ВОЗВРАТИТЕ КНИГУ НЕ ПОЗЖЕ
обозначенного здесь срока
i 1				
।				
				
				
				
				
				
				
Л. М. Гэльденберг
Б. Д. Матюшкин
М. Н. Поляк
ЦИФРОВАЯ
ОБРАБОТКА
СИГНАЛОВ
2-е издание
переработанное и дополненное
Допущено Министерством св.чзи СССР
в качестве учебного пособия
дня студентов институтов св.чзи
специальностей 2307, 2306, 2305
Н у йбы»ие»Скии
Лжииционшый tM-W"
бисойотекд
Москва
«Радио и связь»
1990
ББК 32.88
Г 63
УДК 621.391.037.372(075)
Рецензент Б. А. Калабеков
Редакция литературы по радиотехнике и электросвязи
Гольденберг Л. М. и др.
Г 63 Цифровая обработка сигналов: Учеб, пособие для
вузов/Л. М. Гольденберг, Б. Д. Матюшкин, М. Н. По-
ляк.—2-изд., перераб. и доп.— М.: Радио и связь, 1990.—
256 с.: ил.
ISBN 5-256-00678-9.
Излагаются вопросы теории дискретных сигналов и линейных
дискретных систем, являющихся основой цифровой обработки сиг-
налов. Рассматриваются особенности обработки информации, связан-
ные с ограниченной разрядностью регистров: кодирование инфор-
мации, процесс квантования сигналов в цифровых устройствах и др.;
методы синтеза устройств, реализующих два основных класса
алгоритмов цифровой обработки, принципы и конкретные примеры
реализации устройств цифровой обработки на современной и перс-
пективной элементной базе.
Для студентов вузов радиотехнических и связных специальностей.
2303040000-154
046(01)-90
103-90
ISBN 5-256-00678-9
ББК 32.88
Г Гольденберг Л. М.. Матюшкин Б. Д.,
Поляк М. Н.. 1990
ПРЕДИСЛОВИЕ
В последние годы методы цифровой обработки сигналов (ЦОС)
в радиотехнике, системах связи, управления и контроля приобрели
большую важность и в значительной мере заменяют классические
аналоговые методы.
В настоящей книге излагаются основы теории цифровой
обработки сигналов, методы анализа и синтеза соответствующих
устройств, прежде всего цифровых фильтров, и приводится ряд
конкретных приложений методов цифровой обработки в радиотех-
нике и системах связи.
Книга по существу состоит из двух частей. В первой части
(гл. 1 — 5) излагаются теоретические основы методов ЦОС, на-
иболее важных из них -методов цифровой фильтрации.
В гл. 1 вводятся понятия дискретных сигналов и систем,
рассматриваются их основные характеристики и методы анализа
линейных дискретных фильтров при воздействии детерминирован-
ных и случайных дискретных сигналов. В гл. 2 изучаются эффекты
квантования и округления, связанные с цифровым представлением
дискретных сигналов и цифровой аппаратной или программной
реализацией фильтров. Главы 3 и 4 посвящены решению
аппроксимационных задач и методике синтеза основных классов
цифровых фильтров фильтров с конечной и бесконечной им-
пульсными характеристиками. В гл. 5 излагаются основные идеи
широко используемых на практике быстрых алгоритмов ЦОС,
прежде всего алгоритмов быстрого преобразования Фурье (БЦф).
Вторая часть книги (гл. 6 9) посвящена рассмотрению ряда
приложений ЦОС в радиотехнике и электросвязи. Подробно
изучаются методы изменения частоты дискретизации сигналов,
преобразования спектров сигналов, некоторые задачи выделения
и обнаружения сигналов, реализуемые методами ЦОС.
Рассмотрение основных задач ЦОС иллюстрируется многочис-
ленными примерами; приведены программные реализации на
языке Бейсик наиболее важных алгоритмов; основные сведения
об использованной версии языка Бейсик приведены в приложении.
Л. М. Гольденбергом написаны гл. 1,2 и 5, Б. Д. Матюшки-
ным- -гл. 4,6 8; § 9.1, 9.2 и приложения; М. Н. Поляком — гл. 3
и § 9.3.
3
Глава 1. ДИСКРЕТНЫЕ СИГНАЛЫ И ЛИНЕЙ-
НЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ
1.1. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ СИГНАЛОВ
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СИГНАЛА
t
Под сигналом понимают физический процесс (например, измени- i
ющееся во времени напряжение), отображающий некоторую |
информацию или сообщение. Математически сигнал описывается 1
функцией определенного типа.	1
Одномерные сигналы описываются вещественной или комп- |
лексной функцией xa(t), определенной на интервале вещественной |
оси (обычно — оси времени)	I
Аналоговые сигналы (АС) описываются непрерывной (или 1
кусочно-непрерывной) функцией х0(/), причем сама функция!
и аргумент t могут принимать любые значения на некоторых |
интервалах х'а^ха^Ха,	Пример АС: ха(/) = Ле-а', Л = 1, ]
а>0, вещественно, 0^/, приведен на рис. 1.1,а. Другой пример!
АС показан на рис. 1.2, а: 1
xa(l)=Umsin2itft при Um = \ В и/=2 Гц. |
Аналоговые сигналы используются, на- 1
пример, в телефонии, радиовещании, 1
телевидении.	|
Дискретные сигналы (ДС) описыва- |
ются решетчатыми функциями - после- |
дователъностями —х(пТ), где Т= I
= const — интервал дискретизации, п— |
целое, п = 0, 1,2,...; сама функция х(пТ) |
может в дискретные моменты пТ при- 1
нимать произвольные значения на не-
котором интервале. Эти значения фун- |
кции называются выборками, или от- |
счетами функции. Другим обозначением 1
решетчатой функции х(пТ) является 3
х(п), или хп. На рис. 1.1,6 приведено Я
графическое изображение ДС Я
х(пТ) = е“п/,	а<0, вещественно, Я
и = 0, 1,2,... На рис. 1.2,6 показана по-Я
следовательность отсчетов функции Я
т гт пт
6)
Рис. 1.1
4
x(nT)=Umsm2nfT при Um=lB, f=2 Гц, T=l/16c. Примером
применения дискретных сигналов являются системы с амплитуд-
но-импульсной модуляцией. Последовательность х(пТ) может
быть и конечной, состоящей из определенного конечного числа
отсчетов, например из трех отсчетов: х(0)=1, х(Т)-~ 2,
х(2Т) = 3; конечную последовательность можно записать в форме
х(пТ) = {1, -2,3}.
Цифровые сигналы (ЦФ) представляют собой квантованные
по уровню дискретные сигналы и описываются квантованными
решетчатыми функциями (квантованными последовательностями)
хц(пТ), принимающими в дискретные моменты пТлишь конечный
ряд дискретных значений — уровней квантования hv, h2,...,hN.
Примеры квантованных дискретных сигналов приведены на
рис. 1.1,в и 1.2,в. Связь между решетчатой функцией х(пТ)
и квантованной решетчатой функцией хп(пТ) определяется не-
линейной функцией квантования xa(nT) = FK(x(nT)). Существуют
различные способы выбора функций квантования. В простейшем
случае, когда используется квантование с постоянным шагом
\h = hl — hi-i = const, функция квантования имеет вид
TAj при х(п7')<(А2 + Л1)/2,
xil(nT) = FK(x(nT)) = < hj при (hl+hi-1)/2<x(nT)^(hi+l+ht)/2,
при (hN+hN-t)l2<x(nT).
Каждый из уровней квантования кодируется числом, обычно
используются двоичные символы 0,1, и квантованные отсчеты
5
i
xK(nT) кодируются двоичными числами с m разрядами. Напри-*
мер, хц(0) = 0001, хц(7’) = 0010, хц(2Г) = 0011 и т. д.	;
Число уровней квантования N и наименьшее число разрядов;
m двоичных чисел, кодирующих эти уровни, связаны со-
отношением *
m = int(log2?Z).	(1.1);
Пример 1.1. При N=4 m = 2, при ,-V=6 m = 3: при N=9 m=4 и т. д.
Если кодируемая функция может принимать как положитель-
ные, так и отрицательные значения, то знак функции кодируется,
как правило, с помощью специального знакового разряда (см.
гл. 2). Сигналы с импульсно-кодовой модуляцией (ИКМ), ис-
пользуемые в системах связи, представляют пример цифровых -
сигналов.
ПРИМЕРЫ ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ
Рассмотрим некоторые широко используемые в теории циф-
ровой обработки сигналов последовательности.
Сдвиг последовательности х(пТ) по оси пТ: последователь-
ность у(пТ)=х(пТ— кТ) образуется при сдвиге последователь-
ности х(пТ) на к отсчетов вправо (при к>(У) или влево (при к<0).
Пример 1.2. На рис. 1.3.а изображена последовательность х(пТ) =
= {3,2. 1,1.1} , т. е. ,г(0) = 3, х(Г) = 2, х(2Г)=1, т(ЗГ)=1, х(4Г)=1. а на
рис. 1.2,6, в показаны соответственно последовательности j-, (пТ)=х(пТ— 2Т)
и уг(пТ)=х(пТ+2Т).
Дискретная дельта-функция (единичный импульс) определяется
соотношением
х, т- ,	(0 при п*к,
Ъ(пТ—кТ) = <
(1 при п = к.
Эта функция S-функция --изображена на рис. 1.4,а.
Аналитическая запись последовательности. Из определения
дискретной 3-функции следует, что любая последовательность
х(пТ) может быть записана в виде
х(лТ)= £ х(кТ)Ъ(пТ-кТ),	(1.2)
к = - х
так как все члены суммы нри к^п равны нулю.
Пример 1.3. Последовательность, изображенная на рис. 1.3,а может быть
представлена в виде х(пТ) = 3$(п7") + 2$(пТ— Т) + $(пТ— 2Т) + %(пТ-ЗТ) +
+ S(nT-4T).
Значение int(/l) — наименьшее целое число, не меньшее числа А.
6
х(пТ)
-------пТ
-3-2-1 о / г з <
11	6(пТ)
__ t I   I
-2-t 0 / 2 J * пТ
а)
t ио(пт)
а) у,(пт)-х(пг-2г)
-2-1 0123*56
.	уг(пТ)~х(пТ*2Т)
11	----------П1
-2-1 0 12 3*
-2-1 0 12 3* пТ
6)
/К сп
0 12 3* пТ
6)
Рис. 1.4
Рис. 1.3
Единичная последовательность определяется соотношением
(0 при п<к,
(1 при п^-к.
На рис. 1.4,6 показана последовательность и0(пТ). Заметим,
что единичный импульс 5(пГ) связан с единичной последователь-
ностью и(пТ) очевидными соотношениями:
Ъ(пТ) = и0(пТ) — и0(пТ— Т),
u0(nT)=f%(nT-kT).
к = 0
Экспоненциальная последовательность определяется соотноше-
нием х(пТ) = ех',Т, где в общем случае а = ст+усо — комплексное
число. При со = 0 а = о — вещественное и х(пТ) — еапТ = сп — вещест-
венная степенная последовательность. На рис. 1.4, в приведено
изображение последовательности х(пТ) = с"и0(пТ), где с<1.
Периодической называют последовательность х(пТ), удовлет-
воряющую условию x(nT)=x(nT+mNT), где m и N—целые
числа, т=\, 2,...; NT (или N)— период последовательности. Пери-
одическую последовательность достаточно задать на интервале
одного периода, напрймер при O^n^N—1.
Пример 1.4. На рис. 1.5,а изображена периодическая последовательность
х(пТ)={1, 1,0,0} с периодом N=4. На рис. 1.5,6 показана та же периодическая
последовательность, но сдвинутая на два отсчета влево, т. е. последовательность
х(пТ—кТ) при к=-2-. х(пТ+2Т) = {0, 0, 1, 1}.
Из рассмотрения интервала одного периода (например, ин-
тервала 0,	1) легко заметить, что при выходе в результате
сдвига из интервала какого-то отсчета точно такой же отсчет
входит в интервал с другого его конца. Такой сдвиг называется
7
х(пТ)
-Л-f-J-?-/ О ! 2 3 < $ пТ
а)
х(пТ+2Т)
। । । ।
-5-У -3-2-! О f 2 3 <t 5 nT
6)
Рис. 1.5
круговым. Заметим еще, что сдвиг периодической последователе
пости х(лГ) с периодом N па k'>N отсчетов нельзя отличит]
от сдвига па (k’)madN = k<N отсчетов.*	i
СПЕКТРЫ АНАЛОГОВЫХ И ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛО]
Для описания аналоговых и дискретных сигналов в частотной об
ласти используется аппарат преобразования Фурье. Спектром Xa(jd
аналогового сигнала хц(/) называют прямое преобразование Фуры
Xa(/(o)=J.xu(/)e-'“'Л.	(1.3
о
В свою очередь, согласно обратному преобразованию Фурье
*а(') = Д Хв(/<о)е>'г/ш.	(1.4
(Предполагается сходимость интегралов в (1.3), (1.4) и х„(/) = (
при /<0.)
Пара преобразований Фурье для решетчатой функции (диск
ретной последовательности) имеет вид:
У(е7юТ) = Ф{х(/7Г)}= £ % (л Г) ег;
«=-0
А-(/7Т) = ф-1{х(е^')}= Z
2Я
(1-
(!•'
) dor.

называю! спектром
дискретного сигнала.
* l^Ud.v равно остатку от деления k^iN, i. е. если k^qlN + k. /- целое
8


\WiaT)\
Рис. 1.6
Вывод формул (1.5) и (1.6) из (1.3), (1.4) основан на
использовании представления дискретного сигнала в виде (1.2)
и свойстве периодичности спектра (см. ниже).
Отметим ряд свойств спектров дискретных сигналов.
1.	Из (1.5) следует, что спектр Х(е'ы1) дискретной последо-
вательности является периодической функцией по частоте со с пери-
одом, равным частоте дискретизации: ид = 2л:/7) A'(eJ<“T) =
= A'(e-'(")rf‘2л/Г) г), к=\,2,... Ясно, что также периодическим по
частоте с периодом о)д = 2л/Т являются модуль спектра |Аг(е-'“7 )|
и фаза - аргумент urgX(ej<ar). Кромме того, для вещественных
последовательностей х(пТ), как следует из (1.5),
|W",r)| = |*(c >7)|,
arg X) = - arg X (е ~jmT),
г. е модуль спектра вещественной последовательноети является
четной функцией, а аргумент- -нечетной функцией частоты.
На рис. 1.6 показано условное изображение модуля спектра
вещественной последовательности. Основным прямым спектром
X '(eiaI) называют часть спектра JV(eJ“r), расположенную в об-
ласти нижних частог от <л = 0 до ю = сод/2 = л/Т, а основным
инверсным спектром - часть спект ра в област и частот — л/Т^т^О.
2.	Очевидно свойство линейности преобразований Фурье.
3.	При сдвиге спектра X(eJ<aT) последовательности х(пГ) по оси
часюг вправо па величину coj получаем спектр У(е'юГ ) = У (с'').
Этому спектру согласно (1.6) соответствует последовательность
y(«7 ) =
2тг
jajjnT I
2 л
X(eiaT)cjanl'd(m
T. e. y(nT) = eiainTx(nT).
2n

(1-7)
9
и, следовательно, сдвиг спектра по оси частот соответствует
умножению последовательности х(пТ) на последовательность
eje*i"7’. В частном случае, при со^л/Т, получаем, что последо-
вательность у(пТ)=й1'ах(пТ)=(- 1)"х(пТ) имеет спектр
y(eJ0,r) = Z(eJ(0,_’t/T,T).	(1.8)
Такой спектр называется инверсным по отношению к спектру
X(eJ“7) последовательности х(иТ).
4.	При сдвиге дискретного сигнала х(пТ) вправо (т. е. при
задержке по времени сигнала) на пг отсчетов получаем сигнал
у(пТ} — х(пТ—	и согласно (1.5) спектр задержанного сигнала
У(е-'и7') = е
гАг(е7“г).
(1-9)

5.	Дискретный сигнал х(пТ) и модуль его спектра |Х(е-/<вГ)|
связаны следующей зависимостью (теорема Парсеваля [1 ]):
£ |х(«Т)|2 = -
1 = 0	л
п/Т
*
|У(е7иТ)|Ш
о
(1-10)
Пример 1.5. Пусть имеем последовательность х(«Т) = с“"7. а<0, вещест-
венно, « = 0,1,2,... Согласно (1.5) спектр этой последовательности будет
A’(eJ"T)= У	---т—т?;
'	'	1	р(а-;й>)Т’
л = 0	1
модуль этого спектра
I*(eJ“T )| = —	=.
^/(1 — e<‘rcos(BT)2 + (et‘rsina>7')2
Спектр последовательности
у(«Т) = (-1)лх(«Т)=(-1)"с”7’ = {1, —е’7, е2’т, -е3зТ,...}
согласно (1.8) будет равен
1
Y(e.J“T 1 =-------------
1.2. СВЯЗЬ МЕЖДУ АНАЛОГОВЫМИ И ДИС-
КРЕТНЫМИ СИГНАЛАМИ
Аналоговый сигнал (АС) хо(() дискретизируется при помощи
дискретизатора, т. е. амплитудно-импульсного элемента, реаги-
рующего на дискретные равноотстоящие значения входного
сигнала в моменты t = nT, п = 0, 1, 2, ... На выходе дискретизатора
образуется последовательность выборок x(nT)vxa(t)|1=лТ. На-
оборот, восстановление аналогового сигнала ха(?) по его диск-
10
Рис. 1.7
ретному представлению — последовательности выборок х(пТ) —
сводится к использованию различных интерполяционных процедур.
При выполнении некоторых условий, определяемых теоремой
отсчетов (теоремой Котельникова) [1], операции дискретизации
и восстановления взаимно обратны. Согласно этой теореме: если
аналоговый сигнал xa(t) имеет ограниченный (финитный) спектр
Ха0о>), т- е- такой, что Ага(/<в) = 0 при |со| ><в0 (условное изоб-
ражение модуля спектра дано на рис. 1.7,а), то такой сигнал
можно однозначно представить последовательностью выборок
х(нГ), п~0, 1,2,... при Т=2л:/(од, где сод = 2л:/д>2(оо. При этом
да(0 = f х(»Т) sinyo(t7”P,	(1.Ц)
J	'	7 <оо(г-«Г)	v
п = — со	04	7
откуда следует, что сигнал ха(/) можно получить, если пропустить
последовательность х(пТ) через идеальный (физически нереализу-
емый) аналоговый фильтр нижних частот с частотой среза
а>с = п1Т и с амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ)
\K(jd))\ = T в полосе пропускания.
Спектр Z(eJ0>f) последовательности х(пТ), полученной в ре-
зультате дискретизации с частотой сод = 2л:/Т аналогового сигнала
xa(t), и спектр Xa(j<n) последнего связаны соотношением [1]
W“T) = | £ Уа(/(со+Ь)д)),	(1.12)
к = - сс
т. е. спектр последовательности х(пТ) равен с точностью до
множителя 1/Т сумме спектров соответствующего сигнала ха(/),
смещенных по оси частот на все возможные значения частоты,
кратные частоте дискретизации (од = 2л/Т.
Соотношение (1.12) получается путем вычисления (1.4) для
t = nT, причем интеграл с бесконечными пределами заменяется
н
|Г(еУ"ГЛ
Рис. 1.8
бесконечной суммой интегралов на интервалах величиной 2тс/2
Строго говоря, (1.12) справедливо при х(0) = 0, в противно|
случае следует к правой части (1.12) добавить х(0)/2.
На рис. 1.7,6 и в приведено условное изображение моду,
спектра | X (е7“ ) | дискретного сигнала х(пТ') соответственно д
случаев сод>2соо и сод<2соо. В первом случае спектр дискретной
сигнала совпадает в интервале |со|^соо со спектром аналоговом
сигнала, а во втором случае имеет место явление наложенщ
спектров, при этом спектр дискретизированного сигнала й
совпадает в интервале |со|^соо с исходным спектром аналоговой
сигнала.	s
Таким образом, если аналоговый сигнал xfl(/) обладай
финитным спектром Xa(j(n) с частотой среза <в0, то он мож$
быть без потери информации представлен последовательность^
х(пТ), полученной в результате дискретизации АС с частоте!
(од>2оэ0.	(1.1|
Наоборот, по дискретному сигналу х(пТ) может быть согласна
(1.11) восстановлен аналоговый сигнал xa(t).	1
В системах связи во многих случаях спектр Xa(j<o) аналогового
сигнала xa(t) не содержит частоту со = 0, а сосредоточен в нет
которой полосе 07^сот1П<со<сотах< оо; таким является, например]
спектр радиосигналов, модулированных по амплитуде или фаз|
(рис. 1.8). В этих случаях для точного представления аналогового
сигнала последовательностью выборок условия (1.13) приводи!
к завышенным значениям необходимой частоты дискретизаций
между тем достаточно выбрать частоту дискретизации сод = 2тс/Й
удовлетворяющую неравенствам [3]
2со
max /<7 оэд 2со1ШП/(<7 1),	(1.1^И
где q=\,2,...,Ea[<omax/(G)max-G)mi„)], причем запись £ц [А ] оз|
начает «целая часть числа А». Если частота сод выбрана
недостаточно высокой и (1.14) не удовлетворяется, то имею!
место наложения смещенных спектров и в результате спекта
У(е7<оТ) дискретного сигнала в диапазоне —сод/2...сод/2 отличаете!
от спектра аналогового сигнала Xa(ja), т. е. дискретизацвд
аналогового сигнала приводит к потере информации.	,|
12	1
1.3. ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Пусть х(пТ)— периодическая последовательность с периодом
NT (период — N отсчетов), т. е. x(nT) = x(nT+mNT), m— целое.
Дискретным преобразованием Фурье (ДПФ) называют пару
взаимно-однозначных преобразований:
х-1
А(£) = А(Ш) = £ x(nT)e~Jknnr, к=0, 1...А-1;	(1.15)
п~0
1 N-1
х(«) = х(«Т) = 1 £ Т(Ш)е^иП7', и = 0, 1 ...А-1,	(1.16)
” 4 = 0
где П=2тс/(АТ)— основная частота преобразования (бин ДПФ),
причем (1.15) определяет прямое ДПФ, а (1.16) — обратное
ДПФ. Вводя обозначение для так называемого поворачивающего
множителя
e-jQT_e_j2n/N_	(1.17)
записывают ДПФ и ОДПФ в форме:	
N- 1 Х(к) = £ х(и) РИЛ к = о, 1 ...А-1; п = 0	(1-18)
1 V~I х(п) = ^ Z А'(£)И/;кп, п=0, 1 ...А-1. N 4 = 0	(1.19)
Дискретное преобразование Фурье Х(к), как и сама после-
довательность х(л), является периодической функцией по
аргументу к с периодом N, так как = n/0‘ + '"N>n,
где т — целое. Дискретное преобразование Фурье может быть
использовано и для представления последовательности х(пТ)
конечной длины N, определенной при n — Q, 1,2...А— 1 и
равной нулю вне интервала [О, N— 1 ]. Действительно, такую
последовательность можно рассматривать как один период
соответствующей периодической последовательности и ис-
пользовать преобразования (1.18), (1.19); следует только
считать, что вне интервала [О, N— 1] Х(к) и х(п) равны
нулю.
Пример 1.6. Пусть задана последовательность
,	(с", OsSflsjN-l;
х(пТ)=<
(О, n<0, n^-N.
Найдем ДПФ этой последовательности. Согласно (1.18), используя формулу для
суммы геометрической прогрессии,
13
V-!	N-1	_2л	n
X{k) = У	У (ce N )" =--------77-Й7ТТ,
V / Д-	N L-, к	' i _ p ~j(2k/N )k’
л=0	n~0	1
причем учтено, что fy‘N=e_J(2”/'**w‘=e”J'2’,‘ = l.
Заметим, что если сравнить спектр конечного дискретного
сигнала, определяемый формулой (1.5) (с учетом того, что
х(иТ) = 0 при п<0 и n>N—V), и ДПФ этого же сигнала (1.18),
то очевидно, что ДПФ представляет собой N отсчетов спектра,
взятых на периоде с интервалом дискретизации по частоте,
равным Q=2n/NT. Поэтому свойства ДПФ аналогичны свойствам
спектров. Рассмотрим некоторые из этих свойств.
1.	Линейность. Пусть последовательности хДпТ) и х2(пТ)
имеют длину N; а{, а2— постоянные и х3(«Т) = а1х1 (пТ) +
+ а2х2(пТ). Тогда для ДПФ последовательностей можно записать
Х3(к) = а1Х1 (к') + а2Х2(к), причем все ДПФ ХДк), Х2(к), Х3(к)
имеют длину N. Если хДпТ) имеет длину а х2 (пТ) — длину
2V2, A\/N2, т0 длительность N3 линейной комбинации х3 (и Г)
равна У3 = тах(Л\, N2) и ДПФ всех последовательностей х, (пТ),
х2(пТ), х3(пТ) должны вычисляться при N=N3. Если, например,
#,>#2, то Х{ (к) вычисляется в 7V, точках: ХДк) =
N)-l
= £ хДи)!^", последовательность х2(пТ) дополняется
п = О
(Nj — ЛГ2)	и также вычисляется в точках:
Х2(Ю= £ *2(»)И% к = 0, 1,2...^-1.
п ~ О
2.	Сдвиг последовательностей. Пусть х(пГ)— периодиче-
ская последовательность с периодом N—имеет ДПФ Х(к) и
у(пТ} = х([п + т) Т), m<N—целое, есть сдвинутая последователь-
ность. Тогда ДПФ сдвинутой последовательности
N-1	N-1
п = 0	п = О
Если в последней сумме произвести замену переменных п + т = п’, то
Y(k)=JV-kmX(k).
3.	Сдвиг последовательности ДПФ. Выборки периодической
последовательности Х(к + Г) суть коэффициенты ДПФ временной
последовательности W^x(nT)\ ДПФ последовательности, как
правило, комплексные функции, причем действительные части
ДПФ — четные функции (симметричные последовательности)
ReX(k) = ReX(N—k), а мнимые части — нечетные функции (ан-
тисимметричные последовательности) Im Х(к) = — Im X(N— к).
Дискретное преобразование Фурье симметричной последователь-
ности x(nT) = x((N — п~) Т) является вещественной функцией.
14
1.4. СВЕРТКА ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ
КРУГОВАЯ (ПЕРИОДИЧЕСКАЯ) СВЕРТКА ДИСКРЕТНЫХ
СИГНАЛОВ
Если л-j (пТ) и х2(пТ)—периодические последовательности
с периодом N, то
N-l	N-1
у(пТ) = £ х1(тТ)х1(пТ-тТ) = £	(пТ— mT)x2(mT) (1.20)
т=0	т = О
также является периодической с периодом в N отсчетов. Операция
вычисления (1.20) называется круговой (периодической) сверткой
последовательностей xt (пТ) и х2(пТу Найдем ДПФ круговой
свертки Y(к), если ДПФ последовательностей хДпТ) и х2(пТ)
соответственно равны Х1(к) и Х2(ку
N-l N-1
У(к) = X ( Е (m)x2(n-m)j WnNk =
п = 0 m = О
N-1	N-1	N-1
= X L ^-m) W<J-m>k)W”k = X2(k) X Xt (m) W =
m=0	n=0	m = O
\y___________________J	\y___________)
*2(M	Xt(k)
=Х,{к)Х2{к\	(1.21)
Заметим, что периодическая последовательность х2(пТ), рав-
ная произведению периодических последовательностей х1(пТ)
и х2(пТ), каждая с периодом в N отсчетов х2(пТ)=х1(пТ)х2(пТ)
имеет ДПФ
1 N-1
S^(/)z2(fc-/),
п 1 = 0
где по-прежнему Хг(к) и Х2(к) суть соответственно ДПФ для
х{(пТ) и х2(пТ).
Пример 1.7. Пусть х.(иГ) и х2 (иГ) —периодические последовательности
с периодом А = 3;	1.2}, х2(пТ) = {1, —1,0}. Круговая свертка у(иТ) =
2
= У X](тТ)х2(пТ— шТ) также имеет период N=3, и ее достаточно вычислить
m - О
для точек и = 0, 1,2:
T(0)=xt (0)х2(0) = 0,
у(Г)=х1(0)х2(Т)+х1(Т)х2(0) = 0+1 = 1,
у(27’)=х1 (0)x2(27’)+x1(7’)x2(7’)+xi (2Т)х2 (0)= 1.
Итак, у(иТ) = {0, 1, -1}.
15
Соответствующие ДПФ равны:
(А')= L vi <”)е ' ’ к'\
п-0
2	--"кп
Х2(к)= X -v2(”)с J ’ ",
т - О
Y(k) = Xt(k)X2 (к)
при £ = 0. 1.2.
Круговую свертку (1.20) можно вычислить с использованием
ДПФ по следующему алгоритму:
1.	Вычислить согласно (1.18) ДПФ Хх(к) и Х2(к) для
последовательностей хД/гТ) и х2(нТ').
2.	Вычислить согласно (1.21) ДПФ КД) для свертки у(пТ).
3.	Вычислить г(/?Т) путем вычисления ОДПФ (1.19) но
найденному Y(к).
На практике с целью уменьшения объема вычислений для
реализации указанного алгоритма используются различные ал-
горитмы быстрого преобразования Фурье (БПФ), которые рас-
сматриваются в гл. 5.
ЛИНЕЙНАЯ (АПЕРИОДИЧЕСКАЯ) СВЕРТКА ДИСКРЕТ-
НЫХ СИГНАЛОВ
Пусть хД/гГ) и х2(нТ)— соответственно конечные ^-точеч-
ный и yV2-точечный дискретные сигналы. Линейной (апериодичес-
кой) сверткой этих сигналов называется дискретный сигнал,
определяемый как
у(пТ)= £ Xj (тТ)х2(пТ— шТ)= £ хДиГ—ш7’)х2(тГ). (1-22)
m = 0	m = О
Очевидно, что у(пТ) имеет длину N3-N}+ N2 — 1.
Пример Е8. Пусть ДД = 2, лД0)=1. д1(Т) = 2;
Д'2 = 3. ,х2 (0) = -2, ,г2 (7') = 1. Л, (2 Т) = 2. Согласно (1.22): Д', = А, + .-V2 -1=4.
г(0) = х, (0)х2(0) = -2; ,r(T) = x1(T)x2(0)-t г1(0)х2(7’)= -3; г(2Т) =
= г, (7')х2 (7’) I-л; (0) х2 (2 Т) = 4; г(3 T) = .v, (Т)х2 (2 Т) = 4.
т. с. г(н7’) = {-2. -3. 4.4].
Алгоритм вычисления круговой свертки может быть применен
и для вычисления линейной свертки. С этой целью следует от
дискретных сигналов х, (пГ) и х2 (пТ) перейти к N3 = А, + N2 — 1 —
точечным сигналам хДнГ) и х2(нТ), дополнив последователь-
ности хДнГ) и х2(пТ) соответствующим числом нулевых от-
счетов. Затем, вычислив в ЛД точках ДПФ УД/с) и Х2(к),
16
найти их произведение—ДПФ Y(k) = Xt(k)X2(k)~w согласно
(1.19) вычислить свертку у(пТ).
Пример 1.9. Рассмотрим вычисление линейной свертки для дискретных
сигналов, заданных в примере 1.8 с помощью приведенного выше алгоритма.
1.	Запишем х^пТ) н х2(п7'); х^О)--!, х1(Т)=2, Т1(2Т) = 0, .v1(3T)=0,
.v,(0)=-2, -v2(79=1, х2(27') = 2. л2(ЗГ) = 0.
2.	Найдем Х(к) и Х2(Л):
Л\ (0) -- 3, X (1) = I - 2/. X (2) = - 1, X, (3) = 1 2/.
,Т2(0)~1. А'2(1)=-4-/. Т2(2)=1. Х2(3)=-4 + /.
3.	Вычислим Y(k) = X(k)X2(k):
У(0) = 3. У'(1)=-6 :-7/, Г(2)=1. Г(3) = 6-7/.
4.	Вычислим у(пТ):
у(0)=-2. г(Т)=—3, г(27’) = 4. т(47') = 4,
чю. естественно, совпадает с результатами примера 1.8.
СЕКЦИОНИРОВАННАЯ СВЕРТКА
Непосредственное вычисление линейной свертки по формуле
(1.22) целесообразно выполнять в том случае, когда хотя бы
одна из двух величин или N2 не слитком велика — не
превышают 50... 100. В том случае, когда и Ар и У2 велики,
гораздо более эффективным по количеству операций оказывается
рассмотренный выше алгоритм с применением ДПФ и ОДПФ.
Однако при X\»N2 (например, дискретный сигнал х, (пТ) -
«бесконечно» поступающий речевой сигнал) вычисление ДПФ
х}(пТ) приводит к большим задержкам или оказывается прак-
тически невозможным. Чтобы применить эффективный алгоритм
и в этом случае, «длинный» дискретный сигнал х^пТ) секци-
онируют - разбивают па отдельные участки, вычисляют е по-
мощью эффективного алгоритма свертки для этих участков
и строят результирующую свертку. Подробно соответствующие
методы рассмотрены в [2].
1.5.	АЛГОРИТМЫ И СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ
ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
АЛГОРИТМЫ ДИСКРЕТНЫХ ФИЛЬТРОВ
В одномерной дискретной системе связь между входным
и выходным сигналами (последовательностями) х(пТ) и у(пТ)
задается некоторым оператором Ф:
р(п7') = Ф;л(л?7')}.	(1.23)
17
 (1.24
Важнейшим примером линейных дискретных систем является
линейный дискретный фильтр, описываемый линейным разностный
уравнением
М-1	N-1
X ату(пТ-тТ) = £ bkx(nT-kT),
т = 0	к=0
где N, М — постоянные вещественные числа, п = 0, 1, 2,«Л
Ьк— вещественные или комплексные коэффициенты, не зависящие
от входного и выходного	сигналов.	Полагая	а0=1, переписываем
(1.24) в виде	
м-1	N-1	»
у(пТ)= - £ amy(nT—mT) + £	Ьтх(пТ-кТ).	(1.25|
m=l	к=0	»
Если хотя бы один коэффициент зависит от переменной п (наЯ
пример, является периодической функцией и или полиномом пЛ
и), то (1.25) описывает фильтр параметрический, т. е. фильт™
с переменными параметрами.	I
Ниже рассматриваются в основном фильтры с постояннымЛ
коэффициентами, т. е. коэффициенты ат, bk в (1.25) не завися™
от переменной п. Как видно из (1.25), значения выходное
последовательности у(пТ) в момент пТ определяется N значе-д
ниями входной последовательности в моменты пТ, пТ—Т, пТ— 27Я
и т. д. и М— 1 значениями самой выходной последовательност™
в «прошлые» моменты пТ—Т, пТ—2Т и т. д.	
Если известны начальные условия: у(—Т), у( — 2Т), ...»
..., У(~(М— 1) Т), уравнение (1.25) дает возможность вычислят™
все значения у(пТ), п = 0, 1, 2,..., г. е. уравнение (1.25) определяет»
алгоритм вычисления выходной последовательности.	Я
Фильтры, описываемые уравнением (1.25), называются рекур-Ш
сивными.	»
Пример 1.10. Фильтр описывается разностным уравнением 1-го порядка »
у(пТ) = ау(пТ— Т) Ух(пТ).	(1.26)»
где a=const, и начальные условия у(—Г)=0. Найдем решение уравнения»
(1.26) —выходную последовательность у(пТ) при входной последовательности»
х(иТ), равной единичному импульсу.
, J f 1 при и = 0;
х(«Т) = 5(иТ) = (
[О при п^0.
Согласно (1.26) получаем
Т(0)=оу(-Г) + 5(0)=1, '
у(1 Т) = ау(0)+?(1 Т) = а,
y(2T) = ay(T)+S(2T) = a2
(1-27)
У(пТ} = а".
18
В частном случае, при ат = 0, т—1,2,..., из (1.25) получаем
у(пТ)=У Ьтх(пТ-кТ),	(1.28)
к = 0
т. е. в этом случае значения выходной последовательности
в любой момент пТ определяется лишь значениями входной
последовательности в этот же момент и А — 1 «прошлыми»
значениями входной последовательности. Фильтры, описываемые
уравнением (1.28), называются нерекурсивными.
Пример 1.11. Нерекурсивный фильтр описывается уравнением
у(пТ)=х(пТ) y-bjX^T- Т)
( 1 при п = 0,1;
при х(пТ) = <
(О при п> 1
и /?|=2. Вычислим у(пТ):
г(0) = х(0)+2х(-7')=1,
у(Т)=х(Т)+2х(О)=3,
т(2Г)=х(2Т)+2х(Т)=2,
Т ("7’)|л;,з = 0,
т. е. у(ПТ) = {1, 3, 2}.
СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ ДИСКРЕТНЫХ ФИЛЬТРОВ
Алгоритмы рекурсивных и нерекурсивных фильтров могут
быть представлены в виде структурных схем, в которых ис-
пользуются реализации трех операций — алгебраического сложе-
ния сигналов (условное изображение на рис. 1.9, а), умножения
сигнала на константу (рис. 1.96) и задержки сигнала на один
интервал дискретизации Т (рис. 1.9, в).
Пример 1.12. На рис. 1.10 изображена структурная схема рекурсивного
фильтра, алгоритм которого задан уравнением (1.26) в примере 1.10. Построение
схемы удобно начинать с элемента /, соответствующего операции сложения,
в итоге которой получается выходной сигнал у(пТУ На входы элемента
1 подаются входной сигнал x(n7) и сигнал — ау(пТ~ Т). Сигнал ау(пТ—Т)
получается путем задержки сигнала у(пТ) на время Т (элемент 2) и умножения
сформированного сигнала у(пТ— Т) (выход элемента 2) на —а (элемент 3).
Отметим, что иногда структурная схема фильтра может
соот ветствовать его аппаратной реализации, т. е. реализации
фильтра на конкретных микросхемах. Можно принять, что
операция алгебраического сложения выполняется с помощью
сумматора, умножения- с помощью множительного устройства
и для реализации задержки требуется один элемент памяти
(регистр). Тогда для аппаратной реализации рекурсивного
19
Х2^О^(пТН^Т)*хг(пТ)
хг(пТ)
а)
x(nJ)
х((п-!)Т)
х(пТ)~ [ч^
''y(nT)’‘bx(nT)
6)
у(пТ)
—
ау((п-!)т)
У((п-1)Т)
Рис. 1.9
Рис. 1.10
которого показана на рис. 1.10.
одно множительное устройстве
фильтра, структурная схема
потребуются один сумматор,
и один регистр.
В большинстве случаев, однако, структурная схема фильтра
лишь указывает, какие операции и в какой последовательности
должны быть выполнены для получения выходного сигнала,
и не определяет аппаратной реализации фильтра.
В большей мере чем аппаратной реализации, структ
схема соответствует программной реализации фильтра,
реализации путем составления соответствующей программы
для ЭВМ. Степень этого соответствия зависит от особенностей
конкретной ЭВМ.
т. е.
1.6.	Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
ПРЯМОЕ Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
В задачах анализа и синтеза линейных дискретных систем
широко применяются методы Z-преобразования. Одностороннее
Z-преобразование последовательности х(«Т), и = 0, 1,2, ..., опре-
деляется рядом
X(z) = Z{x(nT)} = J x(nT)z-n,	(1.29)
п - О
где z= г е-'ф = а+уР— комплексная переменная (рис. 1.11). Множе-
ство значений z, где ряд (1.29) сходится, называется областью
сходимости; для равномерной сходимости ряда достаточно, чтобы
СО	00
X |x(hT)Z-"|= X |х(«Т)|г- "<оо. Область сходимости определя-
ло	п = 0
ется радиусом круга R в z-плоскости, вне которого ряд (1.29)
сходи гея.
Пример 1.13. Пусть х(пТ) = а", a=const, л=0, 1, 2, ... Тогда
20
Рис. 1.11
00	00
X(z)= £ a"z-"= £ (az~1)'’.
n = 0	n = 0
Если |az'1|<l, то
X(z)=l/(l~az~l).
(1-30)
Область сходимости здесь определяется радиусом круга R~a в z-плоскости,
вне которого X(z) не имеет особых точек.
СВОЙСТВА /-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Ниже приводится ряд важных и широко используемых свойств
и теорем Z-преобразования [2], непосредственно вытекающих
из определения (1.29) или легко доказываемых.
1.	Линейность. Если последовательности хг{пТ) и х2(пТ)
имеют соответственно Z-преобразования Xi(z) и А"2 (z), at,
п2 — постоянные, не зависящие от п коэффициенты, то
у (пТУ — а^Хх (пТ) + а2х2 (пТ) имеет изображение (Z-преобразова-
ние) Y(z) = a1Xl(z) + a2X2(z).
2.	Сдвиг последовательности. Если Z{х(пТ)} = X(z) и х(лТ) = 0
при и<0, то у(пТ) = х(пТ— тТ) имеет Z-преобразование
Y(z) = Z{x(nT-mT)} = z^mX(z).	(1.31)
Пример 1.14. Пусть х(пТ) = а", |«|<1, и пусть у(пТ) — х(пТ— 7.Т), т. е.
Так как согласно (1.30) ^(z) = 1/(1— az'1), то Y(z) = Z{y(nT)}-z 2/(1—az *).
3.	Свертка последовательностей. Пусть Xl(z) = Z{xl(nT)},
X2(z) = Z {х2 (пТ)}. Свертка последовательностей (иТ) и х2(пТ)
у(пТ)= £ Xj (mT}x2 (nT—mT)= £ x1(nT—mT)x2(mT)
т=0	т=0
21
имеет Z-преобразование K(z), равное произведению A\(z) и X2(z)
Y(z) = X1(z)X2(z).	1	(1.32
4.	Перемножение последовательностей. Если Xt (z) = Z{xt (пТ)
и X2(z) = Z {х2(пТ)}, то последовательность y(nT)=Xi (пТ)х2(пТ
имеет Z-преобразование
r(z) = ±(f^(!;)^f-^,	(1.33
' ' 2nj J v	\ v J v
где контур с лежит внутри пересекающихся областей сходимости
А\(г) и X2(z/v). Следствием (1.33) является преобразование Фуры
(спектр) сигнала у(пТ)
*/Т
Y(ejaT) = ^	Xl(e^T)X2(ej{a^]T)d'il,	(1.34
-я/Т
где (е-'юГ) и X2(ej<aT) — спектры сигналов хг(пТ) и х2(пТ
и упомянутое равенство (1.10) Парсеваля, устанавливающее связ!
между энергией сигнала и энергией его спектра. Если положит!
y(nT) = xi (пТ)х2(пТ) (звездочка означает комплексно-сопряжен
ную величину), то можно записать [2]
я/Т
оо	ос
Е у(пТ)= £ х1(пТ)х2(пТ) =
п = 0	п-0
-я/Г
j X1(eJe,T)X2(eJe>T)dw (1.35;
и в частном случае, при xt (пГ) = х2(пТ) = х(пТ), получим равен
ство Парсеваля
(1-36)
ОБРАТНОЕ Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
Обратное Z-преобразование ставит в соответствие фун-
кции комплексной переменной X(z) решетчатую функцию
(последовательность) x(nT) = Z~1 {X(z)}, определяемую по
формуле
х(пТ)=—ф A'(z) z" ”1 <Zz,	(1.37)
J с
где с--контур, расположенный в области сходимости X(z)zn~1
и охватывающий начало координат в z-плоскости. Интеграл
в (1.37) удобно вычислить при помощи теоремы о вычетах:
22
функция х(иТ) определяется суммой вычетов подынтегральной
функции в полюсах, расположенных в области, охватываемой
контуром с:
x(nT)^ResZt{X{z)zn~l),	(1.38)
причем вычет в простом полюсе z — zk равен
ResZi (X(z) zn"1) = lim ((z-zk)X(z)zn~1).	(1.39)
Пример 1.15. Пусть T(z) = 1/(1 — az~l). Здесь один простой полюс
в точке z=a и
х (п Т) = lim ((г - а) -—г" ’1 ) = а".	(1.40)
Удобный способ вычисления обратного Z-преобразования
заключается в разложении X(z) на простые дроби (если X(z)—
рациональная функция):
y(z)= %	0-41)
k= 1
В этом случае, используя свойство линейности и (1.40), находим
х(пТ) = £ РкЫ".	(1.42)
к=1
Пусть, например, X(z) = 1/(1 — 5z-14-6z~2). Разложим X(z) на
Таблица 1.1
х(пГ), м = 0, 1. 2, ...	ты
5(иТ) «о (и Л а" п пап / m\	т\ \п) (л-т)! л! I т~‘ т= 1 е sinojnT совпшТ"	1 ’/(l-az *), |а|<1 z'Vd-z ) z'7(I-az-1)2 (1+z4)’". т^п 1 1 	fin	г 1-z’1 1-z’1 l/d-e^z-1) (sintuT^z 1
	z'2— (2cos<o7')z“1+ 1 (1 —cosa)T)z-1
	Z - 2 — (2 COS (£>T) Z  1 + 1
23
простые дроби:
Согласно (1.42) соответствующая решетчатая функция имеет вид
х(иГ)=-3-2п + 3-3".
В табл. 1.1 приведены Z-преобразования часто используемых
последовательностей.
РЕШЕНИЕ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ
Z-преобразовапие является удобным аппаратом для решения
разностных уравнений с постоянными коэффициентами. Пусть
связь последовательностей у(пТ) и х(пТ), п = 0, 1, 2, ..., описыва-
ется разностным уравнением
М - 1	N - 1
£ аку(пТ-тТ) = £ Ькх(пТ-кТ).	(1.43)
т=0	к~О
Применяя Z-преобразование к обеим частям (1.43) и учитывая
свойства линейности и сдвига, находим
М - 1	N - I
£ amz~mY[z') = £ bkz~kX(z),	(1.44)
m - 0	к = О
где У(г) и X(z)соответственно Z-образы функций у(пТ) и л (пГ).
Из (1.44) находим
r(z) = //(r)y(z),	(1.45)
N - 1	, JW - 1
где H(z) = £ bkz~k £ akz~k.	(1.46)
к - О ' m ~ О
Применяя методы обратного Z-преобразования, определяем
по известной х(пТ) последовательность у(пТ).
Пример 1.16. Пусть имеем разностное уравнение у(п'Г) -0,5г(иТ-Т)--х(пТ)
и ;•(—Г) = 0. Применяя /-преобразование к обеим частям уравнения, получаем
y(e)-0,5z‘T(z) = A'(z),
откуда
Г(-) = [I/O-0,5г-‘)]У(4
Если, например, л(п7)=§(л7). то Z(z)=l. Y(z)= 1/(1 —0,5r 1); согласно (1.42)
или табл. 1.1 получаем т(и7’) = (0,5)л.
СВЯЗЬ МЕЖДУ /-ПРЕОБРАЗОВАНИЕМ И ФУРЬЕ-
ПРЕОБРАЗОВАНИЕМ ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ
Из сравнения Z-нреобразования (1.29) и фурье-преобразовапия
(1.5) дискретных сигналов х(пТ), п = 0, 1, 2, ..., видно, что при
24
условии сходимости соответствующих рядов спектр дискретного
сигнала может быть получен путем подстановки z = eiml в Z-образ
этого сигнала. Уравнению z = eJ“; соответствуют точки, рас-
положенные на окружности радиусом г=1 (единичная окружность)
в комплексной z-плоскости (см. рис. 1.11). Поэтому можно
сказать, что спектр сигнала- это Z-образ, рассматриваемый на
единичной окружности в z-плоскости, т. е. X(eje>1 ) = l'(z)|2=e^r.
1.7.	ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ. ФОРМЫ
РЕАЛИЗАЦИИ ДИСКРЕТНЫХ ФИЛЬТРОВ
ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ
Передаточной функцией линейной дискретной системы фильтра
/7 (г) называют отношение
7/(z)=T(z)/Z(z),	(1.47)
где X(z) — Z-изображение входной последовательности х(пТ)
системы, а У(z) -Z-изображение выходной последовательности
у(пТ) системы при пулевых начальных условиях.
Пример 1.17. Пусть х(пТ) = {1} 0, 1,2} и у(п7") = {0, 1,2, !}. При этом:
АТ-)= £ x(n7’)z-"=l+“’2 ''2г
п-0
У(Д = X j-(/)7’)z " = z“‘+2z 2 г Зе 3.
п о
Следовательно, передаточная характеристика соответствующей системы (фильтра)
будет
//(Д = (- 4 2; 1+Зг-3)/(1 l-z” 2 + 2т-3).
Передаточная характеристика рекурсивного дискретного фильтра,
описываемого уравнением (1.25), записывается в следующем виде:
,V-I	М- I	X
H(z)= bkz~k (1+ Z amzm ,	(1.48)
k~-0	> \ m~l	)
где Z>b am- постоянные (предполагается н0=1). Соотношение
(1.48) получается в результате применения Z-прсобразования
к левой и правой частям уравнения (1.25) и определения H(z)
согласно (1.47). Передаточная характеристика нерекурсивного
фильтра, описываемого уравнением (1.28),
H(z)=£bkz к.	(1.49)
к = о
Пример 1.18. Найдем передаточную функцию фильтра, описываемого
уравнением (1.26) (см. пример 1.10). Пусть Y(z) и X(г) Z-изображения выходной
25
у(пТ) и входной х(пТ) последовательностей. Тогда, применив к (1.26) Z-
преобразование при нулевых начальных условиях, запишем
Y(z)=az~l Y(z) +X(z),
откуда H(z)=l/(l + az*1).
Заметим, что передаточная функция рекурсивного фильтра
(1.48) может быть, например, прямым делением числителя на
знаменатель представлена в виде
ff(z)= f cmz~m,	(1.50)
m = 0
где cm—постоянные коэффициенты.
СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ И ГРАФЫ ДИСКРЕТНЫХ
ФИЛЬТРОВ
Структурная схема дискретного фильтра может быть опре-
делена не только разностным уравнением, но и передаточной
функцией.
Пример 1.19. Задан нерекурсивный фильтр, описываемый уравнением
у(пТ) = Ьох(пТ) + Ь1х(пТ— Г). Этот же фильтр характеризуется передаточной
функцией Я(г) = />о + ^12'1, которой соответствует структурная схема, представ-
ленная на рис. 1.12, а.
Наряду со структурной схемой дискретная система может
быть представлена в виде графа, т. е. диаграммы прохождения
сигналов, состоящего из направленных ветвей и узлов. Ветвь
(ik)— ветвь, исходящая из узла i в узел k. С каждым к-м
узлом связана величина сигнала хк(пТ) (или его Z-изображение
Jjk(z)), которая определяется суммой всех сигналов (или их
/9	г)
Рис. 1.12
26
Z-изображений), входящих в данный узел ветвей. В ветви
происходит в соответствии с передаточной функцией ветви Hik(z)
преобразование сигналов, например задержка или умножение
сигнала на постоянную.
Пример 1.20. На рис. 1.12,6 приведен граф фильтра нз примера 1.19. Для
всех узлов графа можно записать соотношения для сигналов или их Z-
изображений:
узел 1: %! (z) = X (z),
узел 2: X2(z) = z~lXt (г),
узел 3:	(z) = Y (z)=b0Xi (z) + b i X2 (z).
(1.51)
Пример 1.21. Рекурсивный фильтр имеет передаточную функцию
//(z)=(l+/>iz ^/(l+aiZ l),
т. с. описывается уравнением
у(»Т)=-й1у(лТ-Г)+л(лТ)+/>1х(лТ-Т).	(1.53)
Непосредственно уравнению (1.53) или функции (1.52) можно поставить
в соответствие структурную схему и граф фильтра, приведенные на рис. 1.12, в, г.
Для узлов графа можно записать соотношения для последовательностей или
их Z-изображений:
Xi (z) = X(z) -aLX4(z),
Xz^X^z),
X3(z)=Y(z) = X2(z)+blX4(z),
Z4(z) = z-‘A'2(z).
(1.54)
СОЕДИНЕНИЕ ФИЛЬТРОВ
Эквивалентными называют фильтры, у которых при нулевых
начальных условиях и одинаковых входных сигналах выходные
сигналы также одинаковы.
1.	Последовательное соединение: выходная последовательность
предшествующего фильтра является входной для последующего
(рис. 1.13,а). При этом эквивалентная передаточная функция H3(z)
системы равна произведению передаточных функций (z) и Н2 (z)
отдельных фильтров:
tf,(z) = H,(z)H2(z),
так как	(z) = Х3 (z)/Xt (z) = (Х3 (z)/X2 (z)) (Х2 (z)fXk (z)).
2.	Параллельное соединение: входная последовательность во
всех фильтрах одна и та же, а выходная последовательность
системы равна сумме выходных последовательностей отдельных
фильтров (рис. 1.13,6); при этом эквивалентная передаточная
функция системы равна сумме передаточных функций отдельных
фильтров:
27
Рис. 1.13
H,(z)=H1(z)+H2(z).	(1.55)
3.	Соединение обратной связи: выходная последовательность
одного фильтра подается на вход другого (рис. 1.13, в), причем
возможна отрицательная и положительная обратная связь. Здесь
эквивалентная передаточная функция системы
(z) = Нк (z)/[ 1 ± Нк (z) Н2 (z)],	(1.56)
где знак плюс соответствует отрицательной обратной связи,
а знак минус — положительной. Доказательства соотношений
(1.55), (1.56) очевидны, они следуют непосредственно из определе-
ния передаточных функций.
СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ РЕКУРСИВНЫХ ФИЛЬТРОВ
Рассмотрим некоторые наиболее часто используемые струк-
турные схемы рекурсивных фильтров.
1.	Прямая форма (рис. 1.14, а) структурной схемы рекурсивного
фильтра реализуется непосредственно по разностному уравнению
М-1	N-1
у(пТ)=- £ ату(пТ-тГ)+ £ Ькх(пТ~кТ)	(1.57)
m = 1	к = О
или но передаточной функции
W~1	./	М-1	V
H(z)= £ bkz~4 14- £ amz~m .	(1.58)
1 = 0	/ \ m = 0	/
Эта схема содержит один сумматор, умножители и N+M—1
элементов задержки (для создания цепей, соответствующих чис-
лителю и знаменателю передаточной функции, используются
отдельные элементы задержки).
Пример 1.22. Биквадратный блок (ББ)~ фильтр второго порядка, описыва-
емый уравиеиием
у(пТ) = -в! у(пТ- Г) — а2у(пТ— 2 Г) + Ьох(пТ) +Ь1х(пТ—Т) + Ь2х(пТ-2Т) (1.59)
или соответственно передаточной функцией
Нбб(2) = (Ьо + biz l + b2z 2)/(l+alz ' + a2z 2),	(1.60)
28
Рис. 1.14
где Hj(z)=l
где bt, ат- постоянные, к, т = 0, 1,2. Прямая форма структуры ББ приведена
на рис. 1.15, а; она содержит сумматор и четыре элемента задержки.
2.	Прямая каноническая форма. Канонической называют струк-
турную схему фильтра, содержащую минимальное число элемен-
тов задержки. Передаточную функцию (1.58) рекурсивного
фильтра можно представить в виде
Я(7)=У(г)/У(г)=Я1(г)Я2(4
М-1	ч	N- 1
1+ X flmz~" =K(z)/J(z); tf2(z) = £ ^z"* =
т= 1	/	1с = 0
= K(z)/K(Z).
Передаточным функциям Hj (z) и Нг (z) cooтветствуют раз-
М ~ 1
постные уравнения	V (пТ)=-х(пТ) — £ ат У(пТ-тТ);
N—1
у(пТ) = У bkV(nT—kT). Так как в фильтрах, реализующих Ht (z)
и H2(z), имеет место только задержка сигнала V(nT), то можно
использовать только один набор элементов задержки.
а)	б)
Рис. 1.15
29
Прямая каноническая форма структурной схемы рекурсивного
фильтра, описываемого уравнением (1.57) или соответственно
передаточной функцией (1.58), приведена на рис. 1.14,6. Она
содержит минимальное число L элементов задержки: L =
= max (TV— 1, М — 1) — и два сумматора (в схеме рис. 1.14, б пред-
полагается N=M). В качестве примера на рис. 1.15,6 приведена
прямая каноническая форма структурной схемы ББ с переда-
точной функцией (1.60).
3.	Каскадная (последовательная) форма структурной схемы
(рис. 1.14, в) — одна из наиболее часто применяемых структурных
схем — соответствует представлению передаточной функции (1.59)
в виде произведения
Я(и)=ПШ	(1.61)
i=i
где Hi(z) — передаточная функция ББ:
(z) = (Z>0/ + ^l/z l+^2/z 2)/(l+flHz 1+^2/z 2),	(1.62)
причем возможно, что в некоторых сомножителях Ht (z) некоторые
коэффициенты равны нулю и, следовательно, реализуются более
простой структурой, чем показанные на рис. 1.15.
Заметим также, что при последовательном соединении биквад-
ратных блоков, реализованных в прямой форме (см. рис. 1.15, а),
может оказаться, что элементы задержки в цепи обратной связи
предшествующего блока дублируют элементы задержки в прямой
ветви последующего блока и поэтому при каскадной реализации
L-звенного фильтра на ББ в прямой форме могут быть из схемы
исключены избыточные 2(£—1) элементы задержки.
4.	Параллельная форма (рис. 1.14, г) структурной схемы
соответствует представлению передаточной функции (1.59)
в виде суммы
H(z)=£H,(z),	(1.63)
i
где слагаемые
HI(z) = (6oi + 6nz'1)/(l + aiiz-1 + a2!z'2)	(1-64)
могут быть реализованы в виде упрощенных структур биквад-
ратных блоков.
СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ НЕРЕКУРСИВНЫХ ФИЛЬТРОВ
1.' Прямая форма является непосредственной реализацией
передаточной функции нерекурсивного фильтра
= \ bkz~k	(1.65)
к = О
30
Рис. 1.16
или соответствующего разностного уравнения фильтра
у(иТ) = УМиТ-кТ).	(1.66)
к = 0
Прямая форма (рис. 1.16) содержит N— 1 элементов задержки,
N умножителей и сумматор на N входов. Эту форму называют
также трансверсальным фильтром, или фильтром с многоотводной
линией задержки.
|	2. Каскадная (последовательная) форма структурной схемы
нерекурсивного фильтра соответствует представлению передаточ-
ной функции (1.65) в виде произведения
/7(7) = ПН/(4	С1-67)
L
где Hi(z) = bCjl + buz~x +b2lz~l, или ffi(z) = b0l+buz~l реали-
зуется с помощью упрощенной структуры биквадратного
блока.
1.8.	ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ ФИЛЬТРОВ
ИМПУЛЬСНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА
Важнейшей временной характеристикой линейной дискретной
системы является импульсная характеристика, под которой по-
нимают реакцию системы h(nT) на единичный импульс 5(иТ)
при нулевых начальных условиях. Импульсную характеристику
h(nT) можно рассчитать путем решения соответствующих раз-
ностных уравнений.
Пример 1.23. Вычислим импульсную характеристику системы, описываемую
разностным уравнением 1-го порядка у(иТ)=0,5у (пТ— Т) + х(пТ). Пусть
31
J'(— 7’) = 0, x (и T) = S (и Г); при этом y(>iT) есть h(nT) и, следователи!
Л(пТ) = 0,5/; (пТ— Т) + 5 (пТ). о iкуда
h (0)=0.5/; (—Z)+S (0)=1.
/;(7’) = 0.5/;(0) +S(T)=0.5.
Л(27’) = 0.5Л(7)=0.25,
Видно, что
/;(л7’) = (0,5)".	(1.6!
РЕАКЦИЯ ФИЛЬТРА НА ПРОИЗВОЛЬНОЕ ВОЗДЕЙСТВИ
При помощи дискретной свертки можно рассчитать реакции
у(пТ) дискретного фильтра па любое воздействие х(пТ). Дей
ствителыю, согласно (1.3) входная последовательность фильтр
х(пТ) = £ x(mT)8(nT— тТ).
т = 0
~ Так как реакция дискретного фильтра на единичный импуль
8(н7’) есть импульсная характеристика h(nT), то вследстви
стационарности фильтра h(nT—mT) будет реакцией фильтра н
последовательность $(пТ— ml) и из свойств линейности фильтр
следует, что реакция у(пТ) па последовательность х(пТ) (1.68
будет равна
у(иТ)= Y x(mT)h(nT-mT).	(1.69
m~0
Заменой переменных (1.69) может быть преобразовано к вид)
з (нТ)= Y x(iiT-mT)h(mT).	(1.70
В (1.69) и (1.70) предполагается, что /?(/?7') = 0 при /?<0и х(пТ) = 1
при п < 0; поз тому
у(/?Т) = £ л-(шТ)/?(/гТ-т7')= £ x(nT-mT)h(mT). '	(1.71
m - 0	in = О
Наконец, если х(и7) и h(jiT) конечны и отличны от нулз
только в У точках, н = 0, 1, ..., N— 1, то
N - 1	- 1
у(п'Т) = Е h(mT)x(nT— mT)= £ h(nT—mT)x(mT). (1.72
m - 0	in - О
Формулы свертки (1.71) и (1.72), как видно, определяют
выходную последовательность как сумму откликов системы н<
32
входную последовательность импульсных воздействий и позволя-
ют вычислить выходную последовательность у(пТ) при нулевых
начальных условиях и при произвольной входной последователь-
ности х(пТ).
Пример 1.24. Переходная характеристика g(nT) -реакция линейной диск-
ретной системы при нулевых начальных условиях на единичную последователь-
ность Ио(п7) — может быть вычислена согласно (1.71):
g(;;7’)= X h(mT)u0{nT-mT)= Y.h(mT)-
m-0
Очевидно, что h(nT)=g(nT) -g(nT- Г).
СВЯЗЬ МЕЖДУ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИЕЙ И
ИМПУЛЬСНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ
По определению (1.47) передаточная функция
77(z)=r(z)/X(z),
где У(г) и Z(z) — Z-образы выходной и входной последователь-
ностей у(пТ) и х(пТ). Пусть х(пТ) = %>(пТ), тогда у(пТ) = h(nT) —
есть импульсная характеристика. Так как при этом Z(z)=l, то
Y(z) = Z{h(nT)}
и, следовательно,
Z{h(nT)} = H(z),	(1-74)
т. е. Z-образ импульсной характеристики совпадает с передаточ-
ной функцией системы.
Если записать Н(z) в общем случае в виде H(z)= Е bkz к,
к=о
то очевидно, что коэффициенты Ьк совпадают с /с-ми выборками
импульсной характеристики h(kT) и, следовательно,
tf(z)= Е h(kT)z~k.	(1-75)
к = 0
В случае конечной импульсной характеристики h(kT) = 0
при k^N и
77(2) = ^ h(kT)z~k.	(1-76)
fc = 0
Из (1.75) и (1.76), в частности, следует, что последовательность
h(kT) можно вычислить из расчета передаточной функции, г. е.
ИЗ уравнения 77(z) = Z{/?(nT)} следует соотношение
h(nT)=Z -1 {H(z)}.	(1-77)
33
2 Заказ 3574
Заметим также, что из соотношения Y (z) = Н (z) X (z) следует
как показано в § 1.6, что выходной сигнал фильтра у(пТ
определяется в результате выполнения операции свертки (1.71)
ФИЛЬТРЫ С КОНЕЧНОЙ И БЕСКОНЕЧНОЙ
ИМПУЛЬСНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ (КИХ-
ФИЛЬТРЫ И БИХ-ФИЛЬТРЫ)
Фильтром с конечной импульсной характеристикой — КИХ
фильтром — называют фильтр, у которого импульсная харак-
теристика представляет собой конечный дискретный сигназ
(jV-точечный дискретный сигнал), т. е. может принимать отличньк
от нуля значения лишь при п = 0, 1, ..., N— 1.
Фильтром с бесконечной импульсной характеристикой — БИХ
фильтром — называют фильтр, у которого импульсная харак
теристика может принимать отличные от нуля значения н<
бесконечном множестве значений п = 0, 1, ...
Пример 1.25. Для нерекурсивного фильтра с передаточной фуикцие;
ZZ(z) = 3 + O,5z-1 + z-2+4z-3 в силу (1.77) импульсная характеристика h(nT
определяется следующим образом: й(0) = 3, й(77 = 0,5, h(2T)= 1, й(ЗТ)=4, й(дТ)=(
при д>4; очевидно, что это КИХ-фильтр.
Пример 1.26. Для рекурсивного фильтра с передаточной функцией H(z) =
= 1/(1 — 0,2z“1) в силу (1.77) и (1.42) импульсная характеристика h(nT) определяете:
следующим образом: й(лТ)=0,2"; очевидно, что это БИХ-фильтр.
Пример 1.27. Для рекурсивного фильтра с передаточной функцией H(z) =
= (1 —z“5)/(l —z-1) в силу (1.77) импульсная характеристика h(nT) определяете;
следующим образом: й(0) = й(Т) = й(2Т)=й(37’) = й(4Т)= 1, h(nT) = 0 при 05
очевидно, что это КИХ-фильтр.
Очевидно, что нерекурсивный фильтр всегда является КИХ-филь
тром, в то же время рекурсивный фильтр может быть как БИХ
фильтром (см. пример 1.26), так и КИХ-фильтром (см. пример 1.27)
Поскольку основные особенности проектирования и примене
ния фильтров связаны с видом импульсной характеристики (КИ>
или БИХ), а не с наличием или отсутствием обратной связи
будем, как правило, использовать термины «КИХ-фильтр>
и «БИХ-фильтр», а не «нерекурсивный» и «рекурсивный» фильтры
1.9.	УСТОЙЧИВОСТЬ И РЕАЛИЗУЕМОСТЬ
ДИСКРЕТНЫХ ФИЛЬТРОВ
КРИТЕРИЙ РЕАЛИЗУЕМОСТИ
Линейный дискретный фильтр физически реализуем, если еп
реакция (выходной сигнал) не опережает входного, т. е. в любо1
момент пТ реакция у (и Г) зависит лишь от значений входно!
34
последовательности х(пГ) в моменты п'Т^пТ и не зависит от
их значений в последующие моменты. Критерием физической
реализуемости линейного дискретного фильтра является равенство
нулю отсчетов импульсной характеристики при отрицательных
значениях моментов отсчетов: h(nT) = 0 при п<0.
КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ
Фильтр называется устойчивым, если при любых начальных
условиях реакция фйльтра на любое ограниченное воздействие
х(пТ) также ограничена, т. е. если \х(пТ)\^Мх<со для всех
n = 0, 1,2, ..., то , |у(пТ)|^Л/),<оо для всех п, причем
Мх и Му — постоянные, не зависящие от п. Из уравнения
дискретного фильтра (1.70) следует, что если х(пТ) ограни-
чено, т. е. |х(пТ)|^А/х<оо для всех п, то абсолютное зна-
00
чение выходного сигнала |у(пГ)\^ £ |h(mT)\ \x(nT—mT)\^
т = 0
оо
^Мх £ \h(mT)\. Следовательно, критерием устойчивости диск-
т = О
ретпого фильтра является абсолютная сходимость ряда отсчетов
импульсной характеристики
£ \h(mT)\<co.	(1.78)
m = 0
Можно показать, что условие (1.78) является не только
достаточным, но и необходимым условием устойчивости фильтра.
Однако непосредственное применение условия (1.78) для проверки
устойчивости практически затруднено. Поэтому рассмотрим дру-
I ую формулировку критерия устойчивости. В общем случае
передаточная функция линейного дискретного фильтра представ-
ляется в виде (1.75)
H(z)= J h(nT)z~n,	(1.79)
n = 0
откуда следует, что
\H(z)\^ £ |6(нГ)||2-"|.
п- О
Если |z~11< 1, то
\h(nT}\.	(1.80)
п = О
Это значит, что в устойчивой системе H(z) конечна во всех
точках z-плоскости, где |z|^l, и, следовательно, передаточная
35
функция H(z) не должна иметь особых точек (полюсов) пр
z^l (на и вне единичного круга z-плоскости). Таким обра
зом, система будет устойчива только тогда, когда все полюс]
H(z) расположены внутри единичного круга z-плоскости. Есл
H(z) — дробно-рациональная функция, то полюсы H(z) определи
ются нулями (корнями) многочлена знаменателя передаточно
функции:
Л'-1	./	м-1 X
H(z)= X bkz~k 1 + X а^~т •	(1-81
к=0 I \	т=1	/
Пример 1.28. 1. Пусть /7(z) = (l —z-1)/(l —0,2z-1). Полюс Н (z)— корен
знаменателя Z[=0, 2<1; фильтр устойчив. 2. Пусть /7(z) = (l—z“3)/'(l—0,6z-1-
+0,25z 2); здесь корни знаменателя z2.3 = 0,3+j0,4 и |z2| = |z3| = 0,5< 1, т. <
фильтр устойчив; 3. пусть H(z) = 1/(1 + l,2z" *); здесь корень знаменателя z4= — 1,1
и фильтр неустойчив.
Заметим, что формулировка критерия устойчивости относите
к несократимой дроби (1.81), так как возможно, что полю
компенсируется нулем передаточной функции. Например, фильтр
описываемый функцией Zf(z) = (l— z-2)/(l — z-1), устойчив, несмот
ря на то, что полюс | z | = 1 лежит на единичной окружности
устойчивость фильтра обусловлена тем, что в действительност!
после сокращения числителя и знаменателя на множитель 1— z~
получается Zf(z)=l+z-1. Нерекурсивные фильтры всегда устой
чивы, так как все полюсы их передаточной функции локализован!
в бесконечно удаленной точке (|z| = oo).
1.10.	ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ ФИЛЬТРОВ
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ. ВИДЫ ЧАСТОТНЫХ
ХАРАКТЕРИСТИК
Пусть X(eJ“r) и У(eJ“r) -фурье-преобразования входно!
и выходной последовательностей х(пТ) и у(пТ) дискретной
фильтра, г. е.
оо
Х(е7<оГ)= X x(nT)e~janr,
п = О
(1.82
У(е;<о7) = Y y(nT)e~ja>nT
п = О
(здесь суммирование производится от н = 0 до н = оо, так ка!
предполагается, что х(нТ) = 0 и у(пТ) = 0 при н<0). Тогдг
частотной характеристикой системы называют отношение
H(ejaT)= У(е>г)/Х(е7“г).
(1.83:
36
Следовательно, частотная характеристика совпадает с передаточ-
ной функцией (1.47) на единичной окружности z-плоскости, г. е.
при z = e>r:
//(e^) = H(z)|2 = c>.r.	(1.84)
Для рекурсивного фильтра согласно (1.48)
ЛГ — 1	,/	М-1	X
Я(е^,т) = X bke~iu,kT/(1+ X «me~ju,mT ;	(1.85)
fc = O	I \ m=1	/
для нерекурсивного фильтра согласно (1.49)
N-l
H(eiu,T)= X bke~ju,kT,	(1.86)
k = 0
N- 1
или //(e>“r)= X h(kT)e~J,okT,	(1.87)
k = 0
так как bk = h(kT)—выборки импульсной характеристики фильтра. За-
метим, что частотная характеристика H(eJu,T) является передаточной
функцией линейной дискретной системы для входного комплексного
синусоидального сигнала x(nT)=eim,r, т. е. выходной сигнал системы
в установившемся режиме при этом равен y(nT) = H(eJa>T)eJanT.
В общем случае Я (е7 гаТ)—комплексная функция, которая
может быть записана в виде
Н(еJaT) = А (со) е7<₽(м) = R (со) + Д(со),
где Л(со) = | H(ejaT)\ — модуль частотной характерно гики -амп-
литудно-частотная характеристика (АЧХ); ср (со) = arg Н (еJ,aT) —
аргумент частотной характеристики —фазочастотная характери-
стика (ФЧХ); R(со) = А (со)cos ср (со), J(co) = /1 (со) sin ср (со) -вещест-
венная и мнимая части частотой характеристики.
Групповое время замедления (ГВЗ) т(со)= — (с/<р (оэ)/<7со), где
<р (со)— ФЧХ фильтра.
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
Из определения частотных характеристик следует ряд важ-
нейших свойств.
1.	Все частотные характеристики дискретных фильтров явля-
ются непрерывными функциями частоты.
2.	Все частотные характеристики представляют собой пери-
одические функции частоты со с периодом, равным частоте
дискретизации сод = 2л/Т (так как е-'10'1'=е-'(“ + /“а''17, / целое).
3.	Для вещественных фильтров, г. е. фильтров, передаточные
функции которых имеют только вещественные коэффициенты,
АЧХ Л (со) и ГВЗ т(со) представляют собой четные функции
частоты, а ФЧХ ср (со)— нечетную функцию частоты.
37
Рис. 1.17
Из этих свойств следует, что требования к частотных
характеристикам достаточно задавать лишь на интервале полу
периода [0, л/Т].
Пример 1.29. Пусть H(z) = 1 + z~1 + z~2. Положив z = сj“T = cos<i)T+jsinш7
найдем Л (ш) = ^/3+4cosu7’+2cos2w7’, <р(ш)=—шТ, т(а>)=Т. На рис. 1.17, а, б, >
показаны соответственно графики АЧХ Л(ю), ФЧХ <р(ш) и ГВЗ т(ш).
НОРМИРОВАНИЕ ЧАСТОТЫ
Для того чтобы частотные характеристики различны?
фильтров было легче сравнивать друг с другом, частоту со нор'
мируют. Поскольку все частотные характеристики зависят при
постоянном Т от произведения соТ, вместо соТ вводят одн)
переменную. Как правило, используют два способа нормирована
частоты. При первом способе полагают соГ=й. В этом случае
период для всех частотных характеристик равен 6д = 2л и требова-
ния к ним следует задавать на интервале [0, л]. При второх
способе полагают соТ=2лгг. В этом случае период для всех
частотных характеристик равен w„ = 1 и требования к ним следует
задавать на интервале [0...0,5]. В последующих параграфах, как
правило, рассматриваются нормированные частотные характери-
стики, причем используется второй способ.
ТРЕБОВАНИЯ К АЧХ ИЗБИРАТЕЛЬНЫХ ФИЛЬТРОВ
Одной из основных задач при обработке аналоговых сигналов
является построение аналоговых избирательных фильтров, т. е.
фильтров, подавляющих (уменьшающих по амплитуде) одни
38
—1___
0,5 w
Рис. 1.18
частотные составляющие спектра входного аналогового сигнала
и пропускающие без изменения на выход другие составляющие
этого спектра.
Задача построения избирательных дискретных (и цифровых)
фильтров в теории цифровой обработки сигналов так же важна,
как задача построения избирательных аналоговых фильтров при
обработке аналоговых сигналов. Избирательный дискретный
фильтр при заданном спектре входного дискретного сигнала
х(пТ) формирует определенным образом в заданном частотном
диапазоне спектр выходного дискретного сигнала у(иТ). В полосе
пропускания АЧХ должна быть близка к единице (соответст-
вующие составляющие спектра входного сигнала проходят на
выход почти без подавления), а в полосе задерживания АЧХ
должна быть близка к нулю (соответствующие составляющие
спектра входного сигнала проходят на выход со значительным
подавлением). На рис. 1.18 показан график функции /4*(w),
определяющей требования к нормированной АЧХ идеального
дискретного фильтра нижних частот (ФНЧ). Общий частотный
диапазон дискретного фильтра 0...0,5 (точка 0,5 соответствует
частоте п/Т при отсутствии нормирования частоты). Полоса
частот от 0 до и'гп, в которой Л*(и,)=1, является полосой
пропускания. Полоса частот от и’г з до 0,5, в которой Л*(и,) = 0,
является полосой задерживания. Полоса частот от и’гп до wr3,
в которой функция Л*(и>) не задана, является промежуточной
полосой.
Невозможно реализовать дискретный фильтр, АЧХ которого
точно равна функции A*(w). Поэтому необходимо аппроксимиро-
вать заданную функцию	т. е. определить параметры
дискретного фильтра, АЧХ которого A (w) близка к заданной
функции
А (и')«
При О^И’^Иу.п И И’г.3^И’<0,5.
В гл. 3 и 4 рассматриваются методы решения аппроксимаци-
онных задач для КИХ- и БИХ-фильтров.
39
ТРЕБОВАНИЯ К ФЧХ ФИЛЬТРОВ
Во многих случаях формулируются требования к фазочастотным
характеристикам. Фильтры с точно линейной ФЧХ имеют постоянное
ГВЗ и поэтому не искажают формы входных сигналов, спектр
которых находится в полосе пропускания фильтра. БИХ-филыры
могут иметь только приблизительно линейную ФЧХ, а КИХ-фильтрь|
при определенных условиях могут иметь точно линейную ФЧХ,
Именно эти фильтры чаще всего используются на практике (см. гл. 3)’
СВЯЗЬ МЕЖДУ ЧАСТОТНЫМИ И ВРЕМЕННЫМИ J
ХАРАКТЕРИСТИКАМИ ФИЛЬТРОВ	|
Из теоремы Парсеваля (1.10) и (1.77) следует, что
я/Т
£ Л2(нТ) = - f | Я(е>г)|2<йо,	(1.881
n=0	п J	1
0	1
где h(пТ) импульсная характеристика	фильтра.	|
Вычисления (1.88) часто необходимы при расчетах, связанны!
со случайным дискретным сигналом на входе фильтра (см|
§ 1.12). Наиболее простой способ вычисления левой (правом
части (1.88) состоит в применении равенства [2]	1
=	(1.891
где в качестве контура интегрирования выбрана единичная
окружность па z-плоскости. Для вычисления интеграла в правой
части (1.89) можно использовать теорему о вычетах (1.38я
выбирая только полюсы, расположенные внутри единичной
окружности на z-плоскости.	|
1.11. РАСЧЕТ ХАРАКТЕРИСТИК ФИЛЬТРА 1
И ВЫХОДНЫХ СИГНАЛОВ ПРИ	I
ДЕТЕРМИНИРОВАННОМ ВОЗДЕЙСТВИИ I
МЕТОДИКА АНАЛИЗА	I
Пусть задана структурная схема (или граф дискретной системы), содержащая
L узлов и Р ветвей, и пусть хк(пТ) последовательность, образующаяся на
выходе сумматора в к-м узле, Xj(z)—z-преобразованис последовательности х1(н7’й
к= 1, 2, ..., L. Для каждою узла графа может быть записано узловое уравнение
описывающее взаимодействие последовательностей или их Z-изображений. 
Таким образом, получаем систему из L алгебраических уравнений дД
Z-изображепий A\(z), к = 1, ..., L. Решив эту систему, можно найти Z-изображснгЯ
40	I
выходной последовательности E(z), выраженное через Z-изображенис входной
последовательности X(z):
T(z) = /7(z)Y(z),
откуда определяется передаточная функция системы H(z). Аналогично определя-
ются передаточные функции любой части дискретной системы.	/
Пример 1.30. Для структурной схемы или графа фильтра (см. рис. 1.12)
записывается система уравнений (1.53). Решение этой системы дает
T(z)=[(l+Z>iz '1)/(l+a1z“1)] X(z)
и. следовательно,
//(z)=(l+Z>iz“1)/(l+a1z- ').
Частотные характеристики дискретной системы определяются из W(z) при
- = cjm7, импульсная характеристика h(nT) находится по значению E(z) при
y(z)=l, т. е. путем обратного Z~ ^преобразования функции H(z).
Расчет реакции у’(иТ') дискретной системы на воздействие конечной после-
довательности х(пТ) определяется сверткой (1.70). Устойчивость фильтра опре-
деляется согласно критериям устойчивости (см. § 1.9).
Если решить систему уравнений (1.54), например, относительно ^(z), го
легко найти передаточную функцию /73(z) от входа к выходу узла сумматора
и затем вычислить соответствующие частотные и импульсную характеристику
для этой части схемы и т. д. Таким образом, по рассмотренной методике,
которая легко реализуется в виде программ на ЭВМ, можно вычислить все
требуемые характеристики и значения отсчетов детерминированных сигналов для
любого момента пТ.
ОЦЕНКА ДЛИТЕЛЬНОСТИ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА
ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВХОДНОМ СИГНАЛЕ
Если на вход фильтра подастся гармонический сигнал х(пТ] = е-’°"'т. то
выходной сигнал у(пГ) при п-»х> стремится к установившемуся значению —
гармоническому сигналу с частотой со:
.Густ(иТ) = Л(со)с7’|“)с7Ш'’т,	. .
где H(z)- передаточная функция фильтра; Л(со) = |//(е7“т)| — АЧХ фильтра;
<p(o)) = arg/7(c-i“T)—ФЧХ фильтра. Часто требуется оценить «реальную» длитель-
ность переходного процесса IT. т. с. определить то значение п=1, при котором
выполняется приближенное равенство у(пТ)~у>ст(пТ). Очевидно, что последнее
справедливо, если
X |А('’Г)1~ X \h(nT)\.	(1-90)
п-0	п —О
Смысл приближенного равенства (1.90) можно уточнить, например, так: (1.90)
выполняется, если
41
Z |Л(я7’)| —£ |й(лГ)|= X \h(nT)}<£
«-о	л = 0	л = / + I
и e<ej £ |й(пТ)|.
л = 0
Задавая величину еь например £[ =0,01...0,001, и по известной характеристм
h(nT) можно из (1.92) оценивать величину /, при которой ошибка £ не превыш
заданной величины.
1.12. РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ ВЫХОДНЫХ :
СИГНАЛОВ ЛИНЕЙНЫХ
ДИСКРЕТНЫХ ФИЛЬТРОВ ПРИ СЛУЧАЙНЫ
ВОЗДЕЙСТВИЯХ
ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ
ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ
На практике часто встречаются задачи, в которых воздействие на дискретн
фильтр носит случайный характер, вызванный как случайностью самого входног
сигнала, так и флуктуационными шумами, обусловленными квантованием сигналб
в аналогоцифровых преобразователях и в различных узлах фильтра. При налич
случайных воздействий можно вести расчет тех или иных характеристик
сигналов на наихудший случай, т. е. для случая детерминированных сигналов
произвольно ограниченных по модулю. Именно так оценивается в гл. 3 и 4 р
параметров процессов и характеристик КИХ- и БИХ-фильтров. Однако во многи
случаях к технически более приемлемым результатам приводят методы оценки
усредненных параметров, учитывающие статистические характеристики воздействий.
Дискретный сигнал х(пТ) называется случайным, если каждый отсчет х(пТ
представляет собой случайную величину. Рассматриваемые ниже случайные
дискретные сигналы считаются cmai/ионарными и эргодическими. Определение)
«стационарные» означает, что характеристики этих случайных дискретных процес-
сов не зависят от времени. Определение «эргодические» означает, что харак-
теристики, полученные усреднением по ансамблю выборок и по времени,
совпадают [1 ].
Выборкой (реализацией) случайного дискретного сигнала называют конкретные
значения отсчетов этого сигнала в данном эксперименте.
Пример 1.31. Пусть х2(и7')«ах1(«7’), где а—константа, имеющая з-раз-
рядную дробную часть, отсчеты xt(nT) также имеют з-разрядную дробную
часть, отсчеты х2(пТ) имеют r-разрядную дробную часть, г<2з, т. е. х2(пТ)
вычисляется с округлением до г разрядов. Если дискретный сигнал х^дГ)
— непериодический, то можно считать, что x2{nT)=axr(nT} + di(nT), где Д(иТ)
—случайный дискретный сигнал, т. е. шум округления.
Рассмотрим ряд характеристик случайного дискретного сигнала. Отсчет х(пТ)
случайного дискретного сигнала является непрерывной случайной величиной.
Например, отсчет Д(дГ) случайного дискретного сигнала, введенного в примере
1.31, можно считать непрерывной случайной величиной.
42
(L
(1.
= £[/]= f xfxdx,
Pcp=£[x2]= f x2f,dx.
] Математическое ожидание цх непрерывной случайной величины х определя-
ется как
(1.93)
где /х ~ ~ пло гность вероятности (плотность распределения). Простейшим примером
непрерывного распределения вероятности случайной величины является равномер-
ное распределение, плотность которого
fl/(-V2—А’1) ПРИ Х1ОО2,
(1-94)
Jx |0	При X<Xi,X>X2,
где [xi, х2] —интервал, внутри которого изменяется случайная величина х;
плотность внутри этою интервала постоянна и обратно пропорциональна его
длине.
При нормальном или гауссовском распределении случайной величины х плот-
ность распределения вероятности
,.	1	( (*-ic)2\
Л=—— ехр--------—г- ,
2л о \	2°	/
где цх, о постоянные.
Среднее по времени случайного процесса
(1.95)
(1.96)
Для рассматриваемых ниже стационарных эргодических процессов статистические
числовые характеристики, полученные усреднением по ансамблю выборочных
последовательностей и по времени, равны друг другу. Условимся символом
£[.] обозначать усреднение и по ансамблю, и по времени.
Если известна реализация случайной последовательности, состоящая из
/V отсчетов: х (О'), х(Т), ..., x((N— 1) Г), то оценкой математического ожидания
является выборочное среднее
1 Х-1
A- = ~ I х(пТ).
/V в = 0
2.	Средняя мощность случайной величины х определяется средним квадратом
(1.97)
(1.98)
(1-99)
Среднее значение квадрата случайной последовательности по времени
_________ 1 *
х2(пТ)= lim ------- У х2(лГ).
V ’ ,^2N+\„hN V ’
Дисперсия а2 определяется средним квадратом центрированной величины (х —цх):
о2 = Var(x) = E[(x —цх)2 ] = Е[х2] —ц2.	(1.100)
43
Среднее значение квадрата центрированной случайной последовательност и по времени
о2 = £[(х(д7')-л-(лГ))2] = х2(пГ)-(х(п7'))2.	(1.1011
Для реализации случайной последовательности т(пГ), состоящей из N отсчетов!
оценкой дисперсии является	выборочная	дисперсия	]
= i I (х(пТ)~i)2.	(1102]
7V п-0	j
3.	Корреляционная функция Rx(mT) случайной последовательности, являюща-1
яся мерой зависимости между выборками последовательности л.-(иТ') в различные;
моменты, определяется средним значением произведения случайных величии
х(пТ) и x(nT+mT):	]
£Л(тГ) = £[х(пГ)х((п + т) Г)].	i
Опенка Rx(mT) по известной выборке случайного дискретного сигнала х(м7'),-
состоящей из N отсчетов, имеет вид	।
| N - m - 1
Г^П,Т>>=К~^ x(nT)x(nT+mT).
m п-0
(1.103)j
Основными свойствами корреляционной функции являются:
Rx(mT)-—четная функция, т. е. Rx(mT) = Rx(-mT);
начальное значение корреляционной функции
£д(0) = £[х2(пГ)] = о2 + ц.2;
при щ/0 R(mT)^R(0); если цЛ/0, то lim Л(тГ) = ц2;
m -♦ <х
автокорреляционная функция стационарного случайного процесса зависит
лишь от разности моментов наблюдения, т. е. от тТ. Аналогично определяется
и взаимная корреляционная функция для двух стационарных последовательностей
л (и Г) и у (и Г):
Rx.y(mT)=E[x(nT)y((n+m) Г)].
Взаимная корреляционная функция нрн изменении сдвша тТ на — тТ изменяет]
порядок своих индексов: Rx>.(mT) = Ryx( —mT).	1
При m = 0 £д>.(0) = £[х(п7’)у(пГ)], т. с. начальное значение корреляционной I
функции равно среднему значению произведения случайных последовательностей. ]
4.	Спектральная плотность мощности (СПМ) £(<») и корреляционная функция 1
£(т) центрированного стационарного случайного процесса х(т) связаны парой !
преобразования Фурье:	]
а’
5д(со)= f £х(т)с->”'А,
Заметим, что Sx (со) — неотрицательная четная функция,
четная функция, то' можно записать:
(1.104)
и так как £д(т)—также
44
S,(o>)=2 J Rx(x)e'^dx,
О
Rx(т) = (1/п) j £д((о)е'"’<Ло.
о
(1.105)
При w = 0
5\(0) = 2j Rx(x)dx.	(1-Ю6)
О
т е. спектральная плотность мощности па нулевой частоте определяется площадью,
ограниченной автокорреляционной функцией. При т=0 £д(0) = £[х2(()] = £ср-
средняя мощность процесса x[t) и, как видно из (1.105).
£ =- Sx(w)d(o.	(1.107)
71 J
о
Пример 1.32. Рассмотрим стационарный процесс x(t) с равномерной спек-
тральной плотностью мощности в некоторой полосе частот £:
(A = const при |./|^£,
5\(°>)	при |у|>/г
Корреляционная функция этого процесса будет согласно (1.105)
F
Rx (т)=2 J Acos2nfxdf= 2 A£(sin 2л£т/2л£т).	(1.108)
О
Видно, что при значениях т, кратных 1/(2£), £(т) = 0, т. е. сечения процесса,
разделенные интервалом т-1/(2£), т — целое, не коррелированы между собой.
При F-» со придем к процессу, называемому белым шумом, с функцией
корреляции £(т) = Аб(() = (Лго/2)б(т), где Na = 2А — односторонняя спектральная
плотность белого шума (при />0) (интенсивность шума).
Хотя белый шум нс является реальным физическим процессом, он часто
используется на практике в качестве математической модели многих реальных
процессов.
Заметим, что частотные представления случайной стационарной дискретной
последовательности можно получить и из Z-преобразования автокорреляционной
функции:
Z{Rx(mT)}= J Rx(mT)z~" = Sx(z).
m = - оо
На мнимой оси при z=ei°‘T найдем
5д((о) = f Rx(mT)e~jamT.
т - ос
Замечаем, что 5\(со) -периодическая функция частоты с периодом (ол=2п/Г
Отсюда следует, что, в свою очередь.
45
»/Т
T Г
Rx(mT)=— 5x(co)ej”mlJco.	(1.109’
2л J
-n/T
Отсюда получаем, что средний квадрат последовательности х(пТ), т. е. средняя
мощность последовательности,
Рср = Лх(0) = ^
к/Т
5’х(со)Ло.
 я/Г
(i.iio:
Если среднее значение последовательности х(пТ) равно нулю, т. с. цх = 0, то
Лх(0) определяет и дисперсию последовательности: <тх = Лх(0). Таким образом,
дисперсия последовательности пропорциональна .площади, ограниченной спект-
ральной, функцией в основной полосе частот [ —л/Т, л/Т].
Преобразование Фурье взаимной корреляционной функции Лху(т) определяет
взаимную спектральную плотность
•Уч,(<°)= f Лх>(т)е
— оо
(1-111)
и, наоборот,
R

причем 5x,.(oj) = 5>x( —со). Полагая в (1.111) т = 0, получаем
яхдо)=
!<о.
(1-112)
ФИЛЬТРАЦИЯ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ
ПОСЛ ЕДОВАТЕЛ ЬНОСТЕЙ
Стационарная случайная последовательность х(пТ) воздействует на дискрет-
ный фильтр с импульсной характеристикой h(nT) и передаточной функцией
H(z)= f h(nT}z~".	(1.113)
п - О
Выходная случайная последовательность фильтра у(пТ) определяется из соот-
ношения
у(пТ)= £ h(kT)x(nT-kT)	(1.114)
t = o
или из соотношений в Z-изображениях
У(;)=Н(г)Х(4
46
Найдем статистические характеристики выходной последовательности у(нТ'),
если известны соответствующие характеристики входной последовательности.
Средняя мощность Руру выходной последовательности
1 "
Лр> = £[>’2("Л]=1'т^7Т7 У2(пГ) =
N «х Z/V ' 1 п= -N
= lim 1 iff f h(kT)h(mT)x(nT-kT)x(nT-mT)^ =
-N [A=0m=0	J
<jo x	C	1 N	")
= X E h(kT)h(mT)I lim ——- X х(пТ-кТ)х(пТ-тТ)У.
k=0m=0	(n-kx. ' n--N	J
Выражение в фигурных скобках есть средняя мощность входной последо-
вательности Рс{,х и, следовательно,
ЛрУ=Лрл f й2М-	О-115)
п~ О
Если входной сигнал имеет нулевую среднюю (цх = 0), то и
а2 = ах2 f h2(nT).	(1.116)
n-0
Корреляционная функция Ry(mT) выходной последовательности определяется
средним значением произведения функций
у(пТ)= Y h(kT)x(nT-kT)
А = - со
И
у((л+т)Г)= X h(lT)x(nT+mT-lT\
А - - оо
Т. С.
Я,(тГ) = £[у(лГ)у(лГ+тГ)] =
= X Е h{kT)h{lT)E[x(nT-kT)x(nT+mT-lT)\
А“ - х I- - со
Полагая 1=к+р, записываем
Ry(mT)^ X Е Н(кТ)к(кТ+рТ)Е[х(пТ-кТ)х(пТ+тТ-кТ-рТ)].
к=-х р~-х
Так как
E[x(nT—kT)x(nT—kT+tnT—pT)] = Rx(mT—pT), и обозначая
X h(kT)h(kT+pT)=g(pT),	(1.117)
А = - х
найдем связь корреляционных функций выходной и входной последовательностей
в виде свертки:
RAmT)= X gtp-nRAmT-pT).	(1.118)
р = - X
47
Соотношение (1.118) в Z-образах подставляется в виде
Sy(z)-G(z)Sx(z),	(l.W9)|
где Sy(z) и 5\(z) z-образы корреляционных функций Ry(mT) и Rx(riiT),-
a G(z) - z-образ функции g(pT), r. e.	/
GG’)= X g(pT)z~” = I X h(kT)h(kT+pT)z~p.
Полагая здесь [k+p)=n, p = n — k, записываем
G(z)= I h(nT)z" X h(kT)z~k.
n -: • 1	к - - X
Но X h(kT)zk=H(z), a f 11(пТ)г”=П(г'к), поэтому
к - - г»	п - - -г
G(z) = H(z)H(z ')
и, следовательно,
Sr(z)=H(z)W(z-1)\(z).	(1.120)
Если положить z = eJ“7, то из (1.120) получим соотношение для спектральной
плотности мощности (СПМ) выходной и входной последовательностей
5Де>7') = //(cJ“r) П(с ’J“7)(еJ“7) = | Же'"7) |2 ,S\ (еJ"7'),	(1.121)
т. е. СПМ выходной последовательности равна произведению квадрата АЧХ
(амплитудно-частотной характеристики) фильтра на СПМ входной последователь-
ности.
Средняя мощность выходной последовательности согласно (1.110)
л/7	п'Т
т(	т С
1'--	5.. (со) t/co = - р>.,(со)Ао.	(1.122)
2л J	л J
- г.гг	о
где ,S'v(co) определяется формулой (1.121). т. с.
Т
р =_
' ср У
Л
п/Т
\(со)|//(еу“7')|2с/со.
о
(1.123)
Заметим, что в ряде случаев представляет интерес предварительная (т. е.
до синтеза) приближенная опенка мощности шума на выходе фильтра, т. е.
дисперсии о2 по известной величине <т2 и заданной АЧХ фильтра Л*(со).
Предположив, что у реально синтезированного фильтра |//(е7"г)| = Л(о))®Л*(со),
воспользуемся формулой (1.116) и равенством Парсеваля
Х/г2(иГ) = -
Л--(J	71
л/Т
|ZZ(c>7)|2</co.
о
(1124)
48
найдем
г
(Л*(со))2</со.	(1.125)
Пример 1.33. Пусть на вход дискретного фильтра, описываемою уравнением
у(пТ)=ау(пТ—Т)+х(пТ), а<1.	(1.126)
подаетсА случайный сигнал х(пТ) с некоррелированными выборками с нулевым
средним\и дисперсией о2. Определить СПМ и среднюю мощность сигнала на
выходе фильтра.
Так как выборки х(пТ) статистически независимы, то корреляционная функция
Т?д(щТ) = <т2§(/иТ), 6(тГ)=! при ги = 0 и §(/иТ) = 0 ги/0. Спектральная плотность
мощности входной последовательности 5х(со) = о2, гак как Z{6(znT)}= I. Далее
находим СПМ выходной последовательности \(со); согласно (1.121)
5,(со)=|//(е-'“т)|25Л(со),
а в соответствии с уравнением (1.126) передаточная функция фильтра
/Z(z)= 1/(1 —ат”1)
и | Н (eJ0‘1 )| = !/(11 -ае 2шГ|) = 1 /v'2 (1 - a cos то Г).
Средняя мощность выходной последовательности согласно (1.123)
2 Г С d<o
х п J 2 (1 — a coscoT)
о
Глава 2. ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ
2.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Под цифровым фильтром (ЦФ) понимают дискретную систему,
описываемую уравнением (1.25)
м - 1	N -1
у(нТ)= — £ amy(nT-mT)+ £ Ькх(пТ-кТ)	(2.1)
m - 1	к = О
и реализованную программным путем на цифровой ЭВМ (такая
ЭВМ может быть специализированной, унизывающей особенности
алгоритма ЦФ) или аппаратным нулем в виде специализирован-
ного цифрового вычислительного устройства; последнее пред-
ставляет собой совокупность ряда операционных устройств-
регистров, сумматоров, умножителей, устройств управления.
49
у(пт) Сигналы на входе х(пТ) и
----ходе у(пТ) ЦФ (рис. 2.1) явля
цифровыми, т. е. последовательно-]
Рис 2 ]	стями чисел. Каждое из этих сел!
представляется в виде двоичного]
 
кода, и в цифровом фильтре в соответствии с алгоритмами]
 
(2.1) выполняются операции пересылки, сложения, умножения
кодов. Однако при этом алгоритм функционирования реализуете®
 
неточно. Ошибки цифровой фильтрации обусловлены, во-^рвых,
квантованием входных и выходных сигналов (т. е. представлением]
 
их отсчетов числами с определенным конечным числом разрядов),]
 
во-вторых, квантованием коэффициентов фильтра ami bk и,
х(пТ)
ЦФ
с:
в-третьих, конечной разрядностью операционных устройств (ре-1
гистров), вследствие чего имеет место округление результатов]
арифметических операций. Поэт ому при реализации ЦФ следует]
учесть поведение упомянутых ошибок, которые часто называют]
ошибками квантования. Это значит, что выбранная структура]
ЦФ, разрядность входных и выходных сигналов, длина регистров]
арифметических устройств должны быть определены так, чтобы]
ошибки квантования не превосходили допустимой величины.]
Точность реализации алгоритма (2.1) является важным критерием]
качества ЦФ.
Другим важным критерием качества ЦФ является его быст-|
родействие, определяемое временем zmin, необходимым для вычис-]
ления одного отсчета выходного сигнала. Очевидно, что должно]
выполняться условие	где Т—заданный период диск-.
ретизации сигналов.	I
Для ЦФ, работающих в реальном масштабе времени, например]
в системах связи и управления, быстродействие является опре-1
деляющим параметром. Повышение быстродействия часто связано]
с определенным математическим и программным обеспечением]
и с увеличением аппаратурных затрат (введение буферных]
регистров для реализации поточной обработки информации,]
введение параллельной реализации нескольких операций и т. д.). 1
2.2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ И КОДИРОВАНИЕ
ЧИСЕЛ
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ
В цифровых устройствах обычно применяют два представления
числа: с фиксированной и плавающей запятыми. В представлении
числа А с фиксированной запятой предполагается обычно \А |< 1,
запятая располагается между первым и вторым разрядами
регистра числа, причем в первом разряде записывается код
знака числа.
50
Разрядная сетка, содержащая т +1 двоичных разрядов, по-
зволяет представить 2т различных по абсолютной величине
чисел с шагом 2“т в диапазоне 0... 1—2~т
|Л |< 1 -2-т.	(2.2)
Если, значение числа выходит за верхний предел указанного
диапазона (например, в результате выполнения арифметических
операций сложения может получиться |Л(> I), происходит пе-
реполнение разрядной сетки и имеет место искажение результата.
Представление двоичного числа с плавающей запятой задается
соотношением A=±p.2±v, где v и р. — числа без знака, которые
называются соответственно порядком и мантиссой числа А.
Пример 2.1. Число /1=0,0101 может быть записано в виде /1=0,101-2-1,
где ц = 0,101; v=l.
В разрядной сетке числа mv разрядов отводится на пред-
ставление порядка числа и его знака и тц разрядов — на
представление мантиссы и ее . знака; m^ + mv=m— общее число
разрядов. Диапазон представления абсолютных значений чисел
в форме с плавающей запятой много больше, чем в форме
с фиксированной запятой. Однако в устройствах ЦОС, реализу-
емых в виде спецвычислителей, применяется, как правило,
представление с фиксированной запятой.
КОДИРОВАНИЕ ЧИСЕЛ
Для кодирования числа с фиксированной запятой
4=±0, «ia2...ат,	(2.3)
где н,-е0, 1— числовые разряды с весом 2”', 1=1...т, |Д |< 1,
используются три основных способа: прямой, обратный и до-
полнительный коды.
Прямой код числа А (2.3) записывается в виде
[Л ]пр —
0, аха2...ат при Л>0,
1, а1а2...ат при А^0,
(2-4)
г. е. знак положительного числа кодируется нулем, знак от-
рицательного числа — единицей, а числовые разряды кода со-
впадают с числовыми разрядами самого числа А.
Пример 2.2. Числа А{ = +0,1011 и Л2= — 0,1011 записываются в прямом
коде [Л1]ир=0,1011; [/12]„р= 1,1011.
Обратный код числа Л (2.3) представляется в виде
гл _1°’ а1а2-ат при А>0,
[^|обр — т. - -	-	,	(2-5)
J (1, а1а2...ат при А^0,
51
где а, — инверсия разряда я,- (0 заменяется на 1 и наоборот), г. е. по-;
ложительные числа представляются, как в прямом коде, отрицатель-
ные — кодом, в знаковый разряд которого записывается единица,
а в числовые разряды — инвертированные значения разрядов йря-
мого кода (это эквивалентно сложению m-разрядного числа А с/чис-
лом 2 — 2~т, т. е. с числом, содержащим во всех разрядах единицы).
Пример 2.3. А2~— 0,1011, Л2о6р= 1,0100.
Дополнительный код числа А (2.3) представляется в виде
Га! _f°,	при Л>0,
IА )л<>п л, - ~	_	__т л с\	(“-H/;
L (1, ахаг...ат-\-2 при
т. е. положительные числа представляются так же, как и в прямом!
коде, а отрицательные—кодом, в знаковый разряд которого;
записывается единица, а в числовые разряды—инвертированные:
значения разрядов прямого кода и к младшему разряду добав-
ляется единица (это эквивалентно сложению /«-разрядного от-
рицательного числа А с числом два: 10, 0000).
Обычно прямой код используется при выполнении операции
умножения, а дополнительный код — при выполнении операции
сложения с отрицательными числами.
Пример 2.4. Л2=-0,1011; [Л2 ]доп= 1,0101.
2.3.	ОШИБКИ КВАНТОВАНИЯ В ЦИФРОВЫХ
ФИЛЬТРАХ
ИСТОЧНИКИ ОШИБОК КВАНТОВАНИЯ
В реальных устройствах цифровой обработки сигналов необ-
ходимо учитывать эффекты, обусловленные квантованием входных
сигналов и конечной разрядностью всех регистров. Источниками
ошибок в процессах обработки сигналов являются округление
(усечение) результатов арифметических операций, шум аналого-
цифрового квантования входных аналоговых сигналов, неточность
реализации характеристик цифровых фильтров из-за округления
их коэффициентов (параметров). В дальнейшем с целью упроще-
ния анализа предполагается, что все источники ошибок незави-
симы и не коррелирую!' с входным сигналом (хотя мы и рас-
смотрим явление предельных циклов, обусловленных коррели-
рованным шумом округления).
Эффекты квантования приводят в конечном итоге к погреш-
ностям в выходных сигналах цифровых фильтров, а в некоторых
случаях и к неустойчивым режимам ЦФ. Выходную ошибку
ЦФ будем рассчитывать как суперпозицию ошибок, обусловлен-
ных каждым независимым источником.
52
КВАНТОВАНИЕ ЧИСЕЛ И СИГНАЛОВ
Квантование чисел является нелинейной операцией; т-разряд-
ное двоичное число А представляется A-разрядным двоичным
числом B=--F(A), причем Ь<т. В результате квантования число
А представляется с ошибкой
e=B-A = F(A)-A.	(2.7)
Шаг квантования Q определяется весом младшего числового
разряда Q = 2~b. При квантовании используется усечение или
округление.
Усечение числа А состоит в отбрасывании т — h младших
разрядов числа, при этом ошибка усечения
еус = Гус(Л)-Л.	(2.8)
Оценим величину ошибки в предположении т:э>Ь. Для поло-
жительных чисел при любом способе кодирования — 2-ь<еус^0.
Для отрицательных чисел при использовании прямого и обрат-
ного кодов ошибка усечения неотрицательна: 0^еус<2-ь, а в до-
полнительном коде эта ошибка неположительна: 0^еус> — 2~ь.
Таким образом, во всех случаях абсолютное значение ошибки
усечения не превосходит шага квантования:
max,|eyc| <2~b = Q.	(2.9)
Округление /н-разрядного числа А до b разрядов (b<zmy.
b-н разряд остается неизменным или увеличивается на единицу
в зависимости от того, больше 1/2 -2~ь или меньше 1/2- 2~ь
отбрасываемая дробь 0, аь+\...ат, где at~ i-Й разряд числа А,
i = b+\...m. Округление можно практически выполнить путем
прибавления единицы к (6+1)-му разряду и усечения полученного
числа до b разрядов. В таком случае ошибка округления
Сок = Fa* (А ) — А при всех способах кодирования лежит в пределах
-2~ь-' <еок<2~ь~1	(2.10)
и, следовательно,
тах|вок|<2^-1=<2/2.	(2.11)
В задачах ЦОС ошибки квантования чисел рассматриваются
как стационарный шумоподобный процесс с равномерным рас-
пределением вероятности по диапазону распределения ошибок
квантования. На рис. 2.2, а, б приведены плотности вероятности
ошибки квантования при округлении и усечении.
Квантование дискретных сигналов (в АЦП и цифровых
сигналов на выходах умножителей и сумматоров) состоит
в представлении отсчета (выборки сигнала) числами х(пТ),
содержащими b числовых разрядов. Квантование сигналов, как
и квантование чисел, является нелинейной операцией. Однако
53
2.2
Рис.
f(nT)
х(пТ)
е(пт)
6)
в
ЦФ
используется
линейная модель.;
процессов
сигналов (рис. 2.2, в), где /(нТ) - дискретный или*
цифровой сигнал	х(пТ) -квантованный’
цифровой сигнал, ошибка квантования
при анализе
квантования
т-разрядный
/^-разрядный
е(«Т) = л-(/гТ)-/(«Т).
Верхнее значение ошибки квантования тах|е(нТ)| определяется
по-прежнему соотношением (2.10) или (2.11).
Вероятностные оценки ошибок квантования основаны на;
предположениях о том, что последовательность е(пТ) является
стационарным случайным процессом с равномерным распределе-
нием вероятности по диапазону ошибок квантования и е(пТ),
не коррелирован с f(nT). Математическое ожидание (среднее
значение) и дисперсия о? ошибки квантования е определяются
по формулам (см. § 1.11):
р.е=Е(е) = j epede,
о ? = Е [(е - )2] = jj2Pe de = Е [е2 ] - ц i,
где Ре -плотность вероятности ошибки. По этим формулам
легко вычислить математическое ожидание и дисперсию для
ошибок округления и усечения:
0 при округлении и
кодов,
—2"ь	— £?/2 при
кода;
усечении прямого и обратного
(2.12)
усечении дополнительного
22/12 при округлении и усечении дополнительного
кода,
е2/3 при усечении прямого и обратного
кодов.
(2-13)
54
о
В логарифмическом масштабе о2 = 101g	= 101g(2-2l,/12)»
ж - (6b+10,8) дБ.
Пример 2.5. При /> = 8 (£? = 2-8) дисперсия шума квантования <7,= —59 дБ;
при />=12 ве = — 83 дБ.
2.4.	ВЛИЯНИЕ КВАНТОВАНИЯ ВХОДНОГО
СИГНАЛА НА ВЫХОДНОЙ СИГНАЛ ЦФ
ВЫХОДНОЙ ШУМ
Если на ЦФ с импульсной характеристикой h(nT) действует
сигнал (последовательность) х(пТ), то согласно (1.70) и (1.72)
выходной сигнал у(пТ) определяется выражением
n-1
у(пТ) = Y h(kT)x(nT~kT),	(2.14)
k=o
или в общем случае
у(пТ)= £ h(kT)x(nT—kT),	(2.15)
к = О
причем h(kT)->Q при к->со.
В результате квантования входных выборок шум квантова-
ния— последовательность ошибок ет(пТ)— накладывается на
входные сигналы и воздействует на ЦФ. Полагая ЦФ линейным,
т. е. коэффициенты фильтра и арифметические операции в процес-
соре фильтра реализуются точно (регистры имеют неограничен-
ную длину), можно вычислить реакцию фильтра еВЫ1(пТ) на
входной шум согласно (2.14):
N — 1
^выД«Г)= Y h(kT)eex(nT-kT) при А^со.	(2.16)
к = О
Аналогично можно найти ошибку сигнала в любой точке
структурной схемы дискретного (линейного) фильтра, обусловлен-
ную шумом квантования входного сигнала ет(пТ). Если, напри-
мер, hi(nT) есть импульсная характеристика части фильтра от его
входа до выхода z-ro сумматора, то ошибка сигнала на выходе
этого сумматора, обусловленная квантованием входного сигнала,
00
е,(пТ) = £ К(кТ)е^(пТ-кТ).	(2.17)
к = 0
ДЕТЕРМИНИРОВАННАЯ ОЦЕНКА
Оценим указанные ошибки. Вначале вычислим детерми-
нированную оценку ошибки (2.16) или (2.17). Если разряд-
ность отсчетов входного сигнала после запятой равна bm, то
55
ошибка квантования (округления) входного сигнала ограничена
величиной
Евх = max |ею (нТ)| = 2 “'’вх~1 = Qm /2
п
и оценка ошибки квантования выходного сигнала
£,вых = гпах|евь„(нТ)|^тах|евх(лгТ)| £ \h(kT)\^
п	п	к = 0
О ”
Z\h(kT)\.	(2.18)
Аналогично определяются оценки для et{nT). Таким образом,
верхняя граница ошибки квантования выходного сигнала зависит
от суммы модулей выборок импульсной характеристики.
ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ОЦЕНКИ
Если дисперсия входного шума овх = Е 2 ’2Ьвх = 2вх/12, то
дисперсия шума квантования еВЬ1Х(«Т) на выходе фильтра согласно
(2.16)
ЛГ - 1
Ствых = ^вх Е h2{kT)	(2.19)
k = 0
и в общем случае, учитывая, что для устойчивого фильтра
h(nT)->0 при
ав2Ых = ав2х Z h2(kT) = ^^h4kT).	(2.20)
к = О	2 О
Согласно равенству Парсеваля
я/Т
00	т f
^И2(кТ) = -	|Я(е-*шТ)|2^ю	(2.21)
я = О	71 J
О
можно записать (2.20) и в виде
я/Т
о,2и = о2- I \H(eJ“T)\2d®,	(2.22)
л I
о
где |Я(е-'шТ)| — амплитудно-частотная характеристика ЦФ.
Таким образом, по допустимой величине овых и известной
АЧХ или импульсной характеристике данного ЦФ можно опре-
56
х(пТ)
Рис. 2.3	Рис. 2.4
делить допустимую величину дисперсии ошибки входного сигнала
о У которая в свою очередь зависит от разрядности b чисел,
представляющих выборки входного сигнала.
Пример 2.6. Цифровой фильтр первого порядка (рис. 2.3) описывается
разностным уравнением у(пТ)=х(пТ) + ау(пТ—Т). Шум квантования входного
сигнала имеет дисперсию о,2,. Определить дисперсию выходного шума
°»Ых и указать, при каких значениях параметра фильтра а имеет место усиление
входного шума фильтром.
Согласно (1.68) импульсная характеристика фильтра первого порядка
/фгГ) = ал.	(2.23)
Согласно (2.19)
о.ш = с.!< Утл = с,!>[1;;(1-и2)].	(2.24)
п - О
Для устойчивости фильтра необходимо |а|< 1, а2<1 и, следовательно, <Уых>авх,
чем ближе величина |а| к единице, тем больше усиление входного шума фильтром.
Пример 2.7. На рис. 2.4 приведена АЧХ НЦФ. Вычислить дисперсию
шума на выходе о2ых, обусловленную квантованием входного сигнала, если
известей гт/х. Согласно (2.22)
п
4Г	Зя/4 Т
Т	( f	Г /	27	V	\
о2ых = -<т2х	IcZco-F 1,5------со )	1=0,417о2х.
л	\ J	J \	л	/	/
О	х/4 Т
Пример 2.8. Пусть задан фильтр (рис. 2.5) с передаточной функцией
//(;) = 1/(1 +OJZ l-ya2z~2). Найти дисперсию выходного шума фильтра, если
дисперсия шума на входе равна о2х.
Применив теорему разложения (1.42), найдем импульсную характеристику фильтра
г"
h(nT) =----sin Г (и + 1) <pl,	(2.25)
sin ср
где г = у/о2 — модуль полюсов фильтра (т. е. модуль корней знаменателя пере-
даточной функции), cos <р = <^/2Согласно (2.19)
57
х(пТ)

астет с увеличением г, т. е.
и, кроме того, зависит от
^7 величина sin 2 (п т 1) (p/sin2<р,
ад в выходной шум, чем
Рис. 2,5
= Е й2(лГ) = о2х -^4“ E'-^sin2
„=о	sm2<P„=0
Следовательно, интенсивность выходного
с приближением полюсов к единичной окру
углового положения полюсов <р: при <р->0 3
т. е. «низкочастотные» полюсы вносят бод
«высокочастотные».
Заметим, что отношение мощно
шума овх на входе ЦФ в логариф
101g(ох/овх) = 101g ст5 —101g f-jy Jte’101gCTx+6Z>+10,8.	(2.26)
шгнала ст* к мощности
Ком масштабе
Следовательно, при увеличении числа b разрядов квантования
входных сигналов на один разряд; ^ношение сигнал-шум уве-
личивается примерно на 6 дБ. t г
Отметим, что дисперсию шума евых(пТ), обусловленного
квантованием входного сигнала, мо1^Пб определить из соотноше-
ния [см. (1.122)]	"
П/Т	""''<>£%
f|5ВЫх(е7“т)|d&,	(2.27)
л I
о
где 5вых(е7“т) = 5В1(е7“т)|Я(е7шГ)|г, ^вых(е>г) и S„x(e'mT) —соот-
ветственно спектральные плотности мощности выходного и вход-
ного сигналов.
2.5.	ЭФФЕКТЫ КВАНТОВАНИЯ
КОЭФФИЦИЕНТОМ ФИЛЬТРА
Коэффициенты фильтра—рекурсивного или нерекурсивного
(БИХ- или КИХ-фильтр) — определяются в результате решения
аппроксимационной задачи того или иного типа; эти задачи
рассмотрены в гл. 3 и 4. При реализации фильтра значения
коэффициентов квантуются и ошибки квантования приводят
58
Рис. 2.6
к большему или меньшему изменению значений полюсов и нулей
передаточной функции и, следовательно, к изменению частотных
характеристик фильтра. Так, квантование коэффициентов приводит
к появлению ошибки АЧХ АЛ = А (со) — А (со), где А(со) =
= |//(е-'“')| —АЧХ с неквантованными коэффициентами, Л (со) —
АЧХ фильтра с квантованными коэффициентами. Величина |АЛ (со)|
не должна превосходить допустимую величину | А А |тах, определяе-
мую обычно из условия, чтобы отклонения реальной АЧХ от
идеально заданной были в допустимых пределах (см. гл. 3).
Необходимое число разрядов в квантованных коэффициентах
фильтра можно определить путем вычисления |АЛ (со)| для
последовательно возрастающего числа разрядов в кодах коэф-
фициентов при выполнении условия |АЛ (ю)|<|АЛ |тах.
Более просто (с точки зрения вычислительной сложности)
влияние квантования коэффициентов может быть учтено, если
реальный фильтр представить в виде параллельного соединения
идеального фильтра H(z) (с неквантованными коэффициентами
ак, Ьк) и паразитного фильтра Нл, коэффициенты которого
зависят от погрешностей \ак, \Ьк квантования исходных коэф-
фициентов, рассматриваемых как статистически независимые вели-
чины с равномерными распределениями (рис. 2.6). При этом
можно оценить среднеквадратическое отклонение АЧХ (или
другой характеристики) реального фильтра от характеристики
идеального фильтра (полученной в результате решения аппрок-
симационной задачи) и определить число разрядов, обеспечива-
ющее допустимость упомянутого отклонения.
Возможны и практически применяются и другие методы,
в частности методы, основанные на предварительном изучении
чувствительности характеристик фильтра к малым изменениям
его коэффициентов, а также методы, учитывающие конкретные
структуры фильтров.
2.6.	ЭФФЕКТЫ ОКРУГЛЕНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ
АРИФМЕТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ
ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ СТРУКТУРЫ ЦФ
При реализации алгоритма ЦФ (2.1) выполняются операции
сложения и умножения на постоянные числа (коэффициенты
фильтра). Сложение чисел с фиксированной запятой при
59
х(пт)
О—----*]
'''а.
Рис. 2.7

разрядности сумматора, не
слагаемых, не приводит к
суммы (возможно лишь
при сложении двух или
меньшей р
ошибкам
переполи
больше
переполнение, вводится масштабиро
Выполнение операции умножения сцц
ния (усечения): произведение двух чиседз
соответственно с bY и Ь2 разрядами^
разрядов, и это произведение обычней
с Ьуи<ЬХ+ Ь2 разрядов. В результате^
алгоритм фильтра реализуется не,
вычисляется с ошибкой, эту ошиб
оценить, если учесть высказанные в
тистической независимости раз
в фильтре. Модель умножителя с
(рис. 2.7) представляется в виде п
идеального умножителя (с неограш
и сумматора, на вход которого
произведения поступает шум (ошиб
модели получается квантованное зна
рядами (без учета знакового разряда),
для данного источника может б
границей
max	(и Г)| = 2 ~ьу» = Q/2,
где Q = 2 ум — шаг квантования, ида^может рассматриваться
как дискретный стационарный процеС|^)равномерной спектраль-
ной плотностью мощности с нулевв^ средним и дисперсией,
равной (2.13): а* = 2~2Ьу»/\2. /Жд
Приняв такую линейную модель ДОЙ&Каждого узла умножения,
можно рассмотреть всю структуру ЦФ 1£ак линейную и вычислить
ошибку в выходном сигнале фильтра как суперпозицию ошибок,
foK.выхь i=\...L, обусловленных всек^*, L источниками шума
округления. С этой целью следует лирЭД?, определить импульсные
характеристики g,(nT) частей структуры фильтра от каждого
г-го источника шума (выхода ьго умяО^кЯТеля) до выхода фильтра
и вычислить
остей представления
ения представления
регистра сумматора
чтобы исключить
см. § 2.8).
io с ошибками округле-
сировапной запятой
содержать (/>i + 62)
ещается в регистре
угления произведений
и выходной сигнал
цосительно нетрудно
предположения о ста-
источников шума
цл числом разрядов
ательного соединения
числом разрядов)
,с точным значением
тования; на выходе
произведения с Ьум раз-
ка округления еок(нГ)
Оценена своей верхней
(2.28)
Сок.выхi(nT)= Y gi(kT)emi(nT-kT).
к = 0
(2.29)
60
Шум округления на выходе, обусловленный всеми L источниками
шума,
I.
е'ок.вых(«Г)= X ^ок.вых. ^Л-	(2-30)
i “ О
Теперь легко найти оценки выходного шума квантования
результатов.
ДЕТЕРМИНИРОВАННАЯ И ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ОЦЕНКИ
ОШИБОК АРИФМЕТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ
Детерминированная оценка выходного шума, обусловленная
,-м источником в соответствии с (2.29),
а)
тах|еок.ВЫХ1(лТ)|^тах|еОК1(пГ)| £
п	п	к = 0
п 00
Z mi.	(2.31)
2 к = 0
Детерминированная оценка выходного шума, обусловленного
всеми L источниками (полагая, что разрядность всех умножителей
одинакова),
L «>
£ок.ВЫх = тахкк.ВЫ1(нГ)|<^ X	(2-32)
"	I = 1 к = О
Найдем вероятностные оценки выходного шума квантования.
Дисперсия шума в выходном сигнале, обусловленная ьм источ-
ником [см. (2.19)],
= Х^,2(^Л = 7у fg<?(^)>	(2-33)
k = 0	12 k = 0
а дисперсия результирующего выходного шума квантования от
всех L источников
L	п2 L со
СТок.вых= X СТОК..=7У X X gl(kT)-	(2.34)
Очевидно, что в полученных оценках могут быть учтены
и ошибки в выходном сигнале, обусловленные масштабированием
чисел.
Пример 2.9. Вычислим выходной шум квантования, обусловленный округле-
нием произведений в устойчивом звене 1-го порядка (|а|< 1), структура которого
приведена на рис. 2.3. С этой целью составим модель с учетом источника
шума квантования произведения (рис. 2.8). Из модели видно, что ошибка
квантования проходит через ту же цепь, что и входной сигнал, и импульсная
61
•M
у(пТ)
—>o
характеристика, соответствующая источнику ;'й
характеристикой всего фильтра h(nT) = a" и, Йя
х	q2 со	q2 =o,J|
ст»ых = ”о« £Л2(иГ) = —- £й2(лГ)=— £3
л~0	1^л = 0	12 вчЙ
Пример 2.10. Найти шум квантования пи!
порядка, структура которого представлена
с учетом источника шума квантования (рис.®
е{(пТ) и е2(пТ) проходят по той же цепи, чтоТ|
характеристика для этих цепей совпадает с ий
цепи прохождения входного сигнала и Зй
Ю ’ Рис. 2.9
jfeb совпадает с импульсной
таательно,
||i 1
m Т—<7
ведений на выходе звена 2-го
Ж5. Составим модель звена
|ж&к как последовательности
мЬиой сигнал, то импульсная
вЙной характеристикой h(nT)
,2*
2
ок. вых
h) ^h2(nT).
л = 0
(2.35)


Отметим в заключение, что обйижч.ошибка квантования,
обусловленная квантованием входногбввйгнала и квантованием
результатов арифметических операцийЛрйределяется суммой оце-
нок соответствующих ошибок. Если Шана допустимая оценка
ошибки квантования, то уже нетруд$$ определить требуемую
разрядность кодов, методика расчете разрядности с учетом
структуры цифрового фильтра приведена в гл. 3 и 4.
2.7. МАСШТАБИРОВАНИЕ И ДИНАМИЧЕС-
КИЙ ДИАПАЗОН СИГАЛОВ В ЦФ
АВТОМАТИЧЕСКОЕ MAC1
Как было упомянуто в § 2.6, при суммировании в сумматорах
ЦФ чисел с фиксированной запятой <, ошибка округления не
возникает (если только регистры сумматора имеют разрядность
не меньше разрядности слагаемых), но, возможно переполнение
регистров и выходной сигнал может быть существенно искажен.
Для предотвращения переполнения можно ввести масштабирова-
62
ние, которое сводится к сдвигу двоичных кодов слагаемых на
входах каждого сумматора вправо на один разряд (или более
при сложении больше чем двух чисел); при этом имеет место
автоматическое масштабирование.
В результате возможно появление ошибки масштабирования.
При представлении чисел в прямом или обратном коде ошибка
масштабирования ем = 2~ь(Ь- число разрядов в регистре числа)
происходит с вероятностью р=1/2; можно принять р(2’*=1/4;
р'~2 '’*=1/4; р(0)= 1/2, и тогда математическое ожидание и дис-
персия ошибки масштабирования чисел на входе сумматора
цм = 0; ст2=2-2Ь/2.	(2.36)
При представлении чисел в дополнительном коде ошибка
масштабирования ем= — 2~ь и происходит с вероятностью />=1/2;
при этом
цм=-2-6/2; СТм = 2-26/2.	(2.37)
Указанные здесь ошибки масштабирования могут быть учтены
в линейной модели фильтра точно л ак же, как и ошибки округления.
МАСШТАБИРУЮЩИЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
Другой способ устранения возможного переполнения сводится
к масштабированию входных сигналов. Если импульсная харак-
теристика ЦФ (или некоторой его части) равна ЛДлТ’), то
выходной сигнал фильтра (или его части) >ДнТ) ограничен
согласно (2.15) величиной
GO
lTI(«^)Ux^|x(HT)|max£|/ii(HT)|,	(2.38)
о
где |х (иТ)|тах— верхняя граница входного сигнала фильтра.
Если |х(нГ)|тах^ 1, то необходимым условием отсутствия
переполнения является
СО
£|Л,.(нГ)|^1.	(2.39)
п = 0
Если фильтр задан (т. е. 1г{(пТ) заданы), то, для того чтобы
не было переполнений, т. е. чтобы выходной сигнал любого
узла суммирования не превышал единицы (|уДнГ)|< 1), необ-
ходимо соответствующим образом ограничить величины входного
сигнала и выходных сигналов умножителей. С этой целью
вводится такое масштабирование, чтобы сигналы
00
|Л(иГ)| = | X /гДнГ)у(х(лГ-шТ)|^1,	(2.40)
т = 0
где у,-— масштабирующий коэффициент.
63
Масштабирующие умножители включают на входах фильтра
или на выходах умножителей. Если |х(и7’)|^1, то достаточным
условием отсутствия переполнения является согласно (2.40) выбор
масштабирующих коэффициентов
п~0
(2-41)
Коэффициенты у, выбирают, как и в случае автоматического
масштабирования, обычно равными степеням числа 2, и масш-
табирующее умножение сводится к сдвигам. При этом следует
иметь в виду, что при существенном уменьшении амплитуд
сигналов, проходящих через фильтр, будет уменьшаться отноше-
ние сигнал-шум на выходе фильтра по сравнению с отношением
сигнал-шум па входе. Между тем вычисление у; по условию
(2.41) часто приводи? к завышенным результатам и, следователь-
но, к ухудшению эффективности работы фильтра. Поэтому
расчет масштабных коэффициентов в Сложных структурах (где
и суммирование ряда (2.41) сложно) выполняют по методике,
основанной на использовании спектрального анализа и аппарата
нормированных пространств [2]. Заметим, что отношение сигнал-
шум на выходе, а также ограничение динамического диапазона
из-за переполнения зависят от структуры фильтра и более
подробно рассматриваются в гл. 3 и 4.
Пример 2.11. Рассмотрим фильтр 1-го порядка, описываемою уравнением
у(пТ)=х(пТ) + ау(пТ— Т). Импульсная характеристика этого фильтра h(nT) = a",
|а|< 1. Пусть входной сигнал х(пТ)— «белый» шум с амплитудой |.г(лТ)|т„ = А.
Тогда выходной сигнал ограничен величиной
1г(нТ)|т<.х<|.т(л7’)|га,,Л Z |/)(«7’)| = |х(иГ)|пах[1/(1-1“1)] = /1/(1-|«1).
п ~ 0
Чтобы не было переполнения, необходимо ввести масштабный умножитель
(рис. 2.10), причем для получения максимального значения выходного сигнала
следует выбрать у = (1—|а|)/Д.
Определим отношение сигнал-шум на выходе фильтра. Дисперсия сигнала
на входе сумматора будет
64
2 Jfb|a|Y
o,x c 3\ aj ’
а дисперсия выходного сигнала согласно (2.19)
С.2ых.е = С,2х.с X |Л(лГ)|2 = ([1 - |«|]2/ЗЛ2)(1/(1 - а2)).
л - О
Оценим шумы квантования. Дисперсия сигналов фильтра:
на входе
с2х.к> = 2“2'’/12,
а па его выходе
п2ы,.х» = о2х.х. £ [Л(«Г)|~ = (2 26/12) [1/(1 -и2)];
л = 0
следовательно, отношение сигнал-шум на выходе
eLx.c _4(1-|а|)2_ 4у2
2	J2. Л 2Ь~~? 2Ь-
НЫХ. КВ
Отсюда также видно, что с уменьшением у существенно уменьшается отношение
си! нал-шум.
Заметим, что легко учесть и шум округления ео1. ,ых(иГ), источник которого
включается па вход сумматора (см. пример 2.9). Дисперсия выходного шума
квантования будет равна сумме дисперсий квантования входного сигнала
и округления.
2.8. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ
Оценки, полученные в предыдущих параграфах, основаны на предположениях
о том, что отсутствуют корреляция ошибок квантования входных сигналов
и результатов арифметических операций и независимость этих ошибок о г уровня
входных сигналов. Однако в некоторых случаях, когда уровень входных сигналов
становится весьма малым или равным пулю, ошибки округления могут привести
к установлению на выходе фильтра определенного уровня сигнала уже незави-
симого от значения входного. Пусть в фильтре 1-го порядка (см. рис. 2.3),
описываемого уравнением у(пТ)=х(пТ) + ау(пТ— Т), при х(иТ) = О. а=— 0,9
и у( — Г) =10, каждое произведение ау(пТ-Т) округляется до ближайшего целого
по правилу [«;•(/»'Г—7’)]„1[ = Int [«j'(«T-Г)+0,5]. Значения Lf(«7’)]„k представлены
в табл. 2.1.
3 Заказ 3574
65
Начиная со значения л=4, выходной сигнал щ
(у(пТ) равно поочередно +5 и —5); если а=+0,9,|
сигнал имеет постоянные значение и знак:
Таким образом, при некоторых начальных усй
снтов в фильтре из-за нелинейности операций окруи
режим, называемый предельным циклом. У слоем
является расположение полюсов фильтра практичаЯ
Поэтому в нашем примере при |а|<0,5 возйм
невозможно. Детальное исследование предельны!®
^ает значения |.г(иТ)| —5
ачииая с л=4, выходной
jt*' и значениях коэффици-
м возникает неустойчивый
^появления этого режима
Йа единичной окружности.
Вение предельных циклов
лов дано в [2].
2.9. ЦИФРО-АНАЛОГ ‘
АНАЛОГО-ЦИФРОВЬ
ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ
S?
ЦИФРО-АНАЛОГОВЫЕ
РАЗОВАТЕЛИ
ЕЕ (ЦАП) И
<ЦП)
'НАЛОВ
из цифровой формы в аиа-
п формирования аналоговых
вым коэффициентам разрядов
ированием в разрядах кода,
В основе процессов преобразования сипде
лотовую в ЦАП чаще всего используется
величии (обычно- токов), пропорциональных
входного двоичного кода, с последующим
содержащих единицу.	. ...
Формирование этих токов производитсЯ"обйнно при помощи так называемой
матрицы R—1R (рис. 2.11, а). Входное сопрад^йлеиие части схемы относительно
точек /—/, 2—2, ..., п~п равно R; поЬйпИу входной ток J0=U<,a/R, ток
в резисторе 1-го разряда Л =/о/2 = /о2“ *, тог в резисторе 2-го разряда 12 = 1о2~~2,
а в резисторе Z-го разряда = т. е. ток I, пропорционален весовому
коэффициенту 2”‘ его разряда (отсчет разрядов дробного двоичного числа
ведется, начиная от старшего разряда}. ?
При наличии такой матрицы преобразование двоичного кода в аналоговую
величину тока или напряжения сводится «.«соответствующей коммутации токов
разрядных резисторов и их суммировании), дай разрядов, содержащих единицу [7].
Пример такой схемы приведен на' «рис. 2.11,6. Здесь коммутация токов
выполняется при помощи токовых ключей 'Кл, управляемых разрядами входного
Рис. 2.11
а)
в)
66
кода через усилители-инверторы. Каждый усилитель-инвертор имеет два выхода —
прямой и инверсный. Если на цифровом входе /-то разряда значение этого разряда
«,= 1, то соответствующий усилитель откроет токовый ключ и ток ;'-го разряда
резистивной матрицы поступает па выход А, а если д, = 0, то /-й усилитель откроет
другой токовый ключ и ток /, поступит на выход В (например, на «землю»). При
подаче на цифровые входы m-разрядпого кода на выходе А образуется суммарный ток
т	т
1л= X	X	а.-2“' = АЛ,
i=i	!=1
где А - десятичное представление входного двоичного числа.
Если к выходу А подключить операционный усилитель, то на его выходе
образуется напряжение
«»ых = 1л Ro. с = /о Л„. СА = (Г„„/Л) Л„. CN,
пропорциональное значению входного числа.
Основными параметрами ЦЛП являются число двоичных разрядов во входном
коде и время преобразования (длительность установления с заданной точностью
выходного напряжения после момента поступления входного цифрового кода).
В качестве примеров приведем данные некоторых типов выпускаемых
промышленностью микросхем ЦЛП: К-572ПА1 (число разрядов 10, время
преобразования 5 мкс), К-572ПА2 (12; 15 мкс), К-594ПА1 (12; 3,5 мкс), К-1108ПА1
(12; 0,4 мкс).
АНАЛОГО-ЦИФРОВЫЕ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ
В основе процессов преобразования аналогового сигнала «(/) в цифровой
сигнал х(пТ) лежит сравнение последовательности выборок мгновенных значений
аналогового сигнала с некоторым набором эталонов, каждый из которых
содержит определенное число уровней квантования.
На первом этапе преобразования формируется последовательность выборок
/V, = «(/,); при равномерной дискретизации интервал дискретизации (тактовый
интервал) постоянен: г, + 1—/,= Т= const. Для того чтобы последовательность
выборок А,- однозначно представляла входной сигнал м(т), т.с. для точного
восстановления аналогового сигнала «(/) по последовательности его дискретных
значений А,-, необходимо, чтобы спектр этого сигнала был ограничен некоторой
частотой fmax и чтобы частота дискретизации f„= \jT^2fmax. Поэтому обычно
на входе АЦП включают полосовой фильтр с верхней частотой среза
Л=1/2/д=1/2Г
Па втором этапе преобразования происходит квантование выборок, г. с.
каждая выборка в момент пТ представляется числом х(пТ). содержащим
b двоичных разрядов. Шаг квантования Q = 2~b определяет ошибку квантования.
На разрешающую способность АЦП (наряду с ошибкой квантования) влияют
погрешности, обусловленные технологическими и эксплуатационными отклонени-
ями характеристик, а также погрешности, обусловленные инерционностью АЦП
и изменением входного аналогового сигнала в процессе преобразования. Важ-
нейшими параметрами устройства АЦП являются число разрядов b в выдаваемых
Данных и быстродействие, определяемое временем преобразования (максимальным
67
Цифровой Ц/r/xoS >,
< * » .
Рис. 2.12
интервалом между началом преобразования .одной выборки входного сигнал
и выходом цифрового кода).
Принцип работы АЦП иллюстрируется на примере схемы последовательного
действия с обратной связью (рис. 2.12) [7]. При.мЦАП<мвх на выходе компаратор
напряжения (КН) образуется логический уровень у=1, импульсы от генератор
тактовых импульсов (ТИ) поступают на вход счетчика и с каждым входньп
импульсом изменяется код на выходе счетчика и соответственно изменяете
выходное напряжение цифро-аналогового преобразователя м11ЛП. При мцл11>мвх н
выходе компаратора образуется логический уровень у = 0. прекращается подач
импульсов в счетчик и на его выходе формируется число (хь, хь- i ...хг
соответствующее уровню аналогового сигнала мвх. Это число считывается и
буферного регистра, счетчик устанавливается в исходное нулевое состояние
и процесс преобразования повторяется. Заметим, что вместо счетчика может быт
использован ^-разрядный регистр (с соответствующими изменениями в схеме). Ясне
что реализация изложенного принципа преобразования приводит к АЦП с низки!
быстродействием. На практике применяются и АЦП параллельного действия, схем!
которых существенно сложнее рассмотренной выше, но обеспечиваю! более высоко
быстродействие. В качестве примеров приведем параметры некоторых типов АЦП
выпускаемых промышленностью: К-572ПВ1 (число разрядов 12, время преобразова
ния ПО мкс), К-1107ПВ1 (6; 0,1 мкс), К-1ПЗВП1 (10, 30 мкс).
2.10. АППАРАТУРНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ЦФ
Для построения специализированного устройства, реализующего алгоритм!
цифровой фильтрации, могут быть использованы различные операционны
устройства: регистры, умножители, суммат0Ры и тД--и соответствующе
68
управляющее устройство для управления последовательностью операций. После
расчета коэффициентов и выбора структуры фильтра решаются вопросы выбора
кодирования чисел (прямой или дополнительный код), способов их представления
(с фиксированной или плавающей запятой) и выбора элементной базы.
Естественно, что возможны многие варианты аппаратурной реализации.
Выбор того или иного варианта определяется главным образом требованиями
к быстродействию и объему аппаратурных затрат. Быстродействие ЦФ определя-
ется временной задержкой при прохождении сигнала в ЦФ за один период
дискретизации, в течение которого вычисляется очередная выборка выходного
сигнала. Величина находится непосредственно по структурной схеме ЦФ;
при этом рассматриваются все возможные пути прохождения сигналов и выбира-
ется тот путь, по которому наибольшая задержка сигнала. Это время и принима-
ется за zm,„.
Величина tmi„ определяется в основном временем выполнения операции
умножения двух операндов и числом операций умножения, которые необходимо
выполнить для вычисления одного отсчета выходного сигнала. Поэтому число
операций умножения часто рассматривается как основной критерий быстродей-
ствия и вообще качества реализации ЦФ.
Другим важным реализационным критерием является, как уже упомянуто,
объем аппаратурных затрат и прежде всего объем оперативной и постоянной
памяти, необходимой для хранения коэффициентов (параметров) фильтра и резуль-
татов выполнения арифметических и логических операций, необходимых для
реализации алгоритма фильтра.
Пример 2.12. В качестве простейшего примера рассмотрим реализацию
нерекурсивного цифровою фильтра в прямой форме (рис. 2.13, а), описываемого
уравнением
4
3’(«Л = X Ькх(пТ-кТ)=Ьох(пТ) +61х((«-1)Г) + Ь2х((л-2) Т) +Л3х((п-3) Г) +
к = 0
+ btx((n - 4) Г)
или передаточной функцией
H{z) = X bkz~k.
l=-0
Простейшая схема специализированного устройства приведена на рис. 2.13,6.
Она содержит регистр сдвига для получения единичных задержек, ПЗУ для
хранения коэффициентов, умножитель для получения произведений и накап-
ливающий сумматор, в выходном регистре RG которого и накапливается сумма
произведений. Последовательность работы устройства следующая:
1-й такт: регистр RG очищается;
2-й такт: на вход регистра сдвига поступает входной сигнал х(пТ),
одновременно в RG происходит сдвиг на m разрядов (т число разрядов
в выборке входного сигнала) и выталкивается число х((и —4) Г). Последнее
умножается на коэффициент Z>4, и результат Ь^х((п — 4) Г) поступает в накап-
ливающий сумматор; 3-й такт: из регистра сдвига выталкивается значение
г((и — 3) Г), и в этом регистре имеет место сдвиг; одновременно вычисляется
69
Рис. 2.13
b3x((n — 3) Т), и в накапливающем сумматоре образуется Ь^х((п — 4) Г) + Ь3х((п —
-3)Т);
4-й такт: из регистра сдвига выталкивается х((л —2)7’). вычисляется
Ь2х((п — 2)Т), и в регистре RG накапливающего сумматора будет й4.г((л—4)7’) +
+ Ь3х((п - 3) Т) + Ь2х ((« -2) Г);
5-й такт: из регистра сдвига выталкивается х(п— 1)Г, вычисляется btx(n— 1)Т,
и в RG образуется Ь^х(п — 4) Т+Ь3х(п — 3) Т+Ь2х(п—2) T+btx(n- 1) Т;
6-й такт: из регистра сдвига выталкивается х(пТ), в регистре сдвига
оказываются записанными коды х(п'Г)...х(п—3)Т< вычисляется Ьох(пТ), и на
4
выходе накапливающего сумматора образуется у(пГ)= X Ькх(п'Г—кТ).
к~0
Далее вычисления циклически повторяются для следующих моментов («+ 1) Т,
(п + 2)Т и т. д. Таким образом, каждый выходной отсчет вычисляется за шесть
тактов. Длительность такта т должна быть не меньше времени, необходимого
для реализации любой из операций: сдвига, умножения, сложения. Если, например,
для сдвига кодов в регистре сдвига на один разряд требуется 0,5 мкс, а число
разрядов в коде выборки х(пТ) равно т = 8, число умножений Л' = 5, то общее
время, необходимое для вычисления одной выборки у (пТ), будет равно
rml„ = Nmx = 20 мкс	и, следовательно, частота работы фильтра
1//„,„= 1/(Л'тт) = 500 кГц.
На практике порядок фильтра N может достигать многих сотен, и мак-
симальная скорость обработки сигналов ХмХ может оказаться совершенно
70
недостаточной для использования в системах, функционирующих в реальном
масштабе времени.
Для различных областей применения требуются различные частоты диск-
ретизации. Так, в системах связи /, = 8 кГц, в звукотехнике /,=40...48 кГц,
в системах обработки ТВ изображений /,= 14 МГц.
Для обеспечения необходимой точности число разрядов в данных различно
в различных областях применения; например, в технике связи обычно число
разрядов в данных zn = 8, в цифровой звукотехнике т=14... 16. Во многих
случаях используются цифровые фильтры на основе ПЗУ, в ячейки которого
заносится весь возможный набор значений произведений или даже сумм
произведений.
С целью ускорения процессов цифровой обработки сигналов наряду с примене-
нием современной быстродействующей элементной базы используется ряд ал-
горитмических и архитектурных методов.
В методе конвейерной обработки решаемая задача разбивается на несколько
подзадач, например операцию умножения двух операндов можно выполнить за
т последовательно выполняемых этапов. Если каждая подзадача (каждый этап)
выполняется за время Az, то операция умножения будет выполнена за время
Zs„ = znAz. Однако при выполнении большой последовательности операций ум-
ножения важно время, через которое можно начинать очередную операцию
умножения, т. е. время Az. Для реализации конвейерной обработки в системах
ЦОС используются специальные буферные регистры, в которых хранятся
результаты решения отдельных подзадач.
Во многих случаях имеется возможность реализации вычислений с определен-
ной степенью распараллеливания операций, что, естественно, также приводит
к ускорению процессов ЦОС.
Необходимо отметить, что, вообще говоря, при реализации систем цифровой
обработки сигналов большое внимание уделяется достижению высокой эффек-
тивности решения вычислительных задач, прежде всего вычисления сумм произ-
ведений типа £а,х,-. Понятие эффективности включает и число аппаратных
средств (аппаратная сложность), и скорость выполнения (время решения задачи),
и затраты энергии, необходимые для решения данной задачи. Ключевую роль
в нахождении компромиссных решений для сложностно-временных и энергетичес-
ких показателей системы ЦОС играют архитектуры соответствующих вычис-
лительных сетей.
Специализированная архитектура обеспечивает более высокую производитель-
ность и, возможно, более высокую эффективность решения задач ЦОС. Примером
специализированной вычислительной системы для задач ЦОС является система
е РФ-архитектурой (архитектурой с разделением функций), состоящей из совокуп-
ности идентичных процессорных элементов в сочетании с конвейерным принципом
реализации вычислений.
Большие перспективы практической реализации систем ЦОС в реальном
масштабе времени связаны с весьма высокими темпами технологического
прогресса в разработке БИС и специализированных кристаллов ЦОС. В качестве
примера укажем на уже широко распространенный цифровой процессор обработки
сигналов TMS 32010 [10], изготовленный по л-МОП технологии на кристалле
71
площадью 30 мм2, рассеиваемая мощность кот
процессоре команды и данные представляются 16-pasj
умножения 16-разрядных операндов выполняется
этот процессор может выполнять 5 млн операций
В настоящее время выпускаются новые модИ
TMS 320, выполненные по КМОП-технологии, к
в системах ЦОС. Так, процессор TMS 320С30 обл
операций (типа сложения или умножения) над оперй
(33 М ф.топ/с), что сопоставимо с производится
версальных суперЭВМ.
Нравна 1 Вт. В этом
и словами и операция
цикл В 200 нс, т. е.
в секунду.
процессоров серии
'еще более эффективны
быстродействием 33 млн
с плавающей запятой
> весьма сложных уни-
г
2.11. ПРОГРАММНАЯ ИЗАЦИЯ ЦФ
В ЦФ с программной реализацией использ^^ микроЭВМ. процессоры
которых строятся на базе МПК широкого прим^мй: (однокристальные серии
К580, К1810 и секционированные серии К589, КР$$2, КР1804 и т. д.), а также
на специализированных микропроцессорах для ЦСХ^При этом следует отметить,
что при программной реализации операций шарике применяются алгоритмы
быстрого преобразования Фурье, рассматриваемый1 гл. 5.
В качестве примера приведем npoi раммнукх ргализацию и расчет харак-
теристик ^-каскадного БИХ-фильтра.
Программа. Расчет импульсной характеристики, переходной характеристики
и выходного сигнала при входном синусоидальной сигнале Х-каскадпого БИХ-
филыра. 1Ф REM	РАСЧЕТ '
20 КЕИ	ИМПУЛЬСНОЙ	ХАРАКТЕРЩ^ММ
ЗФ КЕМ	ПЕРЕХОДНОЙ	ХАРАКТЕРОМ»
4Ф КЕМ ВЫХ.СИГНАЛА ПРИ ВХ.СМГНАЖ ,SWl>»3.1413P2«H«W>
5» КЕИ	К- КАСКАДНОГО БИХ-АИДЬТРА
6Ф OPEN "O',01,*tLPl'
Т OEFSTR О	v
8» DEF I НТ 14.
9» INPUT 'ВВЕДИТЕ КОЭФФИЦИЕНТ С'|С т?
1ФФ INPUT 'ВВЕДИТЕ КОЛИЧЕСТВО ЗВЕНЬЕВ К'>К
11Ф DIM В(2,К»,А<2,К>,Х(2,К)
120 PRINT 'ВВЕДИТЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ B(t,t>.A<L,I)
13Ф PRINT '»»»» ВВОДИТЕ КОЭФФИЦИЕНТЫА(Ф,1)-Ф
140 FOR 1>1 ТО К
15Ф FOR 1*0 ТО 2
16Ф PRINT "B<')L;','|U">«'|1INPUT В<Ы>
17Ф PRINT 'A<'>Ll',">Il">«'liINPUT A<UD
10Ф NEXT L,I
19Ф PRINT ' ВВЕДИТЕ'
2ФФ PRINT "IK - ПРИ РАСЧЕТЕ ИМПУЛЬСНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ'
21Ф PRINT 'UR - ПРИ РАСЧЕТЕ ПЕРЕХОДНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ-
220 PRINT 'SS - ПРИ РАСЧЕТЕ ВЫХОДНОГО СИГНАЛА'
23Ф INPUT О
24Ф IF O'SS' THEN PRINT 'ВВЕДИТЕ ЧАСТОТУ СИНУСОИДЫ Ы';
25Ф IF O'SS' THEN INPUT Ы
26Ф INPUT 'ВВЕДИТЕ КОЛИЧЕСТВО РАСЧЕТНЫХ ТОЧЕК Н'»Н
27Ф PRINT Ф1,* N	'iQiPRINT Ф1.
28Ф FOR N-0 ТО М-1
29Ф FOR 1*0 ТО К
ЗФФ Х(2,1>>Х(1,1>1Х(1,1>*Х(Ф,1>
31Ф NEXT I
32Ф IF O'lR' THEN GOSUB 490
ЗЗФ IF O'UR' THEN GOSUB 51Ф
72
340 IF O*SS' THEN GOSUB 520
350 XFO,O)>XX
360 FOR 1*1 TO К
370 S-0
380 FOR L-0 TO 2
390 S-S+B(L,D»X(L,I-1>-A(L,I>»X(L,D
600 NEXT L
610 X(0,I>-8
620 NEXT I
630 PRINT 01.USING *000000'fNl
660 PRINT 01,USING *00000000.OOOOOO'iS
650 NEXT N
660 CLOSE 01
670 PRINT ' PABOTA ЗАКОНЧЕНА '
480 END
690 IF N-0 THEN XX-C ELSE XX-0
500 RETURN
510 XX-ClRETURN
520 XX-C«SIN<2»3.141592»N«O «RETURN
530 END
N	IK	15	-0.002882
6	0.102900	16	-0.002016
1	в.279785	17	-0.000719
9	0.345613	18	0.000219
3	0.226381	19	0.000574
4	0.070193	20	0.000495
5	-в. 035580	21	.0.000240
6	-0.070922	22	0.000013
7	-0.056957	23	-0.000102
8	-0.025373	24	-0.000113
9	0.000897	25	-0.000069
ie	0.013141	26	-0.000018
11	0.013293	27	0.000015
12	0.007562	28	0.000024
13	0.001504	29	0.000018
14	-0.002067	30	0.000007
Программа осуществляет расчет значений отсчетов импульсной характеристи-
ки (/Я), переходной характеристики (UR) и выходного сигнала (SS) при входном
синусоидальном сигнале x(«7*) = sin(2nnw) для БИХ-фильтра с передаточной
функцией вида
к
н(2)=сц
I- 1
bw + btiz '+b2iz 2
aOi + atiz~ 1 +«2i’”2
Расчет осуществляется в М точках. Пользователю выводятся в виде таблицы
значения номеров точки (отсчета) и значения отсчета импульсной характеристики
(переходной характеристики, выходного сигнала). Допустим, осуществляется расчет
импульсной характеристики БИХ-фильтра с
, z,6oi+611Z ‘+b2lz 2
Я z = С-----------i------лт •
«01+а112	+ «122
где C=0,1029; 60i = l; 6ц = 1,6746; 62i = l; aOi = l: an = — 1,0444; a2i =0,481,
в Л/=31 точке. В качестве исходных данных последовательно вводятся следующие
значения: С=0,1029; X=l; 6oi = l; aoi=0; Лц = 1,6746; «ц= -1,0444; Z>2I = 1;
a2i=0,481; £ = «/Я»; Л/=31.
73
Глава 3. ФИЛЬТРЫ С КОНЕВОЙ
ИМПУЛЬСНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ
---------------------------------чйи----------------
у
3.1.	КРИТЕРИИ, ИСПОЛЙУЕМЫЕ ПРИ
ПРОЕКТИРОВАНИИ ЦИ^ОВЫХ ФИЛЬТРОВ
HsW '
При проектировании цифровых филь-^рв- используются ре-
ализационные критерии, определяющива,реализационные ха-
рактеристики, и критерии качеств^ОАобработки. опреде-
ляющие характеристики фильтра, влйДВДтце на качество об-
работки.	-
Реализационные критерии, рассмотренью в гл. 2, опре-
деляют требования к элементам аппаратной или програм-
мной реализации фильтра: число операций сложения или
умножения, число ячеек оперативной^или постоянной па-
мяти и т. д.	‘
Критерии качества обработки определяют требования к ос-
новным характеристикам фильтра (АЧХ# ФЧХ, ГВЗ, импульсной
характеристике), влияющим на качество'обработки.
Пример 3.1. Для фильтра с передаточной функцией H(z)= 1 -z~‘ + 0,37z”2 +
+ 0,5z-3, структурная схема которого показана 'йадше. 3.1. Необходимо запо-
минать четыре отсчета входного сигнала и одаД отсчет выходного сигнала,
помнить три постоянных коэффициента (—1; О,37;-0^; при вычислении выходного
отсчета выполняются операции умножения, сложййы и сдвига (умножение на
— 1 сводится к инвертированию кода входного отсчета, а умножение на 0,5 — к
сдвигу кода отсчета на один разряд).
При задании требований к характеристикам фильтра, опре-
деляющим качество обработки, часто ограничиваются заданием
требований к АЧХ фильтра. Кроме того, дополнительно могут
быть заданы требования к иным характеристикам фильтра,
влияющим на качество обработки. Рассмотрим ряд типовых
требований к характеристикам фильтра, сформулированных в виде
отдельных задач.
Прежде всего отметим, что в большинстве приложений
используются нерекурсивные фильтры с точно линейной ФЧХ.
74
Частотная характеристика фильтра с передаточной функцией
я(2)= X hiz~‘
1	= 0
с учетом принятой нормировки частоты
N
2	~ 1	Л'
77(e-/2’IW) = X /’(e"j72™ + />we_j7V,w + X ble~Jl2nw = А (^е7”^’.
1 = 0	7	1 = Л72+1
Если выполняется условие
bl = bN-l,	(3.1)
то аргумент (ФЧХ) характеристики H(ej2”w) будет
<р(и’)= — Nnw.
Таким образом, ФЧХ нерекурсивного фильтра с симметрич-
ными коэффициентами (можно показать, что и при нечет-
ном N, а также несимметричных коэффициентах bt= —bN-t)
будет строго линейной и, следовательно, ГВЗ такого фильтра
постоянно.
В каждой из рассматриваемых задач под расчетом фильтра
понимается решение аппроксимационной задачи — определение по
заданным требованиям коэффициентов передаточной функции
фильтра.
Задача 3.1. Фильтр должен иметь точно линейную ФЧХ
(постоянное ГВЗ). Амплитудно-частотная характеристика фильтра
A (w) должна удовлетворять требованию А (0) = 1 при условии
минимума величины
0,5
Р=2 f A2(w)dw.	(3.2)
о
Требование Л(0)=1 означает, что фильтр пропускает без
подавления постоянную составляющую (нулевую частоту) и,
следовательно, с малым подавлением близкие к нулевой ча-
стоте низкие частоты. Условие (3.2) соответствует макси-
мальному подавлению стационарного шума, поданного на вход
фильтра.
Задача 3.2. Фильтр должен иметь точно линейную ФЧХ
(постоянное ГВЗ), АЧХ фильтра A (w) должна удовлетворять
требованию
| Л*(и>) — Л(и>)|<а(и>), О С и'<0,5,	(3.3)
где A*(w) и e(w) — заданные функции.
Критерий (3.3) называют равномерным критерием аппрок-
симации. Как правило, этот критерий используется при проек-
тировании избирательных фильтров и фильтров-корректоров.
75
he г
!-Ег
—1--------1------------1------L
«'r.jl *%i *г.пг "т.п •. 0,5
Рис. 3.2
Пример 3.2. Пусть требования к АЧХ фильтра. Л (tv) заданы в следующей
форме (рис. 3.2):
ОС Л(и’)С£1
0СЛ(и’)с1
при
при
ОС ivC iv, , j
1 — е2 С Л (и)С 1+е2 при
0СЛ(и)С1
ОсЛ (>v)^£,
при
при
IV, . 3 1< IV ,,
4’,.„i^>vCiv,.,12, )
lV,.n2<IV<IV,.j2,
lV,.,2ClVC0,5.
(3.4)
Условия (3.4) определяют требования к АЧХ полосовою фильтра в соот-
ветствии с критерием (3.3), причем
		0 при 0 Civ Civ,., 1,
		0,5 при 11’г.з 1 < w< >Vr „ !
A*(,v) =	= 	1 при и'г,111С»’С»’г.п2
		0,5 при iv,.„ 2 < iv< и'г ,2
		0 при и’, j2CivC0,5
и		
		1 при 0 С iv С ivr., 1,
	0,5 при ivr., 1 <и <и’,.,, 1,	
e(iv)=<	S	2 при IV,.„ l CivCivr n2,
	0,5 при iv,.n2<iv<H',.,2,	
	Е	1 при в',2 С iv С 0,5.
Задача 3.3. Мощность собственных Шумов фильтра должна
быть равна нулю. К ФЧХ фильтра не предъявляв гея каких-либо
требований, а АЧХ фильтра А (w) должна удовлетворять условию
0,5
f q (w) [ А * (vv) — A (vv)] 2 dw < s,
о
(3.5)
где A*(w) и q(w)— заданные функции; константа.
Критерий (3.5) называют среднеквадратическим критерием
аппроксимации. Как правило, этот критерий используется при
проектировании фильтров — подавителей шумов, а также при
проектировании избирательных фильтров;
76
Помимо задач 3.1—3.3 существует много иных задач, неко-
торые из которых будут рассмотрены ниже. Отметим, что
условия трех сформулированных задач подразумевают расчет
именно КИХ-фильтра (а не БИХ-фильтра). В условиях задач
3.1 и 3.2 тип фильтра определяется требованием, чтобы ФЧХ
фильтра была точно линейна, в условиях задачи 3.3 — требова-
нием, чтобы мощность собственных шумов фильтра была равна
пулю. Эти условия не выполнимы для БИХ-фильтров.
3.2.	КИХ-ФИЛЬТРЫ БЕЗ ОПЕРАЦИЙ
УМНОЖЕНИЯ
ОДНОРОДНЫЙ ФИЛЬТР
Решим сформулированную выше задачу 3.1 для КИХ-фильтра
порядка N с передаточной функцией (1.49). С учетом нормировки
частоты G)7’=2jw и (1.86) можно записать
Д2(и’) = |//(ej2nw)|2= £ £ bmbkcos(т —к}2nw	(3.6)
m=0 к-0
И
Д(0)=е\.	(3.7)
1 = 0
Из (3.1), (3.2), (3.6) и (3.7) следует, что требование (3.1) и условие
(3.2) можно заменить следующей эквивалентной задачей: коэф-
фициенты. bt нужно рассчитать так, чтобы величина
Л=У^2	(3.8)
т = 0
была минимальна при условии, что
N- 1
£/,,= 1.	(3.9)
1 = 0
Эта задача решается методом множителей Лагранжа, причем
решение имеет вид
ba = bx=... =bN-l = \/N.	(3.10)
КИХ-фильтр с передаточной функцией (1.49) и коэффициен-
тами (3.10) называется однородным фильтром. Существуют две
формы реализации однородного фильтра: нерекурсивная форма
(рис. 3.3, а), которой соответствуют передаточная функция
N-1
<3.11)
;v 1~0
77
и разностное уравнение
Ё л</г)-	<3J2>
‘'l = n-N+l
и рекурсивная форма (рис. 3.3, б), которой соответствуют пере-
даточная функция
 <злз>
и разностное уравнение
У«2	= (х(иГ) -X((и- JV) Г) +_уо2 ((л-1) Г).	(3.14)
Очевидно, что передаточные функции (3.11) и (3.13) эквивалент-
ны друг другу при любом значении z.
Разностные уравнения (3.12) и (3.14) и соответствующие им
структурные схемы (см. рис. 3.3, а и б) эквивалентны только при
нулевых начальных условиях в (3.14). Если в (3.14) jyo2 (— T) = D, D^Q,
выходной сигнал }'02(«^) в (314) будет отличаться от выходного
сигнала у01(пТ) в (3.12) на величину D при любом значении п.
Пример 3.3. Пусть для однородного фильтра N=2, х(пТ)=1 при 0^л^2,
х(пТ)=0 при п>2. В табл. 3.1 приведены значения отсчетов выходных сигналов
уо1(пТ) и у’огргТ’) для двух форм реализации однородных филыров, причем
для рекурсивной формы принято, что уо2(— Г) = 2.
Если в (3.12) и (3.14) принято N=2P, то при реализации
однородного фильтра не требуется выполнять операции ум-
Таблица 3.1
?1	х((л-2)Т)	х((и-1)'Г)	л(и7)	Л2<(«- О Л	То! ("7)	Т»2
0	0	0	1	2	0,5	2,5
1	0	1	1	2,5	1	3
2	1	1	1	3	1	3
3	1	1	0	3	0,5	2,5
4	1	0	0	2,5	0	2
5	0	0	0	2	0	2
78
ножения, поскольку умножение на 2-₽ сводится к р сдвигам
на один разряд кода множимого. Ниже, как правило, пред-
полагается, что
А=2₽.	(3.15)
Для рекурсивной формы при больших значениях N необходимое
число операций сложения оказывается гораздо меньше, чем для
нерекурсивной, и, следовательно, скорость обработки информации
оказывается гораздо выше. Поэтому однородные фильтры ре-
ализуют, как правило, в рекурсивной форме.
Амплитудно-частотная характеристика однородного фильтра
А-го порядка описывается формулой
A0(w, A) = |/70(eJ'2”w)| = l
sin Ntiw
sinrciv
(3.16)
Из (3.15) следует, что
Ло(0, A)=l, A0(K/N,N) = Q, K=1,2,...,Q,	(3.17)
где Q~N/2 при N четном, Q = (N—1)/2 при N нечетном.
Программа 3.1. Расчет АЧХ однородного фильтра. Программа позволяет
рассчитать значения АЧХ однородного фильтра А-го порядка в относительных
единицах (А/) и в децибелах (А2) для М равноотстоящих значений нормированной
частоты w. Величина AI рассчитывается по преобразованной с целью исключения
деления на нуль формуле (3.16):
1 при iv = О,
Л/ = Л0()Г, N}=<
1 sin Nnw
N sin ли1
при H’/O.
IM REM МИННННННН1 РАСЧЕТ АЧХ ннннннн»
11» REM мм» ОДНОРОДНОГО ФИЛЬТРА »»мм
IM HEFIMT I
13» OPEN "д',»1,"|С0Г
IM INPUT' ПОРЯДОК ФИЛЬТРА N-->’|N
ISA INPUT* КОЛИЧЕСТВО ТОЧЕК И—>'|М
16А Dl".S/(M-l>iPRINT»l,' •“» W »=»*,* — Al вжя",* кам Д2
17» UM1PI-3.141S941P1-N»P.
IM FOR 1-1 ТО Н
19* IF НМ TIEN Al-1 ELSE A1-ABS<SIN(P1»U>/SIN(PI»H>>/N
2М IF АК.ММА1 TtEN A2—12» ELSE A2=20»LOG(A1>/LOG(!♦>
21» PRINTM.H.A1.A2
22» H-M+Dl
23» NEXT I
244 CLOSE 41
254 ЕЮ

ДАННЫЕ -
— u —		==I Al —	=— A2 —»
1	•	1	e
2	.•15625	.993986	-.45239546
3	.•3125	.976*626	-.2104466
4	. «46075	.946583	-.4768262
5	.•625	.9461276	-.8562138
6	.•78125	.8554914	-1.355689
7	.•9375	.7956668	-1.985376
79
8	.189375	.7278234	-2.759481
9	.125	.6532813	-3.4*7995
18	.148625	.5734846	-4.829565
11	.15625	.489969	-6.196629
12	.171875	.4843383	-7.865276
13	.1875	.3181895	-9.946284
14	.283125	.2331586	-12.64697
15	.21875	.1588866	1&43159
16	.234375	.87262563	-22.7782
17	.25	2.837915Е-87	-lit
18	.265625	.86582456	-23.63224
19	.28125	.1237642	-18.14889
28	,296875	.1729226	-15.24297
21	.3125	.2126877	-13.44842
	.328125	.2423465	-12.31127
23	.34375	.2618941	-11.63749
24	.359375	.2712381	-11.33299
25	.375	.278598	-11.35351
26	.398625	.2684193	-11.68654
27	.48625	.2413628	-12.3466
28	.421875	.2142892	-13.37999
29	.4375	.1882397	-14.88299
38	.453125	.148412	-17.85192
31	.46875	.89613342	-28.34251
32	.484375	.84883182	-26.22688
33	.5	4.Э13418Е-87	-128
Чтобы исключить
по формуле
вычисление логарифма нуля, величину .42 рассчитывают
J 20 lg А1 при
[ — 120 при
А/> 10“6,
Л 7 < 10 6.
Таблица 3.2
i	Я(0	20lgB(i)	i	8(0	201g 8(0	i		20lg8(i)
0	1	0	17	0,9531	-0,4169	34	0,8204	-1,7194
1	0,9998	-0,0014	18	0,9476	-0,4680	35	0,8103	-1,8267
2	0,9993	-0,0057	19	0,9417	-0,5221	36	0,8000	-1,9377
3	0,9985	-0,0129	20	0,9355	-0,5792	37	0,7895	-2,0525
4	0,9974	-0,0229	21	0,9290	-0,6395	38	0,7788	-2,1711
5	0,9959	-0,0357	22	0,9223	-0,7029	39	0,7679	-2,2936
6	0,9941	-0,0515	23	0,9152	-0,7694	40	0,7568	-2,4201
7	0,9920	-0,0701	24	0,9079	-0,8392	41	0.7455	-2,5506
8	0.9900	-0,0916	25	0,9003	-0,9121	42	0.7341	-2,6852
9	0,9867	-0,1160	26	0,8925	-0,9883	43	0,7224	-2,8241
10	0,9836	-0,1433	27	0,8843	-1,0678	44	0,7106	-2,9673
11	0,9802	-0,1736	28	0,8759	-1,1506	45	0,6986	-3,1148
12	0,9765	-0,2067	29	0,8673	-1,2367	46	0,6865	-3,2669
13	0,9724	-0,2428	30	0,8584	-1,3263	47	0,6742	-3,4236
14	0,9681	-0,2819	31	0,8493	-1,4193	48	0,6618	-3,5850
15	0,9634	-0,3239	32	0,8399	-1,5158	49	0,6493	-3,7512
16	0,9584	-0,3689	33	0,8303	-1,6158	50	0,6366	-3,9224
В качестве примера выполнен расчет АЧХ однородного фильтра
при А=4 и М=33. На рис. 3.4,а изображен график функции
Л0(и’, 4), а на рис. 3.4,6 — график функции Я0(1Г, 8). Очевидно, что
однородный фильтр представляет собой фильтр нижних частот
(ФНЧ). Можно считать, что для однородного фильтра
и’гп=1/Х,А-
< _ '	'	(3-18)
з — А. 2/ 7V, А2 > 1, |
где и’г п и ivr.,- -границы полосы пропускания и задерживания
фильтра (см. рис. 1.18).
Рассмотрим характер изменения АЧХ однородного фильтра
в полосе пропускания. Если Nzs>i, то при w = z/(100A) и 0^w^wr.n

sin Nltw
sin гаг
sin (га'/100)
га/100
=«(')
(3.19)
Рис. 3.4
В табл. 3.2 приведены значения функции B(i)&Aa(w, Л7)
в относительных единицах и в децибелах для ряда значений
параметра i.
В полосе задерживания АЧХ Л„(из, N) Q раз обращается
в нуль [см. (3.17)]. Очевидно, что между каждыми двумя
соседними нулями эта функция имеет максимумы в точках к’мь
им2, ..., Wmq (см- рис. 3.4). Чтобы судить о качестве АЧХ
в полосе задерживания, во многих случаях достаточно знать
значения АЧХ в точках ivM1, wM2, wMQ. Можно считать,
что эти точки расположены посредине между соответствующими
пулями АЧХ; тогда
vvMi = (z + 0,5)/A	(3.20)

(3.21)
81
80
Таблица 3.3
i	Г/(яЦ + О,5)>	2Olg(l/0t(i 1 0,5)))	i	'V(it(<+0,5))	201g(1/("0 + 0.5)))
1	0,2122	-13,46	5	 0,0579	-24,75
2	0,1273	-17,90	6	0,0490	-26,20
3	0,0909	-20,82	7	0,0424	-27,44
4	0,0707	-23,00			
Истинные значения абсцисс и ординат максимумов отличаются
от значений, получаемых по формулам (3.20) и (3.21). Например,
при А=64 значение первого максимума (i=l), полученное по
формуле (3.20), составляет 0,211 (—13,5 дБ), в то время как
истинное значение (рассчитанное с той , же точностью) равно
0,216 (—13,3 дБ). Для большинства применений результаты,
полученные по формулам (3.20) и (3.21), оказываются вполне
приемлемыми.
При из (3.19) следует, что
Л(и’лп, A)*—L-.	(3.22)
'	’ тс (i + 0,5)
В табл. 3.3 приведены приближенные значения функции A0(wMi,
N) в относительных единицах и децибелах.
ПРИМЕНЕНИЕ ОДНОРОДНОГО ФИЛЬТРА ДЛЯ
ПОДАВЛЕНИЯ ВХОДНОГО БЕЛОГО ШУМА
Однородный фильтр соответствует решению задачи 3.3 с усло-
вием (3.9). Это значит, что среди всех КИХ-филыров порядка
N, у которых АЧХ при w = 0 имеет значение А (0) = 1, однородный
фильтр обеспечивает подавление поданного на вход белого шума
наилучшим образом. Из (3.10) следует, что импульсная харак-
теристика однородного фильтра имеет вид	’
,/ -ч f W при O^JV-1,
h\nT) = <	(3.23)!
' ' ( 0 при n>N— 1.	(
Из (3.16) следует выражение, определяющее коэффициент подав-
ления белого шума К6.ш однородным фильтром:
Х6.ш=1/У h2(nT) = N,	(3.24)
• л = О
т. е. средняя мощность (дисперсия) белого шума на выходе
однородного фильтра уменьшается в N раз по сравнению со
средней мощностью (дисперсией) белого шума на входе фильтра.
Отметим, что такой же коэффициент подавления белого шума
имеет «идеальный» фильтр нижних частот, АЧХ которого
J"(iv) = |o
при 0<и’< 1/(2JV),
при 1/(2jV)< и1 <0,5.
(3.25)
Очевидно, что схема фильтра, АЧХ которого близка к АЧХ
(3.25) (точно реализовать «идеальный» фильтр невозможно),
оказывается гораздо сложнее, чем любая из реализаций однород-
ного фильтра.
ПРИМЕНЕНИЕ ОДНОРОДНОГО ФИЛЬТРА В КАЧЕСТВЕ
ФНЧ
Для ФНЧ функции A* (w) и е(и’) [см. (3.3) и рис. 1.18]
имеют следующий вид:
, . Г 1, при О^и^иу.,,,
Л* и? =(
10 при wr 3<vv^0,5,
г а '	<3-26)
/ х % 1фИ 0^W^lVr.u,
£(W) = <
( Е3 при И’гз<И’<0,5,
где еп и е3 — константы, определяющие допустимые погрешности
аппроксимации (допустимые отклонения АЧХ фильтра от задан-
ной функции A*(w)) в полосах пропускания и задерживания.
Единственным параметром, определяющим АЧХ однородного
фильтра, является порядок фильтра N. Покажем, как по заданным
функциям (3.26) определить N, при котором выполняется условие
(3.3) (или убедиться в том, что такого N не существует).
Из (3.3), (3.15) и (3.26) следует, что в полосе пропускания
должно выполняться условие
-еп,	(3.27)
гарантирующее заданную точность аппроксимации в полосе
пропускания. Из (3,16) видно, что
^<1/и’г.п.	(3.28)
Обозначив через N„ корень уравнения
^o(wr.n, АГ) = Л*(и’г.п) -Еп,	(3.29)
из (3.28) и (3.29) получим условие, определяющее величину по
заданным требованиям к полосе пропускания
A<An<l/wr.n.	(3.30)
Поскольку рассматриваются лишь однородные фильтры без
операции умножения [см. (3.15)], вместо решения (3.29) можно
ограничиться решением неравенства (3.27) с помощью данных
табл. 3.2. Рассчитав величину A* (wr n) — £п, в табл. 3.2 следует
83
найти значение i, соответствующее величине A0(w, N)- удовлет-
воряющей (3.27). Если это значение равно К, то, очевидно,
должно выполняться условие
шг.п^Х/(100У).	(3.31)
Из (3.31) получается условие, определяющее величину N:
7VsS.K/(100wr.n).	(3.32)
Пример 3.4. Пусть иу.„ = 0,05; £„ = 0,25. Тогда A*(w) — £„ = 0,75. По данным
табл. 3.2 К=41 (при /=Х=41 Д0(и’, А)=0,76>0,75). Из (3.32) Asj8,2.
Из (3.3), (3.15) и (3.26) следует, что в полосе задерживания
АЧХ однородного фильтра должна удовлетворять условию
Л0(и’, А)<£3.	(3.33)
Функция A0(w, N) в полосе задерживания немонотонно зависит
от частоты (см. рис. 3.4). Поэтому сначала отыскивают наимень-
шее значение i [(см. (3.22)], удовлетворяющее условию
1 /л (Z+ 0,5) еэ или 1/(ле3) — 0,5.	(3-34)
Для этого можно использовать данные табл. 3.3. Если это
значение равно /, то [см. (3.17) и (3.20) ] N определяют из условия
У>//шг,3.	(3.35)
Условия (3.32) и (3.35) определяют возможность применения
однородного фильтра в качестве ФНЧ и величину N.
Пример 3.5. Пусть ну.„ = 0,001; е„ = 0,1; ну.,=0,1; £,=0,1. Тогда А*(>г,.„) —£„ =
=0,9. По данным табл. 3.2 Х=25 (при ; = А"=25 A0(w, N)=0,9003>0,9). По данным
табл. 3.3 /=3 (при i=l=3 l/(7t(; + O,5))<O,l). Из (3.32) и (3.35) получаем 30<А<250.
Целесообразно принять А=32, так как это значение обеспечивает лучшие
реализационные характеристики, чем другие возможные значения (Л'= 64 и N = 128).
Пример 3.6. Пусть в условиях примера 3.5 ну „ = 0,01, а остальные величины
прежние. Тогда из (3.32) и (3.35) получаем 30<А<25, т. е. нс существует
однородного фильтра, удовлетворяющего заданным требованиям.
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ ОДНОРОДНЫХ
ФИЛЬТРОВ
На практике часто используется последовательное соединение
однородных фильтров. Это позволяет реализовать частотные
характеристики, отличные от рассмотренных выше.
Так, последовательное соединение двух однородных фильтров
одинакового порядка N приводит к триангулярному фильтру,
имеющему значительно большее подавление в полосе задержива-
ния (см. гл. 7).
Последовательное соединение двух или более однородных
фильтров разных порядков Nt позволяет несколько уменьшить
84
нежелаемые подъемы АЧХ в полосе задерживания (см. рис. 3.4)
путем соответствующего выбора величин А,.
Отметим также, что путем преобразования передаточных
функций (см. гл. 1) можно на основе однородных фильтров получить
простые фильтры верхних частот и режекторпые фильтры. Вместе
с тем во многих практических случаях на основе простых фильтров
не удается построить КИХ-фильтр с заданными требованиями
к частотным характеристикам. В этом случае приходится использо-
вать специальные методы расчета, которые рассматриваются ниже.
3.3. ПРОЕКТИРОВАНИЕ КИХ-ФИЛЬТРОВ С
ТОЧНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ФЧХ ОБЩЕГО ВИДА
МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
Для КИХ-фильтра с передаточной функцией (1.49) и точно
линейной ФЧХ при нечетном N можно согласно (3.11) получить [3]
H(ei2™) = b0 + ble~i2™ + ... +bK-le-i(K~l)2nw + bKe~iK2nw +
+ Z>K_le“-'(K+1)2,'w+ ... +bse~i(2K~l)2nw + boe~i2K2nw = eiK2nwx
к
x £ c(cos/2tw, Д(и’) = |Ф(и’, c)|,	(3.36)
1 = 0
где* K=(JN—1)/2, c0 — bK, Ci = 2bK-t, /=1, 2, ..., К, Ф(и\ c) =
= £ c(cos/2nw.
; = °
Метод наименьших квадратов позволяет рассчитать коэффици-
енты bt передаточной функции КИХ-фильтра с точной линейной
ФЧХ по заданным требованиям к его АЧХ. В соответствии с этим
методом при А=2X4-1 вспомогательные коэффициенты ct [см.
(3.36)] определяются из условия минимума целевой функции
0,5
G(c)= f <7 (w) [xl * (iv) — Ф(и’, с)]2 г/w,	(3.37)
о
где функция Д*(и’) определена в (3.3), функция Ф(и>, с) определена
в (3.36), с — вектор коэффициентов с0, <’ь •••>	q(w)~ весовая
функция.
Весовая функция </(и’) позволяет регулировать точность ап-
проксимации. Для тех интервалов часто!, где значения весовой
функции велики, точность аппроксимации оказывается выше, чем
для тех интервалов частот, где значения весовой функции
относительно малы. Более высокая точность аппроксимации
соответствует «в среднем» большей близости друг к другу
аппроксимируемой функции A*(w) и аппроксимирующей функции
Ф(и\ с) и тем самым большей близости функции A*(w) и АЧХ
проектируемого фильтра А (к) = | Н(еу2пи)|.
85
(3.39)
Необходимые и достаточные условия минимума целевой |
функции (3.37) [3, стр. 118] имеют вид
dG(c)/dcm=0, т=0, 1, 2, ..., к,	(3.38)
и представляют собой систему линейных алгебраических урав- ]
нений относительно неизвестных коэффициентов с0, сг, ..., ск |
к
У, ?т,к + 1?
1 = 0
где
0,5
tm,i = J q(w) cos m2nw cos I2nwdw, /=0, 1, ..., k,
о
0,5
tm,k+i= f q(w)A*(w)cosm2nwdw.
о
Решив систему (3.39) и определив коэффициенты ch можно!
рассчитать коэффициенты передаточной функции Z>;. Из (3.36)1
следуют соответствующие расчетные формулы:	1
Ьк = с0, Ьк-г-
Рассмотрим
коэффициентов
Пример 3.7.
{1 при
О при
D при иу^и^ОД
где D = const. Тогда [см. (3.39)]
= с;/2, /=1, 2, к.	(3.40)
[ ряд примеров вывода расчетных формул для!
। й правых частей системы (3.39).	1
Пусть A*(w) определяется (3.26):	j
W.
И’г.п
sin(m2KH'rlI)
2/ил
при
при
ra = O,j
n-r.„ + D/2-D)v,
при
m = /=0
и'1П sin(zn + /)2KH'rDw,, D D sin (т +1)
~T+ 4(m + /)rt T~+I
4(т+/)л
при ।
m^tl
m — l^O
w/0,
и
sin(zn —/)2л)1’гп sin(m + /)27TH’r.n
4(w —/)л	+ 4(от + /)л
T>sin(m —/)2ли’г ,э D sin (т + Z) 2л и»,
+	4(т — 1)к	4(ли + /)л
при т — 0, 1
и 1=0,
Условия этого примера охватывают различные варианты ФНЧ, отличающиеся
друг от друга точностью аппроксимации в полосах пропускания и задерживания;
86
При D < 1 точность аппроксимации в полосе пропускания выше, чем в полосе
задерживания. Используя полученные формулы, можно рассчитывать коэффици-
енты системы (3.39) и, решая эту систему, определять коэффициенты с,
и коэффициенты передаточной функции bt.
Пример 3.8. Пусть
Bi
Л*(и/) = < В2
1вз
при 0^w^wt,
при и?! CH’CH’j,
при tv2^H’^0,5,
9(Н') = < D2
1°3
при
при
при
СИ’СИ’з,
где В2, В3,	D2, D3 —константы. Тогда [см. (3.39)]
BiDi ИЧ + B2D2 (и>2 - w,) + B3D3 (0,5- w2)
„ sin m 2л w, „ „ /sin m 2л w2 — sin 2л w,
—--------1- + B2D2 -------J----------l-
2тл	у 2тл
sin m 2л и’2
2тл
при m = 0,
-B3D3
при m#0,
'Dyw. +D2 (w2-h^HOj (0,5—w2)
при m = l=0,
„ „ fw, sinnMniv, \	(w2 — w, sin m 4л w, — sin m 4л tv,
BA v+ й ] + B2D2	--------2-----------’
\ 2 8тл J \	2	8/ил
/0,5 — w2 sinm47iw2\
3 3 \ 2 8тл	J
Fsin(m —/)2ли’1 sin(m-l-/)2nH’1
BaD, ---------------1--------------
|_ 4(m — l) л 4(m + Z) л
+ B2D2
при m = Z#0,
sin(m —Z)2ли’2
4(m~ l)n
5т(т-Н)2ли’2 sin(m—Z)2ли’1 sin(m + Z)2nn’1
4(т-Н)л	4(m — Z)л	4(m + Z^
sin(m —Z)2ли’2 sin (m + l) 2л>г2
4(т-/)л + 4(m + l)n
при m#Z, m = 0,	1=0, 1 k.
Условия этого примера охватывают различные варианты ФНЧ и ФВЧ. При
5; = ], и’1=игп = 0, w2 = wr.lt .Di = l, О2=0, D3 = D условия данного примера
сводятся к условиям примера 3.7, т. е. определяют требования к ФНЧ. При
5]=0, и’1=и’гз, B3=l. w2 = wT.a, О] = const, О2 = 0, О3=1 условия определяют
требования к ФВЧ. Используя полученные формулы, можно рассчитывать
коэффициенты передаточных функций соответствующих фильтров.
87
Пример 3.9. Пусть
B>
B2
A*(w)=< В3
Вь
в,
при
при
при
при
при
ИЦ <И’<И,2,
H>2 <	W3,
И’3 < И < ИЦ.,
иц^и’^0,5,
Dl
£>з
?(и)=< D3
D,
D,
при
при
при
при
при
О^н^иц,
иц <w<u>2,
И’2<И<И’3,
W3 < W < ИЦ,
ИЦ^И’^ОД
Тогда [см. (3.39)]
= < В1Р1
в1р1и’1+ Е BJDj(wJ-wj-l) + B5D3(0i5-wi)
J=2
sinт2лиц	sin«2ли»;—5шт2лиц~
2пгл j=2 1 1	2тл
sin т 2л иц
2лгл
при т =
6
- B.D
прн от#0


£>1^1 + X £>7(^-НЦ_1) + £>5(0,5-И’5)
J=2
/иц sin 4п и, \ Д /иц —ИЦ-, sin от 4 л иц—sin/и 4 лиц
B.D, — +------------- +УВД; —
1 1 \ 2 8отл ) j 1 \
(0,5 —нц	sin от 4л иц \
	i-----
2	8отл-]
5т(от-/)2лиц sin (от+/)2л и»!
4(от —/)л	4(от + /)л
sin (от — /) 2л иц — sin (от — /) 2л Wj. t
при т = 1=
2
8отл
2
при от = /#0


Г

+ 1^^
7-2
sin (т + /) 2л иц-sin (т + /)2п Wj..t
4 (т — I) я
+ #5^:
sin (т — /)2л иц
4 (от-/) л
4(т +1) к
sin (от + /)2л и5
4(т + 1)к
Условия этого примера охватывают различные варианты избирательных фильтров
ФНЧ, ФВЧ, полосовые и режекторные фильтры. Так, при В^=В2 = В3 = '
иц = иц = иц = и,,, В5 = 1, w4. = wr„, D{= D2 — D3=const, £>4 = 0, £>5 = 1 услови
определяют требования к ФВЧ; при В1=0, В3=1, В5 = 0, и,1 = м’гл1, и2 = иг.п
^'з = и’г.п2; и'4 = нГЛ2, D{ = £>s = const, D2 = £>4 = 0, £>з = 1 условия определяют требова
ния к полосовому фильтру (см. пример 3.2 и рис. 3.2), причем точной
аппроксимации в обеих полосах задерживания одинакова. Полученные формул
при m=tl, т = 0,	1=0, 1




88
позволяют рассчитать коэффициенты передаточных функций любых из перечне-,
ленных выше избирательных фильтров.
Расчет коэффициентов передаточных функций избирательных
КИХ-фильтров с точно линейной ФЧХ требует определения
коэффициентов линейной системы (3.39) по формулам, приведен-
ным в примере 3.7, 3.8 или 3.9, решения этой системы и применения
формул (3.40). Этот расчет может быть выполнен на любой ЭВМ,
в программном обеспечении которой имеется подпрограмма
решения системы линейных алгебраических уравнений.
Пример 3.10. Рассмотрим расчет равнополосного фильтра, т. е. ФНЧ, для
которого и>, ,, + )vr , = 0,5 и весовая функция аппроксимации ?(и ) удовлетворяет
условию д(и ) = 9(0,5 — и ). Пусть и’111 = 0,125, иу , = 0,375, У=11. Используя фор-
мулы, приведенные в примере 3.7, а также (3.39) и (3.40), найдем следующие
значения коэффициентов передаточной функции фильтра:
/>о = />1О=0,0118785, Ьу =Z>9= -0,0000003,
b2 = bs = - 0,0621937, b3 = 67 = 0,0000008,
Z>4 = />6 = 0,3007862, bs = 0,4999990.
Программа 3.2. Расчет АЧХ КИХ-фильтра. Программа 3.2 позволяет
рассчитать значения АЧХ КИХ-фильтра в относительных единицах (Д1) и в
децибеллах (Л 2) для М равноотстоящих значений нормированной частоты и1.
Расчет выполняется по формулам
Д1 =
)2	ZN-1	\2
+1 £ Ь, sin 12л: и’ I ,
\ i = о	/
J 201g А1 при А 1 > Ю 6,
( — 120 при Л1<10 6.
1ФФ REH »»»»»«»»»» РАСЧЕТ АЧХ »»»»»»»»»»
11Ф REH »»»»»»»»»» КИХ-ФИЛЬТРА »»»»»»»»»»
12Ф DEFINT I-K
13* OPEN *0',*1,'iC0i'
140 INPUT' ПОРЯДОК ФИЛЬТРА N==>*»N
1S0 INPUT' КОЛИЧЕСТВО ТОЧЕК Н«=>'»Н
16# DIM ВСЮ
17Ф PRINT* ВВОД ЗНАЧЕНИЙ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФИЛТРА В(1)Г
18Ф FOR I-ф ТО N-1
190 PRINT USING' ВВОД В(♦♦>==>"»IINPUT В(1>
2ФФ NEXT I
21Ф PRINT*1.'N П/П'," === U ===',' == Al	==• А2
22Ф Dl-.5/<M-l)iW«0:P2=6.2S318S
23Ф FOR 1-1 TO M
240 Sl-0iS2-0:P3=F2»U
25Ф FOR K«0 TO N-1
2M S1«S1+B<K)«COS(K»P3)
270 S2«S2+B(K)»SIN(K»P3>
28Ф HEXT К
29» A1“SQR(S1'S2+S2''2>
ЗФФ IF A1C.000001 THEN A2=-120 ELSE A2^20«LOG(A1)/LOG(10)
31Ф PRINTtl,I>W,Al,A2
32Ф U-N+Dl
ЗЗФ NEXT I
340 CLOSE «1
3S0 END
89
ДАННЫЕ N=ll,М—21
1 п/п	ц -=*	•== А1	—« А2
1	0	1.000942	8.178186Е-ОЗ
2	.025	1.000135	1.171002Е-03
3	.05	.9990162	-8.548648К-ОЗ
4	.075	.9997478	-2.190747Е-03
5	.1	1.001363	.01183115
6	.125	.996532	-.03017586
7	.15	.9718938	-.247625
8	.175	.9127608	-.792861
9	.2	.8102813	-1.827284
1»	.225	.6673722	-3.512639
11	.25	.4999955	-6.020678
12	.275	.3326196	-9.561044
13	.3	.1897117	-14.43812
14	.325	.08723466	-21.18622
15	.35	.02810381	-31.0247
16	.375	3.467137Е-03	-49.20058
17	.4	1.3631О5Е-03	-57.30941
18	.4250001	2.524178Е-О4	-71.9576
19	.4500001	9.838232Е-О4	-60.14166
2*	.4750001	1.348272Е-О4	-77.40445
21	.5000001	9.420254Е-О4	-60.51875
3(13*~4. 4434443
3(33* 4.4444448
8(5)’ 8.4337384
8(73’ 4.3444448
3(P 3 •- 3.4 448 84 3
3(4)’
3 431
g (4 J * t. 344 794^
3(3J‘ 4.3447343
3(33 *-4. 4431337
3(143^4. 4118735
В
Пользователю выводятся в виде таблицы значения и>, А1
и А2.
качестве
примера выполнен расчет АЧХ КИХ-фильтра при А=11, />о=^п
b}=b9 = =0,0000003, b2 = bs = -0,0621937, b3 = Ь2 =+ 0,0000008, b9 = b6
0,0118785
0,3007862
/>5=0,4999990, М = 33.
9

МЕТОД НАИЛУЧШЕЙ
АППРОКСИМАЦИИ
РАВНОМЕРНОЙ (ЧЕБЫШЕВСКОЙ)
Метод наилучшей равномерной (чебышевской) аппроксимации
предполагает расчет вспомогательных коэффициентов с, из уело
вия минимума величины
£(с) = тах|Д(w, с)|, 0^iv^0,5,	(3,41
к
где А(и>, с) = [Л*(1г)-ФА.(и’, c)]g(w), Фк(и>, е) = £ c,cos/2km
_	( = 0
[см. (3.36)]; с--вектор коэффициентов с,; q(w) -весовая функцш
аппроксимации.
Функцию Фк(и’, с), удовлетворяющую (3.41) при заданны;
A*(w), q(w) и К, называют функцией наилучшего равномерное
приближения. Теорема Чебышева определяет признак, выделя-
ющий функцию наилучшего равномерного приближения сред!
других подобных функций, отличающихся от нее лишь значениям!
90
коэффициентов. Для того чтобы функция Фк(и’, с) была функцией
наилучшего равномерного приближения при заданных A*(w),
q(w) и К, необходимо, и достаточно, чтобы функция А (и1, <?) =
= q(w) [/4*(w) — Фк(и’, с)] принимала наибольшие и равные друг
другу по абсолютной величине и чередующиеся по знаку значения
в К+2 последовательно расположенных точках (точках альтер-
нанса) иу <и’2, <...,<и’к +2 интервала [0,0,5], т. е.
,гк + 2 <0,5,
А(ид, c)=-A(w2, с) = ... = (-l)K+1 А(и’к + 2, с),	(3.42)
|А(и> c)|^|A(w, ?)|, у=1,2,...,К+2.
Отметим, что весовая функция позволяет управлять точно-
стью аппроксимации при наилучшей равномерной аппрокси-
мации более эффективно, чем при использовании метода наи-
меньших квадратов. Так, для кусочно-постоянной весовой фун-
кции, т. е. при
q(w) = hj при	+	(3.43)
где Aj=const и [nJ, wj + 1 ] — интервал, включающий хотя бы
одну точку альтернанса, из (3.42) следует соотношение
max |Д* (w) —Фк(к, с)|
hj	f«> "
max | Л * (м/) — Фк(w, с)|
н •* <	1
(3-44)
Соотношение (3.44) означает, что максимум абсолютной погреш-
ности обратно пропорционален значению весовой функции на
данном интервале.
Из (3.42) следует, что можно аппроксимировать функцию
A*(w), заданную на отдельных интервалах, не имеющих общих
точек. Для этого достаточно заменить эту функцию функцией
A*(w), непрерывной на интервале [0, 0,5] и совпадающей с A*(w)
на заданных интервалах, и выбрать весовую функцию настолько
малой вне заданных интервалов, чтобы точки альтернанса
оказались на заданных интервалах.
Пример 3.11. Пусть
f 1 при 0^^^0,1063,
А * (и>) = <
(0 при 0,3937^^0,5,
f 1 при 0<и’<0,1063,
(1 при 0,3937 о<0,5.
Перейдем к непрерывной функции А * (и1) и кусочно-постоянной на всем интервале
[0,0,5] функции q(w)-.
91
Рис. 3.5
Г1	при 0«и’«0,1063,	
4*(>v) = < — 10,44)1' + 2,71 при 0,1063 <и'<0,3937,	I
11	при 0,293 7 «>v« 0,5,	j
( 1	при 0«и’«0,1063,	j
q (к) = < 0,001	при 0,1063 < и’ <0,3937,	|
(.1 при 0,3937 «и> «0,5.
При К=5 коэффициенты функции наилучшего равномерного приближения!
имеют значения:	j
с0 = 0,4999999,	=0,5986008, с2 = 0,0000000,	1
с3=-0,1188343, с4 = 0.0000000, с5=0,0207811	|
при следующих точках альтсрнапса;	1
и, =0,0512220, >1’2 = 0,0908867. >г3 = 0,1062999,	1
>v4 = 0,3937000, )v5 = 0,4091255, и-6=0,448795,	1
>v7 =0,5000000, причем АСи-р с)— —0,0005476.	I
На рис. 3.5 показаны графики функций A*(w) и функции наилучшегс!
5	1
равномерного приближения	Фк(и’, с) = £ q cos Hit w.	I
>~о	J
Наиболее	эффективным	алгоритмом построения на ЭВМ1
функций равномерного наилучшего приближения является алго-1
ритм Ремеза [2]. Суть этого алгоритма состоит в пошаговой
модификации коэффициентов ct до тех пор, пока не будут!
выполнены условия (3.42). Программа Фортран, реализующая этот!
алгоритм, приведена в [2]. Отметим, что процесс вычисления при
чебышевской аппроксимации оказывается сложнее, чем для метода!
наименьших квадратов. Наилучшая равномерная аппроксимация
позволяет решить задачу определения фильтра наименьшего!
порядка JVmin = 2A^min+1, АЧХ которого Л (и1) удовлетворяет!
условию (3.3). Для этого достаточно построить ряд функций
наилучшего равномерного приближения при различных значения»
К функции A*(w) с весовой функцией <?(и’)= 1/е(и’). Если функция
наилучшего равномерного приближения порядка К Фк(ш, с!
удовлетворяет условию |Л*(и’) —Фк(и’, c)|^e(w), а функция поряд|
ка К-\ Фк. j (ш, с) не удовлетворяет этому условию, то Kmin = к|
92
3.4. РАСЧЕТ РАЗРЯДНОСТИ КОЭФФИЦИЕН-
ТОВ И РЕГИСТРОВ ОПЕРАТИВНОЙ ПАМЯТИ
КИХ-ФИЛЬТРОВ
РАСЧЕТ РАЗРЯДНОСТИ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФИЛЬТРА
Коэффициенты передаточной функции фильтра bt (коэффициенты фильтра)
являются сомножителями при вычислении отсчетов выходного сигнала фильтра.
Поскольку АЧХ фильтра нормируется так, чтобы при всех значениях частоты
iv в полосах пропускания выполнялось условие А (и')%1, а в полосах задерживания
A (>v) < 1, для избирательных КИХ-филыров из (1.88) следует, что
£*/>(2<1; |/>,|<1.	(3.45); (3.46)
1-0
В силу (3.46) двоичный код коэффициента КИХ-фильтра содержит лишь знаковый
разряд и дробную часть и пе содержит целой части.
В итоге решения аппроксимационной задачи на ЭВМ рассчитываются
«Iочные», т. е. представленные семью —четырнадцатью десятичными значащими
цифрами, коэффициенты фильтров Ь,. Поскольку при аппаратной реализации для
представления коэффициентов используется, как правило, пе более 16 двоичных
разрядов, необходим перевод в двоичную систему счисления. Процесс округления
вносит некоторую погрешность, и вместо точного значения коэффициента bt
используется его приближенное значение Ь,. Для избирательного фильтра, АЧХ
кот орого Л (и ) должна удовлетворять условию (3.3), критерием возможности
округления коэффициентов до sk двоичных разрядов является неравенство
|Л*(>г)-Л (>г)|^с(>г) при Osj)vsjO,5,	(3.47)
где Л (и) -АЧХ фильтра, рассчитанная при округлении коэффициентов до sK
двоичных разрядов, т. е.
Гн Л	N - 1
Л(ю)= /( £ zT(cos/2n:ii')2 + ( £ cos/2л:iv)2.	(3-48)
V i-о	i^o
Минимальное значение sk = skmi„ определяется на ЭВМ из условия, что при
этом значении неравенство (3.47) оказывается истинным, а при .4 = skmin—1
ложным хотя бы при одном значении и-.
ОСНОВНЫЕ ПРЕДПОСЫЛКИ ДЛЯ РАСЧЕТА РАЗРЯД-
НОСТИ РЕГИСТРОВ ОПЕРАТИВНОЙ ПАМЯТИ ФИЛЬТРА
Расчет разрядности регистров оперативной памяти зависит от формы
представления всех чисел, над которыми выполняются операции в фильтре,
нормировки отсчетов входного сигнала, формы реализации самого фильтра
и погрешности, с которой выполняются отдельные операции.
Примем, что все числа представлены по способу с фиксированной запятой
в прямом или дополнительном коде. Этот способ представления чисел чаще
93
х(пТ)
Рис. 3.6
всего используется при современной аппаратной реализации фильтров, в частности
при реализации фильтров на микропроцессорах. В связи с ожидаемым увеличением
уровня интеграции выпускаемых промышленностью микросхем в будущем следует
ожидать использования представления чисел, циркулирующих в фильтрах, по
способу с плавающей запятой.
Абсолютная величина отсчета входного сигнала фильтра нормирована так, что
|х(лТ)|<1.	(3.49)
Примем, что расчет разрядностей выполняется для КИХ-фильтра порядка
N с точно линейной ФЧХ, причем используется следующий алюритм:
К- I	:
у(пТ)= £ 6,[х((н-/)7’) + х((н-А+1+/)7’)] + 5’кх((л-Х)7’),	(3.50),
1 = 0
где Х=(А—1)/2; bt- округленные до sK разрядов коэффициенты фильтра,;
/=0, !,...,Х-1.	i
Алгоритму (3.50) соответствует форма реализации фильтра, схема которого'
представлена на рис. 3.6. Схема, представленная на рис. 3.6, по сути дела является 
линейной моделью реального КИХ-фильтра, в которой не учитываются погрешно-
сти операций. При реализации операции умножения в КИХ-фильтре возможны два
случая: операция умножения выполняется точно, округление произведения отсут-
ствует или каждый результат операции умножения округляется и произведение
вычисляется с некоторой погрешностью. В первом случае, который невозможен
в БИХ-фильтрах, алгоритм (3.50) и линейная модель (см. рис. 3.6) точно
соответствуют реальному КИХ-фильтру и поэтому могут быть использованы для'
расчета разрядностей. Во втором случае необходимо изменить алгоритм (3.50) так,"
чтобы учесть погрешность, вносимую округлением произведений:
к- 1
П(лТ) = X {6,[х((н-/)7’) + х((п-А+1+/)7’)] + У,(«7’)} +
1 = 0
+Ькх((и-К)Т)+7к(иТ),	(.3.51)
где у((н7’) и Ук(пТ') — величины погрешностей вычисления Z-го и К-го произведений
(см. рис. 3.6) на д-м интервале дискретизации.
94
Алгоритму (3.51) соответствует линейная мо-
дель КИХ-фильтра, отличающаяся от линейной
модели, схема которого показана на рис. 3.6. Каж-
дый символ, соответствующий операции умножения
(см. рис. 3.6), должен быть дополнен символом,
соответствующим операции сложения «точного»
произведения и величины погрешности у(лТ’)
(рис. 3.7).
Тг (пТ)
Рис. 3.7
Целью расчета разрядностей регистров оперативной памяти является определе-
ние разрядности sBX дробной части кода входного сигнала х(пТ) (в силу (3.49)
разрядность целой части кода входного сигнала равна нулю), разрядностей .vn
н 5Л тех частей регистра выходного сигнала у(пТ), в которых фиксируются
целая и дробная части кода у(пТ).
РАСЧЕТ ВЕЛИЧИНЫ ,v„
Из (3.49) и (3.50) следует, что при всех п
\у(пТ)\< £1|6~,|,	(3.52)
(-0
откуда
ГО при X |£|1 <1.
'п=<	~	(3.53)
(.intlog2 X l£il при
1 = 0	1-0
Пример 3.12. Для данных примера 3.10, считая, что 51=51, получаем
ю
X 1^1= 1,249718,
1 = 0
поэтому из (3.53) следует, что su=l.
РАСЧЕТ ВЕЛИЧИН sBX и 5Д
Пусть задана величина авых— допустимая дисперсия шума на выходе фильтра
(определение величины авых по заданному динамическому диапазону рассмат-
ривается ниже). Как известно (см. § 1.11), дисперсия шума округления входного
сигнала авх связана следующей зависимостью с разрядностью sBt:
aBX = 2-2s“/12.	(3.54)
Рассмотрим сначала случай, когда все операции выполняются точно, т. е.
отсутствуют собственные шумы КИХ-фильтра. Тогда связь между величинами
а.2ых и свх следующая:
стВых = ствх X	(3-55)
/ = 0
95
т. е. дисперсия шума на выходе фильтра определяется лишь дисперсией шума
округления входного сигнала и коэффициентами фильтра. Из (3.54) и (3.55)
5ВХ 1П t
1	Z"'1,
^log2 L ^2/(12аВЫх)
/	\/--0
(3.56)
Пример 3.13. Пусть задана величина авых=Ю~8. Тогда для данных примера
3.10, считая, что bt = bt, из (3.56) получаем s„ = ll, т. е. число двоичных разрядов
в дробной части отсчета входного сигнала должно быть равно 11.
Очевидно, что собственные шумы фильтра отсутствуют при
5д — Л'м + -Ч-
(3.57);
Рассмотрим теперь случай, когда после каждой операции умножения выпол-.
нястся округление произведения до лд двоичных разрядов. Очевидно, что:
дисперсию шума округления а2 и величину зд связывает соотношение, подобное
(3.54):	j
ап = 2_25д/12.	(3-58)5
Из (3.51) следует связь между величинами свх, ап и овых:
1
= X ^|2 + (Л'+ 1)<7д/2.
/~0
(3.59)1
Мощность собственных шумов фильтра (/V+l)an/2 должна быть мала по;
сравнению с мощностью шума округления входного сигнала:
N-1
о» X ^2»(Л'+ 1)2/2,
1-0
т, е.
Л-1
(А-Н)сг^/2 = Хсг2х £ Л2,	(3-60-
г- о
где K<s\ (можно, например, принять К=0,1).
Из (3.58)- (3.60) следуют формулы:
5ВХ in t
1
-log2 ((!+£) £ Л|/(12а2ых))
.	1^0
ЛД = ПН
log2(^+l)/(K-2-^.^
К - 1
z^2))
1 = 0
(3.6Г
(3.62;
Пример 3.14. Пусть задана величина <звьн= Ю 8- Тогда для данных пример.
3.10, считая, что bl = bl и К = (),1. из (3.61) и (3.62) получаем лвх=11, хд=15.
РАСЧЕТ ВЕЛИЧИНЫ а2ы»
Пусть заданы значения динамического диапазона входного сигнала D и от
ношение сигнал-шум на выходе фильтра Rm на нижней границе динамической
диапазона. Значения I) и Rm в децибелах определяются следующим образом:
96
P = 201g(aDmox/aDmi„); Кш= 101ё(Рс/Рш),	(3.63); (3.64)
где aDmax и aDmin максимальная и минимальная амплитуды входного синусо-
идального сигнала с частотой, па которой АЧХ фильтра имеет значение единицы;
максимальная амплитуда соответствует верхней границе динамического диапазона,
а минимальная- нижней границе; fc = al„i„/2 мощность на выходе фильтра
при подаче на вход синусоидального сигнала с амплитудой aDml„; Рш = свых—
мощность шума на выходе фильтра. Из (3.63), (3.64) и при aDmax=\ получаем
ав2ык = 0,5Ю’,о,'!ш|'10.	(3.65)
Пример 3.15. Пусть £> = 90 дБ, Яш = 0дБ, тогда из (3.65) получаем ствых =
= 0,5 10°.
Глава 4. ФИЛЬТРЫ С БЕСКОНЕЧНОЙ ИМ-
ПУЛЬСНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ
4.1. ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ АППРОКСИ-
МАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Задача проектирования БИХ-фильтра по заданным требованиям к частотным
характеристикам является достаточно сложной и многоэтапной, причем отдельные
лапы проектирования в ряде случаев могут быть решены только с использованием
ЭВМ. Вначале необходимо решить аппроксимационную задачу, т. е. определить
коэффициенты передаточной функции фильтра по заданным требованиям к ча-
стотным характеристикам. Затем следует выбрать структуру фильтра и рассчитать
разрядности входною сигнала, коэффициенте передаточной функции и внутренних
кодов фильтра. Эго очень важный этап проектирования.
Действительно, реальный ЦФ с ограниченной разрядностью реюетров (а
значит, и обрабатываемых кодов) является нелинейной системой, поскольку при
выполнении арифметических операций осуществляется округление (усечение)
результатов. Это приводит к появлению соответствующих нелинейных эффектов,
которые надо учесть в процессе проектирования. Кроме того, необходимо
рассчитать ряд дополнительных параметров филыра, в частности масштабные
множители.
Теперь, имея все необходимые параметры фильтра, целесообразно определить
его соответствие поставленным перед проектировщиком требованиям. Этот этап
можно выполнить с помощью моделирования фильтра на ЭВМ при определенном
классе входных сигналов. И наконец, завершающим этапом синтеза фильтра
являются разработка функциональной схемы и его схемотехническая реализация.
4 Заказ 3574
97
В настоящей главе рассмотрим начальный этап проектирования БИХ-
фильтров—методы определения передаточной функции. Основное внимание будет
уделено избирательным фильтрам. Эффекты, связанные с конечной разрядностью
регистров фильтров, рассмотрены в гл. 2. Методика расчета разрядностей
регистров, основанная на оценках шумов квантования сигналов, аналогична
методике для КИХ-фильтров, описанной в гл. 3.
ФОРМУЛИРОВКА ТРЕБОВАНИЙ К ЧАСТОТНЫМ ХАРАК-
ТЕРИСТИКАМ ФИЛЬТРА
Избирательный фильтр служит для выделения частотных
составляющих входного сигнала, расположенных в полосе про-
пускания фильтра, и подавления частотных составляющих, рас-
положенных в полосе задерживания. В зависимости от того,
каким образом указанные полосы расположены относительно
друг друга на частотной оси, различают следующие типы
фильтров: нижних частот (ФНЧ), верхних частот (ФВЧ),
полосовые (ПФ) и режекторные (РФ). На рис. 4.1 приведены
идеализированные амплитудно-частотные характеристики соот-
ветствующих фильтров.
Естественно, что фильтры с такими характеристиками постро-
ить невозможно, к идеализированным характеристикам можно
только приблизиться. На этапе решения аппроксимационной
Рис. 4.1
98
задачи определяют передаточную функцию Н(г) фильтра, которая
воспроизводила бы заданную АЧХ A(w) с требуемой точностью.
Отсюда следует, что в качестве исходных данных для решения
аппроксимационной задачи должны быть заданы допуски на
максимальное значение неравномерности АЧХ в полосе пропуска-
ния (АЛП) и максимальное отклонение АЧХ от нуля в полосе
задерживания (АЛ3).
Требования к фазочастотной характеристике фильтра при
проектировании избирательных БИХ-фильтров описанными ниже
методами не могут быть заданы, ФЧХ получается нелинейной.
Степень нелинейности ФЧХ можно лишь проконтролировать
путем расчета фазочастотной характеристики или группового
времени замедления для определенной (рассчитанной) передаточ-
ной функции БИХ-фильтра. Методы построения БИХ-фильтров
с заданными требованиями как к АЧХ, так и к ФЧХ достаточно
сложны, базируются, как правило, на использовании дополнитель-
ного корректора ФЧХ и здесь не рассматриваются.
Таким образом, исходными данными для решения аппрок-
симационной задачи являются граничные частоты полос пропуска-
ния и задерживания, а также величины АЛП и АЛ3.
Пример 4.1. Разрабатывается цифровой фильтр нижних частот с полосой
пропускания от 0 до 0,2 (частота нормирована) и полосой задерживания от
0,4 до 0,5. Частотные составляющие входного сигнала в полосе пропускания
должны быть ослаблены нс более чем в >/2/2 раза, а в полосе задерживания
подавлены не менее чем в 100 раз. Необходимо задать требования к АЧХ фильтра.
Соответствующие требования показаны на рис. 4.2, а, где нормированная
граничная Частота полосы пропускания н-гп = 0,2, нормированная граничная
частоты полосы задерживания »vr.3 = 0,4, АЛ„= 1->/2/2 = 0,293, а АЛ, = 0,01.
Обратите внимание, что между полосой пропускания и полосой задерживания
существует переходная полоса, для которой требования к АЧХ, как правило,
нс задаются.
Рис. 4.2
99
AM
t-ДА
0,5 w
AM
ЫА
A(w)
1-4 A
б) 4.n	°-5 w
Г7777}
AM
4,1 4nf 4.2 4,2 °'5 W
'-LX.	6)
а,дь
4„l 4,1 4,2 4n2 °'5tv
г)
Рис. 4.4
%nf %3l
4.Я 4n2 °’5 W
Рис. 4.3


В качестве исходных данных при решении аппроксимационной задачи часто
задаются не требования к АЧХ Л (и ), а требования к характеристике затухания
«(»’)• Эти характеристики связаны между собой простым соотношением
a(w) = — 201g A (ie).	(4.1)
При этом в качестве исходных данных должны быть заданы верхняя граница?
рабочего затухания в полосе пропускания Да и нижняя граница затухания
в полосе задерживания а0.
Связь между параметрами ДД„ и Да, а также Д4, и а0 можно установить,,
используя (4.1):
Да= —201g(l — ДЛП);	(4.2');
а0= — 201g(A43).	(4.2"
Следует запомнить, что амплитудно-частотная характеристика Л (и ) не имеет
размерности, а характеристика затухания a(w) определена в децибелах.
Пример 4.2.
Необходимо задать требования
характеристике
затухания
а (и ) для ФНЧ, аналогичного рассмотренному в примере 4.1. Соответствующи,
требования показаны на рис. 4.2, б. Действительно, используя (4.1), получаем
Да= —201g(l —0,293) = 3 дБ, а0=-201g0,01 =40 дБ.
Схемы допусков на амплитудно-частотную характеристику
A(w) и характеристику затухания a(w) приведены на рис. 4.3,
и 4.4 соответственно для фильтров нижних частот (я), верхних
частот (б), полосовых (в) и режекторных (г).
В заключение надо отметить, что указанные параметры
к
100
(граничные частоты и ДЛп(Дя), ДЛ3(я0)) являются основными
при постановке аппроксимационной задачи и часто дополняются
некоторыми более частными требованиями. Например, в ряде
случаев требуется обеспечить монотонность АЧХ (затухания)
в полосе пропускания. Могут также задаваться требования
к допустимому отклонению фазочастотной характеристики от
заданной (например, линейной). Наконец, могут задаваться требо-
вания и к реализационным параметрам разрабатываемого фильтра.
Все эти требования так или иначе влияют на формулировку
и решение аппроксимационной задачи. Мы, однако, вначале будем
рассматривать методику решения аппроксимационной задачи
в наиболее простом виде — при задании в качестве исходных
данных только основных параметров (wr п, w, „ ДЛП(Д«) и ДЛ3(а0)).
Учет дополнительных требований будет частично рассмотрен
позже, а частично рекомендован для самостоятельного изучения.
КРАТКИЙ ОБЗОР МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ АППРОКСИМА-
ЦИОННОЙ ЗАДАЧИ
При определении передаточных функций БИХ-фильтров ис-
пользуется три класса методов:
методы преобразования аналоговых фильтров в цифровые;
прямые методы расчета БИХ-фильтров;
методы, использующие алгоритмы оптимизации.
Для расчета избирательных БИХ-фильтров со стандартными
характеристиками (ФНЧ, ФВЧ, ПФ, РФ) наиболее простым
и широко используемым является метод билинейного преобразова-
ния. С помощью этого метода передаточная функция T(s)
аналогового фильтра-прототипа преобразуется в передаточную
функцию H(z) цифрового БИХ-фильтра. Достоинством метода
билинейного преобразования является то, что передаточная
функция цифрового фильтра определяется с помощью простых
формул из передаточной функции аналогового фильтра, для
которых существуют подробные таблицы и справочники. Это,
в свою очередь, позволяет решать аппроксимационную задачу
даже в достаточно сложных случаях без использования ЭВМ.
Достоинством метода билинейного преобразования по срав-
нению с другими методами преобразования аналоговых фильтров
в цифровые (инвариантности импульсной характеристики и со-
гласованного z-преобразовапия) является то, что данный метод
обеспечивает построение такого БИХ-фильтра, выходной сигнал
которого приближенно совпадает с выходным сигналом анало-
гового фильтра-прототипа при одинаковых произвольных входных
сигналах.
Поскольку данный метод основан на использовании анало-
говых фильтров в качестве прототипов при расчете цифровых
фильтров, следует напомнить основные характеристики анало-
говых фильтров.
101
ТИПЫ АНАЛОГОВЫХ ФИЛЬТРОВ
Методы решения аппроксимационной задачи и типы аналоговых
фильтров подробно рассмотрены в [4]. В результате решения
аппроксимационной задачи определяется передаточная функция T(s)
аналогового фильтра, амплитудно-частотная характеристика А (£1)
которого приближается к определенной идеальной характеристике 
(находится в заданных пределах допусков). В справочнике по расчету !
аналоговых фильтров [6 ] приведены коэффициенты передаточных
функций нормированных фильтров нижних частот для аппроксимации j
Баттерворта (фильтр типа В), Чебышева (фильтр типа Т), инверсной |
Чебышева (фильтр типа I), Золотарева — Кауэра (фильтр типа С). <
На рис. 4.5 и 4.6 приведен вид амплитудно-частотных харак-j
теристик A (£1) и характеристик затухания а(£1) нормированных;
(с частотой среза £1С=1) передаточных функций фильтров данных
типов.
Фильтры Баттерворта (тип В). Передаточная функция
п/2
Г 1/С П (s2 — 2ats+a2 + b2), п — четное,
Т($) = <	1=1	(л-1)/2
( 1/С(л-а0) П (52-2й,5 + а24-62), п — нечетное, j
i= 1
где п — порядок передаточной функции, а я;, Ь{ — коэффициенты,;
приводимые в справочнике. Амплитудно-частотная характеристика
фильтра типа В монотонно убывает при увеличении £1 (рис. 4.5,а),
а затухание монотонно возрастает (рис. 4.6,a).	i
Фильтры Чебышева (тип Т). Передаточная функция
п/2
(l/С П(х2-1а:х+а-+Ь-), п— четное,	'
T(.S’) = <	>'=1	(»-1)/2	j
(,1/C(s-а0) П (л’2-2й;5 + я2 + 62), и- нечетное.
i=i
Амплитудно-частотная характеристика фильтра типа
Т (рис. 4.5, б, в) является равноволновой (колеблется между уров-
нями 1 и 1— ЛА„)в полосе пропускания (£1е [О,1 ]) и монотонно
убывающей в полосе задерживания (£1е [£1Ъ оо]). Обратите внима-
ние на отличия АЧХ фильтров четных и нечетных порядков
п при £1 = 0. Характеристика затухания (рис. 4.6, б, в) в полосе
пропускания колеблется между уровнями 0 и Ай и монотоннс
возрастают в полосе задерживания.
Инверсные фильтры Чебышева (тип I). Передаточная функция
1
	71 + с2 1
I C(s—a0)
п/2
п
1= 1
№+й
s2 — 2ats + a/ +Ь/’
п — четное,
<"-‘>;2	,у2 + й2(
П	. --5, и - нечетное.
,= 1 .s2— lOjS+ai +h2
Z . №. <->
ж) *
Рис. 4.6
Амплитудно-частотная
фильтра
1 между
00 ]) и мо-
7-1мили1удно-частотная	характеристика <
I (рис. 4.5, г, д) является равноволновой (колеблется
уровнями 0 и АЛ3) в полосе задерживания (£1е [1, ии и мо-
нотонно убывающей в полосе пропускания (£1 е [О, £1х ]). Харак-
теристика затухания (рис. 4.6, г, <)) в полосе задерживания
колеблется между уровнями й0 и оо, а в полосе пропускания
монотонно возрастает.
Фильтры	Золотарева — Кауэра (тип С). Передаточная
функция
102
103

2 /j________________
C.= 1 .s’2 — Zats+ai+b}’
n — четное,
1	(" rJ»'2 _?-<,
C(.s-a0) ,= 1 s2-Za^ + a2+ b2'
n — нечетное.
Амплитудно-частотная характеристика фильтра типа
С (рис. 4.5, е, ж) является равноволновой и в полосе пропускания,
и в полосе задерживания. В полосе пропускания (fie [0, 1]) она
колеблется между уровнями 1 и 1—ДЛП, а в полосе задерживания
(fie [fik, ос])- между уровнем АЛ3 и 0. Обратите внимание на
отличие АЧХ фильтров четных и нечетных порядков п. Харак-
теристика затухания (рис. 4.6, е, ж) в полосе пропускания колеб-
лется между уровнями 0 и Ла, а в полосе задерживания — между
уровнями «0 и х.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ АНАЛОГО-
ВОГО НОРМИРОВАННОГО ФНЧ ПО СПРАВОЧНИКУ
Аналоговые фильтры чипов В, Т, 1 и С подробно табули-
рованы в ряде справочников, коэффициенты передаточных фун-
кций этих фильтров легко определить из соответствующих
таблиц. Мы возьмем за основу справочник Э. Христиана;
и Е. Эйземана [6]. В приложении 1 настоящей книги приведены
основные номограммы, используемые при расчете фильтров,;
и некоторые таблицы из [6], которые будут использоваться;
в примерах.	'
Исходными данными для расчета коэффициентов передаточной)
функции нормированного аналогового фильтра являются: гранича
ная частота полосы задерживания (частота среза) fik; верхняя;
граница рабочего затухания в полосе пропускания Да; нижняя
граница затухания в полосе задерживания а0.
Алгоритм определения передаточной функции:
1.	Определяется модуль коэффициента отражения |д| по задан-;
ной величине Ла с помощью табл. П.1.1, приведенной в приложен
пии 1 ив [6] на с. 23.	;
2.	Определяется вспомогательный параметр L с помощью,
величин п0 и \р\ по общей номограмме рис. П.1.1 и [6] (с. 408,‘
рис. 2.21).
3.	Определяется порядок п передаточной функции с номощью<
заданной величины fit и полученной величины L. Определение’
величины п осуществляется с учетом типа фильтра с помощью’
номограмм, приведенных в [6] на с. 389--407, рис. 2.2 -2.20.
В приложении 1 настоящей книги приведены номограммы для
определения п для фильтров типа В (рис. П. 1.2), типа-
Т (рис. П.1.3) и типа С (рис. П.1.4) для небольших порядков
п фильтров.
104
4.	Записывается передаточная функция T(s) фильтра в общем
виде (см. формулы, приведенные выше).
5.	Определяются численные значения коэффициентов пере-
даточной функции T(s) из таблиц, приведенных в [6] на
с. 44—387, с учетом величин п, |р| и £1к (для фильтров типа
С). Некоторые из этих таблиц приведены в приложении 1.
В табл. П. 1.2 приведены коэффициенты передаточных функций
фильтров типа В, в табл. П. 1.3 —типа Т, в табл. П.1.4—типа I.
6.	Записывается передаточная функция T(s) аналогового нор-
мированного ФНЧ с численными значениями коэффициентов.
Пример 4.3. Определить передаточную функцию нормированного фильтра
с монотонно убывающей АЧХ и следующими значениями параметров: йд = 6.
Да=1.5дБ. а0 = 28дБ.
Определяем:
1.	Модуль коэффициента отражения (см. табл. П.1.1 или [6], с. 23, табл. 3).
Для Да=1,5дБ следует выбрать |р| = 50%, что соответствует До*=!,25дБ. Вся
дальнейшая работа но. справочнику должна вестись с величиной До*, т. с.
полученный фильтр будет несколько лучше требуемого (с меньшей неравномер-
ностью затухания в полосе пропускания).
2.	Вспомогательный параметр L по величинам а0 и |/т|. Для этого
воспользуемся номограммой рис. П.1.1 (или в [6], с. 408, рис. 2.21). Для д0 = 28 дБ
и |р| = 50% получаем Д®0,18.
3.	Порядок п передаточной функции по величинам йц и L (с учетом типа
требуемого фильтра). Для этого воспользуемся номограммой для фильтров
Баттерворта, приведенной иа рис. П. 1.2 (или в [6], с. 389, рис. 2.2). Для й„ = 6
и 7, = 0,18 получаем п=2.
4.	Записываем T(s) в общем виде (см. выше или в [6 ], с. 45)
7-(.v)=l/[C(.s2-2a,.v + a(+/>2)].
5.	Численные значения коэффициентов T(s) из табл. II.1.3 или [6], с. 46:
С=0,52735,. а, = -0,930605; bt =0,930605.
Тогда -2а, = 1,861210 и а2 +Ь \ = 1,732051.
6.	Записываем передаточную функцию
T(s) = 1 / [0,577350 (5 2 + 1,861210х + 1.732051) ].
Для проверки правильности выполненного расчета целесообразно
рассчитать характеристику затухания (или АЧХ) для полученной
T(s). Очевидно, что расчет необходимо выполнять на ЭВМ.
Программа 4.1—расчет АЧХ и затухания аналогового
фильтра. Программа осуществляет расчет АЧХ и затухания
фильтров типов В, Т, I и С, передаточные функции которых
определяются вышеприведенными формулами, причем коэффици-
енты а{ обозначаются в программе как Л (Г);	— а £!»,--
FF(I).
105
1» REM РАСЧЕТ АЧХ И ЗАТУХАНИЯ АНАЛОГОВОГО ФИЛЬТРА
2» OPEN 'O’,#l,'tLP«*
ЗФ DEFINT I-N
4Ф DEFSTR О
5Ф INPUT 'ВВЕДИТЕ ПОРЯДОК ФИЛЬТРА N'iN
6» K«FIX(N/2)
7» DIM A(K>,B(K>.FF(K>
88 INPUT 'ВВЕДИТЕ КОЭ8ФИЦИЕНТ C'lC
98 PRINT 'ВВЕДИТЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ A(I),B(I>,FF(I>*
1ФФ FOR 1*8 TO К
11Ф PRINT 'A<'|I»')«'hINPUT A<I>
12Ф PRINT 'B('»H'>«'liINPUT BCD
138 PRINT 'FF('lI|')*'liINPUT FF(I>
14Ф NEXT I
15Ф INPUT 'ВВЕДИТЕ ТИП ФИЛЬТРА',0
168 INPUT 'ВВЕДИТЕ ВАГ ПО ЧАСТОТЕ ЕЕ, КОЛИЧЕСТВО ТОЧЕК L "iDF.L
178 PRINT «1,
188 PRINT ♦!,' ЧАСТОТА АЧХ ЗАТУХАНИЕ'
198 PRINT Ф1,
288 Р*8
21Ф FOR Il«l ТО L
22Ф F1*F~2
238 Т»1
24Ф FOR 1*1 ТО К
25Ф А1*АЛ)~21В1»ВЛ>"2
268 T»T/SOR(<AI+BI-F1>"2+4«AI«Fl>
27Ф IF О*’С' OR O*'I' THEN T»T«SQR<<FF<I)''2-Fl)-'2)
288 NEXT I
298 IF N HOD 2 «1 THEN T«T/SQR<F1+A<8>''2>
ЗФФ IF Q-'I’ AND N HOD 2 *8 THEN T-T/SOR(1«СЛ2> ELSE T-T/C
31Ф IF TO8 THEN Tl>-28ML00(T>/L00(18> ELSE Tl*999
32Ф PRINT «l.USINB "♦♦♦.♦♦«'(Fj
ЗЗФ PRINT «1,USING '88888888.«8«8'*T,T1
34Ф F«F+DE
35Ф NEXT II
36Ф CLOSE Ф1
37Ф PRINT ' РАБОТА ОКОНЧЕНА'
388 END
ЧАСТОТА АЧХ ЗАТУХАНИЕ
8.888	Ф.999А	8.8852
Ф.1ФФ	Ф.9875	8.1891
Ф.2ФФ	Ф.9569	8.3838
Ф.ЗФФ	Ф.919Ф	8.7341
8.488	«.8858	1.8529
8.588	Ф.8671	1.2382
8.688	Ф.87Ф6	1.2833
8.788	Ф.9Ф29	8.8873
8.880	«.9623	8.3335
8.900	8.9977	8.8196
1.000	Ф.8653	1.2564
1.1ФФ	Ф.5926	4.5451
1.2ФФ	Ф.3718	8.6134
1.3ФФ	Ф.2327	12.6632
1.400	«.1482	16.5822
1.500	8.Ф947	28.4757
1.4ФФ	Ф.Ф594	24.5316
1.7ФФ	«.8352	29.8617
1.8ФФ	8.8183	34.7523
1.9ФФ	8.8861	44.2232
2.ФФФ	8.ФФ27	51.3354
106
Расчет осуществляется в L точках с шагом DF по частоте.
Пользователю выводятся в виде таблицы значения частоты,
АЧХ и затухания. Если значение затухания равно бесконечности
(значение АЧХ равно нулю), то выводится значение затухания,
равное 999. В качестве примера осуществлен расчет АЧХ
и затухания фильтра типа С с
T(s) = —?-------,
C(s-a0) s2 — 2als + (a2 + b2)
где С=7,733830; а0= -0,510162; ^ = -0,190430; F =0,971581;
Qa) t = 1,966001. Расчет осуществляется в 21 точке (L = 21) с шагом
по частоте DF= 0,1. Вводятся последовательно следующие значе-
ния исходных данных: А=3; С=7,73383; А (0)= —0,510162;
F(0) = O;	FF(0) = O; А (1) = -0,190430;	5(1) = 0,971581;
FF(1)= 1,96601; б = «С»; PF=0,l; L = 21.
БИЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
Билинейное преобразование представляет собой конформное
отображение точек 5-плоскости в точки z-плоскости и использует
замену переменной вида
5 = y[(1-z-1)/(1+z_1)] = y[(z-1)/(z+1)],	(4.3)
где у — постоянный множитель, значение которого не меняет
формы преобразования (о выборе величины у поговорим позже).
Из (4.3) можно найти обратное соотношение
z = (y+5)/(y-5).	(4.4)
Использование подстановки (4.3) обеспечивает однозначное
преобразование передаточной функции Т(5) аналогового фильтра-
прототипа (АФ-прототипа) в передаточную функцию H(z) циф-
рового фильтра:
"Й=Л«)|,.	<45)
14 7 1+z '
Рассмотрим преобразование (4.3). Каждой точке комплексной
5-плоскости (5 = Ё+уО) ставится в соответствие определенная
точка z-плоскости (z = exp (о +jco) Т).
Мнимая ось 5-плоскости (5=jfi для — оо<П<со) отображается
в единичную окружность z-плоскости (z = exp(jcoT)). Действитель-
но, при 5=у12 из (4.4) получаем
z = (y+jQ)/(y-jQ).
Представим теперь последнее выражение в показательной
форме, т. е. выделим модуль г и аргумент 0:
107
i a I w x/Y +ft2 exp y arctg-
»i exp(y01 («))	\ у J	/./ ft
z =	=---------------—/ • n\\ = 1 exP 7 arctg - +
r2exp(y02(w)	(.	( ft\\ V\ У
x/Y +ft explyarctgl - - I I
+ arctg-
Y
(4-6)
где 9 (£1) = 2 arctg (£1/y).- фазовый угол.
Из (4.6) видно, что r=| z | = 1. При монотонном изменении £1 от
— оо до со фазовый угол 6 (£1) монотонно изменяется от — я до я,
т. е. точка j£li, расположенная на мнимой оси в л-нлоскости,
отображается в соответствующую точку ехр (/2 arctg (£li /у)).
В частности, для £1 = 0 имеем z=exp(/O)=l, для £1=со
получаем г = ехр(уя)= —1 и для £1= —оо имеем z = exp(—/я)= — 1.
Левая половина 5-плоскости (Re (s) = Re (Е +j£l) < 0) отображает-
ся в часть z-плоскости внутри единичного круга (|z|<l). Дей-
ствительно, при Re(.s)<0 имеем Е<0. Тогда из (4.4) можно
получить
z=[(y+E) +/£1]/[(у —Е) —у£1].	(4.7)
Теперь, поступив точно так же, как при выводе (4.6), получим
z = rexp(j6(£l)),	(4.8)
где
/(y+^)2+02
V (y-S)2+ft2 ’
t я , .ft
arctg——+ arctg—-,
Y+S	y-S
если y^|E|,
. ft ,	. ft	IVI
arctg-----h arctg---ря, если y< E .
L	y + 2.	y-S
Поскольку E<0, то модуль числителя в (4.7) всегда меньше
модуля знаменателя, т. е. r=|z|<l.
Пример 4.4. Расположение точек в i-плоскости показано на рис. 4.7.
Определить соответствующие точки z-плоскости (положить у= 1), если зу = — 2+у'О;
s2 = 0+yl,0; 53 = 0—у’1,0.
Используя (4.7), получаем =(1 — 2)/(1 + 2) = —0,333, а из (4.6) имеем
z2 = 1 exp (у2 arctg 1) = ехр(ул/2) и z3= 1 exp(у2arctg(- 1)) = ехр(-ул/2).
Расположение точек в z-плоскости. а также правила отображения мнимой
оси и левой половины 5-плоскости в единичную окружность и часть z-плоскости 5
внутри единичного круга показаны на рис. 4.7.
Очень важными являются два обстоятельства. Во-пергых,
поскольку все полюсы устойчивого аналогового фильтра рас-
108
положены в левой половине 5-плоскости, он при преобразовании
к цифровому фильтру будет давать устойчивый фильтр. Во-
вторых, так как мнимая ось 5-плоскости отображается на
единичную окружность z-плоскости, то все максимумы и ми-
нимумы АЧХ | Г(у'П)| аналогового фильтра сохраняются и в АЧХ
|77(е-/юТ)| цифрового фильтра. Сохраняется также и неравномер-
ность АЧХ для соответствующих диапазонов частот. Таким
образом, избирательные аналоговые фильтры преобразуются
в соответствующие цифровые фильтры (например, если анало-
говый фильтр есть фильтр нижних частот с неравномерностью
АЧХ в полосе пропускания ДЛП и отклонением АЧХ от нуля
в полосе задерживания ДЛ3, то соответствующий цифровой
фильтр будет также фильтром нижних частот с параметрами
ДЛП и ДЛ3).
Но не все так хорошо. Так, соотношение между «аналоговыми»
частотами Q и «цифровыми» частотами со, которое можно
получить из (4.3), является нелинейным:
Я = у tg (и 772) = у tg (tw),	(4.9)
где и> = о)/а)д — нормированная цифровая частота. Таким образом,
имеет место деформация шкалы частот при переходе от ана-
логового фильтра к цифровому. На рис. 4.8 изображена зави-
симость (4.9) и проиллюстрировано явление деформации часто-
тной шкалы. Слева показана идеализированная АЧХ полосового
фильтра с двумя полосами пропускания, равными но величине,
но расположенными в разных частотных диапазонах. Полученный
цифровой фильтр будет иметь также две полосы пропускания,
по ширина последней в области верхних частот будет существенно
меньше ширины полосы пропускания в области нижних частот.
Выход, однако, чрезвычайно прост. Деформация шкалы частот
для частотно-избирательных фильтров (ФНЧ, ФВЧ, ПФ, РФ),
аппроксимируемая АЧХ которых имеет вид кусочно-постоянной
109
Рис. 4.8
функции, не приводит к нарушению избирательных свойств
фильтра при билинейном преобразовании (и это главное!).
А деформацию шкалы частот можно скомпенсировать с помощью
предыскажений в аналоговом фильтре.
Рассмотрим, наконец, вопрос о выборе параметра у в под-
становке (4.3). Если использовать соотношение
у = ctg (wr. п Т/2) = ctg (яиу. п),	(4.10)
то для получения цифрового фильтра нижних частот с граничной
частотой полосы пропускания игп(и’1п) надо в качестве прототипа
использовать нормированный аналоговый фильтр с частотой
среза Qc = 1, а именно такие фильтры и приводятся в справоч-
никах.
Пример 4.5. Рассмотрим порядок действий при определении передаточной
функции H(z) цифрового ФНЧ по заданным требованиям к неравномерности
ЛЧХ в полосе пропускания АЛ,,, отклонению от нуля в полосе задерживания
ЛЛ„ а также граничным нормированным частотам полос пропускания му. п и задер-
живания tv,., (рис. 4.9).
Вначале определим соответствующие граничные частоты полосы пропускания
Йс и полосы задерживания йк аналогового фильтра с помощью нелинейного
соотношения (4.9). Графически этот процесс показан на рис. 4.9. Теперь надо
определить передаточную функцию Т(з) аналогового фильтра-прототипа с нерав-
номерностью ЛЧХ в полосе пропускания [0, йс ], равной ЛЛП, и отклонением
от нуля в полосе задерживания [О*, со ], равным АД,. Это можно сделать
с помощью справочника по расчету аналоговых фильтров [6]. Работу со
справочником мы рассмотрели выше. Допустим, АФ найден и его АЧХ показана
на рис. 4.9. Теперь надо выполнить билинейное преобразование (4.5), т. е.
110
J?
Рис. 4.9
в определенной из справочника передаточной функции T(s) выполнить замену
переменной s в соответствии с (4.3). В результате получим БИХ-фильтр,
удовлетворяющий поставленным требованиям.
Билинейное преобразование можно выполнить как вручную
(с помощью калькулятора), так и на ЭВМ.
Программа 4.2 — билинейное преобразование ФНЧ — ФНЧ.
Программа осуществляет билинейное преобразование передаточ-
ной функции каскадного аналогового ФНЧ вида
к ,
£)* Г7 m°‘s +mns+>n2i
f=l P0iS2 + PuS + P2i
в передаточную функцию каскадного цифрового ФНЧ вида
к
Я(г)-сп
1=1
1+frjiZ ‘+62iZ'2
1+auZ l+a2iZ 2
10 REM БИЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
20 REM КАСКАДНЫЙ АОНЧ - КАСКАДНЫЙ ЦОНЧ
30 OPEN "0",01,":С0>"
40 ВЕЕ I NT I.K.L
50 INPUT "ВВЕДИТЕ КОЭООИЦИЕНТ С ДЛЯ А»";С
60 INPUT "ВВЕДИТЕ КОЛИЧЕСТВО ЗВЕНЬЕВ К";К
70 DIM М<2,К>,Р(2,К>,В1<2,К),А1<2,К>
111
80 PRINT "ВВЕДИТЕ КОЭФФИЦИЕНТУ M<L,I),P<L,I>
90 FOR 1=1 TO К
100 FOR L=0 TO 2
110 PRINT "M("?L;",I;">=";sINPUT M(L,I>
120 PRINT "P<";L;",";I;")="s:INPUT F<L,I>
130 NEXT L,1
140 INPUT "ВВЕДИТЕ ПАРАМЕТР GA";GA
150 Gl=GA'2sCl=C
160 FOR 1=1 TO К
170 S1=H(0,I)»GlsS2=M<1,I>*GAsS3=M<2,I)
-180 IF P(0,I>=0 THEN Bl<0,I)=S2iS3:Bl(1,I>=S3-S2:B1<2,1>=0
190 IF P<0,I)O0 THEN Bl <0,I)=Sl+S2+S3sBl (I, I)=-2»Sl+2»S3
200 IF P<0,I><>0 THEN 61<2,I)=S1-S2+S3
210 S1=P<0,I)»GlsS2=P(1,I)«GAsS3=P(2,I>
220 IF P(0,I)=0 THEN Al(0,I>=S2+S3:Al<1,1)=S3-S2sAl<2,I)=0
230 IF P(0,I><)0 THEN Al (0,1 )=S1+S2»-S3:A1 (1,1 >=- 2»S1<2»S3
240 IF P(0,I)<>0 THEN Al(2,I>=S1-S2+S3
250 B0=B1(0,I):A0=A1<0,I)
260 C1=C1*B0/A0
270 FOR L=0 TO 2
280 B1<L,I)=B1<L, D/B0
290 A1<L,I>=A1(L,I>/A0
300 NEXT L
310 NEXT I
320 PRINT 41,.-PRINT 01, " КОЭФФИЦИЕНТЫ, БИХ-ФИЛЬТРА"
330 PRINT Ф1,SPRINT 01, "	C=";C1SPRINT 01,
340 FOR 1=1 TO К
350 PRINT 01, " ЗВЕНО ":I
360 PRINT Ф1,
370 PRINT 01, "СТЕПЕНЬ Z ЧИСЛИТЕЛЬ ЗНАМЕНАТЕЛЬ"
380 PRINT 01,
390 FOR L=0 TO 2
400 Ll=-L
410 PRINT 01, LI,B1(L,I),Al(L,I)
420 NEXT L
430 PRINT 01,SPRINT 01,
440 NEXT I
450 CLOSE 01
460 END
КОЭФФИЦИЕНТЫ ВИХ-ФИЛЬТРА
С- .103788
3 В Е	Н 0	1	
СТЕПЕНЬ Z	ЧИСЛИТЕЛЬ	ЗНАМЕНАТЕ*
0	1	1
-1	1	-.4915586
-2	0	0
3 В Е	НО 2	
СТЕПЕНЬ Z	ЧИСЛИТЕЛЬ	ЗНАМЕНАТЕЛЬ
0	1	1
-1	.53246	-.6646843
-2	1	.6992146
Пользователю выводятся значения коэффициента С и коэф-
фициентов числителя (hOi= 1, hlt, b2i) и знаменателя (я0< = 1, «п,
a2i) для каждого из звеньев каскадной структуры (для каждого
112
значения z). В качестве примера осуществлено преобразование
передаточной функции
= 1 П	= о, 129302 х----!---х
^1'-1 P0i-’2TPi;5 + ^2i	5 + 0,510162
.s2 +3,865161
Х 52 + 0.3808605 + 0,980233
в передаточную функцию H(z) цифрового фильтра. Вводятся
последовательно следующие значения исходных данных:
£* = 0,129302; К=2\ М(0,1) = 0; Р(0,1) = 0; 4/(1,1) = 0; Р(1,1)=1;
Л/(2,1)=1; Р(2,1) = 0,510162; М (0,2) = 1; Р(0,2)=1; М(1,2) = 0;
Р (1.2) = 0,380860; М(2,2) = 3.865161; Р(2,2) = 0.980233; GA = 1,496606
(параметр преобразования у обозначается GA).
ОБОБЩЕННОЕ БИЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
Рассмотренное билинейное преобразование (4.3) позволило
получить передаточную функцию цифрового ФНЧ из передаточ-
ной функции аналогового ФНЧ. Существует более общее преоб-
разование, разработанное Константинидисом [3] и позволяющее
преобразовывать аналоговый ФНЧ в избирательный БИХ-фильтр
любого из рассмотренных типов (ФНЧ, ФВЧ, ПФ, РФ). Не
рассматривая вывода соответствующих формул, приводим их
в табл. 4.1, дав необходимые пояснения. Первая строка таблицы
относится к рассмотренному выше преобразованию ФНЧ -► ФНЧ.
Здесь последовательно указаны обозначения граничных «циф-
ровых» частот (см. также рис. 4.3 и 4.4), формула замены
переменной в T(s) (4.3), формула для расчета параметра у в (4.3),
позволяющая получить по заданным и,.,, и и>г 3 нормированный
аналоговый прототип с частотой среза = 1 [формула (4.10)],
формула, определяющая связь «аналоговых» частот Q с «циф-
ровыми» частотами и’ [формула (4.9)], и, наконец, формула
для определения граничной частоты полосы задерживания £1к (Лс
определять не надо, так как всегда £1е=1). Величина
П* определяется по той же формуле (4.9) при конкретном
значении частоты и' = и’г з.
Ниже в табл. 4.1 приведены аналогичные формулы для
преобразований ФНЧ -► ФВЧ, ФНЧ-+ПФ, ФНЧ -► РФ. Обратите
внимание па два обстоятельства. Во-первых, в преобразованиях
ФНЧ -+ ПФ и ФНЧ -> РФ в формулах замены переменной и связи
«аналоговых» частот с «цифровыми» появился дополнительный
параметр а, расчетные формулы для которого приведены в соот-
ветствующей графе табл. 4.1. Этот параметр выбирается таким
образом, чтобы, например, полосовой БИХ-фильтр (см. рис. 4.3,
4.4) так преобразовывался (с учетом деформации частотной
113
Таблица 4.1
114
Таблица 4.2
Цифровой фильтр	Граничные «цифровые» частоты	Параметр	Граничные «аналоговые» частоты
Нижних частот	ну „ = о,125 ну.з = 0,375	у®2,41	Ок® 5,82
Верхних частот	ну „ = 0,375 ну. 3 = 0,125	у а 2,41	Он® 5,82
Полосовой	му 31 =0,05 lVr.nl =0,1 IV,. „2 = 0,2 !Vr. з2 =0,4	у® 3,08 а®0,618	01®-3,32 О»® 7,49- Он® 3,32
Режекторный	ny.ni =0,05 му Л1 =0,1 »Vr.32 = 0,2 И’г. п2 =0,4	у® 1,96 а а 0,346	01®-2,48 01® 50,3 Оц® 2,48
шкалы) в аналоговый ФНЧ, чтобы ivr.n2 преобразовывалась
в Q = QC=1, ivr.ni преобразовывалась в Q= — Qc= — 1, а некоторая
точка из диапазона [ivr.ni, «т.п?], т. е. из полосы пропускания,
преобразовывалась в £1 = 0. Деформацией частотной шкалы при
преобразовании объясняется и тот факт, что при определении
граничной частоты £1к расчет производится по двум формулам
и из двух значений Qi и Ш выбирается то, модуль которого
наименьший.
Пример 4.6. Рассчитаем параметры преобразования и граничные «анало-
говые» частоты нормированного АФ-прототипа нижних частот (Ос = 1) для
четырех типов БИХ-фильтров. Требования к граничным «цифровым» частотам
этих фильтров приведены в табл. 4.2.
Результаты расчета, выполненного с помощью формул, взятых из табл. 4.1,
приведены в табл. 4.2. Рассматривать данные табл. 4.2 следует совместно с рис. 4.3.
Для примера приведем анализ результатов расчета для полосового фильтра.
Требуемые граничные «цифровые» частоты ivr.31, иу.,,1, wr.„2 и wr,12 и вид
идеализированной требуемой АЧХ (сплошная линия) приведены на рис. 4.10.
Параметры преобразования у и а рассчитываются на основе заданных
значений граничных частот: y = cig(it(Hy.n2 — му. nl))=cigit(0,2 — 0,1) = 3,077684»3,08;
a = (cosit(ivr n2 + M'r.ni))/(cos7t(n’r Il2 —H'l nl)) = (cos0,37t)/(cos0,17t) = 0,618034®0,618. Рас-
считанные таким образом у и а позволяют в качестве прототипа использовать
нормированный аналоговый ФНЧ с частотой среза Ос=1. Напомним, что АЧХ
фильтра является четной функцией частоты, т. е. A (Q) = A ( — О). При преобразова-
нии в цифровой фильтр—Ос = — 1 будет преобразовываться в му. п1 =0,1, а Ос = 1
в >*'1.112 = 0,2. Для проверки этого утверждения можно воспользоваться формулой,
устанавливающей связь «аналоговых» частот в «цифровые» частоты, подставив
в нее в качестве iv сначала >vI.,ll=0,l, а затем >vr.„2=0,2. Действительно,
= у (а — cos 2тг Wr.n! )/si п 2 it >vr nl = 3,077684 (0,618034 — cos 0,2it)/sin 0,2it = — 1,
a O2 = 3,077684 (0,618034—cos 0,4it)/sin 0,4it = 1 (см. рис. 4.10).
Граничная частота полосы задерживания аналогового ФНЧ рассчитывается
на основе заданных значений граничных частот и’Е11 и му-,,2. Тут следует
115
что и'г,31 соответствует «отрицательная» частота й£
частота Й£. Действительно, = 3,077684 (0,618034-
fij = 3,077684 (0,618034—cos 0,8it)/si n 0,8 л = 7,49	(см
обратить внимание на то,
a iv, ,1 --«положительная»
— cos0,ln)/sin 0,1л = —3,32;
рис. 4.10). Однако, поскольку АЧХ ФНЧ симметрична относительно й—О
необходимо в качестве значения Clt выбрать наименьшее по модулю из значений
01 и О». Таким образом О* = 3,32. Если теперь преобразовать передаточнугс
функцию аналогового ФНЧ с Ос=1 и О» = 3,32 с помощью замены переменно?
s=y(l-2az“1+z '2)/(I — z”2), получим БИХ-фильтр, у которого граничные ча5
стоты и’г.,!, и1,.,,! и и'г п2 соответствуют заданным, a — реальная гранична?
частота полосы задерживания меньше, чем заданное значение tvr.j2 (см. рис. 4.10}
Это, как правило, допустимо, поскольку избирательные свойства полученного
фильтра лучше заданных (полоса расфнльтровки стала уже).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ
ЦИФРОВОГО ФНЧ (ФВЧ) ПО СПРАВОЧНИКУ
Рассмотрим алгоритм определения передаточной функции
цифрового БИХ-фильтра нижних (или верхних) частот заданного типа
(В, Т, I или С). В качестве исходных данных должны быть заданы:
частота дискретизации /д;
граничная частота полосы пропускания /г п;
граничная частота полосы задерживания /г 3;
неравномерность рабочего затухания в полосе пропускания Да;
гарантированное затухание в полосе задерживается а0.
Вместо последних двух параметров могуч быть заданы
требования к АЧХ (ДЯП и ДЛ3). Связь между этими величинами
рассмотрена выше.
Действия по определению передаточной функции ЦФ носят
детерминированный последовательный характер и могут быть
представлены в виде соответствующего алгоритма.
116
Алгоритм определения передаточной функции включает сле-
дующие этапы:
1.	Расчет нормированных «цифровых» граничных частот и’г п =
=/г.п//д И »гг.,=/г.3//д.
2.	Расчет параметра преобразования у (см. табл. 4.1
и пример 4.6).
3.	Нахождение граничной «аналоговой» частоты Q* полосы
задерживания АФ-прототипа (см. табл. 4.1 и пример 4.6).
4.	Определение передаточной функции T(s) аналогового нор-
мированного фильтра-прототипа нижних частот требуемого типа
(В, Т, I или С). Соответствующий алгоритм и пример были
рассмотрены выше.
4.1.	Определение модуля коэффициента отражения |р|
(табл. П.1.1 или [6], с. 23, табл. 3).
4.2.	Определение вспомогательного параметра L по общей
номограмме (рис. П. 1.1 или [6], с. 408, рис. 2.21).
4.3.	Определение порядка п передаточной функции по номог-
рамме для соответствующего типа фильтра (рис. П.1.2 — П.1.4
или [6], с. 389—407, рис. 2.2—2.20).
4.4.	Запись передаточной функции T(s) в общем виде.
4.5.	Определение численных значений коэффициентов T(s) из
таблиц с учетом величин п, |р| и Q* (табл. П.1.2 — П.1.4 или
[6], с. 44—387).
4.6.	Запись передаточной функции аналогового нормирован-
ного ФНЧ с численными значениями коэффициентов.
5.	Определение передаточной функции H(z) цифрового ФНЧ
(ФВЧ) с помощью билинейного преобразования (см. табл. 4.1).
6.	Контрольный расчет затухания (АЧХ) полученного БИХ-
фильтра.
Расчет АЧХ и характеристики затухания БИХ-фильтра целесо-
образно выполнять на ЭВМ.
Программа 4.3 — расчет АЧХ и затухания БИХ-фильтра.
Программа осуществляет расчет АЧХ и затухания БИХ-фильтров
передаточными функциями вида
10 REM РАСЧЕТ АЧХ И ЗАТУХАНИЯ БИХ-ФИЛЬТРА
20 OPEN "O*,01,"xLPx"
30 DEF I NT M,L,K,I
40 INPUT 'ВВЕДИТЕ КОЭФФИЦИЕНТ С"; С
50 INPUT "ВВЕДИТЕ КОЛИЧЕСТВО ЗВЕНЬЕВ";К
60 DIM В(2,К),А(2,К>
70 PRINT "ВВЕДИТЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ B(L,I),A(L,I>"
80 FOR 1=1 TO К
90 FOR L=O TO 2
100 PRINT "B<" ;L;IINPUT B(L,I)
110 PRINT "A<";L;;I;">=";:INPUT A(L,I>
120 NEXT L,I
130 INPUT "ВВЕДИТЕ КОЛИЧЕСТВО РАСЧЕТНЫХ ТОЧЕК М";М
140 DW=.5/(M-1>
150 PRINT 01,
117
168 PRINT 81, "ЧАСТОТА	АЧХ ЗАТУХАНИЕ"
178 PRINT ♦!,
188 8=8
198 FOR I1=1 ТО М
288 81=2*3.141592*W
218 Н=1
228 FOR 1=1 ТО К
238 S1=8:S2=0:S3=0:S4=0
248 FOR L=8 ТО 2
258 Gl=C0S(L«81>:G2=SIN(L»81>
268 S1=S1+B(L,I)»G1:S2=S2+B(L,I)*G2
278 S3=S3+A(L,I>»G1:S4=S4+A(L,I)»G2
288 (EXT L
298 ►^H»<Sl"2+S2^2)/<S3'2+S4'-2)
388 (EXT I
318 H*C»SQR(H>
328 IF HO0 THEN H1=-20»LOG<H)/LOG< 10) ELSE Hl=999
338 PRINT 81,USING "88.8888";Hr
348 PRINT 81,USING "88888888.8888";H,Hl
358 8-8+D8
368 NEXT II
378 CLOSE 81
388 PRINT ' РАБОТА ОКОНЧЕНА'
398 END
ЧАСТОТА АЧХ ЗАТУХАНИЕ
8.8888	8.8668	1.2494
8.8258	8.8813	1.8978
8.8588	8.9258	8.6778
8.8758	8.9818	8.1595
8.1888	8.9918	8.8717
8.1258	8.8668	1.2494
8.1588	8.6453	3.8847
8.1758	8.4477	6.9799
8.2888	8.3877	18.2388
8.2258	8.2128	13.4398
8.2588	8.1477	16.6188
8.2758	8.1819	19.8379
8.3888	8.8688	23.2535
8.3258	8.8444	27.8591
8.3588	8.8262	31.6366
8.3758	8.8126	37.9888
8.4888	8.8826	51.7926
8.4258	8.8847	46.6491
8.4588	8.8895	48.4255
8.4758	8.8123	38.1766
8.5888	8.8133	37.5514
и I 1 z- П boi+buz 1 + b2tz 2
H\Z) = C 1 1 a +a z-'+a
i-iaOi + aliz T“2|4
Расчет осуществляется в M точках в диапазоне нормированных
частот we [0; 0,5]. Пользователю выводятся в виде таблицы
значения частоты, АЧХ и затухания. Если значение затухания
равно бесконечности (значение АЧХ равно нулю), то выводится
значение затухания, равное 999. В качестве примера осуществлен
расчет АЧХ и затухания фильтра с передаточной функцией
H(z) = C
boi +b21z
Ooi + «ц7
'+b2iz'2
l+a2lz~2’
118
где 0=0,102892;	£>01 = 1; Ьц = 1,674622;	/>2i = l; aOi = l;
Д11 = —1,044442; а21 =0,0481023. Расчет осуществляется в 21 точке.
Вводятся последовательно следующие значения исходных данных:
0=0,102892; £=1; />01 = 1; «01 = 1;	= 1,674622; ап = -1,044442;
621 = 1; а21 =0,481023; Л/=21.
Пример 4.7. Найти передаточную функцию цифрового ФНЧ с монотонно
убывающей АЧХ (фильтр типа В). Параметры фильтра: /д = 8 кГц, /гп=1 кГц,
/г., = 3 кГц, Да=1,5дБ, а0 = 35дБ.
Определяем:
1.	wr.n= 1 • 103/(8 • 103) = 0,125 и и>г.,=3 • 103/(8 • 103)=0,375.
2.	-у=ctg тс • 0,125 = 2,414214 (табл. 4.1).
3.	n* = 2,414214tg(n-0,375)»5,82 (табл. 4.1).
4.	Передаточную функцию АФ типа В:
4.1.	Модуль коэффициента отражения |р| = 50% (из табл. П.1.1 или [6],
с. 23, табл. 3). Отметим, что величине |р| = 50% соответствует Да* =1,25 дБ, т. е.
неравномерность затухания в полосе пропускания рассчитываемого фильтра будет
несколько лучше, чем требуемая (Да*<Да). Такой запас необходим, поскольку
представление коэффициентов цифрового фильтра с помощью конечного числа
разрядов приводит к изменению характеристики затухания.
4.2.	Вспомогательный параметр L определяется для величин |р| = 50%
(Да* = 1,25 дБ) и а0 = 35дБ из общей номограммы (см. рис. П. 1.1 или [6.2],
с. 408, рис. 2.21): £«0,13.
4.3.	Порядок передаточной функции п определяется для величин £1* = 5,82
и £=0,13 из номограммы для фильтров типа В (см. рис. П.1.2 или [6], с. 389,
рис. 2.2): л = 3.
4.4.	Общий вид T(s) (см. § 4.1 или [6], с. 58)
™=1_______________!_________.
С (i-a0)(i2-2aii+af+/>1)
4.5.	Коэффициенты T(s) определяются из табл. П.1.2 или [6], с. 57, таблица
для фильтров ВОЗ: С=0,577350; а0= - 1,200937; ах = -0,600468; Ьх = 1,040042.
4.6.	Передаточная функция аналогового нормированного ФНЧ
т(}=__________1 __________________________1_________________=
0,577350 (s + 1,200937) [5 2 + 2 • 0,600468.s + (0,6004682 + 1,0400422)]
= 1,732052 7------—z----!-----------------
($+ 1,200937) (л 2 + 1,200936.5+ 1,442249)
Полезно осуществить расчет АЧХ по программе 4.1.
5.	Передаточная функция H(z) цифрового ФНЧ определяется с использова-
нием подстановки (см. табл. 4.1)
H(z) = 1,732052 ---х
|у,	,+1,200937)
\ l+z /
119
1
У2
+ 1,200936?
-----------г = 1,732052-------------------:•
\	3,615151-1,213278г-1
+ 1,442249
-----------5----------------у = 0,0471101-------г
10,169994 —8,772360г-1+4,371362z"2	1—0,335609г
1+2г-1+г-2
1 - 0.862573z -1 + 0,429829г 2'


5

5


ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ
ЦИФРОВОГО ПОЛОСОВОГО (РЕЖЕКТОРНОГО) ФИЛЬТРА
ПО СПРАВОЧНИКУ
Рассмотрим теперь, как определить передаточную функцию поло
сового или режекторного БИХ-фильтра, используя данные справоч
ника [6] о коэффициентах нормированных аналоговых фильтров
нижнйх частот типов В, Т, I и С. Исходными данными являются
частота дискретизации /д;
граничные частоты полос пропускания и задерживания /г п1
/г.п2, /г.,1, /г.э2 (см. рис. 4.4);
неравномерность рабочего затухания в полосе пропускания Ла
гарантированное затухание в полосе задерживания а0.
Вместо величин Ла и а0 могут быть заданы требования
к АЧХ—Д^и АД, (см. § 4.1).
Алгоритм Определения передаточной функции H(z) для по
лосового или режекторного фильтра почти полностью совпадает
с соответствующим алгоритмом для фильтра нижних частот
подробно рассмотренным выше. Однако имеются два дополнения
Первое дрпо|даейие — на этапе 2 алгоритма определяются дв;
параметра прйббразования: у и а (см. табл. 4.1 и пример 4.6)
Второе дополйеНИе — на этапе 5 (определение H(z) по T(s
с помощью билинейного преобразования), замена переменно!
я в полиноме первого порядка по 5 приводит к полиному
второго порядка по z-1, а в полиномах второго порядка пс
я—к полиномам четвертого порядка по z-1. Для получение
A/(z) в окончательном виде следует полиномы четвертого порядке
разложить на множители (полиномь
второго порядка по z'1).
Пример 4.8. Рассмотрим вначале просто!
пример, который вместе с гем имеет важней
практическое значение. Допустим, необходимо син
тезировать цифровой резонатор на частот!
и() = 0,25 с добротностью 2 = 50. Иными словами
необходимо определить передаточную функции
полосового БИХ-фильтра, для которого отноше
нис частоты и’о к ширине полосы пропускали)
Ah’ на уровне 3 дБ равно 50 (рис. 4.11). Определи^
AM
t
VZ/2
*rm *b *Г.П2	*
Рис. 4.11
120
граничные частоты полосы пропускания из соотношения no/Avv=50, откуда
A tv = tv0/50 = 0,25/50 = 0,005. Следовательно, и-г. „ i = tv0 - Atv/2 = 0,25 — 0,0025 = 0,2475;
»У. „2 = tv0 +Atv/2 = 0,25+ 0,0025 = 0,2525. Граничные частоты полос задерживания
и требования к затуханию в этих полосах в данном случае не задаются. Итак,
переходим к расчету фильтра в соответствии с алгоритмом, описанным в § 4.1,
с учетом указанных выше дополнений;
1.	иу.п1 =0,2475, wr.„2 = 0,2525.
2.	y=ctg(n(ity п2 — ну. nl))=ctg (л-0,005) = 63,6568 (см. табл. 4.1); а= [cos(n(tty.n2 +
+ “’г. п 1)) ]/ [cos (л (иу.„2 — tv,, „ 1)) ] = [cos (л • 0,5) ]/ [cos (л • 0,005) ]=0 (см. табл. 4.1).
3.	Определять — граничные частоты полос задерживания — в нашем при-
мере не требуется.
4.	Определяем T(s). Поскольку характеристика фильтра должна быть мо-
нотонной, в качестве прототипа следует взять фильтр Баттерворта. Известно,
что нормированный фильтр Баттерворта обеспечивает величину затухания на
частоте Ц,= 1, равную 3 дБ, т. е. именно такую, какую требуется. Таким образом,
Т($)=1/($+1).
5.	Определяем H(z), используя подстановку $=63,6568(1+z“ 2)/(1—z "2):
,	1	1 — Z-2	1 —Z-2
II Z =----------------=---------------------5- = 0,0154663------------V.
„	l+z“2	64,6568 + 62,6568г" 2	1 + 0,969067г “2
63,6568------^ + 1
1 — z	>4
6. Выполняем контрольный расчет затухания (АЧХ) фильтра по программе 4.3.
Пример 4.9. Определить передаточную функцию цифрового полосовою
фильтра типа Т со следующими параметрами: /л=140Гц; /r.ni = 15,5 Гц;
./i.n2 = 30 Гц; / з1 =7,75 Гц; /г.з2=60 Гц; Да = 0,5 дБ; ао = 40дБ (рм. рис, 4.4).
Определяем:
Г иу.п1 =0,110714; tv,, п2 = 0,214286; иу 31 =0,055357; tv,.з2=ч0,428571.
2.	у=etg (л (0,214286 - 0,110714)) = 2,964087;
cos (л (0,214286+ 0,110714))
“ " cos (л (0,214286 — 0,110714))- °’551433'
3.	ilk (см. табл. 4.1):
0,551433—сов(2л-0,055357)
й) = 2,964087  -------1;--------------’-к -3,38;
sin (2л-0,055357)
0,551433-cos(2n-0,428571)
П/ = 2,964087---------1---------Ц------«9,92;
sin (2л-0,428571)
ilk = min (3,38; 9,92) = 3,38.
4.	Передаточную функцию T(s):
4.1.	|р| = 25%, Да’=0,28 дБ (см. табл. П. 1.1).
4.2.	L = 5-10 2 (см. рис. П. 1.1).
4.3.	п=4 (см. рис. П.1.3).
4.4.	Общий вид передаточной функции
С’Д $2-2а,Н-а? + 6,2,
121
4.5.	Коэффициенты T(s) (см. табл. П. 1.3): <7=2,065591; аг — —0,206284;
*1 = 1,049557; а2=-0,498012; *2 =0,434741;
4.6.
T(s) - 0,484123 i2 + 0)412569.iS+ljl44123 2+0,996024 - Л-0,437016 ’
5. Передаточную функцию цифрового фильтра, используя подстановку s=
= 2,964087 (1 - 2 • 0,551433z -1 + z ’ 2)/(1 - z ’ 2):
2	1-z"2
H(z) = 0,0035625 П -zr---г,---------------г-п----г,
(-! Z +<J3/Z	+ <22<Z	+ <2,;Z	+ <2о,
где аз! = —1,859129; <2^=2,249166; а\, = -1,324269; aOi =0,5150274; а32 = -1,858527;
а’22 = 2,328529; <г’12=-1,616672; аО2 = 0,780703.
Разлагая каждый из двух полиномов четвертой степени (в знаменателе Я(г))
на множители—полиномы второй степени (см. программу 4.4), получаем
4	1-z*2
H(z) = 0,0035625 П 1;--------------т,
'	М \+altz~'+a2tz~2
где д,1 = —0,703725;	д21 =0,6944328;	а12= -1,155417;	<г22 = 0,7416519;
а,з= -0,3790051; а23=0,8602082; а14=-1,479592; <г24 = 0,9075744.
6. Выполняем контрольный расчет АЧХ по программе 4.3.
Программа 4.4—вычисление корней полинома с действи-
тельными коэффициентами. Программа осуществляет вычисление
14 REM ВЫЧИСЛЕНИЕ КОРНЕЙ ВОЛИНОИА
24 REM С ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ К0Э44И1ИЕНТЙИИ
34 OPEN 'O',41,'lLP>'
44 INPUT 'ВВЕДИТЕ СТЕПЕНЬ ВОЛИНОНА Н-'»Н
S4 МН А(2»М+1)
44 INPUT 'ВВЕДИТЕ МОГРЕЙНОСТЬ Е'»Е
74 PRINT 'ВВЕДИТЕ К0Э44ИЛИЕНТЫ ЛОЛИНОМ '
И FOR J>1 ТО N+1
М PRINT '*<'»HH-J»')-'hINPUT AtJ>	1
IM NEXT J	J
11* K-l
124 T-1:C-A(2)/A<1)	:
IM IF №1 THEN P—Ci0»4iG0T0 44»	j
14* IF N»2 THEN H»C»C/4-A(3>/A(l)>0DT0 374	J
IM N*14tC>4iD»8tU>4	I
IM V>8tF>ltW>2iT*4	I
17» IF MO 14 THEN 2M	|
IM P«CiM»4i(1-D1C*UiD»U	1
IM U-PiU-OiY-CiZ-DiF—F	1
244 N»H+llH«4i0«A<l>lP«A<2>-C»QtL«0	|
214 FOR J-3 TO N	j
224 R-P»P-A<J>-C«R-D»O	1
234 Q-RlR-LtL»a-C«R-H«DlH'R	|
244 NEXT J	1
2M O-A(N+l)-D»QlS-LtC»R	|
2M IF T>4 THEN X»D»RlHrR.X+S»L	|
274 IF H-4 THEN 174	1
2M C«C+(P«S-0«R>/HlD»D4<P»X+0»L>/H	j
2M IF C-Y+D-ZO4 THEN 324	1
3M IF F—W THEN PRINT 'НЕТ РЕВЕНИЯ* iSTOP	]
314 V"-F	J
324 H«C»C/4-DiIF SORI<Q-P»C/2)n2+P»P«ABS(H>)>E/N THEN 174	1
3M T-4iA(2)«A(2>-C»A(1>	1
122
34» FOR J=3 TO N-1
350 A < J) M < J)-C»A(J-l > -D«A < J-2 >
36Ф NEXT J
370 P«-C/2:0“SQR<ABS(H>>
380 IF HIM THEN M»P+OsP»P-Q«OM:GOTO 410
390 MM
400 PRINT 01,
410 PRINT 01, "X(';K,">= ';M('
420 IF №0 THEN PRINT 01,'КОЭФФИЦИЕНТЫ ПОЛИНОМА 	1	'1-М
430 K«K»1
440 PRINT 01, 'ХС;К;'><- ',Р;'	+J»('(-O,'>'
450 К-КЧ
460 IF О>0 THEN PRINT 01,"КОЭФФИЦИЕНТЫ ПОЛИНОМА :	1	',-Р
470 IF О<>0 THEN PRINT 01,'КОЭФФИЦИЕНТЫ ПОЛИНОМА 1	';-2»Р;
480 IF ОО0 THEN PRINT 01,"	'1 Р'2»Ол2
490 IF 1О0 THEN 550
500 N-N-2IAAM
510 IF SOR<<S-R«C/2)A2+R»R»ABS(H>)<E THEN AA=1
520 B«0;IF N)»2 THEN B’l
530 IF AA+B-2 THEN T-liGOTO 130
540 GOTO 120
550 PRINT 01, * РАБОТА ЗАКОНЧЕНА*
560 CLOSE 01
570 END
X( 1 >=	.1895026	.907908 >
X< 2 >=	.1895026	907908 )
КОЭФФИЦИЕНТЫ ПОЛИНОМА	1	-.3790051	.8602082
X< 3 >=	.7397609	+J»( .6002734 >
X< 4 >=	.7397609	6002734 >
КОЭФФИЦИЕНТЫ ПОЛИНОМА	1	-1.479522	.9075744
РАБОТА ЗАКОНЧЕНА
корней полинома a„zn + an_-[zn~l + ... + aiz1 + ao = a„+an-lz~1 + ... +
+ aiz~n+1 + aoz~'’ с заданной точностью Е и разложение полинома
па сомножители (полиномы первого и второго порядков) с вещест-
венными коэффициентами. Пользователю выводятся значения корней
и коэффициенты соответствующих полиномов (вещественному корню
соответст вует полином первого порядка, а паре комплексно-
сопряженных корней—полином второго порядка). В качестве при-
мера осуществлены вычисления корней полинома четвертой степени
a^ + a^z-1+ a2z~z-\-a\Z~3+ aoz~A', где «4=1;	«3= —1,858527;
«2 = 2,328529; ах = —1,616672; «0 = 0,780703. В качестве исходных
данных последовательно вводятся значения: А=4; Е= 0,000001;
а4=1; а3= —1,858527; а2 = 2,328529; Й1 = -1,616672; «о = 0,780703.
Глава 5. БЫСТРОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
(БПФ)
5.1.	ОСНОВЫ АЛГОРИТМОВ БПФ
Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) X(&) конечной последова-
тельности х (и Т), и =0, 1, ..., N— \ определяется согласно (1.18), (1.19):
123
N-1
X(A:)= £ x(nT)W£k, k=0, 1, ..., A-l,	(5.1)
n = 0
,V - 1
х(пГ) = £ X{k) WN~nk, n=0, 1, ..., A-l,	(5.2)
4 = 0
где
- ; 2я
W\ = e N,	(5.3) I
причем WN является периодической последовательностью с пери- ;
ОДОМ N, так как IV^ + ",N}= W#1, т = 0, + 1, ±2... Непосредст- j
венное вычисление ДПФ (5.1) при комплексных значениях х(пТ) !
требует для каждого значения к (A— 1) умножений и (А— 1)
сложений комплексных чисел или 4(А—1) умножений и (2N—2) j
сложений действительных чисел, а для всех N значений к = 0, 1, ...
..., А— 1 требуется примерно N2 умножений и N2 сложений
комплексных чисел. Таким образом, для больших значений ]
А (порядка нескольких сотен или тысяч) прямое вычисление 1
ДПФ (5.1) требует выполнения весьма большого числа ариф- 1
метических операций умножения и сложения, что затрудняет |
реализацию вычисления в реальном масштабе времени процессов |
и спектров.	I
Быстрым преобразованием Фурье называют набор алгоритмов, 1
реализация которых приводит к существенному уменьшению 1
вычислительной сложности ДПФ (5.1). Исходная идея этих|
алгоритмов состоит в том, что //-точечная последовательность I
разбивается на две более короткие, например на две (А/2)-|
точечные последовательности, вычисляются ДПФ для этих более!
коротких последовательностей и из этих ДПФ конструируется!
ДПФ исходной последовательности. Для двух (А/2)-т очечных!
последовательностей требуется примерно (Nft.)2- 2 = N2/2 умноже-а
ний комплексных чисел, т. е. число умножений (а также сложений)!
уменьшается примерно в 2 раза. Аналогично вместо вычисления!
ДПФ (А/2)-точечной последовательности можно вычислить ДПФ|
для двух (А/4)-точечных последовательностей и таким образом!
вновь уменьшить требуемое число умножений и сложений. Если!
A=2V, v>0 и целое, то процесс уменьшения размера ДПФ|
может быть продолжен до тех пор, пока не останутся только!
2-точечные ДПФ. При этом общее число этапов вычисления!
ДПФ будет равно v = log2A, а число требуемых арифметических!
операций для вычисления //-точечной ДПФ будет порядка Av,l
т. е. уменьшается примерно в A/log2A раз. Так, при //=10001
для прямого вычисления ДПФ согласно (5.1) требуется примерно!
А2=10б операций комплексных умножений и сложений, а при!
использовании алгоритмов БПФ таких операций требуется всего!
порядка 104, т. е. объем вычислений сокращается примерно па!
два порядка.	1
Рассмотрим два алгоритма БПФ: с прореживанием по времени
(в которых требуется перестановка отсчетов входной последо-
вательности х(иТ)) и с прореживанием по частоте (в которых
требуется перестановка отсчетов выходной последовательности
Х(к)).
(5-4)
5.2.	АЛГОРИТМ БПФ С ПРОРЕЖИВАНИЕМ
ПО ВРЕМЕНИ
Пусть требуется вычислить ДПФ (5.1) при N=2V, где v>0 —
целое (если N^2V, то можно последовательность х(пТ) дополнить
в конце пулевыми элементами так, чтобы длина результирующей
последовательности была степенью 2).
Разобьем исходную A-точечную последовательность
л(яТ)=х,(л), где v = log2A, и = 0, ..., N— 1, на две (А/2)-точечные
последовательности xv-i,0(h) и xv-iA(n), состоящие соответст-
венно из четных и нечетных членов х(пТ), т. е.
А-1.о(«) = л(2лГ), п = 0, 1, ..., А/2—1;
xv-1Д (w) = x((2w+1) Г), л = 0, 1, ..., А/2—1.
При этом А-гочечное ДПФ (5.1) можно записать в виде
N/2 - 1	N/2 - 1
X(*) = XV(*) = %	Y	(5-5)
и = О	п = О
,	j—”
Учитывая, что = lVNj2 = e n/2, получаем
Xv(/v) = Xv_1.0(A:) + ^Xv_1.1(4	(5.6)
1де Xv-i,0(k) и А\,-1.1(&) — (А/2)-точечные ДПФ соответственно
последовательностей xv-l 0(n) и xv-lt(ny.
AV_1.O(A:) = ^ 1 Xv-j.o^)^; Xv_ 1Д (к) = ^ ’ xv_14 (и) И^2.
п = О	п = О
Так как Xv(k) должно быть определено для А точек (к = 0, 1, ...
..., А—1), a Xv-i'otk) и Xv-iA(k) определяются только для А/2
точек (к — 0, 1, ..., А/2 —1), доопределим (5.6) для значений к =
= А/2, А/2+1, ..., А—1; учитывая, что Av_10(Zc) и Xv-i t(k) —
периодические функции с периодом А/2, можно записать
Xv (к + А/2) = Xv _! ,0 (к + А/2) + Wtf + NI2) _ lf! (к + А/2) =
= 2rv-i.0(A:)-^Xv_1.I(A:),	(5.7)
 2я N
так как №$12 = е J н 2 = — 1.
Формулы (5.6) и (5.7) дают алгоритм вычисления А-точечной
ДПФ через (А/2)-точечных ДПФ. Этот алгоритм можно пред-
ставить направленным графом, имеющим вид «бабочки»
125
124
Рис. 5.1
(рис. 5.1, а), в котором выходные числа
входных чисел а и b по правилам
c = a + bWN, |
d—a — bW^- J
Xv0(k)
XvtW
6)
X(k)-Xvg*W*Xvt
X(k+^)~XvB-W*Xyl
end получаются из:
(5.8)
х(0)^ х(Щ~ х(2Т)~ х(0Т^ х(/Т]~ х(5Т) х(ЗТ)	Хд(к) к-о...7	
	Хд(0)	
	Хд(1)	
	Хд(2)	
	Хд(3)	
	ХдЮ	
	Хд(5)	
	Хд(6)	
х(7Т^	Хд(7)	
Х,(к)
к-0,/
Х/д (0)
Х,д (П
Х„ (0)
Хи (Ь
Хп(0)
Ха(1)
XaW
х,3(0
Хг(к)
к-0,1,2,3
хи(0)	
XuU)	
хи (2)	
Хи(3)	
Хг,(0)	
	
Хг<(2)	
хг1(о)	
Х}-Х(к)
*•0-7
Х(0)
Х(!)
Х(2)
Х(3)
ХЮ
Х(5)
Х(6)
Х(7)
В качестве примера граф на рис. 5.1,6 представляет операции!
(5.6) и (5.7). Аналогично можно теперь выразить (А/2)-точечные1
ДПФ Xv-i,0(£) и Xv~lA(k) через (А/4)-точечные ДПФ:	•]
Рис. 5.2
Xv_1.o(£) = Xv_2>o(£)4-H'N2‘Xv-2.1(£),	к=0, 1, ..., А/4-1,1
Xv_1.0(£) = Xv_2.0(£)-H'N2tyv_2>1(£), k=N/4, ..., A/2-1J
Теперь вновь разобьем
нечетных и четных членов
последовательности (5.10) на последовательности из
последовательностей (5.10):
Xv_ltl(£) = Xv_1,2(£)4-^Xv_2.3(£), £ = 0, ..., ЛГ/4-1, 1
Xv-1,1(k) = Xv-2,2(k)-^kXv..2.3(k), k=N/4,	А/2-1,р • 
Х1.о(л)={х(О), х(4)},
Х1Д(л)={х(2), х(6)},
х2.2(л)={х(1), х(5)},
х2.3(л)={х(3), х(7)}.
(5.П)
где Xv-2'0(k) и ХУ-2Л (£)--соответственно (А/4)-точечные ДП<М
четных xv-2,o(«) и нечетных xv_2il(n) членов последовательности
xv-i.o(n), а Xv_2'2(k) и Xv~23(k)— соответственно (А/4)-точечныа
ДПФ четных xv_2.2(n) и нечетных xv_2,3(h) членов последователь!
ности ху-1Л(п).	1
Процесс уменьшения размера ДПФ от М до Л//2, где М равш|
степени 2, продолжается до тех пор, пока на v-м шаге (v = log2 7V1
где N—исходный размер ДПФ) не окажутся только 2-точечныя
ДПФ Ф(к), £ = 0,1, для двухточечных последовательностей ф(«Н
л = 0,1, определяемые из соотношений
Ф(0) = ф(0) 4- И^°ф(1)=ф(0) +ф(1),
Ф(1) = ф(0) 4- ^2ф(1) = ф(0) -Ф(1).
(5.91
Последние вычисляются без операции умножения.	i
Пример 5.1. Построим алгоритм БПФ с прореживанием по времени дач
W=8 = 23, v=3, т. е. для последовательности х(пТ), и = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Разобье^
согласно (5.4) исходную последовательность х(пТ)=х3(п) на две последователь^
ности: х2.о(п) и x2.i (л),—состоящие соответственно из четных и нечетных члено)
х3 (л):	I
х2.о(л) = {х(О), х(2), х(4), х(6)},1
х2.1(л) = {.г(1), л(3), х(5), x(7)}.J
Последовательности (5.11) являются уже двухточечными.
Теперь, используя алгоритм, представленный графом «бабоч-
ка» (см. рис. 5.1, а), строим алгоритм 8-точечного БПФ (рис. 5.2).
Вначале построим исходный массив. Как видно из (5.11), он
состойт из элементов последовательности х(и) = х(иТ), л = 0,1 ...7,
причем на входах первого графа «бабочка» первой ступени
помещаются числа х(0) и х(4). На входах второго графа
«бабочка» — числа х(2) и х(6), на входах третьей «бабочки» — х(1)
и х(5) и на входах четвертой «бабочки»—х(3) и х(7).
Таким образом, если предположить, что последовательность
х(и) записывается в массив ячеек памяти, то удобно осуществить
размещение х(и) в следующем порядке (рис. 5.2): х(0), х(4),
х(2), х(6), х(1), х(5), х(3), х(7). Легко заметить, что элементы
этой последовательности получаются из исходной х(п) в соот-
ветствии с двоичной инверсией номеров, т. е. число х(и) с номером
в двоичном представлении л = (лу_1, ..., и0) запоминается в ячейке
памяти с номером п = (ио, , nv-i). Так, число х(4) с номером
в двоичном представлении 4(1О)=100(2) запоминается в ячейке
с номером 001(2)= 1(10), а число х(3), где 3(1О) = 011(2), запоминается
в ячейке с номером 110(3) = 6(iO) и т. д. Итак, можно считать,
Что начальная ступень преобразования Х0(к), к = 0,1...1, получа-
ется просто в результате прореживания (в указанном смысле)
126
127
исходной временной последовательности х(пТ), л = 0,1 ...7, т. е.
А'о (£) = *(« 7"), где к = п—двоично-инверсное представление
номера п.
На выходах У/2 = 4 «бабочек» т=1-й ступени образовывают^
значения Х2(к), являющиеся входными числами «бабочек» m = 2-i
ступени. На выходах последней значения выходной последователь
ности Х3 (к) = Х(к), к = О...Т. Выходная последовательность Х(к)
к = 0,\ ...1, получается в естественном порядке следования.
Как показано в рассмотренном примере, все входные числг
«бабочек» Х0(к) на начальной ступени являются элементам!
заданной последовательности х(л), /7 = 0... A— 1, причем получа
ются из х(л) в соответствии с двоичной инверсией номеров
т. е. число х(пТ) = х(п) с двоичным представлением номерг
п является входным числом Х0(к} «бабочки» с номером к
равным инверсному двоичному представлению номера п.
Заметим,
что в рассмотренном
алгоритме
БПФ
МОЖН1
выполнить вычисления по способу с замещением. Если разместит:
входную последовательность Ха(к) «бабочек» в массиве из 2
ячеек памяти, то после вычисления выходов «бабочек» входны
элементы становятся ненужными и в указанные ячейки памят:
могут быть записаны вычисленные выходные числа. На следу
ющей ступени вновь вычисленные значения выходов «бабочек
записываются в ячейки массива вместо использованных входны
чисел, и в конце вычислений во входном массиве окажутс
записанными значения Х(к) в естественном порядке, г. е. зпачени
ДПФ при к=0, 1, 2...У-1.
5.3.	ПРОГРАММА И ПРИМЕР РЕАЛИЗАЦИ1
АЛГОРИТМА БПФ С ПРОРЕЖИВАНИЕМ П
ВРЕМЕНИ
Ниже приводится программа вычисления БПФ с прорежив,
пием по времени по способу с замещением и рассматривают!
примеры реализации этой программы.
Программа 5.1 быстрое преобразование Фурье с основ:
нием два и прореживанием по времени. Программа осуществляв
алгоритм БПФ с основанием два и прореживанием по времет
комплексной или вещественной последовательности х(л) длине
N отсчетов. Вещественные составляющие отсчетов исходно
последовательности записываются в массив T/(W), а мнимые—
массив Л2(А). В программе для ознакомления с ее работе
предусмотрено формирование входной последовательности, соо'
ветствующей отсчетам полигармонического сигнала
j- 1
х(л) = £ Ak [cos(2n77H’t + (pik) +/sin(2ктгк-I-(pfc)]	(5.E
k = 0
128
(строки 80—240). При использовании программы для выполнения
БПФ произвольной последовательности необходимо заменить
строки 80—240, организовав ввод исходной последовательности.
ie REM	б п 0
20 REM	С ОСНОВАНИЕМ 2
30 REM	И ПРОРЕЖИВАНИЕМ ПО ВРЕМЕНИ
40 OPEN '0',01,'sLPj'
50 INPUT 'ВВЕДИТЕ ДЛИНУ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ N=2"M'";N
60 M=FIX(LOG(N)/LOG(2>*,1>
70 DIM A1<N>,A2(N),R(N>,C(N>,FI(N>
90 INPUT 'КОЛИЧЕСТВО ГАРМОНИК";J
90 DIM A(J-l),«(J-l>,W1(J-l>
100 PRINT 'ВВОД АМПЛИТУДЫ A(K>,ЧАСТОТЫ Ы<К>,ФАЗЫ Ы1(К>~
110 FOR К=0 ТО J-1
120 PRINT "А(';К;">=",•••INPUT А<К)
130 PRINT "Ы(';К;">='::INPUT W(K>
140 PRINT "W1<';K;'>=";:INPUT Ы1(К>
150 NEXT К
160 INPUT 'ЕСЛИ ПОСЛ-ТЬ ВЕЩЕСТВЕННАЯ,ВВЕДИТЕ 1, ИНАЧЕ 0";I9
170 FOR 1=1 TO N
180 S1=0:S2=0
190 FOR K=0 TO J-1
200 S1=S1*A<K)*COS<2*3.141592*(I-1>*Ы(К>*Ы1<K>>
210 IF 1901 THEN S2=S2+A<K)»SIN<2»3.141592»<I-1>»U<K>*W1(K>>
220 NEXT К
230 A1(I>=S1:A2(I>=S2
240 NEXT I
250 REM ПЕРЕСТАНОВКА ВХОДНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ!И
260 N2=N/2:N1=N-1:J=1
270 FOR 1=1 TO N1
280 IF I>=J THEN 310
290 D1=A1<J):A1(J)=A1<I>:A1<I>=I4
300 D2=A2<J>;A2<J>=A2<I>:A2<I>=D2
310 K=N2
320 IF K)=J THEN 340
330 J=J-K:K=K/2:G0T0 320
340 J=J+K
350 NEXT I
360 REM Б П ♦
370 FOR 1=1 TO M
380 Ll=2-L
390 L2=Ll/2
400 U1=1:U2=0
410 W1=COS < 3.141592/L2):W2=-SIN < 3.141592/L2 >
420 FOR J=1 TO L2
430 FOR I=J TO N STEP LI
440 I1=I*L2
450 T1 =A1 < 11 > »U1-A2 < 11) »U2:T2=A2(11) »U1 < Al < 11 > »U2
460 A1(I1>=A1<I>-T1:A2(I1)=A2<I>-T2
470 Al<I)=A1(1>*Т1:A2<I>=A2<I)*(2
480 NEXT I
490 U3=UHU1=U1*H1-U2«W2:U2=U2»W1HI3*W2
500 NEXT J
510 NEXT L
520 REM РАСЧЕТ АМПЛИТУД И ФАЗ
530 FOR 1=1 ТО N
540 В5=30Р(А1<1)л2+А2(1>-'2>
550 IF 1=1 THEN R(I>=R5/N ELSE R(I>=2»R5/N
560 IF A1<I>=0 AND A2<I>>0 THEN FI<I>«1.5708
570 IF A1(I>»0 AND A2(I><0 THEN FI<I>«-1.5708
580 IF A1<I><>0 THEN Fill>=ATN(A2(I>/Al<I>>
590 NEXT I
5 Закат 3574
129
600 REM	ВЫВОД РЕЗУЛЬТАТОВ
610 PRINT	♦ 1,
620 PRINT	♦1," I	Aid)	A2d)	Rd)	Fid)
630 PRINT	01,
640 FOR I-	=1 TO N
650 PRINT	01,USING •♦♦♦'d-i:
660 PRINT	♦1 .USING ''♦♦♦♦♦♦.♦♦♦'lAld),A2(I),Rd),FKI)
670 NEXT i	[
680 CLOSE	♦ 1
690 PRINT	’РАБОТА ЗАКОНЧЕНА'
700 END	
Основными этапами обработки являются: ввод исходных
данных (строки 50—240), двоично-инверсная перестановка ис-
ходной последовательности (строки 250—350), собственно ал-
горитм БПФ (строки 360—510), расчет амплитуд и фаз анализиру-
емого сигнала по результатам БПФ (строки 520—590) и вывод
результатов (строки 600—690). Пользователю выводятся в виде
таблицы значения номера компоненты (гармоники) БПФ, вещест-
венная и мнимая ее составляющие [А 1 (7) и А2 (7) ], амплитуда,
и фаза соответствующей гармоники [R(7) и Fl (7)].	2
Пример 5.2. Реализация БПФ вещественного сигнала х(и)= £ /Цх
к = 0
xcosfZjt/nvj + cpt), содержащего три составляющие при значениях параметров:
Ло = 2, и'о = <ро=О, /41 = 1, и’1=0,125, <р!=0,7854, Л2 = 3, и-2=0,3125, <р2 = 1,57.
I	Aid)	А2(1)	R(I)	Fit I)
0	32.000	0.000	2.000	0.000
1	-0.000	-0.000	0.000	0.268
2	5.657	5.657	1.000	0.785
3	-0.000	-0.000	0.000	0.701
4	-0.000	-0.000	0.000	1.201
5	0.019	24.000	3.000	1.570
6	-0.000	0.000	0.000	-1.055
7	-0.000	0.000	0.000	-0.084
8	-0.000	0.000	0.000	0.000
9	-0.000	-0.000	0.000	0.710
10	-0.000	-0.000	0.000	1.195
11	0.019	-24.000	3.000	-1.570
12	-0.000	0.000	0.000	-1.201
13	-0.000	0.000	0.000	-1.207
14	5.657	-5.657	1.000	-0.785
15	-0.000	0.000	0.000	-0.402
В качестве исходных данных		последовательно		вводятся значения: N=l\
J=3; 4(0) = 2; iv(0)=0;	И’1 (0)=0;	/4(1)=	1; и>(1)=0,125; vv 1 (1)=0,7854; ,4(2)=.	
и’(2) =0,3125; >vl(2)=l,57; 79=1;				
Пример 5.3.' Реализация БПФ комплексного сигнала (5.12), содержаще^				
три составляющие (/=	3), при значениях		параметров	Ак,	и фк таких же, к:
I	Aid)	А2<1)	Rd)	Fid)
0	32.000	-0.000	2.000	-0.000
1	-0.000	-0.000	0.000	0.504
: 2	11.314	11.314	2.000	0.785
' 3	-0.000	-0.000	0.000	1.159
4	-0.000	-0.000	0.000	1.364
5	0.038	48.000	6.000	1.570
6	-0.000	0.000	0.000	-1.354
7	-0.000	0.000	0.000	-1.168
8	-0.000	0.000	0.000	-1.146
9	-0.000	0.000	0.000	-0.655
10	-0.000	0.000	0.000	-1.107
11	-0.000	0.000	0.000	-0.066
12	-0.000	-0.000	0.000	0.454
13	0.000	0.000	0.000	0.501
14	-0.000	0.000	0.000	-0.787
15	-0.000	0.000	0.000	-0.035
в примере 5.2. Ввод исходных данных аналогичен примеру 5.2, за исключением
того, что значение /9 = 0.
5.4.	АЛГОРИТМ БПФ С ПРОРЕЖИВАНИЕМ
ПО ЧАСТОТЕ
Рассматриваемый ниже алгоритм вычисления ДПФ (5.1)
отличается тем, что входная последовательность х(пТ), н = 0, ...
..., А—1, разбивается на две последовательности посередине (т. е.
одна последовательность для и = 0... 7V/2—1, а другая — для п =
= N/2...N— 1) и эта процедура продолжается для каждой новой
последовательности до тех пор, пока не получается искомая выходная
одноэлементная последовательность Х(к); при этом величины Х(к)
уже оказываются в выходном массиве в «прореженном» порядке и их
приведение к естественному порядку связано с инверсией двоичного
представления индексов к в вычисленных значениях Х(к).
Итак, запишем ДПФ (5.1) в виде
N-1	N/2-1	N-1
x(k)=Z х(и)И^ = £• х(п)н^+ Y Х(п)^к =
0	п=()	n = N/2
N/2-l	N/2-1
= X х(и)И^ + X х(н + А/2)^п+л'/2)к.	(5.13)
п=О	л-0
Учитывая, что IV^N/2 = e j”N*‘N/2 = e--i'',‘ = (—1)к, получаем
N/2 - 1
Х(к)= Z [*(«) + (-1)кх| п~О	[л + А/2)]	(5-14)
Подставив вместо к в (5.14) значение 2к или (2к +1), выражения для четных и нечетных отсчетов ДПФ: N/2 — 1 А(2£)= X х0(л)^2; л = 0 JV/2- 1 ^(2^4-1)= X Х1(«)^2, п = 0 где теперь для значений 0<н^А/2-1: х0(л) = х(л) +x(n + N/2); X! (и) = х(и)-x(n + N/2).		получим (5-15) (5.16) (5-17) (5.18)
130
131
а “-х.	Следовательно, вычисление А-то-
.s''' чечного ДПФ Х(к) сводится к вычис-
лению двух А/2-точечных ДПФ при
четных и нечетных значениях к для
.s'	функций х0(л) и хг (и) и выполнению
b	базовой операции «бабочка» (рис. 5.3);
отличие операции «бабочка» здесь
Рис. 5.3	заключается в том, что комплексное
умножение выполняется после операции сложения-вычитания.
Ту же процедуру можно теперь применить к х0(и) и хДи)
и перейти от А/2-точечных ДПФ к А/4-точечным ДПФ и, таким
образом, свести вычисление Х(2к) и Т(2£-|-1) через Х(4к),
Х(4к + 2), Х(4к+1), T(4fc + 3). Продолжив этот процесс, перейдем!
в конечном итоге к 2-точечным ДПФ с последующим прямым
вычислением всех выходных отсчетов Х(к). Полный алгоритм)
БПФ с прореживанием по частоте и его программная реализация
аналогичны рассмотренным выше для метода БПФ с прорежива-4
нием по времени.	|
Необходимо отметить, что в обоих алгоритмах БПФ—ш
с прореживанием по времени, и с прореживанием по частоте—1
требуется примерно AIog2A операций (комплексных умножений!
и оба алгоритма могут быть реализованы по способу с замеще!
нием, используя только один массив ячеек памяти. В обоим
алгоритмах должна быть предусмотрена процедура двоичной
инверсии -на входе (при прореживании по времени) или ня
выходе (при прореживании по частоте).	1
5.5.	ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА БПФ ДЛЯ
ВЫЧИСЛЕНИЯ ОБРАТНОГО ДПФ (ОДПФ)
По определению (5.2) ОДПФ х(иТ) A-точечной последователь
пости Х(к), к = 0, 1, ..., А— 1, выражается соотношением
1 N-i		j
х(иТ) = 1 Z	(5.1g
П k = 0	i
причем в общем случае и х(нТ’), и Х(к)- комплексные. Пуся
хДиТ) и X* (к) — последовательности, комплексно сопряженны
соответственно с х(иГ) и Х(к). Согласно (5.19) можно записа-п
»-1	\* < N~l	I
1 X	X Х-(к) H'S*.	(5.2l
Л k = 0	J k=0	I
Но выражение суммы в правой части (5.20) есть прямое ДП|
последовательности Х’(к), к = 0, ..., А— I, и, следовательно, э!
сумма может быть вычислена при помощи рассмотреннь!
алгоритмов и программ БПФ.	|
132
Таким образом обеспечивается вычисление последовательности
Nx’(пТ) и для определения х(пТ) остается взять комплексно
сопряженное с Nx’(пТ) выражение и разделить его на N:
*K)=U X Х’(к)Щк].	(5.21)
/V \ к = 0	}
5.6.	ПРИМЕНЕНИЕ БПФ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ
РЕАКЦИИ ЦФ
Вычисление реакции у(пТ) ЦФ с импульсной характеристикой
h(nT\ л = 0, 1, ..., N—\, на входное воздействие х(пТ), п = 0, 1, ...
..., М~ 1, может быть выполнено на основе алгоритма свертки
N-1
л(лТ)= £ h(mT)x(nT-mT)	(5.22)
m = O
при /1 = 0, 1, ..., N+M — 2.
Применение алгоритмов БПФ позволяет выполнить эффек-
тивное вычисление выходной последовательности у(пТ) ЦФ.
С этой целью следует определить ДПФ Я (к) и Х(к) в N+M — X
точках для последовательностей h(nT) и х(пТ), затем определить
ДПФ Y(k) = H(k) X(к) выходной последовательности у(пТ). Вы-
числение у(пТ) по ОДПФ Y (к) выполняется, например, по
алгоритму (5.21). Для вычисления ДПФ и ОДПФ используются
алгоритмы БПФ. Отметим, что если длина М последовательности
х(пТ) велика, то реализация упомянутого выше алгоритма
вычисления у(пТ) связана со значительной временной задержкой
(для накопления всех М выборок х(лТ)). С целью уменьшения
этой задержки можно входную последовательность х(пТ) разбить
на отрезки хДлТ) каждый длиной L и обрабатывать каждый
из них независимо от других. Представим
р-1
х(лТ)= X Xt(nT); M = PL, Q^n^PL-X.	(5.23)
i = O
Тогда можно (5.22) записать в виде
N-1 Р-1	р-1
т(«Т) = X X xi(nT—mT)h(mT) = X Т<(«г),	(5-24)
ш = 0 i = О	i = 0
где частная свертка
N-1
У/(пТ)= X h(mT)Xi(nT—mT).
m = 0
(5.25)
Таким образом можно начинать расчет методами БПФ частных
сверток и формировать у(пТ) путем соответствующего сум-
мирования элементов частных сверток [2].
133
5.7.	ДРУГИЕ БЫСТРЫЕ АЛГОРИТМЫ
ВЫЧИСЛЕНИЯ ДИСКРЕТНОГО
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
Кроме рассмотренных выше классических алгоритмов БПФ,
известных как алгоритмы Кули — Тьюки по основанию 2, известно
множество других. Некоторые из них позволяют существенно
повысить эффективность вычисления дискретного преобразования
Фурье. Так, алгоритмы Винограда при равном числе сложений
требуют примерно в 5 раз меньше умножений, чем алгоритмы
Кули — Тьюки.
В основе всех известных алгоритмов лежит принцип разбиения
исходного ДПФ па совокупность малоточечных. Различие за-
ключается в способах вычисления малоточечных алгоритмов
и последующего объединения частичных результатов. При этом
размер преобразования пе обязательно равен степени двух, т. е.
становится возможным БПФ произвольной длины, что очень
важно для ряда практических задач. Так, в технике связи при
цифровом преобразовании многоканальных сигналов размер БПФ
определяется числом объединяемых каналов.
Кратко рассмотрим только некоторые, наиболее важные
алгоритмы, на основе которых впоследствии возникло множество
различных эффективных модификаций. Это: 1) обобщенный
алгоритм Кули — Тыоки с произвольным основанием с множи-
телями поворота; 2) алгоритм простых множителей Гуда — Виног-
рада; 3) алгоритм Винограда.
Для простоты изложения везде будем полагать N = N{N2,
где N—длина преобразования. Очевидно, приводимые ниже
положения легко могут быть перенесены на более общий случай,
ц
когда N= [J У,-, ц^2.
;= 1
Обобщенный алгоритм Кули — Тьюки с произвольным ос-
нованием с множителями поворота. Итак, пусть N=NiN2, где
У] и У2 -положительные целые. Покажем, что в этом случае
вычисление исходного У-точечного ДПФ можно свести к вы-
числению У] У2-точечпых и У2 Угточечпых ДПФ и У ум-'
ножениям на множители поворота W». Для этого в выражении
для ДПФ (5.1)
N - 1	:
ЭД= Y	к = 0, 1, ..., У-1,	(5.26)
п= О	j
где	WN = e n,	необходимо сделать подстановку:	j
k = kt + k2N2, ki=0, ..., У2-1; /t2 = 0, ..., У1-1;	(5.27^
n = ni + n2N2,	= 0, ..., У2—1; н2 = 0, ..., У2—1.	(5.28)|
134	j
Двоично-
инверсная
перестановка
х(0) -х(0)
х(ЗТ)-х(Т)
кг=0
x(2T)-x(ZT)
х(5Т)~х(ЗТ)
x(VT)~x(itT)
х(Т) - х(5Т)
Двоично-
инверсная
перестановка
Рис. 5.4
Тогда ДПФ (5.26) преобразуется к виду
N, - 1 г /
X(kl+k2N2) = X (
п, = 0 L \
N2- 1
x(ni + n2N2)WkN^ \WkN'n>
(5.29)

Таким образом, полученный алгоритм включает в себя две
основные ступени: на первой ступени переставленные в соответ-
ствии с (5.28) входные выборки подвергаются ,У2-точечному
преобразованию Фурье. На второй ступени производится вычис-
ление -точечных ДПФ. Между первой и второй ступенями
осуществляется операция псуюрота путем умножения на пово-
рачивающие множители WN'"2. Полученная последовательность
на выходе ДПФ должна быть переставлена в соответствии с (5.27).
Пример 5.4. Пусть N=6, Л\ = 3, N2 = 2. Положим k = k-.+k2-2; n=ni +
+n2'3; 21^2=0,1,2; n2^i = 0, 1. Тогда
X(k) = X(k1+k22) = X
Л) = 0
z
П2 = 0
/ и, \ IT»k n, I «жДЛ. ,ТД,И
х(п1 + 3п2)^2'‘ НГ6" Не-
соответствующий сигнальный граф алгоритма изображен на рис. 5.4.
Рассмотренный подход может быть положен в основу синтеза
алгоритмов БПФ Кули — Тьюки с произвольным постоянным
основанием. Наибольшую популярность получили алгоритмы
с основаниями 4 и 8, позволяющие повысить эффективность
вычисления ДПФ по сравнению с классическими алгоритмами по
основанию 2. Отметим, что алгоритмы с основанием 2 также могут
быть получены с использованием рассмотренного подхода. Таким
образом, рассмотренный метод синтеза является общим и позволя-
ет синтезировать различные модификации алгоритма Кули — Тью-
ки с произвольными постоянным и смешанным основаниями.
Алгоритм простых множителей. В случае, когда N представимо
произведением взаимно простых множителей, имеется возможность
135
избавиться от поворачивающих множителей в разложении (5.29).
Тем самым можно достигнуть еще большей экономии числа
операций.
Чтобы избавиться от множителей поворота, нужно произвести
перестановку входной и выходной последовательностей, отличную
от (5.27) и (5.28). Такой перестановкой может быть следующая:
для входной последовательности
x(h^2 + /j2) = x((/j2jVi + «1^2) mod N),	(5.30)
щ =0, ..., Л\ — 1; н2 = 0, ..., jV2~ 1;
для выходной последовательности
X(kxN2+k2) = X((slk2Nl+s2k1N2)modN),	(5.31)
&i=0, ..., А,-1; £2 = 0,	ЛГ2-1,
где запись и mod А означает «остаток от деления п на
А», а 5’ц и s2 определяются из следующих уравнений
в соответствии с китайской теоремой об остатках о вос-
становлении целого числа по его вычетам: srNr = 1 mod N2,
i!<A2,	= 1 mod s2<Nr. Тогда алгоритм
A= Aj А2-точечного ДПФ представляется в виде
Л',-1 N2-l
X(ktX2+k2) = X ( X х(п,Х2 + и2)^]^.	(5.32):
Л] = 0 \ п2 — о	/
Таким образом, алгоритм простых Множителей (АПМ) яв-
ляется способом представления одномерного ДПФ в виде мно-
гомерного, причем размерность зависит от числа взаимно простых!
сомножителей N. Алгоритм простых множителей имеет ступен-]
чатую форму объединения малоточечных преобразований. В дан-;
ном случае на первой ступени производится Nr А2-точечных]
ДПФ, а на второй ступени — N2 Ai-точечных ДПФ.	I
Впервые АПМ был предложен Гудом [11]. В том случае^
когда используемые малоточечные алгоритмы синтезированы]
оптимальным образом по методу Винограда, получается алгоритм]
Гуда- Винограда [11]. Оптимальные малоточечные алгоритмьй
БПФ синтезируются путем сведения малоточечного ДПФ к со|
вокупности циклических сверток. Для последних Виноградом [21
доказана теорема о существовании алгоритма вычисления с ми-
нимальным количеством умножений и был предложен метода
синтеза, основанный на последовательном вычислении полиноми-]
альных вычетов по неприводимым полиномам в поле рациональ-|
ных чисел в соответствии с полиномиальным вариантом китай-|
ской теоремы об остатках [II].	1
Алгоритм Винограда. Дальнейшей экономии вычислений в слу-1
чае разложения А на взаимно простые множители можно достичь!
если ступенчатый характер объединения частичных малоточечныя
136	I
преобразований заменить вложенным. В этом и заключается
идея алгоритма Винограда. Идею вложения малоточечных ал-
горитмов легче всего понять на примере.
Пример 5.5. Рассмотрим случай 6-точечного ДПФ, т. е. А=6. Пусть A'i=2,
?V2 = 3. Приведем сначала алгоритмы малоточечных (2- и 3-точечных) ДПФ,
синтезированные оптимальным образом по методу Винограда.
Алгоритм 2-точечного ДПФ
М=/^2°
имеет вид
31—Яо + ^Ь 32—По— Г1|, I
m0=W?Si, т, = ^20з2, j.
А0 = т0, Al=ml, J
(5.33)
где з,-—сложения, w,— умножения; At
Алгоритм 3-точечного ДПФ
и д,-—выходные и входные числа.
ИА,1
И"з2
И'зЛ/
И^з2
^3 / \
имеет вил
5'1 —</о4-4/2з
Н70 = И/з°5з,
Л'4=НГо-|-"!1.
А0 = т0,
s2 = <lj—a2,
3'5=54+ «2,
А{ — З5,
Зз — 3] + До,
2л
w2=jsm ys2,
5б=34-П72,
A2=s6.
(5.34)
Преобразуем исходную 6-точечную последовательность в двумерную 2x3-
гочечную в соответствии с (5.30) и (5.31). Тогда матрицу 6-точечного ДПФ
можно представить в виде прямого произведения 2- и 3-точечных ДПФ
и преобразование можно записать в виде:
\11'2°1Тз -И-2°^зДД/’	1 "
~ /у(°Л - Л(°А /
То = Х(2) , Х,= Х(3) , -f0= *(2) , v2= л(3)
\Х(4)/	\X(5)J	\х(4)/	V(5)/
где
^3 =
и’з°
>Гз°
Н'з°
ГГз° И’з°
ГГз1 Н’з2
И'З2 и';,1
137
Применим к матричному преобразованию (5.35) алгоритм 2-точечного БПФ
(5.33). В результате найдем векторы Хо и Х\:
Sl=X0 + Xi, S=X0 — Xt,
Й0 = ю?№331 = IVjSt, &tW?W3s2 = W3S2,
Яо = Мо, X^Mf
Для вычисления векторов Mo и Mi используем алгоритм 3-точечного БПФ (5.34).
Таким образом, мы как бы «вложили» алгоритм 3-точечного
БПФ в структуру 2-точечного, который оперирует 3-точечными
векторами. Характерной особенностью «вложенных» алгоритмов
является то, что требуемое число умножений для ^точечного
алгоритма равно произведению числа умножений, требуемых
для каждого из частичных алгоритмов. Этот факт легко проверя-
ется на приведенном выше алгоритме.
В заключение отметим, что принцип «вложения» малоточечных
алгоритмов применяется также для вычисления А-точечных
циклических сверток, когда N разлагается на взаимно простые
множители, если имеются достаточно эффективные алгоритмы
малоточечных сверток. Вложенные алгоритмы циклических свер-
ток получили название по имени авторов алгоритмов Агарвала —
Кули [11]. По сравнению с традиционными алгоритмами вычис-
ления свертки с использованием БПФ алгоритмы Агарвала —
Кули позволяют сэкономить число умножений почти на порядок.
Другими классами еще более экономных алгоритмов ДПФ
и свертки являются алгоритмы, основанные на теоретико-чис-
ловых и полиномиальных преобразованиях, с которыми можно
познакомиться в [11].
5.8.	АНАЛИЗ ТОЧНОСТИ РЕАЛИЗАЦИИ
АЛГОРИТМОВ БПФ
При реализации алгоритма БПФ, как и. при реализации других алгоритмов
ЦОС, возникают вычислительные ошибки, обусловленные (см. гл. 2) округлением
(усечением) произведений, квантованием коэффициентов и, возможно, процедурой
масштабирования чисел (с целью устранения переполнения сумматоров). При
анализе ошибок будем принимать упомянутые в гл. 2 допущения об их характере,
т. е. будем рассчитывать выходную ошибку БПФ как суперпозицию ошибок,
вызванных каждым независимым источником ошибок.
Методику оценки вычислительных ошибок БПФ рассмотрим на примере
реализации БПФ по основанию 2 и с прореживанием по времени. Рассматриваемая
методика может быть применена и для анализа ошибок других алгоритмов
БПФ. Будем предполагать, что: обрабатываемые числа представляются с помощью
bt + 1 разрядов, а коэффициенты — с помощью Z>2+1 разрядов с учетом знака;
для аппроксимации произведений используется операция округления; масш-
табирование промежуточных результатов производится на входе каждой операции
138
«бабочка» путем сдвига чисел на один разряд вправо (деление на два); входные данные
пронормированы таким образом, что |л(иТ)| = |л(и)|^ 1, и подчиняются равномерно-
му закону распределения, т. е. имеют математическое ожидание, равное нулю,
н дисперсию ст2, равную 1/3. Следовательно, среднеквадратическое значение (СКЗ)
входной последовательности равно также 1/3. В соответствии с теоремой Парсеваля
N - 1	1 N - 1
Z ,4)12=7. I
л — О
выходная последовательность Х(к) БПФ будет иметь СКЗ N/3, где АГ- размер
преобразования. С целью уяснения методики анализа ошибок получим алгоритм
БПФ в аналитическом виде. Для этого в выражение для М = 2’-точечного ДПФ (5.1)
n  1	_.2, .
Х(Л)= X х(п)е	.., N-1.	(5.36)
П- О
необходимо подставить двоичное разложение коэффициентов п и к:
h = hv2v-1 +«v-i2v“2+ ... +«!,
k = kj.'~'+k^~2+...+кЛ	( }
щ, *,=0,1.	J
В результате алгоритм БПФ можно представить, как ранее убедились, в виде
v f-1-ступенчатого процесса.
На ступени т=0 производится двоично-инверсная перестановка входной
последовательности
А'0(и12'”1 +h22v '2 + ... +nv)=.x(nv2v_ 1 +hv. ,2v ’ 2 + ... +и,).
На каждой из остальных v ступеней (т= 1, 2, ..., v) производится преобразование
типа «бабочка» выходной последовательности предыдущей ступени.
Так, на ступени т = 1 производится преобразование последовательности
Л"о («1, .... nv):
Xi (ni, nv-t, ki)= X0(nt, ..., nv-i, Hv)e 12'"Л.
n, = 0
На ступени m = 2 преобразование последовательности Xt (nt, ..., hv i, *i)
x2(nt, fiv-2, klt kt)= X Xi(ni, .... «v t, ki)c j 2‘"'"<k‘2 ik'\
n, j - 0
Ha nr-й ступени
Xmfyll, •••. Wv-m* km...ktj
1	,2я	. ,	.	(5'38)
= £	Hv-m+l, km ,...kx)c 12~"'"Лк"г + - k \
л,. .. । - 0
Так постепенно в двоичном представлении индекса последовательности
Хт с увеличением т происходит замена коэффициентов и, на kj.
Наконец, при т = у
A"v(^v, ..., Л,)= £ Xv-i(ni,ky i, ki)e 12-"'(k-2 + '"4t|).
И) - 0
139
Выходная последовательность последней ступени является искомой:
Х(к) = Х(к„-2''+ ... + kl)=Xv(ky/-2''~'+kv-i'2v~2 + ... +£t).
Представим индекс элемента т-й ступени в виде
(«1.......и,-т,	•••> &i) = 2v '1и1+2',-2и2 + ... +2mnv-„ + 2m" 'k„ + ... +kt =
= 2nl+q.	(5.39)
Тогда число Xm(2ml+q) можно рассматривать как q-й элемент l-го блока т-й
ступени.
Пример 5.6. Рассмотрим описанную процедуру синтеза алгоритма БПФ
с прореживанием по времени на примере 16-точечного ДПФ. В этом случае
v=4. Индексы пик представим следующим образом: и = и423 + и322 + «22T«i,
к=кл2^ку22+к22 + к{.
Подставляя и и А: в выражение для 16-точечного ДПФ, получаем
Т(МзА2А1)= X Е Е X ф4«з«2П1)х
Л| = 0 л2=0 н, = 0 л4~о
-2т5<".-2' + п.-2' + лг-2 +и1)(И,-2’ + И1-2'-И1 2 + И,)_ V
хе 16	— 2_,
I х
Е
л,--О _л2 = 0 _л,г0 _ л4 = О
*Х0(пх, п2, п3, и4)е 1 2‘ 2
-2-2-"-21п,(*,-2+*,)
е 2
-J^-2";(*V2' + *1-2
е 2
X
... т*,)
хе 2
Теперь распишем алгоритм по ступеням:
щ = 0 — инверсия входной последовательности:
То(и1 • 23 + п2 * 22 + «з • 2+л4)—х(и4* 23 -f- и3 • 22 4- и2 • 2 4- Hi
т=1 преобразование «бабочка» последовательности Хо:
*1(«1’ ”2’ «3, ki)= X ТО(И1, п2, п3, и4)е 1 2*'
л4 - О
т = 2 преобразование «бабочка» последовательности Х^.
Т2(и1, и2Д2Д1)= 5L ТДи,, п2, и3Д1)е '2^“12+‘').
л, - О
/и = 3	преобразование «бабочка» последовательности Х2.
Хз(пз,кз,к1,кз)= £ X2(nt, п2, к2, z.i)e_J^'"l‘,'2’+V2+‘',;
л, = 0
т=4 - преобразование «бабочка» последовательности Ху.
хл(кл, кз, к2. X Хз(иь кз, к2, А.1)е >2>'^2‘т‘!'21+‘<2+‘'>
Л( - О
Искомая выходная последовательность
Х(к) = Х{к.ц, кз, к2, к\) = Х^(кл, к3, к2, kt).
140
q-ошибка масштабирования ® ошибка округления произведения
Рис. 5.5
Направленный граф полученного в примере 16-точечного БПФ с указанием
источников элементарных ошибок округления произведений и масштабирования,
а также путей их распространения изображен на рис. 5.5. Ошибки округления
появляются в местах умножения комплексных чисел на нетривиальные повора-
чивающие множители.
Ошибки масштабирования появляются на обоих входах каждой операции
«бабочка» из-за сдвига входных чисел на один разряд вправо (деление на два).
Элементарные ошибки округления и масштабирования, возникающие на
различных ступенях алгоритма, приводят к тому, что отсчеты ДПФ АДА:) на
выходе вычисляются неточно.
Обозначим ошибку вычисления А-го отсчета ДПФ через е(к) = Х' (к) — Х(к),
где X' (к) - вычисленное значение отсчета.
Анализ траекторий распространения элементарных ошибок, возникающих на
различных ступенях алгоритма, позволяет сделать следующие выводы:
1.	Элементарная ошибка с дисперсией а2, возникающая на т-й сту-
пени алгоритма, вызывает ошибку с дисперсией а2 в 2v-m выходных точ-
ках БПФ.
141
2.	Дисперсия ошибки каждого выходного отсчета алгоритма, обусловленной
округлением произведений, равна сумме ошибок, 2v“m из которых вызывается
ошибками т-й ступени.
Перейдем к анализу арифметических ошибок. В силу того, что математическое
ожидание всех элементарных ошибок равно нулю, математическое ожидание
результирующей ошибки Л’(е(Л))=0 для всех к. Тогда СКЗ ошибок ДПФ будет
определяться только дисперсией элементарных ошибок.
Дисперсия ошибок округления произведения двух комплексных чисел на т-й
ступени равна 4о21122т. Множитель 22т появляется из-за масштабирования на
т предыдущих ступенях путем деления пополам.
Вычислим СКЗ ошибок е(к), k = 0,...,N—\. Из анализа алгоритма БПФ
(5.38) и соответствующего направленного графа следует, что нетривиальные
умножения, связанные с вычислением отсчета X (к), появляются, начиная со
ступени
,v(A) = 2 + min {i:A,= 1}.	(5.40)
где k=kv2' i+ky-l2'1 2-I- ... +kt. Это объясняется тем, что первое появление
единицы в двоичном представлении A:Am=l, от = пнп {(: А,= 1}, соответствует
i
умножению на коэффициент -1 на ступени т. тогда на следующей от + 1-й
ступени наличие коэффициента кт=] приведет к умножению на j, а уже на
т+2 и далее ступенях все умножения будут нетривиальными. Это хорошо
проследить, анализируя выражение (5.38), описывающее т-ю ступень алгоритма.
Можно показать путем вычислений s(k), что для определения отсчетов с номерами
А = 0, jV/4; N/2; ЗУ/4 не требуется выполнение нетривиальных умножений, все
умножения здесь на ±1; +/. Ошибка округления этих отсчетов равна нулю.
А для вычисления СКЗ ошибок округления отсчетов с другими к воспользуемся
вторым выводом. В результате получим
£(|е(А)|2 )„=<
0 для А=0; У/4; У/2; ЗУ/4,
v	2-2bi	(5.41)
4а2к £ 2v 'm22m = —— (2У-25|И)У для других к.
m — s(k}
Пример 5.7. Рассмотрим вычисление ошибок округления отсчетов 16-
точечного БПФ. Для это1 о выпишем для каждого номера отсчета его двоичное
представление min {/:А, = 1}, s(k). Затем пользуясь выражением (5.41). вычисляем
ошибки округления. Результаты расчетов приводятся в табл. 5.1. Заметим, что
отсчеты с номерами к = 4, 8, 12 вычисляются точно так, как л(А')>4, где
4—максимальное число возможных ступеней алгоритма, т. е. в формировании
отсчетов с номерами 0, 4, 8, 12 участвуют умножения только па тривиальные
множители (+1, +у) (см. также граф на рис. 5.5).
Вычислим СКЗ ошибки, усредненное по всем к. На первых двух ступенях
алгоритму (от =1,2) все умножения являются точными, так как множители
тривиальны (±1, +/); на выходах т-й ступени (ot = 3,...,v) появляется У произ-
ведений в 2‘ блоках, причем четыре произведения в каждом блоке являются
точными в результате умножения также на тривиальные множители.
142
Таблица 5.1
Деся- !ичное пред- став- ление	Двоичное представление кл ку к2	к.	m = min {г.к( = I) i	л (к) = т Ь 2	Ошибка округления (2Л'-21,м)Лг-2 26i/3	Суммарная ошибка округ- ления и мас- штабирования 22fci/3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15	0	0	0	0 0	0	0	1 0	0	10 0	0	11 0	10	0 0	10	1 0	110 0	111 10	0	0 10	0	1 10	10 10	11 110	0 110	1 1110 1111	1 2 1 3 1 2 1 4 1 2 1 3 1 2 1	3 4 3 5 4 3 4 3 64 3 4 3 5 4 3 4 3	0 384 • 2/3 256 384 0 384 256 384 0 384 256 384 0 384 256 384	720 1122 976 1122 720 1122 976 1122 720 1122 976 1122 720 1122 976 1122
СКЗ ошибки округления, усредненное по всем к				256	
СКЗ суммарной ошибки, усредненное по всем к					976
Тогда, пользуясь выводом 1, получаем
/1 n-1	\ 4ст2 v	2-2I,i
- Y Е(|е(к)|2	= —-р £ (Л/—4 • 2v-m) • 22т • 2v-m = —— (27V2-4v7V). (5.42)
/ох	т^З	3
В случае 16-точечного БПФ
I /Г(|е(А)|2Л =2-2fci/3-256.
V”* = 0	/ок
Определим СКЗ выходной ошибки алгоритма, обусловленной масштабирова-
нием промежуточных результатов. Ошибка масштабирования комплексного числа
на т-й ступени алгоритма имеет нулевое среднее и дисперсию сг(/-22т. Множитель
22т появляется из-за масштабирования на т предыдущих ступенях.
В соответствии с выводом 2 СКЗ индивидуальной ошибки равно
£(|e(k)|2)M = a^ X •2v-m-22m = 2-2',iyV^-l).	(5.43)
nt = О
В случае 16-точечного БПФ
^(|e(k)|2)M = 2“2,’i(2v + 2v“1 -22 + 2у_2 •24 + 2v-3 •26) = 2-2,’i (Л + 2Л + 4Л +
720
+ 8A')=15,V-2~2i,i=240-2~2i,i= — -г’2»!.
143
Усредненное по всем выходам к СКЗ также равно
/ 1 "-1	\
- £ Ь’(|е(Аг)|2) \ =2~2^N(N-\).	(5.44)
\/Vt = 0	/и
Среднеквадратическое значение суммарной ошибки, обусловленной округле-
нием и масштабированием, вычисляется как сумма отдельных СКЗ:
{TV(TV— 1)2 ' 2ьт для Л = 0;
2-2»,	(5.45)
—-— N(2N—2s<‘*)+2 2i>1 N(N— 1) для других к;
СКЗ суммарной ошибки, усредненное по всем выходам алгоритма, равно
/ 1 N- 1	\	2 ' 2Ь1
- £ £’(|е(А)|2) =т (5У2-4уУ-ЗУ).	(5.46)
\	/ М. ок 4
В случае 16-точечного БПФ
\ 'r>t = o
СКЗ суммарных ошибок также приведены в табл. 5.1.
принято оценивать по отношению «СКЗ ошибки/СКЗ
данном случае оно составляет
|	=(2“2',i/3)-976.
М, ок
Результаты вычисления
Точность алгоритма
выходного сигнала». В
«СКЗ ошибки»
«СКЗ выходного сигнала»
В случае 16-точечного БПФ
«СКЗ ошибки»	„ „
-----------------------= 80-2-2Ь'.
«СКЗ выходного сигнала»
Как видно из полученных выражений, точность алгоритма зависит от двух
параметров: длины преобразования N н разрядности представления чисел 6,.
Если известны требования по точности вычисления и размер преобразования,
разрядность процессора БПФ можно определить из следующего выражения,
полученного логарифмированием выражения (5.47):
«СКЗ ошибки»
V + log 2 5 — log2 ——----------------
«СКЗ выходного сигнала»
-------------------------------------.	(5.48)
Теперь перейдем к анализу ошибок БПФ, вызванных неточным представ-
ая ,
- j — пк
леннем значений поворачивающих множителей Wn—e N Пусть
N - i
Z(Zc) = У, *(«)	— точные значения коэффициентов Фурье, а .¥'(&),— неточные.
п~0
полученные прн условии представления коэффициентов конечным числом разрядов
N- 1
Г(Л)= X -v(«)«,.v
н = 0
144
В рассматриваемом алгоритме каждый элемент С1„к представляет собой
произведение v квантованных коэффициентов. Действительно, можно показать,
что каждый отсчет входной последовательности, продвигаясь к к-му выходу
(см. рис. 5.5), на каждой ступени алгоритма претерпевает умножение только па
один поворачивающий множитель, т. е.
а„!= П(^“. + 5,.),	(5.49)
;= 1
I де
nW,4=W'”‘.	(5.50)
1
Дисперсия элементарных ошибок округления комплексных коэффициентов
равна 2~ 2ь2/6.
Индивидуальная ошибка БПФ, обусловленная окрутлепнем коэффициентов,
равна
N- 1
е(к) = Х'(к)-Х(к) = X х(и)(П„*-И^‘).	(5.51)
л - О
Вычитая (5.50) из (5.49), получаем
V	V
flnt — i¥"k = X 8,- П W“J + члены высшего порядка.
Пренебрегая членами высшего порядка н подставляя последнее выражение
в (5.51), получаем следующее СКЗ ошибки, вызванной квантованием коэффици-
ентов:
v	<*• 1
-•2-“2 X 1^(«)12-	(5-52)
V	п~О
По теореме Парсеваля СКЗ выходною сигнала равно
VxVv(A-)|2 = ‘x U(«)l2-	(5.53)
'Ч = О	п-0
Отсюда «СКЗ ошнбки/СКЗ выходного	сигпала» = (\’/6)2'2h'.	В случае
16-точечного БПФ
«СКЗ ошибки/СКЗ выходного сигнала» = (2/3)2 2i>2.	(5.54)
Здесь рассмотрены вычислительные ошибки только одного из многочисленных
алгоритмов БПФ для определенного вида представления чисел. С таким же
успехом использованный подход может быть применен для анализа ошибок
других алгоритмов. При этом, очевидно, СКЗ ошибок будет существенно зависеть
от конфи:урацин направленного графа алгоритма, способа представления чисел
и метода масштабирования. Анализ вычислительных ошибок наиболее важных
классов алгоритмов БПФ проведен в [11].
145
Глава 6. НЕКОТОРЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД СПЕК-
ТРАМИ СИГНАЛОВ В ТЕХНИКЕ
СВЯЗИ
6.1.	ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
При обработке сигналов в технике связи возникает ряд задач, связанных
с преобразованием спектров сигналов. Некоторые из них решаются с помощью
цифровой фильтрации. В отдельную группу можно выделить задачи, требующие
перемещения спектра сигнала на оси частот. Такие преобразования сигнала
являются типичными в технике многоканальной связи прн формировании
группового сигнала с частотным разделением каналов (ЧРК) из отдельных
канальных сигналов или при выделении отдельных канальных сигналов из
группового сигнала с ЧРК. Особенностью указанной обработки является то,
что амплитудный спектр сигнала практически не изменяется. Меняется лишь
положение спектра на оси частот. В данной главе рассмотрим цифровые методы
переноса спектра сигнала, инверсии спектра и методы формирования сигнала
с одной боковой полосой. Применение указанных методов в конкретных
устройствах связи будет рассмотрено в гл. 9.
6.2.	ПЕРЕНОС И ИНВЕРСИЯ СПЕКТРА
ПЕРЕНОС И ИНВЕРСИЯ СПЕКТРА ВЕЩЕСТВЕННОГО
СИГНАЛА
Рассмотрим дискретный вещественный сигнал х(нТ), спектр
Jf(ej2’IW) которого в основной полосе нормированных частот
we [0; 0,5] занимает полосу [иу и’2 ]. Модуль спектра сигнала
х(пТ) условно показан па рис. 6.1,а.
Перенос спектра по оси частот на величину у осуществляется
путем умножения отсчетов сигнала х(пТ) на отсчеты дискретной
~	спектр

экспоненты е-'2’1 пу, причем 0<|у| <0,5. Действительно,
X'(ej2’tw) сигнала х(пТ) равен

jf(eJ2”w)= £ х(пТ)е^2глк.
п = О
Спектр же сигнала y(nT) = x(nT)exp(j2nny) равен
y(e'2’IW) = £ y(nT')e~j2nnw = x(nT)eJ2nn4~J2nnw =
п = 0	п = О
= f х(«Т)
п - О
— j 2пп (w-у)
(6-1)
(6.2)
146
г) I
и кик
-0,5 О
0,5	.	/ w
е)
Рис. 6.1
Сравнивая (6.1) и (6.2), получаем
Г(е
j 2л и»
(6.3)

Из формулы (6.3) видно, что спектр сигнала у(пТ) пред-
ставляет собой спектр сигнала х(пТ), сдвинутый по оси частот
па величину у.
Схема, осуществляющая операцию сдвига спектра веществен-
ного сигнала, показана на рис. 6.2, а. Здесь, правда, нужно не
забывать, что умножитель должен выполнять операцию комп-
лексного умножения отсчетов входного сигнала на отсчеты
комплексной экспоненты
е; 2я пу _ cos (2 я « у) 4-у sin (2я «у)
и выходной сигнал у(,пТ) схемы в общем случае явля-
ется комплексным. Фактически сдвиг спектра выполняется
схемой, показанной на рис. 6.2,(5. Выходные сигна-
x(nT)yL у(пТ)
—ЧхУ*
vx(27inf)
х(пТ) sin (Zany)
Уг(пТ)
6)
Рис. 6.2
Zcos(Z^ny)
Р
147
лы у\ (пТ) —х(пТ) cos (2ппу) и у2(пТ) = х(пТ)ып(2т1пу) пред-
ставляют собой соответственно вещественную и мнимую со-
ставляющие комплексного выходного сигнала у(пТ)=у1 (пТ) +
+jy2 (пТ).
Рассмотрим теперь, как влияют величина и знак параметра
у на сдвиг спектра исходного сигнала. Если Y = Yi>0, спектр
сдвигается по оси частот вправо. На рис. 6.1,6 показан модуль
спектра Y(ei2nw) при y1 = (w1 + w2)/2. Нижняя боковая полоса
основного спектра исходного сигнала (w<0, we[—w2, — и\])
расположится теперь на оси частот симметрично относительно
частоты w = 0 и займет полосу частот [ — (w2 — n'i)/2, (w2 — w,)/2].
Действительно, из формулы (6.3) получаем
(»,-»,)	М-и-а
у(е’2’ 2 ) = А'(е/ V 2 .... 2 7) = Jf(ej2’'(-w2’).
Аналогично можно получить
r(e;2n^') = y(eJ'2’I^wi’).
Верхняя боковая полоса основного спектра исходного сигнала
(w>0, и’е [vv’p и’2 ]) займет полосу частот [(Зи», + w2)/2,
(iv, + 3iv2)/2].
Если у = у2<0, то спектр сдвигается по оси час гот влево.
На рис. 6.1, в показан модуль спектра Y(ej2ltw) при
у2 = — (wl + w2)/2. В этом случае симметрично относительно
частоты w = 0 располагается верхняя боковая полоса спектра
исходного сигнала.
Если у = у3, причем rv2^|y3|^0,5 — w2, при сдвиге спектра
обе боковые полосы спектра исходного сигнала располагаются’
в основной полосе частот ([0; 0,5], когда у3>0, и [—0,5:0]];
когда у3<0). На рис. 6.1, г показан модуль спектра K(e-'2,IW)
при у3>0.	;
В рассмотренных выше случаях выходной сигнал у (п Т) схемы (см.;
рис. 6.1,а) является комплексным. Это видно и из рис. 6.1,6—г:
модуль спектра не симметричен относительно >т=0. Часто возни-j
кает задача формирования вещественного сигнала и(пТ), спектр'
U(ci2nv') которого представляет собой спектр исходного сигнала^
х(пТ) с боковыми полосами, расположенными симметрично отно-j
сительно определенной частоты у3(гг2^|у3|^0,5 —>г2). Для получек
ния такого сигнала необходимо умножить отсчеты сигнала х(пТ}
на отсчеты дискретной косинусоиды 2cos2nny3. Соответствующая
схема показана на рис. 6.2, в. Действительно, и(пТ)=х(пТ) х!
х2cos(2nny3) = x(nT)ej2nny^ + x(nT)e~j2ltny^ = ul (пТ) + и2(пТ). 1
Спектр 6/1(ej2’IW) сигнала иДнТ) равен спектру исходного]
сигнала, сдвинутому по оси частот на величину у3 вправо,]
а спектр С2(е;2л"') сигнала и2(пТ) равен спектру исходного?
148
Рис. 6.3
сигнала, сдвинутому по оси частот на величину у3 влево.
Поскольку U(ej2nw) = Ul(eJ2nw) + U2(ej2ltw), сигнал и(пТ) имеет
требуемый спектр, модуль которого показан на рис. 6.1, д.
Важное значение в ряде задач цифровой обработки сигналов
связи играет операция инверсии спектра. Суть операции инверсии
спектра исходного вещественного сигнала состоит в том, что
в основной полосе частот спектр как бы «переворачивается», т. е.
определенная частотная составляющая исходного спектра на частоте
и’* оказывается расположенной на частоте 0,5 — w*. Посмотрим на
рис. 6.3. Вверху условно изображены модуль спектра исходного
сигнала и одна из его частотных составляющих на частоте w*.
Внизу изображены модуль инверсного спектра и соответствующая
составляющая на частоте 0,5 — iv*. Из рисунка хорошо видно, что
инверсный спектр получается из исходного спектра путем сдвига
последнего по оси частот на величину у = 0,5. При этом
У(е72яи’) = А'(е-'2я(и’~0’5)).	(6.4)
Для того чтобы сдвинуть спектр сигнала на величину у = 0,5,
надо умножить отсчеты сигнала х(пТ) на отсчеты дискретной
экспоненты е22я”т = е^я” = (—1)” = {1, —1, 1, —1,...}. Таким об-
разом, операция инверсии спектра вещественного сигнала х(пТ)
осуществляется путем простого изменения знака каждого второго
его отсчета:
у(«Т) = (-1)пл:(пТ), « = 0,1,2,...	(6.5)
Пример 6.1. Рассмотрим сигнал х(пТ) = sin(2ли»-*), где rv* =0,125 (напри-
мер, /*=1 кГц, = 8 кГц). На рис. 6.4,а показаны отсчеты сигнала х(пТ) и для
наглядности штриховой линией огибающая этого сигнала (т. е. тот аналоговый
сигнал, из которого путем дискретизации с частотой fa был получен дискретный
сигнал х(пТ)). На рис. 6.4,в показан модуль спектра X(ei2nw) исходного сигнала,
содержащий одну гармоническую составляющую на частоте и-’‘ = 0,125. Если
изменить знак каждого второго отсчета сигнала х(пТ) по правилу (6.5), получим
сигнал у(пТ), отсчеты которого и огибающая (штриховая линия) показаны на
рис. 6.4,6. Из рис. 6.4,6 видно, что сигнал у(пТ) есть дискретная синусоида
с частотой и, = 0,5-и* = 0,375(/, = 3 кГц). В самом деле, в одном периоде
149
Рис. 6.4
исходной синусоиды укладываются три периода полученной синусоиды. Спектр
У(е-/2'“’) в соответствии с (6.4) представляет собой инверсный спектр исходного
сигнала, его модуль показан на рис. 6.4, г.
ПЕРЕНОС СПЕКТРА КОМПЛЕКСНОГО СИГНАЛА
В ряде случаев цифровой сигнал в системах связи является:
комплексным. Таким, например, является сигнал с одной боковой’
полосой [см. § 6.3]. Операция переноса спектра X(ei2KW) комп-;
150
лексного сигнала x{nT) = xY (nT)+jx2 (пТ) по оси нормированных
частот на величину у осуществляется, в принципе, точно так
же, как и в случае вещественного сигнала: путем умножения
на отсчеты дискретной экспоненты ехр(/2лиу). Однако схема,
осуществляющая эту операцию, несколько отличается от схемы,
показанной на рис. 6.2,б, поскольку исходный сигнал х(пТ)
является комплексным. Действительно,
y(nT) = x(nT)ej2nn'< = (x1 (nT)+jx2 (nT))(cos 2л пу +jsin 2лиу) =
= (xt (иТ) cos 2л пу — х2 (пГ) sin 2л яу) +7 (xt (п Т) sin 2л пу +
+ х2 (п Т) cos 2л пу)=у! (пТ) +jy2 (пТ).
Соответствующая схема показана на рис. 6.5. Выходной сигнал
у(пТ) схемы в общем случае является комплексным.
6.3.	ФОРМИРОВАНИЕ СИГНАЛА С ОДНОЙ
БОКОВОЙ ПОЛОСОЙ
Важную роль в технике связи играют сигналы с одной
боковой полосой (ОБП). Такие сигналы используются, например,
при формировании многоканальных сигналов с ЧРК для получе-
ния максимального числа каналов в заданной полосе частот.
Более подробно вопросы формирования многоканального сигнала
с ЧРК будут рассмотрены в § 9.1. Здесь же остановимся
непосредственно на вопросах формирования сигнала с ОБП.
Рассмотрим дискретный вещественный сигнал х(пТ), спектр
которого в основной полосе нормированных частот we [0; 0,5]
занимает полосу [иу, w2 ], причем 0<w1<w2<0,5. Модуль спектра
исходного сигнала показан на рис. 6.6, а. Задача формирования
сигнала с ОБП состоит в получении такого сигнала у(пТ),
спектр которого содержит лишь одну боковую полосу. Модуль
спектра такого сигнала показан на рис. 6.6, д. В этом случае
спектр сигнала у(пТ) содержит лишь правую боковую полосу
спектра исходного сигнала. Очевидно, что задача формирования
сигнала с ОБП состоит в том, что необходимо путем обработки
исходного сигнала убрать (отфильтровать) одну из боковых
полос спектра исходного сигнала.
Рассмотрим схему формирования сигнала с ОБП, показанную
на рис. 6.7, а. Работу схемы будем рассматривать совместно
с рис. 6.6. Исходный сигнал х(пТ) умножается на дискретную
экспоненту e-/2’,nY. Допустим, что у = — (иу + w2)/2 (о выборе
величины у поговорим ниже). Тогда спектр исходного сигнала
сдвигается на величину у влево, причем верхняя боковая полоса
спектра располагается симметрично относительно частоты и’ = 0
и занимает полосу частот от — (iv2 — ivJ/2 до (>v2 —ivt)/2. Модуль
спектра сигнала x(nT) = x(nT)eJ 2кп'1 показан на рис. 6.6,б. Далее
151
правая боковая полоса выделяется фильтром нижних частот,i
ширина нормированной полосы пропускания Ап которого равна,
(w2-h’j)/2, а ширина нормированной промежуточной полосы!
Апр равна min (2и\, 1 —2и2). Почему величина Аир выбирается!
из такого условия? Дело в том, что левая боковая полоса^
спектра исходного сигнала, которую надо подавить с помощью!

cos (2я пу)
х(пТ)
sin(2trn^)
Рис. 6.7
152
фильтра, отстоит от выделяемой правой боковой полосы на
величину 2И1! влево и 1- 2w2 вправо (см. рис. 6.6,6). Естественно,
что Апр должна быть равна минимальной из этих величин.
Идеализированная АЧХ фильтра показана на рис. 6.6, в (в пашем
примере 211’] <1— 2и’2). На выходе ФНЧ формируется сигнал
у(иТ), модуль спектра которого показан на рис. 6.6, г. Сигнал
у(пТ) уже является сигналом с ОБП, однако его спектр
расположен пока не в том месте оси частот, в котором
находилась соответствующая боковая полоса исходного сигнала
(см. рис. 6.6,а). Для выполнения обратного сдвига верхней
боковой полосы спектра в область частот [иу, iv2 ] сигнал у(пТ)
умножается па дискретную экспоненту е Модуль спектра
выходного сигнала у(пТ) схемы показан на рис. 6.6,д.
Обращаем ваше внимание на то, что сигналы х(пТ), у(пТ)
и у (пТ) являю гея комплексными. Следовательно, и ФНЧ является
комплексным. Это означает, что должны отдельно фильтроваться
вещественная и мнимая составляющие сигнала х(пТ)=хх (пТ) +
+jx2(nT). Более подробная схема формирования сигнала с ОБП
показана на рис. 6.7,6. В этой схеме, полностью соответствующей
схеме рис. 6.7, а, показана реализация операций комплексного
умножения: х (пТ) = х (пТ) еj:^п'1 = х (лТ) cos 2л пу +jx (пТ) sin 2л пу;
у (пТ)=у (пТ) е ~J 2л пу = (yv (пТ) +jy2 (nT))(cos2nny—jsin2nny) =
= (yt (пТ)cos 2л пу+у2 (иГ)sin 2nny)+j(y2 (иГ)cos2л пу—уt (пТ) х
х sin2nny).
Фильтр нижних частот в верхней ветви обрабатывает вещест-
венную составляющую хДиГ) сигнала х(пТ), а в нижней
ветви мнимую составляющую х2(пТ).
Вернемся теперь к выбору величины у. Рассмотрим для
простоты один случай у<0 (сдвиг спектра по оси частот влево).
Коэффициент у определяет сдвиг спектра и, следовательно,
параметры ФНЧ, формирующего сигнал с ОБП. При сдвиге
спектра на величину у левая граничная частота выделяемой
боковой полосы расположится на частоте у + иу, а правая
граничная частота на частоте у + иу (напомним, что у<0).
Поскольку АЧХ фильтра с вещественными коэффициентами
симметрична относительно частоты и’ = 0 (см. рис. 6.6, в), гранич-
ная частота полосы пропускания игп должна удовлетворять
условию
и'г.п^тах(|у + иу|, y + Tv2).	(6.6)
Соответственно граничная частота полосы задерживания
»т1Л<т1п(|у-иу|, 1-иу + у).	(6.7)
Из (6.6) и (6.7) видно, что в зависимости от выбранной
величины у изменяются условия, накладываемые на граничные
частоты игп и и’гз фильтра, что в свою очередь скажется па
сложности фильтра. Графики функций иу.п(у) и и’Г1(у) изображены
153
Рис. 6.9
Рис. 6.8
на рис. 6.8, а, б (для случая + w2 < 0,5) и на рис. 6.9 а, б (дл:
случая + и’2>0,5). Чтобы ФНЧ был возможно проще, про
межуточная полоса ДПр = и’г.3— и’г.п его АЧХ должна быть ка]
можно больше. На рис. 6.8, в и 6.9, в изображены график]
функции Дпр(у), построенные как разность графиков функцш
и'г.з(у) и wr.n(y). На рис. 6.8, в и 6.9, в видно, что: при w1 + w2<0,:
величина Дпр имеет максимальное значение ДпРтох = 2и’1, если
(wi + w2)/2^|y|^(l-H’1-w2)/2;	(6.8
при и’1 + и’2>0,5 величина Дпртах=1—2и’2, если
(1-w1-H’2)/2<y<(h’1 + h’2)/2;	(6.9
при w1 + w2 = 0,5 величина Дпртах = 2и,1 = 1-2и’2, если |у| = 0,25
Формулы (6.6) — (6.9) определяют граничные частоты ФН1
и диапазон возможных значений у при наиболее возможш
широкой промежуточной полосе используемого ФНЧ.
Пример 6.2. Рассмотрим формирование сигнала канала тональной частот!
(ТЧ) с ОБП. Спектр сигнала стандартного канала ТЧ расположен в диапазон
частот 0,3 ... 3,4 кГц, частота дискретизации /д = 8 кГц. Нормированные граничны
частоты спектра сигнала ТЧ: =0,3/8 = 0,0375; н2 = 3,4/8 = 0,425.	5
Формирование прямого спектра. В этом случае и-у =0,0375; iv2= 0,421
и и'1+и’2<0,5. Величина у определяется из формулы (6.8):0,23125|у|0,2687^
154	:
Однако помимо условия (6.8) при выборе значения у необходимо учесть
сложность реализации умножителей в схеме (см. рис. 6.7,6). Реализация операции
умножения оказывается наиболее простой при |у| = 0,25, поскольку функции
cos2n«y и sin2n«y принимают в этом случае значения {1,0, —1}. Поэтому
целесообразно выбрать у= —0,25. Значения граничных частот игп и и-’,, определя-
ются из (6.6) и (6.7) соответственно: iv,n = max(| —0,25 + 0,0375|, 0,425 —0,25) = 0,2125;
и',., = min(|— 0,25-0,03751, 1 —0,425-0,25) = 0,2875. При этом переходная полоса
имеет максимально возможную ширину Л|1Р = Лпртод = 0,2875 — 0,2125 = 0,0750 = 2^.
Формирование инверсного спектра. В этом случае перед обработкой сигнала
с помощью схемы рис. 6.7,6 необходимо выполнить инверсию спектра исходного
сигнала ТЧ по правилу (6.5). При этом полученный инверсный спектр рас-
положится в диапазоне частот от =0,6/8 = 0,075 до w2 = 3,7/8 = 0,4625. Следо-
вательно, в этом случае pv1 + h'2>0,5. Значение параметра у определяем из
(6.9): 0,23125 С |у| 0,26875. Выбираем у= — 0,25. Тогда и'г.п = тах(| —0,25 +
+0,075|, 0,4625 —0,25) = 0,2125 и и-, , = min(|-0,25-0,075|, 1 -0,4625-0,25)=0,2875.
Таким образом, при формировании инверсного спектра канала ТЧ с ОБП
можно использовать ФПЧ с теми же параметрами, что и при формировании
прямого спектра: и-’,.„ = 0,2125; и’,.,=0,2875 при у=0,25.
Глава 7. УВЕЛИЧЕНИЕ ЧАСТОТЫ
ДИСКРЕТИЗАЦИИ (ИНТЕРПОЛЯЦИЯ)
ЦИФРОВОГО СИГНАЛА
7.1.	ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
До сих пор мы рассматривали алгоритмы и устройства цифровой обработки
сигналов при определенной (фиксированной) частоте дискретизации /д и соответ-
ствующем интервале дискретизации Т= l/fn. Вместе с тем в современных системах
связи и радиотехники часто используются устройства и каналы связи с различными
частотами дискретизации. Так, в современном цифровом оборудовании радио-
домов и телецентров приняты следующие стандарты на частоту дискретизации:
для обработки сигнала 48 кГц; для передачи по каналу связи 32 кГц; для
лазерного проигрывателя 44,1 кГц. Для обеспечения совместной работы различных
источников сигнала, системы обработки и каналов связи необходимо осуществить
сопряжения частот дискретизации, т. е. преобразование сигнала с частотой
дискретизации в частоту f'a=\lT'. Аналогичная задача возникает в технике
многоканальной связи (преобразование стандартной частоты дискретизации 60-
канальной группы с частотным разделением каналов, равной 576 кГц, в частоту
512 кГц для передачи по каналу связи).
Процесс преобразования цифрового сигнала от более низкой частоты
дискретизации к более высокой традиционно называют интерполяцией цифрового
155
сигнала (к обсуждению этого термина мы вернемся в § 7.2). Процесс преоб-
разования сигнала от более высокой частоты дискретизации к более низкой
называют децимацией цифрового сигнала.
Появившиеся как средство сопряжения систем с различными частотами
дискретизации алгоритмы преобразования частоты дискретизации (ПЧД) стали
в дальнейшем использоваться и при построении эффективных в смысле вычис-
лительных затрат многоскоростных систем обработки цифровых сигналов,
в которых различные этапы обработки выполняются на различных частотах
дискретизации.
В настоящей главе мы рассмотрим основные алгоритмы интерполяции
дискретных сигналов, а также структуры соответствующих устройств цифровой
обработки сигналов. Алгоритмы и структуры устройств децимации сигналов
будут рассмотрены в гл. 8.
7.2.	ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ И ОСНОВНЫЕ
ПОНЯТИЯ ЦИФРОВОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИ
СИГНАЛОВ С ЦЕЛОЧИСЛЕННЫМ
КОЭФФИЦИЕНТОМ
В математике задачей интерполирования решетчатой функции
является задача построения решетчатой функции у(пТ) с ин-
тервалом дискретизации Т по конечному множеству {х(0), х(Г'),
х(2Т’),...,х(кТ')} известных значений решетчатой функции
x(yT’)=x(yLT), T' — LT, такой, что в заданных точках у(пТ) =
=y(LvT) = x(yT'), v = 0, 1,...,к, а в остальных точках (нТ#0,
LT, 2LT, ...,kLT) функция у(пТ) приблизительно равна функции
x(t), из которой образована исходная решетчатая функция x(vT'),
Иными словами, по заданным отсчетам исходной решетчатой
функции х(уТ') с относительно большим интервалом диск-
ретизации Т" строится решетчатая функция у(пТ) с интервалом
дискретизации Т, в L раз меньшим исходного (T=T'IL), причем
в исходных точках {О, Т', 2Т,...} или {О, LT, 2LT,...} отсчеты
обеих функций совпадают (y(nT)=y(LvT) = x(yLT), v = 0, \,...,к).
Таким образом, если исходная решетчатая функция х(уТ')
содержала £+1 отсчет, то полученная решетчатая функция у(пТ)
содержит kL + 1 отсчет (между каждой парой отсчетов х(1Т]
и х((/+1)Т) добавляется L—1 отсчет).
В цифровой обработке сигналов термин «интерполяция» имеет
несколько другой, гораздо более широкий смысл: под ин-,
терполяцией понимается процесс цифровой обработки сигналов,
приводящий к формированию сигнала у(пТ) с повышенной
частотой дискретизации из сигнала x(vT') = x(yLT) с более низкой
частотой дискретизации при определенных ограничениях на
временные и спектральные изменения исходного сигнала.
Можно выделить зри разновидности процесса интерполяции
при ЦОС:	<
156
Рис. 7.1
1)	увеличение частоты дискретизации осуществляется в соот-
ветствии с математическим понятием интерполяции;
2)	при увеличении частоты дискретизации исходные отсчеты
дискретного сигнала x(vT') оказываются утерянными, однако
отсчеты выходного сигнала у(пТ) могут рассматриваться как
отсчеты исходного аналогового сигнала x(t), из которого путем
дискретизации с интервалом Т' образован исходный дискретный
сигнал -x(vT'). В этом случае форма огибающей сигналов x(vT')
и у(пТ] (и спектр) не изменяется;
3)	увеличение частоты дискретизации приводит к изменению
формы интерполируемого сигнала, однако модуль спектра не
меняется.
Чтобы пояснить эти разновидности процесса интерполяции
при ЦОС, рассмотрим схему, показанную на рис. 7.1. Входной
аналоговый сигнал x(t) поступает на идеальный дискретизатор
Д, работающий с интервалом дискретизации T' = LT (L — целое
число). Выходной дискретный сигнал дискретизатора x(vT'),
v = 0, 1, 2, ..., поступает на идеальный интерполятор ИИ,
увеличивающий частоту дискретизации в целое число раз L.
Таким образом, сигнал у(пГ) можно рассматривать как результат
дискретизации исходного аналогового сигнала х(/) с интервалом
дискретизации T=T'fL. Выходной сигнал схемы у(пТ), п = 0,
1, 2, ..., получается в результате преобразования выходного
сигнала ИИ у(пТ) линейной дискретной системой Яф с частотной
характеристикой:
tf9(eJ'2*w) = e~jR(w)2’,w.	(7.1)
Иными словами, амплитудно-частотная характеристика систе-
мы |Яф(-)| = 1 (т. е. форма модуля спектра не изменяется).
Рассмотрим для определенности работу этой идеальной схемы
при конкретных параметрах: интервал дискретизации Г'=1/8 с
(частота дискретизации /д = 1 /Г' = 8Гц). £ = 2, входной аналого-
вый сигнал x(?) = sin2n/iZ-|-sin27r/27 (/1 = 1Гц. /2 = 2 Гц). На
рис. 7.2, а и б показаны аналоговый сигнал x(z) и модуль его
спектра |Аг(/)|, на рис. 7.2,в—дискретный сигнал х = (\>Т') =
= sin 2луи’'] +sin 2ttvh’2 = sin(Trv/4) + sin(nv/2) с частотой дискрети-
зации /д=1/Т' = 8Гц (w'i=/i//;=l/8, и'2=/2//д = 2/8), на
рис. 7.2, г- выходной дискретный сигнал ИИ у (пТ) = sin 2nnwl +
+ sin 2nnw2 = sin (кп /8) + sin (nn/4) с частотой дискретизации
/л = £Л=1/Г=1/Г=16Гц (ич =Л//Д=1 /16, ^2=/2//д = 2/16).
157
Рис. 7.2
Вариант 1. Дискретная система обладает линейной фазо-,
частотной характеристикой. Это значит, что R(w) в (7.1) не’
зависит от частоты (7?(и1) = const). Допустим, что R[w) = Rt,
причем 7?!—целое число. Фазочастотная характеристика при!
этом имеет вид <pt (и’)= — R^rnv (линейно зависит от частоты)..
Возьмем для определенности Ri =4. Тогда выходной сигнал’
у(пТ) представляет собой сумму входных синусоидальных со-
ставляющих, сдвинутых по фазе на величины — 7?12л:ид
и —7?12л:и'2-Следовательно, j’(«T) = sin^7tn/8 — ^ + sin^ — 7r^. При,
целом 7?1 фазовый сдвиг соответствует задержке сигнала во?
временной области на целое число интервалов дискретизации,'
равное 7?! (см. гл. 3). Таким образом, отсчеты выходного сигнала!
у(пТ) равны отсчетам сигнала у(пТ), задержанным на интервал!
RiT, т. е.	7?1Т) = х(/) при t = nT—RlT (рис. 7.2, д).
Это значит, что совокупность ИИ и дискретной системы'
с частотной характеристикой 779(ej2’IW) = e _уЛ|2яв’ (линейной фазовой
характеристикой <pt (nj= — R^nw, причем Rt — целое) также мож-;
но рассматривать как идеальный интерполятор, увеличивающий’
158
частоту дискретизации в соответствии с математическим определе-
нием процесса интерполяции.
Вариант 2. Дискретная система Н9 обладает линейной фазо-
частотной характеристикой <р2(и’) = — Ri2nw, причем R2 = const —
нецелое число. Допустим для определенности, что /?2 = 3,5. Тогда
выходной сигнал у(пТ) представляет собой сумму входных
синусоидальных составляющих, сдвинутых по фазе на величины
-7?22ли'1 = — 7л/16 и —/?22ли>2= — 7л/8. Следовательно, у(пТ) =
= sin(nH/8 —7л/16) + 81п(ли/4 —7л/8) (рис. 7.2,е). Фазовый сдвиг
гармонических составляющих на — R22nw (где R2 — неправильная
дробь) соответствует задержке сигнала во временной области
на нецелое число интервалов дискретизации. Следовательно,
отсчеты сигнала у(пТ) в этом случае не равны отсчетам сигнала
у(пТ). Это в свою очередь означает, что отсчеты исходного
сигнала x(yT') = x(yLT), поступившего на вход интерполятора,
оказались утерянными.
Вместе с тем отсчеты сигнала у(пТ) можно рассматривать
как результат идеальной дискретизации исходного аналогового
сигнала x(t), взятого с задержкой t3 = R2T: y(nT) = x(t) при
t = nT— R2T. Это хорошо видно из рис. 7.2, е: показанная штри-
ховой линией огибающая сигнала >(иТ) совпадает по форме
с исходным сигналом х(/). Следовательно, если наличие исход-
ных значений интерполируемого сигнала x(vT') не обязатель-
но в выходном сигнале у(пТ), можно принять, что сово-
купность ИИ и дискретной системы с частотной характеристикой
Я(р(е-/2’1И’) = е ~jR22m	(линейной фазовой характеристикой
ф2(и’) = — 7?22tw, причем R2—неправильная дробь) также решает
задачу интерполяции дискретного сигнала. Как и в первом
варианте, модуль спектра сигнала у(пТ) совпадает в основной
полосе частот с модулем спектра входного сигнала x\t) (см.
рис. 7.2,б).
Вариант 3. Дискретная система 7/ф обладает нелинейной ФЧХ
Фз(и,)= — /?3(w)2tw. Допустим, /?3(и’1) = 4, а А3(>г2) = 2. Тогда
выходной сигнал у\пТ) представляет собой сумму входной
синусоидальной составляющей на частоте ид, сдвинутой по фазе
на величину — 7?3(vv1)2tov1 = — л/2, и составляющей на частоте
и’2, сдвинутой по фазе на величину — R3(w2)2tiw2= — л/2. Сле-
довательно, у’(иТ) = 51п(л:н/8 — n/2) + sin (ли/4 — л/2) (рис. 7.2,ж).
Из рис. 7.2, ж хорошо видно, что огибающая сигнала у(пТ)
значительно отличается от сигнала х(г). Отсчеты сигнала у\пТ)
не равны отсчетам сигнала у(пТ), равно как не являются
отсчетами сигнала х(г).
Вместе с тем модуль спектра сигнала у(пТ) в основной
полосе частот по-прежнему имеет тот же вид, что и модуль
спектра входного сигнала x(t), поскольку сигнал у(пТ) пред-
ставляет собой сумму дискретных синусоид единичной амплитуды
на частотах и1, и w2 (см. рис. 7.2,6). По дискретному
159
Рис. 7.3
сигналу у(лТ) может быть восстановлен аналоговый сигнал
х(/), модуль спектра которого совпадает с модулем спектра
исходного сигнала х(/).
Следовательно, для определенного класса сигналов в технике
связи и радиотехнике, в котором фазовые соотношения между
гармоническими составляющими на входе и выходе устройстг
обработки не играют роли (например, для речевых сигналов)
можно принять, что совокупность ИИ и дискретной системь:
с частотной характеристикой Hv(eJ2nw) — e	также осущест
вляет интерполяцию дискретного сигнала в системе увеличение
частоты дискретизации сигнала при сохранении вида модуле
его спектра.
Рассмотрим теперь частотную интерпретацию процесса ин
герполяции цифрового сигнала с целочисленным коэффициентов^
L. Для этого рассмотрим рис. 7.3, на котором изображены
модуль спектра X[j(i>) исходного аналогового сигнала x(t-
(рис. 7.3, а); модуль спектра Т(е'“7’) дискретного сигнала x(vT')
полученного путем дискретизации сигнала х(/) с частотой диск
ретизации /д (рис. 7.3, б); модуль спектра л(е>7) дискретное
сигнала х(нТ), полученного путем дискретизации того же сигнал;
х(/), но с частотой дискретизации /д, в той раза большей, net
частота/д(/1 = 3/’д) (рис. 7.3, в). Спектр X\Qjar) периодичен с ча
стотой дискретизации /д, а спектр А'(е-'0>т) периодичен с частота
/д. Таким образом, отличие между этими спектрами состои
в том (не считая амплитуды, о чем будет сказано ниже), чт<
в спектре У(е>7’) имеются «лишние» частотные составляющи
(с центральными частотами f’a и 2/д). Таким образом, процес
повышения час го гы дискретизации сигнала x(vT') эквиваленте!
преобразованию спектра сигнала от. вида рис. 7.3, б к виду 7.3, t
т. е. подавлению «лишних» частотных составляющих исходное
спектра.
Естественно, что здесь процесс интерполяций поясняете
в самом общем виде. Более подробное рассмотрение буде
проведено в § 7.4.
160
7.3.	ЭКСПАНДЕР ЧАСТОТЫ
ДИСКРЕТИЗАЦИИ
Мы уже уяснили, что процесс интерполяции осуществляется
путем цифровой фильтрации с целью подавления «лишних»
составляющих спектра. Однако цифровой фильтр работает на
определенной частоте дискретизации. Следовательно, перед циф-
ровой фильтрацией сигнала необходимо осуществить предвари-
тельное увеличение частоты дискретизации исходного сигнала
в нужное число раз L. Эту операцию осуществляет экспандер
частоты дискретизации (ЭЧД).
Условное изображение ЭЧД, осуществляющего предваритель-
ное увеличение частоты дискретизации в целое число раз Л,
показано на рис. 7.4. Входным сигналом ЭЧД является дискрет-
ный сигнал с интервалом дискретизации Т' (частотой диск-
ретизации /д), описываемый решетчатой функцией x(vT'), v = 0, 1,
2, ... Сигнал x(v7’') преобразуется по алгоритму
л-'(иГ) =
7') ПрИ п = 0, L, 2L, ...,
О
при других п.
(7.2)
Таким образом формируется выходной дискретный сигнал
с интервалом дискретизации T=T'fL, в L раз меньшим исходного
(частотой дискретизации /д=1/7’, в L раз большей исходной),
описываемый решетчатой функцией х (nT)=x‘(nT'/L), п — 0, 1,
2. ...
Из (7.2) видно, что последовательность х* (пТ) получается
из последовательности х(уТ') путем ввода L—1 нулевого отсчета
между каждой парой отсчетов исходной последовательности. На
рис. 7.5 показаны последовательности x(vT') и х’(пТ) на входе
и выходе ЭЧД при увеличении частоты дискретизации в L = 3.
Перейдем теперь к вопросу о спектральных изменениях сигнала
в ЭЧД. Запишем вначале выражения для z-преобразований
х(уГ)
X(zL)
х*(пТ)
Х*Ю
Рис. 7.4
(’ Заказ 3574
161
|/Ге;"г7)|

Рис. 7.6
входной и выходной последовательностей:	;
У(г')= f x(vr)(?)-v,	(7-3')j
v=°	J
где	z' = exp(jcoT'),	I
Г(г) = E x‘(«T)z"",	(7.3")
n = °	j
где	z = exp(jtt)7T)-	.1
Поскольку T’ = LT, очевидно, что z' = zL.	1
Преобразуем теперь (7.3"), учтя, что х* (пТ) = 0 при w/0, L, 2L, ...:|
JT(z) = £ x*{kLT)z~kL.	(7.41
fc~O	!
Если учесть, что LT=T', a zL = z' и, следовательно!
z~kL=(z')~k, то, сравнив (7.4)	с (7.3'), получим	1
r(z) = X(z').	(7.5|
Это означает, что z-преобразования входного и выходного!
сигналов ЭЧД тождественны.	Я
Соотношение для спектров входного и выходного сигналом
ЭЧД можно получить из (7.5), если подставить z' = exp(j®T')=j
= eJ“LT и z=e7 .	Я
T*(eJ“T) = T(eJ“LT)	(7.6'i
или	Я
X'{ci2nw) = X(ci2nLw\	(7.6"Я
где и’ = ®/®д = ю7’/(2л) — нормированная частота. .	Я
Таким образом, выходной сигнал ЭЧД х’(иТ), форм»
руемый из входного сигнала x(vT') по алгоритму (7.2), имеем
тот же спектр, что и входной сигнал. На рис. 7.6 условцЯ
показаны модули спектров входного и выходного сигналов ЭЧЛ
при L = 3.	Я
162
Обратите внимание: спектр выходного сигнала периодичен
со «старой» частотной дискретизацией а>’д=2п/Т', а не с новой,
увеличенной частотой (да = Ь(д'а = 2п/Т, как это обычно имеет
место для сигналов, интервал дискретизации которых равен Т.
7.4.	УРАВНЕНИЯ И ПРИНЦИП РАБОТЫ
ПРОСТЕЙШЕЙ СИСТЕМЫ ИНТЕРПОЛЯЦИИ
С ЦЕЛОЧИСЛЕННЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ L
Простейшая схема повышения частоты дискретизации (ин-
терполяции) дискретного сигнала в целое число раз (с целочис-
ленным коэффициентом L) показана на рис. 7.7, а. Входным
сигналом схемы является сигнал x(vT'), v = 0, 1,2, с интервалом
дискретизации Т'. Предполагается, что сигнал x(vT') с финитным
спектром X(j&), занимающим полосу частот юе [0, о)тах]. Ча-
стота дискретизации /д^сотах/п. На рис. 1.1,6 (графики 1 и 2)
показаны модули спектров сигналов x(t) и x(vT') на нормирован-
ной оси частот (\г = (о/(Вд = (в/(Т(Вд)) для случая L = 3 (сод = 3аэ'д =
бейтах)’
Входной сигнал х(уТ') поступает на экспандер частоты
дискретизации, осуществляющий предварительное увеличение ча-
стоты дискретизации в L раз по алгоритму (7.2). Спектры
выходного и входного сигналов ЭЧД равны и периодичны
с частотой w'a=\/L (см. § 7.3). Связь спектров сигналов х’(иТ)
и x(vT') со спектром ^V(jco) исходного аналогового сигнала
а(/) определяется соотношением
Г(е^) = А(е^) = ~ X xljw+jkj-t	(7.7)
к= — х	\
x(vT')
X(zL)
163
т. е. периодический спектр дискретных сигналов х (пТ) и x(vT')
представляет собой сумму спектральных компонент (спектров)
исходного аналогового сигнала, расположенных симметрично
относительно центральных частот k/L. Модуль спектров X*(ej2nw)
и X(ej2”Lw) показан на рис. 7.7,6 (график 2). Следует обратить'
внимание на коэффициент \/Т' перед знаком суммы в правой
части (7.7).
Выходной сигнал ЭЧД обрабатывается «идеальным» фильтром i
нижних частот с передаточной функцией H(z) и импульсной
характеристикой h(nT), задачей которого является подавление'
«лишних» частотных составляющих спектра Х*(е-'2ли’), занима-i
ющих область частот ит [1/(2L); 0,5]. Амплитудно-частотная
характеристика фильтра показана на рис. 1.1,6 (график 3). Полоса:
пропускания «идеального» фильтра занимает область частот:
[0; 1/(2А)], полоса задерживания занимает область частот:
[1/(2£); 0,5]. Коэффициент усиления фильтра в полосе пропускания,
равен коэффициенту интерполяции, т. е. АЧХ «идеального» ФНЧ:
должна удовлетворять требованиям:
L при и’ е [0,1 /(2L)],
0 при и’е[1/(2£); 0,5].
(7-8:
Поясним формулу (7.8). Требуется получить сигнал у(пГ)'
который можно было бы рассматривать как результат дискретизаци:
аналогового сигнала x(t) с высокой частотой <йд. Спектр же такой
сигнала у («Г), получаемого путем непосредственной дискретизаци]
сигнала х(/), связан со спектром сигнала х(/) соотношением
F(eJ'2”w)=4 s X (j"'+jk).
1 к~ -оо
(7.9
Если сравнить коэффициенты перед знаком суммы в (7.9
и (7.7), очевидно, что для получения требуемой амплитудь
спектра необходимо иметь фильтр, удовлетворяющий (7.8).
Итак, фильтр должен иметь коэффициент усиления L в полос!
пропускания, определяемой шириной спектра исходного сигнала
и подавлять «лишние» частотные составляющие спектра, лежащи
в диапазоне частот от 1/(2С) (граничной частоты основное
спектра исходного сигнала) до 0,5.
Запишем теперь выражение для z-преобразования выходной
сигнала
Y(z)=X\z)H(z) = X(zL)H(z).	(7.10
Выражение для спектра выходного сигнала можно получит:
из (7.10), подставляя z=ej2nw:
Y(еJ2,nv) = X* (е j2nw) Н(еj2nw) = X(е}2nLw) Н(еJ2nw) = Х(е72”Lw) х
х|Я(е>2ли,)|еУф("’).
164
Следовательно, в рассматриваемом идеализированном случае
(при АЧХ’ фильтра, удовлетворяющей условиям (7.8)) спектр
сигнала на выходе схемы в основной полосе частот [0; 0,5]
с учетом (7.7) будет иметь вид
у(е>21"”) = 1у(>)е2Ф(Л	(7.11)
т. е. спектр выходного сигнала представляет собой спектр ис-
ходного аналогового сигнала, измененный в соответствии с фа-
зовой характеристикой фильтра <р(и>).
Поскольку спектр сигнала у(пТ'), получаемого путем непо-
средственной дискретизации х(/), определяется в основной полосе
частот [0; 0,5] соотношением, получаемым из (7.9) при к = 0,
У(е>2л«’)=|х(»,
очевидно, что
Г(е'2лн) = Г(е22лн')е2ф(Ч	(7.12)
Из выражений (7.11) и (7.12) можно сделать следующие
выводы:
а)	спектр сигнала у(пТ) па выходе схемы интерполяции (см.
рис. 7.7, а) можно рассматривать как спектр сигнала у(пТ),
полученного путем непосредственной дискретизации сигнала с ча-
стотой сОд, но измененного в соответствии с фазовой харак-
теристикой ФНЧ <р(и>);
б)	схему повышения частоты дискретизации (интерполяции),
содержащую ЭЧД и «идеальный» фильтр с АЧХ, удовлет-
воряющую условию (7.8), можно рассматривать как совокупность
идеального интерполятора ИИ и линейной системы с частотной
характеристикой 77ф(е-'2ли') = е-'ф(и') (см. 7.2);
в)	форма и спектр выходного сигнала схемы интерполяции
существенно зависят от типа используемого фильтра и его ФЧХ.
Остановимся более подробно па последнем выводе. В качестве
ФНЧ могут использоваться как КИХ-, так и БИХ-фильтры.
Рассмотрим вначале особенности использования КИХ-фильтров,
гем более что конечная импульсная характеристика последних
позволяет достаточно просто строить эффективные структуры
систем преобразования частоты дискретизации сигналов. КИХ-
фильтры с передаточной функцией
N- 1
«й= £	(7-13)
п = 0
и линейной ФЧХ <р (iv)= — R2nw могут иметь нечетное (КИХ-
фильтры вида 1) и четное (КИХ-фильтры вида 2) числа отсчетов
N импульсной характеристики h(nT) = b„ (см. гл. 3).
165
Для КИХ-фильтров вида 1 (А— нечетное) R = (N—1)/2 — целое
число. Поскольку величина R определяет задержку во временной
области, вносимую фильтром при обработке сигнала, для
фильтров вида 1 задержка равна целому числу (N—1)/2 ин-
тервалов дискретизации Т. При этом процесс интерполяции
в схеме рис. 7.7 соответствует варианту 1 интерполяционного
процесса, описанного в § 7.2, т. е. увеличение частоты диск-
ретизации осуществляется в соответствии с математическим
понятием интерполяции. Нельзя, правда, забывать при этом,
что мы пока рассматриваем «идеальный» фильтр с АЧХ,
удовлетворяющей условию (7.8). Таким образом, при интерпо-
ляции сигнала схема рис. 7.7, а, содержащая КИХ-фильтр вида
1, сохраняет как вид модуля спектра, так и форму исходного
сигнала.
Для КИХ-фильтров вида 2 (N—четное) R = (N— 1)/2 — нецелое
число. Процесс интерполяции в этом случае соответствует
варианту 2 интерполяционного процесса, описанного в § 7.2:
схема рис. 7.7, а, содержащая КИХ-фильтр вида 2, сохраняет
как вид модуля спектра, так и форму исходного сигнала, однако
отсчеты последнего не сохраняются.
Минимально-фазовые КИХ-фильтры обладают нелинейной
ФЧХ <р(и)= — 7?(>г)2ли'. Процесс интерполяции соответствует
варианту 3 (см. § 7.2): сохраняется вид модуля спектра, но не
сохраняется форма входного сигнала.
БИХ-фильтры обладают, как правило, нелинейной ФЧХ.
В случае использования БИХ-фильтра в схеме рис. 7.7, а также
сохраняется вид модуля спектра, но не сохраняется форма
исходного сигнала (см. § 7.2, вариант 3).
7.5.	ХАРАКТЕРИСТИКИ ФИЛЬТРОВ В
РЕАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ ИНТЕРПОЛЯЦИИ
В § 7.4 рассмотрена «идеальная» система интерполяции диск-
ретного сигнала, использующая «идеальный» фильтр нижних
частот с АЧХ, удовлетворяющей условию (7.8). В действитель-:
ности такой фильтр построить невозможно. Реальный фильтр
должен иметь полосу расфильтровки, причем, естественно, же-
лательно (для упрощения реализации), чтобы она была по:
возможности шире. У реального фильтра АЧХ обязательно;
имеет конечную неравномерность в полосе пропускания ДЛ^
и определенную, отличную от нуля, величину АЧХ в полосе:
задерживания ДЛ3. Все это накладывает определенные ограничения]
на параметры схемы цифровой интерполяции сигналов. Кроме
того, перед разработчиком встает вопрос обоснованного выбора,]
параметров используемого фильтра (граничных частот и>г „ и ivr 3,
ДА, ДЯ3).	' 1
166
Рис. 7.8
Итак, в реальных случаях интерполяции может подвергаться
сигнал x(vT'), спектр которого в основной полосе частот
занимает частотный диапазон [0, fmax ], а частота дискретизации
удовлетворяет условию
f>ymax.	(7.14)
Выполнение условия (7.14) позволяет иметь в фильтре переход-
ную полосу конечной ширины. Вид модуля спектра такого
сигнала на нормированной оси частот	показан
на рис. 7.8, а. Фильтр должен подавить «лишние» повторения
спектра A'(jcd) около частот r(l/L), где r= 1, 2, ..., L— 1 (см.,
также (7.7) и рис. 7.7). Следовательно, его АЧХ должна удов-
летворять требованиям:
A(w) = \H(ei2™
при wе [0, ivmax],
1
при w е г- -wmax,
1 ,
г - + И’тах
(7-15)
L
О
I г=1, 2, ..., [Z./2],
где wmax—fmaxjfa, a [L/2] — целая часть числа L/2. Для четных
L последний частотный диапазон, в котором A(w)^0, равен
[0,5 - wmax; 0,5 ].
На рис. 7.8,6 показана схема допусков на АЧХ фильтра
в соответствии с (7.15) при L = 6. Рассмотрим внимательно эту
схему. Граничная частота полосы пропускания wr n = wmax. В ос-
новной полосе [0; 0,5] имеется [L/2] полос с граничными
частотами w'}1 и w' з2, в которых необходимо обеспечить
подавление «лишних» составляющих спектра. Остальные части
диапазона [0; 0,5] — это «безразличные» полосы, в которых на
167
частотную характеристику фильтра не накладывается определен-
ных требований (усиление не должно быть, естественно, чрезмерно
большим).
Очевидно, что можно потребовать от фильтра подавление всех
составляющих на частотах от ну1 ,з1 до 0,5, т. е. не выделять полос,
в которых, в принципе, подавлять ничего не нужно. Такой фильтр,
конечно, рассчитать может быть и легче, но он, несомненно, будет
сложнее фильтра, рассчитанного по требованиям (7.15). Кроме
того, учет требований к АЧХ фильтра в виде (7.15) иногда
позволяет для интерполяции сигнала использовать очень простые
фильтры, которые рассмотрим несколько позже.
Перейдем теперь к вопросу о выборе величин ДЛП и ДЯ3. Здесь
можно дать только самые общие рекомендации. Вид АЧХ
в полосе пропускания (и соответствующая величина ДЛП) опреде-
ляет искажения модуля спектра полезного сигнала в требуемой
полосе частот, а вид АЧХ в полосах задерживания (и соответст-
венно отклонение АЧХ от нуля ДЛ3) определяет степень подавле-
ния «лишних» частотных составляющих в спектре интерполируе-
мого сигнала. Выбор величин ДЛП и ДЛ3 для решения аппроксима-
ционной задачи основывается на требованиях конкретной проекти-
руемой системы. Так, в § 9.1 будут рассмотрены цифровые
методы формирования группового сигнала с частотным разделе-
нием каналов (ЧРК), в которых используется операция повышения
частоты дискретизации отдельных канальных сигналов. При этом
величина ДЛП определяется допустимыми искажениями модуля
спектра канального сигнала, а ДЛ3— допустимым уровнем внят-
ных переходов, регламентируемым нормами МККТТ.
7.6.	СТРУКТУРЫ СИСТЕМ ИНТЕРПОЛЯЦИИ
С ЦЕЛОЧИСЛЕННЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ L
Важной особенностью (и достоинством) использования КИХ-
фильтров в системах интерполяции цифровых сигналов является
го, что КИХ-фильтр, частотная характеристика которого опре-
деляется «высокой» (выходной) частотой дискретизации, работает
фактически на «низкой» (входной) частоте. Эго можно пояснить
следующим образом. Обычно в КИХ-фильтре с передаточной
функцией
"(*)= I’ h.z-1,
1 = 0
работающем на частоте дискретизации	необходимо
выполнить N операций умножения за интервал времени Т (если
не учитывать симметрию импульсной характеристики фильтра).
При использовании же КИХ-фильтра в системе интерполяции
цифрового сигнала необходимо выполнить N операций умножения
168
Рис. 7.9
за интервал времени Т’, равный интервалу дискретизации вход-
ного сигнала. Это объясняется тем, что в последовательности
х’(пТ} на входе фильтра (см. рис. 7.7,а) между каждой парой
информационных отсчетов находи гея L—1 нулевой отсчет, ум-
ножать на который, естественно, нет необходимости.
Структура 1. На рис. 7.9 показана схема, используемая для
увеличения частоты дискретизации в L раз. Входной сигнал x(vT')
поступает на ЭЧД, осуществляющий предварительно увеличение
частоты дискретизации по алгоритму (7.2), т. е. добавляющий по
L— 1 нулевых отсчетов между каждой парой отсчетов сигнала
x(vT'). Выходной сигнал ЭЧД х * (иобрабатывается КИХ-
фильтром с передаточной функцией Н(z)= £ реализованным
1 = 0
в прямой форме (порядок фильтра выбран малым для простоты).
Чтобы облегчи ть изучение принципа рабо ты схемы, рассмо трим
ее работу на конкретном примере при следующих значениях величин:
L = 3 и N = 9 (фильтр такого порядка и изображен на рис. 7.9).
Пример 7.1. Состояние регистров умножителей (г. е. значения сигналов на
входах умножителей) на четырех начальных тактах работы схемы (л = 0. 1,2.3)
и других четырех последовательных тактах (в моменты пТ. (и+ j) Т, (л+ 2) Т
и (н + З)?) приведено в табл. 7.1 (для наглядности отсчеты х(\у-к)Т') обозначены
как ,vv-k).
Рассмотрим п-й такт работы схемы. Примем для определенности, что
n = Dl.v, тде D — целое число, а /. коэффициент интерполяции (в нашем примере
/. = 3). Например, л = 6 или л = 9 и г. д. При этом в регистре умножителя па
коэффициент Ьо находится отсчет входного сигнала па v-м такте. Действительно,
на нулевом такте (л = 0) в регистре Ьп находится осечет х‘(0 • 7') = х (0 • 7”), т. е.
входной отсчет при v = 0 (см. табл. 7.1). На первом и втором тактах (и=1,2)
в регистре Ьа находятся отсчеты х" (Т) и х'(2Т), равные нулю (результат
работы ЭЧД). Отечет т(0-7”) при этом продвигается вправо по цепи элементов
задержки и на первом такте находится в регистре /ц, а на втором -в регистре
169
Таблица 7.1
х’(ЗГ)=х(1 • Т'), т. е. входной отсчет при v=l. Отсчет х(0-Т') при этом
находится в регистре Ь3 (с.м. табл. 7.1).
Итак, на п-м выходном такте (n = DLv, D — целое) в регистре Ьо находится
отсчет входного сигнала х„=х(уТ') на v-м входном такте, в регистре b3— xv-i =
= x((v—1)Т'), а в регистре b6-xv_2=x((v —2)Т'). В остальных регистрах
находятся нулевые отсчеты, добавленные между каждой парой отсчетов входного
сигнала с помощью ЭЧД. Для вычисления отсчета выходного сигнала у(пТ)
надо перемножить содержимое регистров умножителей на соответствующие
коэффициенты и сложить полученные произведения. Естественно, что умножать
на нуль не имеет смысла, поэтому на л-м такте необходимо выполнить только
три операции умножения (на коэффициенты Ьа. Ь3 и Ъ6).
Рассмотрим теперь (л+1)-й такт. Перед выполнением операций на этом
такте последовательность х'(пТ) должна быть продвинута по цепи элементов
задержки на один интервал Т. Соответствующее положение отсчетов в цепи
элементов задержки (в регистрах умножителей) показано табл. 7.1 в строке для
(л+1)-го такта. Информационный отсчет х„=х(уТ') находится теперь в регистре
умножителя на коэффициент hi, ,vv_ j =.v((v— 1) T') — в регистре 64,
a xv-2=-v((v—2) Т') в регистре Ь3. В остальных регистрах находятся нулевые
отсчеты. Следовательно, на (л+1)-м такте необходимо выполнить также три
умножения. В очередной строке табл. 7.1 показано состояние регистров схемы на
(л + 2)-м такте, на котором также необходимо выполнить три умножения. Таким
образом, за интервал времени ЗГ=Г' необходимо выполнить девять операций
170
умножения, что равно числу отсчетов импульсной характеристики БИХ-фильтра.
На следующем, (л + 3)-м, такте состояние регистров аналогично рассмотренному на
»-м такте, только теперь уже в регистре Ьо находится входной отсчет .vv
Обратите внимание на следующее обстоятельство. На каждом выходном
такте при вычислении у(пТ) используются только три коэффициента h, (из
N коэффициентов): на и-м такте {Ьо, Ь3, Ьь}, на (л+1)-м такте {Ь3, ft4, ft7}, на
(л + 2)-.м такте {b2, b5, bs], на (л + 3)-м такте снова {b0, b3, Ьь} и т. д.
К недостаткам данной схемы можно отнести то, что на выполнение
операции умножения отводится интервал времени Т, т. е. умножители
в схеме работают на «высокой» (выходной) частоте дискретизации.
Теперь, после подробного рассмотрения работы схемы увеличе-
ния частоты дискретизации с целочисленным коэффициентом
L (см. рис. 7.9), обратимся к уравнениям, описывающим работу
схемы во временной области.
Итак, рассматривается схема интерполяции (см. рис. 7.7. а),
в которой в качестве фильтра используется КИХ-фильтр, с пере-
даточной функцией
N- 1
H(z)= Е biz~'-
1 = 0
Допустим, что порядок фильтра N удовлетворяет условию
N=GL,	(7.16)
где L — коэффициент интерполяции, a G — целое число (6=1,2,
3, ...). Условие (7.16) не является обязательным, однако часто
используется на практике (о причинах будет сказано ниже).
Выходной сигнал у(пТ) схемы связан с входным сигналом
л'(лТ) фильтра уравнением
N~1
у(пТ)= X btx'(nT-lT), п = 0, 1,2, ...	(7.17)
1 = 0
Представим номер п выходного отсчета в виде н =
+ <н>ь, где [n/L]— целая часть числа «/£, а <н>ь—вычет числа
п по модулю L (остаток от деления числа п па число L).
Пример 7.2. Допустим, л = 9, L = 3. Тогда [9/3] = 3, (9)3=0,9 = 3-3 + 0. При
л=10 [10/3] = 3, <10>з=1, 10 = 3-3+1 и т. д.
Тогда уравнение (7.17) можно записать в виде
N- 1	/г
J'(«r)= Е bix\ 7
1 = 0	\Lb
х N-1
LT+<n)LT-lT)= X b'x
/	1 = 0
/ n
x N-1
+ (n)LT—lT\ = X btx*{vT'+ кТ—1Г],
/	1 = 0
T' +
(7-18)
где v= [n/L], a £ = </?>L.
171
Поскольку последовательность х’ (пТ) формируется из после-
довательности x(vT') с помощью ЭЧД, работающего по ал-
горитму (7.2), то x*(wT) = x’(vT'+AT—/Т)/0 только при
l=ky-rL, г = 0, 1, 2, ... Действительно, при l=k-\-rL момент
vT’ -\-kT-lT-NT'+kT—kT—rLT=vT' — rT'.	Следовательно,
x'jyT'+кТ— 1Т)=х' (уТ' — гТ')=х(уТ'—гТ'). Напомним, что
х’(•)--отсчеты сигнала на выходе ЭЧД, а х(-) — отсчеты на
его входе (отсчеты входного сигнала). При других значениях /,
т. е. при l^ky-rL, х' (vT' + кТ—1Т) = ().
Пример 7.3. Допустим, д = 9 (рассматриваем 9-й выходной гакт). В этом
случае v=[n/L] = 3, fc = <«>L = 0. В вычислении выходного отсчета у(н7’) = у(9Т)
по формуле (7.18) будет использован ряд отсчетов х'(-), причем ненулевыми
будут отсчеты при /=fc + r£ = 0 + r-3, r=0, 1, 2. При /=0 х'(3'Г') = х(3'Г'); при
/=3 х'(ЗГ-ЗТ) = х'{ЗГ-Т') = х(2Т')-, при 1=6 х'(ЗТ'-6Т) = х'(З'Г-2Т') =
= х(Т'). При других значениях / х'(уТ' + кТ-ГГ) = 0. Например, при 1=5
х'(ЗТ‘ — 5Т) = х'(ЗТ'—Т'—2Г)=х‘(2Т' — 2Т) = 0 (это один из двух нулевых от-
счетов, добавленных ЭЧД).
Таким образом,
fx(vT' — гТ') при l=k-\-rL.	„ |Л
х (vT’ + kT-lT} = <	}	,	(7.19)
' (0	при других /.
Заменим теперь в (7.18) / на k + rL и, учтя (7.16), получим
уравнение (7.20), описывающее структуру 1 увеличения частоты
дискретизации с целочисленным коэффициентом L:
G~1	G-1
Я«г)= Z brL+kx(vT’-гТ') = X brL+kx((v-r) Г),	(7.20)
г = 0	г=0
где п — номер выходного такта (выходного вычисляемого от-
счета), v — номер входного такта (отсчета входного сигнала),
v=[n/L], k=(n')L, bi — коэффициенты фильтра, х(-)..отсчеты
входного сигнала, a G=NjL.
Снова обращаем внимание па то обстоятельство, что при
вычислении очередного отсчета у(пТ) в соответствии с (7.20)
используются только G коэффициентов передаточной функции
(из N), а именно коэффициенты brL+k = {bk, bk + L, bk + 2L, ,
^c + (g-1)l}- Номер к начального коэффициента зависит от
номера такта п: к = (п\. Номера соседних коэффициентов
отличаются на L.
Пример 7.4. Рассмотрим уравнение (7.20) на различных тактах п. При
л = 9 v=[9/3] = 3, fc = <9)3=0. Поскольку G = 9/3 = 3, то
у(9Т)= X МНИ=М(ЗП+М2Г)+ИП
г—о
Убедиться в справедливости данной формулы можно с помощью табл. 7.1 (см.
строку для д-io такта, положив v = 3).
172
При 71=10. v=[10/3] = 3. fc=<10>3=!
y(10T)= £ Лз,мЛ'((3-г)Г) = />,х(ЗГ)+/>4х(2Г)+Л7л-(Г)
r = 0
(см. табл. 7.1. строку для (и+1)-го такта).
При 71=11, v=fll/3] = 3, £ = <11>з = 2
y(117>£ /.з,-2х((3-г)Г) = д2х(ЗГ)+Л5х(2Г)+Л8х(Г)
г-О
(см. табл. 7.1, строку для (тг + 2)-го такта).
При л=12. v=[12/3] = 4. fc = <12>3=0
у(12Г)=£ h3rx((4-r)T')
r-0
(см. табл. 7.1, строку для (н + 3)-го такта).
Таким образом, в вычислении отсчета выходного сигнала у(пТ)
на и-м такте используются отсчеты входного сигнала ,v((v—г)Т'),
а именно x(vT'), x((v— 1)7'), •••, x((v —(7+1) Г'), которые
умножаются на коэффициенты фильтра brL + k, где k = {n")L.
Структура 2. Рассмотрим теперь более эффективную структуру
системы интерполяции цифрового сигнала с использованием
КИХ-фильтра, в которой умножители работают па «низкой»
(входной) частоте дискретизации. Предварительно перепишем
уравнение (7.20) в несколько ином виде:
у(пТ) = У brL+kx((v-r)T') = y drL+k((v-r)T'),	(7.21)
r = 0	r = 0
где drL+k((y —г) T') — произведение отсчета входного сигнала на
(v —г)-м такте на коэффициент brh+k, а v= [«//.], k = (n>L.
И наконец, произведем в (7.21) замену переменной r-»G- 1— г
и поменяем порядок суммирования
>’(«7) = X b(G-1-r)L+kx((v+r-G+l)T') =
7 = 0
= £ ‘/(G-t-oL+^v + r-C+nr).	(7.22)
r = 0
Пример 7.5. Рассмотрим третий входной такт. Соответствующий отсчет
входного сигнала х(ЗТ'). Тогда произведение коэффициента Ь2 на отсчет х(ЗТ')
обозначается как d2(3T'), коэффициента Ь3 на этот же отсчет х(ЗТ')—как
7/3(ЗТ') и т. д.
Если вновь обратиться к примеру 7.4 и табл. 7.1, то увидим, что при
вычислении у(9Т) используется произведение отсчета х(ЗТ') па коэффициент
Ьо (т. с. d0(3T')), при вычислении j’(lOZ’) используется произведение того же
отсчета х(37”) на коэффициент (т. е. di(3T")) и г. д.
173
Рис. 7.10
На последнем такте, когда отсчет х(УГ') еще будет находиться в цепи
элементов задержки (и=17). будет при вычислении ^(177") использовано произ-
ведение bKxCiT') = ds(iT'). Таким образом, при вычислении последовательных
выходных отсчетов от у(пТ) до y((n+N— 1) Т) используются произведения
определенного входного отсчета х(уТ') на каждый коэффициент фильтра bt (но
один для данного конкретного такта).
Очевидно, что построить схему интерполяции цифрового
сигнала можно таким образом, чтобы при поступлении на ее вход
отсчета входного сигнала х(уТ') сразу вычислить все произведе-
ния di(vT'), 1=0, 1, ..., N— 1, а затем использовать их в соответст-
вующий момент для вычисления у(пТ) по формуле (7.22).
Соответствующая схема показана на рис. 7.10. Отсчеты вход-
ного сигнала x(vT') поступают на входы всех N умножителей
фильтра (для определенности и связи с предыдущими примерами
на рис. 7.10 изображен фильтр при N=9). Очевидно, что
умножители работают на входной частоте дискретизации, по-
174
скольку следующий отсчет входного сигнала x(vT') поступит
на входы умножителей только через интервал времени Т'.
С помощью умножителей вычисляются произведения отсчета
х(уТ’) на все коэффициенты фильтра bh т. е. вычисляются
произведения di(yT')=bix(yT’), /=0,1, N— 1.
На выходе каждого умножителя стоит ЭЧД, добавляющий
по L — 1 нулевому отсчету между каждой парой информационных
отсчетов (вычисленных произведений Z>;x(vT'))- Формирование
отсчета выходного сигнала у(пТ) осуществляется с помощью
цепи сумматоров, соединенных между собой через элементы
задержки на интервал дискретизации Т. Таким образом, ум-
ножители работают на «низкой» (входной) частоте дискретизации,
а цепь элементов задержки и сумматоры — на «высокой» (выход-
ной). Вычисление выходного отсчета у(пТ) осуществляется в соот-
ветствии с уравнением (7.21). Рассмотрим работу структуры 2 на
примере для тех же величин L и N, что и для структуры
1 (£ = з, N=9, G = 3).
Пример 7.6. Перепишем уравнение (7.22) применительно к нашему примеру:
у(иТ)= f />3(2-н+»х((у+г-2)Г)= £ d3(2-r)+k((v+r-2)T’),	(7.23')
r~0	r^O
ИЛИ
y(»T)=b6^x((v-2)T') +b3+kx((v-l)T') +bix(vT’)=(i6+t((v-2)T’) +
+ d3+k((y—l)T')+dk(yT').	(7.23")
Напишем теперь уравнение (7.23") применительно к расчету 11-го отсчета
выходного сигнала (л=11). Поскольку v=[h/L], а & = [см. формулу (7.21)],
то при л=11 получаем: v=[ll/3] = 3, fc = <ll>3 = 2. Следовательно,
у(11Г)= X </3(2-г)„((3+г-2)Г)=</8(Г)+</5(2Г)+1/2(ЗГ)=4!х(Г) +
Р=О
+ Ь5х(2Т')+Ь2х(ЗТ').	(7.24)
Допустим, п = 3, v=l (рассматриваются третий такт выходного сигнала
и первый такт входного сигнала, т. е. момент времени t = nT= vT'— ЗТ). Входной
отсчет х(Т') поступает на вход схемы и умножается на все коэффициенты bt,
т. е. вычисляются все произведения dt(T')=btx(T'), 7=0,1, ..., 8. Далее работу
схемы удобно рассматривать, наблюдая продвижение сигнала по цепи элементов
задержки и сумматоров снизу вверх. При этом надо четко уяснить, что на
выходах экспандеров частоты дискретизации информационные отсчеты di (пТ)
(не равные нулю) будут только на тактах п таких, что <и)т = 0, т. е. при
л = 0, 3, 6, 9, ... На других же тактах Jl'(n7’) = 0 (результат работы ЭЧД).
Итак, при п=гЗ отсчет di(T') = di(T')=bsx(T') записывается в элемент
задержки z8-1 (который, кстати, представляет собой обыкновенный регистр или
ячейку памяти ОЗУ). Таким образом, на этом такте формируется первое
слагаемое в сумме (7.24) при г = 0. Обозначим его через s0. (В дальнейшем
175
через sj будем обозначать £ <г/з(2 г) 2 ((3-Ч —2) 7”). т. е. частичную сумму из
г О
j слагаемых при вычислении выходного отсчета.) Еще раз обратим внимание
на то, что вычисляется отсчет ДИТ), г. с. для н=11, а первое с.чатемое
в сумме (7.24) формируется уже на третьем такте (и = 3).
На следующем такте (п = 4) в 17 поступают di(4T) = di(T' + T)=0 из ЭЧД
и sa = d«(T') из элемента задержки г8 1 на интервал дискретизации Т. Результат
сложения (равный, естественно, по-прежнему .чп) записывается (передается) в эле-
мент задержки с7
На такте п = 5 в £6 осуществляется сложение di (5Т)=0 и ,s0 и результат,
равный л0, передается в элемент задержки z6-1.
При наступлении шестого такта (и = 6) на вход схемы поступает
очередной отсчет входного сигнала х(2Т'). Он умножается на все коэффициенты,
т. е. вычисляются произведения dt(2T'). Следовательно, при н = 6 в поступают
(67') = <7( (27'') = <Л (27'') = /)5 v(27 ') из ЭЧД и ,v0 = J8‘(7”) из элемента
задержки zf~ 1.
В результате сложения получаем Si=d5(2T') +de(T')=b}x(2T') + Z>8x(T');
эта величина помещается в элемент задержки г5-1. Таким образом, на шестом
такте сформирована сумма лд двух первых слагаемых в сумме (7.24):
1
.’1=1 <z3(2-r), 2 ((З + г-2) Г').
г-0
Па таксе п = 7 в Х4 осуществляется сложение
равный лд, передается в ~4 *.
На такте л = 8 в осуществляется сложение
равный лд, передастся в z3-’.
При наступлении девятого такта (и = 9) на вход
</4’(77') = 0 и лд. Результат,
с/3'(87') = 0 и ,»д. Результат,
схемы поступает очередной

отсчет входного сигнала .г(ЗТ'). Он умножается на все коэффициенты, т. е.
вычисляются произведения d,(3T'). Следовательно, при и = 9 в Х2 поступают
di(9T) = di(3T') = d2{3T') = b2x(3T') из ЭЧД и лд =/>5х(2Т') + />8х(Т') из элемента
задержки	В результате сложения получас гея окончательная сумма
.s'2 = .?i+rf2(37'') в соответствии с (7.24). г. с. значение отсчета >•(117'). Однако
напомним, что сейчас идет только девятый такт, и появляться на выходе уже
вычисленному отсчету у(117') еще рано.
На такте п=10 в Ei осуществляется сложение d{ (107') = 0 и лд. Результат,
равный лд, передастся в Zj’.
И наконец, на 11-м такте (д=11) в 20 осуществляется сложение г/о(117) = 0
и лд. Результат, равный лд = г(11Г) = 68х(Т') д Ьъх(2Т') -1 Ь2х(ЗТ'). поступает на
выход схемы.
Советуем читателю повторить данное рассмотрение работы схемы при
вычислении другого выходного отсчета (например, для п =12).
Нужно также отметить, что при данном рассмотрении па
каждом такте п рассматривается работа лишь одного из сум-
маторов. Естественно, все они работают параллельно (на п-м
такте в Z, осуществляется сложение отсчета cl*(пТ), поступающего
с выхода соответствующего ЭЧД, и содержимого элемента
176
задержки 2г+\; результат передается в следующий в цепи элемент'
задержки Z{). При этом в каждом S,- формируется текущая
сумма для вычисления определенного выходного отсчета. Так,
в примере на шестом такте в Х5 формировалась текущая сумма
для вычисления у (ИТ) (к добавлялась величина d5(2T')),
в Е4- -текущая сумма для вычисления у (ЮТ) (к имевшемуся
в z к этому времени первому слагаемому в сумме (7.24) для
у (ЮТ), равному d-; (Т') = Ь7х(Т’), добавлялось d4 (2T') = d4 (2Т’) =
= Ь4х(2Т')), в -текущая сумма для вычисления у(9Т) и т. д.
К недостаткам структуры 2 повышения частоты дискретизации
(интерполяции) цифровых сигналов следует отнести то, что цепь
элементов задержки и сумматоров по-прежнему работает на
«высокой» (выходной) частоте дискретизации.
Структура 3 (полифазная). Полифазная структура схемы ин-
терполяции цифрового сигнала в целое число раз L отличается
гем, что все ее фильтры и составляющие их элементы (сумматоры,
умножители, элементы задержки) работают на «низкой» (входной)
частоте дискретизации. Полифазная структура основана на пред-
ставлении схемы интерполяции (рис. 7.7, а) в виде эквивалентной
схемы (ЭС) [3]. Для получения ЭС необходимо немного преоб-
разовать уравнение (7.20), описывающее систему интерполяции
сигнала во временной области.
7.7.	ЦИФРОВАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ПРИ
ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИ
Рассмотрев общие вопросы построения систем цифровой
интерполяции сигналов, перейдем к конкретным и достаточно
простым схемам. Естественно начать с рассмотрения методов
полиномиальной интерполяции, математические основы которых,
надеемся, знакомы читателю.
Классические методы полиномиальной интерполяции постро-
ены, на интерполировании значений функции многочленом опре-
деленной степени. Нашей задачей будет являться рассмотрение
вопросов, как эти методы реализуются в устройствах цифровой
обработки сигналов, т. е. с помощью схем типа рис. 7.7, а.
Интерполяция пулевого порядка. При вычислении очередного
отсчета выходного сигнала у(пТ) с интервалом дискретизации
Т используется только один отсчет входного интерполируемого
сигнала x(vT') с интервалом дискретизации Т'. При увеличении
частоты дискретизации в L раз отсчет сигнала x(vT') повторяется
L раз па тактах n = vL, vL+1, ..., vL+L—1:
y(nT)=x(vT'), n=vL, vL+1, ..., vL + L-1, v=0, 1,2,.... (7.25)
Процесс интерполяции нулевого порядка (7.25) показан па
рис. 7.11, где Т} -задержка, вносимая фильтром.
177

L
Рис. 7.11
Какова же передаточная функция фильтра в схеме интерпо-
ляции рис. 7.7,д, осуществляющего интерполяционный процесс
в соответствии с (7.25)? Во-первых, длина импульсной харак-
теристики фильтра (порядок передаточной функции) N=L, по-
скольку в интерполяционном процессе участвует только один
отсчет последовательности x(vT'), т. е.
у(иТ) = У btx‘(nT-lT}.
1 = 0
Во-вторых, на интервале из L отсчетов последовательности
х’(пТ) только один из отсчетов не равен нулю, а именно
х(пТ—1Т)^0 при /=<и>л. При этом х'(пТ-1Т)=х‘(уТ'), где
v = [п/L]. Следовательно, у(пТ)= £ biX*(пТ— lT) = blx{vT'), где
1 = 0
v=[n/L], /=(n)L. Поскольку необходимо выполнение условия
(7.25), все коэффициенты фильтра должны быть равны единице
(6!=1).
Следовательно, интерполяционному процессу (7.25) соответ-
ствует обработка сигнала в схеме рис. 7.7, я, в которой исполь-
зуется КИХ-фильтр с передаточной функцией
H(z)=У	(7.26)
! = 0
Такой фильтр называется однородным (см. гл. 3). При ис-
пользовании однородного фильтра в схеме интерполяции с ко-
эффициентом L его передаточная функция имеет именно L ко-
эффициентов, равных единице. Коэффициент усиления фильтра
(значение АЧХ) на частоте w = 0 равен L.
Амплитудно-частотная характеристика однородного фильтра,
используемого при интерполяции, определяется формулой (7.27)
А (и,) = | Н (еj2nw)| = | sin nLw/sin nw |.	(7.27)
На рис. 7.12 показана нормированная характеристика подав-
ления ян(и,) = я(и’)/я(О) = я(и’)/£ для случая L = 6 (кривая Г).
178
Таблица 7.2
	Однородный фильтр				Триангулярный фильтр			
	Дд“. дБ	/лахац, дБ			Аат. дБ	max до, дБ		
		г- I	г-2	г = 3		I	г-2	г=3
0,1	-0,139	-18,9	-24,2	-25,7	-0,278	-37,8	-48,4	-51,4
0,2	-0,563	-12,3	-18,3	-20,1	-1,12	-24,6	-36,6	-40,2
0,3	-1,29	-8,50	-15,2	-17,3	-2,58	-17,0	-30,4	-34,6
0,4	-2,35	-5,80	-13,4	-15,8	-4,71	-11,6	-26,8	-31,6
0,425	-2,68	-5,25	-13,1	-15,6	-5,36	-10,5	-26,2	-31,2
Однородный фильтр обеспечивает существенное подавление a(j лишь
в незначительном удалении от частот и’ = г(1/Л) (г=1, 2, ...), имеет
достаточно большую неравномерность (Да) в полосе пропускания
(максимум Да достигается при и’тох) и, следовательно, может
использоваться для интерполяции сигнала, если 1/L» wmox (см.
рис. 7.8). В табл. 7.2 приведены значения нормированных величин
Да0 и max ао однородного фильтра для каждого частотного
диапазона r(\/L)+wmax (рис. 7.12) при L = 6 (г= 1,2,3) (верхний
индекс -буква о — соответствует однородному фильтру).
Реализация структуры интерполяции (рис. 7.7, а) при исполь-
зовании однородного фильтра исключительно проста. Она по-
казана на рис. 7.13. Входной сигнал х(уТ') записывается в регистр
Зп Сч
KG
Рис. 7.13

у(пт)
179
RG с частотой f^= 1/Т', а считывание сигнала у(пТ) производится
с частотой fa-Lfa=\IT.
Интерполяция первого порядка (линейная). При вычислении
очередного отсчета выходного сигнала у(пТ) с интервалом
дискретизации Т используются два отсчета входного интер-
полируемого сигнала x(vT') с интервалом дискретизации
Т'. Интерполированные отсчеты лежат на прямой, соединяю-
щей два используемых при интерполяции отсчета x((v—1)Г')
и х(уТ’):
ДлГ)=^х(УГ)+^^х((У-1)Г),	(7.28)
где v = 0, 1,2, ..., А: = <п>Л. При п — vL — 1 = (v — 1)L+ (L— 1), как
видно из (7.28), k = (iT)L = L— 1 и у(пТ)=х(Т'), т. е. исходный
отсчет интерполируемой последовательности сохраняется в вычис-
ляемой последовательности.
Определим передаточную функцию H(z) фильтра в схеме
интерполяции (рис. 7.7, а). Порядок передаточной функции должен
быть N=2L — 1, поскольку для всех «, кроме n = vL— 1, исполь-
зуются два исходных отсчета, т. е.
2L-2
у(пТ)= X blX'(nT-lT).
1 — 0
На интервале из 2L— 1 отсчетов последовательности х’(пГ)
только два из отсчетов не равны нулю, а именно х’(пТ—/Т)/0
при /=<n>L и /=<n>L + L. При этом х‘(пТ— 1Т) = х(уТ') при
и х'(пТ— lT)-x((v— 1) Т) при /=</7>l + £. Следователь- '
но, для выполнения интерполяционного процесса в соответствии
с (7.28) необходимо, чтобы
bt=-	при /=0, 1, ..., L— 1, (7.29) 2£~'~/ при l=L, L+1, ..., 2L — 2.
Таким образом,
2L-2
H{z)= X blZ-‘,	(7.30)
( = 0
где коэффициенты bi определяются из (7.29).
Часто передаточную функцию (7.30) записывают в виде
2L — 2
= - X b,z~l,	(7.31)
ь (=0
180
3
г	г
1	i
4 I b, Ьг b} b, I
1 0	1 > 1	х(Г')	0 j	0 1	п- 5
| х(гт')	1 ° 1	°	x(T') [	0 1	п - 6
1 0	i х(гг') i	0	0 !	x(T) 1	п-1
1 0	1 0 1	x(ZT')	0 1	о i	п - 8
Рис. 7.14
где
J/+1 при /=0, 1, ..., L— 1,
(2L- 1 -1 при l=L, L+l,	2L — 2.
(7.32)
Фильтр с передаточной функцией (7.30) или (7.31) называется
триангулярным.
Разностное уравнение, описывающее работу схемы (см.
рис. 7.7, а), будет соответственно иметь вид
1 2Л~2	1
у(пТ)=- £ blx'{nT-lT) = -(bk + lx(vT’)+bL+k+lx((v-\)T'),
L i = o	L
(7.33)
где v=[h/L], /: = <«>/.•
Пример 7.7. Рассмотрим процесс линейной интерполяции при L=3. При
этом W=2£—1=5. Коэффициенты bt в (7.31) определим из (7.32): bt = {1, 2, 3, 2, 1}.
Импульсная характеристика (коэффициенты bt) фильтра показаны на рис. 7.14.
Рассмотрим работу схемы на выходных тактах н = 5, 6, 7, 8. Состояние регистров
фильтра в схеме рис. 7.7, а (см. также рис. 7.9) показано ниже на том же
рис. 7.14. При и = 5 v= [5/3]= 1. Отсчет х(Т') располагается в регистре умножителя
па коэффициент Ь2 = 3.
Следовательно,
у(ЗТ)=1-х(Т')Ь2=х(Т').
При и = 6
v=[6/3] = 2. В соответствии с (7.32) в вычислении у (6 Г) используются два
отсчета входной последовательности: х(2Т') и х(Т'), причем, поскольку
A- = <h>l = 0, у(иГ) = у (/>1Х(2Г') + />4х(Г)). Это хорошо видно из рис. 7.14.
Советуем самостоятельно рассмотреть работу схемы для и = 7 и и = 8.
Амплитудно-частотная
фильтра
характеристика
триангулярного
)2
(7.34)
181
x(vf)
1
Рис. 7.15
На рис. 7.12 показана нормированная характеристика подав-
ления aH(w) = a(iv)/£ для случая £ = 6 (кривая 2). В табл. 7.2;
приведены значения нормированных величин Аат и aj триан-
гуляркого фильтра для частотных диапазонов r(\/L)+wmax (см.,
рис. 7.12) при £ = 6 (г= 1,2,3).
На рис. 7.15 показаны процесс линейной интерполяции и вре-
менная задержка Т3, вносимая фильтром (L = 6, 2£—1 = 11).-
Чтобы понять рис. 7.15, надо обратиться к уравнению (7.33)j
и рис. 7.14. Выходной отсчет у(пТ) повторяет исходный ин-
терполируемый отсчет x(vT') в тот момент, когда x(vT'J
находится в регистре умножителя на коэффициент bl4-i. Такими
образом, задержка, вносимая фильтром, составляет1
(jV—1)/2 = (2£ —2)/2 = £—1 такт. При £ = 6 Т3 = 5 тактам. ;
Отметим, что триангулярному фильтру (7.30) соответствует
последовательное соединение двух однородных фильтров с пе-
редаточными функциями	£ z~l. Попробуйте показагк
( = 0	)
это сами.	:
В заключение необходимо сказать несколько слов об ин-;
терполяции высших порядков. Интерполяционный процесс с по-)
мощью полиномов с порядками Q^2 в цифровой обработке?
сигналов применяется достаточно редко, поскольку, с одной;
стороны, соответствующие фильтры оказываются, естественно,)
более сложными, чем однородный и триангулярный фильтры,)
а с другой стороны, эти фильтры обеспечиваю!, как правило,
худшие точностные характеристики интерполяции, чем оптималь-
ные фильтры, которые будут рассмотрены в § 7.8.
7.8.	ИНТЕРПОЛЯЦИЯ С ПОМОЩЬЮ
ОПТИМАЛЬНЫХ ФИЛЬТРОВ
Достоинством рассмотренных в, § 7.7 схем при интерполяции
нулевого и первого порядков является простота реализации,
при которой не требуется выполнять операции умножения.
182
Однако точность интерполяции часто оказывается недостаточ-
ной из-за относительно большой неравномерности затухания
используемого фильтра в полосе пропускания и малого подав-
ления в полосе задерживания. Наилучшие результаты достига-
ются при использовании в схеме интерполяции оптимальных
чебышевских КИХ-фильтров, обеспечивающих удовлетворение
условий (7.15) при минимальном порядке передал очной функции
H(z). При этом для вычисления очередного отсчет выходного
сигнала используется несколько отсчетов интерполируемого
сигнала (G отсчетов, если порядок передаточной функции
N=GL).
Пример 7.8. Рассмотрим построение схемы интерполяции сигнат|. спектр
которого занимает полосу частот от 0 до 300 Гц, а частота дискретизации
/'(=1 кГц должна быть увеличена в £=3 раза, т. е. до/я=3 кГц (и'тах=/тил /, = 0.1;
н4=/4//л=0,333). Требования к спектру интерполированного сигнала, определя-
ющие требования (7.15) к АЧХ фильтра, заданы следующим образом: состав-
ляющие спектра в полосе [0,	] не должны быть искажены более чем на
+ 0.25 дБ (т. е. Д« = 0,5 дБ), а «лишние» составляющие должны быть подавлены
не менее чем на 40 дБ (т. е. до = 40дБ).
Однородный и триаигуляриый фильтры. В табл. 7.3 приведены значения
нормированной характеристики затухания однородного («") и триаигулярного
(дт) фильтров на частотах и' = г(1/£) ±ivmox (см. рис. 7.8), т. е. на частотах и =0,1;
м = 0,233 и >г= 0,433. Из таблицы видно, что использование этих фильтров при
заданных требованиях невозможно.
Оптимальный фильтр. Чебышевский КИХ-
фильтр синтезируется по алгоритму Ремеза (см.
гл. 3. а также [2]), причем порядок N передаточной
функции выберем с учетом условия (7.15). При
заданных Ад и а0 получается А=15.
Коэффициенты Ь,, 1=0, 1, ..., 14, передаточ-
ной функции H(z) фильтра приведены в табл. 7.4
(без учета масштабного множителя, равного £),
Таблица 7.3
»Г	и”. дБ	а\ дБ
0,1	1,18	2,36
0,233	7.86	15,73
0,433	11,21	22.42
а характеристика затухания
u(ir) показана на рис. 7.16. Неравномерность затухания в полосе пропускания
[0, ir,„ax ] составляет ие более 0,4 дБ, а подавление в полосе задерживания не
менее 46 дБ.
Таблица 7.4
Г	*,=/>;. i=3r+k		
	А- = 0	А = 1	к = 2
0	Ьо =ь°о= -0,873763 -10*3	Ьх = б£=-0,0171265	62 = б£=-0,0377499
1	Ь3 = 6? =-0,0359586	64 = 6} =0,0223064	65 = 61 = 0,136907
2	66 = 6° =0,255918	67 = 61 =0,306936	68 =6^ = 0,255918
3	69 = 6° = 0,136907	6ю = 6) = 0,0223064	6И =61=-0,0359586
4	612 = bl =-0,0377499	613=6Д= -0,0171265	/,14 = Ь1= -0,873763 • 10“3
183
a(w), дБ
Рис. 7.16
Полифазная структура. При представлении схемы интерполяции в виде
полифазной структуры последняя содержит £=3 параллельных ветвей обработки
сигнала, в каждой из которых находится фильтр с передаточной функцией (см. [3 ])
Н»(г’) = £ bkrz~ir = X b3r+tz 3', к=0. 1, 2.
г-0	г=0
Коэффициенты передаточной функции	фильтра в к-й ветви
структуры представляют собой коэффициенты передаточной функции H(z) ис-
ходного фильтра-прототипа, взятые через £=3 коэффициента (6) = />,/.+* = />3г+ц,
r=0, 1, 2, 3, 4). Значения в каждом столбце табл. 7.4 представляют собой
коэффициенты фильтра в к-й ветви полифазной структуры.
Программа 7.1 интерполяция синусоидального сигнала
с коэффициентом L с помощью КИХ-фильтра нечетного порядка
(jV-нечетное). Программа осуществляет увеличение частоты
10 REM	ИНТЕРПОЛЯЦИЯ СИНУСОИДАЛЬНОГО СИГНАЛА
20 REM КОЭФФИЦИЕНТ ИНТЕРПОЛЯЦИИ L
30 REM КИХ-ФИЛЬТР НЕЧЕТНОГО ПОРЯДКА
40 OPEN "О*,Ф1,":СО0:"
50 DEFINT I-N
60 INPUT ’ПОРЯДОК ФИЛЬТРА N'fN
70 INPUT "КОЭФФИЦИЕНТ ИНТЕРПОЛЯЦИИ L’;L
00 INPUT "КОЛИЧЕСТВО ВЫВОДИМЫХ ОТСЧЕТОВ N1';N1
9Ф N2=N1+N-2:L1=(N-1>/2
100 DIM XI(N-1),Y(N1-1),B(N-1>
11Ф PRINT "ВВЕДИТЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ ФИЛЬТРА"
120 FOR 1=0 ТО N-1
130 PRINT "B(";I;">="?:INPUT B<I>
140 NEXT I
15Ф INPUJ "ВВЕДИТЕ ЧАСТОТУ СИНУСОИДЫ Ы=Ы'/1_’;Ы
160 PRINT 01,
170 PRINT 01," ВХОД ФИЛЬТРА ВЫХОД ФИЛЬТРА"
180 PRINT 01," ТАКТ ОТСЧЕТ ТАКТ ОТСЧЕТ'
190 PRINT 01,
200 FOR J=0 ТО N2
210 K=J MOD L
220 FOR I=N-1 TO 1 STEP -1
184
230 X1(I)=X1(I-1)
240 NEXT I
250 IF K=0 THEN XX=SIN<2»3.141592»J»W)
260 IF K=0 THEN X1(0)=XX ELSE X1<0>=0
270 IF JCN-l THEN 410
280 FOR I=N1-1 TO 1 STEP -1
290 Y(I)=Y(I-1)
300 NEXT I
310 S=0
320 FOR I’K TO N-1 STEP L
330 S=S+B(I)»X1(I)
340 NEXT I
350 Y<0)=S
360 NX=J-L1
370	PRINT	01,USING	*000000";	NX:
380	PRINT	01,USING	*000000.0000";X1(L1	
390	PRINT	01,USING	'00000000	J:
АЛЛ	PRINT	01,USING	'000000.0000*;Y<0)	
410	NEXT J			
420	CLOSE	«1		
430	PRINT	"РАБОТА	ЗАКОНЧЕНА	
440	END			
	ВХОД	ФИЛЬТРА	ВЫХОД	ФИЛЬТРА
	Г АКТ	ОТСЧЕТ	ТАКТ	ОТСЧЕТ
	7	л лллл V  TCvV	14	-0.5186
	8	ФаФФФФ	15	-0.8836
	9	--1.ФФ00	16	-1.0236
	10	Л ЛЛЛЛ V • WW	17	-0.8836
	11	л лллл “tvvvv	18	-0.5186
	12	_А лллл V • WW	19	-0.0000
	13	л лллл V • VWU	20	0.5186
	14	Фе ФФФФ	21	0.8836
	15	1«Ф0ФФ	22	1.0236
	16	Ф« ФФФФ	23	0.8836
	17	ФеФФФФ	24	0.5186
	18	ФфФФФФ	25	0.0000
раз входного
синусоидального сигнала
дискретизации в L
х(уГ ) = sin (27tvn’') = sin (2л vL w) (выбранного из соображений на-
глядности). В схеме рис. 7.7, а используется КИХ-фильтр с перед-
аточной функцией
N- 1
H(z)=^btz"1,
1 = 0
где N - нечетное число (что соответствует задержке, вносимой
фильтром, равной целому числу интервалов дискретизации).
В качестве исходных данных задаются и вводятся: порядок
фильтра N, коэффициент интерполяции L, количество отсчетов
/VI, которое пользователь желает вывести; коэффициенты пере-
даточной функции фильтра bt.
Обращаем внимание на то, что отсчеты выходного сигнала
выводятся после завершения переходного процесса в фильтре,
занимающего N тактов. Отсюда общее число тактов расчета
выходного сигнала равно N2 = Nl + N—\.
Пользователю выводятся в виде таблицы значения номера
такта и отсчета сигнала на выходе и входе фильтра в схеме
185
рис. 7.7,а, т. е. п, х* (пТ), п, у(пТ), с учетом задержки, вносимой
фильтром, т. е. пТ—пТ— Т3 = пТ— ((N— 1)/2) Г; п = п — (N— 1)/2.
В качестве примера осуществлена интерполяция сигнала
x(v7,') = sin(2itvLw), где w= 1/12 с коэффициентом интерполяции
£ = 3 оптимальным чебышевским фильтром, рассмотренным
в примере 7.8. Коэффициенты фильтра (без учета масштабного
множителя £ = 3) приведены в табл. 7.4. Следовательно, N= 15,
£ = 3, количество выводимых отсчетов А1 = 12.
В качестве исходных данных последовательно вводятся сле-
дующие значения: jV=15; £ = 3; 7V1 = 12; коэффициенты фильтра,
умноженные на £, т. е. />( = />(£ (/=0, 1,..., 14),	0,0833333.
7.9. ПЕРЕНОС СПЕКТРА ПРИ ИНТЕРПОЛЯ-
ЦИИ
Процесс увеличения в £ раз частоты дискретизации сигнала
х(уТ'\ основной спектр которого занимает полосу нормирован-
ных частот [wj, w2], а частота дискретизации и’д=1/£ (нор-
мировка ведется к частоте fn = Lf'a=LIT'), можно совместить
с переносом его спектра на величину 0 = /(1/2£), /= 1,2, ...,£ —1,
т. е. в частотный диапазон
'27-<'+1)2Z
. Для этого необходимо
в схеме интерполяции (см. рис. 7.7,а) использовать полосовой
фильтр, идеализированная АЧХ которого в основной полосе
частот удовлетворяет условиям
' £ при
|H(eJ’2nw)|»S 0 при
\H(ej2яw)|«< 0 при w£ l-^- + w2, ^ + и’!
(7.35')
(7.35")
где [В ] означает наибольшее целое число, не большее, чем
число В.
На рис. 7.17 показаны модуль спектра сигнала х(уТ')
(рис. 7.17, а), АЧХ фильтра и модуль спектра интерполированного
и
186
Рис. 7.17
сигнала у(пТ) при 1=2 (рис. 7.17,б, в) и /=1 (рис. 7.17,г,6)
для £ = 4.
„	„ , г/ /+и
Отметим, что для нечетных значении I в полосу —, —
попадает инверсный спектр интерполируемого сигнала (см.
рис. 7.17,6). Если необходимо в данной полосе иметь прямой
спектр, то перед интерполяцией необходимо выполнить инверсию
спектра сигнала х(уГ) по правилу (6.5) и использовать фильтр
с АЧХ, удовлетворяющей условиям (7.35').
Из рис. 7.17 видно, что в рассматриваемом методе для
переноса спектра сигнала на величину Р = //(2£) необходимо
использовать разные фильтры (в зависимости от величины /).
Кроме того, существуют довольно жесткие ограничения на
величину параметра р.
Схема переноса спектра при интерполяции сигнала с исполь-
зованием ФНЧ. Схема, осуществляющая увеличение частоты
дискретизации сигнала в L раз с одновременным переносом
спектра, показана на рис. 7.18. Принцип работы схемы поясняется
на рис. 7.19. Сигнал x(vF') умножается на дискретную экспоненту
ej 2,tVY (о выборе величины у см. § 6.3). При у= — L (му + w2)/2)
верхняя боковая полоса спектра сигнала x(vT') занимает ча-
и’2->*1 Ц’г-И'!
2 ’	2
стотный диапазон
(рис. 7.19,6).
187
(. Jz*vr
СВвиг спектра
—yp'W пг-
\L —--* <PU
е jZtinft
[Перенос спектра и получение
[Вещественного сигнала
cos (г я пр)
cos (гяяу)
интерполяция
Вг(пТ)
Рис. 7.18
sin
у(пТ)



Сигнал р(уТ) подвергается интерполяции с помощью схемы,
содержащей ЭЧД и интерполирующий фильтр ФИ, АЧХ которого
показана па рис. 7.19, в (для случая £ = 4). В результате форми-
руется сигнал d(nT) с частотой дискретизации /я = £/’д, модуль
спектра которого показан на рис. 7.19, г. Для переноса спектра
на требуемую величину (3 сигнал d(nT) умножается на дискретную
экспоненту е72я₽п. Модуль спектра сигнала d(nT) показан на
рис. 7.19,д. Получение вещественного сигнала у(пТ) со спектром.
188
содержащим обе боковые полосы, осуществляется выделением
вещественной части сигнала d(nT) (элемент Re на рис. 7.18,а).
Модуль спектра сигнала у(пТ) показан на рис.~7.19,е.
В общем случае сигналы p(vT'), р*(пТ), d(nT) и d(nT)
являются комплексными. На рис. 7.18,6 приведена «комплексная»
схема, соответствующая схеме рис. 7.18, а. В схеме нет сигнала
d(nT), поскольку нет необходимости вычислять мнимую состав-
ляющую сигнала d(nT).
Отметим, что при у = 0,25 каждый второй отсчет последо-
вательностей Pt(vT') и р2(уТ') равен нулю и процесс ин-
терполяции соответствует процессу увеличения частоты диск-
ретизации вещественных сигналов sl(kT*)=pl(y2T)
и s2(kT*)=p2(y2T) с частотой дискретизации /д/2 в 2L раз.
Достоинствами схемы (см. рис. 7.18) по сравнению с исполь-
зованием полосового фильтра являются отсутствие ограничений
па величину параметра (3 и использование одного и того же
фильтра ФИ при переносе спектра на любую величину р.
Глава 8. УМЕНЬШЕНИЕ ЧАСТОТЫ ДИСКРЕ-
ТИЗАЦИИ (ДЕЦИМАЦИЯ) ЦИФРОВО-
ГО СИГНАЛА
8.1.	ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ И ОСНОВНЫЕ ПО-
НЯТИЯ ЦИФРОВОЙ ДЕЦИМАЦИИ СИГНА-
ЛОВ С ЦЕЛОЧИСЛЕННЫМ КОЭФФИЦИЕН-
ТОМ м
Рассмотрим аналоговый сигнал x(t), показанный на рис. 8.1. Спектр X(j(n)
этого сигнала занимает полосу частот [0,	], модуль его спектра показан
на рис. 8.2, а. Осуществим дискретизацию этого сигнала с интервалом диск-
ретизации Т (частотой (1)д = 2я/Г). Соответствующий дискретный сигнал х(пТ),
и=0, 1,2,..., показан на рис. 8.1. Теперь осуществим дискретизацию того же
сигнала x(t) с интервалом Т' = МТ (частотой соя = 2л/7’' = 2л/(Л/7’)). Соответст-
вующий дискретный сигнал x(kT'), Х = 0, 1, 2,..., показан на рис. 8.1 (для случая
Т'=МТ=2Т).
Случай 1. При дискретизации с частотой <од1 выполнялось условие
(Од 1 >2М<д„и1Х (в нашем случае соя1 >4сотях). Модуль спектра сигнала х(пТ)
показан на рис. 8.2, б. Он периодичен (по оси частот) с частотой соя i. Очевидно,
что величина частоты дискретизации является излишней, поскольку в соответствии
с теоремой Котельникова должно выполняться условие	Модуль
спектра сигнала х(Х7") показан на рис. 8.2, в. Он периодичен (по оси частот)
с частотой соя1 =соЯ1/Л1г=С1>я1/2. Поскольку в интересующей нас полосе частот
[0, сотох 1 спектр не изменился как по сигналу х(пТ), так и по сигналу х(ХТ'),
можно восстановить исходный аналоговый сигнал x(t).
189
Рис. 8.1
Рис. 8.2
Вернемся теперь к рис. 8.1. Очевидно, что сигнал х(ХТ') можно полу- I
чить из сигнала х(пТ) путем прореживания последнего, т. с. путем взятия |
только каждого М-го (в нашем примере каждого второго) отсчета сигнала 1
х(пТ). Эта операция и называется децимацией сигнала с целочисленным I
коэффициентом.	|
Случай 2. При дискретизации с частотой сод2 не выполнялось условие |
сод2>2Мсота1. Модули спектров сигналов х(пТ) и х(л.Т'), периодичные с частотами |
иД2 и а>д2 = а>Л2/ЛА показаны на рис. 8.2,г и д соответственно (Л/=2). Из I
рис. 8.2 видно, что на основной спектр в полосе [0,	] наложился допол- 1
нительный спектр, расположенный около центральной частоты co',2. Следовательно, 1
спектр сигнала (и сам сигнал) оказался искаженным. Если по сигналу х(пТ) j
можно восстановить сигнал х(1), то по сигналу х(ХТ') этого уже сделать |
невозможно.	I
Таким образом, мы уяснили, что для выполнения операции децимации |
в целое число раз М необходимо, чтобы частота дискретизации сод сигнала j
х(пТ), подлежащего децимации, удовлетворяла условию ct>^2A/ct>max, где |
а>т<1х- граничная частота спектра децимируемого сигнала. Позднее более |
точно сформулируем условия, при которых возможно осуществить децимацию |
сигнала.	1
8.2.	КОМПРЕССОР ЧАСТОТЫ
ДИСКРЕТИЗАЦИИ
Собственно операция децимации выполняется с помощью
компрессора частоты дискретизации (КЧД). Условное изображе-
ние КЧД, осуществляющего уменьшение частоты дискретизации
в целое число раз М, показано на рис. 8.3. Компрессор частоты
дискретизации представляет собой ключ, который замыкается
в моменты / = пА/7’=ХГ' (я = 0, 1,2,...), т. е. из входного сигнала
х*(пТ) с интервалом дискретизации Т берется только каждый
М-й отсчет и формируется выходной сигнал х(А,Г') = х*(кМТ)
с интервалом дискретизации Т=МТ. Иными словами, выходная
х*(пТ)
x*(z)
iff
х(ХТ')
x(zn) '
Рис. 8.3
190
х*(пТ)
Рис. 8.4
последовательность х(ХГ') ЭЧД формируется путем прорежива-
ния входной последовательности х*(пТ) по алгоритму
х(ХГ+А:Г) = х*(иТ),
(8-1)
где Х = 0, 1,2,...; п = кМ+к, а к — целое фиксированное число
(O^fccAf). Операция, выполняемая КЧД, называется проре-
живанием, а последовательность х(ХГ') — прореженной. На
рис. 8.4 показаны последовательности х*(«Г) и х(ХГ') на
входе и выходе КЧД при уменьшении частоты дискретизации
в 4 раза (Л/=4, к=2).
Рассмотрим связь между ^-преобразованиями входной и выход-
ной последовательностей ЭЧД. Представим z-преобразование
Xk(zM) сдвинутой последовательности хк(кТ + кТ) в виде
Xk(zM) = z~k f x(kT'+kT)z~kM,
>.=о
(8-2)
а z-преобразование X* (z) входной последовательности х* (пТ)
в виде
У*(г) = Y x*(nT)z~n.
п = 0
Рассмотрим теперь с учетом (8.3) сумму
М— 1 х	х	М— 1 ос х	х
X ej2n^kx(zej2n^= X EeJ^ ^(«DeJ *’z’’=
х = 0	х = 0 п=О
оо М- I х
= X(Z e~j2nM(n-k})x^nT)z~n.
п=0 х=0
Поскольку
МЛ1 -jinK (п-к) \м при п = к+км, Х = 0, 1, 2,...,
у е м = <
х=о	О при других п,
(8-3)
(8-4)
191
из (8.4), заменив «—>Хс + ХЛ/, получим
М — 1	х	х	х
X еу2пм %*(-е/2пм) = Л/ £ х* (KMT+kT)z~°M п> =
х = 0	Х=0
= Mz~k X x*(kMT+kT)z~,M.	(8.5)
к=0
Окончательно с учетом (8.1) и (8.2) из (8.5) получаем
. М — 1	х	х
^(^) = i X ey“y*(2ey\v).	(8.6)
Мх = 0
Уравнение для спектров на нормированной шкале частот
получаем из (8.6) при подстановке г = ехр(/2л )т) = ехр(у'2л w'jM)’.
. М — 1 х	/ х \
Xk(ei2*w‘) = - X ej2n
х - О
(8-7)
где w' = w/M.
На практике часто используется случай А' = 0. Тогда (8.6)
и (8.7) преобразуются в (8.8) и (8.9) соответственно:
м - 1	х
^(zM) = l X -V*(^ey2n«);	(8.8)
х = О
М - 1	/ х \
У(е>2яи',) = 1 V Ar*(ey2nV + w/).	(8.9)
м
Из (8.9) видно, что спектр Х{ •) выходного сигнала есть
сумма спектров входного сигнала, сдвинутых один относительно
другого по оси частот iv на величину \jM. Таким образом,
если основной спектр входного сигнала КЧД (в полосе [0; 0,5])
разбить условно па М составляющих, занимающих М полос
на оси частот шириной 1/(2Л/), то после уменьшения частоты
дискретизации в М раз в основную полосу частот [0,1/(2 Л/)]
выходного сигнала попадает каждая х-я составляющая спектра
входного сигнала из полосы
X X -г 1
2Л? ~2М
х = 0, 1, 2,
М-\.
На рис. 8.5 показаны модули спектра входного сигнала
и составляющих спектра выходного сигнала КЧД при уменьшении
частоты дискретизации в М = 3 раза. Из рис. 8.5 видно, что
если основной спектр входного сигнала КЧД условно разбить
на М составляющих А'*, х = 0,	— 1 (в примере Л/=3),
занимающих по оси частот М полос шириной 1/(2Л/), то’ после
уменьшения частоты дискретизации в М раз в основную полосу
частот [0,1/(2Л/)] выходной последовательности попадают пря-
мые спектры Х*,.(-) четных составляющих (х = 0, 2,...) и инверсные
спектры А'х(-) нечетных составляющих (х=1, 3,...) спектра вход-
192
пой последовательности. В пашем примере спектр входной
последовательности условно разбит на три составляющие (А'о,
Х\ и Х*2). После уменьшения частоты дискретизации в 3 раза
в основную полосу частот [0,1/(2 Л/)] попадают составляющие
А^(-) и А'К’) при z = 0,2 и A^’iC) ПРИ z=l-
Рассмотрим теперь условия, накладываемые на ширину и по-
ложение спектра входной последовательности на оси частот, при
которых уменьшение частоты дискретизации не приводит к на-
ложению спектров. Как видно из (8.9) и рис. 8.5, наложение
спектров отсутствует, если спектр входного сигнала занимает
пе весь частотный диапазон [0; 0,5 ], а лишь одну из полос частот
ri^vv5;(r+1,i’	(8Л0)
2м	2м
где г = 0, 1,..., М—1, или часть этой полосы. Условие (8.10)
соответствует обобщенной теореме Котелышкова, устанавливающей
связь между шириной спектра и частотой дискретизации сигнала.
Программа 8.1. Работа компрессора частоты дискретизации
с коэффициентом М для синусоидального входного сигнала.
le REM КОМПРЕССОР ЧАСТОТЫ ДИСКРЕТИЗАЦИИ
2Ф REM С КОЭФФИЦИЕНТОМ М
ЗФ REM СИНУСОИДАЛЬНЫЙ ВХОДНОЙ СИГНАЛ
4Ф OPEN 'O",el,"tLPt'
Эф DEF I NT I-N
6Ф INPUT ‘КОЛИЧЕСТВО ВЫВОДИМЫХ ОТСЧЕТОВ Nl'sNl
7Ф INPUT 'КОЭФФИЦИЕНТ ДЕЦИМАЦИИ М',М
ОФ N2a<Nl-l>*M
РФ INPUT 'ЧАСТОТА ВХОДНОЙ СИНУСОИДЫ Ы',Ы
1ФФ PRINT ei,
не print ei,' вход выход
12Ф PRINT el,'ТАКТ ОТСЧЕТ ТАКТ ОТСЧЕТ'
13Ф print 61,
не for i-e то нг
13Ф XX-S1N(2»3.141592»1»U)
16Ф K»I MOD M:K1*FIX(I/M)
17e IF K»e THEN Y-XX
7 Заказ 3574
193
18» PRINT el,USING -000"5It
190 PRINT 01,USING '♦♦♦0»0.0»0;XX!
200 IF K-0 THEN PRINT 01,USING '000000000';K1;
210 IF K»0 THEN PRINT 01,USING '000000.000';Y
220 IF KO0 THEN PRINT 01,
230 NEXT I
240 CLOSE 01
250 PRINT 'РАБОТА ЗАКОНЧЕНА'
260 END
в	X 0 1	в ы	X 0 1
ТАКТ	ОТСЧЕТ	ТАКТ	ОТСЧЕТ
0	0.000	0	0.000
1	0.500		
2	-0.866		
3	1.000	1	1.000
4	-0.866		
5	0.500		
6	0.000	2	0.000
7	-0.500		
8	0.866		
9	-1.000	3	-1.000
10	0.866		
11	-0.500		
12	-0.000	4	-0.000
13	0.500		
14	-0.866		
15	1.000	5	1.000
16	-0.866	-	
17	0.500		
18	0.000	6	0.000
Программа осуществляет уменьшение частоты дискретизации
входного сигнала х*(пТ) в М раз путем прореживания входной
последовательности (взятия каждого Л/-го отсчета) в соответствии
с (8.1) при к = 0. В качестве входного сигнала взят синусоидальный
сигнал х* (nT) = sin(2nnw'), причем частоту iv целесообразно
выбрать в соответствии с условием 1/(2 Л/ )<vv<0,5, чтобы
наблюдать явление наложения спектров.
В качестве исходных данных задаются и вводятся: количество
ЛИ выводимых отсчетов выходной последовательности х(кТ');
коэффициент децимации Л/; частота W входного синусоидального
сигнала. Пользователю выводятся в виде таблицы значения
номера такта и отсчета сигнала на входе и выходе КЧД, т. е.
п, х* (пТ), X, х(ХГ').
В качестве примера осуществлено уменьшение частоты диск-
ретизации сигнала х* (nT) = sin(2nnw), где w= 5/12 = 0,416666,
в М = 3 раза. Величина АП выбрана равной 7. В качестве
исходных данных последовательно вводятся значения: ЛИ =7,
М=3, 1У=0,416666.
Из решения хорошо видно, что в результате наложения
спектров выходной сигнал представляет собой синусоиду с ча-
стотой W' = 0,25. Рекомендуем изобразить для данного случая
модули спектров исходного сигнала и составляющих спектра
выходного сигнала аналогично рис. 8.5.
194
8.3.	УРАВНЕНИЯ И ПРИНЦИП РАБОТЫ ПРО-
СТЕЙШЕЙ СИСТЕМЫ ДЕЦИМАЦИИ С ЦЕ-
ЛОЧИСЛЕННЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ
Простейшая система уменьшения частоты дискретизации (де-
цимации) в целое число раз М показана на рис. 8.6, а. Принцип
работы схемы поясняется на рис. 8.6, б (для Л/=4). Предполага-
ется, что спектр входного сигнала х(пТ) занимает полосу
нормированных частот [0; 0,5] (рис. 8.6, б, график 1).
Задачей схемы является уменьшение частоты дискретизации
сигнала в М раз с сохранением спектра, расположенного в полосе
[0, Wmax ]•
Собственно операция уменьшения частоты дискретизации
в М раз осуществляется с помощью КЧД, формирующего
сигнал у{\Т')=у('кМТ) путем взятия только каждого М-го
отсчета из последовательности у*(пТ), т. е. у(кГ )=у* (МХТ),
Х = 0,1,2,... Для предотвращения явления наложения спектров
операции, выполняемой КЧД, предшествует операция фильтрации
децимируемого сигнала. Входной сигнал х(пТ) обрабатывается
фильтром, назначение которого состоит в подавлении составля-
ющих спектра в частотных диапазонах
г Г+1
2М’ 2М
(г— 1, 2,	1), которые при последующем уменьшении частоты
дискретизации в М раз попадут в частотный диапазон [0; 1/(2Л/)].
Идеализированная АЧХ фильтра нижних частот схемы должна
удовлетворять требованиям
A (w) = \H(ej2™')\ =
1 при we [0,
0 при [0; 0,5],
(8.11)
х(пТ)
X(z)
H(z)
У*(пТ)
У*(г)
У (XT)
Y(zM)
Рис. 8.6
195
где wmux<0^ —— wmox, 0 = wr3— граничная частота полосы задер- I
М	1
живания фильтра. Амплитудно-частотная характеристика показана .
на рис. 8.6,6 (график 2) для случаев 0=1/(2Л/) (/, график 2, 1
рис. 8.6,6) и 0=1/Л7--wmax (И, график 2, рис. 8.6,6) (1 /10<wmox<
<1/8, Л/=4).
Спектр сигнала у*(пТ) на выходе фильтра равен	1
'2яи') = У(е-'2яи')//(е-'2я'"
Следовательно, спектр
децимации в основной
ответствует частотному
(8.9) определяется как
выходного сигнала у(кТ') схемы |
полосе частот w'e[0;0,5] (что со-1
диапазону we [0; 1/(2Л/)]) с учетом!
м -1	х	х	.1
у(е22яМи,) = 1 У У(е;2’'(”,"))Н(еу2"("'+")).	(8.12)!
М *=°
Если АЧХ фильтра |Н(ej 2я)| удовлетворяет условию (8.11),1
то в полосе частот [0, wmax ] спектр выходного сигнала равен!
спектру входного сигнала. В полосе [wmox, 1/(2Л/)] может от-|
сутствовать наложение спектров (при 0<1 (2Л/), см. рис. 8.6,б,|
график 3) либо могут иметь место наложения спектров (при|
1/(2Л/)<0^ 1/М- wmax, см. рис. 8.6,6, график 4).	]
Оба случая допустимы, поскольку от схемы требуется только!
сохранение спектра в полосе [0, wmox ].	|
В реальных фильтрах, используемых для децимации, амп-]
литудно-частотная характеристика аппроксимирует (8.11) с опре-|
деленной степенью точности. В полосе пропускания АЧХ имеет]
неравномерность АЛП, а в полосе задерживания — отклонение от]
нуля ЛА3. При уменьшении частоты дискретизации имеет место]
наложение спектров. Спектр выходного сигнала определяется]
(8.12). Первое слагаемое в правой части (8.12) при х = 0 для]
we [0, wmax ] можно рассматривать как спектр полезного сигнала
равный спектру входного сигнала в данной полосе, измененного]
в соответствии с АЧХ фильтра в полосе пропускания. Слагаемые]
для х= 1, 2,..., М- 1 и |w| е [0, Wnax ] следует рассматривать как]
спектры помех, искажающие спектр полезного сигнала в полосе]
[0, wmax ].	Я
Выбор величин АЛП и ДЛ3 при решении аппроксимационной]
задачи основывается на требованиях конкретной проектируемой]
системы и аналогичен выбору соответствующих величин в си-1
стемах интерполяции (см. § 7.6).	1
Требования к АЧХ (8.11) могут быть заменю облегчены,]
если wmax с 1/(2 А/):	1
196
1 при we
H(w)sJ
О при we
X Wmax ],
1	гМ1 (8-13>
r	r ,	1 T M
---Wmax,---.
M max' M	|_ 2
Рассмотрим теперь особенности использования КИХ-и БИХ-
фильтров при децимации. Передаточная функция Н(з) фильтра
(как КИХ, так и БИХ) и его частотная характеристика определя-
ются «высокой» (входной) частотой дискретизации.
Однако КИХ-филыр работает фактически на «низкой» (выход-
ной) частоте, поскольку нет необходимости рассчитывать М— 1
отсчет выходной последовательности у(пТ) фильтра (см.
рис. 8.6,а), которые будут отброшены КЧД.
БИХ-фильтр, используемый в схеме децимации, работает на
«высокой» (входной) частоте дискретизации, поскольку при вычис-
лении любого отсчета последовательности у*(и7') необходимо
иметь значения всех предыдущих отсчетов (и тех, которые далее
будут отброшены КЧД).
Использование БИХ-фильтра может оказаться более пред-
почтительным при минимизации емкости оперативной памяти
или объема оборудования.
Число операций умножения в единицу времени для БИХ-(Иб)
и КИХ-фильтров (Рк) равно:
РБ = (Уг, + Мг>-1)/д, rK = NK(4/M),
где Nh и МБ -количество коэффициентов в числителе и знамена-
теле передаточной функции БИХ-фильтра; NK — количество ко-
эффициентов передаточной функции КИХ-фильтра; /д — частота
дискретизации входного сигнала; М — коэффициент децимации.
Применение БИХ-фильтра оказывается предпочтительным (по
критерию минимума операций умножения в единицу времени)
при условии NK> М+Мъ~ 1).
При требовании сохранения фазовых соотношений между
составляющими спектра входного сигнала в полосе частот
[О, wmox ] в схеме децимации целесообразно использовать КИХ-
фильтр с линейной фазовой характеристикой.
8.4.	СТРУКТУРЫ СИСТЕМ ДЕЦИМАЦИИ
С ЦЕЛОЧИСЛЕННЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ М
Рассмотрим две структуры систем децимации сигналов с це-
лочисленным коэффициентом М при использовании в схеме (см.
рис. 8.6,а) КИХ-фильтра с передаточной функцией
N-1
H(z)= £ btz-‘.
1-0
Алгоритм работы схемы описывается разностным уравнением
197
N-l
y(KT')=y*(KMT) = Y ^(КМТ-ГГ), X = 0, 1, 2,...	(8.14)
( = 0
Пример 8.1. Допустим, порядок фильтра W=6, а М = 3. Рассмотрим третий
выходной такт К = 3. Тогда в соответствии с (8.14)
y(3T')=y*(9T)=box(9T)+blx(iT)+b2x(lT)+b3x(6T)+b4x(5T)+b}x(4T).
На следующем выходном такте (Х = 4)
>(47’,)=у * (127’) = Лох(127’) + (>1х(11 Г) + й2х(107’) + 63л(97’) +
+b4(iT)+bsx(TT).
Промежуточные отсчеты >*(107’) н >*(117’) вообще в фильтре не вычис-j
лялись, поскольку вес равно в дальнейшем они были бы отброшены КЧД.
Структура 1. Уравнению (8.14) соответствует схема, показанная
на рис. 8.7. Входная последовательность х(пТ) поступает в цеп:
из У— 1 элемента задержки
на интервал
дискретизации
Выходы элементов задержки подключены к умножителям н;
коэффициенты Ь{ через КЧД. Компрессоры частоты дискретизаци)
работают как ключи, замыкающиеся в моменты t = KT' = КМ1
т. е. в моменты О, МТ, 2МТ и т. д. Полученные произведения
последовательно складываются в сумматорах на два входа
образуя отсчет выходного сигнала у (КТ'). Отметим, что ум.'
ножители в этой схеме работают на «низкой» (выходной) частот
дискретизации.
Пример 8.2. Допустим, W=6, М = 3. Рассмотрим третий выходной такз
который соответствует девятому входному такту (Х = 3. п = ХМ=9). Значит, н
входе схемы — отсчет х(97’), на выходе элемента задержки zj1- х(8Г), н
выходе z2-1- х(1Т) и т. д. В момент Л Л/ замыкаются ключи КЧД, т. е. эт
отсчеты поступают на умножители. Таким образом вычисляются произведени
198
bnx(9T), btx(ST), b2x(1T), b3x(6T), b^x(5T) и Z>5x(4T). Затем эти произведения
последовательно складываются, начиная с последнего, т. е. вначале получаем
Ь3х(^Т) + Ь^х(5Т), затем к этой сумме добавляется b3x(f>T) и т. д. Таким
образом на выходе схемы формируется требуемый отсчет выходного сигнала
5
у(ЗТ')= £btx(9T— IT) (см. также пример 8.1).
1 = 0
Структура 2 (полифазная). Полифазная структура основана
на преобразовании уравнения (8.14) к виду (8.15):
М - 1 G - 1
у(ХГ)= £ X ЬгМ+кх((к-Г)МТ-кТ),	(8.15)
к = 0 г = 0
причем N=GM, G—целое. Подробно вывод уравнения (8.15)
приведен в [3 ].
Уравнение (8.15), описывающее полифазную структуру деци-
мации сигнала с целочисленным коэффициентом М, можно
интерпретировать следующим образом: выходная последователь-
ность у (XT') схемы есть сумма М последовательностей д(ХА/Т),
к = 0, 1,	1, каждая из которых есть в свою очередь результат
фильтрации последовательности х*к(\МТ) = х(\МТ—кТ) диск-
ретным фильтром с передаточной функцией H*k(zM) и импульсной
характеристикой bkr = brM + k, причем отсчеты импульсной харак-
теристики к-го фильтра есть отсчеты импульсной характеристики
Ь, фильтра-прототипа в исходной схеме (см. рис. 8.6,а), взятые
через М— 1 отсчет: =	к = 0, 1,...,А/— 1; r — Q, 1,2,...
Полифазная структура при децимации сигнала содержит (как
и при интерполяции) М параллельных ветвей обработки, в каждой
из которых находится фильтр, работающий на «низкой» (выход-
ной) частоте дискретизации.
Желающим более подробно ознакомиться с полифазной
структурой для децимации сигналов советуем обратиться к [3, 8],
8.5.	ОДНОРОДНЫЙ И ТРИАНГУЛЯРНЫЙ
ФИЛЬТРЫ ПРИ ДЕЦИМАЦИИ
Как и при интерполяции сигналов, наиболее простая (в
смысле технической реализации) схема уменьшения частоты
дискретизации получается при использовании в качестве фильтра
в структуре рис. 8.6, а однородного или триангулярного фильтра.
Однородный фильтр. Передаточная функция однородного
фильтра, используемого в схеме децимации сигнала,
= z~l-	(816)
Амплитудно-частотная характеристика фильтра (8.16)
199
a(w)
4
।
Рис. 8.8 '
(и ) = [/7(е j2nw)| = —r
.N
sin nNw
sin лш
(8.17):
Отметим, что коэффициент усиления фильтра (значение АЧХ при
и’ = 0) равен единице. Характеристика затухания a(w)= — 201g (w)^
однородного фильтра приведена па рис. 8.8 (кривая /) для A=8J
Порядок N передаточной функции однородного фильтра!
целесообразно выбирать из условия	(
N=kM, к=\, 2,...,	(8.18)]
где М — коэффициент децимации. Условие (8.18) объясняется*
тем, что однородный фильтр обеспечивает существенное подав-1
ление (а0) лишь в незначительном удалении от частот w = t(1/jV),j
г=1,2,... (см. рис. 8.8).	I
После уменьшения частоты дискретизации при выполнении;
(8.18) в полосу [0; и’тах ] попадают инверсные составляющие^
ГIk Ik 1;
спектра исходного сигнала частотных диапазонов — — wmax, — <
и составляющие частотных
измененнные в соответствии
диапазонов
Ik 1к
N'N+Wmax ’
с АЧХ фильтра (см. § 8.2)
/=1, 2,...,-
Наименее:
подавленными являются составляющие на границах диапазонов,
т. е. на частотах lk/N+wmax.
Пример 8.3. Рассмотрим схему (см. рис. 8.6,а) с однородным фильтром!
(8.16) при W = 8.	;
200	1
Считывание и сброс
^='/Г'
у(М')
Рис. 8.9
Если коэффициент децимации Л/ = Л' = 8 (£=1). в диапазон [0; ivmox ] пос
уменьшения частоты дискретизации попадают составляющие всех диапазон
] (для диапазонов [(г/Л') —г/Л' ] • •• инверсные составляющие).
Если коэффициент децимации М=4 (к = 2), в диапазон [0; ivm„ ] попада,
составляющие диапазонов [(r/N)±wmax ] только для г = 2 и 4 (г = 1к}, прич
для диапазонов [2/8— и’т„ ] и [0,5 — >rm„ ] инверсные составляющие.
Структура реализации схемы рис. 8.6, а при использоваш
однородного фильтра с N = M приведена на рис. 8.9; А отсчет,
входного сигнала х(пТ) складываются в накапливающем су:
маторе (состоящем из комбинационного сумматора Е и регист;
RG) с 1 актовой частотой ]\=\;Т. На А-м такте содержим
регистра считывается на выход, а регистр обнуляется.
Триангуляриый фильтр. При использовании в схеме децимащ
триангулярный фильтр имеет передаточную функцию
N-1	2N-2
I г')2»./е	<8.1
где
С/+1 при 1=0,	N-\,
' [27V—1—/ при l=N, N+],...,2N-2.
Амплитудно-частотная характеристика фильтра (8.19)
Я(и’) = |Я(е;2я”)| = Д feM2.	(8.2
N у sin ли’ у
Характеристика затухания п(и)=—201g A(w) триангулярно
фильтра приведена на рис. 8.8 (кривая 2) для А=8. Величи:
N целесообразно выбирать из условия (8.18).
Пример 8.4. Рассмотрим схему рис. 8.6.а с триангулярным фильтром (8.
при У=8. Коэффициенты филыра Ь, определяются из формулы (8.20): bt =
2, 3. 4, 5, 6, 7. 8, 7. 6, 5, 4, 3, 2, 1}.
8.6.	ДЕЦИМАЦИЯ С ПОМОЩЬЮ ОПТИМАЛ
НЫХ ФИЛЬТРОВ
При использовании однородного или триангулярного фильт
для предварительной фильтрации децимируемого сигнала д
стигается простота реализации схемы. Однако эти фильт[
вносят значительные искажения в спектр децимируемого сигнала
в полосе [0; wmax ] из-за относительной большой неравномерности
АЧХ фильтра (Да) в полосе пропускания и малого подавления
(а0) в полосе задерживания (особенно при wmax, близкой к вели-
чине 1/2М).
Наилучшие результаты при децимации (так же, как и при
интерполяции) достигаются при использовании оптимальных
(чебышевских) фильтров, наилучшим образом удовлетворяющих
условиям (8.13).
Пример 8.5. Рассмотрим схему, задачей которой является уменьшение
частоты дискретизации /д = 3 кГц в М=3 раза (до /д = 1 кГц). Спектр полезного
сигнала занимает полосу от 0 до 300 Гц, т. е. №^=/„^//^ = 0,1. Составляющие
спектра в полосе [0;и'тох] не должны быть искажены более чем на +0,25 дБ
из-за неравномерности характеристики затухания в полосе пропускания (т. е. Да =
= 0,5 дБ). Наложением спектров при децимации можно пренебречь, если затухание
фильтра в полосе задерживания ао>40 дБ.
При решении аппроксимационной задачи требования к АЧХ фильтра должны
быть заданы па основе (8.13). Эти требования совпадают с требованиями
к фильтру в системе интерполяции, предназначенной для увеличения частоты
дискретизации сигнала /д=1кГц, спектр которого занимает полосу 0...300 Гц,
в L=3 раза, т. е. до частоты fa = 3 кГц (см. пример 7.18). Поэтому оптимальный
фильтр в рассматриваемой схеме децимации будет таким же, как оптимальный
фильтр в схеме интерполяции примера 7.8. Значения коэффициентов передаточной
функции фильтра приведены в табл. 7.4, а характеристика затухайия— на рис. 7.16.
Неравномерность затухания в полосе пропускания [0;	] составляет Да «0,4 дБ,
а подавление в полосе задерживания а0>45дБ.
Полифазная структура. Полифазная структура основана на вычислении
отсчетов выходной последовательности схемы децимации на основе разностного
уравнения (8.15). Применительно к нашему примеру имеем
X Ькгх(().-Г)Т’-кТ)=Х i b3r+kx((k-r)T'-kT), * = 0,1,2.
к-о г-0	к = 0 г = 0
Структура содержит М=3 параллельные ветви обработки сигнала. Фильтр
к-й ветви имеет передаточную функцию
Нк(г3)= Е bk + 3rZ'3'
г = 0
такую же, как фильтр *-й ветви полифазной структуры при интерполяции
в примере 7.18, т. е. является точно таким же фильтром.
Коэффициенты передаточных функций фильтров в ветвях полифазной струк-
туры приведены в табл. 7.4.
Программа 8.2 — понижение частоты дискретизации (деци-
мация) сигнала в М раз с использованием КИХ-фильтра.
Программа осуществляет уменьшение частоты дискретизации
полигармонического входного сигнала
202
J-1
x(nT)= £ Aicos(2nnwi),
i = 0
где А, и w, -амплитуда и частота i-й гармонической состав-
ляющей входного сигнала. Предварительная низкочастотная
1» КЕМ ПОНИЖЕНИЕ ЧАСТОТЫ ДИСКРЕТИЗАЦИИ
2® КЕМ < ДЕЦИМАЦИЯ ) С КОЭФФИЦИЕНТОМ М
3® REM С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КИХ-ФИЛЬТРА
4® КЕМ ВХОДНОЙ СИГНАЛ - ПОЛИГАРМОНИЧЕСКИЙ
5® ОРЕН *O",»1,'1LP1'
6® DEFINT Г-Н
7® INPUT "ПОРЯДОК ФИЛЬТРА N';N
8® INPUT 'КОЭФФИЦИЕНТ ДЕЦИМАЦИИ М"1М
РФ INPUT 'КОЛИЧЕСТВО ВЫВОДИМЫХ ОТСЧЕТОВ Nl'lNl
1ФФ DIM X<N-1),B(N-1)FY(N1-1>
lie NN-<N1-1)«M
12® NTHN MOD M
13® IF НМ-Ф THEN N3-N ELSE N3»N+M-NM
14® N2«NN+N3:Ll*<N-l)/2
15® PRINT "ВВЕДИТЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ ФИЛЬТРА'
16® FOR I«® TO N-1
17® PRINT "B<'iIj'>*';jINPUT Bill
186 NEXT I
19® INPUT "ВВЕДИТЕ КОЛИЧЕСТВО ГАРМОНИК J'lJ
2®e dim a<j-i>,w(j-i>
2ie for i»e to j-1
22® PRINT 'H(';I1'>='?:INPUT Uli)
23® PRINT "At'i!;")="1:INPUT A(I>
24® NEXT I
25® PRINT Ф1,
26® PRINT Ф1, ' ВХОД	ВЫХОД'
27® PRINT »1, " ТАКТ ОТСЧЕТ ТАКТ ОТСЧЕТ'
28» PRINT #1,
29® FOR I»® TO N2
3®® K«I MOD M: K1=FIX(I/M>
31» FOR II«N-1 TO 1 STEP -1
32® X<I1)«X(I1-1>
33® NEXT II
34® S«®
35® FOR I2=® TO J-1
36® S"S+A(I2)«C0S<2»3.141592«I»W(I2>)
37® NEXT 12
38® X(®)=S
39Ф IF I<N3 THEN 55®
4®® FOR Il-Nl-1 TO 1 STEP -1
41® Y(I1)»Y(U~1>
42® NEXT II
43® S=®
44® FOR I3=® TO N-1
45® S-S+B(I3)»X(I3>
46® NEXT 13
47® Y(®)=S
48® NX=I-L1
49® PRINT »1,USING "»♦»»♦»";NX;
5®® PRINT Ф1.USING »»»♦»♦.»»»®»»';X(L1);
51® IF KO® THEN PRINT ®1F
52® IF K«® THEN NY’I/M
53® IF K«® THEN PRINT »1,USING "♦»♦♦♦»♦»' 1NY?
54® IF K«® THEN PRINT »1,USING '»®®»®®.»#»®®®"sY(®>
55® NEXT I
56® CLOSE ®1
57® PRINT 'РАБОТА ЗАКОНЧЕНА"
58® END
203
в х о я
ТЛСГ ОТСЧЕТ
В Ы X о I
ТАКТ ОТСЧЕТ
8
9
1»
11
12
13
14
15
16
17
18
19
29
21
23
25
26
9.499984
-9.797124
9.499975
1.573125
9.91999»
1.573141
9.599937
-9.797979
9.599931
-1.573194
-1.999999
-9.158939
-1.599939
9.797951
9.499971
9.158883
9.158958
9.599933
5	-9.515797
6	9.884389
7	9.512136
8	-9.884381
9	-9.598474
19	9.889569
11	9.512169
фильтрация сигнала с целью предотвращения явления наложения
спектров при децимации выполняется с помощью КИХ-фильтра
с передаточной функцией
H(z)= X b>z
1 = 0
где N— нечетное число, что соответствует задержке, вносимой
фильтром, равной (У—1)/2 тактов.
В качестве исходных данных задаются и вводятся: порядок
фильтра N; коэффициент децимации М;  число выводимых
отсчетов выходного сигнала NI', коэффициенты фильтра hi, 1=
= 0,1, N— 1; число гармоник во входном сигнале J; частота
и амплитуда i-й гармоники и А,, 1=0,1, ..., J— 1.
Отсчеты выходного сигнала выводятся после окончания пе-
реходного процесса в фильтре, занимающего N входных тактов.
Отсюда общее число выходных тактов равно N2.
Пользователю выводятся в виде габлицы значения номера
такта и отсчеты сигнала на входе и выходе схемы рис. 8.6, а,
т. е. п, х(пТ), X, у(кТ') с учетом задержки, вносимой фильтром.
В качестве примера осуществляется децимация сигнала, удовле-
творяющего условиям примера 8.5. Входной сигнал х(иТ)
содержит две гармонические составляющие единичной амплитуды
на частотах Wo = 1/12 = 0,08333333 и и\ = 3/8 = 0,375. Составля-
ющая с частотой находится в рабочей полосе [0; 0,1 ] и является
полезным сигналом. Составляющая с частотой является
помехой и перед децимацией должна быть подавлена. Фильтрация
выполняется оптимальным чебышевским фильтром, рассмотрен-
ным в примере 8.5, коэффициенты которого приведены в табл. 7.4.
В качестве исходных данных последовательно вводятся сле-
дующие значения: ]У= 15; М=3; ЛЧ=7; коэффициенты фильтра
204
bh /=0,1,	14; J=2; И^СО) = 0,08333333; /1(0)= 1; ИД1) = 0,375;
J(l)=l.
Из решения хорошо видно, что в результате обработки
осуществлено уменьшение частоты дискретизации в 3 раза,
причем выходной сигнал представляет собой практически гар-
моническое колебание с часто гой >v' = 0,25. Рекомендуем изоб-
разить для данного примера модули спектров и АЧХ фильтра
аналогично рис. 8.5 и 8.6,6.
8.7.	ПЕРЕНОС СПЕКТРА ПРИ ДЕЦИМАЦИИ
Операция децимации при полосовой фильтрации исходного
сигнала сопровождается переносом спектра, выделенного при
фильтрации, в область нижних частот. Рассмотрим схему умень-
шения частоты дискретизации в М раз с помощью схемы
рис. 8.6, а, содержащей полосовой фильтр с передаточной функ-
цией H(z). Предполагается, что спектр Ar(e72,iw) входного сигнала
л(пТ) можно разбить на М составляющих АДе-'2’1'1’), /=0,1, ...
..., М — 1, каждая из которых занимает часть частотного диапазона
М-1	М-1
А(е72™) = £ JY;(ej2’w)= £ (АДе-'2пн')+У/(е-'2дн')),	(8.22)
1 = 0	1 = 0
где
=	ПРИ Мн'ьП'Л’
' (0	при и4].
А)(-) и Х(-) соответствуют верхней (iv>0) и нижней (и><0)
полосам Ай составляющей спектра, a ---------\-wl; wl2 —-\-w2,
2м	Im
где wl и w2— фиксированные величины.
Полосовой фильтр решает задачу выделения Ай составляющей
спектра Xt(ei2™), его АЧХ должна удовлетворять требованиям
	С 1 при	we	I 2М	H-n’i,	ТГ. + IV2 2.М	’	(8.23)
A (iv)ss <	0 при	w$	“ I- 1 2М	+ w2,	1+ 1 f 	F w, 2M	
Перенос спектра выделенного сигнала в область нижних
частот [0; 1/2М ] осуществляется при уменьшении частоты диск-
ретизации с помощью КЧД. При этом в полосе [0; 1 /2М ]
располагается либо прямой спектр А)(.) Ай составляющей спектра
входного сигнала (для /=0, 2, 4, ...), либо инверсный спектр (для
/= 1, 3, 5, ...) (см. § 8.2).
Амплитудно-частотная характеристика полосового фильтра
должна удовлетворять практически тем же требованиям, что
205
w>l/H 0,5	f
Ж)
w
Рис. 8.10
и АЧХ полосового фильтра для интерполяции сигнала с пере-
носом спектра в область частот [//(2М), (/+1)/(2Л/) ] при L = M
(см. § 7.9)). Отличие состоит в том, что у фильтра-дециматора
коэффициент усиления в полосе пропускания равен единице (а
не L, как при интерполяции). Кроме того, существуют отличия
в границах полос пропускания и задерживания.
Пример 8.6. Рассмотрим схему децимации (см. рис. 8.6,а) при децимации
в М=4 раза сигнала, спектр которого можно разбить на четыре составляющие,
I /+Г
2М’ 2М
каждая из которых занимает часть частотного диапазона
Модуль спектра входного сигнала показан на рис. 8.10, а. Составляющая спектра
X1(cj2’w) занимает часть частотного диапазона
(Z=0, 1, 2, 3).
1 А
2Л? 2mJ’
частот [iv‘, iv) ]. Составляющая Х2 (ej2,,'v) занимает часть частотного диапазона
2	3 ’
2Л? 2М
располагаясь в полосе
и т. д. Сигнал х (п Т) можно рассматривать как групповой четырсх-
канальный сигнал с частотным разделением каналов.
Если АЧХ идеализированного фильтра удовлетворяет условиям (8.23),
выходной сигнал у"(пГ) фильтра (входной сигнал КЧД) будет иметь спектр,
содержащий гармонические составляющие с амплитудой, отличной от нуля,
206
Z Z+1
IM' 2М
и операция децимации,
только в одном из диапазонов частот
выполняемая КЧД, не сопровождается наложением спектров.
На рис. 8.10, б •— ж последовательно изображены АЧХ полосового фильтра,
модуль спектра сигнала у (пТ) на выходе фильтра и модуль спектра сигнала
у(ХТ') на выходе КЧД при выделении составляющих Xj (е-'2’’"’), Z=l, и Х2 (е22’’"'),
1=2, соответственно. Из рис. 8.10, г, ж видно, что в низкочастотном диапазоне
[0; 1/2М] после децимации располагаются инверсный спектр А\( ) и прямой
спектр Х2 (' )•
Перенос спектра при децимации сигнала с использованием ФНЧ.
Рассмотрим схему уменьшения частоты дискретизации вещест-
венного сигнала х(лТ’) в М раз с помощью структуры, содер-
жащей фильтр нижних частот.
Схема, осуществляющая децимацию сигнала с переносом
выделенной части спектра в низкочастотную область, показана
на рис. 8.11, я. Входной сигнал х(иТ) умножается на дискретную
Сдвиг
спектра
Децинация
а)
'Перенос спектра и попуче-
|\ние вещественного сигнапа

j Xf | Ха Хо । X, [ X2 । X3 |	|
I/II/IiKIKiKIkI/I/I/1/|'К К
и.
7
IV
IV
IV
W
к/11к,лк/1Клкл;к/1
0	f
К
6)
Рис. 8.11
20'
экспоненту е]2ппу' (о выборе величины у см. § 6.3). При
yf= — (и’{ + и'2)/2 верхняя боковая полоса составляющей спектра
. Далее
-
занимает частотный диапазон
l-я составляющая выделяется фильтром нижних частот и осущест-
вляется децимация выходного сигнала фильтра р(пТ). Последу-
ющее умножение сигнала р*(кТ") на дискретную экспоненту
ej2"v₽, где Л/ “2 -* 1 2 < р<0.5 — М-2-- и-’, осуществляет сдвиг со-
ставляющей У|(-) в произвольную область диапазона [0; 1/(2М)].
Получение вещественного сигнала у(кТ’) с требуемым спектром
осуществляется выделением вещественной части сигнала у'(кТ’)
с помощью элемента Re.
На рис. 8.11,о для случая М=4 показаны модули спектра
сигналов х(пТ) (график /) и х(пТ) (график 2), АЧХ ФНЧ
(график 3), модули спектров сигналов р(пТ) (график 4), р'(кТ')
(график 5), у (кТ') (график 6), у(кТ') (график 7).







Глава 9.
НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ ВЫДЕЛЕНИЯ,
ОБНАРУЖЕНИЯ И
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

СИГНАЛОВ
9.1. ТРАНСМУЛЬТИПЛЕКСОРЫ
НАЗНАЧЕНИЕ И КЛАССИФИКАЦИЯ
ТРАНСМУЛЬТИПЛЕКСОРОВ
Трансмультиплексоры (ТМ) представляют собой цифровые
устройства обработки сигналов и предназначены для сопряжения
систем передачи и коммутации сигналов с временным разделением
каналов (ВРК) и систем передачи с частотным разделением
каналов (ЧРК). Основными задачами ТМ (рис. 9.1) являются:
1. Выделение канальных сигналов у((Х.Т') из группового
сигнала х(пТ) с частотным разделением каналов и перенос
спектров выделенных канальных сигналов в область нижних
частот с соответствующим понижением частоты дискретизации
(прямое преобразование).
2. Формирование группового сигнала х(пТ) с ЧРК из от-
дельных канальных сигналов у((Х.Т') с соответствующим повыше-
нием частоты дискретизации (обратное преобразование).
На рис. 9.2 показаны идеализированный вид модулей спектров
группового к-канального сигнала х(иТ) с ЧРК (рис. 9.2, а)



208
ЧРК-ВРк
Vott)
У/W
Ук-id)
ВРк-ЧРК
Рис. 9.1
и /-канального сигнала у/(к7''), /=0,1, ..., k— 1 (рис. 9.2,6). Очевид-
но, что поскольку ширина спектра группового сигнала в к раз
больше ширины спектра отдельного канального сигнала, то
частота дискретизации группового сигнала должна быть соответ-
ственно в к раз выше частоты дискретизации канального сигнала.
Если система ЧРК или ВРК является аналоговой, то входы
(выходы) ТМ подключаются к соответствующей системе через
ЛЦП (ЦАП) (см. рис. 9.1).
Трапсмультиплексоры можно классифицировать по двум при-
знакам: числу уровней обработки сигнала в схеме ТМ и наличию
или отсутствию дополнительного преобразования [3].
По числу уровней в схеме все ТМ можно разделить на одно-
уровневые и многоуровневые структуры. Одноуровневые струк-
туры отличаются тем, что при прямом преобразовании сигналы
отдельных каналов непосредственно выделяются из группового
сигнала с ЧРК, а при образном преобразовании сигналы
отдельных каналов сразу же объединяются в групповой сигнал
с ЧРК. В многоуровневых структурах выделение и объединение
канальных сигналов происходят постепенно, при переходе оз
одного уровня обработки к следующему. Окончательный вид
сигнала формируется только после обработки на последнем
уровне.
По наличию или отсутствию дополнительного преобразования
ТМ делятся па структуры с дополнительным преобразованием
20'
(типа дискретного преобразования Фурье) и структуры, в которых
ДПФ не используется.
Ниже будут рассмотрены принципы построения и некоторые
структуры одноуровневых и многоуровневых ТМ без допол-
нительного преобразования.
ОДНОУРОВНЕВАЯ СТРУКТУРА ТМ
Прямое преобразование. При прямом преобразовании обработ-
ке подвергается групповой ^-канальный сигнал х(пТ) с ЧРК.
Для удобства рассмотрения будем считать, что А = 4. В этом
случае модуль спектра сигнала х(пГ) имеет вид, показанный
на рис. 9.3,6!. Спектр каждого /-канального сигнала yt(kT'),
1=0, 1, 2, 3, занимает часть частотного диапазона [//2А, (/+1)/2А]
и полосу частот [iv[, w'2 ]. Задачами ТМ являются выделение'
спектра каждого /-канального сигнала и перенос его в область
нижних частот, т. е. в диапазон и’'е[0;0,5] или iv е [0, 1/(2А) ]
с понижением частоты дискретизации в к раз (fa=fnlk).
Очевидно, что подобная операция для каждого канального
сигнала может быть выполнена с помощью схемы, рассмотренной
в § 8.7 (см. также рис. 8.11). Общая структура ТМ содержит
к таких схем.
Схема ТМ для прямого преобразования показана на рис. 9.4.
Входной сигнал х(пТ) подается на А = 4 параллельные ветви
обработки. Каждая из ветвей представляет собой схему децимации
сигнала с переносом спектра в область нижних частот с ис-
пользованием ФНЧ (см. § 8.7). Рассмотрим работу l-й ветви
схемы. Входной сигнал умножается на отсчеты дискретной
экспоненты е-'2’1"7' для переноса частотного диапазона
[1/2к, (/+1)/2А], часть которого занимает спектр данного канала,
в область нижних частот. На рис. 9.5 (график / и 2) показаны
210
Рис. 9.4
модули спектра сигналов х(иГ) и х(пТ). Далее спектр этого
канала выделяется с помощью ФНЧ, АЧХ которого показана
на рис. 9.5 (график 3). Выходной сигнал р(пТ) ФНЧ, модуль
спектра которого показан на рис. 9.5 (график 4), подвергается
операции децимации. Модуль спектра сигнала р'(кТ') показан
на рис. 9.5 (график 5). Затем сигнал р*(кТ') умножается на
дискретную экспоненту е-'2яХ₽ для сдвига спектра в частотный
диапазон [0; 1/(2/с) ] [рис. 9.5, график 6). Формирование вещест-
венного сигнала у(к7") с требуемым спектром осуществляется
выделением вещественной части выходного сигнала умножителя
(элемент Re) (рис. 9.5, график 7).
Какими же должны быть выбраны величины у(, /=0, 1, 2, 3,
и р? Очевидно, что если выбрать у(= — ^ + ^“^2 =
= — (2/+1)/(4Л), то при умножении сигнала х(пТ) на е-'2’1"7'
середина частотного диапазона [Z/2/с, (Z4-1 )/2А: ] переместится на
-•2яп —
частоту w = 0. Тогда в нулевой ветви (/=0) ej2’”*7o=e 1 "is,
в первой ветви (/=1) е^2,1"7‘ = е j2n"T6 и г. д.
В этом случае для обратного переноса спектра в область
нижних частот [3 = 0,25 и е-'2’й₽ = е-'’' .
Советуем рассмотреть работу ТМ для других каналов и изоб-
разить преобразования спектра обрабатываемого сигнала ана-
логично тому, как это сделано на рис. 9.5.
Обратное преобразование. При обратном преобразовании об-
работке подвергаются к канальных сигналов у((ХТ'). Задачей
ТМ является формирование группового ^-канального сигнала
211


2
0,5	1 w
о j г^з з . г _ 1_о.о 1
1ИКККК /1И/1ИКГ
и<
Т
АЧХ, 4>НЧ
W

О
w
® KyllNAN/IN/l КИК
1	W
Рис. 9.5
212
х(пТ). Если принять к = 4, то спектры /-канального сигнала
yt(kT’) и группового четырехканального сигнала х(пТ) показаны
на рис. 9.3,6 и а соответственно. Очевидно, что частоту диск-
ретизации /-канального сигнала надо повысить в к раз и перенести
его спектр в отведенный для него диапазон частот группового
сигнала \l/2k, (l-i-l)/2k], /-0,1, ..., к—1. Подобная операция для
каждого канального сигнала может быть выполнена с помощью
схемы, рассмотренной в § 7.9 (см. также рис. 7.18). Общая
структура ТМ должна содержать к таких схем.
Схема ТМ для обратного преобразования показана на
рис. 9.6. Отсчеты канального сигнала у^кТ') подаются на
вход /-й ветви ТМ и умножаются на отсчеты дискретной
экспоненты е-'2яХ₽, причем £ удобно выбрать равным —0,25
(см. § 7.9). В этом случае спектр частотного диапазона [0; 0,5]
занимает новое положение [—0,25; 0,25]. Далее сигнал у*(кТ')
подвергается интерполяции с помощью ЭЧД и фильтра нижних
частот. Затем осуществляются перенос спектра канального
Рис. 9.7
212
сигнала в выделенный частотный диапазон [1/2к, (/+1)/2/с ]
путем умножения на экспоненту е-'2’1"7', где у; = (2/+ 1)/(4/с), ]
объединение канальных сигналов с помощью сумматора и вы- 1
деление вещественной части выходного сигнала (элемент Re). I
Рисунок 9.7 иллюстрирует работу ТМ при обратном пре- 1
образовании. На нем изображены АЧХ ФНЧ (график 3) |
и модули спектров сигналов в обозначенных точках схемы, I
причем номера позиций рис. 9.7 совпадают с номерами обо- j
значенных точек схемы рис. 9.6.	I
Отметим, что вид модуля спектра в точках схемы 1, 2 и 4, 1
а также АЧХ фильтров во всех ветвях идентичны.	1
МНОГОУРОВНЕВАЯ СТРУКТУРА ТМ	|
Рассмотрим принципы построения многоуровневой структуры |
ТМ для обратного преобразования. Будем, кроме того, считать, 1
что число к канальных сигналов, из которых формируется I
групповой сигнал с ЧРК, равно к = 2т, где т—целое число. 1
В рассмотренной выше одноуровневой структуре ТМ частота |
дискретизации каждого канального сигнала увеличилась сразу |
в к раз, спектр его переносился в требуемый частотный диапазон ]
и осуществлялось одновременное объединение всех к канальных I
сигналов.	|
В многоуровневой структуре ТМ объединение канальных I
сигналов и перенос спектра осуществляются постепенно. На 1
первом уровне канальные сигналы объединяются попарно (1 |
и 2, 3 и 4, ..., 2т— 1 и 2т), т. е. формируется 2т-1 промежуточных |
групповых сигналов, каждый из которых состоит из двух |
канальных сигналов. Естественно, что частота дискретизации |
промежуточных групповых сигналов первого уровня должна быть |
вдвое выше, чем частота дискретизации канальных сигналов. |
На втором уровне уже промежуточные групповые сигналы 1
первого уровня объединяются попарно, т. е. формируется 2т~2 1
промежуточных групповых сигналов второго уровня, каждый из |
которых теперь уже состоит из четырех канальных сигналов. I
Частота дискретизации промежуточного группового сигнала вто- 1
рого уровня в 2 раза выше частоты дискретизации промежуточ- |
ного группового сигнала первого уровня, г. е. в 4 раза выше I
частот дискретизации канальных сигналов. Таким образом, если |
число каналов к = 2т, то структура многоуровневого ТМ содержит 1
т уровней обработки сигнала, на последнем из которых фор- |
мируется групповой ^-канальный сигнал с ЧРК с частотой я
дискретизации в к раз выше частоты дискретизации канальных 1
сигналов.	|
Структурная схема ТМ для обратного преобразования и к = 4 1
приведена на рис. 9.8. Рисунок 9.9 иллюстрирует обработку 1
сигналов с ТМ. На рис. 9.9 приведены АЧХ OH4t и ФНЧ2 1
214	1
(графики 3 и 5 соответственно) и модули спектров сигналов
в обозначенных точках схемы, причем номера позиций рис. 9.9
совпадают с номерами обозначенных точек схемы рис. 9.8.
Поскольку вид модуля спектра в точках 1, 2, 4, 6 схемы
идентичен для всех каналов (/=0, 1,2, 3), номер обрабатываемого
канала обозначен как /.
Рассмотрим работу ТМ при обратном преобразовании. На
первом уровне осуществляется попарное объединение канальных
сигналов, т. е. канал 0 (/=0) объединяется с каналом 1 (/=1),
а канал 2—с каналом 3. Входной сигнал у((А.Г'), модуль
спектра которого показан на графике 1 рис. 9.9, умножается
на дискретную экспоненту е-'2’1*7', где у;=—0,25. Далее осу-
ществляется фильтрация с помощью ФНЧ! для выделения
одной боковой полосы канального сигнала. Затем с помощью
ЭЧД и ФНЧ2 осуществляется увеличение частоты дискретизации
канального сигнала в 2 раза. Затем спектр одного из объ-
единяемых канальных сигналов (0 и 2) сдвигается на оси
частот влево, а другого из объединяемых канальных сигналов
(1 и 3) — вправо, и с помощью сумматоров формируются
промежуточные групповые сигналы первого уровня, содержащие
по два канальных сигнала. Потом начинается обработка про-
межуточных групповых сигналов на втором уровне: с помощью
ЭЧД и ФНЧ2 осуществляется увеличение частоты дискретизации
215
Рис. 9.9
промежуточных групповых канальных сигналов в 2 раза, затем
выполняются сдвиг спектра в нужный частотный диапазон
и формирование требуемого четырехканалыюго группового сиг-
нала х(пТ) с ЧРК (после сложения и выделения вещественной
части сигнала).
Преимущества рассмотренной схемы ТМ перед схемой од-
ноуровневого ТМ следующие:
1. Фильтры ФНЧ в схеме рис. 9.6 являются довольно слож-
ными (с большим порядком передаточной функции), поскольку
с их помощью осуществляется увеличение частоты дискретизации
в к раз. Фильтры же ФНЧ2 в схеме рис. 9.8 очень просты,
поскольку с их помощью осуществляется увеличение частоты
дискретизации в 2 раза. Фильтры ФНЧ! более сложные (переход-
ная полоса их АЧХ достаточно мала, см. рис. 9.9), однако, как
216
показывают расчеты, комбинация ФНЧ1 и ФНЧ2 (т. е. увеличение
частоты дискретгЪации с предварительным формированием сиг-
нала с ОБП) является более предпочтительной (по критерию
требуемой емкости оперативной памяти и объема оборудования),
чем использование одного фильтра нижних частот [3 ].
2. Все фильтры ФНЧ2 могут быть равнополосными, что
позволяет резко уменьшить число операций умножения в единицу
времени и упростить реализацию ТМ.
В заключение отметим, что возможна реализация многоуров-
невой структуры ТМ и в том случае, когда /с/2т. При этом
число объединяемых сигналов на r-м уровне уже не равно
2m+1'r, г=1,2, ..., а зависит от номера уровня.
Схема многоуровневого ТМ для прямого преобразования
строится аналогично и подробно описана в [3]. Там же изложены
принципы построения ТМ с дополнительным преобразованием.
9.2. ГОМОМОРФНАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
В предыдущих главах рассматривались линейные методы и системы цифровой
обработки сигналов. Линейные цифровые системы нашли самое широкое примене-
ние в различных устройствах связи и радиотехники. Так, с помощью линейных
систем легко разделить отдельные аддитивные составляющие сигнала, если их
спектры занимают различные частотные диапазоны. В этом мы убедились
в § 9.1 при рассмотрении методов выделения канальных сигналов из группового
сигнала с ЧРК.
Вместе с тем для ряда технических приложений (например, при цифровой
обработке звуковых, речевых, телевизионных сигналов) возникает задача раз-
деления мультипликативных составляющих сигнала, спектры которых занимают
различные частотные диапазоны. Эта задача уже не может быть решена
традиционными линейными методами цифровой обработки.
Поэтому приходится рассматривать нелинейные методы цифровой обработки
сигналов. Остановимся на одном методе нелинейной цифровой обработки
и соответствующей системе, подчиняющейся обобщенному принципу суперпозиции.
Вначале рассмотрим основные принципы обобщенной суперпозиции и построения
соответствующих систем, а затем более подробно остановимся на методе
обработки сигнала при разделении мультипликативных составляющих.
ОБОБЩЕННЫЙ ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ
Принцип суперпозиции, справедливый для линейных систем, состоит в выпол-
нении следующих соотношений:
B(X1(nT) + x2(nT))=B(xi(nT)) +В(х2(и7’)),‘)
B(cxi(nT))=cB(xi(nT)),	J
217
Рис. 9.10
где В—преобразование сигнала, произ-
водимое линейной системой; (иГ)
и х2(пГ)— входные сигналы системы;
с — скаляр.
Обобщенному принципу суперпози-

ции соответствует обобщение соотношений (9.1):
Н(х, (лТ) □ х2(пТ)) = Н(х1 (пТ)) О Н(х2(пТ)),
H(c-.xl(nT)'} = c{JH(xl(nT)),
(9.2)
где Н—преобразование, осуществляемое системой; □—правило объединения
входных сигналов друг с другом (например, умножение); О—правило объединения
выходных сигналов системы; : — правило объединения входных сигналов со
скалярами; (J — правило объединения выходных сигналов со скалярами.
Системы, подчиняющиеся обобщенному принципу суперпозиции (9.2), называ-
ются гомоморфными. Гомоморфная система, подчиняющаяся обобщенному прин-
ципу суперпозиции со входной операцией □ и выходной операцией О, показана
на рис. 9.10. Входные и выходные сигналы гомоморфной системы можно
трактовать как векторы в векторных пространствах X и Y. При этом в векторном
пространстве X сложение производится по правилу □, а умножение на скаляр
по правилу : тогда как в векторном пространстве Y сложение производится
по правилу О, а умножение на скаляр — по правилу (J.
Отметим, что операции сложения (объединения) входных и выходных сигналов
должны удовлетворять аксиомам сложения и умножения на скаляр для линейных
векторных пространств.
Преобразование же Н, осуществляемое системой, является линейным преоб-
разованием векторного пространства X входных сигналов в векторное простран-
ство Y выходных сигналов.
КАНОНИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГОМОМОРФНЫХ
СИСТЕМ
Рассмотрим более подробную структуру гомоморфной системы (рис. 9.10).
Система Н может быть представлена в виде каскадного соединения систем Z)c,
L и Dq1, показанного на рис. 9.11. Эта трехкаскадная структура называется
канонической структурой гомоморфной системы.
Первая система Oj подчиняется обобщенному принципу суперпозиции со
входной операцией □ и выходной операцией сложения ( + ). Система £>п преобразует
входной сигнал х(пТ), представляющий собой комбинацию сигналов х^нТ) и х2(иТ),
объединенных по правилу □ в обычную линейную комбинацию сигналов хг (пТ)
и х2 (пТ), где Xi (пТ) и х2(пТ) есть преобразования сигналов Х; (пТ) и х2 (пТ) системой
О, соответственно. Таким образом, для системы Da справедливы соотношения:
D-j(*! (пТ) □ х2(пТ)) = х1 (пТ) +х2(иГ) = Ос(х1 (иТ)) +0о(х2(иТ));	(9.3')
OL. (с : %! («/)) = «! (иГ) = с£>о (%! (иГ)).	(9.3")
Пример 9.1. Рассмотрим сигнал x(«T) = (xi (иТ))“'(х2(иТ))а’, т. е. сигнал,
являющийся произведением составляющих х1(пТ) и х2(пТ), каждая из которых
218
I---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1
Рис. 9.11
возведена в соответствующую степень (а, и а2). Допустим также, что х2(иТ)>0
и х2(пТ)>0.
Рассмотрим систему Dc, в которой операцией объединения входных сигналов
является умножение (□ --умножение), а операцией объединения входного сигнала
со скаляром является возведение в степень (.- возведение в степень). Тогда
рассматриваемый входной сигнал х(пТ)=(х1(пТ))’,'(х2(пТ)У’ принадлежит к требу-
емому классу входных сигналов системы D, .
Положим, что операция, выполняемая системой D.., является операцией
логарифмирования. Проверим выполнение аксиом сложения сигналов (9.3') и ум-
ножения сигнала на скаляр (9.3"):
Z? |(х(п7’))=1п((х1(и7’)а’(л2(я7’)Г0=а1 1пхг ("Л + аз 1пх2(nT)=atD, (х2 (пТ)) +
+ а20п(х2(иТ)) = а1х1 (и Г) + а2х2(иТ).
Таким образом, аксиомы (9.3) выполняются. Отмстим еще раз, что операцией
объединения выходных сигналов системы D, является операция алгебраического
сложения.
Вторая система L является обыкновенной линейной системой, удовлет-
воряющей принципу суперпозиции для линейных систем:
L (х2 (иТ) + л 2 (и Г)) = L (х2 (и Г)) + L (х2 (иТ)) = у 2 (и Г) + у 2 (и Г), 1
Т(сх1 (п7')) = сЦх, (пТ)) = су-! (пТ).	J
Операцией объединения входных и выходных сигналов системы L является
операция сложения.
Третья система подчиняется обобгценному принципу суперпозиции со
входной операцией сложения и выходной операцией (О). Система DJ1 преобразует
входной сигнал у(пТ), представляющий собой сумму составляющих у2(иГ)
и уДиТ), в выходной сигнал у(пТ), в котором соответствующие составляющие
объединены по правилу О- Следовательно, для системы справедливы соотношения:
Do 1 (уг (и Г) +у2 (иТ))=У1 (пТ) Оу2 (иТ)= Dq 1 (у, (иГ)) + DJ1 (у2 (иГ));	(9.5')
Do-1 (суг («T)) = cUyr (пТ) = с U Dq 1 (yi («Г)).	(9.5")
Пример 9.2. Рассмотрим обработку сигнала у(л7) = а2у2(л7)+а2у2(л7Э
в системе DJ1, в которой операцией объединения входных сигналов является
сложение ( + ), а операцией объединения выходных сигналов является умножение
(О — умножение) и операцией объединения выходного сигнала со скаляром
является возведение в степень, ((J — возведение в степень). Положим, что
операция, выполняемая системой D^1, есть вычисление экспоненты. Проверим
выполнение аксиом сложения сигналов (9.5') и умножения сигнала на скаляр (9.5"):
219
Do1 (у (n T))=exp (a i у j (n T) + a2 y2 (n T)) = exp (a j у j (w T)) exp (a2 у 2 (n T)) =
=(exp(j?i (лТ)))’1 (ехр(у2(лТ)))’\
Видно, что аксиомы (9.5) выполняются.
Система Dc, определяемая операциями Пи:, называется характеристической
системой для операции П.
Система Do, определяемая операциями О и (J, называется характеристической
системой для операции О-
Характеристическая система преобразует сигнал со входной операцией
объединения П (О) в сигнал с выходной операцией объединения ( + ).
Система, выполняющая обратную операцию преобразования сигнала со входной
операцией объединения (+) в сигнал с выходной операцией объединения О (П),
называется обратной характеристической системой и обозначается Dol или D,,1-
Отметим, что последовательное соединение систем £>,() и D.1 (•)
соответствует отсутствию обработки входного сигнала.
Пример 9.3. Рассмотрим входной сигнал x(nT) = (Xi (пТ))а' х
х(х2(пТ)У‘. Он обрабатывается в последовательном соединении систем
D । и OJ1 (см. рис. 9.11, в котором система L отсутствует, а D^=Do').
Операция □ есть умножение, а операция : - - возведение в ст епень. Операция,
выполняемая системой D;-„ есть логарифмирование. Очевидно, что обратной ей
операцией (т. е. операцией, выполняемой системой ZJJ1) является вычисление
экспоненты. Тогда (см. пример 9.1)
х(нТ) = а! 1п(%! (иТ)) +а21п(х2(«Т)).
Следовательно (см. пример 9.2),
у (пТ)=(ехр(In х> (лТ)))“'(ехр(In х2 (л 7’)))°' = (х2 (пТ))л'(х2 (пТ))’=.
Если, например, задачей системы гомоморфной обработки сигнала (см.
рис. 9:11) является выделение сигнала Xi (пТ) из входного сигнала х(п7п)=х1 (пТ) □
□ х2(«Г), то после обработки сигнала х(пТ) в характеристической системе £>□,
т. е. представления сигнала х(пТ) в виде аддитивной комбинации составляющих
Х1(пГ) и х2(пТ), необходимо убрать составляющую х2(пТ) с помощью линейной
системы L. Таким образом, все сводится к линейной фильтрации сигнала х(пТ)
с помощью соответствующего цифрового фильтра. Естественно, чтобы данная
операция была выполнена эффективно, необходимо, чтобы спектры составляющих
Л (я 7") и х2(пТ) не перекрывались на оси частот.
МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ ГОМОМОРФНЫЕ СИСТЕМЫ
В предыдущем параграфе рассматривалась каноническая структура гомоморф-
ной системы в общем виде, однако все приведенные примеры способствовали
подготовке к рассмотрению именно мультипликативных гомоморфных систем.
Мультипликативными гомоморфными системами называются системы, под-
чиняющиеся обобщенному принципу суперпозиции (9.2), в которых операции
□ и О являются операциями умножения, а операции : и (J — возведением
в степень. Следовательно,
220
Рис. 9.12
входной сигнал х(пТ) в схеме (см. рис. 9.11) имеет вид х(лТ) = (х1 (л Г))’1 х
х(х2(пГ))’!;
операция, выполняемая системой Z)o, является операцией логарифмирования;
система L выполняет линейную фильтрацию выходного сигнала системы £>(J;
система	поскольку операции □ и О одинаковы;
система £>о1 является обратной системе Da и выполняет операцию вычисления
экспоненты;
выходной сигнал мультипликативной гомоморфной системы имеет вид
y(nT) = (xi (пТ)У' (х2(лТ))’г, где 51 и а2 —измененные в соответствии с обработкой
в системе L коэффициенты, a Xi(ziT) и х2(пТ)— измененные в соответствии
с обработкой в системе L сигналы.
Так, если х(пТ) = х1(пТ)х2(пТ) (а!=а2=1) и в результате фильтрации
в системе L пропущена составляющая xi(nT) и подавлена составляющая х2(лГ),
то у! (п7’)=х1 (пТ); у2(пТ)=0 и y(nT) = xt (пТ).
Пример 9.4. Рассмотрим гомоморфную систему, предназначенную для разде-
ления мультипликативных составляющих входного сигнала х(пТ)=хо(пТ)хн(пТ),
1дс х0(пТ) = 1 +mcos2mwo, а лн(/г7’) = со5 2тои’и, причем и’н а 1. Медленно
меняющуюся компоненту входного сигнала ха(пТ) будем называть огибающей,
а быстроменяющуюся компоненту хи(лГ) -несущей. Вид сигнала х(пТ) показан
m
на рис. 9.12,а. Поскольку х(пТ) = (\ + mcos2nmv(,)cos2nzm'll=cos2jWH’ll+ — cos2jwx
х(и'а — w„) + — cos2nn(iva + >v<>), модуль спектра сигнала х(пТ} имеет вид, показан-
ный на рис. 9.12,о. Из рис. 9.12 видно, что разделить сигналы х„(пТ) и хи(н7')
традиционными методами линейной фильтрации не удается.
Структура гомоморфной системы, осуществляющей разделение сигналов
х„(пТ) и хк(пТ), показана на рис. 9.13 (для упрощения обозначений на рисунке
вместо х(пТ) указано х, вместо х„(пТ)—хо и т. д.). Входной сигнал х(пТ)
является двуполярным (см. рис. 9.12, а). В связи с этим вначале в схеме
осуществляется вычисление модуля сигнала х(пТ). Поскольку хо(пТ)>0,
221
Рис. 9.13
то	вычисление модуля эквивалентно	формированию сигнала х'(пТ) =
= |x(nT)| = xo(/;T’)|хн(пГ)1- Затем выполняется логарифмирование сигнала х'(пТ).
В	результате	формируется сигнал х(пТ)=ха(пТ) +хн(пТ) = \пх0(пТ) +
+ 1п|х„(пГ)|. Как видно, мы получили аддитивную смесь составляющих х„(пТ)
и J?! (пТ), которые можно разделить с помощью линейной фильтрации. Дейст-
вительно, при малом mln(l+mcos27tn»'„)«mcos27tmr„ (проверьте это, разложив ,
функцию 1п(1 +а) в степенной ряд и учтя малую величину т). Это значит,
что спектр составляющей хо(пТ) сосредоточен в низкочастотной области (и'„<О’1).
С другой стороны, спектр составляющей х„(пТ) расположен правее частоты ин,
т. е. в высокочастотной области. Следовательно, спектры составляющих х0(пТ)
и х„ (пТ) не перекрываются на оси частот и могут быть разделены путем
избирательной фильтрации.
Сигнал х(пТ)=х„(пТ) +хи(пТ) поступает на входы двух параллельных ветвей
обработки. В верхней ветви находится ФНЧ, с помощью которого выделяется 
составляющая х0(пТ). Затем выполняется операция вычисления экспоненты, обратная ;
операции логарифмирования. Поскольку .х(,(п7’) = 1пл0(п7’), то схр(хо(пТ))=ло(«Г).
Таким образом на выходе верхней ветви формируется сигнал у0(пТ) = х0(пТ).
Аналогично осуществляется обработка сигнала х(пТ) в нижней ветви.
С помощью ФВЧ выделяется составляющая х„(пТ). Затем формируется сигнал '
уй(иТ)=схр(хн(п7Э) = схр(1п|хн(пТ)|) = |х„(«Т)|. Поскольку знак огибающей вход-':
ного сигнала .гДиТ) определяет знак входного сигнала х(пТ), из сигнала
уй(«7’) = |х„(лТ)| можно получить сигнал уи(пТ)=хн(пТ), умножив сигнал у’„(пТ) \
на +1, если входной сигнал х(пТ) больше 0, и на (—1), если х(пТ)<0.
В заключение отмстим, что сигнал х(пТ) в определенные моменты может ,
быть равным нулю. В этом случае вычисление х(пТ) = 1пх(пТ) необходимо (
заменить присваиванием х(пТ) определенного (максимально возможного по !
модулю) отрицательного значения. Это, естественно, вносит дополнительные i
погрешности в алгоритм обработки, которые, однако, при достаточно большой
разрядности регистров мало влияют на конечный результат.
РЕГУЛИРОВКА ДИНАМИЧЕСКОГО ДИАПАЗОНА
ЗВУКОВОГО СИГНАЛА
В цифровых системах обработки звуковых сигналов одной из задач является
осуществление сжатия или расширения динамического диапазона звукового
сигнала. Динамический диапазон D (дБ) звукового сигнала определяется оги-
бающей сигнала: D=Uomax — Uomi„, где Uamax— максимальное значение огибающей,
222
-У„дВ
Рис. 9.14
a Uomi„ ~ минимальное значение огибающей. На рис. 9.14 показана характеристика
регулятора динамического диапазона, определяющая связь между значениями
огибающей входного хо(пТ) и выходного у0(пТ) сигналов. Прямая / на рис. 9.14
соответствует режиму расширения динамического диапазона. Действительно,
в этом случае Dx = Xonax- Yom,„, Dy=YaM>x-YBnin и Dy>Dx. Прямая 2 соответствует
режиму сжатия динамического диапазона, при котором Dy<Dx.
Очевидно, что для преобразования динамического диапазона звукового
сигнала необходимо осуществить следующую операцию:
lgt/0,“x(nr) = alg(/“(nr),
или, что то же самое,
1пСо,ы,(иГ) = а1пСом(иГ),	(9.6)
т. е. необходимо логарифм огибающей умножить на определенный коэффициент а.
Если а>1, то осуществляется расширение динамического диапазона (прямая 1 на
рис. 9.14); если а<1 -сжатие динамического диапазона (прямая 2 на рис. 9.14).
Отметим, что операции (9.6) эквивалентна операция возведения в степень
а огибающей входного сигнала. Звуковой сигнал х(пТ) может быть достаточно точно
описан в виде х(пТ)=х„(пТ)х,1(пТ), где х0(пТ) — огибающая звукового сигнала
(низкочастотная составляющая, спектр которой от 0 до 15...30 Гц), а хи(пТ) —
несущая звукового сигнала (высокочастотная составляющая, спектр которой от
15... 30 Гц до 20 кГц). Следовательно, для решения задачи регулировки динамическо-
го диапазона звукового сигнала можно использовать гомоморфную структуру.
Структура регулятора динамического диапазона, основанная на гомоморфной
обработке сигнала, показана на рис. 9.15. Вначале вычисляется модуль входного
сигнала х(пТ) = х0(пТ)хя(пТ), затем — сигнал д(пГ) = 1п.х’(п7^ = 1п|х0(пГ)хн(п7Э| =
= 1пхо(пГ)+1п|хн(пГ)|=д0(пГ)+дн(иГ)- Далее с помощью фильтра нижних
частот выделяется составляющая хо(пГ) = 1п.х0(пТ), затем сигнал х0(пТ) умножа-
ется на коэффициент oti=a—1, где а -требуемый коэффициент в (9.6). После
вычисления экспоненты формируется сигнал у"(пГ) = ехр(а1д0(пГ))=ехр(а1 х
х1пхо(пГ)) = (хо(пГ))“'.
223
a.f’-a.-f
Рис. 9.15
Последней операцией в схеме являемся перемножение входною сигнала
х(пТ)=х„(пТ)хп(пТ) на сформированный сигнал у‘(и7’) = (х0(п7'))“-. В результате
формируется выходной сигнал схемы у(пТ)=х(пТ)у\пТ)=(ха(пТ))'**'х„(пТ)=
= (хЛпТ)Ухн(пТ).
Таким образом, если oit >0, то схема (см. рис. 9.15) осуществляет расширение
динамического диапазона, если же oqcO— сжатие динамического диапазона.
В заключение отметим, что в реальных системах цифровой обработки
звуковых сигналов реализуется гораздо более сложная характеристика ршулятора,
чем показанная на рис. 9.14. Эта характеристика имеет для различных диапазонов
входного сигнала участки компрессии (сжатия), экспандирования (расширения),
линейные участки (соответствуют штриховой линии на рис. 9.14) и г. д. Вместе
с тем основные этапы обработки сигнала остаются такими же, как и в схеме
рис. 9.15.
9.3. МЕТОДЫ ЦИФРОВОГО СПЕКТРАЛЬНОГО
АНАЛИЗА И ОБНАРУЖЕНИЯ СИГНАЛОВ
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
В задачах спектрального анализа считается априорно извест-
ным, что анализируемый сигнал х(нТ) представляет собой сумму
m синусоидальных составляющих и, возможно, белого шума
хш(«Г):
А'(/?г)= Е ajsin(«(OjT-|-cp7)+ашхш(пТ),	(9.7)
7=1
где aj — амплитуда /-Й синусоидальной составляющей (при &, = 0
эта составляющая отсутствует); аш множитель, принимающий
значение 0 или 1 (при «ш = 0 белый шум отсутствует).
Исходными данными для обработки являются N отсчетов
сигнала х(пТ), т. е. время наблюдения этого сигнала 0 равно
(N— 1) Г. Конечность времени наблюдения 0 составляет основную
особенность задач спектрального анализа и обнаружения сиг-
налов. Помимо N отсчетов обычно задается та или иная
дополнительная информация о параметрах сигнала х(пТ): значе-
ние т, значения некоторых частот или амплитуд и т. д.
224
Сформулируем ряд конкретных задач спектрального анализа,
обнаружения и оценивания параметров сигнала.
Задача 1. Пусть в (9.7) т=1, «ш = 0, известна частота
синусоидальной составляющей cot. Требуется оценить неизвестные
амплитуду at и фазу <pt синусоидальной составляющей.
Задача 2. Пусть в (9.7) т>1, «ш = 0, известны частоты
синусоидальных составляющих (щ, оц, ..., свт. Требуется оценить
неизвестные амплитуды at, а2, ..., ат и фазы фь <р2, ..., <рт синусо-
идальных составляющих.
Задача 3. Пусть в (9.7) «ш=1, т. е. в сигнале х(пТ) имеется
шумовая составляющая — белый шум с известной дисперсией а2,
ш=1, известна частота (щ, причем ах может быть равно нулю
(синусоидальная составляющая отсутствует) или единице (синусо-
идальная составляющая есть). Требуется определить значение
й], т. е. принять решение о наличии или отсутствии синусоидаль-
ной составляющей.
Задача 4. Пусть в (9.7) m = 2, а2—га1, | — 0)21 > Дод, аш = 0,
причем заданы величины г«1, тщ и Аы,, а величины 0)2, at,
а2, ф1 и ф2 неизвестны. Требуется оценить величины <о2 и а2.
Задача 5. Пусть в (9.7) <л,н — А<щ	то,-„ 4-А®,,
^ajmax,	яш = 0 и только к из т синусоидальных
составляющих могут быть одновременно отличны от нуля
и превышать пороговое значение апор. Заданы величины А®,,
ajmax, т, к, а„ор. Требуется определить частоты ®( тех синусо-
идальных составляющих, амплитуды которых отличны от нуля.
Задачи 1 —5 являются лишь примерами, существует много
подобных задач, отличающихся теми или иными исходными
данными. Отметим еще раз, что главной общей чертой всех
этих задач является конечность времени наблюдения 0 сигнала
х(пТ): для обработки доступны лишь N отсчетов этого сигнала.
КЛАССИФИКАЦИЯ МЕТОДОВ ЦИФРОВОГО
СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА
Методы цифрового спектрального анализа можно разбить на
три основные группы [9]: а) методы цифровой фильтрации; б)
методы, основанные на применении ДПФ; в) методы линейного
моделирования.
Метод цифровой фильтрации сводится к тому, что каждая из
синусоидальных составляющих сигнала х(пТ) выделяется отдельным
фильтром. Выходной сигнал каждого фильтра подвергается
дополнительной обработке, позволяющей принять решение или
оценить амплитуду соответствующей синусоидальной составляющей.
Метод, основанный па ДПФ, практически эквивалентен методу
цифровой фильтрации при условии, что цифровые фильтры
представляют собой специальным образом организованную груп-
пу КИХ-фильтров.
225
8 Заказ 3574
Метод линейного моделирования предусматривает вычисление
параметров линейной модели БИХ-фильтра, квадрат АЧХ ко-
торого воспроизводит спектральную плотность мощности (СПМ)
входного сигнала х(пТ).
Ниже рассматриваются перечисленные методы цифрового
спектрального анализа.
МЕТОД ЦИФРОВОГО СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА,
ОСНОВАННЫЙ НА ЦИФРОВОЙ ФИЛЬТРАЦИИ С
ПРИМЕНЕНИЕМ СОГЛАСОВАННЫХ ЦИФРОВЫХ
ФИЛЬТРОВ
Согласованный цифровой фильтр (СЦФ) [2] позволяет решить
следующую задачу. Пусть
х(пТ) = и(пТ) +хш(пТ),	(9.8)
причем х(пТ) имеет конечную длительность 0 = (А—1)Т, известен
момент начала сигнала t0 и w(«T) — заданный сигнал. Тогда
(рис. 9.16) среди всех КИХ-фильтров порядка N СЦФ обеспечивает
в момент t0 + 0 наибольшую величину отношения сигнал-шум,
причем это отношение определяется как
^ш = Л/Лв,	(9.9)
"N-1	“12
X н(/Т)Л((А-1-/)Т)
_ < = о
.V- 1
в2х X X
1 = 0
где Рс=;2((А-1)Т) =
хА2(/Т); h(lT) — отсчеты импульсной характеристики фильтра;
<Твх — дисперсия белого шума на входе фильтра.
Импульсная характеристика /гСЦФ(лГ) СЦФ, удовлетворяющего
условиям (9.9), имеет следующий вид:
АСцф(«Т) = М(^-1-Я)Т).	(9.10)
Пример 9.5. Пусть входной сигнал СЦФ имеет вид х(пТ) = и(пТ) + хш(пГ),
где (рис. 9.17, а)

х(пТ)
СЦФ
yZ((M-f)T)
Рис. 9.16
Т 2Т ЗТ ФГ 5Т t
I 1 Т -
Т 2Т ЗТ ЬТ 5Т t
6)
Рис. 9.17
226
, fn при 0<n<5,
и (п7| = <
' ' (О при п>5.
Тогда из (9.10) следует, что порядок СЦФ равен N=6 (рис. 9.17,6) и
,	,	,,	, .	[5 — п	при 0<п<5,
ЛпТ=и5-лП= „ Р ’
'	'	"	' '	(0	при п>5.
Согласованный цифровой фильтр с импульсной характеристи-
кой (9.10) может быть использован для обнаружения сигнала
w(«T), т. е. для принятия решения о том, подан или нет этот
сигнал на вход СЦФ. Обнаружение возможно при
£ш>1.	(9.11)
Действительно, общий выходной сигнал СЦФ
у(пТ)=у(пТ)+уш(пТ),	(9.12)
где у(пТ)— сигнал на выходе СЦФ, обусловленный входным
сигналом; уш(пТ)— шум на выходе СЦФ, обусловленный шумом
па входе хш(пТ). Из (9.12) для t = (N— 1)Г получается, что
/((ЛГ-1) T)=y2((N—1) Г) + 2у?((У- 1) r)Jlu(((V-1) Г) +
+ у2((У-1)Т)
или, поскольку у(пТ) и уш(пТ) не коррелированы между собой
и уш(пТ) имеет нулевое среднее значение,
£[/((У-1)Т)] = £[^2((У-1)Т)] + £|>2((ЛГ-1)Г)],	(9.13)
где символ £ [ • ] означает «математическое ожидание величины,
заключенной в квадратные скобки».
Поскольку РШ = Е [,Рш((/У— 1) Г) ], из (9.9), (9.11) и (9.13) следует,
что «в среднем» при наличии сигнала и(пТ) па входе СЦФ
/((У-1)Т)>2^2((У-1)Т),	(9.14)
а при отсутствии сигнала и(пТ)
y2((N-l)T)=y^(N-l)T).	(9.15)
Поэтому для обнаружения выходной сигнал СЦФ в момент
t0 + 0 должен быть возведен в квадрат (символ |2, рис. 9.16)
и подан на пороговое устройство (ПУ, рис. 9.16), работающее
по следующему правилу:
f 1 при _у2((У-1)Т)>Спор,
10при/((У-1)Т)<Спор,	(	7
где Gnop= 1,5у'„((У—1) Т)= 1,5сГвХ £ Л2(/Т). Если z= 1, то сигнал
и(пТ) был подан па вход СЦФ, если z = 0, то сигнал и(пТ)
не был подан па вход СЦФ.
227
Рис. 9.18
В задачах спектрального анализа сигнал и(пТ) часто пред-
ставляет собой синусоидальную составляющую [см. (9.7)] с из-
вестной частотой а>1 и неизвестной фазой ф(. Покажем, что в этом
случае (при х (пТ) = и (nT) = at sin (по)(Т+ф() = а( cos ф( sin no)tT+
+ а(5тф(со8Я(о(Т) для обнаружения может быть использован
комплексный СЦФ (КСЦФ) (рис. 9.18), который состоит из двух
«обычных» СЦФ, один из которых (СЦФс) согласован с косинус-
ной составляющей а(8Шф(со8иа)(Т сигнала и(пТ), а другой
(СЦФ8) согласован с синусной составляющей а( cos ф( sin Т
сигнала w(nT).
Выражение для импульсной характеристики КСЦФ следует
из (9.10):
АДпТ)=АСЦФс(пТ) +jhclits,\nT) = cos ((77- 1 -и)(0(Г) +
+j sin ((N - 1 - n) T) = eJ(N ~1 “ T,	(9.17)
где Лсцф (пТ) и Асцф (пТ) — импульсные характеристики СЦФс
и СЦФ/
Входной сигнал можно записать в комплексной форме:
х(«Т) = г/(пТ) = а8щ(псоТ+ф) = ^(е-'(''<в7'+’,’-е'-'(''м7'+’”),	(9.18)
т. е. частота « может как совпадать с частотой о)(, так
и отличаться от нее.
С помощью (9.17) и (9.18) определяется выходной сигнал
КСЦФ у(пТ) (см. рис. 9.18):
у(пТ)=уе(пТ) +jys(nT)= f	” ",ш-тх
1 = 0
X
1	1!(и + а>/г
qJ9 1 L___________________
| _e" j(v»+<at)T
-e~jv
(9.19)
]	l)(<o-<o,)T
| _q~
На рис. 9.18 показан обнаружитель синусоидальной состав-
ляющей с частотой со(, в котором КСЦФ дополнен двумя
устройствами возведения в квадрат, сумматором и пороговым
устройством. Проанализируем работу этого устройства. Пусть
на вход подан синусоидальный сигнал (9.18) с частотой (о = о)(,
т. е. на обнаружитель подан сигнал, с которым согласован
КСЦФ. Возможны два случая. В первом случае
228
со( = 7с&/Т.	(9.20)
Практически возможно лишь одно из двух значений: к = 0 или
/с=1. При /с = 0 на вход подается постоянная составляющая,
причем из (9.18) — (9.20) следует, что
х(пТ) = и (пТ) —a sin <р,	у(пТ)=(п + l)asinq>.	(9.21)
При к=1 на вход подается синусоидальный сигнал с частотой
о)( = 7с/Г, причем из (9.18) и (9.19) следует, что
х(«Т) = и(иТ)=а81п(и7с + ф),	у(пТ)= — (п 4-1) a sin ф.	(9.22)
Из (9.22) и (9.21) следует, что при ф = 0 у(пТ) = 0 (обнаружение
невозможно), при ф/0 у2(пТ) увеличивается при увеличении
п (обнаружение возможно).
Во втором случае
о>1^як/Т,	А: = 0,1.	(9.23)
Пусть n = L, причем L — целый положительный корень уравнения
(L+ \)o3iT=nk, fc=l, 2, ...,
г к1(	1
т. е. п = L = — — 1.
Из (9.19) и (9.24) следует, что
y*(LT)= - |(L+ l)sin(со,T(N—L— 1) -ф), '
►
Л(£Г)= - l(L+ l)cos(wzTpV-£- 1) -ф).
(9-24)
(9.25)
Сигнал на выходе сумматора обнаружителя (рис. 9.18) в мо-
мент LT равен
v(LT)=y2(LT)+y2(LT) = j(L+l)2.	.	(9.26)
Очевидно, что обнаружение с помощью порогового устройства,
на которое подается сигнал v(nT), возможно и порядок N каждого
из СЦФ, входящих в состав КСЦФ и реализуемого в виде
КИХ-фильтра, следует выбирать из условия
(V=L+1,	(9.27)
где L — целый положительный корень уравнения (9.24).
Пример 9.6. Пусть 7’= 125 мкс, <£>i — 2nfh / = 800 Гц. Тогда из (9.24)
определяются возможные значения L (4,9,14,...), т. е. L = 5fc —1, fc=l,2, .... из
(9.27)- возможные значения W (5,10,15,...), т. е. W = 5C к=1, 2, ...
229
Пусть теперь на вход обнаружителя (см. рис. 9.18) подан синусоидальный сигнал
(9.18) с частотой (0#(0ь т. е. на обнаружитель подан сигнал, с которым КСЦФ не
согласован. Рассмотрим два случая. В первом случае частота го удовлетворяет условиям:
(L+ l)(w + co,)7’=2nfci,)
(/.+ l)(a>-cDl)7’=2nA:2,J
где /с, и к2 -целые положительные числа, L определяется из (9.24). При
выполнении этих условий из (9.19) следует, что независимо от фазы входного
сигнала
v(LT)=z(LT)=0.	(9.29)
Из (9.28) можно определить значения частот [=(й)2п, для которых справедливо
(9.29):
/=(^1+^)/[2(L+l)7’].	(9.30)
Пример 9.7. Пусть 7"= 125 мкс. «; = 2nf,f = 200 Гц. Используя (9.24) и (9.27),
можно принимать 7.= 19, W = 20. Полагая в (9.30) Г=19, получаем значения
частот, для которых выполняется (9.29): f=200k Гц, к=2, 3, ...
Во втором случае частота со не удовлетворяет условиям (9.28). При этом
выходные сигналы КСЦФ y(LT) и сумматора обнаружителя v(LT) будут зависеть
от фазы входного сигнала. Очевидно, что при значениях со, близких к значениям,
определяемым (9.28), выходной сигнал сумматора обнаружителя v(LT) будет
близок к нулю.
Рассмотрим возможность реализации КСЦФ с импульсной
характеристикой (9.17) в рекурсивной форме. Из (9.17) следует
выражение для передаточной функции КСЦФ
N“1	. -iN(b,T -N
//k(z)= £ e7<'v~1~”)M|7z~” = e7*'v~1)<a|/	.	(9.31)
Поскольку сомножитель e7('v'"1*“'7' в (9.31) влияет лишь на
фазочастотную характеристику фильтра, он может быть опущен.
Значения выходных сигналов ys(nT) и ус(пТ) фильтров СЦФ8
и СЦФс, входящих в состав КСЦФ (см. рис. 9.18), используются
лишь при n = L = N— 1 [см. формулы (9.25) и (9.27)]. Слагаемое
числителя в (9.31), содержащее в качестве сомножителя z~N, не
может влиять па величины ys((N—\)T) и yc((N— 1)Т) и поэтому
может быть опущено. Таким образом, вместо «полной» перед-
аточной функции (9.31) можно использовать трансформированную
передаточную функцию
H't(z)= 1/(1 —е “7“'rz-1)	(9.32)
или передаточные функции Ясцф (z) и 7/сцф (г), описывающие
фильтры СЦФ5 и СЦФс:	s	с
НсцФ5 = г-1 sin®,T/(l —2z-1 cosw(T+z“2), 1
Ясцфс = (1 — z ~1 cos(o(T)/(l — 2z "1 cos w,T+z“2). J
230
Рис. 9.19
Разностные уравнения, соответствующие (9.33), имеют следу-
ющий вид:
a(nr) = x(nT) + 2cosa)(7a((w— 1) Г) — а((п —2) Г),т
j's(nT) = sino);Ta((n—1) Г),	>	(9.34)
ус(пТ]-а(пТ)~ cosa>iTa((n — 1) Т),	J
где а(пТ)— вспомогательная переменная.
На рис. 9.19 изображена структурная схема КСЦФ, постро-
енная в соответствии с уравнениями (9.34). Символ «прямо-
угольник с двумя диагоналями» соответствует «вырожденным»
операциям умножения на — 1 (инвертирование) и на 2 (сдвиг
кода на один разряд). Из (9.34) следует, что для вычисления
yc(NT— Т) требуется выполнить N операций умножения —
отсчеты а(иТ’) умножаются на cosw(T при и = 0, 1, ..., п— 1;
для вычисления ys(NT— Т) требуется выполнить одну допол-
нительную операцию умножения — отсчет а{пТ— Т) умножается
на sin a>i Т.
Чтобы исключить зависимость выходного сигнала обнаружи-
теля от фазы входного синусоидального сигнала при любых
значениях частоты w, необходимо использовать преобразователь
Гильберта [2, с. 84] (ПГ, рис. 9.20). Преобразователь Гильберта
Рис. 9.20
23'
позволяет сформировать из «обычного» вещественного сигнала
(9.18) комплексный сигнал
хк (пТ) = ик (пГ) = п81п(соиГ+ф) —
—jacos((onT+(p) = ae 7(“'г7+ф 2)	(9.35)
Как правило, преобразователь Гильберта реализуется в виде
КИХ-фильтра [2, с. 193].
На рис. 9.20 показан обнаружитель, обрабатывающий комп-
лексный сигнал (9.35). По аналогии с (9.19) можно записать
}/(иГ)=у2(пГ)+/>1(лТ)= £
1 = 0
=0д(«.	(9.36)
1 _е/(“.-«) Т
Очевидно, что сигнал
фТ)=Я("7>^(иТ)	(9.37)
не зависит от фазы входного сигнала х[пТ]. Примем, что
частота со,, с которой согласован обнаружитель, задана. Функция
Л4(«, со,) = У7(иТ)/«	(9.38)
является АЧХ обнаружителя, согласованного с частотой со,. Из
(9.36) — (9.38) следуют основные свойства АЧХ обнаружителя
Л (со, со,):
а) функция Лк(со, со,) не зависит от фазы и амплитуды
входного сигнала и представляет собой периодическую функцию
со с периодом сод = 2тс/Г;
б)	Ak((Oh со,) = н + 1,	(9.39)
г. е. при поступлении на вход синусоидального сигнала с частотой
(Ot функция Ак(а, со,) линейно растет с увеличением и;
в)	если toOg —-корень уравнения
(М+ 1)(со,—со) Т= ±2пк,	(9.40)
причем (со, —coOQ) 7V2rc£, то при п-М a co = coOQ АЧХ равна нулю:
A(co0g, <О() = 0;	(9.41)
г)	Ак(ы, со,) = ЛДсо-со,, 0),	(9.42)
т. е. при выбранном значении п функция Ак (со, 0), называемая
базовой функцией обнаружителя, полностью определяет частотные
свойства обнаружителя при любом значении частоты со,, с которой
согласованы обнаружитель.
На рис. 9.21 показан график функции Лк(со, 0) при п=Л-/ = 4,
причем сОо1 = 2д/5Г, соО2 = 4л/5Г.
232
Область частот, определяемая неравенствами
со, —<x>oi ^СО^(О| + (ЙО1,	(9.43)
соответствует главному лепестку АЧХ обнаружителя. На рис. 9.21
главный лепесток АЧХ занимает область, частот от — 0)01 до (й01,
поскольку о)( = 0. Области частот, определяемые неравенствами
— «Qi и (0X0(4-0)01,	(9.44)
соответствуют боковым лепесткам АЧХ обнаружителя. На
рис. 9.21 показан один период функции Ак(<о, 0), поэтому боковым
лепесткам соответствуют области частот, определяемые неравен-
ствами — л/Т^(о<—(Doi. (£>oi <ы^п/Т. Область частот, определя-
емая неравенством
Л(«, (0()^Л4«(, Ю()/У2,	(9.45)
называется полосой пропускания обнаружителя. Граничные ча-
стоты полосы пропускания юг.п1 и (0,.П2 могут быть определены
из уравнения
А(<Чг.л, 0)|) = Л((0|, (£>1)/У2.	(9.46;
Области частот, определяемые неравенствами (9.44), называются
полосами задерживания обнаружителя. Граничные частоты полос
задерживания и со,. ,2 могут быть определены из уравненю
(9.40) при к=-\ и к=\.
В силу свойства (9.42) при любой заданной частоте со; вс<
свойства АЧХ обнаружителя Ак(а, со() при заданном п определи
ются аналогичными свойствами функции Ак(ы, 0) при том ж<
и. Из (9.36) при W( = 0 следует, что АЧХ однородного фильтр;
порядка А=«4-1 [см. (3.16)] отличается от АЧХ обнаружится
Ак(т, 0) только наличием постоянного нормирующего множится
1 /N. Поэтому для расчета обнаружителя можно использовал
методы расчета однородных фильтров, рассмотренные в гл.
и, в частности, данные табл. 3.2 и 3.3 и формулы (3.32) и (3.35,’
Пусть в результате расчета обнаружителя определено неоС
ходимое для обработки минимальное число отсчетов входпог
2:
сигнала М. Возможны два режима обработки входного сигнала.
В первом режиме известны моменты t0, Ц, tp, когда возможно
появление сигнала на входе обнаружителя. В этом режиме
длительность входного сигнала 0 может быть равна (Л/— 1) Г
и работа обнаружителя начинается в заданные моменты t0,
ti, ..., tp. Во втором режиме моменты возможного появления
сигнала на входе обнаружителя заранее неизвестны. При этом
длительность входного сигнала 0 должна быть не меньше чем
2(М— 1)Г и обнаружитель включается периодически в моменты
О, (М-1)Т, 2(Л/-1)Г, 3(М-1)Т, ...
Рассмотрим теперь возможность применения обнаружителя
(см. рис. 9.20) в гом случае, когда входной сигнал х(пТ)
представляет собой сумму нескольких синусоидальных составля-
ющих с частотами o)i+j, ..., wl+p и одинаковыми амплитудами,
равными единице. Пусть — частота составляющей, с которой
согласован обнаружитель, в то время как остальные частоты
соответствуют помехам. Используя АЧХ обнаружителя, можно
определять величины
Al(сог, (j)t) = c? + d?,	(9.47)
где r=l, 1+1, ..., l+p, cr=yi[MT), dr—y2(MT), M — номер ин-
тервала, на котором принимается решение. Каждая из этих
величин представляет собой реакцию обнаружителя на г-ю
синусоидальную составляющую с амплитудой, равной единице,
при отсутствии остальных составляющих на входе обнаружителя.
Параметры обнаружителя всегда можно выбрать так, чтобы
выполнялось условие
1 + р

{cj + d^^R,
г = <+ 1
(9.48)
где R — заданная величина. Из (9.48) следует, что
(9.49)
Оценим сверху величину реакции обнаружителя vn на входную
помеху, представляющую собой сумму синусоидальных состав-
ляющих с частотами wJ + j, ..., ю( + р:
(1 + р \2 / < + р \2
Z d + X dr .	(9.50)
r = (+l	/ \r=l+l /
234
Из (9.49) получаем
I + р \ 2	I + р
Е t'r	I Cr^y/pR,
=1+1 /	r=l+l
l + p \2	l + p
Е 4 ^pR, Е Cr^^pR-
= 1+1	/	r = (+l
Из (9.50) и (9.51)
vu^2pR.
(9.51)
(9.52)
Оценим снизу величину реакции обнаружителя на входной
сигнал, представляющий собой сумму синусоидальных составля-
ющих с частотами w(, w(+1, ..., со(+р, т. е. сумму сигнала, который
должен быть обнаружен, и помехи:
(1 + р	\2	/1 + р	\2	/ 1 + р	\
Е сг) +( Е ) ==6’(24‘^i2 + 2с/1 Е с’г | +
г = 1	/	\г=1	/	\г=(+1	)
(l + p	\2	/ l + p	\	/ 1 + р	\2
У. сг + 2^ ( е )+1 Е
г = 1+1	/	\ г = I + 1	/	\г = 1+1	/
+ d} — 2cisJrpR — 2diy/pR.	(9.53)
Пусть
At(o)i, (Oi)~Ci+di=Rx.	(9.54)
Тогда [см. (9.51)]
Ct+d^y/^Ri.	(9.55)
Из (9.53) и (9.55)
vs^Ri-2./2RiJiR.	(9.56;
Очевидно, что обнаружение возможно при условии, что
г8>рп.	(9.57
Из (9.52), (9.56) и (9.57) следует, что, для того чтобы обнаружение
было возможно, достаточно выполнение условия
Л1>(6 + 472)р/?^11,657рЛ.	(9.58
Если максимальные значения амплитуд помех отличны о-
единицы, то формула (9.58) должна быть изменена:
/?!>ll,657p/? Е	<9-59
j=i
Рассмотрим теперь два примера расчета парамегров об
наружителя (см. рис. 9.20).
Пример 9.8. Пусть на вход обнаружителя подается сигнал x(nT) = Wt (пТ) +
+ и>„(пТ), где wi(nT)=aisin(2n/inT+<p1), H>„(nr) = a„sin(2n/nnT+<pn), J\ =260 Гц,
/„ = 235 Гц, Г= 125 мкс, причем обнаружитель согласован с сигналом И'1(п7'),
а 1гп(лГ) является помехой. Используя (9.40), можно определять число об-
рабатываемых отсчетов так. что АЧХ обнаружителя на частоте /„ = 235 Гц была
равна нулю: М = [2лк/2л(/1—/п)т] —l=k320—1; принимая к=1, получаем
М=319.
Пример 9.9. Пусть на вход обнаружителя подается сигнал x(nT) = w1 (пТ) +
+ w„(nT), где H’1(n7')=a1sm(2n/1nT+<p1), n’n(n7') = ansin(2n/In7'+<pn), / =250 Гц,
/„>350 Гц, Т= 125 мкс, амплитуда может принимать значение 0 (сигнал
M'i(nT') отсутствует) или 1 (сигнал Wi(nT) присутствует), 0г$а„^10, обнаружитель
согласован с сигналом мДиТ). Имеется лишь одна синусоидальная составляющая
и'п(пТ'), являющаяся помехой (р=1), амплитуда которой в худшем случае равна
10. Поэтому из (9.59) следует, что для обнаружения необходимо выполнение
условия
1165.7Л или R/Ri <0,858 • 10’3.	(9.60)
Чтобы применять методы расчета однородных фильтров, необходимо ис-
пользовать базовую функцию обнаружителя А (со, 0) и перейти от заданной
величины/„ к/„=/„—/1 = 100 Гц [см. формулу (7.42)]. Из (3.22) можно определить
номера i максимума бокового лепестка функции A (iv, 0), удовлетворяющего
условию (7.60):
------s: J0,858 10-3 = 2,929 • 10'2.
л (с+ 0,5) v
откуда 1=11. Из этого следует, что частота ш^ = 2л/„ должна соответствовать
11-му нулю базовой функции А (со, 0). На рис. 9.21 показаны нули, соответст-
вующие частотам <oOi (первый нуль) и соО2 (второй нуль). В этом случае при
частоте помехи, большей со],, обнаружение всегда возможно. Если часто-
та со„ соответствует 11-му нулю, то первому нулю соответствует частота
гл/11. Используя (9.40), можно определить необходимое число обрабатываемых
отсчетов:
"'гЛ-
(с£>пГ)/11
-1=879.
Анализ примеров 9.7—9.9 приводит к следующим выводам:
обнаружитель с КСЦФ без преобразователя Гильберта (см.
рис. 9.18) целесообразно использовать в тех случаях, когда
частота обнаруживаемого сигнала и частоты помех являются
целыми делителями частоты дискретизации;
обнаружитель с КСЦФ и с преобразователем Гильберта (см.
рис. 9.20) целесообразно использовать в тех случаях, когда
частота обнаруживаемого сигнала и частоты помех не являются
целыми делителями частоты дискретизации, причем частоты
помех могут изменяться в широких пределах при значительных
отличиях от частоты сигнала. Пример 7.9 показывает, что малое
236
отличие частоты помехи от частоты сигнала приводит к нео
ходимости обрабатывать весьма большое число отсчетов входно)
сигнала.
Отметим, что оба варианта обнаружителя (см. рис. 9.18 и 9.2
позволяют оценивать амплитуду и фазу сигнала, с которь:
согласован обнаружитель при условии, что амплитуды пом
достаточно малы.
МЕТОД ЦИФРОВОГО СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА,
ОСНОВАННЫЙ НА ЦИФРОВОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
С ПРИМЕНЕНИЕМ ИЗБИРАТЕЛЬНЫХ
ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ
На рис. 9.22 показана структурная схема обнаружителя,
вход которого подается сигнал х(пГ), описываемый (9.7). Поло
пропускания фильтра ЦФ выбирается так, чтобы центр эт<
полосы соответствовал частоте обнаруживаемого сигнала. Поло
или полосы задерживания соответствуют частотам помех.
Пример 9.10. Пусть необходимо обнаруживать синусоидальную сост
ляющую с частотой, изменяющейся от f\ до /2, и подавлять помеху, чаете
которой может изменяться от /3 до /4 при заданной частоте дискретизации
Амплитудно-частотная характеристика «идеального» ЦФ обнаружителя (<
рис. 9.22), решающего эту задачу, должна иметь следующий вид:
... (1 при Wr.nl «?®«£сог.п2,
Л (w)=<
'	[0 при Wr. 31 ^W^Wr. з2,
где wr. п 1 = 2л/), wI.n2=2jt/i, Юг.з1=2л/з, ш1!2 = 2тг/4; полосы частот от 0
Wr пЬ от Wr п2 ДО йг. 31, ОТ Wr. з2 ДО Wn/2=n/a ЯВЛЯЮТСЯ ПрОМСЖуТОЧНЫ!
и в этих полосах никаких требований к АЧХ нс предъявляется.
Чтобы спектр выходного сигнала избирательного ЦФ он]
делялся АЧХ фильтра, необходимо оценить «реальную» длите.)
ность переходного процесса RT и начать процесс обработ
выходного сигнала с его (7?+1)-го отсчета. Обработка выходне
сигнала сводится к возведению в квадрат каждого обрабатьн
емого сигнала у(пТ), вычислению величины
•s = 7 Е Уг(пТ}	(9.1
Ь л = 0
Рис. 9.22
и определению выходного сигнала обнаружителя z по пра-
вилу
г fl при	j>Gnop,	|
[О при	5<6„ор.	]
Величина L в (9.61) выбирается так, чтобы выполнялось ]
условие	J
k=LTIQi,	(9.63)
где 0( = 2л/о)( — период обнаруживаемой синусоидальной состав- |
ляющей w(nT]-at sin(п®1 Т+ <р(); к — целое положительное число, 1
т. е. величина LT должна быть кратна 0(.	1
При выполнении условия (9.63) и при j'(nT) = aisin(n(D/r-|-(p/) |
величина s, определяемая (9.61), равна	|
s = «f/2,	(9.64) |
т. е. равна квадрату действующего значения обнаруживаемой
синусоидальной составляющей. Условия обнаружения и величина
Спор в (9.62) могут быть рассчитаны с учетом реальной АЧХ
ЦФ тем же методом, который был использован для расчета
обнаружителя с КСЦФ и преобразователем Гильберта. Рассмот-
ренный обнаружитель целесообразно использовать в тех случаях,
когда известна частота обнаруживаемого сигнала (эта частота
может изменяться в узких пределах), а частоты помех могут
изменяться в широких пределах.
МЕТОД ЦИФРОВОГО СПЕКТРАЛЬНОГО	АНАЛИЗА,	|
ОСНОВАННЫЙ НА ПРИМЕНЕНИИ	1
ДПФ И ОКОННЫХ ФУНКЦИЙ	I
Один	из	самых распространенных методов цифрового анализа	I
спектра	и	обнаружения сводится к вычислению	ДПФ У(А:И)	|
дискретной последовательности x(nT), к = 0, 1, ..., У—1 и при- j
нятию соотвезствующего решения по значениям Х(к£1). Для ।
улучшения качества обработки используются оконные функции j
w„ ([2], с. 457). При этом решение принимается по значениям 1
взвешенного ДПФ:
JW(£Q) = Y Wnx(nT)em,	(9.65) j
где 2тс/(АГ) — частота, равная одному бину ДПФ.
Пусть [см. формулу (9.7)]
х(п^) = ае~7<"“г+Ч	J
238
тогда
N- 1
Xw(k£l)=aejv У >гле“^(“+Ш)Т, 1
п = о	>	(9.66)
|yw(£Q) | =а\ 7/(е^,<в+Ш)Г)|, J
где H(ei<aT)~- комплексная частотная характеристика КИХ-
фильтра с коэффициентами w„.
Из (9.66) следует, что обработка последовательности с по-
мощью оконной функции эквивалентна цифровой фильтрации
на конечном временном интервале. Соответствующий фильтр
будем называть базовым КИХ-фильтром (БКФ).
Существует много различных оконных функций, используемых
для решения задач цифрового спектрального анализа ([2], с. 106).
Наиболее просто реализуется прямоугольная оконная функция,
для которой
»v„=l.	(9.67)
Для этой оконной функции БКФ является однородным фильтром.
Несколько более сложно реализуется треугольная оконная фун-
кция, для которой (при нечетном N)
y_jn+\ при 0<п<(А-1)/2,
(TV—п при (N— 1)/2^и<А— 1.
Базовым КИХ-фильтром этой оконной функции является триан-
гулярный фильтр. Для многих применений частотная харак-
теристика триангулярного фильтра оказывается лучше, чем ча-
стотная характеристика однородного фильтра. Базовый КИХ-
фильтр ряда других оконных функций имеют еще лучшие
характеристики, однако коэффициенты w„ вычисляются по го-
раздо более сложным формулам, чем (9.67) и (9.68). В на-
стоящее время в связи с возможностью использования весьм<
эффективных ЭВМ наиболее целесообразным является констру
ирование оптимальной оконной функции для данной конкретно!
задачи, а не выбор одной из числа уже известных оконны:
функций.
Алгоритм обработки сигналов на выходе фильтров в рас
сматриваемом методе не отличается от соответствующего ал
горитма, используемого в обнаружителях с КСЦФ.
ПРИНЦИПЫ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА,
ОСНОВАННОГО НА ЛИНЕЙНОМ МОДЕЛИРОВАНИИ
Сигнал х(пГ), представляющий собой сумму детерминирс
ванных и случайных составляющих, может быть достаточн
хорошо аппроксимирован ([3], с. 227) выходныг
22
сигналом у(пТ) линейного дискретного фильтра, описываемого
разностным уравнением
е
У(пГ)= ~ Ё ajy((n-j)T) + v(nT),	(9.69)
7=1
где v(пТ)- -дискретный белый шум с дисперсией ст2. Если
коэффициенты определены так, что достаточно точно выпол-
няется равенство
у(пТ)хх(пТ), п = 0, 1, ...,	(9.70)
то спектральную плотность мощности S'(со) сигнала х(пТ) можно
рассчитать следующим образом:
--------------------у.	(9.71)
I 1 + Е ^jCosjwT I +1 £ <i, sin jwT j
\	7=1	/	\/-о	/
Функция (9.71) позволяет определить значение 5(®) при любом
значении ю. Для расчета коэффициентов а, по известным отсчетам
х(пТ\ можно использовать метод наименьших квадратов ([3],
с. 229). Этот метод спектрального анализа целесообразно ис-
пользовать в тех случаях, когда заранее почти ничего неизвестно
о свойствах входного сигнала.
Приложение 1
НОМОГРАММЫ И ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА
АНАЛОГОВЫХ ФИЛЬТРОВ НИЖНИХ ЧАСТОТ
В настоящем приложении приведены основные номограммы и таблицы,
с помощью которых можно по заданным требованиям к амплитудно-частотной
характеристике аналогового фильтра нижних частот определить коэффициенты
его передаточной функции. Приводимые таблицы не являются полными. Более
подробные таблицы приведены в [6]. Если в процессе решения аппроксимационной
задачи вы нс можете подобрать фильтр из таблиц данного приложения, следует
обратиться к [6]. Порядок использования таблиц и номограмм описан в § 4.1.
Таблица П.1.1 используется для определения модуля коэффициента отражения
|р| по заданной величин Да.
Номограмма (рис. П.1.1) служит для определения вспомогательного параметра
L по заданной величине а0 и определенной величине |р|.
Номограммы (рис. П.1.2	П.1.4) используются для определения порядка
п передаточной функции ФНЧ по заданным величине и определенной величине
параметра L для фильтров типа В (рис. П.1.2), типа Т (рис. П.1.3) и типа
С (рис. П. 1.4) для небольших порядков фильтров.
240
Таблица П.1.1
И- %	5	10	15	25	50
Да, дБ	0,011	0,044	0,10	0,28	1,25
Коэффициенты передаточных функций фильтров определяются из
табл. П.1.2 -П.1.4. В табл. П.1.2 приведены коэффициенты передаточных функций
фильтров типа В. в табл. П.1.3 -типа Т, в табл. П. 1.4 -типа 1.
Рис. П.1.1
Таблица П.1.2
В02
1г1	С	а\	+Л,
5	0,05006262	3,1602993306	3,1602993305
10	0.10050378	2,2304567213	2,2304567213
15	0,15171652	1,8253842510	1,8153842509
25	0,25819889	1,3915788419	1,3915788418
50	0,57735027	0,9306048582	0,9306048582
!4
J < 5 678 tO 2	10	1	2	5	10	2	5	10	1	2	5	10
Рис. П.1.2	Рис. П.1.3	Рис. П.1.4
242
Окончание табл. П.1.2
ВОЗ
|р|	С	~а0	-"1	±^1
5	0.05006262	2,7132854279	1.3566427140	2,3497741083
10	0,10050378	2,1508388528	1,0754144264	1,8626724257
15	0,15171652	1,8749471964	0,9374735982	1,6237519029
25	0,25819889	1,5704178025	0,7852089012	1,3600217115
50	0,57735027	1,2009369490	0,6004684745	1,0400419062
ВОД
|р|	С	/	— а,	±ь,
5	0,05006262	1 2	0.8090237244 1,9531560478	1,9531560473 0,8090237244
10	0,10050378	1 2	0,6796636758 1,6408532639	1,64085326.38 0,6796636757
15	0,15171652	1 2	0,61317076610 1.4803251816	1,4803251816 0,6131707669
25	0,25819889	1 2	0,5368476642 1,2960649118	1,29606449118 0.5.368476642
50	0,57735027	1 2	0,4390154585 1,05987770740	1,0598770740 0,4390154585
Таблица П.1.3
Т02
Ipl	С	-«1	±Ь1
5	0,10012523	2,1794494718	2,2912878475
10	0,20100756	1,5000000135	1,6583124073
15	0,30343304	1,1902380715	1,3844373105
25	0,51639778	0,8660254040	1,1180339888
50	1,1547005	0,5000000000	0,8668254038
242
Окончание табл. П.1.3
ТОЗ
	С	-«О	~а1	+i1
5	0,20025047	1,5633880273	0,7816940137	0,6073139226
10	0,40201513	1,1717182911	0,5858591455	1,3340512791
15	0,60686608	0,9721338860	0,4860669430	1,2078009850
25	1,0327956	0,7433421107	0,3716710553	1,0790820730
50	2,3094011	0,4532218472	0,2266109236	0,9508194004
Т04
1р!	С	i	-«1	±Ь(
5	0,40050094	1	0,4050275555	1,3452476518
		2	0,9778230177	0,5572198221
10	0,80403025	1	0,3138479999	1,1948459178
		2	0,7576960978	0,4949213841
15	1,2137322	1	0,2648393341	1,1235472968
		2	0,6393787122	0,4653885283
25	2,06559)1	1	0,2062835572	1,0495570027
		2	0,4980125615	0,4347407450
50	4,6188022	1	0,1282831330	0,9744071347
		2	0,3097028796	0,4036126504
Таблица П.1.4
/02
а0, дБ	С	-Я]	
20	9,9498744	0,2999999979	0,3316624761
30	31,606961	0,1749936473	0,1806177638
40	99,995000	0,0994987438	0,1004987563
50	316,22618	0,0561451481	0,0563229769
60	999,99950	0,0316069613	0,0316385840
244
Окончание табл. П.1.4
/03
я0. лБ	С	-я0	-rtj	±Л,
20	3,3166248	0,8534474605	0,2759680580	0,6284028227
30	10,535654	0,5357797764	0,2204319884	0,4331463280
40	33,331667	0,3522995078	0,1611490043	0,2959331482
50	105,40873	0,2362045985	0,1133588591	0,2017462184
60	333,33317	0,1597464581	0,0783732283	0,1374675538
/04В
«0. дБ	С	i	— ai	+i<
		1	0,2056459009	0,7829113624
20	9,9498744	2	0,9250907591	0,6042623160
		1	0,1987869166	0,6179848097
30	31,606961	2	0,6836285132	0,3646353758
		1	0,1711601220	0,4761022471
40	99,995000	2	0,5045370363	0,2407904870
		1	0,1385417716	0,3621703184
50	316,22618	2	0,3742614213	0,1678633206
		1	0,1084075374	0,2736910807
60	999,99950	2	0,2788032187	0,1207668053
Приложение 2
ЯЗЫК ПРОГРАММИРОВАНИЯ БЕЙСИК.
КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ
В книге приведены программы, написанные на языке Бейсик (версия для
ЭВМ СМ-1800). Ниже дастся краткое описание этой версии Бейсика, которое
носит справочный характер.
Для удобства пользования справочным материалом описания операторов,
функций и команд оформлены в виде таблиц. В таблице операторы (как
и функции и команды) размещены по алфавиту. Для функций дан также
математический эквивалент (если таковой имеется).
1.	Данные. Операции над данными
1.1.	Алфавит Бейсика содержит: заглавные буквы латинского алфавита: А,
В, C,...Y, Z; десять арабских цифр: 0,	специальные символы
245
+ — * / л < > = (;),:# 0 и т. д.; заглавные буквы русского алфавита
А, Б, В,..., Ю, Я (для записи комментариев и строковых констант).
1.2.	Классы и типы данных. Язык Бейсик использует данные трех кл
константы, переменные, массивы.
Данные каждого
класса могут принадлежать
к одному из следующих четырех типов: целые, вещественные, удвоенной точности
строковые (табл. П.2.1).
1.3. Переменные, идентификаторы, описание типа переменных.
Переменные
в процессе выполнения программы могут менять свое значение. Переменная
обозначается идентификатором. Идентификатор состоит либо из буквы, ли
из двух букв, либо из буквы и цифры. Примеры обозначения переменных:
Таблица П.2.1
Тип данных	Диапазон		Пример записи констант
	минимум	максимум	
Целые Вещественные Удвоенной точности Строковые	-32768 ± 1,2 • 10“38 ±2,2- 1О“308	+ 32768 ±3,4 1038 ± 1,8 1О308 До 255 символов	323	48	-15000 35.05 15	5.7Е-20 . 5.37D49 «ЮРА» «БЕЙСИК»
Математическая переменная	а	Т	<Р	Y		зг2
Идентификатор	А	Т	FI	С,	Т1	Х2
Для описания типов переменных используются операторы: DEFSNG; DEFINT
DEFSTR; DEFDBL [(см. табл. П.2.7)]. В отсутствие операторов описания всех»
переменным присваивается вещественный тип.
1.4.	Массив и его описание. Массив это упорядоченная совокупность
некоторых однотипных величин, объединенных с помощью одного идентифика-
тора. Компонентами массива являются переменные с индексом. Нижняя граница
изменения индекса массива равна 0.
Массивы могут быть одномерными, двухмерными, трехмерными и т. д
Математическим аналогом одномерного массива является вектор, а двухмерного-
матрица. Массив должен быть описан с помощью оператора DIM (см. табл. П.2.7).
1.5.	Арифметические выражения. Арифметическое выражение на языке Бейсик
является аналогом алгебраического выражения в математике. Знаки арифметичес-
ких операций, используемые в Бейсике, приведены в табл. П.2.2. Ранг определяет
приоритет выполнения операции (в отсутствие скобок).
1.6.	Логические выражения. Логическая величина принимает одно из двух значений:
TRUE (истина), FALSE (ложь). Простейшим логическим выражением является
отношение. В языке Бейсик используются шесть операций отношения (табл. П.2.3)
Более сложные логические выражения образуются с помощью логических операций.
246
Таблица П.2.2
Операция	Ранг	Алгебраическое выражение	Знак операции	Арифметическое выражение
Возведение в степень	1	аь	Л	АЛВ
Умножение	2	ab	*	А*В
Деление	2	а/Ь	/	А/В
Сложение	3	а+Ь	+	А + В
Вычитание	3	а—Ь	—	А —В
Таблица П.2.3
Операция	Математическое обозначение		Запись на языке Бейсик	
	символ	пример	символа	примера
Равно	=	а = Ь	—	А=В
Не равно		а^Ь	< >	А{ >В
Больше	>	а>Ъ		А>В
Меньше	<	а<Ь	<	А<В
Больше или равно	>	а^Ь	> =	А> = В
Меньше или равно		а^Ь	< =	А< = В
Основными в языке Бейсик являются три логические операции: инверсия,
конъюнкция и дизъюнкция (табл. П.2.4). Действие этих операций поясняется
табл. П.2.5, где А, В—логические выражения; Т—TRUE, F—FALSE.
Таблица П.2.4
Название операции	Математическое обозначение	Запись на языке Бейсик
Инверсия	“I	NOT
Конъюнкция	Л	AND
Дизъюнкция	V	OR
Таблица П.2.5
А	NOT А
Т	F
F	Т
А	В	AMiOB
Т	т	т
Т	F	F
F	Т	F
F	F	F
А	В	AORB
Т	т	Т
Т	F	т
F	Т	т
F	F	F
247
2.	Функции	1
Функции представляют собой встроенные подпрограммы, преобразующие!
значение аргумента, В табл, П.2,6 приводятся некоторые из существующих^
в языке Бейсик функций, даются их краткое описание и примеры использования.^
Таблица П.2.6	!
Функция	Математический эквивалент	Описание	Пример	J
ABS	И	Вычисление модуля	B = ABS(X)	|
ATN	arctg (x)	Вычисление арктангенса	B = ATN(X) I
CINT		Преобразование в целое число путем округления	B = CINT(X) I
COS	cos (x)	Вычисление косинуса	B = COS(X)	I
EXP	exp(x)	Вычисление экспоненты	B = EXP(X)	1
FIX		Преобразование в целое число путем отбрасывания дробной части	B = FIX(Y)	3
INT	[x]	Выделение целой части	B = INT(X) i
LOG	In [x]	Вычисление натурального лога- рифма	B = LOG(X) I
RANDOMIZE		Инициализация генератора случай- ных чисел	RANDOMIZE 1
RND		Генерация случайного числа в диа- пазоне от 0 до 1	B=RND	|
SIN	sin (x)	Вычисление синуса	B = SIN(X)	(
SQR	V*	Вычисление квадратного корня	B-SQR(A') js
TAB		Помещение курсора в заданную позицию текущей строки	TAB(Y)	j
TAN	tg(x)	Вычисление тангенса	B = TAN(X) 1
3.	Операторы	а
Оператор — это объект языка, используемый в программе и предназначенный |
для задания ЭВМ операций по обработке информации. В табл. П.2,7 приводятся ?
некоторые из операторов языка Бейсик, даются их краткое описание и примеры .3
использования.	«
248	J
	x C к о	Закрытие файла с номером 2 Переменные А, К, L, М- веществен- ные двойной точности Переменные F, Y— целые Переменная Z- вещественная обыч- ной точности Переменные В, С, D, Е — строковые Описание двумерного массива А	Обращение к подпрограмме, начина- ющейся со строки с номером 2000	Оператора области цикла будут вы- полняться при 1=1, 3, 5 						Операторы области цикла будут вы- полняться N раз	Переход к строке с номером 310	Если К = 5, то осуществится пере- ход к строке с номером 60; если К /5, то Y присвоится значение 8
	Запись	CLOSE # 2 DEFDBL А, К-М DEFINT F, Y DEFSNG Z DEFSTR В- Е DIM А (20,15) END	GOSUB 2000	FOR 1=1 ТО 6 STEP 2 NEXTI	FOR Y=0 ТО N -1 NEXT Y	GO ТО 310	IF К = 5 THEN 60 ELSE Y = 8
	Описание	Закрытие файла Описание переменной двойной точности Описание переменной це- лого типа Описание переменной обычной точности Описание строковой пере- менной Описание массива Конец программы	Обращение к подпрог- 1 рамме		 	_	—	—1 Организация цикла		Безусловный переход	Условный переход
E s j=: IO Л H	о S" 5	-J	G Ой ш S	z	z	н и Q	>-	сл	сл	п ох	х	х	х	5	W 2 Ш	Щ	Ш	Д	д	Z Ida	а	а	а	а	и	GOSUB	—	1 FOR ТО STEP NEXT		О н о 1 о	ы ьо Щ Z ш X н
249
Окончание табл. П.2.7
।	Пояснение	Ввод значения переменной К	Открытие файла номер 1 для вывода на АЦПУ	Открытие файла номер I для вывода на экран дисплея	Вывод на дисплей значения перемен- ной А Вывод содержимого файла с номе- ром 1 на устройство, определенное в операторе OPEN	Вывод на дисплей значения перемен- ной А по указанному формату Вывод значения переменной А по указанному формату на устройство, определенное в операторе OPEN			
Запись	INPUT К.	OPEN «0», # 1, «:LP:»	OPEN «0», #1, «.СО.»	PRINT А PRINT #I,A	PRINT USING «##.##»; А PRINT # 1, USING «# # . # #»; A	REM *♦ БПФ **	RETURN 	 	 j	STOP
!	Описание	Ввод данных с клавиатуры	Открытие файла		Вывод данных	Вывод данных с указан- ] ным форматом	’	Комментарий	j	Возврат из подпрограммы к оператору, следующему1 за вызывавшим GOSUB । I	Останов
Оператор	INPUT	OPEN		PRINT	PRINT USING	REM	RETURN 	1	STOP
250
4. Команды
Команды (служебные операторы, директивы) работают с целыми программами
или файлами. Команды (в отличие от операторов) выполняются сразу после
их ввода с пульта. В табл. П.2.8 приведены некоторые из команд, их краткое
описание и примеры использования.
Таблица П.2.8
Команда	Описание	Запись	Пояснение
AUTO	Автоматическая ну- мерация строк прог- раммы с шагом 10	AUTO	
CONT	Продолжение вы- полнения программы после прерывания	CONT	
DELETE	Удаление из прог- раммы строк	DELETE 40, 80 -90	Удаление строк 40, 80- - 90
DIR	Вывод на дисплей оглавления диска	DIR DIR1	Диск в дисководе: F0: Диск в дисководе:F1:
EDIT	Вход в режим ре- дактирования строки с указанным номером	EDIT 20	
LIST	Вывод на дисплей указанных строк программы	LIST 20-80 LIST	Вывод всей программы
LOAD	Чтение программы с диска	LOAD ": Fl: SPR"	Диск в дисководе: F1 Имя программы--SPR
NEW	Очистка оператив- ной памяти	NEW	
RENUM	У порядочивание строк программы по номерам с шагом 10	RENUM	
RUN	Запуск программы, находящейся в опе- ративной памяти	RUN	
SAVE	Запись программы, находящейся в опе- ративной памяти, на диск	SAVE «MATRIX» SAVE":F1 :UCH"	Диск в дисководе: F0:, имя программы — MATRIX Диск в дисководе: FL. имя программы-- UCF
25
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Цыпкин Я. 3. Основы теории автоматических систем. --М.: Наука, 1977.—560 с.
2.	Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов.  -М.:
Мир, 1978,—848 с.
3.	Гольденберг Л. М., Матюшкин Б. Д., Поляк М. Н. Цифровая обработка сиг-
налов: Справочник.— М.: Радио и связь, 1985.—312 с.
4.	Белецкий А. Ф. Теория линейных электрических цепей: Учебник для вузов,- М.:
Радио и связь, 1986. 544 с.
5.	Цнкнн И. А. Дискретно-аналоговая обработка сигналов. -М.: Радио и связь,
1982.-161 с.
6.	Хрястная Э., Эйзенман Е. Таблицы и графики по расчету фильтров. -М.:
Связь, 1975.—408 с.
7.	Калабеков Б. А. Микропроцессоры и их применение в системах передачи
и обработки сигналов.— М.: Радио и связь, 1988.— 368 с.
8.	Крошьер Р., Рабинер Л. Интерполяция и децимация цифровых сигналов:
Методический обзор//ТИИЭР, 1981, —Т. 69, № 3. -С. 14 49.
9.	Кей С. М., Марил С. Л. Современные методы спектрального анализа // ТИИЭР
1981. -Т. 69, № 11. -С. 5 51.
10.	Аппаратные и программные средства цифровой обработки сигналов // ТИИЭР,
4987.— Т. 75, № 9,— С. 8—30.
11.	Макклеллан Д. X., Рейдер Ч. М. Применение теории чисел в цифровой об-
работке сигналов: Пер. с англ.- М.: Радио и связь, 1983.— 264 с.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ............................................................ 3
Глава ).	ДИСКРЕТНЫЕ СИГНАЛЫ И ЛИНЕЙНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ.. 4
1.1.	Основные типы сигналов ............................................ 4
Математическое описание сигнала	........................ 4
Примеры дискретных сигналов ........................................ 8
Спектры аналоговых и дискретных	сигналов ................... 8
1.2.	Связь между аналоговыми и дискретными сигналами .................. 10
1.3.	Дискретное преобразование Фурье	....................... 13
1.4.	Свертка дискретных сигналов ...................................... 15
Круговая (периодическая) свертка дискретных сигналов .............. 15
Линейная (апериодическая) свертка	дискретных сигналов ............. 16
Секционированная свертка .......................................... 17
1.5.	Алгоритмы и структурные схемы дискретных систем .................. 17
Алгоритмы дискретных фильтров ................................... 17
Структурные схемы декретных фильтров .............................. 19
1.6.	Z-преобразование ................................................. 20
Прямое Z-преобразованис ........................................... 20
Свойства Z-преобразования ......................................... 21
Обратное Z-преобразование ......................................... 22
Решение разностных уравнений ...................................... 24
Связь между Z-преобразованием и фурье-преобразованием дискретных
сигналов .......................................................... 24
1.7.	Передаточные функции. Формы реализации дискретных фильтров ...	25
Передаточные функции .............................................. 25
Структурные схемы и графы дискретных фильтров ..................... 26
Соединение фильтров ............................................... 27
Структурные схемы рекурсивных фильтров ............................ 28
Структурные схемы нерекурсивных фильтров .......................... ЗС
1.8.	Временные характеристики линейных дискретных	фильтров ............ 31
Импульсная характеристика ......................................... 31
Реакция фильтра на произвольное воздействие ....................... 35
Связь между передаточной функцией и импульсной характеристикой...	3'
Фильтры с конечной и бесконечной импульсными характеристиками
(КИХ-фильтры и БИХ-фильтры) ....................................... 3‘
1.9.	Устойчивость и реализуемость дискретных фильтров ................. 3‘
Критерий реализуемости ............................................ 3-
Критерий устойчивости .............................................. 3
1.10.	Частотные характеристики линейных дискретных фильтров ............ 3
Основные определения. Виды частотных характеристик ................. 3
Основные свойсгва частотных характеристик .......................... 3
Нормирование частоты ............................................... 3
Требования к АЧХ избирательных фильтров ............................ 3
Требования к ФЧХ фильтров .......................................... 4
Связь между частотными и временными характеристиками фильтров....	4
1.11.	Расчет характеристик фильтра и выходных сигналов при детер-
минированном воздействии ............................................... 4
25
Оценка длительности переходного процесса при гармоническом вход-
ном сигнале .................................................... 41
1.12.	Расчет параметров выходных сигналов линейных дискретных фильтров
при случайных воздействиях .......................................... 42
Характеристики случайных дискретных	сигналов ................... 42
Фильтрация дискретных случайных	последовательностей ............ 46
Глава 2.	цифровые фильтры ................................... 49
2.1.	Основные понятия ............................................... 49
2.2.	Представление и кодирование чисел .............................. 50
Представление чисел ............................................. 50
Кодирование чисел ............................................... 51
2.3.	Ошибки квантования в цифровых фильтрах ......................... 52
Источники ошибок квантования .................................... 52
Квантование чисел и сигналов .................................... 53
2.4.	Влияние квантования входного сигнала на выходной сигнал ЦФ ....	55
Выходной шум .................................................... 55
Детерминированная оценка ........................................ 55
Вероятностные оценки ............................................ 56
2.5.	Эффекты квантования коэффициентов фильтра ...................... 58
2.6.	Эффекты округления результатов арифметических операций ......... 59
Линейная модель структуры ЦФ .................................... 59
Детерминированная и вероятностные оценки ошибок арифметических
операций ........................................................ 61
2.7.	Масштабирование и динамический диапазон сигналов в ЦФ .......... 62
Автоматическое масштабирование .................................. 62
Масштабирующие коэффициенты ..................................... 63
2.8.	Предельные циклы .............................................. 65-
2.9.	Цифро-аналоговые (ЦАП) и аналого-цифровые (АЦП) преобразователи
сигналов ........................................................... 66
Цифро-аналоговые преобразователи ................................ 66
Аналого-цифровые преобразователи ................................ 67
2.10.	Аппаратурная реализация ЦФ .................................... 68
2.11.	Программная реализация ЦФ ..................................... 72
Глава 3.	фильтры с конечной импульсной характеристикой ...	74
3.1.	Критерии, используемые при проектировании цифровых фильтров ..	74
3.2.	КИХ-фильтры без операций умножения ............................. 77
Однородный фильтр ............................................... 77
Применение однородного фильтра для подавления входного белого
шума ...........................................................  82
Применение однородного фильтра в качестве ФНЧ ................... 83
Последовательное соединение однородных	фильтров ...............  84
3.3.	Проектирование КИХ-фильтров с точной линейной ФЧХ общего вида ...	85
Метод наименьших квадратов ...................................... 85
Метод наилучшей равномерной (чебышевской) аппроксимации ......... 90
3.4.	Расчет разрядности коэффициентов и регистров оперативной памяти
КИХ-фильтров ....................................................... 93
Расчет разрядности коэффициентов	фильтра .................. 93
Основные предпосылки для расчета разрядности регистров оперативной
памяти фильтра .................................................. 93
Расчет величины .$ц ............................................. 95
Расчет величин sM и $д .......................................... 95
Расчет величины ................................................. 96
Глава 4.	фильтры с бесконечной импульсной характеристикой ..	97
4.1. Постановка и решение аппроксимационной задачи .................. 97
254
Общие сведения ................................................... 97
Формулировка требований к частотным характеристикам фильтра ...... 98
Краткий обзор методов решения	аппроксимационной задачи .......... 101
Типы аналоговых фильтров ........................................ 102
Определение передаточной функции аналогового нормированного ФНЧ
по справочнику .................................................. 104
Билинейное преобразование ....................................... 107
Обобщенное билинейное преобразование ............................ 113
Определение передаточной функции цифрового ФНЧ (ФВЧ) по справоч-
нику ............................................................ 116
Определение передаточной функции цифрового полосового (режектор-
ного) фильтра по справочнику .................................... 120
Глава 5.	быстрое преобразование фурье (БПФ) ................. 123
5.1.	Основы алгоритмов БПФ ........................................ 123
5.2.	Алгоритм БПФ с прореживанием по времени ...................... 125
5.3.	Програ.мма и пример реализации алгоритма БПФ с прореживанием
но времени ........................................................ 128
5.4.	Алгоритм БПФ с прореживанием по частоте ...................... 131
5.5.	Применение метода БПФ для вычисления обратного ДПФ (ОДПФ) .... 132
5.6.	Применение БПФ для вычисления реакции ЦФ ..................... 132
5.7.	Другие быстрые алгоритмы вычисления дискретного преобразования
Фурье ............................................................. 13^
5.8.	Анализ точности реализации алгоритмов БПФ .................... 138
Глава 6.	НЕКОТОРЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД СПЕКТРАМИ СИГНАЛОВ В ТЕХНИКЕ
связи ............................................ 14<
6.1.	Общие сведения ............................................... 14i
6.2.	Перенос и инверсия спектра ................................... 14<
Перенос и инверсия спектра вещественного сигнала .............. 14'
Перенос спектра комплексного	сигнала ........................... 15
6.3.	Формирование сигнала с одной	боковой полосой .................. 15
Глава 7.
УВЕЛИЧЕНИЕ ЧАСТОТЫ ДИСКРЕТИЗАЦИИ (ИНТЕРПОЛЯЦИЯ) ЦИ-
ФРОВОГО СИГНАЛА .................................... 15
7.1.	Общие сведения ................................................ 15
7.2.	Общие сведения и основные понятия цифровой интерполяции сигналов
с целочисленным коэффициентом ...................................... 15
7.3.	Экспандер частоты дискретизации ............................... 16
7.4.	Уравнения и принцип работы простейшей системы интерполяции
с целочисленным коэффициентом L .................................... 16
7.5.	Характеристики фильтров в реальных системах интерполяции ...... 1(
7.6.	Структуры систем интерполяции с целочисленным коэффициентом L.	1(
7.7.	Цифровая фильтрация при полиномиальной интерполяции ............ Г
7.8.	Интерполяция с помощью оптимальных фильтров ................... 11
7.9.	Перенос спектра при интерполяции .............................. 1!
Глава 8.	уменьшение частоты дискретизации (децимация) циф-
рового СИГНАЛА .................................................... 1
8.1.	Общие сведения и основные понятия цифровой децимации сигналов
с целочисленным коэффициентом М .................................... 1
8.2.	Компрессор частоты дискретизации ............................... 1
8.3.	Уравнения и принцип работы простейшей системы децимации с целочис-
ленным коэффициентом ............................................... 1
8.4.	Структуры систем децимации с целочисленным	коэффициентом М....	1
8.5.	Однородный и триангулярный фильтры при	децимации ......... 1
8.6.	Децимация с помощью оптимальных фильтров ....................... 2
8.7.	Перенос спектра при децимации .................................. 2
Глава 9.	некоторые методы выделения обнаружения и преоб-
разования сигналов ................................................. 208
9.1.	Трапсмультиплсксоры ............................................ 208
Назначение и классификация трансмультиплсксоров ................. 208
Одноуровневая структура ТМ ...................................... 210
Многоуровневая структура ТМ ..................................... 214
9.2.	Гомоморфная обработка сигналов ................................. 217
Общие сведения .................................................. 217
Обобщенный принцип суперпозиции ................................. 217
Каноническое представление юмоморфных систем .................... 218
Мультипликативные гомоморфные системы ........................... 220
Регулировка динамического диапазона звукового сигнала ........... 222
9.3.	Методы цифрового спектрального анализа и обнаружения сигналов..	224
Постановка задачи ............................................... 224
Классификация методов цифрового спектрального анализа ........... 225
Метод цифрового спектрального анализа, основанный на цифровой
фильтрации с применением согласованных цифровых фильтров ........ 226
Метод цифрового спектрального анализа, основанный па цифровой
фильтрации с применением избирательных цифровых фильтров ........ 237
Метод цифрового спектрального анализа, основанный па применении
ДПФ и оконных функций ........................................... 238
Принципы спектрального анализа, основанного на линейном моделиро-
вании ........................................................... 239
Приложение 1. Номограммы и таблицы для расчета аналоговых фильтров
нижних частот ....................................................... 240
Приложение 2. Язык программирования Бейсик. Краткие сведения ........ 245
Список литературы ................................................... 252
Учебное издание
Гольденберг Лев Моисеевич, Матюшкин Борис Дмитриевич,
Поляк Михаил Николаевич
ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ
Учебное пособие
Заведующий редакцией В. Н. Вяльцев Редакюр Е. А. Образцова
Переплет художника В. Я. Виганта Художественный редактор 11. В. Проценко
Технический редактор 3. 11. Ратникова Корректор Т. Л. Кускова
ИБ № 1807
Сдано в набор 08.12.89. Подписано в печать 18.06.90 Г-07000 Формат 60х88‘/1ь Бумага офс. № 2 Гарнитура
Таймс Печать офсетная Усл. пен. л. 15,68 Усл. кр.-оп. 15,93 Уч.-взд. л. 15,56 Тираж 15 000 экз.
Изд. № 22283 Зак. № 3574 Цена 50 к.
Издательство «Радио и связь». 101000 Москва, Почтамт, а/я 693
Ордева Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени МИО «Первая Образцовая типография»
Государственного комитета СССР по печати. 113054, Москва, Валовая, 28.
256