А.Г ЦЫПКИН
СПРАВОЧНИК
ПО МАТЕМАТИКЕ
ДЛЯ СРЕДНИХ
УЧЕБНЫХ
ЗАВЕДЕНИЙ
А. Г, ЦЫПКИН
СПРАВОЧНИК
ПО МАТЕМАТИКЕ
' ДЛЯ СРЕДНИХ
УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
Под редакцией С. А. СТЕПАНОВА
ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ
И ДОПОЛНЕННОЕ
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1983
22.1
Ц 97
УДК 51
Справочник по математике для средних учебных заведений» Цып»
к и н А. Г./Под ред. С. А. Степанова. — 3-е изд. — М.: Наука. Глав*
ная редакция физико-математической литературы, 1983. — 480 о.
Справочник предназначен для учащихся средних школ и средник
специальных учебных заведений. Он содержит все необходимые опре*
деления, формулы, теоремы и методы решения задач. В него включенье
помимо классических разделов элементарной математики, такие разде*
лы, как элементы теории множеств, комплексные числа, основы мате*
матического анализа и векторной алгебры, метод координат и т. д.
Материал, излагаемый в справочнике, в основном носит теоретический
характер. Новое издание справочника (второе выходило в 1981 г.)
дополнено разделами, которые внедряются в школьное обучение.
К ним, в частности> относится теория вероятностей.
гт 1702010000—161
Ц 053 (02)-83 ’ 62-83
© Издательство «Наука».
Главная редакция
физико-математической
литературы, 1983
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора...................................... 9
От автора. • ............................................. 11
Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ	ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ................... 13
§ 1.	Множества и операции над множествами................. 13
1.1.	Множества и подмножества. 1.2. Операции над множествами,
1.3. Упорядоченные множества.
§ 2.	Соответствие между множествами и отображение множеств 17
2.1. Соответствие и отображение. 2.2. Взаимно однозначное
отображение. 2.3. Эквивалентность множеств, 2.4. Класси-
фикация множеств.
§ 3.	Множества с бинарными операциями • .................. 21
3.1.	Бинарные операции в множествах. 3.2. Изоморфизм мно-
жеств. 3.3. Группы. 3.4. Кольца. 3.5. Поля.
Г л а в а 2. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА......................... 26
§ 1.	Натуральные числа.................................... 27
1.1.	Множество натуральных чисел. 1.2. Аксиоматическое
построение множества натуральных чисел. 1.3. Простые числа.
Основная теорема арифметики. 1.4. Некоторые признаки дели-
мости натуральных чисел. 1.5. Наименьшее общее кратное.
Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида.
§ 2.	Целые числа.......................................... 35
2.1.	Множество-целых чисел. 2.2. Арифметические операции
с целыми числами. 2.3. Теория целых чисел как упорядоченных
пар натуральных чисел,
§ 3.	Рациональные числа..................................  40
3.1.	Рациональные дроби. 3.2. Рациональные числа. 3.3. Тео-
рия рациональных чисел как упорядоченных пар целых чисел,
§ 4.	Десятичные дроби..................................... 46
4.1.	Десятичная позиционная система счисления. 4.2. Понятие
десятичной дроби. 4.3. Арифметические действия о конечными
десятичными дробями. 4.4. Обращение конечной десятичной
дроби в рациональную дробь. 4.5-. Обращение бесконечной
периодической дроби в рациональную дробь. 4.6. Десятичные
представления рациональных чисел. 4.7, Непрерывные дроби,
§ 5.	Действительные числа................................  57
5.1.	Множество действительных чисел. 5.2, Аксиоматическое
построение множества действительных чисел. 5.3, Представле-
ние действительных чисел десятичными дробями. 5.4. Геоме-
трическое изображение множества действительных чисел,
5.5. Степени и корни. 5.6. Логарифмы. 5.7. Пропорции. 5.8. Де-
сятичные представления иррациональных чисел. 5.9. Некоторые
способы доказательства иррациональности чисел. 5.10. Алгеб-
раические и трансцендентные числа.
§ 6.	Приближенные вычисления.............................. 71
6,1.	Приближенное значение числа и погрешности, 6.2. Деся-
тичная запись приближенных значений числа. 6.3. Округление
чисел. 6.4. Метод касательных. 6.5. Алгоритмы извлечения
квадратного корня.
Глава 3. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА t.............................. 78
§ 1.	Множество комплексных чисел.......................... 79
1.1.	Аксиоматическое построение. 1.2. Теория комплексных
чисел как упорядоченных пар действительных чисел,
1*
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 2.	Геометрическое изображение и тригонометрическая форма
записи комплексных чисел........................................ 83
2.1.	Геометрическое изображение комплексного числа. 2.2. Гео-
метрическое изображение суммы и разности. 2,3. Тригономет-
рическая форма записи.
§ 3.	Степень комплексного числа................................ 86
3.1.	Натуральная степень комплексного числа. 3.2. Корень
n-й степени из комплексного числа.
Глава 4. АЛГЕБРА ............................ 88
§ 1. Многочлены одного переменного.............................. 88
1.1. Понятие многочлена. Арифметические операции над
многочленами. 1.2. Делители многочлена. 1.3. Деление много*
членов. 1.4. Алгоритм Евклида. Ц5. Корни многочлена.
1.6. Формулы сокращённого умножения. 1.7. Формулы Виета.
1.8. Основная теорема алгебры. 1.9. Разложение многочлена
на множители. 1.10. Некоторые следствия основной теоремы
алгебры.
§ 2.	Многочлены нескольких переменных......................... 98
2.1.	Одночлены и многочлены нескольких переменных. 2,2. Ле-
ксикографическое расположение членов многочлена.
§ 3.	Рациональные алгебраические дроби....................... 100
3.1.	Множество рациональных алгебраических дробей.
3.2.	Правильные алгебраические дроби. 3.3. Простейшие дроби.
§ 4.	Иррациональные алгебраические выражения.................. ЮЗ
§ 5.	Уравнения. Алгебраические уравнения..................... 108
5.1. Основные определения. 5.2. Линейное уравнение. 5.3. Квад-
ратное уравнение. 5.4. Кубичное уравнение. i5.5. Уравнения
четвертой степени. 5.6. Двучленные уравнения. 5.7. Решение
алгебраического уравнения с целыми коэффициентами. 5.8. Ра-
циональные алгебраические уравнения. 5.9. Иррациональ-
ные уравнения. 5.10. Уравнения, содержащие неизвестное под
знаком абсолютной величины. 5.11. Решение уравнений в мно-
w жестве комплексных чисел. 5.12. Диофантовы уравнения.
§ 6.	Трансцендентные уравнения............................. 124
6.1.	Показательные уравнения. 6.2. Логарифмические урав-
нения.
§ 7.	Системы уравнений..................................... 128
7.1. Основные определения. 7.2. Системы линейных урав-
нений. 7.3. Метод последовательного исключения неизве-
стных (метод Гаусса). 7.4. Некоторые способы решения систем
нелинейных алгебраических уравнений.
§ 8. Исследование систем линейных уравнений с помощью
определителей.............................................. 137
8.1.	Матрицы и операции над ними. 8.2. Определители.
8.3.	Ранг матрицы. 8.4. Исследование систем линейных урав-
нений с помощью определителей. Формулы Крамера.
§ 9.	Неравенства ............................................   151
9.1.	Определения и основные свойства неравенств. 9.2. Не-
которые важные неравенства.
§ 10.	Решение неравенств и систем неравенств.................... 154
10.1. Основные определения. 10.2. Линейные неравенства
и системы неравенств. 10.3. Квадратные „неравенства. 10.4. Ме-
тод интервалов. 10.5. Решение иррациональных неравенств.
Ю.6. Показательные неравенства. 10.7. Логарифмические не»
равенства. 10.8. Геометрическое изображение множества реше*
ний неравенства с двумя неизвестными.
ОГЛАВЛЕНИЕ
5
§11.	Приемы доказательства справедливости неравенств ...	166
11.1.	Доказательство с помощью цепочки эквивалентных не-
равенств. 11.2. Доказательство с использованием свойств
функций, входящих в неравенства. 11.3. Некоторые специаль-
ные приемы доказательства. 11.4. Некоторые способы про-
верки справедливости числовых неравенств.
Глава 5. ГЕОМЕТРИЯ ..........................................  173
§ 1.	Луч. Отрезок. . . . ;................................... 173
1.1.	Луч. 1.2. Отрезок.
§ 2.	Углы на плоскости.....................................   175
2.1.	Понятие угла. 2.2. Градусная мера измерения углов.
2.3.	Радианная мера измерения углов. 2.4. Классификация
углов. 2.5. Угол между направлениями.
§ 3.	Параллельность и перпендикулярность на плоскости . .	177
3.1.	Параллельность на плоскости. 3.2. Перпендикулярность
на плоскости. 3.3. Расстояние от точки до прямой.
§ 4.	Параллельность и перпендикулярность в пространстве . ,	179
4.1.	Параллельность прямой и плоскости. 4.2. Параллель-
ность плоскостей. 4.3. Перпендикулярность прямой и плоско-
сти. 4.4. Расстояние от точки до плоскости. 4.5. Перпенди-
кулярность плоскостей. 4.6. Наклонная. 4.7. Скрещивающиеся
прямые.
§ 5.	Проектирование на плоскость..................•	. . . .	181
5.1.	Параллельное проектирование. 5.2. Ортогональное проек-
тирование.
§ 6.	Углы в пространстве..................................... 182
6.1.	Угол между наклонной и плоскостью. 6.2. Двугранный
угол. 6.3. Угол между двумя плоскостями.
§ 7.	Ломаная. Многоугольник-................................. 183
§ 8.	Треугольники............................................ 185
8.1.	Основные свойства. 8.2. Медианы треугольника. 8.3. Высоты
треугольника, 8.4. Биссектрисы треугольника. 8.5. Средняя
линия треугольника. 8.6. Равнобедренный треугольник. 8.7. Рав-
носторонний треугольник. 8.8. Прямоугольный треугольник,
§ 9.	Четырехугольники........................................ 189
9.1.	Параллелограмм. 9.2. Ромб. 9.3. Прямоугольник, 9.4. Ква-
драт. 9.5. Трапеция.
§ 10.	Подобные многоугольники................................  191
10.1.	Признак подобия многоугольников. 10.2. Признаки
подобия треугольников.
§11.	Окружность и круг....................................... 193
11.1.	Окружность и круг. 11.2. Касательная и секущая.
11.3.	Взаимное расположение двух окружностей. 11.4. Цен-
тральные углы и дуги окружности. Ц.5. Дуги и хорды окруж-
ности. 11.6. Углы в окружности. 11.7, Длины и площади
в окружности и круге.
§ 12.	Многоугольники и окружность............................. 197
12.1.	Вписанные и описанные многоугольники. 12.2. Вписанные
треугольники. 12.3. Описанные'Треугольники. 12.4. Вневпи-
санная окружность. 12.5. Соотношения между сторонами тре-
угольников и радиусами вписанной и описанной окружностей.
•	12.6. Вписанные четырехугольники. 12.7. Описанные четы-
рехугольники.
§ 13.	Геометрические построения............................... 200
13.1.	Построение прямых, параллельных и перпендикуляр-
ных данной прямой, 13,2, Построение углов. 13,3, Построение
6
ОГЛАВЛЕНИЕ
отрезков. 13.4» Построение окружностей и дуг. 13.5. Построение
касательных к окружностям. 13.6. Построение окружности,,
описанной около многоугольника, и многоугольника, вписан-
ного в окружность. 13.7. Построение окружности, вписанной
в многоугольник, и многоугольника, описанного около окруж»
ности. 13.8. Построение треугольников.
§ 14.	Многогранный угол.................................... 213
§'15. Многогранная поверхность. Многогранник.............	215
§ 16.	Призма............................................... 216
§ 17.	Параллелепипед. Куб.................................. 217
§ 18.	Пирамида. Усеченная пирамида......................... 218
§ 19.	Правильные многогранники............................  220
§ 20.	Цилиндр ............................................. 222
§21.	Конус. Усеченный конус............................... 223
§ 22.	Сфера. Шар........................................... 225
§ 23.	Части шара..........................................  226
23.1.	Шаровой сегмент. 23.2. Шаровой сектор. 23.3, Шаровой
слой. 23.4. Шаровой пояс. 23.5. Телесный угол.
§ 24.	Преобразования плоскости и пространства.............. 228
24.1.	Отображение фигуры в фигуру и отображение фигуры'на
фигуру. 24.2. Преобразование плоскости и пространства. 24.3.
Изометрия пространства и плоскости. Равенство фигур-. 24.4. По-
ворот плоскости вокруг точки. 24.5. Центральная симметрия
и центрально-симметричные фигуры. 24.6. Осевая симметрия
плоскости. 24.7. Осевая симметрия пространства. 24.8. Сим-
метрия относительно плоскости. 24.9. Гомотетия плоскости.
24.10. Гомотетия пространства. 24.11. Преобразование подо*
бия плоскости. 24.12. Подобные фигуры.
§ 25. Система аксиом и неопределяемых понятий геометрии
(по Гильберту) . .............................г	236
Глава 6. ТРИГОНОМЕТРИЯ .......................  .	. .	240
§ 1. Тригонометрические функции. .................... 240
1.1.	Обобщение понятия угла. 1.2. Тригонометрические функ-
ции. 1.3. Квадранты единичной окружности. 1.4. Тригономе-
трические функции числового аргумента. 1.5. Обратные триго-
нометрические функции. 1.6. Значения тригонометрических
функций некоторых углов.
§ 2.	Тригонометрические формулы............................... 253
2.1.	Формулы приведения. 2.2.Связь между тригонометрическими
функциями одного аргумента. 2.3. Тригонометрические функ-
ции суммы и разности углов. 2.4. Тригонометрические функции
двойных, тройных и половинных углов. 2.5. Преобразование
суммы (разности) тригонометрических функций в произведение.
2.6.	Преобразование произведения тригонометрических функ-
ций в сумму. 2.7. Простейшие соотношения между обратными
тригонометрическими функциями.
§ 3.	Решение тригонометрических уравнений и неравенств . . .	258
3.1.	Простейшие тригонометрические уравнения. 3.2. Примеры
более сложных тригонометрических уравнений. 3.3. Решение
простейших тригонометрических неравенств. 3.4. Примеры
решения уравнений и неравенств, содержащих обратные три-
гонометрические функции.
§ 4. Соотношения между элементами треугольника............. 266
4.1. Основные формулы. 4.2. Вычисление элементов треуголь-
ника.
Глава 7. МЕТОД КООРДИНАТ.................................. 271
§ 1. Системы координат..................................... 271
1.1.	Координатная ось. 1.2. Прямоугольная декартова система
координат на плоскости. 1.3. Полярная система координат. Связь
между прямоугольными и полярными координатами. 1.4. Пря*
моугольная декартова система координат в пространстве.
ОГЛАВЛЕНИЕ
7
§ 2.	Линии на плоскости и поверхности в пространстве • • •	276
2.1.	Линии первого и второго порядка. 2.2. Прямая. 2.3. Ок-
ружность. 2.4. Эллипс. 2.5. Гипербола. 2.6. Парабола.
2.7.	Плоскость и шар.
§ 3.	Векторы..................................................... 285
3.1.	Векторы. Основные понятия. 3.2. Угол между векторами.
Скалярное произведение векторов. 3.3. Координаты вектора
на плоскости. 3.4. Координаты вектора в пространстве. 3.5. Век*
торное произведение. 3.6. Смешанное произведение векторов.
Глава 8. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ....................................... 295
§ 1.	Числовые последовательности............................... 295
1.1.	Понятие числовой последовательности. 1.2. Некоторые
способы задания последовательностей. 1.3, Геометрическое
изображение членов последовательности. 1.4. Ограниченные
последовательности. 1.5. Монотонные последовательности.
§ 2.	Предел последовательности................................. 299
2.1.	Понятие предела последовательности. 2.2. Необходимое
условие сходимости последовательности. 2.3. Теоремы о пре-
делах последовательностей. 2.4. Достаточное условие сходи-
мости последовательности. 2.5. Необходимое и достаточное
условие сходимости последовательности.
§ 3.	Числовые ряды и бесконечные произведения.................. 311
3.1.	Понятие числового ряда. 3.2. Положительные числовые
ряды. 3.3. Признаки сходимости числовых рядов. 3.4. Понятие
бесконечного произведения. 3.5. Связь бесконечных произ-
ведений с рядами,
§ 4.	Прогрессии .••••*> * > » . • . * ........................  318
4.1.	Арифметическая прогрессия. 4.2. Геометрическая про-
грессия.
§ 5.	Числовые функции.........................................  319
5.1.	Понятие числовой функции. 5.2. Способы задания функ-
ций. 5.3. Сумма, произведение, разность и частное двух функ-
ций. 5.4. Сложная функция. 5.5. Четные и нечетные функции.
5.6.	Периодические функции. 5.7. Ограниченные функции.
5.8.	Монотонные функции. 5.9. Понятие обратной функции.	\
§ 6.	Предел функции............................................ 328
6.1.	Понятие предела функции. 6.2. Односторонние пределы.
6.3.	Теоремы о пределах функций. 6.4. Некоторые важные
пределы;	,
§ 7.	Бесконечно малые и бесконечно большие величины. . .	337
7.1.	Понятие бесконечно малой и бесконечно большой величины.
7.2.	Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших ве-
личин.
§ 8.	Непрерывность (и разрывы) функций . , ,................... 340
8.1.	Понятие непрерывности функций. 8.2. Основные теоремы
о непрерывных функциях. Непрерывность элементарных функ-
ций. 8.3. Односторонняя непрерывность. Классификация
разрывов функций.
Глава 9. НАЧАЛА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИН-
ТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ................................... 344
§ 1.	Производная......................................... 344
1.1.	Понятие производной. 1.2. Геометрическая интерпре-
тация производной. 1.3. Кинематический смысл производной.
1.4.	Теоремы о производных. 1.5. Вычисление производных
влементарных функций. Д.6. Производные высшего порядка.
1.7.	Производные функции, заданной в параметрической форме.
8	ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 2.	Дифференциал .......................................   355
2.1.	Понятие дифференциала. 2.2. Геометрическая интерпре-
тация дифференциала. 2.3. Инвариантность дифференциала,
§ 3.	Исследование функций. Построение графика функции . . .	358
3.1.	Условия постоянства и монотонности функций. 3.2. Макси-
мумы и минимумы функции. 3.3. Наибольшее и наименьшее
значения функции. 3.4. Направление вогнутости кривой.
3.5.	Асимптоты. 3.6. Построение графика функции.
§ 4.	Первообразная. Неопределенный интеграл................ 367
4.1.	Понятия первообразной и неопределенного интеграла.
4.2.	Простейшие правила интегрирования. 4.3. Метод интег-
рирования по частям. 4.4. Интегрирование методом замены
переменной. 4.5. Некоторые классы интегрируемых функций.
Подстановки Эйлера.
§ 5.	Определенный интеграл................................. 380
5.1.	Задача вычисления площади плоской фигуры. 5.2. Понятие
определенного интеграла. 5.3. Определенный интеграл как
функция верхнего предела. Основная; формула интеграль-
ного исчисления. 5.4. Вычисление площадей и объемов с по-
мощью определенного интеграла.
§ 6.	Дифференциальные уравнения............................ 389
6.1.	Понятие дифференциального уравнения. 6.2. Дифферен-
. циальные уравнения первого порядка. 6.3. Некоторые дифферен-
циальные уравнения первого порядка. 6.4. Дифференциальные
уравнения порядка выше первого. Примеры дифференциальных
уравнений второго порядка. 6.5. Линейные дифференциальные
уравнения с постоянными коэффициентами.
§ 7.	Функции нескольких переменных......................... 405
7.1.	Понятие функциональной зависимости между несколь-
кими переменными. 7.2. Предел и непрерывность функций двух
независимых переменных. 7.3. Понятие частной производной.
7.4.	Экстремумы функции двух независимых переменных.
Глава 10. КОМБИНАТОРИКА. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ ............................................   412
§ 1.	Метод математической индукции........................  412
§ 2.	Комбинаторика ........................................ 414
2.1.	Перестановки. 2.2. Подстановки. 2.3. Размещения. 2.4. Со-
четания. 2.5. Бином Ньютона. 2.6. Перестановки с повторени-
ями. 2.7. Сочетания с повторениями.
§ 3.	Элементы теории вероятностей.......................... 423
3.1.	Испытание. Исход. Событие. 3.2. Операции над событиями.
3.3.	Понятие вероятности. 3.4. Условная вероятность. 3.5. Фор-
мула полной вероятности. 3.6. "Формула Бернулли.
ПРИЛОЖЕНИЯ ................................................ 433
1. Элементарные функции.................................... 433
II. Системы счисления ..................................... 442
Основные формулы..........................................  447
Литература................................................  461
Список основных обозначении................................ 466
Предметный указатель....................................... 469
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
Справочник предназначен для учащихся средних школ и средних
специальных учебных заведений и в полном объеме содержит понятия,
определения, формулы, теоремы и методы решения задач, входящие
в курс математики средних учебных заведений. Кроме того, в справоч-
ник дополнительно включен ряд разделов, необходимых как для более
глубокого понимания основ математики, так и для выявления связей
между различными разделами математики. К дополнительному мате-
риалу, в частности, относятся: делимость целых чисел и многочленов,
алгоритм Евклида, комплексные числа, основная теорема алгебры,
кривые второго порядка, понятия эквивалентности и изоморфизма
множеств, элементы теории вероятностей, начала теории дифференциаль-
ных уравнений, основные сведения о матрицах и определителях и т. д.
В большинстве разделов изложение материала ведется без исполь-
зования теоретико-множественной концепции и поэтому отличается
от принятого в настоящее время в учебниках для средней школы. К та-
ким разделам относится прежде всего геометрия, построение которой
на основе теории множеств приводит к ряду как терминологических,
так и смысловых несообразностей. Поэтому геометрический материал
излагается в справочнике на основе аксиоматики Гильберта и с ис-
пользованием традиционной терминологии. Кроме того, в справочнике
иным способом определены вектор, числовая последовательность,
определенный, интеграл и некоторые другие понятия.
В справочнике дается систематическое изложение теории действи-
тельных чисел. В школьном курсе сведения о действительных числах
слишком разрозненны, чтобы можно было получить полное представле-
ние о структуре и принципах построения действительных чисел. В спра-
вочнике теория действительных чисел излагается с единой точки зрения,
а именно множества целых, рациональных и действительных чисел
последовательно вводятся как естественное расширение множества
натуральных чисел.
Несколько расширен круг вопросов, связанных с приближенными
вычислениями. Наряду с элементарными сведениями общего характера
в справочнике рассмотрены аппроксимирующие свойства непрерывных
дробей и изложен один из наиболее простых и известных методов при-
ближенного вычисления — метод касательных Ньютона.
Обозначения, принятые в справочнике, за редким исключением,
совпадают с обозначениями, принятыми в школьных учебниках. К ука-
занным исключениям относится обозначение интервала: в справочнике
интервал обозначается круглыми скобками, как это принято в боль-
шинстве учебников и книг по математике.
Материал, излагаемый в книге, в основном теоретический —
в справочнике нет таблиц, отсутствуют сведения о логарифмической
линейке и микрокомпьютерах, получивших в последнее время широкое
распространение, и сравнительно мало сказано об арифметических
операциях с десятичными дробями, Эти сведения можно найти в книгах
10	ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
М. Я. Выгодского «Справочник по элементарной математике», Д. Ю. Па*
нова «Счетная линейка» и других.
В заключение следует отметить, что справочник отличается логи*
ческим единством и достаточной степенью подробности в изложении
материала. Вводимые математические понятия и методы решения задач
проиллюстрированы многочисленными примерами. Ввиду этого справоч-
ник может быть использован в качестве пособия для повторения курса
математики средних учебных заведений,
ч
С. А. Степанов
ОТ АВТОРА
Справочник в основном предназначен для учащихся 9—10 классов
средней школы и может быть использован для получения кратких
сведений об основных понятиях, теоремах, формулах и методах решения
простейших задач, встречающихся в курсе математики средней школы.
Для получения справки о формуле удобно обращаться к сводке формул;
для получения справки о математическом термине — к предметному
указателю.
Для получения достаточно цельного представления об интересую-
щем читателя разделе математики рекомендуется полностью прочесть
соответствующий параграф (или главу).
При пользовании справочником следует иметь в виду, что он не
может полностью заменить учебник: большая часть материала дается
без доказательства. Более полное и законченное представление о соот-
ветствующих разделах математики читатель может получить в следую-
щих книгах;
Понтрягин Л. С. Знакомство с высшей математикой. Метод
координат.—М.: Наука, 1977.
Понтрягин Л. С. Математический анализ для школьников. —
М.: Наука, 1983.
Понтрягин Л. С. Знакомство с высшей математикой. Анализ
бесконечно малых. — М.: Наука, 1980.
П о г о р е л о в А. В. Элементарная геометрия. — М.: Наука,
Тихонов А. Н., Костомаров Д. П. Рассказы о приклад-
ной математике. —М.: Наука, 1979.
Маркушевич А. И. Комплексные числа и конформные ото-
бражения.— М.: Наука, 1979.
Е ж о в И. И., С к о р о х о д А. В., ЯдренкоМ. И. Эле-
менты комбинаторики. — М.: Наука, 1977.
Фомин С. В. Системы счисления. — М.: Наука, 1980.
В справочнике принята следующая рубрикация: глава, параграф,
пункт; названия всех пунктов указаны в оглавлении. Сплошная нумера-
ция рисунков ведется в пределах одной главы. При ссылке в тексте на
материал той же самой главы указывается только номер параграфа и
пункта; при ссылке на материал другой главы, кроме номера параграфа
и пункта, также указывается номер главы. В конце справочника даны
достаточно подробный предметный указатель, сводка наиболее распро-
страненных формул и список используемых обозначений. В предметном
указателе приведены страницы, на которых определяется данный тер-
мин. В списке обозначений также указаны страницы, на которых впервые
введено то или иное обозначение. В конце приводится приложение
о системах счисления.
Автор пользуется случаем выразить свою благодарность Л. Д. Куд-
рявцеву за полезные обсуждения, способствовавшие улучшению содер-
жания и структуры справочника, Е. В. Шикину за ценные советы и
12	ОТ АВТОРА
замечания относительно изложения глав «Геометрия» и «Метод коорди*
нат», В. В. Тихомирову за замечания по содержанию справочника.
В настоящем издании справочник отличается от предыдущих как
по построению, так и по содержанию. Переработана значительная часть
текста. Без существенных изменений остались только главы 2, 3 и 5—7.
Комбинаторика, бином Ньютона и метод математической индукции из
1-й главы перенесены в 10-ю, а сведения о матрицах и 'определителях —
в § 8 гл. 4. Главы 8 и 9 переработаны и расширены. Материал прежней
гл. 10 частично перенесен в гл. 8, частично — ц Приложение I. В новую
гл. 10 включен параграф «Элементы теории вероятностей».
При переработке справочника ставилась цель — расширить круг
читателей. Автор надеется, что справочник в таком виде окажется
полезным не только школьникам, но и учащимся техникумов, а может
быть, и студентам первого курса втузов (для повторения).
А. Г, Цыпкин
ГЛАВА 1
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
Теория множеств — это раздел математики, изучающий общие
свойства множеств (преимущественно бесконечных). Выделение теории
множеств в самостоятельный раздел математики произошло сравни-
тельно недавно — на рубеже XIX и XX веков. Теория множеств ока-
зала очень большое влияние на развитие современной математики — она
явилась фундаментом ряда новых разделов математики, позволила
по-новому взглянуть на классические разделы математики и глубже
понять сам предмет математики.
§ h Множества и операции над множествами
1.1. Множества и подмножества. В математике некоторые понятия
являются первичными, неопределяемыми. К ним относятся понятия
~ натурального числа, точки, прямой и т. д.
Одним из таких неопределяемых понятий является понятие «мно-
жество». Этому понятию нельзя дать формального определения, которое
не сводилось бы просто к замене слова «множество» его синонимами
«совокупность», «набор элементов» и т. п. Множества можно составлять
на основе самых различных признаков из самых разнообразных объектов
(которые в дальнейшем будем называть элементами множества). Мно-
жество можно-задать, указывая,например, некоторое свойство объектов,
образующих множество, правило построения элементов множества и
' т. д. Можно говорить не только о множествах, элементами которых явля-
ются материальные объекты, но и о множествах, элементы которых —
некоторые абстрактные понятия (числа, геометрические фигуры, сим*
волы и т. п.).
Сразу оговорим, что понятие «множество» не следует понимать
буквально и тдлковать его. как совокупность, содержащую «много»
элементов. Под множеством также понимается совокупность объектов,
которая может состоять, например, из одного, двух и т. д. элементов.
Более того, оказывается удобным считать множеством даже пустое
множество, т. е. множество, не содержащее ни одного элемента. Рас-
сматривать пустое множество необходимо хотя бы только потому, что,
когда мы определяем тем или иным способом множество, мы можем и не
знать заранее, содержит ли оно хотя бы один элемент.
Множества чаще всего обозначаются прописными буквами латин-
ского алфавйта А, В, ...» X, а их элементы — малыми буквами: а,
Ъ, х. Пустое множество обозначается специальным символом 0.
Если множество А состоит из п элементов а19 а29 ап, то пишут
А = {аг\ а2\...; ап}.
Говорят: «элемент а принадлежит множеству А»—и записывают^
а £ А или А $ а (А содержит а); запись а & А или А а означает,
что элемент и не принадлежит множеству А (А не содержит а).
14
ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
Множество В называют подмножеством множества Д, если все
элементы множества В принадлежат множеству Д, и пишут
в а а.
Например, пусть А — множество рациональных чисел, В — мно-
жество натуральных чисел. В этом случае В CZ Д.
Любое множество А имеет в качестве своих подмножеств пустое
множество и само множество Д.
Если для двух множеств А и В одновременно справедливы утверж-
дения А С В и В CZ Д, то множества А и В состоят из одних и тех же
элементов. Такие множества А и В называют равными (или совпадаю*
щими) и пишут
А ® В.
Непустое подмножество В множества А называется собственным'
если В не совпадает с Д.
1.2. Операции над множествами. Объединением двух множеств на-
зывается множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих
хотя бы одному из этих множеств. Объединение множеств А и В обозна-
чается A (J В. Для наглядности изобразим множество в виде плоской
геометрической фигуры (на рис. 1.1 элементы множества — точки
заштрихованной части плоскости). На рис. 1.2 множество A (J В
выделено двойной штриховкой.
Пересечением двух множеств называется множество, состоящее
из всех элементов, принадлежащих одновременно обоим множествам.
Пересечение множеств Д и В обозначается А Г) В. На рис. 1.3 множество
С = А П В выделено двойной штриховкой.
Множества Д и В могут быть такими, что их пересечение будет
пустым множеством: Д П В = 0 (рис. 1.4).
Свойства операций объединения и пере-
сечения:
1)	коммутативность:
A (J В = В (J Д, А П В = В П Д*
2)	ассоциативность:
(Л U В) и А и (В U О, М Л В) Л С= А Л (В ПО;
3)	дистрибутивность!
(А и В) л С = (Л л О и (В Л О,
(А Л В) и (А и Q л (В U О-
§ I. МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ 15
Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из
всех элементов Л, не принадлежащих В. При этом, вообще говоря, не
предполагается, что В С 4. Разность множеств А а В обозначается
А \ В (или А — В).
Рис. 1.8.	Рис. 1.4.
Рис. 1.5.
Если В — подмножество Л, то разность Л \ В также называют
дополнением множества В до множества Л. Если R ~ А \ В, то /? П
fl В = 0 и R (J В == Л. На рис. 1.5 дополнение Л \ В выделено
двойной штриховкой.
Поясним смысл этих определений следующим примером. Пусть Л —
множество всех натуральных чисел, кратных двум, а В — множество
всех натуральных чисел, кратных трем.
Объединением этих множеств будет множе-
ство всех натуральных чисел, кратных числу 2
или числу 3. Их пересечением будет мно-
жество всех натуральных чисел, кратных >
как числу 2, так и числу 3, т. е. кратных
числу 6.
Пусть теперь Л — множество всех на-
туральных чисел, кратных числу 2, а В —
множество всех натуральных чисел, кратных
числу 6 (т. е. кратных- как числу 2, так и
числу 3). Множество В является подмноже-
ством множества Л. Дополнением множе-
ства В до множества Л будет множество всех
натуральных чисел, кратных числу 2, но не
кратных числу 3.
Понятия объединения и пересечения, данные для случая двух
множеств, могут быть распространены и на случай любого числа мно-
жеств.
Так, объединением конечного числа множеств Л| (t« 1, 2, л)
называют множество В, состоящее из элементов, каждый из которых
принадлежит хотя бы одному из множеств Ль и пишут
В = U Аг
*==1
Пересечением конечного числа множеств At (t = 1, 2, ..., и) назы-
вают множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих
одновременно всем множествам Ль и пишут
с = n At.
1=1
16	ГЛ. 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
Если At — бесконечная совокупность множеств (i=l, 2, ..., п, ...),
фо объединение и пересечение этих множеств обозначают с помощью
символов
U At и ПЛ/
i	i
соответственно.
Пусть At — конечная или бесконечная совокупность подмножеств
(i = 1, 2, 3, ...) множества А. Связь между подмножествами At и
множеством А устанавливается следующими равенствами, называемыми
соотн ош ен и ям и двойственност и:
Л\П Al = и (4\4i),	4\U At = п (Л\Л0.
i	i	i	i
Пусть Д и В — два произвольных множества. Пара (а, Ь) элементов
а £ В и b £ В, взятых в данном порядке, называют упорядоченной
парой. Считают, что пары (alt Ь±) и (а2> ^г) равны тогда и только^тогда,
когда Gj = а2 и = Декартовым произведением двух множеств А
и В называется множество всех упорядоченных пар (а, Ь). Декартово
произведение множеств А и В обычно обозначается А X В.
1.3. Упорядоченные множества. Вводя операции надмножествами,
мы не учитывали, что сами множества могут иметь свою внутреннюю
структуру, т. е. мы считали, что все элементы множества равноправны.
Однако в математике такие «чистые» множества представляют мало
интереса, и гораздо чаще изучаются множества, между элементами
которых существуют те или иные отношения. Одним из важнейших
отношений между элементами множества является отношение порядка.
Отношение порядка есть не что иное, как правило, устанавливаю-
щее порядок «следования» элементов - множества.
Пусть А — некоторое множество. Множество А называется у пор я*
доченным множеством, если для любых его двух элементов а, b установ-
лено одно из следующих отношений порядка'.
либо а b (а не превосходит Ь),
либо b а (Ь не превосходит а),;
обладающих следующими свойствами:
1) рефлексивность: любой элемент не превосходит самого
себя;
2)'а нтисимметричность: если а не превосходит bt а b не
превосходит а, то элементы а и b совпадают;
3) транзитивность: если а не превосходит b, а b не превос-
ходит с, то а не превосходит с.
Пустое множество условились считать упорядоченным. В сформу-
лированном выше определении упорядоченного множества, элементами
которого могут быть объекты любой природы, знак читается «не
превосходит». Привычное чтение и смысл этот знак (как знак «меньше
или равно») приобретает в случае, когда элементы множества А —
числа.
Два множества, составленные из одних и тех же элементов, но с раз-
ными отношениями порядка, считаются различными упорядоченными
множествами.
Одно и то же множество можно упорядочить различными способами,
получая тем самым различные упорядоченные множества. Например,
§ 2. СООТВЕТСТВИЕ И ОТОБРАЖЕНИЕ МНОЖЕСТВ 17
рассмотрим множество, элементами которого являются различные вы-
пуклые многоугольники: треугольник, четырехугольник, пятиугольник,
шестиугольник и т. д. Один способ образования упорядоченного мно-
жества из данного неупорядоченного множества может, например,
состоять в том, что в качестве первого элемента упорядоченного мно-
жества мы берем треугольник, в качестве второго — четырехугольник,
третьего — пятиугольник и т. д., т. е. упорядочиваем множество в по-
рядке возрастания числа внутренних углов многоугольников. Мно-
жество многоугольников может быть упорядочено и другим способом,
например перечислением многоугольников в порядке возрастания пло,-
щадей, когда в качестве первого выбирается многоугольник, имеющий
наименьшую площадь, в качестве второго — многоугольник с площадью,
не превышающей площадь всех остальных, кроме уже выбранного,
и т. д.
Упорядоченные (конечные или счетные), множества часто записы-
вают, располагая их элементы в заданном порядке в круглых скобках.
Например, записи
(1; 2; 3) и (2; 1; 3)	(1)
представляют различные конечные упорядоченные множества, которые
можно получить из одного и того же множества {1; 2; 3}, -упорядочивая
его двумя различными способами. Для записи счетного упорядоченного
множества в виде, аналогичном (1), необходимо указать первый элемент
упорядоченного множества и указать порядок (правило) расположения
последующих элементов.
§ 2.	Соответствие между множествами
и отображение множеств
2.1.	Соответствие и отображение. Понятие соответствия отно-
сится к первичным, неопределяемым понятиям математики. Говорят,
что между двумя множествами установлено соответствие, если опреде-
лено правило, по которому для каждого элемента одного множества
выбирается определенный элемент или подмножество элементов другого
множества. При этом допускается, что некоторым элементам первого
множества может соответствовать пустое подмножество.
На основе понятия соответствия между множествами вводится
понятие отображения множеств. При этом различают отображение
множества «в» множество и отображение множества «на» множество.
Соответствие, при котором каждому элементу множества А отвечает
единственный элемент множества В, называется отображением мно*
оюества А в множество В.
Соответствие, при котором каждому элементу множества А отвечает
единственный элемент множества В и, кроме того, каждому элементу
множества В отвечает хотя бы один элемент множества А, называется
отображением множества А на множество В,
Отображения множеств обычно обозначают буквами g, и
пишут
1	g	h
А-* В, А-+В, А-+В
или '
f; А В, g: Л -> В, h\ А-> В.
18	ГЛ. 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
Если при отображении f элементу а £ А соответствует элемент
b £ Bt то элемент b называют образом элемента а, элемент а называют
прообразом элемента b и пишут
b e f (а).
Множество всех прообразов элемента b называют его полным прообра*
еом. В случае отображения множества А «на» множество В пишут также
В = /(Д).
Отображение f: 4 -> В называется инъективным^ если разные
элементы множества А имеют различные образы.
Равенство f = g двух отображений
Л Д->В, g: Д->В
Означает, что для любого а £ Л / (а) = (а).
2.2.	Взаимно однозначное отображение.. Отображение множества
Д на множество В, при котором разным элементам множества А соответ-
ствуют разные элементы множества В, называется взаимно однозначным
отображением множества А на множество В. Другими словами, отобра-
жение f: А -> В взаимно однозначно, если оно отображает множество А
на множество В и оно инъективно. Взаимно однозначное отображение
называют также биекцией.
Если множества Д и В совпадают и f — взаимно однозначное
отображение, т. е. f\ Д~>Д, то говорят, что множество Д взаимно
однозначно отображается на себя.
Единичным (или тождественным) отображением е множества 4
на себя:
е: Д-> А
называется отображение, переводящее любой элемент а € А в себя2
е (а) = а.
Пусть множество А взаимно однозначно отображается на множество
В (f : А -> В), т. е. каждому элементу а £ А при отображении f
соответствует единственный элемент b множества В (образ а) и каждому
элементу b £ В соответствует единственный элемент a £ А (прообраз
Ъ). Отображение, ставящее в соответствие каждому элементу b £ В его
прообраз а С Д, называют обратным отображением для отображения
/, обозначают и пишут
В-> А или	В->4.
Если f — взаимно однозначное отображение, то обратное отображение
f"1 — также взаимно однозначное отображение; обратным для отображе-
ния /'* будет исходное отображение /.
2.3.	Эквивалентность множеств. Если множество А взаимно одно-
значно отображается на множество В, то множества А и В называются
эквивалентными. Эквивалентность множеств записывается с помощью
знака
А~В
(читается: А эквивалентно В). Об эквивалентных множествах Д и В
также говорят, что между ними установлено отношение эквивалент-
ности.
Отношение эквивалентности множеств обладает следующими свой-
ствами:
1)	рефлексивность; А ~ А (любое множество эквнва*
лентно самому себе);
§ 2. СООТВЕТСТВИЕ И ОТОБРАЖЕНИЕ МНОЖЕСТВ 	19
2)	симметричность: А ~ В <=> В~А (если множество А
эквивалентно множеству В, то множество В эквивалентно множеству А,
и наоборот);
3)	транзитивность: 4 и В ~ С=>А ~ С (если мно«
вкество А эквивалентно множеству В, а множество В эквивалентно
множеству С, то и множество А эквивалентно множеству С).
2.4.	Классификация множеств. Множества делятся па конечные
и бесконечные.
Множество, эквивалентное отрезку натурального ряда *), называ-
ется конечным множеством (пустое множество также считается конеч-
ным множеством). Иными словами, конечное множество (если оно не
густо) — это множество, элементы которого можно «пересчитать» за
конечное число шагов. Если при этом каждому элементу конечного
множества А присвоить какой-нибудь номер от 1 до некоторого нату-
рального числа п таким образом, чтобы все числа от 1 до п были исполь-
вованы и различные элементы множества получили различные номера,
то число п укажет число элементов данного множества 4.
Число элементов конечного множества 4 называется мощностью
конечного множества.
Для конечных множеств справедлива следующая теорема, которая
называется основной теоремой о конечных мно-
жествах:
Любое конечное множество не эквивалентно никакому его собствен*
ному подмножеству.
Из этой теоремы, в частности, также следует, что всякое непустое
конечное множество эквивалентно одному и только одному отрезку
натурального ряда.
Множество, не являющееся конечным множеством, называется
бесконечным. В качестве «эталона» для сравнения бесконечных множеств
можно выбрать простейшее бесконечное множество — множество всех
натуральных чисел N.
Если проводить сравнение всевозможных бесконечных множеств
с множеством всех натуральных чисел N, то оказывается, что все
бесконечные множества разбиваются на два класса: на класс множеств,
эквивалентных множеству всех натуральных чисел (такие множества
называют счетными), и на класс множеств, не эквивалентных
множеству натуральных чисел (такие множества называют несчет-
ными).
Таким образом, счетное множество— это такое бесконечное мно-
жество, элементы которого можно «перенумеровать» при помощи мно-
жества натуральных чисел, т. е. можно указать такой способ нумерации
элементов множества, при котором каждый элемент множества получит
свой единственный номер. Счетными множествами будут, например,
множество всех четных натуральных чисел, множество всех рациональ-
ных чисел и т. д.
Приведенные примеры различных счетных множеств кажутся на
первый взгляд несколько необычными: очевидно, что множество всех
четных натуральных чисел является подмножеством множества всех
натуральных чисел, и в то же время множество четных чисел эквива-
лентно множеству натуральных чисел. Этот парадокс кажущийся и
связан с тем, что на практике мы обычно имеем дело с конечными мно«
*) Множество всех натуральных чисел, меньших или равных некоторому
натуральному числу nt называется отрезком натурального ряда и обозна-
чается U, л j или 1, п»
20
ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
жествами, т. е. с множествами, состоящими из конечного числа элемен-
тов, для которых изъятие хотя бы одного элемента приводит к уменьше-
нию их числа. В результате такого изъятия у нас получается новое
конечное множество, которое,уже не будет эквивалентно исходному, так
как конечные множества эквивалентны лишь в случае равенства числа
их элементов. Совсем по-другому обстоит дело со счетными множествами.
Изъятие из счетного множества конечного (а иногда даже бесконечного)
числа элементов по-прежнему оставляет множество счетным.
. В качестве примера покажем, что множество всех натуральных
чисел и множество всех четных натуральных чисел эквивалентны между
собой. Начертим две параллельные числовые оси Ох и О'х' (рис. 1.6)>
выбирая единичные масштабные отрезки таким образом, чтобы единич-
ный отрезок оси Ох был в два раза больше единичного отрезка оси О'х\
О f 2	Множество натуральных чи-
- - - »_____j_______।______j сел будет изображаться точ-
у у у ками числовых осей Ох и
/	/	/	. О’х'. Поставим в соответ-
/	/	/	ствие числу 2 числовой оси
/	/	/	ЧИСЛО 1 числовой оси Ох,
>--1---!-------г	> числу 4 числовой оси О'х' —
О' 1 2 3 4 3 Я 7	число 2 числовой оси Ох,
числу 6 — число 3 и т. д.
Рис» !•••	При этом окажется, что лю-
бому четному натуральному
числу соответствует единственное натуральное число и, наоборот,
любое натуральное число отвечает единственному четному натураль-
ному числу, т. е. между множеством всех четных натуральных чисел
и множеством всех натуральных чисел установлено взаимно однознач-
ное соответствие, и, значит, эти множества эквивалентны.
Приведенный пример показывает, что множество натуральных чисел
содержит собственное, эквивалентное ему подмножество (множество
четных чисел). Таким свойством — содержать собственное подмноже-
ство, которое эквивалентно самому множеству, обладают все бесконеч-
ные множества. Указанное свойство можно взять в качестве определения
бесконечного множества.
Свойства бесконечных множеств:
1)	Всякое подмножество счетного множества конечно или счетно.
2)	Сумма любого конечного или счетного множества счетных мно-
жеств есть счетное множество.
3)	Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.
Последнее свойство говорит о том, что среди бесконечных множеств
счетные множества — «самые маленькие».
Существуют бесконечные множества, не являющиеся счетными; это
несчетные множества. Заметим, что такое «определение» несчетного
множества нельзя считать вполне удовлетворительным по следующей
причине: вводя понятие бесконечного множества, мы были уверены, что
хотя бы одно такое множество существует. Этим множеством является
множество натуральных чисел. При данном же «определении» несчет-
ного множества уже приходится в качестве теоремы доказывать, что
такие множества существуют. Эта теорема формулируется такз
Множество действительных чисел, заключенных между 0 и 1,
несчетно.
Мы не будем приводить доказательство этой фундаментальной
теоремы теории множеств, а лишь заметим, что оно основано на пред-
ставлении действительных чисел в виде бесконечных десятичных дробей.
§ 3. МНОЖЕСТВА С БИНАРНЫМИ ОПЕРАЦИЯМИ -	21
Суть же доказательства состоит в том, что, как бы мы ни нумеровала
числа, лежащие между нулем и единицей, используя все натуральные
числа, всегда найдется такое действительное число, большее нуля и
меньшее единицы, которое будет пропущено.
Если множество эквивалентно множеству всех действительных
чисел, больших нуля и меньших единицы, то говорят, что оно имеет
М
Ж
мощность континуума.
Примерами множеств, эквивалентных множеству действительных
чисел, заключенных между нулем и единицей, т. е. имеющих мощность
континуума, являются: множество всех точек любого отрезка прямой,
множество всех точек прямой, множество
всех прямых на плоскости и т. д.
Легко заметить, что приведенные при-
меры создают ту же «парадоксальную»
ситуацию, которая возникала и в случае
счетных множеств, а именно: множество
чисел, лежащих между числами 0 и 1,
оказывается эквивалентным множеству
всех чисел, больших нуля и меньших,
например, двух. В случае несчетных
множеств «парадокс» объясняется так
же, как и в случае счетных множеств,
поэтому не будем на нем подробно оста-
навливаться. Здесь мы лишь покажем, каким образом можно уста*
х
_z___!_

х*
Рис» 1.7.
новить взаимно однозначное соответствие между множеством чисел*
больших нуля и меньших единицы, и множеством чисел, больших
нуля и меньших двух, и тем самым доказать их эквивалентность. Нари*
суем две параллельные числовые оси Ох и О'х', выбирая на них одинако*
вые масштабные отрезки (рис. 1.7). Опишем теперь способ, позволяю*
щий установить взаимно однозначное соответствие между точками*
принадлежащими отрезку [0; 1 ] оси Ох, и точками, принадлежащими
отрезку [0; 2] оси Ох. Проведем через точки О и О' и точки 1 и 2 пря-
мые, которые пересекутся в некоторой точке М. Возьмем любую точку
хо € [0; 1 ] оси Ох и проведем прямую через точку М и точку х0. Эта
прямая пересечет ось О'х' в некоторой точке Xq, которая и будет образом
точки х0 при отображении промежутка [0; 1] оси Ох на промежуток
[0; 2] оси О'х'. Точка Xq будет единственной точкой пересечения Мх0 и
О'х', так как эти прямые не параллельны. И наоборот, взяв любую точку
€ [0; 2] оси О'х' и проведя прямую через точку М и точку x'Jt при*
надлежащую оси О'х', получим единственную точку пересечения данной
прямой с осью Ох, которую обозначим Хр Точка будет образом точки
х'1 при отображении множества [0; 2 ] оси О'х' на множество [0; 11
оси Ох. Таким образом, мы установили взаимно однозначное соответ-
ствие между нашими множествами и тем самым доказали их эквива-
лентность.
§ 3.	Множества с бинарными операциями
3.1.	Бинарные операции в множествах. Пусть А — некоторое
конечное или бесконечное множество с элементами
а, Ь, с, d,...
Бинарной операцией (или просто операцией) называют отображение
множества А в себя, которое каждой упорядоченной паре элементов
22	ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
(а; Ь) из множества А ставит в соответствие некоторый третий элемент
(образ пары элементов (а; Ь)) из того же множества А.	. 4
В тех случаях, когда бинарную операцию называют умножением,
образ пары элементов (о; Ь) называют их произведением и обозначают ab
или а*Ь (а X Ъ). Если при этом а*6== Ь*а, то говорят, что операция
умножения коммутативна.
В тех случаях, когда бинарную операцию называют сложением*
образ пары элементов (а; Ь) называют суммой и обозначают а+ Ь.
Если при этом а 4- b = b -j- а, то говорят, что операция сложения
коммутативна.
Пусть a, Ь, с — три различных элемента множества А, в котором
определена бинарная операция (скажем, умножение). Так как произве-
дение а*b (образ пары (д; Ь)) — элемент множества Л, то упорядоченной
паре (а*Ь\ с) будет соответствовать элемент (a*b)*c. С другой стороны,
для той же тройки элементов а, b и с можно составить и произведение
а*(Ь*с), являющееся образом пары (а; Ь-с).
Если при этом (ab) с=а (bc)t то говорят, что бинарная операция
ассоциативна.
Элемент е € А такой, что
еа == ае == а
для любого а С Л, называется единичным элементом множества А
относительно выбранной бинарной операции. (Когда бинарная опера-
ция — сложение, то единичный элемент обычно обозначают символом О,
называют нулевым элементом и пишут а-{-0==04-а=а.)
3.2.	Изоморфизм множеств. Пусть даны два множества Л и А'
и в каждом из этих множеств определено по одной (не обязательно
одноименной) бинарной операции. Множества Л и Л' называются
изоморфными, если между элементами этих множеств можно установить
взаимно однозначное отображение /, сохраняющее бинарную операцию,,
а именно:
Если элементы а' и Ь' из множества А' являются образами элементов
а и b из множества А при отображении f, то а'Ь' есть образ элемента ab.
Например, рассмотрим два подмножества множества всех натураль-
ных чисел: множество всех четных чисел и множество всех чисел, крат-
ных числу 5. В этих множествах определена бинарная операция (сложе-
ние): сумма любых двух четных чисел — четное число, а сумма любых
двух чисел, кратных 5, — число, кратное пяти. Поставим в соответствие
четному числу 2п число 5n (п £ N). Это соответствие между множеством
всех четных чисел и множеством всех чисел, кратных числу. 5, будет
взаимно однозначным отображением, обладающим перечисленными
выше свойствами, и, следовательно, данные множества изоморфны.
Изоморфные множества с бинарными операциями могут отличаться
друг от друга как природой своих элементов, так и названием бинарной
операции.
Например, рассмотрим два множества чисел: множество всех дей-
ствительных чисел R и множество всех положительных действительных
чисел R+. Поставим в соответствие положительному числу а € R+ его
натуральный логарифм In а. Множество натуральных логарифмов всех
положительных действительных чисел образует множество всех действи-
тельных чисел R. В силу свойств логарифмической функции установлен-
ное соответствие будет взаимно однозначным отображением множества
положительных действительных чисел R* на множество всех действи-
тельных чисел R,
§ 3. МНОЖЕСТВА С БИНАРНЫМИ ОПЕРАЦИЯМИ	23
Известное логарифмическое равенство
In (а> Ь) = In а + In bf
где a, b g R+, показывает, что множество положительных действитель-
ных чисел с операцией умножения изоморфно множеству всех действи-
тельных чисел с операцией сложения.
Таким образом, изоморфные множества неразличимы с точки зрения
свойств операций: все, что может быть доказано для одного множества
с некоторой бинарной операцией на основании свойств этой операции, но
без использования природы элементов множества, автоматически пере-
носится на все изоморфные множества. Вследствие этого понятие изо-
морфизма позволяет отвлечься от природы элементов множеств, обра-
щая основное внимание на изучение самих бинарных операций.
3.3.	Группы. Непустое множество G={a; b\ с\...} называется
группой, если в этом множестве определена бинарная операция (обычно
называемая умножением) так, что:
1)	бинарная операция в множестве G ассоциативна, т. е.
a (be) = (ab) с;
2)	множество G содержит такой элемент е (называемый левой едини*
цей). что для каждого элемента а £ G выполняется равенство
еа = а;
3)	для каждого элемента a £ G в множестве G существует такой
элемент bt что 4
ba = е;
элемент b называется левым обратным элементом и обозначается a“h
а-1а = е.
Операция в группе G не обязана быть коммутативной. Если же она
коммутативна, то группа G называется коммутативной (или абелевой).
Из определения группы следуют ее простейшие свойства:
1) Каждая группа G имеет единственную левую и единственную
правую единицы, и эти единицы равны:
еа = ае = а.
2) Каждый элемент группы G имеет единственный левый и един-
ственный правый обратные элементы, и эти элементы равны:
= ааг1 = е.
Из последнего свойства следуют правила, называемые законами
сокращения: для любых трех элементов а, Ь. с группы G из равенств
са = cb, ас = Ьс следует равенство а = Ь.
Если группа G состоит из конечного числа элементов, то она назы-
вается конечной группой, а число элементов в ней — порядком группы;
в противном случае группа называется бесконечной. Бесконечная группа
может быть как счетной, так и несчетной.
Если групповую бинарную операцию называют умножением (что и
было принято выше), то группа также называется мультипликативной.
Если же групповую операцию называют сложением, то группа называ-
ется Аддитивной. В этом случае вместо единицы группы говорят о нуле
группы и обозначают его символом 0; элемент, обратный элементу а,
называют противоположным и обозначают —а.
24
ГЛ, I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
Примеры. 1. Множество всех целых чисел образует группу по
операции сложения — аддитивную группу целых чисел. Эта группа
абелева в силу коммутативности операции сложения целых чисел. Роль
единичного элемента в ней играет число нуль.
Множества рациональных, действительных и комплексных чисел
по операции сложения также образуют аддитивные абелевы группы.
2. Множество всех положительных действительных чисел по умно-
жению образует абелеву группу.
3. В п. 2.2 гл. 10 введено понятие подстановок n-й степени —
отображений множества из п различных элементов на себя. Все подста-
новки л-й степени о бинарной операцией (умножением) образуют неком-
мутативную группу. Это нетрудно доказать, проверяя выполнение
свойств 1)-т-3), определяющих группу: произведение подстановок опять
будет подстановкой; роль единицы будет играть тождественная подста-
новка: для любой подстановки л-й степени существует обратная подста-
новка; операция умножения подстановок ассоциативна. Убедимся на
примере подстановок четвертой степени, что умножение подстановок
некоммутативно. Пусть а и b — две подстановки четвертой степени}
/1 2 3 4\ к /1 2 3 4\
®_\2 1 4 3?	1 2 4/*
Тогда
откуда
тивно.
подстановок некоммута<
1 2
1 3
3
4
	/1 2 3 4\
Ьа~\4 2 1 3/
видно, что аЬ Ф Ьа, т. е. умножение
Группа подстановок л-й степени называется симметрической груп*
пой степени п. Она является конечной группой порядка п\ и обознача-
ется Sn..
3.4.	Кольца. Множество R называется кольцом, если в нем опре-
делены две бинарные операции — сложение и умножение, удовлетво-
ряющие условиям:
1)	множество R — коммутативная группа по сложению,
т. е.
а + (Ь + с) = (а + Ь) + с,
а + ( — а) = 0;
а + b = b + а,
а + 0 = а,
2)	для любых а, Ь, с € R
a (be) = (ab) с;
3)	сложение и умножение связаны законами дистрибу-
тивности:
а (Ь + с) = ab + ас, (Ь + с) а = Ьа 4- са.
Множество R называется коммутативным кольцом, если к этим
условиям добавлено условие коммутативности умножения.
Кольцом с единицей называют кольцо, содержащее такой элемент е
(мультипликативную единицу), что
еа = а
для всех а £ R. Если R — кольцо с единицей, то может оказаться,
что данный элемент а кольца R может иметь мультипликативный обрат-
ный элемент а~\ а может и не иметь его,'
§,3. МНОЖЕСТВА С БИНАРНЫМИ ОПЕРАЦИЯМИ 25
Примеры. 1. Кольцами являются множество всех целых чисел,
множество всех действительных чисел, множество всех комплексных
чисел.
2.	Множество четных целых чисел будет кольцом без единицы, в то
время как множество нечетных чисел кольцом не является, так как
сумма двух нечетных чисел есть число четное (незамкнутость относи-
тельно операции сложения).
3.5.	Поля. Кольцо с единицей, которое состоит не только из одного
нуля и которое для каждого своего элемента а, отличного от нуля,
содержит также его мультипликативный обратный элемент а"1, назы-
вается полем.
Используя определения кольца и поля, нетрудно проверить, что:
Множество всех натуральных чисел с определенными в нем бинар-
ными операциями сложения и умножения не является ни кольцом,
ни полем.
Множество всех целых чисел является коммутативным кольцом
с единицей.
Множество всех рациональных чисел, полученное расширением
множества целых чисел присоединением к нему частных от деления
любых двух целых чисел друг на друга (за исключением деления на
нуль), является полем.
Множество всех действительных чисел, полученное расширением
множества рациональных чисел присоединением к нему новых элемен-
тов — иррациональных чисел, также является полем.
Множество комплексных чисел, полученное расширением множества
действительных чисел присоединением к нему нового элемента —
корня уравнения х2 + 1 = 0, является полем.
Из всех числовых полей поле рациональных чисел — «самое малень-
кое», так как не существует числовых полей, отличных от поля ра-
циональных чисел и целиком в нем содержащихся, и, кроме того, поле
рациональных чисел содержится во всяком числовом поле.
ГЛАВА 2
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Число — это важнейшее математическое понятие. Натуральные
числа, используемые для счета в практической деятельности, появились
на самых ранних этапах развития человеческой цивилизации. Перво*
начально понятие отвлеченного числа отсутствовало — число было
«привязано» к тем предметам, которые пересчитывали, и в языке перво-
бытных народов существовали различные словесные обороты для’обозна-
чения одного и того же числа разных предметов. Отвлеченное понятие
натурального числа (т. е. числа, не связанного с пересчетом конкретных
предметов) появляется и закрепляется вместе с развитием письменности
и введением для обозначения чисел определенных символов.
Появление дробных (положительных рациональных) чисел было
связано с необходимостью производить измерения, т. е. процедуру,
в которой какая-либо величина сравнивается с другой величиной того же
рода, выбираемой в качестве эталона (единицы .измерения). Но так как
единица измерения не всегда укладывалась целое число раз в измеряемой
величине, и пренебречь этим обстоятельством в ряде случаев было
нельзя, то возникла практическая потребность ввести более «мелкие»
числа, нежели натуральные. Это и было источником возникновения
наиболее «простых» дробей, таких, как половина, треть, четверть и т. д.
Дальнейшее развитие понятия числа было обусловлено уже не только
непосредственной практической деятельностью человека, но и явилось
следствием развития математики.
Введение отрицательных чисел было вызвано развитием алгебры
как науки, дающей общие способы решения арифметических задач
независимо от их конкретного содержания и исходных числовых данных.
Отрицательные числа систематически употреблялись индийскими мате-
матиками еще в VI—XI веках. В европейской науке отрицательные
числа окончательно вошли в употребление лишь после работ Р. Декарта
в XVII веке, давшего их геометрическое истолкование.
Множество рациональных чисел оказывается достаточным для
удовлетворения большинства практических потребностей — с помощью
рациональных чисел измерения можно выполнять с любой наперед
заданной степенью точности.
Дальнейшее расширение понятия числа произошло в XVII веке
в период зарождения современной математики, когда возникла необхо-х
димость ввести четкое определение понятия числа. Такое определение7
было дано одним из основоположников математического анализа
И. Ньютоном во «Всеобщей арифметике»: «Под числом мы понимаем
не столько множество единиц, сколько отвлеченное отношение какой-
нибудь величины к другой величине того же рода, принятой нами за
единицу». Эта формулировка дает единое определение действительного
числа, как рационального, так и иррационального. (О существований
несоизмеримых отрезков, отношение которых есть число иррациональ-
ное, было известно еще ученым Древней Греции.) В дальнейшем, в 70-х
годах XIX века строгая теория действительного числа была развита
в работах Р. Дедекинда, Г. Кантора и К. Вейерштрасса.
§ I, НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА	‘ 27
§ 1$ Натуральные числа
1.1а Множество натуральных чисел» Натуральные woa—это
числа, используемые для счета:
1, 2, 3, 4...., п>...	(1)
Из любых двух соседних чисел в записи (1) число, стоящее справа,
называется последующим относительно числа, стоящего слева.
Натуральные числа (1) образуют множество, называемое множест-
вом натуральных чисел. Множество всех натуральных чисел обознача-
ется символов N;
N = {1; 2; 3; . . 4 л; . . .}.
Множество натуральных чисел является упорядоченным множеств
вом, т. е. для любых двух натуральных чисел тип имеет место одно из
следующих соотношений:
либо т = п (т равно л),
либо т < п (т меньше л),
либо п < т (п меньше т).
Наименьшим натуральным числом является 1 (единица).
В множестве натуральных чисел вводятся две основные арифмети-
ческие операции — сложение и умножение. Для обозначения этих
операций используются соответственно символы + и • (или X).
Сложение натуральных чисел. Каждой паре
натуральных чисел (л; р) ставится в соответствие натуральное число s,
называемое их суммой. Сумма s состоит из стольких единиц, сколько их
содержится в числах п и р. О числе s говорят, что оно получено в резуль-
тате сложения чисел п и р, и пишут
s = п + р.	(2)
Числа п и р в записи (2) называются слагаемыми. Операция сложения
натуральных чисел:
1) коммутативна: л + р = р + л;
2) ассоциативна: (л + р) + & = л + (р + £).
Умножение натуральных чисел. Каждой упорядо-
ченной паре натуральных чисел (л; р) ставится в соответствие натураль-
ное число т, называемое их произведением. Произведение т состоит из
стольких единиц, сколько их содержится в числе п, взятых столько раз,
сколько единиц содержится в числе р. О числе т говорят, что оно полу-
чено в результате умножения чисел п и р, и пишут
т = п-р или т = п X р.	(3)
Числа п и р в записи (3) называются сомножителями.
Операция умножения натуральных чисел:
1) коммутативна: л-р = р«л;
2) ассоциативна: (n*p)-k = n-(p-k).
Операции сложения и умножения натуральных чисел связаны
законом дистрибутивности умножецу отно-
сительно сложения:
(п + р)-& = n-k+ p-k.
Т^аким образом, сумма и произведение любых двух натуральных
Чисел опять будут натуральными числами. Поэтому говорят, что мно-
28	ГЛ. 2. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
жество всех натуральных чисел замкнуто относительно операций сложе*
ния и умножения.
Вычитание натуральных чисел. Вычитание нату<
ральных чисел есть операция, обратная сложению, т. е. соответствие,
которое паре натуральных чисел (л; р) относит такое Натуральное число
г, что
п ~ р + г.
О числе г говорят, что оно получено в результате вычитания числа р
из числа п, и пишут
г = п — р.
Число г называется разностью чисел п и р\ число п называется
уменьшаемым f а число р — вычитаемым.
В множестве натуральных чисел разность двух натуральных чисел
г = п — р существует тогда и только тогда, когда п > р\ поэтому го-
ворят, что множество натуральных чисел не замкнуто относительно
вычитания.
Так, например, натуральное число 5 больше’натурального числа 3.
Их разность существует и равна натуральному числу 2:
5-3=2.
Натуральное число 6 меньше натурального числа 8. Их разность
6 — 8 уже не будет натуральным числрм.
Деление натуральных чисел. Деление натуральных
чисел есть операция, обратная умножению, т. е. соответствие, которое
упорядоченной паре натуральных чисел (п; р) относит такое натуральное
число q, что
О числе q говорят, что оно получено в результате деления числа п
на число р, и пишут
п
q = — > или q = n/pt или q = п : р.
Число q называется частным натуральных чисел п и р\ число и
называется делимым t а число р — делителем.
В множестве натуральных чисел частное определено не для любой
пары натуральных чисел (и; р), т._е. множество натуральных чисел не
замкнуто относительно операции деления. Так, например, положим
п = 7, р = 2. Для этой пары натуральных чисел нельзя подобрать такое
натуральное число q, чтобы выполнялось равенство
7 = 2^.
Натуральная степень числа. Свойство ассоциатив-
ности операции умножения натуральных чисел позволяет ввести поня-
тие натуральной степени натурального числа: n-й степенью натураль-
ного числа т называется натуральное число kf полученное в результате
умножения числа т самого на себя и раз:
k = т-т-т». . .-т.
О сомножителей
§ I. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА	29
Для обозначения л-й степени числа т обычно используется запись!
тп,
в которой число т называется основанием степени, а число п — показа*
телем степени.
1.2. Аксиоматическое построение множества натуральных чисел»
Выше были, приведены некоторые свойства натуральных чисел, а также
были введены операции над натуральными числами, подчиненные пра-
вилам коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности.
Излагая сведения о натуральных числах и действиях с ними, мы
неявно обращались к интуитивному пониманию многих понятий, кото-
рыми мы ежедневно пользуемся и при этом получаем правильные резуль-
таты. Так, например, нам кажется естественным, что 3+2=2 +3, и
мы даже не задумываемся, откуда берется это свойство операции сложе-
ния натуральных чисел. В математике, естественно, возникает вопрос,
а сколько же и каких именно некоторых первичных утверждений (ак-
сиом) 6 натуральных числах необходимо выдвинуть, чтобы из этих
аксиом в виде теорем можно было получать все известные из нашего
жизненного опыта свойства натуральных чисел и операций над ними.
Оказывается, что все свойства натуральных чисел могут быть выве-
дены как теоремы из пяти аксиом и формул, определяющих операции
сложения и умножения натуральных чисел.
Аксиомы натуральных чисел (аксиомы
Пеано):
I.	1 (единица) есть натуральное число.
II.	Для каждого натурального числа п имеется точно одно натураЛЬ*
ное число, называемое его последующим и обозначаемое 5 (п).
III.	Всегда S (п) /= 1.
IV.	Из равенства S (п) = S (т) следует п = т.
V.	Принцип полной индукции. Множество натуральных чисел,
содержащее 1 и для каждого из п элементов следующий за ним элемент
S (п), содержит все натуральные числа.
Сложение й умножение натуральных чисел определяются форму-
лами
п + 1 = S (n),	т + S (п) = S (т + п);
п* 1 = п,	n-S (т) = п-т + п.
Из аксиом Пеано и определения'операций сложения и умножения
натуральных чисел как теоремы следуют законы коммутативности и
ассоциативности сложения и умножения, свойство дистрибутивности
умножения относительно сложения.
Из аксиом Пеано и определения операции сложения также следует
свойство упорядоченности множества нату-
ральных чисел: для любых двух натуральных чисел тип
либо т — п (т равно и);
либо т < п (т меньше п);
либо п < т (п меньше т).
Упорядоченность множества натуральных чисел устанавливается
следующим образом. Во-первых, в качестве теоремы доказывается, что
для любых натуральных тип имеет место один из следующих трех
случаев:
либо т = п;
либо существует единственное натуральное число удовлетворяю*
Щее условию
п — т + k}
30
ГЛ. 2» ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
либо существует единственное натуральное число р такое, что
т == п + р.
Во-вторых, вводится определение знака > (больше) и знака <
(меньше):	х
натуральное число т считают больше натурального числа п (и
пишут т > п), если существует такое натуральное число k9 что
т ® п + k;
натуральное число т считают меньше натурального числа п (и
пишут т < п), если существует такое натуральное число р, что
т + р = п.
Из данных определений и сформулированной выше теоремы следует
свойство упорядоченности множества натуральных чисел.
Так как множество натуральных чисел является упорядоченным
множеством, то для натуральных чисел оказывается справедливым еще
ряд утверждений, которые связаны с понятиями «больше» и «меньше»*
К таким утверждениям относятся, например, следующие теоремыз
1)	Из	т >	п	для	любого k	следует	m + 6 > п + k;
из	m =	п	для	любого k	следует	т + k « п + А;
из	т <	п	для	любого k	следует	т + k < п + k.
2)	Из	т>	п	для	любого k	следует	m*k> n*k\
из	т =	п	для	любого k	следует	m*k = n*k\
из m< п для любого k следует n*k.
3)	В каждом непустом множестве натуральных чисел имеется
наименьшее число.
1.3. Простые числа. Основная теорема арифметики. Если для
двух заданных натуральных чисел пир найдется натуральное число q
такое, что п = p-qt то говорят, что число п делится нацело на число р.
Число р называется делителем числа п, а о натуральном числе п говорят,
что оно кратно р. Если натуральное число р является делителем нату-
рального числа п, то и натуральное число q также является делителем
числа п.
Натуральное число, единственными делителями которого являются
только оно само и единица, называется простым числом. Все остальные
натуральные числа называются составными. Натуральное число 1
$ не считается простым числом.
Представление натурального числа п в виде произведения двух
натуральных чисел p-q называется разложением на множители. При
этом считается, что если число п простое, то оно имеет разложение на
множители, состоящее из единственного числа п. Например, простое
число 37 будет иметь разложение на множители, состоящее из единствен*
ного множителя 37 (а не разложение 1 *37).
Пусть натуральное число п составное, т. е.
п = р-<7,
где р Ф 1 и q Ф 1* При этом возможны следующие случаи:
1) Если натуральные числа р и q простые, то число п представляется
в виде произведения двух простых чисел р и q.
2) Если хотя бы одно из натуральных чисел р, q составное, то это
составное число (либо оба составных числа р и q) разлагают в произведе-
ние еще меньших натуральных чисел, для которых возможны те же слу*
чаи. Поскольку имеется лишь конечное множество натуральных чисел.
§ I, НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА	3f
меньших п, то указанный процесс разложения закончится через конечное
число шагов. В результате получим разложение числа п на множители,
каждый из которых — простое число. Представление числа п в виде
произведения простых чисел называется разложением на простые мно*
жители.
В связи с рассмотренным разложением натурального числа на про*
стые множители возникает вопрос о том, существует ли какое-нибудь
другое, отличное от уже полученного, разложение натурального числа
на простые множители. Ответ на этот вопрос дает следующая теорема,
называемая основной теоремой арифметики:
Каждое натуральное число, отличное от 1, может быть разложено
на простые множители, и притом единственным образом (если отож-
дествлять разложения p*q и q-p, где р и q — простые числа).
Объединяя в разложении числа п одинаковые простые сомножители,
получаем так называемое каноническое разложение числа п:
где pi, pi,...» ps, ki, k2,..., ks — натуральные числа и все простые
числа ру р2, ...» ps различны.
Натуральное число называется четным, если среди его простых
множителей есть число 2, и нечетным, если среди его простых множите*
лей число 2 отсутствует.
1.4. Некоторые признаки делимости натуральных чисел*
Признак делимости на 2. Число делится на 2, если его
последняя Цифра есть число четное или нуль.
Признак делимости на 4. Число делится на 4, если две
его последние цифры — нули или образуют число, делящееся на 4.
Признак делимости на 8. Число делится на 8, если три
последние его цифры — нули или образуют число, делящееся на 8,
Признаки делимости на 3 и на 9. Число делится на 3,
если сумма цифр числа делится на 3. Число делится на 9, если сумма его
цифр делится на 9.
Признак делимости на 5. Число делится на 5, если оно
оканчивается либо на нуль, либо на 5.
Признак делимости на 25. Число делится на 25, если
его последние две цифры — нули или образуют число, делящееся на 25.
Признак делимости на 11. Число делится на 11, если
сумма цифр, стоящих на четных местах, либо равна сумме цифр, стоя-
щих на нечетных местах, либо отличается от нее на число, делящееся
на11.
1.5. Наименьшее общее кратное* Наибольший общий делитель*
Алгоритм Евклида. Общим кратным нескольких натуральных чисел
называется натуральное число, являющееся кратным для каждого из
них. Наименьшее из них называется наименьшим общим кратным
(сокращенно: НОК) *).
Для того чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких
чисел, необходимо: ,
1)	выписать канонические разложения данных чисел}
2)	перечислить все простые множители, входящие хотя бы в одно из
канонических разложений данных чисел;
*) Наименьшее общее кратное двух чисел т В п также обозначается
© помощью фигурных скобок;
32	ГЛ. 2. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
3)	возвести каждый из перечисленных простых множителей в наи-
большую степень, с которой этот простой множитель входит в канони-
ческие разложения данных чисел.
Произведение полученных степеней простых множителей и даст
число, являющееся наименьшим общим кратным данных чисел.
Пример, Найти НОК чисел 49 896 и 26 460.
1)	Пишем канонические разложения данных чисел:
49 896 = 2* 3«34»7»11 и 26 460 = 22.33-5«72;
2)	выписываем простые множители, входящие хотя бы в одно кано-.
ническое разложение:
2; 3; 5; 7; 11;
3)	наибольшая степень, о которой' множитель 2 входит в канониче-
ские разложения данных чисел, равна 3; пишем число 23.
Наибольшая степень, с которой множитель 3 входит в канонические
разложения, равна 4; пишем число З4.
Аналогично, наибольшие степени, с которыми множители 5, 7 и 11
входят в канонические разложения данных чисел, равны соответственно
1, 2 и 1; пишем числа 5* = 5, 72 и 11х = 11.
Произведение 23«34*5’72*11 = 1 746 360 является наименьшим
общим кратным данных чисел.
Общим делителем нескольких натуральных чисел называется число,
являющееся делителем каждого из данных чисел. В случае, если общих
делителей несколько, наибольший из них называется наибольшим
общим делителем (сокращенно: НОД) *).
Если наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел
равен единице, то эти числа называются взаимно простыми.
Для нахождения наибольшего общего делителя нескольких чисел
необходимо:
1)	выписать канонические разложения данных чисел;
2)	перечислить все общие простые множители, входящие в канони-
ческие разложения каждого из данных чисел;
3)	возвести каждый из перечисленных простых множителей в наи-
меньшую степень, с которой этот простой множитель входит в канони-
ческие разложения данных чисел.
Произведение полученных степеней простых множителей и даст
число, являющееся наибольшим общим делителем данных чисел.
Пример. Найти НОД чисел 49 896 и 26 460.
1)	Пишем канонические разложения данных чисел:
49 896 = 23-34-7-11 и 26 460 = 22.33-5.72;
2)	выписываем простые множители, входящие в оба канонических
разложения:
2; 3; 7;
3)	наименьшая степень, с которой множитель 2 входит в канониче-
ские разложения данных чисел, равна 2; пишем число 22.
Наименьшая степень, с которой множитель 3 входит в канонические
разложения, равна 3; пишем число З3.
♦) Наибольший общий делитель двух чисел /п* п также обозначается
3 вомощыо круглых скобок; (т, и).
§ I. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА	33
Наименьшая степень, с которой число 7 входит в канонические
разложения, равна 1; пишем число 7х = 7.
Произведение 2а*33«7 = 756 является наибольшим общим делителем
двух данных натуральных чисел.
Свойство НОД. Наибольший общий делитель двух чисел
делится на любой общий делитель этих чисел.
Наибольший общий делитель (т, п) двух чисел т и п и наименьшее
общее кратное {т, п} связаны равенством
т-п- (m, п)'{т, /г}.	(4)
Алгоритм Евклида нахождения НОД. Наиболь-
ший общий делитель и наименьшее общее кратное двух натуральных
чисел могут быть найдены, если известны канонические разложения
этих чисел. Однако выписать канонические разложения достаточно боль-
ших чисел часто бывает довольно трудно. Кроме способа нахождения
НОД двух чисел, основанного на канонических разложениях этих
чисел, существует способ нахождения НОД, не требующий знания всех
простых множителей этих чисел. Этот способ называется алгоритмом
Евклида. Заметим, что, отыскав НОД двух чисел с помощью алгоритма
Евклида, с помощью формулы (4) можно найти НОК этих чисел.
Прежде чем перейти к изложению алгоритма Евклида, введем опе-
рацию деления с остатком.
Разделить натуральное число т на натуральное число р (т^ р)
с остатком — это значит найти такое натуральное число k и такое
неотрицательное целое число г< р, что
т = р- k + г.
Числа k и г называются соответственно частным и остатком oi
деления числа т на число р. В случае, если г = 0, также говорят, что
остаток от деления равен нулю или что число т делится на число р.
Перейдем теперь к изложению алгоритма Евклида. Пусть т и
р — два натуральных числа, и пусть т > р. Обозначим через т^ и f\
соответственно частное и остаток от деления т на р:
zn=p-m) + r1,	0<Г!<р.	(5)
Если оказывается, что г, > 0, то будем делить р на г,, обозначая через
т2 и г2 соответственно частное и остаток от деления:
р = ггт2 + г2,	0 < г2 < гх.	(6)
Если г2 все еще не нуль, делим гх на г2 и получаем аналогичным образом
Г1 == г2-т3 + г3,	0	г3 < г2.	(7)
Так как р, rx, г2, ... — натуральные числа и р> rx > r2> г3>
> ...» то процесс деления после конечного числа шагов должен обор-
ваться, т. е. мы должны прийги к остатку, равному нулю. Пусть таким
остатком будет rrt+x “ 0, так что
Гп-1 = гп’^п+1«	(*)
Натуральное число гп и будет наибольшим общим делителем чисел
т и р. Чтобы убедиться в этом, покажем, что т ир делятся на гпг& силу
равенства (*) делится на rrt. Тогда из равенства
,	*71-2 ==	+ ^П»
предшествующего равенству (*), следует, что и гп_2 делится на гп.
2 А. Г, Цыпкин
34	гл. г. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Продвигаясь далее по цепочке построенных равенств (снизу вверх),
убеждаемся, что на гп делятся и гп_з, гП-ь ...» га, ritt а в конечном счете
в силу равенств (6) и (5) также и числа тир. Остается лишь убедиться,
что всякий общий делитель k двух чисел тир будет и делителем числа
гп (этим, очевидно, и будет установлено, что гп—наибольший общий
делитель чисел т и р). Для этого придется снова пройти всю цепочку
равенств, но на этот раз сверху вниз. Предварительно перепишем це*
почку равенств алгоритма Евклида в виде
ft == m — рти
г2==
г3 = а — г»
Г/1 == г
Из первого равенства следует, что делится на общий делитель й
двух чисел т и р. Но из второго равенства следует, что так как гг де»
дится на k и р делится на А, то и г2 делится на А. Продолжая этот процесс
далее, получим, что и rn_2t и глл делятся на А.Но тогда в силу послед-
него равенства и гп делится на k.
Способ отыскания наибольшего общего делителя двух чисел с по-
мощью алгоритма Евклида в большинстве случаев оказывается самым
коротким и потому практически наиболее выгодным.
Заметим, что в приведенном рассуждении попутно доказано упомя-
нутое выше свойство НОД.
Пример. G помощью алгоритма Евклида найти НОД чисел
13 172 и 261.
Разделим число 13 172 на 261:
_ 13172 1261
1305 ho~
122
Делим в согласии в алгоритмом Евклида число 261 да остаток от
деления (число 122):
261 1122
*“244 |у-
17
Делим число 122 на остаток (число 17)з
122 117
”“119 (7-
3
Продолжая и далее последовательно делить каждый предыдущий
остаток на каждый последующий остаток, в результате получим остаток,
равный нулю:
17 13	3 12	111
Г ~2 Т т
2	1	О
Предпоследний остаток был равен единице. Следовательно, единица
и ecjb НОД двух данных чисел, т. е. числа 13 172 и 261 взаимно простые.
§ 5. ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА
85
§ 2.	Целые числа
2.1.	Множество целых чисел. Множество целых чисел есть множе-
ство, полученное в результате добавления к множеству всех натураль-
ных’чисел новых объектов (которые далее также будем называть чис-
лами) — числа нуль и отрицательных целых чисел.
Число нуль, обозначаемое символом 0, и отрицательные целые
числа вводятся следующим образом.
Сумма любого натурального числа п и числа 0 есть число л;
п + 0 = л.
Любому натуральному числу п соответствует единственное отри*
нательное целое число —п такое, что сумма чисел п и —л равна нулю;
л + (—л) = 0.
Число —п называется противоположным числу л. Число, проти.
всположное числу — л, есть число п : ~(—-п) == л. Натуральные числа
в множестве целых чисел называются положительными целыми чис*
лами ♦). Множество всех целых чисел часто обозначается Z.
Множество целых чисел является упорядоченным множеством,
<г. е. для любых двух целых чисел тип справедливо одно и только
одно из следующих соотношений:
либо т ~ л, либо т < л, либо п < т.
Для положительных чисел л пишут л > 0, для отрицательных
чисел пишут л < 0. Если хотят указать, что число может быть положи-
тельным или нулем, пишут п > 0 и говорят, что оно неотрицательно^
аналогично запись л < 0 означает, что л отрицательно или равно нулю.
2.2.	Арифметические операции с целыми числами. Абсолютным
еначением (или модулем) числа л называется число, обозначаемое [л |
и вычисляемое по правилу
л,
0,
—л,
1« 1 ==
если л > 0,
если л = О,
если п <0.
Абсолютное значение числа л положительно как для положитель-
ных, так и для отрицательных л и равно нулю только при л == 0.
Пример. Найти абсолютные значения чисел 4 и —3.
Так как число 4 натуральное, то I 4| = 4, Так как —3 — отри-
цательное число, то по правилу вычисления абсолютного значения
числа | —3 | == — (—3) == 3.
Сложение целых чисел. Суммой двух целых чисел п
и Р называется целое число s, вычисляемое по правилу;
если л>0 и р>0, то s = n4-p;
если л < 0 и р < 0, то s = — ([ л | + [ р |);
если л > О, а р < О и | и |> |р|, то s — ]n| — | р |j
если л >0, а р<0 и | л | = | р|, то s = 0;
если л>0, а р<0 и | л | <| р |, то s = — (| р | — | л [)}
если л<0, р>0 и | л|>|р|, то s = — () л | — \р |);
р л * } 'Ц,алее целые числа будем обозначать малыми латинскими буквами т,
2*
36	гл. 2. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
если п < 0, р > О и | п | = | р |, то s = О;
если п<0, р>0 и | п | < | р то s=|p| —| п |;
если п = О, то $ — р\
еСЛИ р = О, ТО S as ti.
Сумма s двух целых чисел пир записывается с помощью символа+?
s=n+p.
Таким образом, вычисление суммы двух целых чисел основано на
правиле вычисления суммы или разности двух натуральных чисел.
Пример. Вычислить сумму целых чисел 6 и —8.
Данная пара чисел удовлетворяет пятому условию правила сло-
жения двух целых чисел (6 > 0, —8 <0, 161 < | —81). Сумма этих
чисел равна
s = _((-81 - 161) = -(8 - 6) = -2.
Сложение целых чисел, так же как и сложение натуральных чисел,
коммутативно и ассоциативно.
Умножение целых чисел. Произведением двух целых
чисел пир называется целое число пг, вычисляемое по правилу:
если п> 0 и.р > 0, то т= п*р\
если п < 0 и р < 0, то т » |п [• | р |;
если п < 0, а р > О или если п > 0, а р < 0, то т = —(| п |- Г р |)$
если п = 0 или р = О, то т = 0.
Произведение двух целых чисел пир записывается с помощью
символа « или X»
т п*р (или n X р).
Вычисление произведения двух целых чисел основано на правиле
вычисления произведения двух натуральных чисел.
Пример. Вычислить произведение двух целых чисел —2 и —7.
Данная пара удовлетворяет второму условию правила умножения
двух целых чисел. Абсолютные аначения этих чисел равны 2 и 7, а их
произведение равно 14.
Умножение целых чисел, так же как и умножение натуральных
чисел, коммутативно и ассоциативно.
Кроме того, операции сложения и умножения целых чисел, как
и в случае натуральных чисел, связаны законом дистрибутивности
умножения относительно сложения.
Вычитание целых чисел. Ровностью двух целых чисел
дир называется целое число г, вычисляемое по правилу:
Г — п + (—р),	(1)
т. е. разность двух целых чисел пир есть сумма целого числа п и
числа (—р), противоположного числу р. Следовательно, разность
вычисляется по правилу вычисления суммы двух целых чисел. О числе г
говорят, что оно получено в результате вычитания числа р из числа п,
и пишут
г = п — р.	Г2>
В записи (2) число п называется уменьшаемым! а число р — вычитаемым,
§ 2. ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА
37
Пример. Вычислить разность двух целых чисел 2 и —7.
Число, противоположное числу —7, равно 7, а потому по пра-
ри^у (9 разность этих чисел равна г= 2 + 7 — 9.
Таким образом, множество целых чисел замкнуто относительно
операций сложения, умножения и вычитания, т. е. для любых двух
данных целых чисел существует единственное третье целое число, яв-
ляющееся суммой двух заданных целых чисел; существует единственное
целое число, являющееся их разностью, и‘> наконец, единственное целое
число, являющееся их произведением.
Деление целых чисел. Частным от деления целого -
числа т на целое число п называется целое число р, которое удовлетво-
ряет равенству
т= п-р.	(3)
О числе р говорят, что оно получено в результате деления числа т
на число п, и пишут
т
р=т:п, или р = —, или р = т/п.
В множестве целых чисел, как и в множестве натуральных чисел,
операция деления не всегда выполнима — не для любой пары целых
чисел т и п существует их частное. Поэтому говорят, что множество
целых чисел не замкнуто относительно операции деления. Однако между
операциями деления в множестве натуральных чисел и в множестве
целых чисел есть одно существенное различие: если в множестве на-
туральных чисел частное двух натуральных чисел существовало, то
оно было единственным. По-другому обстоит дело в множестве целых
чисел: пусть т'— произвольное целое число, а п = 0; тогда равенство
(3) примет вид
т=0-р.	(4)
Попытаемся найти такое число р, которое удовлетворяло бы равен-
ству (4). Здесь могут быть две возможности:
если m #= 0, то не существует такого целого числа р, при котором
это равенство выполняется;	__
если т = 0, то р может быть любым целым числом.
Таким образом, частное от деления целого числа на число нуль
либо не существует, либо определяется не единственным образом,
юбы избежать такой неопределенности, необходимо запретить
деление целого числа на число нуль.
2.3.	Теория целых чисел как упорядоченных пар натуральных
чисел. Множество натуральных чисел N замкнуто относительно сло-
ги ения и умножения, но не замкнуто относительно вычитания: сумма
и произведение любых двух натуральных чисел есть число натураль-
ное, в то время как разность п — р двух натуральных чисел в мно-
жестве натуральных чисел определена только тогда, когда п > р.
Множество целых чисел Z получается как расширение множества
натуральных чисел добавлением новых числовых объектов, таких,
что в расширенном множестве Z:
1)	множество N является собственным подмножеством;
2)	сложение и умножение натуральных чисел в Z совпадает с одно-
именными операциями в N;
3)	'вычитание в множестве Z всегда возможно, т. е. разность любых
Двух элементе* .чисел) из Z является элементом (числам) из Zj
88	ГЛ. 2. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
4)	расширенное множество Z минимально в том смысле, что оно
не содержит собственного подмножества, удовлетворяющего условиям
О -3).
Один из методов пополнения множества всех натуральных чисел
до множества целых чисел основан на представлении целых чисел
как упорядоченных пар натуральных чисел. Этот метод состоит в сле-
дующем:
Целыми числами называют упорядоченные пары
(т\ п)
натуральных чисел /пип, подчиненные следующим законам сравнения
и законам арифметических операций:
Пара (т\ п) считается больше (>), равной (=) или меньше (<)
пары (р\ q)> тогда и только тогда, когда
m + g> п+ р> tn+q~n-i-pt т+ q<Cn-± р
соответственно.
Как следствие определения равенства пар получаем, что всякая
пара переходит в равную ей, если к обеим ее элементам прибавить
одно и то же натуральное число:
(т + г\ п-\~ г) — (т\ п).
Суммой двух пар (/и; п) и (р; q) называется пара (т + р\ я + q).
Говорят, что пара (m+ р\ п + q) получена в результате сложения пар
(т; п) и (р; q)t и пишут
(т; п) + (р; q) = (т + р\ п+ q).
Ассоциативность и коммутативность операции сложения пар сле-
дует из определения суммы пар и ассоциативности и коммутативности
операции сложения натуральных чисел.
Разностью пар (т\ п) и (р; q), обозначаемой
(т\ n) — (р; q),
называется пара (х; у), удовлетворяющая равенству
(т; п) = (х; у) + (р; q).
По определению суммы пар и условию равенства пар последовательно
получаем
(ш; п) == (х + р; у + q), т+ у + q~ п + х+ р.
Одним из решений этого уравнения с двумя неизвестными будет пара
натуральных чисел
х = т+ q\ у—п+р.
. Пара (т + q; и + р) есть разность пар (т\ п) и (р; q)i
(пц п) — (р; q) == (т + q; п + р),
или, точнее говоря, пара (т-\- q\ ti+ р) есть одна из множества рав-
ных между собой пар, являющихся разностью пар (/п; п) и (р; q).
Пара (т + q\ п + р) может быть записана как сумма пар (т; п) ~h
+ (q'> р), т. е. разность пар (m; n) — (р; q) может быть заменена суммой
(т; п) + {q\ р).
Пару (q\ р) называют противоположной паре (р; q) и пишут
й; Р) = —(р; Й.
§ 2. ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА
39
Из определения разности пар также следует, что
(т; n) — (m; n) = (т + п; т + п).
Пару с равными элементами называют нулем и обычно обозначают
символом 0.
Произведением двух пар (т\ п) и (р; q) называется пара
(т-р+ n-q\ tn>q+ п-р).
Об этой паре говорят, что она получена в результате умножения
пар (т\ п) и (р; <?), и пишут
(т; п)*(р\ q) — (т-р + n-q] m-q+n>p).
Ассоциативность и коммутативность операции умножения пар,
а также свойство дистрибутивности операции умножения относительно
сложения следуют из определения операции умножения и соответ-
ствующих свойств операций сложения и умножения натуральных
чисел.
Множество натуральных чисел включается в множество упорядо-
ченных пар следующим определением:
Любая пара (т\ п) при т > п считается равной натуральному
числу т — п.
Нетрудно проверить, что пара (т\ п), отождествляемая при .т > п
с натуральным числом т — п, больше нуля (нулевой пары). Нетрудно
также проверить, что при таком способе отождествления пары (т\ п)
с натуральным числом т — п результаты операций сложения и умно-
жения пар (т; п) и (р; q) при т > /г, р> q совпадут с результатами
операций сложения и умножения натуральных чисел г = т — п и
s = р — q, т. е. операции сложения и умножения натуральных чисел,
рассматриваемых как пары (гп; п), при условии т> п сохраняют тот
смысл, который они имели в множестве натуральных чисел,
Действительно, по определению суммы и произведения пар
(т; п) + (р; q) == (т + р; п + q).
(т\ п)-(р; q) = (т-р+ n-q\ m-q+ п>р).
Так как по условию т > п и р> q, то
т + Р> п+ q и тр+ nq> mq+ пр,
т. е. первые элементы пар, стоящих в правых частях равенств, больше
вторых элементов, и, следовательно, эти пары можно отождествить
с натуральными числами /п + р — п — q и mp^nq — mq — пр соот-
ветственно.
С другой стороны, складывая и перемножая натуральные числа
г = т — п и $ = р — р, мы снова получаем те же натуральные числа
/и + р — п — q и тр+ nq — mq — пр.
Таким образом, мы проверили, что результаты сложения и умно-
жения пар совпадают с результатами тех же операций с соответствуй
ющими натуральными числами.
Из определения операции вычитания пар следует, что разность
двух натуральных чисел, рассматриваемых как упорядоченные пары,
в множестве пар всегда существует, т. е. пара (х; у), полученная как
разность пар (т; п) и (р; $, при условии, что т > п и р > q, существует
как при х > у, так и при х < у.
Итак, определив соответствующим образом операции сложения,
умножения и вычитания пар и отождествив пару натуральных чисел
40	ГЛ. 2. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
(т\ п) при т > п с натуральным числом т — п, мы получили, что раз-
ность двух пар, каждую из которых можно отождествить с натуральным
числом, всегда существует, но не всегда может быть отождествлена
с каким-либо натуральным числом.
Обозначая пару (х; у) при х<у так же, как и при х > у, т. е.
через х — у, и используя данные выше определения, нетрудно про-
верить, что пара (х; у) при х < у меньше нулевой пары, что в новы#
обозначениях будет записываться в виде
х — г/ < 0,
и противоположна паре (у\ х), отождествляемой с натуральным числом
г/ — х: х — у = — (у — х).
Упорядоченные пары (х; у) при х < у называют отрицательными
целыми числами.
§ 3. Рациональные числа
3.1..Рациональные дроби. Рациональные дроби появились как
форма записи чисел, более «мелких», нежели натуральные. История
введения рациональных дробей отражена и в самих обиходных назва-
ниях некоторых наиболее простых рациональных дробей. Например,
дробь 1/2 (одну вторую) называют «половиной», дробь 1/4 (одну четвер-
тую) называют «четвертью» и т. д. Иногда дают интуитивно понятное,
но математически нестрогое определение рациональной дроби как не-
которой части единицы или нескольких равных частей единицы. При
таком «определении» понятия рационального числа и рациональной
дроби оказываются отождествленными.
Рациональную дробь записывают в виде т!п ^или	це’
лоё число т называют числителем дроби, а целое число п 0 — ее
внаменателем. Сумма, произведение, разность и частное двух дробей
т/п и p/q вычисляются по правилам
5 т 1 JL — m'Q + n,P
п "* q	n-q
т р m-q— п-р
п q"	rTq
(В случае частного р ф 0.)
Дроби, стоящие в правых частях равенств (1), называются соот-
ветственно суммой, произведением, разностью и частным дробей т!п
и plq.
Более строго рациональные дроби вводятся как множество упоря-.
доченных пар целых чисел.
Рациональными дробями называют упорядоченные пары целых
чисел (т\ п), из которых второе отлично от нуля, подчиненные пере-
численным ниже законам арифметических действий и правилам
сравнения.
Первое число пары (т\ п) называют числителем дроби, а второе —
внаменателем. Дробь (т\ п) обычно записывают -^-или т/п.
п
Две пары (т\ п) и (р; q) называют эквивалентными и пишут
(т Р \
или “ ~ V / ’
если wq == п-р.
/и	р	___	т-р
п	q	~~	n-q	’
т	.	р	__	т-д
п	'	q	~~	пр	*
(1)
§ 3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
41
Как следствие этого определения получаем, что всякая пара (т\ п)
переходит в эквивалентную, если оба ее элемента умножить на одно
и то же отличное от нуля число, т. е.
/ m-k т \
(m-k; n-k) ~ (m; п) ^или ~	.
„	m-k	„	т
Переход от дроби - к эквивалентной дроби называют
сокращением дроби на число k. Используя правило сокращения дробей,
любую рациональную дробь можно привести к эквивалентной рацио-
нальной дроби, знаменатель которой — натуральное число. Поэтому
часто дают и такое определение рациональной дроби:
Рациональной дробью называют упорядоченную пару чисел (т; п),
обозначаемую символом m/я, где т — целое число, ап — натуральное.
Суммой двух пар (т\ п) и (р\ q) называется пара
(m-q+п-р\ n-q).
Говорят, что пара (m*q + п-р\ n-q) получена в результате сложе-
ния пар (/и; п) и (р; q), и пишут
х	( т . Р m-q + n-p\
n) + (p; q) ~(m-q + n-p\ n-q) ^или —+ “~---------nq----
Ассоциативность и коммутативность операции сложения пар
следует из определения суммы пар и ассоциативности и коммутатив«
ности операций сложения целых чисел.
Ровностью пар (т; п) и (р; q), обозначаемой
(т; п) — (р; q),
называется такая пара (х; у), что
(х; У) + (р; Ч) ~ (т; п).
Из определения суммы пар следует, что
(x-q+yp; y-q) ~(т; п)
и, следовательно, по определению эквивалентных пар
x-q*n + у-р-п — y*q*m.
Одним из решений этого уравнения с двумя неизвестными является
пара целых чисел
x—m-q — n*pt y=n-q.
Пара (m-q — п-р\ n-q) есть разность пар (ш; п) и (р; д):
, ч	imp m-q — п-рх
№n)-(p\q)~(m-q — n-p\ n-q). (или—------------ ~------------).
Точнее говоря, пара (m-q — n*q\ n-q) есть одна из множества эквива-
лентных между собой пар, являющихся разностью пар (т\ п) и (р; </).
Если из некоторой пары (т; п) вычесть эквивалентную ей пару
(k*m\ k-n)t то их разность — нулевая пара (0; п).
Произведением двух пар (т\ п) и (р; q) называется пара (ш»р;
n-q). Говорят, что пара (m-р; n-q) получена в результате умножения
ьар (т; п) и (р; q)t и пишут
,	,	/ т р т-р \
№\n)-(p\q) ~ (jn p\ n-q) \или V* V *
42
ГЛ, 2. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Ассоциативность и коммутативность операции умножения пар#
а также дистрибутивность умножения относительно сложения следует
из определения произведения пар и соответствующих свойств опера-
ций умножения и сложения целых чисел.
Частным двух пар (т; п) и (р; q) при р ф 0, обозначаемым
(т; п): (р; <?),
называется такая пара (х* у), что
(Р> Я)'(х; У) ~ (т-, п).
Из определения произведения пар следует, что
(рх; qy) ~ (т; п);
и по определению эквивалентных пар
р>п-х~ q*m*y,
Одним из решений этого уравнения с двумя неизвестными является
пара целых чисел
х = q*mt у == р*п.
Пара fa-т; р*п) есть частное пар (т; д) и (р\ q)t
I т р т*а \
(m; п): (р; <?) ~ (<?т; р п) ^или —: ~~“nV/ ‘
Точнее говоря, пара (q*m\ р*п) есть одна из множества эквивалент*
ных между собой пар, являющихся частным пар (т; и) и (р; q).
Из определения частного пар (т; п) и (р; q) следует, что
(т; п) : (р; q) ~р*п) ~ (т\ n)*(q't р),
т. е. деление пары (nvt п) на пару (р; q) может быть заменено умножением
на пару (q't р), которая называется обратной паре (р; д).
Пара (т\ д) считается больше пары (р; q)\
или меньше пары (р; q)*.
(т р \
~<т)
тогда и только тогда, когда
m*q> п*р и т*#< д»р
соответственно.
Пару (0; q) называют нулевой парой и обозначают символом 0.
Согласно правилам сравнения дробей пара (т; п) больше нуля
(нулевой пары (0; q))9 если т > 0, и меньше нуля (нулевой пары (0; q)),
если т<0.
Рациональную дробь m/д, где т — целое число, ад — натураль*
ное, называют положительной и пишут mln > 0, если т — положи*
тельно, и отрицательной: m/n<0t если т — отрицательно.
Отрицательную рациональную дробь mln (т — отрицательное
целое число, д — натуральное} обычно записывают в виде—1^1 #
$ 3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
43
Например, отрицательную рациональную дробь -у— записывают в
5
виде--у*
Положительная рациональная дробь m/п называется правильной,
если ее числитель меньше знаменателя (т < п), и неправильной, если
ее числитель больше или равен знаменателю (т > п), В случае, если
положительная рациональная дробь неправильная, ее числитель пред-
ставим в виде m = n*k 4- г, где k — натуральное число, ar — н&мрн*
нательное целое число, удовлетворяющее условию г<п. Число b
называется целой частью дроби.
Если г й 0, то неправильную дробь m/п иногда записывают
(2)
Запись (2) называют записью неправильной дроби в виде смешанной
дроби. Например, неправильная рациональная дробь 10/3 может быть
записана в виде смешанной дроби З-л
о
Дробь называется несократимой, если ее числитель и знамена-
тель — взаимно простые числа. Всякую рациональную дробь можно
привести к эквивалентной ей несократимой дроби.
Пример. Привести рациональную дробь 15/75 к эквивалент-
ной ей несократимой дроби.
Разложим числа 15 и 75 в произведение простых сомножителей:
15=3*5, 75=3*5*5.
„ л 15	‘	3-5
Дробь может быть записана в виде Сокращая одинаковые
/О	м*О*О
сомножители в числителе и знаменателе, приводим дробь 15/75 к экви-
валентной несократимой дроби 1/5.
3.2. Рациональные числа. Рациональным числом называется мно-
жество всех эквивалентных между собой рациональных дробей. В со-
гласии с определением рационального числа различные эквивалентные
между собой дроби — это лишь различные записи одного и того же
рационального числа. Так, например, три различные эквивалентные
рациональные дроби
"Г’
— это различные записи одного и того же рационального числа.
Можно дать и несколько другое определение рационального числа,
отождествляя его не с множеством всех рациональных, эквивалентных
между собой дробей, а с некоторой фиксированной дробью этого мно-
жества. Один из возможных способов выделения такой фиксирован-
ной дроби заключается в следующем.
Возьмем любую дробь т/п из множества эквивалентных между
собой дробей (здесь т — целое число, отличное от нуля, ап — нату-
ральное). Если числа | т | и п взаимно простые, то считаем, что дробь
т/п и есть нужная фиксированная дробь. Если же числа | т | и п не
являются взаимно простыми, то делим числитель и знаменатель дроби
на наибольший общий делитель чисел | т | и л. В результате деления
получаем дробь пц/пи в которой | пц | и п — взаимно простыв числа*
Найденная дробь т^пг н есть нужная фиксированная дробь»
44
ГЛ. 2. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Теперь можно дать следующее определение рационального (отличи
ного от нуля) числа:
Рациональное число — это такое число, которое может быть пред-
ставлено в виде mln, где I т | и п — взаимно простые (несократимые)
натуральные числа.
Запись рационального числа в виде т!п, где | т | и п — взаимно-
простые числа, называется записью рационального числа в виде не-
сократимой дроби. Рациональное число mln будет целым, если
знаменатель несократимой рациональной дроби равен единице.
Сравнение рациональных чисел, понятия суммы, произведения,
разности и частного двух рациональных чисел вводятся так же, как
и соответствующие понятия для рациональных дробей. Математическая
вались сравнения рациональных чисел, операций сложения, умноже-
ния, вычитания и деления двух рациональных чисел — такая же,
как и запись соответствующих операций над рациональными дробями,
лишь вместо знака эквивалентности следует ставить знак равенства.
Для вычисления суммы, разности, произведения и частного ра-
ционального числа и целого числа п достаточно записать целое число п
в виде дроби, знаменатель которой равен единице, т. е. в виде п/1,
и воспользоваться правилами вычисления суммы, разности, произве-
дения и частного двух рациональных дробей.
Примеры. L Умножить целое число 3 на рациональное число
5/7.
Запишем целое число 3 в виде дроби со знаменателем, равным
единице, и, по определению произведения дробей, получим
. 5 _ 3	5 _ 3-5 _ 15
' ‘ 7 “ 1 ‘ 7 “ Ь7 7 ‘
2. Разделить целое число 2 на рациональное число 1/3.
Записывая целое число 2 в виде дроби со знаменателем, равным
единице, и пользуясь определением частного двух дробей, получаем
о. 1 _ 2 . 1	23	6 А
2.—= — = — -6.
Свойство ассоциативности умножения рациональных чисел позво-
ляет ввести понятие натуральной степени рационального числа;
fe-й степенью рационального числа mln называется рациональное
число q, полученное в результате умножения числа т!п самого на
себя k раз:
т т т
а — — . — • • —
4 п п п
k сомножителей
Для обозначения fe-й степени числа р== mln обычно используется
запись
в которой число mln называется основанием степени, а число k — пока*
ватедем степени.
3.3.	Теория рациональных чисел как упорядоченных пар целых
чисел. Множество всех целых чисел Z замкнуто относительно операций
сложения, умножения и вычитания, но не замкнуто относительно
§ 3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
45
операции деления: сумма, разность и произведение двух целых чисел
есть число целое, в то время как частное mln двух целых чисел т и п
будет целым числом лишь в том случае, если число | т | кратно числу л.
Множество рациональных чисел получается как расширение множества
целых чисел добавлением новых числовых объектов, таких, чтббы:
1)	расширенное множество содержало в качестве своего собствен-
ного подмножества множество всех целых чисел;
2)	арифметические операции, определенные для Целых чисел,
были определены и для элементов' расширенного множества, причем
смысл этих операций для целых чисел, рассматриваемых как элементы
расширенного множества, должен совпадать с тем, какой они имели
в множестве целых чисел до расширения;
3)	в расширенном множестве была выполнима операция деления
(кроме деления на нуль), которая в множестве целых чисел не всегда
выполнима, — частное двух элементов из расширенного множества
должно быть элементом этого множества;
4)	расширенное множество было минимальным в том смысле, что
оно не должно содержать собственного подмножества, удовлетворя-
ющего условиям 1) — 3).
Существует единственное множество, удовлетворяющее условиям
1) — 4). Этим множеством является упорядоченное множество всех
рациональных чисел с введенными в нем арифметическими операциями.
Множество всех рациональных чисел часто обозначается Q.
В качестве метода попрлнения множества всех целых чисел до
множества всех рациональных чисел может быть выбран способ пред-
ставления рациональных чисел как упорядоченных пар целых чисел
(т. е. как рациональных дробей с определенными правилами сравнения
и правилами арифметических действий (см. п. 3.1)). При таком опреде-
лении рациональных чисел множество всех целых чисел есть подмно-
жество множества всех рациональных чисел, если считать, что любая
пара (/и; п) при т = £*л, где k — целое число, равна целому числу
k = т : л.
В частности, все нулевые пары (0; п) оказываются в силу этого
определения равными целому числу 0.
Нетрудно проверить, что при таком способе отождествления пары
(т\ п) при т == k-n (k — целое) с целым числом k результаты операций
сложения, вычитания и умножения пар (т\ п) и (р; q) при т = k*n и
р = r*q совпадают с результатами операций сложения, вычитания и
умножения целых чисел k и г, т. е. эти операции, производимые над
целыми числами как над парами, сохраняют тот же смысл, который они
имели в множестве целых чисел.
Действительно, пусть (пг, п) и (р; q) — две пары такие, что число
|/л| кратно л, а число |р| кратно q, т. е.
tn = k*n и р =
где k и I — отличные от нуля целые числа.	,
По определению суммы пар
(т; л)+ (р; q) ~ (m*q+ n-p-t n>q}.
Но так как число т = /г«л, ар = bqt то пара (m*q+ п*р\ n*q)
отождествляется с целым числом k+ I,
С другой стороны, пара (т; л) по принятому правилу отожде-
ствляется с целым числом /г, а пара (р; q) — с целым числом I, и, следо-
вгиельно, сумма этих пар, как сумма целых чисел, также равна k + U
46	гл. 2. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Аналогично проверяется и совпадение результатов умножения
и вычитания пар с соответствующими результатами умножения и вы-
читания целых чисел.
Из определения операции деления пар следует, что частное двух
пелых чисел, из которых второе отлично от нуля, рассматриваемых
как упорядоченные пары, всегда существует в множестве пар, т. е.
пара (т\ п), полученная как частное двух целых чисел, существует
для любых целых чисел mt п(п Ф 0), а не только для т =» где
k — целое. Действительно, используя определение операций умноже-
ния и деления, для любых целых чисел т и п (п Ф 0) имеем
т : п = (т\ 1): (n; 1) == (т\ !)• (1; п) » (т\ л).
Таким образом, в тех случаях,[когда т не делится на п, пара (т; п)
представляет собой не совпадающее ни с каким целым числом рацио-
нальное число, являющееся частным от деления т на п.
§ 4. Десятичные дроби
4.1. Десятичная позиционная система счисления. Наиболее рас-
пространенный способ записи чисел — это запись чисел в десятичной
системе счисления *). Суть этого способа записи состоит в следующем:
1. Все натуральные числа от единицы до девяти обозначаются
следующими индивидуальными символами:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
К этим символам дополнительно присоединяется десятый символ 0,
называемый нулем. Перечисленные десять символов называются циф-
рами десятичной системы счисления.
2. Одна и та же цифра имеет разный смысл в зависимости от рас-
положения этой цифры относительно других цифр, участвующих в за-
писи числа (в этом и заключается позиционность системы счисления).
Так, например, в позиционной десятичной системе счисления комбина-
ции 4521 и 4125 четырех различных цифр 1, 2, 4, 5 дают запись двух
различных натуральных чисел.
Цифра, стоящая на первом месте справа в записи натурального
числа указывает на количество единиц, содержащихся в данном числе,
на втором — количество десятков, на третьем — количество сотен,
на четвертом — количество тысяч и т. д.
При записи натурального числа в десятичной позиционной системе
счисления о первой цифре, стоящей справа, говорят, что она стоит
в разряде единиц, о второй — что она стоит в разряде десятков,
о третьей — что она стоит в разряде сотен, и т. д.
В десятичной системе счисления запись
где nft, пал» •••> ЛП ло — цифры, есть условная запись числа
10*4*• 10й	10^**^-J-• • •	104* По. (1)
При записи натурального числа в десятичной системе счисления
также принято следующее соглашение: последней левой цифрой в за-
писи числа может быть любая из десяти цифр, кроме цифры нуль.
*) Обычно слово «позиционная» опускают и говорят просто ^десятичная
система счисления».
$ 4. ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ
47
Так, например, принято записывать число двенадцать в виде 12, а но
в виде 012 или 0012. С помощью этого соглашения избавляются от воз-
можной неоднозначности в записи одного и того же числа.
4.2. Понятие десятичной дроби. Десятичная дробь есть форма
ваписи действительного числа в десятичной позиционной системе
счисления. Десятичная дробь
N, П}П2п$ ...	(2)
где W — целое число, а nlt	...» ль,... — цифры десятичной
системы счисления, — это условная запись действительного числа
101	10а	1(Я	ю*
Целое число ДО называется целой частью десятичной дроби (2}.
О цифре nj, стоящей^в десятичной дроби (2) на первом месте после
запятой, говорят, что она стоит в разряде десятых долей единицы;
о цифре п2, стоящей на втором месте, говорят, что она стоит в разряде
сотых долей единицы; о цифре я3 — что она стоит в разряде тысячных,
и т. д.
В соответствии с данным выше определением десятичной дроби,
в случае, если N — отрицательное целое число, знак минус ставят
не перед всей дробью, а над числом | N |. Например, десятичная дробь
2,135... есть условная запись действительного числа
-2+0,135...
Следует отметить, что при отрицательном N такая запись десятич-
ной дроби в ряде случаев (например, при выполнении арифметических
действий) весьма неудобна. Поэтому часто используют другую форму
ваписи:
Пусть а — положительное действительное число, имеющее деся-
тичное представление
а =3,521.
Число —а, противоположное числу а, в соответствии с принятым
выше обозначением будет иметь десятичное представление
—а = 4,479.
Чтобы избежать несоответствия в обозначениях действительных
чисел и их десятичных представлений, число —а записывают также
в виде
3,521 =—3 —цр
Десятичная дробь ДО, nLn2n$ ... называется бесконечной,
если для любого натурального k найдется номер I > k такой, что
ni Ф 0.
Десятичная дробь V, ... пь... называется конечной, если
найдется такое натуральное число k, что пк Ф 0 и п/ = 0 при всех
Z>fc. Цифры числа N и nt, п2, ..., пк называют значащими цифрами.
Обычно в записи конечной дроби нули, стоящие после последней
значащей цифры, опускают, т. е. дробь
... пк 00 ... О..^
48	-	гл. 2. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
где пк 0, записывают в виде
N, niti2n3 ... пк»
Периодические десятичные дроби. Бесконеч-
ная десятичная дробь N,	••• называется периодической,
если существуют такие натуральные числа р, q, что пк+р = пк для всех
k > q. Для обозначения бесконечной десятичной периодической дроби
используется запись N, п1п2 ... nq (nq+1nq+2 ••• л^+р), где совокупность
цифр nq^nq+2 Kq+р называется периодом дроби.
Иногда периодические дроби разделяют на чисто периодические,
которые записываются в виде
N, (n,n2 ... пр),
и сметанные периодические, которые записываются в виде
;Л, П1П2 . . . пк (nh+ink^ . . . nft+p) (k > 1).
Например, дробь 2,131313 ... = 2,(13) — чисто периодическая,
а дробь 2,41313 ... = 2,4 (13) — смешанная периодическая.
Разбиение множества десятичных дробей на подмножества конеч-
ных и бесконечных десятичных дробей весьма условно, так как любая
конечная десятичная дробь (исключая число нуль) может быть записана
как бесконечная периодическая дробь. Это можно сделать совсем оче-
видным способом, представив, например, конечную десятичную дробь
0,2&как 0,25000 ... 0 ... == 0,25 (0), т. е. приписав к конечной десятич*
ной дроби бесконечное число нулей.
Бесконечные десятичные дроби, период которых состоит не только
из одной цифры 9, называются допустимыми десятичными дробями.
В множестве допустимых десятичных дробей может быть введено
отношение порядка,, т. е. множество всех допустимых десятичных
дробей является упорядоченным множеством.
Две допустимые бесконечные дроби
А/, пгп2п3 ... л^... и М, пцгщть ... тк...
считаются равными, если целая часть первой дроби равна целой части
второй дроби (N = М) и цифры, стоящие на одних и тех же местах
в записях этих дробей, одинаковы:
= ть п2 = т2, .... hk = ть, ...
Допустимая бесконечная десятичная дробь 0; ntn2n3 ... пк... счи-
тается меньше допустимой бесконечной дроби 0, тгт2т3 ... тк..Л
0, пхп2п3 ... пк... < 0, т1т2т3 ...
если найдется такой номер k, что
п2 = т2, . .	=	но пк<ть,
т. е. сравнение допустимых десятичных дробей проводится по первой
встретившейся паре неравных цифр. Например, дробь 0,72159... меньше
дроби 0,72160..., так как первые три цифры, стоящие после запятой,
у обеих дробей совпадают, а четвертая цифра первой дроби меньше
четвертой цифры второй дроби.
Допустимая десятичная дробь N, п1п2п3 ... пк... считается меньше
допустимой десятичной дроби М, mim2m3 ... если целая часть
Первой дроби меньше целой части второй дроби (N < М) либо если
§ 4. ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ
49
целые части этих двух дробей равны (N = Л4), десятичная дробь О,
... пи... меньше десятичной дроби 0, т^тз ... тд...
Сравнение двух конечных, а также конечной и допустимой беско-
нечной десятичных дробей производится по тем же правилам, что и
сравнение двух допустимых бесконечных десятичных дробей.
4.3.	Арифметические действия с конечными десятичными дробями.
Арифметические действия с конечными десятичными дробями будем
производить, полагая, что если положительное число а может быть
записано в виде конечной десятичной дроби
No, ... Пи,
то отрицательное число —а записывается в виде конечной десятичной
дроби
—Mb П±П2 ... пи.
Например, отрицательное число —37/25 будем записывать в виде
—1,48, а не в виде 2,52.	>
Использование такой формы записи отрицательных чисел в виде
десятичных дробей позволяет производить арифметические действия
с десятичными дробями во многом аналогично арифметическим дей-
ствиям с целыми числами.
Сложение и вычитание конечных десятичных дробей выполняется
так же, как сложение и вычитание целых чисел; необходимо только
записывать каждый разряд одной дроби под разрядом того же наимено-
вания второй дроби, а на место пустующих разрядов ставить нули.
Пример 1. Сложить дроби 2,14 и 0,151.
Запишем дробь 2,14 в виде 2,140 и произведем сложение целых
чисел 2140 и 151:
2140+ 151 = 2291.
Отделив справа у целого числа 2291 то же самое число знаков, что было
отделено у дробей 2,140 и 0,151 (а именно три знака), получим
дробь 2,291, которая является суммой данных дробей.
. Умножение конечных десятичных дробей производится следующим
образом: не обращая внимания на запятые, конечные дроби перемно-
жают, как целые числа; в получившемся произведении отделяют справа
число знаков, равное сумме числа знаков после запятой у всех сомно-
жителей.
Пример 2. Найти произведение двух конечных десятичных
дробей 2,1 и 0,27,
Перемножив целые числа 21 и 27 (нуль в числе 027 можно от-
бросить), получим число 567. Отделив справа три знака, получим, что
произведение двух данных дробей равно 0,567.
Деление конечной десятичной дроби йа целое число производится
следующим образом:
1)	Если делимое меньше делителя, пишем в целой части частного
нуль и ставим после него запятую. Затем, не обращая внимания на за-
пятую в делимом, присоединяем к целой части делимого первую цифру
его дробной части; если после такого присоединения получается число,
меньшее делителя, ставим после запятой в частном нуль и присоеди-
няем к полученному ранее числу следующую цифру делимого; если
50	ГЛ. 2. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
и после этого получаем число, меньшее делителя, ставим еще нуль и
Т. д., пока не получим число, превосходящее делитель. В дальнейшем
деление совершается так же, как о целыми числами, причем делимое
можно неограниченно «расширять» вправо от запятой, приписывая
в конце нули.
Пример 3. Разделить десятичную дробь 0,525 на число 2.
В согласии е приведенным правилом вычисление частного будет
Выглядеть так/
0,525 [J_______
*“5~*	0,262g1*
*“4
\2*
12
Т
~~4
10
—10
о
Может оказаться, что описанный процесе деления никогда не за*
кончится. В таком случае частное нельзя выразить конечной десятич*
ной дробью.
2)	Если делимое больше делителя, делим сначала целую часть,
записываем в частном результат деления и ставим запятую. После
этого деление продолжается, как в предыдущем случае.
Деление конечной десятичной дроби на конечную десятичную
дробь производится по следующему правилу:
Чтобы разделить десятичную дробь (или целое число) на десятич*
ную дробь, отбрасываем запятую в делителе; в делимом же переносим
запятую вправо на столько знаков, сколько их было в дробной части
делителя (в случае необходимости к делимому в конце приписываем
нули). После этого выполняем деление десятичной дроби на целое
число, как указана выше. Так, например, деление десятичной дробя
0,525 на дробь 0,2 сводится к делению десятичной дроби 5,25 на число 2.
Арифметические действия над бесконечными периодическими де-
сятичными дробями довольно сложны и громоздки, а потому гораздо
проще поступать следующим образом: перевести бесконечные периоди-
ческие десятичные дроби, над которыми требуется произвести арифме-
тические действия, в рациональные дроби; над рациональными дро-
бями произвести необходимые операции; дробь, получившуюся в ре-
зультате вычислений, если это необходимо, перевести в десятичную.
4.4.	Обращение конечной десятичной дроби в рациональную дробь.
Пусть АГ, ... ilk — конечная десятичная дробь; N — целая часть
дроби, a hi, п2, ...» лд — ее значащие цифры. По определению деся-
тичная дробь 0, пу п2... пи может быть записана в виде *)
ttjrtg . . . rtft ж
10*
К этой дроби прибавим целую часть данной десятичной дроби. В ре*
вультате получим искомую рациональную дробь.
*) В числителе дроби не умножение чисел л*.	а завись числа,
^нфрама которого являются цифры
$ 4. ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ
Пример. Конечную десятичную дробь 2,135 можно обратить
В следующую рациональную:
2,135 = 24-0,135
135 _ 2135
103 ~ 1000 •
а конечную десятичную дробь 1,091 — в дробь
—	91	900
1,091 =-1 + 0,091 =-1+-^-=—«О*-.
4.5.	Обращение бесконечной периодической дроби в рациональную
дробь.
1)	Представляем бесконечную периодическую десятичную дробь
О, п1п2 ... fik (nk+i ... Пк+р) в виде суммы конечной десятичной дроби
и бесконечной периодической дроби:
О, П1П2 . . . Пк (пк+г . . • /Ц+р) =»
= 0,	. . . Пк + 0, 0 ... 0 (пд+1 < . • пл+р).
> -
2)	Бесконечную периодическую дробь 0, 0 ... 0 (п*+1 пь+р>
представляем в виде произведения:
О, 00 . . . Ofafett .. . Bfc+p) e“~fe,0> ("Л+1ЛЛ+2 • •. лл+р)« (3)
k
3)	Чисто [периодическую дробь 0, (пк&Пк+ъ... пл+р) валисы*
паем в Виде
П /и	_ ла+1^а+2 * • • ftfc+p т
0t	• • • ^А+р)---------—------=— 4*
4) Вычисляем
ской прогрессии,
102р
es ftfe+iftfe+a » «  nk+p Г j 1	а t 1
L юр io2p J’
сумму членов бесконечно убывающей геометриче*
стоящей в квадратных скобках. Она равна
10р
10₽—1 ’
и, следовательно, чисто периодическая дробь 0, (пк^пк^ ••• flft+p)
обращается в следующую рациональную дробь:
0» 0А+1^А+2 • • а Лй+р) —
яа+1'*а+2 . . . Пк+р . юр
1QP	* 10р — 1
. ЛА+1ЯА+2 • • » лА+р
Ж — 1
52	ГЛ. 2. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Теперь с помощью равенства (3) нетрудно обратить десятичную
дробь 0, пхп2 ... «а («а+1^а+2 ... «А+р) в рациональную дробь;
О, tiin2 • . . fih (^a+i^a+s • • . fik+p) =
Л *» *» м I I Я&+1ЛА+2* • *flk+D
S= О, «1^2 ... Пк-]---J— -----------=3
10*	10₽—1
s= П1Па' ♦ -ПЬПЬ+1П}1+2- - -flk+p — П^. . .Hfe
=	. 10*(1О₽—1)
Правило перевода смешанной периодической десятичной дроби
в рациональную дробь можно сформулировать так:
Чтобы обратить смешанную периодическую десятичную дробь
в рациональную, нужно из числа, образованного цифрами, стоящими
после запятой до начала второго периода, вычесть число, образованное
из цифр, стоящих после запятой до начала первого периода; получен-
ную разность взять в качестве числителя дроби, а в знаменателе на-
писать цифру девять столько раз, сколько цифр в’Периоде, и со столь*
кими нулями, сколько цифр между запятой и началом первого периода.
Примеры. 1. Перевести чисто периодическую дробь 2,(13)
в рациональную дробь.
Представим эту дробь в виде
2,(13) = 2 + 0,(13) =
_2| 13 	>3	.	13	13	_
100 т 10000 т	102 т 104 -г
== 2'*’ 102	10*	“То4-*
В скобках стоит'сумма членов бесконечно убывающей геометрической
прогрессии с первым членом, равным 1, и знаменателем q = 1/102.
Используя формулу для суммы членов бесконечно убывающей геоме-
трической прогрессии, получаем
2>(13) = 2 + ~[оГ'• 1 _ 1/ю2 =
13	10-	-о. 13	211
102	102 -И	99 ~ 99 *
Таким образом, периодическая десятичная дробь 2,(13) может быть
обращена в рациональную дробь 211/99.
2. Перевести смешанную периодическую дробь 2,5 (13) в рацио*
нальную дробь.
Представим дробь 2,5 (13) в виде
2,5 (13) = 24-0,5 + 0,0 (13) = 2+ 0,5+ О, (13).
Далее необходимо перевести чисто периодическую дробь 0,(13)
в рациональную дробь аналогично тому, как это было сделано в при-
мере 1, и произвести сложение.
4.6, Десятичные представления рациональных чисел. Рациональ*
ное число определяется как число, которое может быть записано в виде
§ 4. ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ	. 53
т/п, где тип — целые числа и п > 0. Рассмотрим три примера пред-
ставления различных рациональных чисел в виде десятичных дробей.
Пример 1. Записать рациональное число 1/4 в виде десятичной
дроби:
___1_ 14____
10 I 0,25
“ 8
20
20
0
Из проведенных вычислений видно, что процедура деления закан-
чивается через конечное число шагов и число 1/4 может быть записано
в виде конечной десятичной дроби 0,25.
Пример 2. Записать рациональное число 5/11 в виде десятич-
ной дроби:
___5_	(JJ_____
*	50	I 0,4545
~ 44
60
~55
:♦	50
х	“44
60
“55
♦	5
Из проведенных вычислений следует, что если мы будем продол-
жать процесс деления, то и дальше будем получать в остатке последо-
вательно числа 6 и 5, и каждый раз, получая в остатке число 5, мы на-
чинаем цикл деления заново (в разобранном примере звездочками от-
мечены начала первых трех таких циклов). В этом примере процедура
деления никогда не закончится, следовательно, рациональное число
5/11 записывается в виде бесконечной десятичной периодической дроби
0,(45).	• .
Пример 3. Записать рациональное число 131/990 в виде деся-
тичной дроби:
131	I 990
1310	I 0,132
“ 990
»	3200
2970
2300
“ 1980
*	320
В этом примере, так же как и в предыдущем, процедура деления
никогда не закончится. Однако здесь повторение цикла деления начи-
нается не с того числа, с которого мы начинали деление, а с другого
числа (здесь числа 320), которое появилось в одном из остатков. Сле-
довательно, рациональное число 131/990 записывается в виде смешан-
ной периодической десятичной дроби 0,1 (32).
Б4	ГЛ. 2. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Три разобранных примера описываю! все возможные случаи, ко-
торые встречаются при записи рационального числа в виде десятичной
дроби. В самом деле, рассмотрим произвольное положительное число
/п/п, где т и п—положительные целые числа (случай отрицательного
рационального числа может быть разобран аналогично). При делении
натурального числа т на натуральное число п в остатке могут появиться
лишь следующие числа;
О, 1, 2, ...» п - 1. -
Если в процессе деления в остатке появится число 0, то процесс деления
будет закончен и, следовательно, рациональное число т/п будет пред-
ставлено в виде конечной десятичной дроби. Если же в процессе деле-
ния число нуль в остатке не появится, то по крайней мере через п — 1
шаг неизбежно возникнет повторение остатка; с этого места начинается
новый цикл. Результатом деления является бесконечная периодиче-
ская десятичная дробь (точнее говоря, допустимая периодическая де-
сятичная дробь).
Таким образом, всякое рациональное число т/п представимо либо
в виде конечной, либо в виде бесконечной периодической дроби; об-
ратно, любая конечная, а также любая бесконечная периодическая
десятичная дробь есть запись некоторого рационального числа.
Рациональное число т/п (т, п — целые, взаимно простые числа
ип> 1) может быть записано в виде конечной десятичной дррби тоьа
и только тогда, когда число п имеет своими простыми делителями лишь
числа 2 и 5. При этом число п не обязано иметь среди своих простых
делителей как число 2, так и число 5; оно может делиться лишь на одно
из них. Если n = 1, то дробь т/п также, очевидно, записывается в виде
конечной десятичной дроби. Например, рациональные числа 1/25,
1/16 и 7/1, где п равно соответственно 25, 16 и 1, представляются в виде
конечных десятичных дробей:
1	1	7
— = 0,04; — = 0,0625; 4-=7.
20	10	1
4.7.	Непрерывные дроби. Алгоритм Евклида (см. п. 1.5) нахожде-
ния наибольшего общего делителя двух натуральных чисел приводит
к одному весьма интересному способу представления рациональных
чисел.
Например, применение алгоритма Евклида к числам 840 и 611
дает следующий ряд равенств:
840= 1-611 4- 229,
611 = 2-229 + 153,
229= 1-153 + 76,
153= 2-76+ 1,
которые можно записать в виде
840	, , 229 t ,	1	229	, т 76 __ , , I
W ~ ±-бГГ ~	611 >	153	1 ‘ ~153“ “ 1 + “Т53~~9
229	76
611	153 _ I 153	,	।
'229‘“	г 229 —	'г 229	’	76	“ т	76	*
153
$ 4. ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ	55
Комбинируя последние равенства, приходим наследующему пред-
ставлению рационального числа 840/611:
840	, .	1
Рассмотрим теперь цепочку равенств алгоритма Евклида нахо-
ждения наибольшего общего делителя двух натуральных чисел т и п\
m~n'tnt-]r fit
п = rrm2+ r2,
Г1= г2-/и3 + Пь
rk_2 = rk_i-mk+ fk,
гкл =
Перепишем эту цепочку равенств в виде
m	,	п
---------- mi Ч—— .
п----1	п	*
П	,	Г2
Г1	1	Гх	9
= т3 +	,
г2	Г2
ГЛ-2	f rk
----— т^-\---------
ГЪЛ
rkJL „
Каждое из приведенных равенств (за исключением последнего)
описывает выделение целой части неправильной дроби, т. е. пред*
сгавляет неправильную, дробь в виде суммы натурального числа и не-
которой правильной дроби. Замечая, что левая часть каждого равенства
есть величина, обратная второму слагаемому правой части предыдущего
равенства, рациональное число mln можно записать, используя лишь
числа	т3,	т^\
— =т1 +--------
/п2 4~
I
1
(4)
, 1
/72« -4----------
+ -
1

56
ГЛ. 2. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
где /Па, т3, /и4,	— натуральные числа, a mi — либо натураль-
ное число, либо нуль.
Выражение, стоящее в правой части равенства (4), называется
конечной непрерывной (или цепной) дробью.
Если рациональное число min отрицательно (т< 0, п> 0),
то при записи числа т/п в виде непрерывной дроби используют сле-
дующий прием. Отрицательное рациональное число т!п представляют
в виде
т м » k
— = м Ч-------,
п ' П 9
где М — отрицательное число, a k —
Положительную рациональную дробь
рывной дроби:
натуральное тасло, меньшее п.
k
— записывают в виде непре-
Тогда отрицательная рациональная дробь mln записывается в виде
~ = м +------------Ц—:-----.
“ h+---------------5-j-----
Непрерывную дробь, стоящую в правой части равенства (4), обо-
значают
[/пх; т2, т3,	тл+1],	(5)
где точка с запятой отделяет целую часть рационального числа от
его дробной части.
Непрерывная дробь
[шх; /Из, /и8, ms] (s<£+ 1)
называется подходящей дробью s-ro порядка для непрерывной дроби (5)
и кратко обозначается p^Qs-
Подходящая непрерывная дробь называется четной, если s четно, ~
и нечетной, есди s нечетно. Все подходящие дроби четного порядка
меньше mtn, и величина их возрастает с ростом порядка; все подходя-
щие дроби нечетного порядка больше mln, и величина их убывает
о ростом порядка:
Рз <	< Лчи
(б — четное).
§ 5. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
57
Модуль разности между подходящими дробями ps/qs и ps+i/qs+i
DaBeH -!-1 а потому разность между подходящей дробью s-ro
qs'Qs+i
порядка и числом т/п можно оценить неравенством
-	|21_^l<—(6)
I П Яз I ЯзЯз+i	v '
Теория непрерывных дробей исторически возникла из потребности
замены рациональной дроби с большими числителем и знаменателем
другой рациональной дробью, у которой числитель и знаменатель
были бы значительно меньше (и меньше некоторого^ наперед заданного
числа) и такой, чтобы она по своей величине как можно меньше отли-
чалась от исходной дроби. Пусть тип — числа, равные, например,
1355 и 946 соответственно. Необходимо заменить дробь 1355/946 дробью
Ph/qh* где qh должно быть меньше 100, а также оценить погрешность,
возникающую при такой замене. Представим дробь 1355/946 в виде
непрерывной дроби и вычислим подходящие дроби. При этом окажется,
что
2L = Jg_ = ii; 2, 3, 5, 8, 3],	^-=-S-
п 946	1	яз 37 q^ 303
Нашему условию (знаменатель меньше 100) удовлетворяет дробь 57/37.
Неравенство (6) позволяет просто оценить абсолютную погреш-
ность между данной дробью и подходящей дробью третьего порядка:
I _*355_ __53_ I   1_ = _1_< о oool
| .946	37 Р <73 94	П211 <'и-иииь
В теории непрерывных дробей вводится также понятие бесконеч-
ной непрерывной 'дроби и доказывается, что любое действительное
число может быть единственным образом записано в виде непрерывной
дроби. При этом рациональные числа записываются в виде конечных,
а иррациональные — в виде бесконечных непрерывных дробей.
Заметим, что как в случае рационального, так и в случае иррацио-
нального числа подходящие непрерывные дроби обладают тем свой-
ством, что они дают «наилучшее» приближение любого действитель-
ного числа рациональным числом, а именно:
Для любой подходящей дроби k-ro порядка pk/qk нельзя подобрать
рациональную дробь со знаменателем, меньшим чем qk, такую, чтобы
она давала лучшее приближение действительного числа а, чем подхо-
дящая дробь piJqk>
§ 5. Действительные числа
5.1. Множество действительных чисел как расширение множества
рациональных чисел. В §§ 2, 3 было последовательно проведено расши-
рение множества натуральных чисел до множества целых чисел и расши-
рение множества целых чисел до множества рациональных чисел. Мно-
жество всех рациональных чисел представляет собой множество, зам-
кнутое относительно операций сложения, умножения, вычитания и
деления (кроме деления на нуль), — сумма, произведение, разность и
частное двух рациональных чисел опять будет рациональным числом.
Однако оказывается, что существуют алгебраические и геометри-
ческие задачи, которые не имеют решения в множестве рациональных
58	ГЛ. 2. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
чисел. Так, задачей, часто не имеющей решения в множестве рацио*
нальных чисел, является извлечение корня из положительного целого
числа. Например, число JA2 (см. п. 5.9) не является рациональным
числом, т. е. его нельзя записать в виде т!п, где т и п — целые числа
и п ф 0. Нетрудно привести и другие примеры чисел, которые не могут
быть представлены в виде m/п, т. е. не являются рациональным^ чис-
лами.
Число, которое нельзя представить в виде т/п, где m и п — целые
числа и п Ф 0, называют иррациональным числом.
Множество всех действительных чисел также может быть получено
как естественное расширение множества всех рациональных чисел.
Однако, в отличие от довольно простых способов расширений мно-
жества натуральных чисел до множества целых чисел и множества
целых чисел до множества рациональных чисел, метод расширения
(или пополнения) множества всех рациональных чисел до множества
действительных чисел оказывается гораздо более сложным. Математи-
чески строгая теория действительных чисел была развита лишь в се-
редине прошлого века в трудах Р. Дедекинда и Г. Кантора, и при ее
создании был использован ряд весьма тонких результатов математи-
ческого анализа.
Один из методов пополнения множества рациональных чисел до
множества действительных чисел основан на понятии фундаменталь-
ной последовательности рациональных чисел. Покажем схематически,
в чем состоит суть этого метода.	~
Последовательность (хп) рациональных чисел хп называется фун-
даментальной, если для любого рационального 8> 0 существует
такое натуральное число п0, что
\хр — xq\<z
для всех р и q, больших я0. Используя определение сходящёйся после-
довательности, нетрудно доказать, что всякая сходящаяся последова-
тельность будет фундаментальной. С другой стороны, всякая фундамен-
тальная последовательность рациональных чисел будет иметь предел,
однако может оказаться, что этот предел не будет рациональным числом.
Примером такой последовательности может служить последователь-
ность положительных рациональных чисел (rrt), квадраты которых
становятся сколь угодно близкими числу 2:
И-2|<_ПГ’ 1г2~21<’Тог’ ’ • • ’ 1гп~ 2| <"10"’ * * ’'
Из способа задания последовательности (rrt) следует, что ее предел
— число, не принадлежащее множеству рациональных -чисел; это
есть иррациональное число К2.
Множество всех действительных чисел получается пополнением
множества рациональных чисел новыми числовыми объектами, назы-
ваемыми иррациональными числами, которые являются пределами все-
возможных фундаментальных последовательностей рациональных чи-
сел. Множество действительных чисел обычно обозначается буквой R.
5.2. Аксиоматическое построение множества действительных чисел.
Множество всех действительных чисел может быть описано как мно-
жество, элементы которого удовлетворяют перечисленным ниже свой-
ствам I—VI. Элементы этого множества, хотя это и не совсем корректно,
далее будем называть числами.
§ 5. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
59
I.	Свойство упорядоченности.
Для любых двух чисел а и b определено отношение порядка, т.
для любых двух действительных чисел а и b
либо а = b (а равно Ь),
либо a<Z b (а меньше 6),
либо 6< а (Ь меньше а);
причем если а< b и с, то с.
II.	Свойства операции сложения.
В множестве действительных чисел определена бинарная операция
сложения, т. е. любой упорядоченной паре чисел (а; Ь) ставится в соот*'
ветствие единственное число, называемое суммой чисед^дД обозна*
чаемое а + 6; при этом:
1)	для любой тройки чисел a, b, С
(а + Ь) + с = а + (Ь + с) (ассоциативный закоц £$ожения);
2)	для любой пары чисел а и b
a-^b-br а (коммутативный.закон сложения);
3)	существует число, обозначаемое символом 0 и называемое ну*
дем, такое, что для любого числа а
а + 0 = а}
4)	для любого числа а существует число, обозначаемое —а, такое*
что
а + (—а) = 0;
число —а называется противоположным числу а;
5)	если а< д, то для любого числа с
а 4“ с < b + с.
Число а > 0 называется положительным, а число а < 0 — втрц*
цательным.
Для любой упорядоченной пары чисел (а; Ь) число
а + (— Ь)
называется разностью чисел а и b и обозначается а — bl
а — Ь = а + (—6).
III.	Свойства операции умножения.
В множестве действительных чисел определена бинарная операция,
называемая умножением, т. е. любой упорядоченной паре чисел (а; Ь}
ставится в соответствие единственное число, называемое их произведем
нием и обозначаемое а*Ь, причем:
1)	для любой тройки чисел а, Ь, с
(а-Ь)-с~ а-(Ь-с) (ассоциативность);
2)	для любой пары чисел а, b
a-b—b-a (коммутативность);
3)	существует число, обозначаемое символом 1 и называемое
единицей, такое, что для любого числа а
а-1 = а;
60
гл. 2. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
4)	для любого числа а, отличного от нуля, существует число,
обозначаемое 1/а, такое, что
а.2_=1;
а
число 1/а называется обратным числу а;
5)	если а< b и* с> 0, то а*с< Ь-с; если а< Ь и с< 0, то
а*с> Ь'С.
Для любой упорядоченной пары чисел а и b (Ь отлично от нуля)
1	.	а
число а--г- называется частным от деления а на b и обозначается т- ?
b	Ь
IV.	Связь операций сложения и умноже-
ния.	"
Для любой тройки чисел а, b и с
(а + Ь)-с = а*с+ Ь'С
(дистрибутивность умножения относительно сложения).
V.	Свойство Архимеда.
Для любого числа а существует такое целое число п, что п > а.
Из этого свойства, в частности, следует, что для любых чисел а
и Ь при а> 0 существует натуральное число п такое, что
п«а> Ь.
VI.	Свойство непрерывности.
Перечисленные выше свойства I—V были присущи и некоторым
другим числовым множествам (например, множеству всех рациональ-
ных чисел). Множество действительных чисел, в отличие от множества
рациональных чисел, имеет еще одно, существенно новое свойство —
свойство непрерывности.
Существует несколько различных формулировок свойства непре-
рывности множества действительных чисел. Одна из них будет при-
ведена ниже и называется принципом вложенных отрезков или аксио*
мой непрерывности множества действительных чисел (по Кантору).
Если заддны два числа а и Ь, а Ь, то множество всех чисел х
таких, что а х Ь, называется числовым отрезком и обозначается
[а; 6]. Число Ь—а называется длиной числового отрезка.
Система числовых отрезков
•••>
называется системой вложенных отрезков, если
01 а* . ^ад bд I	^1 •
Относительно системы вложенных отрезков [ап\ bn], п=* 1, 2, 3, ...,
говорят, что длина этих отрезков стремится к нулю с возрастанием /г,
если для любого числа 8> 0 существует такой номер /г0, что для
всех номеров п п0 выполняется неравенство
— ап <Z 8.
Принцип вложенных отрезков. Для всякой си*
стемы вложенных отрезков существует хотя бы одно число, которое
принадлежит всем отрезкам данной системы.
§ 5. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧЙёЛА	61
Из принципа вложенных отрезков, в частности, вытекает, что для
всякой системы вложенных отрезков, по длине стремящихся к нулю,
существует единственное число, принадлежащее всем отрезкам данной
системы.
5.3. Представление действительных чисел десятичными дробями.
По свойству Архимеда для любого неотрицательного числа а найдется
неотрицательное целое число W такое, что
N ^а< N+ 1.
Разобьем числовой отрезок [N; N + 1] на десять равных частей
и рассмотрим отрезки
[N\ N, И, [N, 1; N, 2], [tf, 9; W + 1].
Возможны два случая: либо а не совпадает ни с одной из точек де-
ления, либо а совпадает с одной из точек деления. В первом случае а
принадлежит только одному из перечисленных отрезков, который
обозначим If
Zi= [N, nf N, /ii+ 11,
где nt — одна из цифр 0, 1, 2, ..., 9. Если а — точка деления, то
в качестве отрезка 1± выберем тот, для которого а является левым
концом.
Разобьем отрезок на десять равных частей и выберем из полу-
ченных десяти отрезков тот, который содержит точку а и для которого а
не является правым концом. Обозначим выбранный отрезок через /2.
Продолжая этот процесс, получим систему вложенных отрезков
= nin2...nft; W, nin2... (nft+ 1)],
где ni (i = 1, 2, 3, ...» k) — одна из цифр 0, 1, 2, ...» 9. Каждый из
отрезков 1ъ содержит точку а, и ни для какого из этих отрезков
точка а не является правым концом.
Дроби
N, пхп2 ... nk и Nt nfi2 ... (пд + 1)
называют соответственно нижней и верхней подходящими десятичными
дробями порядка k и обозначают и а^. Эти дроби удовлетворяют
соотношениям
< «л,
Gk
&k > сд+1,	(1)
Последовательности (а^) и (ад), образованные соответственно
из нижних и верхних подходящих дробей, имеют пределы а и а:
lim N, П1П2.	= a- lim N, nfi2.. .(лд + 1) = а.
Л-»оо	“	&->оо
В силу последнего из соотношений (1) десятичные дроби а и а
равны, т. е. представляют собой одну и ту же десятичную дробь. С дру*
гой стороны, а — единственная точка, принадлежащая всем отрез^
кам /д с длинами, стремящимися к нулю,
62	ГЛ. 2. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА /
Таким образом, числу а поставлена в соответствие десятичная
дробь N, Л1П2 ... rik ..., которую называют десятичной записью (или
десятичным представлением) числа а и пишут
а = N, пхП2 ... nk..."
Соответствие между множеством всех действительных чисел и
множеством всех десятичных дробей не является взаимно однозначным:
разным десятичным дробям может соответствовать одно число. Именно,
дробям вида
N, «1^2 ... ЛА (9) и 2V, «хПа ... (л& + 1)
соответствует одно и то же рациональное число. Так, рациональное
число 1/4 допускает запись в виде двух различных десятичных дро-
бей: 0,25 и 0,24 (9), в чем нетрудно убедиться, используя алгоритм
перевода бесконечной периодической дроби в рациональную дробь
(см. п. 4.5 настоящей главы).
Если рассматривать множество десятичных дробей, не имеющих
периода, состоящего только из цифры 9 (такие дроби называют до*
пустимыми), то между множеством всех действительных чисел и мно-
жеством всех допустимых десятичных дробей можно установить вза-
имно однозначное соответствие и отождествлять само число и его
десятичное представление.
Исходя из определений суммы, разности, произведения и частного
двух рациональных чисел, с помощью представления действительного
Числа в виде десятичной дроби можно’ввести понятие суммы, произве-
дения, разности и частного любых двух действительных чисел (кроме
деления на нуль), а также понятие абсолютной величины действи-
тельного числа.
Пусть а и два действительных числа:
а == NOt о. ...j b А40, т±т2 ... ть ...
Суммой, произведением и разностью двух действительных чисел а
h b называются соответственно числа
Нт (аъ, +bk)	а bt lim (ak-Ьь) ® a-bt lim (a&— bk) ~ a•— b*
k-rao ~	A-+00 " ~	A->oo **	**
Частным двух чисел а и b при b Ф 0 называется число
При таком определении частного двух действительных чисел может
оказаться, что при некоторых k bk~Q. Однако в силу условия
всегда найдется такой номер &о, что bk Ф 0 при k > kQt и тогда по-
следовательность ak/bk следует рассматривать не при всех k g N,
а при k == &о, &о+~1,	2, ...
Абсолютной величиной (модулем) действительного числа а назы*
вается неотрицательное число
|а| = lim | ah |.
k-+oo
5.4. Геометрическое изображение множества действительных чи-
сел. Рассмотрим прямую линию (которую будем называть осью) с вы-
бранной на ней произвольной точкой, которую обозначим буквой О
$ 5. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА	Й
(пока именно буквой, а не числом нуль). Выберем любую другую
точку Е, лежащую на прямой справа от точки О. Точка О делит
прямую на два луча: луч, которому принадлежит точка Е и который
называют положительной полуосью^ И второй луч, который называют
отрицательной полуосью,
Рассмотрим теперь отрезок прямой с концами О и Е (рио4 £.1),
Длину отрезка ОЕ, обозначаемую | ОЕ |, примем за единицу длины
(отрезок ОЕ также называют масштабным отрезком). Установим теперь
соответствие между двумя числами 0 и 1 и точками О и Et полагая*
что точка, обозначенная буквой О, соответствует числу нуль, а точка,
обозначенная буквой Е, — числу 1 (точку О также называют нача*
лом координат). Теперь легко установить соответствие между любым
фиксированным натуральным числом и некоторой, вполне определен-
ной, точкой прямой. Например, точка, соответствующая 5,
Рцс* 2Л.
будет лежать справа от начала координат на расстоянии, равном пяти
длинам отрезка ОЕ*, отрицательному целому числу —п будем ставит^
в соответствие точку, лежащую слева от точки О на расстоянии^
равном п длинам* отрезка ОЕ*. п-|ОЕ|. Например, точка, отвечающая
числу —5, лежит слева от точки О на расстоянии, в пять раз боль-
шем единицы длины.
Далее, если взять единичный отрезок ОЕ, разделить его на п
равных частей и отложить от точки О вправо п-ю часть отрезка ОЕ,
то точка, являющаяся правым концом отложенного отрезка, считается
точкой, изображающей число 1/я. Если отложить вправо от точки О
сумму т отрезков длины | ОЕ |/п, то правый конец суммы является
точкой, изображающей положительное рациональное число т/п.
Аналогичным способом можно построить точки, соответствующие отри*
цательным рациональным числам.	1
Остается указать способ сопоставления иррациональных чисел
точкам прямой. Пусть положительное число а иррационально. По-
строим последовательности подходящих десятичных дробей для ирра-
ционального числа ан
£i; п2; ДзЬ-Л ffebq Ц #2»
Члены этих последовательностей — рациональные числа, которым
отвечают соответствующие точки прямой. Построим систему отрезков
1«1; ^11; [а2; а21; ...; Ьл; в*]; ♦..» вложенных друг в друга. Длина
этих отрезков стремится к нулю с возрастанием k. Эти отрезки имеют
только одну общую точку, а именно точку, отвечающую иррациональ*
ному числу а.
Таким образом, можно отобразить множество всех действительных
чисел R на множество точек прямой. Верно и обратное: каждой точке
прямой можно поставить в соответствие единственное действительное
число.
Между множеством действительных чисел и множеством точек
прямой существует взаимно однозначное соответствие, и часто вовсе
не различают эти &ва множеству проста Ачиодсвая прямая^
64	ГЛ. 2. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
• 5.5. Степени и корни. Свойство ассоциативности операции умно-
жения^ действительных чисел позволяет ввести понятие натуральной
степени любого действительного числа:
n-й натуральной степенью действительного числа а называется
действительное число Ь, получаемое в результате умножения числа а
самого на себя п раз:
b = а-а-а* *... «а;
п сомножителей
п-ю степень числа а обозначают ап и пишут
b = ап.
Число а называется основанием степени, а число п — показателем
степени.
При а =/= 0 по определению а0 = 1; 0° не определен.
При а Ф 0 по определению а~п = 1/ап (п — натуральное число).
Корнем п-й степени (или арифметическим корнем п-й степени)
из положительного действительного числа а называется единственное
положительное решение уравнения хп ® а.
Корень п-й степени из числа а обозначается символом или
а]/п *). Корень 2-й степени (квадратный корень) обычно обозначают
просто У а.
При а=0 уЛ) = 0 (или 01/п = 0).
Если действительное число а отрицательно, то корень п-й степени
из числа а определяется лишь при нечетном п как единственное дей-
ствительное отрицательное решение уравнения хп = а.
Корень п-й степени из отрицательного действительного числа а
обозначается тем же символом у а (п— нечетное).
Рациональной степенью mln (т — целое, п — натуральное) по-
ложительного действительного числа а называется число (у^а )т»
Рациональная степень числа а также записывается в виде
(7^ Г = (а''п)т =	= 7^ = ат/п.
Из определения рациональной степени положительного числа
следуют равенства
2/V 7«
7^ = 7а.7ь, V
Степень а любым действительным показателем может быть вве-
дена, например, следующим образом. Пусть b — действительное число,
записанное в виде бесконечной десятичной дроби;
b = N, nyi2 ... n^...,
а
*1 Символ У также называют радикалом степени*
§ 5* ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА	65
и пусть (bk) — последовательность нижних подходящих десятичных
дробей fc-го порядка для числа Ь, т. е.
bi = Af, /и; b2 — N, niti2t . . bk — nin2 .. .	. ..
Для любого положительного числа а можно образовать бесконечную
последовательность
ь ь ь
(Г1, а”2;..а”^;...
Предел этой последовательности обозначается J2 и представляет собой
действительную степень числа а.
Из определения числа аь следуют равенства
а“+р=а“.Л	(а“)р = а“р, (а-6)“ =
а“/йр = а°-р,	(а/б)а=—.
6а
5.6.	Логарифмы. Пусть а — положительное действительное число,
отличное от единицы, a М — любое- положительное действительное
число. Логарифмом числа М по основанию а называется число, обо-
значаемое ' loga Al, такое, что
а а = М.
Логарифм loga М положительного числа М при положительном
и отличном от единицы основании а можно также определить как
решение уравнения
а* = А1.
Основные свойства” логарифмов)
logaa=l (а>0, а =£ 1); loga(a*) = £ (a>0, a=£l);
loga (All- Al2) = logaAli + \ogaM2 (Mi >0, M2 > 0};
loga (Mi/M2) = logaAli — logaAl2 (Alt >0, A!2 > 0))
log(I(^)=clogafc; logaC = 22gl; iogaC = __l_.
Десятичные логарифмы (логарифмы по основанию 10) Iogi0a
обычно обозначают 1g а.
Натуральные логарифмы (т. е. - логарифмы по основанию е =
— 2,718281828...) loge а обычно обозначают Ina.
Десятичные и натуральные логарифмы связаны равенствами
Ina =-1Н^-= In 10-lg а = (2,30259...) 1g a,
lg a = -Дтг = lg «• In a = (0,43429...) In a.
& In ID b	v	'
5.7.	Пропорции. Равенство вида
a с
~-~d	•	(2)
3 A. F. Цыпкин
66
ГЛ. 2. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
называют пропорцией, а9 b, с, d — членами пропорции. В пропор-
ции (2) а и d называют крайними, а b и с — средними членами про-
порции.
Из равенства (2) следует:
1) а-d = b*c\
a±b _ c±d	a-h _c-d t	та + nb _ tnc + nd
b	d ’	а д ““ сpa + qb"~ pc + qd'
(производные пропорции^
где т, п, pt q — произвольные числа (р и q не равны нулю одно-
временно).
5.8. Десятичные представления иррациональных чисел. Рацио-
нальное число определяется как число, которое может быть записано
в виде m/п, где тип — целые числа и п#=0 (см. п. 3.2). Любое
рациональное число может быть записано либо в виде конечной деся-
тичной дроби, либо в виде бесконечной периодической десятичной
дроби (см. п. 4.6). Так как любое действительное число может
быть записано в виде десятичной дроби (см. п. 5.3), то любое ирра-
циональное число может быть записано в виде бесконечной непериоди-
ческой десятичной дроби.
Это свойство иррациональных чисел иногда принимают за опре-
деление иррациональных чисел:
Иррациональным числом называется действительное число, деся-
тичная запись которого является бесконечной непериодической деся-
тичной дробью.
Свойства иррациональных чисел. В противопо-
ложность множеству рациональных чисел, которое было замкнуто
относительно операций сложения, вычитания, умножения и деления
(исключая деление на нуль), множество иррациональных чисел не обла-
дает свойством замкнутости ни для одной из перечисленных вышр
операций. Чтобы убедиться в незамкнутости множества иррациональ-
ных чисел, например относительно операции сложения, достаточно
указать лишь одну пару иррациональных чисел, сумма которых ра-
циональна. В качестве пары таких чисел могут быть взяты, например»
числа 0,1010010001...; 0,0101101110..., первое из которых образовано
последовательностью единиц, разделенных соответственно одним ну-
лем, двумя нулями, тремя нулями и т. д., второе — последователь-
ностью нулей, между которыми поставлены одна единица, две единицы*
три единицы и т. д. Каждое из этих чисел будет иррациональным
числом, в то время как их сумма будет рациональным числом, десятич-
ное представление которого имеет вид
0,111...!... = 0,(1) « 1/9.
Сумма, разность, произведение и’частное иррационального числа а
и рационального числа г — иррациональные числа.
Из этого свойства иррациональных чисел, в частности, следует,
что, имея лишь одно иррациональное число, с помощью рациональных
чисел можно построить бесконечно много иррациональных чисел.
5.9. Некоторые способы доказательства иррациональности чисел*
Доказательство иррациональности чисел,
основанное на определении рационального:
числа. Иррациональность некоторых чисел может быть доказана
с помощью, метода доказательства «от противного».
§ 5. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА	67
Пусть, например, требуется доказать иррациональность числа J/^2.
Предположим, что j/*2 — рациональное число, т. е. является числом,
которое может быть представлено* в виде
У 2 = т/п,	(3)
где т и п — взаимно простые натуральные _числа. Для доказатель-
ства невозможности представления числа /2 в виде (3) мы восполь-
зуемся тем, что числа тип —взаимно простые. Говоря точнее, мы
воспользуемся тем, что числа т и п не являются оба четными —
в противном случае дробь т/п была бы сократимой. Возведя обе части
равенства (3) в квадрат, получим
/п2
2 = —7-ч=> 2-п2 =/п2.
п2
Число 2-п2 четно. Поэтому т2 и, следовательно, т также четно. По-
лагая т = 2«&, равенство 2-n2 = т2 можно записать в виде
2‘П2 = (2.k)2 о2-п2 = 4&2 -<=>п2 = 2*&2.
Из последнего равенства видно, что число п2 также оказывается
четным; следовательно, п также четно. Мы пришли к заключению,
что как т, так и п — четные числа, в ю время как дробь т/п по пред-
положению несократима. Полученное противоречие и доказывает, что
число 2 непредставимо в виде т/п и, следовательно, иррационально.
Аналогичным способом может быть доказана и иррациональность
числа J/3. Только, в отличие от предыдущего случая, здесь решающим
фактором окажется, . что числа тип делятся одновременно на 3.
Доказательство иррациональности чисел
спомощью основной теоремы арифметики. Ирра-
циональность некоторых чисел можно доказать с помощью основной
теоремы арифметики (см. п. 1.3). По основной теореме арифметики
любое натуральное число единственным образом разлагается в про-
изведение простых сомножителей.
Например, докажем, что число 1g 2 иррационально. Предполо-
жим, что это не так, т. е. имеются такие натуральные числа m ип, что
1g 2 = т/п, или 2 = 10m/rt.
Возводя обе части последнего равенства в степень п, получим
2n = IO'77 <->2п== 2ш-5т.
Согласно основной теореме арифметики равенство 2п =» 2т^т не-
возможно, так как 2п — натуральное число, ни при каких п не де-
лящееся на 5, в то время как 2w-5m делится на 5, поскольку т —
натуральное число. Следовательно, число 1g 2 иррационально..
Один общий метод доказательства ирра«
циональности ряда чисел (в томчисле иррациональности
некоторых значений тригонометрических функций). Один довольно
общий метод доказательства иррациональности чисел основан на .сле-
дующей теореме:
Если алгебраическое уравнение
nQXk 4- niXk^~t- ... 4- ПЬ-хХ 4- nk ss 0
3*
68	ГЛ. 2. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
с целыми коэффициентами имеет рациональный корень mln (числа т
и п взаимно простые), то число т является делителем числа пь, а число
п — делителем числа nQ.
В частности, рациональными корнями уравнения
xk + np?“"! 4----h	= О
с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом, равным единице,
мохут быть лишь целые числа.
Доказательство иррациональности чисел с помощью сформулиро-
ванной теоремы проводится следующим образом *):
1)	Составляют алгебраическое уравнение наименьшей натураль-
ной степени с целыми коэффициентами, одним из корней которого за-
ведомо будет число а, иррациональность которого необходимо дока-
зать.
2)	Находят все простые делители первого коэффициента п0 полу-
ченного уравнения и свободного члена пь. Из полученных целых
чисел составляют всевозможные рациональные числа с числителем,
который является делителем числа пл, и знаменателем, который яв-
ляется делителем числа п0. Тогда по сформулированной выше тео-
реме лишь эти рациональные числа могут являться рациональными
корнями данного уравнения.
3)	Подстановкой этих рациональных чисел в уравнение прове-
ряют, является ли хотя бы одно из них,корнем уравнения. Если ни
одно из построенных рациональных чисел не является корнем урав-
нения, то данное уравнение рациональных корней не имеет и, следо-
ъательно, рассматриваемое число иррациональное. Если же какое-
нибудь из построенных рациональных чисел является корнем урав-
нения, то доказывают, что рассматриваемое число не равно этому
корню и, следовательно, оно иррационально. _
Примеры: 1.-Доказать, что число —КЗ иррационально.
Положим х — 1^2— 1^3. Тогда * + КЗ = |^2. Возводя обе части
равенства в куб, после несложных преобразований получим уравнение
2==—3/3 (х2+ 1).
Возводя обе части последнего уравнения в квадрат, после приведения
подобных членов придем к уравнению
х* — 9х* — 4Хз + 27х2 — 36х — 23 = 0.
Из способа построения этого уравнения следует, что число 7/2" — j/"3 —»
его корень. С другой стороны, единственно возможными рациональ-
ными корнями этого уравнения являются целые числа — делители
числа —23, т. е. + 1, —1, +23, —23. Непосредственная подстановка
этих чисел в уравнение показывает, что эти числа не являются кор-
нями уравнения. Таким образом, рациональных1 корней наше урав-
нение не имеет, и число — КЗ иррационально.
2.	Доказать, что число cos 20° иррационально.
По формуле тройного аргумента cos 60° == 1/2 и cos 20° связаны
формулой
cos 60° = 4 cos8 20° — 3 cos 20°.
♦) Излагаемый ниже метод применим только для доказательства ирра*
цнонельиости алгебраических чисел (см» а» 5,10).
§ 5. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА	69
Обозначая cos20°=x, запишем последнее равенство в виде
8х3 — бх — 1 = 0.	(4)
Число х == cos 20° — корень этого уравнения. Применяя к этому
л равнению сформулированную выше теорему, видим, что возможными
рациональными корнями этого уравнения являются числа ±1, ±1/2,
±1/4, ±1/8. Подстановкой этих чисел в уравнение (4) можно убе-
диться, что ни одно из них не является его корнем. Следовательно,
уравнение (4) не имеет рациональных корней, и потому число cos 20°
иррационально. Следует отметить, что подобный способ непосредствен-
ного использования формулы тройного аргумента непригоден для
доказательства, например, иррациональности числа cos 10°, так как
алгебраическое уравнение третьей степени, корнем которого будет
число х = cos 10, имеет иррациональные коэффициенты. Иррацио-
нальность числа cos 10° проще доказать в два этапа: сначала доказать,
ч го число cos 20° иррационально, после чего, воспользовавшись фор-
мулой
1 + cos 20° = 2 cos2 10°, .
методом доказательства от противного показать, что число cos 10Q
не может быть рациональным числом.
Сформулируем еще одно утверждение, позволяющее доказать ирра-
циональность некоторых значений тригонометрических функций:
Если угол 0 таков, что число cos 20 иррационально, то и числа
cos 0, sin 0, tg 0 также иррациональны.
Чтобы убедиться в справедливости этого утверждения, достаточно
применить метод доказательства от противного, предварительно вос-
пользовавшись тригонометрическими формулами половинного аргу-
мента и известным тригонометрическим тождеством
,+‘г‘в—
Так, например, предположим, что sin 0 — число рациональное,
тогда 2 sin2 0 будет также рациональным числом. Так как sin2 0
и cos 20 связаны равенством
1 — cos 20 = 2 sin2 0,
из рациональности числа 2 sin2 0 будет следовать рациональность
числа cos 20. Полученное противоречие и доказывает, что число sin 0,
как и число cos 20, иррационально.
5.10. Алгебраические и трансцендентные числа. Множество дей-
ствительных чисел, помимо деления на множество рациональных и
множество иррациональных чисел, может быть разделено на два дру-
гих множества — множество алгебраических чисел и множество транс-
цендентных чисел.
Действительное число, являющееся корнем некоторого алгебраи-
ческого уравнения вида
nQxk + гцх*1"1 Н---1- nk~±x + nk = 0
с целыми коэффициентами n0, ni> •••» nk-l> nk, из которых хотя бы
один отличен от нуля, называется алгебраическим числом.
Действительное число, не являющееся корнем никакого алгебраи-
ческого уравнения с целыми коэффициентами! называется трансу
цендентным числом.	'	*
70	ГЛ. 2. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Множество всех рациональных чисел является подмножеством
множества алгебраических чисел, так как любое рациональное число
т/п является корнем алгебраического уравнения первой степени
пх — т = 0.
Отсюда также следует, что всякое трансцендентное число иррацио-
нально.
Разбиение множества действительных чисел на различные под-
множества схематически можно изобразить так:
Действительные числа —
—Рациональные (все они
являются алгебраическими)
|—Алгебраические
—Иррациональные — _
’-Трансцендентные
[—Рациональные
Действительные числа -	'-Иррациональные
'—Трансцендентные (все они являются
иррациональными)
Некоторые трансцендентные числа. Ранее (см.
п. 5.9)* были приведены доказательства иррациональности некоторых
чисел, в частности иррациональности числа 1g 2. В то 'же время 1g 2
является трансцендентным числом. Впервые предположение о транс-
цендентности числа 1g 2 было высказано Л. Эйлером в XVIII веке.
Доказательство трансцендентности числа 1g 2 значительно сложнее,
чем доказательство его иррациональности, и основано на методах
гораздо более общих и глубоких, чем те, которые используются при
доказательстве его иррациональности, Трансцендентность числа 1g 2
следует из теоремы:
Число аь трансцендентно, если числа а и Ь алгебраические (слу«
чаи а = 0, а = 1 и случай рационального b исключены).
Трансцендентными числами будут и хорошо известные числа е
и л; их трансцендентность была доказана в конце девятнадцатого века.
Вопрос об алгебраичности или трансцендентности числа л связан
с решением одной геометрической задачи, сформулированной еще
за несколько веков до нашей эры. Эта задача называется задачей
о квадратуре круга и формулируется так:
Можно ли с помощью только циркуля и линейки построить ква-
драт с площадью, равной площади круга единичного радиуса?
Доказано, что с помощью циркуля и линейки можно строить лишь
такие геометрические фигуры, площадь которых выражается алгебраи-
ческим числом. Поэтому трансцендентность числа л указывает на
невозможность решения задачи о квадратуре круга.
Напротив, значения тригонометрических функций при некоторых
значениях аргумента (например, значения cos 20° и sin 10°, ирра-
циональность которых была доказана в п. 5.9) являются алгебраиче-
скими числами, что вытекает из следующей теоремы;
Для любого рационального числа г числа sin (90°-r), cos (90°*г)
и tg (90°т) являются алгебраическими (в случае tg (90°-r)f г ±1,
хЬЗ,
§ 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ	71
В заключение отметим, что множество всех алгебраических чисел
образует счетное множество, а множество всех трансцендентных чисел—
несчетное.
§ 6> Приближенные вычисления
6.1.	Приближенное значение числа и погрешности. Для выпол-
нения вычислений действительные числа часто бывает удобно записы-
вать в виде десятичных дробей. Однако не любое рациональное, а тем
более действительное число может быть записано в виде конечной
дроби, с которой можно проводить требуемые вычисления. Поэтому
часто бесконечную десятичную дробь, представляющую запись данного
действительного числа, приходится обрывать на некоторой цифре
после запятой и оперировать с полученной конечной десятичной дробью.
Число, представляемое конечной десятичной дробью, полученной
в результате обрывания бесконечной десятичной дроби, называется
приближенным значением данного числа. Например, различными
приближенными значениями числа от == 3,14159 ... будут числа 3,14;
3,1415 и т. д.; в качестве приближенных значений числа	2,71828..к
можно взять числа 2,7; 2,71; 2,7182 и т. д. Приближенные значения
чисел могут появиться не только в результате обрыва записи числа
в виде десятичной дроби. При решении любой практической задачи
мы используем числа, полученные в результате некоторых измерений.
Однако при всяких измерениях появляется ошибка, связанная с не-
совершенством наших измерительных инструментов, геометрической
неправильностью измеряемого предмета и т. п.
Обозначим приближенное значение числа а через а*. Абсолютную
величину разности числа а и его приближенного значения а*
|а —а*|
называют абсолютной погрешностью приближенного значения а*.
Абсолютная погрешность является одной из характеристик при-
ближенного значения числа. Часто она представляет только теоре-
тический интерес, так как в большинстве случаев числа а мы можем
и не знать. В ряде случаев можно указать границы, в которых изме-
няется абсолютная погрешность. Эти границы обычно определяются
способом получения приближенного значения числа. Например, пре- ‘
изводя измерения длины с помощью ученической линейки с метками,
расставленными на расстоянии в 1 мм, мы можем гарантировать, что
абсолютная погрешность измерений не будет превышать 1 мм.
Предельной абсолютной погрешностью приближенного значения
числа называют число А такое, что
|а — а* |< А.
По своему определению предельная абсолютная погрешность может
вводиться неоднозначно. Так, в случае рассмотренного выше примера
измерения длин линейкой предельная абсолютная погрешность может
быть взята равной 1 мм, 1,5 мм и т. д.
Заметим, что нй абсолютная погрешность, ни предельная абсо-
лютная погрешность сами по себе еще не характеризуют, с какой точ-
ностью мы заменяем число а его приближенным значением. Например,
пусть предельная абсолютная погрешность результата некоторого
измерения равна 10 км. Если измерялось расстояние между двумя
домами одного и того же города, то такая точность, вообще говоря,;
72	гл. 2. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
неудовлетворительна. Если же измерялось расстояние между полю-
сами Земли, то указанная точность очень хороша.
Характеристиками точности результата измерения (или замены
числа а его приближенным значением), в которых, кроме погрешности,
участвует и сам результат измерений, являются величины, называемые
относительной погрешностью и предельной относительной погреш-
ностью.
Относительной погрешностью называется отношение абсолютной
погрешности к абсолютной величине приближенного значения числа:
fi |a-g*|
l«*l * .
Предельной относительной погрешностью приближенного значе-
ния числа называется отношение предельной абсолютной погрешности
к абсолютной величине приближенного значения числа:
А- А
Kl’	_
Например, число 3,14 является приближенным значением числа л.
Абсолютная погрешность этого приближенного значения равна
0,00159...; предельную абсолютную погрешность можно считать рав-
ной 0,0016, а предельную относительную погрешность
= 0,000509...
□ , 14
можно положить равной 0,00051.
6.2.	Десятичная запись приближенных значений числа. Любое
положительное действительное число а может быть записано в виде
конечной или бесконечной десятичной дроби:
a=nz.10z4-n/_i-10/-1+ ••• +	10'~ *+1 + ....
где nt — цифры числа а (щ = 0, 1, 2,	9), причем п/ =/= 0, а I —
некоторое целое число.
Приближенное значение а* числа а можно получить, обрывая
десятичную запись числа а. При этом в записи приближенного зна-
чения а* в десятичной позиционной системе счисления иногда при-
ходится вводить дополнительные нули в начале или в конце числа.
Например, в качестве приближенного значения числа
& = 2« 10~2 +4» 10“8+О* 10”4 +910“S-f« •••
можно взять числд
b* — ‘| о", О 12409,
I —— I
а в качестве приближенного значения числа
с = Ы0! +0* 104 +7« 103 +3-102+ •••
— число
с* = 107 1000!.
Значащей цифрой приближенного значения числа называется
всякая отличная от нуля цифра его десятичной записи и нуль, если
он находится между значащими цифрами или является представителем
сохраненного десятичного разряда.
§ 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
73
Нули, стоящие перед и после запятой в записи числа b*t и нули,
стоящие в конце записи числа c*t не считаются значащими цифрами
(в записи чисел Ь* и с* указанные нули выделены квадратиками).
Пусть, например, число 0,002080 есть приближенное значение
некоторого числа. Первые три нуля не являются значащими цифрами,
так как они служат только для указания десятичных разрядов других
цифр. Остальные два нуля являются значащими цифрами, так как
первый из них находится между значащими цифрами 2 и 8, а второй
указывает, что. приближенное значение числа получено обрыванием
десятичной записи числа с сохранением шестого разряда после запя-
той. В случае, если в приближенном значении 0,002080 последняя цифра
не является значащей, оно должно быть записано в виде 0,00208.
Таким образом, приближенные значения 0,002080 и 0,00208 не равно-
ценны, так как первое из них содержит четыре значащие цифры, а вто-
рое — три.
При записи приближенных значений целых чисел нули, стоящие
в конце десятичной записи числа, могут служить как для обозначения
значащих цифр, так и для указания разряда других цифр. Поэтому
обычная запись приближенных значений целых чисел может пони-
маться неоднозначно. Например, пусть известно, что число 134 000
есть приближенное значение некоторого числа. По виду числа 134 000
нельзя сделать вывод, сколько значащих цифр в этом числе (хотя сразу
можно сказать, что их не меньше трех). Для того чтобы избежать
такой неопределенности, целое число записывают с помощью десятич-
ных дробей и степеней числа 10. Например, если хотят указать, что
число 134 000 имеет три значащих цифры, то его записывают в виде
0,134-10е (или 1,34-105 или 13,4-104 или 134-103). Если же хотят
указать, что число 134 000 имеет пять значащих цифр, то его записы-
вают в виде 0,13400-106 (или соответственно 1,3400-10б, 13,400-104,
134,00-103).	-
. Говорят, что п первых значащих цифр приближенного значения
числа являются верными, если абсолютная погрешность приближен-
ного значения числа не превышает половины единицы разряда и-й
значащей цифры, считая разряды слева направо.
Таким образом, если для приближенного значения а* числа
а= т-101 +«/_!• ю'-14-----------+ •••
известно, что
|a—a* |C0,5-10'“ft+1,
то первые k цифр и/, п/л, ...» приближенного значения яв-
ляются верными.
Например, для числа 121,57 число 122,00 является приближенным
значением.с тремя верными цифрами, так как
1121,57 — 122 | = 0,43 <0,5-10°.
Результат арифметических действий над приближенными значе-
ниями чисел представляет собой также приближенное значение неко-
торого числа. Погрешность полученного результата оценивается с по-
мощью следующих правил:
1)	Предельная абсолютная погрешность алгебраической суммы
приближенных значений чисел не превышает сумму предельных абсо-
лютных погрешностей слагаемых.
74	ГЛ. 2, ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
2)	Относительная погрешность суммы приближенных значений
чисел заключена между наибольшей и наименьшей из относительных
погрешностей слагаемых.
В согласии со сформулированными правилами, во избежание лиш*
них вычислений, при подсчете суммы приближенных значений чисел
производят предварительное округление слагаемых (см. п. 6.3). При
этом слагаемое, имеющее наименьшее число верных знаков, оставляют
неокругленным, а в остальных слагаемых оставляют на один или два
знака больше по сравнению с неокругляемым числом.
6.3.	Округление чисел. Чтобы округлить число до п значащих
цифр, отбрасывают все его цифры,’ стоящие после n-го разряда, или,
если это нужно для сохранения разрядов, заменяют их нулями. При
этом:
1)	Если за последней сохраняемой цифрой следует цифра 0, 1,
2, 3 или 4, то при округлении сохраняются все цифры до последней
сохраняемой включительно. Такое округление называется округлением
с недостатком.
2)	Если за последней сохраняемой цифрой следует 9, 8, 7, 6
или 5, то к последней сохраняемой цифре прибавляется единица.
Такое округление называют округлением с избытком.
Примеры. 1. Округление числа 219,364 до четырех знача*
щих цифр дает число 219,4. Последняя цифра округленного числа
увеличена на единицу, так как первая отбрасываемая цифра больше
пяти.
2.	Округление числа 6,4502 до двух значащих цифр дает число 6,5.
Последняя цифра округленного числа увеличена на единицу, так кик
первая отбрасываемая цифра равна 5.
3.	Округление числа 1836 до трех значащих цифр дает число
1,84-103.
При использовании правил округления абсолютная погрешность
округления не превосходит половины единицы разряда последней
оставленной значащей цифры, т. е. все значащие цифры приближенного
значения числа, полученного с помощью правил округления, являются
верными цифрами.
6.4.	Метод касательных (метод Ньютона). Метод касательных
является одним из самых эффективных численных методов решения
уравнения.
Допустим, нам известно, что уравнение f (х) = 0 имеет корень
на промежутке [a; ft] (функция / (х) дифференцируема на [a; ft]
и ее производная не обращается на [a; ft] в нуль). Отыскать этот ко-
рень можно следующим способом. Возьмем произвольную точку
Xj € [a; ft] и напишем уравнение касательной к графику функ*
ции f (х) в точке с абсциссой *)
У = f («1) + Г (*i) (« “ Ж1).
Решая уравнение
f (*1) + Г (*1) (X — Xi) = 0,
») Необходимо# чтобы точка хх была расположена достаточно близко от
корня уравнения f (х) == 0, поэтому для выбора точки xt иногда приходится
проводить предварительное исследование функции [
§ 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
75
найдем точку пересечения касательной с осью Oxi
X~Xi
fM
ГМ *
Обозначим найденную точку через х2'
Напишем уравнение касательной к графику функцйч f (х) в точке
с абсциссой х2:
у — f (XS) + f (х2) (х — х2),
п найдем точку х3 переселения касательной о осью Ох:
r -х
3 ~ 2 Г (х2) ’
Продолжая этот процесс, получим последовательность (хД зада-
ваемую рекуррентной формулой
f (хп)
=	---jr~-, nGN.	(1)
Если функция f (х) удовлетворяет некоторым дополнительным
условиям (например, f (х) имеет положительную (или отрицательную)
вторую производную во всех внутренних точках [а; 6], то последова-
тельность (1) сходится к числу, являющемуся корнем уравнения
f W = 0.
Метод касательных может быть применен для решения задачи
извлечения корня из произвольного положительного числа а. Зна-
чение У а будем искать как решение уравнения
f (х) = х2 — а = 0.
Рекуррентная формула (1) в данном случае принимает вид
х„+1=4-(х„ + -£).	(2)
Здесь в качестве первого члена последовательности (xrt) можно взять
любое число Xi £ (0; +оо). Если в качестве числа xt выбрано число,
удовлетворяющее неравенству xj — а > 0, то абсолютные погрешности
приближенных значений числа а на n-м и (п+ 1)-м шагах вычис-
лений определяются равенствами
8п = хп — V"a > 0, Cn+i = xn+i — Vq > 0.
Используя рекуррентную формулу (2), установим связь между
6«+1 и бп:
$n+i = Xn+i — ]/"а = Ц- (хп +	— v~a =
= -у +	Л/--) — V а =
* '	бп+Иа /
76	ГЛ. 2. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
= 4 Sn + о/х	“ 4	= 4Г6п “	+ Г"
2(6П + у а) *	I	&п + v а J
1	г
2	. 6П 4- V а .
Так как > 0, то, отбрасывая в знаменателе последней дроби
слагаемое 6Л, мы тем самым увеличиваем ее значение, и, следовательно,
%
8n^Wa"	<3)
Полученная рекуррентная оценка абсолютной погрешности ука-
зывает на высокую скорость сходимости последовательности прибли-
женных значений хп-
Например, будем вычислять с помощью метода касательных
КЗЗ.520. В качестве х± возьмем число 200. Это значение данного корпя
с избытком. Абсолютная погрешность бг не превышает 20. Тогда
по формуле (3)
б2<4^г<,*5: 63<4iir<°>001-
Здесь для упрощения оценок Ко* в формуле (3) заменен на меньшее
число: 180.. Таким образом, при вычислении значения К33 520 уже
после третьего шага получается приближенное значение корня, отли-
чающееся от его точного значения меньше чем на 0,001.
6.5. Алгоритм извлечения квадратного корня из натурального
числа. Часто при решении квадратных уравнений требуется извлечь
квадратный корень из натурального числа. Приведем алгоритм извле-
чения квадратного корня для случая, когда число, стоящее под знаком
корня, является квадратом натурального числа. Пусть требуется
вычислить К33 489. Число 33 489 разобьем на группы цифр (по две
цифры), двигаясь справа налево:
3 34 89.
Ищем наибольшее число, квадрат которого не превосходит числа 3,
стоящего в первой группе цифр. Этим числом будет число 1. Записы-
ваем его в ответ. Возводим единицу, в квадрат и вычитаем из числа 3.
К полученной разности приписываем вторую группу цифр. Получаем
- число 234.
Удваиваем число, которое было записано в ответ (в нашем слу-
чае 1), и приписываем к полученному числу справа такую наиболь-
шую цифру, чтобы- произведение полученного двузначного числа на
эту цифру не превосходило 234. В нашем* случае этой цифрой будет
цифра 8:	\
28-8 = 224 < 234.
Пишем цифру 8 вслед за цифрой 1 в ответ. Из числа 234 вычитаем
число 224 и к полученной разности приписываем последнюю группу
цифр. Получаем число 1089.
Удваиваем число, которое было записано в ответ (в нашем слу-
чае 18), и приписываем справа к полученному числу (в нашем случае
числу 36) такую наибольшую цифру, чтобы произведение полученного
§ 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ	77
трехзначного числа на приписанную цифру не превосходило числа
1089. б нашем случае этой цифрой будет цифра 3:
363*3= 1089.
Записываем цифру 3 в ответ. Процедура извлечения, квадратного
корня завершена:
/33189 = 183.
Обычно описанную процедуру записывают в виде следующей
схемы:
/ 3 34 89 = 183.
~“1
х 8
224
v 363
Х____3
1089
234
~224
1089
~ 1089
0
ГЛАВА 3
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Исторически введение комплексных чисел оказалось связанным
С получением формулы вычисления корней кубичного уравнения:
х3=рх+?.	(1)
В первой трети XVI века итальянский математик Н. Тарталья
показал, что корень, этого уравнения всегда представляется выраже-
нием
х = Yu 4-	,	(2)
где и и и — решения системы уравнений
w + v = g,	(3)
Так, например, чтобы найти корень кубичного уравнения
х3=9х+28,
необходимо составить систему (3) для данного уравнения, решая кото-
рую получим: «=27, v = 1 и и = 1, v = 27.
Используя соотношение (2), находим х = 4, т. е. число 4 яв-
ляется корнем данного уравнения.
Однако оказалось, что существуют кубичные уравнения, < для
которых система (3) не имеет решений в множестве действительных
чисел, в то время как кубичное уравнение заведомо имеет действитель-
ный корень. Например, уравнение
х3 = 15х + 4
имеет действительный корень х = 4, в чем легко убедиться, подставив
в данное уравнение вместо х число 4. Если же для данного уравне-
ния написать систему (3), то окажется, что эта система не будет иметь
решений в множестве действительных чисел. Это непонятное тогда
явление впервые объяснил итальянский математик Р. Бомбелли в 1572 г.
и его объяснение, по существу, было основано на введении понятия
комплексного числа и правил действий над комплексными числами.
Однако вплоть до XIX века, несмотря на то, что аппарат комплексных
чисел позволил получить много важных фактов, относящихся также
и к действительным числам, само существование комплексных чисел
многим математикам казалось весьма сомнительным. Лишь в XIX веке
после появления работ К. Гаусса, в которых давалось наглядное гео-
метрическое изображение комплексных чисел (как точек или векто-
ров на плоскости), существование комплексных чисел стало обще-
признанным фактом.
Упомянем еще один факт, который также приводит к мысли о не-
обходимости расширения множества действительных чисел до мно-
жества комплексных чисел. Как известно, натуральная степень любого
действительного числа опять будет действительным числом. Однако
- § I. МНОЖЕСТВО КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
79
операция извлечения корня (обратная операции возведения в степень)
не всегда выполнима в множестве действительных чисел: не существует
действительного числа а, четная степень которого была бы отрица-
тельным числом. Другими словами, в множестве действительных
чисел не существует числа, которое было бы корнем уравнения
где п — четное число, а b — отрицательное действительное число.
Следуя общему плану расширения числовых областей, как это
уже неоднократно делалось (например, при введении, понятий отри-
цательных чисел и рациональных чисел), множество4действительных
чисел можно расширить до множества чисел, которое будет замкнуто
относительно операции извлечения корня. Забегая вперед, заметим,
что при этом попутно получается существенно новый результат и
для тех случаев, когда операция извлечения корня выполнима в мно-
жестве действительных чисел.
Один из способов построения множества комплексных чисел за-
ключается в том, что множество действительных чисел расширяется
путем присоединения к множеству действительных чисел нового чис*
лового объекта — корня уравнения
х2+ 1	0.
Полученное «расширенное» множество называется множеством ком*
плексных чисел.
§ 1. Множество комплексных чисел
1.1. Аксиоматическое построение множества комплексных чисел*
Комплексные числа не являются числами в элементарном смысле этого
слова, применяемыми при подсчетах и измерениях, а представляют
собой математические объекты, определяемые перечисленными ниже
свойствами.
Комплексное число обозначается символом а + Ы, где а и b —
действительные числа, называемые соответственно действительной
частью и мнимой частью комплексного числа а + bi, а символ i,
определяемый условием i2 ==—1, называется мнимой единицей.
Обычно комплексное число а + Ы обозначают одной буквой (чаще
всего г):
г= а+ bl.
Действительная и мнимая части комплексного числа г = а + Ы обо-
значают Re z и Im z соответственно *):
а = Re г, b= Imz.
Два комплексных числа z± = аг + bxi и z2 = а2 + b2i считаются
равными (zi == 22), если равны их действительные и мнимые части
= bj =* Ь2). Комплексное число z = а + bi считается равным
нулю (г = 0), если его действительная и мнимая части равны нулю
(а = Ь = 0). Комплексное число г = а + Ы при b = 0 считается
совпадающим с действительным числом а (а + 0Z = а). Комплексное
число z= а + Ы при а = 0 называется чисто мнимым и обозна-
чается Ы (0 + Ы = /и)-
*) Re от слова гёе! действительный (франц.), Im от слова hnagb
Haire « мнимый (франц,).
80	ГЛ. 3. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Суммой комплексных чисел zj =	+ bri и z2 = а2 + b2i назы-
вается комплексное число z, 'действительная часть которого равна
сумме действительных частей чисел Zi и z2, а мнимая часть — сумме
мнимых частей чисел г± и z2, т. е.
z == («! + а2) + (^1 + Z.
О числе z говорят, что оно получено в результате сложения комплекс-
ных чисел Zj и z2, и пишут
Z = Z1 + z2.
Числа Zi и г2 называются слагаемыми.
Свойства операции сложения комплекс*
пых чисел:
1) ассоциативность: (zx + г2) + г?/ = гх + (z2 + z3);
2) коммутативность: Zj + г2 = z2 + zt.
Комплексное число —а — Ы называется противоположным ком-
плексному числу а + hi. Комплексное число, противоположное ком-
плексному числу г, обозначается —г. Сумма комплексных чисел 2
и —z равна нулю (z + (—г) ~ 0).
Разность комплексных чисел Zi =	+ bti и г2= а2+ b2i есть
комплексное число г, являющееся суммой числа и числа, противо-
положного z2:
г = + (--г2) =	— а2) +	— b2) it
т. е. комплексное число, действительная и мнимая части которого
равны соответственно разности действительных и мнимых частей
уменьшаемого и вычитаемого. О числе г говорят, что оно получено
в результате вычитания комплексного числа z2 из комплексною
числа zt, и пишут
2=zi~z2.
Произведением комплексных чисел zj«» ах + b^i и z2 == а2 + b2i
называется комплексное число
Z « (Я1Я2 — М2) + (°Л + «2^1)
О числе z говорят, что оно получено в результате умножения комплекс-
ного числа zj на комплексное число г2, и пишут
t
г=г^22.
Числа Zi и z2 называются сомножителями.
' Свойства операци и умножеи и я комплекс-
ных чисел:
1) ассоциативность: (zrz2)-z3 = Zi* (z2*23);
2) коммутативность: ZfZ» ® z2’2f.
Частным двух комплексных чисел Z[ и z2 (z2	0) называется
такое комплексное число z, что zt = z*z2. Частное комплексных чисел
Zi =»at + bii и	b2i вычисляется по формуле
_	01^2 -Ь bjbt .	—- Uibt
~ 4+^	4+^2
§ h МНОЖЕСТВО КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ	81
О числе г говорят, что оно получено в результате деления комплекс-
ного числа zi на комплексное число 22, и пишут
z = — ИЛИ г == 21/22.
Сложение и умножение комплексных чисел связаны правилом,
называемым законом дистрибутивности умножения
относительно сложения:
(zt + 22) 23 == 2Г23 + 22‘23.
Число |/*а2 + Ь2 называется модулем комплексного числа 2=
== с + Ы. Л1одуль комплексного числа обозначают |г|. Модули двух
любых комплексных чисел zt и 23 (в случае частного предполагается,
что г2 5^ 0) удовлетворяют соотношениям
I + 22 к 1 21 I + I ZS [,	| 21 — г2 | > || *1 | —’ | *2 II»
|?1?2| = к1|-|гг|,	|21/2г| = |?1|/|гг|,	|г"| = | г |п == [ 2 |п.
Комплексное число а — Ы называется комплексно сопряженным
с числом г = а + Ы и обозначается z.
Свойство комплексно сопряженных чисел:
I)	Произведение комплексного числа г ~ а + Ы и комплексно
сопряженного с ним числа z~a— bi есть действительное число!
2‘2s=a2+fr2-
2)	Если z — число, комплексно сопряженное с числом 2, тояисло2
комплексно сопряженное с числом 5, есть число г:
3)	Если 2i, Si и г2, г2 — две пары комплексно сопряженных чисел,
то сумма, произведение, разность и частное чисел Zj и z2 являются
числами, комплексно сопряженными сумме, произведению, разности
и частному чисел z± и г2 соответственно:
71 + г2 ==- (г1 + г2), Zj — г2 ~ (21 —22),
Z1.72 = (21 Га)» ?1/*2 (Zl/Za) (z2	0).
4)	Если 2 = а + Ы и 2 = а- Ы — пара комплексно сопря-
женных чисел, то
n	. г —г
о=Кег=—~, d=Ifrz = —.
2	2z
1.2. Теория комплексных чисел как упорядоченных пар действитель-
ных чисел. При аксиоматическом способе введения комплексных чисел
как абстрактных математических объектов, удовлетворяющих пере-
численным свойствам, остается неясным вопрос о том, какой смысл
в записи а + Ы приписывается знакам + и •, которые раньше исполь-
зовались для обозначения суммы и произведения действительных
чисел. Для выяснения этого вопроса проведем другое, отличное от
изложенного выше, построение множества комплексных чисел.
82
ГЛ. 3. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Рассмотрим множество упорядоченных пар (a; Ь), где а и b — дей-
ствительные числа. Две пары (а; Ь) и (с; d) считают равными, если
а~ с н b — d, и пишут
(a; b) = (с; rf).
Суммой пар (а\ Ь) и (е; d) называют пару (а + с; b + d). Говорят,
что пара (а + с; b + d) получена в результате сложения пар (а; Ь)
и (с; d) и пишут
(а; b) + (с; d) = (а + с\ b 4- d).
Произведением пар (а; Ь) и (с; d) называют пару (ас — bd, ad +
be). Говорят, что пара (ас — bd\ ad-)- be) получена в результате
умножения пар (а; Ь) и (с\ d) и пишут
(а; b)*(c\ d) = (ac — bd; ad + be).
Из определения суммы и произведения пар и свойств операции
сложения и умножения, действительных чисел следует, что операции
сложения и умножения пар ассоциативны и коммутативны, и умноже-
ние дистрибутивно относительно сложения.
Нулевой парой называют пару (х; y)t удовлетворяющую условию
(а; Ь) 4- (х; у) = (а; Ь),
где (а; Ь) — произвольная пара. Из определения операции сложения
и равенства пар следует, что пара (0; 0) — нулевая.
Единичной парой называют пару (х; у), удовлетворяющую условию
(а; Ь)*(х\ у) — (a; b)t
где (а; Ь) — произвольная пара. Из определения операции умножения
и условия равенства пар следует, что пара (1; 0) — единичная.
В множестве упорядоченных пар операции сложения и умножения
пар имеют обратные операции — вычитание и деление. Разность
и частное пар (а\ Ь) и (с\ d) вычисляются соответственно по формулам
(a; b) — (с; d) = (а — с; b — d),
/	п./’а fa-cA-b-d* Ъ*с — a>d\
(«; мл. (	+	).
(В случае частного предполагается, что пара (с; d) — не нулевая.)
Будем отождествлять пару вида (а; 0) с действительным числом а.
Нетрудно проверить, что при таком отождествлении суммой и произ*
ведением пар (а; 0) и (Ь; 0) будут пары
(а; 0) + (*; 0) == (а+ Ъ\ 0),	(а; 0). (Ъ\ 0) =* (а- Ь\ 0),
которые по принятому соглашению отождествляются с действительными
числами а+ b и а*Ь соответственно.
§ 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ	83
Аналогично можно показать, что разность и частное пар (а; 0)
я (&’» 0) — пары с нулевыми вторыми элементами, т. е. действительные
числа (в случае частного предполагается, что b Ф 0).
Таким образом, множество всех действительных чисел является
подмножеством построенного множества упорядоченных пар, причем
все арифметические операции для действительных чисел, рассматри-
ваемых как пары со вторым нулевым элементом, сохраняют тот же
смысл, который они имели для действительных чисел.
Возьмем теперь пару (0; 1) и по правилу умножения пар умно-
жим ее на себя:
(0; 1)-(0; 1)= (—1; 0).	(1)
В результате умножения получилась пара (-—1; 0), которая соответ-
ствует действительному числу —1. Введя для пары (0; 1) специальное
обозначение
(0; 1) = g
равенство (1) можно записать в виде *)
i'i =—1 или i2 =—L
Простая проверка показывает, что любая пара действительных чи-
сел (а; Ь) можех быть записана в виде
(а; 6) = (а; 0)+ (d; 0)-(0; 1)
или, по принятому соглашению об отождествлении множества всех
пар (а; 0) и множества всех действительных чисел а и принятого
обозначения для пары (0; 1), в виде
а + Ъ* i или а + Ы.	(2)
При аксиоматическом способе введения комплексных чисел (см.
п. 1.1) комплексное число обозначалось единым символом а + b»i,
в котором символам арифметических операций «+» и «•» не
приписывался какой-либо конкретный смысл. Теперь, когда введены
операции сложения и умножения упорядоченных пар действительных
чисел и показано, что любое комплексное число может быть записано
в виде комбинации упорядоченных пар действительных чисел, симво-
лам этих арифметических операций в записи (2) можно придать смысл
операций сложения и умножения пар.
§ 2.	Геометрическое изображение
и тригонометрическая форма записи
комплексных чисел
2.1.	Геометрическое изображение комплексного числа. Подобно
тому как действительные числа можно изображать точками числовой
прямой, комплексные числа можно изображать точками плоскости.
Возможность такого изображения основана на отождествлении множе-
ства комплексных чисел а+ Ы и множества пар действительных чи-
сел (а; Ь), которые в прямоугольной системе координат Оху можно
трактовать как координаты точек плоскости.
По сути дела эти равенства означают, что символом I обозначается
Корень уравнения
'	Ж2 + 1 «₽ 0»
84	ГЛ. 3. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Далее, с каждой точкой А координатной плоскости Оху можно
1 — >
связать вектор ОА, выходящий из начала координат и оканчивающийся
в точке Д. Поэтому комплексные числа допускают и еще одну геометри-
ческую интерпретацию: каждое комплексное число а+ bi можно
геометрически интерпретировать как вектор ОА с координатами (а; Ь)
<рис. 3.1). Координаты вектора О А при этом будут такими же, как
и координаты точки Д, а именно (а; Ь).
2.2.	Геометрическое изображение суммы и разности комплексных
чисел. Геометрическая интерпретация комплексных чисел позволяет
наглядно истолковать сумму и разность двух комплексных чисел. Пусть
даны два комплексных числа Zi =	+ b±i и г2 = а2 + b2i. Их сум-
мой будет комплексное число + z2 = (ty + а2) + (&i + b2) i. С дру-
гой стороны, известно, что при сложении векторов их соответственные
Нис. 3,1.	Рис. 3.2.
координаты складываются. Поэтому, если вектор OAt имеет коорди-
наты (af, дх) (рис. 3.2), а вектор О А 2 — координаты (а2;#2), то их
сумма (вектор ОВ) будет иметь координаты (ах a2i Ьг + Ь2). Век-
тор О В и есть геометрическое изображение суммы комплексных чи-
сел Zi И Z2.
Так как разность двух комплексных чисел Zi = ах+ b^i и z2 ==*
= а2 + b2i есть сумма комплексного числа гх и числа, противопо-
ложного комплексному числу z2, то геометрически ее можно изобразить
как сумму вектора ОДХ с координатами (ах; Ьг) и вектора О А 2 с ко-
ординатами (—а2, —Z?2) (рис. 3.3), т. е. как вектор ОВ с координа-
тами (аг — а2\ Ьг — &2)-
2.3.	Тригонометрическая форма записи комплексного числа. На-
ряду с записью комплексного числа в виде а + Ы, которая называется
алгебраической формой записи, также употребляется и другая, назы-
ваемая тригонометрической. Пусть комплексное число z = а + bi
изображается вектором ОА с координатами (а; Ь) (рис. 3.4). Обо-
значим длину вектора ОА буквой г:
г=|ОД|,
а угол, который он образует с положительным направлением оси Ох, —
через ф (угол ф считается измеренным в радианах).
Воспользовавшись определениями функций sin ф и cos ф;
sin ф = b/rl cos ф = а/г.
§ 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ
85
комплексное число z = а+ bi можно записать в виде
z = г-(cos ср + i sin <р),	(1)
где г = V а2 + Ь2 , а угол ф определяется из условий
Ь	а
/g2 + Ь2	/а2 4- Ь2	'
Записи комплексного числа в виде (1) называется тригонометрии
ческой формой записи комплексного числа. Действительное число г
называется модулем комплексного числа и обозначается |г|, а угол ср,
измеренный в радианах, — аргументом комплексного числа г. Аргу-
мент Ф комплексного числа г обозначается Arg z.
Если комплексное число не равно нулю, то модуль его положи-
телен; если же г = О, т. е. а = b = 0, то и модуль его равен нулю,
Модуль любого комплексного числа, определен однозначно.
44
Рис. 8.3.
Рис. 3.4»
а
Если комплексное число г = а + Ы не равно нулю, то его аргу-
мент определяется формулами (2) с точностью до угла, кратного 2л.
Если же 2=0, то г = 0 и аргумент комплексного числа, равного
нулю, не определен.
Обычно для того, чтобы исключить неоднозначность, возникающую
при вычислении аргумента комплексного числа, используют понятие
главного значения аргумента комплексного числа (обозначение arg z),
считая, что arg г € (—л]. Аргумент комплексного числа г связан
с главным значением' аргумента соотношением
Arg z = arg z + 2л£, k £ Z.
I lycTb zt и z2 — два отличных от нуля комплексных числа,
записанных в тригонометрической форме:	-	*
21 = Гр (cos Ф1 + i sin ф^, z2 = (cos Фз + i sin ф2).
Произведение двух комплексных чисел zi и г2 есть комплексное число,
модуль которого равен произведению модулей сомножителей, а аргу-
мент — сумме аргументов сомножителей:
zt-z2 = rvr2- [cos (Ф1 + ф2) + i sin (ф2 + ф2)].
Вектор, изображающий произведение комплексных чисел zt и z2,
получается поворотом вектора zt против часовой стрелки на угол, рав-
ный ф2, и растяжением его в |z2 | раз (для случая |z2 | > 1 см. рис. 3.5).
СЗ	ГЛ. 8. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Частное двух комплексных чисел гх и г2 представляет собой комп-
лексное число, модуль которого равен частному модулей делимого и
делителя, а аргумент частного двух не равных нулю комплексных чи-
сел равен разности аргументов делимого и делителя:
г1 г /	ч .	.	-	,
77 = — • [cos (Ф1 — <р2) + I sin (<Р1 — <р2)].
Вектор, изображающий частное двух комплексных чисел zt и г2,
получается поворотом вектора, изображающего комплексное число zlt
по часовой стрелке на угол, равный.ф2, и сжатием его в |г2| раз (для
случая | z2 I > 1 см. рис. 3.6).
§ 3* Степень комплексного числа
3.1. Натуральная степень комплексного числа. Закон ассоциатив-
ности умножения комплексных чисел позволяет ввести понятие нату-
ральной степени комплексного числа:
п-й степенью комплексного числа z называется комплексное число wt
получающееся в результате умножения числа z самого на себя п раз:
w = zz-...«z ,	(1)
«сомножителей
Обычно используется следующая, более короткая запись:
W == 2п,	(2)
в которой число z называется основанием степени, а натуральное число
п — показателем степени.
. п-я степень комплексного числа z, заданного в тригонометрической
форме
z = г (cos ф + i sin ф),
вычисляется по формуле Муавра
гп «= И1 (cos nq> + i sin пф).
3.2. Корень л-й степени из комплексного числа. Корнем п-й
степени из комплексного числа г называется такое комплексное число wt
п-я степень которого равна z:
wn = z.
§ 3. СТЕПЕНЬ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА
87
Корень п-й степени из комплексного числа г обозначается симво-
лом -/7В отличие от корня из действительного числа, корень п-й
степени из комплексного числа определяется неоднозначно. Именно,'
в множестве комплексных чисел существует ровно п корней п-й степени
из данного комплексного числа.
Все корни п-й степени из комплекс-
ного числа z, заданного в тригонометриче-
ской форме
z = г (cos <p + i sin ф),
вычисляются по формуле
______«/- I__„ ф+2л& ।
/г = /7(cos------------+
+ I Sin	.
п '	Рис. 3,7,
где k = 0, 1, 2, п — 1.
Геометрически все корни п-й степени из комплексного числа 2=*
= г (cos ф + i sin ф) изображаются точками, лежащими на окруж-
ности с центром в начале координат, радиус которой равен а
центральные углы между радиусами, проведенными в соседние точки*
равны 2 л/п.
Пример. Вычислить корни четвертой степени из числа —L
Число —1 в тригонометрической форме может быть записано так2
—1 = Ь (cos я + i sin л).
Корни четвертой степени из числа —1 — это комплексные числа
—	4г7-/ л + 2л/г ,	. л + 2л& \
7-1 = 7^ (cos -----------+ [I sin	,
где k — 02	2, 3, т. е. комплексные числа
л . п ]/~2 , 72 .
cos — +1 Sin -5- = -4-+-4- I,
Зл • , . . * Зя
cos —k t sm ——
4 1	4
5л , . . 5л
COS-T—+ I Sin—7—
4 1	4
2*2
72 , 72 .
2 + 2 ’»
72	72 .
Г1’
2 ‘
2
72
2
7л ... 7л
COS—7- + t sin ——
4	‘	4
(см. рис. 3.7).
Аналогичным образом в множестве комплексных чисел можно вы-
числить корень п-й степени из любого действительного числа. При
этом хотя бы один корень из положительного действительного числа
будет действительным.
ГЛАВА 4
АЛГЕБРА
Термин «алгебра» происходит от названия сочинения Мухаммеда
аль-Хорезми «Альджебр аль-мукабала» (IX век), содержащего общие
методы решения задач, сводящихся к уравнениям 1-й и 2-й степени.
К середине XVII века в основном сложилась современная алгебраиче-
ская символика. Вплоть до XVIII века под алгеброй понималась наука
о буквенных вычислениях — тождественные преобразования буквен-
ных формул *), решение уравнений первой — четвертой степеней, лога-
рифмы, прогрессии, комбинаторика. В настоящее время все эти разделы
алгебры принято называть элементарной алгеброй.
В XVIII—XIX веках предмет алгебры — это прежде всего изуче-
ние многочленов, теория алгебраических уравнений с одним неиз-
вестным, теория систем линейных уравнений с несколькими неизвест-
ными, а также теория матриц и определителей.
Третий (современный) этап развития алгебры как науки об алгеб-
раических операциях начался в.середине XIX века и был связан с по-
явлением разнообразных примеров алгебраических операций над объ-
ектами совсем иной природы, нежели действительные числа. Первыми
такими примерами явились умножения подстановок и операции над
комплексными числами.
§ 1.	Многочлены одного переменного
1.1.	Понятие многочлена. Арифметические операции над много-
членами. Произведение вида ахп, где а — отличный от нуля числовой
коэффициент, а п — неотрицательное целое число, называется одно-
членом относительно переменной х. Число п называют степенью одно-
члена.
Два одночлена ал/1 и bxk называются подобными, если п ~ k.
Замена суммы двух подобных одночленов ахп + на одночлен
(а + Ь) хп называется приведением подобных членов.
Многочленом (полиномом) п-й степени относительно переменной
величины х называется выражение вида
Р (х) = а^хп 4- Ci л/2 1 4“ a,zxn 2 4* • • • 4- an.jX 4"	(D
где п — неотрицательное целое число; а0,	а2, ...» a^i, ап — коэф*
фициенты многочлена, причем Oq, называемый старшим коэффициентом,
считается не равным нулю.
Многочлен первой степени также называют линейным многочленом,
многочлен второй степени — квадратным, а многочлен третьей сте-
пени — кубичным многочленом.
*> В алгебре, в отличие от арифметики, имеют дело не с числами, а с бук*
венными выражениямнв называя их алгебраическими выражениями»
§ L МНОГОЧЛЕНЫ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО	89
Запись многочлена в виде (1) называется записью по убывающим
степеням х\ именно этой записью мы и будем пользоваться в дальней-
шем, если не будет оговорено противное. Каждое из слагаемых в выра-
жении (1) называется членом многочлена.
Из определения многочлена n-й степени следует, что существуют
многочлены n-й степени для любого Неотрицательного л. В частности,
любое отличное от нуля действительное число является многочленом
нулевой степени. Число нуль также считается многочленом; это един-
ственный многочлен, степень которого не определена.
Два многочлена Р (х) и Q (х) считают равными (или тождественно
равными), если равны их коэффициенты при одинаковых степенях
переменной х, и пишут
P(x)=Q(x).
Суммой многочленов .
Р 00 = Ч* Ч~ «-J* *1 * + апл* Ч"
Q (х) » box'” + bix”1’’"1 Ч~ b2xm~~2 Ч- • • • Ч- Ч~ бщ
называется многочлен 3 (х), коэффициенты которого при каждой сте-
пени х равны сумме коэффициентов при этой степени х многочленов Р (х)
и Q (х). О многочлене 3 (х) говорят, что он получен в результате сложе-
ния многочленов Р (х) и Q (х), и пишут
3(х)=Р(х)Ч-0(х).
Пример 1. Суммой многочленов Р (х) = х4 —* х3 + 3 и
Q (х) = 2х3 — х + 2 является многочлен
3 (х) = х4 + х3 — х Ч~ 5.
Произведением многочленов
Р (х) == aQxn Ч- а1хп'^1 Ч~ а2хп~2 Ч- • • • + ап-1х 4“
Q (х) == ЬоХт 4“ Ь]Хт~~1 + b2xm"~2 + • • • 4“ &т-1х + Ьт
называется многочлен М (х) степени п +.т, коэффициенты которого г0>
Q, ^2» -•••!	С/н/n вычисляются по формулам
Со = «о^о,
Г1 = а^о Ч- uoblt
Ck = akbo Ч“ ak-ibi + • • • Ч~ aibk-i + a(fih>
Cn+m — CLnbmt
т. e. коэффициент ct есть сумма произведений коэффициентов а/ и bk
многочленов Р (х) и Q (х) таких, что сумма их индексов равна i (I Ч~
Ч~ k = i). О многочлене М (х) говорят, что он получен в результате
умножения многочлена Р (х) на многочлен Q (х), и пишут
Л4(х) = P(x)-Q(x).
Пример 2. Произведением многочлена второй степени Р (х) =»
= х2 + 1 на многочлен четвертой степени Q (х) = 2х* — х + 3 яв-
ляется многочлен шестой степени
М (х)= P(x)<Q(x) = 2х6+ 2х4 —х3Ч" Зх2-х+ 3.
90
ГЛ. 4. АЛГЕБРА
Операции сложения и умножения многочленов ассоциативны, ком-
мутативны и связаны между собой законом дистрибутивности.
Противоположным для многочлена
р (х) = сохп +	4- а2^2 + • • • 4- ап^х 4 ап
называется многочлен
—ацхп —	— а2хп~2 — • • • — аплх — ап.
Многочлен, противоположный многочлену Р (х), обозначают — Р (х).
Сумма .многочлена Р (х) и противоположного ему многочлена — Р (х)
равна нулю:
Р (х) + (—Р (х)) = 0.
Разностью многочленов Р (х) и Q (х) называется многочлен L (х),
являющийся суммой многочлена Р (х) и многочлена, противополож-
ного многочлену Q (х):
L« = P(x)+(-Q(x)).
О многочлене L (х) говорят, что он получен в результате вычитания
многочлена Q (х) из многочлена Р (х), и пишут
£ (х) = Р (х) —- Q (х).
Сумма, произведение и разность любых двух многочленов — тоже
многочлены.
1.2.	Делители многочлена. Если для заданных многочленов Р (х)
н Q (х) найдется многочлен G (х) такой, что
Р(х)= Q(x).G(x),
то говорят, что многочлен Р (х) делится (или нацело делится) на много-
член Q (х); при этом многочлен Q (х) называют целым делителем (или
просто делителем) многочлена Р (х), а многочлен G (х) — частным
многочленов Р (х) и Q (х). Если многочлен Q (х) — делитель много-
члена Р (х), то и частное G (х) — делитель многочлена Р (х).
Основные свойства делителей многочлена:
1)	Если многочлен Р(х) делится на многочлен К (х), а К (х) де-
лится на многочлен Q (х), то и Р (х) делится на Q (х).
2)	Если многочлены Р (х) и К (х) делятся на многочлен Q (х),
то их сумма и разность также делятся на Q (х).
3)	Если многочлен Р (х) делится на многочлен Q (х), то произве-
дение Р (х) на любой многочлен К (х) также делится на Q (х).
4)	Всякий многочлен Р (х) делится на любой многочлен нулевой
степени (т. е. на число, отличное от нуля).
5)	А^ногочлены cP (х) и только они являются делителями много-
члена Р (х), имеющими такую же степень, что и Р (х).
6)	Многочлены Р (х) и Q (х) тогда и только тогда одновременно де-
лятся друг на друга, когда Р (х) = cQ(x) (с=^0).
Наибольший общий делитель двух много-
членов. Многочлен Р (х) называется общим делителем для много-
членов Р (х) и Q (х), если он служит делителем для каждого из этих
многочленов. Согласно свойству 4) (см. выше) общими делителями про-
извольных многочленов Р (х) и Q (х) будут все многочлены нулевой сте-
пени (т. е. все действительные числа, за исключением числа нуль).
Если других общих делителей два многочлена не имеют, то эти много*
члены называются взаимно простыми,
§ 1. МНОГОЧЛЕНЫ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО	91
Наибольшим общим делителем многочленов Р (х) и Q (х) называется
такой многочлен D (х), который является их общим делителем и вместе
с тем сам делится на любой общий делитель этих многочленов.
Если D (х) является наибольшим общим делителем многочле-
нов Р (х) и Q (х>5 то наибольшим общим делителем этих многочленов
будет и многочлен cD (х), где с — произвольное число, отличное от нуля,
т. е. наибольший общий делитель двух многочленов определен лишь
с точностью до постоянного множителя. Чтобы добиться полной одно-
значности в определении наибольшего общего делителя двух много-
членов, обычно выставляют следующее условие: из всех многочле-
нов cD (х) наибольшим общим делителем называется тот, у которого
старший коэффициент равен единице.
Теперь можно сказать» что два многочлена являются взаимно
простыми, если их наибольший общий делитель равен единице.
1.3.	Деление многочленов. Схема Горнера. Теорема Безу. Пусть
Р (х) и Q (х) — заданные многочлены и степень многочлена Р (х)
больше или равна степени многочлена Q (х). Если оказывается, что
многочлен Р (х) не делится (нацело) на многочлен Q (х), т. е. не суще-
ствует многочлена G (х) такого, что
Р (х) = Q (x)-G (х),
то вводят операцию деления многочленов с остатком.
Разделить многочлен Р (х) на многочлен Q (х) с остатком — это
значит найти два многочлена G (х) и R (х) таких, что
Р(х)= Q(x).G(x)+/?(x),	(2)
причем степень многочлена R (х) меньше степени многочлена Q (х).
Многочлен Р (х) называется делимым, Q (х) — делителем, 6 (х}-~
частным, а Р (х) — остатком. При делении многочлена Р (х) на много-
член Q (х) многочлены G (х) и R (х) находятся однозначно.
Для деления многочлена на многочлен обычно применяется пра-
вило «деления углом». Для этого располагают многочлены Р (х) и Q (х)
но убывающим степеням х и находят старший член частного G (х)
из условия, что при умножении его на старший член делителя Q (х)
должен получиться старший член делимого Р (х). Найденный старший
член частного умножают затем на делитель и полученный многочлен
вычитают из делимого. В результате вычитания получается многочлен
Р] (х). Следующим членом частного будет такой одночлен, который,
будучи умноженным на старший член делителя Q (х), дает стар-
ший член многочлена Рг (х), и т. д. Процесс продолжается до тех пор,
пока степень очередной разности (т. е. степень некоторого многочлена
г\(х)) не станет меньше степени делителя. Многочлен Рь (х) и будет
остатком от деления многочлена Р (х) на многочлен Q(x).
В результате деления многочлена n-й степени Р (х) на многочлен
степени Q (х) (k п) в частном получается многочлен сте-
пени п —
Пример. Разделить многочлен Р (х) = х* + х3+ Зх2 + Зх+ 2
на многочлен Q (х) ~ х2+ х+ 1.
Старшим членом многочлена Р (х) является член х4, а старшим
членом многочлена Q (х) — член х2. Разделив х4 на х2, получим х2
Одночлен х2 — старший член частного. Умножая одночлен х2 на много-
член Q (х), получаем многочлен х4 + х3 + х2» Вычтем этот многочлен
92	ГЛ'. 4. АЛГЕБРА
из многочлена Р (х):
(х*+ х3 + Зх2 + Зх+ 2) — (х4 + х3 + х2) =
= 2х2 + Зх + 2 = Pi (х).
Так как степень многочлена Р$ (х), получившегося в результате
вычитания, не меньше степени многочлена Q (х), можно продолжить
процесс деления; делим старший член 2х2 многочлена Р^ (х) на старший
член многочлена Q (х):
х2
Многочлен нулевой степени (число 2) будет следующим членом част-
ного.
Умножаем многочлен Q (х) на число 2. В результате умножения
получается многочлен 2х2 + 2х+ 2, который мы вычитаем из много-
члена Pi (х):
Pi (х) - (2х2+ 2х+ 2) = 2х2+ Зх+ 2 —(2х2 + 2х+ 2) =
= х = Р2 М.
На этом процесс деления прекращается, так как степень много-
члена Р2 (х) меньше степени многочлена Q (х). Многочлен Р2 (х) и бу-
дет остатком от деления многочлена Р (х) на многочлен Q (х). Вся опи-
санная процедура деления многочлена Р (х) на многочлен Q (х) коротко
отражается в следующей записи:
, х4 + X3 + Зх2 + Зх + 2 I х2 + х+ 1
х4 + х3 + х2	I х2 2
2х2 + Зх + 2
~ 2х2 + 2х + 2
х
Таким образом, частное от деления многочлена
р (х) = *4+ х3 + Зх2+ Зх + 2
на многочлен Q (х) == х2 + х + 1 есть многочлен G (х) = х2 + 2,
а остаток — многочлен Р (х) == х, т. е. многочлен Р (х) может быть за-
писан в виде	j
х4^ х3 + Зх2 + Зх + 2 = (х2 + х + 1) (х2 + 2) + х.
Схема Горнера. Теорема Бе з у. Для^еления много-
члена n-й степени Р (х) = а^п + а1хп~1 +• • •+	+ ап на много-
член первой степени х — с обычно используется метод сокращенного
деления (называемый схемой Горнера). Он получается как следствие
определения операции деления многочленов, из которого следует, что
при делении многочлена n-й степени на линейный многочлен х—с
в остатке может получиться либо многочлен нулевой степени (т. е. от-
личное от нуля число), либо нуль, а степень частного равна п — L
Пусть частное многочленов Р (х) и х—с имеет вид
G (х) = аахПч₽1 -f- aixn~2 + • • • + an.2X +
§ 1. МНОГОЧЛЕНЫ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО	93
а остаток R (х) равен числу ₽. Для рассматриваемого случая формула
(2) принимает вид
сохп + GjX71*"1 +	• • • + ЯдЛ* 4~ ап =*
= (х — с) (аоХ71^1 + ai%n“"2 + • • ♦ 4- ссд.гХ + ад.л) + Р* (3)
Раскрывая скобки и приводя подобные члены в правой части ра-
венства (3), на основании определения равенства многочленов полу-
чаем систему линейных уравнений для нахождения коэффициентов 04,
^1» ^2» •••» ®Я-2>	1> Р«
«0 = #0>
ai = ax 4- ca01
Ct 2 г*= ^2 4"
an_i = ^дл + саП-.2>
Р == Од 4'
Эту систему называют схемой Горнера.
Первое уравнение системы дает значение а0 = aQ, Подставляя
это значение а0 во второе уравнение системы, получаем ах = Я] ~Ь
4- caQ. Подставляя полученное значение ос-, в третье уравнение системы,
получаем значение а2, и т. д. Последним будет найдено выражение для
остатка Р:
Р = а§сп 4“ aicn~~l 4- a2cn^ 4- • • • 4“ ад-1^ 4" ап*
Это равенство известно под названием теоремы Безу:
Многочлен аохп +	+• • •+ a/z-i* + ап при делении на х—с
дает остаток, равный значению этого многочлена при х=с.
1.4. Алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя
двух многочленов. &Пусть \Р (х) и Q (х) — два произвольных много-
члена и степень многочлена Р (х) больше или равна степени много-
члена Q (х). Делим многочлен Р (х) на многочлен Q (х), т. е. нахо-
дим частное G (х) и остаток R (х) от деления этих многочленов.
Делим затем Q (х) на R (х) и получаем остаток 7?х (х); делим R (х)
на (х) и получаем остаток R2 (х); делим	(х) на R2 (х) и т. д.
Так как степени остатков все время понижаются, то в этой цепочке
последовательных делений через конечное число шагов появятся два
многочлена Rn-i (х) и Rn (х) таких, что Rn_l (х) разделится на
Rn (х) нацело. Тот остаток Rn (х), на который нацело делится
предыдущий остаток Rn~t (х), и будет наибольшим общим дели-
телем многочленов Р (х) и Q (х). Правда, следует заметить, старший
коэффициент этого наибольшего общего делителя не будет, вообще го-
воря, равен единице.
Наибольший общий делитель двух многочленов 'со старшим коэф-
фициентом, равным единице, получится, если все коэффициенты полу-
ченного общего делителя поделить на коэффициент при старшем
члене.
94
ГЛ. 4. АЛГЕБРА
Для наглядности запишем алгоритм Е в к л и д а в виде це-
почки равенств:
P(x)==Q(x).G(x) + P(x),
Q(x) = R(x)^G1(x) + Ri(x)f
R (х) == Ri (x) • G2 (x) + R2 (x),
Pi (x)==P2 (x)-G3 (x) + /?3 (*),
Rn_2 (x) = PnJ (x)*Gn (x) Rn (x)f
Pn_i (x) = Rn (x)-Gn+i (x).
Отметим еще раз, что наибольшим общим делителем многочленов Р (х)
и Q (х) будет многочлен Рл (х), поделенный на старший коэффициент.
Алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя двух
многочленов полностью аналогичен алгоритму Евклида нахождения
наибольшего общего делителя двух натуральных чисел.
Пример. Найти наибольший общий делитель многочленов
Р (х) == х5 — х4 — 2х3+ 2х2+ х — 1, Q (х) = х3 — 1.
Разделив «углом» многочлен Р (х) на многочлен Q (х):
__х® — х4 — 2х3 + 2х2 + х — 1 I х3 — 1
а?____________— х2__________ |ха — х — 2
__ —х4 ~ 2х3 + Зх2 + х
—	X4___________X
—	2х3	+ Зх2	—1
	—2х3	-f-2
Зх2 — 3
получим частное — многочлен G (х) — х2 — х — 2 и остаток — много-
член R (х) — Зх2 — 3.
Делим многочлен Q (х) на остаток Р (х):
х3 — 1	3x2 — 3
Частное обозначаем Gj (х), а остаток Rf (х). В согласии с алгорит-
мом Евклида делим остаток предыдущего деления R (х) на получив-
шийся остаток Pi (х);
Зх2 — 3 х — 1
Зх2 — Зх Зх + 3
__3х —3
Зх — 3
О*
Многочлен Р (х) = Зх2 — 3 нацело разделился на многочлен
Pi (х) = х — 1. Следовательно, многочлен х — 1 является наиболь-
шим общим делителем двух данных многочленов Р (х) и Q (х).
1.5, Корни многочлена. Пусть
Р (х) = Oqx" +	+ аа*ч'“’2+• • 	+ «л
§ I. МНОГОЧЛЕНЫ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО	95
— некоторый многочлен n-й степени. Возьмем число с и подставим его
вместо переменной х в многочлен Р (х). Полученное число
И- ait/1-1 + 02е””"2 + • • •+ о>плс + ап называется значением много*
члена Р (я) при х ® с и обозначается Р (с). Число с называется корнем
многочлена Р (х), если число Р (с) — нуль.
Связь между корнем многочлена и существованием делителя много-
члена устанавливается следующей теоремой:
Если число с — корень многочлена п-м. степени Р (х), то многочлен
Р (х) делится на линейный многочлен х—с, т. е. многочлен Р (х) можно
представить в виде
где Q (х) — многочлен степени п — 1.
Может оказаться, что многочлен л-й степени Р (х) делится не
только на линейный многочлен х—с, но и на его более высокую степень,
т. е. на многочлен вида (х—c)k, где k — натуральное число, большее
единицы. Число с называется корнем кратности k многочлена Р (х)
(или k-кратным корнем), если многочлен Р (х) делится на многочлен
(х—c)k, но не делится на многочлен (х—с)^1. Если многочлен Р (х)
делится на линейный многочлен х—с, но не делится на (х—с)\ то число с
называют простым корнем многочлена Р (х).
Для того чтобы число с было ^-кратным корнем многочлена Р (х),
необходимо и достаточно, чтобы число с было (k — 1)-кратпым корнем
производной от многочлена Р (х), т. е. многочлена Р' (х).
1.6. Формулы сокращенного умножения. Так как число с является
корнем многочлена хп — d1 (п — любое), а число (— с) — корнем много*
членов хп—сп (п — четное} и хп + d1 (п — нечетное), то:
1)	многочлен х"—d1 делится на двучлен х—с при любом натураль*
НОМ п\
2)	многочлен х”—d1 делится на двучлен х + с при любом четном п;
3)	многочлен хп + сп делится на двучлен х + с при любом нечет-
ном п.
В результате деления получаются соответственно многочлены
(л — 1)-й степени:
+ хп~*с -{- jc"*3? 4-... 4- хсп-2 4- с"*1 =
n—1
«к J] х"мс* (п—любое);
£=о
— ~~	= х***4 — хп^2с + хп~~3с2 — ... 4- xd1^2 —	=
к + о	1
л—1
8= У (— 1)^ хГ1"т‘А:’~1с& (л —четное);
*=о
~+с'>  = Xя-’ - х”*2С 4-	- . .. - хс”“2 4- (Г*' =
X с
л—1
S (—(п — нечетное).
л=о
ГЛ. 4. АЛГЕБРА
96
В частности, из приведенных равенств следуют простейшие форму-
лы, называемые формулами сокращенного умножения:
(х + с) (х—с) = X2 — с2,
(х + с) (х2— хс + с2) = х3 + с3,
(х—с) (х2 + хс + С2) = х3 — с3.
1.7.	Формулы Виета. Между корнями cj, с2, ..., сп многочлена
п-й степени
Р (х) == хп + <2ixn“'1 + а2хп~2 + • •. + an_ix + aTi
со старшим коэффициентом, равным единице (каждый корень взят та-
кое число раз, какова его кратность), существуют зависимости, назы-
ваемые формулами Виета:
Ci + С2 + £з + • • • + cn-i + Сп == —fli,
С1С2 + С1С3 -[-••*+	»= a2i
С1С2Г3 4- С1Г2С4 4* • •“ + ^П-2Гп-1^П == —Оз»
С1С2Сз-.-Сп-1Сп = (—1)?ПП.
Если Р (х) — квадратный трехчлен, т. е.
Р (х) = х2 + рх + qt
а числа с± и с2 — его корни, то формулы Виета имеют вид
+ с2 = —Pt с\съ e Я-
Если Р (х) — кубичный многочлен, т. е.
Р (х) = х3 + рх2 + qx+ rt
а числа Ci, c2i с3 — его корни, то формулы Виета имеют вид
Ci + с2 + с3 = — р,	сгс2 + с2с3 + СхС3 = qt схс2с3 = —г.
1.8.	Основная теорема алгебры. Вводя - понятие корней много-
члена, мы не ставили вопроса о том, всякий ли многочлен с действитель-
ными коэффициентами имеет корни. Известно, что существуют много-
члены с действительными коэффициентами, не имеющие действитель-
ных корней (х2 + 1 — один из таких многочленов}, и именно этот факт
послужил одной из причин введения новых математических объектов —
комплексных чисел. Можно было бьь ожидать, что существуют много-
члены, не имеющие корней даже в множестве комплексных чисел, осо-
бенно если рассматривать многочлены с любыми комплексными коэф-
фициентами (частным случаем которых являются многочлены с действи-
тельными коэффициентами). Если бы это было так, то система комплекс-
ных чисел нуждалась бы в дальнейшем расширении. На самом деле,
однако, справедлива следующая основная теорема ал-
гебры:
Всякий многочлен п*й степени с комплексными коэффициентами
в множестве комплексных чисел имеет ровно п корней) если каждый
кратный корень считать такое число раз, какова его кратность.
Все доказательства этой теоремы (а их найдено весьма много)
основаны на использовании свойства непрерывности множеств действи-
§ I. МНОГОЧЛЕНЫ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО
97
тельных и комплексных чисел, вследствие чего все эти доказательства
нельзя считать чисто алгебраическими.
Основная теорема алгебры справедлива и при п — 0, так как много-
член нулевой степени корней не имеет. Основная теорема алгебры не-
применима лишь к нулевому многочлену (числу нуль), степень которого
не определена.
1.9.	Разложение многочлена на множители. По основной теореме
алгебры многочлен n-й степени
Р (х) « а^хГ1 4» aix^””1 + azxn^ 4** • •+ an_ix 4- ап
с любыми комплексными (и, в частности, действительными) коэффи*
циентами имеет п корней (с учетом их кратностей) и, следовательно, де-
лится нацело на линейные многочлены
X—Clt X—С2, •••» Х—Сп,
где cit с2, ...» сп — корни многочлена; значит, многочлен Р (х) предста-
вим в виде произведения п линейных сомножителей:
Р (х) == а0 (х—сД (х—й)’ • • (х—сп).
Разложение многочлена Р (х) в произведение линейных многочле»
нов единственно р точностью до порядка следования сомножителей.
1.10.	Некоторые следствия основной теорёмы алгебры для много-
членов с действительными коэффициентами. Если комплексное (но
не действительное) число с = а 4~ & является корнем многочлена п-й
степени с действительными коэффициентами, то и число с = а — Pi,
комплексно сопряженное с числом с = а 4* Pi, будет корнем данного
многочлена.
Из свойства сопряженности комплексных корней многочлена
с действительными коэффициентами следует, что всякий многочлен
нечетной степени с действительными коэффициентами имеет по крайней
мере один действительный корень.
Пусть Р (х) — многочлен n-й степени с действительными коэффи-
циентами, а с == а + Pi — его корень. Тогда число с = а — Pi также
является корнем многочлена Р (х), и, следовательно, многочлен Р (х)
может быть представлен в виде
Р (х) — (х —с) (х—с) Q (х),
где Q (х) — многочлен (п — 2)-й степени. Так как произведение
(х—с) (х——с) — х2 — (с 4- с) х 4- сс = х2 — 2ах + а2 4“ Ра
представляет собой многочлен второй степени с действительными коэф-
фициентами, то и все коэффициенты многочлена Q (х) также будут
действительными числами.
Таким образом, всякий многочлен с действительными коэффи-
циентами представим, и притом единственным пособом (о точностью
до порядка сомножителей), в виде произведения своего старшего коэф-
фициента а0, нескольких линейных многочленов с действительными
коэффициентами вида х—с, соответствующих его действительным кор-
ням, и квадратных многочленов х2 — (с 4“ с) х 4* сс, соответствующих
парам сопряженных комплексных корней.
Заметим, что среди многочленов с действительными коэффициен-
тами и со старшим коэффициентом, равным единице, неразложимыми
на множители меныпей степени в множестве действительных чисел
4 А. Г. Цынлин
98	ГЛ. 4. АЛГЕБРА
{неприводимыми многочленами) являются лишь линейные [многочлены
х—с и квадратные многочлены вида ха — (с + с) х + сё.
Установленное свойство многочленов с действительными коэффи-
циентами аналогично свойству разложимости любого натурального
числа на простые сомножители. Для любого многочлена Р (х) п-й
степени с действительными коэффициентами и первым коэффициентом,
равным единице, можно написать разложение, аналогичное канониче-
скому разложению натуральных чисел (см. п. 1.3 гл. 2):
Р (X) = (X — С!)*1 (X — сг)*а ... (X — Clfi (Ха — (С/+1 + СМ) X 4-)
+	4- Cl+m) X +
+ ^2 + • • • + &/ + 2 (&/+i + • • • + ki+m) = П,
где ci, c2f ...» Ci — .действительные корни многочлена с кратностями ki,
k2, ...» ki, a {c/+i; c/+i}, ..., {ci+m> ci+m}— пары комплексно сопряжен-
ных корней с кратностями ki+i, ..., ki+m соответственно.
§ 2, Многочлены нескольких переменных
2.1. Одночлены и многочлены нескольких переменных. Выражение
вида
^14 ---V»
где a — отличный от нуля числовой коэффициент, a k±9 k2,..., kn —
неотрицательные целые числа, называется одночленом от п переменных
хъ x2l •••> хп» одночлена от п переменных
ах{ *х2 2... хпп и bxfx22,.. хлп
называются подобными, если	= Z2,	= Zrt.
Замена суммы двух подобных одночленов ахх Ч2 2« • *xknn + bx\*х2 а- • •
на равный им одночлен (а+ Ь) х^х^* • *х^п называется приве*
дением подобных членов.
Многочленом Р (xj, х2,хп) от п переменных х^ х2, хп
называется сумма конечного числа одночленов вида ах^х22» • •х^п
Одночлены, образующие многочлен, называются членами многочлена.
При этом предполагается, что в многочлене Р (х±, х2, х8, ..., хп)
все подобные члены уже приведены и что рассматриваются лишь члены
с отличными от нуля коэффициентами. Степенью многочлена Р (xlt
х2, х3, ...» хп) по отношению к некоторой выбранной переменной xt (i
— 1, 2, 3, ...» п) считается наивысший показатель, с которым перемен-
ная xt входит в многочлен.
Степенью одночлена
(или степенью по совокупности переменных) называют число
#1+ ^а+ &з + ’,’+ kni
/
§ 2. МНОГОЧЛЕНЫ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Q9
т, е. сумму показателей степеней всех переменных х;, входящих в дан-
ный одночлен. Наибольшее значение суммы + k2 +	+ • • •+ kn,
встречающееся в каком-либо из членов многочлена, называется степенью
многочлена по совокупности всех переменных.
Многочлен Р (xj, х2, х3, хп) называют однородным, если степени
всех одночленов, входящих в многочлен, равны.
2.2. Лексикографическое расположение членов многочлена. В то
время как для многочленов от одной переменной существуют два есте-
ственных способа расположения членов многочлена — по убывающим
и по возрастающим степеням переменной, для многочленов от несколь-
ких переменных таких естественных способов уже не существует. Су-
ществует, однако, часто используемый способ вполне определенного
расположения членов многочлена от нескольких переменных, называе-
мый «лексикографическим». Этот способ аналогичен способу располо-
жения слов в словарях: считая буквы упорядоченными так, как это
принято в алфавите, мы определяем взаимное расположение двух слов
в словаре по их первым буквам; если же первые буквы совпадают, то
по вторым буквам, и т. д.
Пусть Р (xj, х2,	•••> хп) — многочлен от п переменных х19 x2t
х3...... и пусть
ykn и	jn
xl *2 Х3 * * *ХП И *1 Х2 Х3 ‘ * *Хп
— два различных члена данного многочлена. Следовательно, хотя бы
одна из разностей показателей степеней
k± 4» ^2	^2» •••>	“ In	(1)
__	ka
отлична от нуля. Член х/х2	• *хл * считается выше члена
х^х2/2хз3*»»хл/п, если первая отличная от нуля разность в (1) положи-
k-i ka k„
тельна. В противном случае член Xjх2 ,,,хп считается ниже члена
х^х^-’Х^. Другими словами, член х^х^х/* • *х*л выше члена
я^х^Хз3- *«х*п, если > Ц или если kx = lv то fc2> 12 и т. Д. Заме-
<гим, что из того, что член x11x24x3it-^xnn выше члена х{гх2Зх38-•
вовсе не следует, что степень члена х^х^х*3* • «х*п больше степени члена
х^х^Хз3* ••хлп. Так, например, член xfx2 считается выше члена XjX2,
хотя его степень (по совокупности переменных) меньше.
Сравнивая между собой все члены многочлена Р (xj, х2, ..., хп),
выделяем из них тот, который выше всех остальных, и записываем его
на первом месте. Сравниваем оставшиеся члены многочлена и выделяем
из них наивысший, который записываем на втором месте, и т. д. В ре-
вультате получим запись многочлена от п переменных, в которой каж-
дый член, начиная со второго, ниже предыдущего.
Эта форма записи называется лексикографическим способом записи
многочлена от нескольких переменных. Член многочлена, стоящий на
первом месте, считается высшим членом многочлена.
Пусть
Р (*р *2» *з) = *1*2*3 + *1*2*3 + *1*2*3 + *1*2*3	(2)
— многочлен трех переменных.
4*
100
ГЛ. 4. АЛГЕБРА
Запишем многочлен, располагая его члены в лексикографическом
порядке.
В записи (2) второй член выше всех остальных, так как в этом члене
переменная xj возводится в наибольшую степень по сравнению с осталь-
ными членами. Значит, член х$х%х3 будет первым в лексикографической
записи многочлена (2).
Вторым членом в лексикографической записи будет первый член
записи (2), так как в этом члене переменная х± возводится в наиболь-
шую степень среди оставшихся членов.
Из двух оставшихся членов (третьего и четвертого записи (2))
третий будет выше четвертого, так как в этих членах степени перемен-
ных xi и х2 равны, а переменная х8 в третьем члене возводится в боль-
шую степень, нежели в четвертом.
Запись многочлена Р (х±, х2, х8) с членами, расположенными в лек-
сикографическом порядке, будет следующей:
Р (Хр #2> *3) = *1*2*3 + *1*2*3 + *1*2*3 “Ь *1*2*3*
§ 31	Рациональные алгебраические дроби
3.1.	Множество рациональных алгебраических дробей» Рационалъ*
ной алгебраической дробью называют выражение вида
(или P/Q),	«	(1)
где Р и Q — многочлены одной или нескольких переменных. Мнрго*
член Р называется числителем дроби, а многочлен Q — ее знаменателем.
Рациональную алгебраическую дробь также называют рациона лъ*
ным алгебраическим выражением.
Рациональная алгебраическая дробь (1) определена при всех зна-
чениях переменной х, за исключением конечного набора значений, об-
ращающих многочлен Q (х) в нуль (корней многочлена Q (х))*). Мно-
жество значений переменной х, при которых знаменатель дроби отличен
от нуля, называют множеством допустимых значений алгебраической
дроби.
Две рациональные дроби Р (x)/Q (х) и М (x)/N (х) называются
равными:
Р(х) _ М(х)
Q (х) ~ N (х) ’
если Р (х)*М (х) ® Q (х)-Л1 (х) при всех значениях х, при которых
Q (х) Ф 0 и N (х) Ф 0.	*
Из определения равенства дробей следует, что если числитель и
знаменатель дроби умножить на один и тот же многочлен К (х), то полу-
чится дробь, равная исходной:
Р(х)	Р(х)-К(х)
Q(*)	Q(x)K(x) •
На этом свойстве основано правило сокращения рациональных
алгебраических дробей: деление числителя и знаменателя дроби на
их общий делитель, а также приведение дробей к общему знаменателю.
•) Далее, если не оговорено противное, будем рассматривать дроби>
числитель и знаменатель которых >» многочлены одной переменной»
§ 3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ Ю1
В результате сокращения алгебраической дроби, вообще говоря, по*
лучается алгебраическая дробь с множеством допустимых значений,
не совпадающим с множеством допустимых значений исходной дроби.
Сумма, произведение, разность и частное двух дробей Р/Q и MIN
вычисляются по правилам
Р	М	__	P-N + Q-M	.	Р	М	_	Р>М
Q + N	~	Q-N	’	Q	’	N	“	Q./V	9
Р	М	_	P-N — Q-M	.	Р	.	М	Р
Q	N	~	Q-N	9	Q	:	N	~	Q-M	9
причем частное определено при всех тех допустимых значениях пере*
менной х дробей Р/Q и М/N, при которых М. (х) #= 0.
Операции сложения и умножения рациональных алгебраических
дробей ассоциативны, коммутативны и связаны законом дистрибутив*
ности умножения относительно сложения.
Более строго, множество рациональных алгебраических дробей
может быть определено следующим образом.
Рациональными алгебраическими дробями называют упорядочен*
ные пары (Р; Q) двух многочленов, определяемые перечисленными ниже
свойствами.
Две упорядоченные пары (рациональные дроби) (Р; Q) и (М; N)
называют равными и пишут
(Р; Q) == (АГ; А),
если Р • N = Q* М при всех значениях, при которых Q (д') ¥= 0 и
N (х) Ф 0.
Суммой двух пар (Р; Q) и (M; N) называется пара (P*N +
Q'N). Об этой паре говорят, что она получена в результате сложения
пар (Р; Q), (2И; N), и пишут
(Р; Q) + (М; Х) = (P-N+ Q-M-, Q-N).
Ассоциативность и коммутативность операции сложения пар еле*
дует'из определения суммы пар и соответствующих свойств операций
сложения и умножения многочленов.
В множестве упорядоченных Пар многочленов операция вычита*
ния, обратная операции сложения, всегда выполнима, т. е. для любых
двух пар (Р; Q) и (Af; N) существует пара (X; У) такая, что
(Af; N) + (X; У) = (Р; Q).
Пару (X; У) называют разностью пар (Р; Q) и (М; М), обозначают
(Р; Q) — (Af; N) и вычисляют по формуле
(Р; Q) —(2И; N) = (P-N - Q<M; Q-N).
В частности, из определения разности пар следует, что
(Р; Q) - (Р; Q) == (0; Q).
Пары вида (0; Q) называют нулевыми парами.
Произведением двух пар (Р; Q) и (Af; N) называется пара (Р-АГ;
Q-N). О паре (Р-А4; Q-N) говорят, что она получена в результате
умножения пар (Р; (?) и (А4; А), и пишут
(Р; N) = (P-Al; Q-N).
102
ГЛ. 4. АЛГЕБРА
Из определения произведения пар и свойств арифметических
операций над многочленами следует, что операция умножения пар ас-
социативна и коммутативна, и операция умножения дистрибутивна по
отношению к сложению.
В множестве упорядоченных пар многочленов обратная умноже-
нию операция деления пары (Р; Q) на ненулевую пару (Л4; /V) выпол-
нима, т. е. для любых двух таких пар существует пара (X; У) такая,
что
(М; Y) = (Р; Q).
Пару (X; У) называют частным пар (Р; Q) и (М; JV), обозначают
(Р; Q) : (М; N) и вычисляют по формуле
(Р; Q) : (Af; N)=(P-N; Q-M).
Из определения частного пар следует равенство
(Р; Q) : (М; АО == (Р;	М)9
т. е. деление на пару (Л4; N) может быть заменено умножением на обра т
ную делителю (Af; N) пару (X; М).
Пусть многочлены Р и Q в упорядоченной паре (Р; Q) таковы, что
многочлен Р представим в виде
Р« Q-R,
где R — некоторый многочлен, т. е. многочлен Р нацело делится на
многочлен Q.
Будем отождествлять пару таких многочленов (Р; Q) с многочлен
ном R.
Пусть (Р; Q) и (М; N) — такие две пары многочленов, что
Р = Q-R и М == N-S,	(2)
где R и S — многочлены.
При принятом отождествлении пар (Р; Q) и (Л4; N) с многочле-
нами R и S соответственно, сумма, разность и произведение пар
(Р; Q) и (М; N) представляют собой сумму, разность и произведение мно-
гочленов R и S.
Действительно, сумма пар (Р; Q) и (A4; N) по правилу сложения
пар представляет собой пару
(P-N+Q-M-, Q-N).
Так как многочлен Р = Q*R, а многочлен М = то получен-
ная сумма пар может быть записана в виде
(Q-R-N+Q-N'S-t Q-N).	'	(3)
Нетрудно заметить, что первый многочлен этой пары нацело де-
лится на второй многочлен пары и их частным является многочлен
(Q-R-N + Q-N-S): (Q-N) = /? + $,	(4)
т. е. пара (3) отождествляется с многочленом R + S.
Таким образом, показано, что если многочлены, образующие пары
(Р; Q) и (М; N), связаны равенствами (2), то сумма многочленов R
и S, вычисляемая как сумма пар (Р; Q) и (М; Af), представляет собой
пару, которую можно записать как сумму многочленов R + S.
Аналогично проверяется, что произведение и разность многочле-
нов R и S, рассматриваемых как пары (Р; Q) и (М; с условием (2)
$ 3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ
103
по правилу умножения и вычитания пар определяют пары, которые мож-
но отождествить с многочленами R*S и R—S соответственно.
Из определения операций умножения и деления пар следует, что
частное двух многочленов R и S, рассматриваемых как упорядоченные
пары (Р; Ф) и (Al; N), при условии (2) в множестве пар всегда сущест-
вует. Действительно, если многочлены Р и Q записать в виде (Р; 1)
и (ф; 1) соответственно, то из равенства
Р : Ф = (Р; 1) : (ф; 1) = (Р; 1)-(1; ф) = (Р; ф)
следует, что частное двух многочленов Риф всегда представляется
в виде пары (Р; ф), а не только в случае, когда Р = Q-R.
В тех случаях, когда многочлен Р не делится нацело на многочлен ф,
пара (Р; ф) представляет собой не совпадающее ни с каким многочленом
частное от деления многочлена Р на многочлен ф, которое называется
рациональной алгебраической дробью и обычно обозначается символом
Р/ф.
Рациональная алгебраическая дробь Р/ф называется несократимой,
если многочлены Риф взаимно простые (см. п. 1.2). Всякая рациональ-
ная алгебраическая дробь равна некоторой несократимой дроби, оп-
ределяемой однозначно с точностью до числового множителя, общего
для числителя и знаменателя. Для того чтобы представить рациональ-
ную алгебраическую дробь в виде несократимой дроби, необходимо
найти наибольший общий делитель многочленов Р и ф и произвести со-
кращение дроби.
3.2.	Правильные алгебраические дроби. Рациональная алгебраи-
л Р (х)
ческая дробь называется правильной, если степень многочлена,
стоящего в числителе дроби, меньше степени многочлена, стоящего
в ее знаменателе, и неправильной в противном случае.
Так, дробь
X2
л3+ 1
будет правильной, а дроби
х2
ха —3 и
— неправильными дробями.
X8
D	Л	-Г Р (Х)
Всякую неправильную рациональную алгебраическую дробь -
ч (х)
можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби.
Для этого следует найти частное G (х) и остаток R (х) от деления много-
члена Р (х) на многочлен ф (х) и записать дробь в виде
= G (х) 4- R
ф(х) °(Х;+ф(х)
(5)
R (х)	/ X
где л/“V -* правильная дробь, а и (х) - многочлен, называемый це-
ч \х)
лой частью рациональной алгебраической дроби.
р (х)
Представление неправильной дроби в виде (5) называется
выделением целой части неправильной алгебраической дробщ
!04
ГЛ. 4» АЛГЕБРА
Пример. Рациональная алгебраическая дробь
*+*
может быть записана в виде следующей суммы многочлена и правиль*
ной рациональной алгебраической дроби:
X»	211	1
х+1 ~х	1 ’
где многочлен № — х -|- 1 — целая часть неправильной алгебраической
дроби.
3.3.	Простейшие дроби. Правильная рациональная алгебраиче-
Р (х)
ская дробь 75-7-7 называется простейшей, если ее знаменатель Q (х)
ч (*)
является натуральной степенью некоторого неприводимого много*
члена q (х)*):
Q(x)x=^(x)	(й>1),
а степень числителя Р (х) меньше степени многочлена q (х). Напомним,
что среди многочленов с действительными коэффициентами и со старшим
коэффициентом, равным единице, неприводимыми являются лишь линей*
ные многочлены х—си квадратные многочлены х2 4- рх + q при усло-
вии, что коэффициенты квадратного трехчлена удовлетворяют нера-
венству р2 — 4q < 0. Вследствие этого рациональная алгебраическая
дробь может быть простейшей лишь в случаях, когда ее числитель
Р (х) — либо многочлен первой степени, либо многочлен нулевой сте-
пени (т. е. число, не равное нулю).
__j
П р и м е р ы. 1. Дробь	& — натуральное) будет про-
стейшей рациональной алгебраической дробью, так как ее знаменатель
является степенью неприводимого многочлена, а степень неприводимого
многочлена больше степени числителя.
х8 —3
2. Дробь не является простейшей, так как степень много-
члена, стоящего в числителе дроби, больше степени многочлена, стоя-
щего в знаменателе.
3. Дробь --2й—-у не является простейшей, так как ее знаменатель
можно разложить на множители, т. е. знаменатель не является непри* .
водимым многочленом.
В теории рацирнальных алгебраических дробей центральное место
занимает следующая теорема:
Всякая правильная рациональная дробь разлагается в сумму про*
стейших дробей, и это разложение единственно.
Р (х)
Точнее, если дана правильная дробь знаменатель которой
ч	ч \х)
имеет разложение на неприводимые множители:
ь. ь	ь
Q (X) = 911 (х)Ch* (X). • • qi' (х),
неприводимых многочленах см, п, 1J0.
§ 4. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ 105
причем qi (х) qj (X) при i ф j и	А/ — натуральные числа,
ю
Р (х) __ pi (х) ,	(х) ,	, Pi (х)
. ()
где все слагаемые в правой части — правильные дроби, каждая из ко-
торых может быть представлена в виде суммы простейших дробей:
г(х) _ Sk (х) Sk-1 (х)	Sa (X) Si(x)
+ qk^(x) ‘‘"Ч" q*{x) * q (x)
Степени всех числителей, стоящих в правой части разложения (7),
меньше степени многочлена q(x).
Пример. Разложить в сумму простейших дробей правильную
, Р(х>
дробь [ОТ’где
Р (х) = 2х* — Юх3 4- 7х» 4- 4х + 3,
Q (х) = х8 — 2Х3 4-2г* — Зх 4-2.
Многочлен Q (х) может быть представлен в виде произведения не*
приводимых многочленов:
— 2х84-2>^ — Зх 4* 2 = (х 4* 2) (х — 1)а (х2 4- 1).
Р (х)
В согласии с равенствами (6), (7) искомое разложение дроби : -
ч (х)
должно иметь вид
Р(х) _ А В С Dx + E
Q(x) ~ х+2 + (х — 1)а+ х — 1 + ха4-1 ’
где числа Я, Bt Ct D, Е еще должны быть найдены. Приводя правую
часть дроби к общему знаменателю, из условия равенства дробей полу-
чаем равенство многочленов
2х4 — Юх* 4- 7Х2 + 4х+ 3 == А (х — 1)а (х2+1)4-
+В(х+2)(х2+ 1) + С(х4-2)(х- 1)(х3+ 1) +
+ Dx (х+ 2) (х — 1)а 4- Е (х 4- 2) (х — 1)а.
Далее, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях
неизвестных в левой и правой частях последнего равенства, получим
систему пяти линейных уравнений с пятью неизвестными, которая имеет
единственное решение:
А = 3, В = 1, С = — 2, D = 1, Е = —3.
Следовательно, искомое разложение имеет вид
Р(х) _	3	1	2 х —3
Q(x) -	(х—1)а х—l^x^l *
§ 4$ Иррациональные алгебраические выражения
Алгебраическое выражение называют иррациональным, если над
переменными, входящими в алгебраическое выражение, наряду с опе-
рациями сложения, вычитания, умножения и деления производится
операция возведения в рациональную (не целую) степень.
106
ГЛ. 4. АЛГЕБРА
Примеря. 1. Алгебраическое выражение
х2 а 1^* х 4" Ь
относительно переменной х является иррациональным алгебраиче-
ским выражением, так как переменная х находится под знаком квадрат-
ного корня.
2. Алгебраическое выражение
/2 х3—I
относительно переменной х не будет иррациональным алгебраическим
выражением. Если же переменной в данном алгебраическом выражении
считать а, то оно — иррациональное. Таким образом, ответ на вопрос
об иррациональности алгебраического .выражения зависит от того,
какие величины в данном алгебраическом выражении считаются пере-
менными, а какие—коэффициентами.
Преобразования иррациональных алгебраических выражений вы-
полняются в соответствии с общими законами арифметических дейст-
вий и правилами действий над радикалами.
Исключение иррациональности из числи-
теля (знаменателя) иррациональной алгебраи-
ческой дроби. Алгебраическое выражение вида
называют дробным иррациональным выражением, если хотя бы одно
из алгебраических выражений f (х) или g (х) является иррациональным
относительно переменной х.
Пусть S (х) — некоторое иррациональное алгебраическое выраже-
ние относительно переменной х. Алгебраическое выражение S (х)#
не равное тождественно нулю, называют дополнительным множите»
лем для алгебраического выражения <S (х), если произведение
S (х) § (х) — рациональное алгебраическое выражение относительно
переменной х. Знание дополнительных множителей для алгебраиче-
ских выражений, стоящих в числителе (или знаменателе) дроби (1),
позволяет представить ее в виде дроби, у которой числитель (знамена-
тель) — рациональное алгебраическое выражение:
f ~ f-f = f-8
8 g-f 8*8 9
где f — дополнительный множитель числителя, g — дополнительный
множитель знаменателя. Такое преобразование иррационального вы-
ражения называется исключением иррациональности соответственно из
числителя или знаменателя иррационального дробного выражения.
Таким образом, процедура исключения иррациональности из
числителя или знаменателя дробного иррационального выражения
сводится к нахождению дополнительного множителя для алгебраиче-
ского выражения «S, содержащего радикалы. В общем случае трудно
указать универсальный способ нахождения дополнительного множи-
теля для произвольного иррационального выражения. Ниже приве-
дены дополнительные множители для некоторых простейших иррацио-
§ 4. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ 107
нальных выражений, зависящих от двух переменных х и у, полученные
с помощью формул сокращенного умножения.
s (X, у)	s (X, у)	S (х, у) S (х, у)
У xkxl	Пг	Г	7 1/ vn^kt.n-“l У л у	ху
Ух ± Уу	Ух =F у у	х — у
Ух ± У у		Х±у
П /	 п у	 У * — V У	И г*	г	П,	-  ]/ хп 1 + у хп 2у + • •	•4-yV-1	х — у
(п — любое) У^ + Уу	У Х*_\ _ухп-2у + ..	• + Iх Г1-1	х + у
(п — нечетное).
Если алгебраическое выражение S (х, у) — дополнительный мно-
житель для алгебраического выражения S (х, у), то и алгебраическое
выражение S (х, у) будет дополнительным множителем для алгебраи-
ческого выражения S (х, у),
В случае, когда число слагаемых в выражении, содержащем ради-
калы, больше двух, в некоторых случаях удобно исключать радикалы
из числителя (знаменателя) дроби, используя формулы сокращенного
умножения иррациональностей.
Примеры. 1. Исключить иррациональность из знаменателя
алгебраической дроби
________х______
+ Ух + 1
„Дополнительным множителем для знаменателя служит иррацио-
нальное алгебраическое выражение
n-L
Умножая числитель и знаменатель дроби на выражение у^х —
получаем алгебраическую дробь, знаменатель которой является рацио-
нальным алгебраическим выражением:
х	х(77-1) _Х(УТ—1)
^ + 77+1	(У7-1)(У^+|<х + 1)	•
2. Исключить иррациональность из знаменателя дроби
________1______ ч
/х + ИГ— /г”
Обозначая Ух	У у = t и умножая числитель и знаменатель
данной дроби на выражение t + У г , получим
Т = t + Уг =	/Г_+ У г = У^+ У У + У[_
t — Уг	& — г	г л + у — г±2Уху
108
ГЛ. 4. АЛГЕБРА
В результате проведенных преобразований исходной алгебраиче-
ской дроби мы получили алгебраическую дробь, содержащую в зна-
менателе лишь один радикал. Теперь, умножая числитель и знаменатель
дроби на выражение
(•«+«/ — г)— 2 Уху,
получим дробь, уже не содержащую иррациональности в знаменателе:
(/х + /у + КП (х + р —• ?	2 1<х7)
(х-h у-— г)2 — 4ху
§ 5.	Уравнения. Алгебраические уравнения
5.1.	Основные определения. В алгебре рассматриваются два вида
равенств — тождества и уравнения.
Тождество — это равенство, которое выполняется при всех (до-
пустимых) значениях входящих в него букв *). Для записи тождества
наряду со знаком = также используется знак = .
Уравнение — это равенство, которое выполняется лишь при не-
которых значениях входящих в него букв. Буквы, входящие в уравне-
ние, по условию задачи могут быть неравноправны: одни могут прини-
мать все свои допустимые значения (их называют коэффициентами, а
реже параметрами, уравнения и обычно обозначают первыми буквами
латинского алфавита: a, bf с,... — или теми же буквами, снабженными
индексами:	... или by bZt...); другие, значения которых тре-
буется отыскать, называют неизвестными (их обычно обозначают по-
следними буквами латинского алфавита: х, у, г,... — или теми же
буквами, снабженными индексами, например, xj, х2,...
В общем виде уравнение с п неизвестными xj, х2,..., хп может быть
записано как
F (*1, .....ХП) == О,
где F — некоторая функ1Хйя указанных аргументов.
В зависимости от числа неизвестных уравнение называют уровне*
нием с одним, двумя и т. д. неизвестными.
Областью (множеством) допустимых значений неизвестных уравне-
ния называют область определения функции F (xj, х2, ...»хп).
Значения неизвестных, обращающие уравнение в тождество, на-
зывают решениями уравнения.
Уравнение считается решенным, если найдены все его решения
или показано, что уравнение решений не имеет.
Если все решения уравнения F == 0 являются решениями уравне-
ния G = 0, то говорят, что уравнение G = 0 есть следствие уравнения
F « 0, и пишут
F =з 0 => G = 0.
♦)	Под допустимыми понимаются те численные значения букв, при ко*
торых выполз имы все операции, совершаемые над буквами, входящими в ра-
венство. Например, допустимыми значениями букв, входящих в равенство
Н-1	,--
будут следующие; а б V) U СО; х € (2; +<»)» Ь 6	-*-»)<
$ Б. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ	109
Два уравнения
F=0hG=0
называют эквивалентными, если каждое из них является следствием
другого, и пишут
F=0<=>6 = 0.
Таким образом, два уравнения считаются эквивалентными, если
множества решений этих уравнений совпадают.
Уравнение F = 0 считают эквивалентным двум (или нескольким)
уравнениям /^ = 0, F2 = 0, если множество решений уравнения F = 0
совпадает с объединением множеств решений уравнений Ft = 0, F2 = 0.
Некоторые эквивалентные уравнения:
1)	Уравнение F 4- G » О эквивалентно уравнению F = 0, рас-
сматриваемому на множестве допустимых значений исходного урав-
нения.
F
2)	Уравнение -д- = 0 эквивалентно уравнению F = 0, рассма-
триваемому на множестве допустимых значений исходного уравнения.
3)	Уравнение s= 0 эквивалентно двум уравнениям F » 0
и 6 = 0.
4)	Уравнение Fn == 0 эквивалентно уравнению F = 0.
5)	Уравнение Fn = Gn при нечетном п эквивалентно уравнению
F = G, а при четном п эквивалентно двум уравнениям F = G и F =
= —G.
Алгебраическим уравнением называется уравнение вида
Рп = 0,
где Рп — многочлен n-й степени от одной или нескольких переменных.
Алгебраическим уравнением с одним неизвестным называется урав-
нение, сводящееся к уравнению вида
Сод/1 14“	+ • • • 4" fln-ix 4“	= 0»
где п—неотрицательное целое число; коэффициенты многочлена Оо,
alt а2, •••, «пл, ап называются коэффициентами (или параметрами)
уравнения и считаются заданными; х называется неизвестным и является
искомым. Число п называется степенью уравнения.
Значения неизвестного х, обращающие алгебраическое уравнение
в тождество, называются корнями (реже решениями) алгебраического
уравнения.
h Прежде чем перейти к частным случаям алгебраического уравне-
ния с действительными коэффициентами (линейным, квадратным и дру-
гим уравнениям), заметим, что методы решений линейных и квадрат-
ных уравнений были известны очень давно, в то время как методы ре-
шения уравнений третьей и четвертой степеней были найдены лишь
в XVI веке. После этого почти три столетия продолжались безуспешные
попытки сделать* следующий шаг, т. е. найти формулы, выражающие
при помощи радикалов корни любого уравнения пятой степени через
его коэффициенты. Эти попытки прекратились лишь после того, как
Н. X. Абель в двадцатых годах прошлого века доказал, что такие фор-
мулы для уравнений л-й степени при п > 5 заведомо не могут
быть найдены.
Этот результат Абеля не исключал, однако, возможности того, что
корни некоторых конкретных многочленов с числовыми коэффициент
ПО	гл. 4. АЛГЕБРА
тами всё же каким-либо способом выражаются через коэффициенты
при помощи некоторой комбинации радикалов. Полностью вопрос об
условиях, при которых данное уравнение разрешимо в радикалах, был
исследован Э. Галуа в тридцатых годах прошлого века. В частности,
им было показано, что для всякого п 5 можно указать неразрешимые
в радикалах уравнения п-й степени, даже с целочисленными коэффи-
циентами. Таким будет, например, уравнение & — 4х — 2 = 0.
5.2.	Линейное уравнение. Линейным уравнением называется урав-
нение первой степени
сх 4*^ = 0,	(1)
где а и Ь — некоторые действительные числа.
Линейное уравнение всегда имеет единственный корень х = — —,
который находится следующим образом.
Прибавляя к обеим частям уравнения (1) число —Ь, получаем урав-
нение
ах = — Ь,
эквивалентное уравнению (1). Разделив обе части последнего уравне-
ния на число а =^= 0, получаем корень уравнения (1)
5.3.	Квадратное уравнение* Алгебраическое уравнение второй
степени
ах2 + Ьх -}- с = 0,	(2)
где а, Ъ, с — некоторые действительные числа, называется квадратным
уравнением. Если а = 1, то квадратное уравнение (2) называется
приведенным.
Корни квадратного уравнения вычисляются по формуле
—Ь ±
Xi'8	2а
(3)
где выражение I? — 4ас называется дискриминантом квадратного урав-
нения.
При этом:
если &2 — 4ас > 0, то уравнение имеет два различных действитель-
ных корня;
если б2 — 4ас а 0, то уравнение имеет один действительный корень
Кратности 2;
если б2 — 4ас < 0, то уравнение действительных корней не имеет,
а имеет два комплексно сопряженных корня:
b ,	b* ,	b ]f4ac—b* ,
Ki~ 2а + 2а	*8 “ 2а 2а 1‘
Формула (3) может быть получена в результате следующих преоб-
разований исходного уравнения.
Запишем квадратный трехчлен ах2 + bx с, стоящий в левой
части уравнения (2); в виде полного квадрата и проведем преобразова*
$ б. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
111
ния, в результате которых каждый раз будет получаться уравнение,
эквивалентное исходному * *):
/ , b \2 Ь2 — 4ас _	/ , b \2
Ч* + -2Г) —Та-----------°**ЧХ + -2Г) =
Ь \2 _ № — 4ас
ИГ )	4а2
f b2 — 4ас I , b | _
^2	** I х + ~2Т I —
Последнее уравнение эквивалентно двум уравнениям:
, b _ j/^2 — 4ас
*"1"2а	Щ] ’
b	У Ь2 — 4ас
Х'~2<Г~ Ца] ’
Используя определение абсолютной величины числа, легко убедиться,
что уравнения (4) и (4') эквивалентны уравнениям
Ь , /Ь2 — 4ас .. b V &—4ас
Ь2 — 4ас
4а
2
УЬ2 - 4ас
2|а|
(4)
(4')
_ , /Ь2 —4ас
Х~ 2а + 2а • Х~ 2а 2а
Объединяя эти формулы, получаем формулу для вычисления кор-
ней квадратного уравнения:
—b ± К^2 — 4ас
х1,«— 2а
Частными видами квадратного уравнения (2) являются:
1)	Приведенное квадратное уравнение (в случае, если а= 1)л
которое обычно ваписывается в виде
х2 4- рх q ss 0.
Его корни вычисляются по формуле
*1,2=— 
2)	Квадратное уравнение с четным вторым коэффициентом, которое
обычно записывается в виде
ах* 4- 2kx 4- с = 0 (k — целое число).
Корни этого квадратного уравнения удобно вычислять по формуле
—k ± Ук2 — ас
Xif з -----------------•	(6)
Формулы (5) и (6) являются частными видами формулы (3) вычис-
ления корней квадратного уравнения.
♦) Преобразование квадратного .трехчлена ахг + Ьх 4- б в виду
( b \а 4ас	а	_
* 4- -jj-i — — 4а  называется выдшнием юаням ляадрста»
112
ГЛ. 4. АЛГЕБРА
Корпи приведенного квадратного уравнения
жа 4- рх 4- q х= О
связаны е его коэффициентами формулами Виета
4- х2 =»	*1*8 ®» Q-
В случае, если приведенное квадратное уравнение имеет 'действи*
тельные корни, формулы Виета позволяют судить как о знаках, так
и Об относительной величине корней квадратного уравнения, а именно:
если q > 0, р > 0, то оба корня отрицательны;
если q > 0, р < 0, то оба корня положительны;.
если ^<0, р > 0, то уравнение имеет корни разных знаков,
причем отрицательный корень по абсолютной величине больше поло-
жительного;
если q < 0, р < 0, то уравнение имеет корни разных знаков,
причем отрицательный корень по абсолютной величине меньше поло-
жительного корня.
6.4. Кубичное уравнение. Кубичным уравнение е действительными
коэффициентами называется уравнение третьей степени
ах* 4* Ьха 4- сх + =а 0,	(7)
где а, Ь, с, d — некоторые действительные числа.
Кубичное уравнение (7) ааменой х == у-приводится к «не-
полному» кубичному уравнению относительно У'.
ya+Py+q^O,
где
1 / Ь \2 , с	_ / Ь \3 be , d
₽	3 \ а ) а *	9 =	\ За ) Заа а *
Корни yi, у2, у3 «неполного» кубичного уравнения вычисляются
по формулам Кардано
у± = А 4- В,
гл.	8--^-1-/5. о- (f )+(!)’•
причем в качестве Л и В берутся любые аначения кубичных корней
из соответствующих комплексных чисел, удовлетворяющие равенству
Л*В==—р/3.
Если коэффициенты уравнения (7) действительны, то оно имеет
или один действительный корень и два комплексно сопряженных корня»
или три действительных корня, из которых по крайней мере два равны»
или три различных действительных корня в зависимости от того, будет
ли Q соответственно положительно, равно нулю или отрицательно.
5.5. Уравнения четвертой степени. Биквадратное уравнение.
Некоторые уравнения четвертой степени, сводящиеся к квадратным.
Уравнение четвертой степени
ах* 4- Ьх 4- схг 4- dx4* k = 0
§ 8. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ	ИЗ
является последним из алгебраических уравнений (после линейных»
квадратных и кубичных), корни которого выражаются через коэффи-
циенты a, b, с, d, k в виде некоторой комбинации радикалов. Формулы
вычисления корней уравнения четвертой степени в общем случае
весьма громоздки, и мы их приводить не будем. Укажем лишь, что корни
уравнения четвертбй степени могут быть представлены в виде комбина-
ций корней некоторого кубичного уравнения, соответствующего
данному уравнению четвертой степени.
Алгебраическое уравнение четвертой степени вида
ах* + Css О,
где а9 Ь, с — некоторые действительные числа, называется биквадрат*
ным уравнением. Заменой ха = у решение биквадратного уравнения
сводится к решению квадратного уравнения ay* + 6у4-с==0 с по-
следующим решением двух двучленных уравнений х3 == pt и х2 = уа
(У1 и У % — корни соответствующего квадратного уравнения).
Если > 0 и у* > 0, то биквадратное уравнение имеет четыре
действительных корня:
Х1, 8 = ±/{/Г.	*8, 3 = ±У17-
Если > 0, у2 < 0 *), тобиквадратное уравнение имеет два дей-
ствительных корня Xjj2 = ±Кухи два чисто мнимых сопряженных
корня: -
х3> 4 = ±i
Если yi < 0 и у9 < 0, то биквадратное уравнение имеет четыре
чисто мнимых попарно сопряженных корня:
*1, г = ± «У —У1> x»,l —
Если у} и у2—комплексные корни соответствующего квадрат- .
ного уравнения, то для нахождения четырех корней биквадратного
уравнения надо извлечь квадратные корни из комплексных чисел у±
и у*. Этой, довольно громоздкой операции можно избежать следующим
образом. Запишем исходное уравнение ах4 + бх2 + с = 0 в виде
х4 4- рх2 -J- q а 0,	(8)
где р = b/a, q = da, причем коэффициенты р и q, в силу предположе-
ния о комплексности^ корней квадратного уравнения» удовлетворяют
условиям | р | < 2J/”q и q > 0.
Преобразуем левую часть уравнения (8):
я4 4- рх2 4- $ =з (х4 4- ?) 4- рх2 =»
= (ж4 + 2 х2 + q) — (2 К? — р) Xs — (*2+ К7 )2—(2 У"? — р)х2 =
= (xa + *K2yV—д+УТ)(*а-“*1/2У’7—р4-У7)"
♦) Случай у < 0» р» О аналогичен разобранному»
114	ГЛ. 4. АЛГЕБРА
Теперь решение биквадратного уравнения ах* + bx* 4- с = 0 сводится
к решению двух квадратных уравнений с действительными коэффи-
циентами:	__________
X* + xJ/2 Yq-p+Vq =0,
х2 — хИ2 — р+ V“q = 0.
Решение уравнений вида ax2k +	+ с = 0 (a	натураль-
ное число) заменой х^ = у сводится к решению квадратного уравнения
ау2 + by + с = 0 с последующим решением соответствующих дву-
членных уравнений.
Алгебраическое уравнение четвертой степени вида
ах* + Ьх* 4- сх2 4- dx 4- е » 0	(9)
при е=£ 0 называется возвратным, если коэффициенты уравнения
a, b, d, е связаны равенствами	е=Х2а (X — некоторое от-
личное от нуля число). Используя эту связь между коэффициентами,
уравнение (9) можно записать в виде
ах* 4- Ьх9 4- сх2 4- hbx 4- №а = 0.	(10)
Так как х = 0 не является корнем уравнения (9), то, разделив почленно
обе части уравнения (10) на х2 и проведя соответствующую группировку
членов левой части уравнения, получим уравнение, эквивалентное
уравнению (10):
а(х2+-^-) + *(* + 4) + Св0-
А- /	X2	\
Теперь заменой х4" — ==у (учитывая, что х24-	=* 02 — 2Х j
последнее уравнение сводится к квадратному уравнению относи-
тельно у\
ау2 + ЬУ+ с — 2ка = 0.	(11)
Решая уравнение (11), получаем, что решение возвратного урав-
нения (10) сводится к решению двух квадратных уравнений:
х2 — 0jx+ Х = 0,
х2 — у2х 4- X =s 0,
где У! и корни уравнения (11).	<
Частным случаем возвратного уравнения является симметрии
песков уравнение (соответствующее Х= 1)
ах* 4- bx* + tx3 4- bx 4- а = 0.
и кососимметрическое уравнение (соответствующее X = — 1)
ах* 4- Ьх* 4- сх2 — Ьх+ а==0.
Заменой х+~~ = 0 Для симметрического и х—-^- = 0 для косо-
симметрического уравнений эти уравнения сводятся к квадратным урав-
нениям относительно неизвестной у.
Уравнение четвертой степени вида
(х2 4. Ьх 4- с) (х2 4- Ьх 4- d) =з k9	(12)
§ 5. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ	115
где Ь, с, d, А -— некоторые действительные числа, заменой
х2 + Ьх = у
сводится к следующему квадратному уравнению относительно неиз-
вестной у\
y2+(c+d)y — k = 0.	(13)
Если уравнение (13) имеет действительные корни yt и у2, то корни
уравнения (12) отыскиваются как корни двух квадратных уравнений
с действительными коэффициентами:
ха + Ьх — У± — О»
х2 + Ьх — у2 ~ 0.
Решение уравнения вида
х (х+ а) (х-J- Ь) (х + а 4- Ь) = с,	(14)
где а, Ь, с — некоторые действительные числа, может быть сведено
к решению двух квадратных уравнений следующим образом.
Перемножая первый и четвертый, второй и третий сомножители,
получаем уравнение
[х2 + (аЬ) х] [х2 + (а 4- b) х аЬ] « с.
Которое заменой
х24- (а 4- Ь)х = у
сводится к квадратному уравнению относительно новой неизвестной у:
y^+aby^c^O.	(15)
Если уравнение (15) имеет действительные корни у± и y2t то множество
корней уравнения (14) находится как множество корней следующих
двух квадратных уравнений с действительными коэффициентами:
х2 4- (а + Ь) х — yt = 0,
х2 + (а 4* Ь) х — у2 = 0.
5.6.	Двучленные уравнения. Уравнение n-й степени
ох" ± д == 0	(16)
называется двучленным уравнением. При а>0 и &>0 заменой*)
х=уу где у —-—арифметическое значение корня, уравне-
ние (16) приводится к уравнению
уп ± 1 = 0,
которое и будет далее рассматриваться.
Двучленное уравнение t/1 — 1 = 0 при нечетном п имеет один
действительный корень у = 1. В множестве комплексных чисел од
Исли.а в 6.имеют разные знаки, то х = у у
116
ГЛ. 4. АЛГЕБРА
Я-I).	(17)
уравнение имеет п корней (из которых один действительный и п — 1
комплексных), вычисляемых по формуле
2nk , . . 2лА	л t ft
Ук s cos	* sin ~п~	= °’	2‘
Двучленное уравнение if1 — 1 = 0 при четном n в множестве дей-
ствительных чисел имеет два корня {у = 1; у = —1}, а в множестве
комплексных чисел п корней, вычисляемых по формуле (17).
Двучленное уравнение ^4-1 = 0 при нечетном п имеет один дей-
ствительный корень г/ = — 1, а в множестве комплексных чисел п .
корней, вычисляемых по формуле
2лА + п . . . 2пА4-я ' л t л	,,оч
yfe = cos-+ *sin-------------(6 = 0, 1, 2, я—I). (18)
н	п	п
Двучленное уравнение уп 4- 1 = 0 при четном п действительных
корней не имеет. В множестве комплексных чисел уравнение имеет п
корней, вычисляемых по формуле (18).
Корни двучленного уравнения для некоторых конкретных значе-
ний я следующие:
1)	у2 — 1 = 0 (я = 2). Уравнение имеет два действительных кор-
ня у1>2=±1.
2)	у3— 1 = 0 (я = 3). Уравнение имеет один действительный
.	— 1 =Ь i /3
корень У1= 1 и два комплексных корня у2>8 =-----------------•
3)	у* — 1 = 0 (я = 4). Уравнение имеет два действительных корня
2 = ± 1 и два комплексных корня = ±1.
4)	r/a + 1 = 0 (п= 2). Уравнение действительных корней не имеет.
Комплексные корни: yi>2= ±t.
5)	У3 + 1 = 0 (я = 3). Уравнение имеет один действительный ко*
1	1 ± //з
рень yt = — 1 и два комплексных корня у2>3 = -------.
6)	У*+ 1 = 0 (я = 4). Уравнение действительных корней не
имеет. Комплексные корни:
У1, 2 == О =Ь О, Уз, 4 —----------(1 ± 0«
5.7.	Решение алгебраического уравнения с целыми коэффициен-
тами. Рациональные корни алгебраического уравнения я-й степени
OqX^1 -J-	-J-	+ • • • 4 an_ix + ап = 0,	(19)
где Oq, ci, 02, апл» оп — целые числа, можно найти, используя
следующую теорему:	/
Рациональными корнями уравнения (19) могут быть лишь числа
т!р (т — целое, р — натуральное), где число \т | является делителем
числа \ап I, а число р — делителем числа | я0|.
Пример. Найти корни уравнения
4х44- 8х3 — Зх2 — 7х4- 3 = 0.	(20)
Делителями числа 3 будут числа 1, 3, а делителями числа 4 —
числа 1, 2, 4. Множеством значений т будет {1; —1; 3; —3), а мно*
жеством значений д? — {1; 2; 4). Множеством всевозможных различ<
пых рациональных чисел будет {±1; ±3; ±1/2; ±1/4; ±3/2; ±3/4}»
§ 5. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
117
Непосредственная подстановка этих чисел в уравнение (20) показывает,
что числа 1/2 и —3/2— корни данного уравнения, и, следовательно,
данный многочлен делится на линейные многочлены
(«-•})  («+!)•
а также и на их произведение
Произведя деление «углом», находим многочлен частного?
4ха + 4х — 4.
Решая квадратное уравнение
4ха + 4х — 4= 0,
получим еще два действительных корня уравнения (20)$
-1 + Г5	-1-/5
------------9 х4--------2	•
Итак, задача полностью решена — найдены все четыре корня исходного
уравнения:
_ 1	_	3
Х1 — “2” । Х% — — “2” । Х3
+ Кб ' _ -1-/5
"9-->	*4 —	9---•
(21)
5.8.	Рациональные алгебраические уравнения. Рациональным
алгебраическим уравнением называется уравнение вида
Q (х)	°’
где Р (х) и Q (х) — многочлены. Далее для определенности будем по-
лагать, что Р (х) — многочлен m-й степени, a Q (х) — многочлен п-й
степени.
Множество допустимых значений рационального алгебраического
уравнения (21) определяется условием Q (х) Ф 0, откуда следует, что
x=/=cit х ф с3, ..., х #= сп> где c±t ..., сп — корни многочлена
Q (х).
Метод решения уравнения (21) заключается в следующем. Решаем
уравнение
Р (х) - 0,
корни которого обозначим через
Xi, *2, X3t xm.
Сравниваем множества корней многочленов Р (х) и Q (х). Те корни
многочлена Р (х), которые не являются корнями многочлена Q (х),
являются корнями (решениями) рационального уравнения (21).
Пример. Найти действительные корни уравнения
Q (х) U*
где Р (х) = х* — 1, Q (х) =: х — 1.
118
ГЛ. 4. АЛГЕБРА
Многочлен Р (х) имеет два действительных корня (оба простые)!
Х1= 1, х2 = — 1.
Многочлен Q (х) имеет один корень q = 1. Следовательно, уравнение
имеет один действительный корень х=—1.
Решая то же самое уравнение в множестве комплексных чисел^
Р (х) п	„
получим, что уравнение = 0 имеет, кроме указанного действи-
ем (х)
тельного корня, два комплексно сопряженных корня:
х2 = i, х8 = — i.
5.9.	Иррациональные уравнения. Уравнение, содержащее неиз-
вестное (либо рациональное алгебраическое выражение от неизвестного)
под знаком радикала, называют иррациональным уравнением. В эле-
ментарной математике иррациональные уравнения решаются в мно-
жестве действительных чисел.
Всякое иррациональное уравнение с помощью элементарных пре-
образований (умножения, деления, возведения в целую степень обеих
частей уравнения) может быть сведено к рациональному алгебраиче-
скому уравнению. При этом следует иметь в виду, что полученное
рациональное алгебраическое уравнение может оказаться неэквива-
лентным исходному иррациональному уравнению, а именно может
содержать «лишние» корни, которые не будут корнями исходного ирра-
ционального уравнения. Поэтому, вычислив корни полученного алге-
браического уравнения, необходимо проверить, будут ли все они также
и корнями исходного иррационального уравнения.
В общем случае трудно указать какой-либо универсальный метод
решения любого иррационального уравнения, так как желательно,
чтобы в результате преобразований исходного иррационального урав-
нения получилось не просто какое-то рациональное алгебраическое
уравнение, среди корней которого будут и корни данного иррацио-
нального уравнения, а рациональное алгебраическое уравнение, об-
разованное из многочленов как можно меньшей степени. Желание полу-
чить рациональное алгебраическое уравнение, образованное из много-
членов как можно меньшей стецени, вполне естественно, так как на-
хождение всех корней рационального алгебраического уравнения само
по себе может оказаться довольно трудной задачей,' решать которую
полностью мы можем лишь в весьма ограниченном числе случаев.
Приведем некоторые стандартные методы решения иррациональных
алгебраических уравнений.
1) Одним из самых простых приемов решения иррациональных
уравнений является метод освобождения от радикалов путем последо-
вательного возведения обеих частей уравнения в соответствующую
натуральную степень. При этом, если обе части уравнения возводят-
ся в нечетную степень, то получается уравнение, эквивалентное ис-
ходному; если же обе части уравнения возводятся в четную степень,
то полученное уравнение может оказаться неэквивалентным исход-
ному уравнению. В этом легко убедиться, возведя обе части урав-
нения
= g W
в любую четную степень 2п. В результате этой операции получается
уравнение
и WJ2n= [gwft
$ Б. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ .	119
множество решений которого представляет собой объединение мно-
жеств решений двух уравнений:
f W = g W и f (х) = —g (х).
Однако, несмотря на этот недостаток, именно процедура возведения
обеих частей уравнения в некоторую (часто четную) степень является
самой распространенной процедурой сведения иррационального урав-
нения к рациональному уравнению.
Пример 1. Решить уравнение
V’Pr(x)+VQ^) = R(x),	(22)
где Р (х), Q (х), R (х) — некоторые многочлены.
В силу определения операции извлечения корня в множестве дей-
ствительных чисел допустимые значения неизвестного х определяются
условиями
P(x)>0, Q(x)>0.
Возведя обе части уравнения (22) в квадрат, получим уравнение
2 VP (х) Q (х) = Я2 (х) — Р (х) — Q (х).
После повторного возведения обеих частей уравнения в квадрат
получается рациональное алгебраическое уравнение
4Р (х) Q (х) = [/?2(х)-Р (x) — Q(x)P,	(23)
Так как обе части уравнения (22) возводились в квадрат, может
оказаться, что не все корни уравнения (23) будут являться решениями
исходного уравнения, и необходима проверка корней.
2) Другим приемом решения иррациональных уравнений является
способ введения новых неизвестных, относительно которых получа-
ется либо более простое иррациональное уравнение, либо рациональное
уравнение.
П р и м е р 2. Решить иррациональное уравнение
<з-«>
Множество допустимых значений этого уравнения]
*€ (—оо; 1) (J (1; 3) U (3; + ©о).
з/"з_х'
Положив 1/ ‘х_1’ — У> после подстановки получим уравнение
(3-х)у + ^=1 = 2
У
или эквивалентное ему уравнение
(3 — х) у* — 2у + х — 1 = О,
которое можно рассматривать как квадратное уравнение относительно у»
Решая это уравнение, получим


3-х •
х—- 1
120 *	ГЛ. 4. АЛГЕБРА
Следовательно, множество решений исходного иррационального урав-
нения представляет собой объединение множеств решений следующих
двух уравнений:
,3/ 3 —х	3 —х х-1
V х—1	у х—1 з —х •
Возведя обе части каждого из этих уравнений в куб, получим два
рациональных алгебраических уравнения:
3 — х_,	3—х /х—1\3
х—1	’ х — 1 — \ 3 — х) 9
Решая эти уравнения, находим, что данное иррациональное урав-
нение имеет единственный корень х = 2.
В заключение заметим, что при решении иррациональных уравне-
ний не следует начинать решение уравнения с возведения обеих частей
уравнений в натуральную степень, пытаясь свести решение иррацио-
нального уравнения к решению рационального алгебраического урав-
нения. Сначала необходимо посмотреть, нельзя-ли сделать какое-ни-
будь тождественное преобразование уравнения, которое может су-
щественно упростить его решение.
- ПримерЗ. Решить уравнение
° Vе I + * + ~ V1 + * = у/*х.	(24)
Множество допустимых значений уравнения: х g (0; -J-oo). Сделаем
следующие преобразования данного уравнения:
aj^l4~x-|- — jA + xey/x а 14- х 1 -J- —^ ==
7^Т(1+±)=1.
Далее, записывая уравнение в виде
«(+4Г-ь
получим, что:-
при а == 0 уравнение решений не имеет;
при а 0 уравнение может быть записано в виде
('+4ГЧ:
при а < 0 данное уравнение решений не имеет^ так как при лю-
бом х, принадлежащем множеству допустимых значений уравнения,
выражение, стоящее в левой части уравнения, положительно.
При а > 0 получаем
1
$ Б. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ	121
Принимая во внимание, что множество допустимых значений-неиз-
вестной определяется условием х > 0, из неравенства
VT75J-1 >0
находим значение параметра а, при- которых найденное значение не-
известной х является решением уравнения (24). Такими значениями
параметра а являются значения а £ (0; 1).
При всех остальных значениях а уравнение решений не имеет,
т. е. множество его решений >— пустое множество.
5.10. Уравнения, содержащие неизвестное под знаком абсолют-
ной величины. Уравнения, содержащие неизвестное под знаком абсо-
лютной величины, можно свести к уравнениям, не содержащим знака
абсолютной величины, используя ее определение. Так, например,
решение уравнения
^-5|х-А|---------*=0	(25)
сводится к решению двух уравнений с дополнительными условиями.
1) Если х — -у > 0, то уравнение (25) приводится к виду
х2 — 5х +6 = 0.	(26)
5
Решения этого уравнения: Х} = 2, х2 = 3. Условию х—g->0
удовлетворяет лишь второй корень квадратного уравнения (26), и,
следовательно, число 3 является корнем исходного уравнения (25).
2) Если х —< 0, то уравнение (25) приводится к виду
х2 + 5х — 19 = 0.
~	— 5+КТоТ
Корнями этого уравнения будут числа х± ----------и х2 ==
&
—5—/То! „ я	—5+КЙЙ
CS —  —- ГТРППМи irnnPlJU Ул —	 - .... ПР \7ПЛППРТПППпАТ
условию
уравнения
Таким образом, решениями уравнения (25) будут числа 3 и
—5- /101
2
Заметим, что коэффициенты уравнения, содержащего неизвестную
под знаком абсолютной величины, можно подобрать таким образом,
что решениями уравнения будут все значения неизвестной, принад-
лежащие некоторому промежутку числовой оси. Например, решим
уравнение
kl + |3-*[«3.	' (27)
2
5
х----х- < 0 и поэтому не является
(ЭД.
решением данного
122
ГЛ. 4. АЛГЕБРА
Отметим на числовой оси Ох точки 0 и 3 (нули функций, стоящих
под знаком абсолютной величины). Эти точки разобьют числовую ось
на три промежутка (рис. 4.1):
— оо<х<0;	0 < х С 3;	3<х< + оо.
На этих промежутках:
1) При х С (—оо; 0) уравнение (27) приводится к виду 3 — 2х = 3.
В промежутке (—-оо; 0) последнее уравнение решений не имеет. Анало-
гично, при х £ (3; 4-00) уравнение (27) приводится к виду 2х — 3=3
и в промежутке (3; 4-оо) решений не имеет.
О	3	х
Рис. 4.1.
2) При х С [0; 3] уравнение (27) приводится к виду х + (3 —х) =
е= 3, т. е. обращается в тождество. Следовательно, любое значение
х € [0; 3] является решением уравнения (27).
5.11. Решение уравнений в множестве комплексных чисел. Рас-
смотрим два примера решения уравнений в множестве комплексных
чисел.
Пример!. Найти комплексные числа г, удовлетворяющие ура-
внению *)
a|zH-oz-M = 0,	(28)
где а — некоторое положительное действительное число.
По определению* любое комплексное число z записывается в виде
z = х + iy,	(29)
где х, у — действительные числа.
По определений) модуля комплексного числа
|г| = Г*2+^а-	(зо)
Подставив в уравнение (28) вместо г и | z | их выражения через
х и у, заданные формулами (29) и (30), получим следующую запись
уравнения (28):
х Vx^ + y2 + ах 4- i[y У"хё~+& + ед + 1 ] = 0 4- Oi.	(3!)
Из определения равенства двух комплексных чисел следует, что
уравнение (31) эквивалентно системе двух уравнений
х j/\2 + + ах = О, у К«*2 + у2 + ^ + 1 = 0,	(32)
решения которой отыскивается уже в множестве действительных чисел.*
Нетрудно заметить, что множество решений первого уравнения
системы (32) может быть найдено крк объединение множеств решений
двух уравнений:	_____
х = 0 и Ух2 + у2-}-а = 0.
*) Здесь мы неизвестную величину будем обозначать не буквой xt а бук-
вой z, подчеркивая тем самым, что решения уравнений отыскиваются в мно-
жестве комплексных чисел»
§ 5. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
123
Второе уравнение решений не имеет в силу условия а>0.
Подставляя х = 0 во второе уравнение системы (32), получаем
уравнение для действительного числа у *):
У IУI + аУ + 1 = О,
множество решений которого получается как объединение множеств
решений двух систем:
y>Q’	(33)	У<°’	(34)
^+аг/+1=О;	( ’	-у* + оу + 1 = 0.	( '
Нетрудно убедиться в том, что с учетом условия а > 0 система
(33) решений не имеет, а система (34) имеет единственное решение
у— 2
Таким образом, решением уравнения (28) является чисто мнимое
число	______
. а — j/’a2 + 4
г = /-----
П р и м е р 2. Найти комплексные числа z, удовлетворяющие
уравнению
z = г"-1,	(35)
где z — комплексное число, сопряженное z, а п — натуральное.
Так как для двух комплексно сопряженных чисел гиг имеем
|г| = 1П
то из уравнения (35) следует уравнение
|z| = |*ln-1-	(36)
Уравнение (36) — алгебраическое уравнение (п — 1)-й степени
относительно переменной |z|. Множество решений этого уравнения
следующее:
1)	при п ss 1	|z| = 1;
2)	при п =£ 1 (и С N) | z | == 1 и | z | = 0.
Рассмотрим случай, когда |z| = 1. Умножая обе части уравнения
(35) на z, получаем уравнение
z" = 1,	(37)
которое будет эквивалентно уравнению (35), так как | z |	0, следо-
вательно, и г Ф 0.
Решениями уравнения (37) будут комплексные числа
2л/г , . .	2л&	л «	п
—cos —------И sm - —	(& = 0, 1, 2, . , n —1).
Итак, окончательно решения уравнения (35) имеют вид
1) г = cos —+ i sin —-— (k = 0, 1,2, • . п — 1) при лю-
бом натуральном п\
2) z — 0 при любом натуральном 1.
*) Здесь j у 4 =» обозначение абсолютной величины действительного
числа у.
124
ГЛ. 4. АЛГЕБРА
►	5.12. Диофантовы уравнения. Диофантовым уравнением называ-
ется алгебраическое уравнение с несколькими неизвестными, все коэф-
фициенты которого — целые числа, решения которого отыскиваются
в множестве целых чисел.
Диофантовы уравнения могут либо вовсе не иметь решений, либо
иметь конечное или бесконечное число решений.
Простейшее диофантово уравнение — линейное уравнение с двумя
неизвестными х, у.
ах 4- by = ci	(38)
где a, bt с — целые числа.
Полное решение этого уравнения может быть найдено с помощью
следующего следствия алгоритма Евклида (см.
п. 1.5 гл. 2):
Если число d есть наибольший общий делитель целых чисел а и Ь*
то существуют такие целые числа k и I, что d = ka +
Линейное диофантово уравнение (38) не будет иметь решений,
если числа end взаимно простые. Если же число с кратно числу d
(т. е. представимо в виде с = pd, гдер — целое число, отличное от нуля),
то одно из решений уравнения (38) будет иметь вид
х* » pkt у* = pl.
Множество всех решений диофантова уравнения (38) задается фор*
мулами
где п € Z.
§ 6.	Трансцендентные уравнения
Уравнение, не сводящееся к алгебраическому уравнению с помо-
щью алгебраических преобразований, называется трансцендентным
уравнением *).
Простейшими трансцендентными уравнениями являются показа-
тельные, логарифмические и тригонометрические уравнения.
6.1.	Показательные уравнения. Показательным уравнением на-
зывается уравнение, в котором неизвестная входит только в показатели
степеней при некоторых постоянных основаниях.
Простейшим показательным уравнением, решение которого сво-
дится к решению алгебраического уравнения, является уравнение
вида
(1)
где а и b — некоторые положительные числа (а=£ 1), a f (х) — неко-'
торое алгебраическое выражение. Показательное уравнение (1) экви-
валентно алгебраическому уравнению
f (*) = bga b.
*) Под алгебраическими. преобразованиями уравнения F==0 понимают
следующие преобразования:
1) прибавление к обеим частям уравнения одного и того же алгебраиче-
ского выражения:
2) умножение обеих частей уравнения на одно и то же алгебраическое
выражение;
3) возведение обеих частей уравнения в рациональную степень.
§ 6. ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ	125
В случае, когда / (я) == х, показательное уравнение (1) имеет ре-
шение
X SB loge b.
Множество решений показательного уравнения вида
/>(**)= 0,	(2)
где Р — некоторый многочлен, находится следующим образом.
Вводится новая переменная #== d*, и уравнение (2) решается как
алгебраическое относительно неизвестной у. После «этого решение ис-
ходного уравнения (2) сводится к решению простейших показатель-
ных уравнений вида (1).
Пример 1. Решить уравнение
9.8х— 18.4х — 2.2* + 4 «0.
Записывая уравнение в виде
9 (2*)3 — 18 (2*)2 — 2.2* + 4 = 0
и вводя новую неизвестную у = 2*, получаем кубичное уравнение
относительно неизвестной у,
9^—18уа — 2#+4 =s 0.
Нетрудно убедиться (см. п. 5.7 гл. 4), что данное кубическое урав-
нение имеет единственный рациональный корень = 2 и два ирраци-
/2	/2
овальных корня:	и у3 ----.
о	о
Таким образом, решение исходного уравнения сведено к решению
простейших показательных уравнений:
2* = 2,	2* = -^_ 2х ________—.
•	*	3 ’	3
Последнее из перечисленных уравнений решений не имеет. Решениями
первого и второго уравнений являются следующие значения х:
Х=1 и	X==10g2——.
Некоторые простейшие показательные
уравнения:
1)	Уравнение вида	х
аа2* +	+ «у == 0
заменой я*»у сводится к квадратному уравнению
ад2+ ₽*/+ 7=0.
2)	Уравнение вида
аа* + ₽а** + уг=0
заменой а* « у сводится к квадратному уравнению'
аУ2+ ^+ g = 0.
126
ГЛ. 4. АЛГЕБРА
3)	Уравнение вида
аа2* + ₽ (ab)x + yb2x » О
л / а \*
ваменой ( —) = У сводится к квадратному уравнению
«Р2 +	+ У - 0.
6.2.	Логарифмические уравнения» Логарифмическим уравнением
называется уравнение, в котором неизвестной является аргумент
логарифмической функции.
Простейшим логарифмическим уравнением, решение которого
сводится к решению алгебраического уравнения, является уравнение
JogJW»*,	(3)
где а — некоторое положительное число, отличное от единицы, b —
любое действительное число, a f (х) — некоторое алгебраическое вы-
ражение. Логарифмическое уравнение (3) эквивалентно алгебраиче-
скому уравнению
f (х) = аь.
В случае, когда f (х) а= х, логарифмическое уравнение (3) имеет
решение
х ов сА
Множество решений логарифмического уравнения вида Р (loga х) »
с= 0, где Р — некоторый многочлен, находится следующим образом.
Вводится новая неизвестная у = log* х, и уравнение решается
как алгебраическое уравнение относительно у. После этого решаются
простейшие логарифмические уравнения вида (3).
Пример 1. Решить уравнение
log2*+ log2x —2 =0.	(4)
Относительно неизвестной у =» log2 ж данное уравнение — квад-
ратное:
у2 + у — 2 s 0.
Корни этого уравнения: yi «= 1, у2 «= —2.
Решая логарифмические уравнения
log2x = 1, log2x== — 2,
получаем решения логарифмического уравнения (4): Xj = 2, х2 = 1/4.
В некоторых случаях, для того чтобы свести решение логарифми-
ческого уравнения к последовательному решению алгебраического и
простейших логарифмических уравнений, необходимо предварительно
сделать подходящие преобразования логарифмов, входящих в уравне-
ние. Такими преобразованиями могут быть преобразование суммы ло-
гарифмов двух величин в логарифм произведения этих величин, пере-
ход от логарифма с одним основанием к логарифму с другим основа-
нием и т. д.
Пример 2. Решить уравнение
2	2 logj6x — У log2 х — 6 = 0.	(5)
f б. ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
127
Для того чтобы свести решение данного уравнения к последователь-
ному решению алгебраического и простейших логарифмических урав-
нений, необходимо прежде всего привести все логарифмы к одному
основанию (здесь, например, к основанию 2). Для этого воспользуемся
формулой
iogaw=J^L,
iOgd Я
, 1	10g2 X logs* f-r
в силу которой logfe х =s «а——• Подставив в уравнение
(5) вместо logie* равную ему величину получаем уравнение
У logl х — j/log2x —6 = 0.
3 _____
Заменой yiog^x^y это уравнение сводится к квадратному
уравнению относительно неизвестной у:
у3 — у — 6 == 0.
Корни этого квадратного уравнения: у± = 3, t/2 =□ —2. Решаем урав.
нения У logs х « 3 и log2 х =з —2:
Viog2* == 3 ч=> log2 х == 27 ч=> х = 227*
Vlog2* = —2 •<=> logs х = — 8 <=> х = 2“8.
ПримерЗ. Решить уравнение
logs (2х— 1) — log8 (* — 1) == 1.
Преобразуя разность логарифмов двух величин в логарифм част-
ного этих величин:
log, (2х —1) - logs (X- О = logs
сводим данное уравнение к простейшему логарифмическому уравнению
,	2х—1	, 2х—I о _
logs “7—Г = 1^’;—т-=*3ох:=2.
Уравнение вида
logga)/ (х) = С,
где с — число, a f (х) и g (х) — некоторые функции переменной X.
эквивалентно уравнению
[g(x)f,
рассматриваемому на множестве допустимых значений исходного урав-
нения, которое определяется как множество решений системы не»
равенств
Пример 4, Решить уравнение
logxл (2х2 — 8х + 9) =« 2.	(6)
Множество допустимых значений х определяется как множество
решений системы
2х2-8х-{-9>0,
128
РЛ. 4. АЛГЕБРА
Первое неравенство системы выполняется при любых значениях х, и,
следовательно» решениями системы будут значения х € (1; 2) (J
U (2; +©о).
Логарифмическое уравнение (6) эквивалентно уравнению 2х2 —
— 8х + 9 sss (х — 1)а, КОрНЯМИ КОТОрОГО ЯВЛЯЮТСЯ Xf = 4, х2 == 2.
Множеству допустимых значений уравнения (6) принадлежит лишь
первый корень (Xf = 4), который и есть единственное решение данного
логарифмического уравнения.
§ 7, Системы уравнений
7.1.	Основные определения» Решением некоторого множества (си-
стемы) уравнений
?l хи.... хп) == 0, Fm (xi, хг, хп) = О
с неизвестными х2, ...» хп называется множество значений неиз-
вестных, обращающих одновременно все уравнения системы в тож-
дества. Система уравнений считается решенной, если найдены все та-
кие значения неизвестных или доказано, что не существует набора зна-
чений неизвестных, обращающих одновременно все уравнения системы
в тождества. В последнем случае говорят, что системане имеет решений
или что она несовместна.
Систему уравнений иногда записывают, объединяя уравнения фи-
гурной скобкой.
Две системы уравнений считают эквивалентными, если они имеют
одно и то же множество решений. (Две несовместные системы по оп-
ределению' считаются эквивалентными.)
Говорят, что система уравнений (S) эквивалентна двум системам
уравнений (Si) и (S2), если множество решений системы (S) совпадает
с объединением множеств решений систем (Si) и (S2).
Свойства систем уравнений:
1)	При замене любого уравнения системы эквивалентным уравне-
нием получается эквивалентная система.
2)	Если одно из уравнений системы (S) эквивалентно некоторым
двум уравнениям, то исходная система (S) эквивалентна двум системам
(S1) и (S2), в каждой из которых это уравнение заменено на одно из
уравнений эквивалентной совокупности, а остальные оставлены без
изменений.
Например, система
*2 + У*~Ъ
8 которой первое уравнение эквивалентно двум уравнениям: х 4- у =
0 и хг— ху 4- у2 = 3, эквивалентна двум системам:
х4-у = 0, х4 — ху 4- у2 = 3,
Xs 4- у2 = 7)	х4 4- у2 =• 7.
§ 7. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ	129
7.2.	Системы линейных уравнений. Системой s линейных алге-
браических уравнений с п неизвестными хъ х2, ...» Хп называется си-
стема вида /
011*1 + Л12*2 + • • • + а1ПхП =
а21х1 + а22*2 + • • • + ^2ПХП = ^2»	(D
aslxl + as2*2 + ’ * ’ + а8ПхП = &S-
Величины Oil, 0^2» •••» ain> #21» ^22» •••> а2п» •••> #si> as2, ..., asn на-
зываются коэффициентами данной линейной системы уравнений. Ин-
дексы у коэффициентов линейной системы означают следующее: первый
индекс указывает номер уравнения системы в записи (1), второй индекс
указывает номер неизвестной, при которой стоит данный коэффициент.
Так, например, о25 — коэффициент, стоящий во втором уравнении си-
стемы (1) при неизвестной х5.
Величины blt b2, ...» bs называются свободными членами первого,'
второго, ..., s-ro уравнений системы (1). Система уравнений (1) назы-
вается однородной, если все числа bi равны нулю (i = 1, 2, 3, ...» s),
и неоднородной, если хотя бы одно bi отлично от нуля.
Упорядоченное множество п чисел klt k2, k3, ..., kn называется
решением системы (1), если при подстановке его в систему вместо неиз-
вестных xlt х2, х3, ..., хп все уравнения системы обращаются в тожде-
ства. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя
бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.
Совместная система линейных уравнений называется определенной,
если она имеет единственное решение, т. е. существует только один
набор п чисел klt k2, kn, который обращает все уравнения системы
в тождества.
Совместная система линейных уравнений называется неопределен-
ной, если решений больше, чем одно.
Система однородных уравнений всегда имеет нулевое решение:
= Х2 = х3 = ••• = Хп == 0.
Если система однородных уравнений имеет ненулевое решение
klt k2, ..., kn (т. е. хотя бы одно из чисел k{ 1, 2.../г)) отлично
от нуля), то такая система имеет и бесчисленное множество реше-
ние: вида lkif lk2, ..., lkn, где I — любое число.
7.3.	Метод последовательного исключения неизвестных (метод
Гаусса). Одним из наиболее распространенных методов решения си-
стем линейных алгебраических?уравнений является метод последователь-
ного исключения неизвестных — метод Гаусса. Этот метод основан
на некоторых преобразованиях системы линейных уравнений, в ре-
зультате которых получается система, эквивалентная исходной системе.
Проведем эти преобразования на примере системы трех линейных
уравнений с тремя неизвестными
анх + а12у + a13z = bit
a2lx + а22у + fl23z = b2,	(2)
a31x + a32y + a33z = b3.
1) Если обе части какого-либо уравнения системы домножить
на одно и то же (не равное нулю) число, то полученная система будет
5 А. Г. Цыпкин
130
ГЛ. 4. АЛГЕБРА
эквивалентна первоначальной (т. е. они или обе несовместны, или же
обе совместны и множества их решений совпадают).
Например, система
0ц* + ai2y + a13z = bt,
Сй21Х + Сй22У +	= ct>2 (0 =/= 0),
031* + а^у + 0зз2 = ь3
эквивалентна системе (2).
2) Если обе части какого-либо уравнения системы, умноженные на
некоторое отличное от нуля число, вычесть из соответствующих частей
другого уравнения и составить систему, в которой вместо одного из
упомянутых уравнений стоит уравнение, полученное в результате вы-
читания, а остальные уравнения оставлены без изменений, то получен-
ная система будет эквивалентна исходной.
Например, каждая из систем
0Ц х-р а12 у+ ai3 z = bit
(an — ca2i) x + (ai2 — ca22) у 4- (0i3 — ca23) z=bt — cb2,
G3i	X 4“	032	У +	033	2	= ^з>
(0ii — C021)	x + (ai2 — ca22)	у + (a13 — ca23) 2 = b± — cb2,
Chi	X 4“	022	У 4-	023	2	~ ^2>	<
031	X +	032	У +	033	2	= Ь3
при с Ф 0 будет эквивалентна исходной системе (2) и обе эти системы
эквивалентны между собой.
Заметим, что если после выполнения этих преобразований в системе
появляется уравнение, у которого все коэффициенты в левой части ра-
вны нулю, а правая часть (свободный член) также равна нулю, то оче-
видно, что это уравнение обращается в тождество при любых значениях
неизвестных и после отбрасывания этого уравнения получается система
уравнений, эквивалентная исходной системе. Если же свободный член
такого уравнения не равен нулю, то это уравнение не может обратиться
в тождество ни при каком наборе значений неизвестных, и поэтому полу-
ченная система уравнений, равно как и эквивалентная ей исходная
система, будет несовместной.
Метод последовательного исключения
неизвестных. Пусть дана система s линейных уравнений с п
неизвестными
аИх1 + 012*2 4- • • • 4- ЯугХп = bi,
021*1 4“ Д22*2 + • • •• + 02П*П = ^2>	(3)
0si*i 4- as2x2 + ... 4- asnxn — bs.
Положим для определенности, что коэффициент ац не равен нулю
(хотя он может оказаться и равным нулю, и тогда необходимо начать
описанную ниже процедуру с другого уравнения системы, а именно
с уравнения, у которого коэффициент при. неизвестной х± отличен от
нуля). Преобразуем систему (3), исключая неизвестную хг из всех урав-
нений, кроме первого. Для этого обе части первого уравнения умножим
на число 021/0Ц и вычтем из соответствующих частей второго уравне-
§ 7» СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ	-	131
ния, затем обе части первого уравнения, умноженные на число ая/ед,
вычтем из соответствующих частей третьего уравнения и т. д.
В результате указанных преобразований приходим к системе
ИЗ $ линейных уравнений с п неизвестными
+ 012 *2 + Я13 *з + • • • + 01» хп = bj,
’ "	«22**2 + «23**3 Н--h а2пХп =
«32**2 +«33**3 +----Ь аЗпХп == *3°.	.(4)
as2X2 + fls3* *3 + • • • + °snxn = bs'\
где ajp и ftp — новые коэффициенты при неизвестных и новые сво-
бодные члены, выражающиеся через коэффициенты и свободные члены
исходной системы (3). Система (4) эквивалентна системе (3). Преобразу-
ем теперь систему (4). При этом первое уравнение не будем трогать
совсем и будем преобразовывать- лишь часть системы (4), состоящую из
всех уравнений, кроме первого. Кроме того, мы будем считать, что среди
этих уравнений нет таких, у которых все коэффициенты левых частей
равны нулю, — такие уравнения мы отбросили бы, если бы их свобод-
ные члены были равны нулю (в противном случае мы уже доказали бы
несовместность нашей системы). Итак, среди коэффициентов име-
ются отличные от нуля; для определенности примем, что =/= 0.
Преобразуем теперь систему (4), вычитая из обеих частей третьего и
каждого из следующих уравнений обе части второго уравнения, умно-
женные соответственно на числа .
д(1)
g32	042	as2
л(1)	9	fl(D	9 * ‘ ’ 9	а(1)	*
°22	°22	а22
В результате из этих уравнений, кроме первого и второго, будет исклю-
чена неизвестная х2, и мы придем к следующей системе уравнений,
эквивалентной системе (4), а следовательно, и системе (3):
аИх1 + 012 х2 4“ 013 х3 + • • • 4- 01» Хп = ftl»
+	------Ь <414 = *1”.
«!?«,+ • + <«4-‘!я.
Система содержит теперь t уравнений, причем t s, так как некоторые
уравнения оказались, возможно, отброшенными. В дальнейшем будем
подвергать преобразованиям лишь часть полученной системы, содер-
жащую все уравнения, кроме двух первых.
В результате этого процесса последовательного исключения не-
известных может оказаться, что:
1) если мы придем к системе, в которой одно из уравнений
имеет отличный от нуля свободный член, а все коэффициенты левой ча-
сти равны нулю, то исходная система несовместна;
5*
132
ГЛ. 4. АЛГЕБРА *
ч 2) либо мы получим следующую совместную систему уравнений,
эквивалентную системе (3):
flll*l + °12 *2 + Я1Э х3 + * * * + 01П ХП = ^1»
«22 х2 i «23 *3	+ •			
«23 х3		.. 4- а(2)х а3п хп	М2).	\D)
akk _ xk П------Г akn хп — °k
Здесь пи=^0,	=/= О, =/= О, . .	а верхний ин-
декс, стоящий в скобках, указывает на номер преобразования,
после которого получены эти коэффициенты при неизвестных и но-
вые свободные члены. Отметим также, что и, очевидно, k С п.
Эта система будет определенной при k = п (число уравнений
равно числу неизвестных) и неопределенной при k <п (число урав-
нений меньше числа неизвестных). Действительно, так как при
k = п система (5) имеет вид
011*1 + 012 *2 + 013 хз + • • • + ain хп = ^1»
4’)Х.. + 4’>*з+ ••.+ а2пхп =621)»
a(-2)v ._____________La<2K	— Л<2>	()
с33 *3	“Зп	— °3 ♦
л(п—1)у _/Лп—1)
ипп лп п »
то из последнего уравнения мы получаем вполне определенное значение
для неизвестной хп. Подставляя его в предпоследнее уравнение, мы
найдем единственное значение для неизвестной xn_i.
Подставляя найденные значения хп и xn_i в третье снизу урав-
нение системы, найдем значение хп_ъ. Продолжая эту процедуру под-х
становки найденных значений неизвестных в оставшиеся уравнения,
получим, что система (6), а следовательно, и система (3) имеют един-
ственное решение, т. е. являются совместными и определенными (в этом
случае также говорят, что система (3) приводится к треугольному виду).
Если же £< п.то для «свободных» неизвестных хп+ъ ...» хп
мы возьмем произвольные числовые значения, после чего, двигаясь по
системе (5) снизу вверх, мы, как и выше, найдем для неизвестных *&,
xk-i, х2, xi вполне определенные значения. Так как значения сво-
бодных неизвестных можно выбирать бесконечным числом различных
способов, то система (5), а следовательно, и система (3) будут совмест-
ными, но неопределенными. (В этом случае говорят, что система при-
водится к трапецеидальной форме.)
Итак, метод Гаусса применим к любой системе линейных урав-
нений. При этом система будет несовместной, если в процессе преоб-
разований мы получим уравнение, в котором коэффициенты при всех
неизвестных равны нулю, а свободный член отличен от нуля; если же
такого уравнения не встретим, то система будет совместной. Совместная
система уравнений будет определенной, если она приводится к треуголь-
ному виду (6), и неопрёделенной, если приводится к трапецеидальному
виду (5) при k< п.
§ 7. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ	133
Пример. Исследовать, при каких значениях параметров а и b
система трех линейных уравнений о тремя неизвестными
х + у + z =» О,
2х+ Зу + z~ 1,	(7)
х + 2у + az == b
а) имеет единственное решение (и найти это решение), б) несовместна
и в) неопределенна.
Будем исследовать систему (7) методом Гаусса. Умножая обе части
второго уравнения системы на (—1/2), а обе части третьего уравнения
па (—1), получим системуч эквивалентную системе (7):
* + У + ? = 0,
-х-4^-Тг = ~Т’	(8)
—х — 2у — аг — —Ь.
Сложим первое уравнение системы (8) со вторым, а третье с первым;
уравнения, ролученные в результате сложения, возьмем в качестве
второго и третьего уравнений новой системы, эквивалентной системе (8):
X + у + г = 0,
— у У + у г я 2"»	(9)
—f/+(l — a)z = — b.
Теперь умножим обе части третьего уравнения на (—1/2) и сложим
второе уравнение с преобразованным третьим уравнением; полученное
уравнение возьмем в качестве третьего уравнения системы. В резуль-
тате этих преобразований система (9) примет вид
*+У+г = О,
1,1	1
"2	У +	2	2 *	2	’
1	1	А	1
2	aZ~	2	6	2	•
Умножая обе части второго уравнения на (—2), а третьего на 2,
окончательно получаем систему
х у + г = 0,
4/— 2 = 1,	(Ю)
az ~ Ъ — 1.
В зависимости от значений параметров а и b возможны следующие
случаи:	' •
1) При а =/= 0 и любом b система имеет единственное решение
2 — 2Ъ—а	о Ч- b — 1	b — 1
—-—,	, г= ——
2) При а = 0 и b 1 левая часть третьего уравнения системы (10)
обращается в нуль» а правая отлична от нуля. Следовательно» при
134	ГЛ. 4. АЛГЕБРА
этих значениях параметров а и b система оказывается несовместной.
3) При а == 0 и b == 1 система (10) принимает трапецеидальную
форму. При этих значениях параметров а и b система совместна, не-
определенна и имеет вид
х + у + z = О,
£/ — 2= 1.
Полагая z = ct где с — любое число, получаем множество решений
системы
х = —2с —J, у = с + 1, z = с.
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений с числовыми
коэффициентами в силу простоты и однотипности выполняемых опера-
ций пригоден для счета на электронно-вычислительных машинах.
Существенным недостатком этого метода является невозможность
сформулировать условия совместности и определенности системы в за-
висимости от значений коэффициентов и свободных членов. С другой
стороны, даже в случае определенной системы этот метод не позволяет
найти общие формулы, выражающие решение системы через ее коэффи-
циенты и свободные члены, которые необходимо иметь при теоретиче-
ских исследованиях. Существуют и другие методы решения и исследо-
вания систем линейных уравнений, которые лишены отмеченных недо-
статков. Эти методы основаны на теории матриц и определителей
(см. § 8).
7.4. Некоторые способы решений систем йелинейных алгебраиче-*
ских уравнений. Для систем нелинейных алгебраических уравнений,
в отличие от систем линейных уравнений, не найдено какого-либо
универсального практически удобного метода решения, а потому при
решении каждой конкретной системы нелинейных уравнений прихо-
дится применять специальные приемы решений, основанные на исполь-
зовании особенностей алгебраических уравнений, составляющих дан-
ную систему.
Разберем на примерах два приема решения систем нелинейных ал-
гебраических уравнений.
Пример 1. Решить систему уравнений
ха — Ьху + 4#2 ® 0,	(1)
х2 — 15^2 _ х + 11^==
Замечая, что многочлен двух переменных х и у; стоящий в левой
части первого уравнения системы (1), — однородный, систему (1)
можно свести к двум следующим системам, эквивалентным системе (1)з
Xa-5X{/ + 4^ = O,	/х\2 еМХ.Д-п
У = о,	(2)	\ у )	\ у )	’	(2')
х2—15г/2 — *+ 1117 ss — 4;	х2—15р2—	= —4.
Найдем решения системы (2). Подставляя значение у == 0 в первое
и третье уравнения системы (2), получаем систему двух уравнений для
нахождения значения одного неизвестного х:
х = 0, х2 — х = —4.
Так как не существует числа х, удовлетворяющего обоим уравнениям
системы, то система (2) несовместна. Перейдем к решению системы (2'),
§ 7. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
135
Решим первое уравнение системы (2') как квадратное относительно
переменной и = х/у. Уравнение
и2 — 5и + 4 = О
имеет корни и± = 4, и2 = 1, т. е. xly = 4, xly « 1.
Таким образом, система (2') эквивалентна двум системам:
х = 4у,	х = у,
(3)	(3')
х2 — 15г/а — х + Иг/ — —4;	х2 — 15г/а — х + Иг/ — —4.
Подставляя выражения х через у во вторые уравнения систем,
получаем соответствующие им уравнения для нахождения у\
У2 + 7у + 4 = 0,	— 14z/2 + Юг/ + 4 = 0.
Решения первого уравнения:
—7 + /33	—7 — /33
Решения второго уравнения:
Уз = 1. У* = —2/7.
Системы (3) и (3') имеют соответственно решения:
хг = 2 /33 — 14, х2 = -2/33-14, х3 = 1, х4 = —2/7,
/33 — 7	— /33 — 7
У1 =-----2----’ У* =----------2-----’ Уз = 1 ’	yi== ~2/7’
которые и будут решениями системы (1).
Симметрические системы уравнений. Си-
стема уравнений с двумя неизвестными х и у называется симметричен
ской, если она не меняется при замене неизвестной х на неизвестную г/,
а неизвестной у на неизвестную х.
Часто решение таких систем может быть найдено с помощью вве-
дения новых переменных — элементарных симметрических много-
членов Gj и а2:
Oi<= х+ yt о2 = ху.
Пример 2. Найти решения системы
х2 + ху + у2 = 4,
X + ху + у = 2.	(4)
Введем новые переменные — элементарные симметрические мно-
гочлены
х+ г/, о2= ху.
Относительно переменных <ji и о2 система (4) запишется в виде
— а2 — 4г
Oi + о2 = 2.	*
Выражая о2 из второго уравнения системы через Gji
о2 = 2 — ох	(6)
136
ГЛ. 4. АЛГЕБРА
и подставляя ст2 = 2 — oj в первое уравнение системы (5), получаем
квадратное уравнение о? + О; — 6 = 0, корни которого равны
2 и — 3.
Подставляя найденные значения Oi в равенство (6), получаем зна-
чения о2. Таким образом, множество решений системы (5) имеет вид
ох = 2, оа = 0; Gt — —3, о2 = 5.
Теперь множество решений исходной системь! (4) может быть полу-
чено как объединение множеств решений двух более простых система
х+ у ~ 2, х + у = — 3,
ху = 0;	ху = 5.
Вторая система решений не имеет. Решениями первой системы являются
пары чисел х± == 2, yt = 0 и х2 = 0, у2 == 2.
Пример 3. Решить систему уравнений
X + у = 5,
х* + у6 = 275.
Замена Oi = х-р У, <т2 = ху приводит данную систему уравнений
к виду
Qi — 5,
'	erf — 5о^о2 + 5а|а| = 275.
Подставляя значение ог = 5 во второе уравнение, получим уравнение
ДЛЯ О2:
о2 —25о2+ 114 = 0.
Корнями этого уравнения будут числа 6 и 19.
Таким образом, множество решений исходной системы находится
как объединение множеств решений двух более простых систем:
х + у = 5, х + У = 5,
ху =6; ху = 19.
Решим первую систему. Из первого уравнения имеем 5 — х.
Подставляя у = 5 — х во второе уравнение, получаем квадратное
уравнение относительно неизвестной х: х2-—5х+б = 0, корнями
которого являются Xi = 3 и х2 = 2. Из равенства у = 5 — х находим
уг = 5 — хг = 2 и у2 == 5 — х2 = 3. Итак, решения первой системы —
пары чисел xt = 3, ух = 2 и х2 = 2, у2 = 3.
Аналогичным способом можно убедиться, что вторая система не
имеет решений.
В п. 7.3 были рассмотрены системы линейных алгебраических
уравнений, в которых число уравнений было меньше числа неизвест-
ных. При этом оказывалось, что одни неизвестные выражались через
другие («свободные») неизвестные, т. е. система имела бесчисленное
множество решений. По-другому обстоит дело в случае решения систем
нелинейных алгебраических уравнений, в которых число неизвестных
больше, чем число уравнений. Может оказаться, что такая система
имеет как бесчисленное, так и конечное число решений или даже вовсе
не имеет решений. Сейчас мы рассмотрим в качестве примера систему
двух алгебраических уравнений с тремя неизвестными, которая имеет
§ 8. ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 137
единственное решение (т. е. множество решений представляет собой
единственную упорядоченную тройку чисел, обращающую оба урав-
нения в тождества).
Пример 4. Найти действительные решения системы
х + у = 2,	(7)
xy — z2~ 1.
Выражая у через х из первого уравнения и подставляя у = 2 — х
во второе уравнение, получаем уравнение (х — I)2 + г2 = 0, которое
эквивалентно системе
х — 1 = 0, г = 0.
Эта система имеет единственное решение, а поэтому и система (7)
двух уравнений с тремя неизвестными имеет.только одно решение
(1; I; 0).
§ 8. Исследование систем линейных уравнений
с помощью определителей
8.1. Матрицы и операции вад ними. Прямоугольная таблица
«11	012	«1з	•	• •	«in
«21	«22	«23	.	. .	О-гп
.fynl	ат2	атз	•	• •	О'гпп
составленная из т*п чисел, называется матрицей из т строк и п went)*
цов или матрицей размера mXn, а также тХ/г-матрицей.
Числа aij (1 = 1, 2, ...» m; /= 1, 2, ..., /г) называются эле*
ментами матрицы; первый индекс i элемента указывает номер строки*
в которой стоит элемент матрицы, а второй индекс / — номер столбца.
Матрица (1) может обозначаться также
||«О||, i = 1, 2, ..., т; /= 1, 2, ..., п.
Кроме того, для матриц используются
обозначения
«и	«12	«13	• • •	«1п
«21	«22	«23	. . .	«2П
ат1	«m2	«m3	• • • «тп/
~ «11	«12	'«13	• • • «1п
«21	«22	«23	• • •	«2П
_ ат1	«m2	«m3	• • • «тп _
или [«,;].
ИЛИ (Ojj)J
Если число строк матрицы равно числу ее столбцов (и равно п),
то матрица называется квадратной матрицей (порядка п).
Две матрицы ||а^-1| и называются равными, если числа их
строк и столбцов соответственно равны и равны числа, стоящие на
соответственных местах:
aij = bki при := k и / = /.
138
ГЛ. 4. АЛГЕБРА

Основными арифметическими операциями над матрицами являются
умножение матрицы на число, сложение матриц и умножение матриц.
Далее для краткости матрицы также будем обозначать буквами А, В, ...
Умножение матрицы на число. Произведением
числа Л и матрицы А = || atj || называется матрица В = || btj ||, эле-
менты которой вычисляются по правилу btj — к-ац, т. е. каждый эле-
мент матрицы btj представляет собой произведение числа к и элемента
матрицы atj.
Например,
#11	#12 I	I ^-#11	^-#12
#21	#22 I	I ^#21	^#22
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой ма-
трицей и обычно обозначается символом 0 (или 0/7).
Свойства операции умножения матрицы
на число:
1) коммутативность:
М = Д4;
2) ассоциативность:
(а.р).Д = а. (Р.Д).
Сложение матриц. Суммой двух матриц А = ||atj|| и
имеющих соответственно равные числа строк и столбцов
(t, k = 1, 2 m и /, / = 1, 2, ..., п), называется- матрица S=
— размера /иХп с элементами, равными суммам соответственных
элементов матриц А и В: stj = а/7* + btj. Сумма матриц А и В
обозначается А + В.
Например, суммой матриц
2	1	1 I	|	—2	—2	31|
О	—1	5 I’	I	2	3	1||
Является матрица
10	—1	4	1
[2	2	6	Г
Свойства операции сложения матриц:
1) коммутативность:
А + В — В+ А;
2) ассоциативность:
(Д + В) + С = А + (В + О;
8) дистрибутивность относительно сложения матриц!
X. (Д + В) = Х.Д + Х-В;
4) дистрибутивность относительно сложения чисел!
(а+ ₽)-Д = а.Д + 0.Д.
Перечисленные свойства операций умножения матрицы на число и опе-
рации сложения матриц есть следствия определения этих операций
и свойств коммутативности и ассоциативности операций сложения и
§ 8. ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 139
умножения действительных чисел, а также дистрибутивности умноже-
ния относительно сложения.
Операция сложения матриц имеет обратную операцию — вычи-
тание. Разностью матриц А и В называется матрица С, составленная
из разностей соответственных элементов заданных матриц А и В.
О матрице С Говорят, что она получена в результате вычитания матрицы
В из матрицы Л, и пишут С — А —В.
Умножение матриц. Пусть Л и В — две матрицы,
причем число столбцов первой матрицы равно числу строк второй ма-
трицы, т. е. эти матрицы имеют вид
ап ап ... ain
^2t	а%2 ... а2п
amt ат2 • . . атп
&Н	Ьп	т	&ik
^2i	^22	♦ • •	&2k
^tli	Ьп2	• • •	Ь/lk
и В =
Произведением матриц Л = || аг j || и В = (| btj || называется матрица
С порядка тХ kt элементы которой вычисляются по правилу
Cij = anbij + ai2b2j + • • • + atnbnji i = 1 f 2, . . M mt
7=1, 2, . . k,
т. e. элемент, стоящий в i-й строке и /*-м столбце произведения двух
матриц, получается в результате умножения первого элемента i-й
строки матрицы Л на первый элемент /-го столбца матрицы В, второго
элемента i-й строки матрицы Л на второй элемент /-го столбца матрицы В
и т. д. и последующего сложения всех таких произведений пар элементов
матриц Л и В. Произведение матриц А и В обозначается Л «В. Сог-
ласно, данному определению произведение матриц Л’В существует,
если число строк матрицы Л равно числу столбцов матрицы В.
Операция умножения матриц, вообще говоря, некоммутативна.
Например,
т. е. произведение матриц зависит от порядка следования сомножителей.
Более того, если перемножать неквадратные матрицы, то может ока-
заться, что произведение двух матриц, перемножаемых в рдпом порядке,
существует, а в другом — нет.
s Операция умножения матриц ассоциативна;
(Л-В).С= Л-(В-С).
Основные свойства операции умножения
матриц*):
а-(Л-В) = (а-Л)-В;	Л-(а-В) = (Л-а)-В;
(Л-В)-а= Л-(В.а); (Л + В)-С = Л-С+ В-С;
С-(А + В) = С-Л + С-В.
В множестве квадратных матриц фиксированного порядка п опе-
рации сложения и умножения определены для любых двух матриц —
суммой и произведением двух квадратных матриц порядка п снова
Эти свойства справедливы, естественно, лишь в том случае, если ука-
занные действия над матрицами имеют смысл (т. е. только для тех матриц,
число строк и столбцов которых удовлетворяет соответствующйм условиям).
140
ГЛ. 4. АЛГЕБРА
будут, квадратные матрицы порядка л, т. е. множество всех квадрат-
ных матриц фиксированного порядка замкнуто относительно операций
сложения и умножения, причем операция умножения ассоциативна,
но, вообще говоря, не коммутативна.
Элементы а1ь а22, ...» аПп квадратной матрицы порядка п назы-
ваются диагональными элементами.
Квадратная матрица, все диагональные элементы которой равны 1,
а остальные — нули, называется единичной и обозначается Е (или Еп,
где п — ее порядок, или ||6ij||, где i, / = 1, 2, п. Символ $tj имеет
специальное название — «символ Кронекера»).
Для любой квадратной матрицы А порядка п справедливо ра-
венство
£п-А = А*ЕП =А.
Матрица порядка и, у которых ац = 0 для всех i ц 1. е.
матрицы вида
«И	0	0	...	0
0	«22	0	...	0
0	0	«зз	...	0
0	0	0	...	ипГ1
называются диагональными матрицами (об элементах ац, a22i ..., апп
также говорят, что они стоят на главной диагонали).
Свойство диагональных матриц. Сумма и произ-
ведение двух диагональных матриц т- также диагональные матрицы.
Транспонирование матриц. Пусть А = || ац || —•
матрица размера тХп:
«и
«21
ат1
Д—
«12	.	.	.	«1л
«22	•	•	•	«2Л
«m2	•	•	•	«тл
Матрица, получающаяся из матрицы А заменой строк столбцами,
называется транспонированной матрицей по отношению к матрице А
и обозначается Ат.
Квадратная матрица А называется симметрической, если Ат= А,
и кососимметрической, если Ат = —А.
Элементы, расположенные симметрично относительно главной
диагонали, у симметрической матрицы равны, а у кососимметрической
противоположны. Все диагональные элементы кососимметрической
матрицы равны нулю.
8.2. Определители. Существенным недостатком решения систем
линейных уравнений методом последовательного исключения неиз-
вестных (см. п. 7.3) является то, что он не позволяет сформулировать
условия совместности и определенности системы линейных уравнений
через ее коэффициенты и свободные члены, а также (в случае опреде-
ленной системы) не дает формул, выражающих решение системы через
ее коэффициенты и свободные члены, которые могут быть полезными
при теоретических исследованиях.
Понятие определителя возникло при решении задачи нахождения
общих формул для решений систем линейных уравнений через ее коэф-
фициенты и свободные члены.
§ 8. ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Щ
Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвест-
ными х и у.
,аих + а12у = Ьь	(2)
а21х + а22у — Ь2.
Матрицы
д _ || аИ fl12 I Д — I 011 ’ ai2 II
|| «21	«22 I 9	| «21	«22	Ь-2 ||
называют соответственно основной и расширенной матрицами системы (2).
Умножим первое уравнение системы на «22, второе на (—а12) и
сложим эти уравнения. В результате сложения получим уравнение
(«Ц«22 — «12«21) ’ Х = ^1«22 - ^2а12«	(3)
Аналогично, умножая обе части первого уравнения на (—а21),
второго на ап и складывая эти уравнения, получим уравнение
(«Ц«22 — «12«21)’Z/ = «11^2 - «21^1*	(3')
Коэффициент при неизвестных х-и у в левых частях уравнений (3),
(3') один и тот же и выражается через элементы матрицы А следующим
образом: он равен произведению- элементов главной диагонали минус
произведение элементов второй диагонали.
Выражение апа22 — ^i2a2i называется определителем (или детер-
минантом) матрицы А — ||<2fj|| (i, j = 1,2) и обозначается det А
(или | А |, или | atj |). Выражение апа22 — «i2«2i — определитель вто-
рого порядка, так как матрица А является матрицей второго порядка.
В правых частях равенств (3), (3') стоят выражения, имеющие
такой же вид, как и коэффициент в левой части, и также представляют
собой определители второго порядка: правая часть равенства (3) яв-
ляется определителем матрицы, полученной из матрицы А заменой
ее первого столбца на столбец свободных членов системы (2)г правая
часть равенства (3') — определитель ^матрицы, полученной из матрицы Л
заменой ее второго столбца на столбец свободных членов системы (2).
Уравнения (3), (3') теперь можно записать в виде
Д.х = Дх, к-у = Ьу,
где через А, Дх и Ду обозначены определители
| «ц «12 I
Д =	= «11«22 — «12«21,
I «21	«22 I
А	|^1	Й12|
Дх =	| — ^1«22 - ^2«12>
I «2	«22	I
.	I «И	bi	I
Д„ =	= «цОг— «21^1-
I «21	Ь2	|
Рассмотрим систему трех уравнений с тремя неизвестными х,
у и г:
оцх + а12у + а13г = bit
аг1х + а.22у.+ a2Sz = 62,	(4)
«si* +	+ аззг = Ь3.
142
ГЛ, 4. АЛГЕБРА
Матрицы
л = || аМ|| =
0ц	cig	013
02i	022	023
031	032	033
011
021
031
012	013	^1
022	023	^2
032	0зз	Ь3
д =
называются основной и расширенной матрицами системы (4).
Так же как и в случае системы двух линейных уравнений с двумя
неизвестными, для неизвестной х можно получить уравнение, коэф-
фициенты которого выражены через коэффициенты системы и ее сво-
бодные члены:
(0Ц022038 + 012023031 + 013021032 —’ 013022031	012021033
— 011023082)** = ^1022033 Н* 012028^3 Н* G 13^20.32
— 013022^3 — 012^2033 — ^1023032*	(5)
Коэффициент при х в уравнении (5) называется определителем
(или детерминантом) квадратной матрицы третьего порядка А и обоз-
начается |Д | или det ||о/у|| или |а/у|.
Таким образом, определитель матрицы третьего порядка вычис*
ляется по правилу
0Ц 012 013
021 022 023
031 032 033
= 0Ц022033 + 012023031 + 013021032 — 013022031 —
«— О12О21033 — 0Ц023032.
Правило вычисления определителя матрицы третьего порядка
графически можно изобразить следующим образом: на рис. 4.2 пря-
мыми соединены элементы матрицы третьего порядка, произведение
которых входит в определитель со знаком плюс, а рис. 4.3 прямыми
соединены элементы этой матрицы, произведение которых входит
в определитель со знаком минус.
Правая часть равенства (5) также будет определителем третьего
порядка матрицы, полученной из матрицы А заменой ее первого столбца
на столбец свободных членов системы (4). Если обозначить определи-
тель матрицы А через А, а определитель, стоящий в' правой части ра-
венства (5)f через АЛ1 то уравнение (5) примет вид
Д*х~ А*.
§ 8. ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 143
Аналогично из системы (4) можно получить уравнения для нахож-
дения неизвестных у и г:
д.у = Ду, Д-2 = дг,
где через и Аг соответственно обозначены определители третьего
порядка матриц, полученных из матрицы А заменой ее второго (соот-
ветственно третьего) столбца столбцом свободных членов, т. е.
	bi 012 013		0ц bi at3		011 012 bi	
Ал =	^2 022 023	* д0 =	021 *2 023		021 022 Ь^	•
	Ь$ 082 083		081 bs азз		a3i 033	
Понятие определителя вводится для любой квадратной матрицы
А « || а/; || л-го порядка.
Образуем всевозможные произведения по п элементов этой матрицы,
расположенных в разных строках и разных столбцах, т. е. произведе-
ния вида
. •аЫд,	(6)
где индексы ij, f2, in образуют некоторую перестановку из чисел 1,
2, ..., п. Число таких перестановок (а следовательно, и всевозможных
произведений вида (6)) равно п\
Определителем квадратной матрицы n-го порядка
II aii	aiz	• • •	01п
021	022	• • •	въп
Qnl ап2 • • • апп
называется алгебраическая сумма всевозможных различных произ-
ведений
£(—l)palfl.a2i2. . . . -anjn, .
где р1, если подстановка
/1	2	3
\ h	h	*з
п \
in /
нечетная, и р =» 2, если указанная подстановка четная.
Определитель квадратной матрицы n-го порядка обозначается
ли	012	...	atn
021	а22	•••	02/1
0«1	0fl2	• • •	Ann
или det || ay[|,. i, ] = 1, 2, . . n.
Основные свойства определителей:
1)	определитель транспонированной матрицы равен определителю
исходной матрицы;
2)	если одна из строк определителя состоит только из нулей, то
определитель равен нулю;
3)	при перестановке местами двух строк определителя получается
определитель противоположного знака;
144
ГЛ. 4. АЛГЕБРА
4)	определитель, имеющий две одинаковые строки, равен нулю;
5)	если все элементы некоторой строки определителя умножить
на число k, то сам определитель умножится на k't
6)	если одна из строк определителя пропорциональна другой
строке, то определитель равен нулю;
7)	если все элементы i-й строки определителя n-го порядка пред-
ставлены в виде суммы двух, слагаемых aj+ bj (j = 1, 2, ..., 0), то
определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки,
кроме Z-й, такие же, как и в исходном определителе, а i-я строка одного
из определителей состоит из элементов ajt а другого — из элементов bj;
8)	определитель не меняется, если к элементам одной из строк
прибавляются элементы другой строки, умноженные на одно и то же
число.
Вычисление определителей порядка выше третьего может быть
основана на следующем свойстве определителей, которое называется
разложением определителя по строке.
Пусть ||atj|| — матрица м-го порядка. Определитель этой матрицы
может быть записан в виде
det |||1 ==0ц*| ^111 — 012*1 ^12 !+••• + (—О*1”*1 ffi/rMtfl|>
где через |Л^| обозначен определитель матрицы (п — 1)-го порядка,
полученной из матрицы |]а^|| вычеркиванием первой строки и /-го
столбца.
С помощью этого свойства определителей нетрудно, например,
вычисление определителя произвольной квадратной матрицы четвер-
того порядка свести к вычислению определителей третьего порядка,
если записать ее определитель в виде
0ц	012	013	014
021	022	023	024
031	032	033	034
041	042	043	044
= 011 •
024		021
034	— 012	031
044		041
023 024
022 023
032 033
042 043
033 034 +
043 044
	021'022 024		021
+ 01. •	031 032 0.34	— 014’	031
	041 042 044		041
022 023
032 033 •
042 043
8.	3. Ранг матрицы. Пусть ЛжвЦа^Ц— матрица размера тХп
(i = 1, 2, ...» т; / — I, 2, ..., п), т. е. матрица, состоящая из т строк
и п столбцов. Выберем какие-нибудь k строк и k столбцов матрицы А
(k не превосходит наименьшего из чисел т, п). Элементы матрицы Л,
находящиеся на пересечениях отмеченных строк и отмеченных столб-
цов, записанные в их естественном порядке, образуют квадратную
матрицу порядка k. Определитель этой квадратной матрицы порядка k
называют минором Z?-ro порядка матрицы А.
Рангом матрицы А называют наивысший порядок отличныл от
нуля миноров матрицы А.
Пример. Найти ранг матрицы
2
1
О
А =
—4 3
—2 I
1 О
§ 8# ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 145
На пересечении первой строки и первого столбца стоит элемент
матрицы ац =» 2. Следовательно, ранг матрицы А не меньше единицы.
Из элементов, стоящих на пересечении первых двух строк и пер-
вых двух столбцов образуем матрицу
2 —4II
1 — 2 ||’
определитель которой равен нулю. Однако в матрице А содержатся
и отличные от нуля миноры второго порядка. Таким минором, например,
будет определитель матрицы, составленной из элементов, стоящих
на пересечении первого и второго столбцов и второй и третьей строки:
Следовательно, ранг данной матрицы по крайней мере равен двум.
Минором следующего (третьего) порядка будет определитель
матрицы Д, который равен нулю.
Следовательно, ранг данной матрицы равен двум.
Ранг матрицы может быть найден и без вычисления различных
миноров этой матрицы. Этот метод вычисления ранга матрицы основан
на использовании следующих элементарных преобразований матрицы,
не меняющих ее ранга:
1)	перемена местами двух строк или двух столбцов;
2)	умножение строки или столбца на произвольное отличное от
нуля число;
3)	прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца),
умноженной на некоторое число.	- '
Для нахождения ранга матрицы размера т X п необходимо с по-
мощью указанных элементарных преобразований привести матрицу
к виду, в котором все элементы ац (i j) равны нулю. Ранг исходной
матрицы будет равен числу отличных от нуля элементов полученной
матрицы.				
Пример.	Найти ранг i		матрицы	
		0	2	—4
		—I	—4	5
	А =			
		3	1	7
		0	' 5'	— 10
Меняя местами в этой матрице первый и второй столбцы и умно-
жая новую первую строку на 1/2, получаем матрицу, у которой эле-
мент ац равен 1:
1	0	-V
—4	— 1	5
13	7*
5	0	—10
146
ГЛ. 4. АЛГЕБРА
Прибавляя к третьему столбцу удвоенный первый столбец, полу»
чаем матрицу
1	О	О
-4	—1	—з
1	3	9
5	0	0
Преобразуем строки матрицы, начиная со второй. Умножим пер-
вую строку на 4 и сложим со второй строкой; умножим первую строку
на (—1) и сложим с третьей строкой; умножим первую строку на (—5)
и сложим с четвертой строкой. В результате этих элементарных пре-
образований получится матрица
1	0	0
0	—1	— 3
0	3	9
ООО
Далее последовательно будем преобразовывать строки и столбцы
матрицы, не меняя первой строки и первого столбца:
1)	умножим вторую строку на (—1);
2)	умножим вторую строку на (—3) и сложим с третьей строкой^
3)	умножим второй столбец на (—3) и сложим с третьим столбцом.
В результате этих трех элементарных преобразований последовательно
получаются матрицы
1	0	0		1	0	0		1	0	0	
0	1	3		0	1	3		0	1	0	
0	3	9	>	0	0	0		0	0	0	•
0	0	0		0	0	0		0	0	0	
В последней матрице все элементы atj (i j) равны нулю. Из
элементов alt отличны от нуля лишь ац и а22- Ранг этой матрицы
(а следовательно, и ранг матрицы Я) равен двум.
8.4. Исследование систем линейных уравнений с помощью опре->
делителей. Формулы Крамера. Рассмотрим систему т линейных урав-
нений G и неизвестными xit х2, ...»хп:
ЛИ *1 + Хг + • • • + ain хп == Ьи
#21 Xi + 022 Х2 + • • • + 02П Хп == b2t
(7)
&mlXi 4- am2X2 + • • • + ChnnXn == ^rn-
Для записи системы уравнений (7) используется и более короткая
(матричная) форма записи. Записывая неизвестные xj, х2, ..., хп и
§ 8. ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
147
свободные члены b^, Ь2, bm в виде столбцов (матриц размера лХ1
и /пХ 1 соответственно) и обозначая эти столбцы через X и 5}
систему (7) можно записать
в виде
Д-Х = В.
Матрица
Л = || ^|| =
ап
#21
#12
«22
ain
&2П
ат! ат2 • • • атп
называется основной матрицей системы (7), а матрица
011	#12	• • • #ln bi
ТГ «21	«22	• • •	«2П bi
ami ат2 . . . атп bm
— расширенной матрицей этой системы, причем ранг матрицы А либо
равен рангу матрицы А, либо на единицу превышает его.
Определитель матрицы А называется определителем системы (7).
Система уравнения называется крамеровской, если число уравне-
ний совпадает с числом неизвестных и определитель системы отличен
от нуля.
Любая крамербвская система уравнений имеет единственное реше-
ние (хь х2, ...» хп), даваемое формулами
&Xi
(8)
где Дхг — определитель матрицы, полученной из матрицы А заменой
i-го столбца на столбец свободных членов системы (7). Формулы (8)
называются формулами Крамера.
Полный ответ на вопрос о существовании решения системы т
линейных уравнений с п неизвестными дает следующая теорема
Кронекер а—К а п е л л и:
Для того чтобы система уравнений (7) имела решение, необходимо
и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы был равен рангу
основной матрицы системы. Если ранги основной и расширенной мат-
риц совпадают с числом неизвестных, то система имеет единственное
решение. Если ранг г основной и расширенной матриц меньше числа
неизвестных (г< п), то система (7) имеет более одного решения,
В последнем случае число «свободных» неизвестных, через кото-
рые выражаются остальные неизвестные, равно п — г.
148	ГЛ. 4. АЛГЕБРА
Система двух линейных уравнений с двумя
неизвестными. Система двух линейных уравнений с двумя
неизвестными
(9)
матрицы:
012 Ь\
«22	^2
причём ранг матрицы А равен рангу матрицы А или на единицу больше
его.
Система двух линейных
быть записана в виде (см.
011* + 012*/ =
«21^ “Ь 022# = ^2
имеет следующие основную и расширенную
л = ||ап а,2||, л = ||а11
I 021 . 022 I	|| 021
уравнений с двумя неизвестными может
п. 8.2)
&1	012 I	I «11	^1
где
д _ I 011 0,2
| «21	«22 |	I &2	«22 |	7	| «21	^2 |
Для системы (9') (а следовательно, и для системы (9)) возможны
следующие случаи:
I) Если определитель этой системы
Я «и Я12
«21	«22
не равен нулю, то ранг матрицы А равен двум, ранг матрицы А также
равен двум, система (9) — крамеровская и имеет единственное реше-
ние, определяемое формулами Крамера.
2) Если определитель этой системы равен нулю (А = 0), то ранг
матрицы А равен единице (так как хотя бы одно из чисел allf «12, «21,
«22 отлично от нуля), и возможны два случая:
а)	ранг расширенной матрицы А равен двум, т. е. отличен от нуля
хотя бы один из определителей
^1	0121 . А 1«и
, I» Ду == I
«2	«22 I	I 021	«2
тогда согласно теореме Кронекера—Капелл и система (9) решений не
имеет;
б)	ранг расширенной матрицы А равен единице, т. е.
Ах = А^ = 0.
Тогда согласно теореме Кронекера—Капелли система имеет более
одного решения; число свободных неизвестных равно числу неизвест-
ных минус ранг матрицы Л, т. е. равно единице, и связь между неизве-
стными дается одним из уравнений системы.
Решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными
имеют следующую геометрическую интерпретацию.
Каждое из уравнений системы (9) задает линейное соответствие
между переменными х и у. Всякое линейное соответствие между пере-
менными х и у определяет в прямоугольной системе координат Оху
Ах ==
§ 8. ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 149
некоторую прямую. В случае, когда система имеет единственное ре-
шение, прямые, задаваемые первым и вторым уравнениями, пересе-
каются (рис. 4.4). Если система имеет бесчисленное множество решений,
прямые совпадают (рис. 4.5); если система несовместна) прямые па*
раллёльны (рис. 4.6).
.Система трех линейных уравнений с тремя
неизвестными. Система трех линейных* уравнений с тремя
неизвестными х, у, г
0ц* + а12у + a13z = blt
а21х + а22у + a23z == Ь2,	(10)
031* “Ь ty&y Н” «зз* = Ь3
имеет основную и расширенную матрицы								
	0и	012	' 013	,	А =	011	012	013	bi
Д =	а2т	022	а23		021	022	023	bi
	031	Й32	0зз		031	032	033	Ьз
причем ранг матрицы А равен рангу матрицы А или на единицу
больше его. Для системы (10) возможны следующие случаи:
1)	Если определитель этой системы
Д = | А | = det
ац	а12	aig
021	а22	0гз
0м	аза	азз
150
ГЛ. 4. АЛГЕБРА
не равен нулю, то система (10) — крамеровская и она имеет единствен-
ное решение, определяемое формулами Крамера:
где ]
^1
Д» =
012 013
022 <223
032 033
	0Ц	bi	013		0Ц	012	Ь1
д»=	021	^2	023	> =	021	022	bi
	031	Ьз	033		031	032	bs
Ьз
2)	Если определитель Д ==_0, т. е. ранг матрицы А меньше трех,
а ранг расширенной матрицы А больше ранга матрицы А, то система
не имеет решений (несовместна).
Рис. 4,8.
3)	Если определитель Д = 0 и ранг матрицы А равен рангу рас*
ширенной матрицы А, то система имеет более одного решения. При
этом, если ранги матриц А и А равны двум (единице), то число свобод-
ны^ неизвестных равно разности числа неизвестных и рангу матриц А
и А, т. е. равно одному (двум).
Рис. 4.9.
Рис. 4.10а
Более подробный анализ случаев 1) **- 3) приведен ниже, где ра-
зобраны все возможные различные соотношения между рангами мат-
риц А и А*).
Линейное уравнение с тремя неизвестными х, г определяет
плоскость в пространстве и соответственно три уравнения системы (10)—
три плоскости. Возможны следующие случаи взаимного расположения
этих трех плоскостей af, a2, a3, задаваемых соответственно первым,
вторым и третьим уравнениями:
♦) Здесь опущены случаи? когда ранг матрицы А равен нулю, а ранг
матрицы А равен единице или нулю. Геометрическая интерпретация $тих
случаев весьма тривиальна.
§ 9. НЕРАВЕНСТВА
151
1)	Если система имеет единственное решение (ранг матрицы равен
трем), то все три плоскости различны и пересекаются в одной точке
(рис. 4.7). Решением системы являются координаты этой точки.
2)	Если ранг матрицы А равен двум, а ранг матрицы А равен трем,
то система не имеет решения. Две плоскости пересекаются по пря-
мой /, параллельной третьей плоскости (на рис. 4.8 плоскости а3).
3)	Если ранг матрицы А равен единице, а ранг матрицы А равен
двум, то система не имеет решений. Плоскости, задаваемые уравне-
ниями системы, параллельны (рис. 4.9), причем две плоскости (на
рис. 4.10 плоскости Oj и а2) могут совпадать.
4)	Если ранги матриц А и А равны между собой и равны 2, то
система имеет бесчисленное множество решений. Все три плоскости
пересекаются по
одной прямой (рис. 4.11). При этом две плоскости
могут совпадать (рис. 4.12). Ре-
шением системы будут коорди-
наты любой точки, принадле-
жащей указанной прямой.
Рис. 4.11.
Рис, 4.13,

5) Если ранги матриц Л и Л равны между собой и равны единице,
то система имеет бесчисленное множество решений. Все три плоскости
совпадают (рис. 4.13). Решением системы будут координаты любой
точки, принадлежащей совпадающим плоскостям.
§ 9.	Неравенства
9.1.	Определения и основные свойства неравенств. Неравенства-
ми называют выражения вида
а<Ь	я>Ь (а>Ь),
где а и b могут быть числами или функциями. Символы < (^), > (>)
называются знаками неравенства и читаются соответственно: меньше
(меньше или равно), больше (больше или равно).
Неравенства, которые записываются с помощью знаков > и <,
называются строгими неравенствами, а неравенства, в записи которых
участвуют знаки > и С, — нестрогими.
Нестрогое неравенство эквивалентно строгому неравенству того же
внака и равенству.
Различают два вида неравенств: арифметические (или числовые),
в записи которых участвуют только числа, и неарифметические, в за-
писи которых наряду с числами участвуют функции одной или не-
скольких переменных.
Например, числовыми неравенствами будут
2> 1,	/2 <7.
Неарифметическими неравенствами будут, например, неравенства
а < 1, Iga х + tg х > 0, х2 + у* > /?2.
152
ГЛ. 4. АЛГЕБРА
Функции, входящие в неравенства, могут принимать различные
числовые значения в зависимости от различных значений своих аргу-
ментов. При одних значениях аргументов неравенство может быть
справедливым, при других — нет.
Основные свойства неравенств*):
1)	Если а> Ь, то &< ал z	ч
если а < Ь, то 6> а (антисимметричность).
2)	Если а > b и Ь > с, то а > с; (тоан9итивност. ч
’ если а< b и Ь< с, то а< с (транзитивность).
Арифметические действия с неравенствами.
1)	Два неравенства одинакового знака можно складывать; при
этом в результате сложения получается неравенство того же знака: -
если а > b и с > d, то а + с> b + d\
если а < b и с < dt то а + с < b+ d.
2)	Если обе части неравенства умножить (разделить) на одну и
ту же положительную величину, то получится неравенство того же
знака; если же обе части неравенства умножить (разделить) на отри-
цательную величину, то получится неравенство противоположного
знака:
если а У	> b и с *	> 0, то ас	> Ьс\
если а <	С Ь и с	> 0, то ас <	С Ьс\
если а х	> b и с <	С 0, то ас <	Z Ьс;
если а <	Z b и с <	С 0, то ас х	> Ьс\
3)	Как следствие правил сложения неравенств и умножения обеих
частей неравенств на одну и ту же величину получается правило вычи-
тания неравенств разного знака:
Из одного неравенства можно почленно (из левой части — левую,
а из правой части — правую) вычитать другое неравенство противо-
положного знака. В результате получится неравенство, имеющее знак
первого неравенства:	_	.	-
если а < b и с > dt то а — с < д — d;
если а > b и с < d, то а — с > b — d.
4)	Если к левой и правой частям неравенства прибавить одну и
ту же величину, то в результате получится неравенство того же знака:
если а > Ь, то а + с > b + с.
9.2.	Некоторые важные неравенства.
1)	Для любых действительных чисел а и b выполняется неравенство
|а+Я<|а| + |5|,
т. е. абсолютная величина суммы двух действительных чисел не пре-
восходит суммы абсолютных величин этих чисел.
Методом математической индукции можно доказать, что для любого
конечного числа слагаемых at справедливо неравенство
п
1=1
< S 1**1.
/=1
♦) Все сказанное ниже для случая строгих неравенств остается справед-
ливым и для нестрогих неравенств.
§ 9. НЕРАВЕНСТВА
153
причем равенство достигается в том и.только в том случае, когда все
слагаемые — числа одного знака.
2)	Для любых действительных чисел а и b выполняется неравен-
ство
т. е. абсолютная величина разности двух чисел не меньше абсолютной
величины разности абсолютных величин этих чисел.
3)	Для любых двух действительных чисел а и b выполняется
неравенство
а2 + ЬI 2,	2 | ab |,
причем равенство достигается в том и только том случае, когда | а | ==
== I b |.
4)	Если а и Ъ — действительные числа одного знака (ab >0), то
а I- 2
причем равенство достигается в том и только том случае, когда а == bt
5)	Неравенство Коши\ если а и Ъ — неотрицательные действи-
тельные числа, то
о -4- b 1/“~т
—у—
т. е. среднее арифметическое двух неотрицательных чисел не меньше
их среднего геометрического.
Аналогичное неравенство справедливо и для любого конечного
набора неотрицательных чисел at (i = 1, 2, 3, ...» n):
^.+ .^±°.1+_-:.±.а".>Уа1а2аз . :: ап,
т. е. среднее арифметическое п неотрицательных чисел больше или
равно их среднему геометрическому; равенство достигается, кдгда
все п чисел равны.
6)	Неравенство Коши—Буняковского\ для любых действительных
чисел fli, а2» аз>...» 0п, blt b2,..., Ьп выполняется неравенство
(я А +	+ а3д3 + •• • + arfinf (а1 + а2 + • * ’ + сп) X
X (&1 + + • • • +	.
Равенство достигается тогда и только тогда, когда числа и bi
пропорциональны, т. е. когда существуют такие числа а и Р, что а2 -р
4- Р2 0, и для всех i = 1, 2, 3,..., п выполняется равенство
аа/ + P&i = 0.
7)	Связь между средним арифметическим и средним квадратичным
нескольких чисел: абсолютная величина среднего арифметического
любого конечного числа действительных чисел не превосходив сред-
него квадратичного этих^ чисел, т. е.
I «1 + «2 + •  • + Дп |	1 а1 + °2 +-----Н
п	""у	и"	’
причем равенство достигается тогда и.только тогда, когда все п чисел
равны между собой.
154
ГЛ. 4. АЛГЕБРА
8)	Неравенство Гёлъдера (обобщение неравенства Коши—Буня-
ковского): для любых действительных чисел alt a2i ...» an, bx.bn
при любом p > 1 выполняется неравенство
I <21 bi *J- Я2&2 + • • • + O'nbn |
<(| aj Г+ 1021°+ • •• 4-1 an |p)1/₽ (| 61 |’+|62|?+---+|6n |’)l/l?.
p
где ? = 7=T-
При p = 2 неравенство Гельдера превращается в неравенство
Коши—Буняковского.
§10. Решение неравенств и систем неравенств
10.1. Основные определения. Пусть/—числовая функция одной
или нескольких переменных (аргументов). Решить неравенство
£<0	(1)
— это значит найти множество значений аргумента (аргументов) функ •
ции /, при которых неравенство (1) справедливо.
Аналогично, решить неравенство
f > 0	(2)
— это значит найти множество значений аргумента (аргументов)
функции /, при которых неравенство (2) справедливо.
Множество решений нестрогих неравенств вида / ^ 0 и / :> О
находится как объединение множеств решений уравнения / = 0 и
соответствующих строгих неравенств.
Множество значений аргументов функции /, при которых соот-
ветствующее' неравенство справедливо, называют множеством решений
неравенства или просто решением неравенства. Два неравенства счи-
таются эквивалентными, если множества их решений совпадают.
Решить систему нескольких неравенств — это значит найти все те
значения аргументов функций, входящих в неравенства, при которых
все неравенства системы одновременно справедливы.
Две системы неравенств считаются эквивалентными, если мно-
жества их решений совпадают. Система неравенств «S считается экви-
валентной двум системам неравенств и S2, если множество решений
системы S совпадает с объединением множеств решений систем и S2.
10.2. Линейные неравенства и системы линейных неравенств
с одним неизвестным. Под линейными неравенствами понимают нера-
венства вида
ахb > 0, ах-|-Ь<0, ахЦ-b^O, ах^Ь^О,
где а и b — действительные числа (а ф 0).
Линейные неравенства решают заменой исходного неравенства
ему эквивалентным. При этом используются следующие преобразова-
ния неравенств, приводящие к эквивалентным неравенствам: прибав-
ление к обеим частям неравенства одного и того же числа и умножение
(д еление) обеих частей неравенства на одно и то же число. Так, мно-
жество рршений неравенства
ах + b > 0	(3)
может быть найдено следующим образом.
§ 10. РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ И СИСТЕМ НЕРАВЕНСТВ 155
Прибавим к обеим частям'неравенства (3) число —6, в результате
чего получим эквивалентное неравенство
ах > —д,	(4)
и разделим обе части неравенства на а. Тогда!
1) Если а > 0, то получаем неравенство
которое и дает множество решений исходного неравенства (3). Это
множество решений также можно записать в виде
2) Если а<0, то получаем неравенство
Множество действительных чисел, удовлетворяющих этому нера-
венству, и есть множество решений исходного неравенства (3):
Аналогичным образом могут быть найдены решения любых линей-
ных неравенств.
Множество решений системы двух линейных неравенств
ах-\- b > 0,
сх + d > 0
находится как пересечение множеств решений этих неравенств.
10.3» Квадратные неравенстваПод квадратным неравенством по-
нимается неравенство, которое может быть приведено к одному из
следующих неравенств:
ах2 + Ьх 4- с > 0, ах2 4- Ьх 4- с < 0,
ах2 + Ьх 4- с 0, ах2 4- Ьх 4- с 0,
где а~ Ь, с — некоторые действительные числа и а=/=0.
Простейшими квадратными неравенствами являются неравенства
х2 < т и х2 > т.
Множество решений неравенства х2 < т:
1) при т 0 х = 0 (т. е. нет решений)?
2) при т > 0 х £ (—Кт; Ут), т. е. — У1п <^х<^ Ут, или
]х| < Ут.
Множество решений неравенства х2 > т:
1) при т < 0 х С R (т. е. х-~ любое действительное число);
2) при т^ 0 х_£ (—оо; —Ут) U (Ут; 4~2?)> е« —00 <
< х < —- Ут и Ут<х<-^оо9 или
156
ГЛ. 4. АЛГЕБРА
Квадратное неравенство ах2 + bx -f- с > 0 в зависимости от зна-
чений своих коэффициентов а, Ь и с имеет множества решений:
1)	при а > О, D е Ь2 — 4ас> 0 х £ оо;	j U
2а
2)	при а > О, D < 0 х f R;
О»о +
\ 2а	2а /
4)	при а < О, D < 0 х = 0 (т. е. решений нет).
Решение неравенства ах2 4- ftx-f- с< 0 сводится к решению рас-
смотренного выше неравенства, если обе части неравенства умножить
на —1.
Множество решений нестрогих неравенств ах2 4- Ьх -|- с > 0 и
ах3+&х-|-с^0 находится как объединение множеств решений
соответствующих строгих неравенств и уравнения ах2 + Ьх 4* с — 0.
Дробно-линейными неравенствами называют неравенства, приво-
дящиеся к виду
ах-\-Ь
cx-}~d >
(5)
где a, bt c,d, k — некоторые действительные числа и с Ф 0 (если с = 0,
то дробно-линейное неравенство превращается в линейное). К дробно-
линейным неравенствам относятся и неравенства вида (5), в которых
вместо знака > стоят знаки <,
Решение дробно-линейного неравенства сводится к решению квад-
ратного неравенства. Для этого необходимо умножить обе части нера-
венства (5) на выражение (сх + d)2, которое положительно при всех
к С R и х Ф —die,
10.4. Метод интервалов. Пусть Р (х) — многочлен п-й степени
с действительными коэффициентами, cj, c2i ...» ci — все действительные
корни многочлена с кратностями kx, k2t ...» ki соответственно, причем
ci > с2 > ... > с/. Тогда многочлен Р (х) можно представить в виде
Р (х) = (X — Cl)*1 (X — е2?2 ... (X — С/)*' <2 (X),	(6)
где многочлен Q (х) действительных корней не имеет и либо положи-
телен, либо отрицателен при всех х (.R. Положим для определенности,
Нто Q (х) > 0. Тогда при х > с± все сомножители в разложении (6)
положительны и Р (х) > 0. Если q — корень нечетной кратности
(kt — нечетное), то при с2 < х < Q все сомножители в разложении (6),
еа исключением первого, положйтельны и Р (х) < 0. В этом случае
говорят, что многочлен Р (х) меняет свой знак при переходе через
корень ср Если же —корень четной кратности — четное), ю
все сомножители (в том числе и первый) при с2 < х < q положительны
и, следовательно, Р (х) > 0. В этом случае говорят, что многочлен
Р (х) не меняет своего знака при переходе через корень q.
Аналогичным способом, используя разложение (6), нетрудно убе-
диться, что при переходе через корень с2 многочлен Р (х) меняет знак,
если нечетно, и не меняет знака, если четно.
§ 10. РЕШЕНИЙ НЕРАВЕНСТВ И СИСТЕМ НЕРАВЕНСТВ 157
Рассмотренное свойство многочленов используется для решения
неравенств методом интервалов. Для того чтобы найти все решения
неравенства
р W > о,
достаточно знать все действительные корни многочлена Р (х), их крат-
ности и знак многочлена Р (х) в произвольно выбранной точке х0,
не совпадающей с корнем многочлена.
Пример 1. Решить неравенство
х2 (*+ 2) (х — I)3 (х2 -J- 1) > 0.	' (7)
Отметим на числовой оси Ох корни многочлена, стоящего в левой
части неравенства (рис. 4.14).,
При х > Г многочлен положителен, так как все сомножители,
стоящие в левой части равенства, положительны. Будем двигаться
по оси Ох справа налево. При переходе через точку х = 1 многочлен
меняет свой знак и становится отрицательным, так как х = 1 — корень
кратности 3; при переходе через точку х = 0 многочлен знака не ме-
няет, так как х = 0 — корень кратности 2; при переходе через точку
х == —2 многочлен опять меняет знак и становится положительным.
Промежутки знакопостоянства данного многочлена изображены
схематически на рис. 4.14. Используя этот рисунок, легко выписать
множество решений неравенства (7):
*€(-оо; —2) (J (1; +оо).
Рациональное неравенство вида
где Р (х) и Q (х) — многочлены, может быть также решено методом
интервалов. Умножая обе части неравенства (8) на многочлен [Q (х)]2,
который положителен при всех допустимых значениях неравенства (8),
получаем неравен про'
Р (х) Q (х) >0,	-	'
еквивалентнсе неравенству (8).
Пример 2. Решить рациональное неравенство
Х2(х 1)3 (х+2) < о
х — 3
, Умножив обе части неравенства на (х — З)2, получим неравенство,
еквивалентное неравенству (9):
х2 (х — I)3 (х + 2) (х — 3) < 0.
158
ГЛ. 4. АЛГЕБРА
Множество решений последнего неравенства находится методом
интервалов и будет следующим:
X е (-оо; -2) U (1; 3).
10.5. Решение иррациональных неравенств. Под иррациональным
неравенством понимается неравенство, в котором неизвестные вели-
чины (или рациональные функции неизвестных величин) находятся
год знаком радикала. Для того чтобы найти множество решений ирра-
ционального неравенства, приходится, как правило, возводить обе
части неравенства в натуральную степень. Несмотря на внешнюю
схожесть процедуры решения иррационального уравнения (см. п. 5.9)
и иррационального неравенства, между ними существует большое отли-
чие. При решении иррациональных уравнений можно не заботиться
о том, чтобы после возведения в степень получилось уравнение, экви-
валентное исходному: алгебраическое уравнение имеет конечное число
корней, из которых проверкой нетрудно отобрать решения исходного
иррационального уравнения.
Множество решений неравенства представляет собой, как правило,
бесконечное множество чисел, и поэтому непосредственная проверка
решений путем подстановки этих чисел в исходное неравенство ста-
новится принципиально невозможной. Единственный способ, гаран-
тирующий правильность ответа, заключается в том, что мы должны
следить за тем, чтобы при каждом .преобразовании неравенства у нас
получалось неравенство, эквивалентное исходному.
Решая иррациональные неравенства, следует помнить, что при
возведении обеих его частей в нечетную степень всегда получается
неравенство, эквивалентное исходному неравенству. Если, же обе
части неравенства возводить в четную степень, то будет получаться
неравенство, эквивалентное исходному и имеющее тот же знак,
лишь в случае, если обе части исходного неравенства неотрица-
тельны.
Пример. Решить неравенство
— /9^х> 1.	(10)
Множеством допустимых значений х, которое находится как ре-
шение системы
х — 5 > 0,
9 — х > 0,
является промежуток [5; 9].
Неравенство (10) эквивалентно неравенству
+ (11)
обе частя которого неотрицательны. Возводя обе части неравенства (11)
в квадрат, в результате несложных преобразований получаем нера-
венство
2х — 15>2КЭГГх>	(12)
эквивалентное неравенству (11). Далее возможные два случая:
1) Если 2х — 15 < 0, т. е. х < 15/2, левая часть неравенства
отрицательна или равна нулю, а правая неотрицательна. Поэтому
ни при каком $ 6 15; 15/2] неравенство (12) не выполняется.
§ 10. РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ И СИСТЕМ НЕРАВЕНСТВ 159
2) Если 2х — 15 > 0, то обе части неравенства неотрицательны
и после возведения в квадрат получаем неравенство, эквивалентное
неравенству (12):
(2х — 15)2 > 4(9— х).
Таким образом, множество решений неравенства (10) получается
как множество решений системы неравенств
5 < х < 9,
2х — 15 > 0,
(2х — 15)2>4(9— x)t
- I 14 + V7 . О1
откуда получаем * € I------! 91,
10.6.	Показательные неравенства. Простейшим показательным не-
равенством является неравенство вида
ах > Ь9	(13)
где а и b — некоторые действительные числа (а > 0, а =# !)•
В зависимости от значений параметров а и b множество решений
неравенства (13) будет следующим:
1)	при а > 1, 6 > 0 х £ (loga b\ -(-оо);
2)	при 0 < а < 1, 6 > 0 х£ (—оо; loga 6);
3)	при а > 0, b < 0 х £ R .
Множество решений неравенства
а* < b	(14)
в зависимости от значений параметров а и b будет следующим!
1)	при а > 1, b > 0 х С (~°°>* loga ^);
2)	при 0 < а < 1, b > 0 х g (loga b\ 4~оо);
3)	при а > 0, b < 0 х=0 (т. е. неравенство решений не имеет).
Неравенства вида (13) и (14) могут быть обобщены на случай,
когда в показателе степени стоит некоторая функция от х. Так, напри-
мер, множество решений неравенства
2f <*> > 3	(15)
находится как множество решений неравенства
f (х) > loga 3,
эквивалентного неравенству (15).
Методы сведения более сложных показательных неравенств к не-
равенствам вида (13), (14) аналогичны методам, используемым при
решении показательных уравнений (см. п. 6.1). Так, например, реше-
ние показательного неравенства вида Р (ах) >0, где Р (х) — много-
член указанного аргумента, заменой ах = у сводится к последователь-
ному решению неравенства Р (у) > 0 и решению простейших показа-
тельных неравенств вида (13), (14) или систем простейших показатель-
ных неравенств.
160
ГЛ. 4. АЛГЕБРА
Пример. Решить неравенство
Ю ЗХ +9^0.
Решение. Обозначим 3х = у. Так как 9х = (31 2 * * *)х = (3х)2,
то 9х = у2 и данное неравенство для’неизвестной у принимает вид
у2 — \Qy -f- 9	0. Решение этого квадратного неравенства: 1 у 9.
Это двойное неравенство эквивалентно системе двух неравенств
У> 1,
*/<9,
которая для неизвестной х имеет вид
3х > I,	х> 0,
-<=>	* или 0^х<2.
3х <9	х<2
10.7.	Логарифмические неравенства. Простейшими логарифмиче-
скими неравенствами являются неравенства вида
loga х > b,
loga х < b,
(16)
• (П)
где с и b — некоторые действительные числа (а > 0, а Ф 1).
В зависимости от значений а множества решений неравенства (16)
будут следующими:
1)	при	а	>	1	х	С	(a6; +°°h
2)	при	0	<	а <	1	х	С	(0; ab)t
а неравенства (17):
1) при	а	>	1	xg	(0; аь);
2) при	0	<	а <	1	х	€	(а6; +оо).
Неравенства вида (16), (17) могут быть обобщены на случай, когда
аргументом логарифмической функции является некоторая функция
f(x). Так, например, логарифмическое неравенство вида loga f (х) > b
эквивалентно следующим системам неравенств *):
1) при а > 1
f (х) > о,
f W > а6;
Неравенство вида
мам неравенств:
1) при ' а > 1
ZW>o,
f (X) <
2) при 0 < а < 1
f (х) > 0,
f (х) < аь.
logo f М < b эквивалентно следующим систе-
2) при 0 < а < 1
/ (х) > 0,
f (X) > а6.
Более сложные логарифмические неравенства сводятся к неравен-
ствам вида (16), (17) методами, аналогичными используемым при реше-
нии логарифмических уравнений (см. и. 6.2).
♦) В .случае, если исходное неравенство нестрогое, вторые неравенства
систем также нестрогие.
9 10- РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ И СИСТЕМ НЕРАВЕНСТВ 161
Так, например, множество решений неравенства вида
Р (logo X) > 0,
(18)
а также неравенств Р < О, Р > О, Р 0, где Р — многочлен ука-
занного аргумента, находится следующим образбм: вводится новая
неизвестная у == logfl х и неравенство (18) решается как алгебраическое
относительно неизвестной у. После этого решение исходного нера-
венства сводится к решению соответствующих простейших нера-
венств (16}, (17) или систем этих неравенств.
Пример. Решить логарифмическое неравенство
log? х — log2 х — 15 > 0.
(19)
Множество допустимых значений неизвестной данного неравен-
ства: х > 0. Приведя все логарифмы к одному основанию (скажем,
к основанию 2), получаем неравенство, эквивалентное неравенству (19):
log2 х — log2x — 15 > 0.
(20)
Решаем это неравенство как квадратное относительно новой неизвест-
ной у = log2 х- В результате получаем, что логарифмическое нера-
венство (20) эквивалентно двум простейшим неравенствам: log2 х > 10
и log2x<—-6. Объединение их множеств решений и дает множество
решений неравенства (19):
х£(0; 2~G) U (210; +оо).
В заключение отметим еще один часто встречающийся тип лога-
рифмических неравенств, в которых как основание логарифма, так и
аргумент логарифма являются функциями неизвестной х. Таким
логарифмическим неравенством будет, например, неравенство
10gg(x) f (х) >С,
(21)
где f (х) и g (х) — некоторые многочлены, ас — некоторое действи-
тельное число. Множество допустимых значений неизвестной х нахо-
дится как множество решений системы
f (X) > о,
g (X) > о,
g (х) ¥= 1.
Логарифмическое неравенство (21) эквивалентно двум системам алгеб-
раических неравенств:
I (х) > 0,
g (х) > 1,
/ (X) > lg (X) )с;
f (х) > 0,
0<g(x)< 1,
f (х) < [g (х) f.
Пример. Решить неравенство
log» (2х-	> 2.
(22)
6 А. Г. Цыпкин
162
ГЛ. 4. АЛГЕБРА
Данное логарифмическое неравенство эквивалентно двум системам
неравенств:
2х ?> О,	2х	Х> О,
х>1,	0<х<1,
2х---7- > х2;	2х---< х2.
4	4
Множество решений логарифмического неравенства (22) находим
как объединение множеств решений этих двух систем и окончательно
получаем
10.8. Геометрическое изображение множества решений неравен-
ства с двумя неизвестными. Пусть имеется некоторое неравенство
с двумя неизвестными. Множество решений такого неравенства — это
множество упорядоченных пар действительных чисел (х; у), которое
геометрически может быть изображено как множество точек коорди-
натной плоскости Оху.
Объединение множеств решений неравенств
Г (х, у) > 0, F(x,y)<0
и уравнения
F(x,y) = 0
дает множество всех точек координатной плоскости Оху, за исключе-
нием точек, в которых функция двух переменных F (х, у) не опреде-
лена. -Так, например, объединение множеств решений неравенств
и уравнения
дает множество всех точек числовой плоскости R2, за исключением
множества точек, принадлежащих оси Ох.
Уравнение F (х, у) = 0 задает множество точек «границы раздела»
(либо часть этой границы) между множествами точек, задаваемых
неравенствами F (х, у) > 0 и F (х, у) < 0.
Если уравнение F (х, у) = 0 имеет единственное решение отно-
сительно переменной у (х считается параметром), то говорят, что урав-
нение F (х, у) = 0 задает функцию
у = f W.
Если уравнение F (х, у) = 0 имеет единственное решение отно-
сительно переменной х (у считается параметром), то говорят, что урав-
нение F (х, у) = 0 задает функцию
* == g (у),
где у считается независимой переменной, ах — зависимой.
Может оказаться, что уравнение F (х, у) = 0 не имеет един-
ственного решения ни относительно переменной х, ни относительно
§ 10. РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ И СИСТЕМ НЕРАВЕНСТВ 163
Рис, 4.15,
Рис. 4.16ф
Рис. 4.19(
£ИС. 4.2Q,
164
ГЛ. 4. АЛГЕБРА
Гис. 4.26.
^>51П.2?
?1!С. 4.2 7.
Гис. 4.2V.
§ 10. РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ И СИСТЕМ НЕРАВЕНСТВ 165
Рис. 4.3ft,
166
ГЛ. 4. АЛГЕБРА
переменной у: В этом случае говорят, что уравнение F(x, у)—О задает
соответствие между множествами допустимых значений перемен-
ных х и у.
На рис. 4.15—4.30 изображены некоторые фигуры, задаваемые
неравенствами вида у > f (х). Эти фигуры представляют собой часть
координатной плоскости Оху, лежащую выше линии у = f (х). Фигуры,
задаваемые неравенствами у < f (х), представляют собой часть плос-
кости, лежащую ниже линии у = f (х).
На рис. 4.31—4.33 заштрихованы фигуры, задаваемые неравен*
ствами вида х > g (у).
На рис. 4.34--4.36 изображены фигуры, задаваемые неравен-
ствами вида F (х, у) > 0, в случае, когда уравнение F (х, у) « 0 задает
соответствие между переменными х и у:
1)	неравенство х2 + У2 > R2 задает внешность круга радиуса R
с центром в начале координат (см. рис. 4.34);
2)	неравенство (х — а)2 + (у — b)2 > R2 задает внешность круга
рддиуса R с центром в точке с координатами (а; Ь) (см. рис. 4.35);
3)	неравенство вида | х | -f- | у | > а (а > 0) задает внешность
квадрата е вершинами в точках (а; 0), (0; а), (—а; 0) и (0; —а) (см.
рис. 4.36).
На рис. 4.15—4.36 изображены простейшие фигуры, задаваемые
неравенствами с двумя переменными х и у. Однако умение строить
эти простейшие фигуры позволяет строить и более сложные фигуры^
задаваемые, например, системой нескольких неравенств е двумя пере-
менными. Геометрическая фигура, задаваемая системой неравенств
с двумя переменными, представляет собой общую часть (пересечение)
всех фигур, задаваемых неравенствами системы,
§11. Приемы доказательства
справедливости неравенств
11.1.	Доказательство справедливости неравенств с помощью це-
почки эквивалентных неравенств. Один из методов доказательства
справедливости неравенств основан на построении цепочки эквива-
лентных неравенств, в конце которой получается неравенство! спра-
ведливость которого очевидна.
Пример 1. Доказать неравенство
а3+&3	/ а + b \3	л	л
——>(• J' -) , где а>0 и Ь>0.
Заменим это неравенство на эквивалентное неравенство
Раскрывая скобки и группируя слагаемые левой части неравен»
ствах получим эквивалентное неравенство
Q
-§-(*+ Ь)
Так как а > 0 и Ь > 0, то справедливость последнего неравенства
очевидна, что и доказывает справедливость эквивалентного ему исход-
ного неравенства.
§ И. ПРИЕМЫ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА НЕРАВЕНСТВ 167
Пример 2. Доказать неравенство
1 , 1 >2
log2n т log„2
На основании свойства логарифмов
Т5Е^-“ 108,11
исходное неравенство преобразуется к эквивалентному неравенству
,og2n+-iir>2-	W
Так как log2 л > О, то в левой части неравенства (1) стоит сумма
двух взаимно обратных положительных чисел, отличных от единицы.
В силу неравенства 4) п. 9.2 неравенство (1) справедливо, а следова-
тельно, справедливо и исходное неравенство.
Пример 3. Доказать, что для любых действительных х и у
выполняется неравенство
ха + 2ху 4- бу2 + 2х + бу + 3 > 0.
Преобразуем левую часть данного неравенства:
х2 4~ 2x^4	3t/2 4- 2х 4- бу 4- 3 =
= (х2 + 2ху + у2) 4- 2у2 4- 2х 4- бу 4- 3 =
== (х + У)2 + 2 (х 4- у) 4~ 2г/2 4- 4у 4- 3 =
= 1(* + У)2 4~ (х 4- у} 4- П + %У2 + 4^/ 4~ 2 =
«= [(*4-*/)+ И24-2(^2+2^+ 1)= [(х+ «/)+ 1]2+ 20/ + D2.
В результате проведенных тождественных преобразований исход-
ное неравенство приводится к эквивалентному неравенству
(х+ У+ D2+ 2 0/+ I)2 > 0,
справедливость которого очевидна.
Аналогичным образом, используя неравенства п. 9.2, можно
доказать, например, следующие неравенства:
1)	а2 4- Ь2 4- с2 4- 3 > 2 (а 4- b 4- с);
2)	+ -у-4--^’>а+6 + с (а>0, ОО, ОО);
3)	(а 4- Ь) (Ь + с) (а + с) 8abc (а > 0, b > 0, с > 0);
4)	а2 4- д2 4- с2 > ab 4- Ьс + ас (а, Ь, с — числа одного знака).
11.2. Доказательство справедливости неравенств с использованием
свойств функций, входящих в неравенства. Справедливость некоторых
неравенств может быть доказана с использованием свойств функций,
□ходящих в неравенства.
168
ГЛ. 4. АЛГЕБРА
Так, например, справедливость неравенства
tg х 4- ctg х > 2
для всех х £ (0; л/2) следует из формулы, связывающей тригономе-
трические функции tg х и ctg х:
ctg х ~	.
tg* /
Действительно, в силу этой формулы исходное неравенство запишется
в виде неравенства
которое справедливо для всех значений х £ (0; л/2), так как в этом
промежутке tg х положителен, а сумма двух любых положительных
взаимно обратных чисел больше или равна двум.
Другим примером неравенства, справедливость которого дока-
зывается на основании свойств входящих в него функций, является
неравенство
0 sin8 х + cos20 х 1.
Справедливость этого неравенства/ а также, например, нера-
венства
sin х + У cos х	1
следует из ограниченности функций у = sin г, у = cos х и соотноше-
ний п. 3.2 главы 6.
В следующем примере доказательство справедливости неравенства
основано на использовании свойства монотонности показательной
функции.
Докажем, что если а-\- b ~ с (а > 0, b > 0), то;
1) аа + Ьа > са, где а < 1;
2) а$ 4- Ь® < с^, где (3 > 1,
По условию задачи
а , b	а	Ь
— 4- — = 1 и — > 0,	--- > 0.
Если сумма двух положительных чисел равна единице, то каждое
из этих чисел меньше единицы
0<А<1>	п<4<1.
В силу свойства монотонного убывания ппиязатетчяэй
С основанием, меньшим единицы, имеем
функции
§11. ПРИЕМЫ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА НЕРАВЕНСТВ 169
где а — любое действительное число, меньшее единицы, а р — дей-
ствительное число, большее единицы. Складывая попарно неравен-
ства (2), получаем
что и требовалось доказать.
11.3. Некоторые специальные приемы доказательства справед-
ливости неравенств.
1.	Один из специальных приемов доказательства справедливости
неравенств состоит в следующем. Пусть, например, требуется дока-
зать справедливость неравенства А < В. Если удается подобрать
такую величину С, что Л < С, и доказать справедливость неравен-
ства С В, то тем самым будет доказана справедливость исходного
неравенства А < В. Именно такой прием использовался при доказа-
тельстве ограниченности последовательности (см. п. 2.4 главы 8)
2.	Справедливость некоторых неравенств, в которых левая и
правая части — функции натурального аргумента, может быть дока-
зана следующим приемом. Исходное неравенство преобразуется к эк-
вивалентйому неравенству, у которого правая часть постоянная,
а левая есть функция натурального аргумента. Тогда, рассматривая
функцию^ натурального аргумента, стоящую в левой части неравенства,
как общий член некоторой последовательности, доказательство спра-
ведливости неравенства можно свести к исследованию свойств этой
последовательности.
П р.и м е р. Доказать, что неравенство
2Л—1 С «I
справедливо при любом натуральном п. -
 Преобразуем данное неравенство к эквивалентному неравенству
с)П—1
Рассмотрим последовательность (хп), задаваемую формулой общего
члена
Нетрудно доказать, что эта последовательность — монотонно убы-
вающая и, следовательно, наибольший член данной последователь-
ности — это первый член, который равен единице. Но так как при
п = 1 неравенство (3) верно, то оно будет верно и при всех остальных
вначениях п.
3.	Справедливость некоторых неравенств может быть доказана
методом математической индукции, Именно этот метод использован
170
ГЛ. 4. АЛГЕБРА
для доказательства ограниченности последовательности (см. пример 3
п. 2.4 главы 8)
Хп = с + J/ c + • • •	•
п корней
Методом математической индукции могут быть также доказаны,
например, следующие неравенства:
2) |sinnxKn|sinx|;
3) п \ > г"*"1, если п > 2;
4)2пп!<п”, если и >2.
11.4. Некоторые способы проверки справедливости числовых
неравенств. При решении некоторых уравнений и неравенств иногда
необходимо выяснить, какое из двух (или нескольких) чисел наиболь-
шее, а какое — наименьшее. Ниже на примерах рассмотрены некото-
рые простейшие способы проверки справедливости числовых нера-
венств .
1) Для того чтобы выяснить, какое из двух рациональных чисел
т/п и plq больше, вычислим разность этих чисел:
т	р _тд — пр
п	q — nq	'
Если разность больше нуля,* то — >	; если разность меньше
т р
нуля, то — < —.
2) При сравнении двух иррациональных чисел а и b часто исполь-
зуют следующий способ: предполагают, что одно число больше другого
(скажем, а > Ь), и строят цепочку эквивалентных неравенств, приво-
дящую либо к неравенству, справедливость которого очевидна (и тогда
предположение, что а > Ь, верно), либо к неравенству, которое заве-
домо несправедливо (в этом случае сделанное предположение, что
а > bf неверно, и, следовательно, _а< Ь). Например, пусть требуется
выяснить, какое число больше: 14 — 1^3 или 2. Предположим, что
К14 — ]/"3 меньше 2:
/14 - /3 < 2.	(4)
Так как обе части неравенства (4) положительны, то их можно
возвести в квадрат и сохранить тот же знак, который был у предыду-
щего неравенства: (К 14 — У З)2 3 < 4. Раскрывая скобки, получаем
14 — 2	+ 3<4. Последнее неравенство можно переписать в виде
13 < 2 У42. Возведя обе части Неравенства в квадрат, получим нера-
венство 169 < 168. Очевидно, что последнее неравенство несправед-
ливо, следовательно, предположение о том, что число 1^14 — Уз
меньше 2, неверно. Число У14 — У 3 больше 2.
3) Разберем на двух примерах, как можно проверить справед-
ливость неравенства с помощью приближенных вычислений.
§ IT. ПРИЕМЫ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА НЕРАВЕНСТВ 171
Пример 1. Доказать, что
1//3 < sin 39°.	(5)
Попытаемся найти такое число а, чтобы а < sin 39° и l/j/T< о»
Ближайшее «табличное» значение функции sin х меньшее, чем sin 39°,—
это sin 30° = 1/2:
sin 30° < sin 39°.	(6)
Однако, выбирая а равным 1/2, мы ничего не докажем, так как
1/2 < 1/К3. Попытаемся улучшить оценку sin 39Q, Это можно сделать
двумя способами. Первый способ заключается в том$ что, последо-
вательно вычисляя с помощью формул половинного угла sin 15°, cos 15%
sin 7° 30', cos 7° 30', мы можем вычислить
sin 37° 30' = sin 30° cos 7° 30' -f* sin 7° 30' cos 30Q
и, учитывая неравенство
sin 37Q 30' < sin 39°,	(7)
взяв в качестве а число sin 37° 30', доказать, что sin 37° 30' >l/j/*3.
Однако, как будет показано ниже, нам достаточно иметь более
грубую оценку, нежели оценка (7). В главе 6 п. 1.6 вычислен sin 36° >
sa,3b.„ZEpZ.
4
Так как в первой четверти sin х — монотонно возрастающая функ*
ция, то из неравенства 36° < 39° следует неравенство sin 36° < sin 39%
т. е.
ЫП OV >>----———
4
Способом, изложенным выше в 2), докажем, что
4	/3
Справедливость последнего неравенства следует из приведенный
ниже вычислений:
(V10 —2J<5 \\ 1
\	4	) >-3»
5-Г5\ 1
8	3 ’
15 - 3 Кб > 8,
7>3J/T,
49 > 45.
Таким образом, доказано, что если положить а равным sin 36°, то
sin 39° > sin 36° и sin 36’ > 1//3.
172	ГЛ 4 АЛГЕБРА
Из этих двух неравенств следует неравенство l/j/’З < sin 39°, спра-
ведливость которого и требовалось доказать.
Пример 2. Сравнять, какое из двух чисел больше: log2 3
или logo 5.
Числа 3 и 5, логарифмы которых требуется сравнить, заключены
между следующими степенями чисел 2 и 3, являющихся соответственно
основаниями первого и второго логарифмов:
21 < 3 < 22 3, 31 < 5 < З2.	(8)
Так как функция loge х при а > 1 — монотонно возрастающая
функция, из неравенств (8) следуют неравенства
log2 (21) < log2 3 < log2 (22), logs (З1) < log3 5 < logs (З2),
1 < log2 3 < 2, 1 < log3 5 < 2;
однако на основании этих неравенств нельзя сделать вывод, какой из
логарифмов больше, так как они «зажаты» между одними и теми же
числами.
Улучшим оценки (8), оценивая числа 3 и 5 дробными степенями
чисел 2 и 3 соответственно. Сравним с числами 2	= 2 J/ 2 и 3	*
=^=3^3 числа 3 и 5 соответственно. С помощью способа, изложенною
ь 2), можно показать, что
3>2/Г и 5<3/3.
Таким образом, имеем
23/-<3<22, З1 <5 <З3/2,
откуда соответственно следует, что
y<log23<2,	J<log35<-1.	(9)
Сравнивая последние неравенства, видим, что log2 3 больше
logy 5.
Заметим, что в случае необходимости оценки (9) можно улучшать
и далее. Так, доказывая справедливость неравенств
22	4 =2-/2 .|/2 >3,	3	4 =3V3 <5,
получаем следующие оценки для log2 3 и iog3 5:
3	.7	5	, с 3
y<Jogt0<y, -4-е logs 5 < у.
ГЛАВА 5
ГЕОМЕТРИЯ
Возникновение геометрии восходит к глубокой древности и было
обусловлено практическими потребностями человеческой деятельности
(необходимостью измерения земельных участков, измерения объемов
различных тел и т. д.). Простейшие геометрические сведения и понятия
были известны еще в Древнем Египте. В этот период геометрические
утверждения формулировались в виде правил, даваемых без доказа-
тельств. С VII века до н. э. по I век н. э. геометрия как наука бурно
развивалась в Древней Греции. В этот период происходило не только
накопление различных геометрических сведений, но и отрабатывалась
методика доказательств геометрических утверждений, а также делались
первые попытки сформулировать основные первичные положения
(аксиомы) геометрии, из которых чисто логическими рассуждениями
выводится множество различных геометрических утверждений. Уровень
развития геометрии в Древней Греции отражен в сочинении Евклида
«Начала». В этой книге впервые была сделана попытка дать системати-
ческое построение планиметрии на базе основных' неопределяемых
геометрических-понятий и аксиом (постулатов). Особое место в истории
математики занимает пятый постулат Евклида (аксиома о параллельных
прямых). Долгое время математики безуспешно пытались вывести пятый
постулат из остальных постулатов Евклида и лишь в середине XIX века
благодаря исследованиям Н. И. Лобачевского, Е^Римана и Я. Бойяи
стало ясно, что пятый постулат не может быть.'выёеден из остальных,
а система аксиом, предложенная-Евклидом, не единственно возможная.
< Начала» Евклида оказали огромное влияние на развитие математики.
Эта книга на протяжении более чем двух тысяч лет была не только
учебником по геометрии, но и служила отправным пунктом для очень
многих математических исследований, в результате которых возникли
новые самостоятельные разделы математики.
Систематическое построение геометрии обычно производится по
следующему плану:
I.	Перечисляются основные геометрические\ понятия, которые
вводятся без определений.
II.	Дается формулировка аксиом геометрии.
III.	На основе аксиом и основных геометрических понятий форму-
лируются остальные- геометрические понятия и теоремы.
§ 1. Луч. Отрезок
1.1. Луч. Пусть а — некоторая прямая, а О—некоторая точка
прямой а. Точка О разбивает множество точек прямой на два множества:
множество точек, лежащих левее точки О, и множество точек, лежащих
правее точки О (рис. 5.1). Эти множества называют открытыми лучами*
исходящими из точки О (или открытыми лучами с началом в точке О).
Множество всех точек прямой а, лежащих правее (левее) точки О,
174
ГЛ. В. ГЕОМЕТРИЯ
включая точку О, называют лучом и обозначают Оа (указывая прямую и
начало луча) *). О луче Оа говорят, что он принадлежит прямой а.
Возможны следующие случаи взаимного расположения двух лучей
Ofa и O2h2.
1) Лучи Oihi и O2h2 принадлежат одной прямой. Говорят, что лучи
Oihi и O2h2 сонаправлены, если один из лучей содержится в другом
(рис. 5.2), т. в. их пересечением является
а луч, и пишут
9 А
РИС’ 6,1 •	Говорят, ЧТО лучи 0^ И О2^2~
противоположно направлены, если ни
один из них не содержится в другом (рис. 5.3), т. е. их пересечение не
является лучом, и пишут
2) Лучи OJif и лежат на параллельных прямых. Проведем
плоскость через эти параллельные прямые. Через точки Of и 02 проведем
прямую, разбивающую плоскость на две полуплоскости с границей
01Р2. Если оба луча лежат в одной из этих полуплоскостей (рис. 5.4),
то такие лучи также называют сонаправленными. Если же лучи OJii
и 0^ лежат в различных полуплоскостях, то их называют противо-
положно направленными (рис. 5.5). Лля обозначения сонаправленных и
Рис. 5.4.
Рис. 5.5.
противоположно направленных лучей в случае 2) используются те же
обозначения, что и в случае 1). Для лучей, принадлежащих непарал-
лельным прямым, понятие сонаправленности (или противоположной
направленности) не вводится.
Множество всех лучей плоскости, каждый из которых сонаправлен
с одним и тем же лучом, называется направлением на плоскости.
Множество всех лучей пространства, каждый из которых сонаправ*
лен с одним и тем же лучом, называется направлением в пространстве.
*) Луч также обозначается одной малой латинской буквой (когда точка
начала известна) или двумя заглавными буквами QAt где О & начало луча#
в 4 « произвольная точка (открытого) луча.
$ 2. УГЛЫ НА ПЛОСКОСТИ
175
1.2. Отрезок. Пусть А и В — две различные точки прямой а.
Множество, состоящее из всех точек прямой а, лежащих между точками
А и В, включая точки А, В, называется отрезком. Точки А и В называ-
ются концами отрезка, а все остальные точки — внутренними точками
отрезка. Отрезок с концами А, В обозначается АВ.
Длина отрезка АВ часто обозначается | АВ |. Отрезки считаются
равными, если равны их длины.
§ 2S Углы на плоскости
2.L Понятие угла. Пара различных лучей Оа и ОЬ, выходящих
из одной точки О, называется углом и обозначается символом л (а, д).
Точка О называется вершиной угла, а лучи ОапОЬ — сторонами угла *).
Если А и В — две точки лучей Оа и Од, то (а, Ь) обозначается также
символом АОВ (рис. 5.6).
Угол л (а, Ь) называют развернутым, если лучи Оа и Од, выходя-
щие из одной точки, лежат на одной прямой и не совпадают (т. е. проти-
воположно направлены).
Два угла считаются равными, если один угол можно наложить на
другой так, чтобы стороны углов совпадали. Биссектрисой угла называ-
ется луч с началом в вершине угла, делящий угол на два равных уГЛа.
Говорят, что луч OG, исходящий из вершины угла АОВ, лежит
между его сторонами, если он пересекает отрезок АВ (рис. 5.7). Говорят,
что точка С лежит между сторонами угла, если через эту точку можно
провести луч с началом в вершине угла, лежащий между сторонами
угла. Множество всех точек плоскости, лежащих между сторонами угла,
образует внутреннюю область угла (рис. 5.8). Множество точек пло-
скости, не принадлежащих внутренней области и сторонам угла, обра-
зует внешнюю область угла.
Угол л (а, д) считают больше угла (с, d), если угол (с, d)
можно наложить на угол л (а, д) так, что после совмещения одной пары
сторон вторая сторона угла (с, d) будет лежать между сторонами угла
(а, д). На рис. 5.9 АОВ больше АОС.
Пусть луч с лежит между сторонами угла (а, Ь) (рис. 5.10). Пары
лучей а, с и с, b образуют два угла. Об угле (а, д) говорят, что он
является суммой двух углов (а, с) и (с, д), и пишут
л (а, Ь) *= л. (а, с) +	(с, Ь).
Реже угол определяется как фигуру, образованная двумя лучамч
о общим началом и ограниченной ими частью плоскости,
176
ГЛ. В. ГЕОМЕТРИЯ
Обычно в геометрии имеют дело с углами, меньшими развернутого.
Однаков результате сложения двух углов может получиться угол,
больший развернутого. В этом случае ту часть плоскости, которая счи-
тается внутренней областью угла, отмечают дугой. На рио. 5.11 внутрен-
няя часть угла АОВ, полученного в результате сложения углов
АОС и СОВ и большего развернутого, отмечена дугой.
2.2.	Градусная мера измерения углов. При градусном измерении
углов в качестве основной единицы измерения углов (эталонного угла,
с которым сравниваются различные углы) берется угол в один градус
(обозначается 1°). Угол в один градус — это угол, равный 1/180 части
развернутого угла. Угол, равный 1/60 части угла в 1°, — это угол в одну
минуту (обозначается Г). Угол, равный 1/60 части угла в одну минуту,—
это угол в одну секунду (обозначается Г).
2.3.	Радианная мера измерения углов. Наряду с градусной мерой
измерения углов в геометрии и тригонометрии употребляется и другая
мера измерения углов, называемая радианной. Рассмотрим окружность
радиуса R с центром О. Проведем два радиуса О А и ОВ так, чтобы длина
дуги АВ была равна радиусу окружности (рис. 5.12). Получившийся
при этом центральный угол АОВ будет углом в один радиан. Угол
в 1 радиан принимается за единицу измерения радианной меры измере-
ния углов. При радианном измерении углов развернутый угол равен л
радиан.
Градусная и радианная единицы измерения углов связаны равен-»
ст вами:
1 радиан =	>« 57° 17' 45";
~ Тётг радиана 0,017453 радиана}
1OU
§ 3. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ 177
Г = - .л" ла радиана я» 0,000291 радиана;
I O\J • Ov
Г = -ТаёГ^гГал радиана « 0,000005 радиана.
loU-oU’OU
Градусную (или радианную) меру угла также называют величиной
угла. Величину угла АО В иногда обозначают АОВ.
2.4.	Классификация углов. Угол, равный 90Q, или в радианной
мере л/2, называется прямым углом; его часто обозначают буквой d.
Угол, меньший 90°, называется острым*, угол, больший 90°, но меньший
180°, называется тупым.
Два угла, имеющие одну общую сторону и в сумме составляю-
щие 180°, называются смежными углами. Два угла, имеющие одну
общую сторону и в сумме составляющие 90°, называются дополни*
тельными углами.
2.5.	Угол между направлениями. Если на плоскости выбраны
два направления, то в каждой точке О плоскости начинается один луч
ОА первого направления и один луч ОВ второго направления. Углом
между двумя направлениями на плоскости называется угол между
лучами ОА и ОВ. Угол между направлениями не зависит от выбора
начальной точки лучей.
Углом между двумя направлениями в пространстве называют угол
между двумя лучами этих направлений, имеющими общее начало.
§ 3. Параллельность и перпендикулярность
на плоскости
3.1.	Параллельность на плоскости. Две различные прямые а ид,
лежащие в одной плоскости, называются
имеют ни одной общей точки. Если пря-
мые а и b параллельны, то пишут а || Ь.
Свойства параллельных
прямых:
1)	Любая прямая считается парал-
лельной самой себе (рефлексивность).
2)	Если прямая а параллельна пря-
мой Ь, то и прямая b параллельна прямой а
^симметричность).
3)	Если прямая а параллельна пря-
мой д, а прямая b параллельна прямой с,
то и прямая а параллельна прямой с
\(транзитивность).
Множество всех прямых на плоское
'-прямой, называют пучком параллельных прямых.
В результате пересечения двух прямых третьей прямой образуется
восемь углов.(рис. 5.13). Цдрьт^ углов /,	5;	2,	6;	3,	7;
^4,	8 называют соответственными углами; парьг 3,	5; ^4,
б — внутренними накрест лежащими углами; пары	7;
^2, ^8 — внешними накрест лежащими-, пары 4,	3t
а 6 — прилежащими углами.
Признаки параллельности прямых:
1) Если при пересечении двух прямых а и b третьей прямой соответ*
ственные углы равны, то прямые а и b параллельны.
2) Если при пересечении двух прямых а и b третьей прямой внутрен*
ние (или внешние) накрест лежащие углы равны, то а, b параллельны.
параллельными, если они не
Рис. 5.13
данной
178
ГЛ. В. ГЕОМЕТРИЯ
3) Если при пересечении двух прямых а и b третьей прямой приле*
жащие углы в сумме составляют 180р, то прямые а и b параллельны.
Теоремы о равных отревках:
1) Если от точек О и Of в одном и том же направлении отложены
равные отрезки О А и OfA^ то отрезки OOf и А At равны и параллельны *)
(рис. 5.14).
2) (Т е о р е м а Фалеса). Если на одной прямой отложить
несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные
прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой
равные отрезки (рис. 5.15).
Отрезки называют пропорциональными* если пропорциональны их
длины.
Теоремы о пропорциональных отрезках:
1) Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают
на них пропорциональные отрезки.
На рис. 5.16 прямые A At и ВВ^ параллельны и
]ОЛ1| _ |ОЛ |
|OBi| ~ |ОВ|
2) Если отрезки OAj и OBf пропорциональны отрезкам ОА и ОВ
и лежат соответственно на лучах 04f и ОА, то прямые АА^ и BBf па*
раллельны (рис. 5.16).
3.2, Перпендикулярность на плоскости. Две прямые, при пере*
сечении которых образуются прямые углы, называются взаимно перпен*
дикулярными. Если прямые а и b взаимно перпендикулярны, то пишут
a J. Ь.
Теоремы о перпендикулярных прямых:
1)	Если на плоскости даны точка и прямая, то существует единст-
венная прямая, проходящая через данную точку и перпендикуляр-
ная данной прямой.
2)	Если прямая перпендикулярна одной из прямых пучка парал-
лельных прямых, то она перпендикулярна любой другой прямой этого
пучка.
3.3. Расстояние от точки до прямой. Пусть точка А лежит вне
прямой а. Построим прямую р, перпендикулярную данной прямой а
♦) Параллельными отрезками называют отрезки, принадлежащие парал»
лельным-прямым.
$ 4. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ й ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ
179
и проходящую через точку А (рис. 5.17). Обозначим через О точку
пересечения прямых аир. Точка О называется основанием перпендику-
ляра р.
Расстоянием от точки А до прямой а называется длина отрезка 0Ак
Расстояние от точки А до любой точки прямой а, отличной от точки
О, больше расстояния от точки А до прямой а.
§ 4« Параллельность и перпендикулярность
в пространстве
4.1» Параллельность прямой и плоскости* Плоскость а и пря-
мая а, не принадлежащая плоскости а, ‘ называются парал*
дельными, если они не имеют ни одной общей точки. Любая прямая at
принадлежащая плоскости а, считается параллельной плоскости а.
Если плоскость а и прямая а параллельны, то пишут а || а или а || а.
Признак параллельности прямой и пл о»
скости:
Если прямая параллельна какой-либо прямой, лежащей в пло-
скости, то данные прямая и плоскость параллельны.
Теоремы о плоскости и прямой, параллель-
ной плоскости:
1)	Если плоскость проведена через прямую, параллельную другой
плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей
параллельна данной прямой.
2)	Если через каждую из двух параллельных прямых проведена
произвольная плоскость и эти плоскости пересекаются, то линия их
пересечения параллельна каждой из данных прямых.
4.2. Параллельность плоскостей. Две плоскости а и ₽ называются
параллельными, если они не имеют общей точки и не совпадают. Если
плоскости аи₽ параллельны, то пишут а || р.
Свойства параллельных плоскостей:
1)	Любая плоскость считается параллельной самой себе (рефлек-
сивность).
2)	Если плоскость а параллельна плоскости Р, то и плоскость Р
параллельна плоскости а (симметричность).
3)	Если плоскость а параллельна плоскости Р, а плоскость Р парал-
лельна плоскости 7, то плоскость а параллельна плоскости у (транзи-
тивность).
Признак параллельности двух плоскостей:
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно
параллельны двумя прямым другой плоскости то эти плоскости парал-
лельны^
180
ГЛ. 5. ГЕОМЕТРИЯ
Теоремы о параллельных плоскостях;
1) Если две параллельные плоскости аир пересечены фетьей
плоскостью у, то линии пересечения плоскостей а, у и р, у параллельны.
2) Через данную точку, не принадлежащую данной плоскости,
можно провести одну и только одну плоскость, параллельную данной
плоскости.
3) Если каждая из двух данных плоскостей параллельна третьей
плоскости, то данные две плоскости параллельны между собой.
4.3. Перпендикулярность прямой и плоскости. Две прямые в про-
странстве называются перпендикулярными, если угол между направле-
ниями, задаваемыми этими прямыми, равен 90е. Прямая и плоскость
называются и^имно перпендикулярными, если прямая перпендикулярна
каждой прямой, принадлежащей пло-
скости.
Если плоскость а перпендикулярна
прямой а, то пишут a J_ а или а _1_ а.
Прямую, перпендикулярную плоско-
сти, называют перпендикуляром к этой
плоскости. Через каждую данную точку
пространства можно провести одну и
только одну прямую, перпендикулярную
данной плоскости.
Признак перпендикулярности прямой и
плоскости:
Если прямая а перпендикулярна каждой из двух пересекающихся
прямых, лежащих в плоскости а, то прямая а и плоскость а взаимно
перпендикулярны.
Те о р ем ы о перпендикулярности п р я мой и
плоскости:
1)	Два различных перпендикуляра к плоскости параллельны.
2)	Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна
плоскости, то и другая перпендикулярна этой плоскости.
3)	Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных пло-
скостей, перпендикулярна и другой плоскости.
4)	Две плоскости, перпендикулярные одной и той же пр яд: ой,
параллельны.
4.4.	Расстояние от точки до плоскости. Пусть точка Ах не принад-
лежит плоскостиа. Через точку	проведем перпендикуляр к плоскости.
Точку пересечения перпендикуляра с плоскостью обозначим буквой А
(рис. 5.18). Точка А есть основание перпендикуляра, а длина отрезка
— расстояние от точки до плоскости а.
Расстояние от точки At до плоскости а меньше расстояния от точки
At до любой точки плоскости а. отличной от точки А.
4.5.	Перпендикулярность плоскостей. Две плоскости называются
взаимно перпендикулярными, если угол между ними равен 90°. Если
плоскости а и Р взаимно перпендикулярны, то пишут a J_ р.
Признак перпендикулярности плоско-
с т е й:
Если плоскость содержит перпендикуляр к другой плоскости, то она
перпендикулярна этой плоскости.
Теорема о взаимно перпендикулярных пло-
скостях.
Если две плоскости взаимно перпендикулярны, то прямая при-
надлежащая одной плоскости и перпендикулярная линии пересечения
плоскостей, перпендикулярна другой плоскости.
§ б ПРОЕКТИРОВАНИЕ НА ПЛОСКОСТЬ	181
4.6.	Наклонная. Прямую, пересекающую плоскость, но не пер-
пендикулярную ей, называют наклонной к плоскости.
Теорема о трех перпендикулярах:
Для того чтобы прямая, лежащая в плоскости, была перпендику-
лярна наклонной, необходимо и достаточно, чтобы эта прямая была
перпендикулярна проекции наклонной на эту плоскость.
4.7.	Скрещивающиеся прямые. Две прямые называются скрещи-
вающимися, если они не пересекаются и не параллельны. Для обозначе-
ния пары скрещивающихся прямых а и.Ъ используется запись а ~ Ь.
Признак скрещивающихся прямых:
Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая
прямая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой
прямой, то данные прямые скрещиваются.
Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых а и b
называется отрезок, удовлетворяющий условиям:
1)	один конец отрезка принадлежит прямой а, а другой конец —
прямой Ь.
2)	прямая, содержащая отрезок, перпендикулярна как прямой а,
так и прямой Ь.
Расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми называют
длину общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых.
§ 5.	Проектирование на плоскость
5.1.	Параллельное проектирование. Пусть даны плоскость а и
прямая /, пересекающая плоскость а (рис. 5.19). Возьмем произвольную
точку пространства Лj и проведем через эту точку прямую /ь параллель-
ную/. Прямая пересечет плоскость а в некоторой точке А. Полученная
таким образом точка Л называется проекцией точки Л^ на плоскость а
при проектировании параллельно прямой I. Обычно кратко говорят, что
точка Л есть параллельная проекция точки Лх.
Параллельной проекцией пространственной фигуры называется
множество Ф параллельных проекций всех точек данной фигуры.
Свойства параллельного проектировани я*):
1)	Проекция прямой есть прямая.
2)	Проекции параллельных прямых параллельны?
3)	Отношение проекций двух параллельных отрезков равно отно-
шению проектируемых отрезков.
5.2.	Ортогональное проектирование. Частным случаем параллель-
ного проектирования является ортогональное проектирование.
*) Здесь предполагается, что проектирование производится параллельно
прямой Ц не параллельной проектируемым прямым или отрезкам.
182
ГЛ. 5. ГЕОМЕТРИЯ
Пусть даны плоскость а и прямая /, перпендикулярная а. Возьмем
произвольную точку пространства А± и проведем через нее прямую
параллельную I (и, следовательно, перпендикулярную плоскости а).
Прямая It пересечет плоскость а в некоторой точке А (рис. 5.20), Полу-
ченная точка А называется ортогональной проекцией точки Aj на
плоскость а.
Ортогональной проекцией фигуры Ф* на плоскость а называется
множество Ф ортогональных проекций всех точек данной фигуры Ф1.
Как частный случай параллельного проектирования, ортогональное
проектирование обладает всеми свойствами параллельного проектиро-
вания.
Свойство ортогональной проекции плоского
многоугольника:
Площадь s ортогональной проекции плоского многоугольника на
плоскость а равна площади S проектируемого многоугольника, умно-
женной на косинус угла у между плоскостью многоугольника и плос-
костью а
$ = S • cos у,
§ 6f Углы в пространстве
6.L Угол между наклонной и плоскостью. Углом между наклон*
ной и плоскостью называется угол между наклонной и ее ортогональной
Проекцией на плоскость. Угол между наклонной а и плоскостью а часто
обозначается
(а, а),
6.2. Двугранный угол, Пара различных полуплоскостей а и 0,
имеющих общую границу — прямую а, называется двугранным углом
РИС, 5.21.
РИС. 5,22(
(рис. 5.21). Прямая а называется ребром двугранного угла, а полупло-
скости а и 0 — его гранями. Двугранный угол разбивает все простран-
ство на две части — внутреннюю и внешнюю области двугранного угла.
Грани двугранного угла считаются не принадлежащими ни той, ни дру«
гой области.
Двугранный угол обозначается символом и буквами, указываю-
щими его грани и ребро. При этом буква, обозначающая ребро, ставится
между буквами, обозначающими грани. Например, угол, изображенный
на рис. 5.21, обозначается ад0. Применяется и краткое обозначение
двугранного угла по его ребру, например; а\ АВ (рис. 5.21).
§ 7. ЛОМАНАЯ. МНОГОУГОЛЬНИК
183
Пересечение двугранного угла и плоскости, перпендикулярной его
ребру, называется линейным углом двугранного угла. На рис. 5.22
АОВ — линейный угол двугранного угла аа₽.
Двугранный угол измеряется своим линейным углом. Сколько
градусов, минут и секунд имеет линейный угол, столько же градусов,
минут и секунд имеет двугранный угол.
Двугранный угол будет прямым, острым или тупым в зависимости
от того, будет ли линейный угол двугранного угла прямым, острым или
тупым.
Два двугранных угла равны, если равны их линейные углы.
6.3. Угол между двумя плоскостями. Две пересекающиеся пло-
скости определяют в пространстве четыре двугранных угла. Эти дву-
гранные углы попарно равны, и сумма двух углов, имеющих общую
грань, равна 180°. Меньший из двух углов называют углом между этими
плоскостями. Если две плоскости параллельны, то угол между ними
считается равным 0°.
Угол между плоскостями а, ₽ обозначается (а, ₽).
§ 7ft Ломаная. Многоугольник
Ломаной линией (или просто ломаной) называется объединение
отрезков, в котором конец каждого отрезка (кроме, быть может, послед-
него) является началом следующего отрезка, причем отрезки, имеющие
общий конец, не лежат на одной прямой. Отрезки, составляющие
ломаную, называют звеньями ломаной, а отрезки, имеющие общий
конец, — смежными звеньями ломаной.
Ломаная называется замкнутой^ если конец ее последнего звена
совпадает с началом первого звена.
Рис, 5.23.
Ломаная называется простой, если каждое ее звено .имеет только
одну общую точку с другим звеном, и эта точка является концом звена.
На рис. 5.23 изображены два типа ломацых. Ломаные, изображен-
ные на рис. а) и б), — простые. Только такие ломаные и будут далее
рассматриваться.
Простая замкнутая ломаная разбивает плоскость на две области —
внутреннюю и внешнюю области относительно данной ломаной. Внешняя
область обладает тем свойством, что в ней можно провести прямую,
целиком принадлежащую области.
Простая замкнутая ломаная вместе со своей внутренней областью
называется многоугольником. При этом сама ломаная называется грани-
цей многоугольника, а ее внутренняя область — внутренней областью
многоугольника. Звенья границы многоугольника называются сторо-
нами многоугольника, а точки пересечения звеньев — вершинами
многоугольника. Число вершин многоугольника равно числу его сторон.
184
ГЛ. 5. ГЕОМЕТРИЯ
Две стороны многоугольника, имеющие общую точку (вершину много-
угольника), называются смежными^сторонами, Обычно многоугольник
обозначается перечислением его вершин. На рис. 5.24 в многоугольнике
ABCDE, АВ, ВС, CD, DE и АЕ — стороны многоугольника, А, В, С,
D, Е — вершины многоугольника.
Многоугольник называется выпуклым, если он целиком содержит
отрезок, соединяющий две любые его точки, или иначе, многоугольник
Рис. 5,25.
называется выпуклым, если при продолжении любой из его сторон весь
многоугольник лежит по одну сторону от этой прямой. На рис. 5.25, а, б
изображены выпуклые многоугольники; на рис. 5.25, в, г — невыпук-
лые. Далее мы будем рассматривать только выпуклые многоугольники.
Проведем из вершины многоугольника два луча, содержащие две
смежные стороны выпуклого многоугольника (рис. 5.26). Эти два луча
разобьют плоскость на две области. Выпуклый многоугольник будет
целико.м находиться в одной из областей. Эту область называют вн у трен-
ним углом (или просто углом) многоугольника. Внешним углом выпук-
лого многоугольника называется угол, смежный сего внутренним углом.
На рис. 5.27 штриховкой отмечен один из внешних углов шестиуголь-
ника ABCDEF.
Многоугольник именуется по числу своих углов. Так, например,
многоугольник с тремя углами называется треугольником, многоуголь-
ник с четырьмя углами — четырехугольником и т. д.
Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна л (и — 2).
Сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному
при каждой вершине, равна 2л.
Сумма всех сторон многоугольника называется периметром много-
угольника. Периметр обычно обозначается символом Рп, где индекс п
указывает на .число сторон многоугольника.
Отрезок, соединяющий две не соседние вершины многоугольника,
называется диагональю многоугольника. На рис. 5.24 ACt ADt BDt ВЕ^
$ 8. ТРЕУГОЛЬНИКИ	183
СЕ — диагонали пятиугольника ABCDE. Число диагоналей'выпуклого
n-угольника равно п (п — 3).
Многоугольник называется правильным, если все его стороны равны
и все внутренние углы также равны между собой.
§ 8.	Треугольники
8.1. Основные свойства. Треугольником называется многоуголь-
ник с тремя углами (и с тремя сторонами).
Стороны и углы треугольника считаются основными элементами
треугольника.
Говорят, что в треугольнике АВС (рис. 5.28) сторона а лежит
против угла а и, наоборот, против стороны а лежит угол а. Аналогично^
b лежит против р, с — против у.
Треугольник полностью определяется *) любой из следующих
троек своих основных элементов: либо тремя сторонами, либо одной
стороной и двумя углами, либо двумя сто-
рожами и углом междутшми.
Для существования треугольника,
задаваемого тремя сторонами а, Ь, с, не-
обходимо и достаточно выполнение не-
равенств, называемых неравенствами
треугольника:
я + 6 > с,	6 + с > а.
Для существования треугольника,
задаваемого стороной а и углами а, р, не-
обходимо и достаточно выполнение нера-
венства
а + р < 180°,
а для существования треугольника, задаваемого сторонами Ь, с и углом
У между ними, необходимо и достаточно выполнение неравенства
у< 180°.
В качестве тройки элементов, однозначно определяющих треуголь-
ник, можно выбирать и другие наборы элементов. Некоторые из таких
наборов приведены в § 13.
Не любая тройка основных элементов треугольника однозначно ’
задает треугольник. Так, например, задавая три угла треугольника
а, Р, у (они не являются независимыми и связаны между собой равен-
ством а+Р+у— 180°), можно построить сколь угодно много не-
равных треугольников с углами а, Р, у (эти треугольники подобны).
Соотношения между сторонами и углами
треугольника:
1)	Против большей стороны лежит больший угол.
2)	Против большего угла лежит большая сторона.
*) Точнее говоря, задание перечисленных ниже троек элементов о.чро
леляет множество равных трехдольников. Равенство этих трсеч элементов
для двух треугольников также называют признаками равеа^пюи треуголь»
ПИКОВ,
186
ГЛ. Б. ГЕОМЕТРИЯ
3)	Против равных сторон лежат равные углы, и, обратно, против
равных углов лежат равные стороны.
Соотношение между внутренними и внеш-
ними углами треугольника:
Сумма двух любых внутренних углов треугольника равна внешнему
углу треугольника, смежного с третьим углом.
Стороны и углы треугольника связаны между собой также соотно-
шениями, называемыми теоремой синусов и теоремой косинусов (см.
гл. 6).
Треугольник называется тупоугольным, прямоугольным или остро-
угольным, если его наибольший внутренний угол соответственно больше,
равен или меньше 90°.
Площадь треугольника S может быть вычислена по
формулам:
S = j/p (р — а) (р — Ь) (р — с) (формула Герона)г
<$ = A- ab sin у,
с abc
6 “ТтГ’
S = рг.
Здесь а, Ь, с — стороны треугольника, ha, hb, hc — высоты, опущенные
на стороны а, b и с соответственно, р = (а + b + с) — полупери-
метр, R — радиус окружности, описанной около треугольника, г —
радиус окружности, вписанной в треугольник.
8.2.	Медианы треугольника. Медианой треугольника называется
отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противо-
положной стороны (на рис. 5.29 от-
А резки AD, BE, CF — медианы тре-
угольника АВС). Медианы пересе-
\	каются в одной точке, лежащей	внутри
п/	Дл	треугольника.
Основные свойства м е-
\	диан треугольника:
у	1) Медианы треугольника точкой
В	В их пересечения делятся в отношении
2:1 (считая от вершин треугольника).
рис. 5.29.	2) Медиана делит треугольник
на два равновеликих треугольника.
(Два треугольника равновелики, если их площади равны.)
3) Три медианы треугольника делят треугольник на шесть равно-
великих треугольников (на рис. 5.29 треугольники АОЕ, EOC, COD,
DOB, BOF, FOA равновелики).
Медиана треугольника nva, проведенная к стороне at
выражается через стороны треугольника по формуле
ти = -^-К2^Ч-2са-«2*
§ 8. ТРЕУГОЛЬНИКИ
187
8.3.	Высоты треугольника. Пусть АВС — некоторый произволь-
ный треугольник. Проведем через вершину А перпендикуляр к прямой
а, содержащей сторону ВС . рис. 5.30). Обозначим основание перпенди-
куляра буквой D. Отрезок перпендикуляра AD называют высотой
треугольника АВС, опущенной из вершины А на сторону ВС. Сторону
ВС при этом называют основанием треугольника АВС.
В тупоугольном треугольнике АВС (см. рис. 5.30) две высоты
(AD и BE) пересекают продолжение сторон и лежат вне треугольника;
А
Рис. 5.30.
Рис, 5.31»
третья высота (CF) пересекает сторону треугольника. В остроугольном
треугольнике (рис. 5.31) все три высоты лежат внутри треугольника.
В прямоугольном треугольнике катеты являются также и высотами.
Три прямые, содержащие разные высоты треугольника, всегда Пересе-»
каются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника. В тупо*
угольном треугольнике ортоцентр лежит вне треугольника; в остро*
£
Рис. Б.82,
угольном — внутри; в прямоугольном треугольнике ортоцентр совпа-
дает с вершиной прямого угла. Высоты треугольника, опущенные на
стороны треугольника а, Ь и с обозначаются ha, hb и hG соответственно.
Высота треугольника h* выражается через стороны
по формуле
h 2/р(р —а) (р—&) (р —с)
а	а
где Р = -§-(а+Ь4-с).
8.4.	Биссектрисы треугольника. Пусть
АВС — некоторый произвольный тре-
угольник. Проведем биссектрису угла
В А С, пересекающую сторону ВС в точке D
(рис. 5.32). Отрезок биссектрисы внут-
реннего угла треугольника называют бис-
сектрисой треугольника.
Три биссектрисы треугольника (AD, BE, CF на рис. 5.32) пересе-
каются в одной точке, лежащей внутри треугольника и являющейся
центром вписанной в треугольник окружности.
Свойства биссектрисы угла треугольника;
1) Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропор-
циональные прилежащим к ней сторонам. Так, например, для треуголь*
ника ABCt изображенного на рис. 5.32,
М£| |ЛД|
|£С| ~ |ВС| ’
188
ГЛ. 5. ГЕОМЕТРИЯ
2) Биссектриса треугольника делит площадь треугольника в отно-
шении, пропорциональном прилежащим сторонам:
S&abe __ I	|
S&BCE	I	I
8.5. Средняя линия треугольника. Средней линией треугольника
называется отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника
(на рис. 5.33 ЬЕ> DF, FE — средние линии).
Свойства средней линии треугольника:
1) Прямая, содержащая среднюю линию треугольника, параллельна
прямой, содержащей третью сторону треугольника.
2) Средняя линия треугольника равна половине третьей стороны.
3) Средняя линия треугольника
отсекает от треугольника подобный
треугольник. Площадь отсекаемого
треугольника относится к площади
основного треугольника в отноше-
нии 1 : 4.
8.6. Равнобедренный треугольник.
Треугольник, у которого две стороны
равны, называется равнобедренным.
В равнобедренном треугольнике
обычно за основание принимают сто-
рон у, не равную никакой из осталь-
ных двух сторон.
Свойства равнобедренного треугольника:
1) В равнобедренном треугольнике углы при основании треуголь-
ника равны.
2) Высота, проведенная из вершины, является также биссектрисой
и медианой.
8.7. Равносторонний треугольник. Треугольник, все стороны
которого равны, называется равносторонним (или правильным) тре-
угольником.
Свойства равносторонне-
го треугольника:
1)	Все углы равны (каждый угол равен 60°);
2)	Каждая из трех высот является также
биссектрисой и медианой;
3)	Центр окружности, описанной около
треугольника, совпадает с центром окружности,
вписанной в него.
Кроме того, равносторонний треугольник,
как частный вид правильного многоугольника,
имеет все свойства правильного многоуголь-
ника.
* 8.8. Прямоугольный треугольник. Треугольник, один из углов
которого прямой, называется прямоугольным треугольником.
Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого
утла, называется гипотенузой, а две остальные стороны — катетами.
На рис. 5.34 изображен прямоугольный треугольник: ВАС = 90%
ВС —• гипотенуза, АВ и АС — катеты.
Прямоугольный треугольник, имеющий равные катеты, называется
равнобедренным прямоугольным треугольником. В равнобедренном
§ 9. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
189
прямоугольном треугольнике острые углы равны (каждый из них
равен 45°).
Стороны всякого прямоугольного треугольника at b и с (с— гипо-
тенуза) связаны между собой соотношением, называемым теоремой
П и ф а I о р а:
с2 = а2 -ф-.Z?2,	У|\
которая читается так: квадрат гипоте- Jx J \
нузы равен сумме квадратов катетов.	s'	\
Свойства прямоуголь- S'	J \
н о г о треугольника:	----------- I *» ---—X
1)	Катет есть среднее пропорцио-	“с с ° с
нальное между гипотенузой и проекцией	рис 5 35
этого катета на гипотенузу (рис. 5.35):	’ * °*
bc : b = b : с, ас : а~ а: с, или Ь2 ~Ьсс и а2 — асс\
здесь через ас и Ь( обозначены проекции катетов а и b на гипотенузу с.
2)	Высота, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее
пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу (рис. 5.35)
bc : h — h : ас или № — асЬс.
3)	Центр окружности, описанной около прямоугольного треуголь-
ника, лежит на середине гипотенузы.
Площадь прямоугольного треугольника может быть вычислена по
общим формулам вычисления площади треугольника. Кроме того,
площадь прямоугольного треугольника может быть вычислена по
формуле
S = ab.
т. е. Площадь прямоугольного треугольника равна полышье щоизвс-
дения его катетов.
§ 9.	Четырехугольники
9.	1. Параллелограмм. Четырехугольник, противоположные сто-
роны которого попарно параллельны, называется параллелограммом
(рис. 5.36).
Свойства параллело-
грамма:
1)	Середина диагонали парал-
лелограмма является его центром
симметрии.
2)	Противоположные стороны
параллелограмма равны.
3)	Противоположные углы па-
Рис. 5.36.
раллелограмма равны.
4)	Каждая диагональ параллелограмма делит его на два равных
треугольника.
5)	Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения по-
полам.
6)	Сумма квадратов диагоналей параллелограмма (dx и d2) р*шна
сумме квадратов всех его сторон:
dl Т а2 = 2 К + Н-
190
ГЛ. В. ГЕОМЕТРИЯ
Признаки параллелограмма!
1) Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно
равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
2) Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и
параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Каждый из признаков параллелограмма может быть взят в качестве
определения параллелограмма. Так, например, из первого признака
получается следующее определение параллелограмма:
Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно
равны, называется параллелограммом. .
Так как параллелограмм — это четырехугольник со специальными
свойствами, то он обладает всеми свойствами произвольного четырех-
угольника. В частности, сумма внутренних углов параллелограмма
равна 2л (360°).
Отрезок перпендикуляра к сторонам параллелограмма, заключен-
ный между ними, называется высотой параллелограмма.
Площадь параллелограмма:
1) Площадь параллелограмма равна произведению его основания
на высоту7 (рис. 5.36):
- S = aha.
2) Площадь параллелограмма равна произведению смежных’сторон
параллелограмма на синус угла между ними (рис. 5.36):
S == ab sin а.
9.2. Ромб4
вается ромбом
Рис. 5,37.
Параллелограмм, все стороны которого равны, назьь
(рис. 5.37). Ромб, являясь параллелограммом, имеет
все его свойства. Кроме того, ромб обладает следу-
ющими специальными свойствами:
1)	Прямая, содержащая диагональ ромба, яв-
ляется его осью симметрии.
2)	Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
3)	Диагонали ромба являются биссектрисами
его внутренних углов.
Кроме общих формул вычисления площади ромба
как площади параллелограмма, площадь ромба
может быть вычислена по формуле
S = -g- didz,
где и d2 — диагонали ромба.
9.3.	Прямоугольник. Параллелограмм, у которого все углы пря-
мые, называется прямоугольником (рис. 5.38).
Прямоугольник, являясь параллелограммом, имеет все его свойств^.
Кроме того, прямоугольник обладает следующими специальными
свойствами:
1)	Перпендикуляр, проходящий через сере-
дины противоположных сторон прямоугольника,
является его осью симметрии.
2)	Прямоугольник имеет две оси симметрии. а	а
3)	Диагонали прямоугольника равны.
Площадь прямоугольника вы- ____________________________
числяется по формуле
S = ab,
где а и Ъ — смежные стороны прямоугольника. рис. 5.зв.
§ 10. ПОДОБНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ	,191
9.4.	Квадрат. Прямоугольник, у которого все стороны равны,
называется квадратом.
И з определений квадрата и ромба следует, что квадрат (рис. 3.89)
является ромбом, у которого все углы прямые. Так как квадрат является
и параллелограммом, и прямоугольником, и ром-
бом, то все свойства этих фигур присущи и квад-
рату.
Площадь квадрата вычисляется по
формуле
S «= а\
где а — сторона квадрата.
9.5< Трапеция* Четырехугольник, две сто-
Рис. 5.39.
Рис. 5.40.
роны которого параллельны, а две другие не па-
раллельньц называется трапецией.
Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями^
а не параллельные —• боковыми сторонами (на рис. 5.40 ВС и AD
основания, АВ и CD — боковые стороны).
Отрезок перпендикуляра к основаниям
трапеции, заключенный между основаниями!
называется высотой трапеции (на рис. 5.40
отрезок BQ — высота). Трапеция, боковые
стороны которой равны (| АВ | ~ \CD |)^
называется равнобочной (или равнобедренной^
В равнобочной трапеции углы при оснований
попарно равны:
BAD = ADC, ABQ «а A BCth

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, назы-
вается средней линией трапеции. Средняя линия трапеции параллельна
основаниям и равна полусумме оснований:
ш I = 1?СЛ+1.Л°1.,
Средняя линия трапеции делит высоту трапеции на два равных отрез'йй.
Площадь трапеции вычисляется по формуле

где а и b — основания трапеции, h — высота трапеции^
§ 10$ Подобные многоугольники
10.1	* Признак подобия многоугольников. Если стороны одного
многоугольника пропорциональны сторонам другого многоугольника и
соответственные углы (т. е. углы, лежащие между пропорциональными
сторонами) этих многоугольников равны, то такие многоугольники
подобны.
На рис. 5.41 изображен пятиугольник ABCDE, подобный пяти-
угольнику AiB^DiEi, с коэффициентом подобия k = 2
|4В| |ДС| |СР| |Д£| |ЛВ|
IЛ1В11 I BiCi I I CiDt I I DiEi I | AiEi) “ R ~
192
ГЛ. 5. ГЕОМЕТРИЯ
Два четырехугольника подобны, если у
ственных сторон пропорциональны и пары
них три пары соотвст-
соответственных углов,
Рис. 5.41.
заключенных между
|АВ| |ВС|
соответственными сторонами, равны (рис. 5.42):
I СР|
ТлТвГГ |ВхС1| ~ ICiDil ’
10.2	. Признаки подобия треугольников.
1)	Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем
сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны
(рис. 5.43):
|АВ |	_ |ВС |	| АС|
| А^ | ~ |	| ~ | ЛЛ | ‘
2)	Если два угла одного треугольника равны двум углам другого
треугольника, то такие треугольники подобны (рис. 5.43):
3)	Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум
сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами равны,
то такие треугольники подобны (рис. 5.43):
ЧЛВ1 |ВС|	„
I АА I - I BiCi I ’ В -	В1-
Для подобия треугольников специального вида (прямоугольных,
равнобедренных, равносторонних) необходимо выполнение меньшего
числа условий, нежели для произвольных треугольников. Так, 1) пря-
моугольные треугольники подобны, если гипотенуза и катет одного
треугольника пропорциональны гипотенузе и катету другого треуголь-
ника; 2) прямоугольные треугольники подобны, если острый угол одного
треугольника равен острому углу другого.
Аналогичное утверждение верно и для четырехугольников (много-
угольников) специального вида. Так, например, любые два правильных
n-угольника всегда подобны*
$ II. ОКРУЖНОСТЬ и круг
193
Свойства подобных многоугольников}
1) Отношение периметров подобных многоугольников равно отно-
шению их соответственных сторон (коэффициенту подобия).
2) Отношение площадей подобных многоугольников равно квадрату
коэффициента подобия.
§ 11. Окружность и круг
11.1. Окружность и круг. Окружностью называется множество
всех точек плоскости, находящихся на данном положительном расстоя-
нии от некоторой данной точки плоскости, называембй ^нтрол/ окруж-
ности.
Радиусом окружности называется отрезок, соединяющий центр
окружности с любой точкой окружности (на рис. 5.44 отрезок ОА —
радиус). Радиус окружности обычно обозначается буквами г, R.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой
(на рис. 5.44 АВ — хорда).
Рис. 5.44.
Рис. 5.45,
Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаме*
тром. Диаметр равен удвоенному радиусу окружности. Диаметр обычно
обозначается буквами d, D.
Свойства хорд окружности:
1)	Диаметр, делящий хорду пополам, перпендикулярен этой хорде.
2)	В окружности равные хорды равноудалены от центра окружности,
и, наоборот, равноудаленные от центра окружности хорды равны.
3)	Из двух не равных хорд окружности бблыпая хорда расположена
ближе к центру окружности, и, наоборот, из двух не равных хорд
большей будет та, которая ближе к центру.
4)	Отрезки пересекающихся хорд AM, МВ, СМ и MD (рис. 5.45)
связаны равенством
| AM | | МВ | = | СМ |.| MD\.
Кругом называется множество всех точек плоскости, расстояние
которых от некоторой данной точки плоскости (называемой центром
круга) не больше данного.
Радиус, хорда и диаметр окружности являются радиусом, хордой и
диаметром соответствующего круга.
11.2. Касательная и секущая. Прямая, принадлежащая плоскости
окружности и имеющая с окружностью только одну общую точку,
называется касательной к этой окружности.
Для того чтобы прямая была касательной к окружности, необхо-
димо и достаточно, чтобы эта прямая была перпендикулярна диаметру
окружности и проходила через его конец,
7 д. г. Цыпкин
194
ГЛ. 5. ГЕОМЕТРИЯ
Через любую точку, лежащую вне окружности и принадлежащую
плоскости окружности, можно провести две различные касательные
(рис. 5.46).
Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется
секущей. На рис. 5.47 AD и ADi — секущие.
Если через точку А, лежащую вне круга, провести касательную и
секущую (см. рис. 5.47), то отрезки касательной и секущей связаны
равенством
| АВ рс= | AD |.| АС | = | ADi |. pCJ.
11.3. Взаимное расположение двух окружностей. Пусть на пло-
скости даны две несовпадающие точки Ох и О2, расстояние между кото-
рыми h s= I ОХО2 I, и две окружности с радиусами и /?2 и центрами
в точках 01 и О2 соответственно. Для определенности положим, что
/?2« При заданном расстоянии | ОГО21 == h и заданных радиусах
R1 и /?2 могут быть следующие случаи взаимного расположения окруж-
ностей:
1)	Если	— /?2> то окружности не пересекаются и круг
радиуса /?2 ноликом принадлежит кругу радиуса Rx (рис. 5.48).
2)	Если h = /?£ — R2i то круг радиуса R2 целиком принадлежит
кругу радиуса а окружности имеют одну общую точку М (рис. 5.49).
О таком расположении окружностей говорят, чего они касаются друг
друга изнутри в точке М.
3)	Если h > Ri 4- R2, то окружности не пересекаются, а круги не
имеют ни одной общей точки (рис. 5.50).
4)	Если h = /?! + R2t то окружности (и круги) имеют одну общую
точку М (рис. 5.51). О таком расположении окружностей говорят, что
они касаются друг друга снаружи в точке М.
5)	Если Rt — R2 < h < Ri -f- R2t то окружности имеют две общие
точки. В этом случае говорят, что окружности пересекаются в точках
Mi и М2 (рис. 5.52).
Отрезок OiOa называется линией центров окружностей. Прямая,
касательная к обеим окружностям и не пересекающая линии центров,
называется внешней касательной двух данных окружностей.
§ 11. ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ
195
В перечисленных выше пяти случаях внешняя касательная к двум
окружностям может быть построена во всех случаях, кроме 1).
Прямая, касательная к обеим окружностям и пересекающая их
линию центров, называется внутренней касательной двух данных
окружностей. Внутренняя касательная может быть построена в случаях
3) и 4).
Если две окружности пересекаются (см. случай 5), рис. 5.52), то
отрезок называется общей хордой двух пересекающихся окруж-
ностей. Общая хорда двух пересекающихся окружностей взаимно пер-
пендикулярна с линией центров и точкой пересечения делится на два
равных отрезка:
I мл । = । км21.
11.4. Центральные углы и дуги окружности. Угол с вершиной
в центре окружности называется центральным углом окружности,
Два различных луча, выходящих из центра окружности, опреде-
ляют два центральных угла. Точки пересечения лучей с окружностью
(на рис. 5.53 точки Л и В) делят окруж-
ность на две части. Эти части окружности
называются дугами окружности. Чтобы вы-
делить одну из указанных дуг, на дугах
выбирают произвольные точки (на рис. 5.53
точки С и D) и говорят о дугах АС В и
ADB, Для обозначения дуг используется
символ 4J. Так, например, дуги А СВ и ADB
обозначаются:
о АСВ и ADB.
Центрами дуг называют центр окружности.
Дуги окружности измеряют в градусах, минутах и секундах.
Сколько градусов, минут и секунд имеет данный центральный угол^
столько же градусов, минут и секунд имеет и соответствующая дуга.
Угловая величина дуги АСВ (\jACB) иногда обозначается симво-
лом АСВ.
Дуга, соответствующая центральному углу в 180°, называется
пол уокр ужностъю.
Между дугами и соответствующими им центральными углами
окружности имеют место следующие отношения:
1) Две дуги, принадлежащие окружностям одного и того же ра-
диуса, равны в том и только том случае, когда их угловые величины
равны *).
♦) Угловые величины дуг окружностей разного радиуса могут быть
равны, но дуги тем не менее не будут равны,
7*
196
ГЛ* 5* ГЕОМЕТРИЯ
Рис. 5.54.
11.6. Углы
окружности, а
2) В одной и той же окружности большему центральному углу
соответствует большая дуга.
11.5. Дуги и хорды окружности. Пусть в окружности проведена
хорда АВ, не проходящая через центр окружности (рис. 5.54). О хорде
АВ говорят, что она стягивает дугу АВ (при этом
предполагается, что из двух дуг, на которые точки А
и В разбивают окружность, выбирается наименьшая
дуга, т. е. угловая величина дуги АВ заключена
в промежутке (0°, 180°)). Между хордами окруж-
. ности и стягиваемыми ими дугами имеют место
‘ следующие отношения:
1)	Равные дуги стягиваются равными хордами.
2)	Равные хорды стягивают равные дуги.
3)	Диаметр, перпендикулярный хорде, делит
стягиваемую хордой дугу пополам.
в окружности. Угол, вершина которого принадлежит
стороны пересекают окружность, называют углом,
вписанным в эту окружность (рис. 5.55). Говорят также, что угол ВАС
опирается на дугу BDC. Величина вписанного
угла равна половине угловой величины дуги,
на которую он опирается (или половине вели-
чины центрального угла, соответствующего дан-
ной дуге);	д
ВДС = -i- В DC.
Угол* образованный двумя касательными Рис» 5-55-
к окружности, проходящими через одну точку,
называется описанным углом (на рис. 5.56 С А и СВ — касательные).
Величина описанного угла равна полуразности угловых величин дуг,
заключенных между его сторонами:
лев = -L (лев — лЬв).
Величина угла, образованного двумя секущими, имеющими общую
точку, лежащую вне окружности, равна полуразности угловых величин
Рис. 5.56,	РИС. 5.57.	Рис. 5.58.
дуг, заключенных между его сторонами (рис. 5.57):
ДСХ = -1- (ADAt — BLBi).
Величина угла, образованного двумя секущими, имеющими общую
точку, лежащую внутри окружности, равна полусумме угловых величин
§ 12. МНОГОУГОЛЬНИКИ И ОКРУЖНОСТЬ	197
дуг, заключенных между его сторонами (рис. 5.58):
BCBi = -t- (вйь + А&А1).
11.7. Длины и площади в окружности и круге. Длиной окруж-
ности называется предел последовательности периметров правильных
многоугольников, вписанных в дан-
ную окружность, при неограничен-
ном увеличении числа сторон *).
Длина окружностиL
вычисляется по формуле
L = nd,
где d — диаметр окружности, или
по формуле
L = 2лг,
где г — радиус окружности.
Длина дуги окружности с угловой величиной в а° вычисля-
ется по формуле
, яга
1 “~Т8(Г‘
Площадью круга называется предел последовательности площадей
правильных многоугольников, вписанных в данную окружность, при
неограниченном увеличении числа сторон.
Площадь круга радиуса г вычисляется по формуле
S = лг2.
Сектором называется часть круга, ограниченная двумя его ра-
диусами (рис. 5.59).
Площадь сектора с угловой величиной дуги а° вычисля-
ется по формуле
с - nf2a
г>сект— 3б0 .
Часть круга, ограниченная хордой и стягиваемой ею дугой, называ-
ется сегментом (рис. 5.60).
Площадь сегмента вычисляется как разность площади
сектора, ограниченного радиусами О А и О В и площади треугольника
АОВ /(см. рис. 5.60).
§ 12.	Многоугольники и окружность
12.1.	Вписанные и описанные многоугольники. Многоугольник^
все вершины которого принадлежат окружности, называется вписанным
в эту окружность, а окружность — описанной около многоугольника.
Многоугольник, все стороны которого касаются окружности, назы-
вается описанным около этой окружности, а окружность — вписанной
в этот многоугольник.
Около всякого правильного многоугольника можно описать окруж-
ность, и во всякий правильный многоугольник можно вписать окруж-
ность.
*) Вывод формул длины окружности и площади круга см, п. 6.4 гл. 8<
198
ГЛ. 5. ГЕОМЕТРИЯ
Центр вписанной в правильный многоугольник окружности совпа-
дает с центром описанной около правильного многоугольника окруж-
ности; эта точка называется центром правильного многоугольника.
Отрезок перпендикуляра, проведенного из центра правильного
многоугольника к его стороне, называется апофемой правильного
многоугольника.
Сторона правильного /г- угольника ап выража-
ется через радиус R описанной около него окружности и число сторон п
по формуле
180°
an = 2fl sin
Площадь правильного n-угольника равна
половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности:
Sn ~ "2“ Рп?•
Площадь правильного n-угольника выража-
ется через радиус описанной окружности R и число сторон п по формуле
О 1	• 360°
8п=-^Р2пып—^—.
12.2.	Вписанные треугольники. Треугольник, все вершины кото-
рого принадлежат окружности, называется вписанным в эту окружность^
а окружность — описанной около этого треугольника. Около всякого
треугольника можно описать окружность, и притом только одну. Центр
описанной около треугольника окружности — точка пересечения
перпендикуляров, восставленных к сторонам этого треугольника и
проходящих через их середины; он лежит внутри треугольника, если
треугольник остроугольный; вне треугольника, если треугольник тупо-
угольный; на середине гипотенузы, если треугольник прямоугольный.
Радиус окружности, описанной около произвольного
треугольника, вычисляется по формулам
„Ч . а	- 1 • Ь - 1 . с
2 ' sin а 2 * sin (3 ~~ 2 * sin у ’
__ abc_______________abc___________,
45 Д 4 \/~р{р—а)(р—Ь)(р — с) ’
а, Ь, с — стороны треугольника, р = ~ (а + b 4- с) — полупериметр,
— площадь треугольника, а, 0, у — углы треугольника, лежащие
против сторон а, Ь, с соответственно.
12.3.	Описанные треугольники. Треугольник, все стороны кото-
рого касаются окружности, называется описанным около этой окруж-
ности, а окружность — вписанной в этот треугольник.
Во всякий треугольник можно вписать окружность, и притом только
одну. Центр О вписанной в треугольник окружности является точкой
пересечения биссектрис внутренних углов треугольника.
Радиус окружности, вписанной в произвольный тре-»
угольник, вычисляется по формуле
t = sд = 1 / (р ~д) (р ~ *) (р —
р V	р
§ 12. МНОГОУГОЛЬНИКИ И ОКРУЖНОСТЬ
199
12.4.	Вневписанная окружность. Вневписанной окружностью назы-
вается окружность, касающаяся одной стороны треугольника и про-
должения двух других сторон.
Биссектрисы пары внешних углов треугольника, смежных с углами
Риу(рис. 5.61), пересекаются в точке Оа. Через эту же точку проходит
биссектриса внутреннего угла а. Точка Оа — центр вневписанной окруж-
ности, касающейся стороны а и продолжения сторон b и с. Аналогично
находятся точки Оь и 0с — центры
вневписанных окружностей, каса-
ющихся сторон b и с соответственно
(см. рис. 5.61).
Радиусы в н е в п и с а н•
н ы х окружностей га, rCt
касающихся сторон at b и с соответ-
ственно, вычисляются по формулам
г	2S*
а р — a Z? + с — а ’
г	2S^
b p — b a-\-c — b 9
r	-	2S*
c p — c “ a-^b — c
12.5.	Соотношения между сторонами правильного и прямоуголь-
ного треугольников и радиусами вписанной и описанной окружностей.
Сторона правильного треугольника а связана с радиусом описанной
окружности R и радиусом вписанной окружности г соотношениями
р_ aV3	аКЗ
R 3’6*
Центр вписанной в правильный треугольник окружности совпадает
с центром описанной около него окружности и называется центром
правильного треугольника.
Окружность, описанная около прямоуголь-
ного треугольника. Центр окружности, описанной вокруг
прямоугольного треугольника, лежит на се-
@ редине гипотенузы, и, следовательно, гипо-
тенуза прямоугольного треугольника является
диаметром окружности, описанной около прямо-
В угольного треугольника.
Все точки окружности с диаметром АВ (за
исключением точек А и В) являются вершинами
прямоугольных треугольников с гипотенузой
Рис. 5.62. АВ (РИС- 5-62)-
12.6. Вписанные четырехугольники. Четы-
рехугольник, все вершины которого принад-
лежат окружности, называется вписанным в эту окружность, а окруж-
ность — описанной вокруг этого четырехугольника.
Для того чтобы около выпуклого четырехугольника можно было
списать окружность, необходимо и достаточно, чтобы сумма противо-
лежащих углов этого четырехугольника была равна 180 /
В частности, из всех параллелограммов лишь около прямоуголь-
ника (квадрата) можно описать окружность.
200
ГЛ. 5» ГЕОМЕТРИЯ
Около трапеции можно описать окружность только тогда, когда она
равнобочная.
Если четырехугольник ABCD можно вписать в окружность, то
произведение диагоналей этого четырехугольника равно сумме про-
изведений противоположных
сторон (рис. 5.63):
| АС | .|BD| = | ДВ|.|СГ| +
+ | AD |.| ВС |.
12.7. Описанные четырех-
угольники. Четырехугольник,
все стороны которого касаются
окружности, называется опи-
санным около окружности, а
окружность —- вписанной в этот
четырехугольник.
Для того чтобы в выпуклый четырехугольник можно было вписать
окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы противолежащих
сторон этого четырехугольника были равны. На рис. 5.64
| АВ |+ 1 CD | = | ВС | + | AD [.
Из всех параллелограммов лишь в ромб (в частности, в квадрат)
можно вписать окружность. Центр вписанной окружности совпадает
с точкой пересечения диагоналей указанных четырехугольников.
§ 13.	Геометрические построения
Задачи на геометрические построения — один из традиционных
разделов геометрии. Геометрические построения выполняются с по-
мощью «односторонней» линейки и циркуля. Под «односторонней»
линейкой понимается инструмент, с помощью которого можно выпол-
нять единственную процедуру — проводить прямую (луч, отрезок)
через две данные точки. Под циркулем понимается инструмент, которым
можно строить окружности и откладывать на прямой геометрически
заданный отрезок. В приведенных ниже задачах слова «отрезок задан»
и «угол задан» означают, что нам дано геометрическое изображение
отрезка (соответственно угла), а не их численное значение. При выпол-
нении задач на построение также следует иметь в виду, что задача
построения некоторой геометрической фигуры заключается не в практи-
ческом вычерчивании фигуры с известной степенью точности, а в том,
как при помощи линейки и циркуля необходимое построение может быть
выполнено теоретически в предложении, что наши инструменты дают
абсолютную точность построения.
В заключение сформулируем три классические задачи построения
фигур, решение которых разыскивалось в течение нескольких столетий,
до тех пор, пока не было доказано, что эти задачи не могут быть решены
с помощью линейки и циркуля.
1)	Удвоение куба. Если данный куб имеет ребро, равное
единице длины, то его объем будет равен кубической единице. Построить
ребро куба, объем которого вдвое больше.
2)	Трисекция угла. Разделить произвольный угол на три
равных угла.
3)	Квадратура круга. Построить квадрат (сторону квад-
рата), площадь которого равна площади круга, радиус которого прини-
мается за единицу длины.
§ 13. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ	201
13.1* Построение прямых, параллельных и перпендикулярных
данной прямой (данному отрезку).
1)	Построить прямую, параллельную данной прямой АВ а прохо-
дящую через данную точку С.
Произвольным раствором циркуля строим окружность е центром
в данной точке С так, чтобы она пересекла данную прямую Л В (рис. 5.65).
Тем же раствором циркуля от одной из точек пересечения прямой и ок-
ружности (на рис. 5.65 точки М) откладываем на прямой АВ в любую
Рис, 5.6Б.
Рис. 5.67,
Рис. 5.68,
сторону отрезок MN. Снова тем же раствором засекаем из точки Л/
точку окружности D. Через точки С и D проводим прямую. Прямая CD
и есть искомая прямая.
2)	Разделить данный отрезок пополам и построить перпендикуляр
к отрезку в его середине.
Из концов данного отрезка АВ как из центров (рис. 5.66) одним
и тем же произвольным ^большим 1 АВ радиусом строим две пере-
секающиеся дуги. Прямая, проходящая через
точки пересечения дуг С и D — середина
отрезка АВ.
3)	Построить перпендикуляр к данной
прямой MN в данной точке А (построение
прямого угла).
Возьмем произвольную точку О, не при-
надлежащую данной прямой Л4Л/ (рис. 5.67),
и построим окружность с центром в точке О
радиуса О А (А — данная точка). Через вто-
рую точку пересечения построенной окруж-
ности с прямой MN (на рис. 5.67 точку В) проводим диаметр ВС.
Прямая, проходящая через точки С и Л, и есть искомый перпендикуляр.
Угол, образованный лучами АС и АВ, — прямой.
4) Опустить перпендикуляр из данной точки С на данную пря*
мую MN.
Из данной точки С как из центра (рис. 5.68) произвольным радиусом
проводим дугу, пересекающую данную прямую MN в точках D и Е.
Из точек D и Е как из центров проводим одним и тем же произвольным
(но отличным от предыдущего) радиусом две дуги /j, /2, пересекающиеся
в точке F. Прямая, проходящая через точки С и F, и есть искомый
перпендикуляр.
13.2. Построение углов.
1) Построить угол, равный данному углу MNK (рис. 5.69, а).
Выбираем на плоскости произвольную точку О и проводим луч
ОА (рис. о.69, б). Из вершины N данного угла как из центра описываем
дугу PQ произвольного радиуса. Тем же раствором циркуля описываем
202
ГЛ, 5. ГЕОМЕТРИЯ
из центра О дугу P±Qi (точка Qj принадлежит лучу ОА, а точка
пока не фиксирована). Из точки как из центра радиусом, равным
длине хорды PQ, засекаем точку Р^ Проводя луч OPi, получаем угол
PjOQi, равный данному углу MNК.
2)	Построить углы, равные 60° и 30°.
Из концов А и В произвольного отрезка АВ как из центров радиу-
сом, равным [ АВ описываем две дуги, пересекающиеся в точках С и D
(рис. 5.70). Строим отрезки CD и АС, Обозначим точку пересечения
отрезков АВ и CD буквой О. Угол А СО равен 30°, а угол С АО равен 60°.
3)	Построить угол, равный 45°.
На сторонах прямого угла АОВ (рис. 5.71) откладываем равные
отрезки О А и ОВ. Через точки А и В проводим прямую АВ. Угол, обра-
зованный лучами ВА и ВО, равен 45°.
4)	Разделить данный угол ВАС на два равных угла (построить
биссектрису утла).
О	ia
Рис. 5.71.
Из вершины угла ВАС как из центра проводим дугу DE окруж-
ности произвольного радиуса (рис. 5.72). Из точек D и Е пересечения
этой дуги с лучами АВ и АС описываем произвольным радиусом пере-
секающиеся дуги If и 12. Через точку их пересечения F проводим луч AF.
Полученные углы BAF и FAC равны, а луч AF есть биссектриса угла
ВАС.
13.3. Построение отрезков.
1)	Разделить данный отрезок АВ на данное число равных отрезков.
Строим прямую, параллельную (но не совпадающую) прямой,
содержащей данный отрезок А В. Берем произвольную точку Ль при-
надлежащую построенной прямой (рис. 5.73). Из точки Af откладываем
столько равных отрезков Л^, CiDi, D^^ ,,, произвольной длины, на
§ 13. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ
203
сколько частей нужно разделить отрезок АВ. Конец последнего отрезка
сбозначаем буквой В±. Проводим прямые АА^ и ВВ^ до пересечения
в точке О. Через пары точек (Q; О), (Вх; О), (Ei\ О), ... проводим лучи?
которые пересекут прямую АВ в точках С, D, Е, ....делящих отрезок Л В
на нужное число равных отрезков.
2)	Разделить данный отрезок на отрезки, пропорциональные данным
величинам.
Рис. 5.73*
Рис. 5.74*
О
РИС. 5.75.
Задача решается так же, как и предыдущая, только от точки Л|
откладываются отрезки, пропорциональные данным величинам.
3)	Построить отрезок, средний пропорциональный (средний геоме*
трический) двум данным отрезкам *).
На произвольной прямой отложим данные отрезки так, чтобы конец
одного отрезка совпал с началом другого и эта точка была единственной
их общей точкой (на рис. 5.74 отрезки ЛВ и
ВС). Разделим отрезок АС пополам и радиу-
сом, равным половине отрезка АС, построим
окружность с центром в середине отрезка АС
(на рис. 5.74 точка О — середина отрезка
АС). Из точки В восставляем перпенди-
куляр к отрезку АС. Точку пересечения
перпендикуляра и окружности обозначим
буквой D. Отрезок BD — средний пропор-
циональный отрезкам ЛВ и ВС:
|ЛВ| \BD\
\BD\ | ВС| ’
4)	Построить четвертый пропорциональный отрезок (по данным
отрезкам а, b и с построить отрезок х такой, что а : b — с : х).
На одной стороне произвольного угла а (рис. 5.75) от его вершины
последовательно откладываем отрезки с и с, на другой — отрезок Ь.
Через точку С проводим прямую, параллельную прямой Л В. Отрезок
BD, отсекаемый на стороне угла ОВ, — искомый.
5)	Построить отрезок, соизмеримый данному.
Отрезок АВ называется соизмеримым с отрезком CD, если отноше*
ние длин этих отрезков — рациональное число:
| АВ | т t	ч
Trn I	— (/п’ п — натуральные числа).
*) Отрезок х, удовлетворяющий равенству а/х = х/b, где а и Ъ — данные
отрезки, называется отрезком, средним пропорциональным (средним геоме»
трическим) двум данным отрезкам,
204
ГЛ. б. ГЕОМЕТРИЯ
Пусть дан некоторый отрезок АВ и требуется построить отрезок,
соизмеримый данному. Разделим отрезок АВ на т равных частей.
Возьмем одну из этих равных частей и отложим ее п раз на луче СП
(рис. 5.76) так, чтобы конец предшествующего отрезка (за исключением
первого) был началом следующего. Тогда конец последнего отрезка даст
точку D — конец искомого отрезка CD,
6)	Примеры построения отрезков, несоизме-
рим ых с данным.	__
а)	По данному отрезку длиной а построить отрезок длиной a 2 •
т
--------1--1.л . . .t-:—f------1—.
С'----------------v---------------'Д
п отрезкой

Рис. 5.76.
Строим равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами
длиной а (рис. 5.77). Гипотенузой такого треугольника будет отрезок
а/2.	_
б)	По данному отрезку а построить отрезок а КЗ.
Строим прямоугольный треугольник с катетом а и гипотенузой 2а
(рис. 5.78).
Вторым катетом построенного прямоугольного треугольника будет
отрезок а 1^3 .	_
в) По данному отрезку а построить отрезок а /Ъ •
Рис. 5.78.
Рис. 5.79.
Строим прямоугольный треугольник с катетами а и 2а (рис. 5.79).
Гипотенузой построенного треугольника и будет отрезок а]/"5.
7)	Примеры построения отрезков, задавав*
мых алгебраическими выражениями (под словами
«отрезок задается алгебраическим выражением» понимается, что иско-
мый отрезок задается как алгебраическая функция данных отрезков).
Для построения отрезков, задаваемых алгебраическими выраже-
ниями, используются следующие элементарные построения:
а)	построение отрезка, среднего пропорционального двум данным
отрезкам;
б)	построение четвертого пропорционального отрезка;
в)	построение отрезка, несоизмеримого с данным.
§ 13. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ
Пример 1. Построить отрезок, задаваемый выражением
/ а2 + ab + с2,
где а, Ь, с — заданные отрезки.
Записывая выражение, стоящее под знаком радикала в виде
a2 -f- ab + с2 = а (а + Ь) + с2,
нетрудно заметить, что если мы построим отрезок х такой, что х2 =з
= а (а+Ь), т. е. отрезок, средний пропорциональный отрезкам а
и а Ь, то искомый отрезок будет получаться как гипотенуза прямо-
угольного треугольника с катетами х и с. Таким образом, построение
искомого отрезка свелось к выполнению двух последовательных по-
строений — построению среднего пропорционального отрезка и построе-
нию прямоугольного треугольника по двум катетам.
Пример 2. Построить отрезок, задаваемый выражением
/ За2 + 562 ,
еде aub — заданные отрезки.
Строим отрезок а как катет прямоугольного треугольника
с заданными гипотенузой_2а и катетом а.
Строим отрезок b J/5 как гипотенузу прямоугольного треуголь-
ника с заданными катетами 2Ь и Ь.
Искомый отрезок строится как гипотенуза прямоугольного тре-
угольника с катетами а j/"3 и b /"5 .
Пример 3. Построить отрезок х, задаваемый соотношением
1	1.1
еде а и b — заданные отрезки.
Проделав очевидные преобразования данного равенства;
1	1.1	a+b	b	а+Ъ
х	а 1 b ab	х а	9
замечаем, что построение отрезка х сводится к построению четвертого
пропорционального отрезка.
13.4.	Построение окружностей и дуг окружностей.
1)	Через две данные точки провести окружность данного радиуса.
Из данных точек А и В как из центров данным радиусом г проводим
две пересекающиеся дуги 1± и /2- Точка их пересечения О (рис. 5.80) и
есть центр искомой окружности *).
2)	Через три данные точки А, В, С, не лежащие на одной прямой*
провести окружность.
Строим отрезки ВС и АС (рис. 5.81), концами которых служат
данные точки А, В и С, строим перпендикуляры к отрезкам ВС и АС^
проходящие через их середины. Точка пересечения этих перпендикуля-
ров (на рис. 5.81 точка О) и будет центром искомой окружности. Радиус
данной окружности равен расстоянию от точки О до любой из трех
равноудаленных от О точек А, В и С.
3)	Через две данные точки А и В провести окружность, касающуюся
данной прямой а, не проходящей через А и В.
*) Здесь возможны три случая: существуют две окружности, проходя*
щие через точки Л и В (если | АВ I < 2г); если | АВ I ® 2г — такая окруж*
ность одна; при I АВ | > 2г искомой окружности не существует.
206
ГЛ. 5. ГЕОМЕТРИЯ
Проводим прямую через данные точки А и В. Возможны два случая:
а) прямая АВ пересекается с данной прямой а;
б)	прямая АВ параллельна данной прямой а.
Рассмотрим первый случай. Обозначим точку пересечения
прямых АВ и а буквой С (рис. 5.82). Строим отрезок х, средний про-
порциональный отрезкам СА и СВ. Откладываем отрезок х на прямой а
от точки С (на рис. 5.82 х = CF). Точка F — точка касания искомой
окружности с данной прямой. Таким образом, решение данной задачи
сводится к задаче построения окружности, проходящей через три задан-
ные точки А, В и F, не лежащие на одной прямой. Рассматриваемая
вадача имеет и второе решение: можно построить вторую окружность,
проходящую через данные точки А и В и касающуюся данной прямой а.
Для этого отрезок х нужно отложить на прямой а по другую сторону от
точки С.
Второй случай. Если прямые АВ и а параллельны, то
проводим перпендикуляр через середину отрезка АВ до пересечения
с прямой а в точке С (рис. 5.83). Точка С — точка касания искомой
окружности и данной прямой а. Окружность, проходящая через точки
А, В и СУ — искомая.
4)	Найти центр данной дуги окружности.
На данной дуге выбираем любые три точки А , В, С и строим центр
окружности, проходящей через три заданные точки.
5)	Разделить данную дугу окружности на две равные части.
Концы данной дуги соединяем хордой. Строим перпендикуляр
к хорде, проходящий через ее середину. Точка пересечения перпенди-
куляра и дуги делит данную дугу на две равные дуги.
6)	Найти множество точек плоскости, из которых данный отрезок
АВ виден под данным углом а.
Множеством точек плоскости, из которых данный отрезок АВ
виден под данным углом а, является дуга окружности величиной
§ 13. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ
207
точки,

Рис. 5.84,
2л— 2а, стягиваемая хордой АВ. Центр и радиус этой окружности
находятся следующим образом. Из точек А и В (рис. 5.84) восставим
перпендикуляры к отрезку АВ. Обозначим эти перпендикуляры AD
и ВК соответственно. От луча В К отложим угол KBL = а так, чтобы
луч BL пересек луч AD в некоторой точке С. Середина О отрезка ВС —
центр искомой окружности, у |ВС| — ее радиус. Из любой
лежащей на дуге АСВ отрезок АВ виден под утлома,
так как любой угол, опирающийся на хорду АВ
с вершиной на дуге АСВ, измеряется половиной
дуги, на которую он опирается.
Задача допускает и второе решение — суще-
ствует вторая окружность такого же радиуса, что
и первая (на рис. 5.84 лежащая ниже отрезка
АВ), из которой данный отрезок АВ виден под
углом а.
13.5.	Построение касательных к окружностям.
1)	Провести через данную точку касательную
к данной окружности.
Если данная точка А принадлежит данной
окружности с центром О (рис. 5.85), то искомой
касательной будет перпендикуляр к АО, проведен-
ный через конец А отрезка АО.
Если точка А лежит вне круга (рис. 5.86), то необходимо разделить
отрезок АО пополам и из его середины В радиусом ОВ провести дугу
DOC (D и С — точки пересечения дуги и данной окружности). Через
пары точек (D; Л) и (С; Л) проводим прямые, которые будут искомыми
касательными.
2) Провести к данным двум окружностям общую внешнюю коса*
тельную.
Задача не имеет решений, если один круг целиком содержится
в другом и окружности не касаются. Если один круг целиком содержится
Рис. 5.85.
в другом и окружности касаются изнутри, то задача имеет единственное
решение (существует только одна прямая, касательная к обеим окруж-
ностям). Во всех остальных случаях взаимного расположения двух
окружностей задача имеет два решения (т. е. существуют две различные
общие внешние касательные к данным окружностям).
Рассмотрим случай внутреннего касания двух окружностей.
Проводим линию центров OOj этих окружностей (рис. 5.87). В точке
касания двух окружностей (на рис. 5.87 точка М) строим прямую,
перпендикулярную линии центров. Это и есть искомая касательная.
208
ГЛ. б. ГЕОМЕТРИЯ
Рассмотрим случай, когда задача имеет два решения.
а)	Если радиусы данных окружностей равны, то проведем через
центры окружностей О и Ох (рис. 5.88) диаметры АВ и Л^, перпенди-
кулярные линии центров ОО±.
Прямые, проходящие через пары точек (Л; A J и (В;	— искомые
касательные.
б)	Если радиусы R и Ri данных окружностей не равны (R > Rj), то
строим окружность радиуса ОС = R — Ri с центром, совпадающим
с центром большего круга (рис. 5.89). К построенной окружности
Рис* 5.88.	Рис. 5.89.
проводим касательные АС и ЛС^, проходящие через центр меньшего
круга Л. Через центр большей окружности О и точки касания С и Ct
проводим лучи ОС и OCj, которые пересекут большую окружность
в точках D и Dj. Проводим радиусы АЕ и ЛЕ^, перпендикулярные
прямым АС и ЛСх соответственно. Прямые, проходящие через пары
точек (D; Е), (Dt; Ej), — искомые касательные.
3)	Провести к двум данным окружностям общую внутреннюю
касательную.
Задача не имеет решения, если круги (окружности) пересекаются
или если один круг целиком содержится в другом. Если окружности
касаются друг друга извне, задача имеет единственное решение — через
точку касания проводится перпендикуляр к линии центров (рис. 5.90).
Если окружности не пересекаются, то задача имеет два решения
(т.е. существуют две различные прямые, каждая из которых будет
касательной как к одной, так и к другой окружности). Касательные
строятся так. Строим окружность радиусом, равным сумме радиусов
данных окружностей, и с центром, совпадающим с центром одной из
окружностей Л (рис. 5.91). Из центра В второй окружности проводим
касательные ВС и ВС± к построенной окружности. Проводим радиусы
АС и ЛС1 в точки касания. Эти радиусы пересекут данную окружность
с центром Л в точках D и Df. Через центр второй окружности В про*
водим радиусы BE и BE j, перпендикулярные прямым ВС и ВС± соответ-
§ 13. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ	20Э
ственно. Прямые, проходящие через пары точек (£>; Е) и (£>ц EJ, —
искомые касательные.
13.6.	Построение окружности, описанной около многоугольника,
и многоугольника, вписанного в окружность.
1)	Описать окружность около данного треугольника.
Через вершины треугольника Л, В, С проводится окружность.
2) Описать окружность около данного прямоугольника (или квадрата).
Рис. 5.93,
Рис. 5.94.
Проводим диагонали АС и BD (рис. 5.92). Из точки О их пересече-
ния как из центра проводим окружность радиусом |0Л| . Построенная
окружность — искомая.
3)	Вписать квадрат в данный круг.
Проводим два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и CD.
Четырехугольник с вершинами А, Bt Ct D —искомый квадрат (рис. 5.93).
4)	Вписать в данную окружность пра-
вильный шестиугольник и правильный тре-
угольник.
Выбирем произвольную точку (скажем,
точку Л), лежащую на окружности, и рас-
твором циркуля, равным радиусу окружно-
сти, делаем на окружности засечки, получая
последовательно точки В, С, D, Е, F
(рис. 5.94). Соединяя последовательно ука-
ванные точки, получаем правильный ше-
стиугольник, вписанный в данную окруж-
ность. Соединяя их через одну, получим пра-
вильный (равносторонний) треугольник, впи-
санный в данную окружность.
5)	Вписать в данную окружность правильный
Проводим два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и CD
(рис. 5.95). Проведя биссектрисы четырех прямых углов, получим точки
пересечения биссектрис с окружностью (на рис. 5.95 точки Е, F, Af, N).
Соединяя последовательно полученные восемь точек Л, Е, С, F, Е, М,
Dt N, получаем искомый восьмиугольник.
13.7.	Построение окружности, вписанной в многоугольник, и
многоугольника, описанного около окружности.
1)	Вписать окружность в данный треугольник.
Строим биссектрисы двух внутренних углов треугольника. Из
точки О пересечения биссектрис (рис. 5.96) проводим перпендикуляр
к любой стороне треугольника (на рис. 5.96 к стороне Л В), который
пересечет сторону в точке D. Радиусом} OD|c центром в точке О описы-
ваем искомую окружность.
восьмиугольник.
210
ГЛ. 5. ГЕОМЕТРИЯ
2)	Вписать окружность в ромб (или квадрат).
Проводим диагонали ромба (на рис. 5.97 отрезки АС и BD). Через
точку О их пересечения проводим перпендикуляр к любой стороне
ромба (на рис. 5.97 к стороне ВС\ Е — точка пересечения перпендику-
ляра со стороной). Окружность с центром О и радиусом, равным
| ОЕ |, — искомая.
3)	Описать квадрат около данной окружности.
Проводим два взаимно перпендикулярных диаметра данной окруж-
ности (на рис. 5.98 АВ и CD — диаметры). Из их концов (точек А,
Рис. 5.97.
В, Ct D) как из центров описываем четыре полуокружности радиусами,
равными радиусу данной окружности. Точки пересечения полуокруж-
ностей — вершины искомого квадрата.
4)	Описать вокруг данной окружности правильный шестиугольник
и правильный восьмиугольник.
Отмечая на окружности соответственно шесть (восемь) точек так,
как это сделано в задачах 4), 5) п. 13.6, строим касательные к данной
окружности в отмеченных точках. Точки пересечения соседних каса-
тельных дадут вершины правильного шестиугольника (восьмиуголь-
ника).
13.8.	Построение треугольников.
1)	Построить треугольник по трем сторонам о, д, с.
Из концов отрезка АВ (| АВ | = а) как из центров проводим две
дуги окружностей радиусами b и с (рис. 5.99). Точка их пересечения
С — третья вершина искомого треугольника АВС. Задача имеет ре-
шение, если отрезки а, b и с удовлетворяют неравенствам треуголь-
ника.
2)	Построить треугольник по двум сторонам at b и углу у между
ними.
Строим угол, равный углу у. От вершины угла на его сторонах
откладываем отрезки СА и СВ, соответственно равные отрезкам b и а
(рис. 5.100). Соединяем точки А и В. Треугольник АВС — искомый.
3)	Построить треугольник по стороне а и прилежащим к ней
углам Р и у (Р + у < 180°).
При каждом из концов отрезка ВС (| ВС | == а) откладываем углы Р
и у (рис. 5.101). Точка А пересечения лучей В А и СА есть третья
вершина искомого треугольника АВС.
4)	Построить треугольник по основанию а, высоте ha и углу при
вершине а.
§ 13. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ
211
Строим дугу окружности, из которой отрезок АВ (| АВ | » at)
виден под данным углом а (см. задачу 6) п. 13.4. Строим произвольный
перпендикуляр к отрезку АВ и откладываем на нем отрезок 42V(| AN |=
= М- Через точку /V проводим прямую NL, параллельную прямой,
проходящей через точки Д, В. Полученная точка пересечения прямой
NL с дугой окружности (точка С на рис. 5.102) — вершина искомого
треугольника АВС (задача имеет два решения).
5)	Построить треугольник по двум сторонам а, b и углу а, про*
тиволежащему стороне а.
Рис. 5.100.
Строим дугу окружности, из которой отрезок АВ (| АВ | = а)
виден под данным углом а. Из конца А отрезка АВ как из центра
радиусом, равным Ь, проводим дугу, пересекающуюся с первой дугой.
Точка пересечения этих дуг (на рис. 5.103 точки С и Сг) и будет третьей
вершиной искомого треугольника ABC (CJ. В зависимости от вели-
чин а, b и а задача имеет одно или два решения, или вовсе не имеет
решений.
6)	Построить треугольник по стороне а, углу при основании а
и сумме двух других сторон 6 + с.
От конца А отрезка АВ (| АВ | = а) откладываем угол а. На
луче AN откладываем данную сумму двух сторон искомого треуголь-
ника (на рис. 5.104 отрезок АВ± (| АВг | = & + с)). Из середины
отрезка BBt восставляем перпендикуляр до пересечения с лучом АВР
Точка пересечения луча и перпендикуляра (на рис. 5.104 точка С) —
третья вершина искомого треугольника АВС.
7)	Построить треугольник по стороне а, углу при основании а
и разности двух других сторон b — с.
От конца А отрезка АВ (| АВ | = а) откладываем угол а. На
луче AN откладываем данную разность b — с двух сторон искомого
треугольника (на рис. 5.105 отрезок АВЪ | АВг | = b — с). Из середины
212	ГЛ. б. ГЕОМЕТРИЯ
отрезка BBt восставляем перпендикуляр до пересечения с лучом ДЛ7»
Точка пересечения луча AN и перпендикуляра (на рис. 6.105 точка С)—
третья вершина искомого треугольника АВС.
8) Построить треугольник по двум данным углам а, р и пери*
метру Р.
Строим углыа/2, р/2. Строим отрезок АВ (| АВ | « Р). От кон-
цов 4 и В откладываем углы а/2 и р/2 так, чтобы лучи, являющиеся
вторыми сторонами этих углов, принадлежали одной полуплоскости
Рис. 5.104.	Рис. 5.105.
относительно прямой АВ (рис. 5.106). Из середин отрезков ЛЕ и BE
(Е — точка пересечения сторон углов) восставляем перпендикуляры
до пересечения с отрезком АВ в точках С и D. Треугольник CED
искомый.
9) Построить треугольник по высоте hat медиане та и биссек*
трисе 1а, проведенным из одной вершины.
Строим прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АС
(| 4С|=/по) и катетом АВ (| АВ | = fta) (рис. 5.107). Строим дугу ра-
диусом, равным 1а, и с центром
в точке 4, пересекающую катет ВС
в точке D. Строим прямую MN*
перпендикулярную прямой ВС и
проходящую через точку С. Обо-
значаем точку пересечения луча AD
и прямой MN буквой L. Восстав-
ляем перпендикуляр к отрезку AL
в его середине. Точка пересечения О
данного перпендикуляра и прямой
MN — центр окружности, опи-
треугольника. Радиусом, равным АО,
с центром в точке О проводим окружность, пересекающую
А' С\
//7
Рис. 5.106.
санной вокруг искомого
в
мую ВС в точках R и S. Треугольнике вершинами 4, R, S — ис-
комый.
10) Построить треугольник по трем медианам та, mb) тс.
2	2	2
Строим отрезки — та, ть, -у тс.
ООО
2	2
Строим треугольник APQ (рис. 5.108) со сторонами -^та, ^mbt
о	и
2	1
*х-тс. На луче АР от точки Р откладываем отрезок РМ — та.
О	О
Находим середину N отрезка PQ и на луче AN откладываем отре-
§ 14. МНОГОГРАННЫЙ УГОЛ
213
зок NC ~ AN. Строим луч СМ и откладываем на нем отрезок ВМ =
« СМ так, чтобы точка М принадлежала отрезку ВС. Точки Л, В
и С —- вершины искомого тре-
угольника.
И) Построение прямоугольных
треугольников.
Построение прямоугольного
треугольника по двум катетам про-
водится так же, как в задаче 2) на-
стоящего пункта, для случая у=90°.
Построение прямоугольного
треугольника по катету и острому
углу Р проводится так же, как
в задаче 3), если угол у положить
равным 90°.
Построение прямоугольного
треугольника по гипотенузе и
острому углу а сводится к задаче
3) для случая острых углов а и
р = 90° — а.
12) Построить параллелограмм
по данным сторонам а, b и углу
Рис. 5.107.
а между ними.
Строим угол MAN, равный данному углу а (рис. 5.109). На луче
AM откладываем отрезок АС — а, а на луче AN — отрезок АВ = Ь.
Проводим из точки В как из центра дугу радиуса АС, а из точки С —
дугу радиуса АВ. Точку пересечения этих дуг (на рис. 5.109 точку D)
соединяем с точками В и С. Четырехугольник ABDC — искомый
параллелограмм.
§ 14. Многогранный угол
Пусть даны плоский многоугольник Ф и точка S, не принадле-
жащая плоскости данного многоугольника (на рис. 5.110 многоуголь-
ник Ф — шестиугольник ABCDEF). Объединение всех лучей, име-
ющих общее начало $ и пересекающих данный многоугольник Ф
(рис. 5.110), называется многогранным углом ♦).
•) Иногда многогранным углом также называют множество всех лучей*
имеющих общее начало S и пересекающих замкнутую ломаную ABCDEF*
т. е. объединение всех граней многогранного угла#.
214
ГЛ. 5. ГЕОМЕТРИЯ
Точка S называется вершиной многогранного угла; лучи S4, SB,
SC, SD, SE, SF, содержащие вершины многоугольника, — его реб-
рами; плоскости, содержащие треугольники SAB, SBC и т. д., —
его гранями*
В зависимости от числа граней различают трехгранные, четырех-
гранные, пятигранные и т. д. углы. Многогранный угол обозначают,
отмечая сначала вершину, а затем последовательно по одной точке на
каждом из ребер. Так, например, шестигранный угол, изображенный
на рис. 5.110, обозначают
SABCDEF.
Каждые две грани многогранного угла, имеющие общее ребро, обра-
зуют двугранный угол.
Множество всех точек многогранного угла, не принадлежащих!
граням, называют его внутренней областью. Многогранный угол,
внутренняя область которого расположена по одну сторону от пло-
скости каждой из его граней, называется выпуклым многогранным
углом. В противном случае многогранный угол называется невыпуклым.
Углы ASB, BSC и т. д. называются плоскими углами многогран-
ного угла SABCDEF (см. рис. 5.110),
Свойства плоских углов многогранного
угла:
1) Каждый плоский угол многогранного угла меньше суммы
остальных его плоских углов.
2) В выпуклом многогранном угле сумма плоских углов мень-
ше 360°.
Простейшим многогранным углом является трехгранный угол.
Необходимым и достаточным условием существования трехгранного
угла с данными плоскими углами а, (3, у является выполнение не-
равенств
|3—Т|<а<₽+у, а+₽+у< 360°.
Теорема косинусов для трехгранного
угла. Косинус плоского угла трехгранпого угла равен произведе-
нию косинусов двух остальных плоских углов, сложенному с произве-
дением синусов тех же углов и косинуса двугранного угла, определяе-
мого этими плоскими углами (рис. 5.111):
cos а = cos р cos у + sin Р sin у cos а,
§ 15. МНОГОГРАННАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
215
§ 15.	Многогранная поверхность. Многогранник
Многогранной поверхностью называют объединение конечного
числа плоских многоугольников такое, что каждая сторона любого
из многоугольников является в то же время стороной другого (но
только одного) многоугольника, называемого смежным с первым много-
угольником.
От любого из много-
угольников, составляющих
многогранную поверхность,
можно дойти до любого дру-
гого, двигаясь по смежным
многоугольникам.
Многоугольники, состав-
ляющие многогранную по-
верхность, называются ее
гранями} стороны много-
угольников называются реб-
рами, а вершины — верши-
нами многогранной поверх-
ности.
На рис. 5.112 изобра-
жены объединения много-
угольников, удовлетворя-
ющие указанным требова-
ниям и являющиеся многогранными поверхностями. На рис. 5.113
изображены фигуры, не являющиеся многогранными поверхностями.
Многогранная поверхность делит пространство на две части —
внутреннюю область многогранной поверхности и внешнюю область.
Из двух областей внешней будет та, в которой можно провести прямые,
целиком принадлежащие области.
Рис. 5.115,
Рис. 5.114.
Объединение многогранной поверхности и ее внутренней области
называют многогранником. При этом многогранную поверхность и ее
внутреннюю область называют соответственно поверхностью и внутрен-
ней областью многогранника. Грани, ребра и вершины поверхности
многогранника называют соответственно гранями, ребрами и верши-
нами многогранника.
Многогранник называется выпуклым, если он весь лежит по одну
сторону от плоскости любой его грани.
Отрезок, соединяющий две вершины многогранника, не принад-
лежащие одной грани, называется диагональю многогранника.
216
ГЛ. 5. ГЕОМЕТРИЯ
Многогранник обычно обозначается перечислением его вершин
и указанием его специальных свойств. Например, многогранник SABCD,
изображенный на рис. 5.114, — пирамида, многогранник ABCDAtBiCiDi
(рис. 5.115) — параллелепипед.
§ 16.	Призма
Многогранник, две грани которого — равные n-угольники, лежа*
щие в параллельных плоскостях, а остальные п граней — параллело-
граммы, называется n-угольной призмой.
Пару равных n-угольников называют основаниями призмы. Осталь*
ные грани призмы называют ее боковыми гранями, а их объединение —
боковой поверхностью призмы. На рис. 5.116 изображена пятиугольная
призма.
Стороны граней призмы называют ребрами, а концы ребер —
вершинами призмы. Ребра, не принадлежащие основанию призмы,
называют боковыми ребрами.
Рис. 5.117»
Призму, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям
оснований, называют прямой призмой. В противном случае призма
называется наклонной.
Отрезок перпендикуляра к плоскостям оснований призмы, концы
которого принадлежат этим плоскостям, называют высотой призмы.
Прямая призма, основанием которой является правильный много-
угольник, называется правильной призмой.
Площадь боковой поверхности призмы.
Пусть дана произвольная призма (на рис. 5.117 пятиугольная призма).
Через точку А, принадлежащую одному из ее боковых ребер, проведем
плоскость а, перпендикулярную этому ребру (и, следовательно, пер-
пендикулярную всем остальным боковым ребрам). Если плоскость а
пересекает все боковые ребра призмы, то многоугольник, полученный
в результате сечения всех боковых граней плоскостью а (на рис. 5.117
пятиугольник ABCDE), называется перпендикулярным сечением призмы
(если такого многоугольника не существует, то за перпендикулярное
сечение призмы принимают многоугольник с вершинами в точках
пересечения плоскости а с продолжениями боковых ребер).
Площадь боковой поверхности призмы вычис-
ляется по формуле
^бок == ^п*|	|>
где Рп — периметр перпендикулярного сечения призмы, 14i42H•
длина бокового ребра.
§ 17. ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД. КУБ
217
Площадь полной поверхности призмы равна
сумме площадей боковой поверхности призмы и двух ее оснований.
Объем наклонной призмы вычисляется по формуле
V = Sn|4M2|,
где Sn — площадь перпендикулярного сечения призмы, | AiA2 I —
длина бокового ребра, или по формуле
V — Sqch*
где 50сн — площадь основания призмы, Н — высота.
§ 17.	Параллелепипед. Куб
Параллелепипедом называется призма, основаниями которой слу-
жат параллелограммы. Все шесть граней параллелепипеда
(рис. 5.118) — параллелограммы. Отрезки, соединяющие вершины
параллелепипеда, не принадлежащие одной и той же грани, называются
диагоналями параллелепипеда.
Свойства параллелепипеда:
1)	Середина диагонали параллелепипеда является его центром
симметрии.
2)	Противолежащие грани параллелепипеда попарно равны и
параллельны.
3)	Все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной
точке и делятся ею пополам.
Рис. 5,118.
Рис. 5.119.
Параллелепипед, боковые ребра которого перпендикулярны пло-
скости основания параллелепипеда, называется прямым параллелепи-
педом (на рис. 5.119 A BCD А^С^ — прямой параллелепипед).
Прямой параллелепипед, основанием которого служит прямоуголь-
ник, называется прямоугольным пареллелепипедом. Все грани прямо-
угольного параллелепипеда — прямоугольники. Длины трех ребер
прямоугольного параллелепипеда, выходящих из одной вершины, на-
зываются измерениями прямоугольного параллелепипеда.
Свойства прямоугольного параллелепи-
педа:
1) Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен
сумме квадратов трех его измерений:
J2= а2+ ^2+с2
2) Все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
218
ГЛ. 5. ГЕОМЕТРИЯ
Так как параллелепипед есть частный случай призмы, то площадь
поверхности и объем параллелепипеда вычисляются по формулам для
площади поверхности и объема призмы. Кроме того, объем пря-
моугольного параллелепипеда можно вычислить
по формуле
V = abc,
где a, Ь, с—три измерения прямоугольного параллелепипеда.
Куб. Прямоугольный параллелепипед с равными измерениями
называется кубом. Все грани куба — равные квадраты.
Объем куба вычисляется по формуле
а3,
где а — измерение куба.
§ 18, Пирамида, Усеченная пирамида
Многогранник, одна из граней которого — произвольный много-
гранник, а остальные грани — треугольники, имеющие одну общую
вершину, называется пирамидой.
Многоугольник называется основанием пирамиды, а остальные
грани (треугольники) называются боковыми гранями пирамиды.
Различают треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т. д.

Рис. 5.120.
С
пирамиды в зависимости от вида многоугольника, лежащего в основа-
нии пирамиды. Треугольную пирамиду
также называют тетраэдром. На рис.
5.120 изображена четырехугольная пира-
мида SABCD с основанием ABCD и бо-
ковыми гранями SAB, SBC, SCD, SAD.
Стороны граней пирамиды называ-
ются ребрами пирамиды. Ребра, принад-
лежащие основанию пирамиды, назы-
вают ребрами основания, а все остальные
ребра — боковыми ребрами. Общая вер-
шина всех треугольников (боковых гра-
ней) называется вершиной пирамиды (на
рис. 5.120 точка S — вершина пирамиды,
SD — боковые ребра, отрезки АВ, ВС, CDt
отрезки 5Д, SB, SC, <
AD — ребра основания).
Высотой пирамиды называется отрезок перпендикуляра, прове-
денного из вершины пирамиды S к плоскости основания (концами
этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендику-
ляра). На рис. 5.120 SO — высота пирамиды.
Правильная пирамида. Пирамида называется пра*
сильной, если основанием пирамиды является правильный многоуголь-
ник, а ортогональная проекция вершины на плоскость основания сов-
падает с центром многоугольника, лежащего в основании пирамиды.
Все боковые ребра правильной пирамиды равны между собой;
все боковые грани — равные равнобедренные треугольники.
Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из
ее вершины, называется апофемой этой пирамиды. На рис. 5.121
S7V — апофема. Все апофемы правильной пирамиды равны между
собой.
Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме
площадей треугольников боковых граней, а площадь полной
§ 18. ПИРАМИДА. УСЕЧЕННАЯ ПИРАМИДА
219
поверхности равна сумме площади боковой поверхности и пло-
щади основания.
Площадь боковой поверхности правил ь<
ной пирамиды вычисляется по формуле
S = -у Ph‘
где Р — периметр основания пирамиды, h — апофема.
Объем пирамиды вычисляется по формуле
V = 4 5оенЯ,
О
где <S0Ch — площадь основания пирамиды, Н — высота пирамиды.
Усеченная пирамида. Возьмем произвольную пира-
миду. Через точку, принадлежащую какому-нибудь боковому ребру
Рис* 5.122*
и не совпадающую с его концами, проведем плоскость, параллельную
плоскости основания (рис. 5.122). Проведенная плоскость отсечет от
данной пирамиды SABCD (рис. 5.122) пирамиду SAxBjCjDx.
Многогранник, вершинами которого служат вершины основания
данной пирамиды и вершины основания отсекаемой пирамиды, назы-
вается усеченной пирамидой. Основания усеченной пирамиды — гомо-
тетичные многоугольники (на рис. 5.122 четырехугольники ABCD
и	— основания усеченной пирамиды). Центр гомотетии —
вершина пирамиды. Отрезок перпендикуляра к плоскостям оснований,
с концами на плоскостях оснований пирамиды, называется высотой
усеченной пирамиды. Боковые грани усеченной пирамиды — трапеции.
Усеченная пирамида называется правильной, если она является
частью правильной пирамиды. Боковые грани правильной усеченной
пирамиды — равные равнобедренные трапеции. Высота каждой из
этих трапеций называется апофемой правильной усеченной пирамиды.
Площадь боковой поверхности правильной
усеченной пирамиды вычисляется по формуле
$=4(Р+р)Л>
где Pt Р — периметры оснований пирамиды^ Л — апофема.
220
ГЛ. 5. ГЕОМЕТРИЯ
Площадь полной поверхности усеченной пира-
миды равна сумме площадей оснований и площади боковой поверхности
Пирамиды.
Объем усеченной пирамиды вычисляется по фор-
муле
v = 4-^(Si + rs!s7+s2),
О
где Н — высота усеченной пирамиды, и S2 — площади оснований
усеченной пирамиды.
§ 19. Правильные многогранники
Многогранник называется правильным, если все его грани — рав-
ные правильные многоугольники, а все многогранные углы имеют
одинаковое число граней. Все ребра правильного многогранника —
равные отрезки, все плоские углы правильного многогранника также
равны.
Рис. 5.123.
Рис. 5.124.
Рис. 5,127.
Существует пять различных правильных многогранников (вы-
пуклых): куб, правильный тетраэдр, правильный восьмигранник
(правильный октаэдр), правильный двенадцатигранник (додекаэдр),
правильный двадцатигранник (икосаэдр). На рис. 5.123—5.127 изоб-
ражены перечисленные правильные многогранники, а также развертки
их поверхностей.
Далее будем пользоваться следующими обозначениями: объем
многогранника будем обозначать V; площадь поверхности S; радиус
$ 19. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ	221
описанной сферы R; радиус вписанной сферы г; высоту (для тех много-
гранников, для которых это понятие имеет смысл) Я; каждое из равных
ребер — через а.
Куб. Все шесть граней — равные квадраты. Куб имеет восемь
вершин и двенадцать ребер.
V «= a3, S = 6а2,
П	а/З	а
R 2	’	2 "
Тетраэдр. Все четыре грани — равносторонние равные тре-
угольники. Тетраэдр имеет четыре вершины и шесть ребер.
V = fl3^, S = a2/3,
n	a J/*6	а Кб г, a Кб
4	>	12	’ Я 3	*
Октаэдр. Все восемь граней — равносторонние равные тре<
угольники. Октаэдр имеет шесть вершин и двенадцать ребер.
V =	S = 2a2/3,	=	r =
Додекаэдр. Все двенадцать граней — правильные равные
пятиугольники. Додекаэдр имеет двадцать вершин и тридцать ребер.
V =	г S = За2 (5+2/5),
n а ]/"3 (1 + /5 )	а ]/’10(25+11 /Г)
К =---------------, г =	.
Икосаэдр. Все двадцать граней — равносторонние равные
треугольники. Икосаэдр имеет двенадцать вершин и тридцать ребер.
v= ^(з+Г?),	5 = 5о!Кз,
_ а/2(5 +/5)	а /3 (3 + /5)
« =-------J------->	' =--------i2-----
Число ребер, число вершин и число граней правильных многогран*
ников связаны формулой Эйлера *)
N — L + F == 2,
где /V — число вершин, L — число ребер, F — число граней.
•) Формула Эйлера справедлива не только для правильных многогран*
пиков, но и вообще для всех выпуклых многогранников (например, призмы,
пирамиды и т« д.).
222
ГЛ. 5. ГЕОМЕТРИЯ
§ 20. Цилиндр
Прямым круговым цилиндром (или просто цилиндром) называется
фигура, полученная при вращении прямоугольника вокруг оси, про-
ходящей через одну из его сторон.
При вращении вокруг той же оси ломаной, составленной из сторон
прямоугольника, не лежащих на оси вращения, получается фи-
гура, которая называется поверхностью цилиндра
(рис.5.128).
Круги, полученные в результате вращения сто-
рон, смежных со стороной, принадлежащей оси вра-
щения, называются основаниями цилиндра (на рис. 5.128
основания цилиндра получаются в результате враще-
ния сторон прямоугольника АВ к CD вокруг оси ВС).
Радиус этих двух равных кругов называется радиусом
основания цилиндра. На рис. 5.128 отрезок АВ —
радиус основания цилиндра.
Фигура, полученная в результате вращения сто-
роны прямоугольника, противоположной стороне, при-
надлежащей оси вращения, называется боковой поверх*
ностъю цилиндра. На рис. 5.128 боковая поверхность
।
I
Рис. 5.128.
цилиндра получается в результате вращения стороны
AD вокруг оси ВС. Отрезок AD называется образующей ци-
линдра.
Перпендикуляр к плоскостям оснований цилиндра, концы кото-
рого совпадают с центрами оснований цилиндра, называется высотой
цилиндра. На рис. 5.128 отрезок ВС—высота цилиндра.
Развертка цилиндра представляет собой прямоугольник, одна сто-
рона которого равна длине окружности основания цилиндра, а дру-
гая — высоте цилиндра, и
два круга с радиусами, рав-
ными радиусу цилиндра
(рис. 5.129).
За объем цилиндра при-
нимают предел последова-
тельности объемов правиль-
ных призм, вписанных в ци-
линдр, при бесконечном уве-
личении числа сторон пра-
вильных многоугольников,
лежащих в основании
призмы *).
Объем цилиндра
вычисляется по формуле
V = л7?2//,

где R — радиус основания цилиндра, Н — высота цилиндра.
За площадь боковой поверхности цилиндра принимают предел после-
довательности площадей боковых поверхностей правильных призм,
вписанных в цилиндр, при бесконечном увеличении числа сторон
правильных многоугольников, лежащих в основании призм.
*) и выводе формул вычисления объема цилиндра и ддихцада боковой
поверхности цилиндра см, п. 6.4 гл, 8,
§ 21. КОНУС, УСЕЧЕННЫЙ КОНУС	223
Площадь боковой и полной поверхности
цилиндра вычисляется по формулам
•^бок e 2fiRH,
5дил =	+ 2л/?2,
где R — радиус основания цилиндра, Н — высота цилиндра.
§ 21в Конус, Усеченный конус
Прямым круговым конусом (или просто конусом) называется фигура,
полученная при вращении прямоугольного треугольника вокруг оси,
содержащей его катет.
Фигура, полученная при вращении вокруг той же оси ломаной,
составленной из гипотенузы и катета,не принадлежащего оси вращения,
называется поверхностью конуса. Фигура, полученная от вращения
гипотенузы, называется боковой поверхностью конуса, а фигура (круг),
полученная от вращения катета,—основанием конуса (рис. 5.130).
Радиус этого круга называется радиусом основания цилиндра (на
рис. 5.130 отрезок ОА),
Катет треугольника, принадлежащий оси, называется высотой
конуса (на рис. 5.130 отрезок SO — высота конуса). Гипотенуза прямо-
угольного треугольника называется образующей конуса (на рис. 5.130
отрезок 4S — образующая конуса).
Развертка боковой поверхности конуса является круговым секто-
ром, а полная развертка поверхности конуса представляет собой кру-
говой сектор и круг (рис. 5.131).
За объем конуса принимают предел последовательности правиль-
ных пирамид, вписанных в конус, при бесконечном увеличении числа
сторон правильного многоугольника — основания пирамиды *).
Объем конуса вычисляется по формуле
VKOH = 4-nR2//>
О
где R — радиус основания конуса, Н — высота конуса.
За площадь боковой поверхности конуса принимается предел
последовательности площадей боковых поверхностей правильных пи-
♦) О выводе формул для вычисления объема и площади боковой поверх-
ности конуса см. п» 6,4 гл. 8,
224
ГЛ. б. ГЕОМЕТРИЯ
рамид, вписанных в конус, при бесконечном увеличении числа сторон
правильного многоугольника, лежащего в основаниях пирамид.
Площадь боковой поверхности конуса вы*
числяется по формуле
$бок = я/?Ь,
где R — радиус основания конуса, L — образующая конуса (L =
= | AS | на рис. 5.130).
Площадь полной поверхности конуса вы*
числяется по формуле
SK0H e nRL + я/?2.
Усеченный конус. Часть конуса, ограниченная его осно-
ванием и сечением, параллельным плоскости основания, называется
усеченным конусом.
Основания усеченного конуса — гомотетичные круги с центром
гомотетии в вершине конуса (на рис. 5.132 в точке S).
5
Усеченный конус можно получить в результате вращения равно-
бедренной трапеции вокруг ее оси симметрии (на рис. 5.132 трапе-
ции АА1В1В). При вращении границы этой трапеции получается по-
верхность усеченного конуса.
Боковая сторона трапеции называется образующей усеченного
конуса; круги, полученные при вращении оснований трапеции, — осно-
ваниями усеченного конуса.
Развертка усеченного конуса представляет собой объединение
части кругового кольца и двух кругов (рис. 5.133).
Объем усеченного конуса равен разности объемов
полного конуса и конуса,отсекаемого плоскостью, параллельной осно-
ванию конуса. Объем усеченного конуса вычисляется по формуле
V = -l3i/f(R2 + 7?1R24-7?2),
где Н — высота усеченного конуса (на рис. 5.132 Н «= | ООГ |),
и R2 — радиусы верхнего и нижнего оснований усеченного конуса
(на рис. 5.132 /?!=|OA|, R2 = |	|).
Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна
разности площадей боковых поверхностей полного конуса и конуса,
§ 22. СФЕРА. ШАР
225
отсекаемого плоскостью, параллельной основанию конуса.
Площадь боковой поверхности	усечен-
ного конуса вычисляется по формуле
•$бок в л (^1 + R2)
где L — образующая усеченного конуса (на рис. 5.132 L= | ААг |).
§ 22. Сфера. Шар
данной точки пространства О, назы«
пространства, находящихся от данной
Множество всех точек пространства, находящихся на данном
положительном расстоянии R от данной точки пространства О, назы-
вается сферой.
Данная точка О назы-
вается центром сферы
(рис. 5.134).
Отрезок ОМ (М — про-
извольная точка сферы) на-
зывается радиусом сферы
(|ОЛ4| = /?). Отрезок, соеди-
няющий любые две точки
сферы, называется ее хордой.
Хорда, проходящая чёрез
центр сферы, называется
диаметром сферы. Диаметр
сферы равен ее удвоенному
радиусу.
Множество всех точек t ж
точки О на расстоянии, не большем данного расстояния /?, называется
шаром.
Шар можно получить в результате вращения полукруга вокруг
оси, содержащей диаметр полукруга (см. рис. 5.134). Фигура, полу*
ченная при вращении полуокружности,
есть сфера — поверхность шара. Центр,
радиус и хорды этой сферы называются
соответственно центром, радиусом и хор-
дами шара. Все точки шара, не принадле-
жащие его поверхности, называются
внутренними точками шара.
Объем шара радиуса R вычисляется
по формуле *)
v=4
О
Площадъ сферы радиуса R
вычисляется по формуле
S == 4л£а.
Сечением сферы плоскостью является:
1) окружность, если расстояние от центра сферы до плоскости
сечения меньше радиуса сферы;
2) точка, если расстояние от центра сферы до плоскости речения
равно радиусу.
*) Вывод формул вычисления объема шара и площади сферы см. п.
гл. 9.
8 А. Г. Цыпкин
226
ГЛ. 5. ГЕОМЕТРИЯ
Сечение шара плоскостью, проходящей через центр, называется
большим кругом. Радиус большого круга равен радиусу шара. На
рис. 5.135 и La — окружности больших кругов.
Всякая пара больших кругов пересекается по диаметру шара,
служащему диаметром также и для каждого из пересекающихся кругов.
Через две точки сферы, лежащие на концах одного и того же диаметра,
можно провести бесчисленное множество больших кругов. Через две
точки, не лежащие на концах одного диаметра шара, можно провести
один и только один большой круг.
Касательной плоскостью к сфере (шару) называется плоскость,
имеющая со сферой единственную общую точку. Эту точку (точка А
на рис. 5.135) называют точкой касания сферы и плоскости. Для того
чтобы плоскость была касательной к сфере, необходимо и достаточно,
чтобы эта плоскость была перпендикулярна радиусу сферы и прохо-
дила через его конец. На рис. 5.135 касательная плоскость а перпен-
дикулярна радиусу О А.
Прямая, принадлежащая касательной плоскости к сфере и прохо-
дящая через точку касания (точку А на рис. 5.135), называется прямой,
касательной к сфере (шару). Через каждую точку, принадлежащую
сфере, можно провести сколь угодно много касательных.
§ 23, Части шара
23.1.	Шаровой сегмент. Фигура, полученная при вращении кру*
гового сегмента вокруг диаметра, перпендикулярного его хорде, назы-
вается шаровым сегментом (на рис. 5.136 АВ — хорда; CD — диаметр).
Фигура, полученная в результате вращения дуги кругового
сегмента, называется сегментной поверхностью, а фигура, полученная
в результате вращения хорды, — основанием шарового сегмента.
Отрезок диаметра, принадлежащий одновременно оси вращения и
круговому сегменту (на рис. 5.136 отрезок КС), называется высотой
шарового сегмента (а также высотой сегментной поверхности).
Объем шарового сегмента шара радиуса К и вы-
сотой Я вычисляется по формуле
V = 4- лЯ2 (3R - Н).
. и
Площадь сегментной поверхности вычисляется
по формуле
S = 2aRH.
§ 23. ЧАСТИ ШАРА
227
23.2.	Шаровой сектор. Шаровым сектором называют фигуру, по-
лученную при вращении кругового сектора вокруг оси, проходящей
через один из его радиусов (рис. 5.137). Дуга кругового сектора образует
при этом вращении сегмент-
ную поверхность.
Объем шарового
сектора вычисляется по
формуле
9
V = 4 nR2Ht
и
где R — радиус шара, Н —
высота шарового сегмента
(на рис. 5.137 Н = | КС |).
Площадь полной по-
верхности шарового секто-
Рис. 5.137.
ра равна сумме площади поверхности шарового сегмента и площади
боковой поверхности конуса, полученного при вращении прямоуголь-
ного треугольника ОКА вокруг оси СО, содержащей его катет КО
(см. рис. 5.137).
Площадь полной поверхности шарового
сектора вычисляется по формуле
*->ш. сект — $сегм Ч* ^бок. кон =	nR |/*2RH — Н2 =
= пЯ (2Н + /2ЛЯ —№).
23.3.	Шаровой слой. Фигура, полученная при вращении части
круга, ваключенной между двумя параллельными хордами, вокруг
оси, проходящей через диаметр, перпендикулярный хордам, назы-
вается шаровым слоем (рис. 5.138). Круги, полученные при вращении
Рис. S.138.
корд, называются основаниями шарового слоя. Радиусы этих кругов
(на рис. 5.138 отрезки AD и ВС) называются радиусами шарового слоя.
Отрезок диаметра, принадлежащий одновременно оси вращения и
шаровому слою (на рис. 5.138 отрезок АВ), называется высотой шаро-
вого слоя.
Объем шарового слоя вычисляется по формуле
v=4пнз+4"я и г2>н>
где q и г2 — радиусы шарового слоя (на рис. 5.138 | AD | = rif ] ВС j =
== Н — высота шарового слоя (на рис. 5.138 Н = [АВ 1).
8*
228
ГЛ. Б. ГЕОМЕТРИЯ
23.4.	Шаровой пояс. Фигура, полученная в результате вращения
дуги окружности, заключенной между двумя параллельными хордами*
вокруг оси, проходящей через диаметр, перпендикулярный хордам,
называется шаровым поясом (или шаровой зоной). На рис. 5,138 шаровой
пояс получен в результате вращения дуги DMC вокруг оси АВ.
Высота шарового слоя одновременно является и высотой соответ*
Ствующего шарового пояса.
Площадь шарового пояса представляет собой разность площадей
двух сегментных поверхностей (на рис. 5.138 разность сегментных
. поверхностей, образованных в результате враще-
s'	ния ДУГ и DiKD).
Площадь шарового пояса вы*
числяется по формуле
\ X ' J	п ~ 2 л 7?/7,
V	где Н — высота шарового пояса, R — радиуо
у, ?	Дуги, от вращения которой получен шаровой пояа
V л ?/ (радиусбм дуги называется радиус окружности, со-
держащей данную дугу),
у|у	23.5. Телесный угол. Пусть L — некоторая
W	замкнутая плоская линия, не имеющая самопе-
V	ресечений, S — некоторая точка, не принадлежа-
щая плоскости линии L (рис. 5.139). Объединение
Рис. 5.1Я9. всех лучей, имеющих общее начало S и пересека-
ющих часть плоскости, ограниченную линией
называется телесным углом. Точка S называется вершиной телесного
угла, Телесный угол измеряется площадью поверхности, вырезаемой
телесным углом на сфере радиуса R с центром в вершине телесного
угла.
Единица измерения телесного угла называется стерадианом.
Один стерадиан — это такой телесный угол, который вырежет на
поверхности сферы радиуса R фигуру с площадью, равной R2.
Многогранный угол является частным случаем телесного угла
и также измеряется в стерадианах, например трехгранный угол, обра-
зованный в результате пересечения трех координатных плоскостей
прямоугольной системы координат Охуг, равен л/2 стерадиан. Действи-
тельно, этот телесный угол высекает 1/8 часть поверхности шара ра*
диуса R с центром в начале координат и, следовательно, равен
4"4л7?2
о	Л
§ 24.	Преобразования плоскости и пространства
24.1.	Геометрические фигуры. Отображение фигуры в фигуру и
отображение фигуры на фигуру. Геометрической фигурой называется
любое множество точек пространства (плоскости). Геометрическую
фигуру называют плоской, если все ее точки принадлежат одной пло-
скости.
Пересечение двух (или нескольких) геометрических фигур — это
фигура, состоящая нз всех тех и только тех точек, которые принадле-
жат каждой из данных фигур. В теории множеств любые два множества
имеют пересечение (которое может быть и пустым множеством). В гео-
§ 24.	ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ И ПРОСТРАНСТВА 229
метрик обычно вместо слов «пересечение двух фигур пусто» говорят,
что фигуры не пересекаются.
Объединение двух (или нескольких) геометрических фигур есть
фигура, состоящая из всех тех и только тех точек, которые принадле-
жат хотя бы одной из данных фигур.
Пусть Ф и Фх — две геометрические фигуры. Если каждой точке М
фигуры Ф некоторым способом поставлена в соответствие единственная
точка 7И1 фигуры Фх, то такое соответствие называется отображением
фигуры Ф {в фигуру ФР При этом точка Afx называется образом
точки Л4, а точка М — прообразом точки М±. Если при выбранном ото-
бражении фигуры Ф в фигуру Фх некоторые точки фигуры Фх имеют
несколько прообразов, то множество всех прообразов точки С Фх
называется полным прообразом точки Mt.
Множество Ф' всех образов точек фигуры Ф называется образом
фигуры Ф.
Если при выбранном отображении f образ фигуры Ф совпадает
с фигурой Фх, т. е. Ф' = Фх, то говорят, что фигура Ф отображается
на фигуру Фх, и пишут
Ф-> Ф1 или /: Ф-> ф£.
Отображение фигуры Ф на фигуру Фх, при котором разным точкам
фигуры Ф соответствуют разные точки фигуры Фх, называется взаимно
однозначным отображением фигуры Ф на фигуру Фх.
Пусть f — взаимно однозначное отображение фигуры Ф на фи-
гуру Фх. Отображение, ставящее в соответствие каждой точке Mi
фигуры Фх ее прообраз М при отображении f называют обратным
отображением, обозначают символом f~l и пишут
Фх —► Ф или Фх Ф.
24.2.	Преобразование плоскости и пространства. Взаимно одно-
ен ачное отображение пространства (плоскости) на себя называется
преобразованием пространства (плоскости).	е
Простейшие преобразования простран-
ства (плоскости):
1)	Преобразования пространства (плоскости), сохраняющие рас-
стояния между любыми двумя точками пространства (плоскости).
Такие преобразования называются изометрией *).
2)	Преобразования пространства (плоскости), при котором расстоя-
ния между любыми двумя точками изменяются в одном и том же отно-
шении k > 0. Такие преобразования пространства (плоскости) назы-
ваются преобразованиями подобия.
Данное разбиение преобразований на да вида весьма условно —
изометрия является частным случаем преобразования подобия; пре-
образование подобия есть изометрия, еслй k = 1.
Пусть f — произвольное преобразование пространства (плоско-
сти). Если преобразование f отображает точку М пространства (пло-
скости) на точку Mi пространства (плоскости), то пишут
f(M) = Mt.
Точка Л1| называется образом точки М при преобразовании простран-
ства (плоскости) ft а точка М — прообразом точки Mv
*) Иногда вместо термина «изометрия» употребляется термин
«перемещение».
230
ГЛ. 5. ГНОМРТРИЯ
Преобразование пространства (плоскости) f можно представлять
как множество всех упорядоченных пар точек (А1; /Ир пространства
(плоскости), где Mi = f (Af). Множество всех упорядоченных пар то-
чек пространства (плоскости) (М& М) определяет обратное преобразо-
вание. Такое преобразование называется обратным преобразованием
по отношению к преобразованию f и обозначается символом Z'1.
Композиция преобразований. Пусть fi и —
два последовательных преобразования пространства (плоскости):
Mi « h (М) и Afa « fa (Mi).
Преобразование пространства (плоскости), отображающее точку М
пространства (плоскости) в точку М2 пространства (плоскости), назы-
вается композицией преобразований fa и fa и обозначается
fefa.
Тождественное преобразование. Преобразова-
ние пространства (плоскости), отображающее каждую точку про-
странства (плоскости) на себя, называется тождественным преобразо-
ванием пространства (плоскости). Тождественное преобразование обо-
значается буквой Е. Согласно определению тождественного преобра-'
вования пространства (плоскости)
Е (М) « М.
Преобразование Е можно рассматривать как множество (Af; М)
всех пар совпадающих точек пространства (плоскости).
24.3.	Изометрия пространства и плоскости. Равенство фигур*
Из всех преобразований пространства (плоскости) можно выделить
преобразования, при которых расстояние между двумя любыми точ-
ками пространства (плоскости) равно расстоянию между их образами,
т. е. если f (Л) = Л* и / (В) = где Л и В — любые две точки про-
странства (плоскости), то |ЛВ| = | AiBi |. О таких преобразованиях
пространства (плоскости) говорят, что они сохраняют расстояние.
Преобразование пространства (плоскости), сохраняющее расстоя-
ние, называется изометрией. Из определения изометрии следует:
1)	Тождественное преобразование есть изометрия.
2)	Преобразование, обратное изометрии, есть изометрия.
3)	Композиция двух изометрий есть изометрия.
Любая изометрия плоскости может быть представлена как после-
довательное выполнение трех преобразований: параллельного переноса,
поворота вокруг точки и осевой симметрии.
Две геометрические фигуры Ф и называют равными, если су-
ществует изометрия, отображающая фигуру Ф на фигуру *).
24.4.	Поворот плоскости вокруг точки. Поворотом плоскости во-
круг центра О называется такая изометрия плоскости, при которой:
1)	точка О отображается сама на себя;
2)	угол между любым лучом ОХ и соответствующим ему лучом OXt
(образом луча ОХ) имеет одну и ту же величину а, называемую углом
поворота.'
Если луч ОХ совмещается с лучом OXi поворотом против часовой
стрелки, то направление поворота считается положительным; если же
луч ОХ совмещается е лучом OXj поворотом по часовой стрелке, го
направление поворота считается отрицательным. Так, например, на
♦) В курсе геометрии средней школы вместо термина «равенством уио*
требляется термин «конгруэнтность».
§ 24 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ И ПРОСТРАНСТВА 23!
рис. 5.140 лучи ОХ и OXf задают поворот на 60°, а на рис. 5.141 лучи
ОХ и 0X1 задают поворот на —60°.
Поворот вокруг центра О с углом поворота а обозначается
ГДе а С (—180°; 180°].
Поворот на угол 0 = а + 360°*п, где п £ Z и а £ (—180°; 180°],
отождествляется с поворотом
Так как поворот плоскости вокруг точки является частным слу-
чаем изометрии, то для него справедливы все общие свойства изометрии:
1)	Отображение, обратное повороту вокруг центра О, также яв-
ляется поворотом вокруг центра О, Так, например, для поворота
Рис. 5.140.
Рис. 5.141.
против часовой стрелки на угол а = 30° обратным является по-
ворот тоже на 30°, но по часовой стрелке.
2)	Композиция двух поворотов вокруг центра О на углы ах и аа
есть поворот на угол + а2 :	° /?®2 =	причем компо-
зиция двух поворотов обладает свойством коммутативности:
24.5.	Центральная симметрия и центрально симметричные фигуры.
Частный случай поворота плоскости вокруг центра О, а именно пово-
рот на 180°, называется центральной симметрией с центром О.
Рис. 5.142.
Центральная симметрия с центром О обозначается символом
По определению центральной симметрии
7 — ©180°
~ ^0	•
Геометрическая фигура, которая при центральной симметрии
с центром О отображается сама на себя, называется центрально симме-
тричной (говорят также, что такая фигура имеет центр симметрии О),
Несколько центрально симметричных фигур о центром симметрии О
изображено на рис. 5.142.
24.6.	Осевая симметрия плоскости. Говорят, что точки и М2
плоскости а симметричны относительно прямой /, принадлежащей
плоскости а и не содержащей точек Л12, если отрезок пер-
232
ГЛ. В. ГЕОМЕТРИЯ
пендикулярен прямой I и делится этой прямой пополам (I МУО [
= |0М2|, О—середина отрезка MiM2) (рис. 5.143).
Любая точка прямой I считается симметричной самой себе»
Изометрия плоскости, при которой каждая точка плоскости отоб-
ражается на симметричную ей (относительно данной прямой) точку,
называется осевой симметрией плоскости.
Данную прямую I называют осью симметрии, а осевую симметрию
относительно данной прямой I обозначают символом S/.
Так как осевая симметрия есть частный случай изометрии, то для
осевой симметрии справедливы все общие свойства изометрии. В част-
ности, отображение, обратное осевой симметрии, есть осевая симметрия.
Для осевой симметрии справедливо и более сильное утверждение:
Отображение, обратное осевой симметрии, есть та же самая осевая
симметрия.
Рис. 5.143.	Рис. 5.144.
Прямая I называется осью симметрии фигуры Ф, если фигура Ф
при осевой симметрии с осью I отображается сама на себя. В этом слу-
чае о фигуре Ф говорят, что она симметрична относительно оси Z.
На рис. 5.144 изображено несколько геометрических фигур, сим-
метричных относительно оси /.
24.7.	Осевая симметрия пространства. Говорят, что точки про-
странства и Af2 симметричны относительно прямой /, не содержащей
точек Л41, М2, если отрезок AfiA42 перпендикулярен I и делится этой
прямой пополам (| М^О | = |(Ш2|, где О — середина отрезка М^М2,
принадлежащая прямой /).
Любая точка прямой I считается симметричной самой себе.
Изометрия пространства, при которой каждая точка пространства
отображается на симметричную ей (относительно данной прямой /)
точку, называется осевой симметрией пространства.
Данную прямую I называют осью симметрии. Осевая симметрия
пространства (так же как й осевая симметрия плоскости) обозначается
символом S[.
Осевая симметрия пространства является частным случаем изо-
метрии пространства, поэтому для осевой симметрии пространства
справедливы все общие свойства изометрии пространства.
Если фигура Ф при осевой симметрии с осью I отображается сама
па себя, то говорят, что фигура Ф симметрична относительно оси /,
а ось I называют осью симметрии фигуры Ф.
На рис. 5.145 изображены две пространственные геометрические
фигуры с осью симметрии I.
Частным случаем фигуры Ф, симметричной относительно оси 19
являются фигуры вращения. Пусть в пространстве дана прямая I
и выбрана некоторая произвольная точка М9 не принадлежащая пря-
мой I. Построим плоскость а, перпендикулярную прямой I и содержа-
щую точку А1 (рис* 5,146). Плоскость а пересечет прямую I в некоторой
$ 24. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ И ПРОСТРАНСТВА 233
точке О. Рассмотрим окружность радиуса ОМ с центром в точке О,
принадлежащую плоскости а. О такой окружности говорят, что она
получена при вращении точки М вокруг оси /.
Рис* 5.145,
Теперь рассмотрим в пространстве прямую I и некоторую фи*
гуру F, принадлежащую плоскости, проходящей через данную пря-
мую I (рис. 5.147). Каждой точке фигуры F,
не принадлежащей прямой Z, поставим в соот- / л
ветствие окружность, получающуюся в резуль-
тате вращения данной точки вокруг прямой I. А /ССХ
Объединение всех таких окружностей и то-
чек фигуры F, принадлежащих прямой Z, на- *
вывается фигурой вращения, полученной в ре- W \ \ j / /
вультате вращения фигуры F вокруг прямой Z,
которая называется осью вращения.	ч!	шу
Сечением фигуры вращения называется не-	Л
пустое пересечение фигуры вращения и пло-	I 1
скости.	I	, I
СеченКе фигуры вращения называется осе*
вым сечением, если оно представляет собой пе- Рис. 5.147,
ресечение фигуры вращения плоскостью, прохо-
дящей через ось вращения фигуры.
24.8. Симметрия относительно плоскости. Говорят, что точки про-
странства М и Mi симметричны относительно плоскости а (рис. 5.148),
если отрезок MMi перпендикулярен этой плоскости и делится ею по-
полам. Любая точка плоскости а считается симметричной самой себе.
Преобразование пространства, при котором каждая точка отобра-
жается на симметричную ей относительно данной плоскости точку,
называется симметрией относительно этой плоскости. Симметрию отно-
сительно плоскости а обозначают символом Sa.
Плоскость а называется плоскостью симметрии фигуры Ф, если
при симметрии относительно плоскости а фигура Ф отображается
сама на себя. В этом случае о фигуре Ф говорят, что она симметрична
относительно плоскости а.
234
ГЛ. 5. ГЕОМЕТРИЯ
На рис. 5.149 изображены две геометрические фигуры, симметрич-
ные относительно плоскости а.
24.9.	Гомотетия плоскости. Гомотетией плоскости с центром
О и коэффициентом k 0 называется отображение плоскости на
себя, при котором образом произвольной точки X является точка Xj
такая, что
0X1 = kOX.
Гомотетию с центром О и коэффициентом k обозначают символом Н^:
Н* (X) = Х„ если ОХ, = ЮХ.
Говоря о множестве гомотетий с каким-либо определенным цен-
тром, в обозначении гомотетии букву О опускают, т. е. вместо
пишут Hk. Гомотетии с отдельно указанными центром и коэффициентом
обозначают Н.
Основные свойства гомотетии:
1)	Центр гомотетии отображается на себя.
2)	Если коэффициент k > 0, то точки X и Xj = Н (X) лежат
на прямой ОХ по одну сторону от центра гомотетии, т. е. точка Xj
принадлежит лучу ОХ.
Если k < 0, то точки X и Xj = Н (X) лежат на прямой ОХ
по разные стороны от центра гомотетии, т. е. точка Xj принадлежит
лучу, имеющему то же самое начало О, что и луч ОХ, и противоположно
направленному с лучом ОХ.
3)	Если при гомотетии с коэффициентом k точки X и Y отобра-
жаются соответственно на точки Xj и Ylt то
Л1У1 = kXY.
4)	При гомотетии с коэффициентом 1 каждая точка переходит
сама в себя. Поэтому тождественное отображение плоскости на себя есть
гомотетия с любым центром и коэффициентом k = 1.
5)	При гомотетии с центром О и коэффициентом —1 каждая точка X
переходит в точку Xi, для которой 0Xt == —ОХ, т. е. в точку, цен-
трально симметричную точке X. Поэтому гомотетия с коэффициентом
k = —1 есть центральная симметрия:
/7 о 1 == Zo.
6)	Обратным отображением к гомотетии с коэффициентом k яв-
ляется гомотетия с тем же центром и коэффициентом k' = \/k.
7)	При гомотетии с коэффициентом k все расстояния между точ-
ками изменяются в | k | раз:
IXiKi | = \k\-\XY ],
где Xi = Hk (X), yt = Hk (У).
Две плоские фигуры Ф и Фх называются гомотетичными, если су-
ществует гомотетия, отображающая фигуру Ф на фигуру Фх.
Свойства гомотетичных фигур;
1)	Гомотетичные фигуры подобны.
§ 24. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ И ПРОСТРАНСТВА 235
2)	При гомотетии с положительным коэффициентом каждый луч
переходит в сонаправленный с ним луч. При гомотетии с отрицатель-
ным коэффициентом каждый луч переходит в противоположно направ-
ленный луч. При гомотетии любая прямая, проходящая через центр
гомотетии, переходит сама в себя; прямая, не проходящая через центр
гомотетии (при k 1), переходит в параллельную прямую; угол пере-
ходит в равный угол и т. д.
24.10.	Гомотетия пространства. Гомотетия пространства опреде-
ляется так же, как и гомотетия плоскости.
Гомотетией пространства с центром О и коэффициентом k =£0
называется преобразование пространства, при котором образом про-
•*—>	• >
извольной точки X является такая точка Хх, что ОХ± = kOX. Гомо-
тетия пространства с центром О и коэффициентом k обозначается тем
же символом Яд, что и гомотетия плоскости.
Все свойства гомотетии плоскости справедливы и для гомотетии
пространства. Кроме того:
1)	при гомотетии пространства плоскость отображается либо на
саму себя, либо на параллельную плоскость;
2)	всякая сфера при гомотетии пространства с центром^ совпада-
ющим с центром сферы, отображается на сферу.
Гомотетия как пространства, так и плоскости задается либо цен-
тром гомотетии и упорядоченной парой соответственных точек X и
Хх 8= Н (X), либо двумя упорядоченными парами соответственных
точек (X; Xt) и (У; Ух), где Хх == Н (X) и Ух = Н (У).
Кроме перечисленных выше способов задания, гомотетия может
вадаваться, например, центром гомотетии О и коэффициентом гомоте-
тии k.
24.11.	Преобразование подобия плоскости. Отображение плоско-
сти на себя, при котором расстояния между любыми двумя точками
изменяются в одном и том же отношении k > 0, называется преобра*
вованием подобия или просто подобием. Число k называется коэф*
фициентом подобия.
Так, если f — преобразование подобия, изменяющее расстояние
в k раз, а А и В — две любые точки плоскости и / (Л) = Лх, / (В) =□
е= Bi, то |ЛхВх| « k- | АВ |.
Свойства преобразований подобия:
1)	Композиция /х°/2 ДВУХ преобразований подобия /х и
с коэффициентами подобия kx и k2 соответственно есть преобразование
подобия с коэффициентом kX'k2. В частности, композиция гомотетии
и изометрии есть преобразование подобия.
2)	Каждое преобразование подобия есть композиция гомотетии
и изометрии.
3)	Каждая гомотетия является преобразованием подобия.
4)	Каждая изометрия является преобразованием подобия с коэф-
фициентом подобия, равным единице.
24.12.	Подобные фигуры. Если фигуру Ф можно отобразить на
фигуру Qj так, что для любых точек А н В фигуры Ф отношение рас-
стояния | ЛхВх | между их образами (точками фигуры Фх) к расстоя-
нию | АВ | между самими точками равно одному и тому же числу
Л (I | = А>| АВ |), то говорят, что фигура Фх подобна фигуреФ
с коэффициентом подобия k, и пишут
'	k
Фх ~ф.
236
ГЛ. В. ГЕОМЕТРИЯ
Свойства подобных фигур!
1)	Каждая фигура подобна самой себе о коэффициентом подобия
k ю 1 (рефлексивность):
фДф.
2)	Если фигура Ф1 подобна фигуре Ф с коэффициентом то фи-
гура Ф подобна фигуреOj е коэффициентом &'== ш? (симметричность)»
k	1/А
Ф1 ~Ф-ф>Ф~Фь
Принимая во внимание свойство симметричности* обычно просто
говорят, что две фигуры Ф и Фх подобны.
3)	Если фигура Ф^ подобна фигуре Ф с коэффициентом а фи-
гура Фа подобна фигуре Фх с коэффициентом подобия k2, то фигура Фа
подобна фигуре Ф с коэффициентом k=kfk2 (транзитивность):
ь	ь	ь .ь
Ф1~ф и Ф2~Ф1=>Ф2 ~Ф.
§ 25. Система аксиом и неопределяемых понятий
геометрии (по Гильберту)
Основными (неопределяемыми) понятиями геометрии по Гильберту
являются три вида объектов:
1)	точки, которые будем обозначать Л, В, С,
2)	прямые, которые будем обозначать a, b, С; ...j
3)	плоскости, которые будем обозначать а, Р, у, ...
АКСИОМЫ ГЕОМЕТРИИ ПО ГИЛЬБЕРТУ
I.	Аксиомы принадлежности.
Аксиомы этой группы устанавливают отношения принадлежности
между основными понятиями геометрии.
1-1. Для любых двух точек Л и В существует прямая а, про-
ходящая через эти точки.
1-2. Для. любых двух различных точек Л и В существует не
более одной прямой, проходящей через эти точки.
1-3. На прямой существуют по крайней мере две точки. Суще-
ствует по крайней ме$е три точки, не лежащие на одной прямой.
1-4. Для любых трех точек Л, В и С, не лежащих на одной
и той же прямой, существует плоскость а, содержащая три данные
точки Л, В и С. Для любой плоскости всегда существует принадлежа-
щая ей точка.
1-5. Для любых трех точек Л, В и С, не лежащих на одной и
той же прямой, существует не более одной плоскости, проходящей
через эти точки. Эту плоскость часто обозначают ЛВС, т. е. перечис-
лением точек, через которые проходит плоскость.
1-6. Если две точки Л, В прямой а лежат в плоскости а, то вся-
кая точка прямой а лежит в плоскости а.
1-7. Если две плоскости аир имеют одну общую точку Л, то
они имеют по крайней мере еще одну общую точку В.
1-8. Существуют по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной
плоскости.
Аксиомы 1-1—1-3 называют плоскостными аксиомами, а остальные
аксиомы — пространственными.
§ 25. СИСТЕМА АКСИОМ
237
II.	Аксиомы порядка.
Аксиомы этой группы определяют понятие «между», служащее для
описания отношения порядка точек на прямой, плоскости и в про-
странстве.
Точки, лежащие на прямой, находятся в определенных отноше-
ниях друг с другом. Для описания этих отношений используется слово
«между».
П-1. Если точка В лежит между точкой А и точкой С, то А,
В и С — три различные точки прямой и точка В лежит также между
С и А.
П-2. Для любых двух различных точек А и С, лежащих на
прямой АС, существует по крайней мере одна точка В такая, что
точка С лежит между А и В.
П-З. Среди любых трех различных
точек, лежащих на прямой, существует	/X.	/
не более одной точки, лежащей между /
двумя другими.	/
Кроме этих аксиом порядка на пря- /	/ X.
мой, вводится еще одна аксиома, опреде-	С*-—----------
ляющая отношение порядка на пло- /
скости. В формулировке этой аксиомы
используется понятие отрезка, которое	рис. 5.150.
вводится следующим образом:
Пусть А и В — две различные точки прямой а. Множество всех
точек прямой а, лежащих между точками А и В, включая А и В*
называется отрезком, а точки А и В — концами отрезка. Отрезок
с концами А, В обозначается АВ (или В А). Всякая точка отрезка,
лежащая между его концами, называется внутренней точкой отрезка.
П-4. Пусть А, В и С — три точки, не лежащие на одной пря-
мой, и а— прямая в плоскости АВС, не проходящая ни через одну
из точек А, В и С (рис. 5.150). Если при этом прямая а проходит
через одну из точек отрезка АВ, то она должна пройти через одну из
точек отрезка . АС или через одну из точек отрезка ВС.
Пусть на прямой а заданы четыре -различные точки А, В, А'
и О (рис. 5.151) так, что точка О лежит между А и В, но не лежит
между А и А'. В этом случае говорят, что точки А и А' прямой а
лежат по одну и iy же сторону от точки О, а точки А, В лежат
на прямой па разные стороны от точки О. Множество всех точек пря-
мой а, лежащих по одну сторону от точки О, включая точку О, на-
зывается лучом, исходящим из точки О.
III.	А к с и о м ы конгруэнтности.
Отрезки находятся в определенном отношении друг с другом?
для описания этого отношения служат понятия «конгруэнтности»
или «равенства» отрезков *).
Ш-1. Пусть А и В — две точки прямой а и А' — некоторая
точка прямой а! (которая, в частности, может совпадать с прямой а).
Тогда на прямой а' существует точка В', лежащая по заданную сто-
рону от точки А' и такая, что отрезок АВ равен отрезку А'В'
(рис. 5.152). Для обозначения равенства отрезков используется знак — •
Эта аксиома дает возможность откладывать отрезки.
И1-2.> Если отрезок А'В' и отрезок А"В" равны одному и тому же
отрезку АВ, то отрезки А'В' и А"В" равны.
♦) В аксиоматике Гильберта термины «конгруэнтность» и «равенство»
являются синонимами.
238
ГЛ. 5. ГЕОМЕТРИЯ
Из аксиомы III-2, в частности, вытекает, что любой отрезок равен
самому себе, а также что отношение равенства отрезков симметрично
и транзитивно.
II1-3. Пусть АВ и ВС — два отрезка прямой а, не имеющие ни
одной общей внутренней точки, а А*В* и В*С — два отрезка той же
или другой прямой а', также не имеющие общих внутренних точек
(см. рис. 5.152). Если при этом
АВ = А'В' в ВС = В'С',
то и АС г= А'С'.
Эта аксиома дает возможность складывать отрезки.
Аксиомы II1-1 и III-3 содержат утверждения, касающиеся лишь
равенства отрезков; их называют линейными аксиомами равенства
а	____________________
•-----1------}.----1-— j-------	А А	С
A’ A Q Я #
а-------,—,-----------_—,
A' S' С
Рис, 5.151.	Рис. 5.152.
При формулировке следующих двух аксиом равенства используется
понятие «угла». Углы находятся в определенном отношении, для обо*
еначения которого используется понятие «равенство».
Ш-4. Пусть даны угол	в плоскости а и прямая а'
в плоскости а , а также выбрана вполне определенная по отношению
к прямой а* часть плоскости а', отделяемая прямой а' от всей пло-
скости. Пусть h\ —луч прямой а*, исходящий из точки О'. Тогда
в плоскости а' существует один и только один луч h2 такой, что угол
(^1, Л2) равен углу Л2) и все внутренние точки угла h2)
находятся в плоскости а' по данную сторону от прямой а':
h2) = <^(^1, h2).
111-5. Если для двух треугольников АВС и А'В'С' имеют место
равенства
АВ » А'В', АС == А'С', ^ВАС = ^В'А'С',
то имеет место также равенство
^АВС= ^А'В'С'.
Аксиомы Ш-4 и Ш-5 называются плоскостными аксиомами ра-
венства.
IV.	Аксиома о параллельных прямых (а к с и*
ома Евклида):
Пусть а — произвольная прямая, а А — точка, не принадлежа-
щая прямой а. Тогда в плоскости, определяемой прямой а и точкой А,
существует не более одной прямой, проходящей через точку А и не
пересекающей прямую а.
Эта прямая называется прямой, параллельной а и проходящей
через точку А.
§ 25. СИСТЕМА АКСИОМ
239
Иногда при перечислении аксиом геометрии вместо аксиомы о па*
раллельных выдвигаются предложения, равносильные этой аксиоме.
Такими предложениями, например, будут следующие:
1) Если две прямые а и Ь, лежащие в одной плоскости, не пере-
секают третью прямую, лежащую в той же плоскости, то они не пере-
секаются также и между собой.
2) Если принята аксиома Архимеда (см. ниже), то аксиома о па-
раллельных может быть заменена требованием равенства суммы вну*
тренних углов треугольника двум прямым углам.
V	. Аксиомы непрерывности.
V	-1 (аксиома измерения, или аксиома Архи*
меда). Пусть АВ и CD — два произвольных отрезка. Тогда на пря-
мой АВ существует конечное число точек Ait А2, А3, ...э Ап таких*

^П~!3
Рис. 5.153,
что все отрезки AAj, А]А2, Л2Л3, ..., ЛплЛп равны отрезку CD
и точка В лежит между точками А и Ап (рис. 5,153).
V	-2 (аксиома линейной полноты). Точки прямой
образуют систему, которая (при условии принятия перечисленных
аксиом) не допускает никакого расширения, т. е. к множеству точек
прямой невозможно добавить еще некоторые объекты ?ак, чтобы:
1) все элементы полученного расширенного множества снова под-
чинялись перечисленным аксиомам;
2) все аксиомы сохраняли свой первоначальный смысл, т. е. суще-
ствовавшие до расширения отношение, порядка между точками и ра-
венство отрезков сохранились бы и в расширенном множестве.
ГЛАВА 6
ТРИГОНОМЕТРИЯ
Тригонометрия возникла как аппарат для вычисления неизвестных
параметров треугольника по з^данным'значениям других его пара-
q метров. Так, методами тригонометрии по данным сторонам треуголь-
ника можно вкГчисли^его углы, пр известной пдощади^и двум углам
"1	* вычислить стороны и т.д. Необходимость отыскивать неизвестные пара-
метры данного треугольника впервые возникла в астрономии, и в те-
чение долгого времени тригонометрия была одним из разделов астро-
номии.
Первые методы нахождения неизвестных параметров данного тре-
угольника были развиты учеными Древней Греции за несколько веков
до новой эры. Греческие астрономы не рассматривали синусов, косину-
' ' сов и тангенсов. Вместо таблиц этих’величин они составили и исполь-
ебваЛИ'З'абЛицы, позволяющие отыскивать хорду окружности по стя-
гиваемой ею дуге. Дальнейшее развитие тригонометрия получила в сред-
ние века в работах индийских и арабских ученых. Современные буквен-
ные обозначения появились в тригонометрии в середине XVIII века.
Приблизительно в то же время в тригонометрии стали рассматриваться
радианные меры углов, были введены тригонометрические и обратные
тригонометрические функции числового аргумента, после чего тригоно-
метрия приобрела свой современный вид.
§ h Тригонометрические функции
1.1.	Обобщение понятия угла. Пусть -^(а, Ъ) и ^:(с, d) — два
тупых угла, образованных парами лучей а, b и с, d. Совместим
лучи b и d так, чтобы они совпали, а лучи
\ .	о и с лежали по разные стороны от пря-
мой, содержащей лучи b и d (рис. 6.1).
\	В результате сложения этих двух углов
\	получается угол, больший развернутого.
\	Сторонами этого угла будут лучи а и с.
-----------а Для того чтобы отличать полученный угол
t----------от угла (а, с), имеющего те же самые сто-
\	роны и меньшего развернутого, отметим на
%	\	рисунке полученный угол дугой. Внутрен-
i	. ней областью отмеченного угла будет внеш-
няя область угла ^(а, с), а внешней —
Рис’	внутренняя область угла -^(а, с). Анало-
гичным способом можно получать углы,
большие двух развернутых углов (т. е. большие полного угла)
и т. д.
Для того чтобы представить себе угол, больший полного, удобно
рассматривать угол как геометрическую фигуру, полученную при
повороте луча вокруг своего начала.
$ Т. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ	241
Ро.зьмем на плоскости луч ОА и будем пово£ачивать^его_в^кпуг
точки О против часовой стрелки (рис. 6.2). При псГворотелучаОД
на четверть полного оборота вокруг точки О получается угол АОА'
(ОА'— образ луча О А при указанном повороте), равный 90° (л/2).
Далее, угол АОА’ — развернутый, если луч О А’ получен поворотом
луча ОА на половину полного оборота вокруг точки О\ полный угол
получится, когда в результате вращения луч О А’ первый раз совпа-
дет с лучом ОА. Угол АОА' считается больше полного, если луч ОА'
получается поворотом луча О А на угол, больший полного угла.
Углы, большие развернутого, часто отмечают, указывая направление
поворота стрелкой и число сделанных оборотов. Так, например,
на рис. 6.3 изображен угол в 450°.
Луч ОА можно вращать вокруг точки О в двух направлениях:
по часовой стрелке и против часовой стрелки. Направление вращения
против часовой стрелки называют положительным, по часовой
стрелке—отрицательным. Соответственно углы, полученные враще-
нием луча против часовой стрелки, называют положительными,
& по часовой стрелке — отрицательными.
1.2» Тригонометрические функции. Пусть Оху—некоторая пря-
моугольная декартова система координат; О А — луч, полученный
поворотом положительной полуоси Ох вокруг начала координат О
на угол а (рис. 6.4) (Л — произвольная точка луча). Обозначим ко-
ординаты точки А через х и у. А (х, у) — и рассмотрим вектор О А =
«= (х; у). Модуль этого вектора равен
Углом между осью Ох и вектором ОА называют угол между по*
ложительным направлением оси Ох и лучом ОА.
Отношения
координат вектора ОА к длине вектора ОА не зависят от длины век*
тора ОА (т. е. от положения точки А на луче ОА), но зависят от
его направления *).
*) Из множества всех векторов с началом в точке О можно выделить под-
множество векторов а началом в точке О и модулем, равным единице. Концы
всех таких векторов принадлежат окружности с центром в начале координат
и о радиусом, равным единице, — единичной окружности. Тригонометри-
ческие функции часто вводятся с использованием единичной окружности
(или множества векторов ОА с концами, принадлежащими единичной окруж-
ности), Так, например, если точка Л принадлежит единичной окружности,
то синусом угла а называют ординату вектора OAi образующего о осью Ох
угол а»
242
ГЛ. 6. ТРИГОНОМЕТРИЯ
Отношение ординаты вектора, образующего с осью Ох угол а»
к длине этого вектора называется синусом угла а и обозначается
sin а:
. У
sin as= —,
- . _____ г
Отношение абсциссы вектора, образующего е осью Ох угол а,
к длине этого вектора называется косинусом угла а и обозначается
cos а:
х
cos а = —.
г
Отношение синуса угла а к его косинусу называется тангенсом
угла а и обозначается tg а:
или, используя определения sin а и cos а,
и
tg а =	.
х
Отношение косинуса угла а к его синусу называется котангенсом
угла сх и обозначается ctg а:
или, используя определения sin а и cos а,
. х
ЧВа- —.
Синус и косинус однозначно определены для любого угла а, тан-
генс однозначно определен для Всех значений угла а, за исключением
а == 90°+180°-п	n£Z, а котангенс — для веса
значений а, за исключением а = 180*п (а == л/г), /г £ Z.
Синус и косинус одного и того же угла связаны равенством
sin2 а + cos2 а = 1,
тангенс и косинус одного и того же угла — равенством
1 Ч* tg2 & = 1 1 'а"~" >
1 ь cos2 а 9
котангенс и синус — равенством
1 + ctg2 а =	,
‘ ь sm2a 9
а тангенс и котангенс одного и того же угла — равенством
tg a* ctg a == 1.
Функции sin a, cos a, tg a и ctg a называют тригонометриче*
скими функциями угла а. Кроме основных тригонометрических функ-
ций sin a, cos a, tg a и ctg a, вводятся еще две тригонометрические
§ I. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
243
функции угла а — секанс и косеканс, обозначаемые sec а и cosec а
соответственно. Эти функции определяются равенствами
sec а ---------
cos а
I
cosec а = —-----.
sm а
Секанс угла а определен при всех значениях а,гэа исключением
a =s 90°-|-180о‘П ^а = -5- + этл^, Z, а косеканс—при всех зна-
чениях угла а, за исключением а = 180°*л (а = этп), п £ Z.
1.3. Квадранты единичной окружности. Знаки значений тригоно-
метрических функций. Координатные оси Ох, Оу прямоугольной си-
стемы координат делят координатную плоскость на четыре части,
называемые четвертями или квадрантами (рис. 6.5). Часть плоскости,
лежащая выше оси Ох и правее оси Оу, — первая четверть; выше оси Ох
и левее оси Оу — вторая четверть; ниже оси Ох и левее оси Оу — третья;
ниже оси Ох и правее оси Оу — четвертая. Единичная окружность
(окружность единичного радиуса с центром в начале координат) осями
координат делится на четыре части, которые тоже называют четвер-
тями (или квадрантами) и нумеруют так же, как и четверти плоскости.
О точках единичной окружности, принадлежащих осям коорди-
нат, говорят, что они находятся на положительной (или на отрицатель-
ной) полуоси абсцисс или ординат.
Пусть луч О А, полученный поворотом положительной полуоси Ох
на угол а, пересекает единичную окружность в точке А (рис. 6.6).
Угол а считают принадлежащим первой, второй, третьей или четвер-
той четверти, если точка А принадлежит соответственно первой, вто-
рой, третьей или четвертой четверти единичной окружности.
Абсциссы точек, принадлежащих I и IV четвертям, положительны,
а точек, принадлежащих II и III четвертям, отрицательны. Ординаты
точек, принадлежащих I и II четвертям, положительны, а III и IV чет-
вертям — отрицательны. Знаки значений тригонометрических функций
устанавливаются на основании определения тригонометрических функ-
ций и зависят от того, какой четверти принадлежит угол а. В табл. 1
приведены знаки значений основных тригонометрических функций.
1.4. Тригонометрические функции числового аргумента. Углы
могут измеряться в градусах и радианах. Использование радианной
меры измерения углов позволяет ввести тригонометрические функции
числового аргумента. Это можно сделать следующим образом. Между
множеством всех действительных чисел и множеством всех углов (рас-
сматриваемых как поворот луча ОА вокруг точки О), измеренных
в радианах, существует взаимно однозначное соответствие, Например,
244
ГЛ. 6. ТРИГОНОМЕТРИЯ
ТАБЛИЦА I
Четверти	Функции			
	sin а	cos а	tg а	ctg а
I	+	+	+	
II	+		—•	—
ИГ	—			+
IV	—	4-		—
числу 1 соответствует поворот луча ОА вокруг своего начала на один
радиан против часовой стрелки; числу — 3/2 соответствует поворот
луча О А вокруг своего начала на 3/2 радиана по часовой стрелке и к д.
Синусом числа х называется число, равное синусу угла в х радиан.
Косинусом числа х называется число, равное косинусу угла в х радиан.
Аналогично определяются и другие тригонометрические функции чис-
лового аргумента.
Основные свойства тригонометрических
функций.
Свойства.функции sin х.
1)	Область определения — множество всех действительных чисел.
2)	Область изменения (множество значений) — промежуток [—1; 1 ].
3)	Функция sin х — нечетная: sin (—х)	—sin х.
4)	Функция sin х — периодическая. Наименьший положительный
период равен 2л:
sin (х + 2л) == sin х.
5)	Нули функции: sin х =» 0 при х == ли, п g Z.
6)	Промежутки знакопостоянства:
sinx>0 при xg(2nn; л4-2лп), ngZ,
sin ж 0 при л£(л + 2лл; 2л+ 2лп), ngZ.
7)	Функция sin# непрерывна и имеет производную при любом
значении аргумента:
(sin х)' ® cos х,
8)	Функция sinx возрастает при х g -+ 2ля; + 2лп^ ,
ng Z, и убывает при х g ^-~- + 2лп; 2лп^, ngZ.
9)-----Функция sinx имеет минимальные значения, равные —1, при
х =□	n g Z, и максимальные значения, равные 1, при
ж =» -у- + 2лп, п g Z.
Гра	фик функции у =» sin х изображен на рис. 6.7. График функ-
ции sin х называют синусоидой.
€ Т. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ	245
Свойства функции cos л.
1)	Область определения — множество всех действительных чисел.
2)	Область изменения (множество значений) — промежу*
ток 1—1; 1].
3)	Функция cos х — четная: cos (—х) == cos х.

Рис. 6.7.
4)	Функция cos х — периодическая. Наименьший положительный
период функции равен 2л:
cos (х + 2л) = cos х.
5)	Нули функции: cos х — 0 при х =	+ лл, п g Z.
6)	Промежутки зн а непостоянства:
. cosx>0 при х£^--------~+2лл; ~^--|-2лл^,
cos х < 0 при х £	+ 2лл; + 2лл^, п С Z.
7)	Функция cos х непрерывна и дифференцируема при любом
значении аргумента:
(cos х)' == —sin х.
8)	Функция cos х возрастает при х £ (—л + 2лл; 2лл), п £ Z,
и убывает при х £ (2лл; л + 2ял), л ( Z,
9)	Функция cos х имеет минимальные значения, равные —1,
при х== л + 2ял, п g Z, и максимальные значения, равные 1, при
х = 2лл, л £ Z.
График функции у = cos х изображен на рис. 6.8.
Свойства функции tgx.
1)	Область определения функции — множество всех действшгель- *
пых чисел, кроме чисел х = -2- + лл, л g Z.
2)	Область изменения (множество значений) — множество всех
действительных чисел.
3)	Функция tg х — нечетная; tg (—х) » —tg xf
246
ГЛ. в. ТРИГОНОМЕТРИЯ
4)	Функция tg х — периодическая. Наименьший положительный
период функции равен л:
tg (х + л) = tg х.
5)	Нули функции: tg х = О при х = лл, п £ Z.
6)	Промежутки знакопостоянства:
tgx>0 при х£ (лл; -у-+ лл^, n£Zt
tgx<0 при х^(-------у4-лп; лл^ , n£Z.
изменения
7)	Функция tg х непрерывна и дифференцируема при любом зна-
чении аргумента из области определе-
ния функции:
(tgx)/s=7SPT-
8)	Функция tg х возрастает в каж-
дом из промежутков
(л , л .	\
—2-4-л»; ~2-+пп)> n€z*
График функции у tg х изобра-
жен на рис. 6.9. График функции tgx
называют тангенсоидой.
Свойства функции ctgх.
1) Область определения функ-
ции — множество всех действительных
чисел, кроме чисел х » лл, n £ Z.
южество значений) — множество всех
действительных чисел.
3)	Функция ctg х — нечётная: ctg (—х) = —ctg х.
4)	Функция ctg х — периодическая. Наименьший положительный
период функции равен л:
ctg (х + л) == ctg л.
5)	Нули функции: ctg х = О при х = л/2 + лл, n g Z.
6)	Промежутки знакопостоянства:
ctgx> 0 при х£ (лл; -~~4-лл^, n£Zt
ctgx<0 при х£ (-^~ +лл; л(л+1)^, n£Z.
7)	Функция ctg х непрерывна и дифференцируема при любом
значении аргумента из области определения функции:
(ctg х)'
1
sin2x
8)	Функция ctg х убывает в каждом из промежутков (лл; л (л + 1)),
л € Z.
График функции //=etgx изображен на рис. 6.10.
§ Т. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ	247
Свойства функции sec х.
1)	Область определения функции — множество всех действитель-
ных чисел, кроме чисел вида х = л/2 + лп, п £ Z.
2)	Область изменения (множество значений):
(-оо; —1] U [И +оо).
3)	Функция sec х — четная: sec (—х) = sec х.
z 4) Функция sec х — периодическая. Наименьший положительный
период функции равен 2л: sec (х + 2л) = sec х.
5)	Функция sec х ни при каком значении аргумента не? бращается
в нуль.
6)	Промежутки знакопостоянства:
secx>0 при х£^-------у + 2л/г; -^-+2лп^, ngZ,
(л	Зл \
-у + 2лп; -g—F 2л/г), nZ.
7)	Функция sec х непрерывна и дифференцируема при любом
значении аргумента из области определения функции:
8)	Функция secx возрастает в промежутках [^2л/г;-g-4- 2л/гJ ;
^-^-4“2лп; л-|-2л/г^ , ngZ, и убывает в промежутках^ л + 2лп;
-^-+2лп^, (-у- + 2л/г; 2л(п4-1)^, n£Z.
График функции у =sec х изображен на .рис. 6.11.
Свойства функции cosec х.
1)	Область определения функции — множество всех действитель-
ных чисел, кроме чисел х — лп, п £ Z.
2)	Область изменения (множество значений) функции;
(—оо; —1] и [Ц +оо).
248
ГЛ. 6. ТРИГОНОМЕТРИЯ
3)	Функция cosec х — нечетная: coses (—х) = —cosec х.
4)	Функция cosec х — периодическая. Наименьший положитель-
ный период функции равен 2л:
cosec (х + 2л) «= cosec х..
каком значении аргумента не обра-
5) Функция cosec х ни при
щается в нуль.
6) Промежутки	зна непо-
стоянства:
cosec х > 0 при х £ (2лл; л +
+ 2ли), п £ Z,
cosec х < 0 при х £ (л + 2ли;
2л (п+ 1)), ngZ.
7) Функция cosec х непре-
рывна и дифференцируема
при любом значении • аргу-
мента из области определения
функции:
/ х/ cosх
(cosec х)
[Л	\
•—+ 2лл; л + 2лп )
/	Зл 1	/л
и ( л + 2лл; -2~ + 2лп I , n £ Z, и убывает в промежутках ( 2лп; -g- -f*
]г Зл	\
и -у-4-2лд; 2л+ 2лл), n£Z.
График функции у = cosec х изображен на рис. 6.12.
1.5.	Обратные тригонометрические функции.
Функция arcsin х. Функция у = sin х определена и непре-
рывна при любом х С R. Выделим на числовой оси Ох промежуток
[—л/2; л/2]. На этом промежутке функция у = sin х возрастает;
на левом конце промежутка (при х = —л/2) функция у = sin х дости-
гает своего наименьшего значения, равного —1, а на правом конце
(при х = л/2) — своего наибольшего значения, равного 1. Функция
у~ sinx,' рассматриваемая на промежутке [—л/2; л/2], имеет обрат-
ную функцию, которую называют арксинусом и записывают
х = arcsin у,
где у — независимая переменная, ах — зависимая. Обозначая, как
обычно, независимую переменную буквой х, а зависимую — буквой у,
будем далее писать у = arcsin х.
Свойства функции arcsin х.
1)	Область определения — промежуток [—1; 1].
2)	Область изменения (множество значений) — промежуток
{—л/2; л/2].
3)	Функция arcsin х — нечетная: arcsin (—х) == —arcsin х.
4)	Нули функции: arcsin х = О при х = 0.
5)	Промежутки знакопостоянства:
arcsin х > 0 при х £ (0; 1 ].
arcsin х < 0 при х £ 1—1; 0).
§ Т. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
249
6)	Функция arcsin х непрерывна и дифференцируема в каждой
точке промежутка (—1; 1):
(arcsin х)
1
7) Функция arcsin х возрастает на промежутке [—1; 1], прини-
левом конце проме-
мая свое наименьшее значение, равное —л/2, на
жутка и наибольшее значение, равное л/2, на
правом конце промежутка [—1; 1].
График функции у = arcsin х изображен
на рис. 6.13.
Функция arccos х. Функция у = cos х
определена и непрерывна при любом х С R.
Выделим на числовой оси Ох промежуток
(0; л]. На этом промежутке функция у = cos х
убывает; на левом конце промежутка (при х = 0)
функция у = cos х достигает своего наиболь-
шего значения, равного 1, а на правом конце
(при х == л) — своего наименьшего значения,
равного —1, Функция у = cos х, рассматри-
ваемая на промежутке [0; л], имеет обратную
называют арккосинусом и записывают
функцию, которую
х = arccos yt
где у — независимая переменная, ах — зависимая. Обозначая, как
обычно, независимую переменную буквой х, а зависимую — буквой у,
будем далее писать у = arccos х. -
Свойства функции arccosх.
1) Область определения — промежуток [—1; 1].
НУ	2) Область изменения (множество значений) —
промежуток [0; л].
3) Функция arccos х не является ни четной,
тг/2 ни нечетной.
\	4) Нули функции: arccos х = 0 при х = 1.
\	5) Промежутки знакопостоянства: afcoos х > 0
— V при х £ |—1; 1).
*7 О / гг? 6) Функция arccos х непрерывна и дифферен-
цируема в каждой точке промежутка (—1; 1);_
Рис. 6.14.	1
(arccos х) = -^==.
7) Функция arccos х убывает на промежутке [—1; 1], принимая
наибольшее значение, равное л, на левом конце промежутка и наимень-
шее значение, равное 0, на правом конце промежутка.
График функции у = arccos х изображен на рис. 6.14.
Функция arctg х. Функция у = tg х непрерывна в своей
/	л '
области определения (т. е. при всех х g R, не равных -у + ли,
п g Z). Выделим на числовой оси Ох промежуток (—л/2; л/2). На этом
промежутке функция # == tg х возрастает и принимает все свои зна-
чения. Функциям » tg х, рассматриваемая на промежутке (—л/2; л/2),
250	ГЛ. 6. ТРИГОНОМЕТРИЯ
имеет обратную функцию, которую называют арктангенсом и запи-
сывают
х = arctg у,
где у — независимая переменная, а х — зависимая. Обозначая, как
обычно, независимую переменную буквой х, а зависимую — буквой у,
будем далее писать у = arctg х.
Свойства функции arctg х.
1)	Область определения — вся числовая прямая.
2)	Область u изменения (множество значений) — промежуток
(—71/2; л/2).
3)	Функция arctg х нечетная: arctg (—х) = —arctg х.
4)	Нули функции: arctg х = 0 при х = 0.
5)	Промежутки зн а непостоянства.’
arctg х>0 при х£(0; +оо),
arctgx<OnpH х£(—оо; 0).
6)	Функция arctg х непрерывна и дифференцируема при
всех х £ R:
(arctg х)'=——j.
7)	Функция arctg х — возрастающая.
График функции у — arctg х изображен на рис. 6.15.
Функция arcctg х. Функция у = etg х непрерывна в своей
области определения (т. е. при всех х £ R, не равных Tin, п £ Z).
Выделим на числовой оси Ох промежуток (0; л). На этом промежутке
функция у =» etg х убывает и принимает все свои значения. Функция
у = etg х, рассматриваемая на промежутке (0; л), имеет обратную
функцию, которую называют арккотангенсом и записывают
х == arcctg у.
где у — независимая переменная, ах — зависимая. Обозначая, как
обычно, независимую переменную буквой х, а зависимую — буквой у,
будем далее писать у = arcctg х.
Свойства функции arcctg х.
1)	Область определения — вся числовая прямая.
2)	Область изменения (множество значений) — промежуток (0; л).
3)	Функция arcctg х не является ни четной, ни нечетной.
4)	Функция arcctg х положительна при всех х f R.
5)	Функция arcctg х непрерывна и дифференцируема при всех
х 6 R:
(arcctg х)'= —
§ !. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
251
6)	Функция arcctg х — убывающая.
График функции у = arcctg х изображен на рис. 6,16.
1.6. Значения тригонометрических функций некоторых углов.
Значения тригонометрических функций углов в 0°, 30°, 45°, 60° и 90°
можно вычислить, используя определения соответствующих тригоно-
метрических функций. Значения тригонометрических функций углов
1СО 15’	15°
в 15 , —н—» —з—> ... можно наити по известным значениям триго-
2	4
неметрических функций 30°, последовательно используя формулы
половинного угла (см. пример 1). Значения тригонометрических функ-
ций углов, кратных 18°, можно найти, зная значение хотя бы одной
тригонометрической функции 18°, например sin 18° (см. пример 2).
Некоторые значения тригонометрических функций приведены
в табл. 2.
ТАБЛИЦА 2
Аргумент	Функция			
	sin а	cos а	tga	ctg а
0° (0)	0	1	0	не определен
15»	/3 — 1	/3-4-1	2 —/3	2 4-/3
1 12 )	2 /2	2 /2		
18° (-ДЛ	/5- 1	/54-/5	/5 — 1	Ию 4- 2 /5
\ 10 /	4	2 /2	V 10 4- 2 /б	/5- 1
зо° (ЛА	1	/3	1	/3
k G )	2	2	/3	
36<> / л \	Иб- /5	/5 4- 1	V 10—2/5	/5 4- 1
\ 5 /	2 /2	4	/54-1	V 10—2/5
45° (ЛА	1	1	1	1
1 4 /	Vi	/2		
54® /Л\	/£+_]_	/б - /5	/54-1	Ию - 2 /5
	4	2 /2	/10 — 2/5	/5 4- 1
600 (4-)	/3 2	1 2	/з	1 /3
72° f	/в 4- /5	/5 — 1	Ию + 2/5	И«-1
\ 5 /	2 Vi	4	/5— 1	V 10 4-2 /5
7RO ( 5Л \	Уз+ ।	/3 - I		
75 (-)	2/2	2 /2	24-/3	2 —/3
900 (-г)	1	0	не определен	0
252
ГЛ. 6. ТРИГОНОМЕТРИЯ
Пример 1. Вычислить cos 15м.
Так как косинусы углов а и а/2 связаны равенством
то, полагая а 30®, получаем
. . £1
c0S2I5o=l±^30_°, C0sM5o = J_2_ .2+Я,
1<2-ь/з ГЗ+ 1
COS 15  -------------я----------7=—.
2	2/2
Значение sin 15° можно вычислить, используя связь между
функциями sin а и cos а:
sin2 а+ cos2 а«« 1,
из которой находим	______'Л
«п is- _ ггат-Й/ 
2	2/2
Здесь из двух возможных знаков (плюса и минуса) перед ради*
калом выбран знак плюс, так как 15° — угол,
лежащий в первой четверти, и sin 15® >0.
Пример 2. Вычислить значения триго*
неметрических функций угла 18°.
Рассмотрим равнобедренный треугольник
АВС (| АВ | = | ВС |) с углом при вершине
в 36° (рис. 6.17). Углы при основании треуголь-
ника АВС равны 72°. Проведем биссектрисы
угловВДСи АВС.Отрезки биссектрис, лежащие
внутри треугольника, обозначим соответственно
через AM и ВК.
Рассмотрим треугольник АМС. В тре*
угольнике АМС МАС равен 36°, ^АМС ==
= ^МСА. Следовательно, треугольник АМС
подобен треугольнику АВС.
Обозначая | ВС | через а, |ДС|через^
а | МС | через х, условие подобия треугольны-
можно записать в
|МС|
WT= I ДС| или
Так как биссектриса внутреннего
рону, которую она пересекает, на г—'
жащим сторонам, то для треугольника
| МВ |
6.17,
Рис,
Л b
ков ДВС
С
и АМС
|АС|
виде
b х
а ~~ b
yvna треугольника делит сто-
отрезки, пропорциональные приле*
□ника АВС имеем
|ДВ| |МВ|	а а — х
ТПГТГГ ~ ЛЛ7ГГ 9 ИЛИ	= ------
| AC I IМС | 9	b х
Рассмотрим прямоугольный треугольник В КС а углом КВС9
равным 18°:
(1)
(2)
J L_______L. — sin
| ВС | ~ 2а - Ш 1 •
§ 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ	253
Таким образом, для нахождения значения sin 18е необходимо из
уравнений (1) и (2) найти величину Ь/(2а). Из уравнения (1) получаем
х = &/а. Подставив выражение для х в уравнение (2), получим
а а2,	,
~S=^“"L
Введя новую переменную z == Ыа9 последнее уравнение можно запи-
сать в виде
z2+z — 1 = 0.
Корни этого квадратного уравнения:
г. - - '
г1>2 _	2
По своему геометрическому смыслу величина Ы(2а} положительна
и равна (]/*5 — 1)/4. Это число и есть значение sin 18°:
sin 18° = -О~ L.
4
Далее, используя формулу sin2 а + cos2 а = I и определения
функции tg х, etg х, можно найти значения cos 18Q, tg 18 , etg 18°,
а по формулам двойного угла sin 36°, cos 36Q. Так, например, sin 36Q
можно вычислить следующим образом:
cos 18° = /1—sin218Q = ^10 + 2^ t
, sin 36° = 2 sin 18'cos 18° =
= 4-(K5- 1)И104-2/5 = 4-ИЮ-2 J<5.
o	4
§ 2» Тригонометрические формулы
2.1,	Формулы приведения. Вычисление значений тригонометриче-
ских функций любого угла сводится к вычислению значений тригоно-
метрических функций острого угла по следующим правилам:
1)	Если угол положительный и больший 2л, то функции синус
и косинус данного угла приводятся к функциям угла, большего 0 и
меньшего 2л, по формулам
sin (а + 2ли) = sin а;
/ 1 п \	а € (0; 2л), п € Z,
cos (а + 2лп) = cos а
в функции тангенс и котангенс данного угла — к функциям угла,
большего 0 и меньшего л, по формулам
tg (« + ли) = tg а;
7 ,Т_ \	Z.
etg (а + лп) = etg а
254
ГЛ. 6. ТРИГОНОМЕТРИЯ
2)	Если угол отрицательный, то тригонометрические функции
данного угла приводятся к тригонометрическим функциям положи-
тельного угла по формулам
sin (—а) = —sin а;	cos (—а) == cos а;
tg (—а) = — tg а;	ctg (—а) == —ctg а.
3)	Тригонометрические функции угла, большего л/2 и меньшего 2л,
приводятся к тригонометрическим функциям острого угла по формулам
приведения (см. табл. 3), которые можно сформулировать в виде сле-
дующего правила:
таблица з
Функция	Аргумент			
	13= ±а	p = л ± a	о 3л ±a	p s» 2л — a
Sin Р	cos a	4= sin a	—cos a	•—sin a
COS Р	=Fsin a	—cos a	±sin a	cos a
tg р	Tctga	±tga	=Fctga	—tg a
Ctg р	=Ftga	±ctg a	Ttga	—ctg a
Если в формуле приведения угол а вычитается из л/2 или прибав-
ляется к л/2, взятому нечетное число раз, то приводимая функция
меняется на кофункцию *); если же л/2 взято четное число раз, то
название приводимой функции сохраняется. При этом перед приве-
... денной функцией ставится тот знак, который имеет приводимая функция
в соответствующей четверти, если	^трыц»
2.2.	Связь между тригономе^^ч^оЙши"ф^^^ХшоЗного аргу-
мента. В табл. 4 приведены формулы, связывающие тригонометриче-
ские функции одного и того же аргумента. В приведенных формулах
перед знаком радикала должен быть выбран знак «плюс» или «минус»
в зависимости от того, в какой четверти находится угол а, а именно
таким образом, чтобы знак тригонометрической функции, стоящей
i в левой части, совпадал со знаком величины, стоящей в правой части
равенства.
2.3.	Тригонометрические функции суммы и разности углов.
sin (а ± ₽) = sin a cos 0 ± cos а sin 0;
cos (а ± 0) = cos а cos 0 sin a sin 0;
,	tga±tgB	ctgactg0=Fl
tg (a ± 0) — r .p tg a tg p , c g (a ± 0) — ctg p ± ctg a
Косинус является кофункцией по отношению к еинусу, и наоборот.
Др^гаа пара кофункций » тангенс и котангенс.
* 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
255
ТАБЛИЦА
256
ГЛ. в. ТРИГОНОМЕТРИЯ
2.4.	Тригонометрические функции двойных, тройных и половин-
ных углов.
sin 2а = 2 sin а cos а;
cos 2а = cos1 2 а — sin2 а == 1 — 2 sin2 а = 2 cos2 а — 1;
tg2a = -2^а.
ё 1 - tg2 а ’
sin4За = 3 sin а — 4 sin3 а;
etg 2а ==
etg2 а — 1
2 etg а
cos За = 4 cos3 а — 3 cos а;
3tga — tg3a
1 — 3 tg2
etg За
_ etg3 а — 3 etg а .
3 etg2 а — 1	’
. а т Г 1 — cos а . а 7 Г1 + cos а
Sin-T = ± |/ -------2----; cos^- = ± |/	----
а _	1/ 1 — cos а sin а	__ I — cos а
* 2	г	1 + cos а 1 + cos а	“ sin а	’
, а —	1Л 1 + cos а _ sin а	__ 1 4- cos а
s 2	г	1 — cos а	“ 1 — cos а sin а	’
В формулах половинного угла знаки перед радикалами берутся
в зависимости от знака тригонометрической функции, стоящей в левой
части равенства.
2.5.	Преобразование суммы (разности) тригонометрических функ-
ций в произведение (преобразование тригонометрических выражений
к виду, удобному для логарифмирования).
.	।	j	q	n	j	a + р	а —В
sin а 4- sin р = 2 sin cos —---;
.	п	о	а4~р.	а —Р
sin а	— sin р == 2 cos —sin	—;
,	о	а4-Р	а — р
cos а 4- cos Р = 2 cos —--J- cos —;
д . а + Р а —р . а4-Р . Р —а
cos а —- cos р == —2 sin —sin —= 2 sm--^  sin ;
cos а + sin а = j/*2 cos (45° — а);
cos а — sin а = J/"2 sin (45° — а);
tga± tgp =
sin (а ± р) ,
cos a cos р ’
etg а ± etg р ==
sin (р zfc а)
sin a sin р
tga4-ctgp
_ cos (а — Р).
cos a sin р ’
tga —etg р
___ cos (а 4- р) e
cos a sin р ’
tga 4- etg а = 2 cosec 2а;
tg а — etg а = —2 etg 2а;
1 4- cos а = 2 cos2 —;
14- sin а == 2 cos2 ^45°-----;
1 — cos а = 2 sin2 —;
1 — sin а = 2 sin2 ^459--------уЛ ;
- . sin (45° ± а)
l±tg а=?------
& cos 45 cos а
j/2 sin (45° + а) .
cos а ’
§ 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
257
7 }	□ cos (а Р) •
— g	cos а cos 3 ’
f _ cos 2а
1-^а = ЖГ;
tg2 а — tg2 Р =
ctg2 а — ctg2 р =
. го 1 cos(a=FP),
ctg a ctg 3 ± 1 = ——-----:—7Г J
6 б' = sin a sin р ’
.	. _	cos 2а
I — ctg2 а ==----—>—;
s	sin2 а
sin (а + Р) sin (а — 3) .
cos2 a cos2 Р	’
sin (а + р) sin (Р — а) .
sin2 a sin2 р	’
tg2 а _ sin2 а == tg2 a sin2 a; ctg2 а — cos2 а = ctg2 a cos2 а.
2.6.	Преобразование произведения тригонометрических функций
в сумму.
sin a sin р = [cos (a — р) — cos (a + P)];
cos a cos 3 = [cos (a — P) + cos (a 4- p)];
sin a cos 3 — -y [sin (a — p) 4- sin (a 4- P)J;
sin a sin p sin у ==
= [sin (a4-P — Y) + sin(3 + y — a) +
4- sin (y 4- a — p) — sin (a + 3 4- y)];
sin a cos P cos у =
= ~ [sin (a 4- p — у) — sin (P 4- V — a) +
4- sin (у 4- a — P) + sin (a + 3 + y)]5
sin a sin p cos у =
= l-[—cos(a + P-.Y) + cos(p4-Y — a)4-
+ cos (y 4- a — P) — cos (a 4- p + y)],
cos a cos P cos у =
«= A- [cos (a4-p — y)4-cos(p+y--a)4-
4- cos (y + a — P) 4- cos (a + P 4- y)].
2.7. Простейшие соотношения между обратными тригонометри-
ческими функциями.
arcsin a = — arcsin (—a) = —---arccos a = arctg --r==-;
2	S / 1 — «2
/ x л	.	, a
arccosa = л — arccos (—a) = -5-arcsina=arcctg  -........ ;
z	V 1 —
.9 А. Г. Цыпкин
258
гл. е. тригонометрия
arctg а = — arctg (—а) = -----arcctg а == arcsin
arcctg а = л — arcctg (—а) = -----arctg а == arccos	•
Более сложные зависимости между обратными тригонометриче*
сними функциями могут быть установлены методами, используемыми
при решении уравнений, содержащих обратные тригонометрические
функции (см. п. 3.4).
Y Пример. Выразить сумму двух обратных тригонометрических
] функщйч^-^
I	arcsin х + arcsin у
через одну обратную тригонометрическую функцию (например, арк«
синус).
Обозначим приведенную выше сумму буквой г:
arcsin х + arcsin у = z.	(1)
<. Данное равенство можно рассматривать как уравнение с тремя неизве*
стными х, у и г. Уравнение (1) является следствием следующего урав«
? * нения:
sin (arcsin х + arcsin у) = sin z,
которое приводится к виду
sin (arcsin x)-cos (arcsin у) + sin (arcsin j/)-cos (arcsin x) я
== sin г <=> x /1 — у2 + у Y1 — *2 = sin г.
Теперь нужно решить уравнение относительно переменной zj
учитывая, что эта переменная принадлежит промежутку [—л; л].
Множество решений этого уравнения будет иметь вид
г = arcsin (х }f 1 — у2 + у 1 — х2)
при ху 0 или х2 + у2 1;
z = л — arcsin (х У1 — у2 + у j/1 — х2)
при х > 0, # > 0 и х2 + у2 > 1;
г == — л — arcsin (х /1 — у2 + у /1 — х2)
при х < 0, у < 0 и х2 + у2 > 1.
Полученные выражения для переменной г и дают искомое выра*
жение суммы двух обратных тригонометрических функций через одну
обратную тригонометрическую функцию.
§ 3# Решение тригонометрических уравнений
и неравенств
3.1.	Простейшие тригонометрические уравнения.
Решение уравнения sin х = а. Рассмотрим функцию
у = sin х на промежутке [—л/2; л/2]. На этом промежутке функция
у = sin х возрастает, меняясь от своего наименьшего значения, оав<
ного —1, на левом конце промежутка до своего наибольшего значения^
$ 3. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА 259
равного 1, на правом конце промежутка (риа. 6.18). В силу непрерыв-
ности функции у » sin х каждому значению у = а, удовлетворяющему
условию | а | < 1, соответствует единственное значение х^ £ I—л/2; л/2]
такое, что
sin Xq » а.
Угол *ь есть арксинус числа а (обозначается arcsi»a).
Уравнение вида sin х « а при | а | < 1 имеет множество решений
х « (—1)” arcsin а + лп, п g Z; при | а | > 1 уравнение решений
не имеет (т. е. множество решений — пустое множество).
Решение уравнения cos х = а. Рассмотрим функцию
у = cos х на промежутке [0; л]. На этом промежутке функция у =
«== cos х убывает, меняясь от своего наибольшего значения, равного 1,
на левом конце промежутка до своего наименьшего значения, равного
— 1, на правом конце промежутка (рис. 6.19). В силу непрерывности
функции у = cos х каждому значению у ~ а, удовлетворяющему
условию |а| < 1, соответствует единственное значение £ [0; л]
такое, что
cos х0 — а.
Угол Xq есть арккосинус числа а (обозначается arccos а).
Уравнение вида cos х = а при ] а |	1 имеет множество решений
х = -^агссозаЧ- 2лп, п £ Z; при |а| > 1 уравнение решений не
имеет (множество решений — пустое множество).
Решение уравнения tg х = а. Функция у = tgх на
промежутке (—л/2; л/2) возрастает и принимает все свои значения
(рис. 6.20). В силу непрерывности функции у == tg х каждому значе-
нию у = а соответствует единственное значение х0 £ (—л/2; л/2)
такое, что
tg х0 = а.
Угол xq есть арктангенс числа а (обозначается arctg а).
Уравнение вида tg х = а при любом а имеет множество решений
а =* arctg а + лп, л £ Z.
9*
260
ГЛ* 6. ТРИГОНОМЕТРИЯ
Решение уравнения etg х ® а. Функция у » etg х
на промежутке (0; л) убывает и принимает все свои значения (рио. 6.21).
В силу непрерывности функции у = etg х каждому значению у == а
соответствует единственное значение х0 £ (0; л) такое, что
etg х0 = а.
Угол Xq есть арккотангенс числа а (обозначается arcctg а).
Уравнение вида etg х = а при любом а имеет множество решений
х = arcctg а + лп, п g Z.
3.2.	Примеры более сложных тригонометрических уравнений^
I)	Тригонометрическое уравнение вида
Р (sin kx, cos пх, tg mx, etg lx) = 0,	(1)
где P — многочлен указанных аргументов (k, n, tn и I — натуральные
числа), с помощью формул для тригонометрических функций суммы
углов (в частности, формул двойного и тройного угла) можно свести
к рациональному уравнению относительно аргументов sin х, cos х,
tg х и etg х, после чего уравнение (1) может быть сведено к рациональ*
ному уравнению относительно неизвестной / = tg-g-с помощью фир^
мул универсальной подстановки
sinx =	2tg~r		l-tg24r.
	l + tg2-f ’		1 + tg24r ’
tg* =	2tg-j-	ctgx =	l-tg2-f-
	1 — ’		2tg“g“
Пример 1. Решить уравнение
sin 2х + tg х в» 2.
§ 3. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА 26!
Выражая sin 2х через tg х, получаем уравнение
которое приводится к кубичному уравнению относительной яеиэвест*
ной/etgx:
Г8 — 2/2+ 3/ — 2 « 0 <=> (/ — 1) (/а — /+ 2) « 0.
Легко убедиться, что данное уравнение имеет только один действие
тельный корень: t = 1.
Решая уравнение tg х » 1, находим множество решений исходного
уравнения: х =	+ nkt k g Z.
Изложенный общий метод сведения тригонометрического урав*
нения к целому уравнению не всегда удобен, так как в ряде случаев
он может свести решение тригонометрического уравнения к нахождению
корней многочлена довольно высокой степени.
2)	Уравнение вида
Р (sin х 4- cos х, sin х cos х) « 0,	(2)
где р — многочлен от указанных аргументов, может быть сведено
к уравнению относительно неизвестной t = sin х + cos х, если восполь*
зоваться тригонометрическим тождеством
(sin х + cos х)2 = sin2 х + cos2 х + 2 sin х cos х = 1 + 2 sin х cos х,
из которого следует, что
/а__1
sin х cos х = —.	(3)
Учитывая соотношение (3), уравнение (2) можно привести к виду
^)-0.
Аналогичным образом уравнение вида
Р (sin х — cos х, sin х cos х) =» 0
заменой sin х — cos х = t сводится к уравнению
Пример 2. Решить уравнение
sin х + cos х — 2 /2 sin х cos х = 0.
Обозначая sin х + cos х = t и пользуясь равенством
sin х cos х = —,
сводим уравнение к следующему квадратному уравнению относительно
неизвестной
—— /2 = 0;
262
ГЛ. 6. ТРИГОНОМЕТРИЯ
корнями этого квадратного уравнения будут числа
/1 = 1/2 и /а = — 1/К2.
Таким образом, решение исходного уравнения сводится к решению
двух более простых тригонометрических уравнений?
sin х 4- cos х = l/*2 и sin* + cosx =--------
/2
Умножая обе части полученных уравнений на 1/J/"2, сводим урав-
нения к двум более простым тригонометрическим уравнениям:
1	1	,	. л , . л	.
—sin х 4- cos х = 1 -фф sm х cos —г- + sin — cos х = 1<=>
у 2 ош л яг у 2	4	4
<=► sto (* + пр) = 1.
1 .	, 1	1	. / , л \	1
Sin X + —г COS X =-----5- ф=ф sin (х 4- -у- ) -------
J<2	J<2	2	\	4 /	2
Множества решений уравнений sin +	== 1 и sin +
1
«=-----g- будут соответственно иметь вид
х = 2L + 2л&,

х= (—I)n+!~---~ + шг, Z.
3)	Уравнение вида a sin х + b cos х —с (где at b и с — некоторые
числа) может быть решено при помощи формул универсальной под-
становки (см. 1)).
Кроме того, это уравнение может быть решено методом дополни-
тельного угла.	_______
Разделим обе части исходного уравнения на ]/~а2 + Ь2 Ф 0. (Если
d = Ь = 0, то уравнение превращается либо в тождество (при с=0),
либо не имеет решений (при с=й= 0).) В результате после деления полу-
чаем уравнение, эквивалентное исходному:
 ,    - sin х 4-cos х — ——==.	(4)
/а24-62	/аа4-62	/а24-62
Легко проверить, что коэффициенты а/|^а24-62 и 6/)/’aa-j-6а
связаны равенством
( -У I (-J— Г-.
\ /а2 + 62 /	\ /а2 +	/
а потому их можно считать значениями синуса и косинуса некоторого
&гла <р;
а	.	b
—........—	= Sin ф,	—	—- == COS ф,
/а2 4- о2	/а2 4- 62
§ 3. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА 2бЗ
Таким образом, уравнение (4) приводится к уравнению
cosхcos ф + sinхsinф =	<=>cos (x — ®) = _ g
*	T ]fa* + b*	/a2 +
множество решений которого при | с| < |Л12+62:
х = ф ± arccos -С '— 4- 2лл, пf Z.
Осталось найти какое-нибудь значение угла ф, являющееся рсше*
нием системы тригонометрических уравнений
а	b
SHI ф = _	.	, COS ф = ’—=7-.
/а2 + д2	/а2 + д2
Здесь возможны следующие случаи (для ф выбраны наиболее'
простые из нескольких возможных выражений). Если а > О, b > 0, то
а	b	а
Ф = arcsin —-=- — arccos —-z=- — arctg -г- >
/а2 + b*	У a*+ &>	b
если а > 0, b < 0, то ф - arccos -—====- J
/а2 + d2
если а<0, 6<0, то ф = л + arctg;
если a < 0, b > 0, то ф = arcsin —....- = arctg -4- •
/а2 + *2	b
4)	Уравнение вида
sinp х + cos* х = 1 (pt k = 3, 4, 5, ...)
может быть решено следующим способом.	|
Из определения функций sin х и cos х следует, что при всех зна*‘
чениях аргумента х У» —п € Z, справедливы неравенства
sinp х < | sin х |р < sin2 х, cos* х | cos х |* < cos2 х.
Как следствие этих неравенств получаем неравенство
sinp х + cos* х < | sin х |р + | cos х I* < 1.
Следовательно, решениями исходного уравнения могут быть лишь числа
из множества значений аргумента х = лп/2, п £ Z.
Далее процедура нахождения корней сводится к проверке — какие
из указанных значений аргумента являются корнями данного урав«
нения.	J
3.3.	Решение простейших тригонометрических неравенств. В табл. 5
приведены множества решений простейших тригонометрических нера<
венств. Более сложные тригонометрические неравенства решаются^
методами, сходными с методами решений тригонометрических урав*
нений.
264
ГЛ. 6. ТРИГОНОМЕТРИЯ
ТАБЛИЦА б
Вид неравенства	Множество решений неравенства (ngZ)
sin	х > а	(|	а	|	<	1) sin	х < а	(|	а	|	<	1) cos	х > а	(|	а	|	<	1) cos	х < а	(1	а	|	<	1) tg х > а tg х < а ctg х > а ctg х < а	х £ (arcsin а 4- 2лл; л —• arcsin а 4- 2лп) х g (-»л arcsin а 4- 2лп; arcsin а 4- 2лл) х £ («arccos а 4- 2лп; arccos а 4- 2лп) х £ (arccos а 4- 2лп; 2л я» arccos а 4- 2ли) х£ (arctg а 4-лп; -^-4-лл^ х £ (— -у + лл: arctg а 4- лп j х £ (лп; arcctg а 4- лп) я £ (arcctg а 4-лп; л 4-лп)
3.4.	Примеры решения уравнений и неравенств, содержащих
обратные тригонометрические функции. В табл. 6 приведены мно-
жества решений простейших неравенств для обратных тригономет-
рических функций.
ТАБЛИЦА 6
Вид неравенства		Множество решений неравенства
arcsin х > а	(М<1)	х g (sin а; 1]
arcsin х < а	/	.	Л \ (ик—)	sin fl)
arccos х > а	(0 < а < Л)	«£[—1: cos а)
arccos х < а	(0 < а < л)	x g (cos а; 1]
arctg х > а	('“K-J-)	#£(tgfl; 4-oo)
arctg х < а	С-х-т)	x £ (-* co; tg a)
arcctg х > а	(0 < а < Л)	xg(—oo: ctg a)
arcctg х < а	(0 < а < Л)	x£ (ctg a; 4- °°)
Рассмотрим несколько примеров решения более сложных уравне-
ний и неравенств, содержащих обратные тригонометрические
функции.
Пример 1. Решить уравнение
arcsin х + arcsin 2х = -у-	(5)
§ 3. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА 265
Множество допустимых значений неизвестного х — промежуток
[—1/2; 1/2]. Обозначая arcsin 2х = a, arcsin х = 0, получим
sina = 2x, ag[—л/2; л/2];
sin 0 = х,	pg [—л/6; л/6].
В новых обозначениях уравнение (6) запишется в виде
а + Р=4-«{=>« = ^--------Р-	(7)
О	о
Из условий (6) следует, что углы а и -----0 принадлежат проме-
жутку [—зт/2; л/2 ]. Следовательно, уравнение (7) эквивалентно урав-
нению
sin a = sin ^-^- — 0^ <=> 2х = sin	cos0 — sin £ cos (8)
Из равенства
sin2 0 + cos2 0=1,
с учетом условий (6) следует, что
cos 0 = У1 — х2.
Следовательно, уравнение (8) можно записать в виде
2х =	/1 — х2-----<=>4х =
= |/3 /1 — х2 — х <=> 5х = /3 /1 — х2.
Возведя обе части последнего уравнения в квадрат, находим един*
ственное решение этого иррационального уравнения:
Найденное значение х и есть решение исходного тригонометрического
уравнения (5).
Пример 2. Найти область определения функции
г, ч • z j \ •	/2 arccos х \
f (х) = arcsm (arcsin х) + arccos (2— ) ’
Область определения данной функции находится как множество
решений следующей системы неравенств:
—1 <х< 1,
—1 arcsin х < 1,
__.	2 arccos х .
"" л — 2
Решим второе неравенство системы:
—1 < arcsin х < 1.	(9)
Так как множество значений функции арксинус — промежуток [—л/2;
л/2], то все углы, фигурирующие в неравенстве (9) (—1, arcsin х и 1),
266
ГЛ. 6. ТРИГОНОМЕТРИЯ
принадлежат промежутку монотонного возрастания функции синус.
Следовательно, неравенство (9) эквивалентно неравенству
sin (—IX sin (arcsin x)<sin 1 О —sin 1 <x<sin L
Решим третье неравенство системы:
-l^larcc^x	()0)
Л — z
Умножая все три части двойного неравенства на положительную ве-
л — 2	/1Л.
личину —-—, получим неравенство, эквивалентное неравенству (10)5
л ~ 2	-л — 2
-----2— < arccos х < —.
Это двойное неравенство эквивалентно системе двух неравенств
л — 2
arccos х >----g—,
л — 2
arccos х< ——>
причем первое неравенство справедливо при всех значениях х £ [—1; 1 ],
так как множество значений функции арккосинус — промежуток
(0; л].
Решим второе неравенство системы. Так как величины, стоящие
в обеих частях неравенства, принадлежат промежутку монотонного
убывания функции cos х, то это неравенство эквивалентно неравенству
cos (arccos х) > cos ---1 = sin 1.
Таким образом, область определения данной функции находится как
множество значений х, удовлетворяющих системе
—1<х< 1,
—sin 1 х < sin 1,
х sin 1.
Эта система имеет единственное решение х == sin 1. Таким образом,
область определения данной функции f (х) состоит из одной точки
х = sin 1.
§ 4. Соотношения между элементами треугольника
4.1. Основные формулы. Обозначения: a, Ь, с—стороны тре-
угольника; а, 0, у — углы треугольника (рис. 6.22); р =	_
полупериметр; S — площадь; R — ра-
диус описанной окружности; г — радиус
вписанной окружности; h — высота; т —
медиана; I — биссектриса; индексы а, Ь, с
при ht т и I конкретизируют одну из
трех высот, медиан и биссектрис соот*
ветственно (например, та — медиана,
проведенная к стороне а); га — радиус
§ 4. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ЭЛЕМЕНТАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА 207
вневписанной окружности, касающейся стороны а и продолжения
сторон b и с.
1.	Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника
равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное пр она-
ведение этих сторон на косинус угла междуTfflflbj
а» = ь2 + с2 — 2bc cos а;
д2 — а2 + с2 — 2ас cos ₽;
с2 ® а2 + 0й — 2ab cos у.
2.	Теорема синусов. Стороны треугольника пропор-
циональны синусам противолежащих углов:
-2— = _* = _Д_ = 22?.
sin a sin 3 sm у
3.	Теорема тангенсов:
а -4- 3	’ у
a+h tg ~  de“ . о + а
°~с
•8^
. а •— у
Ь-\-с
Ь — с
t а
Й8—

4.	Формулы вычисления площади треуголь-
вика:
S = -у- ab sin S = Vp{p — a)(p — b)(p — cj;
S = ₽2tg-^- tg-^-tg-y-;
S = р (р — a) tg = р (р — b) tg -у- = р (р — с) tg -у;
S = '47?"; S==pr> S==yrrarbr.-
4.2. Вычисление элементов треугольника. Треугольник можно
задать либо тремя сторонами, либо одной
либо двумя сторонами и углом между
ними. В качестве тройки элементов, за-
дающих треугольник, можно выбрать и
некоторые другие наборы элементов тре-
угольника. Например, треугольник можно
задать основанием а, высотой ha и углом
при основании. Имея тройку элементов,
задающих треугольник^ с помощью тео-
ремы синусов и теоремы косинусов
стороной и двумя углами,
Рис. 6.23.
можно вычислить все остальные эле-
менты треугольника.
Пример 1. Пусть треугольник АВС задается тремя сторо-
нами а, b и с (рис. 6.23). Требуется вычислить все остальные элементы
треугольника.
268
ГЛ. 6. тригонометрия
Углы аир данного треугольника могут быть найдены а помощью
теоремы косинусов:
 | - с2 — а2
а2 = Ь2 + с2 — 2bc cos а => cos а = —--------=> а =
Ь2 + с2 — а2
= arccos------Hsr-------
2bc
п2 -4- г2_h2
b2 = а2 + с2 — 2ас cos р cos р = —------------------=> р ==
2ас
а2 + с2 — Ь2
= arccos--------------
2ас
Третий угол треугольника у можно вычислить, используя равен-
ство, связывающее углы треугольника:
а 4- р 4- Y = 180° => -у = 180° — arccos —+	_
£uC
а2 + с2 — Ь2
— arccos-----.
2ас
Высота треугольника hc, опущенная на сторону с (см. рис. 6.23),
может быть найдена из прямоугольного треугольника СНВ*.
hc . о ,	. о	Г а2 -4- с2 — b21	.,
— = sin р => пс = a sin р = a sin arccos-------------- => hc =
a	I,	2ас J
д2 с2 — Ь2 \ 2
= а
2ас ) *
Для нахождения медианы тс воспользуемся тем, что точка М де-
лит сторону с пополам (| AM | = | МВ |); следовательно, в треуголь-
нике МВС оказываются известными две стороны | МВ | = с/2, | ВС | =а
и угол между ними р. Используя теорему косинусов для треугольника
МВС, получаем
/ Л \2
а2


2
а2 + Ь2	с2
2	Г *
Биссектрису 1С можно найти из треугольника LBC. В треуголь-
нике LBC нам известны сторона ВС (| ВС | = а) и угол р. Угол LCB =а
«= у/2 равен
V опа 1 ь2 + с2-а2
-Т = 90 “ — arccos-^---------
Отсюда
CLB = 180G— LCB—^ LBC =
b2 + с2 — а2
1 а2 -|- с2 — Ь2
ту- arccos----!--------
2ас
— j 90°------g- arccos 
а2 + с2 — Ь2
— arccos---------------
2ас
1 а2 + с2 — b21
—7Г7-------тг arccos----------- -
2Ьс 2	2аа j
оло г 1	Ь2-\-с2 — а2
80 4-arccos------------------
1	а2 + с2 — Ь2
— -х- arccos	----------
2	2ас
§ 4. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ЭЛЕМЕНТАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА 269
Воспользуемся теперь теоремой синусов для нахождения биссек-
трисы 1С:
1С __ а	о sin ft
'sin / ~ sin -d CLB *** c e sin x: CLB 9
Легко заметить, что вычисление синуса угла CLB> стоящего в зна-
менателе последней дроби, будет довольно трудоемкой задачей. Бис-
сектрису треугольника можно вычислить и другим способом. Каи
известно, биссектриса делит сторону треугольника в отношении, про-
порциональном прилежащим сторонам:
\AL\ \LB\
|ЛС| ~ \СВ| •
Обозначая | LB | = х, это равенство можно записать в виде
С—ХХ	,	/ I м
—-— = — => ас — ах =« Ьх =>ас = х (а + Ь)	х = —:.
b a	v ‘	а^о
Теперь в треугольнике LBC нам известны две стороны | ВС |
| LB | = —и уГол между ними 0. Применяя теорему косинусов,
а и
получаем
С = I вс |2+ I LB I2 - 2 I ВС |.| LB I cos  => I2 =
у , / ас \2	2а2,с о ,о
= а + ( ——г \------— cos 3 => 1С =
’ \ а + b / а + b	с
о , / ас v	а2 с2 — Ь2
=	-т+т------2S3—=
— 1/ <-2 . / ш V	а (а2 4-с2 —	.
г "1” \ a -f- b )	а-\- b
Площадь данного треугольника АВС может быть найдена, напри-
мер, по формуле Герона:
5давс = Ур(Р — а){р—Ь)(р — с),
а радиусы вписанной и описанной окружностей — с помощью формул
5давс =	=
Q
°ДАВС
Р
с	аЬс п _ ahc
^вс~ 47? =>/?= 45^-’
Пример 2. Рассмотрим теперь треугольник, у которого даны
сторона а и два угла аир (рис. 6.24).
Третий угол у можно найти из равенства, связывающего углы тре-
угольника: а + Р + Y = 180° «=> у = 180° — а — р. Стороны АВ и
АС треугольника находятся с помощью теоремы синусов:
| ЛВ| _ а _________|ЛВ|________а | АВ |	__
ыи у ~ sin a sin (180° — а — 3) “ sin а sin (а + £)
= _^_^MS| = £^L±P>,
sin а ‘	sin а ’
.ffi. = _л_вИЛС| = «!!±.
ьшр sin а	sin а
270
ГЛ. 6. ТРИГОНОМЕТРИЯ
Таким образом, в треугольнике найдены три стороны; все осталь-
ные элементы треугольника (медиану, высоту, биссектрису и т. д.)
можно найти так же, как и в предыдущей задаче. Заметим, что радиуо
описанной окружности при данном наборе элементов, определяющих
треугольник, удобно находить по формуле
-Л-= 2/?=»/?=	° .
sma	2 sin a
Пример 3. Если в треугольнике даны две стороны Ь, с и угол
между ними а (рис. 6.25), то с помощью теоремы косинусов сразу
можно найти третью сторону треугольника:
| ВС |2 ~ Ь2 + с2 — 2bc cos a,
после чего все остальные элементы треугольника (углы, высоты, ме-
дианы, биссектрисы и т. д.) находятся так же, как и в примере 1.
г Л А В A 7
МЕТОД КООРДИНАТ
Понятие прямоугольной системы координат на плоскости впервые
появилось в геометрии еще до начала нашей эры. С ее помощью мате-
матик Александрийской школы Аполлоний определял и изучал кривые
второго порядка — эллипс, гиперболу и параболу. В XVIII веке
французский философ и математик Р. Декарт (и одновременно с ним
П. Ферма) ввел правило выбора знаков в прямоугольной системе
координат и заложил основы аналитической геометрии на плоскости —
раздела математики, устанавливающего связь между алгеброй и гео-
метрией. Работы Декарта были подготовлены работами его соотече-
ственника Ф. Виета, который впервые ввел в алгебру буквенные
обозначения (как известных, так и неизвестных величин). Аналити-
ческая геометрия сыграла важную роль в развитии понятия числаэ
благодаря правилу выбора знаков координат отрицательные числа,
которые не признавало большинство математиков средневековья по-
лучили наглядное изображение и окончательно утвердились в мате-
матике. В последующем применение прямоугольной декартовой си-
стемы координат сыграло решающую роль при утверждении в мате-
матике комплексных чисел.
§ 1. Системы координат
1.1. Координатная ось. Координатной осью называется прямая,
на которой фиксированы две различные точки: точка О, называемая
началом координат, и точка Е, называемая единичной точкой (рис. 7.J).
Обычно точку Е располагают справа от точки О. Положительным
направлением оси координат считается направление луча, выходящего
I....	>---------------------**
О Е По х
Рис. 7.1/
из точки О и содержащего точку Е. Противоположное направление
считается отрицательным направлением оси координат. Отрезок ОЕ
называется масштабным или единичным отрезком. Координатную ось
обычно обозначают Ох.
Вектор ОЕ называют единичным вектором (или ортом) и обычно
обозначают буквой е.
Координатой точки Af0, лежащей на координатной оси, называется
| ОМ0 |
число х0, определяемое равенством х0 = ±	» пРичем пеРеД
дробью берется знак плюс, когда точки Е и Мо лежат по одну сторону
272
ГЛ. 7. МЕТОД КООРДИНАТ
от точки О, и знак минус, когда точки Е и Мо расположены по разные
стороны относительно точки О; если точка Мо совпадает с точкой О,
то = 0.
Расстояние d между точками и М2 с координатами xt и х2 вы-
числяется по формуле
d = | х2 — *11-
1.2. Прямоугольная декартова система координат на плоскости*
Прямоугольной декартовой системой координат на плоскости назы-
вается упорядоченная пара двух взаимно перпендикулярных коорди-
натных осей Ох и Оу, причем началом координат каждой из осей слу-
жит их общая точка О (начало прямоугольной декартовой системы
координат) (рис. 7.2). Оси Ох и Оу упорядочены
следующим образом: если ось Ох повернуть вокруг
точки О на угол л/2 против движения часовой
стрелки, то она совпадет с осью Оук При этом
масштабные отрезки ОЕ± и ОЕ2 координатных
осей Ох и Оу обычно выбираются таким образом,
чтобы их длины были равны: | ОЕГ | == | ОЕ2 |. Тогда
при повороте оси Ох на угол л/2 против движения
часовой стрелки вокруг точки О точки и £а
совместятся. Ось Ох называется осью абсцисс, а ось
Оу — осью ординат. Векторы — ОЕг и е2 — ОЕ2
называются базисными векторами прямоугольной декартовой системы
координат (или ортами) и обычно обозначаются буквами I и J-.	= Z,
j
Таким образом, можно считать, что прямоугольная декартова
система координат на плоскости задается некоторой точкой О (началом
координат) и упорядоченной парой взаимно перпендикулярных еди-
ничных векторов (Z;/).
Координатные оси Ох и Оу разбивают плоскость на четыре чет-
верти (квадранта). Часть плоскости, лежащая выше оси Ох и правее
оси Оу, считается первым квадрантом; часть плоскости, лежащая
выше оси Ох и левее оси Оу, — вторым квадрантом; часть плоскости,
лежащая ниже оси Ох и левее оси Оу,— третьим, и часть плоскости,
лежащая ниже оси Ох и правее оси Оу, — четвертым квадрантом.
Плоскость с построенной системой координат называется координат*
ной плоскостью.
При изложенном выше способе упорядоченности координатных
осей систему координат называют правой прямоугольной декартовой
системой координат в отличие от левой прямоугольной декартовой
системы координат, в которой оси упорядочены следующим образом:
первая ось (ось Ох) совмещается со второй осью (осью Оу) поворотом
на угол л/2 по движению часовой стрелки. Далее под словами «пря-
моугольная декартова система координат» будет пониматься правая
прямоугольная декартова система координат.
В физике и механике наряду с декартовыми системами координат
употребляются косоугольные (правые и левые) системы координат,
в которых совмещение осей происходит при повороте на угол, отлич-
ный от прямого, а также криволинейные системы координат (полярные,
сферические, цилиндрические и т. д.).
Координаты точки на плоскости. Пусть Оху —
прямоугольная декартова система координат на плоскости с началом О
(см. рис. 7.2), Л40 — некоторая точка плоскости. Опустим из точки АГа
§ 1. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
273
перпендикуляры на оси Ох и Оу, которые пересекут указанные коор-
динатные оси в точках и N2 соответственно. Обозначим координату
точки лежащей на оси Ох, через х0, а координату точки N2, лежа-
щей на оси Оу, — через yQ.
Координатами точки Л40 в прямоугольной декартовой системе
координат называется упорядоченная пара чисел (х0; #0).
Число х0 называют абсциссой, а число yQ — ординатой точки Л40
и пишут Мо (х0; Ро)-
Расстояние между точками А и В, имеющими координаты (xf, у$
и У2) соответственно, вычисляется по формуле
I АВ | = /(Л2 — Х1)г 4- (у2 — у^.
Преобразования прямоугольных координат
при параллельном переносе осей. Пусть Оху и
О'х'у' — две прямоугольные декартовы системы координат на пло-
скости с началом координат О и О' (О =/= О') соответственно, с одина-
ково направленными осями (рис. 7.3) и одинаковыми масштабными
Рис. 7.3»	Рис. 7.4.
отрезками. Пусть точка О' относительно системы координат Оху имеет
координаты (а; Ь). Число а называют величиной сдвига системы коор-
динат О'х'у' относительно системы Оху по направлению оси Ох, а число
b — величиной сдвига по направлению оси Оу.
Пусть точка Л40 имеет координаты (х0; г/0) относительно системы
Оху. Тогда ее координаты (х^; y'Q) относительно системы О'х'у1 связаны
с координатами относительно системы Оху формулами
Xq = Xq — а, Уа^Уо — Ь.
Эти формулы называют формулами преобразования прямоугольных
координат точки Мо при параллельном переносе осей.
Правило преобразования координат точки Л40 при переходе
от одной прямоугольной системы координат к другой можно сформу-
лировать так:
При параллельном переносе прямоугольной системы координат
на величину а в направлении оси Ох и на величину b в направлении
оси Оу абсциссы всех точек уменьшаются или увеличиваются в зави-
симости от знака величины а на величину а,