СОДЕРЖАНИЕ
Формулы разложения на множи¬
тели 	1
Степени и корни 	 2
Квадратное уравнение 	 3
Логарифмы 	4
Прогрессии 	5
Тригонометрия 	 6
Производная	11
Интегралы 	13
Параллельные прямые . . . .16
Теоремы синусов и косинусов . . 16
Линии в треугольнике	17
Прямоугольный и равнобедренный
треугольники 	19
Четырехугольники	20
Многоугольники	22
Окружность 	.23
Формулы площадей	23
Параллелепипед	25
Пирамида 	25
Конус 	26
Призма 	27
Цилиндр .  	27
Шар 	 29

Формулы сокращенного умножения
и разложения на множители
(я±6)2 = а2±2а&-Н2
(а±Ь)* = а*±.За2Ь+Ш*±Ь*
д2—*02__ (а+b) (а—Ь)
a34ob3= (adtzb) {а^^аЬ+Ь2)
х*—ап— (х—а) (хп-'-\-ахп-2-\-а2хи-3-\-
-Ь... -Ьяп—1)
ах2-\-Ьх+с~а(х—х{) (х—х2)
где Х\ и х2 — корни уравнения
а*2+6л:-}-с=О
Кооператив «Синтез—*88» Ленинского
районного Совета народных депутатов
г. Одессы, 1990
\

Степени и корни
ап = а • а • ... а ! 11
и
аР.дг^дР-ьв
ap;ag__flp_g
(дР)£ —rtpg
ар ___ / а \Р
b? b )
aP-6p= (я6)р
q°= 1; al~a
ya = b=>bn = a
P P p
У а уь^уаЬ
Pk  P
Уд8к = уле
V —-ya-
V b ~~ v
lib
l>  P
yaz= (Уд)в
l
P
qp =Уя
p
y^g —дР/g
2

Квадратное уравнение
ax2+bx+c = 0; (а#0)
*
—b±^D
*i.2= 2а ’ D = b2—4cic
D>0-^x1^lx2; D = 0-+Xi~x2
D< 0-vhct корней в R
Теорема Виета:	если	Х\	и х2— корни
уравнения ах2~\~Ьх-\-с — 0, то *i+*2 =
= —b/a\ xrx2 — cla.
Приведенное квадратное уравнение:
x2+px+q = 0,
если хх и х2 ■—корни, то *i+*2 = —р,
xrx2 = q.
Если p = 2k (р — четное число) и
x2-\-2kx-\-q — f), то *1,2——Q-
3

Логарифмы
log.*=ft=Oab=*; “>f
aIoV=A:; loga a= 1; ioga 1 = 0
loga Xy = loga Я+loga У
X
loga “ = loga	loga У
lOga Xk=k loga	(*>0)
1
1о£ак*^Т1о&,ДС; (*/>0)
logc *
'^^■logcT-’ (OO.c^.1)
logio x==lg x; loge x = In X
4

Прогрессии
Ы-*-
Арифметическая
an = rtn_i+^
2йп = Лп~1+Лп4-1
an=<ii+d(rt— 1)
rti+^n
1 === 2	* ^
Sn —
2ci\-\-d (ti—1)
  2~	•*
Sn =Й1+Я2+. • -4*
“f-fln
~~{bn}
Геометрическая
bn = bn—1 * q
b\“&П-1 *&n4-l
bn^=biqn~l
buq—b i
Sn
Sn =
q— 1
Если |#| <C I»
П~+оо
bi
1 ~~q

Тригонометрия
а	Ь
sin а— ; cos а =
ь	С
a sin а
(ga = -т- =
ctg a:
cos a
cos a
sin a
coscc a
sin a
sec a
cos a
sin a — у
cos a — x
6

Значения тригонометрических функций
0°
30°
45°
(51)"
90°
180°
270:
360°
0
e.
Г. A
^ I A.
n
3- 2
2.-
sin
0
1
2
а
2
УЗ
2
i
0
— 1
0
cos
1
Уз
2
i'i
2
1
2
0
— 1
0
i
tg
0
!уз
3
1
УЗ
не
cym.
0
не
сущ.
0
dg
не
сущ.
;уз
1
УЗ
3
0
t
ue
сущ.
0
не
сущ.
Формулы приведения
P
9 zfc Ct
3T-j-a
3r.
2 л;— a
sin (3
cos a
±sin a
—cos a
	sin a
cos [3
=Fsin a
—cos я
Tsin a
cos a
_fe.P_
=Fcig a
+ lg a
±ctg a
-tga
ctg f,
=Ftg a
3=сto- a
±tg a
etga
7

Формулы преобразований
sin2 a-f cos2 а—1; tga-ctga=l;
1-big2 a = sec2 a; i-fctg2 a = cosec2 a;
sin (a±P) —sin a cos p±cos a sin P;
cos (a±P) ==cos a cos p=Fsin a sin P;
, ,	.	n4	tga±tgp
tg(a±P)_ lrFtgatgp .
, / , оч ctgactgpTl
с g (a±P) cjg a-f-ctg p •
.	.	2	tg	a
sin 2a = 2 sin a cos a
l+tg2a ’
J |g2 Q
cos 2a = cos2 a—sin2 a = -«~r, 9;
1 -+-1 g^ a

1—cos a
sin .^ = ±|/
a	-| / 1 +cos cx
cos 2 ^ ~ V 	2	’
a±p	aq=p
siri a±sin P = 2 sin—?>— cos —2—’
a+P	a—p
cos a-j-cos p = 2 cos —— cos —9—»
. «+Р . a—P
cos a—cos p™—2 sin—g— sin —2—*
sin (a±p)
tga±tgP=-—-с-08р ;
sin (P±a)
ctg a±ctg p= TirTasTrTp-'
cos a cos P= [cos (a-f p) -f-cos (a—P) ];
sin a sin p==-j-[cos	(a—P)—cos	(a+P)];
sin a cos	[sin	(a-f-p)-fsin	(a—P)];

sin 3a = 3 sin a—4 sin3 a;
cos 3a = 4 cos3 a—3 cos a;
Тригонометрические уравнения
sin x = /n,	]	m	I	^	1, cos x — tn
x= (—l)kX
X arcs in m+/m
m ==	=	/ея
я
-f-А’Я
Ш — — \-+-x =
я
2 ^
!ml > I^g0
x-~ dzarccos m-f*
+2&Я
я
/71 = 0—>-x ~ g “Ь
-j-Ал
m —
2kn
m
-\—>-x = я-j-
+2*я
|m| > Xxe0
k€~LZ
10

igx — m, mt=R, ctgx — m
лт — arcig m-{-kn
m = 0-^x = k:i
m — A-\-+x =
— ± ^ -\-kn
x — arcctg m+kzi
1Z
m — 0->-x= 2 +^зт;
m— \—*-x = ^
/е€Е2
f(X+A$
f(X)
A
A.,
Производная
y = f(x)
AX
x x+ax
,	,•	АУ
у =1,111 "777
Длг-^О ax
y'= tga
Уравнение касательной
к графику функции в т. (х0, уо):
!/ — f(xo)+f'(x0)(x- дсс)
11

Правила дифференцирования
(u±v)'~u'±v'\ и = и(х);
(uv)' ~u'v-\~uv'\ v~v(x);
( и '/ u'v—uvr
^ ;
(ku)f~ku'\ k — const.
Таблица производных
c'=о, (с —const); x'—\] (х'г)=аха'~1
(ex)'~e*\ (ях)'~ах1па, (a>0, a^l);
(logax/^-yj——, (n > 0, йф\)\
(ln*)' = 4~;
(sin a-)' = cos x\ (cos x)1 ==—sin a:;
(‘8*)'-7^7! (ctg*)'=—4?7:
12

(arcsinx)'
(arccos jc) ' =
x2
—I
Неопределенный интеграл
tf(x)dx=F(x)+c, где
F(x) — первообразная для f (х), т. е.
F'(x)==f(x)t с—const.
Свойства:
(J/(*)<te)'=K*); !F'(x)dx=F(x)+c
flif(x)dx=kff(x)dx ; (ft — const)
J (/ (*) ±g (x)) dx= ff (x) dx±fg (x)dx
Интегрирование по частям
J udv~uv—J vdu; w = w(.t), v — v(x).

Таблица основных интегралов
lkdx = kx+c (k, с — const)
у*-И
J—= In ]х|+с;
X
j a*dx= -jJ e*dx = e*+c
J sin xdx — —cos x-\-c\
J cos xdx~sin x+c
J tg xdx — —In |cos .v| +c;
p cfjc
p dx
•' 7os2T = tg*+c

Определенный интеграл
ь
Sabcd^^ 5 f (х) dX
Формула Ньютона-Лейбница
ь
J f(x)dx — F(b)—/«"(а), где F(x) —перво-
a
образная для f(x).
Свойства:
1) Sf(x)dx=0;
а
2) n(x)dx=-$f(x)dx;
а	Ь
3) lf(x)dx=.tf{x)dx+
а	а
Ь
+J-f(x)dx; (a<c<b)
15

Параллельные прямые
a\\b\ с —секущая;
Z.1 — Z.3 —/_5 = Z7;
Z.2 — Z.4 — Z.6 = Z 8
Теорема Фалеса
fl||b||c||d
Треугольники
a+P-bv=180°
6 — внешний
й Ь С Й=а+Р
ДЛ/iC— треугольник ЛВС
Теорема синусов
а	Ъ	с

Теорема косинусов
a2 = b2A-c2—2bc cos а;
b2~a2-\-c2—2accos{5;
с2 = а2-\-№—2ab cos у.
Медианы треугольника
СЕ = АЕ, AF = BFt
CD — BD-+
AD, BE, CF—медианы
Свойства:
1) A0 — 20D,
C0 = 20F, ВО = 20 Е\
2) медиана делит
треугольник, на два рав¬
новеликих;
3) три медианы делят
треугольник на 6 равно¬
великих;
4)	AD — m„ =4'У2f>2i-2с2—аК
17

Биссектрисы треугольника
ZBAD — Z-CAD;
Z-.ABE — Z.CBE,
ZACF = Z. BCF-
AD, BE, CF — биссектри
^ сы АЛБ С.
Свойства:
1) т. О — центр впи¬
санной окружности;
2)	АЕ/ЕС — АВ/ВС;
AD2=AB -АС—BD-DC
Высоты треугольника
ADZ.BC; ВЕ1АС;
CFA-AB-+-
AD, BE, CF — высоты
т. О — ортоцентр.

Средняя линия треугольника
АН — BE; BD=zCD;
AF = CF
ED, EFt DF — средние
линии
ED\\AC; EF\\BC;
С DF\\AB
2ED — AC; 2EF=BC;
2DF = AB\
AABC-AEBD
Прямоугольный треугольник
ZACB = 90°, AC и ВС —
катеты, А В — гипотенуза
1)	/Ф=А(У+ВС'2 —
теорема Пифагора;
в 2) 2R = АВ = 2тс, где
R — радиус описанной
окружности, тс — медиа¬
на.
19

в
Равнобедренный треугольник
АВ — ВС — боковые
стороны;
АС — основание.
Свойства: /-ВАС—
= /ВС А;
BD — медиана, биссек¬
триса, высота.
Параллелограмм
AB\\CD, BCWAD
АС, BD — диагонали.
Свойства:
1) BC—AD, А В —CD;
2) /ABC—/.ADC,
/-BAD — /BCD;
3) A ABC— ACDA;
AABD=ACDB;
4) АО = ОС; BO — OD:
5)AC2+BD2=:2(AB2+
+ВС>);
6) т. О — центр симмет¬
рии.
20

Прямоугольник
AC—BD
Ромб
AC A-В D и делят углы
С на равные части.
Квадрат
Имеет все свойства
ромба и прямоугольника.
Трапеция
BC\\AD, AB%CD,
ВС; AD — основания;
А В; CD — боковые
j) стороны;
ВН — высота; АМ = МВ,

CN = ND-^MN — средняя линия;
MN\\BC\\AD, MN=(BC+AD)/2.
Исли AB==CDt то трапецию называ¬
ют равнобокой, и углы при основаниях
будут равными.
Многоугольники
Сумма углов выпуклого многоугольни¬
ка равна 180°(п—2), где п — количество
сторон (или углов).
Правильные многоугольники (все сто¬
роны и углы равны):
a — 2Rs\n (180°/п);
a = rig (180°/п), где
а — сторона многоуголь¬
ника;
R — радиус описанной
окружности;
г — радиус вписанной
окружности.
99

Окружность
ОЕ— радиус; ED — диа¬
метр;
$	— секущая; А В —
хорда;
SE, SC — касательные;
SE — SC (из одной точ¬
ки), OEJLES;
L — 2nR— длина окружности;
l = nRafl80— длина дуги.
ФОРМУЛЫ ПЛОЩАДЕЙ ФИГУР
Параллелограмм
S = a.ha; S — cib sin а.
ha / (для ромба еще и 5 =
= t/i '^2/2,
dx и d2 — его диагона¬
ли) .
#	‘Л1

Треугольник
S=aha/2; 5 = sin у;
S —abc/4 R; S — pr;
5 =
=УР(Р—a) (p—b) (p—c);
a-J-6+с
,p =	2
Трапеция
a-{-6
S= -J- -A
Круг
S — nR2 — площадь
круга;
nR2 a
r
сектора.
5 = ”260 — площадь

Стереометрия
*SOCH. — площадь основания;
*^бок. — боковая поверхность;
5ПОлн. — полная поверхность;
Яосн. — радиус основания; / — образу¬
ющая;
V — объем; А — апофема; Н — высота;
Р — периметр; р — полупериметр; d —
диаметр.
Параллелепипед
У==5осн.*#; прямо¬
угольный:	V	=	abc\
5»ОЛН === 2(ab-\~bcA~ac).
Пирамида

Усеченная пирамида
У ~ g (S[4-S2+ \SiS2);
Sh S2 — площади осно¬
ваний;
*5полН. :== ^бок-!-1^ 1 —i~ 2 -
Правильная: 5б0к= (Р1+Р2) * "i , где
Ри Рг —периметры оснований.
Конус
у \	V=~nR2Il;	S6ок =
=nRl;
SUOM—nR(R+l).
Усеченный конус
Ri и Р2 —• радиусы ос¬
нований;
‘S'coK л / (Pi --f- Р2);
V=ynlI(R';+RlR2+
+Rl)-

Призма
(V l/ = SOCH.//; прямая:
V = SnC’Ciy где а — боковое ребро,
Р пс — периметр, S„c — площадь пер¬
пендикулярного сечения.
Цилиндр
^полн. — 2лR (//-{-/?).
Сфера и шар
К= —д— л/?3 — объем шара;
S~4nR2 — площадь сферы.
27

Шаровой сегмент
К=-яЯ2(/?~~#/3);
S=2nRH.
Шаровой сектор
2
К=-3— nRHI;
Н — высота сегмента.
Шаровой слой
Ri и R2 — радиусы ос¬
нований;
И — высота; 5бок =
= 2 nRH;
v=~:3rI+3r]+h2)
28

КРАТКИЙ СПРАВОЧНИК
ПО МАТЕМАТИКЕ
Курс средней школы
Ответственный за выпуск
А. Н. Побережный
Одесса
1990
Сдано в набор 08.Ub.9t). Подписано в печать 11.и/ л
Формат изд. 60x84/64. Бумага офсетн. Гарни1ус
литературная. Печать офсетная. Услов. печ. л. iy
Услов. кр. отт. U,j. Учетн.-изд. л. 0,4. Тираж 500 000 ш
Заказ тип. № 735. Цена 1 руб. 50 коп. Коогюрап
"Синтез-88". Типография "Моряк”, 2700С1,	Од<->	> ,
ул. Ленина, 26.