при фиксированных р, t). Таким образом, для оператора
приведения выполняются следующие свойства:

аддитивности

PV(t, С, + С2) = РГ (Z, С,) + РИ (Z, с2);

однородности

PKf(z,ZC) = APKf(z,C).

В однородной схеме оператор приведения полностью определяется
своим действием на единичных событиях, т.е. событиях вида (Г, 1).
В самом деле, по свойству однородности имеем

РИр(/,С)=Р|/(/,С1) = С.РИД/,1).

Число

называется коэффициентом приведения (или обобщенным коэффициен-

том дисконтирования).

Приведение событий к выбранному полюсу позволяет сравнивать
эти события и соответствующие им денежные суммы, поскольку они

относятся теперь к одному моменту времени.

Определение 1.13. Событие (Г С?) не менее предпочтительнее собы-
тия (t2, С2) относительнор:

(zl,C1)>(z2,C2),

если

рид/„с,)> рур^,сг).

Если каждое из событий (Гр С^, (Г2, С2) не менее предпочтительнее,
чем другое, то говорят, что эти события эквивалентны относительно

полюса р и пишут
MG) MG)-

Таким образом, эквивалентность относительно полюса р или про-
сто р-эквивалентность событий означает равенство приведенных к
полюсур значений (текущих стоимостей) этих событий, т.е.

PV(t С) = PV(t С2). (1.13)

В однородной схеме это равенство равносильно равенству

Clv(tl,p) = C2v(t2,p'). (1.14)

Финансовая схема называется регулярной, если коэффициент при-
ведения v(t, р) отличен от нуля для всех t, р:

у(/, р)^0.

Этим свойством обладают, например, схемы с самосопряженным фи-
нансовым законом, поскольку для всехр, t в них

v(t,p)v(p,t)-[.

В регулярной финансовой схеме в равенстве (1.13), описывающем
отношение эквивалентности, задание одной денежной суммы одно-
значно определяет другую. Так, из равенства (1.14) следует, что

Тем самым определено еще одно преобразование событий, которое
называется относительным эквивалентным преобразованием или от-
носительным приведением. Это преобразование для выбранного по-
люса р и некоторого момента т преобразует событие (t, С) в эквивалент-
ное относительно полюса р событие (т, j, где

т ММ’

Последнее равенство позволяет определить еще один оператор
приведения, называемый относительным оператором приведения или
относительным оператором (или р-оператором) текущей стоимости,
который обозначим PV^. Положим

cW = PKrW(c,)=c,^. (1Л5)
При р = т относительный оператор приведения превращается в
определенный выше оператор приведения
pj/(p) _ ру
р р‘

Согласно определению, оператор PV^P} преобразует произвольное
событие в ему эквивалентное относительно полюсар событие:

С^=РГ^)(С,)~Сг

Оператор относительного приведения имеет простую интерпрета-
цию, если в качестве полюсар взять начальный момент Го для финансо-
вого процесса, рассматриваемого в рамках заданной финансовой схе-
мы. Тогда для любых/>/0 оператор PV^ преобразуетлюбое состояние
из траектории процесса, порожденного начальным состоянием (Го, So),
в другое событие 8т из этой же траектории (рис. 1.26).

Заметим, что для транзитивного самосопряженного финансового
закона выполняются равенства
у1 =v(pfT).

и(Т,р)

Первое выражает свойство транзитивности, второе — свойство само-
сопряженности. В этом случае равенство (1.15) перепишется в виде

С<'> = (С,) = С, = с,и(г ,р)о (д г) = Q (г, г) = РГ, (С,).

Таким образом, в этом случае относительный и обычный операторы
приведения совпадают:

руШ = ру<

Относительный оператор приведения позволяет определить «при-
веденное сложение» событий. Пусть (/,, С]) и (/2, С2) — два события.
Оператор РУ^ приводит оба эти события в события и (т,С2)
с общим моментом т. Денежные суммы, относящиеся к одному и тому
же моменту времени, можно складывать, что дает событие (т,С'+С2'),
которое называется приведенной (к моменту т суммой (относительно
полюса р) или просто ^-суммой событий в точке т.

Относительный оператор приведения преобразует р-эквивалент-
ные события в совпадающие, т.е. если

(/1> G)~(4’ Q)>
то

В самом деле,р-эквивалентность событий (t С^) и (tv С2) означает, что

или

С]п(/1,р) = С2Ц/2,р).

Тогда

РУ^ (СЛ = С1 4^4 = С, = /Trw (С2).

Отсюда следует, что приведенное сложение событий — по суще-
ству операция сложения классов p-эквивалентных событий (фак-
тор-операция).

Приведенное сложение можно определить не только для двух собы-
тий, но и для любого их конечного числа, т.е. для любого потока
событий. Такое сложение обобщает операцию (формального) приведе-
ния потока РУр(СР}, которая по существу представляет собой суммиро-
вание событий в полюсе р.

Операция приведенного сложения для потока также, как и обычная
операция приведения потока, является «линейным продолжением»
операции относительного приведения, т.е. для потока

его приведенная к т сумма есть

Приведенное относительно полюсар значение (CF) потока CF

называют p-суммой потока в точке т или относительной, текущей
стоимостью (или p-стоимостью) потока CF в точке г Операция
р-суммирования в точке т потока заменяет поток CF единственным
событием, эквивалентным относительно р всему потоку СЕ Таким
образом, если

C=PVt[p}(CF),
то р

{t,C)~CF.

Обобщая отмеченную инвариантность относительнор-эквивалент-
ности оператора относительного приведения, можно утверждать, что
p-эквивалентные потоки имеют одинаковые p-суммы в любой точке т:

cf~cf2,

то

/’^)(C^) = PKf(',)(CF2).

Наконец, относительный оператор приведения всегда обладает свой-
ством поглощения'.

ру(р) о ру^ - ру(д

т.е. даже в случае нетранзитивных (нерасщепляемых) финансовых
законов.

Таким образом, каждая финансовая схема порождает определенную
ею алгебру событий и потоков. Изучение свойств этой алгебры — одна
из основных задач теории данной финансовой схемы. В последующем
именно эта тема будет центральной при изложении двух классических
финансовых схем простых и сложных процентов. Читатель неоднок-
1.6. Практическая реализация временной шкалы. Финансовая хронология 79
ратно сможет убедиться в том, что все полученные ниже результаты
являются конкретизацией применения общих понятий и методов,
описанных в этой главе.

1.6. Практическая реализация временной шкалы.
Элементы финансовой хронологии

В §1.1 мы ввели понятие временной шкалы Т. После выбора начала
отсчета и единицы измерения она отождествляется с множеством
действительных чисел R. В этом случае моменты времени t и длины
промежутков Т представляются просто вещественными числами. Та-
кое представление временной шкалы есть идеализированное представ-
ление времени в рамках математической модели. Оно связано с тем,
что в математических формулах, выражениях, соотношениях можно
применять только математические представления используемых в них
величин, в частности числовые значения. Примерно такова же роль
временной шкалы в моделях механики и физики. Однако на практике,
говоря о моментах времени и промежутках, имеют дело не с абстракт-
ными числами, а с конкретными датами, часами, периодами и т.д.
Поэтому остается весьма важной проблема практической реализации
выбранной временной шкалы, подразумевающей конкретный способ
представления фактических событий и периодов их абстрактными
аналогами.

Так, выбрав в качестве базового (единичного) промежутка времен-
ной шкалы год, полугодие или квартал, необходимо уметь выражать
длительность различных периодов между реальными событиями
в годах, полугодиях, кварталах. Это далеко нетривиальная задача.
Возникающие здесь трудности связаны с особенностями практической
временной шкалы, т.е. системой измерения временных промежутков в
обычной практике. Эта система основана на использовании календа-
ря, часов и т.п. Она имеет многоуровневую структуру в отличие от
простой одноуровневой структуры модельной временной шкалы.
Многоуровневость проявляется в наличии иерархии базовых времен-
ных единиц: год, месяц, число, час, минута и т.д. Точность представле-
ния событий и периодов определяется выбранным в этой иерархии
Уровнем, т.е. задаваемой базовой единицей, например часом или
минутой.

Хотя в финансовой практике описания событий с точностью до
часа или минуты нередки, например в анализе биржевых цен в течение
торговой сессии или анализе обменных курсов для валютного рынка,
чаще всего временное описание большинства финансовых операций,
сделок и контрактов осуществляется с точностью до дня (суток). В этом
случае предельной единицей описания является дата, а соответствующая
практическая система представления событий воплощается в календа-
ре. Структура основной единицы календаря даты описывается фор-
мально тройкой

дата — <денъ; месяц; год>,
где каждая компонента имеет естественный диапазон изменения.

Выбирая стандартное числовое представление для возможных значе-
ний компонент даты, можно указать множества значений для каждой
компоненты. Так, возможные значения для компоненты «день» пред-
ставлены множеством {1,2,..., 31}, для компоненты «месяц» — множе-
ством {1, 2,..., 12}, для компоненты «год» — множеством всех целых
чисел Z. Таким образом, тройка <21; 6; 1998> описывает дату «21 июня
1998 года» или в обычном сокращенном представлении «21.06.98».
Ниже в примерах мы будем часто использовать такое общепринятое
представление дат.

Введем специальные обозначения для переменных компонент даты
и самой даты:

d=<d\m\y>,
где d — день; т — месяц; у — год.

Важнейшая особенность календаря состоит в наличии естественно-
го отношения порядка между датами. Так, для любых двух дат и Э,
можно сказать, какая из них предшествует (Э1 < Э2) или следует (Э1 > Э7)
за другой. В частности, для любой даты Э однозначно определена
непосредственно следующая Э+ или, наоборот, непосредственно пред-
шествующая Э" дата. Так, очевидно, что

< 31; 5; 1998 >+= < 1; 6; 1998 > и < 1; 3; 1996 > - < 29; 2; 1996 >.

Наличие порядка между датами позволяет определить календарные
промежутки (периоды) с помощью задания концевых дат Эр Э,. Напри-
мер, можно говорить об отрезке [Эр Э2], интервале (Эр Э2) или проме-
жутке [Эр Э.), который называется промежутком от даты до даты Э,.

Календарная шкала дискретна, поэтому для любого календарного
промежутка естественным образом определена его продолжительность
в днях. Обозначим число дней в промежутке / через D(J). Так, если
[1.01.96, 31.12.96] — календарный 1996 г., то его продолжительность
составляет 366 дней.
Пожалуй, наиболее важной особенностью календаря является на-
личие определенной зависимости между всеми тремя компонентами
даты. Иными словами, некоторые значения компонент описывают
«невозможные даты», точнее говоря, этим тройкам не соответствуют
никакие реальные даты. К ним относятся, например, сочетание
<31; 06;у> для любого года у, так как даты «31 июня» не существует.
К более тонким примерам такого рода относится комбинация
<29; 02; 1999>, поскольку 1999 г. не високосный и такой даты также не
существует.

Наличие «невозможных дат» тесно связано с другой важной особен-
ностью календаря — неодинаковой продолжительностью некоторых
стандартных периодов, таких какгМ полугодие, квартал, месяц. Более
того, само определение этих периодов не совсем тривиально. Что такое
год? Любой промежуток, состоящий из 365 или 366 дней? Ниже мы
введем ряд более формальных определений, уточняющих эти и другие
понятия.

Начнем с определения годового промежутка или календарного года.
Бесспорным примером годового промежутка является стандартный
календарный год с номером у, т.е. отрезок ] < 1; 1; у >; < 31; 12; у >] или,
что то же самое, промежуток [< 1; 1 \у >, < 1; 1;у + 1>) от 1 января года у
до 1 января года (у + 1). Отметим, что продолжительность стандартного
года зависит от его номера. Так, невисокосный 1999 г. состоит из 365
дней, тогда как високосный 1996 г. включает 366 дней. Кроме стандар-
тных календарных годов, можно определить другие годовые (календар-
ные) промежутки. Календарным годом будет, например, период от
31 марта 1998 г. до 31 марта 1999 г. Такой способ описания годовых
периодов связан с определенным отношением эквивалентности между
датами, которое мы будем называть отношением одноименности дат.

Более точно, будем называть даты с одним и тем же днем (числом) и
месяцем одноименными. Одноименные даты различаются лишь номе-
рами годов. Формально даты Э,= <d{; тх; у,> и Э2 = <J2; т2, у,> одио-
именны, если dx — d2 и тх = тг Одноименные даты назовем смежными,
если |у — у | = 1, т.е. если они относятся к соседним годам.

Промежуток времени от одной даты до смежной (одноименной)
даты Э2 назовем календарным годом. Иными словами, это промежуток
[Э1, Э2), если Э, < д, и даты и Э2 — смежные. Точно так же календарным
годом назовем и промежуток (Эр 3J. Оба этих промежутка назовем
календарными периодами между датами и Э,. Итак, календарный
год — период времени между двумя одноименными смежными датами.
6-5169
Естественно, что в этом определении речь идет о реальных (допусти-
мых), а не запрещенных датах. Так, строго говоря, у даты 29.02.96 нет
смежных одноименных дат. Ближайшая предшествующая одноимен-
ная дата — это 29.02.92, а ближайшая следующая дата «29 февраля
2000 г.» Напомним, что 2000 г. является високосным.

Кстати, о 2000 годе. Прения по поводу «истинного» начала третьего
тысячелетия основаны на недопонимании того, что год — это времен-
ной промежуток, а не момент времени. Поэтому 2000 г., как и любой
другой, имеет две даты: начальную — 1.01.2000 и конечную — 31.12.2000.
Истекший (пройденный) год отмечается своей конечной, а не началь-
ной датой. Когда говорят, что от некоторого момента (в данном случае
от Рождества Христова) прошло 2000 лет, то имеют в виду 2000 полных
(пройденных) лет. Поэтому конец такого 2000-летнего периода будет
концом 2000 г., т.е. 31.12.2000, а началом третьего тысячелетия будет
1 января 2001 г. При этом, как принято в традиционном летосчисле-
нии, год, начинающийся с Рождества Христова, — это первый, а не нуле-
вой год.

Стандартный календарный год является високосным, если его номер у
делится на 1000 или делится на 4, но не делится на 100.

Дату вида <29; 2;у> будем называть високосной. Високосные даты не
имеют смежных одноименных дат. Понятие високосной даты позволя-
ет дать определение так называемой високосной кратности любого
календарного промежутка.

Пусть J — календарный промежуток. Его високосной кратностью
назовем число содержащихся в нем високосных дат. С помощью
понятия високосной даты можно легко найти точную продолжитель-
ность в днях любого промежутка между двумя любыми одноименными
датами. Так, если Э, = <d; т; у > и Э2= <d; m; у2> — две одноименные
даты, то точное число дней между этими датами

D(d{, Э2) = 365|у2 -yJ + C (1.16)

где к — високосная кратность промежутка, т.е. число различных висо-
косных дат в нем. Например, точное число дней между 13.04.81 и 13.04.99
£>= 36548 + 4 = 6574.

Каждая невисокосная дата определяет последовательность (сетку,
решетку) одноименных с ней дат с последовательными номерами
годов. Так, для даты Эо дата Э, будет следующая за ней смежная дата,
Э2 — смежная к Э1 и т.д. Естественно, промежутки между последователь-
1.6. Практическая реализация временной шкалы. Финансовая хронология 83
ними (смежными) датами будут годовыми. С формальной точки
зрения эта последовательность есть просто класс эквивалентности
даты Эо.

Замечание. Мы не доказывали достаточно очевидное утверждение о том, что
одноименность дат есть отношение эквивалентности, т.е. рефлексивное, симметричное
и транзитивное отношение. Тривиальную проверку этих свойств оставляем читателю.

Определив годовые промежутки, аналогичным способом можно
определить полугодовые, квартальные и месячные календарные пери-
оды. Каждый раз определение будет основываться на соответствующем
понятии эквивалентности (подобия) между датами. Введенное выше
отношение одноименности можно назвать годовой эквивалентностью.
Соответственно полугодовой эквивалентностью назовем отношение
между датами, при котором дни (числа) дат совпадают, а месяца имеют
кратное полугодовому (шестимесячному периоду) смещение. Фор-
мально, даты 3j = <^; т^у{> и Э2- <<£,; т2; у2> называются полугодно
эквивалентными, если d{ = d2 и ну ~ т2 делится на 6. Так, полугодно-
эквивалентными между собой являются даты 15.03.96; 15.09.97;
15.03.98 и т.д.

Для точного определения полугодового промежутка необходимо
определить понятия смежных полугодно эквивалентных дат. Смежны-
ми будут даты, отстоящие друг от друга в точности набмес. Формально
3jH Э2 — смежные, если

4=^ |w1-m2| = 6; |^-у2|<1.

Промежуток между двумя смежными полугодно эквивалентными
датами называется календарным полугодием.

Как отмечалось, не каждая дата имеет смежную одноименную дату.
Их не имеют високосные даты, и только они. Аналогично существуют
особые даты и для отношения полугодовой смежности. Например,
30.08 (августа) любого года не имеет смежной следующей за ней даты,
так как такая дата должна быть 30 февраля следующего года. Не имеет
следующей смежной даты 31.05 (мая); можно привести и другие приме-
ры. Легко видеть, однако, что все эти даты являются последними
Днями длинных (из 31 дня) месяцев. Все остальные даты являются
неособыми, т.е. они порождают непрерывные последовательности смеж-
ных дат, в которой любые две соседние даты смежные. Иными слова-
ми, каждая неособая дата Эо порождает последовательность

• > Э_2,Э | , Эд ,Эр...,Эд_,...
полугодно эквивалентных с ней дат, так что ЭА+1 является смежной с
и, следовательно, все промежутки между двумя соседними датами
последовательности полугодовые.

Заметим, что длительность полугодовых промежутков имеет не два,
как в случае годовых, а три возможных значения: 182, 183 и 184 дня. Тем
же способом, каким были определены годовые и полугодовые проме-
жутки, можно определить квартальные и месячные периоды.

Квартальная эквивалентность дат и Э2 определяется условиями:

= tZ, и т} — т2 делится на 4, а месячная эквивалентность — просто
совпадением номеров дней: d, = dr

Определяя квартально-смежные и месячно-смежные даты, мы
определим промежутки между ними как календарные квартальные
и месячные периоды. Несложно убедиться, что возможная продолжи-
тельность квартальных промежутков составляет 120, 121, 122 и 123 дня,
тогда как продолжительность месячных промежутков — 28, 29, 30 и 31
день.

Относительно квартальной и месячной смежности, как и в случае
годовой и полугодовой, имеются особые даты, не имеющие смежных.
Так, для 30 января нет следующей месячно-смежной даты, поскольку
нет даты 30 февраля. Неособые же даты порождают последователь-
ность (сетку, решетку) смежных дат с квартальными (в случае кварталь-
ной эквивалентности) и месячными (в случае месячной эквивалентно-
сти) периодами между соседними датами.

Сказанное проясняет основную трудность в переходе от практичес-
кой календарной шкалы к модельной (теоретической) временной шка-
ле с выбранным базовым периодом. Она заключается в неодинаковой
продолжительности базового промежутка, выбран ли он годовым,
полугодовым, квартальным или месячным.

Возьмем, например, годовую модельную шкалу. В ней единица
измерения — год. Но о каком годе идет речь? В модельной шкале
отрезок [0, 1], представляющий базовый период, имеетту же длину, что
и любой другой единичный отрезок а + lj. Если мы хотим, чтобы
отображение календарной шкалы в модельную корректно учитывало
продолжительность в днях, т.е. чтобы календарные промежутки с
равным числом дней отражались в виде равных промежутков модель-
ной шкалы, то придется согласиться с тем, что последовательность
смежных дат, порожденных некоторой датой, будет представлена пос-
ледовательностью с меняющимися расстояниями (в модельной шкале)
между соседними точками.
Если же мы хотим, чтобы последовательные годовые календарные
промежутки изображались равноотстоящими друг от друга точками
годовой модельной шкалы, то придется смириться с утратой инвариан-
тности продолжительности в днях. Поскольку, например, процентные
ставки на практике обычно задаются как годовые и, следовательно,
учет накопленных (начисленных) процентов в моделях процентного
накопления (роста) пропорционален периоду накопления, выражен-
ному в годах, то, как увидим ниже, конкретная величина накопленных
процентов, согласно модели, будет зависеть от способа пересчета
реальных временных параметров в теоретические (модельные).

Во всех практических случаях приходится идти на некоторый комп-
ромисс, по крайней мере, для моделей, рассматриваемых ниже. Конеч-
но, можно строить модели непосредственно в календарной шкале, но
это не снимает всех трудностей, поскольку привязка к годовой базе
традиционна на большинстве финансовых рынков, к тому же такие
модели более громоздки.

Рассмотрим несколько схем перехода от практической календарной
шкалы к модельной годовой шкале. Поскольку выбор начала (началь-
ной даты) несуществен, то основное внимание уделим определению
продолжительности в годах промежутков, задаваемых календарными
датами. Конечно, дата — это сутки, т.е. 24 часа, иными словами, это
временной интервал, а не точка. Тем не менее будем изображать даты
точками в модельной шкале. Такое представление будет вполне оправ-
данно, если зафиксировать стандартное начало суток, например 0 ч 0 с
и т.д. Иными словами, точка модельной шкалы будет всегда соответ-
ствовать стандартному началу некоторой даты. В календарной шкале
есть естественная мера длины временных промежутков — продолжи-
тельность их в днях. Она легко вычисляется с помощью стандартной
функции jV(d) — порядкового номера даты Э в стандартном календар-
ном году (см. табл. П.1 и П.2). Если Э, и Э2 — две даты одного года,
то число дней между этими датами, очевидно,

£>(Э1,Э2) = Л,(Э2)-Л'(Э1).

Так, для невисокосного 1998 г., согласно табл. П.1, 14 февраля (Э,)
имеет порядковый номер 45:

Л'(Э1)=45,
а 27 августа (Э ) — порядковый номер 239:

W(92) = 239.
Следовательно, между этими датами содержатся в точности

П(Э,,Э2) = 239-45 = 194

дня. Для високосного 1996 г. номер для 14 февраля остается тем же са-
мым, тогда как для 27 августа он, очевидно, увеличится на единицу, т.е.

А(Э2) = 240.

Поэтому число дней между этими датами в 1996 г. равно 195.

Продолжительность в днях — однозначно определенная мера длитель-
ности календарных промежутков, в отличие от продолжительности в
годах. Определение последней требует уточнения, например, в виде
правила преобразования продолжительности в днях в продолжитель-
ность в годах. Ряд стандартных способов преобразования продолжи-
тельности в днях в продолжительность в годах промежутка /основыва-

ется на формуле

£(/)

(1.17)

где Т, D — продолжительность соответственно в годах и днях; Y —
принятое в данном преобразовании характерное число дней в году, так
называемый годовой дивизор. Наиболее типичные значения годового
дивизора — 360 и 365 дней. В простейших случаях дивизор является
постоянным и не зависящим от промежутка / числом. Выбор в каче-
стве числителя в (1.17) точного числа дней в периоде Лав качестве
знаменателя — дивизора 365 или 360 дают два наиболее распростра-
ненных правила, которые имеют специальные обозначения.

Правило АСТ/365!. Для этого правила

Ф)=

£(J)

365 ’

где D(J) — точное число дней в периоде J.

Заметим, что продолжительность в годах високосного года составит
366/365, т.е. больше единицы, тогда как продолжительность любого
невисокосного года в точности равна единице. Очевидно, что если /
состоит в точности из п календарных лет, включающих к високосных
дат, то продолжительность в годах такого периода, согласно форму-
ле (1.16),

1 Здесь ACT - сокращение от Actual, т.е. действительный; подразумевает использо-
вание действительного, т.е. точного, числа дней между датами.
7’(J) = n + —

и «погрешность» правила АСТ/365 в этом случае тем больше, чем
больше високосных дат в этом периоде. Поскольку к~п/4, то абсолют-
ная погрешность такого представления примерно равна

^L_=_2L_ = 0,7 10-2«.
4-365 1460

Здесь под абсолютной погрешностью понимается отклонение T(Jn),
вычисляемого по правилу АСТ/365, от точного числа я календарных лет.

Для периода/от 14.02.96 до 27.08.96, согласно этому правилу, имеем

_ D(J) 195 .

Т-—----------= 0,5342 (год).

365 365 V }

Правило АСТ/360. Это так называемое банковское правило, согласно
которому . .

360 ’

где D(J) — точное число дней в периоде J.

Это правило еще в большей степени увеличивает «годовую длину»
характерных промежутков. Так, високосный год по этому правилу

имеет длину

366 ( ч

1,0167(год ,

360 ' у

а для невисокосного годового промежутка его длина

^ = 1,0139(год).

Естественно, чем длиннее период J, тем больше «степень удлине-
ния» в годах. Эта формула чаще всего используется в расчетах, касаю-
щихся денежного рынка, т.е. рынка краткосрочных долговых обяза-
тельств, таких, как депозиты в банках, векселя, коммерческие бумаги,
депозитные сертификаты и др.

Правило ACT/365 в естественном смысле более точное, чем банков-
ское правило, тем не менее оно не учитывает возможность присутствия
високосных дат в измеряемом промежутке. Такой учет может быть
сделан двояким образом. Первый состоит в игнорировании (исключе-
нии) високосных дат при подсчете числа дней в промежутке при
неизменном годовом дивизоре — 365. Второй способ состоит в соот-
ветствующем изменении дивизора (до 366 или другого значения) при
измерении високосных промежутков.

Первый подход реализован в так называемом японском правиле
АСТ/365, в котором все високосные даты исключаются, таким обра-
зом, продолжительность любого годового промежутка считается рав-
ной 365 дням. Это правило формулируется следующим образом.

Правило АСТ/365, Япония. Если J — период с к високосными
датами, то , .

Данное правило используется для расчетов, связанных с государствен-
ными облигациями Японии. По этому правилу длительность в годах
промежутка от 14.02.96 до 27.08.96

Второй способ уточнения связан с фактическим изменением диви-
зора. Имеется одно основное правило, используемое для промежутков
любой длины, и короткая модификация этого правила, относящаяся к
промежуткам меньше года. Оба эти правила обозначим как АСТ/АСТ.

Правило АСТ/АСТ (основное). Пусть J — период, определяемый
датами Э = <t/; /и > и Э,= /лд у2>. Разобьем его на три части:

Первая часть соответствует периоду от dj до конца текущего (у,) года:

где Э; =1.01(у! + 1), т.е. начало следующего года. Промежуток/2состоит
из полного числа стандартных календарных лет между Э* и Э2, т.е. числа
лет от 1.01(yr + 1) до 1.01у2. Наконец, промежуток J3 есть период от
начала года у2, т.е. Э2 -1.01 у2 до даты Э2:

Л=[э;.э,).

Тогда с учетом приведенного разбиения

+п,

где D(Jk) - число дней в промежутке Jk, k = 1,3;
У |366, еслиук —високосный;

к [365, если —невисокосный,

а и = у2 - <у1 — полное число стандартных календарных лет между
датами Э, и Э2.

Пусть, например, д, — 14.02.96, а Э2 — 27.08.99. Тогда промежуток/
от 3j до Э, разобьется на период J, от 14.02.96 по 31.12.96, состоящий,
согласно табл. П.1, из

D(J') = 366 — 45 = 321

дня, на период/, от 1.12.97 до 1.01.99, который содержит

1999 - 1996 = 3

полных календарных года, и на период /. от 1.01.99 до 27.08.99,
состоящий из 238 дней. Таким образом, согласно правилу АСТ/АСТ,

321 238 . \

г(/)=Збб+Зб5+3=4’5291(год)-

В частных случаях промежутки /2 и Л могут быть пустыми. Так, если
обе даты лежат в пределах одного стандартного календарного года, то
оба этих промежутка пусты. Если же даты принадлежат смежным
годам, то пустым будет промежуток/2.

Схема АСТ/АСТ имеет так называемую короткую модификацию
для периодов /, меньших года. Это правило применяется для расчета
накопленного купона по облигациям и имеет вид

где

J365, если/ — невисокосный;

[366, в противном случае.

Напомним, что период / называется високосным, если он содержит
високосную дату. Так, период от 14.02 до 27.08 имеет длину

104

Т = -i- = 0,5315 (год)

Зоэ

для невисокосного 1998 г. и

1 95

Г = = 0,5328 (год)

Зоо

ДЛЯ високосного 1996 г.
Нетрудно видеть, что использование основного правила АСТ/АСТ
приведет для этих примеров к таким же результатам, поскольку выб-
ранный период лежит в пределах одного стандартного года.

Однако если меньший года промежуток J не укладывается в преде-
лах одного стандартного года, поскольку, например, его концы при-
надлежат смежным годам, то применение основного и короткого
правила может привести к различным результатам. Рассмотрим, на-
пример, период J от 27.08.96 до 14.02.97. Тогда основное правило
разбивает этот период на промежуток от 27.08.96 по 31.12.96, состоя-
щий из 125 дней, пустой промежуток/2 и промежуток^ от 1.01.97 до
14.02.97, состоящий из 44 дней. Таким образом, для периода J имеем
(поскольку 1996 г. — високосный Тод):

125 44

Т = + __L-o,4621 (год).

366 365 }

Применение короткой модификации правила АСТ/АСТ дает для этого
промежутка результат

7=^^41 = 0,4630 (год),

365

поскольку период / не является високосным.

Замечание. Правило АСТ/АСТ для периодов меньших года (при его точном при-
менении) совпадает по определению с правилом АСТ/365 (ISDA), используемым Между-
народной Ассоциацией Своп Дилеров(15ВА — International Swap Dealers Association) [34].

Рассмотренные выше правила базировались на точной продолжи-
тельности в днях календарных периодов. На финансовом рынке, одна-
ко, часто встречаются схемы, основанные на так называемом упрощен-
ном или приближенном подсчете дней. Идея этих схем состоит в «вырав-
нивании» продолжительности всех месяцев до 30 дней. Таким образом,
в этом случае год будет состоять из 12 мес. по 30 дней, т.е. из 360 дней.
Поэтому дивизор У в формуле

для этих правил будет равен 360, а числитель Ь вычисляется специаль-
ным образом. Простейший вариант этого правила, так называемое
основное правило 30/360, описывается следующим образом.

Правило 30/360. Пусть 3,= </,; т^у{>, Э2 = </2; /л2; у2> — две даты,
причем Э2 следует за Эг Тогда приближенное число дней между этими
датами
Ь(д{,д2) = 360(у2 -yj + 30(m2-m^+fy -dj,
а продолжительность в годах

Рассмотрим, например, период от 14.02.96 до 27.08.99. Тогда при-
ближенное число дней между этими датами

Ь = 360 3+30 6+(27-14) = 1273,

а продолжительность в годах

1273

Г = —— = 1,5972.

360

Заметим, что точное число дней между этими датами 1291. Это су-
щественно больше приближенного значения 1273, так что абсолютная
погрешность равна 18. Однако относительная погрешность вычисле-
ния Т по правилу 30/360 по сравнению с точным правилом АСТ/АСТ
будет всего 1,3%. Это, конечно, обусловлено тем, что в приближенном
методе дивизор У, равный 360, подогнан под продолжительность «при-
ближенного года». В частности, любой календарный период, состоя-
щий в точности из п календарных лет, имеет продолжительность в годах
по правилу 30/360, также равную точно п годам. Этот эффект подгонки
использован и в описанном выше японском правиле АСТ/365, которое
не учитывает високосные даты, приводя таким образом продолжи-
тельность годового периода точно к 365 дням.

Приближенное правило 30/360 появилось до создания первых вы-
числительных устройств и существенно экономило трудоемкость вы-
числительных операций в финансовой практике. Хотя сейчас с разви-
тием вычислительной техники теоретически необходимость в упро-
щенных методах отпала, тем не менее, закрепившись в практике, по
традиции они используются и в настоящее время.

Основное правило имеет ряд модификаций, отличающихся от ос-
новного способом выравнивания длин месяцев. В каждом случае даты,
соответствующие последним дням длинных месяцев, преобразуются
во вспомогательные. После такого преобразования продолжитель-
ность периода в днях (приближенная) вычисляется по основному
правилу 30/360.

Приведем ниже формальное описание этих преобразований для
четырех правил, используемых профессиональными ассоциациями
финансистов. Пусть = и Э2=<<72; т2; у2> — две даты.

Преобразование этих дат осуществляется следующим способом.

Правило 30/360 ISDA. Если d{ - 31, то d\ - 30, иначе d\ ~ dv

Если d2 = 31 и d[ =30, то d2 =30, иначе d2 -dr

Правило 30/360 PSA (Public Securities Associates). Если d{ - 31 или
d{ — последний день февраля, то d{ ~ 30, иначе d*t ~ dr

Если d2 ~ 31 и d\ - 30, то d*2 - 30, иначе d'2 -d^.

Правило 30Е/360. Если d} = 31, то d\ = 30, иначе d\ = d}.

Если d2 = 31, то d2 = 30, иначе d\-dr

Это правило есть вариант правила 30/360 ISDA, используемое в
основном в Европе, отсюда и метка £ в обозначении правила. Оно
отличается от правила 30/360 ISt)A лишь в случае, когда вторая дата
также есть 31 число. Европейский вариант всегда преобразует его в 30
число независимо от первой даты. Последнее правило является комби-
нацией правил ISDA и PSA. Оно применяется для определения накоп-
ленных процентов для текущего купонного периода облигации.

Правило 30/360 SIA (Securities Industry Association). Если d{ = 31 или
d} — день купонной выплаты, являющийся последним днем февраля,
то d* =30, иначе d[ =dr

Если d^ = 31 и = 30, то d\ - 30, иначе d\ =d2.

В табл. П2 приложения приведены примеры вычисления прибли-
женного числа дней по каждому из этих правил.

Во всех правилах месяц и год исходных дат остаются неизменными,
т.е. Э; =<<;znj;yi >и Э2 =<d2',m2;y2 >, где d] и d2 — дни, вычислен-
ные по одному из правил. Приближенное число дней теперь вычисля-
ется по преобразованным датам:

£>(di,32) = Z)(X, Э2),

где Ь вычисляется согласно стандартному правилу 30/360.

Приведенные выше вычисления продолжительности периодов в
годовой шкале показывают нетривиальность и многообразие приме-
няемых правил. Их применение (а также происхождение) зависит от
страны, валюты, типа финансового инструмента, профессиональной
ассоциации, соглашений, установленных эмитентом ценной бумаги,
и т.д. Так, правило АСТ/365 применяется для инструментов денежного
рынка в Великобритании и Японии (японский вариант). Правило
АСТ/360 широко применяется на денежном рынке Франции. Правило
30/360 — на рынках корпоративных облигаций и облигаций федера-
тивных агентств США. Европейский вариант правила 30Е/360 исполь-
зуется на рынке евробондов, атакже в Германии и Голландии1 * *. Правило
АСТ/АСТ используется казначейством США, атакже на финансовых
рынках Франции и Австралии.

Таким образом, корректное применение описываемых ниже моде-
лей в каждом конкретном случае нуждается в тщательном изучении
конкретных временных соглашений, применяемых в расчетах с дан-
ным видом финансовых инструментов. Знание общих формул не
заменяет необходимости изучения конкретных деталей. Однако ниже в
нашем изложении в большинстве случаев будем избегать конкретных
усложненных схем, ограничиваясь заданием упрощенных данных, по-
зволяющих легко перейти к годовой шкале. Так, срок, непосредственно
заданный в месяцах, мы будем преобразовывать в годовую шкалу по
естественной формуле

Т_М
~ 12’
где М— срок в месяцах. Срок, заданный в неделях И7, можно преобра-
зовывать по формуле

Т^.

И конечно, наиболее часто в примерах будем использовать срок, задава-
емый непосредственно в годовой шкале, например 2 года, 3,5 лет и т.д.

Вопросы и упражнения

1. Какие два типа финансовых величин используются в финансовом анализе? В чем
состоит основное различие между ними?

2. Опишите основные виды финансовых потоков.

3. Укажите основные схемы актуализации финансовых событий и потоков 2-го рода.

4. Дайте определение ренты и ее (актуализированных) вариантов. Укажите основ-
ные параметры ренты.

5. Какую роль играют свойства детерминированности и полной детерминированно-
сти финансового процесса в определении преобразований финансовых событий?

6. Что такое финансовая схема? Опишите основные элементы финансовой схемы.

7. Приведите важнейшие свойства финансовых законов. Придумайте примеры
финансовых законов для случаев: а) когда эти свойства выполняются; б) когда выполня-
ются не все из этих свойств.

8. Дайте определения отношений предпочтения и эквивалентности финансовых
событий относительно заданных законов капитализации и дисконтирования.

1 В отечественной литературе использование правила АСТ/365 именуют «английс-

кой практикой», АСТ/360, т.е. банковское правило, — «французской практикой», а

правило 30/360 — «германской практикой».
9. Приведите определение формальной текущей стоимости потока платежей в
финансовой схеме.

10. Дайте определение оператора относительного приведения финансового потока.
Докажите, что этот оператор обладает свойством поглощения для любых регулярных
финансовых законов.

Задачи

1. Пусть законы капитализации и дисконтирования заданы соотношениями
A(c,t, p) = C(l + (p-r)), p>t;

D(c,t, p) = C(l + (p-r)j, t>p.

Являются ли эти законы однородными, стационарными, транзитивными, сопряженными?

2. Пусть законы капитализации и дисконтирования заданы соотношениями

р) = С(1+(р-г)), p>t;

D(ctt,p) = C(\+(p-t)), t>p.

Определить общий финансовый закон Дс, /, р) и найти соответствующий ему общий
коэффициент дисконтирования. Найти текущее относительно р = 0 значение событий:
(-1, 100); (0, 200); (2, 500).

3. Пусть общий коэффициент дисконтирования v(t, р) однородного финансового
(общего) закона Г(с, /, р) имеет вид

а(/,/>) = 1 + (р-/)2.

Будет ли этот закон транзитивным и самосопряженным? Найти приведенное к моменту
т = 1 значение потока

CF= {(-1, 100), (0, 200), (2, 500)}
относительно полюса р - 0.

4. Вычислить срок в годах, если в месячной шкале он равен: а) 10 мес.; б) 12 мес.;
в) 1 мес.

5. Дата получения кредита — 15 июня, а погашения — 20 окт. того же года. Найти
точное и приближенное число дней до погашения. Найти срок до погашения в годовой
шкале по правилам: а) АСТ/АСТ; б) АСТ/365; в) банковскому; г) 30/360. Предполагает-
ся, что год невисокосный.

6. Заем сделан 16 нояб. 1965 г. и возвращен 9 февр. 1966 г. Найти срок до погашения в
годовой шкале по правилам: а) АСТ/АСТ; б) АСТ/365; в) банковскому; г) 30/360.

7. Для какого из перечисленных в §1.6 правил срок в годовой шкале между датами
3.07.89 и 14.05.91 будет: а) наименьшим; б) наибольшим?
Глава 2. Финансовый анализ кредитной сделки

2.1. Описание и определяющие параметры кредитной сделки

Рассмотрим одну из основных финансовых операций — кредитную
сделку и введем ряд понятий, связанных с этой операцией.

Кредитные сделки отличаются большим разнообразием: открытие
сберегательного счета в банке, выдача банком кредита, учет векселя
и др. Конкретные условия кредитной сделки определяются в соответ-
ствующем финансовом контракте, который служит ее юридическим
обеспечением.

В общем случае простая кредитная сделка представляет собой едино-
временную выдачу кредита (займа, ссуды), погашаемого одним плате-
жом в конце срока сделки и подразумевающего участие в ней двух лиц:

кредитора — лица, предоставляющего в долг финансовые сред-
ства (денежные средства или другие активы);

дебитора (заемщика, должника) — лица, получающего финан-
совые средства в свое распоряжение для временного их использования.

Подразумевается также, что финансовый контракт, на основании
которого осуществляется данная кредитная сделка, обусловливает воз -
врат дебитором полученного займа через точно определенный срок
и плату в виде процента за его использование.

Ясно, что сущность кредитной сделки, например с позиции креди-
тора, состоит в получении определенной выгоды, которую можно
охарактеризовать количественно. Для этого используются следующие
основные временные и денежные (финансовые} параметры кредитной
сделки:

Го — дата выдачи кредита (ссуды);

Т— период времени, на который был выделен кредит;

= tQ + Т— дата возвращения (погашения) кредита;

Р — сумма кредита или основная сумма долга (Principal);

I — плата за кредит, т.е. сумма процентов за период сделки;

5 — сумма погашения (полная сумма) долга.

Временная диаграмма сделки изображена на рис. 2.1.
р I s Поскольку Р и 5 — мгновенные ве-

[ личины, то в дальнейшем будем осуще-
ствлять их привязку к соответствующим

f° Т моментам времени. В данном случае

Рис. 2,1 Р=5(| и

Итак, простая кредитная сделка связывает две суммы: величину
выданного кредита Ри его полную (вместе с процентом) стоимость S;
при этом очевидно, что

S=P+I (2.1)

или, учитывая временную привязку,
1

= 5’ + I. (2.2)

Поэтому из трех денежных величин независимые только две. Разумеет-
ся, наиболее важная из них — процент I, который фактически характе-
ризует результат финансовой сделки. Необходимо указать, что этот
результат имеет различное, а точнее, прямо противоположное значе-
ние для обоих участников сделки — кредитора и дебитора:

для кредитора процент / выражает доход от сделанной им инвестиции;

для дебитора (заемщика) процент / представляет собой стоимость
кредита и должен трактоваться им как издержки (убытки).

Соотношение (2.1) отражает финансовую сущность простейшей
кредитной сделки и называется основной формулой теории кредитных
операций.

Остановимся теперь на другом, более формализованном описании
кредитной сделки исходя из понятия финансового потока.

В простой кредитной сделке фигурируют два финансовых события:
(f0, S()) — выдача (получение) кредита 5 в момент времени tQ и (Г, 5) —
возврат полной суммы 5] в момент времени + Т. Объединяя эти
события, получим поток событий

CF={(t^S0)Atv^}.

Этот поток описывает динами ку кредита. Долг от начальной величины
50 к концу периода сделки возрастает до величины Относительно
начального момента tQ сумма 5, представляет собой будущую стоимость
долга, а в момент эта величина определяет наращенную или накоплен-
ную стоимость долга. Формально простую кредитную сделку можно
описать как преобразование начальной суммы So долга в конечную
сумму S долга. Более точно, речь идет о преобразовании не денежных
сумм, а финансовых событий, результатом которого является замеще-
ние события (ry, So) событием (rs, Л^). Если использовать оператор FK
для упомянутого преобразования, то его действие можно записать в
виде

^(/„,5») = (/,.5,). (2.3)

В дальнейшем в тех случаях, когда не возникает неоднозначности
толкования финансовых событий, будем использовать также упро-
щенную запись равенства (2.3):

ТИ,1(50) = 51. (2.4)

Таким образом, согласно равенству (2.3) (или (2.4)) оператор FVt
представляет собой правило замещения финансового события (/0, 50)
событием (t 5;) или капитализации суммы 50 в кредитной сделке.

Интерпретация кредитной сделки как некоторого преобразования
(оператора) может показаться вначале необычной. Однако именно эта
точка зрения приводит к более глубокому пониманию смысла матема-
тических моделей многих финансовых операций.

В заключение обратимся еще раз к событиям (7у, 50) и (гр 5(),
составляющим поток, описывающий рассмотренную выше модель
динамики наращения долга. Из описания потока следует, что обе
суммы 5у, 5] рассматриваются как положит ел ьные. Однако в тех случа-
ях, когда кредитная сделка рассматривается с точки зрения полученно-
го дохода (для кредитора) или понесенных убытков (с точки зрения
должника), указанные выше суммы могут браться с противоположны-
ми знаками. Так, с позиции кредитора выдаваемая им сумма 50 означа-
ет расход, тогда как возвращаемая сумма 5 — приход. Поэтому кредит-
ная сделка, с точки зрения кредитора, может быть представлена диаг-
раммой (рис. 2.2), где начальная сумма берется со знаком минус,
а конечная — со знаком плюс. В этом случае поток

{(/о.-5(1),(г,,5,)}

называется представляющим (порождающим) потоком простой кре-
дитной сделки (см. § 1.3).

Естественно, что с точки зрения за-
емщика знаки сумм в диаграмме следу-
ет заменить на противоположные.

Выбор того или иного типа диаг-
раммы (или, что тоже самое, потока) —
Дело вкуса. В большинстве случаев он
7-5169

-So S1

—I-----------------------f-

Рис. 2.2
определяется спецификой модели и теми целями, которые преследу-
ются при ее анализе.

Итак, мы определили количественные параметры простейшей кре-
дитной сделки и установили математические зависимости между ними.
Это позволяет определить доход, получаемый инвестором в результате
сделки. Однако с финансово-экономической точки зрения остался
невыясненным вопрос: как оценить эффективность сделки или, как
говорят, ее доходность? Этот вопрос по существу является основным
в финансовом анализе кредитной сделки. Если бы всегда можно было
в момент заключения сделки предвидеть, какую сумму получим по
завершении контракта, то имели бы наиболее простую ситуацию.
В этом случае финансовый анализ сделки минимален, а оценка ее
доходности происходит постфактум, т.е. после завершения сделки.

Однако совсем другая ситуация складывается, когда требуется оце-
нить доходность некоторой кредитной сделки прежде, чем она будет
реально заключена, т.е. осуществить прогноз ее эффективности, срав-
нивая, например, ее доходность с доходностями иных возможных
сделок при разных суммах кредита и сроках их погашения. Для того
чтобы осуществить этот прогноз, устанавливаются «специальные усло-
вия сделки», предопределяющие тот или иной финансовый закон капи-
тализации и соответствующую финансовую схему, позволяющую нахо-
дить накопленную сумму долга для разных сроков погашения или, в
терминах гл. 1, определять состояния кредитных сделок в различные
моменты времени.

2.2. Процент, процентная ставка, простые классы кредитных сделок

В этом разделе более подробно изучим важнейшее понятие финан-
совой математики — процент, тесно связанное с кредитными операци-
ями; введем понятие процентной ставки; дадим основные определения
доходности простейшей кредитной сделки.

Слово «процент» (от лат. pro centum, «на сотню») может иметь два
следующих значения.

Первое — математическое: 1 % от некоторого числа Sозначает сотую
долю этого числа, т.е. равен 0,015. Так, 8% от числа 500 составляют

500 —--=500 0,8 = 40.

100
Второе — экономическое: в финансовой сфере слово «процент» пред-
ставляет собой плату (в рублях, долларах, марках и т.д.) за использование
денежных средств (кредита, ссуды и т.д.), предоставляемых одним лицом
(кредитором) другому лицу (заемщику, дебитору, должнику), выражен-
ную в сотых долях от суммы долга. Таким образом, экономическое зна-
чение процента более емкое, чем математическое: оно констатирует факт
о том, что «за долг надо платить», атакже содержит в себе количествен-
ную характеристику долга — «сколько требуется платить».

Рассмотрим простой пример. Пусть инвестор кладет в банк на год
сумму 2А 500 под 8% годовых. Это значит, что в конце года инвестор
кроме вложенных денег получит добавочно сумму /, называемую про-
центами по вкладу, составляющую

/= 500-0,08 = 40(?^).

Эта сумма представляет собой плату за предоставленные инвесто-
ром банку средства, которыми он может распоряжаться в течение года.
В данном случае инвестор является кредитором, т.е. лицом, дающим
деньги взаймы, а банк — должником, т.е. лицом, берущим эти деньги и
обязующимся вернуть их в положенный срок, уплатив по ним проценты.

Итак, по своему определению, процент /, с одной стороны, —
денежный параметр кредитной сделки, а с другой — служит абсолют-
ным показателем ее доходности. Однако ясно, что доходность кредит-
ной сделки определяется не только величиной процента, но и тем,
какая сумма была вложена для его получения, т.е. суммой кредита Р.
Поэтому целесообразно иметь другой, так называемый относительный
показатель доходности кредитной сделки, учитывающий как сам про-
цент I, так и вложенную сумму 5, на основе которой он был получен.

Определение 2.1. Величина

или, учитывая временную привязку сумм сделки,

Называется процентной ставкой кредитной сделки за период [г, tQ + Т].

Таким образом, если / = 5, — 50 показывает абсолютную величину
Дохода, полученного кредитором на всю сумму долга 50, то процентная
ставка г указывает доход на единицу суммы кредита (одного рубля,
доллара и т.д.).
Из формул (2.2), (2.5) и (2.6) вытекают следующие важные соотно-
шения:

I=Pr=Styr (2.7)

и, кроме того,
5’1=5’о+/=5о + 5ог=5о(1+г). (2.8)

Следовательно, если известна процентная ставка сделки, то по ее
начальной сумме 50 можно найти все остальные финансовые парамет-
ры сделки: проценты / и полную (накопленную) сумму долга

Заметим, что и проценты /, и ставка г являются интервальными
характеристиками, т.е. соотносятся (непосредственно связаны) с пери-
одом сделки. Чтобы подчеркнуть этот факт, часто пишут 1Т и гт, где Т—
длина периода [ro, сделки в выбранной временной шкале. Будем
опускать индекс Г, обозначающий период сделки, если из контекста
ясно, о каком периоде идет речь.

Замечание. В нашем изложении процентная ставка г, как и другие виды процен-
тных ставок, которые будут вводиться в дальнейшем, имеют двоякий математический
смысл: в расчетных формулах они, как правило, понимаются как сотые доли, при этом в
их записи не используется символ % (конечный результат после вычисления по формуле
может быть равен, например, 0.05 или 0,1 и т.д.), в то же время в тексте процентные
ставки имеют уже реальный смысл процента и фактически всегда сопровождаются
символом % (например, г = 10%). В тех случаях, когда могут быть отступления от этого
правила, соответствующий смысл числового значения процентной ставки необходимо
должен следовать из контекста.

П р и м е р 2.1. Пусть в момент времени Г() = 0 выдан кредит на сумму 5{) - .*25000 сро-
ком на 7 — 2 года, по истечении которых кредитор должен получить.У ~ Л’10 000. Найти
процентную ставку сделки.

Р е ш е н и е. Согласно (2.6), процентная ставка г в этой сделке составит
10000-5000 .

5000
т.е. г =- 100%.

Пример 2.2. Рассматривается простая кредитная сделка, состоящая в выдаче
.'А2000 на срок 3 года. Найти сумму погашения долга, если процентная ставка сделки
составляет 60%.

Решение. В этом примере (для головой шкалы)

5П= ./22000, z(j = 0,- 3,г = 0.6.

Согласно (2.8), полная сумма (сумма погашения) долга

= 2000(1 + 0,6) = 320()( ?/?).

Ставка г, определенная выше, относится ко всему периоду сделки.
На практике наиболее часто используется другой вид процентной став-
ки, относящийся к некоторому выбранному базовому промежутку
времени — в экономике и финансах это обычно год, но в зависимости
от конкретных условий может быть выбран любой другой период
времени. Выбор базового промежутка позволяет привести или, как еще
говорят, нормировать процентную ставку сделки.

Определение 2.2. Простая нормированная процентная ставка сдел-
ки, приведенная к базовому периоду, — это отношение

где Т = — Zn — срок (длительность, период) сделки, выраженный

в единицах базового периода.

С финансово-экономической точки зрения нормированная процент-
ная ставка представляет собой для кредитора доход с единицы суммы
кредита в единицу времени, а для заемщика — стоимость единицы суммы
долга в единицу времени.

Подразумеваемый в определении нормированной процентной став-
ки базовый период часто выражают в форме соответствующего прилага-
тельного — так, говорят о годовой, месячной и других процентных став-
ках, опуская, если это возможно, слова «простая» и «нормированная».

П р и м е р 2.3. Для сделок из примеров 2.1 и 2.2 найти нормированные ставки этих
сделок.

Решение. Для примера I ставка г = 1 (т.е. 100%) относится к двухлетнему периоду
Т= 2. Таким образом, простая нормированная станка сделки

т.е. 50% годовых.

В примере 2.2 ставка сделки г = 0.6 (т.е, 60%) относится к трехлетнему периоду Т~ 3.
Следовательно, в этом случае

,=^ = 0.2.

3
т.е. 20% годовых.

Термин простая в определении нормированной ставки употребля-
ется для того, чтобы отличить ее от другого вида нормированных,
т.е. приведенных к базовому периоду, ставок — так называемой эффек-
тивной сложной процентной ставки.

Подчеркнем, что нормированная ставка, являющаяся еще одной
количественной (финансовой) характеристикой сделки, тесно связана
со всеми остальными ее характеристиками. Так, несмотря на то что эта
ставка приведена к базовому промежутку, она, согласно (2.8), характе-
ризует сделку в рамках ее естественного периода, т.е. промежутка [Г(1. /J.
Сам же базовый период может выбираться безотносительно к периоду
сделки. Принципы и цели его выбора будут подробно обсуждаться
далее. Здесь можно провести лишь некоторую аналогию из механики.
Так, средняя скорость автомобиля, прошедшего 6 км за 10 мин,
равна 36 км/ч. В таком представлении скорости базовый временной
промежуток 1 ч никак не связан с реальной (естественной) продолжи-
тельностью движения 10 мин.

Именно нормированная процентная ставка является определяю-
щим рыночным фактором для большинства кредитных сделок, совер-
шаемых в современной экономике. Пока же это просто одна из число-
вых характеристик реальной или условной (планируемой) сделки.

Если нормированная ставка / известна, можно выписать ряд оче-
видных следствий, вытекающих из ее определения:

г=/Т-/(Г]-/0); (2.10)

I=SaiT-, (2.11)

5, = \(1 + if). (2.12)

Пример 2.4. Пусть кредит на сумму Д?2000 выдан на три года по ставке 10%
годовых. Найти проценты и сумму погашения кредита.

Решение. В условии указана годовая, т.е, нормированная, ставка сделки. В годо-
вой шкале исходные параметры сделки имеют следующий вид:

- 0; Г, = 3; Т= 3; 50 = .'>22000, i = 0,1.

Тогда проценты за три года (срок сделки) составят

/= 20000,1'3 = 600(Л),
а сумма погашения

У, = 2000 + 600 = 2600( Л).

Ставка за период относится только к периоду сделки, нормирован-
ная же ставка связана с базовым периодом временной шкалы. Измене-
ние базового периода приводит к изменению нормированной процен-
тной ставки. Связь между нормированными простыми процентными
ставками для разных базовых периодов очень проста. Если базовый
период шкалы Т составляет к единиц шкалы Т', то имеет место соотно-
шение

i'= ki.

В частности, например, годовая / и месячная /мсс нормированные
ставки связаны очевидным соотношением

i ~12/ .

ГОД мсс

Таким образом, к указанным выше трем временным параметрам /0,
Т, / и трем финансовым параметрам Sn, /, характеризующим про-
стейшую кредитную сделку, добавляются еще два финансовых пара-
метра:

г — процентная ставка сделки за период [ro, /];

/ __ нормированная (простая) процентная ставка сделки, приведен-
ная к базовому периоду временной шкалы.

Из пяти финансовых параметров и — величины, относящиеся к
моментам времени, остальные — I, г и I — интервальные, относящиеся к
промежутку времени — периоду сделки. Эти параметры связаны соот-
ношениями, которые являются либо собственно определениями этих
параметров — формулы (2.5), (2.6) и (2.9), либо их непосредственным
следствием — формулы (2.7), (2.8) и (2.10) — (2.12).

В совокупности эти параметры и связывающие их соотношения
составляют то, что называют математической моделью простейшей
кредитной сделки.

Графическая иллюстрация этой мо-
дели представлена на временной диаг-
рамме на рис. 2.3. ----1---------------1---

Заметим, что поскольку здесь речь
идет о модели простой кредитной сдел- Т

ки, то все временные и финансовые Рис. 2.3

характеристики задаются в модельных
шкалах: временной Т и денежной М. Для применения этих моделей в
практических случаях необходимо (см. §1.6) преобразовать исходные
данные. Так, в случае выбранной годовой (модельной) шкалы Т продол-
жительность периодов в днях необходимо выразить в годовых едини-
цах (в годах). В §1.6 подробно описаны применяющиеся на практике
способы такого преобразования. Заметим, что нет никакого смысла
переписывать, как это делается во многих учебниках, теоретические
формулы (2.5) — (2.12) в практические. Это лишь усложняет формулы
ненужными деталями. Так, формула (2.11) при использовании правила
АСТ/365 для преобразования продолжительности периода в днях в
годовые единицы и выражения для величины Z в процентах (%) будет
выглядеть как

“ 100 365’

где D — срок в днях. Появление дополнительных констант 365, 100
лишь затемняет логическую структуру формулы для накопленных за
период Т процентов. Все, что нужно для применения базовых формул
(2.5) — (2.12), — это сделать необходимые преобразования в соответ-
ствии с принятыми в конкретной сделке соглашениями.

Пример 2.5. Пусть банк выдал 14.02.96 кредит на сумму л? 600 000 под 10%
годовых. Дата погашения кредита — 27.08.97. Найти проценты и сумму погашения
кредита, если используется правило АСТ/365.

Решение. В соответствии с правилом АСТ/365 найдем срок сделки в годах.

Поскольку, согласно табл. П.1, номера начальной 3, и конечной Э, дат сделки

ЛГ(Э!) = 45; Л(ф)=239,
то число дней между датами

D = (366 - 45) + 239 = 560.

Отсюда получаем _,п

7~ = -— — 1,5342 (год ।
365 1

и, следовательно, согласно формулам (2.11) и (2.12), имеем

560 / v

I =600000 0,1---=95054,79(.т,Ч

365 ’

5, - 60 0000 + 95 054,79 - 695 054,74 (Л?).

На практике срок инвестирования выражается в годах, месяцах, днях
и т.д. Возможно также задание этого срока календарными датами пер-
вого и последнего дней. В таком случае, для того чтобы воспользовать-
ся формулой простых процентов, следует в качестве срока взять отно-
шение числа дней ссуды к числу дней в году, т.е.

При этом возможно несколько вариантов расчета.

Число дней в году может быть принято равным 360 дням, тогда
проценты называются обычными, или 365 дням, тогда проценты назы-
ваются точными, т.е.

т - D Т - D

06 “ 360 И 104 “ 365’

Очевидно, что при фиксированной годовой процентной ставке
обычные проценты больше точных. Кроме того, существуют два спосо-
ба вычисления числа дней для срока инвестирования. Наиболее рас-
пространен подсчет точного числа дней указанного срока, исключая
первый или последний день. Точное число дней можно вычислить,
используя табл. П.1 и П.2, в которых приведен порядковый номер
каждого дня в году.

Пример 2.6. Найти точное число дней между 5 марта и 29 сентября (год не
високосный).
Решение. По табл. П.1 находим, что 28 сентября — 271-й, а 5 марта — 64-й дни
года. Тогда число дней между этими датами 271 — 64 = 207.

При другом подходе подсчитывается приближенное число дней ис-
ходя из полного числа месяцев в сроке и числа дней (остатка) неполно-
го месяца. При этом каждый месяц считается равным 30 дням.

П р и м е р 2.7. Найти приближенное число дней между 5 марта и 28 сентября.

Решение. Поскольку между этими датами укладывается 6 мес. (от 5 марта до
5 сентября) и остается еще 23 дня (от 5 сентября до 28 сентября), то число дней между
этими датами равно 6-30 + 23 = 203.

Итак, учитывая точные и обычные проценты, а также точное и
приближенное число дней для срока инвестирования, получим четыре
метода вычисления простых процентов,

1. Обычные проценты с точным числом дней (АСТ/360 — банковское
правило).

2. Точные проценты с точным числом дней (АСТ/365).

3. Обычные проценты с приближенным числом дней (30/360).

4. Точные проценты с приближенным числом дней (на практике не
используются).

Наиболее часто применяется первый метод, называемый банковс-
ким правилом, реже — второй и третий и почти никогда — четвертый.

Временные параметры и величину кредита £0 = Р относят к исход-
ным, или первичным, параметрам кредитной сделки. При установлении
конкретных значений первичных параметров превалирующая роль
отдается кредитору. Так, величина кредита определяется наличием у
кредитора свободных денежных средств, а срок — промежутком време-
ни, пока эти средства являются свободными, т.е. не будут использова-
ны кредитором. Значения этих параметров во многих случаях могут
устанавливаться кредитором произвольно. Например, вкладчик сам
решает, какую сумму и на какой срок он хотел бы вложить в банк.

Остальные финансовые параметры относятся к вторичным или
производным параметрам сделки. С одной стороны, они могут зависеть
от первичных параметров -- так, проценты по вкладу, естественно, тем
больше, чем больше величина вклада и его срок. С другой стороны, они
определяются не только первичными параметрами, но и другими
факторами. В частности, различные банки привлекают вклады под
различные процентные ставки, так что, например, на трехмесячный
вклад в 10 000 в разных банках будут начислены разные проценты.

Считая первичные параметры заданными, легко установить, что
каждый из четырех вторичных параметров определяет три остальных.
Таким образом, для полного описания кредитной сделки, по крайней
мере, один из вторичных параметров должен быть явно указан. В при-
веденных выше формальных определениях задавалась сумма процен-
тов I (или конечная сумма долга), через которую выражались все
остальные параметры. Такой подход естествен при анализе завершен-
ных (реализованных) сделок, в которых все денежные суммы фиксиру-
ются в бухгалтерских записях. Тогда, например, зная начальную и ко-
нечную суммы долга, можно найти сумму процентов и процентную
ставку (общую и нормированную). Вычисленная таким образом ставка
называется реализованной. Кредитор в этом случае действительно реа-
лизовал такую доходность, проведя сделку.

Хотя каждая сделка в случае ее удачного завершения становится
реализованной, прежде чем осуществиться, она была планируемой.
Планируемые (ожидаемые) сделки играют, пожалуй, основную роль в
применении математических методов в финансовой практике. У кре-
дитора и должника появляется возможность выбора между различны-
ми вариантами. И как раз здесь на этапе предварительного анализа
роль математической модели представляется особенно важной, по-
скольку позволяет оценить эффективность различных вариантов сдел-
ки и выбрать оптимальный. В такой ситуации большую и даже, можно
сказать, определяющую роль играет нормированная процентная ставка.
Именно она, вместе с первичными параметрами, не только позволяет
получить полное представление о сделке, но и дает возможность
построения корректных математических моделей дня анализа кредит-
ных сделок.

Почему же именно нормированная процентная ставка является
определяющим вторичным параметром кредитных сделок при их опи-
сании? Ниже мы попытаемся дать достаточно полный ответ на этот
вопрос. Однако для этого потребуется более глубокий экономический
анализ кредитных операций.

В этой связи прежде всего остановимся на одном важном свойстве
кредитных сделок — их множественности.

Единичная (индивидуальная) завершенная или потенциальная сдел-
ка с формальной точки зрения есть просто набор из 8 чисел, связанных
уравнениями (2.5) - (2.12). Хотя единичная сделка может представлять
интерес для бухгалтера, ревизора или компетентных органов, она вряд
ли может служить объектом содержательной математической модели,
так как из-за одной сделки, вообще говоря, нет смысла «городить
огород». Построение математической модели финансовых операций
осмысленно лишь в случае, когда они имеют массовый характер и при
этом обладают определенными близкими или схожими признаками.
Для кредитных сделок оба эти фактора имеют место.

В самом деле, кредитная сделка едва ли не самый распространен-
ный вид финансовой операции. Вкладчик, помещая деньги в банк на
определенный срок, становится кредитором банка, а банк — должни-
ком. Банк, в свою очередь, передает привлеченные от вкладчиков
средства промышленным предприятиям, фирмам, другим банкам, а так-
же физическим лицам в качестве кредита. Таким образом, банки
и другие кредитные учреждения являются посредниками на одном из
самых значительных секторов финансового рынка — кредитном рынке.

Основной вид товара, обращающийся на этом рынке, — кредитные
ресурсы, представляющие собой временно свободные денежные сред-
ства частных лиц, предприятий, государства и др.

Главные участники этого рынка — юридические и физические
лица, обладающие избытком (свободных) денежных средств, и юриди-
ческие и физические лица, испытывающие недостаток средств. Пер-
вые создают предложение, а вторые — спрос на кредитном рынке.
Структура предложения, т.е. величина свободных средств и сроки, на
которые они могут быть предоставлены, значительно варьируется у раз-
личных кредиторов. Весьма разнообразна и структура спроса, т.е. вели-
чина требуемых заемщиками средств и сроки, на которые эти средства
им необходимы.

Соответствие между спросом и предложением за счет установления
прямого контакта с заключением договора между кредитором и заем-
щиком возможно, если объемы и сроки предлагаемых и требуемых
средств совпадают, а также доход кредитора (т.е. проценты) является
приемлемой ценой для заемщика. Такое бывает достаточно редко,
поэтому так важна роль банков как основных посредников кредитного
рынка, которые, привлекая свободные средства кредиторов в виде
вкладов (различной величины и срочности), формируют совокупный
пул денежных средств — пассивы банка и передают их в виде кредитов
(также различной величины и срочности) своим заемщикам, форми-
руя активы банка.

Аккумулирование привлеченных банком средств позволяет преодо-
леть упомянутое выше несовпадение структуры спроса и предложения
на кредитном рынке. Банки, связывая основных агентов кредитного
рынка, получают прибыль благодаря тому, что платят в целом вкладчи-
кам меньше, чем взимают с заемщиков. Конкурируя друг с другом, они
стремятся привлечь, с одной стороны, как можно большее число
вкладчиков, поощряя вложение ими как можно больших средств на
возможно большие сроки, причем стремясь заплатить за это как можно
меньше. С другой стороны, банки хотят выдать как можно больше
кредитов, стремясь ради уменьшения риска уменьшить их размер и
сроки на одного заемщика, требуя при этом как можно большие
проценты за предоставленные кредиты.

Будучи товаром, кредитные ресурсы имеют свою цену Обычно,
говоря о цене товара, подразумевают цену некоторой единицы товара,
которая может исчисляться в штуках, килограммах, метрах и т.д. В тех
случаях, когда в потреблении товара играет роль время, например
аренда, поставка электроэнергии, труд и т.д., в единице товара оно
может явно учитываться — так, говорят о киловатт-часах, месячной
заработной плате и т.д. Как уже упоминалось, первичными характерис-
тиками кредита являются его (основная) сумма и срок, на который он
выдается. Поэтому роль единицы кредитных ресурсов играет денежная
единица за единицу времени. Тогда для нормированной процентной
ставки

1~~РТ

при Р= 1 и Г — 1 имеем i — I.

Таким образом, нормированная процентная ставка i представляет
собой стоимость единицы кредитных ресурсов в единицу времени (для
заданной денежной и временной шкалы). Например, 15%-ная годовая
ставка по валютному вкладу означает, что за каждый привлеченный на
один год доллар банк должен заплатить вкладчику 15 центов.

Как известно, равновесная цена товара на рынке складывается в
результате взаимодействия спроса и предложения. Механизм такого
взаимодействия поддерживается, с одной стороны, конкуренцией между
продавцами (кредиторами), а с другой стороны, конкуренцией между
покупателями (должниками).

Конкуренция банков и их клиентов (вкладчиков и заемщиков),
создавая активный и динамичный рынок, устанавливает равновесную
цену для привлеченных средств — ставку по депозитам, или ставку
привлечения, и предлагаемых средств — ставку по кредитам, или ставку
размещения. Например, для банка ставка привлечения / н означает
стоимость привлекаемых ресурсов, тогда как ставка размещения / м —
доходность или эффективность их использования. Естественно, что
для успешной работы и получения прибыли доходы должны превосхо-
дить расходы, т.е. ставка размещения должна быть выше ставки при-
влечения.

Как показывает практика, по крайней мере для краткосрочных
кредитных сделок (сроком до года), осуществляемых на рынке, именно
простые нормированные годовые ставки обладают определенной устойчи-
востью, т.е, в условиях стабильного рынка они приближаются к неко-
торым «равновесным» (или средним) значениям, допуская в каждом
конкретном случае лишь незначительные колебания вокруг этих зна-
чений. И чем ближе временные и финансовые и другие характеристики
сделок, тем меньше это колебание относительно средних ставок для
этой группы сделок. Например, конкретный банк привлекает депози-
ты на близкие сроки и близкие суммы по одной годовой ставке.

Заметим, что наличие равновесной цены — процентной ставки есть
эмпирический, а не умозрительный факт. Именно он позволяет гово-
рить об определяющей роли нормированной процентной ставки при
построении математической модели кредитных сделок.

Таким образом, из всего разнообразия простейших кредитных сде-
лок можно выделить некоторые группы сделок, близкие между собой
по финансовым и временным характеристикам, и строить математи-
ческие модели уже для таких групп.

Для формализации сказанного назовем две кредитные сделки про-
сто эквивалентными, если их нормированные (простые) процентные
ставки совпадают. Определив понятие простой эквивалентности, разо-
бьем реальные (осуществленные) и потенциальные (планируемые)
сделки на группы или классы эквивалентности, Тогда класс попарно
просто эквивалентных кредитных сделок логично назвать простым
классом.

Таким образом, все сделки простого класса имеют одну и ту же
нормированную ставку и, следовательно, удовлетворяют равенствам
(2.10) — (2.12). Общую для всего класса нормированную процентную
ставку назовем ставкой класса или определяющей ставкой.

Заметим, что в отличие от первоначального определения нормиро-
ванной ставки, которая была привязана к сделке, определяющая став-
ка уже относится (привязана) не к одной сделке, а к целому классу
сделок. В этом смысле она становится для отдельной сделки внешним,
независимым параметром.

Итак, мы выделили и формализовали объект математической моде-
ли — простые классы сделок. Выше мы уже фактически показали,
откуда в реальной финансовой практике берутся простые классы сделок.
Обратимся еще раз к этой проблеме и проанализируем ее уже с новых
позиций.

Напомним о массовости кредитных сделок в современной эконо-
мике. Рассмотрим по-прежнему в качестве показательного примера
работу банков, осуществляющих тысячи и десятки тысяч депозитных
и кредитных сделок в год.

Для депозитных сделок величина вклада и срок сделки определяют-
ся вкладчиком банка, тогда как банк устанавливает депозитную норми-
рованную ставку, например годовую. В этом случае все вклады, суммы
и сроки которых лежат в пределах определяемого руководством банка
диапазона, принимаются под фиксированную процентную ставку, т.е.
все сделки такого вида эквивалентны и составляют один простой класс.

Аналогичная картина складывается и для выдаваемых банком кре-
дитов с той лишь разницей, что в этом случае подход более индивиду-
альный, поскольку кроме величины и сроков кредита необходимо
учитывать кредитоспособность и надежность заемщика. Для кредитов
с разной степенью риска, даже при одинаковых сумме и сроке, банк
использует различные ставки, требуя от более рискованных заемщиков
более высокую плату, т.е. более высокую нормированную ставку по
кредиту. В этом случае более индивидуализированный подход опреде-
ляется существенными различиями кредитоспособности заемщиков.

В тех случаях, когда условия более стандартизованы, фиксация
процентных ставок является общепринятым приемом. Примером это-
го может служить межбанковский рынок сверхкраткосрочных (от од-
ного дня до недели) кредитов, когда банки-дилеры, активно работаю-
щие на этом рынке, объявляют (фиксируют) две ставки: ставку привле-
чения и ставку размещения.

Конечно, со временем ставки даже по сделкам с совпадающими
базовыми характеристиками (величиной и сроками) могут меняться,
поскольку срок и предложение на кредитном рынке зависят от конк-
ретных экономических условий.

Суть изложенного состоит в том, что в реальной практике на
определенных сегментах кредитного рынка, прежде всего краткосроч-
ного, называемого также денежным рынком, осуществляется достаточ-
но большое число постоянно возобновляемых простых классов кре-
дитных сделок.

Часто конкретный сегмент (сектор) кредитного рынка можно трак-
товать как отдельный простой класс. В этом случае определяющая
процентная ставка класса называется процентной ставкой данного
сегмента (сектора) кредитного рынка. Так, можно говорить, напри-
мер. о ставке межбанковских кредитов и т.п.

В финансовой литературе часто говорят о процентных ставках
вообще, т.е. для рынка в целом. Это не всегда корректно. Как правило,
имеется в виду либо некоторый сегмент рынка, либо некоторая усред-
ненная характеристика рынка в целом, например средневзвешенная
(по объемам) процентная ставка, полученная по ставкам отдельных
секторов финансового рынка. К интерпретации термина «процентная
ставка» следует относиться с осторожностью, всегда, по возможности,
проясняя контекст, в котором он используется.

2.3. Дисконт, учетная ставка, простые дисконтные
классы кредитных сделок

Вернемся к простой кредитной сделке. Начальная сумма долга
(сумма выданного кредита) Р — первичный параметр. Она играет роль
базы для вычисления остальных параметров. Так, в формуле для про-
центной ставки

г- —

проценты за кредит соотносятся с основной суммой долга Р, получае-
мой должником в начале сделки, т.е. Р = S. Оценивая таким образом
доходность сделки, кредитор соотносит полученный доход (прибыль)
с инвестируемым капиталом. С другой стороны, формулы

I=Pr=Sttr и 5^5^1+г)

выражают тот факт, что проценты начисляются на исходную сумму So
и по отношению к этой сумме полная сумма S — S в момент времени
( = tQ + Г является увеличенной (наращенной), а проценты / дают
величину прироста.

Однако кредитную сделку можно описать, взяв в качестве исходно-
го (базового) параметра полную (конечную) сумму долга 5 =

О целесообразности и практическом применении этого подхода
будет сказано чуть ниже, сейчас же этот подход будет рассмотрен
с формальной точки зрения.

Определение 2.3. Учетной ставкой сделки называется величина

S-P

*=—<(2.13)
Таким образом, в отличие от определения процентной ставки в оп-
ределении учетной ставки сумма процентов соотносится не с началь-
ной, а с конечной, полной суммой долга.

Заметим, что 1=1 — интервальная величина, относящаяся к
периоду времени Г, и нет какого-либо естественного (математик сказал
бы канонического) правила ее соотнесения к одной из сумм 5, и
Раньше в качестве базы соотнесения мы брали 50, а теперь С произ-
волом такого рода, связанного с разнотипностью (мгновенной и интер-
вальной) рассматриваемых величин, неоднократно столкнемся в даль-
нейшем.

Чтобы подчеркнуть тот факт, что именно конечная сумма долга
является отправной, процент /в эТом случае получил другое название.
А именно разность

Д = ^-.У0

называется также дисконтом сделки (по отношению к конечной сумме 5^.

Конечно, численно проценты и дисконт сделки совпадают, разли-
чие заключается в выборе отправной точки и направлении движения.
Если исходным значением служит начальная сумма долга 50, то пере-
ход от нее к 51 означает увеличение суммы, а проценты, как уже
отмечалось, — прирост. С позиции конечной суммы долга переход к
означает уменьшение суммы, а дисконт дает величину этого умень-
шения или скидку.

Обращаясь снова к понятию финансовых событий, отметим, что
в данном случае событие (гр 5^ — платеж полной суммы долга 5^
в момент времени t — замещается событием (г, 5) — платежом 5(1
в момент времени Го.

Содержательный смысл такого перехода очень прост. Найти вели-
чину 5(} для заданного события (Гр 5,) означает ответить на вопрос:
какую сумму должен выдать кредитор в момент времени Го, чтобы
взамен получить в момент времени t{ сумму 5,? Естественно, что при
этом процентная (или учетная) ставка кредита считается заданной.
Величина понимаемая в этом контексте, называется текущей (се-
годняшней, настоящей) стоимостью (или текущим значением) суммы
5, (точнее, события (Г[, 5,)). Этот факт записывается в виде

50 = ^(^). (2.14)

На самом деле в (2.14) речь идет не о суммах, а о событиях. Более
корректна запись

Тем не менее в дальнейшем все же будем пользоваться общепринятой
сокращенной записью (2.14).

Оператор PV, перехода от будущего события (/р 5S) к текущему
(настоящему) событию (/ S) называется оператором дисконтирова-
ния. Поэтому сумму 50 называют также дисконтированным значением
суммы S.

Вернемся вновь к формуле (2.13) и выпишем следующие равенства,
немедленно вытекающие из нее:

/ = D = wS^ (2.16)

= 5,(1-w); (2.17)

/ * w

г = = }-- (2.18)

50 1-w

Учетная ставка w сделки относится ко всему периоду (сроку) сделки и
точно так же, как процентная ставка, может быть нормирована, т.е.
приведена к базовому периоду.

Определение 2.4. Нормированной простой учетной ставкой сделки,
приведенной к базовому периоду, называется величина

(2.19)

где Т = z;-z0 — срок сделки в единицах базового периода.

Так же как и для процентной ставки, базовый период, участвующий
в вычислении нормированной учетной ставки, будет присутствовать
в качестве соответствующего прилагательного. При этом слова «про-
стая» и «нормированная», как правило, опускаются (например, годо-
вая учетная ставка, месячная учетная ставка).

Зная нормированную ставку и основную или полную сумму долга,
легко найти все остальные параметры сделки:

iv = dT\

/ = D = S{dT\

S0 = S,(l-dT);

S’

1 1-t/T

dT
r~------

1-dT

(2.20)

(2.21)

(2.22)

(2.23)

8-5169
d

1-dT

(2.25)

Естественно, что учетная и нормированная учетная ставки могут
быть выражены через процентную и нормированную процентную
ставки сделки. Так, имеют место равенства

г iT
н> ---=------;

1 + r 1+/Т

(2.26)

К формулам (2.24), (2.25) и двойственным им формулам (2.26),
(2.27) необходимо подходить с осторожностью. Следует помнить, что
нормированные ставки dи срок Гдолжны быть согласованы, т.е. срок
должен обязательно выражаться в единицах базового периода, к кото-
рому приводятся процентная и учетная ставки сделки.

Не менее существенно и то, что формулы (2.25) и (2.27) для норми-
рованных процентной и учетной ставок зависят от срока сделки.
Именно поэтому в приведенный выше список не включены часто
приводимые в учебниках по финансовой математике «сбивающие
с толку» формулы

которые получаются из (2.25) и (2.27) при 7=1. Эти формулы верны
только для сделок с единичным сроком. Изменение срока меняет процен-
тную ставку при неизменной учетной ставке и учетную ставку при
неизменной процентной.

П р и м е р 2.8. Пусть кредит выдан на 6 мес. под 10% годовых. Найти учетные ставки
за период сделки и нормированные — месячную и годовую.

Решение. По условию / = 0,1. Тогда по формуле (2.26), учитывая, что Г= 1/2
года, имеем
0 1-

и- =—'—— = 0,0476,
1 + 0,1-^

или 4,76%.

Годовую учетную ставку можно найти либо по определению:

w 0,0476
<U=~=^—= 0,0952,
т.е. 9,52%, либо по формуле (2.27):

т.е. те же 9,52%.

Месячная учетная ставка

i + 1 + 0.4

w 0,0476

или 0,79%. Здесь Т - 6, так как базовый период — месяц и срок должен быть выражен
в месяцах. Заметим, что для использования формулы (2.27) необходимо было бы
в качестве / рассматривать месячную процентную ставку

/mw 12 12

Тогда

Таким образом, описание сделки с помощью процентной ставки
полностью симметрично ее описанию исходя из учетной ставки. Раз-
личие между ними состоит в выборе точки отсчета или, точнее говоря,
базового финансового события. В процентной схеме таким является
начальное (tQ, 5Й), а в учетной — конечное (Гр 5() события.

Введенное несколько формально понятие учетной ставки имеет
естественную интерпретацию. Она основана на временном сдвиге мо-
мента выплаты процентов. Рассмотрим эту интерпретацию подробнее.

В исходном описании простой кредитной сделки предполагалось,
что в начальный момент времени tQ сделки должник получает в кредит
основную сумму долга Р = 5^, а в конце периода сделки возвращает
эту сумму и выплачивает проценты 7 = /т за период сделки. Таким
образом, ключевым здесь является тот факт, что проценты выплачива-
ются в конце периода сделки. Однако проценты являются с финансово-
экономической точки зрения не фондовой, т.е. относящейся к моменту
времени, а интервальной характеристикой, т.е. величиной, относя-
щейся к некоторому промежутку времени.

Как отмечалось в §1.2, актуализация такой величины в виде конк-
ретного платежа зависит от конкретных условий финансовой сделки.
Таким образом, проценты могли быть выплачены не только в конце
срока, а в начале, конце, середине периода или даже в виде серии
платежей. Последний случай более подробно рассмотрим в гл. 5, по-
священной обобщенным кредитным сделкам. Здесь же отметим лишь
авансированную схему, т.е. схему, при которой проценты выплачива-
ются авансом в начале срока. В специальной литературе проценты,
выплачиваемые в конце срока, называются декурсивными, постнуме-
рандо или процентами на сто, а проценты, выплачиваемые в начале
срока, — антисипативными, пренумерандо или процентами со ста. Мы
будем использовать термин «авансированные проценты», как более
простой и указывающий на суть дела.

Рассмотрим подробнее сделку с авансированной выплатой процен-
тов. В этом случае должник берет (в момент /) в долг сумму Р — сумму
кредита. Однако проценты теперь должны быть выплачены немедлен-
но. Пусть сумма процентов в такой сделке равна /. Это значит, что на
самом деле должник реально получает не сумму Р, а меньшую сумму

50 = Р-/.

Следовательно, по отношению к сумме кредита Р выданная сумма
5() меньше ее на величину /, так йто реально 1 есть не что иное, как
дисконт £>, т.е. скидка с (основной) суммы долга Р, которая в этом
случае становится возвращаемой суммой 5'1 долга. Представляющий
поток сделки в этом случае будет иметь вид

CF = {(?0,-P+ /),(/„?)}.

Если теперь от абсолютных (денежных) характеристик (сумм) сдел-
ки перейти к относительным (ставкам), то, определяя ставку сделки
как отношение авансом выплаченных процентов I к сумме кредита,
т.е. как величину I/Р, получим, что эта характеристика есть в точности
учетная ставка w за период сделки.

Так, если сумма годового кредита Р — У? 100 000, а стоимость
кредита 10% годовых, выплачиваемых авансом, то должник должен
немедленно выплатить из суммы кредита проценты

/ = 0,1-100 000= 10 000(77),

так что реально на руки он получает лишь сумму

= 100 000 - 10 000 = 90 000(7?).

Вернуть же в конце года он, естественно, должен взятую в долг сумму

S} = Р= 100 000(77).

Нормируя авансированную ставку w, получим нормированную учет-
ную ставку сделки.

В приведенной интерпретации совершенно естественным выглядит
тот факт, что ставка за кредит вычисляется как отношение величины
выплачиваемых процентов / к основной сумме долга Р. В обычной схеме,
т.е. с выплатой процентов в конце срока, основная сумма долга Р
полностью выдается в начале срока, т.е. Р ~ So, и поэтому ставка за
период интерпретируется как процентная ставка. В случае же аванси-
рованных процентов в начальный момент времени выплачивается
меньшая (дисконтированная) сумма 50, тогда как основная сумма
долга Ртеперь выплачивается в конце срока, т.е. Р ~ S{ и ставка сделки
естественным образом будет интерпретироваться как учетная ставка.
Заметим, что в конечном счете с формальной точки зрения мы имеем
лишь две реально выплачиваемые суммы (т.е. два фактических собы-
тия): сумму 50 — выданного кредита и S', — сумму его погашения.
Доход, с точки зрения кредитора, или расход, с точки зрения должни-
ка, есть разность 5, — 50. Когда считать эту сумму выплаченной и к
какой базе (т.е. к So или S’) ее относить, вообще говоря, дело вкуса.
Реально для сделки обе ставки, как процентную, так и учетную, легко
найти одновременно. Это лишь взаимно-дополнительные относитель-
ные (в отличие от абсолютных, денежных) характеристики сделки.
Однако на практике имеется естественным образом возникающая
асимметрия, обусловленная конкретным видом сделки.

Кредитные сделки обычно воплощаются в виде сделок со специаль-
ными финансовыми инструментами — ценными бумагами. Одной из
характеристик этих ценных бумаг является их номинал Е, по смыслу
совпадающий с основной суммой долга. При этом в так называемых
процентных бумагах этот номинал играет роль выданной суммы креди-
та, т.е. S’, тогда как в дисконтных бумагах он играет роль суммы
погашения Sr Поэтому в сделках с дисконтными бумагами учетная
ставка появляется столь же естественно, как процентная ставка в про-
центных бумагах или в банковских депозитах.

2.4. Краткосрочные долговые обязательства

В этом параграфе более подробно рассмотрим описание кредитных
сделок с некоторыми простейшими финансовыми инструментами —
краткосрочными долговыми обязательствами. Краткосрочные долго-
вые обязательства — один из распространенных видов ценных бумаг,
обращающихся на так называемом денежном рынке (money market).
Денежный рынок — рынок краткосрочных ценных бумаг со сроком
обращения не больше года. Наиболее типичными представителями
таких ценных бумаг являются депозитные сертификаты и векселя.

До сих пор наши определения процентных и учетных ставок (за
период и нормированных) были привязаны к отдельным сделкам. Это
ставки именно сделок, а не класса. Для отдельных сделок процентная
или учетная ставка (за период и нормированная) —просто еще один
параметр. Выше отмечена важная роль процентной ставки как регуля-
тора кредитного рынка. Эта роль связана с массовостью кредитных
сделок. Существуют ли на практике классы сделок, в которых опреде-
ляющей является учетная ставка? Оказывается, такой класс сделок
действительно существует. Он тесно связан с наличием, во-первых,
специальных дисконтных долговых инструментов и, во-вторых, с опе-
рацией учета векселей. В этом параграфе мы кратко коснемся роли
процентной и учетной ставок для обращающихся долговых обяза-
тельств — одного из видов финансовых инструментов.

Кредитная сделка может быть реализована в виде прямого кредит-
ного договора (контракта) между двумя сторонами (кредитором и заем-
щиком). Такой контракт на все время своего действия неразрывно свя-
зан с заключившими его сторонами и является, вообще говоря, необра-
щающимся долговым обязательством. Получение предприятием креди-
та в банке, оформление депозитного договора между вкладчиком
и банком — примеры таких контрактов. Однако во многих случаях кре-
дитная сделка осуществляется посредством эмиссии (выпуска) и прода-
жи обращающихся долговых обязательств. В отличие от прямого кон-
тракта эти обязательства представляют собой ценные бумаги, которые
относительно легко могут менять своих владельцев. Если это именная
ценная бумага, т.е. ее владелец в каждый момент явно указан (в самой
бумаге), то обращение осуществляется с помощью определенного ме-
ханизма передачи прав. Если это ценная бумага на предъявителя, то об-
ращение ее на рынке осуществляется свободной куплей/продажей.

Когда кредитная сделка представлена долговым обязательством —
ценной бумагой, то основные параметры сделки содержатся в ней
в качестве обязательных реквизитов. Так, начало сделки отмечается
датой эмиссии, конец — датой погашения. Финансовые параметры
устанавливаются специфическим для каждого вида долгового обяза-
тельства образом.

В так называемых дисконтных ценных бумагах обычно фиксирует-
ся полная сумма (сумма погашения) долга. При погашении обязатель-
ства его владелец получает от эмитента указанную сумму. Доход вла-
дельца обязательства (инвестора) образуется за счет того, что покупка
обязательства осуществляется по цене ниже суммы погашения, т.е. в
процессе обращения дисконтная ценная бумага продается с дисконтом
(скидкой). Фиксированная полная (возвращаемая) сумма долга —
основной финансовый параметр дисконтных ценных бумаг, часто
называемый номиналом.

Наиболее распространенным примером дисконтных ценных бумаг
являются векселя. Нормативные (юридические) характеристики вексе-
ля и условия его обращения регламентируются специальным законо-
дательством. Имеются различные типы векселей, например простые и
переводные. Отвлекаясь от специфических особенностей различных
видов, в рамках математической модели можно описать вексель его
реквизитами (обязательными параметрами). Вексель характеризуется:

— номиналом F(Face Value);

— датой эмиссии го;

— датой погашения или сроком обращения То.

В этом описании векселя никаких процентных ставок не указывает-
ся. В некоторых разновидностях векселей задание ставки подразумева-
ется [25]. Однако в классическом случае это чисто дисконтный инстру-
мент, содержащий всего один финансовый параметр — номинал F,
который всегда является суммой погашения. Другими словами, имен-
но эту сумму в день погашения t{ получит владелец векселя, купивший
его по некоторой (естественно меньшей, чем номинал) цене Р, либо в
день эмиссии, либо в некоторый другой день до даты погашения.

В финансовой практике многих стран широко распространен еще
один вид дисконтных ценных бумаг, весьма похожих на векселя,
эмитент которых — правительство (обычно министерство финансов
или казначейство). В США эти краткосрочные дисконтные бумаги так
и называются Казначейскими векселями (Treasure Bills). В нашей
стране они известны под названием ГКО (государственные краткос-
рочные облигации). Их эмитентом является Министерство финансов
РФ. Номинал ГКО составляет Ж ООО. По этой цене облигация погаша-
ется. Инвесторы покупают ГКО на финансовом рынке (точнее, на
рынке ГКО) по цене, меньшей номинала. На рынке цена ГКО задается
в виде курса (или котировки) на данный момент времени (текущий
курс), который выражается в процентах от номинальной стоимости
облигации. Так, курс 75 означает, что цена (в рублях) составляет :7?750.
В терминах котировок учетная ставка (в %) представляет собой просто
разность между номиналом (100) и текущим курсом (Q).

В процентных бумагах [26, 27] обычно фиксируются основная сумма
долга и процентная ставка (купонная). К такому виду долговых обяза-
тельств относятся, например, депозитные сертификаты, эмитируемые
банком. Основная сумма долга в депозитном сертификате фиксируется
в виде номинала, т.е. номинальной стоимости этой бумаги. В момент
эмиссии депозитный сертификат обычно продается инвестору (креди-
тору) по номинальной стоимости. При его погашении банк выкупает
сертификат у владельца (инвестора) по цене выше номинала. Цена
погашения больше номинала на сумму начисленных процентов за
полный срок обращения сертификата.

Выпишем основные финансовые и временные параметры (рекви-
зиты). связанные с денежным сертификатом:

F— номинал;

/0 — момент (дата) эмиссии;

— момент (дата) погашения;

Г,= Гор= - О ~ период обращения;

с — купонная (нормированная процентная) ставка.

Введенные параметры — модельные. Так, все временные параметры
должны указываться в некоторой выбранной временной (например,
годовой) шкале. На практике моменту (( соответствует дата эмиссии;
моменту Г — дата погашения. Срок обращения Тп задается в днях — Do.
Поэтому для получения значений временных параметров в модели
необходимо предварительно выполнить преобразование календарных
(практических) данных в модельные (теоретические) по однму из
временных правил (см. §1.6). Такое преобразование осуществляется
обычно по формуле

Д=у, (2.28)

где Do — срок сделки в днях; Y— годовой дивизор.

С долговыми обязательствами любого вида (векселем или сертифи-
катом) естественным образом связана так называемая стандартная
кредитная сделка, заключающаяся в том, что инвестор приобретает
обязательство в момент эмиссии и держит его до погашения. В этом
случае реквизиты долгового обязательства будут играть роль основных
параметров сделки. Началом сделки (Q служит момент эмиссии, кон-
цом (Z) — момент погашения обязательства. Для процентных бумаг в
этом случае номинал (F) задает начальную стоимость (5 ), а для дис-
контных — конечную стоимость (5t) долга. Если в процентной бумаге
фиксируется процентная ставка, то конечная сумма долга вычисляется
по ней и номиналу. Если же некоторый параметр не указан в виде
реквизита, то он определяется внешними (рыночными или договорны-
ми) условиями.
Естественность подобных сделок вовсе не означает их наибольшую
распространенность. На практике обращающиеся ценные бумаги ред-
ко имеют постоянного владельца в течение всей своей «жизни», они
покупаются и перепродаются многократно. Так, владелец векселя, нуж-
дающийся в наличных средствах, может учесть вексель в банке. Учет
банком векселя означает покупку банком векселя у его владельца. Цена
такой сделки или учетная (выкупная) цена векселя, естественно, ниже
его номинала, т.е. вексель учитывается с дисконтом. Процент, который
составляет дисконт (скидка) по отношению к номиналу, есть, очевид-
но, не что иное, как учетная ставка сделки. Само название этой ставки
происходит от названия сделки. Таким образом, с одной и той же цен-
ной бумагой на протяжении ее жизни осуществляется множество сде-
лок, связь параметров которых с реквизитами самой ценной бумаги да-
леко не очевидна, хотя последние во многом определяют эти параметры.

Тем не менее анализ «естественной» (канонической) сделки поле-
зен даже в тех случаях, когда инвестор, приобретая ценную бумагу, не
намеревается держать ее до погашения. Такой анализ может служить
эталоном для сравнения с другими сделками с данной ценной бумагой,
например ее продажей до срока погашения.

Рассмотрим примеры простейших расчетов, связанных с депозитны-
ми сертификатами и векселями. Начнем с депозитных сертификатов.

Для депозитного сертификата купонная ставка с есть не что иное,
как процентная ставка стандартной сделки с сертификатом, т.е. про-
стой кредитной сделки, в которой кредитор покупает в момент tQ
сертификат у эмитента по номиналу F и в конце срока г погашает
(возвращает, продает) сертификат у эмитента, получая от него сумму
погашения 5— 5]ог. Эти условия однозначно определяют сумму погаше-
ния через основные реквизиты сертификата:

5-Е(1+сГ0). (2.29)

В этой сделке, как отмечалось, начальный покупатель сертификата
является кредитором, а эмитент сертификата —должником, поскольку
покупка сертификата по номиналу Fозначает передачу суммы Гэмитен-
ту, который по окончании срока обращения Го обязан вернуть эту сум-
му вместе с процентами по ставке с, т.е. выплатить сумму погашения.

Пример 2.9. Пусть инвестор покупает (по номиналу) депозитный сертификат
с номиналом 1000, купонной ставкой 20% годовых и сроком обращения 270 дней.
Найти сумму погашения сертификата. Использовать правило АСТ/365.
Решение. В этом примере F - У? 1000; с = 0,2 и

270

7"=^=0'7397'

Следовательно, согласно формуле (2.29)

Г 27(Н

5* = 1000 1 + 0,2 = 1147,94(Л).

у 365 J

Отметим, что реквизиты сертификата, как и определяемая ими
сумма погашения, не изменяются в течение его периода обращения.
Однако оставшийся срок до погашения в отличие от периода обраще-
ния Го, безусловно, меняется с течением времени. Так, если сертифи-
кат был выпущен в момент /0 = 0 на срок То, то в некоторый более
поздний момент времени 7оставшййся срок до погашения есть

(2.30)

Как уже говорилось, на равновесном рынке нормированные про-
центные ставки по различным сделкам близки к общему (одному
и тому же) уровню. В частности, будут равны нормированные ставки
сделок с различными долговыми инструментами, поскольку эти став-
ки представляют собой ожидаемые доходности, которые обеспечат
себе инвесторы, покупающие эти инструменты. При этом имеется
в виду, конечно, нормированная доходность к погашению, т.е. доходность
за период от момента покупки до момента погашения. Следовательно,
рыночные цены долговых инструментов будут устанавливаться таким
образом, чтобы доходность по ним соответствовала равновесному
уровню процентных ставок. Поэтому изменение уровня процентных
ставок по каким-либо причинам, например вследствие роста темпов
инфляции, приведет к изменению текущей цены депозитного серти-
фиката. Но даже если уровень процентных ставок меняться не будет,
цена сертификата тем не менее изменится, поскольку меняется остав-
шийся срок до погашения. Цена сертификата будет меняться так,
чтобы доходность за оставшийся срок до погашения оставалась равной
значению рыночной ставки процента.

Рассмотрим вопрос о связи цены и рыночной процентной ставки
более подробно. В момент эмиссии депозитный сертификат продается
обычно по цене, близкой к номиналу1. Это связано с тем, что эмитент

1 На практике речь может идти лишь о близости к некоторому равновесному уровню.
В теоретическом анализе говорят о точном равенстве. Считается, что цена эмиссии
совпадает с номиналом, что все доходности в точности равны рыночной ставке и т.д.
устанавливает купонную ставку на уровне, равном рыночной ставке
процента. В самом деле, ему нет смысла платить более высокую, чем
рыночная, ставку, с другой стороны, он не может установить ее (при
прочих равных условиях) меньше уровня ставки по другим альтерна-
тивным кредитным инструментам (банковским депозитам, векселям
и т.д.), так как инвесторы (кредиторы) будут предпочитать инструмен-
ты с более высокой процентной ставкой (доходностью).

Если сертификат продается по номиналу, то ставка стандартной
сделки, т.е. покупки и хранения до погашения, будет равна рыночной
ставке кредита: . .

= 5-Т = Ц1 + с7;)-Т .

серт рр рр w *рын'

Точно так же цена сертификата с течением времени должна менять-
ся так, чтобы в каждый момент времени ставка по стандартной сделке
(купить и держать) за оставшийся период до погашения была равна
рыночному уровню ставки'.

(2-32)

z рын J пог

где / — рыночная нормированная процентная ставка; Т = Тпог —

оставшийся срок до погашения; Р= Ррын — рыночная цена сертифика-
та; S= 5"nor — сумма погашения сертификата.

Отсюда „

^„ = .. погг (2.33)

' 1 рын J пог

или, опуская подразумеваемые индексы,

1 + /Г

(2.33')

Таким образом, рыночная цена сертификата является текущей сто-
имостью (приведенной к текущему моменту) суммы погашения 5пог по
рыночной ставке.

Пример 2.10. Пусть депозитный сертификат с номиналом .3?1000, купонной
ставкой 15% годовых и сроком обращения 180 дней продан за 70 дней до погашения.
Если годовая рыночная процентная ставка в момент продажи составляла 10%, то какова
цена продажи сертификата? Использовать банковское правило АСТ/360.

Решение. Выразим сначала указанные в днях сроки в годовой шкале согласно
банковскому правилу:

" _ р -- о 5-
0 о6р 360 ’ ’
70

Т = Т =----------= 0,1944.

|1ОГ 360

Сумма погашения сертификата составит

пог

(1 ЯО А
1 + 0.15 ——
360 J

1075(.4?).

Поскольку рыночная ставка / = 0,1, то текущая рыночная Р = Р ын цена сертификата

p = -S—= - 10Z.5_ = 1054,49(.*).

1+,Т 1 + 0,1-й ( ’

Заметим, что владелец сертификата, продавший его за 70 дней до погашения,
реализует, вообще говоря, совсем другую процентную ставку сделки. Если он, напри-
мер, купил сертификат по номиналу в момент эмиссии и продал его по найденной выше
цене Р, то процентная ставка сделки за период владения сертификатом

180 - 70 = НО (дней)

составляет

ЯЛ

1054,49

1000

-1 = 0,05449,

т.е. 5,45%. Соответственно нормированная по банковскому правилу ставка сделки

0,05449 365

-Ц— = 0,05449- — -0,1808,
110/365 ПО

т.е. 18,08%, что больше, чем доходность к погашению, равная рыночной ставке 10%,
которой обладает сертификат в момент его покупки новым владельцем.

Таким образом, при досроч-
ной продаже сертификата, т.е.
его продаже до срока погаше-
ния, возникают, по существу.
две последовательные простые
кредитные сделки. Первая осу-
ществляется первоначальным

владельцем сертификата, купившим его в момент эмиссии tQ по номиналу
F и продающим его в момент t по рыночной цене Р, а вторая сделка
осуществляется новым владельцем сертификата, который покупает его
по рыночной цене Р в момент t и затем погашает его в момент погашения
Диаграмма такой пары сделок изображена на рис. 2.4.

Здесь 7^ — срок владения сертификатом первым владельцем; Г ог —
оставшийся срок до погашения в момент покупки/продажи сертифи-

ката, совпадающий со сроком владения сертификатом вторым вла-
дельцем. Наконец, полный срок обращения Г — сумма указанных
сроков:
т ~ т 4- т
обр вл пог

Заметим, что рыночный уровень процентных ставок определяет
ставку именно второй сделки с периодом, оставшимся до погашения.
Поэтому доходность за период Г до погашения, которая гарантирует-
ся инвестору, купившему сертификат по цене Р, называется (простой
нормированной) доходностью к погашению сертификата. Она опреде-
ляется, естественно, выражением

(2.34)

идентичным (2.32). Различие состоит лишь в интерпретации. Выраже-
ние (2.32) — исходное для получения формулы (2.33) цены сертифика-
та по известной рыночной ставке (т.е. по известной доходности), тогда
как (2.34) служит формулой вычисления доходности к погашению по
известной (в момент г) рыночной цене Р сертификата.

Таким образом, цена и доходность к погашению взаимно определя-
ют друг друга. В частности, рост процентных ставок / ведет, согласно
(2.33), к снижению цены сертификата и обратно, рост цены Ррь[н
сертификата ведет к снижению его доходности. Это общая закономер-
ность соотношения цены и доходности долговых обязательств.

Перейдем к примерам расчетов с дисконтными ценными бумагами.

П р и м е р 2.11. Инвестор приобрел облигацию (ГКО) на аукционе по курсу £>(| = 75.
Облигация погашается через 3 мес, Инвестор ожидает, что через 2 мес. курс облигации
поднимется до - 92. Что выгоднее по доходности: держать облигацию до погашения
или продать ее через 2 мес. по ожидаемому курсу? Найти процентные и учетные
(годовые и месячные) ставки для этих сделок.

Решение. Рассмотрим сначала (стандартную) сделку, когда облигация держится
до погашения. В этом случае курс (Qo) облигации задает начальную стоимость 5().
Поскольку номинал облигации (Г) равен 5 ~ 1000, то цена облигации, соответствую-
щая курсу 75, равна

3’) = <2(,-Л'=0,75-1000= 750(Л’).

Так как облигация погашается по номиналу, то конечная стоимость сделки

= 1000(.»?).

Проценты и соответственно дисконт за 3 мес. (до погашения) составят

I - D = = 1000 - 750 = 250(./?).

Процентная ставка за период до погашения

/ 250 л

г-— ------= 0,3333,

X, 750

или 33,33%, а учетная ставка
т.е. 25%.

2) 250 _
н’ = — =------= 0,25,

S: 1000

Соответственно годовая процентная ставка сделки

; '= 0^3 = 1,3332,

4, 1/4

133,32%, а месячная процентная ставка составит

или

'мес

г 0,3333

= 0,1111,

мес

11,11%. Годовая учетная ставка
d и'

0,25

1/4

100%. Здесь Ггал - 1/4 — срок в годах. Наконец, месячная учетная ставка

</„=^=•^ = 0,0833,
J мес

8,33%.

Рассмотрим теперь сделку с продажей до срока погашения. В этом случае начальная

сумма сделки So также задается курсом Qo:

5п = 750(^),
конечная сумма S’ определяется курсом Qr так что

St = Q} F = 0,92-1000 = 920( .#).

Процент (дисконт) за 2 мес. составит

Г =920— 750 = 170(Л),

а процентная и учетная ставки за этот период

, 170 , 170

г -----= 0,2267 и и-’ =-— = 0,1847,

750 920

т.е. 22,67 и 18,47% соответственно.

Годовая процентная ставка сделки составит

'год

г' 0,2267 , _
---=--------= 1,36,
1/6

или

136%, а годовая учетная ставка

— = £2§47=1 Ю82,
1/6

или

110,82%. Наконец, месячная процентная ставка

02267
MtX ул ’ ’

'мес
11,34%, а месячная учетная ставка этой сделки составит

3
=”- = ^^ = 0,0924,

* мес

или 9,24%. Здесь = 2 задает срок сделки в месяцах.

Таким образом, доходность первой сделки (133,32%) ниже, чем доходность второй
(136%). Поэтому вариант с продажей до погашения выгоднее. Заметим, что подсчитан-
ная доходность второй сделки есть лишь ожидаемая (или условная) доходность. Она
станет реализованной, если курс облигации действительно вырастет за 2 мес. до 92.
В отличие от этого доходность к погашению является гарантированной, поскольку
облигация погашается по номиналу, а риск непогашения государством своих обяза-
тельств считается пренебрежимо малым*.

Итак, имеются два типа кредитных сделок: те, в которых базовым
финансовым параметром является начальная сумма долга, и те, в кото-
рых эту роль играет конечная (полная) сумма долга. Первые назовем
процентными, а вторые — дисконтными. Конечно, такое разделение
имеет смысл лишь для класса сделок, а не для индивидуальных сделок.
Определенный ранее простой класс — это класс процентных сделок.
Коротко назовем его простым процентным классом. Совершенно ана-
логично можно определить простой класс дисконтных сделок или
простой дисконтный класс: класс кредитных сделок назовем простым
дисконтным классом, если нормированная учетная ставка для всех
сделок этого класса одинакова. Все сделки такого класса назовем
просто дисконтно-эквивалентными, а общее значение нормированных
учетных ставок для сделок из этого класса — учетной ставкой класса.

Естественно, для всех сделок дисконтного класса выполняются со-
отношения (2.20) - (2.23), в которых d — нормированная учетная став-
ка класса. Формулы (2.24) и (2.25) также применимы ко всем сделкам
класса. Однако вычисленные по этим формулам значения процентных
ставок будут различными для разных сделок. Это относится, конечно,
и к нормированной процентной ставке /. Как показывает формула (2.25),
нормированная процентная ставка I при фиксированной учетной став-
ке d зависит явным образом от срока сделки. Иными словами, две дис-
контно-эквивалентные сделки не обязательно будут просто (процент-
но) эквивалентными. Однако если сроки этих сделок совпадают, то дис-
контная эквивалентность влечет процентную. Верно, разумеется, и об-
ратное утверждение, т.е. простая процентная эквивалентность в общем
случае не влечет дисконтную эквивалентность, однако для сделок с од-
ним и тем же сроком оба типа эквивалентности совпадают.

1 Так традиционно считается. Недавний печальный опыт отечественного рынка ГКО
заставляет относиться к такого рода утверждениям с осторожностью.
Пример 2.12. Банк учитывает два векселя: один с номиналом .>?900 и сроком до
погашения 3 мес., а другой с номиналом .#1500 и сроком до погашения 6 мес. Оба
векселя учитываются по одной учетной ставке 20% годовых. Найти учетные суммы
векселей, доход и процентные ставки, которые реализует банк при погашении учетных
векселей.

Решение. Учетная цена первого векселя

Р{ = 900^1 -0,2^ = 855(.#),

учетная цена второго —

= 1500^1-0,2-|^ = 1350(.#).

При погашении первого векселя банк получит доход

=900 - 855 = 45 (.#).

Следовательно, процентная ставка за 3 мес. составит

г = —— = 0,0526,

1 855

а годовая ставка

z = 4г = 0,21,

1 1/4 1

или 21%.

При погашении второго векселя доход составит

/2 = 1500 — 1350 = 150( .#),

процентная ставка за 6 мес.

а годовая ставка

/’ = -^- = 2-г, =0,2222,

2 1/2 2

или 22,22%.

Таким образом, хотя учетные годовые ставки сделок совпадают, их
процентные годовые ставки (доходности) различны.

Все расчеты с долговыми обязательствами, как процентными, так
и дисконтными, осуществляются по основным формулам (2.5) - (2.12)
и (2.13) - (2.23). Зная, например, учетную ставку и учетную цену
векселя, можно легко найти его номинал (сумму погашения).

Пример 2.13. Пусть вексель со сроком до погашения 4 мес. учтен в банке по цене
.#1080. Каков номинал векселя, если учетная ставка банка 30% годовых?

Решени е. Учетная пена Рсвязана с номиналом Fсоотношением

P=F(l -сГГ).

Следовательно, получаем уравнение
< 1 \

1080 = /" 1-0,3-

I 3)

относительно F, решая которое найдем

f —О89- = 12ОО(.^).
1-0,34

Хотя сделки с процентными и дисконтными бумагами были описа-
ны как два различных класса сделок, между ними нет «непроходимой
границы». Так, начатая как процентная, сделка может завершиться
тесно связанной с ней дисконтной сделкой. Это имеет место, напри-
мер, при учете процентныхбумаг, операции, вполне аналогичной учету
векселей. Поясним ее на примере.

Пусть инвестор покупает депозитный сертификат со сроком пога-
шения 6 мес. по номиналу (/) в .44000 и с процентной ставкой / = 12%
годовых. Покупая сертификат, инвестор «открывает» процентную сдел-
ку. Начальная стоимость 5’0 сделки совпадает с номиналом, так как
сертификат был куплен по номиналу

1000(4?).

Допустим, что через 4 мес. ему понадобились наличные, и он
решает продать сертификат, т.е. закрыть сделку. Он может сделать это,
продав сертификат банку (выпустившему сертификат или другому).
Банк, естественно, купит или, как еще говорят, учтет сертификат не по
его полной стоимости (сумме погашения), складывающейся из номи-
нала и процентов за 6 мес., т.е.

5-1000 1 + 0,12 - = 1060(4?),

аза меньшую сумму, т.е. с дисконтом. Обычно для подобных операций
банк фиксирует нормированную, например годовую, учетную ставку d.
Если для нашего примера взять d = 24%, то банк учтет (купит)
сертификат по цене:

Р = (1-^Г)5 = [1-0,24- |1О6О=О,961О6О= 1017,6(J?).

Здесь Т — срок, оставшийся до погашения сертификата, т.е. 2 мес., или
1/6 года. Заметим, что этот срок не имеет ничего общего со сроком
сделки инвестора, который составляет 4 мес. (от покупки до учета).
Таким образом, сданным сертификатом осуществляются две сделки.
Одна, осуществляемая инвестором, состоит в покупке сертификата за
'М 1000 и продаже его банку через 4 мес. за ./’1017,6, и другая,
осуществляемая банком, состоит в покупке сертификата по -Ж 1017,6
и погашении его через 2 мес. по полной стоимости 5 — ./’1060. При
этом инвестор, получив за 4 мес. доход в .Ж 7,6, реализует доходность

/ -

1017,6-1000
1/3-1000

= 0,0528,

или 5,28% годовых, что значительно меньше, чем «обещанная» доход-
ность, представляемая процентной ставкой сертификата / == 12%. Эту
доходность инвестор мог бы реализовать, если бы держал сертификат
до погашения.

С другой стороны, учет банком сертификата с дисконтом дает ему
прибыль

1060- 1017,6 =42,4( Э?)

за 2 мес., т.е. доходность

или 25% годовых, что намного больше обещанной ставки iQ — 12%
годовых. Это и естественно: прибыль банка означает убыток инвестора
(при фиксированных параметрах сертификата).

Таким образом, учет долговых обязательств, т.е. покупка их банком
до срока погашения, означает окончание сделки с этим обязательством
для его владельца (инвестора, кредитора) и начало сделки для банка
(или другого кредитного учреждения). Поэтому при расчете парамет-
ров сделок, связанных с долговыми ценными бумагами, необходимо
проявлять осторожность и тщательно следить за «привязкой» реквизи-
тов ценной бумаги к действительным параметрам анализируемой сдел-
ки. Для этой цели полезно строить временные диаграммы с указанием
соответствующих событий. Так, для рассмотренного выше примера
подобная диаграмма имеет вид, изображенный на рис. 2.5.

1000 / = 5:28% 1017,6 d =24% 1060

Рис, 2,5
В приведенных выше примерах дисконтных сделок временные
параметры задавались в месячной или непосредственно в модельной
шкале Т. На практике они задаются в календарной шкале. Таким обра-
зом, для использования теоретических формул необходимо (см. при-
меры 2.7 и 2.8) выполнить предварительное преобразование времен-
ных параметров.

Пример 2.14. Вексель номиналом $1000 куплен по цене S850 за 90 дней до
погашения. Найти соответствующие: а) учетную и б) процентную ставки сделки.

Решение. Исходя из данных задачи без преобразований можем найти дисконт

£> = 1000 - 850 = 150($),

а также за период сделки:
а) учетную ставку

150 П1С
w =------= 0,15,

1000

или и-' = 15%;

б) процентную ставку

— = 0,1765,
850

или г = 17,65%.

Найти нормированные ставки без указания правил преобразования, описанных в
§1.6, невозможно. Допустим, что выбрано правило АСТ/360. Тогда нормированная
учетная ставка

rf = 2!: = O.I5.^ = 0,6,
Т 90

или 60%, а нормированная процентная ставка

или 70,59%.

=о,1765 — = 0,7059,

Т 90

Приведенные примеры сделок с долговыми обязательствами долж-
ны убедить читателя в чрезвычайной важности точного учета использу-
емых временных соглашений. Так, полученные в последнем примере
значения нормированных учетной и процентной ставок зависят от
конкретного правила измерения периодов времени в годовой шкале.
Было выбрано банковское правило АСТ/360 — достаточно типичное
для дисконтных инструментов денежного рынка, например, США.
Однако в Великобритании расчет этого примера был бы осуществлен
(если бы денежные суммы задавались в фунтах стерлингов) по правилу
АСТ/365. К тому же даже в США банковское правило применялось бы
прежде всего для расчета учетной ставки. Если бы инвестору понадоби-
лось значение процентной ставки как меры доходности сделки с вексе-
лем, то он мог бы использовать правило, отличное от банковского,
например АСТ/365 или АСТ/АСТ.
Хотя для данного типа долговых инструментов или сегмента рынка
обычно используется одно из многочисленных временных правил, тра-
диционно закрепленное за ними, может возникнуть необходимость
расчета конкретной сделки и по другим временным правилам преобра-
зования. Обычно это происходит при сравнении эффективности сделок
с инструментами различных типов или сделок из различных сегментов
финансового рынка. В таком случае применять разные схемы времен-
ных преобразований для разных сделок некорректно, поскольку вре-
менные характеристики сделок будут вычисляться по разным прави-
лам. Уже отмечалось, что в разных странах используются разные схемы
для вычисления длины временных промежутков в годовой шкале. Так,
на денежном рынке США для Казначейских векселей США общепри-
нято правило АСТ/360, тогда как для аналогичных Казначейских век-
селей Великобритании используется правило АСТ/365. При необходи-
мости сравнения сделок на этих рынках необходимо выбрать какое-
либо одно из этих (или, возможно, других) правил, чтобы временные
характеристики сделок оценивались в одной шкале.

Таким образом, хотя логическая структура приведенных в этой
главе формул, безусловно, не зависит от конкретных правил измерения
временных промежутков, их конкретные значения определяются лишь
относительно выбранных правил. В последнем примере для нормиро-
ванной процентной ставки, т.е. доходности сделки с векселем за пери-
од до погашения, задаваемой единственной формулой

получим для данных F = $1000 и Р — $850 целую серию возможных
значений Z, определяемых конкретным правилом представления пери-
ода сделки, равного 90 дням в годовой шкале:

АСТ/360 ~= 0,7059;

АСТ/365 — / = 0,7157;

АСТ/365 (Япония) — / =0,7237, если период сделки високосный;

АСТ/АСТ — /==0,7157, если период лежит в пределах невисокосно-
го года;

АСТ/АСТ — / = 0,7176, если период лежит в пределах високосного года;

АСТ/АСТ — 0,7157 < i < 0,7176, если часть периода приходится на
високосный и часть на не високосный годы.

Как видно из §1.6, приведенный выше список далеко не исчерпыва-
ет всех возможных случаев.
Заметим, что выше цена Р была задана в долларах. Если бы речь
шла, например, о сделке с Казначейскими векселями США, то цена
векселя в таком случае могла бы задаваться косвенно, посредством
котировки, которые для рынка Казначейских векселей США осуще-
ствляются в терм и пахуч ет но й ставки с подразумеваемым применением
банковского правила.

Так, дилер, оперирующий на этом рынке, мог выставить котировки
трехмесячного Казначейского векселя (90 дней) 8,50% на покупку и 8,48%
на продажу. Это означает, что дилер согласен купить вексель по цене

Рпик =1000 1-0,0850 —

а продать по цене

р -1000 1-0,0848-- = 978,80(8).

Пр t Л I X /

Разница между этими ценами составляет дилерский спред цен, т.е. до-
ход, получаемый дилером с полной сделки (т.е. покупки с последую-
щей продажей) с каждым векселем. Лицо, купившее вексель у дилера
по цене Р = 8978,80, при погашении через 3 мес. заработает 821,20.

Нормированную процентную ставку (доходность к погашению)
такой сделки обычно находят, используя правило АСТ/365:

или 8,78% годовых.

21,20

978,80->

= 0,0878,

Этот пример любопытен тем, что в нем используются два различных
временных правила при расчете одной и той же сделки. Так, покупатель

векселя у дилера сначала по котировке цены продажи (в терминах учет-
ной ставки) найдет долларовую цену посредством банковского правила,
а для оценки доходности сделки воспользуется правилом АСТ/365.

Заметим, что в этом случае нельзя (как это делалось в примере 2.8)
применять формулу (2.16), связывающую учетную и процентную став-
ки, поскольку в этом случае возникает неопределенность со значением
срока Т. Если этот срок задать в соответствии с банковским правилом,

то вычисленная доходность к погашению будет соответствовать имен-
но этому правилу, а не примененному выше правилу АСТ/365. Подста-
новка значения срока в соответствии с правилом АСТ/365 также
некорректна, поскольку учетная ставка (котировка) подразумевает
в соответствии с принятым на рынке Казначейских векселей примене-
ние банковского правила (АСТ/360).
На этом закончим предварительное обсуждение простых кредитных
сделок и связанных с ними характеристик, прежде всего процентной
и учетной ставок.

Вопросы и упражнения

1. Опишите математическую модель простой кредитной сделки. Какой вид имеет
представляющий поток сделки, если проценты выплачиваются: а) в конце периода
сделки? б) в начале периода сделки?

2. Дайте содержательную трактовку простой нормированной процентной ставки
сделки. Какую роль играет эта ставка на краткосрочном кредитном рынке?

3. Как связаны между собой учетные и процентные (за период и нормированные) ставки?

4. Что такое простой класс сделок? ^акова связь между простыми процентными
и простыми дисконтными классами сделок?

5. Укажите основные временные и финансовые параметры, определяющие вексель и
депозитный сертификат.

6. Что такое стандартная сделка с долговым обязательством?

7. Как связана цена долгового обязательства и рыночная процентная ставка?

8. Как определяется доходность к погашению долгового обязательства? Как связана
эта доходность с рыночной процентной ставкой?

Задачи

1. Банк принимает вклады на срочный депозит на следующих условиях: процентная
ставка при сроке 30 дней составляет 45%; при сроке 60 дней —48%; при сроке 90 дней —
50%. Рассчитайте доход клиента при вкладе .Ж 100 тыс. на указанные сроки. Год
невисокосный, правило банковское.

2. Коммерческий банк привлекает средства под простые проценты с процентной став-
кой 36% годовых. Клиент внес У’6 млн на депозит с 12 февраля по 24 апреля. Определи-
те величину коэффициента роста и наращенную сумму для временных правил:
а) АСТ/365; б) банковского; в) приближенного — 30/360. Год невисокосный.

3. Клиент получил в банке кредит сроком на 3 мес. .Л’6 млн. Сумма возврата кредита
равна .778 млн. Определите процентную ставку банка.

4. Фирме необходим кредит в .>?50 млн. Банк согласен выдать кредит, если
возвращенная сумма долга будет равна .77 60 млн. Учетная ставка составляет 210%
годовых. На какой срок выдан кредит?

5. А занимает у В под 15% годовых сроком на 9 мес. и выписывает на В вексель на
. % 100 000. Через 3 мес. В продает вексель С, который желает обеспечить себе доходность
при погашении 18% годовых. Какова цена векселя при продаже? Сколько заработал 5?
Какова соответствующая учетная ставка сделки за период и годовая9

6. Вексель со сроком погашения через 5 мес. на сумму S1500 учитывается в банке за
2 мес. до погашения по учетной ставке 15% в месяц. По какой цене будет учтен вексель?
Каков доход банка? Каков доход векселедержателя, если цена эмиссии векселя (т.е. ос-
новная сумма долга) равна 81000?

7. Инвестор приобрел депозитный сертификат с номиналом ./’500 000 и процентной
ставкой 70% годовых. Срок погашения сертификата 9 мес. Через 5 мес. инвестор продал
сертификат. К этому моменту ставка поднялась до 80% годовых. Сколько заработал ин-
вестор? Какую прибыль при погашении получит новый владелец сертификата?
Глава 3. Простые проценты

ЗЛ. Формула простых процентов

В этой и последующих главах рассмотрим ту часть финансовой
математики, предметом которой служат кредитные сделки простых
классов, называемую схемой (или методом) простых процентов. Факти-
чески мы уже пришли к ней в гл. 2. Сказанное там можно подытожить
в следующем формальном определении.

Определение 3.1. Класс С простейших кредитных сделок называется
простым или описываемым схемой простых процентов, если он имеет
общую процентную ставку / так, что для всех сделок с из этого класса
справедливы равенства

Ic=iTc\ (3.1)

у =-У(1+,'Г)> (3.2)

где rj и/, — начальный и конечный моменты; S(f и_ начальная
и конечнае суммы; Г = (с -t( — срок сделки с. Это равенство называет-
ся формулой простых процентов.

Следует обратить внимание на различие в интерпретации формул
(3.1), (3.2) и тождественных им по форме равенств (2.10), (2.11).
Последние равенства выполняются для любой простейшей кредитной
сделки (естественно, с присущей данной сделке ставкой /). Иногда
явно или неявно под формулой (2.11) понимается зависимость
накопленной суммы St , при заданных сумме кредита S, и ставке/, от
периода сделки Т. Однако, как мы уже показали в гл. 2, это совсем не
так, потому что формула (2.11) характеризует лишь связь между
параметрами конкретной, индивидуальной сделки. В то время как
формулы (3.1) и (3.2) простых процентов применимы к данному
простому классу, так что в пределах этого класса ставка / считается
постоянной. Эти формулы составляют математическую модель каждо-
го такого класса независимо от источника и механизма его порожде-
ния: будет ли то класс реальных сделок, осуществляемых банком или
Другим кредитным учреждением, или это потенциальный класс
сделок, анализируемый инвестором с целью наилучшего вложения
свободных средств. Однако при применении схемы простых процен-
тов и решении реальных задач он должен быть четко определен как
реальный или потенциальный класс. Естественно, что при реальных
расчетах для конкретной сделки из этого класса индекс с в формулах
(3.1) и (3.2) опускается.

3.2. Накопительные модели в схеме простых процентов:
динамическая модель роста

Одним из наиболее распространенных применений простых про-
центов являются так называемые накопительные, или сберегательные
счета. Они относятся к более широкому классу счетов, вкладов или
депозитов до востребования и, следовательно, не имеют определенного
срока. Таким образом, вкладчик может изъять весь вклад или его часть
в любое время. За эту возможность (или, как говорят, опцион) вкладчик
платит снижением процентной ставки по сравнению со срочным депо-
зитом, т.е. вкладом на конкретный срок.

Хотя внешне накопительный вклад определяется как один кон-
тракт, т.е. как одна сделка, с формальной точки зрения ее можно
рассматривать как потенциальный простой класс из бесконечного
числа простых сделок. Пусть вкладчик открывает счет в момент време-
ни /0 с начальной суммой Sf Тогда любому t > 0, учитывая возмож-
ность изъятия вклада в этот момент времени, соответствует некоторая
потенциально возможная срочная сделка с периодом |7С, г].

Естественно, с течением времени сумма вклада растет, так что
к моменту времени t состояние счета описывается величиной (суммой)
5. Если / — процентная, например годовая, ставка по вкладу и время
также измеряется «в годах», то динамика накопления описывается
уравнением

5,=\(| + <(/-/0)) = 5Д1 + (Т) (3.3)

или

S,=S,a{ta,t), (3.4)

где

a(r0,r) = l +/(г-г0) = 1+/Т (3.5)

— коэффициент роста (наращения); Т= t — tQ — срок в годах.

Уравнение (3.3) обычно трактуется как динамическая модель роста
накопительного счета в отличие от уравнения (3.2), описывающего
различные сделки, например осуществляемые одним банком с разны-
ми вкладчиками. В модели (3.3) время Т теоретически принимает
любые неотрицательные вещественные значения, тогда как в модели
(3.2) семейство сроков {jT| се С} сделок зависит от рассматриваемого
класса сделок.

Конечно, на практике это различие не стоит абсолютизировать.
Так, даже для срочной сделки со сроком Г кредитор (например,
вкладчик) может досрочно расторгнуть сделку, так что реальная дли-
тельность сделки может быть меньше, чем 7\ Возникает вопрос о вели-
чине возвращаемой суммы долга для этих условий. И в этом случае
часто используется динамическая модель типа той, что была рассмот-
рена выше.

Наконец, динамическая (накопительная) модель используется для
определения так называемых накопленных процентов в сделках с упо-
минавшимися выше процентными бумагами, такими, как депозитные
сертификаты, облигации и др. (см. гл. 2). Процентные бумаги имеют в
качестве обязательных реквизитов номинальную стоимость (номинал)
и процентную ставку, называемую в этом случае купонной. Выплата
процентов или, как еще говорят, купонного платежа осуществляется
эмитентом ценной бумаги во вполне определенные моменты времени,
например для депозитного сертификата — это момент погашения,
а для облигации — концы так называемых купонных периодов. Такие
платежи можно рассматривать как выплату процентов по простой
кредитной сделке с начальной суммой долга, равной номиналу ценной
бумаги, и сроком, равным длине купонного периода. В этом случае
говорят о выплате полного купона. Если же ценная бумага продается до
погашения между купонными выплатами, то в цене продажи учитыва-
ются накопленные (по купонной ставке за период от последнего купон-
ного платежа до момента продажи) проценты к номиналу ценной
бумаги. Таким образом, покупатель ценной бумаги выплачивает про-
давцу, кроме номинальной стоимости ценной бумаги, накопленные
проценты (неполный купон). Покупатель вернет эту сумму (накоплен-
ные проценты) при очередной выплате купонов.

Заметим, что к счетам до востребования кроме накопительных
счетов относятся также так называемые расчетные или текущие счета
фирм и частных лиц. В отличие от накопительных счетов их цель
состоит в осуществлении текущей деятельности, в постоянно возника-
ющих расчетах, оплате товаров, услуг и т.п. Эти счета доступны в любое
время как для перечисления, так и для снятия средств. Как правило.
проценты по этим счетам не начисляются. Однако следует сказать, что
в последнее время многие финансовые учреждения Запада открывают
для своих клиентов счета, позволяющие объединить накопительную
и расчетную функции. Это относится и ко многим отечественным
банкам. Правда, при этом требуется поддержание определенного ми-
нимума остатка средств на счете и, конечно, ставка по таким счетам
намного ниже, чем по сберегательным.

Наконец, отметим, что классический срочный вклад (срочный
депозит) является примером простой кредитной сделки с заранее
определенным сроком. Таким образом, теория простых процентов
изучает все многообразие различных видов краткосрочных кредитных
операций (сделок).

Вернемся снова к формуле (3.3), описывающей динамику накопле-
ния. Заметим, что эта формула была получена в предположении, что
период, по отношению к которому указывалась процентная ставка,
т.е. — период начисления совпадает с единицей времени, например
задается годовая процентная ставка и время измеряется «в годах».
Снимем теперь это ограничение и рассмотрим более общий случай.

С формальной точки зрения накопительная модель или модель
накопительного счета описывается следующим образом. Во-первых,
фиксируется временная шкала Т. Во-вторых, задается так называемая
ставка начисления, характеризующая динамику роста накопительного
счета. Ставка начисления включает указание периода начисления h и
числового значения ставки за этот период. Таким образом, в математи-
ческом плане ставка начисления представляет собой пару (А, /). Для
того чтобы подчеркнуть привязку числового значения ставки i к конк-
ретному периоду h, в формулах это значение записывается в виде ih.
Такое индексное обозначение содержит упоминание как о величине
ставки, так и о ее периоде, и потому мы будем использовать его наравне
с каноническим обозначением в виде пары (Л, /). Наконец, последним
элементом формального описания модели накопительного счета явля-
ется уравнение динамики счета

(3.6)

Заметим, что здесь все временные характеристики заданы в выбран-
ной временной шкале. В частности, h есть длина периода начисления
относительно единичного (базового) периода временной шкалы. Тогда

величина
т- _ {о
h h

будет равна продолжительности накопления в единицах периода начис-
ления. В случае, если период начисления будет совпадать с единичным
периодом временной шкалы, то h = 1 и (3.6) примет вид (3.3). Заметим,
что формулой (3.3) можно пользоваться и в общем случае, если опреде-
лим нормированную ставку начисления как ставку, относящуюся к еди-
ничному периоду временной шкалы и равную

/ = |. (3.7)

Определение нормированной ставки начисления вполне аналогич-
но определению нормированной ставки сделки из предыдущей главы.
Задание ставки начисления на практике обычно сопровождается яв-
ным указанием периода начисления, к которому она относится. Так,
говорят о 10% в год, или 10% годовых, 5% в месяц и т.д. Соответствую-
щая нормированная ставка также сопровождается указанием единич-
ного периода, к которому она относится. Если шкала годовая, то нор-
мированная ставка будет годовой.

Рассмотрим пример накопительного счета.

П р и м е р 3.1. Вкладчик открывает накопительный счет с начальной суммой .-/.’500,
и пусть для простоты zu — 0. Годовая процентная ставка равна 12%. Какова величина
счета: через месяц, год, два года, десять лет?

Решение. Ставка начисления, по условию, задана как годовая. Проше всего
в этом случае в качестве временной шкалы взять годовую шкалу. Тогда, используя
уравнение (3.3), получим величину вклада:

через месяц

Sl/n =500^1 +0,12 ~^ = 505(.^);

год

= 500(1 + 0,12) = 560( ?/?);

два года

5, = 500(1 + 0,12-2) = 620(.Л1);

10 лет

5](, = 500(1 + 0,12*10) = 1100(//»>).

Заметим, что тот же результат получили бы в примере 3.1, если бы
в качестве ставки начисления была задана месячная ставка 1%. В этом
случае для годовой шкалы соответствующая нормированная годовая
ставка будет равна 12%. Очевидно, что результат накопления по 12%-ной
годовой и 1%-ной месячной ставкам будет один и тот же, и в этом
смысле данные ставки можно считать эквивалентными. Это замечание
приводит к общему понятию эквивалентности ставок начисления.

Определение 3.2. Ставки (Л , / ) и {hv с) называются эквивалентными,
если порождаемые ими процессы накопления с одним и тем же началь-
ным состоянием (в заданной временной шкале) тождественны, т.е.

''Т*

Л1

> о

п,

Из этого определения немедленно следует, что ставки (/гр i{) и (Л,, /)

эквивалентны, если

иными словами, если совпадают нормированные ставки начисления.
При этом данная общая нормированная ставка является ставкой на-
числения за единичный период временной шкалы, эквивалентной
исходным ставкам.

Таким образом, нормированная ставка / порождает семейство экви-
валентных ей ставок начисления ih = hi. Так, в годовой шкале эквива-
лентными будут ставки (1, 12%), т.е. 12% в год, (1/2, 6%), т.е. 6% за
полугодие, (1/4, 3%), т.е. 3% в квартал и (1/12, 1%), т.е. 1% в месяц.

Заметим, что в рамках накопительной модели ставку начисления ih
за любой период h можно рассматривать как ставку сделки ch с началом
в /п, концом в момент tQ + h (т.е. со сроком Л), начальной суммой 5() = Р
и конечной суммой Sh - S, определяемой формулой (3.6):

5 = ^,

k h)

В этом случае нормированная ставка начисления совпадает с нор-
мированной ставкой сделки. Более того, если, как сказано выше,
накопительную модель интерпретировать статически как семейство
{сА, h> 0} простых сделок ch (см. гл. 2), то они составляют простой
класс сделок с общей нормированной ставкой /, которая является
процентной ставкой класса. Поэтому в дальнейшем при описании
накопительных моделей в качестве ставки, определяющей динамику
роста счета, будем использовать, как правило, нормированную ставку.

Пример 3.2. Найти месячную ставку, эквивалентную простой годовой ставке,
равной 10%.
Решение. Обозначим месячную ставку через / что соответствует ставке для
1/12 года. Вкладывая, например, $1 на 1 год под 10% годовых, имеем, что

1 + 0,1 = 1,1($).

С другой стороны, эта финансовая операция, если базовая единица времени есть 1 мес.,
равносильна инвестированию S1 на 12 мес. по ставке / .,. Тогда наращенная сумма
составит 1 + 12/. Так как имеем одну и ту же финансовую операцию, то наращенные
значения в обоих случаях совпадают, поэтому

1+0,1 = 1 + 12/,. ,,,
или

0,1-12/!/п.

Отсюда следует, что

j. = —=0,0083,
11,2 12

или 0,83% месячных.

В модели накопительного счета особенно легко интерпретируется
понятие накопленного (наращенного) значения и соответствующего
оператора FK. В силу самого смысла накопительного счета его состоя-
ние S, в момент времени t представляет собой результат накопления за
счет начисления процентов на вклад за период времени [го, Г]. Таким
образом, смысл равенства

FV,{S,^S=S,a[ta^, (3.8)

где коэффициент ростаa(t Z) определяется формулой (3.5), становится
очевидным. Важно, что это равенство определено для всех t > т.е.
о величине или состоянии счета можно говорить в любой момент време-
ни, следующий за начальным.

Заметим, что в аналогичных (3.8) по смыслу равенствах (2.2) и (2.3)
наращенное значение 5 г было определено лишь для конца ~ + Т
периода [Zo, t. ] сделки. Для внутренних точек этого периода, т.е. для < t <
< t значение 5, без предварительных соглашений определить нельзя.
Здесь требуется введение дополнительных уточнений в модель. Необ-
ходимость такого рода уточнений может возникнуть, например, при
досрочном расторжении сделки. В этом случае необходимо найти
величину суммы долга, которую должен вернуть должник кредитору.

Рассмотрим накопительную модель, задаваемую (3.3) - (3.5) и (3.8),
более подробно.

Уравнение (3.8) является формальным выражением динамики (рос-
та) накопительного счета. Линейный вид коэффициента роста
я(70,г) = 1 + /(/-г0), t>tQ

указывает на конкретный вид этого закона в схеме простых процентов.
Коэффициент роста инвариантен относительно сдвига на любой период h:

a(tQ + А, 1 + А) = а(Г0, 0.

Эта инвариантность обусловлена тем, что коэффициент роста зависит,
по существу, не от моментов времени t0, t, а от расстояния Т — t — го
между ними, т.е. от длины промежутка [t0, /]:

Здесь

ат~ 1 +iT

— стандартный (одномерный) коэффициент роста. Хотя общий (дву-
мерный) п(/0, t) и стандартный (одномерный) аГ коэффициенты —
безусловно различные объекты, так как первый является функцией
двух, а второй — функцией одной переменных, мы обозначим их одной
и той же буквой а в тех случаях, когда это не будет приводить к недора-
зумениям.

Таким образом,

а(10,г) = 1 + /(г-Г0) = 1 + /Т = аТ (3.9)

S,=-VM = Vr- (3.10)

В дальнейшем для простоты начальный момент сделки /0 будет часто
отождествляться с началом временной шкалы, т.е. будет полагаться
Го = 0. В этом случае формулы (3.9) и (3.10) примут простой вид

п(0, Г) = 1 + it - at (3.11)

S^S.a,. (3.12)

Вернемся теперь к соотношению (3.3) или, что то же самое, к урав-
нению (3.10), описывающим динамику накопительного счета, и пока-
жем, что процентная ставка / задает его относительную скорость роста.

В самом деле, полагая в (3.12) 50 = 1, получим

Из (3.11) немедленно следует, что
da,

—- -1.

Таким образом, процентная ставка i действительно определяет ско-
рость роста единицы вклада или, что то же самое, относительную
скорость роста вклада (по отношению к начальной величине).

Выше дана еще одна интерпретация нормированной процентной
ставки дополнительно к двум ее толкованиям, приведенным в § 2.2.
Следовательно, подводя итог, можно сказать, что нормированная про-
центная ставка имеет три важнейшие интерпретации. Во-первых, она
определяет (для должника) стоимость кредитных ресурсов на кредит-
ном рынке. Во-вторых, для кредитора она характеризует доходность
(эффективность) использования свободных (или привлеченных) средств.
Наконец, в-третьих, в накопительных моделях она характеризует отно-
сительную скорость роста счета (вклада).

Пример 3.3. Сумма Л? 1000 вкладывается в момент времени г() = 0 под 10% годовых:
а) на 2 гола; б) 1 год, по истечении которого наращенная сумма вкладывается (реинвести-
руется) еще на 1 год. Найти для обоих случаев наращенную сумму S, на конец 2-го юда.

Решение. В первом случае, согласно формуле (3.3), наращенная сумма за 2 года

S, = 1000(1 + 0,1-2) = 1200 (.#),

Во втором случае наращенная сумма за 1-й год

5, = 1000(1 + 0,1-1) = 1100 (Л?).

Теперь, если сумма 5! вкладывается еще на 1 год под тс же 10% годовых, то по истечении
2-го года получим сумму

52= 1100(1 + 0,1-1) - 1210(Л),

т.е. во втором случае, когда после 1-го года наращенная сумма была реинвестирована,
получили сумму 5,, накопленную за 2 года, равную Л? 1210, что не совпадаете результа-
том S2 = .>21200 для первого случая.

В заключение кратко остановимся на геометрической интерпрета-
ции, отражающей движение во времени накопительного счета.

Динамику накопительного счета можно наглядно изображать соот-
ветствующей траекторией на фазовой плоскости время - деньги. В си-
лу линейности закона накопления такая траектория будет представ-
лять собой луч с вершиной (?0,50) и угловым коэффициентом /50, где (Го,
50) — начальное состояние счета (рис. 3.1). Пожалуй, самым суще-
ственным свойством процесса накопления в схеме простых процентов
— это его в некотором смысле абсолютная привязанность к начальному
состоянию. Как увидим ниже, траектории двух процессов с разными
начальными состояниями не могут иметь общего продолжения, ни даже
единственной точке. Таким образом, процесс накопления в схеме про-
стых процентов всегда «помнит свой день рождения».

Заметим, что два состояния (/р 5^ и (/,, S2) процесса, порождаемого
данным вкладом, в свою очередь, будут порождаться начальным состо-
янием (zo, 50) и, следовательно, будут лежать на одной траектории, если
^1 ’ G ~ и

откуда следует

Отметим также, что вклады с одной и той же ставкой i, но разными
начальными состояниями (/J, 50') S") могут иметь пересекающие-

ся траектории. Пересечение будет иметь место, если уравнение

имеет решение t > t', t”.

Легко доказать, что при заданном начальном состоянии (r0',S0')
любое другое начальное состояние (/0",S0"), лежащее внутри сектора,
ограниченного траекторией с начальным состоянием (/О',5О') и гори-
зонтальным лучом 5 = 50', порождает траекторию (рис. 3.2), пересека-
ющую траекторию с начальным состоянием (г0', .

Пример 3.4. Пусть счет с начальной суммой %? 100 при годовой ставке 20%
открывается в момент времени =0. Спустя год открывается счет с начальной суммой
10 и с той же ставкой. Найти момент времени, когда накопленные суммы на обоих
счетах сравняются.

Решение. Динамика этих счетов описывается уравнением
для первого

= 100(1 + 0,2/) = 100 + 20/, / > 0
и второго вкладов:

S, =110(1 + 0,2(/-1))=88 + 22/, />1.

Накопления на обоих счетах совпадут в момент г, определяемый уравнением

100 + 20/ = 88 + 22/,
откуда следует, что / = 6.

3.3. Приведение денежных сумм в схеме простых процентов

В предыдущем параграфе мы изучали динамику процесса накопле-
ния с фиксированной нормированной процентной ставкой. Процесс
процентного накопления является детерминированным процессом в
том смысле, что задание начального состояния полностью определяет
будущее поведение процесса (см. § 1.4). Эта детерминированность
позволила определить понятие будущего или накопленного к моменту t
значения денежной суммы 50, относящейся к моменту Данное
значение определяется соотношением

= /т((‘У«)=^»0+'('-'«))> rs'o- <3-13)

В финансовой литературе говорят также о будущей, или накопленной,
стоимости суммы 50. Оператор будущей стоимости ЛИ позволяет
найти приведенное к будущему моменту / значение любой суммы 50,
относящейся к моменту или, как еще говорят, привести (преобразо-
вать) эту сумму к моменту t. Задавая такое преобразование, которое
определяется исключительно значением ставки /, мы приходим к более
общей точке зрения, чем при изучении динамики индивидуального
процесса процентного накопления.

По существу, мы переходим к рассмотрению семейства (класса) всех
таких процессов с общей ставкой накопления i. Формулу (3.13) при
таком обобщенном подходе рассматриваем просто как закон преобра-
зования событий или денежных сумм. Традиционно момент (буду-
щий), к которому приводятся (преобразуются, переносятся) денежные
суммы, называется одним из следующих терминов: моментом приведе-
ния, полюсом, фокальной датой, моментом валоризации (см. § 5). Вало-
ризация означает оценивание, т.е. нахождение стоимости в заданный
момент времени.

Отметим, что процесс приведения полностью определяется коэф-
фициентом роста
д(/0, 0= 1 +
который задает динамику накопления в схеме простых процентов.

Заметим, что процесс процентного накопления однозначно опреде-
лен не только в смысле будущих состояний по заданному начальному
состоянию, но имеется некоторая определенность относительно про-
шлого. Более точно, текущее состояние (Z, 5) однозначно определяет
начальный капитал S, если известен начальный момент / процесса.
Конечно, предполагается известным также и основной параметр —
нормированная ставка i (ставка накопления). Это немедленно следует
из однозначной разрешимости уравнения динамики

5, = 5„(1 + ,(г-г0))

относительно 5t:

(3.14)

Определение 50 по заданному состоянию (/, Sf) является задачей,
обратной той, что решалась в предыдущем параграфе. Ее содержатель-
ный смысл формулируется так: какую сумму следует инвестировать
в момент Го по ставке /, чтобы к моменту t накопить сумму 5?

Сумма 5 называется текущей (дисконтированной, сегодняшней, на-
стоящей, приведенной) стоимостью суммы а оператор DV, приведе-
ния Sf к моменту времени tQ — оператором текущей стоимости:

Если — 0, то формула (3.14) примет вид

о ~

(3.15)

Операция приведения к начальному моменту суммы 5 называется
дисконтированием этой суммы. Иными словами, данная операция
является обратной по отношению к рассмотренной выше операции
нахождения будущей или накопленной суммы.

Заметим, что текущее значение в момент tQ события или суммы Cf
в финансовой литературе обычно обозначают PV (С,). Однако в пос-
леднее время это обозначение используется в более общей ситуации
как обозначение текущей стоимости суммы (события) в любой (не
обязательно прошлый) момент времени (см. определение оператора PV
ниже). Поэтому в тех случаях, когда необходимо подчеркнуть, что речь
идет именно о прошлых (по отношению к данному событию) момен-
тах, используется обозначение Обозначение DV — сокраще-

ние от англ. Discount Value.

Коэффициент

<'») = Т~Ж-Л=-Л7’ <Ы6)

1 +1 \t—/(! J 1 +1 т

где Т — 1 — t называется коэффициентом дисконтирования в схеме
простых процентов. С его помощью оператор дисконтирования запи-

шется в виде

DVjS,) = S,d(t,t,,). (3.17)

Как и коэффициент роста, коэффициент дисконтирования зависит
только от разности Т ~ t — /0, а не от моментов времени /0 и t
непосредственно. Это дает основание для введения одномерного или
стандартного коэффициента дисконтирования

так, что

D^(S,) = S,dT.

В случае tQ = 0 выражение для коэффициента дисконтирования упро-
щается:

В этом случае оператор дисконтирования запишется в виде

ог0(5,)=ад.

Обратная задача решается не только для модели накопительного
счета, но и в других ситуациях. Так, предприятие, нуждающееся в
дополнительных оборотных средствах, зная выручку, которую оно
получит в результате реализации продукции в течение некоторого
периода, может определить максимальный объем займа, который оно в
состоянии себе позволить при условии своевременного покрытия долга.

Пример 3.5. Какую сумму необходимо вложить в настоящий момент сроком на 2
года под 5% годовых, чтобы накопить М1 000?

Решение. Положим для простоты Z(l = 0. Так как в данном случае 5, — ДМ ООО
и i = 0,05, то

_юо^=1ооо =
° 1 + 2 0,05 1,1 У ’

Итак, семейство процессов роста с одной и той же ставкой порож-
дает соответствующие операции преобразования (или приведения)

ю*
Рис. 3.3

финансовых событий как к
будущим, так и прошлым мо-
ментам времени. При этом
переход к будущим моментам
задается правилом

vx = FVt (С,) = С,а(/, г) = С, (I +/(т-/)), т > t,

а переход к прошлым моментам — правилом

И = РИг(С,) = СДлт) =

Т<1.

Оба оператора можно объединить в рамках одного общего операто-
ра приведения, называемого оператором текущей стоимости PVt, ко-
торый для любого события (/, С) определяется формулой

иг = ргдс,)=

если т > Г;

если т< t.

Операция приведения событий к моменту времени т наглядно
изображается на рис. 3.3.

Пример 3.6. Пусть в некоторой временнбй шкале сумма 51 = .#200 относится к
моменту г. = 1, а сумма S, = .#600 к .моменту t2 = 3. Найти приведенные к моменту г = 2
значения этих сумм, если нормированная процентная ставка i = 20%.

Р е ш е н и е. Поскольку < т, то приведенное к Т значение = .#200 есть будущая
стоимость этой суммы, т.е.

^2 = (51)= 200^ + °’ 2) = 240 (•Ч

Далее, так как г, > т, то приведенное к тзначение 5, = .#600 — текущая (дисконтиро-
ванная) стоимость этой суммы, т.е.

К!"=ОИ!(5г) = т^ = 500(.*).

Введенному выше общему оператору приведения (текущей стоимо-
сти) РУт в схеме простых процентов соответствует обобщенный коэффи-
циент приведения или обобщенный коэффициент дисконтирования:

fcz(r, т) прит>г;

прит<г.

Из очевидного соотношения

й(/, r)t/(r,r) = 1
следует свойство самосопряженности коэффициента v(t, т) (см.
§ 1-5):

(3.J8)

Поскольку коэффициент у (г, т), каки коэффициенты т) wd{t, т),
зависит только от разности Т= т— t, то можно ввести (упрощенный)

одномерный коэффициент приведения

а(Т)=1+1Т,

если Т > 0;

если Т < 0.

(3.19)

Свойство (3.18) для коэффициента у (Г) перепишется в виде

С помощью обобщенных коэффициентов дисконтирования опера-
тор текущей стоимости представляется в виде

К = />Тт(С,) = С,а(г,т)=СЛ.

График функции у(7) изображен на рис. 3.4.

Рис. 3.4
Заметим, что функция и(7) непрерывно дифференцируема, по-
скольку
/

(1+/г)'|м=/=^_О |м.

График функции и(Г), таким образом, «гладко склеен» из луча —
графика функции роста а( Г) и графика функции d(— Г).

3.4. Стандартная схема простых процентов

Выше мы рассмотрели содержательную (интерпретированную) мо-
дель накопительного счета в схеме простых процентов. Объектом
изучения этой модели являются процессы процентного накопления,
определяемые начальным состоянием (Го, 50) и основным парамет-
ром — нормированной ставкой (накопления) /. Процессы с одной
и той же ставкой / (в одной и той же временной шкале) являются, по
определению, эквивалентными и составляют класс (эквивалентных
между собой) процессов. Все процессы этого класса описываются
одним и тем же законом накопления (капитализации)

~ \ (1 + '(Г-Г0)).

Как указывалось в § 1.4, именно финансовый закон капитализации
(и связанный с ним закон дисконтирования) определяют абстрактную
модель данной финансовой схемы.

Поскольку рассматриваемая в этом параграфе схема простых про-
центов предполагает заданной фиксированную нормированную про-
центную ставку, то эту схему назовем стандартной, или базовой, схемой
простых процентов, в отличие от общей схемы простых процентов
с произвольной (переменной) структурой процентных ставок, которая
будет рассмотрена ниже.

Финансовая схема позволяет работать непосредственное финансо-
выми событиями и финансовыми потоками без упоминания о финан-
совых процессах, «воплощающих» или «реализующих» эти законы.
Такой подход обеспечивает необходимую общность и гибкость в ана-
лизе различных «содержательных» моделей в рамках одной абстракт-
ной схемы. Ранее уже отмечалась частичная идентичность основных
формул моделей простых сделок и накопительных моделей. Переход к
абстрактной схеме простых процентов позволяет опускать конкретные
детали, обусловленные конкретной спецификацией содержательных
моделей, и обратить основное внимание на логическую структуру
теории простых процентов.

Финансовая схема (см. § 1.5) включает, во-первых, правила преоб-
разования финансовых событий и, во-вторых, семейство отношений
эквивалентности, позволяющих отождествлять или, наоборот, разли-
чать денежные суммы и потоки платежей, относящиеся к различным
моментам времени.

Опишем подробно схему простых процентов для финансовых
событий. Потоки платежей исследуем в последующих главах. Ос-
новное внимание уделим именно процессу формализации схемы
простых процентов, т.е. того, каким образом получаются, выводят-
ся правила преобразования (приведения) событий и условия их
эквивалентности.

Основу финансовой схемы простых процентов составляют финан-
совые законы:

капитализации

A(t,p,C)=C(\<-i(p-t)), p>t (3.20)

и дисконтирования

D(t,р,С)= , Р<Г (3.21)

1+ф-Р)

Оба закона зависят от параметра i > 0 — процентной ставки,
определяющей конкретный вид указанных финансовых законов.

. С финансовыми законами единственным образом связаны преоб-
разования финансовых событий или датированных денежных сумм.

Закон капитализации позволяет находить будущие (т.е. приведенные
к будущим моментам времени) значения событий (денежных сумм):

ИД = ГГ (г,С) = Л(/,дС). (3.22)

Закон дисконтирования позволяет находить дисконтированные (т.е.
приведенные к прошлым моментам времени) значения событий (де-
нежных сумм):

Гр=ОИр(/,С) = О(/,ЛС). (3.23)

В рамках абстрактной схемы простых процентов формулы (3.20) —
(3.23) определяют просто некоторый вид связи (преобразований) меж-
ду финансовыми событиями и, строго говоря, не нуждаются в упоми-
нании о каких-либо финансовых процессах, «лежащих в основе» этих
финансовых законов. Тем не менее, для того чтобы результаты, полу-
ченные в рамках «абстрактной» схемы простых процентов, не носили
чисто формальный характер, по мере необходимости придадим им
«содержательный смысл», интерпретируя их в терминах содержатель-
ных моделей, таких, как модели кредитных сделок накопительного
счета.

Свойства финансовых законов схемы простых процентов. Из уравне-
ний (3.20), (3.21) следует, что финансовые законы капитализации и
дисконтирования удовлетворяют свойствам нормированноспиг.

D{p, р, С) = -—----г = С

для всехр и однородности относительно денежных сумм (см. § 1.4):

/)(/, р,С) = СР(сА1),
где

A(t,p,\) = l + i(p-t) = a(t,p), p>t
— коэффициент роста (капитализации);

£,(^А1) = :—4---; = d(t,p), p<t

l + i(t-p)

— коэффициент дисконтирования.

Из условия однородности следует, что

A(t,p,C) = Ca(t, р)

D(t,p, C) = Cd(t,p)'

Финансовые законы капитализации и дисконтирования удовлетво-
ряют свойству монотонности 3° из § 1.4. Иными словами, коэффици-
енты роста и дисконтирования возрастают относительно t и убывают
относительно^. При этом оба коэффициента являются непрерывными
функциями своих аргументов.

Как и в предыдущем параграфе, можно вычислить общий оператор
приведения событий к произвольном}' моменту временир:
Нормированность законов капитализации и соответствующее ему
свойство

p)=d(p, р) = 1

позволяет ввести общий коэффициент приведения (дисконтирования)

который будет всюду непрерывной функцией. При этом очевидно, что

Законы капитализации и дисконтирования являются однородными
по времени или стационарными:

ц(/ + Т,р + Т)=ц(г, р);

d(t + T,p+T) = d(t,p).

Естественно, что стационарным будет и общий коэффициент дис-
контирования

v(t + 7\ p + T)~v(t, р).

Таким образом, все эти коэффициенты, являющиеся функциями
двух переменных, сводятся к функциям одной переменной:

ц(Т) = 1+/Т;

Перейдем к другим темам. Отметим специфичность финансовых
законов схемы простых процентов, которая заключается в том, что эти
законы нетранзитивны (нерасщепляемы) в смысле § 1.5.

В самом деле, для закона капитализации л(/0, О имеем
а(/0,т)о(т,г,)=[1+/(/0-т)]{1+/(/|-r)]=l+/(z„-r)+/(z,-r)+/2(/„-?•)(/,-г).
Ясно, что полученное выражение не равно

= l + -*о)

для любых i > 0 и tQ < x<tv Случай i — 0, когда равенство

й(/0,т) = й(г0,т)о(т,/])

выполняется тождественным образом, не представляет практического
интереса, так как при i = 0 нет никакого наращения капитала.

Нетранзитивность закона капитализации (роста) в схеме простых
процентов является важным специфическим свойством этой схемы.
Содержательно оно означает привязанность процесса накопления к его
начальному моменту. Образно говоря, процесс накопления по простым
процентам всегда «помнит свой день рождения». В самом деле, принци-
пиальным моментом накопления по простым процентам является то,
что проценты начисляются только на начальный (основной) капитал, а на
накопленные за предыдущие периоды «старые» проценты «новые» про-
центы (проценты на проценты) не начисляются. С другой стороны, те-
кущее состояние включает как основной капитал, так и накопленные
проценты. Поэтому знания текущего состояния (если оно не начальное)
недостаточно для определения последующих состояний, необходимо
уметь выделять из него данные о начальном капитале. Если считать
процентную ставку — основной параметр процесса процентного рос-
та — известной, то для этого достаточно знать начальный момент t ~~
дату рождения процесса. Именно в этом смысле мы говорим о наличии
«памяти» у процесса накопления по простым процентам. Оно и приво-
дит к нарушению свойства транзитивности процесса, поскольку смысл
этого свойства состоит в том, что любое, а не только начальное состояние
однозначно определяет все последующие состояния процесса.

Очевидно, что финансовый закон дисконтирования, как и закон
капитализации в схеме простых процентов, также не транзитивен.
В самом деле, для любого т, такого что t() < т <

41>Т)4’о) 1 + 1 + 1+/(г]-т) + /(т-/0)+/2(Г)-т)(г-?0)

Очевидно, что это выражение не равно

при любом i * 0. Случай / = 0 не представляет практического интереса.
Пример 3.7. Рассмотрим два долговых обязательства (векселя): с номиналом
.#2500, сроком погашения через год и с номиналом .#3000, сроком погашения через
2 года. Найти текущие стоимости этих обязательств, если рыночная процентная ставка
равна 25%, и стоимость 2-летнего обязательства через год при сохранении того же
уровня процентной ставки.

Решение. Текущая стоимость годового векселя
/>И„(2500)=3^ = 2000(Л) ,

а двухлетнего

P|/”(3OOO) = T^25 = M00(J?)-

Таким образом, текущие стоимости этих векселей (в момент t = 0) равны.

С другой стороны, через год текущая стоимость двухлетнего векселя

PV} (3000) = = 2400 (:#).

1 + 0,25

Дисконтирование к текущему моменту времени (Г = 0) этой суммы даст

^»(240°) = т|^ = 1920(Л),

а не .#2000. Текущей стоимостью в .#2000 обладает годовой вексель с номиналом не
•#2400, а, как мы видели, вексель с номиналом .#2500.

Эквивалентность событий в схеме простых процентов. Перейдем ко
второму аспекту схемы простых процентов — понятию эквивалентнос-
ти событий, т.е. денежных сумм, относящихся к различным моментам
времени. Введенные выше правила приведения событий (сумм) позво-
ляют отождествлять или, наоборот, различать финансовые события
(денежные суммы). Естественно считать эквивалентными события
(суммы), приводящие к одному и тому же значению И относительно
заданного момента временир. Таким образом, имеем следующее опре-
деление эквивалентности событий в схеме простых процентов.

Определение 3.3. Пусть z — заданная нормированная процентная
ставка. Два события (zs, С]) и (Г2, С) называются эквивалентными
относительно момента (полюса) р (и ставки z) или р-эквивалентными,
если

«Ж) = /+,(с2)

ИЛИ \ / \

Cxv(tl,p)=C2v(t2,p).

Эквивалентность событий запишем в виде
Знак процентной ставки в обозначении эквивалентности часто будем
опускать.

Так, в примере 3.6 события (1,2500) и (2, 3000) эквивалентны отно-
сительно моментар — 0 и ставки i = 25%, поскольку текущие (приве-
денные к моменту 0) стоимости сумм .#2500 и .#3000 равны одному
и тому же значению .#2000. С другой стороны, событие (2, 3000) будет
эквивалентным событию (1,2400) относительно моментар = 1, но пос-
леднее событие не будет эквивалентным событию (0, 2000).

Для выяснения конкретного вида описанной выше эквивалентнос-
ти необходимо выделить три случая взаимного расположения рассмат-
риваемых моментов времени р , Г и tY

Пустьр < tx < tY В этом случае оба события (t, С) и (t С2) имеют
один и тот же «источник» — состояние (р, И), т.е. (го, Со) = (р, К). Таким
образом, они будут эквивалентны тогда и только тогда, когда их
приведенные к начальному моменту значения совпадут:

или

С, Q

1+'('1-р) 1+'('2-р)

Содержательно, с использованием процесса роста по ставке, этот
вид эквивалентности означает, что оба события лежат на одной траек-
тории, порожденной событием (р, И) как начальным, т.е. р = /0, V = Slf
(рис. 3.5 а).

Рассмотрим второй случай, когда t} < t2< р. Оба события (как на-
чальные) порождают одно и то же накопленное к моменту р значение V:
/ТДС,) = ЛДС2)

или

Ct (1 + i(p-1{ )) = С2 (1 + i(p -/,)).

Содержательная интерпрета-
ция эквивалентности событий
вовсе не означает их принадлеж-
ность к одной инвестиционной
траектории. Более того, можно
утверждать, что эти события обя-
зательно порождают разные тра-
ектории (в силу нетранзитивнос-

ти процесса накопления в схеме простых процентов). Событие (р, И),
к которому они оба приводятся, является единственной точкой пересе-
чения этих траекторий (рис. 3.5 о).

Пусть < р < t2. В содержательной интерпретации событие (t С{),
как начальное, порождает событие (р, К), в свою очередь, порождаю-
щее событие (;з, С2). Таким образом,

и=/тдс.)

или

С2 = ^(Г)

Отсюда следует, что

С. (1 + /(р-л)) = ——г.

1 + /(/2 - р)

Снова можно утверждать, что события (г С5) и (Z,, С) не лежат на
одной траектории (рис. 3.5 в).

Таким образом, содержательно, т.е. в терминах процесса роста, эк-
вивалентность событий относительно момента р будет означать их
принадлежность к одной траектории лишь в единственном случае, ког-
да моментр предшествует моментам обоих событий. Очень важно по-
мнить, что момент валоризации в этом случае выступает начальным
Моментом, а событие (р, И) — начальным состоянием, порождающим
траекторию, которой принадлежат события (гр С,) и (/2, С,).
Введенное отношение эквивалентности событий действительно яв-
ляется отношением эквивалентности в формальном математическом
смысле. Иными словами — это рефлексивное, симметричное и транзи-
тивное отношение. Эти свойства немедленно следуют из определения
эквивалентности событий.

Рассмотрим вопрос о геометрическом представлении (описании)
отношения эквивалентности событий. Поскольку финансовые собы-
тия изображаются точками на фазовой плоскости время — деньги,
то каждому классу эквивалентности, т.е. совокупности попарно экви-
валентных между собой событий соответствует определенный геомет-
рический образ. Каждый такой класс представляется некоторой глад-
кой кривой на плоскости, а семейство классов (фактор-множество
отношения эквивалентности) — семейством непересекающихся кри-
вых, заполняющих плоскость время — деньги.

Начнем с описания класса эквивалентности единичного события
(р, 1). Зафиксируем момент (полюс) р. Полагая

С, :=г>(д/),
получим, что

Таким образом, класс эквивалентности события (р, 1) представляет
собой график функции о(р, Г) по переменной /(р-параметр). Однако

1-н(г-р), если^>р;

u(p,/) = v(r-p) = ] 1

если'<л

Таким образом, если сдвинуть график функции v(t), приведенный
на рис. 3.4, нар единиц вперед, то получим графическое представление
(геометрию) класса эквивалентности единичного события (р, 1), изоб-
раженное на рис. 3.6.
Следовательно, все события, лежащие на графике, эквивалентны
единичному событию и, значит, эквивалентны друг другу. Естественно,
что класс эквивалентности события (р, С) получается умножением
класса эквивалентности единичного события, на константу С. Таким
образом, графически это будет означать умножение графика, описыва-
ющего класс эквивалентности события (р, I), на константу С. Меняя С,
получим различные классы эквивалентности. Таким образом, вся плос-
кость разбивается на классы эквивалентности, изображаемые кривы-
ми, подобными графику функции v(t). Это разбиение (рис. 3.7) пред-
ставляет геометрическое описание или «портрет» отношения эквива-
лентности событий в схеме простых процентов.

Из-за неоднородной (склеенной) структуры этих кривых измене-
ние момента валоризации р приводит к изменению геометрической
структуры классов эквивалентности, т.е. при изменении р, как легко
видеть, класс эквивалентности не переходит снова в класс эквивалент-
ности, его элементы распределяются по разным классам, т.е. исходный
класс разрушается.

Отмеченное выше свойство неоднородности структуры класса эк-
вивалентности содержательно означает то, что только правый прямо-
линейный участок — луч, начинающийся в точке (р, С), является
реальной траекторией (фазовой кривой) процесса процентного накоп-
ления в схеме простых процентов. Левый, криволинейный участок,
лежащий левее точки валоризации р, не соответствует никакому реаль-
ному процессу накопления. Если взять некоторое событие (г0, Со),
лежащее на этом участке (Г < р) графика, то график процесса будет
(рис. 3.8) лучом с началом в этой точке и проходящим через эквивален-
тную ей точку (р, С).
Поэтому операторы приведения РИ (в частности, РИ), применяе-
мые к одному и тому же событию, не обязательно порождают
последовательность событий, лежащих на одной и той же траектории
процесса (с фиксированной ставкой). Тем не менее проведенные выше
рассуждения позволяют определить специальную модификацию опе-
раторов приведения, которая позволяла бы «двигаться» вперед и назад
вдоль некоторой фиксированной траектории.

Относительные (полюсные) преобразования финансовых событий
в схеме простых процентов. Введенное выше отношение эквивалентно-
сти событий относительно полюса р позволяет ввести так называемое
относительное преобразование (приведение) событий (см. § 1.5).

В самом деле, пусть события.//, С) и (т, V) эквивалентны относи-
тельно полюсар:

Используя обобщенный коэффициент приведения (дисконтирова-
ния) у(/, р), можно записать условие эквивалентности этих событий
в виде

Су(/,р) = Ки(т,Д

откуда получаем

(3.24)

Поскольку v(t, р) определено и отлично от нуля для всех /, р, то на
равенство (3.24) можно смотреть как на определение некоторого пре-
образования событий:

Г = ^>(С,) = С,ф^. (з.25)

Оператор PV^\ преобразующий события (/, С) в событие (т, И),
называют относительным оператором текущей стоимости или опера-
тором приведения относительно полюсар. Конкретный вид оператора
относительного приведения зависит от взаимного расположения трех
моментов времени: /, д, т, участвующих в его определении. Всего
возможно 3! = 6 различных упорядочений этой тройки. Мы не будем
выписывать соответствующие явные формулы. Читатель это легко
сделает самостоятельно. Приведем лишь один вариант формулы (3.25)
для случаяр < / < т. В этом случае очевидно, что
^,=С,

1 + /(т- р)
!+/(?-?)

Аналогично получаем и другие конкретные варианты формулы (3.25).

Смысл этого оператора прост, он заменяет (при заданном т) собы-
тие (г, С) на эквивалентное ему относительно полюсар событие (г, И).

Поскольку коэффициент и(т,р) является самосопряженным, т.е.

то равенство (3.25) можно переписать в виде

Ит=С^(/,р)у(р,т)

или в эквивалентном операторном виде

К = />и«”(с,)=/’к(ркг(с,)).

Таким образом, относительный оператор приведения представляет
собой композицию двух обычных операторов приведения

PV^} = PV^ РРр.

Иными словами, событие сначала преобразуется к полюсу, а затем к
точке приведения т.

Нетранзитивность финансовых законов в схеме простых процентов
не позволяет заменить эту композицию одним оператором приведения
РК, иначе говоря, этот оператор не «поглощает» оператор РУ приведе-
ния кполюсур. Как показано (см. § 1.5), транзитивные законы облада-
ют свойством поглощения, т.е.

p^apf/f=p^,

так что для них относительный и обычный операторы приведения
совпадают. Это свойство выполняется, например, для схемы сложных
процентов, что делает ее существенно более простой (как это ни
парадоксально звучит), чем схема сложных процентов.

Оператор относительного преобразования допускает простую ин-
терпретацию для процесса накопления по простым процентам, если
в качестве полюса р взять начальный момент времени Г((. В этом случае
дляг > го получим i А
т.е. событие (7, С) сначала приводится (дисконтируется) к начальному
моменту ?0, а затем — к некоторому другому моменту времени т. Таким
образом, оператор приведения РК^ относительно начального момен-
та tQ преобразует (связывает) состояния, лежащие на одной траектории
процесса с началом в /. Этот оператор действует «вдоль траектории»
процесса.

Пример 3.8. Рассмотрим накопительный счет, открытый в момент времени Г(1 = 0.
Процентная ставка i по вкладу равна 20% годовых. Известно, что к концу третьего года
сумма вклада составила .#1600. Найти сумму вклада в конце: а) 2-го; б) 5-го годов.

Решение. Поскольку речь идет о конкретном вкладе, то решение легко получает-
ся с помощью относительного оператора текущего значения:

a) S2 = PV2° (53) = 1600 1+0’2t2~°) = 14СЮ(.J?);

2 2 ' 37 1 + 0,2(3-0) ' 7

fl/ , l + 0,2(5-0) , Л

б) S, = PV> (S,) = 1600--4---( = 2000 .#) .

5 5 k j7 1 + 0,2(3-0) v 7

Пример 3.9. Вкладчик за 2 года накопил при ставке 20% годовых .#210. На сколь-
ко увеличится вклад за следующие 3 года?

Решение. Пусть начальный момент времени выбран нулевым. Тогда по условию

S2 = .#210.

Ясно, что начальная величина вклада

210

Тогда через 5 лет (2 + 3 года) сумма вклада составит

55 = 150(1 + 0,2-5) = 300( :#).

Таким образом, за последние 3 года вклад возрастет на сумму

# - 5, = 90( .#).

Этот результат можно было бы получить сразу, найдя проценты, начисленные за
последние 3 года. Они составят

13 = 150-0,2-3 = 90(.#),
т.е. те же .#90. Конечно, было бы ошибкой находить их умножением ставки за 3 года

= 0,2-3 = 0,6

на сумму S2, которая кроме начального капитала содержит и проценты за первые 2 года.
Напомним, что в схеме простых процентов начисление процентных сумм осуществляет-
ся только на начальную величину капитала (долга и т.п.).

Финансовые потоки в схеме простых процентов. Перейдем теперь
к анализу денежных потоков в рамках схемы простых процентов. Рас-
смотрим сначала операцию приведения потока к заданному полюсу.
Простейший вид такой операции — так называемое формальное при-
ведение (см. § 1.5) потока, являющееся просто линейным продолжени-
ем операции приведения отдельных событий.

Определение 3.4. Пусть

— финансовый поток. Тогда стандартным приведенным к полюсу р
значением потока, обозначаемым через PVp(CF), называется сумма
приведенных к полюсу р значений событий, составляющих этот поток:

Приведенное значение потока называют также текущим значением
или текущей стоимостью относительно полюса р, а оператор приведе-
ния РИ — оператором текущей стоимости.

Конкретный вид стандартного приведенного значения зависит от
положения полюса р относительно критических моментов потока.
Так, при

получим
т п

(3‘26)
k-\ fc=m+l 1 “ г)

Временная диаграмма операции приведения потока изображена на
рис. 3.9.

-I-------------1-----------------------------1-------------1------------1----------------------------ь

^2 Сп Р ^т+1

Рис. 3.9

Пример 3.10. Для потока

CF = {1, 100), <2, —200), (3, 100), (4, -120), (5, 700)}

Найти стандартную текущую стоимость в точке р = 3 относительно ставки i = 20%.

Решение. Используя формулу (3.26), имеем

РК(СР) = 100(1 + 0,2-2) -200(1 + 0,2) + 100 —— + - 7— = 400.

л к ' к ! 1 + 0;2 1 + о,2-2
В частности, когда полюс следует за всеми критическими момента-
ми потока, т.е.

стандартное приведенное значение называют также будущим стандар-
тным значением или стандартной будущей стоимостью. В этом случае
оператор приведения РИ записывают как/У :

ЛУр(с/-)=£сД1+(Р-г1)).

к=1

На практике часто встречается и двойственный случай, когда полюс
предшествует всем критическим моментам потока, т.е.

Тогда говорят о стандартной дисконтированной (текущей, сегодняшней)
стоимости потока и пишут

" С

DF(CF)^T Р v

1 S1+(W)

На этом закончим изложение стандартной схемы простых процен-
тов. Здесь мы ограничились в основном анализом лишь отдельных
событий и ввели только одно понятие, касающееся финансовых пото-
ков. Однако финансовые потоки естественным образом появляются в
анализе кредитных операций и играют очень важную роль. Ниже мы
рассмотрим финансовые потоки более подробно сначала содержатель-
но в рамках так называемых моделей с переменным капиталом, а затем
с более общей точки зрения.

Вопросы w упражнения

1. Укажите, что общего и в чем различие между формулами простых процентов для
моделей индивидуальной сделки, простого класса сделок и накопительного счета.

2. Укажите три интерпретации нормированной процентной ставки в схеме простых
процентов.

3, Какой вид имеет траектория состояний накопительного счета в схеме простых
процентов? Могут ли пересекаться эти траектории для вкладов с различными начальны-
ми условиями; а) если моменты открытия счета совпадают? б) если моменты открытия
счета различны?

4. Определите основные операторы преобразования (приведения) событий в схеме
простых процентов. Выпишите выражение для общего коэффициента дисконтирования.

5. Опишите геометрическую структуру классов эквивалентности финансовых событий

6. Опишите стандартную схему простых процентов.
7. Дайте определение оператора относительного приведения. Запишите его пред-
ставление в виде композиции обычных операторов приведения и докажите, что он
обладает свойством поглощения.

8. Дайте определение стандартного текущего значения потока платежей относитель-
но полюсар в схеме простых процентов.

Задачи

1. Найти накопленное значение суммы J?500 за 1 мес. для годовой простой
процентной ставки 24%.

2. Найти обычные и точные простые проценты за 90 дней для вклада .#800 по ставке
15% годовых в невисокосном году. Правило АСТ/360.

3. Фирма внесла в коммерческий банк г#8 млн на срок с 9 ноября по 21 ноября того
же года. На вклады «до востребования»? банк начисляет простые проценты — 36%
годовых. Определите наращенную сумму. Правило АСТ/365.

4. Каков размер вклада, если накопленная сумма за 6 мес. при годовой простой
ставке 5% равна .#2050?

5. Для события (3, 500) в годовой шкале найти эквивалентные ему события
в моменты 0; 2; 9 относительно полюса 2 и простой процентной ставки, равной 20%
годовых.

6. Инвестор открывает накопительный счет в банке. Простые проценты за 9 лет
составили :#97 200, а сумма вклада на конец 9-го года в два раза превышает сумму вклада
на конец 3-го года. Какая сумма была инвестирована и какова годовая процентная
ставка?

7. При какой простой процентной ставке текущая стоимость двух выплат по .#200
в конце каждого из двух лет равна текущей стоимости одной выплаты в .#500 в конце
2-го года?

8. Для потока

СЕ = {(1,100), (3, -500), (5, 200)}

в схеме простых процентов найти стандартные текущие значения для моментов 0, -1,3,
4, 5, относительно нормированной ставки 20%.
Глава 4. Модели с переменным капиталом в схеме
простых ПРОЦЕНТОВ

Анализируя модель накопительного счета (см. гл. 3), мы рассматрива-
ли лишь один счет. На практике, конечно, вкладчик может открыть не
один, а несколько счетов в одном или разных банках и в разные
моменты времени.

Также во всех приведенных выше моделях простых кредитных
сделок, в частности в модели накопительного вклада, величина инвес-
тируемого капитала считалась неизменной, хотя в реальной жизни
происходят как довложения денег на счет, так и их изъятия в различные
моменты времени.

Оба эти случая объединяются тем, что начиная с некоторого момен-
та времени после начального момента меняется сумма денег, на
которую происходит начисление по схеме простых процентов. Следо-
вательно, для финансового анализа этих случаев уже нельзя применять
непосредственно модели, рассмотренные в предыдущей главе.

Строгое описание методов анализа соответствующих этим случаям
финансовых схем приводит фактически к моделям с переменным
капиталом в схеме простых процентов. Формализация таких моделей
и их детальный анализ и является целью настоящей главы.

4.1. Модель мультисчета в схеме простых процентов

Если вкладчик открывает несколько срочных вкладов, то он иници-
ирует несколько одновременных кредитных сделок. С точки зрения
банка, открытие вкладов различными вкладчиками также есть некото-
рое семейство сделок.

Каждая из таких сделок или отдельный накопительный счет могут
анализироваться с помощью описанных в предыдущих параграфах
методов. Однако будет естественным желание получить некоторые
обобщенные (интегральные) характеристики семейства сделок или
счетов. Так, вкладчика, открывшего несколько счетов, может интере-
совать вопрос об общей сумме накоплений на этих счетах. Точно так же
инвестору, желающему приобрести портфель государственных крат-
косрочных облигаций (ГКО) с заданными сроками погашения, напри-
мер для обеспечения тех или иных будущих платежей, необходимо
знать величину требуемого капитала, те. стоимость такого портфеля.

В простейшем случае способ построения такой модели сводится
к перечислению всех сделок, счетов, ценных бумаг и т.д. с одновремен-
ным указанием их временных и финансовых характеристик, необходи-
мых для определения одной или нескольких обобщенных показателей.

Говоря о наборе или семействе объектов, математики часто называ-
ют их векторными объектами или векторами. Для задания вектора
необходимо указать все его компоненты или элементарные составляю-
щие и порядок их следования. Тогда открытие п накопительных счетов
описывается вектором их начальных состояний

где финансовое событие заДает начальное состояние &-го

счета; здесь и ниже для упрощения записи используется обозначение
ей) _ ей)

° О —

Векторную модель для конечного набора накопительных счетов
назовем моделью мультисчета, а отдельные счета, составляющие муль-
тисчет, т.е. его компоненты, — субсчетами.

Таким образом, начальное состояние мультисчета представляет со-
бой просто дискретный финансовый поток. В принципе в качестве
начального состояния может быть взят любой поток CF:

В этом случае говорят, что мультисчет порожден потоком CF.

Ниже более подробно рассмотрим именно эту модель. Однако
термин «модель мультисчета» будем применять и в более общей ситуа-
ции, говоря и о других семействах кредитных сделок, в частности при
формировании портфеля ценных бумаг инвестором, кредитного порт-
феля банком и т.д.

Возвращаясь к собственно модели мультисчета, заметим, что дина-
мика финансового процесса, связанного с субсчетом к (к = 1,2,..., л),
описывается основной формулой простых процентов:

= = t>t^. (4.1)
Кроме того, начальный момент, начальная сумма и, что наиболее
существенно, процентная ставка могут быть различными для различ-
ных субсчетов.

Возникает вопрос: в каком смысле можно говорить о состоянии
мультисчета в данный момент времени? На первый взгляд это просто
вектор, компоненты которого являются состояниями субсчетов, а имен-
но вектор

5,=(5'|)Л,|2|>...,У"1).

Однако есть некоторая тонкость, связанная с тем, что, строго говоря,
состояние &-го субсчета определено только для моментов времени
Г > I Поскольку начальные мбменты у различных субсчетов различ-
ны, то заранее неясно, для каких t считать определенным вектор
состояний.

Один из способов разрешения этой коллизии состоит в так называ-
емом тривиальном расширении — приеме, часто используемом в мате-
матике и ее приложениях. Будем считать состояния субсчетов всюду
определенными, принимая, что субсчет к — нулевой до момента его
открытия {к = 1, 2,..., п). Тогда в качестве нового состояния субсчета к
примем

Sy = f' Р ° ’ (4.2)

|0 при/сГ**1.

В этом случае становится корректным определение состояния мульти-
счета как вектора

К — ( )

для любого момента времени. Тогда с учетом (4.1) и (4.2) векторная
динамика мультисчета будет описываться системой уравнений

J \ '° /) ПрИГ__Л0 ,

(4.3)

О npn/</J*\ к = 1,2,...,п.

Описав состояния мультисчета и динамику его изменения, введем
те обобщенные характеристики, с неформального определения кото-
рых начался этот параграф.

Назовем полной величиной или полной суммой мультисчета в момент
времени г сумму состояний его субсчетов:
п

Sr=W- (4-4)

Л=1

Полная величина (сумма) мультисчета (или коротко полный счет)
в каждый момент времени характеризует общую сумму накоплений
инвестора, открывшего эти счета.

Из (4.3) и (4.4) очевидно, что

S’ - У

Л ~~ 2^ °C ‘о //• (Л

П р и м е р 4.1. Пусть вкладчик в начале года открывает в первом банке накопитель-
ный вклад с начальной суммой Л 1 000 и ставкой 10% годовых, а в конце года во втором
банке вклад с начальной суммой .,/’2000 и ставкой 15% годовых. Какую сумму накопит
вкладчик через полгода? К концу 2-го года?

Решение. В данном случае имеем мультисчет, состоящий из двух субсчетов.
Выбирая за начало отсчета начало 1-го года, в соответствии с (4.3) получим систему
уравнений:

для динамики мультисчета:

5,01 =1000(1 + 0,1г)(Л), Г>0;

5/”=0, /<0;

5,12)=2000(1 +0,15(г-1))(.^), Г>1;

Ди=0, rd;

для полного счета:

5, =0, г<0;

< S,= 1000(1+0,1г)р)' 0<Г<1;

St = 1000(1 + 0,1г) + 2000(1 +0,15(г-1))(М ^1.

Таким образом, к концу полугодия полный счет составит

505 = 1000(1 + 0,1 • 0,5) - 1050(М
а к концу 2-го года

5, - 1000(1 + 0,1-2) + 2000(1 + 0,15-1) = 1200 + 2300 = 3500( Л1).

Понятие полного счета позволяет обобщить на случай финансового
потока определенную выше для отдельных событий операцию приве-
дения, связанную с капитализацией и дисконтированием и соответ-
ствующими им операторами будущего и текущего значений.

Рассмотрим поток финансовых событий

Cf = {(z„C,),(z2,C2),...>(/„,C.)}

и вектор процентных ставок Z = (/р /2, ..., ZJ.
Пусть т> tn — момент приведения, будущий по отношению
ко всем критическим моментам потока.

Будущим (накопленным к моменту т) значением мультисчета назо-
вем полное значение ST (полную сумму) мульти счета в этот момент
времени. Будущее значение мультисчета, порожденного потоком CF,
обозначим символом FKrmult(CF). Согласно (4.5) можно записать

*=1

где FVt(Ck) — будущее (накопленное) значение в момент т субсчета с
начальным состоянием (tk, Ck).

Заметим, что определение будущего значения зависит от вектора i
процентных ставок. Следовательно, строго говоря, оператор будущего
значения должен записываться в виде FVT (CF, i).

В частности, когда все ставки одинаковы, говорят о будущем значе-
нии относительно этой ставки. Именно этот случай и рассматривается
наиболее часто. Будущее значение мультисчета, порожденного пото-
ком CF, совпадает со стандартным будущим значением этого потока
в схеме простых процентов (см. § 3.4):

/У/111' (СГ) = /УГ(СУ).

Смысл описанной выше операции достаточно очевиден. Он полно-
стью характеризуется понятием полной суммы мультисчета и означает
замену распределенных по времени сумм единственной, финансово-
эквивалентной им суммой, относящейся к некоторому будущему мо-
менту времени т.

Наконец, используя определенный в предыдущей главе общий
оператор текущего значения, можно определить текущее значение
мультисчета, порожденного потоком CF, формулой

Отметим, что момент приведения т в принципе произволен, т.е.
может как предшествовать моменту f, к которому относится сумма Ск
из потока CF, так и следовать за ним.

Как мы помним,
СД1-нДт-Г*)), еслит>/Л;

если г < tk.

Таким образом, если момент приведения т удовлетворяет условию

*1 <^2 <"<Ср

то

к "С

(СГ) = £С,(1+/,(т-ф Zt—A-v. (4.6)

>1 У=*+11+/ДГ; ~TJ V '

Чаще всего (4.6) используется для момента приведения т, предше-
ствующего всем моментам событий потока. В этом случае

РУ* (CF)=^ —%--------г. (4.7)

Это значение часто называют дисконтированным значением денежного
потока CF.

В случае совпадения ставок — i2~ ... = i = i, как и для будущего
значения, текущее значение мультисчета, порожденного потоком CF,
совпадает со стандартным текущим значением этого потока в схеме
простых процентов:

py^(CF} = PVt(CF\

Такая операция дисконтирования используется, в частности, для
нахождения текущей стоимости портфеля долговых обязательств, на-
пример облигаций, векселей и т.д. Так, с ее помощью решается задача о
сумме инвестиций, необходимых для обеспечения потока платежей,
порождаемого выплатами номинала облигаций, погашаемых в момен-
ты tk потока.

Пример 4.2. Пусть на рынке имеются два типа облигаций с номиналом .#1000
и погашением в точности через год и через два года. Предположим, что инвестор желает
обеспечить себе поток доходов в .#3000 в конце 1-го и .#5000 в конце 2-го годов. Какую
сумму должен вложить инвестор в портфель облигаций, если ставка 10% годовых (для
любого срока)?

Решение. Искомый портфель состоит из трех годовых и пяти двухлетних облига-
ций и дисконтированная (т.е. приведенная к начальному моменту) стоимость портфеля

РУ = 3000 + 5000 = 2727,27 + 4166,67 = 6893,940?).

° 1 + 0,1-1 1+0,1-2 '
Интерпретация общего вида приведения (4.6) более трудна. Фор-
мально, как и частные случаи будущего и дисконтированного значе-
ний, общее выражение позволяет заменить поток событий (платежей)
одним «эквивалентным» событием (суммой) относительно заданного
семейства ставок (или одной ставки).

Содержательный смысл как самой операции, так и замещающего
поток события неочевиден. Однако такое приведение часто использу-
ется при так называемой реструктуризации кредитных контрактов.
Более подробно об этом будет сказано при обсуждении схем погаше-
ния долга. Сейчас отметим лишь факт наличия некоторой формально
корректной процедуры приведения финансовых потоков, описывае-
мой обобщенным оператором Текущего значения. С математической
точки зрения этот оператор есть линейный оператор на классе денеж-
ных потоков, т.е. для него должны выполняться следующие легко
проверяемые свойства:

PHrmu,t +CF2) = PV™* (CF}) + РИГ” (CF2) (4.8)

РГг"'“" (aCF) = aPrtm“" {CF), (4.9)

где а — любое действительное число.

Использование векторной структуры в модели мультисчета подра -
зумевает взаимную независимость субсчетов. Суммирование состояний
этих счетов при определении обобщенной, интегральной характерис-
тики мультисчета и соответствующей ей операции приведения (капи-
тализации и дисконтирования) — лишь один из способов перехода от
анализа отдельных событий (сумм) к их потокам. Такой подход умес-
тен, когда описываемые сделки и вместе с ними и участвующие в них
суммы не связаны между собой, как это есть, например, в случае
портфеля долговых активов (облигаций, вкладов и т.д.). Однако на
практике нередко встречаются случаи, когда такой независимости нет.
Например, когда в рамках одной-единственной сделки рассматрива-
ются сразу несколько сумм.

В § 1.5 оператор приведения РИ, полученный линейным продолже-
нием, т.е. простым суммированием текущих стоимостей отдельных
событий, для моделей, в которых отсутствует «независимость» отдель-
ных сумм потоков, назван формальным оператором приведения. Таким
образом, для таких моделей термины «стандартный» и «формальный»
являются синонимами.
4.2. Бинарные модели

Ниже мы рассмотрим более общие модели накопительных счетов,
позволяющие довложения (т.е. дополнительные инвестиции), приво-
дящие к увеличению инвестируемого капитала. С другой стороны, для
некоторых счетов допускается изъятие суммы со счета. Если случай
довложения анализируется достаточно просто, то изъятие суммы с
накопительного счета приводит при анализе состояния вклада к опре-
деленным трудностям. Разберем отдельно случаи довложения и изъя-
тия капитала.

4.2.1. Довложения капитала

Пусть вкладчик открывает накопительный счет на .4? 1000 под 10%
годовых. Для простоты расчетов полагаем, что /0 = 0. Если через год он
вносит дополнительно 9?,1000, то какова будет сумма вклада через
2 года? Трудность этой задачи или, скорее, ее необычность состоит
в том, что проценты на 2-й год должны начисляться и на дополнитель-
ный взнос. Решение поставленной задачи может быть осуществлено
двояким образом.

С одной стороны, можно рассматривать внесение дополнительной
суммы как открытие нового счета с той же процентной ставкой. Это
приведет к модели мультисчета, описанной в предыдущем параграфе.
Начальный и новый счета тогда можно рассматривать как два субсчета
одного общего счета (мультисчета} инвестора. В таком случае понятие
«сумма счета через 2 года» будет относиться именно к этому общему
счету. Дальше все просто. Накопленная стоимость начального счета
к концу 2-го года

= 1000(1 + 0,1- 2) = 1200(Л);

накопленная сумма по новому (открытому в конце 1-го года) счету
составит

5,01 = 1000(1 + 0,11) = 1100(J?).

Здесь верхние индексы 0 и 1 в скобках обозначают состояния соответ-
ственно начального и нового счетов.

Тогда к концу 2-го года общая сумма на обоих счетах, т.е. сумма
общего счета,

5, = 5)” + S'" = 1200+1100 = 2300(.#).
В модели мультисчета счета, открываемые отдельными взносами,
рассматриваются как независимые. Полная сумма на общем счете
получается сложением соответствующих сумм на отдельных субсчетах.
Таким образом, п последовательных вложений дадут празличных счетов.

Однако такая модель, вообще говоря, непригодна при работе с од-
ним счетом, и именно этот случай имеется в виду, когда говорят
о довложении или изъятии средств. Поэтому ниже рассмотрим модель,
формализующую операции с одним и тем же накопительным счетом.
В этой модели наиболее четко и явно представлено основное свойство
схемы простых процентов, состоящее в том, что проценты за период
начисляются лишь на основной (инвестированный) капитал, так что
проценты на проценты предыдущих (прошлых) периодов не начисля-
ются. Это свойство естественным образом требует разделения накопи-
тельного счета на две компоненты: основной счет (счет капитала),
который определяется только вносимыми суммами, и процентный
счет, учитывающий начисленные на инвестированный капитал про-
центы. При этом сами проценты вычисляются и накапливаются после-
довательно по периодам от одного вложения до следующего. Поясним
это на том же примере.

Обозначим через Pt сумму на основном счете к моменту времени Л
Вначале она равна ,+ ЮОО, т.е.

PQ = 1000(.^).

К концу 1-го года на основной счет будут начислены проценты за год:

/: = /([О, 1]) = 1000-0,1 1 = ЮО(^).

После дополнительного взноса сумма на основном счете станет

Р' = 2000( Я),

и именно на эту сумму будут начислены за 2-й год проценты

/([1,2]) = 20000,1-1 =200(1#).

Полная сумма процентов за 2 года составит

/2 = /([0, 2]) = /([0, 1]) + /([1,2]) = 100 + 200 = 300(1+?).

Учитывая сумму основного счета и начисленные за 2 года процен-
ты, получим

S2 = P} + 12 = 2000 + 300 = 2300 (1#),
т.е. тот же результат, что и при мультисчете.
Рассматривая проценты, начисленные за определенные периоды
времени, мы в качестве промежутков брали открытые справа полуин-
тервалы вида [а, Ь). Проценты за период зависят только от длины
промежутка, но не от конкретного его вида, т.е., очевидно, что для
любых t2 > t} > tQ проценты за период от до t2 равны:

I ([А ’ ^2])= I ([а ’ G))= ^((A’^i)) = I ((б Тз]) ~ ,

где Р, — состояние основного счета в момент и Т= t2 - tv При этом
предполагается, что в период t2) не было никаких вложений или
изъятий капитала. Строго говоря, для процентных периодов следовало
бы использовать полуоткрытые слева промежутки (см. § 1.2). Одна-
ко в силу отмеченного выше равенства выбор конкретного типа про-
межутка несуществен, и мы будем использовать замкнутые промежут-
ки (отрезки).

Модель разделения на основной и процентный счета. Перейдем теперь
к общему описанию второй накопительной модели, которую назовем
бинарной моделью. В этой модели текущее состояние счета Sf определя-
ется состояниями Р' основного и / процентного счетов, а именно

S = P + (4.10)

Процентный счет дает общую сумму процентов, начисленных за
весь период от начального tQ до текущего t момента:

/, = /(М1) = /(^). (4.11)

На состояние основного счета влияют лишь дополнительные взносы
Ск, при этом

^=1^, t>t„, (4.12)

k-lk<t

а состояние процентного счета определяется суммой процентов, на-
численных за критические промежутки до момента t и за остаток
времени от момента последнего взноса до текущего момента t. Таким
образом, если t — момент последнего взноса, предшествующий мо-
менту то

Л ~ ( Jj-\ ’ ({Л ’ ^]) ’ (4.13)

/=1

причем

= 7=1,2,...,/: (4.14)

и
'([ММД'-'Л (4.15)

Проиллюстрируем на примере применение модели мультисчета
и бинарной модели.

Пример 4.3. Инвестор в начале года открывает накопительный счет суммой
.^1000. Затем в течение 10 лет в конце каждого года вносит дополнительно по ?7?И)0.
Какая сумма будет на счете инвестора через 10 лет, если процентная ставка по счету —
10% годовых?

Решение. Решим задачу двумя способами. Используем сначала модель мультисчета.

Взнос, сделанный вначале в момент времени tQ = 0, через 10 лет увеличится до
sff = 1000(1 + 0,1 10) = 2000(т?).

Взнос в J? 100, сделанный в конце £-го года, вырастет к концу 10-го года до

3) = (СЛ) = /T)mod ((а , 5.), CF'),

Таким образом, в конце 10-го года полная сумма счета

5,0 = IX = ^>200° + '*l OOj £{1 + 0,1 (10 - А))
k=(i \ *--1 7

Преобразуя сумму в правой части последнего равенства, получим

£(1 +0,1(10-Л)) = 10 + 0,1^(10-А).

* = 1 t-Ч

Кроме того, имеем, что ]0 9

X = t J=t -

Таким образом,

5)0 = 2000 + 100(10 + 0,1 45) = 2000 + 1450 = 3450( 7?).

Решим теперь задачу, используя модель разделения счета на основной и процент-
ный, т.е, бинарную модель.

В начальный момент /() = 0 имеем

Рп = 1000(7?).

Проценты за 1-й год составят

/([0, I]) - 10000, И = 100(7?).

В конце 1-го года после взноса величина основного счета станет

Р, - 1100(7?),
а проценты за 2-й год, начисленные на эту сумму, составят

/([I, 2}) - 1100-0,1-1 = 110(7?).

Таким образом, состояния основного счета связаны рекуррентными соотношениями

Pt = PA4+.M00, к =1,2.10,
откуда следует, что

= .+100() + J?100£, £ = 1.2,..., 10.

Проценты за промежуток [к,к + IJ

I([k,k + 1]) - Р/0,1-1 = 0,1/;, £ = 0,1,..., 9.

Следовательно, в конце 10-го года на основном счете будет

Р|0 = 1000 + 100-10 = 2000( Ж
а на процентном

/1(| = / ([0,10]) = £/ ([£, к +1]) = 0,1]Г рк = 0,1£ (1000 +100£)= 1000+10^£ = I450(.Л’).

Суммируя оба счета, получим

Ло Ло + <0 - 3450( :х}.

Таким образом, получили тот же результат.

Несколько позже мы сформулируем общую теорему в терминах
потоков платежей, из которой эквивалентность двух подходов опреде-
ления полной суммы накоплений будет вытекать непосредственно.
Сейчас же перейдем к более тонкому вопросу об изъятиях (снятиях)
сумм с накопительного счета.

4.2.2. Изъятия капитала

Как и в предыдущем случае сначала разберем эту ситуацию на
конкретном примере.

Пусть вкладчик открыл счет с начальной суммой 000 и процент-
ной ставкой 10% годовых. Для упрощения расчетов снова примем, что
/0 = 0. Если по истечении года вкладчик снимет со счета г/1 200,
то какова будет сумма счета в конце 2-го года, если больше он никаких
действий (вложений или изъятий) не осуществлял?

Из условия ясно, что к концу 1-го года непосредственно перед
изъятием на счете будет

1000(1+0,1-1) - 1100(Э).

•Изъятие уменьшит счет на ^?200, т.е. на счете останется

Л = поо-200 = 900(:^>.

Теперь основной вопрос состоит в следующем. На какую сумму
Должны начисляться проценты за 2-й год? На первый взгляд ответ
очевиден: на оставшуюся часть вклада. В этом случае сумма счета
в конце 2-го года станет

52 = 900(1 + 0,1-1) — 990( .^?).
Однако требование начисления процентов на остаток в 9? 900 вносит
некоторую асимметрию по сравнению с добавочными взносами. Что-
бы увидеть это, дадим несколько другую интерпретацию изъятиям.
Пусть в конце 1-го года инвестор не снимает со счета 9? 200, а берет
кредит в другом банке на эту же сумму и под те же 10% годовых.
Подсчитаем теперь «баланс» вкладчика на конец 2-го года. Поскольку
теперь начальный вклад в первом банке не изменится, то к концу 2-го
года на счете будет

1000(1 + 0,1-2) = 1200(9?).

С другой стороны, на заем «набегут» проценты и вкладчик будет
должен второму банку

200(1 + 0,1-1) = 220( да).

Тогда после снятия денег со счета для оплаты расходов по кредиту
у вкладчика останется

1200-220 = 980(9?).

Как мы помним, начисление процентов на остаток даст инвестору
в итоге 9?990, что на .Л’ 10 больше, чем вариант с кредитом!

Легко видеть, что вариант с кредитом (вместо изъятия) полностью
аналогичен рассмотренному выше случаю с дополнительными взноса-
ми, если изъятия трактовать как займы. С формальной точки зрения
это просто модель мультисчета, в которой первый платеж, открываю-
щий счет, имеет положительное значение, а изъятие трактуется как
«отрицательный платеж». Общий итог этих действий будет описывать-
ся результирующим накопленным (будущим) значением мультисчета,
состоящего из двух субсчетов:

S2 = 1000(1 + 0,1-2)- 200(1 + 0,1-1) = 980(9?).

Модель с основным и процентным счетами также не нуждается
в корректировке, если только под изъятием понимается уменьшение
основного счета (счета капитала). Именно здесь и разрешается упомя-
нутое выше «противоречие». В самом деле, если считать, что 9? 200,
снятые в конце 1-го ro&a, уменьшили лишь основной счет, то мы получим
последовательно

Ро= 1000(9?)
и

Р, = 800(9?).

Проценты за 1-й год тогда составят
/([О, 1]) = 100(9?),
аза 2-й

/([1,2]) = 80(9?).

Это в сумме дает 9? 180, а вместе с основным счетом в точности

800 + 180 = 980(9?),

что совпадает с результатом для случая кредитного изъятия.

Таким образом, изъятия для накопительной модели в схеме простых
процентов — процедура тонкая. Поскольку суть простых процентов
состоит в том, что они начисляются лишь на инвестируемый капитал,
а ранее начисленные проценты при этом начислении не учитываются,
то такая схема заранее предполагает раздельный учет инвестиций
(вкладов, взносов и т.п.) и начисленных на них процентов. Поэтому
при добавлении и снятии сумм необходимо указывать счета, на кото-
рые зачисляются или с которых снимаются денежные суммы. Если
внесение дополнительных сумм неестественно зачислять на «процент-
ный счет», то для снятия сумм ответ далеко не однозначен.

На практике банки часто периодически выплачивают проценты по
вкладу. Такие выплаты не меняют основной счет (начальный вклад),
но при каждой выплате «обнуляют» процентный счет. В нашем приме-
ре уменьшение за счет снятия ЗА. 200 наращенного за год значения
'9? 1100 до 9? 900 равносильно снятию .9? 100 с процентного и 9? 100
с основного счетов. Таким образом, основной счет уменьшается лишь
на ЗА. 100, а не на 9? 200, как при «кредитном снятии» в модели
мультисчета.

Различие между изъятиями лишь с основного счета и изъятиями,
затрагивающими процентный счет, весьма существенно. Пусть в усло-
виях нашего примера с начальным счетом в ЗА 1000 и ставкой 10%
годовых ежегодно снимается 9? 100. Если это изъятие лишь с процент-
ного счета, то основной счет не меняется и может существовать сколь
угодно долго (пока выполняются упомянутые условия). Если же изъя-
тия осуществляются с основного счета, то он ликвидируется (обнуля-
ется) за 10 лет, а процентный счет при этом достигает наибольшего
значения и больше не меняется.

Возвращаясь к последнему примеру с изъятием суммы ЗА 200 в
конце 1-го года, заметим, что расхождение в 9? 10 между двумя спосо-
бами вычисления состояния счета в конце 2-го года обусловливается
разными способами определения суммы, на которую начисляются
проценты.
В первом случае (начисление процентов на остаток счета), по
существу, подразумевается, что начисление производится на остаток
полного счета 5 включающего и проценты, так что начисление на
.У 900 оставшихся после изъятия .#200 с накопленной суммы #1100
только на первый взгляд можно считать начислением на остаток
основного счета. Обычно в подтверждение того, что это — начисление
на остаток основного счета, ссылаются на то, что первые 'М100 пошли
на погашение процентов (и тем самым процентный счет становится
нулевым), а остальные :# 100 уменьшают основной капитале .#1000 до
#900. Утверждать это — фактически означает, что принято вполне
определенное правило вычисления остатка основного счета, состоя-
щее в том, что при изъятии сумм сначала уменьшается процентный
счет, азатем основной. Однако для изъятий, размер которых не превы-
шает величину накопленных процентов, это сразу же приводит к
различию между полным и основным счетами.

Допустим, что инвестор снял со счета ?#50, а не #200. Тогда, следуя
указанному правилу, «в остатке» получим #1000 основного и #50 про-
центного счетов. Ясно, что начисление на остаток в #1050 полного
счета означает не только начисление на дд 1000 основного счета, но и на
.#50 процентного, т.е. начисление процентов на проценты. Это проти-
воречит самой схеме простых процентов и фактически приводит к ис-
пользованию сложных процентов. Оставаясь в рамках простых процен-
тов и используя способ разделения счета на основной и процентный,
согласно этому правилу, проценты придется начислять лишь на .#1000
основного капитала. Такое утверждение можно сформулировать в об-
щем виде как принцип простых процентов. В формализованном виде его
можно записать в виде равенства

I[f, t + Г] = P,iT, (4.16)

означающего, что проценты за любой период времени |Л t + 7] начис-
ляются (при отсутствии промежуточных поступлений или изъятий)
только на основной счет Pf и никак не зависят от накопленных до начала
периода процентов, т.е. от величины It.

Коммерческое и актуарное правила. Итак, обычное утверждение
о том, что простые проценты подразумевают начисление лишь на
основной капитал, в общем случае неполно, поскольку ничего не гово-
рит о способе определения величины основного капитала при вложе-
ниях и изъятиях. На практике чаще всего используются два способа
определения величины (или сальдо) основного счета.
Первый способ все внешние операции (т.е. вложения и изъятия)
относит только к основному счету, а процентный счет при этом не
изменяется. Это правило обычно называют коммерческим. Оно сохра-
няет полную симметрию между взносами и изъятиями. При этом
динамика счета полностью описывается уравнениями (4.10) - (4.15).

Второе правило совпадает с коммерческим при взносах, но изъятие
всегда начинается с процентного счета, а основной счет уменьшается
лишь на превышение изымаемой суммы над процентной. Это правило
разрушает симметрию между взносами и изъятиями. Его называют
актуарным правилом или правилом США (USA-rule). В этом случае
уравнения (4.10) — (4.15) корректно описывают динамику модели
только при условии неотрицательности начального состояния Д,
и всех элементов Ск входного потока. Иными словами, речь идет только
о довложениях. Изъятия приводят к другим соотношениям для основ-
ного и процентного счетов. Точные формальные правила как для
вложений, так и изъятий будут получены ниже.

С изъятиями связана еще одна сложность. Что делать, если снимае-
мая сумма больше основной для коммерческого правила или полной
для актуарного правила? С формальной точки зрения, конечно, ника-
ких трудностей нет. Провести все вычисления можно, если допустить
отрицательные значения для основного, процентного и полного сче-
тов. Труднее их содержательная интерпретация. Фактически измене-
ние знака основного счета означает изменение ролей участвующих
в сделке лиц. Вкладчик (кредитор), снимая со счета сумму большую,
чем остаток счета, становится должником (дебитором) банка. На прак-
тике такая возможность реализуется в так называемом контокоррент-
ном счете. Такой счет позволяет владельцу иметь временный отрица-
тельный баланс (овердрафт). Однако процентная ставка, которая в
этом случае становится для банка ставкой по кредиту, обычно больше,
чем ставка по положительному балансу, т.е. депозитная ставка.

Ниже ради простоты рассмотрим лишь модели, в которых обе
ставки (кредитная и дебетовая) совпадают. Такие модели обычно назы-
вают симметричными (относительно процентной ставки).

Работа с контокоррентными счетами означает, строго говоря, отход
от интерпретации модели счета с переменным капиталом как накопи-
тельной модели. С более общей точки зрения можно допускать для сче-
тов состояния любого знака, т.е. рассматривать наравне с накопитель-
ными и ссудные счета. Для ссудных счетов изъятия интерпретируются
как взятие дополнительной ссуды. В этом случае с ними нет проблем,
тогда как внесение средств на счет (довложение) означает погашение
долга, а оно приводит для ссудного счета к тем же проблемам, что изъя-
тие средств с накопительного счета. В дальнейшем будем работать с
любыми счетами, поэтому прилагательное «накопительный» будем, как
правило, опускать и говорить просто о счете с переменным капиталом,
фонде и т.п. Такие счета будут порождаться произвольным потоком
платежей

CF= {(Го, Со), (/„ С,),С)},

в котором начальное событие означает открытие счета в момент t
с начальной суммой (вклада или ссуды) Со, а остальные события пред-
ставляют внешние действия со счетом, т.е. дополнительные вложения
или изъятия средств со счета.

В дальнейшем для простоты модель счета с переменным капиталом
в схеме простых процентов, состояния которого определяются соглас-
но коммерческому правилу, назовем коммерческой моделью. Аналогич-
но модель, для которой состояния счета определяются по актуарному
правилу, — его актуарной моделью.

Формально состояние счетов (основного, процентного и полного)
для коммерческой модели описывается уравнениями (4.10) — (4.15).
Исходя из этих уравнений теоретически обоснуем ранее упоминав-
шийся и численно подтвержденный факт, сущность которого в том,
что величина полного счета в момент t в коммерческой модели должна
совпадать с будущим значением (усеченного до этого момента) потока
платежей, связанного с данным счетом, в модели мультисчета. Сфор-
мулируем это утверждение в виде теоремы и докажем ее.

Теорема 4.1. Пусть счет порождается потоком платежей

СГ={(Г0,С0),(/1,С1),...,(Гя,С)}

и процентной ставкой /. Кроме того, пусть P(Z) и I(t) суть состояния
основного и процентного субсчетов в момент Z, а

ад = P(t) + /(/)

есть состояние счета в этот момент времени. Тогда при коммерческом
правиле определения состояния счета

5(/) = Я<(СТ|,)

для любого момента t > tQi где

/T(CF|,)= XG(i+/(/-rt))
есть стандартное накопленное к моменту t значение начального отрез-
ка CF\t потока платежей CF, а в отрезок CF|r входят лишь те платежи,
которые делались до момента t (включительно).

Доказательство. Обозначим через

P-P{tk), S=S(tk), Ik = I(tk)

состояния счетов в критические моменты времени tk. Положим также

4 = = (4.17)

где Jm — проценты за критический промежуток [tm_ j, tj; Т =t —t —
длина этого промежутка.

Очевидно, что

7=1

Далее пусть t (t > /0) — произвольный момент времени. Тогда он
попадет в некоторый промежуток tk < t < t (Если t > Т, то tn+{ = +<».)
Согласно коммерческому правилу,

p«=Lcr «’=0,1,...,к,

7=0
И

Р(/) = Л, tk<t<tM.

Согласно этому же правилу, для t < t < t

S(t) = P(t) + /(/) = Pt + Zt+ /(/*,/),

m=l m=[

— сумма процентов Jm за критические периоды [z Г J, предшествую-
щие г, а

— проценты за неполный промежуток \tk, t). Таким образом,

*S’(0 = /’i(l+ (4.18)

m=\

Согласно определению будущего значения,

л/,(ст|,)=£сД1+/(/-1у)).

7=0
Учитывая, что

получим

‘-'гНЫф]’

( к

(4-19)

Так как

то первые слагаемые в формулах (4.18) и (4.19) совпадают. Покажем,
что совпадают и вторые слагаемые.

Поскольку, согласно (4.16), !

fk = X

т~ У+1

то

к (к Л к к

ЪС>

j=‘j \ m=j +1 / j'= 0 m~j+1

Меняя порядок суммирования в правой части последнего равенства,
получим

к к к т-1 к ( т-1 \ к к

У У Ус тт =yjpm Л =У4-

Z J J nj J /и— 1 гм гм

7=0т=/+1 т=1 у=0 т=1 \У=0 / от=1 т=!

Таким образом,

5(/) = FV,(CF\,),
что и требовалось доказать.

Последнее уравнение допускает еще одну интерпретацию. Для фик-
сированного потока платежей CF, порождающего счет с переменным
капиталом в коммерческой модели, состояние счета для моментов t,
следующих за всеми критическими моментами потока, т.е. t> t}, tn,
определяет также будущее (или накопленное) значение потока CF в
коммерческой модели. Это значение естественно обозначить как
FK/om(CF). Таким образом,

FVfmm (CF)~S(t,CFY

Заметим, что в данном случае поток CFиграет роль внешнего параметра
для порождаемого им финансового процесса (см. § 1.4).

Доказанная выше теорема устанавливает факт совпадения коммер-
ческого и стандартного операторов будущей стоимости:
FVtcam (CF) = FVI (CF).

Таким образом, все три оператора будущей стоимости: стандартный,
мультисчетный и коммерческий совпадают. Заметим, однако, что, как
будет показано ниже, оператор текущей стоимости в коммерческой
модели уже не будет совпадать со стандартным.

Перейдем теперь к описанию актуарного правила (правила США).
Сначала детально, по шагам разберем это правило, а затем дадим его
краткое формальное описание.

Как уже отмечалось, в актуарном правиле изменение состояния счета
начинается с обработки процентного счета и лишь потом изменяется
основной счет. При описании правила будем использовать стандарт-
ную интерпретацию счета с точки зрения его владельца. Положитель-
ный баланс означает наличие собственных денег вкладчика, а отрица-
тельный — заемных средств, т.е. владелец счета является в этот момент
должником. Соответственно будут интерпретироваться довложения
(взносы) и изъятия средств. При положительном балансе смысл этих
операции очевиден. Исключение составляет снятие большей суммы, чем
на счете (овердрафт) и, следовательно, переход к противоположному
по знаку балансу, т.е. от депозита к займу. При отрицательном балансе
положительные поступления (взносы) означают погашение долга, а
отрицательные (изъятия) увеличение долга. Как и в случае коммерчес-
кого правила, рассмотрим симметричную модель, т.е. будем считать
ставку не зависящей от знака (вида) сальдо счета. Таким образом, и для
кредитового (положительного), и дебетового (отрицательного) сальдо
начисление осуществляется по одной и той же ставке.

Пусть счет порождается потоком платежей

и процентной ставкой /. Пусть также Pk, Ik, Sk, Jk имеют тот же смысл,
что и выше. Покажем, как изменяются значения этих переменных
с течением времени под действием потока.

При t — Го начальное состояние очевидно:

с(„ 4 Л о,
поскольку никаких накопленных процентов в начальный момент нет.

Пусть теперь Р , I г 5 — состояния счетов в (критический)

момент tk_ 1? т.е. после последнего по времени платежа Ck_ г Найдем
новое значение этих переменных в момент tk по<?ле реализации
платежа С*. Определение этих значений, т.е. переход из предыдущего
состояния в новое текущее, состоит из ряда «микрошагов». Сначала
определяются проценты Jk за последний (текущий) период [^_ р tk).
Поскольку в схеме простых процентов проценты начисляются только
на основной капитал, то

Л =

где Tk = tk - tk_ j — длина текущего критического периода.

Определив Jk, мы можем найти накопленные к текущему моменту t
проценты:

Л = Л-i+Л

Поскольку при актуарном правиле значение процентного счета обяза-
тельно изменяется, то накопленные к моменту tk проценты обозначим
через/', а через 1к — окончательное (завершенное в смысле § 1.2)
состояние процентного счета. Итак, в новых обозначениях

Теперь сравним Ц и Ск. Если они имеют один знак (точнее, не
противоположны по знаку), т.е. ЦСк > 0, то переход осуществляется
также, как в коммерческом правиле, т.е.

Л = Лч+Q’

<sk = pk+ik.

В противном случае, т.е. когда

ЛЧ<°>

возникает существенная для актуарного правила ситуация. Рассмот-
рим сначала случай

/;>о, q<o,

который интерпретируется как снятие суммы |Ск| (Ск < 0!) при положи-
тельном балансе Ц>® процентного счета. В актуарном правиле снятие
сумм начинается обязательно с процентного счета (сначала снимаются
проценты). Здесь также имеются две возможности. Снимаемая сумма
|CJ меньше (по абсолютной величине), чем величина накопленных
процентов 1к, т.е.

|С 1< /'

и тогда

4'+ct>o
либо больше или равна сумме процентов, т.е.

IQ|>/;

и, значит,

/;+G<o.

В первом случае процентных денег достаточно для снятия суммы
|CJ и, следовательно, уменьшением этого счета до величины

4=/;-|ct|=7;+ct

переход завершается, и основной счет не изменяется. Таким образом,
окончательно имеем

Л ~ Л + ^к = Iк-\ к к *

Рк = Рк-^

Во втором случае снимаемая сумма |CJ превышает величину про-
центного счета, поэтому необходимо недостающую сумму |Cj- Гк
снять с основного счета:

Л = /’«-(|с1|-Л') = р*_,+Л'+с*.

Ясно, что исчерпание процентного счета требует его «обнуления»:

4 = 0.

Итак, во втором случае, т.е. при

/;+с(<о,
имеем

4 = о,

Pk ~ Pk-l + к-\ + ^к + Q •

Естественно, во всех случаях, по определению,

Sk = Ik + Pk

Совершенно аналогично рассматривается случай Ц <QuCk >0, ин-
терпретируемый как погашение долга. В этом случае также сравнива-
ются по абсолютной величине накопленные проценты \1'\ и взнос Ск.
Если величина взноса недостаточна для уплаты накопленных процен-
тов, т.е.

то изменяется лишь процентный счет, и он уменьшается до
4=Л'+с4>

а основной счет не меняется:

р = р
‘к 1 к-\'

В противном случае, когда взнос не меньше, чем проценты, его
превышение составит

и на эту сумму увеличивается основной счет:

Р-Р +Г+С=Р + / + J +С

Гк Гк-[ 1 к ^^к Гк-} 1 к~\ к ^^к‘

В обоих случаях

Sk = lk+Pk.

На этом описание перехода от одного критического состояния к дру-
гому завершается. Изменение состояния счетов внутри критического
периода, т.е. в моменты без каких-либо внешних воздействий подчиняет-
ся обычному правилу процентного роста, т.е. основной счет не меняется,
а процентный изменяется пропорционально времени. Так, если Рк, fk —
последнее критическое состояние, относящееся к моменту времени tk, и в
период (t, t) никаких поступлений и изъятий не было, то

Pt~Pk’

Формально актуарную модель можно описать кратко следующем
образом.

Для / = 0 полагаем

Л = 5<, = сои ^0=4=0.

Переход от tk~ ( к tk задается реккурентными соотношениями

Jk=P^Tk, = (4.20)

W Г =4

Если 1к и Ск не противоположны по знаку, т.е. ГкСк > Одо

В противном случае (KCk<AY) при совпадении знаков Гк+СкиЦ
изменяем процентный счет:

Ik = rk+Ct, (4.22)

а основной счет не меняется:
Л = Л->- (4.23)

Если знаки Гк + Ск и Ц противоположны, то изменяем основной счет:

Л=^-,+Л'+С4 (4.24)

и обнуляем процентный счет:

1к = 0. (4.25)

Наконец, полагаем (для всех альтернатив)

st = Рк + It. (4.26)

Заметим, что во всех случаях

*57 = Л** I + J к + Ск ~ Ski (1+/ Тк) + Ск.
Л Л 1 А. А. Л I л, A. J Л

Еще раз отметим важность порядка работы со счетами в актуарном
правиле. Сначала находятся текущие, затем накопленные проценты,
потом последние сравниваются с текущим платежом потока и в зави-
симости от результата сравнения по вышеуказанным правилам обраба-
тываются процентный и основной счета. Таким образом, в отличие от
коммерческого правила, в котором при переходе от одного критичес-
кого состояния к другому процентный и основной счета обрабатыва-
ются независимо друг от друга, в актуарном правиле изменения этих
счетов тесно связаны друг с другом. Однако и в том, и в другом случае
соблюдается основной принцип простых процентов, состоящий в том,
что проценты Jk за текущий период Тк начисляются только на величину
основного счета Рк_{в начале текущего периода. Именно этот аспект
дела позволяет оба правила относить к схеме простых процентов.

Равенства (4.20) - (4.26) дают значения остатков счетов в любой кри-
тический момент времени. Если же Г — некритический момент време-
ни, то tk < t < tk+ L для некоторого к. При этом, если t > tn, то tk+{ = +<».
В этом случае полагаем

Z(r) = /t + Z(r,4) = Zt+/Z’(г-4); (4.27)

S(t) = P(t) + I(t).

Для заданного потока CF, порождающего счет с переменным капи-
талом, можно положить для г> г tn

FV'a(CF) = S(t,CF).
Этим определяем понятие будущей стоимости потока платежей в
актуарной модели. В частности, можно аналогично уравнению (4.19)
для коммерческой модели записать

5(/)=/>;-я(сг|,),

где CF|f — начальный отрезок порождающего потока CF. Заметим,
что, как было показано выше, актуарный оператор будущей стоимости
FV*CX уже не совпадает со стандартным оператором FVt.

Рассмотрим пример, иллюстрирующий оба правила.

Пример 4.4. Пусть вкладчик открывает счет с начальной суммой 3$ 1 000 и процен-
тной ставкой 20% годовых. Полагая /0 = 0 и считая допустимым отрицательное сальдо
счета (основного и полного), найти по обоим правилам (коммерческому и актуарному)
состояния счета на конец года для каждого из 5 лет, если операции вкладчика со счетом
описываются потоком (в годовой шкале)

CF= {(1, 200), (2, —1500), (3, 900), (4, -200), (5, 100)}.

Считаем, что при отрицательном сальдо основного счета процентная ставка (по креди-
ту) также равна 20% годовых.

Решение. Сначала решим задачу для случая, когда состояния счета в моменты
вложений и изъятий сумм определяются по коммерческому правилу. Тогда согласно
коммерческому правилу, состояние Рк основного счета на конец А-го года

Л = 1с; = Л.,+С„ * = 1,2....,5.

/=0

Следовательно,

Рх = 1000 + 200 = 1200(2/?);

Р2 = 1200 - 1500 = - 300(2*?);

Р3 = -300 + 900 = 600(2?);

Р4 = 600 - 200 = 400( 2?);

Р5 = 400 + 100 = 500( 2?).

Для состояния 1к процентного счета на конец А-го года имеем, что

= А = 1,2,...,5,

л “ Л —1 К. J з ->-> у

ж=|

где / = 0 и Jk проценты за к-й год, т.е.

Jk=iPk_}l = iPkА = 1,2,...,5.

Следовательно,

А = 1,2,..., 5.

Тогда

= 0,2-1000 = 200(Л);

/, = 200 + 0,2-1200 = 440(Л);

/3 = 440 - 0,2-300 = 380(2?);
/4 = 380 + 0,2-600 = 500(3?);

Ц = 500 + 0,2-400 = 580(3?).

Для полной суммы счета S* на конец £-го года имеем, что

Sk^Pk+Ik, £=1,2,...,5.

Таким образом,

5, = 1200 + 200 = 1400(3?);

=-300 + 440 = 140(3?);

= 600 + 380 = 980(3?);

S4 = 400 + 500 = 900( 3?);

S5 = 500 + 580 = 1080(3?).

Решим теперь задачу для актуарного правила. В этом случае проценты Jk за £-й год
по-прежнему вычисляются по формуле

Jk=iPk_}, £ = 1,2,...,5,

а величины Рк и 1к основного и процентного счетов соответственно вычисляются, как мы
уже определили выше, по формулам (4.20) - (4.26), имеющим различный вид в зависи-
мости от того, является ли Ск вкладом на счет или изъятием со счета.

Так как в конце 1-го года вкладываются & 200, то состояния основного, процентно-
го и полного счетов определяются как

/> =/> +(?! = 1000 + 200 = 1200(3?);

= JX= 0,2 1000 = 200(Э?);

5, =Р{ +Ц =1200 + 200 = 1400(з?).

Проценты за 2-й год составляют

Л, =0,2 1200 = 240(3?).

Тогда величина Г2 - Ix+J2 процентного счета станет

200 + 240 = 440( 3?).

Но эта величина меньше 3? 1500, которые изымаются в конце 2-го года, на 3?1060 и,
следовательно, недостающие на процентном счете деньги сн имаются с основного
счета, т.е. вычитаются из Рг Таким образом, имеем, что в конце 2-го года

Р2 =Px+(l} + J2 +С2) = 1200+ (440-1500) = 1200-1060= 140(з?);

/2=0
и

S2 = P2= 140(3?).

Проценты за 3-й год составляют

J3 =0,2 140=28(3?).
В конце 3-го года вкладываются .57900, поэтому для состояний всех трех счетов
имеем

Л =140 + 900= 1040(.+?);

= 4?28;

S3 = 1040 + 28 = 1068(4?).

Проценты за 4-й год

Т4 = 0,2-1040 = 208(44).

В конце 4-го года изымаются R 200, но при этом

/4 + С4 =/3 + У4 + С4 =28 + 208-200 = 236-200 = 36 >0.

Поэтому получаем, что

Р4 = 1040(4?);

Л = зб(.<
и

54 = 1040 + 36 = 1076(4?).

За 5-й год проценты составят

0,2-1040 = 208(4?).

В конце 5-го вкладываются .4? 100; в результате

Р5 = 1040+ 100 = 1140(4?);

/. = /( = 36+ 208 = 244(4?);

5, =1140 + 244 = 1384(4?).

В заключение отметим, что при практическом (ручном) применении
описанных выше правил полезно и удобно результаты вычислений офор-
млять в виде таблицы состояний (табл. 4.1). Столбцы соответствуют
найденным переменным состояниям, включая вспомогательные пере-
менные: текущие и накопленные (до модификации) Гк проценты, длина

Табл и ца 4.1

к Т (2 р J г [ 5
0 0 р, ц 4 2

с
к т ct pt 4 ц 4 2

п т п р п J п г п 5 п
текущего промежутка Тк и т.д. Строки нумеруются по критическим мо-
ментам, соответствующим очередным платежам Ск входного потока СЕ.

Каждая строка описывает состояние счета, соответствующее кри-
тическому моменту, номер которого совпадает с номером строки. При
этом значения главных переменных 1к, Рк, Зк соответствуют завершенно-
му состоянию, т.е. состоянию счета после реализации текущего плате-
жа и всех требуемых изменений. Начальная (нулевая) строка соответ-
ствует начальному состоянию счета, причем значения всех перемен-
ных (кроме, возможно, Ро = = Со) равны 0. Таблица заполняется

последовательно сверху вниз в соответствии с правилами перехода от
состояния к состоянию в зависимости от рассматриваемой модели.

Пример 4.5. Составить таблицу состояний для примера 4.2 в случае актуарного
правила.

Решение. Описание состояний для данного примера задается табл. 4.2.

В этом примере опущен столбец длин критических промежутков, поскольку’ все они
имеют одну и ту же длину, равную одному году.

Табл и ца 4.2

к С Р J Г 1 5
0 1000 1000 0 0 0 1000
1 200 1200 200 200 200 1400
2 -1500 140 240 440 0 140
3 900 1040 28 28 28 1068
4 -200 1040 208 236 36 1076
5 100 1140 208 244 244 1384

На практике, кроме перечисленных в табл. 4.1 столбцов, использу-
ют и другие, вспомогательные столбцы. Так, учитывая аддитивность
процентов в коммерческом правиле:

я п ( п

, (4.28)

Jtsl \jt=t J

соответственно текущие Jk и накопленные 1к проценты не вычисляют-
ся, а вычисляются «заготовки» вида
Л Л » Л

Jk=PkATk и In — к,
к=[
которые лишь в конце умножаются на величину ставки i. К тому же,
если предусмотрено конкретное «временное правило» (см. § 1.6), на-
пример АСТ/365, а ставка, как это принято на практике, задается
в процентах (%), а не долях единицы, то, учитывая равенства

т —
к~ 365’

где Dk — число дней в к-м. периоде, и
j -A L-^Lp п
к 100 365 36500 1-1

в качестве «заготовок» вычисляются величины
и л=£л,
*=1

которые по окончании вычислений умножаются на число Z(%)/36 500,
называемое процентным ключом. Такой подход экономит вычисления,
устраняя ненужные на промежуточных шагах умножения на «ключ».
Конечно, экономия достигается только в том случае, когда знания
промежуточных состояний действительно не нужно. В противном
случае, конечно, нельзя избежать упомянутых умножений.

Замечание. Собственно процентным ключом в финансовой литературе |1, 15]
называется число К = 365// или, в общем случае, К - Y/1, где Y — годовой «дивизор*
(т.е. принятое число дней в году), а число

100
называется процентным числом (или весом).

Все этидетали имели значение в докомпьютерную эпоху ручных вычис-
лений. Сейчас эти величины и связанные с ними способы упрощения
вычислений потеряли свое практическое значение, а их использование
оправдано, пожалуй, лишь при решении упражнений по финансовой ма-
тематике. Мы коснулись этих понятий лишь для «полноты картины». Нашей
целью, как было отмечено в предисловии, является прежде всего изложе-
ние фундаментальных принципов финансовой математики.

Вопросы и упражнения

1. Опишите мультисчетную модель в схеме простых процентов. Дайте явное выраже-
ние для состояния полного счета в произвольный момент времени.
2. Определите операторы будущей и текущей стоимостей потока платежей в мульти -
счетной модели.

3. Как определяется будущее (накопленное) к моменту т значение мультисчета,
порожденного потоком CF? Текущее значение?

4. Что такое стандартный или формальный оператор текущего значения для модели
мультисчета?

5. Опишите алгоритм последовательного нахождения состояния счета с заданным
порождающим потоком в коммерческой и актуарной моделях.

6. Приведите общее выражение состояния полного счета в коммерческой модели
с использованием порождающего этот счет потока платежей.

Задачи

1. В день своего 40-летия бизнесмен открывает накопительный пенсионный счет
в пенсионном фонде. Ставка накопления фонда равна 15% в валюте ($). Бизнесмен
вносит $500 в конце каждого полугодия. Какова будет сумма накоплений к моменту
выхода бизнесмена на пенсию? (Предполагается, что пенсионный возраст — 65 лет.)

2. Вкладчик открывает 25.01.96 счет на сумму J75OOO; 13.03.96 он снимает со счета
i#2000, а 17.06.96 дополнительно вкладывает .#1500. При условии, что больше не было
никаких других вложений или изъятий, а процентная ставка счета составляет 20%
годовых, найти состояние счета на 31.12.96: а) в коммерческой модели; б) в актуарной
модели. При расчетах использовать банковское правило.

3. Пусть счет с переменным капиталом (в годовой шкале) порождается потоком

CF = {(0, 2000), (1, -1000), (2,1000), (3, -2000)}.

Найти состояние счета в моменты г = 1, 2, 3, 4, 5 для коммерческой и актуарной
моделей, если ставка счета равна 50% годовых.

4. Рассматривается обыкновенная ежемесячная рента сроком 1 год с одинаковыми
платежами по .,#500 в конце каждого месяца. Найти накопленную к концу года
стоимость ренты в коммерческой и актуарной моделях, если процентная ставка равна
24% годовых.

5. Рассматривается годовой поток из ежемесячных платежей:

Найти накопленную к моменту t = 1 стоимость потока в коммерческой и актуарной
моделях, если процентная ставка равна 48% годовых. Выписать соответствующие
таблицы состояний.

6. Вкладчик открывает в начале года, т.е. 1.01, счет на сумму .77500, а первого числа
каждого нечетного месяца добавляет к счету .#500. Для какого из временных правил —
АСТ/365, АСТ/360, 30/360 состояние счета на 31 декабря этого же года будет наиболь-
шим: а) в актуарной; б) коммерческой модели? Предполагается, что ставка по счету
составляет 24% годовых и год невисокосный.
Глава 5. Обобщенные кредитные сделки и схемы
ПОГАШЕНИЯ ДЛЯ ПРОСТЫХ ПРОЦЕНТОВ

Выше мы рассмотрели модели накопительного счета, учитывающие не
только процесс начисления процентов, но и внешние операции со
счетом (довложения и изъятия). Если исходить из дословного смысла
понятия накопительного (сберегательного) счета, то следует считать
начальное состояние счета положительным (вкладчик открывает счет,
внося некоторую сумму денег). Дальнейшая жизнь счета определяется
намерениями вкладчика. В типичном случае вкладчик более или менее
регулярно делает довложения, а иногда — изъятия. Если целью вклад-
чика было накопление требуемой суммы, он может закрыть счет, сняв с
него всю сумму накоплений. В любом случае естественно считать
значение начального состояния вклада положительным (имея в виду,
что вкладчик открывает счет, внося некоторую сумму денег).

При этом формально в модели допустимы изъятия, превышающие
сумму основного счета (при коммерческом правиле) и полного счета
(при актуарном правиле). Такие изъятия приводят к отрицательным
значениям состояния счета, которые трактовались как взятие кредита в
банке.

Наконец, с формальной точки зрения допустимы и отрицательные
начальные состояния. Логика вычислений при этом не меняется. Ко-
нечно, в этом случае счет вряд ли можно назвать накопительным. Его
скорее следовало бы назвать ссудным, подразумевая, что вкладчик
берет кредит в банке на сумму, равную абсолютной величине начально-
го состояния счета. Меняется также и интерпретация внешних опера-
ций со счетом. Так, внесение сумм вкладчиком, который в этом случае
является должником банка, можно рассматривать как частичное пога-
шение взятого долга. С другой стороны, изъятия при таком подходе
следовало бы трактовать как получение дополнительного кредита (так
называемая кредитная линия).

Такая модель, с одной стороны, представляет собой обобщение
(с позиции замены знака значения состояния счета) модели накопи-
тельного счета, а с другой, — обобщение простой кредитной сделки
в том смысле, что долг погашается не одной выплатой в конце срока,
как это имеет место в случае простой сделки, а серией погасительных
платежей.

5.1. Обобщенные кредитные сделки

Обобщенная кредитная сделка включает две компоненты: выдачу
кредита, представимую событием (ro, -Р), где Р > 0 — сумма выданного
кредита, и поток погасительных платежей

CF — CJ, (/2, С2),..., (z„, Сп)}.

При этом естественно, что

т<Л < ... <7.
О 1 п

Диаграмма обобщенной кредитной сделки показана на рис. 5.1.

Ст с2 . . . сп,} Сп

Рис. 5.1

Выдача кредита 50 = -Р на диаграмме изображается отрицатель-
ным, а погасительные платежи С , Ц,..., Сп — положительными числами
(здесь отвлекаемся от возможности получения дополнительного кре-
дита). Описанные выше схемы определения состояния накопительно-
го счета автоматически переносятся и на случай ссудного счета.
В финансовой практике при этом говорят о двух схемах (правилах)
погашения долга (коммерческом и актуарном). Собственно в традицион-
ных руководствах по финансовой математике [28] коммерческое и
актуарное правила чаще всего появляются именно в таком контексте.
Это связано прежде всего с тем, что наиболее распространенными
случаями применения указанных схем являются именно схемы погаше-
ния краткосрочных коммерческих кредитов. Так, взятый, скажем, на год
кредит погашается одинаковыми платежами в конце каждого месяца.

Таким образом, поток погасительных платежей будет представлять
собой ренту, или аннуитет (см. § 1.2).

Выше, рассматривая ссудный счет, мы представляли выдачу долга Р
отрицательным, а погасительные платежи — положительными числа-
ми. Следует понимать условность таких соглашений. В некоторых
Руководствах не менее резонно в этой же ситуации получение кредита
198 Глава 5. Обобщенные кредитные сделки и схемы погашения простых процентов
рассматривается как приход, поскольку должник получает на руки
деньги, и потому эта сумма рассматривается как положительная; с
другой стороны, погасительные платежи для должника означают рас-
ходы, и потому они обозначаются как отрицательные суммы.

Такая точка зрения позволяет дать еще одну интерпретацию погаси-
тельным схемам. В этой интерпретации вкладчик и банк меняются
местами в обобщенной кредитной сделке. Иными словами, вкладчик
открывает счет на некоторую сумму, т.е. дает кредит банку, а банк
погашает этот кредит, выплачивая вкладчику погасительные суммы.
Обычно такие выплаты представляют собой ренту (т.е. регулярные
периодические выплаты одинакового размера). В этом случае говорят
о покупке вкладчиком ренты, так что начальный вклад (взнос) пред-
ставляет собой стоимость будущих рентных платежей.

Приведенные модификации двух основных видов моделей — про-
стой кредитной сделки и накопительного вклада — позволяют решать
большой спектр задач, связанных с практическими финансовыми
вычислениями.

Так, для модели ссудного счета или схемы погашения чрезвычайно
важен вопрос об определении состояния или, как еще говорят, баланса
ссудного счета в любой момент времени. Эта задача решается по
правилам, аналогичным тем, которые были приняты для определения
состояния накопительного счета. Таким образом, текущий баланс или
полное состояние ссудного счета можно определить с помощью фор-
мул, описывающих состояние счета с переменным капиталом для одной
из выбранных моделей, в рамках которой рассматривается обобщенная
кредитная сделка. Последнее обстоятельство чрезвычайно важно. Ука-
зание конкретной модели — мультисчетной, коммерческой или акту-
арной полностью определяет правила расчета процентов и баланса
(остатка) долга для любого момента времени. Поскольку мультисчет-
ная модель, по существу, ничем не отличается от коммерческой, ниже
мы ограничимся анализом кредитных сделок лишь для бинарных
моделей, т.е. коммерческой и актуарной.

Пусть Р — сумма выданного кредита (начальная сумма долга) в
момент Г. Выдаче кредита можно сопоставить событие (Го, 50), 50 = -Р,
соответствующее начальному состоянию ссудного счета сделки. Если

CF = {(7Р С,), (f2, Q К-, (А’ Ся)}

— поток погасительных платежей, то через
CF • = {(г„, S„)} + CF = {(/„, - Р), (г,, С, С„)}

обозначим обобщенный (порождающий) поток, включающий началь-
ное событие — (г0, 50) — выдачу кредита и поток погасительных
платежей CF.

Как и выше, для любого потока CF через CF\, будем обозначать
начальный отрезок потока CF, состоящий из всех событий (платежей)
потока CF до момента t включительно, а через CF ~, — не включая
платеж в момент Л

Состояние ссудного счета сделки с порождающим потоком CF* в
момент времени t

^mod = ^mod / . Ср Л = рум* | Л.

Метка mod указывает на вид выбранной модели. Так, записи 5act и
fy/ct показывают, что речь идет об актуарной модели, соответственно
обозначения 5гсот и FV}cora указывают на коммерческую модель.

Ниже будем опускать обозначение процентной ставки и писать
просто

5rmod (50; CF) = FVtmod (CF' |,). (5.1)

Состояние ссудного счета сделки в момент I называют также невып-
лаченным остатком или балансом долга в (на) момент t и обозначают Bf
Например, для коммерческой модели имеем

В, = 5,“m (5„; CF) = FV, (CF' |,) =

= -P(l+/(f-Z0))+ У, Ct(!+/(/-/,)). (5.2)

k:rk<t

Здесь учли, что коммерческий оператор будущей стоимости Я^00"1
совпадает со стандартным /У .

Величина баланса Bt, представляющая собой состояние ссудного
счета в момент t, указывает на текущую величину долга, т.е. сумму
обязательств должника на данный момент. Ее также можно интерпре-
тировать как размер единовременного платежа, полностью компенсиру-
ющего этот долг, т.е. выплата должником суммы Ct - -Bt (до момента tn
полного погашения долга значение баланса Bt отрицательно!) в момент
t позволяет сразу погасить долг. Таким образом,

(53)

где

200 Глава 5. Обобщенные кредитные сделки и схемы погашения простых процентов
— завершенный погасительный поток, образованный погасительными
платежами из CF до момента t и заключительного платежа С; = -В
равного по абсолютной величине остатку (балансу) долга на момент Л

Пример 5.1. Пусть должник берет в банке "Я5000 в кредит сроком на 3 года по
ставке 10% годовых. По договору кредит погашается тремя платежами в конце каждого
года. Пусть первый погасительный платеж составляет /31500, а второй — 232000.
Какова должна быть сумма третьего, заключительного платежа? Решить задачу для
коммерческого и актуарного правил.

Решение. Финансовый поток, отражающий данную сделку, имеет вид

СР* - {(0, -5000), (1, 1500), (2, 2000), (3, Л)}.

Решим задачу сначала последовательным способом для актуарного правила, находя
состояния счета в конце каждого года после очередного погасительного платежа.

Для t = 0 (начальный момент времени) имеем, что

Р() = 5000(2?), /0 = /0 = 0, 50 =-5000( 2?),

При t = 1 (конец 1-го года) получаем

= - 5000-0,1 = -500(+?)
и, следовательно,

Р} == -5000 + (1500 - 500) = -4000(2?),

Z, = 0, = Р, = —4000( .2?).

Аналогично для г 2 (конец 2-го года)

J2 = -4000-0,1 = -400(.+?)
и

Р2 = -4000 + (2000 - 400) = -2400(2?),

/2 = 0, =—2400(2?).

Для t = 3 (последнего года) имеем

/3 = -2400-0,1 = -240(2?)
и

Р, = -2400 + (X- 240) = X-2640( 2?).

Для того чтобы 3-й платеж полностью погашал долг, необходимо, чтобы остаток счета
стал равным нулю. Таким образом,

Р3 = 2-2640 = 0
и, следовательно,

Х = 2640(2?).

Для нахождения последнего платежа по коммерческому правилу используем теоре-
му 4.1. Тогда, находя будущие значения как основной суммы долга, так и всех погаси-
тельных платежей, из условия нулевого баланса после заключительного платежа полу-
чим уравнение

-5000(1 + 0,1-3) + 1500(1 + 0,1-2) + 2000(1 + 0,11)+2=0
или

-6500 + 1800 + 2200 + 2=0.

Отсюда следует, что

Х= 2500(2?).
Теорема 4.1, переформулированная для схемы погашения по ком-
мерческому правилу, в терминах абсолютных значений денежных сумм
означает, что баланс (невыплаченный долг с учетом процентов) на
момент времени tn равен разности между накопленным значением
потока погасительных платежей и накопленным значением основной

суммы долга:

(5.4)

Здесь как Р, так и все элементы Ск потока CF положительны! При
этом равенство В{ =0 означает, что поток CF точно и полностью
погашает долг.

В свою очередь, неравенство В. < 0 означает, что долг (с учетом
процентов) еще не выплачен полностью, а неравенство Вг > 0 означа-
ет, что долг погашен «с излишком».

Заметим, что оператор будущей стоимости FVr потока CF, исполь-
зованный в (5.2), является стандартным оператором будущей стоимос-
ти, определенным в § 3.4. Он равен сумме будущих стоимостей всех
платежей потока.

Таким образом, основное уравнение баланса для погашения долга
величины Р(> О’) потоком погасительных платежей CFno коммерческо-

му правилу имеет вид

^.(^)=^.(CF). (5.5)

Иными словами, приведенные к моменту tn значения суммы долга
и потока погашения должны совпадать.

Формула (5.5) позволяет дать еще одну содержательную интерпре-
тацию погашению долга по коммерческому правилу. В этой интерпре-
тации погасительные платежи из потока CF не изменяют состояние
ссудного счета. Вместо этого они размещаются на отдельном счете,
образующим фонд погашения долга. К моменту погашения tn вся накоп-
ленная за счет платежей потока сумма в фонде погашения долга
должна быть равна сумме, находящейся на ссудном счете. В этой
интерпретации существенна раздельность (автономность) ссудного
и погасительного счетов. Так, погасительный счет (фонд погашения)
может использовать процентную ставку, отличную от ставки по креди-
ту. На практике очень часто используется такая возможность, особенно
если должник может обеспечить ставку накопления, превосходящую
кредитную ставку.

Пример 5.2. Рассмотрим снова кредит из примера 5.1. Найдем величину заключи-
тельного платежа, предполагая, что погасительные платежи образуют фонд погашения
с процентной ставкой 20% годовых.
Решение. Найдем сначала накопленную сумму долга, т.е. сумму погашения
(ставка 10%):

FT/5000) = 5000(1+0,1-3) = 6500(+?).

Накопленная стоимость погасительных платежей по ставке накопления 20%:

1500(1 + 0,2-2) + 2000(1 + 0,2-1) + X = 4500 + X.

Уравнение баланса, между накопленной стоимостью долга и накопленной стоимостью
погасительных платежей дает

6500 = 4500 + X.

Отсюда

Х= 2000(Ж

Таким образом, в этом случае величина заключительного платежа на .^*50 меньше, чем
в примере 5.1. Это естественно, поскольку ставка накопления выше ставки по кредиту.

5.2. Регулярные схемы погашения долга для простых процентов

В предыдущем параграфе мы ограничились лишь рассмотрением
коммерческой модели погашения долга. Дело в том, что для актуарной
модели формулы (5.2), (5.4) и (5.5) неверны. К сожалению, явные
формулы для баланса долга в случае произвольных погасительных
платежей по актуарному правилу выписать не удается. Однако это
можно сделать для так называемых регулярных схем погашения, когда
погасительные платежи образуют ренту. Имеется несколько разновид-
ностей регулярных схем погашения.

В первой долг погашается п одинаковыми платежами с периодом h.
Каждый платеж осуществляется в конце очередного периода.

Во второй регулярной схеме погасительные платежи также выпла-
чиваются регулярно в конце очередного периода длины h. Однако
теперь одинаковой является только часть, идущая на погашение основ-
ного долга, а остальная часть идет на выплату процентов за текущий
период. Естественно, что полная величина погасительного платежа в
этом случае будет меняться.

Рассмотрим обе схемы подробнее. Начнем со схемы с одинаковыми
платежами величины С. Для простоты выберем период h в качестве
базовой единицы времени. Тогда если ставка по кредиту за период h — 1
равна ih — /, то уравнение баланса

В =0
л
в момент tn — п последнего платежа для коммерческой модели запишет-
ся, согласно (5.5), в виде

0 л- 1

Р(1-нл) = £ С(1+Л)=С£(1 + /£).

*=л-1 к=0
Отсюда, суммируя арифметическую прогрессию

ak= \ + ik, к = 0, 1,..., п — 1,

получим

P(\ + in) = Cn 1 +

Последнее равенство позволяет определить требуемый размер платежа

г р(1+"1)

Для актуарной модели, как будет показано (см. гл. 13), уравнение
баланса при условии С > Pi имеет вид

0 п-1

p(1+0" = Zc(1+0 =c£(i+/)‘.

*=л-1 *=0

Отсюда, суммируя геометрическую прогрессию

^ = (1 + /)*, £=0, 1,

получаем

, (1 + /) — 1

Р(1+/) = С±-----.

Из последнего равенства можно получить выражение для величины
погасительного платежа:

(i+rf-i Hi+'Г

Конечно, нет смысла запоминать формулы для погасительных пла-
тежей. Проще в каждом конкретном случае выписывать соответствую-
щее уравнение баланса и из него находить требуемые характеристики
схемы погашения.

Пример 5.3. Пусть кредит в .'б15000 погашается в течение 10 лет одинаковыми
выплатами в конце каждого года. Найти величину погасительных платежей, если ставка
По ссуде 20%.

Решение. Уравнение баланса для коммерческого правила имеет вид

5000(1 + 0,2 10) = £С(1 + 0,2Л)

Л = 0
или

( 9 ЮЛ

15000 = С 10 + 0,2— = 19С.

( 2
Отсюда находим, что

С=1^=789,48(;??).

Для актуарного правила уравнение баланса имеет вид

5000 (1 + 0,2)Ш=С£ (1 + 0,2)*

к=0

ИЛИ / \1О

5000-(1,2)10 = С^ ,
' ' 0,2

откуда

С = 5С)00 0-~= 1192,61(.g).

Рассмотрим второй вид регулярных схем погашения. Погасительный
платеж Ск состоит из двух частей: одинаковой для всех платежей части,
идущей на погашение основного долга, и процентной, предназначенной
для выплаты процентов. Если долг Р погашается п платежами, то

ct=-+cr,
И

где САпр — процентная часть погасительного платежа.

В коммерческой модели платежи изменяют только состояния основ-
ного счета. Таким образом, для этой модели все платежи Ск, кроме
последнего, равны Р/п, т.е.

Q=A £ = 1,2,.,.,м-1.
п

Лишь последний платеж Сп имеет процентную часть, идущую на пога-
шение всех накопленных за период погашения процентов:

с7=-/(о,л)=-/„.

Эти проценты легко найти, поскольку ясно, что величина основного
счета после /с-го погасительного платежа

г (

Р.=-Р+-Р = -Р ]--

И \ п J

и, следовательно, проценты за следующий (к + 1)-й период составят
Тогда сумма всех процентов за период погашения

к~\

Суммируя арифметическую прогрессию
, , к-\ . .

^=1------, Л =

получим

Таким образом, для коммерческой модели получаем

G= —, к = 1,2,...,л-1;

Для актуарной модели нулевой баланс в момент последнего платежа
будет достигнут, если процентная часть погасительного платежа в точ-
ности равна по абсолютной величине процентам за текущий период:

г,11р — /

В этом случае состояние основного счета после к-го платежа, как и для
коммерческой модели, будет

\ Л 7

и, следовательно,

jt=iPti=-Pi(i_LA

Таким образом, в актуарной модели

к „ 1 \ р

Pi = -(l + (n-k + l)i , к = 1,2,
п J '

п.

Пример 5.4. Пусть, как в примере 5.3, долг в Э? 5000 погашается ежегодными
платежами по ставке 20% по второй регулярной схеме. Это значит, что все платежи
имеют одинаковую часть, идущую на погашение основного долга. Найти величины
погасительных платежей для коммерческой и актуарной моделей.
Решение. Для коммерческой модели

с‘=^=500(Л)' *=1'2’--9’
и

С10 = 500^1 + 0,2—^- j = 6000 (3?).

Перед последним платежом состояние счета имеет вид

9 / Л. _ 1 \

= -500р?); Д =-5000 0,2^ 1-— =-5400(J?).

*=А ю )

Проценты за последний период

J10= —500-0,2 = -100(J?)
и, следовательно, конечное значение процентного счета

Ао = -5500.

Конечное значение основного счета

Рш = —500 + 6000 = 5500(J?).

Таким образом, последний платеж С|0 действительно приводит к нулевому балансу:

5ю = Ло + Ао = 5500 - 5500 = °-

Отметим еще раз особенность коммерческой модели. В ней баланс достигается
только за счет взаимной противоположности процентного и основного счетов при
последнем платеже. Строго говоря, последний погасительный платеж целиком идет на
изменение основного счета и его «деление» на погасительную и процентную части,
вообще говоря, условно.

Для актуарной модели платеж за А-й период

Ск = 500 + 1000^1--^^ = 1500-100(А-1), к =1,2,..., 10.

Отсюда получаем, что

С,= 1500(С2 = 1400( ..., С10= 600(.#).

Обычно процесс погашения долга описывают в виде графиков
(таблиц) погашения долга, в которых указывается последовательность
погасительных платежей с указанием их структуры (т.е. разбиения на
основную и процентную части) и остатка текущего счета (баланса)
после каждого платежа. Эти графики аналогичны графикам состояния
счета, рассмотренным в предыдущем параграфе.

Пример 5.5. Пусть долг в .+? 1000 погашается четырьмя квартальными платежами.
Составить таблицу погашения долга для двух регулярных схем погашения, если ставка
по кредиту 40% годовых.

Решение. Поскольку платежи ежеквартальны, то найдем сначала ставку за
квартал:
4

т.е. 10%. Для первой схемы — схемы с равными погасительными платежами по коммер-
ческому правилу имеем балансовое уравнение

1000(1 + 0,1-4) = С [(1 + 0,1-3) + (1 + 0,1-2) + (1 + 0,1) + 1]

или

1400 = 4,6С,

откуда

С =304,35( Я).

Модель погашения долга для этого случая представлен в табл. 5.1.

Таблица5.1

к Р / J С 5
0 -1000 0 0 0 -1000
1 -695,65 -100 -100 304,35 -795,65
2 -391,30 -169,55 -69,55 304,35 -560,86
3 -86,95 -208,69 -39,13 304,35 -295,65
4 217,39 -217,39 -8,70 304,35 0

Для коммерческого правила нет смысла в разбиении погасительного платежа на
основную и процентную части, поскольку весь платеж идет прежде всего на погашение
основного долга, и нулевой баланс достигается по полному счету в момент последнего
платежа.

Для актуарного правила уравнение баланса в схеме с одинаковыми платежами имеет
вид . ,4

1000(1+о,1)4=с^+°о^
откуда

С= 315,47(Л).

График погашения долга в этом случае представлен на табл. 5.2.

Табл и ца 5.2

к Р I J С С ОСИ 5
0 -1000 0 0 0 0 -1000
1 -784,53 0 -100 315,47 215,47 -784,53
2 -547,51 0 -78,45 315,47 237,02 -547,51
3 -286,79 0 -54,75 315,47 260,72 -286,79
4 0 0 -28,68 315,47 286,79 0
Кроме постоянного платежа, в табл. 5.2 указана его часть, идущая на погашение
основного долга. Она в точности равна процентам за текущий период.

Для второй регулярной схемы погашения приведем только график погашения для
актуарной модели (табл. 5.3).

Табл и и. а 5.3

к Р / J С С оси 5
0 -1000 0 0 0 0 -1000
1 -750 0 100 350 250 -750
2 -500 0 75 325 250 -500
3 -250 0 25 300 250 -250
4 0 0 О'. 250 250 0

Все погасительные платежи имеют одинаковую основную часть
=1^2 = 250 (.??),

идущую на погашение основного долга, так что долг с каждым платежом уменьшается
на Л 250. Процентная часть платежа, как и в предыдущем случае, в точности равна
накопленным за текущий период процентам.

Наконец, отметим еще один тип задач, тесно связанных с интерпре-
тацией обобщенных кредитных сделок как покупки ренты. Этот вид
сделки заключается в обеспечении вкладчиком будущих регулярных
выплат за счет единовременного начального взноса. В задачах такого
типа основной вопрос состоит в определении величины платежей для
заданных будущих моментов и размера первоначального взноса. Взнос,
обеспечивающий будущий поток платежей, естественно рассматри-
вать как стоимость или цену этого потока.

Фактически речь идет о вычислении текущей стоимости потока
платежей. Аналогичная задача уже решалась для схемы мульти счета,
где вкладчик обеспечивал каждый платеж в отдельности, покупая,
например, вексель, облигацию или любое другое долговое обязатель-
ство. Здесь же речь идет именно о единовременном общем взносе или,
как говорят, премии. При этом будущие выплаты представляют собой
амортизацию этого взноса.

Таким образом, приходим к проблеме нахождения текущего значе-
ния потока платежей для схем с коммерческим правилом. Поскольку
понятие текущего значения относится к весьма важным и довольно
сложным, мы посвятим ему отдельную главу.
В заключение рассмотрим еще одну регулярную схему погашения,
связанную с так называемым потребительским кредитом.

5.3. Потребительский кредит

Потребительский кредит — краткосрочный кредит, предоставляе-
мый населению для покупки предметов личного потребления. Как и в
простом кредитном контракте, основными параметрами потребитель-
ского кредита являются сумма кредита Л срок Т, на который он
выдается, и процентная ставка по кредиту i.

Как правило, такой кредит погашается в рассрочку, т.е. периодичес-
ки выплачиваемыми погасительными платежами. Однако способ рас-
чета погасительных платежей существенно отличается от рассмотрен-
ных выше регулярных схем. Главный принцип, определяющий условия
погашения в потребительском кредите, состоит, во-первых, в единовре-
менном начислении всей суммы процентов на величину долга к момент
выдачи кредита и, во-вторых, в постепенной выплате или, как еше
говорят, амортизации полной суммы долга регулярными платежами.
При этом баланс долга и выплат определяется без учета временной
стоимости денег. В этом принципиальное отличие такой схемы от уже
рассмотренных схем, учитывающих «процентную динамику» как дол-
га, так и погасительных платежей.

Формально схема амортизации долга в потребительском кредите
может быть описана следующим образом.

Пусть Р — основная сумма долга, выданная в момент t, Т — срок
и i — процентная ставка кредита. Тогда полная стоимость кредита

5=Р(1 +/Т).

Схема погашения определяется потоком платежей

причем

Т “ Ч ~ ’ 'о < 'i < • • < •

Уравнение баланса для такой схемы погашения имеет вид

P(l+iT) = YCk. (5.6)

Таким образом, поток CF погашает долг, если сумма всех погаситель-
ных платежей равна полной сумме долга (с учетом процентов).

14-5169
Общая схема имеет различные конкретные воплощения. Чаще все-
го потребительский кредит погашается регулярными одинаковыми
платежами. Если долг погашается п одинаковыми платежами, то раз-
мер каждого погасительного платежа

__5_Р(1+<Т)

С “** -— *

л л

Так, для годового кредита на сумму 2$ 500 по ставке 20% годовых,
погашаемых 12 ежемесячными платежами, каждый платеж

с.5М|;^'г>.5о(л).

Рассмотренная схема погашения называется равномерной или ли-
нейной амортизацией долга. В этом случае и основной долг и проценты
по нему выплачиваются одинаковыми долями. Структура погаситель-
ного платежа очевидна: поскольку

S^I+P,

где

1= PiT,

то

C=U+L.
л п п

Таким образом,

С = Сосн Спр

причем

Р I

^'-’осн __2_ . £>пр __

Л ’ Л

Отметим, что для потребительской схемы погашения, как и для
коммерческой и актуарной схем, определено понятие текущего балан-
са, т.е. состояние ссудного счета в любой момент времени. Он равен
разности между полной суммой долга и суммой выплаченных к данно-
му моменту погасительных платежей:

B,=-s+

Это состояние можно разделить на основную и процентную части,
если в схеме погашения указана структура погасительных платежей.
Так, для равномерной схемы
ОСН

где т — максимальный из номеров к таких, что tk < t.
Аналогично

/ =-/+ У с? = ~ргт 1-- .
к^<, I "J

Другой регулярной схемой погашения в потребительском кредите
является метод ускоренной амортизации процентов. Основной долг, как
и в равномерном случае, погашается равными долями, тогда как
процентные платежи представляют собой убывающую арифметическую
прогрессию.

Иными словами, для схемы с п платежами

Q=Cr+Qnp, £ = 1,2,...,л,

где

C*=ak=ax-d(k-\), d>0.

Уравнение баланса в этом случае означает, что

л=1

(5-7)

Задавая один из параметров прогрессии, например а{ или d, можно
найти все остальные процентные платежи. Чаще всего сначала опреде-
ляются не сами платежи Скр, а их веса

т.е. доля платежа в общей сумме процентов. Тогда сумма всех весов
равна 1:

W, + \ ,

« = 1;

В этих двух уравнениях из трех величин w},wn,d одну можно выбрать
произвольно. Так, для годового кредита, погашаемого 12 ежемесячны-
ми платежами, при условии, что процентная часть уменьшается с каж-
дым платежом на 1/12, т.е. d = ~wl, получаем
И

Н’, + ж----W

1 1 12 1

12 = 1,

откуда

Поскольку

W, = —
’ 13

d - — ил = —

12 1 78

2 12

ж =— = —,
1 13 78

то последовательно

И 10 1

w, =—; w, = —; ...; W, = —

2 78 3 V8 12 78

и, значит,
12 1

z^np _ * ~ f z^np _ * т

1 “78 ’ 12 ”78

Это так называемая амортизация по методу «78-х». Общий знамена-
тель 78 в выражении для весов есть просто сумма номеров месяцев
в году:

78 = 1 + 2 + ... + 12.

Для предыдущего примера годового потребительского кредита на
г#500 по ставке 20% с ежемесячным погашением имеем

/= 5000,2 = 100

и,следовательно,

г„н_500

‘ 12 ’

СГ=^(13-Л), Л = 1,2,..., 12.
/о

Таким образом, окончательно получим

СЛ=СГ+<Т= — +—(13-Хс), к = 1,2,..., 12.

Отметим еще раз существенное отличие условия погашения (урав-
нение баланса (5.6)) для потребительского кредита от ранее рассмот-
ренных коммерческой и актуарной схем погашения. Хотя по смыслу
равенства (5.7) проценты в потребительском кредите начисляются на
весь срок кредита, тем не менее они выплачиваются не в конце срока,
как в простой кредитной сделке, а в рассрочку в течение кредитного
периода, т.е. досрочно. Но частичное погашение долга до конца срока
и в коммерческой, и в актуарной моделях ведет к уменьшению величи-
ны основного долга. Поэтому проценты за период, следующий после
очередной выплаты, будут меньше процентов, начисленных за преды-
дущий период. В частности, сумма выплаченных процентов за весь
период должна быть меньше, чем проценты, начисленные за весь
период на начальную сумму долга. Таким образом, если

CF- Ci), (t2, С\)}

— поток погасительных платежей по коммерческому или актуарному
правилу на ту же сумму кредита Р и по той же ставке /, то

%с7<г=нт.

к=1

В частности, отсюда следует, что

£с1<5 = Р+/.

А-1

Так как погашение кредита в актуарной или коммерческой моделях
по ставке i требует меньших погасительных сумм, чем погашение той
же суммы долга при той же ставке по потребительской схеме, коммер-
ческая и актуарная схемы погашения дешевле (лучше), чем потреби-
тельская для должника. Однако этот факт иногда выражают в виде ут-
верждения, что ставка, указываемая в потребительской схеме, не явля-
ется реальной стоимостью кредита, а занижена, т.е. действительная сто-
имость кредита заметно превышает договорную процентную ставку [28].

Для того чтобы последнее утверждение было осмысленным, необ-
ходимо уметь находить «истинную» процентную ставку для данной
схемы погашения и, в частности, уметь находить реальную стоимость
потребительского кредита. Следует четко осознавать, в чем, в сущнос-
ти, состоит проблема определения «истинной» или, как еще говорят,
внутренней процентной ставки схемы погашения. Пока в рамках схемы
простых процентов есть лишь одна однозначная общепринятая харак-
теристика стоимости кредита, которая была определена для простой
кредитной сделки, — это нормированная процентная ставка.

5.4. Нормированные простые ставки обобщенных кредитных сделок

Нормированная процентная ставка простой сделки со сроком Г,
начальной суммой долга Р и полной суммой 5определялась как
РТ тур )

Отсюда в § 3.3 было получено ключевое уравнение

Р(1 + /Г)=5,
которое можно рассматривать как уравнение баланса для простой
сделки, где основной долг погашается одним погасительным платежом

С = 5=Р+/.

Его основная часть совпадает с начальной суммой долга Р, а процент-
ная — с величиной процентов за период сделки.

Рассмотрим обобщенную кредитную сделку, подразумевающую пога-
шение кредита с основной суммой Р, выданной в момент /0, и серией
погасительных платежей

Допустим, что в соответствии с условиями этой сделки погасительный
поток CF полностью погашает долг Р. Необходимо подчеркнуть, что
такое допущение есть просто соглашение сторон кредитного контракта-.
кредитора и должника.

Важно понимать, что в определении общей кредитной сделки нет
никакого упоминания о процентных ставках, как его не было и в случае
простой кредитной сделки. Формально сделка определяется лишь в тер-
минах контрактной эквивалентности двух потоков — кредитного и
погасительного. В нашем случае кредитный поток сводится к собы-
тию (Го, —Р), хотя на практике встречаются и более сложные ситуации,
например кредитная линия и т.п. Для обобщенной сделки, как это
сделано для простой кредитной сделки, можно поставить вопрос о коли-
чественной мере ее эффективности или стоимости. Иными словами,
можно ли каким-нибудь способом определить такую ставку, которая
отражала бы эффективность или стоимость обобщенной сделки в целом
с учетом внутренних (на периоде сделки) платежей? Искомую ставку
принято называть внутренней процентной ставкой сделки. Естествен-
но также требовать, чтобы в вырожденном случае, т.е. когда погаси-
тельный поток платежа сводится к единственному платежу, внутренняя
ставка сделки совпадала с простой нормированной ставкой сделки.

К сожалению, однозначно без предварительных предположений от-
ветить на этот вопрос невозможно. Однако вопрос становится коррект-
ным и внутренняя ставка вполне определенной, если изучать сделку в
рамках одной из приведенных выше моделей схем погашения. Поэтому
параметры /0, Ро, CF обобщенной кредитной сделки позволяют опреде-
лить, вообще говоря, не одну, ъ.три внутренние процентные ставки:

а) коммерческую ставку /сот, равную нормированной ставке i, для
которой выполняется условие баланса

В, =5.corn(-ACF,/) = 0

в коммерческой модели;

б) актуарную ставку iKt — нормированную ставку /, для которой
выполняется условие баланса

Я =Xact(-P,CF,/) = 0

в актуарной модели;

в) потребительскую ставку icons, для которой выполняется уравне-
ние баланса

Я =Vcons (~P,CF,i ) = 0

в модели потребительского кредита.

По крайней мере в двух случаях можно записать явные, причем ли-
нейные уравнения, определяющие внутреннюю ставку сделки. Так, для
коммерческой схемы погашения уравнение для ставки icom имеет вид

-Л1 + ' ('» - )) + ХС» (1 + Фя -'*)) = °-

(1=1

Решая это уравнение относительно /, запишем

4=1

Для потребительской схемы погашения имеем уравнение баланса,
определяющее потребительскую ставку

P(l+iT)=^Ct,

где T—tn~ tQ. Решая это уравнение, получим

" < " А

Yck~p XQ

/cons — 1=1----1 . (5 9)

PT rl Р )
Наконец, для схем погашения с одинаковыми погасительными
платежами, т.е.

С. = С = ... = С = С,
12 п ’

можно написать уравнение для актуарной ставки. Уравнение баланса
в этом случае (см. гл. 13) имеет вид

п п

/’(1+0 =£с, (1+/)'•-'* =С^(1

Л=1 А=1

Это нелинейное уравнение. Решая его одним из известных приближен-
ных методов, можно найти приближенное значение ставки /ас:.

Таким образом, вопрос, какова истинная ставка обобщенной кре-
дитной сделки погашения, некорректен. Ответить на него можно лишь
в рамках указанной схемы (модели) погашения. Поскольку условия
сделки представляют собой обоюдные соглашения сторон, то в конеч-
ном счете важно, действительно ли обе стороны соглашаются считать,
что погасительный поток СТточно и полностью погашает долг Р. Такое
соглашение может не предусматривать никаких упоминаний о какой-
либо модели погашения. Однако вопрос о модели погашения непре-
менна возникнет, если необходимо отслеживать процесс погашения
долга, находить его промежуточные состояния и т.д. Это особенно
важно, когда по тем или иным причинам исходная схема изменяется,
или, как говорят, долг реструктуризуется. В этом случае необходимо
знать невыплаченный остаток долга и прийти к соглашению о новой
схеме его погашения. Конечно, и в этом случае можно считать, что
стороны вновь просто договариваются о том, как видоизменяется
погасительный поток, чтобы по-прежнему он находился в балансе
с невыплаченным долгом.

На практике действуют систематическим образом, т.е. теоретически
стороны в любой момент времени знают состояние процесса погаше-
ния и свои позиции в нем. Но такое возможно лишь при известной
модели процесса или схемы погашения. Поэтому, хотя обобщенную
кредитную сделку можно описать в терминах лишь основного долга и
погасительного потока, такое описание будет неполным в двух отноше-
ниях. Во-первых, в случае расторжения, прерывания, реструктуриза-
ции и т.п., как отмечалось выше, необходимо определять «текущее
состояние» сделки. Во-вторых, без указания модели погасительного
процесса нет возможности сравнения эффективности (доходности) сдел-
ки, с точки зрения кредитора, и ее «стоимости», с точки зрения
должника. Указание модели погашения сразу позволяет находить эти
характеристики схемы погашения, описываемые внутренней простой
нормированной процентной ставкой. Тогда сравнение различных сде-
лок можно осуществлять по величине этой ставки, рассматривая,
естественно, обе сделки в рамках одной модели.

После сказанного становится ясно, что ответ на вопрос, какова
реальная стоимость потребительского кредита со ставкой /, тавтологи-
чен: она равна указанной ставке i. Если же под реальной стоимостью
понимать внутреннюю ставку в другой модели погашения, то это
некорректно. Можно лишь спросить, какова внутренняя процентная
ставка аналогичной (с тем же долгом и погасительным потоком)
сделки в другой, например коммерческой или актуарной моделях, но
это совсем другой вопрос.

Пример 5.6. Рассмотрим кредитную сделку с суммой долга Р = .7? 1000, погашае-
мого четырьмя одинаковыми платежами, по 7F300 в конце каждого квартала. Найти
внутренние годовые ставки для каждой схемы погашения.

Решение. Для коммерческой модели балансовое уравнение для ставки имеет вид

300(1 + ЗУ) + 300(1 + 2/) + 300(1 + j) + 300 = 1000(1 + 4/),
где j — ставка за квартал, или

1200 + 1800/— 1000 + 4000/.

Отсюда получаем, что

j = 0,0909
и, следовательно, годовая ставка

= 4/= 36,36%.

В потребительской схеме имеется уравнение

1000(1 +/) = 4-300 = 1200,
откуда

/сога - 20%.

Наконец, в актуарной модели для квартальной ставки/ получаем уравнение

300(1 +/)’ + 300(1 +/)2 + 300(1 +/) + 300 = 1000(1 + /)4.

Это уравнение имеет единственный положительный корень. Решая его одним из
приближенных методов, получим

/= 0,07715,
и, следовательно, годовая актуарная ставка

i = 4/ = 0,3086 или /ас; = 30,86%.

Как показывает пример, при погашении долга равномерными пога-
сительными платежами самая высокая ставка соответствует коммер-
ческой модели. Именно этот факт, по-видимому, и служит основанием
для вывода о том, что реальная ставка кредита в данном примере —
не объявленные 20% годовых потребительской схемы, а, например,
36,36% коммерческой. Однако кроме коммерческой схемы есть еще
и актуарная модель; ей соответствует 30,86%, что больше потребитель-
ской, но меньше коммерческой ставки. Какая из двух ставок реальная?
Вполне возможно придумать и другие схемы погашения, дающие
и другие значения стоимости кредита. Бесспорным является факт, что
схема (актуарная и коммерческая), учитывающая временную стоимость
денег, дает значения внутренней ставки более высокие, чем потреби-
тельской ставки. Однако, на наш взгляд, все же прямое сравнение
ставок, полученных в разных моделях, строго говоря, некорректно.

Как неоднократно сможем убедиться в дальнейшем, определение
индивидуальных характеристик сделок — это, в некотором смысле,
произвольный акт. Для определения эффективности или относительной
стоимости кредита можно было бы использовать не обычную норми-
рованную простую ставку, а ее логарифм или коэффициент роста,
и вообще некоторую функцию временных и финансовых параметров.
В последующем мы определим так называемую эффективную ставку
сделки. Каждое такое определение есть по существу, задание конкрет-
ной модели оценивания эффективности и/или стоимости кредитной
операции. Непосредственное сопоставление значений ставок для одной
и той же сделки, но в разных моделях, вообще говоря, некорректно.
Однако осмысленным является сравнение эффективности разных сде-
лок относительно одной и той же модели. Поэтому «дороговизна»
потребительской схемы погашения заключается не в том, что суще-
ствует какая-то «истинная стоимость» этой сделки, которая будет выше
объявленной ставки, а в том, что реальные погасительные платежи для
заданной суммы кредита при этой объявленной ставке в других схемах
оказываются существенно меньшими.

Пример 5.7. Найти величину погасительного платежа для кредита .#100.0, пога-
шаемого четырьмя одинаковыми выплатами в конце каждого квартала по ставке 20%
годовых в каждой из рассмотренных моделей.

Решение. Для потребительского кредита величина платежа

Ccons = 1000^^ = 300(?#).

Для коммерческого правила из уравнения баланса получаем

( 2^ ( И

+ 2Г 1+0,2- — + Х 1+0,2 — + Х,
\ 4/ v 4;

или

1200 = 4,ЗХ
откуда

Ccom = 279,07( .77).

Для актуарной модели уравнение баланса имеет вид

или

1215,506Х= 4,3101.

Отсюда

Сас1 = 282( J?).

Как и следовало ожидать, самой дешевой по погасительным платежам для заданной
годовой ставки 20% является коммерческая модель.

Факт, сформулированный в конце предыдущего примера, выполня-
ется и в общем случае. Для любых заданных величины кредита и ставки
среди всех схем погашения с равными платежами наименьшей величиной
погасительного платежа будет обладать коммерческая модель. Вместе с
тем для любой кредитной сделки с одинаковыми погасительными плате-
жами, внутренняя ставка по коммерческой схеме будет наибольшей.
Несложное доказательство этих утверждений оставляем читателю.

Вопросы и упражнения

1. Опишите обобщенную кредитную сделку. Какова структура представляющего
потока платежей сделки? Что такое состояние (баланс) сделки в момент г?

2. Опишите регулярную схему погашения долга с постоянными погасительными
платежами в коммерческой и актуарной моделях.

3. Опишите основные амортизационные схемы погашения долга для потребительс-
кого кредита.

4. Что такое внутренняя (нормированная) ставка обобщенной кредитной сделки?
Выпишите явное выражение для этой ставки в случае: а) коммерческой модели;
б) актуарной модели с одинаковыми погасительными платежами; в) модели потреби-
тельского кредита.

Задачи

1. Долг погашается ежемесячными платежами. Сумма долга .#8000, простая про-
центная ставка по кредиту равна 18% годовых. В конце 1-го месяца инвестор выплатил
Зд 1000, в конце 2-го — .772000. Правило погашения долга — актуарное. Сколько из
второй выплаты ушло на проценты? Каков невыплаченный остаток долга?

2. Долг в .7710 000 погашается тремя выплатами по . 773000 в конце каждого квартала
(3 мес.) и заключительного платежа в конце года. Найти величину заключительного
платежа, если простая ставка по кредиту составляет 10% годовых и используется
актуарное правило.

3. Покупатель может купить машину либо за наличные по цене $6000, либо в кредит
на год, погашаемый двумя платежами по $4000 в конце каждого полугодия. Какой
вариант оплаты выгоднее для покупателя, если простая процентная ставка по депозитам
(на любой срок) в банке равна 20% годовых? Найти решение для коммерческого и
актуарного правил.

4. Долг в .ЯЧ0 000 погашается двумя месячными платежами: в конце 1-го месяца
выплачивается .#5000 и в конце 2-го .#8000. Какова процентная ставка (головая) по
кредиту, если погашение осуществляется по коммерческому правилу?

5. Долг в .#7000 погашается двумя одинаковыми выплатами в конце каждого года.
Простая процентная ставка составляет 7% годовых. Какова величина выплат, если
погашение осуществляется по коммерческому правилу?

6. Магазин допускает покупку в кредит, который погашается по коммерческому
правилу двумя одинаковыми платежами по .#800 в конце каждого полугодия. При
какой простой процентной ставке по депозитам в банке покупка в кредит станет
выгоднее, чем оплата наличными?

7. Автосалон продает машину в кредит, который погашается четырьмя выплатами по
$2000 в конце каждого квартала. Какую сумму должен покупатель вложить в банк под
простые проценты по ставке 20% годовых, чтобы оплатить кредит снятием сумм
погашения с этого счета? Найти решение для коммерческого и актуарного правил.

8. Долг в .#5000 погашается выплатами .#2000 и .#4000 в конце ]-го и 2-го годов.
Какова простая процентная ставка по ссуде, если действует актуарное правило?
Г Л А В A 6. Потоки ПЛАТЕЖЕЙ В СХЕМЕ ПРОСТЫХ ПРОЦЕНТОВ

В предыдущих главах нам уже неоднократно приходилось сталкиваться
с финансовыми потоками. В § 3.4 мы определили операцию приведе-
ния потоков формальным образом, распространив на потоки опера-
цию приведения событий. Это определение было формальным в том
смысле, что оно не было непосредственно связано с какой-либо из
содержательных моделей. В гл. 4 и 5, посвященных моделям с перемен-
ным капиталом и обобщенным кредитным сделкам, естественным
образом появилась операция приведения потоков платежей к будущим
моментам времени в рамках конкретной модели. Соответствующие
операторы будущей (накопленной) стоимости мы назвали модельны-
ми. Как было показано, в некоторых случаях эти операторы совпадают
со стандартным (формальным, см. гл. 1) оператором будущей стоимос-
ти. Тем не менее такое совпадение наблюдается не всегда. Так, для
актуарной модели стандартный и модельный операторы будущей сто-
имости не совпадают.

Еще сложнее вопрос с операцией дисконтирования или нахождени-
ем текущей стоимости потока платежей. Для простейшей, мультисчет-
ной модели совпадение стандартного оператора текущей стоимости
с модельным достаточно очевидно. Для остальных моделей нетриви-
ально, как будет показано ниже, само определение текущей стоимости.

Главной трудностью является то, что это определение — неявное,
в том смысле, что не дает непосредственного правила для вычисления
текущей стоимости потока, а лишь отвечает на вопрос: может ли
заданное конкретное значение быть текущей стоимостью данного
потока? Однако эта трудность преодолима. Ниже будет показано, что
формальное перенесение на потоки определенной в § 3.4 операции
относительного приведения событий позволяет дать явное выражение
для общей операции приведения потоков в схеме простых процентов.

В этой главе мы завершим анализ потоков платежей в схеме простых
процентов. Вначале систематизируем полученные факты, касающиеся
будущей стоимости потоков в рамках конкретных (содержательных)
моделей. Затем в рамках этих же моделей дадим точное определение
понятия текущей (дисконтированной) стоимости и опишем ее свойства.
Наконец, рассмотрим полученные результаты с чисто формальной
точки зрения или, более точно, с точки зрения стандартной схемы
простых процентов, оперирующей лишь правилами преобразования
и эквивалентности событий и потоков.

6.1. Будущая стоимость потоков платежей

В гл. 4 была подробно изучена динамика различных накопительных
моделей в схеме простых процентов. Для мультисчетной, коммерчес-
кой и актуарной моделей был явно описан алгоритм (правило) получе-
ния текущего состояния St процесса процентного роста исходя из
заданной процентной ставки I, начального состояния (Zo, 50) и внешне-
го потока CF дополнительных вложений или изъятий капитала, воз-
действующего на состояния процесса и изменяющего их.

В терминах § 1.4 поток CFявляется внешним параметром финансо-
вого процесса в выбранной модели. Таким образом, во всех случаях
можно представить связь между текущим S} и начальным состояниями
в виде уравнения

St^S^(S,,CF,i), />/0, (6.1)

где ^mod — функция (оператор) динамики счета в конкретной модели,
a S — состояние счета в момент времени /. Здесь под 5 понимается
полное или обобщенное состояние счета в каждой модели. Поскольку
(6.1) характеризует будущее по отношению к начальному (Zo, 5*0) состоя-
ние, то оператор 5'/mod можно рассматривать как оператор перехода или
приведения начального состояния к будущему и записать

(6.2)

не указывая, как обычно, процентную ставку /.

Формула (6.2) играет важнейшую роль в определении корректных,
т.е. согласованных с рассматриваемой моделью, понятий будущей и те-
кущей стоимости потока платежей. Наша ближайшая цель — опреде-
ление и анализ этих понятий.

Выше подробно рассмотрены операторы приведения или операто-
ры будущей и текущей стоимости для отдельных событий и связанное
с ними отношение эквивалентности событий (см. § 3.3). Кроме того, в
§ 4.1 для потока платежей
CF -{(/р Q), (t2, С2),..., (/„,
были введены его простейшие характеристики — будущая

^(c/7)=SQ(1+'('-4)), (6.3)

Л=1

и текущая (дисконтированная)

стоимости, названные стандартными (см. § 3.4). Стандартная будущая
и текущая стоимости получаются линейным продолжением на потоки
аналогичных понятий для отдельных событий, т.е.

fV,(CF)=^FV,(CFt) (6.5)

*=1
и

PF,ACF)=tpKScV- <6-6)

Иными словами, стандартная будущая или текущая стоимости потока
есть просто сумма соответственно будущих или текущих стоимостей
отдельных событий.

П р и м е р 6.1. Для потока

CF = {(1,200), (2, -500), (3,600)}

найдем накопленную к моменту t = 4 и текущую в момент t = 0 стоимости, если
нормированная ставка i = 20%.

Решение. Для стандартной будущей стоимости имеем

FVi (CF) = 200(1 + 0,2 3) - 500(1 + 0,2 2) + 600(1 + 0,2) = 340(3?),
а для текущей стоимости

PVa (CF) = —---+ 600 = 184,52 (3?).

v 7 1 + 0,2 1 + 0,2-2 1 + 0,2-3 '

Введенные стандартные операторы будущей и текущей стоимости
обладают рядом «хороших» свойств. Например, они линейные и легко
вычисляются. Однако эти свойства имеют скорее математический,
формальный характер. Куда более важен вопрос о содержательном,
финансовом смысле понятий стандартных операторов будущей и теку-
щей стоимостей в рамках рассмотренных выше моделей. Собственно
это и составляет содержание данного и следующего параграфов.
Более точно, в данном параграфе речь будет идти о том, в какой
мере понятие оператора будущей стоимости согласовано в рамках
данной модели с ее динамикой, задаваемой уравнением (6.2). Так,
образуя расширенный (порождающий) поток

CF' ={(?„, )} + CF = {(?0,50), (Z,, С, С,)},

получаемый присоединением к внешнему потоку CFначального состо-
яния, можно спросить, будет ли в данной модели выполняться соотно-
шение t х .

5, = n7"(50,CF) = /T;(CF ), (6.7)

т.е. даст ли модельный оператор перехода к будущему моменту t тот же
эффект, что и стандартный оператор будущей стоимости? Мы уже
знаем, что это так для мультисчетной и коммерческой моделей, по-
скольку, как показано в § 4.2,

S, = FVr^CF} = FV,[CF-}, (68)

но это уже не так для актуарной модели.

Пример 6.2. Рассмотрим накопительный счет с начальным состоянием
/„=0; \;=Л100.

Пусть нормированная процентная ставка счета 20%, а внешний поток взносов и изъятий
имеет вид

CF = {(1, 100), (2, -100)}.

Найти состояния счета в момент t = 3 в коммерческой и актуарной моделях. Проверить
для этих моделей условие согласованности (6.7).

Решение. Рассмотрим сначала коммерческую модель. Для нее получаем таблицу
состояний (табл. 6.1).

В этом случае

Р3=..^100; /3=.#80

и, следовательно, = J?180.

Актуарная модель представлена в табл. 6.2.

Отсюда следует, что

^=^192.

Наконец, для расширенного (порождающего счет) потока

СГ = {(0, 100), (1, 100), (2, -100)},
согласно (6.5) имеем

/%(СГ) = 100(1 + 3-0,2) + 100(1 + 2 0,2) - 100(1 + 0,2) = 180(?/?).

Таким образом,

5гт = .то = лл(сГ').

Как и ожидалось, для коммерческой модели условие согласованности будущих стоимо-
стей выполнено, а поскольку
5Т1 = ^192*ЛДСГ),

то для актуарной оно не выполняется.

Табл и ц а 6.1

t С р J / 5
0 100 100 0 0 100
1 100 200 20 20 220
2 -100 100 40 60 160
3 — 100 20 80 180

Табл и на 6.2

t С р J 1 5
0 100 100 0 0 100
1 100 200 20 20 220
2 -100 160 40 0 160
3 — 160 32 32 192

В дальнейшем будем рассматривать модельные операторы будущей
FKfmod и текущей стоимостей произвольных потоков. Чтобы не
использовать громоздкую верхнюю метку, обозначающую модель, к о-
бозначению операторов присоединим начальную букву «А» для актуар-
ной и «С» — для коммерческой. Тогда для актуарной модели эти
операторы получат обозначения AFVt и АРУг, а для коммерческой —
CFV и СРУ. Для мультисчетной модели оставим естественные для нее
стандартные обозначения.

Вернемся к точному определению оператора будущей стоимости
потока для коммерческой и актуарной моделей.

Как было показано, роль оператора будущей стоимости потока
в коммерческой модели играет стандартный оператор будущей сто-
имости , т.е.

CFyt(CF) = FV'(CF). (6.9)

Это обусловлено выполнением условия согласованности (6.7) для
коммерческой модели.

Напомним, что в основе определения будущей стоимости лежит
уравнение (6.2). Отметим одну деталь, связанную с этим уравнением.
В нем присутствует некоторое начальное состояние, не связанное, вооб-
ще говоря, с потоком CF, который является внешним параметром.
Поскольку нашей целью является определение будущей, а в дальней-
шем и текущей стоимостей, применяемых непосредственно к потокам
платежей, то следовало бы модифицировать основное уравнение (6.2)
таким образом, чтобы в нем не присутствовало упоминание о началь-
ном состоянии, не связанном с рассматриваемым потоком.

Такая модификация возможна двумя способами. При первом мож-
но условиться, что первый элемент потока представляет собой началь-
ное состояние. Тогда

5, = РГ “d (СТ) = /Т)"’"' ((г,, 5)), СТ'), (6.10)

где CF'— остальная (кроме первого платежа) часть потока.

При втором способе можно всегда в качестве начального состояния
выбирать нулевое, т.е.

^0 “ ^0 < Ч’

Тогда

S, = (CF) = FVtmod((r0,0), CF), t>/0. (6.11)

Легко показать, что (6.11) не зависит от выбора начального момента
tQ; требуется лишь, чтобы он предшествовал всем платежам потока.
Кроме того, легко показать, что оба определения эквивалентны. Мы,
по существу, воспользовались первым определением при формулиров-
ке условия согласованности (6.7).

Как было показано в гл. 4, будущая (накопленная) стоимость
потока в коммерческой модели совпадает со стандартной будущей
стоимостью (6.9) и, как это следует из примера 6.2, стандартный
оператор будущей стоимости не согласован с актуарной моделью.

Выражения (6.8) и (6.9) однозначно определяют понятие будущей
стоимости потока для коммерческой модели. Однако для актуарной
модели в общем случае нет явного выражения для этого оператора
в виде простой формулы наподобие (6.3).

В частных случаях, например для знакопостоянных потоков плате-
жей, т.е. потоков, в которых все платежи либо положительны, либо
отрицательны, актуарная и коммерческая модели дают один и тот же
результат. Следовательно,

CFV'(CF) = AFV'(CF) = FF(CF).

Наличие платежей с разными знаками существенно усложняет
дело. Так, нарушается принцип линейности, т.е. для актуарной модели
будущая стоимость не является суммой будущих стоимостей платежей
потока. Для потока

CF= {(I, 100), (2,-100)}
из примера 6.2 (при ставке i = 20%) имеем

ЛЩ100) =/%(100) = 100(1 + 2-0,2)= 140(.+>);

АГУг(-100) = /%(-100) = -100(1 + 0,2) = —120(.+?).

Оставляем читателю самостоятельно подсчитать, что AFV^CF) = 24( FA).
Таким образом, получаем

AFV3 (CF) = 24(.+?) + (100) + F И3 (-100) = 20(.+?).

Нелинейность оператора будущей стоимости в актуарной модели
обусловлена нелинейным характером связи потока платежей с процен-
тным и основным счетами в этой модели. В то же время в коммерчес-
кой модели основной и процентный счета изменяются «практически
независимым» образом, а в мультисчетной модели отдельные платежи
потока вообще полностью независимы и порождают собственные
субсчета, что и обеспечивает линейность соответствующего оператора
будущей стоимости для этих моделей.

В завершение обсуждения понятия будущей стоимости отметим
еще два его важных отличия для коммерческой и актуарной моделей.
Речь идет о так называемом нулевом балансе потока.

Определение 6.1. Будем говорить, что поток

СГ={(/,,С1),(г2>С2),...,(?„,С„)}

имеет нулевой баланс относительно процентной ставки i в точке t> t
если будущая стоимость потока в этой точке для рассматривае-
мой модели равна 0, т.е.

FVrmwi(CF) = 0.

Поведение точек нулевого баланса существенно различается в ком-
мерческой и актуарной моделях.

В коммерческой модели точка нулевого баланса определяется един-
ственным образом. Действительно, линейное относительно Гуравнение

lAO+'V-'. ))=0 (6.12)

fc=l

имеет не более одного решения.

Напротив, если точка f — точка нулевого баланса для потока CF
в актуарной модели, то всякая следующая за ней точка t > f также
является точкой нулевого баланса, т.е. если
AFV.(CF) = 0,

ТО

AF7,(CF) = 0, t>t*. (6.13)

Это свойство связано с тем, что в актуарной модели равенство нулю
полного счета возможно только при нулевых основном и процентном
счетах, т.е.

5, = />,= /,= О

тогда и только тогда, когда

поскольку в актуарной модели состояния основного и процентного
счетов не могут быть противоположными по знаку; Иными словами,
в актуарной модели всегда

Последнее свойство легко доказать индукцией по числу платежей
потока, рассматривая различные варианты перехода от состояния к
состоянию в актуарной модели. Не будем приводить здесь доказатель-
ство, оставляя его читателю. Проиллюстрируем сказанное примером.

Пример 6.3. Для потока

CF - {(0, -400), (1, 300), (2, 450)}

нормированная ставка / = 50%. Показать, что точки 2 и 3 являются точками нулевого
баланса потока в актуарной модели.

Решение. Таблица состояний для потока в актуарной модели приводится ниже
(табл. 6.3). Видно, что 7, = Р2 = 0, следовательно, 5, и все последующие состояния будут
нулевыми, таким образом, все точки, следующие за t* = 2, являются точками нулевого
баланса. Уравнение точки баланса для коммерческой модели имеет вид

- 400 (1 + 0, 5t) + 300(1 + 0, 5(/ - 1)) + 450(1 + 0,5(г- 2)) = 0 ,

или

175г= 250,
откуда

Г = 1,429
— единственная точка нулевого баланса потока.

Табл и ца 6.3

t С Р 7 5
0 -400 -400 0 -400
1 300 -300 0 -300
2 450 0 0 0
3 0 0 0 0
С помощью понятия нулевого баланса можно сформулировать
свойство, весьма важное для понимания смысла будущей (накоплен-
ной) стоимости потока. Оно формулируется следующим образом:

V;=FV^(CF)

тогда и только тогда, когда

ТГ“"(сГ) = 0, (6.14)

где

CF'= CF+{(/,-(<)} = (6'14'*

— расширенный поток, полученный присоединением к CF события

Содержательный смысл этого свойства очевиден. Если сумма И
равна будущей стоимости потока CF по ставке /, то, инвестировав
поток CF, в результате процентного роста получим сумму V, снятие со
счета которой в момент времени t приводит к нулевому балансу. Таким
образом, в рамках данной модели поток СТи событие (/, И;) являются
эквивалентными, т.е. сумма И — эквивалентное в финансовом смысле
представление потока СГв момент t.

6.2. Текущая стоимость потоков платежей

Обсудив понятие будущей стоимости потока, перейдем к анализу
понятия текущей (сегодняшней, приведенной) стоимости потока пла-
тежей. Оно симметрично понятию будущей стоимости. Его смысл,
таким образом, состоит в нахождении текущего (сегодняшнего) экви-
валента всех будущих платежей потока. Следовательно, если дан поток
CF, то его текущей стоимостью (в рассматриваемой модели) в момент го
является величина И([ такая, что инвестирование ее в момент Г() по
ставке / полностью обеспечивает все платежи потока. Это равносильно
тому, что снятие сумм Ck в моменты tk со счета, порожденного началь-
ным вкладом Ио, приведет в момент tn последней выплаты в точности
к нулевому балансу, т.е. в момент t будет выполнено равенство

5,_=0.

Таким образом, формальное определение текущей стоимости пото-
ка платежей базируется на той же идее взаимного баланса потока или
эквивалентности потока и его приведенного (к будущему или прошло-
му) значения.
Определение 6.2. Величина является текущей стоимостью в мо-
мент Го потока

Но = (CF
относительно ставки /, если

/к CcfUo,

’ If \ /

(6.15)

(16.15')
потоку CF
идентично

— расширенный поток, полученный присоединением к
начального события (/0, —Ко).

Приведенное выше определяющее соотношение (6.15)
условию (6.14), разница состоит л ишь в способе формирования расши-

ренного потока: приведенное значение потока с обратным знаком
присоединяется «к концу» исходного потока в случае будущей стоимо-
сти (6.14') и «к началу» — в случае текущей стоимости (6.15').

Строго говоря, если следовать «букве» приведенного перед фор-
мальным определением текущей стоимости описания смысла этого
понятия следует в качестве расширенного потока рассматривать поток

поскольку мы договорились вложение суммы И интерпретировать со-
бытием (/0, Ко), а снятие суммы Ск в момент tk — событием (rfc, - СД Это,
конечно, чистая условность, и результат, т.е. балансовое равенство (6.15)
не зависит от того, какой вариант расширения потока используется.

Наметив общую схему определения текущей стоимости потока
в схеме простых процентов, рассмотрим подробнее, что она дает в слу-
чаях конкретных моделей.

В § 4.1 при обсуждении модели мультисчета мы показали, что в ней
текущая стоимость потока совпадает со стандартной текущей стоимо-
стью (6.4). Таким образом,

" С

РУГ (CF) = (CF)гГ

Этот факт — естественное следствие полной независимости, кото-
рой обладают отдельные платежи потока в мультисчетной модели.
Поэтому обеспечение (финансирование) потока СТозначает попросту
обеспечение каждой из сумм Ск потока в отдельности, и, следователь-
но, текущая стоимость потока будет в этом случае обычной суммой
текущих стоимостей отдельных платежей потока. Наиболее яркий
пример (см. §4.1) — покупка пакета (портфеля) долговых обязательств.
Платеж Ск представляет собой сумму погашения Л-го обязательства,
а текущая стоимость потока этих платежей есть просто стоимость
пакета обязательств при заданном уровне процентной ставки (см. при-
мер 4.2).

Несколько неожиданным, пожалуй, является тот факт, что в ком-
мерческой модели, несмотря на совпадение модельной CFVj и стандар-
тной FVt будущих стоимостей, текущая стоимость потока будет отли-
чаться от стандартной текущей стоимости. Хотя мы и не нашли пока
явное выражение для текущей стоимости потока в коммерческой
модели, в сказанном можно убедиться с помощью простого контрпри-
мера.

П р и м е р 6.4. Для потока

CF-{(1, 200), (2, -500), (3,600)}

из примера 6.1 показать, что стандартная текущая стоимость не согласована с коммер-
ческой моделью.

Решение. В примере 6.1 было показано, что при ставке i = 20%

PVt)(CF) = 184,52( У.*).

Вместе с тем легко убедиться, что для расширенного потока

*CF= {(0, -184, 52), (1, 200), (2, -500), (3, 600)}

выполняется равенство

CF И. (‘СЛ) = (*CF) = ~15,23(Д?) * 0.

Таким образом, условие (6.15) не выполнено и, следовательно, стандартное значе-
ние текущей стоимости не является ее модельным (коммерческим) значением. Негруд-
но убедиться, что значение

Го=175(?/?)

будет корректным значением текущей стоимости этого потока в коммерческой модели.

Перейдем к выводу явного выражения для текущей стоимости
в коммерческой модели.

Уравнение (6.15) означает, что момент tn последнего платежа —
точка нулевого баланса; поэтому оно дает линейное относительно Ио
уравнение

+ + = (6.16)

Отсюда получаем, что
или в развернутом виде

(6-17)

(6.18)

В результате получаем явное выражение для текущей стоимости потока
платежей в коммерческой модели:

Jt=l

(6.19)

Пример 6.5. Какую сумму должен отец вложить сегодня на накопительный вклад
при ставке 8% годовых, чтобы обеспечить сыну ежегодные выплаты в размере 1000
в течение четырех лет обучения в колледже?

Решение. Считая, что вклад сделан в начале года, т.е. в момент времени t0 = О,
получим следующий поток платежей:

CF- {(1, 1000), (2, 1000), (3, 1000), (4, 1000)}.

Для расчета дисконтированного на момент времени t0 - 0 значения этого потока
воспользуемся формулой (6.18). Так как последняя выплата по окончании 4-го года
должна «обнулить» счет, то Г = 4 — точка нулевого баланса. Тогда

г IT 4-А:

JZ = У1000---^-4---->-

Й 1+0,08 4 - 0)

=1ооо1±№
1+0,08 4

+looolt^+ioool±^+iooo

1 + 0,08-4

1 + 0,084

—— = 3393,94(.М
1+0,08-4 ' '

Здесь и далее вычисления проводятся с точностью до сотых долей.

Для иллюстрации содержательного смысла дисконтированного значения К. пока-
жем теперь, что, положив сумму ~ JP3393, 94 на накопительный вклад при ставке 8%
годовых и снимая с вклада в конце каждого года .^1000, пользуясь при этом коммерчес-
ким правилом, через четыре года получим нулевое сальдо счета.

Действительно, в начальный момент времени = 0 на основном счете имеем

Д,- 3393.94(Т?).

Через год на эту сумму нарастут проценты

= Р()- 0,08 = 3393,940,08 = 271,52(М

Следовательно, состояние процентного счета в конце 1-го года

= 271,52( J?),

а основной счет после снятия с него .9? 1000 станет

Р1 = Д, - 1000 = 3393,94 - 1000 - 2392,94(.^).
За 2-й год нарастут проценты

4 - Pj’0,08 =2393,94-0,08 = 191,52(Л).

Таким образом, на конец 2-го года на процентном счете будет

4 = 4+ 4 = 271,52 + 191,52 = 463,04(+?),
а на основном

Л = 4 - 1000 = 2393,94 - 1000 = 1393,94(7/?).

Проценты за 3-й год составят

4 = 4'0,08 = 1393,94-0,08 = 111,52(J?).

Тогда к концу 3-го года состояние процентного счета

4 = I2 + J3 = 463,04 + 111,52 = 574,56( М
а основного

4 = 4 - 1000 = 1393,94 - 1000 = 393,94(7?).

И наконец, за 4-й год проценты составят

4 = 4'0,08 = 393,94-0,08 = 31,52(.+?).

Следовательно, процентный счет к концу 4-го года станет

4=4+4= 574,56 + 31,52 = 606,08(Ж

а сумма полного счета на этот момент времени

4 = 4 + 4 = 393,94 + 606,08 = 1000,02(+?),

т.е. имеем необходимую для последнего платежа сумму 7? 1000, после выплаты которой
счет обнуляется (с учетом точности расчетов).

Формулу (6.19) для текущей стоимости можно переписать, если
ввести специальный коэффициент «коммерческого дисконтирования»
(коэффициент приведения)

/ \ 1 + /(/ -4)

<6'20’

Тогда

с^;дст)=£с4<,/0л). (6.21)

fc=1

Нетрадиционный вид коэффициента дисконтирования может на-
сторожить. Он зависит от трех, а не от двух временных переменных,
в отличие от случаев, рассмотренных ранее (см. (3.16), (3.17), (3.18),
(3.19)). Смысл переменной tk ясен, она варьируется по моментам всех
платежей потока. Смысл /(1 также ясен: это точка приведения (полюс,
момент валоризации). Но какую роль играет переменная 4? В форму-
лах текущей стоимости она — момент последнего платежа. Это означает,
согласно формуле (6.15), служащей основой для определения текущей
стоимости потока, что именно в /я достигается нулевой баланс. Выбор
нулевого баланса в момент tn последнего платежа потока лишь один из
возможных вариантов. Выбирая в (6.15) точку' / для будущей стоимости
произвольным образом, лишь бы выполнялось условие t > tn, получим
различные варианты определения текущей стоимости, которые будут
согласованы с основным принципом ее определения.

Определение 6.3 (обобщенной текущей стоимости). Величина Иявля-
ется текущей стоимостью потока CF, сбалансированной относительно

точки/?, т.е.

K = P^W(C£), г <V2,...,/,</>, (6.22)

тогда и только тогда, когда

FK™“1(,CF) = 0, (6.23)

где

'CF = {(r,-K)} + C/:’. (6.23')

Это определение обобщенной текущей стоимости, т.е. текущей
стоимости потока, сбалансированной относительно точки р, дает для
нее, согласно (6.19), при tn = р и /0 = т явное выражение в случае
коммерческой модели:

CPrtw(C5) = tG^_?£). (6.24)

w i+'tp-q

Используя введенный выше коэффициент дисконтирования, (6.24)
можно записать в виде

CPVy\CF) = ±Ckv{tk,T,p).

(1=1

(6.25)

Определение 6.3 приводит к парадоксальному на первый взгляд
свойству обобщенной «коммерческой» текущей стоимости CPV^.
Так, если взять две различные точки нулевого баланса t', t", следующие
за всеми платежами потока, т.е. tn < t' < t", то, несмотря на то, что
никаких платежей после момента t поток CF не содержит, все три
значения текущей стоимости: основное

CPKt(Cf) = CPrr('-’(CF)

и два обобщенных СРУ)1 ’ (CF) и СРУ)' ' (Cf) будут попарно различны.
Пример 6.6. Для потока СГиз примера 6.5 найти значения текущей стоимости для
точек нулевого баланса t = 5, 6, 7,

Решение. В примере 6.5 мы нашли основное текущее значение потока CF:

CPVa (CF) = CPV^] (CF) = 393,94 (/>?)

относительно точки т = 0 и ставки i’ = 8% с нулевым балансом в момент t = 4 последнего
платежа. Смещая точку баланса на один, два и три шага вперед, по формуле (6.24)
последовательно получим

CPKO(5,(CF) = 3428,52(J?);

CPVy (CF) = 3459,46(2/?);

СРИ0(7) (CF) = 3487,18(2?).

Легко доказать линейность введенного обобщенного оператора те-
кущей стоимости:

CPI7)” (aCF) = аСРУУ (CF) (6.26)

CP^CF, + CF2) = CPVrw(CFl) + CPVrM(CF2), (6.27)
если все платежи лежат в промежутке [т, г]. Эти свойства немедленно
следуют из (6.22), (6.23) и (6.3), (6.9).

Свойство (6.27) позволяет рассматривать текущую стоимость пото-
ка для коммерческой модели как сумму текущих стоимостей его плате-
жей. Это кажется на первый взгляд неожиданным и противоречащим
сказанному выше о нелинейности ранее определенной основной теку-
щей стоимости, сбалансированной в момент последнего платежа. Од-
нако следует помнить, что здесь речь идет не о стандартной текущей
стоимости, привязанной к последнему платежу, и в случае отдельного
платежа к нему самому, а текущей стоимости с моментом приведения т
и моментом нулевого балансар.

Для отдельного платежа, т.е. события (Z, Q, коммерческий оператор
текущей стоимости дает приведенное к моменту тзначение

CPFtM(C,) = C,]i+')P~t\, t<t<p. (6.28)

l + z(p-r)

Выражение справа есть результат композиции двух стандартных опера-
торов приведения:

и
Таким образом,

СРИ«(С,) = />ИгоЯ;(С,), t<t<p. (6.29)

В § 3.4 указанную композицию мы назвали приведением к моменту
т относительно заданного полюса р и обозначили через PV^. Следова-
тельно,

CPKtw(C,) = /’KW(C,), X<t<p. (6.30)

С учетом этого факта можно записать для произвольных потоков

cpKrw(CT)=£/’K"'’(ct), r<zt</2<...</„<?. (6.3i)

*=l

Сумму справа можно рассматривать как определение операции
приведения потока СТ к моменту тотносительно выбранного полюса/?:

W (Cf) = £ Pi/W (q). (6.32)

*=1

Мы вернемся к этой конструкции в заключительном параграфе, посвя-
щенном общему анализу потоков платежей в схеме простых процен-
тов. Здесь отметим лишь одно обстоятельство. Распространение отно-
сительного приведения событий на потоки не зависит от взаимного
расположения момента приведения, полюса и критических моментов
потока, тогда как введенное определение коммерческого оператора
текущей стоимости предполагает взаимное расположение перечислен-
ных параметров, указанное в (6.31).

В заключение нашего анализа текущей стоимости потока для ком-
мерческой модели отметим два «предельных» свойства. Для любого
конечного потока CF

limCPKt(',)(CF) = y'Ct (6.33)

при фиксированных /, т, и

lim Р^}(CF) = 0 (6.34)

г—

при фиксированных р.

Эти свойства являются непосредственным следствием аналогич-
ных свойств коэффициента дисконтирования:

, . . \+i(p~ 5)

lim и(5,т,/?)= hm —-----г = 1 (6.35)

1 + l\p-T)
nmv(5,t,/>)=limi+.^_T) = 0. (б.зб)

Перейдем к актуарной модели. Построение операторов текущей
стоимости для актуарной модели строится на общем принципе, задава-
емом уравнениями (5.3) и (5.4). Иными словами, в качестве текущего
значения потока CF в момент т относительно балансовой точки р
и ставки i берется величина

r<z„r2,...,r,<p, (6.37)

такая, что

Л/ТД'СТ) = О, (6.38)

где

'CF = {(т,-И))+СТ (6.38')

— расширенный поток, полученный добавлением начального события

Здесь возникает одна тонкость. Известно, что условия (6.15) и (6.15')
действительно определяют текущее значение в коммерческой модели,
поскольку балансовое уравнение (6.16) допускает явное решение (6.17),
(6.18). Но для актуарной модели мы не можем явно решить (даже явно
записать) балансовое уравнение (6.38). Заметим, что даже если поток
знакоопределенный, т.е. CF> 0 или CF< 0, то хотя для такого потока мы
можем записать выражение его будущей стоимости, тем не менее
расширенный поток *CFбудет обязательно разнознаковым, поскольку
знак начального состояния —V будет обязательно противоположен
знакам платежей потока CF. Это именно тот случай, когда актуарное
правило дает результат, существенно отличный от коммерческого. Тем
не менее для некоторых случаев можно получить явное выражение для
текущей стоимости потока в актуарной модели. Это касается так
называемых рент, т.е. регулярных потоков с одинаковыми платежами.
В частности, для регулярного потока

CF = {(l,C),(2,C),...,(n,C)}

с постоянными платежами, т.е. ренты, будет показано, что текущая
стоимость в точке т=0ис нулевым балансом в точке р = п

АРУ^СР)^^' • (6.39)

к=1
Итак, мы определили для актуарной модели «обобщенный» опера-
тор текущей стоимости относительно произвольной точки нулевого
баланса. Ранее было показано, что изменение точки нулевого баланса
меняло значение текущей стоимости потока в коммерческой модели.
Это связано с единственностью точки нулевого баланса для фиксиро-
ванного потока. Известно, что для актуарной модели все точки, следу-
ющие за точкой нулевого баланса, сами являются точками нулевого
баланса. Таким образом, конкретный выбор этой точки в определении
текущей стоимости для актуарной модели несуществен, т.е. для любого
потока CF

AP^(CF) = APY,(CF}, P>tn,
где tn — момент последнего платежа потока. Это позволяет в обозначе-
нии текущей стоимости не указывать верхний индекс, отмечающий
выбранную точку баланса, и писать просто APVT(CF).

Пример 6.7. Рассмотрим трехлетнюю ренту

CF-= {(1, 100), (2, 100), (3, 100)}.

Найдем актуарную текущую стоимость этой ренты в момент т = 0 при ставке 20%
годовых.

Решение. Согласно формуле (6.39),

ЛРК (CF) =

100 100

1 + 0,2 + (1 + 0,2)2

100

+ (1 + 0,2)3

= 210,65.

6.3. Относительная приводимость и эквивалентность потоков
платежей в схеме простых процентов

Выше мы определили модельные операторы приведения потока
к выбранному моменту времени. Отметим, что во всех моделях буду-
щая стоимость определялась для момента времени, следующего за
всеми платежами потока, а текущая соответственно для момента, им
предшествующего. Таким образом, модельные операторы приведения
не являются всюду определенными относительно моментов приведе-
ния, поскольку приведение к промежуточным моментам по отноше-
нию к платежам потока не было определено.

С другой стороны, в гл. 3 мы определили стандартные операции
приведения денежных потоков. Эти операции получались в результате
формального распространения операций приведения событий на пото-
ки. Говоря о формальности такого распространения, мы имеем в виду
лишь то, что для него не требуется содержательная интерпретация.
Это, конечно, не значит, что получающиеся операторы приведения
«бессмысленны». Мы уже отмечали, что в ряде случаев модельные
операторы приведения совпадают с формально определенными стан-
дартными операторами приведения. Равенство (6.29) подтверждает
тесную связь между содержательными (модельными) и формальными
операторами. В этом параграфе более подробно рассмотрены финан-
совые потоки в схеме простых процентов и, в частности, связи между
различными вариантами операций приведения финансовых потоков.

Прежде всего напомним, что введенная в § 3.4 операция приведе-
ния потока основывалась на операции приведения событий:

PVp(C^Ctv{t,P\

(6.40)

где

(6.41)

— обобщенный коэффициент приведения (дисконтирования) в схеме
простых процентов.

Формальное распространение этой операции на потоки приводит к
определению

п п

W, (CF) = , р), (6.42)

fc=l к=1

— произвольный поток.

Таким образом, операция приведения потоков является линейным
продолжением операции приведения событий.

Этот факт очевидным образом влечет линейность операции фор-
мального приведения потоков платежей:

PVp (CF, + CF,) = PVf (CF,) + PVp (CF2)

и PVp(aCF) = aPVp (CF).

Выражение (6.42) можно записать в развернутом виде

PFp(CF)= G(l + <(p-/t))+ £

= (6.43)
где CF р — часть потока CF, включающая платежи до моментар; CF р
содержит платежи из CF после момента р.

Таким образом, приведенная стоимость потока платежей равна
сумме стандартной будущей стоимости части потока, предшествую-
щей моменту приведения, и стандартной текущей стоимости части
потока, следующей за моментом приведения.

Формальное текущее значение

Vp = PVp(CF)

потока CFопределяет событие (/?, И), которое является эквивалентным
(в формальном смысле) представлением потока CF, т.е.

* р

(pM)~CF.

Более общим образом можно определить формальную эквивалент-
ность любых потоков платежей в стандартной модели.

Определение 6.4. Пусть р — фиксированный момент приведения
(полюс). Потоки CFX и СЕ, в стандартной модели называются
формально эквивалентными в схеме простых процентов относительно
полюсар и процентной ставки г если их текущие стоимости в момент р
совпадают:

PV^CF^ PFp(CF2). (6.44)

Формальную эквивалентность назовем стандартной или простой
эквивалентностью (в схеме простых процентов), если это не будет
приводить к недоразумениям.

Данное определение эквивалентности потоков представляет собой
простое обобщение соответствующего определения эквивалентности
событий в схеме простых процентов (см. § 3.4). Оно действительно
является отношением эквивалентности, т.е. это рефлексивное, сим-
метричное и транзитивное отношение. Факт эквивалентности потоков
запишем в виде

cf’~cf2.

Ставку i (параметр схемы) обычно опускают в обозначениях опера-
торов приведения и отношениях эквивалентности событий и потоков.

Эквивалентность событий и потоков связана между собой есте-
ственным свойством.

Если события
(/„С,) и (^Q);

(г2,с2) и

и (С с;)
\ Л 7 Л/ у л7 п /

попарно эквивалентны относительно р:

Ск~С'к, Л = 1,2,..., я,

то будут эквивалентны и составленные из них потоки:

CF-CF'.

Обратное, вообще говоря, неверно, т.е. эквивалентность потоков не
влечет эквивалентности событий.

Пример 6.8. Доказать эквивалентность относительно момента времени р 3
и процентной ставки I = 20% следующих потоков:

CFX ={(1, 100), (5, 700)1;

CF, = {(-2, 250), (4, 168)};

CF3={(0, 200), (6, 512)}.

Решение. Заметим, что

(1,100)~(4,168),
так как

100(1 + 0,22) = 140 = у-^~
и

(-2,250)-(5,700),
так как

250(1 + 0,2-5) = 500 = --7---.
' f 1+0,22

Таким образом, события потоков CF, и CF, соответственно эквивалентны и, следо-
вательно, будут эквивалентными сами потоки. При этом текущая относительно р = 3
стоимость обоих потоков

РИ/СР,) = РГ (CF,) - 140 + 500 = 640.

Поскольку

517

РГ3 (CF3) = 200 (I + 0,2 3) + = 640,

То CF3 эквивалентен потокам CF} и CFr Заметим также, что события потока CF3
неэквивалентны никаким событиям потоков CFi и CFr
Мы распространили на потоки операцию приведения событий в схе-
ме простых процентов. В предыдущем параграфе при определении теку-
щей стоимости в коммерческой модели были получены важные соотно-
шения (6.31), (6.32). Они означают, что еще один формальный оператор
приведения потоков имеет содержательное значение. Этот оператор
основан на операции относительного приведения событий, которая, в
свою очередь, непосредственно связана со свойством эквивалентности
(замещаемости) событий относительно заданного полюса.

Операция относительного приведения событий в схеме простых
процентов подробно рассматривалась в § 3.4. Напомним ее определение:

Р^11С\<=С,^д-. (6.45)

ф. р)

Формальное распространение этой операции на потоки приводит к
следующему определению.

Определение 6.5. Приведенным к моменту т значением потока CF
относительно полюсар (и ставки /) называется величина

V, = (СТ) = X PV^ (Q) = XG (6.46)

*7=1 fc=l V\T, Р)

Заметим, что знаменатель в (6.36) не зависит от элементов потока
CF. Учитывая это, формулу (6.36) можно переписать в виде

1 я

РГД(СТ) = -7—(6.46')
Р) Л=1

В тех случаях, когда момент приведения следует за всеми критичес-
кими моментами потока, соответствующее относительное приведен-
ное значение называется будущим значением потока относительно по-
люса р и обозначается как FV^ (CF).

Пример 6.9. Пусть задан поток СТ7следующего вида:

CF= {(1, 200), (2, -100), (4, 300)}.

Найти приведенное к моменту т~ 5 значение потока относительно полюса р = 0.
если нормированная процентная ставка 20% годовых.

Решение. Согласно формуле (6.46'), получим

PVF1 {CF} - -7-Ц PV. [CF] = (1 + 0,2 • 5) f —-+ -- 1 = 523,81.

5 v ' v(5,0) ° ' \1+0,2-1 1+0,2-2 1 + 0,2-4)

Формула (6.46') — аналитическое представление разложения опера-
тора относительного приведения в композицию стандартных операто-
ров приведения (см. § 3.4):
PV^ = PV,°PVp. (6.47)

Заметим, что именно нерасщепляемость финансового закона v(t, р)
в схеме простых процентов приводит к невыполнению свойства погло-
щения

PVToPVp=PVt. (6.48)

Однако для относительного оператора приведения имеет место специ-
альный закон поглощения

РУ^ о ру^ = ру(р\ (6.49)

Подчеркнем, что полюс р для всех операторов в (6.49) должен быть
одним и тем же.

Равенство (6.49) основано на легко проверяемом тождестве

РУроРУ^РУр^РУр. (6.50)

В самом деле, применяя оператор слева к произвольному событию
(/, Q и учитывая самосопряженность финансового закона v(t, р),
получим

С>(г, р)и(р, ф(т, р) = C,v(t, р),
что доказывает (6.50), а значит, и (6.49).

Обобщенный закон поглощения (6.49) означает, что относитель-
ный оператор приведения не порождает нового отношения эквивален-
тности событий и потоков. Более того, речь идет о том, что совпадение
приведенных к моменту т значений относительно полюса р потоков
CFj и CF, означает их простую (стандартную) эквивалентность.

В самом деле, применяя к равенству

PV^(CFX) = PV^{CF1)

оператор приведения РУ, на основании (6.50) получим равенство

риДсл) = /’Н,(са2),

т.е. простую эквивалентность потоков относительно полюса/?.

Остановимся на связи модельных (содержательных) операторов
приведения потоков в схеме простых процентов. Выше было показано,
что для потока

(^2’ Q)>’*•, (С1> Ся)}

При условии /?>/,, Г2,..., tn имеют место соотношения

(CF) = FK™lt (CF) = Fyp (CF).
Если к тому же выполняется условие т < t2,..., tn, то выполняется

равенство

FErmult (CF) = /yT(CF).

Для коммерческой модели имеет место более тонкое соотношение

= fyW^CF).

Здесь мы временно вернулись к более выразительным обозначениям
модельных операторов приведения CFV и CPV.

Модельные операторы приведения также отражают связанные с
ними отношения эквивалентности. Эквивалентность такого рода оп-
ределяется выбором точки приведения ти модели, относительно кото-
рой она определяется. При этом важно положение точки приведения т
относительно сравниваемых потоков. Эта точка либо следует за всеми
платежами потока, либо предшествует им. В том случае, когда точка т
следует за платежами потоков, говорят о постэквивалентности.

Определение 6.6. Потоки С1\ и CF2 постэквивалентны относительно
момента р и ставки /, если

FV^(CFx)^FV^(CF2),

где р следует за всеми платежами обоих потоков.

Если точкар предшествует платежам потоков, то говорят о предэкви-
валентности.

Определение 6.7. Потоки CF{ и CF2 — предэквивалентны относитель-
но моментар и ставки i, если

ppnod ) = pj/mod

где/? предшествует всем платежам обоих потоков.

В обоих определениях фигурируют модельные операторы приведе-
ния, согласованные с динамикой модели.

Строго говоря, для определения предэквивалентности в коммерчес-
кой модели необходимо уточнить выбор точки нулевого баланса. Если
потоки имеют разные моменты последних платежей, то можно в каче-
стве такой точки брать более поздний из них, но в любом случае
предэквивалентность в коммерческой модели существенно зависит от
выбора точки нулевого баланса. В то же время из сказанного выше
следует, что предэквивалентность в коммерческой модели равносильна
постэквивалентности относительно точки нулевого баланса. Формаль-
но это выражается утверждением
CPV,M (CF,) = CPVrM (CF2)<=> FVp(CF,) = FV„(CF2).

Таким образом, определение предэквивалентности в коммерческой
модели попросту излишне; ее полностью заменяет постэквивалент-
ность, которая равносильна стандартной эквивалентности относи-
тельно точки нулевого баланса р.

В актуарной модели текущая стоимость не зависит от выбора точки
нулевого баланса и, как легко показать, пост- и предэквивалентность
в этой модели различаются.

П р и м е р 6.10. Показать, что потоки

= {(1, 100), (2, -100)};

CF, = {(3,75)}
в актуарной модели для ставки / = 50% постэквивалентны относительно точки р = 3,
но не предэквивалентны относительно точки р = 0.

Решение. Найдем сначала AFVXCF} В этом случае

Р, = 100; /, = 0; /2 = 1000,5 = 50.

Учитывая, что

J2+C2 = 5O- 100 =-50 < 0,
имеем

/2 = 0
и

Л = Р, + Л + С, = 100 - 50 = 50.

Тогда

= 50 • 0,5 - 25
и

Р, = Р2 + J. = 50 + 25 = 75.

Следовательно,

AFV^CF^ = 75.

Поэтому потоки CF. и CF2 эквивалентны относительнор = 3.

С другой стороны, легко убедиться, что

APVn(CFx) = 22,222.

Действительно, в этом случае

Р„ =-22,222; /0 = 0; =-22,222 0,5 =-11,111.

Так как

^ + €, = -11, 111 + 100 = 88,889 > 0,

то

Р ,= Р + J + С = 66,667.

rp J V 1 1

1огда

J2 = 66,667 • 0,5 = 33,334

и, учитывая, что
J2 + С2 = 33,333 - 100 = -66,667,
имеем

/2 = 0
и

Л - ?! + Л + с2 = 66,667 - 66,667 = 0.

(Заметим, что вычисления здесь проводились с точностью до тысячных долей.)

Таким образом, для потока

’С?, = {<-22,222; 0)} + CF{
выполняется равенство

AFV^CFJ = О,
что и требовалось доказать.

С другой стороны, очевидно, что

APVACFX=—ZL_ = 30.
ov 1 + 0,5-3

Таким образом,

APV^CF^APV^CFJ

и, следовательно, потоки CFX и CF2 не эквивалентны относительнор = 0.

Итак, приходим к выводу, что в коммерческой модели постэквива-
лентность равносильна предэквивалентности, а в актуарной модели
эти два вида эквивалентности различаются.

Из сказанного следует, что коммерческая и мультисчетная модели
являются естественным образом «встроенными» в схему простых про-
центов. Все содержательно определяемые операции и отношения для
этих моделей имеют простые формальные аналоги в рамках абстракт-
ной схемы простых процентов. С другой стороны, актуарная модель,
определенная в рамках схемы простых процентов, имеет ряд суще-
ственных черт, относящихся скорее к схеме сложных процентов. Так,
выражение (6.39) для текущей стоимости ренты в актуарной модели
в точности совпадает с выражением для стоимости ренты в схеме
сложных процентов. Такая двойственность актуарной модели означает,
что использование только тех средств схемы простых процентов, кото-
рые были описаны выше, недостаточно. Разработка же «адекватных»
для этой модели средств неизбежно приведет к схеме сложных процен-
тов. Поэтому мы вернемся к некоторым аспектам актуарной модели
в главах, посвященных схеме сложных процентов.

На этом закончим изложение различных операций приведения
потоков и связанных с ними эквивалентностей в стандартной схеме
простых процентов.
6.4. Реструктуризация кредитных контрактов в схеме простых процентов

В финансовой практике довольно часто возникает необходимость
замены одного платежа или серии платежей на другой платеж (скажем,
более отдаленный) или другую серию платежей (с другими сроками
и суммами) таким образом, чтобы ни одна из сторон в таких операциях
не имела бы ни потерь, ни явных преимуществ. Таким образом,
упомянутые операции должны приводить к финансово эквивалент-
ны м ре зуд ьтатам.

Подобные ситуации возникают при различных изменениях дей-
ствующих кредитных договоров (контрактов). Например, должник,
сделав ряд погасительных платежей, просит кредитора об отсрочке
очередного платежа или об уменьшении его суммы взамен увеличения
других, более отдаленных платежей и т.п. Кредитор может согласиться
на такое изменение действующего соглашения при условии, что ничего
не потеряет. Таким образом, ключевым моментом в подобного рода
изменениях или, как еще говорят, реструктуризации действующих
кредитных контрактов является финансовая эквивалентность действу-
ющего и нового, преобразованного, контрактов.

В предыдущем параграфе подробно описаны отношения эквива-
лентности для потоков платежей, порождаемых конкретной использу-
емой моделью. В этом параграфе рассмотрим несложные примеры
применения этих видов эквивалентности в реструктуризации долговых
контрактов.

При мер 6.11. По взаимному соглашению кредитора и должника кредит в S1 000,
выданный в начале года, погашается двумя одинаковыми платежами по S800 каждый в
конце первого и второго кварталов. Должник, выплатив полностью первый погаситель-
ный платеж, попросил кредитора об отсрочке второго платежа до конца года. Какова
должна быть величина этого платежа?

Решени е. Следует обратить внимание, что в условии ничего не сказано о процен-
тной ставке по кредиту. На первый взгляд она обязательно должна присутствовать в ус-
ловии задачи, так же как и упоминание о схеме погашения, используемой в данном кон-
тракте. На самом деле существенно только последнее, т.е. знание конкретной модели
погашения. Как мы убедились при обсуждении схем погашения (см. § 5.6), схема пога-
шения и контрактная эквивалентность кредита и погасительного потока однозначно
определяют соответствующую (внутреннюю) нормированную процентную ставку. По-
скольку в условии нет указания о схеме погашения, то задача однозначным образом не
решается. Решим ее для двух вариантов схем погашения — коммерческой и актуарной.

Рассмотрим сначала коммерческую модель. Соответствующая процентная ставка
определяется из уравнения баланса для начальной сделки:
1000(1 + 2/) = 800(1 + /) + 800.

Здесь/ — ставка за квартал. Решая это уравнение, получимj = 50% за квартал или i~4j ~
= 200% годовых. Зная ставку, легко теперь выписать уравнение баланса для новой,
реструктуризованной сделки:

1000(1 +4-0,5) = 800(1 + 3-0,5) + Z

Решая уравнение, получим

Х = 1000($).

Рассмотрим теперь актуарную модель. Снова начнем с определения соответствую-
щей ставки. Уравнение баланса для первоначального контракта в актуарной модели
имеет вид

1000(1 +/р = 800(1 +j) + 800.

Полагая z = 1 +/, получаем квадратное уравнение

5z2 - 4z - 4 = 0.

Это уравнение имеет единственный положительный корень z = 1,3798. Отсюда следует,
что/ = 37,98%.

Для этой ставки уравнение баланса в новой сделке примет вид

1000(1 + 0,3798)4 = 800(1 + 0,3798)3 + X.

Отсюда

1523,07(5).

В заключение примера решим его, используя формальную эквивалентность сточ-
кой приведения, совпадающей с концом второго квартала.

Уравнение для определения ставки в этом случае совпадает с уравнением для
коммерческой модели и, следовательно, квартальная ставка /по этой эквивалентности
равна 50%. Однако уравнение баланса для новой схемы погашения будет иметь уже
другой вид:

1000(1+ 0,5-2) = 800(1+0,5) +—

Отсюда

Х = 1600.

Замечание. Не следует думать, во-первых, что в задачах реструктуризации
порядок действий таков, как в примере 6,11, т.е. сначала определяется ставка, а затем
находится преобразованный поток платежей. Контрактная ставка обычно известна,
и сами погасительные платежи в исходном контракте находятся по заданной ставке.
Во-вторых, начальная ставка и ставка, относительно которой проводится реструктури-
зация, могут не совпадать. Изменение ставки может обусловливаться разными условия-
ми, в частности, оно может быть предусмотрено в первоначальном контракте именно на
случай возможной реструктуризации. При этом, однако, несколько меняется смысл
эквивалентной замены платежей.

В примере 6.11 отношение эквивалентности определялось относи-
тельно начальной суммы кредита, а новый поток формировался из
выплаченных и перенесенных новых платежей. При изменении про-
центной ставки реструктуризацию осуществляют не относительно ис-
ходного долга, а относительно текущего баланса на момент начала
реструктуризации.
Пример 6.12. Рассмотрим кредит в S1000 из предыдущего примера. Пусть для
коммерческой схемы погашения после первого платежа и решения о реструктуризации
долга квартальная ставка увеличилась на 10%. Найти величину заключительного плате-
жа в конце года.

Решение. Из решения примера 6.11 известно, что для коммерческой модели
начальная ставка за квартал равна 50%. Знание ставки позволяет нам найти баланс на
конец первого квартала:

5] = -1000(1 + 0,5) + 800 = -700(5).

Согласно коммерческому правилу,

Р, - —200($); /, = -500(5).

Если в течение следующих трех кварталов действует новая ставка 60%, то уравнение
баланса для заключительного платежа будет иметь вид

-200(1 + 0,6-3) - 500 + Х=0.

Отсюда получаем

Х= 1060(5).

Заметим, что в коммерческой модели мы не могли просто привести сумму баланса
5, = —700 на конец года, т.е. определить последний платеж из уравнения

-700(1 + 0,6-3) + Х = 0

и получить Х= I960, поскольку состояние основного и процентного счетов в коммер-
ческой модели определяются раздельно. Точно так же некорректной была бы запись
уравнения баланса относительно начального кредита с новым погасительным потоком:

1000(1 + 0,6-4) = 800(1 + 0,6-3) + Х,

откуда X = 1160, поскольку новая ставка 60% действует лишь на трех последних
кварталах, а в течение 1-го квартала действовало старое кредитное соглашение со
ставкой 50% за квартал.

Конечно, если бы изменения ставки не происходило, то не было бы разницы между
эквивалентностью по исходной величине кредита с новым полным погасительным
потоком и по текущему балансу с новым остаточным погасительным потоком. И в
случае изменения ставки можно по-прежнему пользоваться полным уравнением балан-
са относительно начальной суммы кредита, но тогда следует учитывать изменение
ставки за последние три квартала.

Подробно обобщенные схемы, учитывающие изменения ставок, рассматриваются в
следующей главе, здесь же мы просто продемонстрируем сказанное на примере.

Уравнение баланса с учетом изменения ставки выглядит следующим образом:

1000(1 + 0,5-1 + 0,6 3) = 800(1 + 0,6-3) + X,

откуда снова получаем X = 1060(5), т.е, то же значение, что и для метода текущего
(остаточного) баланса.

Добавим несколько слов по поводу применения формальной экви-
валентности в схемах реструктуризации. С этой эквивалентностью
связаны два обстоятельства. С одной стороны, произвольный выбор
точки приведения. С другой — этот метод не предусматривает, по
крайней мере, явное разбиение рассматриваемых величин на основную
и процентную части. Поэтому применение формальной эквивалентно-
сти по текущему балансу некорректно. Изменение ставки в этом случае
учитывается в схеме приведения непосредственно так, как это было
сделано в примере 6.11. Уравнение баланса выписывается сразу для
всего потока.

Так, возвращаясь к предыдущему примеру, уравнение формальной
эквивалентности с точкой приведения на конец второго квартала и с
изменением ставки на 10% после первого платежа даст уравнение вида
-1000(1+0,5-1+0,6 l)+800(l+0,6)+j-^y^ = 0,

отсюда X = 1804($).

Мы проиллюстрировали идею реструктуризации кредитных кон-
трактов на простом примере. В общем случае идея та же.

Сначала выбирается определенный вид эквивалентности или, что
то же самое, вид эквивалентного преобразования сумм и событий,
участвующих в контракте. Затем, используя выбранную эквивалент-
ность, записывается уравнение баланса для нового преобразованного
потока, связывающего искомые погасительные платежи с уже сделан-
ными, атакже с другими известными параметрами контракта.

Рассмотрим одну общую схему реструктуризации, часто встречаю-
щуюся на практике. Речь идет о так называемой консолидации долга.
Допустим, должник имеет п обязательств, описываемых потоком со-
бытий

CF = |(Zj,С2),...,t, <t2 <

Кроме того, по соглашению с кредитором он желает погасить все эти
платежи одним консолидированным платежом С в некоторый момент Л
Необходимо найти условия, обеспечивающие эквивалентность такой
замены. Задача имеет много различных решений в зависимости от
конкретного типа эквивалентности и дополнительных условий, касаю-
щихся выбора момента t и величины С. Рассмотрим несколько типич-
ных уточнений.

1°. Момент t задан и следует за всеми моментами Щ Найти С,
используя формальную эквивалентность относительно t и ставки i.

В этом случае решение очевидно. Уравнение формальной эквива-
лентности имеет вид

С = £С 0+'('-'*))

А-=1
Таким образом, С будет просто стандартным будущим (накоплен-
ным) значением исходного потока обязательств.

2°. Величина С консолидированного платежа известна и равна
сумме исходных обязательств. Известна также процентная ставка /.
Найти момент t, в который должен быть осуществлен платеж, при
условии t > /0, где Го < tn, используя формальную эквивалентность
относительно точки консолидированного платежа.

В этом случае уравнение эквивалентности следующее:
п п

где v(tk, t) — обобщенный коэффициент дисконтирования. Таким
образом, полученное уравнение равносильно уравнению

Xct(a(/t,z)-i)=o.

£=1

Поскольку v(t, т) — ступенчатая функция, «склеенная» из линейной
и нелинейной функций, последнее уравнение, вообще говоря, нели-
нейно, и для его решения необходимо рассмотреть различные возмож-
ные варианты расположения искомой точки:

t< т

т)-1 = /(т-0;

t> т

v(t, т) —1 —

-/(г-т)

1 +1 (t - т)

Однако можно доказать, что для платежей одного знака точка
консолидации t обязательно лежит внутри отрезка [Г, tn] исходного
потока. Для иллюстрации рассмотрим сильно упрощенный пример.

П р и м е р 6.13. Для потока

CF~{(1, 100), (2, 200))

найти момент консолидированного платежа С относительно нормированной процент-
ной ставки i = 20%.

Решение. Возможны три варианта расположения точки: a) r< 1; б) 1 < t < 2; в) t> 2.
Для случая а) уравнение имеет вид

100 0,2----—- + 200 • 0,2-----= 0,

14-0,2(1 —f) 14-0,2(2 —г)

которое не имеет решений в области t< 1.

Для случая б) получаем уравнение

1 — t

100 0,2й-1)-200 0,2-----—z----- = 0,

v ’ 14-0,2(2 —г)
которое приводится к квадратному уравнению

20(г — 1)(1.4 - 0,20 - 40(2 - 0 = 0.

Его решение t = 1,65 удовлетворяет условию t е [1, 2].

Для случая в) уравнение имеет вид

100-0,2(/ - 1) + 200-0,2(/ - 2) = 0
и не имеет решений при t > 2.

Вопросы и упражнения

1. Запишите выражения для стандартных операторов будущей и текущей стоимос-
тей потока платежей в схеме простых процентов.

2. Дайте формальное определение оператора будущей стоимости потока для ком-
мерческой и актуарной моделей.

3. Что такое точка нулевого баланса в модели с переменным капиталом, порожден-
ной потоком платежей? В чем различие свойств точек нулевого баланса в коммерческой
и актуарной моделях?

4. Дайте общее определение текущей стоимости потока платежей в модели с
переменным капиталом для схемы простых процентов.

5. Приведите явное выражение для текущей стоимости произвольного потока плате-
жей в коммерческой модели и потока с одинаковыми платежами в актуарной модели.

6. Какая связь существует между «модельными» и относительными операторами
приведения платежей в схеме простых процентов?

Задачи

1. Для того чтобы накопить 000 за 20 лет, требуется инвестировать по ?/?200
ежегодно в начале каждого года. Какова соответствующая простая процентная ставка?
Для расчетов использовать коммерческую модель.

2. Найти текущую стоимость потока

CF~ {(1, 100), (2, 200), (3, 300)},

заданного в годовой шкале, при простой процентной ставке 20% годовых для: а) ком-
мерческой и б) актуарной моделей.

3. Найти будущую стоимость в момент т ~ 3 потока из задачи 6.2 для простой
процентной ставки / = 20% годовых относительно полюсов: а) р = 0; б)р = 2; в) р = 5.

4. Для потоков

CF{ = {(I, 100), (3, 200)}, СЛ2= {(2, 150), (4, 190)}

найти полюс р, относительно которого эти потоки эквивалентны в схеме простых
процентов при нормированной ставке i = 20%.

5. Могут ли для заданной простой процентной ставки существовать «абсолютно
неэквивалентные» потоки, т.е. потоки, неэквивалентные относительно любого выбран-
ного полюса?

6. Можно ли для заданного полюса найти два различных потока, которые не были бы
эквивалентными в схеме простых процентов ни для какой (неотрицательной) ставки?

7. Пусть задан поток CF. нормированная ставка / и момент приведения т. Существует
ли в схеме простых процентов полюср такой, что приведенное к ^значение потока отно-
сительно этого полюса является наибольшим среди всех других приведенных значений?
Г л а в a 7. Модели с переменной ставкой и общая схема
ПРОСТЫХ ПРОЦЕНТОВ

В этой главе изучим различные обобщения рассмотренных в предыду-
щих главах моделей для схемы простых процентов, допускающие
изменчивость процентной ставки. Такие обобщения имеют важное
практическое значение, поскольку на практике постоянство процент-
ных ставок встречается весьма редко и наблюдается обычно на корот-
ких временных промежутках для относительно стабильных сегментов
кредитного рынка.

7.1. Изменчивость процентных ставок. Кривые доходности и временная
структура процентных ставок

Пожалуй, одной из важнейших черт рассмотренных выше моделей
простой кредитной сделки, простого класса сделок и накопительного
счета является предполагаемое постоянство (нормированной) процен-
тной ставки. В наших моделях процентная ставка определялась, с од-
ной стороны, для индивидуальной сделки, с другой — для простого
класса сделок. Если в некоторый момент времени зафиксировать все
существующие, но не завершенные сделки, которые описывают кре-
дитный рынок в целом, то, согласно данному нами определению
простой эквивалентности сделок, эта совокупность всех мыслимых
сделок разобьется на простые классы, так что каждый класс сделок
будет иметь свою общую процентную ставку. На практике многообра-
зие получившихся классов и, следовательно, набор соответствующих
им ставок будет достаточно широким. Содержательно это означает, что
ДЛЯ «наблюдаемого состояния» кредитного рынка в целом ставки
варьируются в широких пределах. Эта вариация, или изменчивость,
определяется различными условиями заключаемых сделок, их времен-
ными, финансовыми и другими параметрами. Ставки по депозитам
Даже в одном банке могут зависеть от срока вложения денег и размера
вклада. Тем более эти ставки могут меняться от банка к банку, от одного
Долгового инструмента к другому и т.д.
Таким образом, имея в виду не конкретную сделку, а рынок в целом,
следует говорить не об одной, а о многих ставках. Отметим, что этот
аспект изменчивости относится к данному моменту времени. Так,
можно выяснить: каковы были ставки по трехмесячным депозитам на
1 марта 1995 г. в коммерческих банках Москвы? Однако, задав тот же
вопрос для другого дня, например для 1 марта 1996 г, скорее всего
получили бы другой ответ. Значит, ставки меняются не только при
переходе от одного класса к другому в данный момент времени, но и с
течением времени. Так, в период значительной инфляции ставки
обычно растут, а снижение инфляции ведет к снижению ставок. Эти
два аспекта изменчивости ставок связаны с тем, что ставки по конкрет-
ным сделкам зависят, с одной стороны, от момента открытия (начала)
сделки, а с другой — от продолжительности или срока сделки.

В самом деле, процентная ставка является интервальной величиной
(см. гл. 1) и с формальной точки зрения относится к заданному
промежутку (периоду) сделки:

* = (7.1)

Промежуток [?0, однозначно определяется началом /0 и длиной
Т= tx — tQ, которая содержательно означает срок сделки. Поэтому
можно записать

/=/,о(Т) = /(г0,Г). (7.2)

Хотя Л, и Г— с формальной точки зрения два временньтх параметра
кредитной сделки, их влияние на процентную ставку проявляется по-
разному.

Начальный момент tQ определяет текущее состояние кредитного
рынка, т.е. общеэкономические условия, в которых осуществляется
данная конкретная сделка. Поэтому его влияние будет определяться
этими экономическими условиями: инфляцией, спросом и предложе-
нием кредитных ресурсов, развитостью инфраструктуры рынка и т.д.
В этом смысле /0 — внешний параметр сделки.

Таким образом, зависимость (изменчивость) ставок по ?0 означает
их зависимость от меняющихся экономических (внешних) условий.
Напомним, что финансовый процесс, определяемый процентной став-
кой, не зависящей от t0, был назван однородным.

Напротив, срок сделки Т — внутренний временной параметр сделки.
На практике сделки с одинаковыми или близкими сроками имеют (при
прочих равных условиях) совпадающие или очень близкие по величине
ставки. Следовательно, именно срок часто является «управляющим па-
раметром», характеризующим многообразие процентных ставок.

Безусловно, кроме указанных временных параметров на ставку
влияют и другие факторы, упомянутые выше, и прежде всего факторы,
характеризующие риск сделки. Чем выше риск, тем при прочих равных
условиях выше процентная ставка. Однако при построении моделей
можно ограничиться рассмотрением класса сделок с близкими харак-
теристиками.

Изучение зависимости (нормированных) ставок от срока — одна из
важнейших проблем теории и практики финансов. В теории такая
зависимость называется временной, структурой процентных ставок. Для
равновесного кредитного рынка эта структура описывается функцией
/,о(Г), определяющей зависимость ставки / от срока Т. Попричинам,
которые станут ясными впоследствии, график функции /, (Г) называ-
ют кривой доходности, или кривой спот-ставок. Типичная кривая до-
ходности изображена на рис. 7.1.

На практике кривые доходности строят для определенного класса
однородных кредитных инструментов. Таким образом, кривая доходно-
сти описывает текущее состояние сегмента рынка этих инструментов.

Следует заметить, что изображение кривой доходности в виде не-
прерывной кривой безусловно является идеализацией. В любой мо-
мент времени на рынке существует лишь конечное число классов
сделок с одинаковым сроком, и такая кривая должна изображаться
Конечным набором точек на плоскости. Однако с точки зрения теории
Удобно описывать состояние кредитного рынка непрерывной кривой,
256 Глава 7. Модели с переменной ставкой и общая схема простых процентов
считая, что потенциально рынок определяет процентные ставки (по
крайней мере в принципе) для любых сроков.

Простейшая временная структура процентных ставок предполагает
независимость величины ставки от срока. Тогда

'dT)^‘:-const-

В этом случае говорят о плоской кривой доходности. Безусловно,
даже если на рынке будут наблюдаться только плоские кривые доход-
ности, то их уровень может меняться со временем. Иными словами,
кривая доходности будет испытывать параллельный сдвиг. Так, для
случая роста ставок

изображенная на рис. 7.2 кривая доходности переместится вверх.

Систематическое изучение временной структуры процентных ста-
вок требует более углубленного знакомства с финансовой математикой
и, в частности, со схемой сложных процентов. Здесь достаточно обще-
го замечания о характере зависимости нормированных процентных
ставок от двух важнейших временных параметров tQ и Т.

В гл. 3 мы, как правило, пользовались простейшим предположени-
ем о полном постоянстве процентной ставки'.

/,о(Т) =/ — const,

т.е. независимостью как от начального момента го (однородностью), так и
от срока Т. Тем не менее в ряде случаев мы сталкивались с ситуацией
переменных ставок. Так, в определении мультисчетной модели (см. §4.1)
7.1. Кривые доходности и временная структура процентных ставок 257
для каждого субсчета задавалась своя процентная ставка. В этом смыс-
ле мультисчетная модель является моделью с переменной ставкой.
Другие рассмотренные выше модели также допускают обобщение,
учитывающее возможную изменчивость процентных ставок. Так, при
изложении коммерческой и актуарной моделей отмечалось, что в
общем случае при допущении остатка счета любого знака (контокор-
рентный счет), на практике используется не одна, а две ставки: креди-
товая для отрицательного и дебетовая для положительного сальдо
счета. При этом мы ограничились так называемым симметричным
случаем, когда обе ставки совпадают.

Прежде чем переходить к формальному изложению моделей с пере-
менными ставками, обсудим влияние изменчивости на поведение
участников кредитных сделок.

Рассмотрим следующий пример. Пусть банк выдал кредит под залог
недвижимости (закладную) некоторому лицу для покупки дома. При
этом сумма долга равна гЯ. 100 000, а ставка составляет 15% годовых.
Предположим, что долг погашается ежегодными платежами в течение
20 лет, и каждый платеж состоит из .-#5000, идущими на погашение
долга, плюс проценты на остаток долга.

Легко видеть, что первые годы основная доля выплат будет прихо-
диться на проценты. Так, платеж за 1 -й год составит

;#20 000 = .#5000 (долг) + :#15 000 (проценты);

за 2-й год

:#17 750 = ;#5000 + .-#12 750
и т.д.

Если со временем ставки по закладным на рынке резко понизятся,
то должники по ним окажутся в невыгодном положении. Они будут
обязаны в течение долгого времени платить значительные проценты по
ставке большей, чем сложившаяся к тому времени на рынке. Банку-
кредитору такая ситуация выгодна, поскольку он получает повышен-
ный по сравнению со среднерыночным текущий доход. В такой ситуа-
ции многие должники прибегают к рефинансированию своего долга.
Для этого берут кредит в другом банке по новым сниженным ставкам и
погашают полностью остаток долга по закладной в первом банке и с
этого момента выплачивают новому банку пониженные проценты. Для
банков, первоначально выдавших кредит, это оборачивается массовым
Досрочным погашением кредита и тем самым сокращением ожидаемо-
го высокого процентного дохода.
Обратная ситуация складывается при росте процентных ставок. Бан-
ки, выдавшие кредит, получают тогда доход ниже среднерыночного.
Поскольку вкладчики этих банков, за счет средств которых и выдава-
лись кредиты по закладным, размещают средства на срок значительно
меньший, чем срок по закладным, то банк вынужден привлекать новые
вклады для финансирования закладных по новым повышенным став-
кам, получая проценты по закладным по старым низким ставкам.
В итоге это может привести к банкротству банка. Таким образом, в ус-
ловиях меняющихся рыночных процентных ставок долгосрочные сдел-
ки с постоянными ставками приводят к дестабилизации рынка.

Один из возможных выходов — введение плавающих, т.е. меняю-
щихся, процентных ставок. Это означает, что ставка за весь период
времени не фиксируется. Вместо этого она определяется лишь для
относительно небольшого ближайшего периода времени. С течением
времени она может пересматриваться как в большую, так и в меньшую
сторону в зависимости от сложившихся условий. Такой подход приво-
дит к моделям с переменной процентной ставкой.

Рассмотрим еще один пример. Пусть инвестор обладает свободной
в течение двух лет суммой в %?500 и решает положить ее на срочный
вклад. Допустим, что банк, которому инвестор доверяет, предлагает два
вида срочных депозитов: на 1 год по ставке 10% и 2 года по ставке 12%.

Дилемма инвестора состоит в выборе вида вклада. На первый взгляд
безусловно выгоден двухлетний депозит с более высокой ставкой.
Но предположим, что инвестор ожидает значительного повышения
ставок по вкладам через год (например, из-за постоянно растущей
инфляции). Допустим, что, по его оценке, через год ставки увеличатся
втрое. Ясно, что тогда выгоднее сначала вложить деньги на год по
ставке 10%, а затем накопленную сумму снова положить на годовой
депозит, но уже по ставке 30%.

Действительно, если инвестор размещает средства на двухлетнем
депозите, то в конце 2-го года он будет иметь

500(1 + 0,12-2)-610( %?).

Если же он размещает их сначала по ставке 10%, то в конце 1-го года
накопит сумму

500(1 + 0,1-1) — 550( %?),

а затем, вновь размещая ее на год, но уже по ставке 30%, получит

550(1 + 0,3-1) = 715(Л?).
Конечно, если ожидания инвестора не оправдаются и ставки оста-
нутся неизменными, то эта стратегия принесет ему всего

500(1 + 0,Г1) = 550(^)

в конце 1-го и

550(1 + 0,1-1) = 605(+?)
в конце 2-го года.

Если бы банк платил по двухлетним вкладам 10,5%, то при условии
неизменности годовой и двухлетней ставок обе стратегии были бы
равносильны, так как двукратное вложение на год обеспечивало бы
рост вклада в (1 + 0,1)(1 + 0,1) = 1,21 раза, и точно такой же рост
обеспечивает двухлетний вклад:

550(1 + 0,105-2)= 1,21.

Многократное повторение (итерация) однотипных кредитных сде-
лок приводит к моделям так называемых кратных сделок или моделям с
реинвестированием. Они служат мостиком между схемами простых
и сложных процентов.

Рассмотрим два направления для обобщения приведенных выше
моделей. Первое направление связано с введением переменных про-
центных ставок, а второе — с многократным повторением (суперпози-
цией, итерацией) однотипных (простых) кредитных сделок.

Говоря о введении переменных ставок в схему простых процентов,
следует отметить два подхода, позволяющих осуществлять такое введе-
ние. Каждый из подходов акцентирует внимание на разных аспектах
и формах изменчивости ставок, о которых упоминалось при анализе
выражения (7.2) для временной структуры процентных ставок.

В первом подходе основное внимание уделено изменению ставок
с течением времени. Для представления (7.2) это означает зависимость
от текущего момента / При этом вполне возможна независимость
структуры ставок /, (Т) от срока Т. Иными словами, для любого
момента времени t0 кривая доходности — плоская. Такой подход к
анализу изменчивости можно назвать динамическим, поскольку в нем
основное внимание уделено собственно изменчивости ставок.

При втором подходе, напротив, на первый план выдвигается аспект,
связанный с зависимостью ставок /, (Г) от различных сроков. При
этом вполне возможна независимость от /0: (Г) = /(7j.
Иными словами, мгновенная структура ставок не меняется со време-
нем, т.е. рынок находится в равновесии. Такой подход к анализу изменчи-
вости можно назвать структурным. Он используется, например, в задачах
оптимального выбора кредитного портфеля на равновесном рынке.

На практике присутствуют оба аспекта изменчивости. Поэтому
приходится применять комбинацию как динамического, так и струк-
турного анализа. В этой главе основное внимание уделим прежде всего
динамическому подходу, в некотором смысле более простому. Кроме
того, он тесно связан со вторым направлением обобщения схемы
простых процентов — с упоминавшейся выше итерацией простых
сделок. Коснемся кратко этой связи в простейшем дискретном случае.

Оба вида обобщения связаны с разбиением временнбй шкалы или
периода сделки [Го, 70 + 7] на последовательные подпериоды, образуе-
мые так называемыми критическими моментами t t ]

L < 1. < г < ... < / . < t — t + Т.
0 12 п — 1 л 0

В первом случае критические моменты будут совпадать с момента-
ми скачкообразного изменения процентной ставки, причем на каждом
подпериоде р tk] соответствующая этому периоду нормированная
ставка i считается постоянной.

Во втором случае с каждым подпериодом связана своя простая
кредитная сделка, так что tkи tk являются начальным и конечным
моментами k-й кредитной сделки с нормированной ставкой i.

Однако эти две схемы обобщения различаются коренным образом
по фундаментальному обстоятельству.

В первом случае (схема простых процентов с переменной ставкой)
проценты начисляются, как это и принято в схеме простых процентов,
только на основной счет.

Во второй схеме (кредитные сделки с реинвестированием) полное
состояние 5^ счета в конце £-го периода является начальным состояни-
ем Рк + ( основного счета следующего периода. Таким образом, в следую-
щем за данным периодом проценты будут начисляться как на сумму
основного, так и сумму процентов предыдущего периодов.

Перейдем к описанию моделей в схеме простых процентов с пере-
менной ставкой. Как и в предыдущих главах, начнем с анализа простых
моделей, имеющих вполне очевидную содержательную интерпрета-
цию, а затем перейдем к изложению общей схемы простых процентов.

Начнем с изложения наиболее простых дискретных моделей, в ко-
торых процентная ставка «кусочно-постоянна»
7.2. Дискретная модель в схеме простых процентов с переменной ставкой

Модель с постоянным капиталом. Начнем с анализа динамики про-
центного роста одной суммы. Рассмотрим произвольный промежуток
времени [?0, Го + Г] и начальную сумму Sf . Пусть указана последователь-
ность моментов tk, к - 1,2,..., л - 1 из промежутка /0 + Г] таких, что

t.<t}< Л <...</ .<ГП+Г=Г,

0 12 л — 1 0 л7

разбивающая промежуток [Го, на промежутки длины

^к~ ^~1>2,...,Л.

Тогда исходный промежуток [f(), tQ + Т\ представляется в виде объединения

['о> *" 2"] ~ UlX-15 ^к ]•
jt=l

Концы полученных промежутков разбиения, т.е. точки деления, назо-
вем критическими моментами.

Далее, пусть для каждого промежутка [^р задана своя, действую-
щая на этом промежутке, нормированная ставка ik, соответствующая
единичному базовому периоду. Другими словами, на промежутке [/0, /J
имеем ставку /р на промежутке [/, t ] — ставку / и, наконец, на
последнем промежутке [/ , / ] ставка равна

Покажем, что для наращенной суммы к концу tn = Го + Т
последнего промежутка имеет место следующее выражение:

[ п Л

. (7.3)

fc=l J

Докажем формулу (7.3), пользуясь методом математической индукции.

При п ~ 1 имеем всего один промежуток [Го, rj, tl = tQ + и,
следовательно,

^=5,o(l + V,).

т.е. формула (7.3) верна для л = 1.

Предположим теперь, что (7.3) выполнена для некоторого числа т
интервалов, 1 < т < и, т.е.

'+XV, (7.4)
Покажем теперь, что (7.3) имеет место также для случая, когда число
интервалов равно т + 1.

Так как рассматривается схема простых процентов, то наращение
процентов на начальную сумму St на каждом интервале [7 г]
происходит независимо от наращения на предыдущих интервалах.
Следовательно, имеем, что

(7.5)

Отсюда и из равенств (7.4) и (7.5) получаем, что

т+1

5Г =5,

Гт-г1

Л=1

Тем самым, формула (7.3) доказана.

В частности, если ставки на всех промежутках, составляющих раз-
биение промежутка [70, + Т], одинаковы, т.е.

то из (7.3) следует, что

\ _ \ + (^

(7.6)

Вспоминая, что + Г, приходим к выводу, что (7.6) есть не что иное,
как основная формула простых процентов (3.2), записанная в другой
форме.

Заметим, что произведение h.i. есть ставка за период [/. ., /,]:
К К К— 1л1

rrhk‘k’

так что формулу (7.3) можно переписать в виде

(7.7)

Наконец, из определения ставки за период и из последнего равен-
ства следует, что ставка гТ за период (70, есть сумма ставок за все
подпериоды l, Zj, k = 1, 2,..., п:
или коротко
п
rT^rt.
к=\

Это свойство аддитивности ставки за период будет играть важную
роль в последующем изложении.

Пример 7.1. Инвестор вложил в банк ./?5000 сроком на 4 года под простые
проценты. При этом контрактом предусмотрено, что процентная ставка за I-й год
составляет 10% годовых, за 2-й — 15% и за два последних года — 20%. Какова будет
накопленная сумма через 4 года?

Решение. В данном случае промежуток времени в 4 года разбивается на н = 3
интервала. При этом А, - 1 год, /?, = 1 год и /?3 = 2 года. Согласно условиям контракта
it = 0,1; /, = 0,15 и Л = 0,2. Тогда, считая, что контракт был заключен в момент времени г(1,
согласно формуле (7.3), имеем, что накопленная к концу срока сделки сумма равна

= 5000(1+0,1 1 + 0,15-1 + 0,2-2) = 8250(/л’).

Пример 7.2. Сумма .Т72000 вложена в банк под простые проценты сроком на
1,5 года на следующих условиях: процентная ставка за 1-й квартал составляет 10%
годовых, за 2-й — 12%, за два последующих квартала — 15% и за два последние
квартала — 20% годовых. Найти наращенную сумму по истечении срока вклада, а также
процентную ставку за период сделки и соответствующую годовую простую процентную
ставку.

Ре ще н и с. Задачу можно решить либо в исходной годовой шкале, либо переходя
к квартальной шкале.

В годовой шкале имеем

Т = 1,5; Л. ; h.=h =-.
1 2 4 3 4 2

Применяя формулу (7.3), получим

У5 =2000,1 + - 0,1+- 0,12 + - 0,15 + - 0,2 | = 2460(%1/).
(44 2 2 J ' ;

При выборе квартальной шкалы необходимо найти соответствующие квартальные
ставки для заданных годовых ставок. Если i - годовая, а/ — соответствующая кварталь-
ная ставка, тоJ = //4.

Следовательно, соответствующие квартальные ставки:

0 1 0 12 0 15 0 2 .

j = — = 0,025; д= —= 0,03; j\= — = 0,0375; Л = — = 0,05.
1 4 2 4 4 4

Применяя снова формулу (7.3), получим

\ = 2000(1 + 1-0,025 + 1-0,03 + 2'0,0375 + 2-0,05) = 2460(3?).
Процентная ставка за период сделки

2460-2000

2000

-^5-= 0,23, или 23%.

2000
Тогда нормированная годовая процентная ставка

О 23
/ = “—— = 0,1533, или 15,33%.
1,5

Модель с переменным капиталом. Мы изучили модель сделки с пе-
ременной ставкой для постоянного капитала. Совершенно аналогич-
но обобщаются на случай переменных ставок модели с переменным ка-
питалом, в частности коммерческая и актуарная и соответствующие им
модели обобщенных кредитных сделок. Случай переменных ставок
практически автоматически переносится на упомянутые модели. В -
этом случае наряду с критическими моментами образующего потока
CFнеобходимо рассматривать критические моменты, соответствую-
щие (скачкообразному) изменению процентной ставки. Фактически
в качестве исходных параметров модели задаются два потока: поток пла-
тежей CF — поток 1-го рода и поток ставок RF (rate flow) — поток 2-го
рода

где — промежуток времени; i — нормированная ставка, действую-
щая на этом промежутке.

Критические промежутки обоих потоков могут не совпадать. Одна-
ко можно добиться согласованного представления обоих потоков с од-
ним и тем же множеством критических моментов и промежутков, если
допустить нулевые (фиктивные) платежи в потоке платежей и повторя-
ющиеся (совпадающие) ставки в потоке ставок.

Критические моменты для согласованного представления образу-
ются объединением критических моментов обоих потоков, что соответ-
ствует измельчению (разбиению) исходных критических промежутков
этих потоков. Соответствующие значения платежей и ставок перено-
сятся естественным образом, платеж в новой критической точке (соот-
ветствующей изменению ставки) равен нулю, а значение ставки с
промежутка переносится на все более мелкие промежутки, образую-
щие измельчение исходного промежутка. Тогда согласованное пред-
ставление потоков имеет вид
где ак = [7 , 7J, к ~ i, 2,..., и, — критические промежутки, общие для
обоих потоков; Ск и i — платежи и ставки, соответствующие этим
промежуткам. Согласно сказанному выше, здесь считается, что если
момент tk не является критическим, соответствующим реальному пла-
тежу, то Ск = 0, а значение ставки 1к на интервале ст,, определяется
последним, предшествующим моменту 1к критическим моментом для
ставок.

Теперь легко обобщить рассмотренные в гл. 4 модели с переменным
капиталом на случай переменных ставок. В принципе ничего в описа-
нии этих моделей не меняется, кроме одного пункта, касающегося
вычисления текущих процентов за А:-й период <Ук, которые теперь
вычисляются по правилу

Л —

учитывающему значение ставки 1к на промежутке ак, здесь hk = tk - tk_r
В моделях с постоянной ставкой имеем, что ik — i для всех Л. В осталь-
ном никаких изменений в схемах расчетов для этих моделей нет.

Для коммерческой модели можно выписать рекуррентые формулы
для состояния счета в любой критический момент времени:

Легко переписать и рекуррентные формулы для актуарной модели.
Мы не будем этого делать, а ограничимся примером.

Пример 7.3. Рассмотрим в годовой шкале поток

Н \ (1 W3

CF = (0,200)J -,-Ю00 , -.1000 , -,-2000

Г 44 J\2 J\4

Найти состояние счета, порождаемого этим потоком, для коммерческой и актуарной
моделей, если начальный уровень процентной ставки 12% годовых и каждые два месяца
он увеличивается на 6% (в абсолютном смысле).

Решение. В этой задаче критические промежутки для потока CF— кварталы, а для

потока RF — двухмесячные периоды. В годовой шкале поток ставок представится
следующим образом:

В качестве критических моментов для согласованного представления обоих потоков
Удобно взять месячные точки:

г=-. А: = 0,1,...,12.
‘12
Тогда для потока платежей Ск = C(tk) имеем

С., = 2000; С = -1000; С, - 1000; С - -2000

и Ск - 0 для остальных к.

Для потока ставок ik = /([^._р fj) получим

/,=/2=0,12; /3=/4=0,18; /5=/6=0,24; /7=/s = 0,3; /9 = /ш =0,36; /и = /12 = 0,42.

Для коммерческой модели соответствующие вычисления приведены в табл. 7.1, для
актуарной модели — табл. 7.2.

Приведенные выше модели относятся к классу динамических моде-
лей. В них изменение ставок осуществляется с течением времени.
Такие модели обычно называют моделями с переменной ставкой.

В предыдущих главах показано, что существенные аспекты динами-
ческих моделей в стандартной схеме простых процентов (т.е. в схеме
с постоянной ставкой) можно изложить, используя абстрактные опе-
рации приведения финансовых событий и потоков платежей.

Покажем, что и в случае переменных ставок можно естественным
образом определить соответствующие операторы приведения событий
и потоков.

Табл и ца 7.1

к </12 q Л Л А
0 0 2000 2000 0 0 2000
1 0,01 0 2000 20 20 2020
2 0,01 0 2000 20 40 2040
3 0,015 -1000 1000 30 70 1070
4 0,015 0 1000 15 85 1085
5 0,02 0 1000 20 105 1105
6 0,02 1000 2000 20 125 2125
7 0,025 0 2000 50 175 2175
8 0,025 0 2000 50 225 2225
9 0,03 -2000 0 60 285 285
10 0,03 0 0 0 285 285
11 0,035 0 0 0 285 285
12 0,035 0 0 0 285 285
Табл и ца 7.2

к //12 <4 А 4 4 4 А
0 0 2000 2000 0 0 0 2000
1 0,01 0 2000 20 20 20 2020
2 0,01 0 2000 20 40 40 2040
3 0,015 -1000 1070 30 70 0 1070
4 0,015 0 1070 16,05 16,05 16,05 1086,05
5 0,02 0 1070 21,40 37,45 37,45 1107,45
6 0,02 1000 2070 21,40 58,85 58,85 2128,85
7 0,025 0 2070 51,75 110,60 110,60 2180,60
8 0,025 0 2070 51,75 162,35 162,35 2232,35
9 0,03 -2000 294,45 62,10 224,45 0 294,45
10 0.03 0 294,45 8,83 8,83 8,83 303,28
11 0,035 0 294,45 10,31 19,14 19,14 313,59
12 0,035 0 294,45 10,31 29,45 29,45 323,90

Схема простых процентов с дискретной структурой процентных ставок.
Выше мы фактически использовали операции приведения событий и
потоков к будущим моментам времени. Так, формула (7.3) есть не что
иное, как выражение для будущей стоимости начальной суммы 5, счета.
Рекуррентные формулы для динамики счета в коммерческой и актуарной
моделях позволяют находить состояния счета в произвольные моменты
времени t > t0, что равносильно определению будущей стоимости плате-
жей, составляющих поток, который порождает данный счет.

В предыдущем изложении динамических моделей мы ограничи-
лись, во-первых, конечным промежутком, в рамках которого задава-
лось семейство ставок (т.е. поток RF) и поток платежей, и, кроме того,
осуществляли так называемую операцию согласования потока ставок и
потока платежей.

Изложим более общий подход, который приведет нас к понятию
общей схемы простых процентов. Центральную роль в этом подходе
играет дискретная временная структура процентных ставок, задавае-
мая потоком
RF “{•••» (^-i ’ ^-1) ’ (^о ’ ’ (^i ’ А) ’ }’ (7.9)

теоретически бесконечным в обе стороны.

Для заданного потока RF ставок определим ставки (ненормиро-
ванные)

rk~ikhk, keZ, (7.10)

для каждого критического периода hk = tk— tk l. Эти однопериодные
ставки можно аддитивно продолжить на произвольные последователь-
ные объединения критических промежутков:

''('*Л) = 'Ь.=1л> к<т. (7.11)

i $=к

Наконец, для любых моментов времени t < т таких, что tk_{ < t < tk и
t < < т < tm определим

г(г-т) = ('* -f) 'к + rk, - + (т - • (7-12)

Ставки г (г, т) позволяют определить операции приведения событий
в схеме простых процентов с заданной структурой процентных ставок.
Рассмотрим произвольное событие (г, С). Тогда его будущее значе-
ние определяется как

/т;(с,)=с,4г,т)=сг[1+г(г,г)], т>Л (7.13)

Здесь

a(t, т) = 1+г(/,т), T>t

— коэффициент роста.

Операция дисконтирования определяется двойственным образом:

РГДС,) = СХМ = —%-v Т-1’ <7Л4>

1 + г(/, т)

где 1

4z>'r)=;—ТТЛ’ Т-!

1 + г(Г}т)

— коэффициент дисконтирования.

Наконец, используя введенные коэффициенты роста и дисконти-
рования, можно ввести обобщенный коэффициент приведения
С помощью обобщенного коэффициента v(t, т) можно определить
общий оператор приведения (обобщенный оператор текущей стоимо-
сти) событий (денежных сумм) относительно заданной структуры RF
процентных ставок;

РИ, (С, ) = <>(',/>)• (7.16)

Строго говоря, следовало бы вместо сокращенного обозначения
РИ(Сг) писать PVp(t,C\ RF), указывая структуру ставок, относительно
которой осуществляется приведение.

Наконец, операцию приведения событий можно тривиальным об-
разом распространить на произвольный поток

с помощью линейного продолжения

п п

PVp <СР) = (с*) = ’ р)- (7.17)

Ы fc=l

Этот оператор приведения является обобщением (формальным) стан-
дартного оператора приведения на случай переменных ставок, задан-
ных структурой потока RF.

Нетрудно показать, что определенные выше операторы играют
в обобщенных коммерческой и актуарной моделях ту же роль, что
и стандартные операторы в моделях с постоянной ставкой. Так, имеет
место аналог теоремы 4.1. Иными словами, в обобщенной коммерчес-
кой модели, порождаемой потоком

CF ~ , Со), (г2, С2, Сп) j,

для заданной структурой процентных ставок RF справедливо равенство

5,=Р1<(СР|,), (7.18)

где 5 — состояние счета в момент /; CF|r — начальный отрезок (до
момента t включительно) порождающего потока.

7.3. Общая схема простых процентов

В конце предыдущего параграфа были, по существу, изложены
основные аспекты схемы простых процентов с произвольной дискрет-
ной временной структурой процентных ставок. Внимательный анализ
показывает, что центральную роль в обобщении операции приведения
играют равенства (7.11), (7.12), определяющие аддитивным образом
ставку г(/, -г) для любого промежутка [/, т]. Из этих определений
немедленно следует свойство аддитивности ставки г(г, т):

г(/, т) + г(т, у)-г(м), 1<т<з. (7.19)

Именно это свойство и является определяющим для схемы простых
процентов.

Отметим, что свойство (7.19) выражает аддитивность ставки за
период. Ставка за период задает относительный прирост капитала за
этот период. Иными словами, инвестированный в начале периода [г, г]
капитал Р возрастает к концу этого периода на величину

/(г,т) = Рг(г,т). (7.20)

Слева в выражении (7.20) стоит величина (сумма) процентов за период.

Легко понять, что свойство (7.19) для t < т < s влечет также
и аддитивность процентов /(/, т), если проценты начисляются на одну
и ту же сумму. В самом деле, умножая обе части равенства (7.19) на Р,
получим

Р-г(/,т) + Р-г(т, = Р
или

/(/,т)+(7.21)

Заметим, что свойство (7.21) имеет значительно более общий харак-
тер. Оно выполняется, в частности, и для схемы сложных процентов.
Свойство же (7.19) — это определяющее свойство именно для простых
процентов, так как при определении процентов равенством (7.20) адди-
тивность (7.21) обеспечивается только при условии начисления про-
центов по ставке r(t, т) на одну и ту же сумму.

В предыдущем параграфе ставки г(/, т) определялись по фиксирован-
ному дискретному потоку ставок RF. Но как мы только что убедились,
определяющим моментом для схемы простых процентов является не
способ задания функции r(t, т), а само свойство аддитивности. Таким
образом, можно рассматривать любые аддитивные функции г(г, г) как
порождающие конкретные схемы простых процентов. Это приводит к
следующему определению.

Определение 7.1. Общей финансовой схемой простых процентов
называется схема с однородными законами капитализации

A(t,p-,C') = Ca(t,p), t<p (7.22)

И дисконтирования

D(t,p;C) = Cd(t,p), p<t. (7.23)

Причем коэффициент роста (капитализации) a(t,p) имеет вид

fl(z,p) = l + r(z,p), t<p, (7.24)

где r(Z, р) — аддитивная функция промежутка [г, р\, т.е. для нее
справедливо свойство (7.19). Кроме того, будем считать законы капи-
тализации и дисконтирования взаимно сопряженными:

= р~‘'

В принципе, выполнение свойства сопряженности не является
определяющим.

В гл. 2 мы ввели понятие учетной ставки и операцию так называемо-
го учетного или банковского дисконтирования по правилу

РКДС,) = С,[1-4/-/>)} (7.25)

Хотя такой способ дисконтирования и распространен на практике,
особенно в так называемых учетных операциях с долговыми обязатель-
ствами (см. § 2.3), он не очень удобен в теоретических моделях из-за
ограниченной области определения. Для корректности этого правила
необходимо выполнение условий

р<г

1 — d(t — р) > О,

т.е. необходимо, чтобы «

0< d<—~—.

t-p

Таким образом, нормированную учетную ставку d нельзя задать
независимо от промежутка, на котором она рассматривается. Так,
нельзя ее объявить всюду постоянной. Это обстоятельство существен-
но затрудняет анализ моделей дисконтирования, основанных на учет-
ной ставке. Поэтому ограничимся лишь дисконтированием по про-
центной ставке или, как его еще называют, теоретическим или мате-
матическим дисконтированием.

Это, конечно, не означает, что нельзя анализировать сделки с учет-
ными операциями. Как было показано в гл. 2, существует простая связь
Между учетными и процентными ставками. Мы можем изучать учетные
272 Глава 7. Модели с переменной ставкой и общая схема простых процентов
модели в рамках процентных. Однако в этом случае приходится счи-
тать соответствующую процентную ставку переменной даже для моде-
лей с постоянной учетной ставкой.

Итак, основную роль в общей схеме простых процентов играет
аддитивная функция r(z, т), содержательный смысл которой состоит
в том, что она представляет собой ставку за период [7, г].

В § 1.2 были рассмотрены общие аддитивные функции промежутков.
Основной результат состоит в том, что во всех «практически интерес-
ных» случаях можно считать, что эти функции «состоят» из двух частей:
дискретной и непрерывной. При этом дискретная часть порождается
некоторым дискретным потоком, а непрерывная часть имеет вид интег-
рала от непрерывной плотности., Для нашего случая можно написать
r(t, т) - (t, т) + r(c) (/, т), (7.26)

где r(i)(Z, г) — дискретная часть порождается потоком (1-го рода)

RF = {(tt,Pl!)\keZ}

так, что f л , . „

а г(с)(Г, т) — непрерывная часть — имеет вид

r(c)(z,T) = j/(w)dw, (7.27)

где j(u) — (кусочно) непрерывная, всюду определенная функция.

Можно показать, что функция r(t, т), порождаемая дискретным
потоком RF, задающим дискретную временную структуру процент-
ных ставок (не путать с потоком RF 1-го рода), является непрерывной
функцией и порождается кусочно-постоянной плотностью

7(0 = Л> /ест, =[rt_,,rt]. (7.28)

На первый взгляд может показаться неожиданным, что функция
r(Z, т) для дискретных моделей, определенных потоком RF (2-города!),
не имеет дискретной части, точнее, ге)(7, ?) - 0 для всех t< т, и, следова-
тельно, соответствующий поток RF (1-го рода) также нулевой: рк = О
для всех /с. Тем не менее это действительно так.

Дело в том, что в дискретной модели скачкообразно меняется
нормированная ставка jk, соответствующая периоду ак, а не ставка за
период. Нормированная ставка за период |/. т] есть по определению
т.е. она играет роль (средней) плотности функции r(t, т). На практике
разрывные ставки за период г (г, т) не встречаются, им соответствовали
бы «бесконечные скачки» нормированных ставок.

Заметим, что мгновенную (предельную) плотность

/(/) = lim——-

' r-+t I — t

называют также интенсивностью или силой процентов и обозначают
также символом <5(Г). Однако в схеме простых процентов будем исполь-
зовать обозначениеj(t) для плотности (силы) процентов, а обозначение
5(Z) оставим для схемы сложных процентов.

Поэтому в дополнение к перечисленным свойствам финансовых
законов общей схемы простых процентов можно постулировать непре-
рывность законов капитализации и дисконтирования. Заметим, что
стандартная схема простых процентов, т.е. схема с постоянной норми-
рованной ставкой i естественно является частным случаем общей схе-
мы. Для нее имеет место простое соотношение

г) —/(г—/), r>t.

Этаже схема — частный случай и дискретной модели, если считать все
ставки потока RF совпадающими.

Итак, общая схема простых процентов представляет собой финансо-
вую схему с однородными по денежным суммам, непрерывными по
времени, взаимосопряженными законами капитализации и дисконти-
рования. Причем коэффициенту роста a(t, т) соответствует аддитивная
функция

r(z, т)=а(1, т) - 1.

Определив финансовые законы капитализации и дисконтирова-
ния, можно записать единый финансовый закон

p<t

(7.29)

и соответствующий ему общий коэффициент приведения

F(r,p;C)-C^(r,p),

(7.30)
Р)

274 Глава 7, Модели с переменной ставкой и общая схема простых процентов
где

p>t;

[о'(Лр), p<t. (73|)

Общий закон приведения порождает (определяет) операцию (опе-
ратор) приведения событий

PVp(t,C)=Cv{t,p), (7.32)

являющийся, очевидно, линейным. Этот оператор легко распростра-
няется на поток платежей

и имеет вид

*=1

Кроме того, операция приведения порождает отношение эквива-
лентности относительно заданного полюса р для событий и потоков.
В свою очередь, это отношение позволяет обобщить операцию приве-
дения на случай приведения к моменту т относительно заданного
полюса р. Она преобразует события и потоки в события в точке т,
эквивалентные исходным событиям или потокам относительно задан-
ного полюса р. Поскольку формально рассматриваемые определения
ничем не отличаются от приведенных в гл. 6, то мы их здесь не
приводим. Эти определения и связанные с ними результаты не зависят
от конкретного вида финансового закона схемы простых процентов.
Необходимо лишь выполнение свойств, перечисленных выше.

На этом мы закончим обсуждение общей схемы простых процентов.
Как видно, в общем она мало чем отличается от стандартной (базовой)
схемы простых процентов.

7.4. Непрерывные модели с переменным капиталом в схеме
простых процентов

Рассмотрим простейшие непрерывные бинарные модели, т.е. моде-
ли с разделенным основным и процентным счетом, для которых
внешний поток платежей (довложений/изъятий) будет непрерыв-
ным (см. § 1.2). Такой поток платежей задается (кусочно) непрерыв-
ной плотностью /4(7) . При этом величина V = VCF потока СТ,
представляющая собой аддитивную функцию промежутка, описы-
7.4. Непрерывные .модели с переменным капиталом в схеме простых процентов 275
вается интегралом

и(/)ф(г)аг,

где /— произвольный промежуток временной шкалы.

Кроме непрерывного потока CF, задающего внешний поток, будем
считать заданным финансовый закон роста, порождаемый непрерыв-
ной аддитивной функцией r(t, т) с (кусочно) непрерывной плотностью
j(t). Таким образом,
т

T) = p(w)dw
для любых т> t.

Поскольку состояние бинарной модели определяется двумя фондо-
выми величинами — состояниями P(t) основного и I(t) = /(/0, t)
процентного счета, то для нахождения состояния полного счета

5(Г) = Р(0 + /(Г)

необходимо найти закон изменения обоих составляющих (субсчетов).

Будем считать, что начальное состояние задается условиями

№)=/> = 5„;

[/(/о) = О-

Поскольку модель непрерывная, то естественно ожидать, что ее
динамика описывается дифференциальными уравнениями. Эти урав-
нения получаются простыми рассуждениями.

Пусть в момент t состояние счета известно и задается парой значе-
ний Р(г), /(г). Рассмотрим достаточно малый промежуток [г, t + Аг]
(теоретически бесконечно малый: А/ = dr). Состояние счета в момент
t + Дг, т.е. P(t + АГ), /(г+ АГ) определяется, во-первых, начисленными за
текущий период [Г, t + Аг] процентами

/(/ЧА/) = Р(/)г(/,/+Д/) = Р(/) J y(w)dw (7.34)

и, во-вторых, внешним потоком CF За период [г, t + Ar] в систему
поступит (или уйдет из нее) сумма

И((,г + Дг)= j p(w)du. (7.35)
Для малого А/ интегралы в (7.34) и (7.35) можно заменить их прибли-
женными значениями

7(г,г+дг)=р(/);(г)аг;

K(r,r + Ar)«ju(r)Ar. (7'36^

Новое состояние Ю + ДГ), И(Г + Аг) зависит не только от текущих
процентов /(Г + АГ) и внешней суммы И(г + АГ), но и от способа
взаимодействия этих элементов с текущим (старым) состоянием Р(г),
/(г). В гл. 4 рассмотрены две модели — коммерческая и актуарная,
соответствующие двум способам такого взаимодействия, определяю-
щего л окольный переход от старого состояния к новому. Непрерывный
аналог коммерческой модели получается очень легко, если вспомнить,
что в ней внешний поток воздействует только на состояние основного
счета, а процентный счет просто аккумулирует текущие проценты.
Таким образом, для коммерческой модели локальный переход от старого
состояния к новому описывается уравнениями

Р(/+Д?) = Р(/)+^(?)д?;

I (г+д/) = I (г) + Р(ф(г) дг.

Эти уравнения можно переписать в виде

Р(/ + Д/)-Р(г) (

/(? + ДГ)-/(г) _ . , ч

....

(7.38)

Переходя к пределу при АГ —> 0, мы получим систему линейных
дифференциальных уравнений

(7.39)

Система уравнений (7.39) легко решается. С учетом начальных
условий получаем последовательно

р(0=Л+р(г)<и;

!0
7(0=Л +

и.

Учитывая, что

r(f, т) = j/(w)dw; И(/о, /) = jд(w)dM

и меняя порядок интегрирования во втором интеграле, получим реше-
ние системы (7.39) в виде

Р(г) = Р0+ И(4,/);

, , . х , . (7.40)

1 (0 = ') + f р(т)''(т ')dT-

Следовательно,

= + = 4-г(/0,r)J + |д(r)[i + г(т,z)]dT. (7.41)

f<i

Последнее равенство можно переписать в виде

5(f) = Род(/о, t) + |д(т)£7(т, f)dr, (7.42)

'о
где

й(т,/) = 1+г(т,7), />т

— коэффициент роста в общей схеме простых процентов.

Равенство (7.42) имеет вполне очевидную интерпретацию. Первое
слагаемое есть будущая стоимость события (f0, Р), представляющего
начальное состояние:

(7.43)

Второе слагаемое можно рассматривать как обобщение понятия буду-
щего значения для непрерывных потоков:

|/2(т)й(г, t)dr = FVt (CF|f), (7.44)

где CF|, — начальный отрезок внешнего потока, т.е. непрерывного
потока, порожденного плотностью, являющейся сужением плотности
Д(и) исходного потока на отрезок [70, /]. Если объединить начальное
278 Глава 7. Модели с переменной ставкой и общая схема простых процентов
состояние (дискретный поток из одного события) и непрерывный
поток CF\f, то получим смешанный поток, порождающий анализиру-
емый счет

CF = {(z0, P0)} + CF. (7,45)

Тогда выражение для состояния счета можно представить окончатель-
но в виде

S(/)=FK,(CF|,). (7.46)

Пример 7.4. Найти состояние счета с переменным капиталом в коммерческой
модели с начальным состоянием (го, Ро), внешним потоком с постоянной плотностью ц
и постоянной процентной ставкой j.

Решение. Для постоянной процентной ставки коэффициент роста имеет вид

a(t, т) = 1 +/(Г-0-

Подставляя выражение для коэффициента роста в (7.40), получим

Р(/) = Р0 + И(;у,г)=^+д(/-г())
и

Формулу для состояния процентного счета можно переписать в виде

Таким образом, полное состояние счета в момент t равно сумме основной части,
представляющей собой просто общую сумму средств, поступившую на счет, и процент-
ной части, которая равна произведению «средней величины» состояния основного счета
на процентную ставку за период [Д Г].

Мы получили в общем виде выражение для состояния счета в ком-
мерческой модели. Обобщение актуарной модели на непрерывный
случай возможно, но существенно более сложно. Здесь мы не будем его
рассматривать.

Приведенный выше анализ показывает, что в рамках общей схемы
простых процентов можно обобщить понятия текущей стоимости для
общих потоков, а не только для дискретных, как было сделано в преды-
дущем параграфе. Мы не будем приводить соответствующие определе-
ния и результаты. Заинтересованный читатель легко выполнит это
самостоятельно.

Эту главу мы закончим небольшим параграфом, посвященным так
называемым кратным кредитным сделкам или моделям с реинвестиро-
ванием капитала. Эти модели, по существу, выводят нас за рамки
схемы простых процентов, и их развитие приводит к следующей важ-
ной теме — схеме сложных процентов, которой посвящена остальная
часть книги.

7.5. Реинвестирование в схеме простых процентов

Вернемся к постановке задачи для переменных ставок простых
процентов, несколько видоизменив ее. Будем считать, что в первый
критический момент т.е. когда нормированная ставка меняется с /
на /2, заканчивается первая кредитная сделка. В результате получена
наращенная сумма 5 Эта сумма является начальной для «второй»
сделки под простые проценты с нормированной ставкой /2, которая
заканчивается в следующий критический момент /2, а наращенная
к этому моменту сумма снова вкладывается под простые проценты
с нормированной ставкой /3 и т.д. Последовательность кредитных сде-
лок такого типа отражает процесс так называемого реинвестирования
или капитализации процентов.

Покажем, что при инвестиции в момент го суммы 5 и при реинве-
стировании наращенных сумм в критические моменты ГА., к — 1, 2,...,
/7—1, наращенная сумма на всем промежутке [?0, 7J, определяется по
следующей формуле:

S,. = \П[, + В (7-47)

А=1

Доказательство этой формулы проведем, используя снова метод
математической индукции.

При п — 1 имеем схему простых процентов на промежутке [70, 7J
с процентной ставкой./^, а формула

получаемая из (7.47) для п = 1, совпадаете основной формулой простых
процентов (3.2).

Предположим, что формула (7.47) справедчива для случая, когда
рассматривается т промежутков, 1 < т < п, т.е. что наращенная сумма
к моменту tm имеет вид

(7.48)
к=Л
Докажем теперь, что формула (7.47) верна также и в случае, когда
рассматривается т + 1 промежуток, и может использоваться для опре-
деления наращенной суммы S к моменту 7m+1.

Согласно процессу реинвестирования в момент / сумма Sf снова
вкладывается под простые проценты с нормированной ставкой
т.е. теперь сумма 5, является начальной в новой кредитной сделке.
Тогда по формуле (3.2) получаем

Подставляя в это равенство выражение (7.48) для S, , получаем
*т

т+1

S,.., = \П[1+('<-'ы)4]

Аг=]

Таким образом, формула (7.47) доказана.

Пример 7.5. По договору на сумму +Г3000 в течение четырех лет начисляются
простые проценты по ставке 6% годовых в первом полугодии, 7% во втором полугодии.
10% за второй год и 12% за оставшиеся 2 года. При этом накопленные к концу
очередного периода начисления суммы реинвестируются. Найти наращенную сумму
к концу срока сделки, процентную ставку за период сделки и нормированную годовую
процентную ставку.

Решение. Пусть начальный момент сделки равен % Накопленная по ставке
i{ = 0,06 к моменту времени г() + 0,5 сумма вкладывается на следующие полгода по славке
г, = 0.07. затем накопленная к моменту + 1 сумма вкладывается на год по ставке = 0,1
и, наконец, сумма, накопленная к моменту' г, + 2, вкладывается на 2 года по ставке
/4 = 0,12. Тогда по (7.47) получаем

S,^=; 3000(1 + 0,06.0,5){1+0,07-0,5){1 + 0.1-1)(1 + 0,12-2) = 4362.28(.т?).
(Результат получен с точностью до колеею)

Теперь по формуле (2.5) вычислим процентную ставку за период сделки

г =

4362,28-3000

3000

- 0,4541, или 45,41%.

Далее, по формуле (2.9) найдем нормированную годовую процентную ставку,
соответствующую периоду сделки Т- 4 года:

0 4541

/ = = 0,1135, или 11,35%.

Вопросы и упражнения

1. Что такое кривая доходностей? Какой «типичный вид» имеет кривая доходное'
тей? Что такое плоская кривая доходностей?

2. В чем состоят динамический и структурный подходы к анализу изменчивости
процентных ставок?
3. Опишите схему простых процентов с дискретной структурой процентных ставок.
Какой вид имеют операторы будущей и текущей стоимостей события в этой схеме?

4. Выпишите рекуррентные формулы для определения состояния в дискретной
коммерческой модели в схеме простых процентов с переменными ставками; в актуар-
ной модели.

5. Опишите общую схему простых процентов. Определите оператор приведения
финансовых событий и потоков в общей схеме простых процентов.

6. Опишите реинвестиционную модель (модель кратных сделок) в схеме простых
Процентов, Приведите выражение для накопленной стоимости для инвестированной
суммы в этой модели.

7. Выпишите дифференциальное уравнение для состояний основного и процентно-
го счетов в непрерывной коммерческой модели.

Задачи

1. Инвестор в начале года открывает в банке накопительный счет на сумму .#10 000.
Начальная годовая ставка счета равна 20%. В конце 2, 6 и 8-го годов инвестор вносит на
счет соответственно ;#500, .#1000 и ;#2000. Какая сумма будет на счете в конце 10-го
года, если годовая ставка счета ежегодно снижалась на 2% первые 5 лет, а затем ежегодно
повышалась на 1%.

2. Решить задачу 7.1 при условии ежегодного реинвестирования начисленных за год
процентов.

3. Инвестор открывает в начале года счет с начальной суммой .#10 000. В конце
каждого нечетного года он снимает со счета .#500, а в конце каждого четного года
вносит #500. Головая ставка меняется по закону /,(%) = 8 + 2/, где t — номер года
(/=1,2,...). Каково состояние счета в конце 10-го года: а) в коммерческой модели?
б) в актуарной модели?

4. Накопительный счет в непрерывной коммерческой модели порождается непре-
рывным потоком с постоянной плотностью р = 2. Пусть в момент t (в годовой шкале)
годовая ставка счета j(t) — 0,2 — 0,1г. Найти состояние основного и процентного счетов в
конце года (/ = 1).

5. Решить задачу 7.4 при условии, что порождающий поток имеет плотность
д(/) = 1000(0,5 -/), 0</<1,

6. Решить задачи 7.4 и 7,5 для актуарной модели.

7. Пусть временная структура ставок задана в годовой шкале соотношением

/(/, т) = 5(г-/)-

Найти приведенную к моменту t ~ 10 стоимость потока

CF = {(0, 100), (4, -100), (8, 100)}.
Глава 8. Сложные проценты

8.1. Формула сложных процентов для модели
последовательных простых кредитных сделок

В конце предыдущей главы мы рассмотрели модель сложных кре-
дитных сделок, представляющих, собой последовательность простых
кредитных сделок с реинвестированием, когда основная сумма долга
очередной сделки совпадает с полной (накопленной) суммой предыду-
щей сделки. В этом случае инвестор, выдавший кредит в начальный
момент f0 = 0 на сумму 5, в конце серии ив п последовательных
периодов одинаковой продолжительности при условии постоянства
процентной ставки (за кредит) на каждом периоде получит накоплен-
ную сумму

5, = 5о(1 + 0", (8.1)

где i — ставка за период (каждой из очередной сделок).

Формула (8.1) — простейшая версия так называемой формулы слож-
ных процентов. Она определяет сумму, получаемую кредитором в серии
простых сделок при указанных ниже условиях:

— одинаковой продолжительности составляющих простых сделок;

— постоянства процентной ставки за период для всех составляю-
щих простых сделок.

Вывод (8.1) предполагал реальное завершение одной сделки и реин-
вестирование полученной суммы (кредита и процентов) в новую кре-
дитную сделку. Отметим, что в этой серии сделок кредитор, т.е. инвес-
тор, представлен одним лицом, тогда как его должники, т.е. контраген-
ты сделок, могут быть разными лицами.

Итерация простой сделки связана с тем, что реальная кредитная
сделка всегда срочная, т.е. имеет вполне определенный срок, после
которого кредитор получает отданные взаймы деньги. Получив назад
одолженные средства, кредитор снова может дать их в долг, начав тем
самым новую сделку. Таким образом, перед инвестором, обладающим
свободными средствами и размещающим их на срок меньший того,
в течение которого средства остаются свободными, возникает пробле-
ма нового размещения капитала при возврате выданной ссуды. При
этом каждый раз инвестор (кредитор) ищет наиболее эффективный
способ размещения своего капитала. Это значит, что он желает при
прочих равных условиях разместить средства по возможно большей
ставке и на как можно более короткий срок.

В самом деле, допустим, что на рынке имеется минимально допус-
тимый срок кредитной сделки. Будем считать этот срок базовым
(единичным) периодом. Если / — ставка за этот минимальный период,
то, имея свободные средства на срок/7 периодов, инвестору при прочих
равных условиях выгоднее выдавать ссуду л раз на минимальный срок,
чем размещать их на весь промежуток из п периодов. Это немедленно
следует из неравенства

(1 + /)" > 1 + ni

для i > 0 и п > 0.

Поэтому, в частности, вкладчики банков будут стремиться разме-
щать средства на возможно более короткие сроки с последующим
размещением накопленных сумм в другом или в этом же банке, если
банк не поощряет инвестора к вложению на более долгий срок (под
простые проценты) с большей процентной ставкой. Но такое поощре-
ние должно давать доход кредитору не ниже того, который он может
получить за счет реинвестирования на последовательность минималь-
ных сроков. Безусловно, инвесторы, придерживающиеся такой страте-
гии, принимают определенный риск, связанный с возможным падени-
ем процентных ставок, т.е. с обстоятельством, когда к концу очередной
сделки ставка за минимальный период снизится.

Именно неопределенность будущих ставок позволяет банкам по-
разному оценивать ставки за различные сроки сделок. Но на равновес-
ном рынке в условиях полной определенности описанная выше тен-
денция к максимальному сокращению сроков сделок со стороны кре-
диторов будет безусловно преобладать. Поэтому банк, предполагаю-
щий одну и ту же простую нормированную ставку (для всех срочных
вкладов), столкнется либо с потерей вкладчиков, либо вынужден будет
переоформлять вклад каждого своего клиента по прошествии мини-
мального срока. Такие операции предполагают дополнительные издер-
жки, которые будут либо затратами банка, либо, будучи переложенны-
ми на клиента, приведут к снижению ставок. На конкурентном рынке
это может привести к потере клиента.

Таким образом, возможность реинвестирования, а такая возмож-
ность всегда существует на свободном кредитном рынке, приводит
к определенному «давлению» со стороны предложения свободных кре-
дитных средств, выражающемуся в требовании дополнительной по
сравнению со схемой простых процентов компенсации за предоставле-
ние кредитных ресурсов на сроки, превышающие типичные сроки
простых сделок. Иными словами, долгосрочный кредитный рынок
должен иметь схему накопления инвестиций, отличную от рассмот-
ренных в предыдущих главах.

Напомним, что в модели накопительного вклада в схеме простых
процентов рост инвестиции определялся линейным законом

5, = 50(1+Ю,

где / — простая нормированная ставка. Из приведенных выше рассуж-
дений следует, что для сроков существенно больших, чем срок типич-
ной краткосрочной кредитной сделки, зависимость накопленной сто-
имости 5; должна иметь более быстрый рост. В частности, для срока,
равного продолжительности п типичных краткосрочных периодов,
при реинвестировании накопленной к концу каждого периода суммы
накопленная к концу всего срока стоимость будет расти по показатель-
ному закону вида (8.1).

Наши рассуждения имеют неформальный характер, но они подво-
дят нас к построению новой модели роста инвестиции на долгосроч-
ном кредитном рынке, известной как модель или схема сложных про-
центов.

8.2. Накопительная модель в схеме сложных процентов

Выберем некоторый промежуток времени на временнбй шкале,
который назовем периодом начисления, а процентную ставку за этот же
период — ставкой начисления. Примем сначала предположение о том,
что базовый временнбй период (т.е. единица измерения временных про-
межутков) совпадает с периодом начисления.

Наша цель — построение простейшей накопительной модели, или
модели накопительного счета, в схеме сложных процентов. Как и в
аналогичной модели для простых процентов, нас будет интересовать
состояние счета в произвольный момент времени. Однако в простей-
шем случае состояния рассматриваются лишь в конце последователь-
ных периодов начисления. При этом считаем, что для такой модели
выполнены следующие предположения:

1°. Начальная величина счета равна 50.
2°. Проценты начисляются за каждый период начисления по заданной
ставке начисления i.

3°. Величина процентов за период начисления равна произведению
величины счета в начале периода на ставку начисления.

4е. В конце каждого периода начисления счет увеличивается на сумму
начисленных за этот период процентов (т.е. начисленные проценты
реинвестируются).

Как будет показано ниже, в этом случае модель накопительного
счета в схеме сложных процентов будет описываться формулой

5=5о(1+О\ (8.2)

где п — число (целое!) периодов начисления; i — ставка начисления.

Эта простейшая формула совпадает с формулой (8.1), описывающей
результат накопления в последовательности простых сделок, если пери-
од каждой сделки считать равным периоду начисления. Поэтому данную
формулу легче интерпретировать как динамику накопления в постоян-
но возобновляемой одной и той же кредитной сделке между двумя лица-
ми — кредитором и должником, например между вкладчиком и банком.

Прежде чем вывести формулу (8.2), рассмотрим простой пример.
Пусть инвестор кладет в банк на год сумму /#500 под 8% годовых. Это
значит, что в конце года инвестор кроме вложенных денег получит
добавочно проценты по вкладу, составляющие сумму

500-0,08 = 40(:#).

Следовательно, общая сумма вклада к концу 1-го года составит

500 + 40 = 5400#).

Реинвестирование вкладчиком этой суммы еще на один год под те
же 8% годовых даст ему в конце года проценты на сумму

540-0,08 = 43,20#),

а полная сумма вклада станет

540 + 43,2 = 583,20#).

Заметим, что этот результат можно представить в виде суммы

583,2 = 500+80 + 3,2.

Здесь -#500 — начальная сумма вклада; +?80 — проценты на эту
сумму за два года; 1#3,2 — проценты на /#40, инвестированных в
конце 1-го года процентов за этот год.
Рассмотрим эту схему в общем случае. Для простоты считаем базо-
вым периодом один год.

Пусть 50 — начальная сумма; i — годовая процентная ставка. Тогда
за 1-й год проценты составят J, = SJ
и величина счета увеличится до

>$[ = — 5^ 4- SQi — Sq 4- i j.

Проценты за 2-й год составят

«/j — — SQ (1 +

а сумма вклада увеличится до - 1

S2 +J2 =5'0(14-Z)4-50(14-/)/ = 51(14-/) = 50(14-/)2.

Для любого года можно получить аналогичные соотношения. Так,
если величина вклада в конце &-го года равна 5,. то проценты за
(к + 1)-й год

(8.3)
а сумма вклада в конце (к + 1)-го года станет

^л+j - $к +Л+1 ~ + (8-4)

Таким образом, за каждый год величина вклада увеличивается в
(1 + /) раз. Следовательно, начальный вкладу к концул-го года

\ = 5о(1+0".

Величина 5 называется накопленным или будущим значением исходной
суммы 5 Множитель

— 1 4- Z

— годовой коэффициент (множитель) роста, а множитель

(1+/)" = а"

— коэффициент (множитель) роста за п лет по сложным процентам.

Различие между простыми и сложными процентами в модели нако-
пительного счета состоит в том, что в первом случае проценты на
исходный капитал не присоединяются к нему на каждом периоде
начисления, во втором — присоединяются, т.е. инвестируются снова
или, как говорят, реинвестируются на тех же условиях, что и основной
капитал.
Уравнения

Ля “ Л 1->
$к+\ ~ ^к + Л+5 ’

(8.5)

полученные выше, вместе с начальными условиями полностью описы-
вают динамику накопления в схеме сложных процентов.

Важно различать величину/ процентов за п-йгод и проценты /[0, л]
за п лет. Формально последняя величина определяется как прирост
начальной суммы вклада за п лет:

/„ = /[0,л] = 5„-50=50(1 + /)"-50=50[(1 + /)"-1]. (8.6)

Более общим образом можно определить проценты за любой период
[*. л]:

[{к, л] = S„-St, (8.7)

т.е. как прирост суммы вклада за этот период.

П р и м е р 8.1. Начальная сумма вклада составляет .#300, а ставка начисления за год
5%. Найти:

а) накопленную сумму и проценты за первые 3 года;

б) проценты за третий год;

в) накопленную сумму за 6 лет;

г) проценты за последние 3 года.

Решение.

а) Накопленная сумма за 3 года, согласно формуле (8.2),

У =300-(1,05)3 =347,29(:#),
а проценты за тот же период

/. = 5. - 5(1 = 347,29- 300 = 47,29(.#).

б) По формулам (8.2) и (8.7) определяем проценты за 3-й год:

/, = - 52 = 300Г( 1.05)3 - (1,05)2 ]-16,54(.#).

в) По формуле (8.2) находим теперь накопленную сумму за 6 лет:

5; = 300-(1,05)" =402,03(.#).

в) Наконец, по формуле (8.7) найдем проценты за последние 3 года:

/[3,6] = \ - 5. = 402,03 - 347,29= 54,74 (.#).

В проведенном анализе считалось, что период начисления совпада-
ет с базовым периодом временной шкалы. Этого всегда можно добить-
ся, выбрав единичный период шкалы, равный периоду начисления.
Однако на практике их несовпадение встречается достаточно часто.
Обобщим теперь описанную выше модель на случай, когда период на-
числения не обязательно совпадает с единичным промежутком шкалы.
Выберем временную шкалу с базовым (единичным) времениь1м
периодом е, а также произвольный период h, который назовем перио-
дом начисления. Его длину относительно выбранного базового периода
обозначим через А:

h = h : е.

Свяжем с выбранным периодом начисления некоторую процент-
ную ставку, которую назовем ставкой за период начисления или просто
ставкой начисления. Формально ставка начисления описывается в дан-
ной временной шкале парой

i==(/U).

Первая компонента есть длина периода начисления (относительно
выбранной временнбй шкалы); Вторая — числовое значение ставки.
Заметим, что величину h часто называют просто периодом начисления.
В дальнейшем также для краткости будем использовать этот термин
для h. Так, для годовой шкалы ставка

<1
i- 4,10%

означает 10%-ную полугодовую ставку.

В том случае, когда период начисления h совпадает с базовым
периодом временной шкалы е, т.е. h = 1, ставка начисления называется
нормированной.

Чтобы не загромождать изложение, снабдим обозначение i ставки
начисления индексом h, указывающим период начисления, к которо-
му она относится, т.е. будем использовать обозначение ih для числового
значения ставки начисления.

Для нормированных ставок, т.е. при h = 1, соответствующее обозна-
чение ставки начисления будет i Однако в этом случае, как правило,
опускают индекс в обозначении ставки и пишут просто /.

Рассмотрим динамику вклада с начальным состоянием
периодом начисления h и ставкой начисления ih. Считая выполненны-
ми условия, аналогичные условиям Г — 4°, при которых была выведена
формула (8.2), согласно логике итерационного инвестирования, полу-
чим, что состояние вклада в момент

t ~ t + nh,

А о 5

являющийся концом и-го периода начисления, задается выражением

s,. =\(1 + (8.8)

или,поскольку
h

ТО

+ (8.9)

Формула (8.8), по существу, тождественна формуле (8.2). Различие
состоит лишь в том, что в (8.2) единица измерения временных проме-
жутков совпадает с периодом начисления. Иными словами, временные
промежутки в (8.2) выражаются в терминах периода начисления, а в
(8.8) — в терминах единичного промежутка временнбй шкалы.

Для нормированных ставок начисления (Л = 1) формулы (8.8) и (8.9)
превращаются, естественно, в (8.2).

Важно понимать, что формулы (8.8) и (8.9) определены лишь для
моментов времени Г = tQ + nh, п g N, образующих арифметическую
прогрессию.

Содержательно эти точки представляют собой концы последова-
тельных периодов начислений (относительно начальной точки /0).
Назовем эти точки (моменты) кратными. Им соответствуют периоды
длины

T, = t.-t0=nh, neN,
или в общем случае длины

7^ k<n, k.neN,

кратные периоду начисления.

Таким образом,

5v=S,atr>=5,„(l + 4)r-z". (8.10)

Выбирая начальный момент инвестирования го совпадающим с на-
чальным моментом временной шкалы, т.е. tn = 0 и tn = Г, получим
упрощенные выражения

Постоянство ставки начисления позволяет ввести коэффициент
(множитель) роста за период начисления:

а = 1 + Z . (8.11)

11 h v

С помощью коэффициента роста динамика накопления описывается
равенствами
(8-П)
или

(8.13)

Выше для накопительной модели с годовой временной шкалой мы
определили понятие процентов за год и за л лет. Аналогичные опреде-
ления имеют место и в общем случае, когда единица временной шкалы
и период начисления не совпадают. Величина

= к>\, (8.14)

называется процентами за /ей период начисления. Ясно, что

Jk=S,t\\ + ih)-S,t=S,Jh (8.15)

Более общим образом можно определить проценты за любой крат-
ный период /J, к < п:

= S.'-S,'. (8.16)

Отсюда с учетом (8.8'), (8.11) и (8.12) следует, что

(8.17)

Исходя из равенств (8.14) и (8.15), легко показать, что проценты за
любой кратный период являются суммой процентов за последователь-
ные периоды начисления, составляющие этот период:

<8-18)

т=к+1

Пример 8.2. Начальная величина вклада составляет ,/?200. Период начисления
1 мес. Найти накопленную сумму и проценты за 5 лет и 3 мес., если месячная ставка
начисления по вкладу 3%.

Решение. Срок в месяцах составляет и - 63. Следовательно,

563 - 200(1 + 0,ОЗ)63 - 14 267,59( Д?),
а проценты за этот период составят

/[0, 63] = 56, - So = 14276.59 - 200 = 14 067,59( Л).

8.3. Расширение модели накопительного счета

Формулы (8.2) — (8.18) определены для кратных точек tn = + nh .
Учитывая этот факт, описанную в предыдущем параграфе модель
назовем дискретной. Выбрав Г = 0 и / = nh, можно записать динамику
накопительного счета в дискретной модели в виде

5, = .5;,+ t = nh, neN. (8.19)

График функции 5 при этих условиях изображается дискретной пос-
ледовательностью точек, соответствующих моментам t = kh (рис. 8.1).

Вопрос о состоянии счета
в промежутках между момен-
тами начисления kh (т.е. мо- 5з" ’

ментами, когда счет меняет
свое состояние) в рамках та-
кой модели является некор-
ректным. На практике вклад- ”
чик может закрыть счет в лю- S,..
бой момент времени, так что 5о
банк тем или иным способом 1 1 1 1 k

К 1, L К t

должен определить возвраща- и 1 г

емую сумму вклада. рис’ 8'1

Формально проблема состоит в доопределении функции 5 для
моментов времени не кратных периоду начисления. С математической
точки зрения имеется бесчисленное множество способов доопределе-
ния 5, однако на практике используются в основном три способа.

Первый способ состоит в том, что изменение состояния счета проис-
ходит только в моменты начисления. Иными словами, проценты в про-
межутках между ними не накапливаются, что выражается равенством

Sr=Skh, kh<t<(k + [)h,

т.е. 5 является непрерывной
справа кусочно-постоянной
функцией. Динамика измене- 5з--
ния счета, т.е. график функции
S , показан на рис. 8.2.

Используя понятие целой

части числа, можно записать $2 ••

Уравнение динамики этой мо- $ в

Дели для любых t формулой s0 ’ ‘ *

г>0, (8.20) J t,

где [х] — целая часть числа х. Рис. 8.2
Модель накопления в схеме сложных процентов, описываемую
равенством (8.20), назовем кусочно-постоянной или с начислением по
полным периодам.

Второй способ состоит в аналитическом продолжении формулы
(8.20) на произвольные значения t. Получаемая модель называется
непрерывной моделью накопительного счета в схеме сложных процентов.

Геометрически непрерывная модель накопления изображается гра-
фиком непрерывной функции (рис. 8.3).

/>0.

(8.21)

Третий способ состоит в
комбинировании схем про-
стых и сложных процентов.
Поэтому соответствующую
модель называют смешанной.
В ней накопление процентов
внутри периода начисления
происходит по схеме простых
процентов. В конце такого пе-
риода накопленная сумма
процентов присоединяется к
основному счету (счету на-
копления). С формальной точ-

ки зрения это правило приводит к кусочно-линейной функции 5,
получающейся линейной интерполяцией дискретных значений 5АЛ.
Динамика счета в смешанной модели описывается равенством

z>0.

(8.22)

Здесь [х] — целая, {х} — дробная части числах. При этом

X = [х] + {х}.

Геометрически 5 изображается кусочно-линейной кривой на плос-
кости время — деньги (рис. 8.4).

Поскольку ах — выпуклая функция, то для всех трех моделей имеют
место соотношения

-я £нпр

Таким образом, в пределах периода начисления наиболее быстрый
рост обеспечивает смешанная модель. Естественно, что в точках на-
числения, т.е. в точках вида
kh, где h ~ период начисле-
ния, все три модели дают оди-
наковые значения. Хотя на
практике используются все
указанные модели, с чисто
математической точки зрения
наиболее простой и естествен-
ной является непрерывная
модель. Она часто применя-
ется на практике, особенно в
схемах финансовых расчетов

для сделок с различными финансовыми инструментами. Поэтому
в дальнейшем именно непрерывная модель будет играть роль базовой
модели накопительного вклада в схеме сложных процентов.

Пример 8.3. Пусть начальный вклад составляет 1 000, ставка начисления за год
8%. Найти накопленную сумму вклада за 2 года и 3 мес. с использованием следующих
схем начисления: а) по полным периодам (кусочно-постоянная); б) непрерывной;
в) смешанной.

Решение. Выбирая шкалу с годовым базовым промежутком, получим

/-2-^ = 2,25, л = р]=2, {/} = 0,25.

Следовательно, для рассмотренных схем имеем:

а) для кусочно-постоянной

у;," = юоо(1 +o,os )J = 1166,4

б) непрерывной

5^ - 1000(1 + 0,08)”5 = 1189,06(7?);

в) смешанной

5™, = 1000(1 + 0,08)' (1 + 0,08- 0,25)= 1166,4 1,02 = 1189,73(7?).

8.4. Номинальная и эффективная нормированные ставки

Номинальные ставки. Выше были приведены основные модели
накопительного счета (вклада) в схеме сложных процентов. Основной
параметр таких моделей — ставка начисления, описываемая в задан-
ной временнбй шкале парой (А, /), состоящей из периода начисления h
и числового значения / ставки.

На практике в случае накопительных счетов, как и для кредитных
сделок, часто используют не ставки начисления, а так называемые
номинальные ставки, относящиеся к некоторым, заранее выбранным
периодам. Период, к которому относится номинальная ставка, называ-
ется номинальным. Он непосредственно не связан с периодом начисле-
ния и может выбираться произвольно.

Цель введения номинального периода состоит в осуществлении
единообразного способа задания ставок, определяющих динамику нако-
пительных счетов. Кроме того, номинальный период играет роль пери-
ода приведения, к которому приводятся значения ставок начисления.
Это позволяет сравнивать такие ставки. Хотя номинальный период
может быть выбран произвольно, на практике он выбирается есте-
ственным образом, связанным с используемой временной шкалой.
Чаще всего номинальный период’представляет собой просто единич-
ный (базовый) период временной шкалы. Так, если шкала годовая,
то номинальный период равен году и все номинальные ставки —
годовые. Приведение ставок начисления к единичному периоду времен-
ной шкалы принято называть нормированием, а соответствующее значе-
ние ставки — нормированным.

Таким образом, нормированные номинальные ставки в накопи-
тельных схемах сложных процентов вполне аналогичны нормирован-
ным ставкам простых кредитных сделок и нормированным ставкам
начисления в схеме простых процентов. Во всех случаях идея состоит
в приведении (нормировании) ставок, непосредственно связанных с
различными периодами, к некоторым стандартным (например,
базовым), периодам.

Поскольку роль номинальной ставки — стандартизированное пред-
ставление ставок начисления, то ее задание предполагает, кроме указа-
ния номинального периода и значения самой ставки, задание допол-
нительной информации, позволяющей легко определить соответству-
ющий период начисления, а также правило для вычисления значения
ставки начисления.

В качестве дополнительной информации, устанавливающей связь
между номинальной ставкой и ставкой начисления, используют либо
непосредственно период начисления, либо так называемую кратность
начисления. Кратность начисления равна отношению номинального перио-
да к периоду начисления. Она, таким образом, показывает число раз.
которое период начисления содержится в номинальном периоде.

Иногда понятие номинальной ставки вводят несколько иначе, ос-
новываясь на так называемой кратной выплате процентов. Этот под-
ход можно пояснить следующим образом.
В соответствии с моделью накопительного счета проценты за
период начисления присоединяются к сумме счета в конце периода
начисления. Это лишь один из способов так называемой актуализа-
ции, т.е. преобразования интервальной величины, какой являются
проценты за период, в мгновенную величину (см. гл. 1). Имеется
бесконечное число способов такого преобразования или, примени-
тельно к нашему случаю, выплаты процентов: в начале, середине
периода и т.п. Здесь нас будет интересовать один весьма распростра-
ненный способ, при котором проценты за период начисления «выпла-
чиваются» несколько раз одинаковыми суммами. Глагол «выплачива-
ются» взят в кавычки, поскольку в накопительных моделях проценты
не выплачиваются, а присоединяются к счету, т.е. сумма счета увеличи-
вается. Эту операцию мы назвали начислением. Термин «выплачивают-
ся» понадобился для того, чтобы избежать коллизии понятий исходно-
го начисления один раз в конце (исходного) периода начисления и
нового (многократного) начисления в течение этого периода.

Примерами такой схемы могут служить выплаты начисленных за год
процентов дважды в конце каждого полугодия, четырежды в конце
каждого квартала или 12 раз в конце каждого месяца. Легко понять, что
при таком подходе исходный период начисления перестает быть
фактическим периодом начисления; фактическими периодами начис-
ления становятся подпериоды, составляющие исходный период,
поскольку в конце именно этих подпериодов осуществляется факти-
ческое начисление, т.е. присоединение соответствующих этим подпери-
одам долей общей суммы начисленных за исходный период процентов.

В общем виде упомянутую выше схему можно представить следую-
щим образом. Исходный период начисления h разбивается на т одина-
ковых подпериодов, и сумма процентов за этот период выплачивается
т раз в конце каждого подпериода. Величина каждой выплаты равна

Л,„,=А (8.23)

так, что общая сумма выплаченных за исходный период начисления
процентов будет той же — Jh. Поскольку исходный период h фактичес-
ки не является периодом начисления, назовем его номинальным перио-
дом и обозначим Ь. Действительным периодом начисления будет пери-
од Ь/т\ именно его обозначим теперь через h\

(8.24)
т
Целое число /и, т.е. число фактических начислений за исходный
номинальный период, назовем кратностью начисления.

Переход к другому, более мелкому периоду начисления означает
фактически изменение и ставки начисления. Если для исходного
(номинального) периода b соответствующая ставка будет равна /й, то из
равенства (8.23) следует, что

'4='^=-- (8.25)

Иными словами, ставка за фактический период начисления в т раз
меньше ставки за номинальный период.

Хотя описанный подход может служить мотивацией для введения
номинальных ставок, он не является вполне строгим, так как начисле-
ние по ставке ih не будет давать одинаковых процентных сумм

J hfm ~
' т

для всех подпериодов исходного номинального периода. На самом деле в
основе этого подхода заложено выполнение равенства (8.25), а не (8.23).

Задание номинального периода и периода начисления осуществля-
ется в некоторой временной шкале, единичный период которой может
как совпадать, так и не совпадать с упомянутыми периодами. На прак-
тике наиболее часто используют номинальный период, совпадающий с
единичным периодом временнбй шкалы. В дальнейшем будем рас-
сматривать именно этот случай. Тем не менее начнем с общего опреде-
ления номинальной ставки.

Формально номинальная ставка в заданной временной шкале Т зада-
ется тройной (Л, Л,у), где b — длина (номинального) периода; h — длина
периода начисления;./— числовое значение номинальной ставки.

Другой способ задания номинальной ставки состоит в задании
тройки (h, т, j), где b и j имеют тот же смысл, что и выше, а т —
кратность начисления, т.е.

»>=|. (8.26)

Заметим, что длины b и h выражены в единицах временной шкалы'Х.

Задание номинальной ставки подразумевает ее связь со ставкой
начисления, описываемую соотношением

.h . J

или
Пример 8.4. Пусть в годовой шкале номинальная ставка имеет вид —,12% .

<2 12 J
Найти кратность и ставку начисления.

Решение. Согласно определению номинальной ставки как тройки (Ь, А, у),
в данном случае (в годовой шкале) имеем: номинальный период b — полугодие, т.е.
Ь- 1/2; период начисления А — месяц, т.е. А = 1/12; величина номинальной ставки j —
12% за полугодие. Таким образом, за этот период проценты начисляются

раз, т.е. кратность начисления — 6 раз за полугодие, а ставка начисления zvi2 = — = 2, т.е.
2% в месяц.

Пример 8.4 несколько искусственный. Как уже было сказано, на
практике номинальный период совпадает с единичным промежутком
временной шкалы. Обычно в качестве такого периода берется год.
Тогда говорят о номинальной годовой ставке, подразумевая явное
указание либо периода, либо кратности начисления. В случае, когда
номинальный и единичный периоды временнбй шкалы совпадают,
тройка, представляющая номинальную ставку, имеет вид (1, Л, у) или
(1, от, у), где h — период начисления, выраженный в единицах времен-
ной шкалы; т кратность начисления. При этом

/ 1 1

Л = —; т — —
т h

и данная номинальная ставка, согласно сказанному, будет являться
нормированной.

Фактически задание номинальной ставки сводится к заданию пери-
ода начисления и ставки j (т.е. просто пары (Л, у)) или кратности
начисления т и значения ставки (т.е. пары (от, у)). Однако не будем
использовать обозначения номинальной ставки как пары:

— во-первых, потому, что в формулах прежде всего нужно лишь
значение у ставки;

— во-вторых, использование пары (А, у) может привести к смеше-
нию номинальной ставки со ставкой начисления, которая также зада-
ется двумя элементами: периодом начисления и значением ставки.

Чтобы не путать виды ставок, будем использовать специальные
индексные обозначения. Номинальную ставку с периодом начисления
h мы обозначим как / а ее значение с указанием кратности начисле-
ния т — в виде i{m). Однако в дальнейшем мы также будем иногда
использовать обозначение у для указания значения именно номиналь-
ной ставки. С другой стороны, обозначение i (без индексов!) будет
всегда означать нормированную ставку начисления, т.е. ставку с единич-
ним периодом начисления. В любом случае в определении номинальной
ставки должно явно или неявно содержаться указание на период или
кратность начисления. Говорят, например, о 10%-ной годовой ставке,
начисляемой дважды в год, или, что то же самое, о 10%-ной годовой
ставке с начислением по полугодиям.

Использование скобок позволяет отличать номинальную ставку от
ставки начисления, которую обозначаем как /Л.

Итак, нормированная номинальная ставка, относящаяся к единич-
ному периоду временнбй шкалы, задается двояко:

~ указанием самого периода начисления Л, выраженного в единицах
базового периода; тогда ставка начисления определяется как

(8.27)
— указанием кратности начисления т за базовый период; в этом случае
период начисления определяется по формуле

Л=1, (8.28)

т
а ставка начисления (и)

4=—- (8.29)

Если h = 1 и, значит, т = 1, то период начисления совпадает с
единичным периодом временной шкалы. В этом случае номинальная
нормированная ставка превращается в нормированную ставку начис-
ления:
/ ~ дв = i
(|) 'г

В этом случае мы пишем просто i.

Поскольку ставка начисления ih непосредственно выражается через
номинальную ставку i ~ числовое значение которой здесь обозна-
чим как у, то можно переписать уравнения динамики накопительного
счета в терминах номинальной ставки, подставляя выражения для
ставки начисления

L
т

'л = w(4 = Н = —
(I т

в уравнения (8.8) и (8.9). Тогда для моментов начисления = tQ + nh
получим

\=\(1-4)" = ^0 + ЛД = \[1+^ . (8.30)

и поскольку t -t

n = = (8.31)
то имеем

Заметим, что выражение

есть не что иное, как множитель наращения или коэффициент роста за
единичный (базовый) период времени при т-кратном начислении по номи-
нальной ставке), соответствующей ставке начисления i. Следовательно,

S, = 5, а'"-’" = 5, (а1”1]''’'". (8.33)

Индекса в вышеприведенных формулах обычно опускают и пишут просто

5z=\(l+/y-)<,"'",/‘=5jl+£l , neN, (8.34)

т.е. момент t должен быть в этом случае моментом начисления и проме-
жуток t—t должен содержать целое число

t - (. z V

п —----- = m(t-(}

h v °’

периодов начисления. Напомним, что в формулах (8.30), (8.32) — (8.34)
j обозначает номинальную ставку.

П р и м е р 8.5. Найти накопленное значение суммы .#300 за 4 года, если номиналь-
ная годовая ставка:

а) 10%, период начисления — 6 мес.;

б) 8%, период начисления — в 2 года.

Решение.

а) Для годовой шкапы при /п = 0 и / = 4 имеем

h~-- т = 2; =/2) = 10%

2 (i/4

и ставка начисления за 6 мес.

г,. = --10% = 5%.

Число полугодий составляет

п - tm = 4-2 ~ 8.

Следовательно,

\ - 300(1+0,05)* - 443,24( „#).
б) В данном случае

, I / 4

й = 2; т=—; п- — - — = 2

2 Л 2

и двухгодичная ставка начисления

( = hi& = 2-8% = 16%.

Следовательно,

\ - 300(1 +0,16)2 = 403,68(22).

Важно понимать, что нормированная номинальная процентная ставка
относится к единичному (базовому) промежутку временной шкалы.
На практике это обычно годовая ставка, тогда как ставка начисления —
это ставка за период начисления.

Полученные выражения для динамики накопительного счета, запи-
сываемые в терминах номинальных ставок i и /(т) в виде

справедливы без оговорок лишь для моментов начисления t= tQ + nh, т.е.
для промежутков [го, Г], содержащих целое число периодов начисления h.

В § 8.3 мы сформулировали три обобщения (интерполяции) уравне-
ния динамики накопительного счета, выраженного через ставку на-
числения. Подставляя в эти обобщенные уравнения (8.20) - (8.22)
выражение для ставки начисления через номинальную ставку, получим
соответствующие формулы, отражающие динамику накопительного
счета, в терминах номинальных ставок. Так, при /0 = 0 получим для
моделей следующие формулы:

— кусочно-постоянная: s.-sy+hi ) = s„ i+— ' u 7 у mJ — непрерывная'. W, 1+W =S„ 1+— \ u/ \ m ) — смешанная: , \P/a] / \ = *$0 (1 + ) ( ;W Vm,] ( № V"4 = 5() 1+L , V m J \ mJ ml] , r>0; (8.35) mt , />0; (8.36) m __ r>0. (8.37)
Как уже упоминалось, мы будем работать исключительно с непре-
рывной моделью. В дальнейшем ограничимся формулировкой резуль-

татов для этой модели в терминах номинальной ставки лишь для
ставки z(m) с /и-кратным начислением, имея при этом в виду, что запись
аналогичных формул в терминах номинальной ставки / получается
тривиальной заменой i{m- на i и \{т на Л.

Для непрерывной модели для произвольного начального момента
времени Го > 0 из (8.9) получаем очевидное обобщение формулы (8.35):

(8.35’)

Прежде чем перейти к изучению непрерывной модели, напомним
еще раз, что номинальная ставка является просто нормированным пред-
ставлением ставки начисления, т.е. приведением ее к единичному пе-
риоду временной шкалы и, следовательно, ее удобно использовать, когда
рассматривается не одна, а несколько или много ставок начисления.

Непрерывное начисление и бесконечно-кратные номинальные ставки.

Явное разделение номинальной величины ставки с выделением ее
числового значения и кратности (частоты) начисления позволяет раз-
дельно исследовать эффект этих факторов для данного инвестицион-
ного периода. В самом деле, рассмотрим период, состоящий из п
базовых промежутков, например при / = 0 и / = п. Тогда для семейства
номинальных ставок с различной кратностью начисления, но с
общим значением =j накопленная сумма за п периодов для началь-
ной суммы 50, согласно (8.34), может быть представлена в виде

Из математического анализа известно, что при т > т

или в терминах множителей наращения

т.е. большей частоте начисления соответствует больший множитель

и тем самым — большая сумма накопления.

Далее заметим, что поскольку период начисления, соответствую-
щий номинальной ставке /w, равен h = 1//л, то при т —> <» получаем,
очевидно, h —> 0. Поэтому в предельном случае при т —> °° приходим к
непрерывному начислению процентов. При этом для коэффициента роста
получаем предельные значения

(8.38)

Следовательно, при непрерывном начислении процентов по номи-
нальной ставке j накопленная за п периодов сумма

(8.39)

Отметим, что во всех приведенных выше формулах числа т и п
предполагались, вообще говоря, целыми неотрицательными числами.
Ниже рассмотрим обобщения эти>( формул, однако уже здесь можно
отметить особенность формулы (8.39). При непрерывном начислении
естественным образом исчезает проблема соизмеримости периода на-
числения и базового периода. Поэтому при непрерывном начислении
(8.39) можно использовать для любых периодов. Так, для периода
длины Т накопленная сумма будет выражаться формулой

(8.40)

а соответствующий коэффициент роста примет вид

(8.41)

Конечно, на практике непрерывное или бесконечно-кратное начис-
ление непосредственно реализовать нельзя, но оно легко реализуется
схемой накопления, задаваемой формулой (8.40), означающей, что
инвестору, открывшему счет на сумму У в момент времени tQ = 0.
я любой момент времени t приписывается (начисляется) сумма 5,
определяемая выражением .г

з) = S(ieJ. (о.42)

При этом проценты, начисленные инвестору за период [0, Г|, составят

/([О,/]) = 5,-5о=5о(е"-1).

О бесконечно-кратном или непрерывном начислении будет более
подробно сказано ниже, а сейчас вернемся к дискретным схемам
начисления (с конечной кратностью).

Эффективные ставки. Каждая дискретная схема начисления опреде-
ляется либо ставкой начисления ih с периодом начисления Л, либо нор-
мированным представлением этой ставки, т.е. номинальной ставкой
где т = 1/Л — кратность начисления номинальной ставки. При этом
Динамика роста в этом случае (для непрерывной модели) выражает-
ся равенствами (при = 0)

5,=50(1 + (4)'м = 5^1 +

ЛИ 7

Напомним, что величина

т У

где ih — ставка начисления, соответствующая периоду начисления
А"1/т, представляет собой коэффициент роста инвестированной
суммы У за единичный период по ставке начисления /, соответствую-
щей номинальной ставке йт} с m-кратным начислением:

Но тогда

_ 1 - _ 1 - 5_$2.

будет процентной ставкой за единичный (базовый) период временной
шкалы. Эта ставка называется нормированной эффективной ставкой (за
единичный период), соответствующей ставкам начисления ih и номи-
нальной Заметим, что эффективная ставка является, как и номи-
нальная, еще одним нормированным (т.е. приведенным к единичному
периоду) представлением ставки начисления ih. Эффективная ставка
является значением отображений

или

Эффективную нормированную ставку, соответствующую ставкам
начисления ih и номинальной будем обозначать как , $, или
1’эф, если понятно, какой период начисления рассматривается, либо,
наконец, просто /, если h = 1. Таким образом,
(8.43)

Отметим еще особый случай, когдаh — m= 1, т.е. период начисления
совпадает с единичным периодом временной шкалы. Тогда все три
типа ставок совпадают:

и можно говорить просто о нормированной ставке, которая воплощает
все три типа ставок, и не использовать в обозначении никаких допол-
нительных индексов, символов и меток.

Пример 8.6. Найти годовую эффективную ставку, соответствующую 10%-ной
годовой номинальной ставке, начисляемой дважды в год.

Реше н и е. В данном случае i(2} = 10%.

Тогда

4J -1 = (1,05)2 -1 = 0,1025, или 10.25%.

Мы привели определение нормированной эффективной ставки,
т.е. ставки за единичный (базовый) период, соответствующей номи-
нальной ставке /('и) или ставке начисления /Л с h = l/w. Заметим теперь,
что если рассмотреть семейство номинальных ставок с различной
кратностью начисления, но с общим значением i(m} - у, то получим
соответствующее семейство эффективных ставок , причем

Положим

lim/*1 = /*'.

(8.44)

Из (8.44) следует, что этот предел

/£’=еу-1 (8.45)

определяет эффективную ставку, соответствующую бесконечно-крат-
ной (непрерывно начисляемой) номинальной ставке j. Заметим, что
период начисления h = \/т, соответствующий номинальной ставке
стремится к нулю при т -э Таким образом, со ставкой у = iic”'
не связан никакой период начисления. Ставки у и связаны непос-
редственно лишь с единичным периодом временнбй шкалы, к которо-
му они относятся.

Пример 8.7. Пусть j = 10% есть номинальная годовая ставка, начисляемая
непрерывно. Какова соответствующая (нормированная) эффективная годовая ставка?

Реше н и е. При данных условиях

/И 1=0,1052,

"Р

т.е. 10,52%.

Знание эффективной (нормированной) ставки позволяет перепи-
сать выражение для накопленных сумм в виде

S„-A(l + /J .

(8.46)

Эта формула имеет совершенно естественный смысл. Поскольку

коэффициент

есть коэффициент роста за единичный (базовый) период, то коэффи-
циент (1 + / )" есть коэффициент роста за п единичных (базовых)
периодов. Это соответствует общей логике сложных процентов. Ины-
ми словами, возвращаемся к простейшей формуле (8.2) с той лишь
разницей, что теперь в качестве ставки начисления /берется эффектив-
ная ставка за период. Конечно, если h — т = 1, т.е. период начисления
и базовый период совпадают, то также совпадают номинальная и эф-
фективная ставки за периоды. В общем же случае можно применить
простейшую формулу (8.2), вычислив предварительно эффективную
ставку / по заданным параметрам номинальной ставки.

Номинальная и эффективная ставки для произвольных периодов на-
числения. В предыдущем параграфе выполнен переход от дискретной
модели накопительного счета, определяемой периодом начисления Л и
ставкой начисления i за этот период, к непрерывной модели, описыва-
емой уравнением (при — 0)

s,=s„(l + ikf, t>0.

Выражая нормированный коэффициент роста (1 + ihY/h за единичный
период через эффективную нормированную ставку:

/. . \i//i . .

(1+6,) - 1+'эф,
данное уравнение запишем в виде

‘S = ^о(1 + /эф) • (8-47)

Строго говоря, такое определение эффективной ставки в данном слу-
чае не вполне обоснованно, так как ранее оно было дано лишь для
случая целочисленной кратности начисления за единичный период вре-
менной шкалы, т.е. когда т = \/h — целое число.

Сформулируем общее определение (нормированных) номинальной
и эффективной ставок в непрерывной модели для любого периода
начисления, выраженного в единицах временной шкалы.

Определение 8. ]. Пусть Т — временная шкала; h ~~ период начисле-
ния, выраженный в единицах временной шкалы; ih — ставка начисле-
ния. Тогда ставка

(8-48)

называется нормированной номинальной, а ставка

— нормированной эффективной ставкой, соответствующими ставке
начисления ih. При этом номинальная и эффективная ставки, связан-
ные равенством

/ \1/Л

^’=(i+V) -1’ <8-5°)

также называются соответствующими друг другу.

Заметим, что по этому определению число т — \/h может быть
нецелым. Однако и в этом случае будем называть эту величину, обрат-
ную периоду начисления, кратностью (частотой) начисления и по-
прежнему будем формулировать результаты в терминах номинальной
ставки /<?п) =

Определения (8.49) и (8.50) являются, естественно, применением
введенной выше непрерывной модели накопления с динамикой, задава-
емой уравнением

к единичному промежутку Г = 1.

Рассматривая теперь семейство номинальных ставок /(1/Л) с различ-
ными периодами начисления Л, но с общим значением, равным у,

/ало = у;
получим соответствующее семейство эффективных ставок

где соответствующий множитель наращения Ф1/Л) имеет вид

Логарифмируя и переходя к пределу, получим

+ = j.

Отсюда, полагая

й—> 0
и

"т'эф 'эф ,
получаем, что
Г
а = е.

и, следовательно,

= е' -1.

эф

Таким образом, получили, что и в этом общем случае для непрерыв-
ной модели при непрерывном начислении процентов для нормированных
коэффициентов роста и эффективной ставки имеют место те же самые
предельные формулы (8.38) и (8.45), что и в случае кратного начисле-
ния процентов, и, следовательно, динамика накопления будет опреде-
ляться той же самой формулой (8.42).

Пример 8.8. Пусть в годовой шкале задана ставка /, = 20% с двухгодичным
периодом начисления h = 2. Найти годовые номинальную и эффективную ставки,
соответствующие этой ставке.

Решение. В данном случае т = 1/2. Тогда номинальная годовая ставка
i^2> = i =±=— = \()%,
t2) 2 2

а эффективная годовая

J = (1 + /2 )1/2 -1 = 0,0954. или 9,54%.

Хотя номинальная и эффективная ставки являются нормированны-
ми представлениями ставки начисления, их финансовые интерпретации
существенно различны. Так, номинальная нормированная ставка не
является фактической ставкой за номинальный базовый период (пери-
од приведения), тогда как эффективная нормированная ставка пред-
ставляет собой фактическую ставку за период приведения в непрерыв-
ной модели накопительного счета. Говоря о том, что эффективная став-
ка — это фактическая ставка за период приведения, мы имеем в виду,
что коэффициент роста счета за этот период в точности равен 1 + i

Подведем итоги анализа основной непрерывной модели накопитель-
ного счета в схеме сложных процентов. Сформулируем их в общем
случае, когда в качестве начального момента рассматривается произ-
вольный момент времени г0, а начальная сумма счета равна 5 Заме-
тим, что распространение результатов для t = 0 на случай г * 0 вполне
очевидно и не нуждается в дополнительном обосновании.

Непрерывная модель процентного роста задается одним из следую-
щих четырех видов процентных ставок:

— ставкой начисления i за период начисления Л; соответствующая
динамика описывается равенством

t>ta- (8.51)

— нормированной номинальной ставкой iim) с кратностью начисления т с
динамикой

г t Л ' V ' X '

\ mJ

— непрерывной (бесконечно-кратной) номинальной ставкой j — Л"1 с ди-
намикой

(8.53)

— нормированной эффективной ставкой i с динамикой

5, =5Д1+ г>?0. (8.54)

Заметим, что способ задания модели с помощью нормированной
эффективной ставки является на самом деле частным случаем задания
с помощью ставки начисления ih, если период начисления совпадает с
базовым (единичным) периодом времени. Как отмечалось выше, ин-
декс в обозначении ( часто опускается и пишут просто /. Мы указали
этот случай отдельно, так как для него закон динамики имеет наиболее
простой вид, именно поэтому он часто используется в теории финансов.

С помощью нормированного коэффициента роста динамику нако-
пительного счета в каждом из этих случаев можно записать в унифици-
рованном виде

S^S,a'"‘\ (8.55)

где а — нормированный коэффициент роста в модели, при этом:
— для модели с заданной ставкой начисления i

— для модели, задаваемой номинальной ставкой /(т) с /л-кратным
начислением,

— для модели с непрерывным (бесконечно-кратным) начислением

а “ е<

Кроме того, отметим, что в каждой из этих моделей нормированный
коэффициент роста связан с соответствующей эффективной нормиро-
ванной ставкой основным соотношением

<7=1+ 7^. (8.56)

Пример 8.9. Пусть в годовой шкале заданы ставки /, = 72,8%, /(4> = 40% и j = /'“* =
= 20%. Найти соответствующие этим ставкам нормированные коэффициенты роста
в непрерывной модели накопительного счета и будущую (накопленную) стоимость Л’1.

Реше н и е.

а) Для /. = 72,8%, h -- 3 года и коэффициент роста имеет вид

а = (1 + ф|/3 = (1,728)|/3 = 1,2
и, следовательно,

s, = ci =(1,2)'.

б) Для Z'4’= 40%, Л = ?т = 4

f Z(4’Y ( 0 4?

a = \ |+— = 1+— =1,4641

k 4 J V 4 /
и, следовательно,

5,= a' = (1,4641/.

в) Для j = = 20%

a = e7 = en-

и, следовательно,

5,=a'=e0J'.

В тех случаях, когда выбор конкретного вида ставки безразличен,
будем говорить просто о ставке накопления, подразумевая под этим
любую из четырех упомянутых выше. Выписанные уравнения динами-
ки позволяют легко находить соотношения между различными видами
ставок. Они определяются условием тождественности результата
накопления для любого момента времени. Более подробно этот вопрос
будет рассмотрен ниже в параграфе, посвященном эквивалентности
процентных ставок.

8.5. Учетные ставки в схеме сложных процентов

Выше мы определили модель накопительного счета в терминах
процентных ставок. Однако в гл. 2 было введено понятие учетной
ставки w за период и нормированной учетной ставки d. Попытаемся
разобраться, как это понятие применимо к схеме сложных процентов.

Хотя построение модели накопления выглядит более естественным
при использовании процентной ставки, тем не менее ее также легко
выразить в терминах учетной ставки. Схема описания учетной модели
накопления полностью идентична процентной схеме.

Выберем период временной шкалы, которую назовем учетным пе-
риодом. Его длину в выбранной временной шкале обозначим через h.
Учетную ставку за этот период обозначим через dh. Разобьем времен-
ною шкалу на периоды длины h кратными точками: tn = tQ + nh, п = 0,1,
2, ... . Тогда состояния счета в концах £-го учетного периода будут
связаны соотношением

£ = 1, 2, ...,п. (8.57)

Отсюда немедленно следует соотношение

£ = 0,1,..., л-1. (8.58)

Коэффициент

и = 1 — d,
h h

называют учетным коэффициентом дисконтирования.

Формулы (8.57) и (8.58) выражены в учетных периодах. Непосред-
ственно во временной шкале они запишутся в виде

5,ti = \v4 = 5,t(l-rfA), Л = 1,2,...,и, (8.57')

= Л=0,1...., W-1. (8.58')

Как и для случая процентной модели, приведенную учетную модель
можно распространить или продолжить с дискретного множества крат-
ных точек на всю шкалу. По аналогии с процентной моделью можно
рассмотреть три варианта продолжения:
— кусочно-постоянная модель'.

5T = 5,(l-rfJ"’'V4, Г>т; (8.59)

— непрерывная модель'.

s, = sy-diy-''lh, t>r- (8.60)

— смешанная, кусочно-линейная модель'.

5r = 5,(l-J„)[<M,/‘l(l-d„)(,‘')/‘, т. (8.61)

Ниже мы в основном будем пользоваться непрерывной моделью.

Заметим, что определяющим для учетной схемы является процесс
дисконтирования (учета), а не роста. Таким образом, естественное
направление времени в учетной модели противоположно естественно-
му направлению в процентной модели, поскольку дисконтирование
есть переход от будущего к прошлому.

Пример 8.10. Пусть учетный период равен году, а учетная ставка за год 20%. Если
состояние накопительного счета в конце 10-го года равно Л5000, то каково состояние
счета в конце 5-го и 3-го годов?

Решение. Согласно формуле (8.58), имеем

У = 51П(] - dhy = 5000(1 - 0,2)5 = 1638,40(2Л)
и

У = 5J1 - dp7 = 5000(1 - 0,2)7 - 1048,57( >/?).

Несмотря на естественность «обратного направления» времени, в
учетной модели можно, конечно, находить не только прошлые, но
и будущие (накопленные) значения счетов.

Пример 8.11. В условиях предыдущего примера найти состояние счета к концу
15-го года.

Решение. Согласно формуле (8.58),

Отсюда получаем уравнение

5000 = 5.5(0,8)5.

и, значит,

Sis=-^ = 15258.79«

(0,8)

В общем случае легко видеть, что при п > к
или, вводя учетный коэффициент роста за период h
1

- > (8.63)

Vh
получим

S^Ska"h~\ (8.64)

в частности,

(8.65)

Так, для предыдущих примеров имеем h = 1, dh = 0,2 и, следователь-
но, за период Л учетный коэффициент дисконтирования:

И = 1 -
I

а учетный коэффициент роста за тот же период

I 1 .г
а,, -—- = 1,25.
‘ 0,8

Учетную ставку dh за период h можно задавать с помощью нормиро-
ванной номинальной учетной ставки d, которая связана со ставкой за
период соотношением

Число

1
т- —
h

называют кратностью учета. При задании (нормированной) номи-
нальной учетной ставки указывают либо учетный период Л, либо
кратность учета т. В первом случае номинальная учетная ставка обо-
значается d а во втором — d{mK Для краткости мы ограничились лишь
определением нормированной номинальной учетной ставки с номи-
нальным (учетным) периодом, совпадающим с базовым периодом
временнбй шкалы. Ниже для упрощения записи прилагательное «нор-
мированный» будем опускать. Кроме того, также как и для номиналь-
ной процентной ставки, основные результаты будем представлять в
терминах номинальной учетной ставки d{m} с /ц-кратным учетом; при
этом переход к явному указанию учетного периода h в соответствую-
щих формулах производится заменой tf(m) на d и \/т на h.

В терминах номинальной учетной ставки для непрерывной учетной
модели уравнение связи состояний накопительного счета имеет вид

(8.66)

В частности, собственно динамика накопления, выражаемая в не-
прерывной учетной модели формулой (/0 == 0)
с

с — ° - ? и 4!h — с/ 4h

у/Л’ (8.67)

в терминах номинальной ставки d(m) запишется как

5,=5„ 1

(8.68)

По аналогии с процентной ставкой можно определить также нор-
мированную эффективную учетную ставку (за единичный период вре-
менной шкалы) равенствами

<8.69)

Если необходимо подчеркнуть, по какому периоду или какой крат-
ности учета эта ставка вычисляется, пишут или<7^. Заметим, что
последнее определение эффективной учетной ставки носит общий
характер, т.е. в нем h и т любые, хотя непосредственной интерпрета-
ции поддается лишь случай целого т. Если h = 1, т.е. период учета
совпадает с единичным периодом временнбй шкалы, то учетные став-
ки всех трех видов совпадают:

d d.~ d,.= d.

>p i и?

Эффективной учетной ставке соответствует эффективный (нормиро-
ванный) коэффициент дисконтирования

v — 1 - d ,
эф эф

и эффективный (нормированный) коэффициент роста

(8.70)

(8.71)

Для эффективных (нормированных) учетных ставок и коэффициен-
тов дисконтирования и роста часто используют упрощенные (безиндекс-
ные) обозначения, т.е. пишут d, v, а, если это не приводит к путанице.
П р и м е р 8.12. Рассмотрим учетную модель накопительного счета в головой шкие
с учетным периодом h =1/4, т = 4 и номинальной ставкой dw ~ 20% годовых. Найти
учетную ставку за период, а также соответствующую эффективную (нормированную)
учетную ставку и соответствующие учетные коэффициенты дисконтирования и роста.

Решение. Поскольку номинальная учетная ставка = 20% годовых учитывается
4 раза в году (т = 4), то учетная ставка за период учета, т.е, за квартал,
d[A} 20%
4,=—=_ = 5%.

За учетный период коэффициент дисконтирования

и = 1 - 0,05 = 0,95.
1/4 ’ ’

Эффективный годовой коэффициент дисконтирования

и=(0,95)4 = 0,8145,
соответственно годовая эффективная учетная ставка

d= 1 - 0,8145 = 0,1855,
а эффективный (нормированный) учетный коэффициент роста

сс =—1— = 1,2277.

0,8145

Наконец, как и в случае процентной ставки, непрерывная учетная
модель вида

t ~ ‘-'о

для семейства учетных ставок d(m) с различной кратностью учета, но с
одинаковым общим значением д = d(m} порождает предельный случай
при т оо. Эффективный коэффициент дисконтирования

имеет предел

lim 1-----

эф
»i —ь м *

- е = 1А
эф

Этому нормированному эффективному учетному коэффициенту
дисконтирования соответствует нормированная (бесконечно-кратная)
учетная ставка

dH = } _ VH = ! _ е-*
Таким образом, в обобщенной непрерывной модели с бесконечно-
кратным (непрерывным) учетом по ставке 5 закон роста запишется в
виде (Z = 0)

Т,=5/'.

П р и м е р 8.13. Пусть в годовой шкале задана номинальная непрерывно начисляе-
мая ставка 5= 20%. Найти накопленное по этой ставке за 3,5 года значение суммы Л?500.

Решение. Нормированный коэффициент дисконтирования по этой ставке

а коэффициент роста

а<“> = е0'2
и, значит

5з; = 500eD’2'35 = 500 е°-7=1006,88(./?).

Таким образом, учетная модель накопительного счета вполне ана-
логична процентной модели. В обоих случаях текущее состояние счета
выражается с помощью эффективных нормированных коэффициен-
тов дисконтирования v или v либо роста а или а, для которых будем
использовать безындексные обозначения. Разница лишь в том, что в
учетной модели применяются учетные (эффективные, нормирован-
ные) коэффициенты дисконтирования и роста:

х л -i 1

v = ot = v = —, (8.74)

где d — эффективная нормированная учетная ставка, а в процентной
схеме используются процентные (эффективные, нормированные) ко-
эффициенты дисконтирования и роста:

a~\ + i\ v = a~}=——, (8.75)

1 +z
где / — эффективная нормированная процентная ставка.

Сказанное означает, что, по существу, процентная и учетная модели
идентичны. Различие состоит в выборе базового параметра для опреде-
ления динамики накопления. В процентной модели — это ставка
накопления /, в учетной — ставка дисконтирования^. Если коэффици-
енты роста или дисконтирования в обеих моделях совпадают, т.е.
ИЛИ

V-U, (8.76')

то для любого начального состояния (О, 50) обе модели описывают
один и тот же процесс:

St = SQaf=SGa‘ (8.77)

или

Условия (8.77), (8.77’) или равносильные им условия (8.76), (8.76')
приводят к разнообразным соотношениям между ставками (как про-
центными, так и учетными), рассмотренными выше. Ставки, приводя-
щие к одному и тому же процессу йакопления, называют эквивалент-
ными в широком смысле. Для выяснения эквивалентности двух ставок
достаточно выразить через них нормированные (в одной и той же
шкале) коэффициенты роста (или дисконтирования). Если они совпа-
дут, то исходные ставки считаются эквивалентными. Например, для
эквивалентности ставок^21 и /(3) необходимо, чтобы учетный нормиро-
ванный коэффициент роста

а - 1

2 >

совпал с процентным нормированным коэффициентом роста
( Y

а = 1 + —

т.е.

2 J

Аналогично рассматривается эквивалентность других видов ставок.

Эквивалентность ставок в широком смысле позволяет не проводить
строгого разграничения между различными типами моделей накопле-
ния. В частности, там, где это не приводит к недоразумениям, можно
говорить просто о ставках, не уточняя, какой вид ставки имеется в
виду, достаточно лишь помнить конкретный механизм построения
модели накопления по любому виду процентной или учетной ставки.
В этой связи в дальнейшем для обозначения коэффициентов дискон-
тирования или роста, как процентных, так и учетных, будем использо-
вать одни и те же символы v, или а, соответственно.

h h
8.6. Эквивалентность ставок в схеме сложных процентов

Выше подробно рассмотрены инвестиционные процессы, описы-
ваемые непрерывной моделью накопительного счета в схеме сложных
процентов.

Каждый из этого класса процессов однозначно определяется на-
чальным состоянием (Го, 50) или некоторой ставкой (процентной или
учетной). Динамика процесса при этом описывается уравнением

S, = SX'” = , (8.78)

где а — нормированный (эффективный) коэффициент роста; v —
нормированный коэффициент дисконтирования, соответствующие
ставке, характеризующей этот процесс. Выбирая конкретный вид став-
ки, получим конкретное представление динамики процесса в терминах
выбранной ставки.

Выше были определены четыре основных типа процентных ставок.
Каждая ставка определяет соответствующий коэффициент роста а:
— нормированная эффективная ставка /:

о=1 + ц (8.79)

— ставка начисления (фактическая) ih за период начисления Л:

о = (1 +/Л)!/Л; (8.80)

— номинальная (нормированная) ставка (т} = i с кратностью начисле-
ний т и периодом начисления h — 1/т:

— номинальная (нормированная) непрерывно начисляемая ставка j — i'^:
а = е( (8.81)

Были также определены четыре типа учетных ставок, каждой из

которых соответствует коэффициент дисконтирования у:

— нормированная эффективная учетная ставка d\
v=l-d; (8.82)

— учетная ставка dh за учетный период Л:
— номинальная (нормированная) ставка d(m) — d f с кратностью учета т
и периодом учета Л = \/т:

(8.84)

— номинальная (нормированная) непрерывно учитываемая ставка 8~ d{m):

v = еЧ (8.85)

Заметим, что все эти определения предполагают выбор исходной
временной шкалы Т, термин нормированный означает отнесенность
к единичному (базовому) периоду этой шкалы.

Итак, каждая из перечисленных ставок определяет соответствую-
щий процесс накопления (8.78). Вполне возможно, что ставки как из
одного, так и из различных классов могут порождать идентичные процес-
сы роста. Такие ставки назовем эквивалентными (в широком смысле).

Определение 8.2. Две ставки (процентные и/или учетные) называют-
ся эквивалентными (в широком смысле), если для любого начального
состояния (/0, 50) процессы роста (8.78), порожденные этим состояни-
ем и данными ставками, тождественны.

Отсюда следует, что ставки будут эквивалентными, если соответ-
ствующие коэффициенты роста и/или коэффициенты дисконтирова-
ния совпадают. Эквивалентность ставок обозначим символом

Данное определение эквивалентности позволяет отождествлять
как процентные, так и учетные ставки различных классов. Поэтому
мы назвали это отношение эквивалентности эквивалентностью в
широком смысле.

Под эквивалентностью в узком смысле будем понимать эквивалент-
ность двух ставок одного класса, например ставок начисления или
номинальных учетных ставок и т.д.

Заметим, что для нормированных эффективных ставок как процент-
ных, так и учетных (узкая) эквивалентность означает попросту их
совпадение.

В самом деле, коэффициент роста а однозначно определяет соот-
ветствующую эффективную процентную ставку

i = а — 1

так как <7 = 1 + i, и учетную ставку

d=(a- 1)/а,
поскольку а = (1 - d)~( Следовательно, совпадение коэффициентов
роста влечет совпадение соответствующих эффективных нормирован-
ных ставок.

Таким образом,

i' - j" & i' = i"- d' ~ d" <^d' = d". (8.86)

Точно так же (узкая) эквивалентность номинальных непрерывных
(бесконечно-кратных) ставок также означает их совпадение. В самом
деле, равенства

а = qj и а = е5
означают, что коэффициент роста позволяет однозначно определить
номинальную непрерывно начисляемую ставку.

j ~ In а

и номинальную непрерывно учитываемую учетную ставку

S = In а .

Поэтому совпадение коэффициентов роста означает совпадение соот-
ветствующих непрерывных (бесконечно-кратных) ставок.

Итак, для классов эффективных и непрерывных ставок эквивалент-
ность в узком смысле означает просто их совпадение:

<8-87>
и

<5^ (8.88)

Широкая эквивалентность этих ставок (У, d, у, 5) описывается
очевидной цепочкой равенств:

1 + /=(1 ~dyx = V=es. (8.89)

Каждое равенство из этой четверки дает конкретный вид эквивалент-
ности между соответствующими ставками. Так, равенство

1 +/ = (1 -d)~l

означает эквивалентность i ~ d эффективных процентной и учетной ставок.
Наконец, можно выписать еще ряд (узких) эквивалентностей ставок
одного типа:

— ставки начисления

/ / \'/Л2

ih + = U + M ’ (8.90)
— учетные ставки
I УЛ /
dhrdhi^[\~dh] =(1-^) ;

(8.91)

— номинальные процентные

ws ; т2 )

— номинальные учетные

}

Наконец, широкая (перекрестная) эквивалентность для этих клас-
сов ставок задается цепочкой равенств:

где снова каждое равенство из цепочки дает конкретный вид эквива-
лентности. Например, равенство

/ ~
h

означает эквивалентность

ставки начисления с периодом Л и р-кратно учитываемой учетной
ставки d(/,}.

Теоретически восемь различных классов ставок дают 8 х 8 = 64
конкретных вида эквивалентности. Из восьми видов узких эквивалент-
ностей (для ставок одного вида) четыре означают равенства, осталь-
ные — нетривиальные эквивалентности. Широкие (перекрестные) эк-
вивалентности ставок различных видов описываются равенствами из
объединенной цепочки равенств (8.89) и (8.94). Все эти эквивалентно-
сти (их 8 х 7 = 56) определяются одной из возможных комбинаций.
Конечно, нет никакого смысла выписывать их все. Принцип определе-
ния этих эквивалентностей чрезвычайно прост: каждое условие эквива-
лентности означает равенство коэффициентов роста, выраженных через
соответствующие ставки.

Пример 8.14. Пусть /' = 10% — месячная ставка начисления (р = 1/12); /, = 3.31 % —
квартальная (А, = 1/4). Являются ли эквивалентными эти ставки? Найти месячную
и квартальную учетные ставки, эквивалентные в широком смысле ставкам / и /? соот-
ветственно.

Решение. Эти ставки эквивалентны, поскольку, согласно (8.91),

(1 +0,1)12 = (1 + 0,331)4 = 3,138.

Эффективная годовая ставка, эквивалентная этим ставкам начисления, равна 2,138,
или 213,8%.

Ставки /. и /2 соответственно эквивалентны в широком смысле месячной ставке

и квартальной

Пример 8.15. Показать, что годовая номинальная ставка i,!2|= 120% с ежемесяч-
ным ~ 1/12) начислением эквивалентна годовой номинальной ставке 132,4%
с ежеквартальным (h2 = 1/4) начислением.

Решение. В самом деле, эти ставки порождают
месячную

/1=Д-=о,1

и квартальную 12

/(4)

= 0,331

1 4

ставки начисления, которые, согласно предыдущему примеру, эквивалентны.

Эквивалентность ставок позволяет однозначно выразить значение
одной из эквивалентных ставок через другую. Так, из эквивалентности
4 и 4,, задаваемой равенством

получаем

Задав ставку за единичный временной промежуток

'Г z >

можно получить целое семейство {ih} эквивалентных ставок начисле-
ния для произвольных периодов начисления h:

Действительно, если i — нормированная ставка начисления, то (1 + /)А
есть коэффициент роста единичной суммы за период h (в непрерывной
модели) и, следовательно, (1 + /)А — 1 будет в точности ставкой за этот
период, т.е. ставкой начисления.
Аналогично, зная учетную ставку за период dh можно из эквива-
лентности dh~ dh , равносильной равенству

найти учетную ставку за период /ц:

л,//).

й2 \ /г‘ /

Наконец, процентная и учетная ставки за любой период взаимно
определяют друг друга:

d, =-^
h 1 ,

i h
h

1 Л

Нет смысла выписывать все выражения для преобразования одной
ставки в другую, поскольку механизм получения таких соотношений
чрезвычайно прост. Любая из перечисленных выше эквивалентностей
дает два правила преобразования для каждой из двух видов ставок,
участвующих в этой эквивалентности.

Пример 8.16. Пусть /(|2) = 12% — номинальная годовая процентная ставка с
ежемесячным начислением. Найти эффективные годовые ставки всех видов, эквива-
лентные этой ставке.

Решение.

1) Эффективная годовая процентная ставка

’/1 -о

.-и V2

— -1=1,1286-1 = 0,1286,или12,68%.

12 2

2) Эффективная годовая учетная ставка

» эф

= -ЗНЬ- = °1-1286 = 0,1452, или 14,52%.

(,2) 1-^’, 1-0,1286

8.7. Эффективные ставки кредитных сделок и общее понятие
ставки в схеме сложных процентов

Эффективные ставки кредитных сделок. Приведенные выше опреде-
ления формулировались в рамках непрерывной модели накопительного
счета в схеме сложных процентов. Как известно, эта модель подразу-
мевает непрерывную итерацию процедуры начисления процентов за
выбранный период, называемый периодом начисления. Однако на
практике понятия эффективной ставки и эквивалентности ставок
используются в значительно более широком контексте. В частности,
и для описания индивидуальных кредитных сделок.
Рассмотрим, например, простейшую кредитную сделку с периодом
Т, начальной суммой 5, и конечной ST. Напомним, что величина

rr=(Sr-S0)/S0

называется ставкой сделки или ставкой за период Г, а величина

'(Пг)=7 (8-95)

— нормированной простой ставкой сделки.

Но можно определить еще одну нормированную, т.е. приведенную к
базовому промежутку временной шкалы, ставку, — эффективную став-
ку, которая задается выражением

'(?) =0+''гГ-1- (8.96)

Конечно, чисто формально (8.96) ничем не отличается от формулы
эффективной ставки, соответствующей ставке начисления. Различие
проявляется лишь в интерпретации. Говоря выше о ставке начисления
и о связанных с ней (эквивалентных) нормированных ставках (номи-
нальной и эффективной), подразумеваем использование накопитель-
ной модели, т.е. непрерывную (многократную) итерацию процедуры
начисления процентов за последовательные периоды. Этот процесс
характеризует динамику накопительного счета.

Для индивидуальной кредитной сделки ее итерация (даже если она
возможна), вообще говоря, не подразумевается. В этом случае эффек-
тивная ставка — просто еще одна характеристика сделки, являющаяся
функцией ее ставки за период. Фактически ставка сделки за период
порождает два нормированных представления: простую и эффектив-
ную ставки.

То же относится и к понятию эквивалентности ставок кредитных
сделок. В гл. 2 определен простой класс сделок, обладающий тем
свойством, что все сделки этого класса имеют одну и ту же простую
нормированную ставку. Аналогично можно определить класс эффек-
тивно-эквивалентных сделок — класс, все сделки которого имеют
одинаковые эффективные нормированные ставки. Таким образом, две
сделки и соответственно их ставки /г и/г называются (эффективно)
эквивалентными, если

(1 + i' j~t J — (1 +1j
В дальнейшем эффективную эквивалентность будем называть про-
сто эквивалентностью, используя уточняющее прилагательное лишь
для случая простых процентов.

Распространение понятий эффективной ставки и эквивалентности
на случай индивидуальных кредитных сделок позволяет сравнивать
сделки с разными периодами. Содержательная интерпретация результа-
тов такого сравнения будет весьма нелегкое и тонкое дело. Сейчас
лишь отметим широкое применение на практике обоих видов норми-
рованных ставок, как простых, так и эффективных, в оценке инвести-
ционных стратегий с различными кредитными инструментами (вексе-
лями, облигациями, депозитами и т.д.).

Заметим, что использование различных нормированных ставок для
сравнения эффективности индивидуальных кредитных сделок с разны-
ми сроками может привести к парадоксальному результату.

Пример 8.17. Рассмотрим две простые кредитные сделки. Пусть первая сроком
158 дней имеет простую доходность /]"р = 157% годовых, а вторая — сроком 95 дней —
/“р =144% годовых. Какая из сделок выгоднее?

Решени е. Очевидно, что по простой годовой доходности первая сделка превосхо-
дит вторую. С другой стороны, эффективная годовая доходность первой сделки

365

i ( 158V+

= 1 + 1,57- — -1 = 2,3133, или 231,33%.

(1) ( 365 J

Эффективная годовая доходность второй —

365

. ( 95 V5

/р' = 1 + 1,44-—— -1 = 2,3972, или 239,72%.

№ I 365)

Таким образом, по эффективной годовой доходности первая сделка уступает второй.
Итак, >/‘7, но /1’ф <//*. Парадокс оказался возможным исключительно из-за различ-
ной продолжительности сделок. Поэтому в данной задаче для однозначного ее решения
необходимо было уточнить критерий сравнения сделок.

Выбор критерия для сравнения эффективных сделок, как мы уже
увидели в этом примере, — весьма тонкая вещь. Этому вопросу мы
уделим впоследствии особое внимание.

Приведенный механизм распространения понятия эффективной
ставки с накопительной модели на модели индивидуальных сделок мож-
но завершить еще более радикально, определив общее (абстрактное)
понятие процентной или учетной ставки безотносительно к какой-либо
содержательной модели (кредитных сделок или накопительной).

Общие ставки: определения и свойства. Пусть Т — выбранная вре-
менная шша,

Определение 8.3. Процентной ставкой (в схеме сложных процентов)
называется пара (Г, г), ТФ 0, где Т — период (точнее, длина периода)
действия ставки, а г — числовое значение ставки. Ставка (1, г) с единич-
ным периодом Т= 1 называется нормированной.

Для простоты вместо пары (Г, г) используют индексное обозначение
iT для значения /-ставки в тех случаях, когда необходимо указать период
Г, к которому она относится. При этом обозначение нормированного
периода Т~ I часто опускают, т.е. вместо i пишут просто I.

Определение 8.4. Ставки (Тг г) и (Д, г2) называются эффективно-
эквивалентными, если выполняется равенство

/1 № Wb

(Щ) =(l+r2f \

в индексных обозначениях это определение запишется как

0 +iTj j +

Для каждой ставки (Т, iT) существует единственная эквивалентная ей
нормированная ставка

/=(1+/г)|/г-1.

Последнюю будем называть эффективной ставкой, соответствующей
ставке 1Т, и обозначать или просто /

Наконец нормированную ставку

назовем простой нормированной ставкой, соответствующей ставке iT, и
обозначим ее или коротко z Простую ставку /"Р называют также
номинальной ставкой, соответствующей ставке ir

Из определения эффективной ставки следует, что две ставки будут
эквивалентными, если соответствующие им эффективные нормиро-
ванные ставки совпадают:

1тх 1у 1(Т2у

Эффективная ставка — нормированная ставка эффективно
эквивалентная ставке iT\

‘ 1{ту

Заметим, что простая нормированная (номинальная) ставка /j!p не
является эффективно эквивалентной ставке i, за исключением слу-
чая, когда сама исходная ставка является нормированной (Т- 1).

Однако можно ввести еще один тип эквивалентности ставок — так
называемую простую эквивалентность.
Определение 8.5. Ставки и/г будем называть просто эквивалент-

ными, если

_ Zr,

11 J2

т.е. если совпадают соответствующие им простые нормированные
ставки.

Мы определили общие процентные ставки. Аналогичным образом
определяются общие учетные ставки.

Определение 8.6. Учетной ставкой называется пара (Г, w), где Т —
период действия, aw-— значение ставки. Значение w ставки с периодом
Г будем обозначать также через dT. Учетная ставка (1, w) с единичным
периодом называется нормированной.

Для учетных ставок можно определить отношение эквивалентности.

Определение 8.7. Учетные ставки (Tv w) и (Tr w2) называются
эффективно эквивалентными, если имеет место равенство

в индексных обозначениях это определение запишется в виде
/, , /, , а1/7?

Для каждой учетной ставки dTсуществует единственная эквивалентная
ей нормированная ставка, которая называется эффективной ставкой,
соответствующей ставке dr Эта ставка обозначается как .

Ясно, что

Наконец, для учетных ставок можно определить понятие простой
эквивалентности тем же способом, что и для процентных ставок.
Ставки dT MdT считаем просто эквивалентными, если

_ dT^

1 1 1 2

Каждой учетной ставке dr соответствует единственная эквивалент-
ная ей нормированная учетная ставка

Л,
с =—•
(г) Т

Эту ставку называют также номинальной учетной ставкой, соответ-
ствующей ставке dT.
Эффективная эквивалентность учетных ставок равносильна равен-
ству соответствующих эффективных ставок, а простая эквивалент-
ность — равенству соответствующих номинальных ставок.

Наконец, можно расширить определение эквивалентности, позво-
ляя отождествлять процентные и учетные ставки. При этом ясно, что
эквивалентность нормированных процентной / и учетной d ставок
означает просто выполнение равенства

или

а общая (эффективная или простая) эквивалентность автоматически
сводится к эквивалентности нормированных ставок.

Определенная выше эквивалентность ставок действительно являет-
ся отношением эквивалентности, т.е. оно обладает свойствами:
— рефлексивности'. i ~ iT\

— симметричности-, из ~ следует, что /г ~ ;

— транзитивности: из ~iT? viir ~ir следует, что ~ ir.

Проверка этих свойств тривиальна, и мы не будем на ней останав-
ливаться.

Пример 8.18. Пусть ставка за квартал 12%. Найти эквивалентные процентные
и учетные ставки: а? годовые; б) месячные; в) двухлетние.

Решение. Пусть выбрана годовая шкала. Тогда Г, = 1/4; Z = 0,12 и

Найдем эквивалентные ставки,
а) Г = 1 и, следовательно,

г,=(1 + /1/4)4 -1 = (1 + 0.12)4-1 = 0,57;

d =1-(1-</|/4)4 = —^— = 0,6369.
' 1 1 +I,

Это эффективные ставки, соответствующие исходной ставке /
б) Г, ~ 1/12, VI значит

-1=(1 + 0.12)' -1 =0.04;

^,2=1-0-+. У =-^—=0,0371.

‘ +/1/12

в) Т. = 2. Используя результат, полученный в п. а), находим
4 = (i-^i)'-1 = 1’46:

^2 = 1-(1-£/,) =0,8682.

В заключение параграфа, посвященного ставкам и их эквивалент-
ности, вернемся к содержательной интерпретации этого понятия.

Ставки используются в двух основных типах моделей: в моделях
финансовых сделок (операций) и в моделях финансовых процессов
(фондовых моделях), таких, как модель накопительного счета. В моде-
лях сделок ставка за период является одной из характеристик эффек-
тивности финансовой операции или ее доходности. В модели процес-
сов ставка обычно характеризует динамику роста соответствующей
фондовой величины, например достояние накопительного счета.
•В обоих случаях, как было показано выше, ставке за период соответ-
ствуют ее «производные» характеристики — эффективная и номиналь-
ная нормированные ставки, отличающиеся лишь способом приведе-
ния к единичному периоду (нормированием).

Замечание. Мы неоднократно использовали термин «фактическая» станка. Так
говорят о ставках за период, если он естественным образом связан с анализируемой
моделью. Например, период может быть периодом кредитной ставки или периодом
начисления для модели накопительного счета и т.д. С данной ставкой за период можно
связать бесконечное число эквивалентных ей (в простом или эффективном смысле)
ставок, относящихся к другим периодам, в частности нормированные номинальную и
эффективные ставки. В этом случае прилагательное «фактическая» противопоставляет-
ся производному (искусственному) характеру получающихся таким образом ставок.
Производный характер последних означает, что непосредственно с базовым периодом
(периодом приведения) явно не связаны какая-либо финансовая операция (сделка) или
процесс, для которых нормированная ставка являлась бы фактической. Из этого не
следует, что в частных случаях интерпретация нормированной ставки как фактической
невозможна. Так, в непрерывной модели накопительного счета эффективная годовая
ставка будет фактической ставкой накопления за годовой промежуток. Точно так же
годовая эффективная ставка простой полугодовой кредитной сделки является факти-
ческой ставкой для сложной годовой сделки, состоящей в двукратной итерации исход-
ной сделки (если это возможно) с полным реинвестированием инвестиционного дохода
от первого шага.

Аналогично можно конструировать ситуации, когда используется номинальная
ставка, соответствующая исходной фактической ставке за период. Тем не менее в ситуа-
ции, где первично задана ставка за период, связанная с некоторой сделкой, процессом и
т.д., фактический характер этой ставки и «нефактический», производный характер
нормированных ставок, лишенных естественной привязки с периодом приведения,
обычно достаточно очевиден. Таким образом, термин «фактическая ставка» вполне
может быть использован и часто употребляется на практике, но каждый раз следует
четко представлять, о чем идет речь.

Поясним подробнее сказанное выше. Если 5, и5г — две суммы,
относящиеся к моментам времени и — состояния некоторого
финансового процесса, например Sf, — возвращаемая по кредиту
сумма для взятой в момент t ссуды 5/ или 3/ — накопленная за период
Т= t2 - начальная сумма вклада 5 и т.п., то величина

(8.97)

выражающая относительный прирост начальной суммы, будет факти-
ческой процентной ставкой за период Т.

Номинальная же ставка обычно получается приведением ставки за
период к единице времени (например, году) по формуле

(8.98)

и является другим способом представления фактической ставки, по-
скольку на практике принято говорить о годовых ставках.

Обе ставки безусловно однозначно определяют друг друга. Ситуацию
можно пояснить примером из механики. Если автомобиль двигался
равномерно точно 1 мин и проехал при этом 400 м, то его скорость,
выраженная как v = 400 м/мин, соответствовала бы, так сказать,
фактической скорости, поскольку он действительно двигался 1 мин
и проехал действительно 400 м. С другой стороны, если выразить эту
скорость в других единицах, скажем в км/ч, то получим

400 60 ~.

v =------= 24.

1000

Такое представление можно было бы считать номинальным. Есте-
ственно, при этом не считают, что автомобиль двигался действительно
1 ч и проехал 24 км. В механике такое разделение на фактическую
и номинальную скорости не имеет смысла, и их употребление как
эквивалентных характеристик скорости общеизвестно и не вызывает
никаких недоразумений.

В финансовых вычислениях с формальной точки зрения понятия
фактической и номинальной ставок взаимозаменяемы. Трудности мо-
гут возникнуть при интерпретации полученных при вычислениях зна-
чений. Так, если на вклад в банке проценты начисляются ежемесячно
по номинальной годовой ставке 12%, то за год вклад увеличится,
конечно, не наэти 12%, а на (1,01 )12 — 1 =0,1268-0,13, т.е. примерно на
13%. Именно эту ставку вкладчик будет считать настоящей, фактичес-
кой или эффективной ставкой. Поэтому вопрос о различении факти-
ческих и номинальных ставок далеко не праздный.
Аналогичные коллизии возникают при оценке доходности различ-
ных финансовых и инвестиционных операций. Во многих финансовых
сделках декларируемые ставки часто имеют совсем не тот смысл,
который имеет (или может иметь) в виду «наивный инвестор». Весьма
поучительным примером служит недавняя отечественная история бан-
ковского дела.

Несколько лет назад (1993) «Мосимпортбанк» проводил широко
рекламируемую кампанию по привлечению вкладов населения под

Та б л и ц а 8.1

Процентные ставки
Срок востребо- вания, мес. % годовых Срок востребо- вания, мес. % годовых Срок востребо- вания, мес. % годовых
1 145 13 314 25 783
2 154 14 337 26 849
3 163 15 363 27 922
4 173 16 390 28 1001
5 184 17 420 29 1088
6 196 18 453 30 1184
7 209 19 488 31 1289
8 224 20 527 32 1404
9 239 21 569 33 1531
10 255 22 616 34 1669
11 273 23 667 35 1821
12 293 24 722 36 1989
Процентные ставки (окончание)
Срок востребо- вания, мес. Оу' /о годовых Срок востребо- вания, мес. 0/ /о годовых Срок востребо- вания, мес. % годовых
37 2173 49 6519 61 20637
38 2375 50 7164 62 22759
39 2597 51 7874 63 25106
40 2842 52 8659 64 27701
41 3111 53 9525 65 30572
42 3407 54 10480 66 32748
43 3734 55 11535 67 35000
44 4093 56 12700
45 4489 57 13988
46 4925 58 15409
47 5405 59 16981
48 5935 60 18717
30 000% годовых, тогда как другие банки и финансовые компании,
даже самые «отчаянные», редко обещали более 1000% годовых. При
этом «Мосимпортбанк» приводил таблицу, наглядно показывающую
механизм возрастания вкладов по месяцам (табл. 8.1). Нельзя сказать,
что «Мосимпортбанк» дезинформировал публику. Дело в том, что он
сообщал номинальную годовую ставку для пятилетнего периода накоп-
ления. Иными словами, банк обязывался заплатить 30 0005- 150000%
за 5 лет! Последняя цифра еще более внушительна, но ее банк не
рекламировал, ведь ждать приходится не год, а целых 5 лет, да в
условиях гиперинфляции. При этом годовая эффективная ставка,
соответствующая указанным выше ставкам, находится из уравнения
(8.43), где

й = 5, /n = i; /м = 300,
5

т.г. Г / 300У

]+/,=,!+— = I+777 >

\ mJ 1/5 J
откуда

>(1501)^-1 = 3,32,

или 332%, что куда меньше, чем 500 - 1000% (фактических), которые
предлагали другие банки и компании. Эта ставка была меньше годово-
го темпа инфляции, равного в 1993 г. примерно 1000%. Кстати, именно
такая инфляция и могла обеспечить выполнение обязательств банка
перед вкладчиками, если бы банк строил элементарную «пирамиду»,
т.е. проценты по старым вкладам и сами эти вклады выплачивал бы за
счет новых вкладов. Существенное снижение инфляции затрудняет,
а то и делает невозможным выполнение подобных обязательств банка.
Так и случилось в 1994 — 1995 гг., банк оказался в долговой яме и, ко-
нечно, ни о каких десятках тысяч годовых уже никто не вспоминал.

Учитывая возможность неадекватного восприятия контрактных по-
казателей доходности сделок неискушенным инвестором, в практике
некоторых развитых стран Запада, например США и Великобритании,
нормативно закрепляется требование, чтобы инвестору сообщалась
фактическая годовая доходность, заемщику — реальная стоимость
кредита и т.п. Ниже мы неоднократно столкнемся с вопросом о приме-
нимости различных типов процентных ставок, характеризующих эк-
вивалентность инвестиционных операций.
Пример 8.19. а) Найти месячную ставку, эквивалентную декларируемой 30 000%
номинальной годовой ставке «Мосимпортбанка» по срочному пятилетнему вкладу
б) Какое минимальное число лет должен был продержать вкладчик в «доперестроечном»
Сбербанке, дававшем (эффективных) 3% в год, чтобы номинально получить не менее
30 000% годовых за этот срок?

Решение.

а) Обозначим месячную ставку начисления через / . Тогда эффективная годовая
ставка определяется из равенства

1 +/' = (1 + /^ ) .

Поскольку выше мы нашли = 3,32, то получаем уравнение

(1+<у,2)'2 =1+/, =4,32.

откуда

zV12=(4,32p3-1 = 0,13,
т.е. примерно 13%.

б) Пусть искомый срок составляет п лет. Годовой коэффициент роста по срочным
вкладам в Сбербанке составлял 1 + 0,03 - 1,03.

Если 30 000% — номинальная годовая ставка для периода в п лет, то ставка
начисления за п лет, с одной стороны равна = 300л, а с другой —(1т- 0,03)" = (1,03)".

Приравнивая оба выражения, запишем уравнение

(1,03)" - 1 + 300л.

Действуя методом проб и ошибок при п = 300, получаем

(1,03)™ = 70 985 < 1 + 300-300 = 90 001,
а при п = 400

(1,03)™ = 136 423,7 > 1 + 300-400 = 120 001.

Следовательно, 300 < п < 400.

Для п = 395

(l,03)w- 117 680,3 < 1 + 300- 395 = 118 501,
а для п =396

(1,03)596 = 121 211 > 1 + 300-396 = 118 801.

Следовательно, 395 < п < 396. Проводя еще раз уточнение, получим приближенное
значение п ~ 395,5, т.е. 395,5 лет.

8.8. Будущая и текущая стоимости денежных сумм
в схеме сложных процентов

Изменение со временем состояния накопительного счета в непре-
рывной модели сложных процентов, описываемое выражением
8,8. Будущая и текущая стоимости денежных сумм в схеме сложных процентов 333
где ih — ставка начисления за период Л; = /(^ — соответствующая
эффективная нормированная ставка, представляет собой финансовый
процесс в смысле, определенном в § 1.4. Этот процесс однозначно
определяется начальным состоянием (/, 5 ) и внутренним парамет-
ром — одной из процентных ставок (начисления, номинальной или
эффективной). Выбор вида ставки, по существу, безразличен, так как
каждая из ставок однозначно определяет другую.

Для упрощения будем использовать в основном (эффективную)
нормированную ставку, которую обозначим символом Z. Тогда, приме-
нив обозначения § 1.4, можно записать уравнение для инвестиционно-
го процесса, соответствующего непрерывной модели накопительного
счета, в виде

5,=5(г;/0,5Го) = \(1 + 1)"\ 1>/0. (8.100)

Мы уже говорили, что такой процесс задает преобразование финан-
совых событий или (датированных) денежных сумм. Так, начальное
событие (t, St ) преобразуется (переносится вдоль траектории процес-
са) в событие (/, S,). При этом сумма S называется будущим или
накопленным (к моменту /) значением суммы 5 . В операторной форме
(8.100) записывается в виде

5, = ^,5^ = 5,,, (Тор (8.101)

или даже просто

= (8.102)

где а = 1 + / — нормированный (эффективный) коэффициент роста.

Строго говоря, оператор FV преобразует, конечно, не суммы, а события:

но на практике, как уже неоднократно отмечалось, обычно говорят
о суммах.

Нахождение будущих (накопленных) сумм связано с движением
вперед вдоль временнбй шкалы от прошлого к будущему. Однако часто
приходится решать в некотором смысле обратную задачу, например об
определении требуемого размера инвестиций. Иными словами, имея
целевое значение будущих накоплений, необходимо узнать, каков
должен быть объем начальных инвестиций 5, , чтобы при заданной
(например, эффективной нормированной) ставке i их будущее значе-
ние к моменту t в точности совпало с требуемым значением .S’. В
некотором смысле мы уже решали обратную задачу подобного типа
(см. гл. 2) при анализе кредитной сделки, а также (см. гл. 3) для схемы
простых процентов.

Как мы помним, искомое значение S называется приведенным или
дисконтированным значением суммы 5. Этот факт записывается в виде

S,°=PV,p,sp t„<t. (8.103)

Сумму 5, называют также текущим (сегодняшним, настоящим)
значением суммы 5 .

Как уже отмечалось ранее, обозначение РУ; используется в современ-
ной финансовой литературе для приведения событий не только к про-
шлым (по отношению к ним), но и любым, в том числе, и будущим,
моментам. Поэтому в тех случаях, когда требуется подчеркнуть тот факт,
что речь идет именно о дисконтировании, употребляют также обозначе-
ние DV;. В этом параграфе будем использовать для оператора текущего
(дисконтного) значения символ РИ, в следующем, посвященном фор-
мальному описанию схемы сложных процентов, — обозначение /Ж.

Поскольку равенство

равносильно по определению равенству

то нахождение 5, сводится к решению последнего уравнения относи-
тельно S.

Рассмотрим пример. Допустим, что вы желаете накопить вполне
определенную сумму за несколько лет. Пусть речь идет о сумме .^1000
и 5 годах. Банк, которому вы вполне доверяете, принимает срочные
вклады с ежегодными начислениями процентов по ставке 8% в год.
Не желая откладывать больше денег, чем это необходимо для постав-
ленной цели, вы хотите знать, какую сумму вам необходимо положить
в банк, чтобы осуществить вашу цель. Обозначив через 5П искомую
сумму, получим для нее уравнение

5о(1+О,О8)5 = 1000,

откуда

1000 1000

(1 + 0.08)5 1,4693

= 580,58(.9?).
Рассмотрим теперь вопрос о нахождении текущего значения в об-
щем виде. Пусть известное или требуемое состояние счета в неко-
торый будущий момент времени. Из (8.101), принимая во внимание
(8.100), имеем, что

PV, (S\ =—. (8.104)

В упрощенной форме, если нет неоднозначности толкования, ра-
венство (8.104) будем записывать в виде

S, = S',,. (8.105)

° (1+ /)''’

Формулу (8.105) можно переписать в виде

P^(S,) = Sla=S,v'-", (8.106)

где .

V------

1+/

— нормированный дисконтный множитель, соответствующий норми-
рованной ставке /. Если вместо нормированной ставки задана ставка
начисления или номинальная ставка, то для использования выраже-
ний (8.101), (8.106) необходимо сначала перейти от этих ставок к соот-
ветствующей эффективной ставке. Естественно можно переписать
формулы для будущей и текущей стоимостей непосредственно в терми-
нах заданных ставок, если подставить в (8.101), (8.106) вместо норми-
рованной (эффективной) ставки i ее выражение через заданные ставки.
Мы не будем выписывать соответствующие формулы. Читатель может
легко сделать это самостоятельно.

Приведенные выше формулы (8.101), (8.102) для оператора будущей
стоимости FVt и (8.105), (8.106) для оператора текущей стоимости PV
выражены в терминах процентных ставок. Однако их можно выразить
и в терминах учетных ставок. Для этого достаточно в (8.101), (8.106)
выразить нормированные коэффициенты роста и дисконтирования
через учетные ставки:

и = 1-а; а = -~----.

v l~d

Здесь d— нормированная (эффективная) учетная ставка. Тогда получим
И

PV,a(S,) = SlV^=S,t(l-dr, (8.108)

где нормированные коэффициенты дисконтирования vи ростам выра-
жены через нормированную учетную ставку d.

Если же задана учетная ставка за период или номинальная учетная
ставка, то можно либо вычислить сначала соответствующую эффек-
тивную учетную ставку и затем, применив (8.107), (8.108), либо подста-
вить в эти формулы выражения для эффективной учетной ставки через
исходные ставки и, получив соответствующее выражение, применять
его непосредственно к исходным данным.

Таким образом, нахождение будущих значений связано с движени-
ем вперед по временнбй шкале, а йастоящих значений — с движением
назад.

Пример 8.20. Пусть банк платит 12% годовых (эффективно) по сложным процен-
там. Какую сумму нужно положить в банк, чтобы накопить .% 1000: а) за 2 года; б) за 2,5
года при непрерывной схеме начисления?

Решение. Считаем, что t0 = 0. Кроме того, из условия примера следует, что h = 1 год.

а) В этом случае t= 1 и, следовательно, имеем

5 -797.19(М

(1+0,12)2 }

б) Здесь Г= 2,5, поэтому получаем

j- !°°°- >=753,28(.У).

(1 + 0.I2)25 ' '

П р и м е р 8.21, Банк начисляет проценты по учетной ставке 10% годовых раз в 6 мес.
Вкладчик за 10 лет накопил Т?]0 000. Какую сумму вложил вкладчик, если ни новых
вложений, ни изъятий со счета за 10 лет не производилось?

Решение. Считая f0 = 0, для годовой шкалы будем иметь

т-2, <?|2>=10%
и

5Ш= 10 000 (//?)
Тогда
? ) 2

50 = 5)() 1-=10000(1-0,05)’20 =27895,1(Л).

I 2 7

8.9. Стандартная схема сложных процентов

Приведенные выше формулы для будущей и текущей стоимостей
денежных сумм (событий) были связаны с конкретным типом
финансового процесса в непрерывной модели накопления, задаваемого
формулой
5, = 5Д1

где / — нормированная эффективная ставка накопления.

Эта формула, называемая формулой сложных процентов, — осно-
вополагающая для класса моделей, относящихся к схеме сложных
процентов, т.е. моделей, финансовый закон для которых описывается
вышеупомянутой формулой. Формальное описание финансовой схе-
мы сводится к заданию:
— финансовых законов, определяющих правила преобразования (при-
ведения) финансовых событий и потоков;

— семейства отношений эквивалентности, связанных с этими преоб-
разованиями.

Финансовыми законами в стандартной схеме сложных процентов
являются:
— закон капитализации

A(t,p,C)=Ca(t,p), р>1, (8.109)

где
а(г,р)=в'-' (8.110)

и а > 0 — постоянный коэффициент, называемый нормированным
коэффициентом капитализации (роста);

— закон дисконтирования

D(t,p,C) = Cv(t,p), p<t, (8.111)

где

v(/,p) = v'“p
и v > 0 — постоянный коэффициент, называемый нормированным
коэффициентом дисконтирования.

Таким образом, финансовые законы капитализации и дисконтиро-
вания стандартной схемы сложных процентов являются однородными
относительно денежных сумм, непрерывными и стационарными
(см. § 1.4). Будем считать также, что в стандартной схеме законы
капитализации и дисконтирования взаимносопряженные, т.е.

у('’/’)=дЬг р~'’

Условие сопряженности равносильно выполнению равенства v = v,
где v = 1/а,
т.е. коэффициенты капитализации (роста) а и дисконтирования v —
взаимно обратны.

В нашей формулировке финансовых законов схемы сложных про-
центов нет никаких упоминаний о ставках.

На абстрактном уровне анализа они, собственно, и не нужны.
Однако, учитывая возможные приложения схемы сложных процентов
и содержательные модели финансовых процессов роста, на базе кото-
рых собственно и возникла сама схема, следовало бы определить
понятие ставки, соответствующей финансовым законам схемы. Тем
более что сделать это очень легко.

Так, нормированной процентной ставкой называется величина

i == а - 1,

а нормированной учетной ставкой

d— 1 — v.

Из этих определений немедленно следуют стандартные соотноше-
ния между этими ставками:

Другие виды ставок (как процентных, так и учетных) получаются
при преобразовании временной шкалы. Не будем здесь выписывать
явные формулы для преобразования финансовых законов схемы слож-
ных процентов и соответствующих им параметров (коэффициентов
и ставок) при переходе к новой временной шкале, поскольку этот
вопрос был подробно рассмотрен в предыдущих параграфах, посвя-
щенных различным видам ставок и их эквивалентностям. В этом
параграфе временная шкала считается заданной и неизменной. Соот-
ветственно неизменными будут и параметры схемы (коэффициенты
и ставки).

Два финансовых закона капитализации и дисконтирования порож-
дают один общий финансовый закон:

р Р^\

Л \D(t,p,C), p<t,

получаемый «склейкой» законов капитализации и дисконтирования.
Общий финансовый закон F(t, р, С) является, естественно, однород-
ным (по С), непрерывным и стационарным законом. Причем условие
сопряженности законов капитализации и дисконтирования позволяют
записать этот закон в виде

F(t,p,C)=Cap~t =Cuf~p,

где t,p — произвольные моменты времени.

Перечисленные выше финансовые законы порождают преобразова-
ния финансовых событий, которые запишем в операторной форме.

Так, для любого события (7, Q можно задать его приведенное
к моменту р значение

PVp(t,C} = {P,Vp\

где

Vp=F(t,p,C] = Cvi~p,

В тех случаях, когдар > /, говорят о будущем значении и пишут

(рЛ) = 7Т,(г,С),

а в случае р < t говорят о дисконтированном (текущем) значении

(а И,) = ОГ,(г, С).

Хотя общий оператор приведения PV и его частные случаи /-У, DV
представляют собой преобразования событий, на практике обычно
говорят о преобразовании (датированных) денежных сумм и пишут
просто

^=^(0

и соответственно

или

Будем использовать эти сокращенные обозначения в тех случаях,
когда это не будет приводить к недоразумению.

Показательный вид финансовых законов в схеме сложных
процентов и соответствующих ему правил приведения FK, DVT
обусловливает дополнительно выполнение для последних так называе-
мого свойства поглощения, которое сформулируем теперь для обобщен-
ного оператора PVr.

Свойство поглощения оператора приведения. Для любого события
(/, Q и любых тр т2

PV,PVt\C,^ PV^C,}.
Доказательство этого свойства тривиально. Пусть

C,t=PV^C,) = C,v-\

Тогда

РУТ РУТ (С,) = РУ, (Ст } = =РУ (С).

Содержательно (на языке процессов накопления) свойство погло-
щения означает, что различные траектории процентного роста для слож-
ных процентов не могут пересекаться. Такое пересечение вполне возмож-
но для процессов накопления по простым процентам. Другими словами,
процессы накопления по сложным процентам «не имеют памяти» в
отличие от процессов накопления по простым процентам. Будущее пове-
дение такого процесса полностью определяется не только начальным, но и
вообще любым состоянием этого процесса. Именно на этом факте основана
упоминавшаяся выше простота теории сложных процентов.

Заметим, что в терминах § 1.4 упомянутое выше свойство поглоще-
ния есть следствие транзитивности финансовых законов капитализа-
ции и дисконтирования, т.е. для любого р из промежутка (т, г): t < р < т
имеет место соотношение

a(t,r) = a(t, р)а(р, т),
а для любого р из (т, /): т < р < t выполняется соотношение

d(t,T]-d(t, p)d(p, г).

Доказательство этих равентств вполне очевидно.

Задание правила преобразования (приведения) финансовых собы-
тий к произвольному моменту времени является лишь одной из компо-
нент формального описания схемы сложных процентов. Вторая ком-
понента состоит в определении понятия эквивалентности финансовых
событий.

Эквивалентность финансовых событий в схеме сложных процентов.
Эквивалентность финансовых событий — второй важнейший аспект
схемы сложных процентов. Возможность приведения (преобразова-
ния) событий позволяет тем или иным способом их отождествлять.
Идея такого отождествления проста: события и соответствующие им
денежные суммы считаются эквивалентными, равносильными и т.д.,
если их текущие значения, приведенные к некоторому моменту време-
ни, совпадают.

Перейдем к формальным определениям. Пусть р — некоторый
момент времени (полюс); i — нормированная эффективная ставка.
f

Определение 8.8. События (Гр Cj) и (/2, С,) называются эквивалентны-
ми относительно полюса р:

с2)’

если их текущие значения, приведенные кр совпадают:

(^С,)-(/2,С2)«РИДС,) = РГДС2)

или в явной форме

Легко проверить, что так определенное отношение действительно
представляет собой отношение эквивалентности, т.е. оно
— рефлексивное р

(лс)-(лс);

р р

— симметрично', из (/‘i,C1)~(/2,C2) следует, что

— транзитивно: если (g,Cj)~(g,C2)m(g,C2)~(g>C3), то (/рС])~(73,С3).

В данном определении эквивалентности подразумевается выбор
точки приведенияр (полюса). Поэтому на самом деле в нем речь идет о
семействе отношений эквивалентности, своего для каждого выбранно-
го моментар. Однако в схеме сложных процентов все эти отношения,
по существу, идентичны; два события, эквивалентные относительно
одного момента времени, будут эквивалентными относительно любого
другого момента времени, т.е. для любых Tj и т2

(^11 ) ~(G’ ^2 ) (а > ^1) ~(G > ^2 )•

Эта фактическая независимость (инвариантность) отношения эк-
вивалентности от выбора момента приведения — простое следствие
свойства поглощения оператора приведения. В самом деле, если собы-
тия (гр и (/2, С2) эквивалентны относительно момента времени т
то, согласно определению,

PK,(c,)=PKti(c2).

Применяя к обеим частям этого равенства оператор РУГ1 приведения к
любой другой точке т2, получим

откуда на основании свойства поглощения следует
ркГ!(с1)=/’К!(с2),

что означает эквивалентность событий (/р С\) и (Z2, С2) относительно т
Из сказанного следует, что в схеме сложных процентов, по существу,
имеется всего одно отношение эквивалентности финансовых событий,
так что можно писать просто

Конечно, при этом остается зависимость отношения эквивалентности
от параметров финансовых законов.

В силу независимости выбора точки приведения при выяснении
эквивалентности событий можно, в качестве этой точки брать момен-
ты, соответствующие самим событиям. Таким образом, проверка экви-
валентности событий (/р Cj) и (/2, С2), где < t2, сводится к проверке
одного из следующих равенств:

1) при р — /

РУ,!(С,) = РУ,^С,) = С2 (8.112)

или в явной форме

С.а'1"'1 = С2;

2) при p = t,

^У„(С2) = С, (8.113)

или в явной форме

Так, событие (1, 100) будет эквивалентно событию (3, 121) относи-
тельно ставки / = 10%, поскольку

100(1 + 0,1)2 = 121

или, что то же самое,

121

(1 + 0,1)2

= 100.

Заметим, что в терминах § 1.4 равенства (8.110), (8.111) определяют
отношение непосредственной замещаемости событий. В общем случае
это более сильное отношение, чем отношение эквивалентности относи-
тельно некоторой точки приведения. Так, для схемы простых процен-
тов непосредственная замещаемость влечет эквивалентность относи-
тельно момента приведения, совпадающего с моментом одного из
событий, но эквивалентность двух событий относительно некоторого
момента времени, вообще говоря, не влечет их непосредственную
заменяемость. Но в схеме сложных процентов эти отношения совпада-
ют, т.е. непосредственно замещаемые события эквивалентны и, обрат-
но, эквивалентные события являются непосредственно замещаемыми
и, в частности, лежат на одной траектории процесса накопления,
индуцированного более ранним событием.

Сказанное приводит к весьма простой геометрической структуре
классов эквивалентности событий на плоскости время — деньги. Так,
выбирая в качестве универсальной точки приведения начало времен-
ной шкалыр = 0, получим класс эквивалентности, содержащий собы-
тия (О, Со), который состоит из событий вида (/, С), t е Т, где

т.е. геометрически представляет собой кривую, являющуюся графиком

показательной функции

fc(1 W

Семейство таких графиков для различных Со и будет представлять
собой геометрию отношения эквивалентности в схеме сложных про-

центов (рис. 8.5).

Семейство этих кривых
(или, как еще говорят, фак-
тор-множество) образует раз-
биение плоскости время -
деньги в том смысле, что, во-
первых, их объединение дает
всю плоскость и, во-вторых,
эти кривые не пересекаются.

Наконец, легко видеть, что
для моделей роста по слож-
ным процентам каждая такая

кривая содержит полностью

траекторию любого процесса накопления по ставке /, индуцированно-
го любым состоянием (Г0,С0), лежащим на этой кривой, как начальным
состоянием этого процесса.

Данное выше определение эквивалентности относилось к финансо-
вым событиям. Допуская вольность, часто говорят об эквивалентности
(или неэквивалентности) денежных сумм. Конечно, в этом случае речь
идет о «датированных», т.е. привязанных к определенным моментам
времени, а не абстрактных суммах. При этом процентная ставка играет
роль основного «финансового механизма», определяющего изменение
стоимости или, точнее, ценности отдельной суммы со временем. Фор-
мально это изменение описывается с помощью введенных выше опе-
раторов преобразования (приведения). На практике же, конечно, оно
реализуется с помощью инвестирования в конкретные финансовые
или реальные активы. Речь, например, идет о вкладе в банке, покупке
векселя, облигации, акции и т.п.

Подводя итог, можно сказать, что задание процентной ставки позво-
ляет, во-первых, отождествлять события, относящиеся к различным
моментам времени, во-вторых, «переносить» денежные суммы от одного
момента времени к другому и, наконец, сравнивать суммы, относящиеся
к различным моментам времени. ‘

Последнее утверждение нуждается в пояснении. Рассмотрим следу-
ющий вопрос: что больше — 100 или 200? В такой постановке ответ

на него очевиден. Сформулируем вопрос несколько иначе. Что предпоч-
тительнее: 2% 100 сегодня или .#200 год спустя? Поскольку теперь сум-
мы относятся к разным моментам времени, то непосредственно на него
ответить невозможно. Инвестор, решающий такой вопрос, должен об-
ладать способом сравнения таких сумм (событий!). Способ сравнения,
конечно, субъективен и зависит от того, насколько инвестор нуждается
в деньгах, может ли он позволить себе делать сбережения и т.п.

Однако если рассматривать этот вопрос с инвестиционной точки
зрения, то он получает следующую трактовку. Стоит ли отказываться от
2А.100 сегодня, чтобы получить в обмен на них .#200 через год? Ответ
на такой вопрос зависит уже только от инвестиционных возможностей.
Так, если единственная возможность состоит в том, чтобы положить
деньги в банк под 20% годовых, то ответ, очевидно, положительный,
поскольку по такой ставке сегодняшняя стоимость -#200 через год
равна 200/1,2, что больше, чем #100. В этом смысле 22200 через год
предпочтительнее, чем ;#100 сегодня. Таким образом, указание про-
центной ставки позволяет привести суммы к одному и тому же моменту
и затем осуществить сравнение.

Точно такая же ситуация возникает, когда мы хотим проводить
арифметические операции над суммами, относящимися к различным
моментам времени. Так, открыв счет на .#200 в банке, дающем 20%
годовых, и добавив .#’100 в конце года, вы получите, естественно, не
просто арифметическую сумму

.-#2оо+ -#юо= а?зоо,
а иную величину, учитывающую эффект процентного роста:

Л200(1 + 0,2) + :#100 = 3?340.

С такого рода операциями приведения денежных сумм к одному и тому
же моменту времени неоднократно столкнемся в дальнейшем.

Свойство поглощения оператора приведения и порожденная им
независимость эквивалентности событий от полюса (момента приве-
дения) приводит к тому, что в схеме сложных процентов относитель-
ный оператор приведения событий PV^ (см. § 1.5) совпадает с про-
стым оператором РИ. Напомним, что относительный оператор РИ^
приведения событий к моменту т относительно полюса р преобразует
данное событие (?, С) в единственное эквивалентное ему относительно
полюса р событие (т, И). Поскольку выбор полюса для определения
эквивалентности, как было показано, несуществен, то, полагаяр = т, в
силу (8.112), (8.113) получим

руМ = ру^

В схеме простых процентов (см. гл. 3) эти операторы существенно
различны, что еще раз подтверждает большую простоту схемы сложных
процентов по сравнению со схемой простых процентов вопреки их
названиям.

3 а м е ч а и и е. Англоязычный термин compound interest указывает не на сложность
(complexity), а на итеративный составной характер (compounding) начисления процентов.

На этом закончим изложение стандартной схемы сложных процен-
тов. Напомним, что ее существенным моментом является постоянство
коэффициентов (или ставок), определяющих финансовые законы схе-
мы. На практике ставки, как правило, редко остаются неизменными.
В последующих главах мы подробно исследуем процессы роста в не-
стационарных условиях, характеризующихся изменчивостью ставок.
При этом основное внимание будет уделено общим и непрерывным
схемам изменения ставок.

8.10. Переменные процентные ставки

Основной чертой рассмотренных выше моделей было условие по-
стоянства процентной ставки. Более точно, процентная ставка счита-
лась независимой от времени. Так, для накопительного вклада предпо-
лагалось, что банк начисляет проценты за каждый период, например за
первый, второй и последующие годы, по одной и той же ставке.
На практике такое редко встречается. Постоянство ставок может иметь
место лишь в небольших временных диапазонах, В случае изменения
темпов инфляции банковские процентные ставки также изменяются.
Поэтому финансовые модели должны учитывать возможность измене-
ния процентных ставок.

Возможны два подхода для учета изменения процентных ставок,
которые можно условно назвать дискретным и непрерывным. При пер-
вом подходе рассматриваемый временной диапазон разбивается на
конечное число промежутков, на каждом из которых процентная став-
ка считается постоянной.

При втором подходе процентные ставки могут изменяться непре-
рывно, так что у них, собственно, может не быть никаких промежутков
постоянства. Ниже мы увидим, что второй подход в некотором смысле
более общий и содержит в себе первый. Естественно, с математической
точки зрения оба подхода различаются по сложности. В первом случае
результаты, полученные для постоянных ставок, почти тривиальным
образом обобщаются, во втором (непрерывном) случае приходится
привлекать инструменты математического анализа. Правда, нам по-
требуются лишь самые первоначальные сведения о производных и ин-
теграле, практически не выходящие за рамки даже школьного курса
математики. Второму подходу, в силу его большей общности, будет
полностью посвящена отдельная глава. Здесь подробно остановимся
на дискретном подходе для переменных процентных ставок. Начнем
изложение с простого примера.

Пример 8.22. Пусть банк выплачивал проценты по накопительным вкладам
в размере 10% годовых в течение 1-го года, 15% годовых —• в течение 2-го и 8% годовых —
в течение 3-го года. Все ставки — фактические. Если вкладчик имел на счете в начале
1-го года Д?500, то каков размер вклада в конце каждого года?

Решение. В конце 1 -го года вклад

С] = 500(1 + 0,1) = 550(2/?).

В конце 2-го года

С2 = 550(1 + 0,15) = 632,5(22).

В конце 3-го года получаем

С3 = 632,5(1 + 0,08) = 683,1(22).

Принцип решения задач такого рода вполне очевиден, поэтому
перейдем к изложению общей схемы для дискретного случая.

Пусть [а, /?] с Т - произвольный диапазон из временной
шкалы Т. Далее указана последовательность моментов tk из диапазона

° = го < Л < 6 <--< Л, = *>
которая разбивает промежуток [а, Ь] на промежутки [/*_р /J, к ~ 1,2,...,
п, длины hk = tk — t так что исходный диапазон представляется в
виде объединения

Д--1

Концы полученных промежутков разбиения, т.е. точки деления,
назовем критическими точками (моментами). Пусть для каждого про-
межутка [^_р задана нормированная (т.е. относящаяся к выбранной
единице времени) эффективная процентная ik или эквивалентная ей
эффективная учетная dk ставка, действующая на этом промежутке.
Подразумевается, что все полученные в предыдущих параграфах фор-
мулы без всяких изменений можно использовать в пределах данного
промежутка, т.е. для любых двух моментов времени тр т, из этого
промежутка, tk_x < т}, т2 < tk справедлива любая из формул

где

1 • 1 1 л 1

flt=1+'t=7—г; ^=1-^=7-^-

1-4 l+/t

В частности, текущее значение любой суммы внутри промежутка
определено, если известно одно из критических значений, Ск_} или Ск,
бтносящихся к концам этого промежутка. Так', для любого Гтакого, что
t <t<t., имеем

С,=С,Х'-' (8-Н4)

ИЛИ

С,=СХ< (8.115)

Кроме того, сами критические значения, очевидно, связаны соот-
ношениями

C4=Ct.X*=Ct.,(l+4)'

Ct.,=C^=Ct(l

Из сказанного видно, что такая схема сложных процентов с перемен-
ными ставками позволяет однозначно определить значение суммы в
любой момент времени, если было известно ее значение в какой-либо
другой момент времени. Так, если Со — начальное значение, то после-
довательность критических значений Ск определится выражением

О=с0(1+0‘'(1+Д",-(1+4)‘*;

Св (8.116)

или в сокращенной форме

с*=с«П(1Ч)А';

7=1

со=с*П(,-4)4/- (8-Н7)

В частности, если промежутки [tk_р единичные, т.е. равны базо-
вому промежутку шкалы, например году, то h. = 1, а формулы (8.116)
приводятся к виду

Q ~Со(1 + /])(1 +/2) • -(1+/J;

С = сД1-4)(1-4)-.(1-<4)

ИЛИ

О=С„П(1+<;);

7=1

с0=с;П(1-</,).

7=1

Именно этот случай и был представлен в разобранном выше примере.

Приведенные выше формулы допускают обобщение, связывающее
любые два критических значения С. и С’

С^С’ДИ-О.Г-'О + ^У'-’ -Д + б)*', к<1. (8.118)

В частности, для единичных (годовых) промежутков

G =G(1+'ui)(1+4+2)"-(1 +//)-

Теперь, используя формулы (8.114) и (8.115), дающие связь между
внутренними и критическими значениями, можем получить выраже-
ние для связи между значениями С и С для любых двух моментов
времени из исходного диапазона. Для этого по значению С, где tk~.

<tk сначала находится

Q = Csak ’ ак = 1 + 4 ‘
Затем по СА, согласно (8.118), определяется Ср где / удовлетворяет
условию I- 1 < t < /, и, наконец, по формуле (8.115) находится

C.-Crf.

Замечание. Говоря о значениях накопленных или текущих сумм для внутренних
по отношению к промежуткам [гд._р т] моментов времени, согласно принятому в § 8.3
соглашению применяем непрерывную модель начисления по сложным процентам.

Пример 8.23. При условиях из предыдущего примера найти величину вклада:
а) через 15 мес.; б) 34 мес.

Решение.

а) Если t = /мсс = 15 мес., то в годовой шкале имеем, что

1 . . 3 1

1 < i < 2, г-1 = —= —

12 4

года и последовательно находим

(?!= 500(1+O,1) = 55O(J?);

С, = СД1+0.15)‘=569,56(2/?).

б) Если 5 = t .. = 34 мес., то в годовой шкале

34 5 5

5 =-- = 2-, 5-2 = -

12 6 6

года, следовательно,

Cs = С2 (1 + 0,08)" =674,4(2/?).

В рассмотренной выше модели значения сумм Cf зависят от времени
t непрерывно, тогда как процентные ставки меняются скачками в крити-
ческие моменты /

Вопросы и упражнения

1. Дайте определение основных видов процентных ставок, связанных с накопитель-
ной моделью в схеме сложных процентов.

2. Выпишите уравнение динамики накопительного счета в непрерывной модели
с использованием ставок: а) начисления; б) номинальной с /и-кратным начислением;
в) номинальной с непрерывным начислением; г) эффективной.

3. Выпишите соотношения, связывающие между собой эквивалентные пары ставок
различных видов.

4. Выпишите уравнение динамики для смешанной накопительной модели с исполь-
зованием номинальной ставки с w-кратным начислением.

5. Выпишите явные выражения для операторов будущей и текущей стоимостей
финансовых событий в схеме сложных процентов.

6. Дайте определение эквивалентности событий в схеме сложных процентов. Пока-
жите, что относительная эквивалентность в этой схеме не зависит от выбора полюса.

7. Опишите стандартную схему сложных процентов. Перечислите свойства, которы-
ми обладают финансовые законы в этой схеме.
8. Дайте определения номинальной и эффективной ставок для простой кредитной
сделки. Как связаны между собой эти ставки?

Задачи

I. Вкладчик вносит в банк .#1000. Банк платит проценты по ставке 5% в месяц.
Какова будет сумма вклада через 2 года?

2. Начальная сумма вклада равна $500. Процентная ставка банка составляет 20%
годовых. Найти проценты, начисленные банком: а) за 3 года с момента открытия вклада;
б) за 3-й год.

3. Какую сумму следует положить в банк, чтобы за 5 лет накопить .#20 000, если
годовая ставка банка составляет 10%?

4. За какой срок при ставке 24% с ежемесячным начислением сумма вклада
увеличится: а) в 2 раза? б) в 3 раза? в) в 10 раз?

5. За 5 лет сумма вклада увеличилась в 3 раза. Какова номинальная годовая ставка
банка, если проценты начисляются: а) раз в квартал? б) ежедневно? в) непрерывно?

6. Два векселя с одинаковым номиналом и сроками погашения 6 и 9 мес. имеют
цены, отличающиеся друг от друга на 10%. Какова номинальная и эффективная
доходности к погашению этих векселей на равновесном рынке?
Глава 9. Обобщение модели роста

Перейдем к анализу процессов роста, таких, как процентный рост
по простым и сложным процентам с более обшей точки зрения. До
сих пор мы рассматривали финансовые процессы роста, определяе-
мые некоторой постоянной ставкой накопления (в схеме простых
или сложных процентов) или дискретной последовательностью та-
ких ставок (см. § 8.10).

В этой главе опишем процессы с произвольным законом изменения
процентной ставки, в частности процессы, для которых ставка накоп-
ления может меняться непрерывно. Способ описания таких процессов
позволяет в частных случаях получить выражения для динамики про-
цессов с постоянными или кусочно-постоянными ставками как для
простых, так и сложных процентов.

9.1. Интенсивность роста финансового процесса

При изложении теории сложных процентов мы придерживались
в основном так называемой накопительной модели или модели банков-
ского вклада с неопределенным сроком. Основной изучаемой величи-
ной служила накопленная сумма вклада 5(г) в момент времени t. Нас
интересовал закон изменения этой величины со временем для задан-
ной процентной ставки i. При этом последняя характеризует относи-
тельную скорость или темп роста величины S(t). Тем самым процент-
ная ставка служит мерой доходности банковского вклада. Банковский
вклад однако, — лишь один из видов финансовых активов.

При инвестировании часто приходится решать задачу в некоторой
степени противоположную той, о которой говорилось выше для нако-
пительного вклада. Так, зная последовательные значения цены некото-
рого актива, необходимо оценить доходность, связанную с изменением
Цены, т.е. доходность от прироста капитала. В этом случае исходными
Данными служит последовательность цен или, как еще говорят, времен-
ной ряд S(tn) цен актива, соответствующий некоторой

последовательности моментов времени или, более общим

образом, некоторая функция S(t) времени. Это может быть или цена
отдельного актива, или текущая стоимость некоторого портфеля акти-
вов, фонда и т.д. В принципе это может быть любая зависящая от
времени фондовая переменная.

Итак, рассмотрим некоторую фондовую величину S(t). Наша цель -
описание характера ее изменения. Так для любых двух моментов време-
ни < t2 можно охарактеризовать изменение S(t) на промежутке [г t ]
величинами, широко используемыми как в теории, так и на практике.
В частности, можно говорить о приращении

(9.1)

величины S(t) на этом промежутке и о средней скорости

(9.2)
г2 - /, ДС

изменения S(t).

В экономике, в частности финансах, чаще интересуются не абсо-
лютным, а относительным изменением величин. Поэтому говорят об

относительном приращении

А) =

Д(?2) - £(/,) Д5(/|,/:)

S(t,) ~ ЯД

или относительной средней скорости, или средней интенсивности изме-

за промежуток [Zp Г2].

Очевидно, что относительное приращение — это аналог процентной
ставки за период. В том случае, когда S(t) представляет величину вклада
в момент г, эти понятия просто совпадают. С другой стороны, если S(f)
интерпретируется как стоимость актива, то относительное прираще-
ние есть просто доходность актива от изменения цены. Средняя ин -
тенсивность является аналогом номинальной процентной ставки и при
стандартном соглашении о смысле 5V) совпадает с этим понятием.
При интерпретации 5(/) как цены (стоимости) актива эту величину
можно было бы назвать среднеарифметической (ценовой) доходностью
в единицу времени.

Приведенные характеристики изменения величины S(t) зависят
только от конечных значений ЗЦ) и S(t2) промежутка [rp rj, и они
никак не связаны с поведением S(t) внутри этого промежутка.
Чтобы охватить всевозможные изменения функции 5(7), вводят
понятие о мгновенных или предельных характеристиках изменения.
В первую очередь это понятие мгновенной скорости, которая на языке
математического анализа описывается как производная функции S(r):

«(/0) = 5'(/0)= lim

SM-SM

Предельный случай относительной средней скорости или средней

интенсивности

= lim

Д'.)-ДД S'M

в анализе называется логарифмической производной, так как для случая
положительных значений S(t) > О

5(го) = [Ш5(0]

(9.3)

В теории процентной ставки, когда S(t) интерпретируется как про-
центный рост во времени некоторой суммы, эта величина называется
силой процентов или интенсивностью роста. Покажем, как связаны
сила процентов и процентные ставки в стандартной модели процент-
ного роста с постоянной процентной ставкой.

Рассмотрим сначала процесс роста S(t) со ставкой (любого вида).
Пусть а — соответствующий эффективный коэффициент роста. Тогда
(при = 0)

S(t) - SQa‘.

(9.4)

В этом случае для любых < /2 относительное приращение и средняя
интенсивность процесса за период [rp rj:

Интенсивность (мгновенная) роста этого процесса

5(r0) = lim у (r0, z) = Нт

ar',l> -1

= 1П £7.
Здесь мы воспользовались так называемым замечательным пределом

Г ^-1 !

lim-----m a, a>Q.

Таким образом, процесс роста с постоянной ставкой обладает по-
стоянной (не зависящей от времени) интенсивностью

S= In о.

Этот результат можно было бы получить сразу, применив формулу
(9.3) к процессу роста 5(/), определяемому формулой (9.4):

In fl.

Теперь можно получить выражения интенсивности роста для каж-
дого типа процентной ставки. Для этого достаточно вспомнить форму-
лу для эффективного коэффициента роста, соответствующего выбран-

ному типу ставки:

а = 1+/ = (1 + /л)1/А

Отсюда немедленно следует, что

<5= ln( 1 + О

для эффективной (нормированной) ставки /.

Для ставки начисления /А с периодом начисления h

5=5‘W=lln(1+'‘)-

При этом

г(/, / 4- Л) = ih

дм+Л)=Д = ,т>

т.е. относительное приращение совпадает со ставкой начисления, а сред-
няя интенсивность — с номинальной ставкой / .

Для номинальной ?и-кратно начисляемой ставки /(т) =j

( ( i

8 - <5 ™ = ml п 1н-= wln 1 + — . (9.5)

V т ) \ т)
Заметим, что процесс накопления по номинальной /и-кратно на-
числяемой ставке 1{т) с постоянным значением z(m) =j имеет вид

(9-6)

Предельный переход при т <» в равенстве (9.6) дает (предельный)

процесс роста

5'"’ (?) = SoeJ’
с номинальной непрерывно начисляемой ставкой J. Ему соответствует
эффективный коэффициент роста

а(т) = qj.

Интенсивность этого процесса

<5М(Г) - in - j.

Это же значение интенсивности получается предельным переходом
при т оо в равенстве (9.5):

(9.7)

lim

~ lim

т у

j (°0)

= е \

т.е. характеристики предельного процесса 5(м)(/) равны пределам соот-
ветствующих характеристик промежуточных последовательных про-
цессов 5^w)(0-

Итак, для всех рассмотренных (см. гл. 8) непрерывных моделей
процентного роста

5(r) =

интенсивность таких процессов постоянна:

<5= In я,

причем конкретный вид коэффициента роста а и интенсивности S за-
висит от конкретного вида модели (т.е. выбора типа процентной ставки).

Пример 9.1. Пусть/ = 10% — номинальная годовая ставка. Найти накопленное
значение суммы J?100 за год при начислении процентов: а) раз в год; б) раз в пол года;
в) раз в квартал; г) раз в месяц; д) ежедневно; е) непрерывно.
Реше н и е. Пусть .5 — накопленное значение за год. Тогда:

а) 5= 100(1 +0,1) = 110(1#);

б) S-ioo(i + <LL)2 = ПО,25(;#);

в) 5 = 1ОО(1+^)4 = ИО,38(.#);

г) 5 -100(1 + ~f)'2 -110,47(1#);

д) 5 = 100( 1 +-^р = 110,515(.#);

е)5 = 100е°1 - 110,5170#).

Заметим, что разница между ежедневным и непрерывным начислениями не превы-
шает 0,5 коп.

Приведенные формулы основывались на выражениях для конкрет-
ных моделей процентного роста с постоянной ставкой накопления (лю-
бого вида). В этом случае интенсивность роста оказывается постоянной.

Можно доказать в некотором смысле и обратное, что постоянная
интенсивность определяет процесс экспоненциального роста, который
можно интерпретировать как процентный рост с постоянной ставкой.
Мы получим этот факт как следствие общей формулы, связывающей
произвольную фондовую величину 5(7) и интенсивность ее изменения
5(Г), т.е.

Пусть 5(0 — положительная величина. Тогда предыдущее равенство
можно записать как

£[М0Н(')-

Интегрируя это равенство от 70 до г, получим

или

Го

Переходя к логарифму частного, запишем
и, окончательно,

(9.8)

Таким образом, для класса положительных гладких функций 5(0

задание интенсивности изменения 8(f) однозначно с точностью до

выбора начального значения 5(/0) определяет саму величину 5(/).
В частности, при 8(1) = 8 — const имеем, что

(9.9)

и, если положить = 0, то получим обычную формулу экспоненциаль-
ного роста

5(/) = 50е\

Из формулы (9.8) следует, что относительное изменение

также однозначно определяется интенсивностью 8(f). В самом деле,

и, значит,

(9.10)

Если 8(f) = 8— const, то

r(r!,z2) = exp(5(r2-r1))-l;

ехр(<5(г2 — Z\)) — 1

В частности, для периодов единичной длины

получим

r(t},t2) 9 = е5- 1.
Таким образом, процесс роста с постоянной интенсивностью 8
можно всегда интерпретировать как процесс процентного роста с
нормированной ставкой

i = es- 1, (9.11)

так что в этом случае имеют место равенства (9.7).

Рассмотрим теперь схему накопления по простым процентам. По-
лагая по-прежнему /0 = 0, имеем

5(0 = 50(1+ it),
где z — простая годовая ставка. Отметим, что эта ставка является
фактической только для промежутка [0, 1], т.е. для первого года:

Здесь и далее для целого к используются индексные обозначения
S=S{k).

Для второго года фактическая ставка будет другой:

. _ 52 _ 50 (1 + 2/)-50 (1 + z) _ z

h~ S, ММ ”~1 + Z

И вообще для п-го года получим

/ i

” 5„_, !+(«-!)/•

Таким образом, фактическая годовая ставка для простых процентов
убывает с течением времени.

Сила процентов для схемы простых процентов, в отличие от слож-
ных процентов, не является постоянной величиной и также есть
убывающая функция времени:

50(l+z7) 1 + zV

В общем случае, когда / Ф 0 и

5(0 = 5(/0)(1+/(/-/„)),
интенсивность роста в схеме простых процентов
зависит не только от текущего значения времени /. но и от начального
момента го как от параметра, тогда как интенсивность роста в схеме
сложных процентов 8(1) = 3 — const является постоянной. Это одно из
важнейших отличий двух схем накопления. Тем не менее существен-
но, что обе схемы могут быть описаны в рамках одного подхода,
использующего понятие интенсивности роста. Мы ниже покажем, что
значительная часть изложенного выше материала допускает подобную
переформулировку.

9.2. Функции роста

Введем еще одно важное понятие, связанное с характеристикой
изменения фондовых величин. Пусть S(t) — некоторая ненулевая
фондовая величина, определенная для t> tQ и описывающая некоторый
процесс роста (накопления) с начальным значением 5(го) Ф 0.

Величина я(г), t > tQ определяемая как

называется (начальным) множителем наращения или коэффициентом
роста. Ясно, что

а('0) = 1-

Его смысл очень простой: он показывает, во сколько раз увеличит-
ся величина 5 за период [/ , /]. Так, для накопительного вклада в схеме
простых процентов с начальным состоянием (/0, 5(го)) коэффициент
роста

a(t)= 1+/(Г-Г0),

а для накопительного вклада в схеме сложных процентов (непрерывная
модель)

а(/)=(1+'Г’

Часто вместо коэффициента роста рассматривают более общую
функцию роста

(9.12)

характеризующую рост величины 5 на отрезке .

Отметим, что, говоря о функции роста, мы не требуем, чтобы она
была больше единицы при возрастающих моментах времени, т.е. чтобы
a(tv t2) > 1 при / < Г; именно тогда функция S(t) будет возрастающей:

5(г,) < 5(у.
Стоимость актива может возрастать, по крайней мере, на это наде-
ется инвестор. Однако она может и уменьшаться. В последнем случае
S(t) — убывающая функция времени и a(t}, t ) — следовало бы назвать
функцией «убытия», «вырождения» и т.п. Мы все же следуем общей
традиции, считая рост относительным понятием, в положительном
смысле означающим собственно увеличение, а в отрицательном —
уменьшение.

Введенные характеристики процесса изменения фондовой величи-
ны легко выразить через функцию роста:

В свою очередь, легко получить выражения для функции роста
через указанные величины

= 1 + r(z,,Z2)
и

Функция роста л(гр rj показывает динамику изменения единицы
фонда на периоде [гр /,]. Так, если речь идет о вкладе в долларах,
то функция «(rp t2) показывает, во сколько раз увеличится каждый
доллар вклада на промежутке времени [rp

Для стандартной модели процентного роста с постоянной (эффек-
тивной) годовой ставкой i имеем при Zp t2 > t()

Тогда функция роста имеет вид

и, следовательно, она стационарна, т.е. зависит только от длины / —
соответствующего промежутка [Zp / ].

Если t2 — = 1, получаем единичный (нормированный) коэффи-
циент роста

а = а{ = a(t[Jl + 1)^1+/,
введенный в гл. 8.
В этом случае момент открытия вклада несуществен, важен лишь его
срок. Заметим, что для простых процентов это уже не так, поскольку для
5(')=5('о)(1 + '(/-/о))>

имеет место равенство

т.е. функция роста существенно зависит от момента t открытия вклада,
о чем уже говорилось.

Выше была определена функция роста a(t[f У) для пар г, > /0,
удовлетворяющих условию поскольку именно в этом случае
функция я(Гр г2) характеризует степень изменения фондовой величины
5(г) на промежутке [Гр Г2]. Функция я(/р г2) играет для фондовой
величины S(t) (финансового процесса) ту же роль, что коэффициент
капитализации a(t, т) для финансового закона капитализации (см.
§ 1.4). Однако определение (9.12) можно рассматривать и для пар Гр /2
с обратным порядком, т.е. для / < /р Тогда уместнее говорить о функции
дисконтирования, а не роста и писать не ц(/р /2), а а(гр /2), т.е.

Таким образом, v(t} играет для фондовой величины S(t) туже роль, что
коэффициент дисконтирования для закона дисконтирования (см. 1.4).

Поскольку функции а(/р /) и ц(/р /2) задаются одинаково и отлича-
ются лишь областью определения, причем

то уместно ввести (подобно тому, как это сделано в § 1.4) одну общую
всюду определенную функцию изменения (роста/дисконтирования). Для
этой функции будем использовать оба обозначения a (Zp t) и v (Гр /2)
как взаимозаменяемые. Конкретный выбор зависит от контекста.

Свойствами функций роста и дисконтирования являются:

— нормированностк.

a(t, = 0=1;
— транзитивность', для любых /3 > /2 > > /0
0(ZPZ2) д(/2, гз)=д(/,,гз);
^3, Zi> = zi)’

— самосопряженность', для любых , /, > t
v(tt, t2)v(tv tt) = 1
или, что то же самое,

a(tvt2)a(tv 1.
Первое свойство равносильно равенству

Второе следует из определения. Например, для первого равенства
имеем ч „/ х „/х

к,’27к2’3' 5(^)5^) 5(r,) Vi’v'

И наконец, самосопряженность тривиально — из свойств нормирован-
ное™ и транзитивности. В частности, для второго равенства получаем

a(tvt2)a(tr /,) = 0^,^)= 1.

Итак, финансовый процесс, описываемый своей функцией состоя-
ния S(t), t > tQ (S(t) Ф 0), порождает две величины: одномерные
коэффициенты роста и дисконтирования

и общие (двумерные) функции роста и дисконтирования

Они связаны равенствами

a(t)—a(tQi t); u(t) = v(t, tQ).

Кроме того, функции роста и дисконтирования удовлетворяют услови-
ям нормированное™, транзитивности и самосопряженности.

Наконец, функция состояния процесса S(t) однозначно восстанав-
ливается по функции роста и любому состоянию SV,) процесса в неко-
торый момент времени
Ж = 5(^,0- (9.13)

В частности,

S(t) = 5(/0)<, t) = S(tQ)a(t). (9.14)

Мы определили функцию роста по заданной функции состояния
S(t) процесса (его траектории). Равенства (9.13) и (9.14) показывают,
что процесс можно задавать функцией или коэффициентом роста.
Задание процесса его коэффициентом или функцией роста означает
задание (см. § 1.4) некоторого финансового закона капитализации
(или дисконтирования). Различие состоит, во-первых, в выделении
некоторого начального момента /0, во-вторых, свойства нормирован-
ное™ и транзитивности выполняются автоматически. Для финансово-
го закона нормированность также выполняется, а транзитивность не
всегда (см. § 1.4).

Тривиальный способ построения функции роста состоит в выборе
произвольной ненулевой функции a(t), t> которая будет играть роль
коэффициента роста, и определения

Т2) — > А 5^2— до-

поим е р 9.2. Пусть

a(t) = 1 + f + f2, f>0.

Найти функцию роста t2) и интенсивность роста 5(f).

Решение. Поскольку cz(O) = 1, то a(t) — непрерывный возрастающий коэффи-
циент роста. Соответствующая ему функция роста

Интенсивность роста процесса

5(f) = 5йо(г),
задаваемого этой функцией в точке г, имеет вид
6(/) = Г1п5(/)]'=^=Ф2!_, ГйО.

L 5(f) 1 + f+f2

Менее тривиальный способ состоит в использовании функции
интенсивности роста. Такой подход позволяет заменить функцию двух
переменных о(/15 /2) функцией одной переменной <5(/). Однако он
применим лишь для дифференцируемых функций роста.

Пусть £(/), /> / — положительный (5(/) > 0) процесс с функцией рос-
таа(/], /2). Тогда интенсивность роста процесса ^в точке /определяется как
<?>(/) — limlim

7 /^0 hS(t)

Считая функцию S(t) непрерывно дифференцируемой, получаем, что

<5(0 = ^lnS(z),

откуда, в свою очередь

или, что то же самое,

(9.15)

Для функции дисконтирования имеем соответственно выражение

Таким образом, любая непрерывная функция 8(t), t > /0, порождает
функцию роста a(tv /2) некоторого финансового процесса. Эволюция
процесса с начальным состоянием ЗЦ,) будет описываться выражением

= j) = S(rfl')exp p(r)dt
Vo J

Выполнение для функций a(tv t2), определяемых равенством (9.15),
свойств нормированное™ и транзитивности проверяется тривиаль-

ным образом. Так,

= е° =1

что подтверждает нормированное™. С другой стороны, равенства

подтверждают свойство транзитивности.
В схеме сложных процентов рост описывается функцией

где

е5= 1+ /;

/ — эффективная нормированная ставка.

Интенсивность роста в этом случае постоянна, т.е. 3(t) = <5—- const во
всей области определения процесса. При этом функции роста и дис-
контирования имеют вид .. .

В частности, для непрерывной модели накопительного счета

и в случае t = О

5(/) = ^(50) = 5„О(/) = 50е&

Аналогично

и для го = О

51) = PK0(5(r)) = 5(z)a(;) = 5(/)e-s'.

Пример 9.3. Пусть интенсивность роста (в годовой шкале) 0,09. Найти:

а) накопленную стоимость за два года суммы .500;

б) текущую (приведенную) стоимость суммы .^2000, отнесенной к концу 5-го года.
Решение.

а) 5, = 500eutW2 = 604,62( .д’);

б) 5и = 2000е~°-09'5 = 1275,26( .Д’).

Мы вывели соотношение (9.15) в случае непрерывной интенсивно-
сти роста <5(г), что равносильно непрерывной дифференцируемости
SV) и <2(tp Г). Однако это равенство остается справедливым и в более
общих случаях, в частности для кусочно-гладких функций 5(г).

Пусть

[т,,+Л=и[л-1>л)

Л=.-1

и функция 8(1) кусочно-непрерывна относительно этого разбиения. Ины-
ми словами, 8(f) непрерывна на интервале (тк], тк) и существуют односто-
ронние конечные пределы в концах этих промежутков. Тогда формула
а

определяет кусочно-гладкую нормированную и транзитивную функ-
цию роста. Так, если S(t) — кусочно-постоянная функция:

при/, =^</<7,;

при г, <t <т2;

приг2<г<т5;

А прит„.1</<=,

то для

Tt-1 “ А < Tt ’ — ^2 < ^/+1

получим

а(г1,;2) = ег*(г‘-'|)Пег-‘-е’-'('-г'’>
. 5=^+1

где h = т — т
s s s- J

Как следствие этой формулы, в частности, получаем

t-i

4=1

(9.16)

Если it — эффективная нормированная ставка на промежутке
[V,, rt),To

l+it = ег*.

и формула (9.16) переходит в формулу (8.17).

Пример 9.4. Пусть

0,01 при0</<1;

. 0,05 при1</<5;

ё[Г ) = <

0,08 при 5 </<10;

0,2 при/>10.

Найти коэффициент роста, соответствующий этой интенсивности.

Решение. Так как /0 = 0, то

а(/) = д(0, /).

Для 0 < / < 1 имеем

Для 1 < / < 5

a(r) = exp] j0,01dT j = е001'.

e(/) = exp Jo.Oldr + Jo,O5dT = e»V”'41 = e“*MS1'41

_ о
Для 5 < г < 10

я(/) = ехр jo,OldT + jo,O5dr + jo,O8dr

= exp[0,01 + 0,05 • 4 + 0,08 (/ - 5)] = е°-21+и^'"5).

Наконец, если t > 10, то

1 5 Ю i

п(/) = ехр jo,Oldr + Jo,O5dT + jo,O8dr + Jo,2dr =

_ о

5 10

= ехр[0,01 + 0,05 - 4 + 0,08 5 + 0,2(/ -10)] = е,,'61+0’и('-,0)

Использование понятия интенсивности роста позволяет единооб-
разно записать соотношения, полученные для моделей, рассмотрен-
ных в предыдущих главах. Так, в случае постоянной интенсивности 8
единичный коэффициент роста

я = £г(1) = я(0,1) = ехр

т.е.

а : 1 + / = е5.

Коэффициент роста за 1/ти-ю часть единичного периода

откуда

1 + / = Qs/m

и,следовательно,

В общем случае за любой период h коэффициент роста

a(h) = «(О, Л) = eSh.

С другой стороны,

а. = 1 + i,,
Л Л’

поэтому

^е5Л-1;

__е5А-1
h
Аналогично выражается единичный коэффициент дисконти-
рования
Коэффициент дисконтирования за произвольный период/?;

V. — е-5Л
п

Эти равенства определяют, в свою очередь, нормированную учетную
ставку

d ~ 1 — е~5

и учетную ставку за период h

d=\—u=\~ е*5\
A a h

Пример 9.5. Интенсивность роста в годовой шкале равна 0,1 для всех г. Найти
номинальные и фактические (за период) процентные и учетные ставки по вкладам:
а) на 7 дней; б) 1 мес.; в) 6 мес.

Решение. Поскольку

/>еЙЛ-1; JA=l-e-5A; /(А, =ijh\ d.^djh,
то для:

a) h^.

-1 = 0,00192; t/A=l-e ^ =0,001916;

;(А) = 0,1001; ^ = 0,0999;

б) h =

/Л = -1 = 0,0084; dh = I =0,0083;

/R = 0,1004; ^=0,0996;

в) h =4:

4 =e^-1=0,0513; dh=\-e^ =0,0478;

=0,1025; 4^0,0975.

Таким образом, использование интенсивности роста (силы процен-
тов) позволяет получить простые выражения как для самого процесса
роста, так и для всех видов ставок и характеризующих его коэффици-
ентов, а также легко переходить к общему случаю переменных ставок.
В последнем случае достаточно просто считать интенсивность пере-
менной. Благодаря этим обстоятельствам в финансовом анализе моде-
ли роста задаются с помощью интенсивности. В следующей главе будет
рассмотрена одна из таких моделей.
Вопросы и упражнения

1. Дайте определения средней скорости и средней и мгновенной интенсивностей
финансового процесса S(f).

2. Как связана интенсивность процентного роста с различными типами ставок,
описывающих процесс накопления?

3. Докажите, что коэффициент роста и интенсивность для предельного процесса
ПтУт)(г). где 5('в)(7) — процесс роста по т-кратно начисляемой номинальной ставке
= д совпадают с пределами коэффициента роста и интенсивности процесса при
т —>

4. Какой вид имеет интенсивность роста по схеме простых процентов?

5. Докажите, что процесс роста с постоянной интенсивностью совпадает с процес-
сом роста в схеме сложных процентов.

Задачи

1. Пусть 5(7) = Т2е2'. Найдите среднюю скорость и среднюю интенсивность па отрезке
[О, 1]. Найдите мгновенную интенсивность в момент/= 1.

. 2. Докажите, что для непрерывного дважды дифференцируемого процесса 5V)
справедливо уравнение ,

15W=2±)_5-’W.

d/ ’ ’ a(t) k ’
где a{t) — одномерный коэффициент роста.

3. Величина 5(т) фонда представляет собой квадратичную функцию. За первые
полгода фонд увеличился на 20%, а за год — на 80%. Найдите интенсивность роста
в конце года.

4. Пусть два фонда имеют одинаковые начальные состояния. Накопление в первом
фонде осуществляется по схеме простых процентов, а во втором — по схеме сложных
процентов но той же ставке. Найти момент времени, в который разность между
состояниями (накоплениями) первого и второго фондов будет максимальной.

5. Рост активов фондаД осуществляется по постоянной простой учетной ставке 5%,
а рост активов фонда Б — по простой процентной ставке 10%. В какой момент времени
интенсивности роста этих фондов совпадут?

6. Фонд растет с интенсивностью 5(7) ~ 0,05г, 0 < г < 1. Найдите эквивалентную
ставку роста за период [0, 1 ].

7. Начальная величина фонда >,’100 000. Найдите величину фонда'в конце 20-го
года, если интенсивность роста 5(г) = 0,05/(1 + /)’.
Глава 10. Модели с переменным капиталом и потоки
ПЛАТЕЖЕЙ В СХЕМЕ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ

Предыдущее изложение теории сложных процентов было посвящено
исключительно «истории одной суммы». Все рассмотренные выше
модели касались динамики «самовозрастания» некоторого вклада, сто-
имости актива и т.д.

Так, накопительный вклад открывается («рождается») в некоторый
начальный момент времени tQ и затем автономно возрастает со скорос-
тью, заданной процентной ставкой. Упоминание об автономности су-
щественно, так как в такой модели подразумевается, что ни новых по-
ступлений, ни каких-либо изъятий для упомянутого вклада не делается.

На практике такая автономность или изолированность имеет место
далеко не всегда. Любой крупный денежный фонд, например инвести-
ционный или пенсионный, принимает взносы от своих участников,
осуществляет выплаты, начисляет проценты по своим обязательствам
и т.д. Таким образом, на динамику фонда оказывает влияние не одна
сумма, например его величина в момент образования, а множество
различных сумм, составляющих денежные потоки, «втекающие» или
«истекающие» из него. Поэтому для более полного описания финансо-
вых процессов, не сводимых к простому накопительному вкладу, необ-
ходимо уметь оценивать совместную динамику различных денежных
потоков. Этому вопросу и будет посвящена данная глава.

10.1. Дискретная накопительная модель в схеме сложных процентов

В гл. 4 для простых процентов были рассмотрены некоторые моде-
ли, учитывающие поступления и изъятия средств. Этот параграф по-
священ изучению аналогичных моделей для сложных процентов.

Пример 10.1. Пусть вкладчик открывает в банке счет (например, текущий), для
которого возможны как пополнения, т.е. новые поступления, так и снятие сумм со
счета. В этом случае возникает понятие остатка (остаточного баланса) счета, т.е. коли-
чества денег, имеющегося в данный момент на счете. Остаток (или сальдо) счета — это
его финансовое состояние. Состояние в данный момент времени t обозначим 5(г).
Условимся также, что на остаток счета ежегодно начисляются проценты по ставке.
например 10% годовых. Наконец, 4qq 100 200

пусть история нашего счета описы- ([(

вается событиями, изображенными

на рис. 10.1. 0 1 2 3 4

Иными словами, в момент t = 0 рис j

инвестор открывает счет с началь-

ной суммой ,4?400, через год снимает со счета ,47100, а спустя 3 года вносит дополни-
тельно .47200. При таких условиях найдем состояния счета в моменты t = 1, 2, 3 и 4.

Решить эту задачу можем последовательно, прослеживая развитие счета с нулевого
момента. Так, в момент времени / = 1, т.е. в конце 1-го года на начальную сумму счета
будут начислены проценты за год в размере

4000,1 = 40(47)

и счет станет равным

400 + 40 = 440( .4?).

Затем следует вычесть сумму, снятую вкладчиком, т.е. остаток счета на момент t = I
станет

= 440 - ЮО = 340(4?).

С моментом t = 2 все ясно, поскольку S2 есть просто накопленное за год значение 5^

= 340(1 + 0,1) = 374(Л).

Далее очевидно, что

5, = 52(1 + 0,1) + 200
или

= 414, 4 + 200 = 614, 4(4?).

И наконец,

54 = 614,4(1 + 0,1) = 672,54(47).

В наших рассуждениях есть одно довольно тонкое место, относящееся к понятию
значения счета в данный момент времени. Оно связано с тем, что, например, в момент
t= 1 приходится выполнять одновременно две операции: начисление процентов и сня-
тие суммы со счета. Поскольку по соглашению начисление происходит на остаток:
счета, то, строго говоря, следовало бы договориться о том, что понимать под остатком
в момент г = I, когда происходит снятие суммы со счета, т.е. какая операция выполняет-
ся сначала: начисление процентов, а потом снятие суммы или наоборот. В любом случае
к моменту t = 1 относятся две суммы: полученная после начисления и после изъятия.
Например, если, как это подразумевалось в наших вычислениях, сначала происходит
начисление процентов, а потом изъятие, то возникают две суммы: 47440 и 47340, при
обратном порядке — .+’300 и .+7330. Поэтому возникает «неопределенность: каково
собственно настоящее значение остатка в данный момент времени. Вопрос этот не
имеет смысла без указания правила вычисления остатка для любого момента времени.

Аналогичные вопросы возникали и при изложении моделей с
переменным капиталом для простых процентов. Там уточнение
операции довложения и изъятия осуществлялось за счет разделения
полного счета либо на систему субсчетов (модель мультисчета), либо на
два счета (бинарная модель). Это разделение было связанно с тем, что в
схеме простых процентов начисление процентов осуществляется
Только на основной капитал, а проценты на проценты не начисляются.
Это приводит к необходимости введения двух отдельных счетов —
счета капиталов и счета процентов.

В схеме сложных процентов в таком разделении нет необходимости,
поскольку по самому смыслу сложные проценты означают начисление
и на накопленные проценты, так что, по существу, имеется всего один
полный счет, к которому постоянно присоединяются накопленные
проценты (либо в конце периодов начисления, либо непрерывно
в зависимости от модели). При этом, как отмечалось в гл. 1, мы
в нашем изложении придерживаемся концепции завершенного состо-
яния, т.е. под состоянием счета всегда понимается окончательный
результат всех действий над счетом, относящихся к моменту определе-
ния его состояния.

Хотя выше говорилось о традиционном понимании накопительно-
го счета, в соответствии с которым вкладчик (инвестор) открывает счет
с некоторой положительной суммой, а последующие платежи в зависи-
мости от знака являются либо довложением (поступлением) капитала,
либо его изъятием, возможна и двойственная трактовка счета, с точки
зрения должника, когда счет интерпретируется как ссудный, начальное
состояние — как выдача ссуды, а остальные платежи в зависимости от
знака — либо как погасительные платежи, либо как дополнительные
кредиты. Строго говоря, такая строгая интерпретация счета как нако-
пительного или ссудного возможна лишь при конкретном ограниче-
нии. Так, в накопительном счете изъятия не должны приводить к
отрицательному (дебетовому) сальдо, а в ссудном счете погашения к
положительному (кредитовому) сальдо, поскольку тогда смысл счета
меняется на противоположный, т.е. в первом случае накопительный
счет переходит в ссудный, а во втором — наоборот, ссудный переходит
в накопительный.

Допущение таких переходов «размывает» границу между счетами
различных типов. В этих случаях стороны, связанные со счетом, попе-
ременно являются кредиторами и дебиторами. Конечно, никаких фор-
мальных трудностей в анализе динамики таких счетов нет, за исключе-
нием того, что на практике смена знака счета обычно приводит к изме-
нению ставки, поскольку дебетовая и кредитная ставки обычно разли-
чаются. Так, ставка по депозитам, которую банк платит вкладчику,
обычно меньше, чем ставка по ссуде, которую банк взимает за времен -
ный овердрафт, т.е. за снятие сумм, превышающих остаток счета.

С этой ситуацией мы сталкивались при изучении счетов с перемен-
ным капиталом в схеме простых процентов (см. гл. 4). Там мы ограни-
чились так называемым симметричным случаем, для которого упомя-
нутые ставки совпадают. Изучение счетов с переменным капиталом для
сложных процентов также ограничим анализом симметричного случая.

Прежде чем переходить к непосредственному описанию дискрет-
ной накопительной модели с переменным капиталом, напомним ос-
новные понятия и обозначения, связанные с определением дискретно-
го финансового потока в его общей форме (см. гл. 1).

В традиционном определении финансового потока как последова-
тельности финансовых событий

cT={(qct),(r2,c2),...,(rfl,q)} (юл)

рассматриваются лишь моменты времени, относящиеся к событиям,
составляющим поток. В некоторых случаях события с нулевой суммой,
т.е. события вида (/ 0) можно считать несущественными и свободно
присоединять их к потоку или, наоборот, удалять из него, не меняя, по
существу, самого потока. Так поступают, например, при анализе раз-
личного типа «входных» и «выходных» потоков, относящихся к неко-
торому фонду. В частности, для рассмотренного выше примера вклада
в банке поток поступлений/изъятий обладает указанным свойством,
т.е. отсутствие поступления или изъятия можно интерпретировать как
нулевое событие.

Сделанное выше соглашение позволяет каждый (дискретный) по-
ток считать определенным для любого момента времени t из временной
шкалы Т (см. § 1.2). Это значит, что поток можно представить в виде
(платежной) функции времени С(/), где C(t) — сумма, соответствующая
моменту t. При этом почти для всех значений t C(t) = 0.

Более точно для потока заданных как последовательность событий
(10.1) соответствующая функция С(/), представляющая поток, задается
соотношениями

При f — tk,

|0 при t Ф tk.

Тогда поток CF описывается функцией С(7) времени г, определенной
для всех моментов П

CF={C(r)| геТ, С(/)еМ}.

В дальнейшем для краткости используем упрошенную запись потока
CF={C(z), /еТ}.
Поскольку почти для всех моментов t суммы С(7) нулевые, то мо-
менты t, для которых С(7) Ф 0, играют определяющую роль. Совокуп-
ность этих моментов времени есть носитель потока, обозначаемый как
supp CF, т.е.

suppCF = peT| С(г)ФО}.

Невыписанные суммы всегда будем считать нулевыми.

Напомним также, что поток задан или сосредоточен на промежутке
/с Т, если его носитель содержится в этом промежутке, т.е. suppCFc J.
Иными словами, вне этого отрезка поток нулевой: С(Г) = 0 для J.

В частности, для потока из примера 10.1

supp {0, 1,3}.

При этом поток сосредоточен на любом промежутке, содержащем
отрезок [0, 3].

Вернемся теперь к построению дискретной накопительной модели.
Пусть СГ={(/0,С0),(г„С,),...,(сСл)}

— поток платежей, порождающий некоторый счет. Говоря о порождаю-
щем счет потоке, имеют в виду, что нет никаких других платежей,
связанных со счетом, помимо платежей из потока.

Событие (Го, Со) будем трактовать как начальное состояние или
открытие счета: S(tQ) — Со, а последующие платежи — как внешний
поток поступлений/изъятий капитала. Динамика счета определяется
нормированной эффективной ставкой /. Наша цель — определить
состояние счета S(f) в любой момент времени t.

Согласно сказанному, состояние счета в начальный момент равно
5(Г0). Дальнейшее изменение состояния счета определяется, во-пер-
вых, автономным, или внутренним, процентным ростом и, во-вторых,
внешними платежами Ck - C(tk) в момент tk.

Динамика процентного роста была подробно изучена выше. В об-
щем виде (для нормированной ставки 0 она описывается уравнением

5(/ + Л) = 5(?)(1 + /)‘, t>t„; h>0 (10.2)

при условии, что на промежутке (г, t + h] нет никаких поступлений или
изъятий капитала. Если же на интервале (t, t + Л) не было ни поступле-
ний, ни изъятий, но в момент t + h на счет (или со счета) был
осуществлен платеж C(t + /г), то, согласно принципу завершенного
состояния,
S(t+h) = S(t+h-O)+C(t+h), (10.3)

где

5(/ + h-0) - lim 5(г + Л-т),

— предел (слева) состояния S{t) в точке t + h.

Равенства(10.2) и (10.3) можно записать в виде единой формулы

5(г+й) = 5(1)(1 + /)‘+С(г + й) (10.4)

для любых t > tQ, h > 0 при условии, что на интервале (Г, t + h) нет
платежей потока CF. Заметим, что если в момент t + h нет ненулевых
платежей, т.е. С(/ + Л) = 0, то формула (10.4) переходит в (10.2).

Исходя из изложенного можно выписать рекуррентные уравнения,
определяющие состояния счета в критические моменты tk:

Ж1) = %)(!+'/* +C('J (10.5)

или в индексных обозначениях

5М = \(1 + /)Г‘+С(, (10.5')

где Tk = tk —tk [ — длина &-го критического промежутка. Разворачивая
эти формулы, последовательно находим
^0 “ Qi

5, = 50(l+i)’i +С, =Со(1 + 0Л +С, =С„(1+ /)'''“+С,;

s2 =5,(1+'Д +Q =Q(i+')Wi +С| (1+'Г! +с2 =

= Со(1+/)'!’'"+С,(1+/)'!‘', + С2;

^=с„-1(1+')г"+О =

= С„(1+ +С,(1 + 1Г' +... + c,.,(i+/)'--'"' + С„.

Естественно, что состояние счета для некритического момента t
определяется, согласно, (10.3) состоянием в ближайший предшествую-
щий критический момент tk, если tk < t < tk+x; при этом

S{t) = S(4)(1 + /)''*. (10.6)

При решении примера 10.1 мы проделали вычисления в «естествен-
ном» порядке, по ходу финансовых событий в соответствии с приве-
денными выше рекуррентными формулами. Эти вычисления можно
продолжать неограниченно и тем самым найти состояние вклада для
любого будущего (целого) момента /. Однако, если нас интересует про-
сто состояние счета в некоторый будущий момент времени, незачем
находить все промежуточные состояния. Можно поступить по-друго-
му. Для нахождения величины вклада в момент времени / достаточно
определить накопленные к э/пому моменту времени значения всех по-
сту плени й/изъятий (с учетом знака) и полученные значения сложить.
Иными словами, мы должны «перенести» с помощью процентной став-
ки все суммы к одному моменту и найти их алгебраическую сумму.

Рассчитаем по такому правилу состояние вклада в момент Г = 4.
Последовательно находим будущие значения:

— начального вклада

400(1 + 0,I)4 = 585,б4( ?>?);

— первого изъятия (в момент / ~ 1)

-100(1 4-0,1)3 ~-133,1( .>?);

— поступления (в момент / = 3)

200(1 4- 0,1) ~ 220( ?/?).

Складывая все значения, получим

= 585,64 - 133,1 + 220 = 672,54(.??),

т.е. то же значение, что и полученное ранее при последовательном
вычислении.

Сказанное выше приводит нас к следующему важному определению.
Определение 10.1. Пусть

CF = {(/,,C1)>(r2>C2),...,(f„,C„)}

— некоторый денежный поток. Тогда в схеме сложных процентов его
будущим (накопленным) значением для момента /> /р tn относи-
тельно нормированной ставки / называется величина

Fr,(CF,i) = XC(a'-'‘ =^(1+>Г,

А=1 k=l

где а — 1 + i— нормированный коэффициент роста.

Так, для приведенного выше примера денежный поток вложений/
изъятий имеет вид
CF= {0, 400), (1,-100), (3, 200)};

FV^CF) = 400(1+0,1)4 - 100(1+0,1)3 + 200(1+0,1) = 672,54(1+?).

Таким образом, будущее или накопленное знамение потока есть
просто алгебраическая сумма накопленных значений составляющих
этот поток сумм:
п

^{CF^FV^cy (10.7)

А=1

Аналогично можно определить текущее значение потока для мо-
мента 1 < tn.

Определение 10.2. Пусть

— некоторый денежный поток. Тогда в схеме сложных процентов
величина

PF,{CF,i) = ^Ctv"-', (Ю.8)

к-]

где

1 +/

— нормированный дисконтный множитель, называется текущим зна-
чением в момент времени t относительно нормированной ставки /.

Таким образом, текущая величина потока есть просто сумма теку-
щих значений составляющих поток сумм:

PF,(CF) = £PK,(Ct). (10.9)

А=1

Так, для потока из рассматриваемого примера

PVJCF) = 400 - 100(1 +0,1)-1 + 200(1 +0,1 )~3 = 459,35(+?)-

Не следует удивляться, что полученное текущее значение в момент
t~ 0, т.е. приведенная к начальному моменту времени величина пото-
ка, не совпадает с начальным вкладом ++400, тогда как для будущих
значений потока (/> 3) такое совпадение имеет место. Ниже подробно
объяснена связь между будущими и текущими величинами для потока
и значениями соответствующей фондовой переменной.

Как и для отдельной суммы, можно говорить о текущем относи-
тельно заданной процентной ставки значении потока в произвольный
момент времени t безотносительно к его ориентации по отношению к
событиям из потока. В этом случае используется та же формула (10.7):

Pp,(CP) = Y,Ctv'‘~'’ (10.10)

к=1

но уже необязательно выполнение неравенства t </(, r2,..., F Например,
в случае tk < t < ^+1,..., /„ для моментов / предшествующих

моменту t, будут находиться будущие значения соответствующих сумм,
а для моментов tk, следующих за этим моментом, будут находиться
приведенные значения соответствующих им сумм. Возвращаясь к пото-
ку из примера, получим

PV2(CF) = 400(1,1)2 - 100(1,1)! + 200(1,l)^1 - 585,883(

что опять не совпадает со значением £, = 374( ?>?), полученным выше.

Введенные характеристики потока (будущая и текущая стоимости)
позволяют записать состояние 5(7) накопительного счета, порожден-
ного потоком CF, в виде

5(/)=^(CF|,)= ХСД1+/Г. (|01|)

где

CF|,={(4,Ct)6CF|/t<f}

— часть потока CF, состоящая из составляющих его событий вплоть до
момента t включительно.

Таким образом, для нахождения состояния в момент / счета, порож-
денного потоком CF, необходимо привести к этому моменту все платежи
потока, предшествующие моменту 7, включая и платеж в момент г, если
таковой имеется. Этот результат полностью аналогичен результату, по-
лученному для коммерческой модели накопительного счета в схеме про-
стых процентов. Различие состоит лишь в используемой схеме процентов.

Приведенные определения будущих и текущих значений для потока
имеют смысл лишь при указании процентной ставки, определяющей
скорость процентного роста. Поскольку будущие и текущие значения
потока зависят от ставки, строго говоря, ее необходимо указывать в
выражениях для этих величин, т.е. писать FV^CF. i) и PV^CF, i). Для
упрощения записи процентную ставку часто опускают, считая ее за-
данной по умолчанию. Однако об этом следует всегда помнить.

Мы определили текущее значение с помощью дисконтирования
платежей потока по нормированной процентной ставке L Однако
в определении (10.8) или (10.10) дисконтный множитель v можно
выразить и через учетную нормированную ставку ск

v = I — d

и получить выражение для текущей стоимости потока в терминах
учетной ставки.

Выражения для будущей и текущей стоимостей можно получить не
только для нормированных, но и любых других ставок (процентных
и учетных). Для этого достаточно выразить нормированные коэффи-
циенты а, у через заданные ставки и подставить полученные выраже-
ния в (10.7) - (10.9).

10.2. Временная стоимость потока на промежутке

В гл. 1 определено понятие нетто-стоимости (чистой стоимости)
(дискретного) потока CF на промежутке J как алгебраическую сумму
номинальных значений платежей потока:

NV(CF,J) = £ Ск.

k'tk е J

Говоря о номинальных значениях, имеем в виду, что платежи сум-
мируются без учета временного фактора; т.е. просто складываются
денежные суммы, относящиеся к разным моментам времени. Напри-
мер, сложив сумму ежемесячных пенсий за год, мы получим общую
величину годовых пенсионных выплат. Этот подход общепринят в
бухгалтерском анализе. В таком виде записывается большинство ба-
лансовых соотношений между фондовыми и интервальными величи-
нами. Общая схема такой связи имеет вид:

или

5(/2) = 5(z1) + ^(CT;A,Z2).

Здесь-5(7) и S(t2) — состояния фондовой переменной в начале t и в
конце 7 некоторого периода, а

NV(CF;tl,t2) = N^(CF,J)

— нетто-величина внешнего потока СГна промежутке J = (7(, /2].

Эти уравнения полностью определяют динамику финансовой сис-
темы, состояние которой описывается фондовой величиной 5(7),
а внешние денежные потоки, аккумулируемые системой, — потоком
CF В частности, состояние такой системы в любой момент времени t
задается уравнением

5(r) = 5(/„) + W(CF;r0,/)
или, в развернутом виде,

s(')=s(r0) + I С-

Т: t№<tk <t

Чистую стоимость потока можно сделать ориентированной величи-
ной, если положить

Ж(С£; b, а) = -NV(CF\ а, Ь) для b > а.

Номинальный, или бухгалтерский, подход некорректен, поскольку
не учитывает временного фактора, влияющего на стоимость (цен-
ность) сумм, относящихся к различным моментам времени. Здесь мы
определим понятие временной стоимости потока на промежутке, учи-
тывающее этот фактор. Основной характеристикой, позволяющей осу-
ществить такой учет, является нормированная эффективная ставка i.

Используя функциональное представление (дискретного) потока

CF = {C(t), ,6Т},

его текущее значение в произвольный момент времени р е Т можно
записать в виде

ГеТ

Обратим внимание, что формально суммирование в правой части
проводится по всем t, т.е. для бесконечного числа моментов времени.
Однако поскольку С(/) = 0 почти для всех значений Л за исключением
конечного числа моментов из носителя supp CF, эта сумма на самом деле
сводится к конечной, т.е.

^(CF)= £

t g supp CF

Отметим теперь ряд простых свойств, связанных с понятием буду-
щего и текущего значений потока.

1. Для любыхpvp2 из равенства

следует, что
PYjCF) = v^PVn{CF). (10.12)

2. Для потока, сосредоточенного на отрезке [zz, b], выполнено свойство
PV^CF^v^FF^CF).

Это свойство немедленно следует из (10.12) и из того факта, что для
сосредоточенного на [а, />] потока

FFt(CF) = PFt(CF).

Так, для потока на рис. 10.1 и годовой процентной ставки 10% имеем
РИ(СТ) = 459,35; FV4{CF) = 672,54

И 459,35 = (1+0,1)-4 • 672,54,

т.е.

РК = u4FK.
U ч

Перейдем к определению временной стоимости TV (от time value)
• потока CF на промежутке J.

Определение 10.3. Пусть

CF = {C(t), feT}

— произвольный дискретный финансовый поток; / — фиксированная
ставка; J сТ — произвольный конечный промежуток с концами а и Ь.
Тогда величина

re J
называется временной (накопленной) стоимостью потока CF на проме-
жутке J.

Для случая промежутка J ~ (а. Ь\ временную стоимость запишем
в виде

7V(CF; a, b; i)= £ С(/)(1 + /)*’'. (10.13)

a<t<b

Временную стоимость потока СРна промежутке / будем обозначать
также TVj(CFy, TVf / hl(CF); TV{a и т.д. Значение процентной ставки
- при этом, как правило, опускается.

Пример 10.2. Для потока

CF= {(-1, 100), (1, -80), (2, 200), (4,150)}
и годовой процентной ставки i ~ 20% найти приведенные суммы для промежутков
(-2,014-2, 31,(0, 41, (1,5].
Решение. Согласно формуле (10.13), получаем

TV(CF\ (-2, 0]) = 100(1+0,2) = 120;

7V(CF; (—2, 3]) = 100(1+0,2)4 - 80(1+0,2)2 + 200(1+0,2) = 332,16;

TV(CF\ (0, 4]) = - 80( 1 +0,2)3 - 200( 1 +0,2)2 + 150 - 299,76;

7V(CF; (1, 5]) - 200(1+0,2)3 + 150(1+0,2) - 525,6.

Временная стоимость потока на промежутке (л, />] совпадает с буду-

щим, т.е. накопленным, значением потока

(«</>), полученного

CF м

сужением исходного потока на этот промежуток. Сужение потока
получается отбрасыванием событий, моменты которых не входят в
промежуток (а, £>]. Формально для потока

СГ = {С(г), ГеТ}

сужение

cf'=cf^{c;, t^T}

определяется равенством

|С(г) дляг e(o,fe];

’ 0 для/ ё(я,£].

Итак, для суженного потока CF' все суммы, не входящие в данный
промежуток (а, />], игнорируются, т.е. считаются нулевыми. Тогда
с использованием понятия сужения можно записать

7V(CF;fl>d)=FKi(cF|M1).

(10.14)

Пример 10.3. Для потока из примера 10.2 найти его сужение на промежуток (1,5]
и накопленную стоимость к концу этого промежутка.

Решение. Сужение этого потока на промежуток (1, 5] имеет вид

CF = CF|(15] ={(2,200),(4,150)},

а, согласно (10.14), его накопленная к моменту t = 5 величина составляет

FV5(CF') = fV5(cF|(li5!) = 200(1 +о,2)3 +150(1 +0,2) = 525,6
и совпадает с временной стоимостью исходного потока CF.

Выше определено понятие временной стоимости потока на проме-
жутке. В нем была использована естественная (положительная) ориен-
тация промежутков, связанная с естественной ориентацией временной
шкалы. Иными словами, при вычислении временной стоимости про-
межуток «проходился» в положительном направлении от левого конца
к правому, от прошлого к будущему. Именно поэтому временная
стоимость потока на промежутке является будущей накопленной сто-
имостью части потока, сосредоточенного на этом промежутке.

Однако временные промежутки можно рассматривать как ориенти-
рованные объекты, если задавать направление обхода промежутка.
Это делается с помощью обычного метода указания в заданном порядке
концов промежутка. Так, отрезок [а, Ь] при а < b считается положитель-
но ориентированным, a [А, я] — отрицательно ориентированным. Для лю-
бого промежутка J обозначим через J~ двойственный промежуток,
т.е. промежуток с теми же концами, но противоположно ориентиро-
ванный. Например,

[я,/>]" = [£, а\, (а,ЬУ ~(b,a), [a,b)~ = (b,a], (а, Ь]~ = [Ь,а).

Теперь можно дать определение временной стоимости (дискретно-
го) потока для любого ориентированного промежутка J = < а, b >
с концами (любого вида):

TV\CF;<a,/»;/)= + X

Здесь «угловые» скобки означают скобки любого вида, так что
промежуток <а, Ь> может быть любым промежутком, интервалом,
отрезком, а также полуоткрытым слева или справа промежутком. Знак
«плюс» выбирается в случае положительной ориентации, т.е. при а<Ь,
знак «минус» в случае отрицательной (противоположной)ориентации,
т.е. при а> Ь.

Как и выше, для промежутков вида (а, временною стоимость
потока запишем в виде TV(CF, а, Ь), т.е. в виде функции двух перемен-
ных. Заметим, что для отрицательно ориентированного промежутка
J~ (а, Ь], а> Ь,

TV(CF;a,b} = - £

Ь<ка

Таким образом, накопленная стоимость в исходном определении
временной стоимости меняется на текущую стоимость. Кроме того,
знак также меняется на противоположный.

Из свойства 2 текущей стоимости потока для любого промежутка
J~<a,b> следует равенство

TV (CF; J) = -v^“TV(CF; /').

связывающее временные стоимости потока на промежутке J- < а, Ь>
ДЛЯ случая взаимнопротивоположных ориентаций.
Так, для потока из примера 10.2

7У(СТ;[5,1)) = -

200 150

1 + 0,2 +(1 +0,2)3

= -253,47.

Умножая полученное значение на

-ц‘-“ =--------L— = -2,0736,

(1 + 0.2)'-5

получим

ГИ(С^;(1,5]) = 525,6,

что совпадает с ранее полученным значением временнбй стоимости по
промежутку (1, 5].

Мы ввели понятие временнбй стоимости по промежутку (простому
и ориентированному) для дискретного потока. Ниже оно будет обоб-
щено на случай непрерывных потоков. Но прежде чем перейти к неп-
рерывному случаю, покажем, как записать уравнение динамики фонда
(т.е. счета с произвольным (дискретным) внешним потоком), исполь-
зуя понятие временнбй стоимости потока.

10.3. Уравнение динамики фонда с дискретным потоком

Рассмотрим некоторый фонд, т.е. финансовую систему (например,
накопительный счет) 5, состояние которого описывается фондовой
переменной 5(0, t е Т. Эта система связана с внешним миром
денежным потоком

CF = {C(r), ?еТ}.

Рис. 10.2

Положительные значения
сумм означают приток средств в
систему (рис. 10.2); эти суммы
сами составляют поток CF\ ко-
торый интерпретируется как вход-
ной. Аналогично отрицательные
значения сумм означают отток
средств. Эти суммы составляют
выходной поток С/7’.

В§ 10.1 сформулированы принципы динамики накопительного счета
(фонда), состояния которого изменяются под действием двух факторов:
— внутреннего (процентного) роста по нормированной эффективной
ставке г,

— за счет притока и оттока денежных сумм потока CF.

Если внешний поток отсутствует (т.е. нулевой), то фонд подчиняет-
ся автономному процентному росту

5(/) = 5(/0)(1

Более того, любые два состояния фонда в моменты и /2 связаны
уравнением

5(г2) = 5(г1)(1+/)'!-\

Если же фонд имеет внешний поток CF, то уравнение динамики,
согласно уравнениям (10.5), (10.6), можно записать в виде

5(0 = 5(z„)(l+/)w''+ £ СД1+<Г,

k:ik<i

ИЛИ

5(0 = 50J(l+0w” + fH(c4,J, »>/„.

Используя введенное в предыдущем параграфе понятие временной
стоимости потока, последнее уравнение перепишем в виде

S{t) = S(t0-)(\ + i)'"" + TV(CF-,t0,t\ t>t„. (10.15)

Оно называется уравнением динамики фонда (с дискретным внешним
потоком). Первый член правой части (10.15) описывает автономный
процесс процентного роста на отрезке [/0, г], а второй — учитывает
вклад внешнего потока, взвешенный с учетом процентной ставки.

Уравнение (10.15) можно записать в несколько более общем виде:

sr+h = s(t)(\+i)h + TV(cr,t,f+hl t>t0. (10.16)

Это уравнение связывает любые два состояния фонда.

Заметим, что (10.15) и (10.16) определенным образом ориенти-
рованы, т.е. в них находим будущее состояние по прошлому или
текущему состоянию фонда. Но уравнение (10.16) будет справедли-
во и в общем случае, когда допускаются отрицательные значения Л,
т.е. если по данному состоянию находятся предшествующие ему
состояния. В этом случае в (10.16) используется введенное в преды-
дущем параграфе понятие временнбй стоимости потока по ориен-
тированному промежутку.
Пример 10.4. Пусть порождающий поток CFимеет вид

СЕ = {(0, 100), (1, -200), (3, 150), (4, 130)}.

Найти последовательно состояния для моментов от t = 0 до 1 - 5 при ставке i = 20%
годовых, проходя их в прямом и обратном порядке.

Решение. Поскольку поток CF — порождающий, то событие (0, 100) будем
считать начальным. Тогда

5о=100;

5, = 5^(1 + 0,2) - 200 - - 80;

52 = 5[(1 +0,2) - —96;

53 = 5/1 +0,2) + 150 = 34,8;

5. =5/1 +0,2)+ 130 = 341,76;

5, = 5/1 +0,2) = 410,112.

Пересчитаем теперь эти состояния в обратном порядке:

55 = 410, 112;

е = 341,76;

4 1+0,2

300 54 -300,1ло.

—-------—-----_ ----„--.— _ 34 л

1 + 0,2 1 + 0.2 1+0,2

' - 150 - Qfr

, _--------------_ —уЦ

2 1+0,2 1+0,2

' = _Д2— = _80;

1 + 0,2

, _ S 200 _ 5,+200_
> — Н---------— —— — Юи.

1+0,2 1+0,2 1 + 0,2

Приведенные выше уравнения описывают модель динамики про-
стой финансовой системы типа текущего счета или накопительного
вклада с возможными пополнениями и изъятиями и т.п.

Пример 10.5. Инвестор открывает счет в момент г = 0 с начальной суммой
5П = .51000. В конце каждого нечетного года он снимает со счета .5500, а в конце
каждого четного года добавляет к счету .5500. Если годовая эффективная ставка 50%,
то какова величина счета в конце 10-го года?

Решение. Согласно уравнению (10.15) динамики счета, имеем

или

5Ш =1000(1+0,5)и'+^(-1)'-500(1+/Г'=1000(1,5)и,-500-^~!-=46332,03(.5).
10.4. Непрерывные потоки платежей и общее уравнение динамики фонда

Потоки, с которыми мы имели дело до сих пор, относились к классу
дискретных. Именно дискретность потока приводит к скачкам функ-
ции S(t) в моменты поступления или выбытия сумм из потока. Очевид-
но, если суммы из потока относительно малы, то такие «скачки» будут
также относительно малыми. Поток, состоящий из «очень малых»
сумм с малыми временными интервалами между ними, можно считать
«практически непрерывным» и функцию состояния S(t) фонда, пред-
ставляющую собой «реакцию» на такой поток, также можно считать
практически непрерывной.

В физике поток жидкости или газа считается непрерывным, хотя,
как известно, и жидкость, и газ имеют дискретную, молекулярную
структуру, представляющую собой поток частиц. Точно так же можно
считать непрерывными денежные потоки, связанные с крупными
фондами, например поток ежедневных поступлений и изъятий для
очень большого банка и т.п.

Для финансовых систем с непрерывными потоками можно напи-
сать уравнения динамики вполне аналогичные тем, что были получены
для дискретных потоков. В некотором смысле эти уравнения даже
проще, чем для дискретного случая. Однако для их получения указание
составляющих поток денежных сумм в различные моменты времени уже
невозможно, поскольку для непрерывных потоков суммы, приходящие-
ся на малые промежутки времени, малы и при уменьшении этих проме-
жутков стремятся к нулю, так что о сумме потока в точке говорить нельзя,
она просто равна нулю. Поэтому непрерывный поток (см. § 1.2) можно
описывать двояко: либо с помощью функций промежутков, либо с помо-
щью функции времени, называемой плотностью потока. Обе эти харак-
теристики тесно связаны между собой. В § 1.2 даны все необходимые
определения, здесь мы их лишь кратко напомним.

Величина Vcf потока CFесть функция промежутков времени, сопос-
тавляющая каждому промежутку J с Т соответствующее значение

ИСД/)=ИЦ).

При этом величина Иявляется аддитивной функцией промежутка:
ИЦ) = ИЦ) + ИЦ),

если J =ЦЦЦ, А= 0, т.е. для непересекающихся промежутков/р J2,
дающих в сумме промежуток J, значение величины для промежутка J
есть сумма значений для соответствующих промежутков Jx и Jr
Непрерывность потока означает, что величина потока мала для
малых промежутков или, более точно, И(У) 0, если | J\ —> 0, где | J\ —
длина промежутка J.

Для непрерывного потока величина потока в точке а, т.е. для
отрезка J = [я, й] , будет равна нулю:

И([й,й]) = 0.

Отсюда и из свойства аддитивности, в частности, следует, что значение
величины ^непрерывного потока САна промежутке не зависит от вида
промежутка:

v ([а, ft]) = к([а> ft)) = Т((й> ft]) = и((й, ft)),
j

Поэтому для непрерывных потоков их величину записывают просто
как функцию концов промежутка, т.е. для промежутка J = < й, b >
(любого вида) пишут И(У) = И(й, Ь).

Функция промежутка есть функция двух переменных, и поэтому не
слишком удобна, хотя всю теорию можно строить исходя исключи-
тельно из такого представления потока. Но более удобно и на практике
чаще всего встречается использование другого способа представления
потока. Это представление основано на понятии плотности (по време-
ни) потока.

Для потока, заданного функцией K(Zp t2), плотностью в момент
времени t называется величина

д(/)= lim ——Д, tx<t<t2,

(если, конечно, такой предел существует).

Смысл этой величины достаточно простой. Можно сказать, что
отношение , .

есть «средняя скорость» потока, т.е. средняя величина «переносимых»
потоком сумм в единицу времени на промежутке [Гр г,].

Для малой величины t2 - t} очевидно

Дг) ~ Д (0(^2 ~ Д)’

т.е. величина суммы, поступившей в фонд за малый промежуток |гр Л,],
равна примерно — /Д. «Примерно» здесь означает, что эта величи-
на тем точнее, чем меньше t2 — tv
10.4. Непрерывные потоки платежей и общее уравнение динамики фонда 389
м 1 " -- —-

Если поток с величиной К имеет плотность p(t), которая является
непрерывной функцией, то можно доказать, что

К(/„Г2) = /д(0с1Г. (10.17)

Так, для линейного потока CFс величиной
ч'} = " А)

плотность

И(/,г + Л) ah

lim-----------= lim— = а,

/г—>о h h

т.е. p{t) — const.

С другой стороны, согласно (10.17),
h

Если зафиксировать одну из переменных tv t2 в И(гр t2) и положить
t

V (0, /) =
о
то плотность д(/) будет просто производной этой функции, т.е.

Величину И(0, /) в момент времени t можно интерпретировать как
денежную массу, «перенесенную» потоком за время t начиная от мо-
мента времени, равного 0.

Для непрерывного потока с плотностью также можно дать
понятие носителя. Определим его (не совсем точно) как совокупность
точек, в которых плотность отлична от 0:

suppCF = peT

Как и в случае дискретных потоков, будем говорить, что непрерыв-
ный поток сосредоточен на отрезке [а, Ь], если его носитель содержится
в этом отрезке: suppCFc [<?, b], т.е. p(t) = 0 вне промежутка \а, Ь\.

Плотность p(t) непрерывного потока с величиной И играет ту же
роль, что и отдельные суммы С(г), составляющие дискретный поток.
Остановимся на этом более подробно.

Пусть непрерывный поток СТ7сосредоточен на отрезке {а, 6]. Разо-
бьем этот отрезок на п одинаковых «малых» отрезков длиной
АГ” (Ь -а)/п.

Далее, пусть

tk~a + k\t, k = Q,

— точки разбиения. Если Ar — tk - tk_{ достаточно мало, то в силу
непрерывности потока

V ('* Ля) = V G» Л + A/) = Ц (/*) А/.

Полагая

C4=p(rt)AZ, Л = 0,1,..., Л—1,

можем приближенно заменить непрерывный поток CFc величиной Ина
дискретный CF , где АГ характеризует точность приближения. Чем -
меньше Аг, тем точнее наше приближение. Характеристики дискретных
потоков мы находить умеем. Так, можно найти накопленную стоимость
потока CF^t. Например, для t< b имеем приближенное равенство

n-i л-1

^(С^) = £С4(1+<) 4 =£р(г,)(1+/Г* AZ-

А-0 Л=0

Правая часть этого равенства есть просто интегральная сумма для
функции ц(Г)(1 + /)*"', так что при АГ —> 0 получим

ь ь

lim FVb {CF^) = J/z(r)(l+F)~' d/ = (1+i)b |p(z)a'dr,

I Cl CI

где — нормированный дисконтный множитель.

Полученный предел естественно назвать накопленным к моменту
времени b значением непрерывного потока с плотностью ц(Г):

^(CF)=JP(r)(l+<r
а

Точно так же из приближенного равенства для приведенного к а
значения потока CF

л-1 п~ 1

^(CAV) = 2,C/- =

k=0 k=O

переходя к пределу при АГ —> 0, получим
ь

PF(CF) = ^(t)v'-“<it.
и
Наконец, дня произвольного момента р текущее значение потока
CF&I в этот момент определяется приближенным равенством

л-1 л-1

РК{СР.) =

А-=0 А=0

откуда при АГ 0 получим

PV^CF^^v'-^t. (10.18)

В нашем случае поток CF был сосредоточен на отрезке [о, £].
На практике все потоки, как правило, финитны, т.е. сосредоточены на
некоторых промежутках. Поэтому можно переписать последнюю фор-
мулу в несколько более общем виде

/’Гр(СТ)=/р(г)^. (10,19)

Эта формула для потока, сосредоточенного на отрезке [а, Ь], дает тот
же результат, что и формула (10.18), поскольку p(f) = 0вне отрезка [а, Ь].

В описании динамики финансовой системы с дискретным потоком
важную роль играло понятие временной стоимости потока на проме-
жутке (а, 6]:

7V(CF;(a,*])=Fr4(cF|M).

В правой части здесь стоит накопленное (кЬ) значение для сужения,
потока СТ на промежуток (а, Ь]. Сужение на этот промежуток непре-
рывного потока с плотностью /d(t) проще всего описать сужением
плотности

_м НФ /£М;

"’"к -«(-л-

Поток с плотностью Д(0 будет уже сосредоточен на промежутке
(а, />]. Теперь, дословно воспроизводя определение временнбй стоимо-
сти, данное для дискретного случая, получим

7Т(СТ;(а,й]) = ГИ4(сфа4|) = }р(/)(1 + /)6Дг.
а

Теперь все готово для получения уравнения динамики финансовой
системы, изменяющейся под действием постоянной процентной став-
ки i и внешнего непрерывного потока CFc плотностью Рассмотрим
состояние системы 5 на малом промежутке [Z, t + Л]. Если 5(7) —
состояние в момент t, то изменение состояния S(t + h) - 5(г) определя-
ется, во-первых, процентным ростом по ставке i за время h и, во-
вторых, поступлением денежных сумм за это время. Проценты за время
h составят

5(г)(1+/)" - 5(r) = 5(z)[(l + /f - 1J = 5(г)5Л,

где 8— ln( 1 + i) — интенсивность процентного роста.

Величина денежных сумм, поступивших в систему, за промежуток
(Г, / + Л) за счет внешнего потока, задаваемого плотностью ^(г),
составляет

Таким образом, с точностью до бесконечно малых более высокого
порядка, чем Л, получаем

5(г+Л)-5(г) = <55(г)Л+/г(/)Л,

откуда

5(/ + й)-5(/) е х ч

-3---1—U«55(,)+jU(r)

и, переходя к пределу при h —> 0, получим

(10.20)

Это дифференциальное уравнение динамики финансовой системы.
Оно относится к одному из простейших типов обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений, к так называемым линейным неоднородным
уравнениям 1-го порядка. Если внешний поток нулевой, т.е.

А/(0 0,

то уравнение становится однородным

и, как мы уже знаем (см. гл. 8), оно описывает обычный экспоненци-
альный процентный рост:

Решение неоднородного уравнения, как легко показать (см. [18]),
следующее:
5(z) = 5(/„)e6<M«l+Jp(5)es<'-’>d5. (1021)

Для t0 = 0 и 5(f0) = эта формула принимает особенно простой вид
/

ЯО = S„es' + j и (5)ег,'”’<1 s. (10.22)

Заметим, что поскольку

е5= 1+Z,

то

ед-(/-5) = (14- iy -4

Но тогда формулу (10.21) можно переписать как

Я')=Я'о)(1+‘Г" + (Ю.23)

'о

или

5(1)= FK,(CF|,) = £ C4(l+

<Г

5(r) = 5(l0)(l+/)'-'''+7T(CF;(l0,(]).

Таким образом, получен, по существу, тот же результат, что и для случая

дискретных потоков.

Пример 10.6. Пусть система 5имеет в начальный момент t= 0 нулевое состояние и
внешний поток — линейный с постоянной плотностью д(0 = а — const. Найти
зависимость состояния системы от времени.

Решение. Согласно (10.23),

5(/) = д[(1 + /Y Л ds = а Г (1 ч-f)17 d« = а =а-——-.

Итак,

S(t)=a

(М-1

где 5= 1п(1 + /).

Учитывая, что

(1 + iy~s= и

формулу (10.23) можно переписать в виде

5(/) = 5(z0)z/° г + ds.
'(I

Отсюда для /0 = 0 получим
5(z) = 5X + J/i
о

(s)uA fd5
ИЛИ f

~ + |ju(5)u' d5,

т.е. приведенное к моменту t = 0 состояние равно сумме начального
состояния и приведенной к / = 0 величины потока.

Теория систем с непрерывными потоками вполне аналогична тео-
рии систем с дискретными потоками, с той лишь разницей, что для
нахождения текущих значений дискретного потока дисконтируются
его составляющие суммы С(Г), а для непрерывного потока дисконтиру-
ется плотность р(7) и, естественно, суммирование для дискретного
потока переходит в интегрирование для непрерывного.

При описании динамики фонда с внешним потоком мы всюду
предполагали, что автономный рост, т.е. рост без учета внешнего
потока, подчиняется показательному закону по фиксированной про-
центной ставке. В предыдущей главе рассмотрен случай автономного
роста с непрерывно меняющейся процентной ставкой. Соответствую-
щее однородное дифференциальное уравнение для S имело вид
где — переменная интенсивность роста.

Объединяя эту модель с моделью непрерывного потока, можно
сразу записать дифференциальное уравнение для S(t) в случае внешне-
го потока:

= + (Ю.24)

Это линейное неоднородное уравнение 1-го порядка. Однако в отли-
чие от стационарного случая

8{t) * 8

данное уравнение имеет непостоянный коэффициент 6(t). Тем не менее
можно получить в общем виде решение и для этого уравнения (см. [18]):
I

5'(z)=w(/0,z)5(r0) + Jn'(5,/)p(s)d5, (10.25)

Ai
где

f<5(w)dw

w(s, r) = exp

(10.26)
10.4. Непрерывные потоки платежей и общее уравнение динамики фонда 395
— нестационарная функция автономного роста с интенсивностью <5(/).
С помощью этой функции можно находить будущие и текущие значения
для произвольного непрерывного потока, заданного своей плотностью.

Так, выше мы получили выражение для текущей стоимости непре-
рывного потока с плотностью и постоянной интенсивностью роста
<5(см. (10.19)) в виде

где

1+z

— нормированный коэффициент дисконтирования, соответствующий
интенсивности 8. При этом

= =е'^г

— функция дисконтирования, соответствующая данному процессу ро-
ста. В общем случае для процессов роста с переменной интенсивностью
8(f), как было показано в гл. 9, функция дисконтирования имеет вид

exp

Поэтому в данном случае текущая стоимость в точке j непрерывного
(финитного) процесса роста с плотностью p(t):

+ «>

PV„(CF)= \

Пример 10.7. Пусть процентная ставка 10% в первом году увеличивается ежегодно
на 5%, оставаясь неизменной в течение года. Рассмотрим трехлетний поток на проме-
жутке [0, 3] с постоянной плотностью д = 500. Необходимо найти текущую (в момент 0)
стоимость этого потока.

Решение. В этом примере

5, = 1п(1 + 0,1),

5(г) = = In (I + 0,15),

= 1п(1+0,2),

0< t < 1;

1<Z<2;

2<Г<3.

Дисконтная функция v{f) имеет вид

y(r) = y(0j) = -^~=exp^-p(«)dw
Следовательно,

е-*1', 0<г<1;

y(r) = 1<г<2;

е-<е-^е^(,Л 2<г<3.

Подставляя числовые значения для 5,, 5,, & и учитывая, что
е"д‘=(1,1)*'; е 5-=(1Д5)~1; е'*‘ = (1,2)"',

получим

= 1262,44( Л).

Вернемся к общему уравнению динамики фонда с силой процентов
S(t) и внешним потоком с плотностью ^u(Z). Коэффициент w(s,t),
определяемый равенством (10.26), является функцией именно автоном-
ного процентного роста, т.е. роста в условиях отсутствия внешнего
потока - 0). В таком случае (см. гл. 9)

5(0 = S(ta)w(la, t)

и, более общим образом, для любых?, t

Отметим, что в гл. 9 функция роста обозначалась через a(t}, t2).
Причина изменения обозначений состоит в том, что при наличии
внешнего потока (ju(Z) £ 0) функция w(fp t) уже не будет функцией
роста для процесса S(t). Более того, интенсивность <5(0 также не будет
интенсивностью роста процесса, она — показатель интенсивности
только автономного процентного роста. Функцией роста для процесса,
задаваемого общим уравнением (10.24), будет функция, определяемая
равенством

s(t,y

Соответственно интенсивность роста определяется как логарифми-
ческая производная:

5(?)=£(1п5(?)).
Эти функции при наличии внешнего потока могут отличаться от
своих автономных аналогов.

Пример 10.8. Рассмотрим процесс с постоянными силой процентов и плотностью
внешнего потока.' S, д = const. Найти функцию и интенсивность роста процесса,
определяемого этими параметрами.

Р е ш е н и е. Автономный коэффициент роста

Уравнение динамики фонда примет в этом случае вид (для 10 ~ 0)

$(/) = S(/„)es -фе* -’От = V
о °

Следовательно,

, s(i,) S^+n(^-l)/S

= 5 « 5+---- цЗ

! S(t) S(t) S(t) 50<5cd'+p(e*'-l)

Таким образом, интенсивность роста процесса 5(z) при S, ц > 0 больше интенсивно-
сти S только процентного (внутреннего) роста из-за наличия входного потока
с плотностью д.

Хотя мы назвали уравнение (10.24) общим уравнением динамики
фонда, строго говоря, оно применимо лишь к фондам, в которых (внут-
ренний) процентный рост подчиняется схеме сложных процентов. Это
видно из структуры дифференциального уравнения динамики фонда

S'(z)=5(r)^(r)+p(z).

В самом деле, первое слагаемое правой части, описывающее процент-
ный рост, пропорционально текущему состоянию. Так, проценты /(dr),
начисляемые за бесконечно малый период dr, составят

/(dr) = 5(r)5(z)dr,

где 5(Г) — текущее состояние. Это приводит к тому, что в отсутствии
внешнего потока (/т(Г) = 0) фонд растет по экспоненциальному закону

S{t) = £(Г0)е\

что характерно именно для сложных процентов. Конечно, выбором
меняющейся интенсивности <5(0 можно имитировать и линейный рост

Ж = О(1+/(г~г0)),
типичный для схемы простых процентов. Для такого процесса интен-
сивность роста равна (го = 0):

1+ it

8(t) =(1п5(г))

Попробуем, однако, использовать эту интенсивность для задания про-
цесса накопления по схеме простых процентов при наличии внешнего
потока с постоянной плотностью р. Сила процентов (10.26) определяет
функцию процентного роста w(s, t):

1 + ZZ

1 + is

Подставляя выражение для w(.v, t) в (10.25), получим

5(z) - Son’(O, t) + jjUw(5, z)ds - 50(l + Zz) +j/j
о 0

1 + it
1+is

50(l++ it) ds =
Jol + /s

(10.27)

Смысл этой формулы понять несложно.

Подынтегральное выражение во втором слагаемом ——civ есть не
1 + is

что иное, как текущая стоимость в схеме простых процентов бесконеч-
но малого элемента pds внешнего потока. Тогда интеграл будет пред-
ставлять собой просто стандартную текущую стоимость в схеме про-
стых процентов отрезка потока на промежутке [0, Z], Умножение
интеграла на коэффициент (1 + it) приводит эту текущую стоимость
к моменту t, так что смысл всего второго слагаемого в (10.27) определя-
ется равенством

где справа стоит оператор приведения относительно полюса р — 0
(см. гл. 6).

Первое слагаемое 5ff( 1 + it) — это просто приведенное (накоплен-
ное) к моменту t значение начальной суммы 5 .

Таким образом, состояние S(t) фонда определяется равенствами
^p) = FK/°J(CF|,),
ГДе _

CF = {(z0,5„)}+Cf

— полный (смешанный) поток, порождающий процесс А(7).

Хотя формально «придраться» здесь вроде бы не к чему, вспомним,
что процентное накопление с внешним потоком для схемы простых
процентов описывалось, по крайней мере, двумя способами в соответ-
ствии с двумя различными «правилами взаимодействия» внешнего
потока и текущего состояния. Наиболее простым является коммерчес-
кое правило, предусматривающее независимое изменение основного
и процентного счетов. Обобщение этого правила на случай непрерыв-
ных внешних потоков несложно.

В самом деле, малый элемент потока с плотностью ju(w) на отрезке
[м, и + Aw] будет приближенно равен ji(u)Aw. Накопленная к моменту t
стоимость этого потока при фиксированной процентной ставке г.

FVt = + f(r-w))Aw.

Ясно, что накопленная стоимость всего потока будет равна сумме
стоимостей всех элементов потока. В предельном случае она выражает-
ся просто интегралом
t

J p(w)(l +Z(/-w))dw,

0 • л

1ЦГ

который для постоянной плотности /4 равен р/ + —

Для постоянной плотности ц первое слагаемое pit — величина потока
на отрезке [0, /]:

^=Г(0,/).

Но тогда для второго слагаемого имеем

/ЭД = И(0,ЭД

2 “ 2

Эту величину можно трактовать как среднюю величину процентов / от
потока СТна промежутке [0, Г], задаваемого своей величиной И Окон-
чательно получаем равенство

ЭД - Ао + И(0, Г) + iSj + /р, (10.28)

в котором первая пара слагаемых есть просто состояние основного
счета в момент t:
P = So+K(O, Г),
т.е. это аккумулированный фондом капитал к моменту Л а вторая пара
слагаемых — состояние процентного счета в момент Г.

I = iSJ + I .

/ 0 ср

Заметим, что в § 7.4 получили аналогичный результат, используя
непрерывную модель коммерческого счета.

Ясно, что формула (10.28) дает значения 8(t), отличные от
значений, получаемых по (10.27). Эти различия обусловливаются
разными схемами взаимодействия внешнего потока и состояний
накопительного счета.

Вопросы и упражнения

I. Выпишите рекуррентные уравнения для состояния счета, порожденного потоком
платежей в схеме сложных процентов.

2. Дайте определение временнбй стоимости дискретного потока на заданном проме-
жутке.

3. Дайте определение временнбй стоимости непрерывного потока на заданном
промежутке.

4. Выпишите выражения для будущего и текущего значений финансового потока,
заданного на отрезке [я, Ь], используя понятие временнбй стоимости потока.

5. Выпишите дифференциальные уравнения для состояния фонда с первичным
потоком платежей и переменной интенсивностью.

6. Как связаны интенсивности автономного и неавтономного (с внешним потоком)
роста фонда в схеме сложных процентов?

Задачи

1. Пусть эффективная ставка фонда за А-й год

4 = + А =1,2,..., и.

Найти: а) коэффициент роста a(J) фонда для 1, 2,,.., и; б) эквивалентную ставку фонда
за первые п лет.

2. Начальная годовая эффективная ставка фонда 10%. В течение последующих 10 лет
ставка увеличивается на 2% ежегодно. Начальная величина фонда $5000. Найти накоп-
ленную стоимость фонда в конце 5-го и 10-го годов.

3. Решите задачу 2 при условии, что в конце первых 5 лет в фонд вносятся $2000
ежегодно, а в течение следующих 5 лет из фонда изымаются $10 000 ежегодно.

4. Фонд имеет постоянную (автономную, внутреннюю) интенсивность роста 8 = 0,1.
Внешний поток задается кусочно-постоянной плотностью

. ч (10, 0<г<5;

ДМ"Ь10 5</<10.
Начальная величина фонда 50 = 100. Найти стоимость фонда в моменты t - 5 и / = 10.
Найти общую интенсивность роста (с учетом внешнего потока) в момент г ~ 8.
Определена ли эта интенсивность в момент t = 5?

5. Пусть интенсивность процентного роста фонда

э
г(')=7Т? 2^10-

В момент t - 5 величина фонда 100 000 Найти проценты, заработанные фондом
за период [5, 10].

6. Фонд с интенсивностью процентного роста <5(Г) = 2/ - 1 и внешним потоком
с плотностью я(Г) = е-2' в момент t = 1 имеет величину 5, ~ 5. Найти общую (с учетом
внешних поступлений) интенсивность роста фонда в этот момент.

7. Докажите, что для накопительного счета

p(r)<5(r)d/ = /(r15/2),

где /(/р — проценты, полученные за период г,].
Г л а в a 11. Преобразование и эквивалентность денежных

потоков. Общая схема сложных процентов

В предыдущей главе были введены понятия будущей FVf(CF) и текущей
PV(CF) стоимостей денежного потока CF. Теперь рассмотрим эти поня-
тия в более общем контексте стандартной схемы простых процентов,

11.1. Алгебра денежных потоков

Напомним определения характеристик потоков платежей.

Определение 11.1. Пусть

CF ~ {(^i ’ )’ (А’ ‘ ’ ’ С")}

— поток платежей. Тогда текущей (приведенной) стоимостью потока
в момент р относительно нормированной ставки i в схеме сложных
процентов называется величина

PVp(CF,i) = YCkv‘~',

к=\
где

1
и =---

1 + i

— нормированный дисконтный множитель.

Момент времени р, относительно которого находится текущая сто-
имость, называется моментом приведения (полюсом или фокальной да-
той). Ставка/, с помощью которой осуществляется приведение (дискон-
тирование) платежей потока, часто опускается в обозначении текущей
стоимости. Так, пишут просто PV(CF), считая ставку/ заданной неявно.

Определение ИЛ является общим в том смысле, что применяется
для любых значений момента приведения р независимо от его положе-
ния относительно моментов платежей потока. В частности, если

р > /], /2,..., tn,

т.е. момент приведения следует за всеми платежами потока, то текущая
стоимость будет совпадать с будущей (накопленной) стоимостью потока
PVp(CF) = FVp(CF).

Если же момент р предшествует всем платежам потока, то текущая
стоимость совпадает с приведенным к настоящему моменту значением
потока платежей.

Пример 11.1. Пусть

CF= {(1, 100), (2, -200), (3, 500)}

и / = 20%. Найти: а) РИ/Cf); б) PV/CF)-, в) PV2(CF).

Решение.

a) PV< (CF) = 1 0(W~4 + (-200)иг'* + 5003 4 = 100(1 + /)3 - 200 (1 + /)2 + 500(1 + /).

Таким образом,

(CF) = /У4 (CF) = 100 (1,2)' -200(1,2)' +500-1,2 = 484,8.

(CF) = 100у!‘° - 2ООс2-0 + 500у3 0 =-^- —+^4.

v ’ 1+/ (1+/) (1+0

Таким образом,

PK0(Cf) = ~-^7+^r =233,79.

в) РУг (CF) = 100гЛ2 -200Z? +500ц3-2 =
=100(1+»)-200+-^ = 100(1,2)-200 + ~ = 336,6.

Замечание. Поскольку изложение материала этой главы имеет общетеоретичес-
кий характер, не будем указывать в примерах денежные единицы соответствующих сумм
платежей в потоках.

Согласно определению, текущая стоимость потока равна сумме
текущих стоимостей платежей, составляющих поток. Смысл нахожде-
ния текущей стоимости состоит в приведении всех платежей к одному
и тому же моменту времени и сложению полученных приведенных
значений. Такое приведение необходимо, поскольку складывать де-
нежные суммы, относящиеся к различным моментам времени, некор-
ректно. Приведение сумм фактически означает замену их эквивалент-
ными значениями, относящимися к заданному моменту приведения.
Таким образом, суммирование этих эквивалентных значений для пла-
тежей потока дает в некотором смысле эквивалентное (с финансово-
экономической точки зрения) представление всего потока в виде от-
дельной суммы или, точнее, отдельного финансового события.

Замена целого потока на отдельную сумму (событие) во многих
случаях существенно упрощает финансовый анализ и позволяет, как
Мы неоднократно увидим в дальнейшем, легко решать многие задачи
26*
по определению характеристик денежных потоков.

Тот факт, что текущая стоимость потока определяется как сумма
текущих стоимостей отдельных платежей потока, приводит к следую-
щим очевидным, но весьма полезным свойствам линейности:
— аддитивность'.

PVf (CF, +CF2) = PVp (CF,)+PVp (CF2),

т.е. текущая стоимость суммы двух потоков равна сумме их текущих
стоимостей;

— однородность:

PVt(XCF}~ XPVt{CF},

т.е. текущая стоимость потока, полученного из данного умножением
всех его платежей на число Л, есть произведение текущей стоимости
исходного потока на это число.

При этом сумма потоков определяется естественным образом как
(СЛ+С/-2)(;) = СЛ(г)+СГ2(/),

т.е. платеж C(t) в момент t для суммарного потока (CF, + СТ,) есть
сумма платежей в этот момент слагаемых потоков, а для потока KCF—
произведение платежа СТ и числа Z. Напомним, что если моменту г не
соответствует никакого платежа из потока СТ, то CF(t) — 0 по
определению.

П р и м е р 11.2. Пусть

CFi = {(1, 100), (2, -400), (3, 600)};

СР, = {(0, 200), (2, 500), (4, 900)}.

Найти PVz(2CFi - 3CFJ для i = 50%.

Решение. Очевидно, что

2СР, - {(1, 200), (2, -800), (3, 1200)};

- 3CF2 = {(0, -600), (2, -1500), (4, -2700)}.

Следовательно,

2CF{ -3CF2 = 2CFt + (-З)СР = {{0,-600),(1,200,)(2,- 2300),(3,1200),(4,-2700)}.

Если i = 50% и t = 2, то

PV2 (СЕ) = 100(1 + 0,5) - 400 + = 150;

1+0,5

PV2 (СР2) = 200(1 + 0,5) + 500 + (1 = 1350

и, следовательно,

РИ, (2СТ - ЗСЛ) = 2PV, (СТ) - ЗРИ2 (СР, ) = 2 150 - 3 1350 = -3750.
Введем еще одну важную операцию — временной сдвиг потока.
Начнем с простейшего случая, когда поток состоит из одного платежа,
т.е. сводится к одному событию.

Определение 11.2. Сдвигом события (7, С) по времени на шаг 7’
назовем событие (t + Г, С).

Временная диаграмма этой опера-

ции изображена на рис, 11.1. с Lr

Оператор сдвига обозначим выра- t ~

жением так что определение сдвига
f t + 7”

можно переписать в виде

Рис. 11.1

Сдвиг может быть как положительным (Т> 0), действующим в направ-
лении временнбй шкалы, так и отрицательным (Т <0), действующим
в противоположном направлении.

Определение 11.3. Сдвигом финансового потока называется поток,
получаемый сдвигом по времени всех платежей исходного потока на
один и тот же шаг Г. В операторном виде этот сдвиг записывается как

Докажем следующую лемму о сдвиге события.

Лемма 11.1 (о сдвиге события). Пусть (7, С) — некоторое событие.
Тогда текущая стоимость сдвинутого события (7 + £, С) относительно
любого момента травна произведению текущей стоимости исходного
события на число Л = vr, называемое мультипликатором сдвига, т.е.

PV,(Lr(t,C))=vTPVr(t,C).

Доказательство. В самом деле,

PVt (t+Т,С) = Cv{HT}~r = CvTv'~r = vTCv'~’ =vr PVt (t.C).

Эта лемма в силу линейности текущей стоимости легко переносится
на поток событий.

Лемма 11.2 (о сдвиге потока). Пусть CF — дискретный поток
платежей. Тогда текущая стоимость сдвинутого на шаг Т потока
LT(CF) относительно момента тесть произведение текущей стоимо-
сти РУ' (CF) исходного потока и мультипликатора сдвига vT.

Доказательство. Пусть

С/7 ~ |(7И Cj, (72, С2),..., (7л, Сл)}.
Тогда

С {CF) = {(г, + Г, С,), {t2 + Т, С2), (/„ + Т, С„)}.

Следовательно,

PV,(LT{CF)) = ^PFT{tt+T,Ck) =
к=\

п fl

=ЪТрГ & > СЛ=“"I РГ 6,. Ct)=vTPFt {CF).

Л=1 A=l

Пример 11.3. Пусть CF^ {(20, 100), (21, 300), 22, 600)}.

Найти текущую относительно т = 0 стоимость потока при ставке / = 10%.

Решение. Можно, конечно, дайти текущую стоимость этого потока непосред-
ственно по определению. Однако замечая, что данный поток есть сдвиг на Т= 20 потока

CF' = {(0, 100), (1, 300), (2, 600)},
воспользуемся леммой 1.2. Тогда вычисляя для потока CF' его текущую стоимость

РУй (CF) = 100 + — + = 868,60,

V 1 1,1 (1,1)
получим v '

(CF) = и20 РУ (CF') = 129,11.

Сдвиг потока не меняет момент приведения, но изменяет взаимное
расположение моментов платежей потока и момента приведения. Тако-
го изменения взаимного расположения можно добиться, оставляя
неизменным поток, но сдвигая момент приведения т.

Лемма 11.3 (о сдвиге полюса). Пусть (/, С) — событие иг- момент
приведения. Тогда для любого Т

PVnT{t,C) = v-TPV,{l,C).

Доказательство. Это соотношение следует из цепочки равенств
PVt.T (т-с) = Си'_(г+Г) = Cv{'-%-T = v-TPVz {t, С).

Таким образом, мультипликаторы сдвига события и момента приве-
дения взаимно обратны.

Лемма 11.3 тривиально распространяется на потоки.

Лемма 11.4. Пусть CF— дискретный денежный поток; т — момент
приведения; Т — параметр сдвига. Тогда

PVnT{CF) = vT PVt{CF).

Доказательство. Пусть CF = С,),(?2,С2),...,(tH,С„)}.
Тогда

А=1
п п

= 1УТрУ< ('* ’ <3)('*, G) = ру, (CF).

А'=1 А-1

Следствие 11.1. Для любого дискретного потока платежей CFодно-
временный сдвиг потока и момента приведения (на один и тот же
шаг Г) не меняет текущую стоимость:

Py„r(pr(CF)) = PF,{CF).

Доказательство. Утверждение данного следствия немедленно выте-
кает из лемм 11.2 и 11.4.

Лемму о сдвиге момента приведения можно сформулировать не-
сколько иначе, как связь между текущими стоимостями потока отно-
сительно двух различных моментов приведения.

Теорема 11.1. Пусть CF — произвольный дискретный поток. Тогда
для любых двух моментов приведения и т2 справедливо соотношение

PVr2 (CF) = vT^PVti (CF).

Доказательство теоремы получаем тривиальным образом из леммы
11.4, полагая т2 = т, + Т.

Теорема 11.1 чрезвычайно полезна в практических вычислениях.
Она означает, что для вычисления текущих стоимостей потока в раз-
ных точках достаточно вычислить это значение в какой-либо одной
точке, тогда значения во всех остальных точках будут получаться
простым домножением полученного значения на подходящую степень
дисконтного множителя.

Пример 11.4. Рассмотрим поток CFследующего вида:

CF = {(0, 100), (1, -200), (2, 300), (3, 500), (4, -600)}.

Для процентной ставки i = 20% найти текущие стоимости PC(CF) и PV^CF).

Р е ш е н и е. Найдем сначала приведенное значение потока в точке t = 4;

FK4 (CF) = FV4 (CF) = 100(1+0,2)" -200(1 + 0.2)3 +

+300(1 + 0,2)2 + 500(1 + 0,2) - 600 = 293,76.

Согласно теореме 11.1, для нахождения текущей стоимости потока в точке 0 нет
Необходимости пересчитывать текущие стоимости платежей потока. Достаточно теку-
щее в точке I = 4 значение умножить на мультипликатор сдвига
( 1 V
~М =(1,2) \
<1+0,2/

Таким образом (с точностью до двух знаков после запятой),

/%(Cf) = (1,2)-4 293,76 - 140,00.

Теорема 11.1 имеет одно весьма полезное следствие, которое форму-
лируется в виде отдельной леммы.

Лемма 11.5. Для любого дискретного потока платежей CF и любых
моментов приведения т, s справедливо соотношение

РУ,(РУ, (CF)) = РУ,(СР}. (11,1)

Доказательство. Положим PV(CF) = С. Тогда, с одной стороны,
в силу теоремы 1 (при г, = т и т, ~ s) получим

РУ, {CF)=Vs-’ РУ, (CF)=и’-'С,.

С другой стороны, для события (з, С) имеем

py,(s,Cl) = Ctv’~'.

Следовательно,

Pyr(Pys(CF))= РУ, (CF)v-’

и, значит,

PV,(PVS(CF)) = PV,(CF).

Свойство (11.1) является обобщением на потоки доказанного в § 8.9
свойства поглощения оператора приведения событий.

В заключение приведем еще одно важное свойство текущей стоимо-
сти, которое можно назвать ассоциативностью.

Теорема 11.2(свойство ассоциативности текущей стоимости). Пусть
дискретный поток платежей СГразбит на т частей — подпотоков:

*7=1

При этом каждая из составных частей CFk приведена к некоторому
моменту времени хк. Кроме того, положим

Л=^.(С6)-

Тогда для любого момента т текущие стоимости исходного потока CF
и преобразованного потока
СГ ={(г,,Д),(г2,
составленного из текущих стоимостей частей исходного потока, отно-
сительно этого момента совпадают:

РИг(СГ) = РК(сГ).

Доказательство. Так как по условию теоремы поток СГпредставля-
ется в виде суммы из т, то в силу линейности оператора текущей
стоимости получаем

/п

^(CF) = £PK(CK)-

А=1

С другой стороны, в силу леммы 11.5

FK (А) = рк (рк, (ск )) = РК (СК),
т.е.
т т

pK(cf)=£pk(ck)=I?K(A)-

В свою очередь, согласно определению текущей стоимости,

ГП

ХрК(Д)=рк(ср’).

А=1

Таким образом, получаем требуемое равенство

PVT(CF) = PVZ{CF’\

П р и м е р 11.5. Рассмотрим снова поток из примера 11.4. Разобьем его на две части,
одна из которых состоит из положительных, а другая из отрицательных платежей:

- {(0, 100), (2, 300), (3, 500);

CF2 = {(1, -200), (4, -600)}.

Требуется найти текущие стоимости PV0(CF) и PV^CF}. используя результаты теоремы 11.2.

Решение. В качестве момента приведения для первого подпотока возьмем г, = 3,
а для второго — г, = 0. Наконец, в качестве финального момента приведения возьмем
т= 4. Тогда последовательно получим

PV.^CF) = 100(l,2)J + 300(1,2) + 500 = 1032,8;

РГ0(СГ2) - -200(1,2) 1 - 600(1,2) 4 - - 456,019.

И наконец,

РИ4({(3; 1032,8), (0, - 456,019)}) = 1032,8 (1,2) - 456,019-(1,2)4 = 293,76,
что совпадает с полученным в примере 11.4 значением PV^CF).
11.2. Эквивалентность потоков платежей

В нашем изложении теории процентной ставки постоянно подчер-
кивались два взаимосвязанных аспекта. Первый касается всевозмож-
ных преобразований событий и составленных из них потоков.

Так, операторы будущей и текущей стоимостей позволяли преобра-
зовывать события (суммы) и потоки событий (платежей). Формально
это означает сопоставление некоторому событию, т.е. сумме, относя-
щейся к некоторому моменту времени, некоторого другого события,
сумма которого относится к другому моменту времени. Внешне это
преобразование выглядит как перенос (сдвиг) события от одного мо-
мента времени к другому с изменением, вообще говоря, денежной
суммы этого события. При этом преобразованное событие считается
эквивалентным в финансово-экономическом смысле исходному со-
бытию. Эта эквивалентность понимается как равноценность денеж-
ных сумм, участвующих в преобразовании событий, при определенных
внешних условиях, в которых главным фактором является фиксиро-
ванная процентная ставка. Процентная ставка однозначно определяет
механизм преобразования событий (сумм) и тем самым их эквивалент-
ность. Таким образом, преобразование событий определяет второй
аспект, связанный с понятием эквивалентности событий или (датиро-
ванных) денежных сумм.

Напомним данное в гл. 8 определение эквивалентности событий
в схеме сложных процентов. События считаются эквивалентными (от-
носительно заданной процентной ставки), если одно из них можно
преобразовать в другое с помощью операции приведения. Формально
это означает следующее.

События Ц) и (t2, G) называются эквивалентными (в схеме
сложных процентов) и обозначаются как С2), если

или в развернутом виде

Как было показано в гл. 8, определенное таким образом отношение
между событиями действительно является отношением эквивалентно-
сти, т.е. оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Точно так же приведение потока к некоторому моменту т, т.е.
вычисление его текущего относительно момента т значения, означает
по существу замену потока платежей эквивалентной ему единственной
суммой, а точнее, эквивалентным событием. Таким образом, с финан-
сово-экономической точки зрения в рамках заданных условий (извест-
ной процентной ставки) поток и его текущая стоимость эквивалентны.
Перенесем теперь определение эквивалентности событий, а также
потока и его приведенного значения на произвольную пару потоков.

Определение 11.4. Два дискретных финансовых потока CFX и СГ2
называются эквивалентными относительно процентной ставки / и мо-
мента приведения т, если их текущие стоимости относительно этого
момента совпадают, что в формальном виде записывается как

CE~CF, ^PVt(CFx) = PF,(CF2).

Эквивалентность потоков зависит от выбора момента приведения.
Покажем, что на самом деле ее выбор безразличен, т.е. потоки, эквива-
лентные относительно одной точки, будут эквивалентны относительно
любой другой.

Теорема 11.3. Пусть CF и CF2 — потоки платежей, a i — процентная
ставка. Тогда для любых т т2

CFX '~CF2^Cf‘~ CF2,

т.е. эквивалентность потоков относительно одной из точек равносиль-
на их эквивалентности относительно другой.

Доказательство. Пусть при фиксированной процентной ставке Z,
которую ниже не будем указывать,

cf}~cf2,

тогда

prti(c/-)=pv„(cf2).

Применяя к этому равенству оператор приведения к точке т2,
получим

РИ,, (/%.(«;))=ркДрщст;)),

что на основании свойства (11.1) дает

PFT(CFt) = PFTi(CF2),

а это равносильно эквивалентности относительно точки т2.

Таким образом, можно говорить просто об эквивалентности пото-
ков, не упоминая приведения моментов времени. Ранее в гл. 8 этот
факт был доказан для событий.
Пример 11.6. Показать, что потоки CF\ = {(0, 300), (2, 120)} и CF, = {(1, 260), (3,
288)} эквивалентны относительно ставки / ~ 20%.

Р е ш е и и е. Выберем в качестве момента приведения т - 1. Тогда

РИ/СР^) = 300-(1,2) + 120(1,2) 1 - 360 + 100 - 460.

Аналогично РИ, (СР,) = 260 + 288-( 1,2)’2 = 260 + 200 = 460.

Следовательно,

РИ/СР^ = РИ,(СР2).

Это означает эквивалентность потоков относительно точки т = 1. а следовательно,
относительно и любой другой точки, т.е. эти потоки эквивалентны.

Отношение эквивалентности потоков обладает рядом очевидных
и легко доказываемых свойств.

Во-первых, отметим, что для него выполнены все определяющие
свойства:

— рефлексивности'. i

CF-CF;

— симметричности'. , ,

CF,-CF2^CFrCF};

— транзитивности'.

если CF}~CF2 и CF2-CF^ioCF^CF3.

Во-вторых, свойство эквивалентности сохраняется при всех основных
операциях над потоками. В частности, эквивалентность потоков устойчи-

ва относительно сложения потоков: если CFX -CF{' и CF2~CF2 , то

cfx+cf2~cf;+cf^

а также относительно их умножения на число: если CF{ ~CF{' , то

Из перечисленных свойств следует, что если в данном потоке от-
дельные события потока или его части заменяются на эквивалентные
потоки, то поток, полученный таким преобразованием, эквивалентен
исходному. Это свойство можно назвать обобщенной ассоциативностью
отношения эквивалентности. Формально оно является простым обоб-
щением устойчивости эквивалентности относительно суммирования
потоков. Докажем ниже это свойство.

Теорема 11.4. Пусть CFk ~CFk для к — 1, 2,..., л. Тогда

П i п

к=\ Jt=1
Доказательство. Выбирая произвольный момент времени приведе-
ния ти используя аддитивность текущей стоимости, получим
( п А п

ру, =£/%(сгЛ).

k*=i 7 *=1

Поскольку CFk~CFk, то

PVx(CFk) = PVx{CFk^
и, значит,
п п f п >

1^руА^)=Цру,(ОД=ру, Xcf' .

k=1 Ъ=1 \А'=1 J

Следовательно,

Пример 11.7. Рассмотрим потоки

CF} = {(0, 100). (2, 300), (3, 500)} и CF. = {(1,-200), (4, -600)},

являющиеся частями потока CFm примера 11.4. Пусть т( = 3 — момент приведения для
первого потока и т, — 0 — второго потока. Используя теорему 11.4, найти поток,
эквивалентный потоку СЕ

Решение. В примере 11.5 показано, что

РУДД) = 1032,8.

Последнее равносильно эквивалентности

0.2 _ _

£^-{(3; 1032,80)}.

РУДД} = -456,019

0.2

CF, -{(0,-456,019)}.

CF= CF. + СЛ,

то теорема 11.4 дает эквивалентность

CF ~ {(0, - 456,019), (3; 1032,80)}.

В этом мы убедились в примере 11.5 прямым вычислением текущих стоимостей
обеих частей этой эквивалентности.

Аналогично равенство
равносильно эквивалентности

Поскольку

11.3. Общая схема сложных процентов

Рассмотрим элементы алгебры потоков в более общем контексте,
чем это было сделано выше. Обобщения касаются двух аспектов,
связанных с денежными потоками. Во-первых, рассмотрим непрерыв-
ные, а также общие потоки платежей. Во-вторых, откажемся от усло-
вия постоянства процентных ставок. В итоге получим достаточно
общие результаты, касающиеся общих потоков платежей в рамках
общей схемы сложных процентов.

Прежде чем перейти к определению общей схемы сложных процен-
тов и ее обсуждению, напомним кратко понятие общей финансовой
схемы (см. гл. 1).

Общая финансовая схема в качестве базовых элементов включает
финансовые события и финансовые потоки, финансовые законы ка-
питализации и дисконтирования и индуцированное ими отношение
эквивалентности. Определяюшим'и элементами являются заданные
финансовые законы капитализации (роста)

И=Л(р;Г,С), p>t,

и дисконтирования

D(p; Г, С), p<t.

Смысл этих законов состоит в нахождении для любого события
(г, С) его накопленного или будущего значений

И = ГК(/, С) = Л(р; Г, С), р>1, (11.2)

а также приведенного, текущего или дисконтированного к моменту р
значения

Vp=DVp(t,C) = D(pJ,C), P<t-

Такая пара законов задает оператор преобразования или приведе-
ния событий к любому моменту времени р (полюсу, фокальной точке,
моменту валоризации), обозначаемый РУ:

где

FT (Г, С), еслир>Г;

2Ж(/, С) если/? < Л

Законы капитализации и дисконтирования удовлетворяют ряду
постулатов (условий). Эти постулаты и следствия из них достаточно
подробно обсуждались в гл. 1. В гл. 8 показано, что финансовые законы
в стандартной схеме сложных процентов обладают свойствами одно-
родности, стационарности, непрерывности и взаимной сопряженнос-
ти. Эти свойства следовали из конкретной (показательной) формы
финансовых законов. Ниже некоторые из них примем в качестве
постулатов, определяющих общую схему сложных процентов. Выпол-
нение свойств (постулатов) приводит к специальной форме финансовых
законов в общей схеме сложных процентов.

Определение общей схемы сложных процентов. Будем считать, что для
общей схемы сложных процентов выполняются следующие постулаты.

Г. Законы роста и дисконтирования являются однородными отно-
сительно сумм, связанных с событиями. Иными словами,

A(p;t, С)~СА(р; t, 1);

D(p;t,C) = C D(p;t, 1). (11.3)

Тем самым законы однозначно определяются своими функциями
(или коэффициентами) роста

a(t,p)=A(p; t, 1), p>t,

и дисконтирования

d(t,p) = D(p; Г, 1), p<t,

Из Г следует, что

/V (/, С) = Ca(t,p), p>f,

DVp(t,C) = Cd(t, р), p<L

Функции роста и дисконтирования можно объединить, введя так
называемую обобщенную функцию, или коэффициент дисконтирования

\a(t,p), еслир>Г;

\d[t,p), если/><Л

С помощью коэффициента дисконтирования обобщенный оператор
приведения (текущей стоимости) запишется в виде

РГ(;,С) = Си(г,/>)

для любых 1, р.

2°. Законы роста и дисконтирования непрерывны относительно
временных параметров, иными словами, функции a(t, р) и d(t, р)
непрерывны в своей области определения.

Из 2°, в частности, следует, что всюду определенная функция u(t, р)
является непрерывной в области t * р. Полная ее непрерывность
гарантируется следующим условием.

3°. Финансовые законы роста и дисконтирования взаимно сопряже-
ны, т.е.
a(t,p)d{t,p) = 1

для любых р > t и удовлетворяют краевому условию

a(t, Z) = d(t, /)=1.

Из свойства сопряженности и непрерывности следует, что функции
a(t, р) и d(t, р) знакопостоянны, а краевое условие означает, что a(t, р)
и d(t, р) положительны в своих областях определенности. Это означает,
что обобщенная функция дисконтирования положительна, всю-
ду непрерывна и удовлетворяет условию

= I

для всех t. Кроме того, функция y(Z, р) является самосопряженной, т.е.

v(t,p)v(p, t)= 1

для любых t, р.

4°. Законы роста и дисконтирования транзитивны, т.е. для любых
t < т<р

a(t,T)a(r,p) = a(t,p)
и любых р < т< 1

d(t, т) d(T, р) = d(t, р).

Это свойство также называют расщепляемостью финансовых законов.

Транзитивность законов роста и дисконтирования ведет к транзи-
тивности обобщенной функции дисконтирования:

v(t, T)d(T,p) = v(t,p)

для любых t, Т,р.

Заметим, что это утверждение — прямое следствие соответствую-
щих свойств функции роста и дисконтирования лишь в случае, если
точка тлежит между точками t и р. В остальных случаях выполнение
этого свойства основано также на упомянутой выше взаимной сопря-
женности законов роста и дисконтирования (см. постулат 3). Так, если
t < р < т, то транзитивность функции v фактически означает выполне-
ние свойства

a(t, т) d(r, р) = a(t, р),
следующего из транзитивности функции роста

a(t, р) а(р, т) = a(t, г)

и условия сопряженности
а(Ат)=<Ь)-

Остальные случаи рассматриваются аналогично.

В терминах операции приведения событий транзитивность финан-
совых законов в схеме сложных процентов означает выполнение ра-
венства

/>И//(РИГ(СС))= РИДсС) (i 1.4)

для любых г, г, р. Свойство 4° называют свойством поглощения операто-
ра приведения. Оно означает нечувствительность операции приведе-
ния событий к заданному полюсу р от внутренних или промежуточных
преобразований этих событий.

Этим свойством мы неоднократно пользовались в данной главе при
доказательстве ряда утверждений (теорем 11.2 и 11.3), касающихся
потоков платежей, естественно, в рамках стандартной схемы сложных
процентов с фиксированной нормированной ставкой /. Свойство тран-
зитивности играет центральную роль в теории сложных процентов.
С его помощью можно установить общую форму финансовых законов
и связанных с ними преобразований событий и потоков.

Поскольку функция р) положительна, то можно определить
функцию

v(/,p) - In

Свойство транзитивности функции о трансформируется тогда в
свойство аддитивности функции v:

v (Yp) = v т) +
для всех t, т, р. В частности, отсюда следует, что если непрерывную
функцию v рассматривать как функцию промежутков J = < г /, >.
полагая

v(/)= v(r,,/2),
то v является непрерывной аддитивной функцией промежутков.

В гл. 1 введено понятие плотности для аддитивной функции проме-
жутков. Плотность функции v (в том случае, когда она существует)
будем называть интенсивностью и обозначать через £(/):

<$(/)= lim , /[</<7^.

' 7 t2~tx ‘

Можно показать, что если аддитивная функция и имеет кусочно-непре-
рывную плотность 8, функция vдопускает интегральное представление
27-5569
v(V2) = p(')d'-

В свою очередь, это означает возможность представления обобщен-
ной дисконтной функции v (t,p) в виде

y(t,p) = exp J<5(r)dr

Мы будем всегда предполагать существование и кусочную непре-
рывность интенсивности 5(0-

Заметим, что в литературе интегральное представление для дискон-
тной функции принято записывать в виде

(г,^) = ехр — J«5(r)dr .

Знак «минус» в показателе должен напоминать, что говорится о дис-
контировании (хотя и в обобщенном смысле).

В схеме с постоянной интенсивностью <5(г) = 5 — const дисконтная
функция v(t, р) принимает вид

v(l, p) = eslw’ = e-*-')

Если \р — r| = 1, т.е. значение дисконтной функции рассматривается
на единичном промежутке, то определяются величины

а = е5 =l+z; и = е 5 ~

1 + /

— нормированные коэффициенты роста и дисконтирования соответ-
ственно, где

— нормированная процентная ставка. Тем самым мы приходим к опи-
санной в § 8.4 стандартной схеме сложных процентов.

В финансовой литературе вместо двумерной дисконтной функции
v(t,p) часто используют ее одномерные аналоги. Обозначим функцию
и(/, 0) одного аргумента t через (хотя и это не совсем корректно).
Используя транзитивность и самосопряженность v{t, р), можно записать

^р)=^омо,р)=^=^
где

На этом закончим обсуждение финансовых законов в общей схеме
сложных процентов и перейдем к обсуждению вопросов, связанных
с непрерывными и общими финансовыми потоками в рамках этой схемы.

Непрерывные и общие финансовые потоки в общей схеме сложных
процентов. Выше в этой главе мы ограничились анализом дискретных,
или более точно, конечных потоков платежей. Финансовый поток CF
в дискретном случае задается своей платежной функцией С(Г), 76 Т
на дискретном множестве точек, называемом носителем этого потока
(см. гл. 1):

E = suppCF=реТ C(r)^oj.

Дискретность носителя означает, что в любом конечном промежутке
/содержится лишь конечное число точек носителя. В частности, носи-
тель — конечное или счетное множество, т.е. его элементы можно
занумеровать:

E = k = \, ...,л|,л<оо.

Это приводит к обычному представлению дискретного потока CF в
виде множества

CF = {('<>ct )| k = п ~ и С„ = С('Д

Если поток конечен, то носитель также конечен и, следовательно,
функция С(/) отлична от нуля лишь для конечного числа моментов
времени.

На дискретные потоки тривиально переносится операция приведе-
ния событий к полюсу р в общей схеме сложных процентов:

(CF) = i (11.6)

ГеТ V\P)teT

Если поток конечен, то суммы в (11.5) конечны, для бесконечных
дискретных потоков они представляют собой суммы рядов; возмож-
ность приведения потока обусловливается сходимостью соответствую-
щего ряда.

Определенный выше оператор приведения (или текущей стоимос-
ти) является линейным оператором:
PVp [CFt + CF2) = PVp (CFt) + PVp (CF2)

РГДЛСГ) = ЛРИДСГ).

Хотя ряд результатов этой главы для дискретных потоков не выпол-
няется для схемы с переменной интенсивностью, в частности, это
касается лемм, связанных с операторами сдвига (см. леммы 11.2 - 11.4
и теорему 11.1), тем не менее в общей схеме остается справедливым
свойство поглощаемости оператора приведения для дискретных пото-
ков (см. лемму 11.5)

PVf(PVt{CE))=PVp(CF),
являющееся тривиальным следствием этого свойства для событий
(см. (11.4)).

Остаются также справедливыми свойство ассоциативности теку-
щей стоимости (см. теорему 11.2) и основные определения и факты,
касающиеся эквивалентности потоков (см. § 11.2), поскольку все эти
результаты опираются лишь на свойство поглощаемости оператора
приведения. При этом определение эквивалентности потоков перено-
сится на случай схем с переменной интенсивностью, т.е. потоки счита-
ются эквивалентными, если их приведенные значения в некоторой (а
тогда и в любой) точке совпадают.

В силу сказанного не будем переформулировать и снова доказывать
упомянутые факты, а перейдем к обсуждению непрерывных и общих
потоков платежей в общей схеме сложных процентов.

В гл. 1 мы ввели понятие общего потока платежей CF, задаваемого
аддитивной функцией промежутков И= У которая каждому конечно-
му промежутку / временной шкалы сопоставляет значение V(J) потока
на этом промежутке. При этом был выделен класс так называемых
непрерывных потоков CF, имеющих плотность p(t), определяющей зна-
чение потока на промежутке / согласно формуле

Ф)=J/'Wdz-

Зафиксировав любую точку tQ временной шкалы, можно определить
функцию (аналог функции распределения в теории вероятностей):

I
которая также определяет значение потока на любом промежутке
J=<a,b>'.

И(1) = Г(д, Ь) = М(Ь) - М(а).

Функция M(Z) является первообразной для непрерывной плотности
МО, т.е.

W)= МО-

Понятие текущей стоимости потока в общей схеме сложных про-
центов легко переносится на непрерывные потоки.

. Определение 11.5. Пусть CF — непрерывный поток с плотностью
МО- Текущей стоимостью этого потока в точке р относительно интен-
сивности 5(t) в общей схеме сложных процентов называется величина,
определяемая равенством

/’И„(сЛ= j = j

(П.7)

Заметим, что интеграл справа на самом деле собственный (конеч-
ный), если поток CF — сосредоточен на некотором отрезке |а, Д,
иными словами, вне этого отрезка его плотность равна 0:

р(г) = О,

Тогда очевидно, что

Если это не является необходимым, мы не будем указывать конкрет-
ные границы интегрирования от, /3.

Можно обобщить данное выше определение и на случай бесконеч-
ных (по времени), точнее, нефинитных потоков, если понимать интег-
рал в (11.7) как несобственный.

Пример 11.8. Пусть непрерывный поток сосредоточен на отрезке [0, 2] и имеет
постоянную плотность p(t) = р — const. Найти текущую стоимость этого потока в точках
а) р = 0; б) р = 1; в) р = 2 относительно постоянной интенсивности 3(f) = 3 — const.

Решение. Коэффициент дисконтирования имеет вид

jd’.'ib

v(t, р) = е' = e<5'/W|

Тогда для случаев:

2 2

a) FЦ, (СТ) = JW((M dr = рjе’Л dr = -^е *
2 2

б) FV, (CF) = ]де6М dr = де6 Je"6' dr = ^e6 (1 -e 2S) = -£(e6-e^6);
О О О $

в) FV2 (CF) = Jд e6lM dr = дe26 Je’* dr = ^e26 (1 - e’26) = (e26-1).

Пример 11.9. Пусть CF — непрерывный поток, сосредоточенный на промежутке
[-1, <=°), с плотностью . . ы

д(г) = е-’'.

Найти текущее значение этого потока в точкер ~ 0 относительно постоянной интенсив-
ности 5=1.

Решение. Как и в предыдущем примере, коэффициент дисконтирования

v(t, р) = ер 1.

Поскольку поток нефинитный (бесконечный), то интеграл (11.7) будет несобственным:

FV0 (CF) = Je’ld e"' dr = J dr + J e~2' dr = r|“(

-I -i 0 “ 0

Из приведенного выше определения текущей стоимости непрерыв-
ного потока непосредственно следует нелинейность относительно сло-
жения потоков:

PVr (CF, + CF2) = РУр (CF,) + PVp (CF2)
и умножения потока на число:

PVp(WF) = XPVp(CF).

В самом деле, если и /л2 — плотности потоков CFX и CF, соответствен-
но, то функция

^(г)=М1(')+д2(0

будет плотностью суммарного потока CF{ + CFV а поскольку интеграл
(11.7) является линейным функционалом относительно подинтеграль-
ной функции,то

PVp (CF, +CF2) = J (д, (z)+д2 (t))v(t, p)dt =

= J Д, (t)v(t, p)dt +Jp2(t)v(t, p)dt = PV„(CF^ + PV, (CF2).

Аналогично доказывается и однородность текущей стоимости,
т.е. формула (11.4). Действительно, если — плотность потока CF,
то будет плотностью потока ЛС/’и, значит,

PVp(&CF)~ j Лц(г)у(г, = Л J
Для непрерывных потоков в схеме сложных процентов с постоян-
ной интенсивностью верны аналоги лемм 11.2 — 11.4. Чтобы сформу-
лировать эти утверждения, необходимо определить оператор сдвига
для непрерывных потоков.

Определение 11.6. ПустьCF— непрерывный потоке плотностью
Тогда сдвигом потока с шагом Т называется непрерывный поток
LT(CF) с плотностью

/(/)=д(/-т).

Теперь можно сформулировать аналог леммы 11.2.

Лемма 11.2'. Пусть CF — непрерывный поток. Тогда для постоянной
интенсивности 8 имеет место равенство

PVp(LT(CF)) = vTPVp(CF),

(Н.8)

где

о — е 5

— нормированный коэффициент дисконтирования, соответствующий
интенсивности <5.

Доказательство. Поскольку интенсивность постоянна, то функция

(коэффициент) дисконтирования имеет вид

— с

Текущая стоимость сдвинутого потока

+ оо

PKp(LT(CF))= Jp(r-F)e^dz.

— w

Заменой переменных t- Т, получим

PFp(LT(CF)) = J ц(Г)е11-р-''-т}dt' = esr PVp(CF),

что и требовалось доказать.

Еще проще доказывается аналог леммы 11.4 о сдвиге момента
(полюса) приведения.

Лемма 11.4'. Пусть CF — непрерывный поток с плотностью //(?).
Тогда для постоянной интенсивности <5 имеет место равенство

PVppT(CF)=vT PVp(CF),

(И.9)
где

и = е~6

— нормированный коэффициент дисконтирования, соответствующий
интенсивности 5.

Доказательство. Соотношение (11.9) получается на основе равенств

PVtnT(CF) = Jfi(t)e(^T',} dr = еет j"/((/(е'51'”'1 dr = eST PVp(CF).

Заметим, что доказанные утверждения выполняются лишь при
постоянстве интенсивности (силы процентов) <5, т.е. в условиях посто-
янства процентной ставки i и соответствующих ей коэффициентов
роста а и дисконтирования v.

Заметим, что соответствующие утверждения для дискретных пото-
ков доказывались при этом же условии постоянства ставки. Изменчи-
вость ставок приводит к невыполнению приведенных утверждений.
В этом случае нарушается даже возможность корректно сформулиро-
вать утверждение, поскольку нормированный коэффициент роста пере-
стает быть постоянным.

Пример 11.10. Пусть непрерывный поток Cf с постоянной плотностью ц = 1
сосредоточен на отрезке [0. I], а интенсивность 8(f) задается равенствами

'SO;

[52, t > 0, , 32 > 0, (J, <52.

Найти: а) текущую стоимость потока в точках р ~ 0 и р ~ 1; б) текущую стоимость в точке
р ~ 0 сдвинутого на Т= -1 потока.

Решение. Найдем сначала дисконтную функцию, порождаемую интенсивностью 3.

Л р > 0:

Л р< 0;

г < 0, р> 0;

t > 0, р< 0.

а) Текущая стоимость потока в точке р = 0 и р = 1 соответственно

PV, (CF) = jv(c 1)d/ = Je5JM dr = e^ -

<) 11 ^2

e^-1

б) Поток L {(CF) сосредоточен на [- 1,0] и имеет на нем единичную плотность. При этом

, , Г f е"51'° е5‘-1

РУ.,(С ,(CF)) = Jv(r,0)d/ = Je-vd/ = —- =—-

-1 -I _| dl
В примере 11.10, несмотря на то, что имеет место пропорциональ-
ность между текущими стоимостями потока в точках 0 и 1:

Р|/(СТ) = е5-/’Г„(СТ),
двойственное соотношение для сдвига потока уже не выполнено,
поскольку нет никакой естественной связи между значениями

_ 1

PK(L,(Cf)) =—;

1 - е"г?
^2

В частности, для потока из примера 11.10 не выполнено свойство

P7ttT(LT(CF))^P^{CF),

например, для р — 1, Т= -1.

Для непрерывных потоков в общей схеме сложных процентов выполня-
ется фундаментальное свойство поглощаемости оператора приведения:

PFp(P^(CF)) = Pl'p(CF).

В самом деле, для потока CFc плотностью p(t)

PV,(CF} = J^(r)^(/,r)cV.

Таким образом, поток CFпреобразовался в событие (г, И ), где
K = ^(CA).

Приведенное к полюсу р значение этого события

откуда, используя транзитивность функции v, получаем

(РИг (СТ)) = и(т, р) j р(t)v(t, r)d/ =

= J р(/)v(r, т)и(т, p)dt = J p(t)v(t, p)dt = PVp(CF\

Определив понятие текущей стоимости непрерывных потоков, мож-
но ввести понятие эквивалентности. Это определение дословно совпа-
дает с соответствующим определением 11.4 для дискретных потоков.
Все свойства введенного отношения эквивалентности автоматически
переносятся на случаи непрерывных потоков,

В заключение рассмотрим общие потоки.

Общий поток задается произвольной аддитивной функцией проме-
жутка V, называемой представляющей функцией потока (см. гл. 1).
Ограничимся рассмотрением практически важного случая, когда пред-
ставляющая функция Идопускает разложение в сумму

У= JZ(v) + J/R),

где — дискретная; И(с) — непрерывная с конечной плотностью
составляющие.

Дискретная составляющая представляет собой дискретный поток

сЛ" ={С(Г)| /еТ},

где C(t) — платежная функция, определяемая как значение Vв точках t,
по сути являющихся вырожденными отрезками {/} = [Z, Z]. При этом
носитель потока CES} есть дискретное множество

Е- suppCF^ - {z C(z) ф oj = [tk, £eN},
где tk — критические точки потока. Поэтому для любого конечного про-
межутка Jчисло критических точек потока конечно, и, следовательно,
значение дискретной составляющей потока на этом промежутке пред-
ставляется в виде суммы

teJ

Для непрерывной составляющей И(<?) считаем плотность /i(Z) интег-
рируемой функцией. Тогда для любого конечного промежутка J значе-
ние непрерывной составляющей И(с) на этом промежутке определяется
равенством

Kw(J) = JjU(r)d/.

Таким образом, для любого конечного промежутка J величина
потока представляется в виде

r(j)=£c(0+j/y(/)d/.
/еУ j

Данная формула позволяет выполнять различные действия с общи-
ми потоками, сводя операции над ними к соответствующим операци-
ям над дискретной и непрерывной составляющими потоков.
В частности, на общие потоки тривиально переносятся все изло-
женные в этой главе определения и результаты, которые получаются их
применением к дискретной и непрерывной частям общего потока.

Вопросы и упражнения

1. Дайте определение текущей стоимости дискретного потока платежей в схеме
сложных процентов.

2. Как меняется текущая стоимость потока: а) при сдвиге потока? б) при сдвиге
точки приведения?

3. Сформулируйте свойства ассоциативности для операции приведения потока платежей.

4, Докажите свойство поглощения для операторов приведения в схеме сложных
процентов.

5. Докажите, что эквивалентность потоков платежей в схеме сложных процентов
не зависит от выбора потока.

6. Опишите общую схему сложных процентов. Какими свойствами обладают фи-
нансовые законы этой схемы?

7. Приведите формулу текущей стоимости произвольного потока платежей в общей
схеме сложных процентов.

Задачи

1. Пусть интенсивность процентного роста имеет вид (в годовой шкале)
... (0,02, г <10;

1 7 0,04, t> 10.

Найти: а) общий коэффициент дисконтирования v(r, г); б) текущую стоимость непре-
рывного однородного потока, сосредоточенного на промежутке [0, 10], с плотностью
;#2000 в год в моменты 1- 0; — 1; 1.

2. Пусть сила процентов задается выражением

<5(г) = 0,01 +0,05г + 0,001Z2, 0</<10.

Найти текущую стоимость (в момент t = 0) потока

CF = {(0, 100), (5, 200), (10, 400)}.

3. Текущая стоимость потока в момент t = 1 относительно постоянной нормирован-
ной ставки i = 20% равна #100 00. Текущая стоимость в момент t - 5 всех платежей
потока, кроме последнего, .#2000. Найти текущую стоимость последнего платежа
в момент 1 - 10.

4. Найти накопленную стоимость $100 за 10 лет при интенсивности процентного
роста 5(0 = 0,05 0,9', 0 < / < 10. Какова эквивалентная эффективная годовая ставка,
дающая тот же эффект?

5. Пусть интенсивность процентного роста задается равенствами

<ЭД =

0,02, t <10;

0,05, г>10.

Найти текущую (в t = 0) и будущую (в t ~ 10) стоимости потока

CF = {(1, 100), (5, 200), (10, 300)}.

6. Для интенсивности роста из задачи 5 найти текущую стоимость потока (в t = 0)
с плотностью ц(Г) ~ 10е4’-01'.
Гл а в a 12. Специальные классы потоков. Ренты

На практике часто встречается особый вид денежных потоков, пред-
ставляющих собой последовательность регулярно повторяющихся пла-
тежей. Арендная плата, выплаты процентов, дивидендов, пенсий,
ежегодные страховые взносы и т.д. служат примерами таких потоков.
Если поток состоит из ежегодных выплат, то он обычно называется
аннуитетом. В общем случае платежей может быть несколько раз
в году, например каждый квартал, каждый месяц и т.п. Такой регуляр-
ный поток платежей называется рентой. Все формальные определения,
связанные с рентами, приведены в § 1.2. Здесь же для удобства читателя
дадим краткую сводку этих определений.

Хотя платежи по ренте связаны с моментами времени, по своему
смыслу они являются платежами за период. Так, пенсия выплачивается
за месяц, дивиденды за год и т.д. Поэтому ренту часто рассматривают
как ряд платежей за последовательные периоды времени. Конкретный
платеж за период может осуществляться как в конце, так и авансом,
в начале периода.

С формальной точки зрения рента есть денежный поток второго
рода (см. гл. 1):

c7={(j1,ci).(j2,c2),...,(j„,c„)},

где п — срок ренты, т.е. число периодов ренты; Jk — k-й период ренты;
Ск — платеж за к-1л период. Если число периодов конечно, т.е. п < , то
рента — срочная.

Бессрочная (вечная) рента описывается бесконечным потоком плате-
жей ___

cf={(/„c,),(j2,c2),...,(4,c,),...}.

Регулярность ренты заключается в том, что длина всех ее периодов
одинакова. Значение длины периодов также называется периодом (чис-
ловым) ренты; обозначим его через h. Указанное свойство регулярнос-
ти ренты означает, что концы периодов (промежутков) ренты или ее
критические моменты составляют арифметическую прогрессию Го, /,...,
О гае

л, к= 1, 2,.... п - 1.
При этом момент /0 называется началом (начальным моментом),
а момент — концом ренты.

Для постоянной ренты все платежи одинаковы:

С* = С —const, k= 1, 2,..., п.

Хотя по своему финансово-экономическому смыслу рента есть
поток 2-го рода, на практике она реализуется в виде последовательнос-
ти платежей — событий, т.е. сумма, относящаяся к данному периоду
ренты, должна быть выплачена в некоторый момент времени из этого
периода. Такое преобразование потока 2-го рода в поток 1 -го рода или
поток событий (см. гл. 1) можно осуществить многими способами, ио
на практике чаще всего используются два: в первом случае платеж
осуществляется в конце, во втором — вначале периода.

Рента, в которой все платежи осуществляются в конце соответству-
ющих периодов, называется обыкновенной или рентой постнумерандо,
а рента, в которой платежи осуществляются в начале периодов, —
авансированной или рентой пренумерандо. Наконец, для полного уточ-
нения временной последовательности выплат необходимо указать пер-
вый период, на который приходится ненулевой платеж. Если начало та
этого периода совпадает с началом tQ ренты, т.е. т0 = го, то рента
называется немедленной. Если т0 > /0 — отложенной.

Таким образом, первый платеж немедленной обыкновенной ренты
осуществляется в момент

r, = r„ + h,

а первый платеж немедленной авансированной ренты осуществляется
в момент т0 = Го.

Дальнейшее изложение будет в значительной мере опираться на
алгебру потоков (см. гл. И). Поскольку ренты представляют собой
частный случай потоков платежей, для них будем использовать специ-
альные обозначения. Произвольную ренту, рассматриваемую как по-
ток платежей 2-го рода, обозначим СА , а ренты, представляемые
потоками 1-го рода (т.е. потоками событий), — СА. Замена F на А
в обозначении потока платежей CF означает, что речь идет именно
о рентах или аннуитетах.

12.1. Стандартные ренты

Изучение рент начнем с немедленных рент, имеющих в выбранной
временной шкале единичный период h = 1, конечный срок и
постоянные платежи. Иными словами, базовый период временнбй
шкалы (например, год) совпадает с периодом ренты. Более того, для
простоты выберем начало ренты tQ равным началу временной шкалы,
т.е. считаем t0 — 0. Тогда в выбранной шкале критические моменты
ренты будут иметь вид

Такие ренты назовем стандартными.

Срочные ренты. Рассмотрим сначала обыкновенную срочную ренту
с единичными выплатами, т.е. для которой

С,= 1, 2, ...,п.

Данную ренту обозначим Ап (рис. 1-2.1).

Пусть i — процентная ставка
за период ренты’.

1 1 ... 1 1

_i----1------1------------1----1_

0 1 2 . . . п-1 п

Рис. 12.1

т.е. i — нормированная процент-
ная ставка; при этом период на-
числения ставки, являющийся базовым (единичным) периодом вре-
менной шкалы, совпадает с периодом ренты.

Замечание. В отечественной литературе ренты, у которых период начисления
совпадает с периодом ренты, называют простыми. Мы, однако, рассматриваем ренты
как потоки платежей безотносительно к процентным или учетным ставкам. Поэтому
«простота», с нашей точки зрения, есть не свойство ренты, а свойство финансовой
схемы (модели), в рамках которой ведется изучение рент.

Простую, в вышеуказанном смысле, ренту всегда можно сделать стандартной,
выбрав в качестве единичного периода шкалы период самой ренты. В этом случае ставка
начисления автоматически становится нормированной. В дальнейшем так и будем
поступать, так что в нашем изложении термины «стандартная» и «простая» ренты будут,
по существу, синонимами.

Наряду с процентной ставкой / при анализе рент мы будем исполь-
зовать также эквивалентную ей учетную ставку

Обе ставки однозначно задают нормированные коэффициенты роста

, . 1

о = 1 + / =-

\~d

и дисконтирования
1

1 + 7

v -

= l-d.

Будущая стоимость ренты. Будущая (накопленная, итоговая) сто-
имость такой единичной стандартной ренты в момент п обозначается
согласно определению будущей стоимости потока, она равна
сумме будущих стоимостей всех платежей ренты:

= TK (А„) = 1 -(1 +1(1 +/Г +... +1

Эта сумма есть сумма п членов геометрической прогрессии со
знаменателем

£7=1 + /

и начальным членом, равным 1. Поэтому при / * О

т.е.

ап-1

Если i = 0, то, очевидно,

Если величина платежа за период равна С, то очевидно, что будущая
стоимость такой ренты С Art составляет

" \ я/ п1.

т.е. в С раз больше, чем стоимость единичной ренты. Поэтому величину
называют также (стандартным, нормированным) множителем нара-
щения (роста) обыкновенной немедленной ренты.

Рассмотрим теперь единичную

авансированную ренту. Обозначим 1 1 1 ... 1

ее Ап; соответствующая схема пла- —i---1----1 i----1—

тежей изображена на рис. 12.2. о 1 2 . . . л-1 п

Заметим, что поскольку в аван- Рис 12 2

сированной ренте все платежи

осуществляются в начале периода, то момент последнего платежа есть

т =/?—!.

Будущая стоимость такой ренты в момент п обозначается :
ИЛИ

где d — учетная ставка за период ренты.
Из этого равенства следует, что

Последнее равенство имеет простое «словесное» доказательство. Пере-
несем каждый платеж авансированной ренты на один период вперед.
Перенос означает замену каждого платежа эквивалентной относитель-
но ставки i суммой на один перирд позднее. Это означает, что

(k, 1)~(Агч-1,1 +/),

т.е. сумма 1 в момент к эквива-
лентна сумме 1 + / в момент к + I.
Поэтому единичная авансиро-
ванная рента превратится ъ обык-
новенную ренту с платежом 1 + /
за период и тем же сроком. Диаг-
рамма преобразования рент изоб-
ражена на рис. 12.3.

Если СА~Ап — исходная

авансированная; СА' = (1 + i)An — преобразованная эквивалентная ей
обыкновенная рента, то согласно свойствам эквивалентности потоков,
доказанных в предыдущей главе, получим

FVn (С4) = FVn(CA')

или, что то же самое

Если периодический платеж по ренте равен С, то будущее (нара-
щенное) значение такой ренты СА„:

Величина называется также множителем наращения авансиро-
ванной немедленной ренты.

П р и м е р 12.1. Пусть инвестор ежегодно вносит в банк на пополняемый счет .#300.
Банк платит 10 % годовых. Какова будет сумма вклада через 5 лет, если инвестор вносит
очередной вклад: а) в конце и б) в начале каждого года?
Решение,

а) Взносы образуют обыкновенную ренту СА, и, следовательно,

S5 = /К5(СА) = 300 -- = 1831,53р).

б) Взносы составляют авансированную ренту СА', и накопленная сумма вклада будет
в 1 + i раз больше, т.е.

£ = FV. (СЛ')=(1 + /) ЛК (С4) = 1,1-1831,53 = 2014,6 8(>?).

Здесь и в других примерах этой главы результаты производимых расчетов для
денежных сумм округляются до сотых долей и используется знак точного равенства.

Пример 12.2. Если инвестор из предыдущего примера желает накопить с помо-
щью ежегодных платежей за 5 лез' сумму Л 10000, то какой взнос он должен делать:
а) в конце и б) в начале каждого года?

Реше н и е. Пусть величина ежегодного взноса составляет С.

Тогда в случае:

^JOOOO.QJ

Ч, (О) ’-1 ’

б) R' = -А- = 1489,!0(.#).

Текущая стоимость ренты. Перейдем к текущим стоимостям стан-
дартных рент. Будем относить их к начальному моменту t — 0.

Текущая стоимость единичной обыкновенной ренты обозначается
йд. и согласно определению равна сумме текущих стоимостей отдель-
ных платежей ренты. Таким образом,

Эта сумма есть сумма л членов геометрической прогрессии со знаме-

нателем о--—
1 +i

и начальным членом 1/(1 + /). Следовательно, при / #0

или

1-V 1 + /1-1/(1-н)

а vn\/i.

л1/ \ //

(12.1)

Если / = 0, то, очевидно, а^,=п- Ясно также, что для ренты
с платежами, равными С, имеем
Текущая стоимость авансированной ренты обозначается

откуда получаем (при i * 0)

<7-! . ~
ли

(12.2)

где, как и раньше, d — нормированная учетная ставка, соответствую-
щая процентной ставке L

Таким образом, как и в случае накопленных значений, текущие
значения обоих типов рент связаны соотношением

Это равенство можно доказать и на основании принципа эквива-
лентной замены аналогично тому, как это было сделано для накоплен-
ного значения.

Величины и называют (стандартными, нормированными)
дисконтирующими множителями соответственно обыкновенной и аван-
сированной рент.

Финансовый смысл текущей стоимости ренты вполне очевиден.
Это та сумма, которая должна быть инвестирована по ставке Z, чтобы
обеспечить выплату всех платежей ренты. Таким образом, если эта
сумма вносится на накопительный счет с переменным капиталом
(в схеме сложных процентов), то, трактуя периодические выплаты по
ренте как снятия соответствующих сумм со счета, получим, что сальдо
счета после последней выплаты становится равным нулю. Таким обра-
зом, текущая стоимость ренты — минимально необходимая сумма для
обеспечения всех выплат по ренте.

Пример 12.3. Пенсионный фонд предлагает участникам пенсионную ренту,
предоставляющую регулярные выплаты фиксированной суммы в конце каждого
месяца, начиная с месяца подписания контракта на покупку ренты. Месячная ставка
накопления фонда 5%. Какой единовременный взнос должен сделать участник фонда
в начале месяца подписания контракта, чтобы получать ежемесячную пенсию в Л100
в течение 5 лет?

Решение. Рассматривается пенсионная обыкновенная рента с периодом в один
месяц, постоянным платежом J?100 в месяц и сроком 5 лет, или 60 мес. Следовательно,
стоимость такой ренты есть

100оп = = 1892,93(:Э?).

"I' 0,05 к ’
Таким образом, участник должен внести Ж 1892,93. Заметим, что если бы фонд не
имел возможности инвестировать, т.е. выполнял бы функции лишь простого хранения
без инвестиционного роста, то, очевидно, что минимальная сумма, необходимая для
обеспечения пенсионных выплат в этом случае, была бы равна

100-60 = 6000 (;#).

Это соответствует текущему значению при / = 0.

Сравнивая формулы накопленных

„Я 1 „п 1

а —1 a -I . .

5-1=-----; 5п.=------; = I + /

и текущих

1-ул .. 1-и" 1

cz-i. — , , d —

"ь / ’ d 1 + /

стоимостей единичных обыкновенной и авансированной рент, легко
заметить сходство в их структуре. В каждом случае числители соответ-
ствующих выражений стоимости рент совпадают, тогда как знаменате-
ли различаются. Причем для обыкновенной ренты (платежи в конце
периода) знаменатель равен процентной, а для авансированной (пла-
тежи в начале периода) — учетной ставке.

Выше мы двояко обосновали связь между характеристиками обык-
новенных и авансированных рент:

с одной стороны, аналитически исходя непосредственно из определе-
ния, с другой — с помощью эквивалентного преобразования одного
типа ренты в другой. Имеется еще один способ, в некотором смысле
более общий, с помощью которого можно получить другие важные
свойства рент. Этот способ состоит в сдвиге точки приведения. В самом
деле, рассмотрим обыкновенную единичную ренту Ал сроком л. Ее
текущая стоимость вычисляется относительно момента t — 0,
Т.е. аЯ<=РР»(АД

Если сдвинуть точку приведения вперед на один период, т.е. к
моменту t = 1, то текущее значение этой ренты относительно этого
момента совпадет с текущим значением авансированной ренты с нача-
лом в t = 1. Таким образом,
В силу леммы о сдвиге точки приведения (см. гл. 11) имеем
^(A,) = +X(A„) = t-%,,
где v — дисконтный множитель. Отсюда следует, что
^(А„) = (1+'К
или

+,=(1+/kir

Точно так же, перемещая точку приведения с момента Г — л в опреде-
лении будущей стоимости ренты А; к моменту t = п + 1, получим
аналогичные равенства:

++ ^.(АЛ

Ъ = ^+,(А„).

откуда снова, согласно лемме о сдвиге,

5-1. = (1+7)5-, .
wk \ / wk

Мы воспользовались леммой о сдвиге точки приведения. Но точно
так же можно было воспользоваться леммой о сдвиге потоков. В самом
деле, стандартная с началом в t = 0 единичная обыкновенная рента Аи
является сдвигом на один шаг вперед стандартной авансированной
ренты А„: .

= (Ал),

где — оператор сдвига потока на один период вперед. Отсюда для
любого момента приведения т

ргг(а,)=у/>к(а,).

Полагая т= 0, получим

а для т = п

1 ..

5~], — 5-],.

п\1 1 -|7 ” *

Пример 12.4. Какую сумму накопил бы участник пенсионного фонда из предыду-
щего примера, если бы полагающиеся пенсионные выплаты он оставлял бы в фонде?

Реше н и е. Эта сумма равна, с одной стороны, накопленной стоимости пенсион-
ной ренты, т.е. lOO.v^ . С другой стороны, поскольку выплат пенсий не осуществля-
лось, то эта сумма равна накопленной стоимости начального взноса, т.е.

ЮО5-, =(1006/-, )(1 + 0,05)“ = 1892.93(1,05)“ = 35358,37 (./?).

’ Al i| [у CT.JL ।, (н J а / X / \ 7
Замечание. Выше накопленную стоимость стандартной (простой) единичной
обыкновенной ренты мы обозначили а стандартной (простой) авансированной
ренты Соответственно для текущих стоимостей этих рент использовались обозна-
чения Это так называемые актуарные обозначения стоимостей рент, использу-

емые преимущественно в актуарной математике. Актуарная математика представляет
собой раздел финансовой математики, связанный с различными расчетами в страхова-
нии. К ним относятся так называемые тарифные расчеты или расчеты премий (взносов)
по страховым и пенсионным контрактам. Математика рент (аннуитетов) является
основой таких расчетов.

В чисто финансовой литературе для стоимостей рент используются более громозд-
кие обозначения — идентификаторы, образованные начальными буквами полных
названий этих стоимостей. Так, множитель роста обыкновенной единичной ренты
обозначается FVlFA(n-n (сокращение от future value interest factor for annuity). Аналогично
дисконтный множитель единичной обыкновенной ренты обозначается какРЙ/ГЛ*"1’

(сокращение от present value interest factor for annuity). Мы в дальнейшем будем исполь-
зовать преимущественно актуарные обозначения.

Техника эквивалентных преобразований в теории рент. Применение
алгебры финансовых потоков, т.е. правил преобразования и эквива-
лентности потоков платежей, позволило вывести соотношения между
будущими и текущими'Стоимостями обыкновенных и авансированных
рент. Формулы для приведенных стоимостей рент были получены
исходя непосредственно из определения.

Покажем, что, используя более тонким образом алгебру потоков,
можно легко вывести и сами формулы для стоимостей рент.

Приводимая ниже техника позволяет легко доказывать многочис-
ленные часто весьма нетривиальные соотношения между характерис-
тиками различных рент. Кроме того, она часто проясняет лежащий
в основе этих соотношений финансово-экономический смысл. Так,
докажем заново формулу

РИ0(А„)=*^.

Для этого рассмотрим финансовое событие (0, 1), представляющее
единичный платеж в момент t= 0. Это финансовое событие эквивален-
тно относительно ставки / событию (1, 1 + i).

Применим правило преобразования

:(Л,!)—>(£ +1, 1+Z).

Событие (1, 1 + z) представим каксулшу основной и процентной частей:

(1, 1+ /) = (1, 1) + (1, /).

Применяя теперь упомянутое правило як при к — 1 к основной части
(1, 1), получим
(!,!)-> (2,1+0.

Событие (2,1 + /) снова представим в виде суммы основной и процент-

ной частей:

(2, 1 + Z) - (2, 1) + (2, /).

Тем самым исходное событие (0, 1) преобразуем в эквивалентный
поток

{(1,/), (2,/), (2, 1)}.
Применяя многократно правило

^.(k, lW(fc+1,1+0

и выделяя в преобразованном событии основную и процентную части:

(£+ 1, 1 + /)-(£+!, !) + (£+ 1,0,

за п шагов преобразуем исходный единичный платеж (0, 1) в поток,
изображенный на рис. 12.4.

i i i ... j 1 +/

1------------------------------1-----------------------------1------------------------------1-------------------------------]------------------------------1.

0 1 2 • • • /7—1 n

Рис. 12.4

Этот поток есть сумма обык-
новенной л-срочной ренты с
платежами, равными /, и еди-
ничным платежом в момент t= п.
Иными словами, получили эк-
вивалентность вида

{(0,1)}Ч+{(«.!)}•

(12.3)

Содержательный смысл этой эквивалентности весьма прост. Вло-
жив в банк единичную сумму на срок п лет, можно получать ежегодно
(в конце года) проценты величины /ив конце л-го года получить
обратно вложенный единичный капитал. Формула (12.3) есть матема-
тическое выражение этого утверждения.

Рассмотрим теперь приведенные к моменту t = п значения потоков
из эквивалентности (12.3). Для левой части

/Ул({(0,1)}) = 1(1+/)" =(1+/)",
для правой

ЛС (/А„) = IFV (А ) = /Уп.

^({(». !)}) = !
Приравнивая полученные значения, получим

или

i i

Аналогично, вычисляя приведенные к t = 0 значения потоков из
эквивалентности (12.3), получим равенство

1 = 41,+а". (12-5)

поскольку

РГ0({(0,1)}) = 1, /V0({(«,l)}) = l.a"=o"

/V0(/A,)=/7%(A,)=4,..

Из равенства (12.5) сЛЪдует, что

1-v"

«I/ z

Метод эквивалентных преобразований чрезвычайно полезен. С его
помощью можно получать и доказывать важные и интересные свой-
ства рент. Так, легко доказать следующие свойства:

<12.6)

^Л/=1+(1 + ')^/ = 1+%|/1 <12.7)

^Я( = 1+(1+') +5Л,; <12.8)

(12.9)

Й^|( = 1+ОЙЛ; (12.10)

1 . 1

Заметим, что речь идет не об аналитических прямых доказательствах
этих равенств, получаемых подстановкой в (12.6) - (12.11) выражений
для и т.д. и последующей проверкой совпадения левой и правой
частей. Каждому из этих равенств соответствует некоторая эквивалент-
ность между специально выбранными потоками платежей (рентами).

Так, равенство (12.6) — частный случай правила переноса точки
приведения

PV^T{CF) = vT PVX{CF\ (12.12)

доказанного в предыдущей главе. В самом деле, положив

CF- А ; т = 0; Т—п,
согласно (12.12), получим

^(А,) = у-РГ0(А„)
или

что дает (12.6), поскольку
и “" = (1 + /)".

Выпишем теперь эквивалентности, на основе которых легко дока-
зываются соотношения (12.7) — (12.10).

Равенства (12.7) получаются из разложения

А„, = А„ + {(и +1,1)} = А<'> + {(« +1,1)}, (12.13)

где — л-срочная авансированная рента с началом в t= 1, приведени-
ем его членов к точке Г = п + 1.

Равенство (12.8) получается с помощью приведения кГ = п разложения

А„,, ={(1,1)} + Al‘>, (12.14)

где А^ — /2-срочная обыкновенная рента с началом в Z — 1. Равенства
(12.9), (12.10) получаются приведением (12.13) и (12.14) к/ = 0.

Наконец, последнее равенство (12.11) можно получить из пары
эквивалентностей: уже упоминавшейся эквивалентности (12.3)

{(0,1)}-/А „+{(«,!)}
и эквивалентности

{(0,1)}~хА„,
где х = \]а^г Эти эквивалентности дают по свойству транзитивности
эквивалентность

xA„~iA„+{(n,l)}.
Находя приведенные к t ~ п .значения этих потоков, получим
Х5-).=/5-| 4-1,
а деление на обеих частей дает
. 1

Х = 1 4-.

Л1/

Поскольку * = , то получаем требуемое равенство

1 .1
— = /+—.
й-i. 5-1.

Л1/ пи

Это равенство можно получить также, если разделить тождество
(12.4) на что дает

0+0" • 1

---'— = 1 +—.

5П 5-1

л!i л!i

Левая часть этого равенства, согласно (12.6), есть 1/^., что снова дает
требуемое соотношение.

На этом закончим обзор срочных и перейдем к анализу бессрочных
рент.

Бессрочные ренты. Бессрочная обыкновенная стандартная единичная
рента, которую мы будем обозначать через Ате, имеет моменты выплат
вида

tk = k, k е N

и постоянные платежи

С=1-

Понятно, что о накопленной (будущей) стоимости такой ренты
говорить нельзя. Однако вполне корректен вопрос о ее текущей сто-
имости

^ = ^о(А.,0

относительно нормированной ставки i.

Проще всего найти эту величину предельным переходом в форму-
ле (12.1):

,. 1-V” 1

а } > - lim-= -,

"" п 1 п~/ /

поскольку

limy" = О,

так как при / > О
Итак,

(12.15)

Символ ставки иногда опускают и пишут просто

Если величина платежа бессрочной обыкновенной стандартной
ренты равна С, то, очевидно, что текущая стоимость такой ренты

РК„(СА_) = С/’К(|(А_) = у, (12.16)

т. е. в С раз больше.

Пример 12.5. Какую сумму должен внести вкладчик в банк, чтобы получать
пожизненно ежегодно (в конце каждого года) 32500 при ставке банка 20% годовых?

Решение. Поскольку речь идет о пожизненной ренте, то ее удобно считать
практически бессрочной рентой. Тогда, согласно (12.15), величина взноса будет равна
текущей стоимости ренты:

S«=^ = 25OO(.*).

Заметим, что если оставшееся время жизни вкладчика принять, например, 20 годам,
то реальная полученная им 20-летняя рента будет иметь текущую стоимость

.. 500Ни)'“

V500 0_2 ,

которая отличается от модельной стоимости на величину

-^.'=^(>.2)= 25ОО(‘,2)-х = 65р).

Таким образом, относительная погрешность замены 5' на 50:

~—— = (1,2) 10 = 0,026, т.е. примерно 2,6%.

В общем случае замена л-срочной ренты на бессрочную дает отно-
сительную погрешность

т. е. величину порядка v".

Столь же прост и анализ бессрочной авансированной стандартной
ренты. Обозначим А„ бессрочную авансированную единичную стан-
дартную ренту. Тогда ее текущая стоимость

^ = Pr0(A_)=PK0(A_,/)
на основании формулы (12.2)

(1+/)(1-ил) i + {- j

а^ =limdk = lim---------------=—. (12.17)

"I' "Ь Л^оо / I d

Для авансированной бессрочной ренты с платежами, равными С,
получим соответственно

PK0(CA_) = CPK(A.) = cl±i.

Здесь наблюдается подмеченная выше закономерность:

Ъ=(1+/)аа,-

Мы получили это соотношение непосредственно из сравнения
формул (12.15) и (12.17). Но для его вывода можно было использовать
уже упоминавшиеся правила преобразования и эквивалентности пото-
ков платежей. Так, ^перенос точки приведения на шаг вперед для
единичной обыкновенной ренты дает текущее значение уже авансиро-
ванной ренты: . .

РИ(А ) = РК АМ ,
и поскольку

P^(AJ = (1+OPK„(A_),
получаем требуемое соотношение.

Заметим, что указанные правила позволяют легко получить форму-
лы текущей стоимости ренты без предельного перехода. В самом деле,
бессрочную обыкновенную единичную ренту с началом в t = 0 можно
представить в виде

А. ={(1,1)}+а!?,

где А(— единичная обыкновенная бессрочная рента с началом в t = 1.
Напомним, что элемент (1,1) в фигурных скобках есть событие, озна-
чающее, что первый платеж С — 1 исходной ренты осуществлен в мо-
мент t = 1. Тогда, вычисляя приведенные стоимости обеих частей
данного равенства относительно точки t = 1, получим
рц(а!?)=1+^(а2’1

и поскольку, с одной стороны,

а с другой —
PK(Aw)=a-,

то получим уравнение для

(>+'')fl3,=l+a=li.

решая которое, найдем

Процентные и учетные ставки в выражениях стоимости рент. Хотя
выше мы и приводили формулы для стоимостей рент, выраженные
с помощью учетной ставки, в основном все же работали с процентной
ставкой. Однако формулы для стоимостей авансированных рент полу-
чаются более простыми, если использовать именно учетную, а не
процентную ставку

Рассмотрим вопрос более подробно. Выразим сначала все основные
формулы для рент в терминах учетной ставки. Напомним, что процен-
тная и учетная ставки за единичный период связаны соотношением

(1 +/)(!-</)=!.

Поскольку

d
‘~l-d’

то, подставляя это выражение для / в i
получим

формулы для стоимостей рент,

.. а"-\

nil

Л-i. —

"ь d

|-о"

Л”! , -

nil J

_\-d .. _]
a^~~d

Пример! 2.6. Пусть£/— нормированная учетная ставка, равная 20% годовых. Найти:
а) накопленную и текущую стоимости пятилетней авансированной ренты с годовы-
ми платежами по .#200;

б) текущую стоимость бессрочной авансированной ренты с платежами по ,#500 ежегодно.
Решение.

а) Поскольку в этом случае п = 5, d = 0,2, С - .#200, то

11 = 1-0,2 = 0,8, а = - = —= 1,25

v 0,8
и, следовательно, накопленная стоимость ренты

С^-=-’ =200^^-^ = 2051,273(Л’),
d 0,2 k '

а текущая стоимость

= 200И0’8) = 672,32( Л).

d 0,2 ' '

б) Текущая стоимость вечной ренты

- = —= 2500(.#).
d 0,2 '

Сравнивая формулы стоимостей рент, выраженные через процент-
ную и учетную ставки соответственно, можно сделать вывод, что если
в формулах стоимостей, выраженных через процентную ставку, проще
выглядели формулы для обыкновенных рент, то для формул, выражен-
ных через учетную ставку, проще выглядят формулы для авансирован-
ных рент. 4

Как объяснялось в гл. 2, учетная ставка связана с авансированием
процентов, т.е. их отнесением на начало периода начисления, тогда как
процентная ставка связана с финализацией процентов, т.е. отнесением
их наконец периода. Именно поэтому для обыкновенных рсш, в которых
рентные платежи относятся на концы рентных периодов, более есте-
ственно использование процентной ставки, тогда как для авансирован-
ных рент с платежами в начале рентных периодов более естественно
использование учетной ставки.

Стандартные ренты с произвольными ставками. Выше, в анализе
стандартных рент, т.е. рент с единичными (в заданной временной
шкале) периодами между платежами, при выводе формул для стоимос-
тей рент использовались нормированные ставки за период ренты и соот-
ветствующие им коэффициенты роста и дисконтирования. Таким об-
разом, периоды ставок (процентной или учетной) также являлись
единичными и, следовательно, совпадали с периодом самих рент. (Как
уже говорилось, ренты с таким свойством принято называть просты-
ми.) Укажем теперь, как можно получить выражения для стоимостей
рент в случае задания произвольной ставки, т.е. ставки с любым
периодом начисления или кратностью.

Принцип вывода формул для стоимостей рент прост. Необходимо
сначала выразить через заданную ставку эквивалентную ей нормиро-
ванную эффективную ставку, а затем подставить в соответствующую
формулу стоимости стандартной ренты вместо нормированной ставки
полученное выражение для эффективной ставки. Мы не будем выпи-
сывать всевозможные формулы, которые могут быть получены таким
образом, их много, а самое главное, в этом нет никакой необходимости,
если ясен принцип (алгоритм) их получения. Проиллюстрируем его в
некоторых наиболее типичных случаях.

Пусть ih — ставка начисления с периодом h. Тогда соответствующая
эффективная нормированная ставка

/1 • \4h 1

'=(!+'*) “I-

Подставляя это выражение, например, в формулу для получим

Замечание. В полученной формуле есть некоторая несогласованность обозначе-
ний. Так, будущая стоимость ренты обозначена но в ее выражении справа параметра
I нет, а есть другие параметры — h и /. Конечно, можно было бы, как это делается
в некоторых книгах, вместо писать С теоретической точки зрения это можно
было бы считать корректным обозначением, поскольку и срок п, и период А, и ставка /А
заданы в выбраннбй временной шкале, в которой представлена рента. Напомним, что
речь идет о стандартных рентах, в которых период ренты совпадает с единичным
периодом временной шкалы. Однако такая корректная символьная запись становится
двусмысленной при подстановке конкретных числовых значений. В самом деле, что
обозначает для годовой шкалы запись ^и1: стоимость 10-летней единичной ренты для
эффективной годовой ставки 10% или же стоимость 10-летней единичной ренты для
месячной ставки начисления 10%. Наконец, в самом обозначении нет упоминания
о конкретной шкале (годовая, месячная и т.д.), так что эту же запись можно было бы
использовать и для 10-месячной единичной ренты и месячной ставки 10%.

Для разрешения этой коллизии можно было бы вводить дополнительные метки
в обозначение ренты. Однако это привело бы к излишнему усложнению записи. Поэто-
му ниже полное обозначение стоимости ренты, т.е. одновременное указание и срока,
и ставки, будем использовать только для простых рент, когда период ренты и период
начисления ставки совпадают.

В общем же случае, чтобы не загромождать запись дополнительными индексами
и метками, будем использовать сокращенное обозначение для стоимости, указывая
только срок для выбранной шкалы, в которой представлена рента, т.е. будем писать

и т.п., подразумевая остальные параметры. При этом из конкретного вида
выражения будет очевиден смысл и способ привязки к выбранной шкале этих парамет-
ров. В частности, из этого соглашения следует, что полную запись мы уже должны
трактовать не так, как было сказано раньше, т.е. не как стоимость ренты сроком п (в
заданной шкале) со ставкой начисления ih с периодом начисления /?, заданным в этой
шкале, а как стоимость простой ренты, в которой срок п указан в периодах начисления h.

Пример 12.7. Рассмотрим 5-летнюю обыкновенную ренту с годовыми платежами
по #300. Найти накопленную и текущую стоимости этой ренты для квартальной ставки 10%.
Решение. В годовой шкале, согласно условиям примера, имеем
п = 5; А=-; L =0,1; С = ^300.

4 А ’

Для вычисления накопленной стоимости 5^ можно применить приведенную выше
формулу. Однако проще сразу найти соответствующую годовую эффективную ставку
и работать непосредственно с ней. Очевидно, что

/ = (1 + 0,1)4 - 1 = (1,1>4 — 1 =0,4641,

и, следовательно, накопленная стоимость

ЗОоГ(1,4641)5-11 3005- 4 = 3702,33(.Ж 0,4641 1 ’
а текущая стоимость 300Г1 -(1,4641) 5 300tL = LJ = 550, 33(j?). 0,4641 k ’

Если задана номинальная ставка 1{,п} с кратностью начисления т, то
поскольку соответствующая эффективная ставка

V т У

то, например, формула для а-^ преобразуется следующим образом:

Пример 12.8. Пусть для ренты из предыдущего примера задана ставка /(2> = 40%
годовых, начисляемых по полугодиям. Найти будущую (накопленную) и текущую
стоимости ренты.

Решение. Поскольку ((2) = 0,4, то соответствующая годовая эффективная ставка
( 0,4?

/= 1 + -^ -1=1,44 = 0,44.

I 2 )

Следовательно, накопленная стоимость ренты

300[(l,44)S-ll

300^ =-----L---------J = 3539,82 (3?),

а текущая стоимость

300^! =

300 1 — (1,44)
Д44

= 571,7O(^j.

Для непрерывно начисляемой (бесконечнократной) ставки /(во) = j

соответствующая эффективная ставка равна
z = еу— 1

Следовательно, формула текущей стоимости, например, для еди-
ничной вечной ренты будет иметь вид

1
q е'-1

Напомним, что непрерывно начисляемая ставка j совпадает с интен-
сивностью процентного роста (силой процентов) д, о которой говори-
лось в гл. 9.

П р и м е р 12.9. Найти текущую стоимость обыкновенной вечной ренты с ежегодны-
ми платежами по Л’200 при непрерывно начисляемой годовой ставкеj = 20%.

Решение. Соответствующая эффективная годовая ставка

/ = е-'- 1 = е"-2 — 1 “0,2214,
и, следовательно, текущая стоимость ренты

200п- =-22SL = 903,33 (Л).

3 0,2214

Точно так же поступаем и в случае задания учетной, а не процент-
ной ставки. Так, для /м-кратно учитываемой ставки d{m} имеем

\ т 7

и, следовательно, формула для текущей стоимости авансированной
ренты будет иметь вид

Пример 12.10. Рассмотрим 5-летнюю ренту с ежегодными платежами по //’300
в начале каждого года. Найти накопленную и текущую стоимости ренты, если задана
учетная ставка d- ~ 40% годовых, учитываемая дважды в году.

Решение. Соответствующая эффективная годовая ставка

</ = 1- 1-

= 1 -(0,8)2 =0,36.

Следовательно, накопленная стоимость ренты

300v

= 6927,69(/>i’),

а текущая стоимость
1-(0,84) , ч

300—' ’ = 743,85 .%).

0,36 ' }

Если 5— номинальная непрерывно учитываемая учетная ставка, то

<7=1- е-6

и, в частности, формула для текущей стоимости вечной авансирован-
ной ренты будет иметь вид

' Пример 12.11. Найти текущую стоимость бессрочной авансированной ренты,
выплачивающей по .-#200 ежегодно при непрерывно учитываемой номинальной ставке
8 = 20% годовых.

Решение. Эффективная годовая учетная ставка

</ = 1 „е-й= 1 — е~0-2 - 0,1813,

и, следовательно, текущая стоимость составит

4 -^- = 11ОЗ,ЗЗр|’).

0,1813 v '

Вернемся (в силу важности вопроса) к замечанию, сделанному по
поводу обозначений стоимости рент. Мы подчеркнули, что полные
обозначения стоимости рент (с одновременным указанием срока
и ставки) будем использовать только для простых рент. Под ними, как
уже говорили, в большинстве руководств по финансовой математике
понимают ренты, в которых периоды ренты и начисления совпадают и,
как правило, являются единичными, т.е. совпадающими с базовым
периодом временной шкалы. Второе условие менее существенно, тогда
как первое безусловно упрощает получение формул для стоимостей рент.

Так, выбрав период ренты в качестве единичного, мы сразу превра-
щаем такую ренту в стандартную и, кроме того, соответствующая
ставка становится нормированной. В этом случае можно применять
все формулы для стандартных рент, полученные в данном параграфе.

Строго говоря, для непосредственного использования формул стоимо-
стей стандартных рент выбор периода ренты в качестве единичного не
обязателен. Однако в этом случае следует отчетливо понимать, какой
смысл вкладывается в обозначения параметров ренты. Для стандартной
ренты срок п является числом единичных периодов, например число
лет для годовой шкалы, а/ — соответствующая нормированная, напри-
мер годовая ставка. Таким образом, эти параметры согласованы.

Если период ренты совпадает с периодом начисления h заданной
процентной ставки i то срок ренты п должен выражать целое число ее
периодов. Во временнбй шкале срок ренты будет, естественно, равен nh.
Так, для квартальной ренты сроком п — 20 кварталам срок в годовой
шкале составит 5 лет, поскольку h = 1/4 года. В этом случае также
можно считать эти параметры согласованными и пользоваться формула-
ми для стандартных рент и писать

где ah ~ 1 + ih и vh — \Jah — коэффициенты роста и дисконтирования для
периода h.

Подчеркнем отличие последних формул от аналогичных формул
для стандартных рент с заданной ненормированной ставкой ih. Так, мы
получили для накопленной стоимости формулу

й1 (1+4Г-Г

Различие состоит прежде всего в том, что в обозначениях пара-
метры п и ih согласованы, поскольку п — срок ренты в ее периодах,
равных Л; ставка ih имеет также период h. В последней формуле для
срок п задан в единицах временнбй шкалы, а ставка ih относится к пе-
риоду начисления h Ф 1. Таким образом, п и ih в этом случае не согласо-
ваны. Именно поэтому мы не стали указывать ставку ih в выражении

, так как запись без пояснений двусмысленна, хотя ею можно пользо-
ваться, если четко указан смысл употребляемых параметров.

С другой стороны, для стандартных рент вполне корректны обо-
значения 5/'-, или поскольку Z(m) и j(j — — номинальные

нормированные ставки. Они относятся к единичному промежутку вре-
меннбй шкалы. Проиллюстрируем сказанное примером.

Пример 12.12. Рассмотрим 5-летнюю обыкновенную ренту с ежемесячными
платежами по .?? 100. Пусть задана месячная ставка, равная 10%. Найти накопленную
стоимость ренты. Чему будет равна стоимость ренты, если вместо месячных платежей
в конце года выплачивается годовая сумма всех ежемесячных выплат при той же ставке?

Решение. В первом случае, считая базовым периодом месяц, для месячной шкалы
получим
/? = 512 = 60; /=Л=0,1; С= :4?100.

Следовательно, накопленная стоимость ренты

100 s-, = 100+ 0’^ ~1 = 303481,16(М

Во втором случае имеем обыкновенную стандартную относительно годовой шкалы
5-летнюю ренту (и = 5) с ежегодными платежами

С = 12-100= 1200 (J?)

и месячной ставкой ih = 0,1, h = £. Соответствующая эффективная годовая ставка

= (1 +0,1)12—1 =2,1384

и, следовательно, накопленная стоимость

(1+/Л5-1

1200^ И =170303,95(^?)

Как видно из примера, в случае согласованности, т.е. совпадения
периодов ренты и ставки начисления, можно непосредственно пользо-
ваться формулами для стандартных рент (считая единичным периодом
временной шкалы период ренты), в случае же их несогласованности
необходима предварительная процедура их согласования. Одна из них,
изложенная в этом параграфе, состоит в приведении ставки к периоду
ренты, т.е. нахождении эквивалентной для исходной ставки с перио-
дом начисления, совпадающим с периодом ренты. Для стандартных
рент с нормированным рентным периодом эта процедура заключается
в нахождении эффективной ставки, соответствующей исходной ставке.

Наше изучение стандартных рент закончим анализом отложенных
(отсроченных) рент.

Отложенные ренты. Отложенная рента отличается от немедленной
тем, что первый платеж относится к более позднему, чем первый,
периоду времени. Будем считать, что отложенная рента имеет т + п
периодов, причем платежи осуществляются в п последних периодах.
Таким образом, поток платежей второго рода, представляющий отло-
женную ренту, имеет вид, изображенный на рис. 12.5.

Заметим, что началом отложенной ренты считается момент /0, а не
являющийся началом периода, к которому относится первый

С С С

0 1 2 -т т+1 т+2 - т+п-1 т+п
платеж ренты. Как и в случае немедленных рент, в обыкновенной
(постнумерандо) отложенной ренте платежи приходятся на концы,
а для авансированной (пренумерандо) — на начала платежных перио-
дов. Полный срок отложенной ренты равен п периодов или (w + ri)h
— в выбранной шкале. Продолжительность платежного срока равна п
периодов или nh по временной шкале.

Таким образом, отложенная обыкновенная рента характеризуется
следующими параметрами:

tQ — начало ренты;

h — период ренты;

т0 — tm_x ~ /0 + (т -1)Л — начало первого платежного периода;

= Го + mh — момент первого платежа;

tn = т0 + nh — ro + (т + ri)h — момент последнего платежа и конец
ренты;

п — число платежей ренты;

С = СА — величина платежа за период ренты.

Аналогичным образом авансированная (пренумерандо) отложен-
ная рента имеет следующие параметры:

/0 — начало ренты;

h — период ренты;

т0 = + (tn — 1)Л — начало первого платежного периода и момент
первого платежа;

Z == т0 + (т + п — 1 )Л — дата последнего платежа;

С — величина платежа за период ренты;

п — число платежей ренты.

Для простоты ниже рассмотрим лишь такие стандартные (h = 1) рен-
ты, начало которых совпадает с началом временнбй шкалы, т.е. tQ = 0.

Обозначим единичную (С = 1) отложенную на tn периодов обыкно-
венную ренту с л платежами через т|А„ (рис. 12.6 а), а единичную
отложенную на tn периодов авансированную с л платежами ренту через
т|А„ (рис. 12.6 6).

Пусть по-прежнему Ап — стандартная немедленная обыкновенная;
Ая — авансированная ренты. Тогда очевидны следующие соотноше-
ния:

111 111

—1 —।—;—ч------f——;—ч——।— —I------ь—;——I---ь——н----1—

О 1 т m+1 m+n-1 т+п 0 1m m+1 m+n-1 т+п

а б
т | Ая ( Ап ) ’

| А_ = L (А„),
w I п т l и ! *
где Lm ~ оператор сдвига на т шагов (в данном случае периодов ренты).
Если Z — ставка за (единичный) период, то из этих соотношений
следуют равенства

.Ь=ри«(4А»)=""/>^(А»)="Ч.; (12.18)

„|оЛ. = РК0(„|А„) = И"РИ„(А,) = а"йЛ, (12.19)

где „|ад, и „|йд. — текущие стоимости отложенной обыкновенной
и авансированной рент соответственно.

Если под накопленными (будущими) стоимостями отложенных
рент понимать их значения, относящиеся к концу ренты, т.е. к моменту
t , то очевидно, что 1

— (J А^.) — FVn (Aw) — 5^.,

Is = FVI |A-].)= FV' (а„) = 5^..

zn I л| i nt+n у m I n\! J л у nJ лк

Между стоимостями отложенных рент имеют место те же соотноше-
ния, что и между стоимостями немедленных рент. В частности,

Jo-I. = (1 + /) т|бГ-1..

Полученные соотношения относятся к единичным рентам, т.е. рен-
там с единичными (в некоторой денежной шкале) платежами. Если
фактические платежи составляли С денежных единиц (рублей, долла-
ров и т.д.), то стоимость такой ренты точно в С раз больше, чем
стоимость соответствующей единичной ренты. Так, для отложенной на
т периодов обыкновенной ренты с п платежами, равными С за период,
ее текущая (относительно начала) стоимость будет равна

Пример 12.13. Вкладчик заключает с банком контракт, согласно которому в обмен
на немедленный в f= 0 взнос, банк обязуется выплачивать вкладчику ежегодно в течение
10 лет :#10 ООО, начиная с 5-го года после заключения контракта. Найти величину
взноса, если ставка банка по депозитам равна 20% годовых.

Решение. В этом примере рента, выплачиваемая банком, представляет собой
отложенную авансированную ренту с параметрами т = 5, п - 10 и С = ,-Л’Ю ООО. Взнос
будет равен текущей стоимости такой ренты относительно ставки i = 20% годовых.
Следовательно, согласно формуле (12.19) получаем, что вклад

/>„ =10000 ,|ай]2 = юооо(1 +о,2)s =10000(1.2)-±М-.»2Ц»(л).
Отметим еще один способ вычисления стоимостей отложенных
рент. Он основан на представлении отложенных рент в виде разности
двух немедленных. В самом деле, для единичных рент очевидно

А -А —А

m | л J жт+п т

J А„ = Am+n — А .
/п । л т+п п

В силу линейности оператора текущей стоимости получаем, например,

РИ (J (Am+n) - PVQ (Ат)

и \ т । л у и у /л+л / и у т /

или

(12.20)
т< nl m+nt ml 7

Аналогично

|a_=ij й (12.21)

m I nl m+nl ml f

Здесь и ниже, как мы уже условились, используются сокращенные
(без указания ставки /) обозначения стоимостей рент.

Непосредственное доказательство равенств (12.20) и (12.21) также
вполне очевидно. Так, преобразуя правую часть равенства (12.20),
получим

Д—I Q—I

w+rtl т\

—------------— у ----

Последнее выражение в этой цепочке равенств совпадает с ранее
полученной формулой (12.18) для выражения текущей стоимости отло-
женной обыкновенной единичной ренты.

12.2. Нестандартные (р-кратные) ренты

Выше мы рассмотрели лишь стандартные ренты, у которых период
ренты совпадал с базовым промежутком временной шкалы, так что каж-
дому единичному временному промежутку соответствовал единствен-
ный платеж ренты. При этом в выражениях для стоимостей рент
(см. § 12.1) процентная ставка i была согласована с периодом ренты.
Эта ставка являлась фактической (эффективной) ставкой за период рен-
ты. Перейдем теперь к изучению рент, в которых период между отдель-
ными платежами может не совпадать ни с базовым промежутком вре-
меннбй шкалы, ни с периодом начисления процентов. Ренты такого
вида в учебниках по финансовой математике иногда называют общими
рентами. В этом параграфе рассмотрим лишь постоянные ренты такого
вида, т.е. нестандартные ренты с одинаковыми периодическими плате-
жами. Хотя получающиеся в этом случае формулы для стоимостей рент
имеют более громоздкий вид, схема их вывода чрезвычайно проста и сво-
дится, по существу, к эквивалентному преобразованию исходной рен-
ты к некоторой (простой) стандартной ренте.

Основное отличие нестандартных рент от стандартных заключается
в том, что период между платежами ренты может быть меньше или
больше базового периода временной шкалы. Так, за один базовый
период могут осуществлятьсяр платежей ренты (/?-кратные ренты, если
р > 1). Двойственным является случай, когда период между платежами
больше базового периода. Платежи по ренте могут осуществляться
один раз за несколько лет. С формальной точки зрения нет никакой
разницы между анализом этих случаев.

Проводимый ниже анализ будет интерпретироваться в основном
для случая кратной ректы (/?>!), но получаемые формулы будут спра-
ведливы во всех случаях.

Дополнительное различие между проведенным выше анализом стан-
дартных рент и общим случаем заключается в произвольном способе
задания процентной ставки, которая, как это принято, непосредственно
привязывается к базовому периоду временной шкалы, т.е. это нормиро-
ванная (например, годовая) номинальная либо эффективная ставка.
Естественно, период начисления, связанный с номинальной ставкой,
может быть никак не связан с периодом платежей ренты. Заметим, что,
как это принято в финансовой литературе, к единичному периоду
привязывается и величина выплат по ренте.

Итак, ^-кратная (немедленная) рента для выбранной временной
(например, годовой) шкалы задается следующими параметрами:

— A-период ренты или кратностьр (т.е. число платежей за единичный

период, например за год), причем очевидно, что/? = 1/Л;

— = Г — начало ренты;

— tn — конец ренты;

— п — срок ренты в единицах временной шкалы (например, в годах);

— С — общая сумма платежей за единичный период.

Таким образом, все параметры ренты выражаются в терминах вре-
менной шкалы. Так, если шкала — годовая, то указывается период
ренты в годах или число платежей ренты за год, срок в годах и общая
сумма выплат за год. Ниже будем считать параметры р, п целыми
числами, а начало ренты выберем нулевым: /0 = 0.
Если не учитывать микроструктуру ренты, а лишь суммарные пла-
тежи С за единичный промежуток, то поток платежей по такой ренте
представляет собой поток 2-го рода. Но поскольку за каждый единич-
ный промежуток в случае ^-кратной ренты осуществляется р платежей,
то каждый макропериод Jk имеет микроструктуру, представленную
микрорентой. Эта микрорента является обыкновенной либо авансиро-
ванной рентой с периодом 1/р, платежом С/р и сроком р. Так, микро-
структура платежей Jk за /с-й период времени для ренты имеет вид,
изображенный на рис. 12.7.

ар ар ар

---1------1-----1-----L—2--------1-------1

к-1 /с—1 + 1/р к-]+2/р к~]+(р-1)1р к

Рис. 12.7

Можно считать, чтор-кратная (р > 1) рента получается операцией р-
кратного дробления (см. § 1.2) стандартной ренты. В частности, для
единичных стандартных рент Ап и Ая соответствующие единичные р-
кратные ренты А^ и А^ имеют вид

А« =/)(₽>А„; A<',* = DWA„.

Читателю следует обратиться к § 1.2, где подробно описана операция
дробления рент и приведены соответствующие примеры.

Обыкновенную единичную микроренту за Л-й единичный времен-
ной период обозначим через Аа р Соответствующую этому периоду
авансированную единичную ренту обозначим через А* . Таким обра-
зом, полная единичнаяр-кратная рента представится суммой

А<'’)=-^(А11/>+А2,, + ...+А„) (12.22)

в случае ее интерпретации как обыкновенной ренты либо суммой

А?1 =“(Ак +А2 + ... +А )
р 7

для авансированной ренты.

Важно понимать, что в соответствии с нашим описанием единичной
р-кратной рентой является рента, у которой С= 1, т.е. единице равна полная
сумма выплат за единичный период, а не величина каждой отдельной
выплаты. В случае годовой шкалы единичная 2-кратная обыкновенная
рента предусматривает выплату единичной суммы за год, что подразумевает
выплату 1/2 денежной единицы в конце каждогополугодия.

Нарис. 12.8 а изображена/»-кратная обыкновенная, а на рис. 12.8 б —
авансированная единичные ренты.

Определив понятие (немедленной) /7-кратной ренты относительно

1/р 1/р 1/р 1/р 1/р 1/р .J/р ^Р Up Up 1/р 1/р

н----1-----ь——ч---------г; -и------н- -г--------1---н—Н----------->. й----------f-

0 1/р 2/р 1 1+1/р л—1/р п 0 Up 21р 1 1+1/р л-1/р п

а б

Рис. 12.8

выбранной временной шкалы, можно перейти к нахождению их экви-
валентных значений или накопленной и текущей стоимостей. Для того
чтобы сделать это, необходимо задать процентную ставку. Как извест-
но, ставку можно задавать тремя способами в виде:

— нормированной (эффективной) ставки i за единичный период;

— номинальной ставки i(r), начисляемой г раз за базовый период
временной шкалы;

— номинальной непрерывно начисляемой ставки (интенсивности или
силы процентов) 6.

Эти ставки связаны соотношениями

В предыдущем параграфе получены выражения для стоимостей
стандартных рент при условии, что период начисления процентов со став-
кой i совпадает с периодом ренты. Общую ренту можно всегда рассматри-
вать как стандартную, в которой единичный период временной шкалы
будет совпадать с периодом ренты. В этой новой шкале срок ренты (с пе-
риодом \/р в старой шкале) будет равен N = np,& платеж за период — С/р,
если С — платеж исходной ренты. Таким образом, все, что осталось — это
найти ставку за периодЛ = 1 /р ренты, эквивалентную исходной нормиро-
ванной ставке. Если исходная ставка была нормированная ставка /, то
эквивалентной ставкой за период ренты будет ставка

Если же задаваемой ставкой была номинальная ставка /(г) с г-кратным
начислением, то эквивалентная ставка за период h (с учетом предыду-
щего равенства) имеет вид
Наконец, для интенсивности роста 6

(А = ег‘-1 = е5/'-1.

Соответственно коэффициент роста за период h

в первом,

ah -(1+/) -(1 + /)/р

ab = e5h = q5/p

во втором и

в третьем случаях.

Выразив ставку ih за период ренты h. через исходную заданную
ставку, получим, по существу, простую ренту, период которой совпада-
ет с периодом ставки ih. Для таких рент можно непосредственно
использовать формулы стоимостей стандартных рент, если пользовать-
ся шкалой, в которой базовым является период самой ренты.

Стоимостир-кратных рент (метод преобразования ставки). Получим
теперь формулы для текущих стоимостей единичных р-кратных рент.

Так, обозначая через накопленную стоимость обыкновенной еди-
ничной р-кратной ренты, запишем следующее равенство:

~ ps^~ ps^>

(12.23)

где h=\/p — период ренты. Раскрывая правую часть этого равенства, в
случае эффективной (нормированной) ставки i получим

(12.24)

в случае номинальной ставки i(r)

П
(12.25)

а в случае непрерывно начисляемой ставки 6

(12.26)

Заметим, что во всех случаях числители формул стоимостир-кратной
ренты совпадают с числителем в формулах стоимости стандартной
ренты, поскольку

,, .V „ рп ~п

Таким образом, эти формулы отличаются от стандартных наличием
коэффициента 1/р и ставки ih в знаменателе вместо i.

Совершенно аналогичное выражение получаем для всех остальных
видов стоимостей единичной р-кратной ренты:

#’=7^; (12.27)

(12-28)

= (12.29)

При этом в каждом случае стоимости обыкновенной и авансированной
рент связаны соотношениями

(12.30)

где ih — эквивалентная ставка за период ренты (й = 1/р).

Пример 12.4. Рассмотрим 5-летнюю обыкновенную ренту, в которой платежи
осуществляются в конце каждого квартала общей суммой .У 200 за год, а проценты
начисляются 3 раза в год по ставке 15% годовых. Найти накопленную (З^) и текущую
(Л5) стоимости этой ренты.

Решение. В этом примере р = 4, h-^, С = 200, д = 5, У = рл = 4-5 = 20.
Для решения задачи найдем прежде всего эквивалентную ставку ih, коэффициент роста
а. и дисконтный множитель vA за период h ренты. Поскольку /(3) = 15% годовых,
то эквивалентная ставка за квартал найдется из соотношения

откуда

В, = (1,05)-’*; г, =(1,05)’'*-!;

/ -(3) V15

тл / Ч20 i \45 I / 1 / ,!5

=(1+/1л) =[1+tJ -0+0,05).

Подставляя эти значения в формулы (12.23) и (12.28), получим

и, следовательно,

200 200^-1 (1,О5)15—1

= 1447,43(.#);

, 200 200 1-yf 1 -(1,05 -1

А = -г^ =-;.......... v = 5Q- Л ----------= 696,24 ?/?).

4 4 /А-1 (1,05)‘-1

Отметим, что, вообще говоря, нет смысла выписывать, как это
делается во многих книгах по финансовой математике, а тем более
запоминать развернутые выражения формул типа (12.24), (12.25) для
стоимостей рент. Простейший способ избежать этого состоит в преоб-
разовании общей ренты в стандартную, выбирая в качестве базового
периода шкалы — период ренты и преобразуя заданную нормирован-
ную ставку (или заданную другим образом ставку) в эквивалентную
ставку за период ренты.

Не менее просто получаются формулы для кратных бессрочных
(вечных) рент. Текущая стоимость единичной р-кратной обыкновен-
ной бессрочной ренты выражается в виде

для нормированной ставки Z,

(12.32)

для номинальной г раз начисляемой ставки i{r} и
(,) 1 1

fla,=-^C7 (12.33)

для интенсивности (силы процентов) <5.

Для р-кратной единичной бессрочной авансированной ренты при-
ведем лишь одно выражение

1 1

(12-34>

XZ 1 С

использующее непрерывно начисляемую ставку (интенсивность) 8.

При решении задач, как и в случае срочных кратных рент, лучше не
пользоваться этими общими формулами и сначала находить приведен-
ное к периоду ренты эквивалентное значение ставки (процентной или
учетной), а затем пользоваться формулами стоимостей стандартных рент.

Пример 12.15. Найти текущую стоимость для рейт:

а) бессрочной обыкновенной с ежеквартальными выплатами по Л’100 и месячной
ставкой 5%;

б) бессрочной авансированной с ежемесячными выплатами по ,>?50 и номинальной
учетной ставкой 20%, учитываемой дважды в году.

Решение, Эквивалентная квартальная ставка

= (1 + )3 -1 = (1 + 0,5)? -1 = 0,1576

и, следовательно, стоимость ренты составит

Эквивалентная месячная учетная ставка

( r/l2} V6
=1-1-— =0,0174

1/12 I 2 )

и, следовательно, текущая стоимость ренты составит

—= 2873,56(Ж
0,0174 ’

Стоимости ^-кратных рент (метод эквивалентного преобразования
рент). Полученные выражения для кратных рент основывались на пре-
образовании (приведении) исходной ставки к ставке за период ренты.
Эта операция превращала исходную ренту в простую, к которой при-
менимы непосредственно формулы стоимостей стандартных рент. Та-
кой подход наиболее прост. Он, в частности, не изменяет потока плате-
жей ренты, а требует лишь согласования периодов ренты и заданной
ставки. Имеется еще один способ получения стоимостей р-кратных рент,
который состоит в преобразовании не ставки, а самой ренты. Исходная
рента преобразуется в «эквивалентную» ренту с периодом, равным пе-
риоду начисления заданной ставки. Проиллюстрируем этот метод.

Начнем с самого простого случая единичнойр-кратной обыкновен-
ной ренты с заданной нормированной процентной i или учетной d
ставкой. Для этой ренты справедли-

v во разложение (12.22). В нем выпла-

______(____*_______t | ты за к-й период составляют микро-
о 1/р 2/р р-1/р 1 ренту (1/р)А( ;? ср-выплатами в кон-

це каждого микропериода длины 1/р.

Рис-12 9 Диаграмма этой ренты (для к — 0)

приведена на рис. 12.9.

Для заданной нормированной - ставки / эквивалентное значение
ставки i за микропериод h = 1/р будет

а соответствующий коэффициент роста

Тогда накопленная к моменту t ~ к стоимость ренты

_ 1^-1 1 I

Р '^р p(l + /)V/,-f (12.35)

Вспоминая теперь, что

где ?р) — номинальнаяр раз начисляемая ставка, эквивалентная норми-
рованной ставке Z, получаем, что

Следовательно, можно записать эквивалентное значение накопленной
к моменту t — к стоимости микроренты в виде

Заменяя теперь каждую из микрорент (1 /р) А. на ее эквивалентное
(приведенное к моменту t ~ к) значение С, получим стандартную
обыкновенную ренту (Z/Z^^A^ с одинаковыми платежами и нормиро-
ванной ставкой /, эквивалентную р-кратной ренте :

Следовательно, накопленные стоимости этих рент будут равны, т.е.

Соответственно будут равны и текущие стоимости

(И / 1-Vn

ая=Хл=7^- (12-37)

Поступая аналогичным образом с единичной ^-кратной авансиро-
ванной рентой А^, можно заменить каждую из составляющих ее
микрорент (1/р)Акэквивалентным, приведенным к моменту t=k- 1,
текущим значением

(12.38)

где dxjp =1 — учетная ставка за микропериод h = 1/р, эквива-

лентная нормированной учетной ставке d, a v^p = 1 -d[jp — соответству-
ющий коэффициент дисконтирования. Знаменатель 2-го сомножите-
ля в (12.38) представляет собой номинальную р-кратно учитываемую
учетную ставку d{p}, эквивалентную исходной нормированной учетной
ставке d, поэтому

Таким образом, из (12.38) с учетом последнего равенства получаем, что
эквивалентные значения для каждой из микрорент составят

Выполняя указанное преобразование, в итоге получим стандартную
авансированную ренту (^/^р,)а„, эквивалентную исходной:

А (Р) ~ X

" п'
(12.39)

(12.40)

Из этой эквивалентности немедленно следует, что

, /. Л« 1

••(/’) _ d •; _ U_j22_zl •

"1 rf(p)

Для стоимостей авансированной ренты мы использовали учетную,
а не процентную ставку, поскольку именно в этом случае формулы для
стоимости приобретают особенно простой вид. Конечно, можно было
воспользоваться соотношениями (12.30) между стоимостями обыкно-
венных и авансированных рент.

Применяя тот же подход к бессрочным рентам, легко записать
выражения для текущих стоимостей обыкновенной

(12.41)

и авансированной

<12.42)

бессрочных единичных ^-кратных рент.

Аналогичные результаты можно получить и для отложенных
р-кратных рент.

Структура формул для стоимостей р-кратных очень проста. Сто-
имость р-кратной ренты любого вида получается умножением стоимо-
сти соответствующей стандартной ренты на поправочный коэффици-
ент, равный отношению исходной нормированной (эффективной) и эк-
вивалентной ей номинальной ставки. При этом для обыкновенной рен-
ты используются процентные, а для авансированной — учетные ставки.

Представленный выше метод дает тот же результат, что и ранее
использованный, основанный на преобразовании исходной ставки
(приведением ее к периоду ренты). Однако метод, состоящий в преоб-
разовании рент, имел, по крайней мере, в докомпьютерную эпоху то
преимущество, что не увеличивал срок ренты, заданной в исходной
шкале. Дело в том, что в то время для вычисления рент использовались
таблицы, в которых были затабулированы коэффициенты роста $й|
и дисконтирования для различных значений и и /. Естественно, что
таблицы с большим диапазоном для п и I и требуемой точностью (около
6 знаков) получались весьма громоздкими и неудобными. Компактные
же таблицы были вынуждены ограничиваться сравнительно узким
диапазоном сроковп (не больше 20-30) и ставок/(1-20%). Ограничен-
ный объем таблиц приводил к трудностям при вычислении стоимостей
кратных рент с помощью приведения исходной ставки к периоду
ренты. Вычисляя, например, текущую стоимость обыкновенной 30-
летней ренты с ежемесячными выплатами и нормированной годовой
ставкой 8% — достаточно типичный случай для западного финан-
сового рынка — непосредственно по стандартным формулам все
параметры ренты необходимо выразить в месячной шкале. Это дает
срок ренты /V = 12-30 = 360 и ставку = 0.004, т.е. 0,4%. Такие
значения параметров заведомо выходят за границы даже весьма пол-
ных таблиц.

Применение 2-го метода, основанного на замене исходной ренты
эквивалентной ей стандартной рентой, не изменяет срок ренты и став-
ку в коэффициентах роста и дисконтирования ренты и для окончатель-
ного расчета требует лишь умножения табличного значения с парамет-
рами п — 30, / = 5% на поправочный коэффициент, равный отношению

ставок:

i _ 0,06
/12) “ 0,048

«1,04167.

Если в качестве исходной задана не нормированная, а другая, напри-
мер номинальная, ставка, то необходимо сначала по заданной ставке
найти соответствующую эффективную / и р-кратно начисляемую но-
минальную ставку.

Несобственные кратные ренты. До сих пор рассматривались кратные
ренты ср > 1, т.е. ренты, в которых за единичный период осуществля-
лось более одного платежа. Однако полученные формулы для стоимос-
тей рент годятся и для случая р < 1, т.е. ренты, в которой период h = \/р
между платежами состоит из нескольких единичных периодов. Такие
ренты можно было бы назвать прореженными. Однако, как это принято
в математике, не будем вводить нового термина, а будем использовать
термин «кратная рента». Если нам все же потребуется подчеркнуть
различие между этими двумя типами кратных рент, то при р > 1 будем
говорить о собственных, при р < 1 — несобственных кратных рентах.

Будем считать периодЛ = 1/р несобственной кратной ренты целым
числом. Если срок ренты в выбранной временной шкале равен п,
то число платежей для такой ренты (как и в случае собственной)

N = пр

h
Это число также будем считать целым. Очевидно, что для немедленной
ренты с началом tQ = 0 критические моменты ренты имеют вид

t, ~kh, 0, 1,..., N.

Диаграмма платежей для обыкновенной единичной несобственной
р-кратной ренты изображена на рис. 12.10 а. Соответственно диаграм-
ма авансированной единичной несобственной р-кратной ренты пока-
зана на рис. 12.10 б.

1 1 ... 1 ... 1

--1-----1-----1—.—.— 1-----1 —.——4——.—--------1

012 р р+1 2р пр-Л пр

f
а

1 ... 1 ... 1 ... 1

--1-----1-----j——— 1--------1 —.—-_|----|_—.—-4-----1—

О 1 2 р-1 р 2р-1 2р Пр-1 Пр

Рис. 12.10

Пусть i — нормированная процентная ставка. Соответствующая ей
эквивалентная ставка за период h

Ставка ih согласована с исходной рентой, поскольку периоды начисле-
ния ставки и ренты совпадают. Следовательно, исходную ренту,
р-кратную с параметрами п, i, можно рассматривать как простую ренту
с параметрами N = пр и i . К такой ренте применимы формулы
стоимости стандартных рент и, следовательно, выражения (12.23) -
(12.29), (12.31) - (12.33) годятся и для несобственныхр-кратных рент.

Пример 12.16. Найти накопленную и текущую стоимость 40-летней обыкновен-
ной ренты, если платежи по ней составляют Ж 1000 в конце каждого пятилетия,
а используемая ставка равна 10% годовых, начисляемых раз в полгода.

Решение. Параметры ренты в годовой шкале имеют вид

п = 40; h = 5; р = -\ Л =8.

Найдем ставку за период ренты, эквивалентную ставке - 20%:
Накопленная стоимость ренты

1000^ = ЮООр^.Ц289).."-1 =77216,47(^).

0,6289 v !

Текущая стоимость ренты

10ооч=1оооЦ^~=1557’о(а’)-

Для несобственных р-кратных рент применимы также и все форму-
лы, полученные методом преобразования ренты в стандартную,
т.е. (12.38) - (12.42), если номинальную ставку № интерпретировать
как имеющую период начисления h > 1, а кратностьр < 1. Естественно,
сама формула для номинальной р-кратной ставки не меняется и имеет
тот же вид, что и в собственном случае (см. § 8.4).

Приведем еще один способ записи выражений для стоимостей
р-кратных рент.

Стоимости кратных рент с «дробными» сроками. Подставляя фор-
мально в формулы стоимостей стандартной ренты

(1+/)"-1 1-уя

С _ Q _ -

ЛИ I ЛН j

значение п = 1/р, получим

Отсюда следует, что формулы (12.36) и (12.37) можно переписать в виде

„0) _

р s—।

1 / Л1

„(р) — J

PSTT1-
r 1/pI'

Верны, конечно, и аналогичные соотношения для авансированных
рент. Эти формулы часто встречаются в финансовой литературе.

Отметим, что в случае несобственнойр-кратной ренты (1/р — целое)
выражение вполне осмысленно и означает накопленную сто-
имость стандартной ренты сроком h = 1/р и платежами р за единичный
период. Фактически это — преобразование исходной единичной
р-кратной ренты с периодом h в стандартную. Тогда —

зо*
величина платежа стандартной ренты, обеспечивающего эквивалент-
ность обеих рент.

Кратные ренты и номинальные ставки. В заключение параграфа
приведем одну интересную интерпретацию понятия номинальной став-
ки , связанную с понятием ренты. Для этого вернемся к формуле (12.3),
дающей выражение накопленной стоимости микроренты А* относи-
тельно нормированной ставки L Поскольку стоимости таких рент
одинаковы, возьмем £ = 1. Тогда

FK ((!//>) А. ,)=---'т.--=-/-•

il, i.p) I™

Отсюда следует равенство

iws^=i. (12.43)

Левая его часть представляет собой стоимость р-кратной ренты
с единичным сроком (л=Т), общая сумма выплат которой за
единичный период времени равна i{p\ Справа —• процентная ставка за
единичный период. Пусть выбрана годовая шкала и в момент t — О
инвестирована единичная сумма С ~ 1. Тогда в момент 7= 1 при годовой
ставке на эту сумму будут начислены проценты в размере /( = 17 = ?. Так
будет при единовременной выплате процентов в конце единичного
периода. Формула (12.43) дает еще один вариант выплаты процентов,
в котором они выплачиваются одинаковыми платежами р раз в году,
в конце каждого микропериода длины h = \/р. Формула (12.43)
показывает, что общая сумма выплаченных таким образом за год
процентов составит др}. Естественно, каждая процентная выплата
будет равна 1{р}/р.

Аналогично интерпретируется соотношение (12.38):

из которого следует равенство

dMa£=d, (12.44)

означающее эквивалентность двух схем авансированных процентных
выплат с единичной суммы за единичный период. Согласно формуле
(12.44), вместо единовременной выплаты суммы d в начале года можно
выплачивать проценты р раз в году в начале каждого микропериода
h ~ \/р. Общая сумма сделанных выплат за год составит в точности d(р}.
Пример 12.17, Рассмотрим простую кредитную сделку сроком на один год и сум-
мой долга .#100. Пусть ставка сделки i = 60% годовых. Какие проценты должен
выплачивать должник: а) в конце и б) в начале каждого квартала, чтобы погасить долг?

Решение. В данном случае

/ = 0,6; d = — = 0,375.

1 + i

Тогда для случая а), согласно (12.43), процентные выплаты в конце каждого квартала

составят

-(4.

100—

= юо[(1 + O,6)V4 -1] = 12,47(.#):

б) выплаты в начале каждого квартала, согласно (12.44) следующие:

у(4>

100~- = 100[1- (1-0,375)'

,1/4’

= 11,09(.Л’).

12.3. Монотонные ренты

До сих пор мы ограничивались изучением постоянных рент или,
более точно, рент с постоянными периодическими платежами. На прак-
тике часто используются ренты с переменными выплатами. Так, на
рынке облигаций встречаются облигации с переменным (не путать
с плавающим) купоном, по которым процентные выплаты (купоны)
изменяются по определенным, заранее предписанным правилам. Пере-
менные рентные выплаты встречаются в схемах погашения долга,
например по закладным, при амортизации активов, в страховании
и т.д. В этюм параграфе мы рассмотрим специальный класс так
называемых монотонных рент, в которых периодические платежи
изменяются по определенному закону. Ограничимся двумя типами
монотонных рент — арифметическими или линейными, в которых
платежи изменяются по линейному закону, т.е. представляют собой
арифметическую прогрессию, и геометрическими рентами, с показа-
тельным законом изменения платежей. В этом случае последователь-
ность платежей представляет собой геометрическую прогрессию. В каж-
дом случае, в зависимости от параметров закона изменения платежей,
они могут возрастать со временем (говорят о возрастающей ренте) или
убывать (говорят об убывающей ренте). Изучение монотонных рент
начнем с анализа арифметических рент.

Арифметические ренты. В арифметической ренте платежи меняются
со временем линейно и представляют собой арифметическую прогрессию
где г ~ разность прогрессии, т.е. величина, на которую изменяются за
каждый период платежи ренты.

Рассмотрим срочную стандартную арифметическую ренту. Ее пери-
од совпадает с единичным периодом временной шкалы и, следователь-
но, критические моменты ренты (концы ее периодов) имеют вид

tk = k, & = 1,..., л.

Здесь для простоты мы выбрали начало ренты нулевым: tQ = 0. Тогда закон
изменения платежей обыкновенной арифметической ренты будет иметь вид

Ck—P1 + rk, fc=l,2,...,n. (12.45)

Следует обратить внимание на формулу (12.45) для платежей ренты.
Согласно этой формуле, первый платеж ренты

с, =/>,+/•,

а не д. Такой вид выражения для общего члена ренты выбран специ-
ально, для упрощения вывода формул стоимостей арифметических
рент. Конечно, зная настоящий первый платеж ренты Ц и разность
прогрессии г, легко найти р,:

Р1 = с>~г-

Это следует иметь в виду при использовании формул, которые будут
получены ниже.

Если разность прогрессии г — положительна, т.е. г > 0, то рента
возрастающая, если г — отрицательна, убывающая, если г = 0, то в этом
(вырожденном) случае рента постоянная. Формула (12.45) показывает,
что общую арифметическую стандартную ренту можно рассматривать
как линейную комбинацию двух рент: единичной стандартной ренты Ап
и арифметической ренты с платежами

Rk=k, к=\,2,„.,п.

Эту возрастающую арифметическую ренту назовем канонической,
или простейшей, и обозначим IA. Здесь первый символ / есть началь-
ная буква слова increasing, что значит «возрастающий».

Таким образом, поток платежей CFпроизвольной арифметической
ренты есть линейная комбинация

CF=pA + rIA
г 1 п П

(12.46)

двух рент.
Поскольку операторы стоимостей линейные:

/V (АА, + rIA„) = А FV„ (А„)+rFV„ (1А„); (12.47)

РГ0(аАя+НА„) = аР»/»(А„) + гРК(1А„), (12.48)

то для нахождения стоимостей арифметических рент достаточно уметь
находить стоимость канонической ренты 1Ал.

Будущая (накопленная) стоимость стандартной арифметической рен-
ты. Начнем с вычисления будущей (накопленной) стоимости ренты 1Ап.
Будем считать заданной нормированную процентную ставку I. Если
в качестве исходной задана какая-либо другая ставка, например номи-
нальная, то сначала необходимо найти эквивалентную ей эффектив-
ную ставку, а затем работать с последней. Для заданной нормирован-
ной ставки / накопленная к моменту п стоимость ренты 1Ап имеет вид

FK„(IA„) = 1(1+i)"'' + 2-(1+/)"_2 + ...+*(1+/)"_‘ + ...+« (12.49)
или в сокращенной форме

ТР(1А ЬУ W,
п \ п / ’

£=]

где а = (1 + /) — нормированный коэффициент роста.

Накопленную стоимость канонической арифметической ренты обо-
значим Zs^_ или коротко Z^. Таким образом,

ЛЛ=^(1А„,/).

Величину Zs^ при заданных параметрах ренты и ставке Z можно
подсчитать на компьютере или калькуляторе непосредственно по фор-
муле (12.49). Мы выведем для нее более простую и компактную форму-
лу. С этой целью умножим обе части (12.49) на коэффициент а = 1 + Z,
а затем вычтем почленно из полученного выражения исходное равен-
ство (12.49). Тогда

als- - ls-^ - {ап -дп-1) + (2й"л -2ап“2) +... + (па- л).

Раскрывая скобки и перегруппировывая слагаемые справа, получим

(а-1)Is- -ап + (2а"-1 -«”_1) + (Зй"“2 -2ап“2) +

или
Сумма первых п слагаемых справа есть накопленная стоимость
авансированной единичной стандартной ренты:

а + а + ... + а - rvn А„ .
п у И }

Таким образом, получаем равенство

(МЧт =V«

и поскольку а - 1 = Z, окончательно

S-j -п

1^=~- • (12.50)

Текущая стоимость стандартной арифметической ренты. Из (12.50)
легко получить выражение для текущей стоимости канонической ариф-
метической ренты. В самом деле, меняя точку' приведения с t = п на
t = 0, согласно правилу переноса точки приведения, имеем

где v - 1/(1 + /) = £7”1 — нормированный коэффициент дисконтирова-
ния. Текущую стоимость простейшей (канонической) арифметичес-
кой ренты обозначим /яс,. Таким образом,

— п

la^=v"Js-l = v'' ——.

л! л! j

Применяя еше раз правило переноса точки приведения, но уже к
стандартной авансированной единичной ренте А„, получим

zAV-j = о-.

и| л1

и, значит,

(12.51)

Содержательная интерпретация стоимостей стандартных арифмети-
ческих рент. Выражения для стоимостей канонической арифметичес-
кой ренты имеют простую содержательную интерпретацию. Для ее
формулировки вспомним сначала содержательную интерпретацию
формулы

(см. § 12.1). Эквивалентная запись этой формулы в виде
(1+/)"=/5д+1

означает эквивалентность двух схем погашения в момент t = п единич-
ного долга, взятого в момент t = 0. В первом случае долг возвращается
единовременно в момент л, и тогда величина выплаты равна (1+/)",
т.е. левой части этого равенства. Во втором случае должник регулярно
выплачивает проценты на взятую в долг сумму, а в конце срока возвра-
щает основную сумму долга. В этом случае погасительные платежи
представляют собой ренту с периодической выплатой i и единичным
платежом в момент погашения t - п. Правая часть равенства как раз
и дает накопленную стоимость этого потока платежей. От такой интер-
претации легко перейти к интерпретации стоимостей канонической
арифметической ренты.

Перепишем, например, формулу (12.50) в виде

^='Ч+л- (12.52)

Рассмотрим кредитную сделку, в которой должник занимает в нача-
ле каждого периода, т.е. в моменты t = 0, 1,..., п—1 берет в долг
единичную сумму Ct = 1. Эти суммы представляют собой единичную
авансированную ренту. Единовременная сумма погашения в момент
t = п будет равна накопленной стоимости такой ренты, т.е. левой части
равенства (12.52).

Эквивалентная схема выплаты долга состоит в периодической вып-
лате процентов и возврате в момент погашения общей суммы долга.
Поскольку в начале &-го периода сумма основного долга будет равна к,
то проценты за &-й период составят сумму ki. Таким образом, процент-
ные выплаты образуют каноническую возрастающую ренту. Наконец,
к моменту 1 ~ п общая сумма основного долга равна п, так что правая
часть (12.52) дает накопленную стоимость всех погасительных выплат
при таком способе погашения долга. Аналогично интерпретируется
и формула (12.51) для текущей стоимости канонической ренты.

Текущая стоимость бессрочной стандартной арифметической ренты.

Выражение (12.51) позволяет получить формулу текущей стоимости
бессрочной возрастающей ренты с помощью предельного перехода

la-у - lim la-,.

Поскольку

lim/w" = 0и Нгпй-п - \/d,
Ц->К П'
ТО

Так как

Id— — — 4* .

di i i

d = —

то

Стоимости общих арифметических рент. Получив выражение для
стоимостей простейшей арифметической ренты 1Ал, можем вернуться
к общим арифметическим рентам вида (12.45). Используя разложение
(12.46) и соответствующие ему формулы накопленной (12.47) и теку-
щей (12.48) стоимостей, получим, что накопленная стоимость обыкно-
венной арифметической ренты с платежами вида

к = 1, 2,...,л

будет равна

= (12.53)

а текущая стоимость такой ренты имеет вид

РУЯ (CF) = +rla^. (12.54)

Напомним, что если Cx — первый платеж арифметической ренты,
ТоЛ = С, - г.

П р и ме р 12.18. Рассмотрим возрастающую арифметическую обыкновенную 10-лет-
нюю ренту с выплатами в конце каждого года. Первая выплата равна ?1Ч000, а все
последующие увеличиваются на <5?100. Найти накопленную и текущую стоимости
такой ренты при ставке 10% годовых.

Решение. Согласно условиям

w=10; С}= JF1000; г= Ж00.

Таким образом,

Поскольку

то

р, = 1000- 100 = 900(3$.

5 =15,937

1о! 0,1

=17,531,

5^-Ю

/у --------= 75,317

13 0,1
и, следовательно, накопленная стоимость ренты

FVW = 9OO.v^ +100 А^ = 21874,47^).

Текущую стоимость найдем, дисконтируя полученную накопленную стоимость:

PV, = (1,1)‘”/Г» = 21,|7|У7=8433,55(М

В формулах (12.53) и (12.54) стоимости рент/^ не является первым
платежом арифметической ренты. Выразим стоимости рент непосред-
ственно через первый платеж Су Подставляя в (12.53) вместо рх выра-
жение Cj — г, получим

/У„(С^) = С,5я+г(Ля-5я).

Но, согласно (12.50),

is _е =jkz2_J - V”-0"4'1

Я Я , Я ,• i

Поскольку

^-О"+1 = 5Я,
то получаем еще одно выражение для обыкновенной арифметической
ренты:

FV^CF^C^+r-i—. (12.55)

Меняя точку приведения t= п на t = 0 и соответственно умножая обе
части на vn, получим формулу для текущей стоимости арифметической
ренты:

<7 _M7in

РИ„(СТ)=С,ая+г^у-. (12.56)

Последняя формула позволяет получить также текущую стоимость
бессрочной обыкновенной арифметической ренты с первым членом Ct
и разностью г:

PF CFj=lim C.^ + r^L— =-А+-т- (12.57)

I J I I

Пример 12.19. Найти стоимость бессрочной возрастающей ренты с платежами
в конце каждого года, если первый платеж равен J?500, а все последующие увеличива-
ются на & 100 в год. Процентная ставка составляет 20% годовых.

Решение. Согласно условию

С, = J?500; r= .#100; z = 0,2.

Подставляя эти значения в (12.57), получим
pjz = —+—= 15000(.^).

° 0,1 0,01 v }

Убывающие арифметические ренты, В качестве первого примера
убывающей срочной ренты рассмотрим так называемую простейшую
(каноническую) убывающую ренту DAw с платежами вида

СА = (и+ \)-к, к~ 1,2,.,., п.

Убывающую ренту DAn можно представить как частный случай
общей арифметической ренты с параметрами Cj = п и г = — 1. Тогда,
согласно (12.55), накопленная стоимость такой ренты

s-y-n л(а"-1)-5^+л пап-s-^

Ds^ = ns-~> —
п\ п\ j / /

Таким образом, и (1 + / Г - s

Ds-.=-±——а.

В свою очередь, из формулы (12.56) аналогичным образом можно
получить выражение для текущей стоимости простейшей убывающей
ренты:

77 —<7-i
Оал=-—Я-

Авансированные арифметические ренты. Выше мы ограничились
изложением фактов, относящихся к обыкновенным немедленным ариф-
метическим рентам. Однако рассмотренные методы оценивания сто-
имости обыкновенных немедленных рент дословно переносятся и на
другие виды арифметических рент, например авансированные или
отложенные. Так, платежи авансированной немедленной арифмети-
ческой ренты с началом в /0 = 0 и сроком п имеют вид

СА = С() + к = 0, 1,..., п - 1.

В случае Со = г =1 получается (простейшая) каноническая авансиро-
ванная возрастающая рента 1АЧ с платежами

Ск = к+1, £ = 0, л — 1.

Ясно, что накопленная к моменту t = п стоимость этой ренты,
обозначаемой через Fs^, равна

fk(ia,)=(i+/)fk4(iaJ.

С другой стороны, очевидно, что
FV .(lAU/s.,
л-1 \ п) п\ ’

следовательно,

(12.58)

Обозначая текущую стоимость ренты 1А„ через получим для
нее аналогичное соотношение

<12-59)

Здесь мы меняли точку приведения. Другой подход основан на том
факте, что авансированная рента получается сдвигом влево на один
шаг (Т= -1) обыкновенной ренты, т.е.

IA„ = L_,(IA„).

Но тогда по лемме о сдвиге (см. гл. 10)

PK(lA,)=v-'PK(IA,)

для любого т, что также приводит к соотношениям (12.58), (12.59).

Наконец, для стоимостей убывающей авансированной ренты DAo
с платежами

Ск — п — к, к — 0, 1,..., п — 1,
выполняются аналогичные соотношения

Й7, =(1+7)2)^;

=(1 + 7)2)^.

Не будем выписывать развернутые формулы для стоимостей этих
рент, читатель может легко получить их самостоятельно.

Заметим, что мы снова сталкиваемся с правилом, связывающим
стоимости обыкновенных и авансированных рент. Это правило явля-
ется частным случаем общего правила, связывающего текущие сто-
имости двух смещенных друг относительно друга потоков с одинако-
выми платежами:

PV,{LT{CF)}^vT PVHT(CF\

где LT — оператор сдвига потока платежей; v — нормированный
дисконтный множитель.

Так, если С/1 — обыкновенная немедленная рента, а -1, то LT(CA)
будет соответствующей авансированной рентой, а если Т = m > 0 —
отложенной (на срокт) обыкновенной рентой. Таким образом, приве-
денное соотношение позволяет единообразно получать формулы для
различных вариантов монотонных рент.
Как неоднократно указывалось, в теории рент нет смысла запоми-
нать различные формулы для стоимостей, их легко получить, если
понимать основные принципы работы с потоками платежей. Изучение
арифметических рент закончим примером.

Пример 12.20. Рассмотрим 20-летнюю обыкновенную ренту, состоящую из двух
частей. Первая представляет собой 10-летнюю возрастающую ренту с ежегодными
платежами в конце каждого года. При этом величина первого платежа равна 50, а все
последующие увеличиваются ежегодно на ^’20. Вторая часть исходной ренты представ-
ляет собой 10-летнюю убывающую ренту с первым платежом в конце 11-го года, равным
J?210, а все последующие уменьшаются на л?20. Ставка ренты равна 8% годовых,
начисляемых ежеквартально. Найти накопленную и текущую стоимости ренты.

Решение. Найдем сначала эффективную годовую ставку, соответствующую за-
данной номинальной ставке /(4) = 8%:

/=(1+2^Ь - 1=0,0824.

I 4 )

Исходную ренту можно рассматривать как сумму немедленной (возрастающей) и от-
ложенной (убывающей) рент. Для вычисления стоимостей составной ренты поступим
следующим образом. Выберем сначала в качестве момента приведения конец 10-го года,
т.е. I = 10. Этот момент как раз разделяет ренту на две части: левую — возрастающую
и правую —- убывающую. Текущая стоимость Долевой (первой) части относительно t - 10
есть просто накопленная стоимость возрастающей 10-летней обыкновенной арифмети-
ческой ренты с первым платежом, равным .^50, и разностью — .7? 20. Поскольку

(1+ 0,0824)‘°-1
0,0824

= 14,654,

то, согласно (12.55),

5(1} = 50s^ + 20 Ш' = 1862,59{J?).

Текущая стоимость Р2) относительно t = 10 правой (второй) части ренты есть
текущая стоимость обыкновенной (убывающей) арифметической ренты с первым
платежом J?210 и разностью — ^20. Поскольку

^=^'“=6,637,

то, согласно (12.56),

= 210^ - 20^—-----= 882,29(^).

Текущая стоимость всей ренты относительно t — 10 будет равна сумме полученных
стоимостей

Г;0=5ш+Р<2’ =2744,88р).

Теперь для нахождения накопленной стоимости всей ренты достаточно привести И10
к t = 20. Следовательно,

= М1 + 0,824) = 6060,81(J?).

А для того чтобы найти текущую относительно (г = 0) стоимость всей ренты, необходимо
привести К]0 к t = 0. Таким образом, дисконтируя, получим

Го = У10 (1 + 0,824)'° = 1243,13 (3?).
Геометрические ренты. В геометрических рентах последовательность
платежей представляет собой геометрическую прогрессию:

ск+\ к= 1>2> —

(12.60)

где q — знаменатель прогрессии, указывающий, во сколько раз за
период ренты изменяется величина платежа. В этом случае платежи
ренты изменяются по показательному закону

fc-l,2,...,n. (12.61)

Если q > 1, то рента — возрастающая, < 1 — убывающая, q — 1 —
постоянная.

Изучение геометрических рент начнем со стандартной обыкновен-
ной (немедленной) срочной ренты, критические моменты которой
имеют вид

tk = k, (12.62)

Пусть задана нормированная ставка /. Накопленная (будущая) к мо-
менту t = п стоимость ренты

FK„(C4)=C,(1+1)”'' +С|9(1 + /)"“2 + ...+С.9"-1. (12.63)

Вынося С[(1 + /)л-1 за скобки, получим

Выражение в квадратных скобках представляет собой сумму членов
геометрической прогрессии с начальным членом 1 и знаменателем

Суммируя и производя упрощения, окончательно получим

FK„(a4) = c/~j1+'{ = (12.64)

где а = 1 + i — коэффициент роста.

Текущую стоимость ренты найдем, дисконтируя накопленную сто-
имость к моменту t = 0:

РЕ0(СЛ) = ^/У„(СЛ)

или

РУ^СА} = Сх

[qo)n_ q (^)"-i

#-(1+/) 1+/ qv-1

(12.65)
где v — а~1 = 1/(1 + /) — нормированный коэффициент дисконтиро-
вания.

Стоимость (будущая и текущая) авансированной геометрической
ренты с платежами

Ck=Cqk, £=0,1,...,л-1,
определяется умножением соответствующей стоимости обыкновен-
ной ренты на коэффициент роста а = 1 + /:

-fi

FVn{CA) = Cfl—~-, (12.66)

ч и

1 (aoY-1

/>и0(сл)=с,— . (12 67)

qv-1

Наконец, текущая стоимость бессрочной геометрической ренты
с первым платежом С, и знаменателем q равна

РГ„(СЛ) = 11тД1^^=-^-. (12.68)

"-Ч+/ qu-\ a-q

Естественно, для существования предела в (12.68) необходимо (и дос-
таточно), чтобы

qv < 1

или

q<l+i. (12.69)

В формулах (12.60) — (12.69) изменение величины платежей задает-
ся «мультипликативным» коэффициентом q. На практике, например,
при инфляционном росте указывают не коэффициент роста q, а отно-
сительную величину прироста р, связанную с q соотношением

Я = 1 + Р-

Как и процентная ставка, она часто задается не в относительных
единицах, а в процентах, например, говорят о ежемесячном 20%-ном
приросте и т.п.

Не будем переписывать формулы (12.63) — (12.66) с использованием
р вместо q, приведем лишь формулу для бессрочной ренты (12.68),
которая часто используется в моделях оценивания активов (например,
акций):

pvo=—-• (12.70)

I-р '
Эта формула справедлива лишь при / > р, т.е. коэффициент прирос-
та р должен быть меньше ставки дисконтирования.

Пример 12.21. Первый платеж обыкновенной 10-летней ренты равен
Процентная ставка составляет 12% годовых, начисляемых по полугодиям. Найти
накопленную и текущую стоимости ренты, если ее платежи ежегодно: а) увеличивают-
ся; б) уменьшаются на 20%.

Решение. Эффективная годовая ставка, соответствующая заданной, равна

( 0 12Y

/= ]+_1_ -1 = 0,1236, т.е. 12,36%.

< 2 )

- Для a) q = .#100; и = 10; q - 1 + 0,2 = 1,2.

Следовательно, согласно (12.64) имеем

fV;0(С4) = IОО^1’2) ?0’1236) = 3906,55(
1(Ц 7 1,2-1,1236 '

а согласно (12.65)

Для б) q = Д?100;
Следовательно,

PV„ (С4) = 100 О:?68)-1 = 1218,10р.>).

" ' 1,1236 0,68 * '

л = 1; q = 1-0,2 = 0,8.

' 1,1236-0,8 ' '

рИо(с,)=Д№_.Н22!<=ж68(.#).

v 7 1,1236 1-0,7120 v

Изложение монотонных рент закончим примером, относящимся
к бессрочным геометрическим рентам.

Пример 12.22. Участнику пенсионной схемы, согласно контракту, полагаются
ежемесячные выплаты по .7? 100 по достижении им пенсионного возраста (60 лег).
Первая выплата делается в конце месяца, начинающегося в день 60-летия. Пенсия
выплачивается пожизненно (т.е. рента — бессрочная). Ставка накопления пенсионного
фонда равна 12% годовых с ежемесячным начислением. Кроме того, фонд обещает
индексировать пенсионные выплаты в соответствии с темпом инфляции. Найти сумму
необходимых накоплений участника ко дню 60-летия, предполагая среднегодовой темп
инфляции равным 10%.

Решение. Согласно условию, ставка за период начисления (месяц)

'1/12-- 0'^1-

Считаем базовой месячную шкалу. Месячная ставка накопления /'мп. будет нормирован-
ной ставкой /, т.е.

/ = / =0,01,

или 1%. Величина р, представляющая собой среднемесячный теми инфляции, связана
с годовым темпом соотношением
и, следовательно, q, называемая в этом случае месячным коэффициентом индексации
пенсионных выплат, равна

q = 1 + р = 1,008.

Пенсионная рента будет бессрочной обыкновенной геометрической рентой с пер-
вым платежом - Д'1000. Таким образом, для того чтобы фонд мог обеспечить
индексированную выплату пенсий, необходима сумма, равная текущей ренте, т.е., сог-
ласно (12.70),

5= РК(СА)^-----—------= 500000(.М

ок 7 0,01-0,008 v ’

12.4. Непрерывные ренты

Непрерывные ренты как пределы /7-кратных рент. В § 12.2 получены
формулы для стоимостей р-кратных обыкновенных рент:

(Pi *

( nl

(12.72)

где i(p) — номинальнаяр-кратно начисляемая процентная ставка, экви-
валентная нормированной ставке /. Напомним также, что в этих фор-
мулах речь идет о единичныхр-кратных рентах, т.е. рентах, для которых
сумма всех рентных платежей за единичный (базовый) период времени
равна 1. Иными словами, величина каждого отдельного платежа за
период ренты h = \/р равна также 1/р. В § 8.4 рассмотрены модели
накопления с непрерывным (бесконечнократным) начислением, кото-
рые получались с помощью предельного перехода h 0 или р «д В
такой модели роль ставки накопления, т.е. основного параметра, опре-
деляющего динамику роста капитала, играет номинальная непрерывно
начисляемая ставка j = При этом эффективная нормированная
ставка Z = i эквивалентная ставке у, равняется

Z = е' — 1.

Это соотношение получается предельным переходом в равенстве

( № Y

/= 1+— -1

I р)

при р —> оо для множества р-кратно начисляемых ставок, для которого
значения соответствующих номинальных ставок равны/: i{p} =j.
Осуществляя предельный переход в (12.71) и (12.72) при р~э
получим формулы для стоимостей так называемых непрерывных рент:

(оо)

=>1^ =JS3, (12.73)

аЛ=-/Ъ<- (12-74)

Отметим два момента, связанных с этим предельным переходом.
Во-первых, срок ренты п задан в исходной временной шкале (например,
в годах). Во-вторых, номинальные ставки i(p) эквивалентны заданной
нормированной ставке I, т.е.

В-третьих, несмотря на то, что периоды h - \/р и отдельные платежи
р-кратной ренты стремятся к нулю, так как 1/р —> 0, общая сумма
платежей за единицу времени равна 1.

Учитывая, что

ял-1 1-ил

s^~ t И£7Д/“ z- ’

где а и v — нормированные коэффициенты роста и дисконтирования,
формулы (12.73) и (12.74) можно переписать в виде

(„) ап-\

4-~- (12.75)

'• (12.76)

Напомним, что непрерывно начисляемая ставка j есть не что иное,
как интенсивность роста или сила процентов 5, о которой говорилось
в гл. 9.

Непрерывные ренты, задаваемые непрерывными потоками. Выше мы
получили выражения для стоимостей непрерывных рент в результате
предельного перехода в выражениях для стоимостей р-кратных рент
при р^оо. В этом случае непрерывная рента рассматривается как
предел своих дискретных приближений. С другой стороны, можно
считать непрерывную ренту частным случаем непрерывного потока С/7,
задаваемого плотностью p(t). Тогда условие постоянства платежей
С ~ const за единичный период можно трактовать как стационарность
потока, представляющего ренту, или, что то же самое, как постоянство
плотности p(t) = р— const. Напомним, что непрерывный поток платежей

зг
задается аддитивной функцией временных промежутков (в заданной
временнбй шкале)

Постоянная плотность потока означает просто, что

где р — значение плотности.

Единичная непрерывная рента есть рента с плотностью, равной 1,
т.е. р = 1. Строго говоря, для срочной ренты со сроком п равенство
(12.76) справедливо лишь для значений /2 из периода (носителя)
[т0, т0 + /?], в котором сосредоточена рента.

Если через 5(/) обозначить накопленную к моменту Г стоимость всех
платежей непрерывной ренты с плотностью р за период от [0, /], то 5(г)
удовлетворяет дифференциальному уравнению (10.20):

^L<55(z) + M.

Здесь 6 —- постоянная интенсивность роста, эквивалентная нормиро-
ванной ставке /; р — постоянная плотность непрерывной ренты, сосре-
доточенной на [0, м].

Учитывая, что 5(0) = 0, получим решение этого уравнения в виде
(см. (10.22))

&du = ^e&' =—(е5'-1),

8 » 8[ 1

и поскольку

qs< — а1,

то получаем еще одно выражение для S(f):

0<t<n.

(12.77)

В частности, для единичной непрерывной ренты со сроком п получим
ч ап-1

т.е. получили тот же результат, что и выше в формуле (12.75), поскольку
j ~ 8. В литературе по финансовой и актуарной математике накоплен-
ную и текущую стоимости единичной непрерывной ренты сроком п обо-
значают соответственно и а^. Таким образом, окончательно имеем
5?=”5- (12.78)

_ 1-ил

(12.79)

где а = 1 + i - е5 и v = а~{ = е-5.

Уместно отметить, что предельный переход р-^°°, с помощью кото-
рого нашли стоимость непрерывной ренты, «стирает» различие между
обыкновенной и авансированной рентами. Так, если бы в качестве
отправных использовались стоимости/?-кратных авансированных рент
и а^, результат был бы, очевидно, тем же.

Пример 12.23. Найти накопленную и текущую стоимости непрерывной 10-летней
ренты, годовые выплаты по которой составляют JP600. Проценты на платежи начисля-
ются по ставке 10% годовых.

Решение. Согласно условию р = 600( Д?/год); i = 0,1; п = 10. Следовательно,
интенсивность роста (сила процентов)

<5= 1п(1 + 0,1) = 0,0953.

Тогда накопленная стоимость составит

((1,1)'° -1)

600Г, - 600-------- = 10032,98(Ж

1Я о,953 V )'

а текущая стоимость равна

(Нир!

600%. = 600-------= 3868,15(М

И)| 0,953 к !

Устремляя в (12.79) срок п к получим стоимость непрерывной
единичной бессрочной ренты:

Монотонные непрерывные ренты. Используя методы анализа непре-
рывных моделей накопления из гл. 10, нетрудно получить стоимости
непрерывных монотонных рент, являющихся непрерывными аналогами
дискретных монотонных рент. Так, единичной арифметической непре-
рывной рентой называется рента, плотность которой меняется линейно
со временем:

МО = t.

Накопленная за период [0, п] стоимость такой ренты обозначается
Ты, соответственно ее текущая стоимость обозначается Та„\. Тогда для
текущей стоимости непрерывной монотонной арифметической ренты
на периоде [0, п] имеем равенство
la „ ~ ре *dr.
о

Интегрируя по частям, получим

<52

1-ул nvn _^~иип

~82 8~~ 8

Итак,

Поскольку

Isa =(1+<)” to,

ТО

Таким образом, структура формул для стоимостей единичных ариф-
метических непрерывных рент аналогична формулам (12.50), (12.51)
стоимости единичных арифметических дискретных рент с той лишь
разницей, что в них вместо и i используются их непрерывные
аналоги и 5.

Замечание. Стоимости Is2 и 1а2 (выражения с двумя надчеркиваниями над 1а и
Is) непрерывных рент следует отличать от стоимостей или 1а- (выражения с одним
подчеркиванием). Последние два выражения относятся к так называемым дискретно-
монотонным непрерывным рентам, т.е. рентам, у которых плотность является кусочно-
постоянной функцией:

если 0< t < 1;

если 2<г< 2;

если n-\<t <п.

Стоимость такой ренты можно получить, преобразовав ее в эквива-
лентную дискретную монотонную (арифметическую) ренту, с помо-
щью замены непрерывных платежей, в пределах каждого промежутка
постоянства, на их приведенную к концу этого промежутка стоимость.
Тогда часть ренты, относящаяся к периоду [£—1, £], имеющая на нем
плотность к, заменяется на накопленную к моменту к стоимость,
равную согласно (12.78) для п = 1
ks^

А(я-1) __ ki

8 ~T

Тогда исходная рента преобразуется в арифметическую ренту (7/<5) 1А„
с платежами

Ct=^, к = \,2,...,п.

Накопленная стоимость такой ренты равна, очевидно, (z/5) Л-,. Таким
образом,

i
7s-i =~Zs-| —

8 8

i а-, - nv

I a-^~ — Ia^= -3——.

8 8

Полученные формулы отличаются от своих дискретных аналогов
(12.50), (12.51) только знаменателем, в котором вместо ставки / стоит ее
непрерывный аналог интенсивность <5.

Ренты с дробными сроками. В заключение этой главы коснемся
одного достаточно тонкого вопроса, связанного с рентами.

Во всех формулах, связанных с дискретными рентами, срок л ренты
являлся целочисленно кратным периоду ренты А:

л = kh, ке N.

Здесь срок и период ренты задаются в исходной временнбй шкале.

Принимая в качестве единичного периода период ренты, получим,
что п должно быть целым числом. Тем не менее сами выражения для
стоимостей рент всех видов определены для любых значений парамет-
ров п, i,p, 8 и т.д., входящих в область определения этих выражений, в том
числе и нецелых значений п. Это обстоятельство использовано при
выводе специальных формул стоимости рент. Однако лишь в случае
непрерывных рент значения s7) и <3^ имеют прямой содержательный
смысл для произвольного t> 0, определяемый моделью накопительно-
го фонда (см. (10.23)). Тем не менее во многих практических задачах, в
которых требуется нахождение срока ренты (или числа платежей),
последний находится, например, как решение уравнения

а,- А или .s'- = В

при известных А, В, I, 8 и т.д., но неизвестном п. Решение таких
уравнений может приводить к нецелым значениям п. В этом случае в
качестве решения задачи берется одно из ближайших целых значений т
и т + 1, между которыми лежит полученное значение п:

При этом выбор т в качестве окончательного решения означает изме-
нение (увеличение) последнего (л?-го) платежа ренты на величину (по-
правку), приводящую к точному стоимостному балансу.

Соответственно, выбор в качестве ответа л?+1 означает, что эта
поправка выплачивается отдельно в качестве дополнительного плате-
жа. Текущая величина поправки легко находится из исходного уравне-
ния для п. Например, если п находится из уравнения

а^ = А

при известной ставке /, то, полагая

получим

l-v"

—у

или

1
------— А,
i

Последнее уравнение можно переписать в виде

i i

или

1“^
a-.+vm J
от! j

Смысл этой формулы прост. Исходная рента со стоимостью Л, срок
которой требовалось найти, состоит из обычной ренты с теми же
параметрами и целочисленным сроком и дополнительного платежа (по-
правки), текущая стоимость которого (в момент t - 0)

/>К(с')=л-Оя=^Ц4

Если этот платеж осуществляется в момент т, то поправка равна
с —Г Я'’
где 0 < /3 < 1, если же дополнительный платеж относится на момент
т + 1, то

с' = (1+')оз,-

Пример 12.24. Участник пенсионной схемы к моменту выхода на пенсию имеет на
своем пенсионном счете .#50 000. Согласно пенсионному договору участник получает
с момента выхода на пенсию ежемесячную пенсию в ,#500. Сколько пенсионных
выплат получит участник схемы и какова их общая сумма, если ставка накопления
фонда 10% годовых.

Решение. Выберем в качестве базовой единицы временнбй шкалы месяц. Тогда
срок ренты будет задан в месяцах. Месячная ставка г, эквивалентная ставке накопления
фонда,

r = it/t2 = (1 + 0,1)1/12 - 1 = 0,00797.

Таким образом, пенсионная рента является ежемесячной рентой стоимостью в
,#50 000, ежемесячными платежами по #500 и месячной ставкой г = 0,797%.

Уравнение для текущей стоимости такой ренты имеет вид

500а^г =50000,
1-у"
те Д- =100 или ------= 100,

ffl г

где v ~ 1/(1 + г).

Решая это уравнение, получим

-In(l-lOOr)
п =---L----= 201,1223.

1п(1+г)

Таким образом, в данном случае

т = 201 (мес);

д= 0,1223(мес).

Пусть поправка выплачивается в конце 201 месяца. Тогда она равна

С'= 500а^ = 6О,88(.#).

Следовательно, участник схемы получит 200 ежемесячных платежей по .#500 и после-
дний 201 платеж .#560,88. Общая сумма выплат составит

500-200 + 560,88 = 100560,88( .#).

Если бы поправка выплачивалась дополнительным (отдельным) платежом, то она была
бы равна

(1 + г)С' = (1 + 0,00797)60,88 - 61,36(.#).

Вопросы и упражнения

1. Опишите основные типы рент и их параметры.

2. Выпишите формулы для накопленной и текущей стоимостей простой (стандарт-
ной) ренты.

3. Сформулируйте два подхода к сведению общих рент к простым (стандартным)
рентам: а) метод эквивалентных преобразований; б) метод эквивалентной ставки.
4. Получите из формул стоимостей стандартных рент с нормированной ставкой
выражения для стоимостей рент с использованием: а) ставки начисления ih; б) ставки
дисконтирования dh; в) номинальной ставки г) номинальной ставки д) номи-
нальной ставки j ~ Л“}.

5. Выразите формулы стоимостей стандартных рент в терминах постоянной силы
процентов S.

6. Выразите формулы стоимостей рент с произвольным периодом Л в терминах
постоянной силы процентов S.

7. Выпишите формулу стоимости непрерывной ренты с постоянной плотностью.

Задачи

1. Найти текущую и накопленную стоимости 20-летней обыкновенной ренты
с ежегодными платежами г#500 в конце каждого года при ставке 20% годовых, начисля-
емых раз в квартал. ,

2. Текущая стоимость обыкновенной ренты с ежегодными платежами при ставке
20% годовых равна S1 000. Какова будет текущая стоимость такой ренты, если платежи
(при той же их величине) будут выплачиваться раз в полгода?

3. Найти х из уравнения

(1 + j = tZ-j..

4. Пусть и а^ =у. Выразите ставку i как функцию от % и у.

5. Стоимость обыкновенной единичной вечной ренты равна $20. Найти стоимость
отложенной на 5 лет единичной авансированной вечной ренты.

6. Найти текущую стоимость 5-летней обыкновенной ренты с ежеквартальными
платежами по к руб. в к-м году (к = 1, 2,..., 5), если ставка ренты составляет 16% годовых,
начисляемых ежеквартально.

7. Докажите, что ,

—7Л = 1+^;

- 1 + ^71-

8. Докажите справедливость разложения

п(п~ 1)(я~2) ,

а„ = п +—i----i +—------------+....

2! 3!

9. Упростите выражение .

л=Ю
Глава 13. Финансовые операции в схеме сложных
процентов

Изложение финансовой математики мы начали с анализа простой
кредитной сделки (см. гл. 2) — простейшего примера финансовой
операции. Формальное описание такой сделки сводится к заданию
всего двух финансовых событий: выдаче и погашению кредита. При
выплате процентов в конце периода временная диаграмма такой сдел-
ки будет иметь вид, изображенный на рис. 13.1.

Здесь Р — сумма кредита (основная
сумма долга); S — полная сумма долга
(сумма погашения), включающая как
возвращаемый кредит, так и выплачи-
ваемые проценты /. Формально сделка
описывается представляющим (образу-
ющим или порождающим) потоком

-Р S

-t-------------------------н

Рис. 13.1

Заметим, что знак «минус» в первом событии (выдаче кредита) означа-
ет выбранную ориентацию, с точки зрения которой описывается сдел-
ка. В приведенном выше представлении сделка описывается с точки
зрения кредитора, поэтому выдача кредита (отток средств) задается
отрицательными, а погашение кредита (приток средств) положитель-
ными суммами. Такое описание сделки (см. § 1.3) соответствует точке
зрения инвестора, реализующего сделку. В кредитных операциях роль
инвестора играет, очевидно, кредитор.

В гл. 4 в рамках схемы простых процентов рассмотрены так называе-
мые обобщенные кредитные сделки, в которых единовременно выдаваемая
основная сумма долга Р погашалась серией погасительных платежей.

В настоящей главе мы изучим как обобщенные кредитные сделки,
так и некоторые другие виды общих финансовых операций, например
пенсионные схемы, но в рамках схемы сложных процентов.

В § 1.3 дано общее определение финансовой сделки как пары
финансовых потоков (потоков платежей): исходного
CF ~ {(б ’ ^1 )> (^2 > ^2 )’*'> (би’ £>»)}’
описывающего с точки зрения инвестора (кредитора) отток (расход)
денежных средств, и заключительного (завершающего)

CF*={(^c;),(r;Ic;)>...,(r,+,c;)},

описывающего приток (приход) денежных средств, участвующих в
сделке.

В сумме оба потока дают так называемый представляющий (образую-
щий, порождающий) сделку поток

CF=CF + CF4.

Естественно, что потоки, участвующие в определении общей фи-
нансовой сделки, определенным образом связаны между собой. Напри-
мер, в кредитных сделках, описываемых кредитным CF и погаситель-
ным CF+ потоками, обычно предполагается, что эти потоки сбалансиро-
ваны друг с другом в том смысле, что погасительный поток полностью
и точно погашает долг, т.е. кредитный поток. Конечно, говорить о сба-
лансированности можно, только если задана процентная (или учетная)
ставка, определяющая стоимость (цену) кредита для должника и эф-
фективность (доходность) сделки для кредитора. При заданной норми-
рованной ставке i сбалансированность означает, что последний пога-
сительный платеж приводит к нулевому остатку долга.

Наше изложение мы начнем с анализа различных схем погашения
(для сложных процентов) в обобщенных кредитных сделках.

13.1. Погашение долга

Пусть единовременно выданный в момент tQ кредит на сумму Р
погашается серией погасительных платежей С2, ..., Сп в моменты
времени /соответственно. Временная диаграмма такой кредит-
ной сделки изображена на рис. 13.2. Представляющий эту сделку поток
есть, очевидно, сумма исходного (кредитного) потока

-Р с, с2

-4--------1------1----

h б б

Рис. 1.1

сводящегося к единственному со-
бытию — выдаче в момент /0 креди-
та в размере Р, и заключительного
потока
с/-={е„с,),(г2,с2),..., (/л,с„)},

представляющего собой поток погасительных платежей (коротко, по-
гасительный поток или поток погашения).

В нашем описании обобщенной кредитной сделки все погаситель-
ные платежи считаются заданными. Это безусловно так в момент
завершения сделки t или после него. Однако в более ранние моменты
времени, например в начальный момент, эти платежи могут не быть
непосредственно заданы. Тем не менее они полностью определяются
условиями кредитного договора, в котором задаются базовые времен-
ные, финансовые и другие параметры контракта, такие, как срок
сделки, схема погашения, стоимость кредита (процентная или учетная
ставки) и т.д. Эти параметры позволяют сформулировать основное
балансовое соотношение между кредитным CF~ и погасительным CF+
потоками сделки. Ключевой в этом соотношении является кредитная
ставка, выражающая цену предоставляемого кредита.

В этом параграфе в качестве кредитной используем нормированную
(эффективную) процентную ставку /. Тогда основное балансовое соот-
ношение для обобщенной кредитной сделки относительно момента р
можно выразить в виде уравнения

РИ(СЛ/) = 0, (13.1)

где р — произвольно выбранный момент приведения (полюс, фокаль-
ная дата, момент валоризации). В схеме сложных процентов выполне-
ние этого соотношения для некоторого полюса влечет за собой его
выполнение для любых других полюсов. Поэтому этот момент может
выбираться произвольно. Чаще всего в качестве полюса берется либо
момент последнего погасительного платежа tn — тогда соотношение
(13.1) примет вид

/>^(CF,/) = fK.(C£,/) = 0, (13. Г)

либо момент выдачи кредита — тогда

(13.1")

Равенство (13. Г) равносильно

или

P^(CF’)-^(?) = 0

PVf (P\ = PVt (CF+).

*tt ' ' '/I \ /
Здесь и далее индекс /, обозначающий процентную ставку, как обычно,
будем опускать.

Первое равенство означает, что разность накопленных к моменту
погашения tn стоимостей погасительных платежей и основного долга
равна нулю, а второе констатирует равенство (баланс) стоимостей. Оба
эти соотношения означают, что к моменту t последнего платежа
погасительные платежи полностью и точно погашают долг. Именно
в этом и состоит финансовый смысл балансового соотношения.

Балансовые соотношения играют важнейшую роль в анализе обоб-
щенных кредитных сделок. С одной стороны, при известных потоках
CF~, CF+ и ставке / они позволяют ответить на вопрос: является ли
погасительный поток CF+ достаточным для погашения выданного
кредита, т.е. полностью ли он погашает долг. С другой стороны, соот-
ношения позволяют находить неизвестные, но неявно заданные пара-
метры обобщенной сделки по известным параметрам. Так, при усло-
вии, что погасительный поток полностью погашает кредит, на балан-
совое равенство можно смотреть как на уравнение для кредитной
ставки. В этом случае определяемая заданными потоками CF~ и CF+
ставка i называется внутренней кредитной ставкой сделки.

Последняя представляет собой важнейшую характеристику эффек-
тивности сделки с точки зрения кредитора. Она также называется
внутренней доходностью сделки. Обсуждению вопросов, связанных с
эффективностью финансовых операций, в частности с их доходнос-
тью, посвящена следующая глава.

Задание ставки / кредитного потока и так называемой схемы погаше-
ния позволяет находить элементы погасительного потока. Поскольку
именно эта задача чаще всего решается на практике, в этом параграфе
уделим ей наибольшее внимание.

Таким образом, в дальнейшем, если не оговорено противное, при
анализе обобщенных кредитных сделок считаем заданными (в качестве
исходных данных) кредитный поток CF~, процентную нормирован-
ную ставку i и схему погашения долга, которая описывает некоторые (но
не все) существенные характеристики погасительного потока. В общем
случае задание схемы погашения сводится к заданию минимального
числа независимых параметров погасительного потока, позволяющих
полностью определить (восстановить) этот поток, т.е. как моменты, так
и суммы погасительных платежей. В наиболее часто встречающихся на
практике случаях предполагается, например, что погасительный поток
представляет собой ренту, следовательно, как моменты, так и суммы
платежей обладают определенной регулярностью.

К типичным схемам погашения долга относится, например, схема,
погасительный поток которой представляет собой постоянную ренту,
т.е. ренту с постоянными по величине платежами. Имеются также
схемы, в которых явным образом разделены процентные и основные
погасительные платежи. Имеются и другие схемы, которые более
подробно будут рассмотрены ниже. Во всех случаях цель анализа
обобщенных кредитных сделок будет состоять, во-первых, в определе-
нии всех неизвестных (не заданных схемой погашения) элементов
погасительного потока, во-вторых, в определении правила, позволяю-
щего для любого момента времени вычислить состояние сделки (не-
выплаченный остаток или сальдо кредитного счета), и, в-третьих,
в определении правила, позволяющего, если это необходимо, разло-
жить погасительные платежи на процентную и основную части. Приве-
дем решение этих задач для основных типов схем погашения, встреча-
ющихся на практике.

Определение невыплаченного (остатка) долга. Во всех случаях в каче-
стве базовой модели, используемой при анализе обобщенных кредит-
ных сделок, выберем модель счета с переменным капиталом (см. гл. 10).
В этом случае реализация обобщенной кредитной сделки описывается
в терминах ссудного (кредитного) счета, открываемого в момент на
сумму —Р. Отрицательность начальной суммы означает, что рассматри-
вается именно ссудный (с точки зрения кредитора), а не накопитель-
ный счет. Погасительные платежи трактуются как вложения, изменяю-
щие состояния ссудного счета. При этом состояние ссудного счета
в любой момент времени и будет представлять собой соответствующее
состояние самой кредитной сделки. Финансовый смысл состояния
заключается в том, что он указывает на величину невыплаченного долга,
т.е. остаток или сальдо долга на данный момент.

В соответствии с результатами состояние в момент t ссудного счета,
порожденного потоком СР, т.е. представляющим потоком сделки (см.
формулу (10.11)),

где CF\ — начальный отрезок потока или его сужение
на отрезок [/0, /]. Таким образом, начальный отрезок CF\ включает
выдачу кредита и погасительные платежи Ск, предшествующие момен-
ту t (включая сам этот момент).

Мы используем обозначение CF\ для начального отрезка потока
вместо использовавшегося ранее обозначения CF\t (без минуса навер-
ху), так как в этой главе придется иметь дело с конечным отрезком (ос-
татком) потока после момента /, который обозначим CF\* (с плюсом
наверху). Следует быть внимательным и не путать минус и плюс в обоз-
начениях кредитного CF~ и погасительного CF+ потоков с минусом и
плюсом (после вертикальной черты) в обозначениях начального СЛ|~
и конечного CF\+; отрезков полного потока CF= CF~ + CF+.

При заданной кредитной нормированной ставке / формулу для
состояния счета в развернутом виде можно записать как

Таким образом, состояние сделки или сальдо (остаток) ссудного
счета в момент t есть разность накопленных к моменту t стоимостей
погасительных платежей и долга. Такой метод определения состояния
называется ретроспективным, поскольку в нем учитываются только
платежи, предшествующие моменту t. Если известно также, что погаси-
тельный поток CF* полностью и точно погашает долг, т.е. выполняется
балансовое равенство (13.1), то, отделяя в этом равенстве события,
предшествующие моменту г, от событий, следующих за ним, получим
равенство

! \ / 1 \ I/ \t ) Ц I/ у ’ \ 9 у ’

откуда

= = (13.3)

где

w,(cr\;)= х ct(i+(r = х су- (134

k:tt>r

— текущая (приведенная к моменту t) стоимость платежей, следующих
за моментом Л

Таким образом, согласно (13.3), состояние сделки (сальдо счета)
в момент t есть взятая с обратным знаком текущая (в этот момент)
стоимость всех оставшихся погасительных платежей. Действительно,
если имеется общий баланс между выданным кредитом и всеми пога-
сительными платежами, то не выплаченный к моменту t остаток долга
полностью погашается оставшимися погасительными платежами. Сле-
довательно, равенство (13.3) имеет тот же смысл, что и равенство (13.1).
Различие состоит в том, что роль выданного кредита из равенства (13.1)
играет невыплаченный остаток долга.

Равенство (13.3) описывает так называемый проспективный метод
определения остатка долга, поскольку в нем используются лишь буду-
щие по отношению к моменту t погасительные платежи.

Еще раз подчеркнем, что равенство (13.2) (ретроспективный метод)
дает значение остатка долга для любого погасительного потока, тогда
как (13.3) (проспективный метод) — лишь для погасительного потока,
сбалансированного с кредитным потоком, иными словами, когда вы-
полняется основное балансовое соотношение (13.1).

Эти методы различаются также той информацией, которая необхо-
дима для вычисления остатка долга. В проспективном методе следует
знать только конечный отрезок (после момента 7) погасительного
потока, в частности должна быть известна дата погашения, а в ретрос-
пективном — только часть информации, относящаяся к периоду до
момента оценки состояния счета; например, нет необходимости знать
даже срок сделки.

Структура погасительных платежей: основная и процентная части.
Как отмечалось в гл. 10, для анализа динамики накопительного счета
с переменным капиталом нет необходимости в разложении состояния
счета на основную и процентную составляющие, поскольку текущее
полное состояние вместе с внешним потоком однозначно определяет
все последующие (полные состояния). Так, для двух смежных крити-
ческих моментов t t справедливо рекуррентное уравнение

Я'* ) = +<3, (13.5)

где hk = tk -tk i — длина &-го погасительного периода.

Тем не менее одна из задач анализа обобщенных кредитных опера-
ций будет состоять в разложении погасительных платежей на процент-
ную, идущую на выплату текущих процентов, и на основную, идущую на
погашение основного долга, части.

Напомним, что для заданного состояния 5(7) счета в момент 7 и
процентной ставки i проценты, накопленные за любой период [7,7 + Г]
в схеме сложных процентов, определяются равенством

IT = / (t,t + Г) = S(r + Г) - s(r) = +i)r -1
при условии, что в период [г, t + Г] не было (внешних) довложений
и изъятий капитала.

Это равенство можно переписать в виде

IT=S(t)iT, (13.6)

где

/г=(1+/У-1

— процентная ставка за период Т, эквивалентная заданной кредитной
ставке Z.

В силу принятой интерпретации ссудного счета для кредитной
сделки состояние счета S(t) в момент времени t < t отрицательно, т.е.
S(t) < 0, что означает наличие невыплаченного остатка долга. Соответ-
ственно проценты Ik = tk), начисленные за период hk на остаток S(t )
счета в момент tk, также отрицательны, т.е.

/* = К < 0. (13.7)

В соответствии с заданной схемой погашения погасительный платеж
Ск (который считается положительным) разлагается на два слагаемых:

Ct = 4 + Pt, (13.8)

где

Г _Япр)

J к ~^'к

— процентная часть погасительного платежа, представляющая выпла-
чиваемые за период hk проценты, а

/’=С'“Н>

— основная часть погасительного платежа, идущая на погашение
долга. В так назывемых нормальных схемах погашения предполагается,
во-первых, что начисленные и выплачиваемые проценты совпадают по
абсолютной величине, точнее,

и, во-вторых,

С>Р
к к

или, что то же самое, Рк > 0. Тогда с учетом (13.6) и (13.7) равенство
(13.5) можно переписать в виде

— Sk j (1 + ih j + Ck — Sk } — Jk + Ck = Sk + Pk
Л. n.~J Л Jfjl. i K, A-“J А. ft n.'— I ft

ИЛИ
A5t=St-5'1., = /’. (13.9)

Таким образом, в нормальных схемах основная часть погасительно-
го платежа за некоторый период в точности равна изменению остатка
счета за этот период. Учитывая отрицательность Sk и положительность
Рк, получаем, что Рк есть сумма, на которую уменьшается по абсолют-
ной величине остаток долга за к-й период после выплаты погаситель-
ного платежа.

Суммируя равенства (13.9) для к = 1, 2,..., пи учитывая, что 5(1 = ~Р
и 5 ~ 0, получим
п ” п

Следовательно, в нормальных схемах погашения

п
р=^-
к=1

Если не оговорено противное, будем рассматривать лишь нормаль-
ные схемы погашения.

Перейдем к анализу конкретных видов схем погашения, используе-
мых в обобщенных кредитных сделках. Некоторые из этих схем изуча-
лись (см. гл. 4) в рамках теории простых процентов. Здесь же анализ
схем погашения основан на теории сложных процентов, точнее, на мо-
делях с переменным капиталом (см. гл. 10).

Анализ схем погашения для обобщенных кредитных сделок начнем
с простейшей схемы единовременного погашения основного долга в
конце срока. Последняя является непосредственным обобщением про-
стой кредитной сделки с выплатой процентов в конце срока.

Единовременное погашение основного долга в конце срока с периоди-
ческой выплатой процентов. В общем виде эта схема погашения описы-
вается следующим образом.

Кредитный поток задается единственным событием

Погасительный поток СР представляет собой сумму процентной ренты

где tk = tk~{ + Л, к = 1, 2,..., л; h — период ренты; Jk = Jk(tk_{, tk) —
выплачиваемые проценты за к-it период [tk р /J; / — нормированная
процентная ставка, и заключительного погасительного платежа
СМ= {(r„ Р)}.

Таким образом, погасительный поток СА+ имеет вид

сг ={(/„/,), (г2, а), j,+/>)}.

Для заданной нормированной ставки / определенный выше погаси-
тельный поток полностью и точно погашает долг. В самом деле, для
последовательных критических моментов /0, tn легко находятся
состояния 5, = S(t.) счета. Так, для L, t. имеем
к 4 К' V I

Проценты, которые будут выплачены за 1-й период, равны

Л = P[(l + 1) -1J

и, следовательно, 5 = —Р.

Еще раз напомним, что начисленные на остаток долга проценты
будут иметь отрицательный знак, поскольку ненулевой долг в анализи-
руемой схеме описывается отрицательным числом. Наоборот, выплачи-
ваемые проценты совпадают с начисленными по абсолютной величи-
не, но имеют противоположный знак, т.е. положительны.

Совершенно аналогично

5=5= .. = 5 =-Р.
2 3 л—1

Наконец, для момента погашения tn имеем

s„=SA, (1 +')* + А+р=-рС+')*+/{о+' г - ]+ р=°-

Таким образом, в момент долг полностью (и точно) погашается.

Напомним, что выражение (1 + /)А -1 есть не что иное, как процен-
тная ставка in за период h, эквивалентная исходной (нормированной)
ставке i. Следовательно,

Jk - Pih = J — const для всех k = 1,2,..., n.

Особенно простой вид эта схема погашения принимает в случае,
когда период процентных платежей совпадает с единичным периодом
временнбй шкалы. Тогда h = 1 и Jk = Р/ддя всех£= 1,2,..., л; 5fc = —Рдля
всех£= 1, 2,..., п - 1 и 5 =0.

Пример 13.1. Рассмотрим трехлетний кредит на сумму . 100 000. Долг погашается
единовременным платежом в конце 3-го года. Проценты по кредиту выплачиваются в
конце каждого полугодия. Найти величину погасительных выплат, если: а) нормирован-
ная ставка по кредиту составляет 21% годовых; б) номинальная годовая ставка по
кредиту — 21%, начисляемых по полугодиям.

Решение. Выбирая в качестве базовой годовую шкалу с /() = 0, имеем согласно
условию

Р =<#100000; Л = 3 2 = 6; £=-.

а) Ставка i за полугодие, эквивалентная i = 21% годовых,

+ 1=0,1.

Следовательно, соответствующие моментам tk = к/2, к ~ 1, 2,6, процентные выплаты

4=А]/2= 10000(.#), £=1,2, .... 6.

Соответственно

С* = 4= 10 000(,#), £=1,2, ..., 5,

с =/, + /’ = 1 ю ооо( .#).
о о '

б) Ставка за полугодие

;W mi

i-— =----------= 0,105.

1/2 2 2

4=?/!/2= 10 500(.#), £=1,2,..., 6,
ck = Jk = 10 500(.#), £ = 1,2,..., 5,
C=P+Z= 110 5001 J?).

Поэтому

Соответственно
и

Описанная схема погашения фактически совпадает с так называе-
мой облигационной схемой погашения, когда кредит оформляется в виде
эмиссии должником облигаций — долговых ценных бумаг специаль-
ного вида. Каждая облигация имеет фиксированные реквизиты: номи-
нал /’(основная сумма долга), срок обращения в годах т (срок кредит-
ной сделки) и так называемую купонную ставку с (процентная ставка
за кредит). Кроме этого, обычно указывается кратность (частота)
купонных, или процентных, выплат. Эти выплаты обычно осуществля-
ются один раз в год (типично для европейского рынка) или два раза
в год (типично для рынка США). Владелец облигации (кредитор)
в течение срока обращения получает купонные (процентные) платежи,
а в конце срока (в дату погашения) кроме купонного платежа еще
выплату основного долга — номинала. Выдача кредита реализуется
покупкой облигации. При этом в момент эмиссии цена облигации
практически равна номиналу. Наконец, купонная ставка с определяет
величину купонных годовых выплат по формуле

J= Fc,

а для полугодовых выплат
Таким образом, купонная ставка есть просто номинальная процент-
ная ставка с кратностью начисления, совпадающей с частотой купон-
ных выплат.

Пример 13.2. Рассмотрим двухгодичную облигацию с номиналом F= :^?500,
купонной ставкой с = 8% годовых и с полугодовыми купонными выплатами. Найти
поток платежей, связанных с этой облигацией.

Решение. По облигации будет сделано четыре платежа, три из которых только
купонные, а последний кроме купонного платежа включает выплату номинала. Величи-
на купонного платежа

7=у = 500Др = 20(Д?).

Таким образом, полагая (в годовой шкале) tk = к/1, получим

<4 = 20(J?), £=1,2, 3, 4,

и, следовательно, поток платежей, связанных с этой облигацией,

Ц = 4= 20(0, £=1,2,3,
и
С4 = F + У4 = 500 + 20 = 520(0.

Равномерная схема с постоянными погасительными платежами. Эта схе-
ма наиболее распространена при кредитовании покупки недвижимости.
Она подразумевает погашение единовременно выданной суммы кредита
регулярными и постоянными по величине погасительными платежами.

Таким образом, погасительный потокCF+ представляет собой обык-
новенную срочную ренту с постоянными платежами:

CF+ ={(/*,С)=tQ + kh, к = 1,2,...,п].

Здесь tk — моменты погасительных платежей; h — период ренты; С —
величина погасительных платежей.

Для упрощения изложения выберем единичный период временной
шкалы совпадающим с периодом ренты. Тогда погасительный поток
превратится в стандартную ренту с единичным периодом (р = I) и сро-
ком п.

В этом случае tk~ £, к ~ 0, 1, ..., п. Тогда, если / — нормированная
ставка, то для данной схемы уравнение баланса

FVXP}=FV\CF*}

будет иметь вид

Pa"=Cs^ (13.10)
где а = 1 + / — нормированный коэффициент роста;

ап-1

(13.11)

— множитель наращения единичной (стандартной) ренты.

Равенство (13.10) позволяет определить размер погасительных пла-
тежей по величине долга Р, процентной ставке / и сроку л:

С~ р а

(13.12)

Из (13.11) следует, что

an = is-.. +1,
л|/ 7

так что равенство (13.12) можно переписать в виде
й-,+1 ( 1 Л

— = Р /+-- .

(13.13)

Сальдо (остаток) счета в момент tk определится, согласно равенству
(13.2) (по ретроспективному методу), соотношением

Таким образом, состояние Sk, определенное по ретроспективному

методу, имеет вид

st=-P

S—। S—1

п\ л! —_р

ап-ак
ап-1

(13.14)

Из этого соотношения легко получить разложение

C = J + А
к к
к-го погасительного платежа на основную Рк и процентную Jk части.
Согласно (13.7) - (13.9) и (13.14), имеем
к £-1

pt=&st=st-skl=p^-

A А А А I

Л Л-&+1

,i=Piа . (13.16)

к к 1 £7Л-1
Равенства (13.12) — (13.16) полностью описывают равномерную схе-
му погашения с постоянными погасительными платежами. С их помо-
щью по заданным величинам кредита, срока и процентной ставки
можно составить так называемый график погашения долга, который для
каждого критического момента t~ к указывает величину погасительно-
го платежа, его разложение на основную и процентную части, а также
остаток долга после осуществления погасительного платежа. Графики
погашения долга подробно рассмотрены в гл. 4. На практике они
оформляются в виде таблиц, столбцы которых соответствуют вычисля-
емым величинам графика.

Мы получили формулы (13.12), (13.14) для сальдо счета и разложе-
ния погасительных платежей исходя из ретроспективного метода при
условии выполнения уравнения баланса (13.10).

Для проспективного метода в момент/- к, согласно (13.3) и (13.4),
остаток счета

5t=-PK.(c/i:)=-C^. (13.17)

В частности, полагая к - 0, получим еще один вид балансового

равенства

Отсюда следует, что

(13.18)

Используя (13.18), формулу (13.17) для остатка счета можно перепи-

сать как

(13.19)

Разложение

c=q=4 + Pt

в этом случае примет вид

(13.20)

= -St

“л

(13.21)

Особенно простой вид эти формулы примут, если
Тогда все погасительные платежи — единичные, т.е.

и погасительная рента — стандартная единичная рента CF+ - Ал.
Для этого случая в момент t = к сальдо счета определяется как

vn~k -1

^=-^=~(13.22)

где v = а~*. При этом процентная часть А-го погасительного платежа
равна

jk=_Skj = ]-vn^\ (13.23)

а основная

(В.24)

Табл и на 13.1

Период к Часть платежа Остаток долга |Xj
процентная часть 4 основная часть Pk
0
1 I -V" V" a~i\
2 I - VK'~} a~2\

и 1 - и и 0

График такой схемы погашения долга (табл. 13.1) вполне уни-
версален. Если рассматривается схема, в которой погасительные
платежи С Ф 1, то для того, чтобы получить соответствующий график
погашения, достаточно все столбцы, кроме первого, умножить на С.
Само значение С определяется по формуле (13.12) или (13.18), исходя
из заданной величины кредита Р, ставки iи срока п.

Мы рассмотрели равномерные схемы лишь в стандартном случае,
когда период погасительной ренты совпадает с единичным периодом
временной шкалы. В общем случае для применения полученных фор-
мул необходимо сначала найти значение ставки за период ренты,
эквивалентной заданной кредитной ставке (любого вида), а затем во
всех формулах считать срок в периодах, а вместо / использовать /Л.
Пример 13.3. Пусть кредит в ЖООО сроком на 3 года погашается одинаковыми
ежеквартальными платежами в конце каждого квартала. Составить график погашения
долга, если эффективная нормированная ставка по кредиту составляет 36% годовых.

Решение. Найдем сначала эквивалентную квартальную ставку:

/кв=/1/4 = (1 + 0,36)^ -1 = 0,0799, или 7,99%.

Выберем в качестве базового промежутка квартал. В этом случае погасительная рента
станет стандартной рентой сроком п = 12. При нормированной ставке i = - 7,99%

размер погасительного платежа

С = -^-М32,63р?).

0.0799

Теперь по формулам (13.19) - (13.21) легко найти как отдельные компоненты
погасительных платежей, так и соответствующие остатки долга на моменты платежей.

В частности, поскольку

So = -1000(Я),
то

= -Sai = 1000-0,0799 = 79,90 (J?);

= С - /, = 132,63 - 79,90 = 52,73(.4?);

5, = So + Р, = -1000 + 52,73 - - 947,27( .#).
Для второго периода получим

= -5/ - 947,27-0,0799 = 75,69(.'О;

Р2 = С - Z, = 132,63 - 75,69 = 56,94 (.>?);

S2 = 5, + Р2 = -947,27 + 56,44 = -890,33( .Л’).

Аналогично можно вычислить значения всех остальных элементов погашения (табл. 13.2).

Табл и ца 13.2

Период к Часть платежа Остаток долга |SJ
процентная часть Jk основная часть Рк
0 — — 1000
1 79,90 52,73 947,27
2 75,69 56,94 840,33
3 71,14 61,49 828,85
4 66,22 66,40 762,44
5 60,92 71,71 690,74
6 55,19 77,44 613,30
7 49,00 83,62 529,68
8 42,32 90,31 439,37
9 35,11 97,52 341,85
10 27,31 105,31 236,54
11 18,90 113,73 122,81
12 9,81 122,81 0
Формулы (13.22) - (13.24) позволяют также определить, как пере-
распределяются со временем основная и процентная части погаситель-
ного платежа и в общем случае, когда С Ф 1. В самом деле, если С —
величина погасительного платежа в равномерной схеме погашения
с величиной долга Р, то согласно этим формулам
а

Pt=C-Jt =Со”-‘и.
К к

Таким образом, с увеличением к, основная часть Р растет, а процен-
тная убывает по показательному закону. В частности, для к = 1

При больших л множитель г" будет мал, особенно для больших ставок/.
Таким образом, начальные погасительные платежи идут исключитель-
но на выплату процентов и лишь небольшая часть на погашение
основного долга. Это, в свою очередь, ведет к медленному уменьшению
основной суммы долга, а следовательно, к поддержанию больших
процентных выплат. И лишь спустя большое число периодов снижение
основного долга приведет к уменьшению процентных выплат и к
повышению доли, идущей на погашение долга, который начинает
погашаться все более быстрым темпом.

В описанной схеме предполагается, что погасительная рента немед-
ленная, т.е. выплаты начинаются уже в конце первого периода. На
практике возможны различного вида отсрочки погашения. В таких
случаях погасительная рента является отложенной. Период между
выдачей кредита и началом первого платежного периода называется
льготным периодом. Расчет погасительного платежа в этом случ’ае осу-
ществляется методом, вполне аналогичным описанному выше, за ис-
ключением того, что в приведенных формулах вместо основной суммы
долга Р следует использовать ее наращенное к концу льготного периода
(т.е. началу платежного периода) значение

где т — число периодов отсрочки.
Общая амортизационная схема. Рекуррентное уравнение (13.5) дина-
мики счета

St = 51_,(1 + /) ‘+Ct

дает разложение

С = J, + Pt
к к к

для погасительного платежа, где

Л ^4-р О

— процентная, и

рк = bsk=sk-sk_{

— основная части погасительного платежа за к-й период.

При этом

(13.25)

*=1

Последнее равенство вполне естественно, поскольку' оно просто озна-
чает, что основные части погасительных платежей в сумме полностью
погашают долг.

В схеме погашения с постоянными погасительными платежами
величина основной части определялась неявно условием постоянства
погасительных платежей. Наоборот, в первой рассмотренной (облига-
ционной) схеме погашения явно задавались именно основные части
погасительных платежей условиями

P* = 0; £ = 1, 2,..., л — 1; Р-Р,

а процентная часть вычислялась по остатку долга. Схемы погашения,
в которых явным образом указывается структура основных частей пога-
сительных платежей, а процентная часть и сами погасительные плате-
жи вычисляются по этим данным, называются амортизационными.
Таким образом, общая амортизационная схема задается произвольной
последовательностью событий (потоком)

СР = {(/1Л),(г2,А),.

с положительными (Рк > 0) платежами, удовлетворяющими уравнению
баланса

Jt=l

Этот поток называется амортизационным.

Для амортизационной схемы остаток долга в конце />го периода
[Г*_р (после £-го платежа) равен
к
s^^-p-
J=i

Начисленные проценты за этот период составят

л=4'< -I л)=Ri+О'* -11=\ ,

где /А = (!+/)** -1 ~ ставка за период hk “ tk —tk~v
Соответственно, выплаченные проценты

4 = 4-

а погасительные платежи Ск = Jk + Рк.

Выплачиваемые проценты образуют процентный поток

С/ — Jj), (j-), J2 ),•••! (^,5 )}’

который в сумме с амортизационным потоком СР дает погасительный
поток

CF+ =CP + CJ.

В типичных случаях амортизационный поток (основных платежей)
представляет собой ренту. Один из самых распространенных видов
амортизационного потока ~ рента с постоянными платежами (равно-
мерная амортизация}. В этом случае

Р=Д=... = Р,
1 2 гг

откуда согласно (13.25) следует, что

Р~Р!п, к^ХД^п.

(13.26)

В частности, для стандартной амортизационной ренты (hk = 1)
с постоянными основными платежами и нормированной ставкой i все
элементы погасительных платежей легко найти в явном виде. В самом
деле, остаток долга в конце Л-го периода будет

процентный платеж за &-й период

и к-й погасительный платеж
Пример 13.4. Кредит в J^IO ООО сроком на 10 лет погашается постоянными
ежегодными основными платежами вместе с соответствующими процентами. Найти
величину погасительных платежей, если ставка по кредиту составляет 20% годовых.

Решение. Согласно условию, схема погашения — равномерная амортизация.
Поскольку Р - J?10 ООО и п = 10 лет, то

/> ^ = 1000(.»ВГОд).

Остаток долга в конце /с-го периода

Sk = -(10000 - ЮООЛг) = -1000(10 - к).

Проценты за £-й период

4= 1000(11 - Л)0,2 = 200(11 -к).

Следовательно, погасительные платежи

Ск = 1000 + 200(11 - к) = 3200 - 200Л, к - 1, 2,..., 10.

График погашения долга приведен в табл. 13.3.

Таблица 13.3

Период к Часть платежа Погасительный платеж Ск Остаток долга |5j
процентная часть Jk основная часть Л к
0 — — — 10000
1 2000 1000 3000 9000
2 1800 1000 2800 8000
3 1600 1000 2600 7000
4 1400 1000 2400 6000
5 1200 1000 2200 5000
6 1000 1000 2000 4000
7 800 1000 1800 3000
8 600 1000 1600 2000
9 400 1000 1400 1000
10 200 1000 1200 0

Заметим, что стандартные амортизационные схемы для сложных
процентов полностью идентичны аналогичным схемам погашения в ак-
туарной модели (см. гл. 4). Это следует из совпадения рекуррентных урав-
нений динамики счета для актуарной модели и стандартной накопитель-
ной модели (с периодом начисления h = 1). Сказанное обосновывает при-
водившееся выше утверждение, что актуарная модель, по существу, от-
носится к схеме сложных процентов, хотя излагалась в схеме простых
процентов. В частности, отсюда следует справедливость балансового
уравнения (4.11) и (4.13) для актуарной модели погашения долга.

На практике используют не только равномерную, но и так называе-
мую ускоренную амортизацию. В этом случае основные платежи по
долгу Pk убывают. Обычно это убывание описывается либо линейным
законом, и тогда поток

СР = {(г„/’),(/2>Р2),...,(/„Д)}

представляет собой арифметическую убывающую ренту

Л+1= рь~2’•••’п~ ь

где D > 0 — разность прогрессии, либо показательным законом, и тогда
поток СР представляет собой геометрическую убывающую ренту

Л+1 = Л?,

где q (0 < q < 1) — знаменатель прогрессии.

В § 5.3 описан один метод ускоренной амортизации процентов, так
называемый метод 78-х для схемы потребительского кредита. Там речь
шла об ускоренной амортизации именно процентов, а основная часть
погасительного платежа предполагалась постоянной. Однако практи-
чески те же формулы мы получим, если применим этот метод к аморти-
зации основного долга. Полагая, как и в § 5.3

0<w*<l; D-uP\ 0<и< 1,
где wk — вес k-й основной части погасительного платежа, получим

wk.l = wk~u

или

wk = w{-(k-k- 1, 2,..., n.
Кроме того, из условия баланса

1Х=|

Jt=l

с учетом (13.27)

W[ + W-^n^.

(13.27)

(13.28)
Из трех параметров wn, и (при заданном п) один можно выбирать
произвольно при условии, что остальные два, определяемые уравнени-
ями (13.27), (13.28), удовлетворяют условиям;

О < w < w. < 1, 0 < и < 1.
к I ’

Полагая параметрп- 12 и м = из (13.27), (13.28) получим (см. §5.3)

1 12 1

и~—; ж - —; ж, = —

78 ' 78 12 78

Это и есть метод 78-х, при котором долг Р погашается 12-ю (напри-
мер, ежемесячными) убывающими по величине платежами:
J

И- к

Pt = WtP = L7TP’ * = 1>2’->12'

Остаток долга для Л-шага

У=1

(13-£)(12~£)

156

к~],2,...,)2.

Отсюда легко получить процентную часть погасительных платежей
(14-Т)(13-А)

‘-1 156

Таблица 13.4

Период к Часть платежа Погасительный платеж С. к Остаток долга |5J
процентная часть J, к основная часть Рк
0 — — 7800
1 780 1200 1980 6600
2 660 1100 1740 5500
3 550 1000 1500 4500
4 450 900 1350 3600
5 360 800 1160 2800
6 280 700 980 2100
7 210 600 810 1500
8 150 500 650 1000
9 100 400 500 600
10 60 300 360 300
11 30 200 230 100
12 10 100 110 0
где i — ставка за период ренты. Соответственно за период к полный
погасительный платеж

Ct = Pt+Jk

14-Л.1-
---- +------1 Р.

78 V 2 )

Пример 13.5. Построить график погашения кредита на сумму Р = .>/ 7 S00 ежеме-
сячными платежами по методу 78-х при месячной ставке = 10%.

Решение. График погашения приведен в табл. 13.4.

Аналогично можно рассматривать геометрическую амортизацию,
в которой основные платежи убывают по показательному закону:

А: = 1,2,...,/7-1.

получим рекуррентное уравнение

wt+i = wt<7 (13.29)

ИЛИ

k = \t2,...,n, (13.30)

и, как следствие уравнения баланса, равенство

л \ — йп

2,^ =и'1т—=1- (13.31)

fc=i 1 ч

Выбирая при фиксированном п один из параметров или q и опре-
деляя второй из уравнений (13.29) — (13.31) таким образом, чтобы
выполнялось условие

0<и,1,<у< 1,
мы полностью определим основные части погасительных платежей,
а задание процентной ставки позволит определить процентные части
и сами погасительные платежи.

Пример 13.6. Кредит на сумму Р = //?3000 погашается четырьмя платежами в
конце каждого квартала по «геометрической» амортизационной схеме, в которой
основные платежи уменьшаются последовательно в 2 раза. Построить график погаше-
ния долга для квартальной ставки 20%.

Решение. В данном случае п = 4, q = 1/2. Таким образом, уравнение (13.31)
принимает вид .

И, --= 1

1--

откуда с учетом (13.29) последовательно получаем

33-5169
2

_8_.

И’.

, -А-
2 ”15’

;

3 15

и. =—

4 15

График погашения приведен в табл. 13.5.

Табл и ца 13.5

Период к Часть платежа Погасительный платеж Ск Остаток долга
процентная часть Jk основная часть Р. к
0 — — 3000
1 600 1600 2200 1400
2 280 8р0 1080 600
3 120 400 620 200
4 40 200 240 0

13.2. Фонды погашения

Выше обобщенные кредитные сделки описывались с точки зрения
кредитора. В частности, поток погасительных платежей состоял из
платежей подолгу, получаемых непосредственно кредитором.

Мы отмечали также, что описание сделки с точки зрения должника
зеркально симметрично описанию с точки зрения кредитора, т.е. пред-
ставляющие сделку потоки просто противоположны по знаку. Это дей-
ствительно так, если речь идет об описании непосредственно схемы
погашения долга. Кредитор всегда получит выплаты по долгу в соответ-
ствии с заданной кредитным контрактом схемой погашения. А вот
реальные выплаты должника могут отличаться от погасительных плате-
жей, предписываемых схемой.

Рассмотрим, например, погашение долга единовременным плате-
жом в конце срока, но с периодической выплатой процентов. Это об-
лигационная схема погашения, с которой началось описание схем
погашения. В случае значительной суммы кредита, а так это и бывает
при облигационных займах, должнику без предварительного накопления
трудно погасить большой основной долг, поскольку это часто требова-
ло бы мобилизации и/или изъятия крупных денежных сумм. Выходом
в таких случаях является создание специального фонда погашения,
в котором должник аккумулирует средства, необходимые для погаше-
ния основного долга.
Фонд погашения (sinking fund) формируется периодическими по-
стоянными или переменными взносами. При этом на накопленный
капитал фонда начисляются и выплачиваются проценты по ставке,
в общем случае отличающейся от ставки по кредиту. Таким образом,
фонд погашения (погасительный фонд, фонд накопления) — это
накопительный счет с переменным капиталом, порожденный потоком
платежей должника.

Важно понимать существенное различие между погасительными
платежами и взносами в фонд погашения. Так, в облигационной схеме
погашения никаких выплат по долгу, кроме процентных платежей, по
контракту не предусматривается. Более того, во многих случаях дос-
рочное погашение, т.е. погашение вне заданного графика, может вооб-
ще запрещаться контрактом. Иными словами, кредитор, даже получив
погасительный платеж, превышающий текущие проценты, не обязан
уменьшать сумму основного долга. Кредитор далеко не всегда стремится
получить долг обратно как можно скорее. Так, если кредитная ставка в
момент выдачи долга была высока, но со временем снизилась, то кре-
дитор не заинтересован в досрочном погашении долга, поскольку воз-
вращенные суммы ему придется размещать уже по более низкой став-
ке, что ведет к снижению его дохода от кредитной сделки. Напротив,
должник заинтересован в таких случаях в досрочном погашении долга,
поскольку, погасив долг, он может тут же взять его уже по меньшей
стоимости. Такая операция, называемая рефинансированием, во многих
случаях действительно допускается, например в ипотечных кредитах
(при покупке недвижимости), в ряде облигационных кредитов и др.
С финансовой точки зрения фонд погашения выгоден для должника,
если ставка накопления фонда превышает ставку по кредиту. Если обе
ставки равны, то расходы по обслуживанию долга должником, которые
включают как взносы в фонд, так и выплату процентов, составляют
поток платежей, эквивалентный потоку погасительных платежей.

Фонды погашения используются прежде всего в тех случаях, когда
схема (график) погашения долга жестко фиксируется контрактом.
Не следует думать, что создание фонда погашения зависит лишь от
желания должника. Как правило, создание такого фонда оговаривает-
ся в кредитном контракте и служит одним из условий обеспечения
возврата кредита. Поэтому кредитный контракт не только полностью
определяет схему погашения долга, но и некоторые условия, касающие-
ся фонда погашения. Так же как и в расчетах погасительных платежей
рассмотренных выше схем погашения долга, в задачах планирования
33*
фонда погашения необходимо определить величину взносов в фонд
погашения. Следует помнить, что взносы в фонд погашения идут на
погашение основного долга; по своему смыслу они аналогичны основ-
ной части погасительных платежей в схеме погашения долга. Кроме
взносов в фонд погашения должник выплачивает текущие проценты
по долгу.

Обычно проценты выплачиваются должником из текущего дохода,
а не из фонда погашения. Тем не менее на практике иногда взносы в фонд
предназначаются как для выплаты основного долга, так и для выплаты
процентов. Это наблюдается в тех случаях, когда взносы в фонд делаются
чаще, чем предписываемые схемой погашения процентные платежи.

Сумма взноса в фонд погашения и текущих процентов по долгу
называется срочным платежом. Взносы в фонд вместе с начисленным
процентным доходом составляют накопленную сумму погашения, пред-
ставляющую собой состояние фонда погашения. Для того чтобы долг
был погашен полностью, эта сумма должна в конце срока кредита
совпасть с основной суммой долга.

Таким образом, состояние фонда погашения равно текущей (на-
копленной) сумме погашения и по своему смыслу противоположно
(двойственно) состоянию ссудного счета — остатка долга для схемы
погашения. Следовательно, при анализе схем погашения, предусмат-
ривающих создание фонда накопления, необходимо различать состоя-
ние ссудного счета (счета кредитора) и состояние погасительного счета
(фонда погашения). Состояние в момент t ссудного счета обозначим,
как и выше, 5(Г), а погасительного — 5+(0. Для критических моментов
tk эти состояния обозначаются коротко 5* и 5^ соответственно.

Напомним, что S(t) представляет собой (по абсолютной величине)
невыплаченный остаток долга, тогда как 5+(/) — накопленную сумму
погашения.

Отметим, что хотя заданная схема погашения накладывает опреде-
ленные ограничения на структуру потока взносов в фонд погашения,
тем не менее не существует какого-либо явного соответствия между
состояниями ссудного и погасительного счетов.

Облигационная схема с фондом погашения с постоянными взносами.
Анализ кредитных сделок, использующих фонды погашения, начнем
с простейшего случая облигационной схемы, предусматривающей еди-
новременную выплату основного долга в конце срока и периодическую
выплату процентов. В этом случае все погасительные платежи, кроме
последнего, совпадают с процентными.
Предположим, что период взносов в фонд погашения совпадает
с периодом процентных выплат. Выберем этот период в качестве еди-
ничного. Нормированную процентную ставку по кредиту обозначим
нормированную ставку накопления для погасительного фонда — /,
основную сумму долга — Р, к-й срочный платеж — Dk. Наша цель
определить величину^.

Пусть CJ — процентная рента с платежами

j __ у = __ у = J,

где

J—Pi,

а СВ — рента взносов в фонд погашения с платежами В2, ..., Вп.
Основное балансовое соотношение для фонда накопления имеет вид

Wn(CB,j) = P. (13.32)

В частности, если все взносы постоянны по величине, т.е.

В ~ В ~ ... — В — В,
12 п ’

то из (13.32) получаем равенство

из которого находим собственно размер платежа

(13.33)

Срочные платежи будут также постоянными, т.е.

Интересно отметить, что если кредитная i и накопительная j ставки
совпадают, то срочный платеж

совпадает с погасительным платежом С в равномерной схеме погаше-
ния с постоянными выплатами (см. формулы (13.12) и (13,13)).

Однако, хотя срочный и погасительный платежи этих схем совпада-
ют по величине, их интерпретация существенным образом различает-
ся. В облигационной схеме с фондом погашения кредитор получает
только проценты, величина основного долга постоянна и равна Р.
В равномерной схеме основной долг постоянно уменьшается. При
этом постоянно меняется структура основной и процентной частей
погасительного платежа. Но если рассуждения вести с точки зрения
должника, то он мог бы интерпретировать свои срочные платежи как
погасительные. С учетом того, что эти платежи постоянны по величине,
при заданных сроке п и ставке по кредиту (равной ставке накопления
фонда) величина этих выплат определяется в соответствии с (13.34),
т.е. как величина погасительного платежа равномерной схемы, а зна-
чит, с точки зрения должника, можно по-другому интерпретировать
разложение этого платежа на основную и процентную части.

Выше отмечалось, что не существует прямой связи между состояния-
ми S(t) ссудного счета и состояниями 5+(/) фонда погашения (погаси-
тельного счета). Даже временные параметры погасительного потока
и потока взносов могут быть совершенно различны. Это так прежде
всего в силу того, что упомянутые счета описывают кредитную сделку
с точки зрения различных участников (контрагентов) сделки — креди-
тора и должника. Однако можно рассматривать процесс погашения
долга с точки зрения должника. Введем ссудный счет должника —
двойственный погасительному счету 5+(/). Обозначим состояние этого
счета в момент времени / через Смысл этого состояния прост. Его

значение показывает «невыплаченный» (точнее, «еще не накоплен-
ный») остаток долга с точки зрения должника. Если проценты выпла-
чиваются из текущих доходов, а не из фонда, то между состояниями
двойственного ссудного и погасительного счетов имеется простое со-
отношение

S~(f) ~ S+(t) — Р,
где Р — сумма кредита.

Для кредитных сделок с фондом погашения можно также строить
графики (планы) погашения, задающие для каждого периода все соот-
ветствующие ему финансовые величины: текущие проценты, взнос,
накопленную сумму погашения и срочный платеж. Для фонда погаше-
ния с постоянными взносами мы привели все эти показатели к концу
&-го периода. При этом накопленная сумма погашения — есть просто
состояние фонда погашения (т.е. соответствующего накопительного
счета) после fc-ro взноса, которое мы обозначили (не путать с сос-
тоянием ссудного счета!). Очевидно, что

К \ k J Л Г J
Естественно считать 50+ =0 , и для полного погашения долга необ-
ходимо, чтобы выполнялось условие 5n+ = Р.

График погашения с погасительным фондом удобно представлять в
виде таблицы, столбцы которой соответствуют упомянутым финансо-
вым величинам (платежам и состоянию).

Пример 13.7. Кредит в .#10 000 сроком на 5 лет погашается единовременно
в конце срока с ежегодной выплатой процентов. Для погашения долга создается нако-
пительный фонд с постоянными ежегодными взносами (в конце каждого года). Найти
величину срочных платежей и построить график погашения, если ставка по кредиту
i ~ 20% годовых, а ставка фонда j = 15% годовых.

Решение. Процентные платежи составляют

J=j=Pi= Ю ООО-0,2- 2000(Ж А-1,2,..., 5.

Размер взносов в фонд

В=-^- = 1483,15.

^0,15

Таким образом, срочный платеж

D = J+ В= 2000 + 1483,15 - 3483,15 (?/?).

Накопленная сумма погашения к концу А-го периода

$>^ = 1483,15^,(.«).

В табл. 13.6 приведен соответствующий график погашения долга.

Из-за округления (в меньшую сторону) при определении срочного платежа накоп-
ленная сумма погашения оказалась чуть меньше (на 4 коп.), чем требуемая сумма,
равная величине кредита -• .#10 000.

Таблица 13.6

Период к Взнос Срочный платеж D. к Сумма погашения S+, к
0 — 0
1 1483,15 3483,15 1483,15
2 1483,15 3483,15 3188,77
3 1483,15 3483,15 5150,24
4 1483,15 3483,15 7405,92
5 1483,15 3483,15 9999,96

Облигационная схема с фондом погашения с меняющимися взносами.
Мы рассмотрели использование фонда погашения для кредитной сдел-
ки с единовременной выплатой основного долга и периодическими
выплатами процентов. При этом взносы в фонд предполагались одина-
ковыми. Однако последнее предположение не является обязательным.
Так же как и в амортизационных схемах, можно рассматривать не
постоянные, а меняющиеся платежи. Например, можно считать ренту
взносов арифметической или геометрической возрастающей (или же,
наоборот, убывающей) рентой. Методология анализа в принципе оста-
ется той же. Тем не менее между амортизационными и «фондовыми»
схемами имеется кардинальное различие, состоящее в том, что основ-
ные балансовые уравнения для этих схем различны по своей природе.

Амортизационные схемы — это схемы погашения основного долга;
основным балансовым уравнением является уравнение

Л=1

где Рк — основная (амортизационная) часть погасительного платежа.
Текущие проценты Jk по долгу являются его другой частью. При этом

Jk = J= Pi, i = 1,2,..., л.

При погашении долга с помощью фонда погашения основное
балансовое уравнение имеет вид

FV,\CB,j) = P,

где j — ставка накопления фонда, поскольку на взносы в фонд начисля-
ются проценты по ставке j.

Рассмотрим, например, стандартную арифметическую возрастаю-
щую ренту взносов с первым платежом и разностью и. В этом случае
имеем, что

Вк = Вх + и(к- 1), к = 1, 2,..., п,

и уравнение баланса для ставки накопления j фонда согласно (11.3)
будет иметь вид

(13.35)

Задавая один из параметров Вх или и, из этого уравнения можно найти
другой параметр.

Наконец, сумма погашения Sk, накопленная за к периодов, будет
определяться по формуле

5;=ft, (свг)=(i+/Г, к=i, 2,....п.

i' /=1

Таким образом, определены все элементы трафика (плана) погашения.
Пример 13.8. Кредит в .Л110 000 сроком на 5 лет погашается с использованием
фонда погашения. Взносы в фонд делаются в конце каждого года и увеличиваются
ежегодно на .77500. Составить график погашения долга, если ставка по кредиту 9,5%
годовых, а ставка накопления фонда j = 10% годовых.

Решение. По условию п = 5; i = 0,095;у = 0,1 и и = 500. Формула (13.35) дает
уравнение для нахождения величины Ву:

—(^п,-5) = 10000.

1 зо,1 q । \ я o.i )

Учитывая, что ^01 = находим

= 732,91(J?).

Остальные взносы находятся по формуле

Вк = В{ + 500(Л - 1), к = 2, 3,4, 5.

Годовые процентные платежи постоянны:

Jk = J = 10 000-0,095 = 950(М к = 1, 2,..., 5.

Наконец, сумма погашения 5^, накопленная за к лет, будет определяться как

= *=1,2...5.

График погашения долга приведен в табл. 13.7.

Таблица 13.7

Год к Проценты Л Взнос Срочный платеж D, к Сумма погашения 5+(
0 — — — 0
1 950 732,91 1682,91 732,91
2 950 1232,91 2182,91 2039,11
3 950 1732,91 2682,91 3975,93
4 950 2232,91 3182,91 6606,44
5 950 2732,91 3682,91 10000,0

Единовременное погашение основного долга и процентов — простая
кредитная сделка. Использование фонда погашения можно обобщить и
в другом направлении, рассматривая другие схемы погашения, отлич-
ные от облигационной. Например, отказываясь от периодической
выплаты процентов и предполагая единовременную выплату как ос-
новного долга, так и процентов (т.е. рассматривая, по существу, про-
стую кредитную сделку) для стандартной ренты взносов в фонд пога-
шения приходим к балансовому уравнению следующего вида:

^(cb,j)=po +/)”,

(13.36)
где i — кредитная нормированная ставка. В этом случае срочные
платежи будут совпадать со взносами:

Пример 13.9. В условиях примера 13.7 построить график погашения, если и про-
центы, и долг выплачиваются в конце срока.

Решение. В данном случае

4 = о>
а согласно (13.36)
10000(1+0,2)6
— if " * К 1, .»»9 э.

^So.is

Таким образом, три последних столбца таблицы погашения долга из примера 13.7
(см. табл. 13.6) в нашем случае будут равнй между собой и просто увеличатся в (1,2)5 =
= 2,4883 раза. Столбец процентных выплат будет нулевым.

Обобщенная кредитная сделка с фондом погашения. Рассмотрим
обобщенную кредитную сделку с суммой кредита Р. Ее погасительный
ПОТОК Г/ \ / ч / 41

сг =ф,,с,),(г2,с2),.с„)}

погашает долг Р при нормированной кредитной ставке Z, если выпол-
няется уравнение баланса

FV,\CF*,i} = P.

Можно ввести понятие фонда погашения и в этом общем случае.
Для простоты считаем, что все срочные платежи (расходы по обслужи-
ванию долга) совпадают со взносами, т.е. погасительные платежи
не разделяются на процентные и основные.

Взносы в фонд погашения составляют поток

СЛ = {(т„Д),(т2,В2),...,(гя,В„)}.

Для того чтобы поток обеспечивал выплату погасительных платежей,
необходимо и достаточно, чтобы для каждого момента tk погасительно-
го платежа выполнялось условие

(с£|;,/)>с„, * = 1,2,...,п, (13.37)
для заданной ставки накопления фонда у, т.е. чтобы состояние фонда в
момент tk было не меньше, чем размер требуемого погасительного
платежа.

Если же учитывать разделение платежей на процентную и основную
части:

С = Z + Л
к к к
и считать, что должник выплачивает проценты из текущего дохода, а не
из фонда, то условие для потока взносов перепишется в виде

5; = ^(св|,;)>р4, *=1,2,...,». (1з.з8)

При этом поток срочных платежей, осуществляемых должником,
будет равен сумме потока взносов в фонд СВ и потока процентных
платежей CJ\

CD = CB+CJ.

Пример 13.10. Кредит на сумму ;3?Ю0 ООО и сроком на 12 лет погашается четырьмя
одинаковыми платежами в конце каждого трехлетнего периода. Ставка по кредиту 10%
годовых. Для погашения кредита предполагается создание фонда погашения с ежеквар-
тальными взносами. Составить план погашения кредита с постоянными взносами, если
ставка накопления фонда составляет 12% годовых с ежеквартальным начислением
и проценты по долгу выплачиваются: а) из фонда; б) текущего дохода.

Решение. Найдем сначала величину погасительных платежей. Для этого опреде-
лим ставку /3 за 3-летний период:

/3 = (1 + 0,1)3- 1 = 0,331.

Теперь можно найти погасительные платежи. При условии их равенства по формуле

(13.18) получаем

100000

= 48578,66.

Для обеспечения выплат, для случая а), когда проценты выплачиваются из накопле-
ний фонда, необходимо, чтобы ежеквартальные взносы с учетом процентов за три года
давали сумму накоплений не меньше, чем величина погасительного платежа. Поскольку
квартальная ставка фонда равна 0,12/4 = 0,03, т.е. 3%, то минимальная величина взносов
должна удовлетворять условию

*&«=48578,66(У?),

откуда получаем

5 = 3422,95 (J?).

Таким образом, рента взносов представляет собой ежеквартальную 12-летнюю
ренту с 48 одинаковыми платежами В = 3422,95 (Т?).

Для случая б) необходимо разделение погасительных платежей на основную и про-
центную части долга. В этом случае оказываемся в рамках равномерной схемы погаше-
ния с постоянными погасительными платежами. Тогда по формулам (13.15) и (13.16)
находим основную и процентную части погасительных платежей. Эти платежи пред-
ставлены в табл. 13.8.

Таблица 13.8

Период к Платеж
процентный Jk основной Рк
1 33 100,0 15 478,66
2 27 976,56 20 602,09
3 21 157,27 27 421,38
4 12 080,79 36 497,87
Для того чтобы взносы в фонд обеспечивали выплату основной части долга,
необходимо, чтобы поток взносов был эквивалентен потоку основных платежей отно-
сительно ставки накопления фонда. Поскольку накопленная стоимость потока основ-

ных платежей

равна

ЛУ4 (CPJ} ) = 162335,47,

где

0,12 У3 г

4 )

— ставка накопления фонда за 3-летний период, то размер квартальных платежей
В =В=-—-33^’47 =1554,81.

* г

йо,оз

Таким образом, рента срочных платежей расходов должника равна (по абсолютной
величине) сумме ежеквартальной 12-летней ренты взносов СВ и процентной ренты CJ.

Фонды погашения в обобщенных сделках используются в случае,
когда основной долг погашается небольшим числом достаточно круп-
ных (по сравнению с процентными выплатами) платежей. В таких
случаях имеет смысл накапливать в фонде необходимые суммы. Этот
подход используется в некоторых облигационных займах, в которых
весь выпуск погашается отдельными частями (сериями). Когда погаси-
тельные платежи относительно невелики и к тому же осуществляются
достаточно часто, смысла в создании фонда нет. Формально же и в этом
случае можно говорить о фонде и взносах, если считать взносы совпа-
дающими с погасительными платежами в первой интерпретации фон-
да (13.37) или с их основной частью во второй интерпретации (13.38).
В обоих случаях никакого накопления в фонде не происходит, по-
скольку поступивший взнос тут же отправляется кредитору в качестве
соответствующего платежа. Такой формальный прием позволяет все
чистые схемы погашения рассматривать как схемы с использованием
погасительного фонда.

В заключение приведем пример сравнения различных способов
погашения долга как с использованием, так и без использования фонда
погашения.

Пример 13.11. Должник может взять кредит в 1000 на срок 3 года в банке А или
в банке В. Кредитные ставки в обоих банках одинаковы и равны 8% годовых. Допустим,
что банк А требует погашения основного долга лишь единовременным платежом в конце
срока, а банк В — одинаковыми платежами в конце каждого года (вместе с процентами).
В каком из банков следует взять кредит должнику, если доступная ему ставка накопле-
ния равна: а) 7; б) 8; в) 9% годовых?

Решение. Допустим, что для погашения долга в банке А создастся фонд погаше-
ния. Сравним расходы по обслуживанию долга для трех значений ставки накопления
с расходами при погашении долга по равномерной схеме для банка В.
Найдем величину погасительных платежей для банка В. По формуле (13.18) получаем
с=1222 = 388,04 (3?).

Банк А подразумевает единовременную выплату основного долга в конце срока
и ежегодные процентные платежи. Ежегодные проценты в случаях а) - в) одинаковы:

7= 1000 • 0,08 = 80,00(Л’).

Ежегодные взносы в фонд погашения определяются по формуле (13.33):

й=1000,

где j — ставка накопления фонда. Таким образом, получаем:

а)

5a=2222 = 311j06.

В этом случае срочные платежи

Л =J+ Ва — 391,06(J'?);

б)

= 2222 = зо8,04 (д?)

41,07

и, следовательно, срочные платежи

D-=J + В'= 388,04 (У/?);
О б 1 \ М

в)

5, =2222 = 305,06 (?/?);

41.09

срочные платежи

D = J+ В = 385,06 (э?).

Таким образом, если ставка накопления составляет 7%, то следует предпочесть банк
В, поскольку в этом случае выгоднее погашать долг по равномерной схеме. Если ставка
накопления равна 8%, то выбор банка безразличен, а для ставки 9% выгоднее взять
кредит в банке А и использовать фонд погашения.

13.3. Непрерывные схемы погашения

В дискретных моделях кредитных сделок погасительные платежи
образуют дискретный поток. В этом параграфе мы рассмотрим непре-
рывные модели кредитных сделок, в которых выданный кредит на
сумму Р погашается непрерывным потоком платежей CF+ с плотностью
p(t) > 0. При этом естественно считать, что носитель потока совпадает с
периодом сделки

suppCF+=[r0,/nor],
где Го — момент начала сделки (дата выдачи кредита); Гпог — момент
завершения сделки (дата погашения). Разность Т = /пог - tQ представляет
собой срок сделки.

Сделки такого вида естественно описывать в рамках модели счета с
переменным капиталом, в которой входной поток непрерывный (гл. 10).
Динамика такой модели описывается дифференциальным уравнением
(уравнением динамики фонда)

(13.39)

где 5(/) — состояние счета в момент Г; 8(f) — интенсивность процентно-
го роста; р(Г) — плотность входного потока.

Если эта модель применяется для описания обобщенной кредитной
сделки, то 5(/) интерпретируется как состояние соответствующего
ссудного счета, 8(f) — как интенсивность, a /d(t) — как плотность
погасительного потока. При этом, естественно, должны выполняться
следующие краевые условия:
— начальное условие

^(Л) = -Л (13.40)

— балансовое условие

S(U=S^+T) = 0.

Рассмотрим случай сделок с постоянной интенсивностью 8(f) = 8 —
const или, что то же самое, с постоянной кредитной ставкой. В 10.4
было получено общее решение уравнения (13.39) с начальным услови-
ем (13.40): г

S(t) = -Р + j е'’~и] dw. (13.41)

Используя нормированную процентную ставку / = е5 — 1, уравнение
(13.41) можно переписать как

5(z) = -P(l + /y '° + |(1 + /'У и fi{u)du. (13.41*)

'о

Следовательно, уравнение баланса будет иметь вид

Жг) = -/’(! + '/ + J (1ju(«)d« = O. (13,42)

Интеграл в (13.42) представляет собой накопленную стоимость
непрерывного потока с плотностью р(0- Если эта плотность постоян-
на, т.е. jiz(r) = /1 — const, то уравнения состояния (13.41), (13.4Г)
перепишутся в виде

5Й = -Р(1+г)'-'”+Д5^ (13.43)

или в индексных обозначениях

5г=-Р(1+/)т+д^,

— накопленная стоимость единичной непрерывной ренты со сроком
т= t~ t0 (см. 11.4) и а = 1 + i.

Уравнение баланса в этом случае примет вид

^=Жг)=-^(1+'У +Д5Я=О.

Из него непосредственно следует, что

Р-р^^ра^ (13.44)

где

— текущая стоимость единичной непрерывной ренты со сроком Т.

Уравнение (13.44) дает возможность определить плотность непре-
рывного погасительного потока, необходимую для погашения кредита
на сумму Р за период Т\

Уравнения (13.41), (13.41’) соответствуют ретроспективному методу
определения остатка долга. Если выполняется балансовое равенство
(13.44), уравнение состояния (13.43) для постоянной плотности можно
привести к виду

5(/) = 5,=ягт_|> (13.45)

где т = t - Го. Это уравнение представляет собой проспективный метод
определения остатка долга.

Уравнения состояния (13.43) и (13.45) позволяют осуществить раз-
ложение погасительного потока CF+ на процентную CJ и основную СР
части. Пусть g(t) и p(t) — плотности процентной и основной частей
погасительного потока. Тогда

p=g(t) +pit).

При этом очевидно, что

g(t) = 55 (?) = Зра^ = р (1 - vT~’),
а значит,

p(t)=p-8S(t). (13.46)

Отсюда с учетом (13.46)

р(0=Рт=яуГ’'-

Полученные результаты вполне аналогичны тем, что были получе-
ны для дискретных моделей кредитных сделок с постоянными погаси-
тельными платежами.

На непрерывный случай легко переносятся амортизационные схемы
погашения, в которых плотность погасительного потока

pit) = p(t) + g(t)

где заданная плотность основной части р(Г) удовлетворяет балансовому
уравнению

'г,

Не выплаченный к моменту t остаток долга

•?(')=jpWd'-/’=-j p(z)dz-
'о '

В этом случае плотность процентного потока

g(t) = -6(t)S(t).

Так, если плотность основной части постоянна, т.е. p(t) = р — const,
то

рТ=Р.

Отсюда р

Наконец, легко определить непрерывный аналог фонда погашения.
Фонд погашения определяется потоком взносов СВ с плотностью Д(?)
и интенсивностью роста u(t). Для сделки с единовременным погаше-
нием кредита и непрерывной уплатой процентов получаем балансовое

уравнение вида

где

J 0Wfl(zo>')dr=л

'и

(13.47)

(13.48)

— функция роста фонда.

Процентный поток имеет плотность

g(0 = 8(t)P

и, следовательно, поток срочных платежей CD имеет плотность Д( Г) + 8(1) Р.

Например, для фонда погашения с постоянной интенсивностью
u(t) = и — const и постоянной плотностью взносов P(t) = ft ~ const
последняя найдется из уравнения баланса (13.47), которое в данном
случае с учетом (13.48) примет вид

Отсюда получаем

up in(i+;)p

Д“е”г-1“(1 + у)г_1’

где j — ставка накопления фонда.

Если постоянной является также интенсивность <5, т.е. постоянна
кредитная ставка i\ то плотность процентного потока равна

g = Р1п(1 +/).

Тогда плотность потока срочных платежей составит
13.4. Пенсионные схемы

В этом параграфе мы рассмотрим простейший вид пенсионных схем
(pension shemes) или, как еще говорят, пенсионных планов (pension
plans). Речь пойдет о так называемых чисто финансовых пенсионных
схемах. Последние строятся без учета демографических характерис-
тик группы лиц, объединенных данной пенсионной схемой
и называемых участниками этой схемы. В этом случае каждый
участник схемы имеет свой индивидуальный пенсионный счет, на
котором он посредством взносов накапливает пенсионную сумму,
необходимую для обеспечения пенсионных выплат с этого счета после
выхода участника на пенсию.

Взносы участников пенсионной схемы аккумулируются в пенси-
онном фонде. Его средства инвестируются в различные активы на
финансовом рынке. Инвестиции обеспечивают рост стоимости ак-
тивов фонда. Характеристикой такого роста служит норма или ставка
доходности, которую назовем ставкой накопления фонда. Поскольку
пенсионный фонд при таком подходе сводится к совокупности незави-
симых индивидуальных пенсионных счетов его участников, то описа-
ние различных пенсионных схем проведем с точки зрения индивиду-
ального участника схемы (фонда).

Формально пенсионная схема как финансовая операция представ-
ляется парой денежных потоков: расходным CF~, который на языке
пенсионных схем называется потоком пенсионных взносов, и приход-
ным CF+, называемым потоком пенсионных выплат. Как правило, оба
эти потока являются рентами, поэтому говорят о ренте взносов и ренте
пенсий соответственно. Эти ренты характеризуются своими временны-
ми и финансовыми параметрами, которые называются параметрами
пенсионной схемы. Как и в случае кредитных сделок, оба потока (ренты)
пенсионной схемы должны удовлетворять балансовому соотношению
при заданной ставке накопления фонда /.

Обозначим через

СВ = {(/„Д),р2,52),...,Ут>^)}, В„ >0,
ренту взносов (поток 2-го рода) с периодами

_ 1» 1, 2,..., т,

одинаковой длины h = tk —tk_ k = 1,2,..., т. Величина, обратная Л, т.е.
\/h, называется частотой, или кратностью взносов. Так, в годовой
шкале ежемесячным взносам соответствует период ренты взносов
h = 1/12 и частота 1/Л = 12.

Далее, пусть

СЛ = {(/„А,)>(Л.(/„,Я„)}, Л>0

— рента пенсионных выплат с периодами I. ~ [т г] одинаковой
длины / = т - т j = 1, 2, ..., п. Величина, обратная /, т.е. 1//,
называется частотой пенсионных выплат. Так, в годовой шкале ежемесяч-
ной пенсии соответствует период /= 1/12 и частота выплат, равная 12.

Замечание. Заметим, что здесь символы /и /обозначают временные промежутки,
а не суммы процентов, как в предыдущих параграфах. Фактически это единственное
место в данной главе, где встречается такое смешение обозначений. Оно потребовалось
лишь для того, чтобы подчеркнуть характер денежных потоков пенсионной схемы. Это
потоки 2-го рода. Поскольку в данном параграфе нигде не используются символы J и /
как обозначение процентных сумм, то использование их в качестве обозначения
временных промежутков не приводит к недоразумениям.

Критические моменты этих рент удовлетворяют естественному ус-
ловию:

fo<r! <...</„<Р<т0<т1<...<т„, (13.49)

где критический момент р, называемый полюсом схемы, совпадает
с моментом выхода участника на пенсию.

Период [Го, / J назовем периодом взносов (не путать с периодом ренты
взносов, который равен числу Л!), а период [т0, т ] — периодом пенсион-
ных выплат пли просто пенсионным периодом.

Если тп < +<=о, то пенсионная рента называется срочной, в противном
случае (т, = +°°) говорят (хотя и не совсем точно) о пожизненной пенсии.

Условие (13.39), записанное во временной шкале, имеет смысл для
конкретного участника схемы. На практике при описании пенсионных
схем используют не временную, а возрастную шкалу. В этом случае
моменту /0 вступления участника в схему или моменту открытия пенси-
онного счета соответствует возраст вступления в схему, полюсу р схемы
соответствует пенсионный возраст и т.д. Возрастиаяхшкала позволяет
описывать пенсионную схему унифицированным образом для различных
участников независимо от действительных (календарных) событий, свя-
занных с реализацией пенсионной схемы для конкретного участника.

Мы ввели ренты взносов и пенсий как потоки 2-го рода, т.е. как
интервальные величины. В реальности они актуализируются как пото-
ки 1-го рода с платежами, например в начале или в конце срока. Тот
или иной вид актуализации определяется конкретной схемой, но в
принципе он несуществен.
В дальнейшем будем считать обе ренты обыкновенными, т.е. с плате-
жами в конце периодов этих рент. Положение полюса р на разделяющем
обе ренты промежутке [/т, т0] также определяется конкретным
видом схемы. Ниже будем считать, что tm— р — т0; это означает, что
конец ренты взносов и начало пенсионной ренты совпадают с полю-
сом, т.е. с моментом выхода на пенсию.

Рента взносов, рассматриваемая с точки зрения участника схемы,
есть расходный поток, поэтому, строго говоря, мы должны считать
платежи Вк отрицательными. Однако мы будем представлять ренту
взносов положительной обыкновенной рентой

а расходный поток — противоположной по знаку рентой

CF- = -CB = {^,-Bi),(t2,-B2),...,(tm,-Bm)}.

Пенсионная рента с учетом актуализации также представляется
положительной обыкновенной рентой

СВ. = {(т,, Я,), (г,, К), (т„, R„)}.

Разумеется, как в любой финансовой операции, между рентами
взносов и пенсий существует определенный баланс. Этот баланс опреде-
ляется ставкой накопления фонда /. В простейшем случае постоянства
этой ставки втечение всего периода действия схемы, т.е. как на периоде
взносов, так и на пенсионном периоде, баланс можно записать в виде
равенства

PV^CB^PV^CRJY

Слева в равенстве — выражение для накопленной к моменту р пенсион-
ной суммы S+(p) или даже просто 5+, если полюс р задан.

В силу долгосрочности пенсионной схемы предположение о посто-
янстве ставки накопления в течение всего периода действия схемы
обычно некорректно. В этом случае можно, например, рассмотреть две
ставки: для периода взносов — ставку взносов i~ и для пенсионного
периода — ставку пенсий /+. Тогда уравнение баланса будет иметь вид

PVp(CB,r) = PVp(CR,i*).

В нестабильной, постоянно меняющейся экономической среде мож-
но работать с переменными ставками или, что по существу то же самое,
с переменной интенсивностью 8. Если 8~ — средняя интенсивность
накопления пенсионного фонда для периода Jk взносов, a —
средняя интенсивность накопления на периоде I пенсий, то балансо-
вое уравнение запишется как

п т v

/—i

Ниже мы ограничимся случаем постоянной нормированной ставки
i для всего периода действия схемы или случаем двух постоянных
ставок г, i+ для периода взносов и пенсий.

Задание пенсионной схемы состоит в задании временных и финан-
совых параметров рент, составляющих схему. Уравнения баланса пока-
зывают, что параметры схемы вместе со ставкой (или ставками) накоп-
ления фонда не являются независимыми в совокупности. Это значит, что
уравнение баланса позволяет находить один из этих параметров, если
заданы все остальные. Это обстоятельство служит основой для класси-
фикации пенсионных схем по типу определяющей (исходной) инфор-
мации, в соответствии с которой строится схема.

Так, для схем с установленными взносами исходной является инфор-
мация о ренте взносов, т.е. рента взносов считается полностью опреде-
ленной. Пенсионная рента при этом определяется частично, недоста-
ющие параметры находятся из уравнения баланса. Задав, например,
полностью ренту взносов и ставку накопления, можно определить
либо размер пенсии при известном пенсионном периоде (сроке) и час-
тоте пенсионных выплат, либо, зная частоту выплат и величину пен-
сий, найти продолжительность пенсионного периода и т.д.

Наоборот, для пенсионных схем с установленными выплатами пол-
ностью определенной считается пенсионная рента, а рента взносов
определена частично. По заданной ставке (или ставкам), величине
периода взносов и частоте можно найти требуемую величину взносов
или же, по известной величине и частоте взносов — необходимую
продолжительность периода взносов и т.д.

Безусловно важнейшую роль в эффективности пенсионного фонда
играет доступная ему норма инвестиционных доходов, т.е. ставка
накопления. При полностью заданных рентах взносов и пенсий воз-
можность выполнения фондом своих обязательств перед участниками
состоит в том, чтобы уровень накопления был достаточно высок.
Формально это означает выполнение неравенства

PVp(CB,r)>PVp{CR^\ (13.5°)
которое называется условием финансовой обеспеченности схемы относи-
тельно ставок г и i+. Если неравенство в (13.50) строгое, то схема
называется перефинансированной (или сверхобеспеченной). При выпол-
нении противоположного неравенства

PVp(CB,i~)< PVp(CR,i*)

схема называется недофинансированной (необеспеченной). В случае ра-
венства в (13.50) схема называется сбалансированной. Сверхобеспечен-
ность схемы означает, что при заданных ставках г и / + и ренте взносов
можно выплачивать (или назначать) ббльшую пенсию с тем же сроком
и частотой или ту же пенсию с той же частотой, но с большим сроком,
или же есть возможность назначить пенсию со всеми теми же парамет-
рами, но при этом уменьшить либо размер, либо продолжительность
взносов ит.д. Естественно, что необеспеченность (недофинансирован -
ность) требует обратных по смыслу действий.

П р и м е р 13.12. Согласно пенсионной схеме участник, вступивший в нее в возрасте
30 лет, в обмен на ежемесячные взносы по ЛЛ.100 должен после достижения пенсионного
возраста 60 лет получать ежемесячную пожизненную (вечную) пенсию в размере ЛЛ 1500.
Может ли пенсионный фонд выполнить свои обязательства, если ставка накопления
фонда равна для периода взносов 6% годовых, а для пенсионного периода 12%,
начисляемых ежемесячно? Каков должен быть минимальный уровень ставки накопле-
ния для пенсионного периода, чтобы фонд мог выполнить свои обязательства перед
участником?

Решение. Участник схемы обязан сделать 12 • 30 = 360 взносов в конце каждого
месяца. Поскольку месячная ставка накопления для взносов =. 0,06/12 - 0,005,
то накопленная к моменту выхода на пенсию пенсионная сумма составит

S' = l№^MW = 10045l,50pf).

Для того чтобы фонд мог выполнить обязательства перед участником, необходимо, чтобы
5*>РИ,(СЯ,/’).

Текущая (к началу пенсионного периода) стоимость всех пенсионных выплат для
месячной пенсионной ставки = 0,12/12 = 0,01 равна текущей стоимости вечной
ренты РК(с/?,/+) = —= — = 150000.

' 7 С 0,01

Таким образом, для пенсионной ставки накопления /*«=1% фонд не может
выполнить своих обязательств, поскольку пенсионная сумма 5* = 'ЗЛ 100 451,50 меньше
требуемой для обеспечения выплат суммы J?150 000. Иными словами, для заданных
ставок схема не обеспечена (недофинансирована). Для ее обеспечения следует увели-
чить (при постоянстве остальных параметров) ставку накопления для пенсионного
периода. Минимальную месячную ставку, требуемую для обеспечения пенсионной
схемы, можно найти из уравнения баланса

5- = РГ,(СЯ,г)

или
100451,50 = 1500//^.

Отсюда

/- =—= 0,014933,
100451,50

что соответствует номинальной годовой ставке

= 12/^ = 0,1792,
или 17,92% годовых, либо эффективной годовой ставке
Z^=(l + Cc)12 - 1 = 0.1947,

т.е. 19,47%.

Рассмотрим подробно несколько типичных пенсионных схем
и приведем связанные с ними расчеты. Чтобы не загромождать
изложение сложными формулами и вычислениями, ограничимся
пенсионными схемами с постоянными взносами и выплатами. Более
общие случаи рассматриваются аналогично, а различие состоит лишь
в требуемом объеме и сложности вычислений.

Далее в качестве временной шкалы выбирается годовая шкала. Сим-
волом S+(t) обозначим пенсионные накопления к моменту /. Состояние
пенсионного счета, понимаемое как состояние счета соответствующей
финансовой операции, противоположно по знаку, т.е. S(t) = —S+(t).

Пенсионные схемы с установленными взносами. Рассмотрим пенси-
онную схему, в которой рента взносов является /и-летней //-кратной
рентой (см. § 12.2) с постоянными по величине платежами. Пусть
годовой взнос составляет В . Следовательно, рента взносов имеет вид

СВ = ВА^.

Взнос за один период ренты длиной h = 1//? равен

Общее число взносов: М = mq.

Пусть/ - — эффективная годовая ставка для периода взносов. К концу
периода взносов на пенсионном счете участника будет накоплена сумма

= FVjCB^B^. = (13.51)

где / “ — ставка за перид h ренты взносов.
Пенсионная сумма, накопленная к моменту// выхода на пенсию,
Равенства (13.51), (13.52) полностью определяют величину пенси-
онных накоплений 5+(р). Соответственно к началу периода пенсион-
ных выплат накопленная сумма

5+(т») = ^+(/’)(1 + '+Г’'’-

Учитывая упрощающее соглашение, что tm~p~ т получим

5*(г„) = Г(р) = Г(^)-

Теперь для полного определения пенсионной схемы с постоянными
пенсионными выплатами необходимо задать два из трех параметров
пенсионной ренты и, конечно, ставку накопления /+ за пенсионный
период. Недостающий параметр определяется из уравнения баланса.

Рассмотрим два варианта расчета пенсионной схемы с установлен-
ными взносами при заданных сроке и частоте выплат.

В первом случае речь идет о срочной пенсии с известным сроком п лет
и заданной частотой г = \/1 пенсионных выплат. Задача состоит в опре-
делении величины пенсионных выплат. Во втором — величина и частота вып-
лат известны и нужно найти продолжительность (срок) пенсионных выплат.

Начнем с первого случая. Пусть пенсионная рента имеет срок п лет
и пенсия выплачивается г раз в году. Если годовую пенсию обозначить
то пенсионную ренту можно записать в виде

ср=/?1а';1.

Заметим, что отдельная пенсионная выплата R = Rx /г, а общее
число таких выплат N — пг.

Размер пенсионной выплаты можно найти из уравнения баланса

S\p) = PVp(CP)=R^. = Ra^; (13.53)

где — ставка за период I пенсионной ренты.

Пример 13.13. Найти ежемесячную пенсию, выплачиваемую в течение 20 лет
участнику, вступившему в схему в возрасте 30 лет. Ежеквартальные взносы по .^200
вносятся до наступления пенсионного возраста (60 лет). Ставка накопления лля периода
взносов 10% годовых с ежеквартальным начислением, ставка для пенсионного перио-
да — 12% годовых с ежемесячным начислением.

Решение. Из условия примера определим параметры ренты взносов

/и = 30; <? = 4; Л/=^=120; /<*‘=0,1; В =.??200.

Пенсионная сумма к моменту выхода участника на пенсию будет

5. = 2005-. )о. = 200^— °25).-— = 146865,20(.^’).

121)10,0,025 ’ v 7
Пусть Я — ежемесячная пенсия. По условию срок пенсионной ренты п = 20,
следовательно, общее число пенсионных выплат W = 240. Уравнение баланса имеет вид

Г =146865,20 = ^. =Л^,И.

Отсюда величина ежемесячной пенсии

i(M

Остановимся на втором случае схем с установленными взносами,
когда известен размер пенсии. Такие схемы иногда называют аморти-
зационными, поскольку пенсия выплачивается до полного исчерпания
(амортизации) пенсионной суммы.

Пусть R, — известная годовая пенсия', R — отдельная пенсионная
выплата. При этом R = RJr. Тогда продолжительность пенсионного
периода в годах находится из уравнения (13.53), Число пенсионных
выплат jV обычно находят из уравнения

Полагая а( =1+/,+, получаем

а? =1-----(13.54)

Поскольку д >0 и, следовательно, а/ > 0, то для разрешимости
уравнения (13.54) относительно N (N > 0) необходимо, чтобы его
правая часть была положительной, т.е.

s+(p)i?

1----^-Л->0.

Отсюда следует необходимость выполнения неравенства

Л>5+(р)/,+. (13.55)

Смысл (13.55) достаточно прост. Чтобы пенсионный период имел
конечный срок, выплачиваемая пенсия должна превышать начисляе-
мые на пенсионную сумму проценты. Это условие, по существу, иден-
тично условию нормальности схемы погашения (см. § 13.3). Если
неравенство (13.55) не выполняется, т.е. если
то выплата пенсий может осуществляться исключительно за счет на-
копленных процентов без уменьшения пенсионной суммы. При по-
стоянстве ставки накопления // это означает, что пенсионная рента
будет вечной.

Таким образом, для любой ставки накопления // и заданной пенси-
онной суммы 5+(р) участник схемы может получать вечную (пожиз-.
ненную) пенсию, если величина Л удовлетворяет неравенству (13.56),
При этом максимальный размер такой пенсии

(р);;. (13.57)

Предположим, что выполняется условие (13.55), т.е. период пенси-
онных выплат конечен. Тогда (13.54) имеет единственное решение

iog(i/R)

N=------iog(i+/;)

Отметим, что N обозначает число пенсионных выплат, так что по
своему смыслу это целое число. Конечно, при заданных параметрах
5+(р), 7?, // выражение (13.58) не обязательно будет целым числом.
Эта проблема обсуждалась в § 12.4. Стандартный подход состоит в том,
чтобы в качестве целого N брать целую часть значения, задаваемого
выражением (13.58). При этом можно брать как меньшую, так и
ббльшую целые части (лучше всего ближайшую) в качестве пенсион-
ной ренты использовать ренту с полученным целым числом платежей и
заданной величиной R. Исключение составляет последняя выплата,
которая будет чуть больше, если в качестве числа выплат берется
меньшая целая часть:

iog(i+/;)

или меньше, если в качестве Nберется большая целая часть:

Поправка к пенсионной выплате R определяется из условия баланса
(см. § 12.4). Определив число пенсионных выплат, можно найти срок
ренты в годах:
N
п = ~,
г

где г — частота (кратность) пенсионных выплат в году.

П р и м е р 13.14. Участник пенсионной схемы вносил ежемесячно по Д’5 О в течение
20 лет до момента выхода на пенсию. Найти: а) накопленную пенсионную сумму, если
последний взнос участник сделал в день своего 60-летия и ставка накопления для
периода взносов равна 7,8% годовых, начисляемых ежемесячно; б) максимальный
размер ежемесячной пожизненной (вечной) пенсии, выплачиваемой с первого месяца
после достижения участником 60-летия. Ставка накопления для пенсионного периода
12%, начисляемых ежемесячно; в) число ежемесячных пенсионных выплат, если их
размер .^400, а ставка накопления та же, что и в п. б).

Р е ш е н и е. а) Пенсионная сумма

Г=50^ода,=28729,68(Л);

б) при ставке /J12 =0,01 пожизненная (вечная) пенсия, согласно (13.57),
/? = 5+()12 = 287,30(J?).

в) согласно формуле (13.58), получаем

N_ log(l-287,30/400)
” log(l +0,01)

= 127,31.

Таким образом, пенсионный период составляет 127 месяцев. При этом последняя
заключительная пенсионная выплата будет больше всех остальных выплат по Д’400 на
величину, равную поправке

Д = 5*(1 +0,01)” -400.^,=120,42(3?).

Следовательно, последняя выплата равна

400 + 120,42 = 520,42(Д?).

Пенсионные схемы с установленными выплатами. В схемах этого вида
полностью определенной считается пенсионная рента, а расчет схемы
заключается в определении некоторых характеристик ренты взносов.
Одной из наиболее распространенных задач является задача о нахож-
дении величины взносов при известной продолжительности и частоте.
Размер взноса определяется из основного балансового уравнения

В$._ =

или, переходя к периодам платежей взносов и пенсий,

где М — qm — число взносов; h = \/q — период ренты взносов.
Следовательно, для величины взносов получаем выражение
Пример 13.15. По пенсионному плану участнику схемы должна выплачиваться
ежемесячная пенсия .^500 в течение 20 лет. Каков должен быть ежемесячный взнос,
чтобы пенсионных накоплений было достаточно для выплаты такой пенсии? Возраст
вступления участника в схему — 25 лет, а пенсионный возраст — 60 лег. Взносы вносятся
до наступления пенсионного возраста. Ставка накопления для всего периода действия
схемы постоянна и равна 10% годовых.

Решение. Найдем сначала месячную ставку / , эквивалентную заданной годовой
ставке i — 0,1:

</12 = (1 + 0,1р -1 = 0,007974, или 0,7974%.

Теперь легко найти пенсионную сумму, требуемую для обеспечения пенсионных
выплат:

Х‘ = 5Ю“»., =53382,33(.»).

Тогда ежемесячный взнос можно определить из уравнения баланса

в<,=^Я(мпда=53382.33И).

Отсюда В ~ 74,33( J?).

Задача о нахождении продолжительности периода взносов или, что
то же, о нахождении числа взносов решается аналогично задаче о на-
хождении числа пенсионных выплат. Все сводится к определению
срока некоторой стандартной (или простой) ренты. Эта задача подроб-
но рассмотрена в гл. 12 и проиллюстрирована выше нахождением
числа пенсионных выплат. Поэтому на этом вопросе мы останавли-
ваться не будем.

Мы ограничились анализом простейших видов пенсионных схем,
прежде всего схем с постоянными взносами и выплатами. На практике,
конечно, как взносы, так и выплаты могут меняться. Так, взносы часто
определяются как процент от заработной платы участника, который
может меняться со временем. Выплачиваемые пенсии могут индекси-
роваться в соответствии с тем или иным индексом, например индексом
розничных цен и т.д. Анализ и расчет таких схем, конечно, технически
более сложен, однако общие принципы, используемые при этом,
вполне аналогичны тем, что применялись нами в простейшем случае
схем с постоянными платежами.

Вопросы и упражнения

I. Что такое схема погашения долга? Как определяется баланс (остаток) долга: а) по
ретроспективному и б) проспективному методам?
2. Опишите основные виды схем погашения долга: а) облигационную; б) с постоян-
ными платежами;.в) равномерную амортизационную.

3. Что такое фонд погашения? Как связаны между собой остаток долга и состояние
фонда погашения?

4. Получите выражения для основной и процентной частей накопительного платежа
для схемы погашения: а) с постоянными платежами; б) равномерной амортизацией
долга.

5. Выпишите уравнения баланса и состояния счета в непрерывной схеме погашения
с постоянными силой процентов и плотностью потока платежей.

6. Опишите основные виды пенсионных схем. Составьте общее уравнение баланса
для пенсионной схемы с заданными потоками взносов и пенсий и фиксированной
ставкой накопления /.

7. Дайте определение различных видов степеней обеспеченности пенсионной схе-
мы: а) недофинансированной; б) перефинансированной; в) сбалансированной.

Задачи

1. Инвестиционный проект требует .#100 000 начальных затрат. Доходы от реализа-
ции проекта составляют следующий поток платежей:

CF--~ {(-1, 30 000), (2, 70 000), (3, 40 000)}.

Если процентная ставка составляет 5% годовых, то имеет ли смысл вкладывать деньги в
этот проект?

2. Должник погашает долг ежемесячными платежами. Сумма долга .Я 8000, процен-
тная ставка по кредиту составляет 40% годовых. В конце 1-го месяца инвестор выплатил
.#1000, в конце второго — .#2000. Сколько из второй выплаты ушло на проценты?
Каков невыплаченный остаток долга?

3. Кредит в .#100 000 выдан на 5 лет и оплачивается ежегодными платежами.
Выплаты за первые три года составили: #3000, .-#4000 и .#2000. Если процентная
ставка по кредиту составит 10% годовых, то какая часть из третьей выплаты приходится
на погашение основного долга?

4. Пенсионный фонд предлагает схему со следующими условиями. Накопительный
период составляет 4 юда с полугодовыми взносами по .-#2000 в начале каждого
полугодия. С конца 4-го года вкладчику выплачивается пенсия в течение 10 лет
ежемесячно. Доходность для периода накопления равна 20% годовых номинально, а для
пенсионного периода — 10% эффективно. Каковы годовые пенсионные выплаты?

5. Пенсионный фонд обещает выплачивать ежегодную пенсию в #2000 в течение
10 лет с 60-летнего возраста в обмен на единовременный взнос #5000 в возрасте 40 лет.
Если ставка накопления на активы фонда не превышает 10% годовых, может ли фонд
выполнить свои обещания?

6. Вкладчик вносит в фонд .#5000 в виде единовременного взноса. По выбранной
пенсионной схеме он будет получать .#500 ежемесячно (в конце каждого месяца) после
достижения 60 лет. Сколько выплат пенсий получит вкладчик и какова общая сумма
пенсионных выплат, если при вступлении в фонд возраст вкладчика 55 лет, а номиналь-
ная процентная ставка, обеспечиваемая фондом по вкладам, составляет 24% в год?
Глава 14. Оценка доходности финансовых операций

Эффективность — важнейшая характеристика финансовых операций.
Одной из общепринятых количественных мер эффективности финан-
совых операций является их доходность. Выше мы неоднократно стал-
кивались с этим понятием в различных ситуациях.

Так, в гл. 2 мы ввели понятие простой нормированной процентной
ставки для простейшей кредитной сделки. Она выражает эффектив-
ность кредитной сделки с точки зрения кредитора. Конечно, процент-
ная ставка является мерой эффективности сделки и с точки зрения
должника, однако с его точки зрения эта характеристика является
не мерой доходности, а мерой ^убыточности или, точнее, стоимости.
Кредитор стремится максимизировать, а должник минимизировать
кредитную ставку сделки.

В гл. 5 для различных моделей (схем погашения) обобщенных
кредитных сделок было введено целое семейство так называемых
внутренних процентных ставок, которые, как и простая нормированная
ставка, являются мерой эффективности (доходности) этих сделок в
схеме простых процентов.

В гл. 8 для простых кредитных сделок мы определили эффективные
нормированные процентные ставки, которые можно рассматривать
как доходность или оценку эффективности кредитных сделок в схеме
сложных процентов.

Наконец, в предыдущей главе мы ввели в рамках схемы сложных
процентов общее понятие внутренней процентной ставки для любого
потока платежей. Поскольку любая финансовая операция представ-
ляется соответствующим потоком платежей (см. гл. I и 12), то на внут-
реннюю процентную ставку потока платежей, связанного с этой опе-
рацией, также можно смотреть как на одну из ее мер эффективности.

Таким образом, доходность — многообразное и сложное понятие.
На практике используется большое число выражений и формул для
доходности различных финансовых сделок, связанных с различного
рода реальными или финансовыми активами, например векселями,
облигациями, акциями и др. Непродуманное, «механическое» их при-
менение может привести и часто приводит к недоразумениям. Чтобы
лучше разобраться с понятием доходности, необходимо рассмотреть
его более тщательно и подробно.

Выше наш анализ финансовых и, в частности, кредитных сделок
осуществлялся преимущественно в условиях, когда процентные ставки
считались заданными. Значения этих ставок обычно фиксируются в со-
ответствующих финансовых контрактах, детально описывающих усло-
вия сделки и ее важнейшие временные и финансовые параметры.
Фиксация процентных ставок в ряде случаев полностью определяет
пЬток доходов для инвестора — участника сделки, вкладывающего свой
капитал.

Финансовые контракты с детерминированным (контрактно-обус-
ловленным) потоком доходов типичны для кредитного рынка. Приме-
рами таких контрактов являются широко распространенные долговые
ценные бумаги — кредитные финансовые инструменты, такие, как
векселя, депозитные сертификаты, облигации и т.д. Определенность
(фиксированность) потока доходов по этим бумагам отражена в их
названии «Fixed Income Securities», которые переводятся обычно как
«ценные бумаги с фиксированным доходом (или с фиксированной
доходностью)». Строго говоря, фиксация процентной (или учетной)
ставки в финансовом контракте фиксирует лишь текущий, а не полный
доход. Поэтому в общем случае реальная доходность такой сделки может
(причем существенно) отличаться от задаваемых контрактом ставок.
При выполнении определенных условий ставка контракта может со-
впадать с реализованной доходностью сделки, например в так называ-
емых стандартных сделках (см. гл. 2).

Таким образом, соотношение между ставками и доходностью сде-
лок может принимать достаточно сложный характер. Однако понима-
ние сути этой связи чрезвычайно важно в теоретическом и, прежде
всего, в практическом смыслах.

Процентные и учетные ставки финансовых операций были главны-
ми объектами этой книги. Доходность — еще одна характеристика этих
операций, тесно связанная со ставками и играющая часто ключевую
роль в финансовом анализе. Этому важному понятию и посвящена
настоящая глава. В ней акцент будет сделан на самом процессе опреде-
ления и вычисления доходности финансовых сделок и операций. Мы
снова начнем с анализа простейшей финансовой сделки, однако не
станем ограничиваться лишь кредитными операциями.
14.1. Доходность в простейшем случае

Доходность сделки за период. Пусть в некоторый начальный момент
времени инвестор располагает суммой 50, которая представляет
собой его начальный инвестиционный капитал. Разместив тем или иным
образом этот капитал на некоторое время или инвестиционный период,
он к концу этого периода будет обладать суммой 5р представляющей
общий результат инвестиционной операции за указанный период.
В благоприятном случае, т.е. при 5, > 50, говорят, что инвестор получа-
ет инвестиционный доход (или инвестиционную прибыль)

в противном случае, т.е. при , имеет место убыток.

Важно отметить, что суммы 50 и 5р представляющие начальную
и конечную величины инвестиционного капитала, связаны с опреде-
ленными моментами времени, тогда как величина инвестиционного
дохода / связана с временным промежутком, в данном случае с инвес-
тиционным периодом, который можно представить отрезком [ro, tJ
длины Т= — Zo.

Строго говоря, приведенное вполне элементарное описание про-
стейшей инвестиционной операции связано не с простотой самой
сделки, ас ее простейшей моделью. Простота модели заключается в том,
что она оперирует с минимальным набором характеристик —* парамет-
ров сделки: указаны начало и конец инвестиционного периода — tQ, t
и две суммы Л’у, 5р соответствующие этим моментам времени. В таком
описании мы полностью отвлекаемся от того, каким образом был
достигнут результат, т.е. сумма 5р в какие активы размещал инвестор
свои средства, как он управлял ими в течение всего периода и т.п.
В дальнейшем нам придется более внимательно присмотреться к тому,
«что происходит» в течение инвестиционного периода, но из анализа
даже такого весьма обобщенного описания инвестиционного процесса
можно извлечь много полезного.

Следует заметить, что ряд реальных финансовых операций полнос-
тью укладывается в приведенную схему. К ним, например, относится
простая кредитная сделка (см. гл. 2). Кредитные сделки, например
открытие депозита в банке, покупка депозитных и сберегательных сер-
тификатов и т.п., составляют значительную часть финансовых сделок.

Описав простейшую финансовую сделку (или ее модель), мы неиз-
бежно придем к вопросу о том, как охарактеризовать ее «эффектив-
ность». Под эффективностью понимается инвестиционная эффектив-
ность, т.е. насколько успешно инвестор или лицо, управляющее капи-
талом, распорядилось имеющимися средствами. Желая найти адекват-
ную меру или показатель эффективности, следует помнить, что необ-
ходимость такой меры связана прежде всего не с описанием конкретной
операции. С индивидуальной точки зрения приведенные выше пара-
метры (в рамках простейшей модели) полностью ее описывают. Про-
блема возникает, когда мы хотим сравнить две операции, два инвести-
ционных процесса и т.п. Так, нас может интересовать вопрос, какая из
схем погашения долга выгоднее для должника, какая из пенсионных
схем выгоднее для участника схемы, какой из двух инвестиционных
или пенсионных фондов (работающие, например, с одними и теми же
классами активов) управляется лучше. Интерес может представлять
также сравнение деятельности одного и того же фонда в разные перио-

ды времени.

Интуитивно ясно, что хотя величи-
на начального капитала может играть
важную роль в инвестиционном про-
цессе, сама по себе она не является
характеристикой эффективности инве-
стиций. Можно хорошо управлять ма-
лым капиталом и плохо большим. Точ-
но так же инвестиционный доход I,
представляющий абсолютный, т.е. вы-
раженный в денежных единицах, ре-
зультат инвестиций, не может служить

_ >?100 J/1100

---1-----------------1—

>710000 ./211000

-----1------------------------1---

Рис. 14.1

адекватной мерой эффективности. На рис. 14.1 изображены диаграм-
мы двух сделок с одним и тем же инвестиционным доходом /= .#1000

за один и тот же период.

Совершенно ясно, что доход в :# 1000 для начального капитала в
:# 100 выглядит намного значительней, чем для капитала в ?# 10 3000.

Это замечание приводит к необходимости использовать не абсо-

лютные, а относительные характеристики инвестиционного дохода.
В финансовой теории и практике наиболее часто используют две такие
характеристики: коэффициент роста капитала за период

а = -^~
Sa

(14.1)

и коэффициент прироста капитала за период
•Уо $а

Вторая величина используется значительно чаще, и она получила
название доходности за период.

Подчеркнем, что так же, как и инвестиционный доход, обе эти
характеристики относятся к инвестиционному периоду, т.е. непосред-
ственно связаны с ним. В гл. 1 мы указывали на важность временной
привязки финансовых величин. Поэтому, строго говоря, следовало бы
писать S(t0), 5(Q и J([zo, zj), я([/0, Zj), r([Z0, ZJ). Чтобы не загромождать
изложение, будем обозначать период времени символом Т, как и длину
этого периода, в тех случаях,1 когда это не будет приводить
к недоразумениям. При этом будем использовать также индексные
обозначения. Тогда приведенные выше обозначения перепишутся
в виде: 5, 5 и 1Т, ат, гт.

Говоря о доходности, мы не употребили никакого дополнения.
Доходность чего имеется в виду? Это весьма тонкий вопрос, и много
недоразумений возникает на практике из-за недостаточной определен-
ности того, к чему относится вычисляемая тем или иным способом
доходность. В рамках нашей простейшей модели ответ естественен:
имеется в виду доходность инвестиционной сделки, операции и т.п.
Часто говорят также о доходности инвестиций, доходности портфеля
и т.п. Эти понятия действительно имеют смысл, но к ним надо подхо-
дить с известной осторожностью и четко понимать, что же на самом
деле имеется в виду. Ниже мы подробно обсудим эти понятия, а пока
подчеркнем, так сказать, активный характер интерпретации доходнос-
ти как характеристики некоторых действий, операций, процессов и т.д.

Приведенные выражения (14.1) и (14.2) чрезвычайно просты и, как
легко заметить, между величинами оги гТ имеется простая связь:

гт= ат~\

или

ат~ 1 + гт.

Пример 14.1. Найти доходности сделок, диаграммы которых изображены на
рис. 14.1.

Решение. Для случая а) доходность составит г -

1000 л 1
для б) г =-----= 0,1,

10000

1000

100

= 10,

что подтверждает вывод о большей эффективности операции а).
В приведенном примере доходности выражены в долях единицы, на
практике часто используют процентное представление. Так, для случая
а) доходность составит 1000%, а для случая б) — 10%. Хотя в конкрет-
ных примерах используются процентные обозначения, в формулах,
если не оговорено противное, доходность (и коэффициент роста)
всегда будет выражаться в «единицах».

Нормированная доходность. Говоря о целях нахождения показателя
эффективности инвестиционных операций, была особо подчеркнута его
роль как средства сравнения. Перейдя от абсолютной характеристики
инвестиционного дохода I к относительной г, мы «избавились» от при-
вязки к величине начального капитала. Однако определение доходнос-
ти осталось «неразрывно связано» с заданным инвестиционным пери-
одом. Поэтому, хотя теперь можно сравнивать две операции с разным
начальным капиталом, для корректности такого сравнения необходимо,
чтобы их инвестиционные периоды совпадали. Таким образом, с помо-
щью введенных величин нельзя непосредственно сравнивать инвестиции
с разными периодами (сроками). Один из способов обойти эту трудность
состоит в приведении доходности (или коэффициента роста) к некото-
рому базовому промежутку, на практике это обычно год, но может быть
и любой другой промежуток (месяц, полугодие, квартал).

Простейший способ приведения состоит в делении доходности
сделки за период на длину периода, выраженную в базовых единицах:

УТ=^. (14.3)

Важно понимать, что для приведения доходности к заданному
базовому промежутку инвестиционный период Т должен быть выра-
жен в единицах, соответствующих этому промежутку, т.е. базовый
промежуток должен быть единицей временной шкалы. Так, если доход-
ность приводится к годовому промежутку, то длина инвестиционного
периода (срок) должен быть выражен в годах.

Пример 14.2. Пусть для сделок из примера 14.1 срок Г = 2 года. Найти годовую
доходность для обеих сделок.

Решение. Если период приведения — год, то годовая доходность для случая

= 5, или 500% годовых, а для случая б) у2=~ = 0,05, или 5% годовых.

Операцию приведения доходности к базовому промежутку называ-
ют часто нормированием или нормировкой, а приведенную таким обра-
зом доходность — нормированной.
Формула (14.3) дает лишь один из многих способов приведения.
Чтобы отличить его от других, назовем приведенную этим способом
доходность сделки простой нормированной доходностью. В тех случаях,
когда необходимо подчеркнуть тот факт, что речь идет о простой
нормированной доходности, будем писать Именно этот вид
нормированной доходности использован в анализе сделок с долговы-
ми обязательствами в гл. 2. Можно сказать, что простая нормирован-
ная доходность получена приведением доходности сделки к базовому
периоду временной шкалы в схеме простых процентов.

Другой распространенный способ нормирования доходности сдел-
ки, основанный на использований схемы сложных процентов, задается
формулой

Вычисляемая по этой формуле нормированная доходность сделки
называется ее эффективной доходностью. В тех случаях, когда необхо-
димо подчеркнуть тот факт, что речь идет об эффективной нормиро-
ванной доходности, будем писать Если период сделки совпадает с
единичным периодом временной шкалы (Т ~ 1), то все три вида
доходности совпадают:

(пр) (эф)

При этом индекс «1» опускают и пишут г, у(пр),у0ф).

Простая и эффективная доходности сделки связаны между собой
соотношением

ур>=(1 + _гр>7’)'/Г-1.

Это соотношение идентично соотношению между номинальной
и эффективной процентными ставками (см. гл. 8), что вполне естествен-
но, поскольку процентные ставки представляют собой меры доходнос-
тей специальных классов финансовых сделок, а именно кредитных сде-
лок. Поэтому по аналогии с номинальными ставками простую норми-
рованную доходность называют также номинальной доходностью.

Пример 14.3. Для сделок из примера 14.1 найти эффективные годовые доходности.
Решение. Эффективная годовая доходность сделки для случая

а) у, =71 + 10-1 = 2,3167, или 231,67%, и для б) у = 7f+0J-l =0,0489, или 4,89%.

Заметим, что расхождение в величинах простой и эффективной
нормированных доходностей в примерах 14.2 и 14.3 в случае а) суще-
ственнее, чем в б).
Вообще, чем меньше доходность за период, тем меньше различие
в значениях нормированных доходностей. Данное утверждение осно-
вывается на приближенном равенстве

Это приближенное равенство тем точнее, чем меньше гт.

Формально приведение к «одному и тому же» базовому промежутку
позволяет сравнивать доходность операций с разными периодами
(сроками). Содержательно можно сказать, что доходность за период
представляет собой доход, который получит инвестор с каждой единицы
инвестиционного капитала (т.е. с каждого рубля, доллара и т.п.) за этот
период. Продолжая эту аналогию, можно было бы сказать, то нормиро-
ванная доходность представляет доход, который инвестор получает
с каждой единицы капитала в единицу времени (т.е. за каждый базовый
промежуток).

Такая интерпретация близка к понятию средней скорости в кинема-
тике. Так, об автомобиле, который находился в пути 10 мин и проделал
при этом путь 16 км, можно сказать, что он двигался со средней
скоростью 96 км/ч. Если другой автомобиль находился в пути 3 ч
и проехал 240 км, то можно сказать, что первый двигался быстрее,
поскольку скорость второго автомобиля, равная 80 км/ч, меньше
скорости первого.

Сравнение инвестиций по их нормированным доходностям с фор-
мальной точки зрения аналогично сравнению движений на промежут-
ках разной длительности по их скорости. Однако саму возможность
такого сравнения, а тем более его кинематическую интерпретацию не
стоит переоценивать, и вообще к этой процедуре следует подходить с
осторожностью. Именно поэтому выше мы взяли в кавычки упомина-
ние о приведении к «одному и тому же промежутку» времени. На самом
деле, конечно, речь идет просто о переходе к одной и той же единице
времени, т.е. длине базового промежутка, точно так же, как в случае со
скоростями. Этим мы не «оторвались» от самих инвестиционных
периодов. Нормированная доходность, как и просто доходность за
период, относится к заданному инвестиционному периоду, и обе эти
величины представляют лишь два эквивалентных способа описания
эффективности одной и той же сделки. Таким образом, нормированная
доходность, по существу, соотносится с двумя промежутками, первый
из которых — инвестиционный, а второй — базовый (промежуток
приведения). И лишь выбор общего (по длине!) базового промежутка
позволяет сопоставить сделки с разными инвестиционными периода-
ми. В дальнейшем мы будем опускать символ периода сделки Тв обоз-
начении нормированной доходности. Однако следует всегда помнить о
неявной, но подразумевающей ее привязке к этому периоду

Как отмечено в начале обсуждения понятия доходности, выбранная
модель операции ничего не говорит о ее «внутренней структуре», т.е. о
том, в какие активы вкладывает свои средства инвестор. Реальный
процесс инвестирования всегда связан с покупкой и продажей различ-
ных акций, облигаций и т.д. Инвестор может составлять из них порт-
фель, структура которого может со временем меняться, иными слова-
ми, он может управлять портфелем. Стратегия управления состоит
в том, какие активы и когда следует покупать и продавать. Но результат
инвестиционной деятельности инвестора определяется не только его
действиями, но и тем, с чем он работает, или, более точно, характерис-
тиками самих активов. Оказывается, сами активы можно охарактери-
зовать с точки зрения инвестиционной эффективности. Это приводит
к понятию доходности актива и портфеля активов. К обсуждению этих
понятий мы и перейдем.

Доходность активов. Рассмотрим какой-нибудь финансовый актив,
т.е. ценную бумагу, например акцию или облигацию. Важнейшей
характеристикой актива является его цена. Обычно инвестор покупает
актив в надежде нарост его цены. Продавая актив по цене выше той, по
которой он приобретался, инвестор получает доход, называемый капи-
тальным, т.е. доход от прироста капитала (capital gain). Кроме того,
многие активы приносят текущий доход (current income), например по
акциям выплачиваются дивиденды, а по облигациям проценты. Сумма
этих доходов составляет полный доход (total income) за некоторый
период.

Покупка, получение текущего дохода в течение некоторого периода
и продажа актива в конце периода представляют собой типичную
инвестиционную операцию. Легко найти ее доходность. Пусть актив
приобретается по цене PQ в момент /, а продается по цене Р в момент /.
Текущий доход за период Т= Г, —t0 составляет величину DT. Капиталь-
ный доход от покупки по цене Ро и продаже по цене Р составит,
очевидно,

ДРГ= Р, - Ро,
так что полный инвестиционный доход будет равен

IT = DT + &РГ.
Тогда полная доходность описанной сделки за период Т :

Эта формула полностью аналогична равенству (14.2), поскольку
начальный капитал 50 в данном случае совпадает со стоимостью приоб-
ретения актива Ро, а конечный капитал складывается из выручки при
продаже и полученного текущего дохода, т.е.

Эти равенства преобразуют равенство (14.4) в равенство (14.2).

Отметим, что второе равенство подразумевает отнесение текущего
дохода к концу периода!

В англоязычной литературе эта доходность называется буквально
«доходностью за период владения» (holding period return — HPR).

Заметим, что также как полный инвестиционный доход разлагается
в сумму текущего и капитального доходов, так и полная доходность
есть сумма

текущей

и капитальной

„кап
Т

. — гтек
Т ~ 'Т

тек

доходностей.

Текущий доход — величина неотрицательная, «капитальный доход»
может в реальности быть убытком, если ДРГ < 0, т.е. Р < Р. В том
случае, когда убыток от падения цены не покрывается текущим дохо-
дом, т.е. когда полный доход сделки отрицателен:

IT = DT+ ЛРГ < О,
доходность за период будет также отрицательной величиной.

Замечание. Говоря о конкретном активе, мы всегда имеем в виду вполне опреде-
ленную его количественную меру, например одну акцию, десять облигаций и т.д.
Поэтому под стоимостью и текущим доходом подразумеваются соответствующие этому
количеству значения.

Приведенное выше определение доходности (14.4) основывается на
ряде неявно подразумеваемых условий. Главное из них состоит в том,
что текущий доход, полученный от актива, не инвестируется внутри
периода в тот же или в другие активы, а учитывается в виде наличной
денежной суммы, которая относится к концу периода, т.е. кмоменту t
Напомним, что текущий доход DT~ интервальная величина (см. гл. 1),
и ее отнесение к концу периода (т.е. актуализация в смысле гл. 1) есть
просто принятое данным определением соглашение. Наконец, предпола-
гая, что инвестор продает актив в конце периода, все суммы в равенстве
(14.4) можно рассматривать как наличные.

Пример 14.4. Пусть инвестор купил в начале года 100 акций компании А по пене
.#100 каждая. В течение года он получил .#30 дивидендов на каждую акцию. Найти
текущий, капитальный и полный доходы и соответствующие годовые доходности, если
к концу года цена за акцию выросла до .# 150.

Решение. Инвестор вложил в акции fe начале года капитал в размере

50= .2? 100- 100 = .#10 000.

Текущий доход, полученный от 100 акций, составит

Z)r= Л30- 100 = .#3000.

Если к тому же в конце года цена на акции компании А поднялась до .#150, то, продав
все акции, в конце года он выручит сумму

Р} = .#150 100= ;#15 000,
и его прибыль от прироста цены (капитальный доход) составит

ДРГ = .#5000.

Тогда полный годовой инвестиционный доход

IT = DT + ДРГ = .#3000 + .#5000 =. #8000.

Таким образом, за год полная доходность г = 8000/10 000 = 0,8, или 80%. Эта
доходность есть сумма текущей гтск = 3000/10 000 = 0,3 и капитальной гкг11' = 5000/10 000 =
= 0,5 годовых доходностей.

Подсчитанная в этом примере доходность называется реализован-
ной, поскольку инвестор действительно получил дивиденды и реализо-
вал, т.е. продал, все акции на рынке, получив доход и от роста цены.
На практике, говоря о доходности, не всегда имеют в виду покупку
актива с его последующей реализацией. Когда активы, которыми
владеет инвестор, не реализуются к концу рассматриваемого периода,
а лишь оцениваются по их рыночной стоимости , соответствующие
прибыли (убытки) и доходности называют «книжными» (бухгалтерс-
кими, бумажными). Тем не менее даже в этом случае говорят о достиг-
нутой или фактической доходности (хотя и нереализованной), по-
скольку инвестор или управляющий инвестициями мог реализовать ее,
если бы захотел.
Подчеркнем еще раз, так сказать, пассивность описанной выше
операции, состоящей в покупке, хранении и, возможно, продаже
актива в конце периода. Поскольку инвестор не принимает решений
о реинвестировании текущего дохода, то весь инвестиционный доход
«обеспечивает» непосредственно лишь сам актив. Именно в этом
смысле о доходности такой сделки говорят как о доходности актива за
данный период. Таким образом, вообще говоря, под доходностью актива
за период понимают доходность соответствующим образом определен-
ной сделки с этим активом. Сделку с активом, удовлетворяющим
перечисленным условиям, назовем простой, или стандартной. Напом-
ним, что именно в гл. 2 была определена доходность депозитных
сертификатов и векселей.

Замечание. Выше в определении доходностей активов и портфелей, а также при
проведении соответствующих вычислений мы неявно исходили из допущения о том,
что известны начальные и конечные стоимости, текущий доход и т.д. Это соответствует
принятой в данной книге гипотезе полной определенности, касающейся финансовых
событий и потоков платежей, связанных с анализируемой финансовой операцией.
Конечно, на практике инвестор редко сталкивается с такой ситуацией. Обычно более
или менее точно известны лишь текущие цены активов. Ни будущие доходы, ни
будущие цены инвестор знать не может. Поэтому, приступая к планированию инвести-
ций, он вынужден делать прогноз или оценку этих величин и связанных с ними
доходностей.

Фактическую, т.е. достигнутую или реализованную, доходность инвестор может
определить лишь в конце выбранного инвестиционного периода, и она, конечно, может
отличаться, иногда и весьма значительно, от оценочной. Цены и доходности, на кото-
рые инвестор ориентируется, называются в этом случае ожидаемыми. Ожидаемые пены
и доходности и есть те величины, которые инвестор получает исходя из своего прогноза.
Этот прогноз может быть чисто субъективным либо основываться на некотором предва-
рительном анализе, статистической обработке данных и т.п.

В любом случае инвестор должен отдавать себе отчет в том, что ожидание и действи-
тельность могут не совпадать. Это несовпадение говорит о том, что процесс инвестиро-
вания сопряжен с риском. Однако ясно, что мера расхождения предполагаемых или
ожидаемых значений с действительными в разных ситуациях для различных активов,
портфелей и т.д. может быть совершенно различной и инвестору необходимо иметь
какую-нибудь количественную оценку такого риска, с тем чтобы он мог им управлять,
т.е. выбирать такие активы и портфели, которые наилучшим образом соответствовали
бы его инвестиционным целям.

Это приводит нас к задаче построения количественных моделей для оценки ожида-
емых значений доходности и риска в инвестиционных задачах, осуществляемых к усло-
виях неопределенности. Однако эта тема выходит за рамки настоящей книги.

Формула (14.4) принимает особенно простой вид, если в течение
периода Т текущий доход отсутствует, т.е. DT = 0. Тогда доходность
актива оценивается лишь начальной Ро и конечной Р стоимостями
актива:
Р-Р Р

, _±!__Л) _ Р

т р р

•*о

Именно этот случай имеет место для государственных краткосрочных
облигаций (ГКО), которые являются бескупонными, т.е. по ним не вып-
лачиваются проценты в течение всего срока до погашения.

Таким образом, любая сделка с облигациями этого вида связана
с двумя суммами: стоимостью покупки и суммой, вырученной при
продаже или при погашении. В реальном случае, конечно, необходим
учет комиссионных затрат, которые здесь для упрощения изложения
игнорируются.

Пример 14.5. Пусть инвестор приобрел 1 ноября 1995 г. облигацию 50-го выпуска
со сроком погашения 98 дней по цене 78,60% от номинала. Найти доходность сделки
за период до погашения и соответствующие простую и эффективную годовые доходнос-
ти, используя правило АСТ/365.

Решение. Доходность сделки за период до погашения

100-78,60

78,60

= 0,2723, или 27,23%.

Срок сделки в годах по правилу АСТ/365 составит

---= 0,2685 (год).

365

Простая годовая доходность сделки

y(l[pJ = i,014, или 101,4% годовых;

0,2685

эффективная годовая доходность

=(1+0,2723)"^-1 = 1,4519, или 145,19% годовых.

Вернемся к случаю наличия текущего дохода. Если актив, приобре-
тенный инвестором, не продается в конце рассматриваемого периода,
который в таком случае правильнее было бы называть не инвестицион-
ным, а периодом оценки инвестиций, то в конце этого периода у инвесто-
ра будут наличные деньги, составляющие текущий доход, и некоторое
«количество единиц» актива. Иными словами, даже в этом простейшем
случае инвестор, по существу, имеет дело не с одним активом, а
с портфелем активов, в данном случае двух, один из которых исходный
актив, а другой — наличные деньги.

Выше говорилось, что актив обладает ценой и, возможно, приносит
текущий доход. Если деньги рассматривать как актив непосредствен-
но, то их цена будет просто совпадать с номиналом (т.е. денежной еди-
ницей), а текущий доход наличные деньги не дают. Это не противоре-
чит тому, что, например, по банковскому депозиту, который открыва-
ется вложением наличной суммы в банк, выплачиваются проценты.
Банковский депозит представляет собой актив, отличный от вложен-
ных денег, а вложенная сумма — лишь стоимость приобретения этого
актива.

Если при анализе доходности одного актива можно обойтись без
понятия портфеля, учитывая, что текущий доход не инвестируется, то
при его инвестировании, особенно в активы, отличные от исходного,
без понятия портфеля уже не обойтись и от понятия доходности актива
приходится переходить к понятию доходности портфеля.

14.2. Доходность портфельных сделок

Под инвестиционным портфелем понимается произвольный набор
активов (включая наличные деньги). Под стоимостью портфеля в не-
который момент времени подразумевается суммарная рыночная сто-
имость всех входящих в портфель активов. Соответственно текущий
доход портфеля заданный период равен сумме текущих доходов за этот
период всех активов, составляющих портфель.

Пренебрегая на первых порах детальной структурой портфеля,
выделим в нем лишь денежную часть, состоящую из наличных денег,
к неденежную часть, состоящую из всех других активов. Выше мы
рассматривали случай, когда текущие поступления от актива не инвес-
тировались, а хранились в наличной форме до конца периода. На прак-
тике инвестор может на полученные дивиденды купить акции той же
или другой компании, а нередко дивиденды сами выплачиваются не
денежными суммами, а дополнительными акциями. Это приводит
к несколько другой формулировке определения доходности.

Выберем снова некоторый период времени Тс началом t0 и концом
t. Пусть

начальная,а

5, = ^ + Ч

конечная стоимости портфеля п, где Ко, — стоимости неденежных
частей; Л/ Мх — величины наличных сумм в начале и в конце периода.
Ради простоты считаем, что Л/о = 0, т.е. весь начальный капитал
инвестируется в неденежные активы. Тогда величина будет пред-
ставлять собой ту часть дохода, которая не реинвестируется, а распре-
деляется в виде выплат. При этом распределяемая, т.е. изымаемая из
инвестирования, часть капитала, учитываемая в Мр относится к концу
периода оценки независимо от того, в какой момент на самом деле
осуществлялось это распределение (изъятие) средств портфеля.

С другой стороны, нераспределенная часть текущего дохода инвес-
тируется в активы портфеля и тем самым учитывается в конечной
стоимости неденежной части, т.е. в К.

Заметим, что денежная часть портфеля в конце периода может
быть меньше или больше текущего дохода портфеля за этот период или
совпадать с ним. Так, если инвестор в конце периода реализует,
т.е. продает, часть активов по текущей рыночной цене, то денежная
часть портфеля будет больше, чем текущий доход, если никакая часть
текущего дохода не реинвестировалась в течение этого периода. Если
же, наоборот, текущий доход или его часть были реинвестированы
влечение периода и при этом не было никаких продаж активов,
то денежная часть портфеля будет меньше, чем текущий доход.

Доходность сделки с портфелем я за период Т можно определить в
соответствии с базовым выражением (14.2):

. го
т~ S

(14.5)

или в развернутом виде

Гт ~ ту

(14.5’)

Последняя формула очень напоминает формулу (14.4) доходности
актива, но ее смысл значительно более общий, даже в случае одного
актива, поскольку она допускает реинвестирование дохода.

Однако, говоря о реинвестировании, важно отметить, что суще-
ственно лишь реинвестирование внутри заданного периода. Если весь
текущий доход хранился в наличной форме и лишь в конце периода он
или его часть были потрачены на приобретение дополнительного
числа единиц актива, то обе формулы дают одинаковый результат.
Чтобы пояснить это, вернемся к примеру 14.4.

Пример 14.6. Пусть инвестор из примера 14.4 купил в конце года на #1500 из
полученных #3000 дивидендов дополнительно 10 акций. Какова будет доходность
в этом случае?

Решение. Начальный инвестированный капитал нс меняется и, следовательно,

so= ио= .#10 000.
Из текущего дохода = .^’3000 в наличной форме в конце года останется лишь
половина этой суммы. Таким образом, наличная (денежная) часть портфеля будет равна

Л/, = Ж 500.

Поскольку другая половина дохода была реинвестирована в 10 акций, то в конце
года портфель будет состоять из НО акций по цене М150, так что неденежная часть
портфеля V\ = Ж 50 НО = Ж 6 500.

При этом общая стоимость портфеля в конце года останется той же самой:

5, - 16 500 т 1500 - 18 000(Ж

и, следовательно, доходность портфеля (точнее, сделки) также останется прежней:
г - 0,8, или 80% годовых.

Внутреннее инвестирование текущего дохода безусловно относится
к активным операциям, поскольку инвестор должен решить, когда,
какие активы и сколько их он должен приобрести. Более того, инвестор
может перераспределять портфель, т.е. менять его структуру за счет
продажи части активов и покупки на вырученные средства новых акти-
вов в течение инвестиционного периода. Подчеркнем, что речь идет
о внутреннем инвестировании, т.е. либо за счет текущего дохода от
активов, включенных в портфель, либо за счет средств, полученных от
продажи части активов портфеля, но не за счет внешних, т.е. вновь
инвестируемых, средств.

Формула (14.5) для портфельной сделки является детализацией
базовой формулы (14.2), состоящей в упоминании о портфеле и выде-
лении неденежной его части и распределяемого дохода. Таким обра-
зом, на самом деле мы имеем дело с доходностью операции, связанной с
управлением инвестиционным портфелем.

Если предположить, что весь текущий доход не инвестируется,
не делается никаких дополнительных инвестиций, атакже не осуществ-
ляется изъятие инвестиционного капитала, т.е. досрочная продажа
активов и распределение полученной выручки (в этом случае очевид-
но, что денежная часть портфеля совпадает с текущим доходом DT),
то доходность такого «пассивного управления» есть просто доходность
портфеля в смысле определенной выше доходности актива. Формула
для доходности портфеля принимает тот же вид, что и формула для
доходности актива:

Формулы (14.5), (14.5') применяются на практике как оценка доход-
ности в достаточно общей ситуации, допускающей реинвестирование
текущего дохода и даже дополнительные вложения или, наоборот, изъятия
(распределения) капитала. Однако эти формулы оперируют лишь
с «краевыми» финансовыми характеристиками портфельной сделки,
точнее, с двумя суммами, относящимися к началу и к концу периода
оценки, следовательно, в них непосредственно не отражается времен-
нбе распределение денежных сумм, соответствующее внутренним ре-
инвестициям, а также вложениям и/или изъятиям капитала.

Влияние этих характеристик оценивается лишь косвенно в началь-
ном и конечном «состоянии» портфеля, получающемся «разнесением»
упомянутых денежных сумм к концам периода. При этом сами «крае-
вые состояния» определяются не вполне корректно, что может привес-
ти к искажению получающихся по этим формулам значений доходнос-
ти сделки. Чтобы разобраться в этом, рассмотрим следующий пример.

Пусть стоимость портфеля активов пенсионного фонда на начало
года составляет Ио = 9^25 млн, а в конце года — ^ = гЛ’ЗО млн.
Допустим также, что в течение года был получен доход в размере
М2 млн, из которых Ml млн был выплачен участникам фонда. С уче-
том этих данных (Ко = 25; - 30; М} = 1; Dx — 2) реализованная за год

доходность фонда составит

30—25 + 1 .

г----------= Q 24, или 24% годовых.

2 5

Заметим, что невыплаченная часть дохода в сумме

£>! — Л/j == М1 млн

была реинвестирована в актив фонда и, следовательно, неявно учтена
в конечной стоимости портфеля фонда.

Распределенная частьдоходаМх = Ml млн, согласно(14.5'), относи-
лась на конец периода. Это просто соглашение по поводу учета денеж-
ных сумм, участвующих в сделке, поскольку формула (14.5) и эквива-
лентная ей (14.5') имеют дело только с суммами, отнесенными либо
к началу (5), либо к концу (5^ периода оценки. Однако действитель-
ный момент выплаты дохода чрезвычайно важен. Чтобы понять это.
рассмотрим два экстремальных случая для нашего примера: 1) выплата
происходит в конце года; 2) выплата происходит в начале года.

Первый случай находится в «полном соответствии» с (14.5). Однако
менеджер фонда лишен возможности реинвестировать полученный
доход. Во втором случае менеджер фонда может распоряжаться М1 млн
полученного дохода в течение года. Конечно, речь идет о тех случаях,
когда он не обязан немедленно выплатить эту сумму.
Имея возможность реинвестирования этого дохода, но не сделав
этого (напомним, что эта часть дохода учтена в в налично-денежной
форме), менеджер фонда сталкивается с ситуацией упущенной выго-
ды. Даже если бы фонд имел обязательство по выплате :# 1 млн в конце
года, менеджер, инвестировав полученный вначале годадоход и реали-
зовав в конце года часть портфеля фонда на сумму :+?1 млн, мог бы
выполнить обязательство и при этом увеличить (в благоприятном
случае) стоимость активов фонда. Экономически грамотный анализ
эффективности управления портфелем обязан учитывать это обстоя-
тельство. Иными словами, упущенная выгода является реальным, а не
мнимым, как многим иногда кажется, убытком.

Дополнительные вложения/изъятия капитала и доходность. В нашем
случае формулы (14.5), (14.5’) не чувствительны к реальным моментам
выплат текущего дохода. Впоследствии мы рассмотрим более общий
подход к определению доходности, который учитывает временное рас-
пределение денежных сумм, участвующих в сделке.

Другим важным обстоятельством, влияющим на доходность фи-
нансовых операций, являются дополнительные вложения и изъятия
капитала, а также способ учета этих операций в оценке доходности.

Чтобы прояснить влияние этих факторов, вернемся к примеру
с пенсионным фондом. Допустим, что непосредственно перед концом
года в фонд поступили взносы от участников фонда в размере .+1’2 млн.
Ясно, что теперь полная стоимость портфеля в конце года станет
?/?32 млн. Формальная подстановка этого значения в формулу доход-
ности даст оценку

г =---—----= 0,32, или 32% годовых.

Но является ли полученное значение действительной оценкой до-
ходности портфеля? Ответ, конечно, отрицательный, поскольку эти
дополнительные вложения, во-первых, не играли никакой роли в тече-
ние инвестиционного периода, а во-вторых, чисто механическое до-
бавление их к стоимости портфеля вообще некорректно, поскольку
учитывается только одна сторона процесса вложения — рост стоимос-
ти портфеля, но никак не учтены затраты, за счет которых этот рост
достигнут.

Такой способ учета используется на практике для неправомерного
завышения оценки эффективности управления инвестиционными фон-
дами, когда потенциальным клиентам (возможным пайщикам) фонда
сообщаются лишь стоимости активов, например в начале и конце года,
но не сообщается, был ли достигнут рекламируемый рост активов за
счет действительно эффективного управления или он — просто резуль-
тат хорошо проведенной кампании по привлечению пайщиков, взно-
сы которых, собственно, и обеспечили провозглашаемый «беспреце-
дентный» рост активов фонда.

Двойственный эффект оказывает изъятие (деинвестирование)
капитала, осуществленное за счет продажи (реализации) активов
фонда. Пусть почти сразу после начала была реализована четвертая
часть активов фонда. Допустим также, что это изъятие привело
к пропорциональному сокращению как конечной стоимости, так
и текущего дохода фонда. Это значит, что стоимость фонда в конце

года составит

К'=-.#30 млн = .#22,5 млн,
4 3

а текущий годовой доход равен Д/=-.#2 млн = .->?1,5 млн.

Предполагая, что одна половина этого дохода реинвестировалась
в активы фонда, а другая была распределена между участниками фонда

и, учитывая упомянутое выше изъятие четвертой части капитала,
получим для Л/( значение

М'=-М 1,5 млн +-.#25 млн = .-#7 млн.

1 2 4

Вычисляя на основе полученных значений доходность, получим

, 22,5-25 + 7
г =-----------

= 0,18, или 18% годовых.

И снова формально полученное значение доходности вряд ли мож-
но считать ее действительным практическим значением. В самом деле,
изъятие четверти начального капитала сразу же в начале года означает,
по существу, не только дополнительный доход от реал изованной четвер-
ти капитала активов на сумму .-#6,25 млн, но и фактическое снижение
начального инвестированного капитала, который продолжает учиты-
ваться по его первоначальному значению .-#25 млн. Более точным
способом оценки доходности в этом случае было бы просто уменьше-
ние начального капитала с одновременным игнорированием выручен-
ного за счет продажи части активов дохода, поскольку последний, по
существу, фиктивен, ибо не является реальным результатом инвести-
ционного процесса.
Чтобы избежать отмеченного выше искажающего эффекта при
вычислении доходности портфеля, связанного с дополнительным вло-
жением и/или изъятием капитала, необходимо либо запретить ис-
пользование формул (14.5), (14.5') в условиях, когда такие операции
имеют место, либо более точно учитывать эффекты воздействия этих
операций на значения величин Ио, Мг входящих в формулы для
доходности портфеля. Здесь мы имеем в виду уточнения, сделанные
в рамках модели простой финансовой сделки, определяемой всего двумя
финансовыми величинами 50 и Коррекция способа определения
этих величин, учитывающая эффекты вложения и изъятия капитала,
в жестких рамках такой модели является весьма сложным делом.

То большое внимание, которое уделено доходности, вычисляемой
по формулам (14.5), (14.5'), обусловлено, во-первых, широким и часто
некорректным применением этих формул на практике и, во-вторых,
желанием подготовить читателя к лучшему пониманию более сложных
методов определения доходности, адекватно учитывающих отмечен-
ные сложности, связанные с вложением и изъятием капитала.

В случае, когда принимаются во внимание дополнительные вложе-
ния, необходимо не только учесть эффекты этих вложений на рост
конечной стоимости портфеля и дохода, но и учесть сам факт финанси-
рования таких вложений, т.е. самой дополнительной инвестиции, кото-
рая представляет собой расход средств инвестора.

Если мы учтем этот расход какувеличение инвестированного капи-
тала, т.е. отнесем его к началу периода, то получим скорректированную
доходность с учетом дополнительного вложения.

Для нашего примера дополнительное вложение М2 млн не только
приведет к росту конечной стоимости 5 на эту сумму, но и одновремен-
но увеличит начальный капитал; в этом случае доходность портфеля

32-27 + 1
г = ---- = 0,22,

или 22%, что существенно меньше, чем 32% годовых при «односторон-
нем» учете.

Конечно, фактической доходностью для нашего примера будут те
же 24% годовых, что и без вложения, поскольку капитал, вложенный в
конце года, не участвует в операции и «корректный» учет вложения
означает просто его игнорирование. Отнесение же вкладываемой сум-
мы (как расхода) на начало периода искажает (хотя и в меньшей мере,
чем «односторонний учет») доходность сделки, поскольку эта сумма
реально не могла участвовать в инвестиционном накоплении и реально
влиять как на текущий доход, так и на конечную стоимость. Другое
дело, если вложение осуществляется внутри инвестиционного перио-
да, когда имеется достаточно времени для того, чтобы дополнительный
капитал мог реально повлиять как на доход, так и на стоимость портфе-
ля. Чем ближе к началу периода был момент дополнительного вложе-
ния, тем точнее становится способ коррекции формулы доходности,
состоящий в увеличении начального капитала на сумму вложения.

Коррекция формулы для доходности с учетом изъятия капитала
обладает теми же свойствами, что и в случае дополнительного вложе-
ния. Изъятие капитала в некоторый момент времени, особенно близ-
кий к началу инвестиционного периода, приводит, по существу, лишь к
уменьшению начального инвестированного капитала. При этом в па-
раметрах V и должен быть достаточно точно учтен эффект умень-
шения капитала.

Так, для примера с пенсионным фондом уменьшение на четверть
начального капитала дает скорректированное значение

К'---25 = ;# 18,75млн, М' = -Д'= #0,75 млн

0 4 ’ 2

И 3

К'=--30 = .#22,5 млн,

1 4

которым соответствует доходность

, 22,5-18,75 + 0,75 п _ .

18,75

т.е. те же 24% годовых, что и в исходной сделке. В данном случае
получен точный результат, соответствующий действительной доходно-
сти сделки, благодаря тому, что изъятие было осуществлено в начале
инвестиционного периода и удалось точно учесть влияние всех эффек-
тов изъятия капитала на основные параметры сделки.

Такое удается не всегда. В дальнейшем мы более полно и в рамках
более общей модели проанализируем влияние как реинвестирования
текущего дохода, так и дополнительные вложения и изъятия капитала в
течение инвестиционного периода.

На этом закончим обсуждение базовых формул (14.5), (14.5') и пе-
рейдем к анализу влияния на доходность портфеля его структуры или,
более точно, рассмотрению связи между доходностью портфеля и до-
ходностями составляющих его активов.
143. Связь доходностей портфеля и активов

Выше, говоря о доходности портфеля, мы интересовались лишь его
суммарной стоимостью или ее изменением. Собственно структура
портфеля при этом игнорировалась. Теперь рассмотрим способы опи-
сания структуры портфеля и связь доходности активов с доходностью
составленного из них портфеля.

Первый способ описания портфеля состоит в прямом перечислении
активов, входящих в портфель, с указанием конкретного объема каж-
дого актива. Так, если портфель состоит из акций двух компаний Л и 5,
то для точного задания структуры портфеля следует указать, сколько
акций компаний А и В находится в портфеле. Например, портфель
может состоять из 10 акций Л и 20 акций В. Другой портфель может
состоять из 15 акций каждой компании и т.д.

Естественно, стоимость портфеля будет определяться не только
указанием количества акций, но и их ценами. Пусть акция компании А
стоит Ж 10, а компании В — г#8. Тогда портфель из 10 акций А и 20
акций В имеет стоимость

9?Ю- 10+ +?8- 20 = +7260.

В общем случае указанный способ задания портфеля состоит в пере-
числении всех активов Ар Л2,..., Ак и указанием их количеств п}, п2,..., пк.
Другими словами, в портфель входят пх единиц актива Лр п2 единиц
актива Л2,..., пк единиц актива Ак. Формально такой портфель можно
обозначить как набор компонент портфеля:

7Г — {(Л), j, (Л2, ),..., (Л^., пк

где каждая компонента (Л., л) указывает вид и количество актива.

Если теперь через Р обозначить текущую цену актива А., то сто-
имость портфеля л будет

К =У\Р,п,.

Величина 7=1

И. = Рл (14.6)

показывает суммарную стоимость актива А., входящего в портфель п.
При этом

(14.7)

называют относительным весом актива в портфеле. Поскольку
7 = 1

то, очевидно,

(14.8)

7 = 1

Указание весов дает второй способ описания портфеля. Точнее,
портфель задается набором чисел

с условием (14.8). Смысл такого задания очевиден. Число w показывает
относительную долю капитала, инвестированного в актив л.

Пример 14.7. Для портфеля л = {(Л, 10), (В, 20)} с ценами РА = Ж5; Рв = .4?! 0 найти
стоимости активов Ан В, стоимость портфеля активов я и относительные веса активов А
и В в портфеле.

Решение. Для стоимостей активов А и В вычисляем

И = ??5-10= ?/?50; И = Л10 • 20 = Л200.

Стоимость портфеля соответственно

Г = VA + VB = 50 + 200 = 250 (,П

Следовательно, К 50

... —_4_____ПЭ-

Следует отметить важное различие между двумя способами задания
портфеля. Первый — абсолютный, задает явное количество каждого
актива, причем это задание никак не связано с текущей ценой актива.
Второй, относительный, имеет смысл лишь при указанных ценах акти-
вов. Набор весов задающий портфель, будет, естественно, меняться
при изменении цен активов.

Рассмотрим теперь инвестиционный период длины Т, и пусть
Р] и Pj — начальная и конечная цены единицы актива A; D. — теку-
щий (денежный) доход, полученный от единицы актива А. Тогда из
формулы для доходности актива

получим
P°r{1} = D, + P‘-P-

ИЛИ / , \ „

(1+г<7|)^° = Dt + p;.

Умножая обе части последнего равенства на н. (количество единиц
актива А в портфеле), имеем

„y(i+/-M)p;=n;Dj+n/;

или

где И;° и — начальная и конечная стоимости актива А.

Наконец, суммируя по всем активам портфеля, получим

к . . к к

/=1 /=1 у=1

ИЛИ к

У°+У'г1-лУ° = D +V'

7=1

где к к

7=1 У=1

— начальная и конечная стоимости портфеля, а

я Х^ J j

— текущий доход от портфеля.

Тогда доходность портфеля за период Т:

л __ 1='

prfl
Л

ИЛИ

я Х^ )

(М.9)

где

и.°

J J/0
п

— начальный вес актива А. в портфеле.
Таким образом, доходность портфеля за период равна взвешенной
сумме доходностей, составляющих портфель активов. Важно помнить,
что веса активов определяются по их начальным стоимостям, т.е. в начале
инвестиционного периода, и не зависят от цен активов в конце периода.

Пример 14.8. Для портфеля активов из примера 14.7 при дополнительном предпо-
ложении, что стоимость актива Л в конце периода вырастет в цене до и актива В — до
.W12, найти доходность портфеля.

Решение. Воспользовавшись решением примера 14.7, имеем, что начальные
цены активов А и В, стоимости этих активов и портфеля в целом и начальные веса
активов в портфеле соответственно равны

Р^'^5; Р; = .Ж0;

К? = Э?50; К0 =Э?200; И°=Э?250;

Л ’л ’Я 3

^=0,2; и$=0,8.

Тогда с учетом прироста стоимости активов А и В в конце периода получим, что
доходность активов за период составит

8-5 12-10

г ------= 0,6; --------= 0,2.

А 5 в 10

Учитывая веса активов в портфеле, получим доходность всего портфеля:

г =0,6-0,2 + 0,2-0,8 = 0,28.
Л ' 7 7 ’ 7

Этот же результат можно получить исходя из начальной

Kff°=^250
и конечной

Г;=:#810 + .^12-20 = ^320
стоимостей портфеля. В самом деле,

у:

320-250

250

= 0,28, или 28%.

Полученный результат о линейной связи доходности портфеля с
доходностями составляющих активов имеет место лишь для случая
общего инвестиционного периода.

Если портфель составлен из активов, денежные потоки которых

сосредоточены на различных по длительности промежутках, то доход-
ности активов будут относиться, вообще говоря, к различным перио-
дам. В этом случае необходимо либо предварительное приведение всех
доходностей к одному и тому же промежутку, либо оценивание доход-
ности портфеля исходя из «суммарного» денежного потока, включаю-
щего все платежи, связанные со сделками с активами. Иными словами,
в последнем случае, объединяя потоки платежей отдельных активов в
один общий поток, нужно получить для этого потока оценку одного из
перечисленных выше типов доходностей.
Корректная интерпретация формулы (14.9) как доходности портфе-
ля активов предполагает выполнение ряда условий.

Г. Ил° есть полная величина инвестиционного капитала в начале перио-
да. Никаких других дополнительных инвестиций в течение всего
периода не делается.

2°. Никакая часть текущего дохода D* не реинвестируется. На практике
возможны денежные выплаты за счет этого дохода, т.е. весь доход
или его часть могут быть распределены между бенефициарами порт-
феля, т.е. между лицами, которые имеют право на получение дохода
(например, пайщики или акционеры инвестиционного фонда, уча-
стники пенсионного фонда и т.п.).

3°. Не допускается изъятие инвестиционного капитала, например про-
дажа части активов и распределение полученной выручки внутри
выбранного периода.

Стратегия «управления» портфелем в этом случае предельно проста
и сводится к правилу «купить и держать» активы, составляющие порт-
фель. Финансовые (портфельные) операции такого рода принято на-
зывать пассивными, поскольку они не предусматривают ни дополни-
тельных инвестиций, ни перераспределения средств между различны-
ми активами в течение заданного периода. Собственно вся операция
сводится к выбору заданной структуры активов, которая затем поддер-
живается неизменной.

Таким образом, под доходностью портфеля за период, как и в случае
определения доходности актива, понимается доходность соответству-
ющей финансовой операции. Такую операцию формирования портфе-
ля активов, с неизменяемой в течение заданного периода структурой
и тем самым удовлетворяющую условиям Г—3°, будем называть стан-
дартной портфельной операцией.

Формула (14.6), как и формулы (14.5), (14.5'), дает выражение для
доходности портфеля на заданном периоде. Естественно, что непос-
редственное сравнение доходностей портфелей за периоды разной
длины невозможно. Для осуществления такого сравнения необходимо
привести эти доходности к одному и тому же базовому промежутку
или, как еще говорят, нормировать их. Простейшее приведение осуще-
ствляется по формуле

Ы.лр) —
л 1

где гт — доходность портфеля за период Т; у"р — соответствующая
нормированная простая доходность.
Заметим, что соотношение вида (14.9) сохраняется и для нормиро-
ванных доходностей:

(14.10)
./=1

где уи) — нормированная простая доходность актива Л.

Естественно, что базовый промежуток, к которому приводятся доход-
ности портфеля и составляющих его активов, должен быть один и тот же.

Формула (14.10) получается делением обеих частей формулы (14.9)
на длину оцениваемого период Т. Напомним, что эта длина должна
быть выражена в единицах базового промежутка, к которому и осуще-
ствляется приведение (нормирование) доходностей.

Пример 14.9. В продолжение примеров 14.7 и 14.8 в предположении, что период
оценки портфеля составляет Т = 2 мес., найти месячные и годовые нормированные
доходности активов и портфеля.

Решени е. Так как (см. пример 14.8)

гА = 0,6, гл = 0,2; гя=0,28,

то для месячных и годовых нормированных доходностей соответственно получаем
0,6 гв 0,2 гк 0,28

у,= —=— = 0,3; ув= —=— = 0,1; v = -*- =-=0,14

✓ Д r^-i * О ' Т 2

Другой способ нормирования (приведения) доходности основан на
использовании схемы сложных процентов и осуществляется по формуле

Л’ф| =0+'; Г-(i4.il)
приведенная по этой формуле доходность портфеля называется эффек-
тивной (нормированной) доходностью.

Естественно, что по (14.11) также можно вычислить эффективную
доходность и для отдельного актива. Однако для эффективных доход-
ностей активов и портфеля соотношение, аналогичное (14.10), уже не
выполняется.

14.4. Временная декомпозиция финансовых сделок
и усреднение доходности

В предыдущем параграфе мы рассмотрели соотношение между
доходностью портфеля и доходностями составляющих этот портфель
активов. Тем самым была осуществлена структурная декомпозиция
(разложение) доходности портфельной сделки на отдельные компо-
ненты, связанные с доходностями отдельных активов портфеля и сте-
пенью их влияния на доходность всего портфеля.

Заметим, что доходности активов являются внешними по отноше-
нию к инвестору или управляющему портфелем характеристиками
сделки, поскольку не зависят от действий инвестора или управляюще-
го. В самом деле, доходность, например, конкретного вида акций
зависит от изменений цены на эти акции и выплачиваемых по этим
ценам дивидендов, которые определяются прежде всего степенью ус-
пешности деятельности эмитента, т.е. корпорации (фирмы), выпус-
тившей эти акции.

Конечно, имеются и другие факторы, например общеэкономичес-
кие (экономическая конъюнктура, инфляция), рыночные, связанные
со спросом и предложением этих акций, и др. Но в обычной ситуации
лицо, осуществляющее сделку (инвестор, управляющий портфелем,
и т.п.), не может влиять на доходность актива. Говоря об обычной
ситуации, исключаем ситуации, допускающие возможность такого
влияния. Оно возможно, если в качестве лица, осуществляющего
сделку, выступает сам эмитент или тесно связанные с ним лица (напри-
мер, менеджеры компании, выпустившей акции).

Возможность влиять на цены акций имеется и у крупных институ-
ционных инвесторов при покупке или продаже крупных пакетов ак-
ций, например скупке акций с целью поглощения компании. Однако в
типичных, наиболее распространенных случаях такой возможности у
лица, осуществляющего сделку, нет и он принимает цены, дивиденды,
а следовательно, и определяемые ими доходности как заданные.

С другой стороны, инвестор может полностью распоряжаться соб-
ственным капиталом, в частности решать, сколько, когда и во что инве-
стировать. В меньшей степени это касается наемных управляющих ка-
питалами, поскольку последние, не будучи владельцами инвестируемого
капитала, не полностью свободны в выборе инвестиционного решения.
Они управляют капиталом прежде всего в интересах собственников
этого капитала. Конечно, управление предусматривает определенную
свободу выбора, но она ограничена требованиями, предписываемыми
собственниками капитала. Наконец, многие институциональные инве-
сторы (банки, страховые компании, фонды) ограничены в своих дей-
ствиях и рамками законодательства, а также требованиями, предписы-
ваемыми различными надзорными и регулирующими органами.
Структурная декомпозиция доходности связана с анализом влия-
ния на эффективность финансовой операции того, во что инвестиро-
ван капитал и сколько вложено средств. В § 14.2 отмечена важность
учета тех моментов времени, когда осуществлялись различные дей-
ствия, связанные с реализацией финансовой сделки, в частности вложе-
ния/изъятия капитала и реинвестиции. Этот учитываемый фактор свя-
зан с временной стоимостью денег — центральной темой данной книги.

В рамках простейшей модели финансовой сделки, оперирующей
лишь с двумя суммами, относящимися к начальному и конечному
моменту сделки, оценка эффективности более сложной сделки по
формулам (14.5), (14.5’) невозможна. Для этого необходима соответ-
ственно и более полная детализация сделки во времени, связанная
с более полным и более точным временном учетом денежных сумм,
участвующих в сделке. Такую операцию назовем временной декомпози-
цией сделки. Степень детализации, связанной с этой декомпозицией,
определяется конкретными условиями сделки. Если сделка стандарт-
на, т.е. портфель формируется один раз в начале периода, весь текущий
доход хранится в начальной форме до конца периода и никаких
вложений, изъятий, реинвестиций и перестройки портфеля в течение
периода не делается, иными словами, сделка абсолютно пассивна,
то формулы (14.5), (14.5') и их нормированные варианты (т.е. соот-
ветствующие простая и эффективная доходности) являются адекват-
ными характеристиками сделки. Кроме того, в этом случае в полной
мере выполняется соотношение (4.9), т.е. доходность сделки
(портфеля) полностью определяется доходностями активов, участву-
ющих в сделке.

В более общем случае, т.е. при наличии различных «внутренних» по
отношению к периоду оценки операций, необходим их учет. Назовем
моменты, соответствующие этим операциям, критическими момента-
ми сделки. К ним отнесем также начальный и конечный моменты.

Временная декомпозиция сделки. Критические моменты разбивают
сделки на подпериоды, которые также назовем критическими. В преде-
лах каждого подпериода сделку можно считать стандартной (пассив-
ной), поскольку внутри подпериодов нет никаких «внутренних» опера-
ций. Для любого момента из этих подпериодов (отличного от концов!)
определена структура портфеля активов, участвующих в сделке. При
этом в абсолютном смысле эта структура остается неизменной внутри
критического периода. В концах подпериодов, т.е. в критические мо-
менты, структура портфеля, строго говоря, не определена, поскольку в
эти моменты возможна перестройка портфеля активов сделки, допол-
нительные инвестиции или изъятия. Но в то же время непосредственно
перед и сразу после критического момента структура портфеля и его
стоимость являются полностью определенными.

Таким образом, для каждого критического момента tk можно опре-
делить два портфеля = n(tk) и пк = п) и соответствующие им сто-

имости Vk - V (я*) и К/ = V (пк). Соответствующая временная диаграм-

ма изображена на рис. 14.2.

В этом разделе мы несколько
изменили обозначение «завер-
шенного состояния» (см. гл. 1),
так как, согласно последнему,
следовало бы, например, писать
просто Vk вместо Vk и т.д. Эти

----------------- ,—*------<----------
Ч----------------1 1—

Рис. 14.2

изменения внесены сознательно, чтобы подчеркнуть, каков был итог
непосредственно перед критическим моментом tk и сразу после этого
момента.

Поскольку в пределах критического подпериода исходная сделка
является пассивной, то с этим периодом можно связать простую
стандартную сделку, описываемую лишь двумя финансовыми харак-
теристиками (состояниями) сделки в начале и конце периода. Более
точно, для &-го критического периода [^_р определим стандартную
финансовую частичную сделку, заключающуюся в формировании пор-
тфеля из активов А,,..., Ап по ценам Px{tk_), Р2(^_ t),..., Pn(tk_)
общей стоимостью :

с- _ [/+

I — к*-1'

В течение критического периода по портфелю получен текущий
доход от всех активов, который, согласно принятому принципу актуа-
лизации, независимо от того, хранится ли он в действительности в
наличной форме до конца tk периода или распределяется внутри перио-
да, в модели будет отнесен к моменту tk (т.е. актуализирован в этот
момент). В конце периода портфель имеет стоимость Vk , а учитывая
и текущий доход Dk, отнесенный к концу периода, общий результат Sk
стандартной сделки можно описать как сумму

Рис. 14.3

Заметим, что знак «минус» в обозначении 5^ указывает на инвес-
тиции (расход), тогда как «плюс» в обозначении 5* — на приход
(доход) по отношению к описываемой финансовой сделке.

Из введенных обозначений ясно, что моменту t приписаны две
величины — Sk и Sk, причем S~ = и S'* =S(/* J, т.е. Sk «учиты-
вается» сразу после момента tk — это инвестиции в начале периода
[^, /*+1], a Sk непосредственно перед tk — это полный капитал, получен-
ный к концу периода [^_р 7J. Считая, что сделка начинается в момент Г
и завершается (реально или теоретически) в момент tn, можем также
полагать, что

5,‘=s;=o,

т.е. в начальный момент нет на-
копления (дохода), а в конечный
момент нет инвестиций. Диаг-
рамма такой сделки представле-
на на рис. 14.3.

Этой сделке соответствует до-
ходность

У ~Уч у ।

Уч Уч

за период Тк = tk ~ tk_ г

Таким образом, временная декомпозиция исходной сделки порож-
дает семейство доходностей г(!), г(л) и соответствующие им нор-
мированные простые и эффективные доходности.

Для того чтобы охарактеризовать исходную сделку в целом, на
практике используют различные методы получения интегральной ха-
рактеристики эффективности по указанным наборам доходностей.
Наиболее распространены так называемые методы усреднения, кото-
рые в качестве доходности сделки в целом дают взвешенные средние от
доходностей частичных сделок.

Среднеарифметическая доходность. Простейший метод усреднения
состоит в арифметическом усреднении, при котором простая нормиро-
ванная доходность сделки определяется как

где Т= Т{ + Т2 + ... + Тп — период всей сделки.
Используя простые нормированные доходности частичных сделок,
это выражение можно переписать в виде

. v., (,4 ,2)

где

(14.13)

— временной вес к-й частичной сделки. Чаще всего эту формулу приме-
няют к разбиению периода оценки доходности на промежутки одина-
ковой длины. Тогда, если

Т{ = Г, = ... = Г

то,очевидно,

k- 1,2,...,п,
п

и, следовательно, получаем

.,(1) > ,,(2) , , „(я)

-(пр) У +У + -+У

(14.14)

т.е. простая нормированная доходность сделки за весь период равна
средней арифметической простых нормированных доходностей соответ-
ствующих частичных сделок.

Пример 14.10. Рассматривается двухпериодная сделка (считая период равным
единице временной шкалы) с начальным капиталом 100 000. Весь капитал инвестиро-
ван в портфель (неденежных) активов. К концу первого периода стоимость портфеля
возрастает до гЛ 120 000 и остается неизменной до конца 2-го периода. Текущий доход за
первый период составляет .#20 ООО, а за второй — .#30 000. Этот доход не реинвестиру-
ется, а распределяется. Найти частичные доходности и доходность сделки в целом.

Решение. Рассмотрим первый период. Доходность сделки за этот период

(I) 20+20 Л

г -------= 0,4, или 40%.

100

Для второго периода доходность составляет

г2) = 0,25, или 25%.

120

Таким образом, средняя арифметическая (нормированная) доходность сделки

|пр) = М + 0,25 = 3

Заметим, что поскольку ни реинвестирования, ни дополнительных вложений и изъ-
ятий в этой сделке нет, то, отнеся весь текущий доход и накопленную стоимость
портфеля к концу, а начальные инвестиции к началу всего периода сделки, в соответ-
ствии с формулой (14.5'), получим доходность сделки
или 70%, а соответствующая простая нормированная доходность сделки
/,р) = £ = 0,35,

или 35%, что не совпадает со средней арифметической доходностью у(|1р) = 32,5%.
Обсудим причины этого ниже.

Среднегеометрическая доходность. Другим способом усреднения яв-
ляется геометрическое или эффективное усреднение. Для этого сначала
находят общий коэффициент роста за весь период сделки как произве-
дение частичных коэффициентов:

аТ =а(ой(2),...,а(я), (14.5)

где

flw=l + rU), £ = 1,2,...,л.

Этому коэффициенту роста соответствует нормированная эффектив-
ная доходность

—(эф) ( \1/Т

У = (ат) -!•

Отсюда с учетом (14.15) получаем явное выражение для эффективной
нормированной доходности

р(эф)

(1 + Г(1) )(1 + Г(2) ) ... (1 + Г(я)) - 1,

которая называется среднегеометрической доходностью.

Используя эффективные доходности (частичных

сделок), последнее равенство можно переписать в виде

или

... (l + yw)'”-l, (14.16)

где тк — временной вес k-й частичной сделки, определяемый формулой
(14.13).

Для разбиения с одинаковыми по длине подпериодами имеем, что
тк = \/п, и формула (14.16) примет следующий вид:

у,эф) =^(1+Уй)(1+У2))-(1 + У<"’)-1- (14.17)
Правая ее часть есть не что иное, как обычное среднегеометрическое
эффективных доходностей, соответствующих частичным сделкам. Этим,
собственно, и вызвано название доходности, определяемой формулой
(14.16), как среднегеометрической доходности.

Обсуждение арифметической и геометрической доходностей. Рас-
смотрим более подробно два способа усреднения доходности «слож-
ной» сделки с периодом оценки, разбитым на подпериоды. Результаты
этих усреднений, осуществляемых с весами т, тт определяются
формулами (14.12), (14.16) и характеризуют соответственно средне-
арифметическую и среднегеометрическую доходности. В случае разби-
ения периода сделки на одинаковые подпериоды с одинаковыми веса-
ми, равными 1/л, результаты соответствующих усреднений задаются
формулами (14.14) и (14.17).

Наконец, следует отметить, что при арифметическом усреднении
по нормированным доходностям берутся простые, а при геометрическом
усреднении — эффективные доходности.

В дальнейшем среднеарифметическую доходность сделки будем
обозначать просто;^, а среднегеометрическую—так что = у

—(эф)

и^)=^ •

Пример 14.11. Найти для сделки из предыдущего примера среднегеометрическую
доходность.

Решение. Поскольку в этой сделке подпериоды единичные, то

=0,4;
и, следовательно,

= 7(1 + г'|!)(1 + г^) = ^(1+ 0,4)(1+ 0,25)-1 = 0,3229, или 32,29%.

Если период сделки разбит на единичные подпериоды, то

_ Дпр) _ (эф)

' ~ Ук ~ Ук

и в силу неравенства Коши — Буняковского

т.е. среднеарифметическая доходность больше, чем среднегеометри-
ческая. Примеры 14.10 и 14.11 подтверждают этот факт.
Остановимся на некоторых аспектах практического использования
средних доходностей. Рассмотрим случай, когда на каждом подперио-
де реализуется стандартная сделка с одним и тем же инвестируемым
капиталом.

Используя введенные выше обозначения, это условие можно запи-
сать в виде

г0 = 5,; = 5,- = ...=S~. (14.18)

Это означает, что в каждом периоде весь положительный доход
(Мк = Sk-Sk__x >0), т.е. как текущий Dk, так и ценовой ДИ* ~ V~
распределяется и, значит, не реинвестируется. В случае же отрицатель-
ного дохода (5/-5/<0) требуется дополнительное вложение на эту
сумму для восстановления фиксированной величины инвестируемого
капитала.

Предполагая, что денежная часть относится к концу tn сделки
(т.е. актуализируется в этот момент), в силу условия (14.18) получаем,
что среднеарифметическая доходность, равная

у = ----

-X) Г/ ’

Г0

фактически совпадает с доходностью «полной» сделки за период [70,
без разбиения его на подпериоды, определяемой формулой (14.5').

Так, для сделки из примеров 14.10 и 14.11 арифметическая средняя
доходность не совпадает с нормированной доходностью, вычисленной
по базовой формуле (14.5*). Если же эту сделку скорректировать в
соответствии с условием (14.18), то эти доходности совпадут. В самом
деле, инвестировав в начале Е, = 50 = 100 тыс., инвестор в конце

первого периода получит текущий доход Z)t = .#20 тыс. и портфель
стоимостью И = .#120 тыс. Реализовав часть активов портфеля на
сумму :#20 тыс., иными словами, 1/6 часть портфеля и распределив ее
вместе с текущим доходом, что дает общую сумму Мх = #40 тыс.,
инвестор останется с портфелем стоимостью в #100 тыс., так что
капитал, инвестируемый на второй период, остается тем же самым.
В конце второго периода стоимость портфеля по условию не меняется,
а текущий доход от оставшейся части (пропорционально уменьшен-
ный на 1/6) составит

Л/, = /)' = -• 30 = 7,>25 тыс.

2 2 6
Таким образом, полный доход от такой сделки составит

/ = + Л/2 = 40 + 25 = .#65 тыс.

и, значит, доходность сделки за два периода будет

-=— = 0,65,
; юо

или 65%, а нормированная простая доходность

/'”> =£ = о,325,
2

или 32,5%, что совпадает со среднеарифметической доходностью.

Среднеарифметическая доходность чаще всего используется для
статистической оценки доходности отдельных активов и их портфелей
по прошлым (историческим) данным. Так, имея данные о ценах
и текущих доходах активов за прошлые периоды, можно найти
соответствующие доходности для каждого такого периода, а затем
вычислить среднеарифметическое значение. Обычно эта операция
осуществляется для оценки ожидаемой доходности актива (или
портфеля) для будущего периода по данным о доходностях за
последовательность прошлых периодов такой же длины. Например,
для оценки ожидаемой месячной доходности некоторой акции можно
взять ее среднеарифметическую месячную доходность за последние
5 лет. В этом случае оценкой будет среднее по выборке объемом в 60
выборочных значений доходности.

Перейдем теперь к обсуждению среднегеометрической доходности.
Центральным моментом в ее определении является вычисление итого-
вого коэффициента роста капитала в сделке по формуле (14.15). По-
скольку
то

— j 4-~ к

и, следовательно, полный коэффициент роста

= к = (14.19)

#1 ^1 15 л-1
Напомним, что S* есть полная накопленная стоимость капитала за
/с-й период, т.е. включающая как текущий доход Dk за этот период, так
и прирост стоимости активов портфеля

ЛИ =И"~И+

а — капитал, инвестируемый в начале /с-го периода. Если Sk+

то это значит, что накопленный капитал к концу &-го периода не совпа-
дает с инвестируемым в начале {к + 1)-го периода капиталом. Иными
словами, либо полученный доход не реинвестируется, либо в критичес-
кий момент tk осуществляется изъятие или же, наоборот, дополнитель-
ное инвестирование капитала. В противном случае, т.е. если нет ни
изъятий, ни вложения капиталу, а весь текущий доход полностью
реинвестируется, то выполняется равенство

s;=s;=st,

и формула (14.19) перепишется в виде

г v/Х <

Следовательно,

< с У/г

уп= — - 1.

Лх) с

Но при описанных условиях применение базовой формулы (14.5)
ко всей сделке за период Тдает доходность

а соответствующая эффективная нормированная доходность

( с А

(зф) /< 1 X

У ,=(1+'т) -*= V -!>
кА )

так что в этом случае = у^,т.е. полная эффективная доходность
сделки совпадает со среднегеометрической доходностью частичных
сделок.

Пример 14.12. Инвестор купил в начале l-ro года акцию компании А за .^50,
а в конце года ее стоимость возросла до ?/?100. В течение 2-го года цена акции упала до
начальной цены в ./?50. Инвестор продал акцию по этой цене. Найти доходность сделки
за два года, а также среднегодовые доходности (арифметическую и геометрическую),
считая, что по акциям в течение указанного периода дивиденды не выплачивались.
Решение. Доходность акции за 1-й год составляет

г(о 100-50 !

или 100%, за 2-й год:

г,а= 50^100

100

или — 50%. Среднеарифметическая годовая доходность сделки составит

или 25%. Среднегеометрическая годовая доходность

у{g} = 7(1 +г(,,)(1 + г(2)) -1 = VToJ -1=0.

Доходность акции за 2-летний период

50-50 л
г =------ 0.

Следовательно, будут равны и соответствующие годовые простая и эффективная доход-
ности:

=- Q

В этом примере двухлетняя доходность г, ее нормированные пред-
ставления^3^ и а также геометрическая средняя годовая доходность
совпадают. Среднеарифметическая доходность существенно завышает
фактическую доходность сделки — факт, с которым мы уже сталкива-
лись. Причина снова заключается в том, что инвестиции во втором пе-
риоде (9ft 100) не совпадают с инвестициями в первом периоде (?/?50).

Мы рассмотрели два вида доходностей, получающихся в результате
операций усреднения семейства доходностей, относящихся к последо-
вательным подпериодам, составляющим инвестиционный период или
период оценивания. В арифметическом и геометрическом методах
усреднения в качестве весов (см. (14.12), (14.13) и (14.16)) используются
временные характеристики промежутков разбиения (подпериодов).
Поэтому оба вида доходностей можно было бы назвать взвешенными по
времени. Однако на практике этот термин используется лишь по отно-
шению к геометрической доходности. Именно ее принято называть
взвешенной по времени (или временно-взвешенной) доходностью.
Обычно этот термин используется, если хотят отличить эту доходность
от так называемой денежно-временнбй доходности. За последним тер-
мином скрывается уже упоминавшаяся внутренняя доходность. Она
является одной из наиболее используемых характеристик финансовых
операций. В силу важности (как теоретической, так и практической)
этого понятия мы посвятим ему отдельный параграф.
14.5. Внутренняя доходность финансовых операций

Дискретный поток. Рассмотрим разбиение периода сделки (или
периода оценивания) на критические подпериоды (см. рис. 14.2).
Пусть, как и выше, Е() — начальная, И — конечная стоимости
портфеля активов, участвующих в сделке, а Мк — распределяемая
(денежная) часть текущего дохода за подпериод [Г*,, /J. С критическим
моментом tk мы связали две стоимостные характеристики портфеля:
И*“ ~ И(//) — стоимость непосредственно перед моментом tk и И/ = V [tk)
— стоимость непосредственно после этого момента. Рассмотрим раз-
ность этих величин

д^ = ди(>,) = г;-к-.

Если ЛИк > 0, то она представляет собой величину дополнительных
инвестиций в портфель активов в момент tk, если AVk < 0, то она равна
величине изъятия капитала в момент tk. Таким образом, A Vk описывает
эффект внешней операции вложения/изъятия капитала. Заметим, что
результат реинвестирования нераспределенной части текущего дохода
учитывается в стоимости И/, относящейся к кончу го периода.

Нетто-баланс от операции распределения части текущего дохода
Мк и внешней операции вложен ия/изъятия ДИ* обозначим С*:

Ct=Wt-AK,=A/i+Kt--K; (14.20)

и отнесем к моменту /*.

Заметим, что в общей схеме финансовой операции текущий доход
относится к доходной части денежного, связанного с этой операцией,
потока, т.е. Мк > 0, тогда как дополнительные вложения (ДИ* > 0)
относятся к расходной части потока. Наоборот, изъятие (ДИ* < 0,
т.е. продажа части активов) капитала в такой схеме означает (капиталь-
ный) доход и, следовательно, относится к доходной части денежного
потока, связанного с операцией.

Если С* > 0, то нетто-баланс будет представлять результирующий
доход Ск-Ск, относящийся к Л-му периоду с актуализацией его в
конце этого периода. В противном случае нетто-баланс будет представ-
лять чистый убыток Ск = Ск и относиться к расходной части результи-
рующего потока операции. К расходной части результирующего пото-
ка будет, естественно, относиться и начальный инвестируемый капитал

С ~C~ = ~V

Ю) '-’о
тогда как конечная (реализованная или учетная) стоимость портфеля
= относится к доходной части потока и, значит, с учетом
распределенного дохода имеем

С = = K + М.

Если использовать введенные величины

то равенство (14.20) можно записать в виде

Д= S~- Д* = Д- Мк = ~Ск, к = 0,1,..., п.

Напомним, что S~ относится к 1к, т.е. учитывается сразу после
момента tk, a Sk — к tk, т.е. учитывается непосредственно перед момен-
том tk. При этом

Со = -ДД0 = 50 - 50 = -5*0 = “К ’

так как 50+ = 0 и

так как Дл' - 0. Использование одной величины часто удобнее вместо
двух Vk и Мк.

Таким образом, временная декомпозиция сделки позволяет постро-
ить ее результирующий денежный поток. Как отмечалось в гл. 1, описа-
ние сделки в рамках некоторой финансовой схемы и означает задание
представляющего (порождающего) эту сделку денежного потока.

Задание представляющего потока

СГ = {(/0,С0),(/„С,)>...,(/„С„)}

сделки позволяет определить понятие ее внутренней доходности как

нормированной ставки в схеме сложных процентов, балансирующей

потокС/7:

^(СЛу) = 0

в некоторой (а тогда и любой) точке р. Обычно в качестве полюса
берется начальный /0 или конечный Г моменты сделки. Этим моментам
соответствуют уравнения баланса

Л1 /'"Т

PV. (CF,y) = X--------------= 0

!о ' ’17 ' jC—i /1 у* _,.i

А=0 (14- V)
И

^.(CF,y)=Zct(i+y)'-'''=o

к=0

с учетом разделения потока CFh& расходную CF~ и доходную CF+ части.

Пример 14.13. Найти внутреннюю доходность двухлетней сделки из примера 14.10.
Решение. Согласно условиям примера 14.10

Ко = J?100tmc.; Л/] = Д = с??20тыс.; И, = И/=5? 120тыс.;

М2 = Ж30 тыс.; V2 - Г2“ = 3R 120 тыс.

Таким образом, результирующий денежный поток сделки имеет вид

Со = ~ J?100 тыс.; Cj = *J?20 тыс.; С2 = .^150 тыс.

Уравнение для внутренней доходности (с полюсом в точке р = 2) следующее:

100( 1 + у)2 - 20(1 + у) ~ 150 = 0.

Полагая х = 1 + у, получим квадратное уравнение

Ю0х2 — 20х — 150 = 0
или

Юх2 — 2х- 15 = 0.

Отсюда .— .—

1—>/151 1+д/Ш

х --------• х =------

1 10 2 10

Отбрасывая отрицательный корень (поскольку по своему смыслу х есть коэффициент
роста и не может быть отрицательным), получим

х= 1+у = 1,3288
или

У = 0,3288,

т.е. внутренняя доходность сделки составляет 32,88%, что отличается от среднегеомет-
рической доходности сделки 32,29%.

В наиболее типичных финансовых сделках, например кредитных,
расходная часть сводится к инвестированию начального капитала Ио,
а доходная часть — к серии текущих платежей Сх, С2,..., С (процентов
или дивидендов) и к конечной стоимости капитала И (возврату основ-
ной суммы долга, реализованной или учетной стоимости активов
и т.д.). Структура денежного потока сделки в этом случае

С^={(г,,С,),(/2,С2),...,(/„,Сл + Г)}.

Следовательно, балансовое уравнение для внутренней процентной
ставки будет иметь вид (с полюсом р = /0)
у - + ^2 + - + И

° (i+yp (i+_pyWo (1+уУ’"0' (14-21)

Таким образом, это уравнение действительно представляет баланс
(эквивалентность) между потоками расходов (инвестициями) и дохо-
дов (от них). В тех случаях, когда текущий доход отсутствует, т.е.

С =С =... =С =0,

12 п ’

то уравнение (14.21) сводится к уравнению

Учитывая, что tn - Го = Т— срок сделки, получим

Тогда внутренняя доходность является просто нормированной эф-
фективной доходностью соответствующей доходности сделки за период

вычисляемой по базовой формуле (14.2). Иными словами,

В более общем случае равенство нулю промежуточных (внутренних)
сумм Ск означает: 1) отсутствие или полное реинвестирование (всего)
текущего дохода; 2) отсутствие изъятия или дополнительного (внешне-
го) вложения капитала. В самом деле, равенство

Ск =Л^-ЛИ*=0
означает, что

т.е. весь полученный к концу к-го периода текущий доход полностью
реинвестируется в портфель активов в момент tk и, в частности, нет
никаких внешних вложений.

Как отмечалось в предыдущем параграфе, в этом случае адекватной
оценкой доходности сделки является среднегеометрическая доходность
Однако отсутствие внешних изъятий и вложений, а также полное
реинвестирование дохода означает, что имеет место равенство

— базовая доходность за период сделки. Следовательно, и в этом случае
внутренняя доходность у будет совпадать с эффективной доходностью
уэФ) соответствующей базовой доходности за период. Более того, она
будет совпадать и со среднегеометрической доходностью^.

Таким образом, именно наличие (внешних) изъятий/вложений ка-
питала в финансовой сделке приводит к различию в значениях внут-
ренней (денежно-взвешенной) доходности от среднегеометрической
(временно-взвешенной) доходности. Этот факт иллюстрируется при-
мером 14.13.

Хотя мы и подчеркивали, что адекватная интерпретация среднегео-
метрической доходности требует выполнения перечисленных выше
условий (т.е. отсутствие изъятий/вложений капитала и полное реинве-
стирование текущего дохода), тем не менее на практике среднегеомет-
рическая (взвешенная по времени) доходность используется наравне
с внутренней (денежно-взвешенной). Строго говоря, оба вида доход-
ностей оцениваютрц^м'/йь/е аспекты эффективности сделки. Принято
считать, что внутренняя доходность оценивает общий финансовый
результат сделки с учетом всех ее компонент, в том числе и внешних
вложений (изъятий), тогда как среднегеометрическая доходность оце-
нивает эффективность управления активами, участвующими в сделке.
Чтобы прояснить различие в этих аспектах оценки, рассмотрим следу-
ющий пример.

Пусть два управляющих активами двух пенсионных фондов имеют
в начале двухмесячного периода портфели активов на сумму .^60 млн.
Предположим также, что управляющие сформировали одинаковые по
структуре портфели. Допустим, что никаких дополнительных вложе-
ний или изъятий капитала за два месяца не было, как и не было
распределения текущего дохода (т.е. он полностью реинвестировался).
Если доходности портфеля за первый и второй месяцы составляют 20 и
50% соответственно, то ясно, что как финансовые результаты, так и
качество управления обоих управляющих совпадают. В конце 1-го
месяца стоимость портфеля возрастет до
к; = ;^60(1 + 0,2) = .#72 млн,
а в конце 2-го — до

К = #72(1 +о,5)= #108 млн.

Доходность сделки за оба месяца составит

Д-1=^-1 = 0,8,

К 60

а соответствующая эффективная месячная доходность

=71+0,8-1 = 1,3416-1 = 0,3416,

или 34,16% в месяц. При указанных условиях эта доходность совпадает
как со средней геометрической, так и с внутренней доходностями
сделки.

Рассмотрим другую ситуацию. Допустим теперь, что при тех же
начальных условиях, атакже условиях, касающихся доходностей порт-
фелей, первый управляющий получает (например, от участников фон-
да или от спонсоров) в конце 1-го месяца дополнительно .+20 млн,
а другой, наоборот, обязан выплатить (например, в виде пенсий)
#10 млн. В этом случае у первого управляющего стоимость портфеля в
конце 1-го месяца составит

^’ = 60(1+0,2) = .#72 млн.

Однако с учетом дополнительных вложений на сумму #20 млн, он
инвестирует в начале 2-го месяца сумму

J++-72+ 20 = #92 млн.

Поскольку доходность портфеля активов за 2-й месяц составляет 50%
в месяц, то окончательная стоимость портфеля (в конце 2-го месяца)

У2 = 92(1 +0,5)= М 138 млн.

Внутренняя доходность у сделки определяется уравнением (с по-
люсом р = 2)

бор+у^+гоо+^рзз-о,
решая которое получим

У, = 0,3499,
или 34,99% в месяц, что больше среднегеометрической доходности
34,16% этой же сделки (которая, как легко понять, не изменилась).
Второй управляющий получит в конце 1-го месяца те же
V. = Ж12 млн. Однако, учитывая изъятие капитала на сумму 2А 10 млн,
он в начале 2-гомесяца сможет инвестировать лишь

р;+ = 72-10 = Ж2 млн

и, следовательно, конечная стоимость портфеля

И, = 62(1 +0,5)= .^93 млн.

Внутренняя доходность у2 этой сделки определяется уравнением (с
полюсом р = 2)

60(1+^2)2-10(1+_у2)-93 = 0,

решая которое получим

У2 = 0,3283,
или 32,83% в месяц, что меньше месячной среднегеометрической до-
ходности 34,16% этой же сделки.

Подведем итоги анализа описанных сделок. Поскольку оба управ-
ляющих во всех случаях формировали идентичные по структуре порт-
фели, то с точки зрения эффективности управления активами их работа
должна оцениваться одинаково. Заметим, что внутри каждого крити-
ческого периода стратегия инвестирования пассивна и, значит, резуль-
тат управления портфелем для критического периода полностью опи-
сывается доходностью портфеля, т.е. определяется лишь структурой
портфеля, сформированного в начале периода, и поведением активов
(последний фактор, естественно, не зависит от управляющего).

Таким образом, эффективность управления на всем инвестицион-
ном периоде (периоде оценки) полностью определяется последователь-
ностью доходностей портфеля для критических периодов. Для характе-
ристики эффективности управления единственным показателем
(т.е. одним числом) необходимо выбрать правило его определения по
заданной последовательности доходностей портфеля. Иными слова-
ми, этот показатель представляет собой некоторую функцию от
указанных доходностей:

-^умр =у(г{0,га\...,гм). (14.22)

На практике в качестве меры эффективности управления берется
обычно средняя геометрическая или взвешенная по времени доходность
у^= (l + r(1))(l+r(2’)...(l + r<")) / ~ 1.
Заметим, что при любом выборе показателя эффективности управ-
ления в соответствии с (14.22) он не будет зависеть от дополнительных
вложений или изъятий капитала. Это чрезвычайно важное условие.
В самом деле, решение о дополнительных вложениях и изъятиях при-
нимается владельцем капитала, который может совпадать и не быть его
управляющим.

В современных условиях типичным является как раз несовпадение
этих лиц. Владельцы капиталов отдают их в управление профессио-
нальным менеджерам. Менеджеры ответственны лишь за качество
управления активами. Решение о дополнительных вложениях или изъя-
тиях принимается не ими, и за их последствия они не должны нести
ответственность. Многие финансовые институты, активами которых
управляют финансовые менеджеры, имеют обязательства, например
банки должны возвращать вклады (с процентами), страховые компа-
нии выплачивать страховые суммы (страховое возмещение), пенсион-
ные фонды — пенсии своим участникам и т.п. Во всех случаях такие
выплаты обусловлены контрактами и обязательны. Для финансового
менеджера они представляют собой принудительный отток (изъятие)
капитала. Такие изъятия безусловно влияют на финансовый результат
деятельности финансового института.

Перейдем теперь к анализу сделок с точки зрения их фактического
финансового результата. В этом случае необходим учет как распределяе-
мого дохода, так и внешних капитальных операций изъятия/вложения.
Таким образом, кроме показателей, связанных с управлением, т.е. до-
ходностей г(1), г<2),..., г(л), необходимо учитывать все денежные потоки,
связанные со сделкой. Кроме начальных инвестиций Е следует задать
как величину распределяемой части текущего дохода Mk, к = 1, 2,..., п,
для каждого критического периода, так и величину капитальных изъя-
тий/вложений ДК* =ИА+ —У~. Если интервальная величина Мк отно-
сится (актуализируется) к концу периода (независимо от реального
времени ее получения), то для полного описания сделки достаточно
рассматривать лишь нетто-поток:

С* = -ДИА к = 0,1,..., п.

При этом естественно положить (краевые условия)

с =-и, с = м + и.

О (г п п п

Получающийся денежный поток

cf—{(Aj> Q), (A’ Q )’•••» (Ар Q)}
полностью описывает сделку с точки зрения конечного финансового
результата.

Заметим некоторое отличие краевых (Со и Сл) и внутренних элемен-
тов потока. Первые представляют собой соответственно начальную
и конечную стоимости портфеля, т.е. начальную (инвестируемую) и на-
копленную стоимости капитала. Эти величины относятся кхарактерис-
тикам состояния сделки в начальный и конечный моменты. Величины
k = 1,2,..., п - 1, не связаны непосредственно с состоянием сделки
(т.е. со стоимостью портфеля) в критические моменты времени. Одна-
ко имеется косвенная связь между этими характеристиками, учитываю-
щая также внутренние (управляющие) характеристики г(1\ Т2), ..., г{п}.
Эту связь отражают следующие соотношения:

5,’=К0(1+?");

52+=5'(1+r(B); S2" = 52*-C2;

+'•*”’); 5-;.,=5;., -С,.,.

Именно таким способом вычислялась конечная стоимость портфеля в
рассмотренном выше примере.

Таким образом, в потоке СТ в конечной стоимости И учитываются
и результаты применяемых управленческих (т.е. касающихся выбора
структуры портфеля) решений. На практике в качестве оценки сделки
с точки зрения ее финансовой эффективности выбирается внутренняя
или денежно-взвешенная доходность, определяемая (неявно) уравнением

где р — выбранный полюс (точка приведения событий потока СТ)
Это уравнение определяет у как неявную функцию потока CF:

у = у(С„,Ср...,С). (14.23)

При этом ее можно рассматривать и как функцию вида

у = у(И0; С„ С2,...,С^ Л гш, .... г1"’). (14.24)

Возможно именно наличие в уравнениях (14.23), (14.24) денежных
характеристик Ио, Ср С2, ..., С кроме относительных характеристик
г'х определяемыхвременнбй декомпозицией сделки, послу-
жило основанием для именования внутренней доходности как денеж-
но-взвешенной.

Следует сознавать, что выбор в качестве характеристики финансо-
вой эффективности сделки внутренней доходности есть лишь опреде-
ленное соглашение, принятое участниками финансового рынка. Это
соглашение продиктовано необходимостью каким-либо образом ха-
рактеризовать конечный результат сделки одним показателем, помимо
набора денежных (бухгалтерских) показателей (доходов/расходов), свя-
занных со сделкой.

Поведение внутренней доходности в общем согласовано с интуи-
тивным восприятием финансовых результатов сделки. Так, в нашем
примере дополнительное вложение капитала в начале второго месяца
(характеризующимся высокой доходностью) приводит к повышению
внутренней доходности по сравнению с доходностью первоначальной
сделки (без добавочных инвестиций) — 35,40 против 34,16%. В то же
время изъятие капитала в начале второго месяца приводит к снижению
внутренней доходности — 33,11 против 34,16%.

Таким образом, дополнительные вложения на растущем («бычьем»)
рынке ведут к повышению внутренней доходности, а изъятия — к сни-
жению доходности. Заметим, что на обратном (падающем, «медвежь-
ем») рынке ситуация прямо противоположна.

Пример 14.14. Рассмотрим акцию компании А из примера 14.12. Ее цена в начале
1 -го периода была Д’50, к концу периода выросла до . 100, а к концу 2-го периода снова
упала до л?50. Допустим, что инвестор покупает две акции компании А в начале первого
периода. Найти внутреннюю доходность следующих сделок: а) инвестор держит обе
акции оба периода; б) инвестор продает одну акцию в конце 1-го периода; в) инвестор
покупает еще одну акцию в конце 1 -го периода. Предполагается, что никаких дивиден-
дов по акциям в течение указанных периодов не выплачивается.

Решени е. а) Начальная и конечная (накопленная) стоимости инвестиций совпадают

Г; = И, = 2-50 = ЮО(Л).

Внутренняя доходность сделки совпадает со среднегеометрической и равна нулю,
поскольку равна нулю доходность за период:

б) Со сделкой связан денежный платеж в конце 1-го периода; при этом С, = Д? 100.

Начальная стоимость портфеля, как и в случае а), V(j = . ^100, так как Си = — .4? 100,
а конечная стоимость С2 = V, - л/?50, так как у инвестора к концу 2-го периода останется
всего одна акция.

Внутренняя доходность определяется из уравнения

100(1+у)2 -100(1+у)-50 = 0.
Решая это уравнение, получим у = 0,3660, или 36,60%.

Положительная доходность объясняется наличием положительного чистого дохода
.+’100, полученного от продажи одной акции в конце 1-го года.

в) В конце 1-го года на покупку еще одной акции потребуются дополнительные
инвестиции в размере 3?100. Таким образом, С, = - J? 100.

Конечная стоимость портфеля К = 3 50 = 150(3?), а начальная стоимость, как и в
предыдущих случаях, у., = 3?100.

Внутренняя доходность определяется уравнением

100(1 +у)г +100(1 +у)-150 = 0,
откуда находим у = -0,1771, или -17,71%.

Полученные результаты вполне ожидаемые. В случае а) нет никако-
го реального дохода, начальная и конечная стоимости капитала совпа-
дают и фактическая доходность сделки нулевая.

В случае б) инвестор, продав акцию, возвращает в конце периода
роста часть капитала, предохраняя его тем самым от падения стоимости
во 2-м периоде в условиях резкого падения цены акций. В итоге сделка
характеризуется положительной внутренней доходностью.

Наконец, в случае в) в начале 2-го периода произведены дополни-
тельные инвестиции, т.е. дополнительные расходы. Однако они были
сделаны в период падения цены акции, так что, несмотря на то что
общая стоимость портфеля (из трех акций) стоит больше, чем началь-
ная стоимость (двух акций), тем не менее общие потери на весь капитал
приводят к отрицательной (внутренней) доходности сделки.

Заметим, что среднегеометрическая доходность всех трех сделок
равна нулю, поскольку во всех случаях структура инвестиций не меня-
лась (капитал полностью вкладывался в акции одного вида).

Возвращаясь к определению внутренней доходности, заметим, что
обычно в качестве уравнения, ее определяющего, используют приведе-
ние к начальному моменту сделки, т.е. уравнение вида

« С
PVt (CF,y) == У--.

Удобно сделать замену переменных вида v = 1/(1 + у), что приводит
к уравнению
п

=0,

решая которое можно затем найти у = 1/и — 1.

Непрерывный поток. До сих пор мы использовали исключительно
дискретные потоки. Операции крупных финансовых институтов, та-
ких, как инвестиционные и пенсионные, характеризуются значитель-
ными ежедневными двусторонними (приток/отток) денежными пото-
ками. Такие операции естественнее описывать в терминах непрерывных
потоков. В этом случае расходный поток CF~ описывается отрицатель-
ной плотностью pr(f) < 0, а доходный поток СГ+ — положительной
плотностью p+(f). Суммарный поток CF, являющийся суммой расход-
ной и доходной частей, имеет плотность

д(')=р_И+/'+И-

' Обычно в анализе таких операций рассматривается некоторый
период [Го, fj длины Т = который мы назовем периодом
оценки.

Согласно описанной в гл. 10 модели фонда его динамика при
известной интенсивности роста активов 8(f) и плотности внешнего
потока /j(t) описывается дифференциальным уравнением

= (14.25)

Заметим, что через 8(f) обозначена переменная интенсивность рос-
та, обусловливаемая исключительно природой и структурой активов
фонда, а не внешними потоками. Общая или полная интенсивность
роста стоимости фонда <5(/), определяемая (см. гл. 10) как

согласно уравнению динамики

т.е. складывается из двух интенсивностей, относящейся к активам —
8(f) и к внешнему потоку — £i(f)/S(f).

Теперь для этой модели определим основные виды доходностей,
рассмотренные ранее для дискретных потоков.

Эти доходности можно получить в результате предельного перехода,
построив сначала «дискретное приближение» непрерывного потока.

Разобьем период оценивания [Го, на одинаковые промежутки Т/п
точками Го = т0< т < ... < г = Г, и обозначим это разбиение через о. Тогда
для £-го периода [тк_,, rj фактический коэффициент роста
где г{к} — соответствующая доходность за этот период.

Среднеарифметическая доходность га за период Т/л в этом случае

определяется как

ехр

Заметим, что имеет место следующая приближенная оценка:

\Tt-i

= ew

= 1

где 8к = 5(тЛ);о(х) — бесконечно малая (порядка более высокого,
чемх). Подставляя это равенство в выражение для среднеарифмети-
ческой доходности гстза период Т/л, имеем

где пеп —»0прил —Переходя к нормированной среднеарифмети-
ческой доходности, соответствующей разбиению тг, получим

Сумма ' является, очевидно, интегральной суммой для
*=!

функции 5(0 на промежутке [/0, /]. Переходя к пределу при л—имеем

X(«)=7pWd/. (14.26)

Таким образом, среднеарифметическая (нормированная) доход-
ность для соответствующей переменной интенсивности равна средне-
му (интегральному) значению функции 5 на периоде [Го, /j.

Среднегеометрическая доходность, соответствующая разбиению ст,
определится уравнением
= fl(l + ru:)) = ПехР J

Учитывая экспоненциальное свойство, получим
(<1 Л

1 + 4^ = exp J<5(f)df

Этот результат можно было получить сразу из общих рассуждений,
поскольку правая часть последнего равенства есть не что иное, как
общий коэффициент роста за период [ro, fj.

Нормированная геометрическая средняя доходность вычислится
следующим образом:

- 1 = ехр ~ j5(/)dZ -1.

(14.27)

Из равенств (14.26) и (14.27) следует, что между среднеарифметичес-
кой и среднегеометрической доходностями в непрерывной модели
сделки существует простая связь

Эта связь вполне аналогична соотношению

между эффективной i и непрерывно начисляемой номинальной став-
кой j (см. гл. 8).

Среднеарифметическая и среднегеометрическая доходности для
сделок с непрерывно меняющейся интенсивностью роста активов не
требуют учета внешних денежных потоков, участвующих в сделке.
Внутренняя доходность, являющаяся оценкой эффективности общего
финансового результата, безусловно должна учитывать и внешние
потоки.

Чтобы получить выражение для внутренней доходности сделки
с непрерывным потоком, еше раз перечислим финансовые характери-
стики, описывающие сделку.

Предполагаем, что в начальный момент фонд имеет стоимость =

= Sa = S(ta).

В силу двух факторов: 1) роста стоимости активов за счет как ценово-
го, так и текущего дохода с интенсивностью 6(0; 2) за счет внешних
вложений/изъятий, осуществляемых с интенсивностью p(t) текущая
стоимость 5(/) активов фонда подчиняется уравнению динамики (14.25).
При этом в момент накопленная стоимость фонда И, = 5(Zj).

В качестве внутренней доходности рассматриваем такую постоян-
ную нормированную доходность^, которая обеспечивает баланс между
всеми расходами и доходами с учетом их временной стоимости.
Поскольку общепринятым методом учета временнбй стоимости для
сделок, предусматривающих реинвестирование полученного дохода,
является использование сложных процентов, то уравнение баланса для
доходности у будет иметь вид

PV(CF,y) = ^ (14.28)

где CF — полный поток, представляющий операции фонда на проме-
жутке [ro, /J. Полный поток состоит из расходной CF~ и доходной CF*
частей. При этом оба этих потока — смешанные. Расходный поток CF
включает дискретную часть

С^={(г0)-г0)},

представляющую начальные инвестиции, и непрерывную часть CF~,
задаваемую плотностью Доходная часть также имеет непрерыв-
ную CF*, определяемую плотностью jU+(Z), и дискретную

(*;={(' л)Ь

части, представляющие собой накопленную стоимость инвестиции
к концу периода оценки.

Если 8 — постоянная интенсивность, соответствующая искомой
внутренней доходности у, т.е. 1 + у — с5, то уравнение баланса относи-
тельно полюса p = tx

r(lei(',"")+]p(z)e*’'>d/ = P;

,(l

можно записать и непосредственно через у:

(! +3’)'’“'" + jjU (г)(1 d? = Vt.

Поделив это выражение на (1 + у)г, где Г— Zt — /0, получим уравнение
баланса, записанное для точки р — tQ.

Мы рассмотрели чисто непрерывную модель, в которой дискрет-
ным элементам соответствуют лишь краевые условия — начальная

и конечная стоимости фонда, а все внутренние платежи описываются
непрерывными потоками. Если в сделке участвуют и дискретные пла-
тежи (сингулярные элементы внешних потоков, например платежи,
существенно отличающиеся от обычных платежей), то он и также долж-
ны быть учтены. В любом случае общее уравнение (14.28) для внутрен-
ней доходности остается тем же. Необходима лишь точная специфика-
ция общего потока CF, представляющего финансовые операции фонда
за период оценки.

Уравнения для внутренней доходности для непрерывной модели,
как правило, трансцендентные даже в простейших случаях. Точные
решения этих уравнений получить невозможно, и на практике ограни-
чиваются приближенными значениями. Более того, поскольку сами
потоки, составляющие сделку, редко известны с достаточной точнос-
I тью, обычно само уравнение для доходности преобразуется к такому
виду, чтобы можно было получить оценку внутренней доходности
\ исходя из обобщенной информации о сделке. Ниже мы приведем
i некоторые методы такого рода.

На практике внутренняя доходность часто используется как крите-
| рий для сравнения различных сделок. Обычно это бывает при сравнении
I различных возможных вариантов (альтернатив) в финансовом плани-
I ровании. Так, финансовый менеджер может выбирать междудвумя или

| более инвестиционными проектами, предусматривающими один и тот
I же начальный объем инвестиций, но разные потоки доходов от них.
I Практическое применение внутренней доходности, как критерия для
[• сравнения, связано с рядом трудностей, о которых мы еще будем
| говорить. Одна из основных трудностей связана с тем, что уравнение
। (14.28) может иметь, вообще говоря, много корней. Проблемам нео-

I днозначности внутренней доходности посвящен следующий параграф.

| 14.6. Критерии единственности внутренней доходности

Мы определили внутреннюю (эффективную) доходность сделки
как корень балансового уравнения

PK(CF,y) = 0, (14.29)

где CF— представляющий финансовый поток сделки.

В развернутой форме это уравнение имеет вид (при р = Г)

Xе* 0+ (14.30)

£ = 0
Это уравнение можно рассматривать как уравнение относительно
неизвестного коэффициента роста х = 1 + у, а не доходности. В этом
случае (14.30) примет вид

=0’ (14.31)

*=0

где тА. = tn -tk > 0. При этом исходя из содержательного смысла доход-
ности ясно, что у > -1 (нельзя потерять больше, чем вложить!), так что
интерес представляют л ишь неотрицательные корни уравнения (14.31).
Именно поэтому в приведенных выше примерах не учитывались полу-
чающиеся отрицательные корни. В этих примерах балансовые уравне-
ния всегда имели единственный неотрицательный корень х и, следова-
тельно, давали единственное (допустимое) значение внутренней до-
ходности. Однако в общем случае уравнение (14.31) (а также (14.29))
может иметь более одного допустимого корня.

Рассмотрим, например, сделку с потоком

CF- {(0, -100), (1, 230), (2, -132)}.

Соответствующее уравнение для внутренней доходности (с р — 2)
имеет вид

100(1 + у)2- 230(1 + у) + 132-0.

Это уравнение имеет два корня yt — 0,1 и у2 — 0, 2, т.е. получаем
доходность 10, или 20%.

Исходя из принятой интерпретации денежный поток сделки выгля-
дит несколько необычно. После начальных инвестиций в .#100 инвес-
тор получает доход .#230, а затем в конце периода сделки снова
инвестирует :#132.

Можно показать, что именно такого рода «необычности* денежных
потоков, в которых инвестиции и доходы «перемешаны», и служат
источником неоднозначности (неединственности) в определении внут-
ренней доходности.

В тех случаях, когда расходная часть (вложения) потока отделена от
доходной (поступлений), балансовое уравнение (14.31) дает един-
ственный неотрицательный корень для коэффициента роста х и, сле-
довательно, единственный корень для внутренней доходности у.

Сформулируем этот факт в виде следующей теоремы.

Теорема 14.1 (достаточный признак существования и единственнос-
ти). Пусть в последовательности Г < 1 < ... < Г < Г < ... < Г/; критических
моментов денежного потока CFсделки все моменты вложений средств
(т.е. моменты расходной части CF~ потока) предшествуют всем момен-
там получения (изъятия) средств (т.е. моментам доходной части СЕ+
потока). Тогда балансовое уравнение (14.31) определяет единственную
внутреннюю доходность сделки.

Доказательство. Пусть к расходной части относятся моменты tQ < t
k > 0. Обозначим

cy=|c;|, J =

— абсолютные значения вложений,

d} =C;+y>0, j = 1,2,...,/и,

— абсолютные значения полученных доходов, где т = л — к.

Тогда балансовое уравнение (14.31) с полюсомр = tn примет вид

-спхг° -с,хт‘ - ... -с,.хГа + ^хТп‘ +... +dm =0. (14.3Г)

Умножим обе части этого уравнения на -1 и разделим на х\
Учитывая, что >т, >.„>тк >тХт1 и полагая Ь. = т. — тк > 0,

У = 0, 1, ...Д; е = тк~ rk+J>0, j = 1, 2,..., т, получим

h. h d. <7, d,

f- = 0. (14.32)

Все коэффициенты с и d этого уравнения положительны, также
положительны и показатели b и е при неизвестном х. Поскольку сухА/,
j — 0, 1,..., к, и —j = l,2,...,m, являются возрастающими функция-
ми, то левая часть уравнения (14.32) также возрастающая функция
в области х > 0. Следовательно, уравнение (14,32), а вместе с ним
и равносильное ему уравнение (14.3 Г) имеют не более одного положи-
тельного корня.

Заметим также, что при х > 1 и

(14.33)

левая часть (14.32) — положительная, поскольку из условия х > 1
следует, что

j = \,2,...,m,

хJ
и, значит,

, , . d, cL dm

d. +d, + ...dm + ... +~.

12 m x] Xе2 x”

С другой стороны, при X > 1

+crxb' + ...+ck >cox\

Наконец, неравенство (14.33) при x > 1 равносильно неравенству

сох‘”>4+4 + ...<.

Таким образом, получаем

сох6° +с.хб! +... +ск ---- ... ——^->0.

0 1 к хе‘ Xе2 Xе"-

Последнее неравенство, в свою очередь, означает, что при

(d{ +d2 + ... + d

< с0 )

левая часть (14.3 Г) отрицательная.
Функция

/(х) = -сохг° -CjX11 - ... -скхч + +... +dm

очевидно непрерывна и по доказанномуДх) < 0 при х > F> 0.
Поскольку

ДО) = < > О,
то в силу теоремы Больцано - Вейерштрасса функция (см. [23]) Дх)
принимает на отрезке [0, F] хотя бы одно нулевое значение. Иными
словами, уравнение (14.31') имеет хотя бы один положительный ко-
рень. С другой стороны, как показано выше, этот корень — единствен-
ный. Следовательно, единственной будет и соответствующая ему внут-
ренняя доходность. Теорема доказана.

Приведенное доказательство дает для сделок, потоки которых удов-
летворяют условиям теоремы 14.1, оценку для корней уравнения (14.3 Г).
Единственный неотрицательный корень принадлежит отрезку [0, /], где

/’ = max< 1,

I со
Здесь

+ ^2 + -•+<= + Сл++2 + * ‘ + Ск+т

— сумма всех поступлений доходов от потока; с0 = Cq — абсолютное
значение начальных инвестиций; bQ =? т0 — тк = tk — tQ — срок между
первым (начальным) и последним вложениями средств.

В финансовой литературе встречаются и другие условия единствен-
ности. Более общей проблемой является оценка числа положительных
корней уравнения вида (14.31), (14.31*). Заметим, что хотя их левые
Части, представляющие собой непрерывную функцию/(х), и являются
суммой элементарных одночленов, тем не менее с алгебраической
точки зрения они не являются многочленом, поскольку показатели
при неизвестной переменной х не целые числа.

Чтобы применить известные алгебраические методы исследования
корней многочленов на практике, используют различные методы пре-
образования (приведения), позволяющие преобразовать функцию/(х)
в обычный многочлен. Чаще всего это делается с помощью (практичес-
ки всегда выполнимого) условия, налагаемого на показатели при неиз-
вестной х в уравнения (14.31), (14.ЗГ). Для формулировки этого усло-
вия введем следующее определение.

Определение 14.1. Будем говорить, что семейство чисел

имеет общую меру т > 0, если существуют целые числа mQ, тх,..., тп
такие, что

г0 = /пот, г, = т,т,, г„ = т„т. (14.34)

Возвращаясь к уравнению (14.31), в предположении, что числа т0,
т , т имеют общую меру, в соответствии с (14.34), сделав замену
z = хг, приведем это уравнение к виду

где слева — настоящий многочлен. Фактически это означает выбор
в качестве единичного периода новой шкалы промежутка длины т
в исходной шкале. В этом случае в новой шкале все сроки тк будут
выражаться целыми числами.

Существование общей меры можно считать всегда выполненным в
практическом смысле. В самом деле, на практике можно всегда считать
числа т0, тп рациональными. Тогда, приводя их к общему знамена-
телю D, т.е.

т,
Т = —Ь-

к D ’

можно выбрать в качестве общей меры т = \/D. Так, в большинстве
случаев сроки считаются с точностью до суток (до дней). Выбрав
в качестве базовой единицы сутки (день), все сроки можно выразить в
днях, т.е. в целых числах. Соответствующая внутренняя доходность
будет корнем многочлена (возможно, большой степени). Это — дневная
доходность, которую затем можно привести к любому другому проме-
жутку (например, к году). Таким образом, в дальнейшем можно, если
это необходимо, считать, что выбрана такая временная шкала, в кото-
рой все показатели тк в уравнении (14.31) — неотрицательные целые
числа и, следовательно, внутренняя доходность у удовлетворяет алгеб-
раическому (многочленному) уравнению

Лх) = Хс*хт'=0’ >...>m,=o, (14.35)

А=0

где х = 1 + у.

Потоки сделок, а также сами сделки, которые удовлетворяют усло-
виям теоремы 14.1, назовем нормальными.

Таким образом, балансовые уравнения сделок с нормальными де-
нежными потоками имеют единственные корни.

Заметим также, что если в нормальном потоке сумма всех платежей
будет положительной, т.е. суммарные доходы превышают суммарные
расходы, то балансовое уравнение определяет единственную положи-
тельную внутреннюю доходностьу > 0. В самом деле, условие положи-
тельности сумм потока означает, что

/(i)=XQ>o,
(=0

но тогда все положительные корни функцииДх) будут больше едини-
цы, т.е. х> 1, а значит, у = х - 1 >0. Таким образом, диапазон корнейДх)
сужается до отрезка [1, У7], где F— определенная выше верхняя граница
корней функцииДх).

Вернемся к вопросу о единственности корней уравнения (14.35).

На этот вопрос отвечает известная теорема Декарта (см. [7]), кото-
рая утверждает, что число положительных корней многочлена
+а1х" 5 + ... + ап
не превышает числа перемен знаков в последовательности коэффици-
ентов а0, «р..., ап (нулевые коэффициенты игнорируются). Если к тому
же все корни этого многочлена вещественны, то эти числа совпадают.

Из теоремы Декарта немедленно следует единственность внутрен-
ней доходности для сделок с нормальными денежными потоками, так
как условие нормальности означает, что все расходы, т.е. отрицатель-
ные коэффициенты многочлена f(x) из (14.35) предшествуют всем
доходам, т.е. положительным коэффициентам этого многочлена. Та-
ким образом, в последовательности его коэффициентов имеется всего
одна перемена знаков и, значит, по теореме Декарта этот многочлен
имеет не более одного положительного корня х.

Поскольку существование положительных корней в случае нор-
мального потока доказано, следовательно, (14.35) имеет единственный
положительный корень и потому определяет единственную внутрен-
нюю доходность.

Заметим, что в приведенном в начале параграфа контрпримере
поток платежей

CF= {(0, -100), (1,230), (2, -132)}

имеет в точности две перемены знака и, как мы видели, соответствую-
щее балансовое уравнение имеет два положительных корня = 1,1 и
х2 - 1,2, которым соответствуют две внутренние доходности ~ 0,1 и
У2 = 0, 2.

В заключение приведем еще одно условие единственности внутрен-
ней доходности.

Рассмотрим сделку с представляющим потоком

CF = {(0, Со), (1, С,С„)}. (14.36)

Пусть у — внутренняя доходность этой сделки, т.е.
п

Ёс*(> + Л*=°- (14.37)

А=0

Свяжем со сделкой счет с переменным капиталом в схеме сложных
процентов, состояния которого будут представлять состояние сделки.
Иными словами, положим

с -С

^=^..,(1 + ^ + ^., £ = 1,2,...,«.
Теорема 14.2. Если сальдо счета сделки с потоком (14.36) имеет
постоянный знак в моменты к = 0, 1,..., п — 1 для внутренней доходности
у > —1, то доходность единственна, т.е. она является единственным
решением уравнения (14.37) с условием у > -1.

Доказательство. Будем считать для определенности, что Со < 0.
Тогда по условию теоремы

Ло — Со < 0;

= S„_2 (1 + у) + С/ < 0;

Заметим, что из последнего уравнения следует, что Сп > 0, поскольку
Q=-‘S,„_i(l+:y),aS,T_1 <0и1 + у>0.

Допустим, что существует еще одна внутренняя доходность./ такая,
что 1 + у' > 0 и у' /у. Пусть, например, у' > у. Состояния счета,
соответствующие доходности/, обозначим S'k:

^ = ^/(1+/) + ^, k-l,2,...,n.

Из условия 1 + у' > 1 + у и отрицательности к = 1, 2,..., п ~ 1,
следует, что для любого к — 1, 2,..., п выполняется условие S'k < Sk.

Но по условию 5п = 0, и, значит, 5' < 0, что противоречит тому, что
у' — внутренняя доходность.

Аналогично рассматривается случай / < у. Таким образом, теорема
доказана.

До сих пор мы работали со сделками, которые имели хотя бы одно
значение для внутренней доходности. Легко привести примеры сделок,
не имеющих внутренней доходности.

Пример 14.15. Инвестор у лица А занимает 1000 на год по ставке 10% годовых
и дает эту сумму В кредит лицу В на этот же срок по ставке 12% годовых. Какова
внутренняя доходность сделки?

Решение. Нетто-поток сделки CF = {(0, 0), (1, 100)}. В самом деле, Со = 0,
поскольку инвестор получает .#1000 и тут же отдает их в кредит. Начальные инвестиции
равны нулю, так как инвестор не привлекает собственного капитала. В конце года он от
лица В получит .#1200 и обязан лицу# отдать .#1100. В результате инвестор получит
чистый доход в .#100. Доходность такой сделки
100

Г-----+<х>

можно считать бесконечно большой. Формально же уравнение

0(14-^)4-100 = 0

не имеет решений.

В предыдущем примере балансовое решение не имеет ни веще-
ственных, ни комплексных решений. В следующем примере балансо-
вое уравнение сделки имеет только комплексные (мнимые) решения.

Пример 14.16. Инвестор вместо двух платежей в размере '3? 100 в начале 1-го гола
и J?101 в конце 2-го года соответственно получает .4’200 в конце 1-го года. Какова
внутренняя доходность сделки?

Решение. Для данной сделки имеем следующий поток платежей:

CF= {(0, -100), (1, 200), (2, -101)}.

Балансовое уравнение для внутренней доходности имеет вид

100(14- У)2 — 200(1 +у)+ 101 =0.

Решая это уравнение, получим

у2 = 0,01, т.е. у = ±0,1/, где i — мнимая единица.

Таким образом, оба корня чисто мнимые.

14.7. Вычисление внутренней доходности

В предыдущих параграфах отмечены некоторые трудности, связан-
ные с вычислениями внутренней доходности. Основная состоит в не-
однозначности самого определения внутренней доходности для произ-
вольных потоков платежей, порождаемых данной финансовой сдел-
кой. Но даже в тех случаях, когда денежный поток СЛ сделки обеспечи-
вает единственность решения балансового уравнения

/’ГДСТ,у) = 0, у>-1, (14.38)

(например, в случае нормального потока), нахождение числового значе-
ния, т.е. решение этого уравнения, может быть трудоемким делом.

В общем случае уравнение (14.38) (в исходной временной шкале)
является трансцендентным. Выбор общей меры для критических про-
межутков, описанный в предыдущем параграфе, приводит к алгебраи-
ческому уравнению, в котором левая часть представляет собой много-
член, причем, как правило, большой степени и тем большей, чем
больше платежей в потоке С£и меньше общая мера. С вычислительной
точки зрения основная проблема состоит в том, что уравнение (14.38)
определяет внутреннюю доходность лишь неявно в отличие, например,
от базовой формулы (14.2), с помощью которой доходность за период
вычисляется непосредственно.

Несмотря на перечисленные трудности, все же вычисление внут-
ренней доходности исходя из балансового уравнения (14.38) не пред-
ставляет особых проблем, поскольку имеются методы (алгоритмы)
вычисления корней таких уравнений с любой степенью точности. Все
эти методы являются итеративными процедурами, порождающими
последовательность приближенных значении

где — некоторое начальное, задаваемое как параметр процедуры,
значение, а все последующие значения ук, к = 1,2, ..., — функции от
предыдущих значений:

Л =ф(Л-1.Л-2.-,л)-

Чаще всего используется простая итерационная схема
л=ф(л-!).

в которой очередное значение корня^ получается применением одной
и той же последовательности операций к непосредственно предше-
ствующему значению г

Корректные алгоритмы вырабатывают последовательность при-
ближенных значений, сходящихся к искомому точному решению

limy; = у.
/I —

Конечно, точное решение представляет собой лишь предельное значе-
ние, и на практике итерационные вычисления прерываются при дос-
тижении требуемой точности £ > 0:

Если уравнение (14.38) имеет несколько корней, то точное значе-
ние, являющееся пределом порождающейся алгоритмом последова-
тельности приближенных значений, зависит от начального приближе-
ния у0. Для различных начальных приближений один и тот же алгоритм
может порождать последовательности, сходящиеся к разным пределам.
Более того, при некоторых начальных значениях порождаемая после-
довательность может вообще не сходиться. Обычно в описании алго-
ритмов содержатся рекомендации по выбору начальных приближений,
обеспечивающих сходимость последовательности приближений в за-
данной области.

Мы не будем приводить здесь алгоритмы решения уравнения (14.38),
поскольку большинство из них хорошо известны и содержатся в боль-
шинстве руководств по численным методам (см. [2]). Вместо этого опи-
шем приближенные методы, основанные на замене (преобразовании)
самого уравнения баланса. В них вместо сложного уравнения (14.38)
решают другое существенно более простое. Упрощение делается с таким
расчетом, чтобы, во-первых, оно позволяло получить явное решение
уравнения, обычно в виде рационального выражения от исходных данных
(элементов потока), и, во-вторых, чтобы это решение было бъ\удовлет-
ворительным приближением к точному решению исходного уравнения
(14.38). В частности, такой подход позволяет получать хорошие начальные
приближения для итерационных методов, поскольку чем выше точность
начального приближения, тем меньшее число итераций необходимо для
получения приближенного решения с заданной точностью.

Методы вычисления внутренней доходности, основанные на пре-
образовании уравнения баланса (14.38), обычно используются в тех
случаях, когда точное описание потока платежей CFневозможно или
затруднительно. Поэтому вместо потока CF оперируют его обобщен-
ными характеристиками. Особенно часто такой подход используется
при оценке работы крупных финансовых институтов, таких, как инве-
стиционные или пенсионные фонды, банки, страховые компании и
т.п. Выше деятельность таких институтов была описана нами в рамках
модели фонда, представляющего собой счет с переменным капиталом,
состояния которого задаются функцией 5(0 и внешним потоком CF
(дискретным, непрерывным или общим). Ниже приведен один из
методов, позволяющий получить приближенную оценку внутренней
доходности операций фонда на некотором периоде.

Рассмотрим работу фонда за период [/0, rj, причем без потери
общности можно считать, что этот период имеет единичную длину

Пусть z0 = т0 < <... < тп = — критические моменты операций фон-
да за период [Го, Zf]. Положим, как и выше,
— стоимости активов фонда непосредственно перед и сразу же после
критического момента тк. При этом ^=И0~=И0+ — начальная,
а И = V~ — конечная стоимости активов фонда.

Разность

можно рассматривать как полный инвестиционный доход, полученный
фондом за критический период [тЛ_ р rj. При этом платежи потока в
критические моменты тк имеют вид

Q=-K;

Отсюда

/ = И’ - И+ = - И •

21 г 1 r0 F 1 г 0»

Суммируя все равенства, получим
п л-1

fc=l
или

Г-И0=/-7У, (14.39)

где / — суммарный полный доход фонда; N = NV(CF) — нетто-
величина внешнего потока.

Пусть теперь у — внутренняя доходность фонда. Тогда согласно ее
определению можно записать
«-1

И, = ro(l+y)-£Ct(l(14.40)
*=1

Используя равенство (14.39), уравнение (14.40) перепишем в виде
л-1

/ = (1+уГ‘-1. (14.41)

Заметим, что выражение [(1+у/'~т* -1] представляет собой доходность
за период [тк, /,].

Используя приближенное равенство
означающее замену эффективной доходности (у слева) нормирован-
ной простой доходностью Су справа), уравнение (14.41) можно перепи-

сать в виде

(14.42)

Выражение в квадратных скобках называют средневзвешенным (по

времени) капиталом

(14.43)

Подчеркнем еще раз, что здесь рассмотрен случай, когда период
оценки фонда является единичным, т.е. Г, — tQ = 1, что обеспечивает
соответствующую размерность величины Й .

Напомним, что согласно принятому соглашению дополнительные
инвестиции рассматриваются как расходы и, следовательно, в потоке
CFзадаются отрицательными значениями, поэтому величины Ск будут
отрицательными.

Из (14.42) и (14.43) окончательно получаем, что приближенная
оценка для внутренней доходности за (единичный) период задается
формулой

у-7/Ир. (14.44)

В качестве примера рассмотрим случай равномерного поступления
инвестируемого капитала, т.е. считаем CF постоянной рентой (заме-
тим, что с точки зрения фонда платежи ренты — это расход). Тогда

С -С =

п- 1

/с = 1,2,..., и.

Поэтому

л-1

п к=\

А=1

7 = 1

Заметим, что выражение С(п — 1) есть не что иное, как нетто-величи-
на потока CF, представляющего постоянную ренту, т.е. С(п - 1) = N.

Таким образом, согласно формуле (14.43) средневзвешенный капи-
тал для постоянной ренты будет определяться формулой
= (14.45)

Отсюда, используя (14.39),

1 V 4-И - I

Подставляя это выражение для И в формулу (14.44), получаем прибли-
женную формулу для оценки внутренней доходности фонда при равно-
мерном поступлении инвестированного капитала:

2/
у = —з-----.

у^у.-i

Эта формула была впервые выведена известным математиком Г. Харди
в 1890 г. [32] для общего внешнего потока CF.

Приведенное доказательство легко обобщается на случай произ-
вольного потока CF ~ суммы дискретной части CFn) с платежной
функцией С(Г) и непрерывной части CFW с плотностью ц(г). В этом
случае балансовое уравнение (14.38) остается тем же самым, но нетто-
величина потока N находится по формуле

N= Е cW+f^(?)d/-

а уравнение для внутренней ставки (доходности) принимает вид

(по-прежнему считаем, что - /0 = 1, т.е. рассматриваем единичный
интервал оценки фонда).

Действуя таким же образом, что и в дискретном случае, можно
получить приближенное равенство

где выражение в квадратных скобках представляет собой (по определе-
нию) средневзвешенный капитал. Например, для чисто непрерывного
потока (С(г) =0) с постоянной плотностью fi(t) = —/л0 получаем, с одной
стороны,
Лг=-А<|),
а с другой —

откуда получаем

т.е. упоминавшееся выше выражение для средневзвешенного капитала
при равномерном его поступлении.

Л р и мер 14.17. Пусть начальная стоимость активов пенсионного фонда на начало
года .#500 ООО, а инвестиционный доход фонда за год #40 000. Взносы за год составили
.#25 000, а выплаты фонда составили #36 000. Найти конечную стоимость и доход-
ность фонда за год, предполагая равномерное распределение взносов и выплат.

Решение. Согласно условию = 500 000; 7 = 40 000 и

N = -25 000 + 36 000 = 9000( ;#).

Тогда на основании (14.39) и (14.45) находим

К = ^ + /-^= 531 000(.#),
а

Иср = Ко -1У=500 000 - 4500=495 500(?#).

Следовательно,
2-40000 ,

У~ 495500 или 16,15% годовых.

Пример 14.18. Пусть стоимость активов фонда на начало года #100 000. К 1 марта
стоимость активов возросла до .#120 000 и I марта в фонд поступило дополнительно
#30 000. К 1 ноября активы фонда составляли .#160 000 и 1 ноября фонд выплатил
.-#40 000. Найти взвешенную по времени и денежно-взвешенную (внутреннюю)
доходности операций фонда, если к концу года активы составляли .#130 000.

Решение. Временно-взвешенная доходность

у -1 = 0,3887, или 38,87% за год.

kl 1 1,5 1,2

Для определения внутренней доходности сначала найдем согласно (14.39) обший
доход из уравнения баланса

130 000 - 100 000 + 30 000 - 40 000 + 7.

Откуда

7-40 000( .#).

Средневзвешенную величину капитала вычисляем по формуле (14.43):

КР = 100 000+- 30 000--• 40 000= 115 833,33(. #).

4 6
Следовательно, приближенное значение для внутренней доходности

40000

———— -0J45J, или 34,53% за год.
I I Эо 3

В заключение приведем еще одну приближенную формулу для
внутренней доходности, используемой в оценке эффективности кре-
дитных операций. Речь идет о внутренней ставке для потребительской
схемы погашения долга.

Напомним, что в потребительской схеме кредит на сумму Р, выдан-
ный на срок п лет по годовой потребительской ставке /с, погашается пт
одинаковыми платежами

Р(1 +nic)
пт

(14.46)

где т — число выплат в году.

Обычно внутреннюю ставку, эквивалентную потребительской, ищут
в виде номинальной ставки такой что соответствующая ей ставка
i = i за период h = \/т между выплатами,

/<w)
i =,
т

является внутренней ставкой потока

СГ = {(0,-Р);Д,С), к = 1,2,..., пт].

Точное уравнение для ставки i приводит к алгебраическому уравнению
степени пт.

Вычислим ставку / другим способом. Считая, что каждый платеж С
включает процентную

Спр = Р—
т

и основную

£-~>ОСН _

части, где N = пт — общее число платежей, составим баланс общей
суммы процентов из условия (приближенного) равенства, с одной
стороны, всех процентных выплат по потребительской ставке / а с
другой, — общей суммы процентов на остатки долга после каждого
периода по ставке z.

Начальный долг50 - Р. Остаток долга после первой выплаты
после второй

, _ 2Р N-2

и Т.Д.

Соответственно проценты по ставке / за первый период

Ii = S„i = Pi = — Ni,

за второй

и Т.Д.

Общая сумма процентов на остатки долга

(14.47)

С другой стороны, общая сумма процентных выплат в потребитель-
ской схеме составляет

I- Pi п.
с

(14.48)

Приравнивая выражения (14.47) и (14.48), получим

Picn~iP

откуда

. . 2и . 2п

/ ~ (------1-------.

с 7V+1 с пт+\

(14.49)

Соответствующая номинальная годовая ставка

= mi = ic

2пт
пт + \
Пример 14.19. Пусть потребительский кредит на сумму .#12 тыс. сроком на год
получен по потребительской ставке /=12% годовых. Долг погашается одинаковыми
ежемесячными платежами. Найти размер платежей и приближенное значение внутрен-
ней ставки по этому кредиту.

Решение. Общая сумма процентов за год согласно (14.48)

1= Р1( = 12000 - 0,12 = 1440( .#).
Тогда полная сумма

5 = / = 13400(;#).

Теперь по формуле (14.46) можно найти величину ежемесячного платежа
с=1зо) = И20^)

Внутренняя месячная ставка согласно (14.49)

2
= 0,12 —-—— = 0.018462,
12 + 1

или 1,85%, что соответствует номинальной годовой ставке

/|2> = 12-/^-0,2215,

или примерно 22% годовых.

Вопросы и упражнения

1. Дайте определения: а) доходности сделки за период; б) простой доходности
сделки; в) эффективной доходности сделки.

2. Что такое доходность актива и портфеля активов? Какие предположения подразу-
меваются при определении этих понятий?

3. Опишите основные виды усреднения доходностей за последовательные периоды
времени. Определите взвешенные по времени и денежно-взвешенные доходности.

4. Что такое внутренняя доходность сделки? Запишите уравнение для внутренней
доходности сделки с заданным порождающим потоком платежей.

5. Приведите критерии единственности внутренней доходности сделки с заданным
потоком платежей. *

6. Опишите приближенный метод Харди вычисления внутренней доходности.

Задачи

1. В начале года вы купили акции компании А по .#340 за акцию, а год спустя
продали их по .#390 за штуку. Годовой дивиденд составил .# 15 на акцию. Найти
доходность акции корпорации А за год. Какова текущая доходность этой акции?

2. В начале года вы купили 100 акций компании А по .#600 за акцию, а спустя год
продали их по .#610 за акцию. Годовой дивиденд составил .#30 на акцию. Каков цено-
вой доход от продажи акции? Каков текущий доход? Какова доходность акций за год?

3. Инвестор, обладая свободным капиталом в #500 000, инвестирует его в портфель
активов, дающих 10% годовых текущей и 20% годовых ценовой доходностей. Планируе-
мый инвестиционный период 3 года. Найти капитал инвестора в конце периода.

4. Финансовая фирма управляет средствами спонсоров пенсионных схем. Один из ее
клиентов предоставил в управление фирмы $200 млн. За последние три месяца денеж-
ный поток, связанный с портфелем этого клиента, составил $20 млн — $8 млн и $4 млн.
На конец 5-месячного периода рыночная стоимость портфеля была равна S208 млн.
а) Чему равна денежно-взвешенная доходность портфеля этого клиента за 3-месячный
срок? б) Предположим, что выплаченные во втором месяце $8 млн представляют собой
изъятие спонсором пенсионной схемы части размещенных средств. Какова была бы
денежно-взвешенная доходность, если бы это изъятие не производилось?

5. Чему будет равна среднегодовая доходность портфеля, если: а) среднемесячная
доходность портфеля 1,23%? б) средняя за квартал доходность портфеля 1,78%?

6. Пусть портфель состоит из четырех активов. Рыночная стоимость и реализо-
ванная доходность каждого актива за некоторый фиксированный период задаются
табл. 14.1. Вычислите доходность этого портфеля за период.

Таблица 14.1

Актив Рыночная стоимость, млн руб. Доходность, %
1 15 11
2 45 15
3 30 -6
4 10 1

7. Пусть два финансовых менеджера (в месяц) получили следующую доходность
(табл. 14.2).

а) Найти среднюю арифметическую ежемесячную доходность для каждого из
менеджеров, б) Найти средневзвешенную по времени ежемесячную доходность для
каждого из менеджеров, в) Почему для первого менеджера среднеарифметическая
доходность сильнее отличается от взвешенной по времени ежемесячной доходности,
чем для второго?

Таблица 14.2

Месяц Менеджер 1, % Менеджер 2, %
1 9 25
2 13 13
3 22 22
4 -18 -24

8. Стоимость портфеля, млн S, в 1996 г. задается табл. 14.3.

В начале апреля (01.04.96) было дополнительно инвестировано S50 млн. В начале
июля (01.07.96) было инвестировано еще S50 млн. Никаких изъятий капитала в 1996 г.
не было. Найти доходность, реализованную менеджером за 1996 г.

Табл и ца 14.3

31.12.95 31.03.96 30.06.96 30.09.96 31.12.96
42,2 47,3 98,4 150,7 155,8
Приложение

Таблицы номеров дней в году

Табл и ца П.1

Номера дней в високосном году

Дни Я нв Фев Мар Апр Май И юн И юл Авг Сен Окт Нояб Дек
] 1 32 61 92 122 153 183 214 245 275 306 336
2 2 33 62 93 123 154 184 215 246 276 307 337
3 3 34 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338
4 4 35 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339
5 5 36 65 96 126 157 ’ 187 218 249 279 310 340
6 6 37 66 97 127 158 188 219 250 280 311 341
7 7 38 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342
8 8 39 68 99 129 160 190 221 252 282 ЗВ 343
9 9 40 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344
10 10 41 70 101 Г131 162 192 223 254 284 315 345
11 11 42 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346
12 12 43 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347
В В 44 73 104 В4 165 195 226 257 287 318 348
14 14 45 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349
15 15 46 75 106 136 167 197 228 259 289. 320 350
16 16 47 76 107 137 168 198 229 260 290 321 351
17 17 48 77 108 138 169 199 230 261 291 322 352
18 18 49 78 109 139 170 200 231 262 292 323 353
19 19 50 79 110 140 171 201 232 263 293 324 354
20 20 51 80 111 141 172 202 233 264 294 325 355
21 21 52 81 112 142 173 203 234 265 295 326 356
22 22 53 82 ИЗ 143 174 204 235 266 296 327 357
23 23 54 83 114 144 175 205 236 267 297 328 358
24 24 55 84 115 145 176 206 237 268 298 329 359
25 25 56 85 116 146 177 207 238 269 299 330 360
26 26 57 86 117 147 178 208 239 270 300 331 361
27 27 58 87 118 148 179 209 240 271 301 332 362
28 28 59 88 119 149 180 210 241 272 302 333 363
29 29 60 89 120 150 181 211 242 273 303 334 364
30 30' — 90 121 151 182 212 243 274 304 335 365
51 31 — 91 — 152 — 213 244 — 305 — 366
Окончание табл, П.1

Номера дней в невисокосном году

Дни Янв Фев Мар Апр Май Июн И юл Авг Сен Окт Нояб Дек
1 1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335
2 2 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 336
3 3 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 337
4 4 35 63 94 124 155 185 216 247 277_ 308 338
5 5 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339
6 6 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 340
7 7 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 341
8 8 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342
9 9 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343
10 10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344
11 ] ] 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 345
12 12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346
13 13 44 . 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347
14 14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348
15 15 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349
16 16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 350
17 17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 351
18 18 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 352
19 19 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 353
20 20 51 79 ПО 140 171 201 232 263 293 324 354
21 21 52 80 111 141 172 202 233 264 294 325 355
22 22 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 356
23 23 54 82 113 143 174 204 235 266 296 _327 357
24 24 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 358
25 25 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 359 '
26 26 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 360
27 27 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 361
28 28 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 362
29 29 60 88 119 149 180 210 241 272 302 333 363
30 30 — 89 120 150 181 211 242 273 303 334 364
31 31 — 90 — 151 — 212 243 — 304 — 365
Примеры расчетов числа дней между датами по различным 30/360-схе.мам

ТаблицаП.2

Дата Число дней между датами, определяемое по различным правилам
начальная конечная точное число дней 30/360 1SDA 30/360 PSA 30Е/360
Янв-01-86 Фев-01-86 31 30 30 30
Янв-01-86 Янв-01-86 365 360 360 360
Янв-15-86 Фев-01-86 17 16 16 16
Фсв-01-86 Мар-01-86 28 30 30 30
Фев-15-86 Апр-01-86 45 46 46 46
Мар-15-86 Июн-15-86 92 • 90 90 90
Мар-31-86 Апр-01-86 1 1 1 1
Мар-31-86 Апр-30-86 30 30 30 30
Мар-31-86 Дек-31-86 275 270 270 270
Июл-15-86 Сен-15-86 62 60 60 60
Авг-21-86 Апр-11-87 233 230 230 230
Ноя-01-86 Мар-01-87 120 120 120 120
Дек-15-86 Дек-30-86 15 15 15 15
Дек-15-86 Дек-31-86 16 16 16 15
Дек-31-86 Фев-01-87 32 31 31 31
Фев-01-88 Мар-01 -88 29 30 30 30
Авг-30-91 Авг-31-91 1 0 0 0
Авг-31-91 Сен-01-91 2 1 1 1
Авг-30-91 Фев-27-92 181 177 177 177
Авг-30-91 Фев-28-92 182 178 178 178
Авг-30-91 Фев-29-92 183 179 179 179
Авг-30-91 Мар-01-92 184 181 181 181
Авг-30-91 Авг-29-92 365 359 359 359
Авг-30-91 Авг-30-92 366 360 360 360
Авг-30-91 Авг-31-92 367 360 360 360
Авг-30-91 Сен-01-92 368 361 361 361
Авг-31-91 Сен-01-91 ] 1 1 1
Авг-31-91 Сен-02-91 2 2 2 2
Авг-31-91 Фсв-27-92 180 177 177 177
Авг-31-91 Фев-28-92 181 178 178 178
Авг-31-91 Фев-29-92 182 179 179 179
Авг-31-91 Мар-01-92 183 181 181 181
Авг-31-91 Авг-29-92 364 359 359 359
Продолжение табл. П.2

Дата i Число дней между датами, определяемое но различным правилам
начальная конечная точное число дней 30/360 ISDA 30/360 PSA 1 30Е/360
Авг-31-91 Авг-30-92 365 360 360 360
Авт- 31-91 Авг-31-92 366 360 360 360
Авг-31-91 Сен-01-92 367 361 361 361
Яня-15-92 Фев-28-92 44 43 43 43
Янв-15-92 Фев-29-92 45 44 44 44
Янв-15-92 Мар-01-92 46 46 46 46
Янв-15-93 Фев-27-93 43 42 42 42
Ян в-15-93 Фев-28-93 44 43 43 43
Яив-15-93 Мар-01-93 45 46 46 46
Фев-28-92 Фсв-27-92 -1 -1 -1 -1
Фев-28-92 Фев-28-92 0 0 0 0
Фев-29-92 Фев-29-92 1 1 1 1
Фев-28-92 Мар-01-92 2 3 3 3
Фев-28-92 Мар-02-92 3 4 4 4
Фев-28-92 Авг-27-92 181 179 179 179
Фев-28-92 Авг-28-92 182 180 180 180
Фев-28-92 Авг-29-92 183 181 181 181
Фев-28-92 Авг-30-92 184 182 182 182
Фев-28-92 Авг-31-92 185 183 183 183
Фев-28-92 Сен-01-92 186 183 183 183
Фев-28-92 Сен-02-92 187 184 184 184
Фев-28-92 Фев-27-93 365 359 359 359
Фев-28-92 Фев-28-93 366 360 360 360
Фев-28-92 Мар-01-93 367 363 363 363
Фев-28-92 Мар-02-03 368 364 364 364
Фев-28-92 Мар-03-93 369 365 365 365
Фев-29-92 Фев-29-92 0 0 -1 0
Фев-29-92 Мар-01-92 1 2 1 2
Фев-29-92 Мар-02-92 2 3 2 3
Фев-29-92 Авг-27-92 180 178 177 178
Фсв-29-92 Авг-28-92 181 179 178 179
Фев-29-92 Авг-29-92 182 180 179 180
Фев-29-92 Авг-30-92 183 181 180 181
Фев-29-92 Авг-31-92 184 182 180 181
Окончание табл.П.2

Дата Число дней между датами, определяемое по различным правилам
начальная конечная точное число дней 30/360 ISDA 30/360 PSA 30Е/360
Фев-29-92 Сен-01-92 185 182 181 182
Фев-29-92 Сен-02-92 186 183 182 183
Фев-29-92 Фев-27-93 364 358 357 358
Фев-29-92 Фев-28-93 365 359 358 359
Фев-29-92 Мар-01-93 366 362 361 362
Фев-29-92 Мар-02-93 367 363 363 363
Фев-29-92 Мар-03-93 368 364 363 364
Фев-28-93 Фев-27-93 -1 ' -1 -1 -1
Фев-28-93 Фев-28-93 0 0 -2 0
Фев-28-93 Мар-01-93 1 3 1 3
Фев-28-93 , Мар-02-93 2 4 2 4
Фев-28-93 Авг-27-93 180 179 177 179
Фев-28-93 Авг-28-93 181 180 178 180
Фев-28-93 Авг-29-93 182 181 179 181
Фев-28-93 Авг-30-93 183 182 180 182
Фев-28-93 Авг-30-93 184 183 180 182
Фев-28-93 Сен-01-93 185 183 181 183
Фев-28-93 Сен-02-93 186 184 182 184
Фев-28-93 Фев-27-94 364 359 357 359
Фев-28-93 Фев-28-94 365 360 358 360
Литература

1. Батракова Л.Г. Финансовые расчеты в коммерческих сделках. М.:
Финансы и статистика, 1998. 120 с.

2. Бахвалов Н.С. Численные методы. I. М.: Наука, 1973. 732 с.

3. Башарин Г. П. Начала финансовой математики. М.: Инфра-М,
1996. 158 с.

4. Буренин А. И. Рынок ценных бумаг и производных финансовых
инструментов. М.: 1 Федеральная Книготорговая Компания, 1998.
348 с.

5. Бухвалов А.В., Иделъсон А.В. Самоучитель по финансовым расче-
там. М.: Мир, Пресс-сервис, 1998. 174 с.

6. Ващенко Т. В. Математика финансового менеджмента. М.: Перс-
пектива, 1996. 82 с. •

7. Винберг Э.Б. Курс алгебры. М/. Факториал, 1999. 527 с.

8. Капельян С.Н., Левкович О.Я. Основы финансовых и коммерческих
расчетов. Минск: НТЦ «АНИ», 1999. 224 с.

9. Касимова О.Ю., Крыжановский Г.А. Начала финансовой математи-
ки. М.: МНТФНИТ, 1996. 120 с.

10. Ковалев В.В., Уланов В.А. Курс финансовых вычислений. М.: Фи-
нансы и статистика, 1995. 328 с.

11. Кочович Е. Финансовая математика. Теория и практика финансо-
во-банковских расчетов. М/. Финансы и статистика, 1994. 268 с.

12. Кутуков В.Б. Основы финансовой и страховой математики. М.:
Дело, 1998. 304 с.

13. Малыхин В.И. Финансовая математика. М.: Юнити, 1999. 248 с.

14. Медведев Г.А. Начальный курс финансовой математики. М.: ТОО
«Остожье», 2000. 267 с.

15. Мелкумов Я.С., Румянцев В. Н. Теоретическое и практическое посо-
бие по финансовым вычислениям. М.: Инфра-М, 1996. 336 с.

16. Меньшиков И.С. Финансовый анализ ценных бумаг. М.: Финансы
и статистика, 1998. 352 с.

17. Мышкис А.Д. Элементы теории математических моделей. М.: На-
ука, 1994. 192 с.

18. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
М.: Наука, 1982.330 с.

19. Постников М.М. Является ли математика наукой? // Математи-
ческое образование. 1997. № 2. С. 83-88.
20. Радионов Н.В., Радионова СП. Основы финансового анализа. Ма-
тематические методы. Системный подход. СПб.: Альфа, 1999.
590 с.

21. Салин В.Н., Ситникова О.Ю. Техника финансово-экономических
расчетов. М.: Финансы и статистика, 1998. 76 с.

22. Самарский А. А, Михайлов А.П. Математическое моделирование.
М.: Наука, 1997.318 с.

23. Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа.
М.: Наука, 1988.527 с.

24. Фалин Г.И. Математические основы страхования жизни и пенси-
онных схем. М.: Изд-во МГУ, 1996. 220 с.

25. Фельдман А.А. Вексельное обращение. Российская и международ-
ная практика. М.: Инфра-М, 199fL 304 с.

26. Фельдман А.А. Депозитные и сберегательные сертификаты. Чеко-
вое обращение. М.: Инфра-М, 1994. 168 с.

27. Фельдман А А. Государственные ценные бумаги. М.: Инфра-М,
1994. 168 с.

28. Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчетов.
М.:Дело, 1995.320 с.

29. Чуйко А.С, Шершнев В.Г. Математические методы финансового
обслуживания. М.: Изд-во Российской экономической академии,
1998. 124 с.

30. Яглом И.М. Математические структуры и математическое модели-
рование. М.: Сов. радио, 1980. 165 с.

31. Kellison S.G. The Theory of Interest. Bostonn: Irwin, 1991.445 p.

32. McCutcheon J.J., Scott An Introduction to the Mathemathics of

Finance. Oxford: Heinemann Proffesional Publishing, 1986. 464 p.

33. Pelaez L.G. Matematicade las operaciones financiers. Madrid: Editorial
AC. 1993.735 р.

34. Stigum M., Robinson F.L. Money Market and Bond Calculation. London:
Irwin, 1996. 376 p.
Оглавление

Предисловие..........................................................................5

Введение............................................................................. 10

Глава 1. Базовые элементы финансовых моделей......................................... 16

И. Временная и денежная шкалы.......................................................17

1.2. Финансовые события и денежные потоки..................................25

1.3. Финансовые операции...................................................... 46

1.4. Финансовые процессы и финансовые законы................................52

1.5. Финансовые схемы..........................................................72

1.6. Практическая реализация временнбй шкалы. Элементы финансовой
хронологии..........................................................................79

Вопросы и упражнения................................................................93

Задачи............................................................................. 94

Глава 2. Финансовый анализ кредитной сделки.........................................95

2.1. Описание и определяющие параметры кредитной сделки..................95

2.2. Процент, процентная ставка, простые классы кредитных сделок....................98

2.3. Дисконт, учетная ставка, простые дисконтные классы
кредитных сделок................................................................ Ill

2.4. Краткосрочные долговые обязательства......................................... 117

Вопросы и упражнения.................................................................................................... 134

Задачи.................................... ........................................................................................ 134

Глава 3. Простые проценты..........................................................135

3.1. Формула простых процентов.................................................... 135

3.2. Накопительные модели в схеме простых процентов:
динамическая модель роста..........................................................136

3.3. Приведение денежных сумм в схеме простых процентов........................... 145

3.4. Стандартная схема простых процентов.......................................... 150

Вопросы и упражнения.............................................................. 164

Задачи............................................................................ 165

Глава 4. Модели с переменным капиталом
в схеме простых процентов....................................................... 166

4.1. Модель мультисчета в схеме простых процентов ................................ 166

4.2. Бинарные модели ............................................................. 173

Вопросы и упражнения................................................................................................... 194

Задачи............................................................................ 195

Глава 5. Обобщенные кредитные сделки и схемы погашения
для простых процентов........................................................... 196

5.1. Обобщенные кредитные сделки...................................................197

5.2. Регулярные схемы погашения долга для простых процентов.........................202

5.3. Потребительский кредит........................................................209

5.4. Нормированные простые ставки обобщенных
кредитных сделок...................................................................213
Вопросы и упражнения.............................................................219

Задачи...........................................................................219

Глава 6. Потоки платежей в схеме простых процентов............................. 221

6.1. Будущая стоимость потоков платежей..........................................222

6.2. Текущая стоимость потоков платежей..........................................229

6.3. Относительная приводимость и эквивалентность потоков
платежей в схеме простых процентов ....................................238

6.4. Реструктуризация кредитных контрактов
в схеме простых процентов........................................................247

Вопросы и упражнения.............................................................252

Задачи...........................................................................252

Глава 7. Модели с переменной ставкой и общая схема
простых процентов.............................................................253

7.1. Изменчивость процентных ставок. Кривые доходности
и временная структура процентных ставок..........................................253

7.2. Дискретная модель в схеме простых процентов
с переменной ставкой........................................................... 261

7.3. Общая схема простых процентов...............................................269

7.4. Непрерывные модели с переменным капиталом в схеме
простых процентов................................................................274

7.5. Реинвестирование в схеме простых процентов..................................279

Вопросы и упражнения.............................................................280

Задачи...........................................................................281

Глава 8. Сложные проценты........................................................282

8.1. Формула сложных процентов для модели
последовательных простых кредитных сделок.................................... 282

8.2. Накопительная модель в схеме сложных процентов..............................284

8.3. Расширение модели накопительного счета......................................290

8.4. Номинальная и эффективная нормированные ставки..............................293

8.5. Учетные ставки в схеме сложных процентов....................................310

8.6. Эквивалентность ставок в схеме сложных процентов............................317

8.7. Эффективные ставки кредитных сделок и общее понятие
ставки в схеме сложных процентов.................................................322

8.8. Будущая и текущая стоимости денежных сумм
в схеме сложных процентов........................................................332

8.9. Стандартная схема сложных процентов.........................................336

8.10. Переменные процентные ставки...............................................345

Вопросы и упражнения.............................................................349

Задачи............................................................................................................................. 350

Глава 9. Обобщение модели роста..................................................351

9.1. Интенсивность роста финансового процесса....................................351

9.2. Функции роста...............................................................359

Вопросы и упражнения.................................................................................................... 369

Задачи...........................................................................369
Глава 10. Модели с переменным капиталом и потоки платежей
в схеме сложных процентов................................................................370

10.1. Дискретная накопительная модель в схеме

сложных процентов....................................................................370

10.2. Временная стоимость потока на промежутке..............................379

10.3. Уравнение динамики фонда с дискретным потоком............................384

10.4. Непрерывные потоки платежей и общее уравнение
динамики фонда.............................................................................387

Вопросы и упражнения........................................................................ 400

Задачи......................................................................................400

Глава 11. Преобразование и эквивалентность денежных потоков.

Общая схема сложных процентов...........................................................402

11.1. Алгебра денежных потоков............................................................402

11.2. Эквивалентность потоков платежей....................................................410

11.3. Общая схема сложных процентов.......................................................413

Вопросы и упражнения.................................................................................................... 427

Задачи......................................................................................427

Глава 12. Специальные классы потоков. Ренты.................................................428

12.1. Стандартные ренты...................................................................429

12.2. Нестандартные (р-кратные) ренты.....................................................454

12.3. Монотонные ренты....................................................................469

12.4. Непрерывные ренты...................................................................482

Вопросы и упражнения.................................................................................................... 489

Задачи ............................................................................................................................. 490

Глава 13. Финансовые операции в схеме сложных процентов.....................................491

13.1. Погашение долга................................................................... 492

13.2. Фонды погашения.....................................................................514

13.3. Непрерывные схемы погашения.........................................................525

13.4. Пенсионные схемы....................................................................530

Вопросы и упражнения .................................................................................................... 540

Задачи..................................................................................... 541

Глава 14. Оценка доходности финансовых операций.............................................542

14.1. Доходность в простейшем случае......................................................544

14.2. Доходность портфельных сделок.......................................................555

14.3 Связь доходностей портфеля и активов................................................563

14.4, Временная декомпозиция финансовых сделок
и усреднение доходности....................................................................568

14.5. Внутренняя доходность финансовых операций...........................................580

14.6. Критерии единственности внутренней доходности.......................................595

14.7. Вычисление внутренней доходности....................................................603

Вопросы и упражнения.................................................................................................... 612

Задачи......................................................................................612

Приложение..................................................................................614

Литература..................................................................................619
Книги У ИЦ «Гардарики» можно приобрести
или заказать:

107082, Москва, ул. Ф. Энгельса, д. 75, стр. 10
(ст. метро «Бауманская»)

Тел.; (095)797-9081, 797-9082, 797-9083, 797-9084.

Факс (095)363-0634

Опт, розница, книга—почтой, доставка

101000, Москва, Лубянский пр., д. 7, стр. 1
(ст. метро «Лубянка», «Китай-город»)
Тел.: (095) 928-2312

Розница

Учебное издание

Бочаров Павел Петрович
Касимов Юрий Федорович

ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА

Учебник

Редактор Е.А. Улановская

Корректор О. В. Мехоношина
Художественный редактор А.В. Антипов
Оформление переплета А.Л. Бондаренко

Изд. лиц. № 066160 от 02.11.98

Подписано в печать 15.01.02. Формат 60 х 90 */|6.

Печать офсетная. Усл.-печ. л. 39,0.

Тираж 5000 экз. Заказ № 5169

У ИЦ «Гардарики»

101000, Москва, Лубянский пр., д. 7, стр. 1
Тел.:. (095) 921-0289, 925-6840
Факс: (095)921-1169

Отпечатано в полном соответствии
с качеством предоставленных диапозитивов
в ОАО «Можайский полиграфкомбииат»
143200, г. Можайск, ул. Мира, 93