/
Автор: Гольденберг Л.М. Матюшкин Б.Д. Поляк М.Н..
Теги: электротехника электрическая связь цифровая обработка сигналов радиосвязь
Год: 1985
Текст
Л.М.ГОЛЬДЕНБЕРГ
Б.Д.МАТЮШКИН
М.Н. ПОЛЯК
ЦИФРОВАЯ
ОБРАБОТКА
СИГНАЛОВ
ББК 32.88
Г63
УДК 621.372.542
Г63
Гольденберг Л.М. и др.
Цифровая обработка сигналов: Справочник/
Л. М. Гольденберг, Б. Д. Матюшкин, М. Н. Поляк.—
М.: Радио и связь, 1985. — 312 с., ил.
В пер.: 1 р. 40 к. 30 000 экз.
Приведены основные положения и расчетные формулы теории и ме-
тодов проектирования систем и устройств цифровой обработки сигналов.
Основное внимание уделено алгоритмическим методам синтеза и устрой-
ствам цифровой обработки в системах связи: избирательной цифровой
фильтрации, спектральному анализу, изменению частоты дискретизации
сигналов и др. Приведены программы и примеры по расчету цифровых
фильтров на ЭВМ, а также таблицы коэффициентов передаточных функ-
ций рекурсивных и нерекурсивных цифровых фильтров.
Для инженерно-технических работников, занимающихся проектирова-
нием и разработкой устройств цифровой обработки сигналов в технике
связи и управления.
2402040000—041
Г-------------94—85
046(01)—85
ББК 32.88
6Ф1
Рецензенты: А. М. TPAXTJ4AH, Б. А. КАЛАБЕКОВ
Редакция литературы по электрической связи
Лев Моисеевич Гольденберг, Борис Дмитриевич Матюшкин,
Михаил Николаевич Поляк
ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ. СПРАВОЧНИК
Редактор Е. В. Комарова
Художественный редактор Р. А. Клочков
Переплет художника Н. А. Пашуро
Технический редактор А. Н. Золотарева
Корректор И. Л. Жукова
ИБ № 1091
Сдано в набор 30-08.84
Т-24016 Формат 60X90'13
Печать высокая Усл. печ. л. 19,5
Изд. № 19495
Издательство «Радио и связь». 101000 Москва, Почтамт, а/я 693
Подписано в печать 10.12.84
Бумага тип. № 2 Гарнитура литературная
Усл. кр.-отт. 19,5 Уч.-изд. л. 21,59 Тираж 30 000 экз.
Зак. № 89 Цена 1 р. 40 к.
Московская типография № 5 В ГО «Союзучетиздат»
101000 Москва, ул. Кирова, д. 40
© Издательство «Радио и связь», 1985
ПРЕДИСЛОВИЕ
Перед разработчиками цифровой аппаратуры передачи и обработки сиг-
налов неизбежно возникают задачи, для решения которых приходится обра-
щаться к многочисленным монографиям, журнальным статьям, трудам раз-
личных конференций и т. д. Трудности решения многих из этих задач обу-
словлены и тем, что опубликованные работы написаны на разном уровне, с
привлечением различного рода допущений и, что особенно существенно, в ря-
де случаев не доведены до наглядных и вместе с тем строгих процедур и
программ.
В настоящей книге сделана попытка изложить с единых позиций наиболее
важные законченные результаты в области анализа и синтеза цифровых фильт-
ров и ряда устройств цифровой обработки сигналов. При этом авторы ограничи-
ваются трактовкой и методикой использования этих результатов и, как правило,
не приводят их доказательств; приводимые ссылки на литературу помогут
читателям при желании восполнить этот пробел. Методы расчета иллюстриру-
ются подробными примерами, приведены программы решения основных задач
синтеза цифровых фильтров.
Необходимо отметить, что цифровая обработка сигналов как область нау-
ки весьма далека от завершения, поэтому не все ситуации и проблемы, пред-
ставляющие теоретический и практический интерес, нашли достаточное отра-
жение в предлагаемой книге. При отборе и систематизации материала пред-
ставлялось необходимым: во-первых, рассмотреть алгоритмы цифровой обра-
ботки сигналов, во-вторых, дать законченную методику расчета цифровых
фильтров и, в-третьих, изложить ряд основных задач обработки сигналов в
технике связи.
В разд. 1 и 2 книги даны основные определения и понятия, относящиеся
к дискретным сигналам и дискретным системам, а в разд. 3 рассматривают-
ся эффекты квантования в цифровых фильтрах и методы их учета при синте-
зе цифровых систем обработки сигналов. Методика синтеза нерекурсивных и
рекурсивных цифровых фильтров и соответствующие примеры и алгоритмы
приведены в разд. 4 и 5. Методы расчета некоторых типов адаптивных филь-
тров приведены в разд. 6. В разд. 7—9 изложены цифровые методы решения за-
дач переноса спектров сигналов, формирования сигналов с одной боковой поло-
сой, увеличения и уменьшения частоты дискретизации сигналов, спектрально-
го анализа, сопряжения систем связи с различными принципами каналообра-
зования. В приложениях приведены программы расчета цифровых фильтров.
К сожалению, объем книги не позволил авторам детально рассмотреть ряд
других алгоритмов и применений цифровой обработки сигналов, а также во-
просы реализации соответствующих устройств на современной элементной ба-
зе. В связи с этим хотелось бы обратить внимание читателей на публикации
последних лет [1.3, 1.16, 2.2, 2.11].
Авторы признательны А. Т. Байковой, участвовавшей в написании разд. 1,
канд. техн, наук В. В. Домрачеву, составившему машинные программы расче-
та фильтров, а также своим коллегам на кафедре ИВТ ЛЭИС, принимавшим
участие в обсуждении рукописи. Авторы благодарят рецензентов Б. А. Кала-
бекова и А. М. Трахтмана за ценные замечания.
Отзывы о книге просим направлять в издательство «Радио и связь» по ад-
ресу: 101000, Москва, Почтамт, а/я 693.
3
1. СВОЙСТВА и ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ
1.1. ТИПЫ СИГНАЛОВ. СВЯЗЬ МЕЖДУ СИГНАЛАМИ
РАЗЛИЧНЫХ ТИПОВ
1.1.1. Классификация сигналов
Аналоговый сигнал описывается непрерывной (или кусочно-непрерывной)
функцией xa(t), причем и аргумент, и сама функция могут принимать лю-
бые значения из некоторых интервалов: х'й^х&^.х'гк.
На рис. 1.1,а изображен график аналогового сигнала xB(t) — Um sin at;
..to=2nf; l/m = l B; f=l/(2n) Гц.
JR аналоговым сигналам относятся, например, речевые сигналы в «обыч-
ной» телефонии и радиовещании и «обычные» телевизионные сигналы.
Дискретный сигнал описывается решетчатой функцией (последовательно-
стью, временным рядом) х(пТ), которая может принимать любые значения в
некотором интервале в то время как
независимая переменная п принимает лишь дис-
кретные значения, причем n=0, 1, ...; Т — интер-
вал дискретизации; )Д=1/Г—'Частота дискретиза-
ции. На рис. 1.1,6 изображен график дискретного
сигнала x(nT)—UmsinпаТ; a=2nf; Um—l В;
/=1/(2л) Гц; Г=л/4 с.
Используются и иные способы обозначения
решетчатой функции: х (п), хп, когда интервал ди-
скретизации тем или иным способом нормирован
и остается постоянным, или {х(пТ)}, когда необ-
ходимо подчеркнуть, что речь идет о решетчатой
функции в целом, а не об отдельном значении
(отсчете) этой функции при t=nT. В дальнейшем,
как правило, отдельный отсчет решетчатой функ-
ции при t=nT и решетчатая функция в целом бу-
дут обозначаться одинаково—х(пТ). Конечная
последовательность, т. е. дискретный сигнал, у
которого число отсчетов конечно, представляет
собой вектор и часто обозначается через к. Например, конечная последователь-
ность х, состоящая из трех отсчетов х(0) = 1, х(7’)=—2, х(2Т)=5, может быть
задана в следующей форме: х=[1, —2, 5]т, где Т — символ транспонирования
вектора.
Дискретный сигнал может быть вещественным или комплексным. В пер-
вом случае отсчеты принимают лишь вещественные значения, во втором — ком-
плексиые. К дискретным неквантоваиным по амплитуде сигналам относятся
сигналы, используемые в системах связи с амплитудно-импульсной модуляцией.
Цифровой сигнал описывается квантованной решетчатой функцией (кван-
тованной последовательностью, квантованным временным рядом) хц(пТ), т. е.
решетчатой функцией, принимающей лишь ряд дискретных значений — уровней
квантования hi, hz. hit, в то время как независимая переменная п принима-
ет значения 0, 1,... На рис. 1.1,в изображен график цифрового сигнала
Xu(nT)e=O^(C/msinn<BT); •
ю = 2л/:; 1/т=1В;
f=l/(2n)rn; 7 = л/4с; ; Л*
hi = — 1 4.0,95 (' 1), ”
/=1, 2... К; и нелинейная функция Ои(р) определяется следующим об-
разом:
'hi при
Ок (р) —. hi при
ha при
Р<(Л2 + Л1)/2;
(hi + Л/_1)/2<р (й{+1 +/ц)/2;
(hK + hK_l)/2<p,
1 — 2, 3..Д’—1.
Каждый из уровней квантования кодируется кодом, состоящим из двоич-
ных цифр, так что передача или обработка отсчета цифрового кодированного
сигнала сводится к операциям над безразмерным двоичным кодом. Число К
уровней квантования и число s разрядов соответствующих кодов связаны за-
висимостью* s^int(log2K). Значения цифрового сигнала могут быть заданы
таблицей. В табл. 1.1 приведены значения рассмотренного выше цифрового
сигнала хк(пТ) = Oit(Um sin пыТ), причем отсчеты представлены десятичными
числами или пятиразрядными двоичными кодами s=5, в которых первый сле-
ва разряд — знаковый.
К цифровым сигналам относятся сигналы, используемые в системах связи
с импульсио-кодовой модуляцией.
дискретные сигналы, так же как и аналоговые, образуют линейное прост-
ранство [1.1]. Поэтому математический аппа-
рат теории дискретных сигналов и линейных
дискретных систем развит так же хорошо, как
н математический аппарат теории аналоговых
сигналов и линейных аналоговых систем. Циф-
ровые сигналы при ограниченном числе разря-
дов, используемых для представления отсче-
тов, не образуют линейного пространства от-
носительно обычных операций сложения и ум-
ножения. Поэтому при решении задач обра-
ботки цифровых сигналов используются линей-
ные дискретные модели, позволяющие приме-
нять методы теории дискретных сигналов и ли-
нейных дискретных сйстем (см. разд. 2).
Таблица 1.1
п Хц (лТ)
Десятич- ный код Двоич- ный код
0 0,000 00000
1 0,750 00110
2 1,000 01000
3 0,750 00110
4 0,000 00000
5 —0,750 10110
6 —1,000 11000
7 —0,750 юно
8 0,000 00000
* Значение функции int(B) — наименьшее целое число, ие меньшее чис-
ла В.
1.1.2. Связь между аналоговыми и дискретными сигналами
где q— 1, 2,..., £ц
Операция дискретизации [1.2, 1.4] состоит в том, что по заданному ана-
логовому сигналу ла(/) строится дискретный сигнал х(пТ), причем х(пТ) —
= Ха(п7').
Операция восстановления состоит в том, что по заданному дискретному
сигналу х(пГ) строится аналоговый сигнал ха(Г), х(пГ)->ха(/) [1.4].
Операции дискретизации и восстановления взаимно обратны в том случае,
когда дискретизируемый аналоговый сигнал удовлетворяет условиям теоремы
Котельникова [1.5]: если аналоговый сигнал ха(/) имеет ограниченный (фи-
нитный) спектр, принимающий отличные от нуля значения лишь при coaming
^соа^соашях (где <оа=2л/а— круговая частота аналогового сигнала), и ди-
скретизация этого сигнала выполняется с частотой fK такой , что
2 ша maxtQ 2л /д 2 Ша mtn/(?— О,
_________________________________________та шод:_____1*
•Пашах—<*>а mln J
то этот апалогорый сигнал может быть точно восстановлен по отсчетам соот-
ветствующего дискретного сигнала.
Связь между спектром Х& (ico) аналогового сигнала ха(1) и спектром
Х(е’<аг) (см. 1.2.4) дискретного сигнала х(пТ) =ха(пТ) определяется форму-
лой [1.6].
X(e’“n = V *a(i
* m~—oa '
(1.1)
Это выражение описывает так называемое «размножение» спектра аналогового
сигнала при дискретизации.
Согласно теореме Котельникова аналоговый сигнал с ограниченным спект-
ром может быть точно (без потери информации) преобразован в дискретный
сигнал и затем точно восстановлен по отсчетам этого дискретного сигнала.
Практически любой аналоговый сигнал имеет ограниченный спектр и поэтому
может быть заменен при правильно выбранной частоте дискретизации соответ-
ствующим дискретным сигналом.
1.1.3. Связь между дискретными и цифровыми сигналами
Операция квантования и кодирования (аналого-цифрового преобразования)
состоит в том, что по заданному дискретному сигналу х(пТ) строится цифро-
вой кодированный сигнал ха(пТ), х(п7’)->хц(п7') так, что хп(пТ) жх(пТ),
п=0, 1, ...
Операция цифро-аналогового преобразования состоит в том, что по задан-
ному цифровому кодированному сигналу хп(пТ) строят дискретный сигнал
х(пТ), хц(пТ)->-х(пГ) так, что х(пГ)=хц(п7’).
Операции квантования и кодирования и цифро-аналогового преобразова-
ния не являются точно взаимно обратными, поскольку квантование в общем
•случае выполняется с неустранимой погрешностью. Как правило, считают, что
• Запись £Ц[А] означает «целая часть числа А» (например, £ц[8, 6]=»
•=8).
аналого-цифровые преобразователи (АЦП) выполняют операции дискретиза-
ции, квантования и кодирования, а цифро-аналоговые преобразователи
(ЦАП)—операции цифро-аналогового преобразования и восстановления [1.7].
Переход от дискретного сигнала к цифровому, т. е. операция квантования,
осуществляется в общем случае неточно. Если для представления каждого от-
счета используется достаточно большое число двоичных разрядов, то погреш-
ность квантования, оказывается малой и дискретный сигнал (и, следовательно,
соответствующий аналоговый сигнал) мцжет быть заменен определенным циф-
ровым сигналом. Практически число разрядов, которое могут обеспечить со-
временные АЦП при необходимой частоте дискретизации, достаточно для по-
лучения цифровых телевизионных сигналов, цифровых речевых сигналов в те-
лефонии и радиовещании.
1.1.4. Дискретная дельта-функция
Дискретная дельта-функция б((п—т)Т) пределяется следующим образом
(рис. 1.2, /п=3):
~ fl при n=m;
6((n—m)7)=„
(О при п^т.
Используя дискретную дельта-функцию, любую последовательность (решетча-
тую функцию) {х(пТ’)} можно представить как
{х (п7)} = J] х (т Т) 6 ((п—т) Т). (1.2)
т=0
Пример 1.1. Пусть х(0) = 1, х(Т) =—2, х(27)=2,5,
х(п7’)=0 при п^З. Тогда из (1.2)
{х (иТ)} ==6(иТ)—26((n—1) Т + 2,5б((и—2) Т).
8(.(п-з)т)
tZL_
Т 2ГЗТ trt
Рис. 1.2
1.2. 2-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
1.2.1. Прямое 2-преобразование
' Прямое 2-преобразование Х(г) последовательности х(пТ) определяется фор-
мулой
X (?) = 2 {х (п7)} = 2 х (пТ) г~п. (1.3)
п=0
Функцию X(z) называют 2-образом последовательности х(пТ).
Преобразование (1.3) имеет смысл для тех значений комплексной перемен-
ной z, при которых ряд (1.3) сходится.
Пример 1.2. Пусть х(0)=2, х(Т)=—1, х(27)=3, х(37) = 1,5, х(пТ)=0 при
п>4. Тогда из (1.3)
X (г) — 2—е—| + 3z~2 + 1,5 z~3.
В табл. 1.2 приведены ряд последовательностей и соответствующие им
2-образы [1.8].
С помощью 2-преобразования весьма удобно записывать различные фор-
мы выражений для передаточных функций и тем самым получать различные
Таблица 1.2
х(пГ Z{x(nT)}
,(-1)" 1/(1+z-‘)
п Z-‘/(l—Z-1)2
п2 (z-»+z-2)/(l—z-1)2
Д” 1 1—az-1
ид”-1 ' z—1/(1—az—*)2
a” sin пт az-1 sin т 1—2az-‘cosT+a2z-2
д” cos пт !—az-1 cost 1—,9л?—1 cos т4-л2'3’"2
формы реализации цифровых фильтров (см. 2.2). Кроме того Z-преобразова-
ние является основным способом расчета выходных сигналов дискретных и
цифровых фильтров при сложных входных воздействиях.
1,2.2. Основные свойства прямого /-преобразования
Пусть xi(nT), хг(пТ), хз(пТ)—последовательности; Xi(z), Xz(z), Xs(z)—
Z-образы этих последовательностей; Ci, с2 — коистаиты.
Если х3(п7) = с1х1(п7) + с2х2(п7), то Х3 (z) = (z) + c2 Х2 (г)
(линейность). Если х2 (п 7) = хг ((п —ш) 7), то X2(z) = xi(—mTJ + xHf—m+l)7)z-1-+ +. + хх (—7) z~< m~,) + z~mXi (z). (1.4> 1.5>
При *i( -m7)=*1((—m+l)7) = ...=*1(—7) = 0 X2 (z) = z~~m Xi (z) (теорема сдвига)
Если xs (n7) = jq (nT) x2 (nT)то
X3 (z) — . (о) Xi (z/v) v 1 dv, c (1.6>
где С — замкнутый контур в комплексной v-плоскости, охватывающей все осо-
бенности функции Xi(v)Xi(zlv)v-1, лежащие в окружности с центром в точке
О и с радиусом, равным |z| (теорема о комплексной свертке).
1.2.3. Обратное /-преобразование
Обратное /-преобразование определяется формулой
х (nT)=Z~l {X (г)} = X (г) z"-1 dz, (1.7)
С
где С — замкнутый контур в z-плоскости, охватывающей все особенности функ-
ции X(z)zn-‘.
Обратное z-преобразование может быть определено путем вычисления ин-
теграла (1.7), если последний не является расходящимся [1.9, 1.10]:
х<"т,=1-№=н
lim
Л-1 [(г-z^F (г)]
dz‘k~l
(1-8)
где F(z) =X(z)zn~1, jziW, .z2<1^. Zp’o — все не равные друг другу полюсы
функции F(z); Ik—кратность полюса zxUfc). причем 0!=1 и d°<p (z)/dz°=ср (z).
Существует второй способ вычисления (1.7) [1.9]:
x(„n==J[^X(z-2)l (1-9)
n' L dzn Jz=o
Формула (1.8) позволяет получить аналитическую зависимость х(пТ) от
п и рассчитать х(пТ) для любого значения и; формула (1.9) позволяет рассчи-
тать х(пТ), не вычисляя полюсов функции X(z)zn-*.
Пример 1.3. Пусть X(z)=z~’/((1—0,5z-l)(l—0,25z~s)). Используя (1.8) и
учитывая, что при л=0 полюсы F(z) имеют значения Zi=0, гг=0,5, г3=0,25,
а при п>1 — zl=0,5, z2=0,25, получаем
х
/0 при п=0;
{" ,~14-0.25п-1(2п-1 —1) при п>1.
Пример 1.4. Пусть Х(г) =1/(1+0,Зг_|—0,2г-2+0,1г-3—0,1г~4). Используя
(1.9), получаем: х(0) = 1; х(7’)=—0,3; х(2Т)=—0,11.
1.2.4. Преобразование Фурье
Спектром последовательности х(пТ) называют комплексную функцию X (е*“Г):
(1.10)
X (е* “т) = £ x(n Т) е“1 п“ т’,
п—0
х(пТ) = -~- f X (e1“r)e,n“rdu>.
*П -л/7
Формулы (1.10) представляют собой пару преобразований Фурье. Из
сравнения (1.3) и (1.10) видно, что спектр может быть получен путем подста-
новки г=е*“Г в /-образ последовательности. Поэтому из (1.4) и (1.5) пря-
9
мо следую? соответствующие свойства спектров последовательностей. При
Хз(пТ) — х^пТ)хг(пТ) из (1.6) следует соотношение
т
Xs(e’fflr) = — j Xi(eler)X2(e'M.r)de. (1.ц)
2л _эт/г
Пусть у(пТ) =x(n7)eln“iT, тогда из (1.10)
У (е‘“г) = Х(е! г), (1.12)
т. е. умножение последовательности х(и7") на последовательность eln“ir соответ-
ствует сдвигу спектра последовательности х(пТ) вправо по оси частот.
Из (1.10) следует соотношение
Х(е,ш7) = Х(е|(й)+т2я/г>г), (1.13)
т, е. спектр последовательности периодичен по частоте с периодом
<ад = 2л/Г. (1.14)
Для вещественных последовательностей из (1.10)
|Х(е’“г)| = |Х(е-‘“г)1;
arg [X (е1 “ г)] = —arg [X (е~1 “ г)], (1.15)
т. е. модуль спектра вещественной последовательности является четной, а аргу-
мент — нечетной функцией частоты. На рис. 1.3 показано условное изображение
модуля спектра вещественной последовательности. Спектр У(е|“т) называют ин-
версным по отношению к спектру X (е'“г) в том случае, если
У(в1<аГ) = Х(е* (te-h“H/2)r), й=±1, ±3, ±5,.., (Мб)
Пример 1.5. Пусть у(пТ)=с~1л^х(пТ) = (—1)пх(пТ), ин-п/Т, тогда из (1.12)
У(е‘“г) = Х(е| (“-"/ПГ),
т. е. умножение отсчетов сигнала х(пТ) на (—1)” позволяет получить сигнал
у(пТ), спектр которого инверсен по отношению к спектру сигнала х(пТ).
ЗГ/Т 2Л7Т а>
Рис. 1.3
Основным прямым спектром (прямой частью спектра) Х+ (е*“т) называют
часть спектра Х(е‘“т) сигнала х(пТ), полученного в итоге дискретизации ана-
логового сигнала ха(/), расположенную в области нижних частот от 0 до
<0д/2=л/7' (см. рис. 1.3).
Основным инверсным спектром (инверсной частью спектра) Х-(е1“т) на-
зывают часть спектра Х(е’“т) сигнала х(пТ), полученного в итоге дискрети-
зации аналогового сигнала ха(/) и расположенную в области частот от 0 до
—<ож/2=—л]Т (см. рис. 1.3).
10
Сдвинутым прямым спектром (или просто прямым спектром) Хп*(е,<иг)
называют часть спектра Х(е’“т); удовлетворяющую условию
х+(е*“г) = Х^(еЧ<в+*“д)7), (1.17)
О«о<я/Г; k — целое число.
Сдвинутым инверсным спектром (или просто инверсным спектром) А'ад(е'®т)
называют часть спектра Х(е'“т), удовлетворяющую условию
Х~ (е‘ “ г) = Xf ( е1 (®+fe“д)г)> (1.18)
Ососл/Т; k — целое число.
Рисунок 1.3 иллюстрирует (1.17) и (1.18). На этом рисунке показаны мо-
дули основных прямого и инверсного спектров, а также модули некоторых
сдвинутых прямых и инверсных спектров.
Соотношения (1.10) — (1.18) играют весьма важную роль, поскольку ос-
новой решения почти всех задач цифровой обработки является спектральная №
теория. Так, формула (1.12) соответствует алгоритму сдвига (переноса) спек- "S
тра дискретного сигнала х(пТ) из одной области частот в другую, который
сводится к умножению отсчетов х(пТ) на отсчеты e,n<»ir (<x>i— частота, на ко-
торую сдвигается спектр). Из формул (1.13)—(1.15) следует, что изменение
спектра сигнала при ш=<оо возможно лишь в том случае, если <Оо^«д/2. й;
Формула (1-16) определиет понятие «инверсный спектр», а в примере 1.5
рассмотрен алгоритм получения инверсного спектра последовательности х(пТ).
1.3. ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ. АЛГОРИТМЫ
БЫСТРОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
1.3.1. Общие сведения
Пара взаимно-однозначных преобразований:
X—I
Х(6)=2 x{nT)Wk^, 6 = 0........N—1; (1.19) J
n—0
1
x(nT) = — £ X(k)W^kn. n = 0,..., N—1, (1-20) J
где x(nT), (n=0,..., N—1)—последовательность из N временных отсчетов с
периодом Т; X(k) (6=0, ..., N—1) —последовательность из N частотных отсче-
тов; \Гк=е-12л/к, 1="]/ —1, называется дискретным преобразованием Фурье
(ДПФ).
Преобразование (1.19) называется прямым, а преобразование (1.20)—об-
ратныед ДПФ (ОДПФ).
Лв матричной форме ДПФ имеет вид
X = WAx, (1.21)
где X и х — TV-мерные векторы: Х=[Х(0), Х(1),..., X(N— 1)]т; х=[х(0),
х(Т),..., x((N—1)Г)]Т; WK — матрица размера TVXTV с элементами d(n, 6)=»
— WKnh = 1ГкпЛ<тоаИ>, n,k=0,..., TV— 1JОбратное ДПФ записывается в виде
x = W^1X,
И J
где W~*k—матрица, обратная к матрице Ww. Элементы W-1w равны
N N
Дискретное преобразование Фурье вводится для представления как пери-
одических последовательностей с периодом N отсчетов, так и последователь-
ностей конечной длины N. Коэффициенты ДПФ конечной последовательности
равны значениям ее Z-преобразования в N точках, равномерно распределенных
2л/г
по единичной окружности, т. е. X(k) =X(z) |z=e*-jy-, k=0,..., N— 1.
Сопоставляя Фурье-преобразование и ДПФ, можно отметить следующее.
Фурье-преобразование и понятие «спектр» относятся к бесконечной последо-
вательности х(пТ) в целом [см. (1.10)]. В тех случаях, когда речь идет о пре-
образованиях спектра бесконечной последовательности в целом [см., например,
(1.11), (1.12)], ДПФ применяется относительно редко. Так, сдвиг спектра
[см. (1.12)] н инверсия спектра (см. пример 1.5) выполняются умножением от-
счетов х(пТ) на множители, зависящие от п. Цифровая фильтрация (см.
разд. 2), реализующая изменение спектра входного сигнала по заданному за-
кону, также выполняется, как правило, без применения ДПФ. Исключением,
но весьма важным является применение ДПФ для вычисления линейной сверт-
ки (см. 1.4.3), что в сочетании с методами секционирования свертки (см. 1.4.4)
позволяет эффективно реализовать нерекурсивную цифровую фильтрацию бес-
конечной последовательности (см. разд. 2).
Дискретное преобразование Фурье [см. (1.19) и (1.20)] выполняется над
конечной последовательностью N отсчетов или над периодической последова-
тельностью, у которой период состоит из N отсчетов. Поскольку характеристи-
ки спектра последовательности, такие как спектральная плотность мощности,
амплитуды и фазы отдельных частот (см. разд. 8), определяются всегда с ис-
пользованием конечного числа отсчетов этой последовательности, ДПФ является
одним из важнейших средств их определения.
1.3.2. Свойства дискретного преобразования Фурье
Линейность. Если X(fe) и У (Л) есть ДПФ последовательностей х(пТ) и
у(пТ) соответственно, то ДПФ последовательности ах(пТ)-\-Ьу(пТ), где а и
Ь — произвольные константы, равно aX(k)-}-bY(k).
Сдвиг. Пусть X(k)—ДПФ последовательности х(пТ), а последователь-
ность у(пТ) получается из последовательности х(пТ) путем сдвига (в случае
конечной последовательности — кругового сдвига) на п» отсчетов (рис. 1.4).
Тогда ДПФ последовательности у(пТ) равно Y(k)—X(k)W^k
Аналогичный результат справедлив для сдвига коэффициентов ДПФ. Если
X(k) и Y(k) есть ДПФ последовательностей х(пТ) и у(пТ) соответственно и
У(й)=Х(Л-чМ, то y(nT)=x(nT)W^lk‘.
На рис. 1.4 приняты следующие обозначения: хв(пТ)—периодическая по-
следовательность, причем хв(пТ) =х(пТ) при n=0, 1,..., N—-1; хп((я—п0)Т)—
периодическая последовательность, сдвинутая относительно Хп(пТ) на п0 отсче-
тов; х((п—«о)У)—конечная последовательность, полученная круговым сдвигом
х(пТ) иа По отсчетов; х((п—п0)Т)=хп((п—По)Т) при n=0, 1,..., N—1.
Свойства симметрии. Если последовательность х(пГ) является действитель-
ной, то ее ДПФ удовлетворяет следующим условиям симметрии:
\ Re (X (fe)) = Re (X (N—k))-, Im (X (fe)) = — Im (X (N—fe));
|X(fe)| = |X(N—fe)|; arg X (fe) = —arg X (N—fe).
Дискретное преобразование Фурье симметричной последовательности
x(nT)—x((N—л) Г) является действительным.
Свойства симметрии позволяют с помощью' одного ДПФ преобразовывать
одновременно две действительные последовательности. Пусть действительные
последовательности х(пТ) и у(пТ) имеют ДПФ X(k) и У (Л) соответственно, а
последовательность и(пТ)—х(пТ)-{Лу(пТ) имеет ДПФ U(k) =X(fe)+iy(fe).
Тогда:
Re (X (fe)) = [Re (U (fe)) + Re (U (N—k))]/2;
Im (У (fe)) == [Re (U (X—fe))—Re (U (fe))]/2;
Re (У (fe)) = [Im (U(fe)) + Im (U (N—fe))]/2;
Im (X (fe)) = [Im (U (fe))—Im (U (N—fe))]/2.
Круговая свертка (см. 1.4.1). Пусть х(пТ) и у(пТ) имеют ДПФ X(fe) ж
K(fe) соответственно. Если последовательность и(пТ) равна круговой свертке
последовательностей х(пТ) и у(пТ):
N—1
u(nT)=^ х(1Т) у ((n—l) 7),
1=0
n = 0,..., N— 1,
то ее ДПФ равно U(fe) =X(fe)T(fe).
Если х(пТ) и у(пТ) имеют ДПФ X(fe) и E(fe) соответственно, то ДПФ
последовательности и(пТ) =х(пТ)у(пТ) равно (с точностью до постоинного
множителя) круговой свертке X (fe) и У (fe):
. JV-1
и(*) = Т-3 X(/)V(fe —/), fe = 0,..., N— 1-
п 1=0
Сопряженная формула обращения. Обратное ДПФ (1.20) можно bi
лять с помощью формулы для прямого ДПФ
— 1 lN~!_ \
х(пТ)=Р (пТ), где Р (п 7) = — (V X (k) WnNk],
(черта сверху означает комплексное сопряжение).
1.3.3. Многомерное дискретное преобразование Фурье
n = 0.N—l
Многомерным (/-мерным) ДПФ /-мерных последовательностей называется
пара следующих преобразований:
Nt-l Ns-1 ty-l
К(*ъ k2,..„ kl)= 2 I' S X^T’ n*T..................nlT)WkN\ni-^Nl,ni'
п,=0 пг=0 npiO ‘
^ = 0,..., Wx—1...... ki = o,..., Ni—l; (1.22)
j Wt—1 Ni-l Nl~l
п2т,..., niT)=-——— 2 У ... У X(klt k2,..., kfiX
NlNi...Nt
XW„*' n' W^‘ W„kl nl,
n1 = 0,..., Ni—l,..., ni=0.....Ni—1. (1.23)
Преобразование (1.22) называется прямым, а преобразование (1.23)—обрат-
ным многомерным ДПФ.
1.3.4. Алгоритмы БПФ с основанием 2
Вычисление ДПФ непосредственно по формуле (1.19) требует весьма боль-
шого числа операций: примерно № операций умножения и № операций сложе-
ния комплексных чисел. Быстрым преобразованием Фурье (БПФ) называют
набор алгоритмов, позволяющих резко уменьшить число операций, необходимое
для вычисления ДПФ.
Алгоритмы с основанием 2 используются при Л’=2\ v>0, v — целое. Основ-
ная идея, лежащая в их основе, заключается в сведении вычисления исходно-
го A-точечного ДПФ к вычислению нескольких Ai-точечных ДПФ, причем
Ni=2vi и Nf^N. Алгоритмы, при реализации которых требуется перестановка
отсчетов х(пТ) входной последовательности (см. пример 1.6), называются ал-
горитмами с прореживанием по времени. Алгоритмы, при реализации которых
требуется перестановка отсчетов X(k) выходной последовательности ( см. при-
мер 1.7), называются алгоритмами с прореживанием по частоте. По эффектив-
ности эти две разновидности алгоритмов эквивалентны и позволяют уменьшить
число требуемых арифметических операций примерно в N/v раз по сравнению
с прямым методом вычисления ДПФ.
Алгоритм с прореживанием по времени. Если последовательности х(пТ)
длиной N=2y разделить на две А/2-точечные последовательности, состоящие
из х(пТ) с четными и нечетными номерами соответственно, то выражение для
ДПФ (1.19) можно записать в виде
JV/2—1 N/2-1
X(fe)= x(2nT)WnNk/2+WkN 2 х((2п4-1)Т)Г^2, fe = 0,..., А—- 1.
п=0 п—0
(1.24)
14
Каждая из сумм в (1.24) является Л72-точечным ДПФ, которое аналогичным
образом можно представить через JV/4-точечные, а Х/4-точечные через N/8-
точечные и т. д., пока не останутся только 2-точечные. Таких ступеней пре-
образования всего v=log2X. На /«-ступени (т—0,..., v—1) производится пре»
образование множества N комплексных чисел Хт(п) в множество N комплекс»
ных чисел Хто-п(л) в соответствия с базовой операцией «бабочка», опнсывае-
мой выражениями: -
•X т+1 = (^ 4" Лт (?) \
, ' | ) (1.25) fea
v Xm+l(q)=Xm(p)—WrNXm](q),
где р, q и г зависят* От номера ступени т и могут быть определены из вира» ’’
жений, аналогичных (1.24).
Входная последовательность нулевой ступени Х0(п) получается переста-
новкой последовательности х(пТ) в соответствии с двоичной инверсией номе-
ров, т. е. число х(пТ) с номером (nv_j ..., л0) в двоичном представлении за-
поминается на месте Хо (п0,..., ).
Направленный граф, реализующий «бабочку», изображен на рис. 1.5. Здесь
сигналы ветвей, входящих в узел, суммируются; сигнал ветви умножается на
Рис. 1.5
коэффициент, записанный рядом с ветвью. Если коэффициент не указан, то
он полагается равным 1.
Пример 1.6. Рассмотрим случай X=8=2S. Так как v=3, то /п=0, 1, 2. Для
получения входного массива Хо(«) произведем двоично-инверсную перестановку
элементов последовательности х(пТ)=х(п), л=0, .... 7:
Хо (0) = Х„ (ООО) = х (ООО) =х (0); Хо (4) = Хо (100) = х (001) =х (1);
Хо (1) = Хо (001) = х (100) = х (4); Хо (5) = Хо (101) = х (101) = х (5);
Хо (2) = Хо (010) = х (010) = х (2); Хо (6) = Хо (110) = х (011) = х (3);
Хо (3) = Хо (ОН) = х (110)= х (6); Х0(7) = Х0(111) = х(111) = х(7).
Направленный граф с использованием «бабочки» и выражения (1.24) изобра-
жен на рис. 1.6.
Алгоритм с прореживанием по частоте. Исходная последовательность х(пТ)
разбивается на две подпоследовательности Xi(nT) =х(лТ) и х2(лТ)=х((л-^
-j-N/2)T), где л=0,..., N/2—1, и отдельно вычисляются четные и нечетные от-
счеты ДПФ: '
N/2-1 v
х(2Л)= (*1(пП+*8(«т»П%;
"1/2-х <L26)
X (%+!)= 2 (*1(«П-*2(пТ))й7"
л=0
15
Полученные lV/2-точечные ДПФ аналогичным образом можно представить I че-
рез Л7/4-точечные и т. д., пока не останутся только двухточечные (qcero
v=log2W ступеней преобразования). На m-й ступени (т=0,..., v—1) произ-
водится преобразование множества N комплексных чисел Хт(п) в множество
Х(0) =Xa((f)
хт =xD(t)
Х(2Т)=Хд<2)
х(зт)=хв(з[
JtffThXfl)
У.(5Т)=Х0(5)
х(7Т)-Хв(7}
Xt(3)
-1
xta
w
v/g ХМ
у WgXjW
1 m=2
[x2(o) -,„
x3(f>
We X2(2) -7 X/2
J Wg Х2(3).
ХД4) -7 XM
y^X^W^Xfa)
>o ~L x^>
-7
\Х3(0)
\4-~оХ(0)
XW
Х(2)
Х(3)
Х(4)
Х{5)
*<6>
^Ь^хсп
-7
Рис. 1.6
комплексных чисел Хт-ы(л) в соответствии с базовой операцией «бабочка»,
описываемой выражениями:
^т-Н (₽) — (Р) 4"
^т+1 (?) = (Р)~Хт (<?))
(1-27)
Рис. 1.7
где р, q и г для каждой ступени оп-
ределяются из выражений, аналогичных
(1.26). Направленный граф операции
«бабочка» изображен иа рис. 1.7.
В рассматриваемом алгоритме, в
отличие от алгоритма с прореживанием
по времени, в двоично-инверсионном порядке располагается не входная, а вы-
ходная последовательность X(k).
Х0(0)о-----
.Хд(2}О-^-
XB(6) o-?-
Puc. 1.8
16
Д Пример 1.7. Рассмотрим случай А=8, v=3. Направленный граф 8-точечно-
ДПФ с использованием операции «бабочка» и выражения (1.26) изображен
на, рис. 1.8.
Алгоритмы с прореживанием по времени и по частоте являются дуальными:
каждый из них может быть получен из другого путем взаимной замены входа
и выхода и обращения направления всех стрелок в направленном графе (см.
рис. 1.6 и 1.8).
ФОРТРАН — программа, реализующая алгоритм БПФ с основанием 2 при
прореживании по времени, приведена в [1.6]. В пакете прикладных программ
ЕС ЭВМ имеется подпрограмма FFTCO, которая также реализует алгоритм
БПФ.
1.3.5. Алгоритмы БПФ для произвольного составного А
Алгоритм с множителями поворота. Пусть A=AiA2, где Nt и А2 —любые
положительные целые. В этом случае вычисление A-точечного ДПФ можно
свести к определению Ni ^-точечных и Nt Ni -точечных ДПФ и А умножениям .
9 «а множители поворота УГ'к. Для этого в (1.19) необходимо сделать следую-Vv,
тую подстановку:
(1.28)
k = , tl -J~ Л2 Aj ,
где n2, fe2=?0,..., N2—1, n2,A1 = 0...... A2—1.
Тогда (1.19) преобразуется к виду
Nt-1
j х((л1 + л2А1)Т)^
n,=0
п,=0
Ц7^, nt
w Nt
(1-29)
Пример 1.8. Пусть A=6; A’i=3; A2=2. Согласно (1.28) положим k=ki+
-t-ki-2; л=л1+л2-3; «i, Лг=О, 1, 2; n2, kt =i0, 1. Тогда
Х(^ + А:2.2)
«г + 3п2) Т)мф Миф
nt
и3
Соответствующий направленный граф изображен на рис. 1.9.
лОТ =х(П о-М ДПФ
Д2Г) =х(277о—гМ-тачеч-
XffiT) =ЯОТо—дпе<р
X(W =х Wo---* 2-точеч-
Х(Т) =*1577°—
к2-П п,=О
к2=1 nt=0
кг-0 п,=2
кг-t nt=2
kz-0 п,=1
П, = 1
к2 = 1
3-точеч\. (0) -X (01
Г ное \*1^сХ(2)=Х&)
oj?(W=X(21
&^-оХ(/7=Х(31
-оХСТ=Х<«
3-точеч- /с,=/:
ное 2 -0' ....
ДПФ
Рис. 1.9
Алгоритмы БПФ с произвольным основанием. Используя алгоритм с мно-
жителями поворота, можно получить алгоритмы БПФ с основаниями, отличны-
ми от 2. На практике наибольшее применение нашли алгоритмы с основаниями
4, 8 и 16, позволяющие значительно сократить число требуемых операций по
сравнению с алгоритмами с основанием 2. В табл. 1.3 приведены выражения для
Таблица I
Алгоритм Действие Число действитель- ных умножений Число действитель- ных сложений
С основанием 2 Вычисление (A72)v 2-точечных ДПФ 0 2Nv
2V=2* Поворот (2v—4)Х+4 (v_2)X+2
v>l, целое Полное преобразова- ние (2v—4)N+4 (3v—2)N+2
С основанием 4 Вычисление (lV/4)v/2 4-точечных ДПФ 0 22Vv
X=(22)v/2 Поворот (3v/2—4)W+4 (3v/4—2)N-l-2
v/2>l, целое Полное преобразова- ние (3v/2—4)^+4 (275v—2)ДЧ2
С основанием 8 Вычисление (lV/8)v/3 8-точечных ДПФ lVv/6 131Vv/6
N= (23)v/s Поворот (7v/6—4)W+4 (7v/12—2)^+2
v/3>l, целое Полное преобразова- ние (4v/3—4)A/+4 (2,75v—2)X+2 .
С основанием 16 Вычисление (W/16)v/4 16-точечных ДПФ 5Wv/8 37Wv/16
N= (2‘)v/4 Поворот (15v/16—4)lV+4 (15v/32— 2)N+2
v/4>l, целое Полное преобразова- ние (25v/16—4)tf+4 (89v/32—2)N+2
расчета числа требуемых арифметических операций для алгоритмов с основа-
ниями 2, 4, 8 и 16. Предполагается, что для выполнения базовой операции (2,
4, 8 или 16-точечного ДПФ) используется алгоритм, требующий минимального
числа умножений и сложений.
Пример 1.9.Построить алгоритм 16-точечного ДПФ с основанием 4. По-
fe=^i-f-&2‘43
ложим ft'=ib=/ViJV2, где Л1=4; А2=4. Согласно (1.28) и (1.29)
я=Я1+яг-4; Я1, яг, kt, Л2=0, ..., 3;
3 Г/ 3
X fa + Л2-4) = У 2 х (fa + я2-4) т) WkS п'
n!=0L \п,=0
Построим алгоритм вычисления базового 4-точечного ДПФ
3
X fa = х (пТ) k = 0,...,3.
п=0
, Положим
fe = Ai-|-62-2; я = и14-л2-2; kt, k2, nlt я2 = 0,1.
Подставляя (1.32) в (1.31), получаем
(1.30)
(1.31)
(1.32)
1
Xfa + As.2)=£
п.=0
(1.33)
Направленный граф, соответствующий (1.33), изображен на рис. 1.10. Направ
ленный граф 16-точечного ДПФ изображен на рис. 1.11.
18
\ Алгоритм взаимно-простых делителей. Пусть #=#i#2, где #i и #2— взаим-
но-простые, т. е. (#i#2)*=l, а однозначное отображение между числами п=
=0,...,N—1; Л=0,...,#— 1 и парами (nlt п2), (felf Л2); пи ki=0 #i = l,
л2, ka=O,..., #2—1 определяется соотношениями:
и = П1#г4-л2; k^kiN^-j-kz. (1.34)
Рис. 1.10
Пусть последовательность х(лГ) получается из последовательности х(лГ) пере-
становкой**
х ((«1 #2 + л2) Т) = х((л2 #х + #2) (mod #) Т), (1.35)
а последовательность X(k) получается из последовательности ДПФ X(k) пе-
рестановкой
X (k± Nz + kz) = X((s1k2N1 + s2 ki #2) (mod #)). (1.36)
Числа Si и s2 определяются согласно китайской теореме об остатках .12] из
уравнений:
Sx#!: l(mod#2), sx<#2; (1-37)
s2#2 = 1 (modA^), s2<#x. (1.38)
x(0)
х(П
x(2T)
X(3T)
x&T)
x{57)
x(6T)
*(77)
xfST)
X(3T)
xWT)
ХЩТ)
XU2T1
X(t3T)
X(UT)
X(15T}
k,=0 Wfs,
n.-O
kt=3 Vl
!г,=П W.l
h~r wff'.
Xt=z
k,=3 w?s
kr=3 Wff
ki=0 W,ef
k^l W?f
k,=Z W&
n.=Z
krO W,<t
kM
k,=2 W^e
k.=0
кГ1
к.=2
oXlO)
X<3i
X(4)
оХЙ)
X(6)
X(7)
Х(в)
pXUSI
X(tt)
X(f2)
^°X(W
~5 >oX(7&>
Puc. 1.11
* Запись (#i, #2) означает «наибольший общий делитель чисел #i
и #2».
’• Запись «(mod/n) означает «остаток от деления числа п на число т»,
например 21 (mod 5) = 1.
19
Тогда справедливо выражение
Л\-1 /Л'2-1 \
2 2 ^((«1Л/2 + «2)П^22П2 (1-39)
«1—0 \ п2=0 /
Алгоритм взаимно простых делителей позволяет избавиться от множителей по-
ворота и свести вычисление Лг=Л'1Л'2-точечпого ДПФ к вычислению Nt- и /^-то-
чечных ДПФ и является по существу методом отображения одномерного ДПФ
на многомерное (см. 1.3.3).
Пример 1.10. Рассмотрим случай 7V=6. Пусть Ni=3; N3=2. Согласно (1.34)
положим:
П---П~1*2 —П2, k == ki*2 —^2»
klt /11 = 0,1,2; /г2Дл2 = 0,1.
Из Si-3= 1 (mod 2); Si<2; s2-2^1(mod3); s2<3 найдем: Sj=l; s2=2. Полу-
чим элементы вектора x(nT) из х(пТ) перестановкой (1.35)
X(0) 1 X(T) х(2П X(.3T) x(m ^x.(5Ti
♦ xm xm =- * *' -- x(2T) ХСЗП xW) ~~Т<ДТ)
и элементы выходного вектора X(k) из X(k) перестановкой (1.36)
Согласно (1.39)
Соответствующий направленный граф изображен на рис. 1.12.
Х(0) о___
х(зт; о—
Х{Т) о—„
Х(477о—*
Х(27)о--
х(577о—>-
2~ точеч-
ное
ДПФ
2-точеч-
ное
ДПР
У//
nr=o kt=l
f,=l kj=U We
k,=l W’*
2-точеч-
ное
ДПР
Пг2 V/£
п,=2 ki~J
kt=0
5—точеч-
ное
ДП<Р
кг=О
kz=13
кг=2
юХ(₽/
0/(21
oX(W
kt = f ..
oX (5?
J- гпочеч
ное :
ДПР
Рис. 1.12
20
Вычисление /-мерного ДПФ (см. 1.3.3) сводится к вычислению К-2, ...-
..., М-точечных ДПФ, для реализации которых могут быть использованы алго-
ритмы БПФ.
1.4. ДИСКРЕТНАЯ СВЕРТКА И ЕЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ
1.4.1. Круговая свертка
Пусть х(пТ) и h(nT) —две периодические последовательности с периодами
по N отсчетов.
Круговой (периодической или циклической) сверткой таких последовательно-
стей называется последовательность у(пТ), определяемая соотношением
N— 1
у (пТ) = 2 h (IT) х ((n—l) Т). (1.40>
1=0
Запись (1.40) эквивалентна записи
N— 1
-j/(nT) = 2 х(1Т)К((п — 1)Т).
1=0
(1-41)
Последовательность у(пТ) также является периодической с периодом в N отсче-
тов, поэтому достаточно вычислять ее на одном периоде, например при п—
= 0 А—1.
Соотношения (1.40) и (1.41) справедливы и для конечных последователь-
ностей х(пТ), h(nT) (п=0,.....А—1), если рассматривать их как один периол
соответствующих нм периодических последовательностей. Круговая свертка ко-
нечных последовательностей будет также конечной.
В матричной форме круговая свертка имеет вид
у = Нх или y = Xh, (1-42).
где у, h, х — Л’-мерпые векторы;
y = [j/(O), У(Т),..., y((N— 1)Г)]Т; h = [ft(0), h((N—1)7)... ft(7)S
x = [x(0), x((N—1)7),..., х(7)]т,
а Н и X — циклические матрицы размера NX.N:
Н-=
'h (0) h (7)... h ((N—1)7)
h (7) ft (27)... h (0)
ft (27) ft (37)... ft (7)
X
_ft((A—l)7)...ft((A—2)7) J
Гх(0)х(7)...х((А—1)7) -|
x (7) x (27).. .x (0)
x (27) x (37).. .x (7)
(1.43>
(1.44>
Lx ((N— 1) 7)... х ((А—2) 7) J
Пример 1.11. Вычислить круговую свертку последовательностей х(п7) длины
N и ft(«7)=6((n—Яо)7), по>0.
Представим h(nT) в виде последовательности длины N:
21
h(nT) =
О прн O^n<no;
1 При П = По',
О при tio<Zn^N—1.
На рис. 1.13 приведена графическая иллюстрация вычисления круговой сверт-
ки по формуле (1.40) для Л=4 и по=1. Здесь исходные конечные последова-
тельности периодически продолжены с периодом N отсчетов (пунктиром), чтобы
показать, как получается круговой сдвиг. Звездочками обозначены выборки,
составляющие у(пТ). Результирующая последовательность у(пТ) представляет
собой последовательность х(пТ), сдвинутую на отсчетов вправо.
х((3-ут)
Рис. 1.13
Дискретная свертка является одним из способов вычисления выходного сиг-
нала цифрового фильтра по заданному входному сигналу и известной импульс-
ной характеристике фильтра (см. 2.3.3).
1.4.2. Использование ДПФ для вычисления круговой свертки
Круговая свертка двух последовательностей х(пТ) и h(nT) может быть вы-
числена в результате выполнения следующих действий:
22
1. Вычисления ДПФ последовательности х(пТ)-.
N—1
Х(й) = 2 x(nT)Wff, 6 = 0,..., N—1. (1.45)
п=0
2. Вычисления ДПФ последовательности h(nT):
N—1
Н = h(nT)W^k, k = 0,--., N— 1- (1.46)
n=0
3. Перемножения коэффициентов полученных ДПФ:
У (k) = X(k)'H(k), 6=0......N— 1. (1.47)
4. Вычисления ОДПФ последовательности У (6):
j N— 1
у (пТ) = — У У (k) W„nk! «== 0,...., N—1. (1.48)
" fe=o
Последовательность y{nT) есть искомая свертка.
Пример 1.12. Решить пример 1.11 с использованием ДПФ.
Пусть ДПФ последовательности х(пТ) равно X(k). Из (1.19) ДПФ по*
следовательности h(nT) равно H(k) = Wfyk f 6=0, ..., —I. Перемножим X(k)
и H(k): Y(k)=X(k)W^°k, 6=0 N—1. Согласно свойству сдвига (см.
1.3.2) ОДПФ последовательности Y(k) равно х((п—п^Т). (Сравните с резуль-
татом примера 1.11.)
1.4.3. Линейная свертка
Линейной (апериодической) сверткой двух конечных последовательностей
х(пТ) и h(nT) по 2V] н ^2 отсчетов соответственно называется последователь-
ность у(пТ), определяемая соотношением
y(nT)^^h(lT}x((n— Г)Т}, п = 0.......... ^4-^—2, (1.49)
1=0
или
y(nT)=^x(lT)h((n —1)Т), п=0,..., ^4-^—2.
/=о
Последовательность у(пТ) является также конечной и имеет длину Л']+Лг2—1 от-
счетов.
Сформируем последовательности Х\(пТ) и hifnT) длиной по Ni+N2—1 от-
счетов:
Xi(nT) =
х(пТ)
0
при
при
hi (пТ)
(h(nT)
to
при
при
n = 0,..., Ni—1;
n = Ni,..., Ni-\-N2—2\
п = 0,..., N2—1;
n = N2,..., Ni-\-N2—2.
(1.50)
(1.51)
Тогда линейная свертка последовательностей х(пТ) и h(nT) будет равна (Л\+
Ч-JVj—1)-точечной круговой свертке последовательностей Xi(nT) и fti(nT’):
W,+Ns-2
p(nT)= Х1(/Т)Л1((п—/)Т), n = 0,..., N14-(V2—2, (1.52)
1=0
23
и может быть вычислена с использованием (Ni+Na—1)-точечного ДПФ (см.
1-4.2).
Пример 1.13. Вычислить линейную свертку двух конечных последователь-
ностей: х=[2, —2, 1]т; h=[l, 2]т. Здесь Ni=3, W2=2 и, следовательно, ЛЛ +
4-^—1=4. Сформируем последовательности длиной в четыре отсчета соглас-
но (1.50) н (1.51):
xi=(2, —2 ГОГ; ^=[1, 2, о, ojT.
Вычислим круговую свертку последовательностей х, и hi с помощью алго-
ритма 4-точечного БПФ (см. пример ' *»)•
1) ДПФ Xi равно Xi=[l,l+2i, 5,1—2i]T;
2) ДПФ hi равно Н^ГЗ.1—2i, —l,l+2t]T;
3) ДПФ у равно Y=X1-HT1=[.3,5, —5,5]т;
4) ОДПФ Y является искомой Сверткой и равно у='[2,2—3,2]т.
1.4.4. Секционированные свертки
В том случае, когда одна из последовательностей гораздо длиннее другой
(Wi^>Ar2 или используют процедуры, основанные на разбиении длин-
ной последовательности иа короткие секции и вычислении частичных сверток, из
которых формируется искомая линейная свертка. Существуют два метода с сек-
Рис. 1.14
24
ционированием свертки [1.6]: метод перекрытия с суммированием и метод пе-
рекрытия с накоплением.
Метод перекрытия с суммированием. Графическая иллюстрация метода при-
ведена на рис. 1.14.
Пусть более длинной, а в общем случае неограниченной является последо-
вательность х(пТ), а Л(пГ) содержит Ы2 отсчетов. Последовательность х(пТ) де-
лится на смежные секции Хй(пГ) по отсчетов, так что
оо
x(nT)=£ xft(nT),
fc=0
. т. при й^СпС(*+1) N1— 1 ;
где х*(п7) = 1
( 0 при других значениях п.
Вычисляем й-ю частичную линейную свертку ук(пТ) последовательностей
хь(пТ) и h(nT). Каждая частичная свертка имеет длину Ni+N2—1 и перекры-
вается с (й+1)-частичной сверткой на участке длиной в Мг—1 отсчетов. Поэто-
му на участке перекрытия их отсчеты нужно сложить. Проделывая указанные
дейетвг' для ссе.Т .*, получаем искомую свертку:
ее
у (пТ)= J^yk(nT).
Метод перекрытия с накоплением. Графическая иллюстрация метода приве-
дена на рис. 1.15. В данном случае перекрываются не выходные, а входные сек-
ции. Пусть h(nT) содержит Мг отсчетов. Длинная последовательность х(пТ) де-
лится на секции Хь(пТ) по N—Ni+N2—1 отсчетов, так что каждые две сосед-
ние перекрываются на участке длиной в N2—1 отсчетов. Последовательность
h(nT) дополняется нулями до получения длины в N отсчетов:
(лЛ =
h(nT) прн п=0, ... , IVg—1 ;
О при п—М2, ,N—1.
Находим й-ю частичную круговую свертку Ук(пТ) последовательностей ЛДпГ)
и Хъ(пТ). Последние (неверные нз-за циклического характера круговой сверт-
ки) N2—1 отсчетов каждой из последовательностей Уь(пТ) отбрасываются, а
остальные присоединяются к верным отсчетам (й—1)-й секции. Проделывая
описанную процедуру для всех й, получаем искомую свертку.
1.4.5. Методы быстрого вычисления круговой свертки
Существуют три основных метода быстрого вычисления круговой свертки.
Методы различаются требуемым объемом вычислительных операций и памяти,
а также степенью точности, связанной с ошибками округления.
Первый метод, основанный на использовании БПФ н получивший назва-
ние метода быстрой свертки, приводит к существенному сокращению требуемого
количества арнфметнческнх операций для последовательностей, длина которых
больше 32. Недостатки метода — значительные ошибки округления, большой
объем памяти, требуемый для хранения комплексных экспоненциальных коэф-
фициентов, н все еще значительный объем вычислений.
Второй метод, использующий теоретико-числовые преобразования (ТЧП), яв-
ляется точным, так как служит для преобразования последовательностей в коль-
це целых чисел. Существенный недостаток, ограничивающий его применение в
25
реальных системах, — зависимость между длиной последовательности N и тре-
буемой длиной кодового слова, что приводит к длинным кодовым словам для
больших N.
Третий метод — метод модульной арифметики в кольце полиномов, обеспе-
чивающий высокие эффективность и точность вычислений. Недостаток этого ме-
тода заключается в сложности программирования вычислений, которая зависит
от длины обрабатываемой последовательности.
Рис. 1.15
1.4.6. Использование теоретико-числовых преобразований
Так как последовательности в цифровых системах определяются с конечной
точностью, то они могут быть представлены в виде последовательностей целых
чисел, ограниченных сверху некоторым числом.
Теоретико-числовое преобразование определяется для последовательностей
целых чисел х(пТ), тг=О,... ,N—1 и X(k), k=0,... ,N—I, как пара преобра-
зований:
Х(Л) =
х (п Т) апк
(mod М) ;
(1.53)
26
/ N— 1 \
x(nT) = (n-1 X(k)aTnk 1 (modAf), (1.54)
имеющих структуру, похожую на структуру ДПФ. Здесь М — целое положи-
тельное число; N — целое положительное число, взаимно-простое с М н такое,
что на него делится число Р—1, где Р— любой из простых сомножителей М-г
а — число такое, что является наименьшим положительным целым числом, для
которого справедливо aN 1 (mod ).
Преобразование (1.53) называется прямым, а (1.54)—обратным ТЧП
(ОТЧП). При вычислении ОТЧП встречаются операции сравнения, выполняемые
над отрицательными степенями целого числа. По определению [1.12]
r]"s =ss ra (mod М),
где Гц га, s — целые числа; s>0 в том и только в том случае, если 1е
sr2ris(modAf).
Использование ТЧП для вычисления круговой свертки двух последователь-
ностей целых чисел х(пТ) н h(nT)=0 —1 аналогично ДПФ (см. 1.4.2) и
заключается в выполнении следующих действий:
1) вычислении ТЧП последовательности х(пТ):
/ N~1 X
Х(й) = (2 х(пТ)апк (mod M),k= 0, ... ,N—\\ (1.55)
2) вычислении ТЧП последовательности h(nT):
fN—l \
Н (k) = 2 h(nT)ank I (mod Л1), Л=0, ... , N— 1; (1.56)
\n=0 /
3) перемножении полученных ТЧП:
Y (k) = (X (k) H (k)) (mod M). k = 0...N— 1; (1.57)
4) вычислении ОТЧП последовательности У(й):
/ N— I \
y(nT) = I Л7'1 J Y(k)a~nk j(modAf). n^O, ... , /V— 1. (1.58)
\ л=о /
Последовательность y(nT) является искомой сверткой. Так как в кольце целых
чисел по mod числа могут быть представлены однозначно, если их абсолютное
значение не превосходит М/2, то х(пТ) и h(nT) должны быть промасштабиро-
ваны таким образом, чтобы \у(пТ)\^М/2.
С точки зрения эффективности вычислений к ТЧП предъявляются следующие
требования:
число N должно быть представимо в виде произведения большого числа
сомножителей, чтобы существовал эффективный алгоритм типа БПФ;
умножение на степени а должно быть простой операцией; так, если а равно
некоторой степени числа 2, то умножение сводится к сдвигам;
число М должно иметь двоичное представление с малым количеством раз-
рядов для облегчения операции по modAf и быть достаточно большим, чтобы
исключить переполнение.
Наибольшее распространение на практике получили теоретико-числовые пре-
образования с числами Ферма (ТЧПФ) и Мерсенна (ТЧПМ).
27
Теоретико-числовое преобразования Ферма [1.6, 1.12] является наиболее
перспективным, так как позволяет использовать эффективные алгоритмы типа
рПФ. В качестве модуля М выбирается одно из чисел Ферма:
Л1 = Г, = 22<+1 =2ft4-l,b = 2'.
.Здесь Ft называется 1-м числом Ферма. Первые семь чисел равны.
II II 11 11 II о W - СП W сл Ц СП W . —простые числа.
Fj = 641X6 700 417
F, = 274 177 X67 280 421 310 721.
В табл. 1.4 приведены параметры жескольких возможных реализаций ТЧПФ.
Таблица .1.4
г t ь N для а=2 N для а= V2 max а для Nma3c
2 4 24+1 8 16 16 V2"
3 8 2«-f-1 16 32 , 256 3
4 16 2“-f-1 32 64 65536 3
5 32. 2’2 4- 1 64 128 128 1/2
Пример 1.14. С помощью ТЧПФ вычислить свертку иоследовательйрстей:
«=[2, —2, 1, О]-т; h=[l, 2, 0, 0]т [1.12]. В качестве модуля выберем число
A1=F2=17. При N—4 а=4. Матрица ТЧПФ (1.53) принимает вид
1 1 1 1 1 -1 1 1 1 1 1 1
1 1 41. 42 42 44 43 46 =Я 1 1 4 —1 —Г 1 —4 —1 — 1 1 4 16 16 1 13 16
1 43 46 49 1 -Л —1 4 1 13 16 4
'Так как 4_,=—4 (mod 17), то матрица ОТЧПФ
(mod 17).
• Г1 1 1 11 1111 ’1
'?-<»=4~‘ га <0 1 1 М4 сч <•> 1 1 чф чф -Ч сч 1 1 <44 чф «—< »—< 4 1-^—1 4 1-1 1—1 ^13 1 1
] 4-З 4-6 4~9 1 4 —1 —4 1
1 1 1
13 16 4
16 1 16
4 16 13
(mod 17).
(Согласно (1.55)—(1.58) вычисляем:
1) ТЧПФ последовательности х:
;Xs=T4x(mod 17)
1
1
1
1
I 1 1
4 16 13
16 1 16
13 16 4
2
15
1
О
18
78
243
213
1
10
5
9
(mod 17)
X
28
2) ТЧПФ последовательности h:
Н = ТфЬ(то<117) 5Е
1
1
1
1
1
4
16
13
1
16
1
16
1
13
16
4
(mod 17),
3) У=Х-НТ=[3, 90, 80, 90]т^[3, 5, 12, 5]’(mod 17),
4) ОТЧПФ от Y дает искомую свертку: у^Т-'фУз [2, 2, 14, 2]т (mod 17).
Так как результаты должны лежать в диапазоне [—8, 8], то окончательно у=
= [2, 2, —3, 2]т. (Сравните с примером 1.13).
Т еОретико-числовым преобразованием Мерсенна [1.12] называется пара сле-
дующих преобразований:
/р—1 \
X (k) = * (nT)-2nkj (mod q), k = 0..... 1 ; (1.59)
\n=0 /
/ P—1 \
x (n T) = [ p~1 У X (k)2~nk J (mod q), n = 0, ... , p— 1, (1.60)
\ fe=o /
где p— простое положительное число; q—2?—1—простое число (число .Мер-
сенна).
В качестве р могут быть выбраны числа 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61. С
точки зрения обеспечиваемого динамического диапазона наиболее широко исполь-
зуются числа 31 и 61. Преобразование Мерсенна не обладает структурой БПФ
и для своей реализации требует (р—I)2 операций сдвига и р(р—1)—сложения.
Пример 1.15. С помощью ТЧПМ найдем свертку последовательностей: х=
= [2, —2, 1, 0, 0]т; h= [1, 2, 0, 0, 0]т. Выберем р=5, тогда р=25—1=31. Матри-
ца ТЧПМ имеет вид
*Гм — 1 1 1 2 1 22 1 23 1 24 1 22 24 2« 23 1 1 " 23 24 2» 2« 2» г12 212 21в _ = "1 1 1 2 1 4 1 8 _1 16 1 4 16 2 8 1 8 2 16 4 1- 16 8 4 2_ (mod 31)-
Так как 5-1=25(mod 31), то матрица ОТЧПМ
1 1 1 ' 1 1 1 1 1~1
2-1 2-2 2-» 2- -4 1 16 8 4 2
=5-2 2-2 2—4 2-е 2- -8 = 25 1 8 2 1( 4 (mod 31).
2-3 2-е 2-» 2- -12 Г 4 16 2 8
2—4 2-8 2-12 2- -16 1 2 4 8 16_
Теперь вычисляем:
1) ТЧПМ последовательности х: Х=Тмх=[1, 2, 10, 19, 9]T(mod31);
2) ТЧПМ последовательности h: НзТ„Ь^[3, 5, 9, 17, 2]т (mod 31);
3) произведение коэффициентов полученных ТЧПМ: У^НХ’^ГЗ. 10, 28,
13, 18]т (mod 31);
4) ОТЧПМ последовательности Y: y=T-'MY=[2, 2, 28, 2, 0]T(mod31).
Так как результат должен лежать в диамазоне [—15, 15], то искомая
свертка будет равна у=[2, 2, —3, 2, 0]т. (Сравните с примером 1.14.)
1.4.7. Испольеование модульной
арифметики в кольце полиномов
Последовательность у(пТ), равная круговой свертке последовательностей
х(пТ) и h(nT), n=0,...,N—1, является последовательностью коэффициентов
,полинома
29
У (г) = X (г) И (г) (mod (z^—l)), (1.61)
где
N— 1 N— 1 IV—1
X (г)= У x(/7)zz; Н(г)=У h(lT) г1 ; Г(г)=У У (IT) г1.
1=0 1=0 1=0
Для вычисления (1.61) воспользуемся китайской теоремой об остатках. Если
представить полином zN—1 в виде произведения k взаимно-простых полиномов
с коэффициентами из поля рациональных чисел (использование других полей
рассмотрено в [1.12])
v k
Т — 1- IJPz (г), (Рх (г).......Рь(г)) = 1, (1.62)
1=1
то
/ * \
F (г) = У Yi (z) Q, (г) (г) (mod (zN —1)) , (1.63)
\ 1=1 /
где
Yi (г) = X (г) Н (г) (mod Pi (2)) ; (1.64)
SI(?) = (z"—1)/Pj(z), (1.65)
полиномы Qi (z) должны удовлетворять соотношениям
Qi (z) Si (г) = 1 (mod Р; (z)), I — 1, ... , k. (1.66)
Пример 1.16. Вывести алгоритм вычисления круговой свертки последователь-
ностей х(пТ) и h(nT) длиной N=2.
Согласно (1.61):
X (г) = х (0) + х(Т) г, Н (z) = h (O)-f-ft (7) г;
У (2) = У (0) + У (7) г = (X (0) + х (7) г) (ft (0) + h (7) г) (mod (?2— 1))-
Представим г2—l=P,(z)P2(z), где Pt(z)=z—1; P2(z)=z+1. Тогда
(г) = mi = (х (0) + х (7)) (ft (0) + ft (7)); У2 (z) == m2 = (x (0) —
— x(7)) (ft (0)—ft (7)).
Согласно (1.65) Si(z) = z-rl; S2 = z—1. Согласно (1.66) Qi(z) (г-bl) s=
==l(mod(z—1)); Q2(z) (z—l)==l(mod(24-l)). Отсюда Qi(z)=l/2; Q2(z) =—1/2.
Подставляя полученные значения в (1.63), получаем
,, rrii m2 т-,~\-тг ! tn, — rrt2 \
у (2)= (2+1)- ~ (Z-1)= —г) =y(0) + ^(7)z,
или
У (0) = (mx 4- m2)/2 ;
у(7)==(тх — m2)/2.
В том случае, когда необходимо повторить вычисление для различных по-
следовательностей х(пТ) при одной и той же последовательности h(nT), целе-
сообразно все вычисления, связанные только с ft(n7), выполнять заранее и для
дальнейшего использования хранить в ячейках памяти. Такая предварительная
обработка данных существенно повышает эффективность вычислений.
30
Пример 1.17. Алгоритм 2-точечной круговой свертки с предварительной обра-
боткой данных (см. пример 1.16) имеет вид:
Si = x (0)+х (7) ; S2 = x(0)—х (7);
/Л(О) + Й(Т)\ „ //1(0)— h (Т)\ „
mi — I 2 I Si > Иг — i 2 I ч>2 ;
у (0) = т1 + т2 ; у(Т) = т1—т2.
В [1.12] показано, что минимальное число операций умножения, требуемых
для вычисления (1.16), составляет 2N—К, где К равно числу различных непри-
водимых в поле G множителей полинома 2N—1. Для многих (особенно простых)
Л' это число достижимо ценой чрезмерного увеличения числа операций сложения.
Поэтому предпочтительными являются так называемые субоптимальные алго-
ритмы с несколько большим числом операций умножения, но гораздо меньшим
числом операций сложения. В [1.12] приведены алгоритмы с предварительной
•обработкой данных для нескольких значений N. В табл. 1.5 приведено число
Таблица 1.5
N Число операций N Число операций
умножения сложения умножения сложения
2 2 4 6 8 34
3 4 11 7 16 70
4 5 15 8 14 46
5 10 31 9 19 81
требуемых арифметических операций, необходимых для их реализации. В том
случае, когда N—NiNz, где Ni и Лд— взаимно-простые числа, исходную матрицу
свертки, полученную путем соответствующей перестановки строк и столбцов,
можно представить в виде циклической матрицы размера Л^ХЛ’-,, элементами
которой, в свою очередь, являются циклические матрицы размера ЛГ2ХЛ'2, и
свести тем самым вычисление Л’-точечной свертки к вычислению Лч и Л'2-точеч-
ных сверток (алгоритм Агарваля — Кули [1.12]).
Рассматриваемый метод является, по существу, методом представления од-
номерной Лг-точечной свертки в виде двумерной (Л'1ХЛ‘2)-точечной свертки:
Л\-1 Л’ 8—1
у(П1Т,п2Т) = У У х(/17, /2 Т)/1 ((«!—/!) 7, (п2—/2)Г),
/,=0 1'2~0
где
/х = I (mod Ад); /2 s I (mod Лг2) ;
= n (mod Лд); n.2 = n (mod А2) ,n,l = Q, ... , N— 1.
Пример 1.18. Рассмотрим алгоритм вычисления 6-точечной круговой свертки.
Положим Л'1=2; Л72=3. Сопоставим каждому индексу м=0, ..., 5 пару коор-
динат («1, n-г), где n.i=n(mod2'); n2^«(mod3). Тогда получим следующее
взаимно-однозначное отображение:
0->(0, 0), 1-*(1, 1), 2->(0,2),
3->(1,0), 4->(0, 1),5->(1,2).
31
Теперь изменим порядок расположения элементов у(пТ) в векторе Y мат-
ричного выражения (1.42) таким образом, чтобы сначала размещались элемен-
ты, для которых Mi=0; м2=0, 1, 2, а затем элементы, для которых «1=1; п2=
= 0, 1, 2, т. е. 1/(0), 1/(47), у(2Т), у(ЗТ), у(Т), у(5Т). Тогда искомая свертка
записывается в виде
~у(0) ~ -х(0)
у(4Т) х (4 7)
У(2Т) х(2 7)
у(ЗТ) х(3 7)
У(Т) х(7)
_У(ЬТ)_ _ х (5 7)
х(4Т) х(27);х(37) х (7)
х(2 7) х(0) ;х(7) х (5 7)
х (0) х (4 7): х (5 7) х (3 7)
х(ТУ~''х(5Т)Гх'(6)''''х(4Т)
х (5 7) х (3 7): х (4 7) х (2 7)
х(3 7) х (7) :х(2 7) х(0)
х(5 7)~ ~h (0) ~
х(3 7) h (2 7)
х(7) h (4 7)
х (2 7) /i(3 7)
х(0) h (5 7)
х (4 7) _ -h(T) J
(1.67)
Матрица последнего выражения представляет собой циклическую матрицу7 раз-
мера 2x2 (NjXNi), элементами которой являются циклические матрицы размера
3X3 (МгХМг). Вычисление (1.67) сводится к вычислению 2- и 3-точечных кру-
говых сверток. Пусть:
Y0 = [p (0),г/(4 7), 1/(2 7)]т;
Y1 = [j/(3 7),j/(7), у(5 7)]т;
Но= [ft (0),/г (27), А (4 7)]т;
Hi= [/ (3 7),/1(5 7), h (7)]т;
"х (0) х (4 7) х (2 Т)~
хо = х (4 7) х(27) х (0)
-х(3 7)
х(7)
х (7) х (5 7)"
х (5 7) х (3 7) •
х (2 7) х (0) х (4 7)
х(5 7) х(3 7) х(7)
Тогда
Yo]
Yj
Хо Xj
xi Хо
[Н°1
LhJ ’
Используя алгоритм 2-точечной свертки (см. пример 1.17), получаем:
Мт= (Но + Н^;
м2= X-у*1 (Но—Hi);
Y0 = Mi + M2; Ma.
Для вычисления М и М2 применяется алгоритм 3-точечной свертки.
Пусть т\ и т2— числа требуемых умножений для N\- и А’-точечных свер-
ток соответственно [(Ач, /У2) = 1]. Аналогично о, и Ог— числа требуемых опера-
ций сложения. Тогда для А^ХА+точечной свертки число требуемых операций
умножения m и сложения а составит соответственно:
m = (1.68)
a = N1 a2-f-m2 аг. (1.69)
Пример 1.19. Пусть Af=6; А\=2; А72=3. Согласно табл. 1.5 mi =2; m2=4;
fli=4; о2=Г1. Пользуясь формулами (1.68) и (1.69), получаем: m=2-4=8; о=
=2-11+4-4=38.
Теперь положим: М=3; Af2=2. Тогда: И1=4; m2=2; ai=ll; о2=4. Анало-
гично находим: т=8; 0=3-4+2-11 = 12+22 = 34.
Расчеты показывают, что второй вариант является более экономичным по
числу требуемых операций сложения.
32
1.5. НЕКОТОРЫЕ ПЕРСПЕКТИВНЫЕ АЛГОРИТМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ДПФ
1.5.1. Алгоритм Винограда
Алгоритм Винограда [1.12] основан на представлении матрицы А^Л^Х
ХДдХ — XNV -точечного ДПФ, где все Ni — взаимно-простые числа, в виде
прямого произведения матриц Лд-точечных ДПФ
(1.70)
и сведении вычисления А^-точсчных ДПФ к вычислению круговых сверток с ис-
пользованием модульной арифметики в кольце полиномов (см. 1.4.7).
Алгоритм Винограда, имеющий «гнездовую» структуру, существенно эффек-
тивнее классических алгоритмов БПФ: при приблизительно равном числе опера-
ций сложения он требует на 80% меньше операций умножения.
Вычисление ДПФ коротких последовательностей. При N=p, ра, 2“, где р —
простое, нечетное число, а>1, ДПФ можно свести к вычислению круговых свер-
ток:
1. Пусть П=р. Тогда матрица ДПФ Wp|h,n¥,o путем соответствующей пе-
рестановки строк и столбцов может быть преобразована в циклическую матри-
цу Wp-i размера (р—1)Х(р—1).. Взаимно-однозначное соответствие между
показателями степени элементов IF«P матрицы Wp_! и индексами эле-
ментов циклической матрицы (1-43) задается так:
q = ап (mod р), п= 0.....р—2, (1.71)
где я — первообразный корень числа р [1.12].
Пример 1.20. Пусть Л7=р=7. Первообразным корнем числа 7 является а=*
=3. Тогда соответствие (1.71) запишется так:
' п 0 1 2 3 4 5
q 1 3 2 6 4 5
а матрица Wr/h, о преобразуется к виду
“if) if) I? 7) IF® F* IF)-
IF® IF* f) if)
W6 = wi wf F 7* IF? 1 f) if)
U 7? IF) I f) if)
W' IF? F 7) IF® I f) if)
wi F 7) IF) I F® TF)_
Тогда искомое ДПФ примет вид: F
X(0) = = j X (П T) >
n= = 0
-Х(1) —X (0) - — — -x(T)
Х(3)—х(0) x(3 d
Х(2) —x (0) x(2 T)
Х(6) —x(0) — W6 x(6T)
Х(4) — x(0) x(4 T)
(5) —* (0)_ . _ X (5 T)_
(1-72)
2—89
33
Выражение (1.72) представляет собой 6-точечную круговую свертку последо-
вательностей [ГГ*7, W37, W»7, We7, W4, и [x(7), х(ЗТ), х(4Т), х(6Т),
х(27), *(5Т)], для вычисления которой с помощью полиномиальных преобра-
аований требуется восемь операций умножения и 34 — сложения (см. табл. 1.5).
Для вычисления всего ДПФ к этому числу операций добавляются одна опера-
ция умножения на 1Г° и две операции сложения (см. табл. 1.6).
2. Пусть N—pa, а>1—целое. В этом случае вычисление ДПФ сводится к
вычислению двух р“~*-точечиых ДПФ и одной (р—1)ра-‘-точечной круговой
свертки. Это эквивалентно одной (р—1)ра-1, двум (р—1)ра-2, четырем (р—
—1) р“_3,..., 2“-* (р—1) -точечным сверткам. Взаимно-однозиачное соответствие
между показателями степени элементов циклических матриц W(p-i)P“—*
р ’
k—1.....а, и индексами элементов матрицы (1.43) задается равенством
4hlPk~l = ank (mod pa+1-ft),
n=0........(P—l)pa-fe —1.
аде a* — первообразный корень числа pa+«-*_
•Пример 1.21. Пусть N—32. В этом случае первообразные корни a,=a2=
=2. Соответствие (1.73) для й=1,2 запишется так:
Hi 0 1 2 3 4 5 п о J
но 00 см н о- 92 3 6
Тот-да 2-3=6-точечная круговая свертка будет иметь вид
~Х(1)^ “rj w29 W7g ТГ|~ x(T)
Х(2) W% W* W79 w'l x(2 T)
Х(4) W* wf W7g W'l w'g W2 x(4T)
Х(8) ^9 ^9 WS WS x(8T)
Х(7) wl W'g wl rg x(7T)
-Х(5)_ r* wl wl w7_ x(5T)
Последовательности X(3k), k=0, 1, 2 и 'X(k), k=0, ..., 8, вычисляются с помощью
3-точечных ДПФ:
X (0)- 1 1 1 - х(0) + *(ЗГ)4-х(6Т) _
X(3) 1 x(T)-H(47) 4-x(7T) >
_X(6) 1 x(2 7)4-x (5T)4-x (87)
Х(1) Х(1) Х(1)
Х(2) Х(2) X (2)
Х(4) + Х(4) = Х(4)
Х(8) X (8) X (8)
Х(7) Х(7) Х(7)
_Л(5)_ _Х(5)_ -X (5)_
Таким образом, вычисление 9-точечного ДПФ свелось к вычислению 6-точечной
круговой свертки и двух 3-точечных ДПФ, которые, в свою очередь, можно опре-
делить с помощью 2-точечной круговой свертки.
3. Пусть ДО=2“ а>2—целое. В этом случае вычисление ДПФ сводится к
вычислению двух 2“-1-точечных ДПФ и двумерной 2Х2а~2-точечной круговой
свертки, матрица которой имеет вид
W'a_2 w2'a_2
^2a-2 4a-l.
где W'2a—2 и 2 представляют собой циклические матрицы размера 2«~2Х
Х2“-2. Взаимно-однозначное соответствие между показателями степени ?i и qt
элементов матриц W'2a—2 и W/Z2a—2 и индексами элементов матрицы (1.43) име-
ет вид [1.12].
= 5" (mod 2“); q2 = —5" ( mod 2a), п = 0, ... , 2“~2 — 1. (1.74)
Пример 1.22. Пусть ДО=23. Соответствия (1.74) запишутся так:
” о । . п 0 1
5i 1 5 5а — 1 “— 5
Тогда:
-Х(0) -
Х(2) =
Х(4)
_Х(6) _
-1
_ 1
1
_1
Х(0)
Х(1)
X (2)
~ 1 1
1
1 ^8
1 wf
1 1
i —1
— 1 1
— i —1
X (4)
X (5)
Х(6)
_Х(7)_
1
О
1
ТГ*
О
1
— i
— 1
i.
1 -
о
О
wl
о __
- x (0) + x (4 T) -
х(Т) +х(5Т)
х(2 Т) + х (6 Т)
_ х (3 Т) + х (7 Т)
~х (0) + х (4 ТГ
х(Т) +х(5Т)
х (2 Т) + х (6 Т)
_х (3 Г) + х (7 Т)_
1111
— i —1 i
Последовательности X(k) и X (k) такие, что
X (1) X (1) X (1)
Х(5) + X (5) = Х(5)
X (7) X (7) Х(7)
_Х(3)_ -Х(3)_ _ X (3) _
х(0)
х(2Т)
х(4Т)
_*(6T)_
Вычисление ДПФ рассматриваемым методом не требует умножения на
комплексные коэффициенты, т. е. коэффициенты являются либо чисто действи-
тельными, либо чисто мнимыми. Вычисление ДПФ комплексных последователь-
ностей требует вдвое больше операций умножения и сложения.
В [1.12] приведены алгоритмы вычисления ДПФ коротких последователь-
ностей для N—2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 16. В табл. 1.6 приводится число требуемых
при этом арифметических операций.
Вычисление ДПФ длинных последовательностей. Пусть и A'i и
Ns — взаимно-простые числа. Если сделать перестановку входной и выходной по-
следовательностей, как и в алгоритме взаимно-простых делителей (см. 1.3.5), то
Таблица 1.6
N Число операций N Число операций
умноже- | ния | умножения на W° сложения умноже- ния умножения на W0 сложения
2 0 2 2 1 i 7 8 1 36
3 2 1 6 I 8 2 6 26
4 0 4 8 i 9 10 1 45
5 5 1 17 i 16 10 8 74
36
матрицу исходного ДПФ можно представить в виде прямого произведения мат-
риц Ni- и Л+точечных ДПФ:
W=>WA,1®WN2.
Пример 1.23. Пусть М=15; Wi=3; W2=5. Из уравнений (1.37) и (1.38)
Sr3=l (mod 5); S2-5=l (mod3), т. e. Si=S2=2. Переставим элементы х(иТ’)
согласно (1.35):
х ((«1*5 + n2) Т) = х ((n2-3-|-«i-5) (mod 5)-Т), пг = 0, 1,2 ; п2 = 0. ... , 4.
Введем векторы:
uft = [x ((O-t-бЛ) 7),х ((1 -J- 5 fe) Т), х ((2 + 5/г) Г), х ((3 + 5/г) Т),
Матрица выражения (1.75) и есть прямое произведение W3®W5.
Для вычисления векторов Ug, IJi и 1)2 воспользуемся алгоритмом вычисления
3-точечного ДПФ [1.12]:
Si = Ui + и2 ! S2 = uT—u2 ; S3 = + u0 ;
„ / 2 л \ — ~ 2 л —
m0 = Ws S3 ; mj = I cos — — 1 W5 ST ; m2 = i sin W5 S2 ;
\ О / о
S4 = m0 + mi; Sg — S4 + m2; Sg #— S4 — m2 ;
Uq — nig ; Uj — S5 U2 — Sg.
Для вычисления векторов mg, mi и m2 необходимо использовать алгоритм
5-точечного ДПФ. Элементы полученного массива следует переставить соглас-
но (1.36) для получения искомого массива:
X ((бЛг+КПу (mod 15)) = X (Лг5 + Л2), Л1==0, 1,2; Л2 = 0,...,4.
Таким образом, Л+точечное ДПФ требует Я1 операций сложения и mi опе-
раций умножения, включая Л4 умножений на IF0; Л’2-точечное ДПФ требует а2
операций сложения и т2 операций умножения, включая k2 умножений на IF0.
Тогда число требуемых операций сложения А и умножения М для Доточенного
ДПФ составит:
М = т1т2—(1-76)
A = N1 я2 + /п2 аг. (1.77)
Пример 1.24. Пусть W=15; lVi=3; Л 2=5. Согласно табл. 1.6 mi=3; Л1=1;
Oi=6; m2=6; a2=17. Пользуясь формулами (1.76) и (1.77), находим: 7И=17;
А=87.
Теперь пусть 7Л=5; W2=3. Тогда число операций умножения не изменит-
ся, а число операций сложения станет равным Д=81.
37
1.5.2. Алгоритм Винограда с использованием ТЧП
Теоретико-числовые преобразования (см. 1.4.7) могут быть использованы
для эффективного вычисления круговой свертки в алгоритме Винограда. В [1.14,
1.15] предлагается так называемый гибридный алгоритм с использованием ТЧП
Мерсенна (см. 1.4.6). В табл. 1.7 приведено число требуемых арифметических
операций для N=q'=l+a-2np, где д'— простое; р=31,61; а=3,5; п= 1,2,3.
В этом случае ДПФ сводится к вычислению (</—1)-точечной круговой свертки,
которую, в свою очередь, можно представить в виде прямого произведения а-2п
и p-точечных сверток (см. 1.4.7). Для вычисления p-точечной свертки использу-
ется ТЧП Мерсенна, требующее р операций умножения и 2р(р—1) сложения.
Таблица 1.7
9' e'—i Число операций для действительной вход- ной последователь- ности в' в'—1 Число операций для действительной вход- ной последователь- ности
умноже- ния । сложения умноже- ния сложения
367 2-3-61 488 61 976 1831 2-3-5-61 4880 607 560
373. 22-3-31 620 41044 1861 22-3-5-31 6200 412 920
733 22-3-61 1220 153 964 2441 2® 5-61 8540 1 073 600
1.5.3. Использование эффективных методов поворота вектора (КОРДИК)
КОР ДИК*—это совокупность эффективных методов поворота вектора (х,
y)=x+iy на угол 0 с помощью только операций сложения и сдвига [1.16].
КОРДИК может служить эффективным средством реализации поворачивающих
множителей в алгоритмах БПФ. Общее выражение, описывающее КОРДИК,
имеет вид:
х, = а х ± В у; 1
о (1-78)
где Xi, yi — координаты вектора, повернутого на угол 0=±arctg[£/a]. Модуль
вектора (хь г/i) равен модулю вектора (х, р), умноженному на коэффициент
G = ya2 + p.
Различают две основные разновидности КОРДИКа: полный и оптимальный.
Полный КОРДИК представляет собой итерационный процесс. В этом случае
а=1; Р=2_(, где I — номер итерации. Процесс поворота вектора (х, у) на угол
0 с точностью до n-го разряда требует п итераций и происходит следующим
образом: вначале осуществляется присвоение начальных значений
/=0; 6г=—0; Gi=l, а затем п раз выполняется последовательность операций:
-» a I —sign (0г);
xi+i = xi+ai yi2~l;
У1+1—У1 <4 xi 2 1; (1.79)
01+1 = 6/—0.1 0.1 + ctg (2~z) ;
Gl+i = Gz (1+2-^)1/2,
— l=l+ 1.
* CORDIC — Coordinate Rotation Digital Computer.
38
п—1
В конце n-й итерации коэффициент G= П (1+2-21)1/2«1,6.
г=о
Из (1.79) следует, что полный КОРДИК требует 2п операции сложения с
одновременным сдвигом.
Идея оптимального КОРДИКа заключается в том, чтобы выбрать такие
целые числа а и Р, удовлетворяющие равенству 6=arctg(P/a) или P/a=tg6 с
заданной степенью точности, чтобы минимизировать число операций сложения
при вычислениях по формулам (1.79). Другими словами, двоичное представле-
ние таких аир должно содержать минимальное число единиц.
Использование оптимального КОРДИКа для вычисления ДПФ становится
ясным из примера 1.25.
Пример 1.25. Вычислим 8-точечное ДПФ:
7
Х(Л)= У х(пТ) Упък ,
п=0
й=0, ... , 7.
(1.80)
Преобразуем выражение (1.80) согласно алгоритму с множителями поворота
(см. 1.3.5), для чего сделаем подстановку:
k = k1-}-k2-2; п = пг-1-П2'4:;
tt-y, Л2 — 0, ... , 3 j и2 - 0, 1 .
Тогда
з
п1=0
<((П1 + п2-4) Т) иф"2
П1 П1
(1.81)
Таким образом, вычисление свелось к 2- и 4-точечным ДПФ, не требующим опе-
раций умножения, и умножению на множители поворота Для реализации
множителей поворота используем оптимальный КОРДИК- Пояснения приведены
в табл. 1.8 для поворота на в= (2л/8)/+>л/8.
Таблица 1.8
ч 2Я 6—61 + 62+63+64
61 е2 0з б.
0 0 0 0 п/4 —л/8
1 п/4 0 0 —я/4 п/8
2 л/2 0 я/2 л/4 —я/8
3 Зп/4 0 л/2 —п/4 п/8
4 л л 0 п/4 —п/8
5 5л/4 л 0 —п/4 л/8
6 Зл/2 л зт/2 п/4 —п/8
7 7л/4 л л/2 —п/4 л/8
39
Как видно из табл. 1.8, повороты осуществляются в четыре ступени. На
первых двух ступенях повороты являются тривиальными и не изменяют моду-
ля векторов. На третьей и четвертой ступенях все векторы поворачиваются на
один и тот же угол с точностью до знака с тем, чтобы модуль всех векторов
умножался на один и тот же коэффициент G. В конце последней ступени все
векторы оказались повернутыми относительно искомого положения на один и
тот же дополнительный угол, равный л/8. Так как дополнительный фазовый
сдвиг не изменяет формы ДПФ, то его можно не устранять.
Повороты на л, л/2 и л/4 осуществляются следующим образом:
Xi=—х; |Xi=—-У',
л/2-»- {
У1=—1/; 11/1 = -*:;
Поворот на п/8 с точностью до 16-го разряда обеспечивается оптимальным от-
ношением а/р= 128/309, которому соответствует
я ( tx = x + x-2~2 ; ty — y + y-2-2 ;
j х1==. (1ж—/х.2~з—-х-2-8) 2-1 ± J/.2-2 ;
I У1= Чу—ty2~5~t/-2-8)2-! ± х-2-2.
В результате для вычисления 8-точечного ДПФ потребовалось 128 операций сло-
жения и ни одной операции умножения.
1.5.4. Специальные виды ДПФ
В таких важных приложениях цифровой обработки сигналов, как реализа-
ция трансмультиплексоров (см. разд. 9), нашли применение нечетно-временное
нечетно-частотное ДПФ (Н2ДПФ) [1.20] и косинусное преобразования [1.21],
позволяющие существенно сократить число требуемых арифметических опера-
ций по сравнению со случаем использования обычного ДПФ.
Нечетио-временнбе нечетно-частотное ДПФ. Этот вид преобразования ис-
пользуется для эффективного вычисления ДПФ А'-точечных (N кратно 4) сим-
метричных действительных последовательностей в случае, когда во временной
области отсчеты берутся в нечетные, кратные Т/2 моменты времени х((п+Ч2)Т),
n=0,...,N—1, а в частотной области — в нечетные, кратные \)2NT, точки
частотной оси: X^+’/s), k=Q,...,N—1.
Пара преобразований Н2ДПФ имеет вид:
2я(2Л+1)(2п+1)
/ 1 \ V* / / 1 \ \ 4 Д’
: (1-82)
\ 4 / п=0 \ \ £ / /
2л(2^+1)(2п+1)
/ / 1 \ \ X1 I 1 \ 4 N
Чг+^)7')=т£хе+т)е • <1ю>
Преобразование (1.82) называется прямым, а (1.83)—обратным (Н2ОДПФ).
В случае действительной входной последовательности с нечетной симметрией
х ((N—п—-) Т) =—х ((м+ —) Т) справедливо соотношение
2 2
[ 1 \
XlN—k----— )= — X
\ * /
(1-84)
причем Х(Л+*/2), k=0,..., N—1, является действительной последовательностью.
40
Процедура вычисления Н2ДПФ таких последовательностей задается следующим
образом [1.20]:
1) формируется комплексный вектор z, содержащий N/4 элементов:
z = [x ((п+1/2)Т) — i*((JV/2 + 2n4-l/2)T)],n = 0, ... , NJ4 — 1 ;
-1
2) каждый элемент вектора z умножается на множитель е
л=0, ..., N/4—1, в результате чего получается вектор U;
3) вычисляется стандартное Х/4-точечное ДПФ вектора LJ, результат — век-
тор V;
-I
4) каждый элемент вектора V умножается иа множители е W \ 8 )
fc=0, Х/4—1, в результате чего получается вектор W. Действительная и
мнимая части элементов полученного вектора W и есть искомые коэффициенты
Н2ДПФ:
Wh= 4" + (2k+ 4+4В ‘ (L85)
* \ \ £ J \ £ ** I I
Недостающие отсчеты определяются из соотношения (1.84).
Пример 1.26. Вычислить 8-точечное Н2ДПФ действительной последователь-
ности с нечетной симметрией х(иТ) = [1, 1, 1, 1, —1, —1, —1, —1]:
1) Z = [l + i, 1 + U;
Г -12?- -12L]
2) U=[(14-i)e 32 , V2e 32 ] ;
3) 2-точечное ДПФ вектора U равно:
V = [(1 4-1/2 4-i)e 32 ,(1 — T/24-i)e 32 J ;
4) W == (1 4-1/2) cos 4“ 4- sin ~ 4- i ( cos -Д- —sin
16 16 \ 16
(1/2 — 1) cos ПГ + sin 4 +1
10 10
Согласно (1.85):
X(4) = 2(1+1/2)cos 4+2sin4:
\ & f 10 10
cos — + (1 — 1/2) sin —
10 < 10
16
x(4+t)=2cos\f-
\ z / io
2
— 2(14-1/2) sin ;
X (24-—-) = 2 (1/2—1) cos 4 4-2 sin 4* i
\ 2 J 16 16
X (б4-—-^ = 2 cos 4" +2(1 —1/2) sin•
\ z / io lo
Пользуясь (1.84), получаем:
X (1 + 1/2)= —X (64- 1/2) ; X(34-l/2)=—X(4-]-l/2);
X (54-1/2)= —X (2 4- 1/2) ; X (7 4-1/2)= —X (1/2).
41
Дискретное косинусное преобразование (ДКП). Этот вид преобразования
последовательности х(пТ), n=0,...,N—1, определяется как
2 С (k) К—1
X W м 2 х (n Т) cos 1л (2 п + ’) */(2 ^Л. (1 -86>
'* п=0
где С (fe) = f V V2 при fe=0;
17 (1 при fe=l, .... ЛГ—1.
Обратное ДКП (ОДКП) имеет внд
N— 1
х(пТ) — X (fe)cos [л (2n-J- 1) k/(2N)], n = 0, ... , N—1. (1.87)
fc=o
Дискретное косинусное преобразование можно вычислять с использованием
//-точечного ДПФ [1.21]. Пусть
N— 1
F(k) = У] х{пТ) cos [л (2 п-|-1) fe/(2/V)], fe = О, ... ,N— 1,
n=0
и последовательность у(пТ), n=0,..,N—1, такая, что
У (I Т) = х(21Т);
у ((/4-/V/2) Т)=х ((2/4-1) Т), 1 = 0, ../,///2—1.
Если вычислить Л'-точечное.ДПФ следующим образом:
i — JV—1
Я(*)=е2ЛГ2 y^T)W^k,
«=° .. .
то F(fe)=Re(//(fe)) и
F = (fe)), fe = 0, ... , N/2,
а искомые коэффициенты ДКП
X (k) = 2F (k) С (k)/N, fe = 0, ... , N— 1.
При цифровом преобразовании первичных (12-канальных) групп с (частот-
ным разделением каналов) возникает необходимость вычисления 14-точечных
ДКП. В этом случае более эффективным является алгоритм, предложенный в
[1.18, 1.19]. Пусть требуется вычислить
/ л (2 п-4- 1) , \
x(nZ)=2 X(fe)cos \ 1 -fe , п=1...................12. (1.88)
k~o /
Так как
х((14—п—1)7)= ( — l)feX(fe)cos ,
4=0 28
то можно определить две последовательности:
„ л(2п4-1)2й
п„= 2 X{2k)C0S— J ---------------;
4=0 28
h V л(2п4-1) (2fe4-l)
bn = 2_ , х (2 k 4- 1) cos ----—----------- , п = 1, ... ,6,
fe=0 28
такие, что ап+Ьп=х(пТ) и ап—Ьп=х((14—п—.1)7).
42
Пусть Ch=cos(nfe/28), k—1, ..., 13. Тогда справедливы соотношения: аз=Х(0)—
—Х(4)+Х(8)-Х(12);
’ (й1 + йв)/2 '
Й6
_ (йг + й4)/2 _
~х (0)-
Х(0) 4-
-X (0)J L—С(
Cj2
С 4 Св
В С12
Ct —Cg
С12
Ct .
Х(4)'
— X (8)
X (12).
которая может быть вычислена с использованием полиномиальных преобразо-
ваний (см. 1.47) следующим образом [1.12]:
(х0 -}- хг -}- х2) , , ,
We = о (Уо 4- У14-у2);
3
(хг + xt—2х0) г
---------------(2/о—^2) ;
т2
з
(х0 + х2—2x0 ,
-----~ - (У2—У1);
(1.89)
3
(х0 4-Xi—2 х2) ,
------------- (У1—Уо) ;
3
z0=^m0-j-m2—tn-t', —т^\ г2 = тй— mz4-ms.
Для вычисления Ьп используются тождества:
С1 — С7 (Се 4- Св ); С9 -C-j^Cb — С12);
С3 = С7 (С4 4- С10); СХ1 = С, (Ct — Сю);
С5 = С7(С24-С12); С13 = С7(С6 — Св ) .
Пусть X'(k)=C7X(k)=X(k)!’\/2, А=1, 3, 5, 7, 9, И, 13. Тогда Ь3=Х'(7) +
+ (Х'(1)-Х'(13))-(Х/(3)+Х411))-(Х'(5)-Х'(9));
(6х4-&5)/2-
(bi—bt)l2
^6
Ct — с12 Св 1 Г— X' (1)4-х' (13)-]
С12 Св -----Ct
Св Ct Cj2_
х' (3) 4-х'(11)
X' (5)—X' (9)
- - — - . -.. - _
Х'(7)"
Х'(7) I
_Х'(7).
**
(*1—Ь5)/2"
~(b2 + bt)/2
п
с19 с2 Cg —(Х'(1)4-Х'(13))
С2 Cg — С10 Х'(3) — Х'(11)
Cg — с10 с2 J L — (X' (5) 4- X' (9)) J
— — —— — _______________________________________
**
43
где 6'б+6"в=Ьб- Преобразования, отмеченные «^>{<» могут быть вычислены по
алгоритму (1.89). В общей сложности для вычисления (1.88) потребовалось 16
операций умножения и 76 — сложения.
1.6. СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ
1.6.1. Случайная последовательность
Последовательность {х(пТ')} называется случайной (случайной решетчатой
функцией, случайным временным рядом), если каждый отсчет х(пТ) является
случайной величиной.
Пример 1.27. Пусть у(пТ) ttxi(nT)x2(nT), причем Xi(nT) и х2(пТ)—пра-
вильные s-разрядные дроби, а у(пТ) —правильная r-разрядная дробь, r<2s,
т. е. у(пТ) вычисляется с округлением до г разрядов. Тогда при непериодиче-
ских последовательностях хДпУ) и Хг(пТ) можно считать, что у(пТ)^
=Х1(и7’)х2(иГ)+Д(лТ), где Д(пГ)—случайная последовательность — погреш-
ность (шум) округления.
1.6.2. Математическое ожидание и выборочное среднее
Для непрерывной случайной величины х математическое ожидание ц опре-
деляется как [1.22]
ji=±:£[x]= j xfxdx,
(1.90)
последовательности Д(пТ) (см. пример 127)
— 2
д —
2-г~1 < Д
ц= Е [х] = 0.
где fx — плотность распределения х (плотность вероятности х).
Пример 1.28. Для случайной
0 при
2Г при
„ 0 при
и
Величина р. характеризует среднее значение случайной величины х. Среднее
1 N
по времени случайной последовательности х(пТ) = lim --------- 2 х(пТ). Для
Л’~>00 2W-J-1 П=—N
рассматриваемых ниже стационарных эргодических процессов статистические
характеристики, полученные усреднением по ансамблю выборок н по времени,
совпадают. Ниже символом £[•] обозначается усреднение как по ансамблю,
так и по времени. Если известна реализация случайной последовательности,
состоящая из Л' отсчетов, то оценкой математического ожидания (1.90) яв-
ляется выборочное среднее
J N—1
vS х(пТ>-
п=и
(1.91)
1.6.3. Дисперсия и выборочная дисперсия
Для непрерывной случайной величины х дисперсия о2 определяется как
[1-22]
44
o2 — var (x) = E [ (x — J1)2] = J (x— p,)2 fx dx. (1.92)
—oo
Величина cr называется стандартным отклонением.
Пример 1.29. Для условия примера 1.27 согласно (1.92)
а^=2~2г/12.
Если Е[х(пТ)]—0, то
а2 = var [х (n Т) 1 — Рср, (1.93)
т. е. если математическое ожидание отсчета случайной последовательности рав-
но нулю, то дисперсия этой последовательности равна ее средней мощности Рср.
Для реализации случайной последовательности х(пТ’), состоящей нз Лг отсче-
тов, оценкой дисперсии является выборочная дисперсия
1 N— 1
^=77------Л (х(пТ)—х)2. (1.94)
" —1 л=о
Величина о называется средним квадратическим отклонением н является оцен-
кой величины о.
Пример 1.30. Пусть х(0) = 1,400; х(Т) = 1,600; х(2Т) = 1,700; х(370=1,3001
W=4. Тогда из (1.91) и (1.94) 1,500; с2=0,033.
1.6.4. Автокорреляционная функция стационарной случайной
последовательности
Автокорреляционная функция определяется как
' l?(m) = £[(x(nT)-|i)(x((n+m)T)-|i)]. (1.95)
Оценка Р(ш) имеет вид
। А7—m—1
Т (т) ~ л/— ~ S (^(пТ)—х) (x((n4-m)7’) —х). (1.96)
m л=0
Автокорреляционная функция служит мерой корреляции между отсчетами
случайной последовательности. Если отсчеты представляют собой независимые
случайные величины, то P(w)=0 при т>0.
1.6.5. Спектральная плотность мощности стационарной
случайной последовательности
Спектральная плотность мощности -S(co) есть средняя мощность последова-
тельности х{пТ), приходящаяся на достаточно узкую полосу частот [со—Дсо,
со+Дсо]. Функция S(co) связана парой преобразований Фурье с автокорреляци-
онной функцией R(иг) [1.23]. Для случайной последовательности х(пТ’), п=0,
1, 2, ..., указанная пара преобразований Фурье имеет вид:
7? (0) °°
—~ + У R (m) cos m со Т];
X ^“11
S (со) = 4 Т
я/Г
R (яг) = j S (со) cos m со Td со.
о
(1.97)
45
Значения S(co) могут быть непосредственно измерены по реализации случайной
последовательности (см. разд. 8) или рассчитаны с помощью (1.97) по извест-
ной автокорреляционной функции.
2. ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ
2.1. ДИСКРЕТНЫЕ И ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ. УСТРОЙСТВА
ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ
2.1.1. Линейные аналоговые фильтры
Линейный аналоговый фильтр представляет собой четырехполюсник, кото-
рый реализует линейное преобразование входного аналогового сигнала щ (t).
Математически связь между выходным u2(t) и входным ui{t) аналоговыми сиг-
налами фильтра выражается обыкновенным линейным дифференциальным урав-
нением
М—1
и2 (0 = — У; aj
d’ u2(t) 1
dt' i=o
bi
dl ur (£)
dtl
где Oj и bi — коэффициенты, представляющие собой константы или функции, за-
висящие только от времени t.
Вопросы анализа и синтеза аналоговых фильтров весьма подробно рассмот-
рены в [2.1]. Главный недостаток этих фильтров заключается в том, что их па-
раметры изменяются при изменении условий работы (температуры, давления и
т. д.). Это приводит к неконтролируемой погрешности выходного сигнала, т. е.
к низкой точности обработки сигналов.
2.1.2. Линейные дискретные фильтры
Математически работа линейного дискретного (импульсного) фильтра опи-
сывается разностным уравнением (уравнением в конечных разностях) [1.10]
М-1 N—1
у[пТ)=-^ a}y((n—f)T)+'£ Ых((п—1)Т), (2.1)
/=1 z=o
где х(пТ), у{пТ) —n-е отсчеты входного {х(иТ’)} и выходного {у(пТ)} сигналов
фильтра соответственно; a,, bi — константы или отсчеты решетчатых функций, за-
висящих лишь от п.
Сигналы {х(пТ)} и {у(пТ)} могут быть как вещественными, так н комп-
лексными. Уравнение (2.1) можно рассматривать как алгоритм вычисления
у(пТ). Как правило, решение уравнения (2.1), т. е. решетчатую функцию
{z/fnT')}, требуется определить при n^sO. Если известны коэффициенты а, и bi,
отсчеты входного сигнала {х(пТ)} при М-bl н начальные значения у{—Т),
у(—27"), ..., z/((—M+l)?), то, используя (2.1), можно рассчитать отсчеты
у(пТ) для любого п^О.
Линейные дискретные фильтры делятся на два класса: фильтры с постоян-
ными параметрами (ЛПП системы [1.6], линейные инвариантные во времени им-
пульсные фильтры) и фильтры с переменными параметрами.
46
Линейные дискретные фильтры с постоянными параметрами описываются
уравнениями типа (2.1), в которых все а, и bi — константы, называемые коэф-
фициентами фильтра.
Пример 2.1. Линейный дискретный фильтр с постоянными коэффициентами
описывается разностным уравнением
у (п 7) ==0,8 у ((п— 1) Т)-\-х (п Т),
, m (1 при п = 0; ,
причем х(пТ) = ( „ у(— Т)~0.
(0 при п > 0 ;
Тогда:
у(0) = 0,8у( — 7) + *(0)=1 ;
у(Т) = 0,8у(0)4-х(7) = 0,8;
у (2 Т) = 0,8 у (Т) 4- х (2 7) = 0,64
и- т. д. Входной и выходной сигналы фильтра являются вещественными.
Фильтр, у которого хотя бы один коэффициент представляет собой комп-
лексную величину, называют комплексным.
Пример 2.2. Линейный комплексный дискретный фильтр с постоянными коэф-
фициентами описывается разностным уравнением
у (п 7) = (0,3-f-i 0,2) у ((п— 1) Т) +х(пТ),
причем х(пТ) = [ 1 ПрИ П ® ’ у (— 7) = 0 .
( 0 при п > 0 ;
Тогда:
у (0) = (0,3-}-i 0,2) у (—7)-}-х (0) = 1 ;
У (7) = (0,3 + i 0,2) у (0) + х (7) = 0,3 + i 0,2 ;
у (2 7) = (0,3 + i0,2) у (Т) + х (2 7) = 0,05— i 0,12
и т. д. Входной сигнал фильтра является вещественным, а выходной — комп-
лексным.
Линейные дискретные фильтры с переменными параметрами описываются
уравнениями типа (2.1), если хотя бы один коэффициент изменяется при изме-
нении п, т. е. представляет собой отсчеты последовательности, отличной от кон-
станты. Практически всегда эта последовательность представляет собой перио-
дическую функцию п.
Пример 2.3. Линейный дискретный фильтр с переменным коэффициентом
описывается разностным уравнением
у (л 7) = е’пя7\(п 7),
причем 7’=1; х(пГ) =1 при л>0. Тогда:
у(0) = х(0)=1 ;
у(1) = — х(1)=— 1 ;
у(2)=х(2) = Ь
и т. д. Выходной сигнал фильтра вещественен, поскольку вещественен входной
сигнал и
inn =( 1 при n^2k;
V—1 при п = 2 fe-p 1,^—0, 1,2, .
47
Дискретные и цифровые фильтры принято делить на два класса: нерекур-'
сивные (НФ) и рекурсивные (РФ)- Если в (2.1) все коэффициенты с3=0, то
фильтр, реализующий этот алгоритм, называется нерекурсивным. Из (2.1) следу-
ет алгоритм работы такого фильтра
N—i
у(пТ) = Ьгх({п — 1)Т). (2.2)
1=0
Если в (2.1) хотя бы один из коэффициентов то фильтр, реализующий
этот алгоритм, называется рекурсивным. Очевидно, что НФ представляет собой
устройство без обратной связи, а РФ — устройство с обратной связью.
2.1.3. Переход от разностного уравнения к структурной схеме фильтра
Из рассмотрения (2.1) видно, что для реализации фильтров необходимы уст-
ройства, выполняющие три операции: задержку (запоминание) отсчетов сигна-
лов, сложение и умножение —н соединяющие эти устройства линии передачи
сигналов. На рис. 2.1,о показано условное обозначение линии передачи сигналов,
lxz(nT)
Х,(ПР
^^TPx^TI^TI
Х(пТ)у х(пТ)
а)
Х(пТ! у(пТ}=4х(пТ}
\Xz{nTl
(Т) ?
^~х^Л=х,^Т)+хг (nTl
'в)
\хг(пТ1
Xl(r7Pa^ -
~<Уу^Й=х,(пТ1хг(лТ1
. $ '
S) yz(nT]=xWD
Рис. 2.1
на рис. 2.1,6 — устройства, задерживающего каждый отсчет сигнала иа m интер-
валов дискретизации Т (т последовательно соединенных регистров), на
рис. 2.1,в и г — два варианта обозначения сумматора и множительного устройст-
ва соответственно, на рис. 2.1,6— обозначение узла, отмечающего соединение
трех и более линий передачи сигналов. Следуя разностному уравнению, разре-
шенному относительно у(пТ), и используя условные обозначения (см. рис. 2.1),
можно изобразить структурную схему любого фильтра.
Пример 2.4. Изобразим структурную схему фильтра, рассмотренного в при-
мере 2.1. В эту схему входят: один элемент задержки (регистр) для запомина-
ния отсчета у((п—1)Т), множительное устройство для вычисления произведе-
ния 0,8z/((n—1)Г) и сумматор для вычисления суммы 0,8г/((и—I)?) +х(пТ). Ис-
точник входного сигнала и выход множительного устройства подключаются ко
входам сумматора, с выхода которого снимаются отсчеты выходного сигнала
у(пТ) (рис. 2.2). Выход сумматора подключается ко входу элемента задержки,
иа выходе которого появляются задержанные на интервал дискретизации от-
счеты у((п—i)T). Выход элемента задержки подключается ко входу множи-
48
тельного устройства, на второй вход которого подается постоянный множи-
тель— коэффициент 0,8.
Пример 2.5. Изобразим структурную схему комплексного фильтра, рассмот-
ренного в примере 2.2. Рассуждая так же, как при рассмотрении примера 2.4,
и учитывая, что комплексное уравнение фильтра эквивалентно следующей си-
стеме вещественных уравнений:
f У1(п Т) = 0,3^ ((n—1) Т) — 0,2 г/2 ((и—1) Т)+х(пТ) ;
I Уг (п Т) = 0,2 У1 {(п— 1) Г) + 0,3 у2 ((п— 1) Т) ;
(у(пТ) —у1(пТ) +iy2(nT); у^пТ), у2(пТ)—вещественные последовательности)
получаем схему фильтра (рис. 2.3), в которой каждый элемент реализует опе-
рации над вещественными числами.
Рис. 2.2
Рис. 2.3
2.1.4. Цифровые фильтры
Если алгоритм (2.1) реализуется с помощью схемы, выполненной на анало-
говых элементах (например, линиях задержки, ключах и операционных усили-
телях [2.1]), то дискретный фильтр будет иметь тот же недостаток, что н ана-
логовый, — изменение параметров устройства вызывает неконтролируемые изме-
нения (погрешности) выходного сигнала.
Цифровой фильтр (ЦФ) представляет собой цифровое устройство, реализую-
щее алгоритм (2.1). При этом входной и выходной сигналы являются цифро-
выми, так что в устройстве циркулируют только двоичные коды. Поскольку
операция умножения отсчетов цифрового сигнала на число иногда выполняется
неточно за счет округлений или усечений произведений, в общем случае цифро-
вое устройство неточно реализует алгоритм (2.1) и выходной сигнал отличает-
ся от точного решения (2.1). Однако в ЦФ погрешность выходного сигнала не
зависит от условий, при которых работает фильтр, — температуры, влажности
и т. п. Кроме того, эта погрешность контролируема — ее можно уменьшить, уве-
личивая число разрядов, используемых для представления отсчетов цифровых
сигналов. Именно этим определяются основные преимущества цифровых фильт-
ров — высокая точность обработки сигналов и стабильность характеристик — по
сравнению с аналоговыми и дискретными фильтрами. Строго говоря, цифровые
фильтры представляют собой нелинейные устройства, к которым не применимы
методы анализа н синтеза линейных систем. Однако число разрядов в кодах,
Циркулирующих в ЦФ, как правило, достаточно велико, чтобы сигналы считать
приблизительно дискретными, а фильтры — линейными дискретными. Это позво-
ляет использовать весьма развитый аппарат анализа и синтеза подобных уст-
49
ройств. Вводимые ниже характеристики (передаточная функция, частотные ха-
рактеристики и т. д.) относятся (если не будет особых оговорок) к линейным
дискретным фильтрам, точно реализующим алгоритм (2.1). Однако эти же ха-
рактеристики используют для описания ЦФ, близких по своим свойствам к ли-
нейным дискретным фильтрам.
2.1.5. Устройства цифровой обработки сигналов
Устройства цифровой обработки сигналов (ЦОС) —это цифровые устройст-
ва, реализующие тот или иной алгоритм цифровой обработки (например, БПФ,
см. разд. 1) йли алгоритм (2.1).
Основные преимущества устройств ЦОС по сравнению с устройствами анало-
говой обработки и дискретными системами, реализуемыми на аналоговых эле-
ментах, следующие:
1. Характеристики устройств ЦОС абсолютно стабильны и ие изменяются
при изменении внешних условий (температуры, влажности и т. д.), пока все
элементы устройства сохраняют работоспособность.
Возможна реализация ряда операций и алгоритмов принципиально нереа-
лизуемых с помощью аналоговых элементов; например, можно обрабатывать
весьма низкочастотные сигналы, поскольку длительность хранения информации
цифровыми элементами практически ие ограничена.
3. Эти устройства весьма удобно реализовывать в виде больших и сверх-
больших интегральных схем, например в виде специализированных микропро-
цессоров.
Основные недостатки современных устройств ЦОС:
1. Относительно низкая скорость обработки информации, которая ограни-
чивается задержками используемых цифровых элементов.
2. Как правило, относительно большая потребляемая мощность.
3. Относительно большая стоимость.
4. Необходимость использования иа входе и выходе элементов АЦП и
ЦАП.
Отмеченные выше достоинства позволяют считать устройства ЦОС весьма
перспективными при значениях частот дискретизации сигналов до сотен кило-
герц.
Принципиально точность устройств цифровой обработки сигналов ограниче-
на применяемыми АЦП и ЦАП (характеристики АЦП и ЦАП см. в табл. 9.4).
Точность вычислений в самом устройстве определяется числом двоичных разря-
дов, используемых для представления кодов.
2.2. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ. РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМЫ
РЕАЛИЗАЦИИ ФИЛЬТРОВ. ПЕРВЫЙ КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ
2.2.1. Передаточные функции
Передаточной функцией H(z) называют отношение Z-образов выходного
У (а) и входного X(z) сигналов фильтра при нулевых начальных условиях:
H(z)=Y(z)/X(z). Для рекурсивного и нерекурсивного фильтров из (2.1) и (2.2)
с помощью (1.2)—(1.4) получаем:
50
N—1
S blZ~l
------------;= (2-3)
’ + S aiz '
/=1
N— 1
Ян (z) =2 biz-1. (2.4)
z=o
Коэффициенты фильтров являются коэффициентами соответствующих переда-
точных функций. Очевидно, что построение структурной схемы по известной пе-
редаточной функции выполняется практически так же, как по известному раз-
ностному уравнению. Передаточные функции являются основным аппаратом при
рассмотрении соединений и различных форм реализации фильтров (см. 2.2.2 и
2.2.3).
Пример 2.6. Пусть у(пТ) = 0,4у((п—1)7)—0,1«/((«—2)7) + х(пТ)—
—Зх((п—1)7). Тогда для этого фильтра
1—За-1
Н <2) =----------Fi-------’
1— 0,4z_1+0,1 z~2
т. е. &о= 1; &i=—3; Ar=2; ai =—0,4; az—0,1; М=3.
2.2.2. Соединение фильтров
Пусть Hi (г) и Hz(z) —передаточные функции фильтров и Ф2. Ниже при-
водятся выражения для передаточных функций Нэ(г) фильтров, эквивалентных
определенному соединению Ф1 и Ф2.
Соединение, при котором выход одного фильтра
соединен со входом другого (рис. 2.4,а), называют
каскадным (последовательным), причем
Н^^Н^Н^)- (2.5)
Соединение, при котором фильтры имеют общие
входы, а выходы подключены ко входам одного сум-
матора (рис. 2.4,6), называют параллельным, при-
чем
^B.n(Z)=^l(2)+^2<Z)- (26)
Соединение, показанное на рис. 2.4,в, называют
включением фильтра Ф2 в обратную связь фильтра
Фц причем
Нт (2)
Э.о^ ! —я1(г)Я2(г)
(2.7)
Пример 2.7. Пусть 77i(z)=l/(l—0,3г-1); Я2(г) = 0,2 + 2-’+г~2. Тогда из
(2.5)—(2.7) получаем:
Яэ.к(г) =(0,2-J-z-1 + z~2)/(l — 0,3г-1);
Яэ.п== (0,2 + 0,72-* +0,7г-2 —0,Зг-3)/(1—0,3г-*);
Нэ.о = 1,25/(1 — 1,625z'-* — 1,25г-2).
51
2.2.3. Некоторые формы реализации фильтров
Существует весьма большое число различных форм реализации рекурсивных
фильтров [2.2]. Отметим лишь четыре основные формы: прямую, каноническую,
каскадную (последовательную) и параллельную.
Прямая форма (рис. 2.5,а) соответствует непосредственной реализации
фильтра согласно (2.1) или (2.3).
Каноническая форма (рис. 2.5,6, для случая N=M—1) соответствует заме-
не (2.1) эквивалентной системой разностных уравнений:
м—1
v (пТ) = — yiajv ((n—j) Т)+х(пТ)-,
/=1
N—1
у(пТ) = ^ biv((n—DT).
1=0
Введение вспомогательной последовательности v(nT) позволяет уменьшить число
элементов задержки по сравнению с их числом при прямой форме реализации:
Lo=пlax(Л,'—1, М—1).
Каскадная (последовательная) форма (рис. 2.5,в) реализации представляет
собой каскадное соединение однотипных звеньев, соответствующее представлению
H(z) в виде произведения:
Н (а) = П ^ + ^г~‘ + 1^г~- . (2.8)
k=l 1+а1Ьг
Отдельные звенья, каждое из которых имеет передаточную функцию
„ Pofe + Plfe 2 1+₽2fe2
Hk (2) = ; zi ZT“’
l+«lfe2 +«2b2
52
называются биквадратными блоками. Биквадратный блок является универсаль-
ным звеном, пригодным для построения любых фильтров.
Параллельная форма (рис. 2.5,г) реализации фильтра представляет собой
параллельное соединение, соответствующее представлению Н(г) в виде суммы:
РоЬ ~Ь Plfe 2 1________
1 + 2 1 “Ь K2k 2
Отметим, что каждое звено параллельной формы может быть реализовано
в виде биквадратного блока, если положить f>2fr=0. Как правило, каскадная
форма реализации рекурсивных фильтров обеспечивает наименьший уровень соб-
ственных шумов фильтра [2.3]. Вопрос об оптимальной расстановке звеньев
каскадной формы рассматривается в разд. 5 и [1.6].
Нерекурсивные фильтры могут быть реализованы в различных формах. Пря-
мая и каскадная формы реализации НФ строятся так же, как и соответствующие
формы реализации РФ. Прямая форма (рис. 2.6) соответствует непосредствен-
ной реализации фильтра согласно (2.2) или (2.4). Каскадная форма соответст-
вует реализации фильтра согласно (2.8) при аи=агь=0. Для весьма важного
класса нерекурсивных фильтров с линейными ФЧХ (см. разд. 4) возможны спе-
циальные формы реализации, уменьшающие число операций умножения, которые
надо выполнить, чтобы получить
один отсчет выходного сигнала
фильтра. На рис. 2.7 показана
Рис. 2.6
Рис. 2.7
2.2.4. Реализационные характеристики фильтров
Следующие характеристики фильтров определяют сложность аппаратной ре-
ализации и моделирования фильтра в реальном масштабе времени:
£о— число ячеек (регистров) оперативной памяти, необходимое для реали-
зации фильтра;
Ln — число ячеек постоянной памяти, необходимое для реализации фильт-
ра;
— число операций умножения, которые должны быть выполнены в фильт-
ре за время Т для получения одного отсчета выходного сигнала;
Ко—число операций алгебраического сложения двух слагаемых, которые
должны быть выполнены в фильтре за время Т для получения одного отсчета
выходного сигнала.
Указанные величины могут быть определены по структурной схеме фильт-
ра: Lo равно числу элементов задержки; £п — числу различных постоянных мно-
жителей, выписанных около обозначений множительных устройств; Ку — числу
БЗ
множительных устройств; Vc—суммарному числу входов сумматоров минус чис-
ло сумматоров. Так, для структурной схемы фильтра на рис. 2.3 Lo=2; Lu=3;
Vy = 4; Vc = 2.
2.2.5. Устойчивость фильтров. Первый критерий устойчивости
Фильтр называется устойчивым, если при любых начальных условиях и лю-
бом ограниченном входном сигнале х(пТ) выходной сигнал у(пТ) также оста-
ется ограниченным, т. е. из условия |х(п7’)|^.В при всех п следует, что
\y(nT)\<D, (2.9)
причем В и D — константы, не зависящие от п. Очевидно, что нерекурсивный
фильтр всегда устойчив.
Условие (2.9) неудобно использовать для проверки устойчивости рекурсив-
ных фильтров. Первый критерий устойчивости РФ, удобный для практической
проверки, формулируется следующим образом 1[2.4]: если передаточная функ-
ция фильтра представляет собой несократимую дробь, то для устойчивости
фильтра необходимо и достаточно выполнение условия
|г/|<1, 1= 1, 2,..., М— 1, (2.10)
где zi — полюс (корень знаменателя) функции Н(г), т. е. все полюсы должны
.лежать внутри единичной окружности на ^-плоскости (рис. 2.8); z=cz+ip.
Пример 2.8. а) /Л(г) = (1—z-1)/(l—0,3z-1); полюс zP>!=0,3 (см. рис. 2.8);
[z^bl<1; фильтр устойчив.
б) //г(г) = (1—z-1)/(l—2г-1); полюс z<2>i=2 (см. рис. 2.8); |z<z>i|>l;
фильтр неустойчив;
в) Я3(г) = (1—z~2)/(l—l,8z-1+0,97z~2); полюсы zP>i=0,9+i0,4; z<s)2=0,9—
—i0,4 (см. рис. 2.8); |г(3>1| = |г<3)2|<1; фильтр устойчив;
г) Л4(г) = (1—г-2)/(1—2,4z_I+l,69z~2); полюсы z(4h= 1,2+10,5; г<4>2=1,2—
—10,5 (см. рис. 2.8); |z<4>i| = |z<4>2|>1; фильтр неустойчив;
д) Z7(z) = (l—г~2)/(1—z-1). Так как 77(z) = l+z-1; фильтр устойчив.
Неустойчивый фильтр, безусловно, неработоспособен в том случае, когда
входной сигнал действует неограниченно долго, так как рано или поздно выход-
Рис. 2.8
нои сигнал перестает зависеть от вход-
ного. Он работоспособен и практически
используется в тех случаях, когда вход-
ной сигнал действует в течение ограни-
ченного интервала времени. Например,
цифровой интегратор с передаточной
функцией И(z) = 1/(1—z~l) (эта функ-
ция имеет полюс z=l, т. е. фильтр неус-
тойчив) вполне работоспособен, если
входной сигнал х(пГ) действует при 0^
—1, после чего следует сброс,
т. е. восстанавливаются нулевые началь-
ные условия.
54
2.3. ЧАСТОТНЫЕ И ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФИЛЬТРОВ
2.3.1. Частотные характеристики
Комплексные частотные характеристики
лученные в результате подстановки z=eIa7’
(2.4):
представляют собой функции, по-
в передаточные функции (2.3) и
N— 1
2 bi
1=0
At—1
а;е-^“г
— i I а Т
(2.11)
(2.12)
Модуль комплексной частотной характеристики А(<в)= |/7(ei<»2 * *’) |, называемый
амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) фильтра, определяет амплитуду
выходного сигнала устойчивого фильтра в установившемся режиме при вход-
ном сигнале х(пТ) =einar.
Аргумент комплексной частотной характеристики <р (со) — arg[ZZ(е*ат)], назы-
ваемый фазо-частотной характеристикой (ФЧХ) фильтра, определяет фазу вы-
ходного сигнала устойчивого фильтра при входном сигнале х(пТ) =ein<or. Оче-
видно, что для фильтров с вещественными коэффициентами справедливы соот-
ношения:
Ар (со) = | Нр ( е' ° r) I =
' N—1 \2 / N~1 \2
I 2 bl cos ® I “Ь I S 6/ sin Z со Г I
\/=о____________/ у=о____________/
/At—1 \2 /At—1 \2
I 2 ai cos j co T 1 +| 2 ai s*n 1 r J
\/=0J / \/=0 /
N—1 N—1
2 2 bmbk cos (tn — k)(£>T
m=0 fe==0
M—1 M— 1
2 2 apcsc0S(P—s)co7
p=0 s=0
где a0=l
N—1
2 bi sin I oT
Фр (co) = arg [Hp ( e1 “ 01 = — arctg —--------------
2 bi cos I co T
i=o
M—l
2 oj sin / co T
, J=O
+ arctg ;
2 aj cos je>T
j=0
5S
(2.13'>
(2.13">
Г [N—l \2 /JV—1 \2
Лн(<в) = 1/7н( е1а Г)1= 1/ [2 bi cos I <в Т I + [2 bl sin I со Т 1 =
т \1=О ) \1=0 ]
Г ЛГ—1 W—1
= 1/ 2 2 bm bk cos (т—А) а>Т ; (2.14')
т т—0 k=0
N—1
2 bl sin I <в T
Фн (<в) = arg [Л ( е’ “ г)] = — arctg . (2.14")
2 bi c°s I <в Т
1=0
Групповое время замедления (ГВЗ)
т (со) =—dtp/da (2.15)
равно времени задержки в установившемся режиме выходного сигнала фильтра
относительно входного сигнала x(nT’) =ein“r.
Пример 2.9. Пусть H(z) =2+0,5z~1—z~2. Из (2.12), (2.14) и (2.15) получаем:
Я( eiffl7’) = 2 + 0,5e-ior—e-i2ar;
А (<в) = 1/(2 + 0,5 cos <в 7 — cos 2 со 7)2 + (0,5 sin со Т—sin 2 <в 7)2;
0,5sinco Т—sin2co Т
<р(<в) =—arctg „ , — ,
2+ 0,5 cos со 7—cos 2 со 7
i(co) = -^^[(2 + 0,5-cosco7—cos 2 со 7) (0,5 Т cos со Т—2 Т cos2 о) Т) —
— (0,5 sin св Т—sin 2 со 7) (— 0,5 7sin<o Т-^-2 Т sin 2 со 7)].
Пример 2.10. Пусть Н(г)=1[(1—0,5z~l). Из (2.11), (2.13) и (2.15) получаем:
Н ( е! ш ----------------------------------
l-0,5e-iar ’
1
А (со) = _ , - — ;
У(1— 0,5 Cosco7)2+(0,5 sin со 7)2
, , 0,5 sin со Т
<р (св) = arctg--------------;
1—0,5 cos <в Т
т (<в) = -- 1 ~ [(1 —0,5 cos со Т) 0,5 Т cos'cb Т—0,5 sin со Т 0,5 Т sin св Т].
Л2 (<в)
Пример 2.11. Пусть /7(z) = l+0,5 z-1 и х(пТ) =sinпаТ, <в=2л 2000 с-1
7=1/8000 с. Из (2.12), (2.14) и (2.15) для установившегося режима получаем:
с/уст (пТ)=А (со) sin [п <в 7 + <р (<в) ] = "]/1,25 sin (п л/2—arctg 0,5);
1=7/4=31,25 мкс.
На рис. 2.9,а изображена структурная схема фильтра с передаточной функ-
цией H(z) = 1+0.5Z-1, на рис. 2.9,6 — временные диаграммы х(пТ), у(пТ) при
нулевых начальных условиях и г/уСт (пТ), построенные по данным примера 2.11.
Устройства цифровой обработки способны обрабатывать лишь аналоговые
-сигналы с ограниченным спектром (см. 1.1.2). Если частота дискретизации ана-
логового сигнала выбрана в соответствии со значениями <ва min И й)а max (см.
56
1.1.2), то характер частотных характеристик в диапазоне частот от 0 до сод/2=
=л/Г полностью определяет изменение спектра аналогового сигнала, получен-
ного после цифро-аналогового преобразования выходного сигнала фильтра.
Рис. 2.9
2.3.2. Основные свойства частотных характеристик. Нормировка частоты
Из формул (2.11) — (2.15) следуют основные свойства частотных характе-
ристик фильтров с вещественными коэффициентами.
1. Все частотные характеристики представляют собой периодические функ-
ции частоты <в с периодом <bd, определяемым (1.14).
Пример 2.12. Для условий примера 2.10 при Т= 1/8000 с на рис. 2.10 по-
строен график двух периодов функций Л (со).
Рис. 2.10
2. Амплитудно-частотная характеристика А (со) и ГВЗ т(<в) представляют со-
бой четные функции частоты со, а фазо-частотная характеристика <р (со) — нечет-
ную функцию частоты со.
Из указанных свойств следует, что требования к частотным характеристи-
кам при постоянном значении Т следует задавать лишь на интервале [0, л/7].
С целью упрощения сопоставимости частотных характеристик различных фильт-
ров нормируют частоту одним из двух способов. При первом способе полагают
нормированной частоту <в=<п7’, тогда сод = <вд7’=2л и требования к частотным
характеристикам задаются на интервале [0, л]. При втором способе полагают
нормированной частоту и>=<в77(2л), тогда со-! = сод7’/(2л) = 1 и требования к
частотным характеристикам задаются на интервале [0; 0,5]. В справочнике ис-
пользуется, как правило, второй способ нормировки. При этом изменяются аргу-
менты в обозначениях частотных характеристик /7(е1к2л), А (и), <р(ш) и т(ш).
57
2.3.3. Импульсная характеристика
Импульсная характеристика h(nT) фильтра представляет собой реакцию
фильтра при нулевых начальных условиях на входное воздействие:
б (п7) =
1 при п=0;
О при п=И=0.
(2.16)
Из этого определения и определения передаточной функции следует, что
h(nT)=Z~l
H{2)=Z{h (п Т)}.
(2.17)
Из (2.17) следует, что h(nT) и 77(е*ит) связаны парой преобразований Фурье:
h(nT) = —- f Я( е1шТ) tinaTda;
2я -л/Г
Я( eior)= J h(nT)e~in(i>T.
п=0
(2-18)
Пример 2.13. Пусть Н(г) =1+0,32-'—0,2z-2, тогда й(0)=1; h(T) =0,3;
h(2T)=—0,2; /i(n7)=0 при п^З.
Пример 2.14. Пусть Я(г) = (1—z_1)./(l+0,5z~1). Используя (1.7), получаем
h (пТ) =
f 1 при п=0;
t —1,5(—0,5)n-1 при п^1.
В зависимости от характера импульсной характеристики дискретные и циф-
ровые фильтры принято [1.6] делить на следующие два класса: КИХ-фильтры
(фильтры с конечной импульсной характеристикой) и БИХ-фильтры (фильтры с
бесконечной импульсной характеристикой). Отметим, что все практически реали-
зуемые НФ являются КИХ-фильтрами, а почти все РФ {за исключением тех, у
которых передаточная функция может быть преобразована к виду (2.4)] явля-
ются БИХ-фильтрами.
Зная h(nT), можно рассчитать при нулевых начальных условиях выходной
сигнал фильтра у(пТ) по заданному входному сигналу х(п7). Из (1.2) следует,
что последовательность у(пТ) представляет собой линейную свертку (см. 1.4) по-
следовательностей х(пТ) и h(nT), причем эти три последовательности могут
быть как конечные, так и бесконечные:
»(п7)=У[/1(/7)х((п—/)7)=У,х(17)Л((п—Z)7), n=0, 1.............. (2.19)
1=0 1=0
при этом А(/г7)=0 при п<0 и х(п7)=0 при п<0.
Пример 2.15. Пусть ft(0) = l; Л(7)=—0,5; /1(п7)=0 при n>2; х(0)=—1;
х(7) = 1; х(27)=0,5; х(п7)=0 при п^З. Из (2.19) получаем:
£/(0) =Л(0)х(0) =—1;
у (7) =h (0)х (7) +h (7) х (0) = 1,5;
у (27) =Л(0)х(27) +й(7)х(7) =0;
у(37) =/г(7)х(27) =—0,25;
у(п7)=0 при
58
Для вычисления (2.19) при обработке сигналов нерекурсивным фильтром
можно использовать рассмотренные выше (см. 1.4.4) методы секционирования
свертки.
2.3.4. Второй критерий устойчивости фильтров
Из определения (2.9) и (2.19) следует второй критерий устойчивости фильт-
ров: для того чтобы фильтр был устойчив, необходимо и достаточно выполне-
ние условия
оо
2 IMnT’JKDx, (2.20)
п=0
где Di — константа.
Второй критерий менее удобен для проверки устойчивости фильтра, чем
первый.
2.3.5. Теорема Парсеваля
Пусть х(пТ) и у(пТ) —комплексные последовательности. Тогда [1.6] соглас-
но (1.6)
со гр SI/T
2 х(пТ)у(пТ)=— J X е1шГНсо,
п=0 Л 0
где а— величина, комплексно-сопряженная с a: Х(е’“г) и У(е,иг)—спектры
последовательностей х(пТ) и у(пТ).
В частном случае при х(пТ) =у(пТ)
СО гр ZlJT
2’ |х(п7)|2 * * * * = — J lx(ei“7')|2d©. (2.21)
п=0 Я 0
Равенство (2.21) называется теоремой Парсеваля. Согласно (2.21) для любого
фильтра с действительными коэффициентами справедливо равенство
СО гр 71/Т
2 й2(н7) =— j l//(eiar)l2dco. (2.22)
п^О Я 0
Из (1.6) при X\(nT)=Xz(nT)=h(nT) следует равенство
2 й2 (пТ) = ~т-Ц-f Я (z) Я (г-1) z-1 dz, (2.23)
п=0 2 П 1
где в качестве контура интегрирования выбрана единичная окружность.
Для вычисления интеграла в (2.23) можно использовать (1.8), полагая
F(z) =И (z) z~l и учитывая при вычислении только полюсы, расположен-
ные внутри единичной окружности.
Пример 2.16. Пусть Я (z) =1/(1—0,5z-1). Тогда из (1.8) и (2.23) получаем
<» 1 П 1
У. й2 (пТ) =------ф---------•--------- dz.
2л i z—0,5 1—0,5z
Поскольку внутри единичной окружности находится только полюс Zi=6,5,
°° । 4
У. h2 (пТ) = lim ---
~0 г-*0,5 1—o,5z 3
59
2.4. АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ЦИФРОВЫХ ЦЕПЕЙ
С ПОСТОЯННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
2.4.1. Цели анализа линейных цифровых цепей с постоянными
параметрами
Под линейной цифровой цепью с постоянными параметрами понимается схе-
ма, реализующая линейное разностное уравнение и состоящая из элементов за-
держки (регистров), каждый из которых задерживает один отсчет сигнала на
время Т, сумматоров, устройств умножения и соединяющих эти элементы линий
передачи сигналов (см. рис. 2.1). В задачах анализа этих цепей рассчитываются
частотные и временные характеристики цепей, параметры выходных сигналов при
детерминированных и случайных воздействиях, чувствительность цепи, т. е. за-
висимость определенных характеристик от изменения параметров цепи [2.1, 2.3].
Ниже рассматривается один из наиболее эффективных методов анализа, осно-
ванный на определении Z-образа выходного сигнала путем решения системы ли-
нейных алгебраических уравнений [2.5].
2.4.2. Определение Z-образа сигнала по сигнальному графу цепи
Сигнальный граф состоит из узлов — нумерованных вершин и соединяющих
их направленных дуг (рис. 2.11). Стрелки на дугах указывают направление пе-
редачи информации от одного узла к другому. Сигнальный граф однозначно со-
ответствует структурной схеме, причем вершина соответствует узлу или сумма-
тору; дуга, соединяющая две вершины, — элементу задержки или множительному
устройству; дуга, направленная к одной из вершин, начало которой не соединено
с вершиной, — входному сигналу. В сигнальном графе запись z-1 рядом с дугой
означает, что эта дуга соответствует элементу задержки, а запись b рядом с ду-
гой — что эта дуга соответствует устройству умножения на Ь.
Для определения Z-образа искомого сигнала необходимо по сигнальному
графу составить систему линейных алгебраических уравнений относительно Z-об-
разов сигналов цепи. При этом удобно использовать следующие обозначения
(рис. 2.12):
Ртп—Z-образ сигнала, передаваемого из вершины с номером m в верши-
ну с номером п до преобразования элементом, соответствующим дуге тп;
60
Р*тп —Z-образ сигнала, передаваемого из вершины с номером т в вершину
с номером п после преобразования элементом, соответствующим дуге тп;
Рп — Z-образ входного сигнала, поступающего к вершине с номером п.
Основой при записи систем уравнений являются уравнения дуг и вершин.
Этн уравнения имеют следующий вид:
для дуги, соответствующей элементу задержки,
Ртп = 2 1 ртп> (2.24)
для дуги, соответствующей устройству умножения,
Ртп> (2.25)
для вершины
• 3 РЛт-РпМ1 = РпМ2=--- = РпМЧ, 1 = Кг, К2,..., КТ, (2.26)
где Кь Кг, -.., Кг — номера г вершин, в которых начинаются дуги, заканчиваю-
щиеся в вершине с номером п; Mi, —номера q вершин, в которых за-
канчиваются дуги, начинающиеся в вершине с номером п.
Записав уравнения (2.24) — (2.26) для каждой дуги и вершины, получают
систему уравнений, которую можно разрешить относительно Z-образа любого
сигнала.
Пример 2.17. Сигнальный граф (см. рис. 2.11) соответствует структурной
схеме фильтра (см. рис. 2.3). Система уравнений имеет вид:
(вершина /);
(дуга 12);
(дуга 21);
(вершина 2);
(дуга 23);
(вершина 3);
(дуга 34);
(вершина 4);
(дуга 43);
(дуга 41).
[2.6], можно выразить Z-образ любого
сигнала через Z-образ входного сигнала. Например,
Р12=Р1(1— 0,3z-i)/(0,04z-2 + (1— 0,3 а-1)2).
Отметим, что система линейных алгебраических уравнений, составленная по
сигнальному графу, решается в общем виде, т. е. в итоге получаются формулы
относительно искомых величин. Процессы составления и решения системы урав-
нений реализованы в виде программ на ЭВМ (см. приложения 3 и 4).
Р1Н-Р41 4” ”21 — Р12
р12=г~' р12
Pgl — 0,3 P21
^2 = ^-1
^*2 = ^3 I
Р23 = 0,2 Р23
^ + Р« = Рз4
Р34 ~ Z i ^34
Р34 = Р43 >
^34 = ^41 .
р:3=о,зр43
Р^ = — 0,2 Р41
Решая эту систему методом Гаусса
fil
2.4.3. Определение характеристик цепи и параметров детерминированных
и случайных сигналов на выходе цепи
Зная Z-образ сигнала, можно, используя обратное Z-преобразование (1.7),
определить значения отсчетов этого детерминированного сигнала для любых п.
Рассматривая некоторую точку цепи как вход, можно определить передаточную
функцию H(z), импульсную характеристику h(nT), АЧХ А (со), ФЧХ <р (со) н
ГВЗ т(со) (см. 2.3.1).
Если входной сигнал цепи представляет собой стационарную случайную по-
следовательность с некоррелированными между собой отсчетами, то установив-
шаяся дисперсия выходного сигнала в выбранной выходной точке определяется
выражением
Сх = °вх^>2(«П, (2.27)
п—О
где а2вх—постоянная дисперсия входного сигнала; h(nT)—импульсная харак-
теристика.
Вычисление (2.27) по известной передаточной функции H(z) выполняется с
помощью (2.23). Если математическое ожидание величины отсчета входной ста-
ционарной случайной последовательности равно нулю, то средняя мощность вы-
ходной последовательности равна
РСр = °вых- (2.28)
Если входной сигнал цепи представляет собой стационарную случайную
последовательность с коррелированными между собой отсчетами, то, зная спек-
тральную плотность мощности SEX(co), можно определить среднюю мощность вы-
ходной последовательности:
у «/Г
Рср=— ( SEX(W) 1я(е,шГ)12йш, (2.29)
2л -гЦТ
где Sbx(w) |Я(е*ит) |2=5еых(ц>)—спектральная плотность мощности выходной
последовательности.
Функция Sex (со) может быть определена путем измерений или рассчитана
по известной автокорреляционной функции [см. (1.97)].
Теорема Парсеваля в форме (2.22) весьма удобна для предварительной
оценки средней мощности шума РСр на выходе фильтра по известной диспер-
сии входного шума о2вх и заданной АЧХ фильтра А*(со). Поскольку
|Я(е:шТ)|«А*(со), в силу (2.22), (2.27) и (2.28)
о2 т Я/Т
Рср ——--------- J [А* (со)]2 d со.
л о
Пример 2.18. Пусть на вход цепи с передаточной функцией H(z) = l+z-1+
-t-z-2-i-z~3 подаются:
а) стационарная случайная последовательность с некоррелированными меж-
ду собой отсчетами и математическим ожиданием величины отсчета равным
нулю, причем о2вх=0,3;
б) стационарная случайная последовательность, причем
„ , (3 при О^со^со,;
SBX (со) - ]
12 при .coj < со л/Т-
62
В первом случае согласно (2.27) и (2.28) Рср=о2вых=с2вх-4=1,2. Во вто-
ром случае согласно (2.29) и (2.14)
р = у у sin (пг—fe)M1T
СР ^ofe=o (m—й)л]
Таким образом, величина РСр может быть оценена до синтеза фильтра.
На рис. 2.13 изображена схема алгоритма определения параметров детермини-
рованных и случайных сигналов на выходе цепи и характеристик цепи.
Рис. 2.13
2.5. ВОСХОДЯЩИЕ И НИСХОДЯЩИЕ ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ
2.5.1. Общие сведения
Восходящей дискретной системой (ВДС) [2.7—2.9] называется система,
частота дискретизации сигнала на выходе которой выше частоты дискретизации
входного сигнала.
Нисходящей дискретной системой (НДС) называется система, частота дис-
кретизации сигнала на выходе которой ниже частоты дискретизации входного
сигнала.
Система, в которой увеличение (уменьшение) частоты дискретизации произ-
водится в один прием (однократно), называется соответственно простейшей вос-
ходящей дискретной системой (ПВДС) и простейшей нисходящей дискретной
системой (ПНДС).
63
Многократной дискретной системой (МДС) называется система, образован-
ная последовательным соединением дискретных подсистем, работающих с раз-
личными (кратными) частотами дискретизации.
Если частота дискретизации последующей подсистемы выше (ниже) частоты
дискретизации предшествующей подсистемы, МДС называется многократной вос-
ходящей (нисходящей) дискретной системой (МВДС и МИДС).
Частным случаем МВДС (МНДС) является ПВДС (ПНДС), которая содер-
жит лишь одну подсистему.
Каждая подсистема ВДС состоит из элемента, увеличивающего частоту дис-
кретизации— экспандера частоты дискретизации (ЭЧД), находящегося на входе
подсистемы, и дискретного фильтра, выполняющего последующую обработку
сигнала с выходной частотой дискретизации.
Каждая подсистема НДС состоит из дискретного фильтра, выполняющего
предварительную обработку входного сигнала с входной частотой дискретиза-
ции, н элемента, уменьшающего частоту дискретизации—компрессора частоты
дискретизации (КЧД), находящегося на выходе подсистемы.
При практической реализации ВДС (НДС) операции, выполняемые экспан-
дером (компрессором) частоты дискретизации, часто совмещаются с операция-
ми, выполняемыми дискретным фильтром. Однако при рассмотрении принципов
работы ВДС (НДС) целесообразно выделять ЭЧД (КЧД) в отдельный блок.
2.5.2. Экспандер частоты дискретизации
Экспандер частоты дискретизации (рис. 2.14,а), увеличивающий частоту ди-
скретизации входного сигнала в m раз (т— целое), представляет собой блок,
преобразующий входной дискретный сигнал, описываемый решетчатой функцией
x(vT') (v=0,1,2,...) с периодом повторения Т', ъ выходной дискретный сигнал,
описываемый решетчатой функцией х*(пТ) =х*(пТ'/т) (п=0, 1,2,...) с периодом
повторения Т=Т'!т по алгоритму [2.10]:
х* (пТ) =
при п=0, т, 2т, ...;
(2.30)
0 при других п,
т. е. последовательность х*(пТ) получается из последовательности х(уТ') путем
ввода {tn—1)-го нулевого отсчета между двумя последовательными входными
отсчетами. На рис. 2.15 показаны последовательности х(уТ') и х*(пТ) на входе
и выходе ЭЧД при увеличении частоты дискретизации в 3 раза (,*п=3).
/-преобразования входного и выходного сигналов ЭЧД тождественны:
X*(z) = X(z’), (2.31)
где z=exp(ico7); z'=zm—exp(iamT).
Спектры входного и выходного сигналов ЭЧД связаны соотношением, по-
лучаемым из (2.31):
X* ( е’ “ Г) = X ( е’ “ m т)
(2.32')
ИЛИ
X* ( е’2я “) = X ( е’2 я m w), (2.32")
где ш=®/<Вд = <о7'/(2л) — нормированная частота. Выходной сигнал ЭЧД х*(пТ),
формируемый из входного сигнала х(уТ') по алгоритму (2.30), имеет тот же
64
спектр, что и входной сигнал. Спектр выходного сигнала периодичен со «ста-
рой» частотой дискретизации а'д=2я/Т', а не с частотой ыд=2л/Т, как это
обычно имеет место для сигналов, интервал дискретизации которых равен Т.
На рис. 2.16 условно показаны модули спектров входного и выходного сиг-
налов ЭЧД при т=3.
x(V7")
Г=77т *
x*fr7J
Рис. 2.14
xfrTJ г-----.X*(V/7
— » 1/77 —S'----
Рис. 2.15
2.5.3. Компрессор частоты дискретизации
Компрессор частоты дискретизации (см. рис. 2.14,6), уменьшающий частоту
дискретизации входного сигнала в m раз (пг—целое), представляет собой
ключ, который замыкается в моменты времени t=nmT+kT, k=0,1,... ,m— 1;
n=0,1,2,..., т. e. из входного дискретного сигнала, описываемого решетчатой
функцией х(пТ’), п=0, 1,2,..., с периодом повторения Т, берется только каждый
m-к отсчет, что позволяет получить выходной дискретный сигнал, описываемый
решетчатой функцией х*(уТ')=х*(утТ), v=0, 1, 2. с периодом повторения
Г=тТ.
Рис. 2.16
Рис. 2.17
Операция, выполняемая КЧД, часто называется прореживанием, а последо-
вательность х* (уТг) на выходе КЧД — прореженной.
На рис. 2.17 показаны последовательности х(п7) и х*(уТ') на входе и вы-
ходе КЧД при уменьшении частоты дискретизации в 4 раза (т=4; А=2).
2-преобразования выходного и входного сигналов КЧД связаны соотношени-
ем [2.7, 2.9]
। m—1 i 2 я — k ( 12л —\
*A(z')=2h — je т X\ze т I, fe=0, 1,..., т— 1, (2.33)
т 2=0 ' '
где z=exp(iсоТ); z'=zm=exp(iaimT), a X(z) и X*a(z') — z-преобразования
решетчатой функции х(пТ) и прореженной смещенной решетчатой функции
**(vT'+feT).
В практических случаях, как правило, выбирают k=0. При этом связь меж-
ду 2-преобразованиями выходного и входного сигналов имеет вид
j т—1 / 12л —\
X*(z') = —2 xlze т]. (2.34)
т 1=0 ' '
Соответствующее соотношение для спектров выходного и входного сигна-
лов, получаемое из (2.34), имеет вид
] т—1 / I со Г-j-i 2Л — \
X* ( е1 “ т Т) = —2 X (е т ) (2.35')
т i=o Х ' *
ИЛИ
I т—I ( 1\
Х*(е12яга“)= —j] X 1е \ тН- (2.35")
т z=o х 7
Из (2.35) видно, что спектр выходного сигнала есть сумма спектров вход-
ного сигнала, сдвинутых относительно друг друга по оси частот со на величину
2л/ (тГ). На рис. 2.18 условно показаны модули спектра входного сигнала
(рис. 2.18,а) и составляющих спектра выходного сигнала (рис. 2.18,6) КЧД при
уменьшении частоты дискретизации в 3 раза (т—2).
Рис. 2.18
В основной полосе частот сое [0, л/(тТ)] спектр выходного сигнала КЧД
определяется как [2.И]
где XI(e1®T)—/-я составляющая спектра входного сигнала, занимающая полосу
Г л л j
частот |со|б=1/—, G+0 — :
т—1 т—1
Х(е’“г) = 2 Xz(e'“r)= g)(x+(ei«>r)+xr(ei“r)); (2.37)
«6
Хг(е1юТ) =
X (elaT) при (coI e
JT 1
z^’ (Z+1)^1:
(2.38)
о при Icol^l , (/+!) —
L mT mT
a Xz+(eI“r) и Хг~(е’ит) соответствуют верхней (со>О) и нижней (со<О) по-
лосам 1-го спектра. В формуле (2.36) [] означает наибольшее целое число,
ие превышающее заданного числа, верхний индекс «+» (Х+г) соответствует
четным Z, а «минус» (Х~г) — нечетным Z.
Смысл формулы (2.36) состоит в следующем. Если основной спектр входно-
го сигнала КЧД условно разбить на т составляющих, занимающих т полос на
оси частот шириной л/(т7) [см. (2.37), (2.38)], то после уменьшения частоты
дискретизации в т раз в основную полосу частот <ое[0, л/(т7)] выходного
сигнала попадают прямые спектры X+z(-) четных составляющих (Z=0,2,...) и
инверсные спектры X~i(-) нечетных составляющих (1=1,3,...) входного сигна-
ла.
„л л
2 —, —
37 7
л л |
— >-2— ,
37 - 37 J
На рис. 2.18 показана графическая интерпретация формулы (2.36) при
уменьшении частоты дискретизации в 3 раза (т=3>). Спектр входного сигнала
условно разбит на т=3 составляющих (Х^о, Х^, Х±2), занимающих соответ-
[л _ - -•>
О,
о/ _ _ __ _
После уменьшения частоты дискретизации в 3 раза в соответствии с (2.36)
в основной полосе частот спектр выходного сигнала имеет вид
/ iwlT-f-i—\
Х*(еГит7’)= — 'Х^(е’шГ)4-^-\е 3 / +
(1 го г-1
е
т. е. в основную полосу частот [0, л/37] выходного сигнала попадают со-
ставляющие Х+в(-), Х+а(-) при 1=0,2 и X~i(-) при 1=1.
Наложение спектров при уменьшении частоты дискретизации отсутствует,
если спектр входного сигнала занимает только одну из полос частот
г-^, ^со^(г+1)-^Г, г = 0,1,..., m—1. (2.39)
mJ ml
Условие (2.39) соответствует обобщенной теореме Котельникова, устанав-
ливающей связь между шириной спектра и частотой дискретизации сигнала
[1.5].
Выражение для спектра выходного сигнала КЧД (2.35) с помощью теоре-
мы смещения преобразуется к виду [2.11]
X*( е‘ш тГ) =—— У. У х/(п7) е—1 “ " г> (2.40)
т 1=0 п=0
где xi(nT) =х(пТ)ехр(—i2n-^— п).
т
Формуле (2.40) соответствует эквивалентная схема КЧД, показанная на
Рис. 2.19.
3* 67
Рис. 2,19
2.5.4. Простейшие восходящие дискретные системы
Простейшая восходящая дискретная система представлена на рис. 2.20,с.
Входной дискретный сигнал х\уТ') —x{vmT), v=0,1,2,..., с интервалом дискре-
тизации Т'=тТ поступает на ЭЧД, увеличивающий частоту дискретизации в
m раз по алгоритму (2.30). Выходной сигнал у(пТ), п=0, 1,2,..., ПВДС полу-
чается в результате обработки сигнала х*(пТ) дискретным фильтром с переда-
точной функцией /7(z), z=exp(ico7’), и импульсной характеристикой hi=
=h(lT), работающим на «высокой», частоте дискретизации выходного сигнала
(с интервалом дискретизации Т).
Z-преобразования выходного и входного сигналов ПВДС связаны соотноше-
нием
Y (z) = X (zm) Н (г). (2.41)
Эквивалентная схема (ЭС) ПВДС показана на рис. 2.20,6. Входным сигна-
лом ЭС является входной сигнал ПВДС х(уТ') с интервалом дискретизации
Рис. 2.20
68
Т'=тТ. Эквивалентная схема содержит т параллельных ветвей, в каждой из
которых находится дискретный фильтр с передаточной функцией Я*ь(2т), k~
=0,1,..., т—1, работающий с интервалом дискретизации входного сигнала Т'.
Выходные сигналы фильтров представляют собой дискретные последовательно-
сти с интервалом дискретизации Т'. На выходе дискретного фильтра й-й (k=
=0,1,..., ш—1) ветви находится элемент задержки на k интервалов Т (интер-
валов дискретизации выходного сигнала ПВДС). Сдвинутые относительно друг
друга последовательности yk(vmT+kT) складываются в сумматоре, образуя вы-
ходной сигнал ПВДС у(пТ).
Преобразование ПВДС в ЭС (см. рис. 2.20) осуществляется следующим об-
разом [2.12, 2.9]. Выходную последовательность ПВДС у(пТ) с периодом ди-
скретизации Т можно представить в виде суммы m последовательностей
ук (vmT+kT) с периодом дискретизации Т'=тТ, сдвинутых относительно друг
друга на интервал Т (рис. 2.21):
m—1 m—1
у [nT) = ^hyk(y Г +feT) = 2 ^Ук^тТ + kT), (2.42)
к=0 k=0
где v=[n/m]; pfe=l при &=n(modm) и Рь=О при других k; [Л] означает
целую часть числа Л; Л(то<1 В) означает число А по модулю В.
Таким образом, отсчет последовательности у(пТ) для фиксированного п
определяется только одной из последовательностей yk(ymT-j-kT) при k=
=n(mod m).
Поскольку
у(пТ) = 2 hix*(riT—lT),
1=0
(2.43)
где hi — отсчеты импульсной характеристики фильтра ПВДС с передаточной
функцией И (г), a yk(ymTA-kT) =y{iymA-k)T), из (2.43) имеем
vm+k
yk(y пгТ + А7)= 2 hix?(vmT—(I—k)T)-
z=b
(2.44)
69
Так как х*(пТ)=&0 только при l=k, m-}-k, 2m-}-k. a x*(vmT)=x(vmT),
из (2.44) получаем
hk+fmx((v—j)mT). (2.45)
/=о
Уравнение (2.45) можно интерпретировать следующим образом: каждая из
последовательностей уъ\утТ-\-кТ) есть результат фильтрации входного сигна-
ла ПВДС с дискретным фильтром с импульсной характеристикой Л%-=
— hk+jmt / — О, 1, 2, ...
Уравнение, описывающее ЭС во временной области, получается после под-
становки (2.45) в (2.42):
У(п7)=2 hk+jmx((y—(2.46)
fe=0 /=0
где v— [n/m]; £ь=1 при A=(n)mod m и £й=0 при других k. Уравнению
(2.46) соответствует ЭС ПВДС (см. рис. 2.20,6).
Отсчеты импульсной характеристики Л*й, j, / = 0, 1, 2,..., дискретного филь-
тра в Л-й (k=0, 1,..., m—1) ветви ЭС есть отсчеты импульсной характеристи-
ки hi, 1=0, 1, 2. фильтра в исходной ПВДС (см. рис. 2.20,а), взятые через
m—1 отсчет:
^k,j = hk+jm, k = 0, 1, ..., m— 1; / = 0, 1, 2,...
На рис. 2.22 показаны отсчеты импульсной характеристики hi фильтра
ПВДС (т=4) и отсчеты импульсных характеристик фильтров h*hj в четырех
параллельных ветвях ЭС.
|Лг
I , 1 , I , I I I I , I , I_____________
0 42<5 4’1^ 5 7 L° io I// /> '/5 /4 I
\^j
i----------1_________1___________I______
° / 2 3 f
17“ 12 '5 7
Puc. 2.22
Передаточная функция фильтра в k-и параллельной ветви ЭС определяет-
ся как
I m— 1 i 2гт — k / 12л — \
H*k (zm)=zk— е т H\ze т), (2.47}
т 1=0
где Я(2) — передаточная функция фильтра в исходной ПВДС.
70
Пример 2.19. Рассматривается ПВДС (см. рис. 2.20,а), содержащая ЭЧД,
увеличивающий частоту дискретизации входного сигнала в т=4 раза, и дис-
кретный фильтр, построенный по нерекурсивной структуре с передаточной функ-
цией H(z) =
Эквивалентная схема ПВДС (см. рис. 2.14,6) содержит четыре параллель-
ные ветви (й=0, 1, 2, 3). Уравнение, описывающее ЭС и получаемое из (2.46),
имеет вид
3 v
У (п Т) = 2 hk+31x D ST).
k=0 /=0
Передаточные функции фильтров в ветвях ЭС определим из (2.47). Для
фильтра в первой ветви (fe=0) имеем
< 3 / 12 л—\ 14 3 —12л-/-р
яо(24)=т2 н Vе т )= — 2 hPz~P 3е
* 1=0 4 р=о i=o
Поскольку
3 — i 2 л — р
4
4 при р=0, 4, 8, ...;
О при других р,
получаем
Для фильтра во второй ветви (k=l)
J 3 1!яХ / 12я--\
н\ (г*) = z — е Н Ize 1 =
4 1=0 ' '
, 14 3 12л4-(р—1) 3
= I'и.,--'.
4 р=0 1=0 1=0
Аналогично определяются передаточные функций фильтров в третьей и
четвертой ветвях (й=2 и fe=3);
(г4) = 2 ^24-4/ г^3 С2*)= 2 ^3+4/ 2 •
1=о 1=о
При нерекурсивной структуре исходного фильтра в ПВДС, для которой от-
счеты импульсной характеристики являются коэффициентами передаточной
функции, передаточные функции фильтров в ветвях ЭС легко определяются и
без использования (2.47) по формуле
р
= hk+imz-mI, p = [N/m],
i=o
где Лг — порядок передаточной функции исходного фильтра ПВДС (см.
рис. 2.22).
При рекурсивной структуре исходного фильтра в ПВДС передаточные функ-
ции фильтров в ветвях ЭС определяются либо по (2.47), либо с помощью ал-
горитма, описанного в [2.12].
71
Модификации эквивалентной схемы ПВДС [2.8] показаны на рис. 2.23.
В структуре на рис. 2.23,а введение (т—1) сумматора на два входа приво-
дит к использованию элементов задержек только на один интервал дискрети-
зации Т. В структуре на рис. 2.23,6 (в коммутационной структуре) коммутатор
играет роль множителя £& в (2.46), подключая последовательно через интер-
вал Т выходы фильтров в ветвях ЭС к выходу схемы, начиная с ветви для
А=0.
Рис. 2.23
2.5.5. Многократные восходящие дискретные системы
Многократная восходящая дискретная система, состоящая из двух подси-
стем, показана на рис. 2.24. Первая подсистема состоит из ЭЧД, увеличиваю-
щего частоту дискретизации входного сигнала x(lmim2T), 1=0, 1, 2,..., МВДС
Пойсисгпема Г"\ г
_xgCT,r%77l Ч(Рт2Т) ।
| lLd№^n2___J ]
Подсистема 2. "}
у*(пТ)
¥^Г
I г(пП
I Afe/
//2(z)
Рис. 2.24
в mi раз, и дискретного фильтра с передаточной функцией Hi (zmi) =
СО
= 2 at> 3-z_’M(z=exp(ico7’)), где fii,, — отсчеты импульсной характеристики
/=0
фильтра, работающего с интервалом дискретизации т2Т. Вторая подсистема со-
стоит из ЭЧД, увеличивающего частоту дискретизации выходного сигнала
y(vtn2T), о = 0, 1, 2... первой подсистемы в т2 раз, и дискретного фильтра
с передаточной функцией Я2(г) = S аг, jz-i(z=exp(i©7’)), где а2, — отсчеты
1=0
импульсной характеристики фильтра, работающего с интервалом дискретиза-
ции Т.
Z-преобразования выходного и входного сигналов МВДС связаны соотно-
шением
R (z) = X ( zm> "Ч Н± ( zm«) Н2 (2). (2.48)
72
Спектры выходного и входного сигналов МВДС связаны соотношением, по-
лучаемым из (2.48) путем подстановки z=exp(i(oT):
Я ( е’ “ т) = X ( е165 т‘ Т) ( е‘ “ Н2 ( е1 “ •
Эквивалентная схема I (ЭС1), сводящая МВДС к ПВДС, показана на
рис. 2.25. Она состоит из ЭЧД, увеличивающего частоту дискретизации вход-
ного сигнала x(lmitn2T) МВДС в m=mim2 раз, и эквивалентного фильтра И*,
работающего на частоте дискретизации
выходного сигнала МВДС. Передаточ-
ная функция эквивалентного фильтра в ’
ЭС1 имеет вид
Н* (г) = Hi ( гт‘) Н2 (г). (2.49)
х(1т,т2Т)г-- р.(пТ) Г“#; "'l КпП
л—
Рис. 2.25
Импульсная характеристика h*i=h*(lT) эквивалентного фильтра в ЭС1 оп-
ределяется как
I
S ai.i а2. i—b
/=о
(2.50)
где па, п — отсчеты импульсной характеристики фильтра второй подсистемы, а
» f ai i'm, ПРИ /=0’ т* 2т^
1-''тг (2.51)
I 0 при других J,
где ai. п — отсчеты импульсной характеристики фильтра первой подсистемы.
Уравнение (2.50) получается из (2.49) с использованием теоремы свертки, ес-
ли передаточную функцию Hi(zmt) фильтра первой подсистемы представить в
виде
( zm) = У а,'; г-т* > = аГ i г"' ,
7=о /=о
где j определяются (2.51).
Таким образом, импульсная характеристика эквивалентного фильтра в
ЭС1, работающего на частоте дискретизации выходного сигнала МВДС, пред-
ставляет собой свертку импульсной характеристики аг, n, n=0, 1, 2,..., фильт-
ра второй подсистемы и вспомогательной импульсной характеристики a*i, п,
n=0, 1, 2,..., образуемой из импульсной характеристики at, и фильтра первой
подсистемы по алгоритму (2.51), т. е. путем ввода (т2—1)-го нулевого от-
счета между каждой парой отсчетов характеристики ai, „.
Пример 2.20. Рассмотрим МВДС (см. рис. 2.24) при т\=тг~3, причем
фильтры подсистем являются однородными НФ (все коэффициенты однородно-
2 2
го НЦф равны 1) с передаточными функциями Hi(z3) = S z-3j и H2(z)=S^z_}.
Импульсные характеристики фильтров flt,n=a2,n={l. 1, 1}- Вспомогательная
импульсная характеристика в соответствии с (2.51) равна a*i,n={l, 0, 0, 1, 0,
Ч 1}. Импульсная характеристика эквивалентного фильтра ЭС1 определяется
(2.50) и равна Л*г={1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}.
Эквивалентная схема II (ЭСП), сводящая /МВДС к ЭС ПВДС (см. 2.5.4
и рис. 2.20,6), показана на рис. 2.26. Она получается в результате преобразо-
вания ЭС1 МВДС, аналогичного преобразованию ПВДС в ЭС, описанному в
2.5.4.
73
Эквивалентная схема ПМВДС содержит т=т^2 параллельных ветвей, в
каждой из которых находится дискретный фильтр с передаточной функцией
1 тг т, i 2 п —- k [ 12л —
H*k{zmim2) = zk——— У е т‘ H*\ze т* m‘
m2
где H*(z)—передаточная функция эквивалентного фильтра в ЭС1, определя-
емая (2.49), и импульсной характеристикой й*л, отсчеты которой есть отсчеты
импульсной характеристики Л*г эквивалентного фильтра в ЭС1, взятые через
tntm2— 1 отсчет (Л*ь, J=0, 1, k=0, 1, mim2—1).
Рис. 2.26
Уравнение, описывающее ЭСП МВДС во временной области, имеет вид
m,m2—1 v
У(пТ) = 2 PftS hk+imimzx((v—
k =0 /=0
где v=[n//n]; при A=n(mod пцт2) и ₽л=0 при других k\ [Л] озна-
чает целую часть числа А.
Модификации ЭСП МВДС имеют вид, аналогичный показанному на
рис. 2.23.
Многократная восходящая дискретная система, состоящая из р подси-
стем, показана на рис. 2.27. Каждая х-я (х=1, 2,..., р) подсистема содержит
ЭЧД, увеличивающий частоту дискретизации входного сигнала х-й подсисте-
мы в тк раз, и дискретный фильтр с передаточной функцией Яи(гт/®х), где
Р х
т= П тк, а =П mh.
fe=l
Z-преобразоваиия выходного и входного сигналов МВДС связаны соотно-
шением
У(г) = Х(гт)П
я—1
хЦтТ)\
^Пшкиапема 7
Рис. 2.27
И
Спектр выходного сигнала МВДС определяется как
р /' i (0 тА
y(ei * *“7’)=X(ei“m7’) П нДе W* I.
х=1 7
Передаточная функция эквивалентного фильтра в ЭС1 МВДС определяется
аналогично (2.49):
п
х=!
Импульсная характеристика h*i, 1=0, 1, 2,..., эквивалентного фильтра в
ЭС1 МВДС определяется аналогично (2.50) как свертка вспомогательных им-
пульсных характеристик Л*х,,, /=0, 1, 2,... ; х=1, 2,..., р, где
/l-z,
О
при /=0, m/w , 2mjwx, ...;
при других j,
а ННгП — импульсная характеристика фильтра и-й подсистемы (n=0, 1, 2, ...)
l = j = 0, 1, 2,...
Передаточная функция фильтра в k-й (k=0, 1,..., т—1) ветви ЭСП оп-
ределяется аналогично (2.47), где в качестве //(•) в правой части уравнения
надо рассматривать передаточную функцию эквивалентного фильтра в ЭС1
МВДС.
2.5.6. Простейшие нисходящие дискретные системы
Простейшая нисходящая дискретная система представлена на рис. 2.28,а.
Входной дискретный сигнал х(пТ) с периодом дискретизации Т обрабатывает-
ся дискретным фильтром с передаточной функцией H(z) (z=exp(iwT)) и им-
пульсной характеристикой hi=h(lT), 1=0, 1, 2,... На выходе фильтра стоит
КЧД, уменьшающий частоту дискретизации выходного сигнала фильтра у(пТ)
в m раз, в результате чего формируется выходной сигнал y*(vT')=y*(ymT),
v=0, 1, 2,..., с периодом дискретизации Т'=тТ.
/-преобразования выходного и входного сигналов ПНДС связаны соотно-
шением
(I \ / . i \
1 2л — 1 I 12л — \
ze m Н ze m . (2.52)
Действительно, Y(z)=X(z)ff(z) и, используя (2.34), получаем (2.52).
Спектр выходного сигнала ПНДС определяется как
1 m—1 / i ш 74-i 2л —\ ( i <о T-f-i 2л — \
^(eia^)=-V Х е т Я е т . (2.53)
/=о 4 * ' ' ’
Выходная последовательность у*(утТ) определяется уравнением, описы-
вающим ПНДС во временной области:
75
vm
у* (v T') = y* (vmT) = ^ hjx(ymT—j T),
i=n
v = 0, 1, 2......................... (2.54)
где hj — импульсная характеристика дискретного фильтра ПНДС (/=0,
1, 2,...).
Эквивалентная схема ПНДС показана на рис. 2.28,6. Входным сигналом
ЭС является входной сигнал ПНДС х(пТ) с периодом дискретизации Т. Схема
содержит m параллельных ветвей обработки сигнала. В k-ii ( &=0, 1..m—1)
ветви находятся последовательно включенные элемент задержки иа k интерва-
лов Т (периодов дискретизации входного сигнала ПНДС), КЧД, уменьшающий
х(пТ)
X(zl
I
I
I
।
I
1_
ПНДС И
Рис. 2.28
у^/77)
частоту дискретизации входного сигнала в m раз, и дискретный фильтр с пе-
редаточной функцией работающий с интервалом дискретизации вы-
ходного сигнала Т'. Выходные сигналы фильтров складываются в сумматоре,
образуя выходной сигнал у*{утТ) ПНДС. На рис. 2.29 показаны отсчеты вход-
ного сигнала х(пТ’) с интервалом дискретизации Т и входных сигналов фильт-
ров x*fe(vmT), m=3, Л=0, 1, 2, с интервалом дискретизации Т'—тТ, получен-
ные уменьшением частоты дискретизации в 3 раза задержанной иа k интер-
валов Т последовательности х(пТ). Отметим, что отсчеты последовательностей
x*k(vtnT) для фиксированного значения v поступают на входы фильтров в один
и тот же момент времени t=vmT.
Преобразование ПНДС в ЭС (см. рис. 2.28) осуществляется путем приве-
дения уравнения (2.54) к виду
76
т—1 v
у* (vmT) = 2 2 hk+imx (('v—/) m T—kT). (2.55)
k=0 j=0
аналогично тому, как было выполнено для ПВДС.
Уравнение (2.55), описывающее ЭС ПНДС во временной области, можно
интерпретировать следующим образом: выходная последовательность у*(утТ)
ПНДС есть сумма т последовательностей уъ(утГ), k—0, 1,..., т—1, каждая
из которых есть, в свою очередь, результат фильтрации последовательности
x*fc(vm^) =х(птТ—kT) дискретным фильтром с импульсной характеристикой
Л*й, /== 0, 1,...
Х(пТ) I
! I ' ।
х*ЫгпТ) 0 1 2 I 'Б 17 |5 19 пТ
П I I________________,____________
x*(Vm77 | g / '2 '?
Х*Мп77| 0 f р
I______I—______I_____________—
у ! 2.М VmT
Рис. 2.29
Отсчеты импульсной характеристики h*kl}, 7=0, 1, 2,..., дискретного филь-
тра в fe-й (fe=0, 1,..., m—1) ветви ЭС есть отсчеты импульсной характеристи-
ки hi, 1=0, 1, 2,..., фильтра в исходной ПНДС (см. рис. 2.28,а), взятые че-
рез tn—1 отсчет:
h-k, j^hk+fm»
fe = 0, 1, ..., m— 1; j = 0, 1, 2, ...
Передаточная функция фильтра в k-Й параллельной ветви ЭС определяет-
ся аналогично ЭС ПВДС по формуле (2.47).
Простейшая НДС не инвариантна к временному сдвигу и имеет m раз-
личных импульсных характеристик h*kj (реакций системы на входную после-
довательность вида б-функции). Это видно из (2.54) и рис. 2.28,6.
Модификации эквивалентной схемы ПНДС аналогичны модификациям ЭС
ПВДС (см. рис. 2.23) и описаны в [2.8].
2.5.7. Многократные нисходящие дискретные системы
Многократная нисходящая дискретная система, состоящая из двух под-
систем, показана на рис. 2.30. Первая подсистема содержит дискретный фильтр
с передаточной функцией Hi(z) = £ щ, jZ—i (где z=exp(ico7’) и at,} — отсчеты
импульсной характеристики фильтра), работающий с интервалом дискретиза-
ции Т, на выходе которого стоит КЧД, уменьшающий частоту дискретиза-
ции выходного сигнала в mi раз. Вторая подсистема содержит фильтр с пе-
77
редаточиой функцией H2(zmi) = 2 °2, (где a2,, — отсчеты импульсной ха-
/=о
рактеристики фильтра), работающий с интервалом дискретизации пцТ, на вы-
ходе которого стоит КЧД, уменьшающий частоту дискретизации в т2 раз. В
результате формируется выходной сигнал МНДС r*(yT') =r*(ym1tn2T) с перио-
дом дискретизации T'=mim2T.
Х(пТ)\
хы !
ГПодсистема 1
у(пП
г- Подсистема 2
НГМ
1
1 v
|Л (^гутЩ
Рис. 2.30
/-преобразования выходного и входного сигналов МНДС (см. рис. 2.30)
связаны соотношением
( zmt ---------!—
тх т2
ц=0 р=0 .
i2n!top\
т1тг )
12пН±2ДР
тг т2
г е
т2—1 mt—1
X
ХЯ2
i 2 л -У- \
е т‘ /. (2.56)
Спектры выходного и входного сигналов МНДС связаны соотношением,
получаемым из (2.56) подстановкой z=exp(iwT):
। тг— 1 mt—1
Я*(е1ит‘т*г) = —----- £
т1т2 [Ц=о р=0
i <0 Г-Н 2л
тЛт2
е
я2
1И7-+12лН±^
тг та
i а>'т, T+i 2Л
е
ХНг
Эквивалентная схема ЭС1, сводящая МНДС к простейшей НДС, показа-
на на рис. 2.31. Схема состоит из эквивалентного фильтра Н*, работающего на
частоте дискретизации входного сигнала МНДС, и КЧД, уменьшающего ча-
стоту дискретизации выходного сигнала
р(пТ) эквивалентного фильтра в т=
= mitn2 раз.
Передаточная функция эквивалент-
ного фильтра в ЭС1 имеет вид
х(пТ)
Н (zl
р(пП г----
г*(Угл,гл
Plz)
Рис. 2.31
X
H*(z) = ff1(z)H2(zm>). (2.57)
Импульсная характеристика h*i—h*(lT) эквивалентного фильтра в ЭС1
определяется как
1
лг = 2 g2,/ci,z—р
/=о
(2.58)
где ai, п — отсчеты импульсной характеристики фильтра первой подсистемы;
при /—0, mi, 2ffii, ...;
при других /,
(2.59)
78
где 0.2, п — отсчеты импульсной характеристики фильтра второй подсистемы.
Уравнение (2.58) определяет импульсную характеристику h*i эквивалентно-
го фильтра в ЭС1, работающего на частоте дискретизации входного сигнала
МНДС, как свертку импульсной характеристики ait „, п=0, 1, 2,..., фильтра
первой подсистемы и вспомогательной импульсной характеристики а*2, п,
п=0, 1. 2...... образуемой из импульсной характеристики а2, и фильт-
ра второй подсистемы по алгоритму (2.59), т. е. путем ввода (mi—1)-го
нулевого отсчета между каждой парой отсчетов характеристики аг, п-
Алгоритм определения импульсной характеристики ЭС МИДС аналогичен
соответствующему алгоритму для МВДС и может иллюстрироваться приме-
ром 2.20.
Выходная последовательность г* (упитъТ) определяется уравнением, опи-
сывающим ЭС МНДС во временной области:
v Wj тг
г* (vm1m2T) = J] xjymi т2 T—IT), v=0, 1, 2,..., (2.60]
1=0
где h*i, 1=0, 1, 2, ..., — импульсная характеристика эквивалентного фильтра,
определяемая (2.58).
Пример 2.21. Рассмотрим качественный пример, показывающий, как преоб-
разуется спектр входного сигнала в МНДС (см. рис. 2.30), использующей не-
Рис. 2.32
79
Nt
рекурсивные фильтры с передаточными функциями Hi (z) = J Qi,jZ~} и Hz(z') =
i=0
~ S e2,j(z/)--' (где z/=zmi) н линейными фазовыми характеристиками при mt —
Z=o
=2 и ms=2. Подобные системы могут решать, например, задачу выделения из
сигнала с широким спектром, занимающим диапазон [0, п/7], узкополосного
сигнала с шириной спектра ttlmitn-гТ с одновременным понижением частоты
дискретизации выходного сигнала по отношению ко входу в m=«1/n2 раз (см.
разд. 7). На рнс. 2.32,а условно показан модуль спектра входного сигнала
х(пТ) системы (см. рнс. 2.30). Спектр входного сигнала периодичен с часто-
той кд=2л/7. Амплитудно-частотная А](со) и фазочастотная cpi (со) характери-
стики фильтра первой подсистемы, периодичные с той же частотой <ая=2л/7,
показаны на рис. 2.32,6 и в соответственно. Для фильтра второй подсистемы
Аг(<о) и <j>2(<o) изображены на рис. 2.32,г и д соответственно. Эти характери-
стики периодичны с частотой дискретизации co's=2n/(miT) =л/7.
Преобразуем МНДС в ЭС1 (см. рис. 2.31). Передаточная функция эквива-
7Vt Л2
лентного фильтра в соответствии с (2.57) Я*(г) = (S fli.jZ-’) (S fl2,jZ_Tn,i), а
i=0 /=0
импульсная характеристика h*{, определяемая (2.58), есть свертка последова-
тельностей {ai.o; аы; —; Ci,n ) и {О2,о; 0; a2,i; 0; ...; ag,n -г, 0; а2.я 2}. На
рис. 2.32,е и ж изображены АЧХ А*(<о) и ФЧХ ф*(со) эквивалентного фильт-
ра. Из (2.57) видно, что А*(<о) =At(<o)A2(<o), a <p*-(<o)=<p1(<o)+<p2(<o). В резуль-
тате фильтрации входного сигнала эквивалентным фильтром его выходная по-
следовательность р(пТ) имеет спектр, определяемый АЧХ и ФЧХ эквивалент-
ного фильтра Р(е’®т) =Х(е’“т)Я(е;®т). Так, если |Х(е{о>г) | =const для ое
е[0, л/Т], модуль спектра P(ef®T) на выходе эквивалентного фильтра имеет
ту же форму, что и А* (а).
В результате уменьшения частоты дискретизации выходного сигнала экви-
валентного фильтра в m=«i«2=4 раза спектр выходного сигнала системы в
основной полосе частот os [0, л/(47)] в соответствии с (2.36) есть сумма че-
тырех составляющих:
! 3 / i со Г-Н (-Dz^ [—]\
Я(е1е40=—I PfU 4‘2JJ =
4 z=o
Составляющую спектра при 1=0 можно рассматривать как спектр полез-
ного сигнала. Она представляет собой составляющую спектра входного сиг-
нала Хо(е’®г) [см. (2.37)], измененную в соответствии с АЧХ и ФЧХ экви-
валентного фильтра. Модуль спектра составляющей Po(eifflT) показан на
рнс. 2.32,з. Составляющие спектра P~i(-), P+z(-) и Р~з( ) следует рассматри-
вать как помехи, искажающие спектр Po(ei<oT) полезного сигнала. На
рис. 2.32, и, к, л показаны соответственно модули спектров P“i(-), Р+2(-) и
В полосу частот попадают составляющие X_i(-), Хч’2(-) и Х~3(-)
спектра входного сигнала, измененные в соответствии с АЧХ и ФЧХ эквива-
лентного фильтра на данных интервалах (см. рис. 2.32).
Эквивалентная схема ЭСП МНДС. сводящая МНДС к ЭС ПНДС (см.
2.5.6), получается в результате преобразования уравнения (2.60), описываю-
щего ЭС1 МНДС (т. е. простейшую НДС), к виду
80
tnt тг—1 v
r* (v mi т2Т) = 2 2 h*k+i m, x ((v—i) mr m2 T—kT) =
k=0 j=0
mt mz—1 v
— S S /x((v—1)тЛТ—kT).
k=o j^o
В качестве ЭСИ МНДС можно рассматривать схему, показанную на
рис. 2.28,6, где №=№^2.
Для определения передаточной функции H*h(zmi™2) фильтра в fe-й (k—
=0, 1, mimz— 1) параллельной ветви ЭСП необходимо вначале определить
передаточную функцию H*(z) эквивалентного фильтра в ЭС1 по (2.57). Тогда
Н*к определяется по формуле (2.46), в которой m=mim2, а в качест-
ве //(•) надо рассматривать Д*(я)—передаточную • функцию эквивалентного
фильтра в ЭС1 МНДС.
Отсчеты импульсной характеристики h*h,j, /==0,1,2,..., дискретного фильт-
ра в fe-й (fe=0,1,...,/П1/П2—1) ветви есть отсчеты импульсной характеристики
h*i, 1=0,1,2,..., эквивалентного фильтра в ЭС1, определяемой (2.58), взятые че-
рез тхт2— 1 отсчет (h*k,i=h*k+j mi тг, /=0,1,2,...).
Многократная нисходящая дискретная система, состоящая из р подсистем,
показана на рнс. 2.33. Каждая z-я (х=1,2....р) подсистема содержит дис-
р
кретный фильтр с передаточной функцией H(zmlPn), где т== П т„, ц, =
X К7 * X
X =1
р
= П Шь, н КЧД, уменьшающий частоту дискретизации выходного сигнала
fe=’Z
фильтра х-й подсистемы в раз.
Подсистема /“! ^Подсйстёмар^ 'ЛТодсйсгпвмапЛ
1------------1 I----------------1 .1 I
Рис. 2.33
Передаточная функция эквивалентного фильтра в ЭС1 МНДС определяется
аналогично (2.57):
«•(г)=П»Л*).
54=1
Импульсная характеристика h*i, /=0,1,2,..., эквивалентного фильтра в
ЭС1 МНДС определяется аналогично (2.58) как свертка вспомогательных им-
пульсных характеристик h* р.
I = j = 0, 1, 2...; x = 1, 2,..., p,
m m
i !m при /=0, — , 2 — ,...;
0 при других /;
x’fe импульсная характеристика фильтра х-й подсистемы.
81
Передаточная функция фильтра в А-й (А=0,1,..., т-—1) ветви ЭСИ опре-
деляется аналогично (2.46), где в качестве //(•) в правой части уравнения надо
рассматривать передаточную функцию эквивалентного фильтра в ЭС1 МНДС.
3. ЭФФЕКТЫ КВАНТОВАНИЯ СИГНАЛОВ В ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРАХ
3.1. ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
3.1.1. Основные определения
Под системой счисления (СС) понимается способ представления чисел с
помощью символов, имеющих определенное количественное значение.
Позиционной (ПСС) называется система счисления, в которой количествен-
ное значение каждого символа определяется еще и местом (позицией), занимае-
мым данным символом в записи числа.
Основанием р позиционной СС называется число различных символов, ис-
пользуемых в данной ПСС.
В табл. 3.1 приведены символы, используемые в двоичной (р=2), вось-
меричной (р=8), десятичной (р=10) и шестнадцатиричной (р=16) системах
счисления.
Таблица 3.1
Основание СС Символы
2 о, 1
8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
10 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
16 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, Е, F
Любое число А можно представить в виде разложения по степеням осно-
вания ПСС:
А = ±(яп Рп + ап—1 Р" 1 + • • • + Я1Р1 + яо Р° 4*
+ я_1Р 1 + • • 4*я_тр (3-1)
где at — символы, используемые в данной ПСС. Число А в СС с основанием р
записывается в виде последовательности символов сц:
А(р) = ±ап 1 • -Я1 яо> «_1 (3.2)
Каждый символ а, занимает одну позицию в записи числа, называемую
разрядом. Коэффициент р* при символе a-i называют весом (весовым коэффици-
ентом) t-го разряда. В табл. 3.2 приведены значения весовых коэффициентов
для двоичной СС (р=2).
82
Таблица 3.2
1 21 i 2»
0 1 —1 0,5
1 2 —2 0,15
2 4 —3 0,125
3 8 —4 0,0625
4 16 —5 0,03125
5 32 —6 0,015625
6 64 —7 0,0078125
7 128 -8 0,00390625
8 256 —9 0.001953125
9 512 —10 0,0009765625
10 1024 —11 0,00048828125
11 2048 —12 0,000244140625
12 4096 —13 0,0001220703125
13 8192 —14 0,00006103515625
14 16384 —15 0,000030517578125
15 32 768 —16 0,0000152587890625
16 65 536 —17 0,00000762939453125
17 131 072 —18 0,000003814697265625
18 262 144 —19 0,0000019073486328125
19 524 288 —20 0,00000095367431640625
Пример 3.1. Запишем число A=25,8125(i0) в различных системах счисления,
используя (3.1) и (3.2):
двоичная СС:
Л = 1 -24 4- 1-23 4- 0-22 4- 0-214- 1 -20 + 1-2-1 + 1 -2~2 + 0-2^3 + 1 -2“4;
л(2) = 11001, 1101;
восьмеричная СС:
Л = 3-814- 1.8°4-6.8-14-4-8-2;
^(8) “ 31,64;
шестнадцатиричная СС:
Л= l-16l4-9-16° + D-16“!
^(16)=19>D.
Как правило, в устройствах цифровой обработки сигналов числа представ-
ляются в двоичной системе счисления.
3.1.2. Перевод чисел из одной ПСС в другую
Перевод чисел из одной ПСС в другую осуществляется в соответствии со
следующими алгоритмами.
Алгоритм подстановки. Для перевода числа А(Р1> нз ПСС с основанием
Pt в ПСС с основанием р2 необходимо в представление числа А(Р > в виде
(3.1) подставить значения основания р и разрядов а,, записанные в ПСС с ос
нованием pz, и вычислить полученную сумму произведений.
Пример 3.2. Перевод двоичного числа А(2> = 1011,01 в десятичную систему
счисления:
A(W) = 1-2s 4-0-22 4-1.2* 4-1-20 4-0-2-1 4-1-2~2 = 11,25.
83
Перевод десятичного числа А(Ю)= 11,25 в двоичную систему счисления:
А(2) = 1-1010+1 4- 1-1010"+ 10-10Ю '1 + lOl-lOlO-10 «1011,01.
При «ручном» переводе алгоритм подстановки удобно использовать при пре-
образовании чисел из двоичной в десятичную СС, а при «машинном» переводе
(т. е. при выполнении преобразования чисел в цифровом устройстве, работаю-
щем в двоичной системе счисления) — при преобразовании чисел из десятичной
в двоичную СС.
Перевод целого числа (алгоритм последовательного деления). Для перевода
целого числа А(Р ) из ПСС с основанием pi в ПСС с основанием р2 необходимо
последовательно делить число А(Р1> и получающиеся частные (большие, чем рг)
на число р2, записанное в ПСС с основанием рь и выписать последовательно все
остатки от деления, начиная с последнего.
2
10
~10
о
20
20
0
Пример 3.3. Перевод десятичного числа А(ю)=20 в двоичную систему счис-
ления:
Л{2) = 10100.
2
5 2
±22
1 ~2 т
о
Перевод правильной дроби (алгоритм последовательного умножения). Для
перевода правильной дроби А(р > из ПСС с основанием pt в ПСС с основанием
р2 необходимо последовательно умножать данную дробь на число р2, записанное
в ПСС с основанием р, (перемножаются только дробные части), н выписать
последовательно все целые части полученных произведений, начиная с первого.
Пример 3.4. Перевод деся счисления: X 0, тичной дроби A(io) = 0,8125 в двоичную систему 8125 А„. = 0,1101. 2 ’
1, X 6250 2
1, X 2500 2
о, X 5000 2
1, 0000
Алгоритмы последовательного деления и умножения удобно использовать
при «ручном» переводе — в случае преобразования чисел из десятичной СС — и
«машинном» — при преобразовании чисел в десятичную СС.
Перевод неправильной дроби выполняется в два приема (отдельно для це-
лой и дробной частей).
3.2. ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЧИСЕЛ В ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРАХ
3.2.1 Фиксированная запятая
При представлении числа в форме с фиксированной запятой считается, что
положение запятой, отделяющей целую часть числа от дробной, фиксировано.
Разряды слева от запятой представляют целую часть числа и его знак, а спра-
84
ва — дробную часть числа. Все разряды числа (вместе со знаковым) образуют
так называемую разрядную сетку ЦФ. Каждый z-й разряд сетки имеет опреде-
ленный вес, что позволяет просто реализовать арифметические операции.
Как правило, в ЦФ используется нормирование обрабатываемых данных та-
ким образом, чтобы все арифметические операции выполнялись с числами, по-
абсолютному значению меньшими единицы:
0<|Л1<1. (3.3)
Разрядная сетка, содержащая 6 + 1 двоичных разрядов (старший — знако-
вый, остальные — числовые), позволяет представить 2Ь+1 различных чисел (2Ь
отличающихся по абсолютному значению чисел с шагом 2~ь) в диапазоне
0<|Л|^1 —2-6. (3.4)
Если результат арифметической операции выходит за верхний предел нера-
венства (3.4), происходит переполнение разрядной сетки, приводящее к искаже-
нию результата. При выполнении условия (3.3) переполнение может произойти
только прн операциях сложения и вычитания.
3.2.2. Плавающая запятая
Числа в форме с плавающей запятой представляются с помощью двух чи-
сел с фиксированной запятой — мантиссы ц и порядка у:
Л=±у±ц- (3.5)
Представление числа в виде (3.5) основано на записи его в виде
Л=(+р)р^, (3-6)
где р — основание системы счисления; у — целое число; р—правильная дробь..
Пример 3.5. Представим двоичное число Л(2)=0,0101 в виде (3.6):
а) Л =0,101-10-01, где р(2)= +0,101 ;
Т(-2) = —о-1;
б) Л = 0,0101-Ю+оо, где р(2) = 0,0101;
V(2)= +00> и т-д-
Порядок у (вместе со знаком) указывает истинное положение запятой в
числе А.
Число называется нормализованным, если в старшем числовом разряде ман-
тиссы стоит цифра, отличная от нуля. Нормализованное представление числа
позволяет сохранить в мантиссе наибольшее количество значащих цифр, т. е.
повышает точность вычислений.
В разрядной сетке, содержащей b двоичных разрядов, b разрядов отводит-
ся на представление порядка и его знака, а Ъразрядов — на представление-
мантиссы и ее знака {Ъ=Ь^+Ь^)- Диапазон представления абсолютных зна-
чений нормализованных двоичных чисел в форме с плавающей запятой опре-
деляется неравенством
2-1.2-(2? -1,<М|<(1— 2-t,fl+1) 22< ? >-1_ (3.7)-
85
Пример 3.6. Определим диапазон представления чисел в форме с плаваю-
щей запятой, если разрядная сетка содержит 6=20 разрядов, причем 6?=6;
6^ = 14. В соответствии с (3.7)
2-32 | А | (1 — 2-W) • 231.
Вероятность переполнения разрядной сетки прн выполнении операций над
числами в форме с плавающей запятой оказывается незначительной. Однако са-
ми операции являются более сложными по сравнению с арифметическими опе-
рациями над числами с фиксированной запятой, поскольку действия выполня-
ются как с мантиссами чисел, так н с порядками. Прн сложении двух чисел
с плавающей запятой вначале осуществляется выравнивание порядков (меньший
приводится к большему путем сдвига мантиссы на соответствующее число раз-
рядов вправо), затем — сложение мантисс и нормализация результата. При ум-
ножении Двух чисел производятся сложение порядков, умножение мантисс и
«нормализация результата :[3.1].
3.3. КОДИРОВАНИЕ ЧИСЕЛ В ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРАХ
Существуют три основных кода для представления чисел: прямой, обратный
и дополнительный.
В данном параграфе рассматриваются положительные и отрицательные чис-
ла с фиксированной запятой
А= ± 0, at а2 ... аь,
удовлетворяющие условию (3.3).
Код числа содержит 6 + 1 разряд. Старший разряд служит для фиксации
знака числа и называется знаковым. Следующие 6 разрядов служат для фикса-
ции дробной части числа и называются числовыми.
3.3.1. Прямой код
Условное обозначение: [А] пр. Используется при выполнении операции умпо-
.жения в ЦФ.
Правило кодирования: в знаковый разряд кода записывается 0 (для поло-
жительных чисел) и 1 (для отрицательных чисел), числовые разряды кода со-
ответствуют числовым разрядам (дробной части) исходного числа:
И1..- (3.8)
[ 1. аг а2 ... аь при А «С О.
Пример 3.7. Представим положительное число А и отрицательное число В,
^модуль которых равен 0,10111, в прямом коде. В соответствии с (3.8)
[А]пр= О.ЮШ и 1В]пр= 1.10111.
3.3.2. Дополнительный код
Условное обозначение: {А]дов. Используется прн выполнении операций ум-
ножения и сложения в ЦФ.
Правило кодирования положительных чисел: дополнительный код положи-
тельного числа совпадает с прямым кодом: [А]Доя={А]п₽-
Правило кодирования отрицательных чисел: в знаковый разряд кода за-
писывается 1, числовые разряды исходного числа инвертируются (0 заменяется
1 и наоборот) и к младшему числовому разряду добавляется 1:
86
{0. аг а2 ... аъ при А^О;
— _ — — ь (3-9)
1- «ч «2 ... °ь “г 2 при А С 0.
Пример 3.8. Представим отрицательное число А——0,10111 в дополнитель-
ном коде. В соответствии с (3.9)
[А]Пп = 1.10111-*1.01000
+1 ’
1.01001
[Д]доп= 1.01001.
Правило перевода дополнительного кода отрицательного числа в прямой:
числовые разряды дополнительного кода инвертируются и к младшему разряду
добавляется 1.
Пример 3.9. Осуществим обратный перевод дополнительного кода числа А:
(см. пример 3.8) в прямой код:
[А]доп= 1.01001 -*1-10110
+1
1.10111
[А]пр= 1.10111.
Модифицированный дополнительный код имеет условное обозначение:
[А]“д.п. Он образуется по правилам дополнительного кода, но для представле-
ния знака числа отводятся два разряда.
Пример 3.10. Представим положительное число А и отрицательное число В,
модули которых равны 0,01110, в модифицированном дополнительном коде:
[A]“on = 00.01110; [В]“оп = 11.10010.
3.3.3. Обратный код
Условное обозначение: [А]о6р.
Правило кодирования положительных чисел: обратный код положительного
числа совпадает с прямым кодом: '[А]обр= [А] пр.
Правило кодирования отрицательных чисел: в знаковый разряд кода запи-
сывается 1, числовые разряды исходного числа инвертируются.
{0. ага2 ... при А^0;
_________ (3-Ю)
1. агаг — аъ при А=С0.
Пример 3.11. Представим отрицательное число А=—0,10000 в обратном»
коде:
[А]обр= 1.01111.
Модифицированный обратный код образуется по правилам обратного кода,,
но для представления знака числа отводятся два разряда.
3.4. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ В ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРАХ,
ИСПОЛЬЗУЮЩИХ АРИФМЕТИКУ С ФИКСИРОВАННОЙ ЗАПЯТОЙ
3.4.1. Алгебраическое сложение в дополнительном коде
Пусть заданы дополнительные коды чисел А и В, причем |А|, |В|, |А+-
'^1<1. Дополнительный код суммы чисел образуется путем сложения допол—
87
•ннтельных кодов слагаемых. Перенос из знакового разряда при сложении не
учитывается (теряется).
Пример 3.12. Допустим А=—0,01100; В=—0,10001. Тогда
= 1.10100
+ [Л 4-В]ДОп= 1.00011.
= 1.01111
г|1| ! 1.00011
Г
Единица переноса не учитывается.
3.4.2. Алгебраическое сложение в обратном коде
Пусть заданы обратные коды чисел А и В, причем |А], |В|, |Д+В| < 1. Об-
ратный код суммы чисел образуется путем сложения обратных кодов слагаемых
с учетом переноса из знакового разряда (циклического переноса), при наличии
.которого к младшему разряду суммы добавляется 1.
Пример 3.13. Допустим А=—0,01001, В = 0,11000. Тогда
М1обр= 1-10110
+ [4 + В]обр = 0.01111.
[ В]обР =0-11000
1:0.01110
Циклический-----► + 1
перенос _____________
0.01111
3.4.3. Переполнение разрядной сетки при сложении
При сложении нескольких чисел, удовлетворяющих условию (3.3), может
-произойти переполнение разрядной сетки. Для фиксации переполнения исполь-
зуют модифицированные коды, содержащие h дополнительных знаковых разря-
дов, где A=intlog2A, a k — число слагаемых.
При сложении двух чисел (&=2) Л=1. Модифицированный код, фиксирую-
щий переполнение, должен содержать два знаковых разряда. При наличии пе-
.реполнения значения знаковых разрядов не совпадают, т. е. в знаковых разря-
дах фиксируется комбинация 01 или 10.
3.4.4. Умножение в прямом коде
Пусть множимое А содержит Ъ числовых разрядов, а множитель В —
т числовых разрядов
М)пр — яо- °i °2... аь>
[^1пр = 1’о- bl Ь-2 ... bmt
где яо, &о={1,О)—знаковые разряды сомножителей.
Точное значение произведения Р—АВ может содержать до Ь+т числовых
.разрядов. Значение знакового разряда произведения Р определяется путем сло-
жения значений знаковых разрядов сомножителей по модулю 2: ро=яо®&о, т. е.
1
0
Ро =
при
при До=Ьо-
88
Значения числовых разрядов получаются путем перемножения числовых
разрядов сомножителей.
Пример 3.14. Пусть А——0,1001; £=0,101. Выполним умножение чисел в
прямом коде по алгоритму умножения, начиная с младших разрядов [3.2]:
11.1001 и [А]пр
© х?
0ч—0.101 —- [В]Пр
~Г loci-»
, 01001
~т~ 0000
01001=»-
. . 001001
Формирование -|- jqqj
знака произведения -------
101101-3-
1.0101101 = [АВ]пр-
Стрелка -з- соответствует сдвигу кода частичной суммы на один разряд
вправо.
Различные алгоритмы умножения чисел в прямом коде подробно описаны
в [3.2].
3.4.5. Умножение в дополнительном коде
При умножении чисел в дополнительном коде множимое и частичные произ-
ведения обычно представляются в модифицированном коде (для устранения пе-
реполнений при вычислении частичных сумм).
Алгоритм умножения чисел в дополнительном коде, начиная с младшего
разряда, практически аналогичен соответствующему алгоритму для прямого ко-
да, однако на последнем шаге (при отрицательном множителе) к частичной
сумме добавляется дополнительный код числа, равного-множимому по абсолют-
ному значению и противоположного по знаку.
Пример 3.15. Пусть А=—0,111; В=—0,010, т. е.
[Я] “доп=1.110; [—А]иДои=00.111;
[А] мдоп=11.001;
М1“оп= н-001
X
[В]доп= 1-110
00.000-»
i 00.0000
~11.001
11.0010-3-
i 11.10010
11.001
10,10110-»
, 11.010110
~Т~ОО.111
00.001110= [АВ]ДОП.
89
Различные алгоритмы умножения чисел в дополнительном коде, в том чис-
ле и широко используемый в ЦФ алгоритм Бута, подробно рассмотрены в [1.6,
3.2].
3.5. КВАНТОВАНИЕ ЧИСЕЛ В ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРАХ,
ИСПОЛЬЗУЮЩИХ АРИФМЕТИКУ С ФИКСИРОВАННОЙ ЗАПЯТОЙ
3.5.1. Общие сведения
Квантование числа есть представление последнего с помощью конечного ко-
личества (Ь) числовых разрядов. Операция квантования является нелинейной и
вносит в представление числа х ошибку
£кв == F М—(3.11)
где х— число до квантования; F(x) —число после квантования (после выполне-
ния нелинейной операции F).
Шагом квантования Q называется весовой коэффициент младшего числового
разряда, равный 2~ь. При квантовании используются два способа: округление
л усечение.
3.5.2. Округление
При округлении числа до Ъ разрядов исходное m-разрядное число (fe<m<
<оо) заменяется на ближайшее Ь-разрядиое (округление соответствует выбору
ближайшего уровня квантования).
Ошибка округления E0=F0(x)—х удовлетворяет неравенству
—2-й/2<£0 С2~6/2
(3.12)
для всех трех способов кодирования чисел (прямого,
«ого кодов). В (3.12) считается, что m^>b.
Характеристика нелинейности, соответствующая
казана иа рис. 3.1,а.
обратного и дополнитель-
операции округления, по-
Рис. 3.1
90
Плотность вероятности ошибки округления Р(Е0) показана на рис. 3.2,а..
При анализе эффектов квантования в ЦФ, как правило, предполагается, что все
значения ошибки квантования равновероятны, т. е. ошибки распределены рав-
номерно.
3.5.3. Усечение
При усечении m-разрядного числа до Ъ разрядов (6<т<°°) младшие
т—b разрядов исходного числа отбрасываются.
Ошибка усечения Ey=Fy(x)—х удовлетворяет неравенствам:
а) для положительных чисел при любом способе кодирования и отрицатель-
ных чисел в дополнительном коде
б) для отрицательных чисел в прямом и обратном кодах
(3.13')
(3.13")
В (3.13) считается, что т'^-Ъ.
Характеристика нелинейности, соответствующая операции усечения для до-
полнительного кода, показана на рис. 3.1,6, а для прямого и обратного ко-
дов— иа рис. 3.1,в.
Плотности вероятности ошибки усечения Р(ЕУ) показаны на рис. 3.2,6 для
дополнительного кода н на рис. 3.2,в для прямого н обратного кодов.
3.6. КВАНТОВАНИЕ СИГНАЛОВ В ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРАХ
3.6.1. Модели процесса квантования
Квантование сигнала есть представление отсчетов последнего с помощью ко-
нечного числа Ъ числовых разрядов.
Квантованию в ЦФ могут подвергаться дискретные (в аналого-цифровых
преобразователях — АЦП) и цифровые (на выходах умножителей и суммато-
ров) сигналы.
Нелинейная модель процесса квантования сигнала показана на рис. 3.3,аг
где Д(п7") —квантуемый сигнал (дискретный или m-разрядный цифровой);
р(иТ’)—квантованный сигнал (Ь-разрядный цифровой, Ь<т), а характеристика
нелинейности F квантователя показана на рис. 3.1. Не-
линейная модель используется, как правило, при моде- лировании процессов в ЦФ на ЭВМ. Линейная модель процесса квантования показана на рис. 3.3,6, где е (пТ) — аддитивный дискретный сиг- нал, учитывающий ошибку квантования: e(nT) = F[d(nT)] — d(nT). (3.14) Линейная модель используется при аналитическом ана- й(пТ) —:» — квантователь р(пТ),
О) \е(пТ] мт .А р(пп
Б)
лизе процессов в ЦФ. рмс 33
3.6.2. Детерминированные оценки ошибок квантования
Детерминированные оценки позволяют определить абсолютные границы
ошибок квантования
91
max |e (n 7)|<— -2~b = — Q, (3.15)
n>o T] 4]
где b — количество числовых разрядов; Q — шаг квантования; т)=2 при округ-
лении и т) = 1 при усечении (см. рис. 3.1 и 3.2).
3.6.3. Вероятностные оценки ошибок квантования
Вероятностные оценки основаны на представлении ошибок квантования (сиг-
нала е(пТ)) как случайного шумоподобного процесса (шума квантования) [1.6,
3.3]. Допущения, вводимые относительно шума квантования:
последовательность е{пТ) является стационарным случайным процессом;
последовательность е(пТ) не коррелирована с квантуемой последователь-
ностью d(nT);
любые два отсчета последовательности е(пТ) не коррелированы, т. е. шум
квантования является процессом типа «белый шум»;
распределение вероятности ошибок является равномерным по диапазону
ошибок квантования (см. рис. 3.2).
Среднее значение те и дисперсия о2е шума квантования определяются со-
отношениями:
О при округлении и усечении прямого
и обратного кодов;
—0.5Q при усечении дополнительного кода;
Q2/12 при округлении и усечении допол-
нительного кода;
Q2/3 при усечении прямого и обратного
кодов.
(3.16')
(3.16")
Здесь Q=2~b—шаг квантования.
Из формул (3.16) видно, что использование усечения
кодов нежелательно.
В табл. 3.3 приведены значения дисперсии о2е шума
лах при различном шаге квантования, рассчитываемые
= 10 lg(Q2/12) = 10 Ig(2-2ь/12) =—(6,026+10,79) дБ.
прямого и обратного
округления в децибе-
по формуле а2е=
Таблица 3.3
Разрядность Ь 8 10 12 14 16 18 20
Шаг квантова- ния Q 2-« 2—м 2-12 2-14 2—16 2-1» 2—20
Дисперсия О2е, дБ —59 —71 —83 —95 —107 -119 —131
3.7. УЧЕТ КВАНТОВАНИЯ СИГНАЛОВ В СТРУКТУРНЫХ СХЕМАХ
ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ
Структурные схемы цифровых фильтров (ЦФ) с ограниченной разряд-
ностью регистров отличаются от соответствующих схем дискретных (линейных)
фильтров наличием нелинейностей F и Ф, учитывающих округление (усечение)
92
результатов арифметических операций в регистрах умножителей и сумматоров
соответственно. Вид характеристик нелинейностей F и Ф показан на рис. 3.1.
При анализе эффектов квантования сигналов нелинейности E31fe и Ф3 в
структурных схемах ЦФ заменяются источниками аддитивного шума e3>ft(nT) и
cj,s (пТ) (j — номер сумматора ЦФ, к которому подключен соответствующий
£-й источник шума). В результате формируется линейная модель ЦФ, учитываю-
щая эффекты квантования сигналов.
Если к определенному j-му сумматору ЦФ подключено несколько источни-
ков шума, их можно заменить в линейной модели эквивалентным источником
шума У}{пТ) [оценки параметров шумового сигнала у3(пТ) см. 3.9].
Пример 3.16. Рассматривается нерекурсивный цифровой фильтр (НЦФ) с
N—1
передаточной функцией Н (г) = S Ь реализованный в прямой форме. Не-
/=о
линейная модель НЦФ показана на рис. 3.4,с. Линейная модель, полученная пу-
тем замены нелинейностей А, ь и источниками шумов elt ь(пТ) и fii, 2(п?')
показана на рис. 3.4,6 [считается, что разрядности регистров всех умножите-
лей, подключенных к сумматору, равны, т. е. ei.sfnT) =еЦи7’)]. Линейная мо-
дель с эквивалентным источником шума уЦпТ) на выходе сумматора показана
на рис. 3.4,в.
Пример 3.17. Рассматривается каскадная структура рекурсивного цифрово-
го фильтра (РЦФ) с передаточной функцией H(z) = П (Ь^+Ьцг^-^-Ьцг-^К! +
/=1
Рис. 3.4
93
+oijZ“I+c2j-z~2) при прямой форме реализации биквадратного блока. Нелиней-
ная модель РЦФ показана на рис. 3.5,а (считается, что разрядности регист-
ров умножителей в отдельном биквадратном блоке равны). Линейная модель,
полученная путем замены нелинейностей Fiik и Ф3 источниками шумов е3-.ь(лГ)
и e/,s(n^)> показана на рис. 3.5,6 (разрядности регистров умножителей, под-
ключенных к j-му сумматору, считаются равными, т. е. Bj,k(nT) =е;(пТ). Ли-
нейная модель с эквивалентными источниками шума Yj(nT) на выходах сум-
маторов показана на рис. 3.5,в.
Рис. 3.5
3.8. ОБОБЩЕННАЯ ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ ЦИФРОВОГО ФИЛЬТРА
Цифровая система произвольной структуры может быть описана с помощью
линейной модели, представляющей собой совокупность дискретной системы и
определенного числа ограниченных по абсолютному значению аддитивных воз-
действий, учитывающих эффекты квантования сигналов и подаваемых на соот-
ветствующие точки дискретной системы.
94
Линейную модель ЦФ удобно представлять в виде направленного графа
[1.6], показанного на рис. 3.6, где х(пТ)—дискретизированный (но не кванто-
ванный по уровню) входной сигнал; ей(пТ) —шум квантования входного сигнала
(шум АЦП); У}{пТ)—эквивалентный шум квантования, обусловленный округ-
лением (усечением) результатов операций умножения в регистрах умножителей,
подключенных к j-му сумматору, и округлением (усечением) результата сумми-
рования в регистре самого /-го сумматора; Gj(z) и gi(nT) —соответственно пе-
редаточная функция и импульсная характеристика части дискретного фильтра от
выхода j-ro сумматора до выхода фильтра; Ft (z) и ft (пТ) — соответственно пе-
редаточная функция и импульсная характеристика части дискретного фильтра от
его входа до выхода Z-ro сумматора; о,(пГ) —выходной сигнал Z-ro сумматора;
Щг) и й(пТ’)—передаточная функция и импульсная характеристика всего
фильтра.
Верхняя половина графа (см. рис. 3.6) используется при получении оценок
выходного шума ЦФ, являющегося результатом сложения выходных шумовых
составляющих, обусловленных сигналами ео(пТ’) и уЦпТ). Шумовой сигнал
Ъ(пП
tynT) ,
.х(пТ) |
ев(пТ)\
// ЩпП,\.
L^fr(nT), р.
\у(п77
Ял71\
FAZ)
ЪЛпП
ео{пТ), определяемый разрядностью
АЦП, проходит через весь фильтр
с передаточной функцией H(z). Шу-
мовой сигнал уз{пТ), определяемый
разрядностями регистров умножите-
лей, подключенных к /-му суммато-
ру, и разрядностью регистра само-
го j-ro сумматора, проходит на
выход через часть фильтра с переда-
точной функцией Gj{z).
ЩпТ)
^Цифровой
। фильтр
ев(пП
Рис. 3.7
Рис. 3.6
Пример 3.18. Линейная модель НЦФ, реализованного в прямой форме (см.
рис. 3.4), показана на рис. 3.7. Она представляет собой совокупность дискрет-
ного фильтра с передаточной функцией И (г) и двух источников шума; е0(пТ)
и Yi {пТ). Шумовой сигнал е0(п7) проходит через весь фильтр, а сигнал У1(п7)
складывается с выходным сигналом у{пТ) дискретного фильтра (т. е. G](z) =
Пример 3.19. Линейная модель двухзвеиной каскадной структуры РЦФ с
2
передаточной функцией Н(г) = ПBj(z)/Aj(z) при прямой форме реализации
/=1
звеньев показана на рис. 3.8. Шумовой сигнал е0(пТ), учитывающий шум АЦП,
проходит через весь фильтр с передаточной функций И (г). Шумовой сигнал
Yi(nT), появляющийся на выходе сумматора первого звена (см. рис. 3.5,в), про-
ходит через цепь обратной связи данного звена (блок с передаточной функцией
IMi(z)) и второе звено ( т. е. Gi (г) = ~ 2 . Шумовой сигнал ys (пТ)
\ А1 (z) А2 (z) J
проходит через цепь обратной связи второго звена (т. е. Gz(z) = 1/A2(z)).
95
Нижняя половина графа (см. рис. 3.6) используется при получении оценок
диапазона изменения сигналов в любой точке фильтра, которые необходимы для
определения величин масштабных множителей, вводимых в схему фильтра для
предотвращения переполнений регистров сумматоров и улучшения шумовых ха-
r fz(-T}=h(nT)
C f/CnT) г,
eD(nT) j Г ЫптГ~Й7й)~\ } •
' jLx(w[ । r~—
--------------------------------------, I
Й/а -pU-IggCa -
_____j 1_______
l gtwn
(ZJ 4
У(л77
.1______J
| Jj(nT)T j
Puc. 3.8
рактеристик. Выходной сигнал i-го сумматора е,(пГ) есть результат прохожде-
ния входного сигнала х(пТ) =х(пТ) +е^(пТ) через часть фильтра с передаточной
функцией Fi(z).
3.9. ОЦЕНКИ ОШИБОК (ШУМОВ) КВАНТОВАНИЯ ВЫХОДНОГО
СИГНАЛА В ЦИФРОВОМ ФИЛЬТРЕ
3.9.1. Общие сведения
В данном параграфе предполагается, что:
а) входной сигнал х(пТ) нормирован в соответствии
max |х (и 7)|^ 1 ;
п^О
(3.17)
разрядность входного сигнала (АЦП) после запятой равна sBX;
разрядности (после запятой) всех регистров умножителей и сумматоров
б)
в)
ЦФ равны ss;
г) при квантовании используется округление.
3.9.2. Детерминированные оценки
Детерминированные оценки определяют абсолютные границы (диапазон из-
менения) ошибок квантования выходного сигнала в ЦФ и получаются с исполь-
зованием линейной модели ЦФ (см 3.8) на основе оценок ошибок квантования
сигналов при выполнении элементарных операций, определяемых (3.18) — (3.20).
Ошибка квантования входного сигнала
Ео = max |е0 (и Г)= 0,5 QBX. (3.18)
Ошибка квантования сигнала на выходах умножителей
—s —-1
Е/,/;=гаах |е(. . (п?')| ^2 Д = 0,5#Q. (3.19)
96
Эквивалентная ошибка квантования на выходе сумматора ЦФ
Г;=тах | yj (п 7)]C0,5rj Q,
(3.20)
где fj — число умножителей, подключенных к /-му сумматору.
Составляющая выходной ошибки квантования, обусловленная квантованием
входного сигнала,
Еовых = тах |еОвых (n7)|<max |е0 (п 7)| У \h (п 7)| С
n>0 n>0 п=.Q
ОО
<0,5QBS^ |Л(л7)|.
А=о
(3.21)
Составляющая выходной ошибки квантования, обусловленная квантова-
нием сигналов на выходах умножителей, подключенных к /-му сумматору,
оо
Ej вых = max |е>вых (п Т)|<1Ш |у/ (n Т) | У |g; (n7)|<0,5Qr/X
п>0 . п^О п—0
х f 1g/ (п Т) |.
п=0
(3.22)
Ошибка квантования выходного сигнала (с учетом (3.18)—-(3.22))
Евых = max | еВЫх (п Л К max | е0 вых (п 7) I + У max | е. вых (и 7) | С
п>0 / п>0
оо оо
<0,5рвхУ; jh(nT) |-i-0,5Q.^ г; У |g/(n7)|.
п— 0 / п—0
(3.23)
Пример 3.20. Рассматривается каскадная структура РЦФ восьмого порядка
4 4
с передаточной функцией H(z) = ПB3-(z)M3(z) =.П (Ьо/—b2jZ-2)/(l+atjZ-t+
/=1 /=1
+а2з-г-2) при прямой форме реализации элементарных звеньев второго поряд-
ка (см. рис. 3.5,в), где Ьо3-=Ь23=О,25; ац=—0,7037048; а21 =0,6843968; ац=
=—1,1553955; а22=0,7416381; ai3=—0,3789978; a23=0,8601989; au=—1,4794922;
a24=0,9075622.
Шумовой сигнал ео(пТ) проходит на выход через весь фильтр с переда-
точной функцией Н(г), а сигналы у/(п7)(/=1, 2, 3, 4)—через части фильтра
1 ±. В, (г) „ 1 Д.
с передаточными функциями: Gi(z)= ——— Ц ; G2 (z) = —— Ц X
А1 (г) /=2 Ai (z) л2 (z) /=з
BJ (z) 1 В4 (г) 1
X -——— ; G3 (z) = —-------- —— ; G4 (z) = -—-— соответственно (см. рис.
Aj (?) As (г) Л4 (г) Ai (г)
3.5,в и 3.8). Для получения оценки ошибки квантования на ЭВМ рассчитываются
оо оо
величины S \h(nT) | и 2 |gj(nT)|. Эти величины равны: Я*«2,268;
П=0 72=0
G*i« 1,520; G*2«2,271; G*3« 1,820; G4'4«5,363. Тогда из (3.21) и (3.22) полу-
чаем оценки составляющих выходного шума; £о Вых<0,5(2вх-2,268; Ei bmx<cO,5QX
Х4-1.520; Е2вых<0,5С-4-2,271; Е3 вых<0,5()-4- 1,820; £4 вых<0,5<2-4-5,363.
Оценка ошибки квантования выходного сигнала определяется из (3.23) с
Учетом (3.18) и (3.19):
__С 1 __С _1
ЕвыхС 2,268-2 вх 4-21,9482 Д .
4—89
97
3.3.3. Вероятностные оценки
Вероятностные оценки шума квантования выходного сигнала основаны нг
представлении ошибок квантования сигналов при выполнении элементарны;
операций как случайных шумоподобных процессов типа «белый шум» (см. 3.6)
причем считается, что любые два источника шума создают некоррелированные
шумы [3.3]. При получении оценок используется линейная модель ЦФ (см
3.8).
Дисперсия шума квантования входного сигнала
Овх = 2~Йвх/12 = Свх/12. (3.24)
Дисперсия шума квантования сигнала на выходах умножителей
a?fe=:2_2sH/12==Q2/12. (3.25)
Дисперсия эквивалентного шума квантования на выходе сумматора ЦФ
<4=^ , (3.26)
где т$— число умножителей, подключенных к /-му сумматору.
Дисперсия составляющей выходного шума, обусловленной квантованием
входного сигнала,
<4ых = °вх£ (H«T))2- (3.27)
п=0
Дисперсия составляющей выходного шума, обусловленной квантованием
сигналов на выходах умножителей, подключенных к /-му сумматору,
2 °j вых rj^.k 2 (&-(лТ))2- (3.28)
Дисперсия выходного шума квантования [с учетом (3.24) — (3.28)]
2 2 I X1 °вых ~ 0 вых * 1 Q2 °° „2 V lh(nT))2 + 12 „£о
+-с- ‘12 £ fe(n7))2. j n—0 (3.29)
В ряде случаев (как правило, для РЦФ) вычисления по (3.27)—(3.29)
можно упростить, применив для вычисления бесконечных сумм квадратов от-
счетов ипульсных характеристик формулы:
2 (h{nT)y= гр st[T — f |Я(е|<йГ)|2</Ш; л J (3.30')
п—0 $ н (z) Н (z-1) Z-1 & ; (3.30")
гр st/T
— f I G7-(e“°r)|2dw; (З.ЗГ)
§ (§Д«П)2 = л
п=0 , х Л 1 |3.31")
98
Вычисления по (3.30') и (3.31х) можно выполнить численными методами на
ЭВМ или оценить по графику функции квадрата АЧХ. Вычисления по (3.30") и
(3.31") выполняются с помощью теоремы о вычетах [3.4].
При произвольной спектральной плотности мощности SBX(e1“r) входного шу-
ма дисперсия составляющей выходного шума, обусловленная квантованием вход-
ного сигнала, может быть вычислена по формулам:
$вых (е|юГ) = SBX (eitoZ) | Я(е’юГ) 12
Т л/Т
а0вых=“ I |5Бых (е1йГ)М<о,
я 0
(3.32)
(3.33)
где £вых(е1<оГ) —спектральная плотность мощности выходного шума.
Пример 3.21. Рассматривается РЦФ первого порядка с передаточной функ-
цией Н(г)=Ьс/(1—aoZ~l)—B(z)/A(z). Шумовой сигнал е0(пТ) проходит на вы-
ход через весь фильтр с передаточной функцией Н(г) и импульсной характе-
ристикой h{nT) = btfinQ, а сигнал уДпТ), определяемый шумами двух умножи-
телей, подключенных к сумматору, — через часть фильтра с передаточной функ-
цией Gi(z) = l/(1—<2oz-1) и импульсной характеристикой gi(nT') =ап0.
Используя (3.29), получаем
9 вх х,
„2 _±________ у ,2 „2га I
авых— 19 4LI Ь0 а0 ~
IZ лг=О
2п___
0
1
>— ао
2SBX 2~2sa
IT” Z’0^' 12
Аналогичный результат получается при использовании формул (3.30") и
(3.31") (см. пример 2.16).
Пример 3.22. Рассматривается равнололосный НЦФ с передаточной функ-
цией H(z)= 2 biz-t, где 60=614=—0,0037370; 6i=6i3=0;
1=0
Ьз=6п=0; 64=610=—0,0723199; 65 = 69= 0; 6в=68=0,3053691;
62=612=0,0205680;
6?=0,5 (см. при-
w 11 Ц 11) - Lzy v,
мер 4.9). Линейная модель НЦФ показана
иа рис. 3.7.
Амплитудно-частотная характеристика
фильтра А (св) аппроксимирует характери-
стику, показанную иа рис. 3.9 (кривая 1).
Здесь же показан вид квадрата аппрокси-
мируемой АЧХ (кривая 2).
Для оценки суммы квадратов отсчетов
импульсной характеристики воспользуемся
(3.30х) и рис. 3.9 (т. е. вычислим пло-
крнвой 2). Оценка составляющей
А (о)
Рис. 3.9
щадь под
О2о вых
"2 Т 2
°0вых — п °вх
st/4T Зл/47’ { 2
J 1 dco-f- J [1,5—со — 1 d со
. 0 П/4Г \ Я /
= <4-0,417.
„ Отметим, что полученная оценка близка к
нои по заданным коэффициентам bi с помощью
значению дисперсии, рассчитан-
формулы (3.27):
°0 вых = О® -0,349.
Учитывая, что только девять коэффициентов 6г отличны от 0 (т. е. шум округ-
А*
* 99
ления образуется на выходах девятя умножителей), по формуле (3.29) получа-
ем оценку дисперсии выходного шума
2 2Sfi* , 2
^ = -^•0.417 + 9 —
3.10. ОЦЕНКИ ДИАПАЗОНА ИЗМЕНЕНИЯ СИГНАЛА
В ЦИФРОВОМ ФИЛЬТРЕ
3.10.1. Ограничение максимума амплитуды входного сигнала
Допускается, что входной сигнал х(пТ) нормирован в соответствии с услови-
ем
max | х (n Т) | < 1. (3.34)
Диапазон изменения сигнала иа выходе /-го сумматора ЦФ (/=0,1,2,...,/.;
вход фильтра можно считать выходом нулевого (/’=0) сумматора) определяет-
ся формулой
V/ = max |ру(пТ)к V |/у(пТ)|, <3-35)
п>0 /fed
причем V0=l.
Диапазон изменения сигнала в произвольной точке ЦФ
V/fe = max| vj k (лЛКо/,k Vj, (3.36')
п2=0
где Vj,k{nT)—сигнал иа выходе /-го сумматора (прн £=0) или fc-го умножи-
теля, подключенного к выходу /-го сумматора (k— 1,2,..., гД, a aj,h—коэффи-
циент А-го умножителя (а,-.о=1).
Диапазон изменения сигналов в ЦФ
V= max max Ify (п У) |^max f у, If у (n 7)1 j. (3.36")
f.,k n^0 j,k \ n—0 /
3.10.2. Ограничение максимума модуля спектра входного сигнала
Допускается, что максимум модуля спектра входного сигнала известен и ог-
раничен величиной С, т. е.
max |?C(eiwr)| =||Х||ТО<С,
О^ю^л/Г
где ||/?]|Р — норма преобразования Фурье /?(е,тТ) детерминированной последо-
вательности г(пТ) в пространстве £Р:
II Я Ир =
л
л/7
l/?(e,<er)|₽d®
1/р
причем ||/?||оо фактически есть норма 7?(е!®т) в пространстве С.
Тогда
Т л/Т
Vj<||f/||1||X||TO = C — f |F/(e‘“r)|da.
Л п
(3.37)
100
Диапазон изменения сигнала в произвольной точке ЦФ определяется фор-
мулой (3.36), где Vj определяется (3.37).
3.10.3. Ограничение энергии входного сигнала
Допускается, что известна норма Х(е!“т) в пространстве Lz:
— f |Х(е’“г)|Мш< С.
я o’
Тогда
/Т п!т т
— J |Гу(е*“г)|Мш
я о
(3.38)
Диапазон изменения сигнала в произвольной точке ЦФ определяется форму-
лой (3.36), где V, определяется (3.38).
3.10.4. Обобщенное ограничение
В общем случае справедливо [1.6, 3.5]
Vj = max | оу (n Г) К || Fj ||р || X ||9,
л>0
(3.39)
причем 1/р+1/<7=1; р,
3.11. ОЦЕНКИ ОШИБОК (ШУМОВ) КВАНТОВАНИЯ И ДИАПАЗОНА
ИЗМЕНЕНИЯ СИГНАЛОВ В ВОСХОДЯЩИХ И НИСХОДЯЩИХ
ЦИФРОВЫХ СИСТЕМАХ
3.11.1. Общие сведения
Оценки ошибок (шумов) квантования выходного сигнала и диапазона изме-
нения сигналов в восходящих и нисходящих цифровых системах (ВЦС и НЦС)
получаются на основе линейной модели цифровой системы (см. 3.8) с использо-
ванием уравнений и эквивалентных схем дискретных восходящих и нисходящих
систем (см. 2.5). В данном параграфе предполагается, что:
входной сигнал системы нормирован в соответствии с условием
max \х (п Т1)!^ 1 ; (3.40)
разрядность входного сигнала (АЦП) после запятой равна эвх;
для представления целой и -дробной частей кодов в ЦФ отводится соответст-
венно 5Ц и разрядов;
при квантовании используется округление;
относительно шумов квантования делаются предположения, приведенные в
3.6.
Параметры шумов квантования входного сигнала, сигналов на выходах ум-
ножителей н эквивалентного шума квантования на выходах сумматоров ЦФ оп-
ределяются соотношениями (3.18) — (3.20) и (3.24) — (3.26).
101
3.11.2. Оценки шумов квантования и диапазона изменения сигналов
в ПВЦС
Рассматривается простейшая восходящая цифровая система (ПВЦС), содер-
жащая экспандер частоты дискретизации (см. 2.5.2), увеличивающий частоту
дискретизации входного сигнала х(уТ') —х(утТ) в m раз, и ЦФ с передаточ-
ной функцией H(z) и импульсной характеристикой h(nT)=hn, л=0, 1, 2, ...
Структурная схема ПВЦС показана на рнс. 3.10,а.
xtymT)\
X{zm)\
пвцс j
A"T'----1 |У<^
______I
есЦт.Т)
-*z'
X(Z)
-Hrf
ЕщЦтТ+Т)
а)
S)
Рис. 3.10
Составляющая выходного шума квантования, обусловленная квантованием
входного сигнала (е0 вых(лТ')). Для получения оценок абсолютной величины и
дисперсии данной составляющей используется линейная модель ПВЦС, пред-
ставляющая собой совокупность эквивалентной схемы ПВДС (ЭС ПВДС) и ис-
точника шума, учитывающего квантование входного сигнала (рис. 3.10,6).
Абсолютное значение составляющей шума квантования ЕОвых- Поскольку
шах | е0 k (vmT-j-kT)l^ max | (е0 п m Т) | V lh*k(v тТ) \,
V^o ’ v^O V=Q
где
/^(v тТ) = k*k j, v = j= 0, 1,2, ... ; fe=0,l,...,m—I,
— импульсная характеристика дискретной системы (ДС) с передаточной функ-
цией определяемой (2.47) и находящейся в k-it ветви ЭС ПВДС,
£овыХ=тах max |е0 fe (vm7’ + fe7’)l^0,5<2BXmax У. |hj(vmT)|, (3-41)
k v2=o ’ k v=o
где QBX — шаг квантования входного сигнала ПВЦС.
Дисперсия составляющей шума квантования а2овых. Поскольку последова-
тельность е0(утТ) рассматривается как дискретный белый шум с дисперсией
a2BX=Q2Bx/12, последовательности e^(vmT+kT) представляют собой дискрет-
ные стационарные случайные процессы с дисперсиями
ao.fe=cBX S (/!* (vm Л)2. ^=0, 1, ... , т— 1.
v=o
Процесс еовых(пТ’), являющийся суммой сдвинутых относительно друг друга
т дискретных стационарных случайных процессов с дисперсиями а2о,л, является
102
нестационарным (относится к классу периодически стационарных дискретных
случайных процессов) с дисперсией
°0 вых (« Л = а0 вых (n (mod = aBX S (hk (v т Л)2,
у—О
k = п (mod m) = О, 1, ... , tn— 1, (3.42)
где A (mod В) означает число А по модулю В.
Составляющие выходного шума, обусловленные квантованием сигналов на
выходах умножителей (е, -вы^пТ)). Квантование сигналов на выходах умножи-
телей осуществляется в ЦФ, работающем с интервалом дискретизации Т и на-
ходящемся после ЭЧД. Оценки максимального значения Ej вых и дисперсии
02}вых составляющей ej вых(пТ’) аналогичны (3.22) и (3.28):
Ej вых = max | ej вых (и Т) |0,5 Q г. У \gj (п Т)| ; (3.43)
п>° п=0
а/вых = г/ 3 (^•(«7’))2- (3-44)
п=0
Значения r*j (число умножителей, подключенных к /-му сумматору н соз-
дающих шум) могут отличаться от значений в (3.22) и (3.28), а в ряде случа-
ев и зависеть от времени, поскольку во входном сигнале х*(пГ) ЦФ (см.
рис. 3.10,а) между каждой парой информационных отсчетов имеется m—1 нуле-
вых отсчетов, а умножение иа нуль не приводит к появлению шума квантова-
ния.
Шум квантования выходного сигнала. Оценка максимального значения Ев ых
шума квантования имеет вид
Евых = max | еВЫх (n TJK 0,5 max У |/^ (v m Т) | -f-
n>o k v4±0
+ 0,5 Q S < 3 i^(«ni. <3-45)
j n—0
Дисперсия и2Вых(пТ) шума квантования
Q2 00
свых (« = авых (« (mod m)) = 3 (4 (v m Т))2 +
12 v=0
+S- 3 < У te/(«n)2- (З-46)
Iz / n=0
Формулы (3.45) и (3.46) получены с учетом (3.18) — (3.20), (3.24) — (3.26) и
(3.41) — (3.44).
Диапазон изменения сигналов. При оценке диапазона изменения сигнала
vi{nT) на выходе /-го сумматора ЦФ необходимо часть ПВЦС от ее входа до
выхода /-го сумматора заменить эквивалентной схемой ЭС1ПВДС. Тогда
Vy=max | Vj (rt^TJI^max \Vjk(vtnT-\-k T/I^max lff,k (v tn T)|,
n>0 k k v=0
fe=O,'l, ... . m— 1, (3.47)
103
где Vj,h(vtnT+kT) —сигнал на выходе k-й ветви ЭС1ПВДС, a f*i,h(ymT) —им-
пульсная характеристика ДС с передаточной функцией F*j,k(zm), определяемой
по известной передаточной функции Fj(z) ЦФ от его входа до выхода /-го сум-
матора с помощью (2.47).
Диапазон изменения сигнала в произвольной точке ЦФ ПВЦС с учетом
(3.47) определяется формулой
V- / = гпах | vjtl (пГ)Ка/и Vj, (3.48')
л>0
где Vj,i(nT)—сигнал на выходе /-го сумматора (при 1=0) или /-го умножите-
ля, подключенного к выходу /-го сумматора (1=1,2,..., гj); a,j,i— коэффициент
/-го умножителя (а3-,0=1)-
Диапазон изменения сигналов в ЦФ с учетом (3.47), (3.48')
V - max
max
. & V=0
(3.48";
Пример 3.23.
реализованный в
2
Я (2)= П
Рассматривается ПВЦС (см. рис. 3.10,а), содержащая РЦФ,
виде каскадной структуры с передаточной функцией
тт Fj (z) JL bOj-]
1 +
описывается разностными уравнениями:
2
и(пТ)= У btlx* (пТ— IT)— airu(nT — IT) ;
2=0 1=1
Hj (г) =
+ аг7-г-2
(3.49)
алгоритм работы
которого
2
2 2
у(пТ) = у, bi2u(nT— IT)— 2 at2y(nT— IT) *
2=0 2=1
_________________ЩпТ)____________________
___________1
eD^mT) * J i Г*(пТ) Wzi] j i df(nT) H2&\ {
— j --------j; ----------- i L^-Jj I
'Fz{z>,g2(nT) I
g^nT) ____ь*
Рис. 3.11
104
На рис. 3.11,а изображена линейная модель ПВЦС, где е0(утТ) и
Y*,- (пГ) — воздействия, учитывающие соответственно шумы квантования вход-
ного сигнала н сигналов на выходах умножителей, подключенных к /-му сум-
матору (/=1, 2).
Оценки составляющей еовых(пТ’) ошибки квантования выходного сигнала
определяются из (3.41) и (3.42) после замены ПВЦС (см. рис. 3.10,а) ЭС
ПВДС (см. рис. 3.10,6).
Оценки составляющих е/ВЫх(пЛ ошибки квантования выходного сигнала
определяются из (3.43) и (3.44), причем gi(nT) и gz(nT)—импульсные харак-
теристики частей ЦФ с передаточными функциями Gt(z) = (l/Ai(z))//2(z) и
= (см. (3.49) и рис. 3.11,a), a r*i=3, г*2=5 (т принято рав-
ным 3).
Оценка диапазона изменения сигналов в ПВЦС определяется из (3.48"),
причем оценка максимального значения сигнала щ(пТ) на выходе /-го сумма-
тора определяется из (3.47) после замены части ПВЦС от ее входа до выхода
/-го сумматора ЭС ПВДС. На рис. 3.11,6 показана соответствующая эквива-
лентная схема при оценке сигнала Vi(nT) =u(nT) иа выходе первого сумматора
(/=1). Передаточные функции фильтров в k-й ветви ЭС ПВДС (А=
=0, 1, ..., т—1) определяются по передаточной функции Fi(z) =/Л(а) (см.
ряс. 3.11,а) с помощью формулы (2.47), а импульсные характеристики
можно определить по импульсной характеристике /i(nT).
3.11.3. Оценки шумов квантования и диапазона изменения
сигналов в МВЦС
Рассматривается МВЦС, состоящая из р подсистем (см. 2.5.5 и рис. 2,27).
Каждая х-я (х= 1,2,..., р) подсистема содержит ЭЧД, увеличивающий частоту
дискретизации входного сигнала х-й подсистемы в раз, и цифровой фильтр с
передаточной функцией Н (zm^K) и импульсной характеристикой hK Iп —т\»
E’i V /
Р Л
где т= П mi, w% = П тг.
1=1 1=1
Составляющая выходного шума квантования, обусловленная квантованием
входного сигнала (во вых(пТ’))- Для получения оценок абсолютного значения и
дисперсии данной составляющей в МВЦС необходимо соответствующую МВДС,
используемую в линейной модели, привести к эквивалентной ПВДС, заменив
эквивалентной схемой ЭС1 (см. 2.5.5), и использовать методику, рассмотренную
в 3.11.1 (ЭС1 заменить на ЭСП).
Абсолютное значение и дисперсия составляющей еовых(нТ’) определяются со-
ответственно формулами:
оо
Ео вых = max I е0 вых (п Л К 0,5 <2ВХ max У. |h*k (v т Т) | ; (3-50)
n>0 k v=0
q2 »
вых (« Л = Оо вых (« (mod т» = У (h*k (v т Ttf - <3 51)
12 v=0
где h*k (утТ) — импульсная характеристика ДС с передаточной функцией
Н*ь(гт), находящейся в k-й ветви ЭСП, заменившей ЭС1 МВДС.
Составляющие выходного шума квантования, обусловленные квантованием
сигналов на выходах умножителей (ех ,,Вых(пЛ)- Для оценки составляющей
ех»/вых(лЛ, определяемой квантованием сигналов на выходах умножителей
х-й (х=1,2,..., р) подсистемы, подключенных к /-му (/=1,2,... ,r*xj) сумма-
тору, т. е. воздействием .[ „ — у), необходимо часть МВЦС от выхода х-й
wv_ I
105
подсистемы до выхода МВЦС заменить эквивалентной схемой ЭС1, которую, в
свою очередь, заменить эквивалентной схемой ЭСП.
Абсолютное значение и дисперсия составляющей
соответственно формулами:
ex, j вых(п^) определяется
E*.i вых = max I ex. 1 вых Г) К °’5rx./ Q max
n>0 «X
п=0
m
n —
w
и
°Х./ВЫХ (П Т) — °х,/ вых
m \ \
mod — Il = r.
Wv.) I
I m \
ЛХ=П ^mod —j = 0, 1, .
12
S ks
n=0 k
(3.52)
\2
——1,
W ’
X
где r*xj — число умножителей, подключенных к j-му сумматору х-й подсистемы;
m „
п---- Т
(3.53)
8^
—импульсная характеристика последовательного соединения ча-
т
п
m
n —
т
сти ЦФ х-й подсистемы от точки приложения воздействия у* .
п-^-т) до выхода
юх /
, иаходя-
х-й подсистемы и системы с передаточной функцией
щейся в Лх-й (Ах=0, 1, m/w*—1) параллельной ветви эквивалентной системы
ЭСП, заменившей последовательное соединение р-—х подсистем, находящихся меж-
ду выходом х-й подсистемы и выходом МВЦС. Процесс ex,jBbIX(n^) является пе-
риодически стационарным дискретным случайным процессом, причем период по-
вторения его статистических характеристик зависит от номера х подсистемы,
в которой находится источник соответствующего воздействия v . I п — т \
^.1 \ WK )
Шум квантования выходного сигнала. Абсолютное значение Евых и дис-
персия о2вых(и7') шума квантования выходного сигнала с учетом (3.18) — (3.20),
(3.24) — (3.26) н (3.50) — (3.53) определяются соответственно формулами:
п>0
EBbIX = max | eBbIX (nT)|< 0,5QBXmax 2 l^(vmT)| +
k v=o
m
n— T
+ 0,5 (2 2
X
авых (n = °вых
2 <,/ max 2
j Rv. п=0
Q2
(п (mod tn)) = -~
Sx,;
(3.54)
2 (ft*(vmZ))2 +
v—0
где
Q2
n=Q \
(3.55)
k = п (mod m)
= 0,1, ...
tn
— — 1
Ax = n ^mod — j
p
; x = 1, 2, ... , p, m= П ml 1
/=1
m
n — T
2
= 0,1 ,
. , m— 1 ;
х
106
X
II mi.
1=4
Диапазон изменения сигналов. При оценке днапазопа изменения сигнала
I т \
р . I п -~-Т I на выходе /-го сумматора ЦФ х-й подсистемы необходимо
у j
часть МВЦС от ее входа до выхода /-го сумматора заменить ЭС1, которую, в
свою очередь, заменить ЭСП, как это делается для ПВЦС (см. 3.11.1). Тогда
Ч / = I <•/ ( nS~ Т} I < т.ах | V* (vm T + kx Г) I <
<maxf (vmT)\, (3.56)
^x v=0
где о** (vtnT+k T)—сигнал на выходе k-Ъ. (fe =0, 1,w— 1) ветви ЭСП,
9 Л Л ' Л Л
a f * (утТ) —импульсная характеристика ДС, находящейся в k -й ветви ЭСП.
х./
Диапазон изменения сигнала в произвольной точке ЦФ х-й подсистемы с
учетом (3.56) определяется формулой
= I / ("Ч- Г) Н ' V>(’ h (3‘57Э
l [ m \
где »x j I n T I —сигнал на выходе /-го сумматора х-й подсистемы (при
2=0) или l-го умножителя, подключенного к выходу /-го сумматора (1=1,
2,..., гх у), a axj — коэффициент l-го умножителя (ах/=1).
Диапазон изменения сигналов в МВЦС с учетом (3.56), (3.57) определя-
ется формулой
СЮ
V - max od ,шах У, I f ** (v m Т}
и, /, i I
(3.57")
3.11.4. Оценки шумов квантования и диапазона
изменения сигналов в ПНЦС
Оценки абсолютного значения £Вых и дисперсии Лых шума квантования
выходного сигнала, а также диапазона изменения сигналов в простейшей ни-
сходящей цифровой системе (ПНЦС), содержащей ЦФ с передаточной функ-
цией H(z) н компрессор частоты дискретизации (КЧД), уменьшающий часто-
ту дискретизации в m раз (т — целое), аналогичны соответствующим оценкам
для систем с постоянной частотой дискретизации и определяются (3.23), (3.29),
и (3.36), поскольку изменение частоты дискретизации с помощью КЧД осуще-
ствляется после обработки сигнала в ЦФ. Это видно нз уравнения (2.54), опи-
сывающего ПНДС во временной области.
3.11.5. Оценки шумов квантования и диапазона
изменения сигналов в МНЦС
Рассматривается МНЦС, состоящая из р подсистем (см. 2.5.7 н рис. 2.33).
Каждая х-я подсистема (х=1, 2,..., р) содержит ЦФ с передаточной функци-
ей Н „(zm/,Xx) и импульсной характеристикой hv | п —- Т ) и КЧД, уменьша-
107
ющий частоту дискретизации выходного сигнала фильтра х-й подсистемы в
р р
тхраз («= П тк; ци= П тк).
k=l k=y.
Составляющая выходного шума квантования, обусловленная квантованием
входного сигнала (еОвых(^тГ)). Для получения оценок абсолютного значения
н дисперсии данной составляющей в МНЦС необходимо соответствующую
МНДС, используемую в линейной модели, привести к эквивалентной ПНДС, за-
менив эквивалентной схемой ЭС1 (см 2.5.7).
Абсолютное значение и дисперсия составляющей e0BMX(vmT) определяются
по передаточной функции и импульсной характеристике эквивалентного фильт-
ра ЭС1 с помощью формул:
Ео вых — шах | е0 ВЬ1Х (v т Т) | ^0,5 QBX У] | h* (п Т) |;
"о
О2 оо
О ^БХ
Сых = ЛГ S (/l*(n7))2,
12 п=0
(3.58)
(3.59)
где Л* (пТ) — импульсная характеристика эквивалентного фильтра в ЭС1.
Составляющие выходного шума квантования, обусловленные квантованием
сигналов на выходах умножителей (ezjBbIX(vm7). Для оценки составляющей
еи, э Вых(¥т^)» обусловленной квантованием сигналов на выходах умножителей
х-й подсистемы (х=1, 2,..., р), подключенных к /-му сумматору (/=1, 2,...
* / tn \
..., г ,-). т. е. воздействием v„ {\ п — Т ), необходимо часть МНЦС от вы-
X , J/I \ Рх /
хода /-го сумматора х-й подсистемы до выхода МНЦС заменить эквивалентной
схемой ЭС1.
Абсолютное значение и дисперсия составляющей ей. j вых определяется со-
ответственно формулами:
Еу.., j ВЫХ i ВЫХ
(vmT)|<0,5rx/e J] g*,z
л=0
(3.60)
Q2 00 [ / m \ \ 2
°х./вых = гх,/'^’ j) ’ (3’61}
где g* . I п — Т |—импульсная характеристика эквивалентного фильтра ЭС1,
а г.л j — число умножителей, подключенных к /-му сумматору х-й подсистемы.
Шум квантования выходного сигнала. Абсолютное значение ЕВых и дис-
персия а2вых шума квантования выходного сигнала с учетом (3.18)—(3.20),
(3.24) — (3.26) и (3.58)—(3.61) определяются соответственно формулами:
СО
Евых — max [ еЕых (v m Т) К 0,5 (?ЕХ У] |й* (п Т) | +
„=о
[+o,5q££
О2 ’ 00 П2 °° / / m \ \2
1 П=о 12 У. i л-(Д \ II
(3.62>
(3.63)
108
Диапазон изменения сигналов. При оценке диапазона изменения сигнала.
• . ( п ~~~ Т | на выходе /-го сумматора ЦФ х-й подсистемы необходимо
’*’1 \ Рх / .
часть МНЦС от ее входа до выхода /-го сумматора заменить эквивалентной
схемой ЭС1. Тогда
V -=max г) |/и./(лГ)|> (3-64)
п^О У” 1 \ Рх / I ^0
где f х / (ПЛ — импульсная характеристика системы, входящей в соответству-
ющую ЭС1.
Диапазон изменения сигнала в произвольной точке ЦФ х-й подсистемы с
учетом (3.64) определяется формулой
v!, ; = max
*’ ' п^О
^ах, / ^х,/>
(3.65')
где ?х j ~~~ Т’у —сигнал на выходе /-го сумматора х-й подсистемы (при
1=0) или 1-го умножителя, подключенного к выходу /-го сумматора (1=
= 1, 2, ..., ги,л-), а а!и,/ — коэффициент 1-го умножителя (а°х,/ = 1)-
Диапазон изменения сигналов в МНЦС с учетом (3.64) и (3.65) опреде-
ляется формулой
К = шах 4 - J | , • (п Т)\. (3-65")
у..1.1 п=о
4. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ НЕРЕКУРСИВНЫХ ФИЛЬТРОВ
4.1. КЛАССИФИКАЦИЯ НЕРЕКУРСИВНЫХ ФИЛЬТРОВ.
АЛГОРИТМ ПРОЕКТИРОВАНИЯ
4.1.1. Нерекурсивные фильтры с линейной ФЧХ
Существуют [1.6] четыре вида фильтров (рис. 4.1) с точно линейной фазо-
частотной характеристикой (ФЧХ) и передаточной функцией (2.4):
а) фильтр вида 1: N— нечетное, 5! = 6.N_!_1 (симметричные коэффициенты);
б) фильтр вида 2: N — четное, bi=bx-i-t (симметричные коэффициенты);
в) фильтр вида 3: N — нечетное, bi=—bN-i-i (антисимметричные коэффициен-
ты); г) фильтр вида 4: N — четное, bi——Лл--г-1 (антисимметричные коэффи-
циенты). Для фильтра вида 1 справедливы соотношения:
Нн1 ( е1 “ г) = е 1 к “ т ci cos I со Т;
1=0
Ли (») =
К
V. ci cos l&T
l=o
{4.1)
где К=(Л—1)/2; с0=6к; сг=26к_г, 1=1, 2, ..., К.
109
Для фильтра вида 2 справедливы соотношения:
К
Ям ( е! “ г) = е~* (К+°’5) а т У Q cos (I -J-0,5) со Г;
t~o
ДН2 (со) —
К
У ci cos (14- 0,5) со Т
1=о
(4.2)
где K=(N—1)/2, ci=2bK-i, 1=0, 1, К.
Рис. 4.1
Для фильтра вида 3 справедливы соотношения:
К
Янз ( е1 а Г) = е~ 1 к ° т 2 clsin 1 ® Т-,
1=1
К
У Cl sin 1(йТ
1=1
(4.3)
где
K=(N—\)!2- co=bK=O-, ct=2bk~i, 1=1, 2, К.
Для фильтра вида 4 справедливы соотношения:
К
Ны ( е’ ° г) = е~ ’ (К+°’5) “ т j С1 sin (Z+ 0,5) со Г;
z=o
All (to) —
У] Cl sin (Z 4- 0,5) со Т
1=0
(4-4)
где К=(Я-2)/2; ci=2bK^, 1=0,1, ..., К.
Передаточные функции H(z) фильтров всех четырех видов могут иметь ну-
ли, расположенные внутри, иа и вне единичной окружности на z-плоскости. На
рис. 4.2,а показано возможное расположение нулей, причем Zi<*> и Zz<‘>, zj<2> и
Дг(2), Zi<3) и г2(3) представляют собой комплексно-сопряженные величины и
| г<'> | = 1 /| 42>|; | 2<3>| = | 2<3>| = |z4| = |z5| = 1.
Пример 4.1. Фильтр вида 1: /Zsi(z) = l+2z-1+z-2, N=3, нули zt=Z2=—1;
фильтр вида 2: HEa(z) =1—0,22-’—0,2z-2+z-3, N=4, нули Z|=—1, z2>3=
=—0,6±i0,8;
^НЗ (to) —
110
фильтр вида 3: Янз(г)=2—2z~2, А=3, нули zllS=±l;
фильтр вида 4: Яи«(г) = 1—2,2z-1+2,2z-2—z~s, N=4, нули Zi=l, z2,3=
=—0,6±i0,8.
Основное свойство Нат(г)-.
HUr(z) = n1(z) H2(z) H3(z)', >
1Я1(е’“г)| = 1Я2(е1“г)1,1
(4.5)
где нули Hi(z) совпадают или с нулями //Hr(z), расположенными внутри еди-
ничной окружности, или с нулями Янг(я), расположенными на единичной
окружности и имеющими четную кратность; нули
H2(z) совпадают с нулями Нвт(г), расположенными
вне единичной окружности, или с нулями Нат(г),
расположенными на единичной окружности и имею-
щими четную кратность; //3(z)= const или нули
Я3(г) совпадают с нулями //Hr(z), расположенными
на единичной окружности и имеющими нечетную
кратность.
Фильтры всех четырех видов реализуют с
учетом симметричности или антисимметричности ко-
Jj___
(Начало\
-7. I
Формулировка
задачи аппрок-
симации.
j—2-----L.... .
Решение задачи
аппроксимации
Р-7____I______
Расчет разряд-
ности коэффици-
ентов фильтра
Г-4------1---------
Расчет разряднос-
тей регистров
оперативной памяти
Схемная
реализация
Рис. 4.3
эффициентов (см. рис. 2.7). При этом реализационные характеристики (см.
2.2.4), например, для фильтра вида 1 имеют значения:
L0 = N— 1; £п = (M-J- 1)/2; = (TV-}-1)/2; VC = N— 1.
Рассмотренные фильтры применяются в качестве избирательных фильтров, пре-
образователей Гильберта, дифференциаторов н корректоров АЧХ.
4.1.2. Минимально-фазовые нерекурсивные фильтры
Это фильтры (см. рис. 4.1), нули передаточных функций которых находят-
ся внутри и на единичной окружности на z-плоскости (рис. 4.2,6).
Пример 4.2. Если H(z)=—0,244z-3+l,01z-2—l,4z-4-l, то нули H(z) име-
ют ^значения: Zt,2=0,5±i0,6; z3=0,4; |zi,21<l; |z3|cl, поэтому соответствую-
щий фильтр является мииимально-фазовым.
Минимально-фазовые фильтры применяются в качестве избирательных в
тех случаях, когда групповое время замедления должно быть малым.
При реализации фильтра в прямой форме (см. рис. 2.6) реализационные
характеристики (см. 2.2.4) имеют значения:
Ав = £п = ДГ; ЕУ = А; VC=A—1.
Ill
4.1.3. Основные этапы проектирование нерекурсивных фильтров
На рис. 4.3 показана схема, поясняющая основные этапы проектирования
нерекурсивных фильтров. Первый этап — формулировка задачи аппроксима-
ции — включает в себя следующие шаги:
выбор типа фильтра (с линейной ФЧХ определенного вида или минималь-
но-фазового) ;
выбор аппроксимирующей функции Ф(ш, с), значения которой определяют
требуемую характеристику фильтра, например АЧХ. Здесь w— нормированная
частота (см. 2.3.2); с — вектор коэффициентов, совпадающий с вектором коэф-
фициентов фильтра b или достаточно просто связанный с ним;
определение аппроксируемой функции В(ш), задающей требования к
заданной характеристике;
выбор критерия аппроксимации, т. е. уточнение смысла приближенного
равенства,
Ф (ид с) « В (w) (4.6)
при заданных значениях w;
определение весовой функции аппроксимации q(w), задающей требования
к точности приближенного равенства (4.6). Целью первого этапа является ма-
тематическая формулировка задачи вычисления вектора с по заданным требо-
ваниям к характеристикам фильтра.
Второй этап — решение задачи аппроксимации — включает в себя следую-
щие шаги:
оценку необходимого порядка фильтра N;
расчет вектора коэффициентов с;
проверку критерия получения решения (выполнение заданных требований
к характеристикам фильтра).
Если требования к характеристикам выполняются,' то по вектору коэффи-
циентов с определяется вектор b и второй этап заканчивается. Если требования
не выполняются, необходимо вернутьси ко второму шагу и рассчитать вектор
с при большем значении N.
Целью второго этапа является определение вектора коэффициентов филь-
тра Ь.
Третий этап — расчет разрядности коэффициентов (или разрядности ре-
гистров ПЗУ) — зависит от выбранной элементной базы. При реализации филь-
тра на специализированном микропроцессоре типа DSP [4.1] значение Sk зада-
но и на третьем этапе остается проверить, выполняются ли заданные требова-
ния к характеристикам фильтра. Если требования выполняются, то следует
перейти к четвертому этапу, если нет — то вернуться ко второму этапу, повто-
рить решение аппроксимационной задачи при большем N и снова перейти к
третьему этапу. Если фильтр реализуется на БИС общего применения или
универсальных микропроцессорах, то необходимо минимизировать значение зь,
уменьшая его до тех пор, пока заданные требования к характеристикам пере-
станут выполняться.
На четвертом этапе рассчитываются разрядности регистров оперативной па-
мяти таким образом, чтобы мощность собственных шумов фильтра была мень-
ше, чем мощность шума на входе. На пятом этапе осуществляется схемная ре-
ализация фильтра на выбранной элементной базе [2.11].
112
4.1.4. Сравнение нерекурсивных и рекурсивных фильтров
Преимущества нерекурсивных фильтров по сравнению с рекурсивными сво-
дятся к следующему.
Нерекурсивные фильтры могут иметь точно линейную ФЧХ.
Мощность собственных шумов НФ, как правило, гораздо меньше, чем у
рф. Она равна нулю, т. е. у НФ отсутствуют собственные шумы в том слу-
чае, если операции сложения и умножения выполняются точно. У РФ мощность
собственных шумов не может быть сделана равной нулю, поскольку в цепи
обратной связи этих фильтров всегда должно выполняться округление при вы-
числении произведений отсчетов на коэффициенты. Исключение составляет до-
вольно ограниченный класс РФ с конечными импульсными характеристиками,
например однородные и триангулярные (см. разд. 7).
Для НФ проще вычисление коэффициентов. Это объясняется тем, что ап-
проксимирующая функция Ф(ш, с) [см. ф-лу (4.7)] линейно зависит от коэф-
фициентов со, ci,..., ск.
В системах с изменением частоты дискретизации (см. разд.7) применение
НФ сокращает необходимое число арифметических операций.
Недостаток нерекурсивных фильтров по сравнению с рекурсивными состоит
в том, что при одинаковых требованиях к АЧХ, отсутствии требований к ли-
нейности ФЧХ и постоянной частоте дискретизации они требуют выполнения
существенно большего числа операций. Поэтому схемная реализация их оказы-
вается намного сложнее.
4.2. ФОРМУЛИРОВКИ ЗАДАЧ АППРОКСИМАЦИИ
it 4.2.1. Требования к аппроксимируемой функции.
Критерии аппроксимации
Целью решения аппроксимационной задачи является определение коэффи-
циентов bi передаточной функции фильтра. Аппроксимирующая функция Ф(ш, с)
должна удовлетворять следующим требованиям:
вектор с должен быть связан простой зависимостью с вектором коэффи-
циентов Ь;
функция Ф(ш, с) должна достаточно просто зависеть от вектора с;
при заданных значениях w должно выполняться (4.6).
Наиболее простой и удобной для решения задачи аппроксимации являет-
ся линейная зависимость функции Ф(ш, с) от вектора с:
К
Ф (w, с) = с <р (ш) = ci tfi (ш). (4.7)
1=0
Существуют два основных критерия аппроксимации, уточняющие смысл (4.6):
среднеквадратический критерий
а,
J q(w)[B(w)— Ф(ш, c)]2du’->min (4.8)
ai
и наилучший равномерный (чебышевский) критерий
max q(w)\B(w)— Ф(ш, c)|-»-min. (4.9)
113
Критерии (4.8) и (4.9) могут применяться совместно — каждый для определен-
ной области частот. Выбор критерия аппроксимации определяется физическим
смыслом задачи.
Общий принцип определения значений весовой функции q(w) состоит в сле-
дующем: чем точнее должно выполняться (4.6) при w=Wj, тем больше долж-
но быть значение q(t^j). При использовании критерия (4.9 )для отдельных по-
дынтервалов частот задаются значения ej такие, чтобы на этих
подынтервалах выполнялось неравенство
|В(ш)—ф(ш, с)|^е?-.
(4.Ю)
Тогда для /-го подынтервала
q(w) = R/e}.
(4.11)
где R — произвольная константа (нормирующий множитель), общая для всех
подынтервалов.
Пример 4.3. Пусть при использовании критерия (4.9) et=0,l; 62=0,01;
ез=0,001. Примем /?=0,1, тогда
при
q (w) = 10
.100
при
При
«и
«12 < а><«22!
«13 ш «23-
В соответствии с (4.9) и (4.11) определяется оптимальная функция Ф(а>, с) =
= ф<о)(а>, с), удовлетворяющая (4.10).
Критерий оптимальности формулируется следующим образом [4.2]: пусть
в соответствии с (4.9) и (4.11) построены функции ®w~i(ta, с) порядка К—1
и Фк(о1, с) порядка К [см. (4.7)], при этом с) удовлетворяет (4.10),
а Фк-1(м, с)—нет. Тогда не существует функции Ф(ш, с) порядка, меньше-
го К, удовлетворяющей (4.10), т. е. построенная функция Фк(ш, с) среди всех
функций Ф(ш, с), удовлетворяющих (4.10), имеет наименьший порядок и
ф(«)(ш, с)=Фк(ш, с).
Соотношение (4.11) можно использовать совместно с (4.8). Однако в этом
случае (4.11) следует рассматривать лишь как эвристическую рекомендацию.
Иногда требования к функции Ф(ш, с) задаются в следующей форме:
£и<Ф(ю, c)<fo.
В этом случае [2.11] следует принять:
В (и) — (^и+^г/)/^’
q (w) = RKlij—hj)
(4.12)
и определять оптимальную функцию Ф<°>(ш, с) в соответствии со сформули-
рованным выше критерием оптимальности.
4.2.2. Избирательные фильтры с линейной ФЧХ
Для этих фильтров аппроксимируемые функции имеют вид: в полосах про-
пускания B(ai) = l; в полосах задерживания В(ш)=0; в промежуточных по-
лосах значение B(w) не задано и может быть принято любым в пределах от
£ до 1.
114
В(ш)=|
Пример 4.4. Для ФНЧ (рис. 4.4)
1 при (полоса пропускания);
О при uir.3^ui^0,5 (полоса задерживания).
Апроксимирующие функции имеют вид:
при нечетном А
К
Ф (w, с) = 2 С/ cos 12л W,
1=0
(4-13)'
причем K=(N—1)/2, 6i=cK-i/2, 1=0, 1, .... К—1, Ьк=са [см. формулу (4.1)];
при четном N
К
Ф (w, с) = 2 clCGS (2/ + 1) л w, (4.13")
1=о
причем K=(N—2)/2; 6г=Ск-1/2, 1=0, 1, ...» К [см.
формулу (4.2)].
Рис. 4.4
4.2.3. Равнополосные фильтры с линейной ФЧХ
Если для ФНЧ Шг.п+^г.3=0,5 (см. пример 4.4), q(w)=q(0,5—w) (требо-
вания к точности аппроксимации в полосах пропускания и задерживания оди-
наковы) и N — нечетное, то при решении задачи аппроксимации в соответствии
с критерием (4.8) или (4.9) часть коэффициентов Ct оказывается известной за-
ранее [2.10]:
со = О,5; c2j = 0 при 2^2/^/С. (4.14)
Такне фильтры называют равнополосными или полуполосными [2.11], у этих
фильтров А=3+4/, 1=0, 1, 2, ..., и реализационные характеристики лучше, чем
у обычных избирательных фильтров с линейной ФЧХ:
L0 = N— 1; = 3)/4-]—1; Vy = (N—3)/4+ 1; Рс=^4-1)/2
(умножение иа со=О,5 эквивалентно одному сдвигу и не учитывалось при оп-
ределении значения Vy).
4.2.4. Преобразователи Гильберта
Преобразователь Гильберта (ПР) [1.6] используетси для получения ком-
плексного сигнала
v(nT)=x(nT) + ix(nT), (4.15)
спектр которого V(ei2’*w) удовлетворяет условию
у ( J 2 л кл _ Г 2 X ( е'2л w) при 0^ш^0,5 (4.16)
1 0 при 0,5<су <1,
где X(e2nw) — спектр заданного сигнала х(пТ). Из (4.15) и (4.16) следует,
что спектр сигнала х(пТ) равен
Х(е,'2я“)=| — ‘х(е,2Яа’) ПРИ 0s=^<0,5;
Ii X ( е1 2 япри 0,5<w<l,
115
т. е. для получения сигнала jf(nT’) [и тем самым сигнала ofn?)] достаточно
пропустить сигнал х(пТ) через идеальный ПГ (рис. 4.5) с комплексной частот-
ной характеристикой:
ir (.iSiiaft г1 ПРИ
Пи \ е ! — 1 п е 1
( 1 при 0,5<ш<1.
(4-17)
Для идеального ПГ
Re [Яи ( е'2 л “)] = 0;
Ьп[Яи(
е!2лШ'
—1 при 0<ш<0,5;
1 при 0,5<ш<1.
(4.18)
Очевидно, что идеальный ПГ нереализуем. Для того чтобы определить переда-
точную функцию ЯР(д) реального ПГ, необходимо аппроксимировать харак-
теристики (4.18). Возможно построение реального ПГ в виде как рекурсивно-
го, так и нерекурсивного фильтров. При построении ПГ в виде нерекурсивного
фильтра целесообразно использовать фильтр вида 3
(см. 4.1), причем аппроксимирующая и аппроксимируе-
мая функции имеют вид:
—L-I пг к- к
Х(пТ) ф (Ш с) = У Q sin / 2 л w,
1 й • (4-19)
Рис. 4.5 B(w)=—1 при ctj wа2<0,5-
При ai+a2=0,5 и выборе весовой функции q(w), удовлетворяющей условию
q(w) = const, ПГ реализуется в виде равиополосного нерекурсивного фильтра
(см. 4.2.3), причем Со=0, Сгг=О при 2<2/< К.
4.2.5. Минимально-фазовые фильтры
Для минимально-фазовых фильтров формулируются две основные задачи
аппроксимации. В первой задаче заданы АЧХ Л(ш) и ФЧХ <р(ш) фильтра;
требуется определить H(z) так, чтобы выполнялись приближенные равенства
[4.3]:
1Я(е’2яси)| « A(W); ।
(4-20)
arg [Я ( е12 гти')] л <f (w). J
При этом вводятся аппроксимируемые функции:
Bi (и) = A (w) cos <р (а>); В2 (w) — А (ю) sin <р (о>)
и аппроксимирующие функции:
Л-1
Ф2 (щ, b) = bi cos / 2л w;
i=b
Л-1
Ф2(щ, b)=y. 6; sin/2л и:,
1=0
так что вместо (4.20) рассматриваются эквивалентные им приближенные ра-
венства:
Ф!(в>, Ь)« Вт (№);•>
> (4.21)
ф2(щ, Ь) «5 B2(w).J
116
Во второй задаче задана лишь АЧХ А (да), а ФЧХ может быть произволь-
ной. В этом случае аппроксимируемая и аппроксимирующая фукции имеют вид:
В (да) « А2 (да);
к
Ф (да, с) = У: ci cos 12л w,
i~o
причем функция Ф(да, с) не должна иметь вещественных корней нечетной крат-
ности. Тогда, используя (4.1), можно построить функцию
N—1
Н' (z) = £ b\ г~1 (4.22)
Ь=0
(А — нечетное), вычислить корни N'(z) и построить передаточную функцию
H(z) искомого минимально-фазового фильтра так, что корни Н(г) совпадают
с корнями И'(г), лежащими внутри и на единичной окружности в комплексной
z-плоскости. Тогда из (4.5) следует, что
l//(ei2lt“)l *A(w).
4.3. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ АППРОКСИМАЦИИ
4.3.1. Классификация методов
Методы решения тесно связаны с принятыми критериями аппроксимации.
В зависимости от использованного критерия их можно разбить иа три груп-
пы. Первая группа соответствует среднеквадратическому критерию, вторая —
наилучшему равномерному (чебышевскому) критерию и третья — иным кри-
териям аппроксимации. Первая группа включает методы разложения в
ряд Фурье и наименьших квадратов, вторая — алгоритм Ремеза и некото-
рые другие сравнительно редко используемые алгоритмы. Методы последней
группы [1.6, 4.4] относительно редко используются при проектировании фильт-
ров и поэтому ниже не рассматриваются.
4.3.2. Разложение в ряд Фурье аппроксимируемой функции
Этот метод применим для расчета коэффициентов фильтров с линейной
ФЧХ и решения второй задачи для минимально-фазовых фильтров. Если аппро-
ксимирующая функция имеет вид (4.7), причем <рДда) =cos I2nw или ф/(да) =
= sin /2гтш, то можно принять
0.5
ci — D ( В (да) <рг (w) dw, (4.23)
о
где £)= 2 при /=0; Д=4 при />0. Функция B(w) должна быть определена
при всех значениях да, т. е. доопределена в промежуточной полосе от даГ.п до'
шг.э. Для того чтобы исключить явление Гиббса [4.5], обусловливающее неуст-
ранимую погрешность аппроксимации, достаточно, чтобы после доопределения
функция B(w) была непрерывна при всех значениях w.
Пример 4.5. Рассчитать коэффициенты двух ФНЧ с линейной ФЧХ (см.
пример 4.4): А=11; А=15 при Шг.п=0,125; шг.3=0,375 (равнополосные фильт-
ры). Рассчитать АЧХ каждого из фильтров для 5 равноотстоящих значений да,
начиная с да=0 при шаге Ада=0,125.
117
Доопределяя B(w) в промежуточной полосе:
В(и>) =
при 0^w^ter.n;
при а>г.п^ги^Шг.а;
При Шг.з^Ш^О.б
«и учитывая, что ф/(ш) =cos Z2jw, из (4.23) получаем:
сп = w -4-10 •
0 г.п 1 г.з>
2sinZ2nK> 2w „ (sin Z 2л и —sinZ2nffi) „)
Г.П Г.З к Г.З Г.П/
С/ =---------------—--------------------------------
I л (w„ „—w„ „) In
\ г.п г.з/
1 / cos 12л w „— cos 12 л ш
I * I __________________г.з___________Г.П |
о/—wn_ \ ^2Я2
г.п Г.З 4
2ш sin/2 л гр —2w sin/2nu» \
,_____Г.З_______Г.3_____Г.П_______Г.П 1
+ 1л I
-при Z>0.
В табл. 4.1 приведены значения коэффициентов bi фильтров, в табл. 4.2 —
значения АЧХ фильтров.
Таблица 4.1 Таблица 4.2
1 10 Значение А (и-) при Л', равном
Х-11 ДГ-15 И 15
0 —0,0114632 0,0058486 0,000 0,9865485 0,9982456
1 2 0,0000000 —0,0318422 0,0000000 —0,0114632 0,125 0,9665278 0,9747989
3 0,0000000 0,0000000 0,250 0,5000000 0,5000000
4 5 0,2865796 0,5000000 —0,0318522 0,0000000 0,375 0,0334722 0,0252012
6 7 —- 0,2865796 0,5000000 0,500 0,0134514 0,0017544
4.3.3. Метод наименьших квадратов
Этот метод точно соответствует критерию (4.8) — при заданных величинах
<Х1, а2 и функциях q(w), Ф(ш, с) и В(ш) требуется определись вектор с, ми-
яимизнрующий целевую функцию
G(c) = j 9(и>)[В(ш) — Ф(и>, c)]2du>. (4.24)
а,
Необходимые и достаточные условия минимума (4.24) [4.4] имеют вид
— С(-)- - = 0, m = 0, 1, 2, ..., К (4.25)
дстп
и с учетом (4.7) сводятся к системе линейных алгебраических уравнений отно-
сительно Со, cit..., Ск:
118
к
2 dm,lcl — dm,K+lt
1=0
0-2
где dma= j q (w) q>m(w) q>i(w)dw; /=0,1, -.,K;
a,
a,
dm, K+l = I 4 ^-B d W-
«i
(4.26>
Пример 4.6. Пусть ai=0; as=0,5;
В(ш) =
{1 при
0 при
^г.з^а'^0,5;
К
Ф (да, с)= '^\ci005l2jtw,rq(w) =
1=0
1 при OsgW^tBr.o;
О при wr.E<w<K)r,3;
g при а>г.а^а’<0,5,
где g=const. Тогда
{w
Г.П
sin (т 2л wr ^/(^т л)
O'r.n + S/2— £шг.з
при т=0;
при т=#0;
при m=Z=0;
шгп sin(m + /)2nu> g
1 -II I 1 -II | о
2 ' 4 (m-j-Г) л * 4
g%,3 gsin(m + Z)2n шг з
при m=i^0;
2 4(m-|-Z)n
sin(m—/)2лшгп sin (m+Z) 2 п шгп
4 (m—/)л 4(m + Z)n +
g sin (m—I) 2 л wr s g sin (m + Z) 2л wp8
"b 4 (m—Z) л 4 (m 4- Z) я
при m#=Z;
m=0,l, .... K;
1=0,1, .... K.
Пример 4.7. Для условия примера 4.6 при гаг.п=0,125; гаг.3=0,375: g=»
= 1 рассчитать коэффициенты равнополосных ФНЧ при N= 11 и АГ=15 и зна-
чения АЧХ для 5 равноотстоящих значений w, начиная с ш=0 с шагом Дш=
=0,125.
Коэффициенты фильтров bi и значения АЧХ A(w) приведены в табл. 4.3-
и 4.4.
Таблица 4.4
Таблица 4.3
1 ьг= Ьк-1-г Значение А(гс] при N, равном
А' =11 Лт=15 И 15
0 0,0118785 —0,0033884 0,000 1,0009418 0,9998589’
1 2 —0,0000003 —0,0621937 0,0000021 0,0197280 0,125 0,9965320 0,9993988-
3 0,0000008 —0,0000073 0,250 0,4999968 0,4999387
4 5 0,3007862 0,4999990 —0,0713280 0,0000137 0,375 0,0034674 0,0005983
6 0,3049177 0,500 0,0009420 0,0001417
7 0,4999840
119
Погрешность аппроксимации по методу наименьших квадратов существен-
но меньше, чем погрешность аппроксимации по методу разложения в ряд
•Фурье аппроксимируемой функции. Отклонение значений коэффициентов, при-
веденных в табл. 4.3, от значений, определяемых по формуле (4.14), для рав-
-нополосных фильтров определяются погрешностями решения линейной систе-
мы на малой ЭВМ.
4.3.4. Метод наилучшей равномерной (чебышевской) аппроксимации.
Алгоритм Ремеза
К
Пусть заданы совокупность (класс) Г функций Фк(ш, с)= 2 ci<pi(w),
7=0
где ф; (w) — известные функции, например <рг=соз/2лш или <рг=-шг, аппрокси-
мируемая функция B(w), весовая функция q(w) и замкнутый интервал [cti, as].
Тогда функцией наилучшего равномерного (чебышевского) приближения в клас-
се Г называют функцию Фк(ш, с) с такими значениями коэффициентов ci, ко-
торые соответствуют минимальному значению
е (с) =тах |Д (w, с)|, (4.27)
где Д(ш, с) =q(w) [B(w)—Фк(®, с)], е(с)—максимальная погрешность ап-
проксимации на интервале [ai, a2] для определенного набора значений коэф-
фициентов аппроксимирующей функции.
Очевидно, что функция наилучшего равномерного приближения точно со-
ответствует критерию (4.9). Для некоторых классов функций Фк(&, с) [к
ним, в частности, относятся функции (4.13) и (4.19)] непрерывной на интерва-
ле [а-, а2] функции B(w) и кусочно-непрерывной положительной на том же
интервале функции q(w) обобщенная теорема Чебышева [1.6, 4.6] устанавлива-
ет признак, выделяющий функцию наилучшего равномерного приближения сре-
ди всех функций данного класса; для того чтобы функция Фк(ш, с) была
функцией наилучшего равномерного приближения к функции B(w) с весовой
функцией q(w), необходимо и достаточно, чтобы функция Д(ш, с) принимала
наибольшие и равные друг другу по абсолютной величине и чередующиеся по
знаку значения в К+2 последовательно расположенных точках (точках аль-
тернанта) Wi, w2, ..., с'г-г интервала [ai, as], т. е.
Д (wlt с) = —Д (w2, с) = ... = (— 1)к+1 Д (Ц'к+2, с); (4.28)
CXj Wi <Z W2 • • -<^ ^х+2 ^2»
|Д (Wj, с)!2>1Д(ш, с)|, /=1, 2,..., К4-2.
Последнее отношение истинно при любом значении w, принадлежащему интер-
валу [ai, а2].
Теорема (4.28) справедлива и для аппроксимируемых функций, заданных
на отдельных интервалах, не имеющих общих точек. В этом случае функция
должна быть доопределена на промежуточных интервалах так, чтобы в целом
получилась непрерывная функция на замкнутом интервале, включающем все
заданные интервалы. Все точки альтернанса должны располагаться только на
заданных интервалах.
Пример 4.8. Пусть
fl при 0^ш^0,1063;
В (w} = (
10 при 0,3937^ 0,5;
120
. . fl при 0^w^0,1063;
q (w) = {
11 при 0,3937^ш>^0,5;
5
Ф5 (да, с) = У cfcos 12 л w.
Z=o!
Тогда коэффициенты функции наилучшего равномерного приближения име-
ют значения: со=О,4999999; С]=0,5986008; с2=0,0000000; с3=—0,1188343; с4=
=0,0000000; с6=0,0207811 при следующих точках альтернанса: ®i=0,05122201
w2=0,0908867; w3=0,1062999; №4=0,3937000; ws=0,4091255; w6=0,4487495- w7=
=0,5000000 и ДО,, с) =—0,0005476.
На рис. 4.6 показаны графики B(w) и ФзО, с). Как правило, аналитиче-
ски функцию иаилучшего равномерного приближения определить невозможно.
Одним из наиболее эффективных методов численного определения функций че-
бышевского приближения является алгоритм Ремеза [1.6, 2. 11, 4.7]. Суть это-
го алгоритма, реализуемого на ЭВМ,
сводится к последовательной моди-
фикации коэффициентов аппроксими-
рующей функции до тех пор, пока
с заданной степенью точности не
оказываются выполненными условия
обобщенной теоремы Чебышева, т. е. не
получено чебышевское приближение. В
приложении 5 приводится описание
программы, реализующей алгоритм
Ремеза.
4.3.5. Решение чебышевской аппроксимационной задачи для фильтра
с линейной ФЧХ с помощью алгоритма Ремеза
Пусть требуется определить коэффициенты ФНЧ с линейной ФЧХ мини-
мального порядка N=Nmin, АЧХ которого удовлетворяет условию типа (4.10).
Для того чтобы уменьшить объем вычислений иа ЭВМ, можно ориентировоч-
но определить значение N^Nmin по следующей эмпирической формуле, спра-
ведливой для ФНЧ [1.6]:
Л?1 = 3) —D* (£°’ (“г.з “т.п) + 1 ’ (4’29^
Г.З г.п
где ^(вп, £3) = [5,309-10~3(lgen)2 + 7,114-10“2lgen—4,761.10“1]lge3-t-
+ [—2,66.10-3(lgen)2 —5,941-Ю-1 lgen—4,278-Ю-1]; D2 (ед, е3) =
= 11,01217 4-0,51244 (1g ед— 1g е8);
еп и е3 — максимально допустимые отклонения АЧХ от аппроксимируемой функ-
ции В (w) соответственно в полосах пропускания и задержания. Очевидно, что-
фильтру наименьшего порядка Лг«Лгт;„ (оптимальному фильтру) соответствует
оптимальная функция Ф<°)(№, с) (см. 4.2.1). Для того чтобы определить функ-
цию ф(°)(ш, с), нужно построить несколько функций наилучшего равномерно-
го приближения к функции B(w) с весом, определяемым (4.11), различных по-
рядков начиная с А=Дв=(М—1)/2 (для нечетных М) или с К=Къ=
= (Ад—2)/2 (для четных Л\). Если при К=Кв условия (4-10) не выполняют-
ся хотя бы для одного j, необходимо увеличить К. Если (4.10) выполняется.
121
необходимо уменьшить К- Процесс вычислений заканчивается тогда, когда
<Dk(w, с) удовлетворяет (4.10), а Фк_1(ш, с) (или фк-г(ш, с) для равнопо-
лосиых фильтров) не удовлетворяет, причем Ф(°)(ш, с)=ФЕ(гг, с).
Пример 4.9. Пусть шг.п=0,125; шг.а=0,375; еп=е3=3-10-4. Тогда из (4.29)
.¥! = 14. Поскольку проектируемый фильтр—равнополосный, с учетом (4.14) Кн=
Таблица 4.5 =8. С помощью алгоритма Ремеза строятся функции наилучшего равно- мерного приближения Фв(г0, с) и Ф6(ш, с), аппроксимирующие функцию
ь1=
2V-11 2V-15 fl при 0< w ^0,125; B(w)= F (О при 0,375 0,5 с весовой функцией fl при 0^ш^ 0,125,1 q (ш) = < 11 при 0,125<a»s£0,5 (в (4.11) полагается /?=3-10~4). При К=Кв=8 требования к АЧХ выполня- ются: |1—Ф8(гг>, с) |^3-10-4 при 0;^
0 1 2 3 4 5 6 7 0,0130539 0,0000000 —0,0638686 0,0000000 0,3016116 0,5000000 —0,0037370 0,0000000 0,0205680 0,0000000 —0,0723199 0,0000000 0,3053691 0,5000000
II ” 2 и «н 0,0015943 0,0002395 ^ш^0,125 и ]Фв(гг>, с) ] ^3-10-4 при 0,3750,5; при К=6 требования к АЧХ не выполняются, т. е. Armin=15. В табл. 4.5 приведены значения коэф- фициентов фильтров с N=ll и 77=15 и
максимальных погрешностей аппроксимации ем.п=ем.3=тах|В(ш)—Ф(ш, с) |
при Осшсшг.п и шг.3<и»<0,5 [см. (4.2.7)].
Для полосовых фильтров ориентировочно Nmin определяется по формулам,
приведенным в [4.8].
4.3.6. Решение чебышевской аппроксимационной задачи
для минимально-фазового фильтра
Пусть требуется построить минимально-фазовый ФНЧ минимального поряд-
ка N по заданной АЧХ (см. 4.2.5, задача 2), причем заданы условия типа (4.10):
|1— A(w)|<Bnl при }
А t f Л
IA (w) | <е31 при 0,5. ]
Точный алгоритм решения сводится к следующему:
1. Необходимо построить оптимальную функцию Ф*°>(ш, с) удовлетворяющую
отношениям:
— ез1/2—Фд (W, с) I ^2 еп1 при 0 W а»г п,
е31
Фд(“’- с)|<— при и>г8Са»С0,5,
К
где Фк(ш, с) = 2 ci cos 2 л w.
1=0
Каждая функция последовательности, которую следует построить для опре-
деления Ф«»(Ю, с) (см. 4.3.5), строится как функция наилучшего равномерного
приближения к аппроксимируемой функции
>п1—ем/2 п₽и °<а’^®г.п;
0 при и> ^ш^0,
г г.з ’
В (w)==
(4-31)
122
с весовой функцией
{1] при ;
4еп1/^1’ при шг8<я<0,5. (4’32^
Ориентировочная оценка величины начального порядка Кн функции Фх(ш, с)
(см. пример 4.9) может быть получена с помощью (4.29), причем KB=(Ni—1)/2
и
еп = 2 8ni; е3 — 8gj/2. (4.33)
2. Строится функция Ф<°)(ш>, с)=Ф>°>(ш>, c)+Af+eM, не имеющая вещест-
венных корней. Величина М=тах|Ф(и>, с) | при wr.3^w^0,5; ем = (Ю~2.„
... 10-3) М.
2Д
3. По коэффициентам Ф<°>(и», с) строится функция 2 b'iz~l [см.
1=0
(4-22)].
4. Вычисляются корни функции И'(г).
К-1
5. Строится функция H"(z) = 2 b"iz-l+z~K, корни которой совпадают с
1=0
корнями H'(z), лежащими внутри и на единичной окружности.
6. Строится передаточная функция искомого минимально-фазового фильтра
К
H(z)—b kH"(z) = 2 biZ bi=b"ibK’ Коэффициент Ьк определяется из условия
1=0
__________ к Гчк
|//(е1шт) | =у \Н'(е'аТ) эквивалентного равенству 2 bi= "1/ 2Ь'г. Из
l=o У 1=0
последнего равенства и выражений для Н" (z) и И (г) следует, что
Пример 4.10. Пусть требуется построить минимально-фазовый ФНЧ наи-
меньшего порядка N, АЧХ которого удовлетворяет (4.30) при wr.n=0,125;
и>г.з=0,375; eni=0,02 и e3i=0,0003. По формулам (4.33) находим: еп=0,04;
8з=4,5-10_8. По формуле (4.29) определяем Кв=6. По формуле (4.31) опре-
деляем аппроксимируемую функцию:
п, , (1 Ц-3,99995-Ю-4»! при 0 w ^0,125,
D (W) = •> 1
( 0 при 0,375^w^0,5.
По формуле (4.32) определяем весовую функцию
[888889 при 0,375^ш^0,5.
С помощью алгоритма Ремеза определяется ф(°)(ш, с). Для этого на ЭВМ ЕС
1022 были построены функции Ф6(ш, с), Ф7(ш, с), Фе(®, с) и Фд(и, с).
В табл. 4.6 приведены значения коэффициентов функций Фв(®. с) и Фд(ш, с),
представленные по способу с «плавающей запятой» с округлением мантиссы
до девяти разрядов (все вычисления в рассматриваемом примере выполнялись
е удвоенной точностью [4.9]), и максимальных погрешностей аппроксимации
®м.п и Ем.з (определение этих понятий см. в примере 4.9).
Из сравнения еп и ем.п, е3 и ем.з следует, что функция Фв(ш, с) ие удов-
летворяет заданным требованиям, а функция Фд(ш, с) удовлетворяет, т. е.
123
Таблица 4.7
Таблица 4.6
1 Значение коэффициента 1
К=8 К=9
0 0,361345846 ПО0 0,385157132-10° 0 0,390416447-10-’
1 0,559327544-10° 0,576508110-10° 1 0,189554705-10°
2 0,218077829-10° 0,184717808-10° 2 0,388034893-10°
3 —0,356403466-10-1 —0,755718326-10-1 3 0,395527617-10°
4 —0,100121651-10° -0,100282529-10° 4 0,144282330-10°
5 —0,599301846-10—1 —0,236332114-Ю-1 5 —0,923004871-10~х
6 —0,178345217-10-1 0,2i1268721-10-1 6 —0,101840731-10°
7 -0,230165022-10-2 0,188939744-10—* 7 —0,496114741-10-2
8 —0,120324751 • 10~4 0,631090512-10-2 8 0,290167349-1О"1
9 0,823166338-10-3 9 0,106702259-1О-1
п 0,77089-10—1 0,16499-КГ1 ем. п 0,82824-10-2
®М. 3 0,86725-Ю-7 0,18561-Ю-7 ®м.з 0,19769- 10-е
c)=®s(w, с). Затем определяется функция Ф<0>(ш, с)=Ф<°>(о>, с) +
+0,19-10~7. По коэффициентам Ф(°>(и>, с) строится функция
18
= ^г-1.
1=0
На ЭВМ вычисляются корни функции H'(z). Строится передаточная функция
9
W(Z) = Xbzz-z,
1=0
корни которой совпадают с корнями лежащими внутри единичной окруж-
ности (корни, лежащие на единичной окружности, в данном примере отсутст-
9 1/18
«уют), причем 2 bi= у Zb i. Коэффициенты bi этого фильтра и максималь-
но r 1=0
ные погрешности аппроксимации
емп = тах|1 — |Я ( е*2я ш)| I при 0< и <0,125,
ема = тах |Я ( е,2Як,)| при 0,375 < ц><0,5
приведены в табл. 4.7.
Из сравнения величин eni и еы.п, e3i и ем.з следует, что синтезированный
минимально-фазовый фильтр удовлетворяет всем условиям задачи.
4.3.7. Решение аппроксимационной задачи для амплитудно-
фазового корректора по методу наименьших квадратов
Амплитудно-фазовый корректор, т. е. фильтр, у которого АЧХ и ФЧХ близ-
ки к заданным функциям A* (w) и <p*(w), можно построить в виде нерекурсив-
яого фильтра, используя метод наименьших квадратов [4.3].
124
При этом коэффициенты Ьо, bi,..., bN-t определяются из условия минимума
величины
0,5
G (b) = J q (w) [02 (w) + ®2 (ш)] dw-
о
Здесь
N—1
©! (w) = A* (w) cos <p* (w) — bi cos 12л w;
1=0
N—1
02 (w) = A* (w) sin <p* (w) +2 bi sin 12л w,
1=0
где A*(w), ф*(ш>) —заданные функции; q(w) —весовая функция.
Необходимые и достаточные условия минимума G(b)
/-0. >......... N—1,
dbi
представляют собой систему линейных алгебраических уравнений относительно
коэффициентов b0, bi...Ьк-i
N-1 0,5
2 bi j q(w)cos[(l—j)2nui]dw =
1=0 0
0,5
= J q (w) A* (w) cos [<p* (w) 4- j 2 л w] dw, / = 0,1,..., N—1-
о
Решив эту систему на ЭВМ, можно определить коэффициенты нерекурсивного
фазового корректора. В частном случае при q(w) = l система может быть реше-
на в общем виде и коэффициенты определяются по формуле
0,5
bi — 2 j A* (w) cos [<р* (w) 12 л w] d w.
о
4.3.8. Оценка погрешности аппроксимации
Как правило, погрешностью аппроксимации АЧХ в /-й полосе пропускания
или задерживания фильтра с граничными частотами ац и ац называют вели-
чину
£/= max IВ (w) — IН ( е' 2 я ш) 11 (4.34)
при azj^w^aij.
Для наилучшей равномерной аппроксимации
max|A(w, с)|
е,- - ------------- при a v < w а2]-,
<7(а0
где функция A(w, с) определена в (4.27); величина max|A(w, с)| всегда извест-
на после решения задачи аппроксимации; <?(w)=const.
Для иных методов аппроксимации значение рассчитывается на ЭВМ ме-
тодом перебора значений функции |B(w)—|77(ei2’l’°)|| с шагом Aw на интерва-
ле [ai,, ajj]- Максимально допустимое значение Aw, при котором е3- еще рас-
считывается достаточно точно, определяется выражением '[4.10]
A w = 0,5/(16A), (4.35)
где N — порядок фильтра.
125
4.3.9. Сравнение возможностей фильтров с линейной ФЧХ
и минимально-фазовых фильтров
Избирательные минимально-фазовые нерекурсивные фильтры необходимо ис-
пользовать тогда, когда фильтр должен иметь минимальное абсолютное значение
ГВЗ на всех частотах в полосе пропускания фильтра. Требования такого типа
накладываются, например, на фильтры трансмультнплексоров (см. гл. 9). В том
случае, если требуется точно линейная ФЧХ, необходимо, разумеется, использо-
вать фильтры с линейной ФЧХ.
Если требования предъявляются лишь к АЧХ фильтра и фильтр не может
быть равнополосным, то целесообразно использовать минимально-фазовый
фильтр, поскольку он имеет лучшие реализационные характеристики (см. 2.2.4).
При одинаковых требованиях к АЧХ значения £п и оказываются примерно
одинаковыми для фильтров обоих типов, a Lo и Vc оказываются примерно вдвое
меньше для минимальио-фазовых фильтров. Если фильтр может быть равнопо-
лосным, то при выборе минимально-фазового фильтра или равнополосиого фильт-
ра с линейной ФЧХ необходимо учесть следующее. При одинаковых требованиях
к АЧХ значения £п и Еу оказываются примерно вдвое меньше для равнополос-
ного фильтра, Ус — примерно одинаковой для фильтров обоих типов, £р— при-
мерно вдвое меньше для минимально-фазового фильтра.
Приведенные выше общие правила сопоставления мииимальио-фазовых
фильтров и фильтров с линейной ФЧХ подтверждаются данными примеров 4.9
и 4.10. При примерно одинаковых требованиях к АЧХ реализационные характе-
ристики равнополосиого фильтра с #=15 (см. пример 4.9) имеют значения
/.0=14, £п=4 (коэффициент 0,5 не фиксируется в ПЗУ), Уу = 4, Ус = 8, а ре-
ализационные характеристики минимально-фазового фильтра с #=9 (см. при-
мер 4.10)—значения £о=8, £л=9, Уу=9, Vc—8.
Точные условия, приводящие к равнополосному фильтру, указаны в 4.2.3. От-
метим, что при выполнении этих условий н метод разложения в ряд Фурье ап-
проксимируемой функции (см. пример 4.5), и метод наименьших квадратов (см.
пример 4.7), н метод наилучшей равномерной (чебышевской) аппроксимации
(см. примеры 4.8 и 4.9) автоматически приводят к равнополосным фильтрам.
В некоторых случаях целесообразно изменять условия так, чтобы в итоге
решения аппроксимационной задачи был определен равнополосный фильтр.
Пусть, например, шг.п=0,14 и шг.з=0,35, т. е. шг.п+шг.8¥=0,5, но требования и
точности аппроксимации одинаковы в полосах пропускания и задерживания (для
методов наименьших квадратов и наилучшей равномерной аппроксимации это
означает, что д(и>) =<?(0,5—w), см. 4.2:3). В этом случае, безусловно, следует
увеличить значение граничной частоты полосы пропускания и принять ш'г.п=
==0,5—шг.з=0,15. Порядок фильтра остается прежним, однако фильтр становит-
ся равиополосным и значения £п, V? и Ус (см. 2.2.4) уменьшаются примерно
вдвое. Даже если условия, определяющие АЧХ синтезируемого фильтра, резко
отличаются от требований, приводящих к равнополосиому фильтру, имеет смысл,
преобразовав эти условия, синтезировать оба варианта фильтра и сопоставить
их реализационные характеристики. Пусть, например, шг.л=0,2125, шг.а=
=0,2875 и АЧХ А(ш) должна удовлетворять условиям |1—A (w) | ^0,0428 при
О^ш^Шт.п и <|А(ш) | ^0,0004 при т. е. требования к точности
аппроксимации в полосах пропускания и задерживания резко (примерно в
100 раз) отличаются друг от друга. Фильтр с линейной ФЧХ наименьшего по-
126
Грядка N=33, АЧХ которого удовлетворяет сформулированным требованиям,
был определен с помощью алгоритма Ремеза (см. 4.3.4). Его реализационные
характеристики (см. 2.2.4) имеют значения £О=32, £н=16, Vy = 16, Ус=32.
Единственный путь преобразования условий задачи с целью получения рав-
нополосиого фильтра состоит в увеличении требуемой точности аппроксимации в
полосе пропускания, т. е. во введении условия |1—A (w) | ^0,0004 при
а^Шг.и- Равнополосный фильтр наименьшего порядка #=51 был определен с
помощью алгоритма Ремеза, причем его реализационные характеристики имеют
значения £о=50, £п=13, Vy=13, VCf=26. В данном случае первый вариант
окажется, по-видимому предпочтительнее ввиду существенно меньшего значения
Lo. В иных случаях разница в значениях Lo может оказаться малой и меньшие
значения £п, Vy и Vc сделают предпочтительной реализацию в виде равнополос-
иого фильтра.
4.3.10. Сравнение методов решения аппроксимационных задач
Метод разложения в ряд Фурье аппроксимируемой функции имеет следую-
щие преимущества:
а) он проще остальных методов, поскольку для его реализации при опре-
деленном N требуется наименьший объем вычислений;
б) если при некотором N точность аппроксимации оказывается недостаточ-
ной, то можно увеличить порядок фильтра, рассчитав лишь дополнительные ко-
эффициенты, причем ранее рассчитанные коэффициенты изменяют свои номера,
по-прежнему являясь коэффициентами фильтра (см. пример 4.5, в котором
рассчитаны фильтры с #=11 и #=15— в качестве коэффициентов фильтра с
#=15 используются все коэффициенты фильтра с #=11);.
в) это единственный метод, позволяющий получить аналитические выраже-
ния (формулы) для коэффициентов фильтра, что очень удобно при теоретиче-
ских исследованиях его характеристик (см. (4.23) и пример 4.5).
Основной недостаток метода заключается в том, что точность аппроксима-
ции оказывается низкой. Из сравнения данных табл. 4.2, 4.4 и 4.5 видно, что
прн одних и тех же значениях N максимальная погрешность аппроксимации в
полосах пропускания и задерживания оказывается примерно в 40 раз больше,
чем для метода наименьших квадратов, и примерно в 100 раз большей, чем для
метода наилучшей равномерной аппроксимации.
Метод разложения аппроксимируемой функции в ряд Фурье целесообразно
использовать тогда, когда порядок проектируемого фильтра настолько велик
(#=5000... 10000), что невозможно применить иные методы аппроксимаций.
Фильтры такого высокого порядка представляют собой почти идеальные избира-
тельные фильтры, которые используются при моделировании сложных систем иа
ЭВМ.
Основное преимущество метода наименьших квадратов по сравнению с ины-
ми методами состоит в возможности учета дополнительных ограничений на ко-
эффициенты фильтра, имеющих характер линейных неравенств или равенств (см.
[2-11]), а также в возможности построения сложной целевой функции, минимум
которой соответствует искомому решению (см. 4.3.7, функция 6(b)). По точно-
сти аппроксимации метод занимает промежуточное положение между методами
разложения аппроксимируемой функции в ряд Фурье и наилучшей равномерной
аппроксимации.
127
Метод наименьших квадратов требует значительного объема вычислений, так
как для решения задачи необходимо определять коэффициенты и правые части
системы линейных алгебраических уравнений и решить эту систему [см. (4.26) ].
Этот метод целесообразно использовать в следующих случаях:
когда необходимо' учесть дополнительные ограничения на коэффициенты
фильтра или построить сложную целевую функцию;
когда минимизация функции типа (4.24) соответствует физическому смыслу
задачи (см., например, [4.11, 4.12]).
Метод наилучшего равномерного (чебышевского) приближения реализуется,
как правило, в виде эффективного алгоритма Ремеза (см. 4.3.4 и [1.6]). Он
позволяет:
рассчитать фильтр заданного порядка N, для которого максимальная абсо-
лютная погрешность аппроксимации в полосах пропускания и задерживания бу-
дет минимальна (см. 4.3.4 и пример 4.8);
по заданной максимальной абсолютной погрешности аппроксимации в поло-
сах пропускания и задерживания рассчитать фильтр наименьшего порядка Nmin,
АЧХ которого удовлетворяет поставленным требованиям;
точно задать отношения между абсолютными погрешностями аппроксима-
ции в различных полосах с помощью весовой функции (см. (4.9), (4.11) и при-
мер 4.3).
Алгоритм Ремеза целесообразно использовать для расчета нерекурсивных
фильтров всегда, за исключением тех случаев, когда следует использовать ме-
тоды разложения аппроксимируемой функции в ряд Фурье или наименьших квад-
ратов.
4.4. РАСЧЕТ РАЗРЯДНОСТЕЙ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФИЛЬТРОВ
И РЕГИСТРОВ ОПЕРАТИВНОЙ ПАМЯТИ
4.4.1. Расчет разрядности коэффициентов фильтров
После решения аппроксимационной задачи на ЭВМ коэффициенты фильтра
определяются весьма точно, как правило, с 7—14 десятичными разрядами. Прн
реализации фильтра в виде специализированной микро-ЭВМ каждый коэффици-
ент должен быть представлен в виде двоичного кода th, состоящего из sK цифр
(помимо знакового разряда).
Пример 4.11. Пусть &t=0,3; sK=15. Тогда, округляя до 15 двоичных раз-
рядов, получают 61=0,010011001100110.
Использование округленных двоичных кодов коэффициентов приводит к из-
менению характеристик фильтров. На практике часто используют следующий кри-
терий для расчета разрядности sK.
Пусть требования к АЧХ |77(е'2ли) | фильтра имеют вид
1В(ш)— l//(ei2”)l|<sj, (4.36)
где Б (ш) — аппроксимируемая функция; е3- — допустимая погрешность на /-м
подынтервале аппроксимации. Тогда разрядность зк считается выбранной пра-
W—1
вильно, если АЧХ фильтра с передаточной функцией Я(а)=2 biz~l (bt — округ-
z=o
ленные до зк разрядов коэффициенты) удовлетворяет условию (4.36). Для про-
верки условия (4.36) используется метод перебора с шагом Aw, определяемым
(4.35).
128
Существуют два метода определения величины зк. Первый метод состоит
в расчете минимально возможного значения sK на стадии решения аппроксима-
ционной задачи. При этом изменяется постановка этой задачи — теперь должна
быть определена аппроксимирующая функция Фк(ш, с) заданного порядка К,
удовлетворяющая поставленным требованиям [например, условию (4.10)] при
минимальной двоичной разрядности зк коэффициентов Ci. Подобные задачи ре-
шаются методом целочисленного программирования [4.13]. Второй метод состоит
в расчете величины зк путем округления коэффициентов, полученных в резуль-
тате решения аппроксимационной задачи.
Заметим, что второй метод расчета разрядности гораздо проще первого.
При значениях sK, удовлетворяющих условию sH^10...12, оба метода дают
практически одинаковые результаты [4.14].
4.4.2. Основные предположения при расчете разрядностей
регистров оперативной памяти
Значения разрядностей регистров оперативной памяти фильтра зависят в
общем случае от формы реализации фильтра и способа представления чисел.
Ниже приводятся расчетные соотношения для следующих величин: разрядности
sEX регистра входного сигнала х(пТ) (считается, что |х(пТ) | <1), разрядностей
3ц и тех частей регистра выходного сигнала у(пТ), в которых фиксируются
целая и дробная части кода у(пТ) в предположении, что фильтр реализуется в
прямой форме и числа представлены с фиксированной запятой в прямом или
дополнительном кодах, причем каждое произведение округляется.
4.4.3. Расчет величины
Условие [1.10]
Л;—1
s4=intlog22 |Ьг| (4.37)
1=0
гарантирует отсутствие переполнения регистра выходного сигнала.
Пример 4.12. Для фильтра с Л'=15 (см. табл. 4.5) по формуле (4.37) оп-
ределяем Sn=l.
4.4.4. Расчет величин sEX и зд (вероятностный подход)
Пусть задана величина о2вых— допустимая дисперсия (средняя мощность)
шума на выходе фильтра, причем этот шум обусловлен шумами округления от-
счетов выходного сигнала фильтра и, возможно, каждого произведения, полу-
чаемого при вычислении выходного сигнала фильтра. Шумы округления пред-
ставляют собой стационарные случайные последовательности с некоррелирован-
ными между собой отсчетами, причем шумы, создаваемые различными источни-
ками, не коррелированы друг с другом и с сигналом, обрабатываемым фильт-
ром.
Если произведения вычисляются точно, т. е. отсутствуют шумы округления,.
AW 2 —2sex
То согласно (2.27) о вх^^ф^еых /S где <T2Bi=— — дисперсия шума
1=0 12
округления отсчетов входного сигнала и Д
5—89 120
5Д--- SBX'T'SK-
(4.38)
Если произведения вычисляются
округления произведений, то
с округлением, т. е. присутствуют шумы
N—1
Og = Од У
1=0
(4.39)
где g2h=2 ~2sh/12 — дисперсия шума округления произведения.
Мощность собственных шумов фильтра (шумов округления произведений)
должна быть мала по сравнению с мощностью внешнего по отношению к фильт-
ру шума округления отсчетов входного сигнала. Можно принять
<^=0,1<4уЛ2.
1=0
Из (4.39) и (4.40) следует расчетные формулы для и хд:
sBx — int
N— 1 -j
1,1 У ь]
1=0
12O2
вых J
= int
Tlog2
______12 Л~____
12oLx-2“2Sb^-1^
1=0
(4.40)
(4.41)
(4.42)
Пример 4.13. Пусть о2ВЫх=10~8, т. е. для отсчетов выходного сигнала
Овых=Ю~4. Для фильтра с Л;=15 (см. табл. 4.5) при точном вычислении про-
изведений находим Хвх = И (см. (4.38)). Для того же фильтра при округлении
произведений по формулам (4.41) и (4.42) определяем соответственно sBI =
= 12 и Хд=16.
4.4.5 Расчет величин sBI и хд «на худший случай»
Пусть задана максимально допустимая абсолютная погрешность ЛВых отсче-
тов выходного сигнала фильтра-:
Двых IУ (ft Уц (п-Т) |, п — 0,1,...,
(4.43)
где у(пТ)—отсчеты выходного сигнала «точного» фильтра, в котором все опе-
рации выполняются точно и на вход которого подается «точный» входной сиг-
нал: уц(пТ)—отсчеты выходного сигнала фильтра с теми же коэффициентами,
на вход которого подается округленный до sBX разрядов входной сигнал и,
возможно, все произведения вычисляются с округлением до хд разрядов.
**-s —1
Если произведения вычисляются точно и Ix(nT')—хц(пТ)|^2 вх
где х(пТ)—точные отсчеты входного сигнала; Хц(пТ’)—отсчеты входного сиг-
нала, округленные до sBX разрядов, то из (4.43) и (2.19) следует, что
130
/ N—1 \
sBX= int log2^. |M/2ABbixj ; (444^
5д = 5вх'т_ Вн-
если произведения вычисляются с округлением, то
N—1
Авых = Авх X! | bi | -j- Ап N,
1=0
-~s —1
где Двх=2 БХ —погрешность отсчетов входного сигнала, определяемая ок-
руглением этих отсчетов до sBX разрядов; АПА/—погрешность выходного сигна-
ла, определяемая округлением произведений: Ап=2 д
Для того чтобы фильтр ие вносил значительных дополнительных погрешно-
стей в значение отсчета выходного сигнала, можно принять i[no аналогии с
(4.40)]
2V-1
An;V = 0,l ДБХ V IM- (4-45)
1=0
Из (4.43), (4.45) и (2.19) следуют расчетные формулы для sBI и 5Д:
/ N—1 \
sBx = int log2 I 1,1 I bi | /2АВЫХ ) ; (4.46)
\ 1=0 /
A
= mt log2 —--------------—-------—(4.47)
2|Двых-2_*бх-1 £ |Z>z|)
\ 1=0 /
Пример 4.14. Пусть ДВых=5-10~4. Для фильтра с N= 15 (см. табл. 4.5) при
точном вычислении произведений из (4.44) $ВХ=Ц. Для того же фильтра при
округлении произведений sBz = ll; £д=16.
4.4.6. Алгоритм расчета разрядности коэффициентов фильтра,
реализуемого на специализированном микропроцессоре
Если фильтр реализуется на специализированном микропроцессоре типа
DSP (см. [4.1]), то коэффициенты фиксируются в виде двоичных кодов с зара-
нее определенным числом sKM двоичных разрядов (для DSP $км = 16). Таким
образом, необходимо определить, существует ли фильтр, удовлетворяющий усло-
виям задачи, и если он существует, рассчитать округленные коэффициенты этого
фильтра.
На рис. 4.7 показана схема алгоритма расчета округленных до sKM двоичных
разрядов коэффициентов фильтра. На первом этапе (символ Г) решается аппрок-
симационная задача и определяется фильтр минимального порядка N=Nmin,
удовлетворяющий условиям задачи (эти условия имеют вид (4.10), см. при-
мер 4.9). На втором этапе (символ 2) рассчитанные коэффициенты округляются
До sKM двоичных разрядов. На третьем этапе (символ 3) рассчитываются мак-
симальные погрешности аппроксимации ej и е2 соответственно (в полосах про-
пускания задерживании '[см. (4.34)]. Для многополосного фильтра рассчитыва-
ются величины е, для каждой полосы пропускания и задерживания. Расчет вы-
полняется методом перебора с шагом Aw, определяемым (4.35), значений функ-
5* 131
N—1
ции ]B(w)—|Я(е,2л«’)|| (см. 4.3.8), причем |/f (ei2"“) | = | 2 5геП2ли| и Bi — ок-
1=0
ругленный коэффициент фильтра.
На четвертом этапе (символ 4) проверяется условие получения решения.
Если рассчитанные погрешности Cj и е2 одновременно не больше заданных допус-
тимых погрешностей ел и е3 (см. 4.3.5, пример 4.9), т. е. если истинно логичес-
кое выражение е^епАег^ е3, то решение определено (символ 7), округленные
коэффициенты можно использовать для реализации фильтра и вычисления пре-
кращаются (символ 8). Если логическое выражение ei еи/\е2^ е3 ложно, т. е.
если рассчитанная погрешность превышает допустимую хотя бы в одной поло-
се, то осуществляется переход к пятому этапу (символ 5). На этом этапе про-
веряется условие | Ьк-i | <2—Skm, где bx-i— неокругленный старший коэффици-
ент фильтра [см. (2.4)]. Если условие не выполняется, то можно попытаться
увеличить порядок фильтра и тем самым уменьшить погрешности аппроксимации
ej и е2. Символ 6 соответствует увеличению порядка фильтра, после чего осу-
ществляется переход к символу 1 для нового решения аппроксимационной за-
дачи. Если условие |6k-i| <2~Skm выполняется, то решения нет (символ 9),
т. е. по заданным условиям нельзя построить нерекурсивный фильтр с разряд-
ностью коэффициентов sKM. Отметим, что описанный алгоритм реализует один
из вариантов второго метода расчета величины sKM (см. 4.4.1), т. е. округление
производится после решения аппроксимационной задачи.
4.4.7. Алгоритм расчета минимальной разрядности коэффициентов фильтра
Минимизировать число двоичных разрядов sK целесообразно в тех случаях,
когда фильтр реализуется на БИС общего назначения или универсальных микро-
процессорах. Возможны два типа задач минимизации sK.
132
В задачах первого типа требуется определить фильтр минимального поряд-
ка N, АЧХ которого удовлетворяет условиям задачи при наименьшем значении
Ss=sK mtn, удовлетворяющем условию sKmin^sKtl, где sKm—заданное значе-
ние. Схема решения задач первого типа изображена на рис. 4.8. Все обозначе-
ния на рисунке такие же, как на рис. 4.7 (см. 4.4.6), поэтому ниже отмечаются
лишь некоторые особенности этого алгоритма. Символ 1 соответствует началь-
ному присваиванию sK—sKM—большие значения sK недопустимы по условиям
задачи. Решение отсутствует (символ 9) лишь в том случае, если при sK=sKM
невозможно, увеличивая порядок фильтра, обеспечить заданную точность реше-
ния.
В задачах второго типа требуется определить фильтр минимального поряд-
ка А, АЧХ которого удовлетворяет условиям задачи при наименьшем значении
^к-—Sk tntJij ОДНЙКО значение Sk miп не ограничивается сверху. Схема алгоритма
решения задач второго типа изображена на рис. 4.9. Все обозначения на ри-
сунке такие же, как на рис. 4.7 и 4.8 (см. 4.4.6), поэтому ниже отмечаются лишь
некоторые особенности алгоритма. Начальное значение sK=16 (символ 1) выбра-
но «средним» — по принципу «не слишком большое и не слишком малое». За-
дача аппроксимации (символ 2) решается для определения минимального поряд-
ка фильтра N=Nmin, и в дальнейшем этот порядок не меняется. Значение sK
может как увеличиваться (символ 7), так и уменьшаться (символ 12). Задача
всегда имеет решение, поскольку для sK не задается наибольшее значение.
133
4.4.8. Расчет разрядностей регистров оперативной памяти
по заданному динамическому диапазону и отношению сигнал-шум
Обычно задаются значение D динамического диапазона входного сигнала и
отношение сигнал-шум на выходе фильтра /?ш при входном сигнале, соответству-
ющем нижней границе динамического диапазона. Значение D в децибелах опре-
деляется как
£> = 20 lg {aD max/aD т-{п), (4.48)
где CD max--МЭКСИМЭЛЬНЫЙ урОВвНЬ ВХОДНОГО синусоидального сигнала; dD min—
минимальный уровень входного синусоидального сигнала, соответствующий ниж-
ней границе динамического диапазона. Значение /?ш в децибелах определяется
как
— Ю 1g (Рс/^ш) > (4.49)
где Pc~a2Dmin/2 — мощность на выходе фильтра синусоидального сигнала с
уровнем на входе aD min и с частотой, на которой АЧХ фильтра имеет значение
1; Рш=о2вых — средняя мощность шума на выходе фильтра. Из (4.48) и
(4.49), полагая cDmox = l, по заданным значениям D и /?га можно определить
°1ых = 0<5-Ю”(С+Йш)/1С • (4.50)
Пусть Я=30 дБ; /?ш=30 дБ. Тогда согласно (4.50) о2Вых=0,5-10'6.
Определяя значение о2ВЫх и используя (4.41) и (4.42), можно рассчитать
разрядности регистров оперативной памяти.
134
4.4.9. Априорная оценка разрядности входного сигнала фильтра
До решения аппроксимационной задачи можно оценить лишь разр
входного сигнала sBI. Поскольку коэффициенты bi иерекурсивиого филы
надают с отсчетами его импульсной характеристики (см. 2.3.3), из (2.22)
ет равенство
N—1 0,5
2 Ь? = 2 J A- (w) d w,
1=0 о
где А (ш)— амплитудно-частотная характеристика фильтра.
До решения аппроксимационной задачи функция A(w) неизвестна,
нее можно по заданным требованиям к АЧХ определить функцию A*(w)
что А (ш) ~A* (w). Тогда из (4.51) следует приближенное равенство
w=l о is
2 ^«2j [A*(w)Pdu>.
1=0 oJ
Используя (4.41), (4.50) и (4.52), можно по заданным значениям D и 1
иить величину sBI.
Рис. 4.10
Пусть, например, АЧХ фильтра A(w) должна удовлетворять условие
4.10,а):
1—еп^ А (а>) С 1+ еп при 0^а>^а>гп;
|А(а;)|^е3 при ®рзС^С0,5,
где и»г.п=0,125; а>г.з=0,375; еп=ев=0,0003. На рис. 4.10,а показан воз:
график неизвестной заранее АЧХ фильтра, рассчитываемого с помощи
ритма Ремеза. По заданным требованиям к АЧХ функцию А*(о>) можно
лить следующим образом (рис. 4.10,6):
135
А* (w) —
I
(eg—2) ю + 2 а>г 8— e3 а>г n
2(юг.з—Wr.n)
83/2
при 0 w 5=3 wp n;
при w, „ < w <= 10 •
r Г.П Г.З»
при
r г.з ’
(4.54)
В полосе пропускания положительные и отрицательные отклонения АЧХ А(ш)
от единицы примерно компенсируют друг друга; в полосе задерживания откло-
нения АЧХ от нуля только положительные (см. рис. 4.10,а), и максимум откло-
нения равен е3, т. е. «в среднем» в этой полосе можно принять A*(w) = es/2;
для промежуточной полосы принято, что АЧХ изменяется по линейному закону.
N—1
Из (4.52) и (4.54) следует, что S b2z~0,5. Для сравнения отметим, что для
z=0
фильтра, рассчитанного в соответствии с условиями (4.53) (см. пример 4, 9,
N—1
табл. 4.5), расчет по вычисленным коэффициентам дает значение S 62г=0,44
1=0
при А=15.
5. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ РЕКУРСИВНЫХ ЦИФРОВЫХ
ФИЛЬТРОВ
5.1. АППРОКСИМАЦИЯ В ПРОЦЕССЕ СИНТЕЗА РЦФ
5.1.1. Общие сведения
Известны три класса методов расчета передаточных функций рекурсивных
цифровых фильтров (РЦФ): методы преобразования аналоговых фильтров в
цифровые (методы билинейного преобразования, инвариантности импульсной ха-
рактеристики, согласованного /-преобразования), прямые методы расчета РЦФ
в /-плоскости и методы, использующие алгоритмы оптимизации.
Для расчета частотно-избирательных РЦФ (ФНЧ, ФВЧ, полосовых, режек-
торных) наиболее подходящим простым и широко используемым является метод
билинейного преобразования передаточной функции Т (s) аналогового фильтра-
прототипа в соответствующую передаточную функцию Д(а) РЦФ 1[2.3; 1.6]. Би-
линейное преобразование может быть выполнено как без ЭВМ (см. 5.1.5, 5.1.6 и
примеры 5.3 — 5.6), так и на ЭВМ с помощью соответствующей программы (см.
5.1.8 и приложение 1).
Методы инвариантности импульсной характеристики и согласованного Z-
преобразования рассмотрены в .'[1.6, 3.5]. Прямые методы расчета РЦФ в z-плос-
кости (используемые, в частности, при расчете избирательных фильтров с час-
тотными характеристиками, отличающимися от характеристик фильтров нижних
и верхних частот, полосовых и режекторных) рассмотрены в '[1.6]. Методы оп-
тимизации при расчете РЦФ (в частности, фильтров с нестандартными характе-
ристиками) рассмотрены в [1.6].
5.1.2. Типы аналоговых фильтров
Наиболее подробно табулированы [5.1—5.4] фильтры:
Баттерворта с монотонно убывающей АЧХ при ю>0 (тип В);
136
Чебышева с равноволновой в полосе пропускания и монотонно убывающей в
полосе задерживания АЧХ (тип Т);
инверсные Чебышева с монотонно убывающей в полосе пропускания и рав-
новолновой в полосе задерживания АЧХ (тип I).
Золотарева — Кауэра (эллиптические) с равноволновой в полосах пропуска»
ния и задерживания АЧХ (тип С),
Вид амплитудно-частотных характеристик А (£2) нормированных (с частотой
Рис. 5.1
Рис. 5.2
среза Яс = 1) передаточных функций фильтров данных типов приведен на
рис. 5.1 (фильтров Баттерворта — на рис. 5.1,а; фильтров Чебышева при чет-
ном и нечетном порядке фильтра п—на рис. 5.1,6,в; инверсных фильтров Чебы-
шева при четном и нечетном п — на рис. 5.1,г,д; фильтров Золотарева — Кауэра
при четном и нечетном п — на рис. 5.1,е,ж), где ДАП— неравномерность АЧХ в
полосе пропускания; ДА3 — отклонение АЧХ от нуля в полосе задерживания.
На рис. 5.2,а—ж приведены характеристики затухания а(Я) соответствующих
фильтров с обозначениями, используемыми в [5.1], где Да — верхняя граница
рабочего затухания в полосе пропускания, а оо — гарантированное затухание в
полосе задерживания. Очевидно, что
Д a = —20 lg (1 —-Д Ап); (5.1')
a0= — 201gAA3. (5.1")
5.1.3. Билинейное преобразование
Билинейное преобразование представляет собой конформное отображение
точек s-плоскости в точки z-плоскости и использует замену переменной вида
где у — постоянный множитель, значение которого ие меняет форму преобразо-
вания (о выборе величины у см. 5.1.4).
Использование (5.2) обеспечивает однозначное преобразование передаточ-
ной функции 7(s) аналогового фильтра-прототипа (АФ-прототипа) в передаточ-
ную функцию Н(г) рекурсивного цифрового фильтра:
Z/(z) = 7(s)| 1г_х . (5.3)
Каждой точке комплексной s-плоскости (s=S+ifi) ставится в соответствие
определенная точка z-плоскости (z=exp((o+i£2)T)).
Мнимая ось s-плоскости (s=ifi для —оо<Я<оо) отображается в единич-
ную окружность z-плоскости (z=exp(ko7)).
Левая половина s-плоскости (Re(s)<0) отображается в часть z-плоскости
внутри единичного круга (|г|<1), т. е. устойчивый аналоговый фильтр приводит
к устойчивому линейному рекурсивному фильтру.
. Соотношение между «аналоговыми» частотами Q и «цифровыми» частотами
о определяется уравнением
Q = у tg (со 7/2) — у tg л w, (5.4)
где И1=со/сод — нормированная «цифровая» частота. На рис. 5.3 показана зави-
симость (5.4) для случая у=1.
Для частотно-избирательных фильтров (ФНЧ, ФВЧ, полосовых, режектор-
ных), аппроксимируемая АЧХ которых имеет вид кусочно-постоянной функции,
нелинейная (но монотонная) зависимость (5.4) между частотами Я и го не при-
водит к нарушению избирательных свойств фильтра при преобразовании (5.3).
Пример 5.1. Пусть заданы требования к АЧХ цифрового ФНЧ: неравно-
мерность АЧХ в полосе пропускания ДАП, отклонение от нуля в полосе за-
держивания ДАз, а также граничные нормированные частоты полос пропуска-
ния ©г.п и задерживания щг.3 (рис. 5.4). Используя нелинейное соотношение
138
(5.4), определяем соответствующие граничные частоты полосы пропуск
и полосы задерживания QK аналогового фильтра (см. рис. 5.4). Есл:
определить передаточную функцию T(s) аналогового фильтра-прототш
равномерностью АЧХ в полосе пропускания [О, йс], равно ДАП, и отк.
от нуля в полосе задерживания
Г£2к, °°], равным ДА3, а затем выпол-
нить билинейное преобразование (5.3),
иолучим РЦФ, удовлетворяющий по-
ставленным требованиям. На рис. 5.4
хорошо видна деформация амплитуд-
но-частотной характеристики РЦФ
вдоль частотной оси (особенно в по-
лосе задерживания).,
Рис. 5.4
/-ДАП AA3ff
Рис. 5.3
B.S
Л/Т
/-ДА
Выбор параметра
Т = ctg (юг п Т/2) = ctg л wr п
приводит к нормированному АФ-прототипу (Qc = l), что удобно
вании справочников по аналоговым фильтрам.
при
5.1.4. Обобщенное билинейное преобразование
Обобщенное билинейное преобразование '[1.6, 2.3] обеспечивает п
вание передаточной функции Т(s) нормированного АФ-прототипа (Qc =
редаточную функцию H(z) рекурсивного цифрового фильтра определи
да (ФНЧ, ФВЧ, полосового, режекторного). Формулы соответствуют!
разований приведены в табл. 5.1. На рис. 5.5 и 5.6 приведены соотв'
схемы допусков на АЧХ A(w) и затухание a(w) фильтров нижних ча
верхних частот (б), полосовых (б) и режекторных (г).
Пример 5.2. Рассчитаем параметры преобразования и граничные
вые» частоты нормированного АФ-прототипа нижних частот (Qc = l)
тырех видов РЦФ, приведенных в табл. 5.1 (при конкретных значе!
ничных «цифровых» частот). Результаты расчета приведены в табл. 5.2,
следует рассматривать вместе с рис. 5.6.
5.1.5. Определение передаточной функции цифрового ФНЧ
(ФВЧ) по справочнику [5.1]
Постановка задачи. Определить передаточную функцию цифровс
(ФВЧ) заданного типа (В, Т, I, С).
Исходные данные: частота дискретизации граничная частота по;
пускания [г.п; граничная частота полосы задерживания [г.з; верхняя
139
Цифровой фильтр Граничные «цифровые» частоты Формула замены Параметр
Нижних частот ЭДг.п, ЭДг.а 1— г-‘ 1+г- V = ctg лгиг „
Верхних частот ДОг.П» Й>г.8 14-2-» 1-2-1 1 y = tgna>r п
Полосовой ^Г.!И> tPr.lH, Й>г.п2, ^г.з2 1— 2az~ 1+г-’2 s->v 7 1—z~2 V=ctgn(^r il2-®r п1) СО5Л(Г0Г.п2+1Иг.п1) а с°ЗЛ(^г.п2-тг.п1)
Режектор- ный Wt.,11, Wr.Bl, Wr.32, Щ1-.П2 1—Z-2 S—> у г 1—2аг~’14-г—2 y=tgn(ffir „2 —шг п1) C0SJl(a,r.n-2+mr.nl) a~“cosn(u>r<:„2-ajrnl)
Таблица 5.1
Связь «аналоговых» частот с «цифровыми» частотами Граничные «аналоговые» частоты
Й = у tg nw Йк = у tgnu)r,3
Й = у ctg ПО) aK=yctgnK,r.3
а — cos 2лаи й — у sin 2т йк=пцп(|й^|, |й"|), где , а — cos 2ла>_ ., Г\Г Г.3 1 йк~=т -о ; к 51П2ла)гз1 a-cos2nmr,32 й к = У — 81п2ли>гз2
sin 2ли> й = = у — а — cos 2лю йк = т!п(|й^|, |й"|), 1ДС t sin 2лаг>г 3 j йк — v о ; а — соз2лшгз1 51п2ли>гзг йк — у - а—со8 2лшгл2
Таблица 5.2
Цифровой фильтр Граничные «цифровые» частоты Параметр Граничные «анало- говые» частоты
Нижних частот Wr.n = 0,125; wr.3=0,375 7=2,41 йк=5,82
Верхних частот Wr.n=0,375; wr.3=0,125 Т«2,41 йк«5,82
Полосовой .. Ш «•<•- о o’ О О o' » !L Я» w-* —W л» га И Я го ь h h to в э в в 7=3,08; а=0,618 й'к«_ 3,32; й"к=7,49; йк»3,32
Режекторный in . Л <□-< СЧ 11 Я га го И Си й й й в в 3 3 7=1,96; а=0,346 й'к«_2,48; й"к=50,3; йк=2,48
а,дБ
Рис. 5.5
V/
о
Рис. 5.6
141
рабочего затухания в полосе пропускания Да; гарантированное затухание в по-
лосе задерживания а0.
Алгоритм определения передаточной функции. Алгоритм включает следую-
щие этапы:
1. Расчет нормированных «цифровых» граничных частот а'г.п=/г.п//д и
юг.з — /г.з/[д.
2. Расчет параметра преобразования у (см. табл. 5.1 и пример 5.2).
3. Нахождение граничной аналоговой частоты йк полосы задерживания
АФ-прототипа (см. табл. 5.1 и пример 5.2).
4. Определение передаточной функции АФ-прототипа нижних частот требуе-
мого типа (В, Т, I или С):
а) определение модуля коэффициента отражения (р| (см. [5.1], табл. 3,
с. 23) по заданной верхней границе рабочего затухания Да в полосе пропуска-
ния;
б) определение порядка фильтра по номограммам '[5.1] (пояснения к ис-
пользованию номограмм приведены в '[5.1], с. 23), при этом вначале находит-
ся вспомогательный параметр L по общей номограмме ([5.1], рис. 2.21, с. 408),
а затем порядок фильтра п по полученным значениям L и Як;
в) запись передаточной функции 7 (s) АФ данного типа и порядка в общем
виде;
г) определение численных значений коэффициентов передаточной функции с
учетом модуля коэффициента отражения |р[ по таблицам, приведенным в [5.1,
с. 44—387];
д) запись передаточной функции Т (s) АФ с численными значениями коэф-
фициентов.
5. Определение передаточной функции H(z) цифрового ФНЧ (ФВЧ) с по-
мощью билинейного преобразования (см. табл. 5.1).
6. Контрольный расчет АЧХ (затухания) полученного ЦФ.
Пример 5.3. Найти передаточную функцию цифрового ФНЧ с монотонно
убывающей АЧХ (типа В). Параметры фильтра: [д=8 кГц; [г.п=1 кГц; fr.3 =
=3 кГц; Да=1,4 дБ; а<>=40 дБ.
Определяем:
. 1. шг.п=1-103/(8-103) =0,125 и wr.3=3-103/(8-103) =0,375.
2. Y=ctgn-0,125=2,414214 (см. табл. 5.1).
3. Q„=2,414214-tg л0,375~5,82 (см. табл. 5.1).
4. Передаточную функцию АФ типа В:
а) модуль коэффициента отражения (см. [5.1], табл. 3). Для Да=1,4 дБ
следует выбрать |р|=50%, что соответствует Да* = 1,25 дБ (дальнейшая ра-
бота по справочнику ведется с величиной Да*);
б) порядок фильтра п, для чего по номограмме ([5.1], рис. 2.21) для Да*=
= 1,25 дБ (|р|=50%) и ао=4О дБ находим вспомогательный параметр В—
«9,5-102. а затем по номограмме ([5.1], рис. 2.2) для йк=5,82 и В=
=9,5-10-2 находим, что п=3;
в) общий вид 7'(s) ([5.1], с. 58):
1 1 1
Т (s) = ---=-------------------------------------;
S(s) с (s_flo)fs2_2ais+(a2+^j
г) коэффициенты T(s) ([5.1], с. 57, таблица для фильтров ВОЗ): с=
=0,577350; а0=—1,200937; а,=—0,600468; а2= 1,040042;
д) передаточную функцию
(s + 1,200937) (s2 + 1,200936 s + 1,442249)
142
5. Передаточную функцию Я (г), используя подстановку (см. табл. 5.1)
1 —г—1 1 —г-1
’ —------- =2,414214 —----:
Н (г) = 1,732052 -------------
( у - Z— + »,200937
1
(1—z-1^
V2hT7Tw+I’200936x
(I + г- J)2
_________1_________
1 —z~1
Xy —------+1,442249
= 1,732052 ------------‘-----------
3,615151 — 1,213278 г-1
(l+z-1)2
X 10,169994 — 8,772360г"1+ 4,371362г-2 '
6. Амплитудно-частотная характеристика A(o>) цифрового ФНЧ приведена
на рис. 5.7 (кривая 1).
Пример 5.4. Найти передаточную
функцию цифрового ФВЧ с монотон-
но возрастающей АЧХ (типа В). Па-
раметры фильтра: /д=8 кГц; fr.s=
= 1 кГц; /г.п=3 кГц; Да=1,4 дБ; а0 =
=40 дБ.
Определяем:
1. шг.п = 3-103/(8-103) = 0.375 и
о>г.э=1-103/(8-103)=0,125.
2. у = tg л -0,375 = 2,414214 (см.
табл. 5.1).
3. Пк = 2,414214-ctg л-0,125«5,82
(см. табл. 5.1).
4. Передаточную функцию T(s),
которая имеет тот же вид, что и
в примере 5.3, поскольку значения
Да, а0, у и в данных примерах
совпадают:
1
'г (<л_I 732052-------------------------------------------
’ (s + 1,200937) (s2 + 1,200936 s + 1,442249)
Порядок определения T(s) см. в примере 5.3.
5. Передаточную функцию ЦФ, используя подстановку s-*-y
1 — z~1
1+z-1
Я (z) = 0,04711
1—z"1__________1—22-* +2-2________
1+0,335609 z-1 1 +0,862573z~1 + 0,429829z-2 '
6. Амплитудно-частотная характеристика A(w) цифрового ФВЧ приведена
на рис. 5.7 (кривая 2).
Пример 5.5. Найти передаточную функцию цифрового ФНЧ с АЧХ, равио-
волиовой в полосах пропускания и задерживания (фильтр типа С). Параметры
фильтра: [д=32 кГц; /т.п=6 кГц; [г.з=8,8 кГц; Да=1,5 дБ; ао=ЗО дБ.
Определяем:
1. шг.п=6-103/(32-103) =0,1875 и шг.э=8,8-КР/Ог-Ю3) =0,275.
2. y=ctg 51-0,1875= 1,496606 (см. табл. 5.1).
3. Q=1,496606 tg 51-0,275= 1,752300 (см. табл. 5.1).
4. Передаточную функцию T(s)-.
а) |р|=50% (см. [5.1], табл. 3); Да* = 1,25 дБ;
б) Z=4,7-10~’ (см. [5.1], рис. 2.21) и п=3 (см. [5.1], рис. 2.16);
в) общий вид передаточной функции ([5.1], с. 58)
143
1
1
Т (s) = -- =
S(s) с (s2_2ais+(a2 + 62))
г) коэффициенты T(s) ([5.1], с. 77, таблица для фильтров СОЗ с Йк«
«1.74): с=7,733830; а0=—0,510162; ед=—0,190430; ^=0,971581, 0»!=
= 1,966001;
д) передаточную функцию
s24-3,865161
Т (s) = 0,129302-----------------!’--------------------
' (s4- 0,510162) (s24-0,380860 s 4- 0,980233)
5. Передаточную функцию ЦФ, используя подстановку
1—г-1
S-* 1,496606 —------ :
Н (г) = 0,129302 —------—1--------—— X
2,006768—0,986444 г-1
6,104990 4- 3,250664 г~г 4- 6,104990 г~2
Х 3,790059 — 2,519184 г-14- 2,650065 г~2 =
1 1 4-0,532460 г-14-г-2
0,103788 !_0 491558г-1 l—o,664682г-14-0,699215г-2 '
6. Амплитудно-частотная характеристика A(w) цифрового ФНЧ приведена
яа рис. 5.7 (кривая 3).
5.1.6. Определение передаточной функции цифрового полосового
(режекторного) фильтра по справочнику [5.1]
Постановка задачи. Определить передаточную функцию цифрового полосово-
го (режекторного) фильтра с АЧХ заданного типа (В, Т, I, С).
Исходные данные: частота дискретизации [д; граничные частоты [г.п ь [г.п г,
[г.з 1, [г.з 2 (см. рис. 5.6); верхняя граница рабочего затухания в полосе пропус-
кания Да; гарантированное затухание в полосе задерживания а0.
Алгоритм определения передаточной функции Н(г). Алгоритм определения
Н (z) для полосового (режекторного) фильтра почти полностью совпадает с
соответствующим алгоритмом для ФНЧ (см. 5.1.5). Однако имеются два
дополнения. Первое — на этапе 2 определяются два параметра преобразования:
Y и а (см. табл. 5.1 и пример 5.2). Второе — на этапе 5 (определение И (г) по
T(s) с помощью билинейного преобразования) замена переменной s в полино-
мах первого порядка по s приводит к полиному второго порядка по г-1, а в
полиномах второго порядка по s — к полиномам четвертого порядка по z-1.
При получении окончательного вида Н(г) следует полиномы четвертого порядка
разложить на множители (полиномы второго порядка по z-1).
Пример 5.6. Определить передаточную функцию цифрового полосового
фильтра типа С со следующими параметрами: [д=140 Гц; fr.ni = 15,5 Гц; /г.п2=
=30 Гц; [г.з1=7,75 Гц; [г.з2=60 Гц; Да=0,5 дБ; ао=4О дБ (см. рис. 5.6).
Определяем:
1. №г.п1 = 15,5/140 = 0,110714; шг.п2 = 30/140=0,214286; wr 3i = 7,75/140 =
=0,055357; wr.3Z=60/140=0,428571.
2. y=ctg [л(0,214286—0,110714)] =2,964087 (см. табл. 5.1),
а =
cos [л (0,214286 4-0,110714)]
cos [л (0,214286 — 0,110714)] -
= 0,551433 (см. табл. 5.Г)
144
3. QK (cm. табл. 5.1):
О* = 2,964087
0,551433—cos 2 si-0,055357
sin 2 л -0,055357
= 2,964087
0,551433 —cos2 n-0,428571
sin 2 л-0,428571
« 9,92 ;
йк = min (3,38; 9,92) = 3,38.
4. Передаточную функцию T(s):
a) |p| =25% (cm. [5.1], табл. 3), Да*=0,28 дБ;
б) £,=5-10—2 (см. [5.1], рис. 2.21) и п=4 (см. [5.1], рис. 2.6);
в) общий вид передаточной функции (см. [5.1], с. 80)
1 1
:
П [s2—2 aj s + ( а2- 4- бу)]
7=1
г) коэффициенты T’(s) ([5.1], с. 81, таблица для фильтров ТОЗ): с—
=2,065591; аг=—0,206284: 61 = 1,049557; а2=—0,498012; 62=0,434741;
д) передаточную функцию
s2 + 0,412569s+ 1,144123 s2 + 0,996024 s-4- 0,437016
5._ Передаточную функцию ЦФ, используя подстановку s=2,964087-(1—•
—2-0,o51433z-1+z~2)/(l—z-2) и разлагая каждый из двух полиномов четвер-
той степени (в знаменателе Н(z)) на множители (полиномы второй степени):
4
Н (z) = 0,0035652 П
7=1
1—z~2
+ z~2
где ац=—0,703705; a2i=0,684397; а12=—1,155395;
fi23=0,860199; ац=—1,479492; а24=0,907562.
6. Выполняем контрольный расчет АЧХ.
022=0,741638; а13=—0,378998;
5.1.7. Определение передаточной функции параллельной структуры РЦФ
Рассмотренные в 5.1.5, 5.1.6 методы определения передаточной функции РЦФ
77(z) позволяют получить последнюю в виде каскадной структуры. Для получе-
ния Н(г) в виде параллельной структуры необходимо:
выполнить все действия, предусмотренные алгоритмом определения Н(г) с
использованием справочника по аналоговым фильтрам (см. 5.1.5, 5.1.6);
разложить полученную дробно-рациональную функцию Н(г) на элементар-
ные дроби, т. е. привести ее к виду
м
H(z) = c+^, Hi(z),
i—1
где
Hi (г) =
____^oi__
l+au z-i
или Hi (г) =
bpj + 6ii г 1__________
1 + alt z-1 + a2i z-2
Пример 5.7. Найти передаточную функцию ФНЧ (в параллельной структур-
Ре) с АЧХ, равноволновой в полосах пропускания и задерживания (фильтр ти-
па С) при следующих параметрах: )д=32 кГц; [Г.п=6 кГц; [г.3=8,8 кГц; Да=
= 1,5 дБ; ао=30 дБ;
1. Определяем Н(г) для каскадной структуры. Поскольку исходные данные
145
для расчета совпадают с данными примера 5.5, то после выполнения всех эта-
пов алгоритма (см. пример 5.5), получаем
_ 14-z-1________1 +0,532460 z-1-}-?-2
Н <г) = °>103788 j_0i49155g2-i i-о,664682г-1+ 0,699215г-2 ‘
2. Определяем Н{г) для параллельной структуры. Разлагая H(z) на эле-
ментарные дроби (см. [3.4], с. 42), получаем передаточную функцию РЦФ в
виде
„ . _ ____&01____ , ^02 + £12 Z-1
2 --С l+a^z-1 1 1+а12г“1+о22 z-2
где с=—0,301968; feci=0,770950; +>=—0,365194; Ь12=0,142826; ап=—0,491558;
«12——0,664682; «22=0,699215.
5.1.8. Определение передаточной функции РЦФ с помощью
билинейного преобразования на ЭВМ
Коэффициенты передаточной функции Н(г) цифрового фильтра с характе-
ристиками Баттерворта, Чебышева и Золотарева — Кауэра могут быть опреде-
лены на ЭВМ по программе, описанной в приложении 1. Там же приведены
примеры машинного расчета РЦФ с характеристиками, удовлетворяющими тре-
бованиям, рассмотренным в примерах 5.3 и 5.5.
5.2. РАСЧЕТ РАЗРЯДНОСТЕЙ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФИЛЬТРА
И РЕГИСТРОВ ОПЕРАТИВНОЙ ПАМЯТИ
5.2.1. Общие сведения
В результате решения аппроксимационной задачи (см. 5.1) определяется
передаточная функция линейного рекурсивного- дискретного фильтра (ЛРДФ) с
фактически неограниченной разрядностью регистров.
В цифровом фильтре хранение и обработка чисел осуществляется в устрой-
ствах (элементах памяти, умножителях, сумматорах) с конечным числом разря-
дов. В процессе проектирования РЦФ необходимо выполнить квантование ко-
эффициентов ЛРДФ и определить разрядность входного регистра (разрядность
АЦП при входном аналоговом сигнале) н разрядности регистров оперативной
памяти (умножителей, сумматоров).
Квантование коэффициентов (представление с конечным числом разрядов)
приводит к изменению положения нулей и полюсов передаточной функции, т. е.
к искажению частотных характеристик фильтра. Вместе с тем представление ко-
эффициентов с конечным числом разрядов не приводит к появлению собствен-
ных шумов РЦФ. Ограниченная разрядность входного сигнала и регистров опе-
ративной памяти приводит к возникновению выходного шума фильтра.
В данном параграфе используются следующие обозначения: sK — разряд-
ность коэффициентов РЦФ; sBX — разрядность входного сигнала (АЦП); s — раз-
рядность регистров оперативной памяти, причем sK=sK.4+sKj, sBX=sBX.B4-sBX.x,
где индексы «ц» и «д» соответствуют разрядностям представления
целой и дробной частей соответствующих кодов.
5.2.2. Определение разрядности коэффициентов
Детерминированный метод. Определение разрядности коэффициентов осу-
ществляется в процессе расчета АЧХ AK(w) или рабочего затухания «к(и>)
фильтра с квантованными коэффициентами при разрядностях s*K, s*K—1,
146
^-2... начиная с достаточно большого значения s*K (например, s*K=20) с од-
новременной проверкой условий
АКтах (w) — AKmin(w)^^Aa
(5.6')
для полосы пропускания,
АКтах (5.6")
ДЛЯ полосы задерживания,
аКтах — amin<Aa (5.7')
для полосы пропускания,
amin>ab (5-7")
ДЛЯ полосы задерживания, где Актаж, &aKmax(AKmin, AaKmin) —максимальные
(минимальные) значения АЧХ и рабочего затухания фильтра с квантованными
коэффициентами; ДАП, ДА3(Да, а0) —заданные допуски на проектируемый РЦФ.
Квантование коэффициентов при удовлетворении заданных требований к
частотным характеристикам возможно только в том случае, когда при решении
аппроксимационной задачи (см. 5.1) величины
рабочего затухания в полосе пропускания До*
и гарантированного затухания в полосе задер-
живания е*о выбраны с запасом, т. е. Да*<
<Да; а*о>ао. Чем больше допуски на искаже-
ния характеристики затухания Да—До*, о*о—
«о, тем меньше требуемая точность (разряд-
ность) представления коэффициентов.
На рис. 5.8 показаны характеристики
затухания исходного фильтра нижних
частот (сплошная линия) и фильтра с
Рис. 5.8
на использовании функций
квантованными коэффициентами (штриховая
линия).
Статистический метод. Этот метод, основанный
чувствительности Вс .~dA(w)jdCi амплитудно-частотной характеристики фильт-
ра по отношению к коэффициентам с,-, описан в [3.5].
5.2.3. Определение разрядностей входного сигнала и регистров
оперативной памяти по вероятностной модели ошибок квантования
Постановка задачи. В результате решения аппроксимационной задачи (см.
5.1) и квантования коэффициентов (см. 5.2.2) определена передаточная функ-
ция H(z) линейного рекурсивного дискретного фильтра (ЛРДФ). Требуется
рассчитать разрядности входного сигнала (АЦП) и регистров оперативной памя-
ти (умножителей, сумматоров).
Исходные данные: коэффициенты передаточной функции ЛРДФ; структура
фильтра и форма реализации элементарных звеньев; динамический диапазон
входного сигнала D; отношение сигиал-шум на выходе фильтра /?ш.
Определения и расчетные формулы. Под динамическим диапазоном D (дБ)
входного сигнала понимается отношение максимальной амплитуды входного сиг-
147
нала ац тах к минимальной амплитуде an mtn, при которой обеспечивается за-
данное отношение мощности сигнала к мощности шума иа выходе фильтра:
7) = 20 lg (aD maKlaD min)- (5.6)
Под отношением сигнал-шум (дБ) понимается отношение мощности вы-
ходного сигнала Рс к мощности шума Рш на выходе фильтра:
Рш — Ю 1g (Рс/Рш) •
(5-7)
При синусоидальном входном сигнале
Лш=101ё[а2/(2Рш)], (5.8)
где а — амплитуда синусоидального выходного сигнала. Если АЧХ фильтра
A(w)~1 в полосе пропускания, то a=aD (амплитуды выходного и входного
синусоидальных сигналов равны).
Минимальная амплитуда входного сигнала ао min определяется по заданно-
му значению D из (5.6):
a —a .10~D''20
“D min—aD max 1и
(5.9)
Допустимая величина мощности шума квантования Рш.доп определяется из
(5.8) и (5.9) при заданном значении и минимальной амплитуде входного сиг-
нала (П-—dj) min) :
а2
р Dmax (Р+Лш)/Ю
гш.доп 2 * и
(5.10)
Разрядности входного сигнала sBX и регистров s цифрового фильтра опре-
деляются на основе оценок составляющих шума квантования выходного сигнала,
обусловленных квантованием входного сигнала («внешнего» шума) и квантова-
нием сигналов в регистрах ЦФ («собственного» шума) (см. 3.5—3.10), а также
оценок диапазона изменения сигналов в фильтре.
При определении величин звх и s рассчитанная по формуле (5.10) мощность
Р-Ш..3.0-П распределяется на допуски Рш.в и Рш.с, отводимые на составляющие вы-
ходного шума (внешний и собственные шумы). Можно принять, что
р _____R р Р ____________Р ________Р (5 111
Ш.В— 'II Ш.ДОП ’ Ш.С Ш.ДОП Ш.В>
где |Зв=О,8 ... 0,9 (см. 4.4).
В дальнейших формулах принимается, что входной сигнал нормирован к
единичному уровню, т. е. max \х(пТ) | =ац тах= 1.
п>0
Разрядность входного сигнала sBX=sBX.a определяется [см. (3.27)] по фор-
муле
0,5 log2
sEX — ini
ОО
X (M«D)’2
п=0
Рв ^ш.доп
(5.12)
где h(nT) — импульсная характеристика фильтра, а Рш доп определяется по
формуле (5.10).
Разрядность регистров оперативной памяти для представления дробной
части кодов определяется [см. (3.29), (3 28) ] по формуле
148
sH = i nt
S r/S (g/(«n)2
0,5 log2 -------—--------------
12Рш.доп-2^ЕХ f (M«T))2
n=0
(5.13)
где fj — число умножителей, подключенных к /-му сумматору; gj (пТ) — импуль-
сная характеристика части фильтра от выхода /-го сумматора до выхода фильт-
ра.
Разрядность вц регистров оперативной памяти для представления целой час-
ти кодов определяется на основе оценки диапазона изменения сигналов в фильт-
ре [см. (3.35), (3.36)] по формуле
вц= int log2 (max а{ - V/),
i.l
(5.14)
где Vj= 2 |fj(n7’)|; fj(nT’)—импульсная характеристика части фильтра от
п=0
входа до выхода /-го сумматора (j=0, 1, ...» Vo= 1), а — коэффициент /-го
умножителя, подключенного к выходу /-го сумматора (ад0=1).
Расчет по (5.14) гарантирует отсутствие переполнений регистров при ну-
левых начальных условиях.
Общая разрядность s регистров оперативной памяти определяется по фор-
муле
S — -[-вд. (5.15).
Алгоритм расчета разрядностей. Расчет разрядностей регистров производит-
ся в указанной ниже последовательности:
1. Изображается линейная модель РЦФ с учетом шумов квантования (см.
3.7, 3.8).
ос
2. Определяются величины G*j= S (gjfnT))2.
п=0
со
3. Определяются величины F*i= 2 |fj(n7’)|.
n=o
4. Определяется разрядность входного сигнала sBX по формуле (5.12).
5. Определяется разрядность регистров оперативной памяти по формулам-
(5.13) — (5.15).
Пример 5.8. Рассчитать разрядности входного сигнала и регистров опера-
тивной памяти РЦФ с передаточной функцией, определенной в примере 5.5.
Исходные данные: передаточная функция РЦФ
И (г) = с Н,. (г) Н2 (г) = с
1 4~ feX2 г 1 г 2
1 a12 z—1 + с22 г-2
Bi (z) В2 (г)
Ai (г) А2 (г) ~
где с=0,103788; feI2=0,532460; ап=—0,491558; aI2=—0,664682; a22=0,699215;
рекурсивный цифровой фильтр реализован в виде каскадной структуры при
канонической форме реализации элементарных звеньев (см. 2.2.3);
динамический диапазон входного сигнала £>=30 дБ;
отношение сигнал-шум на выходе фильтра 7?ш>30 дБ;
входной сигнал х(пТ) ограничен по амплитуде в соответствии с (3.34).
149
1. Линейная модель РЦФ с учетом шумов квантования изображена на
рис. 5.9. Шумовой сигнал ее(пТ), учитывающий шум квантования входного сиг-
нала, проходит через весь фильтр с передаточной функцией 7/(z)=F4(z). Шу-
мовой сигнал Yi(nT) учитывает квантование сигналов в умножителях на коэф-
фициенты с и —Яц (число умножителей, подключенных к первому сумматору
Г1=2), сигнал Уз(лГ)—в умножителях на коэффициенты — а12 и —а22 (rs=2),
а сигнал у4(п?) —в умножителе на коэффициент &12
Сигналы У1(пГ), ys(nT) и у*(пГ) проходят на выход через части фильтра
с передаточными функциями Gi(z), Ga(z) и Gi(z) соответственно, причем
Gi (?) = Ht (z) Н2 (г); С3(г) = Я2(г); С4(г)=1.
Входной сигнал х(пТ) проходит до выхода /-го сумматора (/ = 1, 2, 3, 4)
через части фильтра с передаточными функциями F3(z), причем
Fx(z) = C-4- : F2(z) = cFf1(z) ;
/11 (Z)
F3 (z) — с Ну (z) —5— ; F4 (г) -~=H(z).
л2 (г)
2. Определяем G*j, используя в данном примере формулы (3.30") и (3.31").
Подробные пояснения приведены при вычислении 6%:
* ОО
G //2(z)//.2(z-1)z-1& =
^0 21X1
1 £ 1 +b12z~1+z—2 1 4- b12 Z 4- z2 п ,
=------ ф--------------------— -- ?—1 dz.
2ni" 1 4- й12 Z—1 4“ й22 2~2 1 4“ °122 + а22 22
Преобразуем подынтегральное выражение, избавившись от отрицательных
степеней z (умножив числитель и знаменатель на г3):
1 с z2 + b12z+l 14-Z>12z4-22
Go =----~ ф ----------------- ----;---—:-------dz =
2 л i z (z^ —|— z -j— 6S22) 1 j - ^12 t~ ^22
= $ Я2<г) dZ-
Подынтегральная функция H*2(z) имеет три простых полюса внутри еди-
ничной окружности: в точках zt = 0, zz—c+id и z3—c—id, где с=—я12/2=
=—0,332341; d=0,51/4о22—а212=0,767297.
150
Величина G*3 равна сумме вычетов подынтегральной функци:
z2 и z3:
з з
G3 = У Res Н2 (zk) = 2 Jim (z—zh) H2 (z),
fe=l fe=i z-*za
где
Res H2
1_
z2-j- a12 Z -J~ ^22 1 + fl12 z 4~ a22 22 lz=O a22
I 4~ />12 2 4~ 22 I
Z* 2 3 4 5 4“ />12 2 + 1 1 4" />12 2 4- 22
(Zi) =--------------------------------------------------
Res /7, (z2) = ,
2 z[z—(c—id)] I-}-a12 z-]-a22 z2 |z=c-
— 0,3556-Li 1,2835 _
— 0,4454 4- i0,4074
X 1 -}- />12 z 4~ 22
1 4“ Ojg Z -}• &22 22
образом
Res H2 (z3) = T12 T X
z|z—(c4-id)]
_ —0,3556—i 1,2835
z=c-id~~ — 0,4454 —i 0,4074
Таким
3
G’s У Restf*(zft)»5,19.
Аналогично вычислим:
G* = У (gi П)2 = -Д- $ Нг (z) Н2 (г) Нг (z-i) Н2 (z-1) г-
z л 1
о®
У] (й (nT))2=G*c2« 0,35.
й=0
Примечание. Другие методы вычисления G*j см. 3.9.
3. Величины F*j= S |/Дл7) | определяются на ЭВМ: F*i«(
п=0
F*3~0,94; F%~1,69.
4. Разрядность входного сигнала sEX определяем, приняв рв=
получаем
Ршдоп= 0,5-Ю-(30+30)/1° =0,5-10-».
Из (5.12) получаем
Г 0,35 ]
sBx= int 0,5 log,------------------ = 8.
L 12-0,8-0,5-10~6 J
5. Разрядности регистров оперативной памяти определяем
(5.13) и (5.14):
5Д = int
0,5log2
2-32,56 4-2-5,194-1 1
12-0,5-10-»—2—le-0,35 ]
s'u=int log2 [max (0,103788 Vo; Vr, 0,491558 Vi; V2; V3; 0,664682 I
0,53246 V3; У4)] = 1, поскольку V0=l [см. 3.10 и (5.14)]; Vi—f
= F*2=0,41; V3=/’*3=0,94; V4==F*4= 1,69.
Окончательно из (5.15) определяем s= 14+1 = 15.
151
5.2.4. Определение разрядностей входного сигнала и регистров
оперативной памяти по детерминированной модели ошибок квантования
Постановка задачи. В результате решения аппроксимационной задачи (см.
5.1) и квантования коэффициентов (см. 5.2.2) определена передаточная функ-
ция И (г) линейного рекурсивного дискретного фильтра. Требуется рассчитать
разрядность входного сигнала (АЦП) и регистров оперативной памяти (ум-
ножителей, сумматоров).
Исходные данные- коэффициенты передаточной функции ЛРДФ; структура
фильтра и форма реализации элементарных звеньев; допустимая величина ошиб-
ки квантования выходного сигнала Евых.доп-
Расчетные формулы. Принимается, что входной сигнал нормирован к единич-
ному уровню, т. е. шах |х(п7’)|^1.
Разрядности входного сигнала sBx и регистров s РЦФ определяются на ос-
нове оценок составляющих ошибки квантования выходного сигнала, обусловлен-
ных квантованием входного сигнала [см. (3.21)] и квантованием сигналов в
регистрах РЦФ [см. (3.22), (3.23)].
Заданная величина Евых.доп распределяется на допуски £ehi.j и Евых.с,
отводимые на указанные составляющие. Можно принять, что
^вых.в” ₽в £ВЫХ.ДОП ’ ^вых с £вых.доп ^вых.в> (5.16)
где рв=0,8 ... 0,9.
Разрядность входного сигнала sBx=sBx.a определяется [см. (3.21)] по фор-
муле
оо
2 |Л(«Т)|
sBI=intlog2-ЦдЦ------------- (5.17)
2 Рв вых.доп
где h(nT) —импульсная характеристика фильтра.
Разрядность Зд регистров оперативной памяти для представления дробной
•части кода определяется ,.[см. (3.22), (3.23)] по формуле
int log2
S Г] f, \gj(nT) |
/n—0
oc
2£выхдоп— 2~SbX S
n=0
(5.18)
Разрядности 5ц и s определяются по формулам (5.14) и (5.15).
Алгоритм расчета разрядностей. Расчет разрядностей регистров производит-
ься в указанной ниже последовательности.
1. Изображается линейная модель РЦФ с учетом ошибок квантования (см.
3.7, 3.8).
ОО
2. Определяются величины G*j— 2 |^(л7').
п=0
со
. 3. Определяются величины F*j = S |fJ-(n7’)|.
n=0
4. Определяется разрядность sBX входного сигнала по формуле (5.17).
152
5. Определяется разрядность регистров оперативной памяти по формулам
(5.18), (5.14) и (5.15).
Пример 5.9. Рассчитать разрядности входного сигнала и регистров опера-
тивной памяти РЦФ с передаточной функцией, определенной в примере 5.5, ис-
пользуя детерминированную модель ошибок квантования.
Исходные данные: передаточная функция РЦФ (приведена в примере 5.8);
рекурсивный цифровой фильтр реализован в виде каскадной структуры при
канонической форме реализации элементарных звеньев; допустимая величина
квантования £ЕЫх.доп=0,004.
1. Линейная модель РЦФ изображена на рис. 5.9 (см. пояснения к при-
меру 5.8).
2. Величины G*3- рассчитываются на ЭВМ: G*3« 16,27; G*3«7,08; G*4=l.
3. Величины F*} рассчитываются на ЭВМ: /’^«О.ЙО; F*2^0,41-, ?*3«0,94;
F*4«l,69.
4. Определяем разрядность входного сигнала sEI. Приняв рв=0,8, из (5.17)
получаем
,, 1,69
sRT= mt log»------------= 8.
вх ' 2-0,8.0,004
5. Определяем разрядности регистров оперативной памяти s. Из (5.18) по-
лучаем
2-16,27 + 2.7,08+1
s«=“ ь* =16
Из (5.14) получаем (см. пример 5.8) su = I. Из (5.15) получаем s=17.
5.3. РАСЧЕТ МАСШТАБНЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ
Масштабные множители вводятся в схему фильтра для улучшения шумо-
вых характеристик (уменьшения требуемой разрядности оперативной памяти) и
нормирования сигнала в любой точке фильтра к значению Р=25ц, где рас-
считывается по выходу фильтра i[1.6, 2.11]. Например, при ограничении макси-
мума амплитуды входного сигнала (см. 3.10.1)
оо
= int log2 2 \h(nT)\ . (5-19)
п=0
Каскадная и параллельная структуры РЦФ с введенными масштабными
множителями показаны иа рис. 5.10,а и б соответственно.
Выбор масштабных множителей. Масштабный множитель на входе элемен-
Рис. 5.10
153
тарного звена (см. рис. 5.10) выбирается таким образом, чтобы сигнал в произ-
вольной точке данного звена ие превышал уровня Р:
4<V/Vf,i,
где V*j,i — максимально возможное значение сигнала в данном звене без введе-
ния масштабного множителя.
Величина V*,,/ определяется по формулам, приведенным в 3.10, в зависимо-
сти от принятого допущения о классе входных сигналов.
Масштабный множитель на входе последнего звена фильтра (для каскадной
структуры) или выходе произвольного звена (для параллельной структуры) вы-
бирается так, чтобы АЧХ фильтра (произвольного звена) осталась неизменной:
I М— 1
4^ = 1 / для каскадной структуры,
/ /=1
ЧГвых= 1/4^ для параллельной структуры.
Примечания: 1. Масштабные множители 44 (1=1, 2, ..., М—1) в каскад-
ной структуре и ’Рвх (1=1, 2, ..., М) в параллельной структуре целесообраз-
но выбирать равными 2к (Л=±1, ±2, ...) для упрощения схемной реали-
зации.
2. Масштабные множители 44 (1=2, 3...... М) и ’Рвм (/=1, 2, ..., 1И) мо-
гут быть учтены изменением коэффициентов числителей передаточных функций
соответствующих звеньев [1.6].
Пример 5.10. Ввести масштабные множители в схему РЦФ (на входах и
выходах элементарных звеньев) с передаточной функцией, рассчитанной в при-
мере 5.5. Рассчитать разрядности регистров по исходным данным примера 5.8.
Выбор масштабных множителей 1. Линейная модель исходного фильтра
приведена на рис. 5.9. Для определения масштабных множителей рассчитыва-
ются на ЭВМ величины F*j — 2 |fj(«F) I; F\^0,2(F, F*2~0,41; F*3»0,94;
n=0
F*4« 1,69.
2. Величина V определяется с помощью формулы (5.19):
= int log2 1,69 — 1, тогда V = 2.
3. Рассчитываем масштабный множитель 44 на входе фильтра (первого зве-
на). Максимальное значение сигнала в первом звене получается на выходе Х2,
причем F*2= 2 IMnF) | =cS |/2(nT) I =0,41, где fz(nT)—импульсная характе-
п=0 п=0
ристика первого звена. Поскольку [см. (3.36), (3.35)] должно выполняться ус-
ловие 4ri S Ifa(nF) | <2, то
п=о
Ч\ < 2 / У |fs (п Т) | = 2 c/F* < 0,506283.
/ п=0
Выбираем 44=0,5.
4. Рассчитываем масштабный множитель 44 на входе второго звена. При
введенном масштабном множителе 44 величины F*j имеют новые значения.
В частности,
Чг
Fs= 0,94— = 4,528462;
С
F* = 1,69 — =8,141596.
* с
154
Максимальный сигнал достигается на выходе 24, причем f*4=8,141596, а ис-
ходное значение Р*4=1,69. Тогда
4f2 = F4/f4 = 0,207576.
Проверка-. V 1'Т2=0,5 • 0,207576 = 0,103788=с.
Далее проводим расчет разрядностей регистров по алгоритму, изложенному
в 5.2.3. В данном примере используются результаты примера 5.8.
Расчет разрядностей регистров. 1. Линейная модель фильтра с масштаб-
ными множителями приведена на рис. 5.11 (без учета входного шумового сиг-
нала е0(п7)). Шумовой сигнал yi(nT) учитывает квантование сигналов в умно-
жителях на коэффициенты и —ан (число умножителей, подключенных к пер-
вому сумматору Г] =2), сигнал Уз(пТ) —в умножителях на коэффициенты V2,
—Я12, —С22 (гз=3), сигнал yt{nT)—в умножителе на коэффициент £>12 (г4=1)
(см. также пояснения к этапу 1 в примере 5.8).
2. Определяем G*j (символ Д введен для отличия от соответствующих ве-
личин в примере 5.8): G*4=l; G*a=G*3=5,19; G*I=4r22C*i=0,2075762-32,56«
— 1,40; /?*=//*=0,35.
3. Определяем Р*}: F^F^/c^fr, F*2=FWi/c~1,97; P*3=P*34f)4f2/c«
«0,94; f*4=F*44f14f2/c=F*4=l,69.
4. Определяем разрядность входного сигнала sBX. Поскольку введение мае-
ОО
штабпрующих множителей не изменяет значения 2 (h(nT))2, из (5.12) полу-
чше
чаем (см. пример 5.8) sBX=8.
5. Определяем разрядность регистров оперативной памяти s. Из (5.13)
получаем:
эд = int
2-140 4-3-5,19+1
°,5 l°g2 12.0,5.10-6—г-М-О.ЗБ
5ц — 5ц — 1 ;
э= 14.
Введение масштабных множителей позволило уменьшить разрядность ре-
гистров оперативной памяти (сравните с примером 5.8).
5.4. РАССТАНОВКА ЗВЕНЬЕВ В КАСКАДНЫХ СТРУКТУРАХ РЦФ
Оценки выходного шума (и, следовательно, разрядность регистров оператив-
ной памяти) в РЦФ с передаточной функцией
/=1 /=1 Ai <2)
зависят от попарного подбора числителей ВДа) и знаменателей ДДа) переда-
точных функций элементарных звеньев и их расстановки. Известны следующие
правила по подбору Bj(z) и .4 Да) и расстановке звеньев:
155
1) согласно [2.11];
У IM«T)|> £ [h2 (и 7) |>.. .> \hM(nT)\-, (5.20')
n=0 п=0 п=0
2 |Й1(«П1<Б \h2(nT)\<. .< f, \hM(nT)\, (5.20")
n=0 n=0 n=0
где hj(nT) —импульсная характеристика /-го элементарного звена (/=1,2,... ,Л1).
Выбирается та из расстановок, для которой рассчитанная по формулам (5.18),
(5.14), (5.15) разрядность регистров s минимальна;
2) согласно [1.6]:
f (/и (н n)2> S <п Т^>- > Z <hM т»2 • (5-2,,)
п=0 п=0 п=0
3 (М«П)2< S (h.AnT)^<...< f (hM(nT))K (5.21")
п=0 п—0 п=0
Выбирается та из расстановок, для которой рассчитанная по формулам (5.13) —
(5.15) разрядность регистров s минимальна;
3) согласно [1.6]:
Pi > Рг >• - •> Рм; (5.22/)
Pi < р2 < • • •< Рм , (5.22")
где Pj=l|Hj(eib>7)||oo/]|/fi(esb>T)]|2 (||.||р — норма в пространстве Lp) и выбира-
ется та из расстановок, для которой значение s минимально.
Оптимальные подбор Bj(z) и А; (г) и расстановку звеньев для фильтров не-
больших порядков можно выполнить на ЭВМ в процессе расчета величины з=
=5ц+5д по формулам (5.13) — (5.15) или (5.18), (5.14), (5.15) для всех воз-
можных вариантов расстановок [2.11].
Пример Б.11. Задан РЦФ (реализуемый в каскадной структуре при пря-
мой форме реализации элементарных звеньев) с передаточной функцией
н __ тт В1 (2 _ A boi + Ьи г-14- b2j г~2
/•Ji^j(2) /=1 1 +a1jz-1~[-a2jz-^
612=1,896484; 613=—1,038086; 621=
где 6qi=0,036133; 6ог=Ьоз=1; 6ц=0;
=0,036133; 622=623=1, Оц=0,874023; а12= 1,446289; aIS=0,334961; 021=6,585937;
022=0,850586; О2з=0,774414.
При расчете на ЭВМ разрядностей регистров по формулам (5.18), (5.14),
(5.15) (допуск Епых.с = 0,006) для всех 36 возможных расстановок Bj(z) и
Aj(z) были получены следующие оптимальные структуры, обеспечивающие ми-
нимальную разрядность регистров (s=15):
si = 11 ; sl = 4;
1 ’ A2 (z) A3 (z) A, (z) д ц
2 . Bj (z) B3(z) B2(z)
{Z) A2(z) A3(z) A^z)’
mn=s: (2) B2 (z) Вг (z) .
{Z) A3(z) A2(z) A^z)’
Примечания’. 1. Оптимальная структура
новке звеньев согласно правилу (5.2Г):
156
а)
б)
в)
sl=14; з£=1
Зд-— 11 ; Зц — 4.
H(z)=77s(z) соответствует расста-
co CO CO
2 |Й1 (nT)|« 9,22 ; 2 |й2(пП1«5,65 ; 2 |Л8 (n T)|« 0,23 .
n=0 n=0 n=0
2. Расположение нулей и полюсов фильтра в z-плоскости показано на рис. 5.12,
причем попарная их группировка для вариантов а) и в) показана на рис. 5.12,а,
для варианта б)—на рис. 5.12,6. Из рисунка видно, что при оптимальных рас-
становках звеньев в пары объединяются полюса с ближайшими к ним нулями.
Для фильтров высоких порядков можно использовать эвристические алго-
ритмы, основанные на случайном поиске сочетаний нулей и полюсов и расста-
новки звеньев, минимизирующих выходной шум фильтра [1.6].
5.5. УСТОЙЧИВОСТЬ РЕКУРСИВНЫХ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ
5.5.1. Устойчивость линейных рекурсивных дискретных фильтров
Линейный рекурсивный дискретный фильтр ЛРДФ описывается разност-
еым уравнением
N М
у (пТ)=^ Ь} х (п T—j Г) — 2 У T—i Т)
/=о /=1
и имеет передаточную функцию
у
1 -L A (Z) м
1 + 2
/=1
Необходимым и достаточным условием устойчивости фильтра (5.23) явля-
ется [5.5, 5.6] устойчивость «базового» ЛРДФ с передаточной функцией
я’(г)=Т+Т(7)’ (5-24)
описываемого разностным уравнением
м
5(яТ)«=х(пТ)—2 “jtlnT— jT). (5.25)
7=1
157
Состояние ЛРДФ (5.24) в момент времени, предшествующий л-му такту,
описывается вектором
А (п) = {Е(п7—Г), 1(пТ—2Т)............ЦпТ—МТ)},
где Z(nT) определяется уравнением (5.25).
Определение устойчивости: ЛРДФ является устойчивым, если для ограни-
ченного входного воздействия х(пТ) выполняется условие
lira (^ (п Т) — Е2 (п Т)) = 0, (5.26)
П->оо
где Ъ,1(пТ) и %а(пГ)—процессы, протекающие в фильтре (5.25) при входном
воздействии х(пТ) и произвольных начальных условиях Ai(0) и Л2(0) соответ-
ственно.
Критерии устойчивости ЛРДФ:
ЛРДФ устойчив, если полюсы передаточной функции (5.24) находятся
внутри единичного круга z-плоскости;
ЛРДФ устойчив, если годограф частотной характеристики Л(е!®т) =
м
=Л(г)| _ [(ЛТ — 2 аге*“,г (амплитудно-фазовая характеристика) в комплекс-
г~е 1-1
ной плоскости не охватывает точку (—1, 1 0) (критерий Найквиста).
S.5.2. Определение устойчивости и класса входных сигналов РЦФ
Рекурсивный цифровой фильтр с ограниченной разрядностью регистров яв-
ляется нелинейной системой. Нелинейности обусловлены округлениями результа-
тов арифметических операций в регистрах умножителей и возможными пере-
полнениями регистров сумматоров.
Особенности анализа устойчивости РЦФ [5.5]:
1. Для РЦФ, как и для всех нелинейных систем, существуют различные
понятия устойчивости.
2. Из устойчивости положения равновесия (при х(пТ)=1' для всех /г^О)
не следует устойчивость процессов (при х(пГ)¥=0 для п^О). Критерии устой-
чивости положения равновесия и процессов имеют различную форму.
3. Устойчивость процессов в РЦФ зависит от класса входных сигналов.
Процесс, вызванный одним воздействием, может быть устойчив, а другим воз-
действием — неустойчив.
Определение класса входных сигналов Хо: принимается, что входной сигнал
х(п7')еХо только в том случае, если существуют по меньшей мере одни на-
чальные условия Аг(0) такие, что процесс Ег(я7) при входном сигнале х(пТ)
протекает без переполнений регистра сумматора, т. е. удовлетворяет ус-
ловию шах|5;(лГ) | <1 для всех п^О (при нормировке сигналов в любой точ-
ке фильтра к единичному уровню) [5.7].
При выборе 5Ц (числа разрядов в регистрах фильтра, отводимых для хра-
нения целой части кода) в соответствии с (5.14) или (5.19) класс сигналов Хд
включает в себя все входные сигналы, для которых шах|х(пГ) | <1 для всех
п^О. Начальные условия А;(0) = (0, 0).
Условия устойчивости:
РЦФ считается устойчивым, если для любого ограниченного воздействия
х(пТ)^Х0 выполняется неравенство
max|E(n7)-—Ez (п Т) | < р, (5.27)
п^О
158
где ЩпТ) и |i(n7') —процессы, протекающие в РЦФ при ограниченном вход-
ном воздействии х(пТ) и начальных условиях Л(0) и Л((0) соответственно, а
ц — достаточно малая положительная константа, значение которой уточняется
в (5.31);
РЦФ считается асимптотически устойчивым, если для любого ограниченного
воздействия х(/г7)еА’с выполняется условие
1 im {Цп Т) — (п Т)} = 0 (5.28)
П—>оо
для произвольных начальных условий Л(0).
Если х(пТ)=0 для всех и^О, условия (5.27) и (5.28) определяют устой-
чивость положения равновесия. Если х(пТ) ¥=0 для условия (5.27) и
(5.28) определяют устойчивость процессов.
5.5.3. Устойчивость положения равновесия
При анализе устойчивости РЦФ рассматриваются, как правило, звенья пер-
— вого и второго порядков, на основе которых строятся структуры РЦФ.
Асимптотическая устойчивость положения равновесия. Критерием асимпто-
тической устойчивости положения равновесия (критерием Я- 3. Цыпкина) яв-
ляется выполнение неравенства
Re А (е1<йТ) >— — , (5.29)
k
где Л = 1 для фильтра первого порядка и k— 1/(ц—2sq~sn) для фильтра второ-
го порядка (sg и sa — разрядности после запятой регистров сумматора и ум-
ножителей соответственно, а т] = 1 для усечения и т]=0,5 для округления).
Смысл формулы (5.29) состоит в том, что амплитудно-фазовая характеристика
А(е‘“т) фильтра должна располагаться в комплексной плоскости справа от
вертикальной прямой, проходящей через точку (—l/k, i 0).
Из (5.29) следует, что РЦФ первого порядка асимптотически устойчив. Для
РЦФ второго порядка достаточные условия устойчивости (5.29) при sg=sH не
выполняются (т. е. необходимо, чтобы sH>sg).
При невыполнении условия (5.29) выходной сигнал РЦФ (при произволь-
ных начальных условиях Л(0) и х(пТ)^О) по истечении определенного време-
ни либо становится равным нулю, либо имеет вид периодической последова-
тельности, именуемой «предельным циклом при нулевом входе» (zero-input
limit cycle). Методы определения границы предельных циклов описаны в
[3.5, 5.8].
Устойчивость положения равновесия. Рекурсивный цифровой фильтр второ-
го порядка устойчив в смысле (5.27) при выполнении следующих условий:
Рис. 5.1S
159
1. Эквивалентный линейный фильтр устойчив (т. е. полюсы передаточной
функции находятся внутри единичного круга z-плоскости).
2. В фильтре используется сумматор с характеристикой (нелинейностью пе-
реполнения) Р(£), расположенной в заштрихованной области (рис. 5.13),
3. Величина ц в (5.27) достаточно мала (сравнима с допустимым уровнем
шумов).
К требуемому виду характеристики P(t) относится и часто используемая
характеристика типа «ограничения»:
ft при |£|<1 ;
Isigng при |£| > 1,
(5.30)
обеспечивающая отсутствие колебаний переполнения (Overflow oscillations), т. е.
предельных циклов с амплитудой уровня переполнения.
Величина ц в (5.27) оценивается точно так же, как оценивалась ошибка
квантования в 3.9.1 [см. (3.19)—(3.21)]:
ос
psgQ J |й(пТ)|, (5.31)
где Q=2—5д; h(nT)—импульсная характеристика фильтра. Очевидно, что (5.31)
является простой оценкой сверху для предельных циклов.
Увеличивая разрядность регистра sH, можно получить сколь угодно малое
значение ц.
5.5.4. Устойчивость процессов
Условия устойчивости:
1. Необходимым и достаточным условием асимптотической устойчивости
процессов в РЦФ второго порядка для входных сигналов x(nT)eXD при харак-
теристике нелинейности сумматора (5.30), т. е. при неограниченной разрядности
регистров после запятой, является
шах | <7 (п 7)| < 1,
п^о
(5.32)
где д(пТ) =—v"+2-—~Н...) v= l/cs! <p=arccos(—aJ2v); ai и c2 — коэффици-
sin <p
енты полинома A(z) =fliZ“1+a2z-2 в знаменателе передаточной функции HD(z),
Рис. 5.14
Рис. 5.15
160
Пример 5.12. Исследуется фильтр с передаточной функцией //(2) = 1/(1—
_-1,91121+0,940z-2)> алгоритм работы которого описывается разностным урав-
нением 1(л7')=Р{х(п7’) + 1,911£(п7’—Т)—0,940£(пТ—27’)}, где Р(-)—характе-
ристика вида (5.30). При начальных условиях АДО) ={—0,7286; —0,6770} про-
цесс |1 (пТ) не превосходит уровня переполнения регистра сумматора (рис. 5.14,
кривая /), т. е. можно считать, что Ai(0)=Ai(0) и ti(nT)==^i(nT). Для на-
чальных условий Л2(0) ={1, 1} процесс ^(пТ) периодически превосходит уро-
вень переполнения (рис. 5.14, кривая 2), т. е. фильтр неустойчив в смысле
(5.27).
2. При ограниченной разрядности регистров после запятой ая необходимым
и достаточным условием устойчивости процессов в смысле (5.27) для входных
сигналов х(пТ)еХо является [5.9]
max |о (п7)|<1—2Q У |Л(п7)|, (5-33)
где Q=2 Sr.
Условия (5.32) и (5.33) соответствуют условию нахождения полюсов пе-
редаточной функции Я (г) внутри определенной зоны единичного круга 2-плос-
кости. На рис. 5.15 показаны зоны устойчивости РЦФ второго порядка при
неограниченной разрядности регистров после запятой (кривая 7) и зя= 12 (кри-
вая 2).
Методы устранения переполнений. Если полюса передаточной функции H(z)
находятся вне зоны устойчивости единичного круга 2-плоскости, т. е. условие
(5.33) не выполняется, при входном сигнале х(пГ)еХо возможен неустойчи-
вый процесс, т. е. периодические переполнения регистра сумматора. Простей-
шим методом устранения переполнений является сброс всех регистров в нулевое
состояние при регистрации переполнения регистра сумматора. Метод применим
в том случае, если начальные условия (0,0) являются условиями ЛД0), что
справедливо при выборе ац в соответствии с (5.14) и (5.19).
Другие методы устранения переполнений описаны в [5.8, 5.9].
6. АДАПТИВНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ И ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ
6.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
6.1.1. Определение и некоторые примеры
«Адаптацией называют процесс изменения параметров и структуры систе-
мы, а возможно, и управляющих воздействий иа основе текущей информации
с целью достижения определенного, обычно оптимального, состояния системы
при начальной неопределенности и изменяющихся условиях работы» [6.1]. Ни-
же рассматриваются примеры адаптивных систем.
Пример 6.1. Пусть известны входной х(пТ) и выходной у(пТ) сигналы не-
которой дискретной системы С (рис. 6.1) при n=0, 1, ..., N—1. Требуется оп-
6—89 161
ределить коэффициенты 6г нерекурсивного фильтра заданного порядка Q так,
чтобы величина
N—1 [- Q
Ео (ь) = Г- г/ (« Л - 2 6U ((«—О Т) ,
п—0 _ 1=Ь
представляющая собой некоторую оценку близости выходного сигнала к за-
данной последовательности у(пТ), имела бы наименьшее значение.
На рис. 6.1 буквами РУ обозначено решающее устройство, определяющее
величины bj. Задачи, подобные рассмотренной, называются задачами иденти-
фикации параметров систем.
Пример 6.2. При передаче дискретных неквантованных сигналов по каналам
связи возникают частотные искажения, вынуждающие существенно снижать
скорость передачи. Характер частотных искажений относительно медленно из-
меняется за счет как изменений условий работы каналов связи (температуры,
влажности и т. д.), так и коммутации отдельных участков каналов связи при
смене абонентов. Для того чтобы компенсировать частотные искажения канала
связи и, следовательно, увеличить скорость передачи, Используют адаптивные
цифровые корректоры частотных искажений [6.1, 6.2].
В качестве адаптивного цифрового корректора применяется нерекурсивный
адаптивный фильтр (НАФ), настройка которого выполняется на специально
выделенном временном интервале. Примем, что во время настройки в канал
связи поступает обучающий сигнал, представляющий собой дискретную дельта-
функцию б(п7) (см. 1.1.4). При этом выходной сигнал канала связи представ-
ляет собой импульсную характеристику канала с конечным числом отсчетов
Vo, Vi, Vn—i.
При анализе канал связи может быть заменен эквивалентным нерекурсив-
ным фильтром (ЭНФ) с коэффициентами va, Vi, ..., Ow-ь Очевидно, что для
идеального канала связи, в котором отсутствуют частотные искажения, долж-
ны иметь место равенства t>o=l, Oi=»2= — =t>w-i=0.
Нерекурсивный адаптивный фильтр включается в канал связи последова-
тельно, так что при анализе фильтры ЭНФ и НАФ следует считать включенны-
ми последовательно (рис. 6.2).
На рис. 6.2 приняты следующие обозначения:
х(пТ)—входной сигнал ЭНФ (канала связи);
g(nT)—выходной сигнал ЭНФ (на выходе канала связи без корректора);
гДпГ) —выходной сигнал НАФ (иа выходе канала связи с корректором).
Принцип адаптивной коррекции частотных искажений заключается в том,
что коэффициенты НАФ &0, 61, ..., определяются так, чтобы результирующая
импульсная характеристика канала с последовательно включенным корректо-
ром была бы близка к импульсной характеристике идеального канала.
Пусть на вход схемы (см. рис. 6.2) подается сигнал 6(пТ), т. е. х(п7) =
&=(пТ). Считая N—1>Q, выражаем значения выходного сигнала у(пТ) через
коэффициенты »о, »i, .... vn-i, b0, &i, ..., bq при N+Q—1 (при n>N+
+ Q— 1 t/(n7)=0):
162
v0 bB при n = 0 ;
n
У vn-i bl при 0 < n < Q ;
z=o
У (Л = -j 'Д ,
2.1 vn—l bl При Q^.n*C.N—1;
1=0
Q+N—n—l
2 vN—i—ibn—N+i+l при W—l<n<JV + Q—1.
1=0
Очевидно, что значения y(nT) представляет собой отсчеты результирующей
импульсной характеристики канала связи с последовательно включенным кор-
ректором. Правило определения коэффициентов Ьо, 61. 6С по известным (из-
меренным) коэффициентам »о, plt ..., Vn-i реального канала связи имеет вид:
60 = 1/»о;
W+Q-I
£q(b) = 2
n=l
т. е. коэффициент 60 может быть определен сразу, а коэффициенты 6], b%, ...
..., bq — из условия минимума функции Eg(b).
Иные примеры важных адаптивных систем и методов расчета их парамет-
ров приводятся в следующих разделах.
6.1.2. Критерии настройки адаптивных фильтров и методы
определения значений их параметров
Одной из важнейших характеристик адаптивных фильтров (АФ) является
Eq — погрешность адаптации (погрешность, или ошибка предсказания). [6.3].
Чем меньше значение Eq, тем выше качество адаптации. Значение Eq зависит
от трех факторов: структуры фильтра, числа его коэффициентов (порядка Q)
и значений этих коэффициентов аг (значений элементов вектора а). Как пра-
вило, структура АФ заранее задана и не изменяется за время работы фильтра.
Поэтому величина Eq определяется лишь значениями Q и «. Ниже формули-
вуется ряд критериев настройки АФ, т. е. критериев правильности его работы:
1. Задано значение Q. Адаптивный фильтр считается настроенным, если
Eq (a)->min, (6.1)
т. е. вектор а определен таким образом, чтобы значение Eq (а) было мини-
мальным.
В примерах 6.1 и 6.2 используется критерий (6.1).
2. Адаптивный фильтр считается настроенным, если
Q = @опт и ЕЧ * min> <6-2)
т. е. определен оптимальный порядок адаптивного фильтра Q=QOnT (для кон-
кретных задач см. 6.2) и для АФ оптимального порядка — вектор а, при котором
значение Eq (а) минимально.
Критерии (6.1) и (6.2) могут использоваться как «статически», так и «ди-
намически». Статически эти критерии используются в том случае, если вычис-
ления коэффициентов u.i выполняются один раз и в дальнейшем фильтр не
перестраивается. Именно такой случай рассмотрен в примере 6.1. Однако, как
6* 163
правило, указанные критерии используются динамически, т. е. коэффициенты
at вычисляются неоднократно по мере поступления данных. Говорят, что ко-
эффициенты ai обновляются в ходе работы АФ. Именно такая ситуация имеет
место при коррекции частотных искажений в канале связи (см. пример 6.2).
Очевидно, что настройка корректора производится неоднократно, причем каж-
дый раз измеряются отсчеты импульсной характеристики канала v0, гц, ..., vN-i.
Почти всегда математическая запись критериев (6.1) и (6.2) соответствует
методу наименьших квадратов [6.3, см. также разд. 4], т. е. представляет со-
бой выражения для Eq (а) типа рассмотренных в примерах 6.1 и 6.2 выраже-
ний Eq(1>). Поэтому основным математическим аппаратом, используемым для
настройки АФ, являются различные варианты оптимизации по методу наимень-
ших квадратов, позволяющие выполнять обновление коэффициентов в реаль-
ном масштабе времени.
6.2. АДАПТИВНЫЙ ФИЛЬТР-КОМПЕНСАТОР ПОМЕХ
6.2.1. Принцип адаптивной компенсации помех
На рис. 6.3 изображена структурная схема, поясняющая принцип адап-
тивной компенсации помех [6.4]. На этом рисунке приняты следующие обо-
значения: 1 — основной вход компенсатора помех; 2 -— опорный вход компенса-
от источника сигнала на основной вход;
Xi и х — помехи, поступающие от ис-
точника помехи на основной и опорный
входы; у — выходной сигнал АФ; е —
выходной сигнал компенсатора и одно-
временно текущая погрешность адапта-
ции.
Пусть s, х, у стационарны и име-
ют нулевые средние значения, сигнал s
не коррелирован с помехами Xi и х, a Xj
и х взаимно коррелированы.
Из рис. 6.3 видно, что e=d—y=s+x\—у и e2=s2+(xI—y)2+2s(x,—у). Сле-
довательно,
Е [е2] = Е [S2] + Е [(*!—j/)2], (6.3)
где Е[«] означает математическое ожидание величины, заключенной в квад-
ратные скобки.
Величина E[s2] представляет собой среднюю мощность сигнала. Если
E[s2] = const, то
min Е [е2]= Е [sa]-}-min Е [(хг—у)2], (6.4)
т. е. минимизация полной выходной мощности Е[е2] соответствует полной ком-
пенсации помехи на выходе компенсатора или максимальному (теоретически
бесконечному) отношению сигнал-помеха.
Соотношение (6.4) является критерием адаптации по минимуму среднего
квадрата ошибки (СКО), Это один из вариантов критерия (6.1).
164
тора помех; s — сигнал, поступающий
Рис. 6.3
6.2.2. Точный алгоритм настройки нерекурсивного адаптивного
фильтра по минимуму СКО
• На рис. 6.4 изображены нерекурсивный адаптивный фильтр и сумма
позволяющий вычислять текущую погрешность адаптации e(nT)=d(nT)—y(i
На этом рисунке приняты следующие обозначения (см. также рис. €
Рис. 6.4
х(пТ) — помеха, поступающая на вход НАФ (опорный вход компенсато!
У(пТ) — выходной сигнал НАФ; d(nT) —сумма сигнала s{nT) и поы
Xi (пТ), не коррелированной с s (пТ), но коррелированной с х (пТ); е (пТ) —
ходной сигнал компенсатора и одновременно текущая погрешность адапта!
bo,n> bin, ..., ba,n— значения коэффициентов НАФ на n-м интервале дискр<
зации; PY — решающее устройство, реализующее алгоритм настройки НАФ
Для НАФ вместо (6.3) можно записать
Е [е2 („ Г)] = E[(d2 (Л 7)1—2 Р’ Bn+B„ Rn Вп,
где
Pn=£[rf(n7)Xn] = £
“ (пТ)х(пТ)
d{nT) х((п—1)7)
_d(n7)x'((n—Q)T)_
— вектор взаимной корреляции между скаляром d (пТ) и вектором
'х (п 7)
Хп= х((п—1)7) ;
Lx ((л—Q)7)J
60,n
b\,n —вектор коэффициентов НАФ на
n-м интервале дискретизации;
- 6Q.n _
х (л 7) х (л 7)
х (л 7) х ((л—1)7)
РГ1=£ ХПХ*] = £
х ((л— 1) 7) х (л7) х (п— 1) Т) х ((л—1)7
Lx ((n— Q) 7) х (п7) х((п—Q) Т) х ((п — 1)Т) ...
165
... x(nT)x((n—Q)T)
... х((п— 1)Т)х«п—Q)T)
... x((n—Q)T)x((n—Q)T)J
— автокорреляционная матрица входного сигнала НАФ х(п7). Для настройки
НАФ, т. е. для полной компенсации помехи, необходимо определить вектор ко-
эффициентов В*п (вектор Винера), соответствующий минимуму правой час-
ти (6.5):
B>R^Pn. (6-6)
Выражение (6.6) представляет собой точный алгоритм настройки НАФ по ми-
нимуму С ДО. Однако практически использовать этот алгоритм для обновления
коэффициентов чрезвычайно трудно ввиду очень большого объема вычислений.
6.2.3. Настройка нерекурсивного адаптивного фильтра по минимуму
СКО с помощью градиентного метода
Для вычисления минимума функции (6.5) можно использовать градиент-
ный метод [6.5]. В соответствии с этим методом
Вп +1 = Bn р Vn, (6.7)
где V„ — градиент функции (6.5) на n-м интервале дискретизации; р — кон-
станта (или несколько раз изменяемая за время установления режима адап-
тации величина), определяющая устойчивость и сходимость процесса адап-
тации.
Можно изменить (6.7) так, что для вычисления Bn+i не потребуется чис-
ленное дифференцирование. Для этого квадрат одного отсчета ошибки е2(л7)
принимается за оценочное значение среднего квадрата, т. е. принимается, что
е2 (пТ) «Е [е2 (пТ) ]. Вместо градиента Vn используется приближенный гради-
ент V„:
Vn —
= 2 е(пТ)
(6.8)
Так как (см. рис. 6.4)
e(nT) = d(n Г)—у (nT) = d (п Т) —
2 bhnx({n—l)T) = d(nT) — Х’ВП,
1=0
(6.9)
то Vn=—2е(/г7)Х„.
Из (6.7) и (6.9) получаем алгоритм рекуррентного вычисления коэффициен-
тов НАФ в процессе адаптации
Вп+1 = Вп + 2 р е (п Т) Хп. (6.10)
Пример 6.3. Пусть Q=20, тогда с целью обновления коэффициентов за вре-
мя Г в решающем устройстве (см. рис. 6.4) должны быть выполнены 22 опе-
рации умножения для вычисления величин сп=2ре(п7), спх(пТ), спх((п—1)7),...
..., спх((п—20)7) и 21 операция сложения для определения коэффициентов
166
^o,n+l — ^o.n”ЬCn x (nT), b1 in_|_i — bj ,„ +cn x ((n 1) T), ... ,
^20,n-f-I = ^20,n“b СП x ((n 20) T).
Алгоритм (6.10) обеспечивает сходимость процесса адаптации при любых на-
чальных значениях коэффициентов НАФ, если выполнено условие
l/(Sp(Rn))>H>0, (6.11)
где Sp(Rn) —след матрицы Rn [сумма элементов, расположенных на главной
диагонали, см. (6.5)]. Эта величина всегда может быть оценена как полная
мощность входного воздействия НАФ. Выбор числа отводов НАФ (Q+1) за-
висит от конкретного применения компенсатора. Общей рекомендацией по оп-
ределению минимального значения Q является
Q7nfn = 2A//(A/1)—1, (6.12)
где Д/ — полоса частот, занимаемая спектром входного аналогового сигнала;
Д[1 — необходимое частотное разрешение НАФ.
Формула для оценки времени установления режима адаптации имеет вид:
ZyCT = 3(Q+l)/[4p,Sp(Rn)]. (6.13)
Формулы (6.10) — (6.13) в сочетании с алгоритмом работы НАФ
Q
у(пТ)=^ blnx((n—l)T)
1=0
позволяют рассчитать оновные параметры компенсатора. Применения НАФ и
компенсатора помех в целом описаны в [6.4, 6.6].
Условие (6.11) позволяет исключить все, кроме одной, операции умноже-
ния, выполняемые в решающем устройстве, и заменить их операциями сдвига.
Для этого произведение 2р,е(п7) усекается до значения 2-s, определяемого от-
ношением
2_з-+1 > 2 р е (п 7) > 2~s- (6.14)
При этом условие сходимости (6.11) остается в силе, однако время установ-
ления (6.13) увеличивается.
Пример 6.4. Пусть p=l/maxSJ,(Rn)=0,l; е(пТ) =0,037. .Тогда из (6.14)
s=9, т. е. при вычислении в соответствии с (6.10) вместо умножения надо вы-
полнить сдвиг каждой из величин х(пТ), х((п—1)7), ..., х((п—Q)7) на девять
разрядов.
6.3. АДАПТИВНЫЙ ФИЛЬТР — ЛИНЕЙНОЕ ПРЕДСКАЗЫВАЮЩЕЕ
УСТРОЙСТВО
6.3.1. Метод линейного предсказания
Метод линейного предсказания используется для решения задач анализа и
синтеза речи и для спектрального анализа [6.3, см. также разд. 8]. Суть ме-
тода состоит в следующем. Обрабатываемая последовательность разбивается
на части, каждая из которых представляет собой конечную последовательность
из N отсчетов х(п7), х((п—1)7), ..., х((п—Л7+1)7). Этой конечной последова-
тельности ставится в соответствие Q величин c.qt, aQ2, .... oqq- Эти величины
определяются так, чтобы погрешность £е(аС1, aQ2, .... aQQ) была минимальной,
167
т. е. в соответствии с критериями типа (6.1) и (6.2). Существуют три варианта
критериев метода линейного предсказания.
Первый критерий соответствует линейному предсказанию «вперед». При
этом оценка х(пТ) очередного отсчета х(пТ) рассчитывается как линейная ком-
бинация предыдущих отсчетов последовательности:
л Q
х(пТ)=-% <fyx((n—j)T),
/=1
а текущая ошибка имеет вид
<2
eQB(nT)=x(nT)—x(nT) = x(nT)+^aBQ/x((n—j)T) . (6.15)
Коэффициенты све1, свС2, ..., «bqq определяются из условия минимума общей
ошибки предсказания «вперед»
„ / Q V
£<2в= 3 £ ^/Х((п—/)Т) . (6.16)
п п \ /=1 /
Второй критерий соответствует линейному предсказанию «назад». При
этом оценка х((п—Q)T) отсчета х((п—Q)T) рассчитывается как линейная
комбинация последующих отсчетов последовательности:
Q
хап—Q)T)= — 2 aQjx((n—Q + j)T),
/=i
а текущая ошибка имеет вид
Q.
eQR (пТ) = х ((n—Q) Т) + 2\ «Q/ * ((«—<2 + /) Т) . (6.17)
/=1
Величины chqi, aHQ2, —, яне<э определяются из условия минимума общей ошиб-
. ки предсказания «назад»
<2
£«н=2 4н(«п=2(х((п-с)п+2 йв/^((«-^+/)П)2- (6.18)
п п 1=1
Третий критерий соответствует линейному предсказанию «вперед» и «на-
зад». При этом неизвестные параметры определяются из условия минимума
общей ошибки предсказания
£qb.h~ ^Qh> (6.19)
где £Ов и Eqs рассчитываются соответственно по формулам (6.16) и (6.18).
Любой из описанных критериев может использоваться, например, для ре-
ализации адаптивных фильтров в системах анализа и синтеза речи. Рассмотрим
принцип построения такой системы на основе линейного предсказания «вперед».
Для анализа речи отсчеты речевого сигнала х(пТ) подаются на нерекурсивный
адаптивный фильтр (рис. 6.5,а), так называемый обратный или отбеливающий
[6.7] фильтр, описываемый разностным уравнением (6.15). Коэффициенты
aBQ1, nBQ2, —, явее изменяются только после обработки очередных N отсчетов
х(пТ). Поэтому можно принять, что
Е^(г)=Н(г)Х(г), (6.20)
168
где £ев(г)—z-образ текущей ошибки еев(п:Г); H(z) =l+cB<2iz-1 + ...+aBeez-e —
передаточная функция НАФ до очередного обновления коэффициентов; X(z) —
z-образ обрабатываемой части речевого сигнала. Результатом анализа N отсче-
тов речевого сигнала являются значения коэффициентов cbqi, све2, .... «вез.
текущая ошибка еСв(п7) и значение общей ошибки £ов, определяемое (6.16).
Ёдр(пТ]
Едв 77
Рис. 6.5
Эти данные могут быть использованы для синтеза (восстановления) ре-
чевого сигнала. Для точного восстановления достаточно [см. (6.20)] подать
сигнал еСв(п7) на фильтр с передаточной функцией
Схема восстанавливающего рекурсивного фильтра, соответствующая (6.21),
изображена на рис. 6.5,6. Практически при передаяе данных об анализируемом
речевом сигнале по каналу связи с целью его восстановления на приемном
конце передают лишь значения коэффициентов и некоторую информацию о
текущей ошибке е$ъ(пТ). Эта информация позволяет генерировать функцию воз-
буждения восстанавливающего фильтра на приемном конце. Очевидно, что
восстанавливающий фильтр должен быть устойчивым, т. е. полюсы переда-
точной функции (6.21) должны находиться внутри единичной окружности на
комплексной z-плоскости.
Существуют различные алгоритмы определения параметров фильтров по
методу линейного предсказания, которые отличаются друг от друга как выб-
ранным критерием [см. (6.16), (6.18), (6.19)], так и областью значений пере-
менной п, по которой выполняется суммирование в (6.16), (6.18), (6.19) [6.8,
6.9].
6.3.2. Решетчатые фильтры
Решетчатые фильтры представляют собой весьма удобную форму реализа-
ции адаптивных фильтров [6.7, 6.9]. На рис. 6.6,а изображен отбеливающий
(обратный) фильтр, выполненный в виде простейшего решетчатого фильтра, а
169
на рис. 6.6,6 — соответствующий восстанавливающий фильтр. Коэффициенты Кь
определяющие характеристики фильтра, называются коэффициентами отраже-
ния. Существуют различные способы вычисления этих коэффициентов [6.7].
Одним из наиболее эффективных является способ, следующий из алгоритма
Берга (см. разд. 8);
N—1_
- 2S. *,--1.«((«-и л
Ki = - ”-Z----------------------’---------> (6.22)
Ё 1) Тр+ в(п7)12)
п=/
причем еов (п Т) — еон (пТ) = х(пТ);
eiB (пТ) = et_x _ в (пТ) + Ki et_x. н ((n— 1) 7);
(n7) = Ki , в (л7) + н ((n— 1) 7).
Реализация фильтров в виде решетчатых структур имеет следующие преиму-
щества [6.9]:
шум округления результатов арифметических операций (собственный шум
фильтра) почти не зависит от полосы пропускания и мощность шума меньше,
чем при других формах реализации;
округление коэффициентов меньше влияет иа характеристики фильтра, чем
при других формах реализации;
в отличие от других форм реализации, при увеличении порядка решетча-
того фильтра достаточно рассчитать коэффициенты отражения дополнительных
«старших» звеньев;
коэффициенты отражения ранее рассчитанных «младших» звеньев остаются
прежними;
алгоритмы вычисления коэффициентов отражения, в частности алгоритм
(6.22), гарантируют выполнение условия |К3-|<1, необходимого и достаточно-
го для устойчивости восстанавливающего фильтра. В отличие от условий ус-
тойчивости для других форм реализации фильтров, это условие легко проверя-
ется как при увеличении порядка фильтра, так и при обновлении коэффициентов
отражения.
7. НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ ЦОС В СИСТЕМАХ СВЯЗИ
7.1. ПЕРЕНОС И ИНВЕРСИЯ СПЕКТРА
7.1.1. Перенос и инверсия спектра вещественного сигнала
Рассматривается дискретный вещественный сигнал х(пТ) с частотой дис-
кретизации fn=1IT, спектр Х(е‘2л“), которого в основной полосе нормирован-
ных частот а.е[0; 0,5] занимает полосу [u'i, U'2]. Модуль спектра сигнала
х(пТ) условно показана на рис. 7.1,а.
Перенос спектра X(ei2ft“) по оси частот на величину у осуществляется пу-
тем умножения отсчетов сигнала х(пТ) на отсчеты дискретной экспоненты
е12лпу (рИс. 7.2,а), причем 0<|у|^0,5. Спектр сигнала у(пТ) =х(пТ) х
Xexp(i2nny) равен
Y
ei 2 л w} __ %- (ei 2 л (пу—V)).
(7.1)
Сигнал у(пТ) в общем случае является комплексным. Операция умноже-
ния вещественного сигнала х(пТ) на exp(i2nny) выполняется схемой, пока-
занной на рис. 7.2,6, где У1(пТ) и у2{пТ) —соответственно вещественная и
мнимая составляющие выходного сигнала у(пТ) схемы рис. 7.2,а.
Если у=71>0, спектр сдвигается
по оси частот вправо. На рис. 7.1,6
показан модуль спектра У(е’2л*)
при У1=,(ш1+ш2)/2. Нижняя боковая
полоса (ш<0, се[—w2, —wi]) ос-
новного спектра расположена на оси
частот симметрично относительно час-
тоты ш='О и занимает полосу частот
cosQrtrn)
i
Х(пТ)Х
—*fx
а1
& Хл77 X u(nTl
e)
Puc. 7.2
171
[—(шг—wrf/2, (w2—wi)/2], а верхняя боковая полоса (wX), w2])
занимает полосу частот [(3wi+w2)/2, (Wi+3tei2)/2].
Если у='Уг<0, спектр сдвигается по оси частот влево. На рис. 7.1,в пока-
зан модуль спектра У(е12лш) при у2=—(®1+ш2)/2. В этом случае симметрично
относительно частоты ш=0 располагается верхняя боковая полоса спектра.
Если 7=7з, причем 17з1 ^0,5—ш2, при сдвиге спектра обе боковые
полосы спектра X(ei2^w) располагаются в основной полосе частот ([0; 0,5],
когда 7з>0, и [—0,5; 0], когда 7з<0). На рис. 7.2,г показан модуль спектра
У(е12я®) при уз>0.
Для получения вещественного сигнала и(п, Т), спектр U(ei2nw) которого
представляет собой спектр исходного сигнала х(пТ) с боковыми полосами, рас-
положенными симметрично относительно определенной частоты 73 (ш2^|7з|^
<:0,5—ш2), необходимо умножить отсчеты сигнала х(пТ) на отсчеты дискрет-
ной косинусоиды 2cos2nny3 (рис. 7.1,в). Действительно,
и (n Т) — х (пТ) 2 cos 2 л п у3 = х (пТ) е12я п Vs -}- х (n Т) е~ ’2 я ” =
— U1 (Я Л + U2 (П?) •
Спектр С71(е12л®) сигнала щ(п7) равен спектру входного сигнала, сдвину-
тому по оси частот на величину 73 вправо, а спектр C72(ei2n“) сигнала u2(n7)
равен спектру входного сигнала, сдвинутому на величину 73 влево. Поскольку
(/(е12л«) = Uj(ei2"“) +{72(е‘2лм), сигнал и(пТ) имеет требуемый спектр
(рис. 7.1,6).
Инверсия спектра вещественного сигнала х(пТ), т. е. получение сигнала
у{пТ) со спектром
Y ( е*2 nw) = X ( е12л <°>5-(7.2)
осуществляется путем простого изменения знака каждого второго отсчета сиг-
нала х(пТ):
у(пТ) = (—1)пх(пТ), п=0,1, ... (7.3)
Рис. 7.3
172
Действительно, сигнал у(пТ) со спектром (7.2) получается путем умноже-
ния отсчетов сигнала х(пТ) на отсчеты дискретной экспоненты е12л"?«, где
|у4 I =0,5, a exp (i 2лиу4) = exp (i тг) = (—1)".
Пример 7.1. Рассмотрим входной сигнал х(пТ) =sin2mwx при о>я=0,125
(например, /х=1 кГц; fn=8 кГц). На рис. 7.3,а показаны отсчеты сигнала
х(пТ) и для наглядности (штриховая линия) огибающая этого сигнала. На
рис. 7.3,в показан модуль спектра X(e*2«“) входного сигнала, содержащий одну
гармонику на частоте шх=0,125. Если изменить знак каждого второго отсчета
сигнала х(пТ) по правилу (7.3), получим сигнал у{пТ), отсчеты которого и
огибающая (штриховая линия) показаны на рис. 7.3,6. Из рис. 7.3,6 видно, что
сигнал у(пТ) есть дискретная синусоида с частотой w7=0,5~wx =0,375
(/s=3 кГц). Спектр У(е‘2да) в соответствии с (7.2) представляет собой ин-
версный спектр входного сигнала и показан на рис. 7.3,г.
7.1.2. Перенос спектра комплексного сигнала
Рассматривается дискретный комплексный сигнал x{nT)=xl(nT)+ixz(nT)
с частотой дискретизации fn — l/T.
Перенос спектра А'(е’2я“) по оси частот на величину у осуществляется (как
и в случае вещественного сигнала) умножением отсчетов сигнала х(пТ) на
отсчеты дискретной экспоненты е‘2л"т. Соответствующая схема показана на
рис. 7.4, где У\(пТ) и Уг(пТ)—соответственно вещественная и мнимая состав-
ляющие выходного сигнала у(пТ).
Рис. 7.5
Рис. 7.4
7.2. ФОРМИРОВАНИЕ СИГНАЛА С ОДНОЙ БОКОВОЙ ПОЛОСОЙ (ОНП)
7.2.1. Формирование сигнала с ОБП с использованием ФНЧ
Рассматривается дискретный вещественный сигнал х(пТ), спектр которого
в основной полосе нормированных частот we[0; 0,5] занимает полосу [шц шг],
причем Wi<m2<0,5. Схема формирования комплексного сигнала у(пТ) с ОБП
показана на рис. 7.5,а, а модуль спектра исходного сигнала — на рис. 7.6,а.
Принцип работы схемы. Сигнал х(пТ) умножается на дискретную экспонен-
ту е‘2лпт. Допустим, что у=—(wt+w2)l2 (о выборе величины у см. ниже).
При этом (см. 7.1.1) спектр сигнала сдвигается на величину у влево, верхняя
173
боковая полоса спектра располагается симметрично относительно ш=0 и зани-
мает полосу от —(ш2—ьУ1)/2 до (®2—®i)/2. Модуль спектра сигнала х(пТ) =
=x(nT)exp(i2nny) показан на рис. 7.6,6. Далее правая боковая полоса выде-
ляется фильтром нижних частот, ширина нормированной полосы пропускания
Дп которого равна (w%—Wi)l2, а ширина нормированной промежуточной поло-
сы Дпр равна min(2wi, 1—2w2). Идеализированная амплитудно-частотная ха-
рактеристика ФНЧ показана на рис. 7.6,в (при 2®1<1—2ш2), а модуль спект-
ра сигнала у (пТ) на выходе ФНЧ — на рис. 7.6,г Обратный сдвиг верхней бо-
ковой полосы спектра в область частот ше[0; 0,5] осуществляется умножени-
ем сигнала у(пТ) на дискретную экспоненту е-‘2л"т (рис. 7.6,о).
Рис. 7.6
Поскольку сигналы х(пТ), у{пТ) и у(пТ) являются комплексными, их обра-
ботка осуществляется «комплексной» схемой (см. рис. 7.5,6), в которой суще-
ствуют отдельные ветви для обработки вещественной Xi(nT) и мнимой х2(пТ)
составляющих сигнала х(пТ).
Выбор величины у. Коэффициент у определяет сдвиг спектра и, следова-
тельно, параметры ФНЧ, формирующего сигнал с ОБП. Поскольку АЧХ веще-
ственного ФНЧ симметрична относительно частоты ш=0 (см. рис. 7.6,б), гра-
ничные частоты полосы пропускания ®г.п и полосы задерживания wr.s должны
удовлетворять условиям:
®г 53 шах (у—, ш2—у); (7.4)
w <min(y + ®i, 1—®2—у). (7.5)
Графики функций шг.п(у) и ®г.з(у) изображены на рис. 7.7,а и б (для
случая w 1+®2<0,5) и на рис. 7.8,а и б (для случая ш1+®2>0,5). Для того
чтобы ФНЧ был возможно проще, промежуточная полоса Anp = wr.3—wT.n долж-
на быть как можно больше. На рис. 7.7,в и 7.8,в изображены графики функции
ДВр(у), построенные как разность графиков функций шг.3(у) и wr.n(y) (при
®г.з^®г.п). Из рис. 7.7,в и 7.8,в видно, что:
при ш1 + ш2<0,5 величина ЛцР имеет максимальное значение ЛПр.тих=2®1,
если,
(®14-®2)/2^Т^(1——®г)/2;
174
(7.6)
при W]+w2>0,5 величина ДПр.тах=1—2ш2, если
(I—— w2)/2<v<(ro14-w2)/2; (7.7)
при «4+ш2=0,5 величина ABp.max=2wi = l—2w2, если 7=0,25.
Формулы (7.4)—(7.7) определяют граничные частоты ФНЧ и диапазон
возможных значений у при наиболее возможно широкой промежуточной полосе
используемого ФНЧ.
Рис. 7.7
Рис. 7.8
7.2.2. Формирование сигнала канала ТЧ с ОБП с использованием ФНЧ
Спектр сигнала стандартного канала ТЧ расположен в диапазоне частот
0,3... 3,4 кГц, частота дискретизации fK=8 кГц. Нормированные граничные час-
тоты спектра сигнала ТЧ «4=0,3/8=0,0375 и ш2=3,4/8=0,425.
Формирование прямого спектра. В этом случае «4=0,0375; w2=0,425 и
Wi+w2<0,5. Частоты wr.n и шг,3 определяются из (7.4) и (7.5) соответственно,
а величина у из (7.6): 0,23125 ^у^0,26875. Однако помимо условия (7.6)
при выборе значения у необходимо учитывать сложность реализации умножи-
телей в схеме (см. рис. 7.5,6). Операция умножения оказывается наиболее про-
стой при у=0,25, поскольку функции соз(2лпу) и sin(2nny) принимают в этом
случае значения {1, 0, —1}. Поэтому целесообразно выбрать у=0,25 и шг.п==
=тах(0,25—0,0375; 0,425—0,25) =0,2125 и wr.3=min (0,25+0,0375; 1—0,425—•
—0,25) =0,2875.
Формирование инверсного спектра. В этом случае перед обработкой сигна-
ла с помощью схемы (см. рис. 7.5,6) осуществляется инверсия спектра сигнала
ТЧ по правилу (7.3). Следовательно, спектр сигнала располагается в диапазоне
от Ш] = 0,6/8=0,075 до «>2=3,7/8=0,4625 и Wi+w2>0,5. Значение у определяет-
ся из (7.7): 0,23125^7^0,26875. Целесообразно выбрать у=0,25; wr.n=
=max(0,25—0,075; 0,4625—0,25) =0,2125 и wr.B=mwi(0,25+0,075; 1—0,4625—
—0,25) =0,2875. Таким образом, при формировании инверсного спектра сигнала
ТЧ с ОБП можно использовать ФНЧ с теми же параметрами, что и при фор-
мировании прямого спектра: шг п=0,2125; шг.з=0,2875 при у=0,25.
Ниже приводятся таблицы коэффициентов цифровых фильтров, используе-
мых в схеме формирования сигнала ТЧ с ОБП (см. рис. 7.5,6).
В табл. 7.1 приведены значения гарантированного затухания в полосе за-
175
Таблица 7.1
Со, дБ Да, дБ РЦФ типа
т с
N Номер таблицы N Номер таблицы
0,6 6 7.2 4 7.16
40 0,1 7 7.3 5 7.17
0,05 8 7.4 5 7.18
1,0 7 7.5 5 7.19
50 0,1 8 7.6 6 7.20
0,05 9 7.7 6 7.21
1,0 8 7.8 6 7.22
60 0,1 9 7.9 6 7.23
0,05 10 7.10 7 7.24
1,0 9 7.11 6 7.25
70 0,2 10 7.12 7 7.26
0,05 11 7.13 7 7.27
75 0,4 10 7.14 7 7.28
0,05 11 7.15 8 7.29
держивания а0, рабочего затухания в полосе пропускания Да и порядка филь-
тра N.
В табл. 7.2-—7.15 приведены коэффициенты РЦФ типа Т (см. гл. 5) для
различных значений а0 при минимальном значении Да, обеспечивающимся фильт-
ром определенного порядка N (иапример, РЦФ типа Т порядка N—7 при а0=
=40 дБ может обеспечить значение Да в диапазоне от 0,5 до 0,1 дБ. В табл.
7.3 приведены коэффициенты РЦФ типа Т только для Да=0,1 дБ).
Расчет фильтров выполнен на ЭВМ ЕС-1033 по программе, приведенной в
приложении 1.
В табл. 7.16—7.29 приведены коэффициенты РЦФ типа С для соответст-
вующих значений а0 и Да (см. табл. 7.1).
7.2.3. Формирование сигнала с ОБП с использованием
преобразователя Гильберта
Схема формирования сигнала с ОБП с помощью преобразователя Гильбер-
та (см. 4.2.4) приведена иа рис. 7.9. Вещественная составляющая У\(пТ) вы-
ходного комплексного сигнала у(пТ) представляет собой входной сигнал
У1(пТ)=х(пТ), а мнимая составляющая Уг(пТ)
Ут'пН вычисляется с помощью фильтра, идеализиро-
ванная частотная характеристика которого оп-
------------------------»-—' , ределяется соотношением
________________________
— же^)={-5 при
Рис. 7.9 1 1 при ше[0,5; 1].
.176
Таблица 7.2
AI
2.000000000Е-00
2.000000000Е-00
2.000000000Е-00
BI
-4.2377I9708E-0I
-7.6I7966650E-OI
-I.I9I320258E-00
AI
1:888888880
2.000000000Е-00
I.OOOOOOOOOE-OO
BI
-3.54552I836E-0I
-5.786II8448E-0I
-9.I330I48I3E-OI
-5.4I986I2I7E-0I
AI
2.00G0OC000E-C0
2.000000000Е-00
2.000000000Е-00
. 2.000000000Е-00
BI
-3.504D27794E-0I
25.243780453E-0I
-8.I55848468E-0I
-I.053474588E-00
АО
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
ВО
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
АО
5:8888888886®
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
во
I.OOOOOOOOOE-OO
I.000000000E-00
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
АО
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
во
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
1;ОООООООООЕ-О0
I.OOOOOOOOOE-OO
А2
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
B2.
8.67I5575I7E-0I
6.223021639Е-01
4.322343489B-0I
А2
5:888888888688
1.000000000Е-0)
О.ОООООООООЕ-ОО
В2
8.54D240752E-0I
5.97075298IE-0I
3.849555350E-OI
О.ОООООООООЕ-ОО
А2
1.000000000Е-00
1.000000000Е-00
1.000000000Е-00
I.000000000E-00
B2
8.7220I6264E-0I
6.4480798I7E-0I
4.458I86832E-0I
3.I52696892E-0I
3.5594048I0E-0I
3.704I64368E-0I
4.076205807Е-01
Таблица 7.3
3.570792303Е-01
6.078038723E-0I
Таблица 7.4
3.45325II59E-01
3.370255247E-0I
3.5I3535I96E-0I
3.68030805SE-0I
АО
i.OOOOOOOOOE-OO
:1.00000000СЕ-00
‘I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
во
•I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.’OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
AI
2.000000000E-00
2.0CO000000E-00
2.000000000E-00
2.000000000E-00
BI
-4.536079239Е-01
-7.386529459E4)I
-I.I94I03385E-00
-7.2I265I742E-0I
A2
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
B2
9.I466I4586E-0I
7.488483463Ё-01
5.933I72842E-0I
O.OOOOOOOOOE-OO
Таблица 7.5
3.679570223E-0I
3.864820342E-0I
4.330803823Е-01
6.784702037E-0I
177
Таблица 7.6
АО
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
i;oooooooooe-oo
во
.I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
AO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
BO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOCCOCE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
Al
2.000000000E-00
2.000000000E-00
2.000000000E-00
2.000000000E-00
BI
-3.798652285E-0I
-5.6454I3968E-0I
-8.780477884E-0I
-I.I38565734E-00
Al
2.00000C000E-00
2.000000000S-00
2.000000C00E-00
2.000000000E-00
I.OOOOOOOOOE-OO
BI
-3.7388I7460E-0I
-5.I9I3I2I33E-0I
-7.83I768548E-0I
-I.053843700E-00
-5.86335963E-00
A2
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
B2
8.857279562E-0I
6.7790539I3E-0I
4.90783I262E-0I
3.65I38I298E-0I
A2
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
О.ОООООООООЁ-СО
_B2
8.97I6I5980E-0I
7.094279890E-0I
5.365966300E-0I
3.989545496E-OI
0.000000000E-00
3.520042645E-0I
3.484080I85E-0I
3.680442673E-0I
3.889994209E-0I
Таблица 7.7
3.5285I0534E-0I
3.462503I0IE-0I
3.604222350E-OI
3.8I090237IE-0I
6.25283II09E-0I.
Таблица 7.8
AO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
BO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I;000000000E-00
I.OOOOOOOOOE-OO
Al
2.000000000E-00
2.000000000E-00
2.00C000000E-00
2.000000000E-00
BI
-4.568504469E-0I
-6.8498349IIE-0I
-I.0893I2882E-00
-I.447720683E-00
A2
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
B2
9.340160209E-0I
8.0435432IIE-0I
6.748676097E-0I
5.799253287S-0I
3.7I4679220E-OI,
3.867673736E-0I
4.294695657E-0I
4.70404093IE-OI
Таблица 7.9
AO Al A2
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
2.000000000E-00
2.000000000E-00
2.000000000E-G0
2.000000000E-00
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
O.OOOOOOOOOE-OO
3.58263597ЗЕ-01
3.5563378373-OI
3.743770533E-0I
3.995429562E-0I
6.4I45696I9E-0I’
178
BQ
T.OODOOOObOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
.I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
BI
-3.975669570E-0I
-5.5I0I8II06E-OI
-8.322572746E-0I
-I.I24887I95E-00
-6.273633289E-QI
B2
9.083129604E-0I
7.379356263E-0I
5.777331370E-0I
4.4667I2330E-0I
0.000000000E-00
AO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OQ
BO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.0000000000-00
‘I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-00
AO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
- BO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
AI
2.OOOOOOOOOE-OO
2.OOOOOOOOOE-OO
2.OOOOOOOOOE-OO
2.000000000E-00
2.OOOOOOOOOE-OO
BI
-4.5I400D604E-OI
-5.98998I956E-OI
-8.852660808E-0I
-I.234822546E-00
-I.49I95629IE-00
AI
2 .OOOOOOOOOE-OO
2.OOOOOOOOOE-OO
2.OOOOOOOOOE-OO
2.OOOOOOOOOE-OO
2.OOOOOOOOOE-OO
Bl
Л.590287288Е-О1
-6.446242438E-0I
-9.930982845E-.0I
-I.376363827E-01
-7.766200I02E_0l
A2
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
B2
9.499230893E-O0
8.5I683936IE-OI
7.5I4556957E-0I
6.565670348E-0I
5.937205327E-0I
A2
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
32
9.475IO20I5E-OI
8.437237990E-0I
7.372825325E-0I
6.435547458E-0I
0.OOOOOOOOOE-OO
Таблица 7.10
3.730925723E-01
3.807614567E-0I
4.096663584E-0I
4.492339684E-0I
4.794203I6IE-0I
Таблица 7.II
3.739029460E-0I
3.8661359358-01
4.2421812 43E _0‘
4.69203484IE-0I
7.003682247E-01
AO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
BO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
AI
2.OOOOOOOOOE-OO
2.OOOOOOOOOE-OO
2.OOOOOOOOOE-OO
2.OOOOOOOOOE-OO
2.OOOOOOOOOE-OO
BI
-4.278676927E-0I
-5.6362495778-01
-8.257553826E20I
A2
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
B2
9.344297724E-0I
8.08885I375E-0I
6.849880489E-0I
Таблица 7. it
3.67029I68OE-Oj
3.68615900IE-01
3.90093I557E-0J
4.2II224447E-0I
4.4480486I2E-0I
179
I.OOOOOOOOOEUX) -I.I38968I58E4)I
I.OOOOOOOOCE-00 «.I.364604546E4)I
AO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
BO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
,1 .OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
AO
X.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-DO
I.OOOOOOOOOE-OO
’ BO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
AO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
BO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOEjOO
I.OOOOOOOOOE-OO
AI
2.OOOOOOOOOE-OO
2.OOOOOOOOOE-OO
2.OOOOOOOOOE-OO
•2.0G0C0000CE-00
2.OOOOOOOOOE-OO
2.OOOOOOOOOE-OO
BI
-4.038004285E-0I
-5.079570207E4II
-7.I52753465E-0I
-I.20644I692E-0I
-674999I8500E-0I
AI
2.OOOOOOOOOE-OO
2.OOOOOOOOOE-OO
• 2.OOOOOOOOOE-OO
2 .OOOOOOOOOEjOO
2.OOOOOOOOOE-OO
BI
-4.433I58752E-0I
-5.864XI842E-0I
-6.63537415IE-01
-I.I99I40203E-0I
-1.4440496I2E-0I
AI
2.OOOOOOOOOE-OO
2.OOOOOOOOOE-OO
2.OOOOOOOOOE-OO
2.OOOOOOOOOE-OO
2.OOOOOOOOOE-OO
2.OOOOOOOOOE-OO
BI
-4.038004285E-OI
-5.079570207Е4)!
-7.15275346584)1
5,7I4880’403EjOI
4.98277992334)1
A2
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
B2
9.295585841-01
7.968945964E4)1
6.688I68I22E_OI
4.577457984E-0I
0.OOOOOOOOOE-OO
A2
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
B2
9.44150 9072E 4)0
8.355748976E-0I
7.261694030E-0I
6.238686965E4JI
5.567904154E 4)1
A2
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
B2
9 .295585.84IE4) I
7.968945964E-01
6.688168I22E-0I
Таблица 7.13
3.6253X I28E-0I
3.58I038X7E-0I
3.704154004E-0IJ
3.92457206284)1
4.13933694884)1
6.503764344E4)I
Таблица 7.14
3.709397I43E-0I
3.76X59I54E-0I
.0326I6640E-0I
.38609710784)1
.662392586Е4)!
Таблица 7,15
1.6253XI28E-0I
.58I038X7E-0I
'.704I54004E-0I
I.924572062E-0I
.13933694® 4) I
.503764344E-0I
180
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOEJOO
AO
I.OOOOOOOOOEJOO
I.OOOOOOOOOE-OO
BO
I.OOOOOOOOOE-OO
KOOOOOOOOOE-OO
AO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
BO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOEJOO
AO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
BO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
AO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
BO
I .OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
J.OOOOOCOOCE-OO
AO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-DO
I.OOOOOOOOOE-jOO
-9.7622344I3E-OI
-I.20644I692E-0I
-6.4999I8500E-0I
Al
1.59980807IE-00
5.836926860E-0I
BI B2
-7.616132476E-01 ‘ 3.0I65629I2E-0I
-3.802467549E.0I 7.8I2335870E.01
1.2004зНб9Е-00
5.4088I8387E-00
I.OOOOOOOOOE-OO
BI
-4.995158724E-0I
-2.94II39887E-0I
-3.365377435E-0I
Al
I.200437389E-00
5.4O88I8387E-0I
I.OOOOOOOOCE-OO
BI
-4.023257925E-0I
-2.4I2077255E.JOI
-2.680659928E-0I
Al
I.200437389E-00
5.4088I8387E.0I
I.OOOOOOOOOE-OO
BI
-8.2I5436997E-0I
-4.423427939E.0l
-5.877705339EJ3I
Al
I.802766742E^)0
9.663305989E-0I
5.I798004I2EjOI
5.49235649IE-0I
4.577457984E-0I
О.000000000E-00
A2
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
A2
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
O.OOOOOOCOOE-jOO
B2
3.76498I833E-0I
7.988247699E-0I
0.OOOOOOOOOE-OO
A2
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
O.OOOOOCOOOE-OO
B2 ’
3.40Ю46444Е-01
7.83I9966I6E-0I
0.OOOOOOOOOE-OO
A2
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
0.OOOOOOOOOE-OO
B2
5.666I50435E-0I
8.72I293666E-0I
O.OOOOOCOOOE-OO
A2
I.OOOOOOOOOEJOO
I.OOOOOOOOOE-JOO
I.OOOOOOOOOE-OO
Таблица 7,16
5.I55700032E-00
1.52613795IE-00
Таблица 7.17
2.346300377E-00
1,434386066£_OO
5.2 68223913E-CI
Таблица 7.I&
2.1792295IDE-00
I.3874I8402E-00
4.998329167E-00
Таблица 7.19
2.98683I438E.00
1.5862I2976E-00
6.258506904E-0-I
Таблица 7.20
I.O3I668I8OE„OI
2.003605*07E-00
I.482643322E-00
181
во
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOEJDO
I.OOOOOOOOOE-OO
BI
-8.0I0424709E-QI
-5.346944450E_0I
-3*4545763I9E_0l
B2
2.377502875Е-01
5.3637I1562E_0I
8.5lB492l8^_0I
AO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
BO
I.OOOOOOOOOE-jOO
I.OOOOOOOOOE-00
I.OOOOOOOOOE-OO
AO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-jOO
I.OOOOOOOOCE-OO
BO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOEJDO
I.OOOOOOOOOEJDO
AO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-jOO
I.OOOOOOOOOE-OO
BO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
AO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
BO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
AI
I.802766742E-00
9.663305989E-0I
5.179800412E-0I
"bi
-6.895023I67E-0I
-4.672II573IE-0I
-3.066999257E_qi
AI
I.802766742EJ00
9.663305989E-0I
5.I798004I2E-0I
Bl'
-I.20I9660I0E-00
-7.475900468E_0I
-4.5094408202-0I
AI
I.802766742E-00
9.663305989EJ3I
5.I798004I2E-0I
BI
-8.0I0424709E-0I
-5.346944450E.0I
-3.4545763I9E-0I
AI
I.50434005IE-00
8.267998I38E-0I
5.04296I905E-OI
I.OOOOOOOOOE-OO’
BI
-7.3777304O2E-OI
-4.908777628EJ3I
-3.475398809EjOI
-4.379829272E-0I
A2
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
B2
I.87I454024E-0I
5.007326673E-0I
8.378989157E-0I
A2
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
B2
4.624089439E-0I
6.96909I033E-0I
9.095776901E-01
A2
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
B2
2.337502875E-0I
5.3637II562E-0I
8.518*4921852-01
A2
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
O.OOOOOOQOOE-OO
B2
3.345520738E-0I
6.I56II5204E-0I
8.753803389E-0I
O.OOOOOOOOCE-OO
Таблица 7.21
9.5I4864489E-00
I.903834280E-00
I.447078245E-00
Таблица 7.22
I.350875094E-0I
2.3648752I6E_0G
I.592773267E-00
Таблица 7.23
I.03I668I80E-0I
2, ООЗЮ54О 7£_j00
I.428643224E-00
Таблица 7.24
4.I8094I3I2E-00
1.79550712IE jOO
I.486203489E-00
5.66&C89865E-0I
182
Таблица 7.25
АО.
1.000000000Е-00
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
ВО
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOCOE-jOO
AI
,1.802 766724E-00
9.663305989E-0I
5.I798004I2E-0I
BI
-1.2019660 IDE-00
-7.475900468E_0I
-4.509440820E-0I
A2
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
B2
4.624089439E-0I
6.96909I033E-DI
9.09577690IE_0I
I.350875094E-0I
2.3648752I8E-00
I.592773267E-00
AO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
BO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOEJOO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
AI
I.50434006 2-00
8.267998I38E-0I
5.02496I905E-0I
I.OOOOOOOOOE-OO
BI '
-9.09I085975E-0Z
-5.865306869E-GI
-4.039389698E-0I
-5.484076003E-01
A2
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
0.OOOOOOOOOE-OO
B2
4.3338333Q8E-0I
6.82627I8I3E.0I-
8.999I26436E-0I
0.OOOOOOOOOE-OO
Таблица 7.26
4.726006I30E-0Q
I.934I60849E-00
I.5403I2727E-00
6.Ю3350232Е-01
AO AI
I.OOOOOOOOOE-OO 1.504340062-00
I.OOOOOOOOOE-OO 8.267998I38E-0I
I .OOOOOOOOOE-OO 5.0429619051-01
I.OOOOOOOOOE-OO I.OOOOOOOOOE-OO
BO BI
I.OOOOOOOOOE-OO -7.377730402E-01
I.OOOOOOOOOE-OO -4.908777682Е-01
I.OOOOOOOOOE-OO _3.475‘398809E_OI
I.OOOOOOOOOE-OO -4.379829272E-0I
A2
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
0.OOOOOOOOOE-OO
B2
3.345520738-01
6.I56H5204E-OI
8.753803389E-0I
O.OOOOOOOOGE-OO
Таблица 7.27
.I8094I3I2E-00
,79550712IE-00
.486203489E-00
.668089 869Е-01
AO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
AI
1.504340062-00
8.267998I38E-0I
5.042961905E_0I
I.OOOOOOOOOE-OO
A2
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
0.OOOOOOOOOE-OO
Таблица 7.28
.025054482E-00
.005731057E_00
.565637I63E-0O
.335974844E-OI
BO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
BI
-9.97024I780E-0I
-6.3I56225IIE-0I
-4.28I68949E-0I
-6.074239934E-0I
B2
4.93694О17(Ж-ОГ
7.2I5^I79e^-0I
9.I35605I92E_0I
O.OOOOOOOOOE-OI
АО
I.OOOOOOOOOEJOO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOEJOO
I.OOOOOOOOOE-OO
BO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOE-OO
Al
I.884691428E-00
I.264800I25E-00
7.382947026E-0I
4.9546434I8E-01
BI
-9.5,1227 II90E-0I
-7.360959236EJ0I
-4.98285072IE-0I
-3.746460I42E-01
A2
I.OOOOOOOOOE-OO.
I.OOOOOOOOOE-OO
I.OOOOOOOOOEJOO
I.OOOOOOOOOE-OO
B2
2.745070II7E-01
4.636480554Е-01
6.973727408E-01
9.0I7047287EJOX
Таблица 7.29
I.9336239I9E-0I
2.99203530IEjOO
I.740230320EJOO
I.5I29922I8E-0Q
Данная характеристика достаточно просто аппроксимируется частотной ха-
рактеристикой нерекурсивного фильтра вида 3 (см. 4.1.1).
7.3. УВЕЛИЧЕНИЕ ЧАСТОТЫ ДИСКРЕТИЗАЦИИ (ИНТЕРПОЛЯЦИЯ)
СИГНАЛА
7.3.1. Основные понятия
В математике задачей интерполирования решетчатой функции является за-
дача построения решетчатой функции у(пТ) с интервалом дискретизации Т по
конечному множеству {х(0), x(mT), х(2тТ), ..., x(kmT)} известных значений
решетчатой функции x(vT') =x(ymT) такой, что в заданных точках y(mnT) =
=x(nmT) (п=0, 1, ..., k), а в остальных точках (пГ#=0, тТ, ..., kmT) функция
у(пТ) приблизительно равна функции x(t), из которой образована исходная
решетчатая функция x(vmT).
В цифровой обработке сигналов под интерполяцией понимается процесс
цифровой обработки сигналов (ЦОС), приводящий к формированию сигнала с
повышенной частотой дискретизации у(пТ) из сигнала х(уТ') =х(утТ) при
определенных ограничениях на временные и спектральные изменения исход-
ного сигнала.
Существуют три разновидности процесса интерполяции при ЦОС.
Вариант 1. Увеличение частоты дискретизации осуществляется в соответ-
ствии с математическим понятием интерполяции.
Вариант 2. При увеличении частоты дискретизации исходные отсчеты дис-
кретного сигнала х(утТ) оказываются утерянными, однако отсчеты выходного
сигнала у(пТ) могут рассматриваться как отсчеты исходного аналогового сиг-
нала x(f), т. е. форма огибающей сигналов x(vmT) и у(пТ) (и спектр) не
меняется.
Вариант 3. Увеличение частоты дискретизации приводит к изменению фор-
мы интерполируемого сигнала при сохранении модуля его спектра.
Пример 7.2. Схема, иллюстрирующая разновидности процесса интерполяции,
показана на рис. 7.10. Входной аналоговый сигнал x(t) поступает иа дискрети-
затор Д, работающий с интервалом дискретизации T'=mT (т — целое число).
Выходной сигнал дискретизатора x(yT')=x(vmT) (v=0, 1, 2, ...) поступает на
идеальный интерполятор ИИ, увеличивающий частоту дискретизации в т раз.
Выходной сигнал схемы у(пТ) (n=0, 1, 2, ...) получается в результате преоб-
184
разования выходного сигнала ИИ у(пТ) линейной дискретной системой с ча-
стотной характеристикой Яф(е12я*’)=е~111<®>2лю(1»=<о/шд=и7/2л — нормиро-
ванная частота).
Допустим x(t) =sin2nfi<+sin2nfzt (fi=l Гц, fz=2 Гц); интервал дискрети-
зации T'=2T=i/8 с ()д=8 Гц); т=2.
Рис. 7.10
На рис. 7.11, а и б показаны аналоговый сигнал x(t) и его спектр |X(f)|,
на рис. 7.11,в — дискретный сигнал x(vT') =sin(ttv/14) + sin(nv/2) с интервалом
дискретизации 7'=1/8 с, на рис. 7.10,г — выходной дискретный сигнал ИИ
jr(n7) = sin(nn/8)+sin(nn/4) с интервалом дискретизации 7=1/16 с.
Вариант 1. Дискретная система И обладает линейной фазочастотной ха-
рактеристикой <Р1(и|)=—Lflnw, причем Li=const— целое число (допустим, Ц =
=4). Выходной сигнал у(пТ) =sin (лп/8—л/2)+sin (лп/4—л) представляет со-
бой сумму входных составляющих, сдвинутых по фазе на величины — и
—Г-12лш2 (рис. 7.11,5). При Li целом фазовый сдвиг соответствует задержке
сигнала во временной области на целое число интервалов дискретизации, рав-
ное Ц (см. 4.1.1). Отсчеты сигнала у ЦТ) равны отсчетам сигнала у ЦТ), за-
держанным иа интервал ЦТ, т. е. уЦТ)=уЦТ—ЦТ)=хЦ) при t=nT—ЦТ.
Таким образом, совокупность ИИ и дискретной системы с частотной ха-
рактеристикой /?(p(ei2n“)=eibi2-’i“ и линейной ФЧХ q>i(w)=—Ц2л№ (Ц=
=0, 1, 2, ...) также можно рассматривать как идеальный интерполятор, уве-
личивающий частоту дискретизации в соответствии с математическим определе-
нием процесса интерполяции.
Вариант 2. Дискретная система обладает линейной фазочастотной ха-
рактеристикой ф2(ш)=—Ц2лш, причем Ц— const — нецелое число. Допустим,
/.2=3,5. Тогда уЦТ) =sin(nn/8—7л/16)+sin(nra/4—7л/8) (рис. 7.71,е). Фазовый
сдвиг гармонических составляющих на —Ц2тю (Ц— неправильная дробь) со-
ответствует задержке сигнала во временной области на нецелое число интер-
валов дискретизации. Следовательно, отсчеты сигнала у ЦТ) в этом случае не
равны отсчетам сигнала у ЦТ), т. е. исходные отсчеты сигнала х(утТ), посту-
пившего на вход интерполятора, оказались утерянными. Вместе с тем отсчеты
сигнала у ЦТ) есть отсчеты исходного сигнала x(t), взятого с задержкой t3 —
—ЦТ-. уЦТ)=хЦ) при t=nT—ЦТ. Это хорошо видно из рис. 7.11,е: показан-
ная штриховой линией огибающая сигнала у ЦТ) совпадает по форме с ис-
ходным сигналом хЦ). Следовательно, если наличие исходных значений интер-
полируемого сигнала хЦпгТ) не обязательно в выходном сигнале у ЦТ), можно
принять, что совокупность ИИ и дискретной системы с частотной характери-
стикой (е123^) =е-1ь22^к и линейной ФЧХ <рг (ш) =—Ц2?ш (Ц=const'—не-
правильная дробь) также решает задачу интерполяции дискретного сигнала.
Как и в варианте 1, модуль спектра сигнала у ЦТ) в основной полосе частот
совпадает с модулем спектра входного сигнала хЦ) (см. рис. 7.11,6).
Вариант 3. Дискретная система обладает нелинейной ФЧХ <р3(ш) =
=£(ш)2ли>. Допустим, L3(w;)=4, а ЦЦ)г)=2. В этом случае выходной сиг-
нал у ЦТ) =sin(nn/8—л/2) +sin(nn/4—л/2) (рис. 7.11,ж). Отсчеты сигнала у ЦТ)
не равны отсчетам сигнала у ЦТ), равно как не являются отсчетами входного
сигнала x(f).
Вместе с tc?,i модуль спектра сигнала у ЦТ) в основной полосе частот по-
прежнему имеет тот же вид, что и модуль спектра входного сигнала x(t) (см.
рис. 7.11,6). По дискретому сигналу у ЦТ) может быть восстановлен аналого-
вый сигнал x(t), модуль спектра которого совпадает с модулем спектра ис-
ходного сигнала x(t).
Следовательно, для определенного класса сигналов в технике связи, в ко-
тором фазовые соотношения между гармоническими составляющими на входе
и выходе устройств обработки ие играют роли, можно принять, что совокуп-
ность ИИ и дискретной системы с частотной характеристикой Н^Ц12^) —
= e-ibs(u)2nK также обеспечивает интерполяцию дискретного сигнала в смысле
увеличения частоты дискретизации сигнала при сохранении вида модуля его
спектра.
7.3.2. Интерполяция сигнала с помощью ПВДС
Система увеличения частоты, дискретизации (интерполяции) сигнала отно-
сится к классу восходящих дискретных систем (см. 2.5). Схема, поясняющая
принцип увеличения частоты дискретизации сигнала х(уТ') в m раз Цг — це-
лое) показана на рис. 7.12,а. Предполагается, что сигнал хЦТ') получен в
результате дискретизации аналогового сигнала x(t) с финитным спектром
X(ico), занимающим полосу частот og[(j, Частота дискретизации
^/д = 1/Г/=С0тсх/л. Модули спектров сигналов x{t) и хЦТ') на нормирован-
ной оси частот (ш=сй/(од) показаны на рис. 7.12,6 (позиции 1 и 2) для случая
Ш = 3 (Од — Зн/д = 6(0тазс) •
Принцип работы схемы. Рассматриваемая схема представляет собой про-
стейшую восходящую систему (см. 2.5.4). Входной сигнал х(уТ')=х(утТ) с
186
частотой дискретизации поступает на экспандер частоты дискретиза-
ции ЭЧД (см. 2.5.2), увеличивающий частоту дискретизации до
по алгоритму (2.30). Спектры выходного и входного сигналов ЭЧД равны, пе-
риодичны с частотой ш'я=1/т и связаны со спектром X(iw) исходного анало-
гового сигнала x(t) соотношением
Х(е’2ли,'п)±=Х*(е52па')=-^ У У (7.8)
тТ \ m /
--СО v /
Модуль спектров Х(е12ятв:) и Х*(е12ям) показан на рис. 7.12,6 (пози-
ция 2).
Выходной сигнал ЭЧД обрабатывается «идеальным» ФНЧ с передаточной
функцией H(z), задачей которого является подавление «лишних» частотных со-
ставляющих спектра Х*(е12-чк), занимающих область частот we[l/(2m); 0,5],
т. е. получение сигнала у(пТ) со спектром
У(е’2яЕ,) = 4- У X(iw-HA), (7.9)
Т Й=—со
периодичным с частотой шд=1.
Амплитудно-частотная характеристика «идеального» фильтра нижних час-
тот ПВДС должна удовлетворять требованиям [2,8, 2.11]
1Я/Д2л®)> (т п₽и ®б[0; 1/(2т)];
1Я(е ),=10 при ше[1/(2т); 0,5]. <710)
Фильтр ПВДС должен иметь коэффициент усиления т в полосе пропускания,
определяемой шириной спектра исходного интерполируемого сигнала, и подав-
лять частотные составляющие спектра, лежащие в диапазоне [1/(2т); 0,5].
На рис, 7.12,6 приведены АЧХ фильтра и модуль спектра выходного сигна-
ла ПВДС (позиции 3 и 4) для случая т=3.
Спектр сигнала на выходе ПВДС в основной полосе частот [0, 0,5] в рас-
187
осматриваемом идеализированном случае [при АЧХ фильтра, определяемой
(7.10)],
Y ( е‘2 л °) = X* ( е! 2 nw) Н ( е12 л w) = X* ( es 2 л w) IН ( е!2 л ю)| е! * <“’> =
= ~Х (е!2ла) ei<₽<w>. (7.11)
•и связан со спектром сигнала у(пТ), получаемого путем непосредственной ди-
скретизации сигнала x(t) с частотой [д и определяемого (7.9), соотношением
Y ( е12 лю) =У ( е‘2 ла>) el ” (7.12)
где е‘<Р(и) — ФЧХ фильтра ПВДС.
Из (7.11) и (7.12) видно, что:
а) ПВДС, содержащую ЭЧД и фильтр с АЧХ, определяемой (7.10), мож-
но рассматривать как совокупность идеального интерполятора ИИ и линейной
системы с частотной характеристикой /7)p(ei2:!tw)=e1<Pt“'> (см. 7.3.1);
б) форма и спектр выходного сигнала ПВДС при интерполяции сигнала
существенно зависят от типа используемого фильтра и его ФЧХ.
7.3.3. Особенности использования НФ и РФ при интерполяции
Нерекурсивные фильтры НФ с передаточной функцией
N—1
(7.13)
z=o
и линейной ФЧХ <р(ш) =—L2stw могут иметь нечетное (НФ вида 1) и четное
(НФ вида 2) число отсчетов импульсной характеристики (см. 4.1.1).
Для НФ вида 1 (Л’— нечетное) L=(N—1)/2 — целое число и задержка
сигнала во временной области равна целому числу (Л’—1)/2 интервалов дис-
кретизации. При интерполяции сигнала ПВДС, содержащая НФ вида 1, со-
храняет как модуль спектра, так и форму входного сигнала (см. 7.3.1, вари-
ант 1).
Для НФ вида 2 (N — четное) L=(N—1)/2 — нецелое число. При интерпо-
ляции сигнала ПВДС, содержащая НФ вида 2, сохраняет как модуль спектра,
так и форму входного сигнала, однако отсчеты последнего не сохраняются
(см. 7.3.1, вариант 2).
Минимально-фазовые НФ обладают нелинейной ФЧХ <р(а>)=—L(w)2nta.
При интерполяции сигнала ПВДС, содержащая НФ с нелинейной ФЧХ, со-
храняет модуль спектра, но не сохраняет формы входного сигнала (см. 7.3.1,
вариант 3).
Рекурсивные фильтры РФ обладают, как правило, нелинейной ФЧХ. При
интерполяции сигнала ПВДС, содержащая РФ, сохраняет модуль спектра, но
яс сохраняет формы входного сигнала (см. 7.3.1, вариант 3).
7.3.4. Характеристики фильтров реальных ПВДС
В реальных случаях интерполяции подвергается сигнал x(v7’/), спектр ко-
торого в основной полосе занимает частотный диапазон [0, oma3c], а частота
дискретизации Гд>к>тпаа/л.
Фильтр ПВДС должен подавить «лишние» повторения спектра X (iw) около
188
1
частот г где г=1, 2, (т—!1) [см. (7.8)]. Его АЧХ должна удовлетво-
рять требованиям
(т при a>e[0, w^];
A(®)=ltf(ei23lw)| ® г 1 j -
10 при we г — ®тах, г----------Ь^тах
! L т т
(7.14)
г=1, 2, ..., [т/2],
ГДе ^тах=(^тах /сод, a [fe] — целая часть числа Ь.
Для четных т последний частотный диапазон, в котором A(w)~0, равен
[0,5^-гг'тих; 0,5]. На рис. 7.13 показаны модуль спектра интерполируемого сиг-
Рис. 7.13
нала (а) и схема допусков на АЧХ фильтра (б) в соответствии с (7.14) при
ш=6. Граничная частота полосы пропускания wr.n=wmax. В основной полосе
[0; 0,5] имеется [т/2] полос с граничными частотами шгг.з1 и шгг,з2. в которых
необходимо обеспечить подавление «лишних» составляющих спектра. Осталь-
ные части диапазона [0; 0,5] —это «безразличные полосы», в которых частот-
ная характеристика фильтра практически не ограничена (усиление не должно,
естественно, быть очень большим).
Вид АЧХ в полосе пропускания (и соответствующая неравномерность АЧХ
ААп) определяет искажения модуля спектра полезного сигнала в требуемой
полосе частот, а вид АЧХ в полосах задерживания’ (и соответственно отклоне-
ние АЧХ от нуля ЛА3) определяет степень подавления «лишних» частотных
составляющих спектра интерполируемого сигнала.
Выбор значений ДАП и ДАЭ при решении аппроксимационной задачи основы-
вается иа требованиях конкретной проектируемой системы. Так, при использо-
вании ПВДС с целью повышения частоты дискретизации канальных сигналов
ТЧ для формирования группового сигнала с частотным разделением каналов
(ЧРК) (см. гл. 9) ДАП определяется допустимыми искажениями модуля спектра
канального сигнала, а ЛА3 — допустимым уровнем внятных переходов, регла-
ментируемых нормами МККТТ.
7.3.5. Структуры ПВДС при интерполяции
Важной особенностью (и достоинством) использования нерекурсивного
фильтра в ПВДС является то, что НФ, частотная характеристика которого оп-
ределяется «высокой» (выходной) частотой дискретизации, работает фактически
на «низкой» (входной) частоте. При этом имеется в виду, что в НФ с переда-
точной функцией (7.13), импульсная характеристика которого содержит N от-
счетов, необходимо выполнить N операций умножения за интервал времени,
189
равный интервалу дискретизации Т' входного сигнала. Это объясняется тем, что
в последовательности х*(пТ) на выходе ЭЧД (см. рис. 7.12,а) между каждой
парой информационных отсчетов находится m— 1 нулевой отсчет, умножать на
которые нет необходимости.
Пример 7.3. На рис. 7.14 показана ПВДС, используемая для увеличения частоты
дискретизации в т=3 раза. Входной сигнал х(уТ') поступает на ЭЧД. Выходной
6
сигнал ЭЧД х*(пТ) обрабатывается НФ с передаточной функцией H(z) =~£biz~l,
реализованным в прямой форме (порядок фильтра выбран малым для простоты).
Состояние регистров умножителей НФ на трех тактах (в моменты времени пТ,
Рис. 7.14
(п+1) Т и (п+2) 7 приведены в табл. 7.30. На п-м такте необходимо вы-
полнить три операции умножения (на коэффициенты Ьо, bs н Ье), на (п+1)- и
(п+2)-м тактах — по два умножения. Таким образом, за интервал времени
ЗТ=Т' необходимо выполнить семь операций умножения, что равно числу
отсчетов импульсной характеристики НФ. Однако на операцию умножения
отводится интервал времени Т (умножители работают на «высокой» частоте
дискретизации).
Таблица 7.30
Такт Регистры умножителей Число опера- ций умноже- ний за ин- тервал
Ьо bi ь2 ь4 ь3 ьв
т Т'
п x(vT') 0 0 x((v— -1)Г) 0 0 x((v— -2)Г) 3 7
п+1 0 х(уТ) 0 0 x((v— -1)Г) 0 0 2
п+2 0 0 x(vT’) 0 0 x((v— -1)Г) 0 2
Структура 1. Структурная схема реализации ПВДС (см. рис. 7.12,с), ис-
пользующей НФ с передаточной функцией (7.13), в которой умножители рабо-
тают на «низкой» (входной) частоте дискретизации, приведена на рис. 7.15. По-
скольку выходной сигнал умножителя й-й ветви (£=0,1,..., N—1) поступает на
выход схемы через k элементов задержки на интервал Т, выходной сигнал
у(пТ) на каждом п-м такте является суммой [(Л7—1)/т] или [(Л7—l)/m]—1 сла-
190
гаемых. Так, при т—3 н А=7 на n-м такте при n—vr (г— целое) у(пТ) =
=Ь0х(уТ')+ЬзХ[уТ'—Т')+ЬбХ(уТ'—2Т'), на (п+1)-м такте у(пТ) —bix(vT') -
+btX(vT'—Т') и т. д. Таким образом, схема рис. 7.15 соответствует схеме, п<
казанной на рис. 7.14.
Структура 2 (полифазная) [2.8, 2.12]. Структура основана на представл<
нин ПВДС в виде эквивалентной схемы (ЭС) (см. 2.5.4). Структура содержа
m параллельных ветвей обработки, в каж-
дой из которых находится фильтр, ра-
ботающий на «низкой» (входной) частоте
дискретизации (см. рис. 2.20,6). Фильтр-
прототип для расчета параметров фильтров
ЭС ПВДС является фильтром ннжних ча-
стот, АЧХ которого удовлетворяет усло-
виям (7.14). Передаточные функции фильт-
ров в ветвях ЭС ПВДС определяются по
передаточной функции фильтра-прототипа с
помощью (2.47).
При использовании нерекурсивных фильт-
ров порядок N передаточной функции
фнльтра-прототипа целесообразно выбирать
из условия N=rm (г — целое число). При
этом все фильтры ветвей ЭС ПВДС будут со-
держать равное число коэффициентов (г).
Рис. 7.15
7.3.6. Цифровая фильтрация при полиномиальной интерполяции
Классические методы полиномиальной интерполяции построены на интерп
лировании значений функции многочленом определенной степени [2.10, 3.4].
Интерполяция нулевого порядка. При вычислении очередного отсчета выхо
ного сигнала у(пТ) с интервалом дискретизации Т используется только од;
отсчет входного интерполируемого сигнала x(vT') с интервалом дискретизащ
Т'. При увеличении частоты дискретизации в m раз отсчет сигнала х(уТ') п
вторяется m раз на тактах
у {пТ) — х (v Т'), /: = vk, —Ь v = 0,l,2,... (7.1
Процесс интерполяции нулевого порядка (7.15) при т~6 показан на pi
7.16, где Тв— задержка, вносимая фильтром.
Интерполяционному процессу (7.15) соответствует обработка сигнала
ПВДС (см. рнс. 7.12,о), в которой используется нерекурсивный однородн)
у(чП
Рис. 7.16
191
фильтр с передаточной функцией
т—1
г~1,
1=0
все тп коэффициентов которого равны 1, а коэффициент усиления
АЧХ) на частоте ш=0 равен т.
Амплитудно-частотная характеристика однородного фильтра
A (w) = | Н ( е12 я ю) 1 = sin пт w/ (sin л ю).
(7.16)
(значение
(7-17)
На рис. 7.17 показана нормированная АЧХ Лн(ш)=А(ш)/А(0)=А(ш)/т
для случая /п=6 (кривая /). Однородный фильтр обеспечивает существенное
подавление (ДАн3.0) лишь в незначитель-
ном удалении от частот ю=г(1/т) (г=1,
2, ...), имеет достаточно большую неравно-
мерность (ААнп.о) в полосе пропускания
i ААвп.о достигается при Wmax) и,
3.0.
z4_
Д,.с
-10
АМ/А(И),де
-20
-30-
2’/т
Рис. 1.17
j_E.
0,5
Рис. 7.18
У(пТ)
XUT’) pn СЧ
—L~*i rg
следовательно, может использоваться для интерполяции сигнала, если w'a =
= l/rn^>®max (см. рис. 7.13). В табл. 7.31 приведены значения нормированных
величин ДАЕп.о и тпахААвв.о однородного фильтра для каждого частотного диа-
пазона г(1/т)±штдх (см. рис. 7.17) при т=6 (г=1, 2, 3).
Таблица 7.31
Однородный фильтр Триангулярный фильтр
^нп.о, ДБ шах ДЛН8.О , дБ дл н П-Т> ДБ max АДнг т . дБ
г-1 Г=2 г=3 r=l | r=2 r-3
о,1 —0,139 —18,9 —24,2 —25,7 —0,278 —37,8—48,4 —51,4
0,2 —0,563 — 12,3 —18,3 —20,1 —1,12 —24,6—36,6 —40,2
0,3 —1,29 —8,50 —15,2 —17,3 —2,58 —17,0—30,4 —34,6
0,4 —2,35 —5,80 —13,4 —15,8 —4,71 —11,6—26,8 —31,6
0,425 —2,68 —5,25 — 13,1 —15,6 -5,36 — 10,5—26,2 —31,2
Передаточной функции (7.16) эквивалентна передаточная функция рекурсив-
ного фильтра
H(z) = (l— 2-т)/(1— г'1)- (7.18)
Структура реализации ПВДС (см. рис. 7.12,а) при интерполяции нулевого
порядка приведена на рнс. 7.18. Входной сигнал х(уТ’) записывается в регистр
PG с частотой Гд=1/7'/, а считывание сигнала у(пТ) производится с частотой
)д=Щ//н==1/7'.
192
Интерполяция первого порядка (линейная). Прн вычислении очередного от<
счета выходного сигнала у(пТ) с интервалом дискретизации Т используются два'
отсчета входного интерполируемого сигнала х(уТ') с интервалом дискретизации
Т'. Интерполированные отсчеты лежат на прямой, соединяющей два используе-
мых при интерполяции отсчета х(уТ') и х(уТ'—Т) [2.10]:
у (пТ) = y((vm-}-k — 1) Т) =—х (v Т’) -}- -—- х(уТ' — Т') =
tn m
k
= х (v Г — Т’) 4- — (х (у Т’)—х (v Т’ — Т’)), (7.19)
Л1
где v=0,1,2,...; Л=1,2,... ,m; «/((vm+m—l)T)=x(vT/).
Интерполяционному процессу (7.19) соответствует обработка сигнала в
ПВДС, в которой используется нерекурсивный триангулярный фильтр (ТФ) с пе-
редаточной функцией
j / m—1 \ 2 j 2m—2
Н(г) =— У г~1 =— У biz~l. (7.20)
m \/^о / m &
Триангулярному фильтру (7.20) эквивалентно последовательное соединение
двух однородных фильтров с передаточной функцией (7.16). Импульсная ха-
рактеристика ТФ содержит 2m—1 отсчет и определяется сверткой импульсных
характеристик однородных фильтров (без учета масштабного коэффициента)
, fZ+1, Z=0,l,..., tn— 1;
bi — <
12m—Z—1, I —tn, m-J-1,..., 2m—2,
t. e. bt= {1,2,...,m—1, tn, tn—1,...,2, 1). ]
Амплитудно-частотная характеристика триангулярного фильтра
1
А (ш) = -—
m
sin я m w
sin л w
(7.21)
На рис. 7.17 показана нормированная АЧХ ДЕ(и>) —A(w)/m при т=6 (кри-
вая 2). В табл. 7.31 приведены значения нормированных величин ДАнп.т и
max ДАН3.Т триангулярного фильтра для частотных диапазонов r—±wmax (см.
m
рнс. 7Л7) при т=6 и г= 1,2,3.
На рис. 7.19 показаны процесс линейной интерполяции и временная задерж-
ка Т3, вносимая фильтром.
7—89 193
Передаточной функции (7.20) эквивалентна передаточная функция рекурсив-
ного фильтра
1 (1— г~т V
Н (z) = — -----— , (7.22)
т \ 1— г /
а уравнению (7.19) — рекурсивное разностное уравнение
у (пТ) = y(vm + r)T) = y [пТ—Т) + — (х (V Г) — х (уТ' — Т')), (7.23)
пг
где v = 0,l,2,...; n—vm-^-r; r=0,l,..., m—1.
Непосредственная реализация (7.23) нецелесообразна, поскольку процесс не-
устойчив [7.1]. Эквивалентное разностное уравнение ПВДС, приводящее к ус-
тойчивой структуре, имеет вид
у (пТ)=у(пТ—Т) + —{х(уТ’)—у ((vm-1) Т), (7.24)
tn
где v = 0,l,2,...; n = vm-]-r; r = 0,l,..., m—1.
Возникновение ошибки 6 в сигнале у(пТ) на n-м такте (n=vm+r) при вы-
числениях по (7.24) приводит к ее исчезновению к (v+2)-My такту.
Структура реализации ПВДС при линейной интерполяции по алгоритму (7.24)
приведена на рис. 7.20. В сумматоре формируется разностный сигнал х(уТ’)—
—y(vmT—Г), используемый для вычисления по (7.24) m отсчетов сигнала
на тактах n=vm+r, r=0,1,, m—1. Выходной сигнал у(пТ) формиру-
ется в сумматоре S2.
Рис. 7.20
Интерполяция высших порядков (полиномами степеней Q>2) при цифровой
обработке сигналов применяется редко. Подробно построение ПВДС при ис-
пользовании фильтров, реализованных на основе интерполяционных формул
Лагранжа, рассмотрено в [2.10].
7.3.7. Простейшие ВДС с оптимальными фильтрами
Достоинством ПВДС при интерполяции нулевого и первого порядков явля-
ется простота реализации, при которой не требуется выполнять операции умно-
жения. Однако точность интерполяции часто оказывается недостаточной из-за
относительно большой неравномерности АЧХ используемого фильтра в полосе
пропускания и малого подавления в полосе задерживания. Наилучшие резуль-
таты при интерполяции достигаются при использовании в ПВДС фильтров, опти-
мальным образом удовлетворяющих условиям (7.14).
194
Пример 7.4. Рассмотрим построение ПВДС при интерполяции сигнала,
спектр которого занимает полосу частот от 0 до 1,7 кГц, а частота дискрети-
зации f'n=8 кГц должна быть увеличена в 14 раз, т. е. до 112 кГц
=0,0151785; m=14; ш'д=1/т=0,0714282). Требования к спектру интерполиро-
ванного сигнала, определяющие требования (7.14) к АЧХ фильтра, следую-
Таблица 7.32
Г W Лио, дБ Лнт,дБ
0 0,0151785 —0,65 —1,30
I 0,0562497 —11,98 —23,97
0,0866067S —15,60 —31,35
2 0,1276779 —18,92 —37,84
0,1580349 —20,65 —41,30
3 0,1991061 —22,44 —44,87
0,2294361 —23,48 —46,97
4 0,2705343 —24,60 —49,20
0,3008913 —25,26 —50,52
5 0,3419625 —25,97 —51,94
0,3723195 —26,37 —52,73
6 0,4133967 —26,76 —53,52
0,4437477 —26,95 —53,90
7 0,4848215 —27,20 —54,40
щие: составляющие спектра в поло-
се (0, Wmax) должны быть искажены
не более чем на = 0,2 дБ (ДДЕи =
«±0,023), а «лишние» составляю-
щие должны быть подавлены не ме-
нее чем на —50 дБ (ДАн3=0,03162)
(см. рнс. 7.13).
Однородный и триангулярный
фильтры. В табл. 7.32 приведены
значения АЧХ однородного (Ан0) я
триангулярного (Ант) фильтров на
частотах w=r(\]m) ±Wmax при m=14.
Из таблицы видно, что использование
данных фильтров в ПВДС при задан-
ных условиях невозможно.
Оптимальный фильтр. Нерекур-
сивный фильтр синтезируется по ал-
горитму Ремеза (см. 4.3.4). При пред-
варительной оценке порядка A пере-
даточной функции (7.13) по условиям
7*
Рис. 7.21
195
A brl
0 bo = b*o,о=—2,858048 bu=b*o,i== 7,716989
1 bi=b*M=—2,287126 bts-^b*!,^ 10,47495
2 b2=b*2,0=—2,953845 bie = b*2,1=15,51824
3 be=b*s>0=—3,711665 b17 = b*31i = 21,08302
4 b4 = b*4>l)=—4,421111 bie=b*M=26,90940
5 bs = b*s,o=—5,014009 ble=b*5,i-32,84395
6 6e = fc*e,0=—5,431860 b20=b*«,1=38,74525
7 b7 = b*7,o=—5,617070 b21 = b*7,1=44,471'21
8 b8 = b*M=—5,512682 b22=b*8>1=49,87966
9 b9=b*e,0=—5,064035 b2J=b*e,i=54,83138
10 b1o = b*io,o’=—4,220101 b24=b*io,i=i59'19142
11 b11=b*11,0=—2,930062 ba5=b*u,i = 62,81811
12 &12=b»i2,0=—1,106867 b2B = b*12,i = 65,48253
13 b18=b*iS, o=l,955160 & 27 = b* is, 1=“ 65,56632
Таблица 7,33
' ь\гю>
628= 6*0,2=65,56632 642 = 6*0,3= 1,955160
629 = 6*1,2=65,48253 64, = 6*i,,=—1,106867
6зо = 6*2,2 = 62,81881 644 = 6 * 2,з=—2,930062
631 = 6*3,2 = 59,19142 648=6*,.,=—4,220101
632 = 6*4,2 = 54,83138 64в = 6*4,,=—5,064035
6„= 6*0,2=49,87966 647=6*5,,=—5,512682
654 = 6*в,2=44,47121 648=6*0.,=—5,617070
6,0=6*7.2=38,74525 64д = 6*7.,=—5,431860
6„ = 6*8,2=32,84395 6оо=6*,,з=—5,014009
6,7 = 6*0.2=26,90940 651 = 6*0,3=—4,421111
6,8 = 6*1о.2 = 21,08302 652 = 6*10,3= 3,711665
6,о=6*н,2= 15,51824 653=6*11,3=—2,953845
64о = 6*12,2=10,47495 654 = 6*12,3=—2,287126
64! = 6*1S,2-7,716989 655=6*13,3=—2,858048
(7.14) оказывается, что 41<1V<56. Целесообразно выбрать А=56, что удобно
при реализации ПВДС в виде ЭСП (полифазной структуры).
Коэффициенты bi, 1=0, 1.... 55, передаточной функции Н(г) фильтра при-
ведены в табл. 7.33 (без учета масштабного множителя т), а АЧХ фильтра
показана на рис. 7.21. Неравномерность АЧХ в полосе пропускания [0, wm««]
составляет не более ±0,15 дБ, а подавление в полосах задерживания
Г? и>тах, r—+wmax I г=1, 2, ..., 7, не менее —56 дБ.
Структура ЭС ПВДС (полифазная). Прн представлении ПВДС в виде эк-
вивалентной схемы (см. 2.5.4, 7.3.5, рис. 2.20) структура последней содержит
т=14 параллельных ветвей обработки, в каждой из которых находится фильтр
с передаточной функцией
3 3
= b*k jZ~ml = У 6fe+i4/2~14/, ft = 0,l,..., 13-
/=о ’ /=о
Коэффициенты передаточной функции Нъ (zm) фильтра в k-& ветви
k=0, 1, .... 13; /=0, 1, 2, 3, представляют собой коэффициенты передаточной
функции исходного фильтра-прототипа, взятые через т=14 коэффициентов. Зна-
чения в каждой строке табл. 7.33 представляют собой коэффициенты фильтра
в Л-й ветви ЭС ПВДС.
7.3.8. Перенес спектра при интерполяции
Рассматривается сигнал x(vT'), основной спектр которого занимает полосу
нормированных частот [иь, ш2] (нормировка ведется к частоте fs=m/T'), а час-
тота дискретизаций и>'д=1/т. Процесс увеличения частоты дискретизации сигна-
ла х(уТ') в т раз можно совместить с переносом его спектра иа величину р=
=/—,/= 1,2,..., т—1, т. е. в частотный диапазон I — , ((+1) —1. Для этого
2т [ 2т 2т\
необходимо в ПВДС (см. рис. 7.12,а) использовать полосовой фильтр, идеализи-
рованная АЧХ которого в основной полосе частот удовлетворяет условиям:
IН ( е12 ЯЕ)| =
при
т прн
|В(е!2яю)| =
при
при
1
(/ 4* 2) "7 --------^2
(7.25')
1 1
(I— 1) — 4-ш2, ((+1)—H-Wl
zm Zm
(7.25")
1 = 1,3,
где [В] означает наибольшее целое число, не большее, чем число В.
На рис. 7.22 показаны модуль спектра сигнала х(уТ') (рис. 7.22,с), АЧХ
фильтра и модуль спектра интерполированного сигнала у(пТ) прн (=2 (рис.
7-22,6 и в) и (=1 (рис. 7.22,г н <Э) для т=4.
Отметим, что для нечетных значений I в полосу] (-1- ,(/-(- 1)—-1 попадает
L 2ж t тI
197
инверсный спектр интерполируемого сигнала (см. рнс. 7.22,5). Если необходимо
в данной полосе иметь прямой спектр, то перед интерполяцией необходимо вы-
полнить инверсию спектра сигнала х(уТ') по правилу (7.3), а в ПВДС исполь-
зовать фильтр ₽. АЧХ, удовлетворяющей условиям (7.25').
7.3.9. Перенос спектра при интерполяции комплексного сигнала
Рассматривается вещественный сигнал х(уТ') с частотой дискретизации /7д=
= 1/Т', спектр которого в основной полосе нормированных частот занимает по-
лосу [oil, Шг] (нормировка ведется к частоте
Схема, осуществляющая увеличение частоты дискретизации сигнала в m раз
с одновременным переносом спектра, показана на рис. 7.23,а, а модуль спектра
сигнала х(уТ') —на рис. 7.24,а (для т=4).
Принцип работы схемы. Сигнал х(уТ') умножается на дискретную экспонен-
ту e12^rv (о выборе значения у см. 7.2.1). При у=—т(а>1+ги2)/2 верхняя боко-
вая полоса спектра сигнала p(vT') занимает частотный диапазон [—(w2—Wi)/2,
(w2—Ш1)/2] (рис. 7.24,6).
Сигнал р(уТ') подвергается интерполяции с помощью ПВДС, содержащей
ЭЧД и интерполирующий фильтр (ФИ), АЧХ которого показана на рис. 7.24,в
(для т=4). В результате формируется сигнал d(nT) с частотой дискретизации
модуль спектра которого показан на рис. 7.24,г. Для переноса спектра
на требуемую величину (5 сигнал 3.(пТ) умножается на дискретную экспоненту
е12ярп_ Модуль спектра сигнала d(nT) показан на рис. 7.24,6. Вещественный
сигнал у(пТ) со спектром, содержащим обе боковые полосы, получается выделе-
нием вещественной части сигнала d(nT) (элемент Re на рис. 7.23,а). Модуль
спектра сигнала у(пТ) показан на рис. 7.24,е.
В общем случае сигналы р(уТ'), р*(пТ), а(пТ) н d(nT) являются комп-
198
лекснымн. На рис. 7.23,6 приведена «комплексная» схема, соответствующая схеме
рис. 7.23,а. В схеме нет сигнала d(nT), поскольку не нужно вычислять его мни-
мую составляющую.
Отметим, что прн у=0,25 каждый второй отсчет последовательностей Pi(yT')
и Рг(уТ') равен нулю и процесс интерполяции соответствует процессу увеличения
частоты дискретизации вещественных сигналов Si(kT*) =pI(v27') и 5г(ЛТ*) =
г=р2(у2Т) с частотой днскретнзацни ^'д/2 в 2m раз.
exp
вхр (iZoPjin)
Х&Т')
фи
СВВцг спектра.
Интерполяция | Перенос спектра и
j получение ВешрстВен-
наго сигнала
cos
\т —----а
ФИ
xivr'j
Sin (2 ST
ч y^r;
-\р}(пТ) ----
—-----* ФИ
В)
Рис. 7.23
Достоинствами схемы (см. рнс. 7.23) по сравнению с ПВДС, описанной в
7.3.8, являются отсутствие ограничений на параметр £ н использование одного
н того же ФИ при переносе спектра на любую величину £.
Вариант схемы увеличения частоты дискретизации с предварительным фор-
мированием сигнала с ОБП показан на рнс. 7.25. Данная схема обладает до-
е) /
Рис. 7.24
199
стоииствами схемы рис. 7.23 и имеет, как правило, лучшие показатели по таким
параметрам, как емкость оперативной памяти и объем оборудования [2.11]. Дей-
ствительно, ФНЧ работает (и рассчитывается) на «низкой» частоте дискретиза-
ции 1'л, а АЧХ ФИ может иметь широкую промежуточную полосу (определяю-
щую порядок фильтра), поскольку одна боковая полоса спектра интерполируе-
мого сигнала уже подавлена в ФНЧ.
Интерполяция
Рис. 7.25
E'xp(i2^n)
I Перенос спектра, и
[ получение Вешаст-
‘ Венного сигнала.
Формирование
сигнала, с ОБП
7.3.10. Интерполяция сигнала с помощью МВДС
При увеличении частоты дискретизации сигнала в т раз (если число т раз-
лагается на простые множители) можно использовать многократные восходящие
дискретные системы (МВДС) (см. 2.5.5). При этом увеличение частоты дискре-
тизации осуществляется не в один прием, как в ПВДС, а постепенно. При
р
Щ-Птд, (7.26)
fe=i
где каждый миожитель тк — целое число, МВДС состоит из р подсистем, при-
чем частота дискретизации на выходе Л-й (Л=1, 2, ..., р) подсистемы в /Пь раз
выше частоты дискретизации на ее входе (см. рис. 2.27).
Достоинствами МВДС по сравнению с ПВДС являются:
уменьшение числа арифметических операций в единицу времени;
уменьшение емкости оперативной памяти;
упрощение задачи расчета фильтров;
уменьшение эффектов, обусловленных ограниченной разрядностью регист-
ров (ошибок квантования, чувствительности коэффициентов) при цифровой реа-
лизации.
Наибольший выигрыш при переходе к многократной системе достигается при
большом значении т.
Выбор структуры МВДС существенно зависит от конкретного приложения.
Существует несколько подходов к определению структуры многократной систе-
мы [2.8]:
1. В каждой подсистеме МВДС используется фильтр с равновеликими пуль-
сациями. Значения тк выбираются с помощью процедуры оптимизации, миними-
зирующей число арифметических операций (объем оперативной памяти) и под-
систем.
На практике часто оказывается возможным рассмотреть несколько вариан-
тов многократной системы [с разными тк в (7.26)], руководствуясь изложенны-
ми ниже рекомендациями.
200
2. Многократная система строится из р подсистем, причем /77^=2, fe=l,2.
р~ I
—1, и mf=m) П mk. При этом фильтры, используемые во всех подсисте-
Л=1
мах, кроме последней, являются равнополосиыми.
3. В последних подсистемах МВДС применяются фильтры специального се-
мейства [7.2].
Основными рекомендациями при синтезе МВДС, состоящей из р подсистем,
являются следующие [2.8]:
коэффициенты интерполяции mk, k—l,2,...,p, должны удовлетворять ус-
ловию /711^/712^ • • • ^77lj>;
допустимая неравномерность АЧХ в полосе пропускания фильтра й-й под-
системы ДАлп=ДАп/р, где ДАП— допустимое искажение спектра интерполируе-
мого сигнала.
Отметим, что в ряде случаев оптимальным может оказаться другое рас-
пределение величины ДАП между фильтрами подсистем (см. пример 7.5);
допустимое отклонение от нуля АЧХ фильтра fc-й подсистемы в полосах за-
держивания ДАлз=ДАя, где ДАВ— требуемая величина подавления «лишних»
составляющих спектра интерполируемого сигнала;
АЧХ фильтров каждой подсистемы (как правило, начиная со второй) име-
ют «безразличные полосы» (см. 7.3.4), в которых значения ДАВ выдерживать не
требуется (см. рис. 7.13) и пример 7.5);
каждая подсистема строится по любой из структур ПВДС.
Пример 7.5. Рассмотрим построение схемы интерполяции сигнала, спектр
которого занимает полосу частот от 0 до 1,7 кГц, а частота дискретизации
f'K должна быть увеличена в т=28 раз до [д=112 кГц. Требования к спектру
интерполированного сигнала: составляющие спектра в полосе [О; ®mai] долж-
ны быть искажены не более чем иа ±0,13 дБ (ДАп=±0,015); «лишние» со-
ставляющие в полосах [rl/m±wmax] должны быть подавлены не меиее чем
на —76,5 дБ (ДАз=0,0015).
Отметим, что данная схема есть схема интерполяции вещественной (мни-
мой) составляющей комплексного сигнала ТЧ в ветвях схемы рис. 7.23,6.
Ниже рассматриваются четыре варианта построения схемы, соответствую-
щие различным разложениям коэффициента интерполяции т на множители:
^=28=4X7=2X14=2x2X7. При построении схемы используются НФ с пере-
даточной функцией (7.13), синтезированные по программе [1.6] с предварительной
оценкой порядка фильтра 27 по формуле (4.29). Во всех случаях порядок синте-
зированного фильтра Л-й подсистемы выбирался кратным коэффициенту интерпо-
ляции mk данной подсистемы (см. 7.3.5).
Основные параметры системы интер-
поляции для всех вариантов приведены
в табл. 7.34. Число операций умно-
жения Иц, выполняемых в 1 с й-й под-
системой со входной частотой дискрети-
зации fkBx И ВЫХОДНОЙ ЧаСТОТОЙ [йвых=
=f^kfkSx определяется по формуле
Rh=NfhIIX.
Вариант 1 (однократная система ин-
терполяции). Схема представляет со-
бой ПВДС (см. 7.3.5) и содержит одну
подсистему, увеличивающую частоту
дискретизации в пг=28 раз. Вид огиба-
ющей импульсной характеристики {6J
фильтра приведен на рис. 7.26. Значения
коэффициентов bi передаточной функ-
201
Вариант Подсистема 1 1 Частота дис- кретизации /д. кГц Оценка поряд- ка фильтра N Порядок филь- тра W Граничная нор- мированная ча- стота полосы пропускания wr.n Неравномер- ность АЧХ в полосе пропу- скания ДАП
1 1 112 540 560 0,0151785 0,014311
2 1 16 84 84 0,10625 0,013480
2 112 28 28 0,0151785 0,002009
3 1 8 42 44 0,2125 0,007026
2 112 84 84 0,0151785 0,005939
4 1 8 44 46 0,2125 0,004549
2 16 . 12 12 0,10625 0,003315
3 112 28 28 0,0151785 0,001348
ции имеют значительный разброс (от ~0,14-10-4 до 0,34-Ю-1), что усложняет
реализацию фильтра.
Вариант 2 (двухкратная система интерполяции при mi = 4, т%=7). Схема
представляет собой МВДС (см. 2.5.2) н содержит две подсистемы. Первая под-
система увеличивает частоту дискретизации в mi=4 раза (до 16 кГц), а вто-
рая подсистема—в /Па=7 раз (до 11.2 кГц). В табл. 7.35 приведены коэффи-
циенты bi—Н(1) передаточной функции фильтра первой подсистемы, а в
табл. 7.36 — второй подсистемы.
Вариант 3 (двухкратная система интерполяции при mi=2, m2= 14). Схема
содержит две подсистемы, из которых первая увеличивает частоту дискретиза-
ции в mi=2 раза (до 8 кГц), а вторая — в т2=14 раз (до 112 кГц). В
табл. 7.37 приведены коэффициенты передаточной функции фильтра
первой подсистемы, а в табл. 7.38 — второй подсистемы.
Вариант 4 (трехкратная система интерполяции при mt=2, т3=2, т3=7).
Схема содержит три подсистемы, увеличивающие частоту дискретизации соот-
ветственно в mi=2 раза (до 8 кГц), в т2=2 раза (до'16 кГц) и т3=7 раз
(до 112 кГц). В табл. 7.39—7.41 приведены коэффициенты bi—H(l) передаточ-
ных функций фильтров первой, второй и третьей подсистем соответственно.
Анализ данных табл. 7.33—7.41 показывает, что при построении схемы в
виде трехкратной системы используются наиболее простые фильтры, а общий
объем оперативной памяти и число операций умножения в единицу времени
оказываются минимальными.
202
Таблица 7.34
Граничные нормированные частоты полос задерживания Отклонение АЧХ от нуля в полосах за- держивания ДЛа-104 Число опера- ций умноже- ния Д-10-6 Общее число опер, умноже- ния II-10-°
<31
0,0205356 0,5 1,43111 2,24 2,24
0,14375 0.5 1,34799 0,336 0,784
г.0,142857—0,0151785 (г=1, 2, 3) г.0,142857+0,0151785 (г= 1, 2, 3) 0,40183 Г0,448
0,2875 0,5 1,40515 0,176 0,848
г-0,0714285—0,0151785 (г=1, 2,..., 7) г.0,0714285+0,0151785 (г-=1, 2,..,, 7) ш7г.32=0,5 1,18788 0,672
0,2875 0,5 1,37839 0,184 0,728
0,39375 0,5 1,00450 0,096
r-0,142857—0,0151785 i (г = I, 2, 3) г.0,142857+0,0151785 (г=1, 2, 3) 0,40837 0,448
В табл. 7.35 — 7.41 приведены: порядок фильтра (RESPONSE LENGTH),
коэффициенты передаточной функции Н(1) (1 = 1,2,...), а также нижние и верх-
ние границы диапазонов аппроксимации (LOWER BAND EDGE, UPPER
BAND EDGE), уровни аппроксимации (DESIRED VALUE), весовые коэффици-
енты (WEIGHTING) и девиация АЧХ (DEVIATION) для всех диапазонов ап-
проксимации (BAND й,£=1,2,...).
7.4. УМЕНЬШЕНИЕ ЧАСТОТЫ ДИСКРЕТИЗАЦИИ
(ДЕЦИМАЦИЯ) СИГНАЛА
7.4.1. Децимация сигнала с помощью ПНДС
Системы уменьшения частоты дискретизации (децимации) сигнала относятся
к классу нисходящих дискретных систем (см. 2.5). Уменьшение частоты дискре-
тизации сигнала х(пТ) в m раз (т—коэффициент децимации) осуществляется
компрессором частоты дискретизации (КЧД) (см. 2.5.3), формирующим сигнал
У*(уТ') путем взятия только каждого m-го отсчета из последовательности х(пТ),
т. е. у*(уТ') =x(mvT), v=l,2,... Для предотвращения явления наложения
203
Таблица 7.35
RESPONSE LENGTH = 64
»**.*♦ IMPULSE RESPONSE
HI 1) x -0.94553863E-04 = Hl 84)
HI 2) - 0•44159533E-04 - Hl 85)
H I 3) = 0.3988S263E-03 •J HI 82)
HI 4) = 0.10545195E-02 — HI 81)
HI 51 x 0.18678680E-02 2 Hl 80 Г
Hl 61 = 0.249166518-02. - HI 79)
HI 71 =• В.2491271IE-02 — HI 70
HI 8> = 0.15865655E-02 — Hl 77)
HI 91 и. -0.97910350E-04 = HI 76)
Hl 10) = -0.19410625E-O2 • HI 75)
HI 111 = -0.30215697E-02 - Hl 74)
HI 12) = -0.25T39642E-02' - — Hl 73)
HI 13 > = -0.50516541£-03 5 Hl 72)
H( 14) = 0.236I4233E-02 — Hl 7.1)
HI 15) = 0.45090578E-02 - Hl 70)
HI 16) = 0.448I67J2E-02 Hl 69)
Mt 17) = 0.17732596E-02 —< HI 681
HI 18) x -0.26246300E-02 X HL 67)
Hi 19) x -0.64618774E-02 — H I 66)
HI 20) x -0.72999075E-02. s HI 65)
HI 21) x -0.39515309E-02 = "hi 64)
HI 22) = 0.25094124E-02 s Hl 63)
Hl 23) x 0.8B859461E-02 - Hl 6Z)
Hl 24) = 0.11317566E-01 HI 61)
HI 25) x 0.74656941E-02 г Hl 60 )
HI 26) - -0.173967336-02 - Hl 59)
Hl 27) = -0.119382816-01 — HI 58)
Hl 2«) - -0.17196327E-01 H I 57)
Hl 29) - -0.13203409E-01 = Hl 56)
HI 30) = -O.20433962E-03 = Hl 55)
Hl 31) x 0.16104147E-01 = HI 54)
HI 32) x 0.26654Я2Е-01 Hl 53)
HI 33) = 0.2349765SE-01 Hl 52)
HI 34) x 0'.46798Я2Е-0а - H ! 51 )
Hl 35) = -0-.23082972E-01 = Hl 50)
HI 36> x -0.45770526E-01 = Hl 49)
HI 37) x -0.47456115E-01 = HI 48)
HI 38) X -0.17646059E-01 = HI 47)
HI 39) = 0.42783618E-01 3 .Hl 46)
HI 40) x 0.12008423E-00 - Hl 45)
HI 41 > x 8.19173849Et00 = Mt 44)
HI 421 0.23 176 595Ё + 00 Ml 43)
BAND 1 BAND 2 BAND
LOWER BAND EDGE e.0 0.143750012
UPPER BAND EDGE 0,106249988 0.500000000
desired VALUE 1.00000000 0.0
WEIGHTING 1-00800000 100 .000000
DEVIATION 0.013479862 0.000134799
ATTENUATION ©B —37.4062805 -77.4062885
Таблица 7.36
RESPONSE LENGTH = 28
♦ IMPULSE RESPONSE »»»»•«
HI 1) г -0.92452988E-02 = Hl 281
HI 2) — 0.48678741E-02 = «( 271
HI 31 5 -0.19012168E-01 — HI 261
HI 4) s- -0.29299855E-02 .s- •HI 25)
. Hl 5) w 0.2476573OE.-03 3 HI 24)
Hl- 6) г -0.389606958-01 E HI 23)
Hl 7) — 0.S4496542E-01 E HI 22>
Hl 8) X -0.307580688-01 = Hl 21)
HI 91 s 0.56787618E-a1 5 Hl 20)
204
HI 10> = 0.81694543Ё-0Гх'.Н( 19)
Ж И) = И.60567111Е-82 в Н( 18)
HI 12) = 0.2035269 IE*00 = Н( 17)
Hl 13). = В.35124084Е-01 = И( 16)
Н< 14) в 0.159108646*00 = Н( 15)
BAND 1 BAND 2 BAND 3
lover band edge 0.0 0.127677977 0.270534992 0
UPPER BAN0 EDGE 0.015170598 0.158035994 0.300893009 0
DESIRED valve 1.00000000 0.0 0.0 0
weighting 1.00000000 50.0000000 50.0000000 50
DEVIATION 0.002009142 0.000040183 0.000040183 0
attenuation db -53.9397736 -87.9191095 -67.9191895 -87,
Табли)
RESPONSE LENGTH = 44
»,»,»« IHRULSE RESPONSE I»»»»*
HI 1) X -0.61250315E-03 X. HI 44)
Hl 2) 2 -0.23816109E-02 2 H ( 43)
H< 3) — -0.25331313E-02 X HI 42)
H( 4) x 0.12059398E-02. . = H < 41 )
Hi 5) x 0.38706948E-02 H f 40)
Hl 6) - -0.10447204Е-Й2 X Hi 39)
H( 7) X -0.64I53373E-02 S H ( 38 >
HI 8) X 0.31558424Е-03 2 HI 37)
Hi 9) r 0.10009665Е-Й1 X нс 36)
H< 18) 2 0.13063392E-02 X H t. 35)
Hi 11) X -0.14838643E-01 — H I 34)
Hl 12) X -6.42699017E-02 = HI 33)
Hl 13) — 0.21312147E-01 X HI 34»
Hl 14) 2 0.93307272E-02 X HI 31)
.Ml 15) X -0,30314639E-01 X Hi 30 )
Hl 16) — -0. 18J044442E-01 2 HI 29 )
HI 17) 2 0.44116110E-0L * H ( 28)
H< 18) - 0.34575820E-01 X H< 27)
HI 19» 2 -0.70442736E-0I X HI 26)
Hl 26) - -0.76266614E-01 2 H I 25)
Hl 21» 2 0. 15 90*2 5 49E*00 ‘ X H I 24)
Hl 22) = 0.43860304e*00 X HI 23)
, BAND 1 BAND 2 band
LQWER 8AND EDGE 0.0 0.287500024
UPPER BANOx EDGE 0,212499976 0.500000000
desired value 1.00000000 0.0
WEIGHTING 1.00000000' 50.0000000
Deviation 0.067025771 '0-000140515
ATTENUATION Ob -43.0661163 -77.0455170
Таблг
RESPONSE LENGTH x 84
*♦»♦•* IMPULSE RESPONSE ••**»«
HI 1» Я 0,54814364е-83 = HI 80
HI 2> я Z,39943377E-83 « Hl 83)
Hl 3) X 0,4912701Be-83 « Hl 82)
HI 4) z В,59Ц7679Е-03 x HI' 81)
HI 5) - 8.66805957E-g3 * HI 80)
HI 6) a «.7^8784588-03 HI 79)
Hl 7) я 0.699418138-03 x HI 78)
HI 6) X 0.63C90259E-03 x Hl 77)
ML 9) ж 0,4935595JE^B_3 x HI 76)
205
HC 10) а 0.28078351Е-03 « НС 75)
H( 1!) г -0,11676573Е-04 ж НС 74)
HC 12) = -0,387003688-03 е НС 73)
HC 13) г -0,85024117Е-23 г НС 72)
HC 14) р -0,153554238-02 = НС 71)
HC 15) - -0.33493489Е-02 = Н( 70)
нс 16) S -0.36!53728Е-02 = Н( 69)
HC 17) — -0,45470111Е-02 = НС 68)
HC 18) - -0.54745004Е-02 а НС 67)
HC 19 ) - -0.628291078-02 = Нс 66)
HC 20) -0.689888758-02 а Н( 65).
He 21) 3 -0,724997378-02 = НС 64)
He 22) 3 -0,727319726-02 = Нс 63)
HC 23) г -0.690458718-02 = НС 62)
he 24) г -0,608996678-32 = НС 61)
HC 25) - -0.47796406Е-02 -а" НС 60)
HC 26) = -0.292961588-02 = Н( 59)
He 27) - -0,481622068-03 а НС 53)
Hl 28) - 0,30636629Е-02 а НС 57)
HC 29) - 0,78942142Е-02 = Н( 56)
HC 3 0) = 0.11548072Е-01 = НС 55)
HC 3 1) г 0,16642496Е-01 = НС 54)
HC 32) я 0.22-1 49 1 0 1Е-0 1 = Н( 53)
HC 33) » 0.27869627Е-01 = НС 52)
ж 3«) - 0,33657551Е-01 = Н( 51)
не 35) 3 0,393634598-01 = НС 50)
НС 36) — 0,44846222Е-01 =’Н( 49)
НС 37) S 0,49958269Е-01 » НС 48)
ИС 38) - 0,54564103Е-01 = Н( 47)
нс 39) г 0.535289158-01 = НС 46)
нс 40) - 0.617247378-01 = НС 45)
н ( 41) - 0,639672558-01 » НС 44)
НС 42) = 0.64362076Е-01 а Н( 43)
BAND 1 BAND 2 BANO 3
LOWER BAND EDGE 0. В 0.056249999 0.127677977
UPPER BAND EDGE 0. 015 178598 0.086607218 ,0.158035994
DESIRED VALUE 1, 00000000 0.0 0.0
WEIGHTING 1, 00000000 50.0000000 50.0000000
DEVIATION 0. 005939238 0.000118735 0.000118785
ATTENUATION dB -44, 5253754 -78.5047913 -78.5047913
BAND 5 band 8 Band 7
LOWER BAND EDGE 0. 270536005 0.341964086 В.413397014
UPPER BAND EDGE 0. 30089J009 0.372321010 0.443750024
desjred value 0. 0 0.0 0.0
WEIGHTING 50. 0000003 50.0000320 52.0200200
DEVIATION 0. «00118785 0.000118785 0.000118785
ATTENUATION рв -78. 504791 3 -76.5047913 -76.5047*13
EANO 4
05199106991
0,229463995
0.0
50.0000000
0.000118785
-78.5047913
BAND 8
0.484821022
0.500000000
0.0
50.0000000
0.000118785
-78.50479 13
RESPONSE LENGTH = 46
*♦+»** IMPULSE RESPONSE
Таблица 7.39
H( 1) = 0.507966948-03 = H( 46)
H( 2) = 0.42066909E-03 = Hi 45)
H( 3) - -0.15705507E-02 = Hi 44)
H( 4) = -0.29075^-586-02 - HC 43)
H( 5) = 0.325572688-03 - H( 42)
Н( 6) = 0.39434619Е-02 = НС 41J
НС 7) ='• -0.26806723Е-03 = Н( 40)
НС 8) - -0.66645555Е-02 = НС 39)
НС 9) - -0.84405951Е-03 = НС 38)
НС 10) = 6'. 10078181Е-01 = НС 37)
НС 11) = 0.2710 1645Е-9 2 =. Н( 367
Н( 12)' г -0. 14720429Е-01 = НС 35)
НС 13) = -0.591458016-62 = НС 34)
НС 14) = 0,209372346-01 = НС 33>
Hi 15) = 0.11154708Ё-01 •£ Hl 32»
H( 16» — -0.29650077E-01 — H( 31»
H( 17) — -0.199B0609E-01 S Hl 30)
HI 15) 0.43 1 4 1469E-0 1 = H( 29)
H ( 19) X 0.365360058-01 = HI 28)
HI 2® J — -0.69167614E-01 z Hi 27)
HI 211 — -0.7818B300E-01 я HI 26)
HI 22) .s 0.15748203E+00 = Hi 25)
H( 23) a В•44036251£400 S HI 24)
LOWER BAND EDGE
UPPER BAND LDCE
desired value
WEIGHTING
DEVIATION
ATTENUATION DB
BAND 1 Band 2 BAND
e.e 0.287500024
0.212499976 0.500003080
1.00000000 0.0'
1.00000000 33.0000000
В.004548680 0.000137839
-46.8422852 -77.21255«9
Таблица 7.40
RESPONSE LENGTH = 12
- »**•»• IMPULSE. RESPONSE
LOWER BAND EDGE HI !) a 0.56 1074 17E-02 =. HI 12) HI 2) a 0.3536 1387E-02 а Щ 11» Ht 3). = -0.3835 3920Е-Й 1 = Hi 10) Hi 4) a -0.41065052E-0 i =-.H< 9) Hi 5) = 0.150743608*00 = HI 8) HI 6) = 0.41787100E*00 = HI 7) BAND f BAND 2 BANC1 ®-0 0.393750012
UPPER BAUD EDGE 0.106249968 8.500000000
DESIRED VALUE 1.00000000 0.0
WEIGHTING DEVIATION attenuation db 1.08880000 33.0000000 0.003314852 0.000100450 -49.5906982 -79.9609833
Таблица 7.41
RESPONSE LE4GTH = 28 c
h*» ** IMPULSE RESPONSE >
H( 1) a -0.94028041E-02 = HI 28)
HI 2) ж Й.49263090Е-02 = Hl 27)
HI 3) a -0. 193649B3E-B1 = HI 26)
И I 4) = -B.30722767P-02 = H( 25)
HI 5) = 0.97438693E-04 = HI 24)
HI 6) a -e.39859429E-B1 = HI 23)
HI 7) a 0.54989964E-0 1 a HI 22»
HI 8) a -0.31812027E-01 = Hi 21»
HI 9) = 0.56963563E-01 a HI 20)
Hi 10) - 0.820952066-81 a H I 19)
Hl 11) = 0.5,02204904-82 a Hi 18)
HI 12) = 0.205552708*00 a H( 17)
HI 13) = 0.34281835E-ei a. H ( 16)
HI .14) = 0. !6022402E*e,0 a H( 15»
BAND 1 BAND 2 BAND 3 BAND-
LONER BAND EDGE я.е 0.127678990 0.270536005 0.484821975.
UPPER BAND EDGE 0.015178598 0.158048987 0.300893009 0.500000000
OESIREO VALUE i.00000000 е.ъ 0.0 0.0
WEIGHTING 1.00000000 33.0000000 33.0000000 33.0000000
DEVIATION Я.081347625 0.6ВЯ04В837 0.000040837 *0.000040837
attenuation DB -57.4086151 -67.7786849 -87-, 7788649 -87.7788849 .
207
спектров уменьшению частоты дискретизации предшествует, как правило, фильт-
рация децимируемого сигнала х(пТ).
Схема, поясняющая принцип децимации сигнала х(пТ) с коэффициентом
децимации m (т — целое), показана на рис. 7.27,а. Предполагается, что спектр
входного сигнала занимает полосу нормированных частот ше[0; 0,5]. Задачей
схемы является уменьшение частоты дискретизации сигнала в т раз с сохране-
нием спектра, расположенного в полосе [0, wma*].
Коэффициент децимации т ограничивается сверху условием
^тах <1/(2т). (7.27)
На рис. 7.27,6 (позиция 1) условно показан модуль спектра входного сигна-
ла. Заштрихованная область соответствует части спектра, подлежащей выде-
лению.
Принцип работы схемы. Рассматриваемая схема представляет собой ПНДС
[(см. 2.5.6). Входной сигнал х(пТ) обрабатывается фильтром, назначение кото-
рого состоит в подавлении составляющих спектра в частотных диапазонах
Г. 1 1 1
I ‘ , G+1) ~ (1=1,2,...,т—1), которые при последующем уменьшении
.частоты дискретизации в т раз попадут в частотный диапазон [0,1/(2т)]. Идеа-
лизированная АЧХ фильтра нижних частот ПНДС должна удовлетворять требо-
ваниям
Л(ш)= |Я( е,2я“)] == Р ПРИ (7.28)
[0 при ше[0; 0,5], 1 '
где wmal<;0gj 1/(2т)+wmQI; 0=шгз— граничная частота полосы задержива-
ния фильтра. Амплитудно-частотная характеристика фильтра показана иа рис.
208
7.27,6 (позиция 2) для двух случаев: I—0=1/(2т); II—0=l/(2m)+wmox(O,l<
<t»max<0,125; m=4).
Спектр у*(е12л“>/) = y*(eI2«mw) выходного сигнала схемы в основной поло-
се частот |0,5], что соответствует частотному диапазону |ш|е[0;
1/(2т)], определяется (2.53). В полосе частот |w|e[0, штах] с учетом (7.28)
он равен спектру исходного сигнала, а в полосе |ay|e[u»»nax, l/(2m)J —либо
спектру исходного сигнала, измененному в соответствии с АЧХ фильтра (при
6^1/(2m)), либо сумме двух составляющих
У* ( е12:lmw) = — / X ( е’2 я w) Н ( е‘2 "
т I
х ( е’ 2 л jj ( ei 2л (ц>+1/т))
(при l/(2m)^0^1/(2m)+wmax). На рис. 1.41,6 (позиции 3 и 4) условно изо-
бражен модуль спектра выходного сигнала в случаях 0=1/(2т) и 0=l/(2m)-t-
4-И’тах соответственно (т=4).
В реальных условиях, используемых в ПНДС, амплитудно-частотная харак-
теристика аппроксимирует (7.28) с определенной степенью точности. В полосе
пропускания АЧХ имеет неравномерность ДАП, а в полосе задерживания — откло-
нение от нуля ДА3. При уменьшении частоты дискретизации происходит нало-
жение спектров. Спектр выходного сигнала определяется выражением
I т—1
У»(е12яти,) = —У х(е12л(К>+г/т))я(е!2л(Е>+//т))) |Ю|е[о,1/(2т)].
(7.29)
Первое слагаемое в правой части этого уравнения при 1=0 н jw|e[0,wmox]
можно рассматривать как спектр полезного сигнала, равный спектру входного
сигнала в данной полосе, измененного в соответствии с АЧХ фильтра в полосе
пропускания. Слагаемые при 1=1,2 т—1 и |w]ei[0, wmax] следует рассмат-
ривать как спектры помех, искажающие спектр полезного сигнала в полосе
[0, wmax] (см. пример 2.20, где в качестве АЧХ фильтра ПНДС следует рас-
сматривать АЧХ эквивалентного фильтра МНДС).
Выбор значений ДАП и ДА3 при решении аппроксимационной задачи осно-
вывается на требованиях конкретной проектируемой системы и аналогичен вы-
бору соответствующих значений в ПВДС (см. 7.3.4).'
Требования к АЧХ, определяемой (7.28), могут быть заметно облегчены, если
wmax<l/(2rn):
А (w) =
I при ше[0, Wmaxl:
Г 1
0 При WE Г--—Wmax
r + wmax I •
(7.30)
Условия (7.30) аналогичны условиям (7.14) при синтезе фильтров ПВДС
(см. 7.3.4 и рис. 7.13).
7.4.2. Особенности использования НФ и РФ при децимации
Нерекурсивный фильтр, используемый в ПНДС, частотная характеристика
которого определяется «высокой» (входной) частотой дискретизации, работает
практически иа «низкой» (выходной) частоте, поскольку нет необходимости рас-
209
считывать т—1 отсчет выходной последовательности у(пТ) фильтра (см,
рис. 7.27,а), которые будут отброшены КЧД.
Рекурсивный фильтр в ПНДС работает на «высокой» (входной) частоте дис-
кретизации, поскольку при вычислении любого отсчета последовательноети у(пТ)
необходимо иметь значения всех предыдущих отсчетов (и тех, которые далее
будут отброшены КЧД). Использование рекурсивного фильтра может оказаться
более предпочтительным при минимизации емкости оперативной памяти или
объема оборудования.
Число операций умножения в единицу времени для рекурсивного и нере-
курсивного фильтров соответственно равно
VP = (Nv + Mp — 1)/д и VB = Nn^,
tn
где Np и МР — число коэффициентов в числителе и знаменателе передаточной
функции рекурсивного фильтра; NE — число коэффициентов передаточной функ-
ции нерекурсивного фильтра; —частота дискретизации входного сигнала.
Применение нерекурсивного фильтра оказывается предпочтительным (по кри-
терию минимума операций умножения в единицу времени) при условии NE<Z
<m(Np+Mp—1).
При требовании сохранения фазовых соотношений между составляющими
спектра входного сигнала в полосе частот [0, wmax] в ПНДС целесообразно
использовать нерекурсивный фильтр с линейной фазовой характеристикой.
7.4.3. Структуры ПНДС при децимации сигнала
Простейшая нисходящая дискретная система (см. рис. 7.27,а), использую-
щая нерекурсивный фильтр с передаточной функцией
N-1
H(z) = ^\biz~l, (7.31)
описывается уравнением, получаемым из (2.54) с учетом (7.31):
N—1
у* (vT’) = y. bjxfymT—j Т), v = 0,l,2,.... (7.32)
i=o
Структура I. Уравнению (7.32) соответствует схема, в которой умножители
работают на выходной частоте дискретизации (рис. 7.28).
Структура II (полифазная). Структура основана на преобразовании уравне-
ний (2.54) и (2.55) и представлении ПНДС в виде эквивалентной схемы (см.
2.5.6). Структура содержит m параллельных ветвей обработки, в каждой из ко-
торых находится фильтр, работающий на выходной частоте дискретизации (см.
рис. 2.28,6). Фильтр-прототнп ПНДС для расчета параметров фильтров в ЭС
ПНДС является фильтром нижних частот, АЧХ которого удовлетворяет услови-
ям (7.28) или (7.30).
При использовании нерекурсивных фильтров порядок N передаточной функ-
ции фильтра-прототипа целесообразно выбирать из условия N—rm (г — целое
число). При этом все фильтры ветвей ЭС ПНДС будут содержать равное чис-
ло коэффициентов.
210
7.4.4. Однородный и триангулярный фильтры при децимации
Однородный фильтр, используемый в ПНДС, имеет передаточную функцию
j N—1
Я(г)=—2 г~1. (7.33)
" z=o
Амплитудно-частотная характеристика фильтра с передаточной функцией (7.33)
определяется формулой
ЛМ=|Я(е»-)|=4=^ (7.34)
N sin л w
и приведена на рис. 7.29 (кривая 1) для Лг=8.
Порядок N передаточной функции однородного фильтра и коэффициент де-
цимации т целесообразно (но не обязательно) выбирать из условия
N = km, Л=1,2,..., (7.35)
поскольку однородный фильтр обеспечивает существенное подавление лишь в
незначительном удалении от частот w=r(llN), г=1, 2, ...
После уменьшения частоты дискретизации при выполнении (7.35) в полосу
[О, Штох] согласно (2.36) и (7.29) попадают инверсные составляющие спектра
исходного сигнала частотных диапа-
зонов [lk(\/N)—Wmax, ZA(1/A’)] и со-
ставляющие частотных диапазонов
[Ik(ljN), lk(HN)+WTnax], /=1, 2, ..., из-
мененные в соответствии с АЧХ фильт-
Рис. 7.28
Рис. 7.29
ра. Наименее подавленными являются составляющие на границах диапазонов,
т. е. на частотах lk(l/N) ±wmax.
Пример 7.6. Рассмотрим ПНДС с однородным фильтром (7.33) при W=
=8. В табл. 7.42 приведены значения ДАП и ДЛ3 на границах частотных диа-
пазонов r(\IN)±WmaX (г=1, 2, 3, 4).
Если zn=.W=8 (£=1), в диапазон [0, Wmax] после уменьшения частоты
дискретизации попадают составляющие всех диапазонов г(1/Лг) ±к.'тах (для диа-
пазонов [r(\)N)—WmaX, r(\IN)] — инверсные составляющие).
Если т=4 (Л=2), в диапазон [0, wmox] попадают составляющие диапа-
зонов r(\/N)±wmax только для г=2 и 4 (r=lk), причем для диапазонов
[(2/.V) —wmax] и [0,5—Wmax] — инверсные составляющие.
211
На рис. 7.29 условно показаны модули составляющих спектров, попадаю»
щих в диапазон [0, штоя] при т=4.
Передаточной функции (7.33) эквивалентна передаточная функция рекур-
сивного фильтра:
\-z~N
1—г-1 '
(7.36>
Структура реализации ПНДС (см. рис. 7.27,а) при использовании однород-
ного фильтра (7.33) с N=m приведена на рис. 7.30. В схеме N отсчетов вход-
ного сигнала х(пТ) склады-
ваются в накапливающем
сумматоре (состоящем из ком-
бинационного сумматора S и
регистра RG). На N-м такте
Jx (пТ)
Счигп. исВрос(СС)
y*(V?7
содержимое регистра счи- ,
тывается на выход, а регистр Рис. 7.30
обнуляется.
Триангулярный фильтр, используемый в ПНДС, имеет передаточную функ-
цию
j / N—1 \2 । 2N— 2
яи=Мй 2 Г ~ £‘‘г" <7Л7)'
Амплитудно-частотная характеристика фильтра (7.37) определяется форму-
лой
А (ш) =
sin л A w X2
sin л w I
(7.38>
1
№
и приведена на рис. 7.29 (кривая 2) для N=8.
Коэффициент m и порядок фильтра W целесообразно выбирать из условие
(7.35).
Счигп. на (Сч)
Рис. 7.31
213
212
Тип фильтра АЛП, дВ
Г”1
1 r N ~wmax 1 г'~тг +w™x N
0,0125 Однородный -0,325 —43,8 -47,7
Трнангулярный —0,650 —87,7 -95,3
0,025 Однородный —1,313 —28,7 -36,4
Трнангулярный —2,626 -57,5 —72,8
0,0375 Однородный —3,007 — 19,7 —31,5
Трнангулярный —6,015 —39,5 —63,0
0,040 Однородный —5,490 -13,5 —29,6
Трнангулярный — 10,980 —27,0 -59,2
Таблица 7,42
inax АЛ3, дБ
г=2 г-3 r=4
1 Лг ''“77 + N 1 ' N I ' — +w>»« 0,5—wmox
-57,3 —58,9 —63,1 —63,8 -65,0
-114,6 —117,8 —126,3 — 127,6 —130,1
—43,6 —46,7 —49,9 —51,2 -52,1
—87,2 —93,4 —99,8 —102,4 —104,3
—36,2 —41,0 —43,1 —45,1 —45,7
—72,5 —82,0 —86,2 —90,1 —91,4
—31,9 —38,3 —39,4 —42,0 —42,3
—63,9 —76,7 —78,8 —84,0 —84,7
В табл. 7.42 приведены значения ДЛП и Л3 на границах частотных диапазо-
нов г _L±wmax, r= 1,2,3,4, для Лг=8.
П
Передаточной функции (7.37) эквивалентна передаточная функция рекурсив-
ного фильтра
1 / 1-Г"\2
• (7'39)
Структура реализации МНДС (см. рис. 7.27,а) при использовании триан-
гулярного фильтра с N=m приведена на рис. 7.31 [7.1].
Пример 7.7. Рассмотрим работу схемы (см. рис. 7.31) при А=т=4. Пере-
даточная функция триангулярного фильтра (7.37) содержит семь коэффициен-
тов: {1, 2, 3, 4, 3, 2, 1}. Перед тактами n=kN+l, k=0, 1, 2, ..., содержимое
всех регистров схемы обнулено (считывание содержимого регистров RGi h/?G2
и сброс осуществляются на тактах n=kN). В табл. 7.43 приведены содержи-
мое регистров RGX и RG2 и значения сигналов в точках А—F схемы при вход-
ном сигнале х{пТ)—хп.
7.4.5. Простейшая НДС с оптимальными фильтрами
Простейшая нисходящая дискретная система с однородным (триангулярным)
•фильтром часто вносит значительные искажения в спектр децимированного сиг-
нала в полосе [0, Wmax] из-за относительно большой неравномерности АЧХ
•фильтра в полосе пропускания и малого подавления в полосе задерживания [осо-
бенно при wmax, близкой к 1/(2т)]. Наилучшие результаты при децимации (так
же, как и при интерполяции) достигаются при использовании в ПНДС фильтров,
оптимальным образом удовлетворяющих условиям (7.30).
Пример 7.8. Рассмотрим ПНДС, задачей которой является уменьшение ча-
стоты дискретизации fB=112 кГц в т=14 раз (до ['д = 8 кГц) при заданных
значениях: ДАд« ±0,023(±0,2 дБ), определяющей искажения составляющих
спектра в выделяемой полосе от 0 до 1,7 кГц (u>maa:=0,0151785), и ДА3=
=0,03162 (—‘50 дБ), определяющей величину составляющих спектров, появив-
шихся после уменьшения частоты дискретизации в полосе [0,
При решении аппроксимационной задачи требования к АЧХ фильтра долж-
ны быть заданы на основе (7.30). Эти требования совпадают с требованиями
к фильтру ПВДС, предназначенному для увеличения частоты дискретизации
Гд=8 кГц сигнала, спектр которого занимает полосу частот от 0 до 1,7 кГц,
в т=14 раз, т. е. до частоты /д=112 кГц (см. пример 7.4). Поэтому опти-
мальный фильтр ПНДС будет таким же, как и фильтр ПВДС. Значения коэф-
фициентов передаточной функции фильтра приведены в табл. 7.33.
Структура ЭС ПНДС (полифазная). Простейшая НДС может быть пред-
ставлена в виде структуры (см. 2.5.6, 7.4.3 и рис. 2.28,6), содержащей т=14
параллельных ветвей обработки сигнала. Фильтр &-й ветви ЭС ПНДС есть
фильтр такой же ветви ЭС ПВДС (см. пример 7.4).
7.4.6. Перенос спектра при полосовой фильтрации с уменьшением
частоты дискретизации
Рассматривается уменьшение частоты дискретизации в пг раз с помощью
ПНДС (см. рис. 7.27,а), содержащей полосовой фильтр с передаточной функцией
H(z). Предполагается, что спектр Х(е12лм) входного сигнала х(пТ) можно раз-
бить на m составляющих Хг(е12лю), 1=0,1,... ,т—1, каждая из которых зани-
> Г 1 1 1
.-мает часть частотного диапазона Ые I — , (/+1) ~ :
[2m 2т\
214
(е,2яа,) =
т—1 т—1
Х(е12я“’)=2 Х,(е,2я“’) = 2 {Xt(ei2ltw) + Xr(ei2ll“’)}, (7.40)
z=o z=o
где
Х(е12лш) при we [ w[, w!,];
0 при w^-[wp 1^2]»
Х+г(-) и Х“г(-) соответствуют верхней (w>0) и нижней (ш<0) полосам Z-й
составляющей спектра; wli = l— +Wi; w,2=l~+w2, где wt и w2— фиксирован-
2m 2m
ные значения.
Полосовой фильтр ПНДС выделяет Z-ю составляющую спектра Х/(е!2-^и)..
Амплитудно-частотная характеристика фильтра должна удовлетворять требова-
ниям
A (w) =
1 при weL-^-. + wi, I——+w2|;
[ 2mJ t2m J
(7.41)
0 при w<£ (Z—1) —— + w2, G+ 1)_5Z- + K’i •
1 ZZ7Z zZTZ
Перенос спектра выделенного сигнала в область нижних частот [0; 1/(2т)]
осуществляется при уменьшении частоты дискретизации с помощью КЧД. При
этом в полосе [0; 1/(2т)] располагается либо прямой спектр Х+;(е12л«) Z-й со-
ставляющей спектра входного сигнала (при Z=0,2, 4,...), либо инверсный спектр
(при Z=l,3, 5,...) (см. 2.5.3).
Амплитудно-частотная характеристика полосового фильтра ПНДС должна
удовлетворять практически тем же требованиям, что и АЧХ полосового фильтра
Рис. 7.32
215
Номер * такта п RGi bg2 А в
1 9 Хя Хя
10 Хд + Х10 2хя+хю
11 ЗХд +2X10 + Хц
2 12 о х»+Ж1о+Хц + + Х12 4Хд+ЗХю + + 2хц+Х12 Яо + Х1о + + Х11 + Х12 4хэ + Зхю + +2хц +Х12
13 Xis Xis
14 Х13 + Х14 2Х13+Х14
15 Х1з+х14 + Х15 ЗХ1з + 2Х14 + Х15
16 ^1з + Хц + Х15 + +*1в 4Х1з+3X14 + + 2X15 +Х10 Xis+*u+ + Х15+Х13 4xi3 + 3xi4 + + 2X15 +Х16
Таблица 7.43
С л Е F
4(xg+xio + + Хц+Х1а) Хю + 2хц + + 3X12 Хб + 2х? + + Зхз Хб + 2X7 + Зхз + + 4Хд + ЗХю + + 2хц +Х12
4(Х1з + Х14 + + Хщ + Хю) #14+2X15 + + 3хю Хю + 2хц + + 3X12 Хю+ 2хи+ЗХ12+ + 4xis+3xu+ +2xis+xie
ПВДС для интерполяции сигнала с переносом спектра в область частот Г/—,
[ 2т
(/4-1) -—1 [см. (7.41) и (7.25)]. Отличие состоит в наличии постоянного множи-
2mJ
теля, равного т, у фильтра ПВДС и в границах полос пропускания и задержи-
вания (при wt=^w2).
Пример 7.9. Рассматривается ПНДС (см. рис. 7.27,а) при децимации вт=
=4 раза сигнала, спектр которого можно представить в виде (7.40), т. е. раз-
бить на четыре составляющих, каждая из которых занимает часть частотного-
диапазона [l^-, (1+1) ] > 1=0, 1, 2, 3.
Модуль спектра входного сигнала показан на рис. 7.32,а. Составляющая
спектра Х](е12л“) занимает часть частотного диапазона | w | е [ 1 /2т, 2-1/2т],
располагаясь в полосе частот |w|s[l/2m+wb l/2m+w2], Составляющая
Х2(е'2як) занимает часть частотного диапазона [2-1/2т, 3-1/2т] и т. д.
.Сигнал х(лТ) можно рассматривать как групповой четырехканальный сиг-
нал с частотным разделением каналов.
Если АЧХ идеализированного фильтра удовлетворяет условиям (7.41), вы-
ходной сигнал у(пТ) фильтра (входной сигнал КЧД) будет иметь спектр, со-
держащий гармонические составляющие с амплитудой, отличной от нуля, только
в одном из диапазонов частот ^+^[2m] и опеРаЦИя децимации, вы-
полняемая КЧД, не сопровождается наложением спектров.
На рис. 7.32,6—ас последовательно изображены АЧХ полосового фильтра,
модуль спектра сигналов у(пТ) на выходе фильтра и у*(уТ') на выходе КЧД
при выделении составляющих Х1(е12я“) (при 1=1) и Ха(е12яш) (при 1=2) со-
ответственно. Из рис. 7.32, г, ас видно, что в низкочастотном диапазоне [0;
1/(2т)] после децимации располагаются инверсный X"i(-) и прямой Х+2(-)
спектры.
7.4.7. Перенос спектра при децимации комплексного сигнала
Рассматривается задача уменьшения частоты дискретизации вещественного;
сигнала х(пТ) в m раз с помощью ПНДС, содержащей фильтр нижних частот.
Схема, осуществляющая децимацию сигнала с переносом выделенной части спект-
ра в низкочастотную область, показана на рис. 7.33,а. Она аналогична схеме
интерполяции (см. рис. 7.23,а).
Принцип работы схемы. Входной сигнал х(пТ) со спектром (7.40) умножа-
ется на дискретную экспоненту е12лу/« (о выборе значения у см. 7.2.1). Пр»
уг=—(ta'i+^y/S верхняя боковая полоса составляющей спектра Х+г(е’2лто) за-
нимает частотный диапазон [—(ш2—wt)/2, (w2—Wi)/2]. Далее 1-я составляющая
выделяется ФНЧ и осуществляется децимация выходного сигнала фильтра
р(пТ). Последующее умножение сигнала р*{уТ') на дискретную экспоненту
е12п₽т, Где т(®2—®i)/2^P^0,5—m(w2—o>i)/2, осуществляет сдвиг составляю-
щей Х+;(-) в произвольную область диапазона [0; 1/(2т)]. Вещественный сиг-
нал у*(уТ') с требуемым спектром получается выделением вещественной части
сигнала у(уТ') с помощью элемента Re.
На рис. 7.33,6 для т=4 показаны модули спектра сигналов х(пТ) (пози-
ция 1) и х(пТ) (позиция 2), АЧХ ФНЧ (позиция 3), модули спектров сигналов
р(пТ) (позиция 4), р*/уТ') (позиция 5), у(пТ') (позиция 6) и у*/уТ') (пози-
ция 7).
217
7.4.8. Децимация сигнала с помощью МНДС
При уменьшении частоты дискретизации сигнала в т раз (если число т Из-
лагается на простые множители) можно использовать многократные НДС (см.
р
2.5.7) . При коэффициенте децимации где каждый множитель —
k=i
целое число, МНДС состоит из р подсистем, причем частота дискретизации на
выходе Л-й, й=1,2,... ,р подсистемы, в т* раз ниже частоты дискретизации на
ее входе (см. рис. 2.33).
exp(-i27rpn]
СВ Виг j Децимация
спектра j
с>
еХр(:2Тс/$
I Перенос спектра и
I получение Вещест-
венного сигнала.
Рис. 7.33
Выбор структуры МНДС зависит от конкретного приложения. Принципы
определения структуры МНДС и МВДС аналогичны (см. 7.3.10). Основными ре-
комендациями при синтезе МНДС, состоящей из р подсистем, являются следую-
щие [2.8]:
коэффициенты децимации £=1,2,..., р, должны удовлетворять условию
допустимая неравномерность АЧХ в полосе пропускания фильтра k-Й под-
системы AAkn = AAn/p, где ДАП—допустимое искажение спектра децимируемого
сигнала;
допустимое отклонение от нуля АЧХ в полосах задерживания фильтра £-й
подсистемы ДАк3=ДА3, где ДА3— допустимое подавление составляющих спект-
218
ра децимируемого сигнала, вносимых при децимации в низкочастотный выделяе-
мый диапазон;
АЧХ фильтров каждой подсистемы (как правило, кончая предпоследней) име-
ют «безразличные» полосы (см. 7.4.1), в которых величину ДА3 выдерживать не
требуется;
каждая подсистема строится по любой из структур ПНДС.
Пример 7.10. Рассмотрим построение схемы децимации сигнала в т=28раз
(с частоты fB=112 кГц до Гд=4 кГц) с сохранением спектра, расположенного
в диапазоне от 0 до 1,7 кГц (шт ох=0,0151785). Требования к спектру деци-
мированного сигнала: составляющие исходного спектра в полосе [0, wmax]
должны быть искажены не более чем на ±0,13 дБ (ЛАП« ±0,015); составля-
ющие в полосах, попадающих при децимации в полосу [0, штая], должны
быть подавлены не менее чем на —76,5 дБ (ААа=0,00015).
Возможны четыре варианта построения схемы, соответствующие различным
разложениям коэффициента децимации т на множители: т=28=7Х4= 14X2=
=7X2X2. Граничные частоты полос пропускания (сг>г.п) и задерживания (шгг.з i,
и'г.за) фильтров подсистем, а также значения ДАЙП и ЛАЙ3 для данных ва-
риантов оказываются такими же, как для соответствующих вариантов построе-
ния схемы интерполяции, рассмотренной в примере 7.5. Следовательно, при ре-
шении данной задачи значения основных параметров подсистем децимации мож-
но взять из табл. 7.33, а коэффициентов bi передаточных функций нерекурсив-
ных фильтров подсистем для различных вариантов — из табл. 7.34—7.41.
Число операций умножения и объем оперативной памяти оказываются ми-
нимальными при построении схемы в виде трехкратной системы с mi =7, m2=
= 2 и m3=2.
8. ЦИФРОВЫЕ МЕТОДЫ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА
8.1. ЦЕЛИ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА.
КЛАССИФИКАЦИЯ МЕТОДОВ
8.1.1. Цели спектрального анализа
Основной целью спектрального анализа являются оценивание спектральной
плотности мощности (СПМ) дискретизированного процесса и обнаружение при-
сутствия в течение определенного интервала времени периодического сигнала с
определенными параметрами [8.1]. Обработка дискретизированного процесса
производится последовательно во времени, причем одновременно обрабатывается
N отсчетов. Интервал 0=NT называют длиной реализации, или интервалом на-
блюдения [8.2].
Основные факторы, определяющие точность спектрального анализа: интервал
наблюдения & и априорная информация о дискретизированном процессе.
8.1.2. Классификация методов спектрального анализа
Все методы можно разбить на две группы:
методы, в той или иной форме реализующие Фурье-анализ дискретизирован-
ного процесса;
методы, в которых априорно выбирается линейная модель, представляющая
собой дискретный фильтр, и определяются параметры этой модели, соответствую-
щие анализируемому дискретизированному процессу.
К первой группе относятся методы Блекмана — Тьюки (корреляционный ме-
тод) и периодограмм [1.6], ко второй группе — методы оценивания СПМ на
основе авторегрессии и скользящего среднего, Писаренко и ряд других [6.8].
219
8.2. МЕТОД ПЕРИОДОГРАММ
8.2.1. Алгоритм метода периодограмм
Пусть 8аданы интервал дискретизации анализируемого процесса Т и необ-
ходимая разрешающая способность Д/ спектрального анализа. Тогда интервал
наблюдения 0 и число N обрабатываемых на этом интервале отсчетов определя-
ются как [8.1]:
в = К0/Д/; W-intlO/T], (8.1)
где Ко — коэффициент, определяемый видом оконной функции [см. формулу
(8.10)].
Алгоритм метода периодограмм состоит из двух этапов:
обработки сигнала на интервале наблюдения 0;
усреднения результатов, полученных для нескольких интервалов наблюдения
с целью уменьшения дисперсии оценки.
Первый этап включает следующие шаги:
1. Определение величины N с помощью (8.1): если N=£2m, то последова-
тельность отсчетов дополняется нулями так, чтобы выполнялось равенство W=
=2m,— это облегчает применение стандартной процедуры БПФ.
2. Выбор оконной функции рп (см. 8.2.3) и вычисление по алгоритму БПФ,
сглаженной с помощью оконной функции, последовательности хт(пТ) на r-м ин-
тервале наблюдения 0Г:
XT(k) = 2 xr(«7)pne N , fe = 0,I,...,-Ai—I. (8.2)
n=0
3. Расчет величины Ir(k), называемой периодограммой:
/ N-l
Ir(k) = \XT(k)\^ Рп- (8.3)
I п—0
4. Если в задаче обнаружения принятие решения по величинам Ir(k) ока-
зывается невозможным, следует повторить шаги 2 и 3, дополнив последователь-
ность отсчетов нулями и увеличив W в 2, 4 или 8 раз (это позволяет устранить
неопределенности в периодограммах [6.8]). В этом случае вместо формулы
(8.2) на втором шаге необходимо пользоваться модифицированной формулой
— 1 2 Л
ЛГ-2^ f
X*(fc) = 2 МйГ)₽пе , * — 0,1,..., ДГ.2*, (8.4)
n=t
где
xr(nT) при —1;
0 ири n>N — 1.
Ms сравнения (8.2) и (8.4) видно, что Xr(k)—X'r(s), где s—k-21, т. е. добав-
ление нулевых отсчетов не изменяет основных составляющих спектра Xr(k), оп-
ределяемого (8.3), лишь появляются промежуточные составляющие.
Второй этап включает следующие шаги:
1. Выбор коэффициента D перекрытия соседних интервалов наблюдения; как
правило, £>=0,5 (рис. 8.1,а) или £>=0,75 (рис. 8.1,6).
220
2. Расчет числа V интервалов наблюдения
V = Еп [(L—DN)/(N—DN)]*,
где L — общее количество отсчетов анализируемого процесса, доступное обра-
ботке. . 0f
3. Расчет усредненной оценки СПМ: г ; —--- ..... " *
1 5 ’
Sx(k)=—^IT(k). (8.5) С)-
Г=‘ Вт ’ вз
4. Расчет коэффициента М, показыва- д " . ?------ 1 ’ '$
тощего, во сколько раз уменьшается диспер- &
сия оценки СПМ за счет усреднения по от- s) 2
дельным интервалам наблюдения: рис gf
М =—j----------------------------- (для 7? = 0,5);
у[1+2С2(0,5)1—— С2(0,5)
М = --------------------------------------------------- (для 0=0,75).
у [1 +2С2 (0,75) +2с2 (0,5)]—~ [С2 (0,75)-[-2с2 (0,5)1
Здесь величины с (0,5) и с (0,75) определяются видом оконной функции рп
(табл. 8.1, а также см. табл. 1 в '[8.2]); общая формула для расчета М при
произвольном значении рп приведена в [1.6].
8.2.2. Основные свойства оконных функций
Умножение отсчетов анализируемого процесса на значения рп эквивалентно
свертке соответствующих спектров {см. (1.11)]. Рисунок 8.2 иллюстрирует дей-
ствия оконной функции. На рисунке приняты следующие обозначения: со —
нормированная частота (условие нормировки 7=1 с, т. е. сод=2л с-1); |Р(е*о)|,
|Х(е*“) | и |ХР (е*“) | —модули спектров оконной функции, анализируемого сиг-
нала и дискретного сигнала, полученного после умножения отсчетов анализируе-
01g а)
, Обнаруживае- мый сигнал Метающий сигнал
’/'///////Р/Л 7//W/7 " Спектр шума.
Cl)q Cl)j Cl)
IX^ll
Рис. 8.2
* Символ [ ]
скобки».
означает «целая часть числа, заключенного в квадратные
221
222
Окопная функция Модуль Фурье-преобразова- ния оконной функции
Прямоугольная Рп=1 |Р(е‘“7') |=е 2 X sin (Л/_со Т/2) Х sin (со Т/2)
Треугольная п при п = 0, 1, AZ/2 N/Z’ ' М—п при n=--N/2, .... N/2 Л’“1 |P(elw7’)|=-y X X е v 1 X / sin (N го Т/4) у Х \ sin (го Т/2) J
Хэмминга рп — 0,54—0,46cos2nn/W ( |Р(е1и7’)|=0,54Р(гоТ) + +0,23 [П (соТ—2л/Л0+ +D (roT+2n/^)], <оГ П(соТ) = е 2 X sin го Т/2) Х sin (со Т/2)
Таблица 8.1
Й ё 'Ь? <1 С (0,5), % с (0,75), % Дп, ДБ ГЛ ю «О A-prW> бии V5, дБ/ок- тава
ТУ=3 W = 6
1 1 50 75 —3,92 —13 0,12 0,89 1,21 -6
1,33 0,5 25 71,9 —1,82 —27 0,039 1,28 1,78 —12
1,36 0,54 23,5 70,7 — 1,78 —43 0,046 1,30 1,81 -6
Оконная функция
Кайзера — Бесселя
/0[ла]
при 0<ra</V/2;
223
/0[ла]
при Л72<жЛЛ—1,
... ~ Г(*/2)Н2
где 7о(х)==2 ,
fe=0l k! J
Модуль Фурье-нреобразова- ния оконной функции ДГШ, бин ks
Zo (ал) sfttVa^n2 —(AZcoT/2)z] Уа2л2 —(ШТ/2)2 а — 2 1,5 0,49
а=2,5 1,65 0,44
а = 3 1,80 0,40
а-^3,5 1,93 0,37
С (0,5), % ю о «0 И tf и мб, дБ <о AJ-'’р-^, бип V6, дБ/ок- тава
W = 3 W-0
16,9 65,7 —1,46 —46 0,049 1,43 1,99 —6
Н,2 59,5 —1,20 —57 0,051 1,57 2,20 —6
7,4 53,9 —1,02 -69 0,053 1,71 2,39 —6
4,8 48,8 —0,89 -82 0,055 1,83 2,57 —6
мого сигнала на отсчеты оконной функции. Значения функции | Хр (е*“) | показа*
ны лишь для ы=Ыо (частота обнаруживаемого сигнала) и co=(oi (частота ме-
шающего сигнала). Вычисляя эти значения, можно обнаружить сигнал.
Ниже отмечаются основные свойства и характеристики оконных функций,
позволяющие выбрать конкретную рп и использовать ее для обработки анали-
зируемого сигнала:
1. Отсчеты рп симметричны, за исключением р0
Pn = PN-n, n = l,2,..., N— 1. (8.6)
Пример 8.1. Отсчеты треугольной оконной функции (см. табл. 8.1) при N=
=6 имеют значения: ро=О; pi=p5=l/3; р2=р4=2/3; ps=l.
2. Эквивалентная шумовая полоса (ЭШП) оконной функции с N отсчетами
Afinw определяется в бинах как
(8.7)
Меньшей величине AFmw соответствует меньшее влияние мощности шума в ана-
лизируемом процессе на величину lT(k) [см. (8.3)].
Пример 8.2. Для треугольной оконной функции N=2K; ръ=&,
г 1/К при /я» 1,2,..., К;
Р1=Ц2К— /)/К при 1 = 2Д-—1;
ДРшЛГ = 2(27<2+1)/(37<2).
Как правило, N"S>1 и вместо AFmw, определяемой (8.7), используют предельную
эквивалентную шумовую полосу ДРШ (см. табл. 8.1), измеряемую в бинах:
ДЛп^НтДК^. (8.8)
N-+OQ
Пример 8.3. Для треугольной оконной функции AFm=l,33.
Эквивалентная шумовая полоса (ЭШП) оконной функции — это удвоенная
ширина полосы пропускания идеального ФНЧ, у которого максимальное значе-
ние АЧХ равно максимальному значению модуля Фурье-преобразования оконной
функции, а мощность шума, пропускаемая фильтром, равна мощности шума пос-
ле обработки его оконной функцией (рис. 8.3). Пусть обрабатываемая- последо-
вательность представляет собой сумму гармонического сигнала с частотой вн—
—12л/(NT), совпадающей с бином ДПФ, и белого шума. Тогда значение ДРШ
показывает, во сколько раз уменьшается отношение сигнал-помеха после обра-
ботки входной последовательности оконной функцией.
Рис. 8.4
Рис. 8.3
224
3. Ширина главного лепестка (рис. 8.4) AFrww модуля Фурье-преобразова-
иия | PN (е*ю) | оконной функции с N отсчетами, которая определяется по уров-
ню W, дБ, относительно max|PN(e’“)| и измеряется в бинах, AFr/nr=cojvWnf
где Ол- — наименьший по абсолютному значению положительный корень урав-
нения
1 ( е* “) I = шах (Рд, ( е* “)|/1 (Я20.
Пример 8.4. Для прямоугольной оконной функции прн ТК=3 дБ AFrssW*
«0,127.
Ширина главного лепестка модуля Фурье-преобразования, отсчитываемая по
уровню W, дБ, и измеряемая в бинах,
A FtW = 1 im (°5N (8.9)
JV->OC
В табл. 8.1 приведены значения ДРГ w при 1К=3 дБ и 157=6 дБ для некоторых
оконных функций. Величина ДБГ6 характеризует разрешающую способность ДПФ
с учетом выбранной оконной функции [8.2]. Можно считать (см. 8.1), что
M0 = AFre. (8.10)
4. Качество оконной функции [8.2] зависит, в частности, от значения б:
6=(AFr3—А Рщ)/Д ^гз' (8.11)
Параметр б определяет эффективность оконной функции в том случае, когда
обрабатываемая последовательность представляет собой сумму гармонических
сигналов с частотами, не кратными 2л/(ПТ), т. е. не совпадающими с бинами
ДПФ, и белого шума. Для эффективных в этом случае оконных функций [8.2]
справедливо соотношение (см. табл. 8.1)
0,04<6< 0,055. (8.12)
5. Когерентное усиление оконной функции с JV отсчетами выражается фор-
мулой
К max|PJV(ei“7')| '
В табл. 8.1 приведены значения когерентного усиления, определяемого как
Мк=НтМкЛ?. (8.13)
N~>oo
Величина Кк характеризует относительное усиление гармонического сигнала, час-
тота которого совпадает с одной из частот базисного множества ДПФ.
6. Максимальный уровень Мб боковых лепестков модуля Фурье-преобразо-
вания оконной функции, измеренный в децибелах по отношению к уровню глав-
ного лепестка (см. рис. 8.4), и асимптотическая скорость Vg спада боковых ле-
пестков, измеренная в децибелах на октаву,
характеризуют степень «просачивания» «лиш-
них» спектральных составляющих, соответ-
ствующих боковым лепесткам. Чем мень-
ше Мб и выше Кб при одинаковых мак-
симальных уровнях, тем меньше «про-
сачивание» лишних спектральных состав-
ляющих.
8—89 225
Рис. 8.5
7. Паразитная амплитудная модуляция Ап (см. табл. 8.1) характеризует от-
носительную амплитуду гармонического сигнала после обработки с помощью
оконной функции и вычисления ДПФ в самом неблагоприятном случае — когда
частота этого сигнала находится точно посредине между базисными частотами
ДПФ (рис. 8.5). Величина Ап, измеряемая в децибелах, определяется как
Дп = 20 lg [|Р ( е* r)|/max IР ( е1 “ ОI], (8.14)
где &i=n/(NT).
8.2.3. Принципы выбора оконной функции
Выбор оконной функции определяется двумя факторами:
характером решаемой задачи;
требованиями к характеру используемых вычислительных средств и допусти-
мому времени решения задачи.
Ниже в соответствии с характером решаемой задачи рассматриваются лишь
некоторые примеры выбора оконной функции из числа приведенных в табл. 8.1.
Пример 8.5. Пусть обрабатываемая последовательность
/ 2л \
I nk | ,
\ NT у
х (пТ) sin
п = 0,1.N—1,
где Ак и фп—неизвестные заранее амплитуды и фазы гармонических состав-
ляющих; k — неизвестные заранее целые числа, определяющие частоты гармони-
ческих составляющих, совпадающих с бинами ДПФ. В данном случае для оп-
ределения А/. и ерь достаточно использовать прямоугольную оконную функцию.
Вычисление Ак и ф& выполняется согласно (8.2), причем
Л=|Х(Й)|; фй - arg[X(*)]
и нет необходимости в усреднении в соответствии с (8.5).
Пример 8.6. Пусть обрабатываемая последовательность
(пТ) = х (пТ) 4- 9 (пТ),
где х(пТ) определено в примере 8.5; q(nT)—последовательность отсчетов бе-
лого шума.
В данном случае для определения неизвестных величин Ак и ерь (или А2к)
целесообразно обработать последовательность оконной функцией, которой со-
ответствует наименьшее значение ДГш, т. е. прямоугольной оконной функцией,
н произвести усреднение в соответствии с (8.5).
Пример 8.7. Пусть обрабатываемая последовательность представляет собой
сумму двух гармонических сигналов с неизвестными заранее частотами и фа-
зами:
Х2 («Л — A sin (ПС011Т + Ф1) + A sin (n Cl>2 T + ф2) ,
где coii<coi<coi2; «21СШгс«22; con, «12, <*>21, «22 — заданные частоты;
«2i >«i2. Требуется определить coj, со2 и A2it А2?, причем заранее известно, что
Л21«Л22. B -Данном случае для обработки можно использовать прямоугольную
оконную функцию. Полагая в (8.1) Af=(«2i—«12)/(2л) и K0=AFTe [см. (8.10)
и табл. 8.1], можно определить интервал наблюдения 0, а по известному зна-
чению Т — число обрабатываемых отсчетов N. При вычислении спектра в соот-
ветствии с (8.2) и (8.3) для fe=0, 1, ..., —1 может иметь место неопределен-
ность [6.8],' т. е. принятие решения оказывается невозможным из-за наличия
нескольких одинаковых значений I(k). Для того чтобы исключить неопределен-
ность, необходимо к последовательности х2(иТ) добавить N (21—1) нулевых от-
счета и использовать для вычислений X{k) формулу (8.4). При этом сначала
принимается 1=1, т. е. добавляется N нулевых отсчетов и вычисляются I(k).
226
Если неопределенность сохраняется, то принимается 1—2 и т. д. до тех пор,
пока не устраняется неопределенность, мешающая принятию решения.
Поскольку обрабатываемая последовательность не содержит шумовой со-
ставляющей, нецелесообразно проводить усреднение в соответствии с (8.5).
Пример 8.8. Пусть обрабатываемая последовательность такая же, как в
примере 8.7. Требуется определить <0i, м2 и Azt, А22, причем заранее известно,
что Л1»Л2, и 201g(A2/A1)^Ml, где Mt =—40 дБ.
В данном случае для обработки необходимо использовать оконную функ-
цию, у которой максимальный уровень боковых лепестков Мб удовлетворяет
условию Л4е<Л41—М2, где Мг>0 — запас по уровню боковых лепестков в деци-
белах. Запас М2 необходим ввиду того, что coj и соз не обязательно кратны би-
нам ДПФ (см. пример 8.7). Как правило, принимают Ms=7 ... 10 дБ [8.2].
Пусть ЛЬ =—40 дБ; Л12=10 дБ. Тогда по данным табл. 8.1 следует вы-
брать оконную функцию среди тех функций, для которых Мб<—50 дБ. Кри-
терий, позволяющий однозначно определить оконную функцию, формулируется
следующим образом: среди всех функций, удовлетворяющих условию Л4б<
<—50 дБ, следует выбрать ту, для которой КО=Д/7Г6 имеет наименьшее зна-
чение [см. (8.1) и (8.10)]—последнее обеспечивает наименьший интервал на-
блюдения 0 при заданной разрешающей способности Д[. По данным табл. 8.1
оказывается выбранной оконная функция Кайзера—Бесселя с параметром а=
=2,5 и Ко=ДКГб=2,2. Так же, как в примере (8.7), определяются Д[=
= (©21—©12)/(2л), а затем с помощью (8.1)—0 и -V. Неопределенность, кото-
рая может иметь место при вычислении I(k) в соответствии с (8.3), исклю-
чается введением дополнительных нулевых отсчетов [см. пример 8.7 и форму-
лу (8.4)]. Поскольку обрабатываемая последовательность не содержит шумовой
составляющей, нецелесообразно усреднение в соответствии с (8.5).
8.3. МЕТОДЫ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА, ОСНОВАННЫЕ
НА ЛИНЕЙНОМ МОДЕЛИРОВАНИИ
8.3.1. Линейные модели и расчет СПМ
Многие последовательности х(пТ), представляющие собой сумму детермини-
рованных и случайных последовательностей, могут быть достаточно хорошо ап-
проксимированы выходным сигналом у(пТ) линейного дискретного фильтра, опи-
сываемого разностным уравнением [см. (2.1)]:
Q Qi
у (пТ) = — V aj у ((n—f) Г) +y\biv (8.15)
/=1 ' 1=о
где v(nT) — выбранный входной сигнал.
Модель, описываемую (8.15), называют АРСС-моделью (моделью процесса
авторегрессии со скользящим средним). Как правило, в задачах спектрального
анализа сигнал v(nT) представляет собой отсчеты белого шума с нулевым сред-
ним значением и дисперсией о2. Если коэффициенты а, и bi определены так, что
достаточно точно выполняется равенство
у (пТ) »х (пТ) при п=0,1,..., (8.16)
то СПМ S(co) можно рассчитать следующим образом:
5(и) = о2[В2(ш)/С2(ш)], (8.17)
/ V V
где В (со) = ^у bi cos 1(0 Т j + ^У bi sin /со Т I ;
П * V Г* \~
с (и) = ”|/ 1 у a.j cos j со Т j -j- у aj sin j со Т j, 0 со л/ Т
8*
227
Если в (8.15) aj—O при /=1,2,..., Q, то соответствующая модель
Qi
»(пТ) = 2^р((п—/)Т) (8.18)
1=0
называется СС-моделью (моделью процесса скользящего среднего), или чисто
нулевой моделью, поскольку передаточная функция соответствующего дискретно-
го фильтра имеет лишь нули, т. е. фильтр является нерекурсивным. При вы-
полнении (8.16) для вычисления СПМ S(co) можно использовать (8.17), положив
С(ш) = 1.
Если в (8.15) 6о=1 и bi=0 при />0, то соответствующая модель
Q
у(пТ)= —2 а}у((п—j)T)+v(nT) (8.19)
/=1
называется АР-моделью (моделью процесса авторегрессии), или чисто полюсной
моделью. Для этой модели при выполнении (8.16) для вычисления СПМ S(co)
можно использовать (8.17), положив В(со) = 1.
Принципиально все три модели применимы в одинаковой степени, посколь-
ку существует теорема декомпозиции [6.8], утверждающая, что стационарный
процесс с конечной дисперсией, описываемый с помощью одной модели, можно
представить любой из двух других моделей достаточно большого порядка. Для
АР-модели процесс вычисления параметров модели оказывается наиболее прос-
тым — он сводится к решению тем или иным способом систем линейных алгебра-
ических уравнений. Поэтому ниже рассматривается определение параметров
только АР-модели при различных условиях.
8.3.2. Определение параметров АР-модели по известной
автокорреляционной функции последовательности
Если известна автокорреляционная функция R(m) анализируемой стацио-
нарной последовательности х(пТ), то для точного равенства у(пТ)=х(пТ) при
п=0, 1, ... достаточно, чтобы параметры АР-модели — коэффициенты at, аг, ...
..., Gq и дисперсия о2 — удовлетворяли линейным уравнениям Юла — Уокера
[6.8]:
R (т) =
Q
— (m—Я ПРИ т > О’
7=1
Q
— y',ajR(—/) + о2 при т = 0.
+1
(8.20)
Выбирая Q+1 уравнение из (8.20), можно получить систему линейных алгебра-
ических уравнений, в которой число неизвестных равно числу уравнений:
-R (0) Ж—1) • .. R(— Q) Г 11 Г°21
Я(0) . • R(—Q+1) Oi 0
_ (8.21)
• • • • ••••• • • •••••• • •
J?(Q) R(Q— 1) • R (0) _ aQ _ _0 _
Решение системы (8.21) позволяет определить значения параметров модели,
обеспечивающие выполнение приближенного равенства (8.16). Поскольку матри-
228
Q-1
Я (m) + S aQ-i,! К (m—f)
i=i
(8.22)
ца в правой части (8.21) симметрическая и теплицева, существует эффективный
алгоритм решения системы (8.21)—алгоритм Левинсона [6.8, 6.9].
Пусть {aQi, aQ2,..., aQQ, o2Q}—набор параметров соответствующей АР-мо-
дели порядка Q, т. е. для модели первого порядка (Q=l) у(пТ) =—any ((п—
+vl(nT), причем дисперсия шума аДиТ) равна a2,, для модели второго
порядка (Q=2) у(п.Т)--=—ацу((п—1)Т) — a22y{(n—2)Т) +v2(nT), причем диспер-
сия шума v2(nT) равна о22, и т. д. Тогда алгоритм Левинсона может быть за-
писан так:
ац = —Я(1)/Я(0);
of=(i —Р11|2)7?(0);
с<2<2 = —
aQl =aQ—1, l~i~aQQaQ—1, Q—b Q 11
^ = (1 — 1 «QQl2)^-!,
где a.Q-i — величина, комплексно-сопряженная c oq-i. Алгоритм Левинсона име-
ет следующие преимущества по сравнению с иными методами решения системы
(8.21):
1. Поскольку параметры вычисляются по рекуррентным формулам (8.22),
до определения параметров АР-модели порядка Q рассчитываются параметры
АР-моделей более низких порядков. Это обстоятельство весьма существенно в
тех случаях, когда заранее значение Q неизвестно.
2. В ходе вычислений легко контролировать необходимое и достаточное ус-
ловие устойчивости АР-модели порядка Q:
ац<1, 1=1,2,..., Q. (8.23)
3. Для параметров АР-модели порядка Q с помощью алгоритма Левинсона
требуется выполнить примерно Q2 арифметических операций, в то время как при
решении системы (8.21) методом Гаусса необходимо выполнить примерно Q3
арифметических операций.
8.3.3. Определение параметров АР-модели по анализируемым данным
Часто при спектральном анализе значения автокорреляционной функции не-
известны. В этом случае определение параметров АР-модели необходимо выпол-
нить, располагая лишь отсчетами х(пТ) анализируемого процесса. Если число
отсчетов N, доступное для анализа, относительно мало («короткая» последова-
тельность— А7 не более чем в 2—3 раза превышает максимальный порядок АР-
модели), то параметры модели определяются один раз.
Для однократного нахождения параметров АР-модели по короткой последо-
вательности обычно используются те или иные варианты методов линейного
предсказания ((6.3] и разд. 6). Ниже рассматриваются лишь два варианта—
автокорреляционный метод и алгоритм Берга.
Для любого метода линейного предсказания «вперед» выходной сигнал
АР-модели
„ Q
у (пТ) = х (пТ) = — 2 aQi х ((п~П Т"> (8.24)
/=1
229
рассматривается как линейная оценка х(пТ) очередного отсчета х(пТ) ана-
лизируемой последовательности. Текущая ошибка линейного предсказания «впе-
ред»
(пГ) = х (пТ)—х(пТ). (8.25)
Из (8.24) и (3.25) следует, что для линейного предсказания «вперед»
Q
eQB(nT)=^,^Qjx((n—j)T), (8.26)
/=о
где tZQo,= l-
В методах линейного предсказания «вперед» минимизируется общая или сум-
марная ошибка предсказания
(8.27)
п
т. е. для определения коэффициентов aQj используется метод наименьших квад-
ратов. Различные варианты методов линейного предсказания отличаются выбо-
ром области допустимых значений п в (8.27). При использовании автокорреля-
ционного метода п принимает значения от 0 до Л'+Q—1, причем считается, что
х(пТ)=0 при п<0 и n>N—1. Из (8.26) и (8.27) получается выражение для
суммарной ошибки предсказания автокорреляционного метода
Л'+Q-l" Q 4 2
4>А) = 22 aQnх <(«—/)
n=o L/=o
(8.28)
Необходимые и достаточные условия минимума (8.28) ([6.3], а также разд. 4
и 6)
Т^Г=°’ ^ = 1>2,..., Q, (8.29)
представляют собой систему линейных алгебраических уравнений относительно
неизвестных параметров aQi, a.q2...o-qq-
Q Л'+Q-l
2 aQi 2 x((n—j)T)x((n—k)T)=O
/=0 n=0
или
Q
2 dk, j aQ j — dk. <2+1.
7=1
Л'+Q-l
где dkj= У, x((n—j)T)x((n—k)T);
n=$
Л'+Q-l
dft,Q+1=— 2 ^((H—Q—l)7)x((n—й)7), fe=l,2,
n=0
(8.30)
., Q.
Для вычисления коэффициентов и решения системы (8.30) разработаны эффек-
тивные алгоритмы и соответствующие ФОРТРАН-программы [6.3]. Эти алгорит-
мы позволяют в 6 раз уменьшить объем вычислений по сравнению с прямыми
методами вычисления коэффициентов и решения системы (8.30).
230
После решения системы (8.30) величина а2=а2<г> необходимая для вычисле-
ния S(co) [см. (8.17)], может быть определена из (8.28);
о^^Е^/А. (8.31)
Алгоритм Берга 1[6.8] предусматривает определение параметров АР-модели
из условия минимума величины
N—1 N-1
ЧБ) = 2 4в<лГ)+2 eQK(«n (8.32)
r.=Q n=Q
при ограничении [см. (8.22)] Левинсона
aQl~aQ—l.l aQQ OQ—l, Q—h I — 1 < Q 1»
Q
где aQi — l-й параметр АР-модели; eQB(nT) = 2 dQjX((n—j)T) — ошибка пред--
/=о
Q
сказания «вперед»; eQE(.nT) = 2 aQjX((n—Q+j)T)—ошибка предсказания «на-
7=0
зад».
Величина c2q, необходимая для расчета S(co), определяется как
N—1
e2QB(nT-)/(N—Q). (8.33)
n=Q
Из (8.32) следует расчетная формула для параметра АР-модели:
N—1_
eQ—1,н((л 1) eQ—1. в(п^)
------------------------------ <а34>
2 (I eQ-i, и ((« -1) Л12 + I eQ-!. В («Л ।2)
Параметры aQi АР-модели рассчитываются с помощью ограничения Левинсона
[см. (8.32)].
Пример 8.9 [6.8]. В соответствии с алгоритмом Берга был выполнен спек-
тральный анализ сигнала х{пТ), представляющего собой сумму двух синусо-
идальных сигналов с амплитудами, равными 1, и нормированными частотами
®i=0,143 и w2=0,2 (по условию нормировки интервал дискретизации Г=2л) и
белого шума. Отношение сигнал-шум (под сигналом понималась средняя мощ-
ность одного синусоидального сигнала, а под шумом — средняя мощность шу-
ма) было равно 0 дБ. Число отсчетов анализируемого сигнала составляло N=
= 100. На рис. 8.6 показаны графики СПМ. S(w), иллюстрирующие зависимость
результатов спектрального анализа от выбранного порядка АР-модели Q. Ри-
3(ы),дБ
Рис. 8.6
231
сунок 8.6,а соответствует случаю Q=4. Видно, что по результатам спектраль-
ного анализа нельзя определить не только частоту синусоидальных сигналов,
входящих в х(пТ), но и их число. Рисунок 8.6,6 соответствует случаю Q=32.
Видно, что по результатам спектрального анализа можно определить как число
синусоидальных сигналов, входящих в сигнал х(пТ), так и их частоты.
8.3.4. Определение порядка АР-модели
Для определения необходимого порядка АР-модели в случае «длинных» по-
следовательностей отсчетов х(пТ), когда Л’>200 ... 300, используются крите-
рии Акаике [6.8]. Первый критерий Акаике формулируется следующим обра-
зом: величина Q соответствует минимуму функции
£qo=£q[(7V + Q+1)W—Q— 1)]- (8-35)
Второй (информационный) критерий Акаике формулируется так: величина Q
соответствует минимуму функции
£Q[I = In£Q+2Q/A. (8.36)
В (8.35) и (8.36) величина EQ определяется (8.27). Оба критерия дают близкие
результаты. Любой из этих критериев применяется в ходе последовательного
определения порядка АР-модели, например, с помощью алгоритмов Левинсона
[см. (8.22)] или Берга [см. (8.32)]. Параметры модели вычисляются при Q—
= 1, 2, ..., и для каждого значения Q определяется Eqo или £qe. За искомое
Q принимается наименьшее значение Q, для которого одновременно верны отно-
шения £qo<£q-i,o и £q+i,o>£qo при использовании первого критерия или
£<гя<£<г-1,и и £<г+1,и>£<ги при использовании второго критерия.
Для «коротких» последовательностей отсчетов х(пТ), когда А<200 ... 300,
величину Q выбирают из условия A/3<Q<A/2.
9. ТРАНСМУЛЬТИПЛЕКСОРЫ
9.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ТРАНСМУЛЬТИПЛЕКСОРАХ.
ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ ИХ СХЕМ
9.1.1. Назначение трансмультиплексоров
Трансмультиплексоры (ТМ.) выполняют следующие основные задачи
(рис. 9.1):
1. Выделение канальных сигналов yifnmT) из группового сигнала х{пТ) с
частотным разделением каналов (ЧРК) и переносом спектров выделенных ка-
нальных сигналов в область нижних частот, т. е. прямое преобразование. Это
преобразование может быть дополнено по входу преобразованием аналогового
группового сигнала x(t) в сигнал х(пТ) и по выходу преобразованием каналь-
ных сигналов в аналоговую форму [аналоговые канальные сигналы yo(t),
..., ук-i (0] или формированием с помощью дополнительного коммутатора
группового сигнала у(пТ) с временным разделением каналов (ВРК).
2. Формирование группового сигнала х(пТ) с ЧРК из отдельных канальных
сигналов yi(nmT), т. е. обратное преобразование. Это преобразование может
быть дополнено по входам преобразованием аналоговых канальных сигналов
232
t/0(Z), У1(0...Ук-1(0 либо группового сигнала Y{nT') с ВРК в канальные
сигналы уо(птТ), у1(птТ),...,ук-1(птТ) и по выходу — преобразованием сиг-
нала х{пТ) в аналоговый групповой сигнал x(t) с ЧРК.
Рис. 9.1
9.1.2. Классификация трансмультиплексоров
Трансмультиплексоры классифицируются по двум признакам: количеству
уровней в схеме ТМ и наличию или отсутствию дополнительного преобразова-
ния.
По количеству уровней в схеме все ТМ можно разделить на одно- и много-
уровневые структуры. Одноуровневые структуры, отличаются тем, что при пря-
мом преобразовании сигналы отдельных каналов непосредственно выделяются из
группового сигнала с ЧРК, а при обратном преобразовании сигналы отдельных
каналов сразу же объединяются в групповой сигнал с ЧРК. В многоуровневых
структурах выделение и объединение канальных сигналов происходят поэтапно:
при прямом преобразовании на каждом уровне сигналы, полученные от схем
предыдущего уровня, разделяются, причем сигналы отдельных каналов получа-
ются лишь на выходах последнего уровня; при обратном преобразовании на
каждом уровне объединяются сигналы, полученные от схем предыдущего уров-
ня, причем групповой сигнал с ЧРК получается лишь на выходе последнего
уровня.
По наличию или отсутствию дополнительного преобразования все ТМ мож-
но разделить на структуры с дополнительным преобразованием сигналов (типа
ДПФ) и структуры, в которых дополнительное преобразование не используется.
9.1.3. Основные параметры и критерии качества трансмультиплексоров
Требования к основным параметрам 60-канального ТМ,
комендациям МККТТ G.792 и G.793, приведены ниже [9.2].
соответствующие ре-
Амплитудно-частотная характеристика A(f) в полосе частот от 600 до
2400 Гц должна удовлетворять условиям:....................«i<20 lgA(f)<«2.
Максимально допустимые отклонения на краях полосы частот:
300 Гц......................................ai<—20 lgA(f)«a3
3400 Гц......................................—201g А ([)
(где <21=—0,6 дБ, а2=
=0,6 дБ, а3=17 дБ,
«4=24 дБ)
233
Во всей полосе частот величина ГВЗ должна удовлетворять условию
.<3 мс
Неравномерность ГВЗ должна удовлетворять условиям:
от 1000 до 2600 Гц . .................Ат<0,5 мс
от 600 до 1000 Гц......................... Дт<1,5 мс
от 500 до 600 Гц и от 2600 до 2800 Гц . . . Дтс2 мс
Минимальное ослабление переходного разговора между двумя любыми ка-
налами:
внятный переходный разговор............................. 65 дБ
невнятный переходный разговор........................... 58 дБ
Максимальный уровень шумов свободных каналов при загруз-
ке всех каналов, за исключением измеряемого, взятый относи-
тельно точки пика сигнала . . .......................—80 дБ
Максимальный уровень действующего значения внутриполосных
искажений, взятый относительно точки пика сигнала . . . —40 дБ
Внеполосная сигнализация на частоте . .................... 3825 Гц
Частота управляющих сигналов.............................. 3920 Гц
Примечание. Измерения многоканального аналогового сигнала производятся
в условиях замкнутого контура на зажимах цифрового сигнала.
Помимо указанных выше в качестве критериев качества, позволяющих срав-
нивать различные варианты трансмультиплексоров, используются [9.2]: гаранти-
рованная устойчивость в условиях замкнутого контура, сложность управления
и вычислений, наличие или отсутствие дополнительного аналогового преобразо-
вания частоты, степень модульности трансмультиплексора. Кроме того, по ана-
логии с реализационными характеристиками цифровых фильтров (см. 2.2.4) для
сопоставления вариантов ТМ используются: количественные показатели сложно-
сти вычислений и реализации; Уут—число операций умножения, которое необ-
ходимо выполнить в 1 с на один преобразуемый канал; L — общее число яче-
ек памяти, необходимое для реализации ТМ.
9.1.4. Принципы дуальности схем прямого и обратного
преобразований трансмультиплексоров
Схемы ТМ могут содержать следующие элементы:
узлы, для которых справедливо соотношение (2.26);
сумматоры;
устройства умножения сигнала на множители, зависящие от п типа e±i7,“r;
цифровые фильтры;
компрессоры частоты дискретизации, понижающие частоту дискретизации в
т раз (обозначение операции — |т);
экспандеры частоты дискретизации, повышающие частоту дискретизации в
т раз (обозначение операции — j/w);
элементы, формирующие вещественный сигнал из комплексного (обозначение
этих элементов на схеме Re).
Любой ТМ состоит из двух частей — схемы, реализующей прямое преобра-
зование (ЧРК-ВРК), и схемы, реализующей обратное преобразование. Операции,
выполняемые определенными элементами этих схем, дуальны, так что можно счи-
тать дуальными соответствующие пары элементов, перечисленные в табл. 9.1.
Поэтому если каким-то способом построена одна из схем прямого или обратного
преобразования, то вторая схема может быть построена как дуальная первой.
При построении дуальной схемы каждый элемент, указанный в табл. 9.1, за.ме-
234
Таблица '
Схема прямого преобразования Схема обратного преобразования
Узел (разветвление) Сумматор
Устройство умножения на e±i!l“r Устройство умножения на e=Fl!,<BT
Цифровой фильтр с передаточной функцией H(z) Цифровой фильтр с передаточной фуг цией H(z)
Компрессор частоты дискретизации Экспандер частоты дискретизации
няется дуальным, причем меняются местами входы и выходы каждого элем,
та. Отметим, что элементы Re, формирующие вещественный сигнал из ко.мпле
кого, не имеют дуальных и вводятся в схему дополнительного.
9.2. ОДНОУРОВНЕВЫЕ СТРУКТУРЫ ТМ БЕЗ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ
ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
9.2.1. Структура ТМ с вещественными сигналами
Ниже рассматривается пример двухканального ТМ (Д=т=2). Схема п
мого преобразования (рис. 9.2,а) строится очевидным способом и включает с
дующие элементы; полосовые фильтры Фс, Ф1, каждый из которых выдел
сигнал соответствующего канала; компрессоры частоты дискретизации ^2, об
печивающие формирование спектра сигнала каждого канала в области ниж1
частот; схему умножения на (—1)”, позволяющую получить прямой спектр с
нала первого канала.
Рис. 9.2
На рис. 9.2,6 изображена схема обратного преобразования, построенная
принципу дуальности (см. 9.1.4). Узлу 1, фильтрам Фс, Фц и компрессорам 1
тоты дискретизации |2 (на рис. 9.2,а) соответствуют сумматор 1, фильтры
Ф1 с точно такими же характеристиками и экспандеры частоты дискретиза
f2 на рис. 9.2,6, а схеме умножения на (—1)" (рис. 9.2,а) — такая же сх
умножения на (—!)”, поскольку (—1)п=е!пя=е-!пл.
235
Рис. 9.3
Рисунок 9.3 поясняет принцип действия схем,
изображенных на рис. 9.2, причем номера позиций
на рис. 9.3 совпадают с номерами соответствующих
точек на рис. 9.2. На рис. 9.3 изображены: 1 — модуль
спектра двухканального группового сигнала х(пТ) с
ЧРК; 2 и 3— идеализированные АЧХ фильтров Фо
и Ф4; 4 и 5 — модули спектров сигналов на выходах
фильтров Фо и Ф1 (каналы 0 и 1); на рис. 9.2,а —
до компрессии частоты дискретизации; 6 и 7 — мо-
дули спектров сигналов каналов 0 и 1 после компрес-
сии частоты дискретизации (рис. 9.2,я) или до экс-
пандирования частоты дискретизации (рис. 9.2,6);
8 — модуль спектра сигнала канала 1. Рассмотрен-
ная схема ТМ. имеет весьма существенные недостат-
ки: а) характеристики фильтров зависят от номера
каналов; б) при увеличении числа каналов К схемы
всех фильтров усложняются и уже при К=12 ока-
зываются весьма сложными.
9.2.2. Структура ТМ с комплексными сигналами и однократным
изменением частоты дискретизации
Ниже рассматривается пример четырехканального ТМ. Основное отличие
схемы прямого преобразования от схемы на рис. 9.2,я заключается в том, что с
целью унификации всех фильтров ТМ спектр сигнала каждого канала смеща-
ется в область нижних частот, так что все фильтры оказываются низкочастотны-
ми с одинаковыми характеристиками.
Схема прямого преобразования (рис. 9.4,я) состоит из следующих элементов:
схем умножения на е1п<г+0’6>Дй>г==е_1п<г+0’6>я (где I — номер канала; Д<о=л/7’),
обеспечивающих перенос спектра Z-ro канала в область нижних частот; ФНЧ;
компрессоров частоты дискретизации |4 и схем умножения на (—1)п для кана-
лов с нечетными номерами, назначение которых совпадает с назначением соот-
ветствующих^ элементов в схеме прямого преобразования ТМ с вещественными
сигналами (см. рис. 9.2,я); схем умножения на е1!,0-6Д“г = е1п0-5я, обеспечиваю-
щих перенос спектра для последующего формирования вещественного сигнала,
и элементов Re, формирующих выходные вещественные сигналы ТМ.
Отметим, что каждая из схем комплексного умножения иа е±1п®г сводится
к двум схемам вещественного умножения на cos па>Т и ±sinn<o7’ (см. разд.
7), каждое обозначение ФНЧ на рис. 9.4,я соответствует двум идентичным ФНЧ,
один из которых обрабатывает вещественную часть сигнала, а другой — мнимую
(см. разд. 7). То же самое относится к компрессорам частоты дискретизации |4.
Аналогично изображаются элементы всех последующих схем ТМ с комплексны-
ми сигналами.
На рис. 9.4,6 изображена схема обратного преобразования, построенная по
принципу дуальности (см. 9.1.4 и 9.2.1) с добавлением элемента Re для получе-
ния вещественного сигнала х(пТ).
236
Рисунки 9.5,а,б иллюстрируют работу соответственно схем прямого
ратного преобразований (см. рис. 9 4,а,б). На рис. 9.5 изображены модули
ров сигналов каналов и АЧХ ФНЧ, причем номера позиций совпадают с в
ми соответствующих точек, указанных на рис. 9.4. Рассмотренный вариа
выполнен на основе модулятора Уивера (см. разд. 7, [1.16]).
Рис. 9.4
Основной недостаток рассмотренного ТМ заключается в том, что пр
ших значениях К (равных 12 или 60) характеристики ФНЧ становятся i
ми для реализации. Это приводит к слишком большим величинам 1
(см. 9.1.2).
9.2.3. Структура ТМ с комплексными сигналами, однократным изме1
частоты дискретизации и дополнительными ФНЧ!
Для того чтобы упростить характеристики ФНЧ ТМ (см. рис. 9.4
а следовательно, и реализацию ТМ в целом, вводятся дополнительные
ФНЧ1 (см. 9.3) (рис. 9.6). Рисунки 9.7,а,б иллюстрируют работу схем
и обратного преобразований (см. рис. 9.6). Номера позиций на рис. 9.7
ствуют номерам, указанным на рис. 9.6. На этих рисунках пунктиром
иы дополнительные промежуточные полосы АЧХ ФНЧ (рис. 9.7,а, по
и рис. 9.7,6, позиция 5), в которых она может принимать любые знача
ДО 1. На позициях 4 и 5 (рис. 9.7,а) штриховкой отмечены модули спек
подавленных (или частично подавленных) сигналов, которые не долж!
дать в выделяемый канал с номером 0. Из сравнения требуемого bi
ФНЧ в схемах ТМ, рассмотренных в 9.2.2 (см. рис. 9.5,а, позип
237
TtftT
Рис. 9.5
рис. 9.5,6, позиция 5) и в схемах ТМ, рассматриваемых в настоящем пункте (см.
рис. 9.7,а, позиция 3, и рис. 9.7,6, позиция 5), следует, что реализация ФНЧ в
последнем случае при прочих равных условиях оказывается существенно проще
за счет как резкого увеличения основной промежуточной полосы, так и появ-
ления дополнительных промежуточных полос.
9.2.4. Структура ТМ с комплексными сигналами и двукратным
(многократным) изменением частоты дискретизации
С целью упрощения реализации фильтров в схемах ТМ (см. рис. 9.4 и
рис. 9.6) используется двукратное (многократное) изменение частоты дискретиза-
ции (см. 2.5, [2.11]). Соответствующие схемы прямого и обратного преобразо-
ваний представляют собой очевидную модификацию схем, рассмотренных в 9.2.2
и 9.2.3, и поэтому не приводятся.
238
Рис. 9.6
9.3. МНОГОУРОВНЕВЫЕ СТРУКТУРЫ ТМ БЕЗ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ
ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
9.3.1. Общая структура многоуровневого ТМ
На рис. 9.8 изображена общая структура многоуровневого ТМ. Схема со-
стоит из более или менее однотипных блоков Bsp., где s означает номер уровня,
ар — порядковый номер блока в пределах одного уровня. Непосредствен-
но схема соответствует прямому преобразованию группового сигнала с ЧРК
х(пТ') в сигналы отдельных каналов. Схема обратного преобразования строится
по принципу дуальности (см. 9.1.4), причем каждый узел (см. рис. 9.8) должен
быть заменен сумматором, каждый блок Esp — блоком Б'6Р, составленным из
элементов, дуальных элементам блока Bsp, причем входы и выходы каждого
элемента и блока в целом меняются местами.
Каждый блок многоуровневого ТМ может быть реализован точно так же, как
и одна из ветвей одноуровневого ТМ без дополнительных преобразований. Из-
вестно несколько вариантов схем многоуровневых ТМ [9.2]. Ниже рассматри-
вается лишь один из наиболее перспективных вариантов многоуровневых ТМ с
комплексными сигналами [9.4, 9.5].
9.3.2. Многоуровневый ТМ с комплексными сигналами
На рис. 9.9,а и б изображены схемы прямого и обратного преобразований
для К=т=4. Блоки первого уровня содержат: ФНЧ10 и ФНЧц, схемы умно-
жения на иди е-1п3л/4 и КЧД [2 в схеме прямого преобразования, ФНЧю
и ФНЧц, схемы умножения на е*“л/4 или е’п8я/4 и ЭЧД ]2 в схеме обратного
239
a)
Рис. 9.8
преобразования. Каждый блок второго уровня содержит по одному
ФНЧ2С— ФНЧ23 и ФНЧзо —ФНЧ33, схемы умножения на и
eiBn/2, КЧД |2 в схеме прямого преобразования, те же фильтры, схе
ния на е'-пя/4 или е-1пя/4 и e~inn/2, ЭЧД )2 в схеме обратного прес
Рисунки 9.10,а и б иллюстрируют работу схем прямого и обратно
зований соответственно. Номера позиций на рис. 9.10 соответствуют i
меченным на рис. 9.9. В рассматриваемом варианте каждый блок а
го преобразования выделяет половину из общего числа каналов, п
его вход. На выходе каждого сумматора, объединяющего выходы .
схемы обратного преобразования, число каналов удваивается по с
числом каналов, поданных на вход каждого из этих блоков. Часто'
зации на каждом уровне изменяется в 2 раза, так что схема мож>
ваться лишь в тех случаях, когда т—21. При fs= ЩтТ) =8 кГц
разования 12 каналов частота дискретизации группового сигнала д
равна 128 кГц, а для преобразования 60 каналов — 512 кГц (пере
необходимый для изменения частоты дискретизации со 112 на 12£
576 на 512 кГц, может быть выполнен аналоговыми средствами до дис
Многоуровневый ТМ с комплексными сигналами имеет следую:
преимущества перед другими вариантами ТМ:
1. Вне зависимости от числа каналов в ТМ используются фильтр:
типов, причем все фильтры каждого типа совершенно идентичны: в
ном примере (см. рис. 9.9) идентичны друг другу ФНЧю, ФНЧ]
ФНЧгз (первый тип фильтров) и ФНЧ23 — ФНЧ26 (второй тип
Фильтры второго типа используются лишь на последнем уровне.
2. Все фильтры первого типа могут быть равнополосными (см
позволяет резко уменьшить число операций и упростить реализаци:
3. Операции умножения сигналов на множители вида е1п₽я, обе
перенос спектра, могут быть реализованы косвенно — изменением ко
241
фильтров, расположенных в схемах рис. 9.9, непосредственно после устройств
умножения на ein₽n [9-4]. Это позволяет уменьшить число операций умножения,
выполняемых в ТМ.
Отметим, что возможна реализация многоуровневого ТМ и в том случае,
когда т=#2г [9.2]. При этом число блоков на каждом уровне схем прямого и
обратного преобразований не равно двум (см. рис. 9.8) и зависит от номера
уровня.
9.4. ТРАНСМУЛЬТИПЛЕКСОРЫ С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ
ПРЕОБРАЗОВАНИЯМИ
9.4.1. Общая структура ТМ с дополнительными преобразованиями
На рис. 9.11,а, б показаны структурные схемы прямого и обратного преоб-
разований ТМ с дополнительными преобразованиями. Каждая из этих схем со-
держит полифазную цепь, позволяющую выполнять практически всю обработку
сигналов на относительно низкой частоте дискретизации /д=1/(т7'), и процес-
сор, реализующий дополнительное преобразование. Процессор и полифазная
цепь могут быть дополнены элементами, обеспечивающими переход от вещест-
венных сигналов к комплексным или, наоборот, от комплексных — к веществен-
ным.
9.4.2. Пример ТМ с дополнительным преобразованием
Рассмотрение этого варианта удобно начать со схемы обратного преобразо-
вания. Для схемы, изображенной на рис. 9.2,6 и состоящей из К полосовых
фильтров и экспандеров частоты дискретизации, справедливо [9.2] соотношение
242
k-1
X(z) = у; Hr(z)Yr(zK), (9.1)
r=0
где Hr(z)—передаточная функция фильтра r-го канала; Yr(zK)—Z-образ сиг-
нала r-го канала до увеличения частоты дискретизации в К раз; X(z) — Z-образ
группового сигнала с ЧРК. Как известно ('[2.11], см. также 2.5), любой ФНЧ и
последовательно включенный ЭЧД в К раз могут быть реализованы в виде так
называемой полифазной цепи. При этом
//; (z)= z-PHrP(zK), (9.2)
р=0
где H'r(z) — передаточная функция полифазной цепи; НгР(гк)—передаточная
функция фильтра р-й ветви полифазной цепи.
Пусть каждый полосовой фильтр схемы типа изображенной на рис. 9.2,6
реализуется в виде ФНЧ с передаточной функцией H(z) и однополосного моду-
лятора, обеспечивающего перенос спектра. Тогда передаточная функция одной
ветви схемы обратного преобразования имеет вид
Hr (2) =-Н (z (9.3)
Если ФНЧ ЭЧД реализуются в виде полифазной цепи, то из (9.2) и (9.3)
можно записать
Hr(z)=^ (ze~i(-2nmTp HTP(zK). (9.4)
р=0
243
244
Рис. 9.10
Поскольку ФНЧ во всех ветвях имеют одинаковые характеристики, очевидно,
что Нтр (zK) не зависит от индекса г, т. е.
Hrp (zK) = Hp(zK). (9.5)
Из (9.1), (9.4) и (9.5) получается выражение для z-образа комплексного груп-
пового сигнала с ЧРК
Х Ф = S S z-₽ ^2nlKirp Нр (zK) Yr (zK) =
r=0 p=0
= *~p Up (ZK) 2^ YT (zK) e’ <2jt/K) rp .
P=0 r=0
Puc. 9.11
Puc. 9.12
Выражение (9.6) соответствует следующему алгоритму вычисления отсчетов ве-
щественного группового сигнала с ЧРК Re{x(n7')} (схема, реализующая этот
алгоритм, изображена на рис. 9.12,а):
1. Выполняется ОДПФ в реальном масштабе времени над отсчетами вход-
ных сигналов, причем организуется следующая последовательность вычислений
ОДПФ: первый раз вычисляется ОДПФ конечной последовательности уо(О),
1/1(0), ..., уи_1(0), второй раз — конечной последовательности ув(тТ),
У1(тТ}, .... yK-i(mT) и т. д. В результате каждого вычисления ОДПФ полу-
чаются К комплексных величин uofnmT), ui(nmT), ..., un-i(nmT). Очевидно,
что одно вычисление ОДПФ должно быть выполнено за время тТ.
2. Величины uB(nmT), ui(nmT),..., их-1(птТ) подаются на фильтры с пере-
даточными функциями Hp(zK) (фильтры полифазной цепи), работающие иа низ-
кой частоте дискретизации /д=1/(т7’), причем ио(0), ив(тТ),..., подаются на
245
фильтр с передаточной функцией Hc(zK), величины «1(0), щ(тТ),...— на
фильтр с передаточной функцией Hi(zK) и т. д. Каждый из этих фильтров со-
стоит из двух фильтров, один из которых обрабатывает вещественную часть
сигнала, а другой — мнимую.
3. Выходные сигналы фильтров подаются на элементы, обеспечивающие за-
держку на время О, Т,..., {К—1)Т.
4. Сигналы с выходов элементов задержки суммируются, причем выходной
сигнал сумматора х(пТ) представляет собой комплексный групповой сигнал с
ЧРК.
5. Для получения вещественного группового сигнала с ЧРК вида хЕ (пГ) =
= Re{x(nT)} вычисляется вещественная часть сигнала х(пТ) (элемент Re на
рис. 9.12,а).
Можно несколько упростить схему, изображенную на рис. 9.12,а, если выпол-
нить операцию формирования вещественных сигналов на выходах фильтров, т. е.
включить элементы Re между выходами фильтров и входами элементов задерж-
ки.
На рис. 9.12,6 изображена схема прямого преобразования, построенная по
принципу дуальности. Из обозначений сигналов и элементов видно, что на входе
каждого фильтра имеется компрессор частоты дискретизации, уменьшающий
частоту в К раз (т=К).
9.4.3. Преимущества и недостатки схем ТМ с дополнительными
преобразованиями
Основное достоинство схем ТМ с дополнительными преобразованиями за-
ключается в том, что все арифметические операции выполняются на низкой час-
тоте дискретизации /д=1/(т7') сигнала одного канала. Это позволяет исполь-
зовать для реализации ТМ элементы с относительно низким быстродействием.
Недостатком ТМ с дополнительными преобразованиями является относи-
тельно низкая модульность соответствующих схем, поскольку наряду с про-
цессором, реализующим преобразования того или иного типа (например, ОДПФ
и ДПФ, см. рис. 9.12), они содержат К цифровых фильтров, АЧХ которых от-
личаются друг от друга.
ПРЕДМЕТНЫЙ указатель
А
Адаптация 161
Адаптации погрешность 163
Алгоритм Агарваля — Кули 31
— Берга 231
— БПФ с произвольным основанием
17
— взаимно-простых делителей 19
— Винограда 33
— Левинсона 229
— метода периодограмм 220
— Ремеза 120, 121, 123
— с множителями поворота 17
---с прореживанием по времени
14
---------- частоте 14
АЧХ нормированная 192
Б
Блок биквадратный 53
В
Вес 82
Время замедления групповое 56, 57
Г
Гильберта преобразование 176
Граф сигнальный 60, 61
Д
Дельта-функция дискретная 7
Дисперсия шума квантования 98, 103
------- эквивалентная 98
И
Инверсия спектра вещественного сиг-
нала 172, 173, 175
Интерполяция 184
— нулевого порядка 191
— первого порядка (линейная) 193
— полиноминальная 191
— решетчатой функции 184
— сигнала 184, 186, 200
К
Квантование сигнала 91
— числа 90
Код дополнительный 86, 87
---модифицированный 87
— обратный 86
— прямой 86, 87
Компенсация помех адаптивная 164
Компрессор частоты дискретизации
64, 65
КОРДИК 38
— оптимальный 38
— полный 38
Коэффициент децимации 208
— отражения 170
Критерий устойчивости положения
равновесия 159
М
Матрица входного сигнала автокор-
реляционная 166
— циклическая 32, 33
Метод билинейного преобразования
136
— быстрой свертки 25
— градиентный 166
— детерминированный 146
— линейного предсказания 230
— модульный арифметики в конце
полиномов 26
— наименьших квадратов 118, 124,
127
— перекрытия с суммированием 25
-----с накоплением 25
— периодограмм 22
— устранения переполнения 161
— цифровой спектрального анализа
219
Множитель масштабный 153—155
Модель линейная 91, 92, 94, 95
— нелинейная 91, 92
— процесса авторегрессии 228—232
-------со скользящим средним 227
О
Ограничение Левинсона 231
Округление 90
Операция восстановления 6
— дискретизации 6
— квантования 6
— цифро-аналогового преобразова-
ния 6
Основание позиционной системы счис-
ления 82
Отклонение среднее квадратическое
45
— стандартное 45
Отображение конформное 138
Оценка детерминированная 96
— ошибок квантования 10
Ошибка квантования сигнала 96, 97
— округления 90
— усечения 91
П
Перенос спектра вещественного сиг-
нала 171
Переполнение разрядной сетки 85
Погрешность адаптации АФ 163
-------текущая 165
Последовательность случайная 44
— прореженная 65
Преобразование билинейное 138
-----обобщенное 139
— Гильберта 176
305
— теоретико-числовое Мерсенна 29
----- обратное 27
-----прямое 25—27
-----Ферма 28
— Фурье дискретное 11—13
--------многомерное 14, 20
--------обратное 11, 14
-----прямое 11, 14
Преобразователь аналого-цифровой 7
— цифро-аналоговые 7
Принцип дуальности трансмульти-
плексора 234
С
Сигнал аналоговый 4
— вещественный 4
— дискретный 4
— комплексный 4
— цифровой 5
Свертка дискретная 22
— линейная 23, 24
— круговая 13, 21, 22, 25, 33
Система дискретная восходящая 63
-------многократная 64, 72, 74
-----простейшая 63, 68, 102
— — многократная 63
-----нисходящая 63, 210—217
-----многократная 64, 75, 77, §1,
217, 218
--------простейшая 63
— интерполяции двухкратная 202
----- однократная 201
—• — трехкратная 202
— счисления 82
----- позиционная 82
Соединение каскадное 51
— параллельное 51
Спектр:
основной инверсный 10
— прямой 11
последовательности 9, 12
сдвинутый инверсный 11
— прямой И
Структура:
многоуровневая 233
одноуровневая 233
полифазная 191
Т
Теорема Парсеваля 59, 62
Трансмультиплексор (ТМ):
классификация 233
критерий качества 234
назначение 232
основные параметры 233, 234
—• многоуровневый с комплекс-
ными сигналами 239—242
— четырехканальиый 236
У
Усечение 90
Условие устойчивости ЛРДФ 157,
158
----РЦФ 158, 159
Устойчивость РЦФ линейных 157, 158
— положения равновесия 159
-------асимптотическая 159
— процессов 160
Устройство линейное предсказываю-
щее 167
— цифровой обработки сигналов 50,
56
Ф
Фильтр адаптивный (АФ) 163
----нерекурсивный (НАФ) 165, 192
— комплексный 47
— линейный аналоговый 46
----дискретный 46, 58
-------с переменными параметрами
46, 47
-------с постоянными параметрами
46
— нерекурсивный 48, 50, 209
— минимально-фазовый 111
----с линейной ФЧХ 110
— неустойчивый 54
— однородный 192, 195, 211
—• оптимальный 195
— полосовой 125, 215
— рекурсивный 48, 49, 211
— решетчатый 169
— триангулярный 195, 211, 213, 214
— устойчивый 54
— цифровой 48, 49, 58
Форма каноническая 52
— каскадная 52
— параллельная 53
— прямая 52
Фортран 17
Функция автокорреляционная 45
— оконная:
прицип выбора 226
свойства 221
— передаточная 50, 51, 69—82.
136—146
----НЦФ 287, 288
----РЦФ Баттерворта, Золотарева,
Чебышева' 246—248
— решетчатая 4, 14
---- квантованная 5
ц
Цепь линейная цифровая с постоян-
ными параметрами 60
Ч
Число нормализованное 85
Ш
Шаг квантования 90
Шум квантования 92, 102, 103,
105—108
— округления 129—131
Э
Экснандер частоты дискретизации 64
366
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Стр.
3
1. Свойства и преобразования дискретных сигналов........................ 4
1.1. Типы сигналов. Связь между сигналами различных типов . . , .
1.1.1. Классификация сигналов ............................... ,
•1.1.2 . Связь между аналоговыми и дискретными сигналами , . ,
1.1.3. Связь между дискретными и цифровыми сигналами .
1.1.4. Дискретная дельта-функция.............................
1.2. /-преобразование и преобразование Фурье........................
1.2.1. Прямое /-преобразование............................... ,
1.2.2. Основные свойства прямого /-преобразования . . . , .
1.2.3. Обратное /-преобразование.................... , . . ,
1.2.4. Преобразование Фурье.....................................
1.3. Дискретное преобразование Фурье. Алгоритмы быстрого преобразо-
вания Ф}рье ........................................................
1.3.1. Общие сведения...........................................
1.3.2. Свойства дискретного преобразования Фурье................
1.3.3. Многомерное дискретное преобразование Фурье , ... ,
1.3.4. Алгоритмы БПФ с основанием 2.............................
1.3.5. Алгоритмы БПФ для произвольного составного А
1.4. Дискретная свертка и ее вычисление.............................
1.4.1. Круговая свертка.........................................
1.4.2. Использование ДПФ для вычисления круговой свертки .
1.4.3. Линейная свертка.........................................
1.4.4. Секционированные свертки.................................
1.4.5. Методы быстрого вычисления круговой свертки..............
1.4.6. Использование теоретико-числовых преобразований .
1.4.7. Использование модульной арифметики в кольце полиномов
1.5. Некоторые перспективные алгоритмы вычисления ДПФ .
1.5.1. Алгоритм Винограда.......................................
1.5.2. Алгоритм Винограда с использованием ТЧП..................
1.5.3. Использование эффективных методов поворота вектора (КОР-
ДИК) ...........................................................
1.5.4. Специальные виды ДПФ.....................................
1.6. Случайные последовательности и их характеристики...............
1.6.1. Случайная последовательность ..........
1.6.2. Математическое ожидание и выборочное среднее . . . .
1.6.3. Дисперсия н выборочная дисперсия.........................
1.6.4. Автокорреляционная функция стационарной случайной последо-
вательности ....................................................
1.6.5. Спектральная плотность мощности стационарной случайной по-
следовательности ...............................................
2. Дискретные системы..............................................
2.1. Дискретные и цифровые фильтры. Устройства цифровой обработки
сигналов ...........................................................
2.1.1. Линейные аналоговые фильтры..............................
2.1.2. Линейные дискретные фильтры..............................
2.1.3. Переход от разностного уравнения к структурной схеме фильтра
4
4
6
6
7
7
7
8
9
9
11
11
12
14
14
17
21
21
22'
26
29
33
33
38
38
40
44
44
44
44
45
45
46
46
46
46
48
307
2.1.4. Цифровые фильтры...........................................49
2.1.5. Устройства цифровой обработки сигналов.....................50
2.2. Передаточные функции. Различные формы реализации фильтров. Пер-
вый критерий устойчивости ........................................... 50
2.2.1. Передаточные функции.......................................50
2.2.2. Соединение фильтров........................................51
2.2.3. Некоторые формы реализации фильтров........................52
2.2.4. Реализационные характеристики фильтров.....................53
2.2.5. Устойчивость фильтров. Первый критерий устойчивости ... 54
2.3. Частотные и временные характеристики фильтров...................55
2.3.1. Частотные характеристики...................................55
2.3.2. Основные свойства частотных характеристик. Нормировка час-
тоты .............................................................57
2.3.3. Импульсная характеристика..................................58
2.3.4. Второй критерий устойчивости фильтров......................59
2.3.5. Теорема Парсеваля..........................................59
2.4. Анализ линейных цифровых цепей с постоянными параметрами . . 60
2.4.1. Цели анализа линейных цифровых цепей с постоянными пара-
метрами ..........................................................60
2.4.2. Определение Z-образа сигнала по сигнальному графу цепи . . 60
2.4.3. Определение характеристик цепи и параметров детерминирован-
ных и случайных сигналов на выходе цепи...........................62
2.5. Восходящие и нисходящие дискретные системы ...... 63
2.5.1. Общие сведения.............................................63
2.5.2. Экспандер частоты дискретизации............................64
2.5.3. Компрессор частоты дискретизации ..........................65
2.5.4. Простейшие восходящие дискретные системы...................68
2.5.5. Многократные восходящие дискретные системы.................72
2.5.6. Простейшие нисходящие дискретные системы...................75
2.5.7. Многократные нисходящие дискретные системы.................77
3. Эффекты квантования сигналов в цифровых фильтрах 82
3.1. Позиционные системы счисления....................................82
3.1.1. Основные определения.......................................82
3.1.2. Перевод чисел из одной ПСС в другую........................83
3.2. Формы представления чисел в цифровых фильтрах....................84
3.2.1. Фиксированная запятая......................................84
3.2.2. Плавающая запятая...................................... . 85
3.3. Кодирование чисел в цифровых фильтрах............................86
3.3.1. Прямой код.................................................86
3.3.2. Дополнительный код.........................................86
3.3.3. Обратный код...............................................87
3.4. Арифметические операции в цифровых фильтрах, использующих ариф-
метику с фиксированной запятой........................................87
3.4.1. Алгебраическое сложение в дополнительном коде ... 87
3.4.2. Алгебраическое сложение в обратном коде....................88
3.4.3. Переполнение разрядной сетки при сложении..................88
3.4.4. Умножение в прямом коде....................................88
3.4.5. Умножение в дополнительном коде............................89
3.5. Квантование чисел в цифровых фильтрах, использующих арифмети-
ку с фиксированной запятой....................................50
3.5.1. Общие сведения.......................................50
3.5.2. Округление 90
3.5.3. Усечение.............................................91
3.6. Квантование сигналов в цифровых фильтрах.........................91
3.6.1. Модели процесса квантования..........................91
3.6.2. Детерминированные оценки ошибок квантования..........91
3.6.3. Вероятностные оценки ошибок квантования ...... 92
3.7. Учет квантования сигналов в структурных схемах цифровых фильтров 92
3.8. Обобщенная линейная модель цифрового фильтра.....................94
308
3.9. Оценки ошибок (шумов) квантования выходного сигнала в цифро-
вом фильтре........................................................96
3.9.1. Общие сведения..........................................96
3.9.2. Детерминированные оценки................................96
3.9.3. Вероятностные оценки....................................98
3.10. Оценки диапазона изменения сигнала в цифровом фильтре . . . 100
3.10.1. Ограничение максимума амплитуды входного сигнала . . 100
3.10.2. Ограничение максимума модуля спектра входного сигнала 100
3.10.3. Ограничение энергии входного сигнала.................101
3.10.4. Обобщенное ограничение...............................101
3.11. Оценки ошибок (шумов) квантования и диапазона изменения сигна-
лов в восходящих и нисходящих цифровых системах...................101
3.11.1. Общие сведения.......................................101
3.11.2. Оценки шумов квантования и диапазона изменения сигналов
в ПВЦС '.....................................................102
3.11.3. Оценки шумов квантования и диапазона изменения сигналов
в МВЦС.......................................................105
3.11.4. Оценки шумов квантования и диапазона изменения сигналов
в ПНЦС.......................................................107
3.11.5. Оценки шумов квантования и диапазона изменения сигналов
в МНЦС.......................................................107
4. Элементы проектирования нерекурсивных фильтров ... 109
4.1. Классификация нерекурсивных фильтров. Алгоритм проектирования 109
4.1.1. Нерекурсивные фильтры с линейной ФЧХ...................109
4.1.2. ^Минимально-фазовые нерекурсивные фильтры..............111
4.1.3. Основные этапы проектирования нерекурсивных фильтров . . 112
4.1.4. Сравнение нерекурсивных и рекурсивных фильтров . . . . 113
4.2. Формулировка задач аппроксимации..............................ИЗ
4.2.1. Требования к аппроксимируемой функции. Критерии аппрокси-
мации .............................................................ИЗ
4.2.2. Избирательные фильтры с линейной ФЧХ......................114
4.2.3. Равнополосные фильтры с линейной ФЧХ......................115
4.2.4. Преобразование Гильберта...................................115
4.2.5. Минимально-фазовые фильтры.................................116
4.3. Методы решения задач аппроксимации...............................117
4.3.1. Классификация методов......................................117
4.3.2. Разложение в ряд Фурье аппроксимируемой функции . . . 117
- 4.3.3. Метод наименьших квадратов................................118
4.3.4. Метод нанлучшей равномерной (чебышевской) аппроксимации.
Алгоритм Ремеза...................................................120
4.3.5. Решение чебышевской аппроксимационной задачи для фильтра
с линейной ФЧХ с помощью алгоритма Ремеза.........................121
4.3.6. Решение чебышевской аппроксимационной задачи для мини-
мально-фазового фильтра . ......................., . 122
4.3.7. Решение аппроксимационной задачи для амплитудно-фазового
корректора по методу наименьших квадратов.........................124
4.3.8. Оценка погрешности аппроксимации...........................125
4.3.9. Сравнение возможностей фильтров с линейной ФЧХ и мини-
мально-фазовых фильтров...........................................126
4.3.10. Сравнение методов решения аппроксимационных задач . . 127
4.4. Расчет разрядностей коэффициентов фильтров и регистров опера-
тивной памяти.........................................................128
4.4.1. Расчет разрядности коэффициентов фильтров..................128
4.4.2. Основные предположения при расчете разрядностей регистров
оперативной памяти .............................................. 129
4.4.3. Расчет величины .....................................129
4.4.4. Расчет величин sBI и (вероятностный подход) , 129
4.4.5. Расчет величин slx и «на худший случай»...................130
309
4.4.6. Алгоритм расчета разрядности коэффициентов фильтра, реали-
зуемого на специализированном микропроцессоре .... 131
4.4.7. Алгоритм расчета минимальной разрядности коэффициентов
фильтра............................................................132
4.4.8. Расчет разрядностей регистров оперативной памяти по задан-
ному динамическому диапазону и отношению сигнал-шум . . 134
4.4.9. Априорная оценка разрядности входного сигнала фильтра . . 135
5. Элементы проектирования рекурсивных цифровых фильтров . . 136
5.1. Аппроксимация в процессе синтеза РЦФ............................136
5.1.1. Общие сведения.............................................136
5.1.2. Типы аналоговых фильтров............................. .... 136
5.1.3. Билинейное преобразование..................................138
5.1.4. Обобщенное билинейное преобразование.......................139
5.1.5. Определение передаточной функции цифрового ФНЧ (ФВЧ) по
справочнику [5.1]..................................................139
5.1.6. Определение передаточной функции цифрового полосового (ре-
жекторного) фильтра по справочнику [5.1]...........................144
5.1.7. Определение передаточной функции параллельной структуры
РЦФ..............................'.................................145
5.1.8. Определение передаточной функции РЦФ с помощью билиней-
ного преобразования на ЭВМ.........................................146
5.2. Расчет разрядностей коэффициентов фильтра и регистров оператив-
ной памяти.............................................................146
5.2.1. Общие сведения.............................................146
5.2.2. Определение разрядности коэффициентов......................146
5.2.3. Определение разрядностей входного сигнала и регистров опера-
тивной памяти по вероятностной модели ошибок квантования 147
5.2.4. Определение разрядностей входного сигнала и регистров опера-
тивной памяти по детерминированной модели ошибок кванто-
вания ...............................................152
5.3. Расчет масштабных множителей...................................153
5.4. Расстановка звеньев в каскадных структурах РЦФ.....155
5.5. Устойчивость рекурсивных цифровых фильтров....................157
5.5.1. Устойчивость линейных рекурсивных дискретных фильтров . . 157
5.5.2. Определения устойчивости н класса входных сигналов РЦФ 158
5.5.3. Устойчивость положения равновесия..........................159
5.5.4. Устойчивость процессов.....................................160
6. Адаптивные дискретные и цифровые фильтры..........................161
6.1. Общие сведения...................................................161
6.1.1. Определение и некоторые примеры............................161
6.1.2. Критерии настройки адаптивных фильтров и методы определе-
ния значений их параметров . . . . . 163
6.2. Адаптивный фильтр-компенсатор помех..............................164
6.2.1. Принцип адаптивной компенсации помех.......................164
6.2.2. Точный алгоритм настройки нерекурсивного адаптивного фильт-
ра по минимуму СКО.................................................165
6.2.3. Настройка нерекурсивного адаптивного фильтра по минимуму
СКО с помощью градиентного метода............................166
6.3. Адаптивный фильтр — линейное предсказывающее устройство . . 167
6.3.1. Метод линейного предсказания . ...... 167
6.3.2. Решетчатые фильтры.......................................169
7. Некоторые методы ЦОС в системах связи ... ... 171
7.1. Перенос и инверсия спектра.....................................171
7.1.1, Перенос и инверсия спектра вещественного сигнала ... 171
7.1.2. Перенос спектра комплексного сигнала..................173
7.2. Формирование сигнала с одной боковой полосой (ОБП) . . . . 173
7.2.1. Формирование сигнала с ОБП с использованием ФНЧ . . . 173
310
7.2.2. Формирование сигнала канала ТЧ с ОБП с использованием
ФНЧ..............................................................175
7.2.3. Формирование сигнала с ОБП с использованием преобразова-
теля Гильберта................................................176
7.3. Увеличение частоты дискретизации (интерполяция) сигнала . . . 184
7.3.1. Основные понятия........................................184
7.3.2. Интерполяция сигнала с помощью ПВДС.....................186
7.3.3. Особенности использования НФ и РФ при интерполяции . . 188
7.3.4. Характеристики фильтров реальных ПВДС...................188
7.3.5. Структуры ПВДС при интерполяции.........................189
7.3.6. Цифровая фильтрация при полиномиальной интерполяции . . 191
7.3.7. Простейшие ВДС с оптимальными фильтрами.................194
7.3.8. Перенос спектра при интерполяции........................197
7.3.9. Перенос спектра при интерполяции комплексного сигнала . . 198
7.3.10. Интерполяция сигнала с помощью МВДС........................200
7.4. Уменьшение частоты дискретизации (децимация) сигнала .... 203
7.4.1. Децимация сигнала с помощью ПНДС............................203
7.4.2. Особенности использования НФ и РФ при децимации . . . 209
7.4.3. Структуры ПНДС при децимации сигнала........................210
7.4.4. Однородный и триангулярный фильтры при децимации . . 211
7.4.5. Простейшая НДС с оптимальными фильтрами.....................214
7.4.6. Перенос спектра при полосовой фильтрации с уменьшением час-
тоты дискретизации...............................................214
7.4.7. Перенос спектра при децимации комплексного сигнала . . . 217
7.4.8. Децимация сигнала с помощью МНДС............................218
8. Цифровые методы спектрального анализа..............................219
8.1. Цели .спектрального анализа. Классификация методов................219
8.1.1. Цели спектрального анализа..................................219
8.1.2. Классификация методов спектрального анализа.................219
8.2. Метод периодограмм................................................220
8.2.1. Алгоритм метода периодограмм................................220
8.2.2. Основные свойства оконных функций...........................221
8.2.3. Принципы выбора оконной функции.............................226
8.3. Методы спектрального анализа, основанные на линейном моделиро-
вании ...............................................................227
8.3.1. Линейные модели и расчет СПМ................................227
8.3.2. Определение параметров АР-модели цо известной автокорреля-
ционной функции последовательности...............................228
8.3.3. Определение параметров АР-модели по анализируемым данным 229
8.3.4. Определение порядка АР-модели...............................232
9. Трансмультиплексоры................................................232
9.1. Общие сведения о трансмультиплексорах. Принципы построения их
схем.............................................'...................232
9.1.1. Назначение трансмультиплексоров......................232
9.1.2. Классификация трансмультиплексоров...................233
9.1.3. Основные параметры и критерии качества трансмультиплексоров 233
9.1.4. Принципы дуальности схем прямого и обратного преобразова-
ний трансмультиплексоров....................................234
9.2. Одноуровневые структуры ТМ без дополнительных преобразований 235
9.2.1. Структура ТМ с вещественными снгналамн......................235
9.2.2. Структура ТМ с комплексными сигналами и однократным изме-
нением частоты дискретизации................................... 236
9.2.3. Структура ТМ с комплексными сигналами, однократным изме-
нением частоты дискретизации и дополнительными ФНЧ1 . . 237
9.2.4. Структура ТМ с комплексными сигналами и двукратным (мно-
гократным) изменением частоты дискретизации......................238
9.3. Многоуровневые структуры ТМ без дополнительных преобразований 239
9.3.1. Общая структура многоуровневого ТМ . ................239
9.3.2. Многоуровневый ТМ с комплексными сигналами .... 239
311
9.4. Трансмультиплексоры с дополнительными преобразованиями . . . 242
9.4.1. Общая структура ТМ с дополнительными преобразованиями 242
9.4.2. Пример ТМ с дополнительным преобразованием .... 242
9.4.3. Преимущества и недостатки схем ТМ с дополнительными пре-
образованиями ...................................................246
Приложение 1. Определение передаточных функций РЦФ Баттерворта,
Чебышева, Золотарева.............................................246
Приложение 2. Расчет масштабирующих коэффициентов РЦФ .... 256
Приложение 3. Анализ частотных характеристик и чувствительности ли-
нейных ЦФ произвольной топологии.................................265
Приложение 4. Анализ временных и шумовых характеристик линейных
ЦФ произвольной топологии........................................278
Приложение 5. Определение передаточных функций НЦФ...................287
Список литературы....................................................301
Предметный указатель............................................... 305