Автор: Демирчян К.С. Бутырин П.А.
Теги: электротехника электроэнергетика электричество электрические сети
ISBN: 5—06—001431—2
Год: 1988
Текст
ББК 31.211
ДЗО
УДК 621.3
Рецензенты: кафедра ТОЭ Новосибирского электротехнического института
(зав. кафедрой — д-р техн, наук, проф. В. М. Казанский), д-р техн, наук, проф.
И. Ф. Кузнецов (Ленинградский политехнический институт им. М. И. Калинина)
Демирчян К. С., Бутырин П. А.
ДЗО Моделирование и машинный расчет электрических цепей:
Учеб, пособие для электр. и электроэнерг. спец, вузов. — М.:
Высш, шк., 1988. — 335 с.: ил.
ISBN 5—06—001431—2
В книге излагаются вопросы исследования электрических цепей с помощью
средств вычислительной техники, рассматриваются методы построения и численной
обработки аналитических решений уравнений состояния, а также вопросы диагно-
стики электрических цепей; приводятся алгоритмы машинного формирования урав-
нений.
д
2302010000(4309000000)—483
001(01)—88
122—88
ББК 31.211
6П2.1
ISBN 5—06—001431—2
© Издательство «Высшая школа», 1988
ПРЕДИСЛОВИЕ
Основной курс «Теоретические основы электротехники» [1]
< формировался еще до массового распространения ЭВМ. Новые
нычислительные, логические и информационные'возможности ЭВМ
оказали в последние годы существенное влияние на развитие тео-
ретической электротехники, что потребовало соответствующего от-
ражения в учебно-методической литературе. В первых работах та-
кого рода применительно к теории электрических цепей [3—5]
рассматривались главным образом вопросы формализации состав-
ления и численного решения уравнений сложных электрических це-
пей. Являясь хорошим дополнением к основному курсу ТОЭ, эти
работы в меньшей степени развивали аналитические и качествен-
ные методы исследования, т. е. направление, которому в ТОЭ тра-
диционно придавалось фундаментальное значение. Поэтому акту-
альным представляется такое развитие аналитических методов, ко-
н>рое обеспечило бы их гармоническое соответствие возросшему
уровню развития численных методов.
В гл. 1—4 разрабатываются новые аналитические методы реше-
ния уравнений состояния электрических цепей. Рассматриваются
методы численной обработки этих решений на ЭВМ (гл. 5), а так-
же методы и особенности численного интегрирования уравнений
состояния электрических цепей (гл. 6). В гл. 7 развиваются прин-
ципы организации машинного анализа электрических цепей. По-
следние главы посвящены созданию математических моделей элект-
рических цепей.
Авторы выражают признательность рецензентам — проф., д-ру
техн, наук И. Ф. Кузнецову (ЛПИ им. М. И. Калинина) и коллек-
тиву кафедры ТОЭ Новосибирского электротехнического института
(зав. кафедрой — проф. В. М. Казанский), тщательно просмотрев-
шим рукопись, а также доцентам Е. И. Калугину и О. А. Кукайни-
су, участвовавшим в обсуждении ряда новых вопросов гл. 1, 2, 8,
д-ру К. Чефалвай (ВНР), принявшей участие в редактировании
некоторых глав рукописи, инженерам М. Л. Волошиной, В. В. Па-
пину и М. П. Тихомировой, оказавшим большую помощь в редак-
тировании рукописи книги.
Замечания и пожелания по книге просим направлять по адресу:
101430, Москва, ГСП-4, Неглинная ул., д. 29/14, издательство
«Высшая школа».
Авторы.
ВВЕДЕНИЕ
Теория электрических цепей (ТЭЦ) является одним из важней-
ших разделов теоретической электротехники—общенаучной осно-
вы широкого круга технических дисциплин. В рамках ТЭЦ разра-
батываются основополагающие для прикладных дисциплин мето-
ды описания электромагнитных явлений в электрических цепях и
построения математических моделей процессов в них. На базе
ТЭЦ создаются способы физического и численного экспериментов,
приобретаются навыки анализа достоверности и достаточности по-
лучения результатов.
Тесная связь ТЭЦ не только с соответствующими разделами
математики и физики, но и со специальными дисциплинами пред-
определяет такое развитие теории, при котором приобретает важ-
ное значение ее направленность на решение новых прикладных за-
дач. На заре развития электротехники эти задачи обусловливались
запросами телеграфии и машиностроения, а позднее проблемами
передачи и распределения энергии и информации в сложных элект-
рических и информационных сетях.
Фактором, определявшим развитие ТЭЦ, является необходи-
мость создания таких теоретических методов, которые на основе
существующей техники выполнения численных расчетов способны
обеспечить получение требуемых результатов. Этот фактор пред-
определяет выбор соответствующих математических методов иссле-
дования и решения систем дифференциальных и алгебраических
уравнений.
Таким образом, на выбор математических методов в основном
влияли те средства выполнения численных расчетов, которые были
в распоряжении инженеров и конструкторов. Происходило преи-
мущественное развитие тех расчетных методов и теоретических
подходов, которые на базе существующих расчетных средств пре-
доставляли большие возможности практикам. Примером этого мо-
жет служить бурное развитие в 50-х годах метода трапеции — гра-
фоаналитического метода получения и коррекции частотных харак-
теристик двухполюсников и четырехполюсников.
Именно появление и использование электронно-вычислительных
машин (ЭВМ)—этих новых средств организации вычислительно-
го процесса—в последние 40 лет оказало существенное влияние
4
n.i развитие ТЭЦ (усилившееся особенно в последние 20 лет), от-
крывая новые ее возможности.
ЭВМ и их возможности. Прежде чем перейти к анализу исполь-
ювания ЭВМ при исследовании электромагнитных процессов в
«лектрических цепях, рассмотрим историю и перспективы развития
ЭВМ.
Механический прообраз ЭВМ, предложенный в середине XIX
столетия английским математиком Чарльзом Беббиджем, содер-
жал до 50 000 механических движущихся частей, которые приво-
дились в действие с помощью паровой машины. Вычислительная
машина, названная аналитической, не была построена, однако
большая часть идей, используемых в современных ЭВМ, была вы-
сказана уже в то время. В частности, была разработана программа
последовательного выполнения вычислений. Эта часть работы бы-
ла осуществлена дочерью английского поэта Дж. Байрона леди
Адой Лавлейс, в честь которой назван один из современных «ма-
шинных» языков для ЭВМ —«Ада». Следующим шагом в создании
работоспособной вычислительной машины было использование
электромеханических преобразователей — реле, которые имити-
ровали двоичную систему. Эта машина, названная Z3 по фамилии
немецкого инженера Зюса, была построена в 1941—1943 г. на ос-
нове 2000 телефонных реле. Она оперировала 22-разрядными сло-
вами и выполняла операцию умножения за 3 с. Уже в этой машине
были реализованы операции с плавающей точкой, хранение данных
в памяти (64 числа) и программы, записанные на перфоленте.
Первой ЭВМ, однако, следует считать вычислительную машину
«Колосс 1», построенную в одиннадцати экземплярах в Англии
Т. Флоуерсом и А. Тьюрингом (начало работ относится к 1943 г.).
В машине в полном объеме использовалось двоичное счисление, в
качестве ключей применялись 1500 электронных ламп. Для управ-
ления счетом использовались программы, хранимые в блоке па-
мяти.
В СССР разработка первой ЭВМ была начата в 1947 г. в инсти-
туте электротехники АН УССР под руководством академика
С. А. Лебедева. Эти разработки завершились созданием целой се-
рии ЭВМ, в том числе БЭСМ-6, лучшей машины конца 1950-х го-
дов. Следует отметить то обстоятельство, что в конце 50-х и начале
60-х годов отечественные ЭВМ и по архитектуре (идеологии по-
строения самой ЭВМ) и по элементной базе находились на самом
высоком уровне. Так, ЭВМ БЭСМ-6 позволяла выполнять слож-
ные вычисления с плавающей точкой со скоростью до 106 оп/с.
Принято классифицировать ЭВМ, выделяя в качестве основы
элементную базу. ЭВМ первого поколения были построены на
электровакуумных лампах, что делало их малонадежными, громозд-
кими и энергоемкими. ЭВМ второго поколения были созданы в на-
чале 60-х годов на основе транзисторных диодов и триодов. В ЭВМ
третьего поколения использовались интегральные схемы (ИС), ко-
5
торые позволяли на одном кристалле кремния реализовать доста-
точно сложные логические и арифметические функции. По мере
возрастания степени интеграции логических и арифметических опе-
раций на кристалле кремния возрастала скорость и надежность
работы ЭВМ. Можно отметить, что каждые 10 лет начиная с 60-х
годов скорость вычислений возрастала в 50—100 раз. Если в 60-х
годах скорость вычислений составляла сотни тысяч операций в се-
кунду, то в 70-х годах возросла до десятков миллионов операций
в секунду, а в середине 80-х годов — до миллиарда операций в се-
кунду. Полагают, что в середине 90-х годов быстродействие ЭВМ
возрастет до сотни миллиардов операций в секунду.
Наряду с ростом быстродействия происходит резкое уменьше-
ние габаритов и стоимости ЭВМ. В настоящее время ЭВМ 60-х го-
дов размещается в конструкции, которую легко разместить на сто-
ле. В 90-х годах ЭВМ, обладающие быстродействием в десятки
миллионов операций в секунду и оперативной памятью десяти ме-
габайт, также будут иметь такой же размер.
Важным является и то обстоятельство, что повышают быстро-
действие и миниатюризацию не только самих ЭВМ, но и устройств
массовой памяти. Настольные и персональные ЭВМ 90-х годов по-
зволяют работать с памятью на гибких и твердых дисках (магнит-
ных— десятки и сотни мегабайт и оптических — сотни и тысячи ме-
габайт). В сочетании с быстродействием (миллионы и миллиарды
операций в секунду), большой оперативной памятью (до десятков
и сотен мегабайт), практически неограниченной дисковой памятью
компактные ЭВМ ближайшего будущего окажут и уже оказывают
большое влияние на всю инженерную деятельность, а следователь-
но, и на направление развития прикладных теорий, каковой явля-
ется и теория электрических цепей.
Влияние ЭВМ на развитие теории электрических цепей. Воз-
можность выполнения огромного числа арифметических операций
за короткое время с помощью ЭВМ позволяет рассчитывать эле-
ктромагнитные процессы в сложных электрических цепях. Для оп-
тимальной реализации этих возможностей потребовалось по-ново-
му рассмотреть и процедуру формирования уравнений относитель-
но искомых, подлежащих определению токов и напряжений, а так-
же методы решения этих уравнений. Для решения задач ТЭЦ с
помощью ЭВМ необходимо прежде всего записать всю исходную
информацию, а также и порядок и способы решения в «понятной»
для ЭВМ форме в виде машинных программ. С этой целью прихо-
дится осваивать специфические «языки» и переводить с их по-
мощью привычные в инженерном обиходе математические и логи-
ческие выражения на понятную для ЭВМ совокупность команд,
составляющую программу ввода и решения задачи. По мере тех-
нического усовершенствования ЭВМ, расширения блока памяти,
повышения быстродействия развивались и эти языки, все больше
приближаясь по своим возможностям и особенностям к обычному
6
языку. Однако этот процесс еще далек от завершения, и пройдет
еще немало времени, прежде чем ЭВМ пятого или шестого поко-
ления будут в состоянии взаимодействовать с инженером на его
собственном языке. Этот процесс идет, и с ним следует считаться
при попытке прогнозировать характер влияния ЭВМ на развитие
ТЭЦ.
Каждая общетеоретическая дисциплина, в том числе ТЭЦ,
оперирует специфическим набором понятий, связанных специфиче-
скими ограничениями и закономерностями. Свободно владеть этим
набором понятий означает «разговаривать на этом специфическом
проблемно-ориентированном языке». Поскольку процесс обучения
и овладения возможностями ТЭЦ сводится к свободному опериро-
ванию терминами, обозначениями и закономерностями такого язы-
ка, следует признать в связи с использованием ЭВМ перспектив-
ность создания и проблемно-ориентированного языка, оптимально
организующего общение инженера с ЭВМ в области ТЭЦ. Такой
язык должен как минимум позволять интегрировать стандартные
программы в специализированные для расчета электрических це-
пей программы.
Наиболее общеупотребительными стандартными программами
являются пакеты программ, позволяющие решать системы линей-
ных, нелинейных алгебраических и дифференциальных уравнений.
В этих программах оговаривается необходимость использования
матриц и запись дифференциальных уравнений в нормальной фор-
ме. Система дифференциальных уравнений должна быть записана
в виде
Д у
—=f(x, t, е), х(О)=х0,
где х — m-мерный вектор искомых величин (матрица-столбец раз-
мерности m); f(x, t, е) - m-мерная вектор-функция; е — т-мерный
вектор внешних воздействий; Хо — m-мерный вектор начальных
значений искомых величин.
Необходимость перехода от системы интегродифференциальных
уравнений цепей к приведенной системе дифференциальных урав-
нений предопределила развитие специальных методов (переменных
состояния и матрично-топологических) для формирования уравне-
ний электрических цепей. В учебниках по ТОЭ даются основы
матрично-топологических методов составления уравнений на осно-
ве законов Кирхгофа.
Любая электрическая цепь может быть полностью описана, если
известны ее узлы, ветви, характеристики ветвей и их инцидент-
ность (принадлежность) соответствующим узлам. С точки зрения
представления этой информации в пригодной для ЭВМ форме наи-
более прост ввод в ЭВМ матрицы соединений и таблицы парамет-
ров элементов ветвей. Необходимость записи системы дифферен-
циальных уравнений в нормальной форме с помощью топологиче-
7
ских матриц заставляет ввести некоторые ограничения на порядок
формирования матриц и выбор искомых переменных. Рассмотрим
эти ограничения.
Метод переменных состояния. Аналогично любой динамической
системе в электрической цепи процессы перехода из одного режима
в другой, происходящие во времени, связаны с изменением ее энер-
гетического состояния. Выбор в качестве искомых переменных ве-
личин, характеризующих энергетическое состояние электрической
цепи, позволяет минимизировать число переменных в системе диф-
ференциальных уравнений.
По аналогии с подходом, широко используемым в термодина-
мике, такие переменные принято называть переменными состоя-
ния электрической цепи. Невозможность мгновенного изменения
энергии при конечном значении мощности обусловливается инер-
ционностью процессов в термодинамических системах.
Инерционность процессов в электрических цепях характеризу-
ется накоплением и отбором электромагнитной энергии в индук-
тивных катушках и конденсаторах — реактивных элементах цепи.
Соответственно динамические процессы, а следовательно, и систе-
ма дифференциальных уравнений, описывающая эти процессы, оп-
ределяются наличием и числом этих элементов. Так как динамика
процесса связана с энергетическим состоянием электрической це-
пи, наиболее полно описать это состояние можно, зная энергетиче-
ские процессы в каждом реактивном элементе.
Энергию магнитного поля в индуктивной катушке выражают
через потокосцепление и ток. Для нелинейных элементов
чг
ЧГ=/£(/£); •
J at
о
При W=LiL, L = const
rm=’Fz£/2=^/(2Z)=Ztl/2; ul=L^±- .
dt
Энергия, накопленная в электрическом поле в конденсаторе,
Q
^8=f«cd^; <7=/с(«с); г'с=4г-
J at
о
Прц q—Cuc, С=const
Wa=quc/2~q2/(2C)=Cuc/2, ic=C-^.
Таким образом, энергетическое состояние электрической цепи
может быть описано через переменные Т, q или t'£, «с и зависимо-
сти (Zz.), q=fc(uc) или 4r=Lt£, q—Cuc.
8
В соответствии с этим в качестве искомых величин для расчета
динамических (переходных) процессов в электрических цепях вы-
бирают потокосцепления (токи) индуктивных катушек и заряды
(напряжения) конденсаторов. Выделение этих величин в качестве
переменных, характеризующих энергетическое состояние электри-
ческой цепи, позволяет формировать дифференциальные уравнения
в нормальной форме, так как только в этих элементах токи и на-7
пряжения связаны между собой через производные.
Чтобы каждое уравнение, написанное согласно первому и вто-
рому законам Кирхгофа, было дифференциальным уравнением
первого порядка относительно ^(z'l) и <?(«с), каждый контур и раз-
рез должен содержать только один реактивный элемент. Если в
ветви имеется несколько последовательно соединенных катушек,
то их следует рассматривать как одну катушку. Если к паре узлов
параллельно присоединены несколько конденсаторов, то их нужно
эквивалентировать одним конденсатором.
При составлении уравнений согласно первому закону Кирхгофа
в графе цепи следует выделить ветвь дерева, через которую прохо-
дит разрез. При этом поверхность, которая разделяет цепь на две
части, пересечет некоторое число связей (хорд) и только одну ветвь
дерева.
Уравнение баланса токов для такого r-го разреза является диф-
ференциальным уравнением первого порядка относительно одной
переменной, если /-я ветвь дерева содержит конденсатор. В такой
ветви ток связан с напряжением или зарядом конденсатора сле-
дующим образом:
д<1! . ~ d«cz
1(21------ИЛИ 1(21 — Ct •
CJ dt CJ J dt
Тогда r-уравнение в матричной форме записи Di=0 системы урав-
нений первого закона Кирхгофа можно представить в виде
Z du 1
d'J^r==-^i d'*ik или dr£j-^r=- У drkik,
где I — число ветвей цепи; dri, dr2.drl — элементы r-й строки мат-
рицы разрезов D={dnm}.
Уравнение баланса напряжений в s-м контуре является диффе-
ренциальным уравнением первого порядка относительно одной пе-
ременной, если связь (хорда), образующая контур, содержит ин-
дуктивный элемент. В такой р-й ветви
d<Fp di,
«/,„=----- или u,„—L------2- .
Lp dt Lp dt
Тогда s-e уравнение в матричной записи Cu=0 системы уравнений
второго закона Кирхгофа можно записать так:
9
dI[rp чп . Alp yi
sp ~ir=“ 2j skUk или CspLp ЧТ=~ X Cs*“*’
kj=p k£p
где csi, cs2,..., Csi — элементы s-й строки матрицы контуров С=
= {Спт}'
Таким образом, чтобы составить систему уравнений в нормаль-
ной форме, следует в качестве переменных брать напряжения (за-
ряды) емкостных элементов, относя ветви, содержащие эти эле-
менты, к ветвям дерева, а также токи (потокосцепления) индук-
тивных элементов, относя ветви, содержащие эти элементы, к свя-
зям (хордам).
Матрично-топологический метод составления системы уравне-
ний для расчета установившихся режимов, как правило, связан с
введением понятия обобщенной ветви, содержащей наряду с пас-
сивными элементами в ветви (R, L, С) также источник ЭДС, по-
следовательно соединенный с пассивной частью ветви, и источник
тока, включенный параллельно ветви с ЭДС. Введение этого поня-
тия при возможности эквивалентных преобразований источников
ЭДС в источники тока и наоборот позволяет составить наиболее
экономные (в смысле числа неизвестных) системы уравнений. Со-
кращение числа узлов и ветвей в таком случае упрощает и описа-
ние цепи. Из рассмотрения исключаются узлы, к которым присое-
динены только две ветви.
При составлении уравнений состояния введение обобщенных
ветвей нецелесообразно вследствие осложнения последующих пре-
образований. Целесообразнее за счет детализации топологии, т. е.
выделения каждого элемента электрической цепи в отдельную
ветвь, упростить составление системы дифференциальных уравне-
ний. Если каждый элемент электрической цепи выделяется в ка-
честве ветви, то отнесение ветвей к дереву цепи или к ее звеньям
(хордам) следует производить с учетом следующего. К ветвям де-
рева должны быть последовательно отнесены сначала ветви с ис-
точниками ЭДС, затем ветви с конденсаторами. Если такое дере-
во не связывает все узлы, то должны быть добавлены ветви с рези-
сторами и только в последнюю очередь ветви с индуктивными эле-
ментами. Дерево, составленное согласно этому правилу, называют
нормальным. Соответственно в качестве связей (хорд) сначала
должны быть выделены источники тока, затем индуктивные эле-
менты и резистивные ветви и в последнюю очередь ветви с конден-
саторами. Подграф, составленный согласно этому правилу, назы-
вают нормальным подграфом связей (хорд). Граф электрической
цепи, содержащий нормальное дерево и нормальный подграф свя-
зей, считают нормальным или правильным.
Возможны случаи, когда в электрической цепи имеются конту-
ры, состоящие только из источников ЭДС, или разрезы, содержа-
10
щие только источники тока. Задачи расчета таких цепей некор-
ректны и будут рассмотрены в гл. 9.
Согласно условиям составления нормального дерева и дополне-
ния его до полного графа, токи и напряжения электрической цепи
можно записать в виде
* =[1'£д1'сд*/?д1'1дСс*1с,"сс1'сс]/'==[’1*с](>
иНикиСдиЯл<и/с4сиОсиСсГ = [UXb
где Ьд, О£д — токи и напряжения ветвей дерева с источниками ЭДС;
>сд, иСд — токи и напряжения конденсаторов, входящих в состав
ветвей дерева; iRn, иКд — токи и напряжения резисторов, составляю-
щих ветви дерева; кд, и£д — токи и напряжения индуктивных эле-
ментов, входящих в ветви дерева; Ьс, и/0— токи и напряжения ис-
точников токов, отнесенных к подграфу связей; iz.c, u£c— токи и
напряжения индуктивных элементов, включенных в подграф свя-
зей; ice, Ugc — токи и напряжения резисторов, входящих в подграф
связей; ice, uCc — токи и напряжения конденсаторов, входящих в
подграф связей.
В соответствии с таким разбиением ветвей можно выделить че-
тыре подматрицы-строки в матрице контуров С, соответствующие:
1) ветвям-связям (хордам), содержащим источники тока, 2) вет-
вям-связям (хордам), содержащим индуктивные элементы, 3) вет-
вям-связям (хордам), содержащим резистивные элементы, 4) вет-
вям-связям (хордам), содержащим емкостные элементы. Следова-
тельно,
Ед Сд %л 1-л Jc Lc Gc Сс
FJ£ FK FJ£ fjz 1
FZ£ FK FZ£ Fzz 1
Ffff FJf FM О 1
Fff О О 1
По приоритету отнесения конденсаторов к подграфу связей в кон-
тур, образованный звеном (конденсатором), не могут войти рези-
стивная и индуктивная ветви дерева, т. е. равны нулю элементы
Рея и Fez.. Действительно, ветвь с конденсатором может быть отне-
сена к категории связей, если она образует контур, содержащий
источник ЭДС и конденсаторы. Если некоторый узел соединен с
другими узлами индуктивными элементами, то ветвь с одной из них
должна войти в состав дерева. Тогда ветвь Ья может войти в раз-
резы, образованные Lc-связями (хордами). Таким образом, в раз-
резы, образованные из Gc резистивных ветвей-связей (хорд), ветви
дерева Ья не входят. Следовательно, равен нулю и элемент Fez..
11
В соответствии с известными соотношениями D = [l—F*], С=
=[F 1] законы Кирхгофа можно записать так:
(4 Яд sc CC
1 -Fr Vf -pt ClE -pt CGE -pt CE
1 -pt rJC -pt rzr cGC -pt
1 -pt VR -Ff kGR о
1 -pt CJL -F* zz о 0
где 1 — единичные матрицы, размерность которых определяется
числом строк в подматрицах F,/; £д, Сд,... — номера ветвей, входя-
щих в дерево и содержащих источники ЭДС, конденсаторы и т. д.;
/с, Lc,... — номера ветвей, входящих в подграф связей и содержа-
щих источники тока, индуктивные элементы и др. Ранжировка вет-
вей и их нумерация подчинены правилам составления нормальных
дерева и подграфа связей (хорд). При составлении нормального
графа электрической цепи матрицу соединений А также следует
упорядочить, расположив ветви таким образом, чтобы сначала бы-
ли перечислены ветви нормального дерева, а затем уже и нормаль-
ного подграфа связей (хорд): А=[АДАС]. Для нормального графа
справедливо равенство
Ai=0, 1АДАС]
1С
= 0,
где А — матрица соединений размерности (q—1)Х^ (<7 — число уз-
лов, I — число ветвей); i — вектор-столбец токов (включая ветви с
источниками тока) размерностью I.
Из соотношений Ад!д=—Acic, ^=Fzic следует, что —Р —АГ'АС.
Таким образом, составление с помощью ЭВМ матриц С и D можно
произвести на основании матрицы соединений А, которая вводится
12
в ЭВМ в качестве части ис-
ходных данных, представля-
ющих описание электриче-
ской цепи.
Использование логиче-
ских возможностей ЭВМ.
Возможности ЭВМ позволя-
ют исходную информацию
организовать в общем виде,
например для схемы рис.
В.1,а ее можно задать в ви-
де табл. В.1, где значения
всех параметров выражены
в СИ. Эта таблица может
быть заполнена в любой по-
Рис. В.1
следовательности, по мере
введения топологического описания в ЭВМ. В дальнейшем она
может быть перестроена по логическим правилам составления нор-
мального графа электрической цепи. Перестроенная табл. В.2 и слу-
Таблица В.1
Элемент № ветви Печаль- ный узел Конечный узел Значения параметров
1 1 0 10-13
7? 2 4 5 1,5-10-’
L 3 4 3 0,5-10~3
L 4 2 3 0,7-10"4
С 5 1 2 0,11 • 10~1а
С 6 4 2 0,21-10-1’
С 7 1 4 Ю-13
L 8 5 3 ю-5
J 9 1 5 ю-1
Е 10 0 5 12-Ю"*
Таблица В.2
Элемент № ветви Началь- ный узел Конечный узел Значения параметров
Е 10 0 5 12-10-1
С 5 1 2 0,11 -10-1’
с 6 4 2 0,21-Ю-1’
R 1 1 0 Ю-13
L 4 2 3 0,7-10—4
J 9 1 5 ю-1
L 3 4 3 0.5-10-3
L 8 4 3 ю-»
G 2 5 5 1,5-10-’
С 7 1 4 10-13
13
жит основой для составления матриц А, С и D и расчета матри-
цы F. Используя табл. В.2, можно составить следующие матрицы:
14
Из матрицы F следует, что
10 5 g 1 Ь
Г1Е “ 3 И JC> VJC~ 3 I I ~ 5 ~Z ЕЛ = 3 I Н1
f Сд Кд <-д
° 33 1 4
f5£=-?E]^; Ъс=2\’ НН; *m=*EK;F«= 2 П^:
Ед СД RA LA
W 33 ' Д|
^=7П^; ^ = 7|-/|/ F„= 7Qff; F„= 7 L_pf.
еа сд ra la
Приведенный пример описания электрической цепи, пригодного
для ввода в ЭВМ, не является единственным. В данном виде табл.
В.1 содержит лишь информацию о характере элементов, числе вет-
вей, условно-положительном направлении токов и напряжений (с
помощью введения в таблицу понятий начального и конечного уз-
лов), значениях параметров. Табл. В.1 позволяет описать электри-
ческие цепи, состоящие из двухполюсников. Описание электриче-
ских цепей, содержащих многополюсные элементы, следует ввести
иным способом — путем введения дополнительных столбцов, ха-
рактеризующих число полюсов и номеров узлов, к которым они
присоединены, и ссылки на дополнительные подпрограммы, опи-
сывающие эти многополюсники или их эквивалентные электриче-
ские схемы.
Переход от табл. В.1 к табл. В.2 производят с помощью по-
следовательного перебора элементов. Сначала в табл. В.1 выделя-
ется строка с ветвью, содержащей ЭДС в качестве первой строки
табл. В.2. После обработки ветвей с ЭДС в табл. В.1 выбирают
строки с емкостными элементами. При выделении каждой строки
в табл. В.1 проверяется соблюдение условия, при котором новый
элемент не образует контур с уже помещенными в табл. В.2 эле-
ментами. Для этого достаточно, чтобы хотя бы один из узлов но-
вого элемента не содержался в списке узлов, перечисленных ра-
нее. Если это условие не выполняется, то данный емкостный эле-
мент записывается в конце табл. В.2. Добавление ветвей с элемен-
тами С, R и L производят до тех пор, пока в список узлов не вой-
дут все узлы электрической цепи. Если соблюдено правило провер-
ки отсутствия контуров, то полная комплектация списка узлов сви-
1!
детельствует о том, что список ветвей, образующих нормальнее де-
рево (рис. В.1, б) в табл. В.2, заполнен. После этого последова-
тельно дополняются в качестве связей (хорд) ветви, содержащие
источники тока, индуктивные катушки, резисторы и уже записан-
ные в конце табл. В.2 емкостные элементы. Эта часть содержит
нормальный подграф связей.
Составление матрицы А на основе табл. В.2 не составляет труд-
ностей. Достаточно нумеровать строки матрицы А по номерам уз-
лов, а столбцы — согласно номерам ветвей в табл. В.2. Узел, соот-
ветствующий начальному в табл. В.2 для данной ветви, определя-
ет элемент матрицы А, равный -(-1 (например, для ветви 5 началь-
ный узел в табл. 2 совпадает с узлом /; следовательно, элемент
flis матрицы А равен +1). Узел, соответствующий конечному в
табл. В.2 для данной ветви, характеризует элемент матрицы А,
равный —1 (например, для ветви 4 конечный узел в табл. В.2 сов-
падает с узлом <3; следовательно, элемент а34 матрицы А равен
— 1). Заметим, что номера столбцов матрицы А аналогичны номе-
рам соответствующих ветвей нормального графа. Имеет смысл
произвести перенумерацию ветвей таким образом, чтобы номера
столбцов матрицы А с 1 до I совпадали с новыми номерами ветвей
нормального графа. Для этого достаточно произвести перенумера-
цию следующим образом: ветви 10 присвоить порядковый номер 1
(10-М), ветви 5 — порядковый номер 2 (5->2) и т. д.: 6->3, 1-М,
4->5, 9->6, 3->7, 8->8, 2->9, 1-->10. Такую простую перенумерацию
следует произвести для исключения путаницы в обозначениях мат-
риц А, С, D и переходу к привычному способу счета номеров строк
и столбцов матриц (а,/ будет характеризовать элемент матрицы А,
принадлежащий i-й строке и /-му столбцу).
Переход к уравнениям состояний пассивных R-, L-, С-, М-цепей.
Систему уравнений Си = 0 и Di=0 можно записать в разверну-
том виде:
Cu=[FlI
= FUj4*uc== О или ис=—Рид;
Di=[l--F'J
А
Jc
=i*~F'ic=o
или
i =F4
1д 1 1C.
Уравнения для подматриц токов и напряжений
ic=IJci£cioeiccF; uc=[u7cu£cuQ1.uCcf;
|д=В£д’Сд’я?£д?; Ua=[U£.UcmUj?aU£aF
можно записать в развернутом виде через матрицу F:
UJc = — Р/Ди£д — Г/СиСд — Гл?иЯд ~~ (В. 1)
и£с= £ли£д ~ F £сиСд—F —F ££и£ д; (В.2)
16
uOc— -Роги£д“РоСиСд“^Лг
UCc—~^СЯиЯд Fccuc д!
1яд—F/^Jc+^kc+Foskc 4-Fc£iCc;
1‘c д = Fjc jc+Flci д c + Focic c + FcciCc ‘>
(B.3)
(B.4)
(B.5)
(B.6)
i^a=Fj/?Jc4-Fl^i£c-}-Fo^iOc; (B.7)
iis=F5£Jc4-FLi£c. (B.8)
Согласно (B.8) и закону электромагнитной индукции, при на-
личии взаимной индуктивной связи между всеми индуктивными
элементами можно записать
НДд ___ кдкс
ч£с . ЕСДЬСС
'кд
. кс
d
d/
^дд^дс
. кдкс.
FlyJc4-Flii£c
кс
(В.9)
где 1£д, и£д — подматрицы токов и напряжений индуктивных кату-
шек, вошедших в дерево графа; i£c,- u£c — подматрицы токов и на-
пряжений индуктивных элементов, вошедших в подграф связей.
Также, согласно выражению для токов через конденсаторы, по-
лучаем
ГСд °] Г“Сд
kc М .0 Сс исс
(В. 10)
Для резистивных элементов
кд" _ G« 0 “од
кс. .0 V _ияс
или
Иод <к 0 г'од
иЛс 0 Rc iRc
(B.ll)
Если каждый из подграфов резистивных ветвей, входящих в де-
рево или подграф связей, содержит управляемые напряжением ис-
точники тока, то они могут быть учтены в матрицах Gn и Rc. На-
пример, если в i-й резистивной ветви, входящей в дерево, имеется
источник тока Ji=gijUh управляемый напряжением /-Й резистив-
ной ветви дерева ujt то соответствующий элемент g{/ матрицы GA
равен gtj. (Заметим, что gu=0, если в ветви i отсутствует управ-
ляемый напряжением И/ источник тока.) Точно так же если в под-
графе связей содержится управляемый напряжением связи us источ-
ник тока Jq=gsqUs, то его можно учесть добавлением в подматри-
цу Gc элемента gsq. Путем взаимных эквивалентных преобразова-
ний источников тока и ЭДС можно учесть все виды зависимых ис-
точников. При наличии источников тока, управляемых напряжени-
ем ветвей дерева, выражение (В.11) имеет вид
кд ®дд Gac Иод
-кс _Gca Gcc. _U/?c.
или
^Од __ <кд<кс 1 1дд
. U/?C. .GCflGCC . . кс .
Для упрощения дальнейших выкладок предположим, что в цепи
управляемые источники таковы, что их можно учесть в подграфах
°дд=°д- Gcc = Gc (Сдс = Сед=0).
В системе (В.1) — (В.8) дифференциальными являются/ урав-
нения (В.2) и (В.6). Для них
A[CauCjlI=F5cJc+FlciIc+F^ic7c+F^iCc, (В.12)
Д' [^сд<ДдЧ'^сс>Дс|==~Рд£'и£'д F£CUCд—F£^U^ д — РддЦд/д. (В.13)
at
Согласно (В.З) и (В.7),
Gttus л= F 1jh Jc + F I/?* l с+FgsGc (—F<7£u e д ~ Fccuc д ~ rur д)>
u/?fl=(Gfl_l“Fa/?GcFG/?) 1 Рд^сРояияд
— Faj?GcF0CuCa); (B.14)
Rc*gc= —F0£u£tt— РосиСд_"Ро/гКд(Р//гЛс-|-Рд/?1дс-|-Ра/?1Ос);
lGc = (Rc+F0^RaF^)-1 (~F0£u£fl —FocuCtt—FO^RAF^JC —
-Р^ЛЛс). (B.15)
Из (В.8) и (В.9), а также (В.4) и (В. 10) следует
u£ft=~[L„(FlyJc+F^i4c)+L.ciic]; (В.16)
*Сс=='Т7 (GccUcc) ="77 Ссс (-Fc£u£a-Fccuc„). (В. 17)
си dt
Подставив в (В.12) icc нз (В.15) и ice из (В.17), а в (В.13) иЛД
из (В.14) и Цдд из (В.16) и введя обозначения
R=Rc+ForRxF^; G=G.+F^GcF0R; C=Cx+F£cCcFcc;
l=lcc+fillmf^+f£ac+ lcsf< д.
окончательно получим
d ГСО ucд
dt [о LJ Lkc
= Ai
иСд
Ac .
иЯд
Jc .
Ид д
А .
где
-F5cR-‘Foc (Flc-FocR-WA)
(—F4c-[-F £/?g-,F(jAcFgc) — FiflG-Ti/?
-F&cR-1^ (F5c-FScR-lF0J!RMF^)
_(~F4£ -|- F ^G-’F^G.F 0£) —
18
о
(~РдЛддЕк-ЬсдРк) . ’
В=[с °1-1Гв14-В2—1; и=р£д
[О LJ 2 <И J [jc
то можно уравнение состояния записать в следующем виде:
•^-“Ах+Ви.
Для электрической цепи, эквивалентная схема которой пред-
ставлена на рис. В.1, а, имеем:
*.=[Г11> Gc=[g2[; R=Rc+Fo^F^ = [r2] +
+ [_1]1Г111_1]==1Г1 + Г2]==И;
Cc=IC7J, Ьдд=[£41; G = GA+F^GcF^=[glI+[-lI[g2n-l]=
l^CC
—[£i+£2]—[gj;
M b«=<i.=[00I; c,=rc’°l
О с6
Элементы матрицы Aj =
ан
_а21
ац= —FgcR“1Foc=
Я12
а22.
Г
«i2=Flc-F^cR-1F^RJlF^=
о -г
-1 о
a2i-------------Едс+Егя^ 1Fg/?GcFoc =
1 “И .
.-1 1 ’
Г
-1
О
-1
g2
g
a22=—Fz^G~1F^ =
- гь
Элементы матрицы Bt =
О -Г
-1 0
Г1_Г0 -r_
r Lo
'0
.1
0 O'
.-1 1
O’
1 _
11 ^12
b21 b;
?2
g
О
— Г1/Г
1 1
Isl-I° ч-f [° °'
[г]-Ч1 -1]=
1
О
1
[-111011=
О Г
1 О
'22 J
19
11=
—FgcR~1Fg£=
b12=F5c-FjiCR->FwRJ^=[2
£1
r
-rjr
rjr
' °1+^2.Г01==Г 0
.-И s L1 J -gi/g
b22=-F^G-iF^ =
— F°
g 1
1J Li/grJ
b
Элементы матрицы
Ьг2=—Fi4LMFj£—LcaF/£——
I^UO]=
B2=o.
Матрица индуктивностей
L---LCC 4* FZ дЬддР £L 4* F ££ЬДС 4- LCJF ££ =
^•3 -^38
TVf 83 Zg
4 ;i[£4][-i-11+Г м^зЛ]+[^4з1[-1-и.
И L 1 J 1-^48
При Л438 — ТИдз—^34 — ^43 — ^48—-^84 — О
Аз + А4 z4
^-8 + ^-4
Матрица
С, =4 о5 °г ] ' Сс=1сЛ ₽сс=1-1 Ч;
. и G6-
20
Cg-f-Cy -C7
—C7 C6+C7
1/r -rjr
-1/r rt/r
0 0
-gi/g
Особенности расчета нелинейных цепей. Система матричных
уравнений (В.1) — (В.8) не зависит от свойств элементов электри-
ческих цепей. Она описывает и нелинейные электрические цепи.
Пусть нелинейными являются зависимости
^=?Х*£Ж==<рт('1Г));
/ = ®0(н)(и = <рЛ(г)).
В матричной форме эти зависимости можно записать в следую-
щей интерпретации:
ис=Ф?(<1)> W uc=[wcl иС2...иСп\1; %(q)=[<P?iW
Матрицы 1д=фч-(Чг), i=<j>G(u), и = фЛ(1) аналогичны предыдущим
матрицам.
В качестве переменных состояния выберем Т и q — матрицы
потокосцеплений контуров и зарядов разрезов. Для упрощения
формул допустим, что отсутствуют индуктивные элементы в под-
графе дерева и конденсаторы в подграфе связей. При этих услови-
ях уравнения (В.2) и (В.6) можно записать в виде
d4*
= LEUE Lc4>q W ~ РдДфд (’Яд)!
~~ = FJcJc "Ь^ДСфчг (Ф) Fссфо (UGс),
где фя, фо можно определить, решив систему нелинейных алгебраи-
ческих уравнений (В.З) и (В.7) относительно переменных ф и q.
Из многих методов численного решения систем нелинейных
дифференциальных уравнений выделим два, которые имеют кон-
кретные электротехнические интерпретации.
Первый метод заключается в замене на малом отрезке времени
производной некоторой разностью при предположении неизменно-
21
ста дифференциальных параметров в пределах изменения искомой
величины, т. е. к замене дифференциальных уравнений алгебраи-
ческими. В электротехнической интерпретации такая замена при-
водит к расчету режима в нелинейной резистивной цепи, топология
которой соответствует топологии исходной цепи. Этот метод под-
робнее будет рассмотрен в гл. 7.
Второй метод сочетает в себе давно известные в практике эле-
ктротехнических расчетов методы кусочно-линейного представле-
ния нелинейных характеристик и метод последовательных интер-
валов. В окрестности некоторой точки на конечном отрезке измене-
ния аргумента на нелинейной характеристике предполагаются не-
изменными ее дифференциальные параметры. На конечном отрез-
ке (участке) изменения аргумента нелинейная зависимость заме-
няется линейной с дифференциальным параметром, определяемым
местонахождением рабочей точки. Эта точка может быть располо-
жена в любой части линеаризованного участка характеристики.
В пределах этого участка все малые изменения переменных со-
стояния взаимно обусловлены системой линейных дифференциаль-
ных уравнений. Здесь имеется полная аналогия с малосигнальным
режимом работы нелинейных электрических цепей.
Известно, что изменение 6f(x)=f(x) некоторой функции J(x)
в зависимости от изменения бх=х аргумента х можно записать в
виде
или f(x) = -^^-X.
дх дх
Для матричного уравнения, когда функция f(x) и аргумент явля-
ются вектор-столбцами размерностью п,
F(x)=[/i(*i. х2...хп)/2(Х1, x2,...,xn)...fn(xl, х2,...,хп)]‘.
Для приращения векторной функции формально можно запи-
сать аналогичное выражение:
8F(x) = F(x)=^^x, (В.18)
дх
где х=х—х0.
Производная вектор-столбца имеет вид
dfi(xlt х2..хп) dfi(xlt ...хп)~
дхз ’ дхп
dfni.x\, х2.хп) dfn(x\, х2..xj
дх2 ’ * дхп
(В.19)
ее называют матрицей Якоби функции F(x).
22
1. Х2,...,Хп)
dxi
дГ (х)
дх
dfn(xi, х2,.
dxi
Применительно к системе уравнений (В.2) и (В.6) при работе
нелинейной электрической цепи в режиме малого сигнала вариа-
ция параметров Ти q или x=[Wq]f может быть следствием вариа-
ции значений источников ЭДС и токов. С учетом этого обстоятель-
ства можно записать
«Яд!
Jc J
или ----— F(x)4*u.
d/
(В.20)
Если обозначить вариации бх и би соответственно х и и, то от-
носительно них можно записать
dx
d7
dF (х) .
дх 1
(В.21)
В (В.21) все величины должны быть малыми по сравнению с
исходными в (В.20). Согласно терминологии, используемой в кур-
се ТОЭ, эти величины назовем малосигнальными, а режим работы
нелинейной электрической цепи — малосигнальным. Малыми сиг-
налами в данном случае являются вариации токов, напряжений,
зарядов и потокосцеплений относительно их некоторых значений,
называемых рабочими. При этом считается, что рабочие значения
этих величин (To, qo, >яо, и0о) при вариации параметров остаются
неизменными. Это означает, что рабочие значения характеристик
нелинейных цепей при малосигнальном режиме работы следует оп-
ределять как реакции нелинейной цепи на воздействие постоянных
во времени источников ЭДС и тока. При этом в уравнениях (В.20)
следует принять равными нулю значения производных. Таким об-
разом, для определения рабочих точек следует решить систему ал-
гебраических уравнений (В.20) при d/d/=0 и учете (В.З) и (В.7).
После нахождения значений Т, q, 1яд, иОс по нелинейным вольт-
амперным, вебер-амперным и кулон-вольтным характеристикам
могут быть вычислены элементы матрицы Якоби (В.18). Например,
если вектор q>g(q), представляющий нелинейную зависимость на-
пряжений конденсаторов, входящих в ветви дерева, имеет вид
Фч(Ч)=[ф1(?1)ф2(?2) (?*)?, т- е. в каждом конденсаторе на-
пряжение зависит только от собственного заряда, то подматрица
Якоби, определяемая этим вектором, будет диагональной, посколь-
ку -^=0 при г.у£/.
Легко заметить, что если Ui=q>g(qf), то
„,=й,=л___££
&9l Cgi Cgt
и, следовательно, в данном случае диагональный элемент в матри-
це Якоби характеризуется значением, обратным дифференциаль-
ной емкости конденсатора при данном рабочем значении qio(Uio).
23
Аналогичные рассуждения можно провести относительно нелиней-
ных зависимостей <р>г(Чг), <ра(иос) и фЛ (»Л).
Заметим, что, заменив все нелинейные зависимости в (В.З),
(В.7), (В.2) соответствующими динамическими параметрами от-
носительно малых сигналов, можно получить систему линейных
дифференциальных уравнений.
Применительно к задачам численного расчета процессов в не-
линейных цепях последнее утверждение не просто тривиальное по-
вторение известного из общего курса получения системы уравнений
в режиме малого сигнала, а физическая интерпретация метода чис-
ленного решения нелинейной системы дифференциальных уравне-
ний электрических цепей в общем случае. Последовательность чис-
ленного решения примерно такова. Пусть для некоторого началь-
ного момента времени t=0 известны переменные состояния Ти q.
Если вместо системы нелинейных дифференциальных уравнений
(В.20) рассмотреть систему линейных дифференциальных уравне-
ния относительно малых сигналов, то по истечении некоторого вре-
мени А/, можно определить все приращения переменных состоя-
ний и, следовательно, найти их новые значения в момент времени
O-f-A/i. По этим значениям с помощью нелинейных характеристик
рассчитывают новые значения Ч*' и q и соответствующие им пара-
метры малосигнального режима и производят повторный расчет
линейной системы (В.20) для интервала времени Af2. Многократно
выполнив эти расчеты, можно получить совокупность векторов ЧГ
и q для моментов времени Л = 04-Д/1, /2 = ^+Д^2, —,/n=^n-i+A/n.
Можно заметить, что именно рекуррентность — повторяемость
этого процесса расчета — является привлекательной для организа-
ции алгоритма расчета переходных процессов в нелинейных элект-
рических цепях.
Это важное обстоятельство широко используется при создании
программ расчета электрических цепей. Важным моментом такого
подхода — получения решения шаг за шагом — является
также проблема обеспечения единственности решения. Эта проб-
лема важна для нелинейных электрических цепей. Единствен-
ность решения для них можно обеспечить только при определен-
ных условиях, которым должны подчиняться вид нелинейных ха-
рактеристик и выбор дерева графа. Например, если нелинейная
ВАХ такова, что напряжение многозначно для данного значения
тока, то ветвь с таким элементом не должна быть в составе дере-
ва. Это положение вытекает из простого соображения. В процессе
расчета токов ветвей дерева (В.7) по значениям токов связей вы-
числяют напряжения ветвей дерева. Если при данном значении
контурного тока (тока в связи) напряжение в данной ветви имеет
не единственное значение, то неоднозначно и напряжение ветвей
дерева. Это означает, что по уравнению (В.З) невозможно одно-
значно определить напряжение ветвей.
24
Условие составления уравнений упрощается, если все нелиней-
ные характеристики однозначно определены, т. е. каждому значе-
нию функции (аргумента) соответствует только одно значение ар-
гумента (функции). При этом выбор состава подграфов дерева и
< вязей может быть подчинен только общим требованиям, ранее из-
ложенным для линейных электрических цепей.
Одна из важнейших особенностей ЭВМ заключается в возмож-
ной организации логических заключений применительно к нелиней-
ным электрическим цепям, что обеспечивает выполнение условия
однозначности численного решения. Нелинейные характеристики в
памяти ЭВМ могут быть записаны в виде численных таблиц, под-
программ, представляющих описание аналитических выражений, а
также подпрограмм, определяющих способ обращения к этим дан-
ным.
В сочетании с пошаговым интегрированием системы нелиней-
ных уравнений электрических цепей возможна организация такой
выборки значений нелинейных характеристик, при которой движе-
ние рабочей точки по нелинейной характеристике будет непрерыв-
ным. Например, для S-образной ВАХ, при которой одному значе-
нию тока могут соответствовать три значения напряжения, можно
программно оговорить способ движения рабочей точки таким об-
разом, что после задания ее на нелинейной характеристике малые
приращения тока за время At обусловят и малые изменения напря-
жения. При движении рабочей точки на участке ВАХ, где данному
значению тока соответствуют три значения напряжения, следует
выбирать то напряжение, которое отличается от предыдущего не
более чем на Ai. Если же изменение тока происходит вблизи точек,
где rg->oo, то допускается скачкообразное изменение напряжения,
определяемое характером кривой. Эти простые правила легко ал-
горитмизируются и добавляются к соответствующим программам,
описывающим ВАХ.
При таком подходе возможно достаточно полное описание не-
линейных характеристик гистерезисного типа даже с учетом пре-
дыстории движения рабочей точки.
Проблемы расчета установившихся процессов. Численное интег-
рирование системы дифференциальных уравнений с помощью их
замены конечно-разностными для моментов времени, отдаленных
друг от друга на малые интервалы, можно свести к решению си-
стемы алгебраических уравнений. В зависимости от особенностей
электрической цепи этот интервал может оказаться настолько ма-
лым, что число шагов интегрирования может быть неприемлемо
большим.
Эта проблема особо остро встает при попытке получить реше-
ние для периодических процессов. В условиях ограниченной точ-
ности вычислений даже проверка равенства x(f-j-T) =х(/) явля-
ется непростой задачей. По этой причине в данной книге большое
внимание уделено тем разделам ТЭЦ, разработка которых в мак-
25
симальной мере позволяет развить теоретические положения, спо-
собствующие созданию новых алгоритмов расчета на ЭВМ именно
установившихся процессов. В гл. 1—4 описан метод аналитическо-
го решения уравнений состояния, который позволяет организовать
эффективный численный анализ не только установившихся режи-
мов, но и переходных процессов для широкого класса воздейст-
вующих на цепь источников. Реализовать этот подход можно соче-
тая метод переменных состояния с матрично-топологическим мето-
дом, обеспечивающим компактность и формализованность записи
результата. При этом аналитические решения задачи выражают
не через обычные, а через матричные функции.
Заметим, что аналитические операции с различными функция-
ми и формулами могут осуществляться на ЭВМ в той же мере,
что и операции с соответствующими массивами чисел при числен-
ных решениях задачи. Еще Ада Лавлейс обосновала возможность
развития двух типов языков программирования — языков, ориен-
тированных на операции с числами, и языков, ориентированных
на операции с символами. Примерами языков первого типа явля-
ются ФОРТРАН и ПЛ, а языков второго типа (точнее, систем
аналитических вычислений) — АНАЛИТИК и REDUCE. Тот факт,
что использование аналитических методов способствует более эф-
фективному получению численных результатов решения задачи,
обусловливает необходимость подробнее остановиться на возмож-
ностях этих методов.
Аналитические методы решения уравнений состояния. При мо-
делировании электрических цепей с помощью уравнений состояния
необходимо произвести оценку существования, единственности, ус-
тойчивости решений, определение возможностей преобразования
различных эквивалентных уравнений, выявление чувствительности
решений к изменению параметров уравнений, исследование особен-
ностей поведения решений как в асимптотике, так и в окрестно-
стях различных особых точек, например резонансных. Эта инфор-
мация особенно нужна для определения границ состоятельности
моделей и целесообразности их корректировки, с тем чтобы в пол-
ной мере отобразить свойства реальных цепей как объектов моде-
лирования. Кроме того, только располагая опытом и результатами
подобных в основном качественных и аналитических исследований,
можно переходить к следующему этапу изучения рассматриваемых
моделей — их численной обработке. В этом случае результаты ана-
литических исследований позволяют оценить как возможность чис-
ленной обработки уравнений состояния, так и достоверность полу-
чаемых при этом данных. Подобные исследования определяют вы-
бор наиболее эффективных численных процедур с учетом особен-
ностей конкретных задач.
Реализовать намеченные исследования можно прежде всего ис-
следуя методы построения аналитических решений для уравнений
электрических цепей. Суть этих методов заключается в таком пре-
26
образовании исходных уравнений, в результате которого перемен-
ные состояния удается выразить через аналитические функции от
параметров уравнений без какого-либо искажения заложенной в
исходных уравнениях информации. Под аналитическими решения-
ми, таким образом, понимают решения, выраженные через элемен-
тарные функции — степенные, тригонометрические, гиперболиче-
ские и т. д. или, в более общем случае, через любые функции, раз-
ложимые в степенные ряды, при условии, что эти выражения точно
удовлетворяют исходным уравнениям. Для намеченных исследова-
ний аналитические решения удобны максимально возможной ин-
формационной компактностью, а в случае использования в записи
решений только элементарных функций — и наглядностью резуль-
тата.
Таким образом, особый интерес представляет детальное знаком-
ство с проблемами построения аналитических решений уравнений
состояния таких линейных стационарных электрических цепей, ко-
торые содержат только один накопитель энергии — индуктивный
пли емкостный элемент. Целесообразность выделения в отдельный
класс таких цепей и последующего углубленного исследования их
уравнений обусловлена следующими обстоятельствами. Во-первых,
подобные цепи — наиболее простые электрические цепи, в которых
возникают процессы, обусловленные накоплением и расходованием
энергии электромагнитного поля. Изучение подобных простейших
процессов представляет интерес тем более, что подобные цепи со-
ответствуют достаточно важным в прикладном отношении элект-
ротехническим устройствам. Кроме того, простота математической
структуры уравнений состояния подобных цепей и наглядность фи-
зической картины явлений, им соответствующих, позволяют про-
стыми математическими средствами создать такую методику все-
стороннего исследования этих уравнений, которая бы в наиболь-
шей мере отвечала особенностям физической природы рассматри-
ваемых явлений. Во-вторых, изучение явлений в подобных цепях
представляет интерес в том смысле, что все более сложные цепи
с несколькими накопителями энергии фактически состоят из сово-
купности цепей выделенного класса, рассматриваемых как подце-
пи. Еще более важным является то, что созданная методика мате-
матического исследования уравнений состояния простейших элект-
рических цепей может быть распространена и на уравнения состоя-
ния сложных электрических цепей, содержащих большое число на-
копительных элементов, и даже на уравнения состояния электро-
магнитных сред. Дело в том, что уравнения состояния простейших
электрических цепей x~ax+f, где x=iL(x=uc) — ток индуктивно-
го (или напряжение емкостного) элемента соответствующей цепи,
имеют формальное сходство с уравнениями состояния сложных
электрических цепей, содержащих несколько накопителей энергии:
x=Ax-(-f, где x=[xi...хт]*— m-мерный вектор переменных со-
стояния. Формальным сходством обладает и запись аналитических
27
решений уравнений x—ax-j-f и x=Ax-f-f. Таким образом, детально
разобрав все особенности построения аналитических решений урав-
нений состояния простейших электрических цепей, можно использо-
вать наиболее эффективные из рассмотренных методов для реше-
ния уравнений состояния сложных электрических цепей. Запись
решения уравнений состояния сложных электрических цепей х==
=Ax-j-f имеет и определенное качественное отличие, поскольку
она содержит функции от матрицы А, которые, однако, могут быть
сведены к набору обычных скалярных функций. Поэтому в первых
двух главах данного пособия подробно на большом числе примеров
рассмотрены как методы исследования уравнений состояния про-
стейших электрических цепей, так возможности и особенности при-
менения этих методов для исследования сложных электрических
цепей. Как развитие этого подхода в гл. 3 и 4 анализируются мето-
ды построения аналитических решений уравнений состояния второ-
го порядка x=Ax-(-f, описывающих, например, реактивные элект-
рические цепи, и уравнений состояния с переменной матрицей ко-
эффициентов x=A(t)x-f-f, описывающих линейные нестационарные
электрические цепи. Основное внимание в этих главах уделяется
проблеме построения установившихся составляющих решений
уравнений состояния, численный расчет которых связан с рядом
трудностей. В гл. 5 описываются алгоритмы численной обработки
полученных в предыдущих главах аналитических решений уравне-
ний состояния. Высокая вычислительная эффективность развитых
при этом процедур позволяет их использовать и в алгоритмах чис-
ленного решения уравнений состояния (см. гл. 6) и машинного рас-
чета электрических цепей (см. гл. 7).
Проблемы создания математических моделей электрических це-
пей. Наряду с вопросами исследования уже сформулированных ма-
тематических моделей электрических цепей для ТЭЦ не меньший
интерес представляют и вопросы собственно формирования таких
моделей, рассматриваемые в гл. 8 и 9.
Изложенные в гл. 1—7 вопросы нахождения параметров режи-
ма (токов и напряжений) электрических цепей с заданными пара-
метрами схем (сопротивлениями, индуктивностями, емкостями, ха-
рактеристиками источников энергии) в прикладном отношении ори-
ентированы преимущественно на задачи проектирования устройств,
соответствующих этим цепям. Для задач же эксплуатации более
важны вопросы нахождения параметров схем по данным измере-
ний параметров режима электрических цепей, чему в ТЭЦ соот-
ветствуют задачи их диагностики. Диагностика электрических це-
пей— сравнительно новое, вызванное насущными запросами прак-
тики и интенсивно развивающееся направление ТЭЦ. Особенно-
стью задач диагностики является наличие двух этапов их реше-
ния— этапа проведения диагностических экспериментов для изме-
рений параметров режимов цепей и этапа математической обработ-
28
кп на ЭВМ данных измерений для определения параметров соот-
ветствующих этим цепям схем. В этой связи исключительное зна-
чение приобретает разработка таких методов диагностики, которые
отличаются простотой в реализации и обеспечивают решение за-
дачи с заданной точностью при минимальных затратах времени и
технических ресурсов на измерения и численную обработку их дан-
ных. В гл. 8 выделяется класс подобных достаточно каноничных
тля данного раздела ТЭЦ методов и подробно рассматриваются их
возможности.
С проблемой создания математических моделей электрических
цепей приходится сталкиваться и при решении задач анализа, если
исходная информация о параметрах схемы задана не точно. Осо-
бые же трудности возникают, если эта информация носит не коли-
чественный, а частично качественный характер, как, например, в
случае, когда о параметрах ряда элементов известно, что они «су-
щественно больше» или «существенно меньше» параметров ряда
других элементов. Вместе с тем подобная ситуация достаточно ти-
пична для инженерной практики. Особенно же она обостряется при
моделировании достаточно сложных объектов, когда большинство
этапов решения задачи выполняется только с использованием ЭВМ,
для чего в первую очередь необходимо формализовать эту инфор-
мацию и разработать методику ее дальнейшей обработки. Попыт-
ки решить эту задачу в рамках понятий классической математики
не приводят к успеху, в связи с чем представляет интерес исполь-
зование для ее решения новых математических построений, реали-
зованных в рамках так называемого нестандартного анализа. Воп-
росам применения этого математического аппарата для решения
рассматриваемой проблемы ТЭЦ посвящена гл. 9.
В заключение отметим, что рациональное решение задач моде-
лирования и машинного расчета электрических цепей достигается
при гармоничном сочетании экспериментальных и расчетных мето-
дов создания математических моделей цепей и аналитических и
численных методов исследования этих моделей. Подобное сочета-
ние обеспечивает и адекватность результатов моделирования ис-
следуемых явлений во всем их многообразии соответствующим яв-
лениям объекта оригинала — реальной цепи. Достижение этой це-
ли предполагает овладение языком современной ТЭЦ, ее метода-
ми и техникой их реализации на ЭВМ.
1 ГЛАВА
АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ
ПРОСТЕЙШИХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
Рассматриваются методы определения аналитических решений уравнений
состояния цепей с одним накопителем энергии. Показывается возможность на-
хождения таквх решений в замкнутом виде непосредственно по виду уравнений
состояния. Исследуются резонансные решения н анализируется чувствительность
решений уравнений состояния к изменению параметров цепей.
§ 1.1. Классический метод решения уравнений
состояния простейших RL- и 7?С-цепей
Линейные стационарные электрические цепи, содержащие толь-
ко один накопитель энергии (индуктивный L или емкостный С),
условно можно представлять в виде некоторого двухполюсника А,
элементами, которого являются только резистивные элементы и ис-
точники энергии, и индуктивного L
или емкостного С элемента (рис.
1.1,а, б). Расчет процессов в таких
с цепях целесообразно проводить в
три этапа.
На первом этапе согласно изве-
стному методу эквивалентного гене-
ратора активно-резистивный двухпо-
люсник А заменяют последователь-
но соединенными резистивным эле-
ментом R и источником напряжения
(ЭДС) u=u{t), для чего предварительно рассчитывают их парамет-
ры. Полученные при этом простейшие цепи с одним накопителем
энергии (рис. 1.2, а, б) эквивалентны соответствующим исходным
цепям (рис. 1.1, а, б) относительно токов и напряжений накопитель-
ных элементов L и С.
На втором этапе расчета для простейших RL- н ЯС-цепей со-
ставляют и решают уравнения состояния
30
R
R
a)
S)
Рис. 1.2
dt
d“c _______L
d/ RC
^^0’ Ц(^)—/Од,
(1.1)
1
RC
(1.2)
a)
Л
Рис. 1.3
Для решения этих уравнений значения переменных состояния
(тока в индуктивном i’l или напряжения на емкостном ис элементе)
должны быть заданы при (=0.
На третьем этапе определяют токи и напряжения элементов
двухполюсника А. При этом переменные состояния iL, ис считают-
ся известными. На этом эта-
не накопители могут быть
представлены в виде источ-
ников энергии, например,
как показано на рис. 1.3, а, б.
Можно заметить, что пер-
вый и третий этапы расчета
основываются исключитель-
но на методах анализа чисто
резистивных цепей. Вместе с
тем априори выбрать те ме-
тоды, которые окажутся наиболее рациональными для использова-
ния на отмеченных этапах, нельзя. Подобный выбор может быть
осуществлен для каждой конкретной задачи отдельно, исходя из
специфических особенностей соответствующего многополюсника А.
Таким образом, общим при расчете любых цепей рассматривае-
мого класса является лишь решение уравнений состояния (1.1),
(1.2). Особенности исходных цепей влияют только на значения па-
раметров в таких уравнениях, не изменяя их общего вида. С этих
позиций исследование уравнений состояния простейших RL- и RC-
цепей представляет наибольший интерес для расчета электрических
цепей с одним накопителем энергии. Целью настоящей главы явля-
ется изучение методов построения аналитических решений уравне-
ний состояния (1.1), (1.2). В данном параграфе рассматриваются
основные подходы к такому построению.
31
Решения уравнений состояния (1.1), (1.2) как линейных стацио-
нарных дифференциальных уравнений могут быть представлены 1
виде сумм двух составляющих. Одна из этих составляющих
_Z? t __J-1
L ioL или «Ссв=е иоС,
называемая свободной, представляет собой полное решение соот-
ветствующего уравнению (1.1) или (1.2) однородного уравнения
dr, /?
аг L
du„ ]
-77-=—«c(O) = wOc-
Другая составляющая, называемая принужденной, представля»
ет собой частное решение дифференциального уравнения (1.1) илй
(1-2)
dG R . . 1 dac 1 1
аг l L 1 l аг rc с rc
и имеет вид
f 7?
*дпр=7- J е 1 u(T)dt, иСпр
о
= — е RC и(т)<1г.
аС J
о
Здесь и далее для простоты изложения все параметры рассмат-
ривают без учета их размерностей, что правомерно, учитывая со-
гласованность размерностей в исходных уравнениях. Таким обра-
зом, решения уравнений (1.1), (1.2) могут быть записаны как
h—*£св_Н'£пр=е e M(t)dr,
0
1 , t 1 , ,
«с=«ссв+испр=е * «ос+77 е «(t) dr.
О
Отметим, что показатели экспонент —R/L и —1/(7?С) у свободных
составляющих IlCb и иСсл численно равны корням характеристиче-
ских уравнений, соответствующих дифференциальным уравнениям
(1.1), (1.2). При этом так как параметры R, L, С для реальных це-
пей положительны, то показатели экспонент у этих составляющих
отрицательны. Следовательно, значения свободных составляющих
со временем уменьшаются, стремясь к нулю при /->-оо.
С электротехнической точки зрения свободные составляющие
г'дсв, «сев соответствуют процессам, которые бы протекали в RL-
32
и 7?С-цепях при отсутствии внешних источников энергии [m(Os0]
за счет энергии, запасенной в L- и С-элементах при начальных зна-
чениях переменных состояний, равных i0 l и «ос. В то же время при-
нужденные составляющие г'^пр, «с пр определяются видом функции
воздействующего напряжения u(t), они не зависят от начальных
значений переменных состояний. Эти составляющие соответствуют
процессам, которые бы протекали в рассматриваемых цепях (рис.
1.2, а, б) при нулевых начальных значениях (i’ol=O, «ос=О).
Пример 1.1. Рассмотрим решение уравнений состояния (1.1), (1.2) в случае,
когда воздействующее напряжение постоянно при t^O и u(t) = Ua. При этом
-К t 1 р JL (t-z)
lL=lL",+ lLv> = e L 1‘ol+TJ e L =
0
— 1 f Ip______(t_t)
“С = “ссв + “спр = е ЛС “OC4"^ J 6 =
0
= e’^,Boc + £7o(l-e"sc').
Графики tt(O и Uc(t) представлены на рис. 1.4, а, б.
Как видно из графиков рис. 1.4, а, б, скорости изменения свобод-
ных составляющих тока <Иьсв/<И~—ilcb/xl и напряжения
б«ссв/(К= —«ссв/тс в любой момент времени могут быть охаракте-
ризованы длинами подкасательных Xl~L/R и xc~RC. Величины
Xl и хс, называемые постоянными времени RL- и ЯС-цепей, равны
промежуткам времени, за которые ток iL Св и напряжение ис св
уменьшаются в е раз.
1 —— z --L t
Функции —(1—е L ) и (1 — е RC ) называют переходными
R
характеристиками этих цепей.
1 -- t
Функцию Y (/)=—(1—е L ), имеющую размерность прово-
R
димости, называют переходной проводимостью. Функция N (t) =
__L t
= (1 — е Rc ) безразмерна. Численно значения У (t) и N (t) сов-
падают со значениями переменных состояний iL (t) и ис (t) RL- и
/?С-пепей с нулевыми начальными условиями и единичными воз-
действующими напряжениями [и (/) = !].
Отметим, что так как У (0) =jV (0) =0; К'(О=—е 1 » N'(/)=
2—151
33
= е яс то принужденные составляющие решений уравнений
RC ’
состояния (1.1), (1.2) с произвольными воздействующими функ-
через соответствующие переходные
характеристики. Представим инте1
гралы в выражениях для принужден
ных составляющих с учетом новыз
обозначений в виде
Рис. 1.4
Qn₽=^(0)«(0 + J Y'(t —т)х
о
Хй(т) dr=
мспр=ЛГ(°)«(О + ^ N'(t — т)х
о
X«(r)dr=f N' (t~x)u(x)dx,
Jo
или, используя
частям, как
интегрирование по
/£„р«К (0«(0) + jK(^- т)и' (t)dt;
о
«Спр=^ (О м (0) + pv (t — т)«' (Т) dr.
о
Полученные четыре выражения
известны как интегралы Дюамеля.
Функции N'(t) называют им-
пульсными характеристиками
[У'(/)—импульсной проводимо-
стью] цепей. Используя обозначе-
ния, принятые при свертке функций,
этим выражениям можно придать и более компактный вид:
W * и (0=У (О «(0)4-К (/) * «' (0;
ас пр = W' (0 * и У)=N У)и (°)+N (/) Ж и'(t).
Наряду с рассмотренным представлением решений уравнений
состояния (1.1), (1.2) в виде сумм свободных и принужденных со-
ставляющих в теоретической электротехнике используют и другое
представление, более отвечающее физической сути задач и инже-
34
первым потребностям. Для обоснования этого представления обра
Н1МСЯ к выражениям
R 1 1
iL=^~L* h>L + ~ (1 ); «с=е~^' «ос+^о(1 ~е"^ 5,
К
ранее полученным при решении уравнений состояния (1.1), (1.2)
<• постоянными воздействиями (см. пример 1.1). Тот факт, что при-
нужденные составляющие состоят из сумм асимптотических состав-
ляющих i'l — Ua/R. и u'c—Uo, называемых установившимися, и не-
которых экспоненциальных составляющих с теми же показателями
депонент, что и у свободных составляющих, позволяет перегруп-
пировать члены приведенных выражений. При этом решения урав-
нений имеют вид
_5 (
lL= L (iot — ioL), ioL~i !.(&)',
йс=“с + «с=«с + е («ос —«ос), «ос=«с(О).
('читают, что только составляющие i"l, и"с, называемые преходя-
щими, содержат определенные во всем интервале /3^0 экспонен-
циальные члены с теми же показателями экспонент —R/L,
-\/{RC), что и у соответствующих свободных составляющих; ус-
тановившиеся составляющие подобных членов не содержат. Такое
определение позволяет рассматривать установившиеся составляю-
щие решений уравнений (1.1), (1.2) как при периодических, так и
при непериодических воздействующих функциях. Однако наиболь-
ший смысл предложенное представление решений имеет в том
практически важном случае, когда воздействующие функции «(/)
в уравнениях состояния периодические. При этом периодическими
оказываются и установившиеся составляющие, которые характери-
зуют установившиеся режимы в цепях.
Преходящие составляющие z7=e L * (i0L — i'ac), u"c — & KC‘x
X(uoc— u'o с) соответствуют процессам в RL- и 7?С-цепях без ис-
точников напряжения, но с ненулевыми начальными значениями,
R t .
равными Iol — I'ol и иос — и'ос. Для примера 1.1 zl=e L u'oz—
JT \ , t
--%] ; «с = е *c («oc-t/о)-
A /
На рис. 1.4, 5, г представлены
графики полученных решений и их составляющих.
Отметим, что в том случае, когда iOL=i'oL', иос = ивс, преходя-
щие составляющие 1"l и и"с равны нулю, а рассматриваемые цепи
характеризуются только установившимися режимами. В противном
случае имеют место переходные процессы в цепях. Под переходны-
2*
35
ми процессами понимают процессы, протекающие при переходе от
одного установившегося состояния к другому.
Решение уравнений состояния простейших R.L- и 7?С-цепей прак-
тически сводится к определению установившейся либо принужден-
ной составляющих, поскольку последующее нахождение преходя-
щих и свободных составляющих уже не представляет трудностей.
Если решение уравнений состояния ищут в численном виде, то це-
лесообразнее определять сначала их принужденные составляющие,
так как их выражают через собственные интегралы (интегралы с
конечными пределами), вычислять которые проще. Следует отме-
тить возможность применения интеграла Дюамеля для расчета
процессов в таких реальных RL- и У?С-цепях, точные значения па-
раметров R, L, С которых исследователю не известны. Дело в том,
что в интеграл Дюамеля названные параметры явным образом не
входят. Переходные же характеристики У(/), N(t) могут быть оп-
ределены для таких цепей экспериментальным путем. Если реше-
ния уравнений состояния ищут аналитически, то следует сначала
найти их установившиеся составляющие, тем более что для многих
задач именно эти составляющие решения и представляют наиболь-
ший интерес. Метод расчета переходных процессов в электриче-
ских цепях, заключающийся в последовательном расчете устано-
вившихся и преходящих составляющих их уравнений состояния, на-
зывают классическим. Для практической его реализации требуется
разработка метода непосредственного нахождения установивших-
ся составляющих решений уравнений состояния (без предваритель-
ного определения принужденных составляющих решений, как бы-
ло осуществлено в данном параграфе).
§ 1.2. Применение преобразований Лапласа для нахождения
установившихся составляющих решений уравнений
состояния простейших электрических цепей
Для построения установившихся составляющих решений урав-
нений состояния электрических цепей эффективным оказывается
использование интеграла Лапласа.
Под интегралом Лапласа функции f(t) понимают выражение
©о
вида е~pif U) d/, в котором р=о-(-/т] — некоторое комплек-
6
<30
сное число. Полученную при этом функцию Г (Р)—e~pt f (t)
о
называют изображением f (t), а функцию f (t) — оригиналом. Для
существования интеграла Лапласа некоторой функции f(t) послед-
няя должна подчиняться ряду условий. А именно: при t^O она
должна удовлетворять условиям Дирихле, т. е. иметь конечное чис-
ло экстремумов и конечное число разрывов первого рода на любом
36
конечном интервале. Кроме того, должны существовать веществен-
ные постоянные а и Л (а), при которых |f(/) | (а)еа/, ^>0. Та-
ким образом, рост функции f(t) при /—>-оо должен быть ограничен
некоторой экспоненциальной функцией. Точную нижнюю границу
а, для которой последнее соотношение выполняется, называют по-
казателем экспоненциального роста функции
Следует отметить, что условия существования интеграла Лап-
ласа функции f(t) и ее изображения F(p) различны. Для функции
/(/)==! интеграл Лапласа I e~Pzl d/ существует только для тех зна-
чений р, вещественная часть которых положительна, т. е. Rep>0.
При этом он равен 1/р. Изображение F(p) = 1/p единичной функ-
ции существует при любых отличных от нуля значениях р, т. е. изо-
бражение F(p, t) является аналитическим продолжением на всю
комплексную плоскость аналитической функции, определяемой ин-
тегралом Лапласа.
Преобразование вещественной функции f(t) в комплексную
функцию F (р) называют преобразованием Лапласа: F(p)~
Наряду с обычным преобразованием Лапласа в расчетах элект-
рических цепей большое значение имеет преобразование Лапласа
функции, сдвинутой влево (ЛПЛ)
F(p; [/(/)]= f e-^/Gf-l-iOdr**,
связанное с обычным преобразованием соотношением
F (р; Ftp) — I e_* **”/(t)dx
В качестве примера рассмотрим построение изображения ЛПЛ
для экспоненциальной функции f(t)=eat. Имеем
F (р-, t)—\ e~p'te’(<+T)dT= eef I е.-(р-»ь dr =?
p — a |o p — a
* При выполнении этих условий интеграл Лапласа^ можно определить и
Л
для функции вида g(O=f(O+S®^—ГДе ^^°°> ®(0 — функция
Дирака.
k-1
** Свойства интегралов ( e~PTf(/±x)dx и их связь с решениями дифферен-
37
В табл. 1.1 на основе определения ЛПЛ представлены изобра-3
жения постоянной, экспоненциальной, синусоидальной, косинусов
идальной, линейной и импульсной функций.
Таблица 1.1|
---------4
Оригинал /(/)
Изображение F(p, t)
А
eat
sin(a<+4)
cos (co/+4)
t
A/p
p — a
p sin (wi + Ф) + ы cos (mt + 4)
p2 + Ш2
p cos + ф) — ы sin (<oZ + 4)
p2 _|_ ш2
tlp + l/p2
Примечание: в(<—<o) — импульсная функция (функция Дирака); 1 tt—te) — единич-
ная функция (функция Хевисайда);
1, если
О, если «<о.
При этом построение изображений F(p) обычного преобразова-
ния Лапласа функций f(t) не представляет сложности, так как
еа/
F(p)=F(p; О|<=о. Так, по изображению F (р, t) =---------экспо-
р — а,
ненциальной функции можно найти изображение F (р) = —— .
р — а
Соответствие функций f(t) и изображений F(p), F(p, t) мате-
матически записывают следующим образом: f {ty^F (ру; f
r+Ftp; t). Помимо изображений F(p), F(p, /) собственно функции
f(t) можно выразить и изображения производной
во
о
Проинтегрировав Это выражение по частям с учетом того, что со-
гласно наложенным на функцию/(t) условиям [e"P't/(/-|-T)j|x„eo = 0,
циальиых уравнений вида^ ап^(п)(0*=ф(0 рассматриваются в ки.: Михай-
п
лов Ф. А., Теряев Е. Д., Бу леков В. П. и др. Динамика непрерывных линейных
систем с детерминированными и случайными параметрами,—М.: Наука, 1971.
38
получим
/'(Ст*|е-^/(^4-т)|Г-0+р J e-^/(/4-T)dr=
о
— pF(p\ —
Следовательно, f'(t)=-pF (р) — /(0).
Использование ЛПЛ позволяет формально определять установив-
шиеся составляющие решений уравнений состояния (1.1), (1.2).
Пусть дифференциальное уравнение
х=х(О)=хо (1.3)
представляет собой обобщенную запись уравнений (1.1), (1.2).
Тогда решение этого уравнения можно представить в виде
х=х'4-х", х"=еа<(х0 —хо), Хо=х'(О),
где х"— преходящая составляющая, хг— установившаяся состав-
ляющая. При этом х', по определению, удовлетворяет уравнению
x'=ax'-|-f и не содержит слагаемых вида eaib, где 6#=0. Следова-
тельно, изображение Х'(р, t) этой составляющей удовлетворяет
уравнению
рХ’(р; t) — x'(t)=aX'(p-, t)-\-F(p\ t)
eatb т-r g.
и не содержит членов вида --. Преобразовав последнее урав-
р —* л
пение, найдем
(р — а)Х’(р; t)=x' (t) + F (р; t).
Ограничимся рассмотрением случая, когда изображений F(p; t)
существует (не имеет полюса) в точке р = а. В дальнейшем такой
случай будем называть безрезонансным в отличие от реЩэнансного,
когда изображение F(p; t) имеет в точке р~а полюс/В безрезо-
нансном случае при р=а правая часть последнего уравнения заве-
домо существует, следовательно, существует и левая? При этом так
как X'(p;t)3=------, то (р—а)Х'(р, t)=0 прур=д. Следова-
(Р —а) /
тельно, и правая часть рассматриваемого уравнения обращается в
нуль при р — а. Таким образом, установившаяся составляющая ре-
шения уравнения (1.3) может быть представлена как
х'=— F (a; t).
(1.4)
В соответствии с полученным результатом полное решение урав-
нения (1.3) можно представить в виде
39
x (t)=x' (Z)-j-x" (t)=x' (O-j-ea< (x0 — xq) =
==—F(a; Z)4-eaZ[x04-/:'(a)]*.
Применим полученные выражения для построения аналитиче^
скнх решений уравнений состояния (1.1), (1.2). Для этого поло-
жим x=iL, и‘> а~ —RIL и х—ис; f=ulRC\ а——\/(RC).
Здесь и далее все параметры уравнений состояния рассматривают-
ся как безразмерные величины (см. § 1.1). В результате получаем
• •' । •’ •’ 1 t т / R Л
tL = lL-VlL, II— —U ( —’ J’
d=e L lz0i4-—^ (—7?/Z)|; (1.5)
fc-uc+uc, «,,= —ф
eJ=e“5S'[«0C+-lrt/(—Д.П, (1.6)
где U(p, f), U(p) —изображения функции «(/).
Пример 1.2. Рассмотрим решение уравнений состояния (1.1), (1.2) простей-
ших RL- и /?С-цепей с постоянными воздействующими напряжениями u(t) — Uq.
Прежде всего определим для подобной функции изображения ЛПЛ U(p-, t) —
= U(p) — Ua/p. При p = a=—R/L и p=a=—1/(7?C), согласно (1.5), (1.6), по-
лучим
• ~Г 1 г ’ х ~Т ‘ I ио\
Vol-Iol) = е
. . . z 1 I uo \ „
uc — uc+uc, uc = — I j I — Uo,
~~RC '
4=e RC f(“0c-“oc) = e RC\uaC-U^-
Таким образолк определение решений уравнений состояния со-
стоит из двух этапов. На первом этапе находят изображения U (р1,
О ЛПЛ для воздействующих функций и(0> на втором, согласно
формулам (1.5), (1.6), в этих изображениях параметр р заменяют
на — R/L и— 1/(RC).
* Обратим внимание на то, что при использовании ЛПЛ отпадает необхо-
димость нахождения оригинала по его изображению.
40
1.3. Решение уравнений состояния простейших
>лектрических цепей при синусоидальном, экспоненциальном
|| линейном изменениях во времени воздействующих напряжений
Рассмотрим особенности применения выражений (1.5), (1.6),
представляющих собой решения уравнений состояния (1.1), (1.2)
RL- и /?С-цепей (см. рис. 1.2, а, б) для основных видов функций
воздействующих напряжений.
Пример 1.3. Пусть воздействующие напряжения изменяются по синусо-
идальному закону u(t) = Um sin(co/4-ip). Согласно (1.5), (1.6), в общем случае
оставляющие решений уравнений состояния (1.1), (1.2) могут быть представле-
ны как
i \ ! R \ ~~ t
= ф гд=е L *ol=z2(0);
Uc = ~~RCU \~RC' )’ uc = e (“oc-“oc).
a'oc^ac(°)'
где U(p-, t) — изображение ЛПЛ функции u(f).
Пользуясь табл. 1.1, найдем изображение ЛПЛ для дайной синусоидальной
функции:
... rr Р sin (<о/ + Ф) + “ COS (со/ + ф)
и ---------------------^7^-------------•
После подстановки в это выражение значений р=—R/L и р=—l/(RC) по-
лучим
, 1 (—RiL) sin (со/ 4- ф) со cos (со/ + ф)
L = ~ L Um (—RlW т “2
sin (со/ ф) 4- со cos (со/ 4- ф)
* * , г \ /
“с~ RC Um ( \ \2
I —--I 4- со2
\ RC )
Проведя некоторые преобразования, эти выражения можно представить в ком-
пактном виде:
/2 = /Лтз1п(со/4-ф-?л); arctg ;
ИС = Ucm Sin + Ф “ 'Рс “ "Г) 1 UCm = Г ~ ~ ’’
' ' 1 / / 1 \2
41
Так как l’L (0) = I Lm sin (ф - <p£), u'c (0) = UQm sin (ф - <pc - л/2), то nрехо-
дящие составляющие решений рассматриваемых уравнений могут быть записаны
в виде
1
L IZ0£-Z£mSin W “ТРИ
“с = е RC ^с~ис^-ч~^
При этом полные решения уравнений состояния определяются как
/£=zL+zl- «с = «с + “с-
Разделение решений уравнений состояния на две составляю-
щие— преходящую и установившуюся — применимо и в тех слу-
чаях, когда функция воздействующего напряжения непериодиче-
ская. При этом непериодической оказывается и установившаяся
составляющая решений. Поэтому можно обобщить понятие устано-
вившегося режима на подобные случаи.
Пример 1.4. Пусть воздействующее иапряжевие изменяется по экспоненци-
альному закону «(t)=Uoeat. Пользуясь табл. 1.1, найдем изображение ЛПЛ
этой функции:
p — a
R 1
Если для Я£-цепи —а, а для RC-цепи 1 = —а,решения
L RC
уравнений состояния (1.1), (1.2) с данным воздействием можно представить в
виде сумм установившихся и свободных составляющих согласно выражениям
(1.5), (1.6). При этом для нахождения установившихся составляющих необхо-
димо вместо параметра р подставить в U(p, t) значения —R/L и —l/(i?C):
1 t/Oett< = t/oett< .
L [ R \ R + aL ’
а
ис
и (- — ♦
RC \ RC
1
RC
Uoe‘
I 4* <х/?С
а
Следовательно, свободные составляющие определятся как
__R 4 __4 4 ГТ
lL = 6 L (/O£"'iot)se L (zot“ R + ai.
Для полных решений
°C 1+aRC }’
L L L R+aL \ °L R+aL
42
,. w , -4-</ ut \
“с-“с+“с-гт^-+'s (’ос-гпйс)-
Установившиеся составляющие представляют собой экспоненциальные функции
> теми же показателями экспонент а, что и у воздействующей экспоненциальной
функции.
Таким образом, установившийся режим в примере 1.4 описыва-
ется непериодическими функциями. Однако при его описании не ис-
— - t —1- t
пользованы функции вида е £ b и е Rc b, характеризующие пе-
реходные процессы в рассматриваемых RL- и PC-цепях. Отметим,
что при а<0 установившиеся составляющие представляют собой
убывающие функции. Причем если а<—— —RIL для PL-цепи
и а <^ —-тс1 == — 1/(/?С) для PC-цепи, то установившиеся составля-
ющие убывают быстрее соответствующих свободных составляющих.
В этом случае установившиеся составляющие уже нельзя отожде-
ствлять с их асимптотическими составляющими. Особый интерес
представляет рассмотрение предельного случая, когда а=—P/L
для PL-цепи и а = — 1/(РС) для PC-цепи. При этом использовать
формулы (1.5), (1.6) для нахождения решений уравнений состоя-
пия нельзя, так как изображение ЛПЛ U (р; —2— функции
р 4- о
u(t) — lReal уже не существует в точках р=—R/L и р= —1/(РС)
(резонансный случай). Построение установившихся составляющих
и резонансных случаях будет подробно проанализировано в конце
данной главы. Здесь рассмотрим особенности установившихся со-
ставляющих i'l, и'с, выделив их из решений в виде сумм свободных
'Фев, «сев и принужденных t'z пр, ис пр составляющих:
Р . i Р .. . Р
~V( . 1 С “7 х
Q=* z св ~H’z пр*‘oz4“~je ^ое
о
R . ГТ _Rt
=е L L ’
1 л t 1 „ „ 1
pr * I 1 PC _ PC * «
йс==йссв + йсир==е «ос+-Б7Г e t/oe RC dt =
AG J
0
Оказываемся, что установившиеся составляющие i'L, и'с (не со-
—- t , .4 t
держащие, по\определению, членов вида е L b, е RC b, Ь#=0) сов-
43
падают с принужденными
. -у t , (Г 'f
iL = tLvr=-~te L ; «с=яСпР=-^/е лс ,
L» г\С»
а свободные —с преходящими h—i^ —е L «с=Иссв=й
= е RC‘ составляющими.
Можно заметить, что в резонансном случае [а= — R/L, а=«(
= —1/(7?С)] установившиеся составляющие i'L, и'с описываются
уже не экспоненциальной функцией, как это имело место в безр©
зонансном случае при [а#= — R/L; а#= —1/(7?С)]. ’
Пример 1.5. Пусть воздействующее напряжение изменяется по линейному
закону u(t)=at. Согласно табл. 1.1, изображение ЛПЛ такой функции имей
вид
at а
U(P-, 0= — + —.
Р Р2
Вместо параметра р подставим в это выражение соответствующие значения
p=—R/L и p=—l/(RC). В результате получим
Следовательно, преходящие составляющие решений имеют вид
/? 7?
г1 =е L ‘ (l0L - z0i) =е 4 ‘ «0L + ^/Я2);
“с = е RC ‘(и0с~и'ос) =е RC Z(“oc+ aRC>-
Для полных решений
, . Rt-L al'X
= = ----+ е (*ол+-£ф
uc — uc + uc = a(t — RC) + е RC («оС + aRC).
В этом случае установившийся режим также будет непериодическим. Одна-
“Г ‘
ко при его описании не используются функции с экспонентами цйда е b и
е к Ь, характеризующими переходные процессы. Для иллюстрации иа рис. 1.5
а, б представлены графики полученных решений и их составлякДцих.
44
§ 1.4. Нахождение изображений ЛПЛ для периодических
кусочно-полиномиальных, кусочно-синусоидальных
и импульсно-модулированных функций
Основные трудности использования выражений (1.5), (1.6) для
построения решений уравнений состояния (1.1), (1.2) простейших
RL- и /?С-цепей связаны с нахождением изображений ЛПЛ для
воздействующих функций u(t). Отметим, что ЛПЛ мож-
но рассматривать как обычные преобразования Лапласа функции
u(t+t) по переменной т. В практических задачах функции u(t) мо-
гут иметь произвольный вид, не отраженный в таблицах преобра-
зований Лапласа. Определение изображений U(p, /) подобных
функций путем использования интеграла Лапласа оказывается,
как правило, трудоемким. В этом случае целесообразно выделить
определенные классы функций, которые наиболее часто привлека-
ют для описания воздействующих напряжений «(/), и разработать
для них оптимальные пути построения изображений ЛПЛ. К по-
добным классам функций в первую очередь следует отнести:
а) периодические кусочно-полиномиальные функции (рис. 1.6)
_____________________________________
и = t £=[/;_!, />]; /=1, г; 7V <оо,составленные
й“о
из отрезков полиномов;
45
б) кусочно-синусоидальные функции (рис. 1.7) «(<) =«/(<) =
=Д/sin (и^+ф/); ij]; j=l, г, составленные из отрезков
синусоид;
в) функции с импульсной модуляцией (импульсно-модулиро-
ванные функции) «(/)==«(/')== /(/') 5 (/' — /Д tk s [О, Г], k =
ы
= 1, А^<оо, где t'=t—ТЕ соответствует времени первого
периода функции «(/), т. е. /'е[0; Т]; /(/)=/(/') —некоторая не-
прерывная периодическая функция периода Т.
Используя линейные комбинации подобных функций, можно
точно аппроксимировать практически любую периодическую функ-
цию воздействующего напряжения u(t).
Целью данного параграфа является изложение простого подхо-
да к построению изображений ЛПЛ функций выделенных классов.
Изображение U (р, t) ЛПЛ периодических функций может быть
представлено как
Г е (t + т) d-c
U(P’ ’
где Т — период функций «(/).
Действительно, так как u(t) =u(t + nT), п = 1, 2.то
“ СО (Л + 1) Т
U (р\ t}~ fe-PTK(/4-T)dT==2 f e-PTw(^4-T)^r=
6 п«0 nT
°° (rt+l) т
J е~Р(х-лГ) —n7')dr=*
nT
46
во т т
= V* е-яРг f е-Рт и(t4-т)dr=-—1-=^т Jе-₽т и(t-J-т)dr.
а?!о о О
Ценность подобного свойства обусловлена тем, что изображение
ЛПЛ выражено через собственный интеграл (т. е. интеграл с конеч-
ным пределом, равным периоду функции).
Если рассматриваемые функции являются, кроме того, антипе-
риодическими, т. е. удовлетворяют соотношению u(t) =—u(t+T/2),
то их изображения могут быть представлены также в виде
T/2
j е—рх u(t 4- т) бт
U (р; 0=------------г— •
1 + е Р *
Следует заметить, что изображения U (р, t) периодических (ан-
типериодических) функций также являются периодическими (анти-
периодическими) функциями аргумента t.
Интегралы в правых частях выведенных соотношений представ-
ляют собой целые функции (т. е. аналитические функции без осо-
бых точек в конечной плоскости реС1). Следовательно, соответ-
ствующие изображения U(p, t) не имеют особенностей для конеч-
ных р, за исключением, быть может, простых полюсов на мнимой
оси. Отсюда следует, что установившиеся составляющие решений
уравнений (1.1), (1.2) существуют для любых периодических (ан-
типериодических) воздействующих функций u(t), имеющих изо-
бражения Лапласа (предполагается, что R, L, С=#0). При этом
установившиеся составляющие также будут периодическими (ан-
типериодическими) функциями.
Изображения выделенных классов функций могут быть по-
строены по простым формулам, полученным на основе отмеченных
свойств изображений периодических (антипериодических) функ-
ций. Формулы для этих изображений представлены в табл. 1.2,
1.3 для ограниченных интервалов /е[0, Т) и /е[0, Т/2), поскольку
изображения, как и их оригиналы, также являются периодически-
ми или антипериодическими функциями. Вывод этих формул тре-
бует Громоздких преобразований, поэтому для примера приведем
построение изображения только одной из функций — периодиче-
ской кГсочно-полиномиальной. Изображение ЛПЛ этой функции
можно представить в виде
т
U 0=(1 — &-РТ1 j е-^т и (/f-f-r) dr=(l — е-^Г1 X
Г j+r-l
х| e-PxWy(^4-r)dt4- w/(^4-r)dr+
L i-j ti-t
47
<х>
Таблица 1.2
Функции u(f) Изображения U(p, f)
Кусочно-полииомиальные ау(0 = ^ ад<*; u(t) = uj(t), (е[<н> t}], J = ~r Xe^O)
Кусочио-синусоидальиые иj (t) = A} sin(<oi +fy); и(0 = «у(0. % J=~r £ .^рг +<—>-.£ у,-»x *=o l-j k=0 1 P(f-fz)
Импульсно-модулироваиные “(0=2 /(Оф'-О). f = t~TE(tlT), »=1 f E [0, T] 5 f (**)eP (""M К1 - е-ф-1 - 1 (f - 0)] « = 1
Примечание: 6(f) -^импульсная функция; £(.) — функция
ная функция (функция Хевисайда): 1(t'—tk) — / *’ еСЛИ
( 0, если f'<fft.
антье, т. е. наибольшая целая часть зиачення (•); 1 (f—tk) — едииич-
Функции и (f) Изображения U (р, f)
Кусочно-полииомиальиые “у (0 = 2 “(0 = “;(0. ьо [0-1. 01. /=1’ 02 2 +< —>-"s12 х iTo 1=7 *-0 Р У z\ С
Кусочио-синусоидальиые Uj(t) = Aj sin(w/-t-^;); u(0 = u/(0. [0-1, 01- /=1.02 1 1 ъ tfe\ 1 “ 1 i~i »=o “i+i (0) “zft) (0) p (t—tj) x L “z+i+p1 ^i+p2.e
Импульсио-модулированные “(0 = 2 /(^)M^-o), »=i t’ = t - ТЕ (i/T); t’eE[O,T) 2* f [(1 + e-'r/2j-i 4)] »-i
Примечание: 8(f) — импульсная функция; £(•) — функция (функция Хевисайда); иэ функция антье, т. e. наибольшая часть значения (•); 1 (f'—f^) — единичная ( I, если £>6,; 1 (£-<*)- [ 0, если t’<th.
т
f e-“^zzy+r(/4-T)dt , /е
Для полинома u(t) конечной степени N несложно показать, чта|
b N N
-- UW(t+a) й V “(к)У+Ь')
Тогда изображение рассматриваемой функции можно представить
в виде
е~Ра
U{p\ /)=(1—е~
V - е-pr V и(к)
Я
l=j Л-0
Используя условие периодичности функции w<ft) (/)===«(&) (Л-Т), по-
следнее выражение можно преобразовать к виду, приведенному в
табл. 1.2.
Пользоваться формулами табл. 1.2, 1.3 сравнительно просто,
поскольку все операции при этом практически сводятся к вычисле-
нию значений функций u(t) вместе с некоторыми их производными
только в точках // нарушения непрерывности.
§ 1.5. Определение установившихся составляющих решений
уравнений состояния простейших электрических цепей
с периодическими кусочно-полиномиальными,
кусочно-синусоидальными и импульсно-модулированными
воздействующими напряжениями
Как было отмечено в § 1.4, периодические кусочно-полиноми-
альные, кусочно-синусоидальные и импульсно-модулированные
ц функции наиболее часто используют
для описания воздействующих на-
Um~u ц Л.ц пряжений u(t) в практических зада-
'/ \ / \ чах. В данном параграфе рассматри-
/ \ / \ ваются примеры использования фор-
/ \ \ , мул табл. 1.2, 1.3 для построения
V---)=-У—установившихся составляющих ре-
2 ~г шений уравнений состояния (1.1),
(1.2) простейших электрических це-
Рис. 1.8 пей с воздействующими напряжени-
ями отмеченных классов.
Пример 1.6. Пусть воздействующее напряжение в 7?£-цепи (см. рнс. 1.2, а)
изменяется по пилообразному закону (рис. 1.8) с периодом 7"=2. Подобная
функция относится к классу периодических кусочно-полииомиальных и может
быть иа отрезках непрерывности описана выражениями вида
50
ai Ю = 2 aJ^k< N = 1 > где
4-0
«1(0 = ^, t <= [О, Г/2], tf=l, аш«0, au = Um\
и2 (0 = 2Um -Unt, t<=[TI2, Т), W = !, а20 = 2Um, а21 = -£Zm;
u3(t) = -2Um + Umt, (<=[Т, ЗГ/2), ^=l; a3o = ~2iZm, a31 = tfm;
t<=[3T/2, 2T), ^=l, aw = 4Um, ап = -1Гтит. a.
Для данной функции при Г=2 имеется два интервала непрерывности (/=•
-2). Степень полинома W=l.
Таким образом, соответствующая формула изображения ЛПЛ по табл. 1.2
,г________V
/+1 +
r+j-\ N
+ (1-е-^)-! V У
ft-o
“/*’1 (^i) — “/ft) (^) p(t~t,y
------------------— e i
иля рассматриваемой функции
miyx выражений:
4-0
«(О
р*+1
может быть записана в виде следующих
£ +
2
e~PT'
о
a/+i
р*+'
4*’(0
^+1
4- U — e ) 1 bxi e
р**1
Для использования этих выражений требуется определить значения функ-
ции u(t) и ее первой производной и(1)(/) в точках Ц = Т/2, 1г=Т, 6=3772.
II силу непрерывности функции и (/),
“I (6) — и2 (Л) = Um, «2 (^2) = “3 (^2) = 0 > аз(^з) =«4(^з) = Um.
Для производной функции u(t)
(^1) = (<з) = ит, (t2) = 41’ (^4) = -ит.
Следовательно,
“1° (il) = “V’ ^2) = “3° (h) —Um',
4° ^1)=4° ^2) = 4l) (z3)=—um-
Используя эти значения, согласно приведенным выражениям, находим
(р, = + +(1-е-П>)-1 х
Р Р2,
v Г/Um~~Um —~Um\ p(t-T/2) , (° ~ P , + Um\ p
XL\ p p2 j k p + p2 )
Р2
51
‘2Um 2) ,2^2 ep(t-T)
P2~ P2
+ £2. 4. (j _ e~^)-i e'
P P2 ’ L P2
U(p,t)= 2U* Umt + + (1 - e-^)-i X
P P2
rp-o Um + Um\ nlt_T} IUm-um -um-um x p(/4T) _
LU p2 r \ p p2 г
_ ~ Urnt — J. и — е-Гр1-1 ep(*-:r) — ep
P P2 ' L P2 P2
непрерывности функции u(t) ее значения в точках,
можно было бы не вычислять, так как в формуле
Отметим, что в силу
3
t = Г/2, / = Т, t3 = — T
используются лишь разности значений функции в этих точках. В данном случай
эти разности были равны нулю.
d/д
Для установившейся составляющей решения уравнений состояния =»J
at
р । 1 / /? X
— — — + — и, согласно (1.5), 1Г ~ —— Щ —— ; /1 .
L L L *'1. L \ L J
Таким образом, в полученные выражения для изображений ЛПЛ требуете»
вместо р подставить значения —R/L. Окончательно получаем следующее выра]
жеиие для функции установившейся составляющей Гь на первом ее периоде: I
A \z \ /
L
R_
L
Пример 1.7. Пусть воздействующее напряжение в /?Д-цепи
, I е [О, Г/2)!
, /е= [Г/2; Т).
(рис. 1.2, а) из-
меняется по закону u(t)=U0(—1) 'г/2-' (рис. 1.9). Подобная функция может
быть рассмотрена как аитипериодическая кусочио-полиномнальиая вида uj(O =
а В этом случае
«-о
В1(О = (Г0. 1 е (°- г/2). ^=0, а10={/0;
u2(f) = -U0. <е[Г/2, Г], ^ = 0, а20 = -^0ит. д.
52
Рис. 1.9
t, ti Rj t^T *
Рис. 1.10
Для данной функции в полупериоде /е[0, Т/2] имеется только один интер-
вал непрерывности (г=1). Степень полинома N=0.
Таким образом, соответствующая формула изображения ЛПЛ, согласно
1абл. 1.3,
О-У
*=0
(О
/+1
“/+1 — “/ft) (^z) p(t—
bj_i e
i E [0-1 > 01
для рассматриваемой функции u(l) примет вид
+ (, + Н)" ерС-<.>, te(0. г/21.
р \ / р
Для ее использования находим значения функции в точке Л = Т/2: щ{Т/2) = U0,
4i{T/2}=—Uo. Соответственно для изображения ЛПЛ
U(p; /)==—0- + (1 +e-Pr/2)-i
Р
(, \ Uo (,
~ р k 1+е-^2/“ р к
— ^0 — ^0 epZZ-T/2> =
Р
2sP‘ \
^[0, Г/2].
Дли определения установившейся составляющей решения уравнения со-
стояния рассматриваемой цепи, согласно формуле (1.5), требуется вместо опера-
юра р подставить в полученные изображении ЛПЛ значения —R/L. Следова-
тельно, в первом полупериоде установившаяся составляющая может быть
описана выражением
_5 £
1 4- е ~L 2
, /е [0, Т/2].
53
Определив составляющую тока /£в первом полупериоде, для второго полу-
периода с учетом равенства i'L (t) = —l'L (I Л-Т ft) можно получить
2е Д ( 2 )
_R Т
1 . О Д 2
/2(0=-^
М ’ R
, /е [Г/2, Г].
Пример L8. Пусть воздействующее напряжение в RC-цепи (см. рис. 1.2,6)
описывается функцией
«(0 =
о, t<= [О, о]. 01;
2n/2U0,ts(fi, /2);
. -2n/2U0,fs(h,i3),
график которой изображен иа рис. 1.10. Подобная функция —одна из так назы-
ваемых функций Хаара, где п — целое число. Функция u(t) (рис. 1.10) относится
к классу периодических кусочио-полииомиальиых функций и описывается в ин-
тервале первого периода выражениями
(t) = 0, I е [0, <j];
«2 (0 = 2"/2г7о, *е(0. hY,
u3(t)= —2n/2Uо, t e= (f2, t3)\
«4(0 = 0, te[f3, f4].
Степень полинома для этих выражений У=0. Число интервалов непрерывности
г—4. Формула изображения ЛПЛ, согласно табл. 1.2,
л-о
zz^> (0
?A+1
+ (1-е-РгГ1
(0) (0) p(z-z,)
N
с учетом равенств
“1 (О = “4 (О = «5 (О = «8 (О = 0;
«2(О = «в (0 = 2л/2(/0, «з (0 = «7(0 = -2п/2г/0;
и*1) (0 = (о « 41) (0 = «4° (0 = «V’ (0 = «^ (0 = «(71) (0 = о
для отдельных интервалов непрерывности примет вид
4
«z+i (0) — «/(0) _
U\{p, 0 = (1 -е
Р
^~pti “ 2е“^* + е""’), t е [0, ^];
Р v 1 — с )
54
lr,(p, _.-,тг, V _
_ J^L+ -."gj* . [e-P(../n + е-^-ге-р..], /e[(„ Mi
„ц(р, 0__-gpL+ V _
- ---S—— + y2CrJe~P(<1+r) + e-^’ - W*‘‘+T^, t e [t2, <зТ,
p p(l —e pl)
UM. 0-£/<,(.-.--V У “‘f .>«-,> _
1ST p
U02n/2eP‘
p(i-e~PT)
[e-p(G+n + e-p(G+r> _ 2Qp(‘>+t>],
te. [/3, <4J.
Для определения установившейся составляющей решения уравнения состоя-
нии (1.2), согласно формуле (1.6), требуется вместо оператора р подставить в
нилученные изображения ЛПЛ значения —\/{RC). Таким образом, установив-
шимся составляющая и'с может быть описана в первом периоде выражением
1 «с ‘ |е ( ^)G-2e"^ + е
Up
RC
t е Кг. ^з1:
55
1 Uftnl2S RC^ ‘
ЛСН)[-^)Г]Х
x [е-(-Й0 ,,'+r’ + .-(-^),W> _ 2.-(-Й)1'*Г,1 _
w.Pe-^'[e^l''m + o^1''+r,-2o^‘'’W] , „
__ - * *е[‘з, ‘4:
1-е^Г
Пример 1.9. Пусть воздействующее напряжение в /?С-цепи (см. рис. 1.2, б)
1.11. Подобная функция относится к класс)
периодических кусочно-синусоидальных 1
может быть на отрезках непрерывности опи-
сана выражениями вида
и. (/) = U. sin (Mjt + фр. При этом
«1 (/) = Um sin со/, со/g [О, Л); Ц\ — ит^
coj = 1, ф1 = 0;
а2(/) = 0, со/е[л, 2л]; (7г = 0 »
со2 = 0, фг = о;
U^ = Um, <о3 = 1, ф3 = 0;
описывается функцией согласно рис.
и
О Л/2 7Г 2тг Зтг/2 Зтг cot
Рис. 1.11
«з (О = Um sin at, at е [2л, Зл ];
«4(0 = 0, со/ е [Зл, 4л]; (74 = О, со4 = 0, ф4 = 0 и т. д.
Для данной функции при Т=2л/а имеется два интервала непрерывности
(г=2). Таким образом, выражение (см. табл. 1.2) для изображений ЛПЛ период
дических кусочно-синусоидальных функций
гг , п <1 (О
й~Рт)-х
о
£ X
k-0
X
«/+1 (О)
_____________ «Р} (0) '
С0| + 1 + р2_со2 4- р2
может быть записано в виде
p«t(O + «^’(O
U\{p, t) =-------Y—--------
со‘ + р2
«1 (0)
„2 . „
X Р
«2(0)
со| + р2
«3 (О)___________
со2 + р2 ш2
«2 (О)
,2
Г «Р}(0)
+ _ со2 + р2
«ГЧо)
+ _ шз + Р2
t е [О-, л];
е~'рг) -1 X
«11’ (0) 1)
1 |ерП-'.) +
“1 + р2
«21}(О) '
“! + р2
eP«-G)
56
р«2(0 4-41)(0
и2 (р, t) = ----2~-------
4- (1 - е—рГ)~1 X
X
U2 (^2>
<4 + Р2
“з + Р2
<$ + p2 I
ер('-М _|_
+ \Р
Uj (*з) “з ((з)
ы4 + Р2 “з + Р2
~ “Р’^з) «РЧ^з)
“4 + Р2 ы3 + Р2
QP.V-h)
t е [л, 2 л).
Для использования этих выражений необходимо иайти значение функции
»(/) и ее первой производной uw(t) в точках ш6=л, ш/а=2л, ш/з=3л. Вслед-
। шие непрерывности функции u(t)
ч\ (Л) = «2 (Л) = «2 (z2) = «з (h) = и3 (t3) = и4 (t3) = 0.
Иля производной функции u(t)
ир> (t) = итт cos , up)(/) = 0, u^1) (/) = Umu> cos ut, uP)(£) = 0.
1 ледовательио,
«i1’ tfi) = Um cos л = —Un, up) (Л) = 41) = 0,
“P)(^2) = t/mcos2^ = Z7m, up’ (t3) = Umcos3it = —Um, up)(i!3)=0.
Подставив эти значения в полученные ранее формулы для изображения С/(р; £),
ни идем
п, м PUm sin 1 + ^ты cos/
u^p< z) =-------^77----------
-'•J '{HTs
о \ г о
“2 + P2 / Lo 4- P2
b>2 p2 JJ
/ о
p
Um 0 \1 _J
-------------—--------------- e
Gj2 -|- p2 o 4- p2> /]
0___
ш2 4. p2 о 4- P2
_2iip'i
Ш
Um <
-------------e
w2 _|_ p2
Um ,
-----------e
Io2 _|_ p2
p sin / 4- и cos t
m ы2 4- p2.
Um
w2 -|- p2
^2{Р10 = ^о±о
2^’ ' 0+p2
e ' '
p sin t 4- и cos t 4-----------
I — e~~
__2itp\—1 1
, <ot E [0, л);
£
«2 4- p2 0 4- p2j
0
57
• о
,О + р2
(—Ул) 71
й)2 p2j J
0)2 р2
ит .
----е
ит ит 2“)
*' ш2 р2 6 й>2 + р2
1-е °*
<>/ е [я, 2я).
Для установившейся составляющей решения уравнения состояния
d“c 1 1 , 1 / 1 \
1 — яс “=+яс “ сог““° (1-6>' “с—ясуНё;') •
Рис. 1.12
В полученные выражения для изо
ражений ЛПЛ следует вместо onepai
ра р подставить значение — 1/(/?С
Окончательно получаем следующее И
ражение для составляющей «с':
“с =
sin <>/ + COS <>/ ч-----------i---
1 - е~“ (~лс)
<at s [о, я);
ш/ е [л, 2я).
Пример 1.10. Пусть воздействующее напряжение в RL-цепи (см. рис. 1.2, а)
соответствует функции, изменяющейся по закону согласно рис. 1.12, а. Данная
функция относится к классу периодических кусочно-синусоидальных функций я
описывается в первом периоде выражением «1(0"Упsin(co/-hn/3), /е[0, Г],
58
I л/(3со). При этом г=1, Т=л/(3со), «1(1) (/) =col/m cos (со/+ л/3). Формула
и поражений кусочно-синусоидальных функций по табл. 1.2
X
+ р2
/ I / 1 \
г учетом значений at (/t) = «2(Л) = —— &т, «1 4^1) = ~Um> »$'(Л)
(О
- t\ — T (рис. 1.12 а, б) примет вид
.. Рит sin (at -г rt/3) + v>Um cos («>/ + л/3)
Ui (p; t) .=--------------------------------------------------
0)2 р2
еР«-Л)+
й>2 4. p2
<i)
p sin (и/ + jt/3) + ш cos (<o/ + rt/3) + —------------------—
1 — e p
Установившаяся составляющая с'ь уравнения (1.1), согласно (1.5), имеет
пнд
Пример 1.11. Пусть воздействующее напряжение в /?С-цепи (см. рис. 1.2,6)
н (меняется по закону (рис. 1.13)
и {t) = Uo [5 (/') - 8 (/' - 1)], V = t - 25 (//2),
। де 5(//2) — целая часть аргумента //2.
59
Функция u(t) может рассматриваться как антипериодическая импульсно-модули-
рованная функция вида ц (/) = 2 f 8 (^— **)• В этом случае f (t') = U0, Ц =
й=1
= 0. Для данной функции в первом полупериоде Т/2 имеется только один интер-
вал непрерывности.
Формула изображения ЛПЛ по табл. 1.3 U(p, 0 = 2 X
й=>1
-р-
X [(1 + е 2)~1 — !(/' — ^)] для рассматриваемой функции примет вид
_ т
U(p, O = /(Oe^-G’[(l +е ^[0, Т/2).
Для использования этой формулы найдем значения f(f)=U0 и 1 (t—Л) = 1 рЛ
/^0. Следовательно, изображение ЛПЛ рассматриваемой функции в первом й
лупериоде
_ т
U(р, t) = Uoepi [(1 + e“P2')-i - 1] = - -р772 1 > [0. Т/2).
1 -f- с
Для использования этой формулы найдем значения и l(t — Л) = 1 дД|
рассматриваемой цепи, согласно (1.6), необходимо в полученное выражение по|
ставить вместо р значение —1/(RC). Таким образом, для первого полупериод!
составляющая
V0e 2>
l+e_(~2^c")j /?C(l+e^j
Z<= [0, Т/2],
для второго полупериода антипериодической функции и'с (t) = —ис (t + Т/2)
ис = ------у, t е [г/2, Г].
ЯС(1 +е2*с )
Приведенные примеры иллюстрируют методику решения и по-
казывают, что даже для простейших электрических цепей анали-
тические выражения для установившихся составляющих тока и
напряжения при сложных формах кривой воздействующего на
цепь напряжения громоздки. Тем не менее эти выражения можно
получать достаточно просто, используя табличные функции и прос-
тые алгебраические преобразования, которые требуют внимания и
аккуратности, но не являются сложными для понимания.
Важно то обстоятельство, что весь процесс отыскания решения
формализован. Это упрощает использование вычислительной
техники и составление программ.
60
§ 1.6. Особенности решений уравнений состояния простейших
/лектрических цепей на основе ЛПЛ
при скачкообразных изменениях воздействующих напряжений
В § 1.5 были получены установившиеся составляющие реше-
ний таких уравнений состояния, в которых либо сами функции воз-
действующих напряжений, либо их производные меняются скачко-
образно, т. е. имеют разрывы. Функции u(t) такого типа часто
встречаются в практических задачах. Решения уравнений состояния
электрических цепей с подобными функциями воздействий имеют
некоторые особенности, которые и рассматриваются в настоящем
параграфе.
Как видно из табл. 1.2, 1.3, каждая точка t, разрыва непрерыв-
ных функций «(/), обусловливает появление в изображении
l '(p, t) ЛПЛ экспоненциального члена вида ер(/_/Д Приэтом вуста-
1 R л 1
повившихся составляющих il=------— и — — ; г|, Ис =—— X
4. \ 4. / /\G
<U (----— , решений уравнений состояния (1.1), (1.2) появ-
\ RC 1
ляются экспоненциальные члены с теми же показателями экспо-
нент— R/L, —1/(RC), что и у экспонент свободных составляющих.
< >днако в отличие от экспонент свободных составляющих эти экспо-
ненты определены уже не на всем интервале /^0, а только на его
части. Поэтому изображения слагаемых установившихся составля-
ющих с такими экспонентами в отличие от изображений свободных
^вставляющих существуют в точках р =—R/L, р =—\/(RC).
То обстоятельство, что в установившихся составляющих реше-
ний уравнений состояний появляются экспоненты, имеющие те же
показатели, что и экспоненты свободных составляющих, обусловли-
вает необходимость более подробного рассмотрения связи между
/шумя формами представления решений (см. § 1.1) и оценки воз-
можности использования различных подходов к определению уста-
новившихся составляющих решений. Решения уравнений состояния
(1.1), (1.2) могут быть записаны в виде сумм свободных и принуж-
денных составляющих:
^£=*£св + *£пр = е L *0£~Hinp‘>
-----------------— t
RC K0c + Wcnp
пли в виде сумм преходящих и установившихся составляющих:
^£==^£4*^ = е L 0о£“^)4'^'
«с=«с4-ис=е RC («ос —»ос)+«с.
61
При этом
_Rt , f ____1_<
/дпр=4—е £ /од, испр=ис —е RC ийС,
что позволяет найти принужденные составляющие решений сраз)!
же, после того как определены соответствующие установившиеся
составляющие. В то же время по известным принужденным состав-
ляющим imp, «с пр получить установившиеся составляющие реше-
ний II, Ис'оказывается не просто, особенно при скачкообразном из-
менении воздействующих функций состояния, поскольку
любые составляющие решений содержат экспоненты вида
е~^'.
Пример 1.12. Рассмотрим уравнение состояния —£ —
dt RC
при этом
еЛ
«с(О)=иос /?С-цепи, воздействующее напряжение которой изменяется по пило-
образному закону (рнс. 1.14). Определим установившуюся составляющую реше-
ния, согласно ранее рассмотренной методике, с помощью ЛПЛ. Для этого сле-
дует (см. § 1.5):
1) пользуясь формулой
в!+1 М)— (^) р(/—/,)
е ‘
—'l ^t-ту =
Р2 /
ЛА РЬ*1
l-j й = 0
по табл. 1.2 найти изображение ЛПЛ данной периодической кусочно-полиноми-
альной функции u(f). В данном случае N= 1, г=1, Л = Г, «i(/i)=l/m. Вг(<1)=0,
«Р (fi) = (f i) = Um. Следовательно, Um = a
Umt Um
Ui{p-, + -^--H(l-e-^)-i(-^^
P P2 \ P
Tp + Tp2 (1 -e-PT) p ’ [ > )>
2) по формуле (1.6) определить установившуюся составляющую решения
для первого периода:
, 1
с----RC
Ut
Um
Т
_ 1 t
и mi _UmRC Ume
•р т "** __1_
, /е[0, Г).
1-е
62
Для й-го периода соответствующее выражение примет вид
«с = -уЧ*-(*-1)Л
иткс
Т +
и тс
— Т
1-е«с
/е[(й- 1)Г, ЙГ], й= 1,2.
Последовательность нахождения ис' фор-
милизована и проста, что очень важно для реа-
чп.тацни метода на ЭВМ. Для сравнения най- а----л t .
нем установившуюся составляющую, предва- / / /
I и гельно определив принужденную составляю- / / /
шую. Запишем интеграл Дюамеля для случая, / / /
нигда начальное условие нулевое: / / / /
иС~иСпр~ 0 Т 2Т ЗТ t
Рис. 1.14
t
= 1V(O«(O)+ у (t — (т) d-c.
о
При этом
——1
N(t)=(l-e RC ); а(0) = 0;
( £Zm/r, t <= [О, Г);
I Um/T-umb{t-[k- 1)Г], <е[(й - 1) Т, ЙГ), й=2,3,4......
1 де б(/) — импульсная функция.
Принужденная составляющая
“спР= f [l-e-^('-t>]«(I>(Odt= С -^-[1 — е Rc(t ^dt-
р J J 1
о о
О, t е [О, Г);
о
t е [(й- 1) Т, ЙГ), й =2, 3, 4,...
t
Гак как для любой непрерывной функции У<р (т) 8 (т — a) dt = (а), а е (0, /)> то
о
—— t
UmRC(e RC -\) + Umt
T
/е[о, л;
“Спр =
UmRC(e RC‘-\) + Umt
г
-(k-l)T[Um- итГ*с Г]],
t Е[(й-1)Г, ЙГ), й=2, 3, 4,
63
Запишем полное решение уравнения состояния с учетом ненулевых нача^
ных условий: !
ИС = ИСсв + ИСпр=е “ос + ИСпр-
Заметим, что непосредственно использовать это выражение для выделения ус
новнвшейся составляющей решения (см. § 1.1) в данном случае не просто. П
нужденная составляющая в рассматриваемом примере содержит на разных
тервалах гладкости решения —1)Т, йГ] экспоненциальные члены е
с различными коэффициентами. Вследствие этого выделение из решения иё
= ис св+ис пр одного экспоненциального члена е RC Ь, определенного на всем"
интервале /^0 и соответствующего преходящей составляющей решения, затрут
ннтельно. В данном случае проще учесть условие периодичности установившей я
составляющей «ос = ис(7'). В соответствии с этим условием при
—
“с пр (0 = «с (0-е !iC иос
—L т __L. т ___L т
иСпр(?0 = ис (^) — е RC uoc~uoc~s RC “ос=(1—е RC )] аос‘
Тогда при t = T
__т_
„ UmRC(,t RC-\) + UmT
ucw 1 — у
Таким образом,
________________________т_ _ г
«ос=(!-е RC)~l “Спр(г) = (1-е ле)->Х
Г- __т_
UmRC(fi RC—\y+UmT JJmRC , Um
T T ' т *
1-е~ёс
Определив значение установившейся составляющей
сать и ее значение для произвольного момента времени:
при /=0, можно зач.1-
“с = “спР + е RC и«? = “спр + е RC
Um
т
1-е RC
RC
Т
В частности, для первого периода
_____________________________________
, Umt UmRC , UmRCt RC
Uc т т
__L,
> RC Um
1 RC
—Т
1-е RC
Т
т ,
--Lt
и mt - UmRC Ume Rc
—-------’ —--------f—, /е[0, Г).
1-е-*ё
64
Рассмотренный пример иллюстрирует трудность выделения из
свободных и принужденных составляющих решений уравнений со-
стояния со скачкообразно изменяющимися функциями воздействий
установившихся составляющих этих решений. Причем в данном
случае такое выделение было облегчено, поскольку рассматрива-
лось уравнение с периодической функцией воздействия u(t) п соот-
ветственно с периодической функцией ис. Отметим, что в настоя-
щее время известен целый ряд методов определения установивших-
ся составляющих решений уравнений состояния. Однако практиче-
ское их использование усложняется в тех случаях, когда
воздействующее напряжение изменяется скачкообразно и в устано-
вившихся составляющих появляются соответствующие экспонен-
циальные члены. Метод же, основанный на использовании ЛПЛ, не
чувствителен к подобной особенности воздействий, чем выгодно
отличается от других методов.
§ L7. Теоремы перехода от изображений ЛПЛ
к оригиналам
Основным и наиболее ответственным этапом решения уравнений
состояния является построение изображений U (р; t) воздействую-
щих функций u(t). Отмеченные в § 1.5 трудности построения изо-
бражений ЛПЛ произвольных функций воздействий u(t) могут
привести к ошибочному определению U(p; t). Поэтому необходимо
иметь возможность проверки соответствия полученных изображе-
ний ЛПЛ оригиналам. Рассмотрим способы перехода от изображе-
ний U(р; t) к оригиналам u(t), т. е. вопросы реализации обратного
преобразования Лапласа S’r^U^p; Справедливы сле-
дующие формулы (теоремы перехода от изображений ЛПЛ к ори-
гиналам):
u(t)=Z7l[U (р; t)]=pU(p-, t)--^-U(p\ t);
at
{p\ /)I=lim pU (p; t).
p-*oo
Первая формула справедлива для любых функций u(t), вторая —
только для непрерывных функций u(t) при вещественном р. Для
доказательства первой формулы заметим, что установившаяся со-
ставляющая х' =—U(a-, t) решения дифференциального уравнения
.i = ax + u, имеющего в общем случае комплексный параметр
«(йеС1), удовлетворят этому уравнению, т. е.
Замена в последнем выражении параметра а на параметр р и
приводит к первой формуле. Вторая формула также следует из вы-
-151
65
ражения для установившейся составляющей решения дифференци-
ального уравнения первого порядка через изображения ЛПЛ.
Для проверки соответствия некоторого построенного изображе-
ния U (р; I) ЛПЛ его оригиналу u(t) может быть использована
любая из двух приведенных формул. Если рассматриваемая функ-
ция u(t) описывается различными выражениями на различных
интервалах [£/—i, tj), ]=1, 2, то проверка осуществляется после-
довательно для каждого из этих интервалов. При этом для различ-
ных интервалов можно применить и различные формулы обратного
преобразования.
Пример 1.13. Рассмотрим переход от изображения
а>2 4- р2
р sin + о> cos art +
й>2-рр2
1-е "
полученного в примере 1.9 (см. § 1.5) для первого периода функции
«(0 =
rt rt
Uт sin 4k , (4k 4- 1)
a> a>
rt rt
t G (2й 4-1) • 2(й 4- 1)
a> a>
к оригиналу.
, Г„ rt \
Для построения оригинала в интервале £ е 0, — I осуществим предель-
ш- J
ный переход (вторая формула):
и (t) = lim p
Um (р sin art 4- а> cos 4>t)
a>2 4" p2
(o>2 4-p2)(1 -e “)
= Um sin art, t e 0
rt
0>
U(P. t) =
rt 2rt
Для построения оригинала в интервале t G= — , — I используем диффе-
10 со J
ренциальное соотношение (первая формула)
« (О = Р
d
di
2 —-
66
Простота реализации обратного преобразования Лапласа
(ЛПЛ) определяет простоту проверки соответствия изображений
ЛПЛ оригиналам практически для любых функций.
В заключение необходимо отметить, что полученные формулы
позволят находить оригиналы по изображениям только преобразо-
нания Лапласа (ЛПЛ). Построение оригиналов по изображениям
обычного преобразования Лапласа осуществляется по другим фор-
мулам, рассматриваемым, в частности, в [1].
§ 1.8. Чувствительность решений уравнений состояния
простейших RL- и 7?С-цепей к изменению их параметров
При моделировании электрических цепей выбор методов реше-
1я уравнений состояния необходимо рассматривать совместно с
инятием допущений, касающихся структуры и параметров мате-
лтических моделей цепей. Поэтому необходима оценка чувстви-
льности решений уравнений состояния к изменению (возмуще-
но) их параметров и структуры, обусловленному возможной кор-
ректировкой модели.
Наибольший интерес представляет анализ чувствительности
установившихся составляющих решений, характеризующих уста-
новившиеся режимы цепи. Применительно к простейшим RL- и
AJC-цепям чувствительность установившихся составляющих реше-
ний их уравнений состояния к изменению параметров пассивных
di'L diL дис
элементов цепей определяется функциями ——, —— и •,
dR dL dR
,1а£_ Эти функции могут быть найдены по выражениям (1.4),
dC
(1.5).
Для 7?£-цепи
M'l _ д Г___________Л1 1
dR ~ dR L k L ’ Л L2 da
_£^=_д_Г___________l_^/_ R_. Al_______________R <W(a, Q
dL dL L \ /1 Z.3 da
Для 7?С-цепи
д Г
~dR "dtf ].
1 1 Al 1 d£Z(a, t)
RC U \ RC ’ /1 da.
— u(-----— ; Л ;
RPC \ RC J
67
_ d г______{—u(______— • Zfl=__________1 dtZ(a:
дС дС L RC \ RC ’ Л С3#2
— и(- — ; .
C2R к RC )
Составляющая iL' наиболее чувствительна к изменению пара-
метров R, L при малых значениях L, а составляющая ис —к изме-
нению параметров R и С при малых значениях R и С. Это обстоя-
тельство необходимо учитывать при составлении моделей RL- и
/?С-цепей с малыми параметрами L и RC, так как даже небольшие
изменения этих параметров могут привести к существенным изме-
нениям решений уравнений состояния.
Рассмотрим предельный случай, когда L — 0 для 7?£-цепи и
7?— О или С~0 для 7?С-цепи. При этом уравнения состояния (1.1),
(1.2) целесообразнее записывать не в каноническом виде, а в виде
уравнений с малыми параметрами при производных
dz,
£ it(0) — ioi; t^-0;
RC c ——uc-\-u\ tic(0)—z/qc’, t 0,
at
что позволяет проанализировать и случай вырождений этих диф-
ференциальных уравнений в чисто алгебраические уравнения
0=— RiL+tr, 0= — йс+и при L = 0; RC = 0.
Отметим, что решения этих алгебраических уравнений u =
= u(t)/R, Hc=u(t) практически совпадают с решениями приведен-
ных ранее дифференциальных уравнений вне окрестности t~0 в
том случае, когда производная воздействующего напряжения
—du(t)/dt ограничена. Так как экспоненты преходящих составляю-
щих решений/2=е z (/ot —lot); «с=е лс («ос — «^с) вне окрест-i
ности Z~0 практически равны нулю, то решения iL, ис определяют-
ся в этой области только своими установившимися составляющими,
т. е. Il^Il ^u(t)/R, Uc^Uc'^u(t). В окрестности /~0 поведение
функций II, Uc в значительной мере характеризуется составляющи-
ми iL", ис", модули производных которых
£1
dZ
=Ye
dz
при Uc^Uc' достигают больших значений.
Пример 1.14. Рассмотрим решения уравнений состояния RL- и 7?С-цепей с
малыми параметрами L и R или С в том случае, когда воздействующее иапря-
u (Z) at
жение изменяется по линейному закону, т. е. «(Z)=aZ. Решения i
Hc=u(f)=at вырожденных уравнений практически совпадают с установивши-
68
, Rt — L at ,
мися составляющими решений уравнений состояния ^ = а——— « —; ис=
R? R
-a(t— RC)»at, найденными в § 1.3, если £~0, /?С~0. Преходящие состав-
ляющие решений
Q = e L (Z0L + ^r)~e L UC = & *С («ос + аЯС^е “oc
практически равны нулю вне окрестности /~0. Графики полученных решений
уравнений состояния RL- и ЛС-цепей с малыми параметрами (рис. 1.15) имеют
свепифический вид по сравнению с графиками решений данных уравнений, пред-
ставленными на рис. 1.5, а, б для общего случая.
Таким образом, при моделировании простейших RL- и 7?С-це-
пей с малыми параметрами L и R или С дифференциальными урав-
нениями необходимо пользоваться только при исследовании быст-
ропротекающих процессов, когда /~0. При изучении же процессов
пне окрестности /~0 влиянием индуктивного элемента L для RL-
цепи и резистивного R для 7?С-цепи можно пренебречь, что позво-
ляет использовать более простые математические модели в виде
чисто алгебраических уравнений. Этот факт имеет особую ценность
для численного решения уравнений состояния. Однако он справед-
лив лишь при выполнении условия об ограниченности производной
воздействующего напряжения цепей. Если напряжение u(t) изме-
няется в некоторых точках t=t\, fa, ... скачкообразно и, следователь-
но, имеет в этих точках неограниченную производную, то исполь-
зовать для описания процессов упрощенные модели в виде чисто
.1лгебраических уравнений можно только вне окрестностей t~fa,
/ =1, 2, .... При описании процессов в окрестностях этих точек сле-
69
дует применять полные математические модели в виде дифферен-
циальных уравнений.
Пример 1.15. В том случае, когда в рассматриваемых уравнениях воздей-
ствующее напряжение изменяется по закону u(t)=U0(—Т=2 (см.
рис. 1.9), антнперноднческне установившиеся составляющие решений описывают-
ся в первом полуперноде выражениями (см. пример 2 § 1.5)
2е £
.. _u±
lL R
я I. t ею, 1);
£'/
и'с =tZo| 1
2e RC
RC
Графики этих составляющих, представленные на рнс. 1.16 для £~0 н RC~
«(/)
~ 0, практически совпадают с графиками функции iL — —д- , ис = и (/) вне
окрестностей точек <=1, 2, 3.. Подобное обстоятельство также эффективно
может быть использовано прн численном решении уравнений состояния со скач-
кообразными изменяющимися функциями воздействий.
В заключение отметим возможность оценки чувствительности
решений уравнений состояния RL- и 7?С-цепей к изменению пара-
метров функций u(t) их активных элементов — источников напря-
жений. Здесь под параметрами функций u(t) понимают те наборы
(множества) констант y={yi, уг, ...»у*}> которые входят в соответ-
ствующие аналитические выражения для w(Z). Например, для ис-
точника экспоненциально изменяющегося во времени напряжения
функция u(t) =uoeat зависит от констант м0 и а. Следовательно,
можно считать, что y={Yi> У2} = {«о, а}, где yi = ^o; У2=а. При этом
изображения [7(р; t) функций u(t) и соответствующие решения
i'l(0, uc(t) также являются функциями параметров уь i=l, k, т. е.
U(p; t) = U(p; t; уь ..., yft), й(О=»£(Л' Yf> Уа)> «с(О = «с(Л Yi,
ул). Ограничившись рассмотрением только чувствительности уста-
новившихся составляющих решений уравнений состояния RL- и
7?С-цепей к изменению параметров у,, г=1, k, можно, согласно вы-
ражениям (1.4), (1.5), записать
#£ д
Гт"Гт:'; ’••••• Ч
—LjL и (—; t- уь_. у^ ;
L d\,\ £ '*
дис д Г 1 I 1 .
—— --------------------И----------; t", Yi.--->Yft
ду, L RC RC ™
70
---------и-----------; t\ Yi
RC d\t \ RC
Yft , 1 = 1, k.
Пример 1.16. Чувствительность установившихся составляющих решений
। г,, и'с к изменению показателя а экспоненциально изменяющегося во времени
напряжения ц(^)=Уое“,1 имеющего своим изображением функцию £/(р; 1.)*=
Up?1
----- , можно найтн так:
р-а
diL
да
1 д
L да
(D \
— Clj =»
1 д Up
L да ! R\
= и tea‘(R + vL)-eaiL = Up Га< L _ L \7.
0 (/?4-аД)2 R 4- aL [ \ /? 4-а£. /] ’
£_ 1 f JL.f.rr V 1 д
а RC да \ RC ’ ’ °’ J RC да I 1 \
—------------------------------------------------ — «
\ RC)
t + aRC) — RC = Up Г.,/ _ RC V
0 (14-аЯС)а 1+<L V 1+а/?С/.'
Анализ полученных выражений свидетельствует о возрастании чувствитель-
ности установившихся составляющих решений уравнений состояния к изменению
параметра а воздействующего напряжения в том случае, когда па-
раметр а приближается к значениям соответственно а=—/?//.; — l/(RC). По-
добное возрастание чувствительности связано с приближением к резонансным
решениям — решениям уравнений состояния при совпадении полюсов изображе-
ния U(p; t) (в данном примере р=а) воздействующего напряжения u(t) со
шачениямн корней pi=— R/L, pi=—\/(RC) характеристических уравнений RL-
а Л?С-цепей.
Полученные выражения для чувствительности решений уравне-
ний состояния RL- и 7?С-цепей к изменению их параметров позво-
ляют исследовать влияние на конечный результат решения задачи
гех допущений о структуре и параметрах моделей, которые были
приняты на этапе их составления. Таким образом, имеется возмож-
ность, с одной стороны, оценить достоверность, решения задачи, а с
другой стороны, сделать выводы о корректности самих математиче-
ских моделей цепей и целесообразности их дальнейшей корректи-
ровки. Отметим, что корректировка математических моделей обыч-
но используется при решении задач синтеза цепей. При этом важно
io обстоятельство, что использование аналитических выражений
для чувствительностей решений уравнений состояния цепей к изме-
нению различных их параметров дает ключ к наиболее рациональ-
ному решению задач синтеза параметров.
71
§ 1.9. Резонансные решения уравнений состояния простейших
RL- и 7?С-цепей
В предыдущих параграфах рассматривались решения уравнений
состояния (1.1), (1.2) применительно к безрезонансному случаю,
когда изображения ЛПЛ U(р; t) функций u(t) существуют в точ-
ках р = —R/L; р = — 1/(RC) —корнях характеристических уравнений
для уравнений (1.1), (1.2) (см. § 1.2). Проанализируем резонанс-
ный случай, при котором это условие не выполняется и для опре-
деления решений уравнений состояний формулами (1.5), (1.6) уже
нельзя пользоваться. При этом, так же как и в § 1.2, будем исхо-
дить из обобщенной записи (1.3) уравнений (1.1), (1.2).
Пусть изображение ЛПЛ F(p; t) функции воздействия f(t)
уравнения (1.3) имеет изолированный /n-кратный полюс в точке
р = а. В этом случае оно может быть представлено в виде
F(p; /) = Л
где функция Fi(p; t) имеет в точке р = а конечное, не равное нулю
значение. Рассмотрим возмущенное уравнение dx*/d/=ax* + f*, в
котором функции х„, зависят от переменных t и е, т. е. имеют вид
х* = х*(^;е), f*=f*(f; е); начальное условие не зависит от е и совпа-
дает с начальным условием уравнения (1.3), т. е. х*(0; е)=х(0) =
= хо-
Выбор возмущенной функции f* зависит от двух условий. Во-
первых, функция f(i; е) должна при е = 0 совпадать с функцией
f(t), т. е. f„(t; во-вторых, функция f„(t; е) должна быть
такова, чтобы ее изображение ЛПЛ
00
F*(p\t-, е)= Je-^Д (7Ч-т; e)dt
о
имело m-кратный полюс в точке р = а + е и не имело полюса
в точке р = а. Подобное изображение, в частности, может быть пред-
ставлено в виде
ГТ г_I. -ч F t)
г*(р, t, е)—-----------—- ,
* И (р-а + *)т
где функция Fi*(p; е) имеет в точке р = а + е конечное ненулевое
значение.
Подбор функции ft не представляет сложности. Например, в ка-
честве этой функции можно принять функцию ft(t; е) —e~etf (t),
изображение ЛПЛ которой
£)= [е-Рх/*^+т‘> e)dr=J е-Рте— </+t>/(/-(-г)dr=
о о
= ? х е_,< / (^4-т) dr=F (р-|-е; t) + m ~~ •
J (p — a + e)
72
Следовательно,
F*(p; t\ е)= Fi*(p\ t\ е^Р^р+ъ t)e~at.
Определим решение уравнения (1.3) в резонансном случае, ког-
/1.1 изображение ЛПЛ F(p; t) воздействующей функции f(t) имеет
полюс в точке р=а как предел решения уравнения х(/)=limх*((;
«—о
i). Для этого представим решения рассматриваемых уравнений в
виде сумм свободных и принужденных составляющих:
л(0=^сВ(04-^пР (i)=^at *04-л:Пр (О;
е)=х*св(/; е)-]~х*пр(/; е).
Гак как свободные составляющие решений рассматриваемых урав-
нений совпадают, то для решения уравнения (1.3) в резонансном
случае (резонансного решения)
x(t)=хсв (0 + хпр (О=еа‘ х0+хпр (0=еа/ х0 +1 i ш х*пр ®)-
в-*0
Принужденная составляющая решения хпр(^; е) возмущенного
уравнения в безрезонансном случае (е=#0) может быть выражена
через установившуюся составляющую х/(/; е) решения этого урав-
нения:
ЧпрО1; е)—ео<х'(0; е)= — F*(a; t; e) + eaZF^(a; 0; е).
Тогда принужденная составляющая решения уравнения (1.3)
Xnp(0=lim[ —F*(a; t; e)-J-ea/^ (а; 0; e)].
Р.сли известно представление изображения ЛПЛ F*(p; t\ е) в виде
дроби
то
,,х ,, eatFi* (а; 0; е) — р1*(а; t; е)
хпр (/) = 11ш----- ’—' ’т----.
1-^0 6
Раскрывая последний предел по правилу Лопиталя, получим
1 rim
хпр(О = — -rw[&“Fi*(a> 0; t', е)]
ТП ! иб
Таким образом, резонансное решение уравнения (1.3) можно опре-
делить из выражения
73
x(/)=eaZx04-lim[ea<F^(a; 0; е) — t; е)]
•*о
или при представлении изображения ЛПЛ функции /.(О е) в виде
дроби из выражения
л(О=еа(х0-|—L A-[eafFu (а; 0; е) —Fu (a; t\ е)]
ТП ! ае
Если в качестве возмущенной функции f* выбрана
F*(/; е) = е~‘7(0» изображение которой имеет вид
FAp. t.
(p-a^t)m (р-а+г-У
Т° 1 d™ I
•«11р(О = —-T-^-[ea/F1(a4-s; 0) —e-’^Fj(a-j-e; OJ
m ! at I«—о
функция
1 Лт
х(О=еа%+——Je^FHa+e; 0) — е-'Г^афе; 01
ml di
«“О
Применим полученные формулы для решения уравнений состоя-
ния (1.1), (1.2) в резонансных случаях, когда изображения ЛПЛ
ЩР1
f R \т ( 1 \w
р+д) (p+/?c
воздействующих напряжений u(t) имеют полюсы кратности т в
точках р =—R/L и р = — 1/(RC). Тогда
1 dm
Q„pW- ОТ1 4dtm
_St i р \
е л ^11-7 +е;°1“
\ 1л I
\
1
^Cap (^)
е ^'иЛ----—+•; О)-
ml RC dim |_ V RC J
«-0
_е-’/д/7-J-
k RC
и, следовательно, резонансные решения уравнений (1.1), (1.2) мо-
гут быть найдены из выражений
— — 1 лт
t t R \
e ——+»; 0)-
k Lt j
74
«с=е Rcl иос
(1.7)
. 1 dm
' m\RC &гт
e RC'U -------l_g; o'
\ RC “ ,
-e-6/W~-^+eH • (1-8)
Рассмотрим примеры использования полученных формул.
Прежде всего представляет интерес определение резонансного ре-
шения для уравнения состояния с периодической функцией воздей-
ствия. Характерной особенностью этого класса функций является
го, что их изображения не могут иметь иных полюсов, кроме одно-
кратных полюсов на мнимой оси. Таким образом, для уравнения
,r = ax+f с периодическим воздействием f(t) резонансные решения
могут иметь место только в том случае, когда одновременно пара-
метр а=0 и изображение ЛПЛ F(p; t) воздействующей функции
/(/) имеют полюс в точке р = а = 0 (резонанс на нулевой частоте).
Применительно же к уравнениям состояния (1.1), (1.2) из двух зна-
чений p = —R/L, р = — 1/(RC) нулю может быть равно только пер-
вое, если 7? = 0. Следовательно, при периодическом воздействии ре-
dz. 1 .
юнансное решение может иметь уравнение —A —(O)=zoi
в том случае, когда изображение ЛПЛ U(p; t) функции u(t) имеет
полюс в точке р — 0.
Пример 1.17. Пусть к индуктивному элементу L приложено постоянное на-
пряжение u(t) = U0, изображение которого U(p\ t)=Ua/p имеет однократный
("| = 1) полюс в точке р = 0 и, следовательно, может быть представлено в виде
^(р; /)={Д(р; ()/р, где 1Л(р, t) = U0. Согласно формуле (1.7), для резонансного
решения
+ =1м+ ЙД.
Д ав |,_0 Д
Свободная составляющая решения данного уравнения icB = e~°'zoL = Zoz. no-
ri оянна. При этом установившуюся составляющую решения i'L можно считать
совпадающей с его принужденной составляющей II-n^ = lJotiL, а преходящую со-
ставляющую— со свободной. Характерной особенностью полученного резонан-
сного решения уравнения с периодическим воздействием является непериодич-
иость установившейся составляющей i'b = Uot/L.
Рассмотрим более общий случай уравнений состояния простей-
ших RL- и ^С-цепей, когда корень соответствующего характеристи-
ческого уравнения р=—R/L, р=—\/(RC) не равен нулю. В этом
случае резонансное решение может иметь место только для уравне-
ния с непериодическим воздействием u(t). При этом кратность по-
носа р — —R/L, р=—1/(RC) изображения U(р; t) может быть
Польше единицы.
75
Пример 1.18. Пусть к ЯС-цепи (см. рис. 1-2,6) приложено напряжение, из-
меняющееся по закону u(t)=Uoe^‘t. При 0=—1/($С) уравнение состояния (1.2)
этой цепи имеет резонансное решение, так как изображение напряжения
U(p- О =
___1_
= Uo е RC
(P-Р)2 J °
имеет в этом случае полюс кратностью два (т = 2) в точке р=—\/(RC). Пред-
ставив изображение в виде
U(pi П = Г' ' Vi t) = ио е~ * р (р + + 1] , т = 2,
'Р+ ~RCJ
согласно формуле (1.8), получаем следующее резонансное решение уравнения
(1-2);
«c = e"^\c+^-^le"^^o-e-,^oe"^Z(^+l)]|t=o =
= и + (- .*з е-'е“ ‘ и0 + & ‘ £Z0)
2/<G ,=0
Здесь установившаяся составляющая решении совпадает с принужденной
составляющей, а преходящая составляющаяя—со свободной.
То обстоятельство, что уравнения состояния (1.1), (1.2) с дан-
ным воздействием u(t) могут иметь при определенных значениях
коэффициентов резонансные решения, которые качественно отлича-
ются от безрезонансных решений, имеет важное значение. Аналити-
чески резонансные решения описываются элементарными функция-
ми иного вида, чем функции безрезонансных решений. Для опреде-
ления аналитических представлений резонансных решений
использовать непосредственно выражения (1-5), (1.6) нельзя.
В данном случае требуются анализ условий резонанса (нахождение
кратности полюсов) и вывод решений на основе выражений (1.7),
(1.8). Это усложняет решение задачи для тех случаев, когда для
исследователя представляет интерес не качественный анализ реше-
ния, а получение конкретных численных значений. Для нахождения
числовых результатов важен такой вариант представления решения
уравнений состояния, который не зависит от их особенностей и
справедлив и в резонансных случаях. Обратимся к записи решения
уравнений (1.3) x = ax+f, х(0)=хо в виде суммы свободной и при-
нужденной составляющих:
X=Хсв +х„р=еа%+х„р.
76
Выразим принужденную составляющую через установившуюся:
хпр (/)=х' (С-еа/х'(0).
В безрезонансном случае
xup(0 = eo<F (а; 0) — F {а\ t)
или
хпр(1) = [еБР(р, 0) — F(p; О]|р-в
(1.9)
Представив экспоненту в виде ряда по степеням р, т. е. ер/ =
S——, можно выражение, стоящее в квадратных скобках, рас-
сматривать как соответствующий степенной ряд. Подобная трактов-
ка (1.9) позволяет использовать его и в резонансных случаях, по-
скольку степенной ряд, определяемый выражением [ep/F(p; 0)—
-F(p; Q], имеет смысл при любых р. Аналогично, принужденные
составляющие решений уравнений состояния (1.1), (1.2) в общем
случае можно определить как
/£пР(^) = ^-[е^^(р; 0)-Щр-, 0]1 (1.Ю)
L р~ L
испр(С=-^-[ер/6Чр; О)—Щр; /)]| i, (1.11)
aG Р- рг
где [е₽Ф(р; 0)—С7(р; Q] —степенной ряд. Полученные выражения
можно использовать и для поиска аналитических решений уравне-
ний состояния. Обратимся к случаям, рассмотренным в примерах
1.17, 1.18.
г. 1
Пример 1.19. Для уравнения ——-и, u(t) = U0 изображение ЛПЛ
di L
поздействующего напряжения U(p-, t) — U0/p не существует в точке р=—R/L=
О. Найдем степенной рид:
Uo Uo
Р Р
/ pi'2 рЖ
= 2! + 3,
Согласно (1-9), принужденная составляющий
pi р?№ p3ts
Т + ~2Г+~зГ
1 / pt"2
11пР = ~£ио{* + 21 +
3! +
_Upt
0=0
77
Пример 1.20. Для уравнения
du^ 1 1
1
/?С
изображение ЛПЛ воздействующего напряжения
тт t • м гт о—?) + И
U (п. t) = ил е и -1
(Р-р)2 J
не существует в точке р = §=—1/(ЯС). Найдем степенной ряд:
еР‘ U (р-, 0) - U (р; t) = е₽/ Uo —±— - Uo е^ I - Р) * 1
(р —Р)2 L (р —р)2
т-^... 1е(р-»< _ I (р _ f) _ I] _ -iiL- eK х
(р — Р)2 (Р — Р)2
Согласно (1.11), принужденная составляющая
“Cnp rc
р_?” RC
Up eg< &
2RC
Заметим, что применение формул (1.10), (1.11) для получен и я
решений в аналитическом виде требует сложного технически выво-
да, основанного на действиях со степенными рядами, и не дает ка-
ких-либо преимуществ по сравнению с использованием для этой це-
ли формул (1.7), (1.8). Если же необходимо численное решение
уравнений состояния, то удается создать алгоритмы вычисления
принужденных составляющих по (1.9) — (1.11), нечувствительные к
резонансным особенностям уравнений. Такие алгоритмы составля-
ют основу численно-аналитических методов решения уравнений со-
стояния (см. гл. 5).
78
2
ГАЛВА
АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ
ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
С помощью функций от матриц находятся аналитические решения уравне-
ний состояния сложных электрических цепей, содержащих несколько накопите-
лей. Рассматриваются представления этих решений через обычные функции. Ис-
следуется их поведение в резонансных случаях. Непосредственно по уравнениям
состояния без их решения определяются частотные характеристики переменных
состояния.
§ 2.1. Классический метод решения уравнений состояния
сложных электрических цепей
Электрические цепи с сосредоточенными постоянными парамет-
рами, содержащие несколько накопителей энергии, в общем случае
описываются уравнениями состояния вида
x=Ax-|-f, х(О)=хо, (2.1)
гдеА={а(/}тт — /пХ/п-вещественная матрица; х=х(() =[*i (/)
х2(1) ... хт(t) ]‘^Rm— /п-мерный вектор переменных состояния;
f = f(/) =[fi(/) f2(t) ... — /n-мерный вектор воздействий.
Переменными состояния являются токи (потокосцепление) в индук-
тивных элементах и напряжения (заряды) на емкостных. Коэффи-
циенты матрицы А определяются топологией электрической цепи и
параметрами ее элементов. Вектор воздействий можно представить
в виде
f = Bv,
где В — /nXn-вещественная матрица, определяющая вклад вход-
ных величин в баланс токов и напряжений (потокосцеплений и за-
рядов); v=v(/)=[ui(() v2(t) ... vn(t)]t^Rn — n-мерный вектор
входных величин, коэффициенты которого суть функции источников
ЭДС и тока.
Матричное уравнение (2.1) имеет формальное сходство в запи-
си с уравнением (1.3). Сходными являются и формы представления
решений этих уравнений. Так, решение уравнения (2.1), как и ре-
79
шение уравнения (1.3), может быть представлено в виде суммы
двух составляющих х=хсв+хПр. Одна из составляющих хсв =
= еА/ Хо, называемая свободной, представляет собой полное реше-
ние соответствующего уравнению (2.1) однородного уравнения
х=Ах, х(О)=хо. Матричная экспонента (экспоненциал)—равно-
мерно сходящийся матричный ряд (см. § 2.2)
еА/
А*? .
kt ’
А°=1,
где 1 — единичная матрица. Другая составляющая, называемая
принужденной, представляет собой частное решение дифференци-
ального уравнения x = Ax-f-f и имеет вид
t
хпр= еА f СО dr=eA/4c/(t).
о
Таким образом, полное решение уравнения состояния (2.1) мо-
жет быть записано как
t
х=еА/хоф- ГeA</-'t)f (г)dr.
Свободная составляющая соответствует процессам, протекаю-
щим в цепи без источников энергии, но с ненулевыми начальными
значениями переменных состояния, принужденная — процессам, об-
условленным действием источников энергии в цепи при нулевых на-
чальных значениях переменных состояния.
Пример 2.1. Рассмотрим решение уравнения состояния (2.1) цепи с постоян
ними источниками энергии. При этом в уравнении (2.1) f(/)=foel?m.
Тогда
t t
х = хсв + хпр= еА/хо + f eA(/_’t) fodt == еА/хо + еА/ J e-A,tdT f0 =
о о
= еА/х0 + еА/I — Л-1 е-Ах | f0 = еА/х0 + еА/(А-1 — А-1 е-А/) f0
= еА'х0 + еА/ А-1 (1 — е А/) f0 = еА/ х0 + А-1 (еА/ — 1) f0.
Для определенности рассмотрим цепь (рис. 2.1), в которой воздействующее
напряжение постоянно при /^0 и u(t) = иа. Уравнение состояния такой цепи
имеет вид
d Za"|
dZ ис J
'—R/L
VC
— l/zirz. 1 rt/oMl
+
° j LacJ L °
Л(°)‘
_«c(°)_
l0L
“oc.
80
4 его решение
'-/?/£ -1/£"
г 0
= eL с J
ис .
-RIL-1/L-
I о Г
Решение уравнения (2.1)можно искать и с помощью классиче-
ского метода расчета переходных процессов
в электрических цепях в виде суммы х =
= х'+х" двух составляющих: установившей-
ся х' и преходящей х". Установившаяся со-
ставляющая соответствует установившемуся
режиму в рассматриваемой цепи. В частно-
сти, если этот режим периодический, то и рИС1 2.1
установившаяся составляющая будет перио-
щческой функцией. Установившаяся состав-
ляющая не содержит слагаемых вида еА<|. Преходящая составляю-
щая
х"=еА‘(х0 —Хо), хо=х'(О),
г. е. содержит члены вида еА<|. Для рассмотренного примера уста-
новившуюся и преходящую составляющие можно выделить из об-
щего решения с помощью перегруппировки его членов, представив
решение в виде
х=хсв+хпр=еА/х0+А-1 (еА/—-1)/0—♦ х =
=х"+х'=еА' (х0 + A-if0) - A-if0.
Таким образом, х'=—A-1f0, х" = еА/ (хо +А-Чо). В частности,
для решения уравнения состояния последовательной RLC-цепи
(рис. 2.1) с постоянным воздействием u(t) = U0 (см. пример 2.1)
эти составляющие имеют вид
f-R/L -l/£j
J 1/C 0 J [ *04
\LwoC
[-R/L
VC
- VL\UJL'
0
0
Отмеченная аналогия между матричным уравнением (2.1) и
жалярным уравнением (1.3), а также между формами представле-
ния решений этих уравнений позволяет применять для решения
уравнений состояния сложных электрических цепей методы, рас-
смотренные в гл. 1 для решения уравнений состояния простейших
81
электрических цепей. При этом, однако, требуется более детальней
проанализировать связь понятий теории функций действительного
(в общем случае комплексного) переменного, используемых при
решении скалярных уравнений состояния, и йонятий теории функ-
ций от матриц, применяемых при решении матричных уравнений
состояния. В первую очередь требуется рассмотреть, например,
связь свойств обычной экспоненты ео/, определяющей разбиение ре-
шения уравнения (1.3) на отдельные составляющие, и свойств мат-
ричной экспоненты (экспоненциала еА/ ), определяющей соответст-
вующее разбиение решения уравнения (2.1).
§ 2.2. Функции от матриц и их применение для решения
уравнений состояния сложных электрических цепей
При решении матричных уравнений состояния сложных электри-
ческих цепей эффективным оказывается использование функций от
матриц. Это дает возможность представлять решения подобных
уравнений в наиболее информативно-компактном виде. Рассмотрим
некоторые понятия, связанные с функциями от матриц.
Пусть f(z) —некоторая аналитическая, т. е. представимая рядом
/(z)=2 Y***,
»=о
функция комплексного переменного zeC1. Примерами таких функ^
ций являются экспоненциальные, тригонометрические, гиперболи-
ческие функции:
; sin z
(-D*
(2* 4-1) I
г2Л+1; glj g.
(2^+1)!
Формальная замена в ряде f(z) скалярного переменного z на квад-
оо
ратную/nXm-матрицу A f (A)=^yftAft позволяет определить
ьго
аналитическую функцию от матрицы. Примерами подобных функ«
ций являются
eA=V —; sin А= V ( — 1)* A2*+i; shA=y
А2**1
(2Л+ 1)! '
В практических задачах использовать бесконечные ряды слож-
но. Поэтому необходимы более простые соотношения для вычисле-
ния подобных функций. Такие соотношения могут быть получены
на основе понятия спектра матрицы. Под спектром матрицы А
понимают множество ее собственных значений {а/}. При этом если
собственные значения матрицы А различны, то получают простой
82
спектр матрицы А, в противном случае — сложный спектр этой
матрицы.
Рассмотрим некоторую тХяг-матрицу А со сложным спектром.
Пусть ее собственные значения аь имеют кратности mk, Л=1,
(я \
mk=m I . Компонентами матрицы А называют квад-
4-1 /
ратные тХяг-матрицы Bas вида
(А —а*-!)’ 1 П (А-а;-1)
BAi=-----------, s=l,
(s-1)! П (аА- [а )
7-1
(7*4)
Таким образом, каждому собственному значению ак соответст-
вует яг* компонент матрицы А, а именно: Вы, Bft2,..., B*mft. При
>том матрицы Bfei (k= 1, 2,..., q) называют проекторами матрицы А
и обозначают Вы = Р*. Все компоненты матриц, обладающих прос-
гым спектром (s=l), являются проекторами. Проекторы матриц
могут быть представлены в виде
я
П (А — Оу1)
Р4=-Д>----------- , k=\, 2.....q.
П (аА-а;)
7-1
Компоненты Вм, Bft3, B^ft могут быть выражены через соответ-
ствующие проекторы:
В р s = 2,
4S (S-l)l k' » ’ ’ 4
Компоненты матрицы удовлетворяют условиям
2₽4=1; P24=Pft; BftiBH=o,
4-1
k, г=1, 2,..., q\ г =f= k\ I, s=l, 2,...,mk; s I. (2.2)
Для примера определим компоненты двух матриц.
Пример 2.2. Пусть имеется матрица
83
с простым спектром (ai=—1, a2=—2). Ее проекторы
Г-3 -П .Л1
[2 0, [о
( —2) —( —1)
Г 2 1
L-2 -1
Пример 2.3. Пусть дана матрица
[.0,25 О
имеющая сложный спектр. Ее собственное значение ai=—0,1
Из первого условия (2.2) следует
имеет кратность 2.
Вц = Р1 = 1
1
.0
о
1
Тогда
- Г
О
О
1
В12 =
-(-0,5)
Г-0,5
L 0,25
-Г
0,5.
И
Компоненты матрицы позволяют представлять функции от мат-
риц в виде конечных сумм. Пусть некоторая mXm-матрица А имеет
собственные числа а* кратностью пгк, k—1, 2. д, тк = т.
Л=1
Тогда для функции f(A) от матрицы А справедливо соотношение,
известное как основная формула для функции от матрицы или как
интерполяционный многочлен Лагранжа — Сильвестра:
q
/(A)=22/(i-1)(aA)B^
й-ls-l
где
/<-> / w I/’ f <*> I
Для функции А с простым спектром основная формула упрощается:
m
/ (А) = Р*/<«*>•
Л-1
Отметим, что для применения основной формулы для функции
от матрицы А нет ограничений, кроме требования существования
84
«качений p~^(z), в точках z=a*, k= 1, 2.q, s= 1, 2, mh. В ка-
честве примера приведем представление с помощью этой формулы
। обственно матрицы А (спектральное расщепление матрицы А)
ч
А = 2 (“ъ вм -|-Ви),
ее резольвенты (матрицы 7?Р(А) = (pl—А)-1)
Й-1 5 — 1
п экспоненциала
ч mk
еА/ = 2 2
Й-15=1
р — комплексное число.
Рассмотрим применение функций от матриц для решения урав-
ия состояния (2.1). Для простоты сначала будем считать, что
। рица А в уравнении имеет простой спектр. Представим решение
:о уравнения в виде суммы установившейся и преходящей со-
здающих: х=х' + х". По определению установившаяся состав-
ная удовлетворяет этому уравнению, т. е. x'=Ax' + f; x'e7?m;
и не содержат слагаемых вида еА/ где — m-мерный
тор, или, что то же, слагаемых вида где Р*, as, k —
, 2, ..., tn, — проекторы и собственные числа матрицы А. Изобра-
ие ЛПЛ установившихся составляющих удовлетворяет опера-
ному уравнению
рХ'(р; О —х'(О = АХ'(р; O+F(p; О,
решение которого имеет вид
*'(р\ /)==(/?!—Ар1 [х'(04-F(р; /)]=7?/,(A)[x'(/)-f-F(p; /)].
Использование основной формулы для функции от матрицы А по-
толяет получить следующее выражение:
Х'(Р; t)= Vp*~"—[x'(O+F(p; О].
р~ак
Ограничимся анализом случая, когда компоненты вектора
1 (Р; 0=[Fi(P; 0 F2(p; t) ... Fm(p‘, /)]‘ существуют (не имеют по-
косов) в точках р=аь, k= 1, 2, ..., пг. Подобный случай будем назы-
вать безрезонансным в отличие от резонансного, когда некоторые
85
изображения F*(p; t) имеют в этих точках полюсы. Так как компо-
ненты вектора Х'(р; t) не содержат слагаемых вида (р—а^)-1
[(р—ай)-1 — изображения экспонент , k— 1, 2, т\ и сущест-
т
вуют в точках р — аь., а коэффициенты изображения Р*------
р~а*
резольвенты /?Р(А) матрицы А имеют в этих точках полюсы, то из
полученного выражения для изображения Х'(р; i) следует, что
₽л [x'(O+F(p; О]Ь-«^0, k=l, 2,...,т.
Суммируя подобные тождества, получаем
т т
Л-1 А=1
= 0.
т
Так как 2 рл= [см- (2-2)], то для установившейся составляющей
Л-1
решения уравнения (2.1) можно записать
x'(0=-2pftF(aft; О-
л-i
(2.3)
При этом для преходящей составляющей х"(0 этого решения
имеем
х"(0 = еА< (х0 —хо)=еА/
т
хо+2 p*F(a*; 0)
Л-1
т Г т
= Xo+JPjFfa»; 0)
ь=1 L *-i
Соответственно полное решение уравнения состояния (2.1) запи-
шется как
т т Г т
x = x'+x"=-2PsF(aft; х0 + £ PftF(as; 0)
Л-1 Л-1 L Л-1
или с учетом свойств произведения проекторов (2.2) как
т т
х=х' + х"=-2рлр(ал; 0 + 2 eV РЯ*о+р(ал; 0)].
Л = 1 Л-1
В том случае, когда матрица А в уравнении (2.1) имеет слож-
ный спектр, то формулы подобного аналитического представления
решения уравнения состояния усложняются. Если матрица А имеет
86
собственные значения а* кратности тк, /г=1, 2, ...,q
то аналогичные формулы примут вид
<7 mk
X'W=-2 2B^(i-1)(a^
Л-1з-1
тк=т
(2.4)
<7 тк Г <7 mk
х"(0=2 2 *о+2 2 В^(-П(аЛ; 0)
Г13-1 L Л-ls-l
<7 тЛ
x.-=x'(0+x"(o=-2 2B*^(S-I,(a*: °+
Л-1з-1
<7 mk Г <7 mk
+22B**/(s"1)eV x°+22в*/(‘-1)(а*:о)
Л-ls-l L Л-13-1
Полученные выражения могут быть записаны и в более компакт-
ном виде — через функции от матрицы А. Для этого можно восполь-
зоваться основной формулой для функции от матриц, предвари-
тельно представив вектор-функцию F(p; t)=[F1(p-, t) Fz(p\ t) ...
m
l'm(p; 0Г в ииде F(p; i)='^Fl(p; i)bh где компоненты вектор-
функции б< = [6/1 б<2... б/m]' суть функции Кронекера:
. (1, если i=j',
ЪИ= к • -L.
(0, если i f j.
При этом решение уравнений (2.1) примет вид
х=х'-|-х", х'= —F(A; 0, х"=еА/(х0 —хо) , (2.5)
где Хо=—2^/(А: 0)б/= — F(A; 0); F(A; t)bt.
i-l 7—1
Вопросам практического использования выражений (2.3) —
(2.5) для решений уравнений состояния (2.1) посвящены следую-
щие параграфы. Однако эти вопросы необходимо предварить ря-
дом замечаний и прежде всего следует отметить зависимость
свойств решений (2.3), (2.4) уравнений состояния цепей от осо-
бенностей спектра матрицы А. Спектр матрицы А определяется
множеством корней {ал} характеристического уравнения рассмат-
риваемой цепи det (al—А)=0. Качественное исследование такого
множества для линейных пассивных /?£С-цепей, проведенное в
87
[1], выявило его следующие общие свойства: 1) вещественные час-
ти корней неположительны, т. е. Re(ctfc)^0; 2) комплексные кор-
ни— попарно сопряженные; 3) чисто мнимые корни не могут быть
кратными.
Отметим, что теоретически интересные случаи, такие, как нали-
чие только простых, кратных или комплексно-сопряженных и, в
частности, чисто мнимых корней, проявляются уже для уравнений
состояния электрических цепей, имеющих только два накопителя
энергии: один индуктивный и один емкостный. С ростом числа на-
копителей энергии в цепях и соответственно с увеличением размер-
ности уравнений состояния новых теоретически интересных случаев
не возникает. Растут лишь вычислительные сложности использова-
ния выражений (2.3), (2.4). Кроме того, представление решений
уравнений состояния через элементы спектрального расщепления
матриц (2.3), (2.4) теряет свою наглядность. Представление же ре-
шения уравнений состояния через функции от матриц (2.5) факти-
чески не зависит от размерности матрицы А, а определяется только
видом изображений Fi(p; t) компонент вектор-функции воздейст-
вия. Поэтому при использовании формулы (2.5) также целесооб-
разно ограничиться наиболее простым случаем, когда матрица А
имеет размер 2X2. По этим причинам для иллюстрации примене-
ния формул (2.3) —(2.5) в следующих параграфах выбраны урав-
нения состояния 7?£С-цепей, содержащих емкостный и индуктив-
ный элементы, и прежде всего уравнение состояния последователь-
ной #£С-цепи.
§ 2.3. Определение преходящей составляющей решения уравнения
состояния последовательной 7?£С-цепи
Преходящая составляющая решения уравнения состояния
II (0) _ z'o£
. Wc(0) -И0С.
последовательной 7?£С-цепи (рис. 2.1) может быть выражена с по-
мощью (2.5) через матричную экспоненту:
и
II
и’с
Подобная форма представления преходящей составляющей
удобна для последующей численной обработки, но непосредствен-
но не отвечает целям качественного анализа изменения во времени
этой составляющей. Заметим, что характер изменения во времени
83
преходящей составляющей решения определяется видом коэффи-
циентов матрицы
где А =
Поэтому для проведения качественного анализа поведения прехо-
дящей составляющей [iL" Uc"]t ее целесообразно представить че-
рез элементы спектрального расщепления матричной экспоненты
eAZ . Однако такое представление, согласно основной формуле для
функции от матрицы, зависит от особенностей спектра матрицы А.
Так, если спектр матрицы А простой (она имеет различные собст-
венные значения сц и а2), то
г0£ l°L
еА/ — pie»i< .
«с
= (Р1е1«/-|-Р2е^<)
иос ~ иос
где Рь Р2 — проекторы матрицы А. Если матрица А обладает
сложным спектром (ее собственное значение имеет кратность
два), то
eAf = Bneai< -|- Bi2/ea*z=(1 -f- Bi2O
=(14-B120e“«< Zoi Zo£
He. L«oc ~uoc
где Bu, Bi2 — компоненты матрицы A.
Таким образом, для представления преходящей составляющей
не через матричную функцию eAZ , а через обычные функции тре-
буется предварительно определить спектр матрицы А, т. е. решить
уравнение
det (A — al)=det
В результате получим а112= —8 +'Кй2 —ф2, где 8 = 7?/(2£); о>0=
= \lVLC.
1. Спектр матрицы А простой. Тогда
1~ =(Р1е“‘%Р2е1«0 Го£ /о£
Ис _ L^oc — Нос
89
где
а[е°1,< — c^e**'
Следовательно,
II
ис
2 У 82 - <о2
е’1* —еа,<
2CV 82 -“о
е1*1* — еа,<
21 V8'2 - <о2
а2е°1,/ — а1е“’/
2 У 82-ш2
—tv-
иос —Uqc
Если д>а>о, т. е. сц и аг — вещественные числа, то последнему
выражению можно придать вид
Шде s/ sh (У 8'2 — <Oq t — <р)
У 82 — <I>Q
e~s< sh (Увг-ю21)
СУ82-М2
e8<sh (У 82 - ш2 t)
Д У 82 - ш2
ыое~8/sh (У»2 - + <?)
У82-Ш2
X
L«oc
—Iol
—Uqc
где <p=arcth }/82 — <dq / 8.
Компоненты i’l", ас" вектора [II" Uc"]‘ описываются апериоди-
ческими функциями, стремящимися к нулю при /->-оо.
Если соо>д, т. е. gt и аг — комплексно-сопряженные числа, то,
обозначив |/'и)§_82=ш'>преходящую составляющую решения мож-
90
но представить в виде
II
ис
e~s< sin (w'/— ш)-------—е-5'sin ш'/ г ,
‘ £ш' lot — Iol
—e-s< sin <о7 —— e-s< sin (<о'/-[-<р) 1иос ~~uoc.
С<*' to' _
где tp = arctg<j//6- Изменение во времени компонент iL", ис" носит
колебательный характер. Амплитуда колебаний убывает по пока-
зательному закону. В предельном случае (/?=0) 6 = 0, £о'=а>о и
колебания носят незатухающий характер. Тогда функции t/'(0>
uc"(i) — периодические с периодом Т = 2л/и0.
2. Спектр матрицы А сложный (т. е. ее собственное значение
«1=—б имеет кратность два). Тогда
где В12=(А — а11)Вп=
*
ис
= (1+В12/)е’<
С
В результате получим
ioi —lot
иос —Уос
Компоненты iL", ис" описываются апериодическими функциями,
стремящимися к нулю при М-оо.
В заключение отметим, что характер изменения преходящей со-
ставляющей оценивался качественно. Для построения численных
значений этой составляющей независимо от формы ее представле-
ния необходимо знать численные значения как коэффициентов мат-
Г" "1 г* г
рицы А, так и компонент вектора
lOL
, т. е. следует
zot _
. «ос.
. иос -
предварительно определить значение установившейся составляю-
щей [iL" и ис"У при /=0.
§ 2.4. Определение установившихся составляющих решений
уравнений состояния электрических цепей с двумя
накопителями энергии
Установившиеся составляющие решений уравнений состояния
могут быть определены, согласно (2.5), через функции от матриц
91
или с помощью (2.3), (2.4) через обычные функции. В данном па-
раграфе анализируются примеры использования как выражения
(2.5), так и выражений (2.3), (2.4). Существование правых ча-
стей этих выражений (безрезонансный случай) при этом предпола-
гается и специально не оговаривается.
Рассмотрим сначала примеры использования формулы (2.5).
для нахождения установившихся составляющих решений уравне-
ния состояния
ы L«c
(2.6)
последовательной 7?£С-цепи (рис. 2.1) при различных видах воз-
действующего напряжения. Применительно к уравнению (2.6) эта
формула имеет вид
где Fi(p; t), F2(p; i)—изображения ЛПЛ функций f2(t)t
[в последнем равенстве учтено, что f2(t)=0 и, следовательно,
Fa(p;O=0].
Пример 2.4. Пусть воздействующее напряжение цепи постоянно: a=u(f) =
1 1
= Ua. Тогда /1 = /1 (О = — Uq, Fi (р; t) = —— = р~1 — иои, следовательно,
L рь L
lL
_иС _
— А-1
Wi]
О Г
При этом полное решение уравнения состояния имеет вид
lL
Пример 2.5. Пусть воздействующее напряжение изменяется по синусоидаль-
ному закону и(/) = um sin(co/-|-i|>). Тогда ft(t) = \/LUm sin(co/-f-i|>),
„ , 1 ,r P sin (<о/ +ф) + w cos (at + ф)
F\ (p‘, t) = —rum------------------------—— ----------------------=
L p2 +
= -£- Um (p2 4- 0)2)—1 [p sin (at + Ф) + <0 cos (at + ф)]
92
и, следовательно,
г£
.аС -
— — Um (А2 + <t>2 I)—1 [A sin (at + <р) + Щ 1 COS (at + <р)]
Т
0.
При этом полное решение запишем как
+ -^(А2 + м2 1)-1х
X (A sin + ю 1 cos
Um
— (Д2 + м2 1)-1 [A S'n (at + Ф) +
+ <0 1 cos (at + <р)]
'Г
.0.
Пример 2.6. Пусть воздействующее напряжение изменяется по линейному
закону «(/)=§/. Тогда
1 1 / В/ В \ ₽/ В
/1(0 = -7-^> F^P> Ъ = ~Г „ + 2 =* / г
L L \ р р2 j L L
н, следовательно,
- (А-1 ₽//£ -}- А-2 р/£)
При этом для полного решения имеем
Пример 2.7. Пусть воздействующее напряжение изменяется по закону
и(О = г/о(-1)Е<‘) (СМ. рис. 1.9, Т=2). Тогда fx (t) = -у Uo ( - 1)Я W, а изоб-
ражение ЛПЛ этой функции на первом периоде имеет вид
Г1 - е* sech 1 = р-1 [ 1 - еР sech ,
р£ [ 2 J Z. L 2 J
_ [1 _ еР sech —] = - р-1 Г1 - е* С'"1-6) sech ^-1,
pL 2 J L L 2 J
/ = [1,2].
Установившаяся составляющая решения уравнения (2.6) на первом периоде
определится как
93
<e[0. 1);
/(=[1, 2].
При этом полное решение уравнения состояния
где свободная составляющая имеет вид
+Л-.-Щ'[.-го+.*>-][;]].
Аналогичным образом выражение (2.5) используется и для на-
хождения решений уравнений состояния других электрических це-
пей. Рассмотрим, например, уравнение состояния
d 1l
At
=A
(2.7)
цепи, изображенной на рис. 2.2.
Пример 2.8. Пусть в уравнении (2.7)
u(i) =и0(— l)E(f), Установив-
шаяся составляющая решения уравнения
(2.7), согласно (2.5), имеет вид
-Л(А; t)
[i]
_«С _
р 2 2 Часть установившейся составляющей реше-
ния уравнений (2.7), обусловленную дейст-
вием источника напряжения «(/), можно
описать таким же выражением, как и установившуюся составляющую решения
уравнения (2.6), т. е. для первого периода функции «(/)
-Я1(А;
1—еА^ °’5) sech
/е[0, 1);
A-i-Mi-e^'-^sech-MR
L L 2 J[О
t е [1, 2].
Различие состоит лишь в том, что коэффициенты матрицы А здесь имеют другое
значение.
94
Для определения другой части установившейся составляющей решения
уравнения (2.7), обусловленной действием источника тока, найдем
Л (О = 7- J (О = 7- h & -* F2 (р; О = - = (р - ₽)-* ** ,
С С С (р — р) с
гот
/=2 (А; О 1 = (А
[?]•
Я-О-'ТГ-е”
и
Заметим, что, поскольку функция F2(p\ t) непериодическая, установившая-
ся составляющая решения уравнения (2.7) также является непериодической
функцией. Для произвольного интервала времени /е[26, 2(6+1)], длительность
которого совпадает с периодом Т = 2 функции и(/)>
- А- 1Г1- еА (/-2Л-0.Б) sech
t е [26, 2k -ь 1];
А-1Г1 - eA('-2ft-i.5) sech-y
/е=[26 + 1,2(6+1)].
При этом полное решение уравнения (2.7) имеет вид
где
= еА/
l0L
.U0C
+ А-1 [1-2(1 +еА)“Ч
+ (А-₽1)-1
О
Л
L с -*
Определим установившиеся составляющие решений уравнений
состояния через обычные функции с помощью (2.3), (2.4).
Положим, что параметры последовательной 7?ЛС-цепи (см. рис.
2.1) /? = 3 Ом, L= 1 Гц, С = 0,5 Ф. Тогда в уравнении состояния (2.6)
А =
-3 -1
2 0 ’
t= 1=( “
Ш 1.0.’
Собственные значения матрицы А различны: си=—1, ct2 = —2. По-
95
II
и'с
этому для нахождения установившейся составляющей решенш
данного уравнения следует использовать выражение (2.3), соглас
но которому
= “[PjF(cii; t) -|- P2F (Ct2; 0],
где F(p; /)=[Fi(p; ^O]' —изображение вектора f(0 =[A(00]f =
= [w(/)OP. Проекторы Pi, P2 для данной матрицы были определен!
в § 2.2.
Пример 2.9. Пусть в рассматриваемой цепи напряжение постоянно: и (t)=>
= Ua. Тогда
F(p; 0 =
_ис.
о
и0_
Полное решение рассматриваемого уравнения имеет вид
Поскольку вопросы представления преходящих составляющих решений
уравнений состояния были разобраны в § 2.3, в дальнейшем они не рассматри-
ваются.
Пример 2.10. Пусть в рассматриваемой цепи напряжение изменяется по си-
нусоидальному закону u(t) = Um sin(w/4-t|)). Тогда
F(p; 0 =
- [р sin (at 4- ф) + a cos (at 4- ф)] Цт
4- O>2
0
Следовательно,
lL
uc
-[(—1) sin (at 4- ф)+о>С08 (м^+ф)] Um -
( — 1)2 + <o2
0
- [( — 2) sin (at 4- ф) 4- a> COS (at 4- ф)] (fm -
( — 2)2 4- <o2
Um '3»2 sin (at 4- ф) 4- (2<o — ш3) COS (at 4- Ф)
4 4- 5<o2 4- O>4 (4 — 2<o2) sin (at 4- Ф) — 6<O COS (at + ф)
96
Пример 2.11. Пусть в рассматриваемой цепи напряжение изменяется по ли-
Г/р/ 3 \
пейному закону u(t) =₽/. Тогда F (р; t) = — + —— О
IA р Р21
Следовательно,
Аналогичным образом определяют установившиеся составляющие решений
уравнений состояния данной цепи и при других видах воздействующего напря-
жения.
Пример 2.12. Пусть в цепи, изображенной на рис. 2.2, y?, = ??2 = 10 Ом, L =
“0,6 Гц, С=103 мкФ. При этом уравнение состояния (2.7) имеет вид
d Q'
d/ [ис_
50 5 q
3 ~ 3
1000 - 100.
- и (t) -
0,6
-1000/(0-
Ноложим u(t) = Uo(-~ 1)Е<‘>, J(/)=0,5 А, где £7о = 1ОО В, а=л-10-3 с.
Найдем собственные значения матрицы A: cti=—50, а2 =—200/3. Так как
• >ни различны, то для определения установившейся составляющей решения необ-
ходимо использовать формулу (2.3), которая в данном случае имеет вид
1L
ч'с
— [₽iF(a,; t) + P2F(a2; О]-
I [роекторы матрицы А
А — a21
р ------------
а1 — а2
3 -0,Г
60-2
Р2 = 1- Р1 =
'—2 0,1
-60 3
Гак как функция f=f(J) периодическая с периодом T = 2a=2n-10-3, то ее изоб-
ражение ЛПЛ также будет периодической функцией. Для первого полупериода
Uo
F(p!
'Л (Р! О
,f2(p; О
р0,6
l-e-P <°>5e-z>sech-^-
цля второго
F (р;
Г Fl (р; О'
Lf2 (р; 0.
Up
р-0,6
1 — ер(|,6а г> sech
500
Р
, i'G [а, 2а].
I 151
97
Установившаяся составляющая решения рассматриваемого уравнения на
первом полупериоде
L“cJ
3 -0,1
60-2
Up
( — 50)-0,6
е- (-50) (0,5a—Z) sech й(~5°) 11
500/( —50)
— 2 0,1
-60 3
— 200/3)-0,6
e- (-200/3) (1,5a—*> sech ? ( — 200/3)
500
(- 200/3)
4,75- 10,78 е~50/
-52,5 — 215,7 е”50'
200
4-5,52 е 3
_ 200
+ 16,5е 3
на втором полупериоде
-иС.
3 -0,1
60-2
1 _ е- (-«О (i.Ba-f) h ^=50)11
(-50)0,6 [ 2 J
500/( - 50)
— 2 0,Г
-60 3
(-200/3)0,6
l_e-<-2®/3> sech
я (-200/3)]-]
J L 500/( - 200/3)
* 200 / . _q\ -
__ -5,25 + 10,75e“50('-’t I0~3)-5,52 е~~
— (i тп 3]
47,5 + 215,7 е“50('-’с10-3)- 165,6 е "3~
Пример 2.13. Пусть в последовательной /?£С-цепи (см. рис. 2.1) /?=1 Ом,
£=1 Гц, С = 4 Ф. Уравнение состояния такой цепи имеет вид
d
d/
lL
ис
L
ис
V1'
/2
Г - 1 - 11
0,25 0
/2
2
+
L
2
, t e [a, 2a].
' i
= А
. A =
, f =
u
0
Матрица А имеет собственное значение cti=—0,5 кратности два. Согласно
выражению (2.4),
Г ii-
= -lBnF(ai; O + Bi2F(1)(ai; /)] = -[F(ai: 0 + B^f'1* (a,; О].
L"cJ
где Вн = 1, В12 — компоненты матрицы A; F(1) (р’, t) =----. Для рассмат-
ар
риваемой матрицы (см. § 2.2)
B12 =
-0,5 -11
. 0,25 0,5]'
98
Пусть воздействующее напряжение изменяется по закону и (/) = (—1 )*(*/<»>.
Тогда
F (/>; I) =
ГЛ (р; 01
1Л(р; 0J
р-ip-e-^O’^-^sech-^-Jj, t е [0, а];
— р—1 [1 — е—p(1,5a-z)sech ~7р1 • t — \.a< 2а];
F(1) (р; 0 =
Г— —;Г1 — е р(0,5а. z)sech fa 4-a th^-— 2/'| е_р(0’5а_/) X
L Р2 L 2, J 2р |_\ ’ 2 j
, аР
X sech
, t е [0, а];
е-Ра,5а-0 sech ££ _ Ff3a + а lh2£. _ 2Л е-р (1,Ба-0 х
£ J l\ /
ар 11
X sech —— j , t e [a, 2a].
Установившаяся составляющая решения для первого полупериода
— 4 + f 4 — а + a th —- 4- 2/1 е0,5 (0,5a Z) sech —-
\ 4 ) 4
О
Р _ f 1 _ th 4)1 е0,5 sech ~
L 2 \ 4 /J 4
1 _ Г1 - ~ fl - th—) + 1/2/1 е0,5 (О’50-') sech —
L 4 \ 4 ] J 4
для второго полупериода
, /G [0, а];
/е[а, 2а].
Таким образом, установившиеся составляющие решений урав-
нений состояния могут быть определены через функции от матриц
согласно (2.5). Нахождение же этих составляющих решений в ви-
де обычных функций согласно формулам (2.3), (2.4) требует гро-
моздких выкладок. С ростом размерности уравнений эти выклад-
ки усложняются, а сами выражения решений через обычные функ-
।
99
ции теряют свою компактность и наглядность. Заметим, однако,
что, несмотря на усложнение самой схемы и вида воздействующего
напряжения, общие решения для х', х" получают одинаково прос-
то, что имеет большое значение. Усложняются формулы для описа-
ния единичной переменной состояния. Матричная же форма остает-
ся простой. При этом возникает проблема численной обработки
выражений, содержащих матричные функции (см. гл. 5). При необ-
ходимости получения результата в виде обычных, а не матричных
функций интерес представляет возможность достижения результата
наиболее рациональным образом, для чего может быть осуществле-
на, например, замена переменных в уравнениях состояния, обеспе-
чивающая наиболее удобный для использования формул (2.3),
(2.4) вид матриц коэффициентов.
§ 2.5. Замена переменных состояния при расчете
сложных электрических цепей
В практических задачах в качестве переменных состояния элек-
трических цепей обычно выбирают токи в катушках и напряжения
на конденсаторах (соответственно потокосцепления и заряды). По-
этому для таких переменных более детально разработаны алгорит-
мы формирования уравнений состояния цепей различных классов.
Вместе с тем процедура решения уравнений состояния может ока-
заться более простой и наглядной при выборе иных переменных.
Рассмотрим такую возможность подробнее.
Пусть для сложной электрической цепи уравнение состояния
(2.1) сформировано относительно некоторого вектора переменных
состояния хе^?т. Выбор другого вектора переменных состояния
у^Ят, связанного с первым вектором через невырожденную тхт-
матрицу S с постоянными коэффициентами y=Sx (x = S-1y), приво-
дит к уравнению вида
y=By+g, B=SAS->; g=Sf, y0=Sx0. (2.8)
При этом подбором матрицы S можно обеспечить получение та-
кой матрицы В, спектральное расщепление которой имеет ряд по-
ложительных свойств. Наиболее простым такой подбор является в
том случае, когда все собственные числа as, k — \, 2, ..., т, матрицы
А различны. Так, выбор в качестве столбцов матрицы S правых соб-
ственных векторов матрицы А приводит матрицу В к жордановой
форме
О
B = diag ак=
и обеспечивает расщепление последнего
уравнения на т скаляр-
100
пых уравнений yh = akyk+gk', k=l, 2, т, решения которых доско-
нально проанализированы и изучены в гл. 1.
Пример 2.14. Используем замену переменных
> юяния R.LC-цепи (см. рис. 2.1)
d
для решения уравнения со-
£
МС.
Ом, L=1
уравнения
•-3 -1
2 О
и (О'
О
lL
.ис.
Гц, С=0,5 Ф. Собственные значения матрицы
ai = —1, а2 =—2. Правые собственные векторы
। параметрами Л=3
коэффициентов этого
•ной матрицы, по определению, удовлетворяют уравнениям
-з -при
. 2 О] [р21
выбрав в качестве этих векторов [Р11Р21]г = [1—2][Р12Р22]'= [1—1]', для
матриц S, В и вектора g получим
s_pii ₽!21 _ Г 1 1’
L₽21 P22J 1 — 2 —1.
-3 -1
2 О
; B = SAS-! =
L О
Q’
— 2
и (О
-2ц (01 ‘
Таким образом, от рассматриваемой системы уравнений
шум уравнениям: yt ——у\ + u(t), у2=—2у2—2u(t). Решив
чярные уравнения, определим искомые переменные:
R11
£
-иС .
= S-1
g
— 1 — 1 ) [>!
2 1
У2
можно перейти к
эти простые ска-
' — (yi + yiY
2yi 4- у-2
У2
В качестве матрицы S преобразования
y = Sx (x = S~2y) может быть выбрана и матрица с переменными во
нремени коэффициентами: S = S(O- Тогда уравнение (2.1) примет
ВИД
[S-1 (ОУ] = AS-ЧОУ + f-У±S-i(O-^-=AS-1 (0у + L
переменных состояния
Преобразовав последнее уравнение, получим
y=By+g, B=S(o[aS-4O-^^
При переменной матрице S(t) наиболее интересен случай, когда
S(0=2 ,
к-i
где Ph — проекторы матрицы А; ш, Л = 1, 2.т, — действительные
т
числа. При этом матрица S_40=2 > в чем можно убе-
Л-1
диться перемножив матрицы S(/) и S-1(0 с учетом свойств произ-
101
S(/)f.
ведения проекторов (2.2). Система уравнений состояния, записан-
ная для переменных y=S(/)x, в этом случае примет вид
т т
y = By+g, В=А-2Р^'
Л-1 Л-1
Как видно, матрица В постоянна, а ее собственные значения
а*—/сой, Л=1, 2, ..., т. Подобная замена переменных позволяет из
менить мнимые части характеристических показателей, сделав их,
в частности, равными нулю, т. е. исключить колебательные члены
из свободных составляющих решения. Последнее достигается, если
считать величины соь равными мнимым частям собственных значе-
ний матрицы А, т. е. ид = 1т(а^). Заметим, что для матриц с чис-
то вещественным спектром упрощается алгоритмическая реализа-
ция формул (2.3), (2.4).
Пример 2.15. Рассмотрим преобразование уравнения состояния последова-
тельной LC-цепи
d Pl
di ис
Собственные значения матрицы коэффициентов ai,2 = ±/coo, где Ыо—ЦУьС. Со
ответсгвующие проекторы имеют вид
При использовании стандартного подхода, согласно (2.3), установившаяся со-
ставляющая решения выражается только с помощью комплексных чисел:
~U («Г. О
О
U (/“о! О + U ( — /ч>0; I)
1
2£
Для матриц S(f) и S~l(Z) при <а1 = шо, «2= —«о
S (0 =-- Pi + Р2 е/ш°' =
COS
cos
102
S-1 (0 = Pi e/m»' + P2 e“}a>»1 =
sin u>Qi
COS <л0{
COS <^q(
Приняв y = S(/)x, получим уравнение (2.8), где
В == А — Р]/“о + ₽2 /“о == А — (Pj — ₽г) /“о = О?
g = S(O L U(t}
— и (О COS ы0<
О J L — oiq и (t) sin ш0<-
Гаким образом, от рассматриваемой системы уравнений, матрица коэффициен-
те которой имеет чисто мнимые собственные значения, удалось перейти к двум
простейшим уравнениям yi = — cos (<), Уг=—Mo sjn Qotu(t) с веществен-
ными (нулевыми) коэффициентами. Решив эти уравнения, определим искомые пе-
ременные:
= s-i(0
У1
У2
COS
COS U>oty2
Следовательно, путем замены переменных можно получить но-
вые уравнения состояния, аналитическое решение которых более
просто.
§ 2.6. Резонансные решения уравнений состояния
Выражения (2.3) — (2.5) для решений уравнений
ли получены в предположении существования
Fj(p; t) вместе с производными F;s-I>(р; /)= d —
состояния бы-
изображений
в
спектре матрицы А, т. е. в точках р = аь. Эти выражения соответст-
вуют безрезонансным решениям. Если же отмеченное условие на-
рушается, то получают резонансные решения уравнений состояния.
Для нахождения резонансных решений уравнений состояния (2.1)
сложных цепей можно воспользоваться приемом, разработанным
для определения резонансных решений уравнений состояния прос-
тейших RL- и ^С-цепей.
Пусть аг — собственное значение матрицы А, при котором изо-
бражение F (р; t)=[Fi(p; t) ... Fm(p; ()]‘ вектор-функции f(() =
— [Л (0 ••• уравнения состояния (2.1) не существует, точ-
нее— отдельные компоненты вектор-функции F(р; t) имеют при
р=аг полюсы. Рассмотрим наряду с уравнением (2.1) уравнение
х*=—Ах* 4-f*,
(2.9)
103
в котором f* = e~8tf, т. е. функции х*, f* зависят от переменных t и
е: х*=х*(/; е); f*=f*(/; е). При этом начальное условие примем
не зависящим от 8 и совпадающим с начальным условием уравне-
ния (2.1), т. е. х*(0; 8)=х(О)=хо. Решения х и х* уравнений (2.1),
(2.1), (2.9) связаны соотношением
х(С=хсв(/) + хпр(/)=11тх*(Л е)==11тх*св(/; е)-|-Ит х*пр (/; е),
t ->0 в ->0 е ->0
причем
Хсв(/)=11т х#с (/, е)=Х*св(О, хпр (/) = Нт х*пр (/; г)
s I -Н)
Положим, что спектр матрицы А простой. Выбрав параметр е
достаточно малым, но не равным нулю, получим безрезонансный
случай, когда изображение F*(p; t; е) =e-etF(p + e; t) функции f(/)
существует при р = аь, k=l, 2.т, и, в частности, при ah = ar. При
этом
т т
Х*св(^ е)=2 Р*ев*'х0; х*пр(/; е)=2 РЛ [eB*'F# (aft; 0; е)—F*(aft; /; e)J.
б-i
Следовательно,
х(/)=хсв(/)4-хпр(0 = 2 pX*'x0+Hm 2 РЛ[ев^(аЛ; 0; е)-
л-1 8 ° 6=1
-F#(aft; /; е)]=£ РЛев*'х0 + 11т £ РЛ[eB*'F(aft4-e; 0)-
6-i 8 6-i
— e-*'F(aft-|-e; /)]•
(2.Ю)
Аналогичным образом находятся резонансные решения и в тех
случаях, когда матрица А обладает сложным спектром. Заметим
также, что если в точке р = аь полюсы имеют не все, а только неко-
торые из компонент вектор-функции изображений ЛПЛ F(p; t) =
=[Fi(P; t) ...Fm(p-, /)]', то и возмущенные функции имеет смысл
вводить не для всех, а только для соответствующих компонент
вектор-функции f(/)=[MO ••• Для нахождения пределов в
выражении (2.10) можно использовать правило Лопиталя (см.
§ 1.9).
Пример 2.16. Рассмотрим решение уравнения состояния
104
писледовательной LC-цепи при синусоидальном воздействии u=u(t) = Um sin Wot,
|де<о0= il\^LC- Собственные значения матрицы A ai,2 = ±jcoo. Так как первая
। омпонента изображения ЛПЛ
. ,, Л(р; О
F(p; 0 =
1^2 (р; 0.
Um(p sin со0/-|-ы0 cos ь>0/)/£ (р2 4- ш2)
о
имеет полюс в точках p=ai, a2, то имеет место резонансный случай. Проекторы
матрицы А (см. пример 2.15)
I Гри этом свободная составляющая решения уравнения состояния
Z, (i) '
Лев ' '
«Ссв(0.
= (Р1 е"1' +Р2еаз')
год
.“ос.
COS
zoz.
.“ос.
Принужденная составляющая, согласно (2.10),
“спр(0.
= lim Um
б-*о
е^“0< «о — е ,l [(/a>o + е) sin u>ot + a>0 cos u>0Z]
£ [(/“О + s)2 + “о]
о
е а0 — е [(— /Ч) + 0 sin + мо cos мо^1
£ [( — /“о + »)2 -1- “о]
О
X
Раскрывая иеопределеииость по правилу Лопиталя, получим
105
1 Тпр
.“Cnp
(О'
(О
0,5(/т
t (/u>o sin 4- ид cos a>o<) — sin a>o^
2/wqA
0
t ( — /oJQ sin 4* °>о cos “oO — Sit!
— 2
= 0,5Um
t . .
-j- sin шос
sin tog/ — /“0 cos u>q{
Полное решение уравнения состояния имеет вид
'lL
.UC.
£cb
U„^
L Сев
?Lnp
.“Cnp.
хГ
04
.“(JC.
cos й>о^
+ 0,5U m
t
— sin u>0<
sin wqZ — iwQ cos
COS ti>0<
X
Формальио решение можно представить и в виде суммы преходящей х" и уста-
новившейся х' составляющих, положив
При этом установившаяся составляющая решения будет уже не периодической,
что является характерной особенностью резонансных решений уравнений состоя-
ния с периодическими воздействиями.
Рассмотренный подход позволяет получать выражения для ана-
литических представлений резонансных решений через обычные
(скалярные) функции. Заметим, что с ростом размерности решаемо-
го уравнения определение спектра матрицы А и полюсов компонент
106
вектора F(p; t) становится более трудоемким, а получаемое выра-
/кение решений через элементарные функции — не наглядным. Для
уравнений больших размерностей решения целесообразно записы-
вать в матричном виде, особенно если в дальнейшем предполагает-
ся их численная обработка. В последнем случае следует использо-
вать единое представление решения, справедливое как для резо-
нансного, так и для безрезонансного случая, с тем чтобы исключить
>тап трудоемкого анализа резонансных свойств уравнений. Возмож-
ность подобного представления решения была обоснована в § 1.9
1ля скалярного уравнения x—ax+f, х(О)=хо [см. выражение
(1.9)]. По аналогии с этим представлением для решения уравнения
состояния (2.1) можно записать
x=xCB + x„p=eAZx0 + 2 [ep‘Fj(P', ОЦр-а»/,
'7-1
(2.11)
где под выражением [егТ/(р; 0)—F/(p; /)] понимается соответст-
вующий степенной ряд.
Пример 2.17. Рассмотрим решения уравнения состояния
когда напряжение источника иапря-
тока изменяется по линейному зако-
цепи, изображенной на рис. 2.3 для случая,
кения постоянно u(t)=Uo, а ток источника
ну J(t) = 0/. При
X — 0 -“c. ; f = vr /2 /3 = К 0 Lc p ; a = 0 0 -~ 7-1 1 0 0 — 7-2 1 1 _c “ c ° „
панное уравнение представим в виде (2.1), т. е. x=Ax-f-f; х(О)=хо. В резуль-
1зте получим:
1 u0 , a г t i \
Л(р; 0 = 7—7 - Р2(р; О = о, г3(р; 0 = 7- ~+ т •
L р с \ р р2 )
Для использования формулы (2.11) найдем соответствующие степенные ряды:
(00
pktk
k\
Up VI рк-^к .
L k\
k-1
107
[е₽/ F3(p; 0)-5з(р; 0] = 4-
С/
оо
_р2£_ _
21 k\ р2
6 = 0
Согласно (2.10),
£_ yi ^~2tb
с 2i k\
ft = 2
V-OA< v , 0 X
x = e xo + — 2j
й = 1
Aft-2?
--------83
Л! 3
Полученное в примере 2.17 выражение не содержит операции об-
Рис. 2.3
ращения матриц, что имеет принципиаль-
ное значение, поскольку матрица А здесь
вырождена (т. е. ее определитель равен
нулю и она имеет нулевое собственное
значение). Таким образом,рассматривал-
ся резонансный случай, при котором пред-
ставление решения в виде (2.5) не дейст-
вительно. Его представление в виде (2.11)
не требует проведения анализа резонанс-
ных свойств решаемого уравнения. Следует отметить, что получен-
ные аналитические представления решений в виде степенных рядов
малоинформативны и непригодны для качественного анализа. Цен-
ность формулы (2.11) заключается в ином. На ее основе удается
создать численно-аналитические методы решения уравнений состоя-
ния, нечувствительные к их резонансным свойствам и в то же вре-
мя в максимальной мере учитывающие аналитические особенности
решений. Рассмотрению таких методов посвящена гл. 5.
§ 2.7. Спектральные характеристики решений
уравнений состояния
В теории электрических цепей наряду с описанием процессов во
временной области широко распространено их описание в частот-
ной области с помощью спектральных характеристик. Как показано
в [1], для получения спектральной (частотной) характеристики функ-
ции времени f(t), такой что /(()==() при /<0, достаточно в ее изо-
бражении F(p) заменить р на /со, где со — угловая частота. Полу-
ченная спектральная характеристика F (ja) отвечает разложению
непериодической в общем случае функции f(t) в непрерывный
спектр синусоидальных составляющих. Комплексную функцию
Fкомплексного аргумента принято выражать через веществен-
ные функции вещественного агрумента со. При этом ее представля-
ют или в алгебраической форме F(/co) =Fi(co)+/Т2(со), выделяя
вещественную ЕЦсо) и мнимую Fz((i>) частотные характеристики,
108
или в показательной форме F(ja)) —F(a>)e!a^\ выделяя амплитудно-
частотную /’(со) и фазочастотную а (со) характеристики. Так как
переход от одной из форм к другой прост, например
= a(u) = arctg-^+^-,
Л(“ )
то в дальнейшем ограничимся представлением спектральных ха-
рактеристик только в одной форме — алгебраической.
Рассмотрим особенности получения спектральных характери-
стик для решения уравнений состояния (2.1) с нулевыми началь-
ными условиями. Согласно формулам (2.4), (2.5), решения подоб-
ных уравнений могут быть выражены через обычные (скалярные)
функции
<7 mk
х(О = х'(О + х"(О= -2 2 ') +
Й-1 5-1
q mk q mk
+2 2 B^'(i~1)e^ 2 2 0) (2-12)
Й-1 5-1 Й=1 5-1
или через функции от матрицы
х(/) = х'(О + х"(О=— F (A; O-|-eA'F (А; 0). (2.13)
В первом случае каждая компонента xi(t) вектора х(() =
= [xi ((),... ,xm(t) ]z описывается своей аналитической функцией,
для которой получение изображения Лапласа Xt(p) и спектраль-
ной характеристики Xi(ja) не вызывает проблем. Во втором случае
требуется найти изображение Лапласа функций от матриц. При
этом можно использовать таблицы преобразования Лапласа для
соответствующих скалярных функций. Например, так как 2>[а] =
=р-Ч 2’[е“'] = (р-а)-1, то 2’[А]=р-1А, S [е А'] = (р- 1-А)-1
[правую часть последнего выражения называют резольвентой мат-
рицы А и обозначают ЯР(А); таким образом, 3?[eAt] =RP(A) ]. Для
обоснования этого утверждения достаточно воспользоваться основ-
ной формулой для функции от матриц. Прежде чем обратиться к
примеру, заметим, что спектральная характеристика аддитивна,
т. е. для функции х(/) =х'(()4-х"(() получим Х(/и) = Х'(/со)-ф-
-фХ"(/и), где Х'(/и) и Х"(/и) — спектральные характеристики со-
ставляющих х'(() и х"((). Так как для данной матрицы А вид
функции времени преходящей составляющей известен:
q mk Ч
х"(о=у у 2 °)>
или
х"(/) = е-А/ 2 F/(A; 0)6z=eA'F(A; 0)’,
i-i
109
то для нее заранее можно указать и вид функции спектральной ха;
рактеристики. Для этого запишем соответствующее изображенйе
Лапласа функции х"(0:
д д тк
X"W=S SB,’<7^F 2 2 B'-F" 0)'
Л-l 5—1 Л-1 5-1
или в матричном виде
X"(/>)=/?/>(А)2 FZ(A; 0) 6z=/?p(A)F(A; 0),
i—i
где 7?р(А)==(р1—А)-1 — резольвента матрицы А. Для соответст
вующей спектральной характеристики
(2.14)
или в матричном виде
X"(»=fl7a>(A)F(A; 0), /?/а>(А) = (7ш1 - A)~i, | (2.15)
Спектральную характеристику преходящей составляющей решения
можно представить и в алгебраической форме. Так, при матричном
представлении (2.15)
X" (усо) = (/«1 - A)-i [(/col + А)-1 (7ш1 + A)] F (А; 0) =
1
= -(o)214-A2)-i(>l + A)F(A; 0) = -A(o1214-A2)~1F(A; 0) —
— /со (со21A2)-1 F (А; 0).
Таким образом, для вещественной и мнимой частотных харак-
теристик
^(«^-(оЯ+А2)-^ 2 ^z(A; 0)6z=—(со21 — A2)-1AF(A; 0);
z-i
(2.16)
А’’2(“)=—со(ш21-|-А2)-1 ?i(A; 0)6z=—со(со21 — A2)-1F(A; 0).
Z-1
Пример 2.18. Определим частотную характеристику решения уравнения со-
стояния
d
dzf
'fl
f2
' —R/L - 1/Д-
1/C 0
/Я _г«(О/Д-
.^2J~L 0
110
последовательной RLC-цепи (см. рис. 2.1) при нулевых начальных условиях и по-
стоянном воздействии u(t) — Ua. Так как Fi(p-, t) = Ua/(pL), Л(Р; 0=0> следо-
вательно,
г£
«С
— А-1
U0/L
О
+ еА'д~1
г/0/л
о
Согласно (2.15), выражение для частотной характеристики преходящй состав-
ляющей имеет вид
Г/1О) 1 I
= /?, (A)F(A; 0) = /?, Л1(А; 0)81=/?, (А) А-1
^c(»J /m [О
Для вещественной и мнимой частей этой характеристики, согласно (2.16),
i'll (о)) / Г ^о/Д
У1С (“).
= — (0)2 1 + Д2)-1 А А-1
Z2£ (ш) '
2С (ш)_
г/0/д’
= _ (ш2 1 + Д2)-1
(
= — 0) (0)2 1 + А2)—1 А-1
Uq[uiL 1\
О J/
Для определения частотной характеристики установившейся составляющей ре-
шения запишем изображение Лапласа этой составляющей:
= - р-1 А-1
Для частотной характеристики установившейся составляющей решения
Uq/uiL
= — о)2 (о)2 1 4. Д2)-1 А-1
ро/Л
= — (»-1Д-1
Л(»'
_^с(Л>)
Для вещественной и мнимой частотных характеристик этой составляющей
Z2Z.(“) 1 Г^оМ
= А—1
Таким образом, частотная характеристика решения рассматриваемого урав-
нения имеет вид
/£ О)
Uc{ju>)
У (»
Ус О)
< (»
и'с (У>)
и0
= J А-1 0)Д
+ /?/<в(А)А-1
^1С (“)
о
о
о
о
О
О
О
_^2с(“).
О
О
О
При этом для вещественной и мнимой частотных характеристик получим
hL (“)
£71С(“)
zu(“) "I Г1 !£<“)
Ухе (“) J L^i’c <“)
— (0)2 1 4- Д2)-1
о
in
hL (“)
U2C (“>)
r^'
, + „
_^2C (“)
u*
— up (ti)2 1 + Д2)”1 A-1 aL
=: [1 — (ш2 1 4- Д2)-1 otf] Д-1
0
Аналогичным образом находятся частотные характеристики ре-
шений уравнений состояния и при других, более сложных воздей-
ствиях. Не останавливаясь подробно на таких примерах, заметим,
что для построения частотных характеристик преходящих состав-
ляющих решений определять эти составляющие решения не тре-
буется. Достаточно определить изображение Лапласа воздействую-
щих функций и затем воспользоваться формулами (2.14) — (2.16).
Покажем, что и частотные характеристики установившихся со-
ставляющих решения можно получать непосредственно по виду
уравнения состояния, минуя этап определения собственно устано-
вившихся составляющих решений. Для этого введем новый тип
преобразования—двойное преобразование Лапласа (ДПЛ). Под
ДПЛ функции f(t) будем понимать выражение
Ф(А; Рг)— j ^~Pi‘F(p\, /)d/=C / j е—-J-т)dr j d/=
о о \6 J
0 6
В табл. 2.1 даны изображения ДПЛ простейших функций f(t).
Используя введенное преобразование, для установившейся со-
ставляющей решения уравнения состояния, записанной в скаляр-
ной
<? ть
Й-1 5-1
или в матричной
х'(Л=— 2 ОМр,-а=— F(A; /)
i-i
форме, определим изображение Лапласа в виде
112
d*"1
2^ ^s-i Ф(а;
>5l 5^1 Pi
fylPi, л)|р1-А»/=—Ф(А: pt),
Таблица 2.1
Оригинал f(i)
а
е“‘
sin(co<+’|’)
COS(GjZ-f-lfl)
t
*0>0
Изображение Ф(р,; р2)
а
P\Pi
______1_____
(Pi ~ а) (P2 - a)
(P1P2 — Mo) sin Ф + ц>о (pi + pa) cos ф
(M(p2M)
(piPa~ to2) cos Ф—<a0(pi + Pa) Si'nj»
(pM)(pM)
P1+ P2
P1P2
q~PJo g—P it о
Pi — Pl Pl ~ P2
где ®(pi; pi), p-i) —выражения ДПЛ вектор-функции f(t)~
~ [fi (0> — , fm (/)]' и ее i-й компоненты fi(t). При этом частотную
характеристику установившейся составляющей решения уравнения
состояния (2.1) выразим через скалярные
<i mk
Х'(» = -2 2 », (2.17)
Л-15-1
или матричные
X'(уи>)=—2 ф/(А; 7ю)б,= —Ф(А; /ю) i-i (2.18)
функции. В форме (2.17)
ФГ’Ча*; » = -^2_ф(А;
113
Пример 2.19. Применим выражение (2.18) для определения частотной ха-
рактеристики установившейся составляющей решения рассмотренного ранее урав-
нения состояния Я£С-цепи с постоянным воздействием u(t)=U0- Пусть fi(/) =
= U0/L, f2(/) =0. Следовательно, Ф1(рь рг) = (^о/^). ф2(Рь рг) = 0.
Тогда
г/с О)
Если в этом уравнении u(t) = Um sin a>ot, то
/i (0=Asin co0f,
Ф1 (Рь рг) = ~£- (Pi + “o) 1 (Рг + “o) !“o(Pi + P2)-
Согласно (2.18), для спектральной характеристики получим
г/т“о а (а2 + Ыц
= — (А2 + “о 1) 1 [(/“)2 + “о] 1 “о (А 4
— (А? + “о 1) 1 (“о — “2) 1 “о (А 4-/и 1)
г/т“0“ (А2 4- “о 1)
Ч“2-“2о)
Oj
1 Pl
0
0
Формулы (2.17), (2.18) позволяют строить частотные характеристи-
ки установившихся составляющих решений уравнений состояния и
с непериодическими, например возрастающими, функциями воздей-
ствия.
Пример 2.20. Пусть в рассматриваемом уравнении /?£С-цепи воздействую-
з
щее напряжение изменяется по линейному закону u(f) = ftt. Тогда /1 (/) =
Можно показать, что изображение ДПЛ такой функции имеет вид Ф(рь рг) =
3/1 \
= —- ------j" + “---- • Согласно (2.18), для спектральной характеристики уста-
L \ Р1Р2 PiP2 1
повившейся составляющей решения уравнения состояния получим
и'с w
= _1
L
—7 [А-’ (»~2 4- А-2 (М-Ч
А~1 <л-2
Г11
11
0]
з
4- j А 2 ш 1
Введенное преобразование позволило найти спектральные ха-
рактеристики для переменных состояния непосредственно по виду
уравнений состояния без их решения. Использование при этом
функций от матриц даст возможность спектральные характеристи-
ки решений уравнений состояния записать в компактном виде даже
в том случае, когда последние имеют большую размерность и слож-
ные воздействующие функции.
з
W ГЛАВА
АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
СЛОЖНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
С помощью функций от матриц находятся аналитические решения систем
дифференциальных уравнений второго порядка для цепей, содержащих только
реактивные элементы. Рассматриваются выражения этих решений через обычные
функции. Определяются аналитические решения дифференциальных уравнений
высших порядков, описывающих сложные линейные электрические цепи.
§ 3.1. Классический метод решения дифференциальных уравнений
состояния второго порядка реактивных электрических цепей
Электрические цепи, состоящие только из реактивных элемен-
тов, могут быть описаны дифференциальными уравнениями состоя-
ния второго порядка:
x=Ax-}-f, х(О)=хо, х(О)=хо, 31
x==x(t)^m, f(7)еA = {atj}mm.
В дальнейшем эти уравнения будем называть дифференциаль-
'ми уравнениями состояния реактивных электрических цепей или
осто уравнениями состояния реактивных цепей. В общем случае
уравнениям подобного вида могут быть сведены и такие уравне-
а состояния (2.1) произвольных 7?АС-цепей, в которых вектор пе-
ченных состояния х может быть разбит на два подвектора оди-
ковой размерности. В этом случае уравнение (2.1) может быть
шсано в виде
Xi _ Ап А12
Х2 J 1^21 ^22
ГхДО)
х2 т f2 J Lx2(0)
Хю
Х20
е Х1=[Х1, x2,...,xm]‘, x2e[xm+b хт+2,..., x2m] ‘ — подвекторы век-
эа переменных состояния; fi = [fi, /2..........f2 = [M+i, fm+2............
115
..., fem]* — подвекторы вектора воздействия; Ап, А12, А21, А22 — под-
матрицы матрицы коэффициентов уравнения состояния цепи. Пусть
выходными переменными являются только т переменных состоя-
ния xi, х2,...,хт. Исключим из последней системы уравнений пере-
менные подвектора х2. Для этого продифференцируем ее и подста-
вим в полученную систему
Ац А12 2
,A2i а22_
значение x2=Ai21 (Xj — АПХ! — fj) из уравнения состояния (пред-
полагается, что det А12=#0). В результате получим систему т диф-
ференциальных уравнений второго порядка:
x^BxiH-Dx^g, х1(О) = х1о, х1(О)=х1о, (3.2)
В=Ац-J-Ai2A22Ai2, D=А12А21 — AI2A22Ai2 Ац =
— А12(А21 —A22Ai2 А и), A 12f 2 — A12A22Ai2 f 1,
Xio=A1IXiO-}-A12x2o + f1 (0).
Для перехода к каноническому виду дифференциальных урав-
нений второго порядка произведем замену переменной
—г в/ 4- вг „
х = е 2 Xi(X!=e2 х). При этом получим
-^-(е2 B<x)=B(e2 B*x)-|-De2 B/x-|-g=>e2 B<x + Be2 В\-|-
d/2
-|—у В2е2 В\= В(етВ/х-|--у BeB;x)-f-De2 В\-|"б-
_1В/
Умножив обе части последнего уравнения на е 2 и перегруп-
пировав слагаемые, перейдем к дифференциальному уравнению
второго порядка в каноническом виде (3.1), где
A = D+"TB2’ f==e~B/g> х0=х10, х0==—J-Bx10.
1в«
Решив систему (3.1), получим xt = e2 х.
Пример 3.1. Рассмотрим переход от системы двух дифференциальных урав-
нений первого порядка
116
d
dt
-Z£(0)-
«с (0)
Zzo
.“co
i
C
последовательной /?ЛС-цепи к одному дифференциальному уравнению втоыио
порядка. Для этого обозначим Х1 = Д, x2=uc, fi = u(O/Z. f2 = 0, Ац“-#/С
Al2 =--l/Л, A21=l/C, A22 = 0.
Согласно (3.2), относительно переменной Xi = rI, может быть записано уравнении
d2f£
d/2
R Hr 1 1 .
+ ^<O) = zzo>
dlL , M<°)
dt L « L + L '
Для перехода к каноническому виду дифференциального уравнения введем
обозначения В= — R/L, D=—1/(ЛС), g=u/L и вспомогательную переменную
x = e-°’5B'x1 = eW(2£)>/'x1.B результате получим уравнение вида (3.1)
х = Ах 4- f,
где
1 —? 1 / р \2 1- t 1
х = е2 L Xi, А= ——— + 0,25[—-У, f = е2 L —и.
LC \ L ) L
Заметим, что для чисто реактивных цепей, особенно реактивных
цепей регулярной структуры и цепей, состоящих исключительно из
LC-звеньев, уравнения вида (3.1) удается получить более просты-
ми способами.
Пример 3.2. Составим уравнение состояния реактивной цепи, изображенной
на рис. 3.1, для случая, когда искомыми переменными являются токи в индук-
тивных элементах й, й. Продифференцировав уравнения второго закона Кирх-
офа
d/'i d/2
й — 4- uj = и (О; 1-2 — 4- и2 — “1 = 0
dt dr
d«i /1—Z2 du2 li
ч исключив из полученных выражений производные ---=------- ,----— —,
dr Ci dr Сг
юлучим систему двух дифференциальных уравнений второго порядка
вдвое сократить размерность математической модели цепи.
Проанализируем формулы представления решения дифферен-
циального уравнения (3.1). Решение дифференциального уравне-
ния второго порядка (3.1), так же как и решение дифференциаль-
117
Рис. 3.1
ного уравнения первого порядка (3.1), мо-
жет быть представлено в виде суммы сво-
бодной и принужденной составляющих
х=хсв+хпр или в виде суммы установив-
шейся и преходящей составляющих х=
= х/ + х//. При этом свободная составляю-
щая
xcn—cos [(—А)1;'2х0-Н—A)-1/2 sin [(—А)1/2/]х0
представляет собой полное решение однородного уравнения
х—Ах, х(О) = х0, х(О) = хо,
соответствующего уравнению (3.1), а принужденная состав-
ляющая
. —
хпр=(—A)-V2 j* sin [(—А)1/2 (/ — r)]f (T)dt
о
представляет собой частное решение дифференциального уравне-
ния х—Ax-f-f.
Таким образом, согласно первому представлению, решение
уравнения (3.1) может быть записано как
х — cos[(—A)W]x0-]-(—A)~v2 sin [(—A)V2(/)] x04-
t
4~(—A)-1/2 sinj(—A)1/2^ —r)]f (t)dt. (3.4)
6
Здесь под функциями от матриц cos [(—A)1/2Z], (—А)-1/2Х
X sin [(—А)1/2(] понимаются правые части выражений
г/ 1 I А<2 I А2/4 А*?* .
cos[<-A)V4j=l +—+— +
(-A)-W sin [(-А)'/2 /]= 1 / + Ц’+—4-... + Д>~‘-'2М- -j-...
1 J 3! ~ 5! ~ (2й - 1)! 1
и, таким образом, вторая функция имеет смысл даже в том случае,
когда detA=O. Составляющая хсв решения дифференциального
уравнения второго порядка соответствует процессам, которые про-
текали бы в цепи без источников энергии, но с ненулевыми началь-
ными значениями переменных х. Принужденная же составляющая
соответствует процессам, обусловленным действием только источ-
ников энергии в цепи при нулевых начальных значениях перемен-
ных состояния.
118
Пример 3.3. Рассмотрим решение уравнения [см. (3.3)]
1
1 1______________\
i-iCi ”1” ^2^2 /
— Р1]
d/2 [z2|
1
Z.1C1
1
L2C2
a/£f
0
П1 (0) _ Ло d Гz’i
U2(0)J J2oj’ d< |_z2j t-0
соответствующего цепи рис. 3.1, для случая, когда напряжение источника линей-
но растет во времени u(t)—at. Обозначив
1
iiCi
1
£2С2
iiCj
' 1_____ 1 \
”1" _
получим
/ю
. /20
Ч-(-А)-1/2
+ (— А)~1-'2 sin [(- А)1/2 t/
г a -
Li
L о J
dx
= cos ( — A)1/2/
sin [( — А)1/2 (/- т)] х
-H-A)~1/2 sin{( - A)1/2 /]
/10
/20.
X
+ (- A)~1/21 ( - A)-1'2 cos f( - A)’/2 (t - x)] I
a -]
0
= cos [(— A)1/2 /]
/10
./20.
MO
. /20
+ ( _ A)"1/2 sin [( - A)1/2 /] .
— A-1!1 — cos [( — A)1/-2/]}
При представлении решения в виде суммы преходящей и уста-
новившейся составляющих х=х'4-х" полагается, что преходящая
составляющая имеет вид
x"=cos[(—А)1/2/](х0 —Хо)4-(—A)-1/2sin[(A)1/2/J(x0 —хо)-
11ри этом полагается, что составляющая х', соответствующая уста-
новившемуся режиму в цепи, не содержит членов с матрицами
вида cos {(—А)1/2/], (—A)-1/2 sin [(—А)1/2/].
119
Для рассмотренного примера преходящую и установившуюся со»
ставляющие можно выделить из общего решения с помощью пере-
группировки его членов. В результате получим
h
= cos [(—A)1/2 Z]
г'ю
. г20
Ц-(А)-1
cos[(—A)1/2Z]
+(—А)-1/2 sin J(—A)1/21\
ho ’
Д'20 .
= cos [(—A)1/2/]
+(—A)~1/2 sin [(—A)t/2Z]
Так как
+ (- A)-V2 sin [(- A)V2/J
ho
. г20
Отметим, что при преобразовании было использовано свойство
коммутативности произведения функций от одной матрицы, т. е.
fi(A)f2(A)=f2(A)h(A) для fi(A)==cos[(-A)i/2/], f2(A)=A~’.
В общем же случае произведение функций от матриц А, В не-
коммутативно, т. е. fi (A)f2(B) #=f2(B)fi (А).
§ 3.2. Применение синус-преобразований Фурье
для нахождения установившихся составляющих решений
дифференциальных уравнений реактивных электрических цепей
Для построения установившихся составляющих решений диф-
ференциальных уравнений вида (3.1) весьма эффективным оказы-
вается применение синус-преобразования Фурье. Изображением ЗГ
(s; /) синус-преобразования Фурье некоторой функции f (/Н-т) бу-
120
дем называть выражение
f (s; Z) = -^-[F(/s; /) — F(—js; /)],
в котором j — мнимая единица; F(p; t) — изображение ЛПЛ функ-
ции f(t); s — комплексное число. Введенное преобразование веще-
ственной функции f(t) в комплексную функцию FT (s; t) назовем
синус-преобразованием Фурье (ЛСП) и обозначим как
£(s; t)=St\f{t)\.
Если при этом положить / = 0, то изображение ST(s; 0)=^"(s)
назовем просто синус-преобразованием Фурье. Название рассмат-
риваемого преобразования ST (s; /) обусловлено тем, что его удает-
ся выразить и через интеграл
$ (s; Z) = J /(/4-r)sinrsdt
о
в тех случаях, когда последний существует.
Пример 3.4. Определим изображение ЛСП для функции f(/)=asin a>t. Так
как
р sin <о/ —ы cos at is sin ш/ -4- ш cos ы/
5 (р; t) = а ---, Г (js; t) = a ---------------,
' /Й-|-а2 w ' _52_|.ш2
( — js) sin at + a) COS at
TO
_ j sin at
t)=-^[F(Js; t)-F(-js; t)] = a—------
x s* — co*
На основе определения ЛСП в табл. 3.1 даны изображения не-
которых простейших функций (оригиналов).
Применение ЛСП для нахождения установившихся составляю-
щих решений дифференциальных уравнений второго порядка рас-
смотрим на примере скалярного уравнения x=ax-\-f, х(О)=хо,
х(О)=Хо, соответствующего, например, последовательной RLC-pe-
пи (см. § 3.1). Решение этого уравнения, согласно классическому
методу, можно записать в виде
х=х'-\-х", x"=cos (К—at) (xQ — Xo) +
+ j7=- sin (K^) (x0 -xo),
где x' — установившаяся составляющая; x" — преходящая состав-
ляющая решения; х'о = х'(О); х/о=х'(О). Составляющая х', соглас-
но определению, удовлетворяет уравнению x'—ax'-{-f и не содер-
121
жит слагаемых вида cos (У —
1
-= sin
— a
ражение ЛПЛ X'(p-, t) этой составляющей удовлетворяет уравне-
нию
р2Х' (р; t) — рх' (t)—-'x' (t)=aX' (р; /)-|-F (р; t)
и не содержит членов, знаменатель которых имеет множитель (р2—
—а). Преобразуя последнее уравнение, получаем
(р — Уа) (р-УУа)Х'(р; t)=F(p-, t)-\-px' (0 + х' (t).
Таблица 3.1
(]/—а/)$2. Изоб-
Оригинал f(t)
Изображение 3- (з; /)
а
е«»
sin(a<-j-i|))
cos(<£^4-t|))
t
a/s
eat s
s2 4- a2
s sin (a>i 4- ф)
№ — 0)2
s cos («1 -j- ф)
S2 — 0)2
t
s
—sins(/-7o)l(/—<o)**
♦ 8(1—10) — импульсная функция (функция Дирака).
•♦1 (/—Zo) — единичная функция (функция Хевисайда):
. , ( 1, если t>t„\
1(<-<о)“ | 0, если 1<10.
Рассмотрим безрезонансный_случай, когда изображение ЛПЛ F(p\
t) существует при р=± Уа. При этом из существования правой
части последнего уравнения следует существование его левой части
при р=±Уа. Поскольку Х'(р; t) не содержит в знаменателе
множителя (р2~-а)=(р — У а) (р-{-Уа), то (р — Уа) (р-[-Уа) х
ХХ'(р; /) = 0 при р—±Уа. Следовательно, при р=±Уа обра-
щается в нуль и правая часть уравнения, т. е.
р(Уа; {)-{-Уах' (t)-j-x' (0=0;
F( — У а\ i) — Уах’ (0+^' (/)=0.
Вычитая из первого уравнения второе и проведя очевидные преоб-
разования, получаем следующее выражение для установившейся
122
составляющей через изображения ЛПЛ:
x’{t) = -^~[F(~Va; /)+Г(Га; /)] •
А У а
Учитывая, что ЛСП и ЛПЛ связаны соотношением
f (s; t)=^-[F(Js; t) — F( — js\ /)],
находим более простое выражение для установившейся составляю-
щей решения данного дифференциального уравнения второго по-
рядка:
х’= t) .
У - а
Отметим, что полученную формулу можно использовать и при а=
=0, рассматривая (рл — а)-1 & (И — а; t) как единое выражение
(фактически как предел при а->-0) аналогично интерпретации в
§ 3.1 выражения
(— A)-1/2sin [(— А)1/2 /].
В соответствии с полученным результатом полное решение ис-
ходного уравнения можно представить в виде
х (t) — xr (/)Ц-х" (t)=x' (04-cos (]/ —а/) (х0 — Хо) Ц-(]/ —-а)-1 X
X sin {У — at) (х0 — хо) = (К — а)-1 (/ — а; *) +
4-cos (V~at) [х0- (У^а)"1 f СК73»)] +
+ (К—а)-1 sin (У—at) [х0 — (У— а)~'£ (V — а; 0)],
где f (У^а) = дг (У^а; 0), # (У —а; o) = -^—f (У— a; t) | .
ас It-o
Применим полученные выражения для решения уравнения
—— ис= — 1/(LC)uc-j- 1/(LC) и, ис(О) — исо, uc(Q)=uCo,
описывающего напряжение на конденсаторе последовательной
LC-цепи. При
ис—х, —- l](LC)=a,
Mc=«c4-Wc, «c=~4=^-^(/Z7a; = Ф
у — a \ у lc /
Wc=cos (y^t) (aoc —Hoc)+ y=— Sin (У—at) OzoC— uac) =
123
1 ,
= COS^=T t
УLC
1 . 1
r— sin
Vlc
; о ,
-/Тб
F
где
; о =
\ У LG j СИ \ у LG /
Заметим, что выражение для свободной составляющей реше-
ния описывает процесс незатухающих колебаний с частотой 1/j/LC'
Пример 3.5. Пусть u=Umsin(£>t, « у= 1/у £С-Определим изображение ЛСП
для функции f=\iyLCw.
Um S sin at
&(S\ t)= —------------.
V ’ LC s2_m2
Подставив в изображение вместо параметра s значение Х/У LC, для установив-
шейся составляющей решения с учетом полученной формулы получим
| —='1 sin at
' __ ГТг Um LC>________________U™ sintl><
“c T G LC (1//ZC)2-g>2 - \—aiLC '
Для нахождения преходящей составляющей решения определим
Um sin at
& (S; 0) = ——------
k £C(s2-g>)2
Um Sa COS at | Um Sa
LC s^-a2 I t„0 = ~LC S2 — a2
Преходящая составляющая решения
’ / 1 AZ- uma{MVLC')
“ос + vlc sin \Vlc / l“oc i - a2ic )'
Полученные выражения для решения скалярного дифференци-
ального уравнения второго порядка могут быть обобщены и для
векторно-матричного уравнения (3.1):
x=Ax-{-f, х, х(О)=хо, х(О)=хо,
A {^"Z/Irnzn-
Решение данного уравнения, согласно классическому подходу,
записывается в
ставляющих, т.
выражения:
= 0, ^(s; O) = -J-^(S; t)
1_ . A Uma\)VLC
Vlc ’ ) \ — ^lc
ис = cos
виде суммы установившейся х' и преходящей х" co-
в. х=х'4-х", для которых справедливы следующие
т
X' = (-A)-V2 2^((-A)V2;
(3.5)
124
x"=cos[(—А)1/2/]
m 1
xo - ( - A)-V2 2 (( - A)V2; 0) dy 4-
/«1 J
+ (- A)V2 Sin [(- A)V2f\(x0 - (- A)-V2 2 /; ((0) 6,
I >=i
(3.6)
где t) — изображение ЛСП /-й компоненты вектор-функции
/ (/),/= 1, 2,..., m; fy(s; Z) = ^-F(s; О| , 6/= [бц, б/2,..., б/т]‘-
dr I(«о
вектор-функция, компоненты которой суть функции Кронекера:
|0, если k=/= j,
О/ь = I
11, если k = j.
Пример 3.6. Рассмотрим решение уравнений (3.3) для токов через индук-
1ивиые элементы электрической цепи, изображенной иа рис. 3.1, в том случае,
когда ее напряжение изменяется по линейному закону: и(/)=а/. При компакт-
ной форме записи такое уравнение имеет вид
— IZ1]=a[Z11 +
d/2 [z2| [z2j
du (t) -
dt
a/£i].
0 J ’
"(1/^1)
0
/1(0) _ /10 /1(0)
/2(0). ./20. ./2(0).
/10] < Г —l/(^iCi) l/(£iCi)
./20 l/(i2Ci) — + 1 (L'lCi)
обозначив
/1
/2.
*1
x2.
xeRi,
-fe£2, /1(/) = a/£1, /2(0 = 0,
определим изображения ЛСП для компонент flt f2 вектор-фуикций f:
^"i(s; О — a[(Lis), ^2(s; /) = 0.
Согласно (3.5), для установившейся составляющей решения рассматривае-
мого уравнения получим
= (_А)-1/2^[(_АП-1П =
Для нахождения преходящей составляющей решения найдем
[(- А)1/2; 0] = -у- (- А)-1/2; [( - А)1/2; о] = 0;
/•1
^1[(-А)1/2; 0]=0, А[(~ А)1/2; о] = О.
учетом (3.6) для преходящей составляющей решения уравнения получим
125
г *1 = COS [( - А)1/2 <] [Г'10] + ~ A-1 [’]) +
z’J lu2oJ Л LOJJ
+ (-A)1/2 sin [(-A)1/2/]
ho
ho
Выражения (3.5), (3.6) могут быть выражены, согласно основ-
ной формуле, для функции от матрицы А и через элементы ее
спектрального расщепления. Пусть матрица А имеет собственные
т \
значения а* кратностью тк, k=l, 2,... ,q I тк~m I , a Bk„, k —
' Й-1 /
= 1, 2,...,q, n—\, 2.mk— ее компоненты. Тогда установившаяся
составляющая решения (3.5) может быть представлена в виде
1 —>
£(«-!) (У-ак- i)
^о(/ —аЛ; /)=^(/ —аЛ; /),
где ^(s; /) е О — изображение вектор-функции Анало-
гичное выражение для преходящей составляющей решения здесь не
приводится из-за его громоздкости. Подобные выражения суще-
ственно упрощаются в том случае, когда матрица А обладает про-
стым спектром. Пусть а* — собственные значения матрицы;
ее проекторы, k=\, 2..т. Тогда формулы (3.5), (3.6) могут быт!,
записаны в виде
к cos (V — ак.
т т
-Я
т
0) + V Р. ! — sin х„-
т
_§₽,Нч81п(Г=^')7=Ч?(Г~'; 0)=
= У ₽ (cos (1/^V) [х,- ?(^°-> +
ft=l
•7--X
/-а»
126
sin (у' — ajjt)
• -a*; 0)
° г”.
Из последнего выражения следует, что если все собственные
шачения матрицы А уравнения (3.1) —вещественные отрицатель-
то свободная составляющая его решения описывается суммой
штухающих гармонических колебаний с частотами <о/ = 1/1/ —а;,
' i=l, 2, ...,т. Именно такой случай характерен для уравнений
1), описывающих чисто реактивные цепи.
Формулы (3.5) и (3.6) позволяют записать решения уравнений
тояния реактивных цепей (3.1) в компактном виде. Подобное
оставление решения оказывается удобным как для качествен-
о его исследования, так и для последующей числовой обработ-
Отметим, что в резонансном случае, когда изображения ЛСП
(s; t) не существуют на спектрах соответствующих матриц
А)1/2, решения уравнений состояния (3.1) может определяться
1 логично резонансным решениям уравнений (2.1), т. е. необхо-
ло использовать выражение для принужденных составляющих
ез установившиеся составляющие решений с последующим пре-
льным переходом (см. § 2.6; 5.3).
§ 3.3. Определение установившихся составляющих решений
уравнений состояния реактивных цепей с периодическими
кусочно-полиномиальными, кусочно-синусоидальными
и импульсно-модулированными функциями источников
Как было отмечено в § 1.5, для описания периодических функ-
ций источников цепей в практических задачах наиболее часто при-
влекают следующие периодические функции:
кусочно-полиномиальные, т. е. функции, составленные из отрез-
к
КОВ ПОЛИНОМОВ (см. рис. 1.6), f = (t)— 2 ajktk,
N <oo,
кусочно-синусоидальные, т. e. функции, составленные из отрез-
ков синусоид (см. рис. 1.7),
у (/)==Уу (/)=Лу sin (ш/^4-ф/), tj\,
импульсно-моду лированные
N
/(0=ф(П2 = tk g= [О, Т), k=\,
л-i
где t'=t—TE(t/T) — время из отрезка первого периода функции
|(t), т. е. fe[0, Т]; —некоторая периодическая функ-
ч периода Т. В табл. 1.2 для функций этих классов приведены
тветствующие изображения ЛПЛ.
127
и
а
t=1 t2=T=Z tj=J t
a)
f
a/L
l3=3t
Используя табл. 1.2 и связь Л СП <•
ЛПЛ 5T(s; /) =^-[F(/s; t)-F(-js, /)],
можно получить для данных функций
соответствующие изображения ЛСП
(табл. 3.2). Примеры использования
формул табл. 3.2 для определения изо-
бражений ЛСП рассмотрим при на-
хождении установившейся составляю-
щей решения последовательной LC-це-
пи, описываемой уравнением
d2 . 2. ) 1 du 2 1
' ' —, <0n=----- •
d< ’ ° LC
(3.5) получим
d2 . 2. ,
L
1 du t
------= г, согласно
L it
матричный, a
6)
Рис. 3.2
Положив iL=x, — 4=A,
Zz = —t).
“0
В последующих примерах рассматриваются не
скалярный случай, что не снижает общности вывода результата, но
более наглядно.
Пример 3.7. Пусть приложенное к цепи напряжение изменяется по закону
(рис. 3.2, а), описываемому на первом периоде выражением
I at, t s [0, 1];
U(Z)= \2a-at-, ie[l, 2].
i du
Для соответствующей функции f (О = ——~(рис. 3.2, б)
1 — a/L, tе [I, л •
Подобная функция относится к кусочно-полиномиальным. Здесь г=2, W=0,
/,(/) —a]L, f2(t) =—ajL. Для использования формулы из табл. 3.2
Функция f(t) Изображения ST (Р, 0
Кусочно-полииомиальные 7(0 = 7/(0 = 3 aJ^’ £VI2) (—Д+^-Л^О; . т . 2/ ?>« +2j ?«(!-«.»ST) 8,0 S 2 11Л*<Г'2 + fe-0 l-J fe-0 4-1 — tt 4- йл/2)
Кусочно-синусоидальные 7 (О = fj (О = A] sin (о>/ 4- ф/), tj\ ^шд+„;у‘ £ Г -^.1 x s2-“; L s2~<i s2-“' -1 X [ sin(1-ft) s (t — 0) — Sln ST T cos(1~ft) s(t — Л)] L I — cos si J
Импульсно-модулированиые 7(0= Ф(ОЗ 6«'-О). й-1 i'=t-TE(t/T), ite[0, Т) N VI , Z ( sin s (< 4- 7 — ty) — sin s(t — ty) . /mi// / Л 2-2 cos s7 +Sm[S(' *-1.
Примечание: 6(0 — импульсная функция; Е(-) —функция антье, т. е. наибольшая целая часть значения (•>; 1 — единич-
ная функция (функция Хевисайда):
^/(5; f) = V
s
Д+! (0) - 4ft) (Л)
s*4-1 (1 — cos sT) X
1, если
0. если f<th.
T t rt \
X sin s — sin s I — 4- t — tt 4- k — I
найдем производные /р (О = (О = /з(1> (О = Д1* (О ~ О.Так как £(V/2)
•=£(0/2) =0, то для изображения ЛПС на первом полупериоде получим
а 2 ° Д^М-Д^О)
(s; О = (s; О = — 4- (, _cos ,5 X
X sins7/2 sin s (7/2 4-f — ^ + йл/2), ie[O, 1].
128
129
После подстановки соответствующих значений fi*=f3=a/L, /2= — a/L,
= =0, Т — 2 получим:
для первого полупериода
/ а \ а
а \ L J L Т . / Т Т \
'<« slns_s.ns(-+(-TJ+
+ —a.!.L + +. sin s-y- sins (Т/2 + / — Г)= +
s (1 — cos sT) 2 Ls
4a . T sT Г T I
4- sin s —cos----sin s(t — T/4); t £ 0, — ;
Ls (1-cos sT) 2 4 4 ' [ 2 J
для второго полупериода
a 4a T T
У (s; /) = Уч (У, О = - — — -------TV sin * — cos s — X
Ls Ls (1 — cos sT) 2 4
/ ЗУ \ ГУ Л
Xsins f ———I, te —, T .
\ 4 j [2 J
Установившаяся составляющая решения
, 1 a 4a , T
lL ~ (“Ol 0 = , 2 + r 2/f ~ TV 51П “° T X
<1>O Luiq (1 — COS wqZJ 2
t \ . г. т '
4 }’ ' “ L“’ 2 j ’
_______4a_______ . T
£<ojj(l — cos a0T) sln“° 2 X
, T \ Г T 1
4 sina>o^- 4 J, , yj.
Пример 3.8. Пусть приложенное к цепи напряжение изменяется на перв^
периоде. У=л/3 по закону и (О — Um sin 4- (см. рис. 1.12, а). Тогда д!
(л \
и/4- — I. Для использования форму!
3 /
(h) f\n) (ti)
<лпУ i -1,1
X cos-------sin w0 / —-------), t e 0,
4 \ 4 / I
, 1 m a
lL= ^(“Oi 0= — ~J~2
“0 £“o
X cos------
SfjV)
(s; 0 — „ 2+0,5
s2 — o>7
S2-M2 JX
J i=j k=0 L
X [sin(1“*> s(Z — ti) — --Sln ST cos(1~ft) s (< — <,) I
L 1 — cos si J
из табл. 3.2 найдем /Р>(/)=-----—vfiU sin (u>t 4- л/3). При п«=1, —
т<з
^-a>Um/(2L), f3(i,)=aUm/(2L), (^) = /!/) (t,)---^Um
S2 — u>'l
130
— ^Цт
2 (д2 — ш2) L
,, ъх sin sT
sin( 1 s(t-r it) —-------------
it
1 — COS 3 —
SaUт Х
•^i ($, о =—------777 cos (<•>< + It/3) 4- 0,5
(S2—ш2) £
у
2(52— ш2)£
cos'1-*)
X
Установившаяся составляющая тока
u>Um cos
>^-М2)Д
-0,5
^Um
(^-»2)£ X
X
л
. „ . sin G)0 —
( Jt о
COS o>0 / — — j + -------------------—------
\ .5 f It \
(1 — cos o>0 — L
о /
. / It
sin WQI/ — —
Г 11
, t e 0, —
3
Пример 3.9. Пусть приложенное к цепи напряжение изменяется по закону
ii(t) = Uo(— 1) 'Г (св. рис. 1.9). Соответствующая функция f(/)—импульс-
iH смодулированная:
2
/(0== —<70 Ь(Г)-Ь
, V =t
< Согласно табл. 3.2 изображение этой функции на первом периоде
Аг
^-(s; О
sin s(t -\-T — tk) — sin s(t — tk)
2 — 2 cos sT
4- sin [s (t — 4)] 1 (t — tk)
2 2
где V = 2, <! = 0, <2 = 7’/2, ф(/1) = ~Uo, ф(<2)= - ~uo-
Таким образом,
/ ( T \ ( T'
I sin s (t 4- T) — sin st — sin sli 4- T — 4- sin si /-
^S' ---------------2-20^7-----------------------------------
' / T \ 1
4-sin sM (0 — sin sfz— —) P
f T (J T \ T
2 sin s — sin s t 4- — sin s —
2 I_______________2 \ i ) 4
L I cos <Л()Т — 1
T
4- sin s/-l (t) —
— sin s
131
Установившаяся составляющая тока
Т
sin “q“^~ sin “о
Т
sin —
COS а0Т — 1
4- sin <о0Л1 (/) — sin
1 (t ~ <2)
Таким образом, использование формул табл. 3.2 позволяет ме-
тодически просто определять изображения ЛСП достаточно слож-
ных функций воздействий рассматриваемых классов. Последующее
нахождение установившихся составляющих решений уравнений со-
стояния реактивных цепей является чисто формальной процедурой.
§ 3.4. Теорема перехода от изображений ЛСП
к оригиналам
Основным и наиболее ответственным этапом решения диффер(
циальных уравнений второго порядка, согласно рассмотренном^
§ 3.2 и 3.3 подходу, является построение изображений ^(s; i) Л(|
для функций воздействия f(t). Для исключения ошибок Heo6xoj
мо иметь возможность проверки соответствия изображений Л(^
оригиналам. Для этой цели рассмотрим вопросы перехода от из<^
ражений ^"(s; t) к оригиналам, т. е. вопросы реализации обрати
го синус-преобразования Фурье & Г1 (s; /)]=/(/)•
Имеет место следующее соответствие (теорема перехода
изображений ЛСП к оригиналам):
/(/)=—<F(1; Н+П1; О-
' Для его доказательства учтем, что установившаяся составля
щая х'=-—=- & (У —a; t) решения дифференциального уравЭД
V — а
- d2x । s
ния --=ax-j- f удовлетворяет этому уравнению, т. е.
d/2
t)=a ~ L-n - /)+/(/)-
у — a at‘ у — а
При а — — 1 из последнего выражения непосредственно следует
рассматриваемое соотношение.
Пример 3.10. Рассмотрим переход от изображения
s sin (со/ 4- ф)
t)=Um—-•/ -р2
S2 —
функции u(t) —Um sin(co/-|-'4>) к оригиналу. Согласно приведенной теореме,
sin (at 4- ф) 81п(ш(4-ф)
/ (0 = - Um------7 4- ит----2----= Um sin (at 4- ф).
1 — (О* 1 — со*
132
Простота реализации обратного ЛСП характеризует доступ-
ность проведения проверки соответствия изображений ЛСП ориги-
налам практически любых функций. Для функций, описываемых
различными выражениями на различных интервалах определения,
можно осуществлять выборочный контроль такого соответствия
пая отдельных интервалов.
В заключение необходимо отметить, что приведенная формула
позволяет находить оригиналы по изображениям только ЛСП. По-
। гроение оригиналов по изображениям обычного синус-преобразо-
нания Фурье осуществляется по другим выражениям.
S 3.5. Решение дифференциальных уравнений высших
порядков линейных электрических цепей
Пусть имеется линейная электрическая цепь с большим числом
накопителей энергии. Рассмотрим случай, когда для исследователя
представляет интерес поведение только одной переменной состоя-
ния вместе с некоторыми из ее производных. Для определенности
будем считать, что этой переменной является ток ik некоторой вет-
ки k цепи. Тогда и уравнение цепи целесообразно составлять толь-
ко относительно этой переменной и ее производных. Для этого
Можно сначала составить полную систему уравнений по первому и
пюрому законам Кирхгофа, а затем из нее последовательно ис-
ключить все переменные, кроме i\. При этом цепь описывается от-
носительно последней переменной дифференциальным уравнением
л го порядка:
Л=Л(С, ая#0,
U 4 Ць QJ
в компактной записи
Pn(D)ik=fk, Рп
(D)=\£aiD‘
d?
D — оператор дифференцирования.
Порядок уравнения п определяется топологией цепи и характе-
ром ее элементов, свободный член f* — значениями функций источ-
ников цепи и их производных. Подобное уравнение введением вспо-
могательных переменных Xj = Dj~Jik, / = 1, 2,...,п, можно свести
к канонической системе уравнений x=Ax-|-f, которая в разверну-
1 ой записи имеет вид
133
an-Jan an-“llan an-Jan ••• aJan ajan
1
0
0
0
0
0
0
1
0
и использовать ранее рассмотренные методы решения. При этом
для однозначного интегрирования необходимо знать начальные ус-
ловия x/(0) =Dn-iik(t) |/=о, j—l, 2,...,п, которые в дальнейшем
считаются известными. Матрицу А полученной системы называют
матрицей Фробениуса для многочлена
—— Рп (a)—an 4—— -
ап ап ап ап
Особенностью матрицы Фробениуса является совпадение ее спект-
ра с множеством корней характеристического уравнения Pn(a)=().
Это обстоятельство свидетельствует о возможности непосредствен-
ного решения уравнения Pn(D)ik=fk без использования функций
от матрицы Фробениуса А или их спектральных расщеплений.
Здесь также целесообразно, согласно классическому методу, искать
отдельные составляющие решения — установившуюся
ik и преходящую ik".
Рассмотрим случай, когда корни a,-, I — 1, 2, характеристи-
ческого уравнения Pn(a) =ana"4-an-ia"-1+-..+aia+ao = O простые,
а следовательно,
Рп (О)=ап П (D — al)=an(D — ai)(D — ai)...(,D — an).
Будем считать, что установившаяся составляющая ik не содер-
жит слагаемых вида Л^е’-^, s = l, 2,... ,п, определенных на всем
интервале /^0, в то время как свободная составляющая ik" со-
стоит только из подобных членов. Для построения изображения
ЛПЛ рассматриваемого уравнения используем формулу
i-i
134
полученную рекурсивным применением соответствия Df(t)-^~pF(p\
П Тогда уравнению Pn(D)ik'=fk для установившейся со-
। гавляющей можно сопоставить следующее операторное уравне-
ние:
п I
I'kip’, t\
шичимся анализом безрезонансного случая, когда изображение
; t) искомой установившейся составляющей существует при
is, s=l, 2,...,п. Так как Рп(р) — (р—си) (р—аг)...(р—ап) об-
ается в нуль при p=as, s= 1, 2....п, а // (р; t) в этих точках
гствует, то значения p — as должны обращать в нуль правую
ь операторного уравнения, т. е.
п I
0=0, $=1, 2,...,л.
1—17—1
|В безрезонансном случае предполагается существование изобра-
жения Fk(P’, t) в точках p—as, s=l, 2,... ,п.) Систему полученных
сравнений можно представить и в развернутом виде:
“ п п Z-l XI Z-2 2^1 • z=i i-2 п п 1 = 1 1 = 2 . и» ,ап i'k (0 D4'k (0 = — рк (аь ^й(а2; 0 0
п п .ап Dn-4'k(t) Pk (ая; i)
_z-i 1=2 __ _ —
Из данной системы однозначно находится установившаяся со-
ставляющая ik вместе с ее высшими производными D<ik , j=l,
....п—1. Поскольку обычно" интерес представляют не все пере-
менные ir, DHk, j—l, 2,...,п—1, а только некоторые из них и даже
одна переменная, например i'k, то это обстоятельство может быть
учтено при выборе наиболее экономичного метода решения алгеб-
раической системы.
Определив установившуюся составляющую решения, несложно
найти и его преходящую составляющую
/л=Л1е“'/4-Л2ев«/4-...4-Ляе“п/ = е“А
S-1
если учесть, что значения
* = 1> 2,..., л,
135
заданы. Для этого составим систему уравнений
= xz(0), 1 = 1, 2,..., д,
/-о
' п
-S— 1
4* i* (t)
которая после преобразований примет вид
Zft(0) —Zfe(O)
D1 (О)-гл(О)]
_D»-1 [zft(O)-z»(O)]_
£>'[^(0) — Zft(O)] = Z)z [z\(/) — L=o, Z—1, 2,...,n — 1.
Решение полученной системы однозначно определяет значения ко-
эффициентов As, s = l, 2, При решении системы по правилу*
Крамера можно использовать следующее свойство ее определите-'
ля, известного как определитель Вандермонда:
1^1 =
1
«1
1
а2
а„
= П («*—«/)==
п—1
п
=(а„—а„_1)(ая-а„_2)...(ая-а1)(а„_1—а„_2)...
...(ая_!—а1)...(а2—aj).
Отметим, что аналогичные результаты имеют место и в том слу-
чае, когда уравнение цепи составляется для напряжения й-й ветви
Uk. Решение уравнения типа Pn(D)uk=:fk с известными начальны-
ми условиями D^Uk^t) |/=о=£>‘-1и*(О), Z=l, 2,...,п, представля-
ется в виде суммы и'к + и''к — преходящей и"к и установившейся м\
составляющих, для определения которых можно использовать по-
лученные соотношения (при соответствующей замене переменных).
Так как рассмотренная методика не зависит от порядка решае-
мого дифференциального уравнения, то в примере для простоты ог-
раничимся вторым порядком.
Пример 3.11. Определим установившуюся и преходящую составляющие на-
пряжения иа емкостном элементе последовательной ЛДС-цепи с параметрами
Z? = 3 Ом, 4=1 Гн, С=0,5 Ф, с известной при /^0 функцией воздействующего
напряжения u(t) и заданными начальными условиями uc(0), г'ь(О). По первому
и второму законам Кирхгофа,
da„ dZ
/ = ~dT’ “c + £lR+ L~dTs=a'
Преобразуя эти уравнения, получаем уравнение
d2u„ du.
LC~^~ + RC^T + uc^u'
at* at c
136
которое после подстановки числовых значений параметров принимает вид
d‘2u du„
0,5 4-1,5 —— 4- и - и (О.
аг2 аг с
Корни соответствующего характеристического уравнения: ai==—1, аг——2.
Н предположении существования изображения l/(p; t) функции u(t) при р=—1,
-2 установившуюся составляющую ис' вместе с ее производной D'uc можно
определить из системы уравнений
1 0,5
0,5 0,5
“с (О
D'u'c (О
U(-V, t)
U(-2; t)
h.1K Uc' = — 2U(— 1; 04-2t/(—2; t), D‘uc'(t) =2U(—1; t)— 4U(—2; /).
u(t) = U0 и, следовательно, l/(p; t) — Ut>/p. Тогда
Пусть
«с =
_ 2fr0 2t70
(-1) +(-2)
= tfo-
Для определения коэффициентов Ai, А2 преходящей составляющей решения
и'с — УЦ еЯ1< 4- А2 = At е-/ 4- А2 е~2/
*д(°)
попользуем начальные условия “с(0) и Duc(0) ——= 2Z£(0).
Решив систему уравнений
Г 1 ’IRil Г“с(°)-^о1
[-1 -2][а2| Ч 2гд(0) J’
найдем Ai=2[uc(0)—1/о]4-2<ь(О), А2= С/о—«с(0)— 2Д(0). Окончательно полу-
пим
ис = и'с 4- ис = Vo 4- {2 [ис (0) - С/о] 4- 2Z£ (0)} е~' 4-
4-[г/0-“с(0)-2/£ (0)] е~2(.
Нахождение составляющих решения дифференциального урав-
нения п-го порядка Pn(P)i,k=fk усложняется в том случае, когда
его характеристическое уравнение имеет кратные корни. Пусть as,
=1, 2,..., q — корни характеристического уравнения Рп(а)=0,
\
fis==n I, так что Рп (Г))==
<?
‘ ап П (D — as)"s. Можно показать, что установившаяся составля-
кицая i/ решения данного уравнения вместе со своими производ-
ными Diik, j=l, 2,... ,п— 1, удовлетворяет системе уравнений
Dibit)... Dn Ч'й(/)] |p=«s—
137
= -F(^\as- t), s=l, 2,...,q,
rs=0, 1,..., n4- 1; Д [N(P)] | p=a=N(as),
lr 1 я s
если соответствующие значения Fks,(as-, t)=——F (p\ t) cy-
dprs p~*s
ществуют.
В этом случае преходящая составляющая решения
5
t
Имея аналитические выражения для установившейся состав-
ляющей решения D4k(t) и ее производных D2ik (t),...,
Dn~4k(t), можно записать и соответствующие выражения для пол-
ного решения:
[/' (/)+*" (0].
Приравнивая значения этих выражений в точке t—О заданным на
чальным условием, получим систему п алгебраических уравнени!
с п неизвестными ASj
=х;(0), z = l, 2,...,п,
решение которой дает искомые значения ASj.
Отметим, что полученные в настоящем параграфе системы ал-
гебраических уравнений для определения искомых переменных со-
стояния и их производных формализованы. Это обстоятельство поз-
воляет создать простые алгоритмы для числового расчета коэффи-
циентов при аналитическом представлении этих функций.
4 ГЛАВА
иАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ
НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
С помощью функцией от матриц находятся аналитические решения уравне-
ний состояния нестационарных электрических цепей. Рассматриваются особенно-
сти аналитических решений уравнений состояния вращающихся электрических
машин переменного тока. Определяются аналитические решения уравнений со-
(гояния вентильных цепей.
§ 4.1. Классический метод решения уравнений
состояния нестационарных электрических цепей
Линейные нестационарные (параметрические) электрические
непи (цепи с зависящими от времени параметрами) описываются
уравнениями состояния вида
x = A(/)x4-f, x=x(/)e/?m, f = х(О)=хо (4.1)
атрицей А(/) ={ац(1)}тт, У которой в общем случае коэффици-
ы ац, i, являются функциями времени. Решение системы
’), так же как и решение системы (2.1), может быть представ-
..о в виде суммы двух составляющих:
х=хсв + хпр.
При этом первая составляющая, называемая свободной, представ-
ляет собой полное решение однородного уравнения х=А(/)х,
х(0) =х0 и имеет вид
Хсв=ф(Ох0,
где Ф(/) — фундаментальная /пХт-матРица решений однородного
уравнения х=А(/)х, нормированная в точке t—О. Подобную мат-
рицу называют также матрицантом; она удовлетворяет уравне-
нию
Ф(О==А (ОФ (О, Ф(0) = 1.
139
Другая составляющая решения уравнения (4.1), называемая при>
нужденной, представляет собой частное решение дифференциаль-
ного уравнения х=А(/)х-М и имеет вид
t
хпр= f Т(/, r)f (г) dr,
где ф(/, г)=Ф(/)Ф~1 (т). Таким образом, полное решение уравне-
ния состояния (4.1) может быть получено из формулы Коши:
t
х=Ф (/) х0+JT « r)f(r)dr.
Отметим, что для большинства практических задач матрицы
А(/) уравнений состояния удовлетворяют условию Лаппо — Дани-
левского, т. е. перестановочны со своим интегралом:
< ft \
А (/) А (т) dr=I j" А (г) dr IА (/).
о \о /
В этом случае матрицант может быть представлен как
а составляющие решения уравнения состояния (4.1) —как
(t \ i t \
j* А (г) dr j xQ, хпр=ехр I fA(r)drjx
6 / \о /
t / т \
X J exp I — Г А (?) d? j f (г) dr.
о \ о /
Решение уравнения состояния (4.1) может быть записано со-
гласно классическому методу и в виде суммы х=х'4-х" установив-
шейся х' и преходящей х" составляющих. При этом установив-
шаяся составляющая х' не содержит слагаемых вида Ф(/)|, где
3—m-мерный вектор-столбец (£е/?т). Преходящая же составляю-'
щая х"=ф(/) [х0—х'(О)], т. е. имеет вид Ф(/)|.
Непосредственное аналитическое определение составляющих
Хсв, ХцР или х', х" решений уравнений состояния с переменными
матрицами коэффициентов затруднено. Поэтому предварительна
подобные уравнения путем замены переменных преобразуют в
уравнения с постоянными коэффициентами, т. е. в уравнения вида
(2.1), для которых н находят в соответствии с ранее рассмотрен-
ие
-ми методами аналитические выражения составляющих решений,
атная замена переменных позволяет найти решение исходной
ачи. Подобный подход обоснован для уравнений состояния с
иодически изменяющимися матрицами коэффициентов. Так как
практике именно для таких уравнений состояния определение
алитических решений и представляет наибольший интерес, то
рассмотрим этот вопрос подробнее.
Пусть коэффициенты матрицы А(/)={а>/}тт являются интег-
рируемыми, периодическими с периодом Т функциями времени,
I. е. ау(1-[-Т) = ац(Т), i, и, следовательно, А(/+Т) =А(/).
Тогда имеет место следующее утверждение (теорема Флоке — Ля-
пунова): матрицант уравнения х=А(/)х представим в виде
Ф(/) = С(/)ев',
где В — постоянная тхm-матрица; C(t)—периодическая с перио-
дом Т непрерывная, неособая для всех t матрица-функция такая,
что ее значение при t=0 равно единичной матрице, т. е. С (0) = 1.
При этом матрицы С(/), В — комплексные. Аналогичное утверж-
дение справедливо и для вещественных матриц C(t), В при усло-
пии, что матрица С(/) — 2Т-периодическая. Отсюда, в частности,
следует и приводимость уравнения х=А(/)х с переменной матри-
цей коэффициентов к уравнению у=Ву с постоянной матрицей ко-
эффициентов путем замены х=С(/)у (теорема Ляпунова о провб-
щмости). При этом C(t) называют матрицей преобразования Ля-
пунова.
Рассмотрим уравнение состояния (4.1) с матрицей А(/), удов-
летворяющей приведенным условиям. Положим, что матрицант
®(Z) = C(Z)eBt. Тогда заменой переменной х=С(/)у уравнение
(4.1) удается свести к уравнению
y=By + g, у, ge/?m, у (О) = уо=С->(О)хо==хо,
g=&(0 — С-1 (Z)f(i). Для последнего уравнения аналитическое
пение, согласно (3.5), имеет вид
тп
у=у'+у". у'=-2°Нв; y"=eBqyo-y'(O)j,
7-1
где Gj(p; t)—изображение ЛПЛ j-й компоненты gj(t);
нектор-функции g(/) или соответственно
У = Усв + УпР, Усв=ев'у0;
тп тп
уПр=у'-ев'у'(0)=-2^(В; /)6;+ев'2°/(В; 0)6,.
у-l /-1
Обратная замена переменных х = С (t) у с учетом условия С (0) =
-С_|(0) = 1 позволяет получить следующие аналитические выра-
141
жения для решения уравнения состояния:
х = х'4-х'\ х'= — С(0 t)bj, х"=
/=1
=С(/)евЧу0-у'(0)]=С(/)ев<[х0-х'(0)]=Ф(О[х0-х'(0)];
х=хсв+хпр) хСв=С(/)усв=Ф(/)х0,
хпр=С(/)упр=х' — Ф(/)Хо.
Отметим, что уравнение (4.1) может быть приведено к уравне-
нию с постоянными коэффициентами и с помощью других преобра-
зований, отличных от преобразования Ляпунова.
Основные трудности использования рассмотренного метода для
решения уравнения состояния (4.1) связаны с нахождением матриц
преобразования координат. Вместе с тем для некоторых видов
уравнений состояния подобные матрицы хорошо известны. Так, на-
пример, они известны для уравнений состояния различных элект-
рических машин переменного тока. Так как к тому же уравнения
состояния электрических машин сами по себе интересны по свой-
ствам, то в следующем параграфе проанализированный метод ил-
люстрируется на примере их решения. В тех же случаях, когда
аналитическое преобразование уравнений вида (4.1) в уравнения
вида (2.1) затруднено, можно применить иной, более универсаль-
ный, хотя и приближенный, метод построения аналитических вы
ражений для решений, основанный на кусочно-линейной аппрокси-
мации матрицы А(/). В этом случае уравнение (4.1) заменяется
системой уравнений вида (2.1), аналитическое решение каждого
из которых не представляет трудности. Реализация такого метода
будет рассмотрена в § 4.3.
§ 4.2. Аналитические решения уравнений состояния
электрических машин переменного тока
Электрическая машина переменного тока представляет собой
электромеханическую систему, состоящую из неподвижного стато-
ра с расположенными на нем статорными обмотками и вращающе-
гося ротора с расположенными на нем роторными обмотками. На
рис. 4.1 изображена трехфазная явнополюсная синхронная маши-
на. Обмотки статора а, Ь, с подсоединены к внешней трехфазной
системе. В учебнике [1] показано, что токи ia, ib, ic этих обмоток
создают в воздушном зазоре машины вращающееся магнитное по-
ле. На роторе расположены обмотка возбуждения f, подсоединен
ная к цепи возбуждения, и демпферные обмотки D и Q, замкнутые
накоротко. Взаимодействие токов обмоток статора и ротора созда-
ет вращающий момент, который и используется при работе ма-
шины.
142
Введение ряда допущений
□енебрежение насыщением маг-
ной системы машины, упроще-
: конструкции и т. д.) позволя-
рассматривать идеализирован-
•о электрическую машину, кото-
ч описывается уравнениями со-
.ояния вида
. . . fl i Гп . dL (у) 1. t
L(Y)—=“ R4-co—AH- 1 +
(R [ dy
4-u, i (0)=io,
где i, u — вектор-столбцы мгно-
венных значений токов и напря-
жений обмоток идеализированной
машины; у —угол положения ро-
'ра (рис. 4.1); (o = dy/d/ —часто-
Рис. 4.1
вращения ротора; R — диаго-
тьная матрица активных сопротивлений обмоток; L(y)— матрц
i собственных и взаимных индуктивностей обмоток.
Для рассматриваемой машины
i = i (0=[Wu = u (/)= \иаиьи,си,}иои$,
R —dlag {rarbrcrfrDrQ}.
Матрица
L(y)=
Ляз
Lss =
I + Lm cos 2y
j ~Ms~Lmcos 2
J — Ms—Lm cos 2
—Ms—Lm cos
-A<s-lmcos2^Y--y)
! 2«\
Is + I'm C°S 2 I Y + 3 I
M f cos у
—
Mf cos
MD cos Y sin Y
./Wdcos(y~— ) Mg sin
\ 3 /
AfDcosfY+^-j AfQsin
143
Му cos у
к?5= MDcosy
MQ sin Y
a g / \
cos I y——)
I 2я '
MD cos Y —v
\
Mq sin
My cos (y4~)
Mdcos(\’4~)
MQ sin (у+у)
Для полного описания электрической машины уравнение со-
стояния дополняют уравнениями движения
^-^=Mbh(/)-AMy, i),
связывающими токи обмоток с моментами сил, приложенных к ро-
тору. Здесь Jm — момент инерции ротора; Рх — конструктивный па-
раметр (число пар полюсов); Мвн(() — момент внешних сил, при-
ложенных к ротору Мф(у, i)=—момент электро-
магнитных сил, приложенных к ротору.
Однако в тех случаях, когда исследуются установившиеся про-
цессы и частота вращения считается практически постоянной и из-
вестной (®= const), электрическую машину описывают одним
уравнением состояния. В дальнейшем ограничимся рассмотрением
только такого случая.
Приведем уравнения состояния к каноническому виду:
i-|-L-i(Y)u, y=u>^ i(O)=io. (4.2)
d i
"d7
-L-i(Y)[R+<o^W
dY .
Так как матрица L(®/)—периодическая с периодом 2л/®, то
матрицы
L-x (со/), ,
dt
A(a>f)=-L-i((o/) R-}- dL^°
также периодические с периодом 2л/®. Согласно теореме Ляпуно-
ва, уравнение
—А (®() i -j- L-1 (со/) и
с периодической матрицей А (о/) можно свести к уравнению с по-
стоянной матрицей коэффициентов путем замены переменных.
144
В теории электрических машин подобное преобразование хорошо
известно. Впервые оно было получено американским ученым
Парком. Значительный вклад в его изучение внес советский
ный А. А. Горев. Поэтому в отечественной литературе часто та-
преобразование называют преобразованием Парка — Горева.
«образование переменных состояния электрических машин за-
очается в переходе от двух систем координат а, Ь, с и d, q, вра-
ющихся друг относительно друга, к одной. При этом переход
ществляется от переменных 1а, 1ь, ic, связанных с неподвижными
ми статора а, Ь, с, к новым переменным в координатах d, q, О,
занных с вращающимся ротором. В результате преобразова-
я получают новые переменные: id, ig — составляющие токов ста-
а ia, it» ic по осям d и q и io — переменная, пропорциональная
:у нулевой последовательности. Формально преобразование за-
бывается в виде Т (у) i = ir или, что то же,
Т (Y)
где матрица преобразования имеет вид
Т (у) =
Р О
О 1
/2
cosy
sin у
При этом для обратного преобразования Т~’(у)1г=1 или
т 1 (Y) =
справедливо выражение Т-1 (у) =Т*(у), ₽-' = ₽<.
Применив преобразование переменных состояния, получим
Jj^(y)ir] = _ L-1 (y) |-R d^y)j т' (У) ir + L-x (у) u.
Так как
Т<(V)АГ ЧТ-СУ) 1
it dt 1 dy
io уравнение состояния для новых переменных примет вид
4г= — т (У) [ш +L-X (у) 4-со г (у)j jr_|_
4-Т (у) L-х (у) U.
145
После некоторых преобразований последнее уравнение можно пред-
ставить в виде
^ = Bir+g,
ас
(4.3)
где В= — L/R,., g=Lr1ur, ur=T(y)u,
Lr==T (Y)L (Y) T' (Y), Rr = T (y)RT' (y) + «> Г (Y) d <Y)LJ-
При этом матрицы Lr, Rr, а следовательно, и матрица В оказыва-
ются постоянными. Дело в том, что в отдельных блоках матриц
L(y) и Т (у) коэффициенты с тригонометрическими членами обла-
дают определенной симметрией расположения. Вследствие этой
симметрии тригонометрические члены коэффициентов матриц-про-
изведений Т(у)Ь(у)ТДу), T(y)RT*(y), wT^y) --? группиру-
dy
ются в суммы вида
значения которых не зависят от у.
Для рассматриваемой машины
Г£о 0 0 0 0 0’
0 Ld 0 kMf kMD 0
. 0 О Lq 0 0 kMQ
г~ 0 kMf О Lf MR 0 ’
О kMD О MR ld о
_ О 0 kMD О О Lq _
"г О О О 0 0 -
О Ld <oLg 0 0
Р _ 0 —wLd г —uikMj —<okMD О
0 0 0 г, О О’
0 0 0 0 rD О
_0 0 0 0 0 rQ
где Ld=Ls+Ms+±Lm, Lq=Ls+Ms-±-Lm, L0=Ls-2Ms,
ft=К 3/2.
Полученное уравнение (4.3) имеет уже постоянную матрицу коэф-
146
чциентов В. Таким образом реализуется отмеченная в § 4.1 воз-
жность приведения линейных нестационарных уравнений состоя-
я к линейным стационарным уравнениям путем замены перемен-
ах.
Для новых переменных ir уравнение состояния (4.3) имеет уже
'стоянную матрицу коэффициентов и его решение может быть
писано в виде
ir=ir-f-ir, ir= — ir=eB<(iOl. —ior), (4.4)
7=1
e G/(p; t)—изображение ЛПЛ /-й компоненты gift) вектор-
•нкции gft). Тогда решение уравнения (4.2), учитывая связь i==
= T(y)ir, можно представить в виде
тп
i = i' + r, i'= -T'(Y) z)67’ i" = T4y)eB'(ior-^) =
= 'P(Y)eB*T(y) (i0 —io). (4.5)
ким образом, для построения аналитического решения уравне-
я состояния электрической машины (4.2) требуется, используя
1трицы преобразования Т(у), найти постоянную матрицу В и пе-
менный вектор g((), затем определить изображения ЛПЛ компо-
нт этого вектора, воспользовавшись последней формулой. При
>м функции gift) компонент вектора g(/)=L71ur=L71T (у) u ft)
’равнении (4.5) в наиболее характерных случаях расчета имеют
iee простой вид, чем функции и, ft) компонент вектора и ft) в ис-
1Ном уравнении (4.2). Этот факт облегчает построение аналити-
жих решений уравнений состояния электрических машин. Рас-
этрим наиболее характерный случай, когда к статорным обмот-
м машины приложена симметричная система синусоидальных на-
яжений
ua=yr2U sin (y-f-a), sin fy ——-f-a'j ,
\ 3 J
u,c—V2U sin (y -}- a).
Осуществив преобразование координат u->ur, т. e. умножив вектор
и слева на матрицу Т(у) (Т(у) [uaubucuf00] '=иг), получаем
ur = T(y)u = [0]/3(7 sin a ]/3£/cosa u,} О О]*.
Следовательно, в векторе иг только одна компонента Wf = Wf(()
является функцией времени, остальные же — константы. Умножив
полученный вектор иг слева на постоянную матрицу Lr-1, для
\ равнения (4.3) найдем
g=Lr1ur = g14-g2«/,
147
где gi = [gngi2...g6i]\ gs= [g’2ig’22...g'62]z постоянны. Таким обра-
зом, для определения установившегося решения уравнения состоя-
ния в данном случае изображение ЛПЛ следует определять толь-
ко ДЛЯ ФУНКЦИИ Uf.
Заметим, что в формуле (4.5) наибольший интерес представля-
ет выражение для установившейся составляющей тока i'(Z), поз-
воляющее, в частности, исследовать периодические режимы при
искаженных формах приложенных напряжений.
Пример 4.1. Определим установившуюся составляющую решения уравнения
состояния трехфазиой электрической машины с одной демпферной обмоткой и
одной обмоткой возбуждения при условии, что к обмоткам статора приложена
симметричная система синусоидальных напряжений иа = V%U sin (at + а),
а к обмотке возбуждения — периодическое с периодом я/(3соо) пульсирующее
напряжение, описываемое иа первом периоде функцией (см. рис. 1.12)
и / = CZq sin (шо^ 4- я/3); t СЕ 0, “ .
L Зы0 _
По известным значениям коэффициентов матриц L(y) и Р(у), Т (у) найдем
значения коэффициентов матриц; Ьг=Т(у)Ь(у)Т‘(у) и Rr = Т(у) RT^ (у) Ч-соТ1
(у) (для рассматриваемой машины выражения для коэффициентов
dy
определяемых матриц Lr, Rr, так же как и для коэффициентов исходной матри-
цы L(y), даны в начале параграфа). Вычислим коэффициенты матрицы В =
= -L7*Rr.
По заданному вектору u=u(/) определим векторы ur=T(y)u и g — L *ur.
ur — Т (у) [иа ut> ис Uf Q 0]* = Jo sin a 1^3(7 cos a,
uj 0 0]', g = L~1ur = g1 +g2n/,
gi = L71 [6 v3^7 sin a V3U cosa 0 0 0]* = /ЗУ L”1 X
X (sin <x82 + cos a83), g2 = £"1[0 0 0 1 0 0]/ = L“184,
82= [0 1 0 0 0 0]', 83= [0 0 1 0 0 0]', B4= [0 0 0 1 0 0]'.
Определим изображение ЛПЛ функции и/. Согласно § 1.5,
Тогда изображение компонент вектор-функции g суть Gj(P\ t) =-------- +
+ g^Uf(P-, t),
148
Согласно (4.4), найдем выражение для установившейся составляющей //
тока на первом периоде:
{6 6
2 В-1 gn 8 + 2 В2 (В2 + о>2 I)-1 X
7-1 /-1
«о В—2\1 — е е ' 3/в~1 sin иод/4-+
\ о /
4- В-2 cos
-В-1^-(В24- Шо1)~‘Х
Установившаяся
/(O=T‘(Y)i/(O.
составляющая тока в естественных (фазных) координатах
В заключение отметим, что матрицы, реализующие преобразо-
.ние Парка — Горева, в настоящее время получены для уравне-
:й состояния различных электрических машин переменного тока.
।осмотренный метод дает возможность исследовать в таких ма-
ннах электромагнитные процессы, протекающие при постоянной
стоте вращения ротора, в аналитическом виде.
1.3. Аналитические решения уравнений состояния
нтильных цепей
Электрические цепи с идеальными вентилями (ключами) в том
учае, когда моменты коммутации (переключения) вентилей из-
стны, а выбор переменных состояния для отдельных межкомму-
ционных интервалов неизменен, описываются уравнениями со-
эяния вида
х==А(.()х-Н, х, t^Rm, х(О)=хо, (4.6)
ie A(Z)—кусочно-постоянная матрица; A(Z) =Az==const, /e[/z_1K
ч], 1=1, 2...O=to<Zti<t2<.... Функция f=f(/) на каждом i-м
интервале описывается своим законом:
f(Z) = f/(Z— it— i), t £= \ti—i, ti\i /=1» 2,....
подобным уравнениям могут быть сведены и уравнения состоя-
ли произвольных нестационарных электрических цепей (4.1), если
пользуется ступенчатая аппроксимация их матрицы коэффици-
гов
li
K{t) = kh Az=(fz —^-j)-1 J A(r)dt, Z=l,2,..,.
Ч-i
149
В последнем случае при /гтах=гпах/г1—>0; ht~ (tt—ti—x) уравнения
(4.6) точно аппроксимируют исходные уравнения с произвольны-
ми матрицами коэффициентов.
Для нахождения аналитического решения уравнения (4.6) за-
пишем его в виде системы уравнений с постоянными матрицами
коэффициентов:
x(0=AiX(/)4-f(0; /е[0,
х (/)—A2x(/)4-f(C; /2];
x(/)=A,x(/)4-f(/); / е= [/,-!,
где х(0) =х0.
Введение вспомогательных переменных ц — t—ti—x и
Х; (п) =x(t), i^[ti-i, ti], i—1, 2,..., позволяет последнюю
систему представить в виде
xi (Ti)==AiX1 fj (Ti); Tj €= [0, AjI;
х2 (т2) = А2х2 (т2)f2 (t2); ^2]>
xi(r/) = A1-x/(T/)4-f/(T,); т; (= |0, Л,],
(4.7)
где hi=ti—ti-i. Граничные значения переменных xj связаны усло-
виями
Xi(O) = xo; xJ(0)=x1(A1); х3(0) = х2(й2); х4(0) = х3(й3); ... (4.8)
Решение каждого из уравнений (4.7), согласно (2.5), можно за-
писать в аналитическом виде:
X/ (т;)=х’ (т;)+X/ (г,)=еА‘т' [х, (0) -- х/ (0)1+х'/ (т;) =
где Fij (р; т;)—изображение ЛПЛ j-й компоненты fain) вектор-
функции fi(T{) = [А1(т/)А2(т/) ... Мп(Тг)]г, т. е. Ъ)==
со
— J e_^//y(if-|-'fI)d/. Здесь и далее предполагается существова-
о
ние матричных функций Fi/(Ai; т,).
При /=1 выражение (4.9) позволяет получить аналитическое ре-
шение уравнения (4.6) для первого интервала
150
Xj (r1)=eAi'c‘
Xi (0)4~2 ^/(An 0)6y
~2 Л;(Аг, x^bj, (4.10)
7-1
7-1
де X] (0) =x0 — заданное начальное условие в уравнении (4.6).
Для того чтобы по формуле (4.9) определить аналитические ре-
ения уравнения (4.6) для последующих интервалов /е[Л-ь Л],
2, 3, ..., нужно предварительно найти аналитические выражения
1Я граничных условий хДО), значения которых при i>l заранее
? известны. Для записи таких выражений определим фундамен-
льную матрицу решений (матрицант) однородного уравнения
• )=А(/)х(/), соответствующего уравнению (4.6). Матрицант
((), согласно определению, удовлетворяет уравнению
(/) =А(/)ф(/). Для решения этого уравнения нужно задать зна-
шие матрицанта для некоторого момента времени. Положим, что
лтрицант нормирован в некоторой точке t—tk, т. е. Ф(/*) = 1. Мат-
щант, нормированный в точке tk> обозначим через Ф*((). При
ом
ФД/)=А(/)ФЙ(/), Ф4(^)=1.
итывая специфический вид матрицы A(f)==Ai, f,], по-
еднее уравнение представим в виде
Фй(/) = А/Фа(/), ф4(/»)=1, t / = 1, 2..
:шив это уравнение для каждого интервала /,],
лучим
ФА(/)=еА'т'ФЛ(/;_1); (4.11)
При этом *
й+1
фй(/,)=[] еА?й?=еАЛеАг-1й'-1...eAft+ift*+1.
q-i
шользовав введенные обозначения, запишем следующее выраже-
ае для граничных значений х((0) через начальное значение Хо:
х i (0) = Xj-j (Лц) = Фо (Л-i) х0 +
/—1 т
+ 2 2 °>в>- ,,
л-1 у-i
-2 Фл (Л-1) 2 Л„)6у; 1=2, 3,...
л-1£-1
* В выражении для Ф Д/<) порядок сомножителей изменять нельзя, посколь-
ку произведение матриц некоммутативно, т. е. в общем случае еА+В;/= еАеВ=£
./= евеА ф еА+в.
151
Справедливость этого важного для рассматриваемой задачи вы-
ражения, позволяющего определять дискретные значения x(/,_i) =
=х,(0) решений уравнения (4.6), установим методом математиче-
ской индукции.
При i = 2 выражение (4.12) истинно, так как оно совпадает с
правой частью выражения (4.10), если в последнем положить Tj =
=hi. Пусть выражение (4.12) истинно и для некоторого i = q>2,
т. е. для значения решения уравнения (4.6) в момент времени t=
— ^q—1 •'
q—1 т
х?(О)=Фо(^-1)хо + 2 фл-х(^-1) 2 °)6У-
д-1 /-1
q—\ т
2 2 F ni ^п’'
л-i ;-1
Найдем значение решения уравнения (4.6) для момента t = tq
согласно (2.5):
х9(Л9)=еА«й«
т т
х?(0)+2 F<ri^ 0)6, ~2 F^(A<;
Подставив вместо х9(0) его значение, получим
q—l т т
-2 фл(^-1) 2 Fnj(^ hn)^} + ^ Fq) (А9; 0)
Д-1 /-1 /-1
т
2 Fqi^q' hq^j.
;-i
Так как из свойств фундаментальной матрицы следует, что
еАЛф/(/?_1)=Ф/(/?); l^q-
то последнее выражение может быть представлено в виде
Х9(А9)==х9+1(О)=Фо(/9)хо+2 Фл-1(^) 2 Fn}^n> 0)6;-
л-1 /-1
q т
2 ф* 2 ^А/!"’
л-i ;-i
Полученное выражение совпадает с выражением (4.12) для Ц
=q+l, что и устанавливает истинность последнего.
152
Подставим выражение (4.12) в (4.9). Учтя (4.11), найдем сле-
дующее выражение для аналитического решения уравнения (4.6):
1—1 т
х(/) = х/(г/) = Ф(/)х0 + 2 °)6/-
л-1 у-i
I —1 т т
- 2 ф«<л«; Лл) -ф'-1 2 (А;: 0)_
п-1 7-1 j-1
— 2 1 — 2, 3,... . (4.13)
7-1
Выражения (4.9) и (4.13) позволяют записать решения уравне-
ния состояния для любого интервала стационарности £>],
<= 1, 2, ..., в аналитическом виде.
Рассмотрим подробнее случай, когда матрица А(/) в уравнении
(4.6) периодическая: A(Z+T) =A(f). Пусть для определенности на
периоде Т имеется s интервалов постоянства матрицы А(/), т. е.
А(/) = А1; t е [О, А(/)=А2, / е= [0, /2],...;
A(/)=AS, ts=T\.
Пользуясь выражением (4.12), найдем связь значений решения
x(f) на границах первого периода:
s т
х(Л = х.+1(О)=Фо^)хо+2 фп-1(О 2^(Ал; 0)6' "
Л-1 /-1
з т
-2Фл(^)2г^(Ал; Лл)6^
л-1 7-1
Если положить хо=хо' и соответственно х(7’)=х/(Т), то можно
определить и значение установившейся составляющей в случае ее
периодичности (x'(t+T) =x'(t)) при t=0:
х'(Г) = х,(0)=Ф0(Ох'(0) + 2 Ф„_1(О 2 ^л/(А„; 0)6? -
П-1 /-1
л т
-2Фл(^2^(Ал; Лл)6'
л-1 7-1
пли после преобразования
х'(0)=[1 — Фо(^)]-1 -2Фл(^ л-1 "е 1 Ц, <с' 3 ‘ё < 1 _с с е 1 1 » (А„; 0)6;-
(4.14)
153
ld Ld
Рис. 4.2
Таким образом, для существования периодического решения
уравнения (4.6) необходимо, чтобы матрица 1—Фо(/8) = 1—Фр(Т)
была невырожденной, т. е. все собственные значения а/, /=1, т.
матрицы Ф(Т) были отличны от единицы*.
Определив значение установившейся со-
ставляющей х'(0) и подставив его последо-
вательно в выражения (4.12), (4.9) или
(4.13) вместо значения Хо, получим общее
аналитическое выражение для установив-
шейся составляющей решения. Преходящая
составляющая решения уравнения состоя-
ния в этом случае имеет вид
х"(/)=Ф(/)[хо-х'(О)]=
~2фл(О ^FnJ(An-, hn)b}
п~1 J-1
Пример 4.2. Определим
состояния
установившуюся составляющую решения уравнений
d
dt
автономного инвертора тока, изображенного на рис. 4.2. Принцип работы такого
инвертора заключается в преобразовании близкого к постоянному тока источни-
ка in в переменный ток нагрузки iR за счет поочередной работы двух групп ти-
ристоров (Vi Vs и V2V4). Пусть
х =
L
1
RC-
Матрицу Ф (Г) называют матрицей монодромии, а ее собственные значения
aj — мультипликаторами.
154
Г/i.il
[/1.2.1
/2,1’
/2 2.
L
О
s = 2, ft1= ft2 = T/2.
Для использования формулы (4.14) найдем
''1) = Л,1(/>; *2) = £/(£/>); Л,2 (у; -ч) = ^2,2 (р> ^2) = 0;
Фо (ts) == еА’йз eAlftl = е ’ 2 е *2; Ф1 (ts) = еА’йз — е ’2;
Ф^2)= 1.
В соответствии с (4.14) начальное значение установившейся составляющей
решения уравнения состояния
х' (0) = [1 - Ф0 (/г)]"1
( Е , ГП Е , Г11
|Фо(6г)у Aj 1+ Ф1(6)у А2 oj —
Е 1
— Ф1(6)у Af1
О — ~ А2 * о ) ~ L Ч ~ 1 *
X [Фо (6) Af1 + Ф! (/2) АГ1 - Ф1 №) Af1 - А^1] о
На первом интервале /е[0, Л] установившаяся составляющая решения, со-
гласно (4.10),
. , ( Е 1 Г1Т, Е . Г11
х' (0 = еА^ |х' (0) + у АГ1 Ц - у АГ1 .
Граничное значение х'(6)=х'(Г/2) получим из последнего выражения, полагая
Z=T/2:
х'
I Т \ А1
( 2 ) = е
ъ( Е ,ГП) Е ,Г1Ц
2(х'(0) + уА-Ц-уА-Ц.
На втором интервале fe[6, 6] установившаяся составляющая решения, по
(4.9),
(/ у \ £ Г111
х \~2) + ~ [о |
г
оу
е Т2=/—ti — t—Т/Ч.
В заключение отметим, что для многих вентильных цепей мо-
нты изменения их структуры 6=1, 2, ... заранее не известны,
авнения состояния подобных цепей описываются системой
х(/)=А,х(O-J-f(/), Ze[6-i, 6]1 ?(х(/), 6) = 0, 4=1,2,...,
которой второе уравнение (обычно нелинейное — трансцентдент-
е) определяет искомые моменты изменения структуры 6. Поэто-
получить решение уравнений таких цепей в замкнутом аналити-
ском виде удается сравнительно редко. Для расчета подобных
пей широко применяют численно-аналитические методы, согласно
горым аналитические выражения для решений линейных уравне-
155
ний последней системы связывают с численными решениями ее не-
линейных уравнений. Теоретической основой такого подхода явля-
ется известный метод припасовывания, предложенный еще в 1912 г.
Н. Д. Папалекси и рассмотренный в [1]. Рассмотренные методы
получения аналитических решений линейных уравнений вида х(/) =
= А,х(/) +f (О могут успешно применяться и в этом случае.
Проанализированные в настоящей главе методы позволяют
простыми способами находить аналитические решения уравнений
состояния таких сложных электрических цепей, как нестационарные
электрические цепи. Полученные при этом выражения дают воз-
можность проводить качественный анализ решений, например оцен-
ку их резонансных свойств. Кроме того, возможно эффективное осу-
ществление их численной обработки. Прежде всего это относится к
нахождению периодических режимов. Дело в том, что определение
периодических режимов в нестационарных электрических цепях при
использовании методов непосредственно численного интегрирования
их уравнений отличается большой сложностью, особенно в части
идентификации таких режимов. Численная же обработка получен-
ных в данной главе аналитических решений позволяет определить
значения параметров периодического режима. С вычислительной
точки зрения эта обработка не связана с существенными трудно-
стями и фактически аналогична обработке решений уравнений со-
стояния стационарных электрических цепей.
5
ГЛАВА
ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ
Рассматриваются алгоритмы вычисления экспоненциальных, синусоидаль-
IX, косинусоидальных и ряда специальных функций матричного аргумента.
1ализируются особенности применения этих алгоритмов при численной обработ-
аналитических решений уравнений состояния сложных линейных электриче-
их цепей. Исследуются возможности их применения для численного интегриро-
ния уравнений состояния нелинейных цепей.
5.1. Вычисление матричной экспоненты и преходящих
тавляющих решений уравнений состояния
нейных стационарных электрических цепей
В предыдущих главах было показано, что решения уравнений
стояния линейных электрических цепей имеют вид аналитических
ражений, включающих функции от матриц коэффициентов этих
авнений. Так как в практических задачах обычно требуется оп-
делять и числовые значения решений, то представляет интерес
деленная обработка таких выражений, прежде всего вычисление
функций от матриц. Рассмотрим наиболее простой класс уравне-
ний
x = Ax-}-f, х, х(0) —х0, (5.1)
соответствующих линейным стационарным электрическим цепям.
Решения таких уравнений могут быть записаны в виде сумм прехо-
дящих и установившихся составляющих:
х=х"-|-х'; х"=еАЧхо,—Xq), х' = — Fj (A; t) &j= —F (A, t),
пли же в виде сумм свободных и принужденных составляющих
(см. § 2.1, 2.2):
157
т
x=xCB-f-xBp; xCB=eAZx0; хпр=2 1еА//7ЛА; °)-5ЛА; z)l6/=
j=i
= eAZF(A) — F (А; /).
Можно заметить, что в выражения для свободной, преходящей,
принужденной, а часто и установившейся составляющих решений
явным образом входит матричная экспонента. Следовательно, эта
функция наиболее типична для аналитических представлений реше-
ний уравнений состояния. Вычисление ее фактически приводит и
к расчету свободной составляющей решения xCB = e'Azx0 уравнения
(5.1). Поэтому рассмотрение проблем вычисления матричных функ-
ций следует начать с анализа проблемы вычисления матричной
экспоненты. Суть этой проблемы заключается в том, что непосред-
ственное определение значений функции eAz из выражения
V'l А? tq
eAZ = Л’ --- неэффективно, так как при достаточно больших
w
значениях t требуется учитывать большое число слагаемых, расту-
щее с увеличением t. Важнейшим же требованием численного рас-
чета матричной экспоненты является организация простого вычис-
лительного алгоритма, позволяющего при минимальном числе опе-
раций обеспечить заданную точность определения функции (в том
числе и при больших значениях /). Эта задача эффективно реша-
ется при последовательном удвоении шага расчета, введенном в
широкую практику Ю. В. Ракитским. Суть этого метода заключа-
ется в следующем.
Пусть необходимо вычислить матричную экспоненту в точке / =
= Н. Представим Н в виде H=h2N, где N— целое число. При до-
статочно точно вычисленной экспоненте eAft ее значение е Ан можно
получить, последовательно применяя формулы
е2Ай_.еАЛеАЛ. е4АЛ_е2АЛе2АА. . gA//_e2/VAA_g2 Afte2 Ал
Эти формулы могут быть записаны в виде рекуррентного матрич-
ного соотношения
Ф*+1=Ф», Фй=е2*АЛ; Z?=0, 1, 2,...;2У-1;
Ф„=е№=еА"
Таким образом, для вычисления еАН первоначально следует точ-
но определить значение еАА Последнего можно достичь, выбрав Л
настолько малым, что обеспечивается высокая точность представле-
ния еА Л частичной суммой ряда
eA^l+A/z+-^+... + -^-
1 1 2! 1 1 v!
158
i- небольшим числом членов v. Для нахождения еАА можно исполь-
зовать и другую формулу (формулу аппроксимации Паде):
X 1 —-—[-л2(А/г)2-}-(Ай)11] .
J
На практике обычно v=3-?6; аи=0 или аи=1/12 при ’
(т т \ 1/2
a2ij j (для жестких * задач можно выбрать и боль-
/ I у — 1 '
й шаг: /г^5||А||_1). Алгоритмически процедура вычисления еАН
оится следующим образом.
1. По матрице А выбирают шаг h, удовлетворяющий соотноше-
э й^0,1/||А||.
2. По матричному разложению находят фо=еАЛ.
3. По рекуррентному соотношению фй-н = фй2 рассчитывают ф№
= eA«.
В практических задачах приходится определять значение eAf на
отрезке [0, Т] для некоторых точек tn, например tn—nH, п—0, 1,
...,Е(Т/Н). Соответственно и матричную экспоненту eAt следует
нычислять для значений tn — пН. Для этой цели можно использовать
рекуррентное соотношение е(л+1>АЯ —елАЯеАЯ.
Рассмотренная процедура отличается высокой эффективностью
роста для программирования. Ее реализация позволяет с высо-
точностью и минимальными затратами времени,вычислять мат-
ные экспоненты. Определив матричную экспоненту еА/« в неко-
ой точке t—tn и умножив ее справа на вектор х0 или х0—х0',
кно получить соответствующее значение свободной или преходя-
I составляющей решения уравнения (5.1).
j.2. Расчет установившихся и преходящих составляющих
решений уравнений состояния линейных стационарных
>лектрических цепей в безрезонансном случае
Во многих практических задачах расчета электрических цепей
ребуется определить числовые значения только установившихся
оставляющих решений уравнений. Особенно это относится к тем
случаям, когда установившиеся составляющие характеризуют пе-
риодические режимы в цепях. Заметим, что, найдя установившуюся
* Понятие жесткости (характерного свойства задач теории электрических
цепей) рассматривается в § 6.4.
159
составляющую х'(0 решения уравнения (5.1) и имея эффективный
алгоритм вычисления матричной экспоненты (см. § 5.1), можно
определить и полное решение x(i)=eAf (х0—х0')+х'(?) этого урав-
нения. В настоящем параграфе рассматриваются особенности рас-
чета установившейся составляющей решения уравнения (5.1), опи-
сывающего некоторую линейную стационарную электрическую
цепь.
Установившаяся составляющая решения уравнения (5.1) в без-
резонансном случае (см. § 2.2), согласно (2.5), может быть запи-
сана в аналитическом виде:
х'(г!)= —/)6; =—F(A; /),
/-1
где Fj(p-, t)—изображение ЛПЛ /-й компоненты вектор-функции!
f(0; — матрица-столбец, все компоненты которой равны нулю, за!
исключением /-й, равной единице. При этом, как показывают при-i
меры гл. 1, изображение Fj (р; t) практически любых типичных для;
электротехнической практики воздействий fj(t) может быть описа-1
но композицией из экспоненциальной и рациональной функций one-!
ратора р с зависящими от времени коэффициентами *.
Пример 5.1. Изображение ЛПЛ Fi(p\ /) = 15 (р sin cos л/) (p?+n2)J
синусоидального воздействия fi(t) = 15 sin nt представляет собой рациональную)
функцию аргумента р с зависящими от времени коэффициентами многочлена,:
стоящего в числителе.
сывающее изображение ЛПЛ функции /г = 10(—1)в<о (меандр) на первом полу-i
периоде, является композицией экспоненциальной и рациональной функций.
Следовательно, соответствующие функции F/(A; t) от матриц^
А могут быть выражены через рациональные и экспоненциальны^
матричные функции. Для рассмотренных примеров первая функ-i
ция
5t(A; /) = 15 (A sin n/4~JTCOSI^,l)(A24-n2,l)“1
представляет собой рациональную матричную функцию с завися^
щими от времени коэффициентами, вторая функция
Д2(А; t)= - 10А-1 [2 (14-еАГ1 eAZ- Ц
— композицию рациональной и экспоненциальной функций. Таки^
образом, для вычисления функций F/(A; t) от матриц необходим^
три матричные операции (сложение, умножение, обращение), умно-;
жение матрицы на число или функцию, а также алгоритм вычисле-
* Рациональной называется функция вида Л4(р)ЛН'(р), где Л4(р) и ЛГ(р)—<
многочлены.
160
ния матричной экспоненты. Данные четыре операции имеются в
стандартном обеспечении ЭВМ; высокоэффективный алгоритм вы-
числения матричной экспоненты был рассмотрен в § 5.1. Следова-
тельно, используя эти операции и алгоритм, можно вычислить зна-
чение функций Д/(А; t) для любого момента времени. Для расчета
установившейся составляющей решения уравнения (5.1)
Х' = — ^/(А; /)6; = —F(A; i)
y-i
необходимо сначала каждую квадратную матрицу ДДА; t) умно-
жить,на соответствующую матрицу-столбец:
Г 0 “
а затем сложить полученные матрицы-столбцы. Заметим, что ум-
ножение матрицы ГДА; t) на матрицу 6/ не связано с выполнением
вычислительных операций, а означает лишь выделение из матрицы
/•/(A; t) ее /-го столбца.
Пример 5.3. Покажем, как может быть организована программная реали-
зация вычисления установившейся составляющей решении некоторого уравнения
состояния [типа уравнении (2.7)]
Xi ап
x2J а21
«12 *1
«22
15 sin
10( - 1)£(/>
«11
«21
«12
«22.
с заданными значениями коэффициентов ан, а12, а21, а22 для первого полуперио-
да /е[0,1]. Сначала находят изображения
F\ (Pi О = 15 (Р s*n л< 4- л cos л<) (р2 4- л2)-1;
10 I 2ept \
f2(p: о=-7(—р-1);/е[о,1]
воздействующих функций fi (р; l) = 15sinnl, f2(t) —10(—1)в(,). Установившуюся
« оставляющую решения записывают в аналитическом виде по (2.5);
= - Л (А; о
-ЛДЛ;
где /?i(A; t) — 15 (sin лЬА 4- л cos rt£-l) (А2 4- л2-1)~
Г2(А; 0= - ЮЛ-1 [2 (1 4-еА)—1 еА/— 1].
Затем Для вычисления матричных функций Fi(A; /); F2(A; f) при различных зна-
мениях t=tn составляют подпрограммы, использующие стандартные операции
сложения, умножения, обращения матриц и умножения матрицы на число (ска-
ti-151 161
лярную функцию), а также процедуру вычисления матричной экспоненты (ем.
§ 5.1). Выделение первого столбца из матрицы Л (A; f), второго столбца из
матрицы /г2(А; /) и суммирование этих столбцов завершают составление про-
граммы расчета установившейся составляющей решения рассматриваемого урав-
нения на первом полупериоде te[0, 1].
Для счета необходимо задать значения коэффициентов матри-
цы А и конкретные значения параметров tn. Заметим, что наличие
сервисной программы, реализующей ввод арифметических выра-
жений от матричных функций, исключает этап программирования
и позволяет вводить в ЭВМ. для численной обработки аналитиче-
ские выражения установившихся составляющих решений уравнений
состояния так же просто, как вводятся в обычный программируе-
мый калькулятор подобные аналитические выражения решений
скалярных уравнений состояния, соответствующих, например, про-
стейшим RL- и /?С-цепям.
Возможность непосредственного получения значений установив-
шихся составляющих решений уравнений состояния, согласно рас-
смотренному численно-аналитическому методу, без расчета всего
переходного процесса является большим достоинством этого ме-
тода.
Как отмечалось ранее, получение полного решения уравнения
состояния при этом не представляет сложности. Однако следует
отметить, что рассмотренный метод применим лишь для безрезо-
нансного случая, когда все операции обращения матриц, входящих
в соответствующие аналитические выражения, корректны, т. е. эти
матрицы не вырождены. Более того, для обеспечения удовлетвори-
тельной точности расчетов эти матрицы должны быть достаточно,
удалены от вырожденности, что затрудняет расчет в окрестностях
резонансных точек. Так как часто у исследователя априори нет ин-;
формации о том, насколько определяемое решение близко к резо-
нансному, то можно применить более надежный метод получения
решения уравнения состояния, основанный на численной обработке
аналитических выражений решений уравнений состояния, записан-
ных в виде суммы свободных и принужденных составляющих.
§ 5.3. Расчет принужденных составляющих решений уравнений
состояния линейных стационарных электрических цепей
Представление решения уравнения состояния (5.1) в виде сум-
мы свободной и принужденной составляющих [см. (2.10)]
х=хс„+хнр, хсв=еА%;
т
xnp=eAZF(A) —F (А; /) = ^ 0)-5?(р; /)]|Р_А6,
J-i
справедливо как в безрезонансном, так и в резонансном случае, ес-
ли под выражением eptF/(p-, Q)—Fj(p\ t) понимать соответствую-
162
щий степенной ряд (см. § 2.6). Поэтому именно такое представле-
ние полного решения уравнения состояния и целесообразно исполь-
зовать для нахождения его значений. В § 5.1 был рассмотрен ал-
горитм вычисления преходящей составляющей решения хсв=еА‘х0.
При расчете принужденной составляющей хпр основные проблемы
связаны с вычислением т матричных функций
0) — F}(p- /)]|р_А, /=1, т. (5.2)
Последующее умножение данных матриц на векторы 6/ и сум-
мирование полученных в результате этого вектор-столбцов слож-
ностей не вызывает. Особенность вычисления матричных функций
(5.2), так же как рассмотренного в § 5.1 вычисления экспоненты
еА(, заключается в том, что непосредственный расчет частичных
сумм соответствующего (5.2) степенного ряда не эффективен при
достаточно больших значениях t. Поэтому здесь, так же как и при
вычислении экспоненты eAl, целесообразно использовать рекурсив-
ные процедуры, причем эти процедуры не должны содержать опе-
раций обращения матриц, с тем чтобы избежать некорректностей
при их вырождении в резонансных случаях. При этом можно ис-
пользовать последовательное удвоение шага, применяемое ранее
при вычислении матричной экспоненты.
Пример 5.4. Пусть одна из компонент вектора воздействия f=f(f) в
уравнении (5.1) постоянна: f< = a=const. Изображение ЛПЛ этой функции суть
/\(р; t)—a/p. Тогда в принужденной составляющей уравнения (5.1) появляется
слагаемое вида
0)-Г,(р; Oil = « Upt — - —) 8;.
Ip-А \ р р ) р-к
Нод функцией от матрицы понимаем степенной ряд
рч-г F
р-к
имеющий смысл и в том случае, когда матрица А вырождена. Для вычисления
этой функции в точке t—H представим Н в виде Н = h-2N, где N—целое
( nh 1 1 \|
число. При достаточно точно найденной функции ер — — — ее значение
\ Р Р )\р-к
(ерГ/ — — —)| можно определить, последовательно применяя выражения
163
fe2M_L_J_\ и J_(e2pA_ l)|p_A = ~ (е₽л ~ 1) (e₽ft + 1)|P_A;
\ p Pl p-x p lp p 'p
P’* 4—7) <'’’*+
. ‘ г г • J
Эти выражения могут быть записаны в виде рекуррентного соотношения
Фй+1 = Фл(Фл + 1),
(5-3)
(оЛ„А 1 1
е р — — —
Р Р
2*
; Фл = е •
'р-Х
ал, й = 0, 1,..., АГ - 1;
epff — - —'
Р Р !
р-А
Р~Х
0,1
Начальные значения фо, 9о прн достаточно малых п < —могут быть с доста-,
ИИ
точно высокой точностью найдены как частичные суммы рядов:
<7-1
(A/z)g~1 А
АЛ2
21
(АЛ)11-1 А
v!
<7>
(М)9
Фо
7-0
(Ай)'
vl
где v—34-6.
Вычисление Ф.у происходит в такой последовательности.
1. По матрице А выбирают шаг h, удовлетворяющий соотношению
<0,1/||А||.
2. По матричному разложению вычисляют фо ,?о.
3. По рекуррентным соотношениям фй+1 — Ф*(ф*+1), Фа+i = ф* рассчиты-
вают фд, = fеНр — — —. Искомое значение функции а (еНр — —
\ Р Р /Ip-А \ р
определяют как а I ънр — —
р-х \ р
— =аФдг-
Р )\р-х N
Р
Рассмотренная процедура не содержит операций обращения матриц, что
позволяет вычислять функцию a (ер*---— —'j н соответствующее слагае-
\ Р Р /р-ь
мое а ер —— —) 5; решения уравнения (5.1) и в резонансном случае,
\ Р Р /|р-А
когда матрица А вырождена,
164
Пример 5.5. Пусть одна из компонент вектора воздействия f = f(/У в
сравнении (5.1) изменяется по линейному закону Л = В/. Изображение ЛПЛ
/ t 1 \
>той функции суть Fi(p‘, 0 = 0—+ —г -Тогда в принужденной составляю-
\ Р Р2 /
щей решения уравнения (5.1) появляется слагаемое вида
[е^; (р- 0) - F, {р- /)]| А 8г = ? -Ц| 8/.
Р \ Рг Р Р2/|р-А
11од функцией от матрицы понимаем степенной ряд
имеющий смысл и при вырожденности матрицы А. Для вычисления функции
\ Р2 Р Р2 Лр-а
методом последовательного удвоения шага выразим ее значение для момента
2/ как
В соответствии с этим выражением запишем следующее рекуррентное соотно-
шение для вычисления этой функции в момент t=H = 2Nh\
где
&+1 = ЫФ*+ l)+2ftH4>
(5-4)
I 2^ph 1 1
Ф* = е — - —
\ Р
( 2nph 1
V==\ Р2
Р 1
2Nh
Р
р-А
2*h. 1
Р Р2
2*АА „
9* = е ; k = 0, 1................— 1;
Р-А
P2 P P2)p-a
Начальные значения So, Фо, 9o при A=^O,1/||A[| могут быть с высокой сте-
пенью точности найдены как частичные суммы рядов:
Р2/р-а
k Р2
q-2
{Kh)4~2 А2 А2 A АЗ
q\ “21 ‘I+ 31
(Ml?-2 А2
vl
165
V (АЛ)’-1 л
Фо=24
q-1
7-0
(АЛ)’
Qi
= 1 4-АЛ + ... 4-
(АЛ)’
vl
где v=44-6.
Алгоритм вычисления имеет следующий вид.
1. По матрице А выбирают шаг Л, удовлетворяющий соотношению Л^
<0,1/||А||.
2. По матричному разложению находят £0, Фо, §о.
3. По рекуррентным соотношениям §ь+1 = 6ь(?л4-1)4-2*Афь, Уч+1='М?ь+
<pA+I=<pj рассчитывают^.
Искомое значение функции
р2 р р'Чр-к
определяют как
р2 р Р2)\Р-ь
р2
1
Рассмотренная процедура также не содержит операций обращения матриц
и поэтому может применяться в тех резонансных случаях, когда матрица А вы-
рождена.
Аналогичным образом на основе метода последовательного уд-
воения шага могут быть вычислены и другие функции (5.2), вхо-
дящие в выражения для принужденных составляющих решений, что
позволяет с большой точностью рассчитывать преходящие состав-
яющие решения уравнений (5.1).
§ 5.4. Расчет составляющих решений уравнений
состояния реактивных электрических цепей
Решения уравнений состояния реактивных электрических цепей
x=Ax-|-f, х, х(О)=хо, х(О)=х0 (5.5)
могут быть записаны в виде сумм преходящих и установившихся
составляющих [см. (3.5), (3.6)]:
x=x"-f-x', x"=cos[(—А)1/2/]
4-(-A)-V2sin [(-А)1/2/]
х0-(-А)-1/22 ^«-А)1/2; 0)8у +
/-1 J
x0-(-A)-'/22^((A)V2; О)вД;
У-I J
х'==(-А)-1/2 2 ^((-А)1/2; о в/,
7=1
166
или же в виде свободных и принужденных составляющих:
х=хсв4-хпр; xCB=cos[(—AjV^JXo+C—A)-V2sin [(—А)1/2/]^;
x^t-A^jFjtt-A)1/2; Обу-
7-1
- cos [(—A)V2/](-A)-V22 ^((-A)1/2; 0)6;4-
7=1
H-sin [(—A)V2/JA-I 2 ^/((-A)1/2; 0)8;.
/-1
При численной обработке этих выражений, так же как и при чис-
ленной обработке соответствующих составляющих решения урав-
нения (5.1), вся сложность состоит в вычислении функций от мат-
риц. Если основным видом функций, определяющих составляющие
х", х', хсв, хпр решения уравнения (5.1), являлась матричная экспо-
нента еА(, то в данном случае эту роль играют функции
Г/ *М/2Л 1 , А/2 Д2/4 . . А*<2»
cos [(--А)1/2и=1 Ч---Ч------к... Ч-----;
в i -г 21 -г 41 т -г 2Л1 >
'-A)-1'2 К +-5Г + • • • +(^г.
причем они входят в выражениях для х", х', хсв, хпр только одно-
временно. Именно это является отличительной особенностью выра-
жений аналитических решений уравнений состояния реактивных
цепей. Поэтому процедуры вычисления этих функций имеет смысл
разрабатывать с учетом этого факта. При этом также можно ис-
пользовать последовательное удвоение шага расчета (см. § 5.1—
5.3), основанное на формулах тригонометрических функций двой-
ного аргумента, согласно которому
cos [2(—A)1/2/n]=cos2[(—A)V2/„]-2-1;
(—А)-1/2 sin [2(—А)1/2/„(=
= 2 (—A)-1/2 sin [(—А)1/2 /„] cos [(—А)1/2 /],
где 2/„=/я+1.
В соответствии с этими формулами имеем следующее рекуррент-
ное соотношение для вычисления значений этих функций в момент
/ = Я=2^:
Ct-i-i=C» —2-1, Sft+1 = 2SftCft,
где Cft=cos[(— A)1/22*/t]; Sft=(—A)~1/2sin[(—А)1/22АЛ];
167
Л=0, 1,..-..., АГ-1; ^=cosK-A)V2 2^] = cos{(-A)1/2/-/J;
S^c-A)-1/2 sin [(—A)1/22лгй]=(—А)1/2 sin [(—A)1/2//].
При этом начальные значения Со, So при /i^0,l/||A|| могут быть с
высокой степенью точности определены как частичные суммы ря-
дов:
с — 1 I Aft2 j_ I (Aft2)’ .
s0=M + +
1 31 1
где v = 34-5. Алгоритм вычисления значений Cjy и Sjv имеет следую-
щий вид.
1. По матрице А выбирают шаг h, удовлетворяющий соотноше-
нию h 0,1/1| А||1/2.
2. По матричным разложениям находят Со, So.
3. По рекуррентным соотношениям Cft+i=Cft2—2-1, S*+i=2SaC<.
определяют искомые значения С^созП—A1/2//]; Sw =
= (—A)-I/2sin[(—A)V2//]_
Рассмотренная процедура отличается высокой эффективностью
и проста для программирования. Ее реализация позволяет с высо-
кой точностью и минимальными затратами времени вычислять ос-
новные функции, входящие в выражения для решений уравнений
состояния реактивных электрических цепей. Рассчитав функции Сдг
и 5Л- и умножив их справа на х0 и Хо, можно получить и значение
преходящей составляющей решения уравнения (5.5) в точке t — H.
Расчет установившихся, свободных и принужденных составляющих
ешений уравнения (5.5) аналогичен их расчету в уравнении (5.1).
§ 5.5. Применение численно-аналитических методов
цля решения уравнений состояния нестационарных
и нелинейных электрических цепей
Высокая эффективность рассмотренных вычислительных про-
цедур обработки аналитических решений уравнений состояния ли-
нейных электрических цепей обусловливает целесообразность их
использования и при решении уравнений состояния нестационарных
и нелинейных электрических цепей. При этом
x=f(x, /), х, fe/?”, х(О) = хо. (5.6)
Возможность применения этих процедур для решения подобных
сравнений основывается на обоснованной во введении последова-
тельной поинтервальной аппроксимации последних. Рассмотрим
такой подход подробнее.
68
Линеаризуем уравнение (5.6) в достаточно малой окрестности
справа от точки t = 0:
X —f(x0, О)-}
х_0(х — х0), х(О)=хо,
t-o
t е |0, ].
Обозначим
ь-='<х«. °>-А,х0
и запишем линеаризованное уравнение в виде
x=AiX-|-b1, х(О)=х0, bj==const, /е[0,/1].
При этом обработку аналитического выражения
х = еА1'х04-АГ1(еА«/—1)ЬЬ г!е[0, 4]
решения полученного уравнения проведем согласно методике, изло-
женной в § 5.1, 5.3. Рассчитав таким образом значение Х1=х(Л),
снова линеаризуем уравнение (5.6), но уже в окрестности справа
от точки i = iit
x=f(Xi, /1) + 4~ (x-Xi), x(4) = Xi,
аХ х-х,;
При
А _ df(x; t)
2 дк
b2=f(xb /j) — A2xi;
последнее уравнение запишем в виде
x = A2x-j-b2, x(/i) = Xi, b2 = const, /21-
Обработку аналитического выражения
х==еА>'1х1-|-АГ1 JeA,,t —ljb2; т=(/— 4) е= JO,
решения полученного уравнения также проведем по методике, из-
ложенной в § 5.1, 5.3. Далее расчет рекурсивно повторяется. Рас-
смотренный алгоритм может быть описан следующим образом.
1. Находят аналитическое выражение для матрицы производных
правой части уравнения (5.6) (матрицы Якоби): А(х, /) = дНх,9 .
2. Осуществляют рекурсивную обработку аналитических выра-
жений
x(r)=eA«Tx„_14-A71(eA«T-l)bn, te[0, /„-/„-4;
A„=A(x„_i, /я_1), bn=f(x„_i, ^-i)-A„x„_j;
п=1,2,... (см. § 5.1, 5.3).
169
Если моменты tn, п—\, 2, аппроксимации функции f(x, f) за-
даны априори не были, то критерием выбора каждого n-го момента
может служить нарушение условия
|f(x, О —A„_iX(O —b„_1|*<8; ее/?”;
где вектор 8= [ei... em]f характеризует заданную точность аппрок-
симации правой части уравнения (5.6) линейной функцией.
Заметим, что в типичных для практики случаях, когда коэффи-
циенты fi(х, t), i=l, т, вектор-функции правой части уравнения
(5.6) f(x, t) описываются едиными, дифференцируемыми при всех
х, t аналитическими выражениями, соответственно едиными анали-
тическими выражениями могут быть описаны и коэффициенты мат-
рицы Якоби А(х, /)— dt (х> . При этом конкретные значения
Эх
коэффициентов постоянных матриц An+i определяются при подста-
новке в полученные выражения конкретных значений xn=[xin...
Kmn)tn, 1, ... .
Пример 5.6. Определим матрицы Якоби для уравнения состояния
1 ‘ol
“c(Gl L “ос
<е[0, т],
последовательной /?£С-цепи с нелинейным сопротивлением /?(i) =/?0+#i((7A>)2;
i=ib, и источником постоянного напряжения u(t) = U0. Здесь
f (х, t)
Vi(x, 0 '
/2(Х, 0 .
/д—-£ !«£ + £ Щ
Матрица Якоби
А(х,О =
df(х, t)
дх
имеет вид
Г -£-1[/?Ь + 3/?1(/ //о)2]
А(х, 0 =
L с-i
-£-1
о
Заметим, что коэффициенты полученной матрицы не зависят от времени t
и значений переменной состояния ис. Поэтому для определения коэффициентов
матриц Ап+1=А(хп, tn), n==0, 1, 2,..., в полученные выражения коэффициентов
матрицы А(х, t) подставляют только значения переменной состояния 1ь(М, п—
=0, 1,.... Для первого шага
* Имеется в виду покомпонентная проверка условия для рассматриваемых
векторов.
170
г -д-ц/го + З/ги/ /70)2]
Ai = A(x0, /0)= °
L c-i
При этом согласно п. 2 алгоритма соответствующее
неаризованного уравнения x=Aix+bi определится как
-Д-1 [/?0 + /?, (Z0i//0)2] /oi - L-^u0C + L-iUq
Г -Д-l [/?o + 3/?! (/0t/70)2] i0L - L-^c
Аналогичный подход позволяет применять численно-аналитиче-
ские методы и для решения уравнений состояния нелинейных реак-
тивных цепей
-Д-1
О
значение вектора bi ли-
bt = f (Хо, fo) — A1XO =
2Д-1/?! (Zoi/7o)2/o£4-Д-it/o'
0
x —f(x, /), x, x(O) = x0, x(O) = x0.
(5.7)
Решение уравнений подобного вида сводится к последовательному
решению линейных уравнений второго порядка
дх
(X-Xn-O, /£[/„-!,
x“xn-l
'“'n-l
т. е. уравнений вида
х = А„х4-Ь„; х(/„_1)=х„_1, х(/„_1) = хл_1, /g=[/„_i,/„[.
Аналитическое решение подобных уравнений имеет вид
х (т)=cos [(—Ап)1/2т]х„_! + (—An)-1/2 sin [(— Ап)1/21[-f-
-f-(—A„)-1 {1 — cos [(— Ап)1/2т]} Ьл,
t=/-/„_1e[0,
Оно может быть численно обработано по методике, изложенной в
§ 5.4. Алгоритм решения нелинейного уравнения (5.7) уожет быть
описан следующим образом.
1. Находят аналитическое выражение для матрицы производных
правой части уравнения (5.7): А(х, /)= .
дх
2. Осуществляют рекурсивную обработку аналитических выра-
жений
х (t)=cos [(—An)1/21[ хп-14- (- An)-1/2 sin [(—Ап)1/2 т] х„_1 +
+ (-Anr1{l-cos[(-A„)1/2r]}b„, т—/ —tn-x е=[0, /„-/„-4;
хп (T„)=-(-A„)1/2sin [(-A„)1/2-r„]x„4-cos[(-A„)1/2T„]x„_1 +
-t-(-A„)-1/2sin[(-A„)1/2r„]b„; xn=tn-tn_v n=l,2.........
171
Подобное использование численно-аналитических методов в за-
дачах решения нелинейных уравнений состояния (5.6), (5.7) осно-
вывается на последовательной поинтервальной аппроксимации не-
линейных функций f (х, t) правых частей уравнений линейными
функциями вида Anx + bn, t^[tn-1, tn], В тех случаях, когда функ-
ция f(x, t) изменяется достаточно быстро, т. е. переменные состоя-
ния х(/) имеют большие производные, применение подобной ап-
проксимации по условиям обеспечения заданной точности расчета
возможно лишь на относительно малых отрезках времени тп = /п—
—/п_ь число которых на интервале /е[0, Т] в подобных случаях
резко увеличивается. Поэтому для функций f(x, t) целесообразно
использовать более сложные аппроксимации, например основанные
на выделении из f(x, t) члена <p(Z), не зависящего от х в том слу-
чае, когда f(x, /)~ф(х, При этом после аппроксимации
ф(х, /)~Апх + Ьп, 1, /п] функция f (х, t) на интервале t^[tn-1,
tn] заменяется линейной функцией вида Anx+bn + <p(/)> а нелиней-
ные уравнения (5.6), (5.7) соответственно линейными уравнениями
вида
x=A„x+gn(/), gn(/)==bn4-<p(/), /е=[/п_1, /„J;
х—A„x+g„(/), gB(O=b„-]-(p(O, /e= tn\,
для решения которых также могут быть использованы численно-
аналитические методы. Однако необходимая точность аппроксима-
ции f(x, t) обеспечивается на больших, чем в предыдущем случае,
отрезках xn = tn—tn-i.
В заключение отметим, что рассмотренные в данной главе чис-
ленно-аналитические методы позволяют проводить достаточно глу-
бокие исследования уравнений состояния (5.1), (5.5). Здесь имеет-
ся в виду возможность нахождения с большой точностью их числен-
ных решений независимо от вида воздействующих функций f=[fi ...
f и свойств матрицы А, а в безрезонансном случае — непосред-
ственное определение установившихся (асимптотических) состав-
ляющих решений. При этом особенно ценной является возможность
проведения по созданным алгоритмам многовариантных расчетов,
связанных с исследованием влияния коэффициентов матрицы А на
решение. Разработанные алгоритмы вычисления матричных функ-
ций позволяют обрабатывать и полученные в § 2.7 выражения для
спектральных характеристик решений подобных уравнений. К недо-
статкам численно-аналитических методов следует отнести необхо-
димость разработки специальных процедур вычисления функций от
матриц. Однако это относится только к расчету функций принуж-
денных * составляющих решения, поскольку функции, определяю-
щие вид установившихся составляющих решения уравнения, доста-
* Некоторые общие подходы к вычислению произвольных функций от мат-
риц, а также производных и интегралов этих функций по матричной переменной
рассматриваются в [9].
172
точно однотипны и их вычисление (см. § 5.2) не вызывает трудно-
стей.
Вычисление функций типа (5.2), входящих в принужденные со-
ставляющие решений, производят по формальным правилам, осно-
ванным на идее последовательного удвоения шага. Но эти процеду-
ры могут представлять определенные трудности в том случае, когда
подобные функции имеют достаточно сложный вид. В этом случае
иногда целесообразнее использовать не численно-аналитические,
а численные методы решения уравнений состояния (см. гл. 6). Од-
нако нужно заметить, что численным методам также присущи недо-
статки. В частности, эффективность многих из них зависит от не-
которых свойств матрицы А в уравнении (5.1), не известных зара-
нее исследователю. Рассмотренные же численно-аналитические ме-
тоды являются в этом отношении более надежными, но, главное, они
позволяют всесторонне исследовать свойства уравнений состояния.
б ГЛАВА
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
СОСТОЯНИЯ
Исследуются проблемы, связанные с численным решением уравнений состоя-
ния. Вводятся понятия точности и устойчивости численного интегрирования, а
также устойчивости и жесткости уравнений состояния. Рассматриваются систем-
ные методы интегрирования и методы фильтрации составляющих с большими
производными при решении жестких систем уравнений.
§ 6.1. Численное интегрирование уравнений состояния
Рассмотренные в предыдущей главе методы получения решений
уравнений состояния требуют предварительного их аналитического
решения. Для некоторых классов уравнений состояния (например,
нелинейных и нестационарных) подобный подход связан с сущест-
венными трудностями, особенно если воздействующие функции
имеют сложный характер. Поэтому возможно и непосредственное
численное интегрирование уравнений состояния. В этом случае ис-
следователь уже не располагает аналитическим решением уравне-
ний, позволяющим проводить качественный анализ его свойств.
Следовательно, особенно остро встает проблема адекватности по-
лучаемых при численном интегрировании результатов истинному
решению уравнений состояния. В данной главе анализируются ме-
тоды численного интегрирования уравнений состояния и исследу-
ются такие особенности последних, которые характерны для урав-
нений электрических цепей и определяют адекватность получаемых
при использовании конкретного метода результатов истинному ре-
шению.
Для ознакомления с методами численного интегрирования рас-
смотрим дифференциальное, в общем случае нелинейное уравнение
первого порядка
х), х(/0)=х0, (6.1)
174
решение которого находят на отрезке [/0, /о+Г] в виде таблицы:
t •0 /о+Й to -р- 2h ... to ~b nh ^о+Л^/i —
X x(Z0 + h) x(t0 + 2h) x(t0 + nh) ... x(Zo+7’)
Здесь Л>0 — некоторая малая величина, называемая шагом ин-
тегрирования или шагом дискретности (дискретизации) таблицы.
Выбор этой величины должен обеспечивать возможность аппрокси-
мации точек х (tn) =х (tQ + nli), п—0, 1,2, N,N = T/h такой функ-
цией, которая воспроизводила бы все особенности исследуемого
процесса x(t) с достаточной для практики точностью. Для вычисле-
ния значений x(to + nh.) дифференциальное уравнение (6.1) заме-
няют алгебраическим, называемым разностным уравнением вида
W(x, h) = 2 (/«-*, й)]=0, (6.2)
k-0
в котором коэффициенты аГ, Ьг одновременно не равны нулю,
a rsgjnsCjV. При этом значения xn = x(tn), приближенно описываю-
щие xn—x(tn), определяют как решения неявных алгебраических
уравнений последовательно точка за точкой. Процесс вычисления
таблицы с помощью разностных уравнений называют численным ин-
тегрированием (численным решением) дифференциального уравне-
ния. Уравнение (6.2) называют методом численного интегрирования
(разностной схемой). Число г соответствует порядку разностного
уравнения, который определяет число дополнительных начальных
условий, необходимых для однозначного решения уравнения (6.1).
Совокупность начальных условий Хо, х\, ..., xr-i для уравнения (6.2)
называют началом таблицы, а способ вычисления значений хи ...,
Хг-1 — стартовым алгоритмом. Отметим, что при г=1 метод числен-
ного интегрирования называют одношаговым, а при г>1 — много-
шаговым.
Простейшие методы численного интегрирования основываются
на идеях, высказанных Эйлером, Коши, Рунге, и носят их имена.
Рассмотрим эти идеи и методы подробнее.
Одна из идей построения разностного уравнения (6.2) по исход-
ному уравнению (6.1) состоит в применении к (6.1) формулы Нью-
тона — Лейбница
'«+1
*(61-ц)=*0;п)+ J /(t, x(r))dr=
л
=*(Q+f /(^+1—т. х(/п+1 —r))dt (6.3)
175
с последующей аппроксимацией интеграла (6.3).
Например, явный метод Эйлера (метод ломаных) получают при
приближенном вычислении интеграла по способу працых прямо-
угольников. При этом уравнение (6.3) принимает вид
xn+i—xn-\-fif„,
Хп).
К неявному методу Эйлера (неявному метод ломаных) приводит
приближенное вычисление интеграла по способу левых прямоуголь-
ников:
xn¥\ — xn-{-hfn+i,
f л-и”f (^n+i, xn+i).
Заметим, что последнее уравнение не разрешено относительно
неизвестного значения яп-н- Это обстоятельство и обусловило на-
звание метода как неявного. В общем случае метод (6.2) называют
неявным, если &гу=0, и явным в противном случае. Неявным, на-
пример, является метод трапеций.
xn+i — хп-\—^-(/п+1Ч~/л)>
получаемый при аппроксимации интеграла в формуле Ньютона —
Лейбница по методу трапеций.
Обобщением двух последних методов является метод Линиге-
ра— Уиллаби
•ув+1=^в+^1(1-Н)хВ4.14-|лхв], 1/2,
который при ц=0 совпадает с неявным методом Эйлера, а при ц=
= 0,5 — с методом трапеций.
При построении разностных схем наряду с формулой Ньютона —
Лейбница используют и другие представления решений (6.1), на-
пример представления в виде ряда Тейлора
*
е (h-ty + .
+ J vl dt’+1
о
где высшие производные находят путем последовательного диффе-
ренцирования правой части уравнения (6.1). При пренебрежении
176
интегралом в последнем выражении получают разностные уравне-
ния первого порядка
xn^i—xn-\-h X -^=rfn. (6.4)
При v= 1 Последнее уравнение совпадает с ранее рассмотренным
уравнением явного метода Эйлера.
Отметим, что уравнение (6.4) называют методом степени v по
числу учитываемых производных. В общем случае разностную схе-
му (6.2) называют методом степени v, если разложение Т(х, h) по
степени Л любого tn имеет вид
W(х, ft) — 0(/z’+i), h—>0.
Последнее означает, что
(х, h)\ <
где М — константа; Л0 —достаточно малое число. Например, мето-
ды ломаных относятся к методам первой степени, трапеций—ко
второй.
Для того чтобы не вычислять непосредственно производные пра-
вой части (6.1) при реализации методов (6.1), обычно используют
идею Рунге. При этом вместо (6.4) применяют разностное уравне-
ние вида
*л+1-*я + АФ(*Я) хп, h).
Функцию Ф(/п, хп, h) строят таким образом, чтобы ее разложе-
ние по степеням h в точке tn совпадало до /Г-1 включительно с
(6.4). Методы подобного типа называют методами Рунге — Кутта.
Наиболее часто используют методы второй степени:
а) метод Эйлера — Коши
хп+\—х„ +
^n=fn, b2n = f<jn + l, xn + hkln)‘,
б) усовершенствованный метод ломаных
^П4-1 = Х + tlkfyli
km=f п, k2n=f
в) метод четвертой степени
+ 1 хп + "7" + 2^2л + 2^3л + ^4л);
о
kin=fn, k2n=f ^лЧ"у > xn-\--^-kx^\ ;
177
^зп— Y’ Xn + ~2~ ^2n) ’ ^4n — хп~\-к$3п)-
Аналогичным образом могут быть сконструированы/и неявные
методы Рунге — Кутта. 7
Рассмотренные простые и пользующиеся широкой известностью
методы называют иногда классическими методами численного ин-
тегрирования. Отметим, что разностные схемы этих методов спра-
ведливы и в том случае, когда (6.1) представляет собой систему
дифференциальных уравнений, т. е. когда переменные х, f являют-
ся вектор-функциями: х= [хгх2 ...xm]T^Pm, f= [fif2/.. fm]T<=Pm. Су-
ществует и множество других методов — методы Адамса, Милна
. :ятся к методам классического типа) и более сложные методы
типа методов Шихмана, Гира и т. д. При выборе метода численного
интегрирования прежде всего руководствуются получением резуль-
тата (таблицы) с достаточной точностью и в требуемое время. При
этом необходимо учитывать как характеристики используемой ЭВМ
(ограниченность разрядной сетки, быстродействие, объем оператив-
ной памяти и т. д.), так и свойства решаемого уравнения (вид его
правой части).
§ 6.2. Использование правила Рунге для оценки погрешности
и выбора шага интегрирования
Важной проблемой при численном интегрировании уравнений
состояния является выбор шага дискретизации. Выбор большого
шага нарушает адекватность разностных уравнений решаемым
дифференциальным уравнениям, что приводит к бессмысленному
результату. Если же шаг выбран слишком малым, то расчет ведет-
ся с большими затратами машинного времени, а накопление оши-
бок округления приводит к существенному искажению решения.
Поэтому программные реализации численных методов интегрирова-
ния должны включать процедуру выбора шага, автоматически учи-
тывающую особенности каждого решаемого уравнения состояния.
Причем для создания эффективных и надежных программ числен-
ного интегрирования требуются такие процедуры, которые при ми-
нимальных вычислительных затратах обеспечивают выбор шага
дискретизации, близкого к оптимальному. Применительно к реали-
зации классических методов интегрирования подобным требованиям
отвечают алгоритмы выбора шага, основанные на правиле Рунге,
позволяющем оценить погрешность численного решения дифферен-
циальных уравнений.
При рассмотрении этого правила будем считать, что при инте-
грировании дифференциального уравнения x=f(x, t), x(t0)=x0, хе
еТ?1 методом степени v первоначально выбран шаг h и вычислено
значение решения в точке to + h. Обозначим вычисленное значение
как xhv(to+h). Оно отличается от истинного значения решения
178
x(t0+h)\ точке tQ+h на погрешность метода степени v на шаге h,
т. е.
x(/of Л)=хл(/о + Л)+/?л, /?л==/?л[/0- +
где М — некоторое число. Уменьшим шаг в два раза и вычислим
значение решения x*/2(/0 + ft) в той же точке за два шага, предва-
рительно определив значение хцъ (/0 + Л/2)в точке to+h/2. Истин-
ное значение решения
х(/о-|-Л)=х/1/2(^о_Ь^)_Ь2/?л/2=а'л/2(^о_Ь^)_Ь2Л4 ~
о -|- h) -|- 2—’/?Л,
где /?ft/2=Al(ft/2)v+1 — погрешность данного метода на шаге Л/2.
Следовательно, можно оценить погрешность вычисления решения
дифференциального уравнения методом степени v на шаге h:
п г/ /I/,] ХЛ/2^о + Л)-хЩ0 + Л)
Ио. А)+----------------------------• (6,5)
Подобный двукратный расчет одной точки решения для оценки
погрешности вычислений называют правилом Рунге. В общем слу-
чае под правилом Рунге понимают следующий метод оценки по-
грешности вычисления с шагом h численного решения дифференци-
ального уравнения на отрезке [(0, to+kh], Пусть за k шагов чис-
ленного интегрирования найдено значение xva(/q+^) решения в
точке kh. Разобьем отрезок [/0, t0 + kh] на т частей (m>k) и вы-
числим с шагом .kfl. значение хай(/0-|- kh) решения в той же точке
т
to+kh. Погрешность вычисления можно оценить как
x^to + khy-x^to + kh)
ЗД. t0+kh]=-^---------------—------------. (6.6)
\ т /
В частном случае, когда k=\, последняя формула принимает
вид
(zo + Л) — xj (f0 + Л)
/?йРо. 'о + Л] = —-----;--------------.
На практике часто погрешность оценивают не в абсолютных, а
в относительных единицах или в процентах. В этом случае форму-
ла (6.5) примет вид
Ял По, 4)+л]—
хл (^о + Ь) — Xft (Iq 4- ft)
2~___________________
(1—2 v) (Zq + ft)
•100%.
179
Подобная оценка имеет смысл только при x(to + h) -у^О,
Рассмотрим решение системы дифференциальных Уравнений
x=f(/, х), х(О)=хо, х, численными методами. Приятом полу-
ченные ранее соотношения могут быть использованы для покомпо-
нентной оценки погрешности вычисления вектора х. Эти же соотно-
шения применяют и для оценки норм погрешности вычисления век-
тора х. В этом случае формула (6.5) примет вид
хл ('о + А) — х; (to + Л)
Г_________________
(1-2-’) ЦхИ'о + Л)||
На основе правила Рунге могут быть реализованы различные
процедуры выбора шага интегрирования, использующие в качестве
критерия допустимую погрешность вычислений. Пусть е>0 — задан-
ная в относительных единицах допустимая погрешность вычисления
решения на одном шаге, ho — пробный шаг интегрирования. Полу-
чив по правилу Рунге (6.7) оценку погрешности /^„вычисления ре-
шения с шагом h0, производят ее сравнение с е. Если /?й„> е,то при-
нимают новый шаг h = hi —h0/2. Для этого шага по формуле (6.7)
оценивают погрешность Rh,вычисления решения на интервале [/о,
to+h] причем значение x.v(i0+h) при h=hi уже не вычисляют, так
как оно было определено при оценке погрешности Rh„. Далее по-
грешность Дл, сравнивают с заданным значением и в случае Дй,>8
процедура повторяется. Так продолжается до тех пор, пока при не-
котором шаге h=hk=hk-i/2 не будет выполнено условие е.
Выбор шага, при котором погрешность вычисления не превы-
шает заданного значения, закончен.
Аналогичным образом осуществляют процедуру последователь-
ного увеличения шага при его выборе в том случае, когда заданная
точность обеспечивается уже при пробном шаге.
Основным достоинством рассмотренной процедуры выбора шага
интегрирования является простота при достаточной надежности.
Однако при этом не получают оптимального шага при заданном
уровне погрешности, поскольку используют только двукратное из-
менение шага. При необходимости подобный шаг может быть вы-
бран методом интерполяции.
Данный подход применяют не только для выбора начального
шага интегрирования, но и для его корректировки в процессе счета.
В этом случае для сокращения вычислительных затрат выбор шага
интегрирования осуществляют не в каждой точке, а через 5, 10 или
100 шагов в зависимости от вида правой части дифференциального
уравнения, интервала исследования, лимита машинного времени
и т. д. При достаточно сложном виде функции правой части диф-
ференциального уравнения погрешность вычисления необходимо
180
оценивать часто — в идеале на каждом шаге расчета, что требует
значительных вычислительных затрат. Однако в этом случае появ-
ляется и дополнительная полезная информация о решении, а именно
его приближенные значения при расчете с шагом Л/2 [при исполь-
зовании формулы (6.6) и с шагом —Л]. Подобные значения можно
т
не отбрасывать, а использовать для уточнения решения, поскольку
определенные линейные комбинации приближенных решений с ша-
гами Л/2, — Л и т. д. дают более точный результат.
т
В заключение отметим, что рассмотренное правило позволяет
оценить погрешность использования разностной схемы только на
одном шаге или на малом интервале времени. Вопрос же о том,
какова тенденция накопления погрешностей при использовании дан-
ной разностной схемы, т. е. вопрос об адекватности получаемого
численного решения истинному решению уравнения, остается от-
крытым.
§ 6.3. Устойчивость методов численного интегрирования
При выборе шага дискретизации ограничением помимо сообра-
жений точности является и требование обеспечения устойчивости
соответствующей разностной схемы. Для знакомства с понятием
устойчивости разностной схемы и соответствующего ей метода чис-
ленного интегрирования рассмотрим автономную систему дифферен-
циальных уравнений
х=Ах, х(О) = хо, /г[О, Т].
(6.8)
Полагая для простоты, что собственные значения Хй, Л=1, т,
матрицы А различны, решение этой системы запишем в виде
т ___
х (/) = 2 где Рй, Л = 1, т,— проекторы матрицы А. При этом
к-1
решение (6.8) асимптотически устойчиво, если вещественные части
всех собственных значений матрицы А отрицательны, т. е. ReXb<0,
Л=1, т, и не устойчиво, если вещественные части некоторых соб-
ственных значений матрицы положительны. Если ReXfe^O, Л=1, т,
и некоторые собственные значения имеют нулевую вещественную
часть, то решение х считается устойчивым (но не асимптотически
устойчивым). Соответственно выделенным трем случаям и уравне-
ние (6.8)' считают асимптотически устойчивым, неустойчивым или
просто устойчивым.
При численном интегрировании дифференциальное уравнение
(6.8) заменяют разностным уравнением, устойчивость которого за-
висит уже не только от спектра матрицы А, но и от параметров раз-
ностной схемы. Для оценки устойчивости разностных схем расще-
181
х=\х, х(О)=хо,
пим систему (6.8) на т отдельных уравнений (см. § 2.5), т. е. пре-
образуем ее к диагональному виду
y=diag {ХЛ} у, y(O)=S~Ixo, /е=[0,Т] (6.9)
путем замены переменных x=Sy, где S — матрица правых собст-
венных векторов матрицы А. Так как характеристики устойчивости
систем (6.8) и (6.9) совпадают, то для получения оценок устойчи-
вости разностных схем можно рассматривать отдельно уравнение
(6.10)
представляющее собой обобщенную запись уравнения (6.9). Коэф-
фицент X в уравнении (6.10) в общем случае считают комплексным
[поскольку комплексными могут быть коэффициенты Хь в (6.9)] и
равным Л = а+/со.
Применим для решения уравнения (6.10) разностное уравнение
явного метода Эйлера
Xn+i=Xn + h\xn или хл+1=(1 +ЛХ)х„.
Решение этого уравнения, дискретного аналога однородного
дифференциального уравнения первого порядка х=Хх, может быть
представлено в виде Хп=рорп- Тогда popn+1= (1+X/i)popn, откуда
p=z 1 + Xh, ро (1 + М)п, р0=х0.
Легко заметить, что такое решение уравнения х=Хх вытекает из
приближенного представления решения однородного уравнения пер-
вого порядка в дискретные моменты времени:
х (tn)=х (п h)=хп=хоеп)Л=х0 (exft)ra =
= хо (1+ХЛ + - )n~-«o(l+W.
Если Х<0 и h. имеет такое значение, что | l + X/t|> 1, то абсо-
лютное значение решения хп увеличивается, в то время как точное
решение монотонно убывает с ростом п.
Пример 6.1. Пусть Х=—0,5 с-1; Л=4,1 с. Тогда ХЛ=—2,05; 1+ХЛ=—1,05.
Точное решение х0е~2’05п монотонно убывает с увеличением n = 0, 1, 2, ... (табл.
Таблица 6.1
п 0 1 2 3 4 5
q—2,О5п 1 0,12835 0,01657 0,00213 0,00027 0,000035
(1+ХЛ)" 1 -1,05 1,1025 —1,1576 1,2155 —1,2763
Решение же разиостиого уравнения является знакопеременным и растущим
по абсолютному значению (табл. 6.1).
182
Рис. 6.1 Рис. 6.2
Следовательно, для обеспечения асимптотической устойчивости
решения последнего уравнения необходимо, чтобы | l + /tX| <1 или
(1+Ла)2+ (Л®)2<1, где a=ReX; ® = ImX. Множество значений ИХ,
удовлетворяющих условию асимптотической устойчивости решения
разностного уравнения для тестового уравнения (6.10), называют
областью устойчивости метода, соответствующего этому разностно-
му уравнению, в комплексной плоскости ЛХ. Таким образом, обла-
стью устойчивости явного метода Эйлера является внутренность
круга единичного радиуса с центром Лсо = 0, ha =—1 (рис. 6.1). Об-
ратим внимание на то, что при чисто мнимом Х(а = 0) условие 11 +
+/tX| <1 не может быть достигнуто ни при каком значении Л>0,
т. е. устойчивому решению дифференциального уравнения (6.10) не
соответствует какое-либо устойчивое решение разностного уравне-
ния явного метода Эйлера. Поэтому явный метод Эйлера по усло-
виям устойчивости непригоден для интегрирования устойчивых
уравнений состояния вида (6.8), собственные значения матриц ко-
торых могут иметь нулевые вещественные части. В этом случае на
каждом отдельном шаге интегрирования может быть достигнута
вполне приемлемая точность, в то время как аппроксимирующая эти
значения функция не соответствует функции истинного решения ис-
ходного дифференциального уравнения.
Рассмотрим случай, когда a = ReX<0 и метод Эйлера может
быть применен по условию устойчивости. Условие | l + /tX| <1 на-
кладывает жесткие ограничения на шаг. Например, при чисто ве-
щественном значении Х=а<0 из этого условия вытекает следую-
щее ограничение на максимально допустимый шаг дискретизации:
/1<|2/Х|.
Таким образом, при интегрировании явным методом Эйлера
уравнений состояния (6.8) с большими по модулю собственными
значениями матриц коэффициентов шаг интегрирования по усло-
виям устойчивости должен быть выбран достаточно малым. Такая
ситуация возникает, например, при обработке уравнений электри-
ческих цепей с малыми постоянными времени, что соответствует
большим по модулю вещественным частям собственных значений
матриц уравнений состояния. При этом попытка увеличить шаг бо-
183
лее его максимальной оценки приводит к резкому возрастанию по-
грешности («взрыву» погрешности) и нарушению адекватности
вычисленных значений истинному решению дифференциального
уравнения.
Применим для решения уравнения (6.10) разностное уравнение
неявного метода Эйлера
xa+i=xn-\-hixn+i или хл+1 = (1 — ЛХ)-1хл.
Для этого разностного уравнения решение также можно найти
в виде хп = рорп- Тогда popn+1 = popn+/zXpopn+1; р(1—X/i) = l или р =
= (1—Х/i)-1 и, следовательно хп~х0(1— Мг)~п. Это выражение
является приближенным представлением точного решения
х (/„)=х (nh')—xn=xQen>Jl= хое(~лй~хЛ)=х0 (е-хл)-л xQ (1 — \h)~n.
Для обеспечения асимптотической устойчивости последнего урав-
нения необходимо, чтобы | (1—/гХ)-11 <1 или для Х = а+/со->(1 —
—Аа)2+ (М2>1- Областью устойчивости данного метода является
вся плоскость, за исключением единичного круга в правой полу-
плоскости с центром в точке (1,0) (рис. 6.2). Как видно из получен-
ного неравенства, условие устойчивости не налагает каких-либо ог-
раничений на шаг дискретизации при интегрировании абсолютно
устойчивых дифференциальных уравнений. Выбор шага в этом
случае должен осуществляться только по соображениям точности
вычислений. Заметим, что решения разностного уравнения неявного
метода Эйлера оказываются устойчивыми и в правой плоскости,
где решение исходного дифференциального уравнения неустойчиво.
Следовательно, использование этого метода для интегрирования
неустойчивых дифференциальных уравнений дает результат, не
адекватный характеру истинного решения.
Рассмотренный материал показывает, что не любой метод чис-
ленного интегрирования и не любой шаг дискретизации при данных
значениях X обеспечивают соответствие дифференциального раз-
ностному уравнению по всем видам устойчивости. Такое соответст-
вие может быть достигнуто при использовании неявного метода тра-
пеций, разностное уравнение которого для уравнений (6.10) имеет
вид
хл+1=хл-|--у- (хл+1+*л) или хл+1 = (1 — ЛХ/2)-1(1 + ЛХ/2)хл.
Соответствующее решение этого разностного уравнения имеет
вид хп = рор". Тогда
РоР,+1=РоР" + х/?/2 (РоРч+1 + РоР")>
p(l-XX/2)=l+Xft/2, p^L+^2
1 — Kil[ £
184
хп—XQ
' 1 + Xh/2\n
1 - ХА/2/ '
Последнее выражение является приближенным представлением
точного решения, комбинацией явного и неявного методов Эйлера.
Оно также может быть получено из следующего приближения:
х(/л)=х («Л)=х„=х0е,!ХЛ=х2,!ЛХ/2=х0е,!ХЙ/2е(_хЛ/2)(_л) =
= х0 (еХЙ/2)л (е-хл/2)-« х0 (1 + ХЛ/2)Л (1 — М/2)~».
Заметим, что приближение епХЙ~ (1+АЛ/2)п(1—АЛ/2)~П непо-
средственно следует и из простейшего случая Паде ।
аппроксимации экспоненты (см. § 5.1). Таким об-
разом, и здесь вид разностного уравнения опре-
деляется способом приближенного представления
экспоненты еХй.
Область устойчивости метода трапеций, кото-
рая определяется неравенством | (1—/гХ/2)-1 (1+
+W2) | < 1 или (1+йХ/2)2< (1—/гХ/2)2, показа-
на на рис. 6.3. Суть же отмеченного свойства ме-
тода трапеций состоит в том, что при чисто мни-
мом значении X (Х=/со) устойчивому решению ис-
ходного уравнения (6.10) соответствует устойчи-
вое решение разностного уравнения, так как
____АХ_\-1 Л АХ \
2 ) ( “Г 2 )
1
Это обстоятельство позволяет использовать метод трапеций для
интегрирования таких уравнений (6.8), матрица А коэффициентов
которых содержит пару мнимых сопряженных значений. Решение в
этом случае имеет составляющую вида незатухающего гармониче-
ского колебания, что обычно и приводит к трудностям при интегри-
ровании.
Используя рассмотренный метод, можно определить области
устойчивости и других разностных схем. На рис. 6.4 показаны об-
ласти устойчивости методов Рунге — Кутта второго и четвертого
порядков. .
При выборе разностной схемы и шага интегрирования вопросы
устойчивости схемы должны быть согласованы с вопросами точно-
сти, поскольку адекватность схемы решаемому уравнению только
но условиям устойчивости еще не гарантирует ее «хороших»
свойств. Для примера рассмотрим решение тестового уравнения
185
мя использование
Рис. 6.4
(6.10) методом трапеции при ReХ<0; ЛХС—1. На n-м шаге
л;„=( 1-|-ЛХ/2)га (1 — ЛХ/2)—ге А70, х0=х0.
При АХ-»—оо|xn[->|хо 1 • Для точного решения xn — eKnhx0 и хп->0
при Xh-^>—оо. Таким образом, при решении данного уравнения ме-
тодом трапеций шаг не может быть выбран слишком большим из-за
невозможности получения требуемой точности решения. В тожевре-
неявного метода Эйлера позволяет получить аде-
кватный результат:
хл = (1 — h\)~nх0, х„—>0 при АХ -> — оо.
Поэтому применение неявного метода Эй-
лера может оказаться более эффективным при
решении таких систем (6.8), все собственные
значения матрицы А коэффициентов которых
имеют большие по модулю и отрицательные
вещественные части. Рассмотренный пример
иллюстрирует сложность выбора метода наи-
более адекватного специфическим особенно-
стям решаемого уравнения. Но определяющим
принципиальную возможность эффективного
применения данного метода при интегрирова-
нии определенного класса уравнений являются
все же соображения устойчивости. Так, исполь-
зование явных методов Эйлера и Рунге — Кут-
та для интегрирования подобных систем с большими по модулю
вещественными частями собственных значений привело бы к столь
существенным ограничениям шага, что принципиально не позволи-
ло бы получить достоверный результат из-за ошибок накопления
или же в лучшем случае потребовало бы недопустимо больших за-
трат машинного времени при реализации на ЭВМ.
Заметим, что для большинства уравнений состояний электриче-
ских цепей собственные значения матриц коэффициентов локали-
зованы в левой части полуплоскости, но могут быть расположены
в ней достаточно произвольным образом. Поэтому для интегриро-
вания этих уравнений целесообразно применять методы, область
устойчивости которых включает всю левую полуплоскость плоско-
сти АХ. Такие методы называют A-устойчивыми. К таким методам
относятся, например, неявные методы Эйлера и трапеций. Явные
же методы Эйлера и Рунге—Кутта не А-устойчивы. Справедливы
следующие утверждения:
1) никакой явный линейный многошаговый метод не является
А-устойчивым;
2) не существует A-устойчивого неявного линейного многошаго-
вого метода со степенью v>2.
Тот факт, что явные классические методы (Рунге — Кутта, Эй-
лера) не A-устойчивы, свидетельствует о том, что их использование
186
для интегрирования некоторых систем дифференциальных уравнений
приводит к большим вычислительным трудностям. На сущест-
вование подобных систем уравнений, трудно поддающихся интегри-
рованию явными классическими методами, впервые обратили вни-
мание в 1952 г. и назвали их жесткими системами дифференциаль-
ных уравнений. В настоящее время существует специальная теория
жестких уравнений и методов их решения. Большой вклад в разви-
тие этой теории внес советский математик и электротехник
Ю. В. Ракитский. Заметим, что применительно к уравнениям элек-
трических цепей жесткость является скорее правилом, чем исклю-
чением.
§ 6.4. Жесткость систем дифференциальных уравнений
электрических цепей
При создании математических моделей электрических цепей
встает проблема учета элементов с малыми значениями индуктив-
ностей, емкостей, проводимостей, сопротивлений. Поскольку пре-
небрежение такими элементами может нарушить адекватность мо-
дели реальной цепи, исследователь зачастую вынужден учитывать
большое число подобных элементов. Вследствие этого электриче-
ским цепям соответствуют дифференциальные уравнения относи-
тельно высоких порядков. Причем, как правило, при описании ре-
шений подобных уравнений в интервале наблюдения требуется при-
влечение двух видов функций: быстроубывающих с большими про-
изводными и функций с малыми производными. Необходимость ис-
пользования таких функций для описания решений дифференциаль-
ных систем характеризует явление жесткости, а сами подобные сис-
темы называют жесткими. Явление жесткости типично для задач
теории электрических цепей. Вместе с тем численное решение же-
стких дифференциальных систем сопряжено со значительными труд-
ностями. Причины таких трудностей целесообразно рассмотреть
подробнее. Начнем с примера, иллюстрирующего физическую суть
явления жесткости.
Пример 6.2. При моделировании процесса разрядки конденсатора иа актив-
но-индуктивную цепь была составлена схема (рис. 6.5) и сформировано соответ-
ствующее уравнение
ХЧ, &1. 1
L —- —— 4- — I. =0.
dP d/ ' С Л
При подстановке конкретных значений параметров цепи оказалось, что это урав-
нение имеет малый коэффициент при старшей производной
d2Z, dZ. j
10-6 —- -f-20- Ю3—4- r ,n - - Z,=0,
dZ2 dZ 5-10—« L
т. e. является сингулярно-возмущенным уравнением. При исследовании сингуляр-
но-возмущенных уравнений первого порядка (см. § 2.9) было показано, что их
решения по истечении небольшого промежутка времени, называемого погранич-
187
ным слоем Тпс» практически совпадают с решениями более простых — вырожден-
ных — уравнений, полученных из исходных путем исключения сингулярного члена.
Покажем, что аналогичный вывод может быть сделан и для рассматриваемого
уравнения. Для этого запишем в общем виде его решение, состоящее только из
свободной составляющей i£ = Ciex,z 4- С2еХа< и определим корни Xb Х2 его ха-
рактеристического уравнения
П |
Х2 + —Х + — = О =>Х2+2-10ЮХ+2-1011 = 0.
По теореме Виета,
Х]Х2 = 1/(ДС) = 2-1011;
Xi 4-Х2 = -ЛМ = -2-10Ю.
Следовательно,
Xi« -2-lOio = —R/L; Х2 «-10 =-1/(ЯС).
Исходя из независимых начальных условий
i (0) = Ci 4* С 2 = 0,
Г dlL I
ис(°)= l~7T\ =
L dr |f-o ъ
= [£, (CiXi 4- C2X2) 4- R (Ci 4- C2)] =
найдем постоянные интегрирования: C2=—Cj = Uq/R. Тогда решение рассмат*
риваемого уравнения запишем в виде
ТГ / _f ______1_ А тг
L +еЛС ) = -И^(-е-2101О/ + е“Ш)-
—е
На рис. 6.6, выполненном для наглядности с искажением масштаба по оси f,
ныделим два участка.
Первый участок — участок пограничного слоя te [0, тпс]—характеризуется
быстрым изменением (большой производной) тока. Длительность этого участка
определяется минимальной постоянной времени ттщ = Т1= 11/Xi | = L/R. Можно
положить, например, тПс= (3-j-5)Train. Второй участок, лежащий за пограничным
слоем, характеризуется медленным изменением тока. Длительность этого участ-
ка, т. е. длительность наблюдения, определяется максимальной постоянной вре-
мени Тшах=Т2= 11/Х2| =RC [обычно процесс целесообразно рассматривать на
интервале ие более (3-г5)ттах[. Имеет место явление жесткости. Следовательно,
188
рассматриваемое уравнение, моделирующее процессы с таким явлением, относится
к жестким дифференциальным уравнениям. Жестким является и уравнение со-
стояния
A
At Luc
'-2-10Ю —106 I Г / з iLW
-2-105 0 J L ис J ’ 1МС(О).
0
J ’
соответствующее данной цепи.
Проанализируем трудности, возникающие при численном инте-
грировании подобных уравнений. Как было показано в § 6.3, выбор
шага, обеспечивающего заданный тип устойчивости решения, дол-
жен подчиняться определенным условиям, зависящим от собствен-
ных чисел матрицы уравнений состояния, или, что то же, от корней
характеристического уравнения. Например, при использовании яв-
ного метода Эйлера шаг интегрирования, обеспечивающий асимп-
тотическую устойчивость решения, должен удовлетворять условию
11ч-/гХ| <1. Для примера 6.2 это условие равносильно двум нера-
венствам + = —/i-2-10I0| < 1; |1+/гХ2|==|1—/г-10|<1, ре-
шая которые получаем следующие ограничения на шаг: h< 10_ 10;
Л<0,2. Следовательно, при интегрировании данной системы урав-
нений шаг должен быть ограничен значением /г<10~10, определяе-
мым минимальной постоянной времени ттт=Т1 = 11/М | —0,5-10-10 с.
Длительность переходного процесса зависит от максимальной по-
стоянной времени цепи:
(3-^-5) ттах=(3-г- 5)т2=(3ч- 5) |1/Х2|=0,Зн- 0,5 с.
Таким образом, применение явного метода Эйлера для интегри-
рования рассматриваемого в примере 6.2 уравнения на интервале
7=0,5 с потребовало бы более 5 млрд. (!) шагов и соответственно
огромных затрат машинного времени. Учитывая ограниченность
разрядной сетки реальных ЭВМ и обусловленные этим ошибки ок-
ругления, при соотношении шага h< 10_ 10 и интервале интегриро-
вания Т=0,5 с получить численное решение приведенного урав-
нения с удовлетворительной точностью не представляется возмож-
ным. Аналогичные трудности возникают и при использовании дру-
гих явных классических методов, например методов Рунге— Кутта.
Дело в том, что в явных классических методах интегрирования мак-
симальный шаг интегрирования ограничивают по условиям обеспе-
чения как локальной точности решения, так и его устойчивости (см.
§ 6.2). Поэтому в этих методах шаг интегрирования не может быть
увеличен даже на тех интервалах, где решение изменяется плавно.
В примере 6.2 это относится к участку /^тПс (рис. 6.6). Действи-
тельно, точному решению данного уравнения на (п+1)-м шаге
^-и==^1Пн+^-и=^иех-Л + ^еХ1Л
соответствует решение разностного уравнения
хп+1 = л1л?1 4" Х2«Р2,
189
где p1=f(X1/i); p2=f(k2h). Таким образом, при любых значениях п,
а следовательно, и t независимо от характера переходного процес-
са нарушение условия устойчивости из-за увеличения шага приве-
дет к неустойчивости численного решения.
Пример 6.3. Пусть в некоторый момент времени /п^=тПс, когда быстрозату-
хающая составляющая уже незначительна, увеличен шаг интегрирования со зна-
чения Л1 = 0,5тт1п= 0,5Х^-1=0,25-10~10 с до значения Л2 = 0,5ттах= 0,5Х^'1=
= 0,5-10-1 с, т. е. в Лз/Л^г-Ю9 раз. Рассмотрим поведение составляющей
xmpi решения разностного уравнения xn+i=imPi+x2np2, соответствующей быст-
розатухающей составляющей х1иех‘п решения xn+t = XineX1/I + Х2П^п исход-
ной задачи (см. табл. 6.2).
Таблица 6.2
Метод интегри- рования Функция Pi-f(Xlft) Значение *inPi
Явный метод Эйлера 1 -f-Xifta xln(l—109)»-xIn-109
Неявный метод Эйлера (1- W1
Метод трапеций x1„(l-109/2)(l+109/2)-I«-x1„
Как видно из табл. 6.2, при применении явного метода Эйлера
увеличение шага интегрирования h привело к резкому (в миллиард
раз!) увеличению по модулю составляющей xmpi решения xn+i
разностного уравнения и, следовательно, неадекватности яп+1 ис-
тинному решению хп-н рассматриваемого уравнения. Аналогичная
ситуация возникает и при использовании других явных методов чис-
ленного интегрирования. Интегрирование жестких дифференциаль-
ных уравнений можно осуществлять неявными методами, шаг в ко-
торых выбирают в основном по условиям обеспечения заданной
точности и на участках плавного изменения решения он может быть
увеличен. Однако необходимо заметить, что неявным методам при-
сущи недостатки, связанные с их практической реализацией, осо-
бенно проявляющиеся именно для жестких систем. К ним относит-
ся, например, необходимость решения алгебраических, в общем
случае нелинейных, систем уравнений. При этом возникают проб-
лемы выбора численного метода решения таких систем, определения
начального приближения для итерационного процесса, обеспечения
сходимости такого процесса и т. д. Специфические свойства алге-
браических систем, выявляемые при интегрировании неявными ме-
тодами жестких уравнений состояния, например плохая обуслов-
ленность систем, затрудняют их численную обработку. Таким об-
разом, жесткость уравнений состояния порождает существенные
вычислительные трудности их интегрирования. Заметим, что рас-
смотренные в предыдущей главе численно-аналитические методы
190
решения уравнений состояния, основанные на явных процедурах,
в отличие от явных классических методов интегрирования наиболее
эффективны при обработке жестких систем (см. гл. 5). Однако их
применение затруднено при обработке линейных нестационарных
систем и тем более нелинейных систем.
Дадим, следуя [2], формальное определение жесткости для
системы дифференциальных уравнений:
4r=f(z- х)> ZeI°- Л;
Х=Х(О = [Х1 (/)... Хт (Of, f (/, X) ==[/!(/, х)]г. (6.11)
При этом будем исходить из того, что для жестких систем зна-
чения производных решения, характеризующих скорость его изме-
нения, вне пограничного слоя тпс<<7' в N раз меньше (Л^»1), чем
внутри него.
Линеаризуем правую часть уравнения (6.11) в окрестности на-
чальной точки:
ftf, x)=f(/, х0)+^-(х —х0) + ... .
Производные компонент вектора х(/) при /е[0, тПс] могут дости-
гать значения Lmax | xh (t) I, где L —
венству 0 < L < |ldf/dx||; I ^-1 — i-
I дх |
Систему (6.11) называют жесткой, если при любом векторе на-
чальных условий найдутся такие числа тпс<^7\ О
/V1, для которых выполняется неравенство
-число, удовлетворяющее нера-
норма матрицы Якоби — , (е[0, Т].
дх
дх
-^-1 < — max lx,, (/)l, k— 1, 2,..., т.
At |«>tnc лт , е [о,1 г] 1
(6.12)
Отметим одну важную особенность данного определения, за-
ключающуюся в том, что понятие жесткости связывается с интер-
валом наблюдения решения /е [О, Т]. Если жесткую на интервале
/е[0, Г] систему рассматривать лишь на подынтервале
/е[0, тПс], то ее нельзя уже считать жесткой, так как здесь уже не
наблюдается того различия в характере поведения решения, кото-
рое положено в основу понятия жесткости. Заметим, что и инте-
грирование подобной системы на интервале /е[0, тцс] не связано
с какими-либо сложностями даже при использовании явных клас-
сических методов.
Если данное определение жесткости применить к линейной сис-
теме дифференциальных уравнений
-^- = Ах, xe/?m, I (= [О, Г],
191
то можно прийти к следующим условиям для собственных значений
X/, /=1, tn, матрицы А жесткой системы:
[X;|eReX>tnC<;, если.НеХ;<0;
|Х;|<-^-> еслц ReX;>0,
где £=шах|Х;|; 7V^>1; тпс-^Г.
Пример 6.4. Оценим жесткость системы уравнений состояния цепи рис. 6.5
(см. пример 6.2) при условии, что интервал наблюдения /е[0, Т], где Х = 0,5 с,
если Х[=—2-Ю10; Х2=-10; L= |Х(| =2-1010.
Считая Тпс=бТппп=5| 1/Хщах| =2,5-10-10 с-1 У=100, можно считать дан-
ную систему жесткой, поскольку для нее выполняются неравенства
|Х1| eRe X‘V= 2- 1010е-5 < -£ = 2- 10Ю.-± .
|X2| eRe Xltnc = ЮеГ2'5'10-9 < -v =2-108.
N
В заключение остановимся на свойстве жестких систем, пояс-
няющем явление жесткости и позволяющем по-новому подойти к
проблеме обработки этих систем. Для обоснования этого свойства
снова обратимся к решению/i — ^ieX‘<H_C’2ex»f, /е[0, 7J жесткой
системы уравнений цепи рис. 6.5 (см. пример 6.2). Заметим, что на
интервале пограничного слоя (е[0, тпс], где тпс=5/|Х11 =2,5-10-10
экспоненту еХа* = е-10* можно с большой степенью точности считать
равной единице. Тогда решение этого уравнения может быть запи-
сано в виде
%
/\ /\ \ /
Такому решению (рис. 6.7, а) соответствует уравнение более про-
стой цепи (рис. 6.8, а), содержащей только один накопитель энер-
гии. На интервале, следующем за пограничным слоем /е[тпс, Г],
составляющую решения C[eXif можно считать практически равной
нулю. Решение уравнения на этом интервале может быть записано
в виде
Q«/2=C2e^=-^-ex«^-^-e”^', t е= [тпс, Г].
Этому выражению (рис. 6.7, б) также соответствует уравнение
более простой цепи (рис. 6.8,6), имеющей только один накопитель
энергии. Уравнения цепей рис. 6.8, а, б, описывающие соответствен-
но быстрые и медленные процессы, не являются жесткими. Жест-
кость же исходного уравнения обусловлена объединением описания
192
столь различных по характеру
процессов. Таким образом, од-
ним из перспективных путей
обработки жестких систем
уравнений является корректи-
ровка самих систем, позволяю-
щая разделить описание быст-
рых и медленных процессов. В
рассмотренном примере такое
раздельное описание процессов могло быть выполнено априори, по-
скольку физическая картина достаточно ясна. В том случае, когда
рассматриваются жесткие уравнения состояния более сложных
объектов, в которых физика процессов заранее не ясна, упрощения
математических моделей на разных интервалах можно достичь
лишь чисто математическими средствами. Использование процеду-
ры корректировки математической модели, исключающей ее жест-
кость на отдельных временных интервалах, позволило бы эффек-
тивно применять самые простые и поэтому наиболее надежные ме-
тоды численного интегрирования, такие, например, как явный ме-
тод Эйлера (см. § 6.6).
§ 6.5. Системные методы численного решения
уравнений состояния электрических цепей
В пассивных электрических цепях с резисторами переходные
процессы, связанные с изменением энергетического состояния элек-
трической цепи, постепенно затухают (при наличии в системе эле-
ментов, в которых энергия электромагнитного поля преобразуется
в другие виды энергии). В линейных электрических цепях прехо-
дящие составляющие токов и напряжений являются суммой экспо-
ненциальных членов, которые обычно уменьшаются со временем.
Скорость уменьшения этих составляющих определяется отрица-
тельными вещественными частями собственных чисел матрицы А.
Для пассивных линейных электрических цепей чем больше по мо-
дулю вещественная часть собственного числа, тем скорее умень-
шается влияние данного члена на последующий процесс.
В жестких системах собственные числа матрицы А сгруппиро-
7-151 193
запишем разностное уравнение в виде
н
х (/лф-//) = хл+1 = ехр (А/7) x„ +j exp (Ar) drb.
о
Учитывая, что exp (А//)=фу, ф,у=1 + АФ#, а интеграл равен
gv = ®iVb, можно записать
Хл + 1 = Ф;уХл+ФлгЬ, Хл+1 = (1 +АФЛ.) хл + Фдф =
— 4~Флг (Ах„ Ь);
Хл+1 = Хл+ФлгХл;
Хл+^фл'Хл+
Эффективность использования ЭВМ наибольшая в случае при-
менения последнего уравнения. Следует заметить, что при систем-
ном методе решения уравнений состояний матричное разностное
уравнение хп+1 = хп + ФЛхп является аналогом разностного уравне-
ния метода Эйлера, где вместо шага h используется матрица Фту.
Уравнения хл+1 = хл + хл+[ — <рх„ + g,v описывают системные
методы первой степени. По аналогии с традиционными разностны-
ми методами можно построить системные методы более высоких
степеней.
Ценность системных методов заключается в том, что подбором
У можно достичь заданную точность интегрирования. Так как нор-
/ т т \ 0,5
ма матрицы ||А|| = 22 (aZy)2 I определяет атах, а при малых
\ 1 1 /
(порядка 10-1) значениях c=||A||/i сходимость экспоненты ес обес-
печивается с высокой степенью точности относительно небольшим
L
(2—5) числом членов ряда ес—’ то для пРактических за-
дач достаточно, чтобы Л^г/||А|| (г~0,1). Подбором N можно до-
стичь желаемой степени укрупнения первоначального шага инте-
грирования в 2N раз. Дальнейший расчет производится с шагом
H=2Nh, а при необходимости в любой момент можно произвести
увеличение и этого шага.
Для такого укрупнения шага интегрирования может быть ис-
пользована формула q)fe+i = q)2fe, Фь+1 = Фь(1 +<₽fe), gfe+i = Фь+1Ь, но
уже относительно ф.у и g.v, рассматриваемых в качестве аналогов фо
и g0. Пусть начиная с некоторого числа шагов k следует еще более
укрупнить шаг Н, теперь уже в 2м раз, тогда фм и gM должны быть
определены из соотношений
Фо = ф/V, Ф1 = Ф^.ФЛ! = Фл!_Г,
Sq — Sn, gi+i —(1+ ф<) Si, Ф/+1=Ф/ (2'1 -|-АФ;)=Ф/ (1 Ц-ф/).
196
Дальнейшее применение рекуррентных формул позволяет про-
извести 2*у+м-кратное укрупнение первоначального шага h. Если
Л7 = 10, М = 5, то новый шаг будет в 215 = 32768 раз больше преды-
дущего.
Изложенным методом целесообразно производить укрупнение
шага интегрирования жестких систем. Например, если имеются три
группы сильно отличающихся между собой собственных чисел, то
после прохождения первого пограничного слоя tDci можно произ-
вести Л^-кратное, а после прохождения второго пограничного слоя
Тпс2 2*у2м-кратное увеличение шага.
Пример 6.5. В рассмотренном в § 6.4 уравнении второго порядка, где ai =
=—2-1010; a2=—10, интервал наблюдения принят Г=5т2=5-О,1 =0,5 с. При
числе наблюдаемых значений, равном 100, первоначальный шаг /i = 0,1ti должен
быть увеличен в H/h — Ъ-10-3/5-10-12 = 109 раз. Для этого необходимо по фор-
муле ?а+1 = Фл2 произвести 30-кратное последовательное удвоение первоначаль-
ного шага Л.
Заметим, что для увеличения шага интегрирования можно при-
менять и неявные методы. Однако при этом шаг не может быть
больше значений, ограниченных допустимой погрешностью. Напри-
мер, при неявном методе Эйлера приемлем, с точки зрения обес-
печения численной устойчивости, практически любой шаг. Однако
сделать шаг h больше значения, определенного погрешностью и нор-
мой матрицы А, нельзя.
Примерный алгоритм решения линейных с постоянной функцией
воздействия уравнений состояния х=Ах+b, х(0) =х0, согласно
Ю. В. Ракитскому, выглядит следующим образом.
1. Вводят матрицу А, начальные значения переменных состоя-
ния (вектор х0, вектор Ь), желаемый интервал интегрирования Т,
константу с(с~0,1), шаг наблюдения Н.
2. Вычисляют норму матрицы А.
3. Находят h и N из выражений N ж (In Я||А||/с)/1п 2, /i^c/||A||.
4. Определяют <f0= 1 -ф-A/z-ф-и £0 = Ф0Ь =
^4i+^_+... + (wz1] ь.
, ' 2 ~ Г vl J
5. Рассчитывают фг+1 = фг2 и gi+l= ( 1 + <fi)gi.
6. Считают i=i+l; если 1<N, переходят к п. 5.
7. ВЫЧИСЛЯЮТ Хсв п+1 =ф.уХп и Xn+1 = XCBn+i + giv.
8. Если + переходят к п. 5 и печатают результат. Ес-
ли (п+1)Я>Т, то вычисление заканчивают.
Рассмотренный алгоритм можно использовать и при решении
линейных уравнений состояния более общего вида: x=Ax+f, х =
=x(l)eftm, f=f(/)e/?m, х(0)=х0, а также нелинейных уравнений
состояния x=f(x; t), х, х(О)=Хо, если применяется последо-
вательная поинтегральная аппроксимация этих уравнений линейны-
19Z
ми уравнениями вида xn = Anxn + bn, xn(^n) = xon, /п+i] (см.
§ 5.5).
Заметим, что в отличие от ранее рассмотренных классических
методов интегрирования, основанных на упрощенных способах вы-
числения соответствующих экспонент (см. § 6.3), в системных ме-
тодах используются высокоточные способы расчета этих функций.
Поэтому такие методы интегрирования по сути являются численно-
аналитическими методами решения уравнений состояния. Разност-
ное уравнение системного метода хп+1 = хп + Ф;уТ (xn, tn) обладает
формальным сходством с разностным уравнением явного метода
Эйлераxn+i = xn+/if(xn, ^п).При этом роль шага h играет матрица
Ф.у(^п). Используя другие методы аппроксимации функции f(x, t),
можно получить аналоги и других классических методов интегри-
рования, например неявный системный метод (хп+1 = хп + Ф7уТ(хп+1,
(n+i))> соответствующий неявному методу Эйлера (хп+1=хп +
+ М(хга+1, бг-н)).
Основным достоинством системных методов является их универ-
сальность, так как они позволяют решать системы дифференци-
альных уравнений произвольной жесткости. При этом особенно эф-
фективны эти методы при решении достаточно жестких систем
уравнений. При решении же нежестких систем уравнений примене-
ние системных методов не дает каких-либо существенных преиму-
ществ по сравнению с использованием классических методов инте-
грирования. Это происходит потому, что решение уравнений по-
следнего типа не налагает больших ограничений на шаг интегри-
рования по условиям устойчивости метода. Шаг интегрирования
нежестких систем выбирают в основном с учетом обеспечения за-
данной точности и часто принимают равным шагу интерполяции.
Поэтому при решении заведомо нежестких систем уравнений пред-
почтительней использовать такие методы интегрирования, вычисли-
тельные процедуры которых наиболее просты, например явный ме-
тод Эйлера. Кроме того, представляет интерес такой подход к чис-
ленному решению уравнений состояния произвольной жесткости,
в основу которого положены методы преобразования исходных сис-
тем уравнений, обеспечивающие возможность интегрирования сис-
тем явным методом Эйлера с шагом дискретизации, близким к ша-
гу интерполяции решения.
§ 6.6. Фильтрация составляющих с большими производными
при решении жестких дифференциальных систем
Сложность численного интегрирования жестких уравнений со-
стояния методами, основанными на непосредственной замене ис-
ходных дифференциальных уравнений разностными, привела к
созданию иного подхода, учитывающего особенности именно жест-
ких систем. В основу такого подхода положен развитый Ю. В. Ра-
китским принцип последовательной фильтрации быстрых составля-
ть
ющих решения, т. е. составляющих с большими производными. Это
позволяет без потери устойчивости обеспечить увеличение шага ин-
тегрирования даже при использовании простейших разностных
схем, таких, например, как схема явного метода Эйлера. Идея этого
подхода наиболее просто может быть показана на примере авто-
номной системы линейных дифференциальных уравнений вида
х = Ах, х(О)=х0, (6.13)
быстрые составляющие решения которой отвечают наибольшим
собственным числам матрицы А. Рассмотрим для определенности
систему второго порядка
501Xi4-499x2, лг1(О)=1;
х2=500х1 —498х2, х2(0)=1.
Эта система является жесткой по определению; собственные ее
числа Xi = —999, Х2 = 2-10-3 (Xi«—999,002, Л2«0,0020019). Приме-
ним к ней неявный метод Эйлера. В результате получим
- _ (t + 498АП) Х1,п + 499Апх2,я .
1,я+1 1 + 999ЛП - 2Л3
X —- 500Anxi,n + (1 + 501 Ап) х2,я ,g jc.
2,n+I 1 + 999An — 2A3
где hn — шаг интегрирования при переходе от n-й к(п+1)-й точке.
Шаг интегрирования определяется из условия
maxJ4^-<e, /=1,2
i Иьл!
где — производная Х{ в момент tn', е— заданное число. Для
простоты выберем /io=O,l, /ii = 49,9, Л2=50, й3 = 50. Приведем не-
сколько точек точного (табл. 6.3) и приближенного (табл. 6.4), вы-
численного по формулам (6.15) решений.
Таблица 6.3
‘п Xs(tn) Ъ«п)/Х1(*п)
0 1 1 1
0,1 9,981976-10"1 1,002202 1,004012
50 1.102958 1,107383 1,004012
100 1,218957 1,223848 1,004012
150 1,347156 1,352561 1,004012
Из приведенных таблиц видно, что между компонентами реше-
ния быстро устанавливается асимптотическая связь; компоненты
вектора правых частей в связи с быстрым затуханием составляю-
199
щей с большим собственным числом (Xi) имеют порядок (10-3)
младшего собственного числа (Х2). Таким образом, после прохож-
дения пограничного слоя тПс^5т1 = 5Х-1 можно воспользоваться
новой системой уравнений состояния, состоящей из одного диффе-
ренциального уравнения системы (6.14) и одного алгебраического
уравнения (асимптотической связи) 1,004012х1 = х2.
Таблица 6.4
х1п ХК Х2п Х2п/Х1п
0 1 —2 1 2 1
0,1 9,988157-10-1 -1,784341-10-= 1,002280 2.180852-10-2 1,004012
50 1,108982 2,211544-IO-3 1,113432 2,23382-Ю-з 1,004012
100 1,232340 2,467309-10-3 1,237284 2,476874-10-’ 1,004012
150 1,369418 2,741502-Ю-з 1,374913 2,752644-10-’ 1,004012
Рассматриваемая асимптотическая модель сокращает порядок
системы дифференциальных уравнений на единицу и переводит
математическую модель исходного объекта в совокупность алге-
браических и дифференциальных уравнений. Эту особенность жест-
ких систем уравнений можно использовать для последовательного
снижения порядка системы дифференциальных уравнений.
Оказывается, можно построить и принципиально иную асимпто-
тическую модель, сохраняющую порядок системы дифференциаль-
ных уравнений и позволяющую применить ко всей системе после
ее асимптотического преобразования единый явный метод числен-
ного интегрирования с таким алгоритмом подбора шага дискрети-
зации, который обеспечивает и заданную точность, и возможность
увеличения шага. Для этого используем матрицу собственных век-
торов U и представим систему (6.13) в виде
dx
d/
(6.16)
Рассмотрим некоторую вспомогательную систему уравнений
-^-=А(1-аА)у, (6.17)
которую представим в виде (6.12):
_ЁУ. = и-1[ ° luv
d' [ 0 х2-аХ!
Решения (6.13) и (6.17) имеют вид
х = А1ех*(-{-А1ех’(,
у= (6.18)
где Ai, А2, Bi, В2 — постоянные векторы.
200
Пусть ^Тпс, т. е. еХ1Тп=<^1. Тогда решение х при />тпс с до-
статочной степенью точности определяется составляющей А2ех>/.
Если а=1Дь то выражение (6.18) примет вид
/
Так как|Xi| (жесткая система), то соотношение е ’^eXj/
обеспечивается с высокой степенью точности.
Пусть у(тпс) =х(тПс). Тогда В1 = 0. Следовательно,
y/>%c=x|/>v.
Таким образом доказано, что (6.17) является асимптотической мо-
делью (6.14), если а=1Дь х(тпс) =У(тпс). К системе (6.17) после
прохождения пограничного слоя применим метод ломаных Эйлера
с шагом интегрирования, определяемым младшим собственным чис-
лом. При этом большое собственное число можно определить, при-
меняя принцип Рэлея с использованием второй производной.
Если учесть, что в пограничном слое решение вычисляют с по-
мощью явного метода Эйлера с шагом интегрирования, задаваемым
старшим собственным числом, то и все решение может быть полу-
чено с помощью этого метода при определенном выборе шага ин-
тегрирования и специальном вычислении правых частей уравнения.
Покажем это на примере анализа системы (6.14). Учтем, что
Хл1)=Ахл, х^-Ах^. Вне пограничного слоя вместо xV' необхо-
димо использовать Хд^ —Хл’Дь Значение а находится по соотноше-
нию Рэлея:
Данные табл. 6.5, 6.6 получены с использованием явного мето-
да ломаных с шагом йо= 10-3 и схемы
/х(1) х(2)^
Хл+^Хл+й^х^-ах^’), а=........<6-19)
с шагами интегрирования Й1 = О,О99, й2=49,9, йз = 50, й4 = 50. Срав-
нивая табл. 6.3 и 6.5, 6.6, видим, что обеспечивается достаточная
точность, но в табл. 6.5, 6.6 не выдерживается асимптотическое со-
отношение между переменными. В дальнейшем покажем, как ис-
ключить этот нежелательный эффект, вызванный неточным исклю-
чением функции старшего собственного числа из самого решения.
201
tn *1.» £(0 1 1,П J(l) -« 7<2> 1,n n l.n
0 1 —2 2000 —
10-’ 9,98-Ю"1 0 1996 1999,996-10-’
0,1 9,981979-Ю-1 1,97697-10-4 2,193895 2,000396-10-’
50 1,098017 —9,983453-10-2 1,019307-Ю2 2,200236-10-’
100 1,208029 -2,098415-Ю-1 2,120477-102 2,420479-10-’
150 1,329053 — — —
in Х2,П J(l) _B 7(2) £,л л 2,л
0 1 2 —1996 —
io-’ 1,002 4-Ю-’ —1992 1,990016-10-’
0,1 1,002198 4,198094-10-’ —2,189498 2,004409-10-’
50 1,102218 1,040353-Ю-1 —1,017268-102 2,204645-10-’
100 1,212450 2,142628-Ю-1 -2,116237-Ю2 2,425330-10-’
150 1,333717 — — —’
202
Рассмотрим фильтрацию составляющих с большими производ- ными при решении неавтономной линейной системы -^-=Ax-|-b, х^еЛ”1, b = const, (6.20) сМ
Таблица 6.5 матрица А которой имеет простой спектр.
Решение (6.20) и его производные могут быть записаны в виде
“п т
x(f) = C+2 CfteV;
— Л-1
—1,002002-10-’ Х(1)(/) = УСД^'; (6.21)
—1,001912-Ю-3
—1,00102-10-3 т
-1,00101-10-’ ^Ht)=^ csxk4 •*-1
где Хй — собственные числа матрицы А. Пусть |Х] | ^> |Хг|- Если необходимо исключить из производной составляющую решения с показателем Хь то следует построить
Таблица 6.6 асимптотическую производную-.
X2,rJXl,n х(Ь)=х(1)-а1х(2) = 2 (6.22)
Л-1
—’ где а=1Д1- В этом случае точность представления оставшихся ком-
1,004008 2,004007 понент будет тем больше, чем меньше | Xj/Xi |. Аналогично исклю- чают компоненту с показателем Xj из решения х(/): тп
1,003826 Х(“) (/) = Х (/) — а1х(1>(/) = С-{-^ Ck (1 — cqXjle**'. (6.23)
1,003660 s-i
1,003509 Формулу (6.23) применяют для поддерживания асимптотической связи между переменными после прохождения пограничного слоя, определяемого Хь Формально применение (6.23) не связано с боль- шими вычислительными затратами, так как ai=l/Xi вычисляют и для производных (6.22). Вместе с тем формула (6.23) является ос- новным критерием прохождения пограничного слоя (критерием возможной фильтрации). Если пограничный слой пройден, то Цх(/)—х<“)(/) || <8, где в определяется точностью решения задачи. Если значение велико, то x(i) их(“>(() должны сильно отличать- ся друг от друга. Допустим, что |Xi|>|Xj. В этом случае для повы- шения точности фильтрации компонент целесообразно ввести форму (асимптотическую производную повышенной точности)
203
т
x?)(f) = x(’)(f)-alsxM(f)==_2 №(1-«№)еЧ (6.24)
)Ut
При als= l/Xt"1 в отличие от (6.22) точность представления
оставшихся компонент будет тем выше, чем меньше | X/Ai15~*. Сле-
довательно, при достаточно больших s можно обеспечить надеж-
ную фильтрацию без изменения оставшихся составляющих.
Использование метода ломаных Эйлера с переменным шагом
дискретизации hn приводит к изменению вида частных решений.
Действительно, при этом
т /1—1
х = С-|~2 П
Й-1 5-0
Рассмотрим, как влияет фильтрация на ход решения. Пусть пх—
число шагов интегрирования, за которое отрабатывается погранич-
ный слой, зависящий от Xt, с шагом /io<0/|ii|, 0<^1. Тогда
т
хл1=^ + 2 СА (1-[-Л0ХА)л1.
Й = 1
Прохождение пограничного слоя означает, что IICJI(1 + йо?ч)п1<С 1.
Производные в точке «1 вычисляют по формулам
т
Хл?=АхЯ1+b=2 M--*(1Н-;
'й-1
т
XICHI+W'’1, 5=1, 2,... .
й-1
Начиная с точки П[ фильтруют первую составляющую для увели-
чения шага интегрирования, определяемого собственным числом
Х2- Асимптотическая производная принимает вид
тп
хЯ1)—Хд? ~x„2i)/Xi = 2 XftCft (1—XA/Xi) (1
й-1
Пусть п2 таково, что
И (14- ^2Г Ч1 + h Л (1 - Х2/Хх )1 « 1.
С учетом фильтрации на каждом шаге первой составляющей в про-
изводной запишем
хЛ1+я,=С-|-2 Ci(l+Wr,1[l+/zi4(l-Mi)l'”. (6.25)
й-1
204
Из формулы (6.25) следует, что целесообразно хотя бы один
раз применять (6.23), так как после nx первая составляющая не из-
меняется.
Будем считать, что | |Х2| >...^> |Лт|. После точки «i + /?2
необходимо фильтровать две составляющие, используя в качестве
асимптотической производной линейную комбинацию
Xn’=Ax„-f-b, х!;'=Ax!,ij, Хп'= Axf’. (6.26)
При /г<0/|Хз|
ХЯ1+Л2+Л.= C + 2 Cj (1 + h0>.k)n [1 + ЙЛ (1 - X^)]"» [ 1 +
*+!
-+^2X4(1 —O2Xt-|-?2Х/г)1Лз.
Заметим, что если в матрице А собственные числа а2 и а2 пред-
ставляют собой комплексную пару, то формулу (6.26) необходимо
применять сразу после «1 шагов. Параметры аир вещественные,
так как
1.1 2Re X
а---------------------------;
X! 1 Х2 (Re Х)2 + (Im Х)2
XjX2 (Re Х)2 + (Im Х)2
Определим точность представления собственных чисел при филь-
трации. Пусть |Xi| > |Х2| » |Х3| |Хт|. Новые .числа имеют вид
X 1 -f-L-l-—Ь3 + -^-1 = Х3Г1-Ь,(1 щ х2~х2 \1 (б27)
L U1 х2; 31 х2х2 3[ х2 \ /1
Большое значение имеет соблюдение отношения | Х3/Х21 1.
Тогда оставшиеся собственные значения практически не изменяют-
ся. Обобщая изложенное, рассмотрим фильтрацию группы состав-
ляющих, определяемых собственными числами Xi... kSn . Форму-
лы асимптотического решения и его производные принимают вид
5 л
х?’=х. + 2
1-1
205
sn
xV“)=xV’+2 %XV+1);
г-i
х^=х<2)+2а'Хг+2)’
г-i
где Хл1)==Ахл + Ь, x„Z)=A,-1xV); sn—число фильтруемых состав-
ляющих. Параметры а/л вычисляют по формулам Виета:
sn sn
<xin=-V 4-,..., О5лп=(-1ЛП -г- (6-28^
Переход к новому вектору осуществляют так:
ЗЕл+1 = х‘“’ + М'и) (6.29]
или
л2
X — I A Y<la) I л Y(2a)
xn+i — хл -|-/глХл -ф- хл
при условии
ЦХл-^’Ке, (6.30)
где в — малая величина, характеризуемая точностью решения за-
дачи.
Из условия (6.30) следует, что фильтруемые составляющие по
ходу решения уменьшились до требуемого значения. Очевидно, шаг
интегрирования в (6.29) определяется наибольшим модулем из ос-
тавшихся собственных чисел hn < —----. Согласно изложенной
14+11
методике необходимо рассчитать собственные числа матриц для оп-
ределения параметров фильтрации. Однако возможен другой, бо-
лее общий подход. Ранее для вычисления параметра ап использо-
валось соотношение Рэлея, получающееся при минимизации опре-
деленной квадратичной формы. Если минимизировать функционал
л
то найдем
причем ап->-1А1 при увеличении п. При минимизации нормы асимп-
тотической производной потребуем
206
v„=(xl"’. S,-,)=fi<.,,+2%x',+4,
\ 2=1
_ sn _
xV’ + 2 а2л^л+1)) —min. (6.31)
l-l %
Ввиду сильной овражности функционала Vs^ минимизация мо-
жет быть сопряжена со значительными вычислительными трудно-
стями. Параметры а1л являются приближениями для формул Виета
(6.28). Однако при высокой точности аппроксимации линейной ком-
бинации экспонент другой линейной комбинацией экспонент их по-
казатели и веса могут значительно различаться (проблема иден-
тификации параметров).
Фильтрацию можно осуществлять и при решении нелинейных
дифференциальных систем. Покажем это на примере решения не-
линейной автономной системы
-jy- = f(x), х(/)е/?- (6.32)
dr
Предположим, что правая часть (6.32) достаточное число раз
дифференцируема. Изложенная методика минимизации при опре-
делении параметров фильтрации (6.31) и критерий возможности
фильтрации (6.30) позволяют построить метод интегрирования
уравнений (6.32), частным случаем которых являются и уравнения
(6.20). Поведение решений в нелинейных задачах имеет более
сложный характер, чем в линейных, однако алгоритм является
универсальным, хотя для линейных систем он имеет более упро-
щенный вид. В инженерных расчетах считается приемлемой точ-
ность в три десятичных разряда. Поэтому если задача нежесткая,
то можно применить следующий алгоритм, основанный на явном
методе ломаных Эйлера:
x„+i = x„ + V (хл),
*.<» 'У*?; 1'11’,j*;)l . (б.зз>
* I1 1
Число 0<1 выбирают в зависимости от требуемой точности.
Вектор f(’)(xn) может быть найден, например, как
f(i) )_X»1’— f (хд + pf (хл)) - f (хл - pf (хл)) , (6.34)
где р достаточно мало.
207
С учетом фильтрации составляющих с большими производными
можно построить алгоритм интегрирования систем уравнений бо-
лее широкого класса.
Образуем линейные комбинации:
асимптотическое решение
x{,a) = x„+2 %х^, (6.35)
г=1
асимптотическая производная
я'-’-й’+Е <6-зв)
г=1
асимптотическая вторая производная
Й->=Й>+£
1=1
Определим параметры фильтрации, минимизируя функционал
Ws = (И2а), х^’) - min. (6.37)
Число sn выбирают последовательно максимально возможным
при условии значительного уменьшения функционала сравне-
нии с квадратом нормы вторых производных WSn (хп(2), хп(2)) по
критерию возможности фильтрации
(х„ - Х^\ Хл - х£а)) =||(ХЛ - Х<“>)|Р < е;
где в — малое число, определяемое точностью решения задачи. Вы-
бор числа sn очень трудоемок. Алгоритм решения принимает вид
|/ЩЬ) х(2аЧ1
х _х(“) । h ХО“) л —~21 •
Ал+1 Хл -{-ЛлАл , Лл \ о / (2а) J(2n)\ ’
(Ал ’ Ал /
Л.
хл+1 = W + Ллхл1а) + И2а). (6.38)
Заметим, что производные в нелинейных задачах должны вычис-
ляться по формулам типа (6.34). При этом для производных выше
второй следует использовать разности, а не разностные отношения,
так как параметры фильтрации являются сомножителями при про-
изводных. Соответствующие коэффициенты должны учитываться
в (6.35) и (6.36).
Функционал WS/t3 (6.37) выбран вместо (6.31) с целью повыше-
208
ния точности определения параметров фильтрации. Алгоритм (6.38)
может применяться не только в жестких, но и в сильноосциллирую-
щих с малой амплитудой системах («дребезжащих»), в частности
при sn = 0 метод (6.38) переходите (6.33).
К достоинствам алгоритма можно отнести универсальность и
отсутствие необходимости вычислять матрицу Якоби системы. По-
этому он может применяться для обработки больших систем. Ог-
раничением при использовании алгоритма является то, что число
фильтруемых составляющих в больших системах должно быть мно-
го меньше их порядка.
Рассмотрим частный случай алгоритма интегрирования с филь-
трацией для системы (6.20) с собственными числами матрицы А,
удовлетворяющими условию
^1 ^2 Щ + 11 Ш+г| ••• |\л|' (6.39)
Фильтрацию производят для собственных чисел с номером г
включительно. Формула (6.28) позволяет записать
х(1> , / 7(2) \ х« !_ уО) хл 1 п X] х2 V"‘ *i /
ЩЗ) 1
Лл
1
^3
Щ2) т / «(3)
уО*) —у(!) л 1 |у(2) *
Л-П ----А Я — — (Ад ““
Лз
1 [х(2> ( 1 4- 1
х3 L Ui х2 J 1 xtx2.
у(2“) —у(2) л 1 (у(3)
Ал -----Ад " ’ I Ад
М Л2 \
х(4’ '
Лл
*1 >
1_Гу<3) (-4- 1 ?4> I х”3)
Хл — "Г— Хл -f-
Обозначив хол=х„, х^^Хл’, х^а) = Хл2), запишем асимптотиче-
ское решение и асимптотические производные с /г+1 фильтруе-
мыми составляющими в виде
у(“) _ у(“) 1 у(1«) .
лЛ4-1,д—*АЛд — айд ,
Ай + 1
у<ь) _уР») 1
АЛ+1,Л--АДд “ . АЯЛ ,
У<2а) у(*&) 1
Хл+1,л—ХЛл АХйл . (D.4U)
209
При
(х?+1,л —хй, Хйа+1,я — Xkn) <е, k = 0, 1,..., sn— 1, ««</-,
интегрирование осуществляют по формуле
Хл+1 ~ XV’" ^лХ«л.л’ J ’
ИЛИ
хл + 1 — х*л*л + Ллх*„“л 1 2
<,2
пл ~(2)
хз„,л.
(6.41)
Собственные числа в формулах (6.40) и (6.41) можно нахо-
дить различными способами по ходу решения. При этом можно,
например, применять формулу
1 (*£a). А*&)
х»+1 “ (Ах^>, Ах£“>) ’
k = 0, 1,..., sn.
(6.42)
Заметим, что при использовании данного подхода следует при-
нимать во внимание следующее соображение. После фильтрации
членов в решении, соответствующих большим собственным значе-
ниям, и увеличения шага интегрирования из-за накопления ошибок
округления или других случайных причин в решении вновь могут
появиться составляющие с большими производными. При этом на-
блюдаются нарастающие колебания решения. Подобное положение
приводит к автоматическому уменьшению шага интегрирования и
повторному исключению членов, соответствующих большим собст-
венным значениям. При этом снижается и быстродействие метода.
Однако основное его преимущество, заключающееся в сохранении
реальной модели при обеспечении фильтрации членов с большими
производными, что особенно важно при расчете нелинейных цепей,
сохраняется. Дело в том, что при расчете нелинейных цепей появ-
ление таких членов в решении, которые соответствуют большим
собственным значениям, возможно на любом отрезке времени. По-
этому использование любых методов снижения порядка дифферен-
циальных уравнений (см. § 6.4) нелинейных цепей сопряжено с
опасностью потери адекватности решения получаемых упрощенных
моделей реальным процессам.
7
/ ГЛАВА
МАШИННЫЙ РАСЧЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
Рассматриваются вопросы описания цепей, автоматизированного формиро-
вания и численного решения их уравнений при машинном расчете. Вводятся син-
тетические схемы замещения цепей, сочетающие особенности как численных ме-
тодов интегрирования, так и топологических структур цепей. Анализируются воз-
можности реализации диакоптических принципов расчета сложных цепей на осно-
ве их макромоделирования.
§ 7.1. Сведение расчета переходных процессов
электрических цепей к расчету цепей по постоянному току
Расчет переходных процессов электрических цепей методом пе-
ременных состояния предполагает (см. введение и гл. 5, 6):
а) составление по законам Кирхгофа и уравнениям отдельных
элементов цепей единой системы дифференциальных уравнений —
уравнений состояния;
а) аппроксимацию уравнений состояния на каждом шаге рас-
чета разностными уравнениями;
в) численное решение полученных систем разностных уравне-
ний.
Такая последовательность расчета эффективна для цепей невы-
сокой размерности с преимущественно линейными двухполюсными
элементами. Уравнения состояния таких цепей формируются вруч-
ную или на ЭВМ по сравнительно простым алгоритмам, рассмот-
ренным во введении. Основные трудности заключаются в числен-
ном решении уравнений состояния. С ростом сложности цепей ручное
формирование уравнений исключается и вопросы эффективно-
сти автоматического создания уравнений начинают играть не мень-
шую роль, чем вопросы последующего их решения. При этом расчет
цепей в приведенной последовательности становится все более за-
труднительным. Это происходит потому, что для высокоразмерных
цепей с многополюсными нелинейными элементами, особенно об-
ладающими сложной логикой функционирования, отсутствуют уни-
версальные алгоритмы формирования уравнений состояния. Раз-
211
работка же для каждой новой цепи нового алгоритма представляет
собой достаточно сложную задачу. К тому же реализация по-,
добных алгоритмов требует существенных вычислительных затрат,
а решение полученных уравнений связано со значительными труд-
ностями, обусловленными их высокой размерностью. Поэтому при
машинном расчете сложных электрических цепей предпочтение от-
дается такому пути, в котором процедура формирования уравнений,
наиболее проста и согласована с последующим их численным ре-
шением. Такой путь предполагает иную последовательность этанов
расчета:
к о
Рис. 7.1
Рис. 7.2
а) аппроксимацию дифференциальных уравнений отдельных
элементов цепей разностными уравнениями, с которыми сопостав-
ляются чисто резистивные схемы замещения;
0) формирование на каждом шаге расчета систем алгебраиче-
ских уравнений, соответствующих резистивным схемам замещения
цепей;
в) последовательное решение получаемых систем алгебраиче-
ских уравнений.
Подобный путь можно интерпретировать как сведение задачи
расчета переходных процессов электрических цепей к последова-
тельности задач расчета по постоянному току чисто резистивных
цепей той же топологической структуры. При этом для расчета пе-
реходных процессов могут быть использованы методы анализа чи-
сто резистивных цепей, отличающиеся простотой алгоритмов со-
ставления уравнений. Рассмотрим такой путь подробнее.
Проведем разностную аппроксимацию дифференциальных урав-
нений накопительных элементов (рис. 7.1, а и 7.2, а).
212
di
d7
du
(7.1)
(7.2)
(7.3)
(7.4)
1
— «;
L
1 .
— I
dt C
согласно простейшему неявному методу численного интегрирования
(неявному методу Эйлера):
_____. । h
zn+i—1п~Л ~£~ип + 1’
„ । й . . С , С
ип+1 — ипА ln+l-----~ип~\ Г
G ЛЯ
Полученные выражения определяют двухполюсники (рис. 7.1,6
и 7.2,6), состоящие из параллельно соединенных проводимостей
g=hfL, g^Cfh и источников тока J~in\ J = ~un. Сопоставив на
й
«+1 шаге расчета цепи накопительные элементы и подобные схе-
мы замещения, расчету токов и напряжений цепи в момент време-
ни t = tn+i можно сопоставить расчет чисто резистивной цепи той
же топологической структуры. Рассчитав полученную резистивную
цепь любым методом (узловых напряжений, контурных токов
и т. д.), можно снова использовать формулы (7.3), (7.4) и, повто-
рив расчет, получить токи и напряжения исходной цепи для момен-
та /=/п+2 И Т. Д.
Пример 7.1. Для цепи рис. 7.3, а резистивная схема замещения представле-
на иа рис. 7.3,6, где /n-н—7(/п-н); Яьп+1=йп+1/й; gcn+i — C/hn+\', JLn+i~iLn't
Г __А
’ Сл+1 “ Л иСп
Если ток через индуктивный элемент Дп и напряжение на емкостном Ucn эле-
менте исходной цепи (рис. 7.3, а) известны, то известны и все параметры резис-
тивной схемы замещения (рис. 7.3, б).
Воспользовавшись методом узловых напряжений (см. § 7.2)
— Sin+i
.~gLn + l + 8Cn + l
Jn+l — 7 L„±i
Lni-1 “ JC«+1 .
U ln+1
^2-1+1
Рис. 7.3
213
найдем напряжение и токи всех элементов исходной цепи для момента времени
/=/n+i:
ugn+\ = —^Лл+i; и£л+1 = ^Лл+i — ^2n+.i; мСл+1 = ^2л+1;
г£л + 1 = gugn + f< iitn-i ~^Ln+l ^Дл + 1И£л + 1’
'Сл+1 = ~^Сп+1 + ^Сл + 1ИСл+1’
если
^1л + 1 _ + ^£л + 1 ^Дл+1 1 4+1
_^2л+1 J L-^ДЛН ZLn+l + ^Сл+f J L ^£л+1 + ^Сл+1 .
Для расчета цепи (рис. 7.3, а) в последующие моменты времени /п+2,
/п+з,... рассмотренная процедура рекурсивно повторяется.
При выборе шага дискретизации расчета можно использовать
правило Рунге (см. § 6.2). В частности, если расчет ведется с по-
стоянным шагом, то параметры пассивных элементов резистивных
схем замещения не меняются, изменяются лишь параметры их ис-
точников. В этом случае расчет упрощается. Так, в примере 7.1 в
случае неизменности шага h = hn при различных п неизменна и
матрица узловых проводимостей резистивной цепи. Поэтому для
расчета переходного процесса требуется только одно ее обраще-
ние. Заметим, что параметры резистивных схем замещения накопи-
телей могут быть получены и на основе других численных методов
интегрирования. Так, при использовании для дискретизации урав-
нений (7.3), (7.4) метода трапеций (см. § 6.1) можно получить
следующие разностные уравнения:
Разностные схемы замещения представлены на рис. 7.1, в, 7.2, в.
При этом достоинства и недостатки соответствующих этим мето-
дам разностных уравнений определяют адекватность резистивных
схем, эквивалентирующих цепи с накопителями, мгновенному со-
стоянию этих цепей. Так как подобные резистивные схемы синтези-
руют топологические особенности электрических цепей с численны-
ми методами интегрирования, то их называют синтетическими.
Метод расчета переходных процессов, основанный на использо-
вании синтетических схем, обладает и тем преимуществом, что для
нелинейных цепей позволяет выбрать переменные, обеспечивающие
однозначное решение. Метод подбора таких переменных для решения
систем уравнений нелинейных резистивных схем рассмотрен в [1].
Заметим, что непосредственное использование метода переменных
состояний в электрических цепях, где резистивные элементы обла-
дают нелинейными свойствами, может привести к неоднозначности
решения, так как переменные состояния (токи через индуктивные
(лементы и напряжения на емкостных) не могут быть выбраны из
условия обеспечения однозначности решений задачи. Например,
для цепи рис. 7.4, а выбор в качестве искомой переменной тока че-
рез индуктивный элемент приве-
дет к неоднозначному решению
задачи, так как при токе iL напря-
жение на нелинейном резистив-
ном элементе с характеристикой,
(рис. 7.4,6) будет иметь три зна-
чения. Таким образом, для нели-
нейных электрических цепей в оп-
ределенных случаях невозможно
поставить уравнение состояния
гак, чтобы была обеспечена одно-
начность их решения.
В случае же синтетических схем выбор искомой переменной не
швисит от L или С. Искомыми могут быть и ток, и напряжение на
нелинейных резистивных элементах. При подборе этих переменных
можно руководствоваться правилами, разработанными для обес-
печения однозначности решения систем нелинейных уравнений ре-
зистивных схем.
Напомним эти правила. Если нелинейные характеристики эле-
ментов цепи таковы, что при заданном аргументе нелинейная функ-
ция определяется однозначно, то такие характеристики называют
управляемыми по аргументу. Если, например, для схемы рис. 7.4, а
в качестве аргумента выбрать напряжение, то ток через нелиней-
ный резистивный элемент будет однозначной функцией. Такой не-
линейный элемент называют управляемым по напряжению. Этот
же элемент неуправляем по току, так как в общем случае одному
шачению тока могут соответствовать три значения напряжения.
Таким же образом можно определить и резистивные элементы, уп-
равляемые по току. Например, элемент, имеющий S-образную ВАХ,
215
(рис. 7.5, а), является управляемым по напряжению. Элемент, име-
ющий N-образную ВАХ (рис. 7.5,6), будет управляемым по току.
При разделении графа схемы на подграф деревьев и подграф
хорд (звеньев) в нелинейной цепи должны быть соблюдены сле-
дующие правила. Резистивные элементы, имеющие ВАХ, управляе-
мые по току, должны быть отнесены к подграфу дерева. Резистив-
ные элементы, имеющие ВАХ, управляемые по напряжению, должны
быть отнесены в подграф хорд (звеньев). Суть этих правил про-
ста. К подграфу-дереву относятся все ис-
точники ЭДС, т. е. элементы с заданными
1 параметрами, в предельном случае дере-
r— I -1 >• |-----1 во состоит из источников ЭДС, а нели-
I I_____(g) I нейные резистивные элементы лишь до-
J(L,h) полняют граф. При этом напряжение на
Ф ’ /И каждом резистивном элементе однознач-
I но определяется ЭДС и деревом. По этой
1 причине однозначное решение возможно
Рис. 7.6 лишь в том случае, когда при заданном
напряжении ток через хорду имеет един-
ственное значение, т. е. резистивный элемент имеет ВАХ, управляе-
мую напряжением. Когда в качестве хорд выбраны источники тока,
напряжения на этих хордах, являющиеся суммами напряжений на
резистивных элементах, входящих в подграф-дерево, также одно-
значно определены, если резистивные элементы имеют (ВАХ, управ-
ляемые током.
В синтетической схеме (рис. 7.6) цепи, изображенной на
рис. 7.4, а, в качестве хорд выбирают ветвь с нелинейным резистив-
ным элементом, ВАХ которого управляется напряжением, и ветвь
с источником тока. К ветвям дерева в этом случае относятся ветви
с ЭДС и линейной проводимостью g (L, h). Следовательно, в каче-
стве искомых переменных должны быть взяты напряжение uL в
синтетической схеме и ток Ir через нелинейный резистивный эле-
мент.
Таким образом, основным достоинством использования синтети-
ческих схем является возможность применения для расчета пере-
ходных процессов в цепях с накопителями различных методов ана-
лиза чисто резистивных цепей.
§ 7.2. Использование метода узловых напряжений
при расчете переходных процессов
Анализ резистивных цепей, исторически первый из разделов тео-
рии электрических цепей, в настоящее время считается и наиболее
разработанным. Поэтому задачи других разделов [расчет переход-
ных процессов (см. § 7.1), диагностика электрических цепей (см.
§ 8.9), анализ коммутаций в цепях из реактивных элементов (см.
§ 9.4)] часто стараются свести к анализу резистивных цепей, рас-
216
сматривая методы их решения как расчетный эталон. Для выбора
из многообразия подобных методов (узловых напряжений, контур-
ных токов, смешанных величин, топологических преобразований
и т. д.), наиболее адекватного расчету переходных процессов с по-
мощью синтетических схем, отметим основную особенность анализа
переходных процессов, заключающуюся в необходимости расчета
многих (до тысяч и даже десятков тысяч) точек дискретизации. По-
этому предпочтение должно быть отдано такому методу анализа
резистивных цепей, процедура формирования уравнений в котором
наиболее экономична по вычислительным затратам, а сами уравне-
ния характеризуются свойствами, гарантирующими получение ус-
тойчивого решения на каждом шаге дискретизации, с тем чтобы
обеспечивалась заданная точность расчета переходного процесса
на длительных интервалах времени. Кроме того, необходимо, что-
бы выбранный метод был универсальным в смысле возможности его
использования при расчете цепей с невзаимными, нелинейными и
многополюсными элементами. Исходя из этих требований предпоч-
тение отдается методу узловых напряжений. Этот метод универ-
сален, отличается наиболее простой для машинной реализации
процедурой формирования уравнений (см. § 7.3), свойства которых
обеспечивают высокую скорость сходимости наиболее распростра-
ненных методов численного решения алгебраических систем. Рас-
смотрим этот метод подробнее.
Суть метода, детально изложенного в [1], заключается в сле-
дующем. Пусть имеется GZ-цепь (цепь, элементы которой суть про-
водимости и источники тока), содержащая п+1 узел. Параметры
источников тока и проводимостей ветвей цепи считаются извест-
ными. Требуется определить напряжения и неизвестные токи вет-
вей цепи. Пронумеруем все узлы цепи цифрами 0, 1, 2, ... и обозна-
чим через Uk, k=\, 2, ..., напряжение (узловое напряжение) меж-
ду узлом k и опорным узлом 0. Для нахождения этих напряжений
ио методу узловых напряжений составляют систему уравнений
YU = J, (7.5)
где U = [Git/2.... Gn]f — матрица-столбец (вектор) узловых напря-
жений; J= [//2 ••• 7nJf — матрица-столбец (вектор) известных за-
дающих токов; ¥={У{3-}ПП—nxn-матрица известных узловых про-
водимостей. При этом элемент Д, k=\, 2, .... п, вектора J представ-
ляет собой алгебраическую сумму токов источников тока ветвей,
присоединенных к узлу k. Эти значения берут с положительным
энаком, если ток источника направлен к узлу k, и с отрицательным,
если ток источника направлен от узла k. Диагональный элемент
Ykk=gkk, k=\, 2, ..., п, матрицы Y, называемый собственной прово-
димостью k-го узла, представляет собой сумму проводимостей всех
ветвей, присоединенных к узлу k. Недиагональный элемент Yij — gn,
/=1, 2............. матрицы Y, называемый общей проводимо-
217
стью узлов I и j, равен сумме проводи^остей ветвей, соединяющих
узлы i и j, взятой с обратным знаком.
Пример 7.2. Для цепи, изображенной на рис. Уравнение (7.5) имеет вц
gs-rgs-TSi —g* ~g2 /2
-gi gt+gs 0 иг = -Jl-h 9
~g2 0 g2 u3 Jf—J 2
и д ля числовых значений
3,5 —1 —0,5 ut 1
—1 2 0 u2 = —4,5
—0,5 0 0,5 us 3
(7.6J
Отметим, что каждое k-e, k= 1, 2..fh уравнение в системе (7.5)
представляет собой запись для k-ro узЛа первого закона Кирхгофа,
выраженного через узловые напряжений
Решение системы (7.5) позволяет долучить искомые значения
узловых напряжений. Последующий расчет цепи не представляет
сложности. Так, напряжение между .двумя любыми узлами i и ;
(/, /==0) Uij=Ui—Uj, а ток А-й GJ-Be*m _(Рис- 7.8) Ik—gkUij + Jk-
Отметим, что все элементы матриц^1 Y-1=Z=R{n/}nn, называе-
мой матрицей узловых сопротивлений, положительны. Такую мат-
рицу также называют положительной, г- Для обоснования
этого свойства рассмотрим произвольный элемент гц матрицы R.
Численно он равен напряжению /-го уз-1а цепи, вызванному единич-
ным задающим током узла j, в предпоИ°жении» что задающие токи.
218
других узлов равны нулю. Подобное напряжение для резистивной
взаимной цепи всегда положительно. Матрицы с неположительны-
ми внедиагональными элементами, которым соответствуют положи-
тельные обратные матрицы, называют М-матрицами. Симметрич-
ные М-матрицы называют матрицами Стилтьеса. Таким образом,
Y-матрицы линейных взаимных цепей являются матрицами Стилтье-
са, а Y-матрицы невзаимных цепей являются, как правило, М-мат-
рицами. Заметим, что спектр М-матриц — вещественный положи-
тельный. Это обстоятельство существенно при решении систем урав-
нений узловых напряжений (узловых уравнений), поскольку гаран-
тирует сходимость наиболее распространенных итерационных ме-
тодов и позволяет оценить ее скорость.
Для знакомства с этими методами рассмотрим вместо в общем
случае нелинейного узлового уравнения F(U) = O, где, в частности,
F(U)=-Y(U)U+J, эволюционное уравнение
/c^-=F[U(/)I-^- = C-1F(U), U(O) = Uo, (7.7)
описывающее резистивную цепь, узлы которой соединены с помо-
щью емкостных элементов. Если при этом в окрестности решения
U* уравнения F(U)=O, включающей Uo, вещественные части спек-
тра матрицы Якоби dF(U)/dll отрицательны, что заведомо выпол-
няется для линейных цепей с М-матрицами Y, то U(/)->-U* при
1-н». Следовательно, решение алгебраического уравнения F(U) =
= 0 можно найти путем интегрирования уравнения (7.7). При этом
выбор различных матриц С и различных методов интегрирования
позволяет получать самые разнообразные методы решения алгебра-
ических уравнений и оценивать условия их сходимости.
Например, положив в (7.7) С = 1 и используя явный метод Эй-
лера, получаем разностное уравнение Un+i = Un + /iF(Un), соответ-
ствующее методу простой итерации. Параметр h называют в этом
случае коэффициентом ускорения итерационного процесса, а усло-
вие сходимости метода имеет вид (см. § 6.3) 11 + ХтахЛ | < 1 или
2
Н <—-------. При этом число N необходимых для решения узло-
I Л-max I
ного уравнения F(U) = O итераций определяется временем установ-
3 — 5
нения процесса 7'у(;т=(3 5) ттах=-----'-- в /?С-цепи, соответст-
I ^mln I
вующей уравнению (7.7). Следовательно, этот метод практически
неприменим для решения плохо обусловленных узловых уравне-
ний, когда I —а* [1 • Аналогичный вывод можно сделать и по
I ^rnln I
отношению к методам Зейделя, Гаусса — Зейделя, последователь-
ной верхней релаксации, являющихся модификациями метода про-
' гой итерации [И].
219
Положив в (7.7) С=-------— и также используя явный ме-
сШо
тод Эйлера, получаем разностное уравнение
д Up J
dF(U0)
рицы — -
соответствующее методу Ньютона — Рафсона — Канторовича. Этот
метод обладает гораздо лучшими условиями сходимости
, где |Xmax|—J^minl — 1 —собственные значения мат-
I ^тах |
dF(U) < „ , с о
—1. Этот и близкие к нему методы Брои-
ди
дена, Матвеева уже вполне применимы для решения плохо обус-
ловленных узловых уравнений [11].
Аналогичным образом можно конструировать и исследовать и
другие методы решения узловых уравнений [11].
§ 7.3. Машинное формирование узловых уравнений
на основе принципа поэлементного вклада
С ростом сложности цепей проблема простоты их описания и
экономичности алгоритмов формирования их уравнений для ма-
шинного расчета приобретает все большее значение.
Рассмотрим этап подготовки чисто резистивной цепи к машин-
ному расчету по методу узловых напряжений. Представим рези-
стивную цепь в виде эквивалентной GJ-цепи. При этом RE-ветви
(последовательно соединенные резистивные элементы и источники
ЭДС) должны быть преобразованы в GJ-ветви (параллельно сое-
диненные проводимости и источники тока), для чего следует опре-
делить эквивалентные параметры ветвей по формулам J=Elr\ g =
= \/г. При наличии в ветви только одного источника ЭДС (рис.
7.9, а) можно поступить двояко. Во-первых, можно источник ЭДС
вынести за узел (рис. 7.9,6), после чего перейти к GJ-цепи (рис.
7.9,в), которая будет эквивалентна исходной цепи с точки зрения
расчета узловых напряжений всех узлов, за исключением узла k
(в новой цепи отсутствует). Во-первых, можно ввести фиктивный
узел k' и две новые проводимости противоположного знака (рис.
7.9, г), получив в результате эквивалентную GJ-цепь (рис. 7.9,6).
Однако матрица Y цепи рис. 7.9, д уже не будет М-матрицей.
После приведения ££-ветвей к GJ-ветвям, выбора базисного
узла и нумерации узлов и ветвей цепь можно считать подготовлен-
ной к расчету методом узловых напряжений. Для ввода информа-
ции в ЭВМ о структуре и параметрах цепи опишем GZ-цепь с по-
мощью топологического списка (Г-списка). Для исключения необ-
ходимости приписывать в Т-списке знак источнику тока за начало
220
Рис. 7.9
ветви принимают узел, от которого направлен ток источника тока
(см. Введение).
Пример 7.3. Для ветви, изображенной на рис. 7.8, начальным будем счи-
тать узел I, а для ветвей цепи, показанной на рис. 7.7, соответственно для ветви
/ — узел 2, для ветви 2 — узел 3, для ветви 3 — узел 0, для ветви 4 — узел 1,
для ветвя 5—узел 2. Если ветвь не содержит источника тока, то в качестве на-
чального может быть принят любой из ее узлов.
Описание цепи, изображенной на рис. 7.7, с помощью Г-списка пряведено
и табл. 7.1.
Важная особенность Т-списка заключается в отсутствии необ-
ходимости соблюдения порядка нумерации строк; ввести информа-
цию, содержащуюся в каждой строке Т-списка, можно в любом
порядке. Это обстоятельство позволяет легко учитывать изменения
в структуре (топологии) электрической цепи. Так, при добавлении
в цепь новой ветви в Т-список вводят новую строку, содержащую
информацию об этой ветви. Аналогично, при исключении некоторой
221
ветви из цепи из Т-списка вычеркивают соответствующую строку.
Заметим, что если в цепи отсутствуют параллельные GJ-ветви, то
отпадает необходимость нумерации ее ветвей, поскольку ветви од-
нозначно идентифицируются номерами своих узлов. Для подобных
цепей Т-список содержит только четыре столбца. Такое описание
однозначно определяет цепь информационно-компактно и может
непосредственно вводиться в ЭВМ.
Таблица 7.1
№ ветви № узла Проводимость, См Источник тока, А
начала ветви конца ветви
1 2 3 0 4
2 3 1 0,5 1
3 0 1 2 0
4 1 2 1 0
5 2 0 1 0,5
Основное достоинство описания Цепей с помощью Т-списков за-
ключается в его полном соответствии наиболее эффективному в на-
стоящее время машинному формированию уравнений вида (7.5) *, ос-
нованному на принципе поэлементного вклада. Рассмотрим этот
принцип подробнее.
Суть принципа поэлементного вклада заключается в последо-
вательном формировании коэффициентов (при машинном формиро-
вании— соответствующих элементов массивов) матрицы Y и век-
тора J по мере построчной обработки Т-списка цепи. Пусть соответ-
ствующие Y- и J-массивы имеют нулевые элементы. При обработ-
ке каждой строки Т-списка проводимость gki ветви, соединяющей
узлы k, I, прибавляют со знаком плюс к диагональным элементам
Ykk, Yu массива, соответствующего матрице Y, и со знаком минус
к недиагональным элементам Уы, Yik. Ток источника тока Jki ветви
прибавляют к /-му элементу массива, соответствующего вектору J,
и вычитают из k-то элемента данного массива. В результате полу-
чают
1 ... k ... I ... п
* Под машинным формированием уравнения (7.5) понимают формирование
массива размерностью пХп, соответствующего матрице Y, и массива размерно-
стью пХ1, соответствующего вектору J.
222
Заметим, что принцип поэлементного вклада исключает необ-
ходимость составления на основании перебора Т-списка матрицы
соединений А и последующего выполнения матричных операций
АУдА”1, где Уд — диагональная матрица проводимостей ветвей (см.
Введение).
Пользуясь приведенным алгоритмом, можно сформировать не-
определенные матрицы Уо и Jo для всех узлов размерностью («+
+1) X («+1) и (п + 1)Х1. Но обычно требуется получить матрицу
У для системы уравнений с данным базисным узлом. В этом слу-
чае приведенный расчет элементов матриц У и J производят для
всех узлов, за исключением базисного. Алгоритмически это запи-
сывается следующим образом. Первоначально определяют два мас-
сива: массив У размерностью пХп и массив J размерностью «XI,
элементы У«, которых задаются равными нулю: Yu: =0, Jk- =0,
k, 1= 1, 2, ..., п. Последующие шаги обработки Г-списка для каждой
k- и /-ветви сводятся к вкладам в матрицы У, J параметров этой
ветви:
— Skb Yik'-=Yik gki> Yir— Yu~\~gki>
Y kk' kk~{~ gkb Jk’-=Jk J kb J i-— J i-\~ kl-
Если один из узлов, например узел k, принят за базисный, т. е. k —
= 0, то вклады формируются только для элементов матрицы У и
вектора J, соответствующих номеру ненулевого узла. В данном
случае это узел /, т. е. Yu : = Yu+goi; h :
Простота формирования уравнений узловых напряжений по
принципу поэлементного вклада, ее высокая алгоритмичность обес-
печивают сведение к минимуму вычислительных затрат при
составлении уравнений на ЭВМ. Именно это обстоятельство в зна-
чительной мере и обусловливает столь высокую эффективность при-
менения метода узловых напряжений для расчета сложных элек-
трических цепей.
Пример 7.4. Сформулируем по Г-списку цепи, приведенной на рис. 7.7, мат-
рицы Y и J. После введения информации, содержащейся в первой строке Г-спис-
ка, матрицы будут иметь вид
/r,Z = 1,2,3
0 о 0
0 0 0
0 0 0
угг; = угг; угз ~угз 0 > ]
узг: ^У32~°’ узз “ узз+0 ’/
к = 1,2,3
223
После введения информации, содержащейся во второй и третьей строках, полу-
чим
После введения информации, содержащейся в четвертой и питой строках, опре-
делим
Y3i:=
Матрицы Y и J считаются сформированными после исчерпания
всех строк Т-списка.
Рассмотрим подробное описание и формирование уравнений це-
пи, содержащей нелинейные и невзаимные элементы. Подобные эле-
менты при описании требуют больших информационных затрат, по-
этому их целесообразно выделять в отдельные группы. Единого
подхода для описания подобных элементов вследствие большого их
разнообразия нет. Обычно способы их описания в каждом конкрет-
ном случае подчиняются соображениям удобства последующего
формирования вкладов от этих элементов в коэффициенты матрицы
Y, J. Рассмотрим возможное описание источника тока, управляе-
мого напряжением (ИТУН), и последующее формирование вкла-
дов от этого элемента в систему узловых уравнений. Для подобных
элементов (рис. 7.10, а) может быть составлен, например, Т-список
(табл. 7.2).
При формировании уравнений согласно методу узловых напря-
жений обработка такой строки Т-списка даст следующие вклады
в матрицу:
224
Рнс. 7.10
Таблица 7.2
ИТУН Управляющая ветвь Коэффициент проводимости управляемой ветви, См
№ узла
начала ветви конца ветви начала ветви конца ветви
k 1 р Q go
... k...I..,р ... q ...
• Г"
й ... g0 g0 . . .
i ••• g
p
<1
Для источников тока, управляемых током (рис. 7.10, б), в Т-список
должны быть включены параметры элементов управляющей ветви
(табл. 7.3).
Таблица 7.3
ИТУТ | Управляющая ветвь Коэффициент тока управляемой ветви, А
№ узла проводи- мость, См ток ис- точника тока, А
начала ветви конца ветви начала ветви конца ветви
k 1 р Q ga /а а0
8—151
225
Обработка такой строки Т-списка дает следующие вклады в
матрицу Y и вектор J:
... k ... I ... р ... q ...
Сложнее обстоит дело с описанием нелинейных элементов про-
извольного вида. В этом случае унифицированное описание невоз-
можно и поэтому для каждого, элемента должна быть составлена
своя последовательность вычисления его параметра в зависимости
от определяющей переменной и вида характеристики элемента. Од-
нако и при этом оказывается возможной единая последователь-
ность вычисления вкладов в матрицы Y, J на разных итерациях ре-
шения нелинейной системы узловых уравнений. Например, уточне-
ние проводимости для последующего шага можно провести следую-
щим образом. Пусть нелинейная характеристика такова, что при
заданном напряжении однозначно определяется ток, а следователь-
но, и gi (I — номер итерации). Тогда параметр bg=gi—gi-\ можно
рассматривать как проводимость новой параллельной ветви, для
которой применим принцип поэлементного вклада.
При наличии в цепи достаточно большого числа однотипных
многополюсников (например, линейных трехполюсников) их целе-
сообразно описывать именно как многополюсники, а не как набор
двухполюсных элементов. Однако формирование матриц Y, J сле-
дует осуществлять, применяя принцип поэлементного вклада для
всех их двухполюсных компонент.
В заключение рассмотрим описание и формирование уравнений
для цепей, содержащих индуктивные и емкостные элементы. В
Т-списках этих элементов должны быть отражены соответствующие
начальные условия, Т-списки индуктивности и емкости, изображен-
ные на рис. 7.1, а и 7.2, а, представлены в табл. 7.4 и 7.5.
Таблица 7.4
№ узла Индуктивность ветви, Гн ' Начальное значение тока, А
начала ветви конца ветви
k 1 L /о
226
Таблица 7.5
№ узла Емкость ветви, Ф Начальное значение напряжения, В
Начало ветви Конец ветви
k 1 с «0
Вклады в матрицы Y, J этих элементов зависят от шага и ме-
тода дискретизации их уравнений и определяются параметрами,со-
ответствующих синтетических схем (рис. 7.1,6, в и 7.2,6, в). Так,
при использовании неявного метода Эйлера на первом шаге соот-
ветствующие вклады имеют вид
После каждого шага расчета цепи в Т-списках изменяются на-
чальные значения токов через индуктивные элементы и напряже-
ний на емкостных элементах, например после первого шага их по-
лагают равными /о: =й, «о: и процедура формирования и ре-
шения уравнений рекурсивно повторяется.
Заметим, что описание цепи не обязательно давать в виде не-
скольких Т-списков, каждый из которых соответствует определен-
ному типу элемента (индуктивному, резистивному и т. д.). Можно
описать цепь и с помощью единого Т-списка, строки которого, со-
8*
ответствующие различным типам элементов, имеют различную дли-
ну и снабжаются указателем типа элемента (L, R, ИТУН и т. д.),
определяющим порядок обработки строки при машинном расчете.
§ 7.4. Макромоделирование электрических цепей
Высокий уровень интеграции элементов реальных устройств
электрических машин, вентильных преобразователей, линий элек-
тропередачи и т. д. обусловливает сложный характер их математи-
ческих моделей. Хотя подобным устройст-
вам могут соответствовать схемы замеще-
ния, составленные только из двухполюс-
ных компонентов, такое сопоставление
оказывается сложным, что требует ис-
пользования наряду с естественными
схемными двухполюсными элементами
(индуктивными, емкостными, резистивны-
ми) искусственных элементов, например
гираторов. Получаемые при этом схемы
замещения не наглядны и имеют высо-
кую размерность. Последнее затрудняет
проведение расчета на ЭВМ с ограничен-;
ным быстродействием и памятью.
Наиболее эффективно расчет сложных электрических цепей, со-
держащих электрические машины, вентильные преобразователи,
линии электропередачи и т. д., может быть осуществлен на основе
принципа макромоделирования. Суть этого принципа заключается
в использовании диакоптических методов (методов расчета слож-
ных цепей по частям), основанных на предварительном создании
таких математических моделей сложных устройств — макромоде-
лей, схемы замещения которых на каждом шаге расчета представ-
ляют собой полные многополюсники с числом узлов, равным числу
граничных узлов устройств. Исключение внутренних узлов в моде-
лях таких устройств позволяет сократить размерность синтетиче-
ской схемы замещения всей цепи.
Покажем это на примере создания макромодели 7?£-цепи (рис.
7.11, а), описываемой уравнением
При дискретизации этого уравнения по неявному методу Эйлера
получаем
^п + 1 __ Д : _|_1 .. ; __ h I___L .
h L ЛИ± L L + hR L + tiR
Синтетическая схема замещения такой цепи (рис. 7.11,6) не со-
держит внутреннего узла.
228
Макромодели создают для отдельных типов функциональных
устройств (электрических машин, вентильных преобразователей,
линий электропередачи и т. д.) и их программные реализации на-
капливают в специальных библиотеках макромоделей подпрограмм.
При достаточном богатстве таких библиотек становится гораздо
проще описывать цепи для расчета, занося в Т-списки номера толь-
ко граничных узлов соответствующих функциональных устройств и
данные для идентификации их моделей в библиотеке. Но главное
заключается в последующей рациональной организации формиро-
вания и обработке математической модели всей цепи с учетом осо-
бенностей моделирования этих ее элементов.
Для эффективной реализации принципов макромоделирования
необходимо в полной мере отражать в соответствующих макромо-
делях специфические особенности устройств.
§ 7.5. Макромоделирование электрических машин
переменного тока
Пусть А—матрица связи обмоток вращающейся электрической
машины переменного тока; i, и—-векторы токов и напряжений этих
обмоток; I, U —векторы тока и напряжений граничных узлов ма-
шины. При этом
u=A'U, I=Ai. (7.8)
При макромоделировании производят дискретизацию уравнений
состояния машины (см. § 4.2)
+ i+L-1 (Y)u; -%-=«>; ' (7.9)
dt L dY J d/
-^.=Л.1Л4вн-Л4ф(у( i)], Мду, i)= _Ap(Y)^i(Y)
at Jm i ay
и последующее формирование по связи (7.8) уравнения ее синте-
тической схемы замещения
l(G+i)=Y(/n+i)U(/п+1)-}-J(Zn+i) или 1п+1— ¥/и-1Цц-14~Jn+i> (7.10)
представляющей собой полный активно-резистивный многополюс-
ник, узлы которого соответствуют граничным узлам машины.
Рассмотрим особенности формирования матрицы Y(/n+i) и век-
тора J(/n+i), обусловленные нелинейностью и нестационарностью
уравнения (7.9).
Выберем для дискретизации уравнений неявный метод Линиге-
ра — Уиллаби (см. § 6.1), начальное приближение (прогноз) для
реализации которого найдем до явному методу Эйлера. При этом
построение разностных уравнений для системы (7.9) осуществля-
ют с учетом процедуры прогноз-коррекция.
229
где
Прогноз (по явному методу Эйлера)
•л+i= Yn+i = Y«4_7?a,n> ®л+1 ==0)л + (7.11)
Jo=L-i(Yn)[u„-Rirt-a>n^|T=T
л J
, l-Мцн п Af(p(Yn,
j м
Коррекция (по неявному методу Линигера — Уиллаби)
in+i — fii (Yzj+i1') ил + 14_1«'Ь^2L-1 (.Yn+i0) X
(/-i)dL(y)
п+1 —
dy
(Ml) I 1л+1 ’
Л + 1 J
(7.12)
<0,
1~М~ Г^вНл + 1 — (Yn + l1’, in + ZOl-b^o’
J м
Yn +1 = Yn 4~ 1'-°л+11* + ^2wn-
Здесь верхний индекс у переменных соответствует номеру ите-
рации, общее число k которых зависит от условий обеспечения за-
данной точности:
Il ia-iiMR.,, i»a-»a''i<«., w„-v&ni <•„
где ел еш, е? — заданные величины. На каждой итерации по перво-
му уравнению системы (7.9) и связи (7.8) определяют соответст-
вующие параметры синтетической схемы замещения машины:
Y«+i=A L-i (y^1’) A', ^1= A i„-H2 Jo- hi L-’ (y^I1’) X
i»+i
v Fr J-J'-1’ dZ,(Y) I
хр+""*‘ —Iffi)
При использовании полученных выражений нет необходимости
численно обращать на каждой итерации относительно высокораз-
мерные матрицы L(y). Дело в том, что для любой симметричной
машины коэффициенты обратной матрицы L~ 1 (Y) = (2//~г cos
(лу —Pz/)!mm имеют точно такой же вид, как и коэффициенты пря-
мой матрицы L(y)==U°/ + Z.’/cos(/iy~ti~\, 2, через ко-
торые они могут быть выражены аналитически (см. [8]).
Пример 7.5. Для явнополюсной трехфазной машины с одной обмоткой воз-
буждения матрица индуктивностей
230
L (у) =
£5+£тсо$2у
—cos (2y p)
-Ms+Lm cos (2y+p)
М/ cos у
—Ms+£mcos(2Y—p) —Afs+Amcos(2y+p) Af/cosy
Aj+imcos(2Y+p) — Afs+Amcos2y Af/cos(y—p)
—Ms+Lmcos2y Ls+Lmcos (2y—p) A4/cos(y+p)
Af/cos(y — p) Af/cos(y+p) Lf
обратная матрица
L-1 (у) =
ij+^mCos2y — Ms+Lmcos (2y—p) — Ms+Lm cos (2у+р) М/ cos у
—.Ms4-Zmcos (2y—p) Ls+Lmcos (2y-p) —Ms+Lmcos2y Af/cos(y—p)
—Ms+Lmcos (2y + p) — Ms+Lmcos2y Ls+Lm cos (2y— p) Af/cos(y+p)
Af/cosy Af/cos(y— p) Af/cos(y+p) Lf
где
_ £01 (An + Aj1(Z) + ЗАцАц^ Aj2
9Lg{LiiLnq L^L22(i —kcs)
~ AOj (Ац + Ацд) 4-ЗАцАцд f2^
9£о1£ц£ц? 2£ц£22 (l—£ев)
Am . £?2
£ц£ц</ AjjZ22(1 ^cb) 2£2jZ.22(1 ^cb)
*cb = -t1 *721-; l01 = ls-2Ms-,
4/(1 —ACB) MlZ-22
3 3 * * * * В , 1 ,
An ~ Ls + Afj + — Lm\ L\iq = Ls + Als ———Lm\ L^t— 9 Lf,
Л £ A
1 3 2rt
L\2~~Z-AAf, —•
Z Z
Как видно из рассмотренного примера, коэффициенты обратной
матрицы L-I(y) содержат в знаменателе разность 1—ЛСв и, следо-
вательно, в типичном для практики случае близости коэффициента
связи k0B к единице (6Св~1) матрица L(y) близка к вырожденно-
сти и численное обращение ее связано с большими трудностями.
Возможность аналитического представления матрицы L-I(y) об-
легчает макромоделирование электрических машин.
В заключение заметим, что рациональная организация итера-
ционного вычисления параметров Yn+i, Jn+i, учитывающая более
медленное изменение со(О> Y(0 по сравнению с изменением I(Z)
и U(f) и более гибкое его согласование с итерационным расчетом
синтетической схемы замещения всей цепи, значительно повышают
эффективность макромоделирования электрических машин.
231
§ 7.6. Макромоделирование длинных линий
При макромоделировании от уравнения состояния
-Ri(х, t)- , i (x, 0) = i (x);
dt ox
C = — Gu{x, t) — d* , и (x, 0) = и (x)
I dt dx
длинной линии (рис. 7.12) переходят к дискретному уравнению
7и (7//+1) _ ^нн (7//+1) Унк (7/1+1)
Jk (7/1+1).
ее синтетической схемы замещения. Для осуществления этого пере-
хода запишем уравнение (7.13) в операторном виде:
L [р/ (X, р) — I (X)] = — RI (X, р) —д--{х’ р) - ;
dx
.l^KH^n+l) l^KK^n + l)
X (7„+i) '
_^k(7/i+i) .
•7в (7/i+i)
Vk (7n+i) .
(7.14)
C[pU(x, p)-~ u(x)]—~GU (x, p) -d/(-x' P).
dx
(7.15)
i„(t)
I (X,t)
н ytl ‘к
0 *1 1
Рис. 7.12
ux(t)
где /(x, p) = C q-p^I (x, r) dr; U (x, p) — J m(x, r)dt.
О о
Считая начальную точку отсчета времени / = 0 достаточно уда-
ленной от интересующего нас момента времени < = fn+-i, положим
начальное распределение тока и
напряжения в линии нулевыми,
т. е. i(x)=0; u(x)= 0. Подобное
допущение, упрощающее после-
дующие действия, при достаточно
больших tn можно рассматривать
как чисто формальное, поскольку
процессы в линии зависят не от
всей предыстории. Относительность выбора начальной точки отсче-
та времени обусловливает возможность использования макромодели
при любых tn-
Решив при сделанном допущении первое уравнение системы
(7.15) относительно тока I (х, р), получим
Z(x, p)=_(/? + p£)-i-^i^>
dx
Подставив это выражение во второе уравнение системы (7.15),
после перегруппировки членов найдем
-wy. rt =чЧр)щХ1 р),
дх^
(7.16)
(7.17)
232
где y(p)=V(R-[-pL) (O-j-pC) — операторный коэффициент распро-
странения линии. Записав для уравнений (7.16), (7.17) решения в
виде
U (х, р) = е~-< хК1(р) + е1 х К2(рУ, (7.18)
/(х, p)==Y Ki(p) — Y(p)tf^xK2(p), (7.19)
где Y (p)~\/~(R-+-pL)~'L(GpC) — операторная волновая прово-
димость линии, определим коэффициенты /СДр), Кг(р) из опера-
торной записи
/ (0; р)=/н(р); / (/; Р)=1ЛРУ, U (0, Р)=£/н(Р);
U(l, p) = UK(p) граничных условий 1(0, t) — 1н(1); «(/, /) = г’к(^); «(0,
0=«н(0; WG> ^)=ык(0- В результате получим
/G = -b[£7H(p) + Z(p)/H(p)]; К2=±е-т<Р>1 [Uк{р)~Z {p)-IМ.
Следовательно, решения (7.18), (7.19) можно представить как
U (х, р)=^-{е-ПР)х[^н(р)_|.2(р)/н(р)] +
+ е-т (р) (/-х) [Uk {р) _ Z (р) /к (р)]};
/ (х, p)=~-Y (р) (е-т w х [UH (р) -j-Z (р) JH (р)} ~
— е~7 [UK (р) — Z (р) 1К (/?)]},
где Z (р)=’К(/?4"/’^)(^ + Х')~1 ~ операторное волновое сопро-
тивление линии.
При переходе в вещественную область ограничимся наиболее
характерным для практики случаем линий с малой диссипацией:
|RIpL| 1, | G/pC\1. При этом условии справедливо приближен-
ное представление параметров у(р), Y(p), Z(p):
у (р) = 1/ (1 P2LCV(/’)=(^ +а>
233
где
2 \ L ~ С ) 2 \ L С J
Приближенное представление решений (7.18), (7.19) имеет вид
U (х, p)^U(x, p) = A-(e-(p+«)^K(p) + Z0ZH + ^^.14-
I L р J
+е-<р+‘)Г^7к(р)—Z0ZK(p)-EoLdzH) .
L Р 11
Цх, p)'—.I(x, p)=y-r0Je-<P^“)<'[zZH(p) + Z0ZH(p)-
J^g) 1 _е_(р,а)мЬу ( }_Z J ( } J^kCp). 11
р J L р 1)
где
Yo=/ZC, Y0=VC/L-, ZO=/Z7C; f=Yox;
/"=Y0(^ —x).
Согласно обратному преобразованию Лапласа,
и(х, 1)=^и(х, 0 = ~
е-’(' ин (t-i') + Z0ZH (/-/') +
zH(r)dr +е~а<'
zzK (/-/")-ZozK (/-/")-
zK(T)dt
i(x, t)=^.i(x, t)—
— е~аГ zzK(/ —/") — ZozK(/—/")—p J zzK(r)dr .
Для определения параметров синтетической схемы замещения
линии воспользуемся дифференциальной формой записи послед-
него уравнения полученной системы:
- К (/-/')}- е-а<” {[zzK (t -1") - ZolK (t -1") - pzzK (t - r)jj.
234
При х = 0, x=i (t'—O, t"=0)
~^=1Го j± [Mh (()+zoia (/)] - P«H (/) -
“e-aToZ |-^lM*-YoO-ZoZK(/-YoO]-₽«K('-YoOn ;
(at ))
Щ£) ^_^L=± у L-«ru U [йн (/ _ W)+zoiH (t - YoZ) -
dr dr 2 ( t dr
-^««(/-Yt/)]-}-^ [«к (O~ Z0ZK(/)] -₽«K(/)jj .
Замена исходной системы уравнений в частных производных
системой обыкновенных дифференциальных уравнений упрощает
определение параметров синтетической схемы замещения линии.
Осуществив дискретизацию последних уравнений по неявному ме-
тоду Эйлера, найдем
*Н + 1) *Н(^я) __ I
h ~ 2
(«н (^л + 1) "Ь ^0*'н (<я + 1) [^н (Л<) ”1“ (^н)]
°l h
— (^м) —е~“7"г X
v (“к (<Я +1 — YoO - Л)*к (*д+1 - YoO - [цк (<я - YoO — ZoiK (tn - YoO]
Xl h
?Mh(^ZI + 1 Y(/) j j >
(^n + l) -- г‘к (^л)
h.
1 у (p-aT01 “h (^n + 1 ~~ YoO + ^0г'н (^n+1 — YoO
2 °t L h
(^n IroO H~ Zq/h (^n VoO
fl
-?«H (^B+i-YoO-
После
лучим
ряда преобразований этих выражений окончательно по-
(^п +1) 1
_^к(^п + 1)]
«н (/«и)'
£нн О
. о -£кЛ.«Жм).
-7н (^п + 1)
_j К ((/И-1) .
(7.20)
где
^=^=^0(1-^);
Л (Z„+i)=г’н (^) — ^о«к ((«) — e-“v {Ко (1 — ) «к (Z„ и — Y</) —
[(«((« + ! YqZ) (tn Yo^)] ^к(^л ¥(/)}>
235
4(4+i)—4(4) 4)ик(4)+е “Т»ЧГО(1 — PA)wh(/J+1—Y</)~F
И- [4 (4+i YoO 4 (4 Y</)] (4 —’ Ytr )}•
Синтетическая схема замещения линии, соответствующая урав-
нению (7.20), изображена на рис. 7.13. ,
Для неискажающей линии, параметры которой удовлетворяют
условию K = R/L= G/С, коэффици-
ент fi = R/L—G/C = Q и обратное
преобразование Лапласа уравне-
ний (7.18), (7.19) приводит к чи-
сто алгебраическим уравнениям
«(*, /)=~{е-кг [wH (/ — /') 4*
+Z0Zh(/-/')I + e-^'[«K((-4) -
— ZozK(Z —/")]}; i(.x, П=-~У0{е-к‘'[ия(( — —/')] —
— e~K<’[«к (/ — /") —Z0ZK(/—f')]}.
Параметры синтетической схемы замещения (рис. 7.13) приоб-
ретают более простой вид:
Sr==^oi -4(4+i)==e ^T°44(4+i YoO Eozzk(4+i YoO];
•4 (4+i)=е !4(4+i YoO+ EowH (4+i YoOl-
Заметим, что 4(4+1), 4(4+1) играют здесь роль падающих и
отраженных волн.
Для функционирования макромодели линии предысторию ее
процессов необходимо знать только на глубину Д = у0/- Если это
значение не кратно шагу дискретизации, т. е. \^=kh, то функции
4(4—YoO. Ик(4—YoO и т. д. вычисляют путем интерполяции соот-
ветствующих значений iK(tn—ih)\ iK(tn—(t’+l)/i); мк(4—ih);
«к(4—(4- 1)/г), где Ae[i/i, (i+ 1)4].
Существуют и другие пути построения синтетических схем за-
мещения линий, например основанные на непосредственной дискре-
тизации исходных уравнений или на дискретизации уравнений це-
почечных Т- или П-образных схем замещения (рис. 7.14, а). В по-
следнем случае синтетическая схема замещения линии (рис.
7.14, в) соответствует эквивалентному генератору цепи (рис.
7.14, б), для определения параметров которого можно использовать
теорию многополюсников. Подобный подход к макромоделированию
более универсален и может быть применен к неоднородным и нели-
нейным линиям. Однако эффективная его реализация требует уг-
лубленного исследования характера распределения токов и напря-
жений в цепочечных схемах.
В заключение заметим, что исходные уравнения в частных про-
изводных имеют интервально плотный спектр, в то время как за-
236
мещающие иХ при макромоделировании обыкновенные дифферен-
циальные уравнения с запаздывающим аргументом — хотя и беско-
Рис. 7.14
нечный, но дискретный спектр, а уравнения цепочечных схем (рис.
7.14, а) — конечный спектр. Сопоставление этих спектров позволяет
оценить точность макромоделирования и выбрать оптимальный спо-
соб его реализации.
§ 7.7. Макромоделирование вентильных цепей
В отличие от макромоделей цепей постоянной структуры, син-
тезирующих топологические особенности моделируемых цепей с
численными методами интегрирования, макромодели вентильных
цепей синтезируют подобные особенности с логическими функция-
ми, характеризующими работу вентильных элементов. В качестве
вентильных элементов (вентилей) в дальнейшем рассматриваются
тиристоры (рис. 7.15, а), замещаемые в схемах идеальными клю-
чами (рис. 7.15,6). Такие элементы могут находиться в двух со-
стояниях: открытом, когда м = 0, i>0, и закрытом, когда /=0, м<0
или и>0, но нет импульса управления. В некоторых аварийных
237
случаях открытому и закрытому состояниям вентилей могут соот-
ветствовать и другие комбинации токов и напряжений. Т-списки
подобных элементов содержат помимо номеров граничных узлов
также информацию о текущем состоянии вентилей/которую удоб-
но записывать в виде булевозначной функции:
__(1, если вентиль открыт;
(О, если вентиль закрыт.
Описание вентиля, изображенной Таблица 7.6 на рис. К15, а, в Т-списке представлено в табл. 7.6. Макромодели вентильных подцепей представляют со- бой подпрограммы, реализу- ющие следующие функции: 1) формирование и реше- ние системы узловых урав- нений цепи с учетом кон-
Начальный узел Конечный узел Состояние
k т X
кретного состояния вентилей на данном шаге расчета;
2) расчет токов и напряжений вентилей в каждый момент дис-
кретизации;
3) определение моментов коммутации вентилей.
Таким образом, подобная подпрограмма частично осуществляет
функции управления расчетом цепи. Рассмотрим особенности реа-
лизации этих функций макромодели.
Рис. 7.15
Формирование и решение системы узловых уравнений вентиль-
ных цепей. * 1. По Т-спискам невентильных элементов, согласно
принципу поэлементного вклада (см. § 7.3), формируют матрицы
узловых проводимостей Y и векторы задающих токов J цепи с за-
крытыми вентилями.
2. По Т-списку вентильных элементов производят коррекцию
матрицы Y и вектора J, учитывающую реальное состояние вентилей.
Так как граничные узлы k и т (k<m) некоторого открытого вен-
тиля (рис. 7.16) эквипотенциальны, то их объединяют в один. Это
достигается путем последовательного прибавления элементов стро-
* В § 7.7 используются алгоритмы, разработанные инж. С. Ю. Борю.
238
ки и столбца\ Y, соответствующих одному из граничных узлов вен-
тиля (для определенности узлу с большим номером т), к элемен-
там строки и Столбца, соответствующих граничному узлу k. Анало-
гично, /n-й элемент вектора J прибавляют к &-му элементу. Для
m-й строки и m-го столбца матрицы Y и тп-й строки вектора J во
вспомогательном массиве (вектор-столбце) L размерностью N, где
А — число узлов цепи, /n-й номер помечают как исключаемый при
решении узловых уравнений (см. п. 3).
Пример 7.6. Для открытого вентиля подцепи (рис. 7.16) в результате кор-
рекции матрицы Y и вектора J
получим
Если некоторые открытые вентили образуют связную подцепь с
узлами klt k2, ..., ki, то при коррекции Y, J результаты суммирова-
ния записывают в строку и столбец с номером &x=min {klt ..., kt},
а во вспомогательном массиве L все номера kit ..., ki, кроме номера
kx, помечают как исключаемые. Информацию об инцидентности по-
добных узлов, требуемую при расчете вентильной цепи, удобно хра-
нить в том же вспомогательном массиве L= [Lj]№ [LiLj ...Lwp,
который размечают следующим образом:
Lj — — 1, если узел Lj остается после объединения узлов; Lj = Li,
если узлы Lj и Lt объединяются в один, и Lj>L{.
239
s
Пример 7.7. Для цепи, изображенной на рис. 7.17, когда: а) вентили
1, 2,..., 6 закрыты; б) вентили 1, 5, 6 открыты; в) вентили 1, 2, 4, 5 открыты,—
массив L имеет вид
if-
Таким образом, в массиве L исключаемым узлам соответствуют
значения, отличные от —1.
3. Производят численное решение системы узловых уравнений
с полученными матрицей У и вектором J. Поскольку эта система
заведомо содержит лишние уравнения, соответствующие исключае-
мым узлам (например, т-е. уравнение для примера 7.6),то алгорит-
мы численных методов модифицируют с учетом данных массива L
об исключаемых узлах (уравнениях) так, чтобы с элементами ис-
ключаемых строк и столбцов У, J не производилось никаких дей-
ствий.
Если устойчивого решения получить не удается, то это свиде-
тельствует о вырожденности системы узловых уравнений в цепи
из-за ее несвязности, обусловленной наличием особых разрезов
(см. § 9.3), проходящих по разомкнутым вентилям. В этом случае
расчет прекращают, производят топологический анализ цепи для
выявления таких разрезов, после чего осуществляют дополнитель-
ную коррекцию матрицы У и вектора J, устраняющую вырожден-
ность системы. Суть этой коррекции сводится к замене строк У, J,
240
соответствующих некоторым уравнениям для узлов с разомкнуты-
ми вентилями, строками, соответствующими дополнительным урав-
нениям таких разрезов (см. § 9.3).
Пример 7.8. Если при разомкнутых вентилях в цепи рис. 7,17 имеет-
ся особый разрез S, то вместо одной из строк Y, J, для определенности соответ-
ствующей максимальному номеру 8 граничных узлов вентилей,
/ 2 J 5 8 7 8 9 ,0.
S [ | | | I I | pw| W; 8 0
вводится строка
1 2 8 8 8 7 8 9 ,
*| | | |~2 |~2 |~21 5 | J | | |; *0,
соответствующая дополнительному уравнению (см. § 9.3)
— U4- (U-; — U^)-r (U-j — tZ6) л- (С78 — 6/4) 4- (JJ& — U$) 4- (f/8 — <70) = 0.
После подобной коррекции Y, J решение системы узловых урав-
нений производят заново. Заметим, что топологический анализ це-
пи на связность при необходимости введения дополнительных урав-
нений в систему можно проводить и в п. 2. При этом исключается
появление вырожденных систем уравнений. Однако в практических
задачах особые разрезы возникают редко, а топологический ана-
лиз требует больших вычислительных затрат. Реализации предло-
женного подхода более эффективна.
Расчет токов и напряжений вентилей. 1. Токи через закрытые
и напряжения на открытых вентилях принимаются равными нулю.
2. Напряжения на закрытых вентилях определяют как разности
напряжений их граничных узлов. Например, если вентиль в под-
цепи рис. 7.16 закрыт, то u=Uk—Um. При этом напряжение /-го
граничного узла равно /-й компоненте вектора U, если Lj =—1, и
Д-й компоненте вектора U, если 1.
3. Определяют токи через открытые вентили. Для этого рассчи-
тывают токи граничных узлов вентильных подцепей. Вместо диаго-
нальных элементов строк матрицы Y, соответствующих исключае-
мым узлам /, ставят единицы, а на соответствующие /-е места век-
тора U — искомые переменные Ij токов граничных узлов. Решение
полученных уравнений, каждое из которых содержит только одну
неизвестную величину, позволяет получить искомый результат.
Пример 7.9. Для определения тока 1т граничного узла т (равного току вен-
тиля) т-е строки матрицы Y и вектора J (см. рис. 7.16) представляют в виде
241
j ... к ... L ... гл
1
m -Jt
а вектор U — в виде
U*=
j ... к ... I ... m
4
Тогда ток граничного узла Im——h+gi(Ui—Uh).
Важно отметить то обстоятельство, что определение токов вен-
тилей удается совместить с расче-
том узловых напряжений цепи
(п. 3 предыдущего этапа — этапа
формирования и решения узловых
уравнений).
Пример 7.10. Для расчета тока 1т
граничного узла т подцепи, изображен-
ной на рис. 7.18, ffi-e строки ее матрицы
Y и векторов U, J представляют в виде
7 ... да-7 да да+7 ... N
Згм д 1 д Зщм
т 4 ;
Остальные элементы m-го столбца матрвцы Y полагают равными нулю. В резуль-
тате система уравнений принимает вид
~дп ••• • 0 • • • Зщ • • -Л •
9 т-11 ”• 0 • • • • 3m-lN 9щ-1 • ~Зщ-1
9т1 * * * ; . . . 9mN I/П =3 ~^т (7.2/)
9щ+1 Г '' 0 • • • 9m+1N 9fn+1 ~Зт+1
• • • • • •
9n 1 ’ • • 0 . . • 9nn _ к* _ ~3n
242
Решение этой системы позволяет получить узловые напряжения и граничный ток
m-го узла:
I т = /т (.gml^l 4* • • 4" gmm—1^т~1 т gmm+l^m +14“ • • • 4“ £"туу^у) •
Рнс. 7.19
Для определения токов через открытые вентили, образующие
особые контуры (см. § 9.3), требуется составление дополнительных
уравнений, соответствующих нестан-
дартным моделям этих контуров. Вен-
тили в них заменяют инфинитезималь-
ными проводимостями (см. § 9.3), а за-
данными считают токи граничных уз-
лов подцепи, нахождение которых было
рассмотрено ранее. Определив узловые
напряжения такой нестандартной мо-
дели, ток некоторого вентиля с гранич- _ _
ными узлами k и т можно найти_как Ij_—gi(Uh—Um), где gi— ин-
финитезимальная проводимость; Uh и Um — узловые напряжения.
Пример 7.11. Пусть в цепи рнс. 7.17 вентили 1, 2, 4, 5 открыты, что соответ-
ствует режиму опрокидывания инвертора. Для расчета токов ц, ii, it, is однотип-
ных вентилей особого контура L (см. § 9.3) составляют систему узловых уравне-
ний нестандартной модели (рис. 7.19)
' 2^ ~g ~g ' ' u5 ' Л'
—g 2g 0 U1 = h
.~g 0 2g _ . Us. . 4.
решение которой имеет вид
Прн этом токн вентилей
Формализация рассмотренных действий исключает топологиче-
ский анализ для выделения особых контуров и предварительный
расчет токов граничных узлов вентильных подцепей. Действитель-
но, если go — минимальная инфинитезимальная проводимость для
открытых вентилей, а/ — весовой коэффициент, равный отношению
инфинитезимальной проводимости /-го вентиля к g0 (для однотип-
ных вентилей az=l); Uj— гипердействительное напряжение /-го
узла, то можно использовать принцип поэлементного вклада для
формирования уравнений вентильной подцепи, определяющих ее
243
токи. При этом формируют вклады в матрицу Y действительных
значений aik (k—масштабный коэффициент), рассматриваемых
как проводимости Z-x вентилей. Матрица Y таких проводимостей
формируется на «свободных местах» матрицы Y, поскольку в по-
следней элементы столбцов, соответствующих исключаемым узлам,
полагают равными нулю [см. (7.21)], а уравнения для нахождения
токов граничных узлов вентильных подцепей сформированы ранее.
Компоненты вектора U, соответствующие /-м граничным узлам вен-
тильной подцепи, заменяют на Ijh = kg0Uj.
Решив сформированную таким обра-
зом систему уравнений, находят ток лю-
бого вентиля I, соединяющего, например,
узлы п и т:
— a.ik~x-
Подбором коэффициента k можно регу-
лировать обусловленность решаемой сис-
темы уравнений, если же этого не требу-
ется, то считают k=\.
Определение моментов коммутации
вентилей. 1. Рассчитав токи и напряже-
ния каждого вентиля в (п+1)-й момент
расчета, идентифицируют его состояние
(открыт — закрыт).
2. Производят сравнение состояний вентилей в («+1)-й и п-й
моменты времени и в случае их различия хотя бы для одного вен-
тиля осуществляют расчет момента коммутации на основе интерпо-
ляции режимных параметров вентилей.
Пусть ток открытого в n-й момент времени вентиля I в (п+1)-й
момент времени стал отрицательным (рис. 7.20, а). Тогда момент
предполагаемой коммутации вентиля отождествляют с моментом
txi перехода тока вентиля через нуль:
(7.22)
Если вентиль меняет свое состояние в рассматриваемом интервале
с закрытого на открытое (рис. 7.20,6), т. е. un<0, un+i>0, и при
/е[/п, Zn+1] есть импульс управления, то момент предполагаемой
коммутации
Gz—
uln^n
“in ~“in¥l
(7.23)
Вычислив моменты txi предполагаемой коммутации для тех вен-
тилей l={li, 1г. In}, которые предположительно меняют состоя-
ние в интервале /е[/п, Zn+i], в качестве истинного момента комму-
244
тации tx принимают минимальный из них: tx — min/xi. При этом
полагают, что изменяют свое состояние только вентили, моменты
предполагаемой коммутации которых отличаются от tx не более
чем на заданное значение
^п~^п 4-1 ^П‘
3. Путем интерполяции находят токи и напряжения всех элемен-
тов цепи для момента времени t = tx. Расчет продолжают от точки
tx с шагом h.
Метод интерполяции (п. 2, 3) должен быть согласован с мето-
дом численного интегрирования и его стартового алгоритма.
В заключение отметим, что эффективная реализация принципов
макромоделирования сложных электрических цепей с элементами
различной природы (электрическими машинами, линиями электро-
передач, вентильными преобразователями и т. д.) предполагает со-
гласованность всех этапов машинного расчета, что требует рацио-
нальной организации общей структуры программы.
8 ГЛАВА
ДИАГНОСТИКА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
Рассматриваются проблемы и методы определения параметров электриче-
ских цепей по данным ряда физических экспериментов. Анализируются точность
решения такой задачи и выделяются влияющие на нее факторы. Исследуются
вопросы определения параметров цепи по неполным и противоречивым экспери-
ментальным данным.
§ 8.1. Задачи диагностики электрических цепей. Диагностика
параметров электрических цепей методом узловых сопротивлений
В предыдущих главах исследовались уже сформированные ма-
тематические модели электрических цепей. Однако не меньший ин-
терес представляет и формирование таких моделей. Одной из задач
такого рода является диагностика электрических цепей, т. е. опре-
деление параметров реально существующих цепей по эксперимен-
тальным данным при сохранении цельности объектов диагностиро-
вания в процессе проведения экспериментов.
В данной главе рассматриваются вопросы подобного воссозда-
ния математических моделей в основном применительно к наиболее
простому случаю, когда диагностируются линейные резистивные
цепи. Затрагиваемые при этом проблемы являются в значительной
мере общими и для аналогичных задач других классов электриче-
ских цепей.
Высокий уровень интеграции элементов цепей в едином техно-
логическом цикле изготовления устройств и подсистем, невозмож-
ность выделения в них необходимых для выполнения диагностиче-
ских экспериментов полюсов, ограниченные возможности современ-
ных средств измерения и обработки данных ставят перед диагно-
стикой сложные проблемы. При этих условиях в первом приближе-
нии, не очень упрощая условие задачи, обычно топологическую
структуру диагностируемых цепей, а иногда и некоторые их пара-
метры принимают априори заданными. Для практических задач эти
допущения не являются слишком жесткими, так как в большинст-
ве своем именно топологическая структура схем известна как при
производстве, так и при эксплуатации соответствующих устройств
и систем и в электроэнергетике, и в радиоэлектронике. Возможные
246
отличия топологической структуры могут быть следствием таких
нарушений, как обрывы и короткие замыкания ветвей. В задачах
диагностики такие нарушения при априори заданной топологиче-
ской структуре выявляются как эстремальные изменения парамет-
ров ветвей. В других случаях подобные изменения в топологиче-
ской структуре можно предусмотреть, заранее противопоставив
всем возможным местам возникновения таких нарушений в цепи
ключевые элементы. При этом диагностируемым параметром явля-
ется состояние ключей (открыт, закрыт).
Существует тесная связь между возможностью производить те
или иные измерения в цепи и однозначностью решения задачи диаг-
ностики. Можно утверждать, что задача диагностики в такой ее
постановке не всегда может иметь однозначное решение, поэтому
одна из основных проблем заключается в установлении возможно-
стей и условий однозначного определения неизвестных параметров
цепи. С этой точки зрения существенным становится выбор необхо-
димых для измерений параметров режима (токов, напряжений,
мощностей и т. д.) узлов и ветвей цепи. При этом актуальной явля-
ется также задача отыскания способов выбора соответствующих
параметров режима, если решение при исходной постановке явля-
ется неоднозначным. При наличии свободы в выборе измеряемых
величин интерес представляет и определение критериев их избыточ-
ности. При диагностике большое значение имеют точность измере-
ний и, следовательно, оценка влияния соответствующих ошибок из-
мерений на конечный результат решения задачи.
Расчетная часть решения задачи диагностики, связанная с чис-
ленной обработкой данных диагностических экспериментов, зани-
мает некоторое промежуточное положение между анализом и син-
тезом электрических цепей. Поэтому здесь в большой мере чувст-
вуется, с одной стороны, незавершенность методов синтеза, особен-
но сложных цепей и цепей с нелинейными элементами, а с другой
стороны, несовершенство вычислительных методов и средств анали
за высокоразмерных многоэлементных систем. С математической
точки зрения основные проблемы при выполнении этого этапа ра-
боты связаны, во-первых, с возможной некорректностью начальной
постановки задачи, когда неполнота либо противоречивость исход-
ных данных затрудняет получение единственного и устойчивого ее
решения, и, во-вторых, с чисто вычислительными трудностями обес-
печения приемлемой точности счета при обработке высокоразмер-
ных и часто плохо обусловленных систем уравнений. В этой связи
исключительное значение приобретают методы решения некоррек-
тных (плохо поставленных) задач и задач большой размерности.
Диагностика электрических цепей является в настоящее время
одним из самых интенсивно развиваемых разделов теории электри-
ческих цепей. Вызванная исключительно запросами практики, под-
чиненная в прикладном отношении оценке технического состояния,
работоспособности и надежности реальных объектов электроэнер-
247
гетики и радиоэлектроники диагностика вооружает специалистов,
занятых в области производства и эксплуатации этих объектов, тео-
ретическими знаниями по соответствующим проблемам и рацио-
нальными методами их решения. Вместе с тем нельзя не отметить,
с одной стороны, определенного отставания теории диагностики от
запросов инженерной практики, а с другой стороны, практически
полного отсутствия сведений об этой теории в учебной литературе.
се ТОЭ определение параметров четырехполюсников по данным
опытов холостого хода и короткого замыкания, которое можно счи-
тать наиболее простым примером задач диагностики. Насущная
необходимость отражения в учебной литературе вопросов диагно-
стики электрических цепей предполагает в первую очередь выделе-
ние таких достаточно простых и вместе с тем значимых для прак-
тики задач, по которым все вопросы, начиная от их постановок, вы-
бора методов решения и кончая оценкой точности полученных ре-
зультатов, допускают достаточно каноничное изложение. К ним
следует прежде всего отнести диагностику линейных резистивных
цепей в условиях относительной свободы проведения соответствую-
щих экспериментов и измерений. Прежде чем перейти к ее рас-
смотрению, отметим, что, во-первых, своеобразие методов диагно-
стики электрических цепей заключается в сочетании двух разно-
родных этапов — экспериментального и расчетного (в связи с этим
возникает проблема оптимального согласования их возможностей),
во-вторых, достижения в области диагностики электрических цепей
в значительной мере определяются возможностями современных
ЭВМ и средств автоматизации экспериментов и измерений, которые
необходимо учитывать при рассмотрении соответствующих задач.
Пусть имеется пассивная резистивная электрическая цепь, все
узлы которой доступны для проведения диагностических экспери-
ментов (рис. 8.1, а), а топологическая структура в общем случае
считается неизвестной. Определим проводимости ветвей цепи, пред-
ставленной как полный многополюсник. При некоторых ограниче-
ниях, которые в конце данного параграфа будут оговорены, задачу
248
можно считать практически решенной, если найдена матрица уз-
ловых проводимостей цепи
‘ и
Г2Х
12
1л
лл —
22
2п
Л1
л2
лл_
где п+1— число узлов цепи. Для нахождения матрицы узловых
проводимостей Y целесообразно предварительно по данным диаг-
ностических экспериментов сформировать матрицу Y-I=Z= {/,•/}
называемую матрицей узловых сопротивлений. Дело в том, что для
взаимных электрических цепей искомая матрица Y является M-мат-
рицей, все элементы Z^ которой —положительные и доступные для
экспериментального определения величины (см. § 7.2). Метод диаг-
ностики пассивных электрических цепей, основанный на экспери-
ментальном определении узловых сопротивлений Z^, l^i^n,
1^/^п, и последующем числовом расчете матрицы Y=Z-1, назы-
вают методом узловых сопротивлений.
Для реализации метода узловых сопротивлений между узлами О
и 1 многополюсника П включают регулируемый источник энергии
(условно обозначенный на рис. 8.1,6 как источник тока), с помо-
щью которого задающий ток первого узла устанавливают равным
1 А (в общем случае — одной относительной единице тока). Изме-
рив узловые напряжения при первом диагностическом эксперимен-
те, можно согласно методу узловых напряжений составить систему
уравнений
в которой неизвестными являются коэффициенты матрицы Y, а {74,
(7>2.. [/'п, /4=1 А — измеренные величины. Следовательно, из
полученного уравнения однозначно найти коэффициенты матрицы
узловых проводимостей нельзя, так как число неизвестных в сис-
теме, равное п2, больше числа уравнений п. Для однозначного оп-
ределения коэффициентов матрицы Y можно провести еще п—1
эксперимент (рис. 8.1,6). В каждом /-м эксперименте (/ = 2, 3, ...)
источник тока подключают к узлам 0 и j (рис. 8.1,в), что обеспе-
чивает задающий ток /-го узла равным 1 А. После этого измеряют
п узловых напряжений. Соответствующая система уравнений имеет
вид
249
и{
u{
U
‘О
о
j’i
6
где LM, U2i ..., Un!—измеренные узловые напряжения в /-м экспе-
рименте; Jji=1 А — задающий ток /-го узла. Множество получен-
ных систем
уравнений можно объединить в одну:
связанные с соответствующими узловыми проводимостями, узловы-
ми напряжениями и задающими токами соотношениями
у1}=уоу1}^ u{=uouk i,
где Уо=1 См; U0—l В; 7о=1 А (в общем случае Yq, Uq, Jo равны
любым заданным согласованным единицам проводимости, напря-
Если при этом не возникает путаницы, то индекс * можно опу-
стить, оговорив размерность используемых величин. Рассматривая
только безразмерные проводимости, напряжения, токи, последнее
выражение можно записать как
250
или в компактной записи как
YU = 1.
(8.1)
Если измерения напряжений во всех экспериментах выполня-
лись достаточно точно, то значения этих напряжений можно счи-
тать численно совпадающими с соответствующими значениями уз-
ловых сопротивлений, т. е. (7?=Zi3-. Тогда решение поставленной
задачи имеет вид
Zu Z12 •••
Zjj ^22 ••• ^2в
Л„1 Д«2 ••• Znn
(Здесь и далее имеются в виду численные равенства для соответ-
ствующих безразмерных величин.) Если известно, что диагностиру-
ется взаимная электрическая цепь, обладающая симметричными
матрицами Y и Z, то по принципу взаимности для построения сис-
темы YU=1 можно вместо п2 измерений напряжений выполнить
только 0,5 [п(/г + 1)] измерений, необходимых для воссоздания ниж-
ней (верхней) треугольной части матрицы U (матрицы Z):
Для верхней части матрицы напряжений (матрицы узловых со-
противлений) можно положить Ujh— Uhi (Zjh=Zkj-, j<ks^.n;
j=l. 2, ..., n—1).
На практике измерения проводятся с ошибками, не исключа-
ется возможность и грубых ошибок. В этой ситуации и для взаим-
ной электрической цепи целесообразно провести все измерения.
Тогда значение невязки ejk= | Uik—Ukl\, /=&, можно использовать
для предохранения от грубых ошибок при измерениях следующим
образом. Если невязка е/& больше некоторого наперед заданного
значения е, характеризуемого, например, классом точности изме-
рительной аппаратуры, то измерения напряжений Ujh, следует
произвести заново. Если невязка е/ь достаточно мала, т. е. е3><Се,
то в качестве безразмерного значения взаимного узлового сопро-
тивления Zkj=Zjh нужно принять среднеарифметическое значение
Zkj — Zjk— (Ujh + Uh3)/2, как ближайшее к измеренным значениям.
251
Таким образом, взаимной электрической цепи в результате подоб-
ной обработки данных экспериментов соответствует симметричная
матрица узловых сопротивлений
Z={Z,y}„„={(t/)+^)/2)„„=(U + U0/2,
как более достоверная.
Сформировав по данным диагностических экспериментов матри-
цу узловых сопротивлений Z, симметричную для взаимной и несим-
метричную для невзаимной цепи, можно рассчитать и искомую мат-
рицу Y=Z-1. Если при этом диаг-
g,~0,Z5CM дгз=0,125См ностируется взаимная электриче-
i1-------------1—।----• 7 ская цепь, а из-за вычислительных
I г ошибок, допущенных при обра-
п п. _л/ „ п„ _niru тении матрицы Z, матрица Z”1
°' м ’ окажется несимметричной, то в
Т Т качестве искомой матрицы следу-
'---------------------1 ет принять симметричную мат-
рицу
рис. 8.2
ближайшую к вычисленной матрице Z-1.
Как отмечалось в начале параграфа, по матрице Y можно вы-
числить проводимости ветвей диагностируемой цепи, если послед-
няя удовлетворяет определенным ограничениям. Здесь предполага-
ется отсутствие в цепи параллельно соединенных ветвей и ветвей,
замкнутых в петли. В этом случае проводимость, соединяющая уз-
лы i и / (i=/=/)>
если /, j / 0;
gtJ=
Л-1
если I ф J=0.
Пример 8.1. Пусть диагностируется цепь, изображенная на рис. 8.2. Прово-
димости ветвей цепи, так же как и матрица ее узловых проводимостей
Y =
0,75
-0,25
0
-0,25
0,775
—0,125
0
-0,125
0,225
подлежат определению.
Положим, что в диагностических экспериментах задающие токи были уста-
новлены равными 1 А, а соответствующие узловые напряжения измерены с точ-
ностью порядка 10-4 В (~10“2%). По данным таких экспериментов была сфор-
мирована матрица напряжений
1,5110 0,5357 0,2976"
и = 0,5357 1,6071 0,8930
.0,2976 0,8928 4,9405.
252
в которой Если известно, что диагностируется
честве матрицы узловых сопротивлений целесообразно
матрицу
взаимная цепь, то в ка-
принять симметричную
и-ни*
2
’1,5119
0,5357
0,3976
0,5357 0,2976
1,6071 0,8929
0,8929 4,9405
ближайшую к матрице U. Элементы матрицы Z определены с точностью 0,01%.
Обратив эту матрицу, получим следующую матрицу узловых сопротивлений:
’ 0,75
Y = Z-1 =
-0,25
—0,25
0,775
—2,7878.10-П —0,125
-3,1483.10-12 ’
—0,125
0,225
При этом элементы У13 и У31 можно положить равными нулю, считая их
отличие от нуля вызванным ошибками численного обращения матрицы Z. Таким
образом,
0,75
-0,25
0
-0,25
0,775
-0,125
0
-0,125
0,225
Y =
Полученная матрица совпадает с истинной матрицей диагностируемой це-
пи. Таким образом удается точно определить искомые проводимости ветвей:
«ю ~ Уц + ^"i2 + ^13 = 0,75 — 0,25 = 0,5 См,
«20 = ^21+ ^22+^23 =-0,254-0,775-0,125 = 0,4 См,
«'30 = ^31 + 1'32,+ Гзз = -0,125 4-0,225 = 0,1 См,
«12 = |l'i2l' = 0,25 См, g23 = |Кгз| = 0,125 См.
На практике трудно обеспечить такую высокую точность проведения экспери-
ментов. Рассмотрим, как изменится решение задачи диагностики прн менее точ-
ном проведении измерений в диагностических экспериментах. Пример 8.2. Пусть по экспериментальным данным сформирована матрица
узловых сопротивлении ’1,51 0,53 0,29’
Z = U = 0,53 1,6 0,88 f
0,29 0,89 4,94.
элементы которой вычислены с точностью до двух значащих цифр после запятой
(~3%).
Обратив данную матрицу, получим
Y == Z-1 = ’ 0,7494 -0,2487 .—0,0008 —0,2487 0,7711 -0,1254 -0,0008’ —0,1254 0,225 .
и соответственно gio^= 0,7494 См, «2а= 0,397 См, «зо = 0,0988 См, «12 = 0,2487 См,
«23 = 0,1254 См, «13=0,0008 См.
Как видно, точность определения проводимостей реально существующих
ветвей цепи достаточно высока (относительно точности задания исходной инфор-
253
мации) и составляет не ниже 3%. Однако в этом случае элементы Уп и У31 счи-
тать равными нулю только по виду полученной матрицы Y уже нельзя, так как их
параметры сопоставимы с точностью решения задачи. Таким образом, если топо-
логическая структура цепи заранее не известна (диагностируемая цепь рассмат-
ривается как «черный ящик»), то решить вопрос о том, соединены узлы 1 и 3 це-
пи ветвью с малой (порядка 10~3 См) проводимостью или они непосредственно
не соединены, не представляется возможным. Произвольный же выбор одного
из альтернативных вариантов при решении практических задач может привести
к неправильной инженерной интерпретации результатов.
Пример 8.3. Пусть элементы матрицы Z определены с точностью до одной
значащей цифры после запятой (~7%):
'1,5 0,5 0,3'
Z = и = 0,5 1,6 0,9 •
.0,5 0,9 4,9.
Обратив эту матрицу, получим
0,7442 —0,2308 0,0032'
Y = Z-1 = -0,2308 0,7686 0,127
0,0032 -0127 0,2276_
По данной матрице находят следующие значения для проводимостей ветвей диаг-
ностируемой цепи: gio = O,51O2 См, £го = О,41О8 См, £зо = 0,0974 См, gu —
= 0,2308 См, £гз = 0,127 См, £,3 = 0,0032 См.
При этом, так же как и в примере 8.2, точность определения проводимостей
ветвей (за исключением проводимости £i3) сопоставима с точностью задания ис-
ходных данных (точнее, порядка 8%).
Сведем полученные в примерах 8.1—8.3 результаты решений
в табл. 8.1.
Таблица 8.1
Обозначе- ние Проводи- мость, См Решения задачи диагностики
при погрешности измерений 1% при погрешности измерений 3% при погрешности измерений 7%
проводи- мость, См погреш- ность, % проводи- мость ре- шения. См погреш- ность ре- шения, % проводи- мость, См погреш- ность ре- шения, %
£н> 0,5 0,5 0 0,4999 0,2 0,5102 2,0
§20 0,4 0,4 0 0,397 0,75 0,4108 2,7
£зо 0,1 0,1 0 0,8988 1,2 0,0974 2,6
£12 0,25 0,25 0 0,2487 0,5 0,2308 7,78
£23 0,125 0,125 0 0,1254 0,3 0,127 1,6
£13 0 0 0 0,0008 — 0,032 —
Как видно из табл. 8.1, при достаточно малых значениях по-
грешностей измерений (1 и 3%) диагностику рассматриваемой цепи
удается осуществить достаточно точно. С ростом погрешностей из-
254
мерений ухудшается и точность решения задачи, причем при доста-
точно больших погрешностях измерений (7%) по полученным ре-
зультатам уже невозможно идентифицировать структуру диагно-
стируемой цепи с априори неизвестной топологией.
Изложенный метод диагностики является общим и применим
для определения комплексных проводимостей. Пусть диагностиру-
ется цепь, изображенная на рис. 8.3. Матрицы узловых проводи-
мостей этой цепи
3,1 — 71,8
-2 +;4
— 0,1 — /0,2
- 2 + /4
13+/8
- 1—>2
-0,1 -/0,2’
-1-/2
6,1-/7,8.
как и проводимости ее ветвей,
считаются неизвестными и под-
лежат определению. Аналогич-
но предшествующим примерам
рассмотрим решения этой зада-
чи по данным экспериментов,
проведенных с различной точ-
ностью.
Пример 8.4. Положим, что дейст-
вительные и мнимые составляющие
элементов матрицы Z определены с
точностью до семи значащих цифр
после запятой:
y}3=OJ+jO,Z
2 Uz3~1+jZ
y2=10+j10 \\у31г5-Л0
Рис. 8.3
0
Z =
’0,2127858+/0,066649 0,01397558-/0,0616569 0,0078012+/0,0125191’
0,0139755.8-/0,0616559 0,0371Q586—/0,03499 0,0046644-/0,00184153
_0,0078012+/0.0125191 0.00466457+/0,01184153 0,005401+/0,0793532 _
При этом
Y = Z-1 =
' 3,102207—/1,800556, -2,00345+/3,9979 -0,1017-/0,20011
= —2,00345+/3,9979 13.0093+/8,0096 -1,0041535-/1992643
_-0,10171-/0,20011 -1,0041535-1,992644 6,10Q92-/7,8028
Соответственно
£Ио= 1,0169+71,9972, ^20= 10,00169+/9,995957, у^== 4,995-0,99537,
, и = 2,00345-/3,9573, у13 = 0,1017+/0.20011, у2з = 1,00415+/! ,99264
Имеет место хотя и неидеальное (как в первом случае диагностики цепи по посто-
янному току), ио и достаточно точное (до двух-трех значащих цифр после запя-
той в составляющих комплексных чисел) нахождение проводимостей ветвей.
Пример 8.5. Составляющие элементов матрицы Z определены с точностью
до трех значащих цифр после запятой:
255
'0,2!3+/0,0067 0,0144-/0,062
Z = 0,014-/0,062 0,037-/0,035
0,00784-/0,012 -
0,00474-/0,012
.0,00784-/0,012 0,00474-/0,0012 0,0594-/0,079
При этом
‘ 3,083—/,8027 —1,99594-/4 — 0,0732—/0,2043 "
Y = Z-1 = —1,99544-/4,0098
12,97174-/7,9997 -1,0309-/2,0194
-0,0732-/0,2043 -1,0309-/2,0194 6,1374-/7,8054
Соответственно
y10 = 1,0134 4-/2,0028, y№ = 9,4449 + /9,9803, y30 = 5,033-/10,028,
yn= 1,9959- /4, yl3 = 0,0732 4-/0,2043, уц = 1,0309 + /2,0194.
Ошибки имеются уже в первых цифрах после запятой для составляющих комп-
лексных проводимостей.
Пример 8.6. Составляющие элементов матрицы Z определены с точностью
до двух значащих цифр после запятой:
При этом
'0,21 4-/0,07 0,01 -/0,06 0,08 + /0,001’
z = 0,01 -/0,06 0,04-/0,03 0,005 + /0,05
.0,08 + /0,01 0,005 + / ,05 0,06 + /0,08 _
Г 2,9614-/1,6201
Y = Z-1 = —0,2137 4- /4,0397
0,4235 4-/0,9434
-0,2137 + /4,0397 0,4235 4- /0,9434’
5,47914-/7,0635 -2,7429-/6,848
-2,7529 -/6,848 4,6147 -/4,6249.
Соответственно
j/io = 3,1712 + /3,7827, yw = 2,5144 + /4,2552, у30 = 2,2953 - /10,5295,
У12 = 0,2137-/4,0397, yVi = 0,4235 - /0,09434, у^ = 2,7429 4- /6,848.
В этом случае ошибки становятся уже совершенно не приемле-
мыми. Рассмотренные примеры показывают, что решения задачи
диагностики чувствительны к точности проведения соответствую-
щих экспериментов, особенно если определяют комплексные прово-
димости. Аналитическая оценка влияния погрешностей измерений
при проведении экспериментов на конечный результат представляет
.собой самостоятельную задачу, которая будет рассмотрена в сле-
дующем параграфе. Здесь же оговорим возможность косвенной
оценки точности решения задачи диагностики цепей с априори за-
данной топологической структурой. Для подобных цепей известно,
когда в расчете должны появляться нулевые значения проводимо-
стей. А именно: если узлы k и I (в частности, узлы 1 и 3 для цепи
рис. 8.2) в диагностируемой цепи непосредственно не соединены, то
при расчете проводимости gu получают значение, близкое к нулю
(возможное отличие от нуля обусловлено ошибками измерений И
вычислений), причем по значению проводимостей (по их отличию
256
от нуля) можно судить и о точности решения задачи диагностики.
Так, в рассмотренных примерах диагностики цепи рис. 8.2 вместо
значения У1з=Т31 = 0 были получены соответственно значения
~—10-1Ч—10~12, —0,0008, —0,0032, которые хорошо иллюстри-
руют точность решения этих задач. Кроме того, возможность кос-
венной оценки точности решения задачи диагностики цепей с ап-
риори известной топологической структурой связана с проверкой
условия равенства нулю сумм элементов каждой /г-й строки
(п \ п
2 Ук1—0 I и каждого k-ro столбца = 0 матрицы У, номера
i — 1 / /—1
k которых соответствуют узлам, не инцидентным базисному (нуле-
вому) узлу диагностируемой цепи.
В заключение отметим, что достоинством рассмотренного метода
узловых сопротивлений является простота его экспериментальной
части. На практике это позволяет сравнительно просто автоматизи-
ровать процесс диагностики многополюсников, причем в том случае,
когда диагностируются резистивные цепи, требуется лишь два из-
мерительных прибора: вольтметр (рис. 8.1,6, в) и амперметр, не-
обходимый для установления единичных токов с помощью одного
регулируемого источника. Последний обычно представляет собой
источник ЭДС с последовательно включенным резистором, который
помимо регулировочных функций выполняет функции защиты це-
пи, источника ЭДС и амперметра, ограничивая задающие токи в
первые моменты присоединения источника к узлам диагностируе-
мой цепи. Кроме того, как будет показано в § 8.2, при диагностике
электрических цепей данным методом удается сравнительно просто
оценивать точность полученного результата.
§ 8.2. Влияние погрешностей измерений на решение задачи
диагностики пассивных электрических цепей методом узловых
сопротивлений
На практике измерения в диагностических экспериментах вы-
полняют, как правило, с ошибками. Уровень возможных ошибок
измерений часто удается оценить, например, по классу точности
используемых измерительных приборов. В этой ситуации представ-
ляет интерес оценка погрешности решения задачи диагностики,
обусловленная только соответствующими ошибками измерений. Со-
гласование подобной оценки с требованиями к точности выполне-
ния расчетной части решения задачи позволит выбрать и наилуч-
ший способ численной обработки экспериментальных данных на
ЭВМ. При относительной малости ошибок измерений интересую-
щая оценка может быть получена на основе линейной теории по-
грешностей.
Пусть в каждом из п экспериментов, проводимых согласно ме-
тоду узловых сопротивлений, узловые напряжения измеряются
9—151 257
практически точно, в то время как задающие токи //, предположи-
тельно равные 1 А, имеют погрешность AJj= 1—/= 1, 2, п. Та-
ким образом, измеренные напряжения удовлетворяют уравнению
YU = 1 — AJ = J; AJ = diagAJy, J = diagJy.
При этом погрешность решения задачи диагностики ДУ, обуслов-
ленная ошибками задания токов, удовлетворяет уравнению
YU = 1, У==УД-ДУ.
Вычтя из последнего уравнения предыдущее, получим уравнение
AYU=AJ, связывающее погрешность задания токов AJ = diagA//
с соответствующей погрешностью определения матрицы узловых
проводимостей.
Из решения полученного уравнения AY=AJU-1 = diagA/;LH
следует, что погрешность определения коэффициентов /-й строки
матрицы узловых проводимостей прямо пропорциональна погреш-
ности А/, задания тока /Д/=1, п) и не зависит от погрешностей
задания токов Л (/#=/).
Интегральную оценку погрешности определения матрицы узло-
вых проводимостей можно получить, используя мультипликативные
нормы матриц (нормы, удовлетворяющие условию ЦАВЦ^
=^||А|| ||ВЦ). Действительно, для мультипликативных норм первого
и третьего приведенных ранее уравнений
|1JH||YU||<||Y||||U|!;
||AY|H||AJU-i||<||AJ||||U-i||.
При перемножении этих выражений получают неравенство
IIJII ||AY|| =Cj|Y|| НИЦ ||U-4| ||AJ||, из которого находят искомую
оценку:
ЦДУЦ ИМ
l|Y|| ||J||
(8.2)’
где au = ||U|| ||U-4| — число обусловленности матрицы U.
Таким образом, относительная погрешность определения матри-
цы узловых проводимостей прямо пропорциональна относительной
погрешности задания диагональной матрицы токов и числу обуслов-
ленности матрицы П.
Пусть задающие токи измеряются очень точно и выдерживают-
ся равными 1 А во время п экспериментов в то время, как узловые
напряжения определяют с относительно большой погрешностью.
Тогда можно записать уравнение
YU = 1, У=У4-ДУ, и = и + ди,
связывающее ошибку измерения AU с погрешностью решения за-
дачи диагностики AY. Вычтя из данного уравнения равенство YU =
258
= 1, получим уравнение YAU + AYU + AYAU = O, преобразовав ко-
торое и отбросив член второго порядка малости, найдем AY=
=—YAUU-1. Перейдя к нормам матриц, запишем
IjAYK мидии
По этому выражению можно оценить погрешность определения мат-
рицы узловых проводимостей:
ЛЯ=-Д --<аи Д . (8.3)
l|Y|| IIY + AY// ||U||
Относительная погрешность определения матрицы узловых про-
водимостей прямо пропорциональна величине, характеризующей
относительную точность задания матрицы U, и числу обусловлен-
ности матрицы U.
При этом, поскольку предполагается численное равенство U =
= Z = Y-', числа обусловленности матриц узловых напряжений, со-
противлений и проводимостей совпадают:
аи=az=aY=||U|| |[Z|! ||Z-i||=||Y|| ||Y~4|.
Это обстоятельство позволяет связать полученные оценки по-
грешности решения задач диагностики со структурно-топологиче-
скими особенностями исследуемых цепей. Действительно, погреш-
ности решения задач диагностики методом узловых сопротивлений
оказываются большими для тех цепей, у которых искомые матрицы
узловых проводимостей хуже обусловлены. К подобным цепям от-
носятся цепи с почти особыми разрезами из проводимостей (см.
§ 9.3), значения которых существенно меньше значений проводимо-
стей остальной части цепи. Такие разрезы разбивают цепи на галь-
ванически слабосвязные подцепи. Погрешности же измерений как
бы нарушают подобное свойство цепей, что и обусловливает иска-
жение решения задачи диагностики.
Прежде чем перейти к определению погрешности решения зада-
чи диагностики, проанализируем проблему выбора и расчета на
ЭВМ матричных норм, затем более строго оговорим условия при-
менимости этих оценок (8.2), (8.3).
В полученных выражениях (8.2), (8.3) могут быть использова-
ны любые мультипликативные нормы матриц, но для исключения
влияния размерности матриц на оценку целесообразно применять
нормы, обеспечивающие равенство II111 = 1 при любой размерности
единичной матрицы. Подобному условию удовлетворяют матричные
нормы
l|A|| = sup-^L, A = {ai7}mm, x = [xi,...,xm]',
х^О W
подчиненные любым векторным нормам (sup — наименьшая верх-
няя грань отношения ||Ах||/||х||, где ||Ах||, ||х|| — любые однотипные
9* 259
нормы векторов Ах, х). Наиболее употребляемыми являются нормы
т т
||A|li = max V |aj, ||А||.= max V |а/у|,
совпадающие (||Aj|i^ НАЦоо) для симметричных (Af = A) матриц,
а также спектральная норма ||А||2, равная максимальному сингу-
лярному числу * матрицы А. Отметим, что для матриц небольших
размерностей т использование норм ||A||i (||А||оо) и |)А||2 позволяет
получить близкие оценки, поскольку для них справедливо соотно-
шение
-^-<Wi</^||A||2.
у т
Поэтому при использовании таких матриц предпочтение можно от-
дать норме Н-Hi, вычисление которой на ЭВМ проще.
Что касается условий применимости полученных оценок, то,
во-первых, как отмечалось в начале параграфа, эти оценки спра-
ведливы при относительной малости погрешностей измерений, ког-
да ||J||«||1|| = 1; ||U + AU||«||U||, во-вторых, для их использования
требуется информация об уровне возможных погрешностей измере-
ний IIAUII, которая может быть получена, например, по дан-
ным классов точности применяемых приборов, в-третьих, получен-
ные оценки, как основанные на линейной теории погрешностей,
справедливы лишь для тех цепей, матрицы узловых проводимостей
которых достаточно далеки от вырождения.
Пример18.7. Оценим относительную погрешность определения матрицы узло-
вых проводимостей цепи рис. 8.2 в том случае, когда измерения узловых напря-
жений приводятся с точностью до двух значащих цифр после запятой, а зада-
ющие токи устанавливаются равными 1 А. Согласно данным § 8.1,
’1,51 0,53 0,29 ’ Г 0,7494 -0,2487 —0,0008
= 0,53 1,6 0,89 , U-1 = -0,2487 0,7711 -0,1254
.0,29 0,89 4,94, 0,0008 -0,1254 0,225 _
При этом матрица узловых проводимостей Y=U“‘. Для относительной погреш-
ности ее определения имеем
-Ж_<а =И1Мм
||Y|| < и ||U|| 1111 ||U||
Будем использовать норму ||-||i. Тогда для || A UII положим || Л U||i = 3 • 0.005=
= 0,015, где 3 — число элементов в столбце матрицы AU; 0,005 — максимально
возможная ошибка измерения отдельного узлового напряжения (ошибка зада-
ния каждого коэффициента матрицы U). Учитывая относительно высокую точ-
ность измерений, будем считать, что U«U и, следовательно, ||U||i~||U||i = 0,294-
4-0,89+4,94=6,12. Заметим, что матрица U является хорошо обусловленной,
так как норма ее обратной матрицы ||U-l|li = 0,2487+0,7711+0,1254 = 1,1452»
* Сингулярными числами матрицы А называют арифметические значения
квадратных корней из собственных значений матрицы А*А.
260
— 1,14, и, следовательно, число обусловленности ag-= ||U|lil|lI'*1lli«6,12-l,14«j7
невелико. Поэтому из условия U«U следует, что и-’я^и-'а^га а~«7. Тогда
№ п IIAUI.I1 .. HAUII1 7°-015 . пп|7
IIY + AVIli " U Mi ~ и МН 6,12 ~ ’
Полученная оценка интегральным образом характеризует достаточно высокую
точность (не ниже 1,7%) определения матрицы узловых проводимостей. Верх-
няя граница погрешности определения этой матрицы может быть оценена и в аб-
солютных значениях:
HAYlli < 0,017||Y + AY||i = 0,017||U-i||i = 0,017-1,14 » 0,02.
Учитывая выбор нормы, последнее означает, что суммарная погрешность опреде-
ления элементов матрицы узловых проводимостей в любом столбце не превы-
шает 0,02.
Поскольку для рассматриваемой цепи (см. рис. 8.2) известно точное значе-
ние коэффициентов матрицы узловых проводимостей (см. § 8.2), то представляет
интерес сопоставление полученной оценки погрешности решения задачи диагно-
стики с истинным значением этой погрешности:
’ 0,74 -0,2487 —0,0008'
ДУ = У — У = -0,2487 0,7711 -0,1254 —
—0,0008 —0,1254 0,225
0,75 -0,25 0 ’—0,0006 0,0013 -0,0008’
-0,25 0,775 - -0,125 = 0,0013 —0,0039 -0,0004
0 -0,125 0,225_ _—0,0008 —0,0004 0
Следовательно,
ЦДУЦ! =0,0013 + 0,0039 + 0,0004 = 0,0056,
что удовлетворяет полученной выше оценке ЦДУЦ 1^0,02.
Таким образом, при использовании метода узловых сопротивле-
ний сравнительно просто удается оценить верхнюю границу погреш-
ности решения задачи диагностики, обусловленную ошибками из-
мерений задающих токов и узловых напряжений.
§ 8.3. Диагностика параметров пассивных электрических цепей
обобщенным методом узловых сопротивлений.
Метод узловых проводимостей
Для выполнения экспериментальной части диагностики элек-
трической цепи методом узловых сопротивлений требуется один
амперметр и один регулируемый источник ЭДС. При наличии не-
скольких амперметров и регулируемых источников ЭДС для диаг-
ностики электрической цепи эффективным оказывается применение
других методов — метода обобщенных узловых сопротивлений, по-
зволяющего более рационально организовать экспериментальную
часть работы, и метода узловых проводимостей, требующего мини-
261
мального числа измерений в экспериментальной части работы и
практически исключающего вычислительную часть.
Согласно обобщенному методу узловых сопротивлений, в каж-
дом /-м диагностическом эксперименте (/=1, 2, ..., п) задающие
токи устанавливаются ненулевыми уже не в одном, а в нескольких
узлах (рис. 8.4, а). При этом также измеряются узловые напряже-
ния. Проведение п экспериментов позволяет сформировать систему
уравнений
Рис. 8.4
(8.4)
которая в компактной форме записи имеет вид YU = J. Если матри-
ца узловых напряжений 0 не вырождена, то матрица узловых про-
водимостей
Y = JU-i.
(8.5)
Для обеспечения невырожденности матрицы U необходимо, что-
бы векторы задающих токов [//J2... /=1, 2, ..., п, были линей-
но независимыми. Последующее определение параметров ветвей
электрической цепи производят так же, как и при использовании
метода узловых сопротивлений.
При диагностике цепи обобщенным методом узловых сопротивле-
ний не обязательно подсоединять к каждому узлу многополюсника
регулируемый источник питания. Некоторые узлы можно соединять
с базисным или с любым другим узлом просто через регулируемый
резистор (рис. 8.4,6), изменение которого обеспечивает изменение
задающих токов. Разрывая или закорачивая ветви с такими рези-
сторами, в отдельных экспериментах можно обеспечить и достиже-
ние предельных значений (0 и оо) их проводимостей (см. пример
262
8.8). Эти возможности ценны для инженерной практики, где вопро-
сы рациональной организации экспериментальной части работы
приобретают первостепенное значение.
Пример 8.8. Рассмотрим решение задачи диагностики параметров П-образ-
ного четырехполюсника обобщенным методом узловых сопротивлений в том слу-
чае, когда варьируемая проводимость между узлами 2 и 0 принимает предель-
ные значения (0 и оо), что соответствует опытам холостого хода (рис. 8.5, а) и
короткого замыкания (рис. 8.5, б).
В первом диагностическом эксперименте, когда узел 2 не соединен с базис-
ным узлом (рис. 8.5, а), измеряются напряжения = б/2 = б/2х и ток
/} = 11х. Ток /2 ПРИ этом равен нулю.
Во втором диагностическом эксперименте, когда узлы 2 и 0 замкнуты на-
коротко, измеряются токи /1 = Лк> ^2 = ^2к и напряжение U\ — U\K. Напря-
жение б/2 при этом равно нулю. Индексы «х» и «к» относятся к опытам холо-
стого хода и короткого замыкания.
По данным диагностических экспериментов формируется система уравнений
(8-4):
ГцГ12
Г21К22
’б/' и\-
и\ и*.
л'
Л J22 .
гдебб‘ = бб1х, бб‘=бб2х, и} = и1к, 6/2 = 0; Л = 0, /? = ЛК, jf =
Решение (8.5) полученной системы уравнений:
Г 1 1
о ---------
•Гц r12 _ Лх Лк1 бб2х
Л21 ^22. .° Л2к| 1 б/1х
_ ^Лк ^1к^2х_
~ Лк
бЛк
_Лк_
Лх __Лк£1х_
^Лх ^Лк^Лх
/2к^И
^1к^2х_
Искомые параметры четырехполюсника определяют с учетом равенства У12 =
= y21=/2k/67lk как
Zx = 1/1^21! = £Лк/Лк> У1 = Уц + У12 = (Лк + Лк)/бб 1к>
/2К / 6ЛХ \
r2 = r22 + r21 = -f- 1 - —.
<71к \ б/2х /
Полученные выражения совпадают с аналогичными выражения-
ми из учебника [1]. Но здесь проведение опытов холостого хода и
короткого замыкания для определения параметров четырехполюс-
ника является лишь одной из множества возможных реализаций
обобщенного метода узловых сопротивлений.
Основное достоинство рассмотренного метода диагностики свя-
зано с возможностью выбора различных способов реализаций экс-
периментальной части работы. Однако при этом проведение вычис-
лительной части в общем случае усложняется, поскольку, согласно
(8.5), требуется наряду с операцией обращения матрицы U допол-
нительно операция умножения матриц J и U-1. Имеется возмож-
263
ность так провести экспериментальную часть, чтобы резко упро-
стилась вычислительная часть работы вплоть до ее полного исклю-
чения. Рассмотрим такую возможность подробнее.
Положим, что в каждом /-м диагностическом эксперименте (/ =
= 1, п) ветвь с регулируемым источником питания подсоединяется
к /-му узлу, а остальные узлы 1, 2./—1, /4-1, ..., п замыкаются
через амперметры накоротко с базисным узлом (рис. 8.6, а). Оче-
6)
Рис. 8.5
Рис. 8.6
видно, что в каждом /-м эксперименте напряжения всех узлов, за
исключением узла /, будут равны нулю, т. е.
£/>=( U}, при Z=j;
I 0 при i ф J.
Тогда система уравнений (8.4) примет вид
/ tl /In ~и{ о ... о ~ ji.ji
Г21 У22...У-1П 0 (722...0 =
_ Уп1 УП2-УПП _ б б...' ип *— п —1 с с О* t, — е 1
или в компактной форме записи
Y diag U;=J,
(8.6)
где diag (7/— диагональная матрица узловых напряжений. Реше-
ние полученной системы уравнений имеет вид
Y = J diag ((7;)-1,
264
Таким образом, в данном случае вычисление матрицы узловых
проводимостей не связано с выполнением матричных операций, а
требует лишь не более п2 обычных операций деления. Однако име-
ется возможность исключить и эти операции, если в каждом /-м
диагностическом эксперименте (/=1, п) напряжение (7/ j-го узла
цепи задать с помощью регулируемого источника питания равным
1 В (в общем случае — одной относительной единице напряжения),
как это показано на рис. 8.6,6. Тогда уравнение (8.6) в безразмер-
ных единицах запишется как
Y = J,
(8.8)
или в развернутой записи
Следовательно, организовав проведение диагностических экспе-
риментов согласно рис. 8.6,6, можно определить коэффициенты
матрицы узловых проводимостей непосредственно по показаниям
амперметров. Подобный метод диагностики параметров пассивных
электрических цепей называют методом узловых проводимостей.
Прежде чем рассмотреть пример его использования, оговорим одно
очень важное обстоятельство, учет которого упрощает реализацию
этого метода в тех случаях, когда структура диагностируемой цепи
априори известна. Дело в том, что равенства (8.7), (8.8) определя-
ют и полное совпадение структур расположения ненулевых эле-
ментов матриц Y и J. Таким образом, если в диагностируемой вза-
265
имной цепи между некоторыми узлами k и I отсутствует ветвь, т. е.
элементы Ykt и Ytk матрицы Y заведомо равны нулю, то и соответ-
ствующие элементы Jkl, hh матрицы также заведомо равны нулю.
Следовательно, Z-й узел в k-м эксперименте и k-и узел в /-м экспе-
рименте можно не соединять ветвью с базисным узлом. Поэтому в
каждом j-м эксперименте (/= 1, п) можно закорачивать через ветвь
с амперметром на базисный узел только те узлы цепи, которые ин-
цидентны /-му узлу (см. пример 8.9). Если данный ;-й узел не ин-
цидентен базисному узлу и, следовательно, его собственную узло-
вую проводимость можно представить в виде
Л
г»=
г-1
i-i
то и ток // в /-м эксперименте можно не измерять, положив его
равным
4=
г-1
Таким образом, при использовании метода узловых проводимо-
стей для решения задачи диагностики суммарное число измерений
токов во всех диагностических экспериментах оказывается мень-
шим, чем число неизвестных (число ненулевых элементов матрицы
узловых проводимостей).
Пример 8.9. Применим метод узловых проводимостей для решения задачи
диагностики цепи рис. 8.2, топологическая структура которой (рис. 8.7, а) счита-
ется известной.
В первом диагностическом эксперименте к узлу / подсоединяют источник
ЭДС с ЭДС, равной 1 В, а инцидентный ему узел 2 закорачивается на базисный
узел (рис. 8.7, б). При этом токи
/|=0,75А, 4=—0,25 А.
Во втором диагностическом эксперименте источник ЭДС подсоединяют к
узлу 2, а инцидентные ему узлы 1 и 3 закорачивают с базисным узлом (рис.
8.7, в). При этом токи
;2=_ о,25 А, /2= 0,775 А, 4 =-0,125 А.
В третьем диагностическом эксперименте источник ЭДС подсоединяют к уз-
лу 3 и закорачивают с базисным узлом идентичный ему узел 2 (рис. 8.7, г).
При этом токи
4 = -0,125А, 4 = 0,225А.
Заметим, что во втором и третьем диагностических экспериментах токи
можно было ие измерять, положив их в силу взаимности цепи соответствеи-
г2 /I ,3 »2
неравными ^ = /2» ^2 = ^з‘
266
Согласно формуле (8.8), получаем (в безразмерных величинах)
"/} J2 о -
Л Л Л
о /2з ]}_
Ги Г12 о •
Х21 ^22 ^23
. О Г32 Гзз
- 0,75 -0,25 О
—0,25 0,775 —0,125
О —0,125 0,225
Рассмотренные методы позволяют более рациональным образом
организовать экспериментальную часть работы, а метод узловых
проводимостей к тому же дает возможность практически обойтись
и без вычислительной части, исключив тем самым и источник до-
61 г)
Рис. 8.7
полнительных ошибок, вызванных обработкой экспериментальных
данных. Заметим, что в методе узловых проводимостей по результа-
там каждого /-го диагностического эксперимента определяется груп-
па искомых параметров (проводимостей ветвей, инцидентных /-му
узлу цепи). В этом отношении метод узловых проводимостей близок
к методам диагностики электрических цепей по частям (см. § 8.5)
Помимо отмеченных достоинств рассмотренные методы имеют и
очевидный недостаток, связанный с необходимостью применения
для их реализации большого числа измерительных приборов, а также
осуществления многократных изменений в цепи, например закора-
чивания ее узлов в методе узловых проводимостей. Последнее для
реальных цепей может оказаться трудновыполнимым и нежелатель-
ным. Но главное заключается в том, что при реализации этих ме-
тодов резко возрастает число измерений токов, выполняемых с боль-
267
шей погрешностью, чем измерения напряжений. С этой точки зре-
ния метод узловых сопротивлений, требующий минимального числа
измерений токов, минимальных изменений в цепи при ее диагности-
ровании, а также минимального числа измерительных приборов,
оказывается предпочтительным. Поэтому представляет интерес осу-
ществление такой его модификации, которая бы позволила и для
этого метода добиться снижения как числа измерений в экспери-
ментальной части работы, так и числа математических операций
в вычислительной части.
§ $.4. Диагностика параметров пассивных
электрических цепей модифицированным методом узловых
сопротивлений
Согласно методам узловых сопротивлений и обобщенных узло-
вых сопротивлений, для определения /г X «-матрицы узловых про-
водимостей Y диагностируемой цепи требуется осуществить п2 из-
мерений узловых напряжений в экспериментальной части работы и
порядка /г3 мультипликативных операций по обращению матрицы
U в расчетной части. Таким образом, трудоемкость реализации
этих методов возрастает с ростом размерности диагностируемых
цепей. Так, для нахождения элементов матрицы Y цепи, содержа-
щей 100 узлов, не считая базисного, нужно выполнить 10 000 изме-
рений узловых напряжений и соответственно порядка 1 000 000 опе-
раций при обращении матрицы U. Выполнение столь большого чис-
ла операций на ЭВМ с ограниченной разрядной сеткой порождает
значительные вычислительные трудности в обеспечении приемлемой
точности обращения матрицы U. Поскольку матрицы цепей боль-
шой размерности, особенно содержащие элементы с существенно
различными значениями параметров, как правило, плохо обуслов-
лены, то даже незначительные вычислительные погрешности в этих
операциях, так же как и незначительные погрешности в столь боль-
шом числе измерений (см. § 8.2), резко сказываются на точности
решения задачи диагностики. Поэтому названные методы целесо-
образно применять при диагностике электрических цепей с малым
числом узлов и с априори неизвестной топологической структурой,
а также сильносвязных электрических цепей, матрицы узловых про-
водимостей которых содержат незначительное число нулевых эле-
ментов (не являются разреженными). Для нахождения разрежен-
ных матриц Y не сильносвязных цепей большой размерности эти
методы мало эффективны. Снижения трудоемкости и повышения
точности решения таких задач можно достичь за счет учета струк-
туры ненулевых элементов разреженных матриц Y, определяемой
топологией диагностируемой цепи. Тогда в экспериментальной ча-
сти работы можно ограничиться нахождением не всех элементов
матрицы U, а только некоторого их подмножества, зависящего от
расположения ненулевых элементов в матрице Y, сократив при
268
этом число операций в вычислительной части. Подобный подход
реализуется с помощью метода, называемого модифицированным
методом узловых сопротивлений.
Для обоснования модифицированного метода узловых сопротив-
лений заметим, что любую матрицу узловых проводимостей Y мож-
но записать в виде произведения трех квадратных матриц специаль-
ного вида (рис. 8.8):
Y = HDQ,
где Н, Q — нижняя и верхняя треугольные матрицы с единичными
диагональными элементами; D — диагональная матрица. Отметим,
Рис. 8.8
что для симметричных матриц Y (какие в основном и рассматри-
ваются) в этом представлении, называемом HDQ-разложением мат-
рицы Y, выполняется условие H = Q*. Важной особенностью матриц
Н, Q является сохранение ими специфики расположения ненулевых
элементов матрицы Y. При этом необходимо, чтобы любая верти-
кальная (горизонтальная) прямая линия имела с правой (левой)
частью границы, выделяющей в матрице Y нулевые элементы (рис.
8.9, а), односвязаное множество общих точек. В этом случае соот-
ветствующие границы в матрицах Н и Q имеют аналогичный грани-
цам Y вид (рис. 8.9, б, в). Математически это условие записывается
следующим образом. Если для некоторого /(i) элементы матрицы
Y удовлетворяют условиям Yz3 = O, i=l, 2, ..., p<j (/=1, 2, ..., r<i),
го будут равны нулю и элементы матрицы Н или Q с соответствую-
щими номерами.
Воспользуемся тождеством YZ=1, в котором Z — матрица узло-
вых сопротивлений. Подставив в него HDQ-разложение матрицы Y
п умножив полученное выражение слева на D-'H-1, получим
QZ=D-iH-i.
Добавим слева и справа матрицу Z и перенесем QZ вправо.
Гогда
Z=D-iH-i~(Q-l)Z,
269
где D-’H-1 — нижняя треугольная матрица, диагональ которой со*
впадает с диагональю D-1; Q—1 —верхняя треугольная матрица с
нулевой диагональю (рис. 8.10, а).
Если аналогичные преобразования применить к выражению
ZY=1, то можно получить тождество Z = Q-1D-1—Z(H—1), где
Q-ip-i — верхняя треугольная матрица, диагональ которой совпа-
Рис. 8.9
дает с диагональю D1; Н—1 — нижняя треугольная матрица с ну-:
левой диагональю (рис. 8.10, б).
Будем считать, что исследователем измерены согласно методу
узловых сопротивлений необходимые узловые напряжения, по ко-
торым определена матрица Z. Покажем, как на основании полу-
ченных тождеств можно последовательно вычислять отдельные
строки матрицы Q, отдельные столбцы матрицы Н и отдельные диа-
гональные элементы матрицы D. Для формального описания алго-
ритма введем следующие обозначения (рис. 8.10, а, б):
z
Рис. 8.10
(Q-1)
270
Z(&)—нижняя главная (п—k) {п—k)- подматрицы матрицы Z;
ZH (&) = [Zkk+iZkk+2Zkn]—подвектор k-и вектор-строки мат-
рицы Z;
ZQ(fe) — [Zk+lkZk+2k ... Znk}1 — подвектор k-vo вектор-столбца
матрицы Z;
QH (k) = [qkk+flkk+z... qkn\—подвектор k-й вектор-строки мат-
рицы Q— 1 (следовательно, матрицы Q);
HQ(fe) = [hk+ikhk+2k... Нпку — подвектор fe-ro вектор-столбца
матрицы Н—1 (следовательно, матрицы Н).
Алгоритм последовательного вычисления всех элементов
HDQ-разложения матрицы Y сводится к выполнению таких дейст-
вий.
1. Вычисляют нижний диагональный элемент матрицы D: dnn =
= Z~lnn и присваивают значение k : —п— 1.
2. Рассчитывают вектор-строку QH(fe) из уравнения (рис.
8.10, a) ZH(&)=—QH(£)Z(&). Для симметричных матриц вектор-
столбец HQ(fe) можно не вычислять, положив HQ(&) = [QH (&)]*.
Для несимметричных матриц вектор-столбец HQ(fe) находят из
уравнения (рис. 8.10, 6)ZQ(&) =—Z(£)HQ(&).
3. Определяют k-й диагональный элемент матрицы D:
Zkk -Ь 2
/-* + 1
или
Zkk + S z Jh hkj
/-Й+1
4. Присваивают значение k : =k—1.
5. Если &=/=0, то расчет повторяют с п. 2. В противном случае
расчет закончен, поскольку найдены все элементы HDQ-разложе-
ния матрицы Y.
Полученные матрицы HDQ-разложения однозначно определяют
искомую матрицу Y=HDQ. Заметим, что для сильносвязных
цепей, матрицы узловых проводимостей которых полностью или
почти полностью заполнены (не имеют или почти не имеют нуле-
вых элементов), применение такого алгоритма вычисления матрицы
Y не дает никакого преимущества по сравнению с обычным обраще-
нием матрицы Z. Иначе обстоит дело, когда диагностируются сла-
босвязные цепи (электрические цепи большой размерности, как пра-
вило, слабосвязные).
При диагностике слабосвязной электрической цепи с заданной
топологической структурой заранее известна и структура разрежен-
ной матрицы Y (места расположения нулевых и ненулевых эле-
ментов), а следовательно, и структура матриц Н, Q. Таким обра-
271
зом, заранее известны и нулевые элементы векторов QH(fe), HQ(fe)l
Для вычисления ненулевых элементов векторов HQ(&), QH(i) и
соответственно ненулевых элементов матриц Н, Q требуются уже
не все элементы подматрицы Z(&) и, следовательно, не все элемен-
ты матрицы Z. Достаточно задать, т. е. определить по диагностиче-
ским экспериментам, только те элементы матрицы Z, которые рас-
положены на местах, соответствующих местам расположения
ненулевых элементов матриц Н и Q (на рис. 8.9, г такие места выде-
лены двойной штриховкой).
7 '2
а)
Рис. 8.11
Пример 8.10. Матрица узловых проводимостей
" 5 0 0 —4
0 4,5 0 -2,5
Y = 0 0 0,6 —0,2
—4 -2,5 -0,1 7
цепи, изображенной на рис. 8.11, а, неизвестна и подлежит нахождению. Коэф-
фициенты обратной матрицы
"0,467 0,186 0,0567 0,334"
0,186 0,351 0,039 0,232
0,0567 0,039 1,678 0,07
0,334 0,232 0,07 0,418
(приведены с точностью до трех значащих цифр после запятой, т. е. с погрешно
стью порядка 1%) могут определяться из диагностических экспериментов.
Как отмечалось, для нахождения матрицы Y достаточно найти только т<
коэффициенты матрицы Z, которые расположены на местах ненулевых элементо!
матриц Н и Q. Эти матрицы имеют вид
272
“1 О О О'
О1ОО
0 0 10*
А41 ^42 А43 1
“1 00 qu~
О 1 0 ^24
О О 1 4? 34
0 0 0 1
Для взаимной цепи H = Q(. Таким образом, для определения матрицы Y моди-
фицированным методом узловых сопротивлений достаточно задать элементы
211 = 0,467; 214 = 0,334; Z22 = 0,351; Z24 = 0,232; Z33= 1,678; Z34 = 0,07; Z44=0,418.
Согласно приведенному алгоритму вычисление HDQ-разложеиия матрицы Y про-
исходит следующим образом.
1. Нижний диагональный элемент dnn (и = 4) матрицы D определяют как
(см. п. 1 алгоритма) d^ = Z^' = 1/0,418 = 2,392. Присваивается значение k : =
=л_1=3.
2. Вычисляют элементы QH(A) =QH(3) = HQ( (А) = HQ1 (3) из уравнения
(см. п. 2 алгоритма) ZH(3) =—QH(3)Z(3)->-Z34=—<734Z44; <734 = А43 =—£34/244 =
= —0,07/0,418 = —0,167.
3. Рассчитывают элемент d33 матрицы D (см. п. 3 алгоритма):
1 1 1
' = 1
4 -^зз + Z43 <734 Z33 + Z34 <?34_
Z33 + 2 Z73?37
7-4
= ———--------------—— = -—— = 0,6; присваивают значение А: =А—1=2.
1,678+ 0,07 (—0,167) 1,666 р
4. В соответствии с п. 2 алгоритма формируют уравнение
ZH (2) = —QH (2) Z (2)
[•Z23Z24] = — [<723^24]
Z33Z34
Z43Z44.
которое после подстановки в него известных величии принимает вид
[Z23 0,232] =-[О
<7241
4,678 0,07 1
0,07 0.418J
Следовательно, 0)232=—?24 0,418->-<724=—0,232/0,418=—0,555;
=—0,555.
5. Вычисляют элемент d22 матрицы D (см. п. 3 алгоритма):
_________1______________________1________________1
d22~ 4 ~ О’,351+0,232(—0,555) ~0,222
^22 '+21
J-3
присваивают значение А : =А—1 = 1.
6. В соответствии с п. 2 алгоритма формируют уравнение
Z22 ^23 Z24
А42=<724 =
4,547;
[Z12Z13Z14] = — [#124134141
Z32 Z33 Z34
Z42 Z43 Z44
которое после подстановки в него известных значений принимает вид
0,351 Z23 0,232'
[Z12 ZI3 0,334] = —[0 0 gi4] Z32 1,678 0,07
0,232 0,07 0,418
10—151
273
Искомый параметр оц определится как 0,334=—<7и0,418-*-оц =—0,334/0,418=
=—0,799.
7. Находят элемент dn матрицы D (см. п. 3 алгоритма):
11 4 0,467 +0,334 (—0,799)
+ Ti Zfiii)
Вычислив по приведенному алгоритму ненулевые элементы матриц Н, D, Q,
получим искомую матрицу узловых проводимостей:
—0,799
0 0 0“ “5 0 0 0“
1 0 -0,555 0 0 1 0 -0,167 1 0 4,547 0 0 00 0,6 0 00 0 2,392
== ~ 5 0 0 -3,995 - 0 4,547 0 -2,523 0 —3,995“ 0 -2,523 0,6 —0,1 0,1 7
0 0 —0,799“
1 0 -0,555
0 1 -0,167
0 0 1
Расчет произведения Y=HDQ требует минимального числа опе-
раций, если определять только ненулевые элементы матрицы Y и
оперировать с ненулевыми элементами матриц Н, D, Q.
Таким образом, использование модифицированного метода уз-
ловых сопротивлений для нахождения матриц узловых проводи-
мостей слабосвязных цепей позволяет сократить число операций
как в экспериментальной, так и в расчетной части работы.
Сопоставим точность решения задачи ди 1гностики двумя мето-
дами: методом узловых сопротивлений и модифицированным мето-
дом узловых сопротивлений. В рассмотренном примере максималь-
ная погрешность определения элементов матрицы узловых сопро-
тивлений составила 1% (для элемента ?22 = 4,547, точное значение
которого У22=4,5). При использовании же метода узловых сопро-
тивлений, когда
- 0,467 0,187 0,0567 0,334 у»
Y=Z-i== 0,186 0,351 0,032 0,232
0,0567 0,039 1,678 0,07 =
- 0,334 0,232 0,07 0,418.
- 4,9971 - -0,014 -0,0023 -3,9847-
—0,014 4,4998 -0,0004 -2,4863
-0,0023 - -0,0004 0,6001 -0,0984
_—3,987 - -2,4863 -0,0984 - 6,9727_
максимальная погрешность определения элементов матрицы узло-
274
вых сопротивлений равна 1,6% (для элемента Р43=—0,0984, точное
значение которого /43 = —0,1). Прямое обращение матрицы Z дает
менее точные значения и не обеспечивает нулевые значения коэф-
фициентов матрицы для несуществующих проводимостей.
Использовать модифицированный метод узловых сопротивлений
можно и в том случае, когда найдены иные, чем те, которые пока-
заны на рис. 8.9, г, элементы матрицы Z. Для применения модифи-
цированного метода узловых сопротивлений необходимо, во-первых,
чтобы были найдены диагональные элементы матрицы Z, и, во-вто-
рых, чтобы число известных (определенных по диагностическим экс-
периментам) элементов в каждой вектор-строке ZH(&) и каждом
вектор-столбце ZQ(fe) было не меньше числа неизвестных (нену-
левых) элементов в вектор-строке QH(£) и вектор-столбце HQ(&).
Тогда остальные неизвестные элементы как векторов QH (&),
HQ(fc), так и векторов ZH(&), ZQ(&) могут быть найдены из урав-
нений, приведенных в п. 2 алгоритма. Такой путь позволяет по из-
вестным отдельным элементам восстановить также и матрицу Z.
Покажем это на примере решения задачи диагностики цепи (рис.
8.11, а) в том случае, когда по диагностическим экспериментам бы-
ли найдены иные, чем в примере 8.10, элементы матрицы Z.
Пример 8.11. Пусть в диагностических экспериментах были определены сле-
дующие элементы матрицы Z цепи (рис. 8.11, a): Zn = 0,467; Zi2=0,186; Z22 =
= 0,351; Z23 = 0,039; Z33= 1,678; Z34=0,07; Z44 = 0,418.
Здесь число известных элементов в первой (1), второй (1) и третьей (1)
строках вектора ZH(A), k = l, 2, 3, равно числу неизвестных (ненулевых) элемен-
тов первой, второй и третьей строк матрицы Q или, что тоже, числу ненулевых
элементов вектор-строк QH (1), QH(2), QH(3).
Таким образом, оговоренное условие о необходимом числе известных эле-
ментов в подматрицах матрицы Z выполнено (в силу симметрии матриц Z, Y до-
статочно проверить выполнение этого условия только применительно к матрице
Q, что определит и его выполнение для матрицы H = Q<). Так,как в данном при-
мере, так же как и в предыдущем, элементы Z44, Z34, Z33 матрицы Z известны,
то вычисление по ним элементов du—2,392; d33 = 0,6; 934=Л4з=—0,167 матриц
D, Q, Н производят, как и в предыдущем примере. Определим другие элементы
матриц Z, Q, Н.
1. Для вычисления неизвестных элементов вектор-строк ZH(2), QH(2) [век-
тор-столбцов ZQ(2), HQ(2)] составляют уравнение (см. п. 2 алгоритма)
ZH (2) = —QH (2) Z (2) -> [Z23Z24] = [<7334341
Z33Z34
Z43Z44
которое после подстановки в него известных значений принимает вид
[0,039 Z24] = -[0 9241
1,678 0,07 '
0,07 0,418.
Последовательное определение двух неизвестных значений осуществляют
следующим образом:
0,039 = -0,07^24 -* <724 = —0,039/0,07 = -0,557;
Z24 = —0240,418 = —(0,557).0,418 = 0,233.
Для симметричных элементов матриц Z и Н Z42 = 0,233; Л42=—0,557.
10* 275
2. Согласно п. 3 алгоритма определяют диагональный элемент матрицы D:
1
dv> ~------------------------— 4,504
22 0,351 +0,233 (-0,557)
3. Для расчета неизвестных элементов вектор-строк ZH(1), QH(1) [вектор-
столбцов ZQ(1), HQ(1)] составляют уравнение (см. п. 2 алгоритма)
Z22
[^12^13^14] = ~ [?12?13?14]
Z32
Д42
Z23 Z24
Z33 Д34
Z43 Z44
принимающее после подстановки в него известных значений следующий вид:
’0,351
[0,186 Z13Zh1=-[0 0 ?14]
0,039
0,233
0,039 0,233’
1,678 0,07
0,07 0,418
Решив это уравнение, найдем
0,186 = —014 0,233-*? 14 = —0,798; ZJ3 = 0,07?14 = 0,056;
Z14 —0,418? 14 = 0,334.
Для симметричных элементов матриц Z, Н Л41=—0,798; 7з1 = 0,056; Z4|=0,334.
4. Согласно п, 3 алгоритма вычислим элемент матрицы D:
11 4 0,467+ 0,334 (-0,798) ' ‘
Дц + S Д;1?1>
/-2
Следовательно, по известным семи элементам матрицы Z удается восстано-
вить матрицу узловых сопротивлений
"0,467 0,186 0,056 0,334"
0,186 0,351 0,039 0,233
Z= 0,056 0,039 1,678 0,07
0,334 0,233 0,07 0,418
по которой можно определить как матрицу узловых проводимостей Y=Z~I, так
и элементы HDQ-разложении последней. Вычисление матрицы Y по HDQ-разло-
жеиию предпочтительней вследствие сильной разряженности этих матриц. Увели-
чение числа операций обусловлено необходимостью при решении уравнения
ZH (ft) = —QH (k) Z (fe); ZQ (fe) = —Z (fe) HQ (k), k > 1,
вычислять оговоренные элементы матрицы Z (элементы, выделенные на рис.
8.9, а), с тем чтобы на последующих шагах из подобных уравнений можно было
определить элементы матриц HDQ-разложения.
Эффективность применения рассмотренного метода в задачах
диагностики слабосвязных электрических цепей определяется не
только особенностями их топологической структуры, но и выбором
нумерации узлов цепи, поскольку от последнего зависит вид матри-
цы узловых производимостей Y. Так, при неудачно выбранной ну-
мерации узлов цепи рис. 8.11, б ее матрицы имеют вид
276
Верхняя (левая) часть матрицы Q(H) полностью заполнена, по-
этому применение модифицированного метода узловых сопротив-
лений не дает в этом случае преимущества по сравнению с исполь-
зованием метода узловых сопротивлений. Снижение числа операций
в экспериментальной и расчетной частях диагностики дости-
гается за счет перенумерации узлов цепи, обеспечивающей мини-
мальное число ненулевых элементов в матрицах Q и Н. Выбор оп-
тимальной нумерации узлов для сложных электрических цепей не-
регулярной структуры представляет собой непростую задачу, что
затрудняет эффективное применение модифицированного метода уз-
ловых сопротивлений. В связи с этим представляют интерес такие
методы диагностики слабосвязных цепей, эффективность которых
в меньшей степени зависит от выбора нумерации узлов. Рассмотре-
нию подобных методов посвящаются следующие два параграфа.
§ 8.5. Диагностика пассивных электрических цепей
по частям
При диагностике сложных электрических цепей, содержащих
десятки и сотни узлов, возникает необходимость минимизации чис-
ла измерений при диагностических экспериментах и числа матема-
тических операций при обработке данных измерений. Это связано
с ограничением на практике как допустимых сроков решения задач
диагностики, так и возможностей применяемой вычислительной
техники и средств автоматизации проведения экспериментов. Кро-
ме того, исключительно остро встает проблема обеспечения прием-
лемой точности решения задач диагностики сложных цепей. Дейст-
вительно, с одной стороны, при проведении экспериментов, соглас-
но методу узловых сопротивлений (см. рис. 8.1, в), напряжения
узлов, электрически удаленных от узла с задающим единичным
током, становятся малыми и сравнимыми с погрешностями измере-
ния, с другой стороны, в практических задачах встречаются и чи-
сто технические трудности проведения экспериментов на геометри-
чески удаленных участках цепей. Это способствует снижению ка-
чества исходной экспериментальной информации. Последующие же
трудности обработки матриц большой размерности (см. § 8.4) усу-
губляют ситуацию.
Трудностей, возникающих при выполнении экспериментального
и расчетного этапов диагностики сложных цепей, можно избежать,
если проводить их по частям, т. е. использовать приемы диакопти-
ки (см. гл. 7).
277
1. Диагностика электрической цепи, основанная на замене от-
дельных подцепей эквивалентными многополюсниками. Выделим в
некоторой сложной электрической цепи подцепь ГЦ (рис. 8.12, а) и
Продиагносцируем только эту подцепь. Для этого проведем после-
довательную нумерацию граничных с подцепью ГЦ узлов остальной
части цепи (0,1 ..., k) и узлов выделенной подцепи ГЦ (k +1, k + 2,
..., k+n). Рассмотрим всю цепь как некоторый многополюсник П
с граничными узлами 0, 1, ..., k+n (рис. 8.12,6), для диагностики
которого применим метод узловых сопротивлений. Согласно этому
Рис. 8.12
методу по экспериментальным данным составляется матрица узло-
вых сопротивлений Z= {2{/}ь+п, k+n, обращение которой дает воз-
можность получить матрицу узловых проводимостей Y=
= {Yu}k+n, fe+n==Z-1 многополюсника П. Для более рационального
выполнения расчета представим матрицу Y в блочном виде:
k п
Yu Y12 }k _ i,
Л21
k n
’ll ~l}k
Z21 Z22, }n
Заметим, что элементы подматрицы Yu матрицы Y не соответ-
ствуют проводимостям каких-либо ветвей исходной цепи (рис.
8.12, а), а соответствуют параметрам эквивалентного многополюс-
ника, замещающего подцепь с непронумерованными узлами. Для
нас интерес представляют только внедиагональные элементы ниж-
ней правой подматрицы Y22 матрицы Y, поскольку они определяют
искомые значения проводимостей ветвей подцепи ГЦ, а именно
Sk+i,k+j~ I I > /= 1» 2,..., га, 1ф j. (8.10)
Поэтому рассчитывать всю матрицу Y нет необходимости. Под-
матрица Y22 может быть найдена, например, по известной формуле
278
(8.9)
элочного обращения матрицы
Y25=[Z22-Z2JZn1Z12]-1. (8.11)
При этом снижается размерность обращаемых матриц. Еще.
большего выигрыша можно достичь, используя для вычисления эле-
ментов подматрицы Y22 модифицированный метод узловых сопро-
тивлений. В этом случае сокращается и число измерений в экспери-
ментальной части работы, поскольку при расчете элементов подмат-
рицы Y22 элементы подматрицы Zu не используются.
Подобным образом может быть решена задача диагностики для
любой связной подцепи рассматриваемой цепи. Ограничением для
невзаимных цепей является условие локализации управляемых и
управляющих элементов внутри данной подцепи. Таким образом,
последовательно определяя параметры отдельных подцепей слож-
ной цепи, можно решить и общую задачу ее диагностики. При вы-
боре способа разбиения сложной цепи на подцепи можно руковод-
ствоваться соображениями удобства технической реализации экс-
периментальной части работы. При этом, например, отдельные
подцепи не должны содержать геометрически удаленных узлов.
Часто способ разбиения цепи диктуется необходимостью обеспече-
ния большей точности решения задачи для отдельных ее участков,
при диагностике которых эксперименты выполняются, например,
с использованием приборов повышенного класса точности. Если же
диагностика по частям вызвана невозможностью обработки матриц
большой размерности в вычислительной части работы, то опреде-
ляющим способом разбиения становится ограничение размерности
диагностируемых подцепей числом, зависящим от объема оператив-
ной памяти ЭВМ.
Рассмотренный прием позволяет существенно сократить число
экспериментальных и вычислительных операций. Показательным в
этом отношении является такой предельный случай декомпозиции
взаимной цепи на подцепи, когда в качестве последних рассматри-
ваются отдельные ветви. При этом определение всех проводимостей
диагностируемой цепи осуществляется последовательно «ветвь за
ветвью». Проанализируем такой случай подробнее.
Пусть требуется определить проводимость gu ветви, соединяю-
щей узлы k и I в некоторой электрической цепи (рис. 8.13,а). Узлы
цепи, инцидентные узлам k и I, соответственно ki, k2, ..., kn и h, l2, ...
..., lp+i. Заменим цепь относительно выделенных узлов эквивалент-
ным многополюсником П (рис. 8.13,6) и произведем соответствую-
щую перенумерацию узлов (новая сквозная нумерация узлов мно-
гополюсника дана на рис. 8.13,6 в скобках). Применив метод уз-
ловых сопротивлений, можно вычислить матрицу Z для многопо-
люсника П и по ней рассчитать матрицу Y== {H/Jn+p+i, n+₽+2- При
этом искомая проводимость
gkl~ 1 Yn+p+l.n+p+2 I ИЛИ | Yn+p+2n+p+l I •
279
Последовательно «ветвь за
а)
01
>1р(п*Р)
>к(п+р+1)
ветвью» определяя проводимо-
сти, можно получить и решение
общей задачи диагностики.
Число измерений в каждом ди-
агностическом эксперименте в
этом случае относительно неве-
лико, снижается и размерность
обращаемых матриц в вычис-
лительной части работы.
2. Диагностика электриче-
ской цепи, основанная на замы-
кании граничных узлов ее под-
цепей. Обратимся к рассмот-
ренной ранее задаче диагно-
стики подцепи П\ (см. рис.
Замкнув накоротко все граничные
а показано пунктиром), получим
Рис. 8.13
8.12, а) некоторой сложной цепи,
узлы подцепи П2 (на рис. 8.12, ।
многополюсник, матрица узловых проводимостей которого
^fc+l,S + l ^S+l,fe+2 ••• ^fe + l,fe + n
^ft+2,ft + l ^6+2,64-2 ••• ^k + 2,k+n
-^k+n,k + l ^k+n.k+2 ••• Y i + +
в точности совпадает с подматрицей Y22 в выражении (8.9) и, сле-
довательно, интересующие нас проводимости ветвей подцепи ГЦ
выражаются через внедиагональные элементы этой матрицы соглас-
но формуле (8.10). Однако по сравнению с определением элементов
подматрицы Y22 (см. п. 1 настоящего параграфа) здесь для нахож-
дения матрицы Y требуется меньшее число измерений и вычисли-
тельных операций в экспериментальной и расчетной частях работы,
поскольку выделенная подцепь содержит уже не n + k, как в п. 1,
а только п узлов. Так, при использовании метода узловых сопротив-
лений число измерений сокращается с (n+fe)2 до и2, а число муль-
типликативных вычислительных операций-—с (и + &)3 [при исполь-
зовании формулы (8.11) с (п3 + £3 + п£2 + п2&)] до п3 операций. Способ
разбиения сложной цепи на отдельные подцепи обусловливается
теми же соображениями, что и п. 1. Рассмотрим предельный слу-
чай декомпозиции цепи, соответствующий последовательному
«ветвь за ветвью» определению проводимостей ее ветвей.
Пусть требуется найти проводимость gkt ветви, соединяющей
узлы k и I некоторой электрической цепи (рис. 8.13, а). Один из уз-
лов k, I, например узел k, соединяется проводником с базисным уз-
лом или выбирается в качестве базисного. Узлы 1\, 12, ..., /Р-н соеди-
няют проводниками между собой (рис. 8.13, а) и образованный но-
вый узел обозначают буквой L. Заменим полученную цепь (рис.
280
8.14, а) относительно выделенных узлов k (0), I, L эквивалентным
трехполюсником (рис. 8.14,6), для определения проводимости ко-
торого согласно методу узловых сопротивлений необходимо прове-
сти два диагностических эксперимента, три измерения напряжений
(для взаимных электрических цепей) и три мультипликативных
операции на обработку данных измерений.
Подобным образом может быть определена проводимость и лю-
бой другой ветви. Последовательное «ветвь за ветвью» нахождение
проводимостей приводит к ре-
шению общей задачи диагно-
стики цепи. При этом исключа-
ется численное обращение мат-
риц узловых сопротивлений,
присущее ранее рассмотренным
методам диагностики. При дан-
ном подходе требуется и мень-
шее число операций на выпол-
нение экспериментальной и вы-
числительной частей работы.
Так, при диагностике электри-
ческой цепи с N ветвями про-
водят 2N диагностических экс-
перимента с суммарным числом
измерений не более чем 3N (не
более, так как дублирующие
измерения при диагностике ин-
цидентных ветвей могут быть исключены). Число требуемых вычис-
лительных мультипликативных операций 3N. Оценки сложности
решения задачи диагностики рассматриваемым способом зависят
уже не от числа узлов диагностируемой цепи, а от числа ее ветвей
и линейно зависят от размерности цепи. Напомним, что при диаг-
ностике п+1 узловой цепи методом узловых сопротивлений линей-
но зависит от размерности цепи только число экспериментов п; чис-
ло же измерений зависит от размерности квадратично — п2, а число
мультипликативных операций в вычислительной части работы — ку-
бически— п3. Поскольку для реальных цепей N ~ (2+3)п, то имеет
место существенное сокращение объемов работ при диагностике
цепей большой размерности.
При диагностике электрических цепей по частям большого со-
кращения числа измерений и вычислительных операций можно до-
стичь, выделяя при разбиении цепи такие топологические структу-
ры, диагностика которых проста.
3. Диагностика подцепи из последовательно соединенных эле-
ментов. Если в диагностируемой цепи имеется участок из последо-
вательно соединенных элементов (рис. 8.15, а), то его целесообраз-
но выделить в отдельную подцепь и найти согласно рассмотренному
в п. 2 способу ее эквивалентную проводимость gaK (рис. 8.15,6).
281
Для этого требуется только два диагностических эксперимента и
три измерения напряжений. Если в одном, например первом, экспе-
рименте дополнительно измерить и напряжения внутренних узлов
Z7m+i,..., U}n+k-\ участка (рис. 8.15, в), то искомые проводимости
находят как
Следовательно, имеет место дополнительное сокращение числа
экспериментальных и вычис-
лительных операций.
4. Диагностика подцепи
из элементов, соединенных в
звезду. Пусть в диагности-
руемой цепи имеется под-
цепь из ветвей, соединенных
в звезду (рис. 8.16, а). При
этом граничные узлы этой
звезды k, I, т друг другу не
инцидентны. Все узлы, кро-
ме р, доступны исследовате-
лю. Таким образом, рассмат-
ривается случай, когда нару-
Рис. 8.15
шается основное условие воз-
можного применения метода узловых сопротивлений или обобщен-
ного метода узловых сопротивлений. Выделим эту звезду в отдель-
ную подцепь и при ее диагностике будем учитывать известную
связь параметров эквивалентных звезды и треугольника. Для этого
сначала согласно ранее рассмотренным методам диагностики оп-
ределим проводимости gim, gkm, ghi эквивалентного треугольника
(рис. 8.16,6), а затем найдем искомые параметры:
g*P=Mgtm' glp = Mgkm,gmp^lgkl'\
ГДе А — gklglm~\~ gklgkm~Vglmgkm-
Данный метод в сочетании с методом, изложенным в п. 2, поз-
воляет найти проводимости и многолучевой звезды, изображенной
на рис. 8.17, а, с недоступным для диагностических экспериментов
узлом 0. Последовательность действий при этом такая.
1. Замыкаем узлы 3, 4, ..., п накоротко, в результате чего полу-
чаем звезду, изображенную на рис. 8.17, б. Положив fe=l, 1=2, т=
= 3 и отождествив тем самым данную звезду со звездой рис. 8.16, а,
применим для ее диагностики рассмотренный ранее подход. Таким
282
образом могут быть найдены все три проводимости цепи (рис.
8.17, б), но интерес представляют только две из них g\ и g2.
2. Для определения проводимостей gz и §4 замкнем в исходной
звезде (рис. 8.17, а) узлы 1, 2, 5, 6, ..., п, в результате чего получим
Рис. 8.16
трехлучевую звезду (рис. 8.17, в). Проведя аналогично предыдуще-
му случаю диагностику последней звезды, можно найти и проводи-
мости gs и gt.
а)
Рис. 8.17
Последовательно применяя подобный подход и определяя каж-
дый раз по две проводимости лучей звезды (рис. 8.17, а), можно
найти и полное решение задачи ее диагностики.
Как отмечалось, основное достоинство рассматриваемого в п. 4
приема заключается в возможности диагностики цепи, отдельные
изолированные узлы которой недоступны для проведения диагности-
ческих экспериментов, т. е. являются ненаблюдаемыми. Данный
прием можно также применить для сокращения числа эксперимен-
тов и измерений и при диагностике полностью наблюдаемых цепей.
Возможность снижения числа экспериментальных и вычисли-
тельных операций при разбиении цепей на части играет определяю-
щую роль при выборе метода диагностики для электрических цепей
большой размерности. При диакоптическом подходе несколько бо-
лее сложная с формальной точки зрения схема диагностики элек-
283
трических цепей, особенно цепей нерегулярной структуры, обеспе-
чивает вместе с тем решение задачи в ограниченные сроки и с при-
емлемой точностью.
§ 8.6. Использование измерений токов ветвей для определения
параметров пассивных электрических цепей
В предыдущих параграфах анализировались вопросы диагно-
стики электрических цепей, у которых не могут быть измерены токи’
через ветви. Вместе с тем на практике часто имеется возможность
проведения таких измерений, поскольку ветви многих цепей зара-
нее оснащаются для диагностических целей измерительной аппара-
турой (амперметрами) или же подобную аппаратуру удается вмон-
Рис. 8.18
тировать на время проведения диагности-
ческих работ.
Пусть имеется электрическая цепь, в
отдельных ветвях которой могут быть из-
мерены токи. Сначала рассмотрим слу-
чай, когда измерены независимые токи в
каждом из контуров цепи, т. е. определе-
ны токи через все ветви цепи. Для нахож-
дения проводимостей ветвей достаточно
провести один диагностический экспери-
мент, в котором к любым двум узлам це-
пи подсоединяется внешний источник пи-
тания и измеряются все узловые напря-
жения. Найдя по узловым напряжениям напряжения ветвей, ис-
комые проводимости ветвей вычисляют по закону Ома. В качестве
примера продиагностируем цепь, изображенную на рис. 8.18.
Подсоединив к узлам 0, 1 источник питания (на рис. 8.18 пока-
зан пунктиром), измерим узловые напряжения U2, U3 и токи
/1, Л. Следовательно,
gio— gis— (^Л— йгз— (^з
§20 = —U20^ 1> gl2 = (^2— U14~A0-
Если же токи могут быть вычислены не для всех, а только для
некоторых ветвей диагностируемой цепи, то решение находят по
частям. Определив по данным измерений одного эксперимента про-
водимости ветвей с известными токами согласно любому из рас-
смотренных ранее методов, находят проводимости остальных вет-
вей, т. е. решают задачу диагностики цепи меньшей размерности.
При этом ветви с известными токами заменяют эквивалентными
источниками токов.
Пример 8.12. Для диагностики цепи, изображенной иа рис. 8.18, можно
провести два эксперимента. В первом из них (рис. 8.19, а) источник тока I
284
подсоединяют к узлам 0, 1. При этом измеряют узловые напряжения
^’и ТОК /J1’. ПО данным этих измерений находят проводимости ветвей с из-
вестными токами:
£и = (U^ - g23 = - и^!^.
Во втором эксперименте источник тока J подсоединяют к узлам 0, 2 и из-
меряют узловые напряжения i/f, н ток /|2>. При определении проводи-
мостей gi2, gio, goo условно можно считать, что диагностируется цепь меньшей
размерности (рис. 8.19, б), к узлам 1, 2 которой подсоединяют эквивалентный
источник тока J3K = /2. Согласно обобщенному методу узловых сопротивлений
для цепи рис. 8.19, б может быть составлено уравнение
>10+ £12 -£12 1 ^2)1 р-'р
-—£12 £20 + £12
J+/P
из решения которого находят искомые проводимости.
Рис. 8.19
Таким образом, измерения токов через ветви позволяет сокра-
тить число диагностических экспериментов, что упрощает вычис-
лительную часть работы.
§ 8.7. Диагностика параметров пассивных элементов
активных электрических цепей методом
узловых сопротивлений
Ранее рассматривались вопросы диагностирования пассивных
электрических цепей. На практике же часто требуется продиагно-
стировать активные электрические цепи. В подобных случаях целе-
сообразно сначала найти параметры пассивных элементов, исполь-
зуя ранее разработанные в предыдущих параграфах методы, а за-
тем параметры активных элементов.
285
Пусть имеется некоторая GZ-цепь, т. е. цепь, все элементы кото-
рой суть проводимости и источники тока. Все узлы цепи доступны
для проведения диагностических экспериментов. Требуется опреде-
лить проводимости ветвей цепи. При этом предполагается, что пас-
сивная часть цепи удовлетворяет всем условиям, оговариваемым
для метода узловых сопротивлений. Кроме того, считается, что ак-
тивные элементы (источники тока) не образуют разрезов, т. е. в
цепи отсутствуют особые разрезы (см. § 9.3).
Рис. 8.20
Рис. 8.21
При сделанных допущениях для диагностики цепи, изображен-
ной на рис. 8.20, а в виде активного многополюсника А, могут быть
поставлены п экспериментов согласно методу узловых сопротивле-
ний. В каждом /-м из них (/=1, 2. п) к узлу j подключают ре-
гулируемый источник питания (рис. 8.20,6), задающий внешний
ток, равным 1 А. При этом измеряют все узловые напряжения Ujh,
k= 1, 2.п. Соответствующее матричное уравнение принимает вид
~Уц к 12 . •• Уы
У 21 У 22 • .. Г2л
_КЯ1 Уп2 •
~U\ ... UT
U2 ... U2
и\ и2... ипп_
'1
1
о .
где Jkx — суммы токов источников тока, подсоединенных к узлу k.
Для исключения из полученной системы уравнений неизвестных
значений токов J\x, h*, .... /пх применим подход, используемый при
расчете параметров эквивалентного генератора [1], т. е. воспользу-
емся результатами дополнительного эксперимента. При этом (рис.
8.20, а) измеряются узловые напряжения (Дх, k — 1, 2, ..., п, ненагру-
женного многополюсника, называемые напряжениями холостого
286
а следовательно, и уравнению
(8.12)
Таким образом можно найти матрицу узловых проводимостей
диагностируемой цепи. Заметим, что ошибки измерений напряже-
ния холостого хода и ошибки, вносимые для вычитании двух при-
ближенно определенных матриц напряжений, служат дополнитель-
ными источниками погрешностей, что снижает точность расчета
матрицы Y для активной цепи. В дальнейшем восстановление по
коэффициентам матрицы узловых проводимостей ветвей цепи про-
изводят так же, как и в случае диагностики пассивной цепи.
Отметим, что для нахождения параметров пассивных элементов
активных электрических цепей аналогичным образом могут быть
использованы и другие ранее рассмотренные методы диагностики.
Оценим возможность определения параметров активных элемен-
тов цепи, т. е. параметров источников тока.
287
Если для диагностируемой активной цепи известна матрица уз-
ловых сопротивлений и измерены напряжения холостого хода (71х,
^2х, Vnx, то могут быть вычислены и задающие токи узлов
(имеются в виду задающие токи, обусловленные действием только
Однако по известным задающим токам J]x, У2х, •••> /пх однознач-
но рассчитать параметры отдельных источников тока не всегда уда-
ется. Не удается рассчитать значения тех источников тока, которые
в диагностируемой цепи образуют контуры.
Пример 8.13. В цепи, изображенной на рис. 8.21, источники тока образуют
два замкнутых контура. Система уравнений, связывающая токи этих источников
тока
- /1 —
"10 0 0 11 /2 Г /1к '
—11 1 00 J.3 = /2к
о 0 -1 -1 о] л - -/зх
^5
недоопределена на два уравнения (здесь два — это число контуров, которые об-
разуют рассматриваемые источники тока).
Таким образом, исходной информации недостаточно для опре-
деления параметров активных элементов диагностируемой электри-
ческой цепи. Отметим, что задачи такого типа, когда исходной экс-
периментальной информации недостаточно для однозначного опре-
деления диагностируемых параметров, типичны для практики.
§ 8.8. Определение параметров пассивных электрических цепей
по неполным или противоречивым данным диагностических
экспериментов
В практических задачах свобода проведения диагностических
экспериментов и точность измерений часто существенно ограниче-
ны, что приводит к неполноте или противоречивости данных экспе-
риментальной части работы, а это усложняет выполнение ее рас-
четной части. Вопросам анализа этих проблем и методам их реше-
ния и посвящен настоящий параграф.
Рассмотрим сначала цепь, все узлы которой доступны для из-
мерений. Положим, что каждый отдельный /-й диагностический экс-
перимент проводится согласно обобщенному методу узловых со-
288
противлений (рис. 8.1). По совокупности данных т таких экспери-
ментов может быть составлена система уравнений
При этом предполагается, что число проведенных экспериментов
т может и не совпадать с размерностью п квадратной матрицы Y,
а ранг * k матрицы U может не совпадать ни с одним из этих чи-
сел (т и п). В зависимости от соотношения чисел п, т и & = rankU
возможны следующие случаи:
1) n=m=k. Система уравнений (8.13) вполне определена, реше-
ние ее существует однозначно и в общем случае равно Y=JU-1 (см.
§ 8.3). Если J = 1 (эксперименты проводились по методу узловых со-
противлений), то Y=U“1. Если U=1 (эксперименты проводились
по методу узловых проводимостей), то Y=J. Рассматриваемый слу-
чай возможен при непротиворечивости экспериментальных данных
и полной адекватности их объема расчетному этапу диагностики;
2) m=k<n. Система уравнений (8.13) недоопределена, решение
ее существует, но не однозначно. Подобный случай возникает при
недостаточности числа экспериментов, обусловленной, например,
ограниченностью свободы или времени их проведения;
3) k=n<m. Система уравнений (8.13) переопределена и реше-
ния ее не существует. Подобные системы уравнений формируются
в тех случаях, когда точность измерений в диагностических экспе-
риментах заведомо невелика и для повышения достоверности рас-
чета их число берется избыточным;
4) k<n, k<m. Система уравнений (8.13) вполне не определена
и решения ее не существует. Системы уравнений данного типа ха-
рактерны для задач с ограниченной свободой проведения диагно-
стических экспериментов и невысокой точностью измерений.
Таким образом, однозначное решение системы (8.13) возможно
только в первом из выделенных случаев. В других случаях, распо-
лагая только данными диагностических экспериментов, однозначно
определить матрицу Y не удается. Для этой цели требуется привле-
чение информации иной природы, например оценочных значений
коэффициентов искомой матрицы, соотношения возможных погреш-
ностей измерений и т. д.
* Ранг k матрицы U равен максимальному числу ее линейно независимых
строк (столбцов)
289
Подобная дополнительная информация у исследователя, как
правило, имеется; проблема заключается лишь в ее формализации
для последующего объединения с информацией, полученной экспе-
риментальным путем в рамках единой математической постановки
задачи определения матрицы Y. Наиболее просто это можно осу-
ществить, если для системы уравнений (8.13) во втором и третьем
случаях находить псевдорешения, минимизирующие различные
квадратичные функционалы. Подобные функционалы вводят с по-
мощью обобщенных энергетических норм *
V2
==2A(/)©z[A(Z)]* ,
1/2
m
где A(i), А<‘>— i-я строка и i-й столбец /nXn-'матрицы А= {Ан}тп;
» »
A={A/i}nTn — матрица сопряженная относительно матрицы А; в/ —
положительно-определенная nXn-матрица, 1=1, п.
Применительно к рассматриваемым задачам выбор матриц
зависит от оговоренной ранее дополнительной информации. Обра-
тимся к выделенным ранее четырем случаям.
1. Если n=m=k, то система (8.13) имеет единственное решение
Y=JU-i.
2. Если m=k<n, то система (8.13) имеет единственное псевдо-
решение Y, определяемое условием
IIY-Yol| {e}=myin||Y-Yo|| {е); Y = {Y:YU=J}
и равное
Y=Y0+BY, 8Yi=[J(1.)-Yo(;)U][(U07IU)-IlJ07I], (8.14)
Пример 8.14. Определим матрицу У=»{У«^зз
по данным двух диагностических экспериментов:
взаимной электрической цепи
' 2 4-/2 1,2 —/1,2
Пусть
J= -1,2-/1,6 -2,4-/2,8
О 1,2-/0,5
‘ 24-/2 -1-/ 0
Yo = -1,2-/1,5 0 34-/2 -0,5-/0,2 -0,5-/0,2 1
Считая, что появление связи между узлами 1 и 3 диагностируемой цепи
маловероятно, матрицы 0<, задающие электрические нормы, примем равными
O1 = dlag{l 1 103}; е$={1 1 1}; e3 = dlag{103 1 1}.
* Обобщенной нормой матрицы А называют число ||А||, удовлетворяющее
трем аксиомам: 1) ||А||>0 при А=?^0, 1|0||=0; 2) ||ХА||= |Х|||А||; 3) ||А-}-В||^
sj IIAII+IIBII, где %<=/?; В — любая матрица согласованной размерности.
290
Такая норма накладывает жесткие требования к отклонению коэффициентов У13
и У3) искомой матрицы от их оценочных нулевых значений. Согласно формуле
(8.15),
'1 0
о -J
01 / * I,,* ,
J, и©7’ =
1 О
О -/0,5 0,5] ’
О
Г1 0 О'
[о -/ о
[8Y](1) = [/(1) - Yo(1)U] [(ife^D)-1 иег1] = [0 0,2 -/0,1]
= [-/0,1 0,1]
= [0 —0,2 —/0,2 0];
»y(2) = [J(2) - y0(2)u] (ue^u)-1 U071] =
] 4,5 A05 <’“»
8Y(3) = u(3) ~ Y(0)(3)U] uer1] =
= [0 0] [(ue^u)-’ ue^1] = [о о oj.
Таким образом,
Y = Yo + bY =
О
-/0,1
О
-0,2-/0,2
—/0,05
О
— 1,2-/1,5
О
О
0,05
О
О
0,5-/0,2
-1-/
3 4-/2
-0,5-/0,2
4-/2 -1,2-/1,2
-1,2 -/1,6 3 4-/1,95
О -0,5-/0,2
О
-0,45-/0,2
Так как известно, что диагностируется взаимная цепь, то в качестве иско-
мой матрицы ее узловых проводимостей можно взить симметричную матрицу
(8.16):
Г 2 4-/2
Y' = 0,5(V + Yz) = —1,2-/1,4
-1,2-/1,4
3-/1,95
О
-0,475 -/0,2
О
-0,475 -/0,2 1
Таким образом, в множестве решений Y недоопределенной сис-
темы (8.13) существует единственное решение Y, которое наименее
отличается по энергетической норме от некоторой наперед задан-
ной матрицы оценок искомой матрицы узловых проводимостей. До-
291
казательство этого и последующих утверждений, сделанных в дан-
ном параграфе, см. в [6].
Коэффициенты матрицы Yo можно определить по паспортным
значениям проводимостей диагностируемой цепи, результатам пред-
шествующих решений задачи диагностики и т. д. Выбор энергети-
ческой нормы, т. е. задание матриц Qi, позволяет учесть различие в
требованиях близости коэффициентов искомой матрицы Y к коэф-
фициентам оценочной матрицы Yo (см. пример 8.14).
Полученное выражение (8.14) упрощается в следующих важных
для практики частных случаях:
a) Qi=Q, 7=1, п, т. е. все матрицы 0, одинаковы, тогда
; (8.15)
б) Qi=Q, i= 1, п, т— 1, т. е. проведен только один эксперимент,
тогда
— / ♦ ♦ \ I] ♦ II 2
Y = Y0+(S-So)||u||{0},
где матрицы мощностей S = JU0~1, So=JoU0-1= (YoU)U0-1.
Если искомая матрица Y' по физическим соображениям должна
быть симметрична (диагностируется за_ведомо взаимная цепь), а
найденная по формуле (8.14) матрица Y не симметрична, то в каче-
стве Y' следует взять симметричную матрицу, ближайшую по эвкли-
довой норме к матрице Y:
Y'=0,o (Y-{-Yz). (8.16)
3. Если fe=n<m, то система (8.13) имеет единственное псевдоре-
шение Y, определяемое условием
||YU-j||{A}=min||YU-J||
и равное
(8.17)
S(;)=J(;)A;U,
т. е. в множестве всех квадратных «Хм-матриц Y существует един-
ственная матрица Y, минимизирующая энергетическую норму раз-
ности YU—J ^невязки решений системы (8.13)]. Различным мат-
рицам А/=(й^тт соответствуют разные требования к уровню
невязок Ец— | Y{i)U<z)—Jz/| уравнений первого закона Кирхгофа для
каждого i-ro узла в j-м диагностическом эксперименте. А именно:
чем жестче требования к соблюдению этого закона, т. е. чем меньше
292
должно быть’значение ец, Дем большим следует принять значение
/-го диагонального элемента 8у/ i-й матрицы Aj. Матрицы A,-, i=l,n,
являются аналогом ковариць^лных матриц и их недиагональные
элементы можно положить отличными от нуля для скоррелирован-
ных экспериментов. Выражение (8.17) упрощается в том случае,
когда матрицы Аг выбраны одинаковыми. Если А; = А, i = l, п, то
* * * *
Y=S(UAU) -1, где S = JAU. При диагностике взаимной цепи полу-
ченное псевдорешение Y должно быть поставлено в формулу (8.16).
4. Если k<n, k<m, т. е. U=[Uo|U0A], где Uo— пх^-матрица
ранга k; A. — kX(m—и)-матрица, то система (8.13) имеет единст-
венное псевдорешение, определяемое условием
||Y-Yo||{0}=mln||Y-Yo|l{e}, Y = {Y:|| YU — J || {Д} =
Y 1
= min || YU-J || {д}}
и равное
Y=Y0+H, ‘SY^tJw-Y^^UjKtl^Uo)-1 йо07’] ;
Jg-)= J(/>AZ[1 | A]*{[1 | A] Az[1 I A]*}"’, Z=TTn, (8.18)
где Yo — матрица-оценка искомой матрицы узловых проводимостей.
Выбор норм || • || (Д| и || • || (Qj производят аналогично п. 2, 3.
При равенстве матриц А, = А и 0{=0 выражение (8.18) упро-
щается:
Y=Y0 + 8Y, 8Y={JA[J I А]*{[1 | А] А [1 | А]*}-1 - Y0U0} х
X[Uo0-iUo]-iUo0-i.
При диагностике взаимной цепи полученное псевдорешение Y
необходимо подставить в формулу (8.16).
Основные трудности определения матриц узловых проводимостей
цепей по формулам (8.14), (8.17), (8.18) при недостаточности или
противоречивости данных диагностических экспериментов связаны
с проблемами выбора матриц-оценок Yo и весовых матриц 0i и А<.
Различный выбор этих матриц ведет и к различным результатам
решения задачи. Умение правильно обосновать выбор этих матриц
приходит с опытом решения задач диагностики цепей определенно-
го класса. При первоначальном знакомстве с методами решения по-
добных задач желателен многовариантный расчет с различными
матрицами Yo, 0г, Аг, с тем чтобы его результаты поверялись сово-
купностью знаний об объеме диагностирования с последующим вы-
бором наиболее достоверного псевдорешения. В дальнейшем необ-
ходимы накопление статистического материала о результатах ре-
шения подобных задач и разработка системы экспертных оценок
293
этих результатов. Подобная информация позволяет в большей сте-
пени формализовать процедуру выбора решения, сделав ее в пер-
спективе полностью автоматической.
Рассмотренные методы решения системы (8.13) связаны в об-
щем случае с определением ранга матрицы U, нахождением ее под-
матрицы максимального ранга Uq и матрицы связи А. На практике
определение ранга матрицы связано со значительными трудностя-
ми, поскольку ранг построенной по экспериментальным данным
матрицы U может зависеть от точности измерений. Неадекватное
же его нахождение искажает результат решения задачи. В этой
связи привлекает внимание метод, основанный на регуляризации
(подборе) решения системы (8.13) и не связанный с анализом ее
размерности и ранга. Суть его заключается в замене системы (8.13)
системой
Ye(utl4-al) = jO-|-aY0, (8.19)
единственное решение которой
Y.=(jlLl+aY0)(uC+al)-1,
зависящее от параметра регуляризации а>0, минимизирует функ-
ционал
|YaU-J||2+a||Ya-Y0|P=Mn(||YU-J||2 + a||Y-Y0|P), (8.20)
где ||-||—эвклидова норма; Yo — оценка искомой матрицы. Как сле-
дует из (8.20), с уменьшением параметра а регуляризованное реше-
ние Ya уменьшает норму невязки YaU—J исходной системы (8.13),
а с увеличением а приближается к оценке Yo. Таким образом, из-
меняя в широких пределах параметр регуляризации а, можно по-
добрать компромиссное решение Yo, близкое к оценке Yo и обеспечи-
вающее приемлемый (адекватный точности измерений в диагности-
ческих экспериментах) уровень невязки YOU—J системы (8.13). За-
метим, что в условии (8.20) могут быть использованы и различные
энергетические нормы, позволяющие более взвешенно оценивать
близость YaU к J и Yj к Yo. Однако при этом усложняется схема ре-
гуляризации (8.19). Метод регуляризации является наиболее уни-
версальным при решении задач рассматриваемого класса, посколь-
ку не требует предварительного анализа системы (8.13), гарантируя
получение единственного устойчивого результата. Но возмож-
ности подбора наиболее достоверного результата обработки непол-
ных или противоречивых данных экспериментов за счет привлече-
ния дополнительной информации об объекте диагностирования ме-
тодом регуляризации ограничены и зависят от условий минимиза-
ции квадратичных функционалов норм невязки YU—J системы
(8.13), а также близости Y—Yo решения Y к своей оценке Yo. Ос-
новным достоинством рассмотренных методов является простота их
реализации, основанной на алгоритмах линейной алгебры.
294
Привлекает внимание использование методов математического
программирования, предоставляющих более широкие возможности
учета различной дополнительной информации об объекте диагно-
стирования. Рассмотрим задачу обработки данных т<п независи-
мых экспериментов обобщенного метода узловых сопротивлений
как задачу математического программирования. Система уравнений
(8.13), данная для удобства во взаимной форме U‘Y‘ = J‘, анализи-
руется при покомпонентной записи как т ограничений области ис-
комых параметров:
U'YZ = J'. (8.21)
Наряду с этими ограничениями вводят и ограничения другого
типа, например
Ггу-Уу.=0, I, J=TTn; (8.22)
az/< ReY1}<₽;7, / = {/!,..., ik}, J={Ji,...,Jt}, (8.23)
JmKf,<Yy, i = {ii...U, J={Ji.....Jr}- (8-24)
Ограничения (8.22) вводят для взаимных цепей, а ограничения
(8.23), (8.24) — для цепей с заранее известными диапазонами изме-
нения параметров. Ограничения последнего типа могут быть запи-
саны не для всех, а только для части искомых параметров (т. е.
i*, ji, h, jr^n), причем они могут быть как двусторонними, так и
односторонними, например Re У//^0, i=/=j; Re Такая сово-
купность условий позволяет более жестко локализовать множество
искомых параметров {У^}еС. Для выбора из этого множества
единственного решения задачи диагностики вводят условие мини-
мизации некоторой одномерной функции этих параметров:
/({У/;})—»mini, /е/?1. При наличии оценок искомых параметров
в качестве минимизируемой можно выбрать, например, следующие
функции:
/({У/;})= IIY — Yol|{ep /= <М>0’
М-1,П
где Yo={yoij}nn — оценка матрицы узловых проводимостей.
Если ранг системы (8.13) априори неизвестен, то ее нельзя от-
нести к множеству ограничений, а следует использовать при пост-
роении минимизируемой функции, положив, например, последнюю
равной
f ({У/;})= IIY — Yo || {в} + а || YU — J Ц {д}, а > 0.
В общем случае, когда диагностируется не полностью наблюдае-
мая цепь и в системе (8.13) неизвестными являются как элементы
матрицы Y, так и некоторые элементы матриц U и J, ограничения
295
необходимо формировать и для неизвестных режимных параметров,
например
ре=Р, qsQ, ke=K, le-L,
где Р, Q, К, L — подмножества множества индексов {1, 2, п}.
При этом минимизируемая функция становится нелинейной и зави-
сящей как от искомых параметров схемы, так и от неизвестных
режимных параметров, т. е. f=f({Ytj}, {Up}, {Jk}) .
Постановка задачи обработки данных экспериментов как задачи
математического программирования позволяет учесть больший объ-
ем информации о цепи и тем самым повысить достоверность резуль-
тата ее диагностики. Но алгоритмы решения таких задач, особенно
задач нелинейного программирования, отличаются повышенной
сложностью и трудоемкостью реализации.
Таким образом, достоверность решения задач обработки непол-
ных и противоречивых данных диагностических экспериментов за-
висит от объема дополнительной информации о диагностируемой
цепи и возможности формализации этой информации. При этом
особую ценность имеет информация о топологической структуре
цепи, наличие которой, как показано в § 8.9, позволяет решать за-
дачи диагностики даже при минимальном числе экспериментов.
§ £.9. Диагностика параметров пассивных электрических цепей
по данным измерений одного режима. Теоремы эквивалентности
Ранее вопросы диагностики рассматривались в предположении
возможности проведения нескольких диагностических эксперимен-
тов. Проанализируем случай, когда подобная возможность отсутст-
вует и для определения параметров цепи можно использовать дан-
ные измерений только одного диагностического эксперимента.
Пусть имеется пассивная электрическая цепь известной тополо-
гической структуры, токи граничных узлов которой известны (из-
мерены). Известны (измерены) напряжения всех узлов этой цепи
относительно некоторого базисного узла и тем самым рассчитаны
напряжения ее ветвей.
Для нахождения проводимостей ветвей цепи систему уравнений
первого закона Кирхгофа Di=J с учетом равенства i = Gu запишем
в виде
DGu = J,
где D — mX«-матрица разрезов цепи; и = [«!... пп](— вектор извест-
ных напряжений ее ветвей; J=[/i.../m]—вектор известных внеш-
них токов; G=diag^i — диагольная матрица искомых проводи-
мостей, i=l, п. Последнюю систему уравнений запишем во взаим-
ной форме, т. е. явно разрешенной относительно неизвестных вели-
чин:
296
DUg-J,
(8.25)
где Ug=Gu, U=diag«y, / = 1, n, g=[gj... gn]‘.
Полученная система уравнений в общем случае недоопределена на
п—т уравнений, где п—т— число контуров графа рассматривае-
мой цепи. Поэтому из системы (8.25) однозначно могут быть най-
дены проводимости только тех ветвей, которые ацикличны (не вхо-
дят ни в один контур графа цепи).
Для выбора наиболее правдоподобного из возможных решений
недоопределенной системы уравнений необходимо привлечь допол-
нительную информацию об искомых проводимостях. Формализация
подобной информации, носящей часто качественный характер,
обычно затруднена. Причем, как показано в § 8.8, способ формали-
зации этой информации связан с выбором математического аппара-
та выполнения расчетной части работы. Расчет упрощается в том
случае, когда известны оценки got, /=1, п, искомых проводимостей
ветвей и меры возможного отклонения этих проводимостей от своих
оценок. Результатом решения задачи диагностики можно считать
псевдорешение g системы (8.25):
l|g-Soil © — min |[ g-g0|| e, g={g:DUg=J}. (8.26)
g
Выбор коэффициентов 0; матрицы 0 зависит от возможности
отклонения искомого решения g от его оценки g0.
Псевдорешение системы (8.25) может б_ыть найдено на основе
теоремы эквивалентности. Псевдорешение g единственно и имеет
вид
g=go + u~ir=go4-u~1Gu>
(8.27)
С
где i = [/1... in]‘, u = [z^ ... —векторы токов и напряжений
ветвей резистивной цепи, описываемой уравнением
J , G = U0-iU, J —J—DJ0, J0 = Ug0; (8.28)
С—(п—m) X «-матрица контуров цепи.
Доказательство теоремы. 1. Введение переменных G = U0-1U,
u = U-’0(g—go); J = J—DUgo позволяет уравнение (8.25) предста-
вить в виде
DGu = J.
2. Тогда условие (8.26) является условием минимизации мощ-
ности рассеяния u‘Gu->-min! в цепи, описываемой уравнением (8.28).
* Здесь Ц-11—векторная энергетическая норма: ||Ь||в=(Ь*9Ь)1/2
297
3. Обратная замена переменной u->-g приводит к формуле (8.27)
И завершает доказательство.
Теорема эквивалентности позволяет свести задачи диагностики
к задачам анализа цепей, имеющих такие же топологические струк-
туры, что и диагностируемые цепи. Тем самым открывается воз-
можность использования методов анализа электрических цепей, в
частности топологических, при диагностике и исследовании чувст-
вительности решений к изменению различных параметров (экспери-
ментальных данных и,, оценок goj, j=l, п, коэффициентов 0// весо-
вой матрицы 0). Заметим, что псевдорешение может быть найдено
и чисто формально:
g==go-|-0-iUDz (DGDZ)-1 J.
Решение задачи диагностики упрощается, если весовая матрица
0 = diag0/. При этом формула (8.27) в покоординатной записи при-
нимает вид
«Л _______
gj=goj+-z~; «•
(8.29)
Прежде чем перейти к примеру использования теоремы эквива-
лентности, оценим влияние выбора коэффициентов 0;j матрицы 0
на решение задачи диагностики. Из выражения (8.26) следует, что
с увеличением относительного значения некоторого k-ro диагональ-
ного коэффициента 0* k-я компонента gk вектора решения g при-
ближается к своей оценке go*.
Приведем рекомендации по выбору коэффициентов весовой мат-
рицы 0: а) чем достовернее оценка go* некоторого искомого пара-
метра gk, тем большим следует выбрать коэффициент 0*; б) недиа-
гональные коэффициенты 0;, матрицы 0 нужно выбирать отличны-
ми от нуля только для таких пар проводимостей, значения которых
gi и gj можно считать скоррелированными между собой. В качест-
ве оценок go/ искомых параметров gj, / = 1, п, могут быть взяты,
например, их номинальные (паспортные) значения или результаты
предшествующих решений задач диагностики, а источником инфор-
мации для выбора коэффициентов матрицы 0 могут служить, на-
пример, данные об исполнении различных резисторов, условиях их
работы, температурной и радиационной стабильности их парамет-
ров и т. д.
Пример 8.15, Пусть истинные значения проводимостей ветвей диагности-
руемой цепи, изображенной иа рис. 8.22, a, gi = 5,5 См, §2 = 9 См, §з=5 См;
§4=4,5 См; §5 = 5,6 См исследователю ие известны, а определяются по следую-
щим данным измерений: 71=15,5 А; /2=32,5 А; /3 =—(Z1+/2) =—48 А; «1 =
= 2 В; и=1 В; и3=4 В; «4=«i—и2=1 В; и6=И2+«з=5 В.
298
Соответствующая система уравнений
недоопределена на два уравнения (два — число контуров цепи ряс. 8.22, а). Для
однозначного определения искомых проводимостей привлекаются их оценка
goi=g02 =...=gos = 5 См и весовая матрица О =diag{10 1 1010 10}, характери-
зующая отличия искомых параметров от их оценок (считается, что прово-
Рис. 8.22
димость gt оценена грубее, чем остальные проводимости). Условие (8.26) прини-
мает вид
5 01/2
2 «/U/-£о/)2 = [10 tel - 5)2 + (^2 - 5)2 + 10 (g3 - 5)2 +
J-1 J
+ 10te4-5)2 + 10(g5-5)2]V2^mini
Для нахождения соответствующего псевдорешения составим по теореме эк-
вивалентности схему (рис. 8.22, б), параметры которой
g, = «2/0! =22/10 = 0,4 См; g2 = «f/62= 12/1 = 1 См;
g3 = «2/03 = 42/10 = 1,6 См; g4 = ц2/04= 12/10 = 0,1 См;
g5 = «2/05 = 52/10 = 2,5 См; 71 = u1g0l = 2.5= 10 А;
/2 = «2g02= Ь5= 5 А; Г3 = u3g03 = 4-5 = 20 А;
/4= 1-5 = 5 А; J5 = 5-5 = 25 А.
Расчет этой эквивалентной схемы произведем методом узловых напряжений.
В результате получим
299
= 1,25 В; йз = 01—Оз = \,83 В. При этом решение рассматриваемой задачи на
ходят по формуле (8.29):
U(Ui 2-1,56-
«i=«0id-----й =5 4-------— =5,31 См;
Bi 1U
- “2«2 - 1-2,8
g2 = «02 + —— = 5 4- —— = 7,8 См;
Во 1
с , 4-(—0,98)
«з — «оз + 7 = 5 4- — — 4,61 См
«3 Ю
— “4“4 - !•(—1,25) 4
«4 = «04 + 7" =54-------~ =4,88 См;
В4 1U
— _ и5и5 5-1,83 - , „
«5 = «Q5 + - =5 4- — =5,91 См.
В5 10
Хотя решения найдены с относительно большими погрешностями
gj~gj
=---------100%, а именно: ej=3,6%; «2=13%; е3=8%; 84=7,4%; в5 =
« J
= 5,3%, онн в целом дают достаточное полное для многих практических задач
представление о параметрах диагностируемой цепи.
Если определяют комплексные проводимости ветвей y=[«/i...
...yn]‘eCn, то для недоопределенной системы DUy—J; 11=
= diag {t/i... Un}, HjeC1, JeCn псевдорешение у
IIУ - Уо lie = min IIУ - Уо IIО = min [(у - Уо>* 0 (у - Уо>]1 /2
У У
может быть представлено согласно теореме эквивалентности в виде
У=Уо+и_Ч, 1 = YU, где I, Не С"— векторы токов и напряжений
ветвей цепи, описываемой уравнением
DY] U J?
с о
J —J —DJ0, Jo—Uy0, Y^Ue-UJ.
Если весовая матрица является диагональной, т. е. 0 = diag {0i...
...9п}, то выражение Уо=Уо + и~Ч упрощается и в покоординатной
записи принимает вид
— 77 7 1 и
У i Уо1 т 0;
300
При этом матрица проводимостей эквивалентной цепи становится
диагональной и чисто вещественной: Y = diag yj, У]—
= 11^ Не-
справедливы и дуальные формулировки теоремы эквивалентно-
сти. Рассмотрим наиболее общую из них, позволяющую определить
комплексные параметры. Пусть к некоторым узлам пассивной цепи
приложены напряжения известных (измеренных) величин. При этом
контурные токи цепи также считаются известными (измеренными),
что позволяет однозначно определить и токи ее ветвей. Тогда для
нахождения неизвестных сопротивлений ветвей цепи может быть
составлена система уравнений
Clz=E,
(8.31)
где С — тХ^-матрица контуров; I = diag//,//еС1— диагональная
матрица известных токов ветвей; ЕеСт — вектор, компоненты ко-
торого зависят от известных значений приложенных напряжений;
z= [zj... zn]‘ — вектор искомых сопротивлений.
Пусть известны оценки zoj, /=1, п, этих сопротивлений и мера
достоверности этих оценок. Тогда псевдорешение z недоопределен-
ной системы (8.31)
]|z-z0||e=min||z-z0|| =min[(z-zo)*0(z-zo)]I/?
Z z
единственно и имеет вид
z=zo + I-iO=zo + I-’Zl,
(8.32)
где IeCn; Uc=Cn — векторы токов и напряжений ветвей цепи, опи-
сываемой уравнением
CZ
D
Z = Ё=Е —СЕ0, E0=Iz0.
Е
О
Если весовая матрица является диагональной 0 = diag {9j ...9П}. то
выражение z = z0 + I-Iij упрощается и в покоординатной записи при-
нимает вид
При этом матрица проводимостей эквивалентной цепи становится
диагональной и чисто вещественной:
Z=diagzy, zj= |Zy|2/0y = П/Де-ь
301
Пример 8.16. Определим параметры цепи (рис. 8.23, а) по измеренным зна-
чениям входных напряжений и токов £Л=10 В; 1/2 = 5+/ В; /1 = 0,7—j А; /2 =
= 0,3+/0,2 А, /з=—(Л+/г) =—1+/0,8 А, считая известными оценки искомых
параметров Zo = [zoiZozZoa]1— [2+/3 1+/2 3+/3J' и полагая, что достоверность
этих оценок определяется весовой матрицей =diag{10 10 1}. В соответствии с
теоремой эквивалентности составим схему (рис. 8.23, б), параметры которой
«1= I Л I /61 = I 0,7 — j | 2/10 = 0,149 Ом;
z2 = I h12/02= | 0,3 +/0,2 I 2/10 = 0,013 Ом;
23= I /312/03= | - 1 — /0,8 | /1 = 1,64 Ом;
£oi = /1201 = (0,7 - /) (2 + /3) = 4,4 + /0,1 В;
/102 = /2202 = (0,3 + /0,2) (1 + /2) = — 0,1 + /0,8 В;
£оз = /з2оа=(- 1 + /0,8)(3 + /3)= — 5,4 —/0,6В.
Рис. 8.23
При расчете схемы рис. 8.23, б получаем 171 = 0,458—/0,279 В, —0,042+
+/0,021 В; 17з=0,258+/0,421 В. По формуле (8.32) находим сопротивления вет-
вей диагностируемой цепи рис. 8.23, a: iii=2,4+/3,176 Ом; z2 = 0,935+/2,l 13 Ом;
zs=3,048+/2,617 Ом.
Для функционирующей только в одном режиме цепи по данным
измерений часто требуется определить не параметры ее схемы (со-
противления, проводимости), а параметры режима (токи и напря-
жения ветвей). При расчете параметров режимов также можно ис-
пользовать теоремы эквивалентности.
Пусть известны (измерены) токи через некоторые ветви цепи и
требуется найти токи остальных ее ветвей. Составим следующую
систему уравнений:
DI=J, (8.33)
где D — mXn-матрица контуров подцепи с неизвестными токами
ветвей; J= [Д .../т]‘ — известный вектор, компоненты которого оп-
ределяются значениями измеренных токов. Если оценки /q=[/oi...
.../on]* неизвестных токов и весовая матрица 0= {0о}пп их достовер-
ностей известны, то решением рассматриваемой задачи диагностики
302
может быть псевдорешение 1 недоопределенной системы (8.39):
„Г- i0||e==niin||l—10||е.
I
Подобное псевдорешение единственно и равно 1= Io+1, где I —
вектор токов ветвей цепи, соответствующей уравнению
D
CR
, R=0, J = J —DI0.
(8.34)
1
J
О
Этой теоремой можно воспользоваться и в тех случаях, когда оцен-
ка токов 10 и матрица их достоверностей 0 неизвестны, однако у
исследователя имеется информация об отношениях сопротивлений
rj :г» = 0/, /= 1, п, диагностируемой цепи. Такая ситуация возникает,
например, если диагностируемая цепь представляет собой металло-
конструкцию с известными геометрическими размерами ее протя-
женных участков (ветвей). При этом в (8.34) следует положить 10 =
= 0, 0 = diag0/.
Пример 8.17. Определим токи ветвей 1—4 цепи (рис. 8.24, а), если извест-
ны отношения сопротивлений Г1 :г»=01, :г.—в2, г3 :г.=03, г4 :г« = 04 и изме-
рен ток J. Согласно теореме эквивалентности, искомые токи равны токам вртпр.й
цепи, изображенной на рис. 8.24, б.
Рассмотрим дуальный случай, когда известны (измерены) на-
пряжения между некоторыми узлами диагностируемой цепи и для
определения напряжений ее ветвей составлена система уравнений
CU = E, (8.35)
где С — mXn-матрица контуров цепи; Е= [Ei ...Ет]‘— вектор, ком-
поненты которого определяются значениями измеренных напряже-
ний. Взяв в качестве решения задачи диагностики псевдорешение
U системы (8.35)
||U — U0||=min || U —Uo||
его можно найти как U = Uo+U, где U — вектор напряжений ветвей
цепи, описываемой уравнением
Ё
О
С
DG
, 6 = 0; Ё = Е-Си0.
(§.36)
0 =
Здесь Uo — вектор оценок искомого решения; 0 — весовая матрица
их достоверностей.
Эту же теорему можно использовать и в тех случаях, когда оцен-
ка J70 и матрица 0 неизвестны, но известно отношение проводимо-
стей gf: g* = Qf, j=l, п, диагностируемой цепи. Тогда в (8.36) сле-
дует положить ио=О—G diag 0/.
303
При решении задач диагностики в цепях часто удается измерить
различные параметры режима — токи, напряжения, активные и ре-
активные мощности, углы сдвига фаз и т. д. В качестве дополни-
тельной информации для определения искомых параметров схемы
или режима цепи могут привлекаться различные данные — паспорт-
ные значения параметров отдельных элементов, области существо-
вания режимов, оценки параметров и т. д. Многообразие и проти-
воречивость этой совокупной информации затрудняет постановку
вычислительной части работы.
Рис. 8.24
На практике топологическая структура диагностируемой цепи
может быть задана неточно. Это имеет место, например, в электро-
энергетике при оценке состояния электрических систем. Сведения
о топологической структуре таких систем, зависящей от положения
коммутационных элементов, исследователю задаются данными те-
лесигнализации, которые могут быть неполными либо недостовер-
ными. При этом большое значение для повышения достоверности
обработки экспериментальных данных приобретают накопление и
использование статистического материала по диагностике рассмат-
риваемого класса цепей, более полный учет доступной информации
о диагностируемой цепи, экспертные оценки и т. д. Предполагается
максимальное использование информационных возможностей ЭВМ,
т. е. создание системы, выполняющей функции искусственного ин-
теллекта.
В заключение заметим, что проблемы, аналогичные рассмотрен-
ным в данной главе, возникают и при решении других задач диаг-
ностики, например при диагностике цепи при переходных процес-
сах. Сопоставление подобных задач и задач диагностики резистив-
ных цепей (например, путем перевода их в частотную область или
введения синтетических схем) позволяет использовать рассмотрен-
ные в настоящей главе методы и при решении этих более сложных
задач.
9
Z ГЛАВА
НЕСТАНДАРТНЫЕ МОДЕЛИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
Рассматриваются проблемы создания математических моделей цепей, исход-
ное описание которых отчасти носит качественный характер. Отмечается перспек-
тивность использования для этой цели нестандартного анализа. Вводятся нестан-
дартные модели электрических цепей, с использованием которых решается целый
ряд некорректных задач.
§ 9.1. Границы научных абстракций и представление
бесконечного в задачах теории электрических цепей
В предыдущих главах рассматривались математические модели
электрических цепей с четко зафиксированными как топологической
структурой, так и параметрами элементов. На практике же неред-
ки случаи, когда исходное описание цепи не соответствует подобно-
му представлению, что имеет место, например, при отображении
границ научных абстракций. Здесь о части параметров элементов
схемы цепи известно только то, что они «существенно больше» или
«существенно меньше» параметров других однотипных элементов.
Вопросам отображения этой и другой подобной — качественной —
информации в математических моделях электрических цепей, а так-
же вопросам обработки таких моделей и посвящена настоящая
глава.
Основным этапом создания математических моделей электриче-
ских цепей является построение их эквивалентных схем и принятие
допущений относительно характера параметров их элементов. Этот
этап в значительной мере диктует решения по последующему выбо-
ру математического аппарата исследования. Согласованность вы-
бора математического аппарата с исходным описанием цепи и оп-
ределяет адекватность математической модели ее оригиналу. Ос-
новные проблемы связаны с условностью границ научных
абстракций (допущений) для цепей и их элементов (линейные и
нелинейные, стационарные и нестационарные и т. д.). Дело в том,
что достаточно полное исходное описание цепей носит, как прави-
ло, частично качественный характер и соответствует границе этих
абстракций. Попытки упростить ситуацию при формализации опи-
сания цепи приводят к альтернативам выбора различных допуще-
11—151 305
ний для цепи, а следовательно, и различных ее математических
моделей. При этом, с одной стороны, нарушается адекватность лю-
бой такой модели ее оригиналу, а с другой стороны, порождается
либо некорректность (неправильность) математической постановки
задачи, либо ее плохая обусловленность, жесткость и т. д„ что ус-
ложняет вычисления. Особые сложности доставляет невозможность
отражения в обычных математических моделях цепей такой исход-
ной информации качественного характера, которая оценивает пара-
метры ряда элементов как «существенно большие» или «существен-
но меньшие» соответствующих параметров других элементов. При
создании моделей подобных цепей в рамках классического анализа
исследователь вынужден заменить подобную качественную инфор-
мацию количественной. Для этого он, руководствуясь своим опытом
инженера, присваивает параметрам подобных элементов некоторые
соответственно большие или малые числа. Такой произвольный вы-
бор ставит под сомнение достоверность получаемых результатов.
Наличие же в математических моделях очень больших или очень
малых параметров приводит к таким явлениям, как плохая обус-
ловленность или жесткость задачи. Иногда, стараясь упростить си-
туацию, исследователь идеализирует подобные элементы, полагая
значения их параметров равными бесконечности или нулю. Именно
так он обычно поступает на границах научных абстракций. Так по-
являются модели цепей с идеализированными элементами-—иде-
альными трансформаторами, вентилями, источниками энергии
и т. д., что, однако, в ряде случаев вместо желаемого упрощения
приводит к некорректности математического описания задач.
Принципиальное значение принимает понятие бесконечного в
теории электрических цепей. Абстракция бесконечного является
краеугольным камнем классической математики, основные понятия
которой (производные, интегралы, непрерывность) выражаются в
рамках теории пределов через бесконечные числовые последова-
тельности. В этой связи возникает необходимость более углублен-
ного рассмотрения самого понятия бесконечного как с физической,
так и с математической точки зрения.
Особая роль при этом отводится мысленному эксперименту, т. е.
выполнению мысленных опытов, совершаемых по законам логиче-
ского мышления, с образами, отражающими исследуемые объекты
реального мира. Прежде всего отметим, что в силу конечности на-
блюдаемого мира введение понятия бесконечности как феномена
(в этом случае говорят об абстракции актуальной бесконечности)
и дальнейшее манипулирование с этим феноменом связано с опре-
деленными логическими трудностями, так как не отождествляется
с определенными физическими объектами и ситуациями. В этом
смысле более конструктивным, т. е. допускающим реальную интер-
претацию, является понятие бесконечности как тенденции, процес-
са. В этом случае говорят об абстракции потенциальной (потенци-
ально осуществимой) бесконечности. Однако при этом теряется ин-
306
женерная наглядность понятия, а его формальное использование
требует сложного языка изложения. Классическая математика ос-
нована на этих понятиях и в силу отмеченного является негибким
инструментом для описания тех граничных явлений, при которых
появляется необходимость введения абстракции бесконечного. Ос-
новным в этом случае является е—6-анализ и соответствующий ему
е—6-язык («каково бы ни было е, найдется такое 6, что ...»), кото-
рый не соответствует интуитивно сложившимся представлениям о
физических, инженерных образах. При этом имеет место неполная
адекватность аппарата классического анализа реальному миру, чю
в отмеченных случаях ставит под сомнение применение этого аппа-
рата как полезного инструмента исследования.
Подобный критический взгляд на классическую математику
обусловил создание и интенсивное развитие новых математический
построений, более адекватных реальному миру. Первая работа а
этом направлении была выполнена в 1961 г. А. Робинсоном (США)
и получила название нестандартного анализа. Основное ее досто-
инство связано с созданием языка, удобного для формального опи-
сания и сравнения существенно отличающихся (очень больших и
очень малых) физических величин. В частности, в нестандартном
анализе можно придать строгий смысл таким самоочевидным ут-
верждениям, как «сумма конечного числа очень малых величин есть
величина очень малая» или «сумма очень большой и очень малой
величин есть величина очень большая». Анализ А. Робинсона уза-
конивает эти утверждения за счет введения бесконечно малых и бес-
конечно больших чисел. Причем подобные числа могут рассматри-
ваться как математические образы таких физических величин ре-
альных объектов, которые значительно отличаются от однотипных
величин других объектов и потому трудно наблюдаемы. В после-
дующих математических построениях исследовались и иные спо-
собы отображения в математических моделях подобных физических
ситуаций. Тем самым наметилась и возможность самостоятельного
конструирования математических аппаратов, наиболее отвечающих
запросам практики и носящих, таким образом, экспериментальный
характер.
Использование нестандартного анализа и родственных ему ма-
тематических построений оказывается эффективным для отображе-
ния качественной информации, характеризующей границы научных
абстракций в теории электрических цепей. При этом исходная ин-
формация о том, что, например, некоторые параметры схемы или
режима цепи «существенно больше» или «существенно меньше»
других аналогичных параметров, естественным образом переносит-
ся в математическую модель. В последней бесконечные числа ха-
рактеризуют качественное различие параметров, что соответствует
интуитивным представлениям о бесконечном и, следовательно, ис-
ключает логические трудности при последующем проведении мыс-
ленных экспериментов.
11* 307
Для теории электрических цепей возможность использования
иных, отличающихся от классического анализа, построений для
отображения качественной информации не является новой. Здесь
традиционно предпринимались попытки отобразить качественное
различие между параметрами с помощью введения бесконечных
чисел. Так, в работе [13] бесконечные числа вводились для иссле-
дования мгновенных коммутаций в подцепях, состоящих из индук-
тивных или емкостных элементов, при некорректно заданных на-
чальных условиях. Другие примеры введения бесконечных чисел в
математические модели электрических цепей можно найти в [1].
Этим примерам в рамках классического математического анализа
нельзя было придать строгого обоснования. Введение новых матема-
тических построений узаконивает сложившуюся практику и дает
возможность более формально и осмысленно отображать в мате-
матических моделях электрических цепей границы соответствую-
щих научных абстракций.
§ 9.2. Нестандартный анализ и нестандартные модели
электрических цепей
Как было отмечено, использование аппарата нестандартного
анализа и близких к нему математических построений дает воз-
можность создать математические модели электрических цепей по
исходной информации, содержащей наряду с количественными дан-
ными данные качественного или, точнее, почти количественного
характера. Рассмотрим вопросы построения подобных (нестандарт-
ных) моделей электрических цепей, для чего ознакомимся с основ-
ными понятиями нестандартного анализа и близкой к нему «рабо-
чей математики».
В нестандартном анализе на строгой логической основе вопло-
щается идея, высказанная впервые Г. Лейбницем, о существовании
наряду с обычными числами бесконечно малых и бесконечно боль-
ших чисел (инфинтезимальных чисел). Подобное расширение R
множества обычных (действительных) чисел R называют множест-
вом гипердействительных или нестандартных чисел. Введение не-
стандартных чисел позволяет наиболее рациональным способом
формулировать понятия, связанные с переходом от конечного к бес-
конечному. Рассмотрение этого начнем со связи множеств R и R.
Прежде всего отметим, что все обычные отношения между дейст-
вительными числами автоматически переносятся с сохранением их
свойств и на нестандартные числа, причем для обозначения основ-
ных отношений и операций в множестве нестандартных чисел R
(неравенств, операций сложения и умножения, функций) использу-
ют ту же символику, что и в множестве R. В множестве R принято
выделять множество конечных чисел FcR, множество бесконечно
308
«
малых чисел I^F и множество бесконечно больших чисел
*
(считается, что множество R состоит из двух подмножеств — конеч-
ных и бесконечно больших чисел, причем множество бесконечно
малых чисел является под-ножеством конечных чисел). При этом
каждому конечному числу x^R сопоставляется единственное дейст-
вительное число st x^R, называемое стандартной частью или тенью
нестандартного числа х. Операция выделения стандартной части
подчиняется следующим правилам: st(x+y) = stx + stу, st(xy) =
=st xst у, x^y=>st x^st у для любых конечных х, y^F. Если x^R,
♦
stx=x. Если два элемента х, y^R имеют одинаковую стандартную
часть stx=sty и, следовательно, х—y^J, то их называют бесконеч-
но близкими и обозначают как х^у (читается: «х бесконечно близ-
ко к у»). Если st х=/=st у, то х:/-у. В нестандартном анализе при
дифференциальном и интегральном исчислении пределы уже не ис-
пользуют, например для правой и левой производной функции f(x)
можно считать
+ »х)- /(х) t zQ)^/(x) —/(х —5х) . Q < <= /
J + 6х ’ J 6х ’
Можно заметить, что нестандартный анализ позволяет удобно
согласно инженерной интуиции описать количественные отношения
в предельных случаях. Это достигается ценой формального введе-
ния искусственных элементов — бесконечно малых и бесконечно
больших чисел, что делает аппарат нестандартного анализа не впол-
не конструктивным. Поэтому в ряде случаев для описания подоб-
ных отношений целесообразно привлекать более конструктивные
математические построения и, в частности, аппарат [14], называе-
мый в дальнейшем «рабочей математикой». В «рабочей математи-
ке» бесконечные элементы исключаются из рассмотрения, в то вре-
мя как техника ее применения оказывается близкой к технике
нестандартного анализа. Исключение бесконечных элементов дости-
гается за счет фиксации некоторого очень большого числа со!, соот-
ветствующего для прикладных задач, например, предельным воз-
можностям наблюдения некоторого физического параметра. Числа,
большие со!, как не имеющие аналогии в наблюдаемом мире, здесь
не рассматриваются. Формально это достигается за счет того, что
при сложении предельного числа со! с любым числом хе[0, со!] ре-
зультат полагают склеенным с числом со!, т. е. (о!+х=ш!. Аналогич-
ным образом исключаются из рассмотрения и очень малые числа,
например меньше l/w!, что позволяет сравнивать различные числа
с точностью до 1/и!, причем резервируется возможность фиксации
нескольких больших и малых чисел разных порядков, чему в физи-
ческом мире соответствует возможность увеличения разрешающей
способности наблюдения за счет подключения дополнительных при-
боров. Производные и интегралы в «рабочей математике» определя-
309
ют через алгебраические операции с обычными числами:
/(+1)(х)=а>! [/(х+1/w!) —/(%)]; /2’ (х)=ш! [/(%) —/(х — 1Л»!)];
ь
J/(x)dx=-^ /(х)’
а а<х<Ь
где суммирование в последнем выражении ведут по интервалу [а,
ft] со скважностью 1/и!, a f(+ и /SP соответствуют правой и левой
производным.
В «рабочей математике» наглядно отражается простая структура
обычных непрерывных функций и элементарность действий над ни-
ми. В то же время «рабочая математика» практически неприменима
для обработки более сложных функций, например имеющих боль-
шое число разрывов.
Рассмотрим примеры использования нестандартного анализа и
«рабочей математики» в задачах теории электрических цепей, ог-
раничившись вопросами создания нестандартных моделей электри-
ческих цепей (вопросы обработки подобных моделей будут разоб-
раны в следующих параграфах). Будем считать, что все результаты
по расчету электрических цепей, которые могут быть достигнуты с
использованием их нестандартных моделей, могут быть получены и
обычными способами. Применение нестандартных моделей лишь
позволяет обеспечить наибольшую лаконичность, наглядную интер-
претацию и четкость описания и решения соответствующих задач
(дает «экономию мышления»).
Нестандартные модели накопительных элементов. Рассмотрим
интерпретацию уравнений, связывающих токи и напряжения ем-
костных и индуктивных элементов в «рабочей математике», где
производные выражают через чисто алгебраические операции. Вос-
пользовавшись определением левой производной f_\ получим
Ulh=L^l> (^)|/-<„ = ~~ (ji.h ,)> ic =Cuc\t)\t~t =
” 1 п д \ п п—1/ п * п
<0
—(йс~«сл,),
Д \ п п~1/
где ha = tn—in-i — — зафиксированное предельно малое число.
Преобразовав эти выражения, получим
JLn-=hn_v g^hJL;
Ucn = Rcicn + ^n, En=ucn_v RL — h.JC,
что соответствует уравнениям gJ- и ^f-резистивных двухполюсни-
ков. Таким образом, в каждый момент времени /?4С-цепь может
рассматриваться как чисто резистивная, что соответствует интуи-
310
тивным представлениям, причем сопоставление элементам резистив-
ных двухполюсников будет в «рабочей математике» точным в от-
личие от аналогичного, но приближенного сопоставления этих эле-
ментов в классической математике. Однако в отличие от синтетиче-
ских схем введенные резистивные схемы нельзя непосредственно
использовать для расчета переходных процессов, поскольку при
этом потребовалось бы неприемлемо большое число шагов.
Отметим, что параметры приближенных синтетических схем
также могут быть определены по полученным ранее формулам, на-
пример простой заменой предельно малого шага дискретизации /гш
шагом h^>ha, обеспечивающим возможность проведения прибли-
женного числового расчета процессов цепи с заданной точностью за
приемлемое время.
Нестандартные частотные характеристики. Рассмотрим интер-
претацию интеграла Фурье
00
/(() = — f е*“' F (» d(0
— оо
непериодической функции f(t) с частотной характеристикой
F (jw)=F (ю) (m)= j f d/
—- oo
в «рабочей математике», где интеграл определяется конечной сум-
мой. Тогда
s
/(/)==—5— f e^F (/ш) da>=— Д<и е/ш< F (/<»);
2л J 2rt
—a —
r
F (/<») = j /(/)e-^&t — h
— T T<t<T
где Q, T — конечные очень большие числа, заменяющие бесконеч-
ные пределы в исходных выражениях, суть зафиксированные гра-
ницы интервалов, в которых существуют подынтегральные функции;
До, h — зафиксированные предельно малые скважности вычисления
соответствующих интегральных сумм. Таким образом, непериодиче-
ская функция в «рабочей математике» может быть представлена
суммами конечного числа гармоник. При использовании нестан-
дартного анализа получают аналогичные формулы для f (t) и F(j®)
с той лишь разницей, что в них й и Г— бесконечно большие числа,
а До и h — бесконечно малые. При этом непериодическая функция
определяется как сумма бесконечного числа гармонических состав-
ляющих с бесконечно малыми амплитудами —— F (о) До и частота-
2л
311
ми, занимающими бесконечный диапазон [—£2, й]. Отметим, что
подобная формулировка, как наиболее соответствующая интуитив-
ным представлением, предлагалась для интерпретации интеграла
Фурье и ранее (см. например, [1]), хотя в классическом анализе
она не имела строгого обоснования.
Нестандартные функции источников энергии. В определенных
расчетных случаях вводят допущения о скачкообразном, а иногда
и импульсном изменении функций источников энергии цепи. Подоб-
ные допущения затрудняют проведение мысленных экспериментов.
Рассмотрим интерпретацию функций таких источников в нестан-
дартном анализе. Здесь каждой функции f(t) . (вещественной
функции вещественного аргумента) можно сопоставить бесконечное
* # *
множество нестандартных функций аналогов Так, единич-
ной функции 1(2) (рис. 9.1, а) соответствуют функции
li(O=l®’ f 1/7^. 0<Ae/?V,
(1 — е At, />-0, J у л
увеличения графиков которых в окрестности в так называемом
инфинитезимальном микроскопе представлены на рис. 9.1,6, в. Со-
ответственно можно определить и различные аналоги 6-функции
8,(/)='М = |0' 8,(0=^
«К (Де-.«, <>0; <11
)/ Vе'
которые в этом случае являются функциями, а не функционалами
или последовательностями функций, как представляют 6-функции
в классическом — стандартном — анализе. Введенные функции 11 (2),
Ь(2) одинаковы в стандартной
области, где они совпадают с
единичной функцией 1 (2). В не-
стандартной же области они от-
личаются по свойствам. Так,
функция 12(2) бесконечно диф-
ференцируема, а функция 1Д2)
имеет разрыв производной. Од-
нако при необходимости и для
этой функции могут быть опре-
делены высшие производные
путем многократного исполь-
зования нестандартного ана-
лиза.
Рассмотрим случаи, когда
вводятся идеализированные
характеристики источников
вместо реальных.
312
Если функция известного вида быстро изменяется в окрестно-
стях некоторых точек tj и интервалы этого изменения пренебрежи-
мо малы, а точные их значения не известны, то эти интервалы от-
брасывают и функции полагают скачкообразными. В таких случаях
вводят идеализированные характеристики источников со скачкооб-
разным изменением их ЭДС или токов в окрестностях точек tj. Вве-
дение таких характеристик позволяет согласно рассмотренным в
предыдущих главах методам рассчитать процесс в цепи, исходное
описание которой носит частично качественный характер. При этом
результаты расчета будут достаточно достоверными вне окрестно-
стей tj. Однако подобная идеализация не позволяет воссоздать во
всей полноте качественной картины процесса в окрестностях точек
tj, поскольку на нее влияет характер изменения функции источни-
ков в этих окрестностях. Поэтому если для исследователя представ-
ляет интерес и качественный анализ такой предельно жесткой
(вследствие близости к нулю длительности пограничных слоев в ок-
рестностях /J задачи, то его можно проводить в нестандартной об-
ласти, задаваясь в соответствии с исходной информацией об источ-
никах видом функции их изменения в нестандартных окрестностях
tj. При этом размер этих окрестностей считается бесконечно малым,
что обеспечивает совпадение стандартных областей характеристик
источников с ранее введенными идеализированными характеристи-
ками. Подобный подход позволяет наилучшим образом использо-
вать имеющуюся информацию об источниках цепи и наиболее эф-
фективно решать предельно жесткие задачи ее расчета.
Нестандартные параметры пассивных элементов электрических
цепей. Пусть в цепи имеется ряд элементов (резисторов, индуктив-
ных катушек, конденсаторов), параметры которых настолько су-
щественно больше или существенно меньше параметров остальных
элементов, что точные значения их уже не представляют интереса,
да и не могут быть определены. В то же время пренебрежение эти-
ми элементами при предельной их идеализации, когда соответству-
ющие ветви считаются короткозамкнутыми или разомкнутыми,
ухудшило бы качество описания процессов. Математическое моде-
лирование такой цепи при использовании только классического ана-
лиза встречает существенные трудности, поскольку исходная ин-
формация о цепи с подобными элементами уже не может быть опи-
сана только количественными соотношениями. Применение нестан-
дартного анализа, при котором параметры отмеченных элементов
сопоставляют с бесконечно малыми или бесконечно большими чис-
лами, позволяет преодолеть подобные затруднения.
§ 9.3. Нестандартные модели электрических цепей
с топологическими вырождениями
При создании математических моделей электрических цепей ча-
сто встречается случай, когда для ряда элементов значения неко-
313
торых их параметров не заданы, но известно, что они заведомо су-:
щественно (несравнимо) меньше или существенно (несравнимо):
больше соответствующих значений параметров других аналогичных!
элементов. При этом обычно вводят допущение об идеальности эле-i
ментов и в результате анализируют цепи (точнее математические
модели цепей) с идеальными источниками ЭДС, источниками тока,'
вентилями, трансформаторами и т. д. Для многих задач такое допу-’
щение позволяет получать наиболее простые и адекватные рассмат-1
риваемому объекту (реальной цепи) математические модели. Вме-
сте с тем оказывается, что при некоторых видах расположения иде-
альных элементов в цепи (топологических вырождениях) задача ее
расчета уже не имеет однозначного решения, т. е. становится некор-
ректной В . ст-
альных элементов и заменяют последние элементами, параметры
которых исследователю представляются очень малыми или очень
большими относительно параметров других элементов.
Обработка подобным образом скорректированных моделей, как
правило, также встречает значительные трудности, а достоверность
получаемых при этом результатов вызывает сомнение. Анализ проб-
лемы показывает, что отмеченные трудности порождены неадекват-
ностью отражения исходной, частично качественной информации о
цепи в ее математической модели, реализованной в рамках клас-
сического анализа и, следовательно, учитывающей только количе-
ственные отношения. Покажем, каким образом эту проблему уда-
ется решить при использовании нестандартной модели цепи. Но сна-
чала уточним условия корректности задач анализа электрических
цепей и познакомимся с проблемами анализа цепей, содержащих
топологические вырождения.
Корректной (корректно поставленной) называют задачу, реше-
ние которой, во-первых, существует, во-вторых, единственно и,
в-третьих, устойчива, т. е. непрерывно зависит от исходных данных.
При нарушении какого-либо из этих условий говорят о некоррект-
ных задачах. Как отмечалось, некорректные задачи возникают при
расчетах цепей с топологическими вырождениями. Применительно
к резистивным цепям такими вырождениями являются особые кон-
туры и разрезы. Под особым контуром понимают контур, в который
входят только идеальные источники ЭДС и ветви с нулевыми со-
противлениями, а под особым разрезом — разрез, в который входят
идеальные источники тока и ветви с нулевыми проводимостями. На
рис. 9.2, а приведена схема электрической цепи с особым контуром
L, а на рис. 9.2, б — схема электрической цепи с особым разрезом S.
Теорема существования и единственности решения уравнений ли-
нейных резистивных цепей ставит корректность задач расчета це-
пей этого класса в зависимость от наличия в них топологических
вырождений. Согласно этой теореме можно считать, что:
а) если в электрической цепи нет особых контуров и особых
разрезов, то решение ее уравнений существует и единственно;
314
б) если в электрической цепи имеются особые контуры и разре-
зы, для которых выполняются законы Кирхгофа (во всех особых
контурах алгебраические суммы ЭДС равны нулю, а во всех особых
разрезах алгебраические суммы токов источников тока равны ну-
лю), то решение уравнений цепи существует. При этом оно единст-
венно для токов и напряжений всех элементов цепи, за исключе-
нием токов через элементы особых контуров и напряжений на эле-
ментах особых разрезов;
вз
8)
Рис. 9.2
в) если в электрической цепи имеется хотя бы один особый кон-
тур или разрез, для которого соответствующий закон Кирхгофа не
выполняется, то решений для ее уравнений не существует.
Пример 9.1. Если в цепи рис. 9.2, а ЭДС Е\ — Ег = Е, то однозначно могут
быть определены все токи и напряжения (Jr = E/R, Ur = U£i = UE^ = Е) за
исключением токов элементов особых контуров, т. е. токов /1, /г- Если Ei=/=E2, то
рассчитать эту цепь невозможно.
Отметим, что аналогичные утверждения определяют и возмож-
ности решения задачи расчета переходных процессов в линейных
RLC — цепях с корректно заданными начальными условиями (см.
§ 9.4). Оценим возможность корректировки моделей цепей с топо-
логическими вырождениями, связанной с приписыванием идеаль-
ным элементам особых контуров и разрезов некоторых малых, но
не нулевых значений для сопротивлений и проводимостей. Очевид-
но, подобная корректировка возможна лишь для моделей с такими
топологическими вырождениями, которые не связаны с нарушением
законов Кирхгофа; появление же топологических вырождений, свя-
занных с нарушением законов Кирхгофа, свидетельствует о прин-
ципиальной невозможности достоверного моделирования электри-
ческой цепи по исходной информации. При проведении такой кор-
ректировки в рамках классического анализа трудности связаны с
выбором конкретных значений вводимых параметров.
Пример 9.2. Рассмотрим задачу моделирования мостового преобразователя
(рис. 9.3, а) в режиме холостого хода, когда управляемые вентили закрыты.
315
Пусть точные значения проводимостей вентилей не заданы, но заведомо извест-
но, что они существенно меньше значений проводимостей G других элементов
цепи. Если ввести допущение об идеальности вентилей, т. е. положить проводи-
мости для закрытого состояния вентилей равными нулю, то в цепи образуется
особый разрез S, который делит ее иа две гальванически не связанные части.
При этом, согласно теореме существования и единственности решения для цепи;
могут быть рассчитаны токи и напряжения всех элементов, за исключением на-
пряжений элементов особого разреза, т. е. напряжений вентилей щ, иг, из, и*.
Прн отказе от допущения об идеальности вентилей в случае их однотипности им
Рис. 9.3
могут быть приписаны равные проводимости gi=g2 — g3—gt=g- Значение этих
проводимостей выбирают произвольным, но удовлетворяющим условию g<nG.
В полученной цепи (рис. 9.3, 6) топологические вырождения отсутствуют и для
ее расчета в каждый момент времени t, можно использовать метод узловых на-
пряжений:
’2^+0
- Q
- —g
-G
2g + G
— g
— g
— g
2g+ G
-ux-
U2
U3.
'O’
0
J
(9-1)
где = — U3=U3(ti) — искомые мгновенные значения узло-
вых напряжений; / = /(!<) —заданное мгновенное значение тока источника. Ана-
литическое решение этой системы уравнений позволяет получить Ui — U3 = U3/2,
U3=J/(G+g) или при g<s:G и, = и2»J(2G), Uz^l/G. По найденным напря-
жениям определяют искомые напряжения вентилей: Ui——СЛ, иг = и3—Ui, из*=*
==Z72> U4s==^2~—
При машинном формировании и решении подобных уравнений
выбор произвольно малых значений g из-за ограниченных возмож-
ностей ЭВМ. приводит к полной непредсказуемости получаемых ре-
шений.
Пусть система (9.1) обрабатывается численно на ЭВМ, мантис-
са представления числа которой ограничена шестью разрядами
(ЕС ЭВМ), а значение g выбрано более чем на шесть порядков
316
меньшим значения G. Тогда вместо системы уравнений (9.1) в ЭВМ
будет сформирована система
го общего не имеет с истинным решением системы уравнений (9.1)
цепи рис. 9.3, а. При увеличении значения g машинная обработка
уравнений узловых напряжений уже возможна, но при этом реше-
ние становится все более зависящим от параметра g и, следователь-
но, модель будет все менее адекватной исходной информации. Сход-
ные проблемы возникают и при расчете других цепей, у которых
идеальные элементы особых контуров и разрезов заменены неиде-
альными элементами с малыми сопротивлениями и проводимо-
стями. Дело в том, что у этих цепей имеются почти особые контуры,
сопротивления элементов которых существенно меньше сопротивле-
ний других элементов цепи, и почти особые разрезы, проводимости
элементов которых значительно меньше проводимостей других эле-
ментов цепи. Уравнения подобных цепей близки к вырожденным,
что и порождает соответствующие вычислительные трудности. От-
метим также, что отказ от допущения об идеальности элементов
при использовании классического анализа увеличивает и размер-
ность математической модели цепи, которая к тому же из-за почти
вырожденности ее уравнений является заведомо жесткой.
Рассмотрим, как можно избежать отмеченных проблем, приме-
няя нестандартные модели цепей. В этом случае элементам, пара-
метры которых согласно описанию «существенно (несравнимо)
меньше» или «существенно (несравнимо) больше» параметров одно-
типных элементов, приписывают нестандартные значения парамет-
ров в виде соответственно бесконечно малых и бесконечно больших
чисел. При этом отпадает необходимость выбора конкретных дей-
ствительных чисел. Так, однотипным вентилям моста рис. 9.3, а в
режиме холостого хода приписываются бесконечно малые и равные
между собой значения проводимостей gi—gi=.gz=gi=gt
Подобные элементы неидеальны в нестандартной области, но оста-
ются идеальными относительно стандартных частей их параметров.
Следовательно, в нестандартной области модель цепи уже не имеет
топологических вырождений и ее уравнения имеют единственное
решение. Для нас интерес представляет стандартная часть этого
решения. Стандартная часть решения уравнений цепи с нестандарт-
ными элементами совпадает с решением уравнений соответствую-
щей идеализированной цепи относительно тех переменных, которые
из уравнений последней находят однозначно, т. е. относительно всех
317
токов и напряжений, за исключением токов элементов особых кон-
туров и напряжений элементов особых разрезов.
Пример 9.3. Рассмотрим цепь рис. 9.3, а с идеальными вентилями в режи-
ме, когда они закрыты (холостой ход преобразователя) н, следовательно, когда
однозначно могут быть определены только токи всех элементов i1 = f2=i3 = i4==
= 15 = 0, is=J и напряжения нагрузки Us-О и источника Us — 1/G.
Для цепи с нестандартными значениями проводимостей вентилей gteJ (рис.
9.3, в) определим токи и напряжения всех элементов в нестандартной области:
„ г. и, 1 - ... U, 1
^-"1-—- 2(О+7У •
_ J
«5 = Ui — U2 = 0, иб = £/з= --;
G + g*
_ _ _ _ U3 - -
i2 = i2= —ii= = — S* = ' , i5 = u5G = 0,
2 2(0+ g.t)
JG
i6 = u6G
G + g*
Найдем стандартные части полученных токов н напряжений в соответствии с
правилами их определения. При g,^I и, следовательно, stg. = O
Д3 J _ — U3 J
st CZi = stC/2= st —- =—— , st u2 = st u3= — stui = — stu4 = st —= — ,
At AtvJ At Al\J
_ J
st u5 — 0, st u6 = st U3 = — : st l2 = st i3 = — st <i = — st i4 =
= st g* = st st§# = 0, st i5 = 0, stl6= stu6G = J.
Таким образом, стандартные части токов ц..Г6 и напряжений «s, не-
стандартной модели цепи (рис. 9.3, в) совпадают с токами й,... ,<6 и напряже-
ниями us, Us цепи с идеальными закрытыми вентилями (рис. 9.3, а). При этом
нестандартная модель позволила определить и напряжения йц..., й4 особого кон-
тура, которые из идеализированной модели не могли быть однозначно найдены.
Заметим, что значения стандартных частей этих напряжений stu2 = stu3 =
= —stu4=//(2G) полностью соответствуют интуитивным представлениям о ха-
рактере распределения напряжения на идеальных закрытых вентилях в симмет-
ричной цепи преобразователя рис. 9.3, а, если
ui = st Hi = — //(2G), и2 — st ц2= //(2G), «з = st и3 = J/(2G),
u4 = st u4 = — //(2G).
Для того чтобы получить подобный результат распределения
напряжений на закрытых вентилях простейшего мостового преоб-
разователя, можно было и не привлекать такой тонкий аппарат ис-
следования, как нестандартный анализ, а просто воспользоваться
соображениями симметрии. Но именно эта очевидность результата
в рассматриваемом примере позволяет наиболее наглядно проил-
люстрировать все особенности подходов к решению некорректных
задач данного класса. В более сложных случаях (см. гл. 7) сообра-
жения симметрии уже не столь очевидны и общее их формальное
318
описание на ЭВМ невозможно. По этой причине предлагаемый уни-
версальный математический аппарат является единственно возмож-
ным для!создания общих алгоритмов решения подобных задач на
ЭВМ. При этом для расчета электрических цепей с топологически-
ми вырождениями предлагается элементам особых контуров и раз-
резов приписать исходя из физической сути задачи некоторые не-
стандартные (бесконечно малые или бесконечно большие) значения
параметров, а затем определить стандартные части всех токов и
напряжений полученной цепи.
Полученный результат и при-
нимается в! качестве решения
рассматриваемой некорректной
задачи. Причем так гач ст,-
дартные части токов и напря-
жений в нестандартной модели
совпадают со значениями токов
и напряжений всех элементов
исходной идеализированной це-
Рис. 9.4
пи, за исключением токов через
особые контуры и напряжений
на особых разрезах, то и опре-
делять из нестандартной модели
ные части переменных элементов
алгоритм расчета электрической цепи с топологическими вырожде-
целесообразно только стандарт-
этих контуров и разрезов. Тогда
ниями включает два этапа.
На первом этапе рассчитывают исходную, идеализированную
цепь, в результате чего определяют все переменные, за исключени-
ем токов через элементы особых контуров и напряжений на элемен-
тах особых разрядов.
Пример 9.4. Для цепи рнс. 9.3, а с идеальными закрытыми вентилями опре-
делим все токи /1=|2 = 1'з=14=»5 = 0, (6 = / и напряжения Us = 0, Ut,=J/G, за ис-
ключением напряжений на элементах особого разреза, т. е. напряжений щ,
«3, “4-
На втором этапе вычисляют стандартные части остальных пере-
менных. При этом уже нет необходимости рассматривать всю мо-
дель цепи, достаточно ограничиться только той ее частью, которая
состоит из нестандартных элементов, а остальную часть цепи за-
менить эквивалентными источниками.
Пример 9.5. Для определения стандартных частей напряжений st щ, st й2.
st йз, st й4 рассмотрим цепь рис. 9.4, а, полученную из цепи рис. 9.3, в путем за-
мены элементов с нестандартными параметрами источниками ЭДС £5 = stu5 = O,
£'6 = stiX6 = //G (учтено, что стандартные части напряжений й5, й6 цепи рис.
9.3, в совпадают с напряжениями u5, и6 цепи рис. 9.3, а).
Так как модель рис. 9.4, а включает только проводимости с нестандартны-
ми бесконечно малыми значениями gi — g2=g3=g4—g<„ то их можно охарак-
теризовать относительными уже стандартными значениями goi=gi/g. = l, £02 =
=&2/£.= 1, £оз=£з/§.= 1, go4=gi/g>= 1 и дли определения переменных st иь
st Й2, st й3, st й4 составить модель (рис. 9.4, б), все значения параметров которой
стандартны. В результате расчета цепи рис. 9.4, б получим st U(=st —£6/2=
=—//(2G), st^ = stu3=£'6/2=7/(2G).
319
Такая двухэтапная процедура позволила найти искомое пере-
менные для цепи с топологическими вырождениями:
= i3-=J, щ = JK2G)r
u2~u3=J/(2O), и5=0, u6=J/G,
где «!=st«i; «2=st«2; «3=st«3; zz4=stw4.
Рассмотренный подход позволяет формально просто,/не испыты-
вая вычислительных трудностей, получать такие решения некоррект-
ных задач, которые адекватны исходной информации. Поэтому он
особенно эффективен для приме-
нения в машинном анализе слож-
ных цепей, содержащих большое
число идеализированных элемен-
тов, в частности идеальных вен-
тилей. В таких цепях топологиче-
ские вырождения возникают в
процессе функционирования мо-
делей и надежный аппарат расче-
та соответствующих режимов, га-
рантирующий достоверность ре-
зультата, в значительной мере определяет ценность соответствую-
щих алгоритмов (см. гл. 7).
В заключение отметим возможность использования нестандарт-
ных моделей в тех случаях, когда параметры элементов, описанных
с помощью почти количественных отношений, уже нельзя считать
одинаковыми. Тогда подобным элементам в нестандартной модели
можно приписать различные нестандартные значения параметров.
Пример 9.6. Рассчитаем цепь, состоящую из двух параллельно соединенных
генераторов, работающих на общую нагрузку (см. рис. 9.2, а). Пусть согласно
исходной информации ЭДС этих генераторов £1 = £2 = £, значения же их внут-
ренних сопротивлений не заданы, но известно, во-первых, что они существенно
меньше сопротивления нагрузки и, во-вторых, что сопротивление первого генера-
тора в два раза больше сопротивления второго генератора. Тогда в нестандарт-
ной модели цепи сопротивления генераторов можно принять равными п = 2г.,
Г2 = г*, где г. — бесконечно малое число (r.eZ). При этом в соответствии с ра-
нее предложенной методикой для определения токов генераторов на первом эта-
пе может быть найден ток I = E/R.. На втором этапе вычислиют токи генерато-
ров, для чего вводят их бесконечно малые сопротивления п, г2, такие, что rt/r2 =
=2. По аналогии с рис. 9.4, б рассматривают цепь рис. 9.5, а с параметрами в
относительных еанннцах. Решение уравнений этой цепи (рис. 9.5, б)
Л + 1ч. = / = EIR, 2Zt - 1Z2 = О
позволяет получить искомые значения токов генераторов'.
Zl = £/(3/?), Z2 = 2£/(3Z?),
где Z1 = st7i; Z2 = stZ2.
320
Аналогичным образом можно рассчитывать цепи с топологиче-
скими вырождениями из других идеальных, но не однотипных эле-
ментов (вентилей, трансформаторов и т. д.).
§ 9.4. Нестандартные модели электрических цепей
с мгновенными коммутациями
Обычнф для электрических цепей с ключами допущение о мгно-
венности коммутаций (переключений) может привести к значитель-
ным трудностям при расчетах. Последние возникают в том случае,
когда после коммутации создаются новые разрезы, состоящие из
одних индуктивных элементов или индуктивных элементов и источ-
ников тока, или новые контуры, образованные из одних емкостных
элементов или емкостных элементов и источников ЭДС. Для обес-
печения выполнения законов Кирхгофа в подобных разрезах и кон-
турах в моменты их образования токи через индуктивные элемен-
ты и напряжения на емкостных элементах должны изменяться
мгновенно (скачком). При этом возникают трудности определения
новых значений токов через индуктивные элементы и напряжений
на емкостных элементах. Но основные трудности связаны с физи-
ческой трактовкой получаемых результатов, поскольку в этих слу-
чаях приходится допускать и мгновенное изменение энергий, запа-
/ Lji2, (t) \
сенных в магнитных полях индуктивных у —-— й
\ 2 )
электрических полях емкостных ц/э(/)— ) элементов,
и, следовательно, развитие бесконечных мощностей в моменты комму-
тации. Кроме того, для описания напряжений на индуктивных элемен-
/ di. \ ( dur \
тах \ul=L—- и токов через емкостные элементы ic=C——
\ dt / ( dt /
в моменты коммутации приходится вводить б-функции, которые уже
не являются собственно функциями, а представляют собой некото-
рые функционалы. В реальных электрических цепях не развивают-
ся бесконечные мощности, так же как и процессы не носят идеаль-
но импульсного характера. Имеет место неадекватность математи-
ческого описания коммутационных явлений реальной физической
ситуации. В то же время отказ от допущения о мгновенности ком-
мутаций при использовании классического математического аппа-
рата усложняет общую математическую модель цепи (увеличивает
ее размерность, изменяет качество уравнений и, как следствие, тре-
бует привлечения более трудоемких методов их обработки, ориен-
тированных, например, на типичную в этом случае жесткость за-
дачи). Кроме того, отказ от подобного допущения требует и такой
дополнительной информации для уточнения модели цепи, которой
исследователь часто не располагает. Действительно, обычно подоб-
ные расчетные ситуации возникают, когда о коммутационных про-
321
цессах цепи известно только то, что их время можно считать очень
малым (пренебрежимо малым). /
При этом применение нестандартного анализа или же/«рабочей
математики» дает более адекватное реальной ситуации / описание
а)
S)
Рис. 9.6
Пример 9.7. Проанализируем мгновен-
ную коммутацию в чисто емкостной цепи,
изображенной на рис. 9.6, а. Возможны два
подхода. В первом, чисто формальном под-
ходе используют нестандартные модели на-
копительных элементов (см. § 9.2), в кото-
рых отражен принцип непрерывности их то-
ков н напряжений. Считая, что ключ в це-
пи рис. 9.6, а замыкается в момент времени
i=0, можно записать
Cj
i} (Л) =- GjUj (h) + J}(h), G }=-—>
CjUjW)
h
, 1, 2, 3,
где t~h — длительность наблюдения про-
цесса коммутации, которая считается пре-
дельно малой величиной при использовании
«рабочей математики» или же бесконечно
малой величиной при использовании нестан-
дартного анализа.
Таким образом, сами модели ем-
костных элементов исключают мгно-
венность коммутации, поскольку
учитывают ее длительность h. При этом, однако, не возникает рас-
четных сложностей при определении напряжений после замыкания
ключа, поскольку полученные модели представляют собой чисто
арифметические выражения, которым, как было показано в § 9.2,
можно сопоставить некоторые резистивные аналоги емкостных эле-
ментов.
Пример 9.8. Расчет напряжений на емкостных элементах в момент, следую-
щий за замыканием ключа в цепи рис. 9.6, а сводится к расчету чисто резистив-
ной цепи рис. 9.6, б, параметры которой для удобства промасштабированы: G.j =
= Gjh = Cj, J.j=Jj(h)h=Cjtij(O), j=l, 2, 3. Согласно методу узловых напря-
жений,
5 '*/
,,, тт i—l С\и\ (0) -р C2U2 (0) 4- С3и3 (0)
и (Л) = U = —j----------=----------- -, -------------------
1 v г- Ci + С2 + Сз
2j
/-1
Отметим, что полученное выражение не зависит от длительности коммутации h,
которая по условиям задачи имеет пренебрежимо малое значение.
322
Использование нестандартных моделей при анализе коммута-
ций в чисто индуктивных или часто емкостных цепях исключает
трудностй, характерные для анализа этих явлений с помощью клас-
сической Математики. Так, здесь не привлекаются 6-функции для
описания ioKOB через емкостные элементы и напряжений на индук-
тивных элементах, а соответствующие запасы энергий описываются
непрерывными функциями.
Рассмотрим второй подход для описания коммутационных яв-
лений с помощью нестандартного анализа, когда нестандартные мо-
дели накопительных элементов непосредственно не используются.
Каждый замыкающийся ключ в емкостной цепи (каждый размы-
кающийся ключ в индуктивной цепи) заменяют бесконечно малым
сопротивлением (бесконечно малой проводимостью g.eZ),
с тем чтобы после коммутации в цепи не возникало новых емкост-
ных (индуктивных) контуров (разрезов). Такое допущение право-
мерно, так как в реальных электрических цепях эти элементы за-
ведомо не идеальны. В созданных моделях активно-индуктивных
и активно-емкостных цепей гарантируется непрерывность изменения
напряжений на емкостных элементах (токов через индуктивные
элементы), а следовательно, и соответствующих энергий. Расчет же
переменных состояния может быть проведен любым традиционным
способом. Основным является то, что исследователь не связан с
конкретным выбором параметров ключей, а учитывает в моделях
лишь тот факт, что зти параметры — величины существенно (пре-
небрежимо) малые, хотя и не нулевые.
Пример 9.9. Применим рассмотренный подход для описания коммутации це-
пи рис. 9.6, а. В этом случае модель цепи имеет вид рнс. 9.6, в. Так как посто-
янные времени такой цепи являются заведомо бесконечно малыми величинами,
то переходный процесс происходит только в окрестности Z®Q. Точнее, стандарт-
ные части переменных состояния устанавливаются в окрестности /«О и остают-
ся неизменными прн любом не бесконечно малом отрезке времени, т. е. stuj(Z) =
= const, если st Z>0, /=1, 2, 3, и, следовательно,
st и\ (t) = st = st zz3 (Z) = U, st t > 0.
Проинтегрировав уравнение первого закона Кирхгофа
стандартных частей переменных, получим
ДЛЯ
Для определения искомых напряжений составим систему уравнений
st U] (Z) = st zz2(O = st «3<Z) — U;
з _ з
У C,st«.(Z) = y C;stu.(O), stZ>0,
J=1 /=1 1
323
которую можно сопоставить с резистивной цепью рис. 9.9, б, если sthj(t)=Uj,
/=1,2,3. /
Таким образом, в данном случае напряжения на емкостных элементах ус-
танавливаются за бесконечно малый промежуток времени и их стандартные час-
ти, представляющие для нас интерес, имеют вид [
,,, ,,, гг С1И] (0) + С‘2«2 (0) + C3U3 (0)
«1 (0 = «2 (О = «з (0 = и =---------- , г , г------------ •
Ci + С2 + С3
где uj(/) = stuj(f) /=1, 2, 3.
Рассмотренный подход менее формален, чем предыдущий, но
более физичен, что важно для объяснения коммутационных явле-
ний. В частности, здесь очевидно, что уменьшение энергий, запасен-
ных в накопительных элементах, вызвано тепловыми потерями за
время коммутации в резистивных
элементах, замещающих ключи.
Использование нестандартного
анализа позволило создать для рас-
чета коммутационных явлений це-
пей рассматриваемого класса фор-
мальный подход, основанный на при-
менении резистивных схем замеще-
ния. Согласно этому подходу для
расчета новых значений напряжения
на емкостных элементах емкостных
контуров, эти элементы заменяют
С*7*-элементами с параметрами
С?* = С, /*=См(0),
где «(0)—предшествующее коммутации значение напряжения на
емкостном элементе. При этом искомые значения напряжений на
емкостных элементах совпадают с напряжениями на соответствую-
щих элементах в полученных резистивных цепях.
Для расчета новых значений токов через индуктивные элементы
индуктивных разрезов эти элементы L заменяют 7?*£*-элементами
с параметрами R» — L, E*=Li(Q), где i(0)—предшествующее ком-
мутации значение тока через индуктивный элемент.
Пример 9.10. Для расчета послекоммутационных значений токов через L;
цепи рис. 9.7, а составим модель в виде резистивной цепи (рис. 9.7, б), где /?.| =
Сг, R.^=Li, £.2 = 7.21'2(0) =0. При этом искомые значения токов
через Lj совпадают с токами через соответствующие элементы резистивных це-
пей. Так, для данного примера
/1(0 = 72(0=
7-1 + Z-2
Описание коммутационных явлений с помощью нестандартного ана-
лиза адекватно исходной информации, носящей часто качественный
характер.
324
Рассмотренный в настоящей главе материал показывает, что
нестандартный анализ позволяет строго обосновать сложившиеся в
инженерной практике подходы к моделированию цепей, описание
которых носит частично качественный характер, и формально стро-
ить алгоритмы их расчета. Нестандартный анализ отличается ла-
коничностью языка и отражает в математической форме интуитив-
ные представления исследователей о подобном классе цепей. По-
этому представляется перспективным его широкое использование
в теоретической электротехнике.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Проблемы математического моделирования электрических це-
пей и организации их численных расчетов на ЭВМ многообразны и
охватывают различные разделы теоретической электротехники, вы-
числительной математики, проблемного и системного программиро-
вания. Из-за ограниченности объема книги авторы не рассмотрели
многие вопросы, связанные с вычислительной математикой, теорией
и методами программирования. Основное внимание в книге уделено
вопросам теоретической электротехники, развитию навыков созда-
ния новых математических моделей и методов алгоритмизации за-
дач теории электрических цепей.
Авторы считают исключительно важным развитие аналитиче-
ских методов решения уравнений состояния сложных электрических
цепей. При классических путях применения ЭВМ в теоретической
электротехнике метод переменных состояния является базовым. По-
этому раскрытие его внутренних возможностей имеет большое зна-
чение. В книге последовательно проводилась идея максимального
использования возможностей аналитических методов в качестве
предварительного условия для последующего перехода к численным
расчетам. Подобный подход позволяет не только в максимальной
мере использовать преимущества компактности и полноты инфор-
мации аналитических решений, но и разрабатывать новые более
экономичные и эффективные численные методы решения задач тео-
рии электрических цепей. Например, представление решений уравне-
ний состояния через функции от матриц их коэффициентов позво-
ляет создать новые эффективные алгоритмы численного интегриро-
вания этих уравнений. Синтез возможностей аналитических и
численных методов решения уравнений состояния открывает и новые
пути использования ЭВМ. Так, объединение аналитических методов
преобразования уравнений состояния электрических цепей с числен-
ными методами их решения, с методами анализа топологических
структур и с учетом современной техники программирования при-
вело к созданию принципов макромоделирования, обеспечивающих
повышенную эффективность машинных расчетов цепей.
При математическом моделировании электрических цепей важ-
ное значение имеет выявление таких особенностей их уравнений,
которые затрудняют использование традиционных алгоритмов их
численной обработки. Необходимость проведения такого исследо-
326
вания, основы которого составляют аналитические методы, требует
высокой степени формализации последних. Поэтому перспективным
представляется дальнейшее развитие изложенного в книге опера-
ционного подхода к решению уравнений состояния сложных цепей.
Его реализация сделала процедуру аналитического решения этих
уравнений такой же тривиальной, как и уравнений состояния про-
стейших цепей. Имеется возможность распространения этого под-
хода на решение некоторых других классов уравнений состояния,
например уравнений состояния цепей с распределенными парамет-
рами. Но главным является формализация последующих качествен-
ных исследований, в частности анализа чувствительности уравне-
ний состояния электрических цепей к изменению их параметров.
При этом могут быть получены и новые результаты по синтезу ма-
тематических моделей цепей.
В области создания математических моделей цепей перспектив-
ным представляются выявление новых подходов и новых постановок
задач. Так, плодотворной оказалась математическая формализация
задач воссоздания математических моделей цепей по данным диаг-
ностических экспериментов. Большой интерес представляет и воз-
можность привлечения новых математических аппаратов, таких,
например, как нестандартный анализ, для более адекватного ото-
бражения исходной информации о цепях в их математических мо-
делях. Достижение прогресса в этой области во многом связывается
с совершенствованием математического языка описания соответст-
вующих задач.
Следует отметить, что при создании программ машинных расче-
тов электрических цепей массовое увлечение специалистов-электро-
техников, в большинстве своем не являющихся специалистами в
области создания «программных продуктов», самостоятельной раз-
работкой различных программных комплексов приводит к неэф-
фективному использованию их знаний и навыков. Опыт показыва-
ет, что наиболее высокий уровень разработок такого рода обеспе-
чивается при совместной работе специалистов в области системного
и проблемного программирования и специалистов в области теоре-
тической электротехники. Несмотря на то что многие современные
методы численных расчетов были разработаны «с подачи» и с по-
мощью специалистов по теоретической электротехнике (например,
системные методы интегрирования Ю. В. Ракитского), современная
вычислительная математика накопила большое число эффективных
алгоритмов, которые могут быть непосредственно использованы в
программах расчета электрических цепей. Исключительное значе-
ние в будущем, по-видимому, приобретет сервисное обеспечение
программ, создание ориентированных на данную предметную об-
ласть операционных сред, а также становление проблемно-ориен-
тированных систем искусственного интеллекта. Все это потребует
интенсивного развития теории моделирования электрических цепей,
накопления и формализации опыта их машинного расчета.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Нейман Л. Р., Демирчян К- С. Теоретические сие основы электротехники, Т. 1,
2.— Л.: Энергоиздат, 1981.
2. Ракитский Ю. В., Устинов С. М., Черноруцки'пкий И. Г. Численные методы
решения жестких систем.— М.: Наука, 1979.
3. Расчет электрических цепей и магнитных поле'олей на ЭВМ/М. Г. Александ-
рова, А. Н. Белянин, В. Брюнкер и др.; Под ред. Л. ЁП. В. Данилова и Е. С. Филип-
пова.— М.: Радио и связь, 1983. -к
4. Чуа Л., Пен-Мин Лии. Машинный анализ эле электронных схем: Алгоритмы
и вычислительные методы/Пер. с англ.— М.:(Энергия,) чя,11980.
5. Фидлер Дж. К., Найтингейл К. Машинное /ijie ^проектирование электронных
схем/Пер. с англ.— М.: Высшая школа, 1985.V
6. Бутырии П. А. Диагностика пассивныхХногопЧополюсников//Изв. АН СССР.
Энергетика и транспорт, 1983, № 6. х
7. Бутырин П. А. Применение функций от операгераторов для определения ана-
литических решений уравнений состояния//Изв. АН (Н СССР. Энергетика и транс-
порт, 1985, № 4.
8. Бутырин П. А., "Борю С. Ю. Аналитические кие преобразования уравнений
состояния электрических машин//Изв, АН СССР. Эне Энергетика и транспорт, 1986,
№ 2.
9. Бутырин П. А., Тихомирова М. П. Решение |ие уравнений состояния одно-
родных многосвязных линий//Йзв. АН СССР. Энер>'нергетика и транспорт, 1987,
№ 2.
10. Демирчян К. С., Бутырин П. А., Калугин Е. Е. И. Аналитические решения
уравнений состояния электрических цепей. Препринт ?нт ИВТ АН СССР. № 3—124.
1983..
И. Демирчян К. С. и др. Проблемы численногсчого моделирования процессов
в электрических цепях//Изв. АН СССР. Энергетика и;А и транспорт, 1982, № 2.
12. Демирчян К. С., Ракитский Ю. В. Фильтраци ация составляющих с больши-
ми производными в динамических системах. Препринт инт ИВТ АН СССР, № 3—135,
1983. _ |
13. Зайцев И. А., Демирчяи К. С. Определение наг начальных условий при скач-
кообразных изменениях токов и напряжений//Электректричество, 1961, № 7.
14. Mycielsky Т. Analysis without actual infiniti Ijti The Jornael of Simbolic Lo-
gic, 1984, s. 46, N 3.
15. Folinger O. Laplace — und Furier — Transformiormation Berlin, 1982.
16. Moler Cleve, Van Loan Charles. Nienteen duh dubious ways to computer the
exponential of a matrix//SIAM Review, vol. 20, N 4, 197:1978.
17. Vie M. Leitungs modelie fur allgemeine Netzwtzwerkanalyseprogramme/Zeits-
chrift elektr. Inform, u. Energietechnik, Leipzig, 1982, Nl, N 12.
18. Бэндлер Дж., Салама А. Э. Диагностика не> неисправностей в аналоговых
цепях/Пер. с англ.— ТИИЭР. Т. 73, № 8, 1985.
19. Валеев К- Г., Финин Г. С. Построение функци'кций Ляпунова.— К.: Наукова
думка, 1981.
20. Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А. Матрицы 1,.ы и вычисления.— М.: Наука,
1984.
328
21. Девис М. Прикладной нестандартный анализ/Пер. с англ.— М.: Мир, 1980.
22. Деккер К., Вервер Я. Устойчивость методов Рунге — Кутты для жестких
нелинейных дифференциальных уравнений/Пер. с англ.—М.: Мир, 1988.
23. Джордж А., Лю Д. Численное решение больших разреженных систем
уравнений/Пер. с англ. — М.: Мир, 1984.
24. Киншт Н. В. и др. Диагностика линейных электрических цепей.— Влади-
восток: Изд. Дальневосточного университета, 1987.
25. Михайлов Ф. А. и др. Динамика непрерывных линейных систем с детер-
минированными и случайными параметрами.— М.: Наука, 1971.
26. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференци-
альных уравнеиий/Пер. с англ.— М.: Наука, 1986.
27. Самарский А. А. Введение в численные методы.—М.: Наука, 1987.
28. Смит Дж. М. Математическое и цифровое моделирование для инженеров
и исследователей/Пер. с англ.— М.: Машиностроение, 1980.
29. Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения/Пер. с англ.—М.: Мир,
1980.
30. Уилкинсон Дж. Алгебраическая проблема собственных значений/Пер.
англ.— М.: Наука, 1970.
31. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К- Машинные методы математиче-
ских вычислений/Пер. с англ.— М.: Мир, 1980.
Алгоритм стартовый 175
Анализ нестандартный 307
Ветвь обобщенная 10
Граф
— нормальный 10
— правильный 10
Дерево 9
— нормальное 9
Диагностика электрических цепей 246
Жесткость системы 187
Изображение 36, 120
Интеграл
— Дюамеля 34
— Лапласа 36
— собственный 47
Интегрирование численное 175
Источник тока, управляемый напря-
жением 224
Контур 9
— особый 314
Критерий возможной фильтрации 203
Макромоделирование 228
— вентильных цепей 237
— длинных линий
— электрических машин 229
Машина электрическая идеализиро-
ванная 143
М-матрица 219
Матрица
— монодромии 154
— положительная 218
— преобразования Ляпунова 141
— разреженная 268
— Силтьеса 219
— узловых проводимостей 265
— узловых сопротивлений 218, 249
— Якоби 22
Матрицант 139
Метод
— А-устойчивый 186
— диакоптнческий 228
— Линигера— Уиллаби 176
— многошаговый 175
— модифицированный узловых сопро-
тивлений 269
— неявный Эйлера (неявный метод
ломаных) 176
330
обобщенный узловых <<>п|>отивЛ(
пий 262
— одиошаговый 175
— Рунге — Кутта 177
— системный 194
— степени v 177
— трапеций 176
— узловых напряжений 217
— - узловых проводимостей 265
— узловых сопротивлений 249
— усовершенствованный ломаных 177
— четвертой степени 177
— численного интегрирования 175
— Эйлера — Коши 177
— явный Эйлера (ломаных) 176
Микроскоп инфинитезимальный 312
Многочлен интерполяционный Ла-
граижа-‘-—С1нльвестра 84
Множество'гипердействительных (не-
стандартных) чисел 308
Модель [
— асимптотическая 200
— электрической цепи нестандартная
313 х
Мультипликаторы 154
Напряжение холостого хода 286
Невизка 251
Область устойчивости метода 183
Оригинал 36
Переменные состояния электрической
цепи 8
Подграф нормальный 10
Показатель экспоненциального роста
функции 37
Порядок системы дифференциальных
уравнений 200
Постоянная времени 33
Правило Рунге 178
Преобразование
— Лапласа 37
— Парка — Горева 145
Принцип
— поэлементного вклада 222
— Релея 201
— фильтрации быстрых составляю-
щих 198
Проводимость
— импульсная 34
— инфинитезимальная 243
— общая 217
— переходная 33
— собственная 217
11рОГНОЭ К(1|1|К'КЦИИ 22')
Проиэводнаи асимптотический 2<)3
— повышенной точности 203
Процесс переходный 35
Псевдорешение 290
Разрез 9
— особый 240, 314
Резольвента матрицы 85
Результат склеенный 309
Решение резонансное 73
Связь 9
Синус-преобразование Фурье 120
Системы дифференциальных уравне-
ний
— сильноосциллирующие 209
— жесткие 187
Составляющая
— преходящая 35
— принужденная 32, 80, 140
— свободная 32, 80, 139
— установившаяся 35
Схема
— разностная 175
— синтетическая 214
Тень нестандартного числа 309
Теорема
— Ляпунова 141
— перехода от изображений ЛПЛ к
оригиналам 65
— существования и единственности
решения уравнений линейных рези-
стивных цепей 314
— Флоке — Ляпунова 141
— эквивалентности 297
Уравнение
»1'имптотич< < к и устойчивое 181
- - неустойчивое 181
— разностное 175
— устойчивое 181
— эволюционное 219
Функция
— импульсно-модулированная 127
— кусочно-полиномиальная 45, 127
— кусочно-синусоидальная 46, 127
— от матрицы 84
Характеристика
— амплитудно-частотная 109
— вещественная частотная 108
— импульсная 34
— мнимая частотная 108
— переходная 33
— спектральная (частотная) 108
— управляемая по аргументу 215
— фазочастотная 109
Хорда 9
Цепь электрическая сильносвязная
268
Часть стандартная числа 309
Шаг
— дискретизации таблицы 175
— интегрирования 175
Эксперимент мысленный 306
Экспоненциал 80, 85
Элементы бесконечно близкие 309
Язык е—6 307
ОГЛАВЛЕНИЕ
Форум на
AVIA.RU
представляет
Предисловие......................................................... 3
Введение............................................................ 4
Глава 1. Аналитические решения уравнений состояния простейших элект-
рических цепей................................., . ............. 30
§ 1.1. Классический метод решения уравнений состояния простейших
RL- и /?С-цепей................................................. 30
§ 1.2. Применение преобразований Лапласа для нахождения устано-
вившихся составляющих решений уравнений состояния простейших
электрических цепей ............................................ 36
§ 1.3. Решение уравнений состояния простейших электрических цепей
при синусоидальном, экспоненциальном н линейном изменениях во
времени воздействующих напряжений............................... 41
§ 1.4. Нахождение изображений ЛПЛ для периодических кусочно-по-
лииомиальных, кусочно-сииусоидальных и импульсно-модулированиых
функций......................................................... 45
§ 1.5. Определение установившихся составляющих решений уравнений
состояния простейших электрических цепей с периодическими кусочно-
полиномиальными, кусочно-синусоидальными и импульсно-модулиро-
ванными воздействующими напряжениями............................ 50
§ 1.6. Особенности решений уравнений состояния простейших элект-
рических цепей на основе ЛПЛ при скачкообразных изменениях воз-
действующих напряжений.......................................... 61
§ 1.7. Теоремы перехода от изображений ЛПЛ к оригиналам .... 65
§ 1.8. Чувствительность решений уравнений состояния простейших RL-
н 7?С-цепей к изменению их параметров........................... 67
§ 1.9. Резонансные решения уравнений состояния простейших RL- и
ЯС-цепей........................................................ 72
Глава 2. Аналитические решения уравнений состояния линейных стацио-
нарных. электрических цепей .................................... 79
§ 2.1. Классический метод решения уравнений состояния сложных эле-
ктрических цепей................................................ 79
§ 2.2. Функции от матриц и их применение для решения уравнений
состояния сложных электрических цепей , , ...................... 82
332
§ 2.3. Определение преходящей составляющей решения уравнения со-
стояния последовательной 7?ЛС-цепи................................. 88
§ 2.4. Определение установившихся составляющих решений уравнений
состояния электрических цепей с двумя накопителями энергии .... 91
§ 2.5. Замена переменных состояния при расчете сложных электриче-
ских цепей........................................................ 100
§ 2.6. Резонансные решения уравнений состояния.................... 103
§ 2.7. Спектральные характеристики решений уравнений состояния . . 108
Глава 3. Аналитические, решения дифференциальных уравнений состоя-
ние высших порядков сложных электрических цепей................... 115
§ 3.1. Классический метод решения дифференциальных уравнений со-
стояния второго порядка реактивных электрических цепей............ 115
§ 3.2. Применение синус-преобразований Фурье для нахожде-
ния установившихся составляющих решений дифференциальных урав-
нений реактивных электрических цепей ............................. 120
§ 3.3. Определение установившихся составляющих решений уравнений
состояния реактивных цепей с периодическими кусочно-полиномиаль-
ными, кусочно-синусоидальными и импульсно-модулированными функ-
цями источников................................................... 127
§ 3.4. Теорема перехода от изображений ЛСП к оригиналам .... 132
§ 3.5. Решение дифференциальных уравнений высших порядков линей-
ных электрических цепей .......................................... 133
Глава 4. Аналитические решения уравнений состояния нестационарных
электрических цепей .............................................. 139
§ 4.1. Классический метод решения уравнений состояния нестационар-
ных электрических цепей .......................................... 139
§ 4.2. Аналитические решения уравнений состояния электрических ма-
шин переменного тока.............................................. 142
§ 4.3. Аналитические решения уравнений состояния вентильных цепей 149
Глава 5. Численно-аналитические методы решения уравнений состояния 157
§ 5.1. Вычисление матричной экспоненты и преходящих составляющих
решений уравнений состояния линейных стационарных электрических
цепей............................................................. 157
§ 5.2. Расчет установившихся и преходящих составляющих решений
уравнений состояния линейных стационарных электрических цепей в
безрезонаисном случае............................................. 159
§ 5.3. Расчет принужденных составляющих решений уравнений состоя-
ния линейных стационарных электрических цепей..................... 183
§ 5.4. Расчет составляющих решений уравнений состояния реактивных
электрических цепей............................................. !(»(>
§ 5.5. Применение численно-аналитических методов для решения урав-
нений состояния нестационарных и нелинейных электрических цепей 16Н
Глава 6. Численные методы решения уравнений состояния................. Г/1
§ 6.1, Численное интегрирование уравнений состояния .... 17 I
333
§ 6.2. Использование правила Рунге для оценки погрешности выбора
шага интегрирования.............................................. 178
§ 6.3. Устойчивость методов численного интегрирования............ 181
§ 6.4. Жесткость систем дифференциальных уравнений электрических
цепей............................................................ 187
§ 6.5. Системные методы численного решения уравнений состояния
электрических цепей ............................................. 193
§ 6.6. Фильтрация составляющих с большими производными при ре-
шении жестких дифференциальных систем............................ 198
Глава 1. Машинный расчет электрических цепей......................... 211
§ 7.1. Сведение расчета переходных процессов электрических цепей к
расчету цепей по постоянному току................................ 211
§ 7.2. Использование метода узловых напряжений при расчете пере-
ходных процессов.............................................. 216
§ 7.3. Машинное формирование узловых уравнений нд основе принци-
па поэлементного вклада.......................[.................. 220
§ 7.4. Макромоделирование электрических цепей . . \.............. 228
§ 7.5. Макромоделирование электрических машин переменного тока 229
§ 7.6. Макромоделирование длинных линий............ . .... 232
§ 7.7. Макромоделирование вентильных линий....................... 237
Глава 8. Диагностика электрических цепей............................. 246
§ 8.1. Задачи диагностики электрических цепей. Диагностика парамет-
ров электрических цепей методом узловых сопротивлений............ 246
§ 8.2. Влияние погрешностей измерений на решение задачи диагности-
ки пассивных электрических цепей методом узловых сопротивлений 257
§ 8.3. Диагностика параметров пассивных электрических цепей обоб-
щенным методом узловых сопротивлений. Метод узловых проводимо-
стей ............................................................... 261
§ 8.4. Диагностика параметров пассивных электрических цепей моди-
фицированным методом узловых сопротивлений.......................... 268
§ 8.5. Диагностика пассивных электрических цепей по частям .... 277
§ 8.6. Использование измерений токов ветвей для определения пара-
метров пассивных электрических цепей................................ 284
§ 8.7. Диагностика параметров пассивных элементов активных элект-
рических цепей методом узловых сопротивлений........................ 285
§ 8.8. Определение параметров пассивных электрических цепей по не-
полным или противоречивым данным диагностических экспериментов 288
§ 8.9. Диагностика параметров пассивных электрических цепей по дан-
ным измерений одного режима. Теоремы эквивалентности............. 296
Глава 9. Нестандартные модели электрических цепей.................... 305
§ 9.1. Границы научных абстракций и представление бесконечного в
задачах теории электрических цепей .............................. 305
§ 9.2. Нестандартный анализ и нестандартные модели электрических
цепей............................................................ 308
334
§ 9.3. Нестандартные модели электрических цепей с топологическими
вырождениями .................................................... 313
§ 9.4. Нестандартные модели электрических цепей с мгновенными ком-
мутациями ....................................................... 321
Заключение.......................................................... 326
Список литературы................................................... 328
Предметный указатель............................................... 330