Рисунки схемы и чертежи в начальном курсе математике - Левенберг Л.Ш.

Автор: Левенберг Л.Ш.

Теги: математика черчение схемы издательство просвещение

Год: 1978

Похожие

Основы начального курса математики

Начальные основания чистой математики

Задачник по начальной математике. Часть третья

Задачник по начальной математике. Часть вторая

Текст

РИСУНКИ,
СХЕМЫ
И ЧЕРТЕЖИ
В НАЧАЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

Л. Ш. ЛЕВЕНБЕРГ
РИСУНКИ,
СХЕМЫ
И ЧЕРТЕЖИ
В НАЧАЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ
ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ
Под редакцией М. И. Моро
МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1978
Л
5!(07)
Л 35
60501—720
---—-.QI *70
103(03)—78
© Издательство «Просвещение», 1978 г.
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время не приходится доказывать эффективность
и действенность той1 перестройки начального обучения; которая
произошла в нашей стране.
Не ограничивая задачи начального обучения математике
выработкой вычислительных и измерительных навыков, совре-
менный начальный курс математики предполагает вооружение
учащихся знанием некоторых элементов теории, формирование
у них умения самостоятельно учиться, выполнять посильные
обобщения, овладевать не только конкретным, но и абстрактным
материалом. На это именно и нацеливает современная програм-
ма математики, в которой явно выражено повышение теорети-
ческого уровня обучения.
Усиление роли теории в начальном курсе математики потре-
бовало пересмотра не только содержания и методов обучения,
но и характера содержания* методики использования различ-
ных средств наглядности. Долгое время считалось, что нагляд-
ность особенно важна на первоначальных этапах усвоения, для
создания чувственной основы формирования обобщений, а по
мере развития абстрактного мышления необходимость в ней по-
степенно снимается. Применительно, например, к задачам это
означало требование полной предметной наглядности с демон-
страцией и самого действия задачи, на следующем этапе без
демонстрации действий, после чего полная предметная нагляд-
ность заменяется частичной, и, наконец, когда созданы пред-
посылки для формирования абстрактных понятий и операций,
наглядность совсем исчезает.
Как видим, наглядность рассматривалась в качестве вре-
менной опоры для развития абстрактного мышления.
Конечно, обобщения и абстракции должны покоиться на
прочной чувственной основе. Однако наглядность нужна и в
дальнейшем, но уже для другой цели — для развития более
3
сложных форм конкретного мышления, так как у младшего
школьника не только абстрактное, но и конкретное мышление
развито в ограниченной степени.
«Увеличение удельного веса теоретических знаний в курсе,
усиление роли самостоятельных обобщений школьников, — пи-
шут Н. А. Менчинская и М. И. Моро, — при их усвоении ни в
коей мере не означает, что ослаблено внимание к развитию
конкретного мышления. Напротив, приобретает большое значе-
ние развитие сложных форм конкретного мышления, а именно
мышления в пространственных образах. С этим связано широкое
использование новых, более сложных обобщенных форм нагляд-
ности. Наряду с предметной наглядностью в практике учителей
теперь широко используется наглядность схематическая (этому
способствуют и учебники). Младшие школьники приобретают
умения не только читать простейшие чертежи, но и самостоя-
тельно их строить»1. В соответствии с этим перед учителем воз-
никает важная задача — сформировать у школьников умения
оперировать пространственными образами, читать и строить
графические схемы, чертежи. Последнее приобретает особое
значение при политехнической направленности образования.
Роль схематической наглядности (и вообще средств нагляд-
ности) в начальном обучении, таким образом, определяется не
только задачей развития абстрактного мышления, но и задачей
формирования конкретного мышления (от его простых к более
сложным формам).
Следующие соображения позволят читателю осознать смысл,
назначение, особенности использования графических изображе-
ний при обучении младших школьников математике:
1. Использование графических изображений при формиро-
вании математических понятий способствует сознательному и
прочному усвоению. Благодаря им математические связи и за-
висимости приобретают для учеников наглядный смысл, а в
процессе их использования происходит углубление, закрепление
и развитие математического мышления учащихся.
2. Как известно, в практике обучения мы нередко сталкива-
емся с тем, что люди в процессе выполнения заданий (особенно
в процессе решения задач) стремятся избежать трудностей,
избежать активных мыслительных усилий. Одна из основных
причин здесь кроется в том, что они не подготовлены к абстракт-
ному мышлению.
Рисунки, схемы и чертежи не только помогают учащимся в
сознательном выявлении скрытых зависимостей между величи-
нами, но и побуждают активно мыслить, искать наиболее рацио-
* Менчинская Н. А., Моро М. И. Психолого-педагогические основы пере-
хода на 3-летнее начальное обучение.— В кн.: Научно-практические итоги
перехода начального образования на новое содержание обучения и воспита-
ния. Под ред. А. М. Пышкало. М., 1975, с. 41.
.4
нальные пути решения задач, помогают не только усваивать
знания, но и овладевать умением применять их. Как известно,
эти условия необходимы для того, чтобы обучение носило раз-
вивающий характер.
Графические изображения, используемые для постановки
познавательных задач, наглядно представляя соотношения
между данными и искомыми величинами, помогают ученикам
схватить смысл проблемной ситуации, а затем и найти возмож-
ный путь решения.
3. Обучение в начальных классах теснейшим образом свя-
зано с воспитанием. Соблюдение точности и аккуратности при
выполнении рисунков, схем и чертежей, помимо учебного, имеет
важнейшее воспитательное значение. Важно при этом, что уже
в начальных классах взаимосвязь обучающих и воспитывающих
функций учебной работы может быть показана самим ученикам.
Аккуратно выполненные графические изображения в значи-
тельной степени способствуют эстетическому воспитанию детей:
заставляют любоваться неожиданным, остроумным графиче-
ским решением задачи, стимулируют поиски рациональных пу-
тей решения, снижают утомляемость, повышают, воспитывают
внимание. И наоборот, грубый чертеж мешает увидеть скрытые
в условии задачи закономерности, на которых основано реше-
ние.
4. Использование графических изображений создает лучшие
условия для управления учебным процессом. Это объясняется
закономерностями как психологического, так и педагогического
плана.
В психологии выделяют внутренние и внешние (сенсорно-
двигательные) действия. На необходимость рассмотрения внеш-
них и внутренних действий во взаимосвязи указывалось в целом
ряде психологических исследований (А. П. Леонтьева, П. Я. Галь-
перина; Н. Ф. Талызиной; Т. И. Шамовой). Существуют две
группы внешних действий: а) внешние действия, непосредст-
венно связанные с материальными объектами; б) внешние дей-
ствия, непосредственно не связанные с материальными объекта-
ми (заполнение таблиц, вычерчивание схем, чертежей и т. д.).
Этот вид действия является итоговым результатом внутрен-
них действий. Иначе этот вид действия называют внешними
ответными действиями (термин Т. И. Шамовой). Поэтому они,
по словам Т. И. Шамовой, «будучи выражены вовне, позволяют
проконтролировать итог, а во многих случаях и ход познава-
тельной деятельности учащихся, организованно мобилизуют их
на совершение внутренних действий»1.
Это обстоятельство имеет особое значение для классно-уроч-
ной системы. Ведь наблюдать одновременно за умственной
1 Шамова Т. И. Организация познавательных действий учащихся в ус-
ловиях проблемного обучения (автореферат). М., 1966, с. 16.
S
работой 30—40 учеников, находящихся в классе, учителю труд-
но: графические изображения, исполняемые учениками, позво-
ляют ему судить, хорошо протекает эта работа или нет, кому
нужно прийти на помощь и т. д. В дальнейшем изложении
(в связи с раскрытием содержательной стороны методики) на
конкретном материале будет показано, что графические изобра-
жения вообще служат хорошим и удобным средством для орга-
низации коллективной и индивидуальной (дифференцирован-
ной) самостоятельной работы учащихся, быстродействующим
средством для проверки знаний учащихся. Не случайно поэтому
некоторые формы графической проверки знаний учащихся (на-
пример, графические диктанты) прочно вошли в практику рабо-
ты целого ряда школ.
5. Как известно, основными видами работ, которые выпол-
няются на уроках математики, являются:
а) устные вычисления;
б) письменные вычисления и решение задач;
в) графические упражнения.
Повседневный опыт и наблюдения показали, что при устных
вычислениях примерно через 8—10 минут работы кривая ошибок
резко поднимается вверх. Это особенно видно при наблюдении
за детьми с неустойчивым вниманием. Объясняется это тем, что
при устных вычислениях детям приходится держать в памяти
числа, производить над ними действия.
Наблюдения за письменными вычислениями детей, а также
анализ их контрольных работ показывает, что примерно через
12—15 минут работы наблюдается значительное повышение ко-
личества ошибок.
Графические упражнения требуют меньшей умственной на-
пряженности, чем устные и письменные вычисления, и потому
дети утомляются значительно меньше. С этой точки зрения
весьма валено правильное чередование видов учебной работы.
Графические упражнения, соединяя «работу головы'и рук»,
являются необходимым видом активной учебной деятельности
младших школьников и должны быть одним из составных ком-
понентов учебной работы, органически продолжающей устные
и письменные вычисления или решение задач.
6. Советская школа трудовая и политехническая. Поэтому
учащиеся, изучая основы наук, должны учиться видеть их связь
с жизнью, с практикой, должны учиться применять свои знания
для решения прикладных задач.
Выработка у школьников графических навыков в условиях
политехнического обучения приобретает особо важное значение
как при изучении математики, так и в трудовом обучении и
изучении ряда смежных с математикой предметов.
7. Уже из того, что было сказано, видно, какое значение
имеет использование графических изображений для успешного
изучения самого курса математики. Можно привести еще ряд
6
доводов в их пользу, в частности для пропедевтики введения
понятия функциональной зависимости, для развития функцио-
нального мышления учащихся.
Давая возможность найти приближенное решение многих
задач школьного курса математики, графические изображения
помогают нейтрализовать противоречие между высоким научно-
теоретическим уровнем обучения и его доступностью для всех
детей, между высоким уровнем математических абстракций и
неразвитостью абстрактно-понятийного мышления младших
школьников.
В дальнейшем будет показано, что решение различных ма-
тематических задач доступно уже в начальных классах при
помощи графического метода. Еще не владея соответствующими
знаниями (в области алгебры, геометрии, тригонометрии), уче-
ники I—III классов могут находить графическим способом и
решения некоторых задач, которые решаются в старших клас-
сах.
8. В тесной связи с предыдущим пунктом находится утверж-
дение о значении использования графических упражнений для
развития математического мышления младших школьников.
В дополнение к тому, что уже говорилось выше, укажем нй
возможность активизации усвоения учениками навыков само-
контроля. Действительно, правильно построенные графические
модели условий задач позволяют ученикам во многих случаях
сделать прикидку ожидаемого ответа, графическую проверку
правильности решения задачи, решаемой аналитическим спо-
собом.
Можно далее указать, что рисунки, схемы и чертежи создают
большие возможности для активизации учебной работы по на-
блюдению, сравнению, обобщению и применению логических
форм и мыслительных операций.
В методической литературе рекомендуется предлагать уча-
щимся особые развивающие упражнения в виде задач с несфор-
мулированным вопросом; с недостающими или лишними дан-
ными и пр. Правильно построенные графические модели помо-
гают организовать соответствующую работу, так как наглядно
иллюстрируют то, что известно и что нужно определить; на таких
моделях легче увидеть, каких именно данных недостает (или
какие данные являются лишними) для того, чтобы, используя
нужную зависимость, решить ту или иную задачу.
Многообразные возможности для использования графиче-
ских изображений не оставлены без внимания в методической
литературе по начальной математике.
В методике начальной математики уделяется большое внимание
использованию различных средств наглядности, в том числе
графических изображений (рисунков, схем и чертежей).
В школьной практике графические изображения получили
самое широкое распространение. Но чаще всего они строятся на
7
доске самим учителем или пол его руководством учеником.
Между тем программа начального курса математики ориенти-
рует на то, чтобы младшие школьники приобрели умения само-
стоятельно строить и читать простейшие схемы и чертежи с
целью облегчения поисков пути решения предложенной задачи.
Как добиться того, чтобы ученики овладели соответствую-
щими умениями? Нужно ли с этой целью выполнять графиче-
скую иллюстрацию каждой из решаемых задач? Нельзя, отвечая
на эти вопросы, впадать в крайности. Необходимо соблюдение
разумной меры в использовании графических изображений.
Цель данной книги —на основе анализа передового опыта
помочь учителю повысить эффективность использования графи-
ческих изображений при обучении младших школьников на-
чальной математике. В ней раскрывается методика использо-
вания рисунков и чертежей при формировании понятия числа,
действий над числами, при решении задач как арифметическим,
так и алгебраическим способом; в классной и внеклассной
работе с детьми и направлена она на повышение познава-
тельного уровня учебной работы и усиление ее развивающего
действия. Предлагаемая методика была разработана автором и
в течение ряда лет проверялась в практике работы многих учите-
лей УзССР. Всем им автор выражает глубокую признательность.
Автор приносит искреннюю благодарность А. М. Пышкало,
Р. А. Хабибу, Г. В. Бельтюковой, В. С. Кравченко, Н. А. Дери-
бас, А. А. Кирюшкиной, оказавшим своими ценными советами
большую помощь в работе над усовершенствованием книги и
заранее благодарит всех, кто пожелает дать свои замечания
по содержанию этой работы.
Глава
ОБЩИЕ ВОПРОСЫ
ИСПОЛЬЗОВАНИЯ
ГРАФИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ
ПРИ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ
МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ
В методической литературе по математике различают: 1) пред-
метную наглядность: предметы окружающей обстановки (каран-
даши, тетради, счетные палочки, желуди и т. п.); модели пред-
метов; картинки с изображением предметов: фруктов, овощей,
животных и т. п.; 2) графическую (условную) наглядность: схе-
матические рисунки, чертежи и т. п.
Предметная наглядность играет большую роль в обогащении
чувственного опыта ребенка, при формировании соответствую-
щих конкретных представлений.
Однако излишне долгое использование предметной нагляд-
ности приводит к искусственной задержке развития у детей аб-
страктного мышления. Поэтому, как это не раз отмечалось в ме-
тодической литературе, важно обеспечить постепенный, но свое-
временный переход от использования одних видов наглядности
к другим — от более конкретных к менее конкретным.
Проиллюстрируем на примере одной и той же задачи процесс
построения рисунка, условного рисунка, чертежа и схематичес-
кого чертежа.
Задача. Катя пришила 3 пуговицы, а мама на 2 пуговицы
больше. Сколько пуговиц пришила мама?
Решая задачу, ученики рисуют сначала на одной строке 3
пуговицы, которые пришила Катя. Обращаясь далее к тексту за-
дачи, выясняют, что мама пришила на 2 пуговицы больше, т. е.
столько же пуговиц (на другой строке рисуют 3 пуговицы) да
еще 2 (рисуют на второй строке еще 2 пу-
говицы) (рис. 1).
При изображении этой задачи с по- WBwgltW
мощью условного рисунка можно вместо
пуговиц рисовать, например, кружки (рис.
2), делая тем самым первый шаг к исполь-
зованию более отвлеченной наглядности.
Рис. 1,
9
Рис. 2. Рис. 3. Рис. 4,
Для изображения условия рассматриваемой задачи с помо-
щью чертежа примем длину одной клетки тетради за одну пуго-
вицу. Тогда 3 пуговицы, которые пришила Катя, изобразятся от-
резком длиной 3 клетки. Числу же пуговиц, которые пришила ма-
ма, будут соответствовать отрезки длиной 3 клетки и еще 2 клет-
ки (рис. 3).
Для построения схематического чертежа изобразим с по-
мощью любого отрезка число пуговиц, которые пришила Катя.
Тогда число пуговиц, которые пришила мама, изобразится отрез-
ком, большим первого на некоторую часть, условно обозначаю-
щую 2 пуговицы (рис. 4).
Из приведенных примеров видно, что при графическом изоб-
ражении задачи предметный рисунок, условный рисунок и чертеж
представляют собой три последовательные ступени постепенного
перехода от конкретного к абстрактному. Отличает их именно это.
Вместе с тем все три вида изображений объединяет одна важ-
ная особенность — и предметный рисунок, и условный рисунок, и
чертеж дают возможность найти ответ на вопрос задачи, не вы-
полняя арифметических действий над числами, а используя лишь
операцию счета. Это объясняется тем, что во всех этих случаях
графически изображаются не только те отношения между дан-
ными и искомым, которые описаны в задаче, но и сами числовые
данные и искомое.
При построении же схематического чертежа графически из-
ображаются только отношения между данными и искомым, а
численное их значение изображается условно и записывается с
помощью цифр. Найти искомое в этом случае становится воз-
можным, лишь выполнив те или иные арифметические действия
над указанными на чертеже числами. Так же поступают и при
изображении условия задачи с помощью схематического рисун-
ка, на котором числовые значения данных в задаче величин обо-
значаются с помощью цифр, а искомое обозначается условно во-
просительным знаком.
Особенности рассмотренных видов графических изображений
диктуют и последовательность ознакомления с ними учащихся,
обеспечивающую постепенный переход от легкого к трудному,
от конкретного к абстрактному.
В I классе при графическом изображении задач используются
id
главным образом рисунки — сначала предметные, затем услов-
ные и схематические. Чертежи здесь встречаются лишь в тех
случаях, когда в задаче речь идет об увеличении, уменьшении
или разностном сравнении двух отрезков. В этих случаях чертеж
выполняется в соответствии с условием задачи и по сущеЛву
не отличается от рисунка.
С условным графическим изображением задачи в виде черте-
жа или схематического чертежа дети знакомятся во II классе.
Однако при рассмотрении задач новых видов часто оказывается
более полезным использовать рисунки. Таким образом, во II—III
классах находят себе применение все рассмотренные выше виды
графических изображений.
Опыт показывает, что построение графической модели задачи
в I классе лучше проводить в основном под руководством учи-
теля, а начиная со II класса — с большей долей самостоятельнос-
ти учащихся.
В соответствующей работе можно выделить несколько стадий:
1. Графическая модель задачи строится по наводящим воп-
росам учителя и выполняется одновременно на доске и в тетра-
дях,
2. Под руководством учителя предварительно( в ходе анализа
задачи) выясняется, с помощью каких геометрических фигур и
как должна строиться графическая модель задачи. Рисунок (чер-
теж) на доске не выполняется. Дети проводят эту работу само-
стоятельно (в классе или дома).
3. На третьей стадии учитель указывает лишь, с помощью ка-
ких геометрических фигур целесообразно изобразить данные и ис-
комое задачи, а дети сами выполняют соответствующий рисунок
или чертеж.
4. Наконец, на четвертой стадии ученики вполне самостоя-
тельно строят графическую модель задачи.
Постепенное нарастание трудностей, преодоление их по час-
тям делает работу на каждом из этих этапов посильной для уча-
щихся.
Наблюдения показали, что в последнее время в связи с пере-
ходом школ на работу по новым программам на уроках матема«
тики в начальных классах шире стала использоваться схемати-
ческая наглядность, однако чаще всего, какая бы ни была зада-
ча— легкая или трудная, графическое изображение ее выпол-
няется иа доске учителем или под его руководством учеником.
Здесь видно влияние старых традиций. На практике это приво-
дит к тому, что многие ученики так и не овладевают умением са-
мостоятельно построить чертеж или рисунок, помогающий ре-
шить задачу. Это подтверждается данными проверочных работ,
проводившихся нами в разные периоды времени и в разных шко-
лах. Многие ученики II—111 классов не могли самостоятельно по-
строить чертеж к несложной задаче, аналогичной тем, которые
решались в классе под руководством учителя.
Наблюдения показали также, что некоторые учителя схема-
тическую наглядность используют лишь при рассмотрении до-
вольно сложных задач. В таких условиях, не овладев соответст-
вующими умениями на примере простых и несложных состав-
ных задач, дети, естественно, оказываются не в состоянии само-
стоятельно справиться с этой работой и учителю приходится
самому выполнять чертеж или схематический рисунок.
Язык математики — это язык символов, условных знаков,
схем, чертежей, диаграмм и графиков. И как всякий язык, по
справедливому замечанию А. А. Столяра, он «должен специаль-
но изучаться, чтобы стать понятным. Только в этом случае
символическая наглядность будет эффективным средством обу-
чения»1.
Опыт работы, который будет описан ниже, показал, что, для
того чтобы учащиеся овладели «символическим языком нагляд-
ности» и научились самостоятельно пользоваться им, нужна дли-
тельная и кропотливая работа. Начиная с первых дней обучения
детей в школе в системе текущих упражнений, при решении по-
степенно усложняющихся задач должна предусматриваться ра-
бота, в процессе выполнения которой у детей будет постепенно
накапливаться словарь для перевода обычного текста и анали-
тических выражений на язык графических изображений и об-
ратно.
Только в этом случае графические изображения смогут стать
эффективным средством обучения решению задач.
Из сказанного выше, однако, вовсе не следует, что при ре-
шении каждой задачи обязательно нужно выполнять графичес-
кую иллюстрацию. Графическая иллюстрация является вспомога-
тельным средством, и ее использование ни в коем случае не долж-
но вести к ослаблению требований к умению решать задачи с
помощью логических рассуждений, проводимых и без опоры на не*
посредственное зрительное восприятие рисунка, схемы, чертежа.
Остановимся теперь коротко на вопросе о выборе наиболее
подходящей для каждого конкретного случая формы графичес-
кой иллюстрации задачи. Отметим, что нельзя дать каких-либо
общих предписаний, пригодных для построения графической
модели любой из предложенных задач. Нередко к одной и той же
задаче графические иллюстрации могут быть даны самым раз-
личным способом. Поэтому, задача учителя состоит в том, что-
бы постоянно руководить этой работой, тщательно продумывать
наиболее рациональные формы построения графической модели,
стремясь таким образом выработать у учащихся известное
чутье, подсказывающее им выбор наиболее удачной иллюстра-
ции.
И все же можно попытаться сформулировать хотя бы неко-
1 Столяр А. А. Педагогика математики. Минск, «Высшая школа», 1969,
с. 73.
12
торые общие рекомендации относительно построения графичес-
ких моделей задач. Графическая модель должна помочь в уста-
новлении связей и зависимостей между величинами, входящими
в задачу. Поэтому, приступая к построению графической модели,
нужно геометрические образы, изображающие данные и иско-
мое, располагать так, чтобы достаточно ясно выступали зависи-
мости между рассматриваемыми в задаче величинами.
Проиллюстрируем сказанное примерами.
Схематические рисунки и чертежи с наибольшей эффектив-
ностью могут быть использованы при иллюстрации задач, в ко-
торых даны отношения значений величин (больше, меньше,
столько же). В этом случае, чтобы графическая модель наглядно
иллюстрировала отношения значений величин, геометрические
образы, например отрезки, изображающие данные и искомые
числа, как правило, нужно располагать один под другим.
Другой пример. В методике издавна установлена большая
практическая эффективность схематического изображения в «от-
резках» соответствующих жизненных ситуаций, описанных в за-
дачах на движение. Принято, в частности, изображать отрезком
расстояние, пройденное движущимся телом, точкой на отрезке
и соответствующей буквой, черточкой или флажком место
(пункт) отправления, встречи, прибытия и т. п. Направление же
движения, один из существенных элементов условия задачи на
движение, принято изображать стрелкой. При схематическом
изображении таких задач в «отрезках» полезно соблюдать при-
мерное соотношение их длин в зависимости от пройденных (в ча-
стности, до встречи) расстояний и скоростей, т. е. большее рас-
стояние изображать большим отрезком и т. п.
Рассмотрим теперь один из возможных приемов работы с ис-
пользованием графических изображений.
Многие из представленных в книге графических изображе-
ний использовались в описываемом нами опыте в работе с кар-
точками. Такие карточки (получившие название карточек с пе-
чатной основой) полезны для организации коллективной и инди-
видуальной (дифференцированной) самостоятельной работы уча-
щихся. Особенно важно использовать их при формировании у
первоклассников навыков самостоятельной работы, а также в
индивидуальной работе с теми учениками, которым для осознан-
ного и прочного усвоения тех или иных понятий требуется допол-
нительная конкретизация. Таким ученикам можно, например,
предлагать карточки, в которых наряду с текстом задачи пред-
ставлена и соответствующая графическая иллюстрация, помогаю-
щая решить задачу.
Для того чтобы карточки можно было многократно использо-
вать, в них для записи ответа вырезается окошко (на приводи-
мых ниже рисунках оно ограничено черными линиями). Решение
задачи ученики записывают на листе клетчатой бумаги, на ко-
торый и накладывается соответствующая карточка.
13
Поясним это на примере карточки, представленной на рисун-
ке 5. Приложив карточку к листу тетради в нужном месте, уче-
ник в части листа, ограниченном рамкой, выполняет задание (на
рисунке показана клетчатая разлиновка тетради). На рисунке G
приведена карточка, на которой дано другое упражнение, логи-
чески дополняющее первое.
Работая с первой карточкой, дети по данной графической мо-
дели составляют аналитическое выражение, а работая со второй
карточкой — наоборот. При этом дети учатся переходить от
конкретного к абстрактному и от абстрактного к конкретному.
Как показал опыт работы, использование таких карточек и
индивидуальная работа с ними в значительной степени способст-
вуют развитию как конкретного, так и абстрактного мышления
учащихся.
В дальнейшем мы рассмотрим еще несколько образцов подоб-
ных карточек.
Для организации общеклассной работы с использованием гра-
фических изображений необходимо, чтобы часть доски была раз-
графлена в клетку. Если на классной доске разлиновки нет, то
нужна клетчатая переносная доска меньшего формата.
14
Глава ИСПОЛЬЗОВАНИЕ
II
ГРАФИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИИ
ПРИ ФОРМИРОВАНИИ
ПОНЯТИЯ ЧИСЛА
И ПРИ ОЗНАКОМЛЕНИИ
С ДЕЙСТВИЯМИ НАД ЧИСЛАМИ
Наглядное иллюстрирование изучаемого материала начинается
с первых же дней обучения математике. Использование нагляд-
ности при этом связывается с осуществлением тех задач, кото-
рые ставятся в подготовительный период программой обучения
математике в I классе:
а) с отработкой умения вести счет;
б) с уяснением детьми отношений «больше», «меньше»,
«столько же»;
в) со сравнением двух множеств предметов и выяснением
того, на сколько в одной из сравниваемых групп больше предме-
тов, чем в другой; с уравниванием двух неравных совокупнос-
тей;
г) с уточнением пространственных представлений и др.
Наглядный материал при этом подбирается так, чтобы об-
легчить переход от более конкретных его форм к более абстракт-
ным. В первые дни занятий внимание детей концентрируется
прежде всего на предметах, из окружающей обста-
новки (окна, парты и т. д.). В это же время для организации
коллективной и индивидуальной работы используются и более
мелкие предметы (карандаши, тетради и т. п.), а также дидак-
тический материал (счетные палочки, счеты, кружки, кубики
и т. п.). Дети считают их, устанавливают взаимно-однозначное
соответствие между элементами двух множеств и др.
Первый шаг в направлении к абстрагированию — замена ре-
альных предметов их плоскостными изображениями;
предметными картинками, выставленными на наборном полотне;
предметами, изображенными на картинках в учебнике; сюжетны-
ми картинками с прорезями, в которые вставляются отдельные
вырезанные из картона изображения.
1J
Следующий шаг к абстра-
гированию — изображение
предметов с помощью
простейших рисунков.
Дети упражняются в самостоя-
тельном рисовании заданного
числа предметов (три флажка,
два яблока, один огурец и
т. п.).
Для организации самостоя-
тельной работы учащихся уп-
ражнения по изображению
предметов с помощью рисунков целесообразно предлагать на
отдельных карточках. В частности, можно использовать те кар-
точки-задания, которые изданы в последние годы массовым
тиражом1.
Для того чтобы подобные карточки можно было многократ-
но использовать, им целесообразно придать вид перфокарт.
На рисунке 7 представлена одна из таких карточек.
При проведении подобных упражнений необходимо подробно
объяснить детям, как выполнять рисунки, показать на доске
приемы выполнения простейших рисунков.
Наряду с выполнением в тетрадях несложных рисунков уже
в этот период следует познакомить детей с изображением чисел
в виде фигур, составленных из равных квадратов и кубов. Рас-
полагая равные квадраты на парте, можно составить разные фи-
гуры. Из них особое внимание надо обратить на прямоугольники,
составленные из квадратов (клеток), расположенных в один ряд
(полоску).
Составленные таким образом полоски могут быть использо-
ваны не только при изучении геометрического материала, но и
служат в дальнейшем для иллюстрации чисел и действий над
ними; для иллюстрации ряда задач; проведения различных ло-
гических упражнений.
На уроках подготовительного периода можно предложить
детям упражнения такого рода:
1. Обведите две клетки так, как показано на рисунке 8. Объ-
ясните, какие клетки вы обвели. (Обвели две клетки, которые
находятся в одной строке. Эти две клетки не имеют обшей сто-
роны.)
2. Обведите две клетки так, чтобы они не имели общей сто-
роны и были расположены в одном столбце.
3. Обведите в тетради две клетки так, как показано на рисун-
ке 9. Объясните, какие клетки вы обвели. (Обвели две клетки,
1 См.: Моро М. И. Карточки с арифметическими задачами для I клас-
са. М., «Просвещение», 1976, с. 9—13; Павлов И. Д. Дидактический мате-
риал по арифметике для I класса. М., «Просвещение», 1971, с. 15—19.
16
□
□
□ 1111 ш
□ □ ш □
□
Рис. 8. Рис. 9. Рис. 10.
которые имеют общую сторону.) Покажите общую сторону об-
веденных клеток. Как расположены клетки: строкой или стол-
биком?
4. Подсчитайте по рисунку 10:
а) Сколько обведено клеток, имеющих общие стороны?
б) Сколько обведено клеток, не имеющих общих сторон?
в) Как расположены клетки, не имеющие общих сторон? (В
одном столбце.)
г) Как расположены клетки, имеющие общие стороны?
(В одной строке.)
д) Сосчитайте клетки, расположенные в одном столбце
сначала сверху вниз, а затем снизу вверх.
е) Сосчитайте клетки, расположенные в одной строке снача-
ла слева направо, затем справа налево. (Могут ли здесь полу-
читься разные ответы?)
При выполнении упражнений, подобных упражнениям 1—4,
дети учатся работать в тетради, приобретая умения выделять на
странице тетради отдельные клетки, вертикальные и горизон-
тальные ряды клеток, учатся распределять свое внимание: одно-
временно следить за тем, чтобы не потерять строку, и за тем,
чтобы было обведено, например, заданное число клеток.
5. Нарисуйте в одной строке столько клеток, имеющих общие
стороны, сколько окон в классе, ножек у стола и т. п.
Контрольные задания: подсчитайте, сколько окон в классе.
Проверьте, столько ли вы обвели клеток. Подсчитайте, сколько
ножек у стола. Проверьте, столько ли вы обвели клеток.
При выполнении упражнений, подобных 5, кроме полезной
практики установления взаимно-однозначного соответствия, осу-
ществляется важная работа по замене одних предметов другими,
причем те и другие имеют некоторые общие свойства (например,
вместо 3 окон рассматриваем 3 клетки). Это фактически уже
графическое моделирование.
Интересно, что такое раннее введение предметных и графи-
ческих моделей не вызывает затруднений у детей. И это не столь
уж удивительно: ведь в дошкольном возрасте в играх и других
своих самостоятельных занятиях дети сами охотно фантазируют,
заменяя одни предметы другими. Стул или палка служат у них
2 Заказ 9019
17
лошадью, сами они обращаются во взрослых, поочередно «моде-
лируя» самые различные сферы трудовой деятельности.
Пожалуй, никто, как дети, не умеют так решительно, без
оглядки абстрагироваться от ненужных им свойств предмета-
модели, заменяющего нужный объект (деньги заменяются бу-
магой или листьями деревьев, товары представлены камешками,
изделиями из земли и т. д.).
Кроме того, сам учебный материал (натуральные числа) так-
же вводится при помощи сравнения различных реальных мно-,
жеств одинаковой численности предметов и установления их об-
щего свойства.
Все это и создает благоприятные условия для усвоения пер-
воклассниками на первых же уроках математики идеи матема-
тического моделирования: замены объектов их моделями, в неко-
торых отношениях представляющими эти объекты.
6. По рисунку 11 определите:
а) Сколько клеток в верхней строке?
б) Сколько клеток в нижней строке?
в) Где больше обведено клеток: ------*
вверху или внизу?
г) На сколько больше обведено Рис. 11.
клеток в верхней строке, чем в нижней?
д) На сколько меньше обведено клеток в нижней строке, чем
в верхней?
При выполнении данного упражнения дети осознают соотно-
шение: если в одном ряду обведено клеток на одну больше, чем
в другом, то, значит, в другом ряду обведено клеток на одну мень-
ше, чем в первом ряду.
Полезно выполнять и обратные задания по отношению к пре-
дыдущему— равные группы делать неравными (в учебнике да-/
ются с этой целью задания вида: что надо сделать, чтобы в верх-
нем ряду стало больше квадратиков, чем в нижнем? И т. п.).
7. Обведите в тетради в одной строке пять клеток, имеющих
общие стороны, пятую клетку раскрасьте. Сколько осталось не-
раскрашенных клеток?
8. Обведите в тетради шесть клеток и раскрасьте их в оди-
наковые цвета: а) каждую пару; б) каждую тройку.
Примечание. Упражнения 7—8 служат подготовкой к рас-
смотрению сложения и вычитания в пределах 10.
На данном этапе обучения имеется возможность увеличить
число указанных выше упражнений за счет использования меж-
предметных связей. Так, на уроках письма можно предложить,
например, нарисовать в тетради столько же палочек, сколько их
нарисовано на доске (или сколько клеток в данной полоске)
и т. п.
Первой темой в программе по математике для I класса явля-
ется нумерация чисел первого десятка. При работе над этой те-
мой задача учителя состоит в том, чтобы отработать у детей на-
18
выки счета, сформировать у них представления о первых десяти
числах, выработать умение устанавливать соответствие меж-
ду числом, его названием и обозначением печатной и письменной
цифрами, ознакомить учеников с некоторыми свойствами нату-
рального ряда чисел. Наглядность, используемая при работе над
этой темой, должна, во-первых, отвечать тем специфическим за-
дачам, которые решаются на каждом этапе работы над нумера-
цией, и, во-вторых, ее использование должно отвечать принципу
перехода от конкретного к абстрактному.
При ознакомлении с первыми числами натурального ряда
дети должны сначала иметь дело с предметами окружающей
обстановки и их изображениями.
Затем от использования предметной наглядности (натураль-
ной и образной) постепенно должен быть осуществлен переход к
использованию более отвлеченных ее форм, несущих некоторую
условность. С этой целью любые предметы, о которых идет речь,
изображаются с помощью геометрических фигур: кружков, квад-
ратов и др.
Приведем упражнения, которые могут предлагаться детям
при изучении нумерации чисел первого десятка и выполнение
которых связано с использованием геометрических образов.
1. Выполните упражнения по образцам (рис. 12).
2. Обведите в тетради 5 клеток, а потом еще 1. Шестую клет-
ку закрасьте. Составьте пример, показывающий, как можно по-
лучить число 6.
3, Обведите столбики квад-
ратов так, чтобы сначала был
1 квадрат, потом 2, 3,..., 10
(рис. 13). Под каждым стол-
биком напишите соответствую-
щее число.
При выполнении задания
дети должны сосчитать клет-
ки, вспомнить изученные ра-
нее числа и записать их с по-
мощью цифр. Рис. 13.
19
2*
ЕШ1 3+1 = 4
I I WA 2 + 2 = 4
I 1+3=4
Рис. 14.
Полученная в результате выполнения
этого задания числовая лесенка не только
наглядно показывает последовательность
чисел, способ их образования, но и дает
возможность рассмотреть с опорой на на-
глядность все те вопросы, которые связаны
с изучением нумерации. Сошлемся на при-
меры вопросов, приводимых М. И. Моро и А. М. Пышкало, ко-
торые могут быть поставлены перед детьми при ознакомлении
с числами 8, 9 и ответить на которые им поможет числовая
лесенка: «Посмотрите на столбик, изображающий число 5. Сра-
вните это число с предыдущим. На сколько 5 больше, чем пре-
дыдущее число (4)? Посмотрите на следующий столбик. Какое
число он иллюстрирует, на сколько 6 больше, чем 5? Как можно
получить число, следующее за числом 6? за числом 7? Какое это
будет число? На сколько 8 больше, чем 7? На сколько 7 меньше,
чем 8? Какое число идет при счете за числом 8? Как его можно
получить? На сколько 9 больше, чем 8? Между какими числами
находится в ряду число 8? и т. п.»1.
4. Раскрашивая полоски, изобразите получение чисел 3, 4, 5
(см. образец для случая получения числа 4 на рис. 14).
Л'Тожет возникнуть вопрос: где взять время на вычерчивание
и раскрашивание полосок? Хотелось бы ответить словами извест-
ного русского методиста С. И. Шохор-Троцкого: «Учитель, у ко-
торого хватило мужества и умения оставить путь отвлеченных,
требующих большого и часто непосильного для усилия вообра-
жения рассуждений и вступить на простой путь геометрического
истолкования некоторых арифметических представлений, никогда
об этом не пожалеет и никогда этого последнего пути не оста-
вит»1 2.
Упражнения, подобные представленным выше, могут исполь-
зоваться для самостоятельной работы как в классе, так и дома.
Наряду с прямоугольными полосками при изучении чисел вто-
рого пятка можно уже начинать работу, связанную с черчением
отрезков заданной длины и измерением данных отрезков (см. об-
разец карточек на рис. 15).
Рис. 15.
1 Моро М. И., Пышкало А. М. Методика обучения математике в I—111-
классах. М., «Просвещение», 1975, с. 117.
2 Шохор-Троцкий С. И. Методика арифметики. Ч. I. Спб., 1903, с. 287.
20
При изучении второй темы (в разделе «Десяток») «Сложение
и вычитание» для ознакомления детей с соответствующими вычис-
лительными приемами также используется «предметный дидак-
тический материал» (палочки, кружки и др.) - Однако здесь пред-
метную наглядность рекомендуется использовать несколько ина-
че, с тем чтобы иллюстрация не давала возможности найти от-
вет с помощью счета.
В методическом пособии к учебнику математики для I класса
хорошо, описано применение такой неполной предметной нагляд-
ности при объяснении приема вычисления для случая a-j-2. При-
ведем соответствующие выдержки из этого пособия. 1
«Вызванный к доске мальчик показывает 4 гриба (картинки),
найденные на первой поляне, и кладет их в корзину (нарисован-
ную на обычном почтовом конверте), а затем показывает еще 2
гриба, найденные на второй поляне. Учитель ставит вопрос: «По-
думайте, как можно прибавить эти 2 гриба (показывает) к тем
4, которые уже лежат в корзинке?» Затем демонстрирует,-что
можно сначала к 4 прибавить 1. Тогда в корзине станет (4+
+ 1=5) 5 грибов, а потом прибавить еще 1. Сколько теперь гри-
бов в корзине? (5+1 = 6.) Делается вывод: чтобы прибавить 2,
можно прибавить сначала 1, а потом к полученному числу приба-
вить еще I»1.
В это же время должна продолжаться работа по использова-
нию более отвлеченных форм наглядности, в частности прямо-
угольных полосок и отрезков. При этом в данный период особен-
но полезно соединение графической наглядности с цифровой за-
писью.
Приведем образцы упражнений по указанной теме.
1. Выполнить действия (по образцам), используя рисунок
16 и рассматривая вначале верхнюю строчку, затем следующую
и т. д. — до самой нижней. Сколько всего записей (вместе с об-
разцом) у вас получится слева? справа?
Всей предшествующей работой дети подготовлены к выпол-
нению данного упражнения. Набор полосок фактически заменя-
2-1=1
1 Моро М. И., Бантова М. А„ Бельтюкова Г. В. Математика в I классе.
Пособие для учителей. М., «Просвещение», 1973, с. 92.
21
ет здесь инструкцию для выполнения самостоятельной вычисли-
тельной работы, а также счетный материал. Выполнение таких
упражнений помогает подвести учащихся к обобщению: если при-
бавить к какому-либо числу 1, то получится число, следующее
при счете за данным числом, если вычесть из какого-либо чис-
ла .1, то получится число, которое встречается при счете непо-
средственно перед данным.
2. Выполнить действия (по образцам), используя рисунок 17.
При выполнении данного упражнения и ряда подобных про-
водится работа по обобщению знаний учащихся и составлению
упорядоченных столбиков примеров (случай a-f-2).
3. Выполнить задание по образцу, используя рисунок 18.
Упражнения, аналогичные приведенным, можно предлагать
ученикам и при рассмотрении последующих случаев сложения и
вычитания (вида а±3, а±4 и т. д.). Такая работа должна про-
водиться и с отрезками.
При подготовке учеников к графическому изображению за-
дач «в отрезках» необходимо сформировать у них в соответствии
с программными требова-
ниями четкие представления
об отрезках, об их сравне-
нии, о длине отрезков, об
увеличении и уменьшении
длин отрезков. Мы не ста-
нем приводить здесь соот-
ветствующих упражнений,
так как они достаточно пол-
но представлены в учебнике
математики для I клас-
са. Кроме того, ряд из них
будет рассмотрен в даль-
нейшем в связи с описанием
подготовительной работы по
обучению детей изображе-
нию условия задачи в «от-
резках».
Для того чтобы добиться
Рис. 18.
22
лучшего понимания детьми имеющегося соответствия между чи-
слом и геометрическим образом, мы использовали (и весьма
эффективно) так называемые графические диктанты. Методика
проведения графических диктантов такова: учитель диктует или
записывает вопросы (примеры, задачи), а ученики у себя в тет-
радях изображают ответы графически.
Приведем ряд упражнений на формирование понятия числа
и действий над числами, которые могут выполняться учениками
первых классов в форме графического диктанта:
1. Нарисуйте три флажка (пять треугольников).
2. Нарисуйте столько кружков, сколько указано на этой кар-
точке (учитель показывает карточку с цифрой 2, 3, 4 и др.).
3. Нарисуйте на одной строке четыре кружка, а под ними на
другой строке столько же квадратиков.
4. Нарисуйте пять треугольников. Из них несколько закрась-
те красным карандашом. Запишите, сколько треугольников за-
крашенных и сколько незакрашенных.
5. Обведите в тетради шесть клеток. Обведите еще одну клет-
ку. Эту седьмую клетку закрасьте. Запишите пример, показываю-
щий, как можно получить число 7.
6. Нарисуйте, как можно разложить четыре кружка на две
группы (различными способами). Сколько всего таких рисунков?
7. Изобразите графически число, предшествующее числу 4.
8. Изобразите графически соседей числа 6 (числа 8 и Др.).
9. Изобразите графически сравниваемые числа: 5>4; 3=3.
10. Сделайте рисунок по каждому примеру:
3+1 Л+3 5—1 7+2
Примечание. При выполнении упражнений 7—10 жела-
тельно, чтобы дети по своей инициативе выполняли различные
рисунки. Так, при выполнении упражнения 7 один ученик нари-
сует, например, три яблока, другой — три пуговицы и т. п. При
выполнении упражнения 10 один ученик нарисует три кружка и
один кружок и запишет под ними решение: 3+1=4. Другой уче-
ник этот же пример проиллюстрирует прямоугольными полоска-
ми, третий — отрезками и т. п.
Вопрос об использовании наглядности при изучении нумера-
ции, сложения и вычитания в пределах 100 достаточно полно
освещен в методической литературе и не вызывает значительных
трудностей. Большего внимания заслуживает этот вопрос по от-
ношению к действиям умножения и деления.
Следуя принципу постепенного и последовательного перехода
от конкретного к абстрактному, на первых порах знакомства с
действиями умножения и деления надо, очевидно, использовать
предметную наглядность, затем соответствующие картинки учеб-
ника математики для II класса и лишь после этого переходить к
использованию наглядности в виде геометрических образов.
23
в
ШИШ EES
3+3+3= 3-3 = 9
3+3 + 3=3-3=9
Рис. 19.
Рис. 20.
Изучаемое во II классе умножение рассматривается как на-
хождение суммы одинаковых слагаемых. Ученикам нужно пока-
зать, что иллюстрируя сложение равных чисел, полоски (тре-
угольники, кружочки и др.), изображающие графически слагае-
мые, удобнее располагать не в один ряд, а одну под другой.
Например, наряду с такой формой изображения, как на
рисунке 19, показывается и такая, как на рисунке 20. Выясняет-
ся, что первый множитель указывает на число клеток в каждой
строке, а второй множитель — на число таких строк.
Приведем еще ряд упражнений, которые полезно предлагать
ученикам II класса при изучении умножения и деления. Отметим,
что эти упражнения служат и целям подготовки к графическому
изображению текстовых задач, при решении которых находит
применение умножение или деление.
1. Составьте по рисунку 21 примеры на умножение.
2. Нарисуйте соответствующее число кружков (треугольни-
ков, флажков и т. п.) по данным примерам:
3-2; 5-4 и т. п.
3. Подсчитайте, сколько всего клеток в каждом из прямо-
угольников. Решение запишите сначала сложением, а затем умно-
жением по образцу (рис. 22).
4. Используя образец (рис. 23), изобразите примеры с по-
мощью прямоугольников, разбитых на квадраты. Вычислите ре-
зультаты, заменяя сложение умножением.
5. Составьте по рисунку 24 примеры на сложение и умноже-
ние. Выясните, чем похожи и чем отличаются эти примеры.
6. Нарисуйте соответствующее число квадратов (треуголь-
ников, кружков и т. п.) по данным примерам:
5-(-3 и 5-3; 6-2 и 6+2 и т. п.
Рис. 21.
Найдите результаты и сра-
вните примеры.
7. Составьте по рисунку 25
примеры на умножение и де-
ление.
8. По каждому из рисунков
составьте один пример на ум-,
ножение и два примера на де-
ление (рис. 26).
24
Образец
4+4+4= 12
2+2*2*2*Z 6*6
3+3 + 3 4+4*4*4
4-J=72
Рис. 23.
Образец
I III ХШ 4+2=6
4-2 = 8
Рис. 24.
ООО 000 000
□ □□□
Рис. 25.
ООО
]□□□

Образец

Ш±И
5-3 = 15
15:5=3
15-3 = 5

Рис. 26.
н+н+н
25
9. Выполните рисунки по каждому примеру:
15:3; 16 : 2 и т. п.
Выполняя подобные задания, учащиеся овладевают умением
соотносить теоретические знания и практические действия, что
создает основу для уверенного применения приобретенных зна-
ний и умений в разнообразных условиях.
Примечание. Упражнения 8 и 9 направлены на подго-
товку учеников к нахождению результата деления на основе
знания соответствующих случаев умножения, на подготовку
к выводу правила о нахождении неизвестного множителя.
Мы рассмотрели некоторые вопросы, связанные с использова-
нием графических изображений при формировании понятия чис-
ла и действий над числами. Причем более детально остановились
на их использовании при изучении чисел первого десятка и пер-
воначальном ознакомлении с каждым из четырех арифметичес-
ких действий. Графические изображения с успехом могут быть
применены и в дальнейшем, при изучении свойств арифметичес-
ких действий; приемов вычислений, основанных на этих свой-
ствах; при раскрытии взаимосвязей и зависимости между ком-
понентами и результатами арифметических действий. Приведем
некоторые примеры:
1. Взаимосвязь между компонентами и результатом дейст-
вия сложения раскрывается на основе практических действий со
счетным материалом и с помощью графических изображений.
Сначала используются иллюстрации такого вида, как представ-
ленная на рисунке 27. Рассматривая рисунок, ученики устанав-
ливают соответствующую взаимосвязь: 4-ф2=6; 6—2 = 4; 6—4 =
=2.
Далее предлагается, например, упражнение вида: нарисо-
вать полоски, используя данные таблицы:
Слагаемое 5 - 4 & 3
Слагаемое 3 2 4 4 2 6
Сумма 9 7
О 5р а з ец
С! I I I »
5+3=8
□ LLLI I Ш
9-2 = 7
Рис. 28.
26
Раскрасить полоски по образцу, записать решения примеров
(рис. 28).
Приведенный образец показывает, как нужно арифметичес-
' кие выражения переводить на символический язык наглядности.
Так, по образцу видно, что первое слагаемое (5) иллюстрируют
нераскрашенные клетки, второе (3)—раскрашенные, а сумму
(8) — все обведенные клетки.
Рассматривая числовые данные второго столбика таблицы и
сопоставляя их с образцом, дети рассуждают примерно так: сум-
ма равна 9, поэтому обведено 9 клеток; второе слагаемое равно
2, поэтому раскрашено 2 клетки. Неизвестному первому слага-
емому соответствует число нераскрашенных клеток. Считаем,
сколько их (7). По аналогии выполняются иллюстрации для всех
остальных случаев, представленных в таблице.
При выполнении задания таким образом мысль детей все вре-
мя будет переключаться от геометрического образа к числу и от
числа к геометрическому образу.
2. В учебнике математики для II класса, в различных мето-
диках и пособиях переместительное свойство произведения пояс-
няется наглядно, с использованием рядов клеток, кружков, пуго-
виц, звездочек и т. п. Например, ученики чертят прямоугольник,
разбивают его на квадраты (рис. 29). Предлагается узнать двумя
способами, сколько всего квадратов получилось (5-3=15 и
3-5=15). Затем, сравнивая полученные примеры, выясняют, чем
они похожи (множители одинаковые, произведения равны) и чем
отличаются (множители поменялись местами). После выполне-
ния нескольких аналогичных заданий ученики самостоятельно
формулируют свойство: от перестановки множителей произведе-
ние не изменяется.
3. Для ознакомления учащихся с различными способами ум-
ножения суммы на число можно использовать иллюстрацию, по-
казанную на рисунке 30. Пользуясь рисунком, ученики выясня-
ют, что в каждом ряду всего (3-|-2) кружков, а рядов 4. В четы-
рех рядах всего (3-)-2) -4 кружков. Опираясь на этот же рисунок,
ученики могут отыскать и другой способ решения: сначала узна-
ют, сколько белых кружков (3-4), потом — сколько черных круж-
ков (2-4), наконец, сколько всего кружков (3-4-|-2-4).
Параллельно с разбором каждого из этих способов решения
выполняются и соответствующие записи:
(3+2)-4 = 5-4=20;
(3+2)-4 = 3-4+2-4=12+8 = 20.
Сравнив результаты, полученные при решении примера раз-
ными способами, ученики замечают, что они одинаковы.
Используя тот же рисунок 30, можно провести объяснение
свойств деления суммы на число. В частности, рисунок помога-
ет нахождению двух различных способов деления суммы чисел
12 и 8 на число 4. Опираясь на рисунок, выясняем, что всего круж-
ков 20 (12 белых и 8 черных). Делим эти 20 кружков на 4 равные
части. Каждая из равных частей будет содержать 5 кружков.
Запись, соответствующая рассмотренному способу решения,
будет иметь вид: (12+8) : 4 = 20: 4 = 5. Рисунок дает возмож-
ность проиллюстрировать и второй способ решения: сначала де-
лятся поровну на 4 равные части 12 белых кружков (в каждой
из равных частей их оказывается по 3), затем — 8 черных круж-
ков (в каждой из равных частей их оказывается по 2), а потом
выясняется, сколько всего белых и черных кружков содержится
в каждой из четырех равных частей. Запись, соответствующая
этому способу решения, будет такой: (12+8) : 4= 12 : 4+8 : 4 =
3+2=5.
4. Иллюстрацию умножения двузначного числа на однознач-
ное, например 12 на 3, можно связать с нахождением числа квад-
ратов в прямоугольнике, составленном из трех полосок, в каж-
дой из которых 12 квадратов.
Число 12 состоит из десятка и двух единиц. На этом основа-
нии прямоугольник можно разделить на два прямоугольника:
в одном 3 полоски по 10 квадратов, а в другом 3 полоски по 2
квадрата. Чтобы найти число квадратов во всем прямоугольнике,
нужно найти число квадратов в каждой его части и полученные
числа сложить (рис. 31). Запись: 12-3= (10+2)-3= 10-3+2-3 =
=36.
Это же графическое изображение может быть использовано
и для иллюстрации приема деления двузначного числа (36) на
однозначное (3). С этой целью можно предложить ученикам 36
клеток, которые содержит прямоугольник, разделить на 3 рав-
ные части так: сначала 30 клеток, а затем 6 клеток, т. е.
36 : 3= (30+6) : 3 = 30 : 3+6 : 3= 10+2= 12.
Рис. 31
5см Зсм
I---.—.--------------1-----;------1
5 см Ч см
I—--------------------1------------—
Рис. 32.
23
5см
I------ 11 |i ... I
' 3 см ' 2 cm 7 cm
t............. i H
' , 2CM | 9 CM
Рис. 33. Рис. 34.
5. Изменение результатов действий в зависимости от изме-
нения одного из компонентов можно проиллюстрировать с по-
мощью рядов клеток, с использованием отрезков и др.
Например, пусть даны два одинаковых отрезка длиной 5 см
каждый. Увеличим первый отрезок на 3 см, а второй — на 4 см.
Дети наглядно убеждаются, в каком случае сумма больше и на
сколько больше (рис. 32).
Изменение разности в зависимости от изменения вычитаемого
(или уменьшаемого) также можно иллюстрировать на отрезках.
Возьмем два равных отрезка, например по 8 см. Один из отрез-*
ков уменьшим на 5 см, а другой — на 3 см (рис. 33). Дети на-
глядно убеждаются, что с увеличением вычитаемого (при посто-
янном уменьшаемом) разность уменьшается. Используя же от-
резки разной длины, например в 7 см и 9 см (уменьшаемое —
переменная величина), детям можно продемонстрировать, что с
увеличением уменьшаемого (при неизменном вычитаемом) раз-
ность увеличивается (рис. 34).
Для иллюстрации изменения произведения можно использо-
вать прямоугольники, разбитые на клетки (рис. 35). Прямоуголь-
ник I изображает произведение чисел 5 и 3. Увеличим первый
множитель в 2 раза, а второй оставим без изменения: (5-2)-3
и изобразим новое произведение прямоугольником II. Сравнивая
случаи I и II, легко заметить, что прямоугольник II содержит
2 раза по стольку квадратов, сколько их в прямоугольнике 1.
Изменение частного можно иллюстрировать отрезками. На-
пример, частное 12 : 3 можно изобразить отрезком длиной 12 см,
разделенным на 3 равные части. Уменьшим делимое в 2 раза, а
делитель оставим без изменения. Изобразим новое частное
(рис. 36). Видим, что частное уменьшилось в 2 раза.
Аналогичным образом можно иллюстрировать и другие слу-
чаи изменения частного.
5-3=15
(52)-3 = 30
Рис. 35.
I--1--1—1--1--1--1-1-3---1--1-
Рис. 36.
29
Глава
III
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ
ГРАФИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ
ПРИ ОБУЧЕНИИ РЕШЕНИЮ
ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ
£ L ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ГРАФИЧЕСКИХ
ИЗОБРАЖЕНИИ ПРИ РЕШЕНИИ
ПРОСТЫХ ЗАДАЧ
Простые задачи занимают большое место в начальном курсе
математики. Они служат одним из средств раскрытия смысла
арифметических действий, связей, существующих между ними,
взаимосвязей между компонентами и результатами действий;
уяснения отношений, выраженных словами «больше (меньше)
на . ..», «больше (меньше) в . . ,» и др.
Вместе с тем овладение умением уверенно решать простые
задачи является основой, без которой нельзя приступать к рас-
смотрению составных задач.
Обучая детей решению простых задач, необходимо уделять
специальное внимание формированию у них таких общих уме-
ний, как умение отделить известное от неизвестного, установить
связь между данными и искомым, перевести словесное выраже-
ние этой связи, нашедшее отражение в тексте задачи, на язык
математики.
Графическое изображение числовых данных и искомого, свя-
зывающих их отношений, является, как уже отмечалось выше,
весьма эффективным приемом, облегчающим осуществление та-
кого «перевода». Уже поэтому при обучении решению простых
задач важно этот прием использовать. Кроме того, следует пома-
нить, что, только познакомив детей на примере простых задач с
основными видами графических изображений, помогающих рас-
крыть связь между данными и искомым, можно подготовить их
к самостоятельному использованию рисунков и чертежей в каче-
стве важного средства, облегчающего поиски пути решения со-
ставной задачи.
Этим целям и должна быть подчинена работа по использова-
нию различных видов наглядности при работе над простыми за-
30
дачами. Задачи рассмотрим в той последовательности, которая
представлена в программе и реализована в действующих ста-
бильных учебниках1.
Задачи на нахождение суммы
и остатка
Работа над этими видами задач начинается с первых же уро-
ков математики и вначале носит характер практических упраж-
нений, в ходе которых дети, имея дело с реальными предметами
окружающей действительности, выполняют соответствующие опе-
рации над множествами: объединяют данные множества или уда -
ляют часть данного множества. От практических действий с пред-
метами дети постепенно переходят к рассмотрению операций над
множествами предметов, изображенных на рисунке. Такого ро-
да задания широко представлены в учебнике математики для
I класса.
При решении задач по представлению полезно перейти к
зарисовке условий задач в тетрадях. При этом рисование предме-
тов, о которых говорится в задаче (флажки, яблоки, огурцы
и т. п.), выступает в качестве средства, помогающего детям вос-
произвести содержание задачи, представить образно это содер-
жание. Например, решая задачу: «Сережа нарисовал 4 флажка,
а потом еще 1 флажок. Сколько всего флажков нарисовал Сере-
жа?», ученики могут нарисовать сначала 4 флажка и чуть по-
одаль еще 1 флажок, а затем подсчитать число флажков и за-
писать решение (или показать ответ с помощью сигнальной кар-
точки) .
Как показывает опыт, уже на этапе изучения чисел первого
десятка можно при решении задач рассматриваемых видов ис-
пользовать и более отвлеченную, условную наглядность. Напри-
мер, вместо 5 яблок, о которых говорится в задаче, ученик на-
рисует 5 кружков, 3 книги изобразит 3 квадратами и т. п.
Покажем, как нами проводилась работа по выполнению таких
условных рисунков при решении первых арифметических за-
дач— задач на нахождение суммы.
1 Исключение здесь составят простые задачи на нахождение доли ве-
личины и искомого значения величины по доле, а также задачи, раскры-
вающие^ взаимосвязь между компонентами и результатами арифметических
действий. Задачи на уяснение понятия доли исключаются по той причине,
что вопрос об использовании наглядности при их решении освещен в мето-
дической литературе достаточно полно. Некоторые из простых задач на
раскрытие взаимосвязи между компонентами и результатами арифметиче-
ских действий будут рассмотрены нами ниже в связи с описанием алгеб-
раического способа их решения (см. § 4, с. 102—103),
31
П Г| Рассмотрим задачу: «У Коли 5 книг,
ш И И И IИ LJ L—J а у Саши 2 книги. Сколько книг у Ко-
? ли и Саши вместе?»
Рис. 37. Ученики анализируют задачу (т. е.
выясняют, что известно и что неизве-
стно), выполняя одновременно с анализом соответствующие за-
рисовки: «О чем говорится в задаче? (О том, что у Коли и
Саши были книги.) Что известно про книги, которые были у
Коли? (У Коли было 5 книг.) Обведите столько клеток,
сколько книг было у Коли, и закрасьте их. (Ученики обво-
дят в тетрадях 5 клеток и закрашивают их.) Что известно про
книги, которые были у Саши? (У Саши было 2 книги.)
Обведите столько клеток, сколько книг было у Саши. (Уче-
ники на той же строке обводят еще 2 клетки.) О чем спраши-
вается в задаче? (Сколько книг было у Коли и Саши вместе?)
Обозначьте это. (Ученики рисуют объединяющую скобку и ста-
вят под ней знак вопроса, рис. 37.)»
В выполненной иллюстрации важную роль играет условный
знак — объединяющая скобка (на первых порах дуга или прямая
черточка), указывающая па необходимость объединения эле-
ментов двух данных множеств.
Благодаря схематичности изображения количественные от-
ношения выступают здесь с большей отчетливостью, что позво-
ляет сосредоточить на них внимание детей и найти решение:
5+2 = 7.
Для проверки понимания выполненного рисунка полезно ста-
вить контрольные вопросы вида: «Что изображают 5 раскрашен-
ных клеток? (Число книг, которые были у Коли.) Что изобра-
жают 2 нераскрашенные клетки? (Число книг, которые были у
Сайт.) На что указывает объединяющая скобка (прямая черта,
дуга)? (Нужно узнать, сколько всего книг у Коли и Саши,
сколько всего клеток обведено.)»
Подобные контрольные вопросы — важное звено в работе
учеников по овладению приемами графического изображения
задачи.
Необходимо, чтобы такие вопросы задавал не только учитель
ученикам, но и сами ученики друг другу. Умение сформулиро-
вать контрольные вопросы характеризует уровень понимания
детьми сути дела.
Рассмотрим теперь задачу на нахождение остатка: «У Мити
было 7 шаров. Подул ветер, и 2 шара улетели. Сколько шаров
осталось у Мити?»
Иллюстрация выполняется одновременно с анализом задачи,
так как только в этом случае она будет действенным средством,
оказывающим реальную помощь в деле обучения детей само-
стоятельному решению задач: «Что известно про шары, которые
были у Мити? (У Мити было 7 шаров.) Нарисуйте столько круж-
ков, сколько шаров было у Мити. (Ученики самостоя-
32
тельно выполняют задание.) Что еще 7 2
известно в задаче? (Подул ветер, и '-----------•----> —
2 шара улетели.) Перечеркните столь- ООООО00
ко кружков, сколько шаров улетело. —------------«------’
(Ученики выполняют задание.) О чем 7
спрашивается в задаче? (Сколько ша- Рис- 88-
ров осталось у Мити.) Покажите эти
шары на рисунке 38; обозначьте скобкой, о каких шарах спра-
шивается в задаче».
Учитель показывает, как, пользуясь выполненным рисунком,
подсчитать ответ и записать решение: 7—2 = 5.
При изучении нумерации чисел первого десятка основной
способ нахождения результата — счет предметов. Поэтому при
обучении решению задач на нахождение суммы и остатка выпол-
нение рисунка по задаче (предметного или условного) — необхо-
димое условие их решения. Уже после сообщения учителем тек-
ста задачи подобные рисунки могут выполняться детьми само-
стоятельно. Эти рисунки могут выступать и как средство провер-
ки самостоятельного решения задачи.
Отметим, что при самостоятельном выполнении рисунка по
задаче следует рекомендовать ученикам все время контролиро-
вать себя, сопоставляя рисунок с тем, о чем говорится в задаче,
и при надобности вносить нужные поправки.
После того как ученики научатся решать задачи на нахожде-
ние суммы и остатка, опираясь на знание соответствующих слу-
чаев сложения и вычитания, графическое изображение таких
задач может выступать и как эффективное средство проверки
правильности решения задачи арифметическим способом. Пока-
жем это на примере такой задачи: «На одной тарелке 3 яблока,
а на другой — 2. Сколько всего яблок на двух тарелках?» После
арифметического решения задачи ученикам предлагается сде-
лать рисунок по задаче: «Нарисуйте на одной строке столько
кружков, сколько яблок на одной тарелке; нарисуйте чуть по-
дальше на этой же строке столько кружков, сколько яблок на
второй тарелке. Сосчитайте, сколько всего кружков вы нарисо-
вали. Посмотрите ответ задачи: такое ли число у вас получи-
лось?»
Известно, что ученики нередко ассоциируют сложение со сло-
вами «принесли», «прилетели», «купили» и т. п., а вычитание *-
со словами «унесли», «убежали», «улетели», «потеряли» и т. п.
и руководствуются этими словами при выборе действия для ре-
шения задачи, что зачастую приводит к ошибкам. Для преодоле-
ния этого нежелательного явления в тексты задач вносится из-
вестное разнообразие, которое должно способствовать пре-
дупреждению шаблонного подхода при выборе действия. Так,
ученикам предлагаются задачи, в которых фигурируют сло-
ва «убежали», «вынули», «улетели» и т. п., но которые ре-
шаются действием сложения. Например, в методической лите- 3
3 Заказ 9019 3 3
ратуре1 рекомендуется предлагать для сравнения пары таких
задач:
1) В коробке было 4 карандаша. Мальчик положил в нее
еще 2 карандаша. Сколько всего карандашей стало в коробке?
2) Из коробки вынули сначала 4 карандаша, а потом 2 ка-
рандаша. Сколько всего карандашей вынули из коробки?
Во второй задаче выбор действия затруднен тем, что описан-
ные в задаче жизненные действия («вынули», «еще вынули») в
сознании детей связываются с действием вычитания. Здесь тре-
буется большое внимание к анализу текста задачи. Выполняя од-
новременно с анализом задачи ее зарисовку (вместо карандашей
можно рисовать палочки), дети убеждаются, что как для первой,
так и для второй задачи получаем одно и то же графическое изо-
бражение. Это помогает им понять, что обе задачи имеют одну
и ту же математическую сущность, решаются одним и тем же
действием — сложением.
Опыт показывает, что затруднения в выборе действия возни-
кают при решении задач такого вида: «Когда сожгли 6 поленьев,
то осталось еще 3 полена. Сколько всего было поленьев?» Труд-
ность решения вызывается тем, что определение числа предме-
тов, часть из которых уже уничтожена, реже встречается в опыте
ребенка, чем подсчет существующих предметов. Преодолеть эти
трудности тоже поможет рисунок.
Разбирая задачу, учитель предлагает детям нарисовать
столько палочек, сколько поленьев было сожжено (6 палочек).
Эти палочки перечеркиваются, чтобы показать, что поленья со-
жгли. Затем дети рисуют столько палочек, сколько осталось по-
леньев (3 палочки). Обратив внимание детей на то, что в задаче
спрашивается, сколько всего было поленьев, учитель просит по-
казать на рисунке все те поленья, которые были сначала (дети
показывают все нарисованные палочки). После этого на рисунке
с помощью объединяющей скобки и знака вопроса обозначается,
что же нужно узнать (рис. 39).
С опорой на такой рисунок задача решается легко.
Задачи на увеличение или уменьшение
числа на несколько единиц
Задачи на увеличение (уменьшение) числа на несколько еди-
ниц вводятся сразу же после задач на нахождение суммы и
остатка. Подготовка к рассмотрению простейших задач этого ви-
да ведется задолго до их введения. Она заключается в установ-
лении соотношений: если прибавить к данной группе предметов
один или несколько предметов, то это приводит к увеличению
первоначального числа предметов, а если же вычесть — то к
1 См.: Моро М. И., Пышкало А. М. Методика обучения математике в
I—III классах. М., «Просвещение», 1975, с. 95.
34
?
Рис. 39.
уменьшению. Соотношения эти уста-
навливаются с помощью различного |/ Г V V V У III
наглядного материала. Оперируя ди- 4 4/1/1/14 III
дактическим материалом, дети выпол-
няют практические упражнения вида:
«Положите 3 квадрата, придвиньте к
ним еще 1 квадрат. Сколько ста-
ло квадратов? (4.) Как узнали? (К 3 прибавили 1, получили 4.)
Больше или меньше стало квадратов? (Больше: прибавили 1,
стало больше на 1.)» Затем можно перейти к работе с сюжетны-
ми картинками (и, в частности, с рисунками, представленными в
учебнике математики для I класса). С помощью картинок раз-
бираются те же вопросы, что и при использовании дидактиче-
ского материала. На этом же этапе обучения, при решении гото-
вых задач, целесообразно переходить к использованию условных
рисунков.
Покажем, как может быть проведена соответствующая рабо-
та на примере такой задачи: «В автобусе было 7 пассажиров.
После остановки число пассажиров увеличилось на 2. Сколько
пассажиров стало в автобусе после остановки?»
Рисунок выполняется по ходу разбора задачи: «Сколько пас-
сажиров было в автобусе до остановки? (Было 7 пассажиров.)
Зарисуем задачу. Вместо каждого пассажира будем рисовать
кружок. Сколько кружков надо нарисовать, чтобы показать,
сколько пассажиров было в автобусе до остановки? (7 кружков.)
Рисуйте. (Дети рисуют 7 кружков.) Что сказано в задаче о чис-
ле пассажиров в автобусе после остановки? (После остановки
число пассажиров увеличилось на 2.) Как это понять: больше
стало пассажиров после остановки или меньше? (Пассажиров
стало больше.) На сколько больше стало пассажиров? (На 2.)
Сколько же кружков еще надо нарисовать, чтобы показать,
сколько стало в автобусе пассажиров после остановки? (Надо
нарисовать еще 2 кружка.) Нарисуйте их и покажите на своем
рисунке, что же нужно узнать». Дети рисуют еще 2 кружка; скоб-
ку, объединяющую все нарисованные кружки, и ставят под ней
вопросительный знак. Решение задачи по рисунку дети выпол-
няют самостоятельно.
Так же может быть проведена иллюстрация и в том случае,
когда рассматривается задача на уменьшение данного числа на
несколько единиц. В этом случае придется только воспользовать-
ся приемом перечеркивания соответствующего числа принятых
условных изображений.
С первых же дней обучения начиналась подготовительная ра-
бота к введению более трудных задач на увеличение (уменьше-
ние) числа на несколько единиц, в которых сравниваются два
множества предметов. В ходе практических упражнений дети
учились устанавливать взаимно-однозначное соответствие между
элементами двух множеств предметов, выяснили, в каком из двух
3* 35
сравниваемых множеств больше предметов, а в каком — меньше
и т. п. Ряд таких упражнений был представлен в предыдущей
главе (см., например, упражнение 6 на с. 18 настоящей книги).
Напомним, что их выполнение связывалось с формированием
умения изображать заданные отношения графически, что слу-
жит прямой подготовкой к иллюстрации текстовых задач.
Перед введением задач рассматриваемого вида приобретен-
ные детьми ранее знания надо оживить путем выполнения ряда
заданий с опорой на те же средства наглядности, которые были
и раньше.
Начав с использования дидактического материала, можно
сразу же перейти к работе с картинками, с помощью которых
дети сравнивают два множества предметов. Составление задач
по картинкам в данном случае отличается известным своеобра-
зием. Вот что пишет по этому поводу М. И. Моро: «Действитель-
но, попробуем дать иллюстрацию, составленную с использова-
нием полной предметной наглядности. Например, на рисунке
изображены 2 пучка морковки, в одном — 6 морковок, а в дру-
гом — 4. Для того чтобы составить по такой картинке задачу на
увеличение (или уменьшение) на несколько единиц, ученику
пришлось бы выяснить, на сколько морковок в одном пучке
больше, чем в другом, но решать задачи на разностное сравнение
он еще не умеет. Поэтому при схематической записи условий за-
дач этого вида разностное отношение между искомым и данным
должно быть дано в своем числовом выражении, а не наглядно.
Вместе с тем для решения подобных задач очень важно иметь
ясное представление о том, что значит «больше», «дороже», «ши-
ре» и т. п.
В связи с этим особенно большое значение приобретает здесь
не составление задачи по картинке, а зарисовка условия готовой
задачи»1.
Для иллюстрации эффективности зарисовки условий задачи
с целью выяснения смысла увеличения и уменьшения на несколь-
ко единиц используем пример из опыта учительницы М. А. Боб-
рищевой. Ее опыт А. С. Пчелко описывает так:
«Учимся мы увеличивать и уменьшать число на несколько
единиц. Решаем задачу-картинку про грибы. Задаю вопрос:
«Сколько белых грибов нашли Ваня с Машей?» Быстро подни-
маются руки, спрашивают: «Сколько нашел Ваня? Сколько наш-
ла Маша?»
Даю одинаковое количество: Ваня — 4 и Маша — 4.
«Ой, поровну! Ой, одинаково!» — слышишь заключение, а это
и была намеченная цель.
Дома рисуют задачи-картинки «поровну», а завтра друг дру-
гу картинки показывают, задачи задают.
1 Моро М. И. Наглядные пособия по арифметике для I класса. М., Изд.
АПН РСФСР, 1962, с. 73.
36
От задач «поровну» легкий переход к задачам «больше на
столько-то» и «меньше на столько-то».
Каждому ученику даю лист бумаги, разделенный вертикаль-
но пополам: «Одна половина будет твоя. Другая, придумай сам,
чья она будет? На одной половине нарисуй 3 (чего угодно), а на
другой — на 2 больше».
Договариваемся, кто что будет рисовать (карандаши, вишни,
флажки и т. д.).
Рисуют разное, а задание одно: «3 и на 2 больше».
Тут ли не радость, когда видишь, что рисуют почти-все пра*
вильно: сначала поровну на обеих половинках, а потом... потом
после ценнейшего раздумья решают: «А теперь еще 2, лишних 2,
больше на 2!»
И рядом или чуть поодаль рисуют еще 2 лишних.
На последующих уроках делаем естественный вывод: если
у Маши карандашей на 2 больше, чем у Вовы, то значит, у Вовы
на 2 меньше, чем у Маши. Я выше тебя, значит, ты ниже меня.
И т. д.
Объясняя «меньше на столько-то», даю всем задание рисо-.
вать елочки: «7 и на 3 меньше».
Опять нарисовали сначала поровну, а потом задумались. Не-
которые к одной семерке пририсовали еще 3 елочки, и у них
стало 10. «Тут на 3 больше, а здесь на 3 меньше», — объясняют
они. Но такое действие не отвечает заданию: надо «7 и на 3 мень-
ше», а не «10 и на 3 меньше». «Вы, ребята, сделали правильно,
когда нарисовали 7 и 7. А отчего бы могло стать здесь елочек
на 3 меньше?»
— Сломало ветром!
— Спилили на дрова!
— Засохли! И т. д.
«Ну, так продолжайте работу дальше... Значит, трех уже
нет, а у вас все стоят». И... догадались многие: закрыли 3 ру-
кой! Первого сообразившего мы позвали к доске. Он нарисовал
елочки по 7 штук на двух сторонах. Потом закрыл 3, и перед
глазами предстало всем 7 елочек и на 3 меньше. Действие отве-
тило заданию: от 7 отнять 3. Мы сейчас же перевели это дейст->
вие на язык арифметической записи:
7—3=4.
Ценю я этот метод за то, что ученик работал и запомнил го-
ловой то, что ясно, отчетливо слышали уши, запомнил руками,
когда рисовал; запомнил глазами, когда ими проверял»1.
От простейших предметных рисунков легко осуществить пе-
реход к рисункам условным. Покажем это на примере такой за-
дачи: «На одной полке 6 книг, а на другой — на 3 книги больше.
1 Пчелко А. С. О преподавании арифметики в начальной школе. И.,
Изд. АПН РСФСР, 1949, с. 35—37.
11
।—11_ ।—. । ।—। Сколько книг на второй пол-
I I I 11 I I 11 I I I ке?» Рисунок, как и обычно,
,__ ______, возникает по ходу анализа за-
□□□□□□□□□ дачи. «Пусть клетка изобра-
жает книгу. Как изобразить в
Рис- 40- этом случае, что на первой
полке 6 книг? (В виде 6 кле-
ток.)» Обращаясь к тексту задачи, выясняем, что на второй
полке книг столько же (обводятся ниже, через строчку,
6 клеток) да еще 3 (обводятся на второй строчке еще 3 клет-
ки). Задача фактически решена графически, поскольку выпол-
ненный условный рисунок отображает число предметов, содер-
жащихся в сравниваемых множествах. При этом возникает
опасность, что ответ на вопрос задачи будет найден простым пе-
ресчетом числа клеток, изображенных на второй строке. Поэто-
му при решении следующих задач нужно переходить к исполь-
зованию частичной наглядности, находить результат путем вы-
числения и лишь затем иллюстрировать его на рисунке. Выпол-
няя последнее задание, ученики обводят на первой строке 6 кле-
ток, а затем рассуждают так: «На второй строке надо обвести
столько клеток, сколько на первой и еще 3. К 6 прибавить 3, по-
лучится 9. На второй строке надо обвести 9 клеток» (рис. 40).
Дальнейшая работа состоит в том, чтобы научить детей изо-
бражать условия таких задач (а в дальнейшем и задач других
видов) в «отрезках».
Предпосылкой иллюстрации текстовых задач с помощью «от-
резков» служит решение представленных в учебнике математики
для I класса задач геометрического содержания. Так, вначале
дети учатся чертить отрезки заданной длины по линейке, затем
выполняют задания на увеличение или уменьшение данного от-
резка и, наконец, решают с помощью чертежа задачи на сравне-
ние отпезков.
Методика соответствующей работы хорошо описана в совре-
менных методических руководствах* и в методических указаниях
к учебнику1 2. Нам же важно показать, как применяются соответ-
ствующие умения при изображении «в отрезках» условий тексто-
вых сюжетных задач. Первый вопрос, который возникает в этой
связи: на примере каких задач рассматриваемого вида лучше
начать знакомство с изображением их условий «в отрезках»? Как
известно, вначале решаются такие задачи на увеличение (умень-
шение) числа на несколько единиц, в которых фигурируют тер-
мины «больше», «меньше», и только после этого переходят к
1 См.: Моро М. И., Пышкало А. М. Методика обучения математике
в I—III классах. М., «Просвещение», 1975; Пышкало А. М. Методика обу-
чения элементам геометрии в начальных классах. М., «Просвещение», 1965.
2 См.: Моро М. И., Бантова М. А., Бельтюкова Г. В. Математика
в I классе. Пособие для учителей. М., «Просвещение», 1973.
38
решению задач, в которых увели-
чение или уменьшение на не-
сколько единиц выражается тер-
минами «длиннее», «короче»,
«выше», «ниже» и т. п. Эти за-
дачи более всего подходят для
обучения детей построению гра-
фических иллюстраций «в отрез-
Рис. 41. Яблоня. Береза.
ках».
Рассмотрим задачу: «Высота яблони 6 м. Береза выше ябло-
ни на 3 м. Найти высоту березы». Работу над задачей можно на-
чать с сопоставления картинки и схематического чертежа, при-
чем целесообразно использовать такую иллюстрацию (рис. 41),
которая создает возможность проследить выражение одних и тех
же соотношений в двух различных планах: конкретно-предмет-
ном (рисунки яблони и березы) и обобщенно-абстрактном (вы-
сота яблони и березы изображены с помощью отрезков).
Рассуждения при переходе от использования более конкрет-
ной наглядности к менее конкретной могут быть примерно таки-
ми: «Рядом с яблоней изображен отрезок. Этот отрезок условно
приняли за высоту яблони и рядом написали, что он изображает
6 м. Известна ли высота березы? (Нет.) А что известно? Бере-
за на 3 м выше яблони.) Как вы это понимаете? (Береза такой
же высоты, что и яблоня, да еще 3 м.) Правильно. Поэтому ря-
дом с березой сначала начертили отрезок, который соответству-
ет высоте яблони, а затем продолжили его на такой отрезок, ко-
торый условно соответствует 3 м».
Знакомство с иллюстрацией условий задач с помощью схема-
тических чертежей можно продолжить на задачах, условия ко-
торых связаны с мерами длины. Например: «У Кости было 2 кус-
ка проволоки: первый длиной 5 м, а второй на 2 м короче. Какой
длины был второй кусок проволоки?»
Рассуждения при построении схематического чертежа: «С по-
мощью произвольного отрезка изобразим длину первого куска
проволоки и надпишем над ним, что он равен 5 м. Так как вто-
рой кусок проволоки короче первого на 2 м, то ниже, под первым
отрезком (через строчку) начертим сначала отрезок, равный ему
(начала отрезков должны находиться на одном уровне), а затем
от правого его конца отложим влево отрезок, условно изобра-
жающий 2 м. Надпишем над этой частью второго отрезка, что
она изображает 2 м, а над остальной частью поставим знак «?»,
так как она иллюстрирует искомое» (рис. 42). В дальнейшем
5м
Рис. 42.
5м
i" " ЛI I
_______? 2 м
и----------__| (
Рис. 43.
5М
।-------f-----1
2 2м
I——-----1
Рис. 44.
39
Рис. 45.
условия подобных задач мож-
но изображать так, как по-
казано на рисунках 43 и 44.
Существенно, чтобы в конеч-
ном счете ученики научились
строить подобные схематиче-
ские чертежи самостоятельно.
Обучение детей изображе-
нию условий текстовых задач
в отрезках с помощью чертежа, выполненного в заданном мас-
штабе, начинается во II классе.
Рассмотрим задачу: «У папы было 2 электрошнура: один дли-
ной 6 м, а второй на 3 м длиннее. Какой длины второй шнур?»
Для построения чертежа примем длину одной клетки учени-
ческой тетради за 1 м, тогда электрошнур длиной 6 м изобразит-
ся отрезком длиной 6 клеток тетради. Длине второго электро-
шнура, очевидно, будет соответствовать отрезок длиной 6 кле-
ток, увеличенный на отрезок длиной 3 клетки (рис. 45).
В том случае, если данные задачи не связаны с мерами дли-
ны, построение чертежа осуществляется аналогичным образом.
Например: «С первого огорода накопали 8 мешков картофеля, а
со второго на 2 мешка меньше. Сколько накопали мешков кар-
тофеля со второго огорода?» Договоримся, что один мешок кар-
тофеля будем изображать отрезком, длина которого равна длине
одной клетки ученической тетради. Для того чтобы изобразить
при помощи отрезка 8 мешков картофеля, надо начертить отре-
зок, равный по длине восьми клеткам тетради. Так как с другого
огорода накопали на 2 мешка меньше, то под первым отрезком
(через строчку) чертим второй отрезок, равный первому, и от-
деляем на нем часть, равную двум клеткам. Напишем над этой
частью «2 меш.», а над остальной частью поставим «?», так она
иллюстрирует искомое (рис. 46).
Следует отметить, что на отрезке, изображающем неизвест-
ное (условно), лучше не делать отметок, отделяющих единичные
отрезки.
В том случае, если подобные задачи содержат большие чис-
ловые данные (с такими числовыми данными ученики впервые
встречаются при изучении темы «Сотня»), предпочтение следует
отдавать схематическим чертежам, не связанным с определен-
ным масштабом.
С большими трудностями
дети сталкиваются при встрече
с задачами на увеличение или
уменьшение числа на несколь-
ко единиц, выраженными в кос-
венной форме. При обучении ре-
шению подобных задач важно
научить детей устанавливать
40
в какой из совокупностей, о которых идет речь в задаче, больше
предметов, а в какой — меньше, какое число нужно узнать: боль-
шее или меньшее. Разобраться в этих вопросах поможет исполь
зование наглядного материала. Отвечая на вопросы о том, в ка-
ком порядке и как использовать различные виды наглядности
при введении таких задач, М. И. Моро и А. М. Пышкало пишут;
«Сначала э;о могут быть демонстрации, связанные с использова-
нием дидактического материала того вида, которые приводились
при сравнении двух множеств предметов с первых уроков мате-
матики, затем — рисунок, чертеж, краткая запись»1.
Далее, авторы на примере задачи: «На столе 8 чашек, их
на 3 больше, чем стаканов. Сколько стаканов на столе?» — пока-
зывают, как выполнять рисунок, а в дальнейшем и графическую
схему в отрезках. Приведем соответствующие выдержки из ци-
тируемой книги.
«По ходу разбора задачи будем выполнять рисунок так: на-
рисуем в ряд 8 чашек, а затем ниже, под каждой чашкой по
1 стакану. Получим, что стаканов столько же, сколько чашек. Но
в задаче сказано, что чашек должно быть на 3 больше. Всего
должно быть 8 чашек (как и изображено на рисунке). Значит,
их трогать нельзя, а чтобы их оказалось на 3 больше, чем стака-
нов, нужно «убрать»,3 стакана (на рисунке можно перечеркнуть
3 изображения стаканов). Такая иллюстрация помогает оживить
в сознании детей уже известные им соотношения: а) если в одном
из сравниваемых множеств на сколько предметов больше, то в
другом — их на столько же меньше, т. е. если чашек на 3 больше,
значит, стаканов на 3 меньше; б) чтобы стаканов стало на
3 меньше, чем чашек, нужно взять столько же стаканов, сколько
и чашек, без 3. Отсюда уже естественно вытекает и запись ре-
шения:
8—3=5 (ст.)»1 2.
Построение схематического чертежа к этой же задаче ком-
ментируется так: «изобразим с помощью произвольного отрезка
число чашек, напишем над ним, что он изображает «8 ч.», начер-
тим ниже равный ему отрезок, который должен условно изобра-
жать столько же стаканов. Обращаясь к тексту задачи, вспоми-
наем, что 8 чашек — это на 3 больше, чем стаканов. Значит, верх-
ний отрезок должен быть больше, а нижний, изображающий
число стаканов, — меньше. Отделяем на нижнем отрезке часть
его, иллюстрирующую «лишние» 3 стакана, и надписываем над
ней «3 шт.». Над остальной частью отрезка можно поставить
знак «?», так как она иллюстрирует искомое»3.
1 Моро М. И., Пышкало А. М. Методика обучения математике в I—Ш
классах. М., «Просвещение», 1975, с. 165.
2 Там же, с. 165—166. . .
3 Там же, с. 166.
Описанное выше использование рисунков, схематических чер-
тежей и чертежей при решении задач на увеличение (или умень-
шение) числа на несколько единиц (выраженных как в прямой,
так и косвенной форме) помогает наглядному представлению
данных и искомого, связей и зависимостей между соответствую-
щими величинами и тем самым облегчает выбор нужного ’дей-
ствия.
Задачи на разностное сравнение
Основное назначение наглядности при знакомстве с задача-
ми на разностное сравнение — обосновать выбор действия при
их решении. Начинать работу рекомендуется, с использования
демонстрационного, а затем и индивидуального счетного мате-
риала1. В первом случае работу с демонстрационным материя*
лом проводит сам учитель, привлекая к ней на отдельных этапах
учащихся; во втором случае, хотя ученики и выполняют работу
самостоятельно, организовать, а главное, проверить результаты
этой работы трудно.
Эффективной организации самостоятельной работы способ-
ствует проведение практических работ графического характера.
Например, учитель предлагает детям нарисовать в тетрадях
один столбик (или строчку) в 6 клеток и рядом другой — в
4 клетки.
Устанавливается, что в первом столбике клеток обведено
больше, чем во втором. Ставится вопрос: «На сколько больше
обведено клеток в первом столбике, чем во втором?» Учитель
предлагает задание: «Будем раскрашивать клетки; одну клетку
в первом столбике и одну во втором, потом еще одну клетку в
первом столбике и еще одну во втором столбике и т. д. (раскра-
шиваем до тех пор, пока во втором столбике не будут раскраше-
ны все клетки)». Далее работа может проводиться в форме ма-
тематического диктанта. Ставятся вопросы: «Сколько клеток
раскрасили в первом столбике? (Ученики показывают карточку
с цифрой 4.) А во втором? (Ученики снова показывают цифру
и говорят: тоже 4, столько же, сколько в первом.) Сколько оста-
лось нераскрашенных клеток в первом столбике? (Показывается
карточка с цифрой 2.) На сколько же больше клеток в первом
столбике, чем во втором? (Показывается карточка с цифрой 2.)
Сколько всего клеток в первом столбике? (Показывается кар-
точка с цифрой 6.) Сколько раскрасили? (Показывается карточ-
ка с цифрой 4.) Как получили 2 нераскрашенные клетки? (Из 6
вычли 4.) Запишите это в тетрадях. (Запись: 6—4=2.)»
1 Методика проведения работы с демонстрационным и индивидуальным
счетным материалом подробно описана в пособии М. И. Моро, М. А. Бан-
товой, Г. В. Бельтюковой «Математика в I классе» (М., «Просвещение»,
1973, с. 160—161) и в ряде других пособий.
42
Контрольный вопрос: что
показывает число 2? (В пер-
вом столбике на 2 клетки боль-
ше, чем во втором, а во вто-
ром — на 2 клетки меньше,
Рис. 47.
чем в первом.)
Практические работы, подобные приведенной выше, служат
и целям подготовки к изображению условий рассматриваемых
задач с помощью условных рисунков. К схематическому изобра-
жению можно приступить при рассмотрении первых же тексто-
вых задач. Например, при разборе задачи: «В саду росло 6 ку-
стов малины и 9 кустов смородины. На сколько больше кустов
смородины росло в саду?» — можно предложить детям зарисо-
вать ее условие, изображая, скажем, кусты малины кружками
(6), а смородины — треугольниками (9). Полученный условный
рисунок используется для обоснования выбора действия при ре-
шении этой задачи: «Чтобы узнать, на сколько больше треуголь-
ников, чем кружков, надо из всех треугольников вычесть столь-
ко треугольников, сколько нарисовано кружков». Схематический
рисунок не только иллюстрирует данные задачи, но и позво-
ляет наглядно показать, что кружков на 3 меньше, чем треуголь-
ников. Чтобы уравнять число кружков с числом треуголь-
ников, надо недостающее число кружков отметить точками
(рис. 47).
При решении приведенной выше задачи (а также при работе
с дидактическим материалом) ученики находят разность простым
пересчетом предметов, так как рисунок, отображая число пред-
метов, фактически заключает решение. Необходимость в таком
использовании рисунков отпадает тогда, когда дети научатся ре-
шать подобные задачи на основе сформированного уже обобще-
ния, в соответствии с которым, чтобы узнать, на сколько одно
число больше или меньше другого, нужно из большего числа вы-
честь меньшее.
В дальнейшем решение таких задач с помощью рисунков и
чертежей можно применять в целях преодоления встречающихся
у некоторых учеников затруднений, а также для проверки пра-
вильности решения задачи арифметическим способом. Так, после
арифметического решения задачи: «Васе 9 лет, а Кате 7. На
сколько лет Вася старше Кати?» — можно в целях проверки пра-
вильности решения предложить ученикам решить задачу графи-
чески, с помощью чертежа. Рассуждения при построении чертежа
к рассматриваемой задаче могут быть примерно такими: «Усло-
вимся изображать один год отрезком, длина которого равна дли-
не одной клетки ученической тетради. Для того чтобы изобразить
возраст Васи, отложим на прямой отрезок, по длине равный дли-
не 9 клеток. Для изображения возраста Кати под первым отрез-
ком (на одном с ним уровне) откладываем на прямой отрезок,
равный по длине 7 клеткам тетради. Проведем через конец вто-
43
рого отрезка вертикальную пунктирную
линию так, чтобы она пересекала первый
отрезок. Правая часть первого отрезка,
отсеченная вертикальной линией (две
клетки тетради), представляет собой гра-
фический ответ задачи» (рис. 48).
Разумеется, что проверять таким спо-
собом решение каждой задачи на раз-
ностное сравнение вовсе не обязательно.
Следует обратить внимание на то, что схематический чертеж
для иллюстрации задач на разностное сравнение использовать
нельзя. В самом деле, в любой задаче рассматриваемого вида
речь идет о сравнении двух заданных чисел — о выяснении того,
на сколько одно из этих чисел больше (или меньше) другого.
Если мы каждое из данных чисел изобразим, скажем, отрезком
произвольной длины, то это не только не облегчит, но может
даже затруднить понимание смысла задачи. Иллюстрация (будь
то рисунок или чертеж) должна в данном случае точно отобра-
жать те числа, которые подлежат сравнению. Это может быть
сделано в форме предметного или схематического рисунка и с
помощью выполненного в определенном масштабе чертежа. При
этом (как и во всех случаях иллюстрации задач, связанных с
рассмотрением отношений «больше» и «меньше») важно, чтобы
графическое изображение облегчало выполнение требуемого
сравнения. Например, на рисунке множества предметов, иллю-
стрирующие числовые данные задачи, должны быть представ-
лены так, чтобы установление взаимно-однозначного соответст-
вия между их элементами легко было выполнить, образуя пары
на глаз (см., например, выполненные с соблюдением этого тре-
бования рис. 47 и др.).
То же относится и к чертежу, который должен, как и рису*
нок, не только отображать числовые данные, но и помогать рас-
крытию отношения между данными числами (см., например,
рис. 48 и др.).
Задачи, раскрывающие
конкретный смысл действий
умножения и деления
Конкретный смысл действия умножения раскрывается при
решении задач на нахождение суммы одинаковых слагаемых
(произведения). Наглядность, используемая при решении таких
задач, помогает детям осознать, какое же слагаемое повторяется
в каждом конкретном случае и сколько раз. Сначала подбира-
ются такие задачи, условия которых легко показать наглядно с
помощью простейшего рисунка. С этой целью можно использо-
вать, например, задачи, имеющиеся в учебнике математики для
11 класса (№ 157, с. 31): «Зарисуй условие задачи и реши ее:
44
1) На каждой тарелке 5 яблок. Сколько
яблок на трех тарелках?
2) В каждой коробке 10 яиц. Сколько
яиц в двух коробках?»
Такие задачи, очевидно, можно иллюст-
рировать и с помощью условного рисунка
(например, яблоки заменять кружочками).
В дальнейшем вводятся такие задачи, иллюстрация которых
с помощью предметного рисунка затрудняется. Здесь на перед-
ний план выступает иллюстрация с помощью условного рисунка
или чертежа. Например, решается задача: «В буфет привезли
3 ящика апельсинов по 9 кг в каждом. Сколько килограммов
апельсинов привезли?»
Рассуждения при построении схематического чертежа: «Если
изобразить 1 кг в виде клетки ученической тетради, то число
килограммов апельсинов в одном ящике изобразится в виде пря-
моугольной полоски, содержащей 9 клеток, а в трех таких ящи-
ках— в виде трех таких полосок, каждая из которых содержит
по 9 клеток»1. При этом полоски, изображающие геометрические
образы слагаемых, удобнее располагать не в один ряд, а одну
под другой. В этом случае образуется прямоугольник, составлен-
ный из трех одинаковых полосок (рис. 49). Чтобы помочь осо-
знанию того, какое слагаемое повторяется в каждом конкретном
случае и сколько раз, полезно верхнюю полоску заштриховать.
Контрольные вопросы к выполненному чертежу:
Что изображает каждая прямоугольная полоска? (Ящик с
апельсинами.)
Сколько всего таких прямоугольных полосок? (3.)
По скольку клеток в каждой прямоугольной полоске? (По
9 клеток.)
Что изображает каждая клетка? (1 кг.)
Далее в беседе с учащимися устанавливается, что для ответа
на вопрос задачи нужно 9 кг (т. е. число килограммов апельси-
нов в одном ящике) повторить слагаемым 3 раза, т. е. столько
раз, сколько всего ящиков.
Запись решения: 9-3 —27 (кг).
Конкретный смысл действия деления раскрывается при ре-
шении задач на деление по содержанию и на равные части.
Как известно, в течение всех 30 уроков, отводимых на под-
готовку к составлению и изучению таблиц умножения, все зада-
чи на деление решаются с опорой на наглядность. Основное на-
1 Следует отметить, что при схематическом изображении условий этой
и других подобных задач в целях экономии времени ученики могут вы-
черчивать только контур прямоугольника, не обводя его внутренних клеток,
так как задача решается на листах тетради,' разлинованной в клетку.
45
значение наглядности на данном этапе — демонстрация самого
процесса деления по содержанию и на равные части. С этой
целью используются дидактический материал, предметные и ус-
ловные рисунки.
Наблюдения, проведенные Н. В. Меленцовой и М. И. Моро,
показывают, что при коллективной работе с дидактическим ма-
териалом организовать наглядное решение довольно легко, «но
тогда, когда задача или примеры на деление решаются детьми
самостоятельно, трудно и организовать, и тем более проверить
такую работу»1. Авторы пишут, что, по их наблюдению, «лучше
всего это получилось у учителей, которые для иллюстрации де-
ления на равные части и деления по содержанию использовали
не дидактический материал (как это делалось в I классе), а ус-
ловный, схематический рисунок. Рисунок можно использовать и
при коллективном, и при самостоятельном решении задач и при-
меров на деление»1 2.
Начать работу по графическому изображению условий рас-
сматриваемых задач целесообразно с задач практического со-
держания, подобных следующим:
1. Задача на деление числа по содержанию: «Ученику надо
обвести 6 клеток, по 2 клетки в каждом ряду. Сколько получится
рядов?»
Рассуждение: «Обведем 2 клетки в I ряду, обведем' еще
2 клетки во II ряду. Всего обвели 4 клетки; обведем еще 2 клет-
ки в III ряду, все 6 клеток заняли 3 ряда, по 2 клетки в каждом».
В результате получается чертеж прямоугольника, у которого об-
щее число клеток (6) —делимое, число клеток в одном ряду
(2) —делитель, а искомое число рядов (3) —частное (рис. 50).
После выполнения чертежа полезно задать контрольные воп-
росы: сколько всего клеток обвели? По скольку клеток обводили
в каждом ряду? Сколько получилось рядов? Ответы на вопросы
ученики могут демонстрировать с помощью цифровых сигналь-
ных карточек. Далее записывается решение и ответ:
6:2 = 3. Ответ. 3 ряда.
2. Задача на деление числа на равные части: «Ученику надо
обвести 6 клеток так, чтобы получилось 2 равных ряда. По сколь-
ку клеток надо обвести в каждом ряду?»
Рассуждение: «Обведем по одной клетке в каждом ряду, все-
го 2 клетки, затем еще по одной клетке в каждом ряду, всего
4 клетки, и, наконец, еще по одной клетке в каждом ряду, всего
6 клеток». В результате получается предыдущий чертеж прямо-
угольника, но перевернутый на 90° (рис. 51).
1 Меленцова Н. В., Моро М. И. Изучение умножения и деления во
II классе. — В кн.: Математика в I—III классах. М., «Просвещение», 1971,
с. 36.
2 Там же, с. 36.
46
По построенной графической модели ._____
задаются вопросы: всели клетки обвели? В — ПТ
скольких рядах обводили клетки? По сколь- —
ку клеток обвели в каждом ряду? Записыва-
ется решение и ответ: Рис. 50. Рис. 51.
6:2 = 3. Ответ, по 3 клетки.
При таком использовании графических изображений явно
выступает связь двух видов деления друг с другом (в каждой
части будет по столько клеток, сколько раз по 2 клетки содер-
жится в 6 клетках) и связь их с умножением.
От рассмотрения представленных выше задач можно, перехо-
дить к таким задачам, условия которых близки жизненной прак-
тике детей и содержание которых легко представимо с помощью
схематических рисунков. Ряд таких задач имеется в учебнике
математики для II класса1, в «Карточках с математическими за-
даниями для 2-го класса»2 и в других пособиях.
Проследим процесс построения схематических рисунков на
примерах таких задач:
1. 8 птиц нужно разместить в клетках по 2 птицы в каждой
клетке. Сколько потребуется клеток, чтобы разместить всех
птиц?
Предлагается решить задачу, рисуя вместо каждой птицы
треугольник, а вместо каждой клетки — квадрат.
Рассуждение: «В каждую клетку нужно разместить по 2 пти-
цы. Рисуем 2 треугольника и «размещаем» их в первый квадрат;
рисуем чуть поодаль еще 2 треугольника и «размещаем» их во
второй квадрат, всего 4 птицы в двух клетках; рисуе^м еще 2 тре-
угольника и «размещаем» их в третий квадрат, всего 6 птиц в
трех клетках; рисуем еще 2 треугольника и «размещаем» их в
четвертый квадрат, всего 8 птиц в четырех клетках» (рис. 52).
Полученный условный рисунок наглядно иллюстрирует и ре-
шение, и ответ задачи:
8:2=4. Ответ. 4 клетки.
2. 9 цветков расставили в 3 вазочки поровну. Сколько цвет-
ков поставили в каждую вазочку?
1 См.: Моро М. И., Бантова М. А. Математииа, 2, изд. 9-е. М., «Просве-
щение», 1977, с. 33, № 169; с. 37, № 200 и др.
2 См.: Моро М. И., Меленцова Н. В. Карточки с математическими зада-
ниями для 2-го класса, изд. 4-е. М., «Просвещение», 1977, е. 51—53, 63—65.
47
Рис. 53. Рис. 54.
Предлагается решить задачу, рисуя вместо каждого цветка
палочку, а вместо каждой вазочки — прямоугольник.
Рассуждение: «9 цветков надо расставить в 3 вазочки по-
ровну. Рисуем 3 прямоугольника и «расставляем» в каждом из
них по одной палочке, всего 3 палочки. Расставляем в каждый
из трех прямоугольников еще по одной палочке, всего 6 пало-
чек; и, наконец, расставляем в каждый из трех прямоугольников
еще по одной палочке, всего 9 палочек». Полученный схемати-
ческий рисунок (рис. 53) наглядно иллюстрирует решение:
9:3—3. Ответ, по 3 цветка.
Такие рисунки можно использовать и при коллективном, И
при самостоятельном решении задач на деление.
Далее надо осуществить переход от использования схемати-
ческих рисунков к изображению условий таких задач в отрезках.
Можно рассмотреть такую задачу: «Полено длиной 30 см на-
до распилить на 3 равные части. Чему будет равна длина каж-
дой части?» Здесь можно использовать иллюстрацию, которая
представлена на рисунке 54. Такая иллюстрация позволяет осу-
ществить плавный переход от использования более конкретной
наглядности (рисунка полена, разделенного пунктирными линия-
ми на 3 равные части) к менее конкретной, к изображению усло-
вия задачи в «отрезках»: полено изображается в виде отрезка,
а места разрезов — черточками на отрезке.
Рассмотрим еще задачу: «Из 12 м ткани в мастерской сшили
несколько платьев, расходуя на каждое по 3 м ткани. Сколько
платьев получилось из этого куска ткани?» Построим по ней чер-
теж, изображая 1 м ткани с помощью отрезка, длина которого
равна длине одной клетки ученической тетради. Тогда, чтобы
изобразить графически 12 м ткани, надо отложить на прямой
отрезок, по длине равный 12 клеткам тетради, отделяя при этом
единичные отрезки небольшими черточками. Затем проводятся
примерно такие рассуждения: «Отмечу на построенном отрезке
черточкой (размером чуть побольше тех черточек, которые от-
деляют единичные отрезки) сначала 3 м, потом еще 3 м, всего
6 м, затем еще 3 м, всего 9 м, и, наконец, еще 3 м, всего 12 м»
(рис. 55).
Задача решена графически, так как чертеж наглядно иллю-
стрирует и решение, и ответ задачи: 12:3 = 4 (пл.).
Приведенный выше материал показывает, что рисунки и чер-
тежи используются не только для иллюстрации условий задач*
48
Рис. 56.
но и как средство их графического решения. Необходимость в
таком использовании рисунков и чертежей отпадает только тог-
да, когда дети смогут решать задачи на деление, опираясь на
знание соответствующих случаев табличного умножения и зна-
ние связи между делением и умножением. В дальнейшем графи-
ческий способ решения таких задач может выступать как сред-
ство преодоления затруднений, с которыми встречаются неко-
торые ученики, как средство проверки правильности решения
задачи арифметическим способом.
Однако и здесь графический способ решения не всегда дол-
жен только сопутствовать арифметическому. При решении не-
которых задач, особенно задач с практическим содержанием,
графический способ решения может выступать на передний план.
Рассмотрим, например, одну из таких задач, которая представ-
лена в учебнике математики II класса: «Для настилки
полов в комнате привезли 24 доски. Какова длина комнаты,
если в 1 м укладывалось 4 доски?» Начнем решать задачу
графическим способом, с помощью схематического рисунка.
С этой целью изобразим доску в виде узкой прямоугольной по-
лоски. Число же досок, которые надо уложить в 1 м, изобразит-
ся в виде прямоугольника, содержащего 4 узкие прямоугольные
полоски (рис. 56). Далее прерываем наглядное решение и усту-
паем место рассуждениям: «В 1 м укладываются 4 доски, чтобы
определить длину комнаты, надо узнать, сколько раз число 4 со-
держится в числе 24. Для этого надо 24 разделить на 4. Полу-
чится 6». Затем правильность проведенных рассуждений можно
проверить путем продолжения графического решения задачи,
которое наглядно представлено на рисунке 56. Суть его, как ви-
дим, состоит в продолжении «укладывания» досок (пока не по-
лучится 24 доски). По полученному рисунку простым подсчетом
можно узнать, сколько метров составляет длина комнаты.
Задачи на увеличение и уменьшение
числа в несколько раз
Первое знакомство с отношением «больше в несколько раз»
дается с использованием предметной наглядности. Оперируя
дидактическим материалом (кружками, палочками, тетра-
4 Заказ 9019 49
[ | | | Г I дями, карандашами и т. п.),
I I I ученики под руководством учи-
Р^^ теля выполняют упражнения
L--2* L-> L-> L-> L-> вида: «Положите слева 3 круж-
*___' 1 1 ' ка, а справа 2 раза по 3
2 квадрата». Учитель поясняет:
«Квадратов в 2 раза больше,
Рис. 57. чем кружков, а кружков в 2
раза меньше, чем квадратов».
От оперирования дидактическим материалом можно перей-
ти к выполнению практических упражнений (сначала под руко-
водством учителя, а затем и самостоятельно) вида: «Обведите
карандашом на одной строке 4 клетки, а на другой строке 3 ра-
за по 4 клетки, т. е. в 4 раза больше клеток; нарисуйте 5 тре-
угольников, а под ними в 2 раза больше треугольников
и т. п.».
При решении первых текстовых задач в течение нескольких
уроков нужно требовать от детей выполнения предметных и схе-
матических рисунков. С этой целью подбираются такие задачи,
содержание которых легко показать с помощью рисунка. Ряд
таких задач представлен в учебнике по математике для II класса
(с. 68, № 370, 375 и др.), в «Карточках с математическими зада-
ниями для 2-го класса»’ и в других источниках.
Рассмотрим одну из таких задач: «Второклассники сделали
для октябрят 3 прямоугольных флажка, а треугольных в 2 раза
больше. Сколько треугольных флажков сделали второклассни-
ки?» Предметный рисунок (рис. 57) наглядно иллюстрирует как
решение, так и ответ задачи: 3-2=6 (фл.).
Этапы использования наглядности при первоначальном зна-
комстве с задачами на уменьшение числа в несколько раз те же,
что и для задач на увеличение числа в несколько раз: работа с
дидактическим материалом, с картинками учебника, зарисовка
условий задач.
Дети уже знают, что если одно число больше другого в не-
сколько раз, то второе число меньше первого во столько же раз.
Это служит основой для разъяснения способа решения задач на
уменьшение числа в несколько раз; определяет особенности ис-
пользования наглядности. Так, если при рассмотрении задач на
увеличение числа в несколько раз наглядность использовалась
для иллюстрации и решения, и ответа (рис. 57), то при решении
задач на уменьшение числа в несколько раз сначала на основе
рассуждений находится искомый результат и лишь затем он изо-
бражается графически. Таким образом, рисунок здесь не помога-
ет решению, а может использоваться лишь для проверки его
правильности.
Работу по решению задач на уменьшение числа- в несколько'
1 См.: Моро М. И., Меленцова Н. В. Карточки с математическими зада-
ниями для 2-го класса, изд. 4-е. М., «Просвещение», 1977, с. 79, 81.
50
раз можно начать с выполнения практических упражнений, по-
добных следующему: «Обведите карандашом на одной строке
8 клеток, а на другой — в 4 раза меньше. (Ученики обводят на
одной строке 8 клеток.) На другой строке надо обвести в 4 раза
меньше клеток. Если на второй строке надо обвести в 4 раза
меньше клеток, то что можно сказать о числе клеток в первой
строке? (Их будет в 4 раза больше.) Значит, на первой строке
обведено 4 раза по стольку клеток, сколько их должно быть об-
ведено на второй строке. Как же узнать, сколько клеток надо
обвести во втором ряду? (Надо 8 клеток разделить на 4 равные
части, получится по 2 клетки в каждой части.) Разделите клетки
(отделяется, например, черточками каждая пара клеток). На
второй строке обведите 2 клетки».
Аналогичные рассуждения имеют место и при изображении
условий задач с помощью рисунка. Рассмотрим, например, зада-
чу № 382 (2) из учебника математики II класса: «Юннаты вы-
растили 10 цыплят, а утят в 5 раз меньше, чем цыплят. Сколько
утят вырастили юннаты?» «Условимся,—говорит учитель,—вме-
сто цыплят рисовать кружки, а вместо утят — треугольники».
Ученики рисуют 10 кружков, а затем рассуждают так: «Чтобы
треугольников было в 5 раз меньше, надо, чтобы кружков было в
5 раз больше. Значит, кружков 5 раз по стольку, сколько надо на-
рисовать треугольников. Чтобы узнать, сколько надо нарисовать
треугольников, надо 10 кружков разделить на 5 равных частей.
В каждой части получим по 2 кружка. Нарисуем на второй строке
2 треугольника. Рассмотрев рисунок (рис. 58), легко убедимся,
что треугольников действительно в 5 раз меньше, чем кружков».
Следующий шаг в работе по использованию наглядности при
решении задач на увеличение и уменьшение числа в несколько
раз — это изображение условий таких задач в «отрезках».
Начать можно с решения представленных в учебнике мате-
матики II класса задач геометрического содержания вида: «На-
черти 2 отрезка: один длиной 4 см, а другой в 3 раза длиннее.
Чему равна длина второго отрезка?»
Знакомство с иллюстрацией условий сюжетных текстовых
задач с помощью «отрезков» целесообразно начать с использо-
вания таких иллюстраций, на которых представлены одновремен-
но и рисунки предметов, и их условные изображения (отрезки).
Рассмотрим, например, задачу: «Высота яблони 4 м. Сосна вы-
ше яблони в 4 раза. Найти высоту сосны». Ее можно иллюстри-
ровать так, как показано на рисунке 59.
Переход от рисунка к изображению условия рассматривае-
мой задачи в «отрезках» осуществляется примерно так: «Рядом
с яблоней изображен отрезок, г ।
который условно приняли за О О О ООО О О О о
высоту яблони. Известна ли ' । '
высота сосны? (Нет.) А что ЛА
известно про высоту сосны?
Рис. 58.
4* S1
ч
(Сосна выше яблони в 4 ра-
за.) Правильно. Поэтому ря-
дом с сосной изображен вто-
рой отрезок, длина которого в
4 раза больше длины первого
отрезка».
При иллюстрации сюжет-
ных задач в большинстве слу-
чаев целесообразнее использо-
вать схематические чертежи.
Во-первых, построить их го-
раздо легче, чем чертеж (осо-
бенно для задач с большими
числовыми данными), во-вто-
Рис. 59. Яблоня. Сосна.
рых, при выборе детьми нужного действия схематические черте-
жи делают рассматриваемые при решении таких задач отноше-
ния более наглядными, в-третьих, возможность найти результат
с помощью счета, который возникает при выполнении чертежа в
определенном масштабе, полезна только для проверки решения,
но не помогает в выборе арифметического действия, необходи-
мого для решения задачи арифметическим способом.
Процесс построения схематических чертежей проиллюстри-
руем на примере следующих задач.
1. Сыну 8 лет. Отец в 4 раза старше сына. Сколько лет отцу?
Рассуждаем примерно так: «Сыну 8 лет. Пусть возрасту сына
соответствует какой-либо отрезок произвольной длины. Так как
отец старше сына в 4 раза, то, чтобы изобразить с помощью от-
резка возраст отца, надо отложить на прямой последовательно
4 таких же отрезка, как первый» (рис. 60).
2. В мастерской изготовили 50 парт, а столов в 5 раз меньше,
чем парт. Сколько столов изготовили в мастерской?» Чертим
произвольный отрезок и договариваемся, что он изображает об-
щее число парт (50). Так как число столов в 5 раз меньше, чем
парт, то начертим второй отрезок, соответствующий числу сто-
лов. Первый отрезок делим (на глаз) на 5 равных частей и под
ним чертим второй отрезок, равный одной из полученных частей
(рис. 61).
При иллюстрации задач на увеличение и уменьшение числа
в несколько раз, выраженных в косвенной форме, проводятся
аналогичные рассуждения. Необходимо только предварительно
оживить в сознании детей усвоенное ими ранее соотношение:
0. I----------1----------1----------1---------1 с
Рис. 60.
Рис. 61.
если первое число в несколько раз больше (меньше) второго, то
второе во столько же раз меньше (больше) первого.
Задачи на кратное сравнение чисел
Знания, приобретенные детьми при решении задач на увели-
чение (уменьшение) числа в несколько раз, служат основой для
введения задач на кратное сравнение. Наглядность при озна-
комлении с решением задач этого вида помогает детям уяснить
смысл кратного отношения, выраженного словами «во столько-
то раз больше», «во столько-то раз меньше». В методике реко-
мендуется начать работу с использования дидактического мате-
риала: «На наборное полотно выставляется 3 квадрата. Учитель
спрашивает ученика, сколько квадратов на наборном полотне, и
предлагает взять треугольников в 2 раза больше. Ученик должен
объяснить, почему он взял 6 треугольников. (В 2 раза больше,
значит, 2 раза по 3.)
Затем учитель берет 12 треугольников и спрашивает, как уз-
нать, во сколько раз треугольников больше, чем квадратов. Вы-
ясняется, что для этого нужно узнать, сколько раз взяли по
3 треугольника. Не давая детям возможности решить задачу
практически, учитель спрашивает, как же узнать, сколько раз по
3 надо взять, чтобы получилось 12. Каким действием эТо можно
узнать? Дети отвечают и решают задачу. После этого учитель
выставляет на полотне 12 треугольников, разбирая их по 3. Что-
бы получить 12, надо взять по 3 четыре раза. Во сколько же раз
12 больше, чем 3? (В 4 раза.) А во сколько раз 3 меньше, чем 12?
(Тоже в 4 раза.) »1
В дальнейшем (после того как будет сделан вывод, как уз-
нать, во сколько раз одно число больше или меньше другого),
в случаях затруднения или же в целях проверки правильности
решения задачи арифметическим способом можно решать рас-
сматриваемые задачи графически, с помощью рисунков и черте-
жей, выполненных в определенном масштабе.
Приведем несколько примеров.
1. У брата 3 художественные открытки, а у сестры — 12. Во
сколько раз больше открыток у сестры, чем у брата?
После решения задачи арифметическим способом (12:3 = 4)
детям предлагается сделать к этой задаче рисунок, изображая
каждую открытку прямоугольником: на одной строке они нари-
суют 3 прямоугольника, а через строчку— 12 прямоугольников.
«Сосчитайте, сколько раз по 3 прямоугольника надо взять,
чтобы получилось 12 прямоугольников?» (Нарисованные в ниж-
нем ряду 12 прямоугольников ученики разделят черточками на
группы по 3 прямоугольника в каждом.)
1 Моро М. И., Пышкало А. М. Методика обучения математике в I—III
классах. М., «Просвещение», 1975, с. 200.
S3
«Посмотрите ответ задачи:
такое ли число у вас получи-
лось?»
Такие дополнительные за-
дания особенно полезно пред-
лагать слабоуспевающим уче-
никам.
2. Красная лента имеет дли-
ну 9 м, а желтая 3 м. Во сколь-
ко раз красная лента длиннее
желтой?
Для графического решения задачи с помощью чертежа при-
мем длину одной клетки ученической тетради за 1 м.
Тогда длине красной ленты будет соответствовать отрезок,
состоящий из 9 единичных отрезков, а длине синей ленты — от-
резок, состоящий из трех единичных отрезков. Далее «уклады-
ваем» меньший отрезок на большем, делая на нем соответствую-
щие отметки с помощью черточек, побольше тех, которые отде-
ляют единичные отрезки (рис. 62). Арифметический и графиче-
ский способы решения сравниваются и устанавливается, что
ответ получился один и тот же.
Надо отметить, что нельзя изображать числовые данные в
задачах на кратное и на разностное сравнение чисел в виде двух
отрезков произвольной длины. Однако при иллюстрации задач
на кратное сравнение оказывается полезным следующий прием
построения чертежа: меньшее из сравниваемых чисел изобража-
ется отрезком произвольной длины (над ним записывается со-
ответствующее число); для изображения большего из сравни-
ваемых чисел на параллельной прямой последовательно откла-
дываются отрезки, равные данному. Откладывая каждый новый
отрезок, ученик должен всякий раз подсчитывать, какое число
изображает весь полученный отрезок. Процесс продолжается до
тех пор, пока не будет получено число, данное в задаче. На ри-
сунке 63 показана соответствующая иллюстрация для случая
кратного сравнения чисел 24 и 6.
Приведенная иллюстрация представляет собой чертеж, вы-
полненный в определенном масштабе (он задан меньшим отрез-
ком и числом 6). Такой чертеж открывает возможность найти от-
вет на вопрос задачи с помощью счета. В рассмотренном случае
для получения искомого достаточно посчитать, сколько отрезков,
изображающих число 6, содержится в отрезке, изображающем
число 24 (их 4, и из этого следует, что число 6 в 4 раза мень-
6 ше числа 24, а число 24 в 4ра-
' Л > за больше, чем 6).
Описанный способ построе-
। , । | | ния чертежа особенно полезен
4------------v------------ в тех случаях, когда задача тре
24 бует сравнения больших чисел.
Рис. 63.
54
Остановимся теперь коротко на рассмотрении вопроса об
использовании графических изображений для сравнения прос-
тых задач, их обобщения и систематизации.
Объяснительная записка к программе по математике указы-
вает, что система в подборе простых задач и «расположения их
во времени построена с таким расчетом, чтобы обеспечить наибо-
лее благоприятные условия для сопоставления, сравнения, про-
тивопоставления задач, сходных в том или ином отношении
(а поэтому смешиваемых детьми), а также задач взаимно-об-
ратных. При этом имеется в виду, что в процессе упражнений
дети все время будут встречаться с задачами различных видов.
Это исключит возможность выработки вредных штампов в реше-
нии задач; дети с самого начала будут поставлены перед необ-
ходимостью каждый раз производить основательный анализ за-
дачи, прежде чем выбрать то или иное действие для ее решения»1.
Сравнение простых задач различных видов проводится в це-
лях выяснения сходства или различия в их условиях, в способе
их решения. Для осознания сходства, а также для разграниче-
ния близких понятий, сходных в том или ином отношении задач,
большую пользу может принести предметная или графическая
наглядность. На целесообразность ее использования в этих це-
лях учителя издавна ориентирует учебно-методическая литера-
тура. Так, в работе Г. Б. Поляка «Преподавание арифметики в
начальной школе» находим следующую общую рекомендацию:
«Геометрические образы полезно применять при решении мно-
гих видов простых задач, в частности когда требуется разграни-
чить близкие понятия, например увеличение или уменьшение на
несколько единиц и в несколько раз, разностное и кратное срав-
нение, деление на части и по содержанию»1 2.
При решении простых задач ученикам рекомендуется пред-
лагать для сравнения пары задач. Вот некоторые из таких пар:
1. На ветке сидели 5 птичек. Прилетели еще 2 птички. Сколь-
ко птичек стало на ветке?
На ветке сидели 5 птичек. 2 птички улетели. Сколько птичек
осталось на ветке?
2. Коля нашел в лесу 8 орехов, д Петя — на 2 ореха меньше.
Сколько орехов нашел Петя?
Коля нашел в лесу 8 орехов, а Петя — на 2 ореха бвльше.
Сколько орехов нашел Петя?
3. Два мальчика расчищали дорожки. Один мальчик расчис-
тил 5 м, а другой — на 3 м больше. Какой длины дорожку рас-
чистил второй мальчик?
1 Программа восьмилетней школы. Начальные классы (I—III). М.,
«Просвещение», 1976, с. 39.
2 Поляк Г. Б. Преподавание арифметики в начальной школе. М., Учпед-
гиз, 1959, с. 296.
И
A A AAA A A. 5+2=7
2
А А АА A 5-2=J
Рис. 64.
9 кн.
/ I I
Зкн.
II К —........... 1~~~4
2
Рис. 65.
9кн.
/ I--------------------1
? Зкн.
п ।—------;------1—।
Рис. 66.
Один мальчик расчистил 5 м дорожки, а другой — в 3 раза
больше. Какой длины дорожку расчистил другой мальчик?
Первая пара задач — задачи на нахождение суммы и остат-
ка. В задачах дан сходный сюжет, одни и те же числа. Осозна-
нию различия в способах решения этих задач помогут схемати-
ческие рисунки (рис. 64).
Аналогичным образом, представив графически условия задач
каждой из следующих пар, ученики легко заметят, чем вызваны
различия в их решении.
После того как дети осмыслят решение простых задач и на-
учатся иллюстрировать их, можно предлагать им и задания твор-
ческого характера. Пусть, например, ученикам предложена для
решения задача на увеличение числа на несколько единиц: «Пер-
вая «звездочка» собрала 9 книг, а вторая — на 3 книги больше.
Сколько книг собрала вторая «звездочка»?» Ученики иллюстри-
руют ее с помощью схематического чертежа (см. рис. 65), запи-
сывают решение: 94-3=12 (кн.). После решения задачи учитель
последовательно вносит изменения в иллюстрации (рис. 66, 67,
68, 69, 70), а учащимся предлагает внести соответствующие из-
менения в условие задачи.
В соответствии с новыми схематическими чертежами ученики
составят такие задачи:
1. Первая «звездочка» собрала 9 книг; а вторая — на 3 книги
меньше. Сколько книг собрала вторая «звездочка»? (Рис. 66.)
2. Первая «звездочка» собрала 9 книг, а вторая — в 3 раза
больше. Сколько книг собрала вторая «звездочка»? (Рис. 67.)
3. Первая «звездочка» собрала 9 книг, а вторая — в 3 раза
меньше. Сколько книг собрала вторая «звездочка»? (Рис. 68.)
4. Первая «звездочка» собрала 9 книг, а вторая — 6 книг. На
сколько больше книг собрала первая «звездочка», чем вторая?
(Рис. 69.)
56
9кн.
I ।---------------------
// i------------------1-----------------1-----------------1
?
Рис. 67.
9кн.
I i-----1-----1—, —t
Зкн.
// I-----1
9kh.
i । ...... "
6 KH. ?
II I--------------1
Рис. 69.
-------9кн.
I I----„4------1----Ц
Зкн.
II I------1
Рис. 70.
5. Первая «звездочка» собрала 9 книг, а вторая — 3 книги.
Во сколько раз больше книг собрала первая «звездочка», чем
вторая? (Рис. 70.)
После решения задач открывается большой простор для вы-
явления сходства и различия между ними.
Описанная работа по преобразованию и сравнению задач мо-
жет быть проведена и несколько по-другому. После решения за-
дачи учитель изменяет знак арифметического действия в ее ре-
шении (9—3, 9-3, 9:3), а учащимся предлагает внести соответ-
ствующие изменения в условие и графическую иллюстрацию
задачи. Затем задачи сравниваются.
Научив детей правильно выбирать действие в задаче, учитель
должен начать работу и по подведению детей к обобщению, вы-
ясняя при этом, какие задачи решаются тем или иным действием.
В объяснительной записке к программе по математике по этому
поводу говорится, что «Большое значение при рассмотрении за-
дач имеет намеченная программой обобщающая работа. Начало
работы относится уже к рассмотрению простых задач, так как
при их решении предлагается составлять выражение или урав-
нение.
Поскольку по одному и тому же выражению (например, 3-J-
-J-5) может быть составлен ряд задач различного конкретного
содержания, с самого начала обращается внимание на общность,
существующую между всеми задачами такого вида»* 1 II.
Рисунки и чертежи, выражающие математическую сущность
задачу, могут быть с успехом использованы при систематизации
и обобщении знаний учащихся о простых задачах. Так, например,
ученикам можно предложить проиллюстрировать чертежом за-
дачу, которая решается так: 3-4=12 (дер.), и сформулировать
1 Программа восьмилетней школы. Начальные классы (I—III). М.,
«Просвещение», 1976, с. 39.
57
Рис. 71.
ее. Возможные варианты графического изображения представ-
лены на рисунке 71. Опираясь на решение и возможные варианты
графической модели задач, ученики могут составить, например,
задачи, решаемые действием умножения:
1. В каждом ряду надо посадить 3 дерева. Сколько деревьев
можно посадить на 4 таких рядах? (Задача на нахождение сум-
мы одинаковых слагаемых.)
2. В одном ряду посадили 3 дерева, а в другом — в 4 раза
больше деревьев. Сколько деревьев посадили во втором ряду?
В одном ряду посадили 3 дерева, что в 4 раза меньше чис-
ла деревьев, посаженных в другом ряду. Сколько деревьев поса-
дили в другом ряду?
Последние две задачи являются задачами на увеличение чис-
ла в несколько раз (выраженные в прямой и в косвенной фор-
мах).
3. Ученики II класса посадили 3 дерева, что составляет
всех деревьев, которые надо посадить. Сколько всего деревьев на-
до посадить ученикам II класса? (Задача на нахождение числа
по доле.)
Аналогичным образом графические модели могут быть ис-
пользованы и при обобщении простых задач, решаемых другими
действиями (сложением, вычитанием, делением).
§ 2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ГРАФИЧЕСКИХ
ИЗОБРАЖЕНИЙ ПРИ РЕШЕНИИ
НЕКОТОРЫХ СОСТАВНЫХ ЗАДАЧ
Составные задачи, как и простые, иллюстрируются с помощью
реальных предметов, рисунков и чертежей (в том числе и схе-
матических). При этом, очевидно, должен быть соблюден прин-
цип постепенного и своевременного перехода от более конкретных
форм наглядности к менее конкретным.
Обратимся к первым составным задачам, содержащим прос-
тые задачи на уменьшение числа на несколько единиц и нахож-
дение суммы. Известно, что при решении подобных задач учени-
кам трудно осознать необходимость выполнения двух действий.
Для преодоления этих трудностей рекомендуется осуществлять
инсценировку, позволяющую наглядно демонстрировать оба дей-
ствия, использовать рисунки и схемы. Напомним, как авторы
S8
учебника рекомендуют иллю-
стрировать задачу № 57 из
учебника математики для I
класса: «В первой коробке 6
карандашей, а во второй — на
2 карандаша меньше. Сколько
всего карандашей в двух ко-
робках?».
«Рассказывая условие задач
6 к. ?
На 2 к. меньше
2
Рис. 72.
, учитель показывает, сколько
карандашей в первой коробке (6); показывает вторую, закры-
тую коробку и говорит, что в ней на 2 карандаша меньше. Фор-
мулируя вопрос, учитель одну коробку придвигает к другой. За-
тем дети повторяют задачу по вопросам учителя, а учитель пово-
ду работы выполняет схематический рисунок на доске: «Что из-
вестно про первую коробку? (На рисунке первой коробки появ-
ляется число 6 к.) Известно ли, сколько карандашей было во вто-
рой коробке? (На второй коробке ставится вопросительный
знак.) Что известно про карандаши во второй коробке? (Запись
под рисунком «на 2 к. меньше».) О чем спрашивается в задаче?
(Обе коробки объединяются фигурной скобкой, и под ней ста-
вится вопросительный знак.) Когда рисунок готов (рис. 72), уча-
щиеся повторяют по нему задачу, поясняя, что обозначает каж-
дое число и каков вопрос задачи»1.
Практика показывает, что детям особенно трудно осознать не-
обходимость выполнения двух действий в задачах, содержащих
простые задачи на увеличение числа на несколько единиц и на-
хождение суммы. Дети нередко при решении задач этого вида
(с двумя сложениями) выполняют только одно действие. Преду-
преждению таких ошибок способствует использование нагляднос-
ти. Рассмотрим, для примера, задачу: «На одной полке 8 книг, на
другой — на 3 книги больше. Сколько книг на двух полках вмес-
те?» Для иллюстрации условия задачи можно выполнить услов-
ный рисунок.
В ходе работы проводятся примерно такие рассуждения: «О
чем говорится в задаче? (О книгах.) О скольких полках идет
речь в задаче? (О двух.) Запишем это».
Один из учеников у доски, а остальные на местах производят
такую запись: I
II п.
«Что известно про книги на первой полке? (На первой полке
8 книг.) Пусть одна клетка изображает одну книгу. Как изобра-
зить в этом случае, что на первой полке 8 книг? (В виде полоски
из 8 клеток.) Изобразите это. Известно ли, сколько книг на вто-
рой полке? (Нет.) Что известно про книги на второй полке? (На
• Моро М. И., Бантова М. А., Бельтюкова Г. В. Математика в I клас-
се. Пособие для учителя. М.л «Просвещение», 1973, с. 199,
S9
второй полке книг на 3 больше, чем на первой.) Как это понять:
«на 3 больше, чем на первой»? (Столько же, сколько на первой, и
еще 3.) Изобразите это графически».
Ученики (через строку от изображения числа книг на первой
полке) обводят сначала столько же клеток, сколько их в верхней
полоске, а затем еще 3 клетки.
«О чем спрашивается в задаче? (Сколько книг на двух полках
вместе?) Как это обозначить? (Фигурной скобкой и вопроситель-
ным знаком.)»
В результате в тетрадях учеников появляется схематический
рисунок задачи (рис. 73). Такой схематический рисунок служит
средством предупреждения ошибок, наглядной опорой при раз-
боре задачи. Опираясь на выполненный рисунок, можно провести
разбор задачи примерно так: «Знаем ли мы, сколько книг на пер-
вой полке? На второй? Можно ли сразу (одним действием) уз-
нать, сколько всего книг на двух полках? (Нет.) Почему нельзя?
(Неизвестно, сколько книг на второй полке.) Можно ли сразу
узнать, сколько книг на второй полке? (Можно.) Что для этого
нужно сделать? (Нужно к 8 прибавить 3.) Почему? (Потому что
в задаче сказано, что на второй полке на 3 книги больше, чем на
первой. Значит, на ней столько же книг, сколько на первой (8), и
еще 3.) Что узнаем, если к 8 прибавим 3? (Сколько книг на вто-
рой полке.) Можно ли теперь узнать, сколько книг на двух пол-
ках вместе? (Да.) Что для этого нужно сделать? (Сложить чис-
ло книг на первой и число книг на второй полке.) Ответим мы
тогда на главный вопрос задачи? (Да.)»
При решении первых же составных задач рисунки могут вы-
ступать не только как средство иллюстрации условий задач, но
и как средство их графического решения (или как средство про-
верки правильности решения задачи арифметическим способом).
Приведем несколько примеров:
1. В классе висело 7 картин. Повесили еще 2 картины, а за-
тем 4 картины сняли. Сколько картин осталось висеть в классе?
Может быть предложено такое задание: «Нарисуйте столь-
ко прямоугольников, сколько картин висело в классе. Рядом
(чуть поодаль) нарисуйте столько прямоугольников, сколько
еще повесили картин. Перечеркните столько прямоугольников,
сколько сняли картин, сосчитайте, сколько прямоугольников ос-
талось неперечеркнутыми. Какой ответ можно дать на вопрос
задачи? Задача решена графически, без выполнения арифмети-
ческих действий над данными числами».
2. В классе 6 электрических
лампочек, в коридоре на 2 лам-
почки больше, чем в классе,
2 а в зале столько лампочек,
сколько в классе и коридоре
вместе. Сколько лампочек в
зале?
60
После арифметического решения задачи: 6+(64-2)==
14 (шт.) ученикам предлагается задание: «Нарисуйте на од-
ной строке столько кружков, сколько лампочек было в классе, на
другой — столько кружков, сколько лампочек было в классе, и
еще 2 (так как в коридоре лампочек было на 2 больше, чем в
классе). Сосчитайте, сколько кружков на этих двух строчках
вместе. Посмотрите ответ задачи: такое ли число у вас полу-
чилось?»
Графическое решение задач не только служит средством про-
верки правильности решения, но и помогает осознанию сущности
арифметического способа решения.
От иллюстрации составных задач с помощью рисунков надо
перейти к изображению данных в задаче чисел, отношений и
искомого в «отрезках».
Знакомство с иллюстрацией задач в «отрезках» целесообраз-
но начать с таких задач, данные которых выражены в мерах дли-
ны. В этом случае изображение данных и искомого в виде отрез-
ков будет понятнее детям.
Рассмотрим, например, процесс построения схемы в «отрез-
ках» к такой задаче: «У Кости было 2 куска проволоки: один дли-
ной 5 м, а другой на 2 м длиннее. Найти длину двух кусков про-
волоки».
«О чем говорится в задаче? (О проволоке.) О скольких кус-
ках проволоки идет речь в задаче? (О двух кусках.) Запишем
это».
Производится такая запись:
I.
II.
«Что известно про длину первого куска проволоки? (Первый
кусок проволоки был длиной 5 м.) Изобразим с помощью произ-
вольного отрезка длину первого куска проволоки и надпишем над
ним, что он изображает 5 м. Что еще известно в задаче? (Вто-
рой кусок проволоки на 2 м длиннее первого.) Под первым от-
резком начертим второй отрезок длиннее первого. Отметим ту
часть отрезка, которая изображает 2 м. Надпишем над этой
частью отрезка «2 м».
Затем учитель задает ученикам еще несколько вопросов:
«Что неизвестно в задаче? Как это обозначить?»
В результате такого анализа появляется представленный на
рисунке 74 схематический чертеж.
Для графического решения той же задачи можно выполнить
чертеж, приняв, например, длину стороны клетки тетради за 1 м.
Тогда длине первого куска проволоки (5 м) будет соответство-
вать отрезок длиной 5 клеток, а длине второго куска проволоки —
отрезок в 54-2 (клеток). Для обозначения неизвестного отрезки,
соответствующие длине каждого из кусков проволоки, объединя-
ют фигурной скобкой и чуть поодаль от нее ставят вопроситель-
ный знак (рис. 75).
61
Рис. 74.
При решении подобных задач из раздела «Сотня» ученики не-
редко встречаются с большими числовыми данными. В этом слу-
чае при изображении условий задач в «отрезках» предпочтение
следует, конечно, отдавать схематическому чертежу.
Выше в целях иллюстрации с помощью «отрезков» условий
составных задач, содержащих простые задачи на' увеличение
(уменьшение) числа на несколько единиц и нахождение суммы,
использовались 2 отрезка неравной длины, расположенных один
под другим. Однако иллюстрировать условия такого вида задач
можно и с помощью отрезков, расположенных на одной прямой.
Все зависит от жизненной ситуации, описанной в задаче. Напри-
мер, условие задачи: «Поезд вышел из пункта А в пункт В. До
остановки в пункте С он прошел 34 км, а после остановки — на
16 км больше. Какой путь прошел поезд от пункта А до пункта
В?» — целесообразно иллюстрировать так, как показано на ри-
сунке 76.
Рассмотрим ход построения этого схематического чертежа.
Сначала отложим на прямой отрезок АС (произвольной длины),
отметим с помощью дуги и надписи, что он изображает путь,
пройденный поездом до остановки, который равен 34 км. Отме-
тим на чертеже стрелкой направление движения поезда, а оста-
новку вертикальной черточкой с флажком. Затем, снова обратив-
шись к условию задачи, выясним, что после остановки поезд про-
шел в том же направлении на 16 км больше, чем до остановки,
а это значит, что после остановки он прошел столько же, сколько
до остановки, да еще 16 км. Покажем это на чертеже, отложив
отрезок CD, равный отрезку АС, и отрезок DB, изображающий
16 км. С помощью дуг и записей обозначим, какое расстояние
изображает отрезок CD и какое — отрезок DB. Предлагаем де-
тям показать на чертеже весь путь, пройденный поездом (он из-
ображен отрезком АВ), путь, пройденный до остановки (отрезок
АС), и путь, пройденный после остановки (отрезок СВ). Выяс-
няем, известно ли из условия
задачи, сколько километров
прошел поезд после остановки'
(нет), и обозначаем это на чер-
теже скобкой и вопроситель-
ным знаком. Спрашиваем,
можно ли узнать, чему равен
62
путь от С до В, и как это сде-
лать, как после этого узнать
расстояние от А до В.
Несколько иначе будет
строиться чертеж в том случае,
когда в задаче идет речь о дви-
жении двух тел в противопо- рис 77
ложных направлениях. На ри-
сунке 77 приведен такой схематический чертеж, иллюстрирую-
щий задачу № 104 из учебника математики для III класса: «Две
моторные лодки отошли от одной пристани в противоположных
направлениях. Одна из них прошла 38 км, а другая — на 5 км
больше. На каком расстоянии оказались лодки одна от другой?»
Рассмотрим теперь, как строятся и как используются графи-
ческие изображения при поиске решения составных задач других.
видов.
I. Составные задачи, содержащие простые задачи на увели-
чение и уменьшение числа на несколько единиц.
Рассмотрим, например, задачу № 54 из учебника математи-
ки для II класса: «Нина наша 23 желудя, Катя — на 6 желудей
больше, чем Нина, а Оля — на 9 желудей меньше, чем Катя.
Сколько желудей нашла Оля?»
Дети читают задачу. Затем под руководством учителя строят
схематический чертеж, повторяя одновременно задачу.
«О ком идет речь в задаче? (О Нине, Кате и Оле.) Запишем
это кратко. Что известно про число желудей, которые нашла Ни-
на? (Нина нашла 23 желудя.) Изобразим с помощью отрезка
произвольной длины число желудей, которые нашла Нина, и над-
пишем, что этот отрезок изображает 23 желудя. Известно ли,
сколько желудей нашла Катя? (Нет.) Что известно про желуди,
которые нашла Катя? (Катя нашла на 6 желудей больше, чем
Нина.) Ниже, под первым отрезком (через строчку), начертим
отрезок, равный ему, и продолжим его, чтобы показать, что
Катя нашла на 6 желудей больше, чем Нина. Надпишем над от-
резком, изображающим 6 желудей, «6 жел.». Что известно про
желуди, которые нашла Оля? (Оля нашла на 9 желудей меньше, .
чем Катя.) Что значит «на 9 желудей меньше»? (Это значит
«столько же без 9»),
Начертим под вторым отрезком третий, такой же длины, а
затем отделим от него часть, которая будет изображать 9 желу-
дей. Эта часть должна быть несколько больше отрезка, с по- -
мощью которого мы изображали 6 желудей. Поскольку эта
часть третьего отрезка показывает отсутствующие желуди
(если бы Оля нашла еще 9 желудей, то у нее было бы их
столько же, сколько, у Кати, но она их не нашла), то покажем
эту часть отрезка пунктиром (если чертеж выполняется на до-
ске, то это легко сделать, если же в тетради, то пунктирную
линию -можно провести поверх начерченного отрезка, рис. 78).
63
Обозначим, что эта часть треть-
его отрезка изображает 9 же-
ft. ।-----------------1 лудей. Над остальной частью
его поставим знак «?», так как
ft- ।-------? ..... 1 <— I она изображает искомое чи-
_________х_______с л о».
О- 1---------------1-------1 Когда схематический чер-
теж готов, ученики повторяют
Рис. 78. по нему задачу, поясняя, что
обозначает каждое число и ка-
ков вопрос задачи. Полученная схема разгружает учеников от
восприятия несущественных для решения особенностей условий,
наглядно отражает данные, вопрос задачи и связи между ними.
Благодаря ей связи и зависимости между величинами, входя-
щими в задачу, становятся обозримыми, в буквальном смысле
наблюдаемыми. Их легче изучать, объяснять ученикам.
Опираясь при разборе рассматриваемой задачи на выпол-
ненный схематический чертеж, нетрудно установить, что непо-
средственно связаны между собой два числа: 23 желудя и
6 желудей. Рассмотрев чертеж, дети определяют, что ответ на
промежуточный вопрос: «Сколько желудей нашла Катя?» —
можно найти действием сложения: 23 + 6 = 29 (жел.). Обосновав
ответ на вопрос о том, для чего надо узнавать, сколько желу-
дей нашла Катя, дети снова обращаются к графическому изо-
бражению и устанавливают, что числа 29 желудей и 9 желу-
дей также связаны между собой. Выбрав эти числа, • определя-
ют, что ответ на главный вопрос: «Сколько желудей нашла
Оля?» — можно найти действием вычитания: 29—9=20 (жел.).
II. Составные задачи, содержащие две простые задачи на
нахождение суммы, в условиях которых фигурируют слова «от-
резали», «осталось».
При решении составных задач рассматриваемого вида чер-
теж также помогает разобраться в зависимостях, существую-
щих между данными и искомым задачи, помогает выбору каж-
дого из действий.
Рассмотрим, например, задачу № 88 из учебника математи-
ки II класса: «От куска ленты девочка отрезала 6 дм и еще
7 дм. После этого у нее осталось 9 дм. Какой длины был ку-
сок ленты?»
Графическое изображение этой задачи в «отрезках» может
быть введено через сопоставление с представленной на страни-
це 15 учебника картинкой: вместо каждого куска ленты вычер-
чиваются 3 произвольных, но неравных отрезка. Затем отрезки
объединяют фигурной скобкой и поодаль от нее ставят вопро-
сительный знак (рис. 79).
Схематический чертеж к этой задаче может быть выполнен и
иначе, если все 3 отрезка будут последовательно отложены на
одной прямой (рис. 80). (Все 3 отрезка в данном случае про-
64
извольной длины, но при их вычерчивании отмечается, что вто-
рой должен быть немного больше первого, а третий — больше
второго.) По такому чертежу можно предложить детям пока-
зать, какой длины была вся лента; часть ленты, которую девоч-
ка отрезала (полезно отметить соответствующий отрезок дугой
и вопросительным знаком); оставшаяся часть ленты. После этого
детям легко будет ответить на такие вопросы: можно ли сразу
узнать, сколько дециметров ленты отрезали? Каким действием?
Можно ли теперь узнать длину всей ленты? Каким действием?
III. Составные задачи, решаемые двумя действиями, одно
из которых — умножение.
С подобными задачами ученики II класса впервые встреча-
ются в период подготовки к составлению и изучению таблиц
умножения. Рассмотрим задачу № 280 из учебника математики
II класса: «Ваня собрал летом коллекцию бабочек: в трех
коробках у него было по 6 бабочек и в одной коробке — 4 ба-
бочки. Сколько всего бабочек было у Вани?» В учебнике на
странице 47 дан предметный рисунок к этой задаче, но его
легко заменить схематическим, изобразив каждую из коробок с
помощью прямоугольника, а бабочку в виде треугольника
(рис. 81).
Схематический рисунок поможет детям ответить на вопро-
сы, которые будут заданы им при разборе задачи: «Можно ли
сразу (одним действием) узнать, сколько всего бабочек было
у Вани? Почему нельзя? Можно ли сразу узнать, сколько все-
го бабочек было в первых трех коробках? Что для этого нужно
сделать? Почему? Что узнаем, если 6 умножим на 3? Можно
ли теперь узнать, сколько всего бабочек было у Вани? Что
для этого нужно сделать? Ответим ли мы тогда на главный
вопрос задачи?» Такого рода схематические рисунки можно
использовать и при разборе других задач того же вида.
Рис. 81.
б Заказ 9019
65
условно в виде клетки
В дальнейшем для иллюстрации
условий задач рассматриваемого ви-
да можно использовать геометрические
образы в виде прямоугольных поло-
сок, отрезков. Так, для иллюстрации
условия задачи: «В детском саду перед
сном расставили кроватки: 4 ряда по
5 кроваток и в пятом ряду еще 3 кро-
ватки. Сколько всего кроваток расста^
вили?» — можно изобразить кроватку
ученической тетради. Тогда количест-
во кроваток, которые расставили в одном из четырех ря-
дов, изобразится в виде прямоугольной полоски, содержащей
5 клеток, а в четырех рядах — в виде прямоугольника, состоя-
щего из четырех таких полосок. Количество же кроваток, кото-
рые расставили в пятом ряду, изобразится в виде прямоуголь-
ной полоски, содержащей 3 клетки (рис. 82). Такое графиче-
ское изображение может служить и средством наглядной иллю-
страции условий, и средством графического решения (или гра-
фической проверки), так как она наглядно иллюстрирует и ре-
шение, и ответ задачи:
5-4 + 3 = 23 (кр.).
При рассмотрении же задачи № 351 из того же учебника:
«От куска ситца отрезали двум покупателям по 8 м, после
этого в куске Осталось 7 м ситца. Сколько метров ситца было
в куске?», условие которой связано с мерами длины, можно
перейти к иллюстрации с помощью отрезков. С этой целью ку-
ски ситца, которые отрезали двум покупателям, изображаются
двумя равными отрезками, расположенными один под другим.
Количество же ситца, которое осталось, изобразится с помо-
щью третьего отрезка, который должен быть несколько меньше
каждого из первых двух отрезков. Для обозначения неизвест-
ного вводится фигурная скобка и знак «?» (рис. 83), Соответ-
ствующие отрезки могут быть отложены последовательно и на
одной прямой. Тогда схематический чертеж к рассматриваемой
задаче примет такой вид, как на рисунке 84.
IV. Составные задачи, содержащие простые задачи на уве-
личение (уменьшение) числа в несколько раз и на нахождение
суммы.
Первые задачи рассматриваемого вида лучше иллюстриро-
вать рисунками (предметными и схематическими), а затем схе-
матическими чертежами и чертежами, выполненными в опреде-
ленном масштабе. Так, при рассмотрении задачи № 419 в учеб-
нике математики для II класса показано, как может быть
выполнена иллюстрация с помощью рисунка и чертежа.
Процесс построения схематического чертежа проиллюстри-
руем на примере задачи № 420 из учебника математики для
II класса: «С горы на санках каталось 18 ребят, а на лыжах —
в 3 раза меньше, чем на санках. Сколько всего ребят каталось
с горы?»
Чертим отрезок произвольной длины и договариваемся, что
он изображает число ребят, которые катались на санках (18).
Так как на лыжах каталось в 3 раза меньше ребят, то, чтобы
изобразить их число, делим первый отрезок на три равные
части (на глаз) и ниже (под первым отрезком) чертим второй
отрезок, равный одной из образовавшихся частей. Далее с
помощью фигурной скобки и вопросительного знака обознача-
ется неизвестное (рис. 85).
Такой схематический чертеж помогает выявить связи между
данными, между искомым и данными и тем самым помогает
найти решение задачи:
18 + 18:3 = 24 (чел.).
V. Составные задачи, содержащие простые задачи на уве-
личение (уменьшение) числа на несколько единиц и в несколь-
ко раз.
Рассмотрим задачу: «Чемпион школы по шашкам выиграл
в турнире 12 партий, проиграл в 4 раза меньше и свел вничью
на 2 партии больше, чем проиграл. Сколько партий он свел
вничью?»
Для построения схематического чертежа изобразим каким-
либо отрезком число партий, которые выиграл чемпион школы.
Тогда число партий, которые чемпион проиграл, изобразится
отрезком, в 4 раза меньшим первого, а число партий, которые
он свел вничью, отрезком, большим второго на часть, изобра-
жающую число 2 (рис. 86).
Схема поможет ответить на вопросы, которые будут зада-
ны при разборе задачи: «В задаче сказано, что чемпион школы
по шашкам выиграл в турнире 12 партий, а проиграл в 4 раза
12 п.
, В. i । "II .....................................—<
Вн. । । —<
7
Рис. 85. Рис. 86.
5* W
меньше. Что узнаем по этим данным и как узнаем? Нужно
ли это узнавать? Известно, что вничью чемпион свел на 2 партии
больше, чем проиграл, а мы узнали, сколько партий он про-
играл. Что можно теперь узнать по этим данным? Как можно
узнать? Ответим ли мы тогда на главный вопрос задачи?»
VI. Составные задачи на нахождение суммы двух произве-
дений.
Рассмотрим задачу: «Ученики II класса в каждом из четы-
рех рядов вырыли по 6 ямок для деревьев, а ученики I класса
в каждом из трех рядов вырыли по 7 ямок. .Сколько ямок для
деревьев вырыли ученики I и II классов вместе?»
Введем условное обозначение. Изобразим ямку в виде клет-
ки ученической тетради. В процессе анализа задачи выполняет-
ся и соответствующая иллюстрация: «О чем говорится в зада-
че? (Ученики I и II классов рыли ямки для деревьев.) Что из-
вестно в задаче? (Ученики II класса в каждом из четырех рядов
вырыли по 6 ямок для деревьев.) Изобразите это графически.
(Ученики вычерчивают прямоугольник, состоящий из 4 прямо-
угольных полосок, каждая из которых содержит 6 клеток.) Что
еще известно в задаче? (Ученики I класса в каждом из трех
рядов вырыли по 7 ямок для деревьев.) Изобразите это графи-
чески. (Ученики к первому прямоугольнику пририсовывают
второй прямоугольник, состоящий из трех прямоугольных по-
лосок, каждая из которых содержит 7 клеток.)»
Далее ставятся вопросы: «Что спрашивается в задаче? Как
это обозначить?»
В результате появляется графическое изображение задачи,
представленное на рисунке 87.
Графическая модель не только наглядно иллюстрирует каж-
дое действие (помогая тем самым осознать их сущность), но и
подтверждает решение:
6-4 + 7-3 = 45 (ям.).
В качестве подготовки к использованию такой схематиче-
ской иллюстрации можно сначала предложить детям изобра-
зить каждую ямку кружком так, чтобы каждый кружок распо-
лагался в центре клетки тетради. Это поможет осуществить
переход к изображению, приведенному
на рисунке 87.
VII. Составные задачи, содержа-
щие простые задачи на увеличение
(уменьшение) числа в несколько раз
и на разностное сравнение.
Рассмотрим задачу № 912 из учеб-
ника математики для II класса: «В
прошлом году в заповеднике заготови-
ли на зиму 14 стогов сена для под-,
кормки лосей, а в этом году — в 3 раза
68
74cm.
I--------1--------f-
Рис. 88.
больше стогов. На сколько больше сто-
гов сена заготовили в этом году, чем в
прошлом?»
Если изобразить число стогов, ко-
торое заготовили на зиму в прошлом
году, при помощи отрезка (произволь-
ной длины), то число стогов, которые
заготовили на зиму в этом году, изобразится тремя такими же
отрезками. После обозначения неизвестного схематический чер-
теж будет иметь вид, представленный на рисунке 88.
Разбор задачи с опорой на приведенную схему: «Можно ли
сразу (одним действием) узнать, на сколько больше стогов
сена заготовили в этом году, чем в прошлом? (Нет.) Почему
нельзя? (Неизвестно, сколько стогов сена заготовили в этом
году.) Можно ли сразу узнагь, сколько стогов сена за-
готовили в этом году? (Можно.) Что для этого нужно сделать?
(Нужно 14 умножить на 3)».
Далее ставятся вопросы: «Почему? Можно ли теперь узнать,
на сколько больше стогов сена заготовили в этом году, чем в
прошлом? Что для этого нужно сделать? Ответим ли тогда на
главный вопрос задачи?» Затем составляется план и записы-
вается решение: 14-3—14 = 28 (ст.).
VIII. Задачи, которые решаются способом приведения к еди.
нице. ! 4
Рассмотрение первой составной задачи, решаемой способом
прямого приведения к единице, лучше начать с использования
так называемого предметно-аналитического рисунка1. При этом
условие задачи иллюстрируется реальными предметами (или
их изображениями), но сгруппированными и расположенными
так, что это облегчает установление связей между данными и
искомым. Например, На нижней планке наборного полотна учи-
тель устанавливает 5 авиаконвертов, говоря: «Надо подсчитать,
сколько стоят эти 5 авиаконвертов. (В одном ряду с авиакон-
вертами, несколько поодаль, ставится разрезная карточка со
знаком «?».) Почему мы не можем решить эту задачу? (Не
знаем, сколько стоит один авиаконверт.)»
Учитель устанавливает на верхней планке 2 авиаконверта,
а над карточкой со знаком «?» ставит «14 коп.». Формулирует-
ся задача: «Два авиаконверта стоят 14 коп. Сколько стоят
5 таких конвертов?»
Разбор задачи с опорой на наглядность: «Посмотрим на
верхнюю планку полотна: зная, что за 2 авиаконверта уплати-
ли 14 коп., мы можем узнать цену одного авиаконверта. Нуж-
но ли это? Да, так как, узнав цену одного авиаконверта, мы
1 По терминологии М. Э. Боцмаиовой (см.: Боцманова М. Э. О формах
графической наглядности в обучении решению задач. Доклады АПН
РСФСР, 1960, № 5).
69
----- ------1 сможем узнать стои-
. - J L_——I мость 5 таких же авиа-
' 14к0п ’ конвертов, что и спра-
|---- Н------ ------ шивается в задаче».
I____ L—— -J I J Наглядность помо-
> “ "т гает проведению раз-
бора и в направлении
Рис. 89. от вопроса к данным:
«Посмотрим на ниж-
нюю планку полотна. Нам нужно узнать стоимость 5 авиакон-
вертов. Для этого нужно знать цену одного конверта. Цена од-
ного конверта неизвестна, но мы знаем стоимость двух авиакон-
вертов (переходим к рассмотрению верхней планки полотна), а
зная стоимость (14 коп.) и количество (2 конверта), можно найти
цену конверта. Узнав цену одного конверта и умножив ее на ко-
личество конвертов (5), найдем стоимость 5 авиаконвертов».
После проведения разбора (в той или иной форме) наме-
чают план решения: ученики рассказывают, что нужно узнать
сначала, что потом, и записывают решение.
Для иллюстрации подобных задач могут использоваться
схематические рисунки. Для рассмотренной выше задачи он
будет иметь вид, представленный на рисунке 89.
В дальнейшем при рассмотрении такого вида задач можно
будет ограничиться краткой записью:
2 к. —14 коп.
5 к. — ?
Первая задача, решаемая способом обратного приведения
к единице, представлена в учебнике II класса под № 526: «Два
одинаковых карандаша стоят 8 коп. Сколько таких карандашей
можно купить на 32 коп.?» В учебнике к этой задаче дана
иллюстрация (рис. 90).
Этот предметно-аналитический рисунок иллюстрирует связь
между такими данными задачи, как 2 карандаша и 8 коп. Одна-
ко связь между этими данными и 32 коп. рисунком не отража-
ется. Искомое изображено на нем тоже в такой форме, которая
не раскрывает его связи с данными. Если мы захотим эти
связи изобразить графически, то такое изображение (рисунок,
чертеж или схема) будет давать фактически графическое ре-
шение задачи. Действительно, после того как мы узнали, напри-
мер, в приведенной выше задаче, что карандаш стоит 4 коп.,
остается изобразить графически, сколько раз по 4 содержится
в 32. Графическое решение задачи будет выглядеть так, как это
показано на рисунке 91.
Отрезок, изображающий 32 коп., должен быть получен в ре-
зультате последовательного откладывания равных отрезков,
изображающих 4 коп. Число карандашей, которые могут быть
куплены на 32 коп., может быть определено по этой схеме с по-
70
Рис. 90.
8 коп.
Чкоп
............1----1 । —> I —I
32 коп.
Рис. 91.
мощью счета: достаточно пересчитать число отрезков, которые
пришлось отложить, чтобы «набрать» 32 коп.
Рассмотрим другую задачу: «На 3 халата пошло 9 м мате-
рии. Сколько халатов можно сшить из 12 м такой материи?»
Для графического решения задачи примем за 1 м длину одной
клетки ученической тетради. Тогда 9 м материи графически
изобразятся в виде отрезка, состоящего из 9 единичных отрез-
ков. Чтобы узнать, сколько материи пошло на один халат, раз-
делим этот отрезок на 3 равные части. Каждая часть будет
содержать 3 единичных отрезка, т. е. 3 м. Дальнейшее графиче-
ское решение задачи показывает (рис. 92), что из 12 м материн
можно сшить 4 халата. В данном случае мы выполнили чертеж
в определенном масштабе, который дает возможность получить
ответ с помощью счета.
Обратная задача: «На 4 халата пошло 12 м материи. Сколь-
ко халатов можно сшить из 9 м такой материи?»
Графическое решение задачи представлено на рисунке 93.
Наряду с задачами разобранного выше вида в учебнике
III класса предлагаются задачи на нахождение четвертого
пропорционального, которые не могут быть решены способом
приведения к единице. Например задача № 500: «У портнихи
из каждых 10 м ситца получалось по 3 рубашки. Сколько таких
рубашек она может сшить из 50 м ситца?» Рассуждение, кото-
рое должно быть проведено для решения такой задачи, сводит-
ся к следующему: «Из каждых 10 м получалось по 3 рубашки.
Сколько раз по 10 м содержится в 50 м? (50:10=5 (раз).)
Столько раз получалось по 3 рубашки. Чтобы узнать, сколько
всего рубашек получилось из 50 м, достаточно 3 умножить на 5.
(3-5= 15 (рубашек).)» Это рассуждение легко провести, если
воспользоваться схематическим чертежом (рис. 94).
На приведенном схематическом чертеже отрезок произволь-
ной длины изображает 10 м. Откладываем последовательно
Рис. 92.
Рис. 93.
П
один за другим столько таких
^Р- Зр. 3Р- 3Р- 3Р- отрезков, сколько нужно, что-
1111— < । । бы получить отрезок, изобра-
"1^'~ю7Г^7^Юм^ Юм жающий 50 м. Обращаем вни-
мание детей на то, что каждый
из этих отрезков изображает
Рис' ' 3 рубашки, а потому для отве-
та на вопрос задачи достаточ-
но взять по 3 рубашки столько раз, сколько раз по 10 м содер-
жится в 50 м. Решение задачи запишется так:
3-(50:10) =3-5= 15 (рубашек).
При первоначальном знакомстве с такими задачами полез-
но воспользоваться предметно-аналитическим рисунком, а за-
тем перейти от него к выполнению схематического чертежа
(рисунок к этой задаче дан на с. 101 учебника).
Рассмотрим задачу вида: «Два одинаковых бублика стоят
12 коп. Сколько денег надо уплатить за 6 таких же бубликов?»
(Рис. 95.)
При разборе задачи такой рисунок помогает ученикам вы-
яснить, что за 6 бубликов надо заплатить столько раз по 12 коп.,
сколько раз по 2 содержится в 6.
В результате такого разбора намечается план решения
(узнаем сначала, сколько раз по 2 содержится в 6, а затем
узнаем стоимость 6 бубликов) и записывается решение:
12- (6:2) =36 (коп.).
В этой задаче даны небольшие числа, и предметы, о которых
в ней говорится, легко изобразить графически. Поэтому в этом
случае для иллюстрации удобно воспользоваться именно пред-
метно-аналитическим рисунком. В других случаях больше по-
дойдет схематический рисунок или чертеж (тоже схематический
или выполненный в масштабе). Например, к задаче № 499 из
учебника математики для III класса: «Перед уборкой урожая в
совхозе на каждые 10 комбайнов подготовлено 16 комбайнеров.
Сколько всего комбайнеров подготовлено в совхозе, если убор-
кой урожая будут заняты 40 комбайнов?» — может быть со-
ставлен схематический рисунок, на котором каждый комбайн
изображен кружком (рис. 96).
Рис. 95.
п
оооооооооо
76 комбайнеров
ОООООООООО'
оооооооооо
оооооооооо
оооооооооо,
10 комбайнов
i" ‘ I
16 комбайнеров
Р-0 комбайнов
Рис. 97.
Рис. 96.
По этому рисунку хорошо видно, что если на каждые 10 ком-
байнов (изображенных кружками) приходится 16 комбайнеров,
то всего потребуется (16-4) комбайнеров, так как 40 комбайнов
содержат 4 раза по 10 комбайнов.
Приведенный схематический рисунок нагляден, но выпол-
нение его связано с трудоемкой работой (надо нарисовать
50 кружков!). Если дети достаточно подготовлены к восприя-
тию схематического чертежа, то в этом случае лучше использо-
вать именно его (рис. 97).
Можно над каждым отрезком записать, что он изображает
10 комбайнов, а под ним—16 комбайнеров, но можно этого и
не делать, а соответствующие пояснения дать устно. Выполне-
ние такого схематического чертежа займет меньше времени, а
нужные связи, отношения между данными и искомым пред-
стают на нем достаточно отчетливо.
IX. Задачи на пропорциональное деление.
Основное назначение различных видов наглядности (карти-
нок, рисунков, схем и чертежей) при ознакомлении с задачами
на пропорциональное деление состоит в том, чтобы способст-
вовать лучшему пониманию учениками содержания, зависимо-
стей между величинами, входящими в эти задачи, способство-
вать выбору и обоснованию каждого действия.
В методической литературе рекомендуется предпослать
этой задачи иллюст-
с помощью картинки
или схематического
(например, чашка
введению данного вида задач подготовительные задачи, решае-
мые двумя действиями, например: «В первый раз купили 3 оди-
наковые чашки, а во второй раз — 2 такие же чашки. За все
чашки заплатили 2 руб. 50 коп. Сколько стоит одна чашка?»
Условие
рируется
(рис. 98)
рисунка
изображается в виде кружка).
После решения этой задачи во-
прос ее изменяется так, чтобы
/раз
Приз
Рис. 98. Сколько стоит одна
чашка?
получилась задача на пропор-
циональное деление: «В пер-
73
вый раз купили 3 одинаковые чашки, а во второй раз — 2 такие
же чашки. За все чашки заплатили 2 руб. 50 коп. Сколько де-
нег заплатили в первый раз и сколько — во второй?» При этом
графическое изображение облегчает ученикам понимание сход-
ства и различия прежней и новой задач, облегчает решение но-
вой задачи.
В процессе решения задачи рисунок используется для вы-
яснения каждого действия:
1) 3+2 = 5 (чаш.); 2) 250:5=50 (коп.);
3) 50-3=150 (коп.); 4) 50-2=100 (коп.).
В процессе решения целесообразно дополнять рисунок пу-
тем нанесения на него некоторых из полученных промежуточ-
ных результатов. Так, после нахождения цены чашки (250:5 =
= 50) полученное число (50 коп.) обозначается на рисунке.
С этой целью достаточно над каждой из первых чашек, куп-
ленных в первый и во второй раз, надписать (или прикрепить)
число 50 с соответствующим наименованием. Это поможет де-
тям лучше понять последующие действия.
Как и в других рассмотренных ранее случаях, иллюстрацию
подобных задач с помощью предметно-аналитического рисунка
выполнить не всегда легко. Если предметы, о которых идет
речь в задаче, трудно изобразить, то рисунок можно выполнить
схематично. Например, в рассмотренной выше задаче вместо
чашек можно было нарисовать, скажем, соответствующее число
квадратиков. Для третьеклассников, уже овладевших этим
приемом условного изображения, это ничего не изменило бы.
Несколько труднее воспринимается в таких случаях схемати-
ческое изображение данных и искомого с помощью отрезков.
Для задач рассматриваемого вида схематический чертеж мож-
но выполнить до конца, в сущности, только в процессе решения.
Покажем это на примере задачи № 613 из учебника математи-
ки для III класса. «Из двух кусков шелка сшили 18 одинаковых
занавесок. В первом куске было 30 м шелка, во втором — 24 м.
Сколько занавесок сшили из каждого куска?» Условие этой
задачи можно иллюстрировать схематическим чертежом так,
как это показано на рисунке 99 или 100.
Второй чертеж в большей мере поможет детям понять, что
18 занавесок получилось из обоих кусков. По этому чертежу
легче выяснить, как узнать, сколько метров материи расходо-
вали на каждую занавеску, что для. этого надо знать (сначала
30-м 18jCM
1.1---------------1 ' . -........
24 м ’1а зан- '....... '
7/ И1 । J ’30 м 24 м
Рис. 99 Рис. 100.
74
надо узнать, сколько
всего материи в обоих
кусках, а затем полу-
ченное число разде-
лить на 18). Понима-
ние этого облегчается
тем, что на схеме один
и тот же отрезок изо-
бражает и (30 + 24) м
шелка, и 18 занавесок.
Как правило, дальнейшие рассуж-
дения при решении задачи уже не вызывают у детей за-
труднений. Они могут ответить на вопрос о том, как узнать,
сколько занавесок получилось, например, из первого куска, без
дополнительных построений. Если же это потребуется, то
можно продолжить работу по чертежу так: «Мы узнали, что
на 18 занавесок пошло 30 + 24 = 54 (м), после этого определили,
что на одну занавеску расходовали по 54:18 = 3 (м). Как те-
перь показать это на чертеже? На. сколько равных частей нуж-
но разделить отрезок, изображающий 30 м, чтобы в каждой
части было по 3 м? (На 10 равных частей.). Сколько таких
отрезков уложится в отрезке, изображающем 24 м? (24:3 = 8.)».
Дополнив соответствующим образом схематический чертеж,
получим графическое решение задачи. Отметим, что на схема-
тическом чертеже, где используются отрезки произвольной
длины, это сделать труднее, чем с помощью чертежа, выпол-
ненного в масштабе.
Рассмотрим теперь такую задачу: «Пешеход прошел . до
остановки 8 км, а после остановки—12 км и шел все время С
одинаковой скоростью. Всего он был в пути 5 ч. Сколько ча-
сов пешеход был в пути до и после остановки в отдельности?»
Примем за 1 км длину одной клетки ученической тетради.
Графическое решение задачи представлено на рисунке 101,
После нахождения длины всего пути (8+12 = 20), пройденного
пешеходом, отрезок прямой, соответствующий 20 км, делится
на 5 равных частей, и определяется, сколько раз полученные
4 км содержатся в 8 и 12 км.
Ответ. До остановки пешеход был в пути 2 ч, а после
остановки — 3 ч.
X. Задачи на нахождение неизвестного по двум разностям.
Выявлению связей и зависимостей, существующих между ве-
личинами задачи, осознанию существенной особенности задач
рассматриваемого вида способствует использование нагляд-
ности.
Рассмотрим задачу: «С первого огорода собрали 3 одина-
ковых ящика огурцов, а со второго — 5 таких же ящиков, при-
чем со второго огорода собрали на 50 кг огурцов больше, чем
с первого. Сколько килограммов огурцов собрали с каждого
огорода?»
№
50 кг
Рис. 102.
4м
/ । - ' -I 10ру5^
I/ I----------------------1-------—t
у _ J
6м
Рис. 103.
Для схематического изображения условий задачи можно
каждый ящик с огурцами изобразить в виде квадрата
(рис. 102). Схематический рисунок этой задачи (и других за-
дач этого вида) позволяет наглядно убедиться, что со второго
огорода собрали на 50 кг огурцов больше только потому, что
число ящиков с огурцами, собранными с этого участка, на
2 больше, чем с первого.
Главное при решении — понять, что в этих 2 ящиках и было
50 кг. После установления этого решение задачи не вызовет за-
труднений у учащихся.
Так же как и при рассмотрении задач на пропорциональное
деление, в ходе решения задач рассматриваемого вида можно
дополнять схематический рисунок, отмечая на нем некоторые
из промежуточных результатов. В частности, после нахожде-
ния массы ящика с огурцами (50:2 = 25) полученное число
(25 кг) полезно обозначить на схеме. Это поможет детям луч-
ше понять последующие действия.
Для того чтобы научить детей изображать условия рас-
сматриваемых задач с помощью схемы в «отрезках», целесооб-
разно первыми брать задачи, условия которых связаны с мера-
ми длины, например: «Два покупателя купили материи по оди-
наковой цене: первый — 4 м, второй — 6 м. Второй покупатель
заплатил на 10 руб. больше. Сколько денег заплатил каждый
покупатель?» Решение задачи можно изобразить с помощью
двух произвольных, неравных отрезков (рис. 103).
Чертежи, применяемые при решении подобных задач, могут
быть использованы не только в целях иллюстрации их условий,
но и для графического решения. Рассмотрим, например, зада-
чу: «Пешеход прошел в первый день 12 км, а во второй день —
18 км и шел все время с одинаковой скоростью. Во второй день
он шел на 2 ч больше, чем в первый. Сколько часов пешеход
шел в каждый из этих дней?»
Примем за 1 км
длину одной клетки
ученической тетради.
Тогда путь, пройден-
денный пешеходом в
первый день, изобра-
зится отрезком, со-
Рис. 104.
76
стоящим из 12 единичных отрезков, а путь, пройденный во
второй день,— отрезком, состоящим из 18 таких же единич-
ных отрезков. На втором отрезке отделяется часть, рав-
ная разности обоих отрезков (18—12=6). Эта разность
(6 км) делится на 2 равные части. Получается Зкм. Первый отре-
зок, а затем и второй отрезок разбиваются на части по Зкм, что-
бы узнать, сколько раз по 3 км содержится в 12 км и в 18 км
(или сколько часов пешеход шел в каждый из двух дней).
Графическое решение задачи представлено на рисунке 104.
Поиск решения и целого ряда других видов задач, пред-
ставленных в учебниках для начальных классов и в сборниках
арифметических задач, значительно облегчается, если при этом
использовать рисунки, схемы или чертежи. Убедиться в этом
позволит материал, представленный в этом и следующих пара-
графах этой главы. Рассмотрим еще несколько более труд-
ных задач из курса II и III классов, чтобы показать, какой из
видов иллюстрации лучше выбрать в каждом конкретном
случае.
Задача 1. За две одинаковые тетради для рисования
заплатили 24 коп., а за одну такую же тетрадь для рисования
и карандаш заплатили 15 коп. Сколько стоит карандаш?
Для иллюстрации условия задачи с помощью, например,
схематического рисунка можно тетрадь для рисования изобра-
зить в виде прямоугольника, а карандаш — в виде палочки
(рис. 105). Рассматривая два рисунка (I и II) в сопоставле-
нии, ученики говорят, что сначала по первому рисунку можно
узнать цену тетради для рисования (24:2=12). Соответствую-
щая запись делается на рисунке (на каждой тетради записы-
вается ее цена). Узнав цену тетради, дети обращаются ко вто-
рому рисунку, и опираясь на него, рассуждают примерно так:
«Теперь можно узнать цену карандаша. За тетрадь и карандаш
заплатили 15 коп. Цена тетради 12 коп. Чтобы узнать цену
карандаша, надо из 15 вычесть 12».
Опираясь на рисунок, разбор задачи можно вести и от во-
проса к числовым данным. С этой целью, рассматривая второй
рисунок в сопоставлении с первым, можно рассуждать пример-
но так: «Чтобы узнать цену карандаша, надо знать, сколько
стоил он вместе с тетрадью для рисования (это известно) и
сколько стоила тетрадь для рисования (это неизвестно). Как
узнать цену тетради для рисо-
вания? Есть ли для этого необ-
ходимые данные?» Далее обра-
щается внимание детей на пер-
вый рисунок и цена тетради
узнается из сопоставления дан-
ных о числе тетрадей (2) и об-
щей их стоимости (24 коп.).
24 коп.
15 коп.
Рис. 105.
77
Задача 2. Володя и Дима взяли в библиотеке по книге.
В первый же день они прочитали поровну страниц. После этого
Володе осталось еще читать 25 страниц, а Диме — 30 страниц.
Сколько страниц в книге Димы, если в книге Володи 40 стра-
ниц? «О чем говорится в задаче? (О том, что Володя и Дима
взяли в библиотеке по книге.) Что известно про число страниц,
которые Дима и Володя прочитали в первый день? (В первый
день они прочитали поровну страниц.) Изобразим это графиче-
ски с помощью отрезков. (Ученики чертят один под другим два
произвольных, но равных отрезка.) Что известно про число
страниц, которые осталось прочитать каждому из мальчиков?
(Володе осталось еще читать 25 страниц, а Диме — 30 стра-
ниц.) Изобразим это графически».
Ученики продолжают первый отрезок на отрезок, условно
изображающий 25 страниц, а второй — на отрезок, изображаю-
щий 30 страниц.
«Что еще известно в задаче? (В книге Володи 40 страниц.)'
Обозначим это на схеме. Что спрашивается в задаче? Обозна-
чим это на рисунке.» (Рис. 106.)
Осуществляя разбор задачи от числовых данных к искомо-
му, устанавливаем, опираясь на верхнюю часть схематического
чертежа, что узнать, сколько страниц прочитал Володя в пер-
вый день, можно действием вычитания: 40 — 25 (с.). Задается
контрольный вопрос: «Нужно ли это узнавать, приблизит ли
это нас к ответу на вопрос задачи?» (Нужно.) Узнав, сколько
страниц прочитал в первый день Володя, мы тем самым узнаем,
сколько страниц прочитал в первый день и Дима, так как в пер-
вый день они прочитали поровну (иллюстрируется чертежом).
Узнав, сколько страниц прочитал в первый день Дима (40—25),
и зная, сколько страниц ему еще осталось прочитать (30),
сможем ответить на главный вопрос задачи. Далее, опираясь
на нижнюю часть чертежа, определяем, что можно узнать,
сколько страниц в книге Димы, действием сложения (40—25) +
.+30 = 45 (с.).
Задача 3 (№ 205 из учебника математики III класса).
В двух хранилищах было 1000 ц картофеля. Когда из каждого
хранилища взяли картофеля поровну, в одном из них осталось
345 ц, в другом — 389 ц. Сколько килограммов картофеля
взяли из каждого хранилища?
Щс.
в. । .1 — м —)
' 30 с.'
Д!~~............... ]
?
Рис. 106.
Изобразим количество кар-
тофеля, которое взяли из каж-
дого хранилища, при помощи
двух произвольных, но равных
отрезков. Продолжим первый
нз них на часть, условно соот-
ветствующую 345 ц, а второй-—
на часть, условно соответст»
78
вующую 389 ц. Каждый из ? , 5
вновь образовавшихся отрез- / । । £ Л—। )
ков будет изображать количе- ? >1000 ц
ство картофеля, которое было lt । .____%,___। J
соответственно в первом и во
втором хранилищах. Затем оба Рис- 107-
отрезка объединяют фигурной
скобкой и чуть поодаль от нее пишут «1000 ц» (рис. 107).
Рассуждения при решении задачи с опорой на схему: «Из
каждого хранилища взяли картофеля поровну. Поэтому, чтобы
узнать, сколько килограммов картофеля взяли из хранилища,
достаточно узнать, сколько всего центнеров картофеля взяли
из двух хранилищ вместе. А для этого надо знать, сколько
всего центнеров картофеля было в двух хранилищах и сколько
всего картофеля осталось. Сколько центнеров картофеля было
в двух хранилищах, известно, а сколько всего картофеля оста-
лось, можно узнать, так как известно, сколько центнероа кар-
тофеля осталось в каждом из них в отдельности». Затем, про-
говаривается план (сначала узнаем, сколько всего центнеров
картофеля осталось в двух хранилищах; затем — сколько всего
центнеров картофеля взяли из двух хранилищ и, наконец,
сколько центнеров картофеля взяли из каждого хранилища) и
записывается решение:
1) 345 + 389 = 734 (ц)—осталось в двух хранилищах;
2) 1000—734 = 266 (ц)—взяли из двух хранилищ;
3) 266:2=133 (ц) — взяли из каждого хранилища.
Ответ. 133 ц.
Задача 4. Пионеры отправились в поход. После того как
они прошли 13 км, им до половины пути осталось пройти 4 Км.
Сколько всего километров надо было пройти пионерам?
Изобразим путь в 13 км каким-либо отрезком и продолжим
его на часть, соответствующую 4 км. Вновь образовавшийся
отрезок условно соответствует половине всего пути, который
надо пройти пионерам. Всему пути, очевидно, будут соответст-
вовать два таких отрезка (рис. 108). Опираясь на схематиче-
ский чертеж, дети рассуждают примерно так: «13 км и 4 км —
это половина пути. А весь путь складывается из двух половин,
значит, весь путь будет:
(13+4)-2=34 (км). Ответ. 34 км».
Задача 5. Длина одной улицы 1200 м. Когда вторую
улицу продолжили на 200 м, то длина ее стала вдвое больше,
чем длина первой улицы. Ка-
кова была длина второй улицы . м .. . N
первоначально? На сколько I 1 !
теперь вторая улица длиннее 2
первой?
Рис. 108.
19
1200м Изобразим длину первой
. Г.... "| улицы произвольным отрезком,
’ ' 200м тогда длина второй улицы по-
jju/j ________I_______ r~~i сле ее продолжения на 200 м,
у "----------v---------' будет изображаться отрезком,
? в 2 раза большим первого, а
чтобы изобразить первоначаль-
Рис. 109. ную длину второй улицы, надо
этот отрезок уменьшить на
200 м (рис. 109).
По такому схематическому чертежу становится ясным, ка-
кими арифметическими действиями находится первоначальная
длина второй улицы: 1200-2—200 = 2200 (м). Выполненный чер-
теж позволяет также наглядно убедиться, что теперь вторая
улица длиннее первой на 1200 м.
Подчеркнем, что графические упражнения, связанные с ил-
люстрированием условий задач, не являются самоцелью. Эти
упражнения служат подготовкой учащихся к рассмотрению
многообразных математических вопросов и задач и дают хоро-
ший материал для развития мышления младших школьников.
Рассмотренные примеры заданий, связанные с иллюстриро-
ванием текста данной задачи, могут быть охарактеризованы
такой схемой: условие задачи — геометрический образ — анали-
тическое решение (ученики читают и анализируют задачу, стро-
ят графическое изображение и записывают решение).
Наряду с такими заданиями полезны и упражнения, которые
строятся по схеме: геометрический образ — условие задачи —
аналитическое решение (по данной графической модели учени-
ки составляют задачу и записывают решение).
Выше уже были рассмотрены и некоторые задания, которые
выполняются по схеме: условие задачи — аналитическое реше-
ние—геометрический образ (по данному условию задачи уче-
ники записывают ее решение и затем графически проверяют
правильность аналитического решения).
Наконец, возможен и такой путь: аналитическое решение—•
условие задачи — геометрический образ (учитель записывает
на доске решение задачи, ученики по решению составляют за-
дачу и иллюстрируют ее условие графически).
Приведем примеры упражнений каждого из этих видов:
1. Изобразить условие задачи графически и решить ее: «На
школьном стадионе пионеры в первый день расчистили 45 м бе-
говой дорожки, во второй-—на 6 м меньше, чем в первый, а в
третий — на 8 м больше, чем во второй. Сколько метров дорож-
ки расчистили пионеры в третий день?»
Одновременно с анализом условия задачи строится графи-
ческая модель (рис. ПО).
Решение. (45 — 6) +8 = 39-f-8=47 (м).
Ответ. В третий день расчистили 47 м дорожки.
80
1 „ 12 шт,-
—* Пальто I -I
6 м
Плаща l------------------1--------1
Ям Зшт,
-----' 7
Рис. 111.
45 и
Id. i' —
lid. i------------
•/M I.............
?
Рис. 110.
2. Составить задачу по чертежу (рис. 111) и рещить ее.
При составлении задачи по чертежу нужно подробно прове-
сти анализ графической модели, т. е. рассмотреть, как выраже-
ны данные и искомое, как показана связь между ними, как по-
нимать каждое условное обозначение.
«О чем говорится в задаче? (О пальто, плащах и куртках.)
Где продают эти вещи? (В магазинах одежды.) Что изобража-
ет верхний отрезок? (Число проданных пальто.) Известно ли
количество проданных пальто? (Да. В магазине продали
12 пальто.) Что изображает второй отрезок? (Число продан-
ных плащей.) Известно ли, сколько продали плащей? (Нет.)
А что известно в задаче про проданные плащи? (Плащей про-
дали в 2 раза больше, чем пальто.) Что изображает третий
отрезок? (Число проданных курток.) Известно ли, сколько про-
дали курток? (Нет.) А что известно в задаче о проданных
куртках? (Курток продали на 3 шт. больше, чем плащей.) Что
требуется узнать в задаче? (Сколько продали курток.) Как это
отображено в задаче? (Поставлен знак «?».) Какую можно
составить задачу?
«В магазине одежды продали 12 пальто, плащей — в 2 ра-
за больше, чем пальто, а курток — на 3 штуки больше, чем
плащей. Сколько продали курток?»
Решение. 12-2+3 = 27 (к.)
Ответ. Продали 27 курток.
При выполнении подобных заданий ученики начинают луч-
ше и быстрее разбираться в математической структуре задачи,
учатся «читать» зависимости, скрытые в схемах и чертежах.
Такая форма заданий должна широко использоваться при вы-
полнении самостоятельной работы по карточкам. В этих целях
нужно использовать карточки с математическими заданиями,
изданные в последние годы массовым тиражом, в некоторых из
них даны аналогичные схемы1.
3. Решить задачу и проверить ее решение графически:
«У Кати было 10 открыток. 4 открытки она отдала для школь-
1 См.: Моро М. И., Меленцова Н. В. Карточки с математическими за-
даниями для 2-го класса, изд. 4-е. М., «Просвещение», 1977, с. 205, 207, 209.
6 Заказ 9019 81

ной стенгазеты. 3 открытки
подарила подруге. Сколько
открыток осталось у Кати?»
После арифметического
Рис. 112. решения задачи:
(10—4)— 3=3
ученикам предлагается задание: «Нарисуйте столько прямо-
угольников, сколько открыток было у Кати. Перечеркните сна-
чала столько прямоугольников, сколько открыток отдала Катя
для школьной стенгазеты, а потом еще столько, сколько откры-
ток она подарила подруге. Сосчитайте, сколько прямоугольни-
ков осталось не перечеркнутыми. Посмотрите ответ задачи. Та-
кое ли число у вас получилось? (Рис. 112.)
: 4. Составьте задачу по ее решению:
1) 20:2 = 10 (ребят);
2) 20+10=30 (ребят).
Изобразите условие задачи графически.
По данному решению можно составить, например, такую
задачу: «С горы на санках каталось 20 детей, а на лыжах в 2 ра-
за меньше, чем на санках. Сколько всего детей каталось с горы?»
Схематический чертеж к задаче представлен на рисунке 113.
Работа над этим упражнением может быть продолжена,
причем ей может быть придан творческий характер. Так, после
выполнения упражнения, учитель изменяет знак, например,
первого действия (20-2; 20 + 2; 20—2), а ученикам предлагает
внести соответствующие изменения в условие задачи и выпол-
нить новый схематический чертеж.
1. С горы на санках каталось 20 детей, а на лыжах в 2 ра-
за больше, чем иа санках. Сколько всего детей каталось с го-
ры? (Рис. 114.)
2. С горы на санках каталось 20 детей, а на лыжах на 2 че-
ловека больше, чем на санках. Сколько всего детей каталось
с горы? (Рис. 115.)
3. С горы на санках каталось 20 детей, а на лыжах на 2 че-
ловека меньше, чем на санках. Сколько всего детей каталось
с горы? (Рис. 116.)
Затем задачи сравниваются. Выполненные схематические
чертежи помогают осознанию их сходства и различия.
Работа по преобразованию данной задачи может быть про-
ведена и по-другому. Можно, например, изменить знак второго
действия (заменив, например, сложение вычитанием), а детям
предложить внести изменения в условие и графическую модель
20 д.
I-----1 —и
I-----1
Рис. 113.
20 д.
Рис. 114.
82
20д.
20 д.
Рис. 116.
Рис. 115.
задачи или же можно предложить детям изменить вопрос зада-
чи так, чтобы она решалась одним действием, и т. д. Функция
схемы остается при этом та же, она помогает находить черты
сходства и различия данной и новых задач.
В психолого-педагогической литературе неоднократно ука-
зывалось на ценность рассмотрения задач с несформулирован-
ным вопросом; с недостающими или лишними данными; неприве-
денных задач; задач, сформулированных в косвенной форме;
задач, допускающих различные способы решения. Графическая
модель таких задач, построенная на основе углубленного ана-
лиза скрытых зависимостей, помогает распознаванию особенно-
стей этих задач.
Рассмотрим несколько таких задач (которые еще встретят-
ся нам в последующих параграфах данной главы):
Задача 1 (с несформулированными вопросами).
Два спортсмена соревнуются в беге на 1 км. В то время как
один из них пробежал 850 м, другой пробежал 825 м. Поставь-
те все возможные вопросы к данному условию и решите соот-
ветствующие задачи.
Одновременно с анализом строим и схематический чертеж
(рис. 117). Опираясь на схему, выясняем, что известны значе-
ния отрезков AD, АВ, АС и неизвестны значения отрезков
BD, CD, ВС. Чтобы узнать значения каждого из неизвестных
отрезков, ученики формулируют такие вопросы.
Сколько метров осталось пробежать первому спортсмену?
второму спортсмену? Которому из спортсменов осталось пробе-
жать больше и на сколько больше?
Задача 2 (с лишними данными).
Пионеры помогали колхозу в уборке картофеля. В первый
день они собрали 40 корзин картофеля, во второй день — на 10
корзин больше, чем в первый. В третий день они собрали
35 корзин картофеля. Всего за три дня пионеры собрали 125
корзин картофеля. Сколько корзин картофеля пионеры собрали
во второй день? (Рис. 118.)
Графическая иллюстрация ус-
ловия задачи позволяет нагляднод дс
убедиться, что числовые данные - ...и
35 и 125 являются лишними. Уче- -«-------825м----
ники изменяют условие задачи ____________850м______
так, чтобы в ней остались только ж ______1000 м_______ :
те числа, которые необходимы
для решения. Рис. 117,
б* 83
Юк.
// д. h-
35к ?
тд. । "—i
Рис. 118.
После решения задачи учени-
кам можно предложить такие за-
дания:
1) Какие числа должны со-
храниться в условии задачи, если
вопрос ее будет такой: «Сколько
корзин картофеля собрали пио-
неры за три дня?»
2) Измените условие задачи
так, чтобы к нему можно было
поставить вопрос: «Сколько корзин картофеля собрали пионе-
ры в третий день?»
Ответить на поставленные вопросы ученикам поможет схе-
матический чертеж.
§ 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ГРАФИЧЕСКИХ
ИЗОБРАЖЕНИЙ ПРИ РЕШЕНИИ
ЗАДАЧ РАЗЛИЧНЫМИ СПОСОБАМИ
В методической и психологической литературе описываются
различные виды работы над решенной задачей. При этом важ-
ность решения задачи другим (другими) способом (если это
возможно) особо подчеркивается в целом ряде методических
пособий и статей.
В объяснительной записке к программе по математике для
I—III классов указано, что большое значение имеет «умение
решать задачу различными способами», дана рекомендация:
«Следует стремиться к тому, чтобы учащиеся отдавали себе
отчет в возможности различных способов решения некоторых
задач и сознательно выбирали наиболее рациональный из из-
вестных им способов»1.
Решение задач различными способами способствует разви-
тию логического мышления и математических способностей
учащихся, воспитывает у них настойчивость и упорство на пути
преодоления трудностей, встречающихся в поиске решения
задач.
Эффективным средством отыскания различных способов ре-
шения задачи является графическая иллюстрация ее условия.
Очень важно, говорится в одном из пособий для учителей,
«обучать учащихся тому, как отыскивать различные варианты
решения. Большую роль здесь должны играть наглядные ил-
люстрации способов решения»1 2.
1 Программа восьмилетней школы. Начальные классы (I—III). М.,
«Просвещение», 1976, с. 40.
2 Мостовой А. И. Повышение эффективности преподавания математики.
М., Учпедгиз, 1962, с. 47.
84
Почему графические иллюстрации играют важную роль
при обучении школьников различным способам решения за-
дачи? Как известно, в любой задаче существуют связи и за-
висимости между величинами, и решение задач, по существу
является средством изучения и познания этих связей и зависи-
мостей.
Строя графические модели задач, мы освобождаем учени-
ков от восприятия несущественных особенностей условий, пред-
ставляем существенные в наглядной, удобоусвояемой форме и
тем самым помогаем детям установить все возможные
связи и зависимости между величинами, что, в
свою очередь, облегчает детям нахождение различных спосо-
бов решения.
Возможность решения некоторых задач разными способами
основана на различных свойствах арифметических действий
или вытекающих из них правил, например правил прибавления
числа к сумме и суммы к числу, вычитания числа из суммы и
суммы из числа, правил умножения и деления суммы на число
и т. д. «Задачи такого рода, — пишут М. И. Моро и А. М. Пыш-
кало,— помогают детям не только осознать смысл рассматри-
ваемых свойств, но и увидеть, в каких случаях они могут найти
применение. Знание этих свойств, рассмотрение соответствую-
щих различных способов решения текстовых задач открывает
также возможность поставить вопрос о том, какой из возмож-
ных способов решения является более целесообразным (про-
стым, легким)1.
Приведем несколько примеров решения таких задач и пока-
жем, как при этом графические иллюстрации облегчают нахож-
дение путей решения их различными способами.
Начнем, например, с задач, основное назначение которых —
углубление знаний различных способов вычитания числа из
суммы. Рассмотрим задачу: «У девочки было 4 красных и 3 си-
них шара. Подул ветер, и 2 шара улетели. Сколько шаров оста-
лось у девочки?» Для схематического изображения условия
задачи рисуем 4 красных и 3 синих кружка (кружок изобра-
жает шар).
Выясняем, что в задаче не сказано, какие именно шары
улетели, но, зная, сколько всего было шаров (а это легко уз-
нать, сложив 4 и 3) и Сколько улетело (2), можно узнать,
сколько шаров осталось. Получаем I способ решения задачи:
(4 + 3)—2 = 7 —2 = 5 (шт.).
Далее говорим, что могли улететь 2 красных или 2 синих
шара.
Для того чтобы натолкнуть детей на различные способы
решения задачи, закрываем (например, с помощью полоски
1 Моро М. И., Пышкало А. М. Методика обучения математике в I—III
классах. М„ «Просвещение», 1975, с. 98.
8S
Рис. 119.
Рис. 120.
бумаги) сначала 2 красных кружка, затем 2 синих (рис. 119).
В соответствии с этим получаем 2 новых способа решения за-
дачи:.
II способ. (4 —2)+3=5 (шт.).
III способ. 4+(3—2)=5 (шт.).
Решение задачи может быть выполнено учениками по вари-
антам, причем каждый ученик решает задачу одним из приве-
денных выше способов (с опорой на соответствующую иллюст-
рацию). При проверке способы решения сравниваются и дела-
ется соответствующий вывод.
Обратимся теперь к задачам, решение которых связано с
рассмотрением различных способов вычитания суммы из числа.
Рассмотрим задачу: «В куске было 32 м ткани. От него отреза-
ли сначала 6 м, а потом еще 8 м ткани. Сколько метров ткани
осталось в куске?»
Изобразим длину всего куска ткани в виде отрезка произ-
вольной длины. Выделим на нем последовательно две части
(одну — меньшую, другую — большую), условно соответствую-
щие 6 м и 8 м. Над оставшейся частью отрезка ставим знак
«?», так как эта часть изображает искомое число (рис. 120).
Схематический чертеж помогает осознанию различных спо-
собов решения задачи.
Сначала рассуждаем примерно так: «Чтобы узнать, сколько
метров'ткани осталось, надо узнать, сколько всего метров тка-
ни отрезали (иллюстрируется с помощью чертежа), а потом
полученное число вычесть из 32 (также иллюстрируется)». Уче-
ники придут к такому способу решения задачи:
32— (6+8) = 18 (м).
Затем, рассуждая (с опорой на графическое изображение)
примерно так: «Чтобы ответить на вопрос задачи, можно из
32 м вычесть сначала 6 м, потом из полученного числа вычесть
8 м», ученики придут ко второму способу решения задачи:
(32—6)—8 = 18 (м).
Учитель предлагает сравнить решения и сказать, почему
получились одинаковые ответы.
Для закрепления свойства умножения суммы на число
можно предложить решить различными способами такую
задачу: «Ученики I класса посадили 4 ряда яблонь, по 3 в
86
ООО
ООО
ООО
х х х х х хх
ххх хххх
х х х х х х х
ООО ххххххх
а)
Рис. 121.
6)
каждом, а ученики II класса — 4 ряда яблонь по 7 в каж-
дом. Сколько всего деревьев посадили ученики I и II классов?
Для наглядного изображения условия задачи будем, напри-
мер, яблони, посаженные учениками I класса, изображать в
виде кружков, а яблони, посаженные учениками II класса,—
в виде крестиков. Тогда условие рассматриваемой задачи изо-
бразится так, как показано на рисунке 121, а. Наглядно изо-
бразить условие данной задачи можно и по-другому. Так, если
изобразить яблоню в виде клетки ученической тетради, то число
яблонь, посаженных учениками I класса, изобразится в виде
прямоугольника, состоящего из 4 прямоугольных полосок,
каждая из которых содержит 3 клетки; а число яблонь, поса-
женных учениками II класса, — в виде прямоугольника, состоя-
щего также из 4 прямоугольных полосок, но каждая из которых
содержит уже 7 клеток. Границу прямоугольников целесооб-
разно при этом выделить (см. рис. 121,6).
После того как схематическое изображение в той или иной
форме построено, полезно вызвать ученика для того, чтобы
он показал по схеме, что известно из условия задачи и что
нужно узнать.
Для разбора I способа решения можно провести примерно
такие рассуждения, опираясь при этом на выполненный рису-
нок или чертеж: «Нам нужно узнать общее число яблонь, поса-
женных учениками I и II классов; а для этого нужно знать,
сколько яблонь посадили ученики I и II классов в отдельности.
Сколько яблонь посадили ученики I класса, можно узнать, так
как мы знаем, что они посадили 4 ряда яблонь, по 3 в каждом.
Можно также узнать, сколько яблонь посадили ученики II
класса, так как мы знаем, что они посадили 4 ряда, по 7 яб-
лонь в каждом».
Затем составляется план и записывается решение:
3-4 + 7-4=40 (ябл.).
При решении задачи II способом (опираясь на графиче-
ское изображение) рассуждаем так: «Нам нужно узнать общее
число яблонь, посаженных учениками I и II классов, а для
этого нужно знать, сколько всего яблонь посадили ученики
обоих классов в одном ряду и общее число рядов. Из условия
задачи известно, что яблони посажены в 4 ряда, а сколько все-
го посадили яблонь ученики обоих классов в одном ряду, неиз-
вестно, но это можно узнать, так как известно, сколько в от-
дельности яблонь в одном ряду посадили ученики I и II клас-
сов».
Далее проговаривается план и записывается решение:
(3+7)-4 = 40 (ябл.). Способы решения сравнивают и устанав-
ливают, что сумму на число умножили разными способами.
Как показал опыт, работа, связанная с построением раз-
личных графических изображений к одной и той же задаче,
целесообразна (когда это представляется возможным), так как
она помогает установить, какая из иллюстраций дает наиболее
рациональный способ решения задачи.
Приведем пример задачи на движение, решение которой
двумя способами способствует осознанию свойства умножения
суммы на число: «Две лодки отошли одновременно навстречу
друг другу от двух пристаней и встретились через 4 ч. Одна
лодка проходила в час 15 км, другая—10 км. Найти расстоя-
ние между пристанями».
На рисунке 122 представлен один из вариантов схематиче-
ского чертежа.
В соответствии с выполненной иллюстрацией способ реше-
ния задачи становится очевидным:
15-44-10-4 = 60 + 40=100 (км).
На рисунке 123 представлен второй вариант схематического
чертежа к той же задаче.
Здесь ясно подчеркивается факт сближения лодок в каждый
час на одно и то же расстояние, равное сумме (15-f-10). Отсю-
да и II способ решения:
(15+10)-4 = 100 (км),
15км в час ю км в час
-----ч-.......-----------------&—I-------1-----
Рис. 122.
88
500 м 300 м
N С
Рис. 124.
С рассмотрением различ-
ных способов умножения
суммы на число связано и
решение задач на нахожде-
ние периметра прямоуголь-
ника. (такие задачи широко
представлены в учебниках
для II и III классов), а так-
же решение некоторых дру-
гих видов задач геометри- д
ческого содержания. Вот
пример одной из таких за-
дач, которая может быть
предложена для решения ученикам третьих классов: «Найти
площадь участка, состоящего из двух прямоугольных участков».
(Рис. 124.)
Здесь чертеж, являясь составной частью условия, облегчает
нахождение следующих способов решения задачи.
I способ: (5004-300)-400—320 000 (кв. м).
II способ: 500-4004-300-400=320000 (кв.м).
Выше были рассмотрены задачи, различные способы реше-
ния которых основаны на изучаемых в начальных классах
свойствах арифметических действий, но различными способами
могут быть решены задачи других видов.
Рассмотрим для примера задачу № 712 из учебника мате-
матики для II класса: «В магазин привезли 12 ящиков с ябло-
ками, по 8 кг в каждом. До обеденного перерыва было прода-
но 9 ящиков. Сколько килограммов яблок осталось продать
после обеденного перерыва?»
При решении этой задачи, как это отмечается в методиче-
ских указаниях к учебнику, «дети должны будут разобраться
в различных способах решения, основанных на правиле умно-
жения числа на разность двух чисел. С этим правилом они не-
знакомы, ознакомление с ним не предусмотрено программой.
Цель работы над задачей № 712 состоит не в том, чтобы рас-
сматривать умножение числа на разность, а в том, чтобы пока-
зать детям возможность решения различными способами и не-
которых других задач, а не только тех видов, которые им уже
известны»1.
По ходу анализа задачи строим схематический чертеж.
«О чем говорится в задаче? (В магазин привезли ящики с
яблоками.) Будем изображать каждый ящик квадратом.
Сколько ящиков с яблоками привезли в магазин? (12 ящиков.)
1 Моро М. И., Баитова М. А. Математика во 2 классе. Пособие для учи-
теля. М., «Просвещение», 1976, с. 119.
89
в кг 8 кг 8кг 8кг 8кг
8кг 8кг 8кг
Рис. 125.
Рисуем 12 квадратов. Сколько килограммов яблок было в
каждом ящике? (По 8 кг в каждом,) Запишем это. (Внутри
каждого квадрата или над ним записываем «8 кг».) Что еще
сказано в задаче? (До обеда продали 9 ящиков.) Отделим на
схеме эти 9 ящиков. Что нужно узнать? (Сколько килограммов
яблок продали после обеда?) Покажите на схеме те ящики,
которые продали после обеда, отметьте, что надо узнать»
(рис. 125).
По схеме легко рассмотреть различные способы решения:
I. Узнаем сначала, сколько килограммов яблок было во всех
ящиках (8-12), затем — сколько яблок продали до обеда
(8-9) и, наконец, сколько килограммов яблок было продано
после обеда:
8-12-8-9=24 (кг).
II. Узнаем сначала, сколько ящиков было продано после
обеда (12 — 9), а затем — сколько в них было килограммов
яблок:
8-(12-9) =24 (кг).
Чтобы чертеж давал графическое решение задачи, он мо-
жет быть выполнен иначе.
«Условимся, что одному килограмму яблок соответствует
клетка ученической тетради. Спрашиваем, как графически
изобразить ящик с яблоками? (В виде прямоугольной полоски,
содержащей 8 клеток.) А как изобразить графически 12 ящи-
ков с яблоками? (В виде прямоугольника, состоящего из 12
равных прямоугольных полосок, каждая из которых содержит
8 клеток.) Изобразите это. Что еще известно в задаче? (До
обеденного перерыва было продано 9 ящи-
ков.)»
Выясняется, что до обеда было продано
9 ящиков из 12 привезенных и что в каждом
из них тоже по 8 кг яблок, а затем эти ящики
изображаются графически. С этой целью уче-
ники отсчитывают в прямоугольнике, содер-
жащем 12 равных прямоугольных полосок,
9 полосок, начиная с первой сверху поло-
ски.
«О чем спрашивается в задаче? (Сколько
килограммов яблок осталось продать послё
Рис. 126. обеденного перерыва.)»
99
Окончательный вид чертежа представлен на рисунке 126.
Такая иллюстрация дает возможность рассмотреть различ-
ные способы решения.
Сначала можно узнать, сколько всего клеток (килограммов
яблок) содержат 12 прямоугольных полосок (12 ящиков) и 9
прямоугольных полосок (9 ящиков), а затем из общего числа
клеток, содержащихся в 12 полосках, вычесть число клеток,
содержащихся в 9 полосках. А можно сначала из 12 прямо-
угольных полосок вычесть 9 полосок и далее узнать, сколько
клеток содержит оставшееся число (3) полосок.
После такого разбора ученики смогут самостоятельно объ-
яснить два способа решения задачи, которые приведены в
учебнике.
Обратимся теперь к задачам, решение которых направлено
на раскрытие сочетательного закона умножения. Рассмотрим,
например, такую задачу: «В зоомагазин привезли клетки с
птицами. Клетки разместили в трех рядах, по 5 клеток в каж-
дом. В каждой клетке находится 2 птички. Сколько всего пти-
чек в клетках?»
Условимся изображать клетку в виде прямоугольника, а
птичку в виде треугольника (рис. 127).
Узнать общее число птичек можно двумя способами.
I способ. Узнаем, сколько птичек в клетках, находящих-
ся в одном ряду. В одной клетке находится 2 птички, А в ряду
5 клеток. Значит, в них находится 5-2 (пт.). Клетки располо-
жены в трех рядах, значит, всего будет (5-2)-3 (пт.).
II способ. Узнаем сначала, сколько всего клеток. В од-
ном ряду их 5, а таких рядов 3, значит, всего 5-3 (кл.).
В каждой клетке находится по 2 птички, значит, всего будет
(5-3)-2 (пт.).
Рассмотрим несколько задач, решение которых различными
способами направлено на закрепление и обобщение понятия
зависимости между компонентами и результатами арифмети-
ческих действий. Так, правило изменения разности в зависимо-
сти от изменения вычитаемого может быть применено при ре-
шении двумя способами задач, подобных примерно следующей:
«Для кроликов юннаты заготовили 1300 кг корнеплодов и столь-
Рис. 127.
91
1300 кг
Кор. I — ( у--------<
790кг 1300кг ?
Rop.! .... ! ~j
790-186 (кг) ?
Рис. 128.
ко же килограммов картофеля.
За полгода израсходовали кор-
неплодов 790 кг, а картофе-
ля— на 186 кг меньше. Сколь-
ко килограммов корнеплодов и
картофеля осталось?»
Изобразим с помощью про-
извольного отрезка то количе-
ство корнеплодов (1300 кг),
которое юннаты заготовили
для кроликов. Так как картофеля заготовили в том же количе-
стве, что и корнеплодов, то ниже (под первым отрезком) чертим
второй отрезок, равный первому. Затем на каждом из отрезков
выделяем части (на первом — большую, а на втором — мень-
шую), условно соответствующие израсходованному за полгода
количеству корнеплодов (790) и картофеля (790—186). Над
оставшимися частями каждого из отрезков ставим знак «?», так
как они изображают неизвестные числа (рис. 128).
Задача сначала решается тремя действиями;
1) Корнеплодов осталось: 1300 — 790 = 510 (кг).
2) Картофеля израсходовали: 790—186 = 604 (кг).
3) Картофеля осталось: 1300 — 604 = 696 (кг).
Выбор каждого из этих действий облегчает выполненный
схематический чертеж.
Решив задачу I способом, учитель обращает внимание уче-
ников на первую строку решения: 1300 — 790 = 510, в которой
общее количество заготовленных корнеплодов (1300 кг) —это
уменьшаемое, количество израсходованных корнеплодов
(790 кг)—вычитаемое, оставшееся количество корнеплодов
(510 кг) —разность..
В задаче сказано, что картофеля заготовили столько же,
сколько корнеплодов, а израсходовали на 186 кг меньше. Зна-
чит, количество оставшегося картофеля будет на 186 кг больше
(вывод подтверждается наглядно схематическим чертежом).
Отсюда вытекает план решения задачи II способом: узнаем
сначала, сколько осталось корнеплодов, а затем — количество
оставшегося картофеля.
Решение
1) Корнеплодов осталось: 1300 — 790 = 510 (кг).
2) Картофеля осталось: 510-р 186 = 696 (кг).
Знания об изменении произведения в зависимости от изме-
нения одного из множителей могут быть применены при реше-
нии задач, подобных следующей: «Ученики II класса в каждом
из грех рядов вырыли по 4 ямки. Ученики III класса вырыли
по такому же количеству ямок в рядах, число которых в 2 раза
92
больше. Сколько ямок вырыли ученики . ... ,
III класса?» —- — ------
Если изобразить ямку в виде клетки ~______
ученической тетради, то тогда количество ______—
ямок, которые вырыли ученики II клас- ------
са, в одном ряду изобразится в виде пря-
моугольной полоски, содержащей 4 клет- Рис 129
ки, а в трех рядах — в виде прямоуголь-
ника, состоящего из трех таких равных полосок (I). Количество
же ямок, которые вырыли ученики III класса, изобразится в ви-
де прямоугольника (II), содержащего 2 раза по 3 прямоуголь-
ные полоски, в каждой из которых — 4 клеткг? (рис. 129).
Задача решается сначала так:
1) 3-2 = 6 (рядов);
2) 4-6 = 24 (ямки).
Нетрудно убедиться, что выполненный чертеж наглядно
иллюстрирует каждое действие.
Решив задачу I способом, учитель обращает внимание уче-
ников на то, что в задаче сказано, что ученики III класса рыли
ямки в рядах, число которых в 2 раза больше, значит, и их об-
щее количество будет в 2 раза больше (чертеж наглядно убеж-
дает в этом). Поэтому задачу можно решить иначе: узнаем сна-
чала, сколько ямок вырыли ученики II класса, а затем — сколь-
ко ямок вырыли ученики III класса.
Решение
1) 4-3=12 (ямок);
2) 12-2 = 24 (ямки).
Рассмотрим графические изображения и различные способы
Еешения еще некоторых видов задач из курса II и III классов,
[ачнем с составных задач, включающих простые задачи на
увеличение или уменьшение числа на несколько единиц, на-
пример: «Ученики принесли на утренник шары. Красных шаров
было 20, голубых — на 6 больше, а желтых — на 4 больше, чем
голубых. Сколько желтых шаров принесли ученики?»
Графическое изображение задачи представлено на рисун-
ке 130. Количественные отношения между величинами высту-
пают здесь достаточно ясно, а отсюда с большой очевидностью
вытекает I способ решения задачи:
1) 204-6 = 26 (ш.);
2) 26 + 4 = 30 (ш.).
Ответ. 30 шаров.
При решении задачи I спо-
! 20ш._____। собой сравнение величин про-
изводится в таком порядке:
6ш. вторая величина сравнивается
1 * с первой, а третья — со второй.
I Для того чтобы у учеников
Ж. F -------------1----1—< при решении подобных задач
' не появилась тенденция вы-
полнять привычный синтез, не
производя исчерпывающего
Рис 130- анализа, рекомендуется разно-
образить содержание таких
задач в том отношении, чтобы в них, например, третья величина
сравнивалась не со второй, а с первой1. Можно такое сравнение
производить и не изменяя содержания задачи. С этой целью при
решении рассматриваемой задачи II способом можно рассуж-
дать примерно так: «Так'как голубых шаров на 6 больше, чем
красных, а желтых — на 4 больше, чем голубых, то чтобы узнать,
на сколько желтых шаров больше, чем красных, надо к б при-
бавить 4». Дальнейшее решение уже не вызовет затруднений
у учащихся;
1) 6 + 4 = 10 (ш.);
2) 20+10=30 (ш.).
Рассуждения при обосновании выбора первого действия
(6 + 4) будут для детей достаточно сложными, если не подкре-
пить их соответствующим показом на выполненном схематиче-
ском чертеже: на отрезке, условно изображающем число жел-
тых шаров, от его начала отделяется сначала часть, соответст-
вующая числу красных шаров (20), а затем часть, соответст-
вующая 6 шарам (часть же, соответствующая 4 шарам, уже
была отделена ранее, при построении схемы). Тогда дети на-
глядно убедятся, что желтых шаров столько же, сколько крас-
ных (20), да еще (6 + 4) шара, т. е. что желтых шаров больше,
чем красных, на 6-|-4 (ш.).
Аналогичные рассуждения могут быть проведены при реше-
нии двумя способами составных задач, включающих две про-
стые задачи на уменьшение числа на несколько единиц. Напри-
мер, задача: «В словарике Оля записала 30 слов, Ира — на 5
слов меньше, чем Оля, а Володя — на 3 слова меньше, чем Ира.
Сколько слов записал Володя?» (рис. 131)—может быть ре-
шена такими двумя способами:
I способ. (30 —5)—3=22 (сл.).
II способ. 30—(5+3)=22 (сл.).
1 См.: Менчинская Н. А., Моро М. И. Вопросы методики и психологии
обучения арифметике в начальных классах. М., «Просвещение», 1965,
с. 144-145. :
W
Мы рассмотрели решение j0
различными способами состав- о ।----- । '3—।—| |
пых задач, включающих про- I I
стые задачи на увеличение и (_____________ j | 5сл.^
уменьшение числа на несколь- • ’
ко единиц. \3сл
Определенный интерес В. >...........
представляет решение различ- ' 5
ными способами и составных
задач, включающих простые рис 131.
задачи на увеличение и умень-
шение числа в несколько раз.
Приведем несколько примеров.
1. В один магазин привезли 35 детских велосипедов, :а в
другой — в 2 раза больше, чем в первый, а в третий — в 3 раза
больше, чем во второй. Сколько велосипедов привезли в третий
магазин?
Схематический чертеж (рис. 132) помогает детям отыскать
решение задачи:
(35-2)-3=210 (вел.).
Ответ. 210 велосипедов.
Таким способом решается задача во II классе. В III классе
после ознакомления с сочетательным законом умножения по-
добную задачу можно решить и другим способом. Сначала
нужно узнать, во сколько раз больше привезли велосипедов в
третий магазин, чем в. первый. Обосновать выбор соответствую-
щего действия можно путем дополнительных построений на схе-
матическом чертеже: каждую из трех равных частей, состав-
ляющих отрезок, который изображает число велосипедов, при-
везенных в третий магазин, делим на две равные части. Всего
таких равных частей станет: 3-2 = 6. При этом наглядно иллю-
стрируем не только действие, но и результат действия: нижний
отрезок больше верхнего отрезка в 6 раз. Дальнейшее решение
становится ясным: 35-(3-2) =210 (вел.).
2. Я видел в зоопарке крокодилов, медведей и обезьян.
Крокодилов было 2, медведей — в 3 раза больше, чем крокоди-
лов, и в 2 раза меньше, чем
обезьян. Что можно узнать,
используя эти сведения (рис.
133)?
Сформулируем некоторые
из возможных вопросов и при-
ведем соответствующие реше-
ния:
а) Сколько обезьян было
в зоопарке? Рис. 132.
М
2 (2-3)-2 = 12 (об.).
К. Ь • Ответ. 12 обезьян.
Наглядность, наличие кон*
М ।----1 ' и---1 кретной опоры при рассужде-
ниях, связанных с решением
fl । ।_______।__________। задачи, помогут увеличить чи-
4-----------•----------' ело учащихся, которые найдут
? требуемое решение самостоя-
Рис. 133. тельно. Кроме того, этот схе-
матический чертеж помогает
найти и обосновать правильность II способа решения:
2-(3-2) = 12 (об.).
б) Во сколько раз крокодилов меньше, чем обезьян?
I способ. 1) 2-3 = 6 (мед.);
2) 6-2=12 (об.);
3) 12:2 = 6.
Ответ. В 6 раз.
II способ становится гораздо «прозрачнее», если обратиться
к графическому изображению задачи: 3-2 = 6. Этот способ ре-
шения намного рациональнее первого (вместо трех действий
выполняется одно действие).
Приведем еще несколько задач, графические изображения
которых облегчают нахождение различных способов их решения
и выбор более рационального решения.
1. На складе было 706 мешков муки. Потом привезли с
мельницы еще 138 мешков, а 604 мешка отправили в пекарню.
Сколько мешков муки осталось на складе?
Для построения схематического чертежа задачи изобразим
число мешков муки, которые были на складе, каким-либо от-
резком. Затем продолжим его на часть, условно соответствую-
щую числу мешков муки (138), которые привезли с мельницы,
и от конца вновь образовавшегося отрезка отделяем часть, ус-
ловно соответствующую числу мешков муки, которые отправи-
ли в пекарню. Под оставшейся частью ставим знак «?», так как
она иллюстрирует искомое (рис. 134).
Опираясь на схематический чертеж, ученики могут рассуж-
дать по-разному, что приведет к различным способам решения
задачи.
706 меш.
138 меш.
604 меш.
Рис. 134
М
127кг
Ik . I-----------1-------------1
57кг 57кг
Нк I-------------1---1------------1—
4
)?
Рис. 135>
Можно рассуждать, например, так: «На складе было 706
мешков муки. После того как на склад привезли с мельницы
еще 138 мешков с мукой, то всего на складе стало 706+138 =
= 844 (меш.). Когда же 604 мешка отправили в пекарню, то на
складе осталось 844—604 = 240 (меш.)».
А можно рассуждать по-другому: «В пекарню отправили
604—138=466 (меш.) из числа тех, что были на складе. Значит,
на складе осталось 706—466 = 240 (меш.)».
2. На один котел требуется 127 кг угля в час, а иа другой—
на 37 кг больше. Сколько угля нужно для двух котлов на 3 ч?
В состав этой задачи входит простая задача на увеличение
числа на несколько единиц. Условие простой задачи такого вида
обычно изображают с помощью, например, двух отрезков, рас-
положенных один под другим. Если пойти по такому пути изо-
бражения условия задачи, то окончательный вид схематическо-
го чертежа будет такой, как на рисунке 135. Такая графическая
иллюстрация в какой-то степени облегчает нахождение первого
способа решения задачи. Для того чтобы наглядно представить
все возможные зависимости, существующие между величинами
задачи, и тем самым облегчить ученикам нахождение различных
способов решения, целесообразно условие задачи схематично
изобразить с помощью чертежа так, как показано на рисунке
136.
1способ II способ
1) 127+37=164 (кг);
2) 127-3 = 381 (кг);
3) 164-3 = 492 (кг);
4) 381+492=873 (кг).
1) 127+37=164 (кг);
2) 127+164 = 291 (кг)
3) 291-3 = 873 (кг).
Как при решении задачи I способом, так и при решении ее
II способом, сначала надо узнать, сколько требуется угля на
1 ч второму котлу. Далее
рассуждения ведутся по-
разному. Можно рассуждать
так: «Узнаем, сколько тре-
буется угля для первого
котла на 3 ч, затем для вто-
рого котла на 3 ч, и полу-
ченные произведения сло-
жим. А можно рассуждать
и по-другому: узнаем сна-
7 Заказ 9019
91

Рис. 137.
3. Три мальчика нашли вместе
чала, сколько требуется, уг-
ля для двух котлов на 1 ч,
а затем — сколько требует-
ся угля для двух котлов
на 3 ч.
Сравнивая способы ре-
шения, ученики убеждают-
ся, что II способ является
более рациональным.
ПО грибов. Первый и второй
нашли вместе 79 грибов, второй и третий — 66 грибов. Сколько
грибов нашел второй мальчик?
При решении таких задач многие ученики «не могут себе
представить, суммы каких чисел здесь сопоставляются, и поэто-
му, если решение не подкреплено иллюстрацией, не могут по-
нять даже выполненного решения. Если же, рассматривая эту
задачу, ученики сделают к ней иллюстрацию, то она сразу ста-
новится понятной для каждого ученика»1.
Для иллюстрации воспользуемся схематическим чертежом
(рис. 137).
Выполняя чертеж, рассуждаем гак: «ПО грибов — грибы, ко-
торые нашли все три мальчика. Это сумма трех слагаемых.
Изобразим ее с помощью отрезков произвольной длины, отло-
женных последовательно на одной прямой.
Первый из отложенных отрезков будет условно изображать
число грибов, найденных первым мальчиком, второй — число
грибов, найденных вторым, а третий отрезок — число грибов,
найденных третьим мальчиком. Обозначим на схематическом
чертеже то, что известно из условия задачи: все трое нашли
НО грибов; первый и второй вместе — 79 грибов, а второй и тре-
тий вместе — 66 грибов. Отметим искомое — число грибов, най-
денных вторым мальчиком.
По чертежу можно объяснить следующие два способа реше-
ния.
I способ. 79—(110—66) =35 (гр.).
II способ. 66—(ПО—79) =35 (гр.)».
Рис. 138.
Несколько сложнее най-
ти третий возможный спо-
соб решения.
Чтобы объяснить его де-
тям, полезно изменить чер-
теж так, как показано на
рисунке 138.
Из рассмотрения схема-
1 Свечников А. А. Решение математических . задач в I—III классах. М.,
«Просвещение», 1976, с. 64,
М
695 ц
М
N
ц
К
2307ц
Рис. 139.
тического чертежа видно, что число грибов, найденных вторым
мальчиком, можно узнать, если из суммы (79 + 66) вычесть НО.
Получаем:
III способ. (79+66) —110 = 35 (гр.).
4. (№ 1056 из учебника математики III кл.). С трех участ-
ков собрали 2307 ц зерна. Известно, что со второго участка
собрано 695 ц. Если же сложить вместе то, что собрано со вто-
рого и третьего участков, то получится 1433 ц. Сколько зерна
собрано с первого и сколько с третьего участка?
Эта задача несколько отличается от рассмотренной выше.
Здесь известна сумма трех слагаемых, сумма двух слагаемых и
одно из них, а требуется найти два других слагаемых.
Для построения схематического чертежа (рис. 139) изобра-
зим с помощью трех отрезков (AM, MN, NN) количество зерна,
собранного соответственно с первого, второго и третьего уча-
стков.
Обозначим данные и искомые. Выполненный чертеж облег-
чит нахождение следующих способов решения задачи:
I с п о с о б.
1) 1433 2) . 695 3) 2307
695 ' 738 1433
738 (ц) 1433 (ц) 874 (ц)
II способ.
1) 2307 2) , 695 3) 2307
~ 1433 + 874 ~~~1569
874 (ц) 1569 (ц) 738 (ц)
III способ.
1) _2307 2) 1433
1433 ~ 695
874 (ц) 738 (ц)
Сравнивая способы решения, видим, что самым рациональ-
ным из них является III способ.
Умения решать задачи, подобные задачам 3 и 4, могут быть
применены и при решении некоторых задач геометрического
содержания, например:
7* 99
5. Найти площадь прямо-
угольника BCFK. (рис. 140) по
следующим данным:
площадь АЛ4АО = 48 кв.см;
площадь ACFD = 29 кв.см;
площадь ВЛ4АА = 25 кв.см.
I способ
1) 48—29=19 (кв.см)—площадь CMNF-,
2) 25—19= 6 (кв.см)—площадь BCFK.
II способ
1) 48—25 = 23 (кв. см) —- площадь ABKD-,
2) 29—23= 6 (кв.см)—площадь BCFK.
III способ
1) 29+25 = 54 (кв.см)—сумма площадей ACFD и BMNK',
2) 54—48= 6 (кв.см)—площадь ВCFK.
§ 4. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ГРАФИЧЕСКИХ
ИЗОБРАЖЕНИЙ ПРИ РЕШЕНИИ
ЗАДАЧ СПОСОБОМ СОСТАВЛЕНИЯ
УРАВНЕНИЯ
Программа по математике предусматривает обучение детей
решению некоторых задач путем составления уравнения.
Действенную помощь в овладении алгебраическим способом
решения задач может оказать их графическое изображение. Об-
ладая свойством наглядности, они (графические изображения)
помогают правильно представить данные и искомые, выделить
в условии задачи связи и отношения, позволяют составить урав-
нение. Следует обратить внимание и еще на одну особенность
графических иллюстраций, о которой А. И. Волхонский в свое
Время писал так: «При применении графической иллюстрации
некоторый отрезок представляет собой неизвестное число, но
мы оперируем с ним так же, как с отрезками, изображающими
известные числа. Это очень сближает графический метод с ал-
гебраическим методом, с методом уравнений»1.
Графические модели не могут сразу выступить в качестве
эффективного средства, облегчающего решение относительно
сложной задачи алгебраическим способом. Этому должна пред-
шествовать подготовительная работа, которая начинается с
I класса.
Ряд ценных упражнений (выполняемых с опорой на соот-
ветствующие графические изображения) в составлении ра-
1 Волхонский А. И. О графическом решении арифметических задач.
«Математика в школе», 1951, № 1, с. 46.
100
венств, в замене неравенств равенства- ,
ми могут быть предложены детям в . ‘t
связи с изучением вопроса о взаимо- I" 1 1 >----„ -1
связи между компонентами и резуль- ' ? ''
татами действий сложения и вычиДа-
ния.
Например, детям предлагается гра- рис 141.
фическое изображение, иллюстрирую-
щее отношение 34-4 = 7 (рис. 141).
Требуется:
1. Заполнить пропуски в следующих записях так, чтобы по-
лученные равенства были верными:
34-4=0; 7—4 = 0; 7—3 = 0.
2. В соответствии с наглядной иллюстрацией учитель запи-
сывает, например, неравенство 7>3, а ученики должны устано-
вить, как следует изменить правую (левую) его часть, чтобы
уравнять ее с левой (правой):
7—4 = 3; 7 = 34-4.
3. Затем учитель предлагает запись такого вида:
7=40; 4 = 70; 3 = 70.
Дети должны заполнить пропуски так, чтобы получились вер-
ные равенства.
4. И наконец, детям предлагается продолжить такие записи
(используя тот же схематический чертеж):
3=0; 7=0; 4=0.
При выполнении этого задания ученики рассуждают так:
«3 — это одно из слагаемых, его мы получим, если из суммы
вычтем другое слагаемое».
Во II классе в связи с введением буквы как символа пере-
менной величины и с обозначением геометрических фигур заглав-
ными буквами латинского алфавита можно предлагать учени-
кам упражнения, аналогичные приведенным выше, но уже с ис-
пользованием буквенной символики.
1. Сколько всего отрезков на каждом из рисунков?
(Рис. 142.)
В результате выполнения подобных упражнений выясняет-
ся, что один и тот же отрезок может либо представлять собой
самостоятельную часть прямой, либо входить как составная
часть в другие отрезки. Выясняется, например, что отрезок AD
(рис. 142) состоит из пяти частей, при-
чем, например, отрезок CD, являясь f
самостоятельной частью прямой, вме-
сте с тем по отношению к отрезку к N И
AD составляет его часть: AC+CD= 1 1 1
= AD. Рис. 142.
101
А с -В 2- Используя данную графическую
И" ' I-----------н модель (рис. 143), закончить следую-
Рис. 143. щие записи:
ЛС+СВ=...; АВ—ДС=...; АВ—СВ=....
В соответствии с приведенным схематическим чертежом
(рис. 143) учитель записывает, например, неравенство СВ>АС,
ученики самостоятельно составляют следующие равенства:
СВ=АВ—АС- АС=АВ—СВ.
Учитель записывает одну из величин, указывая при этом,
с какой другой величиной и с помощью какого знака надо свя-
зать данную величину:
АС=АВ—... ; АВ = СВ+...; ВС=АВ—....
Учитель записывает одну из величин и указывает, с какой
другой величиной надо продолжить запись так, чтобы получи-
лось верное равенство:
АС=АВ... ; АВ = СВ... ; ВС=АВ... .
И наконец, учитель предлагает закончить запись такого
вида:
АВ= ... ; АС = ... ; ВС= ....
Дети должны сами, пользуясь схематическим чертежом, вы-
разить данную величину через другие (АВ = АСА-СВ, АС —
—АВ—СВ и т. п.).
Выше были представлены лишь те подготовительные упраж-
нения по формированию умения составлять равенство, выпол-
нение которых облегчает графическая иллюстрация.
В учебниках математики для I—III классов и в методиче-
ской литературе приводится ряд других важных и нужных для
использования в этих целях упражнений. Их рассмотрение вы-
ходит за рамки интересующего нас вопроса.
Умения составлять равенства закрепляются на этапе реше-
ния простых задач, в частности задач на нахождение неизвест-
ного компонента действия сложения или вычитания, задач, свя-
занных с понятием разности или отношения. Приведем графи-
ческие иллюстрации и решения некоторых из таких задач.
1. (№ 32 (2), с. 60 учебника математики II кл.). Когда к ре-
зиновому шлангу длиной 12 м присоединили второй шланг, то
получили шланг длиной 20 м. Какой длины шланг присоеди-
нили?
Для построения схематического чертежа задачи изобразим
с помощью произвольного отрезка общую длину двух шлангов и
напишем под ним, что он изображает 20 м. На построенном от-
резке выделяем (начиная с левого его конца) часть, условно
соответствующую длине первого шланга, и над этой частью за-
102
12м____________?
i-........ V *
20м
Рис. 144.
1____________
?
I------:-------1
Рис. 145.
писываем «12 м». Оставшаяся часть отрезка будет условно
изображать длину второго шланга. Так как длина второго
шланга неизвестна, то она принимается за неизвестное и над
соответствующим отрезком ставится знак «?» (рис. 144).
Опираясь на выполненный чертеж, устанавливаем, что число
20 представляет собой сумму двух слагаемых, одно из кото-
рых— 12, другое — х. Так как число 20 и сумма чисел 12-f-x
выражают одно и то же число метров и изображаются на чер-
теже одним и тем же отрезком, то можно составить уравне-
ние: 12-j-x —20.
2. (№ 387 (1) из учебника математики II кл.). В пруду пла-
вало 8 гусей, а уток — в 2 раза меньше. Сколько уток плавало
в пруду? ।
В соответствии со схематическим чертежом (рис. 145) про-
водятся примерно такие рассуждения: «Уток — х, их в 2 раза
меньше, чем гусей. Значит, гусей в 2 раза больше, чем х\ если
по х взять 2 раза, то получится 8 (х-2 = 8)».
По условию рассматриваемой задачи, опираясь на схему,
некоторые ученики могут составить и другие уравнения: х=8:2;
8:х=2.
При проверке целесообразно рассмотреть все возможные ва-
рианты уравнений.
3. (№ 78 из учебника математики III кл.). Задуманное чис-
ло больше 20 на 15. Найди задуманное число.
Задачу можно иллюстрировать схематическим чертежом так,
как показано на рисунке 146.
Опираясь на графическую иллюстрацию, ученики легко со-
ставят следующие уравнения: х—20=15; х—15=20; х = 20-(-
+ 15.
Остановимся теперь на рассмотрении вопроса об использо-
вании графических изображений при решении составных задач
способом составления уравнения.
Начнем с задач, в которых требуется найти неизвестное сла-
гаемое, неизвестное уменьшаемое или
вычитаемое. Графическая модель та-
ких задач приводит к необходимости
рассмотрения отношений частей и це-
лого и тем самым, как будет показано
ниже, способствует овладению учени-
ками обобщенным, алгебраическим
способом их решения,
20
।-------------I
15
I--------------1------—I
2
Рис. 146.
103
7 1. (№ 285 (1) из учебника
Зкр.^ 8 экс. у, математики III кл.). На строи-
।---1-------1— ......-) тельстве работало 3 крана,
4 8 экскаваторов и несколько
м самосвалов — всего 25 машин.
Рис. 147. Сколько самосвалов работало
на строительстве?
Отложим на прямой последовательно, один за другим, три
отрезка произвольной длины, условно изображающие соответ-
ственно число кранов, экскаваторов и самосвалов, работавших
на строительстве. Отметим на полученном чертеже данные за-
дачи, затем обозначим буквой к (или знаком «?») число само-
свалов, которые работали на стройке, и надпишем эту букву над
отрезком, условно изображающим число самосвалов (рис. 147).
Рассматривая схематический чертеж, видим, что 25 есть сум-
ма трех слагаемых, одно из которых — 3, другое — 8, третье —
х. Так как число 25 и сумма чисел 34-84-х выражают одно и
то же число машин, изображаемое на схеме одним и тем же
отрезком, то можно составить уравнение: 34-84-х = 25.
Как видим, графическая иллюстрация помогает получить
наглядное представление о всех членах уравнения и открывает
путь для составления уравнения.
2. Ремонт пути между станциями А и В железной дороги
производится двумя бригадами рабочих, которые двигались на-
встречу друг другу. Одна бригада прошла 30 км, другая —
26 км пути. Какой участок пути еще нужно отремонтировать,
если расстояние от Я до В составляет 80 км?
Изобразим расстояние между станциями каким-либо отрез-
ком АВ и запишем под ним «80 км». От левого его конца (Д)
отделим отрезок АС, условно изображающий 30 км, и надпи-
шем над ним это число; от правого его конца (В) отделим от-
резок BD, условно изображающий 26 км, и надпишем над ним
это число. Тогда образовавшийся отрезок CD будет, очевидно,
изображать искомое число. Надпишем над этим отрезком х (или
знак «?») (рис. 148).
Рассматривая графическую иллюстрацию, ученики выясня-
ют, что отрезок АВ — целое, а отрезки AC, CD и DB — состав-
ляющие его части; выясняют, что отрезок АВ и сумма отрезков
AC, CD и DB выражают одно и то же расстояние. Поэтому 80
является суммой слагаемых ЗОД-264-х, можно составить урав-
нение:
30 +264-х = 80.
30км q ? д 26км Опираясь на графическую
.' * ~ ‘ ) з модель, можно составить и та-
>-----.----—,-----------—’ кие уравнения:
60км 304-х = 80—26;
Рис. 148. 80—х= 304-26 и др.
104
3. (№ 532 из учебника ма-
тематики III кл.). В мешке Зх(кг) 33кг
было 45 кг моркови. 3 дня из х кг * ‘''(Г *
мешка брали моркови поров- -4 1 । 11
ну, после чего в нем осталось ’
33 кг. Сколько килограммов кг
моркови брали из мешка каж- Рис- 149-
дый день?
Изобразим то количество моркови, которое было в мешке, с
помощью какого-либо отрезка АВ. Выделим на отрезке АВ (на-
чиная с правого его конца В) часть ВС, условно соответствую-
щую 33 кг, и надпишем над ней эго число. Образовавшуюся при
этом еще одну часть (ЛС) отрезка АВ (которая условно изоб-
ражает израсходованное количество моркови) делим на 3 рав-
ные части, каждая из которых будет условно изображать неиз-
вестное количество килограммов моркови, которое брали из
мешка каждый день.
Обозначим х то количество килограммов моркови, кото-
рое брали из мешка каждый день, и надпишем эту букву над
одним из равных отрезков (рис. 149). Если каждый день из
мешка брали х кг моркови, то за 3 дня взяли 3-х (кг) моркови.
Надпишем это выражение над отрезком АС. Вернувшись к ус-
ловию задачи и обращаясь далее к графической иллюстрации,
большинство учеников составят уравнение: 45—3-х = 33. Может
оказаться, что некоторые учащиеся при решении задачи пред-
ложат и другие уравнения: 3-х-(-33 = 45 или 3-х=45—33.
Обратимся теперь к задачам на движение. Графическое изо-
бражение условия задач на движение (так же как и рассмот-
ренных выше) способствует овладению учащимися обобщенным
алгебраическим способом их решения. Правда, при решении не-
которых задач на движение могут получиться уравнения более
сложных видов, чем те, которые решаются в начальных клас-
сах. Задачи, по которым составляются уравнения и решение
которых трудно для младших школьников, лучше решать ариф-
метически. При арифметическом решении графические изобра-
жения могут быть использованы с таким же успехом, как и при
алгебраическом.
Рассмотрим составные задачи на движение одного тела,
в которых находится одна из величин — скорость, расстоя-
ние или время — в зависимости
тоциклист был в пути 4 ч, пос
72 км. С какой скоростью ехал
ставляет 216 км?»
Отложим на прямой после-
довательно, один за другим,
4 равных отрезка (произволь-
ной длины), каждый из кото-
рых будет условно изображать
от двух других. Например: «Мо-
ie чего ему осталось проехать
мотоциклист,-если весь путь со-
х км 6 час
’ **“ 4х(км) п 72 км
А I- I I I —ig
276 км
Рис. 150.
105
путь, пройденный мотоциклистом за один из первых четырех
часов его поездки. От конца последнего из этих отрезков, точки
С (рис. 150), отложим в том же направлении еще один отрезок
произвольной длины, который будет условно изображать
72 км (оставшийся путь мотоциклиста). Обозначим на чертеже
данные: весь путь (ЛВ)—216 км; оставшаяся часть пути
(СВ) — 72 км.
В задаче требуется определить скорость движения мотоцик-
листа. Приняв скорость мотоциклиста за х км в час, указываем
стрелкой на схематическом чертеже направление движения мо-
тоциклиста и над стрелкой делаем запись «х км в час».
Начинаем разбор задачи: «Если в час мотоциклист проходил
х км, то за 4 ч он пройдет 4-х (км). Выражение 4-х (км) над-
писывается над отрезком АС».
Рассматривая далее графическую иллюстрацию, ученики
выясняют, что отрезок АВ и сумма отрезков АС и СВ выража-
ют одно и то же расстояние. Поэтому 216 является суммой сла-
гаемых (4-х) 4-72.
Составляем уравнение: 4-х4~72=216. По схеме без труда
можно составить еще два уравнения:
4-х = 216—72;
216—4-х=72.
Графические иллюстрации полезно использовать и при ре-
шении алгебраическим способом некоторых задач, в условии
которых дано отношение равенства, с использованием таких
выражений, как «денег поровну», «расстояние одинаковое» и
т. д.
Рассмотрим несколько таких задач:
1. (№ 279 из учебника математики 111 кл.). Петя и Лида,
имея денег поровну, покупают письменные принадлежности.
Когда Петя уплатил за свою покупку 28 коп., то у него осталось
14 коп. У Лиды после покупки осталось только 9 коп. Сколько
копеек уплатила за свою покупку Лида?
Так как у Пети и Лиды денег было поровну, то чертим один
под другим два произвольных, но равных отрезка. Первый из
них будет условно изображать число денег у Пети, второй — у
Лиды. Первый отрезок делим на две неравные части, боль*
шая из которых будет условно изображать истраченную Пе-
тей часть денег (28 коп.), а
/7 ।___коп-_______। ' коп' । меньшая — оставшуюся у него
часть денег (14 коп.). Над
большей частью надписываем
/7 ]___ ?____________j 9 коп «28 коп.», над меньшей —
«14 коп.). Второй отрезок, ус-
Рис. 1Я. ловно изображающий количе-
IM
ство денег у Лиды, также делится на две неравные части. Над
меньшей из них надписывается «9 коп.», а над большей — «х»
(или знак «?»), обозначающий неизвестное количество денег,
которые Лида уплатила за покупку (рис. 151).
Графическая схема наглядно иллюстрирует отношение ра-
венства, и дети, опираясь на нее, смогут самостоятельно соста-
вить уравнение: х-(-9=28+14.
2. (№ 367 из учебника математики III кл.). Теплоход, дви-
гаясь со скоростью 30 км в час, прошел путь между двумя при-
станями за 4 ч. На обратном пути он прошел то же расстояние
за 5 ч. С какой скоростью шел теплоход на обратном пути?
Графическая иллюстрация задачи представлена на рисунке
152. Рассматривая ее, ученики наглядно убедятся в том, что
расстояние туда и обратно (АВ и В А) одинаковое, и с большей
долей самостоятельности составят уравнение: х-5 = 30-4.
Графические изображения облегчают поиск алгебраического
способа решения и таких задач, в условиях которых дано отно-
шение неравенства («больше или меньше на...», «больше или
меньше в...»). Ряд таких задач представлен в учебнике мате-
матики для III класса. Рассмотрим задачу № 667: «На станции'
стояли пассажирский и товарный поезда. Когда к товарному
поезду прицепили еще 2 вагона, в нем стало в 3 раза больше
вагонов, чем в пассажирском. В пассажирском поезде было 10
вагонов. Сколько вагонов было в товарном поезде?»
Изобразим число пассажирских вагонов произвольным от-
резком, тогда число вагонов в товарном поезде после присоеди-
нения к нему двух вагонов будет изображать отрезок, который
в 3 раза больше первого, а чтобы изобразить число товарных
вагонов до того, как к ним прицепили 2 вагона, надо этот от-
резок уменьшить (рис. 153).
Если за неизвестное принять число вагонов, которые были в
товарном поезде до присоединения двух вагонов, то получим
уравнение: (х4-2):10=3— или его вариант: (х4-2):3=10. Со-
ставлению, например, уравнения (х+2):10 = 3 будут предшест-
вовать такие рассуждения, которые могут быть проведены с
опорой на графическую схему: «Обозначим число вагонов, ко-
торые были в товарном поезде, буквой х (или знаком «?»). Пос-
ле того как число товарных вагонов увеличили на 2, их стало
х-(-2. В задаче сказано, что их стало в 3 раза больше, чем пас-
30 км в час
।-----
A ^ZZZZZ^2ZZZZ?Z^ZZ^ZZZ^ZZZ^ В
---1
х км о час
Рис. 152.
10 баг.
П.п i - । -н
2 ваг.
Т.п. .......... I । -------j-1
2
Рис. 153.
107
сажирских вагонов, которых было 10. Запишем это в виде урав-
нения: (х-|-2) . 10—3».
Все приведенные в этом параграфе задачи могут, конечно,
решаться и арифметическим способом, и схематический чертеж
будет при этом не менее полезен.
Интересно, используя один и тот же чертеж, предложить де-
тям решить задачу с помощью составления уравнения, а затем
ту же задачу решить арифметически, с записью отдельных дей-
ствий, с тем чтобы сопоставить оба эти подхода к решению.
§ 5. ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ
ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО СОДЕРЖАНИЯ
При решении задач геометрического содержания арифмети-
ческим методом мы, выполняя соответствующие вычисления,
получаем числовое значение искомой величины. Геометрический
чертеж при этом, являясь частью условия задачи, способствует
лучшему наглядному представлению.
Однако специалистам самых различных профессий прихо-
дится производить вычисления, решая практические вопросы,
и при этом перед ними встает задача — получить тот же резуль-
тат более коротким путем и с меньшими трудностями. Эта за-
дача во многих случаях успешно решается, если пользоваться
методом получения решения с помощью геометрических пост-
роений и измерения полученных отрезков, площадей и т. п.
В связи с введением начального курса математики зна-
чительно расширен объем и содержание изучаемого в на-
чальных классах геометрического материала, ученики приобре-
тают простейшие навыки работы с циркулем и линейкой, а это
в свою очередь создает благоприятные возможности для внед-
рения в практику начальных классов решения некоторых про-
стейших задач геометрического содержания графическим спо-
собом (иногда параллельно с решением их арифметическим
способом). Для графического решения важно, чтобы отрезки
вычерчивались в натуральную величину.
Приведем графическое решение некоторых задач геометри-
ческого содержания (в книге чертежи уменьшены).
Задача 1. Отрезок длиной 5 см уменьшили на 2 см. Чему
равна длина полученного отрезка?
Проведем прямую линию и отложим на ней с помощью ли-
нейки отрезок длиной 5 см. От правого его конца отложим вле-
во отрезок длиной 2 см. Измерим вновь полученный отрезок и
надпишем над ним,
3 см
। i t
Рис. 154.
чему равна его Длина. Задача решена
(рис. 154).
Как видим, в этом случае решение по-
лучено не на основе вычислений (5—2=3),
а графически, путем измерения. При гра-
фическом решении задачи нет надобности,
108
чтобы дети Производили вычисления и соот-
ветствующие записи (5—2 = 3). Правда, по i----'•--------‘—ч
требованию учителя правильность произ-
веденного измерения может быть проверена Рис. 155.
на основе вычислений. В том же случае,
когда решение на основе вычислений выступает на передний
план, графический способ может служить эффективным средст-
вом проверки правильности произведенного вычисления (выпол-
нив решение задачи с помощью вычислений, ученики проверяют
затем полученный ответ измерением)t
Задача 2. Начерти два отрезка: один длиной 3 см, другой
на 2 см длиннее. Чему равна длина второго отрезка?
Ученики вычерчивают отрезок длиной 3 см, а ниже — отре-
зок такой же длины. Затем увеличивают второй отрезок, про-
должая его на 2 см. Полученный при этом отрезок измеряют и
над ним записывают, чему равна его длина. Задача решена.
Аналогично (без вычислений) на основе построения чертежа
и проведения необходимых измерений могут быть решены та-
кие задачи, как, например:
«Начерти два отрезка: один длиной 8 см, другой — 5 см. На
сколько сантиметров второй отрезок короче первого?»,
«Начерти два отрезка: один длиной 4 см, а другой в 3 раза
длиннее. Чему равна длина второго отрезка?»
Овладев описанным приемом решения приведенных выше
задач, ученики без особого труда смогут решать графически и
задачи, подобные следующим:
а) Начерти три отрезка: первый длиной 12 см, второй на
4 см короче первого, а третий на 3 см длиннее второго. Чему
равна длина третьего отрезка?
б) Начерти три отрезка: длина первого 8 см, второй на 4 см
длиннее первого, а третий в 2 раза короче второго. Найди дли-
ну третьего отрезка.
в) Начерти три отрезка так, чтобы первый был длиной 8 см,
второй в 2 раза короче, а длина третьего была равна сумме
длин двух первых. Какой будет длина третьего отрезка?
Достоинства графического способа решения геометрических
задач перед арифметическим особенно выступают в тех случа-
ях, когда данные задачи представлены графически. В сборниках
задач и упражнений, а также в учебниках для начальных клас-
сов имеется ряд таких задач, данные ко-
торых представлены графически, и тем
самым возникают возможности их графи-
ческого решения, которые, к сожале-
нию, зачастую учителями не использу-
ются.
Задача 1. Измерить отрезок. На-
черти отрезок на 2 см длиннее, чем дан-
ный (рис. 155).
В С
A a) D
2 см Зсм Усм
А<--—।--------к—1Д
5)
Рис. 156.
109
Задачу можно решить так: изме-
рить длину отрезка, представленного
графически. В результате измерения
получим, что его длина 3 см. Для того
чтобы найти длину искомого отрезка,
к 3 см прибавим 2 см и получим 5 см.
В тетради вычерчивается отрезок дли-
ной 5 см.
Ответ задачи можно получить и
по-другому. На прямой линии с по-
мощью циркуля или линейки строим
отрезок, равный данному отрезку, и от
конца этого отрезка откладываем от-
резок длиной 2 см, получим графиче-
ский ответ задачи. Измерив получившийся отрезок, можем най-
ти его числовое значение.
Задача 2. Найти длину ломаной ABCD (рис. 156,а).
Длину ломаной можно найти двумя способами.
I способ. Узнать длину каждого отрезка и сложить полу-
ченные числа.
II способ. Начертить прямую линию. G помощью цирку-
ля откладывать на этой прямой одно звено ломаной за другим
(рис. 156,6).
Отрезок AD— графический ответ задачи. Измерив этот от-
резок, найдем длину ломаной линии.
Задача 3. Вычислить периметры данных многоугольников
(рис. 157).
Периметр многоугольника (треугольника, четырехугольни-
ка) можно найти двумя способами.
I способ. Можно измерить непосредственно каждый отре-
зок и сложить полученные числа.
II способ. Можно измерить периметр многоугольника пу-
тем переноса каждой стороны, взятой циркулем, на прямую ли-
нию, одну за другой, и последующего измерения линейкой отрез-
ка, представляющего собой сумму всех сторон многоугольника.
На внеклассных занятиях по математике подобным же об-
разом можно ознакомить детей с графическим решением и бо-
лее трудных задач геометрического содержания.
§ 6. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ГРАФИЧЕСКИХ
ИЗОБРАЖЕНИЙ ПРИ РЕШЕНИИ ТЕКСТОВЫХ
ЗАДАЧ НА ВНЕКЛАССНЫХ ЗАНЯТИЯХ
ПО МАТЕМАТИКЕ
Содержанием внеклассной работы по математике могут быть
разнообразные задачи на смекалку, логические задачи, задачи
повышенной трудности. На примерах ряда задач можно со всей
убедительностью показать высокую практическую эффектив-
но
Стало
поровну
И к. I----—---------1
8К.
!к. I---------1- I
Было до ' "%
перекла-
дыбания •
Пк.\----------1----1
Рис. 158.
ность графических изображе-
ний как опоры для осознанных
мыслительных действий.
Наблюдения показали, что
осознание практической эф-
фективности графических изо-
бражений при решении задач
во внеклассной работе в свою
очередь способствует пробуж-
дению у учащихся интереса и
потребности в их использова-
нии при решении задач з
классе.
Приведем ряд задач на сме-
калку и логических задач, при
решении которых видимый эффект дает опора на графическое
их изображение.
Начнем с простых задач.
1. Если из одной коробки переложить в другую 8 каранда-
шей, то в обеих коробках станет карандашей поровну. На сколь-
ко в первой коробке больше карандашей, чем во второй?
(Рис. 158.)
Графическая иллюстрация задачи облегчает нахождение ре-
шения: 8+8=16 (кар.).
Ответ. В первой коробке на 16 карандашей больше, чем
во второй.
2. Петя дал младшему брату половину своих яблок и еще
одно яблоко, и у него не осталось ни одного яблока. Сколько
яблок было у Пети?
Графическая схема (рис. 159) позволяет наглядно убедить-
ся, что у Пети было 1 -2 = 2 (ябл.).
3. За коробку цветных карандашей заплатили 14 коп. и еще
половину стоимости этой коробки. Сколько стоила коробка
цветных карандашей?
Графическая схема (рис. 160) аналогична предыдущей (см.
рис. 159). Решение задачи будет иметь вид: 14-2=28 (коп.).
Ответ. Коробка цветных карандашей стоила 28 коп.
4. Расстояние по железной дороге от г. М. до г. С. на 463 км
больше, чем от г. С. до г. Н., но на 29 км меньше, чем от г. Н.
до г. И. На сколько километров расстояние от г. С. до г. Н.
меньше, чем от г. Н. до г. И.? (Рис. 161.)
После перевода условия задачи на язык наглядности реше-
ние задачи не вызовет за-
труднений у учащихся: 4634-
4-29 = 492 (км).
Ответ. Расстояние от
г. С. до г. Н. на 492 км мень-
ше, чем от г. Н. до г. И.
1я5л.
I; I ---------------1
2
Рис. 159.
74 коп.
j " I..............j
2
Рис. 160.

М.-С. |------------1 -и
I I
С.-к I-------------4 |
] |29км
Н.-И. I-----------1-----------------
V---------.. —
Рис. 161.
Приведем условия еще
нескольких задач примерно
такого же типа, как задача
4, и соответствующие им схе-
матические чертежи:
а) Масса 3 бурых медве-
дей на 240 кг больше, чем
масса 3 тигров, и на 80 кг
меньше, чем масса 4 тигров.
Определите массу тигра
(рис. 162).
Решение. 240+80= 320 (кг).
Ответ. Масса тигра 320 кг.
б) В беге на дальнюю дистанцию Иванов опередил Козлова
на 378 м. Козлов опередил Быстрова на 163 м. На сколько мет-
ров отстал Быстров от Иванова? (Рис. 163.)
Решение. 3784-163=541 (м).
Ответ. Быстров отстал от Иванова на 541 м.
в) Из холодильника отправили 17 т рыбы. Сколько тонн
рыбы надо привезти в холодильник, чтобы в нем стало на 8 т
рыбы больше, чем раньше? (Рис. 164.)
Решение. 17 + 8 = 25 (т).
Ответ. В холодильник надо привезти 25 т рыбы.
5. У Миши на 2 шара больше, чем у Пети. Сколько шаров
у Миши, если их у него в 2 раза больше, чем у Пети? (Рис. 165.)
Графическая схема позволяет выяснить, что 2 шара — это
половина шаров, имеющихся у Миши. Отсюда становится яс-
ным и решение:
2-2 = 4 (шара).
Ответ. У Миши 4 шара.
6. У одного мальчика было цветных карандашей вдвое боль-
ше, чем у другого. Когда он купил еще 4 цветных карандаша,
то у него стало цветных карандашей в 3 раза больше. Сколько
цветных карандашей было у каждого первоначально? (Рис. 166.)
3
мгдведя
3 тигра ь
4 тигра ь
2^0хг
[—-*--- . J73 м
I И- ।-----1. I И
I 1 I о
< I w \163м\ ?
I | * к. |------£=|
I |§ I
4------А ।
\ —у' 6. ।-----------1
Тигр-?
Рис. 162.
Рис. 163,
112
Было I-
Осталось^.
Стало н
17т ,
Надо привезти-?
Zui
И. । । 1 1 I
2
п. »......-ч
Рис. 164. Рис. 165.
Опора на графическую схему приводит к следующим выво-
дам:
1) у второго мальчика было 4 цветных карандаша;
2) у первого мальчика было 4-2 = 8 (кар.).
7. На тарелке лежали яблоки. Старшая сестра взяЛа поло-
вину яблок, а младшая — половину остатка и еще 2 яблока,
после чего яблок на тарелке не осталось. Сколько яблок было
на тарелке? (Рис. 167.)
Опора на графическую схему позволяет ученикам началь-
ных классов легко решить задачу, так как иллюстрация на-
глядно показывает, что 2 яблока — это — часть всех яблок, ле-
жащих на тарелке. Отсюда становится ясным и решение:
2-4 = 8 (ябл.). -
Ответ. На тарелке было 8 яблок.
8. В первый день туристы прошли -у всего намеченного пу-
ти, во второй день---у остатка; и после этого им осталось
пройти 12 км. Чему равен весь путь, намеченный туристами?
(Рис. 168.) ,
Графическая схема помогает выяснить, что 12 км — это -у
часть всего пути. Весь же путь, намеченный туристами, будет
равен: 12-2 = 24 (км).
Приведем еще несколько задач, которые можно предлагать
/ ;-----ч— ।
Было ?
71 ।----г
? 4к.
I I----1 I ^ч
Стало
II I----1
Рис. 166. . Рис. 168.
Рис. 167.
/ день II день 12 км
8 Заказ 9019
113
j Всех груш 1гр 2гр, ? 2ут.
( А у * । " । [ . j . । -|
7 ЮОут.
Рис. 169. Рис. 170.
ученикам для решения с использованием схематического черте-
жа:
9, Если к моих денег прибавить 80 коп., то получится
-у моих денег. Сколько у меня денег?
10. Пионеры отправились в туристский поход по местам
партизанских боев. В первый день они прошли часть всего
намеченного пути, и оказалось, что им надо еще пройти на
12 км больше, чем прошли в первый день. Найти длину всего
маршрута.
Приведенные выше задачи могут служить материалом для
различных видов внеклассной работы. Некоторые из них, на-
пример задачи 1—3, могут быть использованы во внеклассной
работе с учениками II класса, а остальные — с учениками
III класса. 4
Рассмотрим теперь несколько составных задач, которые мо-
гут быть предложены в основном учащимся III класса.
1. У мальчика было несколько груш. Он решил их разделить
между двумя своими сестрами. Младшей сестре он дал поло-
вину своих груш и еще одну грушу, а старшей сестре — осталь-
ные 2 груши. Сколько груш было у мальчика? (Рис. 169.)
Графическая схема помогает выяснить, что половину всех
груш, которые были у мальчика, составляют: 2+1=3 (груши).
Дальнейшее решение ясно: всего у мальчика было 3-2 = 6
(груш). ‘
2. Сколько уток у юннатов?
«Сколько уток выращивает ваш юннатский кружок?» —
спросили у Бори. Боря ответил: «Когда из инкубатора мы
возьмем столько, сколько есть сейчас, и еще 2 уточки, то будет
100 уток. А сколько их у нас сейчас, подсчитайте сами». Сколь-
' 170.)
1кг
i------1
Половина туловища
।------1---------------1
Хвост Голова_________
i ‘ I----------1 ... 1 ~.....<
1кг 1кг Половина туловища
Рис. 171. Рис.. 172.
ко уток сейчас у
2
Хвост
Половина
Юр.\
20р.
Голова
Туловище
114
Графическая схема помога-
ет выяснить, что у юннатов
было (100—2) : 2=49 (уток).
3. У двух рыбаков спроси-
ли: «Сколько рыбы в ваших
корзинах?» — «В моей корзине
половина того, что в корзине у
него, да еще 10», — ответил
4 ваг. 72 баг.
I - j ---------------й
4 ваг. ?
Il j—~~i —j
2
Рис. 173.
первый. «А у меня в корзине столько, сколько у него, да еще
20»,— сказал второй.
Я сосчитал. Посчитайте теперь вы!
Графическая схема представлена на рисунке 171. Она по-
зволяет выяснить, что у второго рыбака в корзине половина той
рыбы, которая есть, да еще 20+10 = 30 (рыб). Дальнейшее ре-
шение ясно: в корзине второго рыбака 30-2 = 60 (рыб), а в
корзине первого 30+10 = 40 (рыб).
4. Рыбак поймал рыбу. Когда у него спросили, какова ее
масса, рыбак ответил: «Масса хвоста 1 кг, масса головы такая
же, как масса хвоста и половины туловища, а масса туловища
такая, как масса головы и хвоста вместе».
Графическое изображение условия данной задачи значи-
тельно облегчает решение (рис. 172).
5. На станции стояли 2 состава товарных вагонов (одинако-
вой длины). В одном составе было на 12 вагонов больше, чем
в другом. Когда от каждого состава отцепили по 4 вагона, то
длина первого состава оказалась в 2 раза больше длины вто-
рого состава. Сколько вагонов было в каждом составе?
(Рис. 173.) Изобразим отрезками число вагонов в каждом со-
ставе.
Графическая схема позволяет убедиться, что, после того
как от каждого отрезка отделили часть, изображающую отцеп-
ленные 4 вагона, получилось 3 равных отрезка, каждый из ко-
торых изображает 12 вагонов. Становится ясным, что первона-
чально во втором составе было 12 + 4=16 (ваг.), а в первом
составе 164-12 = 28 (ваг.).
6. Задача-шутка.
Миша и Ваня собирали грибы.
2
Половина грибов 1гр.
У Вани t ........j ' । I
Половила. грибов______ 7гр.__________5гр^_______
У Мииии к * —4----1 ..... I-
2
Рис. 174.
8*
115
Л ?
Было-? /
4-------1------1
Было~? I i
M' H ' "j I *—-f
Половина Половина
— Сколько у тебя гри-
бов, — спросил Миша, — пол-
десятка будет?
Ваня ответил:
— Возьми половину моих
грибов, а мне дай гриб, тогда
у меня будет полдесятка.
— А у тебя сколько гри-
бов?— спросил Ваня.
Миша ответил:
Рис. 175.
— Отними половину моих грибов да еще гриб, тогда у меня
еще останется полдесятка.
Сколько грибов собрали оба мальчика вместе?
Задача состоит из двух самостоятельных задач: «о грибах
Вани» и «о грибах Миши».
Графическая схема задачи «о грибах Вани» представлена в
верхней части рисунка 174. Анализ ее приводит к следующему
решению:
(5-1)-2 = 8 (гр.).
В нижней части рисунка 174 представлена графическая схе-
ма задачи «о грибах Миши»». Решение задачи будет иметь вид:
(5+1)-2=12 (гр.).
Всего Миша и Ваня собрали 8+12 = 20 (гр.).
7. Лошадь и мул шли бок о бок с тяжелой поклажей на
спине. Лошадь жаловалась на свою непомерно тяжелую ношу.
«Чего ты жалуешься? — спросил ее мул. — Ведь если я возьму
у тебя один мешок, ноша моя станет вдвое тяжелее твоей.
А вот если бы ты сняла с моей спины один мешок, твоя покла-
жа стала бы одинаковой с моей». Сколько мешков несла ло-
шадь и сколько нес мул? (Рис. 175.)
Из второй части условия задачи, которую наглядно иллю-
стрирует графическая схема, видно, что у мула было на 2 меш-
ка больше, чем у лошади. Опираясь на графическую схему, вы-
ясняем также, что если бы лошадь отдала один мешок мулу,
то у мула стало бы на 4 мешка больше, или по условию в 2
раза больше, чем у лошади. Отсюда следует, что у лошади
осталось бы 4 мешка, а у мула — 8. Становится ясным и от-
вет задачи: лошадь несла 5 мешков, а мул — 7.
Представленную на рисунке 175 графическую схему можно
использовать для разбора с ее помощью других задач такого
же типа. Приведем условия некоторых из такого типа задач.
а) Древняя задача о пастухах.
Два пастуха встретились, и один сказал другому: «Дай мне
одну овцу, и у меня будет тогда вдвое больше, чем у тебя».
В ответ на это другой сказал: «Отдай мне одну овцу из своих
и тогда у нас будет поровну». Сколько овец у каждого из них?
б) Сколько яблок?
116
/ I .....- -<
320 м
II I-----------н——!
130м
? 180 м
III I ' I — I I "И
320 м 320 м 130м
Рис. 176.
— Дай мне яблоко, и у ме-
ня будет вдвое больше, чем у
тебя, — сказал один мальчик
' другому.
— Это несправедливо. Луч-
ше ты дай мне яблоко, тогда
у нас будет поровну, — отве-
тил его товарищ.
Можете ли вы сказать,
сколько у каждого мальчика
было яблок?
Предметом рассмотрения во
внеклассной работе по математике могут быть и различные
способы решения задач, эффективным средством отыскания ре-
шения которых служат графические изображения. Работа по
решению задач различными способами может проводиться в
разнообразных формах:
а) графическое изображение задачи и ее решение выполня-
ются на кружковых занятиях;
б) в стенгазете, выпускаемой кружком, периодически поме-
щаются задачи с требованием графически иллюстрировать ус-
ловия и решить каждую из задач различными способами;
в) задачи с требованием иллюстрировать и решить их раз-
личными способами предлагаются на математических утренни-
ках, на школьных олимпиадах и т. п.
Для внеклассной работы в начале учебного года следует
отбирать ряд задач, над решением которых кружковцы будут
работать в течение всего учебного года.
Тексты некоторых из этих задач можно записывать на листе
бумаги под красочным заголовком конкурса: «Кто найдет наи-
большее число решений?» — и вывешивать в школе на видном
месте. По мере того как будут поступать отдельные интересные
решения, с ними надо знакомить всех учащихся. Полезным
оказывается вывешивание образцов всех найденных решений
одной из конкурсных задач.
Приведем некоторые из подобных задач и образцы возмож-
ных их решений.
1. На соревнованиях один мальчик пробежал 320 м, дру-
гой— на 130 м больше первого, третий — на 180 м меньше того,
что пробежал первый и второй вместе. Сколько метров пробе-
жал третий мальчик? (Рис. 176.)
I способ.
1) 3204-130=150 (м);
2) 450+320 = 770 (м);
3) 770—180 = 590 (м).
Ответ. 590 м.
II способ.
1) 3204-130=450 (м);
2) 450—180=270 (м);
3) 320+270=590 (м).
Ответ. 590 м.
ш
Ill с II о с о б.
1) 180—130 = 50 (м);
2) 320—50 = 270 (м);
3) 320+270 = 590 (м)
Ответ. 590 м.
IV способ.
1) 320+320 = 640 (м);
2) 180—130 = 50 (м);
3) 640—50 = 590 (м).
Ответ. 590 м.
2. На одной полке 50 книг, на другой 40 книг. С первой пол-
ки сняли 12 книг, а на другую добавили 11 книг. На которой
полке книг стало больше и на сколько? (Рис. 177.)
I способ. 1) 2) 3) 50-12 = 38 40+11 = 51 51-38=13 (кн.) (кн.) (кн.)
II способ. 1) 50-40=10 (кн.)
2) 12-10=2 (кн.)
3) 11+2 = 13 (кн.).
Ill способ. 1) 50-12 = 38 (кн.)
2) 40-38 = 2 (кн.)
3) 11+2=13 (кн.).
IV способ. 1) 50-40=10 (КН.)
2) 11-10 = 1 (КН.)
3) 12 + 1 = 13 (кн.).
V способ. 1) 40+11 = 51 (кн.)
2) 51-50=1 (кн.)
3) 12+1 = 13 (кн.).
3. Найди площадь прямоугольника BCFK. по данным, пред-
ставленным на рисунке 178.
I способ. 1) 25—18 = 7 (см);
2) 10-7 = 3 (см);
3) 4-3=12 (кв. см).
II способ. 1) 25—10=15 (см);
2) 18-15=3 (см);
3) 4-3= 12 (кв. см).
III способ. 1) 18+10 = 28 (см);
2) 28-25 = 3 (см);
3) 4-3= 12 (кв. см).
IV способ. 1) 10-4 = 40 (кв. см)—площадь прямоуголь-
ника BDEK;
12кн
г ........... — j ' *
~50ю1. j 2
>-...- Г I—--И
40 кн 11кн.
Рис. 178.
Рис. 177.
118
2) 25—18=7 (см)—длина стороны FE;
3) 7-4 = 28 (кв. см)—площадь прямоуголь-
ника CDEF;
4) 40 — 28=12 (кв. см)—площадь прямо-
угольника BCFK.
V способ. 1) 18-4 = 72 (кв. см)—площадь прямоуголь-
ника ACFM;
2) 25—10=15 (см)—длина стороны Л4/<;
3) 15-4 = 60 (кв. см)—площадь прямоуголь-
ника АВЛЛ1;
4) 72 — 60=12 (кв. см)—площадь прямо-
угольника BCFK.
VI способ. 1) 25-4=100 (кв. см)—площадь прямо-
угольника ADEM;
2) 18-4 = 72 (кв. см)—площадь прямоуголь-
ника ACFM;
3) 10-4 = 40 (кв.см.)—площадь прямоуголь-
ника BDEK;
4) 100 — 40 = 60 (кв. см) —площадь прямо-
угольника АВКМ;
5) 72—60=12 (кв. см)—площадь прямо-
угольника BCFK.
VII способ. 1) 25-4=100 (кв. см)—площадь прямо-
угольника ADEM;
2) 18-4 = 72 (кв. см)—площадь прямоуголь-
ника ACFM;
3) 10-4 = 40 (кв. см) — площадь прямоуголь-
ника BDEK;
4) 100 — 72 = 28 (кв. см)—площадь прямо-
угольника CDEF;
5) 40 — 28=12 (кв. см)—площадь прямо-
угольника BCFK.
V111 способ. 1) 25-4=100 (кв. см)—площадь прямо-
угольника ADEM;
2) 18-4 = 72 (кв. см)—площадь прямоуголь-,
ника ACFM;
3) 10-4 = 40 (кв. см)—площадь прямоуголь-
ника BDEK;
4) 72+40=112 (кв. см)—сумма площадей
ACFM и BDEK;
5) 112—100=12 (кв. см)—площадь прямо-
угольника BCFK.
Приведем ряд задач на смекалку (предназначенных в основ-
ном для внеклассных занятий с учениками I и II классов), спо-
собствующих развитию логического мышления и решение (или
правильность решения) которых полезно связывать с использо-
ванием геометрических образов:
И9
» 1. Летели журавли клином (т. е. строй
/\ л журавлей образовывал некоторый угол).
/ \ А Четыре журавля на одной стороне клина
да четыре на другой — всего семь журав-
/\ лей. Как это вышло? Решить задачу гра-
фически, рисуя вместо журавлей тре-
V/ угольники (решение на рис. 179).
\/ v 2. Дети посадили 3 одинаковых ря-
Рис. 179. да по 5 саженцев в каждом. Всего они
посадили 13 саженцев. Покажите на ри-
сунке, изображая деревья в виде точек, как они могли это сде-
лать (рис. 180).
3. Летела стая гусей. Один впереди и два позади, один по-
зади и два впереди, один между двумя и три в ряд. Сколько
летело гусей? Решите задачу графически, приняв за гуся, на-
пример, отрезок произвольной длины (см. рис. 181).
4. Длина бревна 6 м. В 1 мин пильщики отпиливают по 1 м.
За сколько минут они распилят все бревно? Тот, кто поторо-
пится и ответит «6 мин», ошибся. Проверьте с помощью черте-
жа, правильно ли вы решили задачу (рис. 182).
5. Электропоезд состоит из 7 вагонов. Два мальчика реши-
ли поехать вместе в четвертом вагоне. Один мальчик сел в чет-
вертый вагон от начала, другой — в четвертый вагон от конца.
В один ли вагон они сели? Проверьте с помощью рисунка, пра-
вильно ли вы решили задачу (рис. 183).
6. Электропоезд состоит из 10 вагонов, Вова сел в пятый
вагон от начала поезда, а Юра — в пятый вагон от конца.
В одном ли вагоне едут мальчики? Проверьте с помощью ри-
сунка, правильно ли вы решили задачу (рис. 184).
7. Расставьте 8 стульев у четырех стен комнаты так, чтобы
у каждой стены стояло по 3 стула (рис. 185). Расставьте 9,
потом 10, затем 11 Стульев у четырех стен комнаты, чтобы у
каждой стены стояло по 3 стула. Покажите решение каждой из
задач на рисунке, изображая стулья в виде квадратиков или
прямоугольников.
8. Чтобы распилить доску на несколько частей, ученик сде-
лал на ней 6 отметок карандашом. Эти отметки отделяют одну
часть доски от другой. На сколько частей ученик распилит
• • 1мин 2мин Змии 4мин Змии
: :________________________________. i ф Ф ф ф Ф Ф
а « • • • !м 2н Зм' 4м' 5 м.' бу
Рис. 180. Рис. 181. Рис. 182.
ПО
Рис. 183.
Рис. 184.
Рис. 185.
доску? Решите задачу графически, изобразив доску в виде от-
резка произвольной длины (рис. 186).
9. Для утренней зарядки дети выстроились в линейку на
расстоянии 1 м друг от друга. Вся линейка растянулась на 11м.
Сколько было детей? Проверьте правильность решения графи-
чески, изображая учеников с помощью вертикальных отрезков
одинаковой длины и приняв расстояние в 1 см за 1 м (рис. 187).
Во внеклассной работе «Интересно показать детям, как поч-
ти любую арифметическую задачу, которую они решают в
классе с помощью действий над числами, можно решить геомет-
рически, без выполнения арифметических действий. Пусть они
увидят, что иногда такой подход приводит к усложнению рабо-
ты, а иногда дает возможность легко и просто решить и такую
задачу, которую арифметически они еще решить не могут
вообще»1.
Приведем для примера графическое решение такой задачи:
«Библиотеке нужно переплести 1800 книг. Первая мастерская
может выполнить эту работу за 3 дня, а вторая — за 6 дней. За
сколько дней переплетут все книги мастерские, если они будут
работать одновременно?»
Решение задачи арифметическим способом: 1) 1800:3 —
= 600 (кн.); 2) 1800:6 = 300 (кн.); 3) 600+300=900 (кн.);
4) 1800:900 = 2 (дн.).
С помощью схематического чертежа задача может быть ре-
шена без выполнения каких-либо вычислений (см. рис. 188).
Подобным же образом можно познакомить учеников с ис-
пользованием графических изображений при решении и более
1 2 3 4 5 в 7 8 9 10 11 12
Рис. 186.
Рис. 187.
1 Моро М. И., Пышкало А. М. Методика обучения математике в I—III
классах. М., «Просвещение», 1975, с. 50.
121
, , ,, э трудных задач (в том числе и
/ день II день v .
,______л_____________л_______s таких, которые арифметически
[——--—*—।—-———-—-—-—’— или алгебраически ученики на-
—..J- .-.Л., , ; -I ~1,,! чальных классов не могут ре-
шить). Приведем некоторые
рис 188. задачи, которые можно пред-
ложить ученикам III класса в
процессе внеклассной работы.
1. В 3 ч стенные часы отбивают 3 удара за 12 сек. За сколь-
ко секунд эти часы отобьют 7 ударов в 7 ч вечера?
После решения задач с пропорциональными величинами
многие ученики быстро получают напрашивающийся, но оши-
бочный ответ: 12:3-7—28 (сек).
Графическая схема (рис. 189) наглядно (без особых пояс-
нений учителя) разъясняет причину допущенной ошибки. Ока-
зывается, ответ зависит здесь от числа промежутков между
ударами (а их на 1 меньше, чем самих ударов).
Правильный ответ:
1) 3-1 = 2 (уд.); 3) 7-1 = 6 (уд.);
2) 12:2 = 6 (сек); 4) 6-6 = 36 (сек).
Вполне понятной и обоснованной для детей выглядит теперь
рекомендация учителя использовать графическую схему при
решении задачи (для нахождения решения или хотя бы для
проверки ответа, найденного арифметическим путем).
Графическая схема поможет отыскать подвох и в ряде дру-
гих классических задач на смекалку. Приведем некоторые из
таких задач:
а) «Вот вам 3 пилюли, — сказал доктор. — Принимайте по
одной через каждый час». Вы покорно соглашаетесь. На сколь-
ко часов вам хватит прописанных доктором пилюль? (На
2 ч.)
б) Вдоль беговой дорожки расставлены столбы на одина-
ковом расстоянии друг от друга. Бегун на дальние дистанции
начал свой бег от первого столба и через 5 мин был у шестого
стэлба. Через сколько минут после начала бега он будет у
двенадцатого столба, если будет бежать с той же скоростью?
(Через 11 мин.)
в) В одном ряду лежат 8 камешков на расстоянии 2 см
один от другого, в другом ряду—15 камешков на расстоянии
Рис. 189.
112
1 см от другого. Какой ряд j 1 г
длиннее? (Ряды одинаковой ? * Т
длины.) г.,, । । (
г) Одна сторона школьно- '-------------у----------—'
го огорода 48 м. По этой сто-
роне поставили забор из досок, Рис- 19°-
причем через каждые 4 м ста-
вили столб. Сколько столбов пошло на этот забор?
Э. Г. Якуба так описывает результаты, полученные при ре-
шении этой задачи учащимися: «Ответ при решении задачи все
дали один и тот же—12 столбов, забывая о первом столбе,
который не учитывался при делении 48 м на 4 м. Все были
удивлены, что при решении такой легкой задачи они не получи-
ли правильного ответа (13 столбов)»1.
Очевидно, что действенную помощь в выявлении и устране-
нии подобных ошибок окажет построение графической схемы.
2. Пионервожатый привел на пришкольный участок 32 пио-
нера и поручил пионеру-бригадиру распределить их на работу.
Через некоторое время бригадир доложил пионервожатому/
что он -у- всех ребят определил на прополку, ----на устрой-
2 ,
ство новых грядок и -g- —на разные другие работы,
— Молодец, — сказал пионервожатый, — ты всех распреде-
лил правильно!
Как узнал пионервожатый, что бригадир распределил на
работу всех ребят?
На рисунке 190 представлена графическая схема, которая
дает ответ на вопрос. После решения этой задачи полезно пред-
ложить ученикам изменить условие, заменив, например, число
32 числом 40. Ученики выполняют новую графическую схему
и убеждаются в том, что решение не зависит от общего числа
пионеров, которые работали на пришкольном участке.
Приведем условия еще нескольких задач на дроби, графи-
ческое изображение которых аналогично приведенному выше.
а) Сколько грибов в корзине?
Коля с товарищами ходил в лес за грибами. Придя из
леса, он поставил корзину в сенях. Только вошел в дом, а сест-
ра и говорит: «Покажи, много ли грибов набрал?»
Коля подумал немного и стал рассказывать: «Набрали мы
много. Но при разборе оказалось, что несъедобных, их на-
брал маленький Петя, часть всех грибов была изъедена чер*
з
вями — все эти грибы мы выбросили, -g- всех грибов мы свари-
1 Якуба Э. Г. Внеклассная работа по математике. — «Начальная шко-
ла», 1969, № 6, с. 51.
U3
ли в котелке и съели. А что
осталось в корзине, догадайся
сама».
Сестра быстро сообразила,
что корзина пуста. Как она это
узнала, не заглянув в корзину?.
б) Мама дала Зое денег, чтобы она в школьном буфете ку-
пила завтрак. Когда Зоя вернулась из школы, то перед мамой
1 _ 1 о
отчиталась: «-у всех денег я истратила на булочку, *§-на чаи,
2
a -g---на конфеты». Сколько денег осталось у Зои?
3. На две птицефермы привезли по одинаковому количеству
зерна. На первой птицеферме расходовали ежедневно 3 кг
зерна, а на другой — 4 кг, поэтому на второй птицеферме запа-
са зерна хватило на 1 день меньше, чем на первой. На сколько
дней хватило запаса зерна на каждой птицеферме?
Для ее решения построим чертеж, изображающий условно
1 кг одной клеткой тетради (рис. 191). По этой иллюстрации
легко найти ответ: на первой птицеферме запаса зерна хватило
на 4 дня, а на второй — на 3 дня.
Приведем теперь для примера графическое решение одной
из задач геометрического содержания, решить которую путем
вычислений ученики начальных классов не могут, так как у
них не хватает для этого знаний: «Начертите прямоугольный
треугольник, у которого стороны, образующие прямой угол,
равны 4 см и 3 см. Найдите периметр треугольника».
Решение такого вида задач с помощью выполнения чертежа
и измерений способствует синтезу различных видов деятельно-
сти, а именно:
а) формированию и закреплению навыков построения пря-
мого угла на нелинованной бумаге (для того чтобы начертить
прямоугольный треугольник, надо предварительно построить
прямой угол);
б) закреплению навыков построения отрезков, равных дан-
ным отрезкам (после того как прямой угол построен, на сторо-
нах, образующих прямой угол, откладываются отрезки длиной
4 см и 3 ом);
в) закреплению навыков измерения отрезков (измеряется
длина отрезка, полученного в результате соединения концов
отрезков длиной 4 см и 3 см);
г) закреплению вычислительных навыков учащихся (нахож-
дение суммы длин трех сторон треугольника, т. е. вычисление
периметра прямоугольного треугольника).
* *
*
124
Итак, мы показали, что использование рисунков, схем и
чертежей в начальном курсе математики создает хорошие пред-
посылки для развития как конкретного, так и абстрактного
мышления учащихся; обеспечивает более глубокие математичек
ские связи между арифметическим, алгебраическим и геомет-
рическим материалом начального курса; позволяет ускорить
формирование у младших школьников умений и навыков вы-
полнять различные практические упражнения; повышает у де-
тей интерес к изучению математики, что способствует успеш-
ности выполнения всей учебной работы,
СОДЕРЖАНИЕ
Введение ............................................................ 3
Глава I, Общие вопросы использования графических изображений
при обучении математике младших школьников .... 9
Глава II. Использование графических изображений при форми-
ровании понятия числа и при ознакомлении с действиями
над числами......................................................... 15
Глава III. Использование графических изображений при обучении
решению текстовых задач г , □ . . , . 30
§ 1. Использование графических изображений при решении
простых задач . —1
§ 2. Использование графических изображений при решении
некоторых составных задач .... . . ... 58
§ 3. Использование графических изображений при решении
задач различными способами................... . . 84
§ 4. Использование графических изображений при решении
задач способом составления уравнения .................. 100
§ 5. Графическое решение некоторых задач геометрическо-
го содержания........................................ 108
§ 6. Использование графических изображений при решении
текстовых задач на внеклассных занятиях по матема-
тике ................................................... НО
ИБ № 4068
Леонтий Шмулевич Левенберг
РИСУНКИ, СХЕМЫ И ЧЕРТЕЖИ
в начальном курсе математики
Редактор Л. А. Сидорова
Художник Б. Л. Николаев
Художественный редактор Е. Н. Карасик .
Технический редактор Л. М. Дербикова
Корректор Л. А. Козлова
Сдано в набор 09.12.77 г. Подписано к печати
31.07.78 г. 60x90'/i6. Бумага тип. № 2. Гарнит.
литерат., высокая печать. Условн. л. 8,0. Уч.-изд. л.
8,00. Тираж 100000 экз. Заказ № 9019. Цена 20 к.
Ордена Трудового Красного Знамени
издательство «Просвещение» Государственного
комитета Совета Министров РСФСР по делам
издательств, полиграфии и книжной торговли.
Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Областная типография управления издательств,
полиграфии и книжной торговли Ивановского
облисполкома, г. Иваново-8, ул. Типографская, 6.
«Левенберг Л. Ш.
Л35 Рисунки, схемы и чертежи в начальном курсе матема-
тики. Из опыта работы. Под ред. М. И. Моро. М., «Просве-
щение», 1978. 126 с.
В книге даны методические указания к использованию рисунков, схем и чер-
тежей при формировании понятия числа, действий иад числами при решении з^дая
как арифметическим, так и алгебраическим способом.
л
60501—720
103(03)—78
51(07)

20 к.