УДК 330.105@75.8)
ББК 65.053
Б 86
Бочаров П. П., Касимов Ю. Ф. Финансовая математика: Учеб-
Учебник. - 2-е изд. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 576 с. - ISBN 5-9221-0597-3.
Рассмотрены вопросы классической финансовой математики. Описаны ма-
математические методы финансирования операций, схемы этих моделей. При-
Приведены две основные, чаще всего используемые на практике схемы простых
и сложных процентов и связанные с ними основные проблемы: оценка доходно-
доходности финансовых операций, ренты, преобразование и эквивалентность денежных
потоков и т.д. Включены вопросы для самопроверки, упражнения и задачи.
Для студентов вузов, изучающих экономику, финансы, инвестиции, стра-
страховое дело и т.п., а также для практиков — сотрудников банков, финансовых
и страховых компаний, инвестиционных и пенсионных фондов.
Рецензенты:
доктор физико-математических наук, профессор М.С. Красе,
доктор экономических наук, профессор Ю.Н. Черемных
© ФИЗМАТЛИТ, 2005
ISBN 5-9221-0597-3	© П. П. Бочаров, Ю. Ф. Касимов, 2005

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие		7
Введение		11
Глава 1. Базовые элементы финансовых моделей		16
1.1.	Временная и денежная шкалы		17
1.2.	Финансовые события и денежные потоки		24
1.3.	Финансовые операции		42
1.4.	Финансовые процессы и финансовые законы		47
1.5.	Финансовые схемы		65
1.6.	Практическая реализация временной шкалы. Элементы финансовой
хронологии		71
Вопросы и упражнения		84
Задачи		84
Глава 2. Финансовый анализ кредитной сделки		86
2.1.	Описание и определяющие параметры кредитной сделки		86
2.2.	Процент, процентная ставка, простые классы кредитных сделок . .	89
2.3.	Дисконт, учетная ставка, простые дисконтные классы кредитных
сделок		100
2.4.	Краткосрочные долговые обязательства		106
Вопросы и упражнения		121
Задачи		121
Глава 3. Простые проценты		123
3.1.	Формула простых процентов		123
3.2.	Накопительные счета в схеме простых процентов: динамическая
модель роста		124
3.3.	Приведение денежных сумм в схеме простых процентов		131
3.4.	Стандартная схема простых процентов		135
Вопросы и упражнения		147
Задачи		148

Оглавление
Глава 4. Модели с переменным капиталом в схеме простых про-
процентов		149
4.1.	Модель мультисчета в схеме простых процентов		149
4.2.	Бинарные модели		155
Вопросы и упражнения		175
Задачи		176
Глава 5. Обобщенные кредитные сделки и схемы погашения
для простых процентов		177
5.1.	Обобщенные кредитные сделки		178
5.2.	Регулярные схемы погашения долга для простых процентов		182
5.3.	Потребительский кредит		188
5.4.	Нормированные простые ставки обобщенных кредитных сделок. . .	193
Вопросы и упражнения		198
Задачи		198
Глава 6. Потоки платежей в схеме простых процентов		200
6.1.	Будущая стоимость потоков платежей		201
6.2.	Текущая стоимость потоков платежей		207
6.3.	Относительная приводимость и эквивалентность потоков платежей
в схеме простых процентов		215
6.4.	Реструктуризация кредитных контрактов в схеме простых процен-
процентов 		223
Вопросы и упражнения		228
Задачи		228
Глава 7. Модели с переменной ставкой и общая схема простых
процентов		230
7.1.	Изменчивость процентных ставок. Кривые доходности и временная
структура процентных ставок		230
7.2.	Дискретная модель в схеме простых процентов с переменной став-
ставкой 		236
7.3.	Общая схема простых процентов		244
7.4.	Непрерывные модели с переменным капиталом в схеме простых
процентов		249
7.5.	Реинвестирование в схеме простых процентов		253
Вопросы и упражнения		254
Задачи		255
Глава 8. Сложные проценты		257
8.1. Формула сложных процентов для модели последовательных про-
простых кредитных сделок		257

Оглавление
8.2.	Накопительная модель в схеме сложных процентов		259
8.3.	Расширение модели накопительного счета		265
8.4.	Номинальная и эффективная нормированные ставки		267
8.5.	Учетные ставки в схеме сложных процентов		282
8.6.	Эквивалентность ставок в схеме сложных процентов		288
8.7.	Эффективные ставки кредитных сделок и общее понятие ставки
в схеме сложных процентов		293
8.8.	Будущая и текущая стоимости денежных сумм в схеме сложных
процентов		303
8.9.	Стандартная схема сложных процентов		306
8.10. Переменные процентные ставки		314
Вопросы и упражнения		318
Задачи		318
Глава 9. Обобщение модели роста		319
9.1.	Интенсивность роста финансового процесса		319
9.2.	Функции роста		326
Вопросы и упражнения		335
Задачи		335
Глава 10. Модели с переменным капиталом и потоки платежей
в схеме сложных процентов		336
10.1.	Дискретная накопительная модель в схеме сложных процентов. . .	336
10.2.	Временная стоимость потока на промежутке		345
10.3.	Уравнение динамики фонда с дискретным потоком		349
10.4.	Непрерывные потоки платежей и общее уравнение динамики фонда	351
Вопросы и упражнения		364
Задачи		364
Глава 11. Преобразование и эквивалентность денежных потоков.
Общая схема сложных процентов		366
11.1.	Алгебра денежных потоков		366
11.2.	Эквивалентность потоков платежей		373
11.3.	Общая схема сложных процентов		377
Вопросы и упражнения		390
Задачи		390
Глава 12. Специальные классы потоков. Ренты		392
12.1.	Стандартные ренты		393
12.2.	Нестандартные (р-кратные) ренты		416
12.3.	Монотонные ренты		429

Оглавление
12.4. Непрерывные ренты		441
Вопросы и упражнения		448
Задачи		449
Глава 13. Финансовые операции в схеме сложных процентов. . . .	450
13.1.	Погашение долга		451
13.2.	Фонды погашения		471
13.3.	Непрерывные схемы погашения		482
13.4.	Пенсионные схемы		486
Вопросы и упражнения		496
Задачи		497
Глава 14. Оценка доходности финансовых операций		498
14.1.	Доходность в простейшем случае		499
14.2.	Доходность портфельных сделок		510
14.3.	Связь доходностей портфеля и активов		517
14.4.	Временная декомпозиция финансовых сделок и усреднение доход-
доходности 		523
14.5.	Внутренняя доходность финансовых операций		532
14.6.	Критерии единственности внутренней доходности		547
14.7.	Вычисление внутренней доходности		554
Вопросы и упражнения		562
Задачи		562
Приложение		565
Список литературы		569

Предисловие
Книга посвящена классической финансовой математике. Более точ-
точно, детерминированным моделям финансовых операций и процессов.
Под детерминированностью понимается полная определенность бу-
будущих значений временных и финансовых характеристик изучаемых
операций и процессов.
Такими моделями (при определенных условиях) описывается доста-
достаточно широкий класс финансовых операций. К ним относятся, прежде
всего, так называемые кредитные операции. Поэтому классическую
финансовую математику часто называют математикой кредита или,
учитывая ту основополагающую роль, которую играют процент и про-
процентная ставка в кредитных операциях, теорией процентов, теорией
процентных ставок и т. п.
К основным темам, изучаемым в рамках традиционных курсов
финансовой математики, относятся простые и сложные проценты, по-
погашение долга, аннуитеты (ренты), расчеты, связанные с различными
долговыми инструментами: векселями, облигациями, депозитными сер-
сертификатами и т.д., а также расчеты сделок с валютой. В последнее
время к ним прибавился ряд тем из финансового менеджмента: анализ
и оценка инвестиционных проектов, простейшие модели оценивания
акций и др. При этом в руководствах с прикладной ориентацией из-
изложение обычно носит преимущественно операциональный характер,
т. е. результат выдается в виде готовой формулы, в которую достаточно
подставить исходные данные, чтобы получить значение вычисляемой
характеристики.
В отечественной и зарубежной литературе ([1, 3-6, 8-16, 20, 21, 24,
28, 29, 31-33) прикладные аспекты финансовой математики называют-
называются обычно «финансовые и коммерческие расчеты» (см. [28]), «финан-
«финансовые вычисления» (см. [10]) и т.п. Следует заметить, что некоторые
отечественные авторы вообще отождествляют понятия «финансовая
математика» и «финансово-экономические расчеты» (см., например,
предисловие к [21]).
Во введении будет более подробно обсужден термин «финансовая
математика». Здесь коснемся только двух аспектов его использования.
Первый касается «широты» термина. До недавнего времени соб-
собственно вся финансовая математика сводилась к тому, что мы обо-
обозначили термином «классическая финансовая математика», т.е. к изу-
изучению детерминированных моделей. В последнее время в связи с се-
серьезными достижениями современной финансовой теории существен-
существенно расширились как круг проблем, рассматриваемых в финансовой

Предисловие
математике, так и методы их решения. Современная финансовая ма-
математика в значительной мере посвящена изучению вероятностных
моделей, возникающих при анализе финансовых проблем в условиях
неопределенности и риска. Именно в этом смысле употребляется
термин «финансовая математика», например, в [25]. Решение таких
проблем нуждается в более сложном математическом аппарате теории
вероятностей, математической статистики и случайных процессов, в то
время как классическая финансовая математика основана на использо-
использовании в основном элементарной алгебры и начал анализа.
Второй аспект касается «глубины» термина. Во многих книгах
по финансовой математике говорится, что ее предметом является по-
построение, анализ и применение математических моделей в финансовой
теории и практике. Однако действительное описание таких моделей,
а тем более тщательный и корректный их анализ дается далеко не
всегда. Именно этот аспект дела, а не охват (широта) тем является, по
мнению авторов, определяющим при использовании термина «финан-
«финансовая математика».
Конечно, при первоначальном знакомстве с предметом вполне до-
достаточно неформального изложения с упором на упоминавшийся выше
операциональный подход. Но при систематическом изучении финансо-
финансовой математики, особенно теми, чья будущая (или настоящая) профес-
профессиональная деятельность предполагает действительное владение мето-
методами финансового анализа, необходимо более глубокое усвоение кон-
концептуальных основ финансовой математики, ее методов и конструкций.
Более чем десятилетний опыт преподавания финансовой матема-
математики и смежных с ней дисциплин привел авторов к убеждению, что
часто именно недостаточное усвоение ее базовых понятий и принципов,
неумение пользоваться ими при решении конкретных проблем, а не
незнание каких-либо формул является основной причиной трудностей
и неудач при изучении финансовой математики. Именно поэтому до-
достаточно полное и строгое (но без излишнего формализма) изложение
финансовой математики как метода построения и анализа моделей
финансовых операций и процессов было основной целью авторов книги.
Тот факт, что в книге рассмотрены лишь детерминированные мо-
модели, обусловлен не только невозможностью чрезмерного увеличе-
увеличения объема книги, но и дидактическими соображениями. Устранение
неопределенности и риска позволяет ограничиться элементарными ма-
математическими средствами, сводящимися по существу к современному
школьному курсу математики и началам вузовского курса высшей
математики. Это делает книгу доступной широкому кругу читателей.
Кроме того, использование относительно простых (в математическом
отношении) средств позволяет дать более полное и тщательное изло-
изложение выбранных тем.
Кратко коснемся содержания книги и способа его изложения. В со-
соответствии с названием книги (и сделанными выше замечаниями) в ней
описываются математические модели финансовых операций, а также

Предисловие
схемы этих моделей или финансовые схемы. Понятие финансовой
схемы — одно из основных в книге. Финансовая схема — это ма-
математическая структура (см. [30]), лежащая в основе определенного
класса финансовых моделей. Рассмотрены две основные, чаще всего
используемые на практике схемы простых и сложных процентов.
Способ описания каждой из схем одинаков. Сначала анализируются
простейшие модели в рамках заданной схемы, затем модели услож-
усложняются и, наконец, формулируется общая математическая структура
этих моделей, т. е. соответствующая финансовая схема. Такой подход
обеспечивает не только систематичность и единообразие изложения, но
и способствует более глубокому усвоению изучаемого материала. Изу-
Изучаемые модели при таком подходе воспринимаются не как разрознен-
разрозненные, хотя и в чем-то «похожие» объекты, а как имеющие внутреннее
единство.
Строгое изложение материала сопровождается его неформальным,
содержательным обсуждением. Особенно это касается тем, имеющих
большое теоретическое или практическое значение. Используемый при
представлении материала книги подход «от простого к сложному»
облегчает ее чтение и позволяет строить на ее основе курсы различной
степени сложности. В реализации такого подхода особенно важную
роль играет первая глава, посвященная базовым элементам финансовых
моделей, с помощью которых строятся эти модели (временная и денеж-
денежная шкалы, финансовые события и потоки, формальное представление
финансовых операций, а также связанные с ними отношения предпо-
предпочтения и эквивалентности).
Ввиду чрезвычайно важной роли, которую играет фактор времени
в финансах, отдельный параграф гл. 1 посвящен анализу различных
временных правил, т. е. способов представления временных периодов
(сроков) в заданной временной шкале. В нем приведено большинство
правил, используемых в разных странах на различных сегментах фи-
финансового рынка.
Книга содержит практически весь традиционный материал, вклю-
включаемый в большинство учебников по финансовой математике, финан-
финансовым и коммерческим расчетам и т. п. Кроме того, в нее включено
довольно много новых тем, особенно в части, касающейся основных по-
понятий финансовой математики (гл. 1), простых процентов (гл. 4, 6, 7).
Ряд тем изложен более полно и систематично по сравнению с имею-
имеющимися руководствами. Это относится прежде всего к так называемым
непрерывным моделям, моделям с переменным капиталом (гл. 4, 7,
9, 10) и технике эквивалентных преобразований финансовых потоков
(гл.11).
Книга содержит уточнения терминологического характера. Это ка-
касается прежде всего понятий процентной ставки и доходности финан-
финансовых сделок и ряда других. Кроме того, материал проиллюстрирован
рисунками и примерами, служащими для приобретения практических

10	Предисловие
навыков финансовых расчетов. Каждая глава завершается вопросами
и упражнениями, а также задачами.
Как отмечалось, организация книги дает возможность построения
курсов финансовой математики различного уровня сложности, ориен-
ориентированных на различные категории слушателей (по цели обучения
и по уровню подготовки). Можно предложить три варианта использо-
использования книги в этих целях.
Начальный курс (ориентированный на практиков) финансовых вы-
вычислений: § 1.1, 1.2; гл.2; § 3.2, 8.1-8.8, 12.1, 12.2, 13.1, 13.2.
Стандартный курс финансовой математики для студентов эконо-
экономических специальностей: § 1.1-1.4, 1.6; гл. 2; § 3.1-3.3; гл. 4, 5; § 6.1,
6.2; §7.1, 7.2; гл.8, 9; §10.1, 10.2, 12.1-12.3; гл.13 (кроме §13.4);
§ 14.1-14.4.
«Продвинутый» курс, ориентированный на финансовых аналитиков
и актуариев является расширением стандартного курса включением
тем из остальных параграфов книги, прежде всего тех, которые имеют
важное теоретическое значение: § 1.3, 1.4, 8.9, 8.10, 10.3, 10.4; гл. 11;
14.4-14.6.
Для сокращения записи для денежной единицы «рубль» в книге
принято обозначение 1Z (например, запись 7^100 означает 100 руб.),
а для обозначения доллара используется общепринятый символ $.
Все расчеты для содержащих денежные единицы примеров выпол-
выполнены с точностью до копеек (для рублей) или центов (для долларов).
При этом для записи окончательного результата используется знак
точного равенства. Аналогичное соглашение принято для процентов:
в расчетах указываются лишь сотые доли процентов, но при этом
пишется знак точного равенства.

Введение
Основная цель науки о финансах состоит в изучении того, как эко-
экономические агенты (лица и учреждения) распределяют ограниченные
ресурсы во времени. Акцент именно на временном, а не на других
видах распределения, изучаемых в экономике (по регионам, отраслям,
предприятиям), является отличительной чертой финансовой науки.
Решения, принимаемые лицами по поводу временного распределения
ресурсов, представляют собой финансовые решения. С точки зрения
лица или лиц, принимающих такие решения, распределяемые ресурсы
относятся либо к расходам (затратам), либо к доходам (поступлени-
(поступлениям). Финансовые решения основываются на соизмерении стоимостей
потоков расходов и доходов. В термине поток отражается временной
характер распределения средств. Проблемы, касающиеся временного
распределения ресурсов (в самом широком смысле), являются финан-
финансовыми проблемами.
Поскольку решение финансовых проблем предполагает соизмерение
стоимостей затрат (расходов) и результатов (доходов), то пред-
предполагается наличие некоторой общей меры для измерения стоимости
(ценности) распределяемых ресурсов. На практике стоимость ресурсов
(активов) измеряется в тех или иных денежных единицах. Но это
только один аспект проблемы. Другой касается учета фактора времени.
Если проблема временного распределения ресурсов — отличительная
характеристика финансовых проблем, то финансовая теория должна
давать средства для соизмерения ценностей, относящихся к разным
моментам времени. Этот аспект проблемы имеет афористичное выра-
выражение «время — деньги». Рубль, доллар и т.д. сегодня и завтра имеют
разные стоимости.
Кроме того, существует еще один чрезвычайно важный аспект.
Во всех реальных финансовых проблемах, с которыми приходится стал-
сталкиваться на практике, присутствует неопределенность, касающаяся
как величины будущих расходов и доходов, так и моментов времени,
к которым они относятся. Именно тот факт, что финансовые проблемы
связаны со временем, и обуславливает присущую им неопределенность.
Говоря о неопределенности, имеем в виду, конечно, неопределенность
будущего, а не прошлого. Неопределенность прошлого связана обычно
(по крайней мере, в финансовых проблемах) с недостатком информации
и в этом смысле, в принципе, устранима по мере накопления и уточ-
уточнения данных, тогда как неопределенность будущего принципиально
неустранима. Эта неопределенность, присущая финансовым пробле-
проблемам, приводит к ситуации риска при их решении. Любое решение по

12	Введение
поводу финансовых проблем в силу неопределенности может привести
к результатам, отличающимся от ожидаемых, сколь бы тщательным
и продуманным не было это решение.
Финансовая теория разрабатывает понятия и методы для решения
финансовых проблем. Как и любая другая теория, она строит модели
реальных финансовых процессов. Поскольку такие основные элемен-
элементы, как время, стоимость, риск, а также критерии для выбора жела-
желаемого распределения ресурсов получают количественное выражение,
то эти модели по необходимости носят характер математических
моделей. Большинство моделей, изучаемых в современной финансовой
теории, носят ярко выраженный математический характер. При этом
математические средства, используемые для построения и анализа
финансовых моделей, варьируются от элементарной алгебры до весь-
весьма сложных разделов случайных процессов, оптимального управления
и др.
Хотя, как было сказано, неопределенность и риск — неотъемлемые
характеристики финансовых проблем, в ряде случаев ими можно пре-
пренебречь либо в силу стабильности условий, в которых принимается
решение, либо в идеализированных ситуациях, когда рассматриваемая
модель в силу ее специфики игнорирует наличие тех или иных видов
рисков. Финансовые модели такого рода называют моделями с полной
информацией, детерминированными моделями и т. п. Изучение таких
моделей важно по двум обстоятельствам.
Во-первых, в ряде случаев эти модели вполне пригодны для прямого
использования. Это касается, например, большинства моделей клас-
классической финансовой математики, посвященной моделям простейших
финансовых операций, таких как банковский депозит, вексельная сдел-
сделка и т. п.
Во-вторых, одним из способов изучения моделей в условиях неопре-
неопределенности является моделирование (см. [22]), т.е. анализ возможных
будущих ситуаций или сценариев. Каждому сценарию соответствует
некоторый, уже вполне определенный, будущий «ход событий». Анализ
этого сценария осуществляется, естественно, в рамках детерминиро-
детерминированной модели. Затем на основе проведенного анализа различных ва-
вариантов развития событий принимается общее решение. В этом смысле
можно сказать, что изучение общих финансовых моделей основывается
на использовании детерминированных моделей.
Предлагаемая книга посвящена детерминированным моделям, воз-
возникающим при решении специального класса финансовых проблем.
Отсутствие фактора неопределенности приводит к тому, что главной
проблемой при анализе таких моделей является разработка методов
сопоставления стоимостей в различные моменты времени.
Выше уже отмечался математический характер финансовых мо-
моделей. Принципы построения математических моделей в финансах
те же, что и в любых других науках. Не касаясь подробно этой
темы и отсылая читателя к специальной литературе (см. [17, 22]),

Введение	13
остановимся лишь на одном весьма важном моменте. Характеризуя
математические модели, обычно говорят, что они являются форма-
формализацией содержательных неформальных моделей, имея в виду, что
эти модели описываются с помощью математического языка. Без-
Безусловно, использование математического языка — это отличительная
характеристика математических моделей. Однако далеко не самая важ-
важная. К сожалению, достаточно часто приходится сталкиваться просто
«с игрой в символы», когда для различных понятий вводятся лишь их
символьные обозначения, а вся модель сводится к набору бессодержа-
бессодержательных «уравнений», выражающих некоторые «зависимости» между
введенными переменными. Естественно, для этих зависимостей также
придумываются специальные «функциональные» обозначения и т. п.
На самом деле, построение математических моделей сводится не
к «лингвистическому переводу» с содержательного языка на математи-
математический, а к более глубокой и тонкой процедуре сопоставления содер-
содержательным объектам, понятиям и т.д. соответствующих им матема-
математических объектов и понятий. И дело здесь не ограничивается просто
введением обозначений. Математические объекты: числа, множества
чисел, функции, матрицы, операторы, случайные величины и т.д. —
являются вполне определенными конструкциями. Для них определены
различного рода операции и отношения. Они обладают определенными
свойствами и т. д. Когда строится математическая модель финансовой
операции, например, связанной с выбором инвестиционного портфе-
портфеля, необходимо решить, какими математическими объектами (а не
символами!) будут представлены все существенные элементы такой
сделки? Как представляются активы? Что это: числа, функции или,
быть может, случайные величины? Что такое портфель: множество
или вектор активов? Что такое доходность и риск активов и портфе-
портфеля: числа, функции, матрицы или что-нибудь еще? Вопрос «что это
такое?» (в смысле: каков этот объект, какова его структура, какими
свойствами он обладает) является основным в построении моделей.
Кстати говоря, само развитие математики шло именно по этому пути.
Туманные определения линии как «длины без ширины», функции как
«зависимости переменных» постепенно были заменены строгими или,
как говорят, формальными определениями как некоторых специальных
конструкций из «элементарных кирпичиков», единственных неопреде-
неопределяемых, но интуитивно ясных понятий, на базе которых строится все
здание математики.
Существование таких «элементарных кирпичиков» можно просле-
проследить в большинстве корректных моделей из различных областей науки.
В книге также сделана попытка выделить такие «базовые элементы»
финансовых моделей, с помощью которых можно строить другие более
сложные модели. Они подробно рассматриваются в первой главе. Суще-
Существенное использование в современной финансовой теории и практике
математических методов и тот факт, что сами финансовые модели
являются математизированными, приводит к тому, что совокупность

14	Введение
таких моделей и математических средств для их построения и анали-
анализа называют финансовой математикой (в широком смысле). Таким
образом, финансовая математика в таком ее понимании занимается по-
построением и изучением математических моделей финансовых операций
и процессов. При этом в ней выделяют различные разделы, обычно
связанные с соответствующей предметной областью, например матема-
математика кредитных операций (теория процентов), математика инвестиций,
математика производных финансовых инструментов, математика опера-
операций (актуарная математика) и т. п. В принципе, в таком подходе ничего
плохого нет, однако возникает вопрос, является ли такая математика
на самом деле математикой? Конечно, формула сложных процентов
описывает модель «накопительного вклада» и ее можно в равной степе-
степени считать математической моделью некоторого финансового процесса
или финансовой моделью, выраженной математически. Однако ни
нахождение значения этой формулы для конкретных значений перемен-
переменных, ни различные ее математические преобразования, вообще говоря,
не являются, на наш взгляд, математикой. Это, конечно, применение
математики, но не сама математика. Но существует ли тогда финансо-
финансовая математика? Не является ли то, что под ней обычно подразумевают,
просто применением математики, а реальное содержание ее сводится
просто к набору финансовых моделей, хотя и математически представ-
представленным? Чем вообще занимается математика?
По мнению авторов, очень удачный ответ на этот вопрос содер-
содержится в статье известного отечественного математика М. М. Постни-
Постникова [19]. Он основан на двух экспериментальных фактах, которые
можно сформулировать в виде следующих утверждений.
1.	Познание природы осуществляется с помощью моделей, т.е.
упрощенных и идеализированных описаний окружающего мира.
Здесь модель понимается в самом широком смысле, включая и нефор-
неформальное, словесное ее описание.
2.	Рассматривая модели в различных науках, легко обнаружить
группы чрезвычайно сходных моделей, и результаты, полученные
для одной модели, могут быть применены в другой.
Для описания сходства моделей М. М. Постников предлагает ис-
использовать термин «схема». Тогда сходство моделей можно выразить
утверждением, что эти модели имеют общую схему, или, что схожие
модели — это модели, которые основываются на одной и той же схеме.
Введение понятия схемы приводит к задаче изучения схем как таковых,
безотносительно к их конкретному воплощению.
Используя понятие схемы, М.М. Постников дает следующее опре-
определение математики.
«Математикой называется наука, изучающая все возможные схемы,
их взаимосвязи, методы их конструирования, иерархии схем и т. д.
и т. п. Таким образом, математика не есть наука о моделях мира, а есть
наука о схемах этих моделей».

Введение	15
Заметим, что М.М. Постников говорит о математике как о науке
о любых схемах моделей, в том числе, схемах моделей из разных
наук. Но, немного сужая это определение, можно говорить о матема-
математике данной науки, если ограничиться изучением схем лишь моделей,
возникающих в этой науке. В таком смысле финансовую математику
можно рассматривать как науку о схемах финансовых моделей.
Для того чтобы такая трактовка финансовой математики была до-
достаточно продуктивной, нужно иметь такие схемы. И они есть. Даже
в элементарной классической финансовой математике можно выделить,
по крайней мере, две такие схемы. Это схемы простых и сложных
процентов. Заметим, что очень важно, речь здесь идет не о формулах
простых или сложных процентов, а именно о схемах финансовых
моделей (которые в книге коротко названы финансовыми схемами),
т. е. о схемах моделей, «основанных» на теории простых и сложных
процентов.
Во введении нет смысла давать определение финансовой схемы,
в частности, схем простых и сложных процентов. Первому понятию
посвящена первая глава, а двум другим, по существу, вся книга.
В заключение заметим, что авторы не настаивают на использовании
термина «финансовая математика» непременно в таком уточненном
смысле. Цель состояла в объяснении авторской точки зрения на пред-
предмет и метод финансовой математики и вытекающий из нее принятый
в книге способ изложения материала. В частности, этим же продикто-
продиктован и выбор названия книги.

Глава 1
БАЗОВЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
ФИНАНСОВЫХ МОДЕЛЕЙ
Основными элементами финансовых моделей являются время и
деньги. В сущности, финансовые модели в той или иной мере от-
отражают количественные соотношения между денежными суммами,
относящимися к различным моментам времени. Тот факт, что со
временем стоимость или, лучше сказать, ценность (value) денег из-
изменяется, сейчас, благодаря постоянной инфляции, очевиден каждому.
Рубль сегодня и рубль завтра, через неделю, месяц, год — это разные
вещи. Возможно, менее очевидно, по крайней мере для не экономиста,
что и при отсутствии инфляции фактор времени тем не менее влияет
на ценность денег.
Допустим, что, обладая некоторой «свободной» суммой, вы решаете
положить ее на срочный вклад в банк под определенный процент.
Со временем сумма вашего счета в банке растет, и в конце срока
при благоприятных условиях вы получаете большую сумму, нежели
та, что положили вначале. Вместо депозита в банке вы могли бы
купить акции или облигации какой-либо компании, которые также
могут принести вам по прошествии некоторого времени определенный
доход. Таким образом, и в этом случае сумма, инвестируемая вначале,
превращается в большую сумму за некоторый промежуток времени.
Конечно, вы можете ничего не предпринимать и просто хранить деньги
дома или в сейфе в банке. В этом случае номинальное значение вашей
суммы не изменится. Не изменится и реальная стоимость, если нет
инфляции. В противном случае она, конечно, уменьшится. Однако
обладая, по крайней мере в принципе, возможностью инвестировать
и не делая этого, с точки зрения экономиста вы поступаете неразумно
и несете, вполне реальный в экономическом смысле убыток. Этот
убыток носит название вмененных издержек или упущенной выгоды.
Таким образом, наивная точка зрения отличается от экономической.
Считая (в отсутствии инфляции) сумму денег, хранящуюся в сейфе,
не теряющей стоимости, вы, с точки зрения экономиста, ошибаетесь.
И в этом случае ценность денег со временем также изменяется.
Конечно, «экономический» подход предполагает наличие каких-
либо механизмов по «управлению стоимостью» денег. В современном
обществе он реализуется наличием инвестиционного, в частности, фи-
финансового рынка. Банки, страховые компании, инвестиционные фонды,
брокерские фирмы предоставляют широкий спектр активов, покупка

/./. Временная и денежная шкалы	17
которых ведет (часто, но не всегда) к увеличению стоимости вложенно-
вложенного капитала. Накопление стоимости инвестированного капитала задает
«процесс преобразования» стоимости денег во времени. Так, рубль,
инвестированный сегодня, превращается в два рубля через несколько
лет, с другой стороны, будущие суммы имеют, с точки зрения текущего
(сегодняшнего) момента, меньшую стоимость, хотя бы потому, что для
получения их в будущем достаточно инвестировать сегодня меньшую
сумму.
Подытоживая, можно сформулировать общий финансовый принцип,
определяющий влияние времени на стоимость денег:
одна и та же сумма денег в различные моменты времени имеет
различную ценность. С другой стороны, по отношению к определен-
определенным условиям, разные суммы денег в различные моменты времени
могут быть равноценными в финансово-экономическом смысле.
Сказанное выше носит лишь качественный характер. Целью этой
главы является точное математическое описание основных финан-
финансовых понятий или, как говорят, их формализация, на основе которой
становится возможным дать математическое количественное представ-
представление сформулированного «принципа относительности» для денежных
сумм, относящихся к различным моментам времени.
1.1. Временная и денежная шкалы
Временная шкала. Как было отмечено выше, время является
одним из важнейших факторов в финансовых операциях и сделках.
Для временной локализации денежных сумм необходимо указание вре-
временной шкалы, т. е. способа выделения отдельных моментов времени.
Под временной шкалой понимается система временных координат,
задание которых сводится к указанию:
•	начала отсчета, т. е. начального момента времени, по отноше-
отношению к которому задаются все остальные моменты времени;
•	единицы измерения, т. е. базового промежутка или единичного
периода, служащего для измерения длительности временных про-
промежутков.
В экономике это обычно год, но может быть выбран любой другой
промежуток: полугодие, квартал, месяц, неделя, день или даже час.
Выбор начала отсчета и базового (единичного) промежутка вре-
временной шкалы определяется, конечно, конкретными условиями, и они
выбираются из соображений удобства, простоты и т. п. В принципе
они могут быть произвольными. Временная шкала допускает наглядное
представление в виде линии времени, т. е. прямой линии с отмеченной
начальной точкой и отмеченными моментами времени, связанными
с базовым промежутком (рис. 1.1).
На временной шкале (рис. 1.1) точка 0 соответствует начальному
моменту времени. Обычно она интерпретируется как текущий (на-

18	Гл. 1. Базовые элементы финансовых моделей
стоящий) момент, т. е. сейчас. Точка с координатой 1 соответствует
концу базового промежутка с началом в точке 0. Так, если базовый
промежуток — год, то это момент времени год спустя; далее идут:
конец второго периода, третьего
^ ~~} ^} ? I ? \	и т-д-' т-е- для Г°Д°ВОГО базового
промежутка это конец второго, тре-
Рис. 1.1	тьего и т.д. годов. Точки с коорди-
координатами — 1,-2,-3 и т.д. соответ-
соответствуют предыдущим, т.е. прошлым (по отношению к началу), момен-
моментам времени. Так, точка —2 соответствует началу позапрошлого года.
Шкалу, состоящую из дискретного набора моментов времени, назы-
называют дискретной. Выбрав базовый период и начало шкалы, ее можно
отождествить с множеством целых чисел Z. Во многих случаях модели
финансовых процессов рассматриваются непосредственно в дискретной
шкале.
На рис. 1.1 отмечены лишь моменты времени, соответствующие
целым кратным базового периода. Можно, конечно, рассматривать
и промежуточные моменты времени, например, год и 2 недели для
годового базового промежутка. Поскольку время обладает свойством
непрерывности, то временная шкала также является непрерывной,
т.е. моменты времени, точнее, их координаты, могут представляться
любыми вещественными (действительными) числами.
Заметим, что хотя в теории финансов обычно используется непре-
непрерывная шкала времени, на практике обычно ограничиваются дискрет-
дискретной шкалой, связанной с естественными календарными промежутками
(см. § 1.4), например, годами, месяцами и т.п.
Временную шкалу обозначим символом Т, а отдельные моменты
времени буквой t или буквой с индексами t\,t2,... и т.д. (рис. 1.2).
Любые два момента времени t\,t2 обладают определенным взаим-
взаимным расположением. Если момент t\ предшествует моменту ^2, то этот
факт математически выражается неравенством t\ < t^- В противном
случае t\ следует за ^ или совпадает с ним.
Это равносильно неравенству t\ ^ t^.	\	\
Любые два различных момента t\,t2
определяют промежуток (отрезок, интер-	Рис. 1.2
вал) времени с концами, соответствующими
этим моментам времени (см. рис. 1.2). Длина этого промежутка Т
определяется координатами концов: Т = \t% — t\\. Здесь \а\ — модуль
(абсолютная величина) числа а. В случае, когда t\ < t^, длина Т
промежутка с концами в ti и ?2 равна Т = t^ — t\.
В математике рассматривают различные типы промежутков в зави-
зависимости от того, включаются или нет его концы в этот промежуток.
Традиционные обозначения [t\, ?2], {t\, ?2), [t\, ?2), (^ь h] хорошо извест-
известны. Первые два промежутка называются соответственно отрезком и
интервалом.

/./. Временная и денежная шкалы	19
В дальнейшем при построении математических моделей финансо-
финансовых сделок, операций, процессов и т.д. мы будем фиксировать вы-
выбранную временную шкалу. На практике это обычно годовая шкала,
конкретная реализация которой зависит от выбранных временных
правил (см. § 1.6). Но основные характеристики изучаемых финансо-
финансовых моделей не будут зависеть от выбора той или иной шкалы. Часто
в практических вопросах приходится переходить от одной временной
шкалы к другой, например, от годовой к месячной, квартальной или на-
наоборот. При этом возникает вопрос о соотношении (связи) временных
координат этих шкал.
Пусть, например, Т и Т' две шкалы, временные координаты ко-
которых обозначим через t и t' соответственно. Пусть начало отсчета
шкалы Тх имеет координату то в шкале Т, а длина базового периода
шкалы Тх имеет длину к в единицах шкалы Т. Тогда между коорди-
координатами t и t' этих шкал существует простое соотношение
t = т0 + Ы'.
В частности, если начала отсчетов обеих шкал совпадают, то то = 0 и,
следовательно, получим
t = Ы'.
Например, если t — координата годовой, a t' — координата месячной
шкалы, то к = 1/12 и, значит, при совпадении начал отсчетов получим
хорошо известное равенство
Наконец, длины Т и Т' любого промежутка в шкалах Т и Тх
соответственно связаны как
Т = кТ'.
Денежная шкала. В финансовой теории и практике приходится
постоянно говорить о различных денежных суммах или о стоимости,
цене финансовых активов. Эти величины измеряются в определенных
денежных единицах. Задание фиксированной денежной единицы опре-
определяет денежную шкалу. Денежная единица — основной элемент на-
национальной денежной системы. Так, можно говорить о таких едини-
единицах, как рубль, доллар, немецкая марка и т. п. Конкретное значение де-
денежной суммы, стоимости, цены представляется числом относительно
данной денежной единицы. В этом смысле можно говорить о 500 тыс.
руб. Gг5ОО 000) или 1 тыс. долл. ($1000) и т.д.
Значения денежных сумм — также своеобразные «денежные ко-
координаты». Однако денежная шкала отличается от временной двумя
особенностями. Во-первых, денежная шкала по определению дискрет-
дискретна, поскольку каждая денежная система предполагает минимальную
денежную единицу, доли которой не имеют естественного значения;
во-вторых, сама по себе денежная шкала предполагает лишь положи-

20	Гл. 1. Базовые элементы финансовых моделей
тельные значения. Сумма, выраженная отрицательными числами, не
имеет непосредственного значения. Однако в описании различных фи-
финансовых сделок денежные суммы играют разную роль по отношению
к различным участникам сделки. Так, то, что для одного — доход,
для другого — расход; один дает, а другой берет деньги в долг; один
покупает, а другой продает и т. д. Для выражения этого обстоятель-
обстоятельства на практике используют и отрицательные значения для сумм,
стоимостей и т. п. Обычно в ситуациях, рассматриваемых по отно-
отношению к одной из сторон, участвующих в сделке, эти отрицательные
значения трактуются как расход, долг, уменьшение фондов, покупки
и т. п. Конечно, все определяется конкретными условиями и способом
описания сделки. Хотя в принципе можно было бы обойтись и без
отрицательных значений для сумм, их использование существенно
упрощает описание финансовых операций. Денежную шкалу мы будем
отмечать символом М.
Замечание. Различие по поводу дискретности денежной
и непрерывности временной шкал не стоит абсолютизировать. С одной
стороны, на практике моменты времени и промежутки измеряются
лишь с определенной точностью, скажем, до дня или недели. Иногда,
когда речь идет о таком очень динамичном рынке, как рынок валюты
или биржевой рынок акций, могут играть роль и минуты, и даже
доли минут. Но в любом случае обычно имеется естественный предел
в длительности реально значимых промежутков времени, и меньшие
промежутки просто игнорируются, так что в этом смысле временная
шкала практически дискретна, и все моменты и промежутки при
выборе подходящей единицы времени могут считаться целочисленными
(целое число минут, дней и т.п.). С другой стороны, денежную шкалу
можно рассматривать практически непрерывной, если в качестве
единицы взять «достаточно большую» величину. Так, сумма в 7^2,1356
бессмысленна, однако, ее числовое значение становится осмысленным,
если в качестве единицы взять 1 млрд руб.	?
В выборе денежной шкалы учитываются два обстоятельства. При
описании финансовых сделок, контрактов и т. п. внутри данной страны,
т. е. в рамках национальной денежной системы произвол сводится к вы-
выбору единицы денежной шкалы. При этом переход от одной единицы
к другой (например, от рубля к копейкам, от долларов к центам
и т. п.) сводится к умножению исходной денежной суммы на некоторую
константу. Более того, если еие'- две базисные денежные единицы
денежной шкалы и
е = Ze',
то для любой денежной суммы, выражающейся значениями т и т'
в этих базисах соответственно, справедливо соотношение
т'е' = те

/./. Временная и денежная шкалы	21
или
т е = mle ,
откуда
т = ml.
Например, при переходе от рублей к копейкам имеем базисное со-
соотношение
П\ = 100 коп.,
и переход от рублей к копейкам означает умножение суммы в рублях
на 100.
Другой вид преобразования денежных сумм, связанный с выбо-
выбором денежной шкалы, имеет место в мультивалютных сделках. Так,
в экспортно-импортных операциях постоянно приходится переходить
от сумм, выраженных в национальных денежных единицах, к «экви-
«эквивалентным» суммам, выраженным в иностранной валюте, и обратно.
Существенное отличие этого случая от рассмотренного выше заклю-
заключается в отсутствии фиксированного (т. е. независящего от времени)
соотношения между единицами различных валют. Это наиболее ти-
типичная ситуация. В некоторых случаях такие соотношения (обменные
курсы) могут фиксироваться на государственном уровне специальными
соглашениями, но даже в таких случаях, как правило, существует
свободный рынок этих валют, на котором устанавливаются их ры-
рыночные курсы, причем последние могут существенно отличаться от
установленных.
В общем случае задача о переходе от одной денежной шкалы М
к другой шкале М' решается в принципе так же, как и выше, различие
состоит лишь в том, что коэффициент перехода / в базисном соотно-
соотношении
e = lef
зависит от времени: / = l(t) = lt, т. е.
е = lte'.
Коэффициент lt, представляющий стоимость единицы е шкалы М
в единицах е' шкалы М' в момент t, называется (текущим) обменным
курсом (exchange rate) валюты е или котировкой валюты е относи-
относительно валюты е'. Если е' — единица национальной валюты, а е —
единица иностранной валюты, то такая котировка называется прямой,
т. е. в этом случае единица иностранной валюты выражается непо-
непосредственно в единицах национальной валюты. В противоположном
случае, когда стоимость единицы национальной валюты выражается
в единицах иностранной валюты, соответствующая котировка называ-
называется обратной.
Естественно, что термины «прямая» и «обратная» котировки имеют
смысл лишь относительно выбранной национальной валюты. На меж-
международных финансовых рынках вместо национальной валюты говорят
о выбранной основной, базовой или расчетной валюте. Тогда котиров-

99
Гл. 1. Базовые элементы финансовых моделей
ки всех остальных валют относительно базовой называются прямыми
котировками этих валют, а котировка базовой относительно данной
валюты называется обратной котировкой данной валюты.
Задание обменного курса (котировки) lt позволяет преобразовывать
значения денежных сумм из различных шкал. Так, сумме S, заданной
в единицах е шкалы М, соответствует в шкале Мх (в момент t) зна-
значение
S[ = ltS.
Например, если М — долларовая, а Мх — рублевая шкалы, и текущий
обменный курс
$1 =7г25,
то $50 соответствует 7^1250 по текущему курсу. Естественно, можно
находить и обратное соответствие. Так, сумме 7^500 соответствует $20.
Основные типы финансовых величин. Пожалуй, одним из важ-
важнейших обстоятельств, которое часто упускают из вида, является то,
что цены, курсы, стоимости, доходы всегда имеют определенную вре-
временную привязку. Они относятся либо к моментам времени, напри-
например, курс ценной бумаги, либо к временным промежуткам, например,
дивиденды или проценты. В соответствии с этим все величины в фи-
финансовой математике (да и вообще в экономике) можно разделить на
два класса.
Первый класс составляют величины, относящиеся к моментам вре-
времени. Они являются функциями времени, т. е. изменяются с течением
времени. Их называют мгновенными величинами (или переменными
состояниями). В англоязычной литературе — stock variables, т.е. пе-
переменные запаса. Эти величины представляют мгновенное значение
различных финансовых характеристик, таких как стоимость, цена,
курс. Все балансовые показатели относятся к величинам этого вида.
Второй класс составляют величины (переменные), которые есте-
естественным образом связаны с промежутками, периодами времени.
Их называют интервальными величинами. В англоязычной литера-
литературе — flow variables, т. е. переменные потока. Так, годовой доход,
прибыль, доходность, процентная ставка — примеры величин этого
класса. В частности, большое семейство величин этого класса состав-
составляют характеристики, показывающие изменение мгновенных величин
(т.е. величин первого класса) за определенный промежуток времени.
Приращение стоимости активов какого-либо фонда за год является
также примером интервальных величин.
Между величинами указанных классов не всегда удается прове-
провести четкую грань. Рассмотрим, например, дивиденды, выплачиваемые
по обыкновенным акциям. Конкретно очередная выплата дивидендов
осуществляется в определенный момент времени. Для отдельного
акционера это может быть моментом перечисления дивидендов на его
счет в банке или брокерской конторе. Поэтому на первый взгляд эта
сумма относится к моменту времени. Однако экономический смысл

/./. Временная и денежная шкалы
23
дивидендов как доли прибыли, полученной предприятием за опреде-
определенный промежуток времени, например за год, ясно указывает на
то, что эта величина является функцией именно промежутка, а не
момента времени. Так, бессмысленно говорить о том, какова величина
дивидендов на данную конкретную дату: сегодня, завтра, через год.
Однако можно говорить о величине дивидендов за год, два, три и т. д.
С другой стороны, не имеет смысла говорить о цене акции за год,
два года и т. п. Можно говорить об изменении цены или средней
цене за эти промежутки, но это уже интервальные, а не мгновенные
характеристики.
Из отмеченного выше различия между мгновенными и интерваль-
интервальными величинами следует различный способ их математического пред-
представления. Так как величина первого ти-
типа есть функция времени, то обычно этот
факт записывают в виде S(t) или St, где
S(t) (или St) — значение в момент време-
времени t некоторой величины S, например, сто-
стоимости актива. Часто можно рассматривать
всевозможные значения S(t) при различ-
различных t из некоторого промежутка. Наглядно
эта ситуация изображается графиком S(t)
как функции от t (рис. 1.3). Здесь горизон-
горизонтальная ось (ось абсцисс) есть временная
шкала, а вертикальная ось (ось ординат) есть шкала значений величи-
величины S, например, денежная шкала.
Величины второго класса являются функциями промежутка, и по-
поэтому для их определения необходимо задавать промежуток времени.
Это можно сделать, используя стандартное обозначение для промежут-
промежутков [^1,^2] или (?1,^2) и т-п- Так, значение величины R второго класса
для промежутка (отрезка) [ti,^] можно записать в виде R([t\,t2\),
а для промежутка (^i,^2] соответственно R((t\,t2\). Если тип проме-
промежутка несуществен, то можно написать просто R(t\,t2).
Иногда эта величина зависит не от положения концов промежутка,
а только от его длины Т = t^ — t\ при t\ < ?2- В этом случае вместо
приведенных выше обозначений используют обозначения вида R(T)
или Rrp.
Рис. 1.3
b t2])
(t, m)
Рис. 1.4
Рис. 1.5

24	Гл. 1. Базовые элементы финансовых моделей
Наглядно величины обоих классов можно изображать с помощью
временных диаграмм. Например, конкретное значение величины S
в момент времени t, а также R([t\,t2}), можно изобразить, как это сде-
сделано на рис. 1.4. Временная Т и денежная М шкалы вместе порождают
финансовую систему координат, которую называют финансовым про-
пространством или плоскостью время-деньги. Формально финансовое
пространство есть просто декартово произведение
Т х М = {(?, га) | t е Т, т е М},
которое состоит из возможных пар вида (?,га), где t — временная,
а га — денежная компоненты (координаты) этой пары (или точки). На-
Наглядно финансовое пространство или плоскость время-деньги имеют
вид обычной координатной плоскости, где по оси абсцисс отмечаются
моменты времени, а по оси ординат — денежные суммы (рис. 1.5).
1.2. Финансовые события и денежные потоки
Финансовые события и платежи. Введем теперь два понятия,
которые образуют своеобразный мостик между финансовыми величи-
величинами двух классов, определенными в предыдущем параграфе. Речь
идет о финансовых событиях и финансовых (денежных) потоках.
В финансовой математике, как мы уже упоминали ранее, сопо-
сопоставляются денежные суммы и моменты (или промежутки) времени,
к которым они относятся.
Определение 1.1. Пара (?, С), состоящая из момента времени t
и значения суммы С, называется мгновенным финансовым событием
или событием 1-го рода. Мгновенные события будем называть просто
событиями.
Финансовое событие наглядно изображается либо отмеченной точ-
точкой на временной диаграмме, либо точкой на плоскости время-деньги
(см. рис. 1.5).
Финансовое событие может иметь различную интерпретацию. Так,
это может быть просто указание стоимости актива в данный момент
времени. Но это может быть и взнос (вклад, поступление) на счет или
в фонд в некоторый момент t определенной суммы С. Это может быть
также выплата (изъятие) со счета или фонда некоторой определенной
суммы в момент времени t. В первом случае значения С обычно
записываются положительными, а во втором случае — отрицательными
числами.
Определенные выше события A-го рода) являются формальным
представлением мгновенных финансовых величин. Интервальные фи-
финансовые величины представляются событиями 2-го рода.

1.2. Финансовые события и денежные потоки	25
Определение 1.2. Пара (J, С), где J С Т — некоторый вре-
временной промежуток, а С G М — денежная сумма, называется интер-
интервальным событием или событием 2-го рода.
На временной диаграмме интервальное событие изображается как
на рис. 1.6.
Хотя мы определили два вида финансовых событий, соответствую-
соответствующих двум типам финансовых величин, на практике во многих случаях,
как, в частности, отмечалось в примере с выплатой дивидендов, можно
обойтись событиями 1-го рода. Так обычно и поступают. Для этого
используют преобразование интер-
интервального платежа в мгновенный пла-	^^__ С ___^^
теж: i	i
В простейшем случае величина плате-
платежа не меняется, а преобразование за-	ис' '
ключается в выборе момента г актуализации этого платежа. На прак-
практике чаще всего используются два правила актуализации интерваль-
интервального платежа (J, С), где J — промежуток с концами t\,t2- В первом
случае платеж С осуществляется в начале промежутка, т.е. г = t\.
Такая схема актуализации называется авансированием (рис. 1.7а).
Во втором случае платеж С осуществляется в конце промежутка, т. е.
г = ?2. Эта схема называется финализацией (рис. 1.7б).
С	С
1	1	1	1
Рис. 1.7
Актуализация задает способ преобразования событий 2-го рода
в события 1-го рода. Имеется еще один вид связи между такими
«разнородными» событиями, состоящий в преобразовании событий 1-го
рода в события 2-го рода. Речь идет об операторе изменения мгновен-
мгновенной величины за некоторый промежуток времени J = [ti,^]- Если нам
известны два события (t\,S\), (^2,^2) A-го рода), соответствующие со-
состояниям мгновенной величины в моменты t\,t2, то можно определить
событие 2-го рода (J,C), где С = AjS = ?(?2) — S(t\) — изменение
величины S на промежутке J.
Финансовые потоки. На практике изолированные события рас-
рассматриваются редко. В большинстве случаев в финансовой сделке
участвует не одно, а множество событий.
Определение 1.3. Последовательность

26
Гл. 1. Базовые элементы финансовых моделей
финансовых событий называется (дискретным) финансовым или де-
денежным потоком 1-го рода и обозначается символом CF (от англ.
cash flow).
При п < оо — это конечный (дискретный) финансовый поток.
В финансовой литературе рассматривают также и случай п = оо, т. е.
бесконечные (дискретные) потоки, например, так называемые вечные
ренты.
Так, открытию счета на 7^1000 и последующему снятию с него
в конце 1-го и 2-го годов соответственно 7^400 и 7^300 соответствует
финансовый поток
CF = {@,1000), A, -400), B, -300)}.
Денежный поток наглядно изображается либо последовательностью
отмеченных точек на временной шкале (рис. 1.8 а), либо точками на
координатной плоскости (рис. 1.8 6). Изображения финансовых собы-
М
с
(t2, С2)
tm Сп)
Рис. 1.8
тий и потоков на временной шкале называют обычно временными
диаграммами, а их изображения на плоскости — графиками.
Естественным образом определяются умножение финансового по-
потока на некоторое число и сумма (объединение) двух финансовых
потоков. Так, под результатом умножения финансового потока
CF = {(*,, С, ),(*2,С2),...,(*П,СП)}
на число а понимается поток
= {(tuaC{),(t2,aC2),...,(tn,aCn)}.
В свою очередь, результатом суммирования потоков CF\ и CF2 яв-
является поток CF\ + CF2, состоящий из всех финансовых событий
(tj ,Cj ) и (?д. ,Cfc ), входящих в потоки CF\ и CF2 соответствен-
соответственно, для которых моменты Ц ' и t^' различны, а также событий
(tj,C^ +^j2)) при t^p = 4 = tj. В последнем случае, если в ре-
результате сложения сумм имеем, что CJ ' -\- Cj = 0, то событие (tj,Q)
можно не включать в результирующий поток.

1.2. Финансовые события и денежные потоки	27
Моменты времени tj, для которых имеют место ненулевые платежи,
назовем критическими моментами. Таким образом, если tj — крити-
критический момент, то в финансовом событии (tj,Cj) должно выполняться
условие Cj 7^ 0.
Пример 1.1. Для финансовых потоков событий
CFX = {@,100), B, -200), C,400), E, 100), F, -300)}
и
CF2 = {B,400), D, 700), E, -150), F,650), G,800)}
найти финансовый поток 2CF\ + CF2.
Решение. Прежде всего выпишем поток 2CF\\
2CFX = {@,200), B, -400), C,800), E, 200), F, -600)}.
Тогда для потока 2CF\ + CF2 окончательно получаем
2CFX + CF2 = {@,200), C, 800), D,700), E,50), F, 50), G,800)},
при этом событие B,0) опускается, так как моменту времени t = 2 реально
никакого финансового значения не приписано.	¦
Заметим, что в финансовой математике дискретный денежный по-
поток часто описывают не последовательностью {(tk, Ск)}^=\ > составля-
составляющих этот поток событий, а его денежной или платежной функци-
функцией CCF = С'(?):
С : Т -> М, t1-> C(t),
определенной на всей временной шкале. При этом функция C(t) равна
нулю во всех точках, кроме критических, в которых она, естественно,
совпадает с суммами С&, связанными с событиями, т.е.
c(t) = |°' если l + tk'
{Ck, если t = tk.
Функции такого рода принято называть финитными (для конечных
потоков), поскольку они отличны от нуля лишь в конечном числе
точек. Множество всех точек (моментов), в которых денежная функция
потока отлична от нуля, называется его носителем и обозначает-
обозначается suppCF:
suppCF = {t GT | C(t) ^0} = {?ь?2,...,?п}.
С помощью денежных функций легко определяются алгебраические
операции над потоками. Пусть, например, C\(t) и ^(t) — денежные
функции потоков CF\ и CF2 соответственно. Тогда для потока CF,
являющегося суммой
CF = CFX + CF2
этих потоков, денежная функция C(t) определяется равенством

28	Гл. 1. Базовые элементы финансовых моделей
Аналогично денежная функция C(t) потока XCF, полученного
умножением потока CF на число Л, есть произведение денежной функ-
функции C(t) потока CF на это число:
C(t) = \C(t).
Согласно данному выше определению потока, его события относят-
относятся к определенным моментам времени. Рассмотрим упоминавшуюся вы-
выше выплату дивидендов по акциям (или процентов по облигациям). По-
Последовательность ежегодных выплат дивидендов можно также описать
денежным потоком. Но дивиденды по своему содержанию являются
выплатами за период, например, за год. Поэтому с формальной точки
зрения следовало бы определить еще один вид потоков, состоящий из
платежей за период.
Определение 1.4. Интервальным финансовым потоком или
денежным потоком 2-го рода называется последовательность событий
2-го рода
где J\, J2,..., Jn — попарно непересекающиеся промежутки времени.
На временной диаграмме (рис. 1.9) приведена графическая иллю-
иллюстрация денежного потока 2-го рода.
Определенная выше операция актуализации событий 2-го рода лег-
легко переносится и на потоки. Применяя ее к каждому событию, из по-
потока 2-го рода, получим поток 1-го рода, т.е. обычный поток событий.
Хотя в принципе выбор конкретной схемы актуализации (авансирова-
(авансирования или финализации) может быть различным для различных событий,
на практике обычно используют «единообразную» схему актуализации:
либо авансирование для всех событий, либо финализация также для
всех событий потока 2-го рода.
Таким образом, в первом случае интервальный поток CF превра-
превратится в авансированный (относительно последовательности промежут-
промежутков Jk) поток событий
a = {(t0,Cl),(tuC2),...,(tn_uCn)},
а во втором — финализир о ванный поток
CF'= {(*,, С, ),(*2,С2),...,(*П,С„)}.

1.2. Финансовые события и денежные потоки	29
Оператор авансирования будем обозначать через Adv, а оператор фи-
нализации через Fin. Тогда
a = Adv(CF),
CFf = Fin(CF).
Пример 1.2. Для потока 2-го рода (рис. 1.10) найти соответствующие
этому потоку авансированный и финализированный потоки событий.
Решение. Авансирование потока CF дает поток
CFa = Adv(CF) = {@,100), A,200), B,300)}.
Его диаграмма приведена на рис. 1.11.
100	20° 30°	100	200 300
—	1111
Рис. 1.10	Рис. 1.11
100	200 300
1	I	I	1
0	12	3
Рис. 1.12
Финализация потока CF дает поток
CFf = Fm(CF) = {A, 100), B, 200), C, 300)},
диаграмма которого показана на рис. 1.12.	¦
Можно также рассматривать преобразование потоков 1-го рода
в потоки 2-го рода. Один из общих подходов к такому преобразованию
будет описан ниже, а здесь рассмотрим преобразование потоков, свя-
связанное с понятием изменения мгновенной величины. Пусть
CF = {(*,, С, ),(*2,С2),...,(*П,С„)}
— поток событий, представляющий собой последовательность состоя-
состояний некоторой мгновенной величины. Тогда ему соответствует поток
2-го рода
где Jk = [tk,tk+i], a Ck = ASk = S(tk+\) - S(tk) — изменение 5 на
промежутке Jk.
Описанные операции чаще всего используются в теории рент, явля-
являющихся примерами так называемых регулярных потоков платежей.
Ренты. Регулярные потоки платежей естественным образом по-
появляются во многих финансовых контрактах, сделках и операциях.
Выплаты процентов по облигациям или по вкладу, выплата дивидендов
акционерам, выплата пенсий участнику пенсионной схемы — все это
примеры регулярных потоков платежей. В понятии регулярности пото-
потока есть два аспекта: временной и финансовый. Временной аспект свя-

30	Гл. 1. Базовые элементы финансовых моделей
зан с регулярностью моментов осуществления платежей, например,
платежи осуществляются в конце каждого месяца, квартала или года.
Финансовый аспект связан с некоторой закономерностью в размерах
самих платежей, например, все платежи одинаковы, платежи монотон-
монотонно растут на заданную величину или увеличиваются в заданное число
раз, или, наоборот, уменьшаются и т. п.
Обычно потоки платежей, обладающие регулярностью платежей как
по времени, так по величине, называют рентами. По своему смыслу
рентные платежи, как отмечалось выше, являются интервальными
величинами, поскольку относятся к периодам, а не моментам времени.
Поэтому рента — это регулярный поток платежей второго рода.
Выше было показано, как этот поток превращается в обычный поток
платежей (поток 1-го рода или поток событий), который также назы-
называется рентой. Поскольку ренты играют очень важную роль в финан-
финансовом анализе, рассмотрим их более подробно. Начнем с определения.
Определение 1.5. Рентой называется интервальный поток (по-
(поток 2-го рода)
с последовательностью смежных промежутков
Jl, . . . , J/c, . . . , Jn, . . . ,
называемых периодами ренты, одинаковой длины:
Число h называется (числовым) периодом ренты. Концы
to,t\, ... ,tk-\,tk, ... ,tn, ...
промежутков
Jk = (tk-хЛк)
называются (критическими) моментами ренты. Они образуют ариф-
арифметическую прогрессию: tn = to + n • h, n = 0, 1,... Момент to называ-
называется началом ренты. Если рента имеет конечное число промежутков J&
(или платежей), то она называется срочной, в противном случае —
бессрочной или вечной. Конец tn последнего промежутка Jn срочной
ренты называется концом ренты. Число Т = tn — to называется гори-
горизонтом (шириной) ренты.
Некоторые платежи ренты могут быть нулевыми. Периоды, которым
соответствуют ненулевые платежи, называются платежными, осталь-
остальные периоды — нулевыми (пустыми). Число платежных периодов
называется сроком ренты.
Начало первого платежного периода ренты называется эффектив-
эффективным началом, а конец последнего платежного периода — эффектив-
эффективным концом ренты.

1.2. Финансовые события и денежные потоки	31
Таким образом, начало и эффективное начало ренты могут не сов-
совпадать. При совпадении рента называется немедленной, в противном
случае — отложенной (или отсроченной). Если конец и эффективный
конец ренты совпадают, то рента называется завершенной, в против-
противном случае — незавершенной. На рис. 1.13 изображены диаграммы
отложенной (а) и незавершенной (б) рент.
С	С	С
а
С	С	С
h	h	tm-\	fm	hi-\	tn
б
Рис. 1.13
Если все ненулевые платежи ренты равны, то рента называется по-
постоянной. Если платежи ренты монотонно растут, то рента называется
возрастающей, если монотонно убывают, то — убывающей; и в том,
и в другом случаях рента называется монотонной. По характеру
монотонности (убывания/возрастания) ренты делятся на арифметиче-
арифметические и геометрические. Платежи арифметической монотонной ренты
составляют арифметическую прогрессию:
Ck+1=Ck + d, к =1,2,...,
а платежи геометрической монотонной ренты образуют геометриче-
геометрическую прогрессию:
Ck+1=Ck-q, (q^O), к =1,2,....
Приведенные выше определения, как мы уже говорили, задают
ренту как поток CF 2-го рода. Но на практике рента реализуется
(актуализируется) как поток финансовых событий. Выше мы описали
два правила актуализации, т. е. превращения интервального потока
в поток (ренту) событий.
В первом случае все рентные платежи относятся на начала со-
соответствующих периодов. Полученный таким преобразованием поток
называется авансированной, упреждающей рентой или рентой прену-
мерандо.
Во втором случае все рентные платежи относятся на концы со-
соответствующих периодов. Полученный таким преобразованием поток
называется финальной, обыкновенной рентой или рентой постнуме-

32	Гл. 1. Базовые элементы финансовых моделей
рандо. Обыкновенную ренту в отечественной литературе [24] иногда
называют задержанной. Термин «задержанная рента» не следует пу-
путать с ранее приведенным термином «отложенная (отсроченная) рента».
На оба описанных выше представления интервальной ренты как
потока событий дословно переносятся все данные выше определения.
Так, можно говорить о срочной постоянной обыкновенной ренте, отло-
отложенной возрастающей авансированной ренте и т. д.
Периоды ренты на практике обычно связаны с так называемыми
стандартными календарными периодами, подробно рассматриваемыми
ниже в этой главе. К ним относятся годовые, полугодовые, кварталь-
квартальные, месячные и т.д. промежутки. Ренту с годовым периодом обычно
называют аннуитетом.
Иногда суммы, относящиеся к естественным периодам ренты, ре-
реализуются не одним платежом, а серией одинаковых (более мелких)
платежей, равномерно распределенных по периоду ренты. Так, диви-
дивидендная рента по акциям с естественным годовым периодом часто
выплачивается ежеквартально. Другим примером может служить ку-
купонная рента по облигациям. Годовой процент по облигациям, зада-
задаваемый купонной ставкой, часто выплачивается двумя одинаковыми
платежами по полугодиям. Ренты такого вида называются р-кратными
относительно базового периода ренты (обычно, года). Так, р-кратная
рента с годовым периодом (т. е. аннуитет) и годовым платежом С
реализуется в виде р одинаковых платежей величины С /р. Эти пла-
платежи сами образуют ренту, которую мы будем называть микрорентой,
соответствующей базовому периоду ренты (рис. 1.14).
С/р	С/р	С/р
*k-\ t
Рис. 1.14
Микрорента получается дроблением суммы С, относящейся к неко-
некоторому базовому периоду. Если эта операция выполняется для всех
сумм и периодов ренты, то полученная рента называется р-кратным
дроблением исходной ренты. Оператор р-кратного дробления обозна-
обозначим D(p\ соответственно ренту, полученную р-кратным дроблением
ренты CF, обозначим D^(CF).
	Пример 1.3. Для арифметической возрастающей интервальной ренты
CF (рис. 1.15) найти микроренту, соответствующую трехкратному дроблению
последнего платежа, и ренту, полученную двукратным дроблением всей рен-
ренты CF.
Решение. Микрорента D^3\[2, 3], 300), соответствующая трехкратному
дроблению последнего платежа, изображена на рис. 1.16.
Рента D^2\CF), получающаяся двукратным дроблением ренты CF, пока-
показана на рис. 1.17.	¦

1.2. Финансовые события и денежные потоки	33
100	200	300	100	100	100
1111	1111
0	12	3	2 7/3 8/3 3
Рис. 1.15	Рис. 1.16
50	50 100 100 150 150
1	1	1	I	I	I	1
0	1/2	1	3/2	2	5/2	3
Рис. 1.17
К дробной ренте, т. е. ренте, полученной р-кратным дроблением,
можно применить оба вида преобразования (актуализации), которые
рассматривались выше. Последовательно применяя операторы дробле-
дробления и актуализации, мы можем получить дробные ренты событий.
Так, ренту Adv(D^p\CF)) можно назвать р-кратной авансированной
рентой, а ренту Fin(D^(CF)) — р-кратной обыкновенной рентой.
Пример 1.4. Для интервальной ренты CF из предыдущего примера
найти различные актуализации двукратного дробления этой ренты.
Решение. Очевидно, что
Adv(L>B)(CT)) = {@,50), A/2,50), A,100), C/2,100), B,150), E/2,150)}.
Аналогично
Fm(D{2\UF)) = {A/2,50), A,50), C/2,100), B,100), E/2,150), C,150)}. ¦
Мы определили оператор дробления непосредственно для интер-
интервальной ренты. Очевидно, его легко распространить на ренты событий.
Для этого нужно просто поменять местами операторы дробления и ак-
актуализации.
Так, р-кратное дробление авансированной ренты (событий) можно
определить как авансирование р-кратного дробления исходной интер-
интервальной ренты:
Аналогично можно определить дробление обыкновенной ренты (собы-
(событий):
На этом закончим краткий обзор основных понятий, относящихся
к регулярным потокам — рентам.
Большое внимание, уделенное финансовым событиям и потокам,
вызвано тем, что в современной финансовой теории понятие актива
непосредственно связано с понятием потока платежей. По существу,
с формальной точки зрения, любой актив можно представить по-
порождаемым им потоком платежей. Так, облигацию можно описать
потоком, состоящим из всех процентных выплат и выплаты ее номи-
2 П. П. Бочаров, Ю.Ф. Касимов

34	Гл. 1. Базовые элементы финансовых моделей
нала в конце срока погашения, акцию можно отождествить с потоком
выплат дивидендов и, в случае продажи, вырученной суммой, недви-
недвижимость — потоком арендных платежей и т. д.
Рассмотрим, например, облигацию с номинальной стоимостью
7^1000 и сроком погашения 3 года. Пусть купонная ставка равна 8%
годовых и проценты (купоны) выплачиваются дважды в год в конце
каждого полугодия, т. е. по истечении очередного полугодия требуется
выплатить 7Z40. Тогда денежный поток, порождаемый этой облигацией,
имеет следующий вид (рис. 1.18).
40	40	40	40	40 1040
1	1	1	I	I	I	1
0	1/2	1	3/2	2	5/2	3
Рис. 1.18
Представление актива в виде денежного потока позволяет строить
математические модели, описывающие количественные соотношения
между основными характеристиками активов: их ценами, доходностью,
риском и др. Ниже будут рассмотрены некоторые из таких моделей.
Нетто-величина дискретного потока и простейшие балансовые
модели. Согласно определению, финансовые события, составляющие
поток платежей 1-го рода, относятся к конкретным моментам времени.
Введем теперь характеристику, связанную с событиями потока, проис-
происходящими внутри некоторого промежутка времени.
Определение 1.6. Нетто-величиной потока платежей
{(*,, С,), («а, С2),... ,(*„,<?„)}
на промежутке J называется величина
NV(CF,J)= ? Ск,
k:tkeJ
т. е. это просто алгебраическая сумма величин С& тех платежей потока,
моменты времени которых попадают в данный промежуток; символ
NV — сокращение от англ. netto-value.
Заметим, что здесь при определении промежутка времени важно
указать, включаются в него или нет его границы. Например, для по-
потока
CF = {(-3,100), (-1, -200), A,300), B,400)}
для различных промежутков можно вычислить соответствующие нет-
то-величины потока:
NV(CF, [-4,0]) = 100 + (-200) = -100;
NV(CF,(-1,1]) =300;
NV(CF, [-3,5)) = 100 - 200 + 300 + 400 = 600.

1.2. Финансовые события и денежные потоки	35
Для нетто-величины потока имеет место очевидное свойство.
Свойство аддитивности. Для любых t\ < ?2 < h
NV(CF, [tut2]) + NV(CF, (t2,t3]) = NV(CF, [tut3]),
т. e. нетто-величина потока на промежутке равна сумме нетто-величин
потоков на составляющих этот промежуток непересекающихся подпро-
межутках (т. е. его частях).
В финансовой математике широко используются так называемые
накопительные модели. Такой простейшей моделью является модель
накопительного счета (или фонда), состояние которого в момент t
представляет собой мгновенную денежную величину S(t). Поступаю-
Поступающие на накопительный счет средства, задаваемые входным потоком
платежей, аккумулируются на счете, увеличивая его состояние, со-
соответственно снимаемые со счета средства образуют выходной поток,
уменьшающий состояние счета. Наличие входного и выходного пото-
потоков, таким образом, тесно связано с изменениями состояния счета.
Более того, само понятие состояния в этом случае нуждается в уточ-
уточнении. Для пояснения этого рассмотрим следующий пример.
Пусть инвестор имеет на счете в банке 7^500. В некоторый мо-
момент времени to он вносит еще 7^100. Каково состояние счета в этот
момент времени? Следует помнить, что мы имеем дело с моделью,
т. е. идеализированным представлением процесса формирования счета.
Поскольку в модели поступление новой суммы считается мгновенным,
то мгновенно должно измениться и состояние счета. Таким образом,
возникает «неопределенность»: считать ли состоянием в момент време-
времени to начальное значение 7^500 или же новое «пополненное» значение
7^600? На практике такой вопрос, конечно, не возникает, поскольку
пополнение счета — не мгновенный акт, а процесс, имеющий дли-
длительность. Однако в математической модели необходимо сделать выбор
и дать соответствующее определение состояния. В принципе возможны
три варианта.
В первом из них предлагается считать состояние просто неопреде-
неопределенным в моменты поступления или изъятия сумм, но этот подход не
очень удобен.
Во втором варианте состояние в момент to совпадает с «непосред-
«непосредственно предыдущим». Математически это записывается в виде
S(to) = S(to-O),
где
S(to - 0) = lim S(t)
t^to—O
есть предел слева S(t) в точке to- Это значит, что функция S(t)
является непрерывной слева в точке to-
Для нашего примера это соответствует выбору состояния счета
в момент to, равного 7^500.

36	Гл. 1. Базовые элементы финансовых моделей
Наконец, в третьем варианте состояние в момент to считается
совпадающим с «непосредственно следующим за ним» состоянием. Это
значит, что
() ( )
где
S(t0 + 0) = lim S(t)
t^t+O
есть предел справа функции S(t) в точке to- В этом случае S(t)
непрерывна справа.
В нашем примере это соответствует состоянию счета в момент to,
равному 7^600.
Таким образом, во втором варианте состояние счета в момент to «не
реагирует» на поступление, а в третьем варианте оно — «завершенное»,
т. е. то, в котором уже учтено поступление на счет, происшедшее
в данный момент времени.
Следует отчетливо понимать, что вопрос о том, какое состояние
на самом деле, бессмыслен. Но, строя математическую модель, нам
необходимо дать соответствующее определение состояния.
Здесь и в последующем используется третий вариант — завершен-
завершенное состояние. Если бы мы выбрали второй вариант, то промежутки
в свойстве аддитивности были бы открытыми справа, т. е. имели вид
[ti,t2) и Мз)-
Нетто-стоимость потока, как легко видеть, полностью определяет
сам поток. В самом деле,
Sk = NV(CF,[tk,tk}).
Таким образом, нетто-стоимость является еще одной и, как увидим
ниже, более общей формой задания финансовых потоков.
Финансовые или денежные потоки обычно имеют источники, т. е.
финансовые средства, ресурсы, запасы, которые порождают эти пото-
потоки, и приемники или цели, куда эти потоки поступают. Источники
и приемники можно представлять себе в виде резервуаров, накопителей
денежных ресурсов, т. е. с позиции финансовой математики — это
просто фонды. Текущая величина (объем) фонда есть стоимость имею-
имеющихся в данный момент в фонде активов. Это — величина 1-го класса.
Денежный поток, связанный с фондом, может менять его величину
в течение некоторого промежутка времени. Если положительные зна-
значения из потока рассматривать как входной поток, а отрицательные —
как выходной, то исходный денежный поток разобьется на два потока:
один поступающий (втекающий) в фонд, а другой исходящий (вытека-
(вытекающий) из него. За данный промежуток времени изменение величины
фонда в точности равно алгебраической сумме платежей потока за этот
же промежуток.
Математически этот факт отражается следующим образом. Пусть
Vo — начальная величина фонда; Vt — величина фонда в момент

1.2. Финансовые события и денежные потоки	37
времени t. Тогда для любого потока CF, связанного с фондом, будет
справедливо соотношение
Vt = V0 + NV(CF, @,*]), t > О,	A.1)
которое называется уравнением баланса.
Далее, пусть t\ и t^ — произвольные моменты времени и t\ < ?2-
Тогда из A.1) с учетом свойства аддитивности нетто-величины потока
событий следует, что
Vt.2=Vo + NV(CF,(O,t2}) =
= V0 + NV(CF, (О, ti]) + NV(CF, (tu t2]) = Vtl + NV(CF, (i,, t2]).
Таким образом, получим соотношение
Vt2=Vtl+NV(CF,(tut2}), U<h,	A.2)
которое также называется уравнением баланса.
Уравнение A.2) есть просто выражение «закона сохранения». В са-
самом деле, разность Vt2 — Vtx есть изменение объема фонда за промежу-
промежуток времени (ti,^], а объем фонда в этом промежутке изменится ровно
настолько, сколько денежных средств поступит (или уйдет) в (из)
него. Нетто-величина потока как раз и дает общий баланс поступлений
и изъятий фонда.
В качестве примера рассмотрим снова поток
CF = {(-3,100), (-1,200), A,300), B,400)}.
Считая, что величина фонда в момент времени t = 0 составляет
Vo = 7^500, можно найти состояние фонда в любой другой момент
времени. Так,
Vi = v0 + тгзоо = тгбоо + тгзоо = тг8оо,
и т.д.
Приведенные выше определения и вычисления, отражающие зави-
зависимость величины фондов от соответствующих потоков финансовых
событий, не учитывают временную стоимость денег. Это чисто балан-
балансовые соотношения. Существуют более сложные соотношения, учиты-
учитывающие и фактор времени в том смысле, о котором говорилось ранее.
Так, величина фонда может изменяться не только из-за временных
поступлений, но и из-за изменения стоимости активов фонда.
Общие финансовые потоки. В заключение параграфа проанализи-
проанализируем финансовые потоки с несколько более общей точки зрения, поз-
позволяющей ввести обобщенное понятие финансового потока и, в част-
частности, описать так называемые непрерывные потоки, которые играют
важную роль в финансовом анализе.

38	Гл. 1. Базовые элементы финансовых моделей
Рассмотренные нами выше потоки событий (потоки 1-го рода) яв-
являются дискретными (или сосредоточенными) потоками, потоки 2-го
рода (интервальные потоки) являются распределенными. Между ними
имеется двусторонняя связь. Интервальный поток CF можно (вообще
говоря, искусственно) преобразовать в дискретный, а любой дискрет-
дискретный поток (событий) CF — в интервальный, если некоторым об-
образом подобрать последовательность непересекающихся промежутков
J\, J2,..., Jn, содержащую все моменты дискретного потока. В этом
случае промежутку J& можно поставить в соответствие интервальный
платеж
Ck=NV(CF,Jk),
являющийся нетто-значением потока CF на промежутке J&. Эта связь
имеет более глубокие корни; она позволяет дать общее определение
финансового потока, включающего как дискретные, так и распределен-
распределенные, в частности, непрерывные потоки.
Задать финансовый поток общего вида можно с помощью так
называемой величины потока — функции, сопоставляющей каждому
промежутку J временной шкалы Т значение V(J) величины потока,
соответствующее этому промежутку. Содержательно величина потока
для данного промежутка равна общей денежной массе, «перенесенной»
потоком за данный период времени. Формально это просто некоторая
функция промежутков времени. Ее естественно считать аддитивной
в том смысле, что величина потока для промежутка, разбитого на
две части, будет равна сумме величин потоков, соответствующих этим
частям. Таким образом, можно дать следующее определение.
Определение 1.7. Величиной финансового потока CF называ-
называется аддитивная функция Vcf промежутков временной шкалы Т, т. е.
функция Vcf, сопоставляющая каждому промежутку J (любого вида)
некоторое значение Vcf(J) из денежной шкалы М. Аддитивность Vcf
означает, что для любых двух непересекающихся промежутков J\,J2,
дающих в сумме промежуток J:
J = J\ U J2, J\ П J2 = 0,
выполняется равенство
VCF(J) = VCF(JX U J2) = Vcf(Ji) + VCF(J2).
Поток CF, определяемый своей величиной Vcf, назовем общим фи-
финансовым потоком.
В дальнейшем величину потока будем обозначать как V, если это
не будет приводить к недоразумениям.
Определение общего финансового потока весьма похоже на опре-
определение потока 2-го рода, однако в нем нет упоминания о какой-либо
заранее заданной последовательности смежных промежутков. Значение
величины финансового потока (или объем платежа) сопоставляется
любому промежутку.

1.2. Финансовые события и денежные потоки	39
Введем еще ряд дополнительных определений, связанных с поняти-
понятием общего финансового потока, которые позволят точнее описать связь
этого понятия с ранее изученными потоками.
Как и для дискретных потоков, можно определить операции над
общими потоками. Так, говорят о сумме CF = CF\ + CF^ двух общих
потоков, задаваемых величинами V\ = Vcfx и V2 = Vcf2 соответствен-
соответственно. При этом для каждого промежутка J величина V(J) = Vcf(J)
суммарного потока определяется суммой значений V\(J) и V^J):
Умножение общего потока CF, задаваемого величиной V = Vcf, на
число Л, дает поток XCF, значение величины которого для промежут-
промежутка J равно XV (J).
Будем говорить, что точка a G Т является особой или критической
точкой потока, если для любых достаточно малых промежутков J,
содержащих а, имеет место равенство
V(J) = V(a).
Здесь точка а рассматривается как промежуток (отрезок)
Ja = [a, a].
Финансовый поток, задаваемый величиной V, будем называть дис-
дискретным, если он имеет дискретное (конечное или бесконечное) мно-
множество особых точек a\,d2,... ,ап,... таких, что для любого проме-
промежутка J, не содержащего ни одной особой точки, соответствующее
значение величины потока V равно нулю:
V(J) = 0.
В этом случае совокупность особых точек называется носителем
общего потока. Совершенно ясно, что дискретный поток с множеством
особых точек а\,...,ап, п ^ оо, есть не что иное, как обычный поток
событий (поток 1-го рода), описанный выше. Действительно, если
положить tk = cik и Ck = V(dk), то получим поток событий
причем, как легко видеть, нетто-значение потока CF на любом проме-
промежутке J совпадает со значением величины V исходного дискретного
потока:
NV(CF,J) = V(J).
Последнее равенство, в свою очередь, подсказывает, как для обычного
(дискретного) потока событий задать соответствующий ему общий
поток, определяемый величиной V.
Вернемся теперь к общим потокам CF, задаваемым величиной V.
Пусть J — произвольный промежуток (любого вида) с концами а и Ъ.

40	Гл. 1. Базовые элементы финансовых моделей
Обозначим его J = (а,Ь). Назовем средней плотностью потока на
промежутке J величину
где \J\ = Ь — а — длина промежутка J. Будем говорить, что поток имеет
конечную плотность ц(с) в точке с, если существует предел
Таким образом, плотность /i(c) в точке с есть предел средней плотности
потока по промежуткам, содержащим с (с е J), при условии, что их
длина стремится к нулю: \J\ —> 0. Существование конечной плотности
в точке с означает, что для достаточно малых (по длине) промежут-
промежутков J имеет место приближенное равенство
V(J)*n(c)\J\=n(c)(b-a),
которое тем точнее, чем меньше длина промежутка J. В частности,
отсюда следует, что V(J) —> 0 при | J\ —> 0, с G J, или, как еще говорят,
поток непрерывен в точке с, т. е. значение потока ^({с}) в этой точке
равно нулю:
Поток, непрерывный в каждой точке с G Т, называется (всюду)
непрерывным.
Для непрерывного потока значение величины V на промежутке J =
= (а, Ь) не зависит от вида промежутка:
V([a, Ь]) = V((a, Ь]) = V([a, Ь)) = V((a, Ь)).
Поэтому величину непрерывного потока можно рассматривать не
как функцию промежутка, а как обычную функцию двух переменных
(концов промежутка):
V(J) = V(a,b).
Так в дальнейшем и будем поступать.
Условие аддитивности в этом случае запишется в виде
V(a,c) = V(a,b) + V(b,c)
для а ^ Ъ ^ с.
В частности, плотность непрерывного потока в точке есть предел:
/х(с)= Hm ^l
v J (О
у-х
Особое значение в дальнейшем будут играть потоки с кусочно-
непрерывной плотностью ц(х) в любой точке из Т. Такие потоки
будем называть абсолютно непрерывными.

1.2. Финансовые события и денежные потоки	41
В математическом анализе показывается, что аддитивная функ-
функция V с кусочно-непрерывной плотностью fi(x) представляется в виде
определенного интеграла:
V(J) = \ф)Aх,
j
в частности,
ь
V([a,b\) = lfi(x
Этот факт доказывается просто, если определить функцию
M(t) = V(to,t),
где to — фиксировано. Тогда из аддитивности V и существования
плотности немедленно следует
M'(t) = /*(*)•
В самом деле,
м, = И
h
h
Таким образом, M(t) есть первообразная для fi(t). Если fi(t) — кусоч-
кусочно-непрерывна, то по формуле Ньютона-Лейбница [23] имеем, что
и, используя снова аддитивность V, получим окончательно
Непрерывный поток однозначно задается своей плотностью. Так,
взяв в качестве плотности постоянную функцию
ц(х) = с = const,
получим так называемый равномерный поток, который каждому про-
промежутку J длины Т сопоставляет значение
V(J) =cT.
Используя непрерывные и дискретные потоки, можно создавать
смешанные потоки, которые являются суммами потоков с непрерывны-

42	Гл. 1. Базовые элементы финансовых моделей
ми и дискретными слагаемыми. В дальнейшем мы будем неоднократно
сталкиваться с финансовыми потоками различных видов.
В заключение обратимся снова к общим потокам, задаваемым про-
произвольной аддитивной функцией промежутка V. Теория таких функций
достаточно сложна, и мы не будем заниматься здесь ее изложением.
Заметим только, что во всех практически интересных случаях мож-
можно считать, что функция V, задающая величину потока, разлагается
в сумму
V =
дискретной V^ и непрерывной V^ частей с конечной плотно-
плотностью /i(?).
Дискретная часть V^ представляет собой дискретный поток
CF& = {Ct | t e T},
платежная функция которого определяется как значение V в точках t,
представляющих собой вырожденные отрезки {?} = [t,t]. Таким об-
образом,
ct = v(>\[t,t]).
Естественно, носитель этого потока
? = suppCF« = {t | Ct^0}
есть дискретное множество. Отсюда следует, что для любого конечного
промежутка J число ненулевых (критических) точек потока конечно, и,
следовательно, значение дискретной части потока на этом промежутке
можно представить в виде суммы
teJ
Непрерывная часть V^ задается плотностью /i(?), являющейся ин-
интегрируемой, например, кусочно-непрерывной функцией. В этом случае
для любого конечного промежутка J значение непрерывной части V^
для этого промежутка задается равенством
j
Таким образом, значения исходного потока определяются «платеж-
«платежной функцией» Ct дискретной V^ и плотностью /i(t) непрерывной V^
частей.
Итак, для любого конечного промежутка J имеем
teJ j
Последняя формула дает представление для значений общих по-
потоков. Она позволяет работать с общими потоками, сводя действия

1.3. Финансовые операции	43
(преобразования) этих потоков к соответствующим преобразованиям
дискретной и непрерывной частей потоков. Естественно, что на общие
потоки очевидным образом можно перенести все определения этой
главы и их следствия, путем их непосредственного «применения» к дис-
дискретной и непрерывной частям общего потока.
1.3. Финансовые операции
Финансовые потоки, рассмотренные в предыдущем параграфе, явля-
являются основным инструментом при построении математических моделей
финансовых операций (сделок, контрактов и т.п.).
Пожалуй, одной из самых простых финансовых сделок является
купля/продажа некоторого товара, например, финансового актива. До-
Допустим, некоторое лицо в момент t\ купило некоторый актив по цене Р\
и спустя некоторое время в момент ^
продало этот актив по цене Р%. Ее-	~Р\	^2
ли учитывать только цену покупки	'	'
и продажи, то временная диаграмма	tl	t2
сделки имеет вид, как на рис. 1.19.	р i m
Здесь знак минус суммы Р\ означает,
что, с точки зрения покупателя, приобретение актива означает расход
денежных средств. Таким образом, формально, эта сделка опишется
потоком
CF = {(tu-Pl),(h,P2)}.
Поток CF называется представляющим, образующим или порожда-
порождающим потоком сделки, при этом величина
АРТ = Р2-РХ
называется ценовым доходом сделки.
Купив актив, покупатель становится его владельцем на период
владения [ti,^], который совпадает с периодом самой сделки. Это
означает, что владелец (покупатель) может получать текущий доход
от актива в течение периода владения. Так, лицо, купившее в на-
начале года акции некоторой компании и продавшее их в конце года,
является владельцем этих акций в течение года, и, следовательно,
имеет право на получение дивидендов. Аналогичным образом, лицо,
купившее облигации, имеет право на получение процентов (купонов)
по ним и т.д. Даже покупатель (владелец) реальных активов, например
недвижимости, транспортных средств
и т.д., может получать текущий до-
доход в виде арендной платы. Учи-
Учитывая возможность получения теку-
текущего дохода, диаграмму сделки куп-
купля/продажа можно изобразить так, как
на рис. 1.20. Здесь Dj — величина те-

44	Гл. 1. Базовые элементы финансовых моделей
кущего дохода от актива за период J. Таким образом, формально
описываемую сделку можно описать парой потоков: потоком событий
(потоком 1-го рода)
и потоком B-го рода)
CF
где J = [ti,t2] — период сделки и D = Dj = D71 — текущий доход за
период сделки длины \J\ = Т = t2 — t\.
Итак, владелец актива получит два вида дохода: ценовой
АРТ = Р2-РХ
и текущий — Dt- В сумме эти доходы дают так называемый полный
доход:
1Т = DT + АРТ.
Например, лицо, купившее акцию в начале года по цене Р\ = 7^60,
продавшее ее в конце года по цене Р2 = 7^80 и получившее дивиденды
в размере 7^5, получит полный доход / = 80 — 60 + 5 = 25G2.).
Конечно, на практике текущий доход (например, дивиденды) вы-
выплачивается либо отдельным платежом, либо серией таких платежей.
Например, дивиденды по акциям могут выплачиваться одним плате-
платежом в конце года. В западной практике нередки выплаты дивидендов
ежеквартально. Выплата текущего дохода одним платежом или серией
платежей с формальной точки зрения означает актуализацию интер-
интервального потока
Если, например, доход выплачен одним платежом в конце периода J,
то имеет место финализация, т. е. поток CF2 преобразуется в поток
1-го рода
состоящий из одного события (t2,D), представляющего выплату теку-
текущего дохода D в момент t2. В результате диаграмма такой операции
приобретет вид, как на рис. 1.21.
~?i	Pi+D	По существу, это означает, что
1	'	с формальной точки зрения, учет те-
tl	1г	кущего дохода (с заданной схемой
р j 21	выплат) позволяет описывать сделку
не парой разнородных потоков CF\
и CF2, а одним потоком A-го рода) CF, который представляет собой
сумму
CF = CFX + CF2
ценового потока CF\ и преобразованного потока доходов CF2.

1.3. Финансовые операции	45
Так, для приведенного выше примера покупки акции по 7^60, про-
продажи по 7^80 и получении дивидендов в конце года в размере 715,
представляющий сделку поток имеет вид
CF = {@,-60), A,85)}.
Поэтому на практике при анализе финансовых операций связанные
с ними денежные потоки доходов не всегда тщательно разделяются на
«ценовые» и «текущие».
Часто в качестве представляющего сделку потока берется некото-
некоторый «агрегированный» или «образующий поток», отдельные элементы
которого включают как ценовые, так и текущие (доходные) компонен-
компоненты. Так, при погашении кредита в рассрочку отдельные погасительные
платежи могут включать как выплату процентов, так и частичные
погашения основного долга.
Рассмотрим, например, простейшую кредитную сделку, которая
будет подробно изучаться в гл. 2. В этой сделке кредитор выдает
в момент to должнику кредит на сумму Р — основной долг, при
этом должник возвращает в момент t\ долг (т. е. Р) и оплачивает
предоставленный кредит суммой /,
представляющей собой величину про-
процентов за период сделки. Диаграмма
простой кредитной сделки изображена
на рис. 1.22.
Знак минус при сумме Р в мо-
момент to означает, что сделка описыва-
описывается с точки зрения кредитора, для которого выдача кредита пред-
представляет собой расход собственных денежных средств.
Таким образом, как и в случае купли/продажи, простая кредитная
сделка описывается парой потоков: потоком A-го рода)
и потоком B-го рода)
В простой кредитной сделке проценты выплачиваются обычно еди-
единовременно в конце или в начале периода. В первом случае процентный
поток CF2 преобразуется в поток
CF2 = FmCF2 = {(tb/)},
а образующий (представляющий) поток CF сделки примет вид
CF = CFX + CF2 = {(t0, -Р), (tuP + I)}.
Сумма S, выплачиваемая в момент t\ (дата погашения), называется
в этом случае полной суммой долга или суммой погашения.
Во втором случае процентный поток CF2 преобразуется в поток

46	Гл. 1. Базовые элементы финансовых моделей
а образующий поток сделки примет вид
Здесь Р — I = Pq — выданная сумма кредита, равная основной сумме
долга, уменьшенной на величину выплачиваемых процентов.
Рассмотрим, например, простую кредитную сделку с основной сум-
суммой долга Р = 7^1000 сроком в один год и величиной процентов
/ = 7^100. При выплате процентов в конце года поток платежей име-
имеет вид
CF = {@,-1000), A,1100)},
а в случае выплаты процентов авансом, т.е. в начале года поток
платежей представляется в виде
CF = {@,-900), A,1000)}.
Таким образом, в простейших сделках реальные потоки платежей
сводятся к двум событиям: начальному и конечному, которые можно
рассматривать с точки зрения одного из контрагентов сделки как рас-
расход и приход денежных средств соответственно. При этом в обычной
ситуации (но не всегда!) расход предшествует приходу.
Лицо, с точки зрения которого мы в дальнейшем будем описы-
описывать сделки, назовем (условно) инвестором. В случае простой сдел-
сделки начальное событие (расход) представляет собой инвестирование
(покупку актива, выдачу кредита) на определенный период времени
(инвестиционный период) с целью получения инвестиционного дохода
(как текущего, так и ценового). При выбранной схеме выплаты текуще-
текущего дохода (актуализации «доходного» потока) простейшая финансовая
сделка с формальной точки зрения будет представлена потоком
CF = {(tuCl),(t2,C2)}.
Здесь величины платежей С\ и С2 могут иметь любой знак. В наиболее
распространенном случае С\ < 0 и С2 > 0.
Конечно, на практике встречаются не только простейшие сделки,
сводящиеся к двум суммам (событиям). Во многих сделках участвуют
серии платежей. Так, выданный кредит может погашаться не единым
платежом, а в рассрочку, т.е. серией погасительных платежей. Кроме
того, сам кредит может быть выдан не единовременно, а также серией
платежей {траншей), например, при представлении, так называемой,
кредитной линии. Наконец, сложные инвестиционные операции та-
такие, как управление портфелем активов (финансовых или реальных)
могут включать весьма большое число элементов: покупку и продажу
составляющих портфель активов, аккумуляцию текущего дохода, его
выплату или реинвестирование и т.д. Например, пенсионный фонд
аккумулирует взносы участников, инвестирует их в различные активы,
управляет ими, осуществляет пенсионные выплаты и т.д.

1.3. Финансовые операции	47
Во многих случаях сделки, осуществляемые как отдельными физи-
физическими лицами, так и юридическими лицами (финансовыми институ-
институтами), можно описать представляющими эти сделки финансовыми по-
потоками. При этом в детальном описании могут отдельно фигурировать
как ценовые (капитальные) потоки, представляющие «последователь-
«последовательные состояния» счета, связанного с реализацией сделки, так и доход-
доходные (текущие) потоки, представляющие потоки доходов, полученные
от ее активов. В конечном счете актуализация этих потоков позволяет
описывать сделки в виде одного потока событий (платежей), полностью
представляющего все денежные суммы, участвующие в сделке. Такие
потоки называются представляющими (образующими или порождаю-
порождающими) связанные с ними сделки. В таком описании сделки до некото-
некоторой степени маскируется различное происхождение денежных сумм,
поскольку в одной сумме (событии) представляющего потока может
учитываться как (ценовая) капитальная, так и доходная составляю-
составляющие. Хотя отмеченное выше различие исчезает, тем не менее остается
еще один аспект дела, позволяющий различать отдельные платежи
представляющего потока. Он заключается в знаках денежных сумм,
составляющих события, представляющие сделку потока. Корректное
описание сделки обычно предполагает выбор определенной ориента-
ориентации денежных сумм, участвующих в сделке. Обычно эта ориентация
выбирается, как уже отмечалось, в соответствии с выбранной точкой
зрения, например, инвестора, реализующего сделку, финансового ин-
института и т. д. Выбор такой точки зрения классифицирует денежные
суммы потока либо как отток средств (расходы, инвестирование,
оплата и т.д.), либо как их приток (выручка от продажи, получение
дохода, поступление взносов и платежей и т. д.)
Таким образом, общую финансовую операцию можно представить
парой потоков платежей: расходного
и приходного
Расходный поток для некоторых видов сделок назовем также исходным
или открывающим сделку и, соответственно, приходный поток —
заключительным или завершающим. Кроме того, в специальных сдел-
сделках эти потоки могут иметь и другие специфические названия, связан-
связанные с типом сделки. Так, в кредитных сделках исходный поток со-
состоит из предоставляемых кредитных сумм и его называют кредитным
или ссудным потоком. Соответственно заключительный поток является
потоком погасительных платежей или, коротко, потоком погашения
(погасительным потоком).
В сумме исходный и заключительный потоки сделки дают пред-
представляющий поток
CF = CF~ +CF+.

48	Гл. 1. Базовые элементы финансовых моделей
Так, например, для обобщенных кредитных сделок, рассматрива-
рассматриваемых в главах 5 и 13, исходный (кредитный) поток сводится к един-
единственному платежу — выдаче кредита. В этом случае
где to — момент (дата) выдачи кредита, а Р — начальная сумма долга.
Кредит погашается серией погасительных платежей, образующих за-
заключительный поток
CF+ = {(tl,Ci),(t2,C2),...,(tn,Cn)}, tut2,...,tn>to,
т.е. поток погасительных платежей.
Описание сделки представляющим ее потоком платежей является
удобным и строгим с формальной точки зрения. Все другие характери-
характеристики сделки, такие, как чистый доход, доходность, процентная ставка,
как правило, однозначно определяются ее потоком.
Конечно, на практике порядок задания временных, финансовых
и других параметров сделки зависит от конкретных особенностей
описания сделки. Так, в обобщенных кредитных сделках могут в ка-
качестве исходных параметров задаваться сумма выданного кредита Р,
срок сделки Т, процентная ставка по кредиту и схема погашения.
В этом случае погасительные платежи определяются (вычисляются)
по исходным данным. В конечном счете завершение сделки предпо-
предполагает выплату всех сумм, предписанных условиями сделки. С точки
зрения, например, бухгалтера собственно только эти платежи и су-
существенны, тогда как другие параметры, как, например, процентная
ставка, являются лишь дополнительными характеристиками сделки.
Для сложных финансовых операций, например, таких, как управле-
управление портфелем активов, включающим огромное количество элементар-
элементарных составляющих сделок (купля/продажа активов, реинвестирование
полученного дохода и т.п.), важнейшей характеристикой финансовой
эффективности сделок, с точки зрения инвестора, является накоплен-
накопленный в результате этих сделок инвестиционный капитал. Собственно
проведение различных сделок преследует главную цель инвестора:
добиться максимального роста инвестированного капитала. При этом,
хотя каждая отдельная сделка, как правило, имеет конкретный пе-
период (срок сделки), их последовательность, реализуемая инвестором
с целью увеличения капитала, обычно не имеет заранее заданного
конечного срока. С этой точки зрения инвестирование капитала можно
рассматривать как потенциально бесконечный во времени инвестици-
инвестиционный или финансовый процесс.
1.4. Финансовые процессы и финансовые законы
Финансовые процессы. Выше при описании финансовых сделок
отмечалось, что их целью является увеличение (рост) инвестируемого

1.4. Финансовые процессы и финансовые законы	49
капитала. В простейших случаях, например, в простейшей кредит-
кредитной сделке, такой рост достигается за счет единовременной выплаты
в конце срока сделки суммы большей, чем инвестированный капитал.
В других, более сложных случаях, рост капитала обеспечивается сери-
серией выплат текущего дохода, например, дивидендов или процентов. При
этом для крупных финансовых институтов такой поток доходов можно
считать практически непрерывным. Если учитывать и ценовой доход,
то даже в простейшей финансовой сделке, такой как покупка акции,
накопление инвестиционного капитала можно представлять себе в виде
непрерывного процесса, связанного с ростом ее цены.
Сказанное выше приводит к еще одному аспекту описания финансо-
финансовых сделок, связанному с понятием их состояния. Будем понимать под
состоянием сделки в некоторый момент времени полную величину на-
накопленного к этому моменту капитала. Состояние — это интегральная
финансовая характеристика сделки, отражающая достигнутый к задан-
заданному моменту времени финансовый результат сделки.
Для сделки в целом состояния в последовательные моменты вре-
времени описывают дискретный или непрерывный финансовый процесс
(в формальном смысле), представляющий собой функцию времени S(t),
определенную на промежутке времени, равном периоду сделки. При
этом состояние считается известным в любой момент времени, даже
для сделок с дискретными определяющими потоками платежей.
Рассмотрим снова простейшую кредитную сделку с начальной сум-
суммой кредита Ро, выплачиваемой в момент to, и суммой погашения,
получаемой в момент t\. Строго говоря, реально процесс «накопления»
в этом случае описывается дискретным потоком
где So = Ро и S\ = Р\. Без предварительного соглашения о состоянии
сделки в промежуточные моменты t:
to < t < t\,
ничего определенного сказать нельзя. Однако, если, например, эта
кредитная сделка реализуется в виде срочного депозита в банке, то
возникает понятие накопленных или {начисленных) процентов для
любого момента времени из периода сделки. Тогда сумма начального
капитала (кредита) So и накопленных к моменту t процентов It дает
величину накопленного капитала, которую можно считать представля-
представляющей состояние сделки в этот момент времени:
Конечно, величина накопленных процентов и, следовательно, состоя-
состояние сделки определяются конкретными особенностями сделки. Но да-
даже в том случае, если никаких начислений процентов не делается, по
крайней мере формально, можем определить состояние сделки, исходя
из равенства It = 0, т.е. полагая S(t) = So при to ^ t < t\. Таким

50	Гл. 1. Базовые элементы финансовых моделей
образом, даже в «чисто дискретном» случае мы можем представлять
сделку всюду определенной на всем ее периоде функцией S(t).
Итак, каждой сделке или последовательности сделок может быть
приписан процесс S(t), to < t < t\, представляющий «динамику накоп-
накопления» капитала. При этом вполне возможно, что различные сделки
будут порождать один и тот же процесс. Это приводит нас к общему
определению финансового процесса.
Определение 1.8. Финансовым процессом на промежутке
J = [to>t\] называется функция S(t), определенная на промежутке J.
Иными словами, это — отображение
промежутка J в денежную шкалу М. Значение S(t) (точнее, событие
(t, S(t))) называется состоянием процесса в момент t.
Наиболее распространенным видом финансовых процессов являют-
являются инвестиционные процессы. Инвестиционный процесс начинается
с первоначальной инвестиции некоторого исходного капитала. Началь-
Начальный момент времени to и величина начального капитала So описывают
вместе начальное состояние (to, So) инвестиционного процесса.
В дальнейшем в результате управления инвестиционным процес-
процессом, подразумевающим начальный выбор активов, в которые инвести-
инвестируется капитал, получения и, возможно, реинвестирования текущего
дохода от активов и дохода от их реализации за счет роста (в благопри-
благоприятных случаях) стоимости активов, в которые инвестируется капитал,
создается накопленная стоимость инвестиций.
Накопленная стоимость инвестиций представляет собой достигну-
достигнутый к данному моменту результат инвестиционного процесса — его
текущее состояние. С формальной точки зрения это состояние описы-
описывается событием (t,St), где t — данный (текущий) момент времени,
a St = S(t) — накопленная стоимость инвестиций в момент времени t.
Финансовые процессы определяются многими факторами или пара-
параметрами, которые с достаточной долей условности можно отнести
к двум типам: внутренним и внешним.
К внутренним факторам относятся те, которые определяют основ-
основные, существенные и непосредственные характеристики финансового
процесса. К ним относятся, например, структурные факторы, такие,
как структура портфеля активов, участвующих в сделке, контракт-
контрактные характеристики сделки, такие, как способ начисления процентов
в кредитных сделках, выбранная схема погашения и т. п.
К внешним относятся факторы, определяющие начальные условия,
такие, как начальный момент инвестиций и величина инвестируемого
капитала, факторы, определяющие рыночную среду (market enviro-
ment), т.е. условия, в которых протекает финансовый процесс, такие,
как текущие и будущие рыночные цены и др.

1.4. Финансовые процессы и финансовые законы	51
Еще раз подчеркнем, что разделение определяющих процесс факто-
факторов на внутренние и внешние достаточно условно и обусловливается
прежде всего выбранной моделью описания финансового процесса.
Задание внутренних и внешних факторов (параметров) инвестици-
инвестиционного процесса полностью определяет его траекторию на плоскости
«время-деньги», т.е. дискретный или непрерывный поток событий
(t, St), t ^ to, — состояний процесса. При этом подчеркнем, что струк-
структура, механизм или закон динамики процесса определяются его внут-
внутренними факторами, которые собственно и идентифицируют процесс.
Так, для сберегательного вклада с заданной схемой начисления процен-
процентов именно эта схема и ее количественная характеристика (процентная
ставка) полностью определяют процесс накопления денежной суммы
вклада. Точно так же инвестирование в акции только одного вида без
изменения со временем начального количества акций описывает вполне
определенный инвестиционный процесс. Накопленная стоимость этого
процесса полностью определяется начальным состоянием и динамикой
цен акций данного вида.
Математически финансовый процесс можно описать функцией
St = S(t;to,So;Sl), t^t0,	A.3)
где п — отличные от начальных условий (to, So) параметры процесса.
Эти параметры могут иметь сложную структуру, например, быть функ-
функциями времени (в качестве иллюстрации здесь могут служить будущие
цены активов, составляющих инвестиционный портфель).
Запись процесса A.3) с выделением параметров (to, So) и О по
существу предполагает, что мы имеем дело не с одним индивиду-
индивидуальным финансовым процессом, а с их семейством. В частности,
предполагается, что можно «запустить» процесс при другом начальном
состоянии или при других значениях внешних параметров. Так, мож-
можно рассматривать, например, кредитные сделки, отличающиеся лишь
выданной суммой кредита или их начальной датой и остающиеся во
всех других отношениях идентичными. Можно также анализировать
поведение портфеля активов при разных вариантах будущего поведе-
поведения цен активов, составляющих этот портфель и т.д.
Предполагая, что уравнение A.3) определяет по существу семей-
семейство (класс) финансовых процессов, различающихся лишь выделенны-
выделенными параметрами, мы будем, естественно, считать, что во всем осталь-
остальном (т. е. помимо значений параметров) эти процессы идентичны, ана-
аналогичны, подобны и т.д. Это предположение является неформальным,
содержательным по смыслу, однако очень важным. Дело в том, что
поскольку выбор функции, представляющей финансовый процесс никак
не ограничен, то, например, можно для заданных значений параметров
строить чисто искусственным образом процессы, которые никак не
связаны между собой, т. е. процессы в поведении которых трудно или
вообще невозможно отыскать сходные черты.

52	Гл. 1. Базовые элементы финансовых моделей
На практике же процессы, возникающие из реальных сделок, имеют
множество общих характерных черт, обусловленных, например, сход-
сходством в контрактах, описывающих эти сделки, в структуре и меха-
механизме реализации этих сделок и т. д. Теоретически же такое сходство
проявляется в «унифицированности» способа задания уравнения A.3),
например, в виде достаточно простого аналитического выражения, как
в случае схемы простых или сложных процентов, которые будут по-
подробно рассмотрены в этой книге.
Наконец, «единство» класса процессов, описываемых уравнени-
уравнением A.3), можно достичь наложением ряда требований (условий, посту-
постулатов), которым должны удовлетворять эти процессы. Такой «аксио-
«аксиоматический» подход широко распространен в современной финансовой
теории. Ниже сформулируем ряд таких условий, наиболее часто ис-
используемых в финансовом анализе.
Первым условием, выполнение которого будем предполагать, явля-
является условие детерминированности финансовых процессов. Иными
словами, исключим из числа параметров случайные, неконтролируе-
неконтролируемые факторы. Рассмотрим лишь детерминированные модели.
Замечание. Говоря о детерминированности финансовых процес-
процессов, мы имеем в виду, конечно, их модельную детерминированность,
т.е. детерминированность в рамках принятой модели. Реальные про-
процессы, к которым применяются эти модели, нельзя, конечно, считать
полностью детерминированными, Так, даже простая кредитная сделка,
параметры которой полностью определяются контрактом, реально
может завершиться совсем не так, как предписывалось этим кон-
контрактом. В случае несостоятельности должника кредитор не получит
предписываемой суммы погашения в указанный срок. Наличие такого
риска, называемого кредитным риском (credit risk, default), присуще
абсолютно всем кредитным сделкам. Однако в теории при анализе
таких сделок в рамках детерминированных моделей кредитный риск
не учитывается, тем не менее он может быть учтен в более сложных
стохастических моделях.	?
Среди детерминированных процессов можно выделить более уз-
узкий класс автономных процессов, в которых параметры, отличные
от начальных условий, не зависят от времени. Уравнение динамики
таких процессов (при заданных значениях параметров) можно записать
в виде
St = S(t;t0,S0), t^t0.	A.4)
К классу автономных процессов относятся процессы, порождаемые
многими кредитными сделками, основные параметры которых задаются
соответствующими кредитными контрактами (и, таким образом, не
меняются со временем).
В этой главе мы ограничимся рассмотрением лишь автономных
детерминированных процессов, хотя ряд приводимых далее понятий
и конструкций может быть рассмотрен и в более общей ситуации.

1.4. Финансовые процессы и финансовые законы	53
Равенство A.4) описывает эволюцию во времени начального капи-
капитала So. Оно, по существу, задает некоторое преобразование начально-
начального события в текущее (рис. 1.23).
Такой «операторный» подход позволяет с несколько более общей
точки зрения рассмотреть связь между различными событиями, опре-
определяемую данным инвестиционным
процессом.	^0	FVt	st
Остановимся теперь более подроб-	|	\
но на математической формализации	t®	t
отношения между финансовыми собы-
событиями, составляющими тот или иной	Рис. 1.23
финансовый процесс.
Замечание. В дальнейшем мы часто вместо полного обозначения
события в виде пары (?, С) будем указывать лишь его сумму С. При
необходимости указания временной привязки этой суммы мы будем
использовать индексы. Таким образом, событие (?, С) будет представ-
представляться «датированной» суммой Ct.	?
Пусть S — автономный детерминированный процесс и (г, С) —
некоторое событие. Полагая это событие начальным состоянием:
to = т, So = С,
мы получим конкретный (индивидуальный) процесс
St = S(t;r,C), t^r.
В этом случае величину (состояние) St называют будущим или при-
приведенным к (будущему) моменту t значением события (г, С) (или
суммы С) и записывают в виде
St = FVt(T,C).	A.5)
Таким образом, детерминированный (автономный) процесс определяет
операцию преобразования (приведения, переноса) событий от про-
прошлых моментов к будущим. На практике обычно говорят о преобра-
преобразовании или приведении денежных сумм, а не событий, что, конечно,
не совсем корректно. Мы также будем иногда говорить о приведенных
значениях денежных сумм, но при этом следует помнить о связанных
с ними моментах времени.
Заметим, что обозначение FV является сокращением (по первым
буквам) от англ. термина «Future Value» (будущее значение). Иногда
вместо будущего значения говорят о будущей стоимости, накопленной
сумме и т. п.
В детерминированном процессе начальное состояние полностью
определяет (порождает) все последующие (будущие) состояния. Эти
состояния как бы «замещают» начальное. Это приводит нас к следую-
следующему определению.

54	Гл. 1. Базовые элементы финансовых моделей
Определение 1.9. Будем говорить, что событие (t2,C2) непо-
непосредственно замещает событие (t\,C\) относительно данного де-
детерминированного процесса S, если
или
С\ = S(ti;t2,C2) при U ^t2.
Содержательно, непосредственная замещаемость одного события
другим означает, что либо оно порождает другое, как начальное собы-
событие относительно указанного процесса, либо само порождается этим
другим событием как начальным.
Это означает, что отношение непосредственной замещаемости яв-
является симметричным отношением, т. е. если одно событие непо-
непосредственно замещает другое, то верно и обратное — второе также
непосредственно замещает первое. При этом оба события лежат на
одной траектории, причем одно из них является начальным состоянием
процесса с этой траекторией.
Симметричность отношения непосредственной замещаемости поз-
позволяет называть события, одно из которых непосредственно замещает
другое, непосредственно замещающими друг друга или взаимно непо-
непосредственно замещаемыми.
Очевидно, что непосредственная замещаемость обладает свойством
рефлексивности, т. е. каждое событие непосредственно замещает само
себя.
Как будет видно в дальнейшем, в общем случае непосредственная
замещаемость не обладает свойством транзитивности. Иными слова-
словами, существуют такие процессы, для которых найдутся три события
(t\,C\), (?2,С2), (?з,Сз) такие> что второе событие замещает первое,
третье замещает второе, но не будет замещать первое.
Нарушение свойств транзитивности приводит к весьма сложной
структуре траекторий финансового процесса. Например, его траекто-
траектории, порождаемые различными начальными состояниями, могут «пе-
«пересекаться» на плоскости время-деньги. Подробнее об этом будет
сказано в гл. 3, посвященной простым процентам.
Нарушение свойства транзитивности означает, что непосредствен-
непосредственная замещаемость не является отношением эквивалентности.
Однако в финансовой практике эквивалентность событий рас-
рассматривают обычно в контексте не непосредственной замещаемости,
а в несколько более общем контексте относительной замещаемости.
Чтобы определить это понятие и показать, что оно обладает всеми
свойствами отношения эквивалентности, введем дополнительное огра-
ограничение на «степень детерминированности» инвестиционного процесса.
Введенное нами понятие детерминированности процесса, как отме-
отмечалось, означает детерминированность относительно будущего, когда
начальное состояние процесса однозначно определяет будущие состоя-

1.4. Финансовые процессы и финансовые законы	55
ния. Среди детерминированных процессов можно выделить процессы,
обладающие, в некотором смысле, детерминированностью относитель-
относительно прошлого. Процессы, обладающие такой «двусторонней» детермини-
детерминированностью, назовем вполне детерминированными или вполне опре-
определенными.
Определение 1.10. Финансовый процесс называется вполне
детерминированным или вполне определенным, если для любого со-
события (г, С) и любого момента времени р существует единственное
значение V такое, что событие (р, V) непосредственно замещает со-
событие (г,С), при этом момент времени р может как следовать за
моментом т, так и предшествовать ему.
Смысл приведенного определения прост. Вполне определенные про-
процессы позволяют приводить (преобразовывать) события не только к бу-
будущим, но и прошлым относительно этих событий моментам времени.
В самом деле, если событие (р, V) непосредственно замещает собы-
событие (г, С), причем р ^ т, то в силу определения это означает, что
V = S(p;r,C)
или, что то же самое,
V	= FVp(t,C).
Если же событие (р, V) замещается событием (т,С), т.е. г ^ р, то
С = S(r;p,V)
или
C = FVT(p,V).
Таким образом, в этом случае событие (р, V) является начальным для
процесса, порождающего в будущем данное событие (т,С).
Постулируемая единственность значения V (относительно задан-
заданного момента р), порождающего будущее состояние (т,С), позволяет
говорить о нем, как о приведенном к моменту р < г значении события
(г, С). Это значение называют приведенным или текущим значением
этого события и пишут
V	= PVp(t,C).	A.6)
Обозначение PV есть сокращение от англ. «Present Value» (сего-
(сегодняшнее, настоящее значение). Говорят также о текущей, настоящей
и т. д. стоимости будущей суммы С.
Таким образом, оператор FV приводит события к будущим, а опе-
оператор PV — к прошлым по отношению к этим событиям моментам
времени. Оба эти оператора позволяют приводить (преобразовывать,
переносить) события к любым моментам времени. Эта общая операция
приведения обозначается тем же символом PV, что и приведение
к прошлым моментам времени. Таким образом, мы можем писать
Vp = PVp(t,C)

56	Гл. 1. Базовые элементы финансовых моделей
во всех случаях, т. е. как в случае р < г, так и в случае р > т. При
этом в последнем случае
PVp(r,C)=FVp(r,C).
Момент р, относительно которого находится приведенное (текущее)
значение события (т,С) (или суммы С), называется моментом при-
приведения, валоризации (оценки) или полюсом. На практике его часто
называют фокальной датой.
Фиксация момента валоризации позволяет определить относитель-
относительную замещаемость.
Определение 1.11. Два события (t\,C\) и (?2,^2) будут на-
называться замещаемыми относительно момента р, если оба события
непосредственно замещаемы одним и тем же событием (p,V).
Легко проверить, что относительная замещаемость уже является
отношением эквивалентности для событий. Поэтому события (t\,C\)
и &>С2), замещаемые относительно момента р, будем называть также
финансово эквивалентными (по от-
отношению к моменту р) событиями.
Эквивалентность такого рода обозна-
обозначим как С\ Kj C2. Практик сказал бы,
что суммы С\ и С^ (отнесенные к мо-
моментам t\ и ^2 соответственно) экви-
эквивалентны (относительно р), поскольку
в момент р они имеют одинаковые приведенные значения. Эта ситуа-
ситуация изображена на рис. 1.24.
Финансовые законы. Выше было показано, что с вполне детер-
детерминированным автономным процессом связана операция приведения
событий к произвольному заданному моменту времени (полюсу) р. Так-
Также отмечена некоторая двойственность (неопределенность), связанная
с понятием финансового процесса: с одной стороны, это — «индивиду-
«индивидуальный» процесс с конкретной траекторией, с другой стороны, для
него допустима «вариация параметров», позволяющая рассматривать
уравнения A.3) и A.4) процесса как преобразования. Чтобы избежать
этой двойственности, выделим преобразовательный (операторный) ас-
аспект, так сказать, в чистом виде.
Пусть (t, С) — любое событие и р — полюс. Функциональный закон
Vp = A(t,p;C) = FVp(t,C), p>t,	A.7)
определяющий будущее значение события (t,C), называют финансо-
финансовым законом капитализации.
Двойственным образом определяется финансовый закон дискон-
дисконтирования:
Vp = D(t,p; С) = PVp(t, С), p^t.	A.8)

1.4. Финансовые процессы и финансовые законы	57
Термин «дисконтирование» происходит от англ. discount, означаю-
означающего скидку, т. е. уменьшение стоимости в противовес к накоплению
(капитализации). В нормальной ситуации от инвестиционного процесса
ожидают роста стоимости инвестированного капитала. Поэтому дви-
движение вперед (приведение к будущему моменту времени) обозначается
как капитализация, а движение назад (приведение к прошлым момен-
моментам времени) — как дисконтирование.
Приведение события к прошлым относительно него моментам вре-
времени называют дисконтированием, а само приведенное значение —
дисконтированным значением. Поэтому в тех случаях, когда нужно
подчеркнуть, что речь идет о приведении к прошлым моментам вре-
времени, для оператора дисконтирования используют обозначение DVP,
поскольку в современной литературе символ PVP, как отмечалось
выше, используется в более общей ситуации, как приведение к любому
моменту времени.
Хотя на первый взгляд равенства A.7) и A.8) вносят мало нового
по сравнению с уравнениями A.3)-A.6), в них все же по сравнению
с последними смещены акценты. До сих пор в своих рассуждениях
мы оперировали понятием финансового процесса как модельного пред-
представления «движения капитала», реализуемого в финансовых сделках
и операциях. В уравнениях A.7) и A.8) этот процесс рассматривается
с более общей точки зрения. В них задается некоторый общий способ
преобразования (приведения) финансовых событий. Понятие финансо-
финансового процесса играет в этом случае лишь мотивационную роль для вве-
введения понятий финансовых законов капитализации и дисконтирования.
Финансовые законы в абстрактном, обобщенном виде отражают пове-
поведение автономных, вполне детерминированных финансовых процессов.
Финансовые законы выражают «правила обмена» сегодняшней сто-
стоимости на будущую стоимость и наоборот, т. е. являются формальным
представлением основного принципа финансовой математики — «вре-
«временной стоимости денег». Они являются основным элементом «финан-
«финансовых схем» — абстрактных моделей финансовых операций, процессов
и систем, изучение которых составляет основное содержание финансо-
финансовой математики.
В рамках выбранных финансовых схем фиксируются основные ко-
количественные соотношения между финансовыми показателями (па-
(параметрами) моделей изучаемых операций и процессов.
Финансовым схемам посвящен следующий параграф, поэтому здесь
лишь кратко коснемся этого понятия. Финансовая схема включает:
1°. Правила преобразования: для любого момента р может быть
найдено приведенное к этому моменту значение Vp суммы Ct,
относящейся к моменту t:
Vp = PVp(Ct).

58	Гл. 1. Базовые элементы финансовых моделей
2°. Семейство отношений предпочтения и эквивалентности', для
каждого момента р в финансовой схеме определены отношения
предпочтения и эквивалентности событий относительно этого
момента.
В этом случае отношение эквивалентности и правило преобразова-
преобразования связаны естественным образом. События являются эквивалентны-
эквивалентными относительно р, если их суммы имеют одинаковое приведенное к р
значение:
(t,,C,) ? (*2,С2) ^ PVP(CX) = PVP(C2).
Весьма важно, что правила преобразования и соответствующие им
отношения эквивалентности можно формулировать абстрактно безот-
безотносительно к каким-либо финансовым процессам, точнее, без их яв-
явного упоминания. В этом случае правила преобразования суть просто
некоторые операции над финансовыми событиями.
Например, полагая
vp = —^—,, P^t,
р l + (t-pJ'
получим некоторое (абстрактное) правило преобразования финансовых
событий. С его помощью можно определить соответствующее отноше-
отношение эквивалентности для каждого полюса р.
Имея абстрактную финансовую схему, можно строить теорию этой
схемы, формулировать, доказывать или опровергать различные утвер-
утверждения, касающиеся финансовых событий, разрабатывать методы ре-
решения различных задач, возникающих в рамках данной схемы. Хотя
сама финансовая схема, как отмечалось выше, может быть задана про-
произвольно, тем не менее, для того чтобы разрабатываемая теория схемы
была содержательна, обычно рассматривают не любые финансовые
схемы, а лишь те, которые порождаются соответствующим классом
финансовых процессов. Именно так получаются рассматриваемые нами
в дальнейшем финансовые схемы простых и сложных процентов.
Изучение финансовых схем, а не непосредственно различных клас-
классов финансовых процессов более соответствует духу математики. Суть
математического подхода к описанию реальных явлений как раз и со-
состоит в выделении логической структуры изучаемых явлений, форма-
формализации основных понятий, объектов и отношений, которые в дальней-
дальнейшем изучаются с помощью чисто математических средств.
Выше мы не накладывали никаких ограничений на вид законов
капитализации и дисконтирования и на связанные с ними преобра-
преобразования событий, однако, основываясь на некоторых общих финан-
финансово-экономических принципах, в финансовом анализе выделяют ряд
свойств, которым могут удовлетворять финансовые законы, связанные
с наиболее распространенными и «типичными» классами финансовых

1.4. Финансовые процессы и финансовые законы	59
процессов. Эти свойства имеют различную степень общности. Посту-
Постулируя ряд из них или все вместе, можно определить всё более узкие
классы финансовых схем, позволяющие получить всё более детализи-
детализированные и более содержательные результаты, касающиеся этих схем
и изучаемых в их рамках моделей финансовых операций и процессов.
Сформулируем теперь эти свойства.
1*. Нормированность. Если момент события совпадает с полюсом,
то законы не меняют значение суммы из события, а именно:
A(p,p;C) = D(p,p;C) = C
для любого р.
Это свойство одно из самых универсальных. Можно считать, что ему
удовлетворяют все финансовые законы, поскольку оно тривиальным
образом выполняется для реальных финансовых процессов.
2*. Однородность по отношению к денежным суммам. Финансо-
Финансовая эквивалентность событий инвариантна относительно пропор-
пропорциональных изменений соответствующих этим событиям сумм.
Как следствие этого свойства, обозначая через a(t,p) и d(t,p) финан-
финансовые законы при С = 1, из A.7) и A.8) получаем, что
A(p;t,C) = С -A(p;t,\) = C-a(t,p), p^t,	A.9)
D(p;t,C) = C-D(p;t, 1) = C-d(t,p), p^t,	A.10)
где a(t,p) — наращенное значение к моменту (валоризации) р для
каждой единицы капитала, вложенного в момент времени t, и d(t,p) —
дисконтное значение в момент времени р для каждой единицы капи-
капитала, которым можно располагать в момент времени t. Функции a(t,p)
и d(t,p) называют обычно коэффициентами роста и дисконтирова-
дисконтирования соответственно. Из A.9) и A.10) с учетом свойства нормирован-
нормированное™ непосредственно вытекает, что
a(t,t) = d(t,t) = 1.
Большинство финансовых процессов можно считать удовлетворя-
удовлетворяющих условию однородности. Тем не менее как на практике, так
и в теории встречаются процессы, которые нельзя отнести к однород-
однородным относительно сумм событий. Однако мы ограничимся изучением
лишь однородных процессов и соответствующих им финансовых схем.
Условие нормированности финансовых законов позволяет есте-
естественным образом «склеить» два закона: капитализации и дисконтиро-
дисконтирования в один общий финансовый закон:
D(t,p,C), если

60	Гл. 1. Базовые элементы финансовых моделей
Склейка однородных законов дает также однородный закон с коэффи-
коэффициентом
F{t,p,\)=v{t,p),
который обычно называют обобщенным коэффициентом приведения
(дисконтирования). Ясно, что
(a(t,p), если p^t,
{d{t,p), если р < t.
Общему финансовому закону соответствует обобщенный оператор
приведения PVP, который называют общим оператором текущей сто-
стоимости:
PVp(t,C) = F(t,p,C) = C-v(t,p).
3*. Свойство возрастания /убывания законов капитализации
и дисконтирования. Из соображений разумности инве-
инвестирования следует, что функция a(t,p) — возрастающая
по р и убывающая по t. С другой стороны, учитывая,
что большинство из людей больше ценит тот капитал, что
имеет сейчас, по сравнению с другим капиталом, фактически
идентичному теперешнему, но которым мы можем располагать
лишь в будущем (закон недооценки будущих возможностей),
можно считать, что функция d(t,p) (p < t) является убывающей
по t и возрастающей по р.
Исходя из содержательного смысла этого свойства, мы будем считать,
что оно выполняется для всех рассматриваемых в книге моделей.
Помимо этого отметим, что во многих финансовых моделях функ-
функции a(t,p) и d(t,p) обладают всеми «хорошими» свойствами, например
непрерывности, дифференцируемости и т. д.
4*. Однородность во времени (стационарность). Законы капита-
капитализации и дисконтирования однородны во времени или стаци-
стационарны, если для любого Т > 0 соответственно имеют место
равенства
a(t + T,p + T) =a(t,p)
и
d(t + T,p + T) =d(t,p).
Немедленным следствием этих условий является возможность сведе-
сведения функций a(t,p) и d(t,p) двух переменных к однозначно определя-
определяющим их функциям одной переменной:
a(t) :=a(O,t), t ^ 0,
и
d(t) :=d(t,O), t >0,
а именно,
a(t,p) = a(O,p-t) = a(p-t), p> t,

1.4. Финансовые процессы и финансовые законы	61
и
d(t,p) = d(t-p,O) = d(t-p), t>p.	A5)
В однородном случае процесс приведения к полюсу (моменту ва-
валоризации) р из любого другого момента t зависит лишь от длины
промежутка с концами t,p.
Стационарные (однородные во времени) процессы — также доста-
достаточно распространенный тип финансовых процессов. Поэтому значи-
значительная часть книги будет посвящена финансовым схемам со стаци-
стационарными законами. Однако в гл. 9-11 рассмотрим и более общие
финансовые схемы с нестационарными финансовыми законами.
Стационарным законам капитализации и дисконтирования соответ-
соответствует стационарный общий финансовый закон, для которого
v(t + h,p + h) =v(t,p)
для любого h > 0. Таким образом, как и в случае отдельных законов,
соответствующий двумерный коэффициент v(t,p) сводится к одномер-
одномерному v(T) :=v@,T):
v(t,p) =v(t-p,O).
Сформулируем еще два свойства финансовых законов, уже не свя-
связанные с ними органически. Однако они принципиально возможны при
определенных условиях и очень важны (при условии их выполнения)
для изучения соответствующих финансовых моделей.
5*. Сопряженность законов капитализации и дисконтирования.
Финансовые законы капитализации и дисконтирования являют-
являются сопряженными, если их последовательное применение к од-
одному и тому же финансовому событию на одном и том же
интервале времени не изменяет это событие. Таким образом, для
сопряженных финансовых законов a(t,p) и d(t,p) одновременно
выполняются равенства V = Ca(t,p) и С = Vd(t,p).
Сопряженность законов капитализации и дисконтирования означает
выполнение равенства
a(t,p)d(p,t) = \
для всех t ^ р. Заметим, что при этом общий финансовый закон
F(t,p,C) для всех t,p становится самосопряженным:
v(t,p) = —,—к-
v(p,t)
В большинстве случаев, которые будут рассмотрены ниже, зако-
законы капитализации и дисконтирования будут взаимно-сопряженными.
В наиболее типичных случаях операция дисконтирования и опреде-
определяется как операция, обратная операции капитализации. Однако на
практике встречаются схемы, в которых операция дисконтирования
может определяться независимо от операции капитализации. Одним
из таких примеров является дисконтирование по учетной ставке при
капитализации по процентной ставке.

62	Гл. 1. Базовые элементы финансовых моделей
6*. Транзитивность законов капитализации и дисконтирования.
Финансовый закон капитализации транзитивен, если
a(t,r)a(r,p) = a(t,p)	A.11)
для любых моментов времени t < г < р. Аналогично тран-
транзитивность финансового закона дисконтирования означает
выполнение свойства
d(t,T)d(r,p) = d(t,p)	A.11х)
для любых моментов времени t > г > р.
Свойство финансовых законов, выражаемое равенствами A.11), A.11х),
называют еще переходным свойством. В финансовой литературе его на-
называют также свойством расщепляемости финансового закона. Терми-
Термины «транзитивность» и «расщепляемость» в некотором смысле симмет-
симметричны и отличаются, так сказать, «точкой зрения» на равенства A.11),
A.11х). Когда говорят о расщепляемости, имеют в виду возможность
разложения (расщепления) исходного преобразования от момента t
к р на два «частичных» преобразования: от t к г и от г к р. Это
соответствует чтению формул A.11), A.1 Iх) справа налево. Когда гово-
говорят о транзитивности, исходят, наоборот, из двух последовательных
преобразований: от t к г и от г к р. В результате их композиция
дает преобразование от t к р. Это соответствует чтению формул A.11),
A.11х) слева направо. В некотором смысле использование термина
«транзитивность» предпочтительнее, поскольку с ним связано свойство
транзитивности отношения эквивалентности, порождаемое этими пре-
преобразованиями. Мы будем использовать оба термина как синонимы.
Транзитивность финансового закона капитализации означает, что
наращенное значение инвестируемой на некоторый период времени
суммы не изменится, если процесс инвестирования на данном ин-
интервале времени разбить на несколько последовательных инвестиций,
предполагая, что при очередной инвестиции вкладывается сумма, на-
наращенная к этому моменту времени, т. е. реинвестируется предыдущая
сумма.
Транзитивному закону дисконтирования уже нельзя дать интерпре-
интерпретацию, аналогичную реинвестированию для закона капитализации.
Наконец, одновременная транзитивность законов капитализации
и дисконтирования означает транзитивность общего финансового за-
закона:
v(t,p) = v{t,r)v(r,p).
Заметим, что транзитивность в этом (сильном) смысле означает вы-
выполнение важного свойства поглощения для обобщенного оператора
приведения:
PVp(t,C) = PVp(PVT(t,C)).
Из сказанного ясно, что свойство транзитивности имеет место толь-
только при выполнении определенных условий, связанных с построением

1.4. Финансовые процессы и финансовые законы	63
соответствующих финансовых моделей и, следовательно, оно справед-
справедливо лишь для определенного класса финансовых моделей.
И, наконец, сформулируем свойство эквивалентности финансовых
законов.
7*. Эквивалентность финансовых законов. Два финансовых за-
закона капитализации а\ и а^ эквивалентны, если для любого
финансового события (?, С) каждый из них дает одно и то же
замещаемое событие в момент времени р для любого р > t.
Аналогично, два финансовых закона дисконтирования d\ и с?2
эквивалентны, если для любого финансового события (?, С)
каждый из них дает одно и то же замещаемое событие в момент
времени р для любого р < t.
Приведение потоков платежей. Выше был подробно рассмот-
рассмотрен процесс приведения (переноса) денежных сумм (или событий)
в соответствии с финансовым законом, порождаемым инвестиционным
процессом. На практике эта процедура приведения применяется не
только к отдельным суммам, но и к финансовым потокам или, точнее,
потокам платежей. Содержательный смысл этой операции тот же:
он заключается в замещении потока платежей эквивалентной (в том
или ином смысле) денежной суммой, отнесенной к некоторому заранее
заданному моменту времени (полюсу, моменту валоризации).
Следует заметить, что на абстрактном уровне в рамках описы-
описываемого здесь подхода дать единое (общее) определение этой про-
процедуры замещения (приведения) для потоков платежей не представ-
представляется возможным. Дело в том, что поток платежей во многих моде-
моделях инвестиционных процессов играет роль внешнего параметра, т. е.
«входа», влияющего на динамику изменения состояния процесса. Так,
дополнительные вложения или изъятия капитала с банковского счета
будут менять его состояния в соответствии с принятыми правилами
управления счетом, подразумевающими, в частности, способ начисле-
начисления процентов на вновь поступающие и изымаемые суммы. Несмотря
на то, что единого определения процедуры замещения не существует,
можно выделить наиболее типичные схемы (подходы), используемые
в теории и практике финансов. При этом следует заметить, что в ряде
моделей процесс дисконтирования, т. е. приведения к прошлым момен-
моментам, определяется значительно более сложным образом, чем процесс
капитализации.
Первой и, пожалуй, самой простой схемой приведения потоков
платежей является чисто формальное распространение операции при-
приведения событий на потоки. Более точно следует говорить о линейном
продолжении этой операции.
Поскольку операция приведения сумм (событий) дает их эквива-
эквивалентные в финансовом смысле значения относительно данного момен-
момента р, то, приводя к этому моменту времени все суммы С& (события
(tk,Ck)) потока платежей CF, мы получим семейство их приведенных

64	Гл. 1. Базовые элементы финансовых моделей
значений
V$k) = PVp(Ck), k= 1,2,..., п.
Так как все эти значения относятся к одному и тому же моменту
времени, то является осмысленным их суммирование:
к=\
Полученное значение и будет по определению текущим значением
потока платежей. Таким образом, мы приходим к следующему опреде-
определению.
Определение 1.12. Пусть PVP — оператор приведения собы-
событий, порождаемый заданными финансовыми законами капитализации
и дисконтирования. Тогда текущей стоимостью потока платежей
CF = {(tuCi),(t2,C2),...,(tn,Cn)}
называется сумма текущих стоимостей, составляющих поток событий:
PVP(CF) = ? PVp(Ck).	A.12)
k=\
Учитывая взаимное расположение момента приведения р и момен-
моментов событий tk, можно правую часть равенства A.12) записать в более
подробном виде:
PVP(CF)= ? FVp(Ck)+ ? DVp(Ck).
k:p^tk	k:p<tk
Для однородных по отношению к денежным суммам финансовых
законов выражения для текущей стоимости потока можно записать
в виде
PVP(CF)= ? Ck-a(tk,p) + ? Ck-d(tk,p),
k:p^tk	k:p<tk
где a(t,p) и d(t,p) — коэффициенты капитализации и дисконтирования
соответственно.
Хотя описанный выше подход к определению текущей стоимости
потоков платежей выглядит логичным и весьма прост в вычислитель-
вычислительном плане, он страдает существенным недостатком. Правило A.12) для
определения текущей стоимости неявно подразумевает независимость
воздействия сумм потока на финансовый процесс, порождающий «бу-
«будущую стоимость» потока. Действительно ли, например, эффект после-
последовательности действий (довложений и/или изъятий) с одним счетом
равносилен сумме эффектов от аналогичных независимых действий
с отдельными суммами, составляющими поток? Как увидим ниже, это
далеко не всегда так. Во многих финансовых процессах, даже самых
простых на первый взгляд, независимости действия отдельных событий
может не быть. Поэтому в таких случаях определение A.12) перестает

1.4. Финансовые процессы и финансовые законы	65
быть корректным. В этих случаях оператор текущей стоимости (или
оператор приведения) потока, определяемый равенством A.12), называ-
называют формальным оператором, тогда как другие способы преобразования
и приведения потоков и соответствующие им операторы, непосред-
непосредственно связанные с изучаемым (моделируемым) процессом в рамках
конкретной модели, называются модельными. Для нахождения пра-
правила приведения стоимости потока необходим более глубокий анализ
конкретной динамики финансового процесса.
В тех же случаях, когда упомянутая независимость наблюдается,
правило, аналогичное линейному правилу A.12), появляется естествен-
естественным образом.
Имеется один, так сказать, «крайний случай» независимости, ко-
который приводит к еще одному подходу для определения операции
приведения потоков. Формально он связан с наделением финансового
процесса векторной структурой. Поясним, что имеется в виду.
В финансовой практике нередко встречаются случаи, когда одновре-
одновременно рассматривается, по существу, несколько финансовых процессов
в рамках некоторого «общего процесса». В частности, такая ситуа-
ситуация возникает, например, в случае открытия инвестором нескольких
сберегательных счетов в одном или различных банках, при формиро-
формировании портфеля инвестиционных активов и т. п. Действительно, если
инвестор покупает несколько акций, то вложение средств в отдельную
акцию (как и открытие отдельного вклада) можно рассматривать как
отдельный процесс (микропроцесс) в рамках общего «портфельного»
процесса. Эти отдельные процессы представляют собой компоненты
общего («векторного») процесса. Здесь важно, что в течение опре-
определенного времени (пока сохраняется структура компонент процесса)
можно говорить о состояниях процессов-компонент. При этом вполне
возможно, что разные компоненты могут «запускаться» в разные мо-
моменты времени. Иными словами, вполне допустимо, чтобы fc-й процесс
.(к)
имел свои начальный момент ц '.
Итак, векторный процесс описывается набором
при этом «начальным состоянием» этого процесса является вектор
(to,ooj — 1Л?О ,*bA)),(t0 ,Ь B)), ... , (?0 , o(n)JJ.
Динамика такого процесса описывается системой уравнений для
каждой компоненты:
S{tk) =S(t;t{ok\s{ok)), к =1,2,..., п.
При таком подходе все процессы-компоненты развиваются автономно,
т. е. независимо друг от друга.
Несмотря на независимость развития этих процессов, инвестор
(владелец портфеля) может интересоваться их «суммарными харак-
3 П. П. Бочаров, Ю.Ф. Касимов

66	Гл. 1. Базовые элементы финансовых моделей
теристиками», позволяющими оценить динамику векторного процесса
в целом. Совершенно ясно, что общая сумма инвестиционных накоп-
накоплений к моменту t составит
st= E sik)-
Естественно, что в этой сумме учитываются лишь процессы, иниции-
инициированные до момента t включительно. Величину St (не очень строго)
назовем суммарным, или результирующим процессом, порождаемым
начальным состоянием (to, So).
Если все процессы-компоненты векторного процесса являются
вполне определенными, то для каждого из них для любого момента
времени определяется понятие будущего (накопленного), а также
дисконтированного значений сумм и событий.
В этой связи рассмотрим поток финансовых событий
CF = {(tuCl),(t2,C2),...,(tn,Cn)}.
Далее, выберем полюс р общий для всех компонент рассматриваемого
векторного процесса. Тогда для каждого события (tk,Ck) из потока
CF в зависимости от взаимного расположения моментов tk и р можно
говорить о капитализации или дисконтировании суммы С& относи-
относительно момента р. В литературе в таком случае говорят о текущем
относительно момента р значении суммы С& (события (tk,Ck)):
Тогда вектор
V =
будем называть текущим векторным значением потока CF, а сумму
vP = tv(k) = t pMck)
k=\	k=\
просто текущим значением {стоимостью) потока CF относитель-
относительно полюса р.
1.5. Финансовые схемы
Выше говорилось, что семейство финансовых законов капитализа-
капитализации и дисконтирования определяют финансовую схему, т. е. определен-
определенную математическую структуру, в наиболее общем и абстрактном
виде описывающую финансовые операции и инвестиционные процессы.
Абстрактность и общность такого описания заключается в том, что
в нем полностью отвлекаются от содержательного смысла (контекста)
моделируемых операций и процессов, оставляя на поверхности лишь
основные соотношения между отдельными финансовыми событиями,

1.5. Финансовые схемы	67
участвующими в сделках или являющихся состояниями изучаемого
финансового (инвестиционного) процесса. Таким образом, финансо-
финансовая схема — математическая структура [30], с помощью и в рамках
которой строится математическая модель финансовых операций или
процессов.
Исходными элементами этой структуры являются (мгновенные) фи-
финансовые события (элементы 1-го рода) и платежи за период (элементы
2-го рода). Из этих элементов строятся финансовые потоки A-го и 2-го
рода). Описанные выше правила актуализации задают различные вза-
взаимные преобразования этих элементов и их потоков.
Задание семейства финансовых законов капитализации и дискон-
дисконтирования позволяет определить, во-первых, правила преобразования
(приведения, переноса) как отдельных финансовых событий, так и по-
потоков и, во-вторых, семейство отношений предпочтения (порядка)
и эквивалентности между событиями и составленными из них пото-
потоками.
Теория свойств этих преобразований и связанных с ними от-
отношений представляет собой теорию финансовой схемы. Основное
значение финансовой схемы как раз и состоит в формальном, логи-
логически строгом описании соотношений между временными и финансо-
финансовыми (денежными) характеристиками финансовых сделок и процессов.
Именно в рамках финансовой схемы получает точную формулировку
широко известный принцип финансовой математики о неравноценно-
неравноценности (неэквивалентности) одинаковых и, напротив, возможной равно-
равноценности разных денежных сумм, относящихся к различным моментам
времени.
Приведем теперь основные понятия и конструкции, относящиеся
к финансовым схемам.
Базовым множеством (носителем) финансовой схемы является
класс всевозможных финансовых событий. На формальном языке это
просто финансовое пространство или плоскость время-деньги, яв-
являющееся декартовым произведением временной шкалы на денежную
шкалу:
т х м = {(?,С)\ t е т, с е М}.
Вторая компонента финансовой схемы — законы капитализации
и дисконтирования, которые для любого выбранного момента р, на-
называемого полюсом (фокальной датой или моментом валоризации),
определяют оператор приведения (или текущей стоимости) PVP, со-
сопоставляющий любому событию (t, С) или денежной сумме Ct ее
приведенное к моменту р значение Vp:
vp = pvp(t, с) = pvp(ct).	с_^~—P—-^Jp
На оператор PVP можно смотреть как	t
на преобразование событий (рис. 1.25):
PVp:{t,C)»(p,Vp).	РисЛ-25

68	Гл. 1. Базовые элементы финансовых моделей
В однородных схемах, т. е. в схемах, в которых общий финансовый
закон F(t,p,C) однороден по денежным суммам, оператор приведения
является линейным (при фиксированных p,t). Таким образом, для
оператора приведения выполняются следующие свойства:
аддитивности
PVp(t, Сх + С2) = PVp(t, Сх) + PVp(t, С2)
и однородности
PVp(t,\G) = XPVp(t,C).
В однородной схеме оператор приведения полностью определяется
своим действием на единичных событиях, т.е. событиях вида (?, 1).
В самом деле, по свойству однородности имеем
PVp(t, С) = PVp(t, С-\) = С- PVp(t, 1).
Число
PVp(t,\) = v(t,p)
называется коэффициентом приведения (или обобщенным коэффи-
коэффициентом дисконтирования).
Приведение событий к выбранному полюсу позволяет сравнивать
эти события и соответствующие им денежные суммы, поскольку они
относятся теперь к одному моменту времени.
Определение 1.13. Событие (t\,C\) не менее предпочтитель-
предпочтительнее события (?2,62) относительно р:
если
PVp(ti,Ci)>PVp(t2,C2).
Если каждое из событий (t\, C\), (t2, С2) не менее предпочтительнее,
чем другое, то говорят, что эти события эквивалентны относительно
полюса р и пишут
(tuCx)l(t2,C2).
Таким образом, эквивалентность относительно полюса р или просто
р-эквивалентность событий означает равенство приведенных к полю-
полюсу р значений (текущих стоимостей) этих событий, т. е.
PVp(tuCx)=PVp(t2,C2).	A.13)
В однородной схеме это равенство равносильно равенству
Clv(tl,p) = C2v(t2,p).	A.14)
Финансовая схема называется регулярной, если коэффициент при-
приведения v(t,p) отличен от нуля для всех t, p:

1.5. Финансовые схемы
69
Этим свойством обладают, например, схемы с самосопряженным фи-
финансовым законом, поскольку в них
v(r,p)v(p,r) = 1
для всех р, т.
В регулярной финансовой схеме в равенстве A.3), описывающем
отношение эквивалентности, задание одной денежной суммы однознач-
однозначно определяет другую. Так, из равенства A.14) следует, что
О2 = Gi • —7-	г.
v(t2,p)
Тем самым определено еще одно преобразование событий, которое на-
называется относительным эквивалентным преобразованием или отно-
относительным приведением. Это преобразование для выбранного полюса р
и некоторого момента г преобразует событие (t, С) в эквивалентное
относительно полюса р событие (т, С}- ), где
с . v(t,p)
* v(t,p)'
Последнее равенство позволяет определить еще один оператор при-
приведения, называемый относительным оператором приведения или
относительным оператором (или даже р-оператором) текущей сто-
стоимости, который мы будем обозначать PV} . Таким образом,
с(р) =
v(t,p)
A.15)
v(r,p)'
При р = г относительный оператор приведения превращается в опре-
определенный выше оператор приведения
ру(р) — ру
преобразует произвольное
Согласно определению, оператор PVr
событие в ему эквивалентное от-
относительно полюса р событие:
С(р) = pvti
Оператор относительного при-
приведения имеет простую интерпре-
интерпретацию, если в качестве полюса р
взять начальный момент to для
финансового процесса, рассматри-
рассматриваемого в рамках заданной фи-
финансовой схемы. Тогда для любых
t > to оператор PVr преобразует
любое состояние St из траектории
процесса, порожденного начальным состоянием (to, So), в другое собы-
событие ST из этой же траектории (рис. 1.26).
Рис. 1.26

70	Гл. 1. Базовые элементы финансовых моделей
Заметим, что для транзитивного самосопряженного финансового
закона выполняются равенства
v(t,r)v(r,p) = v(t,p)
и	1
—	г = v(p,r).
Первое из них выражает свойство транзитивности, а второе — свой-
свойство самосопряженности. В этом случае равенство A.15) перепишется
в виде
с(р) = PVb>){Ct) = Ct ¦ ф^} = Ctv(t,p)v(p,T) = Ctv(t,r) = PVT(Ct).
Таким образом, в этом случае относительный и обычный операторы
приведения совпадают:
Ру{р) =
Относительный оператор приведения позволяет определить «приве-
«приведенное сложение» событий. Пусть (t\,C\) и (^Сг) ~~ Два события.
Оператор PVr приводит оба эти события в события (т,С[) и (т, С^)
с общим моментом г. Денежные суммы, относящиеся к одному и тому
же моменту времени, можно складывать, что дает событие (г, С[ + С'2),
которое называется приведенной (к моменту г) суммой (относительно
полюса р) или просто р-суммой событий в точке г.
Относительный оператор приведения преобразует р-эквивалентные
события в совпадающие, т. е. если
то
В самом деле, р-эквивалентность событий (t\,C\) и (^2,(^2) означа-
означает, что
PVp(d) = PVp(C2)
или
Тогда
Отсюда следует, что приведенное сложение событий — по существу
операция сложения классов р-эквивалентных событий (фактор-опе-
(фактор-операция).

1.5. Финансовые схемы	71
Приведенное сложение можно определить не только для двух собы-
событий, но и для любого их конечного числа, т. е. для любого потока со-
событий. Такое сложение обобщает операцию (формального) приведения
потока PVp(CF), которая по существу представляет собой суммирова-
суммирование событий в полюсе р.
Операция приведенного сложения для потока так же, как и обыч-
обычная операция приведения потока, является «линейным продолжением»
операции относительного приведения, т. е. для потока
CF = {(*,, С, ),(*2,С2),...,(*П,С„)}
его приведенная к г сумма есть
к=\
Приведенное относительно полюса р значение PVr (CF) потока
CF называют р-суммой потока в точке г или относительной текущей
стоимостью (или р-стоимостъю) потока CF в точке т. Операция
р-суммирования в точке г потока заменяет поток CF единственным
событием, эквивалентным относительно р всему потоку CF. Таким
образом, если
то
(г, С) I CF.
Обобщая отмеченную выше инвариантность относительно р-экви-
валентности оператора относительного приведения, можно утверждать,
что р-эквивалентные потоки имеют одинаковые р-суммы в любой точ-
точке т, т. е. если
CFX - CF2,
то
Наконец, как легко показать, относительный оператор приведе-
приведения всегда обладает свойством поглощения:
т. е. даже в случае нетранзитивных (нерасщепляемых) финансовых за-
законов.
Таким образом, каждая финансовая схема порождает определен-
определенную ею алгебру событий и потоков. Изучение свойств этой алгебры
является одной из основных задач теории данной финансовой схемы.
В последующем именно эта тема будет центральной при изложении
двух классических финансовых схем простых и сложных процентов.
Читатель неоднократно сможет убедиться в том, что все полученные
ниже результаты являются конкретизацией применения общих понятий
и методов, описанных в этой главе.

72	Гл. 1. Базовые элементы финансовых моделей
1.6. Практическая реализация временной шкалы.
Элементы финансовой хронологии
В § 1.1 мы ввели понятие временной шкалы. После выбора нача-
начала отсчета и единицы измерения она отождествляется с множеством
действительных чисел R. В этом случае моменты времени t и длины
промежутков Т представляются просто вещественными числами. Такое
представление временной шкалы есть идеализированное представление
времени в рамках математической модели. Оно связано с тем, что в ма-
математических формулах, выражениях, соотношениях можно применять
только математические представления используемых в них величин,
в частности, числовые значения. Примерно такова же роль временной
шкалы в моделях механики и физики. Однако на практике, говоря
о моментах времени и промежутках, имеют дело не с абстрактными
числами, а с конкретными датами, часами, периодами и т.д. Поэтому
остается весьма важной проблема практической реализации выбранной
временной шкалы, подразумевающей конкретный способ представле-
представления фактических событий и периодов их абстрактными аналогами.
Так, выбрав в качестве базового (единичного) промежутка вре-
временной шкалы год, полугодие или квартал, необходимо уметь выра-
выражать длительность различных периодов между реальными событиями
в годах, полугодиях, кварталах. Это далеко нетривиальная задача.
Возникающие здесь трудности связаны с особенностями практической
временной шкалы, т. е. системой измерения временных промежутков
в обычной практике. Эта система основана на использовании календа-
календаря, часов и т.п. Она имеет многоуровневую структуру в отличие от
простой одноуровневой структуры модельной временной шкалы. Мно-
гоуровневость проявляется в наличии иерархии базовых временных
единиц: год, месяц, число, час, минута и т.д. Точность представления
событий и периодов определяется выбранным в этой иерархии уровнем,
т.е. задаваемой базовой единицей, например, часом или минутой.
Хотя в финансовой практике описания событий с точностью до часа
или минуты нередки, например, в анализе биржевых цен в течение
торговой сессии или анализе обменных курсов для валютного рынка,
чаще всего временное описание большинства финансовых операций,
сделок и контрактов осуществляется с точностью до дня (суток).
В этом случае предельной единицей описания является дата, а соответ-
соответствующая практическая система представления событий воплощается
в календаре. Структура основной единицы календаря даты описыва-
описывается формально тройкой
дата = (день; месяц; год),
где каждая компонента имеет естественный диапазон изменения.
Выбирая стандартное числовое представление для возможных зна-
значений компонент даты, можно указать множества значений для каж-

1.6. Практическая реализация временной шкалы	73
дой компоненты. Так, возможные значения для компоненты «день»
представлены множеством {1, 2,..., 31}, для компоненты «месяц» —
множеством {1, 2,..., 12}, для компоненты «год» — множеством всех
положительных целых чисел Z+. Таким образом, тройка B1; 6; 1998)
описывает дату «21 июня 1998 года» или в обычном сокращенном пред-
представлении «21.06.98». Ниже в примерах мы будем часто использовать
такое общепринятое представление дат.
Введем специальные обозначения для переменных компонент даты
и самой даты:
д = (d; га; у),
где d — день, га — месяц и у — год.
Важнейшая особенность календаря состоит в наличии естествен-
естественного отношения порядка между датами. Так, для любых двух дат д\
и &2 можно сказать, какая из них предшествует (д\ < дъ) или следует
(д\ > д^) за другой. В частности, для любой даты д однозначно опреде-
определена непосредственно следующая <Э+ или, наоборот, непосредственно
предшествующая д~ дата. Например, C1; 5; 1998)+ = A; 6; 1998) и A;
3; 1996)" = B9; 2; 1996). Наличие порядка между датами позволяет
определить календарные промежутки (периоды) с помощью задания
концевых дат д\,д2- Например, можно говорить об отрезке [дьсУ,
интервале (д\,д2) или промежутке [д\,д2), который называется проме-
промежутком от даты д\ до даты д^.
Календарная шкала дискретна, поэтому для любого календарного
промежутка естественным образом определена его продолжительность
в «днях». Обозначим число дней в промежутке J через D(J). Так, если
J = [1.01.96, 31.12.96] — календарный 1996 г., то его продолжитель-
продолжительность составляет 366 дней.
Пожалуй, наиболее важной особенностью календаря является нали-
наличие определенной зависимости между всеми тремя компонентами да-
даты. Иными словами, некоторые значения компонент описывают «невоз-
«невозможные даты», точнее говоря, этим тройкам не соответствуют никакие
реальные даты. К ним относятся, например, сочетание C1; 06; у) для
любого года у, так как даты «31 июня» не существует. К более тонким
примерам такого рода относится комбинация B9; 02; 1999), поскольку
1999 г. не високосный и такой даты также не существует.
Наличие «невозможных дат» тесно связано с другой важной осо-
особенностью календаря — неодинаковой продолжительностью некоторых
стандартных периодов, таких как год, полугодие, квартал, месяц.
Более того, само определение этих периодов не совсем тривиально.
Что такое год? Любой промежуток, состоящий из 365 или 366 дней?
Ниже мы введем ряд более формальных определений, уточняющих эти
и другие понятия.
Начнем с определения годового промежутка или «календарного го-
года». Бесспорным примером годового промежутка является стандарт-
стандартный календарный год с номером у, т.е. отрезок [A; 1;?/); C1; 12;?/)]

74	Гл. 1. Базовые элементы финансовых моделей
или, что тоже самое, промежуток [A; 1; у), A,1, у + 1)) от 1 января
года у до 1 января года (у + 1). Отметим, что продолжительность
стандартного года зависит от его номера. Так, невисокосный 1999 г.
состоит из 365 дней, тогда как високосный 1996 г. включает 366 дней.
Кроме стандартных календарных годов, можно определить другие годо-
годовые (календарные) промежутки. Календарным годом будет, например,
период от 31 марта 1998 г. до 31 марта 1999 г. Такой способ описания
годовых периодов связан с определенным отношением эквивалентно-
эквивалентности между датами, которое мы будем называть отношением одноимен-
одноименности дат.
Более точно, будем называть даты с одним и тем же днем (чис-
(числом) и месяцем одноименными. Одноименные даты различаются лишь
номерами годов. Формально даты д\ = (d\; т\; у\) и д^ = (cfo ^25 2/2)
одноименны, если d\ = &^ и тп\ = Ш2- Одноименные даты назовем
смежными, если \у2 — у\\ = 1, т.е. если они относятся к соседним
годам.
Промежуток времени от одной даты д\ до смежной (одноименной)
даты &2 назовем календарным годом. Иными словами, это промежуток
[^ьс^), если д\ < &2 и даты д\ и &2 — смежные. Точно также кален-
календарным годом назовем и промежуток (81,82]. Оба этих промежутка
мы будем называть календарными периодами между датами д\ и &2.
Итак, календарный год — период времени между двумя одноимен-
одноименными смежными датами. Естественно, что в этом определении речь
идет о реальных (допустимых), а не запрещенных датах. Так, строго
говоря, у даты 29.02.96 нет смежных одноименных дат. Ближайшая
предшествующая одноименная дата — это 29.02.92, а ближайшая сле-
следующая дата «29 февраля 2000 г.» Напомним, что 2000 г. является
високосным.
Кстати, о 2000-м годе. Прения по поводу «истинного» начала 3-го
тысячелетия основаны на недопонимании того, что год — это вре-
временной промежуток, а не момент времени. Поэтому 2000-й г., как
и любой другой, имеет две даты: начальную — 1.01.2000 и конечную —
31.12.2000. Истекший (пройденный) год отмечается своей конечной,
а не начальной датой. Когда говорят, что от некоторого момента
(в данном случае от «Рождества Христова») прошло 2000 лет, то
имеют в виду 2000 полных (пройденных) лет. Поэтому конец такого
2000-летнего периода будет концом 2000-го г., т.е. 31.12.2000, а нача-
началом 3-го тысячелетия будет 1 января 2001 г. При этом, как принято
в традиционном летоисчислении, год, начинающийся с «Рождества
Христова», — это первый, а не нулевой год.
Стандартный календарный год является високосным, если его но-
номер у либо делится на 4 и не делится на 100, либо делится на 1000.
Дату вида B9; 2; у) будем называть високосной. Високосные даты
не имеют смежных одноименных дат. Понятие високосной даты позво-
позволяет дать определение так называемой високосной кратности любого
календарного промежутка.

1.6. Практическая реализация временной шкалы	75
Пусть J — календарный промежуток. Его високосный кратностью
назовем число содержащихся в нем високосных дат. С помощью по-
понятия високосной даты можно легко найти точную продолжительность
в днях любого промежутка между двумя любыми одноименными да-
датами. Так, если д\ = (d; т;у\) и д2 = (d; га; 2/2) ~~ Две одноименные
даты, то точное число дней между этими датами равно
где к — високосная кратность промежутка, т. е. число различных
високосных дат в нем. Например, точное число дней между 13.04.81
и 13.04.99 равно
?> = 365- 18 + 4 = 6574.
Каждая невисокосная дата определяет последовательность (сетку,
решетку) одноименных с ней дат с последовательными номерами годов.
Так, для даты до дата д\ будет следующая за ней смежная дата, д2 —
смежная к д\ и т. д. Естественно, промежутки между последовательны-
последовательными (смежными) датами будут годовыми. С формальной точки зрения,
эта последовательность — есть просто класс эквивалентности даты до.
Замечание. Мы не доказывали достаточно очевидное утвержде-
утверждение о том, что одноименность дат есть отношение эквивалентности,
т. е. рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение. Триви-
Тривиальную проверку этих свойств оставляем читателю.	?
Определив годовые промежутки, аналогичным способом можем
определить полугодовые, квартальные и месячные календарные перио-
периоды. Каждый раз определение будет основываться на соответствующем
понятии эквивалентности (подобия) между датами. Введенное выше
отношение одноименности можно назвать годовой эквивалентностью.
Соответственно полугодовой эквивалентностью назовем отношение
между датами, при котором дни (числа) дат совпадают, а месяца имеют
кратное полугодовому (шестимесячному периоду) смещение. Формаль-
Формально, даты д\ = {d\\ т\\у\) и д2 = (d2', та\',у2) называются полугодно
эквивалентными, если d\ = d2 и m\ — тп2 делится на 6. Так, полу-
полугодно эквивалентными между собой являются даты 15.03.96; 15.09.97;
15.03.98 и т.д.
Для точного определения полугодового промежутка нам необходи-
необходимо определить понятия смежных полугодно эквивалентных дат. Смеж-
Смежными будут даты, отстоящие друг от друга в точности на 6 месяцев.
Формально, даты д\ < д2 — смежные, если
di=d2, ra2-rai=6, 2/2=2/1
или
d\ = 6^2, га2 — тп\ = 6, г/2 — 2/1 = 1 -
Промежуток между двумя смежными полугодно эквивалентными
датами называется календарным полугодием.

76	Гл. 1. Базовые элементы финансовых моделей
Как отмечалось, не каждая дата имеет смежную одноименную дату.
Их не имеют високосные даты, и только они. Аналогично существуют
особые даты и для отношения полугодовой смежности. Например,
30.08 (августа) любого года не имеет смежной следующей за ней даты,
так как такая дата должна быть 30 февраля следующего года. Не име-
имеет следующей смежной даты 31.05 (мая); можно привести и другие
примеры. Легко видеть, однако, что все эти даты являются последними
днями длинных (из 31 дня) месяцев. Все остальные даты являют-
являются неособыми, т. е. они порождают непрерывные последовательности
смежных дат, в которой любые две соседние даты являются смежными.
Иными словами, каждая неособая дата до порождает последователь-
последовательность
полугодно эквивалентных с ней дат, так что dk+\ является смежной
с dk и, следовательно, все промежутки между двумя соседними датами
последовательности полугодовые.
Заметим, что длительность полугодовых промежутков имеет не два,
как в случае годовых, а три возможных значения: 182, 183 и 184 дня.
Тем же способом, каким были определены годовые и полугодовые
промежутки, можно определить квартальные и месячные периоды.
Квартальная эквивалентность дат д\ и д^ определяется условия-
условиями: d\ = d,2 и гп\ — тп2 делится на 3, а месячная эквивалентность —
просто совпадением номеров дней: d\ = cfe.
Определяя квартально-смежные и месячно-смежные даты, мы опре-
определим промежутки между ними как календарные квартальные и месяч-
месячные периоды. Несложно убедиться, что возможная продолжительность
квартальных промежутков составляет 89, 90, 91 и 92 дня, тогда как
продолжительность месячных промежутков — 28, 29, 30 и 31 день.
Относительно квартальной и месячной смежности, как и в случае
годовой и полугодовой, имеются особые даты, не имеющие смежных.
Так, для 30 января нет следующей месячно-смежной даты, посколь-
поскольку нет даты 30 февраля. Неособые же даты порождают последова-
последовательность (сетку, решетку) смежных дат с квартальными (в случае
квартальной эквивалентности) и месячными (в случае месячной экви-
эквивалентности) периодами между соседними датами.
Сказанное проясняет основную трудность в переходе от практи-
практической календарной шкалы к модельной (теоретической) временной
шкале с выбранным базовым периодом. Она заключается в неодинако-
неодинаковой продолжительности базового промежутка, выбран ли он годовым,
полугодовым, квартальным или месячным.
Возьмем, например, годовую модельную шкалу. В ней единица
измерения — год. Но о каком годе идет речь? В модельной шкале
отрезок [0, 1], представляющий базовый период, имеет ту же длину, что
и любой другой единичный отрезок [а,а-\- 1]. Если мы хотим, чтобы
отображение календарной шкалы в модельную корректно учитывало

1.6. Практическая реализация временной шкалы	11
продолжительность в днях, т. е. чтобы календарные промежутки с рав-
равным числом дней отражались в виде равных промежутков модельной
шкалы, то придется согласиться с тем, что последовательность смеж-
смежных дат, порожденных некоторой датой, будет представлена последова-
последовательностью с меняющимися расстояниями (в модельной шкале) меж-
между соседними точками. Если же мы хотим, чтобы последовательные го-
годовые календарные промежутки изображались равноотстоящими друг
от друга точками годовой модельной шкалы, то придется смирить-
смириться с утратой инвариантности продолжительности в днях. Поскольку,
например, процентные ставки на практике обычно задаются как го-
годовые и, следовательно, учет накопленных (начисленных) процентов
в моделях процентного накопления (роста) пропорционален периоду
накопления, выраженному в годах, то, как увидим ниже, конкретная
величина накопленных процентов, согласно модели, будет зависеть от
способа пересчета реальных временных параметров в теоретические
(модельные).
Во всех практических случаях приходится идти на некоторый ком-
компромисс, по крайней мере, для моделей, рассматриваемых ниже. Ко-
Конечно, можно строить модели непосредственно в календарной шкале,
но это не снимает всех трудностей, поскольку привязка к годовой базе
традиционна на большинстве финансовых рынков, к тому же такие
модели более громоздки.
Рассмотрим несколько схем перехода от практической календарной
шкалы к модельной годовой шкале. Поскольку выбор начала (началь-
(начальной даты) несуществен, то основное внимание мы уделим определению
продолжительности в годах промежутков, задаваемых календарными
датами. Конечно, дата — это сутки, т. е. 24 часа, иными словами,
это временной интервал, а не точка. Тем не менее будем изображать
даты точками в модельной шкале. Такое представление будет вполне
оправдано, если зафиксировать стандартное начало суток, например,
О ч 0 с и т. д. Иными словами, точка модельной шкалы будет всегда
соответствовать стандартному началу некоторой даты. В календарной
шкале есть естественная мера длины временных промежутков — про-
продолжительность их в днях. Она легко вычисляется с помощью стан-
стандартной функции N(d) — порядкового номера даты д в стандартном
календарном году (см. табл. П1 и П2). Если д\ и 8% — две даты одного
года, то число дней между этими датами, очевидно, равно
D(dud2) = N(82) - N(di).
Так, для невисокосного 1998 г., согласно табл. П1, 14 февраля (д\)
имеет порядковый номер 45:
N(di) =45,
а 27 августа (с^) — порядковый номер 239:
N(d2) = 239.

78	Гл. 1. Базовые элементы финансовых моделей
Следовательно, между этими датами содержатся в точности
D(di,d2) =239-45= 194
дня. Для високосного 1996 г. номер для 14 февраля остается тем же
самым, тогда как для 27 августа он, очевидно, увеличится на единицу,
т. е.
N(d2) = 240.
Поэтому число дней между этими датами в 1996 г. равно 195.
Продолжительность в днях — однозначно определенная мера дли-
длительности календарных промежутков, в отличие от продолжительности
в годах. Определение последней требует уточнения, например, в виде
правила преобразования продолжительности в днях в продолжитель-
продолжительность в годах. Ряд стандартных способов преобразования продолжи-
продолжительности в днях в продолжительность в годах промежутка J основы-
основывается на формуле
Т=Щ?,	A.17)
где Т и D — продолжительность соответственно в годах и днях,
a Y — принятое в данном преобразовании характерное число дней
в году, так называемый годовой дивизор. Наиболее типичные значения
годового дивизора — 360 и 365 дней. В простейших случаях дивизор
является постоянным и не зависящим от промежутка J числом. Вы-
Выбор в качестве числителя в A.17) точного числа дней в периоде J,
а в качестве знаменателя — дивизора 365 или 360 дают два наиболее
распространенных правила, которые имеют специальные обозначения.
Правило АСТ/365 0. Для этого правила
365 '
где D(J) — точное число дней в периоде J.
Заметим, что продолжительность в годах високосного года будет
366	.	.
равна ——, т.е. больше единицы, тогда как продолжительность любого
<jDO
невисокосного года в точности равна единице. Очевидно, что если Jn
состоит в точности из п календарных лет, включающих к високосных
дат, то продолжительность в годах такого периода согласно форму-
формуле A.16) есть
х) Здесь ACT — сокращение от Actual, т. е. действительный. Это сокраще-
сокращение подразумевает использование действительного, т. е. точного числа дней
между датами.

1.6. Практическая реализация временной шкалы	79
и «погрешность» правила АСТ/365 в этом случае тем больше, чем
больше високосных дат в этом периоде. Поскольку к « —, то абсолют-
абсолютная погрешность такого представления примерно равна
Г	П	П	А 7 1Л-2
Здесь под абсолютной погрешностью понимается отклонение T(Jn),
вычисляемого по правилу АСТ/365, от точного числа п календарных
лет. Для периода J от 14.02.96 до 27.08.96, согласно этому правилу,
имеем
Правило АСТ/360. Это так называемое банковское правило, со-
согласно которому
360 '
где D(J) — точное число дней в периоде J.
Это правило еще в большей степени увеличивает «годовую длину»
характерных промежутков. Так, високосный год по этому правилу
имеет длину
Ш =1ДI67 (год)-
а для невисокосного годового промежутка его длина
Ш = 1'0139 (год)-
Естественно, чем длиннее период J, тем больше «степень удлинения»
в годах. Это правило чаще всего используется в расчетах, касающихся
денежного рынка, т. е. рынка краткосрочных долговых обязательств,
таких, как депозиты в банках, векселя, коммерческие бумаги, депозит-
депозитные сертификаты и др.
Правило АСТ/365 в естественном смысле более точное, чем банков-
банковское правило, тем не менее оно не учитывает возможность присутствия
високосных дат в измеряемом промежутке. Такой учет может быть сде-
сделан двояким образом. Первый состоит в игнорировании (исключении)
високосных дат при подсчете числа дней в промежутке при неизменном
годовом дивизоре — 365. Второй способ состоит в соответствующем
изменении дивизора (до 366 или другого значения) при измерении
високосных промежутков.
Первый подход реализован в так называемом японском правиле
АСТ/365, в котором все високосные даты исключаются, таким образом
продолжительность любого годового промежутка считается равной 365
дням. Это правило формулируется следующим образом.

80	Гл. 1. Базовые элементы финансовых моделей
Правило АСТ/365, Япония. Если J — период с к високосными
датами, то
D(J) - к
365 '
Данное правило используется для расчетов, связанных с государствен-
государственными облигациями Японии. По этому правилу длительность в годах
промежутка от 14.02.96 до 27.08.96
Т= 1^^=0,5315.
365
Второй способ уточнения связан с фактическим изменением диви-
дивизора. Имеется одно основное правило, используемое для промежут-
промежутков любой длины, и короткая модификация этого правила, относя-
относящаяся к промежуткам меньше года. Оба эти правила обозначим как
ACT/ACT.
Правило ACT/ACT (основное). Пусть J период, определяемый
датами д\ = (d\\ m\\ у\) и д^ = (cfo ГП2',У2)- Разобьем его на три части:
J = Jx + J2 + h-
Первая часть соответствует периоду от д\ до конца текущего (у\) года
включительно, т. е.
где д* = @1.01.(г/i + 1)), т.е. начало следующего года у\ + 1. Проме-
Промежуток J<2 состоит из полного числа стандартных календарных лет
между д\ и &2, т.е. числа лет от 01.01.(г/i + 1) до 01.01 .г/2- Наконец,
промежуток J3 есть период от начала года у2, т.е. <Э| = @1.01.2/2) Д°
даты &2'.
¦Н = [д*2,д2).
Тогда с учетом приведенного разбиения
У\	Уз
где D(Jk) — число дней в промежутке Jk, к = 1,3,
Г366, если г/ь — високосный;
[365, если yk — невисокосный,
а п — У2 — У\ — полное число стандартных календарных лет между
датами д\ и с^.
Пусть, например, д\ — 14.02.96, а &2 — 27.08.99. Тогда промежу-
промежуток J от д\ до &2 разобьется на период J\ от 14.02.96 по 31.12.96,
состоящий, согласно табл. П1, из
D(Ji) =366-45 = 321 (дня),

1.6. Практическая реализация временной шкалы	81
на период 3% от 1.12.97 до 1.01.99, который содержит
1999 — 1996 = 3 (полных календарных года),
и на период J% от 1.01.99 до 27.08.99, состоящий из 238 дней. Таким
образом, согласно правилу ACT/ACT
В частных случаях промежутки 3% и J% могут быть пустыми. Так,
если обе даты лежат в пределах одного стандартного календарного
года, то оба этих промежутка пусты. Если же даты принадлежат
смежным годам, то пустым будет промежуток J^.
Схема ACT/ACT имеет так называемую короткую модификацию
для периодов J, меньших года. Это правило применяется для расчета
накопленного купона по облигациям и имеет вид
Т _ D(J)
Y '
ГДе	ГОСК	7
C65, если J — невисокосныи;
[366, в противном случае.
Напомним, что период J называется високосным, если он содержит
високосную дату. Так, период от 14.02 до 27.08 имеет длину
для невисокосного 1998 г. и
т = й = °'5328
для високосного 1996 г.
Нетрудно видеть, что использование основного правила ACT/ACT
приведет для этих примеров к таким же результатам, поскольку вы-
выбранный период лежит в пределах одного стандартного года.
Однако, если меньший года промежуток J не укладывается в пре-
пределах одного стандартного года, поскольку, например, его концы при-
принадлежат смежным годам, то применение основного и короткого прави-
правила может привести к различным результатам. Рассмотрим, например,
период J от 27.08.96 до 14.02.97. Тогда основное правило разбивает
этот период на промежуток J\ от 27.08.96 по 31.12.96, состоящий
из 125 дней, пустой промежуток J^ и промежуток J% от 1.01.97 до
14.02.97, состоящий из 44 дней. Таким образом, для периода J имеем
(поскольку 1996 г. — високосный год):

82	Гл. 1. Базовые элементы финансовых моделей
Применение короткой модификации правила ACT/ACT дает для этого
промежутка результат
Т = ^11 = 0,4630 (год),
поскольку период J не является високосным.
Замечание. Правило ACT/ACT для периодов меньших года
(при его точном применении) совпадает по определению с правилом
ACT/365 (ISDA), используемым Международной Ассоциацией Своп
Дилеров (ISDA — International Swap Dealers Association) [34].	?
Рассмотренные выше правила базировались на точной продолжи-
продолжительности в днях календарных периодов. На финансовом рынке, од-
однако, часто встречаются схемы, основанные на так называемом упро-
упрощенном или приближенном подсчете дней. Идея этих схем состоит
в «выравнивании» продолжительности всех месяцев до 30 дней. Таким
образом, в этом случае год будет состоять из 12 мес. по 30 дней, т.е.
из 360 дней. Поэтому дивизор Y в формуле
будет для этих правил равняться 360, а числитель D вычисляется
специальным образом. Простейший вариант этого правила, так назы-
называемое основное правило 30/360, описывается следующим образом.
Правило 30/360. Пусть д\ = (d\\ m\\ у\), д% = (d?, m^] уч) — Две
даты, причем д^ следует за д\. Тогда приближенное число дней между
этими датами
D(dud2) = 360 • B/2 - 2/i) + 30 • (m2 - mi) + (d2 - dx),
а продолжительность в годах
T = A
360*
Рассмотрим, например, период от 14.02.96 до 27.08.99. Тогда при-
приближенное число дней между этими датами
D = 360 • 3 + 30 • 6 + B7 - 14) = 1273,
а продолжительность в годах
Г = ^=3,5361.
Заметим, что точное число дней между этими датами равно 1291,
что существенно больше приближенного значения 1273, так что аб-
абсолютная погрешность равна 18. Однако относительная погрешность
вычисления Т по правилу 30/360 по сравнению с точным правилом

1.6. Практическая реализация временной шкалы	83
ACT/ACT будет всего 0,05%. Это, конечно, обусловлено тем, что
в приближенном методе дивизор Y, равный 360, подогнан под продол-
продолжительность «приближенного года». В частности, любой календарный
период, состоящий в точности из п календарных лет, имеет продолжи-
продолжительность в годах по правилу 30/360, также равную точно п годам.
Этот эффект подгонки использован и в описанном выше японском
правиле АСТ/365, которое не учитывает високосные даты, «приводя»
таким образом продолжительность годового периода точно к 365 дням.
Приближенное правило 30/360 появилось до создания первых вы-
вычислительных устройств и существенно экономило трудоемкость вы-
вычислительных операций в финансовой практике. Хотя сейчас с раз-
развитием вычислительной техники теоретически необходимость в упро-
упрощенных методах отпала, тем не менее, закрепившись в практике, по
традиции они используются и по настоящее время.
Основное правило имеет ряд модификаций, отличающихся от ос-
основного способом выравнивания длин месяцев. В каждом случае даты,
соответствующие последним дням длинных месяцев, преобразуются
во вспомогательные. После такого преобразования продолжительность
периода в днях (приближенная) вычисляется по основному правилу
30/360.
Приведем ниже формальное описание этих преобразований для
четырех правил, используемых профессиональными ассоциациями фи-
финансистов. Пусть д\ = (d\; т\\у\) и д^ = (с?21 т^Уъ) — две даты.
Преобразование этих дат осуществляется следующим способом.
Правило 30/360 ISDA. Если d\ = 31, то d* = 30, иначе d*=d\.
Если ^2 = 31 и d* = 30, то d\ = 30, иначе d\ = cfo.
Правило 30/360 PSA (Public Securities Associates). Если d\ = 31
или d\ — последний день февраля, то d* = 30, иначе d* = d\.
Если ^2 = 31 и d* = 30, то d\ = 30, иначе d\ = d^.
Правило ЗОЕ/360. Если d\ = 31, то d* = 30, иначе d* = d\.
Если ^2 = 31, то d\ = 30, иначе d\ = d^.
Это правило есть вариант правила 30/360 ISDA, используемое
в основном в Европе, отсюда и метка Е в обозначении правила. Оно
отличается от правила 30/360 ISDA лишь в случае, когда вторая дата
также есть 31 число. Европейский вариант всегда преобразует его в 30
число независимо от первой даты.
Последнее правило является комбинацией правил ISDA и PSA. Оно
применяется для определения накопленных процентов для текущего
купонного периода облигации.
Правило 30/360 SIA (Securities Industry Association). Если d\ =
= 31 или d\ — день купонной выплаты, являющийся последним днем
февраля, то d\ = 30, иначе d\ = d\.
Если ^2 = 31 и d\ = 30, то dl = 30, иначе d% = d^.

84	Гл. 1. Базовые элементы финансовых моделей
В табл. П2 приложения приведены примеры вычисления приближен-
приближенного числа дней по каждому из этих правил.
Во всех правилах месяц и год исходных дат остаются неизмен-
неизменными, т.е. д* = (d*; т\\у\) и д$ = (сКЦ; гад 3/2), где d* и d\ — дни,
вычисленные по одному из правил. Приближенное число дней теперь
вычисляется по преобразованным датам:
где D вычисляется согласно стандартному правилу 30/360.
Приведенные выше вычисления продолжительности периодов в го-
годовой шкале показывают нетривиальность и многообразие применя-
применяемых правил. Их применение (а также происхождение) зависит от
страны, валюты, типа финансового инструмента, профессиональной
ассоциации, соглашений, установленных эмитентом ценной бумаги,
и т. д. Так, правило АСТ/365 применяется для инструментов денеж-
денежного рынка в Великобритании и Японии (японский вариант). Правило
АСТ/360 широко применяется на денежном рынке Франции. Правило
30/360 — на рынках корпоративных облигаций и облигаций федератив-
федеративных агентств США. Европейский вариант правила ЗОЕ/360 использу-
используется на рынке евробондов, а также в Германии и Голландии 0. Правило
ACT/ACT используется казначейством США, а также на финансовых
рынках Франции и Австралии.
Таким образом, корректное применение описываемых ниже моде-
моделей в каждом конкретном случае нуждается в тщательном изучении
конкретных временных соглашений, применяемых в расчетах данным
видом финансовых инструментов. Знание общих формул не заменяет
необходимости изучения конкретных деталей. Однако ниже в нашем
изложении в большинстве случаев будем избегать конкретных услож-
усложненных схем, ограничиваясь заданием упрощенных данных, позволя-
позволяющих легко перейти к годовой шкале. Так, срок, непосредственно
заданный в месяцах, мы будем преобразовывать в годовую шкалу по
естественной формуле
гр 	 -М-
12'
где М — срок в месяцах. Срок, заданный в неделях W, можно преоб-
преобразовывать по формуле
T=w
52'
И конечно, наиболее часто в примерах будем использовать срок, за-
задаваемый непосредственно в годовой шкале, например, 2 года, 3,5 лет
и т.д.
1) В отечественной литературе использование правила АСТ/365 именуют
«английской практикой», АСТ/360, т. е. банковское правило, — «французской
практикой», а правило 30/360 — «германской практикой».

1.6. Задачи	85
Вопросы и упражнения
1.	Какие два типа финансовых величин используются в финансовом ана-
анализе? В чем состоит основное различие между ними?
2.	Опишите основные виды финансовых потоков.
3.	Укажите основные схемы актуализации финансовых событий и потоков
2-го рода.
4.	Дайте определение ренты и ее (актуализированных) вариантов. Укажите
основные параметры ренты.
5.	Какую роль играют свойства детерминированности и полной детермини-
детерминированности финансового процесса в определении преобразований финансовых
событий?
6.	Что такое финансовая схема? Опишите основные элементы финансовой
схемы.
7.	Приведите важнейшие свойства финансовых законов. Придумайте при-
примеры финансовых законов для случаев: а) когда эти свойства выполняются; б)
когда выполняются не все из этих свойств.
8.	Дайте определения отношений предпочтения и эквивалентности финан-
финансовых событий относительно заданных законов капитализации и дисконтиро-
дисконтирования.
9.	Приведите определение формальной текущей стоимости потока плате-
платежей в финансовой схеме.
10.	Дайте определение оператора относительного приведения финансового
потока. Докажите, что этот оператор обладает свойством поглощения для
любых регулярных финансовых законов.
Задачи
1. Пусть законы капитализации и дисконтирования заданы соотношениями
Являются ли эти законы однородными, стационарными, транзитивными, сопря-
сопряженными?
2. Пусть законы капитализации и дисконтирования заданы соотношениями
Определить общий финансовый закон F(c,t,p) и найти соответствующий ему
общий коэффициент дисконтирования. Найти текущее относительно р = О
значение событий: (-1,100); @,200); B,500).
3. Пусть общий коэффициент дисконтирования v(t,p) однородного финан-
финансового (общего) закона F(c,t,p) имеет вид
v(t,p) = l + (p-?J.

86	Гл. 1. Базовые элементы финансовых моделей
Будет ли этот закон транзитивным и самосопряженным? Найти приведенное
к моменту т = 1 значение потока
CF = {(-1, 100), @,200), B,500)}
относительно полюса р = 0.
4.	Вычислить срок в годах, если в месячной шкале он равен: а) 10 мес;
б)	12 мес; в) 1 мес.
5.	Дата получения кредита — 15 июня, а погашения — 20 октября того
же года. Найти точное и приближенное число дней до погашения. Найти
срок до погашения в годовой шкале по правилам: a) ACT/ACT; б) ACT/365;
в)	банковскому; г) 30/360. Предполагается, что год невисокосный.
6.	Заем сделан 16 ноября 1965 г. и возвращен 9 февраля 1966 г. Найти
срок до погашения в годовой шкале по правилам: a) ACT/ACT; б) ACT/365;
в) банковскому; г) 30/360.
7.	Для какого из перечисленных в § 1.6 правил срок в годовой шкале
между датами 3.07.89 и 14.05.91 будет: а) наименьшим; б) наибольшим?

Глава 2
ФИНАНСОВЫЙ АНАЛИЗ КРЕДИТНОЙ СДЕЛКИ
2.1. Описание и определяющие параметры
кредитной сделки
Рассмотрим одну из основных финансовых операций — кредитную
сделку — и введем ряд понятий, связанных с этой операцией.
Кредитные сделки отличаются большим разнообразием: открытие
сберегательного счета в банке, выдача банком кредита, учет векселя
и др. Конкретные условия кредитной сделки определяются в соответ-
соответствующем финансовом контракте, который служит ее юридическим
обеспечением.
В общем случае простая кредитная сделка представляет собой
однократную выдачу кредита (займа, ссуды), погашаемого одним пла-
платежом в конце срока сделки и подразумевает участие в ней двух лиц:
•	кредитора — лица, предоставляющего в долг финансовые сред-
средства (денежные средства или другие активы);
•	дебитора (заемщика, должника) — лица, получающего финансо-
финансовые средства в свое распоряжение для временного их использо-
использования.
Подразумевается также, что финансовый контракт, на основании
которого осуществляется данная кредитная сделка, обуславливает воз-
возврат дебитором полученного займа через точно определенный срок и
плату в виде процента за его использование.
Ясно, что сущность кредитной сделки, например, с позиции кре-
кредитора, состоит в получении определенной выгоды, которую можно
охарактеризовать количественно. Для этого используют следующие
основные временные и денежные (финансовые) параметры кредитной
сделки:
to — дата выдачи кредита (ссуды);
Т — период времени, на который был выделен кредит;
tx = to + T — дата возвращения (погашения) кредита;
Р — сумма кредита или основная сумма долга (Principal);
/ — плата за кредит, т. е. сумма процентов за период сделки;
S — сумма погашения (полная сумма) долга.
Временная диаграмма сделки изображена на рис. 2.1.

Гл. 2. Финансовый анализ кредитной сделки
Поскольку Р и S — мгновенные величины, то в дальнейшем мы
будем осуществлять их привязку к соответствующим моментам
времени. В данном случае
jИтак, простая кредитная сделка
связывает две суммы: величину выдан-
Рис. 2.1	ного кредита Р и его полную (вместе
с процентом) стоимость S; при этом очевидно, что
S = P + I,	B.1)
или, учитывая временную привязку,
Si = So + /.	B.2)
Поэтому из трех денежных величин независимыми являются толь-
только две. Разумеется, наиболее важная из них — процент /, который
фактически характеризует результат финансовой сделки. Необходимо
указать, что этот результат имеет различное, а, точнее, прямо про-
противоположное значение для обоих участников сделки — кредитора
и дебитора:
•	для кредитора процент / выражает доход от сделанной им инве-
инвестиции,
•	для дебитора (заемщика) процент / представляет собой стои-
стоимость кредита и должен трактоваться им как издержки (убыт-
(убытки).
Соотношение B.1) отражает финансовую сущность простейшей
кредитной сделки и называется основной формулой теории кредит-
кредитных операций.
Остановимся теперь на другом, более формализованном описании
кредитной сделки, исходя из понятия финансового потока.
В простой кредитной сделке фигурируют два финансовых собы-
события: (to, So) — выдача (получение) кредита So в момент времени to
и (ti,Si) — возврат полной суммы Si в момент времени t\ = to + Т.
Объединяя эти события, мы получим поток событий
CF = {(to,So),(tuSl)}.
Этот поток описывает динамику кредита. Долг от начальной величи-
величины So к концу периода сделки возрастает до величины Si. Относи-
Относительно начального момента to сумма Si представляет собой будущую
стоимость долга, а в момент t\ эта величина определяет наращенную
или накопленную стоимость долга. Формально простую кредитную
сделку можно описать как преобразование начальной суммы So долга
в конечную сумму Si долга. Более точно, речь идет о преобразовании
не денежных сумм, а финансовых событий, результатом которого явля-
является замещение события (to, So) событием (t\,S\). Если использовать

2.1. Описание и определяющие параметры кредитной сделки	89
оператор FV для упомянутого преобразования, то его действие можно
записать в виде
FVt[(to,So) = (tuS{).	B.3)
В дальнейшем, в тех случаях, когда не возникает неоднозначности
толкования финансовых событий, будем использовать также упрощен-
упрощенную запись равенства B.3):
FVtl(S0) = Sl.	B.4)
Таким образом, согласно равенству B.3) (или B.4)) оператор FVtx
представляет собой правило замещения финансового события (to, So)
событием (t\,S\) или капитализации суммы So в кредитной сделке.
Интерпретация кредитной сделки как некоторого преобразования
(оператора) может показаться вначале необычной. Однако именно эта
точка зрения приводит к более глубокому пониманию смысла матема-
математических моделей многих финансовых операций.
В заключение обратимся еще раз к событиям (to, So) и (t\,S\),
составляющим поток, описывающий рассмотренную выше модель дина-
динамики наращения долга. Из описания потока следует, что обе суммы So,
S\ рассматриваются как положительные. Однако в тех случаях, когда
кредитная сделка рассматривается с точки зрения полученного дохода
(для кредитора) или понесенных убытков (с точки зрения должника),
указанные выше суммы могут браться с противоположными знаками.
Так, с позиции кредитора выдаваемая им сумма So означает расход,
тогда как возвращаемая сумма S\ — приход. Поэтому кредитная сдел-
сделка, с точки зрения кредитора, может быть представлена диаграммой
(рис. 2.2), где начальная сумма берется
со знаком минус, а конечная — со зна-	~~^g	^i
ком плюс. В этом случае поток	'	'
°
называется представляющим (порождающим) потоком простой кре-
кредитной сделки (см. § 1.3).
Естественно, что с точки зрения заемщика знаки сумм в диаграмме
следует заменить на противоположные.
Выбор того или иного типа диаграммы (или, что то же самое, пото-
потока) — дело вкуса. В большинстве случаев он определяется спецификой
модели и теми целями, которые преследуются при ее анализе.
Итак, мы определили количественные параметры простейшей кре-
кредитной сделки и установили математические зависимости между ними.
Это позволяет определить доход, получаемый инвестором в результа-
результате сделки. Однако с финансово-экономической точки зрения остался
невыясненным вопрос: как оценить эффективность сделки или, как
говорят, ее доходность} Этот вопрос по существу является основным
в финансовом анализе кредитной сделки. Если бы всегда можно было
в момент заключения сделки предвидеть, какую сумму получим по за-

90	Гл. 2. Финансовый анализ кредитной сделки
вершении контракта, то имели бы наиболее простую ситуацию. В этом
случае финансовый анализ сделки минимален, а оценка ее доходности
происходит постфактум, т.е. после завершения сделки.
Однако совсем другая ситуация складывается в том случае, когда
требуется оценить доходность некоторой кредитной сделки прежде, чем
она будет реально заключена, т. е. осуществить прогноз ее эффективно-
эффективности, сравнивая, например, ее доходность с доходностями иных возмож-
возможных сделок при разных суммах кредита и сроках их погашения. Для
того чтобы осуществить этот прогноз, устанавливаются «специальные
условия сделки», предопределяющие тот или иной финансовый закон
капитализации и соответствующую финансовую схему, позволяющую
находить накопленную сумму долга для разных сроков погашения или,
в терминах гл. 1, определять состояния кредитных сделок в различные
моменты времени.
2.2. Процент, процентная ставка,
простые классы кредитных сделок
В этом разделе более подробно изучим важнейшее понятие финан-
финансовой математики — процент, тесно связанный с кредитными операци-
операциями; введем понятие процентной ставки; дадим основные определения
доходности простейшей кредитной сделки.
Слово «процент» (от лат. pro centum — «на сотню») может иметь
два следующих значения.
Первое — математическое: 1 % от некоторого числа S означает
сотую долю этого числа, т.е. он равен 0,01 • S. Так, 8% от числа 500
составляют	я
500' Т^о = 50°' °'08 = 40*
Второе — экономическое: в финансовой сфере слово «процент»
представляет собой плату (в рублях, долларах, марках и т. д.) за
использование денежных средств (кредита, ссуды и т.д.), предостав-
предоставляемых одним лицом (кредитором) другому лицу (заемщику, дебитору,
должнику), выраженную в сотых долях от суммы долга. Таким обра-
образом, экономическое значение «процента» более емкое, чем математиче-
математическое: оно констатирует факт о том, что «за долг надо платить», а также
содержит в себе количественную характеристику долга — «сколько
нужно платить».
Рассмотрим простой пример. Пусть инвестор кладет в банк на год
сумму в 7^500 под 8% годовых. Это значит, что в конце года инвестор
кроме вложенных денег получит добавочно сумму /, называемую про-
процентами по вкладу, составляющую
/ = 500- 0,08 = 40(?г).
Эта сумма представляет собой плату за предоставленные инвестором
банку средства, которыми он может распоряжаться в течение года.

2.2. Процент, процентная ставка, простые классы кредитных сделок 91
В данном случае инвестор является кредитором, т. е. лицом, дающим
деньги взаймы, а банк — должником, т.е. лицом, берущим эти деньги
и обязующимся вернуть их в положенный срок, уплатив по ним про-
проценты.
Итак, по своему определению, процент /, с одной стороны, —
денежный параметр кредитной сделки, а с другой — служит абсолют-
абсолютным показателем ее доходности. Однако ясно, что доходность кре-
кредитной сделки определяется не только величиной процента, но и тем,
какая сумма была вложена для его получения, т. е. суммой кредита Р.
Поэтому целесообразно иметь другой, так называемый относитель-
относительный показатель доходности кредитной сделки, учитывающий как
сам процент /, так и вложенную сумму S, на основе которой он был
получен.
Определение 2.1. Процентной ставкой кредитной сделки за
период [to,to~\-T] называется величина
или, учитывая временную привязку сумм сделки,
г= — = S[~So = ^-- 1.	B.6)
So	So	So
Таким образом, если I = S\ — So показывает абсолютную величину
дохода, полученного кредитором на всю сумму долга So, то процентная
ставка г указывает доход на единицу суммы кредита (одного рубля,
доллара и т.д.).
Из формул B.2), B.5) и B.6) вытекают следующие важные соотно-
соотношения:
I = Pr = Sor,	B.7)
и, кроме того,
Si = So + / = So + Sor = So( 1 + r).	B.8)
Следовательно, если известна процентная ставка сделки, то по ее
начальной сумме So можно найти все остальные финансовые парамет-
параметры сделки: проценты / и полную (накопленную) сумму долга S\.
Заметим, что и проценты /, и ставка г являются интервальными
характеристиками, т. е. они соотносятся (непосредственно связаны)
с периодом сделки. Чтобы подчеркнуть этот факт, часто пишут It
и гт, где Т — длина периода [to,t\] сделки в выбранной временной
шкале. Будем опускать индекс Т, обозначающий период сделки, если
из контекста ясно о каком периоде идет речь.
Замечание. В нашем изложении процентная ставка г, как и дру-
другие виды процентных ставок, которые будут вводиться в дальнейшем,
имеют двоякий математический смысл: в расчетных формулах они,
как правило, понимаются как сотые доли, при этом в их записи не
используется символ % (конечный результат после вычисления по

92	Гл. 2. Финансовый анализ кредитной сделки
формуле может быть равен, например, 0,05 или 0,1 и т.д.), в то
же время в тексте процентные ставки имеют уже реальный смысл
процента и фактически всегда сопровождаются символом % (например,
г = 10%). В тех случаях, когда могут быть отступления от этого пра-
правила, соответствующий смысл числового значения процентной ставки
необходимо должен следовать из контекста.	?
Пример 2.1. Пусть в момент времени to = 0 выдан кредит на сумму
So = 7^5000 сроком на Т = 2 года, по истечении которых кредитор должен
получить Si = 7^10000. Найти процентную ставку сделки.
Решение. Согласно формуле B.6), процентная ставка г в этой сделке
С0СТаВИТ	10000-5000 ,
Г = 	 = 1,
5000
т.е. г= 100%.	¦
Пример 2.2. Рассматривается простая кредитная сделка, состоящая
в выдаче 7^2000 на срок 3 года. Найти сумму погашения долга, если процент-
процентная ставка сделки составляет 60%.
Решение. В этом примере (для годовой шкалы)
So = 7г2ООО, t0 = 0, ti = 3, г = 0,6.
Согласно B.8), полная сумма (сумма погашения) долга равна
Si = 2000A + 0,6) = 3200(?г).	¦
Ставка г, определенная выше, относится ко всему периоду сдел-
сделки. На практике наиболее часто используется другой вид процентной
ставки, относящийся к некоторому выбранному базовому промежутку
времени — в экономике и финансах это обычно год, но в зависимости
от конкретных условий может быть выбран любой другой период вре-
времени. Выбор базового промежутка позволяет привести или, как еще
говорят, нормировать процентную ставку сделки.
Определение 2.2. Простая нормированная процентная став-
ставка сделки, приведенная к базовому периоду, — это отношение
г = ?,	B.9)
где Т = t\ — to — срок (длительность, период) сделки, выраженный
в единицах базового периода.
С финансово-экономической точки зрения нормированная про-
процентная ставка представляет собой для кредитора доход с едини-
единицы суммы кредита в единицу времени, а для заемщика — стоимость
единицы суммы долга в единицу времени.
Подразумеваемый в определении нормированной процентной ставки
базовый период часто выражают в форме соответствующего прилага-
прилагательного — так, говорят о годовой, месячной и других процентных
ставках, опуская, если это возможно, слова «простая» и «нормирован-
«нормированная».

2.2. Процент, процентная ставка, простые классы кредитных сделок 93
Пример 2.3. Для сделок из примеров 2.1 и 2.2 найти нормированные
ставки этих сделок.
Решение. Для примера 2.1 ставка г = 1 (т.е. 100%) относится к двух-
двухлетнему периоду Т = 2. Таким образом, простая нормированная ставка сделки
г=\= 0,5,
т. е. 50% годовых.
В примере 2.2 ставка сделки г = 0,6 (т.е. 60%) относится к трехлетнему
периоду Т = 3. Следовательно, в этом случае
<-?-•*
т. е. 20% годовых.	¦
Термин «простая» в определении нормированной ставки употребля-
употребляется для того, чтобы отличить ее от другого вида нормированных, т. е.
приведенных к базовому периоду, ставок — так называемой эффектив-
эффективной сложной процентной ставки.
Подчеркнем, что нормированная ставка, являющаяся еще одной
количественной (финансовой) характеристикой сделки, тесно связана
со всеми остальными ее характеристиками. Так, несмотря на то, что
эта ставка приведена к базовому промежутку, она, согласно B.8),
характеризует сделку в рамках ее естественного периода, т. е. проме-
промежутка [to,t\]. Сам же базовый период может выбираться безотноси-
безотносительно к периоду сделки. Принципы и цели его выбора будут подробно
обсуждаться далее. Здесь можно провести лишь некоторую аналогию
из механики.
Например, средняя скорость автомобиля, прошедшего 6 км за
10 мин, равна 36 км/ч. В таком представлении скорости базовый вре-
временной промежуток 1 ч никак не связан с реальной (естественной)
продолжительностью движения 10 мин.
Именно нормированная процентная ставка является определяющим
рыночным фактором для большинства кредитных сделок, совершае-
совершаемых в современной экономике. Пока же это просто одна из числовых
характеристик реальной или условной (планируемой) сделки.
Если нормированная ставка г известна, можно выписать ряд оче-
очевидных следствий, вытекающих из ее определения:
r = iT = i(t\ -t0),	B.10)
I = SoiT,	B.11)
Si =S0(l+iT).	B.12)
Пример 2.4. Пусть кредит на сумму 7^2000 выдан на 3 года по ставке
10% годовых. Найти проценты и сумму погашения кредита.
Решение. В условии указана годовая, т. е. нормированная ставка сделки.
В годовой шкале исходные параметры сделки имеют следующий вид:
t0 = 0, ti=3, Г = 3, 5Ь = Тг2000, г = 0,1.
Тогда проценты за три года (срок сделки) составят
7 = 2000-0,1 -3 = бООGг),

94	Гл. 2. Финансовый анализ кредитной сделки
а сумма погашения равна
Si = 2000 + 600 = 2600(?г).	¦
Ставка за период относится только к периоду сделки, нормирован-
нормированная же ставка связана с базовым периодом временной шкалы. Изме-
Изменение базового периода приводит к изменению нормированной про-
процентной ставки. Связь между нормированными простыми процентными
ставками для разных базовых периодов очень проста. Если базовый
период шкалы Т составляет к единиц шкалы Тх, то имеет место
соотношение
г1 = кг.
В частности, например, годовая ггод и месячная гмес нормированные
ставки связаны очевидным соотношением:
Таким образом, к указанным выше трем временным параметрам to,
Т, t\ и трем финансовым параметрам So, Si, /, характеризующим
простейшую кредитную сделку, добавляются еще два финансовых па-
параметра:
г — процентная ставка сделки за период [to,ti],
г — нормированная (простая) процентная ставка сделки, приведен-
приведенная к базовому периоду временной шкалы.
Из пяти финансовых параметров So и Si — величины, относящиеся
к моментам времени, остальные — /, г и г — интервальные, отно-
относящиеся к промежутку времени — периоду сделки. Эти параметры
связаны соотношениями, которые являются либо собственно опреде-
определениями этих параметров — формулы B.5), B.6) и B.9), либо их
непосредственным следствием — формулы B.7),B.8) и B.10)—B.12).
В совокупности эти параметры и связывающие их соотношения
составляют то, что называют математической моделью простейшей
кредитной сделки.
Графическая иллюстрация этой модели представлена на временной
диаграмме на рис. 2.3.
Заметим, что поскольку здесь речь идет о модели простой кредит-
кредитной сделки, то все временные и финансовые характеристики задаются
в модельных шкалах: временной Т
S0=I*^JiIjJ^^^Si=P+I и денежной М. Для применения этих
,	,	моделей в практических случаях необ-
_t + т ходимо (см. § 1.6) преобразовать ис-
исходные данные. Так, в случае выбран-
р 2Q	нои годовой (модельной) шкалы Т
продолжительность периодов в днях
необходимо выразить в годовых единицах (в годах). В § 1.6 подробно
описаны применяющиеся на практике способы такого преобразования.
Заметим, что нет никакого смысла переписывать, как это делается
во многих учебниках, теоретические формулы B.5)—B.12) в практиче-

2.2. Процент, процентная ставка, простые классы кредитных сделок 95
ские. Это лишь усложняет формулы ненужными деталями. Так, фор-
формула B.11) при использовании правила АСТ/365 для преобразования
продолжительности периода в днях в годовые единицы и выражения
для величины г в процентах (%) будет выглядеть как
т о К%) D
1 Ь
1 ~ Ь° ' ТОО ' 365'
где D — срок в днях. Появление дополнительных констант 365, 100
лишь затемняет логическую структуру формулы для накопленных за
период Т процентов. Все, что нужно для применения базовых фор-
формул B.5)—B.12) — это сделать необходимые преобразования в соот-
соответствии с принятыми в конкретной сделке соглашениями.
Пример 2.5. Пусть банк выдал 14.02.96 кредит на сумму 7^600000 под
10% годовых. Дата погашения кредита — 27.08.97. Найти проценты и сумму
погашения кредита, если используется правило АСТ/365.
Решение. В соответствии с правилом АСТ/365 найдем срок сделки
в годах. Поскольку, согласно табл. П.1, номера начальной д\ и конечной д^ дат
сделки
N(di) =45, N(d2) = 239,
то число дней между датами
D = C66 - 45) + 239 = 560.
Отсюда получаем
Г=|^= 1,5342 (год)
и, следовательно, согласно формулам B.11) и B.12) имеем
/ = 600000 • 0,1 • |§ = 92054,79(?г)
365
и
Si = 600 000 + 92054,79 = 692 054, 79(?г).	¦
На практике срок инвестирования выражался в годах, месяцах,
днях и т. д. Возможно также задание этого срока календарными датами
первого и последнего дней. В таком случае, для того чтобы восполь-
воспользоваться формулой простых процентов, нужно в качестве срока взять
отношение числа дней ссуды к числу дней в году, т. е.
При этом возможно несколько вариантов расчета.
Число дней в году может быть принято равным 360 дням, тогда
проценты называются обычными, или 365 дням, тогда проценты назы-
называются точными, т. е.
1о6 ~ 360
т -JL
ТО4 365'

96	Гл. 2. Финансовый анализ кредитной сделки
Очевидно, что при фиксированной годовой процентной ставке обыч-
обычные проценты больше точных. Кроме того, существуют два способа вы-
вычисления числа дней для срока инвестирования. Наиболее распростра-
распространен подсчет точного числа дней указанного срока, исключая первый
или последний день. Точное число дней можно вычислить, используя
табл. П.1 и П.2, в которых приведен порядковый номер каждого дня
в году.
Пример 2.6. Найти точное число дней между 5 марта и 29 сентября (год
невисокосный).
Решение. По табл. П.1 находим, что 28 сентября — 271-й, а 5 марта —
64-й дни года. Тогда число дней между этими датами равно 271 — 64 = 207. ¦
При другом подходе подсчитывается приближенное число дней,
исходя из полного числа месяцев в сроке и числа дней (остатка)
неполного месяца. При этом каждый месяц считается равным 30 дням.
Пример 2.7. Найти приближенное число дней между 5 марта и 28 сен-
сентября.
Решение. Поскольку между этими датами укладывается б мес. (от
5 марта до 5 сентября) и остается еще 23 дня (от 5 сентября до 28 сентября),
то число дней между этими датами равно б • 30 + 23 = 203.	¦
Итак, учитывая точные и обычные проценты, а также точное и при-
приближенное число дней для срока инвестирования, получим четыре
метода вычисления простых процентов.
1°. Обычные проценты с точным числом дней (АСТ/360 — банков-
банковское правило).
2°. Точные проценты с точным числом дней (АСТ/365).
3°. Обычные проценты с приближенным числом дней C0/360).
4°. Точные проценты с приближенным числом дней (на практике не
используются).
Наиболее часто применяется первый метод, называемый банков-
банковским правилом, реже — второй и третий, и почти никогда —
четвертый.
Временные параметры и начальную стоимость кредита So = Р от-
относят к исходным, или первичным, параметрам кредитной сделки. При
установлении конкретных значений первичных параметров превалиру-
превалирующая роль отдается кредитору. Так, величина кредита определяется
наличием у кредитора свободных денежных средств, а срок — про-
промежутком времени, пока эти средства являются свободными, т. е. не
будут использованы кредитором. Значения этих параметров во многих
случаях могут устанавливаться кредитором произвольно. Например,
вкладчик сам решает какую сумму и на какой срок он хотел бы
вложить в банк.
Остальные финансовые параметры относятся к вторичным или
производным параметрам сделки. С одной стороны, они могут зависеть
от первичных параметров — так, проценты по вкладу, естественно, тем

2.2. Процент, процентная ставка, простые классы кредитных сделок 97
больше, чем больше величина вклада и его срок. С другой стороны,
они определяются не только первичными параметрами, но и другими
факторами. В частности, различные банки привлекают вклады под
различные процентные ставки, так что, например, на трехмесячный
вклад в 7^ 10000 в разных банках будут начислены разные проценты.
Считая первичные параметры заданными, легко установить, что
каждый из четырех вторичных параметров определяет три остальных.
Таким образом, для полного описания кредитной сделки, по крайней
мере, один из вторичных параметров должен быть явно указан. В при-
приведенных выше формальных определениях задавалась сумма процен-
процентов / (или конечная сумма долга), через которую выражались все
остальные параметры. Такой подход естествен при анализе завершен-
завершенных (реализованных) сделок, в которых все денежные суммы фик-
фиксируются в бухгалтерских записях. Тогда, например, зная начальную
и конечную суммы долга, можно найти сумму процентов и процентную
ставку (общую и нормированную). Вычисленная таким образом ставка
называется реализованной. Кредитор в этом случае действительно
реализовал такую доходность, проведя сделку.
Хотя каждая сделка, в случае ее удачного завершения, становит-
становится реализованной, прежде чем осуществиться, она была планируе-
планируемой. Планируемые (ожидаемые сделки) играют, пожалуй, основную
роль в применении математических методов в финансовой практи-
практике. У кредитора и должника появляется возможность выбора между
различными вариантами. И как раз здесь на этапе предварительного
анализа роль математической модели представляется особенно важ-
важной, поскольку позволяет оценить эффективность различных вариантов
сделки и выбрать оптимальный. В этой ситуации большую и даже,
можно сказать, определяющую роль играет нормированная процент-
процентная ставка. Именно она, вместе с первичными параметрами, не только
позволяет получить полное представление о сделке, но и дает возмож-
возможность построения корректных математических моделей для анализа
кредитных сделок.
Почему же именно нормированная процентная ставка является
определяющим вторичным параметром кредитных сделок при их опи-
описании? Ниже мы попытаемся дать достаточно полный ответ на этот
вопрос. Однако для этого нам потребуется более глубокий экономиче-
экономический анализ кредитных операций.
В этой связи прежде всего остановимся на одном важном свойстве
кредитных сделок — их множественности.
Единичная (индивидуальная) завершенная или потенциальная сдел-
сделка с формальной точки зрения есть просто набор из 8 чисел, связанных
уравнениями B.5)—B.12). Хотя единичная сделка может представлять
интерес для бухгалтера, ревизора или компетентных органов, она вряд
ли может служить объектом содержательной математической модели,
так как из-за одной сделки, вообще говоря, нет смысла «городить
огород». Построение математической модели финансовых операций
4 П. П. Бочаров, Ю.Ф. Касимов

98	Гл. 2. Финансовый анализ кредитной сделки
осмысленно лишь в случае, когда они имеют массовый характер и при
этом обладают определенными близкими или схожими признаками.
Для кредитных сделок оба эти фактора имеют место.
В самом деле, кредитная сделка едва ли не самый распространен-
распространенный вид финансовой операции. Вкладчик, помещая деньги в банк на
определенный срок, становится кредитором банка, а банк — должни-
должником. Банк, в свою очередь, передает привлеченные от вкладчиков сред-
средства промышленным предприятиям, фирмам, другим банкам, а также
физическим лицам в качестве кредита. Таким образом, банки и другие
кредитные учреждения являются посредниками на одном из самых
значительных секторов финансового рынка — кредитном рынке.
Основным видом товара, обращающимся на этом рынке, являются
кредитные ресурсы, представляющие собой временно свободные де-
денежные средства частных лиц, предприятий, государства и др.
Главные участники этого рынка — юридические и физические лица,
обладающие избытком (свободных) денежных средств, и юридические
и физические лица, испытывающие недостаток средств. Первые созда-
создают предложение, а вторые — спрос на кредитном рынке. Структура
предложения, т. е. величина свободных средств и сроки, на которые
они могут быть предоставлены, значительно варьируется у различных
кредиторов. Весьма разнообразна и структура спроса, т. е. величина
требуемых заемщиками средств, и сроки, на которые эти средства им
необходимы.
Соответствие между спросом и предложением за счет установления
прямого контакта с заключением договора между кредитором и за-
заемщиком возможно, если объемы и сроки предлагаемых и требуемых
средств совпадают, а также доход кредитора (т. е. проценты) является
приемлемой ценой для заемщика. Такое бывает достаточно редко, по-
поэтому так важна роль банков как основных посредников кредитного
рынка, которые, привлекая свободные средства кредиторов в виде вкла-
вкладов (различной величины и срочности), формируют совокупный пул
денежных средств — пассивы банка — и передают их в виде кредитов
(также различной величины и срочности) своим заемщикам, формируя
активы банка.
Аккумулирование привлеченных банком средств позволяет преодо-
преодолеть упомянутое выше несовпадение структуры спроса и предложения
на кредитном рынке. Банки, связывая основных агентов кредитного
рынка, получают прибыль благодаря тому, что платят в целом вклад-
вкладчикам меньше, чем взимают с заемщиков. Конкурируя друг с другом,
они стремятся привлечь, с одной стороны, как можно большее число
вкладчиков, поощряя вложение ими как можно больших средств на
возможно большие сроки, причем стремясь заплатить за это как можно
меньше процентов. С другой стороны, банки хотят выдать как можно
больше кредитов, стремясь ради уменьшения риска уменьшить их раз-
размер и сроки на одного заемщика, требуя при этом как можно большие
проценты за предоставленные кредиты.

2.2. Процент, процентная ставка, простые классы кредитных сделок 99
Будучи товаром, кредитные ресурсы имеют свою цену. Обычно,
говоря о цене товара, подразумевают цену некоторой единицы товара,
которая может исчисляться в штуках, килограммах, метрах и т. д. В тех
случаях, когда в потреблении товара играет роль время, например,
аренда, поставка электроэнергии, труд и т.д., в единице товара время
может явно учитываться — так, говорят о киловатт-часах, месячной
заработной плате и т. д. Как уже упоминалось, первичными характе-
характеристиками кредита являются его (основная) сумма и срок, на кото-
который он выдается. Поэтому роль единицы кредитных ресурсов играет
денежная единица за единицу времени. Тогда для нормированной
процентной ставки
при Р = 1 и Т = 1 имеем г = /.
Таким образом, нормированная процентная ставка г представляет
собой стоимость единицы кредитных ресурсов в единицу времени
(для заданной денежной и временной шкалах). Например, 15%-я годо-
годовая ставка по валютному вкладу означает, что за каждый привлечен-
привлеченный на один год доллар банк должен заплатить вкладчику 15 центов.
Как известно, равновесная цена товара на рынке складывается
в результате взаимодействия спроса и предложения. Механизм тако-
такого взаимодействия поддерживается, с одной стороны, конкуренцией
между продавцами (кредиторами), а с другой стороны, конкуренцией
между покупателями (должниками).
Конкуренция банков и их клиентов (вкладчиков и заемщиков),
создавая активный и динамичный рынок, устанавливает равновесную
цену для привлеченных средств — ставку по депозитам, или ставку
привлечения, и предлагаемых средств — ставку по кредитам, или
ставку размещения. Например, для банка ставка привлечения гприв
означает стоимость привлекаемых ресурсов, тогда как ставка разме-
размещения гра3м — доходность, или эффективность, их использования.
Естественно, что для успешной работы и получения прибыли доходы
должны превосходить расходы, т. е. ставка размещения должна быть
выше ставки привлечения.
Как показывает практика, по крайней мере для краткосрочных
кредитных сделок (сроком до года), осуществляемых на рынке, имен-
именно простые нормированные годовые ставки обладают определенной
устойчивостью, т. е. в условиях стабильного рынка они приближа-
приближаются к некоторым «равновесным» (или средним) значениям, допуская
в каждом конкретном случае лишь незначительные колебания вокруг
этих значений. И чем ближе временные и финансовые и другие ха-
характеристики сделок, тем меньше это колебание относительно средних
ставок для этой группы сделок. Например, конкретный банк привле-
привлекает депозиты на близкие сроки и близкие суммы по одной годовой
ставке.

100	Гл. 2. Финансовый анализ кредитной сделки
Заметим, что наличие равновесной цены — процентной ставки —
есть эмпирический, а не умозрительный факт. Именно он позволяет
говорить об определяющей роли нормированной процентной ставки при
построении математической модели кредитных сделок.
Таким образом, из всего разнообразия простейших кредитных сде-
сделок мы можем выделить некоторые группы сделок, близкие между
собой по финансовым и временным характеристикам, и строить мате-
математические модели уже для таких групп.
Для формализации сказанного назовем две кредитные сделки
просто эквивалентными, если их нормированные (простые) процент-
процентные ставки совпадают. Определив понятие простой эквивалентности,
разобьем реальные (осуществленные) и потенциальные (планируемые)
сделки на группы или классы эквивалентности. Тогда класс попарно
просто эквивалентных кредитных сделок логично назвать простым
классом.
Таким образом, все сделки простого класса имеют одну и ту
же нормированную ставку и, следовательно, удовлетворяют ра-
равенствам B.10)-B.12). Общую для всего класса нормированную
процентную ставку назовем ставкой класса или определяющей
ставкой.
Заметим, что в отличие от первоначального определения нормиро-
нормированной ставки, которая была привязана к сделке, определяющая ставка
уже относится (привязана) не к одной сделке, а к целому классу
сделок. В этом смысле она становится для отдельной сделки внешним,
независимым параметром.
Итак, мы выделили и формализовали объект математической мо-
модели — простые классы сделок. Выше мы уже фактически показали,
откуда в реальной финансовой практике берутся простые классы сде-
сделок. Обратимся еще раз к этой проблеме и проанализируем ее уже
с новых позиций.
Напомним о массовости кредитных сделок в современной эконо-
экономике. Рассмотрим, по-прежнему, в качестве показательного примера
работу банков, осуществляющих тысячи и десятки тысяч депозитных
и кредитных сделок в год.
Для депозитных сделок величина вклада и срок сделки определяет-
определяется вкладчиком банка, тогда как банк устанавливает депозитную норми-
нормированную ставку, например, годовую. В этом случае все вклады, суммы
и сроки которых лежат в пределах определяемого руководством банка
диапазона, принимаются под фиксированную процентную ставку, т. е.
все сделки такого вида эквивалентны и составляют один простой класс.
Аналогичная картина складывается и для выдаваемых банком кре-
кредитов с той лишь разницей, что в этом случае подход более инди-
индивидуальный, поскольку кроме величины и сроков кредита необходимо
учитывать кредитоспособность и надежность заемщика. Для кредитов
с разной степенью риска, даже при одинаковых сумме и сроке, банк
использует различные ставки, требуя от более рискованных заемщиков

2.3. Дисконт, учетная ставка, простые дисконтные классы	101
более высокую плату, т. е. более высокую нормированную ставку по
кредиту. В этом случае более индивидуализированный подход опреде-
определяется существенными различиями кредитоспособности заемщиков.
В тех случаях, когда условия более стандартизованы, фиксация
процентных ставок является общепринятым приемом. Примером этого
может служить межбанковский рынок сверхкраткосрочных (от одного
дня до недели) кредитов, когда банки-дилеры, активно работающие на
этом рынке, объявляют (фиксируют) две ставки: ставку привлечения
и ставку размещения.
Конечно, со временем ставки даже по сделкам с совпадающими
базовыми характеристиками (величиной и сроками) могут меняться,
поскольку срок и предложение на кредитном рынке зависят от кон-
конкретных экономических условий.
Суть изложенного состоит в том, что в реальной практике на опре-
определенных сегментах кредитного рынка, прежде всего краткосрочного,
называемого также денежным рынком, осуществляется достаточно
большое число постоянно возобновляемых простых классов кредитных
сделок.
Часто определенный сегмент (сектор) кредитного рынка можно
трактовать как отдельный простой класс. В этом случае определяющая
процентная ставка класса называется процентной ставкой данного
сегмента {сектора) кредитного рынка. Так, можно говорить, напри-
например, о ставке межбанковских кредитов и т. п.
В финансовой литературе часто говорят о процентных ставках во-
вообще, т.е. для рынка в целом. Это не всегда корректно. Как правило,
в этом случае имеется ввиду либо некоторый сегмент рынка, либо
некоторая усредненная характеристика рынка в целом, например, сред-
средневзвешенная (по объемам) процентная ставка, полученная по ставкам
отдельных секторов финансового рынка. К интерпретации термина
«процентная ставка» нужно относиться с осторожностью, всегда, по
возможности, проясняя контекст, в котором он используется.
2.3. Дисконт, учетная ставка,
простые дисконтные классы кредитных сделок
Вернемся снова к простой кредитной сделке. Начальная сумма
долга (сумма выданного кредита) Р — первичный параметр. Она играет
роль базы для вычисления остальных параметров. Так, в формуле для
процентной ставки
г=1р
проценты за кредит соотносятся с основной суммой долга Р, получае-
получаемой должником в начале сделки, т.е. Р = Sq. Оценивая таким образом

102	Гл. 2. Финансовый анализ кредитной сделки
доходность сделки, кредитор соотносит полученный доход (прибыль)
с инвестируемым капиталом. С другой стороны, формулы
I = Pr = Sor
5i=50(l+r)
выражают тот факт, что проценты начисляются на исходную сумму So
и по отношению к этой сумме полная сумма S = S\ в момент времени
tx = to + Т является увеличенной (наращенной), а проценты / дают
величину прироста.
Однако кредитную сделку можно описать, взяв в качестве исходно-
исходного (базового) параметра полную (конечную) сумму долга S = S\.
О целесообразности и практическом применении этого подхода
будет сказано чуть ниже, сейчас же этот подход будет рассмотрен
с формальной точки зрения.
Определение 2.3. Учетной ставкой сделки называется вели-
величина	Q _ р
w = ^-.	B.13)
Таким образом, в отличие от определения процентной ставки
в определении учетной ставки сумма процентов соотносится не с на-
начальной, а с (конечной) полной суммой долга.
Заметим, что 1 = 1? — интервальная величина, относящаяся к пе-
периоду времени Т, и нет какого-либо естественного (математик сказал
бы «канонического») правила ее соотнесения к одной из сумм So и Si.
Раньше в качестве базы соотнесения мы брали So, а теперь берем S\.
С произволом такого рода, связанного с разнотипностью (мгновенной
и интервальной) рассматриваемых величин, мы будем неоднократно
сталкиваться в дальнейшем.
Для того чтобы подчеркнуть тот факт, что именно конечная сумма
долга является отправной, процент / в этом случае получил другое
название. А именно, разность
D = S{ - So
называется также дисконтом сделки (по отношению к конечной сум-
сумме Si).
Конечно, численно проценты и дисконт сделки совпадают, различие
заключается в выборе отправной точки и направления движения. Если
исходным значением является начальная сумма долга So, то переход
от нее к Si означает увеличение суммы, а проценты, как уже от-
отмечалось, — прирост. С позиции конечной суммы долга Si переход
к So означает уменьшение суммы, а дисконт дает величину этого
уменьшения или скидку.
Обращаясь снова к понятию финансовых событий, мы имеем, что
в данном случае событие (t\,S\) — платеж полной суммы долга Si

2.3. Дисконт, учетная ставка, простые дисконтные классы	103
в момент времени t\ — замещается событием (to, So) — платежом So
в момент времени to-
Содержательный смысл такого перехода очень прост. Найти вели-
величину So для заданного события (t\,S\) означает ответить на вопрос:
какую сумму должен выдать кредитор в момент времени to, чтобы
взамен получить в момент времени t\ сумму S\? Естественно, что при
этом процентная (или учетная) ставка кредита считается заданной.
Величина So, понимаемая в этом контексте, называется текущей (сего-
(сегодняшней, настоящей) стоимостью (или текущим значением) суммы S\
(точнее, события (t\,S\)). Этот факт записывается в виде
S0 = PVto(S1).	B.14)
На самом деле в равенстве B.14) речь идет не о суммах, а о событиях.
Более корректна запись
(t0,S0) = PVto(ti,Si).	B.15)
Тем не менее в дальнейшем все же будем пользоваться общепринятой
сокращенной записью B.14).
Оператор PVto перехода от будущего события (t\,S\) к текущему
(настоящему) событию (to, So) называется оператором дисконтирова-
дисконтирования. Поэтому сумму So называют также дисконтированным значени-
значением суммы S\.
Вернемся вновь к формуле B.13) и выпишем следующие равенства,
немедленно вытекающие из нее:
B.16)
B.17)
B-18)
So I — w
Учетная ставка w сделки относится ко всему периоду (сроку) сдел-
сделки и точно так же, как процентная ставка, может быть нормирована,
т. е. приведена к базовому периоду.
Определение 2.4. Нормированной простой учетной ставкой
сделки, приведенной к базовому периоду, называется величина
d=^,	B.19)
где Т = t\—to — срок сделки в единицах базового периода.
Так же, как и для процентной ставки, базовый период, участвую-
участвующий в определении нормированной учетной ставки, будет присутство-
присутствовать в качестве соответствующего прилагательного. При этом слова
«простая» и «нормированная», как правило, опускаются (например,
«годовая учетная ставка», «месячная учетная ставка»).

104	Гл. 2. Финансовый анализ кредитной сделки
Зная нормированную ставку и основную или полную сумму долга,
легко найти все остальные параметры сделки:
w = dT,	B.20)
I = D = SidT,	B.21)
S0 = Sl(\-dT),	B.22)
S> = ^,	B.23)
г = т^.	B.25)
Естественно, что учетная и нормированная учетная ставки могут
быть выражены через процентную и нормированную процентную став-
ставки сделки. Так, имеют место равенства
TT7
К формулам B.24), B.25) и двойственным им формулам B.26),
B.27) необходимо подходить с осторожностью. Следует помнить, что
нормированные ставки г, d и срок Т должны быть согласованы, т. е.
срок должен обязательно выражаться в единицах базового периода,
к которому приводятся процентная и учетная ставки сделки.
Не менее существенно и то, что формулы B.25) и B.27) для
нормированных процентной и учетной ставок зависят от срока сдел-
сделки. Именно поэтому мы в приведенный выше список не включили
часто приводимые в учебниках по финансовой математике «сбивающие
с толку» формулы
d
г =
1 -
d =
1+г'
которые получаются из формул B.25) и B.27) при Т = 1. Эти формулы
верны только для сделок с единичным сроком. Изменение срока
меняет процентную ставку при неизменной учетной ставке и учетную
ставку при неизменной процентной.
Пример 2.8. Пусть кредит выдан на б мес. под 10% годовых. Найти
учетные ставки за период сделки и нормированные — месячную и годовую.

2.3. Дисконт, учетная ставка, простые дисконтные классы	105
Решение. По условию ггод = 0,1. Тогда по формуле B.26), учитывая, что
Т = 1/2 года, имеем
w = °Л'1/21 = 0,0476
или 4,76%.	¦
Годовую учетную ставку можно найти либо по определению:
,	w 0,0476 глглслсо
drOA = ? = -щ- = 0,0952,
т.е. 9,52%, или же по формуле B.27):
^од = 1+^°д т = °Д ! = 0,0952,
1 ~Т ^год ' -L	1 + 0 1 • —
' 2
т.е. те же 9,52%.
Месячная учетная ставка будет равна
w 0,0476 nm7Q
«мес = f = —б— = 0>0079,
или 0,79%. Здесь Т = 6, так как базовый период равен месяцу и срок
должен быть выражен в месяцах. Заметим, что для использования
формулы B.27) в этом случае необходимо было бы в качестве i рас-
рассматривать месячную процентную ставку:
_ ^од _ ОД
We- 12 - 12-
Тогда	^
^мес = *мес т =	^р- = 0,0079.
1 + гмес 'Г	1 i 2ii 6
12
Таким образом, описание сделки с помощью процентной ставки
полностью симметрично ее описанию на основе учетной ставки. Раз-
Различие между ними состоит в выборе точки отсчета или, точнее говоря,
базового финансового события. В процентной схеме таким является
начальное (to, So), а в учетной — конечное (t\,S\) события.
Введенное выше несколько формально понятие учетной ставки име-
имеет естественную интерпретацию. Она основана на временном сдви-
сдвиге момента выплаты процентов. Рассмотрим эту интерпретацию по-
подробнее.
В нашем исходном описании простой кредитной сделки предпола-
предполагалось, что в начальный момент времени to сделки должник полу-
получает в кредит основную сумму долга Р = So, а в конце t\ периода
сделки возвращает эту сумму и выплачивает проценты I = 1т за
период сделки. Таким образом, ключевым здесь является тот факт, что
проценты выплачиваются в конце периода сделки. Однако проценты

106	Гл. 2. Финансовый анализ кредитной сделки
являются с финансово-экономической точки зрения не фондовой, т. е.
относящейся к моменту времени, а интервальной характеристикой, т. е.
величиной, относящейся к некоторому промежутку времени.
Как отмечалось в § 1.2, актуализация такой величины в виде кон-
конкретного платежа зависит от конкретных условий финансовой сделки.
Таким образом, проценты могли быть выплачены не только в конце
срока, а в начале, конце, середине периода или даже в виде серии
платежей. Последний случай более подробно рассмотрим в гл. 5, по-
посвященной обобщенным кредитным сделкам. Здесь же отметим лишь
авансированную схему, т. е. схему, при которой проценты выплачива-
выплачиваются авансом в начале срока. В специальной литературе проценты,
выплачиваемые в конце срока, называются декурсивными, постнуме-
рандо или процентами на сто, а проценты, выплачиваемые в начале
срока, — антисипативными, пренумерандо или процентами со ста.
Мы будем использовать термин «авансированные проценты», как более
простой и указывающий на суть дела.
Рассмотрим подробнее сделку с авансированной выплатой процен-
процентов. В этом случае должник берет (в момент to) в долг сумму Р —
сумму кредита. Однако проценты теперь должны быть выплачены
немедленно. Пусть сумма процентов в этой сделке равна /. Это значит,
что на самом деле должник реально получает не сумму Р, а меньшую
сумму
So = Р - I.
Следовательно, по отношению к сумме кредита Р выданная сум-
сумма So меньше ее на величину /, так что реально / есть не что иное, как
дисконт D, т. е. скидка с (основной) суммы долга Р, которая в этом
случае становится возвращаемой суммой S\ долга. Представляющий
поток сделки в этом случае будет иметь вид
Если теперь от абсолютных (денежных) характеристик (сумм) сдел-
сделки перейти к относительным (ставкам), то, определяя ставку сделки
как отношение авансом выплаченных процентов / к сумме кредита, т. е.
как величину I/P, получим, что эта характеристика есть в точности
учетная ставка w за период сделки.
Так, если сумма годового кредита Р = 7^100000, а стоимость кре-
кредита равна 10% годовых, выплачиваемых авансом, то должник должен
немедленно выплатить из суммы кредита проценты
/ = o,i • 100000= юооо(тг),
так что реально на руки он получает лишь сумму So
So = 100000 - 10000 = 90000(?г).

2.4. Краткосрочные долговые обязательства	107
Вернуть же в конце года он, естественно, должен взятую в долг сумму
sx = p= юоооо(тг).
Нормируя авансированную ставку w, получим нормированную учет-
учетную ставку сделки.
В приведенной интерпретации совершенно естественным выглядит
тот факт, что ставка за кредит вычисляется как отношение величины
выплачиваемых процентов / к основной сумме долга Р. В обычной
схеме, т. е. с выплатой процентов в конце срока, основная сумма
долга Р полностью выдается в начале срока, т.е. Р = So, и поэтому
ставка за период интерпретируется как процентная ставка. В случае
же авансированных процентов в начальный момент времени выпла-
выплачивается меньшая (дисконтированная) сумма Sq, тогда как основная
сумма долга Р теперь выплачивается в конце срока, т. е. Р = S\
и ставка сделки естественным образом будет интерпретироваться как
учетная ставка. Заметим, что, в конечном счете, с формальной точки
зрения мы имеем лишь две реально выплачиваемые суммы (т. е. два
фактических события): сумму So — выданного кредита, и S\ — сумму
его погашения. Доход с точки зрения кредитора или расход с точки
должника есть разность S\ — So. Когда считать эту сумму выплаченной
и к какой базе (т.е. к So или S\) ее относить, вообще говоря, дело
вкуса. Реально для сделки обе ставки, как процентную, так и учет-
учетную, легко найти одновременно. Это лишь взаимно-дополнительные
относительные (в отличие от абсолютных, денежных) характеристики
сделки. Однако на практике имеется естественным образом возникаю-
возникающая асимметрия, обусловленная конкретным видом сделки.
Кредитные сделки обычно воплощаются в виде сделок со специаль-
специальными финансовыми инструментами — ценными бумагами. Одной из
характеристик этих ценных бумаг является их номинал F, по смыслу
совпадающий с основной суммой долга. При этом в так называемых
процентных бумагах этот номинал играет роль выданной суммы кре-
кредита, т.е. So, тогда как в дисконтных бумагах он играет роль суммы
погашения Si. Поэтому в сделках с дисконтными бумагами учетная
ставка появляется столь же естественно, как процентная ставка в про-
процентных бумагах или в банковских депозитах.
2.4. Краткосрочные долговые обязательства
В этом параграфе более подробно рассмотрим описание кредит-
кредитных сделок с некоторыми простейшими финансовыми инструмента-
инструментами — краткосрочными долговыми обязательствами. Краткосрочные
долговые обязательства — один из распространенных видов ценных
бумаг, обращающихся на так называемом денежном рынке (money
market). Денежный рынок — это рынок краткосрочных ценных бумаг
со сроком обращения не больше года. Наиболее типичными пред-

108	Гл. 2. Финансовый анализ кредитной сделки
ставителями таких ценных бумаг являются депозитные сертификаты
и векселя.
До сих пор наши определения процентных и учетных ставок (за
период и нормированных) были привязаны к отдельным сделкам. Это
ставки именно сделок, а не класса. Для отдельных сделок процент-
процентная или учетная ставка (за период и нормированная) — просто еще
одним параметр. Выше отмечена важная роль процентной ставки как
регулятора кредитного рынка. Эта роль связана с массовостью кре-
кредитных сделок. Существуют ли на практике классы сделок, в которых
определяющей является учетная ставка? Оказывается, такой класс
сделок действительно существует. Он тесно связан с наличием, во-
первых, специальных дисконтных долговых инструментов и, во-
вторых, с операцией учета векселей. В этом параграфе мы крат-
кратко коснемся роли процентной и учетной ставок для обращающих-
обращающихся долговых обязательств — одного из видов финансовых инстру-
инструментов.
Кредитная сделка может быть реализована в виде прямого кре-
кредитного договора (контракта) между двумя сторонами (кредитором
и заемщиком). Такой контракт на все время своего действия нераз-
неразрывно связан с заключившими его сторонами и является, вообще го-
говоря, необращающимся долговым обязательством. Получение пред-
предприятием кредита в банке, оформление депозитного договора между
вкладчиком и банком — примеры таких контрактов. Однако во многих
случаях кредитная сделка осуществляется посредством эмиссии (вы-
(выпуска) и продажи обращающихся долговых обязательств. В отличие
от прямого контракта эти обязательства представляют собой ценные
бумаги, которые относительно легко могут менять своих владельцев.
Если это именная ценная бумага, т. е. ее владелец в каждый момент
явно указан (в самой бумаге), то обращение осуществляется с помо-
помощью определенного механизма передачи прав. Если же это ценная
бумага на предъявителя, то обращение ее на рынке осуществляется
свободной куплей/продажей.
Когда кредитная сделка представлена долговым обязательством —
ценной бумагой, то основные параметры сделки содержатся в ней
в качестве обязательных реквизитов. Так, начало сделки отмечается
датой эмиссии, конец — датой погашения. Финансовые параметры
устанавливаются специфическим для каждого вида долгового обяза-
обязательства образом.
В так называемых дисконтных ценных бумагах обычно фиксируется
полная сумма (сумма погашения) долга. При погашении обязательства
его владелец получает от эмитента указанную сумму. Доход владель-
владельца обязательства (инвестора) образуется за счет того, что покупка
обязательства осуществляется по цене ниже суммы погашения, т. е.
в процессе обращения дисконтная ценная бумага продается с дискон-
дисконтом (скидкой). Фиксированная полная (возвращаемая) сумма долга —

2.4. Краткосрочные долговые обязательства	109
основной финансовый параметр дисконтных ценных бумаг, часто назы-
называемый номиналом.
Наиболее распространенным примером дисконтных ценных бумаг
являются векселя. Нормативные (юридические) характеристики вексе-
векселя и условия его обращения регламентируются специальным законо-
законодательством. Имеются различные типы векселей, например, простые
и переводные. Отвлекаясь от специфических особенностей различных
видов, в рамках математической модели можно описать вексель его
реквизитами (обязательными параметрами). Вексель характеризуется:
•	номиналом — F (Face Value),
•	датой эмиссии — to,
•	датой погашения — t\ или сроком обращения — То.
В этом описании векселя никаких процентных ставок не указыва-
указывается. В некоторых разновидностях векселей задание ставки подразуме-
подразумевается [25]. Однако в классическом случае это чисто дисконтный ин-
инструмент, содержащий всего один финансовый параметр — номинал F,
который всегда является суммой погашения. Другими словами, именно
эту сумму в день погашения t\ получит владелец векселя, купивший
его по некоторой (естественно меньшей, чем номинал) цене Р, либо
в день эмиссии, либо в некоторый другой день до даты погашения.
В финансовой практике многих стран широко распространен еще
один вид дисконтных ценных бумаг, весьма похожих на векселя,
эмитент которых — правительство (обычно министерство финансов
или казначейство). В США эти краткосрочные дисконтные бумаги
так и называются Казначейскими векселями (Treasure Bills). В нашей
стране они известны под названием ГКО (государственные краткосроч-
краткосрочные облигации). Их эмитентом является Министерство финансов РФ.
Номинал ГКО составляет 1ZI000. По этой цене облигация погашается.
Инвесторы покупают ГКО на финансовом рынке (точнее, на рынке
ГКО) по цене, меньшей номинала. На рынке цена ГКО задается в виде
курса (или котировки) на данный момент времени (текущий курс),
который выражается в процентах от номинальной стоимости облига-
облигации. Так, курс 75 означает, что цена (в рублях) составляет 7^750.
В терминах котировок учетная ставка (в %) представляет собой просто
разность между номиналом A00) и текущим курсом (Q).
В процентных бумагах [26, 27] обычно фиксируются основная
сумма долга и процентная ставка (купонная). К такому виду дол-
долговых обязательств относятся, например, депозитные сертификаты,
эмитируемые банком. Основная сумма долга в депозитном сертифика-
сертификате фиксируется в виде номинала, т. е. номинальной стоимости этой
бумаги. В момент эмиссии депозитный сертификат обычно продается
инвестору (кредитору) по номинальной стоимости. При его погашении
банк выкупает сертификат у владельца (инвестора) по цене выше
номинала. Цена погашения больше номинала на сумму начисленных
процентов за полный срок обращения сертификата.

ПО	Гл. 2. Финансовый анализ кредитной сделки
Выпишем основные финансовые и временные параметры (реквизи-
(реквизиты), связанные с денежным сертификатом:
F — номинал,
to — момент (дата) эмиссии,
t\ — момент (дата) погашения,
То = Тобр = (t\ -10) — период обращения,
с — купонная (нормированная процентная) ставка.
Введенные параметры — модельные. Так, все временные параметры
должны указываться в некоторой выбранной временной (например,
годовой) шкале. На практике моменту to соответствует дата эмиссии,
моменту t\ — дата погашения. Срок обращения То задается в днях —
Do. Поэтому для получения значений временных параметров в модели
необходимо предварительно выполнить преобразование календарных
(практических) данных в модельные (теоретические) по одному из вре-
временных правил (§ 1.6). Такое преобразование осуществляется обычно
по формуле
Го = ^,	B.28)
где Dq — срок сделки в днях, a Y — годовой дивизор.
С долговыми обязательствами любого вида (векселем или сертифи-
сертификатом) естественным образом связана так называемая стандартная
кредитная сделка, заключающаяся в том, что инвестор приобретает
обязательство в момент эмиссии и держит его до погашения. В этом
случае реквизиты долгового обязательства будут играть роль основных
параметров сделки. Началом сделки (to) служит момент эмиссии, кон-
концом (ti) — момент погашения обязательства. Для процентных бумаг
в этом случае номинал (F) задает начальную стоимость (So), а для дис-
дисконтных — конечную стоимость (S\) долга. Если в процентной бумаге
фиксируется процентная ставка, то конечная сумма долга вычисляется
по ней и номиналу. Если же некоторый параметр не указан в виде рек-
реквизита, то он определяется внешними (рыночными или договорными)
условиями.
Естественность подобных сделок вовсе не означает их наиболь-
наибольшую распространенность. На практике обращающиеся ценные бумаги
редко имеют постоянного владельца в течение всей своей «жизни»,
они покупаются и перепродаются многократно. Так, владелец векселя,
нуждающийся в наличных средствах, может учесть вексель в банке.
Учет банком векселя означает покупку банком векселя у его владельца.
Цена такой сделки или учетная (выкупная) цена векселя естественно
ниже его номинала, т.е. вексель учитывается с дисконтом. Процент,
который составляет дисконт (скидка) по отношению к номиналу, есть,
очевидно, не что иное, как учетная ставка сделки. Само название
этой ставки происходит от названия сделки. Таким образом, с одной
и той же ценной бумагой на протяжении ее «жизни» осуществляется
множество сделок, связь параметров которых с реквизитами самой цен-

2.4. Краткосрочные долговые обязательства	111
ной бумаги далеко не очевидна, хотя последние во многом определяют
эти параметры.
Тем не менее анализ «естественной» (канонической) сделки полезен
даже в тех случаях, когда инвестор, приобретая ценную бумагу, не
намеревается держать ее до погашения. Такой анализ может служить
эталоном для сравнения с другими сделками с данной ценной бумагой,
например, ее продажей до срока погашения.
Рассмотрим примеры простейших расчетов, связанных с депозитны-
депозитными сертификатами и векселями. Начнем с депозитных сертификатов.
Для депозитного сертификата купонная ставка с есть не что иное,
как процентная ставка так называемой стандартной сделки с серти-
сертификатом, т. е. простой кредитной сделки, в которой кредитор покупает
в момент to сертификат у эмитента по номиналу F и в конце срока t\
погашает (возвращает, продает) сертификат у эмитента, получая от
него сумму погашения S = Snor. Эти условия однозначно определяют
сумму погашения через основные реквизиты сертификата:
S = F(l+cT0).	B.29)
В этой сделке, как отмечалось, (начальный) покупатель серти-
сертификата является кредитором, а эмитент сертификата — должником,
поскольку покупка сертификата по номиналу F означает передачу
суммы F эмитенту, который по окончании срока обращения То обязан
вернуть эту сумму вместе с процентами по ставке с, т. е. выплатить
сумму погашения.
Пример 2.9. Пусть инвестор покупает (по номиналу) депозитный сер-
сертификат с номиналом 7^1000, купонной ставкой 20% годовых и сроком обра-
обращения 270 дней. Найти сумму погашения сертификата. Использовать правило
АСТ/365.
Решение. В этом примере F = 1ZI000, с = 0,2 и
Следовательно, согласно формуле B.29)
S = 1000 • A + 0,2 • ^) = 1147,94(?г).	¦
V	365/
Отметим, что реквизиты сертификата, как и определяемая ими
сумма погашения, не изменяются в течение его периода обращения.
Однако оставшийся срок до погашения в отличие от периода обраще-
обращения То, безусловно, меняется с течением времени. Так, если сертификат
был выпущен в момент to = 0 на срок То, то в некоторый более поздний
момент времени t оставшийся срок до погашения будет
Т = То - L	B.30)
Как уже говорилось, на равновесном рынке нормированные про-
процентные ставки по различным сделкам близки к общему (одному
и тому же) уровню. В частности, будут равны нормированные ставки

112	Гл. 2. Финансовый анализ кредитной сделки
сделок с различными долговыми инструментами, поскольку эти ставки
представляют собой ожидаемые доходности, которые обеспечат себе
инвесторы, покупающие эти инструменты. При этом имеется в виду,
конечно, нормированная доходность к погашению, т. е. доходность
за период от момента покупки до момента погашения. Следова-
Следовательно, рыночные цены долговых инструментов будут устанавливаться
таким образом, чтобы доходность по ним соответствовала равновесно-
равновесному уровню процентных ставок. Поэтому изменение уровня процентных
ставок по каким-либо причинам, например, вследствие роста темпов
инфляции, приведет к изменению текущей цены депозитного сертифи-
сертификата. Но даже если уровень процентных ставок меняться не будет, цена
сертификата тем не менее изменится, поскольку меняется оставшийся
срок до погашения. Цена сертификата в этом случае будет меняться
так, чтобы доходность за оставшийся срок до погашения оставалась
равной значению рыночной ставки процента.
Рассмотрим вопрос о связи цены и рыночной процентной ставки
более подробно. В момент эмиссии депозитный сертификат продается
обычно по цене, близкой к номиналу 0. Это связано с тем, что эмитент
устанавливает купонную ставку на уровне, равном рыночной ставке
процента. В самом деле, ему нет смысла платить более высокую, чем
рыночная, ставку, с другой стороны, он не может установить ее (при
прочих равных условиях) меньше уровня ставки по другим альтер-
альтернативным кредитным инструментам (банковским депозитам, векселям
и т.д.), так как инвесторы (кредиторы) будут предпочитать инструмен-
инструменты с более высокой процентной ставкой (доходностью).
Если сертификат продается по номиналу, то ставка стандартной
сделки, т. е. покупки и хранения до погашения, будет равна рыночной
ставке кредита:
S~F F(l+cT0)-F _
— С —
Точно так же цена сертификата с течением времени должна менять-
меняться так, чтобы в каждый момент времени ставка по стандартной сделке
(купить и держать) за оставшийся период до погашения была равна
рыночному уровню ставки:
Q _ р
2
где грын — рыночная нормированная процентная ставка; Т = Тпог —
оставшийся срок до погашения; Р = Рръш — рыночная цена сертифи-
1) На практике речь может идти лишь о близости к некоторому равновесно-
равновесному уровню. В теоретическом анализе говорят о точном равенстве. Считается,
что цена эмиссии совпадает с номиналом, что все доходности в точности равны
рыночной ставке и т. д.

2.4. Краткосрочные долговые обязательства	113
ката; S = Snor — сумма погашения сертификата. Отсюда
Ррын = ],SnarT = PVt(Snor)	B.33)
А ~Т t-pbiH-t nor
или, опуская подразумеваемые индексы,
tw	B-33/)
Таким образом, рыночная цена сертификата является текущей сто-
стоимостью (приведенной к текущему моменту) суммы погашения Snor по
рыночной ставке.
Пример 2.10. Пусть депозитный сертификат с номиналом 7^1000, купон-
купонной ставкой 15% годовых и сроком обращения 180 дней продан за 70 дней до
погашения. Если годовая рыночная процентная ставка в момент продажи со-
составляла 10%, то какова цена продажи сертификата? Использовать банковское
правило (АСТ/360).
Решение. Выразим сначала указанные в днях сроки в годовой шкале
согласно банковскому правилу:
Т° = Гобр = Ш = °'5'
T = Tnor = |U 0,1944.
Сумма погашения сертификата составит
S = Snor= 1000- A+0,15—) = 1075(?г).
V	360/
Поскольку рыночная ставка г = 0,1, то текущая рыночная Р = PpbIH цена сер-
сертификата
Р = ТТ^ = 1075 то = Ю54,49Gг).
Заметим, что владелец сертификата, продавший его за 70 дней до погаше-
погашения, реализует, вообще говоря, совсем другую процентную ставку сделки. Если
он, например, купил сертификат по номиналу в момент эмиссии и продал его
по найденной выше цене Р, то процентная ставка сделки за период владения
сертификатом
Твл = 180-70= ПО (дней)
составляет
т.е. 5,45%. Соответственно нормированная по банковскому правилу ставка
сделки
т.е. 18,08%, что больше, чем доходность к погашению, равная рыночной
ставке 10%, которой обладает сертификат в момент его покупки новым вла-
владельцем.	¦
Таким образом, при досрочной продаже сертификата, т. е. его прода-
продаже до срока погашения возникают по существу две последовательные

114	Гл. 2. Финансовый анализ кредитной сделки
простые кредитные сделки. Первая осуществляется первоначальным
владельцем сертификата, купившем его в момент эмиссии to по но-
номиналу F и продающем его в момент t по рыночной цене Р, а вто-
вторая сделка осуществляется новым владельцем сертификата, который
покупает его по рыночной цене Р в момент t и затем погашает его
в момент погашения t\. Диаграмма такой пары сделок изображена на
рис. 2.4. Здесь Твл — срок владения сертификатом первым владельцем;
F	P	S
1	1	1
Рис. 2.4
^пог — оставшийся срок до погашения в момент покупки/продажи
сертификата, совпадающий со сроком владения сертификатом вторым
владельцем. Наконец, полный срок обращения Тобр — сумма указан-
указанных сроков:
-L обр -L вл ~г -L пог •
Заметим, что рыночный уровень процентных ставок определяет
ставку именно второй сделки с периодом, оставшимся до погашения.
Поэтому доходность за период Тпог до погашения, которая гарантиру-
гарантируется инвестору, купившему сертификат по цене Р, называется (простой
нормированной) доходностью к погашению сертификата. Она опре-
определяется, естественно, выражением
W = ^=p = ^-(f-l),	B.34)
идентичному B.32). Различие состоит лишь в интерпретации. Выраже-
Выражение B.32) — исходное для получения формулы B.33) цены сертифи-
сертификата по известной рыночной ставке (т.е. по известной доходности),
тогда как B.34) служит формулой вычисления доходности к погаше-
погашению по известной (в момент t) рыночной цене Р сертификата.
Таким образом, цена и доходность к погашению взаимно опреде-
определяют друг друга. В частности, рост процентных ставок ipbIH ведет,
согласно B.33), к снижению цены сертификата и обратно, рост цены
^рын сертификата ведет к снижению его доходности. Эта общая зако-
закономерность соотношения цены и доходности долговых обязательств.
Перейдем теперь к примерам расчетов с дисконтами ценными бу-
бумагами.
Пример 2.11. Инвестор приобрел облигацию (ГКО) на аукционе по кур-
курсу Qo = 75. Облигация погашается через 3 мес. Инвестор ожидает, что через
2 мес. курс облигации поднимется до Q\ = 92. Что выгоднее по доходности:
держать облигацию до погашения или продать ее через 2 мес. по ожидаемому
курсу? Найти процентные и учетные (годовые и месячные) ставки для этих
сделок.

2.4. Краткосрочные долговые обязательства	115
Решение. Рассмотрим сначала (стандартную) сделку, когда облигация
держится до погашения. В этом случае курс (Qo) облигации задает начальную
стоимость So. Поскольку номинал облигации (F) равен S = 7^1000, то цена
облигации, соответствующая курсу 75, равна
So = Qo-F = 0,75 • 1000 = 750(?г).
Так как облигация погашается по номиналу, то конечная стоимость сделки
Si = юоо(тг).
Проценты и соответственно дисконт за 3 мес. (до погашения) составят
I = D = Si-S0= 1000 - 750 = 250(?г).
Процентная ставка за период до погашения составит
/ 250
или 33,33%, а учетная ставка
D 250 п ок
= °'25'
T
т.е. 25%.
Соответственно годовая процентная ставка сделки
_ г _ 0,3333 _
или 133,32%, а месячная процентная ставка составит
г 0,3333 п 1111
Wc= —- = —^ =0,1111
J- мес	«J
или 11,11%. Годовая учетная ставка
"год — — — , — 1
ТГОд 1/4
или 100%. Здесь Тгод = 1/4 — срок в годах. Наконец, месячная учетная ставка
duec=J^ = °f =0,0833
или 8,33%.
Рассмотрим теперь сделку с продажей до срока погашения. В этом случае
начальная сумма сделки So также задается курсом Qq\
So = 750(?г),
конечная сумма Si определяется курсом Qi, так что
Si=Qi-F = 0,92 • 1000 = 920(?г).
Процент (дисконт) за 2 мес. составит
/; = 920-750= 170(?г),
а процентная и учетная ставки за этот период
г'= — =0,2267 и «/ = — =0,1847,
750	920
т.е. 22,67% и 18,47% соответственно. Годовая процентная ставка сделки
С0СТЗВИТ	.,	г' 0,2267 ,„
г- = ^Г^г = 1-36-
или 136%, а годовая учетная ставка
A1	W'	°'1847

116	Гл. 2. Финансовый анализ кредитной сделки
или 110,82%. Наконец, месячная процентная ставка
, _ г' _ 0,2267 _
-^мес	^
или 11,34%, а месячная учетная ставка этой сделки составит
, _ w' _ 0,1847 _
"мес — гр — 9 — KJjKJVAtj
J- мес	^
или 9,24%. Здесь Тмес = 2 задает срок сделки в месяцах.
Таким образом, доходность первой сделки A33,32%) ниже, чем доход-
доходность второй A36%). Поэтому вариант с продажей до погашения выгоднее.
Заметим, что подсчитанная доходность второй сделки есть лишь ожидаемая
(или условная) доходность. Она станет реализованной, если курс облигации
действительно вырастет за 2 мес. до 92. В отличие от этого доходность
к погашению является гарантированной, поскольку облигация погашается по
номиналу, а риск непогашения государством своих обязательств считается
пренебрежимо малым 0.	¦
Итак, имеются два типа кредитных сделок: те, в которых базовым
финансовым параметром является начальная сумма долга, и те, в кото-
которых эту роль играет конечная (полная) сумма долга. Первые назовем
процентными, а вторые — дисконтными.
Конечно, такое разделение имеет смысл лишь для класса сделок,
а не для индивидуальных сделок. Определенный нами ранее простой
класс — это класс процентных сделок. Коротко назовем его простым
процентным классом. Совершенно аналогично можно определить про-
простой класс дисконтных сделок или простой дисконтный класс, класс
кредитных сделок назовем простым дисконтным классом, если норми-
нормированная учетная ставка для всех сделок этого класса одинакова.
Все сделки такого класса будем называть просто дисконтно-экви-
дисконтно-эквивалентными, а общее значение нормированных учетных ставок для
сделок из этого класса — учетной ставкой класса.
Естественно, для всех сделок дисконтного класса выполняются
соотношения B.20)-B.23), в которых d — нормированная учетная
ставка класса. Формулы B.24) и B.25) также применимы ко всем
сделкам класса. Однако вычисленные по этим формулам значения про-
процентных ставок будут различными для разных сделок. Это относится,
конечно, и к нормированной процентной ставке г. Как показывает
формула B.25), нормированная процентная ставка г при фиксированной
учетной ставке d зависит явным образом от срока сделки. Иными
словами, две дисконтно-эквивалентные сделки не обязательно будут
просто (процентно) эквивалентными. Однако если сроки этих сделок
совпадают, то дисконтная эквивалентность влечет процентную. Верно,
разумеется, и обратное утверждение, т. е. простая процентная экви-
эквивалентность в общем случае не влечет дисконтную эквивалентность,
1) Так традиционно считается. Печальный опыт отечественного рынка ГКО
в 1998 г. заставляет относиться к такого рода утверждениям с осторожностью.

2.4. Краткосрочные долговые обязательства	117
однако для сделок с одним и тем же сроком оба типа эквивалентности
совпадают.
Пример 2.12. Банк учитывает два векселя: один с номиналом 7^900
и сроком до погашения 3 мес, а другой с номиналом 7^1500 и сроком до
погашения б мес. Оба векселя учитываются по одной учетной ставке 20%
годовых. Найти учетные суммы векселей, доход и процентные ставки, которые
реализует банк при погашении учетных векселей.
Решение. Учетная цена первого векселя
Pi = 900 • (l - 0,2 • -\ = 855(?г),
учетная цена второго —
Р2 = 1500 • (l - 0,2 • i) = 1350(?г).
При погашении первого векселя банк получит доход
h =900-855 = 45(?г).
Следовательно, процентная ставка за 3 мес. составит
г, = 11=0,0526,
а годовая ставка
г1 = —=4-7-1=0,21,
или 21%.
При погашении второго векселя доход составит
h = 1500- 1350= 150(?г),
процентная ставка за б мес.
Г2 = ^= 0,1111,
1350
а годовая ставка
i2 = yj^ = 2 • г2 = 0,2222,
или 22,22%.
Таким образом, хотя учетные годовые ставки сделок совпадают, их про-
процентные годовые ставки (доходности) различны.	¦
Все расчеты с долговыми обязательствами, как процентными, так
и дисконтными, осуществляются по основным формулам B.5)—B.12)
и B.13)—B.23). Зная, например, учетную ставку и учетную цену век-
векселя, можно легко найти его номинал (сумму погашения).
Пример 2.13. Пусть вексель со сроком до погашения 4 мес. учтен
в банке по цене 7^1080. Каков номинал векселя, если учетная ставка банка
30% годовых?
Решение. Учетная цена Р связана с номиналом F соотношением
P = F(l -dT).
Следовательно, получаем уравнение
1080 = F(l -0,3- -]

118	Гл. 2. Финансовый анализ кредитной сделки
относительно F, решая которое найдем
F = 108° = 1200(?г).	¦
1-0,3--
Хотя сделки с процентными и дисконтными бумагами были описа-
описаны как два различных класса сделок, между ними нет «непроходимой
границы». Так, начатая как процентная, сделка может завершиться
тесно связанной с ней дисконтной сделкой. Это имеет место, например,
при учете процентных бумаг, операции, вполне аналогичной учету
векселей. Поясним ее на простом примере.
Пусть инвестор покупает депозитный сертификат со сроком пога-
погашения 6 мес. по номиналу (F) в 1ZI000 и с процентной ставкой (го)
12% годовых. Покупая сертификат, инвестор «открывает» процентную
сделку. Начальная стоимость So сделки совпадает с номиналом, так
как сертификат был куплен по номиналу
s0 = f = юоо(тг).
Допустим, что через 4 мес. ему понадобились наличные, и он решает
продать сертификат, т. е. закрыть сделку. Он может сделать это, продав
сертификат банку (выпустившему сертификат или другому). Банк,
естественно, купит, или, как еще говорят, учтет сертификат не по его
полной стоимости (сумме погашения), складывающейся из номинала
и процентов за 6 мес, т.е.
5= 1000- (l+0,12- i) = 1060Gг),
а за меньшую сумму, т. е. с дисконтом. Обычно для подобных операций
банк фиксирует нормированную, например годовую, учетную ставку d.
Если для нашего примера взять d = 24%, то банк учтет (купит)
сертификат по цене
Р = A - dT)S = (l - 0,24 • i) • 1060 = 0,96 • 1060 = 1017,6(?г).
Здесь Т — срок, оставшийся до погашения сертификата, т.е. 2 мес,
или 1/6 года. Заметим, что этот срок не имеет ничего общего со сроком
сделки инвестора, который составляет 4 мес. (от покупки до учета).
Таким образом, с данным сертификатом осуществляются две сделки.
Одна, осуществляемая инвестором, состоит в покупке сертификата
за 1Z1000 и продаже его банку через 4 мес. за 7^1017,6, и другая,
осуществляемая банком, состоит в покупке сертификата по 7^1017,6
и погашении его через 2 мес. по полной стоимости S = 72ЛО6О. При
этом инвестор, получив за 4 мес. доход в 72.17,6, реализует доходность
P-So 1017,6-1000	,
г "TsT i/3-iooo °'0528'

2.4. Краткосрочные долговые обязательства	119
или 5,28% годовых, что значительно меньше, чем «обещанная» доход-
доходность, представляемая процентной ставкой сертификата го = 12%. Эту
доходность инвестор мог бы реализовать, если бы держал сертификат
до погашения.
С другой стороны, учет банком сертификата с дисконтом дает ему
прибыль
1060- 1017,6 = 42,4(?г)
за 2 мес, т.е. доходность
или 25% годовых, что намного больше обещанной ставки го = 12%
годовых. Это и естественно: прибыль банка означает убыток инвестора
(при фиксированных параметрах сертификата).
Таким образом, учет долговых обязательств, т. е. покупка их банком
до срока погашения, означает окончание сделки с этим обязатель-
обязательством для его владельца (инвестора, кредитора) и начало сделки для
банка (или другого кредитного учреждения). Поэтому при расчете
параметров сделок, связанных с долговыми ценными бумагами, необ-
необходимо проявлять осторожность и тщательно следить за «привязкой»
реквизитов ценной бумаги к действительным параметрам анализиру-
анализируемой сделки. Для этой цели полезно строить временные диаграммы
с указанием соответствующих событий. Так, для рассмотренного выше
примера подобная диаграмма имеет вид, изображенный на рис. 2.5.
шоо 1 = 5,28% 1П17* ^=24%
В приведенных выше примерах дисконтных сделок временные пара-
параметры задавались в месячной или непосредственно в модельной шка-
шкале Т. На практике они задаются в календарной шкале. Таким образом,
для использования теоретических формул необходимо (см. примеры
2.7 и 2.8) выполнить предварительное преобразование временных па-
параметров.
Пример 2.14. Вексель номиналом $1000 куплен по цене $850 за 90 дней
до погашения. Найти соответствующие: а) учетную и б) процентную ставки
сделки.
Решение. Исходя из данных задачи без преобразований можем найти
дисконт
D= 1000-850= 150($),
а также за период сделки:

120	Гл. 2. Финансовый анализ кредитной сделки
а) учетную ставку
150 =0,15,
1000
или гу=15%;
б) процентную ставку
150
Г=850=0Д765'
или r=17,65%.
Найти нормированные ставки без указания правил преобразования, опи-
описанных в § 1.6, невозможно. Допустим, что выбрано правило АСТ/360. Тогда
нормированная учетная ставка
, w А 1 - 360 А с
Л=т=0Л5- — =0,6,
или 60%, а нормированная процентная ставка
ъ= - =0,1765- — = 0,7059,
или 70,59%.	¦
Приведенные примеры сделок с долговыми обязательствами долж-
должны убедить читателя в чрезвычайной важности точного учета исполь-
используемых временных соглашений. Так, полученные в последнем примере
значения нормированных учетной и процентной ставок зависят от
выбора конкретного правила измерения периодов времени в годовой
шкале. Было выбрано банковское правило АСТ/360 — достаточно
типичное для дисконтных инструментов денежного рынка, например,
США. Однако в Великобритании расчет этого примера был бы осу-
осуществлен (если бы денежные суммы задавались в фунтах стерлингов)
по правилу АСТ/365. К тому же даже в США банковское правило
применялось бы прежде всего для расчета учетной ставки. Если бы
инвестору понадобилось значение процентной ставки как меры доход-
доходности сделки с векселем, то он мог бы использовать правило, отличное
от банковского, например, АСТ/365 или ACT/ACT.
Для данного типа долговых инструментов или данного сегмен-
сегмента рынка обычно используется одно из многочисленных временных
правил, традиционно закрепленное за ними, тем не менее, может
возникнуть необходимость расчета конкретной сделки и по другим
временным правилам преобразования. Обычно это происходит при
сравнении эффективности сделок с инструментами различных типов
или сделок из различных сегментов финансового рынка. В таком слу-
случае применять разные схемы временных преобразований для разных
сделок некорректно, поскольку временные характеристики сделок бу-
будут вычисляться по разным правилам. Уже отмечалось, что в разных
странах используются разные схемы для вычисления длины временных
промежутков в годовой шкале. Так, на денежном рынке США для
Казначейских векселей США общепринято правило АСТ/360, тогда как
для аналогичных Казначейских векселей Великобритании использует-
используется правило АСТ/365. При необходимости сравнения сделок на этих
рынках необходимо выбрать какое-либо одно из этих (или, возможно,

2.4. Краткосрочные долговые обязательства	121
других) правил, чтобы временные характеристики сделок оценивались
в одной шкале.
Таким образом, хотя логическая структура приведенных в этой
главе формул безусловно не зависит от конкретных правил измерения
временных промежутков, их конкретные значения определяются лишь
относительно выбранных правил. В последнем примере для нормиро-
нормированной процентной ставки, т. е. доходности сделки с векселем за период
до погашения, задаваемой единственной формулой
1
получим для данных F = $1000 и Р = $850 целую серию возможных
значений г, определяемых конкретным правилом представления перио-
периода сделки, равного 90 дням в годовой шкале:
АСТ/360 - г=0,7059,
АСТ/365 - г=0,7157,
АСТ/365 (Япония) — г=0,7237, если период сделки високосный,
ACT/ACT — г=0,7157, если период лежит в пределах невисокосного
года,
ACT/ACT — г=0,7176, если период лежит в пределах високосного
года,
ACT/ACT — 0,7157 < г < 0,7176, если часть периода приходится на
високосный и часть на невисокосный годы.
Как видно из § 1.6, приведенный выше список далеко не исчерпы-
исчерпывает всех возможных случаев.
Заметим, что выше цена Р была задана в долларах. Если бы речь
шла, например, о сделке с Казначейскими векселями США, то цена
векселя в таком случае могла бы задаваться косвенно, посредством
котировки, которые для рынка Казначейских векселей США осуществ-
осуществляются в терминах учетной ставки с подразумеваемым применением
банковского правила.
Так, дилер, оперирующий на этом рынке, мог выставить котировки
трехмесячного Казначейского векселя (90 дней) 8,50% на покупку
и 8,48% на продажу. Это означает, что дилер согласен купить вексель
по цене
^Рпок = 1000(l - 0,0850 • i) = 978,75($),
а продать по цене
Рпр = 1000(l - 0,0848 • i) = 978,80($).
Разница между этими ценами составляет дилерский спред цен, т. е.
доход, который получает дилер с полной сделки (т. е. покупки с по-
последующей продажей) с каждым векселем. Лицо, купившее вексель
у дилера по цене Рпр = $978,80, при погашении через 3 мес. заработает
$21,20.

122	Гл. 2. Финансовый анализ кредитной сделки
Нормированную процентную ставку (доходность к погашению) та-
такой сделки обычно находят, используя правило АСТ/365:
i = —2ly2° = 0,0878,
978,80 • ^
365
или 8,78% годовых.
Этот пример любопытен тем, что в нем используются два раз-
различных временных правила при расчете одной и той же сделки. Так,
покупатель векселя у дилера сначала по котировке цены продажи
(в терминах учетной ставки) найдет долларовую цену с использованием
банковского правила, а для оценки доходности сделки использует
совсем другое правило — АСТ/365.
Заметим, что в этом случае нельзя (как это делалось в примере 2.8)
применять формулу B.27), связывающую учетную и процентную став-
ставки, поскольку в этом случае возникает неопределенность со значением
срока Т. Если этот срок задать в соответствии с банковским прави-
правилом, то вычисленная доходность к погашению будет соответствовать
именно этому правилу, а не примененному выше правилу АСТ/365.
Подстановка значения срока в соответствии с правилом АСТ/365 так-
также некорректна, поскольку учетная ставка (котировка) подразумевает
в соответствии с принятым на рынке Казначейских векселей примене-
применение банковского правила (АСТ/360).
На этом закончили предварительное обсуждение простых кредит-
кредитных сделок и связанных с ними характеристик, прежде всего, процент-
процентной и учетной ставок.
Вопросы и упражнения
1.	Опишите математическую модель простой кредитной сделки. Какой вид
имеет представляющий поток сделки, если проценты выплачиваются: а) в кон-
конце периода сделки? б) в начале периода сделки?
2.	Дайте содержательную трактовку простой нормированной процентной
ставки сделки. Какую роль играет эта ставка на краткосрочном кредитном
рынке?
3.	Как связаны между собой учетные и процентные (за период и нормиро-
нормированные) ставки?
4.	Что такое простой класс сделок? Какова связь между простыми процент-
процентными и простыми дисконтными классами сделок?
5.	Укажите основные временные и финансовые параметры, определяющие
вексель и депозитный сертификат.
6.	Что такое стандартная сделка с долговым обязательством?
7.	Как связана цена долгового обязательства и рыночная процентная
ставка?
8.	Как определяется доходность к погашениию долгового обязательства?
Как связана эта доходность с рыночной процентной ставкой?

2.4. Задачи	123
Задачи
1.	Банк принимает вклады на срочный депозит на следующих условиях:
процентная ставка при сроке 30 дней составляет 45%; при сроке 60 дней —
48%; при сроке 90 дней — 50%. Рассчитайте доход клиента при вкладе
7^100 тыс. на указанные сроки. Год невисокосный, правило банковское.
2.	Коммерческий банк привлекает средства населения под простые про-
проценты с процентной ставкой 36% годовых. Клиент внес 7^6 млн на депо-
депозит с 12 февраля по 24 апреля. Определите величину коэффициента роста
и наращенную сумму для временных правил: а) АСТ/365; б) банковского;
в) приближенного — 30/360. Год невисокосный.
3.	Клиент получил в банке кредит сроком на 3 мес. в 7Z6 млн. Сумма
возврата кредита равна 7^8 млн. Определите процентную ставку банка.
4.	Фирме необходим кредит в 7^50 млн. Банк согласен выдать кредит, если
возвращенная сумма долга будет равна 7^60 млн. Учетная ставка составляет
210% годовых. На какой срок выдан кредит?
5.	А занимает у В под 15% годовых сроком на 9 месяцев и выписывает
на В вексель 7^100000. Через 3 мес. В продает вексель С, который желает
обеспечить себе доходность при погашении 18% годовых. Какова цена векселя
при продаже? Сколько заработал В? Какова соответствующая учетная ставка
сделки за период и годовая?
6.	Вексель со сроком погашения через 5 мес. на сумму $1500 учитывается
в банке за 2 мес. до погашения по учетной ставке 15% в месяц. По какой цене
будет учтен вексель? Каков доход банка? Каков доход векселедержателя, если
цена эмиссии векселя (т.е. основная сумма долга) равна $1000?
7.	Инвестор приобрел депозитный сертификат с номиналом 7^500000
и процентной ставкой 70% годовых. Срок погашения сертификата равен 9 мес.
Через 5 мес. инвестор продал сертификат. К этому моменту ставка поднялась
до 80% годовых. Сколько заработал инвестор? Какую прибыль при погашении
получит новый владелец сертификата?

Глава 3
ПРОСТЫЕ ПРОЦЕНТЫ
3.1. Формула простых процентов
В этой и последующих главах мы рассмотрим ту часть финансовой
математики, предметом которой служат кредитные сделки простых
классов, называемую схемой (или методом) простых процентов.
Фактически мы уже пришли к этой схеме в гл. 2. Сказанное там можно
подытожить в следующем формальном определении.
Определение 3.1. Класс С простейших кредитных сделок назы-
называется простым или описываемым схемой простых процентов, если
он имеет общую процентную ставку г такую, что для всех сделок с из
этого класса справедливы равенства
Ic = StsiTc,	C.1)
Stc = Sts(l+iTc),	C.2)
где Ц и t\ — начальный и конечный моменты; Бц и Бц — начальная
и конечные суммы; Тс = t\ — to — срок сделки с. Это равенство назы-
называется формулой простых процентов.
Следует обратить внимание на различие в интерпретации фор-
формул C.1), C.2) и тождественных им по форме равенствам B.10), B.11).
Последние равенства выполняются для любой простейшей кредитной
сделки (естественно, с присущей данной сделке ставкой г). Иногда явно
или не явно под формулой B.11) понимается зависимость накопленной
суммы Stl, при заданных сумме кредита Sto и ставке г, от периода
сделки Т. Однако, как мы уже показали в гл. 2, это совсем не так,
потому что формула B.11) характеризует лишь связь между парамет-
параметрами конкретной, индивидуальной сделки и не более того! В то время
как формулы C.1) и C.2) простых процентов применимы к данному
простому классу, так что в пределах этого класса ставка г считается
постоянной. Эти формулы составляют математическую модель каждого
такого класса, независимо от источника и механизма его порождения:
будет ли то класс реальных сделок, осуществляемых банком или дру-
другим кредитным учреждением, или это потенциальный класс сделок,
анализируемый инвестором с целью наилучшего вложения свободных
средств. Однако при применении схемы простых процентов и решении

3.2. Накопительные счета в схеме простых процентов	125
реальных задач он должен быть четко определен как реальный или
потенциальный класс. Естественно, что при реальных расчетах для
конкретной сделки из этого класса индекс с в формулах C.1) и C.2)
опускается.
3.2. Накопительные счета в схеме простых процентов:
динамическая модель роста
Одним из наиболее распространенных применений простых про-
процентов являются так называемые накопительные или сберегательные
счета. Они относятся к более широкому классу счетов, вкладов или
депозитов до востребования, и, следовательно, не имеют определен-
определенного срока. Таким образом, вкладчик может изъять весь вклад или
его часть в любое время. За эту возможность (или, как говорят,
опцион) вкладчик платит снижением процентной ставки по сравнению
со срочным депозитом, т. е. вкладом на конкретный срок.
Хотя внешне накопительный вклад определяется как один контракт,
т. е. как одна сделка, с формальной точки зрения ее можно рассматри-
рассматривать как потенциальный простой класс из бесконечного числа простых
сделок. Пусть вкладчик открывает счет в момент времени to с началь-
начальной суммой St0. Тогда любому t > О, учитывая возможность изъятия
вклада в этот момент времени, соответствует некоторая потенциально
возможная срочная сделка с периодом [to,t].
Естественно, с течением времени сумма вклада растет, так что
к моменту времени t состояние счета описывается величиной (суммой)
St. Если г — процентная, например, годовая, ставка по вкладу и время
также измеряется в годах, то динамика накопления описывается урав-
уравнением
St = St0(\+ i(t - t0)) = St0(\ + iT)	C.3)
или
St = Stoa(to,t),	C-4)
где
a(t0, t) = 1 + i(t - t0) = 1 + iT	C.5)
— коэффициент роста (наращения); Т = t — to — срок в годах.
Уравнение C.3) обычно трактуется как динамическая модель
роста накопительного счета в отличие от уравнения C.2), описыва-
описывающего различные сделки, например, осуществляемые одним банком
с разными вкладчиками. В модели A) время Т теоретически принимает
любые неотрицательные вещественные значения, тогда как в моде-
модели C.2) семейство сроков {Тс | с е С} сделок зависит от рассматривае-
рассматриваемого класса сделок.
Конечно, на практике это различие не стоит абсолютизировать. Так,
даже для срочной сделки со сроком Тс кредитор (например, вкладчик)
может досрочно расторгнуть сделку, так что реальная длительность

126	Гл. 3. Простые проценты
сделки может быть меньше, чем Тс. Возникает вопрос о величине воз-
возвращаемой суммы долга для этих условий. И в этом случае часто ис-
используется динамическая модель типа той, что была рассмотрена выше.
Наконец, динамическая (накопительная) модель используется для
определения так называемых накопленных процентов в сделках с упо-
упоминавшимися выше процентными бумагами, такими, как депозитные
сертификаты, облигации и др. (см. гл. 2).
Процентные бумаги имеют в качестве обязательных реквизитов
номинальную стоимость (номинал) и процентную ставку, называемую
в этом случае купонной. Выплата процентов или, как еще говорят, ку-
купонного платежа осуществляется эмитентом ценной бумаги во вполне
определенные моменты времени, например, для депозитного сертифи-
сертификата — это момент погашения, а для облигации — концы так назы-
называемых купонных периодов. Такие платежи можно рассматривать как
выплату процентов по простой кредитной сделке с начальной суммой
долга, равной номиналу ценной бумаги, и сроком, равным длине купон-
купонного периода. В этом случае говорят о выплате полного купона. Если
же ценная бумага продается до погашения между купонными выплата-
выплатами, то в цене продажи учитываются накопленные (по купонной ставке
за период от последнего купонного платежа до момента продажи) про-
проценты к номиналу ценной бумаги. Таким образом, покупатель ценной
бумаги выплачивает продавцу, кроме номинальной стоимости ценной
бумаги, накопленные проценты (неполный купон). Покупатель вернет
эту сумму (накопленные проценты) при очередной выплате купонов.
Заметим, что к счетам до востребования кроме накопительных сче-
счетов относятся также так называемые расчетные или текущие счета
фирм и частных лиц. В отличие от накопительных счетов их цель со-
состоит в осуществлении текущей деятельности, в постоянно возникаю-
возникающих расчетах, оплате товаров, услуг и т. п. Эти счета доступны в любое
время как для перечисления, так и для снятия средств. Как правило,
проценты по этим счетам не начисляются. Однако следует сказать, что
в последнее время многие финансовые учреждения Запада открывают
для своих клиентов счета, позволяющие объединить накопительную
и расчетную функции. Это относится и ко многим отечественным бан-
банкам. Правда при этом требуется поддержание определенного минимума
остатка средств на счете и, конечно, ставка по таким счетам намного
ниже, чем по сберегательным.
Наконец, отметим, что классический срочный вклад (срочный де-
депозит) также является примером простой кредитной сделки с заранее
определенным сроком. Таким образом, теория простых процентов изу-
изучает все многообразие различных видов краткосрочных кредитных
операций (сделок).
Вернемся снова к формуле C.2), описывающей динамику накопле-
накопления. Заметим, что эта формула была получена в предположении, что
период, по отношению к которому указывалась процентная ставка, —
период начисления — совпадал с единицей времени, например, зада-

3.2. Накопительные счета в схеме простых процентов	127
валась годовая процентная ставка и время измерялось в годах. Снимем
теперь это ограничение и рассмотрим более общий случай.
С формальной точки зрения накопительная модель или модель
накопительного счета описывается следующим образом. Во-первых,
фиксируется временная шкала Т. Во-вторых, задается так называемая
ставка начисления, характеризующая динамику роста накопительного
счета. Ставка начисления включает в себя указание периода начисле-
начисления h и числового значения ставки за этот период. Таким образом,
в математическом плане ставка начисления представляет собой пару
(h,i). Для того чтобы подчеркнуть привязку числового значения став-
ставки г к конкретному периоду h, в формулах это значение записывается
в виде %h- Это индексное обозначение содержит упоминание как о ве-
величине ставки, так и о ее периоде, и потому мы будем использовать
его наравне с каноническим обозначением в виде пары (h,i). Наконец,
последним элементом формального описания модели накопительного
счета является уравнение динамики счета
^y	C.6)
Заметим, что здесь все временные характеристики заданы в выбран-
выбранной временной шкале. В частности, h есть длина периода начисления
относительно единичного (базового) периода временной шкалы. Тогда
величина	. .
гр	t — L0
T =
будет равна продолжительности накопления в единицах периода на-
начисления. В случае, если период начисления будет совпадать с еди-
единичным периодом временной шкалы, то h = 1 и C.6) примет вид C.3).
Заметим, что формулой C.3) можно пользоваться и в общем случае,
если определим нормированную ставку начисления как ставку, отно-
относящуюся к единичному (базовому) периоду временной шкалы и равную
i = |.	C.7)
Определение нормированной ставки начисления вполне аналогично
определению нормированной ставки сделки из предыдущей главы. За-
Задание ставки начисления на практике обычно сопровождается явным
указанием периода начисления, к которому она относится. Так, говорят
о 10% в год или 10% годовых, 5% в месяц и т.д. Соответствующая
нормированная ставка также сопровождается указанием единичного
периода, к которому она относится. Если шкала годовая, то нормиро-
нормированная ставка будет годовой.
Рассмотрим теперь простой пример накопительного счета.
Пример 3.1. Вкладчик открывает накопительный счет с начальной сум-
суммой 7^500 и пусть, для простоты, to = 0. Годовая процентная ставка равна 12%.
Какова величина счета: через месяц, год, два года, десять лет?

128	Гл. 3. Простые проценты
Решение. Ставка начисления, по условию, задана как годовая. Проще
всего в этом случае в качестве временной шкалы взять годовую шкалу. Тогда,
используя уравнение C.3), получим величину вклада:
через месяц
?1/12 = 500 (l + 0,12 • —) = 505(?г);
год
Sx =500A+0,12) = 560(?г);
два года
S2 = 500A+0,12-2) = 620(?г);
10 лет
?ю = 5oo(i +о,12-10) = поо(тг).	¦
Заметим, что тот же результат получили бы в примере 3.1, если бы
в качестве ставки начисления была задана месячная ставка, равная 1 %.
В этом случае для годовой шкалы соответствующая нормированная
годовая ставка будет равна 12%. Очевидно, что результат накопления
по 12%-й годовой и 1%-й месячной ставкам будет один и тот же,
и в этом смысле данные ставки можно считать эквивалентными. Это
замечание приводит к общему понятию эквивалентности ставок начис-
начисления.
Определение 3.2. Ставки (h\,i\) и (/12,^2) называются эквива-
эквивалентными, если порождаемые ими процессы накопления с одним и тем
же начальным состоянием (в заданной временной шкале) тождествен-
Из этого определения немедленно следует, что ставки (h\,i\)
и (/12Л2) эквивалентны, если
ii — ii.
h\ J12'
иными словами, если совпадают нормированные ставки начисления.
При этом данная общая нормированная ставка является ставкой на-
начисления за единичный период временной шкалы, эквивалентной ис-
исходным ставкам.
Таким образом, нормированная ставка г порождает семейство эк-
эквивалентных ей ставок начисления г^ = hi. Так, в годовой шкале
эквивалентными будут ставки A, 12%), т.е. 12% в год, A/2,6%), т.е.
6% за полугодие, A/4,3%), т.е. 3% в квартал и A/12, 1%), т.е. 1%
в месяц.
Заметим, что в рамках накопительной модели ставку начисления г^
за любой период h можно рассматривать как ставку сделки с^ с нача-
началом в to, концом в момент to + h (т. е. со сроком h), начальной суммой
So = Р и конечной суммой Sh = S, определяемой формулой C.6):
+ih-%) =S0(l+ih).

3.2. Накопительные счета в схеме простых процентов	129
В этом случае нормированная ставка начисления совпадает с нор-
нормированной ставкой сделки. Более того, если, как было сказано выше,
накопительную модель интерпретировать статически как семейство
{сн, h > 0} простых сделок сн (см. гл. 2), то они составляют простой
класс сделок с общей нормированной ставкой г, которая является
процентной ставкой класса. Поэтому в дальнейшем при описании нако-
накопительных моделей в качестве ставки, определяющей динамику роста
счета, будем использовать, как правило, нормированную ставку.
Пример 3.2. Найти месячную ставку, эквивалентную простой годовой
ставке, равной 10%.
Решение. Обозначим месячную ставку через i\2, что соответствует
ставке для 1/12 года. Вкладывая, например $1 на 1 год под 10% годовых,
ИМееМ'ЧТ°	1+0,1 = 1,1($).
С другой стороны, эта финансовая операция равносильна инвестированию
$1 на 12 мес. по ставке i\/\2 (при базовой единице времени 1 мес). Тогда
наращенная сумма будет равна 1 + 12 • i\/\2- Так как мы имеем одну и ту же
финансовую операцию, то наращенные значения в обоих случаях совпадают,
поэтому
1 +0,1 = 1 + 12-zi/i2,
или
Отсюда следует, что
*i/i2 =°^= °'0083
или 0,83% месячных.	¦
В модели накопительного счета особенно легко интерпретируется
понятие накопленного (наращенного) значения и соответствующего
оператора FVt. В силу самого смысла накопительного счета его состо-
состояние St в момент времени t представляет собой результат накопления
за счет начисления процентов на вклад за период времени [to,t]. Таким
образом, смысл равенства
FVt(Sto) = St = Stoa(to,t),	C.8)
где коэффициент роста a(to,t) определяется формулой C.5), становится
очевидным. Важно, что это равенство определено для всех t > to, т.е.
о величине или состоянии счета можно говорить в любой момент
времени, следующий за начальным.
Заметим, что в аналогичных C.8) по смыслу равенствах B.2)
и B.3) наращенное значение Sto+T было определено лишь для конца
tx = to -\-T периода [to, t\] сделки. Для внутренних точек этого периода,
т.е. для to < t < t\, значение St без предварительных соглашений
определить нельзя. Здесь требуется введение в модель дополнительных
уточнений. Необходимость такого рода уточнений может возникнуть,
например, при досрочном расторжении сделки. В этом случае необ-
необходимо определить величину суммы долга, которую должен вернуть
должник кредитору.
5 П. П. Бочаров, Ю.Ф. Касимов

130	Гл. 3. Простые проценты
Рассмотрим более подробно накопительную модель, задаваемую
уравнениями C.3)-C.5) и C.8).
Уравнение C.8) является формальным выражением динамики (ро-
(роста) накопительного счета. Линейный вид коэффициента роста
a(to,t) = l+i(t-t0), t^t0,
указывает на конкретный вид этого закона в схеме простых процентов.
Коэффициент роста инвариантен относительно сдвига на любой
период h:
a(to + h,t + h) = a(to,t).
Эта инвариантность обусловлена тем, что коэффициент роста зависит,
по существу, не от моментов времени to,t, а от расстояния Т = t — to
между ними, т.е. от длины промежутка [to,t]:
a(to,t) = a(t-t0) = ат.
Здесь
ат = 1 + гТ
— стандартный (одномерный) коэффициент роста. Хотя общий (дву-
(двумерный) коэффициент a(to,t) и стандартный (одномерный) коэффици-
коэффициент ат — безусловно различные объекты, так как первый является
функцией двух, а второй — функцией одной переменных, мы обозна-
обозначим их одной и той же буквой а в тех случаях, когда это не будет
приводить к недоразумениям.
Таким образом,
a(t0, t) = l+i(t-to) = l+iT = aT	C.9)
St = Stoa(to,t) = StoaT.	C.10)
В дальнейшем для простоты начальный момент сделки to будет часто
отождествляться с началом временной шкалы, т.е. будет полагаться
to = 0. В этом случае формулы C.9) и C.10) примут простой вид
a@,t) = l+it = at	C.11)
St = Soat.	C.12)
Вернемся теперь к соотношению C.3), или, что то же самое,
к уравнению C.10), описывающим динамику накопительного счета,
и покажем, что процентная ставка г задает его относительную скорость
роста.
В самом деле, полагая в C.12) So = 1, получим
St=l-at = at.
Из C.11) немедленно следует, что
dat_ .
dt

3.2. Накопительные счета в схеме простых процентов	131
Таким образом, процентная ставка г действительно определяет ско-
скорость роста единицы вклада или, что то же самое, относительную
скорость роста вклада (по отношению к начальной величине).
Выше дана еще одна интерпретация нормированной процентной
ставки дополнительно к двум ее толкованиям, приведенным в § 2.2.
Следовательно, подводя итог, можно сказать, что нормированная про-
процентная ставка имеет три важнейшие интерпретации. Во-первых,
она определяет (для должника) стоимость кредитных ресурсов на
кредитном рынке. Во-вторых, для кредитора она характеризует до-
доходность {эффективность) использования свободных {или привле-
привлеченных) средств. Наконец, в-третьих, в накопительных моделях она
характеризует относительную скорость роста счета {вклада).
Пример 3.3. Сумма 7^1000 вкладывается в момент времени to = 0 под
10% годовых: а) на 2 года, б) на 1 год, по истечении которого наращенная
сумма вкладывается (реинвестируется) еще на 1 год. Найти для обоих случаев
наращенную сумму S^ на конец 2-го года.
Решение. В первом случае, согласно формуле C.3), наращенная сумма
за 2 года будет равна
52 = 1000A + 0,1 • 2) = 12ООGг).
Во втором случае наращенная сумма за 1-й год равна
Si = 1000A + 0,1 • 1) = поо(тг).
Теперь, если сумма S\ вкладывается еще на 1 год под те же 10% годовых, то
по истечении 2-го года получим сумму
#2 = 1100A + 0,1 • 1) = 12Ю(тг),
т.е. во втором случае, когда после 1-го года наращенная сумма была реинве-
реинвестирована, получили сумму 5г, накопленную за 2 года, равную 7^1210, что не
совпадает с результатом 52 = 7^1200 для первого случая.	¦
В заключение кратко остановимся на геометрической интерпрета-
интерпретации, отражающей движение во времени накопительного счета.
Динамику накопительного счета можно наглядно изображать соот-
соответствующей траекторией на фазовой плоскости время-деньги. В силу
линейности закона накопления такая траекто-
траектория будет представлять собой луч с верши- М A	(t, St)j
ной (to, So) и угловым коэффициентом iSo, где
{to, So) — начальное состояние счета (рис. 3.1).
Пожалуй, самым существенным свойством
процесса накопления в схеме простых процен-
процентов — это его в некотором смысле абсолютная
привязанность к начальному состоянию. Как
мы увидим ниже, траектории двух процессов
с разными начальными состояниями не могут
иметь общего продолжения, ни даже общего Рис. 3.1
участка траектории. Они могут лишь пересе-
пересекаться в одной единственной точке. Таким образом, процесс накопле-
накопления в схеме простых процентов всегда «помнит свой день рождения».

132
Гл. 3. Простые проценты
Заметим, что два состояния (t\,S\) и (t^.S^) процесса, порождае-
порождаемого данным вкладом, в свою очередь, будут порождаться начальным
состоянием (to, So) и, следовательно, будут лежать на одной траекто-
траектории, если t\,t2^ to и
Si =S0(l+ i(U - t0)), S2 = 50(l + i(t2 - t0)),
откуда следует
So
- t0)
i(t2 - t0)'
Отметим так же, что вклады с одной и той же ставкой г, но разными
(Щ, So"
начальными состояниями (t'o, S'o) и Щ
могут иметь пересекающиеся траектории. Пе-
ресечение будет иметь место, если уравнение
имеет решение t ^ t^t^.
Легко доказать, что при заданном началь-
ном состоянии (?q, Sq) любое другое началь-
начальное состояние (tfQ,So/f), лежащее внутри сек-
сектора, ограниченного траекторией с начальным
состоянием (tf0, Sq) и горизонтальным лучом
S = Sq, порождает траекторию (рис. 3.2), пере-
пересекающую траекторию с начальным состоянием
So-
Si-
U,Sn)
(t'0,Sf0)
рис ^ 2
Пример 3.4. Пусть счет с начальной суммой 7^100 при годовой ставке
20% открывается в момент времени t0 = 0. Спустя год открывается счет
с начальной суммой 7^110 и с той же ставкой. Найти момент времени, когда
накопленные суммы на обоих счетах сравняются.
Решение. Динамика этих счетов описывается уравнением
St = 100A + 0,2 • t) = 100 + 20t, t ^ 0,
для первого вклада и
St = 110A +0,2(t- 1)) = 88 + 22t, t ^ 1,
для второго вклада.
Накопления на обоих счетах совпадут в момент t, определяемый уравне-
уравнением
100 + 20t = 88 + 22t,
откуда следует, что t = 6.	¦
3.3. Приведение денежных сумм
в схеме простых процентов
В предыдущем параграфе мы изучали динамику процесса накоп-
накопления с фиксированной нормированной процентной ставкой. Процесс
процентного накопления является детерминированным процессом в том
смысле, что задание начального состояния полностью определяет

3.3. Приведение денежных сумм в схеме простых процентов	133
будущее поведение процесса (см. § 1.4). Эта детерминированность поз-
позволила определить понятие будущего или накопленного к моменту t
значения денежной суммы So, относящейся к моменту to- Данное
значение определяется соотношением
St = FVt(S0) = S0(l + Kt ~ to)), t > t0.	C.13)
В финансовой литературе говорят также о будущей или накоплен-
накопленной стоимости суммы So- Оператор будущей стоимости FVt позволя-
позволяет найти приведенное к будущему моменту t значение любой суммы So,
относящейся к моменту to или, как еще говорят, привести (преобразо-
(преобразовать) эту сумму к моменту t. Задавая такое преобразование, которое
определяется исключительно значением ставки г, мы приходим к более
общей точке зрения, чем при изучении динамики индивидуального
процесса процентного накопления.
По существу, мы переходим к рассмотрению семейства (класса)
всех таких процессов с общей ставкой накопления г. Формулу C.13)
при таком обобщенном подходе рассматриваем просто как закон пре-
преобразования событий или денежных сумм. Традиционно момент (буду-
(будущий), к которому приводятся (преобразуются, переносятся) денежные
суммы, называется одним из следующих терминов: моментом приведе-
приведения, полюсом, фокальной датой, моментом валоризации (см. § 1.5).
Валоризация означает оценивание, т. е. нахождение стоимости в за-
заданный момент времени.
Отметим, что процесс приведения полностью определяется коэффи-
коэффициентом роста
a(to,t) = l+i(t-t0),
который задает динамику накопления в схеме простых процентов.
Заметим, что процесс процентного накопления однозначно опреде-
определен не только в смысле будущих состояний по заданному начальному
состоянию, но имеется некоторая определенность относительно про-
прошлого. Более точно, текущее состояние (t, St) однозначно определяет
начальный капитал So, если известен начальный момент to процесса.
Конечно, предполагается известным также и основной параметр —
нормированная ставка г (ставка накопления). Это немедленно следует
из однозначной разрешимости уравнения динамики
St = S0(l+i(t-t0))
относительно So'.
$
(ЗЛ4)
Определение So по заданному состоянию (t, St) является задачей,
обратной той, что мы решали в предыдущем параграфе. Ее содержа-
содержательный смысл формулируется так: какую сумму нужно инвестировать
в момент to по ставке г, чтобы к моменту t накопить сумму St?

134	Гл. 3. Простые проценты
Сумма So называется текущей (дисконтированной, сегодняшней,
настоящей, приведенной) стоимостью суммы St, а оператор DVto
приведения St к моменту времени to — оператором текущей стоимости:
So = DVt0(St).
Если to = 0, то формула C.14) примет вид
Операция приведения к начальному моменту суммы St называется
дисконтированием этой суммы. Иными словами, данная операция
является обратной по отношению к рассмотренной выше операции
нахождения будущей или накопленной суммы.
Заметим, что текущее значение в момент to события или суммы Ct
в финансовой литературе обычно обозначают PVto(Ct). Однако в по-
последнее время это обозначение используется в более общей ситуации
как обозначение текущей стоимости суммы (события) в любой (не
обязательно прошлый) момент времени (см. определение оператора PV
ниже). Поэтому в тех случаях, когда нужно подчеркнуть, что речь идет
именно о прошлых (по отношению к данному событию) моментах, мы
будем использовать обозначение DVT(Ct). Обозначение DV является
сокращением от англ. Discount Value.
Коэффициент
где Т = t — to, называется коэффициентом дисконтирования в схеме
простых процентов. С его помощью оператор дисконтирования запи-
запишется в виде
DVto(St) = Std(t,to).	C.17)
Как и коэффициент роста, коэффициент дисконтирования зависит
только от разности Т = t — to, а не от моментов времени to и t
непосредственно. Это дает основание для введения одномерного или
стандартного коэффициента дисконтирования
1 + iT
так, что
d(t,to)=(h и DVtQ(St) = StdT.
В случае to = 0 выражение для коэффициента дисконтирования упро-
упрощается:
В этом случае оператор дисконтирования запишется в виде
DVo(St) = Stdt.

3.3. Приведение денежных сумм в схеме простых процентов	135
Обратная задача решается не только для модели накопительного
счета, но и в других ситуациях. Так, предприятие, нуждающееся в до-
дополнительных оборотных средствах, зная выручку, которую оно полу-
получит в результате реализации продукции в течение некоторого периода,
может определить максимальный объем займа, который оно в состоя-
состоянии себе позволить при условии своевременного покрытия долга.
Пример 3.5. Какую сумму необходимо вложить в настоящий момент to
сроком на 2 года под 5% годовых, чтобы накопить 7^1000?
Решение. Положим для простоты to = 0. Так как в данном случае S^ =
= ТгЮОО и г = 0,05, то
S	100°
So	90
и 1 + 2-0,05 1,1
Итак, семейство процессов роста с одной и той же ставкой порож-
порождает соответствующие операции преобразования (или приведения) фи-
финансовых событий как к будущим, так и прошлым моментам времени.
При этом переход к будущим моментам задается правилом
VT = FVT(Ct) = Cta(t, r) = Ct(l+ i(r - ?)), r^t,
а переход к прошлым моментам — правилом
VT = DVT(Ct) = Ctd(t, т) = 1+g_r), r<t.
Оба оператора можно объединить в рамках одного общего опера-
оператора приведения, называемого оператором текущей стоимости PVT,
который для любого события (t, С) определяется формулой
v = pv to = [FV^Ct) Cta^ r)' если Т
Л l) {DV(C) Cd(t) еслит<?.
Операция приведения событий к моменту времени г представлена
на рис. 3.3.
PV	PV
г1	гт	т/	?х
1	1
Рис. 3.3
Пример 3.6. Пусть в некоторой временной шкале сумма S\ = 7^200
относится к моменту t\ = 1, а сумма 52 = 7^600 — к моменту ?2 = 3. Найти
приведенные к моменту т = 2 значения этих сумм, если нормированная про-
процентная ставка г равна 20%.
Решение. Поскольку t\ < т, то приведенное к т значение S\ = 7^200
есть будущая стоимость этой суммы, т. е.
Vi = FV2(Si) = 200A + 0,2) = 240(?г).

136
Гл. 3. Простые проценты
Далее, так как ?2 > т, то приведенное к т значение S2 = 7^600 — текущая
(дисконтированная) стоимость этой суммы, т. е.
Vi = DV2(S2) =
600
= 5оо(тг).
1 +0,2
Введенному выше общему оператору приведения (текущей стои-
стоимости) PVT в схеме простых процентов соответствует обобщенный
коэффициент приведения или обобщенный коэффициент дисконти-
дисконтирования:
(a(t,r) прит>?;
v(t,r) = <
{d(t,r) при г <t.
Из очевидного соотношения
a(t,r)d(r,t) = 1
следует свойство самосопряженности коэффициента v(t,r) (см. § 1.5):
1
v(t,r) =
v(r,t)'
A.18)
Поскольку коэффициент v(t,r), как и коэффициенты a(t,r) и d(t,r),
зависит только от разности Т = т — t, то можно ввести (упрощенный)
одномерный коэффициент приведения
(а(Т) = 1 +гТ, если Т > 0;
VT V	\d(-T) = -	—, если Т < 0.
Свойство C.18) для коэффициента v(T) перепишется в виде
C.19)
С помощью обобщенных коэффициентов дисконтирования оператор
текущей стоимости представляется в виде
а(Т)
Vr = PVT(Ct) = Ctv(t,r) = CtvT.
График функции v(T) изображен
на рис. 3.4.
Заметим, что функция v(T)
непрерывно дифференцируема, по-
поскольку
у
1 -гТ)
т=о
График функции v(T), таким образом, «гладко склеен» из луча (гра-
(графика функции роста а(Т)) и графика функции d(—T).

3.4. Стандартная схема простых процентов	137
3.4. Стандартная схема простых процентов
Выше мы рассмотрели содержательную (интерпретированную) мо-
модель накопительного счета в схеме простых процентов. Объектом
изучения этой модели являются процессы процентного накопления,
определяемые начальным состоянием (to, So) и основным параметром —
нормированной ставкой (накопления) г. Процессы с одной и той же
ставкой г (в одной и той же временной шкале) являются, по опре-
определению, эквивалентными и составляют класс (эквивалентных между
собой) процессов. Все процессы этого класса описываются одним и тем
же законом накопления (капитализации)
St = Sto(l+i(t-to)).
Как указывалось в § 1.4, именно финансовый закон капитализации
(и связанный с ним закон дисконтирования) определяют абстрактную
модель данной финансовой схемы.
Поскольку рассматриваемая в этом параграфе схема простых про-
процентов предполагает заданной фиксированную нормированную про-
процентную ставку, то эту схему назовем стандартной или базовой схе-
схемой простых процентов, в отличие от общей схемы простых процентов
с произвольной (переменной) структурой процентных ставок.
Финансовая схема позволяет работать непосредственно с финансо-
финансовыми событиями и финансовыми потоками без упоминания о финансо-
финансовых процессах, «воплощающих» или «реализующих» эти законы. Такой
подход обеспечивает необходимую общность и гибкость в анализе раз-
различных «содержательных» моделей в рамках одной абстрактной схемы.
Ранее уже отмечалась частичная идентичность основных формул моде-
моделей простых сделок и накопительных моделей. Переход к абстрактной
схеме простых процентов позволяет опускать конкретные детали, обу-
обусловленные конкретной спецификацией содержательных моделей, и об-
обратить основное внимание на логическую структуру теории простых
процентов.
Финансовая схема (см. § 1.5) включает в себя, во-первых, прави-
правила преобразования (приведения) финансовых событий, и, во-вторых,
семейство отношений эквивалентности, позволяющих отождествлять
или, наоборот, различать денежные суммы и потоки платежей, относя-
относящиеся к различным моментам времени.
Опишем подробно схему простых процентов для финансовых со-
событий. Потоки платежей исследуем в последующих главах. Основ-
Основное внимание уделим именно процессу формализации схемы простых
процентов, т. е. того, каким образом получаются, выводятся правила
преобразования (приведения) событий и условия их эквивалентности.
Основу финансовой схемы простых процентов составляют финансо-
финансовые законы:

138	Гл. 3. Простые проценты
капитализации
A(t,p, С) = СA + i(p - ?)), p^t,	C.20)
и дисконтирования
,C)= 1+igp), P<*.	C.21)
Оба закона зависят от параметра г > 0 — процентной ставки, опре-
определяющей конкретный вид указанных финансовых законов.
С финансовыми законами единственным образом связаны преобра-
преобразования финансовых событий или датированных денежных сумм.
Закон капитализации позволяет находить будущие (т. е. приве-
приведенные к будущим моментам времени) значения событий (денежных
сумм):
Vp = FVp(t,C) = A(t,p,C).	C.22)
Закон дисконтирования позволяет находить дисконтированные
(т. е. приведенные к прошлым моментам времени) значения событий
(денежных сумм):
Vp = DVp(t, С) = D(t,p, С).	C.23)
В рамках абстрактной схемы простых процентов формулы C.20)-
C.23) определяют просто некоторый вид связи (преобразований) меж-
между финансовыми событиями и, строго говоря, не нуждаются в упоми-
упоминании о каких-либо финансовых процессах, лежащих в основе этих
финансовых законов. Тем не менее, для того чтобы результаты, полу-
полученные в рамках «абстрактной» схемы простых процентов, не носили
чисто формальный характер, по мере необходимости придадим им «со-
«содержательный смысл», интерпретируя их в терминах содержательных
моделей, таких, как модели кредитных сделок накопительного счета.
Свойства финансовых законов схемы простых процентов. Из
уравнений C.20), C.21) следует, что финансовые законы капитализа-
капитализации и дисконтирования удовлетворяют свойствам нормированности:
г
D(p,p,C) =	г	ч =с
^'Р' } 1+г(р-р)
для всех р и однородности относительно денежных сумм (см. § 1.4):
A(t,p,C) = C-A(t,p,l)
где
A(t,p, 1) = 1 + i(p - t)) = a(t,p),

3.4. Стандартная схема простых процентов	139
— коэффициент роста (капитализации);
— коэффициент дисконтирования.
Из условия однородности следует, что
A(t,p,C) = Ca(t,p)
D(t,p,C) = Cd(t,p).
Финансовые законы капитализации и дисконтирования удовлетво-
удовлетворяют свойству монотонности 3° из § 1.4. Иными словами, коэффици-
коэффициенты роста и дисконтирования возрастают относительно t и убывают
относительно р. При этом оба коэффициента являются непрерывными
функциями своих аргументов.
Как и в предыдущем параграфе, можно вычислить общий оператор
приведения событий к произвольному моменту времени р:
рК' } \DVp(t,C), p<t.
Нормированность законов капитализации и соответствующее ему свой-
свойство
а(р,р) =d(p,p) = 1
позволяет ввести общий коэффициент приведения (дисконтирова-
(дисконтирования)
(a(t,p), p^t,
{d(t,p), p<t,
который будет всюду непрерывной функцией. При этом очевидно, что
Законы капитализации и дисконтирования являются однородными
по времени или стационарными:
a(t + T,p + T) =a(t,p),
d(? + T,p + T) =d(t,p).
Естественно, что стационарным будет и общий коэффициент дис-
дисконтирования
(t + T
= v(t,p).
щенть
Ш ОД]
a(T) = 1 + iT,
Таким образом, все эти коэффициенты, являющиеся функциями
двух переменных, сводятся к функциям одной переменной:

140	Гл. 3. Простые проценты
v (T) = <
v У \d(T) T<0.
До сих пор мы не сказали, по существу, ничего нового. Мы просто
переформулировали определения и факты, связанные с процессом про-
процентного роста в абстрактном виде, для преобразований, порождаемых
финансовыми законами простых процентов.
Теперь перейдем к другим темам, которые мы раньше не затра-
затрагивали. Прежде всего отметим специфичность финансовых законов
схемы простых процентов, которая заключается в том, что эти законы
нетранзитивны (нерасщепляемы) в смысле § 1.5.
В самом деле, для закона капитализации a(to,t) имеем
a(to,T)a(T,ti) = [l+i(to-r)][l+i(ti-r)] =
= 1 + i(t0 - г) + i(ti - г) + i2(t0 - r)(ti - г).
Ясно, что полученное выражение не равно
a(to,t\) = 1 +i(tx -t0)
для любых г>Ои^о<т<^1. Случай г = 0, когда равенство
a(to,ti) =a(to,r)a(r,ti)
выполняется тождественным образом, не представляет практического
интереса, так как при г = 0 нет никакого наращения капитала.
Нетранзитивность закона капитализации (роста) в схеме простых
процентов является важным специфическим свойством этой схемы.
Содержательно оно означает привязанность процесса накопления к его
начальному моменту. Образно говоря, процесс накопления по простым
процентам всегда «помнит свой день рождения». В самом деле, прин-
принципиальным моментом накопления по простым процентам является то,
что проценты начисляются только на начальный (основной) капитал,
а на накопленные за предыдущие периоды «старые» проценты «новые»
проценты (проценты на проценты) не начисляются. С другой стороны,
текущее состояние включает в себя как основной капитал, так и накоп-
накопленные проценты. Поэтому знания текущего состояния (если оно не
начальное) недостаточно для определения последующих состояний,
необходимо уметь выделять из него данные о начальном капитале.
Если считать процентную ставку — основной параметр процесса про-
процентного роста — известной, то для этого достаточно знать началь-
начальный момент to — дату рождения процесса. Именно в этом смысле
мы говорим о наличии «памяти» у процесса накопления по простым
процентам. Оно и приводит к нарушению свойства транзитивности про-
процесса, поскольку смысл этого свойства состоит в том, что любое, а не
только начальное, состояние однозначно определяет все последующие
состояния процесса.

3.4. Стандартная схема простых процентов	141
Очевидно, что финансовый закон дисконтирования, как и закон
капитализации в схеме простых процентов, также не транзитивен.
В самом деле, для любого т, такого, что to < г < t\,
d(tUT)d(r,to) = l+i(tl_T) ' i+i(T-to) =
1
1 + i(ti - r) + i(r - t0) + i (ti - r)(r - t0)
Очевидно, что это выражение не равно
d(tuto)= 1 , .,) ,ч
1 + i{t\ — to)
при любом г ф 0. Случай г = 0 не представляет практического интереса.
Пример 3.7. Рассмотрим два долговых обязательства (векселя): с но-
номиналом 7^2500, сроком погашения через год, и с номиналом 7^3000, сроком
погашения через 2 года. Найти текущие стоимости этих обязательств, если
рыночная процентная ставка равна 25%, и стоимость 2-летнего обязательства
через год при сохранении того же уровня процентной ставки.
Решение. Текущая стоимость годового векселя
РУоB5ОО) = 25°° = 2ОООGг),
а двухлетнего —
РУо(ЗООО) = , /1°°° , = 2000(Тг).
Таким образом, текущие стоимости этих векселей (в момент t = 0) равны.
С другой стороны, через год текущая стоимость двухлетнего векселя
Дисконтирование к текущему моменту времени (t = 0) этой суммы даст
PVoB4OO) = ^^ = 1920Gг),
а не 7^2000. Текущей стоимостью в 7^2000 обладает годовой вексель с номи-
номиналом не 7^2400, а, как мы видели, вексель с номиналом 7^2500.	¦
Эквивалентность событий в схеме простых процентов. Перей-
Перейдем теперь ко второму аспекту схемы простых процентов — понятию
эквивалентности событий, т. е. денежных сумм, относящихся к различ-
различным моментам времени. Введенные выше правила приведения событий
(сумм) позволяют отождествлять или, наоборот, различать финансо-
финансовые события (денежные суммы). Естественно считать эквивалентными
события (суммы), приводящие к одному и тому же значению Vp относи-
относительно заданного момента времени р. Таким образом, имеем следующее
определение эквивалентности событий в схеме простых процентов.
Определение 3.3. Пусть i — заданная нормированная процент-
процентная ставка. Два события (t\,C\) и (^2, Сг) называются эквивалентны-

142
Гл. 3. Простые проценты
ми относительно момента (полюса) р и ставки г или р-эквивалент-
ными, если
PVp(d) = PVP(C2)
ИЛИ
Civ(ti,p)=C2v(t2,p).
Эквивалентность событий запишем в виде
Знак процентной ставки в обозначении эквивалентности часто будем
опускать.
Так, в примере 3.6 события A,72.2500) и B,72.3000) эквивалентны
относительно момента р = 0 и ставки г = 25%, поскольку текущие
(приведенные к моменту 0) стоимости сумм 72.2500 и 72.3000 равны од-
одному и тому же значению 72.2000. С другой стороны, событие B,72.3000)
будет эквивалентным событию A,72.2400) относительно момента р = 1,
но последнее событие не будет эквивалентным событию @,72.2000).
Для выяснения конкретного вида описанной выше эквивалентности
необходимо выделить три случая взаимного расположения рассматри-
рассматриваемых моментов времени p,t\ и ?2-
Пусть р < t\ < ?2- В этом случае оба события (t\,C\) и (^Сг)
имеют один и тот же «источник» — состояние (p,V), т.е. (to, Со) =
= (р, V). Таким образом, они будут эквивалентны тогда и только тогда,
когда их приведенные к начальному моменту значения совпадут:
PVp(d) = PVP(C2)
или
С-2
1 + i(t\ -р) 1 + i(t2 - р)'
Содержательно, с использованием процесса роста по ставке, этот
вид эквивалентности означает, что оба события лежат на одной траек-
траектории, порожденной событием (р, V) как начальным, т. е. р = to, V = So
(рис. 3.5 а).
, С2)
, С,)
О
Рис. 3.5

3.4. Стандартная схема простых процентов	143
Рассмотрим теперь второй случай, когда t\ < ?2 < Р- Оба события
(как начальные) порождают одно и то же накопленное к моменту р
значение V:
FVP(CX) = FVP(C2)
или
Содержательная интерпретация эквивалентности событий вовсе не
означает их принадлежность к одной инвестиционной траектории. Бо-
Более того, можно утверждать, что эти события обязательно порождают
разные траектории (в силу нетранзитивности процесса накопления
в схеме простых процентов). Событие (р, V), к которому они оба при-
приводятся, является единственной точкой пересечения этих траекторий
(рис. 3.5 6).
И, наконец, рассмотрим последний случай, когда t\ < р < t2. В этом
случае в содержательной интерпретации событие (t\,C\), как началь-
начальное, порождает событие (p,V), в свою очередь порождающее событие
(t2,Co). Таким образом,
V = FVp(Cl)
C2 = FVt2(V)
или
FVP(CX) = PVP(C2).
Отсюда следует, что
Снова можно утверждать, что события (t\,C\) и (^2, Сг) не лежат на
одной траектории (рис. 3.5 в).
Таким образом, содержательно, т. е. в терминах процесса роста,
эквивалентность событий относительно момента р будет означать их
принадлежность к одной траектории лишь в единственном случае,
когда момент р предшествует моментам обоих событий. Очень важно
помнить, что момент валоризации выступает в этом случае начальным
моментом, а событие (р, V) — начальным состоянием, порождающим
траекторию, которой принадлежат события (t\,C\) и (^Сг).
Введенное отношение эквивалентности событий действительно яв-
является отношением эквивалентности в формальном математическом
смысле. Иными словами — это рефлексивное, симметричное и транзи-
транзитивное отношение. Эти свойства немедленно следуют из определения
эквивалентности событий.
Рассмотрим теперь вопрос о геометрическом представлении (опи-
(описании) отношения эквивалентности событий. Поскольку финансовые
события изображаются точками на фазовой плоскости время-деньги,
то каждому классу эквивалентности, т. е. совокупности попарно эк-

144
Гл. 3. Простые проценты
Бивалентных между собой событий, соответствует определенный гео-
геометрический образ. Каждый такой класс представляется некоторой
гладкой кривой на плоскости, а семейство классов (фактор-множество
отношения эквивалентности) — семейством непересекающихся кривых,
заполняющих плоскость время-деньги.
Начнем с описания класса эквивалентности «единичного» события
(р, 1). Зафиксируем момент (полюс) р. Полагая
Ct :=v(p,t),
получим, что
Таким образом, класс эквивалентности события (р, 1) представляет
собой график функции v(p,t) по переменной t (p — параметр). Однако
!1 + i(t — р),	если t > р;
1	,
-	--	г,	если?<р.
\-i(t-p)
Таким образом, если сдвинуть график функции v(t), приведенный
на рис. 3.4, на р единиц вперед, то получим графическое представление
(геометрию) класса эквивалентности единичного события (р, 1), изоб-
изображенное на рис. 3.6.
Рис. 3.6
Рис. 3.7
Следовательно, все события, лежащие на графике, эквивалентны
единичному событию и, значит, эквивалентны друг другу. Естественно,
что класс эквивалентности события (р, С) получается умножением
класса эквивалентности единичного события на константу С. Таким
образом, графически это будет означать умножение графика, описы-
описывающего класс эквивалентности события (р, 1), на константу С. Ме-
Меняя С, получим различные классы эквивалентности. Таким образом,
вся плоскость разбивается на классы эквивалентности, изображаемые
кривыми, подобными графику функции v(t). Это разбиение (рис. 3.7)
представляет геометрическое описание или «портрет» отношения экви-
эквивалентности событий в схеме простых процентов.
Из-за неоднородной (склеенной) структуры этих кривых изменение
момента валоризации р приводит к изменению геометрической струк-

3.4. Стандартная схема простых процентов	145
туры классов эквивалентности, т. е. при изменении р, как легко видеть,
класс эквивалентности не переходит снова в класс эквивалентности,
его элементы распределяются по разным классам, т. е. исходный класс
разрушается.
Отмеченное выше свойство неоднородности структуры класса эк-
эквивалентности содержательно означает то, что только правый прямо-
прямолинейный участок — луч, начинающийся в точке (р, С), — является
реальной траекторией (фазовой кривой) процесса процентного накопле-
накопления в схеме простых процентов. Левый, криволинейный участок, лежа-
лежащий левее точки валоризации р, не соответствует никакому реальному
процессу накопления. Если взять
некоторое событие (to, Со), лежащее	Ci
на этом участке (to < р) графика,
то график процесса будет (рис. 3.8)
лучом с началом в этой точке, прохо-
проходящим через эквивалентную ей точ-
ку(р,С).
Поэтому операторы приведения
PVp (в частности FVP), применяемые
к одному и тому же событию, необя-	Рис. 3.8
зательно порождают последователь-
последовательность событий, лежащих на одной и той же траектории процесса
(с фиксированной ставкой). Тем не менее приведенные выше рассуж-
рассуждения позволяют определить специальную модификацию операторов
приведения, которая позволяла бы «двигаться» вперед и назад вдоль
некоторой фиксированной траектории.
Относительные (полюсные) преобразования финансовых со-
событий в схеме простых процентов. Введенное выше отношение
эквивалентности событий относительно полюса р позволяет ввести
так называемое относительное преобразование (приведение) событий
(см. § 1.5).
В самом деле, пусть события (t, С) и (г, V) эквивалентны относи-
относительно полюса р:
(t,C)l(r,V).
Используя обобщенный коэффициент приведения (дисконтирова-
(дисконтирования) v(t,p), можно записать условие эквивалентности этих событий
в виде
Cv(t,p) = Vv(r,p),
откуда получаем
У = с.уЩ	C-24)
v(r,p)	v '
Поскольку v(t,p) определено и отлично от нуля для всех t,p, то
на равенство C.24) можно смотреть как на определение некоторого

146	Гл. 3. Простые проценты
преобразования событий:
^ = Ct-^y	C.25)
Оператор PVr , преобразующий событие (?, С) в событие (r,VT),
называют относительным оператором текущей стоимости или опе-
оператором приведения относительно полюса р. Конкретный вид опера-
оператора относительного приведения зависит от взаимного расположения
трех моментов времени: t,p, т, участвующих в его определении. Всего
возможно 3!=6 различных упорядочений этой тройки. Мы не будем
выписывать соответствующие явные формулы. Читатель это легко сде-
сделает самостоятельно. Приведем лишь один вариант формулы C.25) для
случая р < t < т. В этом случае очевидно, что
т/ _ г 1 +г(т-р)
V-~Ct' l+i(t-p)'
Аналогично получаем и другие конкретные варианты формулы C.25).
Смысл этого оператора прост, он заменяет (при заданном г) собы-
событие (t, С) на эквивалентное ему относительно полюса р событие (г, V).
Поскольку коэффициент v(r,p) является самосопряженным, т.е.
v{p,r) = —(	г,
то равенство C.25) можно переписать в виде
VT = Ctv(t,p)v(p,T)
или в эквивалентном операторном виде
Vr = PVTM(Ct) = PVT(PVp(Ct)).
Таким образом, относительный оператор приведения представляет со-
собой композицию двух обычных операторов приведения
ру(Р) = Рут о PVp
Иными словами, событие сначала преобразуется к полюсу, а затем
к точке приведения г.
Нетранзитивность финансовых законов в схеме простых процентов
не позволяет заменить эту композицию одним оператором приведения
PVT, иначе говоря, этот оператор не «поглощает» оператор PVP при-
приведения к полюсу р. Как показано (см. § 1.5), транзитивные законы
обладают свойством поглощения, т. е.
PVToPVp = PVT,
так что для них относительный и обычный операторы приведения
совпадают. Это свойство выполняется, например, для схемы сложных
процентов, что делает ее существенно более простой (как это не
парадоксально звучит), чем схема простых процентов.

3.4. Стандартная схема простых процентов	147
Оператор относительного преобразования допускает простую ин-
интерпретацию для процесса накопления по простым процентам, если
в качестве полюса р взять начальный момент времени to- В этом случае
для t,r ^ to получим
т. е. событие (t, С) сначала приводится (дисконтируется) к начальному
моменту to, а затем — к некоторому другому моменту времени т. Таким
образом, оператор приведения PV} относительно начального момен-
момента to преобразует (связывает) состояния, лежащие на одной траектории
процесса с началом в to- Этот оператор действует «вдоль траектории»
процесса.
Пример 3.8. Рассмотрим накопительный счет, открытый в момент вре-
времени to = 0. Процентная ставка г по вкладу равна 20% годовых. Известно, что
к концу третьего года сумма вклада составила 7^1600. Найти сумму вклада
в конце а) 2-го; б) 5-го годов.
Решение. Поскольку речь идет о конкретном вкладе, то решение легко
получается с помощью относительного оператора текущего значения:
а)	S2 = PV2°(S3) = 1600 ¦ | ^ о'2C - 0) = Ы00(-ПУ'
б)	55 = PV5°(S3) = 1600¦
Пример 3.9. Вкладчик за 2 года накопил при ставке 20% годовых 7^210.
На сколько увеличится вклад за следующие 3 года?
Решение. Пусть начальный момент времени выбран нулевым. Тогда по
условию
Ясно, что начальная величина вклада
91П
s0 = pvo(s2) = 1+022 = 150(тг).
Тогда через 5 лет B+3 года) сумма вклада составит
#5= 150A+0,2-5) = 300(?г).
Таким образом, за последние 3 года вклад возрастет на сумму
Этот результат можно было бы получить сразу, найдя проценты, начислен-
начисленные за последние 3 года. Они составят
h= 150-0,2-3 = 90(?г),
т. е. те же 90 долларов. Конечно, было бы ошибкой находить их умножением
ставки за 3 года
г3 = 0,2 • 3 = 0,6
на сумму $2, которая кроме начального капитала содержит и проценты за
первые 2 года. Напомним, что в схеме простых процентов начисление про-
процентных сумм осуществляется только на начальную величину капитала (долга
и т. п.).	¦

148	Гл. 3. Простые проценты
Финансовые потоки в схеме простых процентов. Перейдем те-
теперь к анализу денежных потоков в рамках схемы простых процентов.
Рассмотрим сначала операцию приведения потока к заданному полюсу.
Простейший вид такой операции — так называемое формальное приве-
приведение (см. § 1.5) потока, являющееся просто линейным продолжением
операции приведения отдельных событий.
Определение 3.4. Пусть
CF = {(tuCl),(t2,C2),...,(tn,Cn)}
— финансовый поток. Тогда стандартным приведенным к полюсу р
значением потока, обозначаемым через PVP(CF), называется сумма
приведенных к полюсу р значений событий, составляющих этот поток:
PVP(CF) = ? PVp(Ck).
k=\
Приведенное значение потока называют также текущим значением
или текущей стоимостью относительно полюса р, а оператор приве-
приведения PVP — оператором текущей стоимости.
Конкретный вид стандартного приведенного значения зависит
от положения полюса р относительно критических моментов потока.
Так, при
t\ < t2 < ... < tm < р < tm+i < ... <tn
получим
pvp(CF) = f;ck(i + i.(p-tk))+ t i ¦ Л? -„v C-26)
Временная диаграмма операции приведения потока изображена на
рис. 3.9.
Пример 3.10. Для потока
CF = {A,100), B, -200), C,100), D,-120), E,700)}
найти стандартную текущую стоимость в точке р = 3 относительно ставки
г = 20%.
Решение. Используя формулу C.26), имеем
PV3(CF) = 100A + 0,2 • 2) - 200A + 0,2) +
+
1 +0,2 1 +0,2-2
=400.

3.4. Вопросы и упражнения	149
В частности, когда полюс следует за всеми критическими момента-
моментами потока, т. е.
U <t2,... <tn <р,
стандартное приведенное значение называют также будущим стан-
стандартным значением или стандартной будущей стоимостью. В этом
случае оператор приведения PVP записывают как FVP:
к=\
На практике часто встречается и двойственный случай, когда полюс
предшествует всем критическим моментам потока, т. е.
р < t\ < t2,... < tn.
В этом случае говорят о стандартной дисконтированной (текущей,
сегодняшней) стоимости потока и пишут
DVJCF) = У 	^	г.
На этом мы закончим изложение схемы простых процентов. Здесь
мы ограничились в основном анализом лишь отдельных событий и вве-
ввели только одно понятие, касающееся финансовых потоков. Однако
финансовые потоки естественным образом появляются в анализе кре-
кредитных операций и играют при этом очень важную роль. Ниже мы
рассмотрим финансовые потоки более подробно, сначала содержатель-
содержательно в рамках так называемых моделей с переменным капиталом, а затем
с более общей точки зрения.
Вопросы и упражнения
1.	Укажите, что имеется общего и в чем состоит различие между форму-
формулами простых процентов для моделей индивидуальной сделки, простого класса
сделок и накопительного счета.
2.	Укажите три интерпретации нормированной процентной ставки в схеме
простых процентов.
3.	Какой вид имеет траектория состояний накопительного счета в схеме
простых процентов? Могут ли пересекаться эти траектории для вкладов с раз-
различными начальными условиями: а) если моменты открытия счета совпадают?
б) если моменты открытия счета различны?
4.	Определите основные операторы преобразования (приведения) событий
в схеме простых процентов. Выпишите выражение для общего коэффициента
дисконтирования.
5.	Опишите геометрическую структуру классов эквивалентности финансо-
финансовых событий.
6.	Опишите стандартную схему простых процентов.

150	Гл. 3. Простые проценты
7.	Дайте определение оператора относительного приведения. Запишите его
представление в виде композиции обычных операторов приведения и докажите,
что он обладает свойством поглощения.
8.	Дайте определение стандартного текущего значения потока платежей
относительно полюса р в схеме простых процентов.
Задачи
1.	Найти накопленное значение суммы 7^500 за 1 мес. для годовой простой
процентной ставки 24%.
2.	Найти обычные и точные простые проценты за 90 дней для вклада 7^800
по ставке 15% годовых в невисокосном году. Правило АСТ/360.
3.	Фирма внесла в коммерческий банк 7^8 млн на срок с 9 ноября по
21 ноября того же года. На вклады «до востребования» банк начисляет простые
проценты — 36% годовых. Определите наращенную сумму. Правило АСТ/365.
4.	Каков размер вклада, если накопленная сумма за б мес. при годовой
простой ставке 5 % равна 7^2050?
5.	Для события C, 7^500) в годовой шкале найти эквивалентные ему
события в моменты 0; 2; 9 относительно полюса 2 и простой процентной ставки,
равной 20% годовых.
6.	Инвестор открывает накопительный счет в банке. Простые проценты
за 9 лет составили 7^97200, а сумма вклада на конец 9-го года в два раза
превышает сумму вклада на конец 3-го года. Какая сумма была инвестирована
и какова годовая процентная ставка?
7.	При какой простой процентной ставке текущая стоимость двух выплат
по 7^200 в конце каждого из двух лет равна текущей стоимости одной выплаты
в 7^500 в конце 2-го года?
8.	Для потока
CF = {A,100), C, -500), E,200)}
в схеме простых процентов найти стандартные текущие значения для моментов
О, —1, 3, 4, 5, относительно нормированной ставки 20%.

Глава 4
МОДЕЛИ С ПЕРЕМЕННЫМ КАПИТАЛОМ
В СХЕМЕ ПРОСТЫХ ПРОЦЕНТОВ
Анализируя модель накопительного счета (см. гл. 3), мы рассматри-
рассматривали лишь один счет. На практике, конечно, вкладчик может открыть
не один, а несколько счетов в одном или разных банках и, что,
пожалуй, самое важное, в разные моменты времени.
Также во всех рассмотренных выше моделях простых кредитных
сделок, в частности, в модели накопительного вклада, величина ин-
инвестируемого капитала считалась неизменной, хотя в реальной жизни
происходят как довложения денег на счет, так и их изъятия в различ-
различные моменты времени.
Оба эти случая объединяются тем, что, начиная с некоторого мо-
момента времени после начального момента to, меняется сумма денег, на
которую происходит начисление по схеме простых процентов. Следова-
Следовательно, для финансового анализа этих случаев уже нельзя применять
непосредственно модели, рассмотренные в предыдущей главе.
Строгое описание методов анализа соответствующих этим случаям
финансовых схем приводит фактически к моделям с переменным капи-
капиталом в схеме простых процентов. Формализация таких моделей и их
детальный анализ и является целью настоящей главы.
4.1. Модель мультисчета в схеме простых процентов
Если вкладчик открывает несколько срочных вкладов, то он ини-
инициирует несколько одновременных кредитных сделок. С точки зрения
банка открытие вкладов различными вкладчиками также есть некото-
некоторое семейство сделок.
Каждая из таких сделок или отдельный накопительный счет может
анализироваться с помощью описанных в предыдущих параграфах ме-
методов. Однако будет естественным желание получить некоторые обоб-
обобщенные (интегральные) характеристики семейства сделок или счетов.
Так, вкладчика, открывшего несколько счетов, может интересовать
вопрос об общей сумме накоплений на этих счетах. Точно так же инве-
инвестору, желающему приобрести портфель государственных краткосроч-
краткосрочных обязательств (ГКО) с заданными сроками погашения, например,
для обеспечения тех или иных будущих платежей, необходимо знать
величину требуемого капитала, т.е. стоимость такого портфеля.

152 Гл. 4. Модели с переменным капиталом в схеме простых процентов
В простейшем случае способ построения такой модели сводится
просто к перечислению всех сделок, счетов, ценных бумаг и т. д. с од-
одновременным указанием их временных и финансовых характерис-
характеристик, необходимых для определения одной или нескольких обобщенных
показателей.
Говоря о наборе или семействе объектов, математики часто назы-
называют их векторными объектами или векторами. Для задания вектора
необходимо указать все его компоненты, или элементарные составляю-
составляющие и порядок их следования. Тогда открытие п накопительных счетов
описывается вектором их начальных состояний
/+ ц\ ((Л\) оО)\ //B) оB)\	(Лп) ^(п)чч
(to,ooj —1л?0 , ?0 ),{t0 ,ь0 ),..., (tQ ,ь0 )),
где финансовое событие (ц \ Sq ^) задает начальное состояние fc-ro
счета; здесь и ниже для упрощения записи используется обозначение
q(k) _ q(k)
Векторную модель для конечного набора накопительных счетов
назовем моделью мультисчета, а отдельные счета, составляющие
мультисчет, т. е. его компоненты — субсчетами.
Таким образом, начальное состояние мультисчета представляет со-
собой просто дискретный финансовый поток. В принципе, в качестве
начального состояния может быть взят любой поток CF:
В этом случае говорят, что мультисчет порожден потоком CF.
Ниже более подробно рассмотрим именно эту модель. Однако тер-
термин «модель мультисчета» будем применять и в более общей ситуации,
говоря и о других семействах кредитных сделок, в частности, при фор-
формировании портфеля ценных бумаг инвестором, кредитного портфеля
банком и т. д.
Возвращаясь к собственно модели мультисчета, заметим, что дина-
динамика финансового процесса, связанного с субсчетом к (к = 1, 2,..., п),
описывается основной формулой простых процентов:
Sik) = S^k\t) = S^(l+ik(t-ik))).	D.1)
Кроме того, начальный момент, начальная сумма и, что наиболее
существенно, процентная ставка могут быть различными для различ-
различных субсчетов.
Возникает теперь вопрос: в каком смысле мы можем говорить
о состоянии мультисчета в данный момент времени? На первый взгляд,
это есть просто вектор, компоненты которого являются состояниями
субсчетов, а именно, вектор

4.1. Модель мультисчета в схеме простых процентов	153
Однако здесь есть некоторая тонкость, связанная с тем, что, строго
говоря, состояние fc-ro субсчета определено лишь для моментов вре-
времени t ^ ?q . Поскольку начальные моменты у различных субсчетов
различны, то заранее неясно, для каких t считать определенным вектор
состояний.
Одним из способов разрешения этой коллизии состоит в так на-
называемом тривиальном расширении — приеме, часто используемом
в математике и ее приложениях. Будем считать состояния субсчетов
всюду определенными, принимая, что субсчет к — нулевой до момента
его открытия (к = 1,2, ...,п). Тогда в качестве нового состояния суб-
субсчета к примем
gKk) = )	°	D 2)
\о при t<t^k).
В этом случае становится корректным определение состояния мульти-
мультисчета как вектора
с _ /сО) сB)	о(п)\
для любого момента времени. Тогда с учетом D.1) и D.2) векторная
динамика мультисчета будет описываться системой уравнений
0	при t <Жк\ к= 1,2, ...,п.
Описав состояния мультисчета и динамику его изменения, введем
те обобщенные характеристики, с неформального определения которых
начался этот параграф.
Назовем полной величиной или полной суммой мультисчета в мо-
момент времени t сумму состояний его субсчетов:
St = t, Щк)-	D.4)
к=\
Полная величина (сумма) мультисчета (или коротко полный счет)
в каждый момент времени характеризует общую сумму накоплений
инвестора, открывшего эти счета.
Из D.3) и D.4) очевидно, что
St= E S{ok\l+ik(t-4k))).	D.5)
Пример 4.1. Пусть вкладчик в начале года открывает в первом банке
накопительный вклад с начальной суммой 7^1000 и ставкой 10% годовых,
а в конце года во втором банке — вклад с начальной суммой 7^2000 и ставкой
15% годовых. Какую сумму накопит вкладчик через полгода? К концу 2-го
года?

154 Гл. 4. Модели с переменным капиталом в схеме простых процентов
Решение. В данном случае имеем мультисчет, состоящий из двух суб-
субсчетов. Выбирая за начало отсчета начало 1-го года, в соответствии с D.3)
получим систему уравнений:
для динамики мультисчета
?tA) = 1000A +о,и)(тг),	t ^ о,
S{tl) =0,	t < 0,
f} = 2000A+ 0,15(t- 1))Gг), t> 1,
для полного счета
= 0,	?<0,
st = 1000A + о,it)(тг),	о< t< i,
KSt = 1000A+0,lt) +2000A+0,15(t- 1))Gг), t> 1.
Таким образом, к концу полугодия полный счет составит
#о,5 = 1000A+0,1 -0,5) = 1050(?г),
а к концу 2-го года
S2= 1000A+0,1 -2)+ 2000A+0,15- 1) = 1200 + 2300 = 35ООGг). ¦
Понятие полного счета позволяет обобщить на случай финансового
потока определенную выше для отдельных событий операцию приведе-
приведения, связанную с капитализацией и дисконтированием и соответству-
соответствующими им операторами будущего и текущего значений.
Рассмотрим поток финансовых событий
CF = {(tuC{),(t2,C2),...,(tn,Cn)},
и вектор процентных ставок i = (i\, i2,..., in).
Пусть г > t\,t2,... ,tn — момент приведения, будущий по отноше-
отношению ко всем критическим моментам потока.
Будущим (накопленным) к моменту г значением мультисчета
назовем полное значение ST (полную сумму) мультисчета в этот мо-
момент времени. Будущее значение мультисчета, порожденного потоком
CF, будем обозначать символом FV^mult(CF). Согласно D.5) можно
записать
FV™ult(CF) = JT FVr(Ck),
k=\
где FVT(Ck) — будущее (накопленное) значение в момент г субсчета
с начальным состоянием (tfc,Cfc).
Заметим, что определение будущего значения зависит от вектора i
процентных ставок. Следовательно, строго говоря, оператор будущего
значения должен записываться в виде FVT(CF,i).
В частном случае, когда все ставки одинаковы, то говорят о буду-
будущем значении относительно этой ставки. Именно этот случай и рас-
рассматривается наиболее часто. В этом случае будущее значение муль-

4.1. Модель мулыписчета в схеме простых процентов	155
тисчета, порожденного потоком CF, совпадает со стандартным буду-
будущим значением этого потока в схеме простых процентов (см. §3.4):
FV™uli(CF) = FVT(CF).
Смысл описанной выше операции достаточно очевиден. Он полно-
полностью характеризуется понятием полной суммы мультисчета и означает
замену распределенных по времени сумм единственной, финансово-
эквивалентной им, суммой, относящейся к некоторому будущему мо-
моменту времени т.
Наконец, используя определенный в предыдущей главе общий опе-
оператор текущего значения, мы можем определить текущее значение
мультисчета, порожденного потоком CF, формулой
к=\
Отметим, что момент приведения г в принципе произволен, т. е. он
может как предшествовать моменту tk, к которому относится сумма Ск
из потока CF, так и следовать за ним.
Как мы помним,
(Ск(\ + гк(т - tk)), если г > tk,
PVT(tk,Ck) = {	Ск
l
Таким образом, если момент приведения г удовлетворяет условию
t\ < t2 < . . . < tk < Г < tk+\ < ... <tn,
то
к	п	^
j = \	j=k+\	j^ j
Чаще всего D.6) используется для момента приведения т, предшеству-
предшествующего всем моментам событий потока. В этом случае
PVmuli(CF) = V 	—-		D 7)
Это значение часто называют дисконтированным значением денеж-
денежного потока CF.
В случае совпадения ставок i\ = i2 = ... = in = i, как и для буду-
будущего значения, текущее значение мультисчета, порожденного потоком
CF, совпадает со стандартным текущим значением этого потока
в схеме простых процентов:
PV™ult(CF) = PVT(CF).
Такая операция дисконтирования используется, в частности, для
нахождения текущей стоимости портфеля долговых обязательств, на-

156 Гл. 4. Модели с переменным капиталом в схеме простых процентов
пример, облигаций, векселей, и т. д. Так, с ее помощью решается задача
о сумме инвестиций, необходимых для обеспечения потока платежей,
порождаемого выплатами номинала облигаций, погашаемых в момен-
моменты tk потока.
Пример 4.2. Пусть на рынке имеются два типа облигаций с номиналом
7^1000 и погашением в точности через год и через два года. Предположим, что
инвестор желает обеспечить себе поток доходов в 7^3000 в конце 1-го и 7^5000
в конце 2-го годов. Какую сумму должен вложить инвестор в портфель обли-
облигаций, если ставка процентов составляет 10% годовых (для любого срока)?
Решение. Искомый портфель состоит из трех годовых и пяти двухлет-
двухлетних облигаций и дисконтированная (т. е. приведенная к начальному моменту)
стоимость портфеля
PV0 =	+	" = 2727,27 + 4166,67 = 6893,94(?г).	¦
Интерпретация общего вида приведения D.6) более трудна. Фор-
Формально, как и частные случаи будущего и дисконтированного значений,
общее выражение позволяет заменить поток событий (платежей) одним
«эквивалентным» событием (суммой) относительно заданного семей-
семейства ставок (или одной ставки).
Содержательный смысл как самой операции, так и замещающего
поток события, неочевиден. Однако такое приведение часто использу-
используется при так называемой реструктуризации кредитных контрактов.
Более подробно об этом будет сказано при обсуждении схем погаше-
погашения долга. Сейчас отметим лишь факт наличия некоторой формально
корректной процедуры приведения финансовых потоков, описываемой
обобщенным оператором текущего значения. С математической точки
зрения этот оператор есть линейный оператор на классе денежных
потоков, т. е. для него должны выполняться следующие легко проверя-
проверяемые свойства:
CF2) = PV™ult(CF{) + PV™ult(CF2)	D.8)
PV™ult(aCF) = aPV™ult(CF),	D.9)
где а — любое действительное число.
Использование векторной структуры в модели мультисчета подразу-
подразумевает взаимную независимость субсчетов. Суммирование состояний
этих счетов при определении обобщенной интегральной характеристи-
характеристики мультисчета и соответствующей ей операции приведения (капи-
(капитализации и дисконтирования) — лишь один из способов перехода
от анализа отдельных событий (сумм) к их потокам. Такой подход
уместен, когда описываемые сделки и, вместе с ними, участвующие
в них суммы не связаны между собой, как это есть, например, в случае
портфеля долговых активов (облигаций, вкладов и т.д.). Однако на
практике нередко встречаются случаи, когда такой независимости нет.
Например, когда в рамках одной единственной сделки рассматриваются
сразу несколько сумм.

4.2. Бинарные модели	157
В § 1.5 оператор приведения PVT, полученный линейным продолже-
продолжением, т. е. простым суммированием текущих стоимостей отдельных со-
событий, для моделей, в которых отсутствует «независимость» отдельных
сумм потоков, был назван формальным оператором приведения. Таким
образом, для таких моделей термины «стандартный» и «формальный»
являются синонимами.
4.2. Бинарные модели
Ниже мы рассмотрим более общие модели накопительных счетов,
разрешающие довложения (т.е. дополнительные инвестиции), приво-
приводящие к увеличению инвестируемого капитала. С другой стороны, для
некоторых счетов допускается изъятие суммы со счета. Если случай
довложения анализируется достаточно просто, то изъятие суммы с на-
накопительного счета приводит при анализе состояния вклада к опреде-
определенным трудностям. Разберем отдельно случаи довложения и изъятия
капитала.
4.2.1. Довложения капитала
Пусть вкладчик открывает накопительный счет на 7^1000 под 10%
годовых. Для простоты расчетов будем полагать, что to = 0. Если
через год он вносит дополнительно 7^1000, то какова будет сумма
вклада через 2 года? Трудность этой задачи или, скорее, ее необыч-
необычность состоит в том, что проценты на 2-й год должны начисляться
и на дополнительный взнос. Решение поставленной задачи может быть
осуществлено двояким образом.
С одной стороны, можно рассматривать внесение дополнительной
суммы как открытие нового счета с той же процентной ставкой. Это
приведет к модели мультисчета, описанной в предыдущем параграфе.
Начальный и новый счета тогда можно рассматривать как два субсче-
субсчета одного общего счета (мультисчета) инвестора. В таком случае
понятие «сумма счета через 2 года» будет относиться именно к этому
общему счету. Дальше все просто. Накопленная стоимость начального
счета к концу 2-го года
Sf} = 1000A +0,1 -2) = 1200(?г);
накопленная сумма по новому (открытому в конце 1-го года) счету
s\l) = 1000A +0,1 • l) = поо(тг).
составит
s\
Здесь верхние индексы 0 и 1 в скобках обозначают состояния соответ-
соответственно начального и нового счетов.
Тогда к концу 2-го года общая сумма на обоих счетах, т. е. сумма
общего счета,
52 = si0) + S[l) = 1200 + 1100 = 2300(?г).

158 Гл. 4. Модели с переменным капиталом в схеме простых процентов
В модели мультисчета счета, открываемые отдельными взносами,
рассматриваются как независимые. Полная сумма на общем счету
получается сложением соответствующих сумм на отдельных субсчетах.
Таким образом, п последовательных вложений дадут п различных
счетов.
Однако такая модель, вообще говоря, непригодна при работе с
одним счетом, и именно этот случай имеется в виду, когда говорят
о довложении или изъятии средств. Поэтому ниже мы рассмотрим
модель, формализующую операции с одним и тем же накопительным
счетом. В этой модели наиболее четко и явно представлено основное
свойство схемы простых процентов, состоящее в том, что проценты
за период начисляются лишь на основной (инвестированный) капитал,
так что проценты на проценты предыдущих (прошлых) периодов не
начисляются. Это свойство естественным образом требует разделения
накопительного счета на две компоненты: основной счет (счет капита-
капитала), который определяется только вносимыми суммами, и процентный
счет, который учитывает начисленные на инвестированный капитал
проценты. При этом сами проценты вычисляются и накапливаются
последовательно по периодам от одного вложения до следующего.
Поясним это на том же примере.
Обозначим через Р± сумму на основном счете к моменту времени t.
Вначале она равна 7^1000, т.е.
р0 = юоо(тг).
К концу 1-го года на основной счет будут начислены проценты за год:
h =/([о,1)) = юоо-0,1 • 1 = юо(тг).
После дополнительного взноса сумма на основном счете станет
рх = 2ооо(тг)
и именно на эту сумму будут начислены за 2-й год проценты
/([1,2)) = 2000 • 0,1 • 1 = 200(?г).
Полная сумма процентов за 2 года составит
h = /([о,2)) = /([о, 1)) + /([i,2)) = mo + 200 = зоо(тг).
Учитывая сумму основного счета и начисленные за 2 года проценты,
мы получим
#2 = Р\ + h = 2000 + 300 = 2300(?г),
т. е. тот же результат, что и при рассмотрении мультисчета.
Рассматривая проценты, начисленные за определенные периоды вре-
времени, мы в качестве промежутков брали открытые справа полуин-
полуинтервалы вида [а, Ь). Проценты за период зависят только от длины

4.2. Бинарные модели	159
промежутка, но не от конкретного его вида, т. е. очевидно, что для
любых t2 > t\ > to проценты за период от t\ до ^ равны
/([tbt2]) = /(М2)) = '((*ь*2)) = /((*ь*2]) = ЛгТ,
где Р\ — состояние основного счета в момент t\ и Т = ?2 —t\. При этом
предполагается, что в период (ti,^) не было никаких вложений или
изъятий капитала. Строго говоря, для процентных периодов следовало
бы использовать полуоткрытые слева промежутки (см. § 1.2). Однако
в силу отмеченного выше равенства выбор конкретного типа проме-
промежутка несуществен, и мы будем использовать замкнутые промежутки
(отрезки).
Модель разделения на основной и процентный счета. Перейдем
теперь к общему описанию второй накопительной модели, которую
назовем бинарной моделью. В этой модели текущее состояние сче-
счета St определяется состояниями Pt основного и It процентного счетов,
а именно,
St = Pt + It.	D.10)
Процентный счет дает общую сумму процентов, начисленных за
весь период от начального момента to до текущего t момента:
It=I([to,t])=I(to,t).	D.11)
На состояние основного счета влияют лишь дополнительные взно-
взносы Сь, при этом
Pt= Е <3ь t>t0,	D.12)
а состояние процентного счета определяется суммой процентов, начис-
начисленных за критические промежутки до момента t и за остаток времени
от момента последнего взноса до текущего момента t. Таким образом,
если tk — момент последнего взноса, предшествующий моменту t, то
причем
ЩЫ) РАЪ-Ъ-1). j=l2,...,k,	D.14)
t]) = Ptki(t-tk).	D.15)
Проиллюстрируем на примере применение модели мультисчета и би-
бинарной модели.
Пример 4.3. Инвестор в начале года открывает накопительный счет сум-
суммой 7^1000. Затем в течение 10 лет в конце каждого года вносит дополнительно
по 7^100. Какая сумма будет на счету инвестора через 10 лет, если процентная
ставка по счету — 10% годовых?
Решение. Решим задачу двумя способами. Используем сначала модель
мультисчета.

160 Гл. 4. Модели с переменным капиталом в схеме простых процентов
Взнос, сделанный вначале в момент времени to = 0, через 10 лет увеличит-
увеличится до
s$ = 1000A+0,1 • 10) = 2ооо(тг).
Взнос в 7^100, сделанный в конце k-го года, вырастет к концу 10-го года до
S$ =7г100A+ 0,1A0 -к)), к = 1,2,..., 10.
Таким образом, в конце 10-го года полная сумма счета
ю	ю
?ю = J2 ^о} = ^2000 + 7г100(^A + 0,1A0 - к))).
к=0	к=\
Преобразуя сумму в правой части последнего равенства, получим
ю	ю
^A +0,1A0- к)) = 10 + 0,1 51A0-fc).
к=\	к=\
Кроме того, имеем, что
10	9
k=l	j=\
Таким образом,
?ю = 2000 + 100A0 + 0,1 • 45) = 2000 + 1450 = 3450(?г).
Решим теперь задачу, используя модель разделения счета на основной
и процентный, т. е. бинарную модель.
В начальный момент to = 0 имеем
р0 = юоо(тг).
Проценты за 1-й год составят
/([о,1]) = юоо-0,1 • 1 = юо(тг).
В конце 1-го года после взноса величина основного счета станет
Pi = поо(тг),
а проценты за 2-й год, начисленные на эту сумму, составят
/([1,2]) = поо-0,1 • 1 = по(тг).
Таким образом, состояния основного счета связаны рекуррентными соот-
соотношениями
Рк = Рк-1+П\00, к = 1,2,..., 10,
откуда следует, что
рк = тгюоо + тгюо/с, к = i,2,..., 10.
Проценты за промежуток [к,к+ 1]
1([к,к+ 1]) = Р/с-0,1 • 1 =0,1Рь к = 0,1,..., 9.
Следовательно, в конце 10-го года на основном счете будет
Рш = 1000 + 100 • 10 = 2ОООGг),
а на процентном
/ю = /([0,10]) = ? 1([к, к+\]) = 0Л^ГРк =
к=0	к=0
9	9
= 0,1 5^A000+ 100&) = 1000+ 10-^fc= 1450(?г).

4.2. Бинарные модели	161
Суммируя оба счета, получим
Sio = Pio + /io = 345OG?).
Таким образом, получили тот же результат.	¦
Несколько позже мы сформулируем общую теорему в терминах
потоков платежей, из которой эквивалентность двух подходов опре-
определения полной суммы накоплений будет вытекать непосредственно.
Сейчас же перейдем к более тонкому вопросу об изъятиях (снятиях)
сумм с накопительного счета.
4.2.2. Изъятия капитала
Как и в предыдущем случае, сначала разберем эту ситуацию на
конкретном примере.
Пусть вкладчик открыл счет с начальной суммой 1ZI000 и процент-
процентной ставкой 10% годовых. Для упрощения расчетов снова примем, что
to = 0. Если по истечении года вкладчик снимет со счета 7^200, то
какова будет сумма счета в конце 2-го года, если больше он никаких
действий (вложений или изъятий) не осуществлял?
Из условия ясно, что к концу 1-го года непосредственно перед
изъятием на счете будет
1000A +0,1 • 1) = поо(тг).
Изъятие уменьшит счет на 7^200, т. е. на счете останется
Si = 1100-200 = 900(?г).
Теперь основной вопрос состоит в следующем. На какую сумму
должны начисляться проценты за 2-й год? На первый взгляд ответ
очевиден: на оставшуюся часть вклада. В этом случае сумма счета
в конце 2-го года станет
52=900A+0,1. 1) = 990(?г).
Однако требование начисления процентов на остаток в 7^900 вносит
некоторую асимметрию по сравнению с добавочными взносами. Чтобы
увидеть это, дадим несколько другую интерпретацию изъятиям. Пусть
в конце 1-го года инвестор не снимает со счета 7^200, а берет кредит
в другом банке на эту же сумму и под те же 10% годовых. Подсчи-
Подсчитаем теперь «баланс» вкладчика на конец 2-го года. Поскольку теперь
начальный вклад в первом банке не изменится, то к концу 2-го года на
счету будет
1000A +0,1 -2) = 1200(?г).
С другой стороны, на заем «набегут» проценты и вкладчик будет
должен второму банку
200A +0,1-1) = 220(?г).
6 П. П. Бочаров, Ю.Ф. Касимов

162 Гл. 4. Модели с переменным капиталом в схеме простых процентов
Тогда после снятия денег со счета для оплаты расходов по кредиту
у вкладчика останется
1200- 220 = 980(?г).
Как мы помним, начисление процентов на остаток даст инвестору
в итоге 7^990, что на 7Z10 больше, чем вариант с кредитом!
Легко видеть, что вариант с кредитом (вместо изъятия) полностью
аналогичен рассмотренному выше случаю с дополнительными взноса-
взносами, если изъятия трактовать как займы. С формальной точки зрения
это просто модель мультисчета, в которой первый платеж, открываю-
открывающий счет, имеет положительное значение, а изъятие трактуется как
«отрицательный платеж». Общий итог этих действий будет описывать-
описываться результирующим накопленным (будущим) значением мультисчета,
состоящего из двух субсчетов:
52 = 1000A +0,1 -2)-200A +0,1-1) = 980(?г).
Модель с основным и процентным счетами также не нуждается
в корректировке, если только под изъятием понимается уменьшение
основного счета (счета капитала). Именно здесь и разрешается упо-
упомянутое выше «противоречие». В самом деле, если считать, что 7^200,
снятых в конце 1-го года, уменьшили лишь основной счет, то мы
получим последовательно
р0 = юоо(тг)
рх= 8оо(тг).
Проценты за 1-й год тогда составят
/([о, 1]) = юо(тг),
а за 2-й
/([1,2]) = 80Gг).
Это в сумме дает 7^180, а вместе с основным счетом в точности
800+ 180 = 980(?г),
что совпадает с результатом для случая кредитного изъятия.
Таким образом, изъятия для накопительной модели в схеме простых
процентов — тонкая процедура. Поскольку суть простых процентов
состоит в том, что они начисляются лишь на инвестируемый капитал,
а ранее начисленные проценты при этом начислении не учитываются,
то такая схема заранее предполагает раздельный учет инвестиций
(вкладов, взносов и т. п.) и начисленных на них процентов. Поэтому
при добавлении и снятии сумм необходимо указывать счета, на которые
зачисляются или с которых снимаются денежные суммы. Если вне-
внесение дополнительных сумм неестественно зачислять на «процентный
счет», то для снятия сумм ответ далеко не однозначен.

4.2. Бинарные модели	163
На практике банки часто периодически выплачивают проценты по
вкладу. Такие выплаты не меняют основной счет (начальный вклад), но
при каждой выплате «обнуляют» процентный счет. В нашем примере
уменьшение за счет снятия 7^200 наращенного за год значения 7^1100
до 7^900 равносильно снятию 7^100 с процентного и 7^100 с основного
счетов. Таким образом, основной счет в этом случае уменьшается лишь
на 7^100, а не на 7^200 как при «кредитном снятии» в модели муль-
тисчета.
Различие между изъятиями лишь с основного счета и изъятиями,
затрагивающими процентный счет, весьма существенно. Пусть в усло-
условиях нашего примера с начальным счетом в 7^1000 и ставкой 10% годо-
годовых ежегодно снимается 1Z100. Если это изъятие лишь с процентного
счета, то основной счет не меняется и может существовать сколь угод-
угодно долго (пока выполняются упомянутые условия). Если же изъятия
осуществляются с основного счета, то он ликвидируется (обнуляется)
за 10 лет, а процентный счет при этом достигает наибольшего значения
и больше не меняется.
Возвращаясь к нашему последнему примеру с изъятием суммы
7^200 в конце 1-го года, заметим, что расхождение в 1Z10 между двумя
способами вычисления состояния счета в конце 2-го года обусловлива-
обусловливается разными способами определения суммы, на которую начисляются
проценты.
В первом случае, состоящем в начислении процентов на остаток
счета, по существу подразумевается, что начисление производится на
остаток полного счета St, включающего и проценты, так что начисле-
начисление на 7^900 оставшихся после изъятия 7^200 с накопленной суммы
1ZI100 только на первый взгляд можно считать начислением на остаток
основного счета. Обычно в подтверждение того, что это — начисление
на остаток основного счета, ссылаются на то, что первые 7^100 пошли
на погашение процентов (и тем самым процентный счет становится
нулевым), а остальные 7^100 уменьшают основной капитал с 7^1000
до 7^900. Утверждать это — фактически означает, что принято вполне
определенное правило вычисления остатка основного счета, состоящее
в том, что при изъятии сумм сначала уменьшается процентный счет,
а затем основной. Однако для изъятий, размер которых не превышает
величину накопленных процентов, это сразу же приводит к различию
между полным и основным счетами.
Допустим, что инвестор снял со счета 7^50, а не 7^200. Тогда, сле-
следуя указанному правилу, «в остатке» получим 7^1000 основного и 7^50
процентного счетов. Ясно, что начисление на остаток в 7^1050 полного
счета означает не только начисление на 7^1000 основного счета, но
и на 7^50 процентного, т.е. начисление процентов на проценты. Это
противоречит самой схеме простых процентов и фактически приводит
к использованию сложных процентов. Оставаясь в рамках простых
процентов и используя способ разделения счета на основной и процент-
процентный, согласно этому правилу, проценты придется начислять лишь на

164 Гл. 4. Модели с переменным капиталом в схеме простых процентов
7^1000 основного капитала. Такое утверждение можно сформулировать
в общем виде как принцип простых процентов. В формализованном
виде его можно записать в виде равенства
I[t,t + T] = PtiT,	D.16)
означающего, что проценты за любой период времени [t, t + Т] начис-
начисляются (при отсутствии промежуточных поступлений или изъятий)
только на основной счет Pt и никак не зависят от накопленных до
начала периода процентов, т.е. от величины It.
Коммерческое и актуарное правила. Итак, обычное утверждение
о том, что простые проценты подразумевают начисление лишь на ос-
основной капитал, в общем случае неполно, поскольку ничего не говорит
о способе определения величины основного капитала при вложениях
и изъятиях. На практике чаще всего используются два способа опре-
определения величины (или сальдо) основного счета.
Первый способ все внешние операции (т. е. вложения и изъятия)
относит только к основному счету, а процентный счет при этом не из-
изменяется. Это правило обычно называют коммерческим. Оно сохраняет
полную симметрию между взносами и изъятиями. При этом динамика
счета полностью описывается уравнениями D.10)—D.15).
Второе правило совпадает с коммерческим при взносах, но изъятие
всегда начинается с процентного счета, а основной счет уменьшается
лишь на превышение изымаемой суммы над процентной. Это правило
разрушает симметрию между взносами и изъятиями. Его называют
актуарным правилом или правилом США (USA-rule). В этом слу-
случае уравнения D.10)—D.15) корректно описывают динамику модели
только при условии неотрицательности начального состояния Pq
и всех элементов С& входного потока. Иными словами, речь идет
только о довложениях. Изъятия приводят к другим соотношениям для
основного и процентного счетов. Точные формальные правила как для
вложений, так и изъятий будут получены ниже.
С изъятиями связана еще одна сложность. Что делать, если сни-
снимаемая сумма больше основной для коммерческого правила или боль-
больше полной — для актуарного правила? С формальной точки зрения,
конечно, никаких трудностей нет. Провести все вычисления можно,
если допустить отрицательные значения для основного, процентного
и полного счетов. Труднее их содержательная интерпретация. Фак-
Фактически изменение знака основного счета означает изменение ролей
участвующих в сделке лиц. Вкладчик (кредитор), снимая со счета сум-
сумму, большую, чем остаток счета, становится должником (дебитором)
банка. На практике такая возможность реализуется в так называемом
контокоррентном счете. Такой счет позволяет владельцу иметь вре-
временный отрицательный баланс (овердрафт). Однако процентная ставка,
которая в этом случае становится для банка ставкой по кредиту, обыч-

4.2. Бинарные модели	165
но больше, чем ставка по положительному балансу, т. е. депозитная
ставка.
Ниже ради простоты рассмотрим лишь модели, в которых обе став-
ставки (кредитная и дебетовая) совпадают. Такие модели обычно называют
симметричными (относительно процентной ставки).
Работа с контокоррентными счетами означает, строго говоря, отход
от интерпретации модели счета с переменным капиталам как накопи-
накопительной модели. С более общей точки зрения можно допускать для
счетов состояния любого знака, т. е. рассматривать наравне с накопи-
накопительными и ссудные счета. Для ссудных счетов изъятия интерпрети-
интерпретируются как взятие дополнительной ссуды. В этом случае с ними нет
проблем, тогда как внесение средств на счет (довложение) означает
погашение долга, а оно приводит для ссудного счета к тем же пробле-
проблемам, что изъятие средств с накопительного счета. В дальнейшем будем
работать с любыми счетами, поэтому прилагательное «накопительный»
будем, как правило, опускать и говорить просто о счете с переменным
капиталом, фонде и т. п. Такие счета будут порождаться произволь-
произвольным потоком платежей
в котором начальное событие означает открытие счета в момент to
с начальной суммой (вклада или ссуды) Со, а остальные события
представляют внешние действия со счетом, т. е. дополнительные вло-
вложения или изъятия средств со счета.
В дальнейшем для простоты модель счета с переменным капиталом
в схеме простых процентов, состояния которого определяются согласно
коммерческому правилу, назовем коммерческой моделью. Аналогично
модель, для которой состояния счета определяются по актуарному
правилу, — его актуарной моделью.
Формально состояние счетов (основного, процентного и полного)
для коммерческой модели описываются уравнениями D.10)—D.15). Ис-
Исходя из этих уравнений, теоретически обоснуем ранее упоминавшийся
и численно подтвержденный факт, сущность которого состоит в том,
что величина полного счета в момент t в коммерческой модели должна
совпадать с будущим значением (усеченного до этого момента) потока
платежей, связанного с данным счетом, в модели мультисчета. Сфор-
Сформулируем это утверждение в виде теоремы и докажем ее.
Теорема 4.1. Пусть счет порождается потоком платежей
CF = {(to,Co),(tuCl),...,(tn,Cn)}
и процентной ставкой г. Кроме того, пусть P(t) и I(t) суть состояния
основного и процентного субсчетов в момент t,
S(t) = P(t)

166 Гл. 4. Модели с переменным капиталом в схеме простых процентов
есть состояние счета в этот момент времени. Тогда при коммерческом
правиле определения состояния счета
S(t)=FVt(CF\t)
для любого момента t ^ to, где
FVt(CF\t)= Yl Ck(l+i(t-tk))
есть стандартное накопленное к моменту t значение начального отрезка
CF\t потока платежей CF, а в отрезок CF\t входят лишь те платежи,
которые делались до момента t (включительно).
Доказательство. Обозначим через
Pk = P(tk), Sk = S(tk), Ik=I(tk)
состояния счетов в критические моменты времени tk. Положим также
Jm = I([tm-utm])=iPm-lTm,	D.17)
где Тш = tm — tm-\ — длина этого промежутка, Jm — проценты за
критический промежуток [tm-\,tm],.
Очевидно, что	ш
Далее, пусть t (t > to) — произвольный момент времени. Тогда он
попадет в некоторый промежуток tk ^t < tk+\ (если t^Tn, то tn+\ =
= +оо). Согласно коммерческому правилу
P(t)=Pk, tkK:t
Согласно этому же правилу для tk ^t < tk+\
S(t) = P(t) + I(t) = Pk + Ik + I(tk, t),
где
k	k
h = J2 Jm = Yl iPm-\Tm
m=\	m=\
—	сумма процентов Jm за критические периоды [tm-\,tm], предшеству-
предшествующие t,
I(tktt) = iPk(t-tk)
—	проценты за неполный промежуток [?&,?]. Таким образом,
= Pk(l+i(t-tk))+ J2 Jm-	D.18)
771=1

4.2. Бинарные модели	167
Согласно определению будущего значения
Учитывая, что
t-tj = (t-tk) + (tk-tj)t
получим
FVt{CF\t)=(J2C^){\+i{t-tk)) + J2iCj{tk-tj). D.19)
Vj=o /	j=o
Так как
то первые слагаемые в формулах D.18) и D.19) совпадают. Покажем,
что совпадают и вторые слагаемые.
Поскольку согласно D.16)
m=j+l
ТО
к	/к	\	к к
Y^icA y, Tm)=Y, E iC^m-
j=0	\m=j+l / j=0m=j+l
Меняя порядок суммирования в правой части последнего равенства,
получим
j=0m=j + l	m=l j'=0
/с / m—\ \	к	к
= E M E Ci T- = E ^m-lTm = E ^m-
771= 1 V J=0	/	771=1	771=1
Таким образом,
S{t)=FVt{CF\t),
что и требовалось доказать.	¦
Последнее уравнение допускает еще одну интерпретацию. Для
фиксированного потока платежей CF, порождающего счет с пере-
переменным капиталом в коммерческой модели, состояние счета для мо-
моментов t, следующих за всеми критическими моментами потока, т. е.
t^t\,t2,...,tn> определяет также будущее (или накопленное) значение

168 Гл. 4. Модели с переменным капиталом в схеме простых процентов
потока CF в коммерческой модели. Это значение естественно обозна-
обозначить как FVtcom(CF). Таким образом,
FVtcom(CF) = S(t, CF), t ^ tu t2, . • •, tn.
Заметим, что в данном случае поток CF играет роль внешнего пара-
параметра для порождаемого им финансового процесса (см. § 1.4).
Доказанная выше теорема устанавливает факт совпадения коммер-
коммерческого и стандартного операторов будущей стоимости:
FVtcom(CF) = FVt(CF).
Таким образом, все три оператора будущей стоимости: стандарт-
стандартный, мультисчетный и коммерческий — совпадают. Заметим, однако,
что, как будет показано ниже, оператор текущей стоимости в ком-
коммерческой модели уже не будет совпадать со стандартным.
Перейдем теперь к описанию актуарного правила (правила США).
Сначала детально, по шагам, разберем это правило, а затем дадим его
краткое формальное описание.
Как уже отмечалось выше, в актуарном правиле изменение состо-
состояния счета начинается с обработки процентного счета, и лишь потом
изменяется основной счет. При описании правила мы будем исполь-
использовать стандартную интерпретацию счета с точки зрения его вла-
владельца. Положительный баланс означает наличие собственных денег
вкладчика, а отрицательный — заемных средств, т. е. владелец счета
является в этот момент должником. Соответственно в этом случае
будут интерпретироваться довложения (взносы) и изъятия средств. При
положительном балансе смысл этих операций очевиден. Исключением
является снятие большей суммы, чем на счете (овердрафт), и, сле-
следовательно, переход к противоположному по знаку балансу, т. е. от
депозита к займу. При отрицательном балансе положительные поступ-
поступления (взносы) означают погашение долга, а отрицательные (изъятия)
увеличение долга. Как и в случае коммерческого правила, рассмотрим
симметричную модель, т. е. будем считать ставку независящей от знака
(вида) сальдо счета. Таким образом, и для кредитового (положительно-
(положительного), и дебетового (отрицательного) сальдо начисление осуществляется
по одной и той же ставке.
Пусть счет порождается потоком платежей
CF = {(to,Co),(U,Cl),...,(tn,Cn)}
и процентной ставкой г. Пусть также Р&, /&, Sk, Jk имеют тот же смысл,
что и выше. Покажем, как изменяются значения этих переменных
с течением времени под действием потока.
При t = to начальное состояние очевидно:
So = Ро = Со, Io = Jo = О,
поскольку никаких накопленных процентов в начальный момент нет.

4.2. Бинарные модели	169
Пусть теперь Р/с-ь h-\> Sk-\ ~ состояния счетов в (критический)
момент tk-\, т.е. после последнего по времени платежа Ck-\. Най-
Найдем новое значение этих переменных в момент tk после реализации
платежа С&. Определение этих значений, т.е. переход из предыдущего
состояния в новое текущее, состоит из ряда «микрошагов». Сначала
определяются проценты J& за последний (текущий) период [tk-\,tk\-
Поскольку в схеме простых процентов проценты начисляются только
на основной капитал, то
где Tk = tk — tk-\ — длина текущего критического периода.
Определив J&, мы можем найти накопленные к текущему момен-
моменту tk проценты:
h = h-\ + Л-
Поскольку при актуарном правиле значение процентного счета обяза-
обязательно изменяется, то накопленные к моменту tk проценты мы обозна-
обозначим через Гк, а через Ik — окончательное (завершенное в смысле § 1.2)
состояние процентного счета. Итак, в новых обозначениях
Теперь сравним Гк и С&. Если они одного знака (точнее, не про-
противоположны по знаку), т.е. 1кСк ^ 0, то переход осуществляется так
же, как в коммерческом правиле, т. е.
В противном случае, т. е. когда
1'кСк < О,
возникает существенная для актуарного правила ситуация. Рассмотрим
сначала случай
гк > о, ск< о,
который интерпретируется как снятие суммы \Ck\ (Ck < 0!) при
положительном балансе Гк > 0 процентного счета. В актуарном правиле
снятие сумм начинается обязательно с процентного счета (сначала
снимаются проценты). Здесь также имеются две возможности. Сни-
Снимаемая сумма \Ck\ меньше (по абсолютной величине), чем величина
накопленных процентов Гк, т.е.
ICfel < К,
и тогда
IL + Ск > О

170 Гл. 4. Модели с переменным капиталом в схеме простых процентов
либо больше или равна сумме процентов, т. е.
и, значит,
Гк+СкК: 0.
В первом случае процентных денег достаточно для снятия суммы
\Ck\ и, следовательно, уменьшением этого счета до величины
переход завершается, и основной счет не изменяется. Таким образом,
окончательно имеем
ik = i'k + ck = /fc-i + Jfc + ck (> о),
Во втором случае снимаемая сумма |С&| превышает величину про-
процентного счета, поэтому необходимо недостающую сумму |С&| — Гк
снять с основного счета:
Рк = Pfc_, - (|Cfc| - Гк) = Pfc_, + Гк + Ск.
Ясно, что исчерпание процентного счета требует его «обнуления»:
4 = 0.
Итак, во втором случае, т. е. при
I'k+Ck^ 0,
имеем
4=0,
Рк = Рк-\ + h-i + Jk + Ск.
Естественно, во всех случаях по определению
Sk=h + Pk-
Совершенно аналогично рассматривается случай /[ < 0 и ft > 0,
интерпретируемый как погашение долга. В этом случае также сравни-
сравниваются по абсолютной величине накопленные проценты \Гк\ и взнос Ck-
Если величина взноса недостаточна для уплаты накопленных процен-
процентов, т. е.
1'к + Ck < 0,
то изменяется лишь процентный счет, и он уменьшается до
1к = Гк + Ск,
а основной счет не меняется:

4.2. Бинарные модели	171
В противном случае, когда взнос не меньше, чем проценты, его
превышение составит
ск-\гк\ = ск + гк,
и на эту сумму увеличивается основной счет:
Рк = Рк-\ +1'к + Ск = Рк-х + 4_1 + Л + Ск.
В обоих случаях
Sk = Ik + Pk.
На этом описание перехода от одного критического состояния
к другому завершается. Изменение состояния счетов внутри критиче-
критического периода, т. е. в моменты без каких-либо внешних воздействий,
подчиняется обычному правилу процентного роста, т. е. основной счет
не меняется, а процентный изменяется пропорционально продленному
времени. Так, если Рк,1к — последнее критическое состояние, относя-
относящееся к моменту времени tk, и в период (tk,t) никаких поступлений
и изъятий не было, то
Формально актуарную модель можно описать кратко следующим
образом.
Для t = О полагаем
Ро = So = Co
и
/0 = Jo = 0.
Переход от tk-\ к tk задается реккурентными соотношениями
Л = Pk-iiTk, Гк = 4_1 + Л,	D.20)
где Тк = tk -tk-\.
Если Гк и Ск не противоположны по знаку, т. е. 1кСк ^ 0, то
ik = гк = ik_, + jk,
Рк = Рк_1+Ск.	D.21)
В противном случае A'кСк < 0) при совпадении знаков Гк + Ск и 1'к
изменяем процентный счет
1к = Гк + Ск,	D.22)
а основной счет не меняется:
Рк = Рк-1-	D.23)
Если знаки Гк + Ск и Гк противоположны, то изменяем основной счет
Рк = Рк-х+1'к + Ск	D.24)

172 Гл. 4. Модели с переменным капиталом в схеме простых процентов
и обнуляем процентный счет:
h = 0.	D.25)
Наконец, полагаем (для всех альтернатив)
Sk = Pk + Ik.	D.26)
Заметим, что во всех случаях
Sk = 5fc_! + Jk + Ck = 5fc_,(l +i-Tk)+ Ck.
Еще раз отметим важность порядка работы со счетами в актуарном
правиле. Сначала находятся текущие, затем накопленные проценты,
потом последние сравниваются с текущим платежом потока и в зави-
зависимости от результата сравнения по выше указанным правилам обраба-
обрабатываются процентный и основной счета. Таким образом, в отличие от
коммерческого правила, в котором при переходе от одного критического
состояния к другому процентный и основной счета обрабатываются
независимо друг от друга, в актуарном правиле изменения этих счетов
тесно связаны друг с другом. Однако и в том, и в другом случаях со-
соблюдается основной принцип простых процентов, состоящий в том, что
проценты Jk за текущий период Т& начисляются только на величину
основного счета Рк-\ в начале текущего периода. Именно этот аспект
дела позволяет оба правила относить к схеме простых процентов.
Равенства D.20)-D.26) дают значения остатков счетов в любой
критический момент времени. Если же t - некритический момент
времени, то tk < t < tk+\ для некоторого к. При этом, если t > tn, то
tk+\ = +oo. В этом случае полагаем
= рк,
I(tk, t) = h + iPk(t - tk),
S(t) = P(t) + I(t).	D.27)
Для заданного потока CF, порождающего счет с переменным ка-
капиталом, можно положить для t > t\,t2,... Лп
FVtaci(CF) = S(t,CF).
Этим мы определяем понятие будущей стоимости потока платежей
в актуарной модели. В частности, можно аналогично уравнению D.19)
для коммерческой модели записать
где CF\t — начальный отрезок порождающего потока CF. Заметим,
что, как было показано выше, актуарный оператор будущей стоимости
FVtact уже не совпадает со стандартным оператором FVt.
Рассмотрим пример, иллюстрирующий оба правила.

4.2. Бинарные модели	173
Пример 4.4. Пусть вкладчик открывает счет с начальной суммой
в 7^1000 и процентной ставкой 20% годовых. Полагая to = 0 и считая допу-
допустимым отрицательное сальдо счета (основного и полного), найти по обоим
правилам (коммерческому и актуарному) состояния счета на конец года для
каждого из 5 лет, если операции вкладчика со счетом описываются потоком
(в годовой шкале)
CF = {A,200), B,-1500), C,900), D, -200), E,100)}.
Считаем, что при отрицательном сальдо основного счета процентная ставка (по
кредиту) также равна 20% годовых.
Решение. Сначала решим задачу для случая, когда состояния счета
в моменты вложений и изъятий сумм определяются по коммерческому правилу.
Тогда согласно коммерческому правилу состояние Рк основного счета на конец
к-го года
к
Pk = J2CJ=Pk-i+Ck> A; =1,2,..., 5.
3=0
Следовательно,
Pi = 1000 + 200= 1200(?г),
р2 = 1200 - 1500 = -зоо(тг),
Рз = -300 + 900 = 600(?г),
Р4 = б00-200 = 400(Тг),
Р5 = 400+ 100 = 5ООGг).
Для состояния Ik процентного счета на конец к-го года имеем, что
к
h= E Jm = h-i + Jk, fc=l,2,...,5,
т=\
где /о = 0 и Jk — проценты за к-й год, т. е.
Jk=iPk-l-l=iPk-u Л=1,2,...,5.
Следовательно,
h = h-i + iPk-u к= 1,2,..., 5.
Тогда
/i =0,2- 1ООО = 2ООGг),
h = 200 + 0,2 • 1200 = 440(?г),
/3 = 440-0,2-300 =
h = 380 + 0,2 • 600 = 500(?г),
Для полной суммы счета Sk на конец к-го года имеем
Sk = Pk + h, к= 1,2,..., 5.
Таким образом,
Si = 1200 + 200= 1400(?г),
^ = -300 + 440= 140(?г),

174 Гл. 4. Модели с переменным капиталом в схеме простых процентов
#5 = 500 + 580= 1080(?г).
Решим теперь задачу для актуарного правила. В этом случае проценты Jk
за k-й год по-прежнему вычисляются по формуле
Jk = iPk-u k= 1,2,..., 5,
а величины Рк и Ik основного и процентного счетов соответственно вычис-
вычисляются, как мы уже определили выше, по формулам D.20)-D.2б), имеющим
различный вид в зависимости от того, является ли Ск вкладом на счет или
изъятием со счета.
Так как в конце 1-го года вкладываются 7^200, то состояния основного,
процентного и полного счетов определяются как
Pi = Ро + Сх = 1000 + 200 = 1200(?г),
h = I[ = Ji= 0,2 • 1000 = 200(?г),
Si=Pi+Ii = 1200 + 200 = 1400Gг).
Проценты за 2-й год составляют
J2 = 0,2- 1200 = 240(?г).
Тогда величина 1'2 = I\ + J2 процентного счета станет
200 + 240 = 440Gг).
Но эта величина меньше 7^1500, которые изымаются в конце 2-го года, на
7^1060, и, следовательно, недостающие на процентном счете деньги снимаются
с основного счета, т.е. вычитаются из Р\. Таким образом, имеем, что в конце
2-го года
Р2 = Р\ + (I\ + J2 + С2) = 1200 + D40 - 1500) = 1200 - 1060 = 140(?г),
/2 = 0
и
s2 = p2 = ноGг).
Проценты за 3-й год составляют
J3 = 0,2- 140 = 28(?г).
В конце 3-го года вкладываются 7^900, поэтому для состояний всех трех счетов
имеем
Р3= 140 + 900= 1040(?г),
/з = 7г28,
S3= 1040 + 28= 1068Gг).
Проценты за 4-й год равны
J4 = 0,2- 1040 = 208(?г).
В конце 4-го года изымаются 7^200, но при этом
1[ + С4 = /3 + Ja + СА = 28 + 208 - 200 = 236 - 200 = 36 > 0.
Поэтому получаем, что
РА = 1040(?г),
h = зб(тг)
и
SA= 1040 + 36= 1О7бGг).

4.2. Бинарные модели
175
За 5-й год проценты составят
0,2- 1040 = 208Gг).
В конце 5-го года вкладываются 7^100, поэтому получаем
Ръ = 1040+ 100= 1140(?г),
#5= 1140 + 244= 1384(?г).	¦
В заключение отметим, что при практическом (ручном) применении
описанных выше правил, полезно и удобно оформлять вычисления
в виде таблицы состояний (табл. 4.1).
к
0
к
п
Т
0
тк
тп
с
Со
ск
Сп
р
Ро
Рк
Рп
J
Jo
Jk
Jn
I
I'k
In
Габлр
/
Io
h
In
ma 4.1
S
So
Sk
Sn
Столбцы таблицы соответствуют найденным переменным состояни-
состояниям, включая вспомогательные переменные: текущие Jk и накопленные
(до модификации) Гк проценты, длину текущего промежутка Т& и т. д.
Строки нумеруются по критическим моментам, соответствующим оче-
очередным платежам Ск входного потока CF.
Каждая строка описывает состояние счета, соответствующее кри-
критическому моменту, номер которого совпадает с номером строки. При
этом значения главных переменных Ik,Pk,Sk соответствуют завер-
завершенному состоянию, т. е. состоянию счета после реализации текуще-
текущего платежа и всех требуемых изменений. Начальная (нулевая) стро-
строка соответствует начальному состоянию счета, причем значения всех
переменных (кроме, возможно, Ро = So = Co) равны 0. Заполнение
таблицы осуществляется последовательно сверху вниз в соответствии
с правилами перехода от состояния к состоянию в зависимости от
рассматриваемой модели.
Пример 4.5. Составить таблицу состояний для примера 4.2 в случае
актуарного правила.
Решение. Описание состояний для данного примера задается табл. 4.2.

176 Гл. 4. Модели с переменным капиталом в схеме простых процентов
Таблица 4.2
к
0
1
2
3
4
5
С
1000
200
-1500
900
-200
100
Р
1000
1200
140
1040
1040
1140
J
0
200
240
28
208
208
/'
0
200
440
28
236
244
/
0
200
0
28
36
244
S
1000
1400
140
1068
1076
1384
В этом примере опущен столбец длин критических промежутков, посколь-
поскольку все они имеют одну и ту же длину, равную одному году.	¦
На практике, кроме перечисленных в табл. 4.1 столбцов, использу-
используют и другие, вспомогательные столбцы. Так, учитывая аддитивность
процентов в коммерческом правиле:
Е Jk = Е ipk-i
fc=l	k=\
D.28)
соответственно текущие J& и накопленные /& проценты не вычисляют-
вычисляются, а вычисляются «заготовки» вида
In =
которые лишь в конце умножаются на величину ставки г. К тому
же, если предусмотрено конкретное «временное правило» (см. § 1.6),
например АСТ/365, а ставка, как это принято на практике, задается
в процентах (%), а не долях единицы, то, учитывая равенства
n=Dk
где
365'
— число дней в fc-м периоде, и
г(%) „ Dk г\
100	365 36500
в качестве «заготовок» вычисляются величины
Pk-iDk,
= Е
к=\

4.2. Вопросы и упражнения	177
которые по окончании вычислений умножаются на число
36500'
называемое процентным ключом. Такой подход экономит вычисления,
устраняя ненужные на промежуточных шагах умножения на «ключ».
Конечно, экономия достигается только в том случае, когда знания про-
промежуточных состояний действительно не нужно. В противном случае,
конечно, нельзя избежать упомянутых умножений.
Замечание. Собственно процентным ключом в финансовой ли-
литературе [1, 15] называется число
_ 365
г
или, в общем случае
К=-,
г
где Y — годовой «дивизор» (т.е. принятое число дней в году), а число
"~ 100
называется процентным числом (или весом).	?
Все эти детали имели значения в докомпьютерную эпоху руч-
ручных вычислений. Сейчас эти величины и связанные с ними способы
упрощения вычислений потеряли свое практическое значение, а их
использование оправдано, пожалуй, лишь при решении упражнений
по финансовой математике. Мы коснулись этих понятий лишь для
«полноты картины». Нашей целью, как было отмечено в предисловии,
является, прежде всего, изложение фундаментальных принципов фи-
финансовой математики.
Вопросы и упражнения
1.	Опишите мультисчетную модель в схеме простых процентов. Дайте яв-
явное выражение для состояния полного счета в произвольный момент времени.
2.	Определите операторы будущей и текущей стоимостей потока платежей
в мультисчетной модели.
3.	Как определяется будущее (накопленное) к моменту т значение мульти-
счета, порожденного потоком CF? Текущее значение?
4.	Что такое стандартный или формальный оператор текущего значения
для модели мультисчета?
5.	Опишите алгоритм последовательного нахождения состояния счета с за-
заданным порождающим потоком в коммерческой и актуарной моделях.
6.	Приведите общее выражение состояния полного счета в коммерческой
модели с использованием порождающего этот счет потока платежей.

178 Гл. 4. Модели с переменным капиталом в схеме простых процентов
Задачи
1.	В день своего 40-летия бизнесмен открывает накопительный пенсионный
счет в пенсионном фонде. Ставка накопления фонда равна 15% в валюте
($). Бизнесмен вносит $500 в конце каждого полугодия. Какова будет сумма
накоплений к моменту выхода бизнесмена на пенсию? (Предполагается, что
пенсионный возраст — 65 лет).
2.	Вкладчик открывает 25.01.96 счет на сумму 7^5000; 13.03.96 он снимает
со счета 7^2000, а 17.06.96 дополнительно вкладывает 7^1500. При условии,
что больше не было никаких других вложений или изъятий, а процентная
ставка счета составляет 20% годовых, найти состояние счета на 31.12.96:
а) в коммерческой модели; б) в актуарной модели. При расчетах использовать
банковское правило.
3.	Пусть счет с переменным капиталом (в годовой шкале) порождается
потоком
CF = {@,2000), A,-1000), B,1000), C, -2000)}.
Найти состояние счета в моменты t = 1, 2, 3, 4, 5 для коммерческой и актуар-
актуарной моделей, если ставка счета равна 50% годовых.
4.	Рассматривается обыкновенная ежемесячная рента сроком в 1 год с оди-
одинаковыми платежами по 7^500 в конце каждого месяца. Найти накопленную
к концу года стоимость ренты в коммерческой и актуарной моделях, если
процентная ставка равна 24% годовых.
5.	Рассматривается следующий поток из ежемесячных платежей:
Найти накопленную к моменту t = 1 стоимость потока в коммерческой и ак-
актуарной моделях, если процентная ставка равна 48% годовых. Выписать соот-
соответствующие таблицы состояний.
6. Вкладчик открывает в начале года, т.е. 1.01, счет на сумму 7^500,
а первого числа каждого нечетного месяца добавляет к счету 7^500. Для
какого из временных правил — ACT/365, ACT/360, 30/360 состояние счета на
31 декабря этого же года будет наибольшим: а) в актуарной; б) в коммерческой
модели? Предполагается, что ставка по счету составляет 24% годовых и год
невисокосный.

Глава 5
ОБОБЩЕННЫЕ КРЕДИТНЫЕ СДЕЛКИ
И СХЕМЫ ПОГАШЕНИЯ ДЛЯ ПРОСТЫХ
ПРОЦЕНТОВ
Выше мы рассмотрели модели накопительного счета, учитывающие
не только процесс начисления процентов, но и внешние операции со
счетом (довложения и изъятия). Если исходить из дословного смысла
понятия накопительного (сберегательного) счета, то следует считать
начальное состояние счета положительным (вкладчик открывает счет,
внося некоторую сумму денег). Дальнейшая жизнь счета определяется
намерениями вкладчика. В типичном случае вкладчик более или менее
регулярно делает довложения, а иногда — изъятия. Если целью вклад-
вкладчика было накопление нужной суммы, он может закрыть счет, сняв
с него всю сумму накоплений. В любом случае естественно считать
значение начального состояния вклада положительным (имея в виду,
что вкладчик открывает счет, внося некоторую сумму денег).
При этом формально в модели допустимы изъятия, превышающие
сумму основного счета (при коммерческом правиле) и полного счета
(при актуарном правиле). Такие изъятия приводят к отрицательным
значениям состояния счета, которые мы трактовали как взятие кредита
в банке.
Наконец, с формальной точки зрения допустимы и отрицательные
начальные состояния. Логика вычислений при этом не меняется. Ко-
Конечно, в этом случае счет вряд ли можно назвать накопительным. Его
скорее следовало бы назвать ссудным, подразумевая, что вкладчик бе-
берет кредит в банке на сумму, равную абсолютной величине начального
состояния счета. Меняется также и интерпретация внешних операций
со счетом. Так, внесение сумм вкладчиком, который в этом случае
является должником банка, можно рассматривать как частичное пога-
погашение взятого долга. С другой стороны, изъятия при таком подходе
следовало бы трактовать как получение дополнительного кредита (так
называемая кредитная линия).
Такая модель, с одной стороны, представляет собой обобщение
(с позиции замены знака значения состояния счета) модели накопи-
накопительного счета, а с другой — обобщение простой кредитной сделки
в том смысле, что долг погашается не одной выплатой в конце срока,
как это имеет место в случае простой сделки, а серией погасительных
платежей.

180	Гл. 5. Обобщенные кредитные сделки и схемы погашения
5.1. Обобщенные кредитные сделки
Обобщенная кредитная сделка включает в себя две компоненты:
выдачу кредита, представимую событием (to, — Р), где Р > 0 — сумма
выданного кредита, и поток погасительных платежей
При этом естественно, что
t0 <t\ < ... <tn.
Диаграмма обобщенной кредитной сделки имеет вид, изображен-
изображенный на рис. 5.1. Выдача кредита So = — Р на диаграмме изображается
-Р	Q	с2 ... сл_! сп
1	1	1 ••• 1	1
h	h	h	•••	tn_\	tn
Рис. 5.1
отрицательным, а погасительные платежи С\,С2,... ,Сп — положи-
положительными числами (здесь отвлекаемся от возможности получения
дополнительного кредита). Описанные выше схемы определения со-
состояния накопительного счета автоматически переносятся и на случай
ссудного счета. В финансовой практике при этом говорят о двух схемах
(правилах) погашения долга (коммерческом и актуарном). Собственно
в традиционных руководствах по финансовой математике [28] коммер-
коммерческое и актуарное правила чаще всего появляются именно в этом кон-
контексте. Это связано прежде всего с тем, что наиболее распространенны-
распространенными случаями применения этих схем являются именно схемы погашения
краткосрочных коммерческих кредитов. Так, взятый, скажем, на год
кредит погашается одинаковыми платежами в конце каждого месяца.
Таким образом, поток погасительных платежей будет представлять
собой ренту или аннуитет (см. § 1.2).
Выше, рассматривая ссудный счет, мы представляли выдачу дол-
долга Р отрицательным, а погасительные платежи — положительными
числами. Следует понимать условность таких соглашений. В некоторых
руководствах не менее резонно в этой же ситуации получение кредита
рассматривается как приход, поскольку должник получает на руки
деньги, и потому эта сумма рассматривается как положительная; с дру-
другой стороны, погасительные платежи для должника означают расходы,
и потому они обозначаются как отрицательные суммы.
Такая точка зрения позволяет дать еще одну интерпретацию пога-
погасительным схемам. В этой интерпретации вкладчик и банк меняются
местами в обобщенной кредитной сделке. Иными словами, вкладчик
открывает счет на некоторую сумму, т. е. дает кредит банку, а банк
погашает этот кредит, выплачивая вкладчику погасительные суммы.

5.1. Обобщенные кредитные сделки	181
Обычно такие выплаты представляют собой ренту (т. е. регулярные
периодические выплаты одинакового размера). В этом случае говорят
о покупке вкладчиком ренты, так что начальный вклад (взнос) пред-
представляет собой стоимость будущих рентных платежей.
Приведенные выше модификации двух основных видов моделей —
простой кредитной сделки и накопительного вклада — позволяют ре-
решать большой спектр задач, связанных с практическими финансовыми
вычислениями.
Так, для модели ссудного счета или схемы погашения чрезвычайно
важным является вопрос об определении состояния или, как еще
говорят, баланса ссудного счета в любой момент времени. Эта задача
решается по правилам, аналогичным тем, которые были приняты для
определения состояния накопительного счета. Таким образом, текущий
баланс или полное состояние ссудного счета можно определить с по-
помощью формул, описывающих состояние счета с переменным капита-
капиталом для одной из выбранных моделей, в рамках которой рассмат-
рассматривается обобщенная кредитная сделка. Последнее обстоятельство
чрезвычайно важно. Указание конкретной модели — мультисчетной,
коммерческой или актуарной — полностью определяет правила расчета
процентов и баланса (остатка) долга для любого момента времени.
Поскольку мультисчетная модель, по существу, ничем не отличается
от коммерческой, ниже мы ограничимся анализом кредитных сделок
лишь для бинарных моделей, т.е. коммерческой и актуарной.
Пусть Р — сумма выданного кредита (начальная сумма долга) в мо-
момент to. Выдаче кредита можно сопоставить событие (to, So), So = —Р,
соответствующее начальному состоянию ссудного счета сделки. Если
= {(tl,Ci),(t2,C2),...,(tn,Cn)}
— поток погасительных платежей, то через
CF* = {(t0, So)} + CF = {(to, -P),(tx,Cx),..., (tn, Сп)}
обозначим обобщенный (порождающий) поток, включающий начальное
событие (to, So) — выдачу кредита, и поток погасительных плате-
платежей CF.
Как и выше, для любого потока CF через CF\t будем обозначать
начальный отрезок потока CF, состоящий из всех событий (платежей)
потока CF до момента t включительно, а через CF\^, — не включая
платеж в момент t.
Состояние ссудного счета сделки с порождающим потоком CF*
в момент времени t
5mod = 5tmodEo;CF;i) = FVtmod(CF*\t,i).
Метка «mod» указывает на вид выбранной модели. Так, записи 5tact
и FVtact показывают, что речь идет об актуарной модели, соответствен-
соответственно обозначения S^om и FVtcom указывают на коммерческую модель.

182	Гл. 5. Обобщенные кредитные сделки и схемы погашения
Ниже будем обычно опускать обозначение процентной ставки и пи-
писать просто
5tmodEo;CF) =FVtmod(CF*\t).	E.1)
Состояние ссудного счета сделки в момент t называют также невы-
невыплаченным остатком или балансом долга в (на) момент t и обозна-
обозначают Bt. Например, для коммерческой модели имеем
Bt = Stom(So; CF) = FVt(CF*
t) =
:(*-*o))+ E Ck(l+i(t-tk)). E.2)
Здесь учли, что коммерческий оператор будущей стоимости FVtcom
совпадает со стандартным FVt.
Величина баланса Bt, представляющая собой состояние ссудного
счета в момент t, указывает на текущую величину долга, т. е. сумму
обязательств должника на данный момент. Ее также можно интерпре-
интерпретировать как размер единовременного платежа, полностью компен-
компенсирующего этот долг, т. е. выплата должником суммы Ct = —Bt (до
момента tn полного погашения долга значение баланса Bt отрицатель-
отрицательно!) в момент t позволяет сразу погасить долг. Таким образом,
SFod(So;CF\t) = 0,	E.3)
где
CF\t = CF\t+{(tt-Bt)}
— завершенный погасительный поток, образованный погасительными
платежами из CF до момента t и заключительного платежа Ct = — Bt,
равного по абсолютной величине остатку (балансу) долга на момент t.
Пример 5.1. Пусть должник берет в банке 7^5000 в кредит сроком
на 3 года по ставке 10% годовых. По договору кредит погашается тремя
платежами в конце каждого года. Пусть первый погасительный платеж со-
составляет 7^1500, а второй — 7^2000. Какова должна быть сумма третьего,
заключительного платежа? Решить задачу для коммерческого и актуарного
правил.
Решение. Финансовый поток, отражающий данную сделку, имеет вид
CF* = {@, -5000), A,1500), B,2000), C, X)}.
Решим задачу сначала последовательным способом для актуарного прави-
правила, находя состояния счета в конце каждого года после очередного погаситель-
погасительного платежа.
Для t = 0 (начальный момент времени) имеем, что
Р0 = 5000(?г), Jo = /o = O, #0 = -5ОООGг).
При t = 1 (конец 1-го года) получаем
Зх = -5000-0,1 = -500(?г)

5.1. Обобщенные кредитные сделки	183
и, следовательно,
Pi = -5000 + A500 - 500) = -4000(?г),
h = о, Si=Pi = -4ооо(тг).
Аналогично для t = 2 (конец 2-го года)
J2 =-4000-0,1 = -400(?г)
и
Р2 = -4000 + B000 - 400) = -2400(?г),
/2 = 0, S2 = -2400(?г).
Для ? = 3 (последнего года) имеем
J3 =-2400-0,1 = -240(?г)
и
Р3 = -2400 + (X - 240) = X - 2640(?г).
Для того чтобы 3-й платеж полностью погашал долг, необходимо, чтобы
остаток счета стал равным нулю. Таким образом,
Рз = X - 2640 = 0
и, следовательно,
Х = 2640(?г).
Для нахождения последнего платежа по коммерческому правилу использу-
используем теорему 4.1. Тогда, находя будущие значения как основной суммы долга,
так и всех погасительных платежей, из условия нулевого баланса после заклю-
заключительного платежа получим уравнение
-5000A+0,1 -3) + 1500A+0,1 -2)+ 2000A+0,1 • 1) + Х = 0
или
-6500 + 1800 + 2200 + X = 0.
Отсюда следует, что
Х = 2500(?г).	¦
Теорема 4.1, переформулированная для схемы погашения по ком-
коммерческому правилу, в терминах абсолютных значений денежных
сумм означает, что баланс (невыплаченный долг с учетом процентов)
на момент времени tn равен разности между накопленным значением
потока погасительных платежей и накопленным значением основной
суммы долга:
Btn = FVtn (CF) - FVtn (P).	E.4)
Здесь как Р, так и все элементы С& потока CF положительны! При
этом равенство Btn = 0 означает, что поток CF точно и полностью
погашает долг.
В свою очередь, неравенство Btn < 0 означает, что долг (с учетом
процентов) еще не выплачен полностью, а неравенство Btn > 0 означа-
означает, что долг погашен «с излишком».
Заметим, что оператор будущей стоимости FVtn потока CF, ис-
использованный в E.2), является стандартным оператором будущей
стоимости, определенным в § 3.4. Он равен сумме будущих стоимостей
всех платежей потока.

184	Гл. 5. Обобщенные кредитные сделки и схемы погашения
Таким образом, основное уравнение баланса для погашения долга
величины Р (>0!) потоком погасительных платежей CF по коммер-
коммерческому правилу имеет вид
FVtn{P)=FVtn{CF).	E.5)
Иными словами, приведенные к моменту tn значения суммы долга
и потока погашения должны совпадать.
Формула E.5) позволяет дать еще одну содержательную интерпре-
интерпретацию погашению долга по коммерческому правилу. В этой интерпре-
интерпретации погасительные платежи из потока CF не изменяют состояние
ссудного счета. Вместо этого они размещаются на отдельном счете,
образующем фонд погашения долга. К моменту погашения tn вся
накопленная за счет платежей потока сумма в фонде погашения долга
должна быть равна сумме, находящейся на ссудном счете. В этой ин-
интерпретации существенна раздельность (автономность) ссудного и по-
погасительного счетов. Так, погасительный счет (фонд погашения) может
использовать процентную ставку, отличную от ставки по кредиту.
На практике очень часто используется такая возможность, особенно,
если должник может обеспечить ставку накопления, превосходящую
кредитную ставку.
Пример 5.2. Рассмотрим снова кредит из примера 5.1. Найдем величину
заключительного платежа, предполагая, что погасительные платежи образуют
фонд погашения с процентной ставкой 20% годовых.
Решение. Найдем сначала накопленную сумму долга, т.е. сумму пога-
погашения (ставка 10%):
i^3E000) = 5000A + 0,1 • 3) = 6500(?г).
Накопленная стоимость погасительных платежей по ставке накопления 20%
1500A + 0,2 • 2) + 2000A + 0,2 • 1) + X = 4500 + X.
Уравнение баланса между накопленной стоимостью долга и накопленной стои-
стоимостью погасительных платежей дает
6500 = 4500 + X.
Отсюда
х = 2ооо(тг).
Таким образом, в этом случае величина заключительного платежа на 7^500
меньше, чем в примере 5.1. Это естественно, поскольку ставка накопления
выше ставки по кредиту.	¦
5.2. Регулярные схемы погашения долга
для простых процентов
В предыдущем параграфе мы ограничились лишь рассмотрением
коммерческой модели погашения долга. Дело в том, что для актуарной
модели формулы E.2), E.4) и E.5) неверны. К сожалению, явные
формулы для баланса долга в случае произвольных погасительных

5.2. Регулярные схемы погашения долга для простых процентов 185
платежей по актуарному правилу выписать не удается. Однако это
можно сделать для так называемых регулярных схем погашения, когда
погасительные платежи образуют ренту. Имеется несколько разновид-
разновидностей регулярных схем погашения.
В первой схеме долг погашается п одинаковыми платежами с пери-
периодом h. Каждый платеж осуществляется в конце очередного периода.
Во второй регулярной схеме погасительные платежи также вы-
выплачиваются регулярно в конце очередного периода длины h. Однако
теперь одинаковой является только часть, идущая на погашение
основного долга, а остальная часть идет на выплату процентов за
текущий период. Естественно, что полная величина погасительного
платежа в этом случае будет меняться.
Рассмотрим обе схемы подробнее. Начнем со схемы с одинаковыми
платежами величины С. Для простоты выберем период h в качестве
базовой единицы времени. Тогда, если ставка по кредиту за период
h = 1 равна ih = i, то уравнение баланса
вп = о
в момент tn = n последнего платежа для коммерческой модели запи-
запишется, согласно E.5), в виде
о	п-\
РA+т)= ]Г C(l+ik) =C- ]ГA+г&).
к=п-\	к=0
Отсюда, суммируя арифметическую прогрессию
dk = 1 + ik, к = 0, 1,... ,п — 1,
получим
Последнее равенство позволяет определить требуемый размер плате-
платежа С:	п/1 , • \
с = Р(\ +гп)
Для актуарной модели, как будет показано ниже (см. гл. 13),
уравнение баланса при условии С > Pi имеет вид
о	п-\
РA+г)п = ]Г C(\+i)k = C- J2(l+i)k.
к=п-\	к=0
Отсюда, суммируя геометрическую прогрессию
получаем

186	Гл. 5. Обобщенные кредитные сделки и схемы погашения
Из последнего равенства можно получить выражение для величины
погасительного платежа:
6 -
A+гГ- 1 " 1-A+г)--	[Ь-2)
Конечно, нет смысла запоминать формулы для погасительных пла-
платежей. Проще в каждом конкретном случае выписывать соответствую-
соответствующее уравнение баланса и из него находить требуемые характеристики
схемы погашения.
Пример 5.3. Пусть кредит в 7^5000 погашается в течение 10 лет оди-
одинаковыми выплатами в конце каждого года. Найти величину погасительных
платежей, если ставка по ссуде равна 20%.
Решение. Уравнение баланса для коммерческого правила имеет вид
9
5000A + 0,2 • 10) = ^ С • A + 0,2 • к)
к=0
15000 = С • ( 10 + 0,2 • -^ ) = 19 • С.
Отсюда находим, что
Для актуарного правила уравнение баланса имеет вид
9
5000A + 0,2I0 = С • ^A + 0,2)fc
5000-A,2I0 =
откуда
с=
Рассмотрим теперь второй вид регулярных схем погашения. Пога-
Погасительный платеж Ck состоит из двух частей: одинаковой для всех
платежей части, идущей на погашение основного долга, и процентной
части, предназначенной для выплаты процентов. Если долг Р погаша-
погашается п платежами, то тогда
где С"р — процентная часть погасительного платежа.
В коммерческой модели платежи изменяют только состояния ос-
основного счета. Таким образом, для этой модели все платежи Ck, кроме
последнего, равны Р/п, т. е.
Ск = -, к= 1,2,...,п- 1.
п

5.2. Регулярные схемы погашения долга для простых процентов 187
Лишь последний платеж Сп имеет процентную часть, идущую на
погашение всех накопленных за период погашения процентов:
Эти проценты легко найти, поскольку ясно, что величина основного
счета после fc-ro погасительного платежа
Рк = -Р + - • Р = -Р(\ - -)
и, следовательно, проценты за следующий (к + 1)-й период составят
Тогда сумма всех процентов за период погашения
Суммируя арифметическую прогрессию
bk = l-^1^, k= 1,2,. ..,п,
п
получим
Таким образом, для коммерческой модели получаем
Cfc = -, ifc= 1,2,...,п- 1,
п
^ Р . D. п+ 1 Р
Для актуарной модели нулевой баланс в момент последнего пла-
платежа будет достигнут, если процентная часть погасительного платежа
будет в точности равна процентам за текущий период:
С7 = -л.
В этом случае состояние основного счета после fc-ro платежа, как и для
коммерческой модели, будет
и, следовательно,
к- 1
Таким образом, в актуарной модели
Ск = -+ (l-!^±)pi=P(i + (n-k+l)i), к = 1,2..., п.

188	Гл. 5. Обобщенные кредитные сделки и схемы погашения
Пример 5.4. Пусть, как в примере 5.3, долг в 7^5000 погашается ежегод-
ежегодными платежами по ставке 20% по второй регулярной схеме. Это значит, что
все платежи имеют одинаковую часть, идущую на погашение основного долга.
Найти величины погасительных платежей для коммерческой и актуарной мо-
моделей.
Решение. Для коммерческой модели имеем
Ск = ^ = 500(?г), к= 1,2,..., 9,
и
Сю = 500 • A + 0,2 l^ii!) = бООО(Тг).
Перед последним платежом состояние счета имеет вид
Q
Р9 = -500(?г), h = -5000 • 0,2 • ]Г (l - *^±) = -5400(?г).
к=\
Проценты за последний период
Jio = -5ОО-О,2 = -1ООGг)
и, следовательно, конечное значение процентного счета
/ш = -5500.
Конечное значение основного счета
Рш = -500 + 6000 = 5500(?г).
Таким образом, последний платеж Сю действительно приводит к нулевому
балансу:
Sio = Р\о + ho = 5500 - 5500 = 0.
Отметим еще раз особенность коммерческой модели. В ней баланс достига-
достигается только за счет взаимной противоположности процентного и основного сче-
счетов при последнем платеже. Строго говоря, последний погасительный платеж
целиком идет на изменение основного счета и его «деление» на погасительную
и процентную части, вообще говоря, условно.
Для актуарной модели платеж за k-R период равен
Ск = 500+ 1000(l - ^—^) = 1500- 100(fc- 1), к = 1,2,..., 10.
Отсюда получаем, что
сх = 15оо(тг), с2 = ноо(тг),..., сш = боо(тг).	¦
Обычно процесс погашения долга описывают в виде таблиц (гра-
(графиков) погашения долга, в которых указывается последовательность
погасительных платежей с указанием их структуры (т. е. разбиения
на основную и процентную части) и остатка текущего счета (баланса)
после каждого платежа. Эти таблицы аналогичны таблицам состояния
счета, рассмотренным в предыдущем параграфе.
Пример 5.5. Пусть долг в 7^1000 погашается четырьмя квартальными
платежами. Составить таблицу погашения долга для двух регулярных схем
погашения, если ставка по кредиту равна 40% годовых.
Решение. Поскольку платежи ежеквартальны, то найдем сначала ставку
за квартал:
• °'4 п 1
г = — = 0,1,
4

5.2. Регулярные схемы погашения долга для простых процентов 189
т.е. 10%. Для первой схемы (схемы с равными погасительными платежами)
по коммерческому правилу имеем балансовое уравнение
1000A+0,1 -4) = С -[A+0,1 -3) +A+0,1 -2)+ A+0,1) + 1]
или
1400 = 4,6 С,
откуда
С = 304,35(?г).
График погашения долга для этого случая представлен в табл. 5.1.
Таблица 5.1
к
0
1
2
3
4
Р
-1000
-695,65
-391,30
-86,95
217,39
/
0
-100
-169,55
-208,69
-217,39
J
0
-100
-69,55
-39,13
-8,70
С
0
304,35
304,35
304,35
304,35
S
-1000
-795,65
-560,86
-295,65
0,0
Для коммерческого правила нет смысла в разбиении погасительного пла-
платежа на основную и процентную части, поскольку весь платеж идет прежде
всего на погашение основного долга, и нулевой баланс достигается по полному
счету в момент последнего платежа.
Для актуарного правила уравнение баланса в схеме с одинаковыми плате-
платежами имеет вид
1000A + ОДL = С- ^
од
откуда
С = 315,47(?г).
График погашения долга в этом случае представлен на табл. 5.2.
Таблица 5.2
к
0
1
2
3
4
Р
-1000
-784,53
-547,51
-286,79
0
/
0
0
0
0
0
J
0
-100,00
-78,45
-54,75
-28,68
С
0
315,47
315,47
315,47
315,47
(->осн
0
215,47
237,47
260,72
286,79
S
-1000
-784,53
-547,51
-286,79
0
Кроме постоянного платежа, в табл. 5.2 указана его часть, идущая на
погашение основного долга. Она в точности равна процентам за текущий
период.
Для второй регулярной схемы погашения приведем только график погаше-
погашения для актуарной модели (табл. 5.3).

190
Гл. 5. Обобщенные кредитные сделки и схемы погашения
Таблица 5.3
к
0
1
2
3
4
Р
-1000
-750
-500
-250
0
/
0
0
0
0
0
J
0
100
75
25
0
С
0
350
325
300
250
^осн
0
250
250
250
250
S
-1000
-750
-500
-250
0
Все погасительные платежи имеют одинаковую основную часть
Сосн = ^ = 250(?г),
идущую на погашение основного долга, так что долг с каждым платежом
уменьшается на 7^250. Процентная часть платежа, как и в предыдущем случае,
в точности равна накопленным за текущий период процентам.	¦
Наконец, отметим еще один тип задач, тесно связанных с интерпре-
интерпретацией обобщенных кредитных сделок как покупки ренты. Этот вид
сделки заключается в обеспечении вкладчиком будущих регулярных
выплат за счет единовременного начального взноса. В задачах такого
типа основной вопрос состоит в определении величины платежей для
заданных будущих моментов и размера первоначального взноса. Взнос,
обеспечивающий будущий поток платежей, естественно рассматривать
как его стоимость или цену этого потока.
Фактически здесь речь идет о вычислении текущей стоимости
потока платежей. Аналогичная задача уже решалась для схемы муль-
тисчета, где вкладчик обеспечивал каждый платеж в отдельности,
покупая, например, вексель, облигацию или любое другое долговое
обязательство. Здесь же речь идет именно о единовременном общем
взносе или, как говорят, премии. При этом будущие выплаты представ-
представляют собой амортизацию этого взноса.
Таким образом, мы приходим к проблеме определения текущего
значения потока платежей для схем с коммерческим правилом. По-
Поскольку понятие текущего значения относится к весьма важным и до-
довольно сложным, мы посвятим изложению этой темы отдельную главу.
5.3. Потребительский кредит
В заключение рассмотрим еще одну регулярную схему погашения,
связанную с так называемым потребительским кредитом.
Потребительский кредит — краткосрочный кредит, предоставля-
предоставляемый населению для покупки предметов личного потребления. Как
и в простом кредитном контракте, основными параметрами потреби-
потребительского кредита являются сумма кредита Р, срок Т, на который он
выдается, и процентная ставка по кредиту г.

5.3. Потребительский кредит	191
Как правило, такой кредит погашается в рассрочку, т. е. пери-
периодически выплачиваемыми погасительными платежами. Однако спо-
способ расчета погасительных платежей существенно отличается от рас-
рассмотренных выше регулярных схем. Главный принцип, определяющий
условия погашения в потребительском кредите, состоит, во-первых,
в единовременном начислении всей суммы процентов на величину
долга в момент выдачи кредита, и, во-вторых, в постепенной выплате
или, как еще говорят, амортизации полной суммы долга регулярными
платежами. При этом баланс долга и выплат определяется без учета
временной стоимости денег. В этом принципиальное отличие такой схе-
схемы от уже рассмотренных схем, учитывающих «процентную динамику»
как долга, так и погасительных платежей.
Формально схема амортизации долга в потребительском кредите
может быть описана следующим образом.
Пусть Р — основная сумма долга, выданная в момент t, T — срок
и г — процентная ставка кредита. Тогда полная стоимость кредита
равна
S = Р(\ +гТ).
Схема погашения определяется потоком платежей
CF = {(tuCl),(t2,C2),...,(tn,Cn)},
причем
T = tn-t0, t0 < t\ < ... < tn.
Уравнение баланса для такой схемы погашения имеет вид
P(l+iT) = f;Cfe.	E.6)
k=\
Таким образом, поток CF погашает долг, если сумма всех погаситель-
погасительных платежей равна полной сумме долга (с учетом процентов).
Общая схема имеет различные конкретные воплощения. Чаще всего
потребительский кредит погашается регулярными одинаковыми пла-
платежами. Если долг погашается п одинаковыми платежами, то размер
каждого погасительного платежа
с= S _ РA+гГ)
п	п
Так, для годового кредита на сумму 7^500 по ставке 20% годовых,
погашаемых 12 ежемесячными платежами, каждый платеж
с = «,+М = 50(тг).
Описанная схема погашения называется равномерной или линей-
линейной амортизацией долга. В этом случае и основной долг и проценты по

192	Гл. 5. Обобщенные кредитные сделки и схемы погашения
нему выплачиваются одинаковыми долями. Структура погасительного
платежа очевидна: поскольку
5 = / + Р, где / = PiT,
т°	с = - = - + -
п п п
Таким образом,
С = Сосн + Спр,
причем
п'	п'
Отметим, что для потребительской схемы погашения, как и для
коммерческой и актуарной схем, определено понятие текущего балан-
баланса, т.е. состояние ссудного счета в любой момент времени. Он равен
разности между полной суммой долга и суммой выплаченных к данно-
данному моменту погасительных платежей:
Это состояние можно разделить на основную и процентную части, если
в схеме погашения указана структура погасительных платежей. Так,
для равномерной схемы
р _ р , v- Госн _ Л т
¦Lt — —-L ~Т >	Ol.	— — 1
где т — максимальный из номеров к таких, что
Аналогично
j
Другой регулярной схемой погашения в потребительском кредите
является метод ускоренной амортизации процентов. Основной долг,
как и в равномерном случае, погашается равными долями, тогда как
процентные платежи представляют собой убывающую арифметиче-
арифметическую прогрессию.
Иными словами, для схемы с п платежами
Ск = Ср* + С%р, k= l,2,...n,
где	р
С?сн = - и С%р = ак =ах -d(k- 1), d > 0.
TL
Уравнение баланса в этом случае означает, что
J2 С^р = ^^ п = 1 = РгТ.	E.7)
к=\

5.3. Потребительский кредит	193
Задавая один из параметров прогрессии, например, а\ или d, можно
найти все остальные процентные платежи. Чаще всего сначала опреде-
определяются не сами платежи С?р, а их веса
т. е. доля платежа в общей сумме процентов. Тогда сумма всех весов
равна 1:
	• п = 1, wn = w\ — (п — \)а.
В этих двух уравнениях из трех величин w\,wn,d одну можно выбрать
произвольно. Так, например, для годового кредита, погашаемого двена-
двенадцатью ежемесячными платежами, при условии, что процентная часть
уменьшается с каждым платежом на —, т.е. d = —г^ь получаем
11
W\ + W\ - — • W\
	2"^^	12 = 1,
откуда
Поскольку
2 _
13 ~
10
= 78'
12
78'
. . . , W\\
1
28
то, последовательно,
_ 11
и, значит,
Это так называемая амортизация по методу «78-х». Общий знаме-
знаменатель 78 в выражении для весов есть просто сумма номеров месяцев
в году:
78= 1+2 + ... +12.
Для предыдущего примера годового потребительского кредита на
7^500 по ставке 20% с ежемесячным погашением имеем
7 = 500-0,2= 100
и, следовательно,
C?p = ^-A3-fc), fe = 1,2	12.
7 П. П. Бочаров, Ю.Ф. Касимов

194	Гл. 5. Обобщенные кредитные сделки и схемы погашения
Таким образом, окончательно получим
Ск = С?н + С%р=™+™-A3-к), fc= 1,2	,12.
Отметим еще раз существенное отличие условия погашения (урав-
(уравнение баланса E.6)) для потребительского кредита от ранее рассмот-
рассмотренных коммерческой и актуарной схем погашения. Хотя по смыслу
равенства E.7) проценты в потребительском кредите начисляются на
весь срок кредита, тем не менее они выплачиваются не в конце срока,
как в простой кредитной сделке, а в рассрочку в течение кредитно-
кредитного периода, т. е. досрочно. Но частичное погашение долга до конца
срока и в коммерческой, и в актуарной модели ведет к уменьшению
величины основного долга. Поэтому проценты за период, следующий
после очередной выплаты, будут меньше процентов, начисленных за
предыдущий период. В частности, сумма выплаченных процентов за
весь период должна быть меньше, чем проценты, начисленные за весь
период на начальную сумму долга. Таким образом, если
— поток погасительных платежей по коммерческому или актуарному
правилу на ту же сумму кредита Р и по той же ставке г, то
? С?р < / = PiT-
k=\
В частности, отсюда следует, что
k=\
Так как погашение кредита в актуарной или коммерческой моделях
по ставке г требует меньших погасительных сумм, чем погашение
той же суммы долга при той же ставке по потребительской схеме,
коммерческая и актуарная схемы погашения для должника дешевле
(лучше), чем потребительская. Однако этот факт иногда выражают
в виде утверждения, что ставка, указываемая в потребительской схеме,
не является реальной стоимостью кредита, а занижена, т. е. действи-
действительная стоимость кредита заметно превышает договорную процент-
процентную ставку [28].
Для того чтобы последнее утверждение было осмысленным, необ-
необходимо уметь находить «истинную» процентную ставку для данной
схемы погашения и, в частности, уметь находить реальную стоимость
потребительского кредита. Следует четко осознавать, в чем, в сущно-
сущности, состоит проблема определения «истинной» или, как еще говорят,
внутренней процентной ставки схемы погашения. Пока в рамках схе-
схемы простых процентов у нас есть лишь одна однозначная общеприня-
общепринятая характеристика стоимости кредита, которая была определена для
простой кредитной сделки — это нормированная процентная ставка.

5.4. Нормированные простые ставки обобщенных кредитных сделок 195
5.4. Нормированные простые ставки
обобщенных кредитных сделок
Нормированная процентная ставка простой сделки со сроком Т,
начальной суммой долга Р и полной суммой S определялась как
я р 1 / я
¦ b~F = if4-i
г~ РТ ~ т{р
В § 3.3 отсюда было выведено ключевое уравнение
РA+гТ) = 5,
которое можно рассматривать как уравнение баланса для простой
сделки, в которой основной долг погашается одним погасительным
платежом
C = S = P + I.
Его основная часть совпадает с начальной суммой долга Р, а процент-
процентная — с величиной процентов за период сделки.
Рассмотрим обобщенную кредитную сделку, подразумевающую
погашение кредита с основной суммой Р, выданной в момент to, и се-
серией погасительных платежей
CF = {(tuC1),(t2,C2),...,(tn,Cn)}.
Допустим, что в соответствии с условиями этой сделки погасительный
поток CF полностью погашает долг Р. Необходимо подчеркнуть, что
это допущение есть просто соглашение сторон кредитного контрак-
контракта: кредитора и должника.
Важно понимать, что в определении общей кредитной сделки нет
никакого упоминания о процентных ставках, как его не было и в слу-
случае простой кредитной сделки. Формально сделка определяется лишь
в терминах контрактной эквивалентности двух потоков — кредит-
кредитного и погасительного. В нашем случае кредитный поток сводится
к событию (to,—P), хотя на практике встречаются и более сложные
случаи, например, кредитная линия и т.п. Для обобщенной сделки,
как это сделано для простой кредитной сделки, можно поставить во-
вопрос о количественной мере ее эффективности или стоимости. Иными
словами, можно ли каким-нибудь способом определить такую став-
ставку, которая отражала бы эффективность или стоимость обобщенной
сделки в целом с учетом внутренних (на периоде сделки) платежей?
Искомую ставку принято называть внутренней процентной ставкой
сделки. Естественно также требовать, чтобы в вырожденном случае,
т. е. когда погасительный поток платежа сводится к единственному пла-
платежу, внутренняя ставка сделки совпадала с простой нормированной
ставкой сделки.
К сожалению, однозначно без предварительных предположений от-
ответить на этот вопрос невозможно. Однако вопрос становится коррект-

196	Гл. 5. Обобщенные кредитные сделки и схемы погашения
ным и внутренняя ставка вполне определенной, если изучать сделку
в рамках одной из приведенных выше моделей схем погашения. По-
Поэтому параметры to,Po,CF обобщенной кредитной сделки позволяют
определить, вообще говоря, не одну, а три внутренние процентные
ставки:
а)	коммерческую ставку icom, равную нормированной ставке г, для
которой выполняется условие баланса
Btn = S™m(-P,CF,i) = 0
в коммерческой модели;
б)	актуарную ставку гас1 — нормированную ставку г, для которой
выполняется условие баланса
в актуарной модели;
в) потребительскую ставку гсош\ для которой выполняется урав-
уравнение баланса
Btn = S™m(-P,CF,i)=0
в модели потребительского кредита.
По крайней мере в двух случаях можно записать явные, причем ли-
линейные уравнения, определяющие внутреннюю ставку сделки. Так, для
коммерческой схемы погашения уравнение для ставки icom имеет вид
i(tn - t0)) + fft(l+ i(tn - tk)) = 0.
k=\
Решая это уравнение относительно i, получим
JZck-p
icom =	^—^	.	E.8)
P(tn-to)-^Ck(tn-tk)
k=\
Для потребительской схемы погашения имеем уравнение баланса,
определяющее потребительскую ставку
к=\
где Т = tn — to. Решая это уравнение, получим
= 4i.E Cfc _ j .	E.9)
V к=\

5.4. Нормированные простые ставки обобщенных кредитных сделок 197
Наконец, для схем погашения с одинаковыми погасительными пла-
платежами т. е.
С\ = С*2 — ... — Сп = С,
можно написать уравнение для актуарной ставки. Уравнение баланса
в этом случае (см. гл. 13) имеет вид
Это нелинейное уравнение. Решая его одним из известных приближен-
приближенных методов, можно найти приближенное значение ставки iact.
Таким образом, вопрос, какова истинная ставка обобщенной кре-
кредитной сделки погашения, некорректен. Ответить на него можно лишь
в рамках указанной схемы (модели) погашения. Поскольку условия
сделки представляют собой обоюдные соглашения сторон, то, в конеч-
конечном счете, важно, действительно ли обе стороны соглашаются считать,
что погасительный поток CF точно и полностью погашает долг Р.
Такое соглашение может не предусматривать никаких упоминаний
о какой-либо модели погашения. Однако вопрос о модели погашения
непременно возникнет, если необходимо отслеживать процесс погаше-
погашения долга, находить его промежуточные состояния и т. д. Это особенно
важно, когда по тем или иным причинам исходная схема изменяется,
или, как говорят, долг реструктуризуется. В этом случае необходимо
знать невыплаченный остаток долга и прийти к соглашению о новой
схеме его погашения. Конечно, и в этом случае можно считать, что
стороны вновь просто договариваются о том, как видоизменяется
погасительный поток, чтобы по-прежнему он находился в балансе
с невыплаченным долгом.
На практике действуют систематическим образом, т. е. теоретиче-
теоретически стороны в любой момент времени знают состояние процесса пога-
погашения и свои позиции в нем. Но такое возможно лишь при известной
модели процесса или схемы погашения. Поэтому, хотя обобщенную
кредитную сделку можно описать в терминах лишь основного долга
и погасительного потока, такое описание будет неполным в двух
отношениях. Во-первых, в случае расторжения, прерывания, реструк-
реструктуризации и т.п., как отмечалось выше, необходимо определять «теку-
«текущее состояние» сделки. Во-вторых, без указания модели погасительно-
погасительного процесса нет возможности сравнения эффективности (доходности)
сделки с точки зрения кредитора и ее «стоимости» с точки зрения
должника. Указание модели погашения сразу позволяет находить эти
характеристики схемы погашения, описываемые внутренней простой
нормированной процентной ставкой. Тогда сравнение различных сделок
можно осуществлять по величине этой ставки, рассматривая, есте-
естественно, обе сделки в рамках одной модели.
После всего сказанного становится ясно, что ответ на вопрос,
какова реальная стоимость потребительского кредита со ставкой г,

198	Гл. 5. Обобщенные кредитные сделки и схемы погашения
тавтологичен: она равна указанной ставке г. Если же мы под реальной
стоимостью будем понимать внутреннюю ставку в другой модели пога-
погашения, то это некорректно. Можно лишь спросить, какова внутренняя
процентная ставка аналогичной (с тем долгом и погасительным пото-
потоком) сделки в другой, например, коммерческой или актуарной моделях,
но это совсем другой вопрос.
Пример 5.6. Рассмотрим кредитную сделку с суммой долга Р = 7^1000,
погашаемого четырьмя одинаковыми платежами по 7^300 в конце каждого
квартала. Найти внутренние годовые ставки для каждой схемы погашения.
Решение. Для коммерческой модели балансовое уравнение для ставки
имеет вид
300A + 3j) + 300A + 2j) + 300A + j) + 300 = 1000A + 4j),
где j — ставка за квартал, или
1200 + 1800J = 1000 + 4000;?.
Отсюда получаем, что
j = 0,0909
и, следовательно, годовая ставка
icom = 4j = 36,36%.
В потребительской схеме имеется уравнение
1000A+г) = 4-300= 1200,
откуда
icons = 20%.
Наконец, в актуарной модели для квартальной ставки j получаем урав-
уравнение
300A + jK + 300A + jJ + 300A + j) + 300 = 1000A + j)\
Это уравнение имеет единственный положительный корень. Решая его одним
из приближенных методов, получим
j ^ 0,07715,
и, следовательно, годовая актуарная ставка
i = Aj^ 0,3086,
или iact^ 30,86%.	¦
Как показывает пример, при погашении долга равномерными пога-
погасительными платежами самая высокая ставка соответствует коммерче-
коммерческой модели. Именно этот факт, по-видимому, и служит основанием
для вывода о том, что реальная ставка кредита в данном примере —
не объявленные 20% годовых потребительской схемы, а, например,
36,36% коммерческой. Однако кроме коммерческой схемы есть еще
и актуарная модель; ей соответствует 30,86%, что больше потре-
потребительской, но меньше коммерческой ставки. Какая из двух ставок
реальная? Вполне возможно придумать и другие схемы погашения,
дающие и другие значения стоимости кредита. Бесспорным является
факт, что схема (актуарная и коммерческая), учитывающая временную
стоимость денег, дает значения внутренней ставки более высокие, чем
потребительской ставки. Однако, на наш взгляд, все же прямое срав-

5.4. Нормированные простые ставки обобщенных кредитных сделок 199
нение ставок, полученных в разных моделях, строго говоря, некор-
некорректно.
Как неоднократно сможем убедиться в дальнейшем, определение
индивидуальных характеристик сделок — это, в некотором смысле,
произвольный акт. Для определения эффективности или относи-
относительной стоимости кредита можно было бы использовать не обыч-
обычную нормированную простую ставку, а ее логарифм или коэффи-
коэффициент роста, и, вообще, некоторую функцию временных и финан-
финансовых параметров. В последующем мы определим так называемую
эффективную ставку сделки и др. Каждое такое определение есть,
по существу, задание конкретной модели оценивания эффективности
и/или стоимости кредитной операции. Непосредственное сопоставле-
сопоставление значений ставок для одной и той же сделки, но в разных
моделях, вообще говоря, некорректно. Однако осмысленным является
сравнение эффективности разных сделок относительно одной и той
же модели. Поэтому «дороговизна» потребительской схемы погашения
заключается не в том, что существует какая-то «истинная стоимость»
этой сделки, которая будет выше объявленной ставки, а в том, что
реальные погасительные платежи для заданной суммы кредита при
этой объявленной ставке в других схемах оказываются существенно
меньшими.
Пример 5.7. Найти величину погасительного платежа для кредита
Т^ЛООО, погашаемого четырьмя одинаковыми выплатами в конце каждого квар-
квартала по ставке 20% годовых в каждый из рассмотренных моделей.
Решение. Для потребительского кредита величина платежа
ccons = moo • !±М = зоо.
4
Для коммерческого правила из уравнения баланса получаем
1000A+0,2) = x(l+0,2- -) +x(l+0,2- -) +x(l+0,2- -) + X,
V	4/	V	4/	V	4/
или
1200 = 4,ЗХ,
откуда
Ссот = 279,07A1).
Для актуарной модели уравнение баланса имеет вид
¦«0A+ ?L-y(i + ?)' + .y(' + t)! + *A + t)+*
или
1215,506Х = 4,3101.
Отсюда
Сас1 = 282(?г).
Как и следовало ожидать, самой дешевой по погасительным платежам для
заданной годовой ставки 20% является коммерческая модель.	¦
Факт, сформулированный в конце предыдущего примера, выполня-
выполняется и в общем случае. Для любых заданных значений кредита и став-
ставки среди всех схем погашения с равными платежами наименьшей

200	Гл. 5. Обобщенные кредитные сделки и схемы погашения
величиной погасительного платежа будет обладать коммерческая
модель. Вместе с тем, для любой кредитной сделки с одинаковыми
погасительными платежами, внутренняя ставка по коммерческой
схеме будет наибольшей. Несложное доказательство этих утвержде-
утверждений мы оставляем читателю.
Вопросы и упражнения
1.	Опишите обобщенную кредитную сделку. Какова структура представ-
представляющего потока платежей сделки? Что такое состояние (баланс) сделки в мо-
момент ??
2.	Опишите регулярную схему погашения долга с постоянными погаси-
погасительными платежами в коммерческой и актуарной моделях.
3.	Опишите основные амортизационные схемы погашения долга для потре-
потребительского кредита.
4.	Что такое внутренняя (нормированная) ставка обобщенной кредитной
сделки? Выпишите явное выражение для этой ставки в случае: а) коммерче-
коммерческой модели; б) актуарной модели с одинаковыми погасительными платежами;
в) модели потребительского кредита.
Задачи
1.	Долг погашается ежемесячными платежами. Сумма долга 7^8000, про-
простая процентная ставка по кредиту равна 18% годовых. В конце 1-го месяца
инвестор выплатил 7^1000, в конце 2-го — 7^2000. Правило погашения долга —
актуарное. Сколько из второй выплаты ушло на проценты? Каков невыплачен-
невыплаченный остаток долга?
2.	Долг в 7^10000 погашается тремя выплатами по 7^3000 в конце каждого
квартала C мес.) и заключительного платежа в конце года. Найти величину
заключительного платежа, если простая ставка по кредиту составляет 10%
годовых, и используется актуарное правило.
3.	Покупатель может купить машину либо за наличные по цене $6000,
либо в кредит на год, погашаемый двумя платежами по $4000 в конце каждого
полугодия. Какой вариант оплаты выгоднее для покупателя, если простая
процентная ставка по депозитам (на любой срок) в банке равна 20% годовых?
Найти решение для коммерческого и актуарного правил.
4.	Долг в 7^10000 погашается двумя месячными платежами: в конце 1-го
месяца выплачивается 7^5000 и в конце 2-го — 7^8000. Какова процентная
ставка (годовая) по кредиту, если погашение осуществляется по коммерческо-
коммерческому правилу?
5.	Долг в 7^7000 погашается двумя одинаковыми выплатами в конце
каждого года. Простая процентная ставка равна 7% годовых. Какова величина
выплат, если погашение осуществляется по коммерческому правилу?
6.	Магазин допускает покупку на сумму 7^1500 в кредит, который пога-
погашается по коммерческому правилу двумя одинаковыми платежами по 7^800

5.4. Задачи	201
в конце каждого полугодия. При какой простой процентной ставке по депози-
депозитам в банке покупка в кредит станет выгоднее, чем оплата наличными?
7.	Автосалон продает машину в кредит, который погашается четырьмя
выплатами по $2000 в конце каждого квартала. Какую сумму должен поку-
покупатель вложить в банк под простые проценты по ставке 20% годовых, чтобы
оплатить кредит снятием сумм погашения с этого счета? Найти решение для
коммерческого и актуарного правил.
8.	Долг в 7^5000 погашается выплатами 7^2000 и 7^4000 в конце 1-го и 2-го
годов. Какова простая процентная ставка по ссуде, если действует актуарное
правило?

Глава 6
ПОТОКИ ПЛАТЕЖЕЙ
В СХЕМЕ ПРОСТЫХ ПРОЦЕНТОВ
В предыдущих главах нам уже неоднократно приходилось стал-
сталкиваться с финансовыми потоками. В § 3.4 мы определили операцию
приведения потоков формальным образом, распространив на потоки
операцию приведения событий. Это определение было формальным
в том смысле, что оно не было непосредственно связано с какой-либо
из содержательных моделей. В гл. 4 и 5, посвященных моделям с пере-
переменным капиталом и обобщенным кредитным сделкам, естественным
образом появилась операция приведения потоков платежей к будущим
моментам времени в рамках конкретной модели. Соответствующие
операторы будущей (накопленной) стоимости мы назвали модельными.
Как было показано, в некоторых случаях эти операторы совпадают со
стандартным (формальным, см. гл. 1) оператором будущей стоимости.
Однако такое совпадение наблюдается не всегда: для актуарной модели
стандартный и модельный операторы будущей стоимости не совпадают.
Еще сложнее вопрос с операцией дисконтирования или нахожде-
нахождением текущей стоимости потока платежей. Для простейшей мульти-
счетной модели совпадение стандартного оператора текущей стоимости
с модельным достаточно очевидно. Для остальных моделей — нетриви-
нетривиально, как будет показано ниже, само определение текущей стоимости.
Главной трудностью является то, что это определение — неявное,
в том смысле, что не дает непосредственного правила для вычисле-
вычисления текущей стоимости потока, а лишь отвечает на вопрос: может
ли заданное конкретное значение быть текущей стоимостью данного
потока? Однако эта трудность преодолима. Ниже будет показано, что
формальное перенесение на потоки определенной в § 3.4 операции
относительного приведения событий позволяет дать явное выражение
для общей операции приведения потоков в схеме простых процентов.
В этой главе мы завершим анализ потоков платежей в схеме про-
простых процентов. Вначале систематизируем полученные факты, каса-
касающиеся будущей стоимости потоков в рамках конкретных (содержа-
(содержательных) моделей. Затем в рамках этих же моделей дадим точное
определение понятия текущей (дисконтированной) стоимости и опишем
ее свойства. Наконец, рассмотрим полученные результаты с чисто фор-
формальной точки зрения или, более точно, с точки зрения стандартной
схемы простых процентов, оперирующей лишь правилами преобразова-
преобразования и эквивалентности событий и потоков.

6.1. Будущая стоимость потоков платежей	203
6.1. Будущая стоимость потоков платежей
В гл. 4 подробно изучена динамика различных накопительных мо-
моделей в схеме простых процентов. Для мультисчетной, коммерческой
и актуарной моделей был явно описан алгоритм (правило) получения
текущего состояния St процесса процентного роста, исходя из заданной
процентной ставки г, начального состояния (to, So) и внешнего потока
CF дополнительных вложений или изъятий капитала, воздействующе-
воздействующего на состояния процесса и изменяющего их.
В терминах § 1.4 поток CF является внешним параметром финан-
финансового процесса в выбранной модели. Таким образом, во всех случаях
можно записать связь между текущим St и начальным состояниями
в виде уравнения
St = Srd((to, So), CF, г), t > t0,	F.1)
где S^od — функция (оператор) динамики счета в конкретной модели,
a St — состояние счета в момент времени t. Здесь под St понимается
полное или обобщенное состояние счета в каждой модели. Поскольку
уравнение F.1) характеризует будущее по отношению к начальному
(to, So) состояние, то оператор 5™od можно рассматривать как оператор
перехода или приведения начального состояния к будущему состоянию
и записать
St = FVtmod(S0, CF\t),	F.2)
не указывая, как обычно, процентную ставку г.
Формула F.2) играет важнейшую роль в определении корректных,
т. е. согласованных с рассматриваемой моделью, понятий будущей
и текущей стоимостей потока платежей. Наша ближайшая цель —
определение и анализ этих понятий.
Выше подробно рассмотрены операторы приведения или операторы
будущей и текущей стоимостей для отдельных событий и связанное
с ними отношение эквивалентности событий (см. §3.3). Кроме того, в
§4.1 для потока платежей
= {(tl,Cl),(t2,C2),...,(tn,Cn)}
были введены его простейшие характеристики — будущая
FVt(CF) = JT Ck(\ + i(t - tk)), t > tn,	F.3)
k=\
и текущая (дисконтированная)
lT^T-y t^tu	F.4)

204	Гл. 6. Потоки платежей в схеме простых процентов
стоимости, названные стандартными (см. §3.4). Стандартная буду-
будущая и текущая стоимости получаются линейным продолжением на
потоки аналогичных понятий для отдельных событий, т. е.
FVt{CF) = J2 FVt(CFk)	F.5)
k=\
и
PVt0(CF) = YfPVt0(CFk).	F.6)
k=\
Иными словами, стандартная будущая или текущая стоимости потока
есть просто сумма соответственно будущих или текущих стоимостей
отдельных событий.
Пример 6.1. Для потока
CF = {A, 200), B, -500), C,600)}.
найдем его накопленную к моменту t = 4 и текущую в момент t = 0 стоимости,
если нормированная ставка г = 20%.
Решение. Для стандартной будущей стоимости имеем
FVA(CF) = 200A + 0,2 • 3) - 500A + 0,2 • 2) + 600A + 0,2) = 340(?г),
а для текущей стоимости
Введенные стандартные операторы будущей и текущей стоимостей
обладают рядом «хороших» свойств. Например, они линейные и лег-
легко вычисляются. Однако эти свойства имеют скорее математический,
формальный характер. Куда более важен вопрос о содержательном, фи-
финансовом, смысле понятий стандартных операторов будущей и текущей
стоимостей в рамках рассмотренных выше моделей. Собственно это
и составляет содержание данного и следующего параграфов.
Более точно, в данном параграфе речь будет идти о том, в какой
мере понятие оператора будущей стоимости согласовано в рамках дан-
данной модели с ее динамикой, задаваемой уравнением F.2). Так, образуя
расширенный (порождающий) поток
CF* = {(to,So)} + CF = {(to,So),(tuCi),...,(tn,Cn)},
получаемый присоединением к внешнему потоку CF начального со-
состояния, можно спросить, будет ли в данной модели выполняться
соотношение
St = FVtmod(S0, CF) = FVt(CF*),	F.7)
т. е. даст ли модельный оператор перехода к будущему моменту t
тот же эффект, что и стандартный оператор будущей стоимости? Мы
уже знаем, что это так для мультисчетной и коммерческой моделей,
поскольку, как показано в § 4,
St = FVtcom(S0, CF) = FVt(CF*),	F.8)

6.1. Будущая стоимость потоков платежей
205
но это уже не так для актуарной модели.
Пример 6.2. Рассмотрим накопительный счет с начальным состоянием
t0 = 0, So = 11100.
Пусть нормированная процентная ставка счета равна 20%, а внешний поток
взносов и изъятий имеет вид
CF = {A,100), B,-100)}.
Найти состояния счета в момент t = 3 в коммерческой и актуарной моделях.
Проверить для этих моделей условие согласованности F.7).
Решение. Рассмотрим сначала коммерческую модель. Для нее получаем
таблицу состояний (табл. 6.1). В этом случае
р3 = тгюо, и = тгяо
и, следовательно, S3 = 7^180.
Актуарная модель представлена в табл. 6.2. Отсюда следует, что
#з = 7г192.
t
0
1
2
3
С
100
100
-100
—
р
100
200
100
100
J
0
20
40
20
Табл
/
0
20
60
80
ица 6.1
S
100
220
160
180
Таблица 6.2
t
0
1
2
3
с
100
100
-100
—
р
100
200
160
160
J
0
20
40
32
/
0
20
0
32
S
100
220
160
192
Наконец, для расширенного (порождающего счет) потока
CF* = {@,100), A,100), B,-100)}
согласно F.5) имеем
FV3(CF*) = 100A + 3 • 0,2) + 100A + 2 • 0,2) - 100A + 0,2) = 180(?г).
Таким образом,
Как и ожидалось, для коммерческой модели условие согласованности будущих
стоимостей выполнено, а поскольку
Sf = 11192 ф FV3(CF*),
то для актуарной оно не выполняется.	¦
В дальнейшем будем рассматривать модельные операторы будущей
d, и текущей PV^nod стоимостей произвольных потоков. Чтобы

206	Гл. 6. Потоки платежей в схеме простых процентов
не использовать громоздкую верхнюю метку, обозначающую модель,
к обозначению операторов присоединим начальную букву «А» для
актуарной, и «С» — для коммерческой. Тогда для актуарной модели эти
операторы получат обозначения AFVt и APVr, а для коммерческой —
CFVt и CPVr. Для мультисчетной модели оставим естественные для
нее стандартные обозначения.
Вернемся к точному определению оператора будущей стоимости
потока для коммерческой и актуарной моделей.
Как было показано, роль оператора будущей стоимости пото-
потока в коммерческой модели играет стандартный оператор будущей
стоимости, т. е.
CFVt(CF) = FVt(CF).	F.9)
Это обусловлено выполнением условия согласованности F.7) для
коммерческой модели.
Напомним, что в основе определения будущей стоимости лежит
уравнение F.2). Отметим одну деталь, связанную с этим уравнением.
В нем присутствует некоторое начальное состояние, не связанное, во-
вообще говоря, с потоком CF, который является внешним параметром.
Поскольку нашей целью является определение будущей, а в дальней-
дальнейшем, и текущей стоимостей, применяемых непосредственно к потокам
платежей, то следовало бы модифицировать основное уравнение F.2)
таким образом, чтобы в нем не присутствовало упоминание о началь-
начальном состоянии, не связанном с рассматриваемым потоком.
Такая модификация возможна двумя способами. При первом можно
условиться, что первый элемент потока представляет собой начальное
состояние. Тогда
St = FVtmod(CF) = FVtmod((tuS{),CFf), t > t{,	F.10)
где CF' — остальная (кроме первого платежа) часть потока.
При втором способе можно всегда в качестве начального состояния
выбирать нулевое, т. е.
50 = 0, to<U,...,tn.
Тогда
St = FVtmod(CF) = FVtmod((t0,0), CF), t > t0.	F.11)
Легко показать, что F.1) не зависит от выбора начального момента to;
требуется лишь, чтобы он предшествовал всем платежам потока. Кроме
того, легко показать, что оба определения эквивалентны. Мы, по суще-
существу, воспользовались первым определением при формулировке условия
согласованности F.7).
Как было показано в гл. 4, будущая (накопленная) стоимость потока
в коммерческой модели совпадает со стандартной будущей стоимо-
стоимостью F.9) и, как это следует из примера 6.2, стандартный оператор
будущей стоимости не согласован с актуарной моделью.

6.1. Будущая стоимость потоков платежей	207
Определения F.8) и F.9) однозначно определяют понятие будущей
стоимости потока для коммерческой модели. Однако для актуарной
модели в общем случае нет явного выражения для этого оператора
в виде простой формулы наподобие выражения F.3).
В частных случаях, например, для знакопостоянных потоков пла-
платежей, т. е. потоков, в которых все платежи либо положительны, либо
отрицательны, актуарная и коммерческая модели дают один и тот же
результат. Следовательно,
CFVt(CF) = AFVt(CF) = FVt(CF).
Наличие платежей с разными знаками существенно усложняет дело.
Так, нарушается принцип линейности, т. е. для актуарной модели бу-
будущая стоимость не является суммой будущих стоимостей платежей
потока; например, для потока
CF = {A,100), B, -100)}
из примера 6.2 (при ставке г = 20%) имеем
AFV3A00)=FF3A00) = 100A+2-0,2) = 140G1),
AFV3(-100) =FF3(-100) = -100A +0,2) = -120(?г).
Оставляем читателю самостоятельно подсчитать, что AFV^(CF) =
= 24G1). Таким образом, получаем
AFV3(CF) = 24(?г) ф FV^lOO) + FV^-lOO) = 20(?г).
Нелинейность оператора будущей стоимости в актуарной модели
обусловлена нелинейным характером связи потока платежей с процент-
процентным и основным счетами в этой модели. В то же время в коммерческой
модели основной и процентный счета изменяются «практически незави-
независимым» образом, а в мультисчетной модели отдельные платежи потока
вообще полностью независимы и порождают собственные субсчета,
что и обеспечивает линейность соответствующего оператора будущей
стоимости для этих моделей.
В завершение обсуждения понятия будущей стоимости отметим еще
два его важных отличия для коммерческой и актуарной моделей. Речь
идет о так называемом нулевом балансе потока.
Определение 6.1. Будем говорить, что поток
CF = {(*,, С, ),(*2,С2),...,(*„,СП)}
имеет нулевой баланс относительно процентной ставки г в точке
t ^ t\,t2,... ,tn, если будущая стоимость потока в этой точке для
рассматриваемой модели равна 0, т. е.
FVtmod(CF)=0.

208	Гл. 6. Потоки платежей в схеме простых процентов
Поведение точек нулевого баланса существенно различается в ком-
коммерческой и актуарной моделях.
В коммерческой модели точка нулевого баланса определяется един-
единственным образом. Действительно, линейное относительно t урав-
уравнение	п
?Cfe(l+i(*-**)) = 0	F.12)
/с=1
имеет не более одного решения.
Напротив, если точка t* является точкой нулевого баланса для
потока CF в актуарной модели, то всякая следующая за ней точка
t ^ t* также является точкой нулевого баланса, т. е. если
AFVt* (CF) = 0,
то
AFVt(CF) = 0, t^t*.	F.13)
Это свойство связано с тем, что в актуарной модели равенство нулю
полного счета возможно только при нулевых основном и процентном
счетах, т. е.
St = Pt = It = 0
тогда и только тогда, когда
поскольку в актуарной модели состояния основного и процентного
счетов не могут быть противоположными по знаку. Иными словами,
в актуарной модели всегда
ItPt > 0.
Последнее свойство легко доказать индукцией по числу платежей пото-
потока, рассматривая различные варианты перехода от состояния к состоя-
состоянию в актуарной модели. Мы не будем приводить здесь доказательство,
оставляя его читателю. Проиллюстрируем сказанное примером.
Пример 6.3. Для потока
CF = {@, -400), A,300), B,450)}
нормированная ставка г = 50%. Показать, что точки 2 и 3 являются точками
нулевого баланса потока в актуарной модели.
Решение. Таблица состояний для потока в актуарной модели приводится
ниже (табл. 6.3).
Из таблицы видно, что h = P2 = 0, следовательно, $2 и все последующие
состояния будут нулевыми, таким образом, все точки, следующие за t* = 2,
являются точками нулевого баланса. Уравнение точки баланса для коммерче-
коммерческой модели имеет вид
-400A + 0,5?) + 300A + 0,5(? - 1)) + 450A + 0,5(? - 2)) = 0,
или
175 t = 250,

6.2. Текущая стоимость потоков платежей
209
Таблица 6.3
t
0
1
2
3
С
-400
300
450
0
Р
-400
-300
0
0
/
0
0
0
0
S
-400
-300
0
0
откуда
t* = 1,429
— единственная точка нулевого баланса потока.	¦
С помощью понятия нулевого баланса можно сформулировать свой-
свойство, весьма важное для понимания смысла будущей (накопленной)
стоимости потока. Оно формулируется следующим образом:
Vt = FVtmod(CF)
тогда и только тогда, когда
FVtmod(CF*)=0,
F.14)
где
CF* = CF + {(t, -Vt)} = {(U, Ci), (t2, C2),..., (tn, Cn), (t, -Vt)}
F.140
— расширенный поток, полученный присоединением к CF собы-
события (t,-Vt).
Содержательный смысл этого свойства очевиден. Если сумма Vt
равна будущей стоимости потока CF по ставке г, то, инвестировав
поток CF, в результате процентного роста получим сумму Vt, снятие
со счета которой в момент времени t приводит к нулевому балансу.
Таким образом, в рамках данной модели поток CF и событие (t, Vt)
являются эквивалентными, т. е. сумма Vt — эквивалентное в финан-
финансовом смысле представление потока CF в момент t.
6.2. Текущая стоимость потоков платежей
Обсудив понятие будущей стоимости потока, перейдем к анализу
понятия текущей (сегодняшней, приведенной) стоимости потока пла-
платежей. Оно симметрично понятию будущей стоимости. Его смысл,
таким образом, состоит в нахождении текущего (сегодняшнего) эк-
эквивалента всех будущих платежей потока. Следовательно, если дан
поток CF, то его текущей стоимостью (в рассматриваемой модели)
в момент to является величина Vo такая, что инвестирование ее в мо-
момент to по ставке г полностью обеспечивает все платежи потока.
Это равносильно тому, что снятие сумм С& в моменты t& со счета,
порожденного начальным вкладом Vo, приведет в момент tn последней

210	Гл. 6. Потоки платежей в схеме простых процентов
выплаты в точности к нулевому балансу, т. е. в момент tn будет
выполнено равенство
Stn = 0.
Таким образом, формальное определение текущей стоимости потока
платежей базируется на той же идее взаимного баланса потока или эк-
эквивалентности потока и его приведенного (к будущему или прошлому)
значения.
Определение 6.2. Величина Vo является текущей стоимо-
стоимостью в момент to потока
= {(ti,C1)>(t2,C2),...,(tn,Cn)}>
т.е.
Vo =
относительно ставки г, если
FVtSCF) = 0,	F.15)
где
> = l(to,-Vo)} + CF	F.15х)
— расширенный поток, полученный присоединением к потоку CF
начального события (to,—Vo).
Приведенное выше определяющее соотношение F.15) идентично
условию F.14), разница состоит лишь в способе формирования рас-
расширенного потока: приведенное значение потока с обратным знаком
присоединяется «к концу» исходного потока в случае будущей стоимо-
стоимости F.14х) и «к началу» — в случае текущей стоимости F.15х).
Строго говоря, если следовать «букве» приведенного перед фор-
формальным определением текущей стоимости описания смысла этого
понятия, следует в качестве расширенного потока рассматривать поток
*CF = {(to,Vo)}-CF,	F.15")
поскольку мы договорились вложение суммы Vo интерпретировать со-
событием (to, Vo), а снятие суммы Ck в момент tk — событием (tk,—Ck).
Это, конечно, чистая условность, и результат, т. е. балансовое равен-
равенство F.15), не зависит от того, какой вариант расширения потока
используется.
Наметив общую схему определения текущей стоимости потока
в схеме простых процентов, рассмотрим подробнее, что она дает в слу-
случаях конкретных моделей.
В §4.1 при обсуждении модели мультисчета мы показали, что
в ней текущая стоимость потока совпадает со стандартной текущей
стоимостью F.4). Таким образом,
PV™uli(CF) = PVto(CF) = jr	-Э	г.
, 1 1 Н~ Htfc to)
/c=l

6.2. Текущая стоимость потоков платежей	211
Этот факт — естественное следствие «полной независимости», которой
обладают отдельные платежи потока в мультисчетной модели. Поэтому
обеспечение (финансирование) потока CF означает попросту обеспе-
обеспечение каждой из сумм Ck потока в отдельности, и, следовательно,
текущая стоимость потока будет в этом случае обычной суммой теку-
текущих стоимостей отдельных платежей потока. Наиболее яркий пример
(см. §4.1) — покупка пакета (портфеля) долговых обязательств. Пла-
Платеж Ck представляет собой сумму погашения fc-ro обязательства, а те-
текущая стоимость потока этих платежей есть просто стоимость пакета
обязательств при заданном уровне процентной ставки (см. пример 4.2).
Несколько неожиданным, пожалуй, является тот факт, что в ком-
коммерческой модели, несмотря на совпадение модельной CFVt и стан-
стандартной FVt будущих стоимостей, текущая стоимость потока будет
отличаться от стандартной текущей стоимости. Хотя мы и не
нашли пока явное выражение для текущей стоимости потока в ком-
коммерческой модели, в сказанном можно убедиться с помощью простого
контрпримера.
Пример 6.4. Для потока
CF = {A,200), B, -500), C,600)}
из примера 6.1 показать, что стандартная текущая стоимость не согласована
с коммерческой моделью.
Решение. В примере 6.1 было показано, что при ставке г = 20%
PV0(CF) = 184,52(?г).
Вместе с тем легко убедиться, что для расширенного потока
*CF = {@,-184,52), A,200), B, -500), C,600)}
выполняется равенство
CFV3CCF) = FV3(*CF) = -15,23(?г) ф 0.
Таким образом, условие F.15) не выполнено и, следовательно, стандартное
значение текущей стоимости не является ее модельным (коммерческим) значе-
значением. Нетрудно убедиться, что значение
Vo = 175(?г)
будет корректным значением текущей стоимости этого потока в коммерческой
модели.	¦
Перейдем к выводу явного выражения для текущей стоимости
в коммерческой модели.
Уравнение F.15) означает, что момент tn последнего платежа —
точка нулевого баланса; поэтому оно дает нам линейное относитель-
относительно Vo уравнение
-V0(l+i(tn-t0)) + FVtn(CF)=0.	F.16)
Отсюда получаем, что

212	Гл. 6. Потоки платежей в схеме простых процентов
или в развернутом виде
Vr \~^ ^fcv-l ' ^\ п к))	(С 1 Q\
О ~~ / 	~/	\	•	IO.1O)
/с=1
В результате получаем явное выражение для текущей стоимости пото-
потока платежей в коммерческой модели:
cpvto(CF) = J2 Ck\^jrrzH'	FЛ9)
к=\
Пример 6.5. Какую сумму должен отец вложить сегодня на накопитель-
накопительный вклад при ставке 8% годовых, чтобы обеспечить сыну ежегодные выплаты
в размере 7^1000 в течение четырех лет обучения в колледже?
Решение. Считая, что вклад сделан в начале года, т. е. в момент времени
to = 0, получим следующий поток платежей:
{A,-1000), B,-1000), C,-1000), D,-1000)}.
Для расчета дисконтированного на момент времени to = 0 значения этого по-
потока воспользуемся формулой F.18). Так как последняя выплата по окончании
4-го года должна «обнулить» счет, то t = 4 — точка нулевого баланса. Тогда
Vo = V moo• 1+a08D-fe) = moo• 1+а08-3 +
0 ^	1+0,08D-0)	1+0,08-4
+ 1000 • 1+а°8'2 + 1000 • 1+а°8'1 + 1000	1-	= 3393,94(?г).
1 + 0,08 -4	1 + 0,08 -4	1 + 0,08 -4	v }
Для иллюстрации содержательного смысла дисконтированного значения Vo
покажем теперь, что, положив сумму Vo = 7^3393,94 на накопительный вклад
при ставке 8% годовых и снимая с вклада в конце каждого года 7^1000,
пользуясь при этом коммерческим правилом, через 4 года получим нулевое
сальдо счета.
Действительно, в начальный момент времени to = 0 на основном счете
имеем
Р0 = 3393,94Gг).
Через год на эту сумму нарастут проценты
Jx = Ро • 0,08 = 3393,94 • 0,08 = 271,52(?г).
Следовательно, состояние процентного счета в конце 1-го года
/i = Jx =271,52(?г),
а основной счет после снятия с него 7^1000 станет
Pi = Ро - 1000 = 3393,94 - 1000 = 2393,94(?г).
За 2-й год нарастут проценты
J2 = Px- 0,08 = 2393,94 • 0,08 = 191,52(?г).
Таким образом, на конец 2-го года на процентном счете будет
h = Ii + J2 = 271,52 + 191,52 = 463,04(?г),
а на основном
Р2 = Рх- 1000 = 2393,94 - 1000 = 1393,94(?г).

6.2. Текущая стоимость потоков платежей	213
Проценты за 3-й год составят
J3 = P2-0,08 = 1393,94-0,08= 111,52Gг).
Тогда к концу 3-го года состояние процентного счета
h=h+h= 463,04 + 111,52 = 574,5б(?г),
а основного
Р3 = Р2- Ю00 = 1393,94 - 1000 = 393,94(?г).
И, наконец, за 4-й год проценты составят
J4 = Рз • 0,08 = 393,94 • 0,08 = 31,52(?г).
Следовательно, процентный счет к концу 4-го года станет
U = h + Ja = 574,56 + 31,52 = 606,08(?г),
а сумма полного счета на этот момент времени
#4 = Р3 + h = 393,94 + 606,08 = 1ООО,О2Gг),
т. е. имеем необходимую для последнего платежа сумму 7^1000, после выплаты
которой счет обнуляется (с учетом точности расчетов).	¦
Формулу F.19) для текущей стоимости можно переписать, если
ввести специальный коэффициент «коммерческого дисконтирования»
(коэффициент приведения)
Тогда
CPVt0(CF) = J2 Ckv(tk,to,tn).	F.21)
k=\
«Нетрадиционный» вид коэффициента дисконтирования может на-
насторожить. Он зависит от трех, а не от двух временных переменных,
в отличие от случаев, рассмотренных ранее (см. C.16)—C.19)). Смысл
переменной tk ясен, она варьируется по моментам всех платежей
потока; смысл to также ясен: это точка приведения (полюс, момент
валоризации). Но какую роль играет переменная tn? В формулах те-
текущей стоимости она — момент последнего платежа. Это означает,
согласно формуле F.15), служащей основой для определения текущей
стоимости потока, что именно в tn достигается нулевой баланс. Выбор
нулевого баланса в момент tn последнего платежа потока — лишь
один из возможных вариантов. Выбирая в F.15) точку t для буду-
будущей стоимости произвольным образом, лишь бы выполнялось условие
t^tn, получим различные варианты определения текущей стоимости,
которые будут согласованы с основным принципом ее определения.
Определение 6.3 (обобщенной текущей стоимости). Величи-
Величина V является текущей стоимостью потока CF, сбалансированной
относительно точки р, т. е.
г <?ь?2,...,?п <:Р,	F.22)

214	Гл. 6. Потоки платежей в схеме простых процентов
тогда и только тогда, когда
FV™od(*CF) = 0,	F.23)
где
*CF = {(г, -V)} + CF.	F.23х)
Это определение обобщенной текущей стоимости, т. е. текущей
стоимости потока, сбалансированной относительно точки р, дает для
нее, согласно F.19), при tn = р и to = т, явное выражение в случае
коммерческой модели:
OPV^(OF) — V Ci * +HP~ ^fc)	/с од\
г^ 1 + г{р — т)
Используя введенный выше коэффициент дисконтирования, F.24)
можно записать в виде
CPVM(CF) = J2 Ckv(tk,T,p).	F.25)
k=\
Определение 6.3 приводит к парадоксальному, на первый взгляд,
свойству обобщенной «коммерческой» текущей стоимости CPV} .
Так, если взять две различные точки нулевого баланса t',t", следую-
следующие за всеми платежами потока, т.е. tn<tr < t", то, несмотря на то,
что никаких платежей после момента tn поток CF не содержит, тем
не менее, все три значения текущей стоимости: основное
CPVT(CF) = CPV}tn)(CF)
и два обобщенных CPVp'\CF) и CPV^"\CF) - будут попарно
различны.
Пример 6.6. Для потока CF из примера 6.5 найти значения текущей
стоимости для точек нулевого баланса t = 5,6,7.
Решение. В примере 6.5 мы нашли основное текущее значение пото-
потока CF:
CPV0(CF) = CPV^\CF) = 393,94(?г)
относительно точки т = 0 и ставки г = 8 % с нулевым балансом в момент t = 4
последнего платежа. Смещая точку баланса на один, два и три шага вперед,
по формуле F.24) последовательно получим
CPV0E\CF) = 3428,52(?г),
CPV0{7\CF) = 3487,18(?г).	¦
Легко доказать линейность введенного обобщенного оператора те-
текущей стоимости:
V^ (aCF) = aCPV}p) (CF)	F.26)

6.2. Текущая стоимость потоков платежей	215
CF2) = CPVW(CFi) + CPVW(CF2),	F.27)
если все платежи лежат в промежутке [r,t]. Эти свойства немед-
немедленно следуют из F.22), F.23) и F.3), F.9).
Свойство F.27) позволяет рассматривать текущую стоимость по-
потока для коммерческой модели как сумму текущих стоимостей его
платежей. Это кажется на первый взгляд неожиданным и противоре-
противоречащим сказанному выше о нелинейности ранее определенной основной
текущей стоимости, сбалансированной в момент последнего платежа.
Однако следует помнить, что здесь речь идет не о стандартной текущей
стоимости, привязанной к последнему платежу, и в случае отдельного
платежа — к нему самому, а текущей стоимости с моментом приведе-
приведения г и моментом нулевого баланса р.
Для отдельного платежа, т.е. события (?, С), коммерческий опера-
оператор текущей стоимости дает приведенное к моменту г значение
CPV^\Ct) = Ct • (!+*(р~*У, г < t < р.	F.28)
1 + г(р т)
Выражение справа есть результат композиции двух стандартных опе-
операторов приведения:
Таким образом,
CPV<P)(Ct) = PVT о FVp(Ct), r^t^p.	F.29)
В § 3.4 указанную композицию мы назвали приведением к момен-
моменту г относительно заданного полюса р и обозначили через PVr .
Следовательно,
CPV<P\Ct) = PVW(Ct), r^t^p.	F.30)
С учетом этого факта можно записать для произвольных потоков
, T^U<t2<...<tn^p. F.31)
k=\
Сумму справа можно рассматривать как определение операции при-
приведения потока CF к моменту г относительно выбранного полюса р:
PVW(CF) = J2 PVT{p)(Ck).	F.32)
k=\
Мы вернемся к этой конструкции в заключительном параграфе, посвя-
посвященном общему анализу потоков платежей в схеме простых процентов.
Здесь же отметим лишь одно обстоятельство. Распространение отно-

216	Гл. 6. Потоки платежей в схеме простых процентов
сительного приведения событий на потоки не зависит от взаимного
расположения момента приведения, полюса и критических моментов
потока, тогда как введенное определение коммерческого оператора те-
текущей стоимости предполагает взаимное расположение перечисленных
параметров, указанное в формуле F.31).
В заключение нашего анализа текущей стоимости потока для ком-
коммерческой модели отметим два «предельных» свойства. Для любого
конечного потока CF
lim CPVp\CF) = J2°k	F-33)
при фиксированных г, г и
р^+оо	к
lim PV}p\CF)=0	F.34)
Т—*¦ — СЮ
при фиксированных г,р.
Эти свойства являются непосредственным следствием аналогичных
свойств коэффициента дисконтирования:
lim v(s,T,p)= lim l + %<f ~ s\ = 1	F.35)
lim v(s,T,p)= lim ±±М—Ц=0.	F.36)
r^-oo V	' r^-oo 1 + l(p — t)
Перейдем теперь к актуарной модели. Построение операторов теку-
текущей стоимости для актуарной модели основывается на общем принци-
принципе, задаваемом уравнениями E.3) и E.4). Иными словами, в качестве
текущего значения потока CF в момент г относительно балансовой
точки р и ставки г берется величина
VT=APVi?\CF), r^tut2,...,tn<P,	F.37)
такая, что
AFVP(*CF) = 0,	F.38)
где
*	{()}	F.38х)
— расширенный поток, полученный добавлением начального собы-
события (г, —V).
Здесь, однако, возникает одна тонкость. Известно, что усло-
условия F.15) и F.15х) действительно определяют текущее значение в ком-
коммерческой модели, поскольку балансовое уравнение F.16) допускает
явное решение F.17), F.18). Но для актуарной модели мы не можем
явно решить (даже явно записать) балансовое уравнение F.28). Заме-
Заметим, что даже если поток знакоопределенный, т. е. CF ^ 0 или CF ^ О,
и мы можем записать выражение его будущей стоимости, тем не менее,
расширенный поток *CF будет обязательно разнознаковым, поскольку
знак начального состояния —V будет обязательно противоположен зна-

6.3. Относительная приводимость и эквивалентность потоков 217
кам платежей потока CF. Это именно тот случай, когда актуарное пра-
правило даст результат, существенно отличный от коммерческого. Тем не
менее, для некоторых случаев, как мы покажем в последующем, можно
получить явное выражение для текущей стоимости потока в актуарной
модели. Это касается так называемых рент, т. е. регулярных потоков
с одинаковыми платежами. В частности, для регулярного потока
с постоянными платежами, т. е. ренты, будет показано, что текущая
стоимость в точке г = 0 и с нулевым балансом в точке р = п равна
APV0{n\CF) = J2 Ck(l+i)~k.	F.39)
k=\
Итак, мы определили для актуарной модели «обобщенный» опе-
оператор текущей стоимости относительно произвольной точки нулевого
баланса. Ранее было показано, что изменение точки нулевого баланса
меняло значение текущей стоимости потока в коммерческой модели.
Это связано, как мы знаем, с единственностью точки нулевого балан-
баланса для фиксированного потока. Однако известно, что для актуарной
модели все точки, следующие за точкой нулевого баланса, сами яв-
являются точками нулевого баланса. Таким образом, конкретный выбор
этой точки в определении текущей стоимости для актуарной модели
несуществен, т. е. для любого потока CF
APV^\CF) = APVT(CF), p^tn,
где tn — момент последнего платежа потока. Это позволяет в обозна-
обозначении текущей стоимости не указывать верхний индекс, отмечающий
выбранную точку баланса и писать просто APVT(CF).
Пример 6.7. Рассмотрим трехлетнюю ренту
CF = {A,100), B,100), C,100)}.
Найдем актуарную текущую стоимость этой ренты в момент т = 0 при ставке
20% годовых.
Решение. Согласно формуле F.39),
APVo(CF) = J^+ 1QQ 2 + 10° з = 2Ю,65.	-
V J 1+0,2 A+0,2J A+0,2K
6.3. Относительная приводимость и эквивалентность
потоков платежей в схеме простых процентов
Выше мы определили модельные операторы приведения потока
к выбранному моменту времени. Отметим, что во всех моделях буду-
будущая стоимость определялась для момента времени, следующего за все-
всеми платежами потока, а текущая, соответственно, — для момента вре-
времени, предшествующего этим платежам. Таким образом, «модельные»

218	Гл. 6. Потоки платежей в схеме простых процентов
операторы приведения не являются всюду определенными относитель-
относительно моментов приведения, поскольку приведение к «промежуточным»
моментам по отношению к платежам потока не было определено.
С другой стороны, в гл. 3 мы определили стандартные операции
приведения денежных потоков. Эти операции получались в результате
формального распространения операций приведения событий на по-
потоки. Говоря о формальности такого распространения, мы имеем в виду
лишь то, что для него не требуется содержательная интерпретация.
Это, конечно, не значит, что получающиеся операторы приведения
«бессмысленны». Мы уже отмечали, что в ряде случаев модельные
операторы приведения совпадают с формально определенными стан-
стандартными операторами приведения. Равенство F.29) подтверждает тес-
тесную связь между «содержательными» (модельными) и «формальными»
операторами. В этом параграфе мы более подробно рассмотрим фи-
финансовые потоки в схеме простых процентов и, в частности, изучим
отмеченные связи между различными вариантами операций приведе-
приведения финансовых потоков.
Прежде всего напомним, что введенная в § 3.4 операция приведения
потока основывалась на операции приведения событий:
),	F.40)
где
fl+Hp-t), p^t;
— обобщенный коэффициент приведения (дисконтирования) в схеме
простых процентов.
Формальное распространение этой операции на потоки привело нас
к определению
PVP(CF) = J2 PVP(Ck) = J2 Ckv(tk,p),	F.42)
где
— произвольный поток.
Таким образом, операция приведения потоков является линейным
продолжением операции приведения событий.
Этот факт очевидным образом влечет линейность операции фор-
формального приведения потоков платежей:
PVP(CFX + CF2) = PVP(CFX) + PVP(CF2)
PVp(aCF)=aPVp(CF).

6.3. Относительная приводимость и эквивалентность потоков 219
Выражение F.42) можно записать в развернутом виде
PVP(CF) =
k:tk>p	У	'
= FVP{CF\~) + DVP(CF\+), F.43)
где CF\~, как уже ранее было определено, есть часть потока CF,
включающая платежи до момента р включительно, a CF| + содержит
платежи из CF после момента р.
Таким образом, приведенная стоимость потока платежей равна сум-
сумме стандартной будущей стоимости части потока, предшествующей
моменту приведения, и стандартной текущей стоимости части потока,
следующей за моментом приведения.
Формальное текущее значение
Vp = PVP(CF)
потока CF определяет событие (p,V), которое является эквивалент-
эквивалентным (в формальном смысле) представлением потока CF, т. е.
(р, V) - CF.
Более общим образом можно определить формальную эквивалентность
любых потоков платежей в стандартной модели.
Определение 6.4. Пусть р — фиксированный момент приведе-
приведения (полюс). Потоки CF\ и CF2 в стандартной модели называются
формально эквивалентными в схеме простых процентов относительно
полюса р и процентной ставки г, если их текущие стоимости в момент р
совпадают:
PVP(CFX)=PVP(CF2).	F.44)
Формальную эквивалентность назовем стандартной или простой
эквивалентностью (в схеме простых процентов), если это не будет
приводить к недоразумениям.
Данное определение эквивалентности потоков является простым
обобщением соответствующего определения эквивалентности событий
в схеме простых процентов (см. §3.4). Оно действительно является
отношением эквивалентности, т. е. это рефлексивное, симметричное
и транзитивное отношение. Факт эквивалентности потоков запишем
в виде
- CF2.
Ставку г (параметр схемы) обычно опускают в обозначениях опера-
операторов приведения и отношениях эквивалентности событий и потоков.
Эквивалентность событий и потоков связана между собой есте-
естественным свойством.
Если события

220	Гл. 6. Потоки платежей в схеме простых процентов
(*,,(?,) и (*'„(?{).
()(^?)
(tn,Cn)u(t'n,C'n)
попарно эквивалентны относительно р:
CklC'k, k= l,2,...,n,
то будут эквивалентны и составленные из них потоки:
CF I CF'.
Обратное, вообще говоря, неверно, т. е. эквивалентность потоков не
влечет эквивалентности событий.
Пример 6.8. Доказать эквивалентность относительно момента времени
р = 3 и процентной ставки г = 20% следующих потоков:
CFX = {A,100), E,700)},
CF2 = {(-2,250), D,168)},
CF3 = {@,200), F,512)}.
Решение. Заметим, что
A,100) - D,168),
так как
100A+0,2-2) = 140= 168
1+0,2'
и
(-2,250) - E,700),
так как
250A+0,2-5) = 500=^^.
Таким образом, события потоков CF\ и CF2 соответственно эквивалентны
и, следовательно, будут эквивалентными сами потоки. При этом текущая
относительно р = 3 стоимость обоих потоков равна
PV3(CFi) = PV3(CF2) = 140 + 500 = 640.
Поскольку
ci о
PV3(CF3) = 200A + 0,2 ¦ 3) + 1+e2 3 = 640,
то CF% эквивалентен потокам CF\ и CF2. Заметим также, что события потока
CF% не эквивалентны никаким событиям потоков CF\ и CF2.	Ш
Мы распространили на потоки операцию приведения событий в схе-
схеме простых процентов. В предыдущем параграфе при определении
текущей стоимости в коммерческой модели были получены важные
соотношения F.31), F.32). Они означают, что еще один формальный
оператор приведения потоков имеет содержательное значение. Этот
оператор основан на операции относительного приведения событий,
которая, в свою очередь, непосредственно связана со свойством экви-
эквивалентности (замещаемости) событий относительно заданного полюса.

6.3. Относительная приводимость и эквивалентность потоков 221
Операция относительного приведения событий в схеме простых
процентов подробно рассматривалась в § 3.4. Напомним ее опреде-
определение:	, ч
PV^\Ct) = Ct • ^±..	F.45)
Формальное распространение этой операции на потоки приводит к сле-
следующему определению.
Определение 6.5. Приведенным к моменту г значением пото-
потока CF относительно полюса р (и ставки г) называется величина
VT = PVTM(CF) = ? PVTM(Ck) = JZ°k' Ф4-	F.46)
k=\	k=\	^ '^
Заметим, что знаменатель в F.46) не зависит от элементов пото-
потока CF. Учитывая это, формулу F.46) можно переписать в виде
PV^(CF) = -i— V Ck • ЩЩ.	F.460
v(r,p) ^	v(r,p)	v j
В тех случаях, когда момент приведения следует за всеми критиче-
критическими моментами потока, соответствующее относительное приведенное
значение называется будущим значением потока относительно полю-
полюса р и обозначается как FVr (CF).
Пример 6.9. Пусть задан поток CF следующего вида:
CF = {A,200), B,-100), D,300)}.
Найти приведенное к моменту т = 5 значение потока относительно полюса
р = 0, если нормированная процентная ставка равна 20% годовых.
Решение. Согласно формуле (б.4б;), получим
Формула F.46х) — аналитическое представление разложения опе-
оператора относительного приведения в композицию стандартных опера-
операторов приведения (см. §3.4):
ру(Р) =
Заметим, что именно нерасщепляемость финансового закона v(t,p)
в схеме простых процентов приводит к невыполнению свойства погло-
поглощения
PVroPVp = PVr.	F.48)
Однако для относительного оператора приведения имеет место специ-
специальный закон поглощения
F.49)

222	Гл. 6. Потоки платежей в схеме простых процентов
Подчеркнем, что полюс р для всех операторов в равенстве F.49)
должен быть одним и тем же.
Равенство F.49) основано на легко проверяемом тождестве
PVP о PVT о PVP = PVP.	F.50)
В самом деле, применяя оператор слева к произвольному событию
(t,C) и учитывая самосопряженность финансового закона v(t,p), по-
получим
Ctv(t,p)v(p,r)v(r,p) = Ctv(t,p),
что доказывает F.50), а значит, и F.49).
Обобщенный закон поглощения F.49) означает, что относительный
оператор приведения не порождает нового отношения эквивалентности
событий и потоков. Более того, речь идет о том, что совпадение
приведенных к моменту г значений относительно полюса р потоков
CF\ и CF2 означает их простую (стандартную) эквивалентность.
В самом деле, применяя к равенству
оператор приведения PVP, на основании F.50) получим равенство
= PVP(CF2),
т. е. простую эквивалентность потоков относительно полюса р.
Остановимся теперь на связи модельных (содержательных) опера-
операторов приведения потоков в схеме простых процентов. Выше было
показано, что для потока
= {(tuCi),(t2,C2),...,(tn,Cn)}
при условии р ^ t\, t2, • • •, tn имеют место соотношения
FV^om(CF) = FVpmuli(CF) = FVP(CF).
Если к тому же выполняется условие г ^ t\, t2,..., tn, то выполняется
равенство
FV™ult(CF) = FVT(CF).
Для коммерческой модели в этом случае имеет место более тонкое
соотношение
Здесь мы временно вернулись к более выразительным обозначениям
модельных операторов приведения CFVP и CPVP.
Модельные операторы приведения также отражают связанные с ни-
ними отношения эквивалентности. Эквивалентность такого рода опреде-
определяется выбором точки приведения г и модели, относительно которой
она определяется. При этом важно положение точки приведения г
относительно сравниваемых потоков. Эта точка либо следует за всеми

6.3. Относительная приводимость и эквивалентность потоков 223
платежами потока, либо предшествует им. В том случае, когда точка г
следует за платежами потоков, говорят о постэквивалентности.
Определение 6.6. Потоки CF\ и CF2 постэквивалентны от-
относительно момента р и ставки г, если
FV™od(CFx) = FVpmod(CF2),
где р следует за всеми платежами обоих потоков.
Если точка р предшествует платежам потоков, то говорят о предэк-
вивалентности.
Определение 6.7. Потоки CF\ и CF2 — пред эквивалентны
относительно момента р и ставки г, если
PV™od(CFx) = PVpmod(CF2),
где р предшествует всем платежам обоих потоков.
В обоих определениях фигурируют модельные операторы приведе-
приведения, согласованные с динамикой модели.
Строго говоря, для определения предэквивалентности в коммерче-
коммерческой модели необходимо уточнить выбор точки нулевого баланса.
Если потоки имеют разные моменты последних платежей, то можно
в качестве такой точки брать более поздний из них, но в любом случае
предэквивалентность в коммерческой модели существенно зависит от
выбора точки нулевого баланса. В то же время из сказанного выше
следует, что предэквивалентность в коммерческой модели равносильна
постэквивалентности относительно точки нулевого баланса. Формаль-
Формально это выражается утверждением
CPVW(CFi) = CPV^\CF2) ^=> FVP(CFX) = FVP(CF2).
Таким образом, определение предэквивалентности в коммерческой
модели попросту излишне; ее полностью заменяет постэквивалент-
постэквивалентность, которая равносильна стандартной эквивалентности относитель-
относительно точки нулевого баланса р.
В актуарной модели текущая стоимость не зависит, как мы знаем,
от выбора точки нулевого баланса и, как легко показать, пост- и пред-
предэквивалентности в этой модели различаются.
Пример 6.10. Показать, что потоки
CFi = {A,100), B,-100)},
CF2 = {C,75)}
в актуарной модели для ставки г = 50% постэквивалентны относительно точки
р = 3, но не предэквивалентны относительно точки р = 0.
Решение. Найдем сначала AFVs(CF\). В этом случае
Pi = 100, /i=0, J2 = 100-0,5 = 50.
Учитывая, что
J2 + C2 = 50 - 100 = -50 < 0,

224	Гл. 6. Потоки платежей в схеме простых процентов
имеем
/2=0
И
P2 = Pi + J2 + C2 = 100 - 50 = 50.
Тогда
J3 = 50 • 0,5 = 25
и
Рз = Р2 + h = 50 + 25 = 75.
Следовательно,
AFV3(CFi) = 75.
Поэтому потоки CF\ и CF2 эквивалентны относительно р = 3.
С другой стороны, легко убедиться, что
APV0(CFi) = 22,222.
Действительно, в этом случае
Ро = -22,222, /0 = 0, Jx = -22,222-0,5 = -11,111.
Так как
Ji+Ci = -11,111+ 100 = 88,889 > 0,
то
/i=0
и
Д = Ро + J\ + Ci = 66,667.
Тогда
J2 = 66,667 • 0,5 = 33,334
и, учитывая, что
J2 + С2 = 33,333 - 100 = -66,667,
имеем
/2=0
И
P2 = Pi + J2 + C2 = 66,667 - 66,667 = 0.
(Заметим, что вычисления здесь проводились с точностью до тысячных долей).
Таким образом, мы показали, что для потока
*CFi = {(-22,222; 0)} + CFX
выполняется равенство
AFV2(*CFi) =0,
что и требовалось доказать.
С другой стороны, очевидно, что
= irks = ж
Таким образом,
APVQ{CFX) ф APVQ{CF2)
и, следовательно, потоки CF\ и CF2 не эквивалентны относительно р = 0. ¦
Итак, мы приходим к выводу, что в коммерческой модели постэкви-
постэквивалентность равносильна предэквивалентности, а в актуарной модели
эти два вида эквивалентности различаются.

6.4. Реструктуризация кредитных контрактов	225
Из сказанного следует, что коммерческая и мультисчетная моде-
модели являются естественным образом «встроенными» в схему простых
процентов. Все содержательно определяемые операции и отношения
для этих моделей имеют простые формальные аналоги в рамках аб-
абстрактной схемы простых процентов. С другой стороны, актуарная
модель, которая была определена в рамках схемы простых процентов,
тем не менее, как это неоднократно отмечалось, имеет в себе ряд
существенных черт, относящихся скорее к схеме сложных процентов.
Так, выражение F.39) для текущей стоимости ренты в актуарной мо-
модели в точности совпадает с выражением для стоимости ренты в схеме
сложных процентов. Такая двойственность актуарной модели означает,
что использование только тех средств схемы простых процентов, ко-
которые были описаны выше, недостаточно. Разработка же «адекватных»
для этой модели средств неизбежно приведет нас к схеме сложных
процентов. Поэтому мы вернемся к некоторым аспектам актуарной
модели ниже, в главах, посвященных схеме сложных процентов.
На этом закончим изложение различных операций приведения по-
потоков и связанных с ними эквивалентностей в стандартной схеме
простых процентов.
6.4. Реструктуризация кредитных контрактов
в схеме простых процентов
В финансовой практике довольно часто возникает необходимость
замены одного платежа или серии платежей на другой платеж (скажем,
более отдаленный) или другую серию платежей (с другими сроками
и суммами) таким образом, чтобы ни одна из сторон в таких опера-
операциях не имела бы ни потерь, ни явных преимуществ. Следовательно,
упомянутые операции должны приводить к финансово эквивалентным
результатам.
Подобные ситуации возникают при различных изменениях действу-
действующих кредитных договоров (контрактов). Например, должник, сделав
ряд погасительных платежей, просит кредитора об отсрочке очередного
платежа или об уменьшении его суммы взамен увеличения других,
более отдаленных платежей и т.п. Кредитор может согласиться на
такое изменение действующего соглашения при условии, что ничего не
потеряет. Таким образом, ключевым моментом в подобного рода изме-
изменениях или, как еще говорят, реструктуризации действующих кредит-
кредитных контрактов является финансовая эквивалентность действующего
и нового, преобразованного, контрактов.
В предыдущем параграфе подробно описаны отношения эквива-
эквивалентности для потоков платежей, порождаемых конкретной исполь-
используемой моделью. В этом параграфе рассмотрим несложные примеры
применения этих видов эквивалентности в реструктуризации долговых
контрактов.
8 П. П. Бочаров, Ю.Ф. Касимов

226	Гл. 6. Потоки платежей в схеме простых процентов
Начнем с простого примера, поясняющего суть дела.
Пример 6.11. По взаимному соглашению кредитора и должника кредит
в $1000, выданный в начале года, погашается двумя одинаковыми платежами
по $800 каждый в конце первого и второго кварталов. Должник, выплатив
полностью первый погасительный платеж, попросил кредитора об отсрочке
второго платежа до конца года. Какова должна быть величина этого платежа?
Решение. Следует обратить внимание, что в условии ничего не сказано
о процентной ставке по кредиту. На первый взгляд она обязательно должна
присутствовать в условии задачи, так же как и упоминание о схеме погаше-
погашения, используемой в данном контракте. На самом деле существенно только
последнее, т. е. знание конкретной модели погашения. Как мы убедились при
обсуждении схем погашения (см. §5.6), схема погашения и контрактная эк-
эквивалентность кредита и погасительного потока однозначно определяют со-
соответствующую (внутреннюю) нормированную процентную ставку. Поскольку
в условии нет указания о схеме погашения, то задача однозначным образом
не решается. Решим ее для двух вариантов схем погашения — коммерческой
и актуарной.
Рассмотрим сначала коммерческую модель. Соответствующая процентная
ставка определяется из уравнения баланса для начальной сделки:
1000A + 2j) = 800A + j) + 800.
Здесь j — ставка за квартал. Решая это уравнение, получим j = 50% за
квартал или г = Aj = 200% годовых. Зная ставку, легко теперь выписать
уравнение баланса для новой, реструктуризованной сделки:
1000A + 4 • 0,5) = 800A + 3 • 0,5) + X,
где X — величина искомого платежа. Решая это уравнение, получим
X = 1000($).
Рассмотрим теперь актуарную модель. Снова начнем с определения со-
соответствующей ставки. Уравнение баланса для первоначального контракта
в актуарной модели имеет вид
1000A + jJ = 800A + j) + 800.
Полагая z = 1 + j, получаем квадратное уравнение
5z2-4z-4 = 0.
Это уравнение имеет единственный положительный корень z = 1,3798. Отсюда
следует, что j = 37,98%.
Для этой ставки уравнение баланса в новой сделке примет вид
1000A + 0,3798L = 800A + 0,3798K + X.
Отсюда получаем
X = 1523,07($).
В заключение примера решим его, используя формальную эквивалентность
с точкой приведения, совпадающей с концом второго квартала.
Уравнение для определения ставки в этом случае совпадает с уравнением
для коммерческой модели и, следовательно, квартальная ставка j по этой
эквивалентности равна 50%. Однако уравнение баланса для новой схемы
погашения будет иметь уже другой вид:
1000A + 0,5 • 2) = 800A + 0,5) + ^ g.

6.4. Реструктуризация кредитных контрактов	227
Отсюда получаем
X = 1600.	¦
Замечание. Не следует думать, во-первых, что в задачах ре-
реструктуризации порядок действий таков, как в примере 6.11, т.е. сна-
сначала определяется ставка, а затем находится преобразованный поток
платежей. Контрактная ставка обычно известна, и сами погаситель-
погасительные платежи в исходном контракте находятся по заданной ставке.
Во-вторых, начальная ставка и ставка, относительно которой прово-
проводится реструктуризация, могут не совпадать. Изменение ставки может
обуславливаться разными условиями, в частности, оно может быть
предусмотрено в первоначальном контракте именно на случай возмож-
возможной реструктуризации. При этом, однако, несколько меняется смысл
эквивалентной замены платежей.	?
В примере 6.11 отношение эквивалентности определялось относи-
относительно начальной суммы кредита, а новый поток формировался из
выплаченных и перенесенных новых платежей. При изменении про-
процентной ставки реструктуризацию осуществляют не относительно ис-
исходного долга, а относительно текущего баланса на момент начала
реструктуризации.
Пример 6.12. Рассмотрим кредит в $1000 из предыдущего примера.
Пусть для коммерческой схемы погашения после первого платежа и решения
о реструктуризации долга квартальная ставка увеличилась на 10%. Найти
величину заключительного платежа в конце года.
Решение. Из решения примера 6.11 известно, что для коммерческой
модели начальная ставка за квартал равна 50%. Знание ставки позволяет нам
найти баланс на конец первого квартала:
Si = -1000A + 0,5) + 800 = -700($).
Согласно коммерческому правилу,
Pi = -200($), h = -500($).
Если в течение следующих трех кварталов действует новая ставка 60%, то
уравнение баланса для заключительного платежа будет иметь вид
-200A + 0,6 • 3) - 500 + X = 0.
Отсюда получаем
Х= 1060($).
Заметим, что в коммерческой модели мы не могли просто привести сумму
баланса S\ = —700 на конец года, т. е. определить последний платеж из урав-
уравнения
-700A+0,6-3) + Х = 0
и получить X = I960, поскольку состояние основного и процентного счетов
в коммерческой модели определяются раздельно. Точно так же, некорректной
была бы запись уравнения баланса относительно начального кредита с новым
погасительным потоком:
1000A + 0,6 • 4) = 800A + 0,6 • 3) + X.

228	Гл. 6. Потоки платежей в схеме простых процентов
Откуда X = 1160, поскольку новая ставка 60% действует лишь на трех
последних кварталах, а в течение 1-го квартала действовало старое кредитное
соглашение со ставкой 50% за квартал.
Конечно, если бы изменения ставки не происходило, то не было бы
разницы между эквивалентностью по исходной величине кредита с новым
полным погасительным потоком и по текущему балансу с новым остаточным
погасительным потоком. Конечно, и в случае изменения ставки можно по-
прежнему пользоваться полным уравнением баланса относительно начальной
суммы кредита, но тогда нужно учитывать изменение ставки за последние три
квартала.
Подробно обобщенные схемы, учитывающие изменения ставок, рассматри-
рассматриваются в следующей главе, здесь же мы просто продемонстрируем сказанное
на примере.
Уравнение баланса с учетом изменения ставки выглядит следующем об-
образом:
1000A + 0,5 • 1 + 0,6 • 3) = 800A + 0,6 • 3) + X,
откуда снова получаем X = 1060($), т.е. то же значение, что и для метода
текущего (остаточного) баланса.	¦
Добавим несколько слов по поводу применения формальной эк-
эквивалентности в схемах реструктуризации. С этой эквивалентностью
связаны два обстоятельства. С одной стороны, произвольный, вообще
говоря, выбор точки приведения. С другой — этот метод не предусмат-
предусматривает, по крайней мере, явное разбиение рассматриваемых величин
на основную и процентную части. Поэтому применение формальной
эквивалентности по текущему балансу некорректно. Изменение ставки
в этом случае учитывается в схеме приведения непосредственно так,
как это было сделано в примере 6.11. Уравнение баланса выписывается
сразу для всего потока.
Так, возвращаясь к предыдущему примеру, уравнение формаль-
формальной эквивалентности с точкой приведения на конец второго квартала
и с изменением ставки на 10% после первого платежа даст уравнение
вида
-1000A + 0,5 • 1 + 0,6 • 1) + 800A + 0,6) + 1+^6 2 = 0.
Отсюда X = 1804($).
Мы проиллюстрировали идею реструктуризации кредитных кон-
контрактов на простом примере. В общем случае идея та же самая.
Сначала выбирается определенный вид эквивалентности или, что то
же самое, вид эквивалентного преобразования сумм и событий, участ-
участвующих в контракте. Затем, используя выбранную эквивалентность,
записывают уравнение баланса для нового преобразованного потока,
связывающего искомые погасительные платежи с уже сделанными,
а также с другими известными параметрами контракта.
Рассмотрим теперь одну общую схему реструктуризации, часто
встречающуюся на практике. Речь идет о так называемой консолида-

6.4. Реструктуризация кредитных контрактов	229
ции долга. Допустим, должник имеет п обязательств, описываемых
потоком событий
CF = {(U, Ci), (?2, С2), • • •, (tn, Cn)}, ti<t2<...<tn.
Кроме того, по соглашению с кредитором он желает погасить все эти
платежи одним консолидированным платежом С в некоторый момент t.
Необходимо найти условия, обеспечивающие эквивалентность такой
замены. Эта задача имеет много различных решений в зависимости
от конкретного типа эквивалентности и от дополнительных условий,
касающихся выбора момента t и величины С. Рассмотрим несколько
типичных уточнений этой задачи.
1°. Момент t задан и следует за всеми моментами t\, ?2, •••> tn.
Найти С, используя формальную эквивалентность относительно t
и ставки г.
В этом случае решение очевидно. Уравнение формальной эквива-
эквивалентности в данном случае имеет вид
Таким образом, С будет просто стандартным будущим (накоплен-
(накопленным) значением исходного потока обязательств.
2°. Величина С консолидированного платежа известна и равна сум-
сумме исходных обязательств. Известна также процентная ставка г. Найти
момент t, в который должен быть осуществлен платеж, при условии
t > to, где to < t\,t2,... ,tn, используя формальную эквивалентность
относительно точки консолидированного платежа.
В этом случае уравнение эквивалентности имеет вид
С = Х; Ck = PVt(CF) = J2 Ckv(tk,t),
k=\	k=\
где v(tk,t) — обобщенный коэффициент дисконтирования. Таким обра-
образом, полученное уравнение равносильно уравнению
к=\
Поскольку v(t,r) — ступенчатая функция, «склеенная» из линейной
и нелинейной функций, последнее уравнение, вообще говоря, нелиней-
нелинейно, и для его решения необходимо рассмотреть различные возможные
варианты расположения искомой точки t:
для t ^ г
v(t,r) - 1 =i(r-t);
для t^r
)

230	Гл. 6. Потоки платежей в схеме простых процентов
Однако можно доказать, что для платежей одного знака точка
консолидации t обязательно лежит внутри отрезка [t\,tn] исходного по-
потока. Для иллюстрации этого рассмотрим сильно упрощенный пример.
Пример 6.13. Для потока
CF = {A,100), B, 200)}
найти момент консолидированного платежа С относительно нормированной
процентной ставки г = 20%.
Решение. Возможны три варианта расположения точки t: a) t < 1,
б) 1 < t < 2 и в) t > 2.
Для случая а) уравнение имеет вид
100 • 0,2	]—-^—- + 200 • 0,2	2—-^—- = 0,
1 +0,2A -t)	I + 0,2B-t)
которое, очевидно, не имеет решений в области t ^ 1.
Для случая б) получаем уравнение
100 • 0,2(? - 1) - 200 • 0,2	^	 = 0,
v ' 1 + 0,2B-t)
которое приводится к квадратному уравнению
20(? - 1)A,4 - 0,2?) - 40B - t) = 0.
Его решение t ~ 1,65 удовлетворяет условию t G [1,2].
Для случая в) уравнение имеет вид
100 • 0,2(? - 1) + 200 • 0,2(? - 2) = 0,
которое не имеет решений при t ^ 2.	¦
Вопросы и упражнения
1.	Запишите выражения для стандартных операторов будущей и текущей
стоимостей потока платежей в схеме простых процентов.
2.	Дайте формальное определение оператора будущей стоимости потока
для коммерческой и актуарной моделей.
3.	Что такое точка нулевого баланса в модели с переменным капиталом,
порожденной потоком платежей? В чем различие свойств точек нулевого ба-
баланса в коммерческой и актуарной моделях?
4.	Дайте общее определение текущей стоимости потока платежей в модели
с переменным капиталом для схемы простых процентов.
5.	Приведите явное выражение для текущей стоимости произвольного
потока платежей в коммерческой модели и потока с одинаковыми платежами
в актуарной модели.
6.	Какая связь существует между «модельными» и относительными опера-
операторами приведения платежей в схеме простых процентов?
Задачи
1. Для того чтобы накопить 7^10000 требуется инвестировать по 7^200
ежегодно в начале каждого года. Какова соответствующая простая процентная
ставка? Для расчетов использовать коммерческую модель.

6.4. Задачи	231
2.	Найти текущую стоимость потока
CF = {A,100), B,200), C,300)},
заданного в годовой шкале, при простой процентной ставке 20% годовых для:
а)	коммерческой и б) актуарной моделей.
3.	Найти будущую стоимость в момент т = 3 потока из задачи 2 для
простой процентной ставки г = 20% годовых относительно полюсов: а) р = 0;
б)	р = 2; в) р = 5.
4.	Для потоков
CFX = {A,100), C,200)}, CF2 = {B,150), D,190)}
найти полюс р, относительно которого эти потоки эквивалентны в схеме
простых процентов при нормированной ставке г = 20%.
5.	Могут ли для заданной простой процентной ставки существовать «абсо-
«абсолютно неэквивалентные» потоки, т. е. потоки, неэквивалентные относительно
любого выбранного полюса?
6.	Можно ли для заданного полюса найти два различных потока, которые
не были бы эквивалентными в схеме простых процентов ни для какой (неот-
(неотрицательной) ставки?
7.	Пусть задан поток CF, нормированная ставка г и момент приведения т.
Существует ли в схеме простых процентов полюс р такой, что приведенное к т
значение потока относительно этого полюса является наибольшим среди всех
других приведенных значений?

Глава 7
МОДЕЛИ С ПЕРЕМЕННОЙ СТАВКОЙ
И ОБЩАЯ СХЕМА ПРОСТЫХ ПРОЦЕНТОВ
В этой главе изучим различные обобщения рассмотренных в преды-
предыдущих главах моделей для схемы простых процентов, допускающие
изменчивость процентной ставки. Такие обобщения имеют важное
практическое значение, поскольку в реальном мире постоянство про-
процентных ставок весьма редкая вещь и наблюдается обычно на коротких
временных промежутках для относительно стабильных сегментов кре-
кредитного рынка.
7.1. Изменчивость процентных ставок. Кривые
доходности и временная структура процентных ставок
Пожалуй, одной из важнейших черт рассмотренных выше моделей
простой кредитной сделки, простого класса сделок и накопительного
счета является предполагаемое постоянство (нормированной) про-
процентной ставки. В наших моделях процентная ставка определялась,
с одной стороны, для индивидуальной сделки, с другой стороны — для
простого класса сделок. Если в некоторый момент времени зафиксиро-
зафиксировать все существующие, но не завершенные сделки, которые описыва-
описывают кредитный рынок в целом, то, согласно данному нами определению
простой эквивалентности сделок, эта совокупность всех мыслимых
сделок разобьется на простые классы, так что каждый класс сделок
будет иметь свою общую процентную ставку. На практике многообра-
многообразие получившихся классов и, следовательно, набор соответствующих
им ставок будет достаточно широким. Содержательно это означает,
что для «наблюдаемого состояния» кредитного рынка в целом ставки
варьируются в широких пределах. Эта вариация, или изменчивость,
определяется различными условиями заключаемых сделок, их вре-
временными, финансовыми и другими параметрами. Ставки по депозитам
даже в одном банке могут зависеть от срока, на который вкладываются
деньги, и от размера вклада. Тем более эти ставки могут меняться от
банка к банку, от одного долгового инструмента к другому и т. д.
Таким образом, как уже было сказано выше, имея в виду не
конкретную сделку, а рынок в целом, следует говорить не об одной,
а о многих ставках. Отметим, что этот аспект изменчивости относится
к данному моменту времени. Так, можно выяснить: каковы были ставки

7.1. Изменчивость процентных ставок	233
по трехмесячным депозитам на 1 марта 1995 г. в коммерческих банках
Москвы? Однако, задав тот же вопрос для другого дня, например для
1 марта 1996 г., скорее всего получили бы другой ответ. Значит, ставки
меняются не только при переходе от одного класса к другому в данный
момент времени, но и с течением времени. Так, в период значительной
инфляции ставки обычно растут, а снижение инфляции ведет к сниже-
снижению ставок. Эти два аспекта изменчивости ставок связаны с тем, что
ставки по конкретным сделкам зависят, с одной стороны, от момента
открытия (начала) сделки, а с другой, — от продолжительности или
срока сделки.
В самом деле, процентная ставка, как мы знаем, является интер-
интервальной величиной (см. гл. 1) и с формальной точки зрения относится
к заданному промежутку (периоду) сделки:
i = i([*o.*i]).	G-1)
Промежуток [to,ti] однозначно определяется началом to и длиной Т =
= t\ — to, которая содержательно означает срок сделки. Поэтому можно
написать также
i = it0(T) = i(t0,T).	G.2)
Заметим, что хотя to и Т (с формальной точки зрения) два вре-
временных параметра кредитной сделки, тем не менее их влияние на
процентную ставку проявляется по-разному.
Начальный момент to определяет текущее состояние кредитного
рынка, т. е. общеэкономические условия, в которых осуществляется
данная конкретная сделка. Поэтому его влияние будет определяться
этими экономическими условиями: инфляцией, спросом и предложе-
предложением кредитных ресурсов, развитостью инфраструктуры рынка и т. д.
В этом смысле to — внешний параметр сделки.
Таким образом, зависимость (изменчивость) ставок по to означает
их зависимость от меняющихся экономических (внешних) условий. На-
Напомним, что финансовый процесс, определяемый процентной ставкой,
независящей от to, был назван однородным.
Напротив, срок сделки Т — внутренний временной параметр сдел-
сделки. На практике сделки с одинаковыми или близкими сроками имеют
(при прочих равных условиях) совпадающие или очень близкие по ве-
величине ставки. Следовательно, именно срок часто является «управляю-
«управляющим параметром», характеризующим многообразие процентных ставок.
Безусловно, кроме указанных временных параметров на ставку
влияют и другие факторы, о которых упоминалось выше, и прежде
всего, факторы, характеризующие риск сделки. Чем выше риск, тем
при прочих равных условиях выше процентная ставка. Однако при
построении моделей можно ограничиться рассмотрением класса сделок
с близкими характеристиками.
Изучение зависимости (нормированных) ставок от срока — одна из
важнейших проблем теории и практики финансов. В теории эта зави-

234
Гл. 7. Модели с переменной ставкой
Рис. 7.1
симость называется «временной структурой процентных ставок». Для
равновесного кредитного рынка эта структура описывается функцией
цо(Т), определяющей зависимость ставки ito от срока Т. По причинам,
которые станут ясными впоследствии, график функции цо(Т) называют
кривой доходности или кривой спот-
|-4	—.... ставок. Типичная кривая доходности
{/ ) изображена на рис. 7.1.
На практике кривые доходности
обычно строят для определенного клас-
класса однородных кредитных инструмен-
инструментов. Таким образом, кривая доходности
Т описывает текущее состояние сегмента
рынка этих инструментов.
Следует заметить, что изображение
кривой доходности в виде непрерывной
кривой безусловно является идеализацией. В любой момент времени
на рынке существует лишь конечное число классов сделок с одинако-
одинаковым сроком, и реально такая кривая должна изображаться конечным
набором точек на плоскости. Однако с точки зрения теории удобно
описывать состояние кредитного рынка непрерывной кривой, считая,
что потенциально рынок определяет процентные ставки (по крайней
мере в принципе) для любых сроков.
Простейшая временная структура процентных ставок предполагает
независимость величины ставки от срока. Тогда
ц,(Т) = цо = const.
В этом случае говорят о плоской кривой доходности. Безусловно,
даже если на рынке будут наблюдаться только плоские кривые доход-
доходности, то их уровень может меняться со временем. Иными словами,
кривая доходности в этом случае будет
испытывать параллельный сдвиг. Так, i«
для случая роста ставок:
Чо < iti,
изображенная на рис. 7.2 кривая доход-
доходности переместится вверх.
Систематическое изучение времен-
временной структуры процентных ставок тре- —
бует более углубленного знакомства
с финансовой математикой и, в част-	рис 72
ности, со схемой сложных процентов.
Здесь достаточно общего замечания о характере зависимости норми-
нормированных процентных ставок от двух важнейших временных парамет-
параметров to и Т.
Т

7.1. Изменчивость процентных ставок	235
В гл. 3, посвященной основным моделям и понятиям теории простых
процентов, мы, как правило, пользовались простейшим предположени-
предположением о полном постоянстве процентной ставки:
ito(T) = i= const,
т.е. независимостью как от начального момента to (однородностью),
так и от срока Т. Тем не менее в ряде случаев мы сталкивались с си-
ситуацией переменных ставок. Так, в определении мультисчетной модели
(см. §4.1) для каждого субсчета задавалась своя процентная ставка.
В этом смысле мультисчетная модель является моделью с переменной
ставкой. Другие рассмотренные выше модели также допускают обоб-
обобщение, учитывающее возможную изменчивость процентных ставок.
Так, при изложении коммерческой и актуарной моделей отмечалось,
что в общем случае при допущении остатка счета любого знака (кон-
(контокоррентный счет), на практике используется не одна, а две ставки:
кредитовая для отрицательного и дебетовая для положительного саль-
сальдо счета. При этом мы ограничились так называемым симметричным
случаем, когда обе ставки совпадают.
Прежде чем переходить к формальному изложению моделей с пе-
переменными ставками, обсудим влияние изменчивости на поведение
участников кредитных сделок.
Рассмотрим следующий пример. Пусть банк выдал кредит под залог
недвижимости (закладную) некоторому лицу для покупки дома. При
этом сумма долга равна 7^100000, а ставка составляет 15% годовых.
Предположим, что долг погашается ежегодными платежами в течение
20 лет, и каждый платеж состоит из 7^5000, идущими на погашение
долга, плюс проценты на остаток долга.
Легко видеть, что первые годы основная доля выплат будет прихо-
приходиться на проценты. Так, платеж за 1-й год составит
Тг20000 = 7г5ООО (долг) + ?г 15000 (проценты);
за 2-й год
?г 17750 = 7г5ООО + ?г 12750
и т.д.
Если с течением времени ставки по закладным на рынке резко
понизятся, то должники по ним в банке-кредиторе окажутся в невы-
невыгодном положении. Они будут обязаны в течение долгого времени
платить значительные проценты по ставке большей, чем сложившаяся
к тому времени на рынке. Банку-кредитору такая ситуация выгодна,
поскольку он получает повышенный по сравнению со среднерыночным
текущий доход. В такой ситуации многие должники прибегают к рефи-
рефинансированию своего долга. Для этого они берут кредит в другом бан-
банке по новым сниженным ставкам и погашают полностью остаток долга
по закладной в первом банке и с этого момента выплачивают новому
банку пониженные проценты. Для банков, первоначально выдавших

236	Гл. 7. Модели с переменной ставкой
кредит, это оборачивается массовым досрочным погашением кредита
и тем самым сокращению ожидаемого высокого процентного дохода.
Обратная ситуация складывается при росте процентных ставок.
В этом случае банки, выдавшие кредит, получают доход ниже средне-
среднерыночного. Поскольку вкладчики этих банков, за счет средств которых
и выдавались кредиты по закладным, размещают средства на срок
значительно меньший, чем срок по закладным, то банк вынужден
привлекать новые вклады для финансирования закладных по новым
повышенным ставкам, получая при этом проценты по закладным по
старым низким ставкам. В итоге это может привести к банкротству
банка. Таким образом, в условиях меняющихся рыночных процентных
ставок долгосрочные сделки с постоянными ставками приводят к де-
дестабилизации рынка.
Одним из возможных выходов в этом случае — введение плаваю-
плавающих, т. е. меняющихся процентных ставок. Это означает, что ставка за
весь период времени не фиксируется. Вместо этого она определяется
лишь для относительно небольшого ближайшего периода времени.
С течением времени она может пересматриваться как в большую, так
и в меньшую сторону в зависимости от сложившихся условий. Такой
подход приводит к моделям с переменной процентной ставкой.
Рассмотрим еще один пример. Пусть инвестор обладает свободной
в течение двух лет суммой в 7^500 и решает положить ее на срочный
вклад. Допустим, что банк, которому инвестор доверяет, предлагает
два вида срочных депозитов: на 1 год по ставке 10% и 2 года по ставке
12%.
Дилемма инвестора состоит в выборе вида вклада. На первый
взгляд безусловно выгоден двухлетний депозит с более высокой став-
ставкой. Но предположим, что инвестор ожидает значительного повышения
ставок по вкладам через год (например, из-за постоянно растущей
инфляции). Допустим, что по его оценке через год ставки увеличатся
втрое. Ясно, что тогда выгоднее сначала вложить деньги на год по
ставке 10%, а затем накопленную сумму снова положить на годовой
депозит, но уже по ставке 30%.
Действительно, если инвестор размещает средства на двухлетнем
депозите, то в конце 2-го года он будет иметь
500A+0,12-2) =620(?г).
Если же он размещает их сначала по ставке 10%, то в конце 1-го
года он накопит сумму
500A +0,1 • 1) = 550(?г),
а затем вновь размещая ее на год, но уже по ставке 30%, он получит
550A +0,3- 1) = 715(?г).

7.1. Изменчивость процентных ставок	237
Конечно, если ожидания инвестора не оправдаются и ставки останутся
неизменными, то эта стратегия принесет ему всего
500A+0,1- 1) = 550(?г)
в конце 1-го и
550A +0,1-1) =605(?г)
в конце 2-го года.
Отметим, что если бы банк платил по двухлетним вкладам 10,5%,
то при условии неизменности годовой и двухлетней ставок обе стра-
стратегии были бы равносильны, так как двукратное вложение на год
обеспечивало бы рост вклада в
A+0,1)A +0,1) = 1,21
раза, и точно такой же рост обеспечивает двухлетний вклад:
1 +0,105-2= 1,21.
Многократное повторение (итерация) однотипных кредитных сде-
сделок приводит к моделям так называемых кратных сделок или моделям
с реинвестированием. Эти модели служат мостиком между схемами
простых и сложных процентов.
Рассмотрим два направления для обобщения приведенных выше
моделей. Первое направление связано с введением переменных про-
процентных ставок, а второе — с многократным повторением (суперпози-
(суперпозицией, итерацией) однотипных (простых) кредитных сделок.
Говоря о введении переменных ставок в схему простых процентов,
следует отметить два подхода, с помощью которых осуществляется
такое введение. Каждый из этих подходов акцентирует внимание на
разных аспектах и формах изменчивости ставок, о которых, в частно-
частности, упоминалось выше при анализе выражения G.2) для временной
структуры процентных ставок.
В первом подходе основное внимание уделено изменению ставок
с течением времени. Для представления G.2) это означает зависи-
зависимость от текущего момента to- При этом вполне возможна независи-
независимость структуры ставок цо(Т) от срока Т. Иными словами, для любого
момента времени to кривая доходности — плоская. Такой подход к ана-
анализу изменчивости можно назвать динамическим, поскольку в нем
основное внимание уделено собственно изменчивости ставок.
При втором подходе, напротив, на первый план выдвигается аспект,
связанный с зависимостью ставок цо(Т) от различных сроков. При
этом вполне возможна независимость цо(Т) от ^:
it0(T)=i(T).
Иными словами, мгновенная структура ставок не меняется со вре-
временем, т. е. рынок находится в равновесии. Такой подход к анали-
анализу изменчивости можно назвать структурным. Структурный подход

238	Гл. 7. Модели с переменной ставкой
используется, например, в задачах оптимального выбора кредитного
портфеля на равновесном рынке.
На практике присутствуют оба аспекта изменчивости. Поэтому
приходится применять комбинацию как динамического, так и струк-
структурного анализа. В этой главе основное внимание уделим прежде всего
динамическому подходу, в некотором смысле более простому. Кроме
того, он тесно связан со вторым направлением обобщения схемы про-
простых процентов — с упоминавшейся выше итерацией простых сделок.
Коснемся кратко этой связи в простейшем дискретном случае.
Оба вида обобщения связаны с разбиением временной шкалы или
периода сделки [to,to + T] на последовательные подпериоды, образуе-
образуемые так называемыми критическими моментами t\, t2,..., tn-\\
to < t\ < t2 < . .. < tn_i < tn = to ~h T.
В первом случае критические моменты будут совпадать с момента-
моментами скачкообразного изменения процентной ставки, причем на каждом
подпериоде [tk-\,tk] соответствующая этому периоду нормированная
ставка г& считается постоянной.
Во втором случае с каждым подпериодом связана своя простая
кредитная сделка, так что tk-\ и t& являются начальным и конечным
моментами fc-й кредитной сделки с нормированной ставкой г&.
Однако эти две схемы обобщения различаются коренным образом
по фундаментальному обстоятельству.
В первом случае (схема простых процентов с переменной ставкой)
проценты начисляются, как это и принято в схеме простых процентов,
только на основной счет.
Во второй схеме (кредитные сделки с реинвестированием) полное
состояние Sk счета в конце fc-ro периода является начальным со-
состоянием Р/с+1 основного счета следующего периода. Таким образом,
в следующем за данным периодом проценты будут начисляться как на
сумму основного, так и сумму процентов предыдущего периода.
7.2. Дискретная модель в схеме простых процентов
с переменной ставкой
Перейдем теперь к описанию моделей в схеме простых процентов
с переменной ставкой. Как и в предыдущих главах, начнем с ана-
анализа простых моделей, имеющих вполне очевидную содержательную
интерпретацию, а затем перейдем к изложению общей схемы простых
процентов.
Начнем с изложения наиболее простых дискретных моделей, в ко-
которых процентная ставка «кусочно постоянна».
Модель с постоянным капиталом. Начнем с анализа динамики
процентного роста одной суммы. Рассмотрим произвольный промежу-
промежуток времени [to, to + Т] и начальную сумму St0. Пусть указана последо-

7.2. Дискретная модель в схеме простых процентов	239
вательность моментов t&, к = 1, 2,..., п — 1, из промежутка [to, to + Т]
таких, что
t0 < U < t2 < ... < tn_i < t0 + Т = tn,
разбивающая промежуток [to,tn] на промежутки [tk-\,tk] длины
hk =tk -tk-u k= 1,2, ...,n.
Тогда исходный промежуток [to, to + Т] представляется в виде объеди-
объединения	п
Мо + Т]= \J[tk-i,tk].
к=\
Концы полученных промежутков разбиения, т. е. точки деления, назо-
назовем критическими моментами.
Далее, пусть для каждого промежутка [tk-хЛк] задана своя, дей-
действующая на этом промежутке, нормированная ставка г&, соответ-
соответствующая единичному базовому периоду. Другими словами, на [to,ti]
имеем ставку i\, на [ti,^] — ставку г2,..., и, наконец, на последнем
промежутке [tn_i,tn] ставка равна гп.
Покажем, что для наращенной суммы Stn к концу tn = to + Т
последнего промежутка имеет место следующее выражение:
G.3)
Докажем формулу G.3), пользуясь методом математической ин-
индукции.
При п = 1 имеем всего один интервал [to,ti] длины to + h\ и, сле-
следовательно,
Stl =5t0(l + /i1i1),
т.е. формула G.3) верна для п = 1.
Предположим теперь, что формула G.3) выполнена для некоторого
числа m интервалов, 1 < m < п, т. е.
)	G.4)
к=\
Покажем теперь, что G.3) имеет место также для случая, когда число
интервалов равно m-\- 1.
Так как мы рассматриваем схему простых процентов, то наращение
процентов на начальную сумму Sto на каждом интервале [tk-\,tk]
происходит независимо от наращения на предыдущих интервалах. Сле-
Следовательно, имеем
— tm)im+\ =

240	Гл. 7. Модели с переменной ставкой
Отсюда и из равенств G.4) и G.5) получаем
/ т+1
Stm+1 = St0 \l + Yl
V k=\
Тем самым, формула G.3) доказана.
В частности, если ставки на всех промежутках, составляющих
разбиение промежутка [to,to + T], одинаковы, т.е.
Ч = к = • •• = im = i,
то из G.3) следует
Stn=S4[\ + {tn-t0)i].	G.6)
Так как tn = to + Т, то приходим к выводу, что G.6) есть основная
формула простых процентов C.2), записанная в другой форме.
Заметим, что произведение h^ik есть ставка за период [tk-\,tk]'-
Гк = hkik,
так что формулу G.3) можно переписать в виде
)	G.7)
к=\
Наконец, из определения ставки за период и из последнего равен-
равенства следует, что ставка гт за период [?о,?п] есть сумма ставок за все
подпериоды [tk-\,tk], k= 1,2, ...,п:
r([to,tn]) = f:r([tk-l,tk]),	G.8)
к=\
или, коротко,
к=\
Это свойство аддитивности ставки за период будет играть важную
роль в последующем изложении.
Пример 7.1. Инвестор вложил в банк 7^5000 сроком на 4 года под
простые проценты. При этом контрактом предусмотрено, что процентная ставка
за 1-й год составляет 10% годовых, за 2-й — 15% и за два последних года —
20%. Какова будет накопленная сумма через 4 года?
Решение. В данном случае промежуток времени в 4 года разбивается на
п = 3 интервала, при этом h\ = 1 год, h<i = 1 год и /г3 = 2 года. Согласно усло-
условиям контракта i\ = 0,1, i<i = 0,15 и i3 = 0,2. Тогда, считая, что контракт был
заключен в момент времени to, согласно формуле G.3) имеем, что накопленная
к концу срока сделки сумма равна
^0+4 = 5000A+0,1 • 1+0,15- 1+0,2-2) = 8250(?г).	¦
Пример 7.2. Сумма в 7^2000 вложена в банк под простые проценты
сроком на 1,5 года на следующих условиях: процентная ставка за 1-й квартал

7.2. Дискретная модель в схеме простых процентов	241
составляет 10% годовых, за 2-й — 12%, за два последующих квартала —
15% и за два последние квартала — 20% годовых. Найти наращенную сумму
по истечении срока вклада, а также процентную ставку за период сделки
и соответствующую годовую простую процентную ставку.
Решение. Задачу можно решить либо в исходной годовой шкале, либо
переходя к квартальной шкале.
В годовой шкале имеем
Г =1,5, /li= /l2 = -, /l3 = /14=-.
Применяя формулу G.3), получим
#i,5 = 2000(l + - • 0,1 + - • 0,12 Ч- - • 0,15 4- - • 0,2) = 2460(?г).
При выборе квартальной шкалы нужно найти соответствующие кварталь-
квартальные ставки для заданных годовых ставок. Если г — годовая, a j — соответ-
соответствующая квартальная ставка, то
Следовательно, соответствующие квартальные ставки равны
* = М =0,025, * = °f =0.03.
Зъ = ^ = 0,0375, 3\ = ^ = 0,05.
4	4
Применяя снова формулу G.3), получим
S6 = 2000A + 1 • 0,025 + 1 • 0,03 + 2 • 0,0375 + 2 • 0,05) = 2460(?г).
Процентная ставка за период сделки равна
_ 2460 - 2000 _ Ш_ _ q 23
Г~ 2000 ~ 2000 ~ ' '
или 23%.
Тогда нормированная годовая процентная ставка равна
• °'23 гм^
г = —— = 0,1533,
1 ,о
или 15,33%.
Модель с переменным капиталом. Мы изучили модель сделки
с переменной ставкой для постоянного капитала. Совершенно ана-
аналогично обобщаются на случай переменных ставок и рассмотренные
выше модели с переменным капиталом, в частности, коммерческая
и актуарная модели и соответствующие им модели обобщенных кре-
кредитных сделок. Случай переменных ставок практически автоматически
переносится на упомянутые модели. В этом случае наряду с критиче-
критическими моментами образующего потока CF необходимо рассматривать
критические моменты, соответствующие (скачкообразному) изменению
процентной ставки. Фактически, в качестве исходных параметров мо-
модели задаются два потока: поток платежей CF — поток 1-го рода
и поток ставок RF (rate flow) — поток 2-го рода
RF = {(<T\,i\), (сг2, г2), • • •, (сгт, гш)},

242	Гл. 7. Модели с переменной ставкой
где ак — промежуток времени, г гк — нормированная ставка, действу-
действующая на этом промежутке.
Критические промежутки обоих потоков могут не совпадать, но
можно добиться согласованного представления обоих потоков с од-
одним и тем же множеством критических моментов и промежутков, если
допустить нулевые (фиктивные) платежи в потоке платежей, а в потоке
ставок допустить повторяющиеся (совпадающие) ставки.
Критические моменты для согласованного представления образуют-
образуются объединением критических моментов обоих потоков, что соответ-
соответствует измельчению (разбиению) исходных критических промежутков
этих потоков. Соответствующие значения платежей и ставок пере-
переносятся естественным образом, платеж в новой критической точке
(соответствующей изменению ставки) равен нулю, а значение ставки
с промежутка переносится на все более мелкие промежутки, образу-
образующие измельчение исходного промежутка. Тогда согласованное пред-
представление потоков имеет вид
RF = {(auU), (сг2, г2), • • •, (<тп, in)},
где o~k = [tk-\,tk]> & = 1,2,..., п, — критические промежутки, общие
для обоих потоков, а Ск и гк — платежи и ставки, соответствующие
этим промежуткам. Согласно сказанному выше, здесь считается, что
если момент tk не является критическим моментом, соответствующим
реальному платежу, то Ск = 0, а значение ставки гк на интервале ак
в этом случае определяется последним, предшествующим моменту tk
критическим моментом для ставок.
Теперь легко обобщить рассмотренные в гл. 4 модели с переменным
капиталом на случай переменных ставок. В принципе ничего в опи-
описании этих моделей не меняется, кроме одного пункта, касающегося
вычисления текущих процентов за fc-й период ак, которые теперь
вычисляются по правилу
Jk = Pk_\ikhk,
учитывающему значение ставки ik на промежутке ак\ здесь hk =
= tk —tk-\. В моделях с постоянной ставкой имеем, что ik = г для
всех к. В остальном никаких изменений в схемах расчетов для этих
моделей нет.
Для коммерческой модели можно выписать рекуррентные формулы
для состояния счета в любой критический момент времени:
Ро = Со, Jo = Io = О,
Jk = Pk-{ikhk, Рк = Рк_{+Ск, Ik = Ik-\ + Jk-
Легко переписать и рекуррентные формулы для актуарной модели.
Мы не будем этого делать, а ограничимся примером.

7.2. Дискретная модель в схеме простых процентов
243
Пример 7.3. Рассмотрим в годовой шкале поток
CF = {(О,200), A/4,-1000), A/2,1000), C/4, -2000)}.
Найти состояние счета, порождаемого этим потоком, для коммерческой и акту-
актуарной моделей, если начальный уровень процентной ставки равен 12% годовых,
и каждые два месяца он увеличивается на 6% (в абсолютном смысле).
Решение. В этой задаче критические промежутки для потока CF —
кварталы, а для потока RF — двухмесячные периоды. В годовой шкале поток
ставок представится следующим образом:
г([0, 1/6]) = 0,12, г([1/6, 1/3]) = 0,18, г([1/3, 1/2]) = 0,24,
г([1/2, 2/3]) = 0,3, г([2/3, 5/6]) = 0,36, г([5/6, 1]) = 0,42.
В качестве критических моментов для согласованного представления обоих
потоков удобно взять месячные точки:
tk = y2, fe = 0,1	12.
Тогда для потока платежей Ck = C(tk) имеем
Со = 2000, С3 = -1000, С6=1000, С9 = -2000
и Ck = 0 для остальных к.
Для потока ставок ik = i(\tk-\Ak\) получим
Ъ1=ъ2 = 0,12; h = и = 0,18; г5 = к = 0,24;
i7 = i8 = 0,3; ig = iio = 0,36; in = i\2 = 0,42.
Для коммерческой модели соответствующие вычисления приведены
в табл. 7.1, для актуарной модели — в табл. 7.2.	¦
Таблица 7.1
к
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
W12
0
0,01
0,01
0,015
0,015
0,02
0,02
0,025
0,025
0,03
0,03
0,035
0,035
ск
2000
0
0
-1000
0
0
1000
0
0
-2000
0
0
0
Рк
2000
2000
2000
1000
1000
1000
2000
2000
2000
0
0
0
0
Jk
0
20
20
30
15
20
20
50
50
60
0
0
0
h
0
20
40
70
85
105
125
175
225
285
285
285
285
sk
2000
2020
2040
1070
1085
1105
2125
2175
2225
285
285
285
285

244
Гл.
7. Модели с
; переменной ставкой
Таблица 7.2
к
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0
0,01
0,01
0,015
0,015
0,02
0,02
0,025
0,025
0,03
0,03
0,035
0,035
ск
2000
0
0
-1000
0
0
1000
0
0
-2000
0
0
0
Рк
2000
2000
2000
1070
1070
1070
2070
2070
2070
294,45
294,45
294,45
294,45
Jk
0
20
20
30
16,05
21,40
21,40
51,75
51,75
62,10
8,83
10,31
10,31
Ik
0
20
40
70
16,05
37,45
58,85
110,60
162,35
224,45
8,83
19,14
29,45
h
0
20
40
0
16,05
37,45
58,85
110,60
162,35
0
8,83
19,14
29,45
sk
2000
2020
2040
1070
1086,05
1107,45
2128,85
2180,60
2232,35
294,45
303,28
313,59
323,90
Приведенные выше модели относятся, как отмечалось выше, к клас-
классу динамических моделей. В них изменение ставок осуществляется
с течением времени. Такие модели обычно называют моделями с пере-
переменной ставкой.
В предыдущих главах показано, что существенные аспекты динами-
динамических моделей в стандартной схеме простых процентов (т. е. в схеме
с постоянной ставкой) можно изложить, используя абстрактные опера-
операции приведения финансовых событий и потоков платежей.
Покажем теперь, что и в случае переменных ставок можно есте-
естественным образом определить соответствующие операторы приведения
событий и потоков.
Схема простых процентов с дискретной структурой процент-
процентных ставок. Выше мы фактически использовали операции приведения
событий и потоков к будущим моментам времени. Так, например,
формула G.3) есть не что иное, как выражение для будущей стоимости
начальной суммы Sto счета. Рекуррентные формулы для динамики сче-
счета в коммерческой и актуарной моделях позволяют находить состояния
счета в произвольные моменты времени t > to, что равносильно опре-
определению будущей стоимости платежей, составляющих поток, который
порождает данный счет.
В предыдущем изложении динамических моделей мы ограничились,
во-первых, конечным промежутком, в рамках которого задавалось се-
семейство ставок (т. е. поток RF) и поток платежей, и, кроме того,

7.2. Дискретная модель в схеме простых процентов	245
осуществляли так называемую операцию согласования потока ставок
и потока платежей.
Изложим более общий подход, который приведет нас к понятию
общей схемы простых процентов. Центральную роль в этом подходе
играет дискретная временная структура процентных ставок, задавае-
задаваемая потоком
^F={...(G_1,i_1),(<To,io),(<Ti.ii)....}.	G.9)
теоретически бесконечным в обе стороны.
Для заданного потока RF ставок определим ставки (ненормирован-
(ненормированные)
rk = ikhk, keZ,	G.10)
для каждого критического периода hk = tk — tk-\- Эти однопериодные
ставки можно аддитивно продолжить на произвольные последова-
последовательные объединения критических промежутков:
т
r(tk,tm) =rk,m=J2r^ k^m.	G-11)
s=k
Наконец, для любых моментов времени t < г таких, что tk-\ ^ t < tk
и tm-\ < r < tm определим
r(t,r) = (tk -t)ik +rfc,m + (r -tm-\)im.	G-12)
Ставки r(t,r) позволяют определить операции приведения событий
в схеме простых процентов с заданной структурой процентных ставок.
Рассмотрим произвольное событие (t,C). Тогда его будущее значе-
значение определяется как
FVT(Ct) = Cta(t,r) = Ct[l+r(t,r)], r > t,	G.13)
где
a(t,r) = 1 +r(t,r), r^t,
— коэффициент роста.
Операция дисконтирования определяется двойственным образом:
Ctd(t,r)= 1+^т), r^t.	G.14)
где
d(t,r) =
l+r(t, т)
— коэффициент дисконтирования.
Наконец, используя введенные коэффициенты роста и дисконтиро-
дисконтирования, можно ввести обобщенный коэффициент приведения
d(t,T),

246	Гл. 7. Модели с переменной ставкой
С помощью обобщенного коэффициента v(t,r) можно определить
общий оператор приведения (обобщенный оператор текущей стоимо-
стоимости) событий (денежных сумм) относительно заданной структуры RF
процентных ставок:
PVp(Ct) = Ctv(t,p).	G.16)
Строго говоря, следовало бы вместо сокращенного обозначения
PVp(Ct) писать PVp(t,C;RF), указывая структуру ставок, относи-
относительно которой осуществляется приведение.
Наконец, операцию приведения событий можно тривиальным обра-
образом распространить на произвольный поток
CF = {(*,, С, ),(*2.С2),...,(*„,СП)}
с помощью линейного продолжения
PVP(CF) = J2 PVP(Ck) = J2 Ckv(tk,p).	G.17)
k=\	k=\
Этот оператор приведения является обобщением (формальным) стан-
стандартного оператора приведения на случай переменных ставок, задан-
заданных структурой потока RF.
Нетрудно показать, что определенные выше операторы играют
в обобщенных коммерческой и актуарной моделях ту же роль, что
и стандартные операторы в моделях с постоянной ставкой. Так, имеет
место аналог теоремы 4.1. Иными словами, в обобщенной коммерче-
коммерческой модели, порождаемой потоком
CF = {(to,Co),(t2,C2),...,(tn,Cn)},
для заданной структуры процентных ставок RF справедливо равенство
St = FVt(CF\t),	G.18)
где St — состояние счета в момент t, a CF\t — начальный отрезок (до
момента t включительно) порождающего потока.
7.3. Общая схема простых процентов
В конце предыдущего параграфа были, по существу, изложены
основные аспекты схемы простых процентов с произвольной дискрет-
дискретной временной структурой процентных ставок. Внимательный анализ
изложенного показывает, что центральную роль в обобщении операции
приведения играют равенства G.11), G.12), определяющие аддитив-
аддитивным образом ставку r(t,r) для любого промежутка [t,r]. Из этих
определений немедленно следует свойство аддитивности ставки r(t,r):
r(t,T)+r(r,s) =r(t,s), t <r < s.	G.19)
Именно это свойство и является определяющим для схемы простых
процентов.

7.3. Общая схема простых процентов	247
Отметим, что свойство G.19) выражает аддитивность ставки за
период. Ставка за период задает относительный прирост капитала за
этот период. Иными словами, инвестированный в начале периода [?,т]
капитал Р возрастает к концу этого периода на величину
I(t,r) = P-r(t,r).	G.20)
Слева в выражении G.20) стоит величина (сумма) процентов за пе-
период.
Легко понять, что свойство G.19) для t < г < s влечет также и ад-
аддитивность процентов /(?,т), если проценты начисляются на одну
и ту же сумму. В самом деле, умножая обе части равенства G.19)
на Р, получим
Р • r(t, т) + Р - г(т, s) = P- r(t, s)
или
G.21)
Заметим, что свойство G.21) носит значительно более общий харак-
характер. Оно выполняется, в частности, и для схемы сложных процентов.
Свойство же G.19) — определяющее свойство именно для простых про-
процентов, так как при определении процентов равенством G.20) аддитив-
аддитивность G.21) обеспечивается только при условии начисления процентов
по ставке r(t,r) на одну и ту же сумму.
В предыдущем параграфе ставки г(Ь,т)_определялись по фикси-
фиксированному дискретному потоку ставок RF. Но как мы только что
убедились, определяющим моментом для схемы простых процентов яв-
является не способ задания функции r(t,r), а само свойство аддитивно-
аддитивности. Таким образом, можно рассматривать любые аддитивные функции
r(t,r) как порождающие конкретные схемы простых процентов. Это
приводит к следующему определению.
Определение 7.1. Общей финансовой схемой простых процен-
процентов называется схема с однородными законами капитализации
A(t,p;C) = Ca(t,p), t ^ p,	G.22)
и дисконтирования
D(t,p;C) = Cd(t,p), p^t,	G.23)
причем коэффициент роста (капитализации) a(t,p) имеет вид
a(t,p) = l+r(t,p), t^p,	G.24)
где r(t,p) — аддитивная функция промежутка [t,p], т.е. для нее
справедливо свойство G.19).

248	Гл. 7. Модели с переменной ставкой
Кроме того, будем считать законы капитализации и дисконтирова-
дисконтирования взаимно-сопряженными:
В принципе, выполнение этого свойства не является определяющим.
В гл. 2 мы ввели понятие учетной ставки и операцию так называе-
называемого учетного или банковского дисконтирования по правилу
DVp(Ct) = Ct[\-d(t-p)].	G.25)
Хотя такой способ дисконтирования и распространен на практике,
особенно в так называемых учетных операциях с долговыми обязатель-
обязательствами (см. §2.3), он не очень удобен в теоретических моделях из-за
очень ограниченной области определения. Для корректности этого
правила необходимо выполнение условий
l-d(t-p)^ О,
т. е. необходимо, чтобы выполнялось неравенство
t-p
Это значит, что нормированную учетную ставку d нельзя задать
независимо от промежутка, на котором она рассматривается. Так,
нельзя ее объявить всюду постоянной. Это обстоятельство существен-
существенно затрудняет анализ моделей дисконтирования, основанных на учет-
учетной ставке. Поэтому ниже мы ограничимся лишь дисконтированием по
процентной ставке или, как его еще называют, теоретическим или
математическим дисконтированием.
Это, конечно, не означает, что нельзя анализировать сделки с учет-
учетными операциями. Как было показано в гл. 2, существует простая связь
между учетными и процентными ставками. Мы можем изучать учет-
учетные модели в рамках процентных. Однако в этом случае приходится
считать соответствующую процентную ставку переменной даже для
моделей с постоянной учетной ставкой.
Итак, основную роль в общей схеме простых процентов играет
аддитивная функция r(t,r), содержательный смысл которой состоит
в том, что она представляет собой ставку за период [t,r].
В § 1.2 были рассмотрены общие аддитивные функции промежут-
промежутков. Основной результат состоит в том, что во всех «практически
интересных» случаях можно считать, что эти функции «состоят» из
двух частей: дискретной и непрерывной. При этом дискретная часть
порождается некоторым дискретным потоком, а непрерывная часть

7.3. Общая схема простых процентов	249
имеет вид интеграла от непрерывной плотности. Для нашего случая
можно написать
r(t, г) = r(s)(?, г) + г(с)(?, г),	G.26)
где r^s\t,r) — дискретная часть, порождаемая потоком A-го рода)
RF = {(tk,Pk)\ keZ}
так, что
r(s\t,T)= ? рк,
a r(c\t,r) — непрерывная часть — имеет вид
г
г(с)(?,т) = \j(u)du,	G.27)
t
где j(u) — (кусочно) непрерывная, всюду определенная функция.
Можно_показать, что функция r(t,r), порождаемая дискретным
потоком RF, задающим дискретную временную структуру процентных
ставок (не путать с потоком RF 1-го рода), является непрерывной
функцией и порождается кусочно-постоянной плотностью
j(t)=jk, te<Tk = [tk-Utk].	G.28)
На первый взгляд может показаться неожиданным, что функция
r(t,r) для дискретных моделей, определенных потоком RF B-го рода!)
не имеет дискретной части, точнее, r^s\t,r) = 0 для всех t < г, и,
следовательно, соответствующий поток RF A-го рода) также нулевой:
рк = 0 для всех к. Тем не менее, это действительно так.
Дело в том, что в дискретной модели скачкообразно меняется нор-
нормированная ставка jk, соответствующая периоду o~k, а не ставка за
период. Нормированная ставка за период [?, г] есть по определению
т.е. она играет роль (средней) плотности функции r(t,r). На практи-
практике разрывные ставки за период r(t,r) не встречаются, им соответство-
соответствовали бы «бесконечные скачки» нормированных ставок.
Заметим, что мгновенную (предельную) плотность
./,\ r r(t,r)
lit) = hm v J
Jy J T^t r-t
называют также интенсивностью или силой процентов и обозначают
также символом 5(t). Мы однако будем использовать в схеме простых
процентов обозначение j(t) для плотности (силы) процентов, а обозна-
обозначение 5(t) оставим для схемы сложных процентов.
Поэтому в дополнение к перечисленным выше свойствам финан-
финансовых законов общей схемы простых процентов мы можем посту-
постулировать непрерывность законов капитализации и дисконтирования.

250	Гл. 7. Модели с переменной ставкой
Заметим, что стандартная схема простых процентов, т. е. схема с по-
постоянной нормированной ставкой г, естественно является частным
случаем общей схемы. Для нее имеет место простое соотношение:
r(t,r) =i-(r-t), r^t.
Эта же схема — частный случай и дискретной модели, если считать
все ставки потока RF совпадающими.
Итак, общая схема простых процентов является финансовой схе-
схемой с однородными по денежным суммам, непрерывными по времени,
взаимно-сопряженными законами капитализации и дисконтирования,
причем коэффициенту роста a(t,r) соответствует аддитивная функ-
функция
r(t,r) = a(t,r) - 1.
Определив финансовые законы капитализации и дисконтирования,
можно, как это было сделано в гл. 6, посвященной стандартной схеме
простых процентов, определить единый финансовый закон
(A(t,p;C), p^t,
F(t,p\C) = \	G.29)
V У } \D(t,p',C), p<t,	V У
и соответствующий ему общий коэффициент приведения
F(t,p;C) = Cv(t,p),	G.30)
(a(t, р), р ^ t,
t,p), p<t.
Общий закон приведения порождает (определяет) операцию (опера-
(оператор) приведения событий
PVp(t,C) = Cv(t,p),	G.32)
являющийся очевидно линейным. Этот оператор легко распространяет-
распространяется на поток платежей
= {(tl,Ci),(t2,C2),...,(tn,Cn)}
и имеет в этом случае вид
PVP(CF) = ? PVp(Ck).	G.32)
k=\
Кроме того, операция приведения порождает отношение эквива-
эквивалентности относительно заданного полюса р для событий и потоков.
В свою очередь, это отношение позволяет обобщить операцию при-
приведения на случай приведения к моменту г относительно заданного
полюса р. Она преобразует события и потоки в события в точке г, эк-
эквивалентные исходным событиям или потокам относительно заданного
полюса р. Поскольку формально рассматриваемые определения ничем

7.4. Непрерывные модели с переменным капиталом	251
не отличаются от приведенных в гл. 6, то мы их здесь не приводим. Эти
определения и связанные с ними результаты не зависят от конкретного
вида финансового закона схемы простых процентов. Необходимо лишь
выполнение свойств, перечисленных выше.
На этом мы закончим обсуждение общей схемы простых процентов.
Как видно, в общем плане она мало чем отличается от стандартной
(базовой) схемы простых процентов.
7.4. Непрерывные модели с переменным капиталом
в схеме простых процентов
Рассмотрим простейшие непрерывные бинарные модели, т. е. модели
с разделенным основным и процентным счетом, для которых внешний
поток платежей (довложений/изъятий) будет непрерывным (см. § 1.2).
Такой поток платежей задается (кусочно) непрерывной плотностью
/i(?), при этом величина V = Vcf потока CF, представляющая собой
аддитивную функцию произвольного промежутка временной шкалы /,
задается интегралом
Кроме непрерывного потока CF, задающего внешний поток, будем
считать заданным финансовый закон роста, порождаемый непрерывной
аддитивной функцией r(t,r) с (кусочно) непрерывной плотностью j(t).
Таким образом,
r(t,T)=\j(u)
du
для любых г ^ t.
Поскольку состояние бинарной модели определяется двумя фон-
фондовыми величинами — состояниями P(t) основного и I(t) = I(to,t)
процентного счетов, то для нахождения состояния полного счета
необходимо найти закон изменения обоих составляющих (субсчетов).
Будем считать, что начальное состояние определяется условиями
ll(to) = 0.
Поскольку модель непрерывная, то естественно ожидать, что ее ди-
динамика описывается дифференциальными уравнениями. Эти уравнения
получаются простыми рассуждениями.
Пусть в момент t состояние счета известно и задается парой зна-
значений P(t), /(?). Рассмотрим достаточно малый промежуток [t,t-\-At]
(теоретически бесконечно малый: At = dt). Состояние счета в момент

252	Гл. 7. Модели с переменной ставкой
t + At, т.е. P(t + At), /(t + At) определяется, во-первых, начисленны-
начисленными за текущий период [t, t + At] процентами
t+At
I(t + At) = P(t)r(t,t + At) = P(t)- [ j(u)du	G.34)
t
и, во-вторых, внешним потоком CF. За период [t,t + At] в систему
поступит (или уйдет из нее) сумма, равная
t+At
V(t,t + At)= [ fi(u)du.	G.35)
t
Для малого At интегралы в G.34) и G.35) можно заменить их прибли-
приближенными значениями
/(t,t
G.36)
Новое состояние I(t + At), V(t + At) зависит не только от текущих
процентов /(t + At) и внешней суммы V(t + At), но и от способа взаи-
взаимодействия этих элементов с текущим (старым) состоянием P(t), I(t).
В гл. 4 мы рассмотрели две модели — коммерческую и актуарную,
соответствующие двум способам такого взаимодействия, определяюще-
определяющего локальный переход от старого состояния к новому. Непрерывный
аналог коммерческой модели получается очень легко, если вспомнить,
что в ней внешний поток воздействует только на состояние основного
счета, а процентный счет просто аккумулирует текущие проценты. Та-
Таким образом, для коммерческой модели локальный переход от старого
состояния к новому описывается уравнениями
I(t + At) = I(t) + P(t)j(t) At	G.37)
Эти уравнения можно переписать в виде
P(t + At)-P(t) _
At
^щ = p{t)m	G 38)
Переходя к пределу при At —> 0, мы получим систему линейных диф-
дифференциальных уравнений

7.4. Непрерывные модели с переменным капиталом	253
Система уравнений G.39) легко решается. С учетом начальных
условий получаем последовательно
t
P(t) = Po + J
to
t	t
j j(u) du
to
Учитывая, что
r	t
Г	Г
r(t, r) = j{u) du, V(to, i) = /jl(u) du
t	t0
и меняя порядок интегрирования во втором интеграле, получим реше-
решение системы G.39) в виде
t
I(t) = Por(to, t) + J fi(r)r(r, t) dr.	G.40)
to
Следовательно,
t
S(t) = P(t) + I(t)=Po[l+r(tOtt)] + \Kr)[l+r(rtt)]dT. G.41)
to
Последнее равенство можно переписать в виде
t
S(t) = Poa(to, t) + J fi(r)a(r, t) dr,	G.42)
to
где
a(r,t) = 1 +r(r,t), t > r,
— коэффициент роста в общей схеме простых процентов.
Равенство G.42) имеет вполне очевидную интерпретацию. Первое
слагаемое есть будущая стоимость события (to,Po), представляющего
начальное состояние
Роа(«о,*) = ^(*о,Ро).	G-43)
Второе слагаемое можно рассматривать как обобщение понятия буду-
будущего значения для непрерывных потоков:
,	G.44)

254	Гл. 7. Модели с переменной ставкой
где CF\t — начальный отрезок внешнего потока, т.е. непрерывного
потока, порожденного плотностью, являющейся сужением плотности
jjl(u) исходного потока на отрезок [to,t]. Если объединить начальное
состояние (дискретный поток из одного события) и непрерывный поток
CF\t, то получим смешанный поток, порождающий анализируемый
счет:
= {(to,Po)} + CF.	G.45)
Тогда выражение для состояния счета можно представить окончательно
в виде
S(t) = FVt(CF\t).	G.46)
Пример 7.4. Найти состояние счета с переменным капиталом в коммер-
коммерческой модели с начальным состоянием (to, Po), внешним потоком с постоянной
плотностью \i и постоянной процентной ставкой j.
Решение. Для постоянной процентной ставки коэффициент роста име-
имеет вид
a(t,T) = l+j(r-t).
Подставляя выражение для коэффициента роста в G.40), получим
P(t) = Л) + V(to, t)=P0 + fJL-(t- t0)
и
I(t) = Por(to,t) + J M(t - r)dr = Por(to,t) + MJ^^.
Формулу для состояния процентного счета можно переписать в виде
/(*) = Por(io,t) + У^М*°Л = [Po+l V(to,t)]r(to,t).
Таким образом, полное состояние счета в момент t равно сумме основной
части, представляющей собой просто общую сумму средств, поступившую на
счет, и процентной части, которая равна произведению «средней величины»
состояния основного счета на процентную ставку за период [to,t].	¦
Мы получили в общем виде выражение для состояния счета в ком-
коммерческой модели. Обобщение актуарной модели на непрерывный слу-
случай возможно, но существенно более сложно. Здесь мы не будем его
рассматривать.
Приведенный выше анализ показывает, что в рамках общей схемы
простых процентов можно обобщить понятия текущей стоимости для
общих потоков, а не только для дискретных, как было сделано в преды-
предыдущем параграфе. Мы не будем здесь приводить соответствующие
определения и результаты. Заинтересованный читатель легко выполнит
это самостоятельно.

7.5. Реинвестирование в схеме простых процентов	255
7.5. Реинвестирование в схеме простых процентов
Эту главу мы закончим небольшим параграфом, посвященным так
называемым кратным кредитным сделкам или моделям с реинвести-
реинвестированием капитала. Эти модели, по существу, выводят нас за рамки
схемы простых процентов и их развитие приводит к следующей важной
теме — схеме сложных процентов, которой посвящена остальная часть
книги.
Вернемся снова к постановке задачи, изложенной выше для пере-
переменных ставок простых процентов, несколько видоизменив ее. А имен-
именно, будем считать, что в первый критический момент t\, т.е. когда
нормированная ставка меняется с i\ на i^, заканчивается первая кре-
кредитная сделка. В результате получена наращенная сумма Stx. Эта
сумма является начальной для «второй» сделки под простые процен-
проценты с нормированной ставкой г^, которая заканчивается в следующий
критический момент t^, а наращенная к этому моменту сумма снова
вкладывается под простые проценты с нормированной ставкой гз и т. д.
Последовательность кредитных сделок такого типа отражает процесс
так называемого реинвестирования или капитализации процентов.
Покажем, что при инвестиции в момент to суммы St0 и при реин-
реинвестировании наращенных сумм в критические моменты tk, к = 1,2,...
...,п— 1, наращенная сумма на всем промежутке [to,tn], определяется
по следующей формуле:
Stn=Stof[l\ + (tk-tk_{)ik].	G.47)
к=\
Доказательство этой формулы проведем, используя снова метод
математической индукции.
При п = 1 имеем схему простых процентов на промежутке [to,ti]
с процентной ставкой i\, а формула
Stl =St0[l + (ti
получаемая из G.47) для п = 1, совпадает с основной формулой про-
простых процентов C.2).
Предположим, что формула G.47) справедлива для случая, когда
рассматривается т промежутков, 1 < т < п, т. е. что наращенная
сумма к моменту tm имеет вид
Stm=Stof[[l + (tk-tk-l)]ik.	G«48)
к=\
Докажем теперь, что формула G.47) верна также и в случае, когда
рассматривается т + 1 промежуток, и может использоваться для опре-
определения наращенной суммы Stm+l к моменту tm+i.
Согласно процессу реинвестирования в момент tm сумма Strn снова
вкладывается под простые проценты с нормированной ставкой гт+ь

256	Гл. 7. Модели с переменной ставкой
т. е. теперь сумма Stm является начальной в новой кредитной сделке.
Тогда по формуле C.2) получаем
Stm+i = Stm[l + (tm+i -tm)im+\].
Подставляя в это равенство выражение G.48) для Stm, получаем фор-
формулу
771+1
Strn+[=St0 l[[l + (tk-tk.i)ik].
k=\
Таким образом, формула G.47) доказана.
Пример 7.5. По договору на сумму 7^3000 в течение четырех лет начис-
начисляются простые проценты по ставке 6% годовых в первом полугодии, 7% во
втором полугодии, 10% за второй год и 12% за оставшиеся 2 года. При этом
накопленные к концу очередного периода начисления суммы реинвестируются.
Найти наращенную сумму к концу срока сделки, процентную ставку за период
сделки и нормированную годовую процентную ставку.
Решение. Пусть начальный момент сделки равен to. Накопленная по
ставке i\ = 0,06 к моменту времени to + 0,5 сумма вкладывается на следующие
полгода по ставке %2 = 0,07, затем накопленная к моменту to + 1 сумма вкла-
вкладывается на год по ставке гз = 0,1 и, наконец, сумма, накопленная к моменту
to + 2, вкладывается на 2 года по ставке и = 0,12. Тогда по формуле G.47)
получаем
fto+4 = 3000A + 0,06 • 0,5)A + 0,07 • 0,5)A + 0,1 • 1)A + 0,12 • 2) =
= 4362,28(?г).
Теперь по формуле B.9) вычислим процентную ставку за период сделки:
4362,28-3000 А .с>11
г= зооо =0'4541'
или 45,41%. Далее, по формуле B.9) найдем нормированную годовую процент-
процентную ставку, соответствующую периоду сделки Т = 4 года:
i= ^^ = 0,1135,
4
или 11,35%.	¦
Вопросы и упражнения
1.	Что такое кривая доходностей? Какой «типичный вид» имеет кривая
доходностей? Что такое плоская кривая доходностей?
2.	В чем состоят динамический и структурный подходы к анализу измен-
изменчивости процентных ставок?
3.	Опишите схему простых процентов с дискретной структурой процентных
ставок. Какой вид имеют операторы будущей и текущей стоимостей события
в этой схеме?
4.	Выпишите рекуррентные формулы для определения состояния в дискрет-
дискретной коммерческой модели в схеме простых процентов с переменными ставками;
в актуарной модели.

7.5. Задачи	257
5.	Опишите общую схему простых процентов. Определите оператор приве-
приведения финансовых событий и потоков в общей схеме простых процентов.
6.	Опишите реинвестиционную модель (модель кратных сделок) в схеме
простых процентов. Приведите выражение для накопленной стоимости для
инвестированной суммы в этой модели.
7.	Выпишите дифференциальное уравнение для состояний основного и про-
процентного счетов в непрерывной коммерческой модели.
Задачи
1.	Инвестор в начале года открывает в банке накопительный счет на сумму
Т^ЛОООО. Начальная годовая ставка счета равна 20%. В конце 2, б и 8-го
годов инвестор вносит на счет соответственно 7^500, 1ZI000 и 7^2000. Какая
сумма будет на счете в конце 10-го года, если годовая ставка счета ежегодно
снижалась на 2 % первые 5 лет, а затем повышалась ежегодно на 1 %?
2.	Решить задачу 1 при условии ежегодного реинвестирования начислен-
начисленных за год процентов.
3.	Инвестор открывает в начале года счет с начальной суммой 7^10000.
В конце каждого нечетного года он снимает со счета 7^500, а в конце каждого
четного года вносит 7^500. Годовая ставка меняется по закону it(%) = 8 + 2?,
где t — номер года (? = 1,2,...). Каково состояние счета в конце 10-го года:
а) в коммерческой модели? б) в актуарной модели?
4.	Накопительный счет в непрерывной коммерческой модели порождается
непрерывным потоком с постоянной плотностью /х = 2. Пусть в момент t
(в годовой шкале) годовая ставка счета j(t) равна j(t) = 0,2 — 0,It. Найти
состояние основного и процентного счетов в конце года (? = 1).
5.	Решить задачу 4 при условии, что порождающий поток имеет плотность
fi(t) = 1000@,5-t), 0< t < 1.
6.	Решить задачи 4 и 5 для актуарной модели.
7.	Пусть временная структура ставок задана в годовой шкале соотноше-
соотношением
Найти приведенную к моменту t = 10 стоимость потока
CF = {@,100), D,-100), (8,100)}.
1.	Соглашение промышленного предприятия с банком предусматривает, что
за первый год предприятие уплачивает 20% годовых. В каждом последующем
полугодии ставка повышается на 1 процентный пункт, т. е. на 1 %. Срок сделки
равен 2,5 года. Сумма кредита составляет 7^5 млн. Проценты — простые
обычные. Определить сумму возврата долга через 2,5 года и доход банка.
2.	На сумму 7^100000 начисляется 10% годовых. Проценты — простые
точные. Какова накопленная сумма за год, если операция реинвестирования
проводится ежемесячно в течение 1 квартала?
3.	В кредитном соглашении указано, что на сумму 7^100 млн начисляются
90% годовых. Срок сделки равен полгода. Проводится реинвестирование про-
процентов, которые начисляются ежемесячно. Найти накопленную сумму.
9 П. П. Бочаров, Ю.Ф. Касимов

258	Гл. 7. Модели с переменной ставкой
4.	Фирма А принимает минимальный вклад 7^100000 сроком на 1 год под
60% годовых с ежемесячным начислением и реинвестированием процентов.
Фирма Б принимает такой же минимальный вклад под 62% годовых с еже-
ежеквартальным начислением процентов и реинвестированием. Какие условия
предпочтительнее для вкладчика?
5.	Банк выдал фирме кредит сроком на полгода в сумме 7^20000 под 80%
годовых. Проценты — простые обычные. По договору срок ссуды определен
датой перечисления ссуды со счета банка. Срок окончания ссуды определен
датой зачисления средств с учетом процентов на счет банка. Если возврат
долга просрочен более чем на 30 дней, то процентная ставка возрастает на
б пунктов и взимается по фактическому сроку неплатежей. 7 января банк
списал со своего счета 7^20000 и направил в соответствии с договором на счет
фирмы. 7 июля на счет банка поступила сумма 7^22000, а 16 августа — 7^4000.
Найти долг фирмы банку на 16 августа.

Глава 8
СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ
8.1. Формула сложных процентов для модели
последовательных простых кредитных сделок
В конце предыдущей главы мы рассмотрели модель сложных кре-
кредитных сделок, представляющих собой последовательность простых
кредитных сделок с реинвестированием, когда основная сумма долга
очередной сделки совпадает с полной (накопленной) суммой предыду-
предыдущей сделки. В этом случае инвестор, выдавший кредит в начальный
момент to = 0 на сумму So, в конце серии из п последовательных
периодов одинаковой продолжительности при условии постоянства
процентной ставки (за кредит) на каждом периоде получит накоплен-
накопленную сумму
Sn = S0(l+i)n,	(8.1)
где г — ставка за период (каждой из очередной сделок).
Формула (8.1) — простейшая версия так называемой формулы
сложных процентов. Она определяет сумму, получаемую кредитором
в серии простых сделок при указанных ниже условиях:
•	одинаковой продолжительности составляющих простых сделок,
•	постоянстве процентной ставки за период для всех составляющих
простых сделок.
Вывод формулы (8.1) предполагал реальное завершение одной сдел-
сделки и реинвестирование полученной суммы (кредита и процентов) в но-
новую кредитную сделку. Отметим, что в этой серии сделок кредитор,
т. е. инвестор, представлен одним лицом, тогда как его должники, т. е.
контрагенты сделок могут быть разными лицами.
Итерация простой сделки связана с тем, что реальная кредитная
сделка всегда срочная, т. е. имеет вполне определенный срок, после
которого кредитор получает отданные взаймы деньги. Получив назад
одолженные средства, кредитор снова может дать их в долг, начав тем
самым новую сделку. Таким образом, перед инвестором, обладающим
свободными средствами и размещающим их на срок, меньший того,
в течение которого средства остаются свободными, возникает проблема
нового размещения капитала при возврате выданной ссуды. При этом
каждый раз инвестор (кредитор) ищет наиболее эффективный способ

260	Гл. 8. Сложные проценты
размещения своего капитала. Это значит, что он желает при прочих
равных условиях разместить средства по возможно большей ставке
и на как можно более короткий срок.
В самом деле, допустим, что на рынке имеется минимально до-
допустимый срок кредитной сделки. Будем считать этот срок базовым
(единичным) периодом. Если г — ставка за этот минимальный период,
то, имея свободные средства на срок п периодов, инвестору при прочих
равных условиях выгоднее выдавать ссуду п раз на минимальный срок,
чем размещать их на весь промежуток из п периодов. Это немедленно
следует из неравенства
A +г)п > 1 +ш
для г > 0 и п > 1.
Поэтому, в частности, вкладчики банков будут стремиться разме-
размещать средства на возможно более короткие сроки с последующим раз-
размещением накопленных сумм в другом или в этом же банке, если банк
не поощряет инвестора к вложению на более долгий срок (под простые
проценты) с большей процентной ставкой. Но такое поощрение должно
давать доход кредитору не ниже того, который он может получить за
счет реинвестирования на последовательность минимальных сроков.
Безусловно инвесторы, придерживающиеся такой стратегии, принима-
принимают определенный риск, связанный с возможным падением процентных
ставок, т. е. с обстоятельством, когда к концу очередной сделки ставка
за минимальный период снизится.
Именно неопределенность будущих ставок позволяет банкам по-
разному оценивать ставки за различные сроки сделок. Но на рав-
равновесном рынке в условиях полной определенности описанная выше
тенденция к максимальному сокращению сроков сделок со стороны
кредиторов будет безусловно преобладать. Поэтому банк, предполага-
предполагающий одну и ту же простую нормированную ставку (для всех сроч-
срочных вкладов), столкнется либо с потерей вкладчиков, либо вынужден
будет переоформлять вклад каждого своего клиента по прошествии
минимального срока. Такие операции предполагают дополнительные
издержки, которые будут либо затратами банка, либо, будучи перело-
переложенными на клиента, приведут к снижению ставок. На конкурентном
рынке это может привести к потере клиента.
Таким образом, возможность реинвестирования, а такая возмож-
возможность всегда существует на свободном кредитном рынке, приводит
к определенному «давлению» со стороны предложения свободных кре-
кредитных средств, выражающемуся в требовании «дополнительной» по
сравнению со схемой простых процентов компенсации за предоставле-
предоставление кредитных ресурсов на сроки, превышающие типичные сроки про-
простых сделок. Иными словами, долгосрочный кредитный рынок должен
иметь несколько отличную схему накопления инвестиций, отличную
от рассмотренной в предыдущих главах, посвященных схеме простых
процентов.

8.2. Накопительная модель в схеме сложных процентов	261
Напомним, что в модели накопительного вклада в схеме простых
процентов рост инвестиции определялся линейным законом
где г — простая нормированная ставка. Из приведенных выше рас-
рассуждений следует, что для сроков существенно больших, чем срок
типичной краткосрочной кредитной сделки, зависимость накопленной
стоимости St должна иметь более быстрый рост. В частности, для
срока, равного продолжительности п типичных краткосрочных пери-
периодов, при реинвестировании накопленной к концу каждого периода
суммы, накопленная к концу всего срока стоимость будет расти по
показательному закону вида (8.1).
Наши рассуждения имеют неформальный характер, но они под-
подводят нас к построению новой модели роста инвестиции на долго-
долгосрочном кредитном рынке, известной как модель или схема сложных
процентов.
К формальному изложению этой модели мы сейчас и перейдем.
8.2. Накопительная модель
в схеме сложных процентов
Выберем некоторый промежуток времени на временной шкале, ко-
который назовем периодом начисления, а процентную ставку за этот же
период — ставкой начисления. Примем сначала предположение о том,
что базовый временной период (т. е. единица измерения временных
промежутков) совпадает с периодом начисления.
Наша цель — построение простейшей накопительной модели, или
модели накопительного счета, в схеме сложных процентов. Как и в ана-
аналогичной модели для простых процентов, нас будет интересовать со-
состояние счета в произвольный момент времени. Однако в простей-
простейшем случае состояния рассматриваются лишь в конце последователь-
последовательных периодов начисления. При этом будем считать, что для такой
модели выполнены следующие предположения.
1°. Начальная величина счета равна So.
2°. Проценты начисляются за каждый период начисления по задан-
заданной ставке начисления г.
3°. Величина процентов за период начисления равна произведению
величины счета в начале периода на ставку начисления.
4°. В конце каждого периода начисления счет увеличивается на сум-
сумму начисленных за этот период процентов (т. е. начисленные проценты
реинвестируются).
Как будет показано ниже, в этом случае модель накопительного
счета в схеме сложных процентов будет описываться формулой
Sn = S0(\+i)n,	(8.2)
где п — число (целое!) периодов начисления, а г — ставка начисления.

262	Гл. 8. Сложные проценты
Эта простейшая формула совпадает с формулой (8.1), описываю-
описывающей результат накопления в последовательности простых сделок, если
период каждой сделки считать равным периоду начисления. Поэтому
данную формулу легче интерпретировать как динамику накопления
в постоянно возобновляемой одной и той же кредитной сделке между
двумя лицами — кредитором и должником, например, между вкладчи-
вкладчиком и банком.
Прежде, чем вывести формулу (8.2), рассмотрим простой пример.
Пусть инвестор кладет в банк на год сумму 7^500 под 8% годовых.
Это значит, что в конце года инвестор кроме вложенных денег получит
добавочно проценты по вкладу, составляющие сумму
500- 0,08 = 40(?г).
Следовательно, общая сумма вклада к концу 1-го года составит
500 + 40 = 540(?г).
Реинвестирование вкладчиком этой суммы еще на один год под те же
8 % годовых даст ему в конце года проценты на сумму
540- 0,08 = 43,2(?г),
а полная сумма вклада станет равной
540 +43,2 = 583,2(?г).
Заметим, что этот результат можно представить в виде суммы
583,2 = 500 + 80 + 3,2.
Здесь 7^500 — начальная сумма вклада; 7^80 — проценты на эту сумму
за два года; 7^3,2 — проценты на 7^40, инвестированных в конце 1-го
года процентов за этот год.
Рассмотрим эту схему в общем случае. Для простоты будем считать
базовым периодом один год.
Пусть So — начальная сумма, а г — годовая процентная ставка.
Тогда за 1-й год проценты составят
Ji = soi
и величина счета увеличится до
Si =S0 + Ji = So + Soi = So(l+i).
Проценты за 2-й год составят
J<2 = S\i = So(l + i)i,
а сумма вклада увеличится до

8.2. Накопительная модель в схеме сложных процентов	263
Для любого года можно получить аналогичные соотношения. Так,
если величина вклада в конце fc-ro года равна Sk, то проценты за
(к + 1)-й год будут равны
Л+1 = Ski,	(8.3)
а сумма вклада в конце (к + 1)-го года станет равной
г).	(8.4)
Таким образом, за каждый год величина вклада увеличивается
в 1 + г раз. Следовательно, начальный вклад So к концу n-го года
станет равным
5п = 50A+г)п.
Величина Sn называется накопленным или будущим значением исход-
исходной суммы So. Множитель
а = 1 + г
называется годовым коэффициентом (множителем) роста, а множи-
множитель
A+г)п = ап
— коэффициентом (множителем) роста за п лет по сложным про-
процентам.
Различие между простыми и сложными процентами в модели на-
накопительного счета состоит в том, что в первом случае проценты
на исходный капитал не присоединяются к нему на каждом периоде
начисления, во втором — присоединяются к нему, т. е. инвестируются
снова или, как говорят, реинвестируются на тех же условиях, что
и основной капитал.
Уравнения
Л+1 = Ski,
S/c+i = Sk + Л+i,	(8.5)
полученные выше, вместе с начальными условиями полностью описы-
описывают динамику накопления в схеме сложных процентов.
Важно различать величину Jn процентов за п-й год и проценты
/[О, п] за п лет. Формально последняя величина определяется как
прирост начальной суммы вклада за п лет:
1п = /[О, п] = Sn - So = S0(l + г)п -So = 50[(l + г)п - 1]. (8.6)
Более общим образом можно определить проценты за любой пери-
период \к, п\:
I[k,n} = Sn-Sk,	(8.7)
т. е. как прирост суммы вклада за этот период.
Пример 8.1. Начальная сумма вклада составляет 7^300, а ставка начис-
начисления равна 5% за год. Найти:
а) накопленную сумму и проценты за первые 3 года,

264	Гл. 8. Сложные проценты
б)	проценты за третий год,
в)	накопленную сумму за б лет,
г)	проценты за последние 3 года.
Решение.
а)	Накопленная сумма за 3 года, согласно формуле (8.2), равна
S3 = 300 • A,05K = 347,29(?г),
а проценты за этот период составят
h = S3 - So = 347,29 - 300 = 47,29(?г).
б)	По формулам (8.2) и (8.7) определяем проценты за 3-й год:
Js = S3-S2 = 300[A,05K - A,05J] = 1б,54(?г).
в)	По формуле (8.2) находим теперь накопленную сумму за б лет:
г) Наконец, по формуле (8.7) найдем проценты за последние 3 года:
/[3,6] = #6 - S3 = 402,03 - 347,29 = 54,74(?г).	¦
В проведенном выше анализе мы считали, что период начисления
совпадает с базовым периодом временной шкалы. Хотя этого всегда
можно добиться, просто выбрав единичный период шкалы, равный
периоду начисления, на практике их несовпадение встречается доста-
достаточно часто. В связи с этим обобщим описанную выше модель на слу-
случай, когда период начисления не обязательно совпадает с единичным
промежутком шкалы.
Выберем временную шкалу с базовым (единичным) временным пе-
периодом е, а также произвольный период h, который назовем периодом
начисления. Его длину относительно выбранного базового периода
обозначим через h:
h = h : е.
Свяжем с выбранным периодом начисления некоторую процентную
ставку, которую назовем ставкой за период начисления или про-
просто ставкой начисления. Формально ставка начисления описывается
в данной временной шкале парой
первая компонента которой есть длина периода начисления (относи-
(относительно выбранной временной шкалы), а вторая — числовое значение
ставки. Заметим, что величину h часто называют просто периодом на-
начисления. В дальнейшем мы также будем для краткости использовать
этот термин для h. Так, для годовой шкалы ставка
i = A/2, 10%)
означает 10%-ю полугодовую ставку.
В том случае, когда период начисления h совпадает с базовым
периодом временной шкалы е, т. е. h = 1, ставка начисления называется
нормированной.

8.2. Накопительная модель в схеме сложных процентов	265
Чтобы не загромождать изложение, снабдим обозначение г ставки
начисления индексом h, указывающим период начисления, к которому
она относится, т. е. будем использовать обозначение г^ для ставки
начисления (точнее, для ее числового значения).
В частности, для нормированных ставок, т.е. при h = 1, соответ-
соответствующее обозначение ставки начисления будет i\. Однако в этом
случае, как правило, опускают индекс в обозначении ставки и пишут
просто г.
Рассмотрим теперь динамику вклада с начальным состоянием
(to,Sto), периодом начисления h и ставкой начисления г^. Считая вы-
выполненными условия, аналогичные условиям 1°— 4°, при которых была
выведена формула (8.2), согласно логике итерационного инвестирова-
инвестирования получим, что состояние вклада в момент
tfi == 60 ~~г ПГЬ,
являющимся концом п-го периода начисления, задается выражением
Stn=St0(l+ih)n	(8.8)
или, поскольку
то
— .	(8.9)
Формула (8.8) по существу тождественна формуле (8.2). Различие
состоит лишь в том, что в (8.2) единица измерения временных проме-
промежутков совпадает с периодом начисления. Иными словами, временные
промежутки в (8.2) выражаются в терминах периода начисления,
а в формуле (8.8) — в терминах единичного промежутка временной
шкалы.
Для нормированных ставок начисления (h = 1) формулы (8.8)
и (8.9) превращаются естественно в (8.2).
Важно понимать, что формулы (8.8) и (8.9) определены лишь для
моментов времени tn = to + nh, n G N, образующих арифметическую
прогрессию.
Содержательно эти точки представляют собой концы последова-
последовательных периодов начислений (относительно начальной точки to). На-
Назовем эти точки (моменты) кратными. Им соответствуют периоды
длины
Tn = tn-to = nh, n e N,
или в общем случае длины
Tn_fc =tn-tk = (п- k)h, k <n, к,п G N,
кратные периоду начисления.
Таким образом,
(8.10)

266	Гл. 8. Сложные проценты
Выбирая начальный момент инвестирования to совпадающим с на-
начальным моментом временной шкалы, т. е. to = 0 и tn = Тп, получим
упрощенные выражения
Stn=So(l+ih)n,	(8.80
Stn=So(l+ih)tn/h.	(8.90
Постоянство ставки начисления позволяет ввести коэффициент
(множитель) роста за период начисления:
ah = \+ih.	(8.11)
С помощью коэффициента роста динамика накопления будет описы-
описываться равенствами
Stn=Stoanh	(8.12)
ИЛИ	tn-t0
Stn=Stoa^.	(8.13)
Выше для накопительной модели с годовой временной шкалой
мы определили понятие процентов за год и за п лет. Аналогичные
определения имеют место и в общем случае, когда единица временной
шкалы и период начисления не совпадают. Величина
Jk = Stk-Stk_lt к>\,	(8.14)
называется процентами за k-й период начисления. Ясно, что
Jk = 5tfc_,(l + ih) - Stk_t = St^h.	(8.15)
Более общим образом можно определить проценты за любой крат-
кратный период [t/c,tn], k < п:
I[tk,tn] = Stn-Stk.	(8.16)
Отсюда с учетом (8.8'), (8.11) и (8.12) следует, что
I[tk,tn\ = Stk((l+ih)n-k - 1) = Stk(anh-k - 1).	(8.17)
Исходя из равенств (8.14)—(8.16), легко показать, что проценты за
любой кратный период являются суммой процентов за последователь-
последовательные периоды начисления, составляющие этот период:
I[tk,tn]= ? Jm-	(8.18)
т=к+\
Пример 8.2. Начальная величина вклада составляет 7^200. Период на-
начисления 1 мес. Найти накопленную сумму и проценты за 5 лет и 3 мес, если
месячная ставка начисления по вкладу равна 3%.
Решение. Срок в месяцах составляет п = 63. Следовательно,
#63 = 200A + 0,03N3 = 1287,58(?г),
а проценты за этот период составят
/[0,63] = #бз - So = 1287,58 - 200 = 1087,58(?г).	¦

8.3. Расширение модели накопительного счета
267
8.3. Расширение модели накопительного счета
Как уже отмечалось выше, формулы (8.2)—(8.18) определены лишь
для кратных точек tn = to + nh. Учитывая этот факт, описанную
в предыдущем параграфе модель назовем дискретной. Выбрав to = О
и t = nh, мы можем записать динамику накопительного счета в дис-
дискретной модели в виде
t = S0(l+ih)t/h, t = nh,
3.19)
График функции St при этих условиях изображается дискретной по-
последовательностью точек, соответствующих моментам t = kh (рис. 8.1).
При этом вопрос о состоянии счета в промежутках между моментами
начисления kh (т. е. моментами, когда счет меняет свое состояние)
в рамках этой модели является некорректным. На практике, конеч-
конечно, вкладчик может закрыть счет в любой момент времени, так что
банк тем или иным способом должен определить возвращаемую сумму
вклада.
С формальной точки зрения эта проблема состоит в доопределении
функции St для моментов времени, не кратных периоду начисления.
Безусловно, с чисто математической точки зрения имеется бесчис-
бесчисленное множество способов доопределения St, однако на практике
используются в основном три способа.
Первый способ состоит в том, что изменение состояния счета
происходит только в моменты начисления. Иными словами, проценты
в промежутках между ними не накапливаются, что выражается ра-
равенством
= Skh, kh < t
\)h,
т. е. функция St является непрерывной справа кусочно-постоянной
функцией. Динамика изменения счета, т.е. график функции St, в этом
случае представлена на рис. 8.2.
s2-
Sn"
Дискретная
h	h
Рис. 8.1
Ц t
s2-
Sot
Кусочно-постоянная
4-
h h i2
Рис. 8.2

268
Гл. 8. Сложные проценты
Используя понятие целой части числа, можно записать уравнение
динамики этой модели для любых t формулой
= S0(l+ih)lt/h],
(8.20)
где [х] — целая часть числа х.
Модель накопления в схеме сложных процентов, описываемую ра-
равенством (8.20), назовем кусочно-постоянной или с начислением по
полным периодам.
Второй способ состоит просто в аналитическом продолжении фор-
формулы (8.20) на произвольные значения t. Получаемая модель называ-
называется непрерывной моделью накопительного счета в схеме сложных
процентов.
Геометрически непрерывная модель накопления изображается гра-
графиком непрерывной функции (рис. 8.3).
St = S0(l + ih)t/h, t^O.	(8.21)
Третий способ состоит в комбинировании схем простых и сложных
процентов. Поэтому соответствующую модель называют смешанной.
В смешанной модели накопление процентов внутри периода начисле-
начисления происходит по схеме простых процентов. В конце такого перио-
периода накопленная сумма процентов присоединяется к основному счету
(счету накопления). С формальной точки зрения это правило приводит
к кусочно-линейной функции St, получающейся линейной интерполя-
интерполяцией дискретных значений Skh- Динамика счета в смешанной модели
описывается равенством
[/h]({l}) i>0.	(8.22)
Здесь [х] — целая, а {х} — дробная части числа х; при этом
х = W + ix}-
Геометрически St изображается кусочно-линейной кривой (многоуголь-
(многоугольником) на плоскости время-деньги (рис. 8.4).
Sk
Sy
s2-
Непрерывная модель
s,-
5,-
h
t3 t
Смешанная модель
Рис. 8.3
h h
Рис. 8.4

8.4. Номинальная и эффективная нормированные ставки	269
Поскольку ах — выпуклая функция, то для всех трех моделей
имеют место соотношения
q кус. пост ^ ^непр ^ ^смеш
Таким образом, в пределах периода начисления наиболее быстрый
рост обеспечивает смешанная модель. Естественно, что в точках на-
начисления, т. е. в точках вида kh, где h — период начисления, все три
модели дают одинаковые значения. Хотя на практике используются
все указанные модели, с чисто математической точки зрения наиболее
простой и естественной является непрерывная модель. Она также часто
используется на практике особенно в схемах финансовых расчетов для
сделок с различными финансовыми инструментами. Поэтому в даль-
дальнейшем именно непрерывная модель будет играть роль базовой модели
накопительного вклада в схеме сложных процентов.
Пример 8.3. Пусть начальный вклад составляет Т^ЛООО, ставка начис-
начисления за год равна 8%. Найти накопленную сумму вклада за 2 года и 3
мес. с использованием следующих схем начисления: а) по полным периодам
(кусочно-постоянная), б) непрерывной, в) смешанной.
Решение. Выбирая шкалу с годовым базовым промежутком, получим
t = 2- = 2,25, n=[t] = 2, {?} = 0,25.
Следовательно, для рассмотренных схем имеем:
а)	для кусочно-постоянной
^кус.пост = 1000A +0,08J = 11бб,4Gг),
б)	для непрерывной
^Г = Ю00A +0,08J'25 = 1189,06Gг),
в)	для смешанной схемы
#2С25Ш = 1000A+0,08JA +0,08-0,25) = 1166,4- 1,02= 1189,73(?г). ¦
8.4. Номинальная и эффективная
нормированные ставки
Номинальные ставки. Выше мы описали основные модели накопи-
накопительного счета (вклада) в схеме сложных процентов. Основным пара-
параметром этой модели служит ставка начисления, описываемая в задан-
заданной временной шкале парой (h,i), состоящей из периода начисления h
и числового значения г ставки.
На практике в случае накопительных счетов, как и для кредитных
сделок, часто используют не ставки начисления, а так называемые но-
номинальные ставки, относящиеся к некоторым, заранее выбранным пе-
периодам. Период, к которому относится номинальная ставка, называется
номинальным. Он непосредственно не связан с периодом начисления
и может выбираться произвольным образом.

270	Гл. 8. Сложные проценты
Цель введения номинального периода состоит в осуществлении еди-
единообразного способа задания ставок, определяющих динамику накопи-
накопительных счетов. Кроме того, номинальный период играет роль периода
приведения, к которому приводятся значения ставок начисления. Это
позволяет сравнивать такие ставки. Хотя номинальный период может
быть выбран произвольно, на практике он обычно выбирается есте-
естественным образом, связанным с используемой временной шкалой.
Чаще всего номинальный период представляет собой просто единич-
единичный (базовый) период временной шкалы. Так, если шкала годовая, то
номинальный период равен году и все номинальные ставки — годовые.
Приведение ставок начисления к единичному периоду временной шка-
шкалы принято называть нормированием, а соответствующее значение
ставки — нормированным.
Таким образом, нормированные номинальные ставки в накопитель-
накопительных схемах сложных процентов вполне аналогичны нормированным
ставкам простых кредитных сделок и нормированным ставкам начис-
начисления в схеме простых процентов. Во всех случаях идея состоит в при-
приведении (нормировании) ставок, непосредственно связанных с раз-
различными периодами, к некоторым стандартным (например, базовым)
периодам.
Поскольку роль номинальной ставки состоит в стандартизирован-
стандартизированном представлении ставок начисления, то ее задание предполагает,
кроме указания номинального периода и значения самой ставки, за-
задание дополнительной информации, позволяющей легко определить
соответствующий период начисления, а также правило для вычисления
значения ставки начисления.
В качестве дополнительной информации, устанавливающей связь
между номинальной ставкой и ставкой начисления, указывают либо
непосредственно период начисления, либо так называемую кратность
начисления. Кратность начисления равна отношению номинально-
номинального периода к периоду начисления. Она, таким образом, показывает,
сколько раз период начисления содержится в номинальном периоде.
Иногда понятие номинальной ставки вводят несколько иначе, осно-
основываясь на так называемой кратной выплате процентов. Этот подход
можно пояснить следующим образом.
В соответствии с моделью накопительного счета проценты за пе-
период начисления присоединяются к сумме счета в конце периода
начисления. Это лишь один из способов так называемой актуализации,
т.е. преобразования интервальной величины, какой являются проценты
за период, в мгновенную величину (см. гл. 1). Имеется бесконечное
число способов такого преобразования или, применительно к нашему
случаю, выплаты процентов: в начале, середине периода и т. п. Здесь
нас будет интересовать один весьма распространенный способ, при
котором проценты за период начисления «выплачиваются» несколько
раз за этот период одинаковыми суммами. Глагол «выплачиваются»
взят в кавычки, поскольку в накопительных моделях проценты не вы-

8.4. Номинальная и эффективная нормированные ставки	271
плачиваются, а присоединяются к счету, т. е. сумма счета увеличивает-
увеличивается. Эту операцию мы назвали начислением. Термин «выплачиваются»
понадобился для того, чтобы избежать коллизии понятий исходного
начисления один раз в конце (исходного) периода начисления и нового
(многократного) начисления в течение этого периода.
Примерами такой схемы могут служить выплаты начисленных
за год процентов дважды (в конце каждого полугодия), четырежды
(в конце каждого квартала) или 12 раз (в конце каждого месяца).
Легко понять, что при таком подходе исходный период начисления
перестает быть фактическим периодом начисления; фактическими пе-
периодами начисления становятся подпериоды, составляющие исходный
период, поскольку в конце именно этих подпериодов осуществляется
фактическое начисление, т. е. присоединение соответствующих этим
подпериодам долей общей суммы, начисленных за исходный период
процентов.
В общем виде упомянутую выше схему можно представить сле-
следующим образом. Исходный период начисления h разбивается на т
одинаковых подпериодов, и сумма J^ процентов за этот период выпла-
выплачивается т раз в конце каждого подпериода. Величина каждой такой
«выплаты» будет равна
Jh/m = ?,	(8.23)
так что общая сумма выплаченных за исходный период начисления
процентов будет той же самой — J^. Поскольку исходный период h
фактически больше не является периодом начисления, мы будем на-
называть его номинальным периодом и обозначать Ъ. Действительным
периодом начисления будет период Ъ/т и именно его мы теперь будем
обозначать через h:
h=—.	(8.24)
т
Целое число га, т. е. число фактических начислений за исходный
номинальный период, назовем кратностью начисления.
Переход к другому более мелкому периоду начисления означает
фактически изменение и ставки начисления. Если для исходного (но-
(номинального) периода Ъ соответствующая ставка будет равна ц, то из
равенства (8.23) следует, что
Ч = Ч/т = ^-	(8.25)
Иными словами, ставка за фактический период начисления в га раз
меньше ставки за номинальный период.
Хотя описанный выше подход может служить мотивацией для вве-
введения номинальных ставок, он не является вполне строгим, так как
начисление по ставке ih не будет давать одинаковых процентных сумм
Jb/m = ~

272	Гл. 8. Сложные проценты
для всех подпериодов исходного номинального периода. На самом деле
в основе этого подхода заложено выполнение равенства (8.25), а не
равенства (8.23).
Задание номинального периода и периода начисления осуществля-
осуществляется в некоторой временной шкале, единичный период которой может
как совпадать, так и не совпадать с упомянутыми периодами. На прак-
практике наиболее часто используют номинальный период, совпадающий
с единичным периодом временной шкалы. В дальнейшем мы будем
рассматривать именно этот случай. Тем не менее, начнем с общего
определения номинальной ставки.
Формально номинальная ставка в заданной временной шкале Т
задается тройкой (b,h,j), где Ъ — длина (номинального) периода, h —
длина периода начисления, a j — числовое значение номинальной
ставки.
Другой способ задания номинальной ставки состоит в задании
тройки (b,m,j), где Ъ и j имеют тот же смысл, что и выше, а т —
кратность начисления, т. е.
т=\.	(8.26)
п
Заметим, что длины Ъ и h выражены в единицах временной шкалы Т.
Задание номинальной ставки подразумевает ее связь со ставкой
начисления, задаваемую соотношением
. h
или
ih = —•
т
Пример 8.4. Пусть в годовой шкале номинальная ставка имеет вид
(-, —, 12%). Найти кратность и ставку начисления.
Решение. Согласно определению номинальной ставки как тройки F, h, j)
в данном случае (в годовой шкале) имеем: номинальный период Ь — полуго-
полугодие, т.е. Ь = 1/2, период начисления h — месяц, т.е. h = 1/12, а величина
номинальной ставки j равна 12% за полугодие. Таким образом, за этот период
проценты начисляются
m==6
раз, т. е. кратность начисления — б раз за полугодие, а ставка начисления
равна
т. е. 2% в месяц.	¦
Пример 8.4 несколько искусственный. Как уже было сказано выше,
на практике номинальный период совпадает с единичным промежутком
временной шкалы. Обычно в качестве такого периода берется год.
Тогда говорят о номинальной годовой ставке, подразумевая явное ука-
указание либо периода, либо кратности начисления. В случае, когда номи-
номинальный и единичный периоды временной шкалы совпадают, тройка,

8.4. Номинальная и эффективная нормированные ставки	273
представляющая номинальную ставку, имеет вид (l,h,j) или (l,ra,j),
где h — период начисления, выраженный в единицах временной шкалы,
am — кратность начисления. При этом
h l	l
а = —, т = —
т	h
и данная номинальная ставка, согласно сказанному, будет являться
нормированной.
Фактически задание номинальной ставки в этом случае сводится
к заданию периода начисления и ставки j, т.е. просто пары (h,j), или
задания кратности начисления т и значения ставки, т.е. пары (m,j).
Мы, однако, не будем использовать обозначения номинальной ставки
как пары,
•	во-первых, потому, что в формулах прежде всего нужно лишь
значение j ставки;
•	во-вторых, использование пары (h,j) может привести к смешению
номинальной ставки со ставкой начисления, которая также зада-
задается двумя элементами: периодом начисления и значением ставки.
Для того чтобы не путать все эти виды ставок, будем использовать
специальные индексные обозначения. Номинальную ставку с периодом
начисления h мы будем, отступая от обозначения j, обозначать как i^,
а ее значение с указанием кратности начисления т — в виде г^т\ Од-
Однако в дальнейшем мы также будем иногда использовать обозначение j
для указания значения именно номинальной ставки. С другой стороны,
обозначение г (без индексов!) будет всегда означать нормированную
ставку начисления, т.е. ставку с единичным периодом начисления.
В любом случае в определении номинальной ставки должно явно или
неявно содержаться указание на период или кратность начисления.
Так, говорят, например, о 10%-й годовой ставке, начисляемой дважды
в год, или, что то же самое, о 10%-й годовой ставке с начислением по
полугодиям.
Использование скобок служит для того, чтобы отличать номиналь-
номинальную ставку от ставки начисления, которую обозначаем как г^.
Итак, нормированная номинальная ставка, относящаяся к единич-
единичному периоду временной шкалы, задается двояко:
•	указанием самого периода начисления h, выраженного в единицах
базового периода; тогда ставка начисления определяется как
ih = i{h)K	(8.27)
•	указанием кратности начисления т за базовый период; в этом
случае период начисления определяется по формуле
/*=-,	(8.28)
т
а ставка начисления	,,
ih = ^-.	(8.29)

274	Гл. 8. Сложные проценты
Если h = 1 и, значит, т = 1, то период начисления совпадает
с единичным периодом временной шкалы. В этом случае номинальная
нормированная ставка превращается в нормированную ставку начис-
начисления:
В этом случае мы пишем просто г.
Поскольку ставка начисления г^ непосредственно выражается через
номинальную ставку г^ = г^т\ числовое значение которой здесь обо-
обозначим j, то можно переписать уравнения динамики накопительного
счета в терминах номинальной ставки, подставляя выражения для
ставки начисления
ih = hi(h\ = hi = -— = —
v ;	m m
в уравнения (8.8) и (8.9). Тогда для моментов начисления tn=to~\- nh
получим
(8.30)
(8.31)
m(tn-to)
. (8.32)
J "m
и поскольку
то имеем
Заметим, что
Q /1 _|_ • \п
П —
Stn=St0(l+h
выражение
tn-to
h
+ hj)
— m{
1 =S
m /
есть не что иное, как множитель наращения или коэффициент роста
за единичный {базовый) период времени при т-кратном начислении
по номинальной ставке j, соответствующей ставке начисления г^.
Следовательно,
о _ с, ntn-to _ о (n(m)\tn-t0
Индекс п в вышеприведенных формулах обычно опускают и пишут
просто
St = S^l + hj)— =St0(l + ^j	, t = to + n/i, nGN,
(8.34)
т. е. момент ? должен быть в этом случае моментом начисления и про-
промежуток t — to должен содержать целое число
п = ——^- = m(t — to)
периодов начисления. Напомним, что в формулах (8.30), (8.32)-(8.34)
j обозначает номинальную ставку.

8.4. Номинальная и эффективная нормированные ставки	275
Пример 8.5. Найти накопленное значение суммы 7^300 за 4 года, если
номинальная годовая ставка:
а)	10%, период начисления — б мес;
б)	8%, период начисления — 2 года.
Решение.
а) Для годовой шкалы при to = 0 и t = 4 имеем, что
^	= гB) = 10%
/i=^, m = 2,
и ставка начисления за б мес. равна
«i/2 = ^ • 10% = 5%,
Число полугодий составляет
п = tm = 4 • 2 = 8.
Следовательно,
#4 = 300A + 0,05)8 = 443,24(?г).
б) В данном случае
/г = 2, т=-, п=- = - = 2
2	h 2
и двухгодичная ставка начисления г2 равна
г2 = Ц2) = 2-8%= 16%.
Следовательно,
#4 = 300A + 0,1бJ = 403,68(?г).	¦
Важно понимать, что нормированная номинальная процентная
ставка относится к единичному {базовому) промежутку временной
шкалы. На практике это обычно годовая ставка, тогда как ставка
начисления — это ставка за период начисления.
Полученные нами выражения для динамики накопительного счета,
записываемые в терминах номинальных ставок г^ и г^ в виде
Лш) \m(t—to)
1)
как отмечалось выше, справедливы без оговорок лишь для моментов
начисления t = to + nh, т. е. для промежутков [to, t], содержащих целое
число периодов начисления h.
В § 8.3 мы сформулировали три обобщения (интерполяции) урав-
уравнения динамики накопительного счета, выраженного через ставку
начисления. Подставляя в эти обобщенные уравнения (8.20)-(8.22)
выражение для ставки начисления через номинальную ставку, получим
соответствующие формулы, отражающие динамику накопительного
счета в терминах номинальных ставок. Так, при to = 0 мы получим
следующие формулы:
для кусочно-постоянной модели:
г и л	/	Лт)\ [mt]
St = So(l + /«W)[/ ]=So(l + —) , t^0;	(8.35)

276	Гл. 8. Сложные проценты
для непрерывной модели:
St = 50A + hi{h)y/h = S0(l + г—\т\ t > 0;	(8.36)
для смешанной модели:
Am) \ [mt} /	Am) ч
-—) [\+{mt}%-—), t>0. (8.37)
77i ) \	m )
Как уже упоминалось, мы будем работать исключительно с непре-
непрерывной моделью. Также в дальнейшем мы ограничимся формулировкой
результатов для этой модели лишь в терминах номинальной ставки
с m-кратным начислением, имея при этом в виду, что запись ана-
аналогичных формул в терминах номинальной ставки i^ получается
тривиальным образом заменой г^ на г^ и 1/га на h.
Для непрерывной модели для произвольного начального момента
времени to > 0 из (8.9) получаем очевидное обобщение формулы (8.35):
Am) \ m(t-to)
)	, t^t0.	(8.35')
= s
\	ТП
Прежде чем перейти к изучению непрерывной модели, напомним
еще раз, что номинальная ставка является просто нормированным
представлением ставки начисления, т. е. приведением ее к единичному
периоду временной шкалы и, следовательно, ее удобно использовать,
когда рассматривается не одна, а несколько или много ставок начис-
начисления.
Непрерывное начисление и бесконечно-кратные номинальные
ставки. Явное разделение номинальной величины ставки с выделением
ее числового значения и кратности (частоты) начисления позволяет
раздельно исследовать эффект этих факторов для данного инвестици-
инвестиционного периода. В самом деле, рассмотрим период, состоящий из п
базовых промежутков, например, при to = 0 и t = п. Тогда для семей-
семейства номинальных ставок г^ с различной кратностью начисления, но
с общим значением г^ = j, накопленная сумма за п периодов для
начальной суммы Sq согласно (8.34) может быть представлена в виде
Am) \тп
)
Из математического анализа известно, что при тп^ > тп\
j \гп\ /	j
+ —) <A + —
гп\)	V т2
или, в терминах множителей наращения,
а{тх) <а(т2)

8.4. Номинальная и эффективная нормированные ставки	277
т. е. большей частоте начисления соответствует больший множитель
а(т) и> тем самым, — большая сумма накопления.
Далее, заметим, что поскольку период начисления, соответствую-
соответствующий номинальной ставке i^m\ равен h = 1/га, то при т —> оо полу-
получаем, очевидно, ft —> 0. Поэтому в предельном случае при т —> оо
мы приходим к непрерывному начислению процентов. При этом для
коэффициента роста получаем
а(оо) = цт (\ + 1Лт = ез.	(8.38)
Следовательно, при непрерывном начислении процентов по номиналь-
номинальной ставке j накопленная за п периодов сумма будет равна
Sn = Soejn.	(8.39)
Отметим, что во всех приведенных выше формулах числа тип
предполагались, вообще говоря, целыми неотрицательными числами.
Ниже мы рассмотрим обобщения этих формул, однако уже здесь можно
отметить особенность формулы (8.39). При непрерывном начислении
естественным образом исчезает проблема соизмеримости периода на-
начисления и базового периода. Поэтому при непрерывном начислении
формулу (8.39) можно использовать для любых периодов. Так, для
периода длины Т накопленная сумма будет выражаться формулой
ST = SoejT,	(8.40)
а соответствующий коэффициент роста примет вид
4то) = ejT.	(8.41)
Конечно, на практике непрерывное или бесконечно-кратное начис-
начисление непосредственно реализовать нельзя, но оно легко реализуется
схемой накопления, задававемой формулой (8.40), означающей, что
инвестору, открывшему счет на сумму So в момент времени to = 0,
в любой момент времени t приписывается (начисляется) сумма St,
определяемая выражением
St = Soejt.	(8.42)
При этом проценты, начисленные инвестору за период [0, ?], составят
сумму
О бесконечно-кратном или непрерывном начислении будет более
подробно сказано ниже, а сейчас вернемся к дискретным схемам на-
начисления (с конечной кратностью).
Эффективные ставки. Каждая дискретная схема начисления опре-
определяется либо ставкой начисления г^ с периодом начисления h, либо
нормированным представлением этой ставки, т. е. номинальной ставкой

278	Гл. 8. Сложные проценты
г^т\ где т = \/h — кратность начисления номинальной ставки. При
этом	, N
Динамика роста в этом случае (для непрерывной модели) выражается
равенствами (при to = 0)
Напомним, что величина
где ih — ставка начисления, соответствующая периоду начисления
h = 1/га, представляет собой коэффициент роста инвестированной сум-
суммы So за единичный период по ставке начисления i^, соответствующей
номинальной ставке г^ с m-кратным начислением:
(ш) _ Si
п " V
Но тогда величина
а(т) _ j _ S}_ _ j _ S\ — Sp
So	So
будет ни чем иным, как процентной ставкой за единичный (базовый)
период временной шкалы. Эта ставка называется нормированной эф-
эффективной ставкой (за единичный период), соответствующей ставкам
начисления ih и номинальной г^т\ Заметим, что эффективная ставка
является, как и номинальная, еще одним нормированным (т. е. приве-
приведенным к единичному периоду) представлением ставки начисления г^.
Эффективная ставка является значением отображений
или	. Л
iH^ (l + 1—) -1.
V	771 )
Эффективную нормированную ставку, соответствующую ставкам
начисления г^ и номинальной г^т\ будем обозначать как Й*ч или г^2 ,
или же гэф, если понятно, какой период начисления рассматривается,
либо, наконец, просто г, если h = 1. Таким образом,
(8'43)

8.4. Номинальная и эффективная нормированные ставки	279
Отметим еще особый случай, когда h = га = 1, т. е. период начисле-
начисления совпадает с единичным периодом временной шкалы. Тогда все три
типа ставок совпадают:
%\ = г = гэф = г
и можно говорить просто о нормированной ставке, которая воплощает
в себе все три типа ставок, и не использовать в обозначении никаких
дополнительных индексов, символов и меток.
Пример 8.6. Найти годовую эффективную ставку, соответствующую
10%-й годовой номинальной ставке, начисляемой дважды в год.
Решение. В данном случае
jp) — ю%
Тогда
*эф = A + Y"J ~ 1 = A'05J ~ 1 = °>1025>
или 10,25%.	¦
Мы привели определение нормированной эффективной ставки, т. е.
ставки за единичный (базовый) период, соответствующей номинальной
ставке г^ или ставке начисления %h с h = 1/га. Заметим теперь,
что если рассмотреть семейство номинальных ставок г^ с различной
кратностью начисления, но с общим значением г^ = j, то получим
соответствующее семейство эффективных ставок г^ , причем
+ i) -1.	(8.44)
т)	v '
П0Л0ЖИМ	?т) = ^(оо)
Из (8.44) следует, что этот предел, равный
UW-l,	(8.45)
определяет эффективную ставку, соответствующую бесконечно-крат-
бесконечно-кратной (непрерывно начисляемой) номинальной ставке j. Заметим, что пе-
период начисления h = 1/га, соответствующий номинальной ставке i^m\
стремится к нулю при га —> оо. Таким образом, со ставкой j = г(°°) не
связан никакой период начисления. Ставки j и г^ф связаны непосред-
непосредственно лишь с единичным периодом временной шкалы, к которому
они относятся.
Пример 8.7. Пусть j = 10% есть номинальная годовая ставка, начис-
начисляемая непрерывно. Какова соответствующая (нормированная) эффективная
годовая ставка?
Решение. При данных условиях
.^ = 10,52%.
= еод - 1 = 0,1052,

280	Гл. 8. Сложные проценты
Знание эффективной (нормированной) ставки позволяет переписать
выражение для накопленных сумм в виде
Sn = 5оA+гэф)п.	(8.46)
Эта формула имеет совершенно естественный смысл. Поскольку коэф-
коэффициент
есть коэффициент роста за единичный (базовый) период, то коэффи-
коэффициент A +гэф)п есть коэффициент роста за п единичных (базовых)
периодов. Это соответствует общей логике сложных процентов. Иными
словами, мы возвращаемся к простейшей формуле (8.2) с той лишь раз-
разницей, что теперь в качестве ставки начисления г берется эффективная
ставка за период. Конечно, если h = т = 1, т.е. период начисления
и базовый период совпадают, то также совпадают номинальная и эф-
эффективная ставки за периоды. В общем же случае можно применить
простейшую формулу (8.2), вычислив предварительно эффективную
ставку гэф по заданным параметрам номинальной ставки.
Номинальная и эффективная ставки для произвольных пери-
периодов начисления. В предыдущем параграфе мы осуществили переход
от дискретной модели накопительного счета, определяемой периодом
начисления h и ставкой начисления г^ за этот период, к непрерывной
модели, описываемой уравнением (при to = 0)
St = So(l+ih)t/h, t>0.
Выражая теперь нормированный коэффициент роста (\ + ih)l/h за
единичный период через эффективную нормированную ставку
данное уравнение запишем в виде
Строго говоря, такое определение эффективной ставки в данном случае
не вполне обосновано, так как ранее оно было дано лишь для случая
целочисленной кратности начисления за единичный период временной
шкалы, т.е. когда т = \/h — целое число.
Сформулируем теперь общее определение (нормированных) номи-
номинальной и эффективной ставок в непрерывной модели для любого
периода начисления, выраженного в единицах временной шкалы.
Определение 8.1. Пусть Т — временная шкала, h — период
начисления, выраженный в единицах временной шкалы, а г^ — ставка
начисления. Тогда ставка
Hh) = |	(8.48)

8.4. Номинальная и эффективная нормированные ставки	281
называется нормированной номинальной, а ставка
г$ = A+гл)?-1	(8.49)
— нормированной эффективной ставкой, соответствующей ставке на-
начисления ih. При этом номинальная и эффективная ставки, связанные
равенством
$	*-1,	(8.50)
также называются соответствующими друг другу.
Заметим, что по этому определению число т = \/h может быть
нецелым. Однако, мы и в этом случае будем называть эту величину,
обратную периоду начисления, кратностью (частотой) начисления
и по-прежнему будем формулировать результаты в терминах номиналь-
номинальной ставки г(т) = г^^.
Определения (8.49) и (8.50) являются естественно ни чем иным,
как применением введенной выше непрерывной модели накопления
с динамикой, задаваемой уравнением
St = So(l+ih)t/h,
к единичному промежутку t = 1.
Рассматривая теперь семейство номинальных ставок г^1/^ с различ-
различными периодами начисления h, но с общим значением, равным j,
получим соответствующее семейство эффективных ставок
где соответствующий множитель наращения а^1/^ имеет вид
Логарифмируя и переходя к пределу, получим
limln(l +jh)]/h=j.
Отсюда, полагая
lim аС/л) = a(oo)
h->0
получаем, что
и, следовательно,	, N
гэф - е	1'

282	Гл. 8. Сложные проценты
Таким образом, мы получили, что и в этом общем случае для непре-
непрерывной модели при непрерывном начислении процентов для нормиро-
нормированных коэффициентов роста и эффективной ставки имеют место те
же самые предельные формулы (8.38) и (8.45), что и в случае кратного
начисления процентов, и, следовательно, динамика накопления будет
определяться той же самой формулой (8.42).
Пример 8.8. Пусть в годовой шкале задана ставка ^ = 20 % с двухгодич-
двухгодичным периодом начисления h = 2. Найти годовые номинальную и эффективную
ставки, соответствующие этой ставке.
Решение. В данном случае т = 1/2. Тогда номинальная годовая ставка
будет равна
а эффективная годовая ставка
\f) = A+^I/2- 1 =0,0954,
или 9,54%.	¦
Хотя номинальная и эффективная ставки являются нормированны-
нормированными представлениями ставки начисления, их финансовые интерпрета-
интерпретации существенно различны. Так, номинальная нормированная ставка
не является фактической ставкой за номинальный базовый период
(период приведения), тогда как эффективная нормированная ставка
является фактической ставкой за период приведения в непрерывной
модели накопительного счета. Говоря о том, что эффективная ставка —
это фактическая ставка за период приведения, мы имеем в виду, что
коэффициент роста счета за этот период в точности равен 1 + гэф.
Подведем теперь итоги анализа, выполненного нами для основной
непрерывной модели накопительного счета в схеме сложных процен-
процентов. Сформулируем их в общем случае, когда в качестве начального мо-
момента рассматривается произвольный момент времени to, а начальная
сумма счета в этот момент равна St0. При этом заметим, что распро-
распространение результатов, полученных для to = 0, на случай to ^ 0 вполне
очевидно и фактически не нуждается в дополнительном обосновании.
Непрерывная модель процентного роста задается одним из следую-
следующих четырех видов процентных ставок:
• ставкой начисления %h за период начисления h; соответствующая
динамика описывается равенством
t — tn
St = St0(l + ih) —, t^t0;	(8.51)
• нормированной номинальной ставкой г^ с кратностью начис-
начисления т с динамикой
J	)	, t>t0;	(8.52)

8.4. Номинальная и эффективная нормированные ставки	283
•	непрерывной (бесконечно-кратной) номинальной ставкой
j = г(°°) с динамикой
St = ЯеЛ*"*о)- *>*о;	(8.53)
•	нормированной эффективной ставкой i с динамикой
St = St0(\ +г)*-*\ tZk-	(8-54)
Следует заметить, что способ задания модели с помощью нормиро-
нормированной эффективной ставки является на самом деле частным случаем
задания с помощью ставки начисления г^, если период начисления сов-
совпадает с базовым (единичным) периодом времени. Как уже отмечалось
выше, индекс в обозначении i\ часто опускается и пишут просто г.
Мы указали этот случай отдельно, так как для него закон динамики
имеет наиболее простой вид и именно поэтому он часто используется
в теории финансов.
Заметим также, что с помощью нормированного коэффициента
роста динамику накопительного счета в каждом из этих случаев можно
записать в унифицированном виде:
St = Stoat-to,	(8.55)
где а — нормированный коэффициент роста в модели, при этом:
•	для модели с заданной ставкой начисления г^
• для модели, задаваемой номинальной ставкой г^ с т-кратным
начислением,	. .
а= \ + г
т
• для модели с непрерывным (бесконечно-кратным) начислением
Кроме того, отметим, что в каждой из этих моделей нормированный
коэффициент роста связан с соответствующей эффективной нормиро-
нормированной ставкой основным соотношением
а= 1+гэф.	(8.56)
Пример 8.9. Пусть в годовой шкале заданы ставки is = 72,8%, i^ =
= 40% и j = i(°°) = 20%. Найти соответствующие этим ставкам норми-
нормированные коэффициенты роста в непрерывной модели накопительного счета
и будущую (накопленную) стоимость 711.
Решение.
а) Для is = 72,8%, h = 3 года коэффициент роста имеет вид
а=A+г3I/3 = A,728I/3= 1,2
и, следовательно,
ft = о* = A,2)*.

284	Гл. 8. Сложные проценты
б) Для гD) = 40%, h = -, т = 4 имеем
4
0 4\4
а= A + —) = A + )
V	4 / V
и, следовательно,
/ ?D)\4 / 0 4\4
а= A + —) = A + —) =1,4641
V	4 / V 4 /
вг = аг = A,4641)*.
в) Для j = i(oo) = 20% имеем
3 0,2
а = eJ = e
и, следовательно,
a	t	0,2t	н
St = а = е .	Ш
В тех случаях, когда выбор конкретного вида ставки безразличен,
будем говорить просто о ставке накопления, подразумевая под этим
любую из четырех, упомянутых выше. Выписанные уравнения динами-
динамики позволяют легко находить соотношения между различными видами
ставок. Они определяются условием тождественности результата
накопления для любого момента времени. Более подробно этот вопрос
будет рассмотрен ниже в параграфе, посвященном эквивалентности
процентных ставок.
8.5. Учетные ставки в схеме сложных процентов
Выше мы определили модель накопительного счета в терминах
процентных ставок. Однако в гл. 2 было введено понятие учетной
ставки w за период и нормированной учетной ставки d. Ниже мы
попытаемся разобраться как это понятие применимо к схеме сложных
процентов.
Хотя построение модели накопления выглядит более естественным
при использовании процентной ставки, тем не менее ее также легко
выразить в терминах учетной ставки. Схема описания учетной модели
накопления полностью идентична процентной схеме.
Выберем период временной шкалы, которую назовем учетным пе-
периодом. Его длину в выбранной временной шкале обозначим через h.
Учетную ставку за этот период обозначим через dh- Разобьем вре-
временную шкалу на периоды длины h кратными точками: tn = to + nh,
n = 0, 1,2,.... Тогда состояния счета в концах fc-ro учетного периода
будут связаны соотношением
Sk-\=Sk(l-dh), к =1,2,...,п.	(8.57)
Отсюда немедленно следует соотношение
Sk = Sn(l- dh)n~k, k = 0,l,...,n-L	(8.58)
Коэффициент
vh=\-dh
называют учетным коэффициентом дисконтирования.

8.5. Учетные ставки в схеме сложных процентов	285
Формулы (8.57) и (8.58) выражены в учетных периодах. Непосред-
Непосредственно во временной шкале они запишутся в виде
Stk_x =Stkvh = Stk(l-dh), fc=l,2,...,n,	(8.570
Stk = St^v^1^ =Stn(l -4)^\ fc = 0, l,...,n- 1. (8.58х)
Как и для случая процентной модели, приведенную учетную модель
можно распространить или продолжить с дискретного множества крат-
кратных точек на всю шкалу. По аналогии с процентной моделью можно
рассмотреть три варианта продолжения:
•	кусочно-постоянная модель:
ST = St(\ - dh)\-^r\ t^r;	(8.59)
•	непрерывная модель:
ST = St{\ - dh)^, t^r-	(8.60)
•	смешанная, кусочно-линейная модель:
) t>T.	(8.61)
где [ • ] — целая, а {• } — дробная части числа.
Ниже мы, в основном, будем пользоваться непрерывной моделью.
Заметим, что определяющим для учетной схемы является процесс
дисконтирования (учета), а не роста. Таким образом, естественное
направление времени в учетной модели противоположно естественному
направлению в процентной модели, поскольку дисконтирование есть
переход от будущего к прошлому.
Пример 8.10. Пусть учетный период равен году, а учетная ставка за год
равна 20%. Если состояние накопительного счета в конце 10-го года равно
7^5000, то каково состояние счета в конце 5-го и 3-го годов?
Решение. Согласно формуле (8.58), имеем
Sb = Sio(l - dhf = 5000A - 0,2M = 1638,40(?г)
и
#з = #юA - dhO = 5000A - 0,2O = 1048,57(?г).	¦
Несмотря на естественность «обратного направления» времени,
в учетной модели можно, конечно, находить не только прошлые, но
и будущие (накопленные) значения счетов.
Пример 8.11. В условиях предыдущего примера найти состояние счета
к концу 15-го года.
Решение. Согласно формуле (8.58)
Отсюда получаем уравнение
~dhf.
5000 = Si5@,8M

286	Гл. 8. Сложные проценты
и, значит,	000
^ = 15258,79G*).
В общем случае легко видеть, что при п > к
Sn = Sk k = Skvtn,	(8.62)
A -dh)
или, вводя учетный коэффициент роста за период h
ah = —,	(8.63)
ПОЛУЧИМ	Sn = Skal~\	(8.64)
в частности,	^ =
Так, для предыдущих примеров имеем h = 1, dh = 0,2 и, следова-
следовательно, учетный коэффициент дисконтирования за период h равен
uh = l-dh = 0,8,
а учетный коэффициент роста за этот период
Учетную ставку dh за период /г можно задавать с помощью норми-
нормированной номинальной учетной ставки d, которая связана со ставкой
за период соотношением
/г
Число	j
называют кратностью учета. При задании (нормированной) номи-
номинальной учетной ставки указывают либо учетный период h, либо крат-
кратность учета т. В первом случае номинальная учетная ставка обозна-
обозначается через с?(/ф а во втором — d^m\ Заметим, что для краткости мы
ограничились здесь лишь определением нормированной номинальной
учетной ставки с номинальным (учетным) периодом, совпадающим
с базовым периодом временной шкалы. Ниже для упрощения записи
прилагательное «нормированный» мы будем опускать. Кроме того, так
же, как и для номинальной процентной ставки, основные результа-
результаты будем представлять в терминах номинальной учетной ставки d^
с m-кратным учетом; при этом переход к явному указанию учетного
периода h в соответствующих формулах производится заменой d^ на
d(h) и 1/га на h.
В терминах номинальной учетной ставки для непрерывной учетной
модели уравнение связи состояний накопительного счета имеет вид
t-r	/	лОК т(?-т)
ST = St{l-dh)— =St(l-—)	, t>r.	(8.66)
V	тп J

8.5. Учетные ставки в схеме сложных процентов	287
В частности, собственно динамика накопления,	выражаемая
в непрерывной учетной модели формулой (to = 0)
St = A %/h = SoU"t/h = Soa"h'	(8'67)
в терминах номинальной ставки S™^ запишется в виде
() ~mt
По аналогии с процентной ставкой можно определить также нор-
нормированную эффективную учетную ставку (за единичный период вре-
временной шкалы) равенствами
(^ •	(8.69)
Если необходимо подчеркнуть, по какому периоду или какой крат-
кратности учета эта ставка вычисляется, пишут d^ или б^ф • Заметим,
что последнее определение эффективной учетной ставки носит общий
характер, т. е. в нем ft и га — любые, хотя непосредственной интерпре-
интерпретации поддается лишь случай целого га. Если ft = 1, т.е. период учета
совпадает с единичным периодом временной шкалы, то учетные ставки
всех трех видов совпадают:
A _L 	 A Л 	 A\ ) 	 A
Эффективной учетной ставке соответствует эффективный (нормирован-
(нормированный) коэффициент дисконтирования
^эф = 1 - 4Ф	(8.70)
и эффективный (нормированный) коэффициент роста
аэф = J-= _L—.	(8.71)
Для эффективных (нормированных) учетных ставок и коэффици-
коэффициентов дисконтирования и роста часто используют упрощенные (безин-
дексные) обозначения, т. е. пишут просто d, и, а, если это не приводит
к путанице.
Пример 8.12. Рассмотрим учетную модель накопительного счета в го-
годовой шкале с учетным периодом ft = 1/4, т = 4 и номинальной ставкой
с?D) = 20% годовых. Найти учетную ставку за период, а также соответству-
соответствующую эффективную (нормированную) учетную ставку и соответствующие
учетные коэффициенты дисконтирования и роста.
Решение. Поскольку номинальная учетная ставка d^ = 20% годовых
учитывается 4 раза в году (т = 4), то учетная ставка за период учета, т.е. за
квартал равна
d -d-L- 2^ - 5 %
4	4

288	Гл. 8. Сложные проценты
Коэффициент дисконтирования за учетный период будет равен
1/1/4 = 1 - 0,05 = 0,95.
Эффективный годовой коэффициент дисконтирования будет равен, очевидно,
v = @,95L = 0,8145,
соответственно годовая эффективная учетная ставка равна
d= 1 -0,8145 = 0,1855,
а эффективный (нормированный) учетный коэффициент роста равен
Наконец, как и в случае процентной ставки, непрерывная учетная
модель вида	d(m) mt
1	V	т )
для семейства учетных ставок d^ с различной кратностью учета,
но с одинаковым общим значением 5 = d^m\ порождает предельный
случай при т —> оо. В этом случае эффективный коэффициент дискон-
дисконтирования	^ _
имеет предел
lim z/™} = lim (\ - ^Г = е~5 = и^ = i/°°).	(8.72)
Этому нормированному эффективному учетному коэффициенту
дисконтирования соответствует нормированная (бесконечно-кратная)
учетная ставка б^°°):
d(°°) = 1 - z/°°) = 1 - е~5,	(8.73)
и нормированный (бесконечно-кратный) коэффициент роста с^00);
(оо) 			 о
rv — 	 — р
Таким образом, в обобщенной непрерывной модели с бесконечно-крат-
бесконечно-кратным (непрерывным) учетом по ставке 5 закон роста запишется в виде
Пример 8.13. Пусть в годовой шкале задана номинальная непрерывно
начисляемая ставка S = 20%. Найти накопленное по этой ставке за 3,5 года
значение суммы 7^500.
Решение. Нормированный коэффициент дисконтирования по этой ставке
равен
Соо) -02
v = е ' ,
а коэффициент роста
(оо) 0,2
ol = e
и, значит,
#з,5 = 500 е0'2'3'5 = 500 е0'7 = 100б,88Gг).	¦

8.5. Учетные ставки в схеме сложных процентов	289
Таким образом, учетная модель накопительного счета вполне ана-
аналогична процентной модели. В обоих случаях текущее состояние счета
выражается с помощью эффективных нормированных коэффициентов
дисконтирования v или v, либо роста а или а; здесь, как уже упомина-
упоминалось выше, мы будем использовать безиндексные обозначения. Разница
лишь в том, что в учетной модели используются учетные (эффектив-
(эффективные, нормированные) коэффициенты дисконтирования и роста:
о о — t о t
*Ь* = oqV = oqOl ,
v=\-d, a = v-{ = j±-d,	(8.74)
где d — эффективная нормированная учетная ставка, а в процентной
схеме используются процентные (эффективные, нормированные) ко-
коэффициенты дисконтирования и роста:
с 	 с n,—t 	 с „t
uf — *^0^ — DqCL ,
а=1+г, v = a~l = -^—,	(8.75)
где г — эффективная нормированная процентная ставка.
Сказанное означает, что, по существу, процентная и учетная модели
идентичны. Различие состоит лишь в выборе базового параметра
для определения динамики накопления. В процентной модели — это
ставка накопления г, в учетной — ставка дисконтирования d. Если
коэффициенты роста или дисконтирования в обеих моделях совпадают,
а = а	(8.76)
или
v = v,	(8.76х)
то для любого начального состояния @, So) обе модели описывают один
и тот же процесс:
О	О t	О t	/Q Г7Г7\
Df — DqQ, — DqCL	yo.l I J
ИЛИ
с с -,,—t о n,—t	/о iii\
Условия (8.77), (8.77х) или равносильные им условия (8.76), (8.76х)
приводят к разнообразным соотношениям между ставками (как про-
процентными, так и учетными), рассмотренными выше. Ставки, приво-
приводящие к одному и тому же процессу накопления, называют эквива-
эквивалентными в широком смысле. Для выяснения эквивалентности двух
ставок достаточно выразить через них нормированные (в одной и той
же шкале) коэффициенты роста (или дисконтирования). Если они
совпадут, то исходные ставки считаются эквивалентными. Например,
для эквивалентности ставок d^ и г^3) необходимо, чтобы учетный
нормированный коэффициент роста
лB) ч -2
а = [ 1 -
10 П. П. Бочаров, Ю. Ф. Касимов

290	Гл. 8. Сложные проценты
совпал с процентным нормированным коэффициентом роста
3
т.е.
= A + ?
Аналогичным образом рассматривается эквивалентность других видов
ставок.
Эквивалентность ставок в широком смысле позволяет не приводить
строгого разграничения между различными типами моделей накопле-
накопления. В частности, там, где это не приводит к недоразумениям можно
говорить просто о ставках, не уточняя какой вид ставки имеется в ви-
виду, достаточно лишь помнить конкретный механизм построения модели
накопления по любому виду процентой или учетной ставки. В этой
связи в дальнейшем для обозначения коэффициентов дисконтирования
или роста как процентных, так и учетных ставок, будем использовать
одни и те же символы v^ или а^ соответственно.
8.6. Эквивалентность ставок
в схеме сложных процентов
Выше подробно рассмотрены классы инвестиционных процессов,
описываемых непрерывной моделью накопительного счета в схеме
сложных процентов.
Каждый процесс из этого класса однозначно определяется началь-
начальным состоянием (to, So) или некоторой ставкой (процентной или учет-
учетной). Динамика процесса при этом описывается уравнением
St = Soa*-*0 = 5ог;-(*-*о),	(8.78)
где а — нормированный (эффективный) коэффициент роста, аи- нор-
нормированный коэффициент дисконтирования, соответствующие ставке,
определяющей этот процесс. Выбирая конкретный вид ставки, получим
конкретное представление динамики процесса в терминах выбранной
ставки.
Выше были определены четыре основных типа процентных ставок.
Каждая ставка определяет соответствующий коэффициент роста а:
•	нормированная эффективная ставка г\
а=1+г;	(8.79)
•	ставка начисления {фактическая) г^ за период начисления h:
(8.80)

8.6. Эквивалентность ставок в схеме сложных процентов	291
• номинальная (нормированная) ставка г^ = г^ с кратностью
начислений т и периодом начисления h = 1/m:
a=(l + —
• номинальная (нормированная) непрерывно начисляемая ставка
a = ej.	(8.81)
j=i(oo).
Были также определены четыре типа учетных ставок, каждой из
которых соответствует коэффициент дисконтирования v:
•	нормированная эффективная учетная ставка d:
v=\-d;	(8.82)
•	учетная ставка dh за учетный период h:
v = (i-dfc)I/";	(8.83)
•	номинальная (нормированная) ставка d^ = d^) с кратностью
учета т и периодом учета h = 1/m:
) ч т
);	(8.84)
• номинальная (нормированная) непрерывно учитываемая став-
ставка (J = d:
v = в.	(8.85)
Заметим, что все эти определения предполагают выбор исходной
временной шкалы Т, и термин нормированный означает отнесенность
к единичному (базовому) периоду этой шкалы.
Итак, каждая из перечисленных выше ставок определяет соответ-
соответствующий процесс накопления (8.78). При этом вполне возможно, что
ставки как из одного, так и из различных классов могут порождать
идентичные процессы роста. Такие ставки мы будем называть эквива-
эквивалентными (в широком смысле).
Определение 8.2. Две ставки (процентные и/или учетные)
называются эквивалентными (в широком смысле), если для любого
начального состояния (to, So) процессы роста (8.78), порожденные этим
состоянием и данными ставками, тождественны.
Следовательно, ставки будут эквивалентными, если соответствую-
соответствующие коэффициенты роста и/или коэффициенты дисконтирования сов-
совпадают. Эквивалентность ставок будем обозначать символом «~».
Данное определение эквивалентности позволяет отождествлять как
процентные, так и учетные ставки различных классов. Поэтому мы
назвали это отношение эквивалентности эквивалентностью в широком
смысле.
ю*

292	Гл. 8. Сложные проценты
Под эквивалентностью в узком смысле будем понимать эквивалент-
эквивалентность двух ставок одного класса, например, ставок начисления или
номинальных учетных ставок и т. д.
Заметим, что для нормированных эффективных ставок как про-
процентных, так и учетных, (узкая) эквивалентность означает попросту
их совпадение.
В самом деле, коэффициент роста а однозначно определяет соот-
соответствующую эффективную процентную ставку
г = а — 1,
так как а = 1 + г, и учетную ставку
, а — 1
а =	,
а
поскольку а = A — d)~\ Следовательно, совпадение коэффициентов
роста влечет совпадение соответствующих эффективных нормирован-
нормированных ставок.
Таким образом,
г' ~ г" ^ г' = г", d! - d" ^ d! = d".	(8.86)
Точно так же (узкая) эквивалентность номинальных непрерывных
(бесконечно-кратных) ставок также означает их совпадение. В самом
деле, равенства
а = eJ
и
означают, что коэффициент роста позволяет однозначно определить
номинальную непрерывно начисляемую ставку
j = lna
и номинальную непрерывно учитываемую учетную ставку
5 = In а.
Поэтому совпадение коэффициентов роста означает совпадение соот-
соответствующих непрерывных (бесконечно-кратных) ставок.
Итак, для классов эффективных и непрерывных ставок эквивалент-
эквивалентность в узком смысле означает просто их совпадение:
Э\ ~ h ^^ Э\ = h	(8.87)
5Х - 52 ^^ Si = 52.	(8.88)
Широкая эквивалентность этих ставок (i,d,j,5) описывается оче-
очевидной цепочкой равенств:
1+г = A -d)~l =ej = e5.	(8.89)

8.6. Эквивалентность ставок в схеме сложных процентов	293
Каждое равенство из этой четверки дает конкретный вид эквивалент-
эквивалентности между соответствующими ставками. Так, равенство
означает эквивалентность г ~ d эффективных процентной и учетной
ставок.
Наконец, можно выписать еще ряд (узких) эквивалентностей ста-
ставок одного типа:
• ставки начисления
(8.90)
•	учетные ставки
4, ~ 42 ^ A - 4,I//г1 = A - 42I/'12; (8.91)
•	номинальные процентные ставки
Hmi>~Hm*>^[l + -	 = 1 + -	 ;	(8.92)
V mi /	V m-2 )
• номинальные учетные ставки
1-— )"" = (\-d— )m\ (8.93)
m\ )	\	rri2 J
Наконец, широкая (перекрестная) эквивалентность для этих клас-
классов ставок задается цепочкой равенств:
(8.94)
где снова каждое равенство из цепочки дает конкретный вид эквива-
эквивалентности. Например, равенство
означает эквивалентность
ih
ставки начисления с периодом h и р-кратно учитываемой учетной
ставки d(p\
Теоретически восемь различных классов ставок дают 8 х 8 = 64
конкретных вида эквивалентности. Из восьми видов узких эквивалент-
эквивалентностей (для ставок одного вида), как мы показали, четыре означают
равенства, остальные — нетривиальные эквивалентности. Широкие
(перекрестные) эквивалентности ставок различных видов описываются
равенствами из объединенной цепочки равенств (8.89) и (8.94). Все
эти эквивалентности (8 х 7 = 56 вариантов) определяются одной из
возможных комбинаций. Конечно, нет никакого смысла выписывать их
все. Принцип определения этих эквивалентностей чрезвычайно прост:

294	Гл. 8. Сложные проценты
каждое условие эквивалентности означает равенство коэффициен-
коэффициентов роста, выраженных через соответствующие ставки.
Пример 8.14. Пусть i\ = 10% — месячная ставка начисления (h\ =
= 1/12), а %2 = 3,31 % — квартальная (/г2 = 1/4) ставка начисления. Являются
ли эквивалентными эти ставки? Найти месячную и квартальную учетные
ставки, эквивалентные в широком смысле ставкам i\ и i2 соответственно.
Решение. Эти ставки эквивалентны, поскольку согласно (8.91)
A+0,1I2 = A+0,331L = 3,138.
Эффективная годовая ставка, эквивалентная этим ставкам начисления, равна
2,138, или 213,8%.
Ставки %\ и %2 соответственно эквивалентны в широком смысле месячной
ставке dx/yi.
dUi2 = Ч/12 = °;1 = 0,0909
1 l+ii/12 !+0>!
и квартальной &\ц\
0,331
1+г1/4 1+0,331
dl/4 = ^- = °'Ш = 0,2486.
1 l+i	1+0331
Пример 8.15. Показать, что годовая номинальная ставка i{12^ = 120%
с ежемесячным (h\ = 1/12) начислением эквивалентна годовой номинальной
ставке ц = 132,4% с ежеквартальным (Ii2 = 1/4) начислением.
Решение. В самом деле, эти ставки порождают месячную
,A2)
и квартальную
i2 = ^- = 0,331
4
ставки начисления, которые согласно предыдущему примеру, эквиваленны. ¦
Эквивалентность ставок позволяет однозначным образом выразить
значение одной из эквивалентных ставок через другую. Так, из экви-
эквивалентности г/ц и ih2, задаваемой равенством
получаем
ih.2 = (l+i
Задав ставку за единичный временной промежуток
Ч = h
можно получить целое семейство {г^} эквивалентных i\ ставок начис-
начисления для произвольных периодов начисления h:
Действительно, если г — нормированная ставка начисления, то A +i)h
есть коэффициент роста единичной суммы за период h (в непрерывной

8.7. Эффективные ставки кредитных сделок	295
модели) и, следовательно, A + i)h — 1 будет в точности ставкой за этот
период, т.е. ставкой начисления.
Аналогично, зная учетную ставку за период d^, можно из эквива-
эквивалентности dhx ~ dh2, равносильной равенству
найти учетную ставку за период
Наконец, процентная и учетная ставки за любой период взаимно
определяют друг друга:
dh =
1+гь
lb	1	Л
1 - dh
Нет смысла выписывать все выражения для преобразования одной
ставки в другую, поскольку механизм получения таких соотношений
чрезвычайно прост. Любая из перечисленных выше эквивалентностей
дает два правила преобразования для каждой из двух видов ставок,
участвующих в этой эквивалентности.
Пример 8.16. Пусть г^12^ = 12% — номинальная годовая процентная
ставка с ежемесячным начислением. Найти эффективные годовые ставки всех
видов, эквивалентные этой ставке.
Решение.
1)	Эффективная годовая процентная ставка равна
*(*) = A + l^fI2~ 1 = 1'1268~ 1 =0,1268,
или 12,68%.
2)	Эффективная годовая учетная ставка равна
,эф	*(*)	0,1268
A2) 1-^*2) 1-0,1268
или 14,52%.
= 0Д452,
8.7. Эффективные ставки кредитных сделок
и общее понятие ставки в схеме сложных процентов
Эффективные ставки кредитных сделок. Приведенные выше
определения формулировались нами в рамках непрерывной модели
накопительного счета в схеме сложных процентов. Как известно, эта
модель подразумевает непрерывную итерацию процедуры начисления
процентов за выбранный период, называемый периодом начисления.
Однако на практике понятия эффективной ставки и эквивалентности
ставок используются в значительно более широком контексте. В част-

296	Гл. 8. Сложные проценты
ности, они используются и для описания индивидуальных кредитных
сделок.
Рассмотрим, например, простейшую кредитную сделку с перио-
периодом Т, начальной суммой So и конечной St- Напомним, что величина
называется ставкой сделки или ставкой за период Т, а величина
*"?) = Y	(8-95)
— нормированной простой ставкой сделки.
Но можно определить еще одну нормированную, т. е. приведенную
к базовому промежутку временной шкалы ставку, — эффективную
ставку, которая задается выражением
г$} = A+гтI/т-1.	(8.96)
Конечно, с чисто формальной точки зрения эта формула ничем не
отличается от формулы эффективной ставки, соответствующей ставке
начисления. Различие проявляется лишь в интерпретации. Говоря вы-
выше о ставке начисления и о связанных с ней (эквивалентных) нормиро-
нормированных ставках (номинальной и эффективной), мы подразумеваем ис-
использование накопительной модели, т. е. подразумевается непрерывная
(многократная) итерация процедуры начисления процентов за последо-
последовательные периоды. Этот процесс определяет динамику накопительного
счета.
В случае же индивидуальной кредитной сделки ее итерация (даже
если она возможна), вообще говоря, не подразумевается. В этом случае
эффективная ставка — просто еще одна характеристика сделки,
являющаяся функцией ее ставки за период. Фактически ставка сдел-
сделки за период порождает два нормированных представления: простую
и эффективную ставки.
То же самое относится и к понятию эквивалентности ставок кре-
кредитных сделок. Так, в гл. 2 мы определили простой класс сделок,
обладающий тем свойством, что все сделки этого класса имеют од-
одну и ту же простую нормированную ставку. Аналогичным образом
можно определить класс эффективно-эквивалентных сделок — класс,
все сделки которого имеют одинаковые эффективные нормированные
ставки. Таким образом, две сделки и соответственно их ставки щ и %т2
называются (эффективно) эквивалентными, если
В дальнейшем эффективную эквивалентность мы будем назы-
называть просто эквивалентностью, используя уточняющее прилагательное
лишь для случая простых процентов.

8.7. Эффективные ставки кредитных сделок	297
Распространение понятий эффективной ставки и эквивалентности
на случай индивидуальных кредитных сделок позволяет осуществлять
сравнение сделок с разными периодами. Конечно, содержательная
интерпретация результатов такого сравнения является весьма нелег-
нелегким и тонким делом, как это будет неоднократно показано ниже.
Сейчас лишь отметим широкое применение на практике обоих видов
нормированных ставок, как простых, так и эффективных, в оценке
инвестиционных стратегий с различными кредитными инструментами
(векселями, облигациями, депозитами и т.д.).
Заметим, что использование различных нормированных ставок для
сравнения эффективности индивидуальных кредитных сделок с разны-
разными сроками может привести к парадоксальному результату.
Пример 8.17. Рассмотрим две простые кредитные сделки. Пусть первая
сделка сроком 158 дней имеет простую доходность г"р =157% годовых, вто-
вторая — сроком 95 дней — простую доходность г"Р =144% годовых. Какая из
этих сделок выгоднее?
Решение. Очевидно, что по простой годовой доходности первая сделка
превосходит вторую. С другой стороны, эффективная годовая доходность пер-
первой сделки равна
, /	158\ 365/158
f* = A + 1,57- — )	- 1 =2,3133,
V	365/
или 231,33%.
Эффективная годовая доходность второй сделки будет
QK ч 365/95
f 1,44 ~)	-1=2,3972,
365/
или 239,72%.
Таким образом, по эффективной годовой доходности первая сделка усту-
уступает второй. Итак, г"р > г"р, но г^ф < гэ^. Парадокс оказался возможным
исключительно из-за различной продолжительности сделок. Поэтому в данной
задаче для однозначного ее решения необходимо было уточнить критерий
сравнения сделок.	¦
Выбор критерия для сравнения эффективных сделок, как мы уже
увидели в этом примере, — весьма тонкая вещь. Этому вопросу мы
уделим впоследствии особое внимание.
Приведенный выше механизм распространения понятия эффектив-
эффективной ставки с накопительной модели на модели индивидуальных сделок
можно завершить еще более радикально, определив общее (абстракт-
(абстрактное) понятие процентной или учетной ставки безотносительно к какой-
либо содержательной модели (кредитных сделок или накопительной).
Общие ставки: определения и свойства. Пусть Т — выбранная
временная шкала.
Определение 8.3. Процентной ставкой (в схеме сложных
процентов) называется пара (Т,г), Т ф О, где Т — период (точнее,
длина периода) действия ставки, а г — числовое значение ставки.
Ставка A,г) с единичным периодом Т = 1 называется нормированной.

298	Гл. 8. Сложные проценты
Для простоты вместо пары (Т,г) используют индексное обозна-
обозначение %т для значения г ставки в тех случаях, когда необходимо
указать период Т, к которому она относится. При этом обозначение
нормированного периода Т = 1 часто опускают, т.е. вместо %\ пишут
просто г.
Определение 8.4. Ставки (Т\,г\) и (Т2,Г2) называются эффек-
эффективно-эквивалентными, если выполняется равенство
в индексных обозначениях это определение запишется в виде
Легко видеть, что для каждой ставки (Т, %т) существует един-
единственная эквивалентная ей нормированная ставка
Эту ставку будем называть эффективной ставкой, соответствую-
соответствующей ставке %т, и обозначать f^ или просто гэф.
Наконец, нормированную ставку
з = -
назовем простой нормированной ставкой, соответствующей став-
ставке %т и обозначим ее г?Р или коротко гпр. Простую ставку г?Р называют
также номинальной ставкой, соответствующей ставке %т.
Из определения эффективной ставки следует, что две ставки будут
эквивалентными, если соответствующие им эффективные нормирован-
нормированные ставки совпадают:
* =\
Эффективная ставка г?*ч является нормированной ставкой, эффек-
эффективно эквивалентной ставке
•эф
%т ~ г(т)-
Заметим, что простая нормированная (номинальная) ставка ь^ не
является эффективно эквивалентной ставке %т за исключением случая,
когда сама исходная ставка является нормированной (Т = 1).
Однако можно ввести еще один тип эквивалентности ставок — так
называемую простую эквивалентность.
Определение 8.5. Ставки щ и %т2 будем называть просто
эквивалентными, если
т. е. если совпадают соответствующие им простые нормированные
ставки.

8.7. Эффективные ставки кредитных сделок	299
Мы определили общие процентные ставки. Аналогичным образом
определяются общие учетные ставки.
Определение 8.6. Учетной ставкой называется пара (T,w),
где Т — период действия, a w — значение ставки. Значение w ставки
с периодом Т будем обозначать также через с?т- Учетная ставка A, г^)
с единичным периодом называется нормированной.
Для учетных ставок можно определить отношение эквивалент-
эквивалентности.
Определение 8.7. Учетные ставки (T\,w\) и (Тг,!^) называют-
называются эффективно-эквивалентными, если имеет место равенство
в индексных обозначениях это определение запишется в виде
Для каждой учетной ставки dr существует единственная экви-
эквивалентная ей нормированная ставка, которая называется эффектив-
эффективной ставкой, соответствующей ставке &т. Эта ставка обозначается
как cPs^y Ясно, что
Наконец, для учетных ставок можно определить понятие простой
эквивалентности тем же способом, что и для процентных ставок. Став-
Ставки дьтх и с1т2 будем считать просто эквивалентными, если
dTx _ dr2
Каждой учетной ставке dr соответствует единственная, эквивалент-
эквивалентная ей, нормированная учетная ставка
тпр _ dr_
а(т) - т -
Эту ставку называют также номинальной учетной ставкой, соответ-
соответствующей ставке dr-
Эффективная эквивалентность учетных ставок равносильна равен-
равенству соответствующих эффективных ставок, а простая эквивалент-
эквивалентность — равенству соответствующих номинальных ставок.
Наконец, можно расширить определение эквивалентности, позволяя
отождествлять между собой процентные и учетные ставки. При этом
ясно, что эквивалентность нормированных процентной г и учетной d
ставок означает просто выполнение равенства
или
г =
1 -d'

300	Гл. 8. Сложные проценты
а общая (эффективная или простая) эквивалентность автоматически
сводится к эквивалентности нормированных ставок.
Определенная выше эквивалентность ставок действительно являет-
является отношением эквивалентности, т.е. оно обладает свойствами:
•	рефлексивности: %т ~ гт\
•	симметричности: из щ ~ гт2 следует, что %т2 ~ Щ',
•	транзитивности: из щ ~ гт2 и %т2 ~ ir3 следует, что щ ~ гт3-
Проверка этих свойств тривиальна, и мы не будем на ней останав-
останавливаться.
Пример 8.18. Пусть ставка за квартал равна 12%. Найти эквивалентные
процентные и учетные ставки: а) годовые, б) месячные, в) двухлетние.
Решение. Пусть выбрана годовая шкала времени. Тогда Т\ = 1/4, zi/4 =
= 0,12 и
di/4 = Ч/А = °'12 = 0,1071.
1 l+ii/4 1+0,12
Найдем теперь эквивалентные ставки.
а)	В этом случае Т^ = 1 и, следовательно,
г\ = A + ii/4L - 1 = A + 0,12L - 1 = 0,5735,
dx = 1 - A - di/4L = j^j- = 0,3645.
Это эффективные ставки, соответствующие исходной ставке ii/4.
б)	Здесь Т2 = 1/12, и значит
«i/i2 = A + ^i/4I/3 - 1 = A + 0,12)/3 - 1 = 0,0385,
= 0,0371.
1 +4/12
в) В этом случае Т% = 2. Используя результат, полученный в а), находим
i2 = A+iiJ- 1 = 1,48,
d2= I -A -dxf = 0,5961.	¦
В заключение этого параграфа, посвященного ставкам и их эквива-
эквивалентности, вернемся к содержательной интерпретации этого понятия.
Ставки используются в двух основных типах моделей: в моде-
моделях финансовых сделок (операций) и в моделях финансовых процес-
процессов (фондовых моделях), таких, как модель накопительного счета.
В моделях сделок ставка за период является одной из характеристик
эффективности финансовой операции или ее доходности. В модели
процессов ставка обычно характеризует динамику роста соответству-
соответствующей фондовой величины, например, состояние накопительного счета.
В обоих случаях, как было показано выше, ставке за период соответ-
соответствуют ее «производные» характеристики — эффективная и номиналь-
номинальная нормированные ставки, отличающиеся лишь способом приведения
к единичному периоду (нормированием).
Замечание о терминологии. Выше мы неоднократно, говоря
о ставках, использовали термин «фактическая». Так обычно говорят
о ставках за период, если этот период естественным образом связан

8.7. Эффективные ставки кредитных сделок	301
с анализируемой моделью. Например, этот период может быть перио-
периодом кредитной сделки или периодом начисления для модели накопи-
накопительного счета и т. д. С данной ставкой за период можно связать беско-
бесконечное число эквивалентных ей (в простом или эффективном смысле)
ставок, относящихся к другим периодам, в частности, нормированные
номинальную и эффективные ставки. В этом случае прилагательное
«фактическая» противопоставляется производному (искусственному)
характеру получающихся таким образом ставок. Производный характер
последних означает тот факт, что непосредственно с базовым пери-
периодом (периодом приведения) явным образом не связаны какая-либо
финансовая операция (сделка) или процесс, для которых нормирован-
нормированная ставка являлась бы фактической. Это, конечно, не означает, что
в частных случаях интерпретация нормированной ставки как факти-
фактической невозможна. Так, в непрерывной модели накопительного счета
эффективная годовая ставка будет фактической ставкой накопления
за годовой промежуток. Точно так же, годовая эффективная ставка
простой полугодовой кредитной сделки является фактической став-
ставкой для сложной годовой сделки, состоящей в двукратной итерации
исходной сделки (если это возможно) с полным реинвестированием
инвестиционного дохода от первого шага.
Аналогичным образом можно конструировать ситуации, когда ис-
используется номинальная ставка, соответствующая исходной фактиче-
фактической ставке за период. Тем не менее в ситуации, где первично заданной
является ставка за период, связанная с некоторой сделкой, процес-
процессом и т.д., фактический характер этой ставки и «нефактический»,
производный характер нормированных ставок, лишенных естественной
привязки с периодом приведения обычно достаточно очевиден. Таким
образом, термин «фактическая ставка» вполне может быть использо-
использован и часто употребляется на практике, но каждый раз нужно четко
представлять себе, о чем идет речь.
Поясним подробнее сказанное выше. Если Stl и St2 — две сум-
суммы, относящиеся к моментам времени t\ и t^, являются состояниями
некоторого финансового процесса, например, St2 — возвращаемая по
кредиту сумма для взятой в момент t\ ссуды Stx или St2 — накопленная
за период Т = t^ — t\ начальная сумма вклада Stx и т. п., то величина
iT = sh^slL = s±_h	(897)
выражающая относительный прирост начальной суммы, будет факти-
фактической процентной ставкой за период Т.
Номинальная же ставка обычно получается приведением ставки
за период к единице времени (например, году) по формуле
ir St2 — St{	/Q OQx
Y = ~^%r	(8'98)

302	Гл. 8. Сложные проценты
и является другим способом представления фактической ставки, по-
поскольку на практике принято говорить о годовых ставках.
Обе ставки безусловно однозначно определяют друг друга. Ситу-
Ситуацию здесь можно пояснить примером из механики. Если автомобиль
двигался равномерно точно 1 мин. и проехал при этом 400 м, то его
скорость, выраженная как v = 400 м/мин, соответствовала бы, так
сказать, фактической скорости, поскольку он действительно двигался
1 мин и проехал действительно 400 м. С другой стороны, если выра-
выразить эту скорость в других единицах, скажем, в км/ч, то получим
400-60 ОЛ , /ч
^	24(/)
Такое представление можно было бы считать номинальным. Естествен-
Естественно, при этом не считают, что автомобиль двигался действительно
час и проехал 24 км. В механике такое разделение на фактическую
и номинальную скорость не имеет смысла, и их употребление как
эквивалентных характеристик скорости общеизвестно и не вызывает
никаких недоразумений.
В финансовых вычислениях с формальной точки зрения понятия
фактической и номинальной ставки взаимозаменяемы. Трудности могут
возникнуть при интерпретации полученных при вычислениях значе-
значений. Так, если на вклад в банке проценты начисляются ежемесячно по
номинальной годовой ставке 12%, то за год вклад увеличится, конечно,
не на эти 12%, а на
A,01I2- 1 = 0,1268^0,13,
т.е. примерно на 13%. Именно эту ставку вкладчик будет считать
настоящей, фактической или эффективной ставкой. Поэтому вопрос
о различении фактических и номинальных ставок далеко не праздный.
Аналогичные коллизии возникают при оценке доходности различ-
различных финансовых и инвестиционных операций. Во многих финансовых
сделках декларируемые ставки часто имеют совсем не тот смысл,
который имеет (или может иметь) в виду «наивный инвестор». Весь-
Весьма поучительным примером служит недавняя отечественная история
банковского дела. В 1993 г. «Мосимпортбанк» проводил широко рекла-
рекламируемую кампанию по привлечению вкладов населения под 30000%
годовых, тогда как другие банки и финансовые компании, даже са-
самые «отчаянные», редко обещали более 1000% годовых. При этом
«Мосимпортбанк» приводил таблицу, наглядно показывающую меха-
механизм возрастания вкладов по месяцам (табл. 8.1). Нельзя сказать, что
«Мосимпортбанк» дезинформировал публику. Дело было в том, что
он сообщал номинальную годовую ставку для пятилетнего периода
накопления. Иными словами, банк обязывался заплатить
30000-5= 150000(%)

8.7. Эффективные ставки кредитных сделок	303
за 5 лет! Последняя цифра еще более внушительна, но ее банк не
рекламировал, ведь ждать приходится не год, а целых 5 лет, да
в условиях гиперинфляции. При этом годовая эффективная ставка,
соответствующая указанным выше ставкам, вычисляется из уравне-
уравнения (8.43), где
/i = 5, т=\, г{т) = 30000,
о
т'е'	, , . л , i(m)\™ л , зооу/5
1 +г1 = 1 +	 = И + _ ,
V т )	\ 1/5/
откуда
ц = A501I/5- 1 =3,32
или 332%, что куда меньше, чем 500-1000% (фактических), которые
предлагали другие банки и компании, и уж конечно, эта ставка была
меньше годового темпа инфляции, равного в 1993 г. примерно 1000%.
Кстати, именно такая инфляция и могла обеспечить выполнение обяза-
обязательств банка перед вкладчиками, если бы банк строил элементарную
«пирамиду», т.е. проценты по старым вкладам и сами эти вклады
выплачивал бы за счет новых вкладов. Существенное снижение ин-
инфляции затрудняет, а то и делает невозможным выполнение подобных
обязательств банка. Так и случилось в 1994-1995 гг., банк оказался
в «долговой яме» и, конечно, ни о каких десятках тысяч годовых уже
никто не вспоминал.
Учитывая возможность неадекватного восприятия контрактных по-
показателей доходности сделок неискушенным инвестором, в практике
некоторых развитых стран Запада, например, США и Великобритании,
нормативно закрепляется требование, чтобы инвестору сообщалась
фактическая годовая доходность, заемщику — реальная стоимость
кредита и т. п. Ниже мы неоднократно будем сталкиваться с вопросом
о применимости различных типов процентных ставок, характеризую-
характеризующих эквивалентность инвестиционных операций.
Пример 8.19. а) Найти месячную ставку, эквивалентную деклариру-
декларируемой 30000% номинальной годовой ставке «Мосимпортбанка» по срочному
пятилетнему вкладу, б) Какое минимальное число лет должен был продержать
вкладчик в «доперестроечном» Сбербанке, дававшем (эффективных) 3% в год,
чтобы получить не менее 30000% годовых за этот срок номинально?
Решение.
а) Обозначим месячную ставку начисления через ц/^. Тогда эффективная
годовая ставка определяется из равенства
l+i! = (l+i1/12I2.
Поскольку выше мы нашли i\ ~ 3,32, то получаем уравнение
(l+ii/i2I2 = 1+ii =4,32,
откуда
ii/12 = D,32I/12- 1 «0,13,
т. е. примерно 13%.

304
Гл. 8. Сложные проценты
00
ей
Я"
К
VO
ей
г-1
К
m
ей
Е-ч
О
CD
Е-
РС
tl
О
С
О ><;
и ш
of
PQ ей ^
Е-
о х
? m
i of
о s i-н
О д >-Q
PQ ей ^
О ° CD
i
? М
i of
О Ж ^
m ей ^
ш ^
w g о
^ CD S
Е-
,
о 2- х
^ ?т
i of
§ ей 3"
!р
О ><;
и* м
1 of
о s i-н
m ей ^
? m
i of
Срок вое
ребовани
месяцы
Е-
СО
С?>
О
СМ
О)
LO
С?>
О)
СО
СМ
СО
СО
00
LO
СМ
СО
СО
ю
LO
см
см
см
С?>
О
LO
LO
СО
СМ
00
СО
О)
00
С?>
СМ
^
СО
СО
LO
СМ
2
LO
СМ
СО
00
^н
LO
О)
LO
см
О)
СО
см
см
^
см
СО
С?>
СО
LO
СО
С?>
СО
О
СМ
^н
О)
LO
С?>
00
СМ
LO
см
00
см
о
CD
CD
^н
00
CM
о
О)
СО
СО
СМ
LO
о
СО
LO
LO
СМ
LO
о>
СО
LO
^
СО
^н
00
00
о
^н
О)
см
о
см
00
LO
00
см
СО
С?>
S
104
LO
О
СО
см
00
^Н
о
СО
СО
LO
00
С?>
О)
о
ю
СО
LO
СО
ю
LO
LO
^н
СО
СО
СО
О)
00
см
СО
00
00
<У)
CD
см
8
см
LO
СО
8
о
^н
СМ
СО
^
СМ
LO
о
см
см
00
00
00
СО
LO
О)
00
^
LO
СО
ю
^н
СО
СО
CJ>
С?>
LO
^н
СМ
О)
СО
см
О)
о
LO
00
LO
LO
см
О)
О)
С?>
С?>
СО
С?>
СМ
см
ю
ю
см
о
00
О)
С?>
О)
LO
LO
о
LO
CM
00
^н
LO
СО
СО
см
СО
см
00
S
ю
СО
LO
00
О)
00
О)
^н
С?>
СО
СМ
см
см
СО
см
см

8.8. Будущая и текущая стоимости денежных сумм	305
б) Пусть искомый срок составляет п лет. Годовой коэффициент роста по
срочным вкладам в Сбербанке составлял
1 +0,03= 1,03.
Если 30000% — номинальная годовая ставка для периода в п лет, то ставка
начисления за п лет с одной стороны равна
in = ЗООп,
с другой —
A+0,03)п = A,03)п.
Приравнивая оба выражения, получим уравнение
A,03)п = 1+ 300п.
Действуя методом проб и ошибок, получаем при п = 300
A,03K00 = 7098,5 < 1 + 300 • 300 = 90001,
при п = 400
A,03L00= 136423,7 > 1 + 300-400= 120001.
Следовательно, 300 < п < 400.
Для п = 395 получим
A,03K95= 117 680,3 > 1 + 300-395= 118 501,
а для п = 396 —
A,03K96= 121211 > 1 + 300-396= 118801.
Следовательно, 395 < п < 396. Проводя еще раз уточнение, получим прибли-
приближенное значение п « 395,5, т. е. 395,5 лет.	¦
8.8. Будущая и текущая стоимости денежных сумм
в схеме сложных процентов
Изменение со временем состояния накопительного счета в непре-
непрерывной модели сложных процентов, описываемое выражением
St = Sto(l+ ih)^ = ЗД + *эф)*~\	(8-99)
где ih — ставка начисления за период h, а гэф = г^ — соответствую-
соответствующая эффективная нормированная ставка, представляет собой финансо-
финансовый процесс в смысле, определенном в § 1.4. Этот процесс однозначно
определяется начальным состоянием (to,Sto) и внутренним парамет-
параметром — одной из процентных ставок (начисления, номинальной или
эффективной). Выбор вида ставки, по существу, безразличен, так как
каждая из ставок однозначно определяет другую.
Ради упрощения будем использовать в основном (эффективную)
нормированную ставку, которую будем обозначать просто символом г.
Тогда, используя обозначения § 1.4, можно записать уравнение для
инвестиционного процесса, соответствующего непрерывной модели на-
накопительного счета, в виде
St = S(t;to,Sto) = St0(\ +г)*"\ t > t0.	(8.100)

306	Гл. 8. Сложные проценты
Мы уже говорили, что такой процесс задает преобразование финан-
финансовых событий или (датированных) денежных сумм. Так, начальное
событие (to, Sto) преобразуется (переносится вдоль траектории процес-
процесса) в событие (t,St). При этом сумма St, как известно, называется
будущим или накопленным (к моменту t) значением суммы St0. В опе-
операторной форме (8.100) записывается в виде
St = FVt(t0,St0) = St0(\ +i)*-*«	(8.101)
или даже просто
St = FVt(Sto) = Stoat-^,	(8.102)
где а = 1 + г — нормированный (эффективный) коэффициент роста.
Строго говоря, оператор FVt преобразует, конечно, не суммы, а со-
события:
но на практике, как уже неоднократно отмечалось, обычно говорят
о суммах.
Нахождение будущих (накопленных) сумм связано с движением
вперед вдоль временной шкалы от прошлого к будущему. Однако часто
приходится решать в некотором смысле обратную задачу, например,
об определении требуемого размера инвестиций. Иными словами, имея
целевое значение будущих накоплений, требуется узнать, каков должен
быть объем начальных инвестиций Sto, чтобы при заданной (напри-
(например, эффективной нормированной) ставке начисления г их будущее
значение к моменту t в точности совпало с требуемым значением *St-
В некотором смысле мы уже решали обратную задачу подобного типа
в гл. 2 при анализе кредитной сделки, а также в гл. 3 для схемы
простых процентов.
Как мы помним, искомое значение Sto называется в этом случае
приведенным или дисконтированным значением суммы St. Этот факт
записывается в виде
Sto=PVto(t,St), to<t.	(8.103)
Сумму St0 называют также текущим (сегодняшним, настоящим)
значением суммы St.
Обозначение PVt, как мы уже говорили ранее, используется в со-
современной финансовой литературе для приведения событий не только
к прошлым (по отношению к нему), но и любым, в том числе и буду-
будущим, моментам. Поэтому в тех случаях, когда требуется подчеркнуть
тот факт, что речь идет именно о дисконтировании употребляют также
обозначение DVt. В этом параграфе мы, отдавая дань традиции, будем
использовать для оператора текущего (дисконтного) значения символ
PVt. В следующем, посвященном формальному описанию схемы слож-
сложных процентов, — обозначение

8.8. Будущая и текущая стоимости денежных сумм	307
Поскольку равенство
St0=PVt0(t,St)
равносильно по определению равенству
St = FVt(t0,Sto),
то нахождение St0 сводится к решению последнего уравнения относи-
относительно St0.
Рассмотрим следующий пример. Допустим, что вы желаете нако-
накопить вполне определенную сумму за несколько лет, и пусть речь идет
о сумме 7^1000 и 5 годах. Банк, которому вы вполне доверяете, прини-
принимает срочные вклады с ежегодными начислениями процентов по ставке
8% в год. Не желая откладывать больше денег, чем это необходимо
для поставленной цели, вы хотите знать, какую сумму вам необходимо
положить в банк, чтобы осуществить вашу цель. Обозначив через So
искомую сумму, получим для нее уравнение
Sb(l+0,08M = 1000,
-и-	, - 1 ла(ло =680,58(?г).
A+0,08M 1Д693	v J
Рассмотрим теперь вопрос о нахождении текущего значения в об-
общем виде. Пусть St — известное или требуемое состояние счета
в некоторый будущий момент времени. Из (8.101), принимая во вни-
внимание (8.100), имеем, что
*"•№> = (ПЗИ-	(8-Ю4)
В упрощенной форме, если нет неоднозначности толкования, равен-
равенство (8.104) будем записывать в виде
Я=A+^-«о-	(8-Ю5)
Формулу (8.105) можно переписать в виде
PVt0(St) = St0 = Stvt-t°,	(8.106)
где
— нормированный дисконтный множитель, соответствующий нормиро-
нормированной ставке г.
Если вместо нормированной ставки используется ставка начисления
или номинальная ставка, то для использования выражений (8.101),
(8.106) необходимо сначала перейти от этих ставок к соответствующей
эффективной ставке. Естественно можно переписать формулы для бу-
будущей и текущей стоимостей непосредственно в терминах заданных

308	Гл. 8. Сложные проценты
ставок, если подставить в выражения (8.101), (8.106) вместо нормиро-
нормированной (эффективной) ставки г ее выражение через заданные ставки.
Мы не будем выписывать соответствующие формулы. Читатель может
легко сделать это самостоятельно.
Приведенные выше формулы (8.101), (8.102) для оператора будущей
стоимости FVt и формулы (8.105), (8.106) для оператора текущей
стоимости PVto выражены в терминах процентных ставок. Однако их
можно выразить и в терминах учетных ставок. Для этого достаточно
в формулах (8.101), (8.106) выразить нормированные коэффициенты
роста и дисконтирования через учетные ставки:
v = \ — d, а = - =	;;
v \ - d
здесь d — нормированная (эффективная) учетная ставка. Тогда по-
получим
FVt(St0) = Sty-^ = A_^t-v	(8Л07)
PVt0(St) = Stv*-* = St(l - d)*-\	(8.108)
где нормированные коэффициенты дисконтирования v и роста а выра-
выражены через нормированную учетную ставку d.
Если же задана учетная ставка за период или номинальная учетная
ставка, то можно либо вычислить сначала соответствующую эффек-
эффективную учетную ставку и затем, применив формулы (8.107), (8.108),
либо подставить в эти формулы выражения для эффективной учетной
ставки через исходные ставки и, получив соответствующее выражение,
применять его непосредственно к исходным данным. Мы не будем
выписывать выражения для будущей и текущей стоимостей денежных
сумм для различных видов учетных ставок. Читатель может легко
сделать это самостоятельно.
Таким образом, нахождение будущих значений связано с движени-
движением вперед по временной шкале, а настоящих значений — с движением
назад.
Пример 8.20. Пусть банк платит 12% годовых (эффективно) по слож-
сложным процентам. Какую сумму нужно положить в банк, чтобы накопить 7^1000:
а) за два года; б) за 2,5 года при непрерывной схеме начисления?
Решение. Считаем, что to = 0. Кроме того, из условия примера следует,
что h = 1 год.
а)	В этом случае t = 2 и, следовательно, имеем
So = -Ш_ = 797Л9{П).
б)	Здесь t = 2,5, поэтому получаем
#о =	100° 9. =753,28Gг).	¦
A+0,12J'5	V У

8.9. Стандартная схема сложных процентов	309
Пример 8.21. Банк начисляет проценты по учетной ставке 10% годовых
раз в б мес. Вкладчик за 10 лет накопил 7^10000. Какую сумму вложил вклад-
вкладчик, если ни новых вложений, ни изъятий со счета за 10 лет не производилось?
Решение. Считая to = 0, для годовой шкалы будем иметь
т = 2, dB)
?ю= юооо(тг).
Тогда
( - ^уЛ0 = 10000A - 0,05J0 = 3584,8б(?г).
8.9. Стандартная схема сложных процентов
Приведенные выше формулы для будущей и текущей стоимостей
денежных сумм (событий) были связаны с конкретным типом фи-
финансового процесса в непрерывной модели накопления, задаваемого
формулой
St = St0(\+i)t-\
где г — нормированная эффективная ставка накопления.
Эта формула, носящая название формулы сложных процентов, —
основополагающая для класса моделей, относящихся к схеме сложных
процентов, т. е. моделей, финансовый закон для которых описывается
вышеупомянутой формулой. Как отмечалось выше, формальное описа-
описание финансовой схемы сводится к заданию:
•	финансовых законов, определяющих правила преобразования
(приведения) финансовых событий и потоков;
•	семейства отношений эквивалентности, связанных с этими преоб-
преобразованиями.
Финансовыми законами в стандартной схеме сложных процентов
являются:
•	закон капитализации
A(t,p,C) = Ca(t,p), p^t,	(8.109)
где
a(t,'p)=aP-t	(8.110)
и а > 0 — постоянный коэффициент, называемый нормирован-
нормированным коэффициентом капитализации (роста);
•	закон дисконтирования
D(t,p,C) = Cv(t,p), p^t,	(8.111)
где
v(t,p) = иг~р
и v > 0 — постоянный коэффициент, называемый нормирован-
нормированным коэффициентом дисконтирования.

310	Гл. 8. Сложные проценты
Таким образом, финансовые законы капитализации и дисконтиро-
дисконтирования стандартной схемы сложных процентов являются однородны-
однородными относительно денежных сумм, непрерывными и стационарными
(см. § 1.4). Будем считать также, что в стандартной схеме законы
капитализации и дисконтирования являются взаимно сопряженными,
Условие сопряженности равносильно выполнению равенства v = v, где
v = -,
а
т. е. коэффициенты капитализации (роста) а и дисконтирования v —
взаимно обратны.
В нашей формулировке финансовых законов схемы сложных про-
процентов нет никаких упоминаний о ставках. На абстрактном уровне
анализа они, собственно, и не нужны. Однако, учитывая возможные
приложения схемы сложных процентов и содержательные модели фи-
финансовых процессов роста, на базе которых собственно и возникла
сама схема, следовало бы определить понятие ставки, соответствущей
финансовым законам схемы. Тем более, что сделать это очень легко.
Так, нормированной процентной ставкой называется величина
г = а — 1,
а нормированной учетной ставкой —
d=\-v.
Из этих определений немедленно следуют стандартные соотношения
между этими ставками:
-, г	. d
d= ——, г =
\-d'
Другие виды ставок (как процентных, так и учетных) получаются
при преобразовании временной шкалы. Мы не будем здесь выписывать
явные формулы для преобразования финансовых законов схемы слож-
сложных процентов и соответствующих им параметров (коэффициентов
и ставок) при переходе к новой временной шкале, поскольку этот
вопрос был очень подробно рассмотрен в предыдущих параграфах,
посвященных различным видам ставок и их эквивалентностям. В этом
параграфе мы будем считать временную шкалу заданной и неизменной.
Соответственно неизменными будут и параметры схемы (коэффициен-
(коэффициенты и ставки).
Два финансовых закона капитализации и дисконтирования порож-
порождают один общий финансовый закон:
(A(t,p,C), p^t,
V F J \D(t,p,C), p<t,

8.9. Стандартная схема сложных процентов	311
получаемый «склейкой» законов капитализации и дисконтирования.
Общий финансовый закон F(t,p,C) является, естественно, однород-
однородным (по С), непрерывным и стационарным законом, причем условие
сопряженности законов капитализации и дисконтирования позволяют
записать этот закон в виде
F(t,p,C) = Са?-г = Cvf-p,
где t,p — произвольные моменты времени.
Перечисленные выше финансовые законы порождают преобразова-
преобразования финансовых событий, которые запишем в операторной форме.
Так, для любого события (t, С) можно задать его приведенное
к моменту р значение
PVp(t,C) = (p,Vp),
где
В тех случаях, когда р > t, говорят о будущем значении и пишут
(p,Vp) = FVp(t,C),
а в случае р < t говорят о дисконтированном (текущем) значении
(p,Vp) = DVp(t,C).
Хотя общий оператор приведения PVP и его частные случаи
FVP, DVp являются преобразованиями событий, на практике, как мы
неоднократно отмечали ранее, обычно говорят о преобразовании (дати-
(датированных) денежных сумм и пишут просто
Vp = PVp(Ct)
и соответственно
Vp = FVp(Ct)
ИЛИ
Vp = DVp(Ct).
Мы будем использовать эти сокращенные обозначения в тех случаях,
когда это не будет приводить к недоразумению.
Показательный вид финансовых законов в схеме сложных процен-
процентов и соответствующих ему правил приведения FVT, DVT обуславлива-
обуславливает дополнительно выполнение для последних так называемого свойства
поглощения, которое мы сформулируем теперь для обобщенного опе-
оператора PVT.
Свойство поглощения оператора приведения. Для любого собы-
события (t, С) и любых т\, Т2
PVT2PVTl(Ct) = PVT2(Ct).

312	Гл. 8. Сложные проценты
Доказательство этого свойства тривиально. Пусть
CTx=PVTx(Ct)=Ctvt-T\
Тогда
PVT2PVn(Ct) = PVT2(Cn) = Ctv*-^-* = Ctv1-^ = PVT2(Ct).
Содержательно (на языке процессов накопления) свойство погло-
поглощения означает, что различные траектории процентного роста для
сложных процентов не могут пересекаться. Такое пересечение, как
мы знаем, вполне возможно для процессов накопления по простым
процентам. Другими словами, процессы накопления по сложным про-
процентам «не имеют памяти» в отличие от процессов накопления по
простым процентам. Будущее поведение такого процесса полностью
определяется не только начальным, но и вообще любым состоянием
этого процесса. Именно на этом факте основана упоминавшаяся выше
простота теории сложных процентов.
Заметим, что в терминах § 1.4 упомянутое выше свойство погло-
поглощения есть следствие транзитивности финансовых законов капита-
капитализации и дисконтирования, т.е. для любого р из промежутка (?,т),
t < р < т, имеет место соотношение
a(t,r) = a(t,p)a(p,r),
а для любого р из (г, ?), г < р < t, выполняется соотношение
d(t,r)=d(t,p)d(p,T).
Доказательство этих равенств вполне очевидно.
Задание правила преобразования (приведения) финансовых событий
к произвольному моменту времени является лишь одной из компонент
формального описания схемы сложных процентов. Вторая компонента
состоит в определении понятия эквивалентности финансовых событий.
Эквивалентность финансовых событий в схеме сложных про-
процентов. Эквивалентность финансовых событий — второй важнейший
аспект схемы сложных процентов. Как было показано в § 1.4, возмож-
возможность приведения (преобразования) событий позволяет тем или иным
способом их отождествлять. Идея такого отождествления проста: со-
события и соответствующие им денежные суммы считаются эквивалент-
эквивалентными, равносильными и т.д., если их текущие значения, приведенные
к некоторому моменту времени, совпадают.
Перейдем теперь к формальным определениям. Пусть р — неко-
некоторый момент времени (полюс), а г — нормированная эффективная
ставка.
Определение 8.8. События (t\,C\) и (^Сг) называются экви-
эквивалентными относительно полюса р:

8.9. Стандартная схема сложных процентов	313
если их приведенные к полюсу р значения совпадают:
(*bCi) ? (*2,с2) ^ p^(Ci) = pvp(c2)
или, в явной форме,
(tuCi) - (?2, С2) «=* Civtl~p = C2vt2~p.
Легко проверить, что так определенное отношение действительно
является отношением эквивалентности, т. е. оно
•	рефлексивно:
{t,C)l(t,C),
•	симметрично: из (t\,C\) ? (^2, С2) следует, что (t2,C2) ? (?i,Ci)
•	транзитивно: если (?i,Ci) ? (?2,^2) и (t2,C2) ? (?з>Сз)> то
(tbCi)?(t3,C3).
В данном определении эквивалентности подразумевается выбор точ-
точки приведения р (полюса). Поэтому на самом деле в нем речь идет
о семействе отношений эквивалентности, своего для каждого выбран-
выбранного момента р. Однако в схеме сложных процентов все эти отношения
являются, по существу, идентичными, т. е. два события, эквивалентные
относительно одного момента времени, будут эквивалентными относи-
относительно любого другого момента времени: для любых т\ и т2
Эта фактическая независимость (инвариантность) отношения экви-
эквивалентности от выбора момента приведения является простым след-
следствием свойства поглощения оператора приведения. В самом деле,
если события (t\,C\) и (^Сг) эквивалентны относительно момента
времени т\, то согласно определению
PVTl(Ci) = PVTl(C2).
Применяя к обеим частям этого равенства оператор PVT2 приведения
к любой другой точке т2, получим
PVT2{PVTX{CX)) = PVT2(PVTI(C2)),
откуда на основании свойства поглощения следует
PVT,{C,) = PVT2(C2),
что означает эквивалентность событий (t\,C\) и (t2,C2) относитель-
относительно т2.
Из сказанного следует, что в схеме сложных процентов, по су-
существу, имеется всего одно отношение эквивалентности финансовых
событий, так что можно писать просто

314	Гл. 8. Сложные проценты
Конечно, при этом остается зависимость отношения эквивалентности
от параметров финансовых законов.
В силу независимости выбора точки приведения при выяснении
эквивалентности событий можно в качестве этой точки брать моменты,
соответствующие самим событиям. Таким образом, проверка эквива-
эквивалентности событий (t\,C\) и (t2,C2), где t\ < t2, сводится к проверке
одного из следующих равенств:
1)	при р = t2
PVt2(d) = FVt2(d) = С2	(8.112)
или в явной форме
CV2"*1 = С2;
2)	при = t\
PVU(C2) = CX	(8.113)
или в явной форме
Так, событие A,100) будет эквивалентно событию C,121) относи-
относительно ставки г = 10%, поскольку
100A +0,1J = 121
или, что то же самое,
121 = 100.
A + o.ir
Заметим, что в терминах § 1.4 равенства (8.110), (8.111) определя-
определяют отношение непосредственной замещаемости событий. В общем слу-
случае — это более сильное отношение, нежели отношение эквивалентно-
эквивалентности относительно некоторой точки приведения. Так, для схемы простых
процентов непосредственная замещаемость влечет эквивалентность от-
относительно момента приведения, совпадающего с моментом одного из
событий, но эквивалентность двух событий относительно некоторо-
некоторого момента времени, вообще говоря, не влечет их непосредственную
замещаемость. Но в схеме сложных процентов, как мы только что
видели, эти отношения совпадают, т. е. непосредственно замещаемые
события являются эквивалентными и, обратно, эквивалентные события
являются непосредственно замещаемыми и, в частности, лежащими
на одной траектории процесса накопления, индуцированного более
ранним событием.
Сказанное выше приводит к весьма простой геометрической струк-
структуре классов эквивалентности событий на плоскости время-деньги.
Так, выбирая в качестве универсальной точки приведения начало вре-
временной шкалы р = 0, получим класс эквивалентности, содержащий
события @, Со), который состоит из событий вида (t,Ct), t G Т, где
d = Соа\

8.9. Стандартная схема сложных процентов
315
т. е. геометрически представляет собой кривую, являющуюся графиком
показательной функции
Семейство таких графиков для различных Cq и будет представлять
собой геометрию отношения эквивалентности в схеме сложных про-
процентов (рис. 8.5). Семейство этих кривых (или, как еще говорят,
фактор-множество) образует раз-
разбиение плоскости время-деньги
в том смысле, что, во-первых, их
объединение дает всю плоскость
и, во-вторых, эти кривые не пере-
пересекаются.
Наконец, легко видеть, что
для моделей роста по сложным
процентам каждая такая кривая
Рис. 8.5
содержит полностью траекторию
любого процесса накопления по
ставке г, индуцированного любым состоянием (to, Со), лежащим на
этой кривой, как начальным состоянием этого процесса.
Данное выше определение эквивалентности относилось к финан-
финансовым событиям. Допуская вольность речи, часто говорят (как уже
отмечалось выше) об эквивалентности (или неэквивалентности) де-
денежных сумм. Конечно, в этом случае речь идет о «датированных»,
т. е. привязанных к определенным моментам времени, а не абстрактных
суммах. При этом процентная ставка играет роль основного «финансо-
«финансового механизма», определяющего изменение стоимости или, точнее,
ценности отдельной суммы со временем. Формально, это изменение
описывается с помощью введенных выше операторов преобразования
(приведения). На практике же, конечно, оно реализуется с помощью
инвестирования в конкретные финансовые или реальные активы. Речь,
например, идет о вкладе в банке, покупке векселя, облигации, акции
и т. п.
Подводя итог, можно сказать, что задание процентной став-
ставки позволяет, во-первых, отождествлять события, относящиеся
к различным моментам времени, во-вторых, «переносить» денежные
суммы от одного момента времени к другому, и, наконец, сравни-
сравнивать суммы, относящиеся к различным моментам времени.
Последнее утверждение нуждается в пояснении. Рассмотрим следу-
следующий вопрос: что больше 7^100 или 7^200? В такой постановке ответ на
него очевиден. Сформулируем вопрос несколько иначе. Что предпочти-
предпочтительнее: 7^100 сегодня или 7^200 год спустя? Поскольку теперь суммы
относятся к разным моментам времени, то непосредственно на него
ответить невозможно. Инвестор, решающий такой вопрос, должен об-
обладать способом сравнения таких сумм (событий!). Способ сравнения,
конечно, субъективен и зависит от того, насколько инвестор нуждается

316	Гл. 8. Сложные проценты
в деньгах, может ли он позволить себе делать сбережения и т.п. Од-
Однако, если рассматривать этот вопрос с инвестиционной точки зрения,
то он получает следующую трактовку. Стоит ли отказываться от 1Z100
сегодня, чтобы получить в обмен на них 7^200 через год? Ответ на
такой вопрос зависит уже только от инвестиционных возможностей.
Так, если единственная возможность состоит в том, чтобы положить
деньги в банк под 20% годовых, то ответ, очевидно, положительный,
поскольку по такой ставке сегодняшняя стоимость 7^200 через год
равна 200/1,2, что больше, чем 1Z100. В этом смысле 7^200 через
год предпочтительнее, чем 7Z100 сегодня. Таким образом, указание
процентной ставки позволяет привести суммы к одному и тому же
моменту и затем осуществить сравнение.
Точно такая же ситуация возникает, когда мы хотим проводить
арифметические операции над суммами, относящимися к различным
моментам времени. Так, открыв счет на 7^200 в банке, дающем 20%
годовых, и добавив 1Z100 в конце года, вы получите естественно не
просто арифметическую сумму
тг2оо + тгюо = тгзоо,
а иную величину, учитывающую эффект процентного роста:
тг2ооA + о,2) + тгюо = тгз40.
С такого рода операциями приведения денежных сумм к одному и то-
тому же моменту времени мы неодократно будем сталкиваться в даль-
дальнейшем.
Свойство поглощения оператора приведения и порожденная им
независимость эквивалентности событий от полюса (момента приведе-
приведения) приводит к тому, что в схеме сложных процентов относительный
оператор приведения событий PVr (см. § 1.5) совпадает с простым
оператором PVT. Напомним, что относительный оператор PVr при-
приведения событий к моменту г относительно полюса р преобразует
данное событие (t, С) в единственное эквивалентное ему относительно
полюса р событие (r,VT). Поскольку выбор полюса для определения
эквивалентности, как было показано, несуществен, то, полагая р = т,
в силу (8.112), (8.113) получим
Ру{р) = PVp.
В схеме простых процентов (см. гл. 3), как мы видели, эти операто-
операторы существенно различны. Этот факт еще раз подтверждает большую
простоту схемы сложных процентов по сравнению со схемой простых
процентов, вопреки их названиям.
Замечание. Англоязычный термин «compound interest» указыва-
указывает не на сложность (complexity), а на итеративный составной характер
(compounding) начисления процентов.	?

8.10. Переменные процентные ставки	317
На этом мы закончим изложение стандартной схемы сложных про-
процентов. Напомним, что существенным моментом этой схемы является
постоянство коэффициентов (или ставок), определяющих финансо-
финансовые законы схемы. На практике ставки, как правило, редко остаются
неизменными. В последующих главах мы подробно исследуем процес-
процессы роста в нестационарных условиях, характеризующихся изменчи-
изменчивостью ставок. При этом основное внимание будет уделено общим
и непрерывным схемам изменения ставок.
8.10. Переменные процентные ставки
Основной чертой рассмотренных выше моделей было условие по-
постоянства процентной ставки. Более точно, процентная ставка счита-
считалась независимой от времени. Так, для накопительного вклада предпо-
предполагалось, что банк начисляет проценты за каждый период, например,
за первый, второй и последующие годы, по одной и той же ставке.
В жизни, конечно, такое редко встречается. Постоянство ставок может
иметь место лишь в небольших временных диапазонах. В случае из-
изменения темпов инфляции банковские процентные ставки также изме-
изменяются. Поэтому финансовые модели должны учитывать возможность
изменения процентных ставок.
Возможны два подхода для учета изменения процентных ставок,
которые можно условно назвать дискретным и непрерывным. При
первом подходе рассматриваемый временной диапазон разбивается на
конечное число промежутков, на каждом из которых процентная ставка
считается постоянной.
При втором подходе процентные ставки могут изменяться непре-
непрерывно, так что у них, собственно, может не быть никаких промежут-
промежутков постоянства. Ниже мы увидим, что второй подход в некотором
смысле более общий и содержит в себе первый. Естественно, с ма-
математической точки зрения оба подхода различаются по сложности.
В первом случае результаты, полученные для постоянных ставок, почти
тривиальным образом обобщаются, во втором (непрерывном) случае
приходится привлекать инструменты математического анализа. Правда,
нам потребуются лишь самые первоначальные сведения о производных
и интеграле, практически не выходящие за рамки даже школьного
курса математики. Второму подходу, в силу его большей общности,
будет полностью посвящена отдельная глава. Здесь же мы остановимся
подробно на дискретном подходе для переменных процентных ставок.
Начнем изложение с простого примера.
Пример 8.22. Пусть банк выплачивал проценты по накопительным вкла-
вкладам в размере 10% годовых в течение 1-го года, 15% годовых — в течение 2-го
года и 8% годовых — в течение 3-го года. Все ставки — фактические. Если
вкладчик имел на счету в начале 1-го года 7^500, то какова величина вклада
в конце каждого года?

318	Гл. 8. Сложные проценты
Решение. В конце 1-го года величина вклада равна
Сх = 500A+0,1) = 550(?г).
В конце 2-го года она равна
С2 = 550A + 0,15) = 632,5(?г).
И, наконец, в конце 3-го года получаем
С3 = 632,5A + 0,08) = 683,1Gг).	¦
Принцип решения задач такого рода вполне очевиден, и мы можем
перейти к изложению общей схемы для дискретного случая.
Пусть [а, Ъ] С Т — произвольный диапазон на временной шкале Т.
Далее, пусть указана последовательность моментов tk из диапазона
а = to < t\ < t2 < ... < tn = b, которая разбивает промежуток [а, Ь] на
промежутки [tk-\,tk]> к— 1>2,..., п, длины hk =tk — tk-\, так что
исходный диапазон представляется в виде объединения
[a, b}= \J[tk-Utk].
к=\
Концы полученных промежутков разбиения, т. е. точки деления, назо-
назовем критическими точками (моментами). Пусть для каждого проме-
промежутка [tk-хЛк] задана нормированная (т.е. относящаяся к выбранной
единице времени) эффективная процентная г& или эквивалентная ей
эффективная учетная dk ставка, действующая на этом промежутке.
При этом, естественно, подразумевается, что все полученные в преды-
предыдущих параграфах формулы без всяких изменений можно использо-
использовать в пределах данного промежутка, т. е. для любых двух моментов
времени Т\,Т2 из этого промежутка, tk-\ ^ т\, т^ ^ ?ь справедлива
любая из формул
С - С пТ2~п
где
ак = 1 + ik = -i—-1-, Vk = 1 - dk =
1 — dk
В частности, текущее значение любой суммы внутри промежутка
определено, если мы знаем одно из критических значений, Ск-\
или Cfc, относящихся к концам этого промежутка. Так, для любого t
такого, что tk-\ ^t ^tk, имеем
Ct = Ct^al-*1-1	(8.114)
или
Сг = С^~\	(8.115)
Кроме того, сами критические значения, очевидно, связаны соотноше-
соотношениями
Cfc_! = Ckvhkk = Ck{\ - dk)hK

8.10. Переменные процентные ставки	319
Из сказанного видно, что такая схема сложных процентов с пере-
переменными ставками позволяет однозначно определить значение суммы
в любой момент времени, если было известно ее значение в какой-либо
другой момент времени. Так, если Со — начальное значение, то после-
последовательность критических значений Ск определится выражением
Со = Cfc(l - d^'il - d2)h*... A - dk)hk	(8.116)
или в сокращенной форме
С0 = Ск-Ц(\-^р.	(8.117)
i=i
В частности, если промежутки \Ьк-\Лк] единичные, т.е. равны базо-
базовому промежутку шкалы, например году, то hj = 1, а формулы (8.116)
приводятся к виду
ИЛИ
Именно этот случай и был представлен в разобранном выше примере.
Приведенные выше формулы допускают обобщение, связывающее
любые два критических значения ft и Q:
..(\+il)h', к<1. (8.118)
В частности, для единичных (годовых) промежутков
Теперь, используя формулы (8.114) и (8.115), дающие связь меж-
между внутренними и критическими значениями, мы можем получить
выражение для связи между значениями Cs и Ct для любых двух
моментов времени из исходного диапазона. Для этого по значению Cs,
где к — 1 ^ s ^ к, сначала находится
Ск = Csakk~s, ак = 1 +гь

320	Гл. 8. Сложные проценты
затем по С& согласно формуле (8.118), определяется Q, где I удовле-
удовлетворяет условию I — 1 < t < I, и, наконец, по формуле (8.115) находится
Ct = Cxv\-\
Замечание. Говоря о значениях накопленных или текущих сумм
для внутренних по отношению к промежуткам [tk-\,tk] моментов вре-
времени, мы, согласно принятому в § 8.3 соглашению, применяем непре-
непрерывную модель начисления по сложным процентам.	?
Пример 8.23. При условиях из предыдущего примера найти величину
вклада: а) через 15 мес; б) через 34 мес.
Решение.
а)	Если t = ?мес = 15 мес, то в годовой шкале имеем
К ? < 2, ?-1 = А = 1 (Года)
и последовательно находим
d = 500A+0,1) = 550(?г),
Ct = Ci(l + 0,15I/4 = 5б9,5б(?г).
б)	Если s = ?мес = 34 мес, то в годовой шкале
34 О5	о 5 / ч
S=12=26' *-2=б(г0Да)'
следовательно,
Cs = С2A + 0,08M/6 = 674,4(?г).	¦
Отметим, что в рассмотренной выше модели значения сумм Ct за-
зависят от времени t непрерывно, тогда как процентные ставки меняются
скачками в критические моменты ?*..
Вопросы и упражнения
1.	Дайте определение основных видов процентных ставок, связанных с на-
накопительной моделью в схеме сложных процентов.
2.	Выпишите уравнение динамики накопительного счета в непрерывной
модели с использованием ставок: а) начисления; б) номинальной с т-кратным
начислением; в) номинальной с непрерывным начислением; г) эффективной.
3.	Выпишите соотношения, связывающие между собой эквивалентные пары
ставок различных видов.
4.	Выпишите уравнение динамики для смешанной накопительной модели
с использованием номинальной ставки с m-кратным начислением.
5.	Выпишите явные выражения для операторов будущей и текущей стои-
стоимостей финансовых событий в схеме сложных процентов.
6.	Дайте определение эквивалентности событий в схеме сложных процен-
процентов. Покажите, что относительная эквивалентность в этой схеме не зависит от
выбора полюса.
7.	Опишите стандартную схему сложных процентов. Перечислите свойства,
которыми обладают финансовые законы в этой схеме.

8.10. Задачи	321
8. Дайте определения номинальной и эффективной ставок для простой
кредитной сделки. Как связаны между собой эти ставки?
Задачи
1.	Вкладчик вносит в банк 7^1000. Банк платит проценты по ставке 5%
в месяц. Какова будет сумма вклада через 2 года?
2.	Начальная сумма вклада равна $500. Процентная ставка банка равна
20% годовых. Найти проценты, начисленные банком: а) за 3 года с момента
открытия вклада; б) за 3-й год.
3.	Какую сумму нужно положить в банк, чтобы за 5 лет накопить 7^20000,
если годовая ставка банка равна 10%?
4.	За какой срок при ставке 24 % с ежемесячным начислением сумма вклада
увеличится: а) в 2 раза? б) в 3 раза? в) в 10 раз?
5.	За 5 лет сумма вклада увеличилась в 3 раза. Какова номинальная годо-
годовая ставка банка, если проценты начисляются: а) раз в квартал? б) ежедневно?
в) непрерывно?
6.	Два векселя с одинаковым номиналом и сроками погашения б и 9
мес. имеют цены, отличающиеся друг от друга на 10%. Какова номинальная
и эффективная доходности к погашению этих векселей на равновесном рынке?
11 П. П. Бочаров, Ю.Ф. Касимов

Глава 9
ОБОБЩЕНИЕ МОДЕЛИ РОСТА
Перейдем к анализу процессов роста, таких, как процентный рост
по простым и сложным процентам с более общей точки зрения. До сих
пор мы рассматривали финансовые процессы роста, определяемые неко-
некоторой постоянной ставкой накопления (в схеме простых или слож-
сложных процентов) или дискретной последовательностью таких ставок
(см. §8.10)
В этой главе мы перейдем к описанию процессов с произвольным
законом изменения процентной ставки, в частности, процессов, для
которых ставка накопления может меняться непрерывно. Способ описа-
описания таких процессов позволяет в частных случаях получить выражения
для динамики процессов с постоянными или кусочно-постоянными
ставками как для простых, так и сложных процентов.
9.1. Интенсивность роста финансового процесса
В предыдущем изложении теории сложных процентов мы придер-
придерживались в основном так называемой накопительной модели или
модели банковского вклада с неопределенным сроком. В этом слу-
случае основная изучаемая величина — накопленная сумма вклада S(t)
в момент времени t. Нас интересовал закон изменения этой величины
со временем для заданной процентной ставке г. При этом последняя
характеризует относительную скорость или темп роста величины S(t).
Тем самым процентная ставка является мерой доходности банковского
вклада. Банковский вклад — лишь один из видов финансовых активов.
При инвестирования часто приходится решать задачу в некоторой
степени противоположную той, о которой говорилось выше для нако-
накопительного вклада. Так, зная, например, последовательные значения
цены некоторого актива, необходимо оценить доходность, связанную
с изменением цены, т. е. доходность от прироста капитала. В этом
случае исходными данными служит последовательность цен или, как
еще говорят, временной ряд S(t\), Sfo),..., S(tn) цен актива, соот-
соответствующий некоторой последовательности t\,t2,... Лп моментов вре-
времени или, более общим образом, некоторая функция S(t) времени.
Это может быть или цена отдельного актива, или текущая стоимость
некоторого портфеля активов, фонда и т. д. В принципе это может быть
любая фондовая переменная.

9.1. Интенсивность роста финансового процесса	323
Итак, рассмотрим некоторую фондовую величину S(t). Нашей це-
целью будет описание характера изменения этой величины. Так, для
любых двух моментов времени t\ < t2 мы можем охарактеризовать
изменение S(t) на промежутке [ti,^] величинами, широко использу-
используемых как в теории, так и в практике. Например, можно говорить
о приращении
AS(t2) = S(t2)-S(U)	(9.1)
величины S(t) на этом промежутке. Можно говорить о средней ско-
скорости
U(t1,t2) = g(fe)-S(tl) = AS(Atl'f2)	(9.2)
изменения S(t).
В экономике, в частности, финансах, чаще интересуются не аб-
абсолютным, а относительным изменением величин. Поэтому можно
говорить об относительном приращении
( , S(t2)-S(U) AS(tut2)
или об относительной средней скорости, или средней интенсивно-
интенсивности изменения
, , _ S{b2)-S(U) _ AS(tut2)
3[tut2)~ S(U)(t2-U) - AtS(U)
за промежуток [ti,^]-
Совершенно очевидно, что относительное приращение — это аналог
процентной ставки за период, и в том случае, когда S(t) представляет
величину вклада в момент t, эти понятия просто совпадают. С дру-
другой стороны, если S(t) интерпретируется как стоимость актива, то
относительное приращение есть просто доходность актива от изме-
изменения цены. Средняя интенсивность является аналогом номинальной
процентной ставки и при стандартном соглашении о смысле S(t) сов-
совпадает с этим понятием. При интерпретации S(t) как цены (стоимости)
актива эту величину можно было бы назвать среднеарифметической
{ценовой) доходностью в единицу времени.
Приведенные характеристики изменения величины S(t) зависят
только от конечных значений S(t\) и Sfo) промежутка [ti,^], и они
никак не связаны с поведением S(t) внутри этого промежутка.
Для того чтобы охватить всевозможные изменения функции S(t),
вводят понятие о мгновенных или предельных характеристиках изме-
изменения. В первую очередь это, конечно, понятие мгновенной скорости,
которая на языке математического анализа описывается как производ-
производная функции S(t):

324	Гл. 9. Обобщение модели роста
Предельный случай относительной средней скорости или средней ин-
интенсивности	,
М*0 М*)	Ь (t
в анализе называется логарифмической производной, так как для слу-
случая положительных значений S(t) > О можно показать, что
S(to) = [\nS(t)}'\t=to.	(9.3)
В теории процентной ставки, когда S(t) интерпретируется как про-
процентный рост во времени некоторой суммы, эта величина называется
силой процентов или интенсивностью роста. Покажем, как связаны
сила процентов и процентные ставки в стандартной модели процент-
процентного роста с постоянной процентной ставкой.
Рассмотрим сначала процесс роста S(t) с постоянной ставкой (лю-
(любого вида). Пусть а — соответствующий эффективный коэффициент
роста, который также будем считать постоянным. Тогда (при to = 0)
S(t) = Soa\	(9.4)
В этом случае для любых t\ < ?2 относительное приращение и средняя
интенсивность процесса за период [ti,^] будут равны
r(ti,t2)=4f=al
b(ti)
.,. , ч _ r(tut2) _ at2~h ~ 1
J{t\,t2) - "Г	T~ - —,	7	•
Ц — t\	Ц — t\
Интенсивность (мгновенная) роста этого процесса будет равна
at-4 _ 1
6(t0) = lim j(t0, t) = lim ——-— = In a.
t^-to	t^-to t — to
Здесь мы воспользовались так называемым замечательным пределом
lira	= In a, a > 0.
Таким образом, процесс роста с постоянной ставкой обладает по-
постоянной (не зависящей от времени) интенсивностью
5 = In a.
Конечно, этот результат можно было бы получить сразу, применив
формулу (9.3) к процессу роста S(t), определяемому формулой (9.4):
Теперь можно получить выражения интенсивности роста для каж-
каждого типа процентной ставки. Для этого достаточно вспомнить форму-

9.1. Интенсивность роста финансового процесса	325
лу для эффективного коэффициента роста, соответствующего выбран-
выбранному типу ставки:
Отсюда немедленно следует, что
5 = In A +г)
для эффективной (нормированной) ставки г.
Для ставки начисления г^ с периодом начисления h
6 = 5h{t) = ±ln(l+ihy,
при этом
r(t,t + h)=ih и j(t,t + h) = l± = i{h),
т. е. относительное приращение в этом случае совпадает со ставкой
начисления, а средняя интенсивность за период начисления — с номи-
номинальной ставкой i(h).
Для номинальной m-кратно начисляемой ставки г^ = j
5 = 5{т) =mln(l + -—) =mln(l + ^-).	(9.5)
Заметим, что процесс накопления по номинальной m-кратно начис-
начисляемой ставке г^ с постоянным значением г^ = j имеет вид
t.	(9.6)
Предельный переход при m -^ оо в равенстве (9.6) дает (предельный)
процесс роста
S(oo)(?) = Soejt
с номинальной непрерывно начисляемой ставкой j. Ему соответствует
эффективный коэффициент роста
Интенсивность этого процесса равна
Но это же значение интенсивности получается предельным переходом
при m —> оо в равенстве (9.5):
lim S^m\t) = lim rn In A + ^-) = j = 5(oo)	(9.7)
lim a(m) = lim (\ + J-) = ej =
mj
т.е. характеристики предельного процесса S^°°\t) равны преде-
пределам соответствующих характеристик промежуточных последователь-
последовательных процессов S(m\t).

326	Гл. 9. Обобщение модели роста
Итак, для всех рассмотренных (см. гл. 8) непрерывных моделей
процентного роста
S(t) = f
интенсивность таких процессов постоянна и равна
5 = In а,
причем конкретный вид коэффициента роста а и интенсивности 5
зависит от конкретного вида модели (т. е. выбора типа процентной
ставки).
Пример 9.1. Пусть j = 10% — номинальная годовая ставка. Найти
накопленное значение суммы 7^100 за год при начислении процентов: а) раз
в год; б) раз в полгода; в) раз в квартал; г) раз в месяц; д) ежедневно;
е) непрерывно.
Решение. Пусть S — накопленное значение за год. Тогда:
а)	S= 100A+0,1) = 110Gг);
б)	S = 100 (l + —) =1 Ю,25Gг);
в)	S = 100 (l + ^-) =110,38Gг);
0,1
г) S = 100 (l + —) =1 Ю,47Gг);
е) S= 100е0Д = 110,517Gг).
Заметим, что разница между ежедневным и непрерывным начислением не
превышает 0,5 коп.	¦
Приведенные формулы основывались на выражениях для конкрет-
конкретных моделей процентного роста с постоянной ставкой накопления
(любого вида). В этом случае интенсивность роста оказывается посто-
постоянной.
Можно доказать в некотором смысле и обратное, что постоянная
интенсивность определяет процесс экспоненциального роста, который
можно интерпретировать как процентный рост с постоянной ставкой.
Мы получим этот факт как следствие общей формулы, связывающей
произвольную фондовую величину S(t) и интенсивность ее измене-
изменения 5(t), т. е.
. s'(t)
Пусть S(t) — положительная величина. Тогда предыдущее равен-
равенство можно записать как
ft[]nS(t)]=S(t).

9.1. Интенсивность роста финансового процесса	327
Интегрируя это равенство от to до t, получим
t *
In S(t) = 5(x)dx
to J
to
ИЛИ	t
In S(t)-In S(t0) = \5{x)dx.
to
Переходя к логарифму частного, получим
to
и, окончательно,	t
J 5(x) dx
S(t) = 5(*о)е*о	.	(9.8)
Таким образом, для класса положительных гладких функций S(t)
задание интенсивности изменения 5(t) однозначно с точностью до
выбора начального значения S(to) определяет саму величину S(t).
В частности, при 5(t) = 5 = const имеем, что
S(*) = S(*o)e*-(t-4	(9.9)
и, если положить to = 0, то получим обычную формулу экспоненциаль-
Н0Г° Р°СТа	S(t) = SbeH
Из формулы (9.8) следует, что относительное изменение
, , _ S(t2)-S(U) _ 5(fe) _
также однозначно определяется интенсивностью 5(t). В самом деле,
= 2
SiU)
и, значит,	t2
J 5(t) dt
r(tut2)=etl	-1.	(9.10)
Если 5(t) = 5 = const, то
*2
5-(*2 —*l) _ 1
r(tbt2) = e5-^-^ - 1, j(tbt2) =	t—.
В частности, для периодов единичной длины
ПОЛуЧИМ	. , ,	•/. . \	5 1
r(tbt2) =j(tbt2) = ed - I.

328	Гл. 9. Обобщение модели роста
Таким образом, процесс роста с постоянной интенсивностью 5 мож-
можно всегда интерпретировать как процесс процентного роста с нормиро-
нормированной ставкой
i = e5-\,	(9.11)
так что в этом случае имеют место равенства (9.7).
Рассмотрим теперь схему накопления по простым процентам. По-
Полагая, по-прежнему, to = 0, имеем
где г — простая годовая ставка. Важно отметить, что эта ставка
является фактической только для одного промежутка [0, 1], т.е. для
первого года:	Q/ , Q
Sp	Sp
здесь и далее для целого к мы используем индексные обозначе-
обозначения Sk = S(k).
Для второго года фактическая ставка будет другой:
. = S2-Si = ?оA + 2г)
4	Sx	Sp(\+i)
И, вообще, для n-го года получим
ijn— 1	1 ~r (^ ±I
Таким образом, фактическая годовая ставка для простых процентов
убывает с течением времени.
Сила процентов для схемы простых процентов, в отличие от слож-
сложных процентов, не является постоянной величиной и также есть убы-
убывающая функция времени:
_ [So(l+it)]' _ г
So(\+it) 1+it'
В общем случае, когда to ф 0 и
S(t) = S(to)(l+i(t-to)),
интенсивность роста в схеме простых процентов
зависит не только от текущего значения времени t, но и от начального
момента to как от параметра, тогда как интенсивность роста в схеме
сложных процентов 5(t) = 5 = const является постоянной. Это одно
из важнейших отличий двух схем накопления. Тем не менее, суще-
существенно, что обе схемы могут быть описаны в рамках одного подхода,
использующего понятие интенсивности роста. Мы ниже покажем, что
значительная часть изложенного выше материала допускает подобную
переформулировку.

9.2. Функции роста	329
9.2. Функции роста
Введем теперь еще одно важное понятие, связанное с характеристи-
характеристикой изменения фондовых величин. Пусть S(t) есть некоторая ненулевая
фондовая величина, определенная для t ^ to и описывающая некоторый
процесс роста (накопления) с начальным значением S(to) ^ 0.
Величина a(t), t ^ to, определяемая как
называется (начальным) множителем наращения или коэффициен-
коэффициентом роста. Ясно, что
а(*0) = 1.
Его смысл очень простой: он показывает, во сколько раз увеличится
величина S за период [to,t]. Так, например, для накопительного вклада
в схеме простых процентов с начальным состоянием (to,S(to)) коэф-
коэффициент роста равен
a(t) = 1 +г(*-*0),
а для накопительного вклада в схеме сложных процентов (непрерывная
модель)
a(t) = A +г)*~Ч
Часто вместо коэффициента роста рассматривают более общую
функцию роста
а(*ь*2) = Ш, tut2>t0,	(9.12)
O[t\)
характеризующую степень роста величины S на отрезке [ti,^]-
Следует отметить, что, говоря о функции роста, мы не требуем,
чтобы она была больше единицы при возрастающих моментах времени,
т.е. чтобы a(t\,t2) > 1 при t\ < t^\ именно тогда функция S(t) будет
возрастающей: S(t\) < Sfo).
Конечно, стоимость актива может возрастать, по крайней мере, на
это надеется инвестор. Однако она может и падать. В этом случае
S(t) — убывающая функция времени и a(t\,t2) следовало бы назвать
функцией «убытия», «вырождения» и т. п. Мы все же следуем общей
традиции, считая просто слово «рост» относительным понятием, в по-
положительном смысле означающим собственно увеличение, а в отрица-
отрицательном — уменьшение.
Введенные выше характеристики процесса изменения фондовой ве-
величины легко выразить через функцию роста:
r[tut2)- ад - s{u) i-a[tut2) l,
3{tl,t2) = -,	Г- = —.	7	•
t2 — t\	L2 — t\

330	Гл. 9. Обобщение модели роста
В свою очередь, легко получить выражения для функции роста
через указанные величины
Функция роста a(?i,?2) показывает динамику изменения единицы
фонда на периоде [?i,?2]. Так, если речь идет о вкладе в долларах,
то функция a(ti,t2) показывает, во сколько раз увеличится каждый
доллар вклада на промежутке времени [?i,?2].
Для стандартной модели процентного роста с постоянной (эффек-
(эффективной) годовой ставкой г при ti,t2 > to
Тогда функция роста имеет вид
и, следовательно, она стационарна, т. е. зависит не от моментов време-
времени ti,t2, а лишь от длины ?2 —t\ соответствующего промежутка [?i,?2].
Если ?2 —1\ = 1, то получаем единичный (нормированный) коэффи-
коэффициент роста
а = а\ = a{t\, t\ + 1) = 1 + г,
введенный в гл. 8.
В этом случае момент открытия вклада не существен, важен лишь
его срок. Заметим, что для простых процентов это уже не так, посколь-
поскольку для
S(t) = S(to)(l+i(t-to)), t^t0,
имеет место равенство
,, , ч S(t2)
т. е. функция роста существенно зависит от момента to открытия
вклада, о чем уже говорилось.
Выше была определена функция роста a(?i,?2) для пар ti,t2 ^ to,
удовлетворяющих условию t\ ^ ?2, поскольку именно в этом случае
функция a(ti,t2) характеризует степень изменения фондовой величины
S(t) на промежутке [ti,t2]. В этом случае функция a(ti,t2) играет
для фондовой величины S(t) (финансового процесса) ту же роль, что
коэффициент капитализации a(t,r) для финансового закона капита-
капитализации (см. § 1.4). Однако определение (9.12) можно рассматривать
и для пар ti,t2 с обратным порядком, т.е. для ?2 <t\. Тогда уместнее
говорить о функции дисконтирования, а не роста и писать не a(?i,?2),
а v(t\, to), т. е.

9.2. Функции роста	331
Таким образом, v(t\,t2) играет для фондовой величины S(t) ту же
роль, что коэффициент дисконтирования для закона дисконтирования
(см. §1.4).
Поскольку функции a(t\,t2) и v(t\,t2) задаются одинаково и отли-
отличаются лишь порядком аргументов, причем
^'^ a(t2,ti)'
то уместно ввести (подобно тому, как это было сделано в § 1.4) одну
общую всюду определенную функцию изменения (роста/дисконтирова-
(роста/дисконтирования). Для этой функции будем использовать оба обозначения a(t\,t2)
и v(t\,t2) как взиамозаменяемые. Конкретный выбор зависит от кон-
контекста.
Функции роста и дисконтирования обладают тремя очевидными
свойствами:
•	нормированностъ:
a(t,t) =v(t,t) = 1;
•	транзитивность: для любых h^t2^t\^ to
^(^1,^2)^(^2,^3) = u(t\,t^),
• самосопряженность: для любых ti,t2 ^ to
v(tut2)v(t2,t\) = 1
или, что то же самое,
a(ti,t2)a(t2,t\) = 1.
Первое свойство равносильно равенству
Второе свойство также немедленно следует из определения. Например,
для первого равенства имеем
И, наконец, самосопряженность тривиальным образом следует из
свойств нормированности и транзитивности. В частности, для второго
равенства получаем
a(ti,t2)a(t2,t\) = a(tut\) = 1.

332	Гл. 9. Обобщение модели роста
Итак, финансовый процесс, описываемый своей функцией состо-
состояния S(t), t ^ to (S(t) ^ 0), порождает две величины: одномерные
коэффициенты роста и дисконтирования
и общие (двумерные) функции роста и дисконтирования
Эти функции связаны равенствами
a(t) = a(to,t), v(t) =v(t,to)-
При этом функции роста и дисконтирования удовлетворяют условиям
нормированности, транзитивности и самосопряженности.
Наконец, функция состояния процесса S(t) однозначно восстанав-
восстанавливается по функции роста и по любому состоянию S(t\) процесса
в некоторый момент времени t\\
S(t) = S(tx)a(tx,t).	(9.13)
В частности,
S(t) = S(to)a(to,t) = S(to)a(t).	(9.14)
Мы определили функцию роста по заданной функции состояния
S(t) процесса (его траектории). Равенства (9.13) и (9.14) показывают,
что процесс можно задавать функцией или коэффициентом роста.
Фактически задание процесса его коэффициентом или функцией ро-
роста означает задание (в смысле § 1.4) некоторого финансового закона
капитализации (или дисконтирования). Заметим, что в первом слу-
случае выделяется некоторый начальный момент to, при этом свойства
нормированности и транзитивности выполняются автоматически. Для
финансового закона нормированность также выполняется, а транзитив-
транзитивность — не всегда (см. § 1.4).
Тривиальный способ построения функции роста состоит в выборе
произвольной ненулевой функции a(t), t ^ to, которая будет играть
роль коэффициента роста, и определения
a(t\)
Пример 9.2. Пусть
a{t) = 1 +? + ?2, t ^ 0.
Найти функцию роста a(t\,t2) и интенсивность роста S(t).
Решение. Поскольку а@) = 1, то a(t) — непрерывный возрастающий
коэффициент роста. Соответствующая ему функция роста равна

9.2. Функции роста	333
Интенсивность роста процесса
S(t) = Soa(t),
задаваемого этой функцией в точке t, имеет вид
Менее тривиальный способ состоит в использовании функции ин-
интенсивности роста. Такой подход позволяет заменить функцию двух
переменных a(t\,t2) функцией одной переменной 5(t). Однако он при-
применим лишь для дифференцируемых функций роста.
Пусть S(t), t ^ to, положительный (S(t) > 0) процесс с функцией
роста a(t\,t2). Тогда интенсивность роста процесса S в точке t опреде-
определяется соотношением
6(t) = Vmj(t,t + h) = lim g(
Считая функцию S(t) непрерывно дифференцируемой, получаем
S(t) = jt InS(t),
откуда, в свою очередь, имеем
или, что то же самое,
t2
(\\	(9.15)
и
Для функции дисконтирования имеем соответственно выражение
t2
v(t2,t\) =exp(-l5(t)dtY
и
Таким образом, любая непрерывная функция 5(t), t ^ to, порождает
функцию роста a(t\,t2) некоторого финансового процесса. Эволюция
процесса с начальным состоянием S(to) в этом случае будет описы-
описываться выражением
t
S(t) = S(to)a(to, t) = S(t0) exp Q 5(r)dr^.
to
Выполнение для функций a(t\,t2), определяемых с помощью равен-
равенства (9.15), свойств нормированности и транзитивности проверяется
тривиальным образом. Так,
t
a(t, t) = exp (\ S(r)dr) = e° = 1,

334	Гл. 9. Обобщение модели роста
что подтверждает нормированность. С другой стороны, равенства
a(t\,^2)^(^2,?3) = ехР ( 5{r)dr\ exp ( 5{r)dr\ =
и	t2
Г Г	Г	1	/Г
= exp 5(r)dr + 5(r)dr = exp f 5(r)c
ti	t2	и
подтверждают свойство транзитивности.
Выше мы видели, что рост в схеме сложных процентов описывался
функцией	^ _ xf+_ +Л
где
е5 = 1 +г,
а г — эффективная нормированная ставка.
Интенсивность роста в этом случае постоянна, т. е. 5(t) = 5 = const
во всей области определения процесса. При этом функции роста и дис-
дисконтирования имеют вид
a(t) = е5<г~^
v(t) = e-5-^-to\
В частности, для непрерывной модели накопительного счета
S(t) = FVt(S(t0)) = S(to)e^'-^
и в случае to = О
S(t) = FVt(So)) = Soa(t) = Soe5-*.
Аналогично,	. .
S(t0) = PVt0(S(t)) = S^e-6^-^
и для to = 0	. ^
So = PV0(S(t)) = S(t)v(t) = S(i)e-5-*.
Пример 9.З. Пусть интенсивность роста (в годовой шкале) равна 0,09.
Найти:
а)	накопленную стоимость за два года суммы 7^500;
б)	текущую (приведенную) стоимость суммы 7^2000, отнесенной к концу
5-го года.
Решение.
а)	S2 = 500е0'09'2 = 598,60(?г);
б)	So = 2000е-°'09'5 = 1275,2б(?г).	¦
Мы вывели соотношение (9.15) в случае непрерывной интенсив-
интенсивности роста 5(t), что равносильно непрерывной дифференцируемости
S(t) и a(t\,t2). Однако это равенство остается справедливым и в более
общих случаях, в частности, для кусочно гладких функций S(t).

9.2. Функции роста
335
Пусть
[т0,+Оо) = (J [Тк-UTk)
к=\
и пусть функция 5(t) кусочно непрерывна относительно этого разбие-
разбиения. Иными словами, 5(t) непрерывна на интервале [тк-\,Тк) и суще-
существуют односторонние конечные пределы в концах этих промежутков.
Тогда формула
а(?ь?2) =ex.p(\S(t)dt\
и
определяет кусочно-гладкую нормированную и транзитивную функцию
роста. Так, если 5(t) — кусочно-постоянная функция:
'5\ при to = то ^ t < т\,
2	При Т\ ^ t < Т2,
3	При Т2 ^ t < 73,
то для
получим
vun при rn_i < t < 00,
7"fc-l ^ ti < Tfc, T/ < t2 < Г/+1
/
где fts = rs - ts-\.
Как следствие этой формулы, в частности, получаем
к-\
S(t) = S(t0) • П е5°-н°е5к^-Тк-^\ rfc_! <t<rk.	(9.16)
s=l
Если %к — эффективная нормированная ставка на промежутке
[тк-\, Тк), ТО
\+ik = е5к,
и формула (9.16) переходит в формулу (8.17).
Пример 9.4. Пусть
,01 при 0 < t < 1,
0,05 при 1 < t < 5,
0,08 при 5 < t < 10,
,0,2 при t > 10.
Найти коэффициент роста, соответствующий этой интенсивности.
Решение. Так как to = 0, то
a(t) = a(O,t).
S(t) =

336	Гл. 9. Обобщение модели роста
Для 0 < t < 1 имеем
Для 1 < t < 5
a(t) =exp([ 0,01 dr) = e°'Olt.
a(t) =exp Г|"о,ОЫт + [o,O5dr] =
о	l
Для 5 < t < 10
1	5	t
=exp [fo,Oldr+ [0,05dr + fo,O8dr] =
5
= exp [0,01 + 0,05 • 4 + 0,08(t - 5)] = e
0	1	5
0,21+0,08(t-5)
Наконец, если t > 10, то
1	5	10	t
a(t) =exp [fo,Oldr+ [ 0,05 dr + [ 0,08 dr + I 0,2 dr\ =
0	1	5	10
= exp [0,01 + 0,05 • 4 + 0,08 • 5 + 0,2(t - 10)] =
Использование понятия интенсивности роста позволяет единооб-
единообразно записать соотношения, полученные нами для моделей, рассмот-
рассмотренных в предыдущих главах. Так, единичный коэффициент роста
в случае постоянной интенсивности 5 равен
1
a = a(l) = a@,l) = exp A5dt) = е5,
о
т.е.
а = 1 + г = е5.
Коэффициент роста за l/m-ю часть единичного периода будет равен
\/т
a(l/m) = a@,l/m) = exp I Sdr) = e« ,
о
откуда	б
1 +i\/m = em
и, следовательно,
Ч/т = em - 1, гУт) = mlern - П.
В общем случае коэффициент роста за любой период h будет равен
a(h) = a@, ft) = e5h
С другой стороны,

9.2. Функции роста	337
поэтому
Г7	Р5Н —
п п, л '	^
Аналогичным образом выражается единичный коэффициент дис-
дисконтирования
v=\-d= у— = е~5.
Коэффициент дисконтирования за произвольный период h равен
Эти равенства определяют, в свою очередь, нормированную учетную
ставку
d = 1 - е~5
и учетную ставку за период h
dh = \-vh = \- e~Sh.
Пример 9.5. Интенсивность роста в годовой шкале равна 0,1 для всех t.
Найти номинальные и фактические (за период) процентные и учетные ставки
по вкладам а) на 7 дней, б) на 1 мес, в) на 6 мес.
Решение. Поскольку
ih = е — 1, dh = 1 — е~ ,
г = ^ d = ^
h	h
то
в)
для
а)
б)
h =
h =
h =
1,
2'
7
365'
ih =
1
12'
ih
ih
0,7
езб5 -
од
= e 12
0,1
= e 2
1 = 0,00192,
i{h) =0,1001,
- 1 = 0,0084,
i{h) =0,1004,
- 1 =0,0513,
dh =
d{h)
dh =
d(h)
dh =
1 -
=
1
=
1
0,7
- e 365
0,0999;
0,1
- e 12
0,0996;
0,1
-e 2
= 0,0019]
= 0,0083;
= 0,0487;
i{h) = 0,1025, d{h) = 0,0975.	¦
Таким образом, использование интенсивности роста (силы процен-
процентов) позволяет получить простые выражения как для самого процесса
роста, так и для всех видов ставок и характеризующих его коэффици-
коэффициентов. К тому же подход, основанный на использовании интенсивности
роста, позволяет легко переходить к общему случаю переменных ста-
ставок. В этом случае достаточно просто считать интенсивность перемен-
переменной. Благодаря этим обстоятельствам в финансовом анализе модели
роста обычно задаются с помощью интенсивности. В следующей главе
будет рассмотрена одна из таких моделей.

338	Гл. 9. Обобщение модели роста
Вопросы и упражнения
1.	Дайте определения средней скорости и средней и мгновенной интенсив-
ностей финансового процесса S(t).
2.	Как связана интенсивность процентного роста с различными типами
ставок, описывающих процесс накопления?
3.	Докажите, что коэффициент роста и интенсивность для предельного
процесса lira S^m\t), где S^m\t) — процесс роста по m-кратно начисляемой
т—»оо
номинальной ставке г^ = j, совпадают с пределами коэффициента роста
и интенсивности процесса S^m\t) при т —»> оо.
4.	Какой вид имеет интенсивность роста по схеме простых процентов?
5.	Докажите, что процесс роста с постоянной интенсивностью совпадает
с процессом роста в схеме сложных процентов.
Задачи
1.	Пусть S(t) = t2e2t. Найдите среднюю скорость и среднюю интенсивность
на отрезке [0, 1]. Найдите мгновенную интенсивность в момент t = 1.
2.	Докажите, что для непрерывного дважды дифференцируемого процесса
S(t) справедливо уравнение
где a(t) — одномерный коэффициент роста.
3.	Величина S(t) фонда представляет собой квадратичную функцию.
За первые полгода фонд увеличился на 20%, а за год — на 80%. Найдите
интенсивность роста в конце года.
4.	Пусть два фонда имеют одинаковое начальное состояние. Накопление
в первом фонде осуществляется по схеме простых процентов, а во втором — по
схеме сложных процентов по той же ставке. Найти момент времени, в который
разность между состояниями (накоплениями) первого и второго фондов будет
максимальной.
5.	Рост активов фонда А осуществляется по постоянной простой учетной
ставке 5%, а рост активов фонда Б — по простой процентной ставке 10%.
В какой момент времени интенсивности роста этих фондов совпадут?
6.	Фонд растет с интенсивностью 5(t) = 0,05t, 0 < t < 1. Найдите эквива-
эквивалентную ставку роста за период [0, 1].
7.	Начальная величина фонда равна 7^100000. Найдите величину фонда
в конце 20-го года, если интенсивность роста равна

Глава 10
МОДЕЛИ С ПЕРЕМЕННЫМ КАПИТАЛОМ
И ПОТОКИ ПЛАТЕЖЕЙ
В СХЕМЕ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ
Предыдущее изложение теории сложных процентов было посвяще-
посвящено исключительно «истории одной суммы». Все рассмотренные выше
модели касались динамики «самовозрастания» некоторого вклада, сто-
стоимости актива и т.д.
Так, накопительный вклад открывается («рождается») в некоторый
начальный момент времени to и затем автономно возрастает со ско-
скоростью, заданной процентной ставкой. Упоминание об автономности
существенно, так как в такой модели подразумевается, что ни новых
поступлений, ни каких-либо изъятий для упомянутого вклада не дела-
делается.
На практике такая автономность или изолированность имеет место
далеко не всегда. Любой крупный денежный фонд, например, инве-
инвестиционный или пенсионный, принимает взносы от своих участников,
осуществляет выплаты, начисляет проценты по своим обязательствам
и т.д. Таким образом, на динамику такого фонда оказывает влияние не
одна какая-либо сумма, например, его величина в момент образования,
а множество различных сумм, составляющих денежные потоки, «вте-
«втекающие» или «истекающие» из него. Поэтому для более полного опи-
описания финансовых процессов, не сводимых к простому накопительному
вкладу, необходимо уметь оценивать совместную динамику различных
денежных потоков. Этому вопросу и будет посвящена данная глава.
10.1. Дискретная накопительная модель
в схеме сложных процентов
В гл. 4 для простых процентов были рассмотрены некоторые мо-
модели, учитывающие поступления и изъятия средств. Этот параграф
посвящен изучению аналогичных моделей для сложных процентов. Как
мы увидим ниже, они оказываются существенно более простыми, чем
в случае простых процентов.
Пример 10.1. Пусть вкладчик открывает в банке счет (например, теку-
текущий), для которого возможны как пополнения, т.е. новые поступления, так
и снятие сумм со счета. В этом случае возникает понятие остатка (остаточ-
(остаточного баланса) счета, т. е. количества денег, имеющегося в данный момент на
счете. Остаток (или сальдо) счета — это некоторое его финансовое состояние.

340 Гл. 10. Модели с переменным капиталом и потоки платежей
Это состояние в данный момент времени t будем обозначать S(t). Условимся
также, что на остаток счета ежегодно начисляются проценты по ставке,
например, 10% годовых. Наконец,
400 -100	^	200	пусть история нашего счета опи-
'	'	'	'	' сывается событиями, изображен-
изображенными на рис. 10.1. Иными слова-
рис ^q ^	ми, в момент t = 0 инвестор от-
открывает счет с начальной суммой
7^400, спустя год снимает со счета 7^100, а спустя 3 года кладет дополнительно
7^200. При этих условиях найдем состояния счета в моменты 1, 2, 3 и 4.
Решение. Решить эту задачу можем последовательно, прослеживая раз-
развитие счета, начиная с нулевого момента. Так, в момент времени t = 1, т.е.
в конце 1-го года, на начальную сумму счета будут начислены проценты за год
в размере
400-0,1 =40(?г),
и счет станет равным
400 + 40 = 440(?г).
Затем нужно вычесть сумму, снятую вкладчиком, т. е. остаток счета на
момент t = 1 станет равным
Sx =440- 100 = 340(?г).
С моментом t = 2 все ясно, поскольку 5г есть просто накопленное за год
значение Si:
#2 = 340A+0,1) = 374(?г).
Далее очевидно, что
#3 = ^A+0,1)+ 200
или
#3 = 411,4 + 200 = 611,4(?г).
И, наконец,
#4 = 611,4A +0,1) = 672,54(?г).	¦
В наших рассуждениях есть одно довольно тонкое место, относяще-
относящееся к понятию значения счета в данный момент времени. Оно связанно
с тем, что, например, в момент t = 1 приходится делать одновременно
две операции: начисление процентов и снятие суммы со счета. По-
Поскольку по соглашению начисление происходит на остаток счета,
то, строго говоря, следовало бы договориться о том, что понимать
под остатком в момент t = 1, когда происходит снятие суммы со
счета, т. е. какая операция выполняется сначала: начисление процентов,
а потом снятие суммы или наоборот. В любом случае к моменту t = 1
относятся две суммы: полученная после начисления и полученная по-
после изъятия. Например, если, как это подразумевалось в наших вычис-
вычислениях, сначала происходит начисление процентов, а потом изъятие,
то возникают две суммы: 7^440 и 7^340, при обратном порядке — 7^300
и 7^330. Поэтому возникает «неопределенность»: каково, собственно,
настоящее значение остатка в данный момент времени? Вопрос этот
не имеет смысла без указания правила вычисления остатка для
любого момента времени.

10.1. Дискретная накопительная модель в схеме сложных процентов 341
Как мы помним, аналогичные вопросы возникали и при изложе-
изложении моделей с переменным капиталом для простых процентов. Там
уточнение операции довложения и изъятия осуществлялось за счет
разделения полного счета либо на систему субсчетов (модель муль-
тисчета), либо на два счета (бинарная модель). Это разделение было
связанно с тем, что в схеме простых процентов начисление процентов
осуществляется только на основной капитал, а проценты на проценты
не начисляются. Это приводит к необходимости введения двух от-
отдельных счетов — счета капиталов и счета процентов.
В схеме сложных процентов в таком разделении нет необходимости,
поскольку по самому смыслу сложные проценты означают начисление
и на накопленные проценты, так что, по существу, имеется всего
один полный счет, к которому постоянно присоединяются накопленные
проценты (либо в конце периодов начисления, либо непрерывно в за-
зависимости от модели). При этом, как отмечалось в гл. 1, мы в нашем
изложении придерживаемся концепции «завершенного состояния», т.е.
под состоянием счета всегда понимается окончательный результат
всех действий над счетом, относящихся к моменту определения его
состояния.
Хотя выше говорилось о традиционном понимании накопительно-
накопительного счета, в соответствии с которым вкладчик (инвестор) открывает
счет с некоторой положительной суммой, а последующие платежи,
в зависимости от знака, являются либо довложением (поступлением)
капитала, либо его изъятием, возможна и двойственная трактовка
счета с точки зрения должника, когда счет интерпретируется как ссуд-
ссудный, начальное состояние — как выдача ссуды, а остальные платежи,
в зависимости от знака, — либо как погасительные платежи, либо
как дополнительные кредиты. Строго говоря, такая строгая интерпре-
интерпретация счета как накопительного или ссудного возможна лишь при
определенном ограничении. Так, в накопительном счете изъятия не
должны приводить к отрицательному (дебетовому) сальдо, а в ссудном
счете погашения не должны приводить к положительному (кредито-
(кредитовому) сальдо, поскольку в этих случаях смысл счета меняется на
противоположный, т. е. в первом случае, накопительный счет переходит
в ссудный, а во втором — наоборот, ссудный счет переходит в накопи-
накопительный.
Допущение таких переходов «размывает» границу между счета-
счетами различных типов. В этих случаях стороны, связанные со счетом,
попеременно являются кредиторами и дебиторами. Конечно, никаких
формальных трудностей в анализе динамики таких счетов нет, за
исключением того, что на практике смена знака счета обычно при-
приводит к изменению ставки, поскольку дебетовая и кредитная ставки
обычно различаются. Так, ставка по депозитам, которую банк платит
вкладчику, обычно меньше, чем ставка по ссуде, которую банк взимает
за временный овердрафт, т. е. за снятие сумм, превышающих остаток
счета.

342 Гл. 10. Модели с переменным капиталом и потоки платежей
С этой ситуацией мы сталкивались при изучении счетов с перемен-
переменным капиталом в схеме простых процентов (см. гл. 4). Там мы огра-
ограничились так называемым симметричным случаем, для которого упо-
упомянутые ставки совпадают. Изучение счетов с переменным капиталом
для сложных процентов мы также ограничим анализом симметричного
случая.
Прежде чем переходить к непосредственному описанию дискретной
накопительной модели с переменным капиталом, напомним основные
понятия и обозначения, связанные с определением дискретного финан-
финансового потока в его общей форме (см. гл. 1).
В традиционном определении финансового потока как последова-
последовательности финансовых событий
CF = {(tl,Cl),(t2,C2)...,(tn,Cn)}	A0.1)
рассматриваются лишь моменты времени, относящиеся к событиям,
составляющим поток. В некоторых случаях события с нулевой суммой,
т.е. события вида (tj,O), можно считать несущественными и их мож-
можно свободно присоединять к потоку или, наоборот, удалять из него,
не меняя по существу самого потока. Так можно поступать, напри-
например, при анализе различного типа «входных» и «выходных» потоков,
относящихся к некоторому фонду. В частности, для рассмотренного
выше примера вклада в банке поток поступлений/изъятий обладает
указанным свойством, т. е. отсутствие поступления или изъятия можно
интерпретировать как «нулевое событие».
Сделанное выше соглашение позволяет каждый (дискретный) поток
считать определенным для любого момента времени t из временной
шкалы Т (см. § 1.2). Это значит, что поток можно представить в виде
(платежной) функции времени C(t), где C(t) — сумма, соответствую-
соответствующая моменту t. При этом почти для всех значений t эта сумма равна 0:
C(t) = 0.
Более точно, для потока заданных как последовательность собы-
событий A0.1) соответствующая функция C(t), представляющая поток,
задается соотношениями
\0, при
Тогда поток CF описывается функцией C(t) времени t, определенной
для всех моментов t:
CF = {C(t), teT, C(t) GM}.
В дальнейшем мы будем, для краткости, использовать упрощенную
запись потока

10.1. Дискретная накопительная модель в схеме сложных процентов 343
Поскольку почти для всех моментов t суммы C(t) нулевые, то
моменты t, для которых C(t) ^ О, играют определяющую роль. Сово-
Совокупность этих моментов времени есть носитель потока, обозначаемый
как suppCF, т.е.
suppCF = {? eT | C(t) 7^0}.
Невыписанные суммы мы всегда будем считать нулевыми.
Напомним также, что поток задан или сосредоточен на проме-
промежутке J С Т, если его носитель содержится в этом промежутке,
т.е. suppCF С J. Иными словами, вне этого отрезка поток нулевой:
C(t) = 0 для t <? J.
В частности, для потока из рассмотренного выше примера 10.1
suppCF = {0, 1, 3},
и при этом поток сосредоточен на любом промежутке, содержащем
отрезок [0,3].
Вернемся теперь к построению дискретной накопительной модели.
Пусть
CF = {{to,Co),(tuCi),...,{tn,Cn)}
— поток платежей, порождающий некоторый счет. Говоря о порожда-
порождающем счет потоке, мы имеем в виду, что нет никаких других платежей,
связанных со счетом, помимо платежей из потока.
Событие (to, Со) будем трактовать как начальное состояние или
открытие счета: S(to) = Со, а последующие платежи — как внешний
поток поступлений/изъятий капитала. Динамика счета определяется
нормированной эффективной ставкой г. Наша цель состоит в том,
чтобы определить состояние счета S(t) в любой момент времени t.
Согласно сказанному состояние счета в начальный момент равно
S(to). Дальнейшее изменение состояния счета определяется, во-пер-
во-первых, автономным, внутренним, процентным ростом и, во-вторых,
внешними платежами С& = C(tk) в моменты ?&.
Динамика процентного роста была подробно изучена выше. В об-
общем виде (для нормированной ставки г) она описывается уравнением
i)h, t^t0, h^O,	A0.2)
при условии, что на промежутке (t,t-\-h] нет никаких поступлений
или изъятий капитала. Если же на интервале (t,t + К) не было ни
поступлений, ни изъятий, но в момент t + h на счет (или со счета) был
осуществлен платеж C(t + h), то согласно принципу «завершенного
состояния»
S(t + К) = S(t + h - 0) + C(t + К),	A0.3)
где
S(t + h-O)= lim S(t + h- r)
— предел (слева) состояния S(t) в точке t-\-h.

344 Гл. 10. Модели с переменным капиталом и потоки платежей
Равенства A0.2) и A0.3) можно записать в виде единой формулы
S(t + h) = S(t)(l + if + C(t + h)	A0.4)
для любых t ^ to, h > 0 при условии, что на интервале (t,t + h)
нет платежей потока CF. Заметим, что если в момент t -\- h нет
ненулевых платежей, т.е. C(t-\-h) =0, то формула A0.4) переходит
в формулу A0.2).
Исходя из изложенного можно выписать рекуррентные уравнения,
определяющие состояния счета в критические моменты ?&:
S(tk+l) = S(tk)(l + i)r*+- + C(tk)	A0.5)
или, в индексных обозначениях, S& = S(tk)'.
Sk+l = Sk(\+i)Tk+'+Ck,	A0.5')
где Tk = tk — tk-i — длина fc-го критического промежутка. Разворачи-
Разворачивая эти формулы, последовательно находим
So = S(to) = Co,
Sx = 50A + i)Tl + Ci = СоA + if' + Сх = СоA + г)*1"*0 + Сь
= СоA + г)Т1+Т2 + Ci(l + г)Тз + С2 =
= СоA + if~tQ + Ci(l +
= СоA + i)tn~to + Ci(l + г)*""*1 + • • • + Cn_i(l + г)*»"*»-1 + Сп.
Естественно, что состояние счета для некритического момента t
определяется согласно A0.3) состоянием в ближайший предшествую-
предшествующий критический момент tk, если tk ^t < tk+i, при этом
= S(tk)(\+if-tk.	A0.6)
При решении примера 10.1 мы проделали вычисления в «естествен-
«естественном» порядке, по ходу финансовых событий в соответствии с приведен-
приведенными выше рекуррентными формулами. Эти вычисления можно про-
продолжать неограниченно и таким путем можно найти состояние вклада
для любого будущего (целого) момента t. Однако, если нас интересует
просто состояние счета в некоторый будущий момент времени, незачем
находить все промежуточные состояния. Можно поступить по-другому.
Для нахождения величины вклада в момент времени t достаточно
определить накопленные к этому моменту времени значения всех
поступлений/изъятий (с учетом знака) и полученные значения сло-
сложить. Иными словами, мы должны «перенести» с помощью процентной
ставки все суммы к одному моменту и найти их алгебраическую
сумму.

10.1. Дискретная накопительная модель в схеме сложных процентов 345
Возвращаясь к примеру 10.1, рассчитаем по такому правилу состо-
состояние вклада в момент ? = 4. Согласно этому правилу, мы последова-
последовательно находим будущие значения:
•	начального вклада
400A +0,1L = 585,64(?г),
•	первого изъятия (в момент ? = 1)
-100A + o,iK = -133,1(тг),
•	поступления (в момент ? = 3)
200A +0,1) = 220(?г).
Складывая эти значения, получим
54 = 585,64 - 133,1 + 220 = 672,54(?г),
т. е. то же значение, что и полученное ранее при последователь-
последовательном вычислении.
Сказанное выше приводит нас к следующему важному опреде-
определению.
Определение 10.1. Пусть
CF = {(*,, С, ),(*2>С2),...,(*П>СП)}
— некоторый денежный поток. Тогда в схеме сложных процентов его
будущим (накопленным) значением для момента 0 ? ^ t\,?2, • • •, tn
относительно нормированной ставки г называется величина
k=\	k=\
где a = 1 + i — нормированный коэффициент роста.
Так, для примера 10.1 денежный поток вложений/изъятий име-
имеет вид
CF = {@,400), A,-100), C,200)},
FVA(CF) =400A +0,1L- 100A + ОДK + 200A +0,1) = 672,54(?г).
Таким образом, будущее или накопленное значение потока есть
просто алгебраическая сумма накопленных значений составляющих
этот поток сумм:
J2FVt(Ck).	A0.7)
k=\
1) Запись t^t\,t2,...,tn означает, что t следует за всеми платежами потока
11, ?2, • • •, tn; t < t\, ?2, • • •, tn означает, что ? предшествует всем платежам потока
?i, ?2,..., tn-

346 Гл. 10. Модели с переменным капиталом и потоки платежей
Совершенно аналогично можно определить текущее значение по-
потока для момента t ^ t\,t2,..., tn.
Определение 10.2. Пусть
CF = {(tuCi),(t2,C2),...,(tn,Cn)}
— некоторый денежный поток. Тогда в схеме сложных процентов ве-
величина
PVt{CF,i) = Y,Ckv^-\	A0.8)
k=\
где
1
1 +V
называется текущим значением потока в момент времени t относи-
относительно нормированной ставки г.
Таким образом, текущая величина потока есть просто сумма теку-
текущих значений составляющих поток сумм:
J2	A0.9)
k=\
Так, для потока из рассматриваемого нами примера
PV0(CF)=400- 100A + ОД) +200A +0,1)-3 =459,35(?г).
Не следует удивляться, что полученное текущее значение в мо-
момент t = 0, т. е. приведенная к начальному моменту времени величина
потока, не совпадает с начальным состоянием вклада, равным 7^400,
тогда как для будущих значений потока (t > 3) такое совпадение
имеет место. Ниже будет подробно объяснена связь между будущими
и текущими величинами для потока и значениями соответствующей
фондовой переменной.
Наконец, точно так же, как для отдельной суммы, можно говорить
о текущем относительно заданной процентной ставки значении
потока в произвольный момент времени t безотносительно к его
ориентации по отношению к событиям из потока. В этом случае ис-
используется та же формула A0.7):
PVt(CF) = J2 Ckvtk~\ t > t0,	A0.10)
k=\
но уже не обязательно выполнение неравенства t ^ t\, t^, •• •, tn. На-
Например, в случае t\, t<z,... tk ^ t ^ tk+\, • • •, tn для моментов tj, предше-
предшествующих моменту t, будут находиться будущие значения соответству-
соответствующих сумм, а для моментов tp, следующих за этим моментом, будут
находиться приведенные значения соответствующих им сумм.

10.1. Дискретная накопительная модель в схеме сложных процентов 347
Возвращаясь к потоку примера 10.1, получим
PV2(CF) = 400A,1J- 100A,1I + 200A,1) = 555,82(?г),
что опять не совпадает со значением 52 = 374G^), полученным выше.
Введенные выше характеристики потока (будущая и текущая сто-
стоимости) позволяют записать состояние S(t) накопительного счета, по-
порожденного потоком CF, в виде
S(t) = FV(CF\t)= ? CfcO+i)'-'*,	A0.11)
где
— часть потока CF, состоящая из составляющих его событий вплоть
до момента t включительно.
Таким образом, для нахождения состояния в момент t счета, по-
порожденного потоком CF, необходимо привести к этому моменту все
платежи потока, предшествующие моменту t, включая, естественно,
и платеж в момент t, если таковой имеется. Этот результат полностью
аналогичен результату, полученному нами ранее для коммерческой
модели накопительного счета в схеме простых процентов. Различие
состоит лишь в используемой схеме процентов.
Приведенные выше определения будущих и текущих значений для
потока имеют смысл лишь при указании процентной ставки, опре-
определяющей скорость процентного роста. Поскольку будущие и текущие
значения потока зависят от ставки, строго говоря, ее необходимо ука-
указывать в выражениях для этих величин, т. е. следует писать FVt(CF, г)
и PVt(CF,i). Для упрощения записи процентную ставку часто опус-
опускают в записи будущих и текущих значений, считая ее заданной по
умолчанию. Однако об этом следует всегда помнить.
Мы определили текущее значение с помощью дисконтирования пла-
платежей потока по нормированной процентной ставке г. Однако в опре-
определении A0.8) или A0.10) дисконтный множитель v можно выразить
и через учетную нормированную ставку d:
v=l-d,
таким образом, мы получим выражение для текущей стоимости потока
в терминах учетной ставки.
Наконец, выражения для будущей и текущей стоимостей можно по-
получить не только для нормированных, но и любых других ставок (про-
(процентных и учетных). Для этого достаточно выразить нормированные
коэффициенты a, v через заданные ставки и подставить полученные
выражения в формулы A0.7)—A0.9).

348 Гл. 10. Модели с переменным капиталом и потоки платежей
10.2. Временная стоимость потока на промежутке
В гл. 1 мы определили понятие нетто-стоимости (чистой стоимости)
(дискретного) потока CF на промежутке J как алгебраическую сумму
номинальных значений платежей потока:
NV(CF,J)= ? Ск.
k:tkeJ
Говоря о номинальных значениях, мы имеем в виду, что сложе-
сложение денежных сумм осуществляется без учета временного фактора,
т. е. просто складываются денежные суммы, относящиеся к разным
моментам времени. Например, сложив сумму ежемесячных пенсий за
год, мы получим общую величину годовых пенсионных выплат. Такой
подход общепринят в бухгалтерском анализе. В рамках такого подхода
записывается большинство балансовых соотношений, определяющих
связь между фондовыми и интервальными величинами. Общая схема
такой связи имеет вид
S(t2) - S(ti) = NV(CF;tut2)
или
S(t2) = S(tx) + NV(CF\tx,t2).
Здесь S(t\) и S(t2) — состояния фондовой переменной в начале t\
и в конце t2 некоторого периода,
NV(CF;tut2)=NV(CF,J)
— нетто-величина внешнего потока CF на промежутке J = (ti,^]-
Эти уравнения полностью определяют динамику финансовой систе-
системы, состояние которой описывается фондовой величиной S(t), а внеш-
внешние денежные потоки, аккумулируемые системой — потоком CF.
В частности, состояние такой системы в любой момент времени t
задается уравнением
S(t) = S(to)+NV(CF;to,t)
или, в развернутом виде,
S(t) = S(t0) + ? Ск.
При этом чистую стоимость потока можно сделать ориентированной
величиной, если положить
NV(CF; b, a) = -NV{CF\ а, Ъ)
для b > а.
Описанный выше номинальный, или бухгалтерский, подход, как
неоднократно отмечалось выше, с точки зрения современного экономи-
экономического, финансового анализа, является некорректным, поскольку он

10.2. Временная стоимость потока на промежутке	349
не учитывает временного фактора, влияющего на стоимость (ценность)
сумм, относящихся к различным моментам времени. Здесь мы опреде-
определим понятие временной стоимости потока на промежутке, в котором
этот фактор будет учитываться. Основной характеристикой, позволя-
позволяющей осуществить такой учет, является нормированная эффективная
ставка г.
Используя теперь функциональное представление {дискретного)
потока
CF = {C(t), teT},
его текущее значение в произвольный момент времени р е Т можно
записать в виде
PVP(CF) = ]Г C(t)vf-p.
teT
Обратим внимание, что формально суммирование в правой части
производится по всем t, т. е. для бесконечного числа моментов времени.
Однако поскольку C(t) = 0 почти для всех значений t, за исключением
конечного числа моментов из носителя supp CF, эта сумма на самом
деле сводится к конечной, т. е.
PVP(CF) = ]Г C(t)vf-p.
tGsuppCF
Отметим теперь ряд простых свойств, связанных с понятием буду-
будущего и текущего значений потока.
1. Для любых р\,р2 из равенства
следует, что
PVP2(CF) = vP[-p2PVPl(CF).	A0.12)
2. Для потока, сосредоточенного на отрезке [а, Ь], выполнено свой-
свойство
PVa(CF)=vb-aFVb(CF).
Это свойство немедленно следует из A0.12) и из того факта, что
для сосредоточенного на [а, Ъ] потока
FVb(CF) = PVb(CF).
Так, для потока на рис. 10.1 и годовой процентной ставки 10%
имеем
PVQ(CF) = 459,35, FVA(CF) = 672,54
459,35 = A+0,1)-4-672,54,
Перейдем теперь к определению временной стоимости TV (от
time value) потока CF на промежутке J.

350 Гл. 10. Модели с переменным капиталом и потоки платежей
Определение 10.3. Пусть
CF = {C(t), teT}
— произвольный дискретный финансовый поток, г — фиксированная
ставка, JCT- произвольный конечный промежуток с концами а и Ъ.
Тогда величина
TV{CF\J\i) = ]Г С(*)A +г)ь~*
teJ
называется временной (накопленной) стоимостью потока CF на
промежутке J.
Для случая промежутка J = (а, Ъ] временную стоимость запишем
в виде
TV(CF;a,b;i) = ]Г C(t)(\ + i)b~\	A0.13)
Временную стоимость потока CF на промежутке J мы иногда
будем обозначать в виде TVj(CF),TV[a^(CF),TV(a^ и т.д. Значение
процентной ставки при этом будет, как правило, опускаться.
Пример 10.2. Для потока
CF = {(-1,100), A,-80), B,200), D,150)}
и годовой процентной ставки г = 20% найти приведенные суммы для проме-
промежутков (-2,0], (-2,3], @,4], A,5].
Решение. Согласно формуле A0.13), получаем
TV(CF; (-2,0}) = 100A+0,2) = 120,
TV(CF; (-2, 3]) = 100A + 0,2L - 80A + 0,2J + 200A + 0,2) = 332,16,
NF(CF- @,4]) = -80A + 0,2K + 200A + 0,2J + 150 = 299,76,
TV(CF; A,5]) = 200A + 0,2K + 150A + 0,2) = 525,6. ¦
Временная стоимость потока на промежутке (а, Ъ] совпадает с буду-
будущим, т. е. накопленным значением потока CF\(a^ (a ^b), полученного
сужением исходного потока на этот отрезок. Сужение потока получает-
получается отбрасыванием событий, моменты которых не входят в промежуток
(а, Ь]. Формально для потока
сужение
CF' = CF |(о,ь] = {Ci, t 6 T}
определяется равенством
\C(t)
С' =
1 [0 для t<? (а, Ъ].

10.2. Временная стоимость потока на промежутке	351
Итак, для суженного потока CF1 все суммы, не входящие в данный
промежуток (а, Ь], игнорируются, т.е. считаются нулевыми. Тогда с ис-
использованием понятия сужения можно записать
TV(CF;a,b) = FVb(CF |M]).	A0.14)
Пример 10.3. Для потока из примера 10.2 найти его сужение на проме-
промежуток A,5] и накопленную стоимость к концу этого промежутка.
Решение. Сужение этого потока на промежуток A,5] имеет вид
CF' = CF\{ltb] = {B,200), D,150)},
а его накопленная к моменту t = 5 величина согласно формуле A0.14) равна
FV5(CF') = FV5(CF |A>5]) = 200A + 0,2K + 150A + 0,2) = 525,6,
и она совпадает с временной стоимостью исходного потока CF.	Ш
Выше мы определили понятие временной стоимости потока на про-
промежутке. В этом определении была использована естественная (поло-
(положительная) ориентация промежутков, связанная с естественной ориен-
ориентацией временной шкалы. Иными словами, при вычислении временной
стоимости промежуток «проходился» в положительном направлении от
левого конца к правому, от прошлого к будущему. Именно поэтому вре-
временная стоимость потока на промежутке является будущей накоплен-
накопленной стоимостью части потока, сосредоточенного на этом промежутке.
Однако временные промежутки можно рассматривать как ориенти-
ориентированные объекты, если задавать направление обхода промежутка. Это
делается с помощью обычного метода указания в заданном порядке
концов промежутка. Так, отрезок [а, Ь] при а < b считается положи-
положительно ориентированным, а [Ь, а] — отрицательно ориентирован-
ориентированным. Для любого промежутка J обозначим через J~ двойственный
промежуток, т. е. промежуток с теми же концами, но противоположно
ориентированный. Так, например,
[а, Ь}~ = [Ь, а], (а, Ъ)~ = (Ь, а), [а, Ъ)~ = (Ь, а], (а, Ъ]~ = [Ь, а).
Теперь можно дать определение временной стоимости (дискретного)
потока для любого ориентированного промежутка J = (a, b) с концами
(любого вида):
TV(CF;(a,b);i) = ± ]Г С(?)A + if'*.
te(a,b)
Здесь «угловые» скобки означают скобки любого вида, так что проме-
промежуток (а, Ь) может быть любым промежутком, интервалом, отрезком,
а также полуоткрытым слева или справа промежутком; знак «плюс»
выбирается в случае положительной ориентации, т. е. при а <Ь, а знак
«минус» — в случае отрицательной (противоположной) ориентации,
т. е. при а > Ь.
Как и выше, для промежутков вида (а, Ь] временную стоимость
потока будем записывать в виде TV(CF;a,b), т.е. в виде функции

352 Гл. 10. Модели с переменным капиталом и потоки платежей
двух переменных. Заметим, что для отрицательно ориентированного
промежутка J = (а,Ь\, а > Ь,
TV(CF;a,b) = - ? СAУ~Ъ = -PVb(CF\lb,a)).
Таким образом, в этом случае накопленная стоимость в исходном
определении временной стоимости меняется на текущую стоимость,
кроме того, знак также меняется на противоположный.
Из свойства 2 текущей стоимости потока для любого промежутка
J = (a, b) немедленно следует равенство
TV{CF\ J) = -vb-aTV(CF; J"),
связывающее временные стоимости потока на промежутке J = (а, Ь)
для случая взаимно противоположных ориентации.
Так, для потока из примера 10.2
TV(CF; [5,1)) = - [т^тг + 15° J = -253,47.
V [ JJ L 1+0,2 (l+0,2KJ
Умножая полученное значение на
-vb~a =	-1 , , = -2,0736,
A+С2I-5
получим
TV(CF; A,5]) = 525,6,
что совпадает с ранее полученным значением временной стоимости по
промежутку A,5].
Мы ввели понятие временной стоимости по промежутку (просто-
(простому и ориентированному) для дискретного потока. Ниже оно будет
обобщено на случай непрерывных потоков. Но прежде, чем перейти
к непрерывному случаю, покажем, как записать уравнение динамики
фонда (т.е. счета с произвольным (дискретным) внешним потоком),
используя понятие временной стоимости потока.
10.3. Уравнение динамики фонда
с дискретным потоком
Рассмотрим теперь некоторый фонд, т. е. финансовую систему (на-
(например, накопительный счет) S, состояние которого описывается фон-
фондовой переменной S(t), t ? Т. Эта система связана с внешним миром
денежным потоком
CF = {C(t), teT}.
Будем считать, что положительные значения сумм означают при-
приток средств в систему; эти суммы сами составляют поток CF+, кото-
который мы интерпретируем как входной поток. Аналогично отрицатель-
отрицательные значения сумм означают отток средств. Эти суммы составляют

10.3. Уравнение динамики фонда с дискретным потоком	353
выходной поток CF~. Схема системы, учитывающая такое расщепле-
расщепление потока, изображена на рис. 10.2.
В § 10.1 сформулированы принципы динамики накопительного сче-
счета (фонда), состояния которого изменяются под действием двух фак-
факторов:
•	внутреннего (процентного) роста по нормированной эффективной
ставке г,
•	за счет притока и оттока денежных сумм потока CF.
Если внешний поток отсутствует (т.е. нулевой), то фонд подчиня-
подчиняется автономному процентному
росту	ср+	ср-
S{t) = 5(to)(l + г)'"Ч
Более того, любые два состоя-
состояния фонда в моменты t\ и t^
связаны уравнением
5(?2) = S(t\)(l + г)*2"*1.	Рис. 10.2
Если же фонд имеет внешний поток CF, то уравнение динамики,
согласно уравнениям A0.5), A0.6), можно записать в виде
o[t) = o[to)[l-\-г) u+ 2_^ *^k\i \ ъ) , t ^ to,
или
S(t) = S(to)(l + iY~to + FV(CF\{ta]), t > t0.
Используя введенное нами в предыдущем параграфе понятие вре-
временной стоимости потока, последнее уравнение перепишем в виде
S(t) = S(to)(l +г)*"*° +TV(CF;to,t), t ^ t0.	A0.15)
Это уравнение носит название уравнения динамики фонда (с дискрет-
дискретным внешним потоком). Первый член правой части уравнения A0.15)
описывает автономный процесс процентного роста на отрезке [?о,?],
а второй — учитывает вклад внешнего потока, взвешенный с учетом
процентной ставки.
Уравнение A0.15) можно записать в несколько более общем виде:
St+h = S(t)(l+i)h + TV(CF;t,t + h), t^t0, h > 0. A0.16)
Это уравнение связывает любые два состояния фонда.
Заметим, что оба уравнения A0.15) и A0.16) определенным об-
образом ориентированы, т. е. в них мы находим будущее состояние по
прошлому или текущему состоянию фонда. Но уравнение A0.16) будет
справедливо и в общем (ориентированном) случае, когда допускаются
отрицательные значения h, т. е. если по данному состоянию находятся
предшествующие ему состояния. В этом случае в формуле A0.16)
используется введенное в предыдущем параграфе понятие временной
стоимости потока по ориентированному промежутку.
12 П. П. Бочаров, Ю. Ф. Касимов

354 Гл. 10. Модели с переменным капиталом и потоки платежей
Пример 10.4. Пусть порождающий поток CF имеет вид
CF = {@,100), A, -200), C,150), D, 130)}.
Найти последовательно состояния для моментов от t = 0 до t = 5 при ставке
г = 20% годовых, проходя их в прямом и обратном порядке.
Решение. Поскольку поток CF — порождающий, то событие @,100)
будем считать начальным. Тогда
50	= 100,
51	= S0(l +0,2) -200 = -80,
52	= Si A+0,2) = -96,
53	= S2(l+ 0,2) + 150 = 34,8,
#4 = 5зA+0,2)+ 130= 171,76,
#5 = #4A+0,2) = 206,11.
Пересчитаем теперь эти состояния в обратном порядке, начиная с S$:
Я = 206,11,
= 171,76,
1+0,2
s = sA
3
1+0,2
sA 1зо sA - 1зо
34
1+0,2 1+0,2 1+0,2
52 = ^	^ = -96,
1+0,2 1+0,2
51 = rife = -80'
Sl , 200 Si + 200
So = ТТод + ТТод = TTO2" = 10°-	И
Приведенные выше уравнения описывают модель динамики простой
финансовой системы типа текущего счета или накопительного вклада
с возможными пополнениями и изъятиями и т. п.
Пример 10.5. Инвестор открывает счет в момент ? = 0 с начальной
суммой So = 7^1000. В конце каждого нечетного года он снимает со счета
7^500, а в конце каждого четного года добавляет к счету 7^500. Если годовая
эффективная ставка равна 50%, то какова величина счета в конце 10 года?
Решение. Согласно уравнению A0.15) динамики счета, имеем
10
#10 = 1000A + 0,5I0 + УЧ-1)* • 500A + гI0"*
= 1000A,5I0 - 500 • -^	 = 46332,03(?г).
2,5

10.4. Непрерывные потоки платежей	355
10.4. Непрерывные потоки платежей
и общее уравнение динамики фонда
Потоки, с которыми мы имели дело до сих пор, относились к классу
дискретных потоков. Именно дискретность потока приводит к скачкам
функции S(t) в моменты поступления или выбытия сумм из пото-
потока. Очевидно, если суммы из потока «относительно малы», то такие
«скачки» будут также «относительно малыми». Поток, состоящий из
«очень малых» сумм с малыми временными интервалами между ними,
можно считать «практически непрерывным» и функцию состояния S(t)
фонда, представляющую собой «реакцию» на такой поток, также можно
считать практически непрерывной.
В физике поток жидкости или газа считается непрерывным, хотя,
как известно, и жидкость, и газ имеют дискретную, молекулярную
структуру, представляющую собой поток частиц. Точно так же можно
считать непрерывными денежные потоки, связанные с крупными фон-
фондами, например, поток ежедневных поступлений и изъятий для очень
большого банка и т. п.
Для финансовых систем с непрерывными потоками можно написать
уравнения динамики, вполне аналогичные тем, что были получены для
дискретных потоков. В некотором смысле эти уравнения даже про-
проще, чем для дискретного случая. Однако для их получения указание
составляющих поток денежных сумм в различные моменты времени
уже невозможно, поскольку для непрерывных потоков суммы, прихо-
приходящиеся на малые промежутки времени, малы и при уменьшении
этих промежутков стремятся к нулю, так что о сумме потока в точке
говорить нельзя, она просто равна нулю. Поэтому непрерывный поток,
как было показано в § 1.2, можно описывать двояко: либо с помощью
функций промежутков, либо с помощью функции времени, называе-
называемой плотностью потока. Обе эти характеристики тесно связаны между
собой. Поскольку в § 1.2 были даны все необходимые определения,
здесь мы их лишь кратко напомним.
Величина Vcf потока CF есть функция промежутков времени, со-
сопоставляющая каждому промежутку JCT соответствующее значение
Vcf(J) = V(J).
При этом величина V является аддитивной функцией промежутка:
если J = J\ U J2, J\ П J2 = 0, т. е. для непересекающихся промежутков
J\,J2, дающих в сумме промежуток J, значение величины для проме-
промежутка J есть сумма значений для соответствующих промежутков J\
и J2.
Непрерывность потока означает, что величина потока мала для
малых промежутков или, более точно, V(J) —> 0, если \J\ —> 0, где
\J\ — длина промежутка J.
12*

356 Гл. 10. Модели с переменным капиталом и потоки платежей
Для непрерывного потока величина потока в точке а, т. е. для
отрезка J = [а, а], будет равна нулю:
V([a,a\) = 0.
Отсюда и из свойства аддитивности, в частности, следует, что значение
величины V непрерывного потока CF на промежутке J не зависит от
вида промежутка:
V([a, Ъ]) = V([a, Ъ)) = V((a, Ъ]) = V((a, Ъ)).
Поэтому для непрерывных потоков их величину записывают просто
как функцию концов промежутка, т. е. для промежутка J = (а, Ь)
(любого вида) пишут V(J) = V(a,b).
Функция промежутка есть функция двух переменных, и поэтому
не слишком удобна, хотя всю теорию можно строить, исходя исключи-
исключительно из такого представления потока. Но более удобно и на практике
чаще всего встречается использование другого способа представления
потока. Это представление основано на понятии плотности (по време-
времени) потока.
Для потока, заданного функцией V(t\,t2), плотностью в момент
времени t называется величина
(если, конечно, такой предел существует).
Смысл этой величины достаточно простой. Можно сказать, что от-
отношение	Jr,J_ ^ ч
t2-U
есть «средняя скорость» потока, т. е. средняя величина «переносимых»
потоком сумм в единицу времени на промежутке [ti,^]-
Для малой величины t^ — t\ очевидно
т. е. величина суммы, поступившей в фонд за малый промежуток
[^1,^2], равна примерно /J>(t)(t2 — t\). «Примерно» здесь означает, что
эта величина тем точнее, чем меньше t2 — t\.
Если поток с величиной V имеет плотность /i(?), которая является
непрерывной функцией, то можно доказать, что
A0.17)
Так, для линейного потока CF с величиной
V{tuh)=a-{h-t\)

10.4. Непрерывные потоки платежей	357
плотность равна
r V(t,t + h) r ah
lim —-—	 = hm — = а,
h^O	h	h^O h
т. e. /i(t) = a = const.
С другой стороны, согласно формуле A0.17),
,t2) = \adt = a- (t2-h).
и
Если зафиксировать одну из переменных t\,t2 в V(t\,t2) и поло-
полоV@,t) =
жить	t
о
то плотность ц(?) будет просто производной этой функции, т. е.
Величину V@, t) в момент времени t можно интерпретировать как
денежную массу, «перенесенную» потоком за время t, начиная от
момента времени, равного 0.
Для непрерывного потока с плотностью /i(t) также можно опре-
определить понятие носителя. Мы определим его (не совсем точно) как
совокупность точек, в которых плотность отлична от 0:
supp CF = {t е Т | fi(t) ^ 0}.
Как и в случае дискретных потоков, будем говорить, что непре-
непрерывный поток сосредоточен на отрезке [а,Ь], если его носитель
содержится в этом отрезке: supp СF С [а,Ь], т.е. fi(t) равно 0 вне
промежутка [а, Ь].
Плотность ц(?) непрерывного потока с величиной V играет ту же
роль, что и отдельные суммы C(t), составляющие дискретный поток.
Остановимся на этом более подробно.
Пусть непрерывный поток CF сосредоточен на отрезке [а, Ь]. Разо-
Разобьем этот отрезок на п одинаковых «малых» отрезков длиной
Далее, пусть
tk = a + kAt,
— точки разбиения. Если At = tk — tk-\ достаточно мало, то в силу
непрерывности потока
V(tk, tk+i) = V(tk, tk + At) « /i(tfc)At.
Полагая
Ck -/i(

358 Гл. 10. Модели с переменным капиталом и потоки платежей
можем приближенно заменить непрерывный поток CF с величиной V
на дискретный CFAt, где At характеризует точность приближения.
Чем меньше At, тем точнее наше приближение. Характеристики дис-
дискретных потоков мы находить умеем. Так, можно найти накопленную
стоимость потока CFAt. Например, для t < Ъ имеем приближенное
равенство
FVb(CFAt) = ? Cfe(l + i)b~tk « ? M*Jfe)O + i)b~tkM.
k=0	k=0
Правая часть этого равенства есть просто интегральная сумма для
функции /i(t)(l + i)b~f, так что при At —> 0 получим
ъ	ъ
+г)ь~г(И = A + if
a	a
где	1
V =
1+г
— нормированный дисконтный множитель.
Полученный предел естественно назвать накопленным к моменту
времени Ъ значением непрерывного потока с плотностью /i(t):
ъ
FVb{CF) =
а
Точно так же из приближенного равенства для приведенного к а
значения потока CF имеем
п-\	п-\
rVa\brAt) — 2^ ^kV	~ 2^ №\гк)Ъ Lit,
k=0	k=0
переходя к пределу при At —> 0, получим
ъ
PVa(CF) = I" /i(t)^-a dt.
а
Наконец, для произвольного момента р текущее значение потока
CF/\t в этот момент определяется приближенным равенством
п—\	п—\
гУрук^г/ц) — 2_^ ^kV	~ 2^ r\J'k)v L\l,
к=0	к=0
откуда при At -^ 0 получим
ъ
PVP(CF) = I ^У~р dt.	A0.18)
a
В нашем случае поток CF был сосредоточен на отрезке [а,Ь].
На практике все потоки, как правило, финитны, т. е. сосредоточены

10.4. Непрерывные потоки платежей	359
на некоторых промежутках. Поэтому мы можем переписать последнюю
формулу в несколько более общем виде:
+ ОО
PVP(CF)= \ fi(ty-pdt.	A0.19)
Эта формула для потока, сосредоточенного на отрезке [а, Ь], дает
тот же результат, что и формула A0.18), поскольку /i(t) = 0 вне
отрезка [а, Ъ].
В описании динамики финансовой системы с дискретным потоком
важную роль играло понятие временной стоимости потока на проме-
промежутке (а, Ъ}\
TV(CF;(a,b])=FVb(CF\{aM);
в правой части здесь стоит накопленное (к Ь) значение для суже-
сужения потока CF на промежуток (а, Ъ]. Сужение на этот промежуток
непрерывного потока с плотностью /i(t) проще всего описать сужением
плотности	, ч	,
ffi(t), te(a,b];
Поток с плотностью /i(t) будет уже сосредоточен на промежутке (а, Ъ].
Теперь, дословно воспроизводя определение временной стоимости, дан-
данное для дискретного случая, получим
ъ
TV(CF; (а,Ь]) = FVb(CF\(aM) = L(*)(l + 1)ь~*dt.
Теперь все готово для получения уравнения динамики финансо-
финансовой системы, изменяющейся под действием постоянной процентной
ставки г и внешнего непрерывного потока CF с плотностью /i(?).
Рассмотрим состояние системы S на малом промежутке [t,t + h]. Если
S(t) — состояние в момент t, то изменение состояния S(t + К) — S(t)
определяется, во-первых, процентным ростом по ставке г за время h и,
во-вторых, поступлением денежных сумм за это время. Проценты за
время h составят
S(t)(l + if - S(t) = S(t)[(l + if - 1] « S(tNh,
где 5 = ln(l + г) есть не что иное, как интенсивность процентного
роста.
Величина денежных сумм, поступивших в систему, за промежуток
(t,t + h) за счет внешнего потока, задаваемого плотностью /i(t), со-
составляет
V(t,t + h) « n(t)h.

360 Гл. 10. Модели с переменным капиталом и потоки платежей
Таким образом, с точностью до бесконечно малых более высокого
порядка, чем h, получаем
S(t + h)- S(t) « 5S(t)h
откуда
li
и, переходя к пределу при h —> 0, получим
^	A0.20)
Это дифференциальное уравнение динамики финансовой системы.
Оно относится к одному из простейших типов обыкновенных диффе-
дифференциальных уравнений, к так называемым линейным неоднородным
уравнениям 1-го порядка. Если внешний поток нулевой, т.е.
то уравнение становится однородным
dS(t)
li{t) = 0,
ым
= SS(t)
dt
и, как мы уже знаем (см. гл. 8), оно описывает обычный экспоненци-
экспоненциальный процентный рост:
S(t) = 5(«о)е*-(*-*°) = 5(*0)A +г)'-*°.
Решение неоднородного уравнения, как легко показать (см. [18]),
имеет вид
S(t) = S^e6'^-^ + J /iE)e5'(t-s) ds.	A0.21)
to
Для to = 0 и S(to) = So эта формула принимает особенно простой вид:
t
S(t) = Soeft + jM*)e*'(t~e)ds.	A0.22)
о
Заметим, что поскольку
е5 = 1 +г,
то
Но тогда формулу A0.21) можно переписать в виде
t
S(t) = S(to)(l + г)*"*0 + J M*)(l + г)*-8 ds	A0.23)

10.4. Непрерывные потоки платежей
361
или
= FVt(CF\t)=
&(t) = o[t())[i -\- I) " -\- 1 V yL>r \ (to, t\).
Таким образом, мы получили, по существу, тот же результат, что и для
случая дискретных потоков.
Пример 10.6. Пусть система S имеет в начальный момент t = 0 нулевое
состояние, и внешний поток — линейный с постоянной плотностью /х(?) = а =
= const. Найти зависимость состояния системы от времени.
Решение. Согласно формуле A0.23)
t	t
Г	Г	(\ _L_ n\U t	(\ _L n\t .
S(t) = а A + iY~s ds = a A + i)u du = a •
о	о
Итак,
где 5 = InA+г).
Учитывая, что
{\ + i?-8 = v8-
формулу A0.23) можно переписать в виде
t
to
S(t) =
Отсюда для to = 0 получим
t
S(t) = Soy'* + f /iE)vs~t ds = [So + f fi(
ds.
s)vs
или
т. е. приведенное к моменту t = 0 состояние равно сумме начального
состояния и приведенной к t = 0 величины потока.
Как мы видим, теория систем с непрерывными потоками вполне
аналогична теории систем с дискретными потоками, с той лишь раз-
разницей, что для нахождения текущих значений дискретного потока
дисконтируются его составляющие суммы C(t), а для непрерывного
потока дисконтируется плотность fi(t) и, естественно, суммирование
для дискретного потока переходит в интегрирование для непрерывного.
При описании динамики фонда с внешним потоком мы всюду пред-
предполагали, что автономный рост, т. е. рост без учета внешнего пото-
потока, подчиняется показательному закону по фиксированной процентной
ставке. В предыдущей главе мы рассмотрели случай автономного

362 Гл. 10. Модели с переменным капиталом и потоки платежей
роста с непрерывно меняющейся процентной ставкой. Соответствую-
Соответствующее однородное дифференциальное уравнение для S имело вид
где 5(t) — переменная интенсивность роста.
Объединяя эту модель с моделью непрерывного потока, можно сра-
сразу записать дифференциальное уравнение для S(t) в случае внешнего
потока:
*m = S(t)S(t) + n(t).	A0.24)
Это линейное неоднородное уравнение 1-го порядка. Однако, в отличие
от стационарного случая
S(t) = 5,
который был рассмотрен выше, данное уравнение имеет непостоянный
коэффициент 5(t). Тем не менее можно получить в общем виде решение
и для этого уравнения (см. [18]):
S(t) =w(t0, t)S(t0) +\w(s, t)fi(s) ds,	A0.25)
to
где
w(s,t) =expf\S(u)du\	A0.26)
s
—	нестационарная функция автономного роста с интенсивно-
интенсивностью 5(t). С помощью этой функции можно находить будущие и те-
текущие значения для произвольного непрерывного потока, заданного
своей плотностью.
Так, выше мы получили выражение для текущей стоимости непре-
непрерывного потока с плотностью ji(t) и постоянной интенсивностью
роста 5 (см. A0.19)) в виде
+ ОО
PVP(CF) = [ ^у-р dt,
— сю
где
v = -L- = в'5
1+г
—	нормированный коэффициент дисконтирования, соответствующий
интенсивности 5. При этом

10.4. Непрерывные потоки платежей	363
— функция дисконтирования, соответствующая данному процессу ро-
роста. В общем случае для процессов роста с переменной интенсивностью
5(t), как было показано в гл. 9, функция дисконтирования имеет вид
Поэтому в данном случае текущая стоимость в точке s непрерывного
(финитного) процесса роста с плотностью /i(t) будет равна
+ ОО
PVP(CF)= J fi(t)v(p,t)dt
— оо
Пример 10.7. Пусть процентная ставка, равная 10% в первом году, уве-
увеличивается ежегодно на 5%, оставаясь неизменной в течение года. Рассмотрим
трехлетний поток на промежутке [0,3] с постоянной плотностью \i = 500.
Необходимо найти текущую (в момент 0) стоимость этого потока.
Решение. В этом примере
{Si =ln(l+0,l), (К t< 1;
52 = In A+0,15), 1 <?<2;
5з = In A+0,2), 2< t< 3.
Дисконтная функция v(t) имеет вид
t
(- J S(u) du)j,
Следовательно,
з	i
PVi
о	о
о	i	z	о
o = \ n(t)v(t) dt = fi,(\v(t)dt+ \v(t)dt+ \v(t)dt\ =
= 500
+ e	^+ e	^
Oi	02	0%
Подставляя числовые значения для S\, S2, 63 и учитывая, что
е~8х = AД), е~52 = (Мб), е~5* = A2)~\
получим
PV0= 1262,44(?г).	¦
Вернемся к общему уравнению динамики фонда с интенсивностью
роста 5(t) и внешним потоком с плотностью /i(?). Коэффициент w(s,t),
определяемый равенством A0.26), является функцией именно авто-

364 Гл. 10. Модели с переменным капиталом и потоки платежей
ножного процентного роста, т. е. роста в условиях отсутствия внешнего
потока (fi(t) = 0). В таком случае (см. гл. 9)
S(t) = S(to)w(to,t)
и, более общим образом, для любых t\,t2'.
S(t2) = S(U)w(tut2).
Отметим, что в гл.9 функция роста обозначалась через a(t\,t2).
Причина изменения обозначений состоит в том, что при наличии внеш-
внешнего потока (/i(?) ф 0) функция w(t\,t2) уже не будет функцией роста
для процесса S(t). Более того, интенсивность 5(t) также не будет
интенсивностью роста процесса, она — показатель интенсивности толь-
только автономного процентного роста. Функцией роста для процесса,
задаваемого общим уравнением A0.24), будет функция, определяемая
равенством
<44,t2)	W7T\-
b\t\)
Соответственно, интенсивность роста определяется как логарифмиче-
логарифмическая производная:
Как легко видеть, эти функции при наличии внешнего потока могут
отличаться от своих автономных аналогов.
Пример 10.8. Рассмотрим процесс с постоянными силой процентов
и плотностью внешнего потока: 5,ц = const. Найти функцию и интенсивность
роста процесса, определяемого этими параметрами.
Решение. Автономный коэффициент роста равен
= e'{t~s).
Уравнение динамики фонда примет в этом случае вид (для to = 0)
t	St
S(t) = S(to)e6t + Le*'(t-S) ds = Soe6t + м(е ~1).
J	о
0
Следовательно,
v' S(t)	S(t)	¦ S(t)	¦ So8est + ф'* - 1У
Таким образом, видно, что интенсивность роста процесса S(t) при S, \i > 0
будет больше интенсивности S только процентного (внутреннего) роста из-за
наличия входного потока с плотностью \i.	Ш
Хотя мы назвали уравнение A0.24) общим уравнением динамики
фонда, строго говоря, оно применимо лишь к фондам, в которых

10.4. Непрерывные потоки платежей	365
(внутренний) процентный рост подчиняется схеме сложных процентов.
Это видно из структуры дифференциального уравнения
описывающего динамику фонда. В самом деле, первое слагаемое пра-
правой части, описывающее процентный рост, пропорционально текущему
состоянию. Так, проценты I(dt), начисляемые за бесконечно малый
период dt, будут равны
I(dt) = S(tM(t)dt,
где S(t) — текущее состояние. Это приводит к тому, что даже в отсут-
отсутствии внешнего потока (/i(t) = 0) фонд растет по экспоненциальному
закону
S(t) = S(to)e5^-eQ\
что характерно именно для сложных процентов. Конечно, выбором
меняющейся интенсивности 5(t) можно имитировать и линейный рост
S(t) = Sto(l+i(t-to)),
типичный для схемы простых процентов. Для такого процесса интен-
интенсивность роста, как было показано выше, равна (to = 0)
Попробуем, однако, использовать эту интенсивность для задания про-
процесса накопления по схеме простых процентов при наличии внешнего
потока с постоянной плотностью [I. Сила процентов A0.26) определяет
функцию процентного роста w(s,t):
t
/ ,ч /Г г/ \ 7 А 1 + it
w(s,t) = exp ( o(u)du\ =	—.
\J	/ A ~r IS
s
Подставляя выражение для w(s,t) в формулу A0.25), получим
S(t) = S0w@,t)+ \
t	*
1 +is
0	0
ds =
= S0(l+it) + (l+it) \yJi-ds= \SO+ l-JL^ds\(l+it). A0.27)
I A ~T IS	\_	I 1 \~ %S J
J	J
0	0
Смысл этой формулы понять несложно.
Подынтегральное выражение во втором слагаемом . ds есть не
что иное, как текущая стоимость в схеме простых процентов бес-
бесконечно малого элемента fids внешнего потока. Тогда интеграл будет

366 Гл. 10. Модели с переменным капиталом и потоки платежей
представлять собой просто стандартную текущую стоимость в схеме
простых процентов отрезка потока на промежутке [0, t]. Умножение
интеграла на коэффициент A + it) приводит эту текущую стоимость
к моменту t, так что смысл всего второго слагаемого в A0.27) опреде-
определяется равенством
FVt(PV0(CF\m)) = FV{°\CF\t),
где справа стоит оператор приведения относительно полюса р = 0
(см. гл. 6).
Первое слагаемое Sq(\ +it) — это просто приведенное (накоплен-
(накопленное) к моменту t значение начальной суммы Sq.
Таким образом, состояние S(t) фонда определяется равенствами
S(t) = FVt{0\CF\t),
где	^^
CF = {(to,So)} + CF
— полный (смешанный) поток, порождающий процесс S(t).
Хотя формально «придраться» здесь, вроде бы, не к чему, вспомним,
однако, что процентное накопление с внешним потоком для схемы
простых процентов описывалось нами, по крайней мере, двумя спо-
способами в соответствии с двумя различными «правилами взаимодей-
взаимодействия» внешнего потока и текущего состояния. Наиболее простым
является коммерческое правило, предусматривающее независимое из-
изменение основного и процентного счетов. Обобщение этого правила
на случай непрерывных внешних потоков несложно. В самом деле,
малый элемент потока с плотностью fi(u) на отрезке [и, и + Аи] будет
приближенно равен fi(u)Au. Накопленная к моменту t стоимость этого
потока при фиксированной процентной ставке г будет равна
FVt(n(u)Au) = fi{u)(l + i(t - и))Аи.
Ясно, что накопленная стоимость всего потока будет равна сумме
стоимостей всех элементов потока. В предельном случае она выража-
выражается просто интегралом
t
[/х(гОA +i(t-u))du,
о
который для постоянной плотности \i равен
Для постоянной плотности /i первое слагаемое fit есть не что иное, как
величина потока на отрезке [0,t}\

10.4. Задачи	367
Но тогда для второго слагаемого имеем
i/nt2 _ V(O,t)it
~Y~ ~ 2 '
Эту величину можно трактовать как среднюю величину процентов 1ср
от потока CF на промежутке [0, ?], задаваемого своей величиной V.
Окончательно получаем равенство
S(t) = So + V@, t) + iSot + /Cp,	(Ю.28)
в котором первая пара слагаемых есть просто состояние основного
счета в момент t:
Pt = S0 + V@,t),
т. е. это аккумулированный фондом капитал к моменту t, а вторая пара
слагаемых — состояние процентного счета в момент t:
It = iSot + /ср.
Заметим, что в § 7.4 мы получили аналогичный результат, исполь-
используя непрерывную модель коммерческого счета.
Ясно, что формула A0.28) дает значения 5(t), отличные от значе-
значений, получаемых по формуле A0.27). Эти различия обуславливаются
разными схемами взаимодействия внешнего потока и состояний нако-
накопительного счета.
Вопросы и упражнения
1.	Выпишите рекуррентные уравнения для состояния счета, порожденного
потоком платежей в схеме сложных процентов.
2.	Дайте определение временной стоимости дискретного потока на задан-
заданном промежутке.
3.	Дайте определение временной стоимости непрерывного потока на задан-
заданном промежутке.
4.	Выпишите выражения для будущего и текущего значений финансового
потока, заданного на отрезке [а,Ь], используя понятие временной стоимости
потока.
5.	Выпишите дифференциальные уравнения для состояния фонда с первич-
первичным потоком платежей и переменной интенсивностью.
6.	Как связаны интенсивности автономного и неавтономного (с внешним
потоком) роста фонда в схеме сложных процентов?
Задачи
1. Пусть эффективная ставка фонда за k-й год равна
ък = Ck(l+i0)- I, k= 1,2,...,га.
Найти: а) коэффициент роста a(t) фонда для t = 1,2,...,п; б) эквивалентную
ставку фонда за первые п лет.

368 Гл. 10. Модели с переменным капиталом и потоки платежей
2.	Начальная годовая эффективная ставка фонда равна 10%. В течение по-
последующих 10 лет ставка увеличивается на 2% ежегодно. Начальная величина
фонда равна $5000. Найти накопленную стоимость фонда в конце 5-го и 10-го
годов.
3.	Решите задачу 2 при условии, что в конце первых 5 лет в фонд вносятся
$2000 ежегодно, а в течение следующих 5 лет из фонда изымаются $10000
ежегодно.
4.	Фонд имеет постоянную (автономную, внутреннюю) интенсивность ро-
роста 5 = 0,1. Внешний поток задается кусочно-постоянной плотностью
МО, 0<?<5,
-10, 5<?<10.
Начальная величина фонда равна So = 100. Найти стоимость фонда в моменты
t = 5 и t = 10. Найти общую интенсивность роста (с учетом внешнего потока)
в момент t = 8. Определена ли эта интенсивность в момент t = 5?
5.	Пусть интенсивность процентного роста фонда равна
, 2<?<10.
Величина фонда в момент t = 5 равна 7^100000. Найти проценты, заработан-
заработанные фондом за период [5,10].
6.	Фонд с интенсивностью процентного роста S(t) = 2t — 1 и внешним
потоком с плотностью fi(t) = e~2t в момент t = 1 имеет величину Si = 5.
Найти общую (с учетом внешних поступлений) интенсивность роста фонда
в этот момент.
7.	Докажите, что для накопительного счета
где I(t\,t2) — проценты, полученные за период

Глава 11
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ
ДЕНЕЖНЫХ ПОТОКОВ.
ОБЩАЯ СХЕМА СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ
В предыдущей главе, посвященной моделям с переменным капита-
капиталом в схеме сложных процентов, мы ввели понятия будущей FVt(CF)
и текущей PVt(CF) стоимостей денежного потока CF. В этой гла-
главе мы подробно рассмотрим эти понятия в более общем контексте
стандартной схемы простых процентов. Материал этой главы является
непосредственным продолжением § 8.9, посвященного преобразовани-
преобразованиям и эквивалентности финансовых событий в схеме простых процен-
процентов. Изложение начинается с анализа дискретных потоков в рамках
стандартной схемы сложных процентов, т. е. схемы с постоянными
коэффициентами роста и дисконтирования и заканчивается описанием
общей схемы сложных процентов.
11.1. Алгебра денежных потоков
Напомним сначала упомянутые выше характеристики потоков пла-
платежей.
Определение 11.1. Пусть
= {(*,, С, ),(*2.С2),...,(*„,СП)}
— поток платежей. Тогда текущей (приведенной) стоимостью потока
в момент р относительно нормированной ставки г в схеме сложных
процентов называется величина
A1.1)
к=\
где	1
— нормированный дисконтный множитель.
Момент времени р, относительно которого находится текущая сто-
стоимость, называется моментом приведения (полюсом или фокальной
датой). Ставка г, с помощью которой осуществляется приведение
(дисконтирование) платежей потока, часто опускается в обозначении

370 Гл. 11. Преобразование и эквивалентность денежных потоков
текущей стоимости. Так, пишут просто PVP(CF), считая ставку i
заданной неявно.
Определение 11.1 является общим в том смысле, что применяется
для любых значений момента приведения р независимо от его положе-
положения относительно моментов платежей потока. В частности, если
р > t\,t2,... ,tn,
т. е. момент приведения следует за всеми платежами потока, то теку-
текущая стоимость будет совпадать с будущей (накопленной) стоимостью
потока
PVp{CF) = FVP{CF).
Если же момент р предшествует всем платежам потока, то текущая
стоимость совпадает с традиционным пониманием текущего (приведен-
(приведенного к настоящему моменту) значения платежей.
Пример 11.1. Пусть
CF = {A,100), B, -200), C,500)}
и г = 20%. Найти: a) PVA(CF), б) PV0(CF), в) PV2{CF).
Решение.
а)	PVA{CF) = lOOi;1 + (-200>2~40 + 500^3~4 =
= 100A + if - 200A + if + 500A + г).
Таким образом,
PVA{CF) = FVA{CF) = 100A,2K - 200A,2J + 500 • 1,2 = 484,80.
б)	PV0(CF) = lOOv1 - 200?;2 + 500?;3 = -^- - 2°° 0 + 5Q° ,.
1-1-7	A I 'X	(\ I '\
Таким образом,
PV0(CF) = — - -^ + ^^з = 233,80.
в)	PV2(CF) = lOOi;1 - 200i;2 + 500i;3 = 100A + г) - 200 + 5°° -
1+г
= 100A,2) - 200 + — = 336,67. ¦
Замечание. Поскольку изложение этой главы имеет общетео-
общетеоретический характер, мы не будем указывать в примерах денежные
единицы соответствующих сумм платежей в потоках.	?
Согласно определению текущая стоимость потока равна сумме те-
текущих стоимостей платежей, составляющих поток. Смысл нахождения
текущей стоимости состоит в приведении всех платежей к одному
и тому же моменту времени (полюсу, фокальной дате) и сложению
полученных приведенных значений. Такое приведение необходимо, по-
поскольку складывать денежные суммы, относящиеся к различным мо-
моментам времени некорректно. Приведение сумм фактически означает

//./. Алгебра денежных потоков	371
замену их эквивалентами значениями, относящимися к заданному мо-
моменту приведения. Таким образом, суммирование этих эквивалентных
значений для платежей потока дает в некотором смысле эквивалентное
(с финансово-экономической точки зрения) представление всего потока
в виде отдельной суммы или, точнее, отдельного финансового события.
Замена целого потока на отдельную сумму (событие) во многих
случаях существенно упрощает финансовый анализ и позволяет, как
мы неоднократно увидим в дальнейшем, легко решать многие задачи
по определению характеристик денежных потоков.
Тот факт, что текущая стоимость потока определяется как сумма
текущих стоимостей отдельных платежей потока, приводит к следую-
следующим очевидным, но весьма полезным свойствам линейности:
•	аддитивность'.
PVP(CFX + CF2) = PVP(CFX) + PVP(CF2),
т. е. текущая стоимость суммы двух потоков равна сумме их
текущих стоимостей)
•	однородность'.
PVt(XCF) = \PVt(CF),
т. е. текущая стоимость потока, полученного из данного умно-
умножением всех его платежей на число А, есть произведение те-
текущей стоимости исходного потока на это число.
При этом сумма потоков определяется через платежную функ-
функцию как
где C(t) — платеж в момент t для суммарного потока (CF\ + CF2),
a C\(t) и C2{t) — платежи в момент t потоков CF\ и CF2 соответствен-
соответственно. Для потока XCF платеж в момент времени t — произведение
платежа C(t) и числа А. Напомним, что если моменту t не соответ-
соответствует никакого платежа из потока CF, то C(t) = 0 по определению.
Пример 11.2. Пусть
CFx = {A,100), B, -400), C,600)},
CF2 = {@,200), B,500), D,900)}.
Найти PV2BCFi - 3CF2) для i = 50%.
Решение. Очевидно, что
2CFX = {A,200), B, -800), C,1200)},
-3CF2 = {@, -600), B,-1500), D, -2700)}.
Следовательно,
2CFX - 3CF2 = 2CFX + (-3)CF2 =
= {@, -600), A,200), B, -2300), C,1200), D, -2700)}.
Если г = 50% и t = 2, то
PV2(CFx) = 100A+0,5)-400+-^- = 150,

372 Гл. 11. Преобразование и эквивалентность денежных потоков
PV2(CF2) = 200A + 0,5J + 500 + —^—^ = 1350
и, следовательно,
PV2BCFi - 3CF2) = 2PV2(CFi) - 3PV(CF2) =
= 2-150-3- 1350 = -3750. ¦
Введем еще одну важную операцию — временной сдвиг потока.
Начнем с простейшего случая, когда поток состоит из одного платежа,
т. е. сводится к одному событию.
Определение 11.2. Сдвигом события (t,C) по времени на
шаг Т назовем событие (t + Т, С).
Временная диаграмма этой операции изображена на рис. 11.1.
Оператор сдвига обозначим выра-
С	^т	с	жением Ьт, так что определение сдви-
^^^~~	"~~~^^	га можно переписать в виде
t	t + T	LT(t,C) = (t + T,C).
Рис. 11.1	Сдвиг может быть как положитель-
положительным (Т > 0), действующим в направ-
направлении временной шкалы, так и отрицательным (Т < 0), действующим
в противоположном направлении.
Определение 11.3. Сдвигом финансового потока называет-
называется поток, получаемый сдвигом по времени всех платежей исходного
потока на один и тот же шаг Т. В операторном виде этот сдвиг
записывается как
LT{(tl,C1),(t2,C2),...,(tn,Cn)} =
= {(t1+T,C1),(t2+T,C2),...,(tn + T,Cn)}.
Докажем следующую простую лемму о сдвиге события.
Лемма 11.1 (о сдвиге события). Пусть (t,C) — некоторое событие.
Тогда текущая стоимость сдвинутого события (t + Т, С) относительно
любого момента т равна произведению текущей стоимости исходного
события на число X = vT, называемое мультипликатором сдвига, т. е.
PVr(LT(t,C))=vTPVr(t,C).
Доказательство. В самом деле,
PVT{t + Т, С) = Cv{tJrT)~T = CvTvl-T = vTCvl-T = vTPVT(t, С). Ш
Эта лемма в силу линейности текущей стоимости легко переносится
на поток событий.
Лемма 11.2 (о сдвиге потока). Пусть CF — дискретный поток
платежей. Тогда текущая стоимость сдвинутого на шаг Т потока
Lt(CF) относительно момента г есть произведение текущей стоимости
PVt(CF) исходного потока и мультипликатора сдвига vT.

//./. Алгебра денежных потоков	373
Доказательство. Пусть
Тогда
= {(ti+T,Ci),(t2+T,C2),...,(tn+T,Cn)}.
Следовательно,
PVT(LT(CF)) = J2 PVr(tk + Т, Ck) =
k=\
= JT vTPVr(tk, Ck) =vTJ2 PVT(tk, Ck) = vTPVT(CF). ¦
k=\	k=\
Пример 11.3. Пусть
CF = {B0,100), B1,300), B2,600)}.
Найти текущую относительно т = 0 стоимость потока при ставке г = 10%.
Решение. Можно, конечно, найти текущую стоимость этого потока
непосредственно по определению. Однако замечая, что данный поток есть
сдвиг на Т = 20 потока
CF' = {@,100), A,300), B,600)},
воспользуемся леммой 1.2. Тогда, вычисляя для потока CF1 его текущую сто-
стоимость
PV0(CF') = 100 + ™ + -^ = 868,60,
получим
PV0(CF) = v20 • PV0(CFf) = 129,11.	¦
Сдвиг потока не меняет момент приведения, но изменяет взаим-
взаимное расположение моментов платежей потока и момента приведения.
Такого изменения взаимного расположения можно добиться, оставляя
неизменным поток, но сдвигая при этом момент приведения г.
Лемма 11.3 (о сдвиге полюса). Пусть (t,C) — событие и г —
момент приведения. Тогда для любого Т
PVT+T(t,C)=v-TPVT(t,C).
Доказательство. Это соотношение вытекает из следующей
цепочки равенств:
PVT+T{t, С) = C^-(r+T) = Cvl-Tv-T = v-TPVT(t, С).	Ш
Таким образом, мультипликаторы сдвига события и момента приве-
приведения взаимно обратны.
Лемма 11.3 тривиальным образом распространяется на потоки.
Лемма 11.4. Пусть CF — дискретный денежный поток, т —
момент приведения и Т — параметр сдвига. Тогда
PVT+T(CF) = v-TPVT(CF).

374 Гл. 11. Преобразование и эквивалентность денежных потоков
Доказательство. Пусть
CF = {(tl,Cl),(t2,C2),...(tn,Cn)}.
Тогда
PVT+T(CF) = JT PVT+T(tk,Ck) = JT v-TPVr(tk,Ck) =
= v
-TjrPV(tkCk)=v-T
jrPVr(tk,Ck)=v-TPVr(CF).
k=\
Следствие 11.1. Для любого дискретного потока платежей CF
одновременный сдвиг потока и момента приведения (на один и тот же
шаг Т) не меняет текущую стоимость:
PVT+T(LT(CF)) = PVT{CF).
Доказательство. Утверждение данного следствия немедленно
вытекает из лемм 11.2 и 11.4.	¦
Лемму о сдвиге момента приведения можно сформулировать
несколько иначе, как связь между текущими стоимостями потока
относительно двух различных моментов приведения.
Теорема 11.1. Пусть CF — произвольный дискретный поток. Тогда
для любых двух моментов приведения т\ и т2 справедливо соотношение
PVT2(CF) = vT[-T2PVn(CF).
Доказательство теоремы получаем тривиальным образом из
леммы 11.4, полагая т2 = т\ + Т.	¦
Теорема 11.1 чрезвычайно полезна в практических вычислениях.
Она означает, что для вычисления текущих стоимостей потока в раз-
разных точках достаточно вычислить это значение в какой-либо одной
точке, тогда значения во всех остальных точках будут получаться
простым домножением полученного значения на подходящую степень
дисконтного множителя.
Пример 11.4. Рассмотрим поток CF следующего вида:
CF = {@,100), A, -200), B,300), C, 500), D, -600)}.
Для процентной ставки i = 20% (за период) найти текущие стоимости
PVo(CF) и PVa(CF).
Решение. Найдем сначала приведенное значение потока в точке t = 4:
PV4(CF) = 100A + 0,2L - 200A + 0,2K +
+ 300A + 0,2J + 500A + 0,2) - 600 = 293,76.
Согласно теореме 11.1 для нахождения текущей стоимости потока в точке 0
нет необходимости пересчитывать текущие стоимости платежей потока. До-
Достаточно текущее в точке t = 4 значение умножить на мультипликатор сдвига

//./. Алгебра денежных потоков	375
Таким образом (с точностью до двух знаков после запятой),
PV0(CF) = A,2) • 293,76 = 141,67.	¦
Теорема 11.1 имеет одно весьма полезное следствие, которое мы
сформулируем в виде отдельной леммы.
Лемма 11.5. Для любого дискретного потока платежей CF и лю-
любых моментов приведения г, s справедливо соотношение
PVT(PVS(CF)) = PVT(CF).	A1.1)
Доказательство. Положим PVS(CF) = Cs. Тогда, с одной
стороны, в силу теоремы 11.1 (при т^ = т и т\ = s) получим
PVT(CF) = vs-TPVs(CF) = vs~TCs.
С другой стороны, для события (s,Cs) имеем
Следовательно,
PVT(PVS(CF)) = PVs(CF)vs-T
и, значит,
PVT(PVS(CF)) = PVT(CF).	Ш
Свойство A1.1) является обобщением на потоки доказанного в §8.9
свойства поглощения оператора приведения событий.
В заключение приведем еще одно важное свойство текущей стои-
стоимости, которое можно назвать ассоциативностью.
Теорема 11.2 (свойство ассоциативности текущей стоимости).
Пусть дискретный поток платежей CF разбит на m частей — подпо-
токов:
k=\
при этом каждая из составных частей CFk приведена к некоторому
моменту времени т&. Кроме того, положим
Dk = PVTk{CFk).
Тогда для любого момента т текущие стоимости исходного потока CF
и преобразованного потока CF*:
CF* = {(TUDl),(T2,D2),...,(Tn,Dn)},
составленного из текущих стоимостей частей исходного потока, отно-
относительно этого момента совпадают:
PVT(CF) = PVT(CF*).

376 Гл. 11. Преобразование и эквивалентность денежных потоков
Доказательство. Так как по условию теоремы поток CF пред-
представляется в виде суммы из т подпотоков, то в силу линейности
оператора текущей стоимости получаем
т
PVT(CF) = ^ PVT(CFk).
k=\
С другой стороны, в силу леммы 11.5
PVT{Dk) = PVT{PVTk{CFk)) = PVT(CFk),
т е
i.e.	ш	ш
PVT(CF) = J2 PVT(CFk) = Y, PVT(Dk),
fc=l	k=\
vmDk = PVTk{CFk).
В свою очередь, согласно определению текущей стоимости
Y,PVT{Dk)=PVT(CF*).
k=\
Таким образом, получаем требуемое равенство
PVr(CF) = PVr(CF*).	Ш
Пример 11.5. Рассмотрим снова поток из примера 11.4. Разобьем его
на две части, одна из которых состоит из положительных, а другая — из
отрицательных платежей:
CFX = {@,100), B, 300), C,500)}, CF2 = {A,-200), D, -600)}.
Требуется найти текущие стоимости PVo(Ci^) и PVa(CF), используя резуль-
результаты теоремы 11.2.
Решение. В качестве момента приведения для первого подпотока возь-
возьмем т\ = 3, а для второго возьмем т2 = 0. Наконец, в качестве финального
момента приведения возьмем т = 4. Тогда последовательно получим
PV3(CFi) = 100 • A,2K + 300 • A,2) + 500 = 1032,8,
PV0(CF2) = -200 • (U) - 600 • A,2) = -456,02,
и, наконец,
РУ4({C; 1032,8), @, -456,02)}) = 1032,8 • A,2) - 456,02 • A,2L = 293,76,
что совпадает с полученным в примере 11.4 значением PVi(CF).	Ш
11.2. Эквивалентность потоков платежей
В нашем изложении теории процентной ставки постоянно подчерки-
подчеркивались два взаимосвязанных аспекта. Первый касается всевозможных
преобразований событий и составленных из них потоков.
Так, операторы будущей и текущей стоимостей позволяли преобра-
преобразовывать события (суммы) и потоки событий (платежей). Формально
это означает сопоставление некоторому событию, т. е. сумме, относя-

11.2. Эквивалентность потоков платежей	377
щейся к некоторому моменту времени, некоторого другого события,
сумма которого относится к другому моменту времени. Внешне это
преобразование выглядит как перенос (сдвиг) события от одного мо-
момента времени к другому с изменением, вообще говоря, денежной
суммы этого события. При этом преобразованное событие считается эк-
эквивалентным в финансово-экономическом смысле исходному событию.
Эта эквивалентность понимается как равноценность денежных сумм,
участвующих в преобразовании событий при определенных внешних
условиях, в которых главным фактором является фиксированная про-
процентная ставка. Процентная ставка однозначно определяет механизм
преобразования событий (сумм) и тем самым их эквивалентность.
Таким образом, преобразование событий определяет второй аспект,
связанный с понятием эквивалентности событий или (датированных)
денежных сумм.
Напомним данное в гл. 8 определение эквивалентности событий
в схеме сложных процентов. События считаются эквивалентными (от-
(относительно заданной процентной ставки), если одно из них можно
преобразовать в другое с помощью операции приведения. Формально,
как мы помним, это означает следующее.
События (t\,C\) и (?2,62) называются эквивалентными (в схеме
сложных процентов) и обозначаются как (t\,C\) ~ (?2,^2), если
C2 = PVt2(tuCi)
или, в развернутом виде,
Как было показано в гл. 8, определенное таким образом отношение
между событиями действительно является отношением эквивалентно-
эквивалентности, т. е. оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Точно также приведение потока к некоторому моменту т, т. е. вы-
вычисление его текущего относительно момента г значения означает по
существу замену потока платежей эквивалентной ему единственной
суммой, а точнее, эквивалентным событием. Таким образом, с финансо-
финансово-экономической точки зрения в рамках заданных условий (известной
процентной ставки) поток и его текущая стоимость эквивалентны. Пе-
Перенесем теперь определение эквивалентности событий, а также потока
и его приведенного значения на произвольную пару потоков.
Определение 11.4. Два дискретных финансовых потока CF\
и CF2 называются эквивалентными относительно процентной ставки г
и момента приведения т, если их текущие стоимости относительно
этого момента совпадают, что в формальном виде записывается как
CFX ^ CF2 «=> PVT(CFi) = PVT(CF2).
В этом определении эквивалентность потоков зависит от выбора
момента приведения. Покажем, что на самом деле ее выбор безраз-

378 Гл. 11. Преобразование и эквивалентность денежных потоков
личен, т. е. потоки, эквивалентные относительно одной точки, будут
эквивалентны относительно любой другой.
Теорема 11.3. Пусть CF\ и CF2 — потоки платежей, а г —
процентная ставка. Тоща для любых т\, т2
CFX W CF2 ^^ CFX *Я CF2,
т. е. эквивалентность потоков относительно одной из точек равносильна
их эквивалентности относительно другой.
Доказательство. Пусть при фиксированной процентной став-
ставке г, которую ниже мы не будем указывать,
- CF2,
тогда
Применяя к этому равенству оператор приведения к точке т2, получим
PVT2{PVTl{CFx)) = PVT2(PVTl(CF2)),
что на основании свойства A1.1) дает
а это равносильно эквивалентности относительно точки т2.	Ш
Таким образом, можно говорить просто об эквивалентности пото-
потоков, не упоминая никаких моментов времени. Ранее в гл. 8 мы доказали
этот факт для событий.
Пример 11.6. Показать, что потоки
CFX = {@,300), B,120)} и OF2 = {A,260), C,288)}
эквивалентны относительно ставки ъ = 20%.
Решение. Выберем в качестве момента приведения т = 1. Тогда
PVX(CFX) = 300 • A,2) + 120 • (U) = 360 + 100 = 460.
Аналогично,
PVi(CF2) = 260 + 288 • A,2) = 260 + 200 = 460.
Таким образом,
PVi(CFi) = PVi(CF2),
что означает эквивалентность потоков относительно точки т = 1, а следова-
следовательно, относительно и любой другой точки, т. е. эти потоки эквивалентны. ¦
Отношение эквивалентности потоков обладает рядом очевидных
и легко доказываемых свойств.
Во-первых, отметим, что для него выполнены все определяющие
свойства:
• рефлексивности:
CF - CF,

11.2. Эквивалентность потоков платежей	379
•	симметричности:
CFX ~ CF2 ^=^ CF2 ~ CFU
•	транзитивности:
если CFX ~ CF2 и CF2 ~ CF3, то CFX I CF3.
Во-вторых, свойство эквивалентности сохраняется при всех ос-
основных операциях над потоками. В частности, эквивалентность по-
потоков устойчива относительно сложения потоков: если CF\ ~ CF[
и CF2 ~ CF2', то
CFX + CF2 ~ CF[ + CF^
а также относительно их умножения на число: если CF\ ~ CF[, то
\CFX I \CF[.
Из этих свойств следует, что если в данном потоке отдельные
события потока или его части заменяются на эквивалентные потоки, то
поток, полученный таким преобразованием, является эквивалентным
исходному. Это свойство можно назвать обобщенной ассоциативно-
ассоциативностью отношения эквивалентности. Формально оно является простым
обобщением устойчивости эквивалентности относительно суммирова-
суммирования потоков. Докажем ниже это свойство.
Теорема 11.4. Пусть CF^ ~ CF'k для к = 1, 2,..., п. Тогда
к=\	к=\
Доказательство. Выбирая произвольный момент времени при-
приведения г и используя аддитивность текущей стоимости, получим
х/с=1	к=\
Поскольку CFk - CF'k, то
и, значит,
PVT(CFk) = ? PVT{CF'k) = PVJJT CF?).
k\	41
k=\	k=\	4=1
Следовательно,
fc=l

380 Гл. 11. Преобразование и эквивалентность денежных потоков
Пример 11.7. Рассмотрим потоки
CFX = {@,100), B, 300), C, 500)}
и
CF2 = {A,-200), D,-600)},
являющиеся частями потока CF из примера 11.4. Пусть п = 3 — момент
приведения для первого потока и т2 = 0 — второго потока. Используя теорему
11.4, найти поток, эквивалентный потоку CF.
Решение. В примере 11.5 показано, что
PV3(CFi) = 1032,80,
что равносильно эквивалентности
CFX ~ {C; 1032,80)}.
Аналогично, равенство
PVo(CF2) = -456,019
равносильно эквивалентности
CF2~ {@,-456,019)}.
Поскольку
CF = CFi+CF2,
то теорема 11.4 дает эквивалентность
CF °-2 {@, -456,019), C; 1032,80)}.
В этом мы убедились в примере 11.5 прямым вычислением текущих стоимостей
обеих частей этой эквивалентности.	¦
11.3. Общая схема сложных процентов
Рассмотрим элементы алгебры потоков в несколько более общем
контексте, чем это было сделано ранее в данной главе. Обобщения
касаются двух аспектов, связанных с денежными потоками. Во-первых,
рассмотрим непрерывные, а также общие потоки платежей. Во-вторых,
откажемся от условия постоянства процентных ставок. В итоге полу-
получим достаточно общие результаты, касающиеся общих потоков плате-
платежей, рассматриваемых в рамках общей схемы сложных процентов.
Прежде чем перейти к определению общей схемы сложных про-
процентов и ее обсуждению, напомним кратко понятие общей финансовой
схемы (см. также гл. 1).
Общая финансовая схема в качестве базовых элементов включает
в себя финансовые события и финансовые потоки, финансовые законы
капитализации и дисконтирования и индуцированное ими отношение
эквивалентности. Определяющими элементами являются заданные фи-
финансовые законы капитализации (роста)
V	= A(p;t,C), p^t,
и дисконтирования
V	= D(p;t,C), p<t.

11.3. Общая схема сложных процентов	381
Смысл этих законов состоит в нахождении для любого события
(?, С) его накопленного или будущего значения
Vp = FVp(t, С) = А(р; ?, С), p^t,	A1.2)
а также приведенного, текущего или дисконтированного к моменту р
значения
Vp = DVp(t, С) = D(p; t, С), p<t.
Эта пара законов задает оператор преобразования или приведения
событий к любому моменту времени р (полюсу, фокальной точке,
моменту валоризации), обозначаемый как PVp:
гле
(FVJt,C), если p^t,
PVM,C) = \ РК J
РУ J \DVp(t,C), если p<t.
Законы капитализации и дисконтирования удовлетворяют ряду по-
постулатов (условий). Эти постулаты и следствия из них достаточно
подробно обсуждались в гл. 1. В гл. 8 показано, что финансовые законы
в стандартной схеме сложных процентов обладают свойствами одно-
однородности, стационарности, непрерывности и взаимной сопряженности.
Эти свойства следовали из конкретной (показательной) формы финан-
финансовых законов. Ниже некоторые из этих свойств мы примем в качестве
постулатов, определяющих общую схему сложных процентов. Выпол-
Выполнение этих свойств (постулатов) приводит, как будет показано ниже,
к специальной форме финансовых законов в общей схеме сложных
процентов.
Определение общей схемы сложных процентов. Будем считать,
что для общей схемы сложных процентов выполняются следующие по-
постулаты.
1°. Законы роста и дисконтирования являются однородными отно-
относительно сумм, связанных с событиями. Иными словами,
A(p;t,C) = C'A(p;t,\), D(p;t,C) = С • D(p;t,\).	A1.3)
Тем самым законы однозначно определяются своими функциями (или
коэффициентами) роста
a(t,p) =A(p;t, 1), p^t,
и дисконтирования
d(t,p) = D(p;t, 1), p<t.
Из постулата 1° следует, что
FVp(t,C) = C-a(t,p), p^t,
DVp(t,C) = C-d(t,p), p<t.

382 Гл. 11. Преобразование и эквивалентность денежных потоков
Функции роста и дисконтирования можно объединить, введя так
называемую обобщенную функцию или коэффициент дисконтирования
(a(t,p), если p^t,
v(t,p) = <
ld(t,p), если р < t.
С помощью коэффициента дисконтирования обобщенный оператор при-
приведения (текущей стоимости) запишется в виде
PVp(t,C) = C-v(t,p)
для любых t,p.
2°. Законы роста и дисконтирования непрерывны относительно вре-
временных параметров, иными словами, функции a(t,p) и d(t,p) непре-
непрерывны в своей области определения.
Из постулата 2°, в частности, следует, что всюду определенная
функция v(t,p) является непрерывной в области t ^ р. Полная непре-
непрерывность этой функции гарантируется следующим свойством финансо-
финансовых законов.
3°. Финансовые законы роста и дисконтирования взаимно сопряже-
сопряжены, т. е.
a(t,p)d(p,t) = 1
для любых р > t и удовлетворяют краевому условию
a(t,t) = d(t,t) = 1.
Из свойства сопряженности и непрерывности следует, что функция
a{t,p) и d{t,p) знакопостоянны, а краевое условие означает, что a{t,p)
и d(t,p) положительны в своих областях определенности. Наконец,
это означает, что обобщенная функция дисконтирования v(t,p) поло-
положительна, всюду непрерывна и удовлетворяет условию
v(t,t) = 1
для всех t. Кроме того, функция v(t,p) является самосопряженной,
т. е.
v(t,p)v(p, t) = 1
для любых t,p.
4°. Законы роста и дисконтирования транзитивны, т. е. для любых
t^r^p
a(t,r)a(r,p) = a(t,p)
и для любых р ^ г ^ ?
d(t,r)d(r,p) =d(t,p).
Это свойство также называют расщепляемостъю финансовых законов.

11.3. Общая схема сложных процентов	383
Транзитивность законов роста и дисконтирования ведет к транзи-
транзитивности обобщенной функции дисконтирования:
v(t,r)v(r,p) = v(t,p)
для любых t,r,p.
Заметим, что это утверждение является прямым следствием соот-
соответствующих свойств функции роста и дисконтирования лишь в слу-
случае, если точка г лежит между точками t и р. В остальных случаях
выполнение этого свойства основано также на упомянутой выше взаим-
взаимной сопряженности законов роста и дисконтирования (см. постулат 3°).
Так, если t < р < т, то транзитивность функции v для этого набора
параметров фактически означает выполнение свойства
a(t,r)d(r,p) = a(t,p).
Это свойство немедленно следует из транзитивности функции роста
a(t,p)a(p,r) = a(t,r)
и условия сопряженности
а(р,т) =
d(r,p)'
Остальные случаи рассматриваются аналогично.
В терминах операции приведения событий транзитивность финан-
финансовых законов в схеме сложных процентов означает выполнение равен-
равенства
PVp(PVT(t,C)) = PVp(t,C)	A1.4)
для любых t,r,p. Это свойство называют свойством поглощения опе-
оператора приведения. Оно означает нечувствительность операции приве-
приведения событий к заданному полюсу р от внутренних или промежуточ-
промежуточных преобразований этих событий. Этим свойством мы неоднократно
пользовались в данной главе при доказательстве ряда утверждений
(теоремы 11.2 и 11.3), касающихся потоков платежей, естественно,
в рамках стандартной схемы сложных процентов с фиксированной нор-
нормированной ставкой г. Свойство транзитивности играет центральную
роль в теории сложных процентов. С его помощью можно установить
общую форму финансовых законов и связанных с ними преобразова-
преобразований событий и потоков.
Поскольку функция v(t,p) является положительной, то можно опре-
определить функцию
v(t,p) = lnv(t,p).
Свойство транзитивности функции v трансформируется тогда в свой-
свойство аддитивности функции v\
v(t, p) = v(t, t) + v(t, p)

384 Гл. 11. Преобразование и эквивалентность денежных потоков
для всех t,r,p. В частности, отсюда следует, что если непрерывную
функцию v рассматривать как функцию промежутков J = (t\, ?2),
полагая
v(J) = v(tut2), П <*2,
то v является непрерывной аддитивной функцией промежутков.
В гл. 1 введено понятие плотности для аддитивной функции проме-
промежутков. Плотность функции v (в том случае, когда она существует)
будем называть интенсивностью и обозначать через 5(t):
6(t)= lim ^tut2\ tx^t^t2.
v J tto htx '	l
Можно показать, что если аддитивная функции v имеет кусочно-
непрерывную плотность 5, то функция v допускает интегральное пред-
представление
^(ti,t2) = \S(t)dt
и
В свою очередь, это означает возможность представления обобщен-
обобщенной дисконтной функции v(t,p) в виде
J 5(t)dt
v(t,p) = e*
Мы будем всегда предполагать существование и кусочную непре-
непрерывность интенсивности 5(t).
Заметим, что в финансовой литературе интегральное представление
для дисконтной функции принято записывать в виде
- J 6{t) dt
v(t,p) = e p
Знак «минус» в показателе должен напоминать, что речь идет о дис-
дисконтировании (хотя и в обобщенном смысле).
В схеме с постоянной интенсивностью 5(t) = 5 = const дисконтная
функция v(t,p) принимает вид
Если \р —1\ = 1, т.е. значение дисконтной функции рассматривается на
единичном промежутке, то в этом случае определяются величины
— 0-5 —
а = ед = 1 +г, v = е~д =
1+г
—	нормированные коэффициенты роста и дисконтирования соответ-
соответственно, где
г = е5 - 1
—	нормированная процентная ставка. Тем самым мы приходим к опи-
описанной в § 8.4 стандартной схеме сложных процентов.

11.3. Общая схема сложных процентов	385
В финансовой литературе вместо двумерной дисконтной функции
v(t,p) часто используют ее одномерные аналоги. Обозначим функцию
v(t,O) одного аргумента t через v(t) (хотя и это не совсем корректно).
Используя транзитивность и самосопряженность v(t,p), запишем
где	t
-J S(s)ds
v(t) = e о	.	(Ц.5)
На этом мы закончим обсуждение финансовых законов в общей
схеме сложных процентов и перейдем теперь к обсуждению вопросов,
связанных с непрерывными и общими финансовыми потоками в рамках
этой схемы.
Непрерывные и общие финансовые потоки в общей схеме
сложных процентов. Выше в этой главе мы ограничились рассмот-
рассмотрением дискретных, или более точно, конечных потоков платежей.
Финансовый поток CF в дискретном случае задается своей платежной
функцией (Ct), t G Т, на дискретном множестве точек, называемом
носителем этого потока (см. гл. 1):
Е = supp CF = {t e T | Ct + 0}.
Дискретность носителя означает, что в любом конечном промежут-
промежутке J содержится лишь конечное число точек носителя. В частности,
носитель — конечное или счетное множество, т. е. его элементы можно
занумеровать:
E = {tk\k=l,2,...,n}, n < оо.
Это приводит к обычному представлению дискретного потока CF в ви-
виде множества
CF = {(tk,Ck) | k= 1,2,...,n}, n^oo, и Ck = C(tk).
Если поток конечен, то носитель также конечен и, следовательно,
функция Ct отлична от нуля лишь для конечного числа моментов вре-
времени.
На дискретные потоки тривиальным образом переносится операция
приведения событий к полюсу р в общей схеме сложных процентов:
PVP(CF) = ^ Ctv(t,p) = -^E Ctv(t).	A1.6)
Если поток конечен, то суммы в A1.6) конечны, для бесконечных
дискретных потоков они представляют собой суммы рядов; возмож-
возможность приведения потока обуславливается сходимостью соответствую-
соответствующего ряда.
13 П. П. Бочаров, Ю. Ф. Касимов

386 Гл. 11. Преобразование и эквивалентность денежных потоков
Определенный выше оператор приведения (или текущей стоимости)
является линейным оператором:
PVP(CFX + CF2) = PVP(CFX) + PVP(CF2)
PVP(\CF) = \PVP(CF).
Хотя ряд результатов этой главы для дискретных потоков не вы-
выполняется для схемы с переменной интенсивностью, в частности, это
касается лемм, связанных с операторами сдвига (см. леммы 11.2-11.4
и теорему 11.1), тем не менее, в общей схеме остается справедливым
свойство поглощаемости оператора приведения для дискретных пото-
потоков (см. лемма 11.5):
PVP(PVT(CF)) = PVP{CF),
являющееся тривиальным следствием этого свойства для событий
(см. A1.4)).
Остаются также справедливыми свойство ассоциативности теку-
текущей стоимости (см. теорему 11.2) и основные определения и факты,
касающиеся эквивалентности потоков (см. § 11.2), поскольку все эти
результаты опираются лишь на свойство поглощаемости оператора при-
приведения. При этом определение эквивалентности потоков переносится
на случай схем с переменной интенсивностью, т. е. потоки считаются
эквивалентными, если их приведенные значения в некоторой (а тогда
и в любой) точке совпадают.
В силу сказанного не будем переформулировать и снова доказывать
упомянутые факты и перейдем к обсуждению непрерывных и общих
потоков платежей в общей схеме сложных процентов.
В гл. 1 мы ввели понятие общего потока платежей CF, задавае-
задаваемого аддитивной функцией промежутков V = Vcf, которая каждому
конечному промежутку J временной шкалы сопоставляет значение
V(J) потока на этом промежутке. При этом был выделен класс так
называемых непрерывных потоков CF, имеющих плотность ()
определяющей значение потока на промежутке J согласно формуле
j
Зафиксировав любую точку to временной шкалы, можно определить
функцию выплат M(t) (аналог функции распределения в теории веро-
вероятностей):
M(t) = I fi(s)ds,
to
которая также определяет значение потока на любом промежутке
J = (а,Ъ):
V(J) = V(a, b) = M(b) - M(a).

11.3. Общая схема сложных процентов	387
Функция M(t) является первообразной для непрерывной плотности
fi(t), т.е.
'()
Понятие текущей стоимости потока в общей схеме сложных про-
процентов легко переносится на непрерывные потоки.
Определение 11.5. Пусть CF — непрерывный финитный поток
с плотностью /i(?). Текущей стоимостью этого потока в точке р
относительно интенсивности 5(t) в общей схеме сложных процентов
называется величина, определяемая равенством
+ ОО	+ОО
PVP(CF)= | ^t)v(t,p)dt = ^ | p{t)v{t)dt.	A1.7)
— oo	—oo
Заметим, что интеграл справа на самом деле собственный (конеч-
(конечный), если поток CF сосредоточен на некотором отрезке [а, C], иными
словами, вне этого отрезка плотность равна 0:
/*(*)= 0, t#[a,/3].
Тогда очевидно, что
+оо	/3
li(s)v(s,p)ds = \ ii(s)v(s,p)ds.
Если это не является необходимым, мы не будем указывать конкретные
границы интегрирования а,C.
Можно обобщить данное выше определение и на случай беско-
бесконечных (по времени), точнее, нефинитных потоков, если понимать
интеграл в A1.7) как несобственный.
Пример 11.8. Пусть непрерывный поток сосредоточен на отрезке [0,2]
и имеет постоянную плотность ц(?) = ц = const. Найти текущую стоимость
этого потока в точках а) р = 0, б) р = 1, в) р = 2 относительно постоянной
интенсивности 5(t) = 5 = const.
Решение. Коэффициент дисконтирования в этом случае имеет вид
V
Г 8ds
Тогда для случая а)
2
О	О
для случая б)
2	2
FVi(CF) = Le<41-t)dt = /xe<5 \e~Stdt= ^-e(\ - е~25) = ^ (е5 - ,
о	о
13*

388 Гл. 11. Преобразование и эквивалентность денежных потоков
для случая в)
2	2
FV2(CF)= [/xe<5-B"t)^ = /xe2<5 \e~5tdt = ^ е2<5A - е<5) = ^ (е26 - 1). ¦
J	J	6	о
о	о
Пример 11.9. Пусть CF — непрерывный поток, сосредоточенный на
промежутке [—1,оо), с плотностью
ц( + \ 	 -с 1*1
fJj\LI — с-
Найти текущее значение этого потока в точке р = 0 относительно постоянной
интенсивности 6=1.
Решение. Как и в предыдущем примере, коэффициент дисконтирования
равен
Поскольку поток нефинитный (бесконечный), то интеграл A1.7) будет несоб-
несобственным:
+оо	0	+оо
FV0(CF)= \ e~^e~bdt = \dt+ \ etdt =
= t
i = 1,5.
2
Из приведенного выше определения текущей стоимости непрерыв-
непрерывного потока непосредственно следует ее линейность относительно
сложения потоков
PVP(CFX + CF2) = PVP(CFX) + PVP(CF2)
и умножения потока на число
PVP(XCF) = XPVP(CF).
В самом деле, если [ix и [л2 — плотности потоков CFX и CF2 соответ-
соответственно, то функция
будет плотностью суммарного потока CF\ + CF2, а поскольку инте-
интеграл A1.7) является линейным функционалом относительно подынте-
подынтегральной функции, то
+ оо
PVP(CFX+CF2)=
— сю
+ ОО	+ОО

11.3. Общая схема сложных процентов	389
Аналогично доказывается и однородность текущей стоимости, т. е.
формула A1.4). Действительно, если /i(t) — плотность потока CF, то
A/i(?) будет плотностью потока XCF и, значит,
+ ОО	+ОО
PVp(XCF)= | \n(t)v(t,p)dt = \ j ii(t)v(t,p)dt.
Для непрерывных потоков в схеме сложных процентов с постоянной
интенсивностью верны аналоги лемм 11.2-11.4; чтобы сформулировать
эти утверждения, необходимо определить оператор сдвига для непре-
непрерывных потоков.
Определение 11.6. Пусть CF — непрерывный поток с плотно-
плотностью fi(t). Тогда сдвигом потока с шагом Т называется непрерывный
поток Lt(CF) с плотностью
Теперь можно сформулировать аналог леммы 11.2.
Лемма 11.2х (о текущей стоимости сдвига непрерывного потока).
Пусть CF — непрерывный поток. Тогда для постоянной интенсивно-
интенсивности 5 имеет место равенство
PVp(LT(CF))=vTPVp(CF),	A1.8)
ГДе	_5
— нормированный коэффициент дисконтирования, соответствующий
интенсивности 5.
Доказательство. Поскольку интенсивность постоянна, то
функция (коэффициент) дисконтирования в этом случае имеет вид
P[5(s)ds	s, Л
v(t,p) = e* =е5-Ь-*\
Текущая стоимость сдвинутого потока будет равна
+ СЮ
PVP(LT(CF)) = [ fi(t- Т)е5^р-1) dt.
— сю
Делая замену переменных t' = t — Т в этом интеграле, получим
+ СЮ
PVP(LT(CF)) = J ц(Ь')е5-Ь-*'-т) dt1 = e~5TPVp(CF),
— сю
что и требовалось доказать.	¦
Еще проще доказывается аналог леммы 11.4 о сдвиге момента
(полюса) приведения.

390 Гл. 11. Преобразование и эквивалентность денежных потоков
Лемма 11.4х. Пусть CF — непрерывный поток с плотностью fi(t).
Тогда для постоянной интенсивности 5 имеет место равенство
PV +t{CF) = v~TPV (CF),	A1-9)
где
— нормированный коэффициент дисконтирования, соответствующий
интенсивности 5.
Доказательство. Соотношение A1.9) получается на основе
следующих равенств:
+ ОО
PVP+T{CF) =
— оо
+ ОО
= e5T J
— оо
Заметим, что доказанные утверждения выполняются лишь при
условии постоянства интенсивности (силы процентов) 5, т. е. в усло-
условиях постоянства процентной ставки i и соответствующих ей коэффи-
коэффициентов роста а и дисконтирования v.
Заметим, что соответствующие утверждения для дискретных пото-
потоков доказывались при этом же условии постоянства ставки. Измен-
Изменчивость ставок приводит к невыполнению приведенных утверждений.
В этом случае нарушается даже возможность корректно сформулиро-
сформулировать утверждения, поскольку нормированный коэффициент роста v
перестает быть постоянным.
Пример 11.10. Пусть непрерывный поток CF с постоянной плотностью
\i = 1 сосредоточен на отрезке [0,1], а интенсивность S(t) задается равенствами
U2, t>0, й,й>0, 5хф52.
Найти: а) текущую стоимость потока относительно 5 в точках р = 0 и р = 1;
б) текущую стоимость в точке р = 0, сдвинутого на Т = — 1 потока.
Решение. Найдем сначала дисконтную функцию, порождаемую интен-
интенсивностью S:
р
v(t,p) = ехр ( S(s) ds)
^~г\ t,p<0,
2P-5[t^ t<0,p^ 0,
-52t-5ip, t^ o,p<o.
а) Текущая стоимость потока в точке р = 0 и р = 1 равна соответственно
PV0(CF)= \v(t,O)dt= IV

11.3. Общая схема сложных процентов	391
PV
1	1
(CF) = ^v(t,l)dt = ^
о	о
б) Поток L-\(CF) сосредоточен на [—1,0] и имеет на нем единичную
плотность. При этом
о	о	_6 . „
[ v(t,O)dt= [ e~6ltdt= —
-i	-i
Заметим, что в примере 11.10, несмотря на то, что имеет место
пропорциональность между текущими стоимостями потока в точках
0 и 1:
двойственное соотношение для сдвига потока уже не выполнено, по-
поскольку нет никакой естественной связи между значениями
PVO{L_X{CF)) = ^-f-L
1 _ р~д2
PV0(CF) = ^—^—.
В частности, для потока из примера 11.10 не выполнено свойство
PVP+T(LT(CF)) = PVP(CF),
например, для р = 1, Т = — 1.
Для непрерывных потоков в общей схеме сложных процентов вы-
выполняется фундаментальное свойство поглощаемости оператора при-
приведения:
PVP(PVT(CF)) = PVP(CF).
В самом деле, для потока CF с плотностью /i(t)
+ ОО
PV
T(CF) = f
Таким образом, поток CF преобразовался в событие (r,VT), где
VT = PVT(CF).
Приведенное к полюсу р значение этого события равно

392 Гл. 11. Преобразование и эквивалентность денежных потоков
откуда, используя транзитивность функции v, получаем
+ ОО
n(t)v(t,r)dt =
J
+ ОО	+ОО
= [ /jJ(t)v(t,r)v(r,p)dt = f
Определив понятие текущей стоимости непрерывных потоков, мож-
можно ввести для них понятие эквивалентности. Это определение дослов-
дословно совпадает с соответствующим определением 11.4 для дискретных
потоков, т. е. потоки считаются эквивалентными, если их текущие
стоимости в некоторой (а тогда и в любой другой) точке совпадают.
Все свойства введенного отношения эквивалентности автоматически
переносятся на случай непрерывных потоков.
В заключение рассмотрим общие потоки.
Общий поток задается произвольной аддитивной функцией проме-
промежутка V, называемой представляющей функцией потока (см. гл. 1).
Мы ограничимся здесь рассмотрением практически важного случая,
когда представляющая функция V допускает разложение в сумму
у = y(s) _|_ у(с)^
где V^ — дискретная, a V^ — непрерывная с конечной плотностью
/i(t) составляющие.
Дискретная составляющая V^ задает дискретный поток
CF& = {Ct | t e T},
где Ct — платежная функция, определяемая как значение V в точках t,
по сути являющихся вырожденными отрезками {?} = [?,?], при этом
носитель потока CF^ есть дискретное множество
Е = supp CF^ = {t\Ct^O} = {tk, k e N},
где tk — критические точки потока. Поэтому для любого конечного
промежутка J число критических точек потока конечно, и, следова-
следовательно, значение дискретной составляющей потока на этом промежутке
представляется в виде суммы
teJ
Для непрерывной составляющей V^ считаем плотность fi(t) инте-
интегрируемой функцией. Тогда для любого конечного промежутка J значе-
значение непрерывной составляющей V^ на этом промежутка определяется
равенством

11.3. Задачи	393
Таким образом, для любого конечного промежутка J величина
потока представляется в виде
teJ j
Данная формула позволяет производить различные действия с об-
общими потоками, сводя операции над ними к соответствующим опера-
операциям над дискретной и непрерывной составляющими потоков.
В частности, на общие потоки тривиально переносятся все изло-
изложенные в этой главе определения и результаты, которые получаются
их применением к дискретной и непрерывной частям общего потока.
Вопросы и упражнения
1.	Дайте определение текущей стоимости дискретного потока платежей
в схеме сложных процентов.
2.	Как меняется текущая стоимость потока: а) при сдвиге потока? б) при
сдвиге точки приведения?
3.	Сформулируйте свойства ассоциативности для операции приведения
потока платежей.
4.	Докажите свойство поглощения для операторов приведения в схеме
сложных процентов.
5.	Докажите, что эквивалентность потоков платежей в схеме сложных
процентов не зависит от выбора полюса.
6.	Опишите общую схему сложных процентов. Какими свойствами облада-
обладают финансовые законы этой схемы?
7.	Приведите формулу текущей стоимости произвольного потока платежей
в общей схеме сложных процентов.
Задачи
1.	Пусть интенсивность процентного роста имеет вид (в годовой шкале)
Г0,02, t < 10,
l0,04, t > 10.
Найти: а) общий коэффициент дисконтирования v(t,r); б) текущую стоимость
непрерывного однородного потока, сосредоточенного на промежутке [0, 10],
с плотностью 7^2000 в год в моменты ? = 0, t = — 1 и ? = 1.
2.	Пусть сила процентов задается выражением
S(t) = 0,01 + 0,05? + 0,001?2, 0 < t < 10.
Найти текущую стоимость потока
CF = {@,100), E,200), A0,400)}
в момент t = 0.

394 Гл. 11. Преобразование и эквивалентность денежных потоков
3.	Текущая стоимость потока в момент t = 1 относительно постоянной
нормированной ставки г = 20% равна 7^10000. Текущая стоимость в момент
t = 5 всех платежей потока, кроме последнего, равна 7^2000. Найти текущую
стоимость последнего платежа в момент t = 10.
4.	Найти накопленную стоимость $100 за 10 лет при интенсивности про-
процентного роста S(t) = 0,05 • @,9)*, 0 < t < 10. Какова эквивалентная эффек-
эффективная годовая ставка, дающая тот же эффект?
5.	Пусть интенсивность процентного роста задается равенствами
. . Г0,02, t < 10,
S(t) = <
l0,05, t ^ 10.
Найти текущую (в момент t = 0) и будущую (в момент t = 10) стоимости
потока
CF = {A,100), E,200), A0,300)}.
6.	Для интенсивности роста из задачи 5 найти текущую стоимость потока
(в момент t = 0) с плотностью /х(?) = 10e~°'01t, t > 0.

Глава 12
СПЕЦИАЛЬНЫЕ КЛАССЫ ПОТОКОВ. РЕНТЫ
На практике часто встречается особый вид денежных потоков,
представляющих собой последовательность регулярно повторяющих-
повторяющихся платежей. Арендная плата, выплаты процентов, дивидендов, пен-
пенсий, ежегодные страховые взносы и т.д. являются примерами таких по-
потоков. Если поток состоит из ежегодных выплат, то он обычно назы-
называется аннуитетом. В общем случае, платежей может быть несколько
раз в году, например, каждый квартал, каждый месяц и т. п. Такой
регулярный поток платежей называется рентой. Все формальные опре-
определения, связанные с рентами, приведены в § 1.2 гл. 1. Здесь же для
удобства читателя мы дадим лишь краткую сводку этих определений.
Хотя платежи по ренте связаны с моментами времени, по своему
смыслу они являются платежами за период. Так, пенсия выплачива-
выплачивается за месяц, дивиденды за год и т.д. Поэтому ренту часто рас-
рассматривают как ряд платежей за последовательные периоды времени.
Конкретный платеж за период может осуществляться как в конце этого
периода, так и, авансом, в начале периода.
С формальной точки зрения срочная рента есть денежный поток
второго рода (см. гл. 1):
где п — срок ренты, т. е. число периодов ренты; J& — k-ih период ренты;
Ck — платеж за к-и период.
Если число периодов конечно, т.е. п < оо, то рента — срочная.
Бессрочная (вечная) рента описывается бесконечным потоком пла-
платежей.
Регулярность ренты заключается в том, что длина всех ее перио-
периодов одинакова. Значение длины периодов также называется периодом
(числовым) ренты, и мы обозначим его через h. Указанное свойство ре-
регулярности ренты означает, что концы периодов (промежутков) ренты
или ее критические моменты составляют арифметическую прогрес-
прогрессию: to, t\,... ,tn, где
tk = tk-\ + h, к = 1,2,..., п.
При этом момент to называется началом (начальным моментом), а мо-
момент tn — концом ренты.

396	Гл. 12. Специальные классы потоков. Ренты
Для постоянной ренты все платежи одинаковы:
Ск = С = const, k= 1,2, ...,п.
Хотя по своему финансово-экономическому смыслу рента есть по-
поток 2-го рода, на практике она реализуется в виде последовательности
платежей — событий, т. е. сумма, относящаяся к данному периоду
ренты, должна быть выплачена в некоторый момент времени из этого
периода. Такое преобразование потока 2-го рода в поток 1-го рода или
поток событий (см. гл. 1) можно осуществить многими способами, но
на практике чаще всего используются два: в первом случае платеж
осуществляется в конце, а во втором случае — в начале периода.
Рента, в которой все платежи осуществляются в конце соответ-
соответствующих периодов, называется обыкновенной или рентой постну-
мерандо, а рента, в которой платежи осуществляются в начале пе-
периодов — авансированной или рентой пренумерандо. Наконец, для
полного уточнения временной последовательности выплат необходимо
указать первый период, на который приходится ненулевой платеж.
Если начало то этого периода совпадает с началом to ренты т. е. то = to,
то рента называется немедленной. Если же то > to — отложенной.
Таким образом, первый платеж немедленной обыкновенной ренты
осуществляется в момент
т\ = t0 + h,
а первый платеж немедленной авансированной ренты осуществля-
осуществляется в момент то = to-
Дальнейшее изложение будет в значительной мере опираться на
алгебру потоков (см. гл.11). Поскольку ренты являются частным
случаем потоков платежей, то мы для них будем использовать специ-
специальные обозначения. Произвольную ренту, рассматриваемую как поток
платежей 2-го рода, обозначим СД а ренты, представляемые потоками
1-го рода (т.е. потоками событий), будем обозначать С А. Замена F
на А в обозначении потока платежей CF будет напоминать, что речь
идет именно о рентах или аннуитетах.
12.1. Стандартные ренты
Изучение рент начнем с немедленных рент, имеющих в выбранной
временной шкале единичный период h = 1, конечный срок и посто-
постоянные платежи. Иными словами, базовый период временной шкалы
(например, год) совпадает с периодом ренты. Более того, для простоты
выберем начало ренты to равным началу временной шкалы, т. е. будем
считать to = 0. Тогда в выбранной шкале критические моменты ренты
будут иметь вид
tk = k.
Такие ренты будем называть стандартными.

12.1. Стандартные ренты	397
Срочные ренты. Рассмотрим сначала обыкновенную срочную рен-
ренту с единичными выплатами, т. е. ренту, для которой
С/с = 1, к= 1,2,...,п.
Данную ренту обозначим Ап. Схема платежей такой ренты изображена
на рис. 12.1.
Пусть г — процентная став-	\ \ — ] \
ка за период ренты:	'	\ I '" ' л '
^ ^	0	1	2	п-\ п
i = ii>	Рис. 12.1
т. е. г — нормированная процентная ставка; при этом период начис-
начисления ставки, являющийся базовым (единичным) периодом временной
шкалы, совпадает с периодом ренты.
Замечание. В отечественной литературе ренты, у которых пе-
период начисления совпадает с периодом ренты, называют простыми.
Мы, однако, рассматриваем ренты как потоки платежей безотноситель-
безотносительно к процентным или учетным ставкам. Поэтому «простота» с нашей
точки зрения есть не свойство ренты, а свойство финансовой схемы
(модели), в рамках которой ведется изучение рент.
Простую, в вышеуказанном смысле, ренту всегда можно сделать
стандартной, выбрав в качестве единичного периода шкалы период
самой ренты. В этом случае ставка начисления для такой ренты ав-
автоматически становится нормированной. В дальнейшем мы обычно так
и будем поступать, так что в нашем изложении термины «стандартная»
и «простая» ренты будут, по существу, синонимами.	?
Наряду с процентной ставкой г при анализе рент мы будем исполь-
использовать также эквивалентную ей учетную ставку d:
d =	.
1+г
Обе ставки однозначно задают нормированные коэффициенты роста
а= 1 +г =
1 — d
и дисконтирования
v = —Ц = 1 - d.
1 +г
Будущая стоимость ренты. Будущая (накопленная, итоговая)
стоимость такой единичной стандартной ренты в момент п обозна-
обозначается <%|^ и, согласно определению будущей стоимости потока, она
равна сумме будущих стоимостей всех платежей ренты:
вяц = FVn(An) = 1 ¦ A + г)" + 1 ¦ A + i)n~2 + ... + 1.
Эта сумма есть сумма п членов геометрической прогрессии со зна-
знаменателем
а = 1 + г

398	Гл. 12. Специальные классы потоков. Ренты
и начальным членом, равным 1. Поэтому при г ф О
_ ап - 1 _ A+г)п-1
Snli ~ а-\ ~ A+г)- 1 '
Т'е-	_ A+г)п-1 _ап-\
'	г	г
Если г = О, то, очевидно,
п
г=1
Если величина платежа за период равна С, то, очевидно, что буду-
будущая стоимость такой ренты С • Ап составляет
FVn(C • PlJ = С • зп\ь
т.е. в С раз больше, чем стоимость единичной ренты. Поэтому вели-
величину sn\i называют также (стандартным, нормированным) множи-
множителем наращения (роста) обыкновенной немедленной ренты.
Рассмотрим теперь единичную авансированную ренту. Эту ренту
мы будем обозначать Ап. Схема ее платежей изображена на рис. 12.2.
Заметим, что поскольку в авансированной ренте все платежи
осуществляются в начале перио-
|	|	| •" |	да, то момент последнего плате-
0	1	2 - w-1 n жа есть
Рис. 12.2	тп = п-\.
Будущая стоимость такой ренты в момент п обозначается %^. Она
равна, очевидно,
$п г — \1~TV	•	—	7	—	7-
г	а	а
где
d =
1+г
— учетная ставка за период ренты.
Из этого равенства немедленно следует, что
%|г = A +0 'sn\i-
Это равенство имеет простое «словесное» доказательство. Перенесем
каждый платеж авансированной ренты на один период вперед. Перенос
означает замену каждого платежа эквивалентной относительно став-
ставки г суммой на один период позднее. Это означает, что
(к, 1L, (к +1,1+ г),

12.1. Стандартные ренты	399
т.е. сумма 1 в момент к эквивалентна сумме 1 +г в момент к+ 1.
Поэтому единичная авансированная рента превратится в обыкновен-
обыкновенную ренту с платежом 1 + г за период и тем же сроком. Диаграмма
преобразования рент изображена на рис. 12.3.
Если С А = Ап — исходная авансированная, а С А' = A + г)Ап —
преобразованная эквивалентная ей обыкновенная рента, то согласно
свойствам эквивалентности по-
потоков, доказанных в предыду- 111	1
щей главе, получим	'	'	'	' Л '
0	12	п-\ п
FVn{CA) = FVn{CA')	\ \	\
или, что тоже самое	1 +/ \+i	1 +/ 1 +/
[ [ 1	[ [
%|г = A +0 '%|г-	0	1	2	П-\ П
Если периодический платеж	Рис. 12.3
по ренте равен С, то будущее
(наращенное) значение такой ренты С • Ап равно
FVn{C •kn) = C- sn\i.
Величина ёщ^ называется также множителем наращения авансиро-
авансированной немедленной ренты.
Пример 12.1. Пусть инвестор ежегодно вносит в банк на пополняемый
счет 1Z 300. Банк платит 10% годовых. Какова будет сумма вклада через 5 лет,
если инвестор вносит очередной вклад: а) в конце каждого года; б) в начале
каждого года?
Решение.
а)	Для первого случая взносы образуют обыкновенную ренту С А и, следо-
следовательно,
(] _L И П5 — 1
Я = FV5(CA) = 300 • 1 ^ 'у	 = 1831,53(?г).
б)	В этом случае взносы составляют авансированную ренту С А', и накоп-
накопленная сумма вклада будет в 1 + г раз больше, т. е.
Sb = FV5(CA') = (l+i)FVb(CA) = 1,1 • 1831,53 = 2014,б8(?г).	¦
Пример 12.2. Если инвестор из предыдущего примера желает накопить
с помощью ежегодных платежей за 5 лет сумму 7^10000, то какой взнос он
должен делать: а) в конце каждого года, б) в начале каждого года?
Решение. Пусть величина ежегодного взноса составляет С. Тогда
в случае а):
с= 1000Q = юооо-од = 1637)97Gг);
в случае б):
С' = — = 1489,07Gг).

400	Гл. 12. Специальные классы потоков. Ренты
Текущая стоимость ренты. Перейдем теперь к текущим стои-
стоимостям стандартных рент. Будем относить их к начальному моменту
? = 0.
Текущая стоимость единичной обыкновенной ренты обозначается
an\i и равна, согласно определению, сумме текущих стоимостей отдель-
отдельных платежей ренты. Таким образом,
	 1	1	1
Эта сумма есть сумма п членов геометрической прогрессии со знаме-
знаменателем	^
v =
1+г
и начальным членом 1/A +г). Следовательно, при г ф 0
1 - уп _ 1	\-уп
п'г ~~ 1-г? ~1+г ^ 1
1+г
ИЛИ	1	п
аЯ|* = -Ц^-.	A2.1)
Если г = 0, то, очевидно, an\i = п. Ясно также, что для ренты с плате-
платежами, равными С, имеем
PV0 = C- an{i.
Текущая стоимость авансированной ренты обозначается an\i и рав-
равна, очевидно,
щг	' 1+г	 A+г)п-1?
откуда получаем (при i ф 0)
а>п\ъ = —:— • A + Ч = —-j—»	A2.2)
где, как и раньше, d — нормированная учетная ставка, соответствую-
соответствующая процентной ставке г.
Таким образом, как и в случае накопленных значений, текущие
значения обеих типов рент связаны соотношением
&п\г = an\i '(!"!"*)•
Это равенство можно доказать и на основании принципа эквивалентной
замены, описанного выше, аналогично тому как это было сделано для
накопленного значения.
Величины an\i и an\i называют (стандартными, нормированны-
нормированными) дисконтирующими множителями соответственно обыкновенной
и авансированной рент.
Финансовый смысл текущей стоимости ренты вполне очевиден.
Это та сумма, которая должна быть инвестирована по ставке г, что-

12.1. Стандартные ренты	401
бы обеспечить выплату всех платежей ренты. Таким образом, если
эта сумма вносится на накопительный счет с переменным капиталом
(в схеме сложных процентов), то, трактуя периодические выплаты по
ренте как снятия соответствующих сумм со счета, мы получим, что
сальдо счета после последней выплаты становится равным нулю. Таким
образом, текущая стоимость ренты — минимально необходимая сумма
для обеспечения всех выплат по ренте.
Пример 12.3. Пенсионный фонд предлагает участникам пенсионную
ренту, предоставляющую регулярные выплаты фиксированной суммы в конце
каждого месяца, начиная с месяца подписания контракта на покупку ренты.
Месячная ставка накопления фонда равна 5%. Какой единовременный взнос
должен сделать участник фонда в начале месяца подписания контракта, чтобы
получать ежемесячную пенсию в 7^100 в течение 5 лет?
Решение. Рассматривается пенсионная обыкновенная рента с периодом
в один месяц, постоянным платежом 7^100 в месяц и сроком 5 лет или 60 мес.
Следовательно, стоимость такой ренты есть
Р = 100 • пп\г = -—^^	= 1892,93(?г).
Таким образом, участник должен внести 7^1892,93. Заметим, что если бы
фонд не имел возможности инвестировать, т. е. выполнял бы функции лишь
простого хранения без инвестиционного роста, то очевидно, что минимальная
сумма, необходимая для обеспечения пенсионных выплат в этом случае, была
бы равна
1оо-бо = бооо(тг).
Это соответствует текущему значению при г = 0.	¦
Сравнивая формулы накопленных
ап-\ ..	ап-\	л , .
% = —^—, %|г = —2—, а=1+г
и текущих
l-vn ..	l-vn
d =
щг	i ' щг	d '	1+г
стоимостей единичных обыкновенной и авансированной рент, легко
заметить сходство в их структуре. В каждом случае числители со-
соответствующих выражений стоимости рент совпадают, тогда как зна-
знаменатели различаются. Причем для обыкновенной ренты (платежи
в конце периода) знаменатель равен процентной, а для авансированной
(платежи в начале периода) — учетной ставке.
Выше мы двояким образом обосновали связь между характеристи-
характеристиками обыкновенных и авансированных рент:

402	Гл. 12. Специальные классы потоков. Ренты
Мы доказали их аналитически, исходя непосредственно из определе-
определения, а для обыкновенной ренты обосновали эту связь также с помо-
помощью эквивалентного преобразования одного типа ренты в другой (для
авансированной ренты это делается аналогично). Имеется еще один
способ, в некотором смысле более общий, с помощью которого можно
получить другие важные свойства рент. Этот способ состоит в сдвиге
точки приведения. В самом деле, рассмотрим обыкновенную единич-
единичную ренту Ап сроком п. Текущая стоимость этой ренты вычисляется
относительно момента t = 0, т. е.
a>n\i = PV0(An).
Если сдвинуть точку приведения вперед на один период, т. е. к мо-
моменту t = 1, то текущее значение этой ренты относительно этого мо-
момента совпадет с текущим значением авансированной ренты с началом
в t = 1. Таким образом,
PVx(An) = ап\г.
В силу леммы о сдвиге точки приведения (см. гл. 11) имеем
где
v =
1+г
— дисконтный множитель. Отсюда следует, что
или
Точно так же, перемещая точку приведения с момента t = n в опре-
определении будущей стоимости ренты Ап к моменту t = п-\- 1, получим
аналогичные равенства:
%|г = FVn+i(An),
откуда снова согласно лемме о сдвиге получим
Мы воспользовались леммой о сдвиге точки приведения. Но точно
так же можно было воспользоваться леммой о сдвиге потоков. В самом
деле, стандартная с началом в t = 0 единичная обыкновенная рента
Ап является сдвигом на один шаг вперед стандартной авансированной
ренты Ап:
An = L\ (An),

12.1. Стандартные ренты	403
где L\ — оператор сдвига потока на один период вперед. Отсюда
немедленно следует, что для любого момента приведения г
PVT(An) = vPVT(An).
Полагая т = 0, получим
1 ~г о
а полагая г = п:	I
Пример 12.4. Какую сумму накопил бы участник пенсионного фонда
из предыдущего примера, если бы полагающиеся пенсионные выплаты он
оставлял бы в фонде?
Решение. Эта сумма равна, с одной стороны, накопленной стоимости
пенсионной ренты, т. е.
Ю0-«60,0,05 = 35358,37Gг).
С другой стороны, поскольку выплат пенсий не осуществлялось, то эта сум-
сумма S равна накопленной стоимости начального взноса Р, т. е.
S = P-(l+ 0,05N0 = 35358,39(?г).	¦
Замечание об обозначениях. Выше накопленную стоимость
стандартной (простой) единичной обыкновенной ренты мы обозначили
через sn\i, а стандартной (простой) авансированной ренты — через ,%|г-
Соответственно для текущих стоимостей этих рент использовались
обозначения ащ^ и с%|г- Это так называемые актуарные обозначения
стоимостей рент, используемые преимущественно в актуарной мате-
математике. Актуарная математика представляет собой раздел финансовой
математики, связанный с различными расчетами в страховании. К ним
относятся так называемые тарифные расчеты или расчеты премий
(взносов) по страховым и пенсионным контрактам. Математика рент
(аннуитетов) является одной из важнейших основ таких расчетов.
В чисто финансовой литературе для стоимостей рент используются
более громоздкие обозначения — идентификаторы, образованные на-
начальными буквами полных названий этих стоимостей. Так, множитель
роста обыкновенной единичной ренты sn\i обозначается FVIFA^71^
(сокращение от Future Value Interest Factor for Annuity). Аналогично
дисконтный множитель единичной обыкновенной ренты an\i обозна-
обозначается как PVIFA^n^ (сокращение от Present Value Interest Factor
for Annuity). Мы в дальнейшем будем использовать преимущественно
актуарные обозначения.	?
Техника эквивалентных преобразований в теории рент. Выше
мы показали применение алгебры финансовых потоков, т. е. правил
преобразования и эквивалентности потоков платежей для вывода со-
соотношений между будущими и текущими стоимостями обыкновенных

404	Гл. 12. Специальные классы потоков. Ренты
и авансированных рент. Сами же формулы для приведенных стоимо-
стоимостей рент были получены исходя непосредственно из определения.
Покажем, однако, что используя более тонким образом алгебру
потоков, можно легко вывести сами формулы для стоимостей рент.
Приводимая ниже техника позволяет легко доказывать многочис-
многочисленные часто весьма нетривиальные соотношения между характери-
характеристиками различных рент. Кроме того, она часто проясняет лежащий
в основе этих соотношений финансово-экономический смысл. Так, до-
докажем заново формулу
Для этого рассмотрим финансовое событие @,1), представляющее еди-
единичный платеж в момент t = 0. Это финансовое событие эквивалентно
относительно ставки г событию A,1 +г). Здесь мы применили правило
преобразования
тг*:(А;,1)^(й+1,1+г).
Событие A,1 + г) можно представить как сумму основной и про-
процентной частей:
A,1+г) = A,1) + A,г).
Применяя теперь упомянутое правило тт^ при к = 1 к основной части
A,1), получим
A,1)^B,1+г).
Событие B, 1 + г) снова можно представить в виде суммы основной
и процентной частей:
B,1+г) = B,1)+ B, г).
Тем самым, исходное событие @, 1) мы преобразовали в эквивалент-
эквивалентный поток
Применяя многократно правило
ivk: (fc,l)->(fc+l,l+i),
и выделяя в преобразованном событии основную и процентную части:
мы за п шагов преобразуем исходный единичный платеж @, 1) в по-
поток, изображенный на рис. 12.4. Этот поток есть сумма обыкновенной
i	i	i ••• i l+i
1111 ••• 1	1
0	1	2	я-1 п
Рис. 12.4

12.1. Стандартные ренты	405
n-срочной ренты с платежами, равными г, и единичным платежом
в момент t = п. Иными словами, мы получили эквивалентность вида
{@,1)}^гАп + {(п,1)}.	A2.3)
Содержательный смысл этой эквивалентности весьма прост. Вло-
Вложив в банк единичную сумму на срок п лет, мы можем получать
ежегодно (в конце года) проценты величины г и в конце п-ro года
получить обратно вложенный единичный капитал. Формула A2.3) есть
математическое выражение этого утверждения.
Рассмотрим теперь приведенные к моменту t = n значения потоков
из эквивалентности A2.3). Для левой части получим
а для правой —
FVn(iAn) = iFVn(An) = isrm
Приравнивая полученные значения, получим
A+г)" = г%к+1	A2.4)
или	A+г) а
Аналогично, вычисляя приведенные к t = 0 значения потоков, из
эквивалентности A2.3) получим равенство
\=iafi[i + vn,	A2.5)
поскольку
= 1, PV0({(n, I)}) = \.vn = vn
PV0(iAn) = iPV0(An) = ian\i.
Из равенства A2.5) следует, что
\-vn
a*\i = —j—
Примененный выше метод эквивалентных преобразований чрезвы-
чрезвычайно полезен. С его помощью можно получать и доказывать важные
и интересные свойства рент. Так, например, легко доказать следующие
свойства:
%|< = fln|i(l+*)n.	A2-6)
5^+Т|г = ! + (! +i)sn\i = 1 +sn\i,	A2.7)
es+T|i = (l+*)n+en|i.	A2-8)
a^+i\i = an\i + vn+] = v'dn\i,	A2.9)

406	Гл. 12. Специальные классы потоков. Ренты
ада=1+Шп|г,	A2.10)
-^-+i = ^-.	A2.11)
Заметим, что речь идет не об аналитических прямых доказатель-
доказательствах этих равенств, получаемых подстановкой в равенства A2.6)-
A2.11) выражений для s^^a^i и т. д. и последующей проверкой совпа-
совпадения левой и правой частей. Каждому из этих равенств соответствует
некоторая эквивалентность между специально выбранными потоками
платежей (рентами).
Так, равенство A2.6) — частный случай правила переноса точки
приведения
PVT+T(CF) = v-TPVT(CF),	A2.12)
доказанного в предыдущей главе. В самом деле, положив
CF = Ап, г = 0, Т = п,
согласно A2.2), получим
PVn(An) = v-nPV0(An)
ИЛИ
что дает A2.6), поскольку
Выпишем теперь эквивалентности, на основе которых легко дока-
доказываются соотношения A2.7)—A2.10).
Равенства A2.7) получаются из разложения
А„+1=А„ + {(п+1,1)} = А(г1) + {(п+1Д)})	A2.13)
где An — n-срочная авансированная рента с началом в t = 1, приве-
приведением его членов к точке t = п + 1.
Равенство A2.8) получается с помощью приведения к t = n разло-
разложения
Ап+1 = {A,1)} + А0>,	A2.14)
где An — n-срочная обыкновенная рента с началом в t = 1. Ра-
Равенства A2.9) и A2.10) получаются приведением равенств A2.13)
и A2.14) Kt = O.
Наконец, последнее равенство A2.11) можно получить из пары
эквивалентностей: уже упоминавшейся эквивалентности A2.3)
и эквивалентности
{@,

12.1. Стандартные ренты	407
где х = \/an\i. Эти эквивалентности дают по свойству транзитивности
эквивалентность
хАп ~ гАп + {(п, 1)}.
Находя приведенные к t = п значения этих потоков, получим
а деление на %^ обеих частей дает
х = г -\	.
SfT\i
Поскольку х = \/dn\i, то получаем требуемое равенство
-^- =г + ^.
Это равенство также можно получить, если разделить тожде-
тождество A2.4) на %и, что дает
Левая часть этого равенства, согласно A2.6), есть 1Д%|г> что снова
дает требуемое соотношение.
На этом закончим наш обзор срочных (конечных) рент и перейдем
теперь к анализу бессрочных (вечных, бесконечных) рент.
Бессрочные ренты. Бессрочная обыкновенная стандартная еди-
единичная рента, которую мы будем обозначать через Аоо, имеет моменты
выплат вида
tk = k, k e N,
и постоянные платежи
Ск = \.
Понятно, что о накопленной (будущей) стоимости такой ренты гово-
говорить нельзя, однако, вполне корректен вопрос о ее текущей стоимости
относительно нормированной ставки г.
Проще всего найти эту величину предельным переходом в форму-
aoo\i — ^т an\i — llm
поскольку
lim vn = 0,
так как при г > 0
0< -^— < 1.
1 +

408	Гл. 12. Специальные классы потоков. Ренты
Итак,
oo|i	0(Aoo) = i.	A2.15)
Символ ставки, как упоминалось ранее, иногда опускают и пишут
просто ащ.
Если величина платежа бессрочной обыкновенной стандартной рен-
ренты равна С, то, очевидно, что текущая стоимость такой ренты будет
равна
РЩСА^) = CPVoiA^) = Я-,	A2.16)
т. е. в С раз больше.
Пример 12.5. Какую сумму должен внести вкладчик в банк, чтобы
получать пожизненно ежегодно (в конце каждого года) 7^500 при ставке банка
20% годовых?
Решение. Поскольку речь в примере идет о пожизненной ренте, то
ее удобно считать практически бессрочной рентой. Тогда, согласно форму-
формуле A2.15), величина взноса So будет равна текущей стоимости ренты:
S0 = ^ = 2500(?г).
Заметим, что если оставшееся время жизни вкладчика принять равным,
например, 20 годам, то реальная полученная им 20-летняя рента будет иметь
текущую стоимость
,	1-A,2)-20
0		02	'
которая отличается от модельной стоимости So на величину
?0 _ $ = ^ A,2)-20 = 2500A,2)-20 = 65(?г).
Таким образом, относительная погрешность замены S'o на So равна
fc^o =A>2)-20« 0,027,
т. е. примерно, 2,7%.	¦
В общем случае, как легко видеть, замена n-срочной ренты на
бессрочную дает относительную погрешность
5п = fl~" ~ a"'* = vn,
т. е. величину порядка vn.
Столь же прост и анализ бессрочной авансированной стандартной
ренты. Обозначим через Аоо бессрочную авансированную единичную
стандартную ренту. Тогда ее текущая стоимость
на основании формулы A2.2) будет равна
г ..	г A+г)A-г;п) 1+г 1	/1О 17ч
аши = hm an\i = lim ^	—	'- = —— = -.	A2.17)
1 n^oo ' п^оо	г	га

12.1. Стандартные ренты	409
Для авансированной бессрочной ренты с платежами, равными С,
получим соответственно
PVoiCA^) = СРУо(Аоо) = С • i±*.
Здесь мы снова видим проявление подмеченной выше закономер-
закономерности:
Йоо|г = A +0аоо|г-
Мы получили это соотношение непосредственно из сравнения фор-
формул A2.15) и A2.17). Но для его вывода можно было использовать
уже упоминавшиеся правила преобразования и эквивалентности по-
потоков платежей. Так, перенос точки приведения на шаг вперед для
единичной обыкновенной ренты дает текущее значение уже авансиро-
авансированной ренты:
PVl(Aoo)=PV0(Aoo),
и поскольку
получаем требуемое соотношение.
Заметим, что указанные правила позволяют легко получить форму-
формулы текущей стоимости ренты без предельного перехода. В самом деле,
бессрочную обыкновенную единичную ренту с началом в t = 0 можно
представить в виде
где Або — единичная обыкновенная бессрочная рента с началом в t =
= 1. Напомним, что элемент A,1) в фигурных скобках есть событие,
означающее, что первый платеж С = 1 исходной ренты осуществлен
в момент t = 1. Тогда, вычисляя приведенные стоимости обеих частей
данного равенства относительно точки t = 1, получим
и поскольку, с одной стороны,
а с другой —
то получим уравнение для a^
A +г)
решая которое, получим
doo\i = -г-
Процентные и учетные ставки в выражениях стоимости рент.
Хотя выше мы и приводили формулы для стоимостей рент, выраженные

410	Гл. 12. Специальные классы потоков. Ренты
с помощью учетной ставки, в основном все же мы работали с про-
процентной ставкой. Однако оказывается, что формулы для стоимостей
авансированных рент получаются более простыми, если использовать
именно учетную, а не процентную ставку.
Рассмотрим этот вопрос более подробно. Выразим сначала все ос-
основные формулы для рент в терминах учетной ставки. Напомним, что
процентная и учетная ставки за единичный период связаны соотноше-
соотношением
Поскольку
г =
1 -d'
то, подставляя это выражение для г в формулы для стоимостей рент,
получим	п
0Л а — 1	..	а — 1
' —^—'	5^'' = —d—'
\-d (л Пч	..	\-vn
an\i = —^— • A - г; ),	«гг|г = rf >
1 — d ..	1
Пример 12.6. Пусть d — нормированная учетная ставка, равная 20%
годовых. Найти:
а)	накопленную и текущую стоимости пятилетней авансированной ренты
с годовыми платежами по 7^200;
б)	текущую стоимость бессрочной авансированной ренты с платежами по
7^500 ежегодно.
Решение.
а)	Поскольку в этом случае п = 5, d = 0,2, С = 7^200, то
v = 1 - 0,2 = 0,8, а = - = — = 0,125
^0,8
и, следовательно, накопленная стоимость ренты равна
С • °-j-± = 200 • A>1205J5 = 2051,7б(?г),
а текущая стоимость
С • Ь_!^ = 200 • 1 ~0(%8M = 672,32(?г).
б)	Текущая стоимость вечной ренты равна
? = ^ = 25оо(тг).	¦
Сравнивая формулы стоимостей рент, выраженные через процент-
процентную и учетную ставки соответственно, можно сделать вывод, что
если в формулах стоимостей, выраженных через процентную ставку,
проще выглядели формулы для обыкновенных рент, то для формул,
выраженных через учетную ставку, как мы уже говорили выше, проще
выглядят формулы для авансированных рент.
Как объяснялось в гл. 2, учетная ставка связана с авансированием
процентов, т. е. их отнесением на начало периода начисления, тогда

12.1. Стандартные ренты	411
как процентная ставка связана с финализацией процентов, т. е. отне-
отнесением их на конец периода. Именно поэтому для обыкновенных рент,
в которых рентные платежи относятся на концы рентных периодов,
более естественно использование процентной ставки, тогда как для
авансированных рент с платежами в начале рентных периодов, более
естественно использование учетной ставки.
Стандартные ренты с произвольными ставками. Выше, рас-
рассматривая стандартные ренты, т. е. ренты с единичными (в заданной
временной шкале) периодами между платежами, при выводе формул
для стоимостей рент использовались лишь нормированные ставки за
период ренты и соответствующие им коэффициенты роста и дискон-
дисконтирования. Таким образом, периоды ставок (процентной или учетной)
также являлись единичными и, следовательно, совпадали с периодом
самих рент. (Как уже говорилось, ренты с таким свойством принято
называть простыми). Укажем теперь, как можно получить выражения
для стоимостей рент в случае задания произвольной ставки, т. е. ставки
с любым периодом начисления или кратностью.
Принцип вывода формул для стоимостей рент в этом случае прост.
Необходимо сначала выразить через заданную ставку эквивалентную
ей нормированную эффективную ставку, а затем подставить в соответ-
соответствующую формулу стоимости стандартной ренты вместо нормирован-
нормированной ставки полученное выражение для нормированной эффективной
ставки. Мы не будем выписывать всевозможные формулы, которые
могут быть получены таким образом, их много, а самое главное, в этом
нет никакой необходимости, если ясен принцип (алгоритм) их полу-
получения. Проиллюстрируем его в некоторых наиболее типичных случаях.
Пусть ih — ставка начисления с периодом h. Тогда соответствующая
эффективная нормированная ставка равна
Подставляя это выражение, например, в формулу для %^, получим
Замечание. В полученной формуле есть некоторая несогласо-
несогласованность обозначений. Так, будущая стоимость ренты обозначена %^,
но в ее выражении справа параметра г нет, а есть другие параметры —
h и ifr. Конечно, можно было бы, как это делается в некоторых книгах,
вместо %^ писать s^ih. С теоретической точки зрения это можно
было бы считать корректным обозначением, поскольку и срок п, и пе-
период h, и ставка г^ заданы в выбранной временной шкале, в которой
представлена рента. Напомним, что речь идет о стандартных рентах,
в которых период ренты совпадает с единичным периодом временной
шкалы. Однако такая корректная символьная запись становится дву-
двусмысленной при подстановке конкретных числовых значений. В самом

412	Гл. 12. Специальные классы потоков. Ренты
деле, что обозначает для годовой шкалы запись s^io г стоимость
10-летней единичной ренты для эффективной годовой ставки 10% или
же стоимость 10-летней единичной ренты для месячной ставки начис-
начисления 10%? Наконец, в самом обозначении нет упоминания о конкрет-
конкретной шкале (годовая, месячная и т.д.), так что эту же запись можно
было бы использовать и для 10-месячной единичной ренты и месячной
ставки 10%.
Для разрешения этой коллизии, конечно, можно было бы вводить
дополнительные метки в обозначение ренты, однако это привело бы
к излишнему усложнению записи. Поэтому ниже полное обозначение
стоимости ренты, т. е. одновременное указание и срока, и ставки
будем использовать только для простых рент, когда период ренты
и период начисления ставки совпадают.
В общем же случае, чтобы не загромождать запись дополнитель-
дополнительными индексами и метками, мы будем использовать сокращенное обо-
обозначение для стоимости, указывая только срок для выбранной шкалы,
в которой представлена рента, т.е. будем писать sn\, ащ и т.п.,
подразумевая при этом остальные параметры. При этом из конкретного
вида выражения будет очевиден смысл и способ привязки к выбранной
шкале этих параметров. В частности, из этого соглашения следует,
что полную запись sn\ih мы уже должны трактовать не так, как было
сказано раньше, т. е. не как стоимость ренты сроком п (в заданной
шкале) со ставкой начисления г^ и периодом начисления h, заданным
в этой шкале, а как стоимость простой ренты, в которой срок п указан
в периодах начисления h.
Пример 12.7. Рассмотрим 5-летнюю обыкновенную ренту с годовыми
платежами по 7^300. Найти накопленную и текущую стоимости этой ренты
для квартальной ставки 10%.
Решение. В годовой шкале, согласно условиям примера, имеем
п = 5, h=-, ih = o,\, с = тгзоо.
4
Для вычисления накопленной стоимости вп\ можно применить приведен-
приведенную выше формулу, однако, проще сразу найти соответствующую годовую
эффективную ставку и работать непосредственно с ней. Очевидно, что эта
ставка равна
ъ = A+ОДL- 1 = A,1L- 1 =0,4641,
и, следовательно, накопленная стоимость будет равна
Д-1]= 3702,33G1),
а текущая стоимость —
Qnn	300[1 — A,4641)-5] гг^оолт
300 ащ =	0д641	= 550,33(?г).

12.1. Стандартные ренты	413
Если задана номинальная ставка г^ с кратностью начисления га,
а соответствующая эффективная ставка равна
/	Лгп)\т
г=A + —) -1,
V	771 )
то, например, формула для ап\ преобразуется следующим образом:
/	Лт) \ —пт
1-I1 + -
т
Пример 12.8. Пусть для ренты из предыдущего примера задана ставка
^B) =40% годовых, начисляемых по полугодиям. Найти будущую (накоплен-
(накопленную) и текущую стоимости ренты.
Решение. Поскольку г^ = 0,4, то соответствующая годовая эффектив-
эффективная ставка равна
г = (l + —V - 1 = 1,44 - 1 = 0,44.
Следовательно, накопленная стоимость ренты в этом случае будет равна
5- "=3539,82G1),
а текущая стоимость —
Для непрерывно начисляемой (бесконечнократной) ставки г(°°) = j
соответствующая эффективная ставка равна
Следовательно, формула текущей стоимости, например, для единич-
единичной вечной ренты будет иметь вид
1
Напомним, что непрерывно начисляемая ставка j совпадает с ин-
интенсивностью процентного роста (силой процентов) 5, о которой
говорилось в гл.9.
Пример 12.9. Найти текущую стоимость обыкновенной вечной ренты
с ежегодными платежами по 7^200 при непрерывно начисляемой годовой став-
ставке j = 20%.
Решение. Соответствующая эффективная годовая ставка будет равна
i = eJ - 1 = е0'2- 1 =0,2214
и, следовательно, текущая стоимость ренты равна
= _200_ = 9оз,33Gг).	¦
0,2214	v '

414	Гл. 12. Специальные классы потоков. Ренты
Точно так же поступаем и в случае задания учетной, а не процент-
процентной ставки. Так, для m-кратно учитываемой ставки d^ имеем
и, следовательно, формула для текущей стоимости авансированной
ренты будет иметь вид
а-\ - V
n|"
т
Пример 12.10. Рассмотрим 5-летнюю ренту с ежегодными платежами
по 7^300 в начале каждого года. Найти накопленную и текущую стоимости
ренты, если задана учетная ставка S2^ = 40% годовых, учитываемая дважды
в году.
Решение. Соответствующая эффективная годовая ставка равна
d=l-(l- ^J = 1 - @,8J = 0,36.
Следовательно, накопленная стоимость ренты равна
а текущая стоимость
300 • -^^	 = 6927,69(Тг),
300 • -—@;64) = 743,85(?г).
0,36
Если 5 — номинальная непрерывно учитываемая учетная ставка, то
d= I -e~5
и, в частности, формула для текущей стоимости вечной авансирован-
авансированной ренты будет иметь вид
Пример 12.11. Найти текущую стоимость бессрочной авансированной
ренты, выплачивающей по 7^200 ежегодно при непрерывно учитываемой номи-
номинальной ставке S = 20 % годовых.
Решение. В этом случае эффективная годовая учетная ставка равна
d= 1 -е~5 = 1 -е"°'2 = 0,1813,
и, следовательно, текущая стоимость составит
Вернемся (в силу важности вопроса) к замечанию, сделанному
выше по поводу обозначений стоимости рент. Мы подчеркнули, что
полные обозначения стоимости рент (с одновременным указанием сро-
срока и ставки) мы будем использовать только для простых рент. Под
ними, как мы уже говорили, в большинстве руководств по финансо-

12.1. Стандартные ренты	415
вой математике понимают ренты, в которых период ренты и период
начисления совпадают и, как правило, являются единичными, т. е.
совпадающими с базовым периодом временной шкалы. Второе условие,
как легко понять, менее существенно, тогда как первое безусловно
упрощает получение формул для стоимостей рент.
Так, выбрав период ренты в качестве единичного, мы сразу пре-
превращаем такую ренту в стандартную и, кроме того, соответствующая
ставка становится нормированной ставкой за период ренты. В этом слу-
случае можно применять все формулы для стандартных рент, полученные
в данном параграфе.
Строго говоря, для непосредственного использования формул сто-
стоимостей стандартных рент выбор периода ренты в качестве единичного
не столь уж обязателен. Однако в этом случае следует отчетливо
понимать, какой смысл вкладывается в обозначения параметров ренты.
Так, для стандартной ренты срок п является числом единичных
периодов, например, число лет для годовой шкалы, а г — соответству-
соответствующая нормированная, например, годовая ставка. Таким образом, эти
параметры согласованы.
Если период ренты совпадает с периодом начисления h заданной
процентной ставки ih, то срок ренты п должен выражать целое число
ее периодов. Во временной шкале срок ренты будет, естественно,
равен nh. Так, для квартальной ренты сроком п = 20 кварталам, срок
в годовой шкале составит 5 лет, поскольку h = 1/4 года. В этом случае
также можно считать эти параметры согласованными и пользоваться
формулами для стандартных рент, в частности, можно писать
nlih
ih	ih '	nlih ih '
где ah = 1 + ih и Vh = — — коэффициенты роста и дисконтирования
для периода h.
Подчеркнем отличие последних формул от аналогичных формул для
стандартных рент с заданной ненормированной ставкой ih. Так, мы
получили для накопленной стоимости формулу
Различие состоит прежде всего в том, что в обозначениях зщ1н пара-
параметры п и ih согласованы, поскольку п — срок ренты в ее периодах,
равных h, а ставка ih имеет также период h. В последней формуле для
sn\ih срок п задан в единицах временной шкалы, а ставка ih относится
к периоду начисления h ф \. Таким образом, п и ih в этом случае
не согласованы, именно поэтому мы не стали указывать ставку ih
в выражении sn\ih, так как запись в этом случае без пояснений дву-
двусмысленна, хотя ею, конечно, можно пользоваться, если четко указан
смысл употребляемых параметров.

416	Гл. 12. Специальные классы потоков. Ренты
С другой стороны, для стандартных рент вполне корректны обо-
обозначения sn^{m) или aoo|j, поскольку г(т) и j (j = г^°°^) — номинальные
нормированные ставки, они относятся к единичному промежутку вре-
временной шкалы. Проиллюстрируем сказанное выше примером.
Пример 12.12. Рассмотрим 5-летнюю обыкновенную ренту с ежеме-
ежемесячными платежами по 1ZI00. Пусть задана месячная ставка, равная 10%.
Найти накопленную стоимость ренты. Чему будет равна стоимость ренты, если
вместо месячных платежей в конце года выплачивается годовая сумма всех
ежемесячных выплат при той же ставке?
Решение. В первом случае, считая базовым периодом месяц, мы для
месячной шкалы получим
п = 5-12 = 60, i = ih = 0,1, С = 11100.
Следовательно, накопленная стоимость ренты будет равна
(] +о П60 — 1
100s^ = 100- 1 + ' ;	 = 303481,64(?г).
Во втором случае имеем обыкновенную стандартную относительно годовой
шкалы 5-летнюю ренту (п = 5) с ежегодными платежами
С = 12- 100= 1200(?г)
и месячной ставкой ih = 0,1, h = —. Соответствующая эффективная годовая
ставка равна
гх = A+0,1I2- 1 = 2,1384
и, следовательно, накопленная стоимость будет равна
1200- A+m) ~* = 170303,95(?г).	¦
ч
Как видно из примера, в случае согласованности, т. е. совпадения
периодов ренты и ставки начисления, можно непосредственно пользо-
пользоваться формулами для стандартных рент (считая единичным периодом
временной шкалы период ренты), в случае же их несогласованности
необходима предварительная процедура их согласования. Одна из них,
изложенная в этом параграфе, состоит в приведении ставки к периоду
ренты, т. е. нахождении эквивалентной для исходной ставки с пери-
периодом начисления, совпадающим с периодом ренты. Для стандартных
рент с нормированным рентным периодом эта процедура заключается
в нахождении эффективной ставки, соответствующей исходной ставке.
Наше изучение стандартных рент закончим анализом отложенных
(отсроченных) рент.
Отложенные ренты. Отложенная рента отличается от немедленной
тем, что первый платеж относится к более позднему, чем первый,
периоду времени. Будем считать, что отложенная рента имеет т + п
периодов, причем платежи осуществляются в п последних периодах.
Таким образом, поток платежей 2-го рода, представляющий отложен-
отложенную ренту, имеет вид, изображенный на рис. 12.5.
Заметим, что началом отложенной ренты считается момент to, а не
момент tm-\, являющийся началом периода, к которому относится

12.1. Стандартные ренты	417
С С _ С
[ 1 [ ••• 1 [ [ ••• [ 1
О 1 2 • • • т т +1 т + 2 ••• т+п — \ т+п
Рис. 12.5
первый платеж ренты. Как и в случае немедленных рент, в обык-
обыкновенной (постнумерандо) отложенной ренте платежи приходятся на
концы, а для авансированной (пренумерандо) — на начала платежных
периодов. Полный срок отложенной ренты равен т + п периодов или
(га + n)h — в выбранной временной шкале. Продолжительность пла-
платежного срока равна п периодов или nh в той же шкале.
Таким образом, отложенная обыкновенная рента характеризуется
следующими параметрами:
to — начало ренты,
h — период ренты,
То — tm-\ = to -\- (m — \)h — начало первого платежного периода,
П = to + mh — момент первого платежа,
tn = то + nh = to -\- (m -\- n)h — момент последнего платежа и конец
ренты,
п — число платежей ренты,
С = Ch — величина платежа за период ренты.
Аналогичным образом авансированная (пренумерандо) отложенная
рента имеет следующие параметры:
to — начало ренты,
h — период ренты,
то = to + (га — \)h — начало первого платежного периода и момент
первого платежа,
tn_i =то + (га + п— \)h — дата последнего платежа,
С — величина платежа за период ренты,
п — число платежей ренты.
Для простоты ниже будем рассматривать лишь такие стандартные
(h = 1) ренты, начало которых совпадает с началом временной шкалы,
т. е. го = 0.
Обозначим единичную (С = 1) отложенную на га периодов обык-
обыкновенную ренту с п платежами через т\Ап (рис. 12.6а), а единичную
отложенную на га периодов авансированную с п платежами ренту через
m|An (рис. 12.66).
1 - 11	11 - 1
1 1 ••• 1 1 ... I I	1 1 ••• i i ••• 1 1
0 1 ••• т гп+1 т+п—\ т+п	0 1 ••• т т+\ т+п—\ т+п
Рис. 12.6
14 П. П. Бочаров, Ю. Ф. Касимов

418	Гл. 12. Специальные классы потоков. Ренты
Пусть, по-прежнему, Ап — стандартная немедленная обыкновенная,
а Ап — авансированная ренты. Тогда очевидны следующие соотно-
соотношения:
m|An =L(An),
где Lm — оператор сдвига на т шагов (в данном случае — периодов
ренты). Если г — ставка за (единичный) период, то из этих соотноше-
соотношений немедленно следуют равенства
an\i = PVo(m\An) = vmPV0(An) = vm ¦ an{i,	A2.18)
an\i = PV0(m\An) = vmPV0(An) = vm ¦ an]i,	A2.19)
где m\^n\i и m\&n\i ~ текущие стоимости отложенной обыкновенной
и авансированной рент соответственно.
Если под накопленными (будущими) стоимостями отложенных рент
понимать их значения, относящиеся к концу ренты, т. е. к моменту
tm+n, то, очевидно, что
= FVn(An) = 8Щг,
ё.. — pv . ( I A-i Л — FV (A ) — я-i •
Между стоимостями отложенных рент имеют место те же соотно-
соотношения, что и между стоимостями немедленных рент. В частности,
Полученные выше соотношения относятся к единичным рентам,
т.е. рентам с единичными (в некоторой денежной шкале) платежами.
Если фактические платежи составляли С денежных единиц (рублей,
долларов и т.д.), то стоимость такой ренты точно в С раз больше,
чем стоимость соответствующей единичной ренты. Так, для отложен-
отложенной на т периодов обыкновенной ренты с п платежами, равными С
за период, ее текущая (относительно начала) стоимость будет равна
Пример 12.13. Вкладчик заключает с банком контракт, согласно ко-
которому в обмен на немедленный в t = 0 взнос банк обязуется выплачивать
вкладчику ежегодно в течение 10 лет 7^10000 руб., начиная с 5-го года
после заключения контракта. Найти величину взноса, если ставка банка по
депозитам равна 20% годовых.
Решение. В этом примере рента, выплачиваемая банком, представля-
представляет собой отложенную авансированную ренту с параметрами т = 5, п = 10
и С = 7^10000. Величина взноса будет равна, очевидно, текущей стоимости

12.2. Нестандартные (р-кратные) ренты	419
такой ренты относительно ставки г = 20% годовых. Следовательно, согласно
формуле A2.19) получаем, что величина вклада Лз равна
Ро = Ю000 • slalom = 1000° • A + °>2Г5 • йш|о,2 =
= 10000 • A,2) • -—^	= 20218,33(?г). ¦
Отметим еще один способ вычисления стоимостей отложенных
рент. Он основан на представлении отложенных рент в виде разности
двух немедленных. В самом деле, очевидно, что для единичных рент
В силу линейности оператора текущей стоимости получаем, на-
например,
PV0(m\An) = PV0(Am+n) - PV0(Am)
или
т\а>п\ = аШ-ы\ - ат\-	A2.20)
Аналогично получаем
т\ащ = a^qp^| — ат\.	A2.21)
Здесь и ниже, как мы уже условились, используются сокращенные
(без указания ставки г) обозначения стоимостей рент.
Непосредственное доказательство равенств A2.20) и A2.21) так-
также вполне очевидно. Так, например, преобразуя правую часть равен-
равенства A2.20), получим
Последнее выражение в этой цепочке равенств совпадает с ранее
полученной формулой A2.18) для выражения текущей стоимости отло-
отложенной обыкновенной единичной ренты.
12.2. Нестандартные (р-кратные) ренты
Выше мы рассмотрели лишь стандартные ренты, у которых, как
это было отмечено ранее, период ренты совпадал с базовым проме-
промежутком временной шкалы, так что каждому единичному временному
промежутку соответствовал единственный платеж ренты. При этом
в приведенных в предыдущем параграфе выражениях для стоимостей
рент процентная ставка г была согласована с периодом ренты. Эта
ставка являлась фактической (эффективной) ставкой за период ренты.
В этом параграфе мы рассмотрим более общие виды рент, в кото-
которых период между отдельными платежами может не совпадать ни
14*

420	Гл. 12. Специальные классы потоков. Ренты
с базовым промежутком временной шкалы, ни с периодом начисления
процентов. Ренты такого вида в учебниках по финансовой математике
иногда называют общими рентами. В этом параграфе рассмотрим лишь
постоянные ренты такого вида, т. е. нестандартные ренты с одинако-
одинаковыми периодическими платежами. Хотя получающиеся в этом случае
формулы для стоимостей рент имеют более громоздкий вид, схема их
вывода чрезвычайно проста и сводится, по существу, к эквивалентному
преобразованию исходной ренты к некоторой (простой) стандартной
ренте.
Основное отличие нестандартных рент от стандартных заключается
в том, что период между платежами ренты может быть меньше или
больше базового периода временной шкалы. Так, за один базовый пе-
период могут осуществляться р платежей ренты (р-кратные ренты, если
р > 1). Двойственным является случай, когда период между платежами
больше базового периода. Так, платежи по ренте могут осуществляться
один раз за несколько лет. С формальной точки зрения нет никакой
разницы между анализом этих случаев.
Проводимый ниже анализ будет интерпретироваться, в основном,
для случая кратной ренты (р > 1), но получаемые формулы, как мы
увидим в дальнейшем, будут справедливы во всех случаях.
Дополнительное различие между проведенным выше анализом
стандартных рент и общим случаем заключается в произвольном спо-
способе задания процентной ставки, которая, как это принято, непосред-
непосредственно привязывается к базовому периоду временной шкалы, т. е.
это нормированная (например, годовая) номинальная либо эффектив-
эффективная ставка. Естественно, период начисления, связанный с номинальной
ставкой, может быть никак не связан с периодом платежей ренты.
Заметим, что, как это принято в финансовой литературе, к единичному
периоду привязывается и величина выплат по ренте.
Итак, р-кратная (немедленная) рента для выбранной временной
(например, годовой) шкалы задается следующими параметрами:
h — период ренты или кратность р (т. е. число платежей за единич-
единичный период, например, за год), причем, очевидно, что р = l/h,
to = то — начало ренты,
tn — конец ренты,
п — срок ренты в единицах временной шкалы (например, в годах),
С — общая сумма платежей за единичный период.
Таким образом, все параметры ренты выражаются в терминах вре-
временной шкалы. Так, если шкала — годовая, то указывается период
ренты в годах или число платежей ренты за год, срок в годах и общая
сумма выплат за год. Ниже мы будем считать параметры р, п целыми
числами, а начало ренты выберем нулевым: to = 0.
Если не учитывать микроструктуру ренты, а лишь суммарные
платежи С за единичный промежуток, то поток платежей по такой
ренте представляет собой поток 2-го рода. Но поскольку за каждый
единичный промежуток в случае р-кратной ренты осуществляется р

12.2. Нестандартные (р-кратные) ренты	421
платежей, то каждый макропериод J& имеет микроструктуру, пред-
представленную микрорентой. Эта микрорента является обыкновенной либо
авансированной рентой с периодом -, платежом — и сроком р. Так,
микроструктура платежей Ck за fc-й период времени для обыкновенной
ренты имеет вид, изображенный на рис. 12.7.
С/р С1р	_	С1р
k-l k-\ + \lp к-\+21р - к-\+(р-\Iр к
Рис. 12.7
Можно считать, что р-кратная (р > 1) рента получается операцией
р-кратного дробления (см. § 1.2) стандартной ренты. В частности, для
единичных стандартных рент Ап и Ап соответствующие единичные
р-кратные ренты А^ и А^ будут равны
Читателю следует обратиться к § 1.2, где подробно описана операция
дробления рент и приведены соответствующие примеры.
Обыкновенную единичную микроренту за к-и единичный вре-
временной период обозначим через А&>р. Соответствующую этому периоду
авансированную единичную ренту обозначим через А^. Таким обра-
образом, полная единичная рента представится суммой
А^ = - (А,,р + А2,р + ... + А„,р)	A2.22)
в случае ее интерпретации как обыкновенной ренты, либо суммой
?	A,p + 2,p + + n,p)
— для авансированной ренты.
Важно понимать, что в соответствии с нашим описанием единичной
р-кратной рентой является рента, у которой С = 1, т.е. единице равна
полная сумма выплат за единичный период, а не величина каждой
отдельной выплаты. Так, в случае годовой шкалы единичная 2-кратная
обыкновенная рента предусматривает выплату единичной суммы за
год, что подразумевает выплату - денежной единицы в конце каждого
полугодия.
На рис. 12.8 а изображена р-кратная обыкновенная рента, а на
рис. 12.8 6 — авансированная единичная.
Определив понятие (немедленной) р-кратной ренты относительно
выбранной временной шкалы, мы можем перейти к нахождению их
эквивалентных значений или накопленной и текущей стоимостей. Для

422	Гл. 12. Специальные классы потоков. Ренты
Ир Ир Ир Ир Ир Ир Ир Ир Ир Ир Ир Ир
О Ир Up I \ + \lp n-\lp п	О Ир Up I \ + \lp n-\lp n
а	б
Рис. 12.8
того чтобы сделать это, необходимо задать процентную ставку. Как
известно, ставку можно задавать тремя способами в виде:
•	нормированной (эффективной) ставки г за единичный период;
•	номинальной ставки v-r\ начисляемой г раз за базовый период
временной шкалы;
•	номинальной непрерывно начисляемой ставки (интенсивности или
силы процентов) 5.
Эти ставки связаны следующими соотношениями:
1 + V) =е -1-
В предыдущем параграфе получены выражения для стоимостей
стандартных рент при условии, что период начисления процентов со
ставкой г совпадает с периодом ренты. Общую ренту можно всегда рас-
рассматривать как стандартную, в которой единичный период временной
шкалы будет совпадать с периодом ренты. В этой новой шкале срок
ренты (с периодом \/р в старой шкале) будет равен
N = пр,
а платеж за период будет равен С/р, если С — платеж исходной
ренты. Таким образом, все что осталось — это найти ставку ренты
за период h = 1/р, эквивалентную исходной нормированной ставке.
Если исходной ставкой была нормированная ставка г, то эквивалентной
ставкой за период ренты будет ставка
Если же задаваемой ставкой была номинальная ставка г^ с г-кратным
начислением, то эквивалентной ей ставкой за период h (с учетом
предыдущего равенства) будет ставка
Наконец, для интенсивности роста 5
ih = e5h - 1 =ер - 1.
Соответственно коэффициент роста за период h

12.2. Нестандартные (р-кратные) ренты	423
в первом,
i(r)rh	i(r)r/p
<^
во втором и
в третьем случаях.
Выразив ставку г^ за период ренты h через исходную заданную
ставку, получим, по существу, простую ренту, период которой сов-
совпадает с периодом ставки г^. Для таких рент, как мы знаем, можно
непосредственно использовать формулы стоимостей стандартных рент,
если пользоваться шкалой, в которой базовым является период самой
ренты.
Стоимости р-кратных рент (метод преобразования ставки). По-
Получим теперь формулы для текущих стоимостей единичных р-кратных
рент. Так, обозначая через s^ накопленную стоимость обыкновенной
единичной р-кратной ренты, запишем следующее равенство:
где h = - — период ренты. Раскрывая правую часть этого равенства,
в случае эффективной (нормированной) ставки г получим
A2.24)
Р	ih	P (l+iI/p-f
в случае номинальной ставки г^
p
1 И-г —, -1 ! A + — Г-1
р л , i"V/.'_1 р л + ^у/"_,
A2.25)
l + t—)>"'-l
Г J
а в случае непрерывно начисляемой ставки 5
s^X = - • ({+г^ ~1 = - . е П ~ !.	A2.26)
Заметим, что во всех случаях числители формул стоимости р-крат-
р-кратной ренты совпадают с числителем в формулах стоимости стандартной
ренты, поскольку
nN - прп - пп
Таким образом, эти формулы отличаются от стандартных наличием
коэффициента 1/р и ставки г^ в знаменателе вместо г.

424	Гл. 12. Специальные классы потоков. Ренты
Совершенно аналогичное выражение получаем для всех остальных
видов стоимостей единичной р-кратной ренты:
A2.27)
При этом в каждом случае стоимости обыкновенной и авансированной
рент связаны соотношениями
^	^	A2.30)
где г^ — эквивалентная ставка за период ренты (h = 1/р).
Пример 12.14. Рассмотрим 5-летнюю обыкновенную ренту, в которой
платежи осуществляются в конце каждого квартала общей суммой 7^200 за
год, а проценты начисляются три раза в год по ставке 15% годовых. Найти
накопленную (Ss) и текущую (А$) стоимости этой ренты.
Решение. В этом примере р = 4, h = 1/4, С = 200, п = 5, N = рп =
= 4 • 5 = 20. Для решения задачи найдем прежде всего эквивалентную ставку
ренты ih, коэффициент роста аи и дисконтный множитель Vh за период h.
Поскольку г^ = 15% годовых, то эквивалентная ставка за квартал найдется
из соотношения
(l+*l/4)
откуда
и, следовательно,
г>ь = A,05)-3/4, i/, = (l,05K/4- 1,
A + г1/4J0 = A + г1/4L'5 = (l + ^K'5 = A + 0,05I5 = а2{%.
Подставляя эти значения в формулы A2.23) и A2.28), получим
о _ 200	_ 200 а|° - 1 _	A,05I5-1
ЬЪ	^	50
. 200	200 l-'u?0 cn 1 — A,05) —15 — 1 cnco.//D,
А5 =	аоп,. =	^- = 50	v / 	= б9б,24(?г). ¦
4 201гь 4 г^-1	A,05K/4 — 1
Следует отметить, что, вообще говоря, нет смысла выписывать, как
это делается во многих книгах по финансовой математике, а тем более
запоминать, развернутые выражения формул типа A2.24), A2.25) для
стоимостей рент. Простейший способ избежать этого состоит в преоб-
преобразовании общей ренты в стандартную, выбирая период ренты в ка-
качестве базового периода шкалы и, что самое главное, преобразовав

12.2. Нестандартные (р-кратные) ренты	425
заданную нормированную ставку (или заданную другим образом став-
ставку) в эквивалентную ставку за период ренты.
Не менее просто получаются формулы для кратных бессрочных
(вечных) рент. Текущая стоимость единичной р-кратной обыкновенной
бессрочной ренты выражается в виде
Ы 1	1
для нормированной ставки г,
а^],г) =	^		A2.32)
A + V) -1
для номинальной г раз начисляемой ставки г^ и
r ~ 1
для интенсивности (силы процентов) 5.
Для р-кратной единичной бессрочной авансированной ренты приве-
приведем лишь одно выражение:
§ ?^т
F I -e р
использующее непрерывно начисляемую ставку (интенсивность) 5.
При решении задач, как и в случае срочных кратных рент, лучше не
пользоваться этими общими формулами и сначала находить приведен-
приведенное к периоду ренты эквивалентное значение ставки (процентной или
учетной), а затем пользоваться формулами стоимостей стандартных
рент.
Пример 12.15. Найти текущую стоимость для рент:
а)	бессрочной обыкновенной с ежеквартальными выплатами по 7^100 и ме-
месячной ставкой 5%;
б)	бессрочной авансированной с ежемесячными выплатами по 7^50 и номи-
номинальной учетной ставкой 20%, учитываемой дважды в году.
Решение, а) Эквивалентная квартальная ставка будет равна
«1/4 = A + ii/i2K ~ 1 = A + 0,05K - 1 = 0,1576
и, следовательно, стоимость ренты составит
б) Эквивалентная месячная учетная ставка будет равна
/	^7B) л 1/6
di/i2=l-(l-^2-) =0,0174
и, следовательно, текущая стоимость ренты составит
—^- = 2873,5б(?г).
0,0174 v '

426	Гл. 12. Специальные классы потоков. Ренты
Стоимости р-кратных рент (метод эквивалентного преобразо-
преобразования рент. Полученные выше выражения для кратных рент основы-
основывались на преобразовании (приведении) исходной ставки к ставке за
период ренты. Эта операция превращала исходную ренту в простую,
к которой применимы непосредственно формулы стоимостей стандарт-
стандартных рент. Такой подход наиболее прост. Он, в частности, не изменяет
потока платежей ренты, а требует лишь согласования периодов ренты
и заданной ставки. Имеется еще один способ получения стоимостей
р-кратных рент, который состоит в преобразовании не ставки, а самой
ренты. В этом случае исходная рента преобразуется в «эквивалентную»
ренту с периодом, равным периоду начисления заданной ставки. Про-
Проиллюстрируем этот метод в нескольких типичных случаях.
Начнем с самого простого случая единичной р-кратной обыкно-
обыкновенной ренты с заданной нормированной процентной г или учетной d
ставкой. Для этой ренты справедливо разложение A2.22). В этом
разложении выплаты за fc-й пери-
Vp !/P ... Vp llP од составляют микроренту A/р)А^р
1	1	1 ;;; I	1 с р-выплатами в конце каждого мик-
0 \1р Ир	р-Щ 1 ропериода длины 1/р. Диаграмма
этой ренты (для к = 0) приведена на
Рис- 129	рис. 12.9.
Для заданной нормированной ставки г эквивалентное значение
ставки ц/р за микропериод h = 1/р будет равно
а соответствующий коэффициент роста
оч/р= 1+г1/р = A+гI^.
Тогда накопленная к моменту t = к стоимость ренты будет равна
C = FVfc((l/p)Afc,p) = i.sP|il/p = i.
i _ 1	1
A2.35)
P УГ1/Р v »i/P
1 a- 1 1
Р Ь/р Р A+гI/р-Г
Вспоминая теперь, что
где № — номинальная р раз начисляемая ставка, эквивалентная нор-
нормированной ставке г, получаем, что

12.2. Нестандартные (р-кратные) ренты	427
Следовательно, можно записать эквивалентное значение накопленной
к моменту t = k стоимости микроренты в виде
г
Заменяя теперь каждую из микрорент (\/p)AktP на ее эквивалент-
эквивалентное (приведенное к моменту t = к) значение С, мы получим стан-
стандартную обыкновенную ренту (г/г^)Ап с одинаковыми платежами
и нормированной ставкой г, эквивалентную р-кратнои ренте An :
Следовательно, накопленные стоимости этих рент будут равны, т. е.
Лр) -
sn\ - Т
Соответственно будут равны и текущие стоимости
In
_	_ ~~ V
Поступая аналогичным образом с единичной р-кратной авансиро-
авансированной рентой An , можно заменить каждую из составляющих ее мик-
микрорент A/р)А/с?р эквивалентным, приведенным к моменту t = к — 1,
текущим значением
1 1 — ?;?, 1	rj
-,	A2.38)
р di/p p 1-A-
где
— учетная ставка за микропериод h = 1/р, эквивалентная нормирован-
нормированной учетной ставке d, a
vi/p = 1
— соответствующий коэффициент дисконтирования. Знаменатель вто-
второго сомножителя в A2.38) представляет собой номинальную р-кратно
учитываемую учетную ставку d^p\ эквивалентную исходной нормиро-
нормированной учетной ставке d, и, следовательно,
Ар)	1
— = l-(l-d)p.
р
Таким образом, из A2.38) с учетом последнего равенства получаем,
что эквивалентные значения для каждой из микрорент составят
п — &

428	Гл. 12. Специальные классы потоков. Ренты
Выполняя указанное преобразование, в итоге получим стандартную
авансированную ренту (d/d^)An, эквивалентную исходной:
Из этой эквивалентности немедленно следует, что
() d .g (l+i)"-l	A2.39)
d(P) n\	d(p)	\	)
аЫ=*-Ы = ^-.	A2.40)
Для стоимостей авансированной ренты мы использовали учетную,
а не процентную ставку, поскольку, как было показано выше, именно
в этом случае формулы для стоимости приобретают особенно простой
вид. Конечно, можно было воспользоваться ранее отмеченными соотно-
соотношениями A2.30) между стоимостями обыкновенных и авансированных
рент.
Применяя ту же технику к бессрочным рентам, легко получить
выражения для текущих стоимостей обыкновенной
a-i = 4^'аос\ = -гт.	О2-41)
и авансированной
a^ = 4-.a-| = -L	A2.42)
бессрочных единичных р-кратных рент.
Аналогичные результаты можно получить и для отложенных р-крат-
ных рент.
Структура всех полученных формул для стоимостей р-кратных
очень проста. Стоимость р-кратной ренты любого вида получается
умножением стоимости соответствующей стандартной ренты на по-
поправочный коэффициент, равный отношению исходной нормированной
(эффективной) и эквивалентной ей номинальной ставки. При этом для
обыкновенной ренты используются процентные, а для авансирован-
авансированной — учетные ставки.
Представленный выше метод дает, конечно, тот же результат, что
и ранее использованный метод, основанный на преобразовании исход-
исходной ставки (приведением ее к периоду ренты). Однако метод, осно-
основанный на преобразовании рент, имел, по крайней мере, в докомпью-
докомпьютерную эпоху то преимущество, что не удлинял срок ренты, заданной
в исходной шкале. Дело в том, что в то время для вычисления рент
использовались таблицы, в которых были затабулированы коэффици-
коэффициенты роста Sn\ и дисконтирования ап\ для различных значений п и г.
Естественно, что таблицы с большим диапазоном для п и г и требуемой
точностью (около 6 знаков) получались весьма громоздкими и неудоб-
неудобными для использования. Компактные же таблицы были вынуждены

12.2. Нестандартные (р-кратные) ренты	429
ограничиваться сравнительно узким диапазоном сроков п (обычно не
больше 20-30) и ставок г (в диапазоне 1 -i-20%). Такой ограниченный
объем таблиц приводил к трудностям при вычислении стоимостей
кратных рент с помощью приведения исходной ставки к периоду ренты.
Вычисляя, например, текущую стоимость обыкновенной 30-летней рен-
ренты с ежемесячными выплатами и нормированной годовой ставкой 8% —
достаточно типичный случай, например, для западного финансового
рынка — непосредственно по стандартным формулам, все параметры
ренты необходимо выразить в месячной шкале. Это дает срок ренты,
равный
N = 12 • 30 = 360,
и ставку i\/\2 = 0,004, т.е. 0,4%. Такие значения параметров заведомо
выходят за границы даже весьма полных таблиц.
Применение второго метода, основанного на замене исходной ренты
эквивалентной ей стандартной рентой, не изменяет срок ренты и ставку
в коэффициентах роста и дисконтирования ренты и для окончательного
расчета требует лишь умножения табличного значения с параметрами
п = 30, г = 5% на поправочный коэффициент, равный отношению
ставок:
г 0,05
О2) 0,048
1,04167.
Если в качестве исходной задана не нормированная, а какая-нибудь
другая, например, номинальная, ставка, то необходимо сначала по
заданной ставке найти соответствующую эффективную г и р-кратно
начисляемую номинальную ставку.
Несобственные кратные ренты. До сих пор мы рассматривали
кратные ренты с р > 1, т. е. ренты, в которых за единичный период
осуществлялось более одного платежа. Однако полученные формулы
для стоимостей рент годятся без всяких изменений и для случая р < 1,
т. е. для ренты, в которой период h = \/p между платежами состоит из
нескольких единичных периодов. Такие ренты можно было бы назвать
прореженными. Однако, как это принято в математике, мы не будем
вводить нового термина, а будем использовать термин «кратная рента»
и в этом обобщенном случае. Если нам все же потребуется подчеркнуть
различие между этими двумя типами кратных рент, то в случае р > 1
мы будем говорить о собственных кратных рентах, а в случае р < 1 —
о несобственных кратных рентах.
Будем считать период h = \/p несобственной кратной ренты целым
числом. Если срок ренты в выбранной временной шкале равен п, то
число платежей для такой ренты (как и в случае собственной ренты)
равно
N = - = np.

430	Гл. 12. Специальные классы потоков. Ренты
Это число мы также будем считать целым. Очевидно, что для немед-
немедленной ренты с началом to = 0 критические моменты ренты имеют вид
tk = kh, k = 0,l,...,N.
Диаграмма платежей для обыкновенной единичной несобственной
р-кратной ренты изображена на рис. 12.10 а. Соответственно диаграм-
диаграмма авансированной единичной несобственной р-кратной ренты показа-
показана на рис. 12.106.
1	1	1	1
1	1	1 ••• [	[	[ ••• [	[
0	1	2 '" р /? + 1	2/7 "• пр-\ пр
1	... 1	... 1	... 1
[ [ [ ••• [ [ ••• 1 1 ••• [ [
О	1	2 '" p-l p '" 2р-\ 2р '" пр-\ пр
б
Рис. 12.10
Пусть г — нормированная процентная ставка. Соответствующая ей
эквивалентная ставка за период h будет равна
Ставка ih согласована с исходной рентой, поскольку период начисления
ставки и ренты совпадают. Следовательно, исходную ренту, р-крат-
ную с параметрами п, г, можно рассматривать как простую ренту
с параметрами N = пр и г^. К такой ренте применимы формулы
стоимости стандартных рент и, следовательно, все полученные ранее
формулы A2.23)—A2.29), A2.31)—A2.33) годятся и для несобственных
р-кратных рент.
Пример 12.16. Найти накопленную и текущую стоимость 40-летней
обыкновенной ренты, если платежи по ней составляют 7^1000 в конце каждого
пятилетия, а используемая ставка равна 10% годовых, начисляемых раз в пол-
полгода.
Решение. Параметры ренты в годовой шкале имеют вид
п = 40, /г = 5, р=-, N = 8.
о
Найдем ставку за период ренты, эквивалентную ставке г^ = 20%:
/ о 1 \ 10
i5 = (l + ^ij - 1 = 0,6289.
Накопленная стоимость ренты будет равна, очевидно,

12.2. Нестандартные (р-кратные) ренты	431
Текущая стоимость ренты составит
10008^ = 1000 • ' " ^'66228899)"8 = 1557,ОGг).	¦
Для несобственных р-кратных рент применимы также и все фор-
формулы, полученные методом преобразования ренты в стандартную, т. е.
формулы A2.38)—A2.42), если номинальную ставку № интерпрети-
интерпретировать как имеющую период начисления h > 1, а кратность р < 1.
Естественно, сама формула для номинальной р-кратной ставки в этом
случае не меняется и имеет тот же вид, что и в собственном случае
(см. §8.4).
Наконец, приведем еще один способ записи выражений для стои-
стоимостей р-кратных рент.
Стоимости кратных рент с «дробными» сроками. Подставляя
формально в формулы стоимостей стандартной ренты
_
1
г
l-vn
значение п = 1/р, получим
s\/p\i - i
a\/p\i - i '
Отсюда следует, что формулы A2.36) и A2.37) можно переписать
в виде
(р) _ J_ ^ Sn\j
п\г ^ с	 '
Щг Р aYJv\i
Верны, конечно, и аналогичные соотношения для авансированных
рент. Эти формулы часто встречаются в финансовой литературе.
Отметим, что в случае несобственной р-кратной ренты A/р —
целое) выражение р • sji-^ вполне осмысленно и означает накопленную
стоимость стандартной ренты сроком h = 1/р и платежами р за
единичный период. Фактически это означает преобразование исходной
единичной р-кратной ренты с периодом h в стандартную ренту. При
этом 1/(р • sjj-^) является величиной платежа стандартной ренты,
обеспечивающего эквивалентность этих рент.
Кратные ренты и номинальные ставки. В заключение этого па-
параграфа, посвященного р-кратным рентам, приведем одну интересную
интерпретацию понятия номинальной ставки, связанную с понятием
ренты. Для этого вернемся к формуле A2.3), дающей выражение на-

432	Гл. 12. Специальные классы потоков. Ренты
копленной стоимости микроренты А^ относительно нормированной
ставки г. Поскольку стоимости всех таких рент одинаковы, возьмем
к = 1. Тогда
Отсюда немедленно следует равенство
i(P).s(p)=L	A2.43)
1 г	ч	J
Левая часть этой формулы представляет собой стоимость р-кратной
ренты с единичным сроком (п = 1), общая сумма выплат которой за
единичный период времени равна v^\ Справа стоит величина процент-
процентной ставки за единичный период. Пусть выбрана годовая шкала и в мо-
момент t = О инвестирована единичная сумма С = 1. Тогда в момент t = 1
при годовой ставке на эту сумму будут начислены проценты в размере
h = 1 • г = г.
Так будет при единовременной выплате процентов в конце единичного
периода. Формула A2.43) дает еще один вариант выплаты процентов,
в котором они выплачиваются одинаковыми платежами р раз в году
в конце каждого микропериода длины h = \/p. Формула A2.43) пока-
показывает, что общая сумма выплаченных таким образом за год процентов
составит величину, равную i^p\ Естественно, каждая процентная вы-
выплата будет равна № /р.
Аналогично интерпретируется соотношение A2.38):
a\\i d(P)>
из которого следует равенство
dW.a^=d,	A2.44)
означающее эквивалентность двух схем авансированных процентных
выплат с единичной суммы за единичный период. Согласно форму-
формуле A2.44) вместо единовременной выплаты суммы d в начале года
можно выплачивать проценты р раз в году в начале каждого микропе-
микропериода h = \/p. Общая сумма сделанных таким образом выплат за год
составит в точности ^\
Пример 12.17. Рассмотрим простую кредитную сделку сроком на один
год и суммой долга, равной 7^100. Пусть ставка сделки г = 60% годовых. Какие
проценты должен выплачивать должник: а) в конце и б) в начале каждого
квартала, чтобы погасить долг?
Решение. В данном случае
г = 0,6, d=-^— =0,375.
1+г

12.3. Монотонные ренты	433
Тогда для случая а) согласно формуле A2.43) процентные выплаты в конце
каждого квартала составят
;D)
— = 100[A + 0,бI/4
а для случая б) выплаты в начале каждого квартала согласно A2.44) составят
;()
100 • — = 100[A + 0,бI/4 - 1] = 12,47(?г),
лD)
100- — = 100[1-A-0,375I/4] = 11,09(?г).
12.3. Монотонные ренты
До сих пор мы ограничивались изучением лишь постоянных рент
или, более точно, рент с постоянными периодическими платежами.
На практике, однако, часто используются ренты с переменными вы-
выплатами. Так, на рынке облигаций встречаются облигации с пере-
переменным (не путать с плавающим) купоном, по которым процентные
выплаты (купоны) изменяются по определенным, заранее предписан-
предписанным правилам. Переменные рентные выплаты встречаются в схемах
погашения долга, например, по закладным, при амортизации активов,
в страховании и т. д. В этом параграфе мы рассмотрим специальный
класс рент, так называемые монотонные ренты, в которых перио-
периодические платежи изменяются по определенному закону. При этом
ограничимся двумя типами монотонных рент — арифметическими или
линейными, в которых платежи меняются по линейному закону, т. е.
представляют собой арифметическую прогрессию, и геометрическими
рентами, с показательным законом изменения платежей. В этом слу-
случае последовательность платежей представляет собой геометрическую
прогрессию. В каждом из этих случаев, в зависимости от параметров
закона изменения платежей, они могут возрастать со временем, и тогда
говорят о возрастающей ренте, или убывать, и тогда говорят об убы-
убывающей ренте. Наше изучение монотонных рент мы начнем с анализа
арифметических рент.
Арифметические ренты. Как было сказано выше, в арифметиче-
арифметической ренте платежи меняются со временем линейно и представляют
собой арифметическую прогрессию:
Ck+i=Ck+r,
где г — разность прогрессии, т. е. величина, на которую изменяется за
каждый период платежи ренты.
Рассмотрим сначала срочную стандартную арифметическую ренту,
период которой совпадает с единичным периодом временной шкалы
и, следовательно, критические моменты ренты (концы ее периодов)
имеют вид
tk = k, k = 0,1,...,п.

434	Гл. 12. Специальные классы потоков. Ренты
Здесь для простоты мы выбрали начало ренты нулевым: to = 0. Тогда
закон изменения платежей обыкновенной арифметической ренты будет
иметь вид
Ck=p{+rk, k =1,2,...,п.	A2.45)
Следует обратить внимание на формулу A2.45) для платежей ренты.
Согласно этой формуле первый платеж ренты есть
Ci=pi+ г,
а не рь Такой вид выражения для общего члена ренты выбран спе-
специально, для упрощения вывода формул стоимостей арифметических
рент. Конечно, зная настоящий первый платеж ренты С\ и разность
прогрессии г, легко найти р\\
Р\=С\- г.
Это следует иметь в виду при использовании формул, которые будут
получены ниже.
Если разность прогрессии г — положительна, т. е. г > 0, то рента
будет возрастающей, если г — отрицательна, рента будет убывающей,
если г = 0, то в этом (вырожденном) случае рента будет постоянной.
Формула A2.45) показывает, что общую арифметическую стандартную
ренту можно рассматривать как линейную комбинацию двух рент: еди-
единичной стандартной ренты Ап и арифметической ренты с платежами
Rk = k, к =1,2,...,п.
Эту, очевидно возрастающую, арифметическую ренту назовем ка-
канонической или простейшей и обозначим 1АП. Здесь первый символ /
есть начальная буква слова «increasing», что значит «возрастающий».
Таким образом, поток платежей CF произвольной арифметической
ренты есть линейная комбинация
CF=piAn+rIAn	A2.46)
двух рент.
Поскольку операторы стоимостей являются линейными:
FVn(p,An +rIAn) =PlFVn(An) + rFVn(IAn)	A2.47)
PV0(plAn+rIAn)=piPV0(An)+rPV0(IAn),	A2.48)
то для нахождения стоимостей арифметических рент достаточно уметь
находить стоимость канонической ренты 1АП. Этим мы сейчас и зай-
займемся.
Будущая (накопленная) стоимость стандартной арифметиче-
арифметической ренты. Начнем с вычисления будущей (накопленной) стоимо-
стоимости ренты 1АП. Будем считать заданной нормированную процентную
ставку г. Если в качестве исходной задана какая-либо другая ставка,

12.3. Монотонные ренты	435
например, номинальная, то сначала необходимо найти эквивалентную
ей эффективную ставку, а затем работать с последней. Для заданной
нормированной ставки г накопленная к моменту п стоимость ренты
1АП будет равна
FVn(lAn) = 1 • A + г)п~х +2.A+ г)п~2 + ... + fc(l + г)п~к + ... + п
A2.49)
или, в сокращенной форме,
FVn{lAn) = JT kan~\
к=\
где а = A + г) — нормированный коэффициент роста.
Накопленную стоимость канонической арифметической ренты обо-
обозначим через Isn\i или, коротко, Isn\. Таким образом,
Isn]=FVn(IAn,i).
Величину /%| при заданных параметрах ренты и ставке г мож-
можно подсчитать на компьютере или калькуляторе непосредственно по
формуле A2.49). Мы, однако, выведем для нее более простую и ком-
компактную формулу. С этой целью умножим обе части формулы A2.49)
на коэффициент а = 1 + г, а затем вычтем почленно из полученного
выражения исходное равенство A2.49). Тогда получим
а • Isn\ - /%| = (ап - ап~х) + Bап-х - 2ап~2) + ... + (па-п).
Раскрывая скобки и перегруппировывая слагаемые справа, получим
(а- 1) •/%| =
= ап + Bап~1 - о4'1) + (Зап~2 - 2ап~2) + ... + (па - (п - 1)а) - п,
или
(а - 1) • Isn\ = ап + ап~х + ... + а - п.
Сумма первых п слагаемых справа есть накопленная стоимость аван-
авансированной единичной стандартной ренты:
Таким образом, получаем равенство
(а- 1) -7%| = ёщ -п
и, поскольку а — 1 = г, окончательно имеем
/s_, = ffELIIi.	A2.50)
Текущая стоимость стандартной арифметической ренты. Из
формулы A2.50) легко получить выражение для текущей стоимости
канонической арифметической ренты. В самом деле, меняя точку при-

436	Гл. 12. Специальные классы потоков. Ренты
ведения с t = п на t = 0, согласно правилу переноса точки приведения
имеем
PV0(IAn) = vnFVn(IAn),
где v = 1/A + г) = а~х — нормированный коэффициент дисконтирова-
дисконтирования. Текущую стоимость простейшей (канонической) арифметической
ренты будем обозначать 1ап\. Таким образом,
1ащ = vn ¦ 1зщ = vn ¦ ^Ц^.
щ
Применяя еще раз правило переноса точки приведения, но уже к стан-
стандартной авансированной единичной ренте Ап, получим
vnsn\ = ап\
и, значит,	п
dn\-nv	, - .
/б%| = 	!—;	.	A2.51)
Содержательная интерпретация стоимостей стандартных ариф-
арифметических рент. Выражения для стоимостей канонической арифме-
арифметической ренты имеют простую содержательную интерпретацию. Для
ее формулировки вспомним сначала содержательную интерпретацию
формулы
A+»)"-!
%| = 	,	,
данную нами в § 12.1. Эквивалентная запись этой формулы в виде
означала эквивалентность двух схем погашения в момент t = n единич-
единичного долга, взятого в момент t = 0. В первом случае долг возвращается
единовременно в момент п, и тогда величина выплаты равна A + i)n,
т. е. левой части этого равенства. Во втором случае должник регулярно
выплачивает проценты на взятую в долг сумму, а в конце срока воз-
возвращает основную сумму долга. В этом случае погасительные платежи
представляют собой ренту с периодической выплатой г и единичным
платежом в момент погашения t = п. Правая часть нашего равенства
как раз и дает накопленную стоимость этого потока платежей. От этой
интерпретации легко перейти к интерпретации стоимостей канониче-
канонической арифметической ренты.
Перепишем, например, формулу A2.50) в виде
%| = г • /%| + п.	A2.52)
Рассмотрим теперь кредитную сделку, в которой должник занимает
в начале каждого периода, т.е. в моменты t = 0, 1,...,п— 1 берет
в долг единичную сумму Ct = 1. Эти суммы представляют собой
единичную авансированную ренту. Единовременная сумма погашения

12.3. Монотонные ренты	437
в момент t = n будет равна, очевидно, накопленной стоимости такой
ренты, т.е. левой части равенства A2.52).
Эквивалентная схема выплаты долга состоит в периодической вы-
выплате процентов и возврате в момент погашения общей суммы долга.
Поскольку в начале fc-ro периода сумма основного долга будет равна к,
то проценты за к-и период составят сумму кг. Таким образом, процент-
процентные выплаты образуют каноническую возрастающую ренту. Наконец,
к моменту t = n общая сумма основного долга равна п, так что правая
часть A2.52) дает накопленную стоимость всех погасительных выплат
при таком способе погашения долга. Аналогично интерпретируется
и формула A2.51) для текущей стоимости канонической ренты.
Текущая стоимость бессрочной стандартной арифметической
ренты. Выражение A2.51) позволяет получить формулу текущей сто-
стоимости бессрочной возрастающей ренты с помощью предельного пере-
перехода:
1ащ = lim 1а,п\.
n—s-oo
Поскольку
lim nvn = 0
то получаем
Так как
d =
то окончательно имеем	,
1+г'
I =
Стоимости общих арифметических рент. Получив выражение
для стоимостей простейшей арифметической ренты 1АП, можем вер-
вернуться к общим арифметическим рентам вида A2.45). Используя раз-
разложение A2.46) и соответствующие ему формулы накопленной A2.47)
и текущей A2.48) стоимостей, получим, что накопленная стоимость
обыкновенной арифметической ренты с платежами вида
Ck=pi+rk, к = 1,2, ...,п,
будет равна
FVn(CF) =pi-sn\i + r- 18п\{.	A2.53)
Соответственно текущая стоимость такой ренты равна
PVo(CF) =Pl.an\i + r- Ian\i.	A2.54)
Напомним, что если С\ — первый платеж арифметической ренты,
то р\ = С\ — т.

438	Гл. 12. Специальные классы потоков. Ренты
Пример 12.18. Рассмотрим возрастающую арифметическую обыкновен-
обыкновенную 10-летнюю ренту с выплатами в конце каждого года. Первая выплата
равна 7^1000, а все последующие увеличиваются на 7^100. Найти накопленную
и текущую стоимости такой ренты при ставке 10% годовых.
Решение. Согласно условиям
п = 10, d = тгюоо, г = тгюо.
Таким образом,
рх = 1000- 100 = 900(?г).
Поскольку
П П10 1
Ш1	0,1
и
%о| — 1Д ' sTo| = 17,531,
то
Isjqi = —	= 75, 317
и, следовательно, накопленная стоимость ренты будет равна
FVio = 900 • вщ + 100 • Гвщ = 21874,47(?г).
Текущую стоимость найдем, дисконтируя полученную накопленную стои-
стоимость:
PV0 = (l,l)~loFVio = 21874;^7 = 8433,55(?г).	¦
(U) и
В приведенных выше формулах A2.53) и A2.54) стоимость рен-
ренты р\, как мы отмечали, не является первым платежом арифметической
ренты. Выразим теперь стоимости рент непосредственно через вели-
величину первого платежа С\. Подставляя в A2.53) вместо р\ выражение
С\ — г, получим
Но согласно A2.50)
Т	ёп\ — п	ёп\ — п — isn\ ёп\ — п — ап
%| %|	%|	,,
Поскольку
%| - ап + 1 = %|,
то получаем еще одно выражение для обыкновенной арифметической
ренты:
FVn(CF) = Сх • sn\ + г • ^^.	A2.55)
Меняя точку приведения t = n на t = 0 и соответственно умножая
обе части на vn, получим формулу для текущей стоимости арифмети-
арифметической ренты:
Cl-anl+r-an}~nvn.	A2.56)
Ъ

12.3. Монотонные ренты	439
Последняя формула позволяет получить также текущую стоимость
бессрочной обыкновенной арифметической ренты с первым членом С\
и разностью г:
= Km (с, • ап{ + г • ^-"Л = 9± + J1. A2.57)
п->оо\	'	г J г iz
Пример 12.19. Найти стоимость бессрочной возрастающей ренты с пла-
платежами в конце каждого года, если первый платеж равен 7^500, а все после-
последующие увеличиваются на 1ZI00 в год. Процентная ставка составляет 20%
годовых.
Решение. Согласно условию
сх = тгбоо, г = тгюо, i = 0,2.
Подставляя эти значения в формулу A2.57), получим
Убывающие арифметические ренты. Мы уже отмечали, что отри-
отрицательность разности прогрессии означает убывание ренты. В качестве
первого примера убывающей срочной ренты рассмотрим так называе-
называемую простейшую (каноническую) убывающую ренту DAn с платежами
вида
Ск = (п+1)-к, к =1,2,...,п.
Убывающую ренту DAn можно, очевидно, представить как частный
случай общей арифметической ренты с параметром С\ = п и г = — 1.
Тогда согласно формуле A2.55) накопленная стоимость такой ренты,
которая обозначается Dsn\, будет равна
^ Sn\ — п п(ап — 1) — s^i + п пап — s^i
DSn\ = П • %i	L	 = 	:	 = 	:	L.
Таким образом,
щ	^
В свою очередь, из формулы A2.56) аналогичным образом можно
получить выражение для текущей стоимости простейшей убывающей
ренты:
Авансированные арифметические ренты. Выше мы ограничи-
ограничились изложением фактов, относящихся к обыкновенным немедленным
арифметическим рентам. Однако рассмотренные методы оценивания
стоимости обыкновенных немедленных рент дословно переносятся и на
другие виды арифметических рент, например, авансированные или от-
отложенные. Так, платежи авансированной немедленной арифметической
ренты с началом в to = 0 и сроком п имеют вид

440	Гл. 12. Специальные классы потоков. Ренты
В случае Со = г = 1 получается (простейшая) каноническая авансиро-
авансированная возрастающая рента 1АП с платежами вида
Ck = fc+ I, & = 0,1,...,п- 1.
Ясно, что накопленная к моменту t = n стоимость этой ренты,
обозначаемой через 7%|, равна
С другой стороны, очевидно, что
FVn-iilAn) = Isnl,
следовательно,
Isnl = (l+i)Isnl.
A2.58)
Обозначая текущую стоимость ренты 1АП через 1ащ, получим для
нее аналогичное соотношение:
Гащ = A +1Iащ.	A2.59)
Здесь мы меняли точку приведения. Другой подход основан на том
факте, что авансированная рента получается сдвигом влево на один
шаг (Т = —1) обыкновенной ренты, т.е.
IAn = L,(IAn).
Но тогда по лемме о сдвиге (см. гл. 10)
PVT(IAn) = v-[PVT(IAn)
для любого г, что приводит к соотношениям A2.58), A2.59).
Наконец, для стоимостей убывающей авансированной ренты DAn
с платежами
Ск=п-к, fc = 0, l,...,n- 1,
выполняются аналогичные соотношения:
Dsn\ = (I +i)Dsn\
и
Dan\ = A +i)Dan\.
Мы не будем выписывать развернутые формулы для стоимостей
этих рент, читатель может легко получить их самостоятельно.
Заметим, что здесь мы снова сталкиваемся с правилом, связыва-
связывающим стоимости обыкновенных и авансированных рент. Это правило
является частным случаем общего правила, связывающего текущие
стоимости двух смещенных друг относительно друга потоков с одина-
одинаковыми платежами:
PVt(LT(CF)) = vTPVt+T{CF),

12.3. Монотонные ренты	441
где LT — оператор сдвига потока платежей, a v — нормированный
дисконтный множитель.
Так, если С А — обыкновенная немедленная рента, а Т = — 1, то
Lt(CA) будет соответствующей авансированной рентой, а если Т =
= m > О, — отложенной (на срок га) обыкновенной рентой. Таким
образом, приведенное соотношение позволяет единообразно получать
формулы для различных вариантов монотонных рент.
Как неоднократно указывалось, в теории рент нет смысла запо-
запоминать различные формулы для стоимостей, их легко получить, если
понимать основные принципы работы с потоками платежей. Изучение
арифметических рент закончим примером.
Пример 12.20. Рассмотрим 20-летнюю обыкновенную ренту, состоящую
из двух частей. Первая часть представляет собой 10-летнюю возрастающую
ренту с ежегодными платежами в конце каждого года. При этом величина
первого платежа равна 7^50, а все последующие увеличиваются ежегодно на
7^20. Вторая часть исходной ренты представляет собой 10-летнюю убывающую
ренту с первым платежом в конце 11 года, равным 7^210, а все последующие
уменьшаются на 7^20. Ставка ренты равна 8 % годовых, начисляемых ежеквар-
ежеквартально. Найти накопленную и текущую стоимости ренты.
Решение. Найдем сначала эффективную годовую ставку, соответствую-
соответствующую заданной номинальной ставке г4) = 8%:
+ 2^)_ 1=0,0824.
Исходную ренту можно, очевидно, рассматривать как сумму немедленной
(возрастающей) и отложенной (убывающей) рент. Для нахождения стоимостей
составной ренты поступим следующим образом. Выберем сначала в качестве
момента приведения конец 10-го года, т. е. t = 10. Этот момент как раз
разделяет нашу ренту на две части: левую — возрастающую и правую —
убывающую. Текущая стоимость S^ левой (первой) части относительно t = 10
есть просто накопленная стоимость возрастающей 10-летней обыкновенной
арифметической ренты с первым платежом, равным 7^50, и разностью 7^20.
Поскольку
то согласно формуле A2.55) получим
пл	Olni - Ю)
?A) = 50вщ + 20 • ^L	i = 1862,59Gг).
Текущая стоимость Р{ } относительно t = 10 правой (второй) части ренты
есть текущая стоимость обыкновенной (убывающей) арифметической ренты
с первым платежом 7^210 и разностью 7^20. Поскольку
аТо| =sio|^1O = 6,637,
то согласно формуле A2.56)
(аш - 1(Ь10)
2Щ - 20 • ^L_	i = 882,29Gг).

442	Гл. 12. Специальные классы потоков. Ренты
Текущая стоимость всей ренты относительно t = 10 будет равна сумме полу-
полученных стоимостей
Vio = #A) + Р{2) = 2744,88(?г).
Теперь для нахождения накопленной стоимости всей ренты достаточно приве-
привести VJo к t = 20. Следовательно,
V20 = V10(l + 0,0824I0 = 6060,81(?г).
А для того чтобы найти текущую относительно (t = 0) стоимость всей ренты,
необходимо привести Vio к ? = 0. Таким образом, дисконтируя, получим
Vo = V10(l + 0,0824)-10 = 1243,13(?г).	¦
Геометрические ренты. В геометрических рентах последователь-
последовательность платежей ренты представляет собой геометрическую прогрессию:
Cfc+i = скЪ k=l,2,...,n,	A2.60)
где q — знаменатель прогрессии, указывающий, во сколько раз за
период ренты изменяется величина платежа. В этом случае платежи
ренты изменяются по показательному закону:
Ck = Cxqk~\ k=l,2,...,n.	A2.61)
Если q > 1, то рента является возрастающей, при q < 1 — убываю-
убывающей, при q = 1 — постоянной.
Изучение геометрических рент начнем со стандартной обыкновен-
обыкновенной (немедленной) срочной ренты, критические моменты которой име-
имеют вид
tk = k, k =1,2,...,п.	A2.62)
Пусть задана нормированная ставка г. Накопленная (будущая) к мо-
моменту t = n стоимость ренты, очевидно, будет равна
FVn{CA) = Ci(l + i)n~X + Cxq(\ + i)n~2 + ... + Cxqn-\ A2.63)
Вынося C\{\ + i)n~x за скобки, получим
Выражение в квадратных скобках представляет собой сумму членов
геометрической прогрессии с начальным членом 1 и знаменателем
Суммируя и производя упрощения, окончательно получим
FVn(CA) = Сх • дП~{}+У = Сх • qU ~ дП,	A2.64)
q- (l+i)	q-a
где а = 1 + г — коэффициент роста.
Текущую стоимость ренты получим, дисконтируя накопленную сто-
стоимость к моменту t = 0:
PVq(CA) =vnFVn(CA),

12.3. Монотонные ренты	443
ИЛИ
РЩСА) = С, • {gv)-\ = ^- • M_zi,	A2.65)
uv у ! дA+г) 1+г дг; 1	v	y
где г; = а~х = 1/A + г) — нормированный коэффициент дисконтиро-
дисконтирования.
Стоимость (будущая и текущая) авансированной геометрической
ренты с платежами
Ск = Cqk, fc = 0, l,...,n- 1,
получается умножением соответствующей стоимости обыкновенной
ренты на коэффициент роста а = 1 + г:
дП ~ дП ,	A2.66)
PV0(CA) = Сх - (g^~ l.	A2.67)
Наконец, текущая стоимость бессрочной геометрической ренты
с первым платежом С\ и знаменателем q равна
= lim т^ • (д^) ~ 1 = -^-.	A2.68)
n^ool+г gv - 1	a-g	v	J
Естественно, для существования предела в A2.68) необходимо (и до-
достаточно), чтобы
qv < 1
или
<?<1+г.	A2.69)
В формулах A2.60)—A2.69) изменение величины платежей задается
«мультипликативным» коэффициентом q. На практике, например, при
инфляционном росте указывают не коэффициент роста q, а относи-
относительную величину прироста р, связанную с q соотношением
q = 1 + р.
Как и процентная ставка, она часто задается не в относительных
единицах, а в процентах, например, говорят о ежемесячном 20%-м
приросте и т. п.
Мы не будем переписывать формулы A2.63)—A2.66) с использо-
использованием р вместо q, приведем лишь формулу для бессрочной рен-
ренты A2.68), которая часто используется в моделях оценивания активов
(например, акций):
PV0 = —.	A2.70)
г-р
Эта формула справедлива лишь при г > р, т. е. коэффициент приро-
прироста р должен быть меньше ставки дисконтирования.
Пример 12.21. Величина первого платежа обыкновенной 10-летней рен-
ренты равна 7^100. Процентная ставка составляет 12% годовых, начисляемых по

444	Гл. 12. Специальные классы потоков. Ренты
полугодиям. Найти накопленную и текущую стоимости ренты, если ее платежи
ежегодно: а) увеличиваются; б) уменьшаются на 20%.
Решение. Эффективная годовая ставка, соответствующая заданной,
равна
0 12\2
+ ri^ ) - 1 =0,1236,
2 )
т.е. 12,36%.
Для случая а):
а = тг1оо, n=io, q= 1 + 0,2 = 1,2.
Следовательно, согласно A2.64) имеем
FVW(CA) = 100 ¦ A'2
а согласно A2.65) получим
Для случая б) имеем
С1=7г100, тг=1, q= 1-0,2 = 0,8.
Следовательно,
FVW(CA) = 100 ¦ A'1f,6f>)'°"l0:8)'° = 957,90Gг)
Изложение монотонных рент закончим примером, относящимся
к бессрочным геометрическим рентам.
Пример 12.22. Участнику пенсионной схемы согласно контракту полага-
полагаются ежемесячные выплаты по 1ZI00 по достижении им пенсионного возраста
F0 лет). Первая выплата делается в конце месяца, начинающегося в день
60-летия. Пенсия выплачивается пожизненно (т. е. рента — бессрочная). Ставка
накопления пенсионного фонда равна 12% годовых с ежемесячным начислени-
начислением. Кроме того, фонд обещает индексировать пенсионные выплаты в соответ-
соответствии с темпом инфляции. Найти сумму необходимых накоплений участника
ко дню 60-летия, предполагая среднегодовой темп инфляции равным 10%.
Решение. Ставка за период начисления (месяц) согласно условию равна
W = г\/\2 = -^- = °>01-
Считаем базовой месячную шкалу. Месячная ставка накопления гмес в этом
случае будет нормированной ставкой г, т. е.
г = W = 0,01,
или 1 %. Величина р, представляющая собой среднемесячный темп инфляции,
связана с годовым темпом соотношением
р= A+0,1I/12- 1 =0,008
и, следовательно, величина q, называемая в этом случае месячным коэффици-
коэффициентом индексации пенсионных выплат, равна
q= I +p= 1,008.

12.4. Непрерывные ренты	445
Пенсионная рента будет бессрочной обыкновенной геометрической рентой
с первым платежом С\ = 7^1000. Таким образом, для того чтобы фонд мог
обеспечить индексированную выплату пенсий, необходима сумма, равная теку-
текущей ренте, т.е. согласно A2.70)
12А. Непрерывные ренты
Непрерывные ренты как пределы р-кратных рент. В § 12.2 мы
получили формулы для стоимостей р-кратных обыкновенных рент:
= 4 • °«i«'	A2J2)
ъ
где № — номинальная р-кратно начисляемая процентная ставка, эк-
эквивалентная нормированной ставке г. Напомним также, что в этих
формулах речь идет о единичных р-кратных рентах, т. е. рентах, для
которых сумма всех рентных платежей за единичный (базовый) период
времени равна 1. Иными словами, величина каждого отдельного пла-
платежа за период ренты h = - равна также -. В §8.4 мы рассмотрели
модели накопления с непрерывным (бесконечнократным) начислени-
начислением, которые получались с помощью предельного перехода h —> 0 или
р —> оо. В такой модели роль ставки накопления, т. е. основного пара-
параметра, определяющего динамику роста капитала, играет номинальная
непрерывно начисляемая ставка j = г^°°1 При этом эффективная нор-
нормированная ставка г = гэф, эквивалентная ставке j, равняется
Это соотношение получается предельным переходом в равенстве
)
р J
при р —> оо для множества р-кратно начисляемых ставок, для которого
значения соответствующих номинальных ставок равны j: № = j.
Осуществляя предельный переход в A2.71) и A2.72) при р —> оо,
получим формулы для стоимостей так называемых непрерывных рент:
Отметим два момента, связанных с этим предельным переходом.
Во-первых, срок ренты п задан в исходной временной шкале (на-

446	Гл. 12. Специальные классы потоков. Ренты
пример, в годах). Во-вторых, номинальные ставки № эквивалентны
заданной нормированной ставке г, т. е.
г^ =р[A+гI^- 1].
Наконец, в-третьих, несмотря на то, что периоды h = - и отдельные
платежи р-кратной ренты стремятся к нулю, так как
р
общая сумма платежей за единицу времени равна 1.
Учитывая, что
_ ап - 1	_ _ \-уп
где а и v нормированные коэффициенты роста и дисконтирования,
формулы A2.73) и A2.74) можно переписать в виде
«Й? = "-f1	A2-75)
«Й) = Ц^-	A2-76)
Напомним, что непрерывно начисляемая ставка j есть не что иное,
как интенсивность роста или сила процентов 5, о которой говорилось
в гл. 9.
Непрерывные ренты, задаваемые непрерывными потоками.
Выше мы получили выражения для стоимостей непрерывных рент
в результате предельного перехода в выражениях для стоимостей
р-кратных рент при р —> оо. В этом случае непрерывная рента рас-
рассматривается как предел своих дискретных приближений. С другой
стороны, можно рассматривать непрерывную ренту как частный случай
непрерывного потока CF, задаваемого плотностью /i(t). При этом усло-
условие постоянства платежей С = const за единичный период можно
трактовать как стационарность потока, представляющего ренту, или,
что то же самое, как постоянство плотности /i(t) = ц = const. Напом-
Напомним, что непрерывный поток платежей задается аддитивной функцией
временных промежутков (в заданной временной шкале)
Постоянная плотность потока просто означает, что
где /i — значение плотности.
Единичная непрерывная рента есть рента с плотностью, равной 1,
т.е.

12.4. Непрерывные ренты	447
Строго говоря, для срочной ренты со сроком п равенство A2.76)
справедливо лишь для значений t\,t<L из периода (носителя) [то,то + п],
в котором сосредоточена рента.
Если через S(t) обозначить накопленную к моменту t стоимость
всех платежей непрерывной ренты с плотностью /i за период от 0 до
t, то S(t) удовлетворяет дифференциальному уравнению A0.20):
Здесь 5 — постоянная интенсивность роста, эквивалентная нормиро-
нормированной ставке г, т. е.
a /i — постоянная плотность непрерывной ренты, сосредоточенной
на [0,п].
Учитывая, что S@) = 0, получим решение этого уравнения в сле-
следующем виде (см. формулу A0.22)):
t
J	о	о V
о
и, поскольку,
то получаем еще одно выражение для S(t):
S(t) = 'i{at~l\ O^t^n.	A2.77)
В частности, для единичной непрерывной ренты со сроком п получим
S(n) = —¦=—,
т.е. получили тот же результат, что и выше в формуле A2.75), по-
поскольку j = 5. Отметим, наконец, что в литературе по финансовой
и актуарной математике накопленную и текущую стоимости единичной
непрерывной ренты сроком п обозначают соответственно %| и ап\.
Таким образом, окончательно имеем
8п\ = ^-^-	A2.78)
Ы = 1-^,	A2.79)
где
а = 1 + г = е5
Уместно отметить здесь, что предельный переход р -^ оо, с помо-
помощью которого мы получили стоимость непрерывной ренты, «стирает»

448	Гл. 12. Специальные классы потоков. Ренты
различие между обыкновенной и авансированной рентами. Так, если
бы мы в качестве отправных взяли бы стоимости р-кратных авансиро-
авансированных рент srj| и а^, результат был бы, очевидно, тем же самым.
Пример 12.23. Найти накопленную и текущую стоимости непрерывной
10-летней ренты, годовые выплаты по которой составляют 7^600. Проценты на
платежи начисляются по ставке 10% годовых.
Решение. Согласно условию /х = 600G^/год), г = 0,1, п= 10. Следова-
Следовательно, интенсивность роста (сила процентов) равна
S = In A+0,1) = 0,0953.
Тогда накопленная стоимость составит
((] п10 — п
600 • ёщ = 600 • Ц10^953 Ч = 10032,98Gг),
а текущая стоимость равна
600 • ащ = 600 • A~^915K"Ш) = 3868,15Gг).	¦
Устремляя в формуле A2.79) срок п к оо, получим стоимость
непрерывной единичной бессрочной ренты:
аоо| = Т
Монотонные непрерывные ренты. Используя методы анализа
непрерывных моделей накопления из гл. 10, нетрудно получить сто-
стоимости непрерывных монотонных рент, являющихся непрерывными
аналогами дискретных монотонных рент. Так, единичной арифмети-
арифметической непрерывной рентой называется рента, плотность которой ме-
меняется линейно со временем:
n(t) = t.
Накопленная за период [0, п] стоимость такой ренты обозначается /%|,
соответственно ее текущая стоимость обозначается 1ащ. Тогда для
текущей стоимости непрерывной монотонной арифметической ренты
на периоде [0, п] имеем равенство
п
Тап\ = \te~5tdt.
о
Интегрируя по частям, получим
Ian\
n
0
te
-st
dt =
-te~6t
s
0 +
—nv
5
1
s
n
n
J
0
e~st
vn
S2
dt =
1
S2
1 - vn nvn
S2	5

12.4. Непрерывные ренты	449
Итак,	_
=- _ ащ - nv
Поскольку
Т°	Гз- = §Щ~П
Таким образом, структура формул для стоимостей единичных ариф-
арифметических непрерывных рент аналогична формулам A2.50), A2.51)
стоимости единичных арифметических дискретных рент с той лишь
разницей, что в них вместо an\,sn\ и i используются их непрерывные
аналоги ащ, %| и 5.
Замечание. Стоимости /%| и 1а^\ непрерывных рент следует от-
отличать от стоимостей Isn\ и 1а^\. Последние два выражения относятся
к так называемым дискретно-монотонным непрерывным рентам, т. е.
рентам, у которых плотность является кусочно-постоянной функцией:
'1, если 0 < t < 1;
2, если 1 < t < 2;
если п — 1 < t < п.
Стоимость такой ренты можно получить, преобразовав ее в эк-
эквивалентную дискретную монотонную (арифметическую) ренту на их
приведенную к концу этого промежутка стоимость с помощью замены
непрерывных платежей в пределах каждого промежутка постоян-
постоянства. Тогда часть ренты, относящаяся к периоду [к — l,fc) и имеющая
на нем плотность к, заменяется на накопленную к моменту к стои-
стоимость, равную согласно A2.78) для п = 1
_ к(а- 1) _ кг
*51^ ~ 5 ~ 1'
Тогда исходная рента преобразуется в арифметическую ренту (i/5)IAn
с платежами
= г4, к= 1,2, ...,
о
Накопленная стоимость такой ренты равна, очевидно, (г/5) */%|. Та-
Таким образом,
т—	1 т	^п\ П
an\ = -5'Ian\ =
Полученные формулы отличаются от своих дискретных анало-
аналогов A2.50), A2.51) только знаменателем, в котором вместо ставки г
стоит ее непрерывный аналог — интенсивность 5.
15 П. П. Бочаров, Ю.Ф. Касимов

450	Гл. 12. Специальные классы потоков. Ренты
Ренты с дробными сроками. В заключение этой главы коснемся
одного достаточно тонкого вопроса, связанного с рентами. Во всех
формулах, связанных с дискретными рентами, срок п ренты являлся
целочисленно кратным периоду ренты h:
n = k-h, keN.
Здесь срок и период ренты задаются в исходной временной шкале.
Принимая период ренты в качестве единичного периода получим,
что п должно быть целым числом. Тем не менее, сами выражения
для стоимостей рент всех видов определены для любых значений
параметров n,i,p,5 и т.д., входящих в область определения этих
выражений, в том числе, и для нецелых значений п. Мы использовали
это обстоятельство при выводе специальных формул стоимости рент.
Однако лишь в случае непрерывных рент значения вц и ац имеют
для произвольного t > 0 прямой содержательный смысл, определяемый
моделью накопительного фонда (см. формулу A0.23)). Тем не менее,
во многих практических задачах, в которых требуется нахождение
срока ренты (или числа платежей), последний находится, например,
как решение уравнения
ащ =А
или
при известных A,B,i,5 и т.д., но неизвестном п. Решение таких
уравнений может приводить к нецелым значениям п. В этом случае
в качестве решения задачи берется одно из ближайших целых значе-
значений т и т-\- 1, между которыми лежит полученное значение п:
т < п < т + 1.
При этом выбор т в качестве окончательного решения означает из-
изменение (увеличение) последнего (m-го) платежа ренты на величину
(поправку), приводящую к точному стоимостному балансу.
Соответственно, выбор в качестве ответа т + 1 означает, что эта
поправка выплачивается отдельно в качестве дополнительного плате-
платежа. Текущая величина поправки легко находится из исходного уравне-
уравнения для п. Например, если п ищется из уравнения
о>п\ = А
при известной ставке г, то, полагая
п = га + /3, 0</?<1,
получим
1 — v
ап\ —
г
или
!^— = А.

12.4. Непрерывные ренты	451
Последнее уравнение можно переписать в виде
или
Смысл этой формулы прост. Исходная рента со стоимостью А, срок
которой требовалось найти, состоит из обычной ренты с теми же
параметрами и целочисленным сроком и дополнительного платежа
(поправки), текущая стоимость которого (в момент t = 0) равна
Если этот платеж осуществляется в момент га, то величина по-
поправки равна, очевидно,
где 0 < /3 < 1, если же дополнительный платеж относится на момент
т + 1, то его величина будет равна
Пример 12.24. Участник пенсионной схемы к моменту выхода на пенсию
имеет на своем пенсионном счете 7^50000. Согласно пенсионному договору
участник получает с момента выхода на пенсию ежемесячную пенсию в 7^500.
Сколько пенсионных выплат получит участник схемы и какова их общая
сумма, если ставка накопления фонда равна 10% годовых?
Решение. Выберем в качестве базовой единицы временной шкалы месяц.
Тогда срок ренты будет задан в месяцах. Месячная ставка г, эквивалентная
ставке накопления фонда, равна
г = zi/12 = A + 0,1I/12 - 1 = 0,00797.
Таким образом, пенсионная рента является ежемесячной рентой стои-
стоимостью в 7^50000, ежемесячными платежами по 7^500 и месячной став-
ставкой г =0,797%.
Уравнение для текущей стоимости такой ренты имеет вид
OUUBf7;|r = OUUUU,
т. е.
CLn\r = 100
или
]—^- = 100,
г
где
1
v =
1+г
Решая это уравнение, получим
=201>1223.
ln(l+r)
15*

452	Гл. 12. Специальные классы потоков. Ренты
Таким образом, в данном случае
ш = 201(мес),
C = 0,1223 (мес).
Пусть поправка выплачивается в конце 201 месяца. Тогда величина поправ-
поправки равна
С' = 500аД|г = 60,88(?г).
Следовательно, участник схемы получит 200 ежемесячных платежей по 7^500
и последний 201 платеж в 7^560,88. Общая сумма выплат составит при этом
500-200 + 560,88= 100 560,88 (П).
Если бы поправка выплачивалась дополнительным (отдельным) платежом, то
ее величина была бы равна
A + г)С' = A + 0,00797N0,88 = 61,36(?г).	¦
Вопросы и упражнения
1.	Опишите основные типы рент и их параметры.
2.	Выпишите формулы для накопленной и текущей стоимостей простой
(стандартной) ренты.
3.	Сформулируйте два подхода к сведению общих рент к простым (стан-
(стандартным) рентам: а) метод эквивалентных преобразований; б) метод эквива-
эквивалентной ставки.
4.	Получите из формул стоимостей стандартных рент с нормированной
ставкой выражения для стоимостей рент с использованием: а) ставки начисле-
начисления ih\ б) ставки дисконтирования dh\ в) номинальной ставки г^; г) номи-
номинальной ставки S-m^\ д) номинальной ставки j = ^°°\
5.	Выразите формулы стоимостей стандартных рент в терминах постоянной
силы процентов 5.
6.	Выразите формулы стоимостей рент с произвольным периодом h в тер-
терминах постоянной силы процентов S.
7.	Выпишите формулу стоимости непрерывной ренты с постоянной плотно-
плотностью.
Задачи
1.	Найти текущую и накопленную стоимости 20-летней обыкновенной
ренты с ежегодными платежами 7^500 в конце каждого года при ставке 20%
годовых, начисляемых раз в квартал.
2.	Текущая стоимость обыкновенной ренты с ежегодными платежами при
ставке 20% годовых равна $1000. Какова будет текущая стоимость такой
ренты, если платежи (при той же их величине) будут выплачиваться раз
в полгода?
3.	Найти х из уравнения
a^l + vn + v2n) = аш\г.
4.	Пусть <in\i = х и ащ{ = у. Выразите ставку г как функцию от х и у.

12.4. Задачи	453
5.	Стоимость обыкновенной единичной вечной ренты равна $20. Найти
стоимость отложенной на 5 лет единичной авансированной вечной ренты.
6.	Найти текущую стоимость 5-летней обыкновенной ренты с ежекварталь-
ежеквартальными платежами по к руб. в к-м году (к = 1, 2,..., 5), если ставка ренты равна
16% годовых, начисляемых ежеквартально.
7.	Докажите, что
-Щ = l+Sst\;
d	1 я
— ац = 1 - бац.
8.	Докажите справедливость разложения
. п{п- 1)	п{п- 1)(п-2) .2 .
20
9. Упростите выражение ^
n=10

Глава 13
ФИНАНСОВЫЕ ОПЕРАЦИИ В СХЕМЕ
СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ
Наше изложение финансовой математики мы начали с анализа
простой кредитной сделки (гл. 2) — простейшего примера финансовой
операции. Формальное описание этой сделки, как мы видели, сводит-
сводится к заданию всего двух финансовых событий: выдаче и погашению
кредита. При выплате процентов в кон-
-Р Q С2	Сп це периода временная диаграмма такой
I I I	•" I	сделки будет иметь вид, изображенный
h U h	tn на рис. 13.1. Здесь Р — сумма кредита
(основная сумма долга), S — полная
сумма долга (сумма погашения), вклю-
включающая как возвращаемый кредит, так и выплачиваемые проценты /.
Формально сделка описывается представляющим (образующим или
порождающим) потоком
CF = {(to,-P),(tuS)}.
Заметим, что знак «минус» в первом событии (выдаче кредита) озна-
означает выбранную ориентацию, с точки зрения которой описывается
сделка. В приведенном выше представлении сделки последняя опи-
описывается с точки зрения кредитора, поэтому выдача кредита (отток
средств) задается отрицательными суммами, а погашение кредита
(приток средств) — положительными суммами. Как отмечалось в § 1.3,
посвященном описанию финансовых сделок, такая ориентация опи-
описания сделки соответствует точке зрения инвестора, реализующего
сделку. В кредитных операциях роль инвестора играет, очевидно,
кредитор.
В гл. 4 были рассмотрены в рамках схемы простых процентов так
называемые обобщенные кредитные сделки, в которых единовременно
выдаваемая основная сумма долга Р погашалась серией погасительных
платежей.
В этой главе мы рассмотрим как обобщенные кредитные сделки,
так и некоторые другие виды общих финансовых операций, например,
пенсионные схемы, но в рамках схемы сложных процентов.
В § 1.3 было дано общее определение финансовой сделки как пары
финансовых потоков (потоков платежей): исходного

13.1. Погашение долга	455
описывающего с точки зрения инвестора (кредитора) отток (расход)
денежных средств, и заключительного (завершающего)
описывающего приток (приход) денежных средств, участвующих
в сделке.
В сумме оба потока дают так называемый представляющий (обра-
(образующий, порождающий) сделку поток
CF = CF~ +CF+.
Естественно, что потоки, участвующие в определении общей фи-
финансовой сделки, определенным образом связаны между собой. На-
Например, в кредитных сделках, описываемых кредитным CF~ и по-
погасительным CF+ потоками, обычно предполагается, что эти потоки
сбалансированы друг с другом в том смысле, что погасительный поток
полностью и точно погашает долг, т. е. кредитный поток. Конечно,
говорить о сбалансированности можно только, если задана процентная
(или учетная) ставка, определяющая стоимость (цену) кредита для
должника и эффективность (доходность) сделки для кредитора. При
заданной нормированной ставке г сбалансированность означает, что
последний погасительный платеж приводит к нулевому остатку долга.
Наше изложение мы начнем с анализа различных схем погашения
(для сложных процентов) в обобщенных кредитных сделках.
13.1. Погашение долга
Пусть единовременно выданный в момент to кредит на сумму Р
погашается серией погасительных платежей С\,С2,... ,Сп в момен-
моменты времени t\,t2,... ,tn соответственно. Временная диаграмма такой
кредитной сделки изображена на
рис. 13.2.	-Р С{ С2	С„
Представляющий эту сделку по-	1 I 1	••• 1
ток есть, очевидно, сумма исходного	h h t2	tn
(кредитного) потока
V Н	;	Рис. 13.2
сводящегося к единственному событию — выдаче в момент to кредита
в размере Р, и заключительного потока
CF+ = {{tuCx),{t2,C2),...,{tn,Cn)},
представляющего собой поток погасительных платежей (коротко, пога-
погасительный поток или поток погашения).
В нашем описании обобщенной кредитной сделки все погаситель-
погасительные платежи считаются заданными. Это безусловно так в момент
завершения сделки tn или после него. Однако в более ранние моменты

456	Гл. 13. Финансовые операции в схеме сложных процентов
времени, например, в начальный момент, эти платежи могут не быть
непосредственно заданы. Тем не менее, они полностью определя-
определяются условиями кредитного договора, в котором задаются базовые
временные, финансовые и другие параметры контракта, такие, как срок
сделки, схема погашения, стоимость кредита (процентная или учетная
ставки) и т. д. Эти параметры позволяют сформулировать основное ба-
балансовое соотношение между кредитным CF~ и погасительным CF+
потоками сделки. Ключевой в этом соотношении является кредитная
ставка, выражающая цену предоставляемого кредита.
В этом параграфе в качестве кредитной ставки мы будем исполь-
использовать нормированную (эффективную) процентную ставку г. Тогда
основное балансовое соотношение для обобщенной кредитной сделки
относительно момента р можно выразить в виде уравнения
PVp(CF,i) = 0,	A3.1)
где р — произвольно выбранный момент приведения (полюс, фокальная
дата, момент валоризации). В схеме сложных процентов выполне-
выполнение этого соотношения для некоторого полюса влечет за собой его
выполнение для любых других полюсов. Значит, этот момент может
выбираться произвольным образом. Чаще всего в качестве полюса
берется либо момент последнего погасительного платежа tn, и тогда
соотношение A3.1) примет вид
PVtn(CF,i) =FVtn(CF,i) = 0,	A3.1х)
либо момент выдачи кредита, в этом случае балансовое соотношение
имеет вид
PVt0(CF,i)=0.	A3.1")
Равенство A3.1х), как легко видеть, равносильно равенству
PVtn(CF+) - PVtn(P) = 0
или
PVtn(P) = PVtn(CF+).
Здесь и далее индекс г, обозначающий процентную ставку, как обычно,
будем опускать.
Первое из этих равенств означает, что разность накопленных к мо-
моменту погашения tn стоимостей погасительных платежей и основного
долга равна нулю, а второе констатирует равенство (баланс) этих сто-
стоимостей. Оба эти соотношения означают, что к моменту tn последнего
платежа погасительные платежи полностью и точно погашают долг.
Именно в этом и состоит финансовый смысл балансового соотношения.
Балансовые соотношения играют важнейшую роль в анализе обоб-
обобщенных кредитных сделок. С одной стороны, при известных потоках
CF~, CF+ и ставке г они позволяют ответить на вопрос: является
ли погасительный поток CF+ достаточным для погашения выданного
кредита, т. е. полностью ли он погашает долг или нет. С другой сторо-

13.1. Погашение долга	457
ны, эти соотношения позволяют находить неизвестные, но неявно за-
заданные параметры обобщенной сделки по известным параметрам. Так,
при условии, что погасительный поток полностью погашает кредит, на
балансовое равенство можно смотреть как на уравнение для кредитной
ставки. В этом случае определяемая заданными потоками CF~ и CF+
ставка г называется внутренней кредитной ставкой сделки.
Внутренняя кредитная ставка сделки является важнейшей характе-
характеристикой эффективности сделки с точки зрения кредитора. Она также
называется внутренней доходностью сделки. Обсуждению вопросов,
связанных с эффективностью финансовых операций, в частности, с их
доходностью, посвящена следующая глава.
Задание ставки г кредитного потока и так называемой схемы по-
погашения позволяет находить элементы погасительного потока. По-
Поскольку именно эта задача чаще всего решается на практике, мы в этом
параграфе уделим ей наибольшее внимание.
Таким образом, в дальнейшем, если не оговорено противное, при
анализе обобщенных кредитных сделок считаем заданными (в качестве
исходных данных), кредитный поток CF~, процентную нормированную
ставку г и схему погашения долга, которая описывает некоторые (но
не все) существенные характеристики погасительного потока. В общем
случае задание схемы погашения сводится к заданию минимального
числа независимых параметров погасительного потока, позволяющих
полностью определить (восстановить) этот поток, т. е. как моменты, так
и суммы погасительных платежей. В наиболее часто встречающихся на
практике случаях предполагается, например, что погасительный поток
представляет собой ренту, следовательно, как моменты, так и суммы
платежей обладают определенной регулярностью.
К типичным схемам погашения долга относится, например, схема,
погасительный поток которой представляет собой постоянную ренту,
т.е. ренту с постоянными по величине платежами. Имеются также
схемы, в которых явным образом разделены процентные и основ-
основные погасительные платежи. Имеются и другие схемы, которые более
подробно будут рассмотрены ниже. Во всех случаях цель анализа
обобщенных кредитных сделок будет состоять, во-первых, в опреде-
определении всех неизвестных (не заданных схемой погашения) элементов
погасительного потока, во-вторых, в определении правила, позволя-
позволяющего для любого момента времени определить состояние сделки
(невыплаченный остаток или сальдо кредитного счета) и, в-третьих,
в определении правила, позволяющего, если это необходимо, раз-
разложить погасительные платежи на процентную и основную части.
Приведем решение этих задач для основных типов схем погашения,
встречающихся на практике.
Определение невыплаченного (остатка) долга. Во всех случаях
в качестве базовой модели, используемой при анализе обобщенных кре-
кредитных сделок, мы выберем модель счета с переменным капиталом
(см. гл. 10). В этом случае реализация обобщенной кредитной сделки

458	Гл. 13. Финансовые операции в схеме сложных процентов
описывается в терминах ссудного (кредитного) счета, открываемого
в момент to на сумму —Р. Отрицательность начальной суммы означает,
что рассматривается именно ссудный (с точки зрения кредитора), а не
накопительный счет. Погасительные платежи в этом случае трактуют-
трактуются как вложения, изменяющие состояния ссудного счета. При этом
состояние ссудного счета в любой момент времени и будет пред-
представлять собой соответствующее состояние самой кредитной сделки.
Финансовый смысл этого состояния, как указывалось выше, заключа-
заключается в том, что он указывает на величину невыплаченного долга, т. е.
остаток или сальдо долга на данный момент.
В соответствии с результатами, полученными в гл. 10, состояние
в момент t ссудного счета, порожденного потоком CF, т. е. представ-
представляющим потоком сделки, равно (см. формулу A0.11))
S(t) = FVt(CF\i),
где
CF\t={(to,-P),(tuCi),...,(tk,Ck)\tk^t}
— начальный отрезок потока или его сужение на отрезок [to,t]. Таким
образом, начальный отрезок CF\^ включает в себя выдачу кредита
и погасительные платежи Сь предшествующие моменту t (включая
сам этот момент).
Здесь мы используем обозначение CF\^ для начального отрезка
потока вместо использовавшегося ранее обозначения CF\t (без минуса
наверху), так как в этой главе нам придется иметь дело с конеч-
конечным отрезком (остатком) потока после момента t, который обозначим
CF\f (с плюсом наверху). Следует быть внимательным и не путать
минус и плюс в обозначениях кредитного CF~ и погасительного CF+
потоков с минусом и плюсом после вертикальной черты в обозна-
обозначениях начального CF\^ и конечного CF\f отрезков полного пото-
потока CF = CF- + CF+.
При заданной кредитной нормированной ставке г формулу для со-
состояния счета в развернутом виде можно записать как
S{t)=FVt{CF\t)= Y, W+iy-^-P^+if-*. A3.2)
Таким образом, состояние сделки или сальдо (остаток) ссудного
счета в момент t есть разность накопленных к моменту t стоимостей
погасительных платежей и долга. Такой метод определения состояния
называется ретроспективным методом, поскольку в нем учитывают-
учитываются только платежи, предшествующие моменту t. Если известно также,
что погасительный поток CF+ полностью и точно погашает долг, т. е.
выполняется балансовое равенство A3.1), то, отделяя в этом равенстве
события, предшествующие моменту t, от событий, следующих за ним,
получим равенство
0 = PVt(CF) = PVt(CF\t + CF\t) = PVt(CF\t) + PVt(CF\t),

13.1. Погашение долга	459
откуда получаем
S(t) = PVt(CF\~) = -PVt(CF\+),	A3.3)
где
PVt(CF\t)= Е С*A+г)*"**= Е ckvtk-f	A3.4)
k:tk>t	k:tk>t
— текущая (приведенная к моменту t) стоимость платежей, следующих
за моментом t.
Таким образом, согласно A3.3) состояние сделки (сальдо счета)
в момент t есть взятая с обратным знаком текущая (в этот момент)
стоимость всех оставшихся погасительных платежей. Действитель-
Действительно, если имеется общий баланс между выданным кредитом и всеми
погасительными платежами, то невыплаченный к моменту t остаток
долга полностью погашается оставшимися погасительными платежами.
Следовательно, равенство A3.3) имеет тот же смысл, что и равен-
равенство A3.1). Различие состоит в том, что роль выданного кредита из
равенства A3.1) играет невыплаченный остаток долга.
Равенство A3.3) описывает так называемый проспективный метод
определения остатка долга, поскольку в нем используются лишь буду-
будущие по отношению к моменту t погасительные платежи.
Еще раз подчеркнем, что равенство A3.2) (ретроспективный метод)
дает значение остатка долга для любого погасительного потока, тогда
как равенство A3.3) (проспективный метод) — лишь для погасительно-
погасительного потока, сбалансированного с кредитным потоком, иными словами,
когда выполняется основное балансовое соотношение A3.1).
Эти методы различаются также той информацией, которая необхо-
необходима для вычисления остатка долга. В проспективном методе следу-
следует знать только конечный отрезок (после момента t) погасительного
потока, в частности, должна быть известна дата погашения, а в ре-
ретроспективном методе — только та часть этой информации, которая
относится к периоду до момента оценки состояния счета; например,
нет необходимости знать даже срок сделки.
Структура погасительных платежей: основная и процентная
части. Как отмечалось в гл. 10, для анализа динамики накопительного
счета с переменным капиталом нет необходимости в разложении со-
состояния счета на основную и процентную составляющие, поскольку те-
текущее полное состояние вместе с внешним потоком однозначно опре-
определяет все последующие (полные состояния). Так, для двух смежных
критических моментов tk-хЛк справедливо рекуррентное уравнение
S(tk) = S(tk-l)(l+i)h*+Ck,	A3.5)
где hk = tk — tk-\ — длина fc-ro погасительного периода.
Тем не менее, одна из задач анализа обобщенных кредитных опера-
операций будет состоять в разложении погасительных платежей на процент-

460	Гл. 13. Финансовые операции в схеме сложных процентов
ную часть, идущую на выплату текущих процентов, и на основную,
идущую на погашение основного долга.
Напомним также, что для заданного состояния S(t) счета в мо-
момент t и процентной ставки г проценты, накопленные за любой период
[?,? + Т] в схеме сложных процентов, определяются равенством
It = I(t, t + T) = S(t + T)- S(t) = S(t)[(l + i)T - 1]
при условии, что в период [t, t + Т] не было (внешних) довложений
и изъятий капитала.
Это равенство можно переписать в виде
IT = S(t)iT,	A3.6)
где
т
—	процентная ставка за период Т, эквивалентная заданной кредитной
ставке г.
В силу принятой интерпретации ссудного счета для так называемой
нормальной кредитной сделки состояние счета S(t) в момент времени
t < tn отрицательно, т. е. S(t) < 0, что означает наличие невыплачен-
невыплаченного остатка долга. Соответственно проценты /д. = I(tk-\,tk), начис-
начисленные за период hk на остаток S(tk-\) счета в момент tk-\, также
отрицательны, т. е.
h = S(tk-i)ihk<0.	A3.7)
В соответствии с заданной схемой погашения погасительный пла-
платеж Ck (который считается положительным) разлагается на два слага-
слагаемых:
Ck = Jk + Pk,	A3.8)
где
¦h = С?
—	процентная часть погасительного платежа, представляющая вы-
выплачиваемые за период hk проценты,
Рк = сг
—	основная часть погасительного платежа, идущая на погашение дол-
долга. В схемах погашения для нормальных сделок предполагается, во-
первых, что начисленные и выплачиваемые проценты совпадают по
абсолютной величине, точнее,
Jk = -h
и, во-вторых,

13.1. Погашение долга	461
или, что то же самое, Р& > 0. Тогда с учетом A3.6) и A3.7) равен-
равенство A3.5) можно переписать в виде
Sk = Sk.l(l + ihk) + Ск = Sfe_, - Л + Cfc = 5fc_! + Рк
или
ASk = Sk - Sk.i = Pk.	A3.9)
Таким образом, в нормальных схемах основная часть погасительно-
погасительного платежа за некоторый период в точности равна изменению остатка
счета за этот период. Учитывая отрицательность S& и положитель-
положительность Pk, получаем, что Р^ есть сумма, на которую уменьшается
по абсолютной величине остаток долга за к-и период после выплаты
погасительного платежа.
Суммируя равенства A3.9) для к = 1,2, ...,п и учитывая, что
So = — Р и So = 0, получим
Е Ль = Е (sfe - 5*-0 = sn - So = p.
Следовательно, в нормальных схемах погашения
к=\
Ниже, если не оговорено противное, будем рассматривать лишь
нормальные схемы погашения.
Перейдем теперь к анализу конкретных видов схем погашения, ис-
используемых в обобщенных кредитных сделках. Некоторые из этих схем
мы рассматривали в гл. 4 в рамках теории простых процентов. Здесь
же анализ схем погашения основан на теории сложных процентов,
точнее, на моделях с переменным капиталом, рассмотренных в гл. 10.
Анализ схем погашения для обобщенных кредитных сделок нач-
начнем с простейшей схемы единовременного погашения основного долга
в конце срока. Эта схема является непосредственным обобщением
простой кредитной сделки с выплатой процентов в конце срока.
Единовременное погашение основного долга в конце срока
с периодической выплатой процентов. В общем виде эта схема
погашения описывается следующим образом.
Кредитный поток задается единственным событием
Погасительный поток CF+ представляет собой сумму СJ + С про-
процентной ренты

462	Гл. 13. Финансовые операции в схеме сложных процентов
где tk = tk-\ +h, к = 1,2,... , n, h — период ренты, Jk = Jk(tk_i,tk) —
выплачиваемые проценты за fc-й период [tk-хЛк] и * — нормированная
процентная ставка, и заключительного погасительного платежа
Таким образом, погасительный поток CF+ имеет вид
CF+ = {(*,, J,), (*2, Л),..., (i«, J« + Р)}.
Для заданной нормированной ставки г определенный выше погаси-
погасительный поток полностью и точно погашает долг. В самом деле, для
последовательных критических моментов to,t\,... ,tn легко находятся
состояния Sk = S(tk) счета. Так, для to,t\ имеем
So = -Р,
Но проценты, которые будут выплачены за 1-й период, равны
J{=Cx=P[{\+i)h-\]
и, следовательно,
Si = -Р.
Еще раз напомним, что начисленные на остаток долга проценты
будут иметь отрицательный знак, поскольку наличие ненулевого долга
в анализируемой схеме описывается отрицательным числом. Наоборот,
выплачиваемые проценты совпадают с начисленными по абсолютной
величине, но имеют противоположный знак, т.е. они положительны.
Совершенно аналогично получаем, что
$2 — *$з — • • • — Sn-\ = —Р.
Наконец, для момента погашения tn имеем
Sn = 5n_i(l + if + Jn + P = -P(l + if + P[(l + i)h - 1] + P = 0.
Таким образом, в момент tn долг полностью (и точно) погашается.
Напомним, что выражение A -\-i)h — 1 есть не что иное, как про-
процентная ставка г^ за период h, эквивалентная исходной (нормирован-
(нормированной) ставке г. Следовательно,
Jk = Pih = J = const
для всех к = 1,2,..., п.
Особенно простой вид эта схема погашения принимает в случае,
когда период процентных платежей совпадает с единичным периодом
временной школы. Тогда h = 1 и
для всех к = 1, 2,..., п,

13.1. Погашение долга	463
для всех к = 1, 2,... ,п — 1 и
Пример 13.1. Рассмотрим трехлетний кредит на сумму 7^100 000. Долг
погашается единовременным платежом в конце 3-го года. Проценты по кре-
кредиту выплачиваются в конце каждого полугодия. Найти величину погаситель-
погасительных выплат, если: а) нормированная ставка по кредиту равна 21% годовых;
б) номинальная годовая ставка по кредиту составляет 21%, начисляемый по
полугодиям.
Решение. Выбирая в качестве базовой годовую шкалу с to = 0, имеем
согласно условию
Р = 7г100000, n = 3-2 = 6, h=-.
а)	Ставка ц/2 за полугодие, эквивалентная г = 21 % годовых, равна
ii/2 = (l+iI/2- 1 =0,1.
Следовательно, соответствующие моментам tk = к/2, к= 1,2,..., б, процент-
процентные выплаты равны
Jk = Pi\/2 = Ю000Gг), к= 1,2,..., 6.
Соответственно
ск = зк = юооо(тг), к= 1,2,...,5,
и
с6 = j6 + p= поооо(тг).
б)	Ставка за полугодие равна
?B) о 91
*i/2 = -g- = —=0,105.
Поэтому
Jk = Pii/2 = Ю500(?г), к = 1,2,..., 6.
Соответственно
Ск = Jk = 1О5ООGг), к= 1,2,..., 5,
6 = по5оо(тг).	¦
Описанная выше схема погашения фактически совпадает с так
называемой облигационной схемой погашения, когда кредит оформля-
оформляется в виде эмиссии должником облигаций — долговых ценных бумаг
специального вида. Каждая облигация имеет фиксированные реквизи-
реквизиты: номинал F (основная сумма долга), срок обращения в годах т
(срок кредитной сделки) и так называемую купонную ставку с (про-
(процентная ставка за кредит). Кроме этого, обычно указывается кратность
(частота) купонных, или процентных, выплат. Эти выплаты обычно
осуществляются один раз в году (типично для европейского рынка) или
два раза в год (типично для рынка США). Владелец облигации (кре-
(кредитор) получает в течение срока обращения купонные (процентные)
платежи, а в конце этого срока (в дату погашения) кроме купонного
платежа получает еще выплату основного долга — номинала. Выдача

464	Гл. 13. Финансовые операции в схеме сложных процентов
кредита реализуется покупкой облигации. При этом в момент эмис-
эмиссии цена облигации практически равна номиналу. Наконец, купонная
ставка с определяет величину купонных годовых выплат по формуле
J = F-c,
а для полугодовых выплат —
Таким образом, купонная ставка есть просто номинальная процентная
ставка с кратностью начисления, совпадающей с частотой купонных
выплат.
Пример 13.2. Рассмотрим двухгодичную облигацию с номиналом F =
= 7^500, купонной ставкой с = 8 % годовых и с полугодовыми купонными
выплатами. Найти поток платежей, связанных с этой облигацией.
Решение. По облигации будет сделано четыре платежа, три из которых
только купонные, а последний, 4-й, кроме купонного платежа включает в себя
выплату номинала. Величина купонного платежа равна
j=l^ = 5OO-°f = 20A1).
Таким образом, полагая (в годовой шкале) tk = k/2, получим
Jk = 20(?г), k= 1,2,3,4,
и, следовательно, поток платежей, связанных с этой облигацией, будет равен
Ck = Jk = 20(n)t k= 1,2,3,
и
С4 = F + JA = 500 + 20 = 520(?г).	¦
Равномерная схема с постоянными погасительными платежа-
платежами. Эта схема наиболее распространена при кредитовании покупки
недвижимости. Схема подразумевает погашение единовременно вы-
выданной суммы кредита Р регулярными и постоянными по величине
погасительными платежами.
Таким образом, погасительный поток CF+ представляет собой
обыкновенную срочную ренту с постоянными платежами:
CF+ = {(tk, C)\tk=t0 + kh, k = 1,2,..., n}.
Здесь tk — моменты погасительных платежей, h — период ренты, а С —
величина погасительных платежей.
Для упрощения изложения выберем единичный период временной
шкалы совпадающим с периодом ренты. Тогда погасительный поток
превратится в стандартную ренту с единичным периодом (h= 1) и сро-
сроком п.
В этом случае tk = fc, к = 0, 1,..., п. Тогда, если г — нормированная
ставка, то для данной схемы уравнение баланса
FVn(P) = FVn(CF+)

13.1. Погашение долга	465
будет иметь вид
Рап = Csn\i,	A3.10)
где а = 1 + г — нормированный коэффициент роста,
Sn\i = ^~f1	A3.11)
— множитель наращения единичной (стандартной) ренты.
Равенство A3.11) позволяет определить величину погасительных
платежей по величине долга Р, процентной ставке г и сроку п:
С = Р-—.	A3.12)
Sn\i
Из A3.11) следует, что
ап = isn\i+ 1,
так что равенство A3.12) можно переписать в виде
+
Sn\i
Сальдо (остаток) счета в момент tk определится согласно равен-
равенству A3.12) (по ретроспективному методу) соотношением
Sk = S(tk) = -Рак + С8ц = -Р(г8Ц + l)
= p@R - Л = -р.
Таким образом, состояние Sk, определенное по ретроспективному
методу, имеет вид
s^^	!^	A3.14)
k	^
Из этого соотношения легко получить разложение
C = Jk + Pk
к-го погасительного платежа на основную Р^ и процентную J& части.
Согласно A3.17)-A3.19) и A3.14), имеем
Рк = ASk = Sk- Sk_{ = Р • акап"\ 1	A3.15)
И	п _ п-к+1
a а
A3.16)
Равенства A3.12)—A3.16) полностью описывают равномерную схе-
схему погашения с постоянными погасительными платежами. С их по-
помощью по заданным величинам кредита, срока и процентной ставки

466	Гл. 13. Финансовые операции в схеме сложных процентов
можно составить так называемый график погашения долга, который
для каждого критического момента t = к указывает величину погаси-
погасительного платежа, его разложение на основную и процентную части,
а также остаток долга после осуществления погасительного платежа.
Графики погашения долга подробно рассмотрены в гл. 4, посвященной
погашению долга в схеме простых процентов. На практике эти графики
оформляются в виде таблиц, столбцы которых соответствуют вычисля-
вычисляемым величинам графика.
Мы получили формулы A3.12),A3.14) для сальдо счета и разложе-
разложения погасительных платежей, исходя из ретроспективного метода при
условии выполнения уравнения баланса A3.10).
Для проспективного метода согласно формулам A3.3) и A3.4) оста-
остаток счета в момент t = к будет равен
Sk = -PVk(CF\+) = -Ca—k{.	A3.17)
В частности, полагая к = 0, получим еще один вид балансового равен-
равенства:
So =-Р =-Сап{.
Отсюда следует, что
С = —.	A3.18)
Используя A3.18), формулу A3.17) для остатка счета можно пере-
переписать в виде
Sk = -P-^-.	A3.19)
О"п\
Разложение
С = Ск = Jk + Рк
в этом случае примет вид
Pk = Sk- Sfc-i = -Р ¦ (п^] п^^Л )	A3.20)
V	О"п\	/
Jk = -Sk-{i = Pi-a^^.	A3.21)
Q"n\
Особенно простой вид эти формулы примут в случае
Р = ап\г.
Тогда все погасительные платежи — единичные, т. е.
С\ = Съ = ... = Сп = 1,
и погасительная рента — стандартная единичная рента CF+ = Ап.
Для этого случая сальдо счета в момент t = к определяется как
sk=-a^i=^4^'

13.1. Погашение долга
467
где v = а \ При этом процентная часть fc-ro погасительного платежа
равна
Л = Sk-ii = 1 - vn~k+\	A3.23)
а основная —
Pk=l-Jk =
_ о.п—к+\
A3.24)
График погашения долга в этом случае примет вид, представленный
в табл. 13.1.
Таблица 13.1
Период
(к)
0
1
2
п
Процентная часть
платежа («/&)
—
\-vn
1 -V
Основная часть
платежа (Рк)
—
vn~x
V
Остаток
долга (\Sk\)
а>п\
0
График погашения, приведенный в табл. 13.1, вполне универсален.
Если рассматривается схема, в которой погасительные платежи С ф 1,
то для того, чтобы получить соответствующий график погашения, до-
достаточно все столбцы, кроме первого, умножить на С. Само значение С
определяется по формулам A3.12) или A3.18), исходя из заданной
величины кредита Р, ставки г и срока п.
Мы рассмотрели равномерные схемы лишь в стандартном случае,
когда период погасительной ренты совпадает с единичным периодом
временной шкалы. В общем случае для применения полученных фор-
формул необходимо сначала найти значение ставки г^ за период ренты,
эквивалентной заданной кредитной ставке (любого вида), а затем во
всех формулах считать срок в периодах, а вместо г использовать г^.
Пример 13.3. Пусть кредит в 7^1000 сроком на 3 года погашается оди-
одинаковыми ежеквартальными платежами в конце каждого квартала. Составить
график погашения долга, если эффективная нормированная ставка по кредиту
равна 36% годовых.
Решение. Найдем сначала эквивалентную квартальную ставку:
гкв = гх_ = A + 0,36I/4 - 1 = 0,0799.
4
Таким образом, гкв = 7,99%. Выберем теперь в качестве базового промежутка
квартал. В этом случае погасительная рента станет стандартной рентой сроком
п = 12. При нормированной ставке г = гкв = 7,99% размер погасительного
платежа равен
с = 100° = 132,бз(тг).

468
Гл. 13. Финансовые операции в схеме сложных процентов
Теперь по формулам A3.19)—A3.21) легко найти как отдельные компоненты
погасительных платежей, так и соответствующие остатки долга на моменты
этих платежей.
В частности, поскольку
#0 = -юоо(тг),
то
Jx = -Soi = 1000 • 0,0799 = 79,90(?г),
Pi=C-Ji = 132,63 - 79,90 = 52,73(?г)
и
Si = S0 + Pi = -1000 + 52,73 = -947,27(?г).
Для второго периода получим
J2 = -S\i = 947,27 • 0,0799 = 75,69(?г),
P2 = C-J2= 132,63 - 75,69 = 56,94(?г),
S2 = Si + Р2 = -947,27 + 56,44 = -890,33(?г).
Аналогично можно вычислить значения всех остальных элементов графика
погашения. Результаты этих вычислений приведены в табл. 13.2.	¦
Таблица 13.2
Период
(к)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Проценты
платежа («/&)
—
79,90
75,69
71,14
66,22
60,92
55,19
49,00
42,32
35,11
27,31
18,90
9,81
Основная часть
платежа (Рк)
—
52,73
56,94
61,49
66,40
71,71
77,44
83,62
90,31
97,52
105,31
113,73
122,81
Остаток
долга (\Sk\)
1000
947,27
890,33
828,85
762,44
690,74
613,30
529,68
439,37
341,85
236,54
122,81
0
Формулы A3.22)—A3.24) позволяют также определить, как перерас-
перераспределяются со временем основная и процентная части погасительного
платежа и в общем случае, когда С ф 1. В самом деле, если С —
величина погасительного платежа в равномерной схеме погашения
с величиной долга Р, то согласно этим формулам

13.1. Погашение долга	469
Pk = C-Jk = Cvn~k+\
Таким образом, с увеличением к основная часть Рк растет, а про-
процентная убывает по показательному закону. В частности, для к = 1
pi = V"C = (iflf Ji=C(\-vn).
При больших п множитель vn будет мал, особенно для больших
ставок г. Таким образом, начальные погасительные платежи идут
исключительно на выплату процентов и лишь небольшая часть на
погашение основного долга. Это, в свою очередь, ведет к медленному
уменьшению основной суммы долга, а, следовательно, к поддержанию
больших процентных выплат. И лишь спустя большое число периодов
снижение основного долга приведет к уменьшению процентных выплат
и к повышению доли, идущей на погашение долга, который начинает
погашаться все более быстрым темпом.
В описанной выше схеме предполагается, что погасительная рента
немедленная, т. е. выплаты начинаются уже в конце первого периода.
На практике возможны различного вида отсрочки погашения. В таких
случаях погасительная рента является отложенной рентой. Период
между выдачей кредита и началом первого платежного периода на-
называется льготным периодом. Расчет погасительного платежа в этом
случае осуществляется методом, вполне аналогичным описанному вы-
выше, за исключением того, что в приведенных выше формулах вместо
основной суммы долга Р следует использовать ее наращенное к концу
льготного периода (т. е. началу платежного периода) значение
где т — число периодов отсрочки.
Общая амортизационная схема. Как было показано выше, рекур-
рекуррентное уравнение A3.5) динамики счета
Sk = Sk-1(\+i)h"+Ck
дает разложение
Ck = Jk + Pk
для погасительного платежа, где
Л = -/(**-i.tjb)
— процентная, и
P
— основная часть погасительного платежа за fc-й период.
При этом, как было показано выше,
J2Pk = P	A3.25)
fc=i

470	Гл. 13. Финансовые операции в схеме сложных процентов
Последнее равенство вполне естественно, поскольку оно просто озна-
означает, что основные части погасительных платежей в сумме полностью
погашают долг.
В описанной выше схеме погашения с постоянными погасительны-
погасительными платежами величина основной части определялась неявно условием
постоянства погасительных платежей. Наоборот, в первой рассмотрен-
рассмотренной нами (облигационной) схеме погашения явным образом задавались
именно основные части погасительных платежей условиями
Рк = 0, к= 1,2, ...,п- 1, Рп = Р,
а процентная часть вычислялась по остатку долга. Схемы погашения,
в которых явным образом указывается структура именно основных
частей погасительных платежей, а процентная часть и сами погаси-
погасительные платежи вычисляются по этим данным, обычно называют
амортизационными схемами. Таким образом, общая амортизационная
схема задается произвольной последовательностью событий (потоком)
CP = {(ti,Pl),(t2,P2),...,(tn,Pn)}
с положительными (Р& > 0) платежами, удовлетворяющими уравнению
баланса	п
Этот поток называется амортизационным.
Для амортизационной схемы остаток долга в конце fc-ro периода
[tk-хЛк] (после fc-ro платежа) равен
Sk = ? Pj - р.
Начисленные проценты за этот период составят
h = I(tk-Utk) = Sk-i[(l + i)hk - 1] = Sk-i - ihk,
где
ihk=(l+i)hk-l
— ставка за период hk =tk — tk-\-
Соответственно, выплаченные проценты будут равны
Л = -h,
а погасительные платежи
Выплачиваемые проценты образуют процентный поток

13.1. Погашение долга	471
который в сумме с амортизационным потоком СР дает погасительный
поток:
CF+ = СР + CJ.
В типичных случаях амортизационный поток (основных платежей)
представляет собой ренту. Одним из самых распространенных видов
амортизационного потока — рента с постоянными платежами (равно-
(равномерная амортизация). В этом случае
откуда, согласно A3.25), следует, что
Рк = -, к= 1,2,...,п.	A3.26)
В частности, для стандартной амортизационной ренты (hk = 1)
с постоянными основными платежами и нормированной ставкой г все
элементы погасительных платежей легко найти в явном виде. В самом
деле, остаток долга в конце fc-ro периода будет
Sk = --P-P = -F
П	\	71,
процентный платеж за к-и период равен
к- Г
п
и величина fc-ro погасительного платежа будет равна
п	\	п J	п
Пример 13.4. Кредит в 7^10000 сроком на 10 лет погашается постоян-
постоянными ежегодными основными платежами вместе с соответствующими процен-
процентами. Найти величину погасительных платежей, если ставка по кредиту равна
20% годовых.
Решение. Согласно условию, схема погашения — равномерная аморти-
амортизация. Поскольку Р = 7^10000 и п = 10 лет, то
Рк = ^ = юооGг в год).
Остаток долга в конце к-то периода равен
Sk = -A0000- 1000fc) = -1000A0 -к).
Проценты за к-й период
Jfc = 1000A1 - к) • 0,2 = 200A1 - к).
Следовательно, погасительные платежи равны
Ск = 1000 + 200A1 -к) = 3200-200/с, к = 1, 2,..., 10.
График погашения долга приведен в табл. 13.3.	¦
Заметим, что стандартные амортизационные схемы для сложных
процентов полностью идентичны аналогичным схемам погашения в ак-
актуарной модели (см. гл.4). Это следует из совпадения рекуррентных

472
Гл. 13. Финансовые операции в схеме сложных процентов
Таблица 13.3
Период
(к)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Проц. часть
платежа («/&)
—
2000
1800
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
Осн. часть
платежа (Рк)
—
1000
1000
1000
1000
1000
1000
1000
1000
1000
1000
Погасит,
платеж (С к)
—
3000
2800
2600
2400
2200
2000
1800
1600
1400
1200
Остаток
долга (\Sk\)
10000
9000
8000
7000
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0
уравнении динамики счета для актуарной модели и стандартной на-
накопительной модели (с периодом начисления h = 1). Этот факт обос-
обосновывает приведенное выше утверждение, что актуарная модель по
существу относится к схеме сложных процентов, хотя излагалась в схе-
схеме простых процентов. В частности, отсюда следует справедливость
балансового уравнения D.11) и D.13) для актуарной модели погашения
долга.
На практике используют не только равномерную, но и так называ-
называемую ускоренную амортизацию. В этом случае основные платежи по
долгу Р^ убывают. Обычно это убывание описывается либо линейным
законом, и тогда поток
= {(ti,Pl),(t2,P2),...,(tn,Pn)}
представляет собой арифметическую убывающую ренту
Pk+i=Pk-D, k= l,2,...,n-l,
где D > 0 — разность прогрессии, либо показательным законом,
и тогда поток СР представляет собой геометрическую убывающую
ренту, при этом
где q @ < q < 1) — знаменатель прогресии.
В § 5.3 мы описали один метод ускоренной амортизации процентов,
так называемый метод 78-х для схемы потребительского кредита.
Там речь шла об ускоренной амортизации именно процентов, а основ-
основная часть погасительного платежа предполагалась постоянной. Однако
практически те же формулы мы получим, если применим этот метод

13.1. Погашение долга	473
к амортизации основного долга. Полагая, как и в § 5.3,
Pk=wkP, 0<wk<l; D = uP, 0<u<\,
где Wk — вес к-и основной части погасительного платежа, получим
Wk+\ = Wk -U
или
wk=wx-(k-\)u, k= 1,2, ...,n.	A3.27)
Кроме того, из условия баланса
п
\ yjk = 1
к=\
с учетом A3.27) получаем
Н±^.п=1.	A3.28)
Из трех параметров w\,wn,u (при заданном п) один можно выби-
выбирать произвольно при условии, что остальные два параметра, опреде-
определяемые уравнениями A3.27),A3.28), удовлетворяют условиям
О <wn <w\ < I, 0 <u< I.
Полагая параметр п = 12 и и = — • w\, из уравнений A3.27),
A3.28) получим (см. также §5.3)
_ 1	_ 12	_ 1
Это и есть метод 78-х, при котором долг Р погашается двенадцатью
(например, ежемесячными) убывающими по величине платежами:
р7 _ 11и р — ^ ~ ^ . р h — 1 о	19
Остаток долга для /с-шага равен
sk = Е Рз ~ Р = ~A3~?562~/С) ' Р' ^ = 1,2,..., 12.
Отсюда легко получить величину процентной части погасительных
платежей:
156
где г — ставка за период ренты. Соответственно полный погаситель-
погасительный платеж за период к составит
Ск = Рк + Jk = 7Q I H	s
/о \	Z

474
Гл. 13. Финансовые операции в схеме сложных процентов
Пример 13.5. Построить график погашения кредита на сумму Р =
= 7^7800 ежемесячными платежами по методу 78-х при месячной ставке
%
Таблица 13.4
Решение. График погашения приведен в табл. 13.4.
Период
(к)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Проц. часть
платежа («/&)
—
780
660
550
450
360
280
210
150
100
60
30
10
Осн. часть
платежа (Рк)
—
1200
1100
1000
900
800
700
600
500
400
300
200
100
Погасит,
платеж (С к)
—
1980
1740
1500
1350
1160
980
810
650
500
360
230
ПО
Остаток
долга (\Sk\)
7800
6600
5500
4500
3600
2800
2100
1500
1000
600
300
100
0
Аналогично можно рассматривать геометрическую амортизацию,
в которой основные платежи убывают по показательному закону:
Pk+\=Pkq, 0<д<1, к = 1,2,... , п - 1.
Полагая, как и выше,
Рк =wkP, О <wk < 1,
получим рекуррентное уравнение
A3.29)
A3.30)
A3.31)
или
qk l
Wk = Wlq- ^ fc = 1,2,...,?
и, как следствие уравнения баланса, равенство
П	1	П
•^-^ 		1 q 	 1
k=\
Выбирая при фиксированном п один из параметров w\ или q
и определяя второй из уравнений A3.29)—A3.31) таким образом, чтобы
выполнялось условие
0 < w\,q < 1,

13.2. Фонды погашения
475
мы полностью определим основные части погасительных платежей,
а задание процентной ставки позволит определить процентные части
и сами погасительные платежи.
Пример 13.6. Кредит на сумму Р = 7^3000 погашается четырьмя плате-
платежами в конце каждого квартала по «геометрической» амортизационной схеме,
в которой основные платежи уменьшаются последовательно в 2 раза. Постро-
Построить график погашения долга для квартальной ставки 20%.
Решение. В данном случае п = 4, q= 1/2. Таким образом, уравне-
уравнение A3.31) принимает вид
W\
= 1,
откуда с учетом A3.29) последовательно получаем
_ ^8_	_ \_	_ J2_
15' 2 15' 3 15'
График погашения приведен в табл. 13.5.
Таблица 13.5
Период
(к)
0
1
2
3
4
Проц. часть
платежа («/&)
—
600
280
120
40
Осн. часть
платежа (Р/с)
—
1600
800
400
200
Погасит,
платеж (С/с)
—
2200
1080
620
240
Остаток
долга (\Sk\)
3000
1400
600
200
0
13.2. Фонды погашения
Выше обобщенные кредитные сделки описывались с точки зрения
кредитора. В частности, поток погасительных платежей состоял из
платежей по долгу, получаемых непосредственно кредитором.
Мы отмечали также, что описание сделки с точки зрения долж-
должника зеркально симметрично описанию с точки зрения кредитора,
т. е. представляющие сделку потоки просто противоположны по знаку.
Это действительно так, если речь идет об описании непосредственно
схемы погашения долга. Кредитор всегда получит выплаты по долгу
в соответствии с заданной кредитным контрактом схемой погашения.
А вот реальные выплаты должника могут отличаться от погасительных
платежей, предписываемых схемой.
Рассмотрим, например, погашение долга единовременным платежом
в конце срока, но с периодической выплатой процентов. Это облигаци-
облигационная схема погашения, с которой мы начали описание схем погаше-
погашения. В случае значительной суммы кредита, а так это и бывает при

476	Гл. 13. Финансовые операции в схеме сложных процентов
облигационных займах, должнику без предварительного накопления
трудно погасить большой основной долг, поскольку это часто требовало
бы мобилизации и/или изъятия больших денежных сумм. Выходом
в таких случаях является создание специального фонда погашения,
в котором должник аккумулирует средства, необходимые для пога-
погашения основного долга. Фонд погашения (sinking fund) формируется
периодическими взносами постоянной или переменной величины. При
этом на накопленный капитал фонда начисляются и выплачиваются
проценты по ставке, в общем случае отличающейся от ставки по
кредиту. Таким образом, фонд погашения (погасительный фонд, фонд
накопления) — это накопительный счет с переменным капиталом,
порожденный потоком платежей должника.
Важно понимать существенное различие между погасительными
платежами и взносами в фонд погашения. Так, в облигационной схеме
погашения никаких выплат по долгу, кроме процентных платежей,
по контракту не предусматривается. Более того, во многих случаях
досрочное погашение, т. е. погашение вне заданного графика может
вообще запрещаться контрактом. Иными словами, кредитор, даже по-
получив погасительный платеж, превышающий величину текущих про-
процентов, не обязан уменьшать сумму основного долга. Кредитор далеко
не всегда стремится получить долг обратно как можно скорее. Так,
если кредитная ставка в момент выдачи долга была высока, но с те-
течением времени снизилась, то кредитор не заинтересован в досрочном
погашении долга, поскольку возвращенные суммы ему придется разме-
размещать уже по более низкой ставке, что ведет к снижению его дохода от
кредитной сделки. Напротив, должник заинтересован в таких случаях
в досрочном погашении долга, поскольку погасив долг, он может тут
же взять его уже по меньшей стоимости. Такая операция, называемая
рефинансированием, во многих случаях действительно допускается,
например, в ипотечных кредитах (при покупке недвижимости), в ряде
облигационных кредитах и др. С финансовой точки зрения, фонд
погашения выгоден для должника, если ставка накопления фонда
превышает ставку по кредиту. Если обе ставки равны, то, с финансовой
точки зрения, расходы по обслуживанию долга должником, которые
включают как взносы в фонд, так и выплату процентов, составляют
поток платежей, эквивалентный потоку погасительных платежей.
Фонды погашения используются прежде всего в тех случаях, ко-
когда схема (график) погашения долга жестко фиксируется контрактом.
Не следует думать, что создание фонда погашения зависит лишь от
желания должника. Как правило, создание такого фонда оговаривает-
оговаривается в кредитном контракте и служит одним из условий обеспечения
возврата кредита. Таким образом, кредитный контракт не только пол-
полностью определяет схему погашения долга, но и некоторые условия,
касающиеся фонда погашения. Так же как и в расчетах погасительных
платежей рассмотренных выше схем погашения долга, в задачах пла-
планирования фонда погашения необходимо определить величину взносов

13.2. Фонды погашения	477
в фонд погашения. Следует помнить, что взносы в фонд погашения
идут на погашение основного долга; по своему смыслу они аналогичны
основной части погасительных платежей в схеме погашения долга. Кро-
Кроме взносов в фонд погашения, должник выплачивает текущие проценты
по долгу.
Обычно проценты выплачиваются должником из текущего дохода,
а не из фонда погашения. Тем не менее, на практике встречаются
и такие случаи, когда взносы в фонд предназначаются как для выплаты
основного долга, так и для выплаты процентов. Это наблюдается в тех
случаях, когда взносы в фонд делаются чаще, чем предписываемые
схемой погашения процентные платежи.
Сумма взноса в фонд погашения и текущих процентов по долгу
называется срочным платежом. Взносы в фонд вместе с начислен-
начисленным процентным доходом составляют накопленную сумму погашения,
представляющую собой состояние фонда погашения. Для того чтобы
долг был погашен полностью, эта сумма должна в конце срока кредита
совпасть с основной суммой долга.
Таким образом, состояние фонда погашения равно текущей (на-
(накопленной) сумме погашения и по своему смыслу противоположно
(двойственно) состоянию ссудного счета — остатка долга для схемы
погашения. Следовательно, при анализе схем погашения, предусматри-
предусматривающих создание фонда накопления, необходимо различать состояние
ссудного счета (счета кредитора) и состояние погасительного счета
(фонда погашения). Состояние в момент t ссудного счета будем обо-
обозначать, как и выше, через S(t), а погасительного — через 5+(?). Для
критических моментов tk эти состояния обозначаются коротко через Sk
и S? соответственно.
Напомним, что S(t) представляет собой (по абсолютной величине)
невыплаченный остаток долга, тогда как S+(t) — накопленную сумму
погашения.
Отметим, что хотя заданная схема погашения накладывает опреде-
определенные ограничения на структуру потока взносов в фонд погашения,
тем не менее не существует какого-либо явного соответствия между
состояниями ссудного и погасительного счетов.
Облигационная схема с фондом погашения с постоянными
взносами. Анализ кредитных сделок, использующих фонды погаше-
погашения, начнем с простейшего случая облигационной схемы, предусмат-
предусматривающей единовременную выплату основного долга в конце срока
и периодическую выплату процентов. В этом случае все погасительные
платежи, кроме последнего, совпадают с процентными.
Предположим, что период взносов в фонд погашения совпадает
с периодом процентных выплат. Выберем этот период в качестве еди-
единичного и обозначим через г нормированную процентную ставку по
кредиту, j — нормированную ставку накопления для погасительного
фонда. Как и ранее, обозначим через Р основную сумму долга. Величи-

478	Гл. 13. Финансовые операции в схеме сложных процентов
ну fc-ro срочного платежа будем обозначать Dk. Наша цель определить
величину Dk.
Пусть CJ — процентная рента с платежами
J\ = J<1 = • • • = Jn = J,
где
J = Pi,
С В — рента взносов в фонд погашения с платежами В\,В2,... ,Вп.
Основное балансовое соотношение для фонда накопления имеет вид
FVn(CB,j) = P.	A3.32)
В частности, если все взносы постоянны по величине, т. е.
В\ = -Е>2 — ... — Вп = В,
то из A3.32) получаем равенство
В • sn\j = Р,
из которого находим собственно величину платежа В:
В = —.	A3.33)
Sn\j
Величина срочных платежей, естественно, будет также постоянной,
т.е.	^	р
Sn\j
Интересно отметить, что если кредитная г и накопительная j ставки
совпадают, то величина срочного платежа D, равная
D = p(i + -М = Р - -р- = С,	A3.34)
совпадает с величиной погасительного платежа С в равномерной схеме
погашения с постоянными выплатами (см. формулы A3.12) и A3.13)).
Однако хотя срочный и погасительный платежи этих схем совпа-
совпадают по величине, их интерпретации существенным образом различа-
различаются. В облигационной схеме с фондом погашения кредитор получает
только проценты, величина основного долга постоянна и равна Р.
В равномерной схеме основной долг постоянно уменьшается, при этом
постоянно меняется структура основной и процентной частей погаси-
погасительного платежа. Но если рассуждения вести с точки зрения долж-
должника, то он мог бы интерпретировать свои срочные платежи как пога-
погасительные. С учетом того, что эти платежи постоянны по величине,
при заданных сроке п и ставке по кредиту (равной ставке накопления
фонда) величина этих выплат определяется в соответствии с A3.34),
т. е. как величина погасительного платежа равномерной схемы, а зна-
значит, с точки зрения должника можно по-другому интерпретировать
разложение этого платежа на основную и процентную части.

13.2. Фонды погашения	479
Выше отмечалось, что не существует прямой связи между состо-
состояниями S(t) ссудного счета и состояниями S+(t) фонда погашения
(погасительного счета). Так, даже временные параметры погаситель-
погасительного потока и потока взносов могут быть совершенно различны. Это
так прежде всего в силу того, что упомянутые счета описывают кре-
кредитную сделку с точки зрения различных участников (контрагентов)
сделки — кредитора и должника. Однако, как было отмечено выше,
можно рассматривать процесс погашения долга с точки зрения долж-
должника. В этом случае мы могли бы ввести ссудный счет должника,
являющийся двойственным погасительному счету S+(t). Обозначим
состояние этого счета в момент времени t через S~(t). Смысл этого
состояния прост. Его значение показывает «невыплаченный» (точнее,
«еще не накопленный») остаток долга с точки зрения должника. Если
проценты выплачиваются из текущих доходов, а не из фонда, то между
состояниями двойственного ссудного и погасительного счетов имеется
простое соотношение:
где Р — сумма кредита.
Для кредитных сделок с фондом погашения можно также строить
графики (планы) погашения, задающие для каждого периода все со-
соответствующие ему финансовые величины: текущие проценты, взнос,
накопленную сумму погашения и срочный платеж. Для фонда пога-
погашения с постоянными взносами мы привели все эти показатели, за
исключением накопленной суммы погашения к концу fc-ro периода.
При этом накопленная сумма погашения есть просто состояние фонда
погашения (т. е. соответствующего накопительного счета) после fc-ro
взноса, которое мы обозначили через S? (не путать с состоянием
ссудного счета!). Очевидно, что
S+ = FVtk(CB\^k) = В ¦ s-k{j, к =1,2,...,п.
Естественно считать Sq~ = 0, и для полного погашения долга необ-
необходимо, чтобы выполнялось условие S+ = Р.
График погашения с погасительным фондом удобно представлять
в виде таблицы, столбцы которой соответствуют упомянутым выше
финансовым величинам (платежам и состоянию).
Пример 13.7. Кредит в Т^ЛОООО сроком на 5 лет погашается едино-
единовременно в конце срока с ежегодной выплатой процентов. Для погашения
долга создается накопительный фонд с постоянными ежегодными взносами
(в конце каждого года). Найти величину срочных платежей и построить график
погашения, если ставка по кредиту г равна 20% годовых, а ставка фонда j
равна 15% годовых.
Решение. Величина процентных платежей равна
Jk = J = Pi= 10000- 0,2 = 2ОООGг), к= 1,2,..., 5.

480
Гл. 13. Финансовые операции в схеме сложных процентов
Величина взносов в фонд равна
В =
= 1483,15.
Таким образом, величина срочного платежа составит
D = J + B = 2000 + 1483,15 = 3483,15(?г).
Накопленная сумма погашения к концу к-го периода будет равна
<?+ — R . а- — 14Я^ 1 ^ . с- G?\
В табл. 13.6 приведен соответствующий график погашения.
Таблица 13.6
Период
(к)
0
1
2
3
4
5
Проценты
Jk
—
2000
2000
2000
2000
2000
Взнос
вк
—
1483,15
1483,15
1483,15
1483,15
1483,15
Срочный
платеж Dk
—
3483,15
3483,15
3483,15
3483,15
3483,15
Сумма
погашения S~?
0
1483,15
3188,77
5150,24
7405,92
9999,96
Из-за округления (в меньшую сторону) при определении срочного платежа
накопленная сумма погашения оказалась чуть меньше (на 4 коп), чем требуе-
требуемая сумма, равная величине кредита — 7? 10000.	¦
Облигационная схема с фондом погашения с меняющимися
взносами. Мы рассмотрели использование фонда погашения для кре-
кредитной сделки с единовременной выплатой основного долга и периоди-
периодическими выплатами процентов. При этом взносы в фонд предполага-
предполагались одинаковыми. Однако последнее предположение не является обя-
обязательным. Так же как и в амортизационных схемах, можно рассматри-
рассматривать не постоянные, а меняющиеся платежи. Например, можно считать
ренту взносов арифметической или геометрически возрастающей (или
же, наоборот, убывающей) рентой. Методология анализа в этом случае
в принципе остается той же. Тем не менее, между амортизационными
и «фондовыми» схемами имеется кардинальное различие, состоящее
в том, что основные балансовые уравнения для этих схем различны по
своей природе.
Амортизационные схемы — это схемы погашения основного дол-
долга; основным балансовым уравнением является уравнение
п
? ft = р,
к=\

13.2. Фонды погашения	481
где Pk — основная (амортизационная) часть погасительного платежа.
Текущие проценты J& по долгу являются его другой частью, при этом
Jk = J = Pi, i= 1,2,...,n.
При погашении долга с помощью фонда погашения основное балан-
балансовое уравнение имеет вид
FVtn(CB,j) = P,
где j — ставка накопления фонда, поскольку на взносы в фонд начис-
начисляются проценты по ставке j.
Рассмотрим, например, стандартную арифметическую возрастаю-
возрастающую ренту взносов с первым платежом В\ и разностью и. В этом
случае имеем
Вк=В{ + и(к - 1), к = 1, 2,..., п,
и уравнение баланса для ставки накопления j фонда согласно A1.3)
имеет вид
Bi-sruj + j ¦(%!; ~п) = Р.	A3.35)
Задавая один из параметров В\ или и, из этого уравнения можно найти
другой параметр.
Наконец, сумма погашения S^, накопленная за к периодов, будет
определяться по формуле
S+=FVtk(CB\^k) = Y,Bl(l+j)k-1, к =1,2,..., п.
Таким образом, определены все элементы графика (плана) пога-
погашения.
Пример 13.8. Кредит в 7^10000 сроком на 5 лет погашается с исполь-
использованием фонда погашения. Взносы в фонд делаются в конце каждого года
и увеличиваются ежегодно на 7^500. Составить график погашения долга, если
ставка i по кредиту равна 9,5% годовых, а ставка накопления фонда j равна
10% годовых.
Решение. По условию п = 5, i = 0,095, j = 0,1 и и = 500. Форму-
Формула A3.35) дает уравнение для нахождения величины В\\
Bl • S5|o,i + Jr (8W " 5) =
Учитывая, что вщ0 1 = 6,1051, находим
Вх = 732,91 (?г).
Величины остальных взносов находятся по формуле
Вк = Вх+ 500(fc - 1), к = 2, 3,4, 5.
Годовые процентные платежи будут постоянны и равны
Jk = J= 10000 • 0,095 = 950(?г), к = 1,2,..., 5.
16 П. П. Бочаров, Ю.Ф. Касимов

482
Гл. 13. Финансовые операции в схеме сложных процентов
Наконец, сумма погашения S^, накопленная за к лет, будет определяться как
к
Я+ — V4 RjM ]}k~l h — 1 9	^
О ju — / -D[ A,1)	, гь — L )?)...) О.
График погашения долга приведен в табл. 13.7.	¦
Таблица 13.7
Год
к
0
1
2
3
4
5
Проценты
Jk
—
950
950
950
950
950
Взнос
вк
—
732,91
1232,91
1732,91
2232,91
2732,91
Срочный
платеж Dk
—
1682,91
2182,91
2682,91
3182,91
3682,91
Сумма
погашения S?
0
732,91
2039,11
3975,93
6606,44
10000,00
Единовременное погашение основного долга и процентов —
простая кредитная сделка. Использование фонда погашения можно
обобщить и в другом направлении, рассматривая другие схемы пога-
погашения, отличные от облигационной. Например, отказываясь от перио-
периодической выплаты процентов и предполагая единовременную выплату
как основного долга, так и процентов (т. е. рассматривая по существу
простую кредитную сделку), для стандартной ренты взносов в фонд
погашения приходим к балансовому уравнению следующего вида:
FVn(CB,j) =
A3.36)
где г — кредитная нормированная ставка. В этом случае срочные
платежи будут совпадать со взносами:
Dk = Вк, к =1,2,...,п.
Пример 13.9. В условиях примера 13.7 построить график погашения,
если и проценты, и долг выплачиваются в конце срока.
Решение. В данном случае
а согласно A3.36)
10000A +0,2M
к= 1,2,...,5.
Таким образом, три последних столбца таблицы погашения из примера 13.7
(см. табл. 13.6) в нашем случае будут равны между собой и просто увеличатся
в A,2M = 2,4883 раза. Столбец процентных выплат будет нулевым.	¦

13.2. Фонды погашения	483
Обобщенная кредитная сделка с фондом погашения. Рассмот-
Рассмотрим теперь обобщенную кредитную сделку с суммой кредита Р. Ее по-
погасительный поток
погашает долг Р при нормированной кредитной ставке г, если выпол-
выполняется уравнение баланса
FVtn{CF+,i) = P.
Можно ввести понятие фонда погашения и в этом общем случае. Для
простоты считаем, что все срочные платежи (расходы по обслужива-
обслуживанию долга) совпадают со взносами, т. е. погасительные платежи не
разделяются на процентные и основные.
Взносы в фонд погашения составляют поток
СВ = {(тиВ1),(т2,В2),...,(тт,Вт)}.
Для того чтобы этот поток обеспечивал выплату погасительных
платежей, необходимо и достаточно, чтобы для каждого момента tk
погасительного платежа выполнялось условие
S+ = FVtk(CB\tk,j)>Ck, к=1,2,...,п,	A3.37)
для заданной ставки накопления фонда j, т.е. чтобы состояние фонда
в момент tk было бы не меньше, чем величина требуемого погаситель-
погасительного платежа.
Если же учитывать разделение платежей на процентную и основ-
основную части:
C J + P
и считать, что должник выплачивает проценты из текущего дохода,
а не из фонда, то условие для потока взносов перепишется в виде
S+ = FVtk(CBfrk)>Pk, к =1,2,..., п.	A3.38)
При этом поток срочных платежей, осуществляемых должником, бу-
будет равен сумме потока взносов в фонд СВ и потока процентных
платежей CJ:
CJ.
Пример 13.10. Кредит на сумму 7^100000 и сроком на 12 лет погаша-
погашается четырьмя одинаковыми платежами в конце каждого трехлетнего периода.
Ставка по кредиту равна 10% годовых. Для погашения кредита предпола-
предполагается создание фонда погашения с ежеквартальными взносами. Составить
план погашения кредита с постоянными взносами, если ставка накопления
фонда равна 12% годовых с ежеквартальным начислением и проценты по долгу
выплачиваются: а) из фонда; б) текущего дохода.
Решение. Найдем сначала величину погасительных платежей. Для этого
прежде всего определим ставку г3 за трехлетний период:
г3 = A +0,1K- 1 =0,331.
16*

484
Гл. 13. Финансовые операции в схеме сложных процентов
Теперь можно найти величину погасительных платежей. При условии их ра-
равенства по формуле A3.18) получаем
~	100000	ЛОГ-7ОГГ
С =	= 48578,66.
а4|г3
Для обеспечения выплат в случае а), когда проценты выплачиваются
из накоплений фонда, необходимо, чтобы ежеквартальные взносы с учетом
процентов за три года давали сумму накоплений не меньше, чем величина
погасительного платежа. Поскольку квартальная ставка фонда равна 0,12/ 4
= 0,03, т.е. 3%, то минимальная величина взносов должна удовлетворять
условию
?'sl2|o,o3 = 48578,66(?г),
откуда получаем
Б = 3422,95(?г).
Таким образом, рента взносов представляет собой ежеквартальную 12-летнюю
ренту с 48 одинаковыми платежами В = 3422,95G^).
Для случая б) необходимо разделение погасительных платежей на основ-
основную и процентную части долга. В этом случае мы оказываемся в рамках
равномерной схемы погашения с постоянными погасительными платежами.
Тогда по формулам A3.15) и A3.16) находим основную и процентную части
погасительных платежей. Эти платежи представлены в табл. 13.8.
Таблица 13.8
Период
к
1
2
3
4
Процентный
платеж Jk
33100,00
27976,56
21157,27
12080,79
Основной
платеж Pk
15478,66
20602,09
27421,38
36497,87
Для того чтобы взносы в фонд обеспечивали выплату основной части долга,
необходимо, чтобы поток взносов был эквивалентен потоку основных платежей
относительно ставки накопления фонда. Поскольку накопленная стоимость
потока основных платежей
CP = {(l,Pi),B,P2),C,P3),D,P4)}
равна
FVA(CP,j3) = 162 335,47,
где
4 )
— ставка накопления фонда за 3-летний период, то размер квартальных плате-
платежей в этом случае равен
Вк = В =	¦— = 1554,81.
S48|0,03
Таким образом, рента срочных платежей расходов должника равна (по
абсолютной величине) сумме ежеквартальной 12-летней ренты взносов С В
и процентной ренты CJ.	Ш

13.2. Фонды погашения	485
Фонды погашения в обобщенных сделках используются в случае,
когда основной долг погашается небольшим числом достаточно круп-
крупных (по сравнению с процентными выплатами) платежей. В таких
случаях имеет смысл накапливать в фонде необходимые суммы. Такой
подход используется в некоторых облигационных займах, в которых
весь выпуск погашается отдельными частями (сериями). В тех слу-
случаях, когда погасительные платежи относительно невелики и к тому
же осуществляются достаточно часто, смысла в создании фонда нет.
Формально же и в этом случае можно говорить о фонде и взносах, если
считать взносы совпадающими с погасительными платежами в первой
интерпретации фонда A3.37) или с их основной частью во второй
интерпретации A3.38). В обоих случаях никакого накопления в фонде
не происходит, поскольку поступивший взнос тут же отправляется
кредитору в качестве соответствующего платежа. Такой формальный
прием позволяет все чистые схемы погашения рассматривать как схе-
схемы с использованием погасительного фонда.
В заключение приведем простой пример сравнения различных спо-
способов погашения долга как с использованием, так и без использования
фонда погашения.
Пример 13.11. Должник может взять кредит в 7^1000 на срок 3 года
в банке А или в банке В. Кредитные ставки в обоих банках одинаковы и равны
8% годовых. Допустим, что банк А требует погашения основного долга лишь
единовременным платежом в конце срока, тогда как банк В — одинаковыми
платежами в конце каждого года (вместе с процентами). В каком из банков
следует взять кредит должнику, если доступная ему ставка накопления равна:
а) 7%; б) 8%; в) 9% годовых.
Решение. Допустим, что для погашения долга в банке А создается фонд
погашения. Сравним расходы по обслуживанию долга для всех трех значений
ставки накопления с расходами при погашении долга по равномерной схеме
для банка В.
Сначала найдем величину погасительных платежей для банка В. По фор-
формуле A3.18) получаем
аЗ|0,08
Банк А подразумевает единовременную выплату основного долга в конце
срока и ежегодные процентные платежи. Ежегодные проценты во всех случаях
а)-в) одинаковы и равны
J= 1000- 0,08 = 8О,ООGг).
Ежегодные взносы в фонд погашения определяются по формуле A3.33):
где j — ставка накопления фонда. Таким образом, получаем для случаев:
а)	Ва=
S3|0,08

486	Гл. 13. Финансовые операции в схеме сложных процентов
и, следовательно, величина срочных платежей в этом случае будет равна
Da = J +Ба = 391,06Gг);
б)	Вб = -^- = 308,04(?г)
S3|0,07
и, следовательно, срочные платежи в этом случае составят
D6 = J + Вб = 388,04(?г);
в)	вв = -^^- = зо5,об(тг),
S3|0,09
а срочные платежи равны
DB = J + BB = 385,0б(?г).
Таким образом, если ставка накопления равна 7%, то следует предпочесть
банк В, поскольку в этом случае выгоднее погашать долг по равномерной
схеме. Если ставка накопления равна 8%, то выбор банка безразличен, а для
ставки 9% выгоднее взять кредит в банке А и использовать фонд пога-
погашения.	¦
13.3. Непрерывные схемы погашения
В предыдущих параграфах мы рассмотрели дискретные модели
обобщенных кредитных сделок, в которых погасительные платежи
образуют дискретный поток. В этом параграфе мы рассмотрим непре-
непрерывные модели кредитных сделок, в которых выданный кредит на сум-
сумму Р погашается непрерывным потоком платежей CF+ с плотностью
//(?) > 0. При этом естественно считать, что носитель этого потока
совпадает с периодом сделки
где to — момент начала сделки (дата выдачи кредита), а ?пог —
момент завершения сделки (дата погашения). Разность Т = ?пог — to
представляет собой срок сделки.
Сделки такого вида естественно описывать в рамках модели счета
с переменным капиталом, в которой входной поток является непрерыв-
непрерывным (гл. 10). Динамика такой модели описывается дифференциальным
уравнением (уравнением динамики фонда)
^	^t),	A3.39)
где S(t) — состояние счета в момент t, 5(t) — интенсивность процент-
процентного роста, a fi(t) — плотность входного потока.
Если эта модель применяется для описания обобщенной кредитной
сделки, то S(t) интерпретируется как состояние соответствующего
ссудного счета, 5(t) — как интенсивность, a /i(?) — как плотность
погасительного потока. При этом, естественно, должны выполняться
следующие краевые условия:

13.3. Непрерывные схемы погашения	487
начальное условие
S(to) = -P	A3.40)
и, конечно, балансовое условие
Рассмотрим сначала случай сделок с постоянной интенсивностью
5(t) = 5 = const или, что то же самое, с постоянной кредитной ставкой.
В § 10.4 было получено общее решение уравнения A3.39) с начальным
условием A3.40):
t
S(t) = -Pe5'^~to) + [ e5'^~u)ii(u) du.	A3.41)
to
Используя нормированную процентную ставку
г = е* - 1,
уравнение A3.41) можно переписать в виде
t
S(t) = -Р(\ +г)*"*° + [A +i)t-uii(u)du.	A3.41х)
to
Следовательно, уравнение баланса будет иметь вид
tnor
to
Интеграл в A3.42) представляет собой накопленную стоимость
непрерывного потока с плотностью /i(t). Если эта плотность посто-
постоянна, т.е. /i(t) =ii = const, то уравнения состояния A3.41), A3.41х)
перепишутся в виде
S(t) = -Р(\ + г)*"*° + list=ii\	A3.43)
или, в индексных обозначениях (St = S(t)),
ST = -1
ГД6	}	аТ - 1
0
— накопленная стоимость единичной непрерывной ренты со сроком
r = t-t0 (см. § 12.4) и а = 1 + г.
Уравнение баланса в этом случае примет вид
ST = S(tnor) = -P(l + if + /xsti = 0-
Из него непосредственно получаем, что
Щ	A3.44)

488	Гл. 13. Финансовые операции в схеме сложных процентов
где
l-vT
— текущая стоимость единичной непрерывной ренты со сроком Т.
Уравнение A3.44) дает возможность определить плотность непре-
непрерывного погасительного потока, необходимую для погашения кредита
на сумму Р за период времени Т:
Р
11 = —.
аТ\
Уравнения A3.41), A3.41х) соответствуют ретроспективному ме-
методу определения остатка долга. В том случае, когда выполняется
балансовое равенство A3.44), уравнение состояния A3.43) для посто-
постоянной плотности можно привести к следующему виду:
S(t) = Sr = /х-а^-ф	A3.45)
где г = t — to. Это уравнение представляет собой проспективный метод
определения остатка долга.
Уравнения состояния A3.43) и A3.45) позволяют осуществить раз-
разложение погасительного потока CF+ на процентную (CJ) и основную
(СР) части. Пусть g(t) и p(t) — плотности процентной и основной
частей погасительного потока. Тогда
При этом очевидно, что
g(t) = 5S(t) = 5/1<2т~р\ = /i(l — vT~T),
а значит,
р(?) =ii-6S(t).	A3.46)
Отсюда получим
р(?) = рт = jjivT~T.
Полученные результаты вполне аналогичны тем, что были получены
для дискретных моделей кредитных сделок с постоянными погаситель-
погасительными платежами.
На непрерывный случай легко переносятся амортизационные схе-
схемы погашения, в которых плотность погасительного потока /i(t) есть
сумма
li{t)=p{t)+g{t),
где заданная плотность основной части p(t) удовлетворяет балансово-
балансовому уравнению	t
J p(t) dt = P.
to

13.3. Непрерывные схемы погашения	489
При этом невыплаченный к моменту t остаток долга равен
t	tnor
S(t) = J p(t) dt-P = - j p(t) dt.
to	t
В этом случае плотность процентного потока будет равна
g(t) = -5(t)S(t).
Так, если плотность основной части постоянна, т. е. p(t) = р =
= const, то
рТ = Р,
откуда
g(t) = 6(t) ¦ f-^ ¦ P.
Наконец, легко определить непрерывный аналог фонда погашения.
Фонд погашения определяется потоком взносов СВ с плотностью /3(t)
и интенсивностью роста u(t). Для сделки с единовременным погаше-
погашением кредита и непрерывной уплатой процентов получаем балансовое
уравнение вида	t
[ C(t)a(to,t)dt = P,	A3.47)
to
где	t
a(to,t)=exp(Ju(y)dy)	A3.48)
to
— функция роста фонда.
Процентный поток в этом случае имеет плотность
g(t) = S(t)P
и, следовательно, поток срочных платежей CD имеет плотность, рав-
равную сумме /3(t) + 5(t)P.
Например, для фонда погашения с постоянной интенсивностью
u(t) = и = const и постоянной плотностью взносов /3(t) = C = const
последняя найдется из уравнения баланса A3.47), которое в данном
случае с учетом A3.48) примет вид
Отсюда получаем
п иР
где j — ставка накопления фонда.

490	Гл. 13. Финансовые операции в схеме сложных процентов
Если постоянной является также интенсивность 5, т. е. постоянной
является кредитная ставка г, то плотность процентного потока равна
Тогда плотность потока срочных платежей равна
13.4. Пенсионные схемы
В этом разделе мы рассмотрим простейший вид пенсионных схем
(pension sherries) или, как еще говорят, пенсионных планов (pension
plans). Речь пойдет о, так называемых, чисто финансовых пенсионных
схемах, которые строятся без учета демографических характеристик
группы лиц, объединенных данной пенсионной схемой и называемых
участниками этой схемы. В этом случае каждый участник схемы
имеет свой индивидуальный пенсионный счет, на котором он посред-
посредством взносов накапливает пенсионную сумму, необходимую для обес-
обеспечения пенсионных выплат с этого счета после выхода участника на
пенсию.
Взносы участников пенсионной схемы аккумулируются в пенсион-
пенсионном фонде, средства которого инвестируются в различные активы на
финансовом рынке. Эти инвестиции обеспечивают рост стоимости ак-
активов фонда. Характеристикой такого роста служит норма или ставка
доходности, которую мы будем просто называть ставкой накопле-
накопления фонда. Поскольку пенсионный фонд при таком подходе сводится
к совокупности независимых индивидуальных пенсионных счетов его
участников, то описание различных пенсионных схем проведем с точки
зрения индивидуального участника схемы (фонда).
С формальной точки зрения пенсионная схема как финансовая
операция представляется парой денежных потоков: расходным CF~,
который на языке пенсионных схем называется потоком пенсион-
пенсионных взносов, и приходным CF+, называемым потоком пенсионных
выплат. Как правило, оба эти потока являются рентами, поэтому
говорят о ренте взносов и ренте пенсий соответственно. Эти ренты
характеризуются своими временными и финансовыми параметрами, ко-
которые в данном случае называются параметрами пенсионной схемы.
Как и в случае кредитных сделок, оба потока (ренты) пенсионной
схемы должны удовлетворять балансовому соотношению при заданной
ставке накопления фонда г.
Обозначим через
CB = {(JuBx),(J2,B2),...,(Jm,Bm)}, Bk>0,
ренту взносов (поток 2-го рода) с периодами
Л = [tk-utk], k=\,2,...,m,

13.4. Пенсионные схемы	491
одинаковой длины h = tk — tk-1, к = 1,2,..., т. Величина, обратная h,
т.е. \/h называется частотой или кратностью взносов. Так, в годо-
годовой шкале ежемесячным взносам соответствует период ренты взносов
h = 1/12 и частота, равная \/h = 12.
Далее, пусть
{(Il,Rl),(I2,R2),...,(In,Rn)}, Rj>0,
— рента пенсионных выплат с периодами Ij = [tj_i,tj] одинаковой
длины I = tj — Tj-\, j= 1,2,...,п. Величина, обратная /, т.е. \/1,
называется частотой пенсионных выплат. Так, в годовой шкале
ежемесячной пенсии соответствует период / = 1/12 и частота выплат,
равная 12.
Замечание об обозначениях. Заметим, что здесь символы J
и / обозначают временные промежутки, а не суммы процентов как
в предыдущих параграфах. Фактически это единственное место в дан-
данной главе, где встречается такое смешение обозначений. Оно потребо-
потребовалось лишь для того, чтобы подчеркнуть характер денежных потоков
пенсионной схемы. Это потоки 2-го рода. Поскольку в данном парагра-
параграфе нигде не используются символы J и I как обозначение процентных
сумм, то использование их в качестве обозначения временных проме-
промежутков не приводит к недоразумениям.	?
Критические моменты этих рент удовлетворяют естественному
условию:
t0 < t\ < ... < tm <p^r0 <t\ < ... <тп,	A3.49)
где критический момент р, называемый полюсом схемы, совпадает
с моментом выхода участника на пенсию.
Период [to,tm] назовем периодом взносов (не путать с периодом
ренты взносов, который равен числу Ы), а период [то,тп] — периодом
пенсионных выплат или просто пенсионным периодом.
Если тп < +оо, то пенсионная рента называется срочной, в против-
противном случае (тп = +оо) говорят (хотя и не совсем точно) о пожизненной
пенсии.
Условие A3.49), записанное во временной шкале, имеет смысл для
конкретного участника схемы. На практике при описании пенсионных
схем используют не временную, а возрастную шкалу. В этом случае
моменту to вступления участника в схему или моменту открытия пен-
пенсионного счета соответствует возраст вступления в схему, полюсу р
схемы соответствует пенсионный возраст и т. д. Возрастная шкала
позволяет описывать пенсионную схему унифицированным образом
для различных участников независимо от действительных (календар-
(календарных) событий, связанных с реализацией пенсионной схемы для кон-
конкретного участника.
Мы ввели ренты взносов и пенсий как потоки 2-го рода, т. е. как
интервальные величины. В реальности они актуализируются как
потоки 1-го рода с платежами, например, в начале или в конце срока.

492	Гл. 13. Финансовые операции в схеме сложных процентов
Тот или иной вид актуализации определяется конкретной схемой, но
в принципе он несуществен.
В дальнейшем будем считать обе ренты обыкновенными, т. е. с пла-
платежами в конце периодов этих рент. Положение полюса р на разделя-
разделяющем обе ренты промежутке [?т,то] также определяется конкретным
видом схемы. Ниже мы будем для простоты считать, что tm = р = то;
это означает, что конец ренты взносов и начало пенсионной ренты
совпадают с полюсом, т. е. с моментом выхода на пенсию.
Рента взносов, рассматриваемая с точки зрения участника схемы,
есть расходный поток, поэтому, строго говоря, мы должны считать
платежи В^ отрицательными. Однако мы будем представлять ренту
взносов положительной обыкновенной рентой
а расходный поток — противоположной по знаку рентой
CF- = -СВ = {(tu-Bi), (t2, -B2), • • • , (tm, -Bm)}.
Пенсионная рента с учетом актуализации также представляется
положительной обыкновенной рентой
CR = {(ruRl),(r2,R2),...,(rm,Rm)}.
Разумеется, как в любой финансовой операции, между рентами
взносов и пенсий существует определенный баланс. Этот баланс,
естественно, определяется ставкой накопления фонда г. В простейшем
случае постоянства этой ставки в течение всего периода действия
схемы, т.е. как на периоде взносов, так и на пенсионном периоде, этот
баланс можно записать в виде равенства
PVp(CB,i) = PVp(CR,i).
Слева в этом равенстве стоит выражение для накопленной к моменту р
пенсионной суммы Б+(р) или даже просто 5+, если полюс р задан.
В силу значительной долгосрочности пенсионной схемы предпо-
предположение о постоянстве ставки накопления в течение всего периода
действия схемы обычно некорректно. В этом случае можно, например,
рассмотреть две ставки: одну для периода взносов — ставку взносов г~
и другую для пенсионного периода — ставку пенсий г+. В этом случае
уравнение баланса будет иметь вид
PVp(CB,i~) = PVp(CR,i+).
В нестабильной, постоянно меняющейся экономической среде мож-
можно работать с переменными ставками или, что, по существу, то же
самое, с переменной интенсивностью 5. Если 5^ — средняя интенсив-
интенсивность накопления пенсионного фонда для периода J& взносов, а 5^ —

13.4. Пенсионные схемы	493
средняя интенсивность накопления на периоде Ij пенсий, то балансовое
уравнение примет вид
п	_	т	,
]Г Вке5* {p~tk) = ]Г Ще5*{р-То).
к=\	j=\
Ниже мы ограничимся случаем постоянной нормированной ставки г
для всего периода действия схемы или случаем двух постоянных ста-
ставок г~, г+ для периода взносов и пенсий.
Из сказанного выше ясно, что задание пенсионной схемы состоит
в задании временных и финансовых параметров рент, составляющих
схему. Уравнения баланса показывают, что параметры схемы вместе со
ставкой (или ставками) накопления фонда не являются независимыми
в совокупности. Это значит, что уравнение баланса позволяет находить
один из этих параметров, если заданы все остальные. Это обстоя-
обстоятельство является основой для классификации пенсионных схем по
типу определяющей (исходной) информации, в соответствии с которой
строится схема.
Так, для схем с установленными взносами исходной является
информация о ренте взносов, т. е. рента взносов считается полностью
определенной. Пенсионная рента при этом определяется частично,
недостающие параметры находятся из уравнения баланса. Задав, на-
например, полностью ренту взносов и ставку накопления, можно опре-
определить либо размер пенсии при известном пенсионном периоде (сроке)
и частоте пенсионных выплат, либо, зная частоту выплат и величину
пенсий, найти продолжительность пенсионного периода и т.д.
Наоборот, для пенсионных схем с установленными выплатами
полностью определенной считается пенсионная рента, а рента взносов
определена частично. В этом случае по заданной ставке (или ставках),
величине периода взносов и частоте можно найти требуемую величину
взносов или же, по известной величине и частоте взносов, — необхо-
необходимую продолжительность периода взносов и т. д.
Безусловно, важнейшую роль в эффективности пенсионного фон-
фонда играет доступная ему норма инвестиционных доходов, т. е. ставка
накопления. При полностью заданных рентах взносов и пенсий воз-
возможность выполнения фондом своих обязательств перед участниками
состоит в том, чтобы уровень накопления был достаточно высок. Фор-
Формально это означает выполнение неравенства
PVp(CB,i~) ^ PVp(CR,i+),	A3.50)
которое называется условием финансовой обеспеченности схемы от-
относительно ставок г~ и г+. Если неравенство в A3.50) строгое, то схема
называется пере финансированной (или сверхобеспеченной). При вы-
выполнении противоположного неравенства
PVp(CB,r) < PVp(CR,i+)

494	Гл. 13. Финансовые операции в схеме сложных процентов
схема называется недофинансированной (необеспеченной). В случае
равенства в A3.50) схема называется сбалансированной. Сверхобеспе-
Сверхобеспеченность схемы означает, что при заданных ставках г~ и г+ и ренте
взносов можно выплачивать (или назначать) большую пенсию с тем
же сроком и частотой или ту же пенсию, с той же частотой, но
с большим сроком, или же есть возможность назначить пенсию со все-
всеми теми же параметрами, но при этом уменьшить либо величину, либо
продолжительность взносов и т.д. Естественно, что необеспеченность
(недофинансированность) требует обратных по смыслу действий.
Пример 13.12. Согласно пенсионной схеме участник, вступивший в схе-
схему в возрасте 30 лет, в обмен на ежемесячные взносы по 7^100 должен после
достижения пенсионного возраста 60 лет получать ежемесячную пожизненную
(вечную) пенсию в размере 7^1500. Может ли пенсионный фонд выполнить
свои обязательства, если ставка накопления фонда равна для периода взносов
6% годовых, а для пенсионного периода — 12%, начисляемых ежемесячно?
Каков должен быть минимальный уровень ставки накопления для пенсионного
периода, чтобы фонд мог выполнить свои обязательства перед участником?
Решение. До выхода на пенсию участник схемы обязан сделать (в конце
каждого месяца) 12 • 30 = 360 взносов. Поскольку месячная ставка накопления
для взносов равна
iMec = -1— = 0,005,
то накопленная к моменту выхода на пенсию пенсионная сумма составит
S+ = 100 • взбо|о,оо5 = 100451, 5ОGг).
Для того чтобы фонд мог выполнить обязательства перед участником, необхо-
необходимо, чтобы
S+ > PVp(CR,i+).
Текущая (к началу пенсионного периода) стоимость всех пенсионных вы-
выплат для месячной пенсионной ставки
Сес = — = 0,01
равна текущей стоимости вечной ренты
PVp(CR,i+) = JL=lJ!? = 150000.
Таким образом, для пенсионной ставки накопления г+ес = 1 % фонд не
может выполнить своих обязательств, поскольку пенсионная сумма S+ =
= 7^100451,50 меньше требуемой для обеспечения выплат суммы 7^150000.
Иными словами, для заданных ставок схема необеспечена (недофинансирова-
(недофинансирована). Для обеспечения схемы нужно увеличить (при постоянстве остальных
параметров) ставку накопления для пенсионного периода. Минимальную, тре-
требуемую для обеспечения пенсионной схемы, величину месячной ставки можно
найти из уравнения баланса
S+ = PVp(CR,i+)
или
100451.50=1™.

13.4. Пенсионные схемы	495
Отсюда получим
что соответствует номинальной годовой ставке
гA2) = 12 • г+ес = 0Д792
или 17,92% годовых, либо эффективной годовой ставке
Сф = A + ^месI2 - 1 = 0,1947,
т.е. 19,47%.	¦
Теперь рассмотрим подробно несколько типичных пенсионных схем
и приведем связанные с ними расчеты. Чтобы не загромождать изло-
изложение сложными формулами и вычислениями, ограничимся рассмотре-
рассмотрением пенсионных схем с постоянными взносами и выплатами. Более
общие случаи рассматриваются аналогично, а различие состоит лишь
в требуемом объеме и сложности вычислений.
Везде ниже в качестве временной шкалы выбирается годовая шка-
шкала. Символом S+(t) обозначим величину пенсионных накоплений к мо-
моменту t. Состояние пенсионного счета, понимаемое как состояние счета
соответствующей финансовой операции, противоположно по знаку, т. е.
S(t) = -S+(t).
Пенсионные схемы с установленными взносами. Рассмотрим
пенсионную схему, в которой рента взносов является m-летней д-крат-
ной рентой (см. § 12.2) с постоянными по величине платежами. Пусть
величина годового взноса составляет В\. Следовательно, рента взносов
имеет вид
Величина взноса за один период ренты длины h = \/q равна
В = ^-.
Q
Общее число взносов, очевидно, равно
М = mq.
Пусть теперь г~ — эффективная годовая ставка для периода взно-
взносов. К концу периода взносов на пенсионном счете участника будет
накоплена сумма
S+ = S+(tm) = FVtm(CB) = B,sg._ = Bsmi-,	A3.51)
где г^ — ставка за период h ренты взносов.
Пенсионная сумма, накопленная к моменту р выхода на пенсию,
будет равна
S+ (p) = S+(tm)(\+r )р-*™.	A3.52)

496	Гл. 13. Финансовые операции в схеме сложных процентов
Равенства A3.51), A3.52) полностью определяют величину пенси-
пенсионных накоплений S+{p). Соответственно к началу периода пенсион-
пенсионных выплат накопленная сумма будет равна
Учитывая наше упрощающее соглашение, что
получим
S+(tm) = S+(p) = 5+(го).
Теперь для полного определения пенсионной схемы с постоянными
пенсионными выплатами необходимо задать два из трех параметров
пенсионной ренты и, конечно, ставку накопления г+ за пенсионный
период. Недостающий параметр определяется из уравнения баланса.
Рассмотрим два варианта расчета пенсионной схемы с установлен-
установленными взносами при заданных сроке и частоте выплат.
В первом случае речь идет о срочной пенсии с известным сроком п
лет и заданной частотой г = 1/1 пенсионных выплат. Задача состоит
в определении величины пенсионных выплат. Во втором — величина
и частота выплат известны и нужно найти продолжительность (срок)
пенсионных выплат.
Начнем с первого случая. Пусть пенсионная рента имеет срок п
лет и пенсия выплачивается г раз в году. Если обозначить годовую
пенсию через R\, то пенсионную ренту можно записать в виде
Заметим, что величина отдельной пенсионной выплаты равна
Г
а общее число таких выплат равно
N = пг.
Величину пенсионной выплаты можно найти из уравнения баланса
S+(p) = PVP{CP) = Д,аЦ+ = Ramif,	A3.53)
где г^ — ставка за период I пенсионной ренты.
Пример 13.13. Найти величину ежемесячной пенсии, выплачиваемой
в течение 20 лет участнику, вступившему в схему в возрасте 30 лет. Еже-
Ежеквартальные взносы по 7^200 вносятся до наступления пенсионного возраста.
Пенсионный возраст для участника равен 60 лет. Ставка накопления для
периода взносов равна 10% годовых с ежеквартальным начислением, ставка
для пенсионного периода — 12% годовых с ежемесячным начислением.
Решение. Из условия примера определим параметры ренты взносов
m = 30, q = A, М = mq = 120, гD) =0,1, В = 11200.

13.4. Пенсионные схемы	497
Пенсионная сумма 5+ к моменту выхода участника на пенсию будет
S+ = В8Ш\г+/А = 200*Т20|0,025 = 200 • A+0002052M'20"' = 146865,20Gг).
Обозначим величину ежемесячной пенсии через R. По условию срок пенсион-
пенсионной ренты п = 20, следовательно, общее число пенсионных выплат N = 240.
Уравнение баланса имеет вид
S+ = 146 865,20 = RaN{i+^ = Ramm.
Отсюда получаем величину R ежемесячной пенсии:
д= 146865,20 = 161711Gг)	я
а240|0,01
Остановимся теперь на втором случае схем с установленными
взносами, когда известна величина пенсии. Такие схемы иногда назы-
называют амортизационными, поскольку пенсия выплачивается до полного
исчерпания (амортизации) пенсионной суммы.
Пусть R\ — известная величина годовой пенсии, a R — величина
отдельной пенсионной выплаты, при этом
В этом случае продолжительность пенсионного периода в годах на-
находится из уравнения A3.53). Число N пенсионных выплат обычно
находят из уравнения
Полагая
а/ = 1 +^+,
из данного уравнения получаем
аТ" = \-^Ш.	A3.54)
Поскольку г^ > 0 и, следовательно, щ > 0, то для разрешимости урав-
уравнения A3.54) относительно N (N > 0) необходимо, чтобы его правая
часть была положительный, т. е.
Отсюда следует необходимость выполнения неравенства
R> S+(p)i+.	A3.55)
Смысл неравенства A3.55) достаточно прост. Чтобы пенсионный
период имел конечный срок, выплачиваемая пенсия должна превышать
начисляемые на пенсионную сумму проценты. Это условие по существу
идентично условию нормальности схемы погашения (см. § 13.3). Если
же неравенство A3.55) не выполняется, т.е. если
+f,	A3.56)

498	Гл. 13. Финансовые операции в схеме сложных процентов
то выплата пенсий может осуществляться исключительно за счет на-
накопленных процентов без уменьшения пенсионной суммы. При посто-
постоянстве ставки накопления if это означает, что пенсионная рента в этом
случае будет вечной. Таким образом, для любой ставки накопления
if и заданной пенсионной суммы #+(р) участник схемы может полу-
получать вечную (пожизненную) пенсию, если величина R удовлетворяет
неравенству A3.56), при этом максимальный размер такой пенсии,
естественно, равен
Rrnsx = S+(p)i+.	A3.57)
Предположим теперь, что выполняется условие A3.55), т.е. период
пенсионных выплат конечен. Тогда уравнение A3.54) имеет единствен-
единственное решение
N = -—±	S.—/_.	A3.58)
1пA +г+)	V	J
Отметим, что N обозначает число пенсионных выплат, так что по
своему смыслу это целое число. Конечно, при заданных параметрах
5+(р), R,if выражение A3.58) не обязательно будет целым числом.
Мы уже обсуждали эту проблему в §11.4. Стандартный подход со-
состоит в том, чтобы в качестве целого N брать целую часть значения,
задаваемого выражением A3.58). При этом можно брать как меньшую,
так и большую целые части (лучше всего ближайшую), и в качестве
пенсионной ренты брать ренту с полученным целым числом платежей
и заданной величиной R. Исключение составляет последняя выплата,
которая будет чуть больше, если в качестве числа выплат берется
меньшая целая часть:
N =
или меньше, если в качестве N берется большая целая часть:
N =
Поправка к величине пенсионной выплаты R определяется из условия
баланса (см. § 12.4). Определив число пенсионных выплат, можно
найти срок п ренты в годах:
N
п = —,
г
где г — частота (кратность) пенсионных выплат в году.
Пример 13.14. Участник пенсионной схемы вносил ежемесячно по 7^50
в течение 20 лет до момента выхода на пенсию. Найти: а) накопленную пен-
пенсионную сумму, если последний взнос участник сделал в день своего 60-летия
и ставка накопления для периода взносов равна 7,8% годовых, начисляемых
ежемесячно; б) максимальный размер ежемесячной пожизненной (вечной) пен-

13.4. Пенсионные схемы	499
сии, выплачиваемой, начиная с первого месяца после достижения участником
60-летия, при этом ставка накопления для пенсионного периода равна 12%,
начисляемых ежемесячно; в) число ежемесячных пенсионных выплат, если их
величина равна 7^400, а ставка накопления та же, что и в п. б).
Решение, а) Пенсионная сумма равна
S+ = 5О*24о|ода = 28729,68Gг).
б)	При ставке г^12 = 0,01 величина пожизненной (вечной) пенсии, соглас-
согласно A3.57), равна
Я = #+г+/12 = 28
в)	Согласно формуле A3.58), получаем, что
N	f127,31.
In A+0,01)
Таким образом, пенсионный период составляет 127 месяцев. При этом
последняя заключительная пенсионная выплата будет больше всех остальных
выплат по 7^400 на величину, равную поправке
C = S+(l + 0,01I10 - 400*n?|0i01 = 120,42Gг).
Следовательно, последняя выплата будет равна
400+ 120,42 = 520,42(?г).	¦
Пенсионные схемы с установленными выплатами. В схеме этого
вида, как было сказано выше, полностью определенной считается пен-
пенсионная рента, а расчет схемы заключается в определении некоторых
характеристик ренты взносов. Одной из наиболее распространенных
задач в этом случае является задача о нахождении величины взноса
при известной продолжительности периода взносов и их частоте. Раз-
Размер взноса определяется из основного балансового уравнения
или, переходя к периодам платежей взносов и пенсии,
BsM\i~ = RaN\i+>
где М = qm — число взносов, a h = \/q — период ренты взносов.
Следовательно, для величины взносов получаем выражение
Пример 13.15. По пенсионному плану участнику схемы должна выпла-
выплачиваться ежемесячная пенсия 7^500 в течение 20 лет. Какова должна быть
величина ежемесячного взноса, чтобы пенсионных накоплений было достаточ-
достаточно для выплаты такой пенсии? Возраст вступления участника в схему — 25 лет,
а пенсионный возраст — 60 лет. Взносы вносятся до наступления пенсионного
возраста. Ставка накопления для всего периода действия схемы постоянна
и равна 10% годовых.

500	Гл. 13. Финансовые операции в схеме сложных процентов
Решение. Найдем сначала месячную ставку i\/\2, эквивалентную задан-
заданной годовой ставке г = 0,1:
«1/12 = A+0,1I/12- 1 =0,007 974,
или 0,7974%.
Теперь легко найти пенсионную сумму, требуемую для обеспечения пенси-
пенсионных выплат:
S+ = 5000^, = ШаЩооО7Ш = 53382,33Gг).
Тогда величину ежемесячного взноса можно определить из уравнения ба-
баланса
В8Щ0Л = В*240|0,007 974 = 53382,33G^.
Откуда находим
В = 74,33A1).	¦
Задача о нахождении продолжительности периода взносов или, что
то же самое, о нахождении числа взносов решается аналогично задаче
о нахождении числа пенсионных выплат. Все сводится к нахождению
срока некоторой стандартной (или простой) ренты. Эту задачу мы по-
подробно рассмотрели в гл. 12 и проиллюстрировали выше нахождением
числа пенсионных выплат. Поэтому на этом вопросе мы останавливать-
останавливаться больше не будем.
Мы ограничились анализом простейших видов пенсионных схем,
прежде всего схем с постоянными взносами и выплатами. На практике,
конечно, как взносы, так и выплаты могут меняться. Так, например,
взносы часто определяются как процент от заработной платы участ-
участника, который может меняться со временем. Выплачиваемые пенсии
могут индексироваться в соответствии с тем или иным индексом,
например, индексом розничных цен и т. д. Анализ и расчет таких
схем, конечно, технически более сложен, однако, общие принципы,
используемые при этом, вполне аналогичны тем, что применялись нами
в простейшем случае схем в постоянными платежами.
Вопросы и упражнения
1.	Что такое схема погашения долга? Как определяется баланс (остаток)
долга: а) по ретроспективному методу? б) по проспективному методу?
2.	Опишите основные виды схем погашения долга: а) облигационную;
б) с постоянными платежами; в) равномерную амортизационную.
3.	Что такое фонд погашения? Как связаны между собой остаток долга
и состояние фонда погашения?
4.	Получите выражения для основной и процентной частей накопительного
платежа для схемы погашения: а) с постоянными платежами; б) с равномерной
амортизацией долга.
5.	Выпишите уравнения баланса и состояния счета в непрерывной схеме
погашения с постоянными силой процентов и плотностью потока платежей.

13.4. Задачи	501
6.	Опишите основные виды пенсионных схем. Составьте общее уравнение
баланса для пенсионной схемы с заданными потоками взносов и пенсий и фик-
фиксированной ставкой накопления г.
7.	Дайте определение различных видов степеней обеспеченности пенсион-
пенсионной схемы: а) недофинансированной; б) перефинансированной; в) сбалансиро-
сбалансированной.
Задачи
1.	Инвестиционный проект требует 7^100000 начальных затрат. Доходы от
реализации проекта составляют следующий поток платежей:
CF = {A,30000), B,70000), C,40000)}.
Если процентная ставка составляет 5 % годовых, то имеет ли смысл вкладывать
деньги в этот проект?
2.	Должник погашает долг ежемесячными платежами. Сумма долга равна
7^8000, процентная ставка по кредиту составляет 40% годовых. В конце 1-го
месяца инвестор выплатил 7^1000, в конце второго — 7^2000. Сколько из
второй выплаты ушло на проценты? Каков невыплаченный остаток долга?
3.	Кредит в 7^10000 выдан на 5 лет и оплачивается ежегодными плате-
платежами. Выплаты за первые три года составили: 7^3000, 7^4000 и 7^2000. Если
процентная ставка по кредиту равна 10% годовых, то какая часть из третьей
выплаты приходится на погашение основного долга?
4.	Пенсионный фонд предлагает схему со следующими условиями. Накопи-
Накопительный период составляет 4 года с полугодовыми взносами по 7^2000 в начале
каждого полугодия. С конца 4-го года вкладчику выплачивается пенсия в те-
течение 10 лет ежемесячно. Доходность для периода накопления составляет 20%
годовых номинально, а для пенсионного периода — 10% эффективно. Какова
величина годовых пенсионных выплат?
5.	Пенсионный фонд обещает выплачивать ежегодную пенсию в 7^2000
в течение 10 лет, начиная с 60-летнего возраста, в обмен на единовременный
взнос в размере 7^5000 в возрасте 40 лет. Если ставка накопления на активы
фонда не превышает 10% годовых, может ли фонд выполнить свои обещания?
6.	Вкладчик вносит в фонд 7^5000 в виде единовременного взноса. По вы-
выбранной пенсионной схеме он будет получать 7^500 ежемесячно (в конце
каждого месяца) после достижения 60 лет. Сколько выплат пенсий получит
вкладчик и какова общая сумма пенсионных выплат, если при вступлении
в фонд возраст вкладчика 55 лет, а номинальная процентная ставка, обеспечи-
обеспечиваемая фондом по вкладам, равна 24% в год?

Глава 14
ОЦЕНКА ДОХОДНОСТИ
ФИНАНСОВЫХ ОПЕРАЦИЙ
Эффективность — важнейшая характеристика финансовых опера-
операций. Одной из общепринятых количественных мер эффективности
финансовых операций является их доходность. Выше мы неоднократно
сталкивались с этим понятием в различных ситуациях.
Так, в гл. 2 мы ввели понятие простой нормированной процентной
ставки для простейшей кредитной сделки. Она выражает эффектив-
эффективность кредитной сделки с точки зрения кредитора. Конечно, процент-
процентная ставка является мерой эффективности сделки и с точки зрения
должника, однако с его точки зрения эта характеристика является не
мерой доходности, а мерой ее убыточности или, точнее, стоимости.
Кредитор стремится максимизировать, а должник — минимизировать
кредитную ставку сделки.
В гл. 5 для различных моделей (схем погашения) обобщенных кре-
кредитных сделок было введено целое семейство так называемых внут-
внутренних процентных ставок, которые, как и простая нормированная
ставка, являются мерой эффективности (доходности) этих сделок в
схеме простых процентов.
В гл. 8 для простых кредитных сделок мы определили эффектив-
эффективные нормированные процентные ставки, которые можно рассматривать
как доходность или оценку эффективности кредитных сделок в схеме
сложных процентов.
Наконец, в предыдущей главе мы ввели в рамках схемы сложных
процентов общее понятие внутренней процентной ставки для любого
потока платежей. Поскольку любая финансовая операция представ-
представляется соответствующим потоком платежей (см. гл. 1 и 12), то на
внутреннюю процентную ставку потока платежей, связанного с этой
операцией, также можно смотреть как на одну из ее мер эффектив-
эффективности.
Таким образом, доходность — многообразное и сложное понятие.
На практике используется большое число выражений и формул для
доходности различных финансовых сделок, связанных с различного
рода реальными или финансовыми активами, например, векселями,
облигациями, акциями и др. Непродуманное, «механическое» их при-
применение может привести, и часто приводит, к недоразумениям. Чтобы
лучше разобраться с понятием доходности, необходимо рассмотреть
его более тщательно и подробно.

14.1. Доходность в простейшем случае	503
Выше наш анализ финансовых и, в частности, кредитных сделок
осуществлялся преимущественно в условиях, когда процентные ставки
считались заданными. Значения этих ставок обычно фиксируются
в соответствующих финансовых контрактах, детально описывающих
условия сделки и ее важнейшие временные и финансовые параметры.
Фиксация процентных ставок в ряде случаев полностью определяет
поток доходов для инвестора — участника сделки, вкладывающего
свой капитал.
Финансовые контракты с детерминированным (контрактно-обу-
словленным) потоком доходов типичны для кредитного рынка. Приме-
Примерами таких контрактов являются широко распространенные долговые
ценные бумаги — кредитные финансовые инструменты, такие, как
векселя, депозитные сертификаты, облигации и т.д. Определенность
(фиксированность) потока доходов по этим бумагам отражена в их
названии «Fixed Income Securities», которое переводится обычно как
«ценные бумаги с фиксированным доходом» (или «с фиксированной до-
доходностью»). Строго говоря, фиксация процентной (или учетной) став-
ставки в финансовом контракте фиксирует лишь текущий, а не полный
доход. Поэтому в общем случае реальная доходность такой сделки
может (причем существенно) отличаться от задаваемых контрактом
ставок. Однако при выполнении определенных условий ставка контрак-
контракта может совпадать с реализованной доходностью сделки, например,
в так называемых стандартных сделках (см. гл. 2).
Таким образом, соотношение между ставками и доходностью сделок
может принимать достаточно сложный характер. Однако понимание
сути этой связи чрезвычайно важно в теоретическом и, прежде всего,
в практическом смыслах.
Процентные и учетные ставки финансовых операций были главны-
главными объектами этой книги. Доходность — еще одна характеристика этих
операций, тесно связанная со ставками и играющая часто ключевую
роль в финансовом анализе. Этому важному понятию и посвящена
настоящая глава. В ней акцент будет сделан на самом процессе опре-
определения и вычисления доходности финансовых сделок и операций.
Мы снова начнем с анализа простейшей финансовой сделки, однако не
станем ограничиваться лишь кредитными операциями.
14.1. Доходность в простейшем случае
Доходность сделки за период. Пусть в некоторый начальный
момент времени to инвестор располагает суммой So, которая представ-
представляет собой его начальный инвестиционный капитал. Разместив тем
или иным образом этот капитал на некоторый промежуток времени
или инвестиционный период, он к концу этого периода, который мы
обозначим через t\, будет обладать суммой S\, представляющей общий
результат инвестиционной операции за указанный период. В благо-

504	Гл. 14. Оценка доходности финансовых операций
приятном случае, т.е. в случае S\ > So, говорят, что инвестор получает
инвестиционный доход, чистая величина которого, или инвестицион-
инвестиционная прибыль, равна
I = Si- So;
в противном случае, т.е. при S\ < So, имеет место убыток.
Важно отметить, что суммы So и S\, представляющие начальную
и конечную величины инвестиционного капитала, связаны с опреде-
определенными моментами времени, тогда как величина инвестиционного
дохода / связана не с моментом времени, а с временным промежутком,
в данном случае с инвестиционным периодом, который можно предста-
представить отрезком [to,ti] длины Т = t\ — to-
Строго говоря, приведенное вполне элементарное описание простей-
простейшей инвестиционной операции связано не с простотой самой сделки,
а с ее простейшей моделью. Простота модели заключается в том,
что она оперирует с минимальным набором характеристик — парамет-
параметров сделки: указаны начало to и конец t\ инвестиционного периода
и две суммы So, S\, соответствующие этим моментам времени. В таком
описании мы полностью отвлекаемся от того, каким образом был
достигнут результат, т.е. сумма S\, в какие активы размещал инвестор
свои средства, как он управлял ими в течение всего периода и т. п.
В дальнейшем нам придется более внимательно присмотреться к тому
«что происходит» в течение инвестиционного периода, но из анализа
даже такого, весьма обобщенного, описания инвестиционного процесса
можно извлечь много полезного.
Следует заметить, что ряд реальных финансовых операций полно-
полностью укладывается в приведенную схему. К ним, например, относится
простая кредитная сделка (см. гл. 2), заключающаяся в том, что
инвестор, выступающий в такой сделке кредитором, ссужает или
дает в долг другому лицу — должнику (дебитору) сумму Р = So на
определенный срок Т. Кредитные сделки, например, открытие депозита
в банке, покупка депозитных и сберегательных сертификатов и т. п.
составляют значительную часть финансовых сделок.
Описав простейшую финансовую сделку (или ее модель), мы неиз-
неизбежно придем к вопросу о том, как охарактеризовать ее «эффектив-
«эффективность». Говоря об эффективности, мы имеем в виду инвестиционную
эффективность, т. е. насколько успешно инвестор или лицо, управляю-
управляющее капиталом, распорядилось имеющимися средствами. Желая найти
адекватную меру или показатель эффективности, следует также иметь
в виду, что необходимость такой меры связана прежде всего не с опи-
описанием конкретной операции. С индивидуальной точки зрения приве-
приведенные выше параметры (в рамках простейшей модели) полностью
ее описывают. Проблема возникает тогда, когда мы хотим сравнить
две операции, два инвестиционных процесса и т.п. Так, нас может
интересовать вопрос, какая из схем погашения долга выгоднее для
должника, какая из пенсионных схем выгоднее для участника схемы,

14.1. Доходность в простейшем случае	505
какой из двух инвестиционных или пенсионных фондов (работающих,
например, с одними и теми же классами активов) управляется лучше.
Интерес может представлять также сравнение деятельности одного
и того же фонда в разные периоды времени.
Интуитивно ясно, что хотя величина начального капитала может
играть важную роль в инвестиционном процессе, сама по себе она не
является характеристикой эффективности инвестиций. Можно хорошо
управлять малым капиталом и плохо — большим. Точно так же ве-
величина инвестиционного дохода /, представляющая абсолютный, т. е.
выраженный в денежных единицах результат инвестиций, не может
служить адекватной мерой эффектив-
эффективности. На рис. 14.1 изображены диа- -7^100	Ш100
граммы двух сделок с одним и тем же '	'
инвестиционным доходом / = 7^1000 а
за один и тот же период времени. Со-
Совершенно ясно, что доход в 7^1000 для ^10000 7Ш000
начального капитала в 7^100 выглядит ,	,
намного значительней, чем для капи-	о	\
тала в 7г 10000.	б
Это замечание приводит к необхо-
необходимости использовать не абсолютные,
а относительные характеристики ин-
инвестиционного дохода. В финансовой теории и практике наиболее часто
используют две такие характеристики: коэффициент роста капитала
за период
и коэффициент прироста капитала за период
r=s1_s1=i^	A42)
Do	оо
Вторая величина используется значительно чаще, и она получила на-
название доходности за период.
Подчеркнем, что так же, как и инвестиционный доход, обе эти
характеристики относятся к инвестиционному периоду, т. е. непо-
непосредственно связаны с ним. В гл. 1 мы указывали на важность вре-
временной привязки финансовых величин. Поэтому, строго говоря, следо-
следовало бы писать S(to), S(t\) и I([to,t\]), a([to,t\]), r([to,t\]). Чтобы не
загромождать изложение, мы будем, как и ранее, обозначать период
времени тем же символом Т, что и длина этого периода, в тех случаях,
когда это не будет приводить к недоразумениям. При этом, как мы это
уже часто делали, будем использовать индексные обозначения. Тогда
приведенные выше обозначения перепишутся так: St0, St{ и It, clt, ^t-
Говоря о доходности, мы не употребили никакого дополнения. До-
Доходность чего имеется в виду? Это весьма тонкий вопрос и много
недоразумений возникает на практике из-за недостаточной определен-

506	Гл. 14. Оценка доходности финансовых операций
ности того, к чему относится вычисляемая тем или иным способом
доходность. В рамках нашей простейшей модели ответ естественен:
имеется в виду доходность инвестиционной сделки, операции и т. п.
Часто говорят также о доходности инвестиций, доходности портфеля
и т.п. Эти понятия действительно имеют смысл, но к ним надо подхо-
подходить с известной осторожностью и четко понимать, что же на самом
деле имеется в виду. Ниже мы подробно обсудим эти понятия, а пока
подчеркнем, так сказать, «активный» характер интерпретации доходно-
доходности как характеристики некоторых действий, операций, процессов
и т.д.
Приведенные выражения A4.1) и A4.2) чрезвычайно просты и, как
легко заметить, между величинами ат и гт имеется простая связь:
гт = ат — 1,
или
ат = 1 +гт-
Пример 14.1. Найти доходности сделок, диаграммы которых изображе-
изображены на рис. 14.1.
Решение. Для случая а) доходность составит
1000 1П
г = 	= 10,
100
а для случая б)
1000 п 1
г = 	 =0,1,
10000
что подтверждает вывод о большей эффективности операции а).	¦
В приведенном примере доходности выражены в долях единицы,
на практике часто используют процентное представление. Так, для
случая а) в «процентах» доходность составит 1000%, а для случая б) —
10%. Хотя в конкретных примерах мы будем использовать процентные
обозначения, в формулах, если не оговорено противное, доходность
(и коэффициент роста) всегда будет выражаться в «единицах».
Нормированная доходность. Выше, говоря о целях нахождения
показателя эффективности инвестиционных операций, было особо под-
подчеркнута его роль как средства сравнения. Перейдя от абсолютной
характеристики инвестиционного дохода / к относительной г, мы «из-
«избавились» от привязки к величине начального капитала, однако, наше
определение доходности осталось «неразрывно связано» с заданным
инвестиционным периодом. Поэтому, хотя теперь можно сравнивать
две операции с разным начальным капиталом, для корректности такого
сравнения необходимо, чтобы инвестиционные периоды этих операций
совпадали. Таким образом, с помощью введенных величин нельзя непо-
непосредственно сравнивать инвестиции с разными периодами (сроками).
Один из способов обойти эту трудность состоит в приведении доходно-
доходности (или коэффициента роста) к некоторому базовому промежутку, на

14.1. Доходность в простейшем случае	507
практике — это обычно год, но может быть и любой другой промежуток
(месяц, полугодие, квартал).
Простейший способ приведения состоит в делении доходности сдел-
сделки за период на длину периода, выраженную в базовых единицах:
Ут = "f.	A4.3)
Важно понимать, что для приведения доходности к заданному
базовому промежутку величина Т инвестиционного периода должна
быть выражена в единицах, соответствующих этому промежутку, т. е.
базовый промежуток должен быть единицей временной шкалы. Так,
если доходность приводится к годовому промежутку, то длина инве-
инвестиционного периода (срок) должен быть выражен в годах.
Пример 14.2. Пусть для сделок из примера 14.1 срок Т составляет
2 года. Найти годовую доходность для обеих сделок.
Решение. Если период приведения — год, то годовая доходность для
случая а) будет равна
10 к
2/2 = у = 5,
или 500% годовых, а для случая б):
У2 = °А = о,О5,
ИЛИ 5% ГОДОВЫХ.	¦
Операцию приведения доходности к базовому промежутку назы-
называют часто нормированием или нормировкой, а приведенная таким
образом доходность называется нормированной.
Формула A4.3) дает лишь один из многих способов приведения.
Чтобы отличить его от других, назовем приведенную этим способом
доходность сделки простой нормированной доходностью. В тех слу-
случаях, когда необходимо подчеркнуть тот факт, что речь идет о про-
простой нормированной доходности, будем писать y^F'. Именно этот вид
нормированной доходности использован в анализе сделок с долговыми
обязательствами в гл. 2. Можно сказать, что простая нормированная
доходность получена приведением доходности сделки к базовому пери-
периоду временной шкалы в схеме простых процентов.
Другой распространенный способ нормирования доходности сделки,
основанный на использовании схемы сложных процентов, задается
формулой
A
Вычисляемая по этой формуле нормированная доходность сделки на-
называется ее эффективной доходностью. В тех случаях, когда необхо-
необходимо подчеркнуть тот факт, что речь идет об эффективной нормиро-
нормированной доходности, будем писать у^- Если период сделки совпадает
с единичным периодом временной шкалы (Т = 1), то все три вида
доходности совпадают:
7 \*

508	Гл. 14. Оценка доходности финансовых операций
При этом индекс «1» опускают и пишут г,упр,уэ^.
Простая и эффективная доходности сделки связаны между собой
соотношением
Это соотношение идентично соотношению между номинальной
и эффективной процентными ставками (см. гл. 8), что вполне есте-
естественно, поскольку процентные ставки представляют собой меры до-
ходностей специальных классов финансовых сделок, а именно, кредит-
кредитных сделок. Поэтому по аналогии с номинальными ставками простую
нормированную доходность называют также номинальной доходно-
доходностью.
Пример 14.3. Для сделок из примера 14.1 найти эффективные годовые
доходности.
Решение. Эффективная годовая доходность сделки для случая а) будет
равна
2/2 = л/l + Ю - 1 = 2,3167,
или 231,67%, и для б)
2/2 = л/l +0,1 - 1 = 0,0489,
или 4,89%.	¦
Заметим, что расхождение в величине простой и эффективной
нормированных доходностей в примерах 14.2 и 14.3 в случае а) суще-
существеннее, чем в случае б).
Вообще, чем меньше доходность за период, тем меньше различие
в значениях нормированных доходностей. Данное утверждение осно-
основывается на приближенном равенстве
Это приближенное равенство тем точнее, чем меньше гт-
Формально приведение к «одному и тому же» базовому промежут-
промежутку позволяет сравнивать доходность операций с разными периодами
(сроками). Содержательно можно сказать, что доходность за период
представляет собой доход, который получит инвестор с каждой едини-
единицы инвестиционного капитала (т. е. с каждого рубля, доллара и т. п.)
за этот период. Продолжая эту аналогию, можно было бы сказать,
что нормированная доходность представляет доход, который инвестор
получает с каждой единицы капитала в единицу времени (т. е. за
каждый базовый промежуток).
Такая интерпретация близка к понятию средней скорости в кинема-
кинематике. Так, об автомобиле, который находился в пути 10 мин, и проделал
при этом путь 16 км, можно сказать, что он двигался со средней
скоростью 96 км/ч. Если другой автомобиль находился в пути 3 ч
и проехал при этом 240 км, то можно сказать, что первый двигал-
двигался быстрее, поскольку скорость второго автомобиля, равная 80 км/ч,
меньше скорости первого.

14.1. Доходность в простейшем случае	509
Сравнение инвестиций по их нормированным доходностям с фор-
формальной точки зрения аналогично сравнению движений на промежут-
промежутках разной длительности по их скорости. Однако саму возможность
такого сравнения, а тем более его «кинематическую интерпретацию»
не стоит переоценивать, и, вообще, к этой процедуре нужно подхо-
подходить с осторожностью. Именно поэтому выше мы взяли в кавычки
упоминание о приведении к «одному и тому же промежутку» времени.
На самом деле, конечно, речь идет просто о переходе к одной и той
же единице времени, т. е. длине базового промежутка, точно так же,
как в случае со скоростями. Этим самым мы вовсе не «оторвались»
от самих инвестиционных периодов. Нормированная доходность, как
и просто доходность за период, относится к заданному инвестици-
инвестиционному периоду, и обе эти величины представляют лишь два экви-
эквивалентных способа описания эффективности одной и той же сделки.
Таким образом, нормированная доходность, по существу, соотносится
с двумя промежутками, первый из которых — инвестиционный период,
а второй — базовый промежуток (промежуток приведения). И лишь
выбор общего (по длине!) базового промежутка позволяет сопоставить
сделки с разными инвестиционными периодами. В дальнейшем мы
будем опускать символ Т периода сделки в обозначении нормированной
доходности, однако следует всегда помнить о неявной, но подразуме-
подразумеваемой ее привязке к этому периоду.
Как было отмечено в начале обсуждения понятия доходности, вы-
выбранная модель операции ничего не говорит о ее «внутренней струк-
структуре», т.е. о том, в какие активы вкладывает свои средства инве-
инвестор. Реальный процесс инвестирования всегда связан с покупкой
и продажей различного рода акций, облигаций и т.д. Инвестор может
составлять из них портфель, структура которого может со временем
меняться, иными словами, он может управлять портфелем. Стратегия
управления состоит в том, какие активы и когда нужно покупать, а
какие и когда — продавать. Но результат инвестиционной деятель-
деятельности инвестора определяется не только его действиями, но и тем,
с чем он работает, или, более точно, характеристиками самих активов.
Оказывается, сами активы можно охарактеризовать с точки зрения
инвестиционной эффективности. Это приводит нас к понятию доход-
доходности актива и портфеля активов. К обсуждению этих понятий мы
и перейдем.
Доходность активов. Рассмотрим какой-нибудь финансовый актив,
т. е. ценную бумагу, например, акцию или облигацию. Важнейшей
характеристикой актива является его цена. Обычно инвестор покупает
актив в надежде на рост его цены. Продавая актив по цене выше
той, по которой он приобретался, инвестор получает доход, называе-
называемый капитальным, т.е. доход от прироста капитала (capital gain).
Кроме того, многие активы приносят текущий доход (current income),
например, по акциям выплачиваются дивиденды, а по облигациям —

510	Гл. 14. Оценка доходности финансовых операций
проценты. Сумма этих доходов составляет полный доход (total income)
за некоторый период времени.
Покупка, получение текущего дохода в течение некоторого периода
времени и продажа актива в конце периода представляет собой ти-
типичную инвестиционную операцию. Легко найти ее доходность. Пусть
актив приобретается по цене Ро в момент to, а продается в момент t\ по
цене Р\. Текущий доход, полученный за период Т = t\ — to, составляет
величину Dt- Капитальный доход от покупки по цене Ро и продаже по
цене Р\ составит, очевидно,
APT = Pi -Ро,
так что полный инвестиционный доход будет равен
IT = DT + APT.
Тогда полная доходность описанной сделки за период Т будет равна
Эта формула полностью аналогична равенству A4.2), поскольку
начальный капитал Sq в данном случае совпадает со стоимостью при-
приобретения актива Ро, а конечный капитал S\ складывается из выручки
при продаже Р\ и полученного текущего дохода Dt, т.е.
Эти равенства преобразуют равенство A4.4) в равенство A4.2).
Отметим, что второе равенство подразумевает отнесение текущего
дохода к концу периода!
В англоязычной литературе эта доходность называется буквально
«доходностью за период владения» (holding period return — HPR).
Заметим, что так же как полный инвестиционный доход разлагается
в сумму текущего и капитального доходов, так и полная доходность
есть сумма
Тт = Ч*т ~^~ ^Т
текущей	^ Dt
^0
тек _
Гт ~ Ро
и капитальной	рх _ р0
гтап = Ро
доходностей.
Текущий доход — величина неотрицательная, «капитальный доход»
АРт может в реальности быть убытком, если АРт < 0, т.е. Р\ < Ро.
В том случае, когда убыток от падения цены не покрывается текущим
доходом, т.е. когда полный доход сделки отрицателен:
1Т = DT + АРТ < 0,
доходность за период будет также отрицательной величиной.

14.1. Доходность в простейшем случае	511
Замечание. Говоря о конкретном активе, мы всегда имеем
в виду вполне определенную его количественную меру, например,
одну акцию, десять облигаций и т.д. Поэтому под стоимостью и те-
текущим доходом подразумеваются соответствующие этому количеству
значения.	?
Приведенное выше определение доходности A4.4) основывается на
ряде неявно подразумеваемых условий. Главное из них состоит в том,
что текущий доход, полученный от актива, не инвестируется внутри
периода в тот же или в другие активы, а учитывается в виде наличной
денежной суммы, которая относится к концу периода, т. е. к момен-
моменту t\. Напомним, что текущий доход Dt — интервальная величина
(см. гл. 1), и ее отнесение к концу периода (т. е. актуализация в смысле
гл. 1) есть просто принятое данным определением соглашение. На-
Наконец, предполагая, что инвестор продает актив в конце периода, все
суммы в равенстве G) можно рассматривать как наличные.
Пример 14.4. Пусть инвестор купил в начале года 100 акций компа-
компании А по цене 7^100 каждая. Пусть также в течение года он получил 7^30
дивидендов на каждую акцию. Найти текущий, капитальный и полный доходы
и соответствующие годовые доходности, если к концу года цена акции выросла
до 7^150 за акцию.
Решение. Инвестор вложил в акции в начале года капитал в размере
So = moo • mo = тгюооо.
Текущий доход, полученный от 100 акций, составит
dt = тгзо • то = тгзооо.
Если к тому же в конце года цена на акции компании А поднялась до 7^150,
то, продав все акции, он в конце года выручит сумму
Pi = тг15о • юо = тг15ооо,
и его прибыль от прироста цены (капитальный доход) составит
арт = тгбооо.
Тогда полный годовой инвестиционный доход будет равен
i = dt + арт = тгзооо + тгбооо = тгвооо.
Таким образом, полная доходность за год будет равна
г0,8
10000
или 80%. Эта доходность есть сумма текущей
10000
и капитальной
г	(M
10000
годовых доходностей.	¦
Подсчитанная в этом примере доходность называется реализован-
реализованной, поскольку инвестор действительно получил дивиденды и реали-
реализовал, т. е. продал все акции на рынке, получив доход и от роста
цены. Однако, на практике, говоря о доходности, не всегда имеют

512	Гл. 14. Оценка доходности финансовых операций
в виду покупку актива с его последующей реализацией. В том случае,
когда активы, которыми владеет инвестор, не реализуются к концу
рассматриваемого периода, а лишь оцениваются по их рыночной сто-
стоимости, соответствующие прибыли (убытки) и доходности называют
«книжными» (бухгалтерскими, бумажными). Тем не менее даже в этом
случае говорят о достигнутой или фактической доходности (хотя
и нереализованной), поскольку инвестор или управляющий инвестици-
инвестициями мог реализовать ее, если бы захотел.
Подчеркнем еще раз, так сказать, пассивность описанной выше
операции, состоящей в покупке, хранении и, возможно, продаже актива
в конце периода. Поскольку инвестор не принимает решений о реин-
реинвестировании текущего дохода, то весь инвестиционный доход «обес-
«обеспечивает» непосредственно лишь сам актив. Именно в этом смысле
о доходности такой сделки говорят как о доходности актива за дан-
данный период. Таким образом, вообще говоря, под доходностью актива за
период понимают доходность соответствующим образом определенной
сделки с этим активом. Сделку с активом, удовлетворяющим пере-
перечисленным выше условиям, будем называть простой или стандарт-
стандартной. Напомним, что именно таким образом в гл. 2 была определена
доходность депозитных сертификатов и векселей.
Замечание. Выше в определении доходностей активов и портфе-
портфелей, а также при проведении соответствующих вычислений мы неявно
исходили из допущения о том, что нам известны начальные и ко-
конечные стоимости, текущий доход и т.д. Это соответствует принятой
в данной книге гипотезе полной определенности, касающейся финан-
финансовых событий и потоков платежей, связанных с анализируемой финан-
финансовой операцией. Конечно, на практике инвестор редко сталкивается
с такой ситуацией. Обычно более или менее точно известны лишь
текущие цены активов. Ни будущие доходы, ни будущие цены инвестор
знать не может. Поэтому, приступая к планированию инвестиций,
он вынужден делать прогноз или оценку этих величин и связанных
с ними доходностей.
Фактическую, т. е. достигнутую или реализованную, доходность,
инвестор может определить лишь в конце выбранного инвестицион-
инвестиционного периода, и она, конечно, может отличаться, иногда и весьма
значительно, от оценочной. Цены и доходности, на которые инвестор
ориентируется, называются в этом случае ожидаемыми. Ожидаемые
цены и доходности и есть те величины, которые инвестор получает,
исходя из своего прогноза. Этот прогноз может быть чисто субъек-
субъективным, либо основываться на некотором предварительном анализе,
статистической обработке данных и т. п.
В любом случае инвестор должен отдавать себе отчет в том, что
ожидание и действительность могут не совпадать. Это несовпадение
говорит о том, что процесс инвестирования сопряжен с риском. Однако
ясно, что мера расхождения предполагаемых или ожидаемых значений

14.1. Доходность в простейшем случае	513
с действительными в разных ситуациях для различных активов, порт-
портфелей и т. д. может быть совершенно различной и инвестору необходи-
необходимо иметь какую-нибудь количественную оценку такого риска для того,
чтобы он мог им управлять, т.е. выбирать такие активы и портфели,
которые наилучшим образом соответствовали бы его инвестиционным
целям.
Это приводит нас к задаче построения количественных моделей для
оценки ожидаемых значений доходности и риска в инвестиционных
задачах, осуществляемых в условиях неопределенности. Однако эта
тема выходит за рамки настоящей книги.	?
Формула A4.4) принимает особенно простой вид, если в течение
периода Т текущий доход отсутствует, т. е. Dt = 0. Тогда доходность
актива оценивается лишь начальной Pq и конечной Р\ стоимостями
актива:	р р р
Именно этот случай имеет место для государственных краткосрочных
облигаций (ГКО), которые являются бескупонными, т.е. по ним не
выплачиваются проценты в течение всего срока до погашения.
Таким образом, любая сделка с облигациями этого вида связана
с двумя суммами: стоимостью покупки и суммой, вырученной при
продаже или при погашении. В реальном случае, конечно, необходим
учет комиссионных затрат, которые здесь для упрощения изложения
игнорируются.
Пример 14.5. Пусть инвестор приобрел 1 ноября 1995г. облигацию
50-го выпуска со сроком погашения 98 дней по цене 78,60 (% от номинала).
Найти доходность сделки за период до погашения и соответствующие простую
и эффективную годовые доходности, используя правило АСТ/365.
Решение. Доходность сделки за период до погашения равна
или 27,23%.
Срок сделки в годах по правилу АСТ/365 составит
Простая годовая доходность сделки будет равна
или 101,4% годовых, а эффективная годовая доходность составит
уэФ = A + 0,2723I/0'2685 - 1 = 1,4519,
или 145,19% годовых.	¦
Вернемся снова к случаю наличия текущего дохода. Если актив,
приобретенный инвестором, не продается в конце рассматриваемого
периода, который в таком случае правильнее было бы называть не
инвестиционным, а периодом оценки инвестиций, то в конце этого
17 П. П. Бочаров, Ю. Ф. Касимов

514	Гл. 14. Оценка доходности финансовых операций
периода «на руках» у инвестора будут наличные деньги, составляющие
текущий доход, и некоторое «количество единиц» актива. Иными сло-
словами, даже в этом простейшем случае инвестор, по существу, имеет
дело не с одним активом, а с портфелем активов, в данном случае двух,
один из которых — исходный актив, а другой — наличные деньги.
Выше говорилось, что актив обладает ценой и, возможно, приносит
текущий доход. Если деньги рассматривать как актив непосредственно,
то их цена будет просто совпадать с номиналом (т. е. денежной едини-
единицей), а текущий доход наличные деньги не дают. Это не противоречит
тому, что, например, по банковскому депозиту, который открывается
вложением наличной суммы в банк, выплачиваются проценты. Бан-
Банковский депозит представляет собой актив, отличный от вложенных
денег. Вложенная сумма представляет собой лишь стоимость приобре-
приобретения этого актива.
Если при анализе доходности одного актива можно обойтись без
понятия портфеля, учитывая, что текущий доход не инвестируется, то
при его инвестировании, особенно в активы, отличные от исходного,
без понятия портфеля уже не обойтись и от понятия доходности актива
приходится переходить к понятию доходности портфеля.
14.2. Доходность портфельных сделок
Под инвестиционным портфелем понимается произвольный на-
набор активов (включая наличные деньги). Под стоимостью портфеля
в некоторый момент времени подразумевается суммарная рыночная
стоимость всех входящих в портфель активов. Соответственно теку-
текущий доход портфеля за данный период равен сумме текущих доходов
за этот период всех активов, составляющих портфель.
Пренебрегая на первых порах детальной структурой портфеля, вы-
выделим в нем лишь денежную часть, состоящую из наличных де-
денег, и неденежную часть, состоящую из всех других активов. Выше
мы рассматривали случай, когда текущие поступления от актива не
инвестировались, а хранились в наличной форме до конца периода.
На практике, конечно, инвестор может на полученные дивиденды ку-
купить акции той же или другой компании, а нередко дивиденды сами
выплачиваются не денежными суммами, а дополнительными акциями.
Это приводит к несколько другой формулировке определения доход-
доходности.
Выберем снова некоторый период времени Т с началом to и кон-
концом t\. Пусть
S0 = V0 + Mo
—	начальная,
Si=Vi+ Мх
—	конечная стоимости портфеля тг, где Vo, V\ — стоимости неденежных
частей, a Mq,M\ — величины наличных сумм в начале и в конце

14.2. Доходность портфельных сделок	515
периода. Ради простоты считаем, что Мо = 0, т. е. весь начальный
капитал инвестируется в неденежные активы. Тогда величина М\ будет
представлять собой ту часть дохода, которая не реинвестируется,
а распределяется в виде выплат. При этом распределяемая, т. е. изыма-
изымаемая из инвестирования часть капитала, учитываемая в М\, относится
к концу периода оценки независимо от того, в какой момент на самом
деле осуществлялось это распределение (изъятие) средств портфеля.
С другой стороны, нераспределенная часть текущего дохода ин-
инвестируется в активы портфеля и тем самым учитывается в конечной
стоимости неденежной части, т.е. в V\.
Заметим, что денежная часть М\ портфеля в конце периода может
быть меньше или больше текущего дохода портфеля за этот период
или совпадать с ним. Так, например, если инвестор в конце периода
реализует, т. е. продает часть активов по текущей рыночной цене, то
денежная часть портфеля будет больше, чем текущий доход, если
никакая часть текущего дохода не реинвестировалась в течение этого
периода. Если же, наоборот, текущий доход или его часть были реин-
реинвестированы в течение периода и при этом не было никаких продаж
активов, то денежная часть портфеля будет меньше, чем текущий
доход.
Доходность сделки с портфелем тг за период Т можно определить
в соответствии с базовым выражением A4.2)
rT= Sl~S\	A4.5)
или в развернутом виде
rT=Vl-V° + Ml.	A4.5')
Последняя формула очень напоминает формулу A4.4) доходности
актива, но ее смысл значительно более общий, даже в случае одного
актива, поскольку она допускает реинвестирование дохода.
Однако, говоря о реинвестировании, важно отметить, что суще-
существенно лишь реинвестирование внутри заданного периода. Если весь
текущий доход хранился в наличной форме, и лишь в конце периода он
или его часть были потрачены на приобретение дополнительного числа
единиц актива, то обе формулы дают одинаковый результат. Чтобы
пояснить это, вернемся снова к примеру 14.4.
Пример 14.6. Пусть инвестор из примера 14.4 купил в конце года на
7^1500 из полученных 7^3000 дивидендов дополнительно 10 акций. Какова
будет доходность в этом случае?
Решение. Начальный инвестированный капитал в этом случае не меня-
меняется и, следовательно,
so = vo = тгюооо.
17*

516	Гл. 14. Оценка доходности финансовых операций
Из текущего дохода D\ = 7^3000 в наличной форме в конце года останется
лишь половина этой суммы. Таким образом, наличная (денежная) часть порт-
портфеля будет равна
Mi = тг15оо.
Поскольку другая половина дохода была реинвестирована в 10 акций, то
в конце года портфель будет состоять из ПО акций по цене 7^150, так что
неденежная часть портфеля будет равна
Vi = тг15о • по = тгшбоо.
При этом общая стоимость портфеля в конце года останется той же самой:
Si = 16500+ 1500 = 18ОООGг)
и, следовательно, доходность портфеля (точнее, сделки) также останется
прежней:
г = 0,8,
или 80% годовых.	¦
Внутреннее инвестирование текущего дохода безусловно относится
к активным операциям, поскольку инвестор должен решить, когда,
какие активы и сколько их он должен приобрести. Более того, инвестор
может перераспределять портфель, т. е. менять его структуру за счет
продажи части активов и покупки на вырученные средства новых ак-
активов в течение инвестиционного периода. Подчеркнем, что речь идет
о внутреннем инвестировании, т. е. либо за счет текущего дохода от
активов, включенных в портфель, либо за счет средств, полученных
от продажи части активов портфеля, но не за счет внешних, т. е. вновь
инвестируемых средств.
Формула A4.) для портфельной сделки является детализацией
базовой формулы A4.2), состоящей в упоминании о портфеле и выде-
выделении неденежной его части и распределяемого дохода. Таким образом,
на самом деле, мы имеем дело с доходностью операции, связанной с
управлением инвестиционным портфелем.
Если предположить, что весь текущий доход не инвестируется, не
делается никаких дополнительных инвестиций, а также не осуществ-
осуществляется изъятие инвестиционного капитала, т. е. досрочная продажа
активов и распределение полученной выручки (в этом случае очевидно,
что денежная часть портфеля М\ совпадает с текущим доходом Dt),
то доходность такого «пассивного управления» есть просто доходность
портфеля в смысле определенной выше доходности актива. Формула
для доходности портфеля при этом принимает тот же вид, что и фор-
формула для доходности актива:
_ Ух - Уо + Вт
Г*~	Уо	*
Формулы A4.5), A4.5х) применяются на практике как оценка доход-
доходности в достаточно общей ситуации, допускающей, как было сказано,
реинвестирование текущего дохода и даже дополнительные вложения
или, наоборот, изъятия (распределения) капитала. Однако эти фор-
формулы оперируют лишь с «краевыми» финансовыми характеристиками

14.2. Доходность портфельных сделок	517
портфельной сделки, точнее с двумя суммами, относящимися к началу
и к концу периода оценки, следовательно, в них непосредственно не
отражается временное распределение денежных сумм, соответствую-
соответствующее внутренним реинвестициям, а также вложениям и/или изъятиям
капитала.
Влияние этих характеристик оценивается лишь косвенно в началь-
начальном и конечном «состоянии» портфеля, получающемся «разнесением»
упомянутых денежных сумм к концам периода. При этом сами «крае-
«краевые состояния» определяются не вполне корректно, что может привести
к искажению получающихся по этим формулам значений доходности
сделки. Чтобы разобраться в этом, рассмотрим следующий пример.
Пусть стоимость портфеля активов пенсионного фонда на начало
года составляет Vo = 7^25 млн, а в конце года V\ = 7^30 млн. Допустим
также, что в течение года был получен доход в размере 1Z2 млн,
из которых VA млн был выплачен участникам фонда. С учетом этих
данных (Vo = 25, V\ = 30, М\ = 1, D\ = 2) реализованная за год
доходность фонда составит
30-25+1 Л о,
г = 25 = 0,24,
или 24% годовых.
Заметим, что невыплаченная часть дохода в сумме
A -Mi = 1(тг млн)
была реинвестирована в актив фонда и, следовательно, неявно учтена
в конечной стоимости портфеля фонда.
Распределенная часть дохода М\ = 1Z\ млн согласно A4.5х) от-
относилась на конец периода. Это, конечно, просто соглашение по
поводу учета денежных сумм, участвующих в сделке, поскольку фор-
формула A4.5) и эквивалентная ей формула A4.5х) имеют дело только
с суммами, отнесенными либо к началу (So), либо к концу (Si) периода
оценки. Однако действительный момент выплаты дохода чрезвычайно
важен. Чтобы понять это, рассмотрим два экстремальных случая для
нашего примера: 1) выплата происходит в конце года, 2) выплата
происходит в начале года.
Первый случай находится в «полном соответствии» с применяемой
формулой A4.5). Однако менеджер фонда лишен возможности реинве-
реинвестировать полученный доход. Во втором случае менеджер фонда может
распоряжаться 1ZI млн полученного дохода в течение года. Конечно,
речь идет о тех случаях, когда он не обязан немедленно выплатить
эту сумму.
Имея возможность реинвестирования этого дохода, но не сделав
этого (напомним, что эта часть дохода учтена в М\ в налично-де-
нежной форме), менеджер фонда сталкивается с ситуацией упущенной
выгоды. Даже если бы фонд имел обязательство по выплате VA млн
в конце года, менеджер, инвестировав полученный в начале года доход

518	Гл. 14. Оценка доходности финансовых операций
и реализовав в конце года часть портфеля фонда на сумму 1ZX млн, мог
бы выполнить обязательство и при этом увеличить (в благоприятном
случае) стоимость активов фонда. Экономически грамотный анализ
эффективности управления портфелем обязан учитывать это обстоя-
обстоятельство. Иными словами, упущенная выгода является реальным, а не
мнимым, как многим иногда кажется, убытком.
Дополнительные вложения/изъятия капитала и доходность.
В нашем случае формулы A4.5), A4.5х) не чувствительны к реаль-
реальным моментам выплат текущего дохода. Впоследствии мы рассмотрим
более общий подход к определению доходности, который учитывает
временное распределение денежных сумм, участвующих в сделке.
Другим важным обстоятельством, влияющим на доходность фи-
финансовых операций, являются дополнительные вложения и изъятия
капитала, а также способ учета этих операций в оценке доходности.
Для того чтобы прояснить влияние этих факторов, вернемся снова
к примеру с пенсионным фондом. Допустим, что непосредственно перед
концом года в фонд поступили взносы от участников фонда в размере
1Z2 млн. Ясно, что теперь полная стоимость портфеля V\ в конце
года станет равной 7^32 млн. Формальная подстановка этого значения
в формулу доходности даст оценку
г = 32-Д5+1 = 0,32,
или 32% годовых.
Но является ли полученное значение действительной оценкой до-
доходности портфеля? Ответ, конечно, отрицательный, поскольку эти до-
дополнительные вложения, во-первых, не играли никакой роли в течение
инвестиционного периода, а во-вторых, чисто механическое добавление
их к стоимости портфеля вообще не корректно, поскольку учитывается
только одна сторона процесса вложения — рост стоимости портфеля,
но никак не учтены затраты, за счет которых этот рост достигнут.
Такой способ учета используется на практике для неправомерно-
неправомерного завышения оценки эффективности управления инвестиционными
фондами, когда потенциальным клиентам (возможным пайщикам) фон-
фонда сообщаются лишь стоимости активов, например, в начале и конце
года, но не сообщается, был ли достигнут рекламируемый рост акти-
активов за счет действительно эффективного управления или он является
просто результатом хорошо проведенной компании по привлечению
пайщиков, взносы которых собственно и обеспечили провозглашаемый
«беспрецедентный» рост активов фонда.
Двойственный эффект оказывает изъятие (деинвестирование) ка-
капитала, осуществленное за счет продажи (реализации) активов фонда.
Пусть, например, почти сразу после начала была реализована четвер-
четвертая часть активов фонда. Допустим также, что это изъятие привело
к пропорциональному сокращению как конечной стоимости, так и те-

14.2. Доходность портфельных сделок	519
кущего дохода фонда. Это значит, что стоимость фонда в конце года
составит	о
V/ = | • ТгЗО млн = 7г22,5 млн,
а текущий годовой доход равен
D\ = - • 1Z2 млн = 7^1,5 млн.
4
Предполагая, что одна половина этого дохода реинвестировалась
в активы фонда, а другая была распределена между участниками фон-
фонда и, учитывая упомянутое выше изъятие четвертой части капитала,
получим для М\ значение
М[ = i • 7г1,5 млн + - • 7г25 млн = П7 млн.
Вычисляя на основе полученных значений доходность, получим
ИЛИ 18% ГОДОВЫХ.
И снова мы видим, что формальным образом полученное значение
доходности вряд ли можно считать ее действительным практическим
значением. В самом деле, изъятие четверти начального капитала сразу
же в начале года означает, по существу, не только дополнительный до-
доход от реализованной четверти капитала активов на сумму 7^6,25 млн,
но и фактическое снижение начального инвестированного капитала,
который продолжает учитываться по его первоначальному значению
7^25 млн. Более точным способом оценки доходности в этом случае
было бы просто уменьшение начального капитала с одновременным
игнорированием вырученного за счет продажи части активов дохода,
поскольку последний, по существу, фиктивен, ибо не является реаль-
реальным результатом инвестиционного процесса.
Для того чтобы избежать отмеченного выше искажающего эффекта
при вычислении доходности портфеля, связанного с дополнительным
вложением и/или изъятием капитала, необходимо либо запретить
использование формул A4.5), A4.5х) в условиях, когда такие операции
имеют место, либо более точно учитывать эффекты воздействия этих
операций на значения величин Vq,V\,M\, входящих в формулы для
доходности портфеля. Здесь мы имеем в виду уточнения, сделанные
в рамках модели простой финансовой сделки, определяемой всего
двумя финансовыми величинами Sq и S\. Коррекция способа опре-
определения этих величин, учитывающая эффекты вложения и изъятия
капитала, в жестких рамках такой модели является сама по себе
весьма сложным делом.
То большое внимание, которое уделено доходности, вычисляемой
по формулам A4.5), A4.5х), обусловлено, во-первых, широким и часто
некорректным применением этих формул на практике и, во-вторых,

520	Гл. 14. Оценка доходности финансовых операций
желанием подготовить читателя к лучшему пониманию более сложных
методов определения доходности, адекватно учитывающих отмеченные
сложности, связанные с вложением и изъятием капитала.
В случае, когда принимаются во внимание дополнительные вложе-
вложения, необходимо не только учесть эффекты этих вложений на рост
конечной стоимости портфеля и дохода, но и учесть сам факт финан-
финансирования таких вложений, т. е. самой дополнительной инвестиции,
которая представляет собой расход средств инвестора.
Если мы учтем этот расход как увеличение инвестированного ка-
капитала, т. е. отнесем его к началу периода, то получим скорректиро-
скорректированную доходность с учетом дополнительного вложения.
Для нашего примера дополнительное вложение в 1Z2 млн не только
приведет к росту конечной стоимости S\ на эту сумму, но и одновре-
одновременно увеличит на эту же сумму начальный капитал, и доходность
портфеля в этом случае станет равной
г = 32-22/+1 = 0,22,
или 22%, что существенно меньше, чем 32% годовых при «односто-
«одностороннем» учете.
Конечно, фактической доходностью для нашего примера в этом
случае будут те же 24% годовых, что и без вложения, поскольку
капитал, вложенный в конце года, не участвует в операции и «коррект-
«корректный» учет вложения в этом случае означает просто его игнорирование.
Отнесение же вкладываемой суммы (как расхода) на начало периода
искажает (хотя и в меньшей мере, чем «односторонний учет») доход-
доходность сделки, поскольку эта сумма реально не могла участвовать в ин-
инвестиционном накоплении и реально влиять как на текущий доход, так
и на конечную стоимость. Другое дело, если вложение осуществляется
внутри инвестиционного периода, когда имеется достаточно времени
для того, чтобы дополнительный капитал мог реально повлиять как
на доход, так и на стоимость портфеля. Чем ближе к началу периода
был момент дополнительного вложения, тем точнее становится способ
коррекции формулы доходности, состоящий в увеличении начального
капитала на сумму вложения.
Коррекция формулы для доходности с учетом изъятия капита-
капитала обладает теми же свойствами, что и в случае дополнительного
вложения. Изъятие капитала в некоторый момент времени, особенно
близкий к началу инвестиционного периода, приводит, по существу,
лишь к уменьшению начального инвестированного капитала, при этом
в параметрах V\ и М\ должен быть достаточно точно учтен эффект
уменьшения капитала.
Так, для нашего примера с пенсионным фондом уменьшение на
четверть начального капитала дает скорректированное значение
Vtf = | • 25 = 18,75(?г млн), М[ = \ - D[ = 0,75(?г млн)

14.3. Связь доходностей портфеля и активов	521
которым соответствует доходность
, _ 22,5- 18,75 + 0,75 _ Q 24
~	18,75	~ ' '
т.е. те же 24% годовых, что и в исходной сделке. В данном случае по-
получен точный результат, соответствующий действительной доходности
сделки, благодаря тому, что изъятие было осуществлено в начале ин-
инвестиционного периода и удалось точно учесть влияние всех эффектов
изъятия капитала на основные параметры сделки.
Такое удается, конечно, не всегда. В дальнейшем мы более пол-
полно и в рамках более общей модели проанализируем влияние как
реинвестирования текущего дохода, так и дополнительные вложения
и изъятия капитала в течение инвестиционного периода.
На этом мы закончим обсуждение базовых формул A4.5), A4.5х)
определения доходности портфеля на основе его общих финансовых
(стоимостных) характеристик и перейдем к анализу влияния на до-
доходность портфеля его структуры или, более точно, рассмотрению
связи между доходностью портфеля и доходностями составляющих его
активов.
14.3. Связь доходностей портфеля и активов
Выше, говоря о доходности портфеля, мы интересовались лишь
его суммарной стоимостью или ее изменением. Собственно структура
портфеля при этом игнорировалась. Теперь рассмотрим способы опи-
описания структуры портфеля и связь доходности активов с доходностью
составленного из них портфеля.
Первый способ описания портфеля состоит в прямом перечислении
активов, входящих в портфель, с указанием конкретного объема каж-
каждого актива. Так, если портфель состоит из акций двух компаний А
и В, то для точного задания структуры портфеля нужно указать, сколь-
сколько акций компаний А и В находится в портфеле. Например, портфель
может состоять из 10 акций А и 20 акций В. Другой портфель может
состоять из 15 акций каждой компании и т.д.
Естественно, стоимость портфеля будет определяться не только
указанием количества акций, но и их ценами. Пусть, например, акция
компании А стоит 7Z10, а компании В — 7^8. Тогда портфель из 10
акций А и 20 акций В имеет стоимость
Т2 10 10 | /7? Q 00 	 Т2 OfiO
В общем случае указанный способ задания портфеля состоит в пе-
перечислении всех активов А\, А%,... ,А^ и указанием их количеств
п\,П2,... ,rik. Другими словами, в портфель входят: щ единиц акти-

522	Гл. 14. Оценка доходности финансовых операций
ва А\, щ единиц актива А2,...,пк единиц актива Ак. Формально такой
портфель можно обозначить как набор компонент портфеля:
тг = {(А\,п\), (А2,п2),..., {Ак,пк)},
где каждая компонента (Aj,rij) указывает вид и количество актива.
Если теперь через Pj обозначить текущую цену актива Aj, то
стоимость портфеля тг будет равна
Величина
Ъ = РгЩ	A4.6)
показывает суммарную стоимость актива Aj, входящего в портфель тг.
При этом величину
Wj = Ъ-	A4.7)
называют относительным весом актива в портфеле. Поскольку
то, очевидно,
Х>, = 1.	A4.8)
Указание весов дает второй способ описания портфеля. Точнее,
портфель в этом случае задается набором чисел
Wk = {w\,W2,...,Wk}
с условием A4.8). Смысл такого задания очевиден. Число Wj показы-
показывает относительную долю капитала, инвестированного в актив Aj.
Пример 14.7. Для портфеля
тг = {(Д10),(Я,20)}
с ценами Ра = 7^5, Рв = 7^10 найти стоимости активов А и В, стоимость
портфеля активов тг и относительные веса активов А и В в портфеле.
Решение. Для стоимостей активов А и В находим
vA = пъ • 10 = тгбо, vB = то • 20 = тггоо.
Стоимость портфеля соответственно равна
У* = У а + Ув = 50 + 200 = 250(?г).
Следовательно,

14.3. Связь доходностей портфеля и активов	523
Следует отметить важное различие между этими двумя способами
задания портфеля. Первый, абсолютный, задает явное количество
каждого актива, причем это задание никак не связано с текущей ценой
актива. Второй, относительный способ задания, имеет смысл лишь
при указанных ценах активов. Набор весов w^, задающий портфель,
будет, естественно, меняться при изменении цен активов.
Рассмотрим теперь инвестиционный период длины Т и пусть Р?
и Pj — начальная и конечная цены единицы актива Aj, a Dj —
текущий (денежный) доход, полученный от единицы актива Aj. Тогда
из формулы
Pf
для доходности актива получим
гзг — из^гз гз>
или
Умножая обе части последнего равенства на rij (количество единиц
актива Aj в портфеле), получим
или
где Vj и VJ — начальная и конечная стоимости актива Aj.
Наконец, суммируя по всем активам портфеля, получим
к	к
или
k
°
J
— начальная и конечная стоимости портфеля,
— текущий доход от портфеля.

524	Гл. 14. Оценка доходности финансовых операций
Тогда для доходности портфеля за период Т получим выражение
к
TlT = ~ v~° = V0 '
откуда
к
г — Х^ r^iifl	(]AQ\
где
v;0
— начальный вес актива Aj в портфеле.
Таким образом, доходность портфеля за период равна взвешенной
сумме доходностей, составляющих портфель активов. Важно помнить,
что веса активов определяются по их начальным стоимостям, т. е.
в начале инвестиционного периода, и не зависят от цен активов
в конце периода.
Пример 14.8. Для портфеля активов из примера 14.7 при дополнитель-
дополнительном предположении, что стоимость актива А в конце периода вырастет в цене
до 7^8 и актива В — до Л\2, найти доходность портфеля.
Решение. Воспользовавшись решением примера 14.7, имеем, что на-
начальные цены активов А и В, стоимости этих активов и портфеля в целом
и начальные веса активов в портфеле соответственно равны
Ра = Я5, Рв = 7г10;
V% = Я50, V^ = 7г2ОО; К0 = Я250;
w°A = 0,2, w°B = 0,8.
Тогда с учетом прироста стоимости активов А и В в конце периода получим,
что доходность активов за период составит
8-5 па	12-10 по
га = -^- = 0,6, гв = ——— = 0,2.
О	1U
Учитывая теперь веса активов в портфеле, получим доходность всего порт-
портфеля:
rv = 0,6-0,2 + 0,2-0,8 = 0,28.
Этот же результат можно получить, исходя из начальной
К0 = Я250
и конечной
К1 = тг8 • ю + тг12 • 20 = тгзго
стоимостей портфеля. В самом деле,
_ V^ - V® _ 320 - 250 _
TlT ~ V® ~ 250 ~ ' '
или 28%.	¦

14.3. Связь доходностей портфеля и активов	525
Полученный выше результат о линейной связи доходности порт-
портфеля с доходностями составляющих активов имеет место лишь для
случая общего инвестиционного периода.
Если портфель составлен из активов, денежные потоки которых
сосредоточены на различных по длительности промежутках, то до-
доходности активов будут относиться, вообще говоря, к различным пе-
периодам. В этом случае необходимо либо предварительное приведение
всех доходностей к одному и тому же промежутку, либо оценива-
оценивание доходности портфеля, исходя из «суммарного» денежного потока,
включающего все платежи, связанные со сделками с активами. Иными
словами, в последнем случае, объединяя потоки платежей отдельных
активов в один общий поток, нужно получить для этого потока оценку
одного из перечисленных выше типов доходностей.
Корректная интерпретация формулы A4.9) как доходности портфе-
портфеля активов предполагает выполнение ряда условий.
1°. V® есть полная величина инвестиционного капитала в начале
периода. Никаких других дополнительных инвестиций в течение всего
периода не делается.
2°. Никакая часть текущего дохода D^ не реинвестируется.
На практике возможны денежные выплаты за счет этого дохода, т. е.
весь доход или его часть могут быть распределены между бенефициа-
бенефициарами портфеля, т. е. между лицами, которые имеют право на получение
дохода (например, пайщики или акционеры инвестиционного фонда,
участники пенсионного фонда и т.п.).
3°. Не допускается изъятие инвестиционного капитала, например,
продажа части активов и распределение полученной выручки внутри
выбранного периода.
Стратегия «управления» портфелем в этом случае предельно про-
проста и сводится к правилу «купить и держать» активы, составляющие
портфель. Финансовые (портфельные) операции такого рода принято
называть пассивными, поскольку они не предусматривают ни допол-
дополнительных инвестиций, ни перераспределения средств между различ-
различными активами в течение заданного периода. Собственно вся операция
сводится к выбору заданной структуры активов, которая затем под-
поддерживается неизменной.
Таким образом, под доходностью портфеля за период, как и в случае
определения доходности актива, понимается доходность соответствую-
соответствующей финансовой операции. Такую операцию формирования портфеля
активов с неизменяемой в течение заданного периода структурой и, тем
самым, удовлетворяющую условиям 1°-3°, будем называть стандарт-
стандартной портфельной операцией.
Формула A4.6), как и формулы A4.5), A4.5х), дает выражение для
доходности портфеля на заданном периоде. Естественно, что непосред-
непосредственное сравнение доходностей портфелей за периоды разной длины
невозможно. Для осуществления такого сравнения необходимо приве-
привести эти доходности к одному и тому же базовому промежутку или, как

526	Гл. 14. Оценка доходности финансовых операций
еще говорят, нормировать их. Простейшее приведение осуществляется
по формуле
&7Г	гт1 >
где гп — доходность портфеля за период Т, а у^ — соответствующая
нормированная простая доходность.
Заметим, что соотношение вида A4.9) сохраняется и для нормиро-
нормированных доходностей:
где yW — нормированная простая доходность актива Aj.
Естественно, что базовый промежуток, к которому приводятся до-
доходности портфеля и составляющих его активов, должен быть один
и тот же.
Формула A4.10) получается делением обеих частей формулы A4.9)
на Т — длину оцениваемого периода. Напомним, что эта длина должна
быть выражена в единицах базового промежутка, к которому и осу-
осуществляется приведение (нормирование) доходностей.
Пример 14.9. В продолжение примеров 14.7 и 14.8 в предположении,
что период оценки портфеля составляет Т = 2 мес, найти месячные и годовые
нормированные доходности активов и портфеля.
Решение. Так как (см. пример 14.8)
гА = 0,6, гв = 0,2, rv = 0,28,
то для месячных и годовых нормированных доходностей соответственно полу-
получаем
yA = rf = °i=0,3, yB = 'f = <f=O.U №r = ^ = °f =0,14
и
га 0,6	гв 0,2	rv 0,28
»А = Т = 2712 = ЗА »в = Т = 2712 = 1А * = "Г = 2712 = 1>68-
Другой способ нормирования (приведения) доходности основан на
использовании схемы сложных процентов и осуществляется по фор-
формуле
^Ф = A+г,I/т-1;	A4.11)
приведенная по этой формуле доходность портфеля называется эффек-
эффективной (нормированной) доходностью.
Естественно, что по формуле A4.11) также можно вычислить эф-
эффективную доходность и для отдельного актива. Однако для эф-
эффективных доходностей активов и портфеля соотношение, аналогич-
аналогичное A4.10), уже не выполняется.
В следующих параграфах мы рассмотрим понятие доходности в бо-
более общем контексте, учитывающем действительное распределение де-
денежных сумм, участвующих в финансовой операции.

14.4. Временная декомпозиция финансовых сделок	527
14.4. Временная декомпозиция финансовых сделок
и усреднение доходности
В предыдущем параграфе мы рассмотрели соотношение между
доходностью портфеля и доходностями составляющих этот портфель
активов. Тем самым была осуществлена структурная декомпозиция
(разложение) доходности портфельной сделки на отдельные компонен-
компоненты, связанные с доходностями отдельных активов портфеля и степе-
степенью их влияния на доходность всего портфеля.
Заметим, что доходности активов являются внешними по отно-
отношению к инвестору или управляющему портфелем характеристика-
характеристиками сделки, поскольку они не зависят от действий инвестора или
управляющего. В самом деле, доходность, например, конкретного вида
акций зависит от изменений цены на эти акции и выплачиваемых по
этим ценам дивидендов, которые определяются прежде всего степенью
успешности деятельности эмитента, т.е. корпорации (фирмы), выпу-
выпустившей эти акции.
Конечно, имеются и другие факторы, как, например, общеэкономи-
общеэкономические (экономическая конъюнктура, инфляция), рыночные, связанные
со спросом и предложением этих акций, и др. Но в обычной ситуа-
ситуации лицо, осуществляющее сделку (инвестор, управляющий портфелем
и т.п.), не может влиять на доходность сделки. Говоря об обычной
ситуации, исключаем ситуации, допускающие возможность такого вли-
влияния. Оно возможно, если в качестве лица, осуществляющего сделку,
выступает сам эмитент или тесно связанные с ним лица (например,
менеджеры компании, выпустившей акции).
Возможность влиять на цены акций имеется и у крупных инсти-
институционных инвесторов при покупке или продаже крупных пакетов
акций, например, скупке акций с целью поглощения компании. Однако
в типичных, наиболее распространенных случаях, такой возможности
у лица, осуществляющего сделку, нет и он принимает цены, дивиден-
дивиденды, а следовательно, и определяемые ими доходности как заданные.
С другой стороны, инвестор может полностью распоряжаться соб-
собственным капиталом, в частности, решать, сколько, когда и во что
инвестировать. В меньшей степени это касается наемных управляющих
капиталами, поскольку последние, не будучи владельцами ивестиру-
емого капитала, не полностью свободны в выборе инвестиционно-
инвестиционного решения. Они управляют капиталом прежде всего в интересах
собственников этого капитала. Конечно, управление предусматривает
определенную свободу выбора, однако она ограничена требованиями,
предписываемыми собственниками капитала. Наконец, многие инсти-
институциональные инвесторы (банки, страховые компании, фонды) огра-
ограничены в своих действиях и рамками законодательства, и требова-
требованиями, предписываемыми различными надзорными и регулирующими
органами.

528	Гл. 14. Оценка доходности финансовых операций
Структурная декомпозиция доходности связана с анализом влияния
на эффективность финансовой операции того, во что инвестирован
капитал и сколько вложено средств. В § 14.2 отмечена также важ-
важность учета тех моментов времени, когда осуществлялись различные
действия, связанные с реализацией финансовой сделки, в частности,
вложения/изъятия капитала и реинвестиции. Как уже отмечалось,
этот учитываемый фактор связан с временной стоимостью денег —
центральной темой данной книги.
В рамках простейшей модели финансовой сделки, оперирующей
лишь с двумя суммами, относящимися к начальному и конечному мо-
моменту сделки, оценка эффективности более сложной сделки по форму-
формулам A4.5), A4.5х) невозможна. Для этого необходима соответственно
и более полная детализация сделки во времени, связанная, в свою
очередь, с более полным и более точным временным учетом денежных
сумм, участвующих в сделке. Такую операцию назовем временной
декомпозицией сделки. Степень детализации, связанной с этой деком-
декомпозицией, определяется конкретными условиями сделки. Если сделка
стандартна, т. е. портфель формируется один раз в начале периода,
весь текущий доход хранится в начальной форме до конца периода
и никаких вложений, изъятий, реинвестиций и перестройки портфеля
в течение периода не делается, иными словами, сделка абсолютно
пассивна, то формулы A4.5), A4.5х) и их нормированные варианты
(т. е. соответствующие простая и эффективная доходности) являются
адекватными характеристиками сделки. Кроме того, в этом случае
в полной мере выполняется соотношение A4.9), т.е. доходность сделки
(портфеля) полностью определяется доходностями активов, участвую-
участвующих в сделке.
В более общем случае, т. е. при наличии различных «внутренних»
по отношению к периоду оценки операций, необходим их учет. Назовем
моменты, соответствующие этим операциям, критическими момен-
моментами сделки. К критическим моментам отнесем также начальный
и конечный моменты.
Временная декомпозиция сделки. Критические моменты разбива-
разбивают сделки на подпериоды, которые также будем называть критиче-
критическими. В пределах (точнее внутри) каждого подпериода сделку можно
считать стандартной (пассивной), поскольку внутри этих подпериодов
нет никаких «внутренних» операций. Для любого момента из этих
подпериодов (отличного от концов!) определена структура портфеля
активов, участвующих в сделке, при этом в абсолютном смысле эта
структура остается неизменной внутри критического периода. В кон-
концах подпериодов, т.е. в критические моменты, структура портфеля,
строго говоря, не определена, поскольку в эти моменты возможна
перестройка портфеля активов сделки, дополнительные инвестиции
или изъятия. Но в то же время непосредственно перед и сразу после

14.4. Временная декомпозиция финансовых сделок	529
критического момента структура портфеля и его стоимость являются
полностью определенными.
Таким образом, для каждого критического момента tk можно опре-
определить два портфеля: тг^Г = тг(^) и ^ = 7Г(^) и соответствующие
им стоимости V^ = V(ty^)
и V+ = V(np. Соответствую-
щая временная диаграмма изоб-	i
ражена на рис. 14.2.	^	%	%+1
Здесь необходимо отметить,
что в этом разделе мы несколь-	рис 14.2
ко изменили обозначение «за-
«завершенного состояния» (см. гл. 1), так как, следуя последнему, мы
должны были бы, например, писать просто Т4 вместо V^ и т.д. Эти
изменения мы делаем сознательно, чтобы подчеркнуть, каков был итог
непосредственно перед критическим моментом tk и сразу после этого
момента.
Поскольку в пределах критического подпериода исходная сдел-
сделка является пассивной, то с этим периодом можно связать простую
стандартную сделку, описываемую лишь двумя финансовыми харак-
характеристиками (состояниями) сделки в начале и конце периода. Более
точно, для fc-ro критического периода [tk-\,tk] определим стандарт-
стандартную финансовую частичную сделку, заключающуюся в формировании
портфеля тг^_! из активов А\,А2,... ,Ап по ценам P\(tk-\), ^2(^-1)»
...,Pn(tk-\) общей стоимостью S^_{:
В течение этого критического периода по портфелю получен те-
текущий доход от всех активов, который, согласно принятому нами
принципу актуализации, независимо от того, хранится ли он в действи-
действительности в наличной форме до конца tk периода или распределяется
внутри периода, в модели будет отнесен к моменту tk (т. е. актуализи-
актуализирован в этот момент). В конце периода портфель имеет стоимость Vj~,
а учитывая и текущий доход Dk, отнесенный к концу периода, общий
результат S? стандартной сделки можно описать как сумму
Заметим, что знак «минус» в обозначении Sj~_{ указывает на инве-
инвестиции (расход), тогда как знак «плюс» в обозначении S? — на приход
(доход) по отношению к описываемой финансовой сделке.
Из введенных обозначений ясно, что моменту tk приписаны две
величины — S^ и S?, причем S^ = S(t~fc) и S? = S(t~j~), т.е. S^
«учитывается» сразу после момента tk — это инвестиции в начале
периода [tk,tk+\], & S~k непосредственно перед tk — это полный
капитал, полученный к концу периода [tk-\,tk\- Считая, что сделка

530	Гл. 14. Оценка доходности финансовых операций
начинается в момент to и завершается (реально или теоретически)
в момент tn, можем также полагать, что
s+ = s-=o,
т. е. в начальный момент нет накопления (дохода), а в конечный момент
нет инвестиций. Диаграмма такой сделки представлена на рис. 14.3.
Этой сделке соответствует доходность
r(k) = sk ~ fffc-i = Sk _ j
за период Tk = tk - tk-\.
Таким образом, временная декомпозиция исходной сделки порож-
порождает семейство доходностей г^\А2\ ... , г(п) и соответствующие им
нормированные простые и эф-
Sk-\=SD-\)	S^=S(tk)	фективные доходности.
1	1	Для того чтобы охарактери-
^^\	у/*r tk	зовать исходную сделку в це-
целом, на практике используют
Рис. 14.3	различные методы получения ин-
интегральной характеристики эф-
эффективности по указанным наборам доходностей. Наиболее распро-
распространенными являются так называемые методы усреднения, которые
в качестве доходности сделки в целом дают взвешенные средние от
доходностей частичных сделок.
Среднеарифметическая доходность. Простейший метод усредне-
усреднения состоит в арифметическом усреднении, при котором простая
нормированная доходность сделки определяется как
-пр_ГA)+Г<2> + ...+/")
У	гр	1
где Т = Т\ + Тъ + ... + Тп — период всей сделки.
Используя простые нормированные доходности частичных сделок,
это выражение можно переписать в виде
^... + ^Т„ =W,)W2) .. . + Tny(n)t A4Л2)
где	Т
Tk = f	A4.13)
— временной вес fc-й частичной сделки. Чаще всего эту формулу
применяют к разбиению периода оценки доходности на промежутки
одинаковой длины. Тогда, если
Тх =Т2 = ...=ТП,
то, очевидно,
тк = -> fc=l,2,...,n,
п

14.4. Временная декомпозиция финансовых сделок	531
и, следовательно, получаем
Гр = ^B) + - + ^,	A4.14)
т. е. простая нормированная доходность сделки за весь период равна
средней арифметической простых нормированных доходностей со-
соответствующих частичных сделок.
Пример 14.10. Рассматривается двухпериодная сделка (считая период
равным единице временной шкалы) с начальным капиталом 7^100000. Весь
капитал инвестирован в портфель (неденежных) активов. К концу 1-го периода
стоимость портфеля возрастает до 7^120000 и остается неизменной до конца
2-го периода. Текущий доход за 1-й период составляет 7^20000, а за второй —
7^30000. Этот доход не реинвестируется, а распределяется. Найти частичные
доходности и доходность сделки в целом.
Решение. Рассмотрим сначала 1-й период. Доходность сделки за этот
период равна
A) = 20 + 20
100
или 40%.
Для 2-го периода доходность составляет
B)=30 + 0
120
или 25%.
Таким образом, средняя арифметическая (нормированная) доходность сдел-
сделки равна
_пр= 0,4 + 0,25 =0325>
или 32,5%.
Заметим, что поскольку ни реинвестирования, ни дополнительных вложе-
вложений и изъятий в этой сделке нет, то, отнеся весь текущий доход и накопленную
стоимость портфеля к концу, а начальные инвестиции — к началу всего
периода сделки, мы, в соответствии с формулой A4..5;), получим доходность
сделки, равную
20 + 50 п _
г = 	= 0,7,
100
или 70%, а соответствующая простая нормированная доходность сделки будет
равна
упр=Г-= 0,35,
или 35%, что не совпадает со средней арифметической доходностью упр =
= 32,5%. Мы обсудим причины этого ниже.	¦
Среднегеометрическая доходность. Другим способом усреднения
является геометрическое или эффективное усреднение. Для этого сна-
сначала находят общий коэффициент роста за весь период сделки как
произведение частичных коэффициентов:
ат = аA)аB)---а(п),	A4.15)

532	Гл. 14. Оценка доходности финансовых операций
где
a(k) = j +r(fc)> к =1,2,...,п.
Этому коэффициенту роста соответствует нормированная эффективная
доходность
Отсюда с учетом A4.15) получаем явное выражение для эффективной
нормированной доходности
ГФ = [A +гA))A +гB)) ...A +Г(п))]1/Г _ j
которая в этом случае называется среднегеометрической доходно-
доходностью.
Используя эффективные доходности у^, у^,..., у^ (частичных
сделок), последнее равенство можно переписать в виде
уэф _ г/j _|_ уУЧу^ П + у^ Ч 2 ... A + ^^П^)"
или
уэф = A+уA))Г1A+?/B))Г2...A +у(п))г- - 1,	A4.16)
где г/с — временной вес к-и частичной сделки, определяемый форму-
формулой A4.13).
Для разбиения с одинаковыми по длине подпериодами имеем, что
Tk = 1/п, и формула A4.16) примет следующий вид:
+ J/(»)(l + 2,B)) ... A + у(п)) _ 1.	A4.17)
Правая ее часть есть не что иное, как обычное среднегеометриче-
среднегеометрическое эффективных доходностей, соответствующих частичным сдел-
сделкам. Этим, собственно, и вызвано название доходности, определяемой
формулой A4.16), как среднегеометрической доходности.
Обсуждение арифметической и геометрической доходностей.
Рассмотрим теперь более подробно два способа усреднения доходно-
доходности «сложной» сделки с периодом оценки, разбитым на подпериоды.
Результаты этих усреднений, осуществляемых с весами т\,Т2,... ,тп,
определяются формулами A4.12) и A4.16) и характеризуют соответ-
соответственно среднеарифметическую и среднегеометрическую доходности.
В случае разбиения периода сделки на одинаковые подпериоды с одина-
одинаковыми весами, равными 1/п, результаты соответствующих усреднений
задаются формулами A4.14) и A4.17).
Наконец, следует отметить, что при арифметическом усреднении по
нормированным доходностям берутся простые, а при геометрическом
усреднении — эффективные доходности.
В дальнейшем среднеарифметическую доходность сделки будем
обозначать просто через у(а), а среднегеометрическую — через у^, так
что 2/(а) = упр	э*

14.4. Временная декомпозиция финансовых сделок	533
Пример 14.11. Найти для сделки из предыдущего примера среднегео-
среднегеометрическую доходность.
Решение. Поскольку в этой сделке подпериоды единичные, то
yf = rA) = 0,4, уэ2ф = гB) = 0,25
и, следовательно,
У(9) = ^/A+гО))A+гB)) - 1 = 7A+0,4)A+0,25) - 1 = 0,3229,
или 32,29%.
Если период сделки разбит на единичные подпериоды, то
r(k) = у7 = vt
У(а) =
г0)
y(a) =
и в силу неравенства Коши-Буняковского
У(9) ^У(а),
т. е. в этом случае среднеарифметическая доходность больше, чем сред-
среднегеометрическая. Примеры 14.10 и 14.11 подтверждают этот факт.
Остановимся теперь на некоторых аспектах практического исполь-
использования средних доходностей.
Рассмотрим случай, когда на каждом подпериоде реализуется стан-
стандартная сделка с одним и тем же инвестируемым капиталом.
Используя введенные выше обозначения, это условие можно запи-
записать в виде
Vo = S- = S^ = ... = S~.	A4.18)
Это означает, что в каждом периоде весь положительный доход
(Mfc = S? — S^_{ > 0), т.е. как текущий Dk, так и ценовой АТ4 =
= V^~ — Vj^_{, распределяется и, значит, не реинвестируется. В случае
же отрицательного дохода (S? — S^_{ < 0) требуется дополнительное
вложение на эту сумму для восстановления фиксированной величины
ивестируемого капитала.
Предполагая, что денежная часть относится к концу tn сделки (т. е.
актуализируется в этот момент), в силу условия A4.18) получаем, что
среднеарифметическая доходность равна
у{а) = ^-,
и фактически совпадает с доходностью «полной» сделки, определяемой
формулой A4.5х), за период [?о,?п] без разбиения его на подпериоды.
Так, для сделки из примеров 14.10 и 14.11 мы видим, что
арифметическая средняя доходность не совпадает с нормирован-

534	Гл. 14. Оценка доходности финансовых операций
ной доходностью, вычисленной по базовой формуле A4.5х). Если
же эту сделку скорректировать в соответствии с условием A4.18),
то эти доходности совпадут. В самом деле, инвестировав в начале
Vq = So = 1Z100 тыс., инвестор в конце первого периода получит те-
текущий доход в D\ = 1Z20 тыс. и портфель стоимостью V\ = 7^120 тыс.
Реализовав часть активов портфеля на сумму 7^20 тыс., иными слова-
словами, 1/6 часть портфеля и распределив ее вместе с текущим доходом,
что дает общую сумму М\ = 7^40 тыс., инвестор останется с портфелем
стоимостью в 7^100 тыс., так что капитал, инвестируемый на второй
период, остается тем же самым. В конце второго периода стоимость
портфеля по условию не меняется, а текущий доход от оставшейся
части (пропорционально уменьшенный на 1/6) составит
M2 = Df2 = |. 30 = 25G1 тыс.).
Таким образом, полный доход от такой сделки составит
/ = Mi + М2 = 40 + 25 = 65Gг тыс.)
и, значит, доходность сделки за два периода будет равна
/ 65 п аг
г = ^ = Тоо=0'65'
или 65%, а нормированная простая доходность
Упр = \ = 0,325,
или 32,5%, что совпадает со среднеарифметической доходностью.
Среднеарифметическая доходность чаще всего используется для
статистической оценки доходности отдельных активов и их портфелей
по прошлым (историческим) данным. Так, имея данные о ценах и те-
текущих доходах активов за прошлые периоды, можно найти соответ-
соответствующие доходности для каждого такого периода, а затем вычислить
среднеарифметическое значение. Обычно эта операция осуществляется
для оценки ожидаемой доходности актива (или портфеля) для будуще-
будущего периода по данным о доходностях за последовательность прошлых
периодов такой же длины. Например, для оценки ожидаемой месячной
доходности некоторой акции можно взять ее среднеарифметическую
месячную доходность за последние 5 лет. В этом случае оценкой будет
среднее по выборке объемом в 60 выборочных значений доходности.
Перейдем теперь к обсуждению среднегеометрической доходности.
Центральным моментом в ее определении является определение ито-
итогового коэффициента роста капитала в сделке по формуле A4.15).
Поскольку
r(k) = Sk _ ^

14.4. Временная декомпозиция финансовых сделок	535
то
и, следовательно, полный коэффициент роста будет равен
аг = аA)аB) ...а(») = ??.#..._$!_ к=\,2,...,п. A4.19)
1	с- с- с- '	' ' '	v	у
Напомним, что S? есть полная накопленная стоимость капитала за
&-й период, т. е. включающая как текущий доход Dk за этот период,
так и прирост стоимости активов портфеля
AVk = Vk~-Vktv
a S^ — капитал, инвестируемый в начале к-го периода. Если
g+ ф Sfc+l, то это значит, что накопленный капитал к концу к-го
периода не совпадает с инвестируемым в начале (к + 1)-го периода
капиталом. Иными словами, либо полученный доход не реинвестиру-
реинвестируется, либо в критический момент t^ осуществляется изъятие или же,
наоборот, дополнительное инвестирование капитала. В противном слу-
случае, т. е. если нет ни изъятий, ни вложения капитала, а весь текущий
доход полностью реинвестируется, то выполняется равенство
$к = ^fc+i = ^'
и формула A4.19) перепишется в виде
_ Si S2 Sn _ Sn
So S\ Sn-\ So
Следовательно,
Но при описанных условиях применение базовой формулы A4.5) ко
всей сделке дает доходность за период Т, равную
а соответствующая эффективная нормированная доходность будет
равна
так что в этом случае уэгр = У(д), т. е. «полная» эффективная доходность
сделки совпадает со среднегеометрической доходностью частичных
сделок.
Пример 14.12. Инвестор купил в начале 1-го года акцию компании А
за 7^50, а в конце года ее стоимость возросла до 7^100. В течение 2-го года
цена акции упала до начальной цены в 7^50. Инвестор продал акцию по этой
цене. Найти доходность сделки за два года, а также среднегодовые доходности

536	Гл. 14. Оценка доходности финансовых операций
(арифметическую и геометрическую) считая, что по акциям в течение указан-
указанного периода дивиденды не выплачивались.
Решение. Доходность акции за 1-й год равна
(О = ЮО-50 =
50
или 100%. Доходность этой акции за 2-й год равна
B) = 50-100 = _
100
или —50%. Среднеарифметическая годовая доходность сделки составит
rW+rB) 1 + (-0,5) __,.
Via) = 	2	 = 	2	 = ' '
или 25%. Среднегеометрическая годовая доходность будет равна
у{9) = ^/A+гО))A+гB)) - 1 = л/2 • 0,5 -1=0.
Доходность акции за 2-летний период составит
50-50 п
Следовательно, будут равны и соответствующие годовые простая и эффектив-
эффективная доходности:
уэф = упр = 0.	¦
В этом примере двухлетняя доходность (г), ее нормированные
представления (уэ^ и упр), а также геометрическая средняя годовая
доходность совпадают. Среднеарифметическая доходность существенно
завышает фактическую доходность сделки — факт, с которым мы
уже сталкивались. Причина снова заключается в том, что инвестиции
во втором периоде G2.100) не совпадают с инвестициями в первом
периоде G2.50).
Мы рассмотрели два вида доходностей, получающихся в результате
операций усреднения семейства доходностей, относящихся к после-
последовательным подпериодам составляющих инвестиционный период или
период оценивания. В обоих методах усреднения, как арифметиче-
арифметическом, так и геометрическом, в качестве весов (см. A4.12), A4.13)
и A4.16)) используются временные характеристики промежутков раз-
разбиения (подпериодов). Поэтому оба эти вида доходностей можно было
бы назвать взвешенными по времени доходностями. Однако на прак-
практике этот термин используется лишь по отношению к геометрической
доходности. Именно ее принято называть взвешенной по времени (или
временно-взвешенной) доходностью. Обычно этот термин используется
в тех случаях, если хотят отличить эту доходность от так называемой
денежно-временной доходности. За последним термином скрывается
уже упоминавшаяся нами внутренняя доходность. Она является одной
из наиболее используемых характеристик финансовых операций. В си-
силу важности (как теоретической, так и практической) этого понятия
мы посвятим ему отдельный параграф.

14.5. Внутренняя доходность финансовых операций	537
14.5. Внутренняя доходность финансовых операций
Дискретный поток. Рассмотрим снова разбиение периода сделки
(или периода оценивания) на критические подпериоды (см. рис. 14.2).
Пусть, как и выше, Vo — начальная, a Vn — конечная стоимости
портфеля активов, участвующих в сделке. Пусть также Мк — распре-
распределяемая (денежная) часть текущего дохода за подпериод [tk-\,tk].
С критическим моментом tk мы связали две стоимостные характе-
характеристики портфеля: Vj~ = V(t~j~) — стоимость непосредственно перед
моментом tk и Vfr~ = V(t^) — стоимость непосредственно после этого
момента. Рассмотрим разность этих величин:
AVk = AV(tk)=Vk+-Vk~.
Ее смысл достаточно очевиден. Если разность AVk > 0, то она
представляет собой величину дополнительных инвестиций в портфель
активов в момент tk. Если разность AVk < 0, то она равна величине
изъятия капитала в момент tk. Таким образом, разность AVk описывает
эффект внешней операции вложения/изъятия капитала. Заметим, что
результат реинвестирования нераспределенной части текущего дохода
учитывается в стоимости V^~, относящейся к концу к-го периода.
Нетто-баланс от операции распределения части текущего дохо-
дохода Мк и внешней операции вложения/изъятия AVk обозначим че-
через Ск\
Ск = Мк- AVk = Мк + Vk~ - F+.	A4.20)
и отнесем его к моменту tk.
Заметим, что в общей схеме финансовой операции текущий доход
относится к доходной части денежного, связанного с этой операцией,
потока, т. е. Мк ^ 0, тогда как дополнительные вложения (AVk > 0) от-
относятся к расходной части этого потока. Наоборот, изъятие (AVk < 0,
т. е. продажа части активов) капитала в этой схеме означает (капиталь-
(капитальный) доход и, следовательно, относится к доходной части денежного
потока, связанного с операцией.
Если Ск ^ 0, то нетто-баланс будет представлять результирующий
доход Ск = С^, относящийся к ^-му периоду с актуализацией его
в конце этого периода. В противном случае нетто-баланс будет пред-
представлять чистый убыток Ск = С^ и будет относиться к расходной части
результирующего потока операции. К расходной части результирующе-
результирующего потока будет, естественно, относиться и начальный инвестируемый
капитал
Со = Со- = -Vo,
тогда как конечная (реализованная или учетная) стоимость портфеля
Vn = V(t~) относится к доходной части потока и, значит, с учетом
распределенного дохода имеем
cn = s+ = vn + мп.

538	Гл. 14. Оценка доходности финансовых операций
Заметим, что если использовать введенные выше величины
s? = vk~ + Mk, sk~ = v+,
то равенство A4.20) можно записать в виде
ASk = S^ - S+ = AVk - Mk = -Ck, /с = 0, 1,..., n.
Напомним, что S^ относится к t^, т.е. учитывается сразу после
момента tk, a S? — к t^, т.е. учитывается непосредственно перед
моментом tk. При этом
Со = -AS0 = S+ - S~ = -S- = -Vo,
так как S^~ = 0 и
Сп = -ASn = S+-S~=S+ = Vn + Mn,
так как S~ = 0. Часто удобнее использовать одну величину Sk вместо
двух величин Vk и Мк.
Таким образом, временная декомпозиция сделки позволяет постро-
построить результирующий денежный поток этой сделки. Как отмечалось
в гл. 1, описание сделки в рамках некоторой финансовой схемы и озна-
означает задание представляющего (порождающего) эту сделку денежного
потока.
Задание представляющего потока
CF = {(to,Co),(tuCi),...,(tn,Cn)}
сделки позволяет определить понятие внутренней доходности сделки
как нормированной ставки в схеме сложных процентов, балансирую-
балансирующей поток CF:
PVp(CF,y)=0,
в некоторой (а тогда и любой) точке р. Обычно в качестве полюса бе-
берется начальный to или конечный tn моменты сделки. Этим моментам
соответствуют уравнения баланса
к=0
с учетом разделения потока CF на расходную CF~ и доходную CF+
части.
Пример 14.13. Найти внутреннюю доходность двухлетней сделки из
примера 14.10.
Решение. Согласно условиям примера 14.10
Vq = П100 тыс., Mi = А = 7г2О тыс., V{~ = V{+ = 1ZI20 тыс.,

14.5. Внутренняя доходность финансовых операций	539
М2 = ЯЗО тыс, V2 = V2~ = П\20 тыс.
Таким образом, результирующий денежный поток сделки имеет вид
Со = -ТгЮО тыс., С\ = П20 тыс., С2 = 7г15О тыс.
Уравнение для внутренней доходности (с полюсом в точке р = 2) имеет вид
100A + уJ - 20A + у) - 150 = 0.
Полагая х = 1 + у, получим квадратное уравнение
или
100х2-20х- 150 = 0
10ж2-2ж- 15 = 0.
Отсюда
1 -л/ТбТ	1 + л/ТбТ
Отбрасывая отрицательный корень (поскольку по своему смыслу х есть коэф-
коэффициент роста и не может быть отрицательным), получим
х=1+у= 1,3288
или
у = 0,3288,
т.е. внутренняя доходность сделки составляет 32,88%, что отличается от
среднегеометрической доходности сделки 32,29%.	¦
В наиболее типичных финансовых сделках, например, кредитных,
расходная часть сводится к инвестированию начального капитала Vo,
а доходная часть — к серии текущих платежей С\, С^ • • •, Сп (процен-
(процентов или дивидендов) и к конечной стоимости капитала Vn (возврату
основной суммы долга, реализованной или учетной стоимости активов
и т.д.). Структура денежного потока сделки в этом случае имеет вид
= {(to, -1
= {(tl,Cl),(t2,C2),...,(tn,Cn + Vn)}.
Следовательно, балансовое уравнение для внутренней процентной став-
ставки в этом случае будет иметь вид (с фокальной точкой р = to)
0 ~~ Тл , . \t,-tn "т" Тл , . \U-tn * • • • "I" 7" , . \tr,.-tn'	vH>zv
Таким образом, это уравнение действительно представляет баланс (эк-
(эквивалентность) между потоком расходов (инвестициями) и потоком
доходов (от них). В тех случаях, когда текущий доход отсутствует, т. е.
Сх = С2 = ... = Сп = 0,
то уравнение A4.21) сводится к уравнению
v	Vn

540	Гл. 14. Оценка доходности финансовых операций
Учитывая, что tn — to = T — срок сделки, получим
В этом случае внутренняя доходность является просто нормирован-
нормированной эффективной доходностью соответствующей доходности сделки за
период
вычисляемой по базовой формуле A4.2). Иными словами,
у = A+гУ'Т-1.
В более общем случае равенство нулю промежуточных (внутрен-
(внутренних) сумм Ck означает: 1) отсутствие или полное реинвестирование
(всего) текущего дохода; 2) отсутствие изъятия или дополнительного
(внешнего) вложения капитала. В самом деле, равенство
Ск = Мк - AVk = 0
означает, что
AVk = V+ - Vk~ = Mfc,
т. е. весь полученный к концу k-го периода текущий доход полностью
реинвестируется в портфель активов в момент tk и, в частности, нет
никаких внешних вложений. Как отмечалось в предыдущем параграфе,
в этом случае адекватной оценкой доходности сделки является сред-
среднегеометрическая доходность
Но отсутствие внешних изъятий и вложений, а также полное реинве-
реинвестирование дохода означает, что имеет место равенство (см. предыду-
предыдущий параграф)
где	у
Гт = г? ~~ ^
— базовая доходность за период сделки. Следовательно, и в этом
случае внутренняя доходность у будет совпадать с эффективной до-
доходностью уэф соответствующей базовой доходности за период. Более
того, в этом случае она будет совпадать и со среднегеометрической
доходностью у(ду
Таким образом, именно наличие (внешних) изъятий/вложений ка-
капитала в финансовой сделке приводит к различию в значениях внутрен-
внутренней (денежно-взвешенной) доходности от среднегеометрической (вре-
(временно-взвешенной) доходности. Этот факт иллюстрируется примером
14.13.

14.5. Внутренняя доходность финансовых операций	541
Хотя мы и подчеркивали тот факт, что адекватная интерпретация
среднегеометрической доходности требует выполнения перечисленных
выше условий (т. е. отсутствие изъятий/вложений капитала и полное
реинвестирование текущего дохода), тем не менее на практике сред-
среднегеометрическая (взвешенная по времени) доходность используется
наравне с внутренней (денежно-взвешенной). Строго говоря, оба этих
вида доходностей оценивают различные аспекты эффективности сдел-
сделки. Принято считать, что внутренняя доходность оценивает общий
финансовый результат сделки с учетом всех ее компонент, в том
числе и внешних вложений (изъятий), тогда как среднегеометрическая
доходность оценивает эффективность управления активами, участву-
участвующими в сделке. Чтобы прояснить различие в этих аспектах оценки,
рассмотрим следующий пример.
Пусть два управляющих пенсионными активами двух фондов имеют
в начале двухмесячного периода портфели активов на сумму 7^60 млн.
Предположим также, что оба эти управляющие сформировали одина-
одинаковые по структуре портфели. Допустим вначале также, что никаких
дополнительных вложений или изъятий капитала за два месяца не
было, как и не было распределения текущего дохода (т. е. он полностью
реинвестировался). Если доходности портфеля за первый и второй
месяцы составляют 20% и 50% соответственно, то ясно, что как фи-
финансовые результаты, так и качество управления обоих управляющих
совпадают. В конце 1-го месяца стоимость портфеля возрастет до
Vi = 60A + 0,2) = 12A1 млн),
а в конце второго — до
V2 = 72A +0,5) = 1О8Gгмлн).
Доходность сделки за оба месяца составит
V2 1 108
а соответствующая эффективная месячная доходность будет равна
уэф = л/1 +0,8 - 1 = 1,3416 - 1 = 0,3416
или 34,16% в месяц. При указанных условиях эта доходность совпа-
совпадает как со средней геометрической, так и с внутренней доходностью
сделки.
Рассмотрим теперь другую ситуацию. Допустим, что при тех же
начальных условиях, а также условиях, касающихся доходностей
портфелей, первый управляющий получает (например, от участников
схемы или от спонсоров) в конце 1-го месяца дополнительно 7^20 млн,
а другой управляющий, наоборот, обязан выплатить (например, в виде

542	Гл. 14. Оценка доходности финансовых операций
пенсий) 1ZI0 млн. В этом случае у первого управляющего стоимость
портфеля в конце 1-го месяца составит
Vf = 60A+0,2) = 72(?г млн),
однако с учетом дополнительных вложений на сумму 7^20 млн., он
инвестирует в начале 2-го месяца сумму
V+ = 72 + 20 = 92Gгмлн).
Поскольку доходность портфеля активов за 2-й месяц составляет 50%
в месяц, то окончательная стоимость портфеля (в конце 2-го месяца)
будет равна
V2 = 92A +0,5) = 138Gгмлн).
Внутренняя доходность у\ сделки определяется уравнением (с по-
полюсом р = 2)
60A +шJ + 20A+2/0- 138 = 0,
решая которое получим
ух = 0,3499,
или 34,99% в месяц, что больше среднегеометрической доходности
34,16% этой же сделки (которая, как легко понять, не изменилась).
Второй управляющий получит в конце 1-го месяца те же Vj~ =
= 1Z72 млн. Однако, учитывая изъятия капитала на сумму 1ZI0 млн,
он в начале 2-го месяца сможет инвестировать лишь
V+ = 72 - 10 = 62(?г
млн)
и, следовательно, конечная стоимость портфеля в этом случае будет
равна
V2 = 62A +0,5) =93Gгмлн).
Внутренняя доходность у2 этой сделки определяется уравнением
(с полюсом р = 2)
60A+Ы2-10A+Ы-93 = 0,
решая которое получим
у2 = 0,3283,
или 32,83% в месяц, что меньше месячной среднегеометрической до-
доходности 34,16% этой же сделки.
Подведем итоги анализа описанных сделок. Поскольку оба управ-
управляющих во всех случаях формировали идентичные по структуре порт-
портфели, то с точки зрения эффективности управления активами их
работа должна оцениваться одинаково. Заметим, что внутри каждого
критического периода стратегия инвестирования пассивна и, значит,
результат управления портфелем для критического периода полностью
описывается доходностью портфеля, т. е. определяется лишь струк-
структурой портфеля, сформированного в начале периода, и поведением

14.5. Внутренняя доходность финансовых операций	543
активов (последний фактор, естественно, не зависит от управляю-
управляющего).
Таким образом, эффективность управления на всем инвестицион-
инвестиционном периоде (периоде оценки) полностью определяется последова-
последовательностью доходностей портфеля для критических периодов. Для
характеризации эффективности управления единственным показателем
(т. е. одним числом) необходимо выбрать правило определения этого
показателя по заданной последовательности доходностей портфеля.
Иными словами, этот показатель представляет собой некоторую функ-
функцию от указанных доходностей:
УупР = у(г{1\г^2\...,г^).	A4.22)
На практике, обычно, в качестве меры эффективности управления
берется средняя геометрическая или взвешенная по времени доход-
доходность:
Заметим, что при любом выборе показателя эффективности управ-
управления в соответствии с A4.22), он не будет зависеть от дополнитель-
дополнительных вложений или изъятий капитала. Это чрезвычайно важное усло-
условие. В самом деле, решение о дополнительных вложениях и изъятиях
принимается владельцем капитала, который может совпадать и может
не совпадать с управляющим.
В современных условиях типичным является как раз несовпаде-
несовпадение этих лиц. Владельцы капиталов отдают их в управление про-
профессиональным менеджерам. Менеджеры ответственны, естественно,
лишь за качество управления активами. Решение о дополнительных
вложениях или изъятиях принимается не ими, и за их последствия
они не должны нести ответственность. Многие финансовые инсти-
институты, активами которых управляют финансовые менеджеры, имеют
обязательства, например, банки должны возвращать вклады (с про-
процентами), страховые компании должны выплачивать страховые суммы
(страховое возмещение), пенсионные фонды — пенсии своим участни-
участникам и т. п. Во всех случаях такие выплаты обусловлены контрактами
и обязательны (отсюда их название). Для финансового менеджера они
представляют собой принудительный отток (изъятие) капитала. Такие
изъятия безусловно влияют на финансовый результат деятельности
финансового института.
Перейдем теперь к анализу сделок с точки зрения их фактического
финансового результата. Естественно, что в этом случае необходим
учет как распределяемого дохода, так и внешних капитальных опера-
операций изъятия/вложения. Таким образом, кроме показателей, связанных
с управлением, т.е. доходностей r(l\r@\ ... ,г^п\ необходимо учиты-
учитывать все денежные потоки, связанные со сделкой. Кроме начальных
инвестиций Vo необходимо задать как величину распределяемой части
текущего дохода М&, к = 1,2,... ,п, для каждого критического перио-

544	Гл. 14. Оценка доходности финансовых операций
да, так и величину капитальных изъятий/вложений AVk = V^ — V^~.
Если интервальная величина Мк относится (актуализируется) к концу
периода (независимо от реального времени ее получения), то для
полного описания сделки достаточно рассматривать, как отмечалось
выше, лишь нетто-поток:
Ck=Mk- AVk = -ASk, k = 0,l,...,n.
При этом естественно положить (краевые условия)
Получающийся денежный поток
CF = {(to,Co),(tuCl),...,(tn,Cn)}
полностью описывает сделку с точки зрения конечного финансового
результата.
Заметим некоторое отличие краевых (Со и Сп) и внутренних
элементов потока. Первые представляют собой соответственно началь-
начальную и конечную стоимости портфеля, т. е. начальную (инвестируемую)
и накопленную стоимости капитала. Эти величины относятся к ха-
характеристикам состояния сделки в начальный и конечный моменты.
Величины Ск, к = 1, 2,... ,п — 1, не связаны непосредственно с состо-
состоянием сделки (т. е. со стоимостью портфеля) в критические моменты
времени. Однако имеется косвенная связь между этими характеристи-
характеристиками, учитывающая также внутренние (управляющие) характеристики
(i)B)	М	связь отражают следующие соотношения:
С+ — Q— (\ _|_ B) N	q— _ q+ _ (~i
kJc\ 	 \ II \~ I	J,	kJc\ 	 kJc\	W2)
o+ 	 q— (\ I r.{ri)\	q— 	 q-\- _ /~i
Именно таким способом мы вычисляли конечную стоимость портфеля
в нашем примере.
Таким образом, в потоке CF в конечной стоимости Vn учитываются
и результаты применяемых управленческих (т. е. касающихся выбора
структуры портфеля) решений. На практике в качестве оценки сделки
с точки зрения ее финансовой эффективности выбирается внутренняя
или денежно-взвешенная доходность, определяемая (неявно) уравне-
уравнением
где р — выбранный полюс (точка приведения событий потока CF). Это
уравнение определяет у как неявную функцию потока CF:
у = у(Со,Си...,Сп).	A4.23)

14.5. Внутренняя доходность финансовых операций	545
При этом, как отмечалось выше, ее можно рассматривать и как функ-
функцию вида
у = y(V0; СиС2,..., Сп_ь гA), гB),..., г(п)).	A4.24)
Возможно именно наличие в уравнениях A4.23), A4.24) денежных
характеристик Vo, С\, С2,..., Сп_ь кроме относительных характери-
характеристик г^\г^2\ ... ,Ап\ определяемых временной декомпозицией сделки,
послужило основанием для именования внутренней доходности как
денежно-взвешенной.
Следует однако сознавать, что выбор в качестве характеристики
финансовой эффективности сделки внутренней доходности есть лишь
определенное соглашение, принятое участниками финансового рынка.
Это соглашение продиктовано необходимостью каким-либо образом
характеризовать конечный результат сделки одним показателем, поми-
помимо набора денежных (бухгалтерских) показателей (доходов/расходов),
связанных со сделкой.
Поведение внутренней доходности в общем-то согласовано с инту-
интуитивным восприятием финансовых результатов сделки. Так, в нашем
примере дополнительное вложение капитала в начале второго месяца
(характеризующимся высокой доходностью) приводит к повышению
внутренней доходности по сравнению с доходностью первоначальной
сделки (без добавочных инвестиций): 35,40% против 34,16%. В то же
время изъятие капитала в начале второго месяца приводит к снижению
внутренней доходности: 33,11% против 34,16%.
Таким образом, дополнительные вложения на растущем («бычьем»)
рынке ведут к повышению внутренней доходности, а изъятия — к сни-
снижению доходности. Заметим, что на обратном (падающем, «медве-
«медвежьем») рынке ситуация прямо противоположна.
Пример 14.14. Рассмотрим акцию компании А из примера 14.12. Ее цена
в начале 1-го периода равнялась 7^50, затем к концу этого периода выросла
до 7^100, а к концу 2-го периода снова упала до 7^50. Допустим, что инвестор
покупает две акции компании А в начале 1-го периода. Найти внутреннюю
доходность следующих сделок: а) инвестор держит обе акции оба периода;
б) инвестор продает одну акцию в конце 1-го периода; в) инвестор покупает
еще одну акцию в конце 1-го периода. Предполагается, что никаких дивиден-
дивидендов по акциям в течение указанных периодов не выплачивается.
Решение, а) В этом случае начальная и конечная (накопленная) стоимо-
стоимости инвестиций совпадают:
V0 = V2 = 2-50= 100Gг).
Внутренняя доходность сделки в этом случае совпадает со среднегеометриче-
среднегеометрической и равна нулю, поскольку равна нулю доходность за период:
V2 , 100 , п
r=% = ioo = a
б) В этом случае со сделкой связан денежный платеж в конце 1-го периода,
при этом
С\ = тгюо.
18 П. П. Бочаров, Ю. Ф. Касимов

546	Гл. 14. Оценка доходности финансовых операций
Начальная стоимость портфеля, как и в случае а), будет равна Vo = 7^100, так
как Со = —7^100, а конечная стоимость
так как у инвестора к концу 2-го периода останется всего одна акция. Внут-
Внутренняя доходность определяется из уравнения
100A + уJ - 100A + у) - 50 = О,
решая которое, получим
у = 0,3660,
или 36,60%. Положительная доходность в этом случае объясняется наличием
положительного чистого дохода в 1ZI00, полученного от продажи одной
акции в конце 1-го года.
в) В этом случае в конце 1-го года на покупку еще одной акции потребу-
потребуются дополнительные инвестиции в размере 1ZI00. Таким образом,
с2 = -тгюо.
Конечная стоимость портфеля составит
У2 = 3-50= 150(?г),
а начальная стоимость, как и в предыдущих случаях, равна Vo = 7^100.
Внутренняя доходность определяется уравнением
100A + уJ + 100A + у) - 150 = О,
решая которое получим
у = -0,1771,
или -17,71%.	¦
Указанные результаты вполне ожидаемые. В случае а) нет никакого
реального дохода, начальная и конечная стоимости капитала совпадают
и фактическая доходность сделки нулевая.
В случае б) инвестор, продав акцию, возвращает в конце периода
роста часть капитала, предохраняя его тем самым от падения стои-
стоимости во 2-м периоде в условиях резкого падения цены акций. В итоге
сделка характеризуется положительной внутренней доходностью.
Наконец, в случае в) в начале 2-го периода произведены дополни-
дополнительные инвестиции, т.е. дополнительные расходы. Однако они были
сделаны в период падения цены акции, так что, несмотря на то,
что общая стоимость портфеля (из трех акций) стоит больше, чем
начальная стоимость (двух акций), тем не менее общие потери на весь
капитал приводят к отрицательной (внутренней) доходности сделки.
Заметим, что среднегеометрическая доходность всех трех сделок
равна нулю, поскольку во всех трех случаях структура инвестиций не
менялась (капитал полностью вкладывался в акции одного вида).
Возвращаясь к определению внутренней доходности, заметим, что
обычно в качестве уравнения, определяющего внутреннюю доходность,
используют приведение к начальному моменту сделки, т. е. уравнение
вида
Ё

14.5. Внутренняя доходность финансовых операций	ЪА1
В этом случае удобно сделать замену переменных вида
^ = 1	>
1+2/
что приводит к уравнению
к=0
решая которое можно затем найти и у:
»-;-¦¦
Непрерывный поток. До сих пор мы работали исключительно
с дискретными потоками. Операции крупных финансовых институтов,
таких, как инвестиционные и пенсионные, характеризуются значитель-
значительными ежедневными двусторонними (приток/отток) денежными потока-
потоками. Такие операции естественнее описывать в терминах непрерывных
потоков. В этом случае расходный поток CF~ описывается отрицатель-
отрицательной плотностью /i~(?) < 0, а доходный поток CF+ — положительной
плотностью /i+(t). Суммарный поток CF, являющийся суммой расход-
расходной и доходной частей, описывается плотностью
Обычно в анализе таких операций рассматривается некоторый пе-
период [to, ti] длины Т = t\ — to, который мы, как и выше, будем называть
периодом оценки.
Согласно описанной в гл. 10 модели фонда его динамика при извест-
известной интенсивности роста активов 5(t) и плотности внешнего потока
n(t) описывается дифференциальным уравнением
*%& = 5{t)S{t) + n{t).	A4.25)
Заметим, что через 5(t) обозначена переменная интенсивность ро-
роста, обуславливаемая исключительно природой и структурой активов
фонда, а не внешними потоками. Общая или полная интенсивность
роста стоимости фонда 5(t), определяемая (см. гл. 10) как
согласно уравнению динамики равна
S(t) = S(t)
S(t)'
т. е. складывается из двух интенсивностей, относящейся к активам —
5(t) и к внешнему потоку — pi(t)/S{t).
Определим теперь для этой модели основные виды доходностей,
рассмотренные ранее для дискретных потоков.
18*

548	Гл. 14. Оценка доходности финансовых операций
Эти доходности можно получить в результате предельного перехода,
построив сначала «дискретное приближение» непрерывного потока.
Разобьем период оценивания [to,ti] на одинаковые промежутки дли-
длины Т/п точками to = го < г\ < ... < rn = t\ и обозначим это разбиение
через а. Тогда фактический коэффициент роста а^ для fc-ro периода
[п-\,п] равен
aW = 1 +г(*0 =ехр( [ 5(t)dt),
Tfc-l
где г^ — соответствующая доходность за этот период.
Среднеарифметическая доходность га за период Т/п в этом случае
будет равна
/с-1	/с-1	Тк_{
*=• V-,
f s(t)dt)-i.
Заметим теперь, что имеет место следующая приближенная оценка:
где 5k = 5(rk)', o(x) — бесконечно малая (порядка более высокого,
чем х). Подставляя это равенство в выражение для среднеарифметиче-
среднеарифметической доходности га за период Т/п, получим
1 п т
где пгп —> 0 при п -^ оо. Переходя к нормированной среднеарифмети-
среднеарифметической доходности, соответствующей разбиению а, получим
(а)	Га	1 J
П	гр
Сумма ^2 ${тк) ' — является, очевидно, интегральной суммой для
к=\	п
функции 5(t) на промежутке [to,ti]. Переходя к пределу при п -^ оо,
получим
^\t	A4.26)

14.5. Внутренняя доходность финансовых операций	549
Таким образом, среднеарифметическая (нормированная) доходность
для соответствующей переменной интенсивности равна среднему (ин-
(интегральному) значению функции 5 на периоде [to,ti].
Среднегеометрическая доходность, соответствующая разбиению а,
определится уравнением
( [ S(t)dt)
Учитывая экспоненциальное свойство, получим
и
1 + 4Ф = exp Q 5(t) dt\
to
Этот результат можно было получить сразу из общих рассуждений,
поскольку правая часть последнего равенства есть не что иное, как
общий коэффициент роста за период [to,t\].
Таким образом, нормированная геометрическая средняя доходность
определится следующим образом:
и
У(9) = A + 4Ф)^ - 1 = exp (i J 5(t) <й) - 1.	A4.27)
to
Из равенств A4.26) и A4.27) следует, что между среднеарифме-
среднеарифметической и среднегеометрической доходностями в непрерывной модели
сделки существует простая связь
Эта связь вполне аналогична соотношению
г = еj - 1
между эффективной г и непрерывно начисляемой номинальной став-
ставкой j (см. гл. 8).
Определение среднеарифметической и среднегеометрической доход-
ностей для сделок с непрерывно меняющейся интенсивностью роста
активов не требует учета внешних денежных потоков, участвующих
в сделке. Определение внутренней доходности, являющейся оценкой
эффективности общего финансового результата, безусловно должно
учитывать и внешние потоки.
Для того чтобы получить выражение для внутренней доходности
сделки с непрерывным потоком, еще раз перечислим финансовые ха-
характеристики, описывающие сделку.
Предполагаем, что в начальный момент фонд имеет стоимость

550	Гл. 14. Оценка доходности финансовых операций
В силу двух факторов:
1)	роста стоимости активов за счет как ценового, так и текущего
дохода с интенсивностью 5(t),
2)	за счет внешних вложений/изъятий, осуществляемых с интен-
интенсивностью /i(?),
текущая стоимость S(t) активов фонда подчиняется уравнению ди-
динамики A4.25). При этом в момент t\ накопленная стоимость фонда
составит V\ = S(t\).
В качестве внутренней доходности мы рассматриваем такую по-
постоянную нормированную доходность у, которая обеспечивает баланс
между всеми расходами и доходами с учетом их временной стоимости.
Поскольку общепринятым методом учета временной стоимости для
сделок, предусматривающих реинвестирование полученного дохода, яв-
является использование сложных процентов, то уравнение баланса для
доходности у будет иметь вид
PVp(CF,y) = 0,	A4.28)
где CF — полный поток, представляющий операции фонда на проме-
промежутке [to,ti]. Полный поток состоит из расходной CF~ и доходной
CF+ частей. При этом оба этих потока — смешанные. Расходный
поток CF~ включает дискретную часть
CF- = {(t0, -Vo)},
представляющую начальные инвестиции, и непрерывную часть CF~,
задаваемую плотностью /i~(?). Доходная часть также имеет непрерыв-
непрерывную часть CF+, определяемую плотностью /i+(t), и дискретную часть
CF+= {(ti,Vi)},
представляющую собой накопленную стоимость инвестиции к концу
периода оценки.
Если 5 — постоянная интенсивность, соответствующая искомой
внутренней доходности у, т. е.
1 + У = е\
то уравнение баланса относительно полюса p = t\ будет иметь вид
и
J
J
to
Это уравнение можно записать и непосредственно через у:
и
J
J

14.6. Критерии единственности внутренней доходности	551
Поделив это выражение на A + у)Т, где Т = t\ — to, получим урав-
уравнение баланса, записанное для точки р = to-
Мы рассмотрели чисто непрерывную модель, в которой дискрет-
дискретным элементам соответствуют лишь краевые условия — начальная
и конечная стоимости фонда, а все внутренние платежи описываются
непрерывными потоками. Если же в сделке участвуют и дискретные
платежи (сингулярные элементы внешних потоков, например, платежи,
существенно отличающиеся от обычных платежей), то они также
должны быть учтены. В любом случае общее уравнение A4.28) для
внутренней доходности остается тем же самым. Необходима лишь точ-
точная спецификация общего потока CF, представляющего финансовые
операции фонда за период оценки.
Уравнения для внутренней доходности для непрерывной модели
получаются, как правило, трансцендентными даже в простейших слу-
случаях. Точные решения этих уравнений получить невозможно, и на
практике ограничиваются приближенными значениями. Более того,
поскольку сами потоки, составляющие сделку, редко известны с доста-
достаточной точностью, обычно само уравнение для доходности преобразу-
преобразуется к такому виду, чтобы можно было получить оценку внутренней
доходности исходя из обобщенной информации о сделке. Ниже мы
приведем некоторые методы такого рода.
На практике внутренняя доходность часто используется как
критерий для сравнения различных сделок. Обычно это бывает
при сравнении различных возможных вариантов (альтернатив)
в финансовом планировании. Так, финансовый менеджер может
выбирать между двумя или более инвестиционными проектами,
предусматривающими один и тот же начальный объем инвестиций, но
разные потоки доходов от них. Практическое применение внутренней
доходности, как критерия для сравнения, связано с рядом трудностей,
о которых мы еще будем говорить. Одна из основных трудностей
связана с тем, что уравнение A4.28) может иметь, вообще говоря,
много корней. Проблемам неоднозначности внутренней доходности
посвящен следующий параграф.
14.6. Критерии единственности
внутренней доходности
Мы определили внутреннюю (эффективную) доходность сделки как
корень балансового уравнения
PVp(CF,y) = 0,	A4.29)
где CF — представляющий финансовый поток сделки.
В развернутой форме это уравнение имеет вид (при р = tn)
f2Ck(i+y)tn-tk=O.	A4.30)
fe=0

552	Гл. 14. Оценка доходности финансовых операций
Это уравнение можно рассматривать как уравнение относительно
неизвестного коэффициента роста х = 1 + у, а не доходности. В этом
случае уравнение A4.30) примет вид
j=0,	A4.31)
k=0
где Tk = tn — tk ^ 0. При этом, исходя из содержательного смысла
доходности, ясно, что у > — 1 (нельзя потерять больше, чем вло-
вложить!), так что интерес представляют лишь неотрицательные корни
уравнения A4.31). Именно поэтому в приведенных выше примерах не
учитывались получающиеся отрицательные корни. В этих примерах
балансовые уравнения всегда имели единственный неотрицательный
корень х и, следовательно, давали единственное (допустимое) значение
внутренней доходности. Однако в общем случае уравнение A4.31)
(а также A4.29)) могут иметь более одного допустимого корня.
Рассмотрим, например, сделку с потоком
CF = {@, -100), A,230), B,-132)}.
Соответствующее уравнение для внутренней доходности (с р = 2)
имеет вид
100( 1 + уJ - 230( 1 + у) + 132 = 0.
Это уравнение имеет два корня: у\ = 0,1 и у^ =0,2, т.е. получаем
значение доходности, равное 10% или 20%.
Исходя из принятой интерпретации, денежный поток сделки вы-
выглядит несколько необычно. После начальных инвестиций в 7^100
инвестор получает доход 7^230, а затем в конце периода сделки снова
инвестирует 7Z132.
Можно показать, что именно такого рода «необычности» денежных
потоков, в которых инвестиции и доходы «перемешаны», и являются
источником неоднозначности (неединственности) в определении внут-
внутренней доходности.
В тех случаях, когда расходная часть (вложения) потока отделена
от доходной части (поступлений), балансовое уравнение A4.31) дает
единственный неотрицательный корень для коэффициента роста х и,
следовательно, единственный корень для внутренней доходности у.
Сформулируем этот факт в виде следующей теоремы.
Теорема 14.1 (достаточный признак единственности). Пусть в по-
последовательности to < t\ < ... < tk < tk+\ < ... < tn критических мо-
моментов денежного потока CF сделки все моменты вложений средств
(т.е. моменты расходной части CF~ потока) предшествуют всем мо-
моментам получения (изъятия) средств (т. е. моментам доходной части
CF+ потока). Тогда балансовое уравнение A4.31) определяет един-
единственную внутреннюю доходность сделки.

14.6. Критерии единственности внутренней доходности	553
Доказательство. Пусть к расходной части относятся моменты
< t\ < ... < tk, к > 0. Обозначим
абсолютные значения вложений,
— абсолютные значения полученных доходов; здесь т = п — к.
Тогда балансовое уравнение A4.31) с полюсом р = tn примет вид
-сохТ° - сххтх - ... - скхТк + dxxTk+x + d2xTk+2 + ... + dmxrk+rn = 0.
A4.31х)
Умножим обе части этого уравнения на —1 и разделим на хТк. Тогда,
учитывая, что то > т\ > ... > тк > тк+\ > ... > тп, и полагая
bj = Tj - тк ^ 0, j = 0, 1,..., к; ej = тк - rk+j > 0, j = 1, 2,..., га,
получим
coaA,+CiaA+... + Cfc_ *__^_..._^_=0.	A4.32)
Все коэффициенты Cj и dj этого уравнения положительны, также
положительны и показатели bj и е^- при неизвестном х. Поскольку
CjXbj, j = 0, 1,..., к, и — —|-, j = 1, 2,..., га, являются возрастающими
функциями, то левая часть уравнения A4.32) является также возрас-
возрастающей функцией в области х > 0. Следовательно, уравнение A4.32),
а вместе с ним и равносильное ему уравнение A4.31х) имеет не более
одного положительного корня.
Заметим также, что при х > 1 и
+d2 + - + ^)'/b°	A4.33)
левая часть уравнения A4.32) будет положительной, поскольку из
условия х > 1 следует, что
-^-, j = 1,2, ...,
и, значит,
С другой стороны, при х > 1
сохь° + cix61 + ... + ск > сохь°.
Наконец, неравенство A4.33) при х > 1 равносильно неравенству
coxb° > d\ +d2 + ... + dm.

554	Гл. 14. Оценка доходности финансовых операций
Таким образом, получаем
44%
XX	X
Последнее неравенство, в свою очередь, означает, что при
левая часть уравнения A4.31х) отрицательна.
Функция
f(x) = -сохТ° - сххтх - ... - скхТк + dxxTk+x + ... + dmxrk+rn
непрерывна и по доказанному f(x) < О при х > F > 0. Поскольку
/@) = dm > 0,
то в силу теоремы Больцано-Вейерштрасса [23] функция f(x) прини-
принимает на отрезке [0, F] хотя бы одно нулевое значение. Иными словами,
уравнение A4.31х) имеет хотя бы один положительный корень. С дру-
другой стороны, как было показано выше, этот корень — единственный.
Следовательно, единственным будет и соответствующая этому корню
внутренняя доходность. Таким образом, теорема доказана.	¦
Приведенное доказательство дает для сделок, потоки которых
удовлетворяют условиям теоремы 14.1, оценку корней уравнения
A4.31х). Единственный неотрицательный корень принадлежит отрезку
[0,Пгде
Здесь
d 1 + d2 + . . . + dm = С ++! + С ++ 2 + . . . + С ++ ш
— сумма всех поступлений доходов от потока, со = |С^| — абсолютное
значение начальных инвестиций, а Ьо = то — т& = tk — to — срок между
первым (начальным) и последним вложениями средств.
В финансовой литературе встречаются и другие условия единствен-
единственности. Более общей проблемой является оценка числа положительных
корней уравнения вида A4.31), A4.31х). Заметим, что хотя их левые
части, представляющие собой непрерывные функции f(x), и являет-
является суммой элементарных одночленов, тем не менее с алгебраической
точки зрения они не являются многочленами, поскольку показатели
при неизвестной переменной х не являются, вообще говоря, целыми
числами.
Для того чтобы применить известные алгебраические методы иссле-
исследования корней многочленов на практике, используют различные ме-
методы преобразования (приведения), позволяющие преобразовать функ-
функцию f(x) в обычный многочлен. Чаще всего это делается с помощью
(практически всегда выполнимого) условия, налагаемого на показате-

14.6. Критерии единственности внутренней доходности	555
ли при неизвестной х в уравнениях A4.31), A4.31х). Для формулиров-
формулировки этого условия введем следующее определение.
Определение 14.1. Будем говорить, что семейство чисел
то,Т1,...,тп >0
имеет общую меру г > О, если существуют целые числа mo,m\,...
..., mn такие, что
г0 = гаот, т\=т\т, ..., тп = тппт.	A4.34)
Возвращаясь к уравнению A4.31), в предположении, что числа
то,ть ... ,тп имеют общую меру, в соответствии с A4.31), сделав заме-
замену z = хт, приведем это уравнение к виду
J2 ckzmk = о,
к=0
где слева — настоящий многочлен. Фактически это означает выбор
в качестве единичного периода новой шкалы промежутка длины г
в исходной шкале. В этом случае в новой шкале все сроки тк будут
выражаться целыми числами.
Существование общей меры можно считать всегда выполненным
в практическом смысле. В самом деле, на практике можно всегда
считать числа tq,t\, ... , тп рациональными. Тогда, приводя их к общему
знаменателю D:
можно выбрать в качестве общей меры г = X/D. Так, на практике
в большинстве случаев сроки считаются с точностью до суток (до
дней). Выбрав в качестве базовой единицы сутки (день), все сро-
сроки можно выразить в днях, т. е. в целых числах. Соответствующая
внутренняя доходность будет корнем многочлена (возможно большой
степени). Это — дневная доходность, которую затем можно привести
к любому другому промежутку (например, к году). Таким образом,
в дальнейшем можно, если это необходимо, считать, что выбрана такая
временная шкала, в которой все показатели т& в уравнении A4.31) —
неотрицательные целые числа и, следовательно, внутренняя доход-
доходность у удовлетворяет алгебраическому (многочленному) уравнению
f(x) = J2 °kxmk =0, m0 > mi > ... > mn = 0,	A4.35)
fc=0
где x = 1 + у.
Потоки сделок, а также сами сделки, которые удовлетворяют усло-
условиям теоремы 14.1, назовем нормальными.
Таким образом, балансовые уравнения сделок с нормальными де-
денежными потоками имеют единственные корни.

556	Гл. 14. Оценка доходности финансовых операций
Заметим также, что если в нормальном потоке сумма всех платежей
будет положительной, т. е. суммарные доходы превышают суммарные
расходы, то балансовое уравнение определяет единственную положи-
положительную внутреннюю доходность у > 0. В самом деле, условие поло-
положительности сумм потока означает, что
k=Q
но тогда все положительные корни функции f(x) будут больше едини-
единицы, т.е. х > 1, а значит, у = х — 1 > 0. Таким образом, диапазон корней
f(x) в этом случае сужается до отрезка [1,F], где F — определенная
выше верхняя граница корней функции f(x).
Вернемся теперь к вопросу о единственности корней уравне-
уравнения A4.35).
На этот вопрос отвечает известная теорема Декарта [7], которая
утверждает, что число положительных корней многочлена
аохп + аххп~х + ... +ап
не превышает числа перемен знаков в последовательности коэффи-
коэффициентов ао,а\,... ,ап (нулевые коэффициенты игнорируются). Если
к тому же все корни этого многочлена вещественны, то эти числа
совпадают.
Из теоремы Декарта немедленно следует единственность внутрен-
внутренней доходности для сделок с нормальными денежными потоками, так
как условие нормальности означает, что все расходы, т. е. отрицатель-
отрицательные коэффициенты многочлена f(x) из A4.35), предшествуют всем
доходам, т. е. положительным коэффициентам этого многочлена. Таким
образом, в последовательности его коэффициентов имеется всего одна
перемена знаков и, значит, по теореме Декарта этот многочлен имеет
не более одного положительного корня х.
Поскольку мы доказали существование положительных корней
в случае нормального потока, следовательно, уравнение A4.35) имеет
единственный положительный корень и потому определяет единствен-
единственную внутреннюю доходность.
Заметим, что в приведенном в начале этого параграфа контрпримере
поток платежей
CF = {@,-100), A,230), B,-132)}
имеет в точности две перемены знака и, как мы видели, соответству-
соответствующее балансовое уравнение имеет два положительных корня: х\ = 1,1
и Х2 = 1,2, которым соответствуют две внутренние доходности: у\ =0,1
и у2 = 0,2.
В заключение этого параграфа приведем еще одно условие един-
единственности внутренней доходности.

14.6. Критерии единственности внутренней доходности	557
Рассмотрим сделку с представляющим потоком
CF = {@,C0),(lCl),...,(n,Cn)}.	A4.36)
Пусть у — внутренняя доходность этой сделки, т. е.
?,у)к = 0.	A4.37)
к=0
Свяжем со сделкой счет с переменным капиталом в схеме сложных
процентов, состояния которого будут представлять состояние сделки.
Иными словами, положим
#0 = Со,
Sk = Sk-l(l+y) + Ck, к=\,2,...,п.
Теорема 14.2. Если сальдо счета сделки с потоком A4.36) име-
имеет постоянный знак в моменты к = 0, 1,..., п — 1 для внутренней
доходности у > — 1, то доходность единственна, т.е. она является
единственным решением уравнения A4.37) с условием у > — 1.
Доказательство. Будем считать для определенности, что Со <
< 0. Тогда по условию теоремы имеем
So = Со < 0,
Si =
Заметим, что из последнего уравнения следует, что Сп > 0, по-
поскольку
Cn = -Sn-i(l+y),
a Sn_i <0 и 1 +у >0.
Допустим, что существует еще одна внутренняя доходность у1 та-
такая, что 1 + у1 > 0 и у1 ^ у. Пусть, например, у1 > у. Обозначим через
S'k состояния счета, соответствующие доходности у1:
Из условия 1 + у' > 1 + у и отрицательности S&, к = 1, 2,..., п — 1,
следует, что для любого к = 1,2,... ,п
s'k < sk.
Но по условию Sn = 0 и, значит,

558	Гл. 14. Оценка доходности финансовых операций
что противоречит тому, что у1 — внутренняя доходность.
Аналогично рассматривается случай у1 < у. Таким образом, теорема
доказана.	¦
До сих пор мы работали со сделками, которые имели хотя бы одно
значение для внутренней доходности. Легко привести примеры сделок,
не имеющих внутренней доходности.
Пример 14.15. Инвестор занимает у лица А 1ZI000 на год по ставке
10% годовых и дает эту сумму в кредит лицу В на этот же срок по ставке
12% годовых. Какова внутренняя доходность сделки?
Решение. Нетто-поток сделки имеет вид
CF = {@,0), A,100)}.
В самом деле, Со = 0, поскольку инвестор получает 7^1000 и тут же отдает их
в кредит. Начальные инвестиции равны нулю, так как инвестор не привлекает
собственного капитала. В конце года он получит от лица В 7^1200 и обязан
отдать лицу А 7^1100. В результате инвестор получит чистый доход в 7^100.
Доходность такой сделки
100
г = 	= +оо
можно считать бесконечно большой. Формально же уравнение
0A+?/)+ 100 = 0
не имеет решений.	¦
В предыдущем примере балансовое решение не имеет решений
ни вещественных, ни комплексных. В следующем примере балансовое
уравнение сделки имеет только комплексные (мнимые) решения.
Пример 14.16. Инвестор вместо двух платежей в 7^100 в начале 1-го
года и 7^101 в конце 2-го года соответственно получает 7^200 в конце 1-го
года. Какова внутренняя доходность сделки?
Решение. Для данной сделки имеем следующий поток платежей:
CF = {@,-100), A,200), B,-101)}.
Балансовое уравнение для внутренней доходности имеет вид
100A + уJ - 200A + у) + 101 = 0.
Решая это уравнение, получим
/ = 0,01,
т. е.
у = ±0,1г,
где г — мнимая единица (только здесь). Таким образом, оба корня чисто
мнимые.	¦
14.7. Вычисление внутренней доходности
В предыдущих параграфах мы отметили ряд трудностей, связан-
связанных с вычислениями внутренней доходности. Основная из них со-
состоит в неоднозначности самого определения внутренней доходности
для произвольных потоков платежей, порождаемых данной финансовой

14.7. Вычисление внутренней доходности	559
сделкой. Но даже в тех случаях, когда денежный поток CF сделки
обеспечивает единственность решения балансового уравнения
PVp(CF,y) = 0, y>-\,	A4.38)
(например, в случае нормального потока), нахождение числового зна-
значения, т. е. решения этого уравнения, может быть трудоемким делом.
В общем случае уравнение A4.38) (в исходной временной шкале)
является трансцендентным уравнением. Выбор общей меры для крити-
критических промежутков, описанный в предыдущем параграфе, приводит
к алгебраическому уравнению, в котором левая часть представля-
представляет собой многочлен, причем, как правило, большой степени и тем
большей, чем больше платежей в потоке CF и меньше общая мера.
С вычислительной точки зрения основная проблема состоит в том, что
уравнение A4.38) определяет внутреннюю доходность лишь неявно,
в отличие, например, от базовой формулы A4.2), с помощью которой
доходность за период вычисляется непосредственно.
Несмотря на указанные трудности, все же вычисление внутренней
доходности, исходя из балансового уравнения A4.38), не представляет
особых проблем, поскольку имеются методы (алгоритмы) вычисления
корней таких уравнений с любой степенью точности. Все эти мето-
методы являются итеративными процедурами, порождающими последова-
последовательность приближенных значений
У\,У2,---,Уп,---,
где уо — некоторое начальное, задаваемое как параметр процедуры,
значение, а все последующие значения у^, к= 1,2,..., — функции от
предыдущих значений:
Ук = Ф(ук-\,Ук-2,...,Уо)-
Чаще всего при этом используется простая итерационная схема:
Ук = Ф(Ук-\),
в которой очередное значение корня ук получается применением одной
и той же последовательности операций к непосредственно предшеству-
предшествующему значению ук-\-
Корректные алгоритмы выдают последовательность приближенных
значений, сходящихся к искомому точному решению
lim yn = у.
п^оо
Конечно, точное решение представляет собой лишь предельное значе-
значение, и на практике итерационные вычисления прерываются при дости-
достижении требуемой точности г > 0:
\Уп ~У\<:?.

560	Гл. 14. Оценка доходности финансовых операций
Если уравнение A4.38) имеет несколько корней, то точное зна-
значение, являющееся пределом порождающейся алгоритмом последова-
последовательности приближенных значений, зависит от начального приближе-
приближения уц. Для различных начальных приближений один и тот же алго-
алгоритм может порождать последовательности, сходящиеся к разным пре-
пределам. Более того, при некоторых начальных значениях порождаемая
последовательность может вообще не сходиться. Обычно в описании
алгоритмов содержатся рекомендации по выбору начальных прибли-
приближений, обеспечивающих сходимость последовательности приближений
в заданной области.
Мы не будем описывать здесь алгоритмы решения уравне-
уравнения A4.38), поскольку большинство из них хорошо известны и их
описание содержится в большинстве руководств по численным мето-
методам (см. [2]). Вместо этого мы опишем ряд приближенных методов,
которые основываются на замене (преобразовании) самого уравнения
баланса. Эти методы основаны на том, что вместо решения сложно-
сложного уравнения A4.38) решают другое существенно более простое урав-
уравнение. Это упрощение делается с таким расчетом, чтобы, во-первых,
оно позволяло получить явное решение уравнения, обычно в виде ра-
рационального выражения от исходных данных (элементов потока), и,
во-вторых, чтобы это решение было удовлетворительным приближе-
приближением к точному решению исходного уравнения A4.38). В частности,
такой подход позволяет получать хорошие начальные приближения
для итерационных методов, поскольку чем выше точность начального
приближения, тем меньшее число итераций необходимо для получения
приближенного решения с заданной точностью.
Методы вычисления внутренней доходности, основанные на пре-
преобразовании уравнения баланса A4.38), обычно используются в тех
случаях, когда точное описание потока платежей CF невозможно или
затруднительно. Поэтому вместо потока CF оперируют его обобщен-
обобщенными характеристиками. Особенно часто такой подход используется
при оценке работы крупных финансовых институтов, таких, как инве-
инвестиционные или пенсионные фонды, банки, страховые компании и т. п.
Выше деятельность таких институтов была описана нами в рамках
модели фонда, представляющего собой счет с переменным капиталом,
состояния которого задаются функцией S(t) и внешним потоком CF
(дискретным, непрерывным или общим). Ниже мы опишем один из
методов, позволяющий получить приближенную оценку внутренней
доходности операций фонда на некотором периоде.
Рассмотрим работу фонда за период [to,ti], причем без потери
общности можно считать, что этот период имеет единичную дли-
длину: Т = П -to = 1.
Пусть to = то < т\ < ... < тп = t\ — критические моменты операций
фонда за период [to,t\]. Положим, как и выше,

14.7. Вычисление внутренней доходности	561
— стоимости активов фонда непосредственно перед и сразу же после
критического момента тк. При этом Vb = V^~ = V^~ — начальная,
Vn = V~ — конечная стоимости активов фонда.
Разность
h = Vk--V+_l, k=l,2,...,n,
можно рассматривать как полный инвестиционный доход, полученный
фондом за критический период [тъ-ьтъ]. При этом платеж потока
в критический момент тк равен
Со = -Vo,
Ck = Vk-V+, k=l,2,...,n-l.
Отсюда следует, что
kl-Vk-_l)-Vk-_l = (Vk--Vk-_1)+Ck.l, к = 2,3,..., п.
Суммируя все эти равенства, получим
к=\	к=\
откуда
Vn-V0 = I-N,	A4.39)
где / — суммарный полный доход фонда, а N = NV(CF) — нетто-
величина внешнего потока.
Пусть теперь у — внутренняя доходность фонда. Тогда согласно ее
определению можно записать
Vn = V0(l+y)- E СкA + у)и~Тк.	A4.40)
к=\
Используя равенство A4.39), уравнение A4.40) можно переписать
в виде
I = V0y- E Ск[A+ у)и~Тк - 1].	A4.41)
к=\
Заметим, что выражение [A -\-y)tl~Tk — 1] представляет собой доход-
доходность за период [т^Л\]-
Используя приближенное равенство
которое означает, по существу, замену эффективной доходности (у сле-
слева) нормированной простой доходностью (у справа), уравнение A4.41)
можно переписать в виде
Еад-4	О4-42)
к=\

562	Гл. 14. Оценка доходности финансовых операций
Выражение в квадратных скобках называют средневзвешенным (по
времени) капиталом и обозначают Vcp:
Уср =	• [Vq — У^ Ck(t\ — Tk)} = Vo — V Ck(t\ — Tk). A4.43)
Подчеркнем еще раз, что здесь мы рассмотрели случай, когда пери-
период оценки фонда является единичным, т. е. t\ — to = 1, что обеспечивает
соответствующую размерность величины Vcp.
Напомним также, что согласно принятому соглашению дополни-
дополнительные инвестиции рассматриваются как расходы и, следовательно,
в потоке CF задаются отрицательными значениями, поэтому величи-
величины Ck в этом случае будут отрицательными.
Из A4.42) и A4.43) окончательно получаем, что приближенная
оценка для внутренней доходности за (единичный) период задается
формулой
У~^Г-	(ХАЛА)
В качестве примера рассмотрим случай равномерного поступления
инвестируемого капитала, т. е. будем считать CF постоянной рентой
(заметим, что с точки зрения фонда платежи ренты — это расход).
Тогда
С\ =С2 = ... = Cn_i =С <0
и	{
ть—ть-\ = —, к =1,2,...,п.
п
Поэтому
П—1	s~i TL—1	s~i TL—1	s-ч(	л\
к=\	к=\	j=\
Заметим, что выражение С(п— 1) есть нетто-величина потока CF,
представляющего постоянную ренту, т.е. С(п — 1) = N.
Таким образом, согласно формуле A4.43) средневзвешенный капи-
капитал для постоянной ренты будет определяться формулой
Vcp = V0-1--N.	A4.49)
Отсюда, используя равенство A4.39), получаем
Vcp Vo+(VnVoI)	f.
Подставляя это выражение для Vcp в формулу A4.44), получаем при-
приближенную формулу для оценки внутренней доходности фонда при
равномерном поступлении инвестированного капитала:
_ 2/

14.7. Вычисление внутренней доходности	563
Эта формула была впервые получена известным математиком Г. Харди
в 1890 г. [32] для общего внешнего потока CF.
Приведенное доказательство легко обобщается на случай произ-
произвольного потока CF, являющегося суммой дискретной части CF^
с платежной функцией C(t) и непрерывной части CF^ с плотностью
/i(t). В этом случае балансовое уравнение A4.38) остается тем же
самым, но при этом нетто-величина потока N находится по формуле
и
\
а уравнение для внутренней ставки (доходности) имеет вид
и
to<t<ti
(мы, по-прежнему, считаем, что t\ — to = 1, т. е. рассматриваем единич-
единичный интервал оценки фонда).
Действуя таким же образом, что и в дискретном случае, можно
получить приближенное равенство
i^yWo- ? Ct(tx-t)-
L to<t<U	t0
где выражение в квадратных скобках представляет собой (по определе-
определению) средневзвешенный капитал. Например, для чисто непрерывного
потока (Ct = 0) с постоянной плотностью /i(t) = —jiq получаем, с одной
стороны,
а с другой —
откуда получаем
Vcp = V0-j,
т. е. упоминавшееся выше выражение для средневзвешенного капитала
при равномерном его поступлении.
Пример 14.17. Пусть начальная стоимость активов пенсионного фонда
на начало года составляет 7^500000, а инвестиционный доход фонда за год
равен 7^40000. Взносы за год составили 7^25000, а выплаты фонда составили
7^36000. Найти конечную стоимость и доходность фонда за год, предполагая
равномерное распределение взносов и выплат.
Решение. Согласно условию Vo = 500 000, / = 40000 и
n = -25000 + збооо = 1 юоо(тг).

564	Гл. 14. Оценка доходности финансовых операций
Тогда на основании A4.39) и A4.45) находим
Vi = V0 + I-N = 529000(?г)
и
Vcp = V0-^N = 500000 - 5500 = 494 500(?г).
Следовательно,
или 16,18% годовых.
2-40000 П1Л1С
у «	= 0,1618,
^ 494 500
Пример 14.18. Пусть стоимость активов фонда на начало года состав-
составляла 7^100000. К 1 марта стоимость активов возросла до 7^120000 и 1 марта
в фонд поступило дополнительно 7^30000. К 1 ноября активы фонда состав-
составляли 7^160000 и 1 ноября фонд выплатил 7^40000. Найти взвешенную по
времени и денежно-взвешенную (внутреннюю) доходности операций фонда,
если к концу года активы составляли 7^130000.
Решение. Временно-взвешенная доходность будет равна, очевидно,
1,2 1,6 1,3
У(д) = Т " пГ п = 0,3887,
или 38,87% за год.
Для определения внутренней доходности сначала найдем согласно A4.39)
общий доход из уравнения баланса
130000 = 100000 + 30000 - 40000 + /.
Отсюда
/ = 4оооо(тг).
Средневзвешенную величину капитала вычисляем по формуле A4.43):
vcp = looooo + - • зоооо - 1 • 40000 = 115833,зз(тг).
4	6
Следовательно, приближенное значение для внутренней доходности равно
40000
у *
или 34,53% за год.	¦
В заключение этого параграфа приведем еще одну приближенную
формулу для внутренней доходности, используемой в оценке эффек-
эффективности кредитных операций. Речь идет о внутренней ставке для
потребительской схемы погашения долга.
Напомним, что в потребительской схеме кредит на сумму Р, выдан-
выданный на срок п лет по годовой потребительской ставке ic, погашается
пт одинаковыми платежами величины
РA+Ч	A4.46)
Ч
пт
где т — число выплат в году.
Обычно внутреннюю ставку, эквивалентную потребительской, ищут
в виде номинальной ставки j(m) такой, что соответствующая ей ставка
г = i\/m за период h = 1/га между выплатами,
Лт)
г = -—,

14.7. Вычисление внутренней доходности	565
является внутренней ставкой потока
{@,-P);(k,C), k= l,2,...,nm}.
Точное уравнение для ставки г приводит к алгебраическому уравнению
степени пт.
Вычислим ставку г другим способом. Считая, что каждый платеж С
включает в себя процентную
(JnP __ р гс
т
и основную
части, где N = пт — общее число платежей, составим баланс общей
суммы процентов из условия (приближенного) равенства, с одной сто-
стороны, всех процентных выплат по потребительской ставке ic, а с дру-
другой — общей суммы процентов на остатки долга после каждого периода
по ставке г.
Начальный долг составляет
Остаток долга после после первой выплаты будет равен
после второй
r	2P N — 2
8 р	Е
и т.д.
Соответственно проценты по ставке i за первый период составят
h = Soi = Pi = ^ Ni,
за второй
и т.д.
Общая сумма процентов на остатки долга будет равна
гР- ^^. A4.47)
С другой стороны, общая сумма процентных выплат в потребитель-
потребительской схеме составляет
1 = Ргсп.	A4.48)

566	Гл. 14. Оценка доходности финансовых операций
Приравнивая выражения A4.47) и A4.48), получим
откуда
г~ гс • -^-г = гс •	,.	A4.49)
7V + 1	пт + 1	v	}
Соответствующая номинальная годовая ставка равна
.(т)	. . 2пт
ЛТП) _ т% ^		^
Пример 14.19. Пусть потребительский кредит на сумму 7^12000 сроком
на год получен по потребительской ставке гс = 12% годовых. Долг погашается
одинаковыми ежемесячными платежами. Найти размер платежей и приближен-
приближенное значение внутренней ставки по этому кредиту.
Решение. Общая сумма процентов за год согласно формуле A4.48) со-
составляет
1 = Ргс= 12000 • 0,12 = 1440(?г).
Тогда полная сумма равна
s = p + i= 134оо(тг).
Теперь по формуле A4.46) можно найти величину ежемесячного платежа:
Внутренняя месячная ставка согласно формуле A4.49) будет равна
гмес ~ 0,12 • —^— = 0,018462
или 1,85%, что соответствует номинальной годовой ставке
/12)^ 12-гмес = 0,2215,
или примерно 22% годовых.	¦
Вопросы и упражнения
1.	Дайте определения: а) доходности сделки за период; б) простой доход-
доходности сделки; в) эффективной доходности сделки.
2.	Что такое доходность актива и портфеля активов? Какие предположения
подразумеваются при определении этих понятий?
3.	Опишите основные виды усреднения доходностей за последовательные
периоды времени. Определите взвешенные по времени и денежно-взвешенные
доходности.
4.	Что такое внутренняя доходность сделки? Запишите уравнение для
внутренней доходности сделки с заданным порождающим потоком платежей.
5.	Приведите критерии единственности внутренней доходности сделки с за-
заданным потоком платежей.
6.	Опишите приближенный метод Харди вычисления внутренней доход-
доходности.

14.7. Задачи
567
Задачи
1.	В начале года Вы купили акции компании А по 7^340 за акцию,
а год спустя продали их по 7^390 за штуку. Годовой дивиденд составил Т1\Ъ
на акцию. Найти доходность акции корпорации А за год. Какова текущая
доходность этой акции?
2.	В начале года Вы купили 100 акций компании А по 7^600 за акцию,
а спустя год продали их по 7^610 за акцию. Годовой дивиденд составил 7^30 на
акцию. Каков ценовой доход от продажи акции? Каков текущий доход? Какова
доходность акций за год?
3.	Инвестор, обладая свободным капиталом в 7^500000, инвестирует его
в портфель активов, дающих 10% годовых текущей и 20% годовых ценовой
доходностей. Планируемый инвестиционный период 3 года. Найти капитал
инвестора в конце периода.
4.	Финансовая фирма управляет средствами спонсоров пенсионных схем.
Один из ее клиентов предоставил в управление фирмы $200 млн. За последние
три месяца денежный поток, связанный с портфелем этого клиента, составил
$20 млн: $8 млн и $4 млн. На конец 3-месячного периода рыночная стои-
стоимость портфеля была равна $208 млн. а) Чему равна денежно-взвешенная
доходность портфеля этого клиента за 3-месячный срок? б) Предположим, что
выплаченные во 2-м месяце $8 млн представляют собой изъятие спонсором
пенсионной схемы части размещенных средств. Какова была бы денежно-
взвешенная доходность, если бы это изъятие не производилось?
5.	Чему будет равна среднегодовая доходность портфеля, если: а) сред-
среднемесячная доходность портфеля составила 1,23%? б) средняя за квартал
доходность портфеля составила 1,78%?
6.	Пусть портфель состоит из четырех активов. Рыночная стоимость и ре-
реализованная доходность каждого актива за некоторый фиксированный период
задаются табл. 14.1. Вычислите доходность этого портфеля за период.
Таблица 14.1
Актив
1
2
3
4
Рыночная стоимость, млн руб.
15
45
30
10
Доходность
11%
15%
-6%
1%
7.	Пусть два финансовых менеджера получили следующую доходность
(в месяц) (табл. 14.2):
а) Найти среднюю арифметическую ежемесячную доходность для каждого
из менеджеров, б) Найти средневзвешенную по времени ежемесячную доход-
доходность для каждого из менеджеров, в) Почему для первого менеджера средняя
арифметическая доходность сильнее отличается от взвешенной по времени
ежемесячной доходности, чем для второго?
8.	Стоимость портфеля в 1996 г. задается табл. 14.3 (в млн $).

568
Гл. 14. Оценка доходности финансовых операций
Таблица 14.2
Месяц
1
2
3
4
Менеджер 1, %
9
13
22
-18
Менеджер
2, %
25
13
22
-24
Таблица 14.3
31.12.95
42,2
31.03.96
47,3
30.06.96
98,4
30.09.96
150,7
31.12.96
155,8
В начале апреля @1.04.96) было дополнительно инвестировано $50 млн.
В начале июля @1.07.96) было инвестировано еще $50 млн. Никаких изъятий
капитала в 1996 г. не было. Найти доходность, реализованную менеджером за
1996 г.

Приложение
Дни
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
Янв
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
Таблиц;
Фев
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
—
—
Map
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
11
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
\ 11.1
Апр
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
ПО
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
—
Номера дней в високосном году
Май
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
Июн
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
—
Июл
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
Авг
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
Сен
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
—
Окт
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
Ноя
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
—
Дек
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366

570
Приложение
Дни
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
Янв
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
Таблица
Фев
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
—
—
—
Map
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
11
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
11.2.
Апр
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
ПО
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
—
Номера дней
Май
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
Июн
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
—
в невисокосном
Июл
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
Авг
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
Сен
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
284
265
266
267
268
269
270
271
272
273
—
году
Окт
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
Ноя
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
—
Дек
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365

Приложение
571
Таблица П
.3. Примеры расчетов числа дней между ;
30/360-схемам
начальная
дата
Янв-01-86
Янв-01-86
Янв-15-86
Фев-01-86
Фев-15-86
Map-15-86
Мар-31-8б
Мар-31-8б
Мар-31-8б
Июл-15-86
Авг-21-8б
Ноя-01-86
Дек-15-86
Дек-15-86
Дек-31-86
Фев-01-88
Авг-30-91
Авг-30-91
Авг-30-91
Авг-30-91
Авг-30-91
Авг-30-91
Авг-30-91
Авг-30-91
Авг-30-91
Авг-30-91
Авг-31-91
Авг-31-91
Авг-31-91
Авг-31-91
Авг-31-91
Авг-31-91
Авг-31-91
Авг-31-91
Авг-31-91
Авг-31-91
Янв-15-92
Янв-15-92
Янв-15-92
Янв-15-93
Янв-15-93
Янв-15-93
конечная
дата
Фев-01-86
Янв-01-87
Фев-01-86
Мар-01-86
Апр-01-86
Июн-15-86
Апр-01-86
Апр-30-86
Дек-31-86
Сен-15-86
Апр-11-87
Мар-01-87
Дек-30-86
Дек-31-86
Фев-01-87
Мар-01-88
Авг-31-91
Сен-01-91
Фев-27-92
Фев-28-92
Фев-29-92
Мар-01-92
Авг-29-92
Авг-30-92
Авг-31-92
Сен-01-92
Сен-01-91
Сен-02-91
Фев-27-92
Фев-28-92
Фев-29-92
Мар-01-92
Авг-29-92
Авг-30-92
Авг-31-92
Сен-01-92
Фев-28-92
Фев-29-92
Мар-01-92
Фев-27-93
Фев-28-93
Мар-01-93
датами по
эазличным
Число дней между датами
точное число
дней
31
365
17
28
45
92
1
30
275
62
233
120
15
16
32
29
1
2
181
182
183
184
365
366
367
368
1
2
180
181
182
183
364
365
366
367
44
45
46
43
44
45
30/360
ISDA
30
360
16
30
46
90
1
30
270
60
230
120
15
16
31
30
0
1
177
178
179
181
359
360
360
361
1
2
177
178
179
181
359
360
360
361
43
44
46
42
43
46
30/360
PSA
30
360
16
30
46
90
1
30
270
60
230
120
15
16
31
30
0
1
177
178
179
181
359
360
360
361
1
2
177
178
179
181
359
360
360
361
43
44
46
42
43
46
ЗОЕ/360
30
360
16
30
46
90
1
30
270
60
230
120
15
15
31
30
0
1
177
178
179
181
359
360
360
361
1
2
177
178
179
181
359
360
360
361
43
44
46
42
43
46

572
Приложение
Продолжение табл. П.З
Начальная
дата
Фев-28-92
Фев-28-92
Фев-28-92
Фев-28-92
Фев-28-92
Фев-28-92
Фев-28-92
Фев-28-92
Фев-28-92
Фев-28-92
Фев-28-92
Фев-28-92
Фев-28-92
Фев-28-92
Фев-28-92
Фев-28-92
Фев-28-92
Фев-29-92
Фев-29-92
Фев-29-92
Фев-29-92
Фев-29-92
Фев-29-92
Фев-29-92
Фев-29-92
Фев-29-92
Фев-29-92
Фев-29-92
Фев-29-92
Фев-29-92
Фев-29-92
Фев-29-92
Фев-28-93
Фев-28-93
Фев-28-93
Фев-28-93
Фев-28-93
Фев-28-93
Фев-28-93
Фев-28-93
Фев-28-93
Фев-28-93
Фев-28-93
Фев-28-93
Фев-28-93
Конечная
дата
Фев-27-92
Фев-28-92
Фев-29-92
Мар-01-92
Мар-02-92
Авг-27-92
Авг-28-92
Авг-29-92
Авг-30-92
Авг-31-92
Сен-01-92
Сен-02-92
Фев-27-93
Фев-28-93
Мар-01-93
Мар-02-03
Мар-03-93
Фев-29-92
Мар-01-92
Мар-02-92
Авг-27-92
Авг-28-92
Авг-29-92
Авг-30-92
Авг-31-92
Сен-01-92
Сен-02-92
Фев-27-93
Фев-28-93
Мар-01-93
Мар-02-93
Мар-03-93
Фев-27-93
Фев-28-93
Мар-01-93
Мар-02-93
Авг-27-93
Авг-28-93
Авг-29-93
Авг-ЗО-93
Авг-31-93
Сен-01-93
Сен-02-93
Фев-27-94
Фев-28-94
Точное число
дней
-1
0
1
2
3
181
182
183
184
185
186
187
365
366
367
368
369
0
1
2
180
181
182
183
184
185
186
364
365
366
367
368
-1
0
1
2
180
181
182
183
184
185
186
364
365
30/360
ISDA
-1
0
1
3
4
179
180
181
182
183
183
184
359
360
363
364
365
0
2
3
178
179
180
181
182
182
183
358
359
362
363
364
-1
0
3
4
179
180
181
182
183
183
184
359
360
30/360
PSA
-1
0
1
3
4
179
180
181
182
183
183
184
359
360
363
364
365
-1
1
2
177
178
179
180
180
181
182
357
358
361
362
363
-3
-2
1
2
177
178
179
180
180
181
182
357
358
ЗОЕ/360
-1
0
1
3
4
179
180
181
182
182
183
184
359
360
363
364
365
0
2
3
178
179
180
181
181
182
183
358
359
362
363
364
-1
0
3
4
179
180
181
182
182
183
184
359
360

Список литературы
1.	Батракова Л. Г. Финансовые расчеты в коммерческих сделках. — М.:
Финансы и статистика, 1998. — 120 с.
2.	Бахвалов П.С. Численные методы. I. — М.: Наука, 1973. — 732 с.
3.	Башарин Г. П. Начала финансовой математики. — М.: Инфра-М, 1996. —
158 с.
4.	Буренин А. П. Рынок ценных бумаг и производных финансовых инструмен-
инструментов. — М.: 1-я Федеральная Книготорговая Компания, 1998. — 348 с.
5.	Бухвалов А.В., Идельсон А.В. Самоучитель по финансовым расчетам. —
М.: Мир, Пресс-сервис, 1998. — 174 с.
6.	Ващенко Т. В. Математика финансового менеджемента. — М.: Перспекти-
Перспектива, 1996. - 82 с.
7.	Винберг Э.Б. Курс алгебры. — М.: Факториал, 1999. — 527 с.
8.	Капелъян С.Н., Левкович О. Я. Основы финансовых и коммерческих расче-
расчетов. - Минск: НТЦ «АПИ», 1999. - 224 с.
9.	Касимова О.Ю., Крыжановский Г. А. Начала финансовой математики. —
М.: МНТФНИТ, 1996. - 120 с.
10.	Ковалев В.В., Уланов В.А. Курс финансовых вычислений. — М.: Финансы
и статистика, 1995. — 328 с.
11.	Кочович Е. Финансовая математика. Теория и практика финансово-банков-
финансово-банковских расчетов. — М.: Финансы и статистика, 1994. — 268 с.
12.	Кутуков В.Б. Основы финансовой и страховой математики. — М.: Дело,
1998. - 304 с.
13.	Малыхин В. И. Финансовая математика. — М.: Юнити, 1999. — 248 с.
14.	Медведев Г. А. Начальный курс финансовой математики. — М.:
ТОО «Остожье», 2000. - 267 с.
15.	Мелкумов Я.С, Румянцев В.И. Теоретическое и практическое пособие по
финансовым вычислениям. — М.: Инфра-М, 1996. — 336 с.
16.	Меньшиков И. С. Финансовый анализ ценных бумаг. — М.: Финансы и ста-
статистика, 1998. - 352 с.
17.	Мышкис А. Д. Элементы теории математических моделей. — М.: Наука,
1994. - 192 с.
18.	Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: На-
Наука, 1982. - 330 с.
19.	Постников М.М. Является ли математика наукой? // Математическое
образование. -1997.- № 2. С. 83-88.
20.	Радионов Н.В., Радионова СП. Основы финансового анализа. Математи-
Математические методы. Системный подход. — С.-Пб.: Альфа, 1999. — 590 с.
21.	Салин В.П., Ситникова О.Ю. Техника финансово-экономических расче-
расчетов. — М.: Финансы и статистика, 1998. — 76 с.

574	Список литературы
22.	Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование. — М.:
Наука, 1997. - 318 с.
23.	Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс математического анализа. — М.:
Наука, 1988. - 527 с.
24.	Фалин Г. И. Математические основы страхования жизни и пенсионных
схем. - М.: Изд-во МГУ, 1996. - 220 с.
25.	Фельдман А. А. Вексельное обращение. Российская и международная прак-
практика. - М.: Инфра-М, 1994. - 304 с.
26.	Фельдман А. А. Депозитные и сберегательные сертификаты. Чековое обра-
обращение. — М.: Инфра-М, 1994. — 168 с.
27.	Фельдман А. А. Государственные ценные бумаги. — М.: Инфра-М, 1994. —
168 с.
28.	Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчетов. — М.:
Дело, 1995. — 320 с.
29.	Чуйко А. С, Шершнев В.Г. Математические методы финансового обслужи-
обслуживания. — М.: Изд-во Российской экономической академии, 1998. — 124 с.
30.	Яглом И.М. Математические структуры и математическое моделирова-
моделирование. — М.: Советское радио, 1980. — 165 с.
31.	Kellison S.G. The Theory of Interest. Bostonn: Irwin, 1991. — 445 p.
32.	McCutcheon /./., Scott W.F. An Introduction to the Mathemathics of Fi-
Finance. — Oxford: Heinemann Proffesional Publishing, 1986. — 464 p.
33.	Pelaez L. G. Matematica de las operaciones financieras. — Madrid: Editorial
AC. 1993. - 735 p.
34.	Stigum M., Robinson F.L. Money Market and Bond Calculation. — L.: Irwin,
1996. - 376 p.

Учебное издание
БОЧАРОВ Павел Петрович
КАСИМОВ Юрий Федорович
ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА
Редактор И. Л. Легостаева
Оригинал-макет: В.В. Худяков
Оформление переплета: А.Ю. Алехина
ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 05.05.05.
Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 36. Уч.-изд. л. 39,6. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
http://www.fml.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов в ПФ «Полиграфист»
160001, г. Вологда, ул. Челюскинцев, 3
Тел.: (8172) 72-55-31, 72-61-75, факс: (8172) 72-60-72
E-mail: form.pfp@votel.ru http://www.vologda/~pfpv
ISBN 5-9221-0597-3
785922' 105972